Пластинки и оболочки - Тимошенко С.П.

Author: Тимошенко С.П.

Tags: издательство наука пластинки теория оболочек главная редакция физико математической литературы деформация пластинок

Year: 1966

Similar

Балки, пластины, оболочки

Пластинки и оболочки

Сопротивление материалов Т.1. Элементарная теория и задачи

Гибкие пластинки и оболочки

Text

ОГЛАВЛЕНИЕ
От редактора перевода ........................................ 8
предисловие авторов........................................... _10
Введение....................................................... 11
;Г л а в а I. Изгиб длинной прямоугольной пластинки по цилиндри-
ческой поверхности......................................... 14
1. Дифференциальное уравнение цилиндрического изгиба пластинки 14
2. Цилиндрический изгиб равномерно нагруженной прямоугольной
свободно опертой по краям пластинки .............. ....... L6
3. Цилиндрический изгиб равномерно нагруженной прямоугольной,
защемленной по краям, пластинки............................ 23
4. Цилиндрический изгиб равномерно нагруженной прямоуголь-
ной пластинки с упруго защемленными краями ........ 27
5. Влияние малых смещений продольных краёв в плоскости пла-
стинки на натяжения и прогибы ...............
6. Приближенный метод вычисления параметра и.............
7. Длинная равномерно нагруженная прямоугольная пластинка,
имеющая малую начальную цилиндрическую кривизну........
8. Цилиндрический изгиб пластинки на упругом основании ....
Хлава 1L Чистый изгиб пластинки . . „ ...................
9. Наклон и кривизна слабо изогнутой пластинки.........
10- Соотношения между изгибающими моментами и кривизнами при
чистом изгибе пластинки.................................
11. Частные случаи чистого изгиба.......................
12. Энергия деформации при чистом изгибе пластинки ......
13. Ограничения в приложимости выведенных формул........
14. Температурные напряжения в пластинке, защемленной по краям
Глава III. Симметричный изгиб круглой пластинки.............
15. Дифференциальное уравнение симметричного изгиба поперечно
" нагруженной круглой пластинки...........................
16. Равномерно нагруженная круглая пластинка............
17. Круглая пластинка с круглым отверстием в центре.....
18. Круглая пластинка, нагруженная концентрически.......
19. Круглая пластинка, нагруженная в центре.............
20. Поправки к элементарной теории симметричного изгиба круглой
пластинки.............................................. 88
£3388 8 ES888 S S -8 SSS
ОГЛАВЛЕНИЕ

Глава IV. Малые прогибы поперечно нагруженной пластинки 96
Дифференциальное уравнение изогнутой поверхности . . . . 96
Граничные условия........................................100
Вариант вывода граничных условий.........................106
Приведение задачи об изгибе пластинки к исследованию пере-
мещений мембраны.........................................110
25. Влияние упругих постоянных на величину изгибающих моментов 115
26. Точнин теория пластинки................................116
Глава V. Свободно опертая прямоугольная пластинка...........124
27. Свободно опертая прямоугольная пластинка под синусоидаль-
ной нагрузкой...............................................124
28. Решение Назье для свободно опертой прямоугольной пластинки 128
29. Дальнейшие применения решения Навье....................130
30. Другой способ решения задачи для свободно опертой равно-
мерно нагруженной прямоугольной пластвнки...................133
31. Свободно опертая прямоугольная пластинка под гидростатиче-
ским давлением .............................................145
32. Свободно опертая прямоугольная пластинка под нагрузкой в виде
треугольной призмы..........................................154
33. Частично загруженная свободно опертая прямоугольная пла-
- стинка.........................................................158
34. Загружение сосредоточенной силой свободно опертой прямо-
угольной пластинки..........................................165
35. Изгибающие моменты в свободно опертой прямоугольной пла-
стинке под сосредоточенной нагрузкой........................168
36. Прямоугольная пластинка бесконечной длины, свободно опертая
по краям.........................................•..........174
37. Изгибающие моменты в свободно опертой прямоугольной пла-
стинке при равномерном загруженин ее по площади прямоуголь-
ника ........................-..............................183
38. Температурные напряжения в свободно опертой прямоугольной
пластинке...................................................187
39. Влияние деформации поперечного сдвига на изгиб тонкой пла-
стинки .....................................................190
40. Прямоугольная пластинка переменкой толщины............199
Глава VI. Прямоугольная пластинка при равничных условиях
опирания по краям................................................206
41. Изгиб прямоугольной пластинки моментами, распределенными
по краям....................................................206
42. Прямоугольная пластинка, два противоположных края которой
свободно оперты, два других защемлены.......................211
43. Прямоугольная пластинка, три края которой свободно оперты
и один защемлен............................................ 219
44. Прямоугольная пластинка, защемленная по всему контуру . . . 223
45. Прямоугольник пластинка, у которой один или два смежных
края свободно оперты, остальные же защемлены................233
46. Прямоугольная пластинка, дна противоположных края которой
свободно оперты, третий свободен, четвертый же защемлен или
свободно оперт ............................................ 235
47. Прямоугольная пластинка, три края которой защемлены, чет-
вертый свободен.............................................240
48. Прямоугольная пластинка, два противоположных края которой
свободно оцерты, два других свободны или упруго оперты . . 243
ОГЛАВЛЕНИЕ
49. Прямоугольная пластинка, упруго опертая по четырем краям
или опертая н вершинах, со свободными краями.................246
50. Полубесконечная прямоугольная пластинка под равномерным
давлением....................................................249
51. Полубесконечная прямоугольная пластинка под сосредоточен-
ными нагрузками..............................................252
£дава VII. Неразрезная прямоугольная пластинка..................257
52. Свободно опертин неразрезная пластинка.................257
53. Приближенный расчет неразрезной равнопролетной пластинки 265
54. Изгиб пластмини, опирающейся на несколько рядов равноотстоя-
щих колонн (безбалочное перекрытие)..........................274
55. Безбалочпое перекрытие из девяти панелей и перекрытия
с двумя свободными краями....................................283
56. Влияние жесткого соединения с колонной на моменты в безба-
лочном перекрытии............................................287
а в а VIII. Пластинки па упругом основании...................290
57. Изгиб, симметричный относительно центра.................290
58. Применение функций Бесселя к задаче об изгибе круглой пла-
стинки ......................................................296
59. Прямоугольная неразрезная пластинка па упругом основании . . 301
60. Пластинка, несущая несколько рядов равноотстоящих колонн . . 308
61. Изгиб пластинки, покоящейся на полубесконечном упругом
основании.....................................................ЗЮ
gia.na IX. Пластинки различных очертаний........................316
62. Уразнения изгиба пластинки в полярных координатах.......316
,63. Круглая пластинка под нагрузкой, изменяющейся по линейному
закону....................................................319
64. Круглая пластинка под сосредоточенной нагрузкой.........324
65. Круглая пластинка, опертая в нескольких точках по контуру . .
66. Пластинка, имеющая форму сектора круга.................
, К7. Круглая пластинка переменной толщины. ................
'68 . Кольцевая пластинка линейно изменяющейся толщины......
*69 . Круглин пластинка линейно изменяющейся толщины.......
ТО. Нелинейные задачи изгиба круглой пластинки...............
71, Эллиптическая пластинка.................................
72. Треугольная пластинка...................................
73. Косоугольная пластинка..................................
' 74. Распределение напряжений иокруг отверстий...............
TjMBa X. Специальные и приближенные методы теории пла-
стинок .....................................г....................
75. Особенности при изгибе пластинки........................
76. Использование поверхностей влияния для расчета пластинок .
77. функцнк влияния и характеристические функции............
78. Применение бесконечных интегралов и преобразований ....
79. Метод комплексных переменных............................
80. Применение энергетического метода для вычисления прогибов
81. Иной способ применения энергетического метода...........
82. Различные приближенные методы. Комбинированный метод . . 387
s aggggSSgggi
0 ОГЛАВЛЕНИЕ
83. Применение уравнений в конечных разностях к исследованию
изгиба свободно опертой прямоугольной пластинки...........
84. Экспериментальные методы............................-
Глава XI. Изгиб анизотропной пластинки.........................
85. Дифференциальное уравнение изгиба....................
86. Определение жесткостей в различных частных случаях ....
87. Применение теории к расчету балочных сеток............
88. Изгиб прямоугольной анизотропной пластинки............
89. Изгиб круглой и эллиптической пластинок...............
Глава XII. Изгиб пластинки- нод совместным действием попе-
речных нагрузок н сил в ее срединной плоскости ......
90. Дифференциальное уравнение изогнутой поверхности......
91. Прямоугольная свободно опертая пластинка под совместным
действием равномерно распределенной поперечной нагрузки н
Непомерного растяжения...................................
римененке энергетического метода......................
93. Свободно опертая прямоугольная пластинка под совместным
действием поперечных нагрузок и сил в ее срединной плоскости
94. Круглая пластинка при совместном действии поперечной на-
грузки и растяжения или сжатия ........................ . .
95. Изгиб пластинки, имеющей малую начальную кривизну ....
Глава ХШ. Большие прогибы пластинки .............
96. Изгиб круглой пластинки моментами, равномерно распределен-
ными по контуру...........................................
97. Приближенные формулы для равномерно нагруженной круглой
пластинки с большими прогибами..........................,
98. Точное решение для равномерно нагруженной круглой пла-
стинки, защемленной по контуру............................
99. Круглая свободно опертая пластинка под равномерно распре-
деленной нагрузкой........................................
100. Круглая пластинка, нагруженная в центре................
101. Общие уравнения для больших прогибов пластинки.......
102. Большие прогибы равномерно нагруженной прямоугольной.
пластинки ............................................. .
103. Большие прогибы прямоугольной свободно опертом пластинки
Глава XIV. Деформация оболочки без изгиба......................
104. Определения и обозначения............................
105. Оболочка вращения, нагруженная симметрично относительно
оси...................... ............ .................•
106. Частные случаи оболочки вращения.....................
107. Оболочки равного сопротивления.......................
108. Смещения н симметрично нагруженной оболочке вращения . .
109. Оболочка вращения под несимметричной нагрузкой.......
110. Напряжения от ветровой нагрузки......................
111. Сферическая оболочка, опертая в отдельных изолированных
точках . .............................................. -
112. Мембранная теория цилиндрической оболочки............
ИЗ. Использование функции напряжений для вычисления мембран-
ных сил оболочки .........................................
§ §§ S 5 Sgg ? S I g g §§ M SSSIS I
ОГЛАВЛЕНИЕ
ЙТлава XV. Общая теория цилиндрической оболочки.............
114. Круговая цилиндрическая оболочка под симметричной относи-
тельно оси нагрузкой ......................................
115. Частные случаи симметричной деформации круговой цилин-
дрической оболочки.........................................
116. Баллоны и резервуары под давлением...................
-117. Цилиндрические резервуары со стенками постоянной толщины
. 118. Цилиндрические резервуары со стенками переменной толщины
‘ 119. Температурные напряжения в цилиндрической оболочке . . .
120. Деформация нерастяжимой круговой цилиндрической оболочки
. 121. Общий случай деформации цилиндрической оболочки .....
* 122. Цилиндрическая оболочка, свободно опертая по торцам ....
'Т23. Изгиб участка цилиндрической оболочки ...............
•124. Приближенное исследование изгиба цилиндрической оболочки
125. Применение функции деформаций и напряжений .......
Г26. Исследование напряжений цилиндрической кровли оболочки
Н^1.в-ва -XVI. Оболочка вращения под нагрузкой, симметричной
относительно оси.................................................
427. Уравнения равновесия .................
( J28. Приведение системы уравнений равновесия к двум диффереа-
Ь.' цщщышм уравнениям второго порядка.................... .
/129. Сферическая оболочка постоянней Толщины...............
Приближенные методы вычисления напряжений в сферических
514
514
Сферическая оболочка с опорным кольцом...........
Симметричный изгиб пологой сферической оболочки
Коническая оболочка............................
Общий случай оболочки аращения...........» . . .
ачения ...... ...................................
ой указатель.....................................
е’тный указатель.................................

ОТ РЕДАКТОРА ПЕРЕВОДА
Первое издание предлагаемой книги вышло в свет в США в 1940 г.
и переведено у нас в 1948 г. (С. П. Тимошенко, Пластинки и
оболочки, Гостехиздат, 1948). Настоящий перевод выполнен со вто-
рого издания, значительно переработанного при участии С. Войнов -
ского-Кригера и опубликованного в США в 1959 г. Переработка
коснулась преимущественно раздела, относящегося к теории пласти-
нок. Что касается теории оболочек, то здесь дело свелось лишь
к второстепенным улучшениям, и в ряде случаев — к ссылкам на
новую литературу. Этот раздел, где в последние десятилетия совет-
ские исследования являются ведущими, будет полезен для начального
ознакомления с предметом. Более подробные сведения читатель по-
черпнет из вышедших у нас монографий1)- Представление о новых
направлениях исследований можно получить, из публикуемых в послед-,
нее время ежегодно Трудов конференций по пластинкам и оболоч-
кам2), а также недавнего обзора А. Л. Гольденвейзера3).
Несмотря на значительное число опубликованных монографий по
теории пластинок и оболочек, данная книга не потеряла своего зна-
’) См., например, С. А. Амбарцумян, Теория анизотропных оболо-
чек, Фиэматгиз, 1961; В. 3. Власов, Общая теории оболочек, Гостехиздат,
1949; А. С- Вольмир, Гибкие пластинки и оболочки, Гостехиздат, 1956;
А. Л. Гольденвейзер, Теория упругих тонких оболочек, Гостехиздат,
1953; А. И. Лурье, Статика упругих оболочек, Гостехиздат, 1947;
X. М. Мутптари и К. 3. Г а ли нов. Нелинейная теория оболочек, Тат-
книгоиздат, 1957; В. В. Новожилов, Теория тонких оболочек, Судпром-
гиз, 1962 и др.
я) Теория пластинок и оболочек, Труды I Всесоюзной- конференции,
Казань, 1961; Труды II Всесоюзной конференции, Киев, 1962;. Труды Ш Все-
союзной конференции, Ереван (в печати).
в) А. Л. Гольденвейзер, Развитие теории упругих тонких оболочек.
Труды Всесоюзного съезда по теоретчческой и прикладной механике, Изд
ОТ РЕДАКТОРА ПЕРЕВОДА
чения. Основное внимание в ней уделяется решению конкретных задач
'об упругих деформациях пластинок и оболочек. Особое значение
придается трактовке практических приемов исследований и механи-
ческой интерпретации результатов. Во многих случиих (что очень
валено для приложений), решения иллюстрируются графиками и табли-
цами- Большой исследовательский и педагогический талант, огромная
эрудиция и опыт С. П. Тимошенко делают книгу весьма ценной
ййк для учащихся, так и для инженеров и научных работников.
Е- При редактировании в отдельных местах обновлена библио-
^‘афия.
Г. С. Шапиро
ПРЕДИСЛОВИЕ АВТОРОВ
С момента выхода в свет первого издания этой книги применения
теории пластинок и оболочек в практике значительно расширились,
теория же пополнилась некоторыми новыми методами. С тем, чтобы
оказать этим фактам должное внимание, мы постарались внести
'в книгу по возможности- достаточное количество необходимых изме-
нений и дополнений. Важнейшими дополнениями являются; 1) пара-
граф о прогибах пластинки, вызванных поперечными деформациями
сдвига; 2) параграф о концентрации напряжений вокруг -круглого
отверстия в изогнутой пластинке; 3) глава об изгибе пластинки,
покоящейся на упругом основании; 4) глава об изгиба анизотропной
пластинки и 5) глава, посвященная обзору специальных и прибли-
женных методов, используемых при исследовании пластинок. Мы
развили также главу о больших прогибах пластинки, добавив в нее
несколько новых случаев для пластинок переменной толщины и ряд
таблиц, облегчающих расчеты.
-В части книги, излагающей теорию оболочек, мы ограничились
добавлением метода функции напряжений в мембранную теорию обо-
лочек и некоторыми незначительными добавлениями в теорию изгиба
оболочек вращения.
Теорви оболочек обнаружила ва последние годы быстрое разви-
тие, и в этой области появился ряд новых книг. Поскольку не пред-
ставляется возможным останавливаться подробно на этих новых ре-
‘ аультатах, мы ссылаемся здесь лишь на новые литературные источ-
ники, в которых лвца, специально интересующиеся этой областью,
найдут необходимые сведения.
ВВЕДЕНИЕ
гПЪлщнна пластинки оказывает на ее свойства при изгибе значи-
большее влияние, чем другие ее размеры. В этой книге мы
аем три типа пластинок: 1) тонкие пластинки, подвергающиеся
цм прогибам; 2) тонкие пластинки, подвергающиеся большим про*
3) толстые пластинки.
Цепкие пластинка с малыми прогибами. В тех случаях, когда
(пн*ы W пластинки малы в сравнении с ее толщиной Л, имеется
йк«ность построить вполне удовлетворительную приближенную
Но изгиба пластинки под поперечными нагрузками, основываясь
шндующих допущениях;
jfc В срединной плоскости пластинка не испытывает никаких де-
ВЫннй. При изгибе эта плоскость остается нейтральной.
£ .Точки пластинки, лежащие до аагружения на нормали к сре-
Ц.» плоскости, остаются в процессе изгиба на нормали к ее сре-
Ььй поверхности.
’.Г- Нормальными напряжениями в направлении, поперечном к сре-
рой плоскости пластинки, допустимо пренебрегать.
основываясь на этих допущениях мы сможем все компоненты
ржений выразить через прогиб и) пластинки, являющийся функ-
З'-двух координат в плоскости пластинки. Эта функция должна
Км-творять линейному дифференциальному уравнению в частных
ф&одных, которое, вместе с граничными условиями, полностью
валяет «>. Таким образом, решение этого уравнения дает все
Водимые исходные данные, чтобы вычислить напряжения для
F я точки пластинки.
второе допущение эквивалентно пренебрежению влиянием пере-
^мюших сил на прогиб пластинок. Допущение это обычно удо*
Р- <»ряется, но в некоторых случаях (например, при наличии в пла-
И>е отверстий) перерезывающие силы приобретают большое эна-
|е. и тогда в теорию тонкой пластинки приходится вводить
гтсрые коррективы (см. § 39).
Ьгяи в дополнение к поперечным нагрузкам на пластинку дей-
р&т еще и внешние силы в ее срединной плоскости, то первое
Ццение не выполняется, и тогда возникает необходимость принять
12 ВВЕДЕНИЕ
во внимание и то влияние, которое оказывают на изгиб пластинки
напряжения, действующие в ее срединной плоскости. Это достигается
введением некоторых добавочных членов в вышеупомянутое диффе-
ренциальное уравнение пластинки (см. § 90).
Тонкие пластинки с большими прогибами. Первое допущение
выполняется полностью лишь в том случае, если пластинка изги-
бается по развертывающей поверхности. В иных условиях изгиб пла-
стинки сопровождается деформированием срединной плоскости, но
вычисления показывают, что соответствующими напряжениями в сре-
динной поверхности можно пренебречь, если прогибы пластинки малы
в сравнении с ее толщиной. Если же прогибы не малы, при выводе
дифференциального уравнения изгиба пластинки эти дополнительные
напряжения надлежит учитывать. При этом мы приходим к нелиней-
ным уравнениям, и решение задачи значительно осложняется (см, § 96).
При больших прогибах нам следует также различать случай непо-
движных краев и случай, когда краям пластинки предоставлена воз-
’можность свободно перемещаться в ее плоскости-— это заметно отра-
жается на величине прогибов и напряжений пластинки (см. §§ 99, 100).
Благодаря кризизне деформированной срединной поверхности, допол-
нительные (имеющие преобладающее значение) растягивающие напря-
жения противодействуют приложенной поперечной нагрузке; таким
образом, действующая нагрузка воспринимается при этом частично
изгибной жесткостью, а частично мембранным дейстинем пластинки.
В силу этого весьма тонкие пластинки, обладающие пренебрежимо
малым сопротивлением изгибу, ведут себя как мембраны, за исклю-
чением, возможно, узких краевых зон, где изгиб может быть вызван
наложенными на пластинку граничными условиями.
Случай пластинки, изогнутой в развертывающуюся, в частности,
в цилиндрическую поверхность, следует рассматривать кан исключе-
ние. Прогибы такой пластинки могут достигнуть величины того же
порядка, что и толщина пластинки, не приводя непременно к воз-
никновению мембранных напряжений и не нарушая линейного харак-
тера теории нагиба. Возникновение мембранных напряжений стано-
вится, однако, возможным в такой пластинке, если края ее закреплены
неподвижно в плоскости пластинки, а прогибы достаточно велики
(см. § 2). Поэтому в пластинках с малыми прогибами, мембранными
силами, возникающими из-за неподвижности в плоскости пластинки
ее краев, можно на практике пренебрегать.
Толстые пластинки. Перечисленные выше приближенные тео-
рии тонких пластиноп непригодны для пластинок значительной тол-
щины. в особенности, когда последние подвергаются действию резко
сосредоточенных нагрузок. В таких случаях следует пользоваться
теорией толстых пластинок, рассматривающей задачу о пластинках
как трехмерную задачу теории упругости. Исследование напряжений
поэтому приобретает более сложный характер и к настоящему вре-
ВВЕДЕНИЕ
13
ыеян приведено к полному решению лишь для немногих частных
Случаев. При решении такого рода задач средствами теории тонких
ОДастмнок в последнюю следует вводить надлежащие поправки для
точек приложения сосредоточенных нагрузок.
л - Важнейшие предпосылки теории тонких пластинок составляют
ячейке и базис для обычной (элементарной) теории тонких оболочек.
(Следует, однако, обратить внимание на существенное различие в по-
ведении пластинок и оболочек под воздействием внешней нагрузки.
Оптическое равновесие элемента пластинки под поперечной нагруз-
кой возможно лишь в результате действия изгибающих и крутящих
моментов, обычно сопровождающегося действием перерезывающих
Зшл. тогда как оболочка в общем случае способна передавать рас-
ределенную по поверхности нагрузку через «мембранные» напряже-
гя, которые действуют параллельно касательной плоскости в задан-
« очке срединной поверхности и распределены равномерно по
дгцине оболочки. Это свойство оболочки сообщает ей. как правило,
рапельно большую жесткость и большую экономичность в сравне-
И с пластинкой в тех же условиях.
В принципе мембранные усилия не зависят от изгиба и полностью
!р6делены условиями статического равновесия. Методы определения
1>ИХ усилий составляют содержание так называемой «мембранной
ррии оболочек». Однако реактивные силы и деформации, находи-
>tt no этой теории у гриниц оболочки, оказываются обычно несовме-
ймыми с реальными граничными условиями. Для того чтобы устра-
М> это несоответствие, следует учесть эффект изгиба оболочки
краевой зоне, способный оказать некоторое влияние на в₽ли-
цву начально вычисленных мембранных усилий. Этот изгиб, однако.,
pjr обычно лишь локальный характер1) и поддается анализу на
&рве тех же допущений, что принимаются в случае малых прогн-
ию тонкой пластинки.- Приходится, однако, встречаться с задачами.
К-особенности относящимися к упругой устойчивости оболочек, для
Ккиррых гипотеза малых прогибов перестает быть допустимой и где
медует опираться на теорию больших прогибов.
К,-Если' толщина оболочки сравнима с радиусами кривизны или если
^рассматриваем напряжения близ точек приложения сосредоточен-
ных сил, следует исходить из более строгой теории, сходной с тео-
рией толстой пластинки.
z , ’) Существуют некоторые тияы оболочек (в частности, оболочки отри-
рателыюй гауссовой кривизны), представляющие ряд исключений. В случае
Йййертывающихся поверхностей, например цилиндрических или конических,
ЙСйможны большие прогибы без деформирования срединной поверхности, и
fr-аекоторых случаях бывает допустимо пренебречь мембранными напряже-
ИИями, так как при этом может быть достаточным учет одних лишь напря-
жений изгиба.
ГЛАВА I
ИЗГИБ ДЛИННОЙ ПРЯМОУГОЛЬНОЙ ПЛАСТИНКИ
ПО ЦИЛИНДРИЧЕСКОЙ ПОВЕРХНОСТИ
I. Дифференциальное уравнение цилиндрического изгиба пла-
стинки. К изложению теории изгиба пластинок мы приступки с ре-
шения простой задачи об изгибе длинной прямоугольной пластинки,
г несущей поперечную, не изменяющуюся по длине пластинки нагрузку.
Изогнутую поверхность участка такой пластинки, достаточно удален-
ного от ее концов1), можно при этом считать цилиндрической,
с осью цилиндра, параллельной длине пластинки. Мы будем вправе
в этих условиях ограничить исследование одной лишь элементарной
полоски, вырезанной из пластинки двумя плоскостями, перпендику-
лярными к длине пластинки и отстоящими одна от другой на еди-
ницу длины (положим, на I см). Прогиб такой полоски выравится
дифференциальным уравнением, ена-
логичным уравнению прогиба изо-
гнутой балки.
Чтобы получить это уравнение
прогиба выделенной нами полоски,
выберем е качестве объекта нашего
рассмотрения пластинку постоян-
ной толщиной Дав качестве коор-
динатной плоскости ху примем сре-
динную плоскость пластинки, т. е. плоскость, лежащую до нагру-
жения пластинки посредине между ее верхней и нижней поверхностями.
Пусть ось у совмещается при этом с одним из продольных краев
пластинки, положительным же направлением оси z будем считать, как
показано на рис. I. направление вниз. Тогда, обозначив ширину пла-
стинки через I, мы вправе будем рассматривать выделенную нами
элементарную полоску как стержень примоугольного поперечного се-
') Вопрос о том, каким должно быть отношение между длиной в шири-
ной пластинки для того, чтобы у нас было право считать максимальное на-
пряжение в ней приблизительно равным соответствующей величине для бес-
конечно длинной пластинки, обсуждается ниже; си. стр. 136, 141.
ИИФФеРЕНЦИАЛЬНОЕ УРАВНЕНИЕ ЦИЛИНДРИЧЕСКОГО ИЗГИБА 15
пролетом I, толщиной h. При вычислении обусловленных иаги-
капряжений в таком стержне мы предполагаем, как и обычно
^расчетах балок, что поперечные сечения стержня остаются при изги-
плоскими, испытывая лишь повороты относительно своих ней-
х осей. Если в концевых сечениях стержня не приложено
[ких нормальных сил, то нейтральная поверхность стержня совпа-
гт со срединной поверхностью пластинки, и относительное удли-
волокна, параллельного оси х, окажется пропорциональным
"расстоянию от срединной поверхности. Кривизну изогнутой оси
можно будет при этом принять равной e^wfdx2, где «и — про-
, стержня в направлении z—предполагается малым в сравнении
стержня I. Относительное удлинение ех волокна, отстоя-
на расстояния z от срединной поверхно-
{рис. 2). будет тогда равно —zd^wldx"1.
Пользуясь законом Гука, выразим теперь
*|йсительные удлинения ех и е* ваштрихо-
на рис, 2. а элемента в функции -
вующих на него нормальных напряжений
Рис. 2.
Е Е ’
» =_*_____1 = 0
-У Е Е ’
(О
материала.
Для того
деформации непрерывность. необхо-
й^ь Е—г модуль упругости
Sw.— коэффициент Пуассона.
^Й5ы пластинка сохранила при
ио, чтобы поперечная линейная деформация ее в направлении у
до равна нулю. На этом основании второе на уравнений (1) ласт нам
-вдх. Подставия вто значение с в первое из уравнений (1), получим
-ех—g-------
Ее* Ez d2tr '
Т=-> dx*- (2)
NicTHHKa подвергается, кроме того, еще и действию равно-
определенных по ее продольным краям растягивающих или
их сил в направлении х. то соответствующее нормальное
не нужно будет прибавить к напряжению (2), обусловлен-
ном.
лагая теперь выражением для напряжения изгиба ах, находим по-
< интегрирования изгибающий момент в элементарной полоске
hfi h/2
м f „а,— Г Ez* dtw Eh*
M— J <Ixidz — — J 12(1 —v’) dx*
-ft/? -ft/?
16 ИЗГИБ ПРЯМОУГОЛЕН. ПЛАСТИНКИ па ЦИЛИНДРЙЧ. ПОВЕРХНОСТИ (ГЛ I
Вводя обозначение
W^)=D- <3>
представим уравнение изогнутой кривой, т. е. кривой прогибов, для
элементарной полоски в следующем виде:
где величина D, которая играет здесь ту же роль, что и произведе-
ние El, входящее в формулы изгиба балки, называется жесткостью
пластинки при изгибе. Мы видим, что вычисление прогибов пла-
стинки сводится к интегрированию уравнения (4), имеющего тот же
вид. что и дифференциальное уравнение изгиба балии. Если пла-
стинка несет только поперечную нагрузку, причем края ее могут при
изгибании свободно сближаться, вывод выражения для изгибающего
момента не представит никаких затруднений, и кривая прогибов
будет найдена в результате интегрирования уравнения (4). На прак-
тике задача усложняется, так как по краям пластинка бывает обычно
укреплена неподяижно. вследствие чего возможность беспрепятствен-
ного их смещения исключается. При таком способе опирания изгиб
пластинки сопровождается появлением на ее краях растягивающих
реактивных усплнй. Эти реактивные силы зависят от величины про-
гиба и в свою очередь оказывают влияние на величину входящего
в уравнение (4) изгибающего момента. Возникающая при этом задача
заключается в исследовании изгиба элементарной полоски, подвергну-
той совместному действию поперечной нагрузки и осевой силы,
зависящей от прогиба полоски *). Ниже мы разберем эту задачу в при-
менении к частном}7 случаю пластинки, несущей равномерно распре-
деленную нагрузку при различных условиях по краям.
2. Цилиндрический изгиб равномерно нагруженной прямо-
угольной свободно опертой по краям пластинки. Рассмотрим длин-
ную прямоугольную равномерно загруженную пластинку, продольные
края которой при изгибе могут беспрепятственно поворачиваться, но
лишены возможности сближаться. Вырезанная из такой пластинки
элементарная полоска находится, как показано на рис. 1, в условиях
равномерно нагруженного стержня, подвергающегося действию осевой
силы 5 (рис 3). величина которой такова, что она препятствует
') В таком виде задача была рассмотрена впервые И. Г. Бубновым; см.
английский перевод его труда в Trans. Inst, of Naval Arch., т. 44, стр. 15,
1902, и его книгу «Строительная механика корабля», т. 2, стр. 545, СПб.,
1914. См. также доклад Стюарта Узя (Stewart Way), представленный на Феде-
ральном конгрессе прикладной механики Американского общества инжене-
ров-мехаиикоз (ASME) н Нью-Хевене в июне 1932 г. Из атой работы заим-
стврвзны кривые, приэодимые ниже, в §§ 2 и 3.
2] СВОБОДНО ОПЕРТАЯ ВО КРАЯМ ПЛАСТИНКА 17
концам стержня смещаться вдоль оси х. Если интенсивность равно-
мерной'нагрузки обозначить через q, то изгибающий момент в не-
котором поперечном сечении полоски будет равен
— Sw.
Подставив это в уравнение (4), получим
_______________________________ qix । qxi , v
dx*' D ~ 2D ‘ 2D‘ w
Если ввести обозначение
гто общее решение ураянения (а) может быть написано в следующем
’..виде:
t > . 2их . „ . 2их .
rw = Cj sh —у— -|-C2ch —у— -Ь
sПостоя иные интегрирования
я&! и С2 определятся из
^условий на концах полоски.
>7“ как прогибы полоски на ее
®у = 0 при х =
^Подставив сюда вместо w его вы
условий
г — . 1—1
;/ 1 16и4£> sh
«"выражение (Ь) для прогиба прт
\_______/1 — ch2u„u 2«х
16и4/) 1 sb2и Stl I “• I ^аЧ
‘Произведя подстановки
ch 2й ~ ch2 и + sh2 a, sh 2й = 2 sh и ch и,
сЬ2и = 1 -{-sh2K,
получаем возможность представить это выражение в более простой
форме:
16h<D
. . 2их . . . 2их
— shush—j—|-ch в ch——
ch и
0+1Йг<'-*)
18 ИЗГИБ ПРЯМОУГОЛЬН. ПЛАСТИНКИ ПО ЦИЛИНДРИЧ. ПОВЕРХНОСТИ 1ГЛ Г
или
<6>
Таким образом,' прогибы элементарной полоски зависят от велн-
I чины и, которая, как мы видим ив уравнения (5), представляет собой
функцию осевой силы <S. Эту силу, пока еще нам неизвестную, можно
| найти из того условия, что концы полоски (рис. 3) не перемещаются
по оси х, вследствие чего произведенное силами S удлинение по-
лоски должно быть равно разности между длиной дуги изогнутой ее
. оси и длиной хорды I. Эту разность Для малых прогибов можно
представить формулой ')
о
' Вычисляя вызванное силами S удлинение полоски, мы предпола-
гаем, что возможность поперечной деформации полоски в направле-
нии у исключена; у нас есть поэтому право воспользоваться здесь
уравнением (2). Тогда
K=sfl5^=l/(^dx. №
о
Подставляя сюда вместо & выражение (6) и произведя интегрирова-
ние, получим для вычисления S следующее выражение:
S(l —f 5 thu 1 tb»u 5 , 1 \ ,
hE ~~Dl 1256 u7 ' 256 u« 256w“ 384u*J*
Подставиз сюда S — ^iPDjP из уравнения (5) и выражение D из
уравнения (3), получаем окончательное уравнение:
_ 135 th и , 27 th»и 135 , 9 /Оч
— Тб и’ 16 и8 16а« 8ив *
Для данного материала, данного отношения hjl и данной нагрузки
левая часть этого уравнения легко может быть вычислена, и удовле-
творяющее уравнению значение и может быть найдено методом проб-
ных подстановок. Для упрощения решения можно воспользоваться
представленными на рис. 4 кривыми. Абсциссы этих кривых пред-
ставляют собой значения и. ординаты же значения 1g (10* Y
где 1/0 обозначает численную величину правой части уравнения (8).
') См. Тимошенко С. П.( Сопротинлеиие материалов, ч. 1, стр. 157,
СВОБОДНО ОПЕРТАЯ ПО КРАЯМ ПЛАСТИНКА 19
Ejfcnt построении кривых здесь берется квадратный корень из £/0 но
соображениям, что его легче вычислить из констант пластинки
Ейг'яагрузки; множитель же 10* вводится для того, чтобы логарифм
Ел положительное значение. В каждом частном случае мы начи-
расчет с вычисления квадратного корня ив левой части урав-
(8), равного 0_viyjri вто иам мег У Uv Величина
20 ИЗГИБ ПРЯМОУГОЛЕН. ПЛАСТИНКИ ПО ЦИЛИНДРИЧ. ПОВЕРХНОСТИ (ГЛ I
ig(i0' /Ч» даст нам тогда ординату, которую мы отмечаем на
рис. 4. Соответствующие значения и непосредственно прочитываются
по кривой. Зная и. мы получим из уравнения (5) и величину осевой
силы
При вычислении напряжений заметим, что полное напряжение
в любом поперечном сечении полоски составляется из напряжения от
изгиба, пропорционального изгибающему моменту, и из растягиваю-
щего напряжения, величина которого Sjh остается постоянной по
длине полоски. Максимальное напряжение получается посредине длины
полоски, где изгибающий момент принимает наибольшее значение.
Из дифференциального уравнения (4) максимальный изгибающий мо-
мент получается равным
Подставляя сюда вместо и> его выражение из (6), получим
Afrnax — *ЫИ)-
. 1—secha
%=-----•
2
О)
<е)
Значения % даны графически кривыми рис. 5. Мы видим, что
с увеличением и эти значения быстро уменьшаются и при сравни-
тельно больших значениях и минсимальный изгибающий момент по-
лучается в несколько раз меньшим, чем момент qPjfh, получаемый
в том случае, когда на концах полоски нет растягивающих реакций.
Теперь как напряжение Cj от осевой растягияающей силы, так и
максимальное напряжение с2 от изгиба легко могут быть выражены
в функциях от и, q и констант пластинки, а именно:
S 4нв/>
<ю>

Полное максимальное напряжение в пластинке будет равно
Dmai = ol + °2-
Чтобы показать, как именно следует пользоваться кривыми рис. 4
и Б при вычислении максимальных напряжений, разберем численный
СВОБОДНО ОПЕРТАЯ ПО КРАЯМ ПЛАСТИНКА
21
^нагрузку 0=1,4 KtjCM2 .(£'—2100000 кг/см2). Начнем с вычис-
лении У и0
. ^•-<гА«(Я=7Д^'Ж = 0'<),<548-
‘Тогда из таблиц
f 1g (10<1<Ц>)=2.217.
rtto кривой А на рис. 4 находим « = 3,795, а из рис. 5 получаем
^$0«=0,1329. Вычисляя теперь с помощью уравнений (10) и (II) на-
Йфюкения, находим
1106 ^см2-
0, = ^. 1.4-10’. 0.1329 = 1395 nlctf,
°max = °1 + а2 ~ 2503 KijcM1.
Чтобы вычислить максимальный прогиб, подставим x — lp. в урав-
нение (6) изогнутой оси; при этом получим
^шах = 384£) /о(н)« (12)
22 ИЗГИБ ПРЯМОУГОЛЬН. ПЛАСТИНКИ ПО ЦИЛИНЛРИЧ ПОВЕРХНОСТИ ГГЛ. г
где
sechu—1-|—g-
/о (я) — ’“5^
24
Для упрощения расчетов значения /0(д) даны на рис. 5 в виде
кривых. Если бы на концах полоски не было растягивающих реак-
ций. то максимальный прогиб был бы равен 5grZ4/384D. Эффект рас-
тягивающих реакций отражен здесь множителем /0(й), который быстро
уменьшается с увеличением и.
Рис. 6.
Воспользовавшись рис. 5 для только что разобранного численного
примера, найдем, что при и = 3.795 значение /„(«) будет равпо 0,145.
Подставив это значение в уравнение (12), получим
®пи= 12-0.145 = 1,74 см.
Из уравнения (8) видно, что параметр растяжения и зависит для
данного материала пластинки, от интенсивности нагрузки д и от
отнощения l/h ширины пластинки к ее толщине. Из уравне-
ний же (10) и (11) видим, что напряжения а, и а2 точно так же
являются функциями от и, д и l[h. Следовательно, максимальное на-
ЗАЩЕМЛЕННАЯ ПО КРАЯМ ПЛАСТИНКА 23
пряжение пластинки зависит лишь от нагрузки q и отношения Ifh.
Это значит, что мы можем нанести сетку кривых, показывающих
максимальное напряжение в зависимости от q, так, что каждая кри-
Змя в этой сетке будет соответствовать некоторому частному значе-
нию Z/Л, Такие кривые даны на рис. 6. Мы видим, что при наличии
.растягивающих сил S. которые возрастают с нагрузкой, максималь -
(-рое напряжение не будет пропорционально нагрузке q и что при
..(больших значениях q это напряжение с ивменением толщины пла-
тртинки изменяется незначительно. Взяв кривую, отмеченную отноше-
Йййем //й=100, и приняв q— 1,4 найдем по этой кривой то
';«амое значение сти, которое было вычислено нами выше в разобран-
йюм примере.
К
j 8. Цилиндрический изгиб равномерно нагруженной лрямо-
^угольной, защемленной по краям пластинки. Допустим, что про-
дольные края пластинки закреплены таким образом, что они лишены
^Возможности поворачиваться. Выделив, как и раньше (рис. 1), эле-
(ментараую полоску шири-
,йой в единицу длины и обо-
значив приложенный по про-
дольным краям пластинки
«•3» отнесенный к единице
«Ьлнны изгибающий момент
И^ерез мы сможем изо-
абразить действующие на по-
Ьюску силы схемой по
Изгибающий момент в некотором поперечном сечении полоски

Шодставнв это выражение в уравнение (4). получим
d2w S ___________qlx । gx2 Ma
dx* D w~ 2D “I" 2D D '
(a)
;мбщее решение этого уравнения при пользовании обозначением (5)
представится в следующем виде:
„ Г <-ь 2их i „ь 2мх I Ч1*х Ч?** ql* , МЛР .
w —CjSh t -}-С2сп t + 8uW &u2D 16«4D~I"4^D‘
Заметив, что кривая прогибов полоски симметрична относительно ее
дередины. определим постоянные интегрирования С,, С2 и момент Л10
24 ИЗГИБ ПРЯМОУГОЛЬН. ПЛАСТИНКИ ПО НИЛИНДРИЧ. ПОВЕРХНОСТИ (гл. т
из следующих трех условий:
•^- = 0 при л = 0 и при x=lf2, |
та = 0 при х — 0. J
Подставив сюда вместо та его выражение (Ь), получим из этих
условий
С1 = —-nrwr- C2 = TirS7Tctl,“-
1 16«3£) * 16«8D
Al„ — cth и = — (o),
° 4«2 4и 12 Ti' '
где
, . . 3(«—th и)
Прогиб w будет, следовательно, определен выражением
а/4 , 2кх > ql* .
«=-и» sh ~+таи> *'c»—4
ЛЛ________________2^-cthB
8u’D 8u?D 16u’£>
Это выражение можно упростить и представить окончательно в сле-
дующем виде;
,1‘ | **[“(' г)] 1 gg(Z —л»ж
16»»£>th« I chit 4 8uW ‘
Для вычисления параметра и будем поступать как в предыдущем
параграфе и воспользуемся выведенным там уравнением (d). Под-
ставив в него значение w из (14) и выполнив интегрирование, найдем
S (1 - v!) I _ «Ф ( 3 _ 1 ,__I___, 1
й£ “ D2 \ 256«®thM 256u4shsa~ 64ив ~ 384и</'
Внеся сюда выражение 5 из (5) и выражение D из (3), напишем
уравнение для вычисления и в окончательном виде:
Р№ _( 81 27 , 27 , 9 )
(I _ уу ?s/s — 1ба? th и 16«6 sh2 и ' 4м8 ‘ 8ив /'
Чтобы упростить его решение, воспользуемся кривой рис. 8, где
параметр и принят в качестве абсциссы, ординаты же равны
Jg^O4)/^4/j), причем U1 обозначает здесь правую часть уравнения (15).
К расчету любой данной нам пластинки мы приступаем с вычисления
квадратного корня из левой части уравнения (15), равного £Л4/(1 —
что дает нам С/j. Тогда IgClO4^TQ определит ординату кривой
на рис. 8; соответствующая же абсцисса даст искомое значение и.
8} ЗАЩЕМЛЕННАЯ ПО КРАЯМ ПЛАСТИНКА 25
Зная а, мы можем приступить к вычислению максимального на-
пряжения в пластинке. Полное напряжение в некоторой точке по-
перечного сечения полоски составляется из постоянного по длине
Эйвлоски растягивающего напряжения «j и напряжения изгиба. Макси-
мальные напряжения изгиба с2 будут иметь место у защемленных
JKppeE, где изгибающие моменты принимают наибольшие значения.
•Пользуясь уравнением (10) для определения ct и уравнением (13)
26 ИЗГИБ ПРЯМОУГОЛЬН. ПЛАСТИНКИ ПО ЦИЛИНДРИЧ. ПОВЕРХНОСТИ (ГЛ. !
дли вычисления изгибающего момента Л10, получим
^3^(4)’.
(4) } (17)
°... = »+»»• )
Чтобы упростить вычисление напряжений изгиба о2, значения функ-
ции фДй) нанесены в виде кривой на рис. 5.
Наибольший прогиб получается в середине полоски и опреде-
ляется путем подстановки х=1[2 в уравнение (14), которое дает
(IS)
где
/1 <“) = У (т+•
Функция Д (и) точно так же задана на рис. 5 в виде кривой.
Иллюстрируем пользование кривыми рис. 5 и 8 на одном чис-
ленном примере. Длинная прямоугольная стальная пластинка имеет
следующие размеры: I— 130 CM, h=l,3 см, q = 0,7 кг]см\ По
этим денным
1Г7Т Е fhV 2,1-10® 1
V (1—V)? \1 ) ~ (1 — 0,3*).0,7 10* •
lgio< V77i = 2.5181.
На рис, 8 находим теперь и= 1,894, а из рис. 5 фг=0,8212. Под-
ставив эти значения в уравнение (16) и (17), найдем
2,1 10® 1,894! . о
°.=ЭР-оЭТи>. =2? кг,ся'
0,7 • 10* • 0.8212 = 2874 кг/см*.
|-с2= 2764-2874= 8150 кг{см\
Сравнивая эти значения напряжений с максимальным напряжением,
полученным для пластинки того же самого размера, но под удвоен-
ной нагрузкой и при свободном опирании ее по краям (см. стр. 21).
приходим к выводу, что в результате защемления краев растягиваю-
щее напряжение в несколько раз уменьшается, максимальное же на-
пряжение изгиба значительно возрастает, так что в конечном итоге
полное максимальное напряжение в случае защемления превышает
величину, соответствующую простому опиранию праев.
Поступая по примеру предыдущего параграфа, мы можем по-
казать, что максимальное напряжение в пластинке вависит лишь от
Mj ПЛАСТИНКА С УПРУГО ЗАЩЕМЛЕННЫМИ КРАЯМИ 27
уйагрузки д и отношения l/h, так что и здесь имеется возможность
^Нанести сетку кривых, дающих максимальное напряжение в заяиси-
ёвостн от д. причем каждая кривая в сетке будет соответствовать
Еторому частному значению l/h. Такая сетка кривых нанесена на
9. Мы видим отсюда, что при малых значениях интенсивности
узки д, когда влияние осевой силы на прогибы полоски незна-
льно, максимальное напряжение возрастает приблизительно
Рис. 9,
же отношении, что и д. При больших же значениях д отно-
; между нагрузкой и максимальным напряжением перестает быть
В заключение в таблице 1 приводим численные значения -всех
пиний, представленных графически на рис. 4, 5 и 8. Этой табли-
можно пользоваться вместо кривых при подсчете максимальных
ений и максимальных прогибов в длинных равномерно на-
емных прямоугольных пластинках.
ft- 4. Цилиндрический изгиб равномерно нагруженной ерямо-
пластинки с упруго защемленными краями, Предпс-
, что при изгибе пдастинки продольные края ее поворачи-
на угол, пропорциональный значению изгибающего иомен-
этих краях. В таком случае действующие на элементарную
28 ИЗГИБ ПРЯМОУГОЛЬН. ПЛАСТИНКИ ПО ЦИЛИНДРИЧ. ПОВЕРХНОСТИ (Гл. г
Таблица 1
а lE 10' V Ue igW'Viz, Л(«) />(“) фо1И) ФЛа)
0 со со сю 1,000 1,000 1,000 1,000 0
ОД 3,889 406 3,217 331 3,801 425 0,908 0,976 0,905 0,984 ОД
1.0 3,483 310 2,886 223 3,376 336 0,711 0,909 0,704 0,939 1.0
15 3,173 262 2,663 182 3,040 292 0,532 0,817 0,511 0,876 15
2,0 2,911 227 2,481 161 2,748 257 0,380 0,715 0,367 0,806 2,0
25 2,684 198 2320 146 2,491 228 0.281 0,617 0268 0,736 2,5
3,0 2,486 175 2,174 134 2,263 202 0,213 0,529 0,200 0,672 3,0
3,5 2,311 156 2,040 124 2,061 180 0,166 0,453 0,153 0,614 3,5
4,0 2,155 141 1,916 115 1381 163 0,132 0,388 0,120 0,563 4,0
4,5 2,014 128 1,801 107 1,718 148 0,107 0,335 0,097 0,619 4,5
5,0 1386 118 1,694 100 1370 135 0.088 0.291 0,079 0,480 5.0
55 1,768 108 1.594 93 1.435 124 0,074 0.254 0.066 0.446 55
6,0 1,660 100 1301 88 1,311 „ 115 0,063 0,223 0355 0,417 6,0
63 1360 93 1,413 82 1,198 107 0,054 0,197 0,047 0,391 5,5
7.0 1,467 87 1331 78 1.089 100 0,047 0,175 0.041 0.367 7,0
73 1,380 82 1,253 74 0,989 94 0,041 0,156 0,036 0,347 7,5
8,0 1,298 77 1,179 70 0.895 89 0,036 0,141 0331 0,328 83
83 1,221 73 1,109 67 0,806 83 0,032 0.127 0,02В 0,311 8,5
9,0 1,148 69 1,042 63 0,723 80 0,029 0,115 0,025 0,296 93
93 1,079 65 0,979 61 0,643 75 0,026 0,105 0322 0,283 95
ЮД 1,014 0,918 0568 0,024 0,096 0,020 0.270 10,0
103 0,951 59 0,860 55 0,496 69 0,021 0,088 0,018 0,259 10,5
11,0 0,892 57 0,805 54 0,427 65 0,020 0,081 0,017 0,248 11.0
из 0335 55 0,751 51 0,362 63 0,018 0,075 0,015 0,238 115
12,0 0,780 0,700 0,299 0,016 0,069 0,014 0,229 12,0
Sfl ПЛАСТИНКА С УПРУГО ЗАЩЕМЛЕННЫМИ КРАЯМИ 29
.полоску силы будут опять того же типа, что и изображенные ив рис. 7,
, и для прогибов w мы получим прежнее, выведенное в предыдущем
^параграфе выражение (Ь). Однако условия на краях, из которых
определяются постоянные интегрирования, и момент Л10 будут здесь
-уже иными, а именно угол наклона изогнутой кривой на концах по-
лоски уже не будет теперь равен нулю, а станет пропорциональным
величине момента Л10, так что у нас получится
<•>
где р — коэффициент. зависящий от жесткости защемления, т. е.
’степени стеснения на краях. Если это защемление весьма податливо,
^коэффициент р становится большим, и условия на краях прибли-
жаются к тем, которые имеют место при свободном опирании. Если
;защемлеияе весьма жесткое, величина р уменьшается и условия на
ькраях приближаются к условиям абсолютно жесткой заделки. Осталь-
“нь!$ два граничных условия остаются теми же. что и в предыдущем
^параграфе. Таким образом, мы будем иметь
(Ь)
(«)х.о = 0-
Исходя из этих условий, мы найдем как постоянные интегрирования,
так и величиву Л10. входящую в выражение (Ь) предыдущего па-
раграфа. Вследствие упругого защемления по краям концевые мо-
менты Л10 получатся меньшими сравнительно с определяемыми из
уравнения (13) для абсолютно жестко защемленных краев, и конеч-
ный результат можно будет представить в следующем виде:
Л„ = -ТГ^-Р,(«). (19)
йгде f— численный коэффициент, меньший единицы и определяемый
из формулы
th и
Г Т=="2й------*—
^Мы видим, что величина моментов Л?о на краях зависит от вели-
"4шны коэффициента р, характеризующего степень жесткости защемле-
?Ния. Если р весьма мал, коэффициент у приближается к единице и
•Момент Мо будет близок к значению (13), вычисленному для абсо-
лютно жесткого защемления. Если р весьма велик, коэффициент и
Шомент Л1€ становятся малыми и условия на краях приближаются
к условиям сяободного опирания.
30 ИЗГИБ ПРЯМОУГОЛЬН. ПЛАСТИНКИ по иилиндрич. ПОВЕРХНОСТИ ггл т
Кривую прогибов в рассматрияаемом случае можно представить
в следующем виде:
tlw—v«hu—«) | с{1[“ 0 г)] 1 I , ЧР
™ - Т&Зо thи-------------1----сЕй-------11+W4DX
(20)
При т=1 это выражение сводится к выражению (14) для прогибов
пластинки с абсолютно жестко защемленными краями. При -у = 0
получаем выражение (6) для пластники со свободно опертыми краями.
При вычислении параметра растяжения а поступаем, как. и в ранее
рассмотренных случаях, определяя растягизающую силу 5 из того
условия, что удлинение элементарной полоски должно быть равно
разности между длиной дуги изогнутой оси и хордой, имеющей
длину I. На этом основании
в
Подстазив в это уравнение выражение (20) н выполняв интегриро-
вание. найдем
=<' Ц>+1*4+т <' <21)
где ий и Ut означают соответственно правые части урзанений (8)
и (15), а
=к lh «)•
Значения lg (lO4!^ t/2) приводятся в таблице 1. Пользуясь этой таб-
лицей, мы легко можем решить уравнение (21) методом пробных
подстановок. Для заданной нам пластинки мы вычисляем прежде
всего левую часть уравнения и, пользуясь кривыми рис. 4 и 8,
определяем значения нвраметра и: 1) сначала для свободно опертых
краев и затем 2) для абсолютно жестко защемленных краев. Естест-
венно, что для упруго защемленных краев и должно иметь значение,
промежуточное между этими двумя. Приняв для и некоторое такое
промежуточное значение, вычисляем с помощью таблицы 1 значения
Uo, Uj и t/2 и таким образом находим величину правой части урав-
нения (21). В общем случае она получится несколько отличной от
ранее вычисленного значения левой части, и потому нам придется
произвести повторный пробный подсчет с новым принятым для и
значением. Обычно двух таких пробных подсчетов и применения
интерполяции бывает достаточно для определения значения а, удо-
влетворяющего уравнению (21). Как только параметр и будет найден.
ВЛИЯНИЕ «АЛЫХ СМЕЩЕНИЙ ПРОДОЛЬНЫХ КРАЕВ
уравнения (19) определяем изгибающие моменты Л10 на концах.
|1Крбме того, мы можем теперь вычислить также момент в середине
^полоски и найти максимальное напряжение. Оно получится либо на
JijpHnax, либо в середине пролета, в зависимости от жесткости за-
1щемления по краям.
| 5. Влияние малых смещений продольных краев в плоскости
йблаетинки на напряжения и прогибы. В предыдущих выкладках
предполагалось, что продольные края пластинки при ее изгибании
1йе испытывают никаких смещений в плоскости пластинки. На основе
gsrcro- допущения в каждом частном случае вычислялась растягивающая
дала •£ Положим теперь, что края пластинки испытывают при изгибе
некоторое смещение по направлению друг к другу; обозначим вели-
чину этого смещения через Д. Благодвра ему удлинение элементар-
ней полоски уменьшатся на величину этого смещения, и уравнение
§£ля вычисления растягивающей силы S примет вид

(а)
Уравнения (6), (14) и (20) для кризой прогибов останутся при
ом в сяле независимо от величины растягивающей силы & Их
мио будет дифференцировать и ввести под знак интеграла в урав-
ние (а). По вычислении этого интеграла, произведя подстановку
=4«aD/Za, получим для свободно опертых концов
, . з/д
Е’Л«
^(1-3)т
’1й для защемленных концов
(22)
,.3/Д
+ Л* ..
$s(l—v1)1/» и' и''
:лй Д обращается в нуль, то уравнения (22) и (23) приводятся
уравнениям (8) и (15), полученным нами ранее для неподвижных
(23)
'у^ростейший вывод можно получить, разместив между продоль-
краями пластинки способные сопротивляться сжатию стержни
•тейорки); оин воспрепятствуют при изгибе пластинки свободному
Ожению краев. Растягивающие пластинку силы 5 произведут при
ФЙ’ сжатие распорок, которое повлечет за собой их смещение Д,
^порциональное S1). Если k — коэффициент пропорциональности,
Мы предполагаем, что пластинка опирается ло краю таким образом,
« остается постоянным по всей длине края.
32 ИЗГИБ ПРЯМОУГОЛЕН. ПЛАСТИНКИ ПО ЦИЛИНДРИЧ. ПОВЕРХН. [ГЛ. I
зависящий от упругости и площади поперечного сечения стержней,
то
S=k&,
откуда, после подстановки S=At?D[l,
А _ 1 Ев»Л»
а к 3Z»(1 —Vs)
и
, . зм
“ +~F. , , ЕЛ
и* ~~ '+«0-V»)-
Таким образом, второй множитель в левой части уравнений (22)
и (23) оказывается постоянной величиной, которую легко вычислить,
если известны размеры и упругие свойства конструкции. Зная этот
множитель, мы можем получить решение уравнений (22) и (23)
тем же способом, какой мы* применили для случая неподвижных
краев.
В общем случае второй множитель в левых частях уравнений
(22) и (23) может зависеть от величины действующей на консгрук-
Рис. 10.
с которым приходится встречаться при расчете напряжений в-корпусе
корабля на волнении. Обшивка подводной части корпуса судна под-
вергнется при этом равномерно распределенному гидростатическому
давлению, а также в связи с изгибом корпуса судна, как балки,
действию сил в плоскости обшивки. Пусть b — ширина судна в се-
чении тп (рис. 10), а /— расстояние между переборками. Когда
самая низкая точка волны приходится на мидель судна (рис. 11, Ь),
подъемная сила здесь несколько уменьшается, увеличиваясь одно-
временно у носа и у кормы. Результатом этого будет возникнове-
ние изгибающих моментов, вызывающих направленные вниз прогибы
средней части корпуса судна (в противоположность случаю совпаде-
ния миделя с гребнем волны — рис. II, с), и гогдв нормальное рас-
стояние Z между переборками несколько увеличится. Для того чтобы
подсчитать точное значение этого смещения, нам нужно будет учесть
ВЛИЯНИЕ МАЛЫХ СМЕЩЕНИИ ПРОДОЛЬНЫХ КРАЕВ
33
Ввающях сил S, распределенных по краям тп и m1n.i донной
тптхпх (рис, 10). Эту последнюю мы будем рассматривать
иную прямоугольную пла-
равномерно нагруженную
этическим давлением. Бла-
гому обстоятельству, что
^(положенные между смежными
жлорами планки нагружены оди-
наково, продольные их края не
Й&Щут подвергаться повороту, и
поэтому можно будет счи-
абсолютно жестко защемлен-
ными по этим^краям.
шппшцшшп
St)
$•' Пусть, как и прежде, Д обо-
^йачает на рис. 10 смещение края
ЯП в направлении края тхпх,
Производимое моментом М. из-
В&бающим корпус, и приложен-
ными по краям тп и тхпх дон-
^ф>й планки растягивающими реак-
Ьгиями, величина которых на еди»-
!:«иду длины равна S. Чтобы
определить величину Д, предста-
«йм себе, что планка тптхпх уда-
лена и заменена равномерно рас-
пределенными силами S, так что
полная равнодействующая сила по
,(рцс. 12). Мы сможем тогда сказать.
краю тп и w1rtl будет равна Sb
что смещение Д одной переборки
34 ИЗГИБ ПРЯМОУГОЛЬН. ПЛАСТИНКИ ПО ЦИЛИНДРИЧ. ПОВЕРХНОСТИ ГЕЛ. т
относительно другой будет определяться изгибающим моментом Л1
и внецентренной нагрузкой Sb, приложенной к обшивке, на кото-
рой удалена донная планка. Если Л, 7 и с (рис. 12, ft) соответ-
ственно площадь поперечного сечения, центральный момент инер-
ции и расстояние донной планки от нейтральной оси полного сече-
ния корпуса, если, далее, Лр Zt и с, — соответствующие величины
для сечения корпуса без донной планки, то последнюю группу вели-
чин можно будет вывести из первой посредством соотношений
Al = A — bh.
__ /с
7, = 1 — bhc2 — Д, (q — с)2.
(Ь)
Относительное смещение Д,. произведенное внецентренно Приложен-
ными силами Sb, равно
д'=—г- )
Сюда введен множитель (1—№), поскольку поперечной деформацией
пренебрегают. Смещение, вызванное изгибающим моментом Л1. со-
ставит
. Мс,1
А,=----tJT'
Отсюда полное смещение
Подстзаляя в это выражение
v _ 4u«D _ £u«ft«
•з— ~ 3P(l —»*) ’
получаем окончательно
u>hs I b b£\ Mtct
л=тг(х+тт)—tiT- <d>
Остается ввести эту величиву в уравнение (23), чтобы получить,
наконец, параметр растяжения и.
Применим эту теорию к численному примеру. Положим,
ft =16,2 л. 7= [4.35 л2. Л =1,22 л2, с = 3,86 л.
д = 19жл, 7=1144 мм. q=0.7 кг1см2, Л1 = 36050 тл.
35
(Я ПРИБЛИЖЕННЫЙ МЕТОД ВЫЧИСЛЕНИЯ ПАРАМЕТРА И
Vis уравнений (Ь) получаем
Д = Л—М= 1.22—0,019 • 16,2 = 0.91125 мг.
__ Ас 1,22 3,86 с I / к ,,2
'1= 77=-<й>П5Г = 5-145
/, == l—bhc2— (с, — е)2=
= 14.35 — 16,2 • 0.019 3,862 —0,91125(5,145 — 3.86)2=7,9387 лА
Подставия эти значения в выражение (d), вычисляем А и получаем
окончательно
^ = 1,549«г—11,49.
Уравнение (23) в таком случае принимает вид
ЕЮ и? -J-1,549«» — 11,45 .,
Я»(1— Vs)»/•
к’
или
1,5965ft* «’ — 4,503 лГГГ
q(\-WV --------7?---=
Подставиз сюда численные значения и взяв от обеих частей
логарифмы, получаем
3.609+ig )/ =!g(io< ft/J.
При помощи кривых рис. 8 это уравнение легко может быть решено
методом проб, причем в результате мы получаем и = 2,128,а из
рис. 5 (и) = 0,788. Максимальное напряжение находится после
этого из уравнений (16) и (17), которые дают нам
2,1 - 10е - 4,258 ойо , 2
"i = з.одьэт = 969 “/“ •
о2= • 0.7 602 - 0,788 = 993 кг/см2.
«mu = »1 + «! == 1962 Kl/см1.
Если бы мы пренебрегли напряжением изгиба, возникающим вслед-
ствие действия на пластинку гидростатического давления, и напря-
жение в донной планке вычислили бы по формуле gs=Mc{1, то
пришли бы к значительно меньшему окончательному значению,
именно к 947 кг/см2.
6, Приближенный метод вычисления, параметра й. При вычис-
лении параметра и для пластинки, продольные края которой не сме-
щаются в плоскости пластинки, мы пользовались уравнением
о
36 ИЗГИБ ПРЯМОУГОЛЕН. ПЛАСТИНКИ ПО ЦИЛИНДРИЧ. ПОВЕРХНОСТИ (ГЛ. г
которое устанавливает, что удлинение элементарной полоски, вы-
званное силами 5, равно разности между длиной дуги изогнутой
оси полоски и хордой длиной I. Для рассмотренных в предыдущих
параграфах частных случаев мы вывели точные выражения проги-
бов чв, а также дали числовые таблицы и графики для правой
части уравнении (а). При отсутствии подобных таблиц решение
затрудняется, и тогда выходом из положения может быть обращение
к приближенному методу. Из теории ивгиба балок известно1), что
в случае свободного опирания по концам и при условии, что все
поперечные нагрузки действуют в одном и том же направлении,
кривая прогибов элементарной полоски, находящейся под совместным
действием поперечной нагрузки и осевой растягивающей силы 5 (рис. 3),
может быть представлена с достаточной точностью уравнением
”,=Т^7'1лТ'- . <ь)
где ®0 обозначает прогиб в середине полоски, произведенный одной
лишь поперечной нагрузкой, а величина а определяется уравнением
Таким образом, а представляет собой отношение осевой силы S
к эйлерову критическому значению этой силы для элементарной
полоски.
Подстазия выражение (Ь) в уравнение (а) и интегрируя, получим
hE 4/(1-4-е)3 ‘
Введя теперь обозначение (с) и вместо D подставив его выражение (3),
получим окончательно (24)
Величина а вычисляется из этого уравнения в каждом частном слу-
чае, и тогда параметр и определится из уравнения
, SI2 “S=4D=T- (Ф
Чтобы показать способ применения приближенного уравнения (24),
разберем численный пример. Длинная прямоугольная стальная плас-
тинка со сяободно опертыми краями и размерами: /=130 ел,
й=13л.и. нагружена равномерно распределенной нагрузкой.
*) См. Тимошенко С. П., Сопротивление материалов, т. 2, стр. 51,1946.
ПРИВЛИЖЕННЫИ МЕТОД ВЫЧИСЛЕНИЯ ПАРАМЕТРА U 37
ф?=1,4 кг/см2. В таком случае
I и«=жтг:
йосле подстановки численных значений уравнение (24) даст
f- с(1 4~ а)’= 269,56.
решение можно упростить, положив
г 14-а = х; (е)
яогда
х*—х2 = 269.56,
>• .
Т- е. величина х такова, что разность между ее кубом и ее квадратом
равна данному нам числу. Ее можно найти либо с помощью логариф-
мической линейки, либо из соответствующих таблиц. В нашем случае
вдходим
С х = 6,8109 и а= 5,8109.
Ь'огдв из уравнения (4)
Г « = 3,7865
i
jit из формулы (е) (см, стр. 20)
ф0= 0,13316.
Для вычисления растягивающего напряжения и максимального напря-
жения изгиба пользуемся уравнениями (10) и (И). Находим
о1=1108 кг/см2,
я2=1398 кг/см2,
°™.=«,+«, “2s01 кг/см2.
вычисления, проделанные в § 2 (стр. 21), дали нам для этого при-
зера °mai —2503 кг/см2. Таким образом, точность приближенного
(уравнения (24) в этом случае весьма высока. Вообще эта точность-
Зависит от величины и. Погрешность возрастает с увеличением и.
^Подсчеты показывает, что для « = 1,44 погрешность в определении
Максимального напряжения составляет всего лишь 0,065%, а для
S-= 12,29, что соответствует весьма гибким пластинкам, она составит
.около 0,30%. Приведенные значения и охватывают весь диапазон
встречающихся на практике значений этого параметра, и это дает
Мам право утверждать, что уразнением (24) допустимо пользоваться
до всех случаях практики, когда мы имеем дело с равномерно нагру-
женными пластинками, свободно опертыми по краям.
Ими можно пользоваться также и при неравномерно распределен-
ной нагрузке, например, в случае неравномерно распределенного по
-элементарной полоске гидростатического давления. Если продольную
•38 ИЗГИБ ПРЯМОУГОЛЬН. ПЛАСТИНКИ ПО ЦИЛИНДРИЧ. ПОВЕРХНОСТИ ггл. г
силу мы нашли из приближенного уравнения (24), то прогиб можно
найти из уравнения (Ь). а изгибающий момент в любом поперечном
сечении определится как алгебраическая сумма момента, обусловлен-
ного поперечной нагрузкой, и момента от продольной силы1),
В случае защемления по краям приближенное выражение для иво-
гнутой кривой элементарной полоски можно принять в виде
где и а имеют те же самые значения-, что и прежде. Подставив
это выражение в (а) и проинтегрировав, получим для определения а
уравнение
разрешаемое в каждом частном случае методом, указанным при ре-
шении уравнения (24).
После того как а найдено, из уравнения (d) определяется пара-
метр и. Максимальное напряжение можно будет тогдв вычислить
из уравнений (16) и (17), максимальный прогиб — из уравнения (18).
Если один край пластинки смещается при ее изгибе по направле-
нию к другому на величину Д, то вместо уравнения (а) надлежит
прибегнуть к уравнению
St(l — v1) 1 Г(dw\*. . . ,
О
Подставив в это уравнение .выражение (Ь), получим для определения а
в случае свободного опирания по краям уравнение
В случае защемления краев пользуемся выражением (f). Тогда дли
определения а будем иметь
Если размеры пластинки и нагрузка q нам даны и смещение А
известно, то оба уравнения — (26) и (27) — легко могут быть решены*
1) Более точные значения прогибов и изгибающих моментов можно по-
лучить, подставляя приближенное значение продольной силы в уравнение (4)
и интегрируя вто уравнение, что приведет нас к уразнениям (12) и (9).
5 fl ПЛАСТИНКА С МАЛОЙ НАЧАЛЬНОЙ ЦИЛИНДРИЧЕСКОЙ КРИВИЗНОЙ 39
'как и раньше. Если смещение Д пропорционально растягивающей
«силе S, то второй множитель в левых частях уравнений (26) и (27)
-Судет величиной постоянной и его можно будет определить, как это
было разъяснено в предыдущем параграфе (см. стр. 35). Таким об-
> разом, и в последнем случае эти уравнения точно так же поддаются
простому решению.
7. Длинная равномерно нагруженная прямоугольная пла-
стинка, имеющая малую начальную цилиндрическую кривизну.
По соображениям, приведенным в §§ 2 и 3, ясно, что растягивающие
силы S повышают сопротивление пластинки, противодействуя изгибу,
производимому поперечной нагрузкой. Это их влияние сказывается
В тем большей мере, чем больше прогиб. Дальнейшее уменьшение
максимального напряжения может быть осуществлено приданием
пластинке надлежащей началь-
ной кривизны. Влияние такой
.начальной кривизны на напря-
жения и прогибы легко может
быть учтено с помощью’ изло-
женного в предыдущем пара-
графе приближенного метода *).
Разберем случай длинной
/Прямоугольной пластинки, сво-
бодно опертой по краям (рис.
задана уравнением
Рис. 13.
13), начальная кривизна которой
&! = Bsin-^y- -
(а)
Если по краям пластинки приложены растягивающие силы S, на-
чальные прогибы (а} сократятся в отношении 1/(1-f-а), где а сохра-
няет тот самый смысл; который был ему приписан в предыдущем
Параграфе (см. стр. 36)2). Поперечные нагрузки совместно с силами 5
вызовут прогибы, которые можно будет выразить приближенным
уравнением (ь) предыдущего параграфа. Таким образом, уравнение
^полного прогиба пластинки, показанного на рис. 13 штриховой ли-
нией, будет
Если потребовать, чтобы продольные края пластинки не смеща-
лись в ее плоскости» то растягивающие силы S определятся из то-
го условия, что произведенное Силами 5’ удлинение элементарной
’) См. работу С. П. Тимошенко в Festschrlfi znm slebzigsten Oeburtstage
August Foppls, стр. 74, Берлин, 1923.
2) См. Тимошенко С. П., Сопротивление материалов, г, 2, стр. 101,
1946.
40 ИЗГИБ ПРЯМОУГОЛЬН. ПЛАСТИНКИ ПО ЦИЛИНДРИЧ. ПОВЕРХНОСТИ ГГЛ. г
полоски должно быть равно разности между длиной дуги изогнутой
оси полоски и ее начальной длиной. Эта разность в случае малых
прогибов дается уравнением
о о
Подставив сюда вместо « н «, их выражения (а) и (Ь) и интегри-
руя, получим
Положив X равным удлинению полоски Sl(l—tylfiE, найдем окон-
чательно
(28)
Если принять 6 = 0, то это уравнение совпадает с уравнением (24)
для плястинки без начальной кривизны.
Чтобы показать влияние начальной кривизны пластинки на величину
максимального напряжения в ней, применим уравнение (28) к числен-
ному примеру- Положим, что нам дана стальная пластинка размерами
2=1144 мм. Л = 9,5 мм, несущая равномерно распределенную на-
грузку 9=0,7 кг/см2. Если начального прогиба нет, т. е. если 8=0.
то уравнение (28) приводится к
a(l-h«)2=290,
откуда
a = 5,97 И = 3,83.
Далее, из уравнения (10) получаем
«1—791 кг[см2,
а из уравнения (11)
п2 = 994 «г/сл2.
Максимальное напряжение в пластинке будет
°гаах = «1 + «2 = 1786 кг]см2.
Допустим теперь, что пластинка имеет некоторый начальный прогиб,
например, такой, что 8 =/г =9,5 мм. Тогдв уравнение (28) даст
a (14- a)2 = 351,6 — 3 <1 -J- a)2.
Положив
1 + « = A
ЦИЛИНДРИЧЕСКИЙ ИЗГИБ ПЛАСТИНКИ НА УПРУГОМ ОСНОВАНИИ 41
-получим
Г x3-j-2«2 = 35I,6.
^откуда
х = 6.45, а = 5,45, « = ^^=3,67.
Ч’йстягияающее напряжение найдем из уравнения (10)
, dj = 714 кг/см2.
-гЧтобы вычислить напряжение изгиба, нам нужно будет принять
д расчет лишь изменение прогиба, т. е.
Wg , ПХ ЙЙ тих ...
>. VD—^>1—4 I sin—i------=—j Sin —j—. (d)
1 14"“ * 1 +a * '
Максимальное напряжение изгиба, соответствующее первому члену
'правой части уравнения (d), будет тем же, что и для плоской пла-
истинк'н с и =£>$7. Из таблицы 1 находим ф0 = 0,142, а из уравне-
ния (II)
fe о'=1071 кг)см2.
^Изгибающий момент, отвечающий второму числу уравнения (d), будет
>г. d1 [ гЛ ~, ъх\ ак2 BD . пх
— В 7F“s I — ТЛ-Sin — — >1 I К »Sln -5-.
dxs \ 1-у« I } (l-J-a)/2 I
.^Этот момент отрицательный и соответствующее ему максимальное
•^Напряжение
4=4-(Г^г=в66 кг1см2
учужно будет вычесть из вычисленного выше напряжения изгиба а'.
-•Таким образом, максимальное напряжение в пластинке с начальным
Айрогибоы будет равно
С огаах = 714+1071 —665 = 1120 кг!см2.
Сравнение этого результата с полученными выше для плоской пла-
стинки показывает, что влияние начальной кривизны сказалось здесь
в снижении максимального ияпряжения с 1785 кг/сл§до 1120 кг/см2.
Этот результат получен в том предположении, что начальный прогиб
равен толщине пластинки. Увеличивая начальный прогиб, мы сможем
снизить максимальное напряжение в еще большей степени.
8. Цилиндрический изгиб пластинки ив упругом основании. Рассмот-
рим задачу об изгибе длинной равномерно нагруженной прямоугольной пла-
стинки, опирающейся всей своей поверхностью на упругое основание и
'42 изгиб прдмоугольн. пластинки по цилиндрич поверхности ггл. г
жестко опертой ио краям (рис. 14). Вырезав из пластинки, как и раньше,
элементарную полоску, мы сможем рассматривать последнюю как балку на
упругом основании. Положив, что реакция основания в некоторой произ-
вольном точке пластинки пропорциональна ее прогибу ® в этой точке и
воспользовавшись уравнением (4), получаем после двукратного его диффе-
ренцирования *)
(29)
где q— интенсивность действующей на пластинку нагрузки, а А— реакция
основания на единицу площади при прогибе, равном единице. Введя обозна-
чение
мы можем написать общее решение уравнения (29) в следующем виде:
q . . 23л . 23л . _ , 23л . 23л .
w~ ^+C,sin —[ 611 —j-4“^2sin ch~y--{-
. „ 20л 2рх . _ 2?х . 20л , .
-|-C9cos—j—sln--j—j-Cg cos—ch—j—. (a)
Теперь из условий на концах полоски нам надлежит определить четыре по-
стоянных интегрирования. В рассматриваемом случае прогиб симметричен
относительно середины полоски. Расположив поэтому оси координат, как
показано на рис. 14, заключаем8), что Ct = С3 = 0. Постоянные С( к С4
находятся из того условия, что на
ковце (л = 1/2) как прогиб, так и
изгибающий момент полоски равны
нулю. Поэтому
(w) j = о,
Подставив сюда вместо w его выражение (а) и заметив, что С2 = С0 = 0,
получаем
4+ G sin 0 sh 34-С4 cos 0 ch 0 = 0, 1
к I (с)
Ct cos 0 ch ₽—C4Sln3 8hP=O, J
откуда находим
r _ q sin0sh0 q 2sin0sh0
C,— ft stn* 2 0 sh8 0-]-cos2 0 ch2 0 = A cos 20-}-ch 20 ’
q =____ q cos 0 ch 0_=_q 2 cos 0 ch 0
4 k sm8psha0 + cos2pch20 = A cos204-ch20'
*) См. Тимошенко С. П., Сопротивление материалов, т. 2, стр 10,
2) Легко видеть, что члены с коэффициентами Ся и Са меняют знак при
замене л на —л.
ЦИЛИНДРИЧЕСКИЙ ИЗГИБ ПЛАСТИНКИ НА УПРУГОМ ОСНОВАНИИ 43
.Подставив эти значения постоянных в выражение (а) и воспользовавшись
.уравнением (30), представляем прогиб полоски окончательно следующим
'уравнением:
qF / 2 sin р sh Р
64DP4 V cos’2p 4-ch2P
. 2?х . 2₽х
8Ш -у- fill —-------------------------
2cos РchР 2Вх ., 28х\ ...
Прогиб в середине ее получится после подстановки х = О, что дает
где
(®)х=в = (1 — (?)].
(31)
М0) =
2 cos Р ch р
cos 2?-j-cli 2р ’
Чтобы получить углы поворота краев пластинки, дифференцируем выраже-
ния (d) по х и полагаем х=— Ц2. Таким путем получаем
(М-4=‘&’“в’
где
_ /й.__3 Bh2p—sin2fl
(?) — 40s Ch 2р-|-cos2р *
Изгибающий момент в некотором понеречном сечении полоски получается
из уравнения
йх2
'Подставив вместо tn его выражение (d), находим для середины полоски
psi
где
_ m . 2 shpstop
7,(?) = р« chi₽4-cos2P ’
Рис. 15.
Чтобы упростить вычисление прогибов и напряжений, мы приводим здесь
таблицу 2 численных значений функций у0, и <р2 для различных значений
аргумента р. При малых значе-
ниях р, т. е. для весьма податли-
вого основания, функции (1—%)/р<
н почти не отличаются от еди-
ницы, и потому кзн максимальный
прогиб, так и напряжение изгиба
получаются в этом случае близ-
кими к соответствующим значе-
ниям для свободно опертой поло-
ски без унругого основания. С увеличением р влияние упругости основания
сказывается все ваметнсе и заметнее.
Условия, подобные изображенным на рис. 14, получатся, если длинная
прямоугольная пластинка шириной I вдавливается в упругов основание
равномерно распределенными по ее краям нагрузивми величиной Р на еди-
ницу длина (рис. 15). Пластинка будет, вдавливаться в упругое основание
44 ИЗГИБ ПРЯМОУГОЛЕН. ПЛАСТИНКИ ПО ЦИЛИНДРИЧ. ПОВЕРХНОСТИ [ГЛ. I
Таблица 2
₽ ft ft ft ft Vi ft
0,1 1,000 1,000 1,000 1,6 —0,013 0,200 0,164
0,2 0,999 0,999 0,999 1.7 —0,052 0,166 0,129
0,3 0,993 0,995 0,995 1,8 —0,081 0,138 0,101
0,4 0,979 0,983 0,983 1.9 -0,102 0,116 0,079
0,3 0,950 0,961 0,959 1 2,0 -0,117 0,099 0,062
0,6 0,901 0,923 0,919 2,2 —0,133 0,072 0,037
0,7 0,827 0,866 0,859 2,4 —0,135 0,055 0,02]
0,3 0,731 0.791 0,781 2,6 -0,127 0,043 0,011
0,9 0,619 0,702 0,689 2,8 —0,114 0,034 0,005
1,0 0,498 0,609 0,591 3,0 —0,098 0,028 0,002
1,1 0,380 0,517 0,494 3,2 —0,081 0,028 0,000
1,2 0,272 0,431 0,405 3,4 —0,064 0,019 —0,001
1.3 0,178 0.357 0,327 3,6 —0,049 0,016 -0,002
1,4 ' 0,100... 0,294 0,262 3,6 —0,035 0,014 -0,002
1,5 0,037 0,242 0,208 4.0 —0,024 0.012 .—0,002
и изогнется, как- показано пунктиром. Есан В обозначает прогиб пластинки
на краях, то реакция основания в некоторой точке будет равна
k (В — w) = АВ — kw,
где w дается уравнением (d) при q=kH. Величина В находится тогда из
того условия, что нагрузка уравновешивается реакцией основания. Отсюда
U2
о
Подобным же образом можно исследовать и пластинки на упругом основа-
нии с иными условиями на продольных краях.
ГЛАВА II
ЧИСТЫЙ ИЗГИБ ПЛАСТИНКИ
9. Наклон и кривизна слабо изогнутой пластинки. При иссле-
(довании малых прогибов пластинки примем в качестве плоскости ху
['срединную плоскость пластинки в том ее положении.- какое она
‘ванимает, прежде чем произойдет изгиб. Частицы, лежащие в пло-
gCkocTu ху._ подвергнутся при изгибе малым смещениям w, перпенди-
кулярным к плоскости ху, и в новых своих положениях образуют
Срединную поверхность пластинки. Эти смещения срединной пло-
тскости пластинки в дальнейшем нашем
'. изложении будут называться прогибами.
^Ввяв нормальное сечение пластинки, па-
.раллельное плоскости xz (рис.- 16, а).
Зайдем, что наклон срединной поверхности
направлении х х) будет равен 1х=дш]дх.
-Точно таким же образом наклон в направ-
; леини у выразится производной ly — dwjdy.
=Выбрав теперь в плоскости ху какое-либо
произвольное направление ап (рис. 16,6),
^образующее угол а с осью х, мы найдем,
>ччто разность между прогибами двух смеж-
ных точек а и в направлении ап
убудет равна
' dw=-^ dx dy,
и в таком случае соответствующий наклон выразится производной
dw_____ди>
дг ~ дх
dx , dw dy dw , die .
-s—I—s~ • ~г-=-д— COSa-U-g— sin a.
dn ' oy dn ax ’ dy
(a)
Для того чтобы найти направление аг в котором наклон прини-
мает максимальное значение, приравниваем нулю производную по а
*) То есть тангенс угла наклона касательной к изогнутой поверхности.
46 ЧИСТЫЙ ИЗГИБ ПЛАСТИНКИ 1ГЛ. и
от выражения (а). Таким путем получаем
Ж
Подставив в (а) отвечающие этому значения sin а1 и cos <4, находим
для максимального наклона выражение
Приравняв нулю выражение (а), получим направление, в котором
исследуемая нами- поверхность имеет нулевой наклон. Соответствую-
щий этому направлению угол определяется из условия
Уравнения (Ь) и (d) приводят к заключению, что
tga1tg«2 = — 1.
т. е, что направления нулевого и максимального наклонов вааимно-
перпенднкулярны.
Чтобы определить крияизну срединной поверхности пластинки,
{Примем во внимание, что прогибы пластинки весьма малы. При этом
условии наклон поверхности в каком-либо произвольном направлении
можно принять равным углу, образуемому касательной к поверхности
1в этом направлении с плоскостью ху; квадратом же наклона, как
величиной малой в сравнении с единицей, можно пренебречь. Тогда
кривнана поверхности в плоскости, параллельной плоскости xz
(рис, 16), будет равна
Условимся считать кривизну положительной в том случае, если
|поверхность обращена выпуклостью вниз. Знак минус в выражении (с)
введен потому, что при показанном на чертеже изгибе выпуклостью
вниз вторая производная получается отрицательной.
Точно таким же образом для кривизны в плоскости, параллельной
плоскости уд, получаем
1 ’д /дю\ дгю
НАКЛОН И КРИВИЗНА СЛАБО ИЗОГНУТОЙ ПЛАСТИНКИ
Эти выражения аналогичны известным формулам, к которым приводит
исследование кривизны изогнутой балки.
Переходя к определению кривизны срединной поверхности в про-
извольном направлении ап (рис. 16), получаем
1 б fdw\
гп дп \дп !'
Вставив сюда вместо dw/dn выражение (а) и заметив, что
д д , д .
S- —Т COS »+д- Si!l г>
дп Ох 'оу
находим
1 fd , д \ fdw . dw . х
ъ==- te cos “+57 s,n л) cos я+57 sln a) =
=— cos9 a -{- 2 sin a cos a -4? sin3 a} ~
\dx* ' ox oy 1 ay )
=—cos’ a — ~ sin 2a -J- J- sin9a. (g)
rx rxy ry .
Мы видим, таким образом, что кривизну в произвольном напра-
влении п можно вычислить для любой точки срединной поверхности,
если только нам известны для этой точки значении кривизн
и величина
I __ tPw 1 _________ 5’w
дх' ’ 5у*
1___5gw
гку~ дхдуг
(Ь)
называемая относительным кручением поверхности, или кручением
поверхности относительно осей хну.
Если вместо направления ап (рис. 16, 1>) мы выберем направле-
ние at, перпендикулярное к ап, то кривизну в этом новом напра-
влении можно будет полупить из выражении (g), подставив г него
-|-а вместо а. Тогда
—= — sin9 a -4- — sin 2a -I — cos9 a.
rt rx ' rxy 1 fy
0)
Сложив выражения (g) и (1), найдем
k+^r.+r,' <34>
откуда видно, что в любой точке срединной поверхности сумма
кривизн в двух каких-либо взаимно-перпендикулярных направлениях п
и t не зависит от угла а. Эту сумму принято называть средней
кривизной поверхности в точке.
48 ЧИСТЫИ ИЗГИБ ПЛАСТИНКИ (ГЛ 1Г
Относительное кручение поверхности в точке а относительно
направлений ап и at равно
1__d (dw\
гdi \dn / ’
При вычислении производной по t заметим» что направление at
перпендикулярно к ап. Искомую производную получим, если в уравне-
нии (а) подставим гс/2-J-a вместо а. Таким образом, найдем
1 ( д , д . \/ dw ... дю \
-——1-5— cos a-k-j— small-т— sina4—ч—cosaj =
r„t \дх ' ду )\ дх ду )
1 - о / &w d*w\ , о d2w
—₽+<?')+cos2’’3?v
или
-l-=A-sin2a^J-J-j_|_Cos2a-^—. (])
' В дальнейшем изложении нам потребуется определять такие напра-
вления а. в которых кривизна поверхности приобретает максимальное
или минимальное значения, а также находить самые значения этой
кривизны,- Необходимое для отыскания таких критических значений a
уравнение мы получим» приравняв нулю производную от выраже-
ния (g) по я. Это нам дает
откуда
— sin2a-}—— cos 2a----— sin 2a = 0.
rX rxy ry
2
fg2a =----
(Ю
(35)
Из этого уравнения находим диа значения я. отличающихся друг от
друга на т:/2. Подставляя их. в уравнение (g). найдем два значе-
ния 1/гл; одно из них представляет собой максимальное значение,
другое — минимальное значение кривизны в точке а поверхности.
Эти значения называются главными кривизнами поверхности: соот-
ветствующие же плоскости naz и taz— главными плоскостями
кривизны.
Обратив внимание на то, что левая часть уравнения (к) предста-
вляет собой удвоенное выражение (j), заключаем, что если напра-
вления ап и at (рис. 16) лежат в главных плоскостях, то соответ-
ствующее относительное кручение 1/гп1 равно нулю.
Для того чтобы показать наглядно, каким образом изменяются
| кривизна и относительное кручение поверхности в зависимости от
НАКЛОН И КРИВИЗНА СЛАБО ИЗОГНУТОЙ ПЛАСТИНКИ 49
изменения угла а. мы можем воспользоваться кругом, аналогичным
кругу Мора, разрешающему задачу о сложном напряженном состоя-
нии1). Для упрощения выкладок допустим, что координатные пло-
скости XZ и YZ. расположены параллельно главным плоскостям кри-
визны в точке о. Тогда
—=0.
Г*У
а из уравнений (g) и (j) получим
для любого угла а
Рис. 17.
Откладывая, как покавано на рис. 17, значения кривизны по оси
абсцисс, а значения относительного кручения по оси ординат и
построив на диаметре, равном разности ljrx—1/гу, круг, мы уви-
дим, что точка А, определяемая на нем углом 2а,‘ будет иметь
абсциссу
ОВ = ОС + СВ = + А) + —±) cos 2а =
' • — — cos2 а —— sin2 а
и ординату
Лё = ±(71--Х)йп2а.
Сравнив эти результаты с формулами (36), заключаем, что коор-
динаты точки А определяют кривявну и относительное кручение
поверхности для некоторого значения угла а. Очевидно, максималь-
ное значение относительного кручения, отображаемое радиусом круга,
имеет место в том случае, когда а = я/4. т. е. для той пары взаимно-
перпендикулярных направлений, которые делят пополам углы между
главными плоскостями.
' В нашем примере кривизна в любом направлении положительна,
т. е. поверхность обращена выпуклостью вниз. Если обе кривизны
1/гх и 1/гу отрицательны, то и кривизна во всяком ином направлении
•) См. книгу: Тимошенко С. П., Сопротивление материалов, т. 1,
стр. 43, 1945.
ЧИСТЫМ ИЗГИБ ПЛАСТИНКИ
[ГЛ. II
5(j
также будет отрицательной, и мы в таком случае будем иметь
изгиб пластинки выпуклостью вверх. Поверхности, кривизна которых
во всех плоскостях имеет один и тот же знак, называются синкла-
стическими. Иногда мы будем иметь дело
с поверхностями, в которых обе главные кри-
визны имеют противоположные знаки. Обыч-
ным примером такой поверхности является
седлообразная поверхность. Подобные по-
верхности называются антикластическими.
Круг на рис. 18 представляет частный слу-
чай такой поверхности, когда \[Гу=я—l/r^.
Легко видеть, что кривизна в этом случае
обращается в нуль дляа=я/4 и дляа—Зг/4,
причем относительное кручение становится
Рис 18. равным ±1/гх.

10. Соотношения между изгибающими моментами и кривиз-
нами при чистом изгибе пластинки. Точное решение задачи о рас-
пределении напряжений в случае чистого изгиба призматического
стержня получается на основе той гипотезы, что поперечные сечения
стержня остаются во время изгиба плоскими и лишь поворачиваются
относительно своих нейтральных
осей таким образом, что всегда
при этом остаются нормальными к
упругой кривой. Сочетание таких
изгибов в двух взаимно-перпенди-
кулярных направлениях дает нам
чистый изгиб пластинки. Начнем
с исследования чистого изгиба
прямоугольной пластинки момен-
Рис. 16.
тами, равномерно распределенными
вдоль ее краев, как это показано на рис. 19. Пусть плоскость ху
будет у нас совмещена со срединной плоскостью пластинки до ее
изгиба, оси же х и у направим, как показано, вдоль ее краев.
Положительным направлением оси z, которая в этом случае будет
перпендикулярной к срединной плоскости, условимся считать напра-
вление вниз. Через Мх обозначим отнесенный к единице длины из-
гибающий момент, действующий по краям, параллельным оси у,
через Му — также приходящийся на единицу длины момент, прило-
женный по краям, параллельным оси х. Будем считать эти моменты
положительными, если они направлены так, как показано на чертеже,
г. е. если они производят сжатие на верхней поверхности пластинки
< растяжение на нижней. Толщину пластинки, как и раньше, обо-
значим через й, причем будем считать ее малой в сравнении с дру-
гими размерами.
io] Соотношения между изгибающ. моментами и кривизнами 51
Рис. 20,
Рассмотрим элемент, выделенный из пластинки, как показано
на рис. 20, двумя парами плоскостей, параллельных плоскостям хг
и уд. Так как изображенный на рис. 19 случай представляет собой
сочетание действия равномерно распределенных моменте®, то условия
распределения напряжений получаются при этом тождественными для
всех элементов, подобных показанному на рис. 20, и мы приходим
здесь к случаю чистого изгиба пластинки.
Если мы сделаем допущение, что при изги-
бании пластинки боковые грани элемента
остаются плоскими и поворачиваются лишь
относительно нейтральных осей таким обра-
зом. что остаются при этом нормальными
к изогнутой срединной поверхности пла-
стинки, то мы должны будем заключить, что
срединная поверхность пластинки не будет
подвергаться во время этого изгибе никакому
растяжению и что. следовательно, срединная
поверхность будет вместе с тем и нейтральной поверхностью ’).
Пусть 1/гл и 1}гу обовначают, как и раньше, кривизны этой ней-
тральной поверхности в сечениях, параллельных соответственно пло-
скостям хг и уг. В таком случае, как и для балки, мы можем
найти относительные удлинения в направлениях х и у для элемен-
тарного слоя abed (рис. 20). отстоящего от нейтрального слоя
на расстояние г\ они будут равны
Воспользовавшись теперь законом Гука [уравнение (1), стр. 15],
находим соответствующие напряжения в слое abed '
Эти напряжения пропорциональны расстоянию г слоя abed от ней-
тральной поверхности и зависят от величины кривизны изогнутой
пластинки.
Так как эти нормальнее' растяжения распределены по боковым
граням показанного на рис. 20 элемента, то их можно привести
к парам, величины которых, приходящиеся на единицу длины,
должны быть, очевидно, равны внешним моментам М, и Му. Таким
*) В § 13 будет показано, что этот вывод достаточно точен, если про-
гибы цаастинки малы в сравнении с толщиной h.
52 ЧИСТЫЙ ИЗГИБ ПЛАСТИНКИ
путем получаем уравнения
ггл. и
J axzdydz = MJ(dy.
л
(c)
aji dx dz = Afj, dx.
Подставив в них вместо ax и ау выражения (b), получим
^(2-+^)=-^+,^). <38)
где D—жесткость пластинки при изгибе, определяемая уравнением (3),
a w-~- малые прогибы пластинки в направлении z.
Рассмотрим теперь напряжения, действующие в уровне сдоя abed.
по сечению, параллельному оси z, но наклоненному к осям к и у.
Рис. 21.
Если acd (рис. 21) представляет собой часть слоя, вырезанную
таким сечением, то напряжение, действующее на грани ас, может
быть найдено С помощью уравнений статики. Если это напряжение
разложить из нормальный компонент сп н касательный компонент тп1,
то значения этих компонент можно найти, спроектировав приложен-
ные к элементу acd силы на направления я и /; это приводит нас
к известным уравнениям
о„ = c4.cos2a-boysln2a, |
%t= (°У — °х) 81П 2“» (
10] СООТНОШЕНИЯ МЕЖДУ ИЗГИБАЮЩ. МОМЕНТАМИ И КРИВИЗНАМИ 53
г|-де а—угол между нормалью п и осью х или же между направле-
нием i и осью у ,(рис, 21, о). Этому углу приписывается положи-
тельный знак при отсчете по направлению вращения часовой стрелки.
Если принять в расчет все слои, подобные изображенному на
рис. 21, b слою acd. то нормальные напряжения а„ по всей толщине
пластинки дадут нам изгибающий момент, действующий в сечении ас
пластинки, и величина его, отнесенная к единице длины вдоль ас.
выразится интегралом
л
2
М„ = J cnz dz=Мх cos2 а 4- sin2 я, (39)
А
“s
то положительные значения
в положительных направле-
Касательные напряжения Сй/ дадут нам действующий в сечении ас
крутящий момент» величина которого на единицу длины ас будет
равна
л
2
мм ~~ f dz ~ 4sin 2а —
• **
2
Знаки M„ и Mnl выбраны таким образом, что если пользоваться
'правовинтовой координатной системой,
&гих моментов изобразятся векторами
Ниях ли/ (рис. 21, а). Если а равно
нулю или к, то уравнение (39) даст
М„ = МЯ. Для а = я/2 или 3it/2 по-
лучаем Л4„х= Му. Моменты MBt для
этих вкачен ий я обращаются в нули.
При этом мы получаем условия, пред=
ставленные на рис. 19.
’ Уравнения (39) и (40) сходны по
форме с уравнениями (36); поль-
вуясь ими, мы легко можем опреде-
лить изгибающий и крутящий моменты
для любого значения а. Той же це.
графическим методом, т. е. найти знз
Мора, построив его, как указано в предыдущем параграфе, по абс-
циссе М„ и ординате M„t. Диаметр круга, как показано на рис. 22,
должен быть равен Мл — 2Иу. Тогда координаты О В и АВ точки Л,
определенной углом 2а, дадут нам соответственно моменты М„ и 2ИЯГ
Представим теперь /Ил и 7М„, в виде функций от кривизны и
от относительного кручения срединной поверхности пластинки.
Рис. 22.
мы можем достигнуть и
гия М„ и М„, из круга
54
ЧИСТЫЙ ИЗГИБ ПЛАСТИНКИ
(ГЛ п
Подставив в уравнение (39) вместо и Л1 их выражения (37) и
(38), найдем
Мп — cos2 а Ч” sin2 aj + vD (у- sin2 a -}- у- cos2a).'
Обратизшмсь к первому из уравнений (36) предыдущего параграфа,
мы замечаем, что только что полученные нами выражения в скобках
представляют собой кривизны срединной поверхности соответственно
в направлениях h и I, поэтому

Чтобы получить соответствующее выражение для крутящего мо-
мента М„г рассмотрим перекос (искажение) тонкого слоя abed
со сторонами аЬ и ad, параллельными направлениям п и t, распо-
ложенного на расстоянии z от срединной плоскости (рис. 23). При
изгибе пластинки точки а, Ъ, с и d претерпевают малые смещения.
Обозначим компоненты смещения точки а в направлениях ли/
соответственно через и и г>. Тогда смешение смежной точки d в на-
правлении п будет равно
-лГ*-
а смещение точки b в направлении t
1 on
В результате этих смещений произойдет сдвиг
10] СООТНОШЕНИЯ МЕЖДУ ИЗГИБАЮЩ. МОМЕНТАМИ И КРИВИЗНАМИ 55
Соответствующее ему касательное напряжение будет равно
I ди . dv \
^=°(-аг+лг)-
(О
Из рис. 23, Ъ, изображающего сечение срединной поверхности
нормальной плоскостью, проходящей через ось п, можно заметить,
что элемент pq, первоначально перпендикулярный к плоскости ху,
повернется относительно оси, перпендикулярной к плоскости nz,
в направлении против вращения часовой стрелки на угол, равный
— dwfdn. Вследствие этого поворота точка элемента, расположенная
на расстоянии z от нейтральной поверхности, подвергнется смеще-
нию в- направлении п, равному
При рассмотрении нормального сечения, проходящего через ось t,
можно показать, что та же самая точка испытывает смещение в -на-
правлении t, равное
Подставка эти- значения смещений и и v в выражение (f), найдем
(42)
при этом выражение (40) для крутящего момента примет вид
л
2
.. Г . Ofta d2w п/1 . d2w
j W&- 6 dndt — 0(1
h
2
Мы видим, что крутящий момент для данных взаимно-перпенди-
кулярных направлений ли/ пропорционален относительному кру-
чению срединной поверхности относительно этих направлений. Если
направления п п t совпадают с осями х и у, то у нас останутся
лишь изгибающие моменты Мх и Му, действующие в сечениях,
перпендикулярных к этим осям (рис. 19). Относительное кручение
при этом обращается в нуль, а кривизны lfrx и 1/гу оказываются
главными кривизнами срединной поверхности пластинки. Их легко
можно вычислить из уравнений (37) и (38), если нам даны изгибающие
моменты Мх и Му. Кривизну во всяком ином направлении, задан-
ном посредством угла а, можно вычислить из уравнений (36) или же
найти с помощью круга Мора (рис. 17).
Что касается распределения напряжений в пластинке, подвер-
гающейся чистому изгибу, то первое из уравнений (d) позволяет
(43)
56
ЧИСТЫЙ ИЗГИБ ПЛАСТИНКИ
[ГЛ. II
заключить, что максимальное нормальное напряжение получится в сече-
ниях. параллельных плоскостям xz или yz. Величины этих напряже-
ний мы найдем из уравнений (Ь) при подстановке в них z = h/2
и из уравнений (37) и (38). Таким путем получим
ЬМХ 6МУ
• (ay)max== jp
(44)
Если эти напряжения разных знаков, то максимальное касатель-
ное напряжение действует в плоскости, делвщей пополам угол между
плоскостями xz и yz. и равно
1 3(Atx-My)
cmax — 2 '°-’" °у' —
(45)
Если напряжения (44) одного и того же знака, то максимальное
касательное напряжение действует в плоскости, делящей пополам
угол между плоскостями ху и yz. и равно у(ву)тм или ^(оДа^,
в. зависимости от того, какое из двух главных напряжений («У)„14Х
или (оДпщ, больше.
11. Частине случаи чистого изгиба. Мы приступили к теме
нашего предыдущего параграфа, начав с исследования прямоугольной
пластинки, по кравм которой приложены равномерно распределен- .
ные изгибающие моменты. Чтобы перейти к общему случаю чистого "
изгиба пластинки, представим себе, ч-fo из рассмотренной нами выше
пластинки (рис. 19) перпендикулярной к ней цилиндрической или
призматической поверхностью выделена некоторая часть произволь-
ного очертания. Условия изгиба этой изолированной части останутся"
подле выделения ее без изменений, если только по ограничивающей
ее боковой поверхности будут распределены изгибающие и крутящие
моменты, ^удовлетворяющие уравнениям (39) и (40). Таким путем мы
приходим к случаю чистого изгиба пластинки произаольного очерта-
ния, причем устанавливаем, что изгиб пластинки получается чистым
во. всех тех случаях, когда изгибающие моменты Л1„ и крутящие
моменты Mnt распределены по кравм пластинки таким именно обра-
зом, как это задается соотношениями (39) и (40).
В качестве первого примера рассмотрим частный случай, когда
Мх=Му = М.
Из уравнений (39) и (40) можно для этого случав сделать тот вывод,
что изгибающие моменты будут равномерно распределены по всему
контуру пластинки произвольного очертания, крутящие же моменты
исчезнут. Из уравнений (37) и (38) получаем
гх Гу £>(1-Н)
(46)
IB ЧАСТНЫЕ СЛУЧАИ ЧИСТОГО ИЗГИБА 57
т. е. пластинка в этом случае изгибается по сферической поверх-
ности. кривизна которой определяется уравнением (46).
В общем случае, когда Afx отличается от Л1у, полагаем
и Afy — Л42.
Тогда из уравнений (37) и (38) находим
d2w Mt—
Dfl-vV
dsw __ __ Ma~yM,
W ~~ 0(1 —vs)'
Кроме того.' имеем
Интегрируя эти уравнения, находим
»’=—го'(ГД £>'о->> >°+с.*+<^+с» И
где Cj, С2 и С3—постоянные интегрирования. Эти постоянные опре-
деляют плоскость, от которой отсчитываются прогибы w. Если эта
плоскость касательна к срединной поверхности пластинки в начале
координат, то постоянные интегрирования должны обратиться в нули,
поверхность прогибов определится уравнением
JW. — vJW« , Af«—vJKi 9 ,r.
2O(1-W^ W
В частном случае, когда = М2 = М, находим из* уравнения (d)
М (xs-J-У2)
2D(l-J-v) ’
(е)
т. е. имеем параболоид вращения вместо сферической поверхности,
представленной уравнением (46). Несовпадение результатов возникает
здесь лишь как следствие использования приближенных выражений
^wjdx1 и d2«i/dy2 для кривизн 1/гх н кривизны 1/гу при выводе урав-
нения (е). Эти вторые производные прогибов не дают, как правило,
точных значений кривизны. Мы будем, однако, оперировать ими и
во всех последующих расчетах, основываясь на допущениях § 9.
, Такав приближенная постановка вносит значительные упрощения
в уравнения теории пластинок.
Возвращаясь к уравнению (d). положим теперь М2 ——
Главные кривизны в этом случае на основании уравнений (а) будут
1 _____1______ dsw Л4| . ...
Гх~ ry ~ йл2 V)’ W
ЧИСТЫИ ИЗГИБ ПЛАСТИНКИ
ггл. и
58
при этом мы получим антикластическую поверхность, уравнение
которой примет вид
(g)
Прямые линии, параллельные оси х, искривляются в результате
изгиба в параболы, обращенные выпуклостью вниз (рис. 24). пря-
мые же, параллельные оси у, де-
формируются в параболы, обращен-
.х ные выпуклостью вверх. Для пря-
мых, делящих пополам углы между
осями л и у, мы имеем х = у
или х — — у; поэтому прогибы
по этим направлениям, как это вид-
но из уравнения (1), равны нулю.
Все прямые, бывшие до изгиба
параллельными этим биссектрисам.
остаются прямыми и после изгиба, повернувшись лишь на некоторый
угол. Ограниченный такими прямыми линиями прямоугольник abed
подвергнется перекосу (скручиванию), как показано на рис. 24.
Представим себе, что через прямые ab, be, cd, ad проведены нор-
мальные сечения пластинки. Из уравнений (39) и (40) мы заключаем,
по изгибающие моменты в этих сечениях равны нулю, крутящие
моменты в сечениях ad и Ьс равны в сечениях же ab и cd — Mv
таким обравом, часть abed пластинки будет находиться в условиях
пластинки, подвергающейся чистому изгибу крутящими моментами,
равномерно распределенными по краям (рис. 25» й).
Рис. 25.
Эти крутящие моменты образуются непрерывно распределенными
io краю горизонтальными касательными напряжениями (уравнение (40) ),
юторые мы можем заменить вертикальными касательными силами,
ызывающими тот же самый эффект, что и фектически действующие
Ьризоитальные напряжения. Для того чтобы это доказать, разобьем
11]
ЧАСТНЫЕ СЛУЧАИ ЧИСТОГО ИЗГИБА
59
край ad на бесконечно узкие прямоугольники, подобные прямоуголь-
нику mnpq на рис. 25. Ь. Если А—бесконечно малая ширина такого
прямоугольника, то приходящаяся на него крутящая пара будет
равна причем ее можно будет считать образованной двумя
вертикальными силами, равными ТИ,, действующими вдоль вертикаль-
ных сторон прямоугольника. Такая замена сплошных горизонтальных
сил статически эквивалентной системой двух вертикальных сосредо-
точенных сил может повести к какому-либо ощутительному перерас-
пределению напряжений в пластинке лишь в пределах расстояния,
сравнимого с толщиной пластиниит), которую мы считаем малой.
Поступив точно таким же образом со всеми остальными прямоуголь-
никами. найдем., что все силы Mv действующие вдоль вертикальных
сторон прямоугольников, взаимно уравновесятся, за исключением
лишь двух сил Л1Р остающихся в вершинах углов а и d. Выполнив
подобное же преобразозание по остальным краям пластинки, мы
приходим к выводу, что изгиб пластинки в изображенную на рис. 25, а
антикластическую поверхность может быть произведен силами, сосре-
доточенными в вершинах углов 2) (рис. 25, Ь). Осуществить подоб-
ный эксперимент сравнительно легко, и он был использован для
опытного подтверждения вышеизложенной теории изгиба пластинки 3).
В этих экспериментах были измерены прогибы пластинки вдоль
линии bod (рис. 24), причем они оказались во вполне удовлетвори-
тельном согласии с теоретическими результатами, полученными из
.уравнения (f). Некоторые расхождения обнаружились лишь близ
краев, причем в более толстых пластинках они- выражались резче,
как это и следовало ожидать из вышеприведенных соображений
о преобразовании приложенных по краям крутящих пар.
В качестве последнего примера рассмотрим изгиб пластинки
(рис. 19) по цилиндрической поверхности, образующая которой
параллельна оси у. В этом случае ff2w{dy2 = O, а из уравнений (37)
и (38) мы найдем
л. Г» ял гл д2ы>
(h)
Из этих соотношений видно, что для изгиба пластинки по цилин-
дрической поверхности мы должны приложить не только моменты Мх,
но также и моменты Л4у. Без этих последних пластинка изогнется
’) Это следует из так называемого принципа Сен-Венана. См. Тимо-
ше и к о С. П„ Теория упругости, стр. 42, ОНТИ, 1937.
*) Такое преобразование системы сил, приложенных по крагм, было
указано впервые Кельвином и Тэпюм. См. Lord Kelvin and Tail P. О.,
Treatise on Natural Philosophy, t. 1, ч. 2, стр. 203, 1883.
3) Подобные опыты были проделаны Надап; см. N a d a I A., Forschungsar-
belten, тт. 170, 171, Берлин, 1915, а также его книгу «Elastische Flatten*,
стр. 42, Берлин, 1925.
go ЧИСТЫЙ ИЗГИБ ПЛАСТИНКИ [ГЛ, fl
в 1 антнкластическую поверхность *). Первое из уравнений (h) было
уже использовано нами в главе 1 при исследовании изгиба длинной
прямоугольной пластинии в цилиндрическую поверхность. Хотя в этом
исследовании мы имели дела с изгибом пластинки поперечными на-
грузками, причем, помимо напряжений изгиба, в ее сечениях, нер-
пендикулирных к оси х, вознниали также и вертикальные касатель-
ные напряжения, тем не менее из сравнения с обычной теорией
балки мы вправе заключить, что в случае тонкой пластинки влия-
нием касательных напряжений допустимо пренебречь и что уравне-
ние. выведенное для случая чистого изгиба, с достаточной точностью
может быть применено также и при действии поперачной нагрузки.
12. Энергия деформации при чистом изгибе пластинки. Если
пластинка изогнута равномерно распределенными изгибающими мо-
ментами Мх и Му (рис. 19), так, что плоскости xz и yz окавьь
ваются главными плоскостями изогнутой поверхности пластинки,
то энергия деформации, накопленная в элементе, подобном изобра-
женному на рис. 20, может быть определена путем вычисления
работы, произведенной при изгибанйи моментами Мх dy, М dx
в выделенном нами элементе. Так как грани элемента остаются при
этом плоскими, то работу, произведенную моментами Mxdy, мы
получим, взяв половицу произведения величин момента на значение
угла между соответствующими сторонами элемента до и после изгиба.
Так как —d2w/Ax2 представляет собой кривизну пластинки в пло-
скости xz, то угол, соответствующий моментам Mxdy, будет равен
—(d'i'U>ldx2)dx, и работа, произвёденнав этими моментами, будет
равна
1 ~d2w . .
Аналогичное выражение получится и для работы, произведенной мо-
ментами Mydx. Тогда вся работа, равная энергии деформации эле-
мента. выразится суммой
Если подставить сюда вместо моментов их выражения из формул
(37) и (39), то энергию деформации элемента можно будет выразить
следующим образом:
1 пГ/^У о d'w г-ж! . , . .
’) Как и повсюду, мы постулируем здесь, что прогибы пластинки весьма
малы, или, иначе, что пластинка изгибается в развертывающуюся поверх-
ность, Случай изгиба в неразвертывающуюся поверхность, когда прогибы
не малы, будет рассмотрен ниже, см. стр. 62.
?1Я ЭНЕРГИЯ ДЕФОРМАЦИИ ПРИ ЧИСТОМ ИЗГИБЕ ПЛАСТИНКИ 61
Поскольку в случае чистого изгиба кривизна представляет собой
постоянную величину для всей поверхности пластинки, то общую
'энергию деформации для всей пластинки мы получим, если в выра-
жении (а) вместо элементарной площадки dx dy подставим площадь Z
всей пластинки. Тогда будем иметь
Если направления х и у не лежат в главных плоскостях кри-
визны. то на гранях элемента (рис. 20) будут действовать не только
.изгибающие моменты Mxdy и Mv.dx, но также п крутящие моменты
MXildy и My2dx. Энергия деформации, зависящая от изгибеющих
моментов, представлена выражением (а). Чтобы вывести выражение
для энергии деформации, обуслозлениой крутящими моментами Л1ху dy,
.заметим, что соответствующий угол кручения ранен _ умноженному
"йа dx изменению наклона dwjdy по оси х; поэтому энергия дефор-
мации. обусловленная 2Ихуйу, будет равна
1 .. d2w . .
-п Мгм д— a- dx dy,
2 дхду -у’
1ии, если принять во внимание у равнение. (43),
То же самое количество энергии будет произведено парами MyJ(dXt
так что энергия деформации, обусловленная обеими крутящими
парами, окажется равной
D(> dx d>l- <ь)
Так как кручение не оказызает никакого влияния на работу,
произведенную изгибающими моментами, то общая энергия элемента
пластинки получится суммированием энергии изгиба (а) и энергии
кручения (Ь). Таким путем получаем
+D<‘- 4^?¥У"х"у-
или
Г481
6$ ЧИСТЫЙ ИЗГИБ ПЛАСТИНКИ [ГЛ. II
Энергию деформации всей пластинки получим теперь, если & э^ом
выражении вместо элементарной площадки dx dy подставим площадь А
пластинки. Ниже мы воспользуемся выражением (48) в более слож-
ных случаях изгиба пдастинок.
13. Ограничения в приложимости выведенных формул. При
исследовании распределения напряжений для случав чистого изгиба
(§ 10) мы сделали допущение, что срединнав поверхность пластинки
является в то же время и ее нейтральной поверхностью. Это тре-
бование может быть строго удовлетворено лишь в том случае, если
срединная поверхность изогнутой пластинки представляет собой раз-
вертывающуюся поверхность. Если, например, мы имеем дело
с чистым изгибом пластинки по цилиндрической поверхности, то
единственным ограничением в приложимости теории будет требование,
чтобы толщина пластинки была мала в сравнении с радиусом кри-
визны. В разобранных в предыдущей главе задачах об изгибе пла-
стинки по цилиндрической поверхности поперечными силами мы
потребовали, чтобы прогибы были малы в сравнении с толщиной
пластинки, ибо только при этом условии неиспользованное нами при-
ближенное выражение для кривизны будет достаточно точным.
Если пластинка изгибается в неразвертывающуюся поверхность,
то срединная ее поверхность подвергается при изгиба некоторому
растяжению, и построенная выше теория чистого изгиба будет доста-
точно точной лишь в том случае, если соот-
\ ветствующие этому растяжению срединной по-
\ z верхности напряжения будут малы в сравнении
с максимальными напряжениями изгиба, указан-
\ ними в формулах (44). или, что то же самое,
X если линейная деформация срединной поверх-
\ ности будет мала в сравнении с максималь-
ной Деформацией изгиба Л/2гт1п. Это требо-
вание накладывает дополнительное ограниче-
* ние на прогибы пластинки, а именно: прогибы
26. w пластинки должны быть малы в сравнении
с ее толщиной Л. Чтобы это доказать, рас-
смотрим изгиб круглой пластинки равномерно распределенными
по ее краям изгибающими парами Л1. При малых прогибах изогнутая
поверхность будет сферической радиуса г, величина которого опре-
деляется уравнением (46). Пусть АОВ (рис. 26) представляет собой
диаметральное сечение изогнутой круглой пластинки, а — ее внеш-
ний радиус до изгиба, а 8— прогиб в центре. Допустим сначала,
|что срединная поверхность ее не испытывает растяжения в радиаль-
ном направлении. В таком случае дуга ОВ должна быть равна
первоначальному значению внешнего радиуса а пластинки. Угол <?
и радиус b пластинки после изгиба будут тогда определяться с ле-
Рис.
13] ОГРАНИЧЕНИЯ В ПРИЛОЖИМОСТИ ВЫВЕДЕННЫХ ФОРМУЛ 63
дующими уравнениями:
<р — —, Ь = г sin <р.
Мы видим, что при сделанных нами допущениях изгиб пластинки
влечет эа собой деформацию сжатия ее срединной поверхности
в окружном направлении. Величина этого сжатия на краю пластинки
равна
При малых прогибах мы вправе принять
slnT =<р — -'f.
После подстановки в уравнение (а) это дает
е —iL
с— 6 •
Чтобы представить это сжатие в функции максимального прогиба 8,
заметим, что
« = г(1—COST)=»-^S
отсюда
(a)
(b)
Подставляя в уравнение (Ь), получим
Эта' величина представляет собой верхнюю границу окружного сжа-
тия по краю пластинки. Мы получим ее, потребовал, чтобы радиаль-
ная деформация была равна нулю. В действительности некоторая
радиальная деформация имеет место, и потому окружное сжатие
получается несколько меньшим *), чем это дается уравнением (49).
Из этих соображений следует, что уравнения, полученные в § 10,
в предположении, что срединная поверхность изогнутой пластинки
совпадает с ее нейтральной поверхностью» являются точными в том
лишь случае, если определенная выражением (49) деформация мала
в сравнении с максимальной деформацией изгиба h(2r, или, что
равносильно, если прогиб 8 мал в сравнении с толщиной пластинки h.
К подобному заключению можно прийти и в более общем случае
чистого изгиба пластинки, когда ее главные кривизны не равны * 2).
*) Этот вопрос разбирается ниже, см. § 96.
2) См. Lord Kelvin, Tait Р. О, Treatise on Natural Philosophy, т. I,
ч. 2, стр. 172, 1883.
64 ЧИСТЫЙ ИЗГИБ ПЛАСТИНКИ [ГЛ 1Г
Обобщая эти выводы, мы можем утверждать, что уравнениями § 10
можно пользоваться с достаточной точностью bq всех тех случаях,
когда прогибы пластинки, отсчитываемые от ее недеформированной
срединной плоскости или от развертывающейся поверхности, малы
в сравнении с толщиной пластинки.
I 14. Температурные напряжения в пластинке, защемленной
’по краям. Уравнением (46) для изгиба пластинки по сферической
поверхности можно воспользоваться при вычислении температурных
напряжений в пластинке в некоторых случаях неравномерного нагре-
вания. Допустим, что изменения температуры по толщине пластинки
следуют линейному закону и что в плоскостях, параллельных по-
верхностям пластинки, эта температура остается постоянной. При
этих условиях и если отсчет температур вести от температуры сре-
динной поверхности, мы вправе заключить, что температурные рас-
ширения и сжатия будут пропорциональны расстояниям от срединной
I поверхности. Мы приходим 'здесь, таким образом, в точности
к- тому же самому закону, как и в чистом изгибе пластинки по сфе-
рической поверхности. Если края неравномерно нагретой пластинки
совершенно свободны, пластинка изогнется по сферической поверх-
ности ’).
Пусть а будет коэффициент линейного расширения материала
пластинки, a t обозначает разность температур верхней н нижней
поверхностей пластинки. Разность между наибольшим значением тем-
пературного расширения и расширением срединной поверхности
равна at/2; обусловленную же неравномерным нагреванием кривизну
найдем из уравнения
at ft (а)
Откуда
Этот изгиб не вызовет в пластинке никаких напряжений, если только
края ее свободны, а прогибы ее в сравнении с толщиной малы.
Предположим теперь, что срединная плоскость пластинки может
свободно расширяться, края же ее заделаны так, что они лишены
возможности поворачиваться. Тогда, в результате неравномерного
нагревания, возникнут изгибающие моменты, равномерно распреде-
ленные по краям пластинки. По величине эти моменты таковы, что
они компенсируют кривизну, выаяанную неравномерным нагреванием
(уравнение (50)), ибо только этим путем может быть удовлетворено
условие ‘заделки краев. Воспользовавшись выражением (46> для кри-
*) Предполагается, что прогибы малы в сравнении с толщиной пла-
стинки.
14] ТЕМПЕРАТУРНЫЕ НАПРЯЖЕНИЯ В ПЛАСТИНКЕ 65
визны, вызванной изгибающими моментами, находим следующее урав-
нение для определения величины AI момента, приходящегося на еди-
ницу длины контура ’)
М «1
— Л ’
откуда
(ь,
Соответствующее максимальное напряжение может быть найдено
из уравнений (44); оно равно
6М 6a/D(l-f-v)
°max— *s — ДЗ
Подставляя сюда вместо D его выражение (3), получаем окончательно
rfE
°тах— 2(1 — л«) ’ <б1>
Мы видим, что напряжение пропорционально коэффициенту темпе-
ратурного расширения а, разности температур t на обеих поверх-
ностях пластинки и модулю упругости Е. Толщина h пластинки
не входит в формулу (61); поскольку, однако, разность температур
возрастает обычно пропорционально толщине пластинки, у нас есть
основание заключить, что относительно большие температурные
напряжения следует ожидать скорее в толстых пластинках, чем
в тонких.
') Влияние чистого изгиба на кривизну пластинки в целом эквивалентно,
но противоположно по нкаку влиянию температурного градиента. Поэтому
если пластинка остается в результате этого воздействия совершенно пло-
ской, то это свидетельствует о том, что по всему контуру удовлетворяются
условия для защемленного края. В нашем случае изгибающие моменты
всюду к по всех направлениях друг другу равны, поэтому и моменты заще-
мления по заданному контуру выражаются тем же уравнением (Ь).
3 С. П. Тимошенко. С Войлопский Коигсп
ГЛАВА HI
СИММЕТРИЧНЫЙ ИЗГИБ КРУГЛОЙ ПЛАСТИНКИ
1Б. Дифференциальное уравнение симметричного изгиба по-
перечно нагруженной круглой пластинки ’). Если действующая
на круглую пластинку нагрузка распределена по ней симметрично
относительно оси, перпендикулярной к плоскости пластинки и про-
ходящей через ее центр, то наогнутая
поверхность, в которую обратится сре-
динная плоскость пластинки, также по-
лучится симметричной. Во всех точках,
равно удаленных от центра пластинки,
прогибы будут одинаковы, и потому мы
сможем удовлетвориться рассмотрением
их лишь в одном-единственном диаме-
тральном сечении, проходящем через ось
симметрии (рис. 27). Поместим начало
координат О в центре неизогнутой пла-
стинки, через г обозначим радиальные рас-
стояния точек, лежащих в срединной пло-
скости, а через w — их прогибы вина.
Тогда максимальный наклон изогнутой по-
Рис. 27.
верхности в некоторой точке А будет равен —divldr, кривизна же
срединной поверхности пластинки в диаметральном сечении rz для
малых прогибов выразится производной
d2n> dy
dr* = dr
(а)
где <р — малый угол между нормалью к изогнутой поверхности
в точке А и осью симметрии ОВ. Из условий симметрии заключаем,
что 1/г„ представляет собой одну ив главных кривизн изогнутой
поверхности в точке А. Вторая главная кривизна лежит в сечении,
*) Решение этих задач об изгибе круглых пластинок было дано Пуас-
соном; см. Memoires de I’Acadtmle, т. 8, Париж, 1829.
ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ УРАВНЕНИЕ СИММЕТРИЧНОГО ИЗГИБА
67
'Проходящем через нормаль АВ и перпендикуляр к плоскости rz-
'Заметив, что подобные АВ нормали для всех остальных точек сре-
ЗМнной поверхности с радиальным расстоянием г образуют в своей
‘^совокупности коническую поверхность с вершиной в В, заключаем,
.что расстояние АВ представляет собой
•радиус второй главной кривизны, ко-
;-торый мы обозначим через rt. Тогда
• ]из чертежа получим
-L=_L^i=i. ад
г/ г dr г ' '
. Имея выражения (а) и (Ь) для глав-
тных кривизн, мы можем получить и
соответствующие значения изгибаю-
щих моментов, полагая, что между
этими моментами и кривизивми оста-
ются в силе соотношения (37) и
(38)1), выведенные для чистого изгиба. Пользуясь этими соотно-
шениями. получаем
где, как и раньше. Мг и Mt обовначают отнесенные к единице длины
изгибающие моменты: Мг— по окружным (тангенциальным) сечениям
Пластинки, подобным сечению, образованному конической поверх-
ностью с вершиной в В, Л1,— по диаметральному сечению rz.
Уравнения (52) и (53) содержат лишь одну переменную, либо w,
либо if, которая может быть определена из условий равновесия эле-
мента пластинки, аналогичного, например, элементу abed на рис. 28,
вырезанному из пластинки даумя цилиндрическими сечениями аЬ и cd
и двумя диаметральными ad и Ьс. Пара, действующая по грани cd
Элемента, равна
Mrrdb. (С)
’) Здесь мы пренебрегаем влиянием на прогибы касательных напряже-
ний, действующих в вормальных сечениях пластинки, перпендикулярных
к меридианам, подобных, например, сечению, вырезанному конической по-
верхностью с вершиной в В. Для пластинок, толщина которых мала в срав-
нении с диаметром, это влияние незначительно. Дальнейшие соображения
по этому вопросу будут приведены в § 20. Напряжениями, перпендикуляр-
ными к поверхности пластинки, мы также пренебрегаем, и это находит свое
оправдание по всех тех случаях, когда нагрузка ве яваяется резко сосре-
доточенной (см. стр. 85).
СИММЕТРИЧНЫЙ ИЗГИБ КРУГЛОЙ ПЛАСТИНКИ
[ГЛ. fir
Соответствующая пара по грани аЬ выразится произведением
рИ,+т£л)(г+*)Л. W)
Каждая из пар, приложенных по граням ad и Ьс элемента, равна Mt dr,
обе же вместе они дадут равнодействующую пару в плоскости rOz,
равную
Mtdrdfi. (ej
Из симметрии мы вправе заключить, что если на элемент действуют
перерезывающие силы, то в диаметральных сечениях пластинки они
должны обращаться в нуль. Зато в ее цилиндрических сечениях,
каковыми являются, например, грани cd и ab элемента, они обычно
сохраняют конечное значение. Если перерезывающую силу, прихо-
дящуюся на единицу длины цилиндрического сечения радиуса г,
обозначить через Q, то полная перерезывающая сила, действующая
по грани cd элемента, будет Qrdy\ соответствующая же сила по
грани ab равна
Пренебрегая малой разностью между перерезывающими силами по двум
противоположным граням элемента, мы вправе утверждать, что эти
силы дают пару в плоскости rz, равную
Qr db dr. (f)
Складывая с надлежащими знаками моменты (с), (d), (е) и (f) и пре-
небрегав моментом от приходящейся на элемент внешней нагрузки,
как малой величиной более высокого порядка, получим для эле-
мента abed следующее уравнение равновесия:
(Al, + “х dr} (г + dr) de — M,r de — M, dr M + Qr di dr = 0.
из которого, Нренебрегая малой величиной более высокого порядка,
находим
M. + ^r-M.+Qr^O. (g)
Если вместо Мг и Mt подставить сюда их выражения (62) и (53),
то уравнение (g) примет вид
ds<f , 1 rfy_____у Q
rfr2 ' г dr r*~~ 7)
или в другом виде
dsw , 1 d2w_______1 dw Q
dr> r dr2 7s dr = D
(54)
(55)
вб] РАВНОМЕРНО НАГРУЖЕННАЯ КРУГЛАЯ ПЛАСТИНКА 69
В любом частном случае симметрично нагруженной круглой пла-
стинки перерезывающая сила легко может быть вычислена путем
деления распределенной по окружности радиуса г нагрузки на 2кг.
Тогда ураянениями (54) или (55) можно будет воспользоваться для
определения наклона <р и прогиба w пластинки. Интегрирование этих
уравнений упрощается, если мы заметим, что их можно представить
следующим образом:
(«»
Если Q представлена в функции г, то эти уравнения без всяких
затруднений можно будет проинтегрировать в любом частном случае.
Иногда бывает выгодно представить правую часть уравнения (67)
как функцию интенсивности q, распределенной по пластинке сплош-
ной нагрузки. С этой целью умножим обе части уравнения на 2кг.
Заметав, что
Q 2кг=J' q 2кг dr,
о
получим
о
Дифференцируз обе части этого уравнения по г и разделив на г,
найдем окончательно
Бто уравнение легко интегрируется, если интенсивность нагрузки q
вадана в функции г.
16. Равномерно нагруженная круглая пластинка. Если круглая
пластинка радиуса а несет нагрузку интенсивностью q, равномерно
распределенную по всей поверхности пластинки, то величина пере-
резывающей силы Q на расстоянии г от центра пластинки опреде-
лиется из уравнения
2nrQ = кг^д.
откуда
. (а)
Подставив это в уравнение (57), получаем
Д Г1 d / dm VI_ qr
dr Lr dr V dr]]~ 2D
(b)
70 СИММЕТРИЧНЫЙ ИЗГИБ КРУГЛОЙ ПЛАСТИНКИ [ГЛ III
После первого интегрирования находим
где С, — постояннав интегрирования, которую мы определим в даль-
нейшем из условий в центре и на краю пластинки. Умножая обе
части уравнения (с) на г и производя вторичное интегрирование,
Следующее интегрирование дает тогда
” = -^ + т1 + С»|<+Сэ- <«»
Вычислим теперь постоянные интегрирования для различных частных
случаев.
Круглая пластинка защемлена по контуру. В этом случае
наклон. изогнутой поверхности в радиальном направлении должен
обратиться в 0 при г=0 и г—а. Поэтому из уравнения (59)
Первое из этих уравнений дает нам С2 = 0. Подставив это значение
во второе уравнение» получаем
|При этих значениях постоянных уравнение (59) дает нам следующее
выражение для наялона:
dw qr г о о,
f=—
Из уравнения же (60) найдем
(61)
(<!)
На краю пластинки прогиб равен нулю. Поэтому
I г — О
64Р 32D —и-
РАВНОМЕРНО НАГРУЖЕННАЯ КРУГЛАЯ ПЛАСТИНКА 71
;,н мн получим
с»=-£ет-
.'Подставив это в уравнение (d). найдем
<62>
•Наибольший прогиб наблюдается в центре пластинки, причем вели-
чина его из уравнения (62) оказывается равной
(е)
.Этот прогиб составляет э/8 от прогиба равномерно нагруженной
«олоски, защемленной по концам, жесткость которой при изгибе
равна D, ширина—единице, а длина—диаметру пластинки.
Имея выражение (61) для наклона, получаем и изгибающие
моменты Мг и Mt, воспользовавшись для этого выражениями (52)
я (53). Из них находим
Я=^1«г(1+«)-^(3+< (63)
(И, = А(о=(1+,)-^(1 + 3.)]. (64)
Подставив в этом выражении г^=а, найдем значения изгибающих
моментов на контуре пластинки:
(Я),„ = -^. («<),..—тр- (65)
В центре пластинки, где г=0,
Ч=(и,=^(1+>). (66)
Из выражений (65) и (66) видно, что максимальное напряжение полу-
чается на контуре пластинки, где оно равно
. , 6Й, 3 да? _
(°r)nt»x — h» — 4 Ла ' ®
Изменение напряжений <зт и at для нижней поверхности пластинки
вдоль ее радиуса показано на рис. 29.
Круглая пластинка, свободно опертая по контуру. При-
меним для вычисления прогибов в этом случае метод наложе-
ния. При защемлении, как мы видели, по ее контуру возникают
Т2. СИММЕТРИЧНЫЙ ИЗГИБ КРУГЛОЙ ПЛАСТИНКИ (ГЛ. ш
отрицательные моменты Мг = ~—да2/8 (рис. 30, а). Если этот
случай сочетать со случаем чистого изгиба, представленным на
рис. 30, Ъ, то изгибающие моменты А1, на контуре будут ком-
пенсированы и мы получим изгиб свободно опертой пластинки.
Рис, 30,
Изогнутая поверхность пластинки в условиих чистого изгиба мо-
ментами на основании соотношения (46) пли уравнения (е)
(стр. 57) описывается уравнением
17] КРУГЛАЯ ПЛАСТИНКА С КРУГЛЫМ ОТВЕРСТИЕМ В ЦЕНТРЕ 73
Сложив его с прогибом (62) защемленной пластинки, найдем, что
при условии свободного опирания
—«*>
Подставив в это выражение г = 0, получим прогиб пластинки в центре
При v = 0,3 этот прогиб приблизительно в четыре раза больше, чем
для пластинки, защемленной по контуру.
Чтобы получить для этого случая изгибающий момент, нам сле-
дует сложить постоянный изгибающий момент да21& с моментами (63)
-и-(64), найденными нами выше для случая защемления. Поэтому для
случая свободного опирания
>H, = -i(3+v)(as — гЧ. (69)
Максимальный изгибающий момент получается в центре пластинки
Mt = — go2.
‘ ‘ Io '
Соответствующее максимальное напряжение
, . i \ 6Afr 3(34-v)ga2 ,_,4
(°z)inax—(°/)«nax— — gp • (71)
Чтобы получить наибольшее напряжение на некотором расстоянии г
от центра, мы должны к напряжению, вычисленному для защемлен-
ной пластинки, прибавить постоянную величину
6 да8
соответствующую чистому изгибу, представленному на рис. 30. Ъ.
Иным способом это же напряжение можно получить и из рис. 29,
именно путем измерения ординат от горизонтальной оси. проходящей
через Oj. Мы видим, что защемление приводит к более выгодному
распределению напряжений в пластинке. 17
17. Круглая пластинка с круглым отверстием в центре. Нач-
нем с исследования изгиба пластинки моментами Mt и ТИ2, равно-
мерно распределенными по внутреннему и соответственно по внешнему
симметричный изгиб круглой пластинки ггл. иг
ее контурям (рис. 31). Перерезывающая сила Q в этом случае исче-
зает, и уравнение (57) принимает вид
ДГ1 А/Г^1=о
dr\_r dr\ drji и<
Интегрируя его дважды, получаем
Интегрируя еще раз, находим прогиб
B, = —^-CslnT+C3.
(«)
(Ь)
Теперь остается из условий на контуре определить постоянные инте-
грирования. Подставив в уравнение (52) выражение (а), найдем
..........&-+
Рис. 31. . Этот момент должен ока-
заться равным 2И] при г~Ь
и равным М2 при г = в. Поэтому уравнения для определения по-
стоянных С] и С2 будут
О [4(1
д[4(‘+»)—
из которых
г _ 2(д»М,-6W,) ...
1 ’ 2~ (1—v)O(e»~5»)* W
Чтобы определить входящую в уравнение (Ь) постоянную С8, сле-
дует рассмотреть прогибы на. краях пластинки. Предположим, напри-
мер, что изображенная на рис. 31 пластинка свободно оперта по
внешнему контуру. Тогда при г = а прогиб ®> = 0 и из (Ь) находим
_ Cta» ___ а* 1 2 (с!Л1г — Ь2М О
3 4 2(1 v) D (а»— Ь») *
В частном случае, если Л42 = 0, получаем
r _ 2b»Mx _ aWMt
1 (1-Н)£>(в«—6я) ’ С2~ (1 — v)£>(e* —i») ’
с _ a»b»Mt
8"“ 2(1-J-v) £>(«» — b3 * * * * 8) ’
,17) КРУГЛАЯ ПЛАСТИНКА С КРУГЛЫМ ОТВЕРСТИЕМ В ЦЕНТРЕ 75
гм выражения (а) и (Ь) для наклона и прогиба примут вид
;; dw _ аЧЩ Pi1—* „ох
i. dr — D(l—у)(л2—t>») I г "Г" 1-H ‘с*/’ (72)
<га)
\ В качестве второго примера рассмотрим случай изгиба пластинки
перерезывающими силами Q;, равномерно распределенными по вну-
треннему контуру (рис. 32). Пере- .
резываюшая сила, приходящаяся на' **----а—н
^единицу длины окружности радиу- f ..................... I
са z равна у7/777777/777\ I 77777777771^^
w i
т ’ Рис. 32.
где P=2rcfcQ0 означает всю нагрузку, приложенную к внутреннему
краю пластинки. Подставляя это в уравнение (57) и интегрируя,
получаем
dw _ Рг г ,\ С|Г С, ..
я
V—-7, (1пГ — Л — ^7- — СЛп~ + С.. (П
8w \ й / 4 * а ' А ' z
Достоянные интегрирования определятся теперь из граничных усло-
вий. Полагая, что пластинка свободно оперта по наружному кон-
туру, получим
W,.=0. + = ®
Для внутреннего контура пластинки имеем
= 0-)
Подставляя выражения (е) и (f) в уравнения (g) и (Ь). находим
С____
— 4^D \1+*
Г 0+*)Р
2“ (1— у)4яО
(I)
При этих значениях постоянных, по подстановке их в выражения
(е) и (f) мы найдем наклон и прогиб для любой точки пластинки,
СИММЕТРИЧНЫЙ ИЗГИБ КРУГЛОЙ ПЛАСТИНКИ [ГЛ. Ill
изображенной на рис. 32. Для наклона у внутреннего края, который
нам понадобится в дальнейшем изложении, найдем выражение

<i>
В предельном случае, когда b становится бесяонечно малым и
(/»/«) приближается к нулю, постоянные интегрирования прини-
мают следующие значения:
С. = Н7И' С*=<>- C3 = S(‘+|-4^)-
Подставляя эти вначения в выражение (f), получаем
<&=-- . Г- 3+У—fg2----Г2)
чг>— 8г.О [2(14-v) 1 }
(к)
Это значение совпадает с прогибом нагруженной в центре пла-
стинки без отверстия [см. уравнение (89), стр. 84[. Таким образом.
. очень малое отверстие в центре пла-
°] стинки не оказывает на ее прогиб ннка-
Ax. --л кого влияния.
Сочетая нагрузки, представленные на
рис. 31 и 32, мы можем получить реше-
ние для случав пластинки, защемленной
Рис. 33 по внутреннему и равномерно нагружен-
ной по внешнему контуру (рис. 33).
Так как наклон у защемленного края равен нулю, то, воспользовав-
шись выражениями (72) и (j), получим для определения изгибающего
моцента М{ у защемленного контура следующее уравнение:
аЧАМ, Pi1 — ’’ b} —
D(l—v)(a* — bs) \ 6 ' 1+ч * а»)
откуда
^-Ч(1+4 + 1_,][(1-<-‘)+2<1+^1"7]-
(74)
Имея выражение для момента Mt. мы сможем получить действитель-
ный прогиб пластинки, налагая одно на другое оба его значения.
17] КРУГЛАЯ ПЛАСТИНКА С КРУГЛЫМ ОТВЕРСТИЕМ В ЦЕНТРЕ 77
определенные на выражений (73) и (Г). причем постоянные интегри-
розания для последнего даны выражениями (1).
Пользуясь тем же методом наложения, мы можем получить и
решение для случая, показанного на рис. 34, где пластинка опи-
рается по внешнему контуру и несет рзаномерно распределенную
нагрузку. Воспользуемся для этого случая решением, полученным
нами в предыдущем параграфе для пластинки без отверстия в центре.
Если рассмотреть сечение этой пластинки» вырезанное перпендику-
лярно к пластинке цилиндрической поверхностью радиуса Ь, то мы
найдем, что в этом сечении будут действовать перерезывающая
сила Q = = (7^/2 и изгибающий момент [см. уравнение (69)1
интенсивности
Таким образом, для того чтобы получить напряжения и прогибы для
случая, представленного на рис. 34. нам нужно будет на напряже-
ния и прогибы, полученные для пластинки без отверстия, наложить
Рис. 34.
Рис. 35.
напряжения и прогибы, вызываемые изгибающими моментами и пере-
резывающими силами, показанными на рис. 35. Эти последние полу-
чаются ив выражений (72), (73), (е) и (f), если при этом обратить
надлежащее внимание на знаки приложенных перерезывающих сил и
моментов.
Некоторые важные для практики случаи изображены на рис. 36.
Во всех этих случаях максимальное напряжение определяется одной
из формул типа
„д2 fop
°max == ~~jp" или °гаах ~ • (75)
в зависимости от того, распределена ля приложенная нагрузка по
всей поверхности пластинки или только по ее контуру. Численные
вначения коэффициента k. подсчитанные1) для некоторых значений
') Эти подсчеты для случаев 1—8 были произведены Валем и Лобо
(Wahl А. М., Lobo О., Trans. Am Soc. Meeh Eng., т. 52, 1930). С дру-
гими вариантами решений для круглых симметрично нагруженных пластинок
с отверстием или без него можно познакомиться в работе Байера (Beyer К.,
Die Statik ini Stahlbetonbau, 2-е изд., стр. 652, Берлин, 1948).
78 СИММЕТРИЧНЫЙ ИЗГИБ КРУГЛОЙ ПЛАСТИНКИ [ГЛ. пг
отношения а[Ь и для коэффициента Пуассона « = 0,3, приведены
в таблице 3.
Максимальные прогибы для тех же случаев даются формулами
типа
ДГ «™ = ' Р6)
Коэффициенты й3 также приводятся в таблице 3.
Если отношение а]Ь приближается к единице, то значения коэф-
фициентов k и kx в уравнениях (75) и (76) можно будет получить
Рис. 36.
с достаточной точностью, рассматривая радиальную полоску как
балку, условия опирания и загружеиия которой те же, что и в дан-
ной нам пластинке. При этом влиянием моментов 2И1 на изгиб совер-
шенно пренебрегают.
181 КРУГЛАЯ ПЛАСТИНКА. НАГРУЖЕННАЯ КОНЦЕНТРИЧЕСКИ 79
Таблица 3
Коэффициенты ft н входящие в уравнения (75) н (76) для десяти
случаев, представленных на рис. 36
а/Ъ= 1^5 1Д г
сличай к t к. • Ь
1 1,10 0,341 ’ 1,26 0,519 1,48 0.672
2 0,66 0,202 1,19 0,491 2,04 0,902
3 0,135 0,00231 0,410 0,0183 1,04 0,0938
4 0,122 0,00343 0,336 0,0313 0,74 0,1250
5 0,090 0,00077 0,273 0,0062 0,71 0,0329
е 0,115 0,00129 0,220 0,0064 0,405 0,0237
7 0,592 0,184 0,976 0,414 1,440 0,664
8 0,227 0,00510 0,428 0,0249 0,753 0,0877
9 0,194 0,00504 0,320 0,0242 0,454 0,0810
10 0,105 0,00199 0,259 0,0139 0,480 0,0575
суь=- 3 * Б
сличай h fc, к к *
1 1,88 0,734 2,17 0,724 2,34 0,704
2 3,34 1,220 4,30 1,300 5,10 1,310
3 2,15 0^93 2,99 0,448 3,69 0,564
4 1,21 0,291 145 0,417 1,59 0,492
5 1,54 0,110 2,23 0,179 2,80 0,234
6 0,703 0,062 0,933 0,092 1,13 0,114
7 1,880 6,824 2,08 0,830 2,19 0813
8 1,205 0,209 1,514 0,293 1,745 0,350
9 0,673 0,172 1,021 0,217 1^05 0,238
10 0,657 0,130 0,710 0,162 0,730 0,175
18. Круглая пластинка, нагруженная концентрически. Начнем
СО случая свободно опертой пластинки, в которой нагрузка распра-
делена равномерно по окружности радиуса b (рис. 37,-л). Разбив
пластинку, как показано на рис. 37, b и 37, с, на две части, мы
увидим, что внутранняя часть пластинки будет находиться в усло-
виях чистого изгиба, вызааниого равномерно распределенными мо-
ментами и переревызающими силами Qt, Обозначив через Р всю
приложенную нагрузку, мы найдем, что
^ = 2^
(а)
Величина момента 2И, определится из условия непрерывности на
окружности радиуса г=0, из которого следует, что обе части
80 СИММЕТРИЧНЫЙ ИЗГИБ КРУГЛОЙ ПЛАСТИНКИ [ГЛ. тп
пластинки должны иметь па этой окружности один и тот же наклон.
Пользуясь уравнениями (72) и (j) предыдущего параграфа, находим,
что наклон для внутренней границы наружной части пластинки равен
(dt»\ __ а2Ь2М, fl . 1 — v b\ ,
XdFf^b^ £>(! — »)(аа — Ьа) \b l-|-v '&Г'
Внутренняя часть пластинки изогнута по сферической поверхности,
И кривизна которой лается выражением (46).
Поэтому искомый наклон на границе равен
1 | к---1—(dw\ М,1> .
I z I ® k к/ oo+v>‘ (с)
I II I Приравнивая выражения (Ь) и (с), получим
I I Ы -Р<°* -П _ - 1 . а on
4^1 ’ 8ля» 4я
С в) Подставляя это выражение для Mt в
Рис. 37. уравнение (73). получим прогибы наруж-
ной части пластинки, вызванные момента-
ми /Ир прогибы же, вызванные силами Qp получаются из уравне-
ния (f) предыдущего параграфа- Складывая оба эти прогиба вместе,
получим для наружной части пластинки
•!)(1 +4- -rfv • т) 1Л'!+^1" £] рт)
Подставив в Это выражение г = Ь. получим прогиб под нагрузкой
W-»= +|-^- ^)+2"!‘4]- И
Чтобы найти прогибы внутренней части пластинки, прибавим
к прогибу (е) прогибы, вызванные чистым изгибом этой части пла-
стинки. Таким путем получим
»=так-Ч1 +4 • 4+т •
, [(I — y.Pfflt—ь»)
“•"2Z>(l + v) I Я™* 4” 1—
18J КРУГЛАЯ ПЛАСТИНКА, НАГРУЖЕННАЯ КОНЦЕНТРИЧЕСКИ 81
Если контур пластинки защемлен, то прогибы ее получатся путем
наложения на прогибы (77) и (78) прогибов, вызванных изгибающими
моментами М2, разномерно распределенными по контуру пластин-
ки (рис. 38) и такой величины, что наклон изогнутой поверхности
Рис. 38. Рис. 39.
у контура обращается в нуль. Согласно выражению (77) наклон
на контуре свободно опертой пластинки равен
f dw\ _____ Pl аа—Ь*
\dF)T^a~~~^D ’T+V’ а \ W
Наклон, вызванный моментами /И2, равен
(dw \ _ 7ИгА
O(l+v> ' <Й
Приравнивая сумму выражений (f) и (g) нулю, получим
Прогибы, вызванные этим моментом, равны
Л4 г»— р „
чг>— D(14-v)‘ 2 " 8«D(l-|-v) * а3 <Г
Складывая эти прогибы с прогибами (77) и (78), получим для внеш-
него кольца защемленной по контуру пластинки
(79)
и для ее внутренней части
"-^к+^1г|у+^-''г+0‘"1У+д1)]-
с»»
Зная прогибы для случая нагрузки, равномерно распределенной
по концентрической окружности, мы можем теперь, пользуясь мето-
дом наложения, решить любой случай изгиба круглой пластинки,
нагруженной симметрично относительно центра. Рассмотрим, напри-
мер, случай, когда нагрузка равномерно распределена по внутренней
части пластинки, ограниченной окружностью радиусом с (рис. 39).
82 СИММЕТРИЧНЫЙ ИЗГИБ КРУГЛОЙ ПЛАСТИНКИ ггл. ИГ
Выражением (77) (юльзуемся для того, чтобы получить прогиб
в любой точке ненагружеяной части пластинки (а > г > с). Чтобы
получить прогиб, вызванный элементарной нагрузкой, распределенной
по площади кольца радиуса b и шириной db (рис. 39), нам следует
подставить в это выражение Р-=2ъЬд db, где д — интенсивность
равномерно распределенной нагрузки. Интегрируя полученное таким
образом выражение по Ь, получим прогиб
18 =4» /{<“г-^2ПТ5)+г,|П^+
=<Мп4<‘>’-^+'31“£]+
i ?с’Г1пг «2-^1
' 16£> |_ш а 2(1+у) в» J
или, обозначив полную нагрузку кс2^ через Р.
vi = -т/',- (МГ— г’) + 2г31п- + с! Г1п - — .
16«D ( 1 -|- v ' 7 1 а г [ а 2 (14- v) as J (
, (81)
Выражением (78) пользуемся для того, чтобы получить прогиб
в центре. Подставив в это выражение г = 0 и P~2wbg и проинте-
грировав, найдем '
= + <82>
где Р—тиРд.
Максимальный изгибающий момент получается в центре и нахо-
дится с помощью выражения (d). Подставив в это выражение 2nbqdb
вместо Р и проинтегрировав, найдем
>4™, = ?° ~ ^г2'1°4)8‘а=
=£[<’ +’»4г+>—^т^]- <8»
где, как и раньше, Р обозначает полную нагрузку тгс2^*).
*) Это выражение применимо лишь в тех случаях, когда с по крайней
мере в несколько раз больше толщины h. Случай весьма малого с разби-
рается в § 19,
1В] КРУГЛАЯ ПЛАСТИНКА. НАГРУЖЕННАЯ КОНЦЕНТРИЧЕСКИ 83
Выражением (81) пользуемся для того, чтобы найти изгибаю-
щие моменты Мт и Mt в любой точке ненагруженной наружной части
пластинки. Подставив это выражение в обшие формулы (52) и (53),
найдем
<и>
‘86>
Максимальные значения этих моментов получаются на окружности
радиуса г = с, где
<86)
«,= £[<1+»).п|+1-,]-<'-^+^' <87,
Тот же самый метод вычисления прогибов и моментов может быть
использован для любого случая симметричного нагружения круглой
пластинки.
Прогиб в центре пластинки может быть легко вычислен также и
для любого вида несимметричной нагрузки на основе следующего
соображения.
Вследствие полной симметрии как самой пластинки, так и гра-
ничных условий, прогиб, вызванный в ее центре сосредоточенной на-
грузкой Р, зависит лишь от величины нагрузки и от ее радиального
расстояния от центра. Этот прогиб не изменится, если нагрузку Р
переместить в любое иное положение, лишь бы радиальное расстоя-
ние её от центра осталось при этом прежним. Прогиб, следовательно,
не изменится, если нагрузку Р заменить несколькими нагрузками,
сумма которых равна Р, а радиальные расстояния которых те же
самые, что и для нагрузки Р. Из этого следует, что при вычислении
прогиба пластинки в центре мы вправе заменить сосредоточенную
нагрузку Р нагрузкой Р, равномерно распределенной по окружности
радиуса, равного радиальному расстоянию данной нам сосредоточен-
ной нагрузки. Для нагрузки, равномерно распределенной по окруж-
ности радиусом Ь, прогиб в центре пластинки, опертой по краям,
дается уравнением (78) и равен
Эта формула указывает значение прогиба пластинки в ее центре,
вызванного сосредоточенной нагрузкой Р. приложенной на расстоя-
нии b от центра пластинки. Располагая этой формулой, мы получаем
Й СИММЕТРИЧНЫЙ ИЗГИБ КРУГЛОЙ ПЛАСТИНКИ (ГЛ. П1
возможность, пользуясь методом наложенияJ), определять прогиб
в центре для любого иного вида загружения. Следует заметить, что
прогибы и напряжения в круглой пластиике с отверстием или без
него могут быть значительно снижены путем армирования пластинки
концентрическими2) или радиальными ребрами. В последнем случае»
однако, распределение напряжений уже перестает быть симметричным
относительно центра пластинки.
18. Круглая пластинка, нагруженная в центре. Решение для
сосредоточенной нагрузки, приложенной в центре пластинки, может
быть получено из выкладок предыдущего параграфа, если положить,
что радиус круга, внутри которого распределяется нагрузка, стано-
вится бесконечно малым, в то время как величина полной нагрузки Р
сохраняет заданное конечное значение. В соответствии с этим допу-
щением и согласно уравнению (82) максимальный прогиб в центре
свободно опертой пластинки будет равен
_ (3-Н) A»* ,RR.
«'«пи— i6„(jfZp;)£) •
Прогиб в некоторой точке пластинки на расстоянии г от центра
по уравнению (81) получится
«=тет[Ш(о1!-г2)+2Л<У (89>
Изгибающий момент для точек при с > с мы найдем, если прене-
брежем членами, содержащими с2, в уравнениях (84) и (85). Это нам
даст
л,г = ^<| + ‘)>"7. <Я»
M,= {'[(l + >)luy + l —»]. (9«>
Чтобы получить формулы для круглой пластинки, защемленной
по контуру, продифференцируем уравнение (89) и найдем для наклона
на краю свободно опертой пластинки
(dw\ Ра .
I dr ),.а — 4(1 + v).D ‘ W
*) Этот метод вычисления прогибов в центре пластинки выл указан
Сен-Венаном в его переводе: «Теория упругости твердых тел» Клебша,
1стр. 363, Париж, 1883. К результату (i) можно прийти также путем примене-
ния для круглой пластинки теоремы взаимности Максвелла.
®) Этот случай был исследован Нешем (Nash W. A., J. Appl. Meeh.,
т. 15, стр. 25. 1948), см. также Biezeno С. В., С ram me 1 R., Technische
Dynamik, 2-е изд., т. 1, сгр. 497, 1953 (имеется русский перевод с 1-го изда-
ния: Б м ц е н о К. Б., Грам мель Р., Техническая динамика, т. 1, стр. 649,
Гостехиздат, 1950. — Пром. ред.}.
7Я] КРУГЛАЯ ПЛАСТИНКА, НАГРУЖЁННАЯ В ЦЕНТРЕ 85
Изгибающие моменты М2, равномерно распределенные по защемлен-
ному контуру (рис. 40), вызовут изгиб пластинки по сферической
поверхности, радиус которой дается уравнением (46), а соответствую-
щий наклон на крае равен
Пользуясь выражениями (а) и (Ь), запишем условие, требующее,
чтобы на защемленном контуре наклон обращался в нуль; оно даст
нам
Прогибы по уравнению (h) предыдущего параграфа, вызванные мо-
ментами Z42, окажутся равными
Р
Налагав эти прогибы на прогибы свободно отертой пластинки из
уравнения (89). получим следующее выражение для прогибов защем-
ленной пластинки при загружении
ее в центре;
<92>
Складывая уравнение (с) с уравне- Рис. 40.
киями (90) и (91) для свободно опер-
той пластинки, получим следующие уравнения для изгибающего мо-
мента в любой точке, расположенной не очень близко к точке при-
ложения нагрузки:
«. = £[(!+.)1»^—1]. <93)
= [(|+,)|п7 —']• (94>
С приближением г к нулю выражения (90). (91), (93) и (94) стре-
мятся к бесконечности и потому становятся непригодными для вы-
числения изгибающих моментов. Сверх того, допущения, являющиеся
основой для элементарной теории изгиба круглой пластинки, теряют
силу в непосредственной близости к точке приложения сосредоточен-
ной силы. С уменьшением радиуса с круга, по которому распреде-
лена нагрузка Р, интенсивность P/vc2 давления увеличивается так,
что пренебрегать ею в сравнении с напряжениями изгиба, как это
делалось в элементарной теории, становится уже недопустимым. Каса-
тельные напряжения, которыми упрощениав теория точно так же
8$
симметричный изгиб круглой пластинки
ггл. in
пренебрегала, равным обравом беспредельно возрастают с приближени-
ем с к нулю, поскольку при этом стремится к нулю цилиндрическая
поверхность по которой распределена перерезывающая сила Р.
Отвлекаясь от допущений, на которых основывается элементарная тео-
рия, мы можем получить распределение напряжений близ точки приложения
нагрузки, если будем рассматривать эту часть пластинки как тело, все три
измерения которого суть величины одного
и того же порядка. С этой целью предста-
вим себе, что центральная нагруженная
часть отделена, как показано иа рис. 41,
от ее ненагруженной часта цилиндрической
поверхностью, радиус b которой в несколь-
ко раз больше толщины h пластинки.
Можно принять, что элементарная теория
изгиба достаточно точна на расстоянии Ъ
от точки приложения нагрузки Р и что
соответствующие напряжения могут быть
вычислены посредством уравнений (90). Таким образом, задача о распре-
делении напряжений около центра пластинки сводится к задаче о сим-
метричном распределении напряжений в круглом цилиндре высотой h, ра-
вней нагрузки Р, распределенной
по малому кругу радиуса с, и
реакции, приложенных по его бо-
ковой поверхности *), Решение
этой задачи показывает, что мак-
симальное сжимающее навряже-
ние в центре Л верхней поверх-
ности пластинки может быть вы-
ражено следующей.приближевной
формулой 2):
где cj — нкачеияе сжимающего
напряжения при изгибе3), указы-
ваемое приближенной теорией, например уравнением (83) для случая сво-
}одно опертой пластинки, а а— численный коэффициент, зависящий от 2е/Л,
г. е. от отношения диаметра нагруженной площади к толщине пластинки,
। 1) Некоторые примеры симметричного распределения напряжений рас-
матриваются в книге Timoshenko S, Ooodier J., Theory of Elasticity,
!-e изд., стр. 384, 1951 (имеется русский перевод с первого издании: Th-
io шен ко С. П., Теория упругости, стр. 339, ОНТИ, 1934.— Прим, ред.),
Случай, изображенный на рис. 41, был исследован А, Падай, см. его книгу
[Упругие пластинки» (Elaatische Flatten, стр. 308), а также Войновским-Кри-
ером (S. Woinowsky-Krleger). Приведенные здесь результаты заимствованы
з статьи С. Войновского-Кригера в Ingenieur-Archiv, т. 4, стр. 305, 1933.
Если с весьма мало, то сжимающее напряжение Р[пс* становится
бльшим, чем ошах. Даваемое уравнением (95) (см. рис. 43).
I з) Эта величина должна быть введена в уравнение (95) с отрицатель-
ым зааком.
КРУГЛАЯ .ПЛАСТИНКА, НАГРУЖЕННАЯ В ЦЕНТРЕ
87
Несколько значений этого коэффициента приводится в таблице 4. Изменения
его в зависимости от отношения 2 с/А показаны также на рис. 42. Когда с при-
ближается к нулю, вычисленное по уравнению (95) напряжение приближается
к бесконечности.
Таблица 4
Значения коэффициента а в уравнении (95)
2с/Л 0,10 0,25 0.50 0.75 1.00 1,50 2,00 2,50
а 0,0106 0,0466 0,1234 0,200 0,263 0,348 0,386 од»
Максимальное растягивающее напряжение имеет место в В, т. е. в центре
нижней поверхности пластинки рис. 41. Когда с весьма мало, т. е. в случае
сильной концентрации нагрузки, это растягивающее напряжение практически
не азвисит от отношения 2с/Л и для свободно опертой пластинки опре-
деляется следующей приближенной формулой1):
‘«пах [(1 + ') (М85+0.52) + 0.4в]. (95)
Где а — внешний радиус.
Чтобы получить сжимающие напряжения вг и at в центре верхней по-
верхности защемленной но контуру пластинки, мы должны учесть действие
моментов Af* =—P/4it и для этого уменьшить значение сжимающего на-
пряжения 41 в уравнении (95) на
величину, равную
(<J)
Максимальное растягивающее на-
пряжение в центре нижней поверх-
ности Защемленной по контуру
аластинки при резкой концентра-
ции нагрузки (с = 0) находится
путем вычитания уравнения (б)
мз уравнения (95). Оно равно
°шах —
-Й(1+')(0'485|"т+с-Е2) <97>
Рис. 43.
Распределение напряжений в толстой защемленной по контуру круглой
пластинке (Л/с =0,4) с защемленными краями ноказано на рис. 43. Эти напря-
жения вычислены для с—ОДа и v = 0,3. Максимальное сжимающее напря-
жение а2 в направлении, нормальном к горизонтальным поверхностям пла-
стинки, получвется в этом случае .большим, чем максимальноэ сжимающее
напряжение при изгибе, определенное уравнением (95). Максимальное растя-
гивающее напряжение находится из уравнения (97). Оно меньше, чем рас-
.тягивающее напряжение, находимое из элементарной теория изгиба. Изме-
нения последнего по ширине пазстинки показаны на чертеже пунктирной
*) См. статью Войновского-Кригера, цвт. на стр. 86.
[ГЛ, пт
88 СИММЕТРИЧНЫЙ ИЗГИБ КРУГЛОЙ ПЛАСТИНКИ
линией. Вычисляется оно из уравнения для изгибающего момента

(98)
[полученного в результате суммирования момента Мя = — Р/4^ с моментом
по уравнению (83).
При определении безопасных размеров круглой пластинки, нагруженной
в центре, мы можем обычно ограничить наши исследования вычислением
максимального растягивающего напряжения при изгибе ва нижней поверх-
ности пластинки с помощью уравнений (96) и (97). Хотя в случае сильной
концентрации нагрузки сжимающие напряжения в -верхней части пластинки
могут оказаться во много раз большими, чем растягивающие напряжения
внизу, они, однако, не представляют непосредственной опасности в силу
своего в высшей степени локализированного характера. Местная текучесть
в случае пластичного материала не окажет никакого влияния на деформации
пластинки в целом, если только растягивающие напряжения внизу пластнияи
останутся в безопасных пределах. Прочность хрупких материалов на сжатие
бывает обычно но много раз больше, чем их прочность на растяжение; Но-
ртону в случае, если растягивающее напряжение ипвзу будет оставаться
в безопасных пределах, то и пластинка из такого материала точно так же
будет в безопасности.
-Если мы хотим дать точное описание явления изгиба пластинки, нам
нужно будет учесть также и местное перераспределение напряжений и де-
формаций, вызываемое сосре-
доточенной нагрузкой близ то'ч-
Z к и ее приложения. Это пере-
распределение распространя-
ется в основном ин цилиндри-
ческую область, радиус которой
несколько больше h, так что
влияние его на общий изгиб
приобретает практическую важ-
ность лишь в том случае, если
толщина пластинки не очень
мала в сравнении с ее радиу-
сом. Для примера на р«с. 44
показаны прогибы круглой пла-
стинки, защемленной ио кон-
туру. под сосредоточенной в
Рис. 44.
Центре нагрузкой, при отношении толщины к радиусу Л/о, равном 0,2; 04
0,6’). Прогиб, получающийся из злемеитарной теории [уравнение (94)],
(оказан прерывистой линией. Мы видим, что расхождение между злемеитар-
:ой теорией и точным решением быстро уменьшается по мере уменьше-
ия отношения ti/a. В следующем параграфе мы покажем, что это расхож-
дение обусловлено главным образом действием перерезывающих сил, совер-
шенно не учитываемых в элементарной теории.
20. Поправки к элементарной теории симметричного изгиба
[руглой пластинки. Соотношения (37) и (38) между изгибающими
моментами и кривизнами, выведенные для случая чистого изгиба, были
;ами использованы в качестве основы для регцения различных задач
симметричном изгибе круглых пластинок. При этом мы не учиты-
I ) Кривые на рис. 44 представляют собой результаты точного решения
5ойновского-Кригера в статье, цит. иа стр. 86.
SO] ПОПРАВКИ К ЭЛЕМЕНТАРНОЙ ТЕОРИИ СИММЕТРИЧНОГО ИЗГИБА 89
вали того влияния, которое оказывают на изгиб касательные напря-
жения, а также нормальное сжатие в плоскостях, параллельных по-
верхностям пластинки. Поэтому точными наши решения и оказались
лишь в двух случаях, а именно: 1) для изгиба пластинки по сфери-
ческой поверхности и 2) для кольцевой пластинки, загруженной мо-
ментами, равномерно распределенными по внутреннему и внешнему
контурам (рис. 31). Во всех остальных рассмотренных нами случаях
выведенные формулы являются приближенными, и точность их за-
висит от отношения толщины пластинки к внешнему радиусу. Эти
приближенные формулы могут быть, однако, уточнены, если в них
ввести поправки с приближенным учетом влияния, оказываемого на
прогибы касательными напряжениями и поперечным давлением *).
Рассмотрим сначала круглую пластинку без отверстия, опертую
по контуру и равномерно нагруженную. Перерезывающая сила Q на
единицу длины дуги вдоль окружности радиуса г выразится как
Q=^qr.
Из точного решения для пластинок, толщина которых не предпола-
гается малой 8), известно, что касательные напряжения тгг изменяются
по толщине пластинки согласно параболическому закону точно так же,
как и в балках узкого прямоугольного поперечного сечения. Поэтому
максимальное касательное напряжение приходится на срединную по-
верхность пластинки, и величина его получается равной
z •. 3 gT / \
\т«*пгах2 2h * w
Соответствующая деформация сдвига составит
где Wi—дополнительный прогиб срединной поверхности пластинки,
произведенный касательными напряжениями. Интегрирование даст для
*) Начало точной теории пластинки было положено Сен-Венаном в его
переводе книги Клебша «Теория упругости твердых тел», стр. 337. Ценный
критический разбор этой книги приводится у Тодхэнтера и Пирсона в их
«Истории теории упругости» (Т о d h u n 1 e г 1., Pearson К., History of the
Theory of Elasticity, т. II, ч. I, стр. 217). Дальнейшим своим развитием теория
обязана Мичелу (Michell J. Н., Proc. London Math. Soc., т.31, стр. 100,1900)
и Ливу (Love А. Е. Н., Mathematical Theory of Elasticity, 4-е изд., стр. 465),
имеется русский перевод: Математическая теория упругости, стр. 474, ОНТИ,
1935. Библиографический указатель новой литературы по этому предмету
приводится в статье Войновского-Кригера (Woinowsky-Krieger, Inge-
nleur-Archiv, т. 4. стр. 203, 1933). Несколько примеров точной теории дается
ниже, в § 26, см. стр. 116.
2) Timoshenko, Goodie г, op. cit., стр. 351 (см. Ткмсшенко С. П,,
Теория упругости, стр. 345. — Прим. ред.}.
go СИММЕТРИЧНЫЙ ИЗГИБ круглой ПЛАСТИНКИ 1ГЛ. нт
прогибов, вызванных касательными напряжениями, следующее зна-
чение:
®i=4 ifcf0’—'*> W
а в центре пластинки
(«,1)ив = 4'&- <d>
Действующее на пластинку поперечное давление вызовет отрица-
тельную кривизну с выпуклостью вверх подобно тому, как это имеет
место в равномерно нагруженной балке1). Давление д на единицу
площади вызовет на верхней поверхности пластинки радиальное
удлинение vj/E. В срединной поверхности пластинки это удлинение
будет равно vq}2E, на нижней же оно обращается в нуль. Полагая,
ато здесь имеет силу линейный закон, мы сможем найти прнближен-
Г значение радиуса кривизны R из уравнения
уд __ h
2E~"2R'
пкуда
I _ *9
2R~2hE'
Этрнцательный же прогиб будет равен
(е)
Складывая уравнения (с) и (е) с уравнением (67), мы найдем более
ючное выражение для прогиба
“ = Un
! центре пластинки этот прогиб принимает значение
да1 /54-» . 4 34» Лг\
о’“«==то'(ттт+а',т??’тг)- ®
торой член в уравнении (I) представляет собой поправку на каса-
гльные напряжения и поперечное давление. Как видно, эти поправки
алы, если отношение толщины пластинки к ее радиусу мало. Зна-
ение этой попраяки, получаемое из точного решения, равно2)
да* 2 8+v-f-vs Л2
640'5 " 1—»4 * а8 ’
(g)
’) См. там же, стр. 53.
2) См, Лав А., Математическая теория упругости, стр. 509, ОНТИ, 1935.
20] ПОПРАВКИ К ЭЛЕМЕНТАРНОЙ теории симметричного изгиба 91
Для v = 0,3 точное значение приблизительно на 20% меньше, чем
определенное уравнением (f).
В равномерно нагруженной круглой пластинке, защемленной по
контуру, отрицательных прогибов tw2, производимых давлением, воз-
никнуть не может, и потому здесь нужно принять во внимание лишь
прогиб обусловленный касательными напряжениями. Прибавляя
этот прогиб к правой части уравнения (62), получим более точное
вначенне прогиба
”=бИг[<“г-'',)1+т^т<‘"!-г2>]- <h>
Интересно отметить, что это значение совпадает с точным реше-
нием ’).
Рассмотрим теперь прогибы, производимые касательными напря-
жениями в кольцевой пластинке, нагруженной перерезывающими си-
лами, равномерно распределенными по внутреннему краю пластинки,
как покавано на рис. 32. Максимальное касательное напряжение на
расстоянии г от центра раяно
, \ — 3 Р
VWmax 2 2хгЛ ’
где Р обозначает полную перерезывающую нагрузку. Соответствен-
ная деформация сдвига*)
Интегрируя, получим для прогиба, вызванного сдвигом,
3 D . а Ph* * , а
*\=-4 ДГ7 = 8.(1 -.>Я |Г 7 • ®
Этот прогиб следует прибавить к правой части уравнения (к)
(стр. 76), чтобы получить более точное значение прогиба пластинки,
показанной на рис. 32. Если радиус Ь отверстия весьма мал, выра-
жение полного прогиба примет вид
” = BiF [ 2 (1*47) — '’ЭЧ- r’ln z] + ln 7 • *k>
Прогиб на контуре отверстия
Ра* ( 3-1-v . 1 h* , т
sSF Г2(П7)-+ |7,'71п т)- <>>
Второй член в этом выражении представляет собой поправку на
влияние перерезывающей силы. По -мере приближения b к нулю она
) См. там же.
*) Если пластинка без отверстия, правую часть уравнения (i) следует
умножить на (1—№) в соответствии с приводимым ниже результатом (t).
92 СИММЕТРИЧНЫЙ ИЗГИБ КРУГЛОЙ ПЛАСТИНКИ [ГЛ. III
неограниченно возрастает в силу нашего допущения, что нагрузка Р
сохраняет всегда конечное значение. Таким образом, когда b при-
ближается к нулю, соответствующее касательное напряжение и де-
формация сдвига становятся бесконечно большими.
Поправочный член в уравнении (1), отражающий влияние сдвига, непри-
меним к случаю пластинки без отверстия. Поправка для пластинки без отвер-
стия, как можно ожидать, должна быть несколько меньшей, вследствие рас-
кланпвающего действия сосредоточенной нагрузки Р, приложенной в центре
верхней поверхности пластинки. Представим себе, что центральная часть пла-
Рис. 45.
стипки, выделенная цилиндрическим сечением
малого радиуса Ь, удалена и что действие ее иа
остальную часть пластинки ваменено вертикаль-
ными перерезывающими силами, эквивалентны-
ми Р, и радиальными силами S, отражающими
расклинивающее действие нагрузки, и распреде-
ленными по верхнему краю пластинки, как по-
казано на рис. 45. Очевидно, последние силы
производят растяжение срединной поверхности
пластинки и одновременно с этим некоторый выгиб
ее вверх. Это указывает на до, что в применении
к случаю пластинки без отверстия поправочный член в уравнении (к) должен
быть уменьшен. Чтобы получить представление о величине радиальных сил S,
рассмотрим пластинку в двух условиях загружения, показанных на рис. 46.
в первом случае пластияка сжата двумя равными и противоположно на-
правленными силами Р, действующими по оси симметрии z. Во втором слу-
чае пластинка подвергнута равномерному сжатию в ее плоскости давлением р,
aj bj
Рис. 46,
равномерно распределенным по ограничивающей пластинку цилиндрической
поверхности. Вследствие поперечного расширения это сжатие приведет
к увеличению толщины пластинки на величину
Из этого выражения мы можем теперь получить приращение Аг радиуса г
пластинки под действием сил Р (рис. 46, а), применив для этой цели теорему
о взаимности к диум условиям нагрузки, показанным на рис. 46. Это дает
откуда
Р Mi = 2nrhp hr.
(ш)
Сравним это радиальное расширение с радиальным расширением, вызы-
ваемым в цилиндре с толстыми стенками внутренним давлением р,. Если
50] ПОПРАВКИ К ЭЛЕМЕНТАРНОЙ ТЕОРИИ СИММЕТРИЧНОГО ИЗГИБА S3
ипутренний радиус b цилиндра весьма мал в сравнении с его внешним ра-
диусом г, то приращение атого наружного радиуса согласно формуле Ламе
бда,) 1+,
-------- <">
Сравнив выражения (ш) и (п), заключаем, что радиальное расширение, вы-
зываемое в пластинке силами Р (рис. 46, с), имеет ту же величину, что и
радиальное расширение, вызываемое в пластинке с малым цилиндрическим
отверстием в центре (рис, 45) внутренним давлением рр величина которого
задана уравнением
2vP _ 14-т
£2т.г Е г *
Отсюда получаем
* (о>
Возвращаясь к случаю сосредоточенной силы, приложенной в центре
верхней поверхности пластинки, действие которой изображено на рис. 45,
заключаем, что сила S на единицу длины окружности отверстия должна
быть равна давлению p^i/2. Воспользовавшись значением р{ из уравнения (о),
получим
Эти силы, приложенные к верхней поверхности пластинки, производят
прогибы te'i вверх. Величина последних определится при подстановке
„ Sh vph?
—-2~~
в уравнение (73); если мы пренебрежем Ь1, малым в .сравнении с в2, то
найдем
vPft2 «s — rs vP/i8 а
Wl ” “ (1v)4 Г>’-----4(1-4»)«D ,П7’
(Р)
Прибавляя ето к выражению (к), получим следующую, более точную фор-
мулу для прогиба пластинки без отверстия, несущей нагрузку Р, сосредо-
точенную в центре верхней поверхности пластинки
, Ph* а '•Ph* а9—г*
+ g»(14-v)£> г 8« (1 -Н)« £> а5 ’ w
Этим уравнением можно пользоваться для вычисления прогиба во всех
точках пластинки, не очень близких к точке приложения нагрузки. Если
г—величина того же порядка, что и толщина пластинки, то уравнение (<?)
теряет силу; для того чтобы получить удовлетиорительное решение, здесь
потребуется, как было разъяснено в предыдущем параграфе, рассмотреть
*) См. Тимошенко С. П., Сопротивление материалов, ч. И.
94 СИММЕТРИЧНЫЙ ИЗГИБ КРУГЛОЙ ПЛАСТИНКИ [ГЛ. III
центральную часть пластинки. Приближенное значение прогиба центральной
части мы можем получить, рассматривая ее как пластинку малого радиуса
и прибавляя прогиб, вызванный местным перераспределением напряжений
близ точки приложения нагрузки, к прогибу, находимому в элементарной
теории *). Прогиб, вызванный местным перераспределением напряжений близ
центра, иесьма мало зависит от контурных условий пластинки н потому
может быть приближенно оценен с помощью крввых рис. 44. Пунктир-
ная кривая на этом чертеже получена из уравнения (92). Дополнительные
прогибы, вызванные местным перераспределением напряжений, равны
разностям между ординатами кривых, нанесенных сплошной и пунктирной
линиями.
В качестве примера рассмотрим пластнняу, у которой радиус внутрен-
ней части равен Ъ = 5п. Прогиб внутренней части, подсчитанный вв уравне-
ния (92) и принятый за единицу на рис. 44, равен
рю Р
•.’иг»*
Воспользовавшись кривой h/a=0,2 рис. 44, находим дополнительный про-
гиб, вызванный местным перераспределением навряжений,
». = 0.21»1=0.211^в-(5Л)-. (г)
Рассматривая пластинку, для которой b = 2,5h, и применив кривую h[a — 0,4
из рис. 44, получим
(Ч
значение, которое лишь слегка отличается от найденного в выражении (г)
для b = 5h. Брать для b значения меньшие, чем 2.5А, будет уже не сов-
сем допустимо, ибо при малых радиусах граничные условия толстой пла-
стинки начинают играть большую роль, и вычисленные для азщемленного
края кривые рис. 44 могут окапаться для этого случая недостаточно
точными.
Таким образом, чтобы получить прогиб пластинки под нагрузкой, мы
поступаем следующим образом: вычисляем прогиб из уравнения (q), положив
в первом члене г —О, а в двух следующих членах r=j = 2,5A; к этому
прогибу прибавляем прогиб центральной части пластинки, являющийся резуль-
татом влияния перерезывающих сил и определяемый из формулы (в).
В частном случае №0,3 прогибы для свободно опертой круглой пла-
стинки можно определить также простым наложением кривых, нанесенных ®)
на рнс. 44, и значения прогиба
Р(в!—г8)
8кР(1-Н) •
соответствующего чистому изгибу пластинки радиальными моментами Р/4я,
приложенными по ее контуру.
Следует азметить также, что при малых значениях отношения г/а влия-
ние перерезывающей силы Р12т.г на прогиб отражается преимущественно»
1) В рассматриваемом случае этот прогиб можно вычислять, пользуясь
вервым членом в выражении (q), подставив в него b вместо а.
2) На рис. 44 ЭТО сделано дла v == 0,3,
2о] поправки к элементарной теории Симметричного изгиба 95
вторым членом правой части уравнения (q). Этому члену соответствует
наклон
___3 1—Р й.
dr ~ T1TV 2адАО * w
Сопоставляя этот результат с выражением (1), заключаем, что коэф-
фициент
*’W' <“>
вводимый здесь в (i) вместо Ь =. —, дает более точное значение деформации
' сдвига для случаи пластинки без отверстия.
Все вышеприведенные выкладки применимы лишь к круглым пластинкам,
прогибающимся по поверхности вращения. Ниже, в §§ 26 в 39 излагается
более общая теория изгиба, учитывающая влияние перерезывающих сил на
деформацию иластмнки.
ГЛАВА IV
МАЛЫЕ ПРОГИБЫ ПОПЕРЕЧНО НАГРУЖЕННОЙ ПЛАСТИНКИ
21. Дифференциальное уравнение изогнутой поверхности.
Положим, что действующая на пластинку нагрузка нормальна к ее
поверхности и что прогибы пластинки в сравнении с толщиной малы
(см. § 13). В качестве граничных условий примем, что края пла-
стинки могут свободно смещаться в ’плоскости пластинки и что
в связи с этим опорные
реакции на краях должны
быть нормальны к пластин-
ке. При этих допущениях
мы вправе пренебречь всякой
имеющей место при изгибе
деформацией в срединной
плоскости пластинки. Рас-
положив, как и прежде (см.
§ 10), координатные оси х
Рис. 47.
и у в срединной плоскости пластинки, ось же z направив перпенди-
кулярно к этой плоскости, рассмотрим элемент, вырезанный из пла-
стинки, как показано на рис. 47, двумя парами плоскостей, парал-
лельных плоскостям xz и уд. Кроме цзгибающих моментов А1х и AL и
крутящих моментов полученных нами при исследовании чистого
изгиба пластинки (см. § 10), в данном случае у нас будут еще верти-
кальные перерезывающие силы *). приложенные по боковым граням эле-
мента; значения их на единицу длины в направлениях, параллельных
осям у и х, мы обозначим соответственно через Qx и Qv, так что
л 1L
~2 2
«,= Q,= W
h h
~2 ~2
•) Здесь не будет ни горизонтальных касательных усилий, ии усилий,
нормальных к боковым граням элемента, поскольку мы пренебрегаем дефор-
мацией срединной плоскости.
2Ц ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ УРАВНЕНИЕ ИЗОГНУТОЙ ПОВЕРХНОСТИ 97
Так как моменты и перерезывающие силы являются функциями
координат х и у, то при исследовании условий равновесия элемента
мы должны будем принять во внимание малые изменения этих вели-
чин. обусловленные изменениями координат х и у на малые вели-
чины dx и dy. Срединная плоскость элемента представлена на
рис. 48, а и 48, Ъ, где указаны те направления сил и моментов, кото-
рые принимаются положи-
тельными.
Нам следует рассмотреть
действие нагрузки, распре-
деленной по верхней поверх-
ности пластинки. Интенсив-
ность этой нагрузки обо-
значим через q, так что
нагрузка, действующая на
элемент поверхности ’), бу-
дет равна qdxdy.
Проектируя все прило-
женные к элементу силы на
ось z, получим следующее
уравнение равновесия:
&Q* а I а а ।
-f- qdxdy — О,
ид, которого
'dQx i>Qv
-аг+-^+9=о. <")
Рис, 48.
Взяв моменты от всех действующих на элемент сил относительно
оси х, получим другое уравнение равновесия
дМ.,, дМ„
. ~§^~dx dy —d*+Qy dx dy == О- Ф)
Моментом нагрузки q и моментом, возникающим вследствие изме-
нения силы Qy, мы в этом уравнении пренебрегаем ввиду того, что
они представляют собой величины более высокого порядка малости.
') Поскольку компонентом напряжения с2 здесь пренебретаетси, мы не
можем в действительности прилагать нагрузку нм по верхней, ни по нижней
поверхности пластинки. Любая рассматриваемая в теории тонких пластинок
поперечная сосредоточенная нагрузка отвечает лишь разрыву в величине
перерезывающих сил, изменяющихся по толще пластинки по параболиче-
скому закону. Точно так же в величину нагрузки q без ущерба для точности
результата можно включить и вес самой пластинки. Если вопросу о влиянии
нагружения по поверхности приписывается в задаче специальное значение,
необходимо применять теорию толстых пластинок (см. § 19).
4 Г.. П Тямпшлпко. С. ВоВиовский KtiUrcD
98 МАЛЫЕ ПРОГИБЫ ПОПЕРЕЧНО НАГРУЖЕННОЙ ПЛАСТИНКИ |ГЛ IV
чем те, которые мы рассматриваем. По упрощении уравнение (Ь)
принимает вид
-a^-V+°>=o.
и
Точно таким же образом, взяв моменты относительно оси у, получим
(<0
Так как в направлениях х и у сил нет, а относительно оси z
нет моментов, то три уравнения (99), (с) и (d) полностью опреде-
ляют равновесие элемента. Исключим из этих уравнении перерезы-
вающие силы Qx и Qy, определив их из уравнений (с) и (d) и про-
изведя подстановку их значений в уравнение (99). Таким путем
получим
d»Afr &Мух d2Aly дгМлу _
дхду '’“’dp дх~ду~—',г'

Заметив, что МуХ =— Мху, вследствие' того, что тХу = СуЖ, пред-
ставим уравнение равновесия (е) окончательно в такой форме:
Для того чтобы представить это уравнение как функцию проги-
бов w пластинки, сделаем допущение, что выражения (41) и (43),
выведенные для случая чистого изгиба, сохраняют силу также и
в случае поперечно нагруженной пластинки. Сделать такое допуще-
ние—значит пренебречь влиянием на изгиб перерезывающих сил Qx
и Qy и сжимающего напряжения ах, вызванного нагрузкой q. Мы уже
прибегали к этому приему в предыдущей главе и убедились, что
погрешность в полученных таким путем прогибах мала, если только
толщина пластинки мвла н сравнении с другими ее размерами в ее
плоскости.' Дальнейшие соображения по этому вопросу будут при-
ведены в § 26 при исследовании нескольких примеров точных реше-
ний задач на изгиб пластинок.
Переходя от примененных нами в уравнениях (41) и (43) напра-
влений п и t к направлениям х и у, получим

Jan ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ УРАВНЕНИЕ ИЗОГНУТОЙ ПОВЕРХНОСТИ 99
Подставляя эти выражения в уравнение (100), найдем1)
й4ш . п й4ш , й4о> а . „
+ (|03>
Это последнее уравнение можно записать также в символической
-форме
ДДет=-^, (104)
‘где
. &*w . d2w _е
4"=-л?+-3?- <'<»)
Мы видим, что задача об изгибе пластинки поперечной нагруз-
.-Ж0й q сводится к интегрированию уравнения (103). Если для какого-
либо частного случая решение этого уравнения найдено и оно удо-
.влетворяет условиям на краях пластинки, то изгибающий и крутящий
моменты могут быть вычислены из уравнений (100) и (102). Соот-
ветствующие нормальные и касательные напряжения находятся из
уравнения (44) и выражения
(тлу)зпах — Д2 ’
Уравнениями (с) и (d) воспользуемся для определения перерезывающих
Сил Q* и Qy; онн дают нам
dMVJC дМх _ d / d2w d2w\
<5'=т)£+^ =“ZJ’3i№+lp)' (106>
дМ.. дМ~. _ д / дга> <Ра>\
^-=—Ц-----------<ЬГ=~41 (“Л?+ >!?)• '107>
или в символической форме
q.=-d-^^«>-). <г,=—(к»)
Теперь можно определить и касательные напряжения тХ2 и ъ ,
предположив, что они распределены по толщине пластинки по плра-
’) Это уравнение было получено Лагранжей в 1811 г., когда он рас-
сматривал доклад представленный во Французскую Академию наук Софией
Жермен. Об обстоятельствах, связанных с выводом этого уравнения, рас-
сказывается в «Истории теории упругости» Тодхзнтера и Пирсона (Tod-
hnnler 1„ Pearson К., History от the Theory ol Elasticity, т. I, стр. 147,
247, 348 и т. II, я. 1, сто. 263). См. также замечание Сен-Венана к § 73
французского перевода «Теория упругости твердых тел* Клебша, Париж,
1883, и в книге Тимошенко С. ГТ.. История науки о сопротивлении мате-
риалов, Москва, 1959, стр. 147. —Прим. пер.
4»
16о МАЛЫЕ ПРОГИБЫ ПОПЕРЕЧНО НАГРУЖЕННОЙ ПЛАСТИНКИ [ГЛ. IV
болическому закону1). Тогда
3 <?л 3 Ру
(т e.On.as =^=“2^ h • (Xyz)raax =s "2 “ft” *
Мы видим, таким образом, что напряжения в пластинке могут быть
вычислены, если только для данного распределения нагрузки и дан-
ных граничных условий в результате интегрирования уравнения (103)
у нас определена изогнутая поверхность ее.
22. Граничные условия. Исследование граничных условий мы
начнем со случая прямоугольной пластинки, причем положим, что
оси л и у направлены параллельно краям пластинки. Край пла-
стинки защемлен, В таком случае прогиб по этому краю равен
нулю и плоскость, касательная к изогнутой срединной поверхности,
совпадает на нем с начальным положением срединной плоскости пла-
стинки. Если положить, что ось х совпадает
с защемленным краем, то граничные усло-
вия будут
(«),..= (109)
Край пластинки свободно оперт. Если
Рис. 49. край х = а пластинки свободно оперт, то его
прогиб должен быть равен нулю. В то же
время этот край может свободно поворачиваться относительно оси х;
это значит, что изгибающие моменты Мх обращаются на нем в нуль.
Такой способ опирания изображен на рис. 49. Аналитическими
выражениями граничных условий для этого случая будут
Заметив, что наряду с w на краю х = а обращается в нуль также
1 d2te»/dy2, заключаем, что второе из условий (110) может быть
ереписано в виде д2ю/дх2=0 или = Поэтому уравнения (НО)
иожно считать эквивалентными уравнениям
(«)*зв = 0. (Ачу)х=о= 0.
(1И)
ге содержащим коэффициента Пуассона v.
Свободный край. Если один край пластинки, положим край х = а
рис. 50), совершенно свободен, то естественно принять, что по
*) В § 26 будет показано, что в некоторых случаях это допущение
одится в согласии с точной теорией изгиба пластинки.
ГРАНИЧНЫЕ УСЛОВИЯ
101
этому краю нет ни изгибающих или крутящих моментов, ни верти-
кальных перерезывающих сил, иными словами, что
(Л1л)л=в^о, (^)<=о-0, (QAee=o.
В этой форме граничные условия для свободного края были выра-
жены Пузссоном !). Позднее, одивко, Кирхгофф * 2 * * *) доказал, что трех
условий слишком много и что для полного определения удовлетво-
ряющих уравнению (103) прогибов и> достаточно двух условий. Он
показал при этом, что два требования Пуассона, относящиеся к кру-
тящем}' моменту Мху и к перерезываю- gff
щей силе Qx, должны быть авменены ду
одним-единственным граничным условием.
Физический смысл этого уменьшения числа /\,
граничных условий был разъяснен Томсо- /У [У]
ном и Тэтой 8). Эти авторы указали, что iX/%’
изгиб пластинки не изменится, если гори- у/''

яонтальные силы, составляющие крутя-
щую пару Мху, приложенную к элементу у
длины dy края х = в, будут заменены,
как показано на рис. 50, дзумя вер-
Рис. 50.
тикальными силами величиной Мху с
плечом dy. Такая замена не повлияет на величину крутящих момен-
тов и вызовет лишь местные перераспределения напряжений на краю
пластинки, не отражающиеся на распределении напряжений по всей
остальной площади пластинки. При исследовании чистого изгиба пла-
стинки в антикластическую поверхность (§ 11) мы уже имели дело
С частным случаем такого преобразования системы приложенных по
краям сил. Произведя подобное преобразование крутящих пар по краю
пластинки и рассмотрев два примыкающих друг к другу элемента
края (рис. 50), найдем, что распределение крутящих моментов Мху
будет статически эквивалентно распределению перерезывающих сил
интенсивности
На этом основании объединенное требование относительно кру-
тящего момента Мху и перерезывающей силы Qx для свободного
*) См. по этому поводу Todhunter I., Pearson К„ History of the
Theory of Elasticity, т. I, стр. 250, и цитированные вамечания Сен-Веиана
к § 73, стр. €85 в переводе книги Клебша.
2) См. СгеНе J., т. 40, стр. 51. 1850.
3) См. Thomson, Tait, Natural Philosophy, т. 1, ч, 2, стр. 188, 1883.
Тот же вопрос был освещен независимо Бусспнеском: J. Math, 2-я серия,
т. 16, стр. 125—274, 1871; 3-я серия, т. 5, стр. 329—344, Париж, 1879.
10Ь МАЛЫЕ ПРОГИБЫ ПОПЕРЕЧНО НАГРУЖЕННОЙ ПЛАСТИНКИ [ГЛ. [V
края х = а принимает вил
Подставляя сюда вместо и Мху их выражения (106) и (102),
получаем окончательно для свободного края х=а:
<II2>
Условие, чтобы изгибающие моменты на свободном крае были
равны нулю, требует
рассуждениях и как показано
Рис. 51.
Уравнения (112) и (113) представляют собой два необходимых
граничных условия лля свободного края х — а пластинки.
Преобразуя крутящие лары, как было разъяснено в предыдущих
на рис. 50, мы получаем не только
непрерывно распределенные на краю
х = а перерезывающие силы Q'x,
но, сверх того, также и две со-
средоточенные силы в концах края,
как это показано на рнс. 51. По
величине эти силы равны значению
крутящей пары ’) в соответ-
ствующих углах пластинки. Произ-
ведя подобное же преобразование
крутящих nap Mvx по краю у=Ь.
мы найдем, что и в этой случае также в дополнение к распределен-
ным перерезывающим силам Q' в вершинах углов появятся еще и
сосредоточенные силы Это значит, что прямоугольная пластинка,
опертая каким-либо способом по краям, обнаружит при поперечном
ее загружеияи вообще не только распределенные по краю опорные
реакции, но также и сосредоточенные реакции в углах.
Рассматривая направления этих сосредоточенных реакций, мы
можем сделать необходимые заключения о них, если только нам
известен общий вид поверхности прогибов. Возьмем, например, равно-
мерно нагруженную квадратную пластинку, свободно опертую по
краям. Общий вид изогнутой поверхности показан на рис. 52, а.
Пунктирными линиями изображено сечение срединной поверхности
пластинки плоскостями, параллельными координатным плоскостям xz
*) Пара МХу есть момент, отнесенный к единице длины, и потому имеет
размерность силы.
ГРАНИЧНЫЕ УСЛОВИЯ
22)
и yz. При рассмотрении этих линий можно видеть, что близ угла А
производная dvv/dx. представляющая собой наклон изогнутой поверх-
ности в направлении х. отрицательна и ее абсолютное значение
уменьшается с увеличением у.
На этом основании производная
d^wfdxdy в вершине угла А по-
ложительна. Из уравнения (102) мы
заключаем, что Мху в этом угле
положителен и Мух отрицателен.
Отсюда и в соответствии с напра-
влениями Мху и Мух на рис. 48, а
следует, что обе действующие в
точке х = а, у = Ь на рис. 51 со-
средоточенные силы направлены
вниз. Из симметрии мы заключаем
также, что эти силы имеют''одну
и ту же величину и одно и то же
направление во всех четырех углах пластинки. Поэтому условия, как
указано на рис. 52, Ъ. будут
103
Рис. 52.
Мы видим, что при равномерной загрузке квадратной пластинки
углы ее в общем случае имеют тенденцию приподниматься, и этот их
подъем предотвращается, как ука-
зано на чертеже, сосредоточен-
ными реакциями в углах.
Упруго опертый и упруго
защемленный край. Если край
х= а прямоугольной пластинки
жестко соединен с поддерживаю-
щей его балкой (рис. 53), то прогиб Pi,c 53
на этом крае будет равен не нулю,
а прогибу балки if потому угол поворота края будет равен углу
закручивания балки. Положим, что В есть жесткость балки при
изгибе и С — жесткость ее при кручении. Давление в направлении z,
передаваемое пластинкой на поддерживающую ее балку, будет равно
согласно уравнению (а)

0 Гб2!» c)swl
** Ы+<2 ~ *
н дифференциальное уравнение изогнутой оси балки примет вял
(1“>
104 МАЛЫЕ ПРОГИБЫ ПОПЕРЕЧНО НАГРУЖЕННОЙ ПЛАСТИНКИ [ГЛ IV
Это уравнение представляет собой одно из граничных условий пла-
стинки для края х = а.
Чтобы получить второе условие, нам следует рассмотреть круче-
ние балки. Угол *) поворота поперечного сечения балки равен
—(d®'/dx)A.=e, а изменение этого угла вдоль края равно
Отсюда крутящий момент балки равен
— С ^wfdx ду)л=и.
Этот момент изменяется вдоль края, так как пластинка, будучи жест-
ко соединенной с балкой, передает ей эти непрерывно распределенные
крутящие моменты. Величина этих переданных балке моментов на
единицу длины равна, но противоположна по знаку изгибающим
моментам Мх пластинки. Рассматривая условия равновесия элемента
балки при его повороте, мы получаем
поэтому
или, подставляя сюда вместо его вы-
ражение (101),
__\ _____________
ду\3хду}х^а
=с(да-|-’-г>г)1./ (115>
Рис- 54- Это — второе граничное условие для края
Х = а пластинки.
В случае пластинки с криволинейным контуром (рис. 54) распола-
гаем начало координат в точке А края, а оСи направляем по каса-
тельной t и по нормали п, как показано на чертеже. Изгибающий и
крутящий моменты в этой точке будут
«.= J И.*. л,.1 = — J «Ь*-
) Для определения знака угла пользуемся правилом винта с правой
нарезкой.
ЭД ГРАНИЧНЫЕ УСЛОВИЯ 105
Воспользовавшись известными выражениями д) для компонентов напря-
жений о„ и т„(:
оп = Од. cos2 a -J- оу sin2 а-|- 2т^у sin а cos а,
тя/ = тху (cos2 а — sin2 а) -J- (оу — ах) sin а cos а,
мы можем представить выражения (Ь) в следующей форме:
Л1„ = Mxcos2 a -f- Му sin2 а — 2Мху sin a cos а, I
7ИЯ/ == MXJI (cos2 а — sin2 а) -f- (Мх — Му) sin а cos а. J
Перерезывающая сила Qn в точке А контура найдется из условия
равновесия изображенного на рис. 54 элемента пластинки. Оно дает нам
Qnds~Qxdy—Qydx
или
Q,; = Qj,cos a-|-Qy sins. (d)
Имея выражения (с) и (d), мы без затруднений можем написать гра-
ничные условия для любого частного случая.
При защемлении криволинейного края пластинки будем иметь для
этого края
w — О, ~ = 0; (е)
дп 1 '
в случае же свободного опирания
w - 0, М„ = 0. (f)
Подставив вместо Мп его выражение из первого уравневня (с) и
воспользовавшись уравнениями (101) и (102), мы можем представить
граничные условия (f) в функции от w и его производных.
Если край пластинки свободен, граничные условия будут
л.=0. v„=e„-^4»=o, (g)
где член — dMnl[ds получается по способу, показанному на рис. 50,
и представляет собой ту часть реакции края, которая обусловлена
распределенными по краю крутящими моментами Mnt. Подставив
вместо 7ИП, MBt и Qn выражения (с) и (d) и воспользовавшись
уравнениями (101), (102), (106) и (107), мы сможем представить
’) Направления х и у здесь уже не будут главными направлениями, как
это мы имели в случае чистого изшба; поэтому выражения для М„ и Мп1
будут отличаться от тех, которые даются уравнениями (39) и (40).
106 МАЛЫЕ ПРОГИБЫ ПОПЕРЕЧНО НАГРУЖЕННОЙ ПЛАСТИНКИ 1ГЛ. IV
граничные условия (g) в следующей форме:
cos a ~ txw 4~ sin a^ Д®) -f-
i zt x d Г o dsw 1 . o /daa> <Яда\1
-|-(I — v) 3-] COS 2a -5—S-4--S- sin 2a
1 ' osL dxdy 1 2 (dy2 fo’JJ
где
, c)2«> ,
Ди,==^+<^-
(116)
Иной способ вывода этих условий будет показан в следующем
параграфа
23. Вариант вывода граничных условий. Дифференциальное уравнение
(104) изогнутой поверхности пластинки и граничные условия могут быть
получены с помощью принципа виртуальных перемещений и выражения для
энергии деформации изогнутой пластинки1).
Так как при выводе уравнения (104) влиянием касательных напряжений
на прогиб мы полностью пренебрегали, то и соответствующее выражение
для энергии деформации содержит в себе лишь те члены, которые зависят
от изгибающего и крутящего моментов, как и в случае чистого изгиба, рас-
смотренного в § 12. Пользуясь уравнением (48), получаем для энергии дефор-
мации в бесконечно малом элементе
dV ~ 2 D К дх* + дуа ) 2(1 [ дха ’ дуа (dx dy) jfd* dy' (а)
Полная энергия деформации пластинки будет найдена в результате
интегрирования
.. 1 г, f С , d2w\a . Г<52й1Йгю / dsw \в1) , j
2 ° J J 1№+Ф»2/ 2 1 (dardj (.II7)
где интегрирование распространяется по всей поверхности пластинки.
Применяя принцип виртуальных перемещений, предположим, что про-
гибы пластинки w получиии бесконечно малое првращение Ъш. Тогда соот-
ветствующее изменевне энергии деформации пластинки должно быть равно
работе, произведеииой внешними силами на этих предположенных нами вир-
туальных перемещениях. При вычислении этой работы нам надлежит учесть
не только распределенную по поверхности пластинки поперечную нзгрузку q,
но также и распределенные по контуру пластинки изгибающие моменты Мп
и перерезывающие силы Qn— (dMntfds). Поэтому принцип виртуальных
перемещений даст нам следующее общее уравнение:
W= § ^qtwdxdy — — ^^iwds. (b)
*) Именно этим методом граничные условия были впервые удовлетвори-
тельно установлены Кирхгоффом (Сг ell е J., т. 40, 1850). См. также его
Vorlesungen fiber matheraatische Physik, Mechanik, стр. 450, 1877 (имеется
русский перевод: Кирхгоф фГ Г., Мехавпка (Лекции по математической
физике), Изд. АЙ СССР, Москва, 1962).
251 ВАРИАНТ ВЫВОДА ГРАНИЧНЫХ УСЛОВИЯ 107
Первый иятеграл в правой части этого уравнения представляет собой работу
поперечной нагрузки на перемещении iw. Второй, распространенный по кон-
туру пластинки, представляет собой работу изгибающих моментов при пово-
роте дЪии/дп края пластинки. Знак минус определяется здесь избранным
нами направлением Мп и указанным ия рис. 54 направлением норйлаи п.
Третий иятеграл представляет собой работу приложенных вдоль края пла-
стинки перерезывающих сил.
При подсчете приращения 8V энергия деформации пластинки восполь-
зуемся преобразованиями, которые мы воспроизведем здесь'-во всех под-
робностях в применении лишь к одному первому члену выражения (117).
Малое приращение этого члена будет
. С f/d^X* . п С Cd^wd^w. .
J (эр) J
_ Г /*Г д /d2wdbtt>\ d2te<58tpl . .
~2J J дх ) dj?Hx~\dxdy~
Г Ст d /д2адЪч>\ д (d'3wt X . д*и>_ т . .
~'2J J +
(с)
В первых двух членах, следующих за последним апаком равенства в выра-
жении (с), двойное интегрирование можно заменить простыми интегралами,
вели мы вспомним, что для всякой функции F двух переменных х и у имеют
силу следующие формулы:

W
В этих выражениях простые интегралы распространяются вдоль контура,
‘а а, как видно из рис. 54, есть угол между внешней вормалью и осью х.
Применив первую из формул (d), мы можем представить выражение (с) сле-
дующим образом:
ъ/f(S)‘d*d>=2f fjSiw,,x',y+
+2fw
Передвигаясь по контуру в направлении, показанном на рис. 54, получаем
dhw dtiw dn . дЪи> 4s dlw
dx dn dx 1 ds dx dn os
В результате этого преобразования выражение (е) принимает вид
'//(эр)'^‘”’=2//эр’”’''х‘'у+
/d2w fdtw dSt» \ „ Г d~w k
s-sl-5—cos а-sinolcosads—2 / ow cos a as. (I)
dx3 \dn ds ) J ax3
108 МАЛЫЕ ПРОГИБЫ ПОПЕРЕЧНО НАГРУЖЕННОЙ ПЛАСТИНКИ ГГЛ IV
Интегрируя по частям, имеем
. дЪт 1 д2а> I Г д /dsw . \, .
Первый член в правой части этого выражения равен нулю, поскольку мы
производим здесь интегрирование вдоль замкнутого контура пластинки. По-
этому получаем
Г d2w . дЪю Г д ( д7и> , ,
Подставляя этот результат в уравнение (f), находим приращение первого
члена в выражении для энергии деформации окончательно в следующем виде:
d3w
d3w
дх ду2'
_ Г Г (й2я>\2 off d'w _ Г d2w дЪы> ,
lJ J J -E!T“>,“T5ros+
Лд {d2w \ d3w 1
<в>
Преобразовывая подобным образом приращения остальных членов выраже-
ния (117), получаем
. Г Г/М. f f f ePw . s dZw „
о Гг ) । к , ...
— 2 J [ dF ttyF sm ° cos °) + -gp- ЯП a] Zw ds, (ti)
, f f c!0 й5в Г С d‘w „ , ,
8 J J 'd^d^djcdy = 2J J MW*Wdxdy+
, /* (d2w _ d2w 9 \dZw , Г (
-4- I l'^2’cos8a + s*2'sIn2a!_5—— I 1
J \dy2 1 dx2 ) dn J I
f s^lw‘!jr‘,>+
. _ Г d!w дби; f t д Г d2w . . 9 , 1
+ 2 / -=—s— sin a cos а д ds-l- I < -=— 1 -5—5— (sin2 a—cos2 a) I —
1 ,/ dxdy dn 1 ,f (й«1йжйу' 'J
d3w д3и> 1
—ds- e>
Пользуясь этими формулами, мы получаем возможность представить прира-
щение потенциальной энергии в следующем виде:
BV = o|y" J* йДти-Zw dx dy 4- — v) cos2n+
. л d2a> , , d2v> , _ \ . . 1 d &tt'
+ 2-Д—5— SinaCOS a4--^-=-Sln2a|-}-u Au> —— rfs-l-
dxdy 1 dy2 ) ' J dn '
+f {(1 4 ICS-i£)Bi" яп'а>] -
|118)
S3] ВАРИАНТ ВЫВОДА ГРАНИЧНЫХ УСЛОВИЙ 109
Подставляя эти выражения в уравнение (Ь) и вспомния, что 6® и dtwjdn
представляют собой произвольные малые величины, удовлетворяющие гра-
ничным условиям, приходим к выводу, что уравнение (Ь) может быть удо-
влетворено лишь в том случае, если удовлетворяются следующие три урав-
нения:
J* J* (D АД®—?) 8® dx dy = 0, (к)
f { d !<'-’> (₽“•““+2 и" °см “+«"’)+>tai+
+ (I)
f t, . fl Г/fl2® d2w\ fl2® . • » .1
D {° ™ J-
/ d2w . d~w \ (&w , d3w \ . 1
- (fl^ + дхАу2)СО8“ (fly^ + dx'dy )яп’(“
“(°«“T)}6wds=0- (m>
Первое из этих уравнений удовлетворяется лишь при том условии, если
в каждой точке срединной поверхности пластинки имеет место соотношение
D ДА®— q =0,
являющееся не чем иным, как дифференциальным уравнением (104) изогну-
той поверхности пластинки. Уравнения (I) и (in) представляют собой гра-
ничные условия.
Если пластинка защемлена по краю, то 8® и д Zwjdn обращаются по краю
в нуль и уравнения (I) и (га) удовлетворяются. В случае свободно опертого
края В® = 0 и М„ = 0. Поэтому уравнение (га) здесь также удовлетворяется,
уравнение же (1) будет удовлетворяться, если
(d24ti d2w d2w \
COS2 а + 2 since cos « + sin2«J + = C (n)
В частном случае прямолинейного края, параллельного оси у, а = о, и из
уравнения (н) получаем
d2w d*w _
dx? + ‘flyr“U*
как и должно быть для свободно опертого края.
Если край пластинки совершенно свободен, величины и дЪю/дп
в уравнениях (() и (га) произвольны; далее, Af„ = O и Q„ — (dMntlds)=0.
Поэтому для свободного края имеем из уравнения (1) и (ш)
d2iw fl2® \
—^-cos‘a-l-2-^^ sin a cos a-|- — sin2aj+n Д® =0,
«. d Г/6гч> д^\ dsw . , , о .1
(1 — v) т- I ~s—s-st I Sin я COS a-3—5— (cos2 a —-Sltr a) | —
' ' ds L\6xz fly2 J dxdy 1 'J
(fl3® , fl3® \ /fl3® , fl3® \ . „
~st + -5—s-s- > cos a — I -4-5- -I- . ,д- I sin a = v.
fly® 1 dx дуг ) \ fly3 1 dx2 dy f
Ио МАЛЫЕ ПРОГИБЦ ПОПЕРЕЧНО НАГРУЖЕННОЙ ПЛАСТИНКИ [ГЛ IV
Этн условия находятся в согласии с выведенными ранее уравнениями (116)
(см. стр. 106). В частном случае свободного прямолинейного края, парал-
лельного оси у, а = 0, и мы получаем
д!ы , д* 2ш
3^ + vl^=0'
^1(2 A d*w -0
йл* ’ дхду3
Эти ураннения совпадают с ранее полученными уравнениями (112) и (113).
В случае, если по краю пластиияи приложены распределенные вдоль него
моменты М„ и перерезывающие силы Q„—[dMnllds), то соответствующие
граничные условия точно так же легко получаются нз уравнений (I) и (пт).
24. Приведение задачи об изгибе пластинки к исследованию
перемещений мембраны. В некоторых случаях бывает выгодно за-
менить выведенное нами для пластинки дифференциальное уравне-
ние (103) четвертого порядка двумя уравнениями второго порядка,
определяющими собой деформации мембраны’). Эту замену легко
произвести, если уравнение (104) написать в следующей форме:
/ й , й \ / й2я> йгш\ g
\йхг ’ <)уг/\ дх3 * ду*) D *
и заметить, что при сложении двух выражений (101
ющих моментов (см. стр. 98) мы получим
М,+ М, = — 0(1
Вводя новое обозначение
(а)
для изгиба-
(Ь)
(И9)
(120)
представим ураяненяя (а) и (Ь) в таком виде:
d’Af . д>М
d3w . _____М
дхя • ду3 D ‘
Оба эти уравнения того же типа, что и уравнение, получаемое для
равномерно растинутой поперечно нагруженной мембраны2).
Решение этих уравнений чрезвычайно упрощается для случая
свободно опертой пластинки многоугольного очертания, где для каж-
дого прямолинейного участка контура мы имеем &1'Wldsi=0. по-
') Этот метод исследования изгиба пластинки был введен Маркусом
(Marcus Н., Die Theorle elastischer Oewebe, 2-е изд., стр. 12, Berlin,
2) См. Тимошенко С. П„ Теория упругости, стр. 267; Timo-
shenko S., G о о d i е г J. N., Theory of elasticity, 2-е изд, стр. 269, 1951-
ПРИВЕДЕНИЕ ЗАДАЧИ ОБ ИЗГИБЕ К ИССЛЕДОВАНИЮ МЕМБРАНЫ 1Ц
скольку на контуре «о = 0. Заметив, что при свободном опирании
края 7Йп=0. заключаем, что для этого края справедливо равенство
Поэтому [см. уравнение (34)] имеем для края
й2а> , dsw_______д2ау , д2ю_______ М
v'w . oaw Q‘w , o‘w м
ds2 дпя дх* ‘ дуя D
ю
ft согласии со вторым из уравнений (111).'Следует заметить, что ре-
шение задачи о пластинке сводится в этом случае к последователь-
ному интегрироввнию двух уравнений (120). Начнем с первого из
;Ьтих уравнений и найдем его решение, удовлетворяющее граничному
условию УИ = О*). Подставив это решение во второе уравнение и
интегрируя, находим прогибы w. Обе задачи того же самого типа,
.•что и задача о перемещениях равномерно растянутой поперечно за-
груженной мембраны, у которой перемещения па'контуре равны нулю.
Эта последняя задача значительно проще задачи о пластинке и всегда
;Может быть разрешена с достаточной точностью приближенным ме-
тодом интегрирования, например, методом Ритца или методом Конеч-
ных разностей. Несколько примеров применения этого последнего
Сбудут равобраны ниже (см. §§ 80, 83). Примеры применения метода
Ритца приводятся при решении задач на кручение2).
'5 Другим простым случаем применения уравнений (120) авляется
свободно опертая пластинка многоугольного очертания, изогнутая
равномерно распределенными по ее контуру моментами Мп. Уравне-
ния (120) в этом случае принимают вид
дх2 дуг D ’
(121)
&w _ М
Для прямолинейного края имеем, как и раньше, d2w/c>s2=0. Отсюда
и для контура получаеч
02w dsw d2w Мп M
дх3 дуг D~ D
Это граничное условие и первое из уравнений (121) будут удовле-
творяться, если для величины М мы примем постоянное значение
М — Мп для всех точек пластинки, что равносильно требованию
постоянства суммы изгибающих моментов Мк и Му для всей поверх-
) Следует заметить, что если пластинка не многоугольного очертания,
то М вообще не обращается на контуре в нуль при А1п=0.
’) См. Timoshenko, Qoodier, стр. 280.
112 МАЛЫЕ ПРОГИБЫ ПОПЕРЕЧНО НАГРУЖЕННОЙ ПЛАСТИНКИ (ГЛ IV
нести пластинки. Прогибы пластинки будут тогда найдены из второго
уравнения (121)1), которое принимает вид
d‘w . д'-'t» Мп ...
= D~’ <d>
Отсюда можно заключить, что в случае изгиба свободно опертой
многоугольной пластинки равномерно распределенными по ее контуру
Рис. 55.
моментами Мп изогнутая поверхность
пластинки получается тождественной
с поверхностью провисания мембраны,
равномерно натянутой действием рав-
номерно распределенной нагрузки.
Имеется много случаев, для которых
решения задачи о мембране известны.
Ими можно непосредственно же вос-
пользоваться и при рассмотрении со-
ответствующих задач, относящихся к
пластинке.
Возьмем, например, свободно опер-
тую равностороннюю треугольную пла-
стинку (рис. 55), изогнутую равномерно распределенными по ее
контуру моментами М„. Изогнутая поверхность для этой пла-
стинки получится такой же, как и для равномерно растянутой и
равномерно нагруженной мембраны. Последнюю же легко получить
экспериментально, натянув мыльную пленку на треугольном контуре
и равномерно нагрузив ее давлением воздуха2).
Сравнительно просто получается цля этого случая также и ана-
литическое выражение изогнутой поверхности. Напишем произведения
левых частей уравнений для всех трех сторон треугольника
-X* * s—Зу*х а (х«+у2) 4а’
3 3 3-27 *
Это выражение обращается, очевидно,- в нуль на контуре. Граничное
условие is» = О для мембраны будет поэтому удовлетворено, если мы
примем для прогибов выражение
>(е)
’) Это было показановпервые Войновским-Кригером; см. Wolnowsky-
Krieger S., Ingenteur-Archlv, т. 4, стр. 254, 1933.
s) Подобными экспериментами пользуются при решении задач на кру-
чение; см. Тимошенко С. П., Теория угфугости, стр. 271; Timoshenko,
Coodler, стр. 289.
24J ПРИВЕДЕНИЕ ЗАДАЧИ ОБ ИЗГИБЕ К ИССЛЕДОВАНИЮ МЕМБРАНЫ ЦЗ
где N — постоянный множитель, величину которого мы выбираем
таким образом, чтобы удовлетворить уравнению (d). Таким путем
приходим к искомому решению
«(*!+й+^»8]- V)
Подставив в это выражение х~ у=0, получаем прогиб в центре
тяжести треугольника
Выражения для изгибающего и крутящего моментов получаются из
уравнений (101) и (102)
Перерезывающие силы из уравнений (106) и (107) таковы:
^ = <?у = 0.
На контуре согласно уравнению (d) § 22 перерезывающая сила
Qn — Q, а изгибающий момент равен Мп. Крутящий момент на сто-
роне ВС (рис. 55) согласно уравнению (с) § 22 равен
Вертикальные реакции пластинки по стороне ВС (рис. 55) будут
(О
Из симметрии заключаем, что такие же равномерно распределенные
реакции приложены и по даум другим сторонам пластинки. Эти силы
уравновешиваются сосредоточенными реакциями в вершинах треуголь-
ной пластинки; величина этих последних может быть найдена по спо-
собу. разъясненному на с.тр. 102, и равна
« = 2W,.i^,.0=(l-’'>Vr4 "л- <J>
Распределение опорных реакций показано на рис. 55, Ь. Максималь-
уюе напряжение изгиба возникает в вершинах и действует в плоскостях,
-равноделящих углы. Величина соответствующего изгибающего момента
получается из уравнений (h)
<лу„„=<«>),.!,=
W
(14 МАЛЫЕ ПРОГИБЫ ПОПЕРЕЧНО НАГРУЖЕННОЙ ПЛАСТИНКИ [ГЛ IV
Этим методом расчета прогибов сяободно опертой многоугольной
пластинки под равномерно распределенными по ее контуру момен-
тами можно воспользоваться также и для определения температурных
напряжений, вызываемых в подобной пластинке неравномерным нагре-
вом. При исследоввнии температурных напряжений в защемленной
по краям пластинке в § 14 было показано [ураянение (Ь)|, что не-
равномерный нагрев приводит к появлению на контуре пластинии
равномерно распределенных изгибающих моментов, препятствующих
какому бы то ни было изгибу пластинки. Величина этях моментов )
f (! + »>
(I)
Чтобы получить температурные напряжения для случая свободно
опертой пластинки, нам следует на напряжения, производимые при
Рис. 56.
чистом нагибе моментами (I). наложить напряжения, вызываемые в пла-
стинке. свободно опертой по краям, равномерно распределенными
по контуру изгибающими моментами —<ztD(i Решение по-
следней задачи, как уже было разъяснено в случае пластинки много-
угольного очертания, может быть получено без больших автруднений 2).
Возьмем, например, равностороннюю треугольную пластинку. Если
крап пластники защемлены, то изгибающие моменты, обусловленные
неравномерным нагревом, будут
(ш)
Чтобы получить изгибающие моменты Мл и Му для свободно опер-
той пластинки, мы должны на моменты (т) наложить моменты, опре-
*) Предполагается, что верхпав поверхность пластинки подвергается
действию более высозой температуры, чем нижняя, и что пластинка имеет
поэтому тенденцию изгибаться выпуклостью вверх.
») См. диссертацию Маульбеча (Maulbetscti J. L, J. Appl. Meeh.,
т. 2, стр. 141, 1935).
JB1 ВЛИЯНИЕ УПРУГИХ ПОСТОЯННЫХ НА ИЗГИБАЮЩИЕ МОМЕНТЫ 115
деляемые из уравнений (h), подставив в них М„ = — atD (1 -j- v)Jh.
Таким путем получаем окончательно
^Опорные реакции можно будет теперь определить из уравнений (1)
н (j) посредством подстановки М=—alD(l Мы находим
ИЗ них
Г V л дМ»‘ D— VZatEh’
Долученные результаты для обусловленных неравномерным нагревом
Моментов и опорных реакций представлены на рис. 56, а и Ь.
" 25. Влияние упругих постоянных на величину изгибающих момен-
тов. Вид уравнений (101) и (102) позволяет убедиться в том, что величины
^нагибающих к крутящих моментов пластинки в заметной степени зависят
Ют численного аначеиия коэффициента Пуассона v. С другой стороны, легко
доказать, что в случае загружения пластниии поперечными силами произ-
^едеине жесткости на прогиб Du> не зависит ни от одной из двух постоян-
ных — ни от Е, ни от V, оперта ли пластинка енободно или защемлена, без-
различно, по прямолинейным или криволинейным краям.
- Приняв эти граничные условия в любом их сочетании, рассмотрим сле-
дующую задачу. Для определенного численного значения коэффициента Пуас-
Кова V известно несколько значений изгибающих моментов Afx и Му. От нас
требуетси, исходя из этих даияых, найти значения моментов при ином зна-
чении V, например т'. но той же упругой постоянной Е материала. Пусть Мх
Я Му будут этими новыми искомыми значениями изгибающих моментов.
Напишем уравнения (101), сначала для v, затем для v', исключим на них
кривизны d^wfdx2 и д*п!оу\ решив полученные таким путем уравнения от-
ЙОсительно А1Х и Л1у, найдем
Мх = fZZ^r К1 — *0 М* + — » **4
Af' = f 2>8 [(1 — «')2ИУ +Ь' — v)
(122)
Таким образом, вычисление М' и Л!у ве представляет загруднений, если
известны Мх и Му.
Если постоянная ч входит в одно или в несколько заданных граничных
условий, как, например, в случае свободного крав [уравнение (112)], то урав-
нения (122) теряют силу.
116 МАЛЫЕ ПРОГИБЫ ПОПЕРЕЧНО НАГРУЖЕННОЙ ПЛАСТИНКИ 1ГЛ. IV
Если пластинка упруго оперта или упруго защемлена, моменты также зави-
сят от изгибной жесткости D пластинки в соответствии с жесткостью связей.
Таблица 5
Средние значения коэффициента
Пуассона *
Материал Материал •
Сталь. . Алюминий 0,30 0,30 Стекло . Бетон. . 0,25 0,15—0,25
Наконец, температурные на-
пряжения зависят ве только от
всех вышеперечисленных факто-
ров, но также и от абсолютного
значения жесткости D пластинки.
Средние значения v для неко-
торых материалов приводятся в
таблице 5. Значения \ дая бетона
колебаются в весьма широких
пределак в зависимости от возра-
ста бетона, типа заполнителей и
других факторов').
Ы
Рис. 57.
26. Точная теория пластинки. Дифференциальное уравнение (103), опре-
деляющее вместе с граничными условиями прогибы пластинки, мы вывези
(см. § 21), пренебрегая влиянием на изгиб нормальных напряжений az и ка-
сательных напряжений ххг и т>2. Это означает, что каждый тонкий слой
пластинки, параллельный ее срединной плос-
1 ,yi л:л ’ ’ кости, рассматризался нами при выводе этого
уравнение как находящийся в плоском напря-
женном состоянии и что, следозательно, от-,
личными от нуля мы считали при этом лишь
гри компонента напряжений сх, оу и тху.
Одним из простейших случаев этого рода
является чистый изгиб. Изогнутая поверхность
в этом случае представляет собой функцию
второй степени от х и у [ем. уравнение (с)
§ 11], удовлетворяющую уравнению (103), Ком-
поненты напряжений сл, су и тху пропор-
циональны z и не. зависвт от х и у.
Существуют и другие случаи изгиба,
в которых имеет место плоское напряженное
состояние, и уравнение (103) удовлетворяется
в точности. Возьмем,, например, круглую пла-
стинку с круглым центральным отверстием,
изогнутую моментами Mt, равномерно распределенными по контуру отвер-
стия (рис. 57). Каждый тонкий слой пластинки, вырезанный двумя'смежными
плоскостями,- параллельными срединной плоскости, будет находиться точно
в таком же напряжен юм состоянии, как и толстостенный цилиндр, подвер-
гнутый равномерному внутреннему давлению или растяжению (рис. 57» Ь\.
Сумма обоих глазных напряжений будет в этом случае2) величиной
постоянной, а отсюда можво будет заключить, что и линейная деформация
*) Германские технические условия (DIN № 4227) рекомендуют при
определении коэффициента Пуассона для бетона пользоватьсв приближенной
зависимостью v = V^/350, где — прочность бетона на сжатие в возрасте
28 дней в фунтах на кв. дюйм (так как I фунт/дюйм2Л;0,07 кг/см3, то де-
литель 350 в формуле при переводе ев в метрические меры заменяется
на 92.—Прим. пер}. См. также Simmons J, С., Mag. of Concrete Re-
search, т- 8, сгр, 39, 1956.
2) См. Тимошенко С. П„ Теория упругости, стр. 69; Timoshenko,
Goodier, стр. 60.
ТОЧНАЯ ТЕОРИЯ ПЛАСТИНКИ
слоя в направлении г также будет постоянной и независимой от деформации
смежных слоев. Таким образом, и здесь мы имеем плоское распределение
напряжений, и уравнение (103) останется для него в силе.
Перейдем теперь к общему вопросу о форме изогнутой поверхности
пластинки, когда изгиб приводит к плоскому распределению напряжений.
Чтобы ответить на этот вопрос, необходимо рассмотреть три дифферен-
циальных уравнения равновесия с шестью условиями совместимости. Если
пренебречь объемными силами ’), то эти урзниеиия будут
,Г»е
и
1-Н ’
1 дгЬ
_____ 34
1+v дх* ’
~34
дх ду '
__ ga°
1 -4-м дхдг *
Складывая уравнения (Ъ), найдем, что
г>з8 34 з«с
дх2 + ду2 + дх2 '
(с)
(Й)
т. е. сумма грех компонентов нормального напряжения представляет собой
гармоническую функцию. В случае плоского напряженного состояния
«лг = туя = аг==0, а из двух последних уравнений (с) и последнего уравне-
ния (Ь) можно заключить, что дЧ/дх должна быть постоянной величиной,
положим ₽. Отсюда общее выражение для 0 н случае плоского напряжен-
ного состояния, будет
е = 0о + ^. (е)
') Ti tiros h е nk о, G о о d 1 ег, стр. 229, 232.
118 МАЛЫЕ ПРОГИБЫ ПОПЕРЕЧНО НАГРУЖЕННОЙ ПЛАСТИНКИ [ГЛ. IV
где 0о— плоская гармоническая функция, т. е.
а*о0 . дЧ0 __ _
дх3 ' ду»
Мы видим, что в случае плоского распределения напряжений функция 6
состоит из двух частей: 60, независимой от г, и Рд пропорциональной z.
Первав часть ие изменяетсв по толщине пластинки. Она зависит от дефор-
мации пластинки в ее собственной плоскости и может быть опущена, если
мы интересуемся одним лишь изгибом пластинки. Поэтому в нашем даль-
нейшем изложении мы можем принять
е=рг. О
Уравнения равновесия
распределения напряжений,
(а) будут удовлетворяться в случае плоского
если мы примем

— g8?
дхду'
ду3 ’
(8)
где ¥ — функция напряжений. Рассмотрим теперь общий вид этой функции.
Подстазив выражения (g) в уравнение (f), получим
Далее, первое из уравнений (Ь) позволвет заключить, что
Л1-^Т = 0 иэн ^-гД|$> = 0,
ду2 ду2 11
а это, приняв во анимание уравнение (h), можно написать в такой форме:
£(>)-« »
Точно таким же образом из второго и третьего уравнений (Ъ) находим
Л^)=0 д' PW ю
дхЦйг»} дхду\дг3) ’ w
Из уравнений (1) и (j) следует, что представляет собой линейную
функцию от Jr и у. Эту функцию можно принять равной нулю, не окавызая
этим никакого влияния на величины компонентов навряжения, определяемых
выражениями (g), В этом случае общее выражение функции напряжений будет
где fo—плоская гармоническая функция, a <fi удовлетворяет уравнению
^!?L + ?f?L==e fky
дх3 + ду2 Р’
Поскольку деформации пластинки в ее плоскости нас сейчас ие интересуют,
мы можем в дальнейшем изложении у0 онустить и в качестве общего выра-
жения для функции напряжений принять

(1)
ТОЧНАЯ ТЕОРИЯ ПЛАСТИНКИ
119
Подставив его в уравнения (g), мы получим теперь возможность вычислить
Компоненты напряжений и найти перемещения из уравнений
ди.ди_1 du.dw do.dw п
ду' дх Ъё'дх ’ дг'ду
(га)
Для перемещений перпендикулярных к пластинке, таким образом
получаем')
И 'прогиб срединной поверхности пластвики будет
>" = --|Е<*’+Л+^?.. <ч)
Соответствующие компоненты напряжений из уравнений (g) и (I) будут
___ dfy ________ dfy _________ д2^
г^г. аУ—гдхг’ ^У-^дхду
а изгибающие и крутящий моменты составит
(о)
Из уравнения (п) находим кривизны и относительное кручение пластинки
дг№_________ р 1 -|- v д8д>___________р_<Яу,
Эх3’---Ё"Ь-Е— длл' ду*~ Е £ ду”
d*w ___1 -(-•» й3®,
дхду Е дхду'
бУйуда, пользуясь соотношениями (к) и (о), получаем
o'gi ( d^w _ 1—v® й-у, ~ Мх
дл»+’ ду* ~ Е ду* ~ Ь •
d~w д2й» 1 — ч® й*в>| Му
d/+vchT= Ё~ ~дх*~ I)’
d2w __1 + ч сР?, _ М^у
дхду i дхду (1 —v) D '
(Р)
’) Несколько примеров вычисления и, v и w из уравнений (т) приво-
дятся С. П. Тимошенко в «Теории упругости».
120 МАЛЫЕ ПРОГИБЫ ПОПЕРЕЧНО НАГРУЖЕННОЙ ПЛАСТИНКИ (ГЛ IV
Из этих выкладок можно заключить, что в случае изгиба пластинки,
приводящего к плоскому распределению напряжения, прогибы ее w [см. урав-
нение (п)| строго удовлетворяют уравнению (103), а также уравнениям (101)
и (102), определяющим изгибающие и крутящий моменты. Если решение
уравнения (к) принимается в виде функции второй степени от х и у, то
изогнутая поверхность (и) получится второго порядка, также в соответствии
со случаем чистого изгиба. Вообще мы можем заключить из уравнения (к),
что прогиб пластинки в случае плоского напряженного состояния будет
тот же, что и для рааномерво растянутой, равномерно нагруженной мем-
браны. Пластинка, изображенная на рис. 57, представляет собой частный
случай такого изгиба, а именно случай, для которого решение уравнения (к)
имеет в полярных координатах следующий вид:
<h = /r2+Blnr4-C,
гдв А, В и С — постоянные, определяемые из того требования, чтобы удовле-
творялись’граничные условия.
Пластинка многоугольного очертания, свободно опертая и изогнутая
равномерно распределенными но контуру моментами (см. § 24), представляет
собой другой пример изгиба, в котором изогнутая поверхность имеет вид,
удовлетворяющий уравнению (п), и уравнения (101), (102) и (103) выпол-
няются строго. Во всех этих случаях, как можно видеть из уравнений (к)
т. е. сумма изгибающих моментов в двух перпендикулярных направлениях
остается востоянной для всей пластинки.
точкак пластинки и равно нулю на поверхностях пластизки и изменяется
по ее толщине согласно параболическому закону
Воспользовавшись общими уравнениями (а), (Ь) и (с) и поступая так же,
как и в предыдущем случае плоского распределения напряжевий '), находим.
') Точное решение для этого случая было дано Сен-Вензном; см. его
перевод книги Клебша «Теория упругости твердых тел», стр. 337. Общее
изложение строгой теории изгиба пластинок было даво Мичеллом (J. Н. Mi-
ТОЧНАЯ ТЕОРИЯ ПЛАСТИНКИ
!^го общее выражение для изогнутой поверхности имеет в данном случае вид
®=4-[-^-+и+*)<?,]. (q)
Где f есть плоская гармоническая функция от х и у, а у, удовлетворяет
«вавнению
Отсюда можно сделать тот вывод, что и в этом случае дэфференциальнсе
•уравнение (103) также имеет силу при д=0.
, Уравнения для изгибающих и крутящего моментов, а также для пере-
т^езывающих сил будут в этом случае
г /d2w . дг®\ 84-т дг
Мх — — Д>1 -5—5- + v -х-=-1 -I-— uh* -s-r Д®,
* \ дхг 1 ду*) 1 40 ду2
rdd2w 1 84-v г... й2 .
му=-D (+ ~^Г Dhi -5^
мх = D (1—V) -^-+ 81 £>й« -Д- Aw,
' 'дхду ' 40 дхду '
QK — — D - Ди>, Qv — D Дж
л дх у ду
(123)
туш видим, что выражения для перерезывающих сил совпадают с пыраже-
ниями (108), полученными в приближенной теории; выражения же для мо-
ментов получаются различными: вторые члены этих выражений отражают
'Влияние перерезывающих сил.
Эти поправочные члены можно получить элементарным путем посред-
ством того же способа рассуждений, что и в случае изгиба балки. Рассмат-
ривая кривизну в плоскости xz, мы можем утверждать, что полная кривизна
обусловлена двумя факторами; изгибающими моментами Мх, Му и перерезы-
вающей силой Qx‘ кривизну, вызванную изгибающими момеатами, можно
получить, вычитая из полной кривизны — efi’w/dx2 ту ее часть — д (kQxlhG) дх,
•которая вызвана перерезывающей силой •). Подставки в уравнения (101)
вместо —d*w!dx* и —д*я>1ду* соответственно
ду* + ду
и воспользовавшись даумя последними уравнениями системы (123), найдем
для изгибающих моментов выражения
( d^w
kDh* д* „
kDh* d2 ,
—Дй’-
chel. Proc. London Malli. Soc., r. 31, стр. 100, 1900). См. также книгу
Л я в а, «Математическая теория упругости», М,, ОНТИ, 1935. Приводимые
нами в дальнейшем изаожепии результаты почерпнуты ия последнего сочи-
нения.
’) k—численный коэффициент ззнисящий в случае балки от формы
поперечного сечения.
122 МАЛЫЕ ПРОГИБЫ ПОПЕРЕЧНО НАГРУЖЕННОЙ ПЛАСТИНКИ 1ГЛ. IV
Эти уравнения совпадают с двумя первыми уравнениями системы (123), если
мы примем
к _ 8-J-v
6 40 '
Для ч = 0,3 это лает k = 1,245.
Из теории изгиба балки мы анаем, что поправка на влияние перерезы-
вающей силы мала и ею можно пренебречь, если толщина h балки мала
в сравнении с ее пролетом. Это соображение сохраняет силу и в примене-
нии к пластинке.
Точные выражения для компонентов напряжений:
A to,
U)
---T+V’d.xv 'I (sf*"'
E(h3 —4гг) д . £(** —4z2) д .
Id 6(1-ду1™- °* = °-
Вторые члены в правых частях уравнений для ах, су и хху представляют
собой поправки на влияние перерезывающих ска при изгибе. Мы видим,
что напряжения чх, оу и тху теперь уже не пропорциональны расстоянию г
от срединной плоскости, но содержат член, пропорциональный г3. Касатель-
ные напряжения и туг изменяются согласно тому же параболическому
закону, что и в балке прямоугольного профиля. В случае плоского распре-
деления напряжений Аги является постоянной величиной, и формулы (г) со-
впадают с теми, которые выводятся в приближенной теории.
Задача о равномерно нагруженной пластинке также допускает точное
решевие по тому же способу. Так, например, можно показать, что общее
выражение дли прогибов получается в этом саучае путем добавления к вы-
ражению (q) члена
(s)
64 D
который также удовлетворяет уравнению (103) приближенной теории. Урав-
нения для изгибающих моментов не совладают с уравнениями (101) прибли-
женной теории, но содержат некоторые дополнительные поправочные члены.
Если толщина пластинки мала в сравнении с другими ее измерениями, то
эти члены становятся малыми и ими можно пренебречь.
Во всех предыдущих саучаях общие решения задач об изгибе пластинки
исследоваансь без учета граничных условий. Для некоторых задач имеются
точные решения также и с учетом граничных условий *). Эти решения указы-
’) В последнее время строгая теория пластинки привлекла к себе вни-
мание инженеров, причем было опубликовано несколько значительных работ
но этому вопросу. Отметим здесь следующие работы: Войновского-Кригера,
Галеркнна, Биркгофа, Гарабедяна, Хигдона и Холла (Wolnowsky-Krie-
g е г S„ Ingr.-Arcb., т. 4, стр. 203, 305, 1933; G а 1 е г k i и В, Compl. rend.
Acad, set Paris, т. 190, стр. 1047; т. 193, стр. 568; т. 194, стр. 1440; В1 г к-
h о f f G. D„ Phil. Mag., T. 43, стр. 953, 1922; GarahedianC. A., Trans.
Am. Math. Soc., t. 25, стр. 343, 1923; Compt rend. Paris, tt. 178 (1924), 180
ТОЧНАЯ ТЕОРИЯ ПЛАСТИНКИ 123
шот, что если пластинку допустимо рассматривать как «тонкую», то обыч-
jjwir влементарная теория будет обладать достаточной для практических це-
точностью, за исключением 1) окрестности интенсивно сосредоточенной
Поперечной нагрузки и 2) узких краевых зон, в особенности же областей
фона углов пластинки и вокруг отверстий, диаметр которых имеет величину
Ьорядка толщины пластинки.
£< В первом из этих двух случаев как компоненты ал напряжения, так и
нрцеречные касательные напряжения следует считать в равной стенени важ-
B6йыын в нх влиянии на деформацию пластинки. При вычислении необходимой
ййтравки к напряжениям, указываемым приближенной теорией (см. стр. 86),
г условия могут быть исключены из рассмотрения. В этом случае
ачительно удобнее решать на основе теории толстых пластивок.
ором случае влияние компоненты напряжения <зг падает до второ-
о значения в сравнении с эффектом поперечных касательных на-
txt и туг- С тою целью, чтобы учесть в первую очередь именно
эффект, в последнее время было разработано несколько вариантов
ни тонкой пластинки (см. § 39). В сравнении с более точной теорией
той пластинки эти теории в исследовании распределения напряжений
для краевой зоны пластинки приводят к лучшим результатам.
Л925), 186 (1928), 195 (1932); Archie Higdon R, Holl D. L., Duke
Hath. J., t. 3, стр. 18, 1937). См. также Sie veneon A. C., Phil. Mag.,
Kfl серия, т. 33, стр. 639, 1942; О h 11 g R., Ingr.-Arch., T-13, стр. 155, 1942;
Siieodon J. N, Proc. Cambridge Phil. Soc., r. 42, стр. 260, 1946; Л ей бен-
joii Л. С., Труды, т. 1, стр. 111, Москва, Изд. АН СССР, 1951; Jung Н.,
2. angew. Main. Meeh., т. 32, стр. 57, 1952; Корре Е, Z. angew. Math,
tech., т. 37, стр. 38, 1957, Температурные напряжения освещены у Мар-
keppa (Marguerre К, Z. angew. Math. Meeh, т. 15, стр. 369, 1935) и
Bokolnlkoff 1. S, Sokolnikoff Е. S, Trans. Am. Math. Soc, т. 45,
Стр. 235, 1939.
ГЛАВА V
СВОБОДНО ОПЕРТАЯ ПРЯМОУГОЛЬНАЯ ПЛАСТИНКА
27. Свободно опертая прямоугольная пластинка под синусо-
идальной нагрузкой. Расположив оси координат, как покаавно на
рис. 59, допустим, что нагрузка распределена по поверхности пла-
стинки согласно закону
(а)
где дс представляет собой интенсивность нагрузки в центре пластинки.
Дифференциальное уравнение (103) изогну-
*<z> той поверхности принимает в этом случае
такой вид:
d*w t g d4a> . d*w _____
дх* + 2 дх* ду* —
= Asm^Sln3-. (Ь)
Рис. 59.
Граничные условия для свободно опертых краев требуют, чтобы
w = 2Их=0 для X — 0 и х = а\
w — О, А1„~0 для у = 0 и у = д.
Пользуясь выражением (101) для изгибающих моментов и заметив,
что поскольку по краям ю=0 и для краев» параллельных осям х
и у, спраледливы вместе с тем соотношения д^ш/дх^—О и д2да/ду2=0,
мы можем представить граничные условия в следующем виде;
(1) w = 0, (2) —® для х~0 11 х = а, I
дЬи I
(3) w = 0, (4) ^-=0 для у = 0 и у—Ь. |
ПРЯМОУГОЛЬНАЯ ПЛАСТИНКА ПОД СИНУСОИДАЛЬНОЙ НАГРУЗКОЙ 125
- Все эти граничные условия будут удовлетворяться, если мы примем
для прогибов выражение
w= Csin-^sin^-, (d)
постоянная С должна быть выбрана таким образом, чтобы удо-
^Дртетворялось уравнение (Ь). Подставив выражение (<1) в уравнение (Ь),
'найдем
s-vmtffla заключаем, что искомой изогнутой поверхностью, для кото-
'•рой справедливы уравнение (Ь) и граничные условия (с), будет
Чо . пх . лу
то=! /1 1 ч» sin-sin-?
(е)
Имея это выражение и пользуясь уравнениями (101) и (102), находим
Мы видим, что максимальный прогиб и максимальные изгибающие
моменты получаются в центре пластинки. Подставив х — а]2 и
в уравнения (е) и (I), получаем
wmax ~ J-TS ’ (1 ^4)
В частном случае квадратной пластинки, когда а = Ь, вышенапи-
санные формулы упрощаются
W — g»C< (М > — (М А — О +
(126)
126 СВОБОДНО ОПЕРТАЯ ПРЯМОУГОЛЬНА» ПЛАСТИНКА ГГЛ V
Воспользовавшись уравнениями (106) н (107) для вычисления пере-
резывающих сил, найдем
Чтобы найти опорные реакции по опертым краям пластинки, поступим,
как было разъяснено в § 22. Для края х==а найдем
Точно таким же способом для края у = Ь
Таким образом, распределение реакций так же следует закону сину-
соиды. Знак минус указывает на то, что реакции, действующие на
пластинку, направлены вверх. Из симметрии можно заключить, что
формулы (Ь) и (i) представляют собой распределения реакций также
и по сторонам х = 0 и у = 0. Результирующая распределения реак-
ции будет
Заметив, что
^=f f ^sln^-sln^-dxdy, (k)
о о
можем заключить, что сумма распределенных реакций больше, чем
полная нагрузка на пластинку, определяемая интегралом (к). Этот
результат легко объясняется, если мы обратим внимание на то
обстоятельство, что при рассматриваемом способе опирания в пла-
ПРЯМОУГОЛЬНАЯ ПЛАСТИНКА ПОД СИНУСОИДАЛЬНОЙ НАГРУЗКОЙ 127
Метинке, как было указано в § 22, возникают не только распреде-
ленные реакций по ее краям, но также и сосредоточенные опорные
.реакции в вершинах пластинки. В силу симметрии эти сосредото-
ченные реакции равны между собой и, как можно авключить на
рис. 51, равны
Я = С)
^Положительный знак указывает здесь на то, что эти реакции на-
правлены вниз. Их сумма в точности равна второму члену в выра-
жении (j). На рис. 60 дана полная кар-
дина всех действующих на пластинку как
распределенных, так и сосредоточенных
.^реакций, уравновешивающих заданную
.уравнением (а) нагрузку. Легко заме-
Ь^ть, что вершины углов пластинки под
“йяаствием приложенной нагрузки имеют
’тенденцию приподниматься и что для пре-
дупреждения этого к ним должны быть
.приложены сосредоточенные силы R.
1а' Максимальное напряжение изгиба получается в центре пластинки.
Трели TlZ> Ь, то в центре Му > Мх. Поэтому максимальное напряже-
ние изгиба будет
5^ __6$о (у , 1 \
(°у)тах — Si — ТТ Г\2 1 пг + «i/ *
Максимальные касательные напряжения будут по серединам длин-
ных сторон пластинки. Полагая, что полнав перерезывающая сила
«• Z1 дМ*У
------------распределена по толщине пластинки, согласно пара-
болическому закону, получаем с помощью уравнения (i)
Рис. 60.
Если закон синусоидального распределения задан уравнением
. nw,x пку , г
?==tfosin—— stii —, (m)
где т и л суть целые числа, то мы, поступая аналогично преды-
дущему, получаем для изогнутой поверхности следующее выражение:
128 СВОБОДНО ОПЕРТАЯ ПРЯМОУГОЛЬНАЯ ПЛАСТИНКА {ГЛ V
из которого с помощью дифференцирования легко можно получить
выражение для изгибающего и крутящего моментов.
28. Решение Навье для свободно опертой прямоугольной
пластинки. Решением предыдущего параграфа можно воспользоваться
при вычислении прогибов, вызванных в свободно опертой прямо-
угольной пластинке любым типом нагрузки, заданной уравнением
?=/(». У). (а)
С этой целью представим функцию f (х, у) в виде двойного тригоно-
метрического ряда1)
/<». у>=2 2“"«si"'!?Ls,n'TL- <128)
т-1 п-1
Чтобы определить какой-либо определенный коэффициент ат’П' этого
.ряда, умножаем обе части уравнения (128) на sin " dy и интегри-
руем от О до Ь. Заметив, что
ь
Г . ту , л'жу , „ , ,
/ sin -у sin -у- dy ~ О. если и п •
о
ь
Г . ту . л'яу . Ь
I sm-y-sin = если п = п .
о
находим таким путем
b со
f f (х, у) sin dy = 2 fl™«' sln "7^ • <Ь)
О т-1
Умножая обе части уравнения (с) на sin—~~dx и интегрируя от О
до а, получим
///(х. Jl)sln sin
О о
*) Первое решение задачи об изгибе свободно опертой прямоугольной
пластинки и применение для этой цели двойного тригонометрического ряда
принадлежит Навье, который представил доклад на эту тему во Французскую
Академию наук в 1820 г. Краткое содержание этого доклада было опубак-
ковано в Bull. Soc. pbll.-math., Париж, 1823. Рукопись его хранится в би-
блиотеке Парижской школы мостов и дорог.
ИГ РЕШЕНИЕ НАВЬЕ ДЛЯ ПРЯМОУГОЛЬНОЙ ПЛАСТИНКИ 129
эткуда
4 Г Г t, , т’пх , п'-ку . . ,, _п.
в»»’л' = 7^\/ J f(x, у)sin—— sin—^-dxdy. (129)
оо-
Произведя предписанное выражением (129) интегрирование для за-
панного нам распределения нагрузки, т. е. для заданной f(x, у),
йы найдем коэффициенты рзда (128) и таким путем представим задан-
ную нам нагрузку как сумму частичных синусоидальных нагрузок.
Ьрогиб, производимый каждой такой частичной нагрузкой, был опре-
делен в предыдущем параграфе; полный же прогиб будет получен
рутем суммирования членов, аналогичных выражению (127). Таким
р-бразом, найдем
•“Я Ё Ё SL. (130)
тл* \ fl2 + Ьг )
-Разберем в качестве примера применения общего решении (130)
Подучай нагрузки, равномерно распределенной по всей поверхности
доастинки. В этих условиях
/<*. в)=®,.
ег q0— интенсивность равномерно распределенной нагрузки. Фор-
да (129) дает нам для это!*о случая
= Г -(c)
п,п ab J J a b * г?тп ' '
о о
т и п—нечетные целые числа. Если т или п по отдельности
Э*ли оба вместе числа четные, то атп обращается в нуль. Подставляя
Wo значение в уравнение (130), находим
где т = 1, 3, 5, ... и n = 1, 3, 5, ...
; Под равномерной нагрузкой поверхность прогибов получится
: Симметричной относительно осей х = а[2 и у=й/2; при этом все
Члены с четными значениями т или п в ряде (131) исчезнут, будучи
Несимметричными относительно указанных осей. Максимальный про-
гиб пластинки получится в центре н определится подстановкой
5 С. П. Тимошенко, С. ВоВновскиЛ-Кригер
1ГЛ. v
130 СВОБОДНО ОПЕРТАЯ ПРЯМОУГОЛЬНАЯ ПЛАСТИНКА
л = с/2, у = 6/2 в формулу (131)
(132)
Этот ряд быстро сходится, и удовлетворительное приближение до-
стигается уже одним лишь его первым членом, который, например,
для случав квадратной пластинки дает
«^ = -^£-=0.00418«£-.
или, подставив сюда вместо D выражение (3) и приняв v = 0,3,
0,0454 -g .
Погрешность этого результата составляет около 21/29й (см. табл. 8
на стр. 143).
Выражение (132) позволяет нам убедиться в том, что прогибы
двух пластинок одинаковой толщины и с одинаковым отношением
сторон а/b возрастают пропорционально четвертой степени длины
сторон.
Выражения для изгибающего и крутящего моментов могут быть
получены из общего решения (131) с помощью уравнений (101)
и (102). Полученные при этом ряды сходятся не так быстро, как
ряд (131), и потому в дальнейшем изложении (см. § 30) нами будет
приведена другав форма решения, более удобная для расчетных опе-
раций. Так как моменты выражаются через вторые производные
ряда (131), то их максимальные значения при постоянстве и D
будут пропорциональны квадрату линейных размеров. А так как
полная нагрузка пластинки, равная qrfib, также пропорциональна
квадрату линейных размеров, то мы приходим к выводу, что в двух
пластинках одинаковой толщины и с одинаковым отношением сто-
рон а/b максимальные изгибающие моменты, а следовательно и мак-
симальные напряжения, при равенстве полных нагрузок на обе пла-
стинки будут также равны1).
28. Дальнейшие применения решения Навье. Из выкладок
предыдущего параграфа очевидно, что прогиб свободно опертой
прямоугольной пластинки (рис. 59) всегда может быть представлен
*) Этот вывод был установлен Мариоттом (Mariotte) в его труде «ТгаИё
du mouvement des eauxs, изданном в 1686 г.; см. научиме труды Мариотта,
Новое изд, т. 2, стр. 467, 1740.
ж
aw
ДАЛЬНЕЙШИЕ ПРИМЕНЕНИЯ РЕШЕНИЯ НАВЬЕ
131
в виде двойного тригонометрического ряда (130), коэффициенты а,„„
которого определяются уравнениями (129).
Применим этот результат к случаю нагрузки, равномерно рас-
пределенной по площади прямоугольника, показанного на рис. 61.
В силу уравнений (129) имеем
Е+К/2 Ч+т/2
4Р [‘ Г . тпх . ппу , .
— / / sm------sin—; dxdy
.mti abuv J J a b
йли
lrr,n
KP . mst$ . . mnu nr.v , .
= ----sm------sin—,-sin -Jr—sin -хг-. (a)
i&mnuv a b 2a 2b ' '
<{. Если, в частности, £=«/2, а = а
-0=0, то уравнение (а) приводит к выра-
жению (е), полученному в § 28 для равно-
мерно нагруженной пластинки. Другой интересный в практических
применениях случай относится к загружению пластинки сосредото-
ченной силой, приложенной в заданной точке х —y = »j. Поло-
жив в уравнении (а), что и и -о стремятся к нулю> приходим к вы-
ражению
4P . rrnil . znnj
= —j- sm--------sin -j-i-,
n,n ab a b
(Ь)
ft из (130) находим прогиб
°’ . mz? . nr.y
w = X' "V sin £5*.sin . (133)
rfabD / । / \ /ms n2 \ a b ' '
Этот рзд быстро сходится, и мы сможем получить с удовлетвори-
тельной точностью прогиб в любой точке пластинки, взяв всего лишь
несколько первых членов рада. Вычислим, например, прогиб в сере-
дине, где приложена также и нагрузка. В этом случае i=x = a/2,
\=у=Ь/2. и тогда ряд (133) дает
где. nt =1, 3, 5, H l, 3, б, ... Для квадратной пластинки
выражение (с) принимает вид
____ЛРа2 vi Vi 1
Zj Zj (те24-л!)2 *

5’
132 СВОБОДНО ОПЕРТАЯ ПРЯМОУГОЛЬНАЯ ПЛАСТИНКА [ГЛ V
Взяв в нем четыре первых члена, находим
0,ОП21Рв2
^шах £) •
т. е. виачение, приблизительно на 3*/8% меньшее в сравнении с точ-
ным определением (см. табл. 23, стр. 167)..
Что же касается ряда (128), выражающего величину сосредото-
ченной нагрузки, то он расходится при x = t, у=тр то же, следо-
вательно, относится и к рядам, представляющим изгибающие моменты
и перерезывающие силы в точке приложения нагрузки.
Рассмотрим теперь выражение
w—К (х, у, Е, tj)
. nwn . тпх . яп»
,____________Sin -- sin —— sin---sin —r-L-
= 22------------------a (134)
: которое согласно уравнению (132) представляет прогиб, производи-
мый единичной нагрузкой Р = 1, и для которого обозначение
К(х, у, Е, ч) введено ради краткости.
Если х и у рассматривать как переменные, то ч»~К(х, у, Е, т|)
будет уравнением упругой поверхности пластинки, загруженной си-
лой Р=1 в фиксированной точке х~ Е, у=ч- Если же считать
переменными координаты Е, у, то уравнение (134) будет описывать
поверхность влиянии для прогиба пластинки в фиксированной точке
х, у; при этом положение неремещающейси точки приложения со-
средоточенной нагрузки будет указываться координатами Е, »?. Отсюда
нетрудно определить прогиб в любой точке пластинки и в том слу-
чае, если она подвергается действию нагрузки интенсизностью /($f gj),
распределенной по некоторой площади А. Действительно, приложив
элементарную нагрузку /(Е, в точке jc = E. у=ч] и исполь-
зовав принцип наложения, найдем прогиб
w=f f /(£. ii)K(x, у. E, Tj)rfErfTj, (135)
где двукратное интегрирование распространяется по загруженной
площади, а К(х. у, Е, ц) подставляется в виде (134).
Функцию К{х, у, Е, тд) называют иногда функцией Грина для пластинки.
В виде, представленном уравнением (134), эта функция отвечает граничным
условиям свободно опертой прямоугольной пластинки. Многие свойства
функции Грина не зависят, однако, ог этих’ ограничений. Например, свойство
симметрии, выражающееся равенством
К(х, У. 1J) = K(5, ч, X, У)
ДРУГОЙ СПОСОБ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧИ ДЛЯ ПРДМОУГ. ПЛАСТИНКИ 133
до'выводимое из хорошо известной теории взаимности Максвелла1), легко
Подтверждается в частном случае функции (134).
s. Используем теперь решение Навье еще в одном частном случае загру-
^кення пластинки силами Р, равномерно распределенными но площади круга
}йддиуса с с центром в точке х = Е, у = Вводя полярные координаты р, в
^началом в центре загруженной площади и заменив элементарную пло-
Йцядь dkdy в уравнении (129) площадью qdpdb, получим из этого послед-
Жго урзанения
f f “° "”g+t“s|i>,sin”<3.+e™s>.«!>
mn ab J J a b r r ' '
о о
&круг p = c остается целиком внутри контура пластинки, вычисление
ала (d) приводит к выражению5)
&Р , , , . тп? . mvn
Jl (7ияС) ып—“тг •
(е)
^.фтором 7тв = л |^(пг/й)84-(п/^)2. а Л(ТилС)—бесселева функция первого
юрядка от аргумента цтпс. Искомый прогиб находим теперь подстановкой
(ЙрАжения (е) в уравнение (130).
убеждаемся, что форма решения Навье остается простой
ЙВке в сравнительно сложных случаях распределения нагрузки,
^другой стороны, двойные ряды этого решения непригодны для
йЛучвиия численных ревультатов, в особенности если в них входят
йюизводные высших порядков от функции w. Поэтому ниже мы
йдакем иной путь к решению задачи изгиба для прямоугольной ила-
давки, более пригодный для этой цели.
30. Другой способ решения задачи для свободно опертой
Йвномерио нагруженной прямоугольной пластинки. Исследуя за-
{йчу об изгибе прямоугольной пластинки, даа противоположных края
Ерторой свободно оперты, М. Леви3) подал мысль принять решение
tsuiBAe ряда
«эч
fjUte Ym есть функция одного лишь у. При этом предполагается, что
^ая х = 0 и х = а (рис. 62) свободно оперты. Поэтому каждый
£-------------
V ') См., например, Timoshenko S., Young D. Н., Theory of struc-
tures, стр. 250, 1945.
s) Cm. Woinowsky-Krleger S., Ingr.-Arch., t. 3, 240, 1932.
K" *) Cm. Corapt. rend., t. 129, стр. 535—539, 1899. Это решение было ис-
аюльзовано в нескольких частных саучаях изгиба прямоугольной пластинки
®Эстаиавом (Estanave Е., Thfeses, Париж, 1900). В этой работе показано
[Преобразование двойного ряда решения Навье в простой ряд Леви,
134 СВОБОДНО ОПЕРТАЯ ПРЯМОУГОЛЬНАЯ ПЛАСТИНКА [ГЛ V
член ряда (136) удовлетворяет на этих двух краях граничным усло-
виям те = О и 62w/d№ = 0. Остается определить Ут так, чтобы
удовлетворялись граничные условия на краях у—i#/2, а также
уравнение изогнутой поверхности
d*w iq <?4w , й4г» д
дх*ду* >’dyr = ~D
(а)
В приложения этого метода к равномерно нагруженной и сво-
бодно опертой прямоугольной пластинке можно внести дальнейшие
упрощения, если принять решение уравнения (а) в виде1)
w - ’ «'j (Ь)
и положить
®1 = — I »’>) (с)
Рис. 62.
т. е. приравнить прогибу равномерно нагру-
женной полоски, параллельной оси х. Это усло-
вие удовлетворяет уравнению (а), а также гранич-
ным условиям на кравх х = 0 и х—а.
Выражение и>2 должно, очевидно, удовлетво-
рять уравнению
। I дЧе>г —О <1371
> 2 дх*ду3 + йу4 — U‘
Кроме того, его Тследует выбрать таким образом, чтобы сумма (Ь)
удовлетворяла всем граничным условиям пластинки. Взав w2 в виде
ряда (136), где в силу симметрии т—1, 3, 5.......и подставив это
в уравнение (е), получим
Это уравнение останется справедливым для всех значений х лишь
при том условии, если для Ут имеет силу соотношение
(Ф
) Эта форма решения была применена Налай (Nadal А„ Forschungs-
arbelten, № 170 и 171, Берлин, 1915); см. также его книгу «Упругие пла-
стинки» (Elastische Flatten), Берлин, 1925.
ДРУГОЙ СПОСОВ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧИ ДЛЯ ПРЯМОУГ ПЛАСТИНКИ 135
?Для общего интеграла этого уравнения можно принять вил1)
‘ * m D \ т а ' т а а 1
+ C„sh^ + D„^ch^). (138)
1 т а т а а f '
Заметив, что изогнутая поверхность пластинки симметрична отно-
сительно оси х (рис 62), удерживаем в выражении (138) лишь
Учетные функции от у и полагаем постоянные интегрирования
Изогнутая поверхность (Ь) представится тогда следующим вкра-
плением:
S’ = SW (*• — 2“*"+ <Л*> +
+ О(л„с1,^.+В„^81,=)81„=£, (е)
которое удовлетворяет уравнению (е), а также граничным условиям
? ца кравх х — 0 и х = а. Теперь остается лишь определить постоян-
йые интегрировании Ат и Вт с таким расчетом, чтобы выполнялись
граничные условия
два кравх у—+ А/2. Начнем с того, что рааложим выражение (с)
^В тригонометрический ряд, что нам даст2)
;Тде 'т=1, 3, 5,____Изогнутая поверхность (е) представится теперь
„> виде
. т=1
где. т~1, 3, 5,____ Подставив это выражение в граничные усло-
.'вия (f) и прибегнув к обозначению
*. тлтьЪ п ,
= и
') Несколько иную форму для Ym, более удобную для выполнения не-
которых частных видов граничных условий, предложил Папкович П. Ф.,
Прикладн. мат, мех., ж. 5, 1941.
s) См. Тимошенко С. П., Сопротивление материалов, т. 2, стр. 46,
М., 1946.
136
СВОБОДНО ОПЕРТАЯ ПРЯМОУГОЛЬНАЯ ПЛАСТИНКА
(ГЛ. V
получим следующие уравнения для определения постоянных Ат и В,п:
и?+A.ch а«+°-^в- 8,1 “»=°-
(А.+2вш>ch “«+°тВт sb а„ = 0.
откуда
т «5msch a^ ’ т it°m5chaTO '
Подставив эти значения постоянных в уравнение (g), получим изо-
гнутую поверхность пластинки, удовлетворяющую уравнению (а) и
граничным условиям, в следующем виде:
J5 >[
+-5fc48hV]sl"-T- <139>
Прогиб в любой точке можно вычислить из этого уравнения с по-
мощью таблиц гиперболических функций1)- Максимальный прогиб
получается в середине пластинки (х = о/2, j = 0), где он равен
„ у <-'П~ /1 m
т-1, 3, 5, ...
Если здесь пренебречь вторым членом в скобках, то этот ряд пред-
ставит прогиб в середине равномерно нагруженной полоски. По-
этому выражение (j) мы можем представить в следующем виде:
®Wi— 384 £) т* 2cham * (140>
«я-1. 3. в» ...
Ряд в этом выражении сходится очень быстро ®), и достаточная точ-
ность будет достигнута, если мы ограничимся одним лишь первым
членом. Взяв в качестве примера квадратную пластинку, получим из
уравнения (h)
*1 См., например, Tables of circular and hyperbolic sines and cosines, 1939,
в Table of circular aBd hyperbolic tangents and cotangent. 1943, Columbia
University press, Нью-Йорк; далее: British Association for the advancement of
Science, Mathematical Tables, 3-е изд., т. 1, Cambridge University press, 1951;
наконец: Losch F., Siebenstellige Tafeln der elenieetaren transzendenten
FunktioneB, .Берлин, 1954.
Мы полагаем; что b 2g а, как на рис. 62.
” ДРУГОЙ СПОСОБ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧИ ДЛЯ ПРЯМОУГ. ПЛАСТИНКИ 137
уравнение (140) двст нам
w Т- - (°-68662— 0.0002S 4- ...) = 0,00406
Йы видим, что вторым членом ряда в скобках можно пренебречь и
део, взяв один лишь первый член» мы получим формулу прогиба,
Й&шую до трех значащих цифр.
F- С помощью формулы (140) мы получаем возможность придать
выражению максимального прогиба пластинки следующий вид:
®mi=a7p (141)
Й1е а—численный коэффициент, зависящий от отношения Ь{а сто-
pep пластинки. Значения а приводятся в таблице 8 (стр. 143).
е' Изгибающие моменты Мх и Му вычисляются с помощью выра-
рёння (е). Подставив алгебраическую часть этого выражения в урав-
йЫяя (101), находим
(к.
Подстановка же ряда на выражения (е) в те же уравнения даст
Ж* = (1 — V) 9«2~2 У и2 [ Ch +
+ 54^sh^-1^.ch^)]sIn^.
=—(1 — У rrfich+
(I)
Иелные значения изгибающих моментов будут получены суммирова-
нием выражений (к) и (I). Выражения для изгибающих моментов по
реи х принимают вид
* Л1=1,3,5, ...
pi-1,3,5,...
138 СВОБОДНО ОПЕРТАЯ ПРЯМОУГОЛЬНАЯ ПЛАСТИНКА
Оба ряда быстро сходятся, и моменты легко из них щ
Таблица 6 g '
Коэффициенты ₽' и для изгибающих моментов свободно опертой прямоугольной пластинки
под равномерным давлением q (v = 0,3, &>«)
Ь/а лл=₽,$в2, У=0 лу = з{?а2, у=о
х=0,1а X=0,2в -г=0,Зя г—0,4а •г=0,5а Х=0,1в х=0,2в х=гО,За * = <Мв х=0,5а
1,0 0,0209 0,0343 0,0424 0,0466 0,0479 0,0168 0,0303 0.0400 0,0459 0,0479
1,1 0,0234 0,0389 0,0466 0,0541 0,0554 0,0172 0,0311 0.0412 0,0475 0,0493
1,2 0,0256 0,0432 0,0545 0,0607 0,0627 0,0174 0,0315 0,0417 0,0480 0,0501
1,3 0,0277 0,0472 0,0599 0,0671 0,0694 0,0175 0,0316 0,419 0,0482 0,0503
1,4 0,0297 0,0509 0,0649 0,0730 0,0765 0,0175 0,0315 0,418 0,0481 0,0502
1,5 0,0314 0,0544 0,0695 0,0783 0,0812 0,0173 0,0312 0,0415 0,0478 0,0498
1,6 0,0330 0,0372 0,0736 0,0831 0,0862 0,0171 0,0309 0,0411 0,0472 0,0492
1,7 0,0344 0,0599 0,0773 0,0874 0,0908 0,0169 0,0306 0,0405 0,0466 0,0486
13 0,0357 0,0623 0,0806 0,0913 0,0948 0,0167 0,0301 0,0399 0,0459 0,0479
1,9 0,0368 0.0644 0,0835 0.0948 0,0985 0.0165 0,0297 0.0393 0,0451 0.0471
2,0 0,0378 0,0663 0,0861 0,0978 О.ЮЦ 0,0162 0,0292 0,0387 0,0444 0.0464
2,5 0,0413 0,0729 0,0952 0,1085 0,1129 0,0162 0,0272 0,0359 0,0412 0,0430
3,0 0,0431 0,0763 0,1000 0,1142 0,1189 0,0145 0,0258 0,0340 0,0390 0,0406
4,0 0,0445 0,0791 0,1038 1 0,1185 0,1235 0,0138 0,0246 0,0322 0,0369 0,0384
со 0,0450 0,0800 0,1050 0,1200 0,1250 0,0135 0,0240 0,0315 0,0360 0,0375
• Таблица 7 g
« # S
Коэффициенты S и для нагибающих моментов свободно опертой прямоугольной пластинки
под равномерным давлением д (ч=0,3, Л>а)
Ь/а М^^яа2, х£а/2 х=аП
у™о,4в у—0,3а у=о.2а у «"0,1а №•0 у=0,3а у=0,2а у=0,1а
1,0 0,0168 0,0303 0,0400 0,0459 0,0479 0,0209 0,0343 0,0424 0,0466 0,0479
1.1 0,0197 0,0353 0,0465 0,0532 0,0554 0,0225 0,0363 0,0442 0,0481 0,0493
1.2 0,0225 0,0401 0,0526 0.0600 0,0627 0,0239 0,0379 0,0454 0,0490 0,0501
13 0,0252 0,0447 0,0585 0,0667 0,0694 0,0252 0,0391 0,0462 0,0194 0,0503
1.4 0,0275 0,0491 0,0639 0,0727 0,0765 0,0263 .0,0402 0,0470 0,0495 0,0502
1,5 0,0502 0.0532 0,0690 0,0781 0,0812 0,0275 0,0410 0,0470 0,0498 0,0498
1,6 0,0324 0,0571 0,0737 0,0832 0,0862 0,0288 0,0417 0,0471 0,0489 0,0492
1,7 0,0343 0,0607 0,0780 0,0877 0,0908 0.0295 0,0423 0,0470 0,0484 0,0486
1,8 0,0371 0,0541 0,0819- 0,0917 0,0948 0,0304 0,0428 0,0469 0,0478 0,0479
1,9 0,0392 0,0673 0,0854 0,0953 0,0985 ' 0,0314 0,0433 0,0467 0,0472 0,0471
2,0 0,0413 0,0703 0,0887 0,0986 . 0,1017 0,0322 0,0436 0,0464 0.0465 0,0464
2,5 0,0503 0.0828 0,1012 0,1102 0,1129 0,0360 0,0446 0,0447 0,0435 0,0430
3 0,0586 0,0923 0,1092 0,0068 0,1189 0,0389 0,0447 0,0431 0,0413 0,0406
4 0,0723 •, 0,1054 0,1180 0,1224 0,1235 0,0426 0,0436 0,0406 0,0389 0,0384
0,1250 0,1250 0,1250 0,1250 0,1250 0,0375 0,0375 0,0375 0,0375 0,0375

о
8
га
I
S
б
ч
з
142 Свободно опертая прямоугольная пластинка
Абсолютные значения этих перерезывающих сил достигают
Тяб5ги'йа'8
Коэффициенты а, ₽, у, 8, п для равномерно нагруженной свободно опертой прямоугольной пластинки
Ь/а i.|o “в J £ J £ Я J су Л £ X 4
в (3 3, т h S 3, л
1.0 0,00406 0,0479 0,0479 0,338 0,338 0,420 0,420 0,065
1,1 0,00485 0,0554 0,0493 0,360 0,347 0,440 0,440 0,070
1,2 0,00564 0,0627 0,0501 0,380 0,353 0,455 0,453 0,074
1.3 0,00638 0,0694 0,0503 0,397 0,357 0,468 0,464 0,079
1,4 0,00705 0,0755 0,0502 0,411 0,361 0,478 0,471 0,083
1.5 0,00772 0,0812 0,0498 0,424 0,363 0,486 0,480 0,065
1.6 0,00830 0,0862 0,0492 0,435 0,365 0,491 0,485 0,065
1,7 0,00883 0,0908 0,0486 0,444 0,367 0,496 0,488 0,088
1,8 0,00931 0,0948 0,0479 0,452 0,368 0,499 0,491 0,090
1,9 0,00974 0,0985 0,0471 0,459 0,369 0,502 0,494 0,091
2,0 0,01013 0,1017 0,0464 0,465 0.370 0,503 0,496 0,092
3,0 0,01223 0,1189 0,0406 0,493 0,372 0,505 0,498 0,093
4,0 0,01282 0,1235 0,0384 0,498 0,372 0,502 0,500 0,094
5,0 0,01297 0,1246 0,0375 0,500 0,372 0,501 0,500 0,095
со 0,01302 0,1250 0,0375 0,500 0,372 0,500 0,500 0,095
СВОБОДНО ОПЕРТАЯ ПРЯМОУГОЛЬНАЯ ПЛАСТИНКА
Эти силы направлены вниз и противодействуют вершинам пластинки
приподниматься при ее изгибании. Значения коэффициента п даются
в последнем столбце таблицы 8.
Значения коэффициентов а, р. и S в функциях отношения Ь/а
предстаялены кривыми на рис. 64.
к
Рис. 65.
При наличии сил /?, направленных вниз и не являющихся пренебрежимо
малыми, в вершинах пластинки должна быть предусмотрена анкеровка, если
пластинка не соединена жестко с опор-
ными балками.
Для определения возникающих в
вершине моментов исследуем равнове-
сие треугольного элемента аЬс пластин-
ки у вершины (рис. 65), введя с этой
целью новые координаты /, 2, образую-
щие углы в 45° с координатами х, у
рис. 59. Непосредственно убеждаемся
в том, что изгибающие моменты, дей-
ствующие по крзнм аЬ и сЬ элемента,
равны соответственно = —-Д/2 и
Л12 = -р /?/2, моменты же кручения
равны нулю. Действительно, пользуясь
уравнением (39) для стороны ас, т. е. для элемента края, заданного углом
а — — 45°, в соответствия с гранкчными условиями свободно опертой пла-
стинки, находим изгибающий момент
Мп = Al, cos2Aft sin2а = О,
ПРЯМОУГОЛЬНАЯ ПЛАСТИНКА ПОД ГИДРОСТАТИЧЕСКИМ ДАВЛЕНИЕМ 145
личина крутящего момента, приложенного к этому же элементу края, опре-
ляется аналогично из уравнения (40). Положив в нем а =— 45°, находим
= у s!n 2, (А1, - АВД = Д •
j« это видно из уравнения (г). Таким образом, участок пластинки, примы-
йощий к вершине, изгибается в аятикластическую поверхность, поскольку
вменты ± /?/2 в самой вершине имеют тот же порядок величины, что и
[Гибающие моменты в середине пластинки (см. табл. 8).
’ Эффект защемления вершины свободно опертой пластинки без труда
(свяется из распределения изгибающих моментов Mt и Л42 квадратной вла-
дении (рис. 63). Если против приподнятия этих вершин в прямоугольной
Йстинке не принято надлежащих мер, защемление становится неэффектив-
ен, и в связи с этим изгибающие моменты в центральном участке пла-
Щнки возрастают. Поэтому приводимые в таблице 8 значения (Мх)тах
ледует умножать на некоторый коэффициент k > 1. Его прнбли-
фпюе значение может быть определено из формулы *):
в«_
- Следует заметить, что в свободно опертой по краям многоугольной пла-
Ййке никаких реактивных сил в ее вершинах не возникает, если края ее
йесекаются под углами, отличающимися от прямого ®).
£.Но даже и в прямоугольных пластинках мы не получим реакций в вер-
&ах, если учтем поперечную деформацию сдвига. В сяязи со значительной
Йадентрацней реактивных сил этой деформацией сдвига, очевидно, нельзя
пренебречь, и тогда полностью игнорирующая их обычная теория тол-
пластинок должна быть заменена более точной теорией. Ею мы займемся
;S .39, она действительно приводит к такому распределению реактивных
й&ений, в котором сосредоточенные силы в вершинах пластинки отсут-
Я»уют (см. рис. 81).
fcSl. Свободно опертая прямоугольная пластинка под гмдро-
Вмическим давлением. Положим, что свободно опертая примо-
рзльиая пластинка нагружена, как показано на рис. 66. Поступая
ак н в случае раяномерно распределенной нагрузки, примем прогиб
Ййстинки в виде3)
? «а — Wi+W2, (а)
?- •) Эта формула, рекомендованная германскими техническими условиями
К. железобетону (1943), основана на теории гибких пластинок Маркуса; см.
Жго книгу; Marcus Н-, Die Vereinfachte Berechnung blegsamer Flatten, 2-e
рлин, 1925.
1 простым доказательством этого можно ознакомиться, например,
уса; см. Pie Theorie elastischer Gewebe, 2-е изд., стр. 46, Берлин,
)та задача была исследована Э. Эстанавом, цит. на стр. 133. Таблицы
ых значений моментов и прогибов были составлены Б. Г. Галерки-
кмлетенъ Политехнического института, СПб., тт. 26 и 27, 1918).
146 СВОБОДНО ОПЕРТАЯ ПРЯМОУГОЛЬНАЯ ПЛАСТИНКА [ГЛ V
где
= -.тл! (— — Ю»*' + 7аал)=
1 360/) \ а ' )
2 (ь>
я, = 1.2,3, ..
представляет собой прогиб полоски под нагрузкой, распределенной
по закону треугольника. Это выражение удовлетворяет дифферен-
циальному уравнению
। 9 d*w , d*w _ q _ qox
дх* ' дх*ду*~*~ ду* D ~~aD W
и граничным условиям
«’—О, '^^ — 0 для *=0 и х — а.
.Часть да2 принимается в виде ряда
«Ъ— У Ут sin ~~• (d)
гп = 1
где функции ¥т имеют тот же самый вид, что и в предыдущем пара-
графе, а т=1, 2, 3, ... Подставляв выражение (Ь) и (d) в урав-
нение (а), получаем
=?-<* ==]»>п^. (е)
где постоянные интегрирования Ат и Вт подлежат определению из
условий
„ дят _ , b
® = 0’ ^=° ДЛЯ уг=±2-'
Из этих условий находим
—ь л» С|1 “»+в»“»sh %=0.
(2В„ + Л,.J ch а„ + sh о.,, - 0.
В последних уравнениях по примеру прежнего пользуемся обозначе-
нием
tmtb
ат~~ 2а /
Решая уравнения, находим
J$f) ПРЯМОУГОЛЬНАЯ ПЛАСТИНКА ПОД ГИДРОСТАТИЧЕСКИМ ДАВЛЕНИЕМ 147
Прогиб пластинки по оси х равен

Для квадратной пластинки, т. е. для а — b, имеем
$8%,=0 = (и.002055 sin — 0,000177 sin ~ +
+ 0,000025 sin . (g)
Шрогиб в центре пластинки
,.,= °«20!T- <h>
Цак и должно бить, это состаяляет половину прогиба равномерно
Загруженной пластинки (см. стр. 130). Приравнивая производную
выражения (g) нулю, находим, что максимальный
'Прогиб имеет место в точке х = 0,557а. Этот мак-
симальный прогиб, равный 0.00206й/г4/0, отли-
вается лишь весьма незначительно от прогиба в се-
редине, определяемого формулой (h). Точка макси-
мального прогиба по мере возрастании отноше-
ния b/а приближается к центру пластинки. При
= со, как и для полоски (см. выражение
1(d).), максимальный прогиб получается в точке
& = 0,5193а. Если b(a<Z 1. точка максимального
прогиба с уменьшением отношения b/а удаляется
4>т центра. В таблице 9 приведены значения коэффи-
циента для прогиба ряда точек по осп х (рис. 66).
Мы видим, что по мере возрастания отноше-
ния bl а прогибы приближаются к значениям, вы-
деленным для полоски. При bfa=4 разница
Жёжду этими значениями составляет около l*/s%-
Для вычисления с удовлетворительной точностью
прогиба пластинки при отношении ее сторон Ь/а > 4 мы всегда вправе
.воспользоваться формулой (Ь) для прогиба полоски под нагрузкой,
изменяющейся по закону треугольника. Изгибающие моменты Мх и
А1у находятся путем подстановки выражения (е) для прогибов в урав-
нения (101). Для оси х, т. е. для у=0, выражение Мх примет вид
, 2 V 2(—1)’в+1 . тт.х .
<МЛ=о——sln a +
1И=1
+wvVm4(i-v)z„. 2>и,в|Ь1п";'. (1)
' 148 свовоДйо опем-ая прямоугольная пластинка (гл. v
Таблица 9
Коэффициент « для прогибов свободно опертой
прямоугольной пластинки под гидростатическим давлением
<1 — ДО/О, — aqBo-*!D {у = О, Ь > а)
Ыа *=0,25а х=О,60а ж=о,75а
1 0,00131 0,00203 ' 0,00201 0,00162
1,1 0,00158 0,00243 0,00242 0,00192
1.2 0,00186 0,00282 0,00279 0,00221
1,3 0,00212 0,00319 0,00315 0,00248
1.4 0,00235 0,00353 0,00348 0,00273
W 0,00257 0,00386 0,00379 0,00296
1,6 0,00277 0,00415 0,00407 0,00317
1,7 0,00296 0,00441 0,00432 0,00335
1,8 0,00313 0,00465 0,00455 0,00353
1,9 0,00328 0,00487 0,00475 0,00368
2,0 0,00342 0,00506 0,00494 0,00382
3,0 0,00416 0,00612 0,00592 0,00456
4,0 0,00437 0,00641 0,00622 0,00477
5,0 0,00441 0,00648 0,00629 0,00483
со 0,00443 0,00651 0,00382 0,00484
Первая сумма в правой части этого выражения представляет собой
изгибающий момент в полоске от нагрузки, распределенной по закону
треугольника, равной (ох — j. Введя выражения (f) для по-
стоянных Ат и Вт во вторую сумму, получим
(^л)у=0~ е
_ qD(a*x—X8) V (—1)Ф+1 го 1/1 !<;„ ягя-с /,>
Полученный таким путем ряд быстро сходится, и несколько первых
его членов дают уже достаточно точное значение Мх. Таким обра-
зом, изгибающий момент в любой точке оси х может быть предста-
влен уравнением
(Ч
где р— численный коэффициент, зависящий от абсциссы х точки.
Подобным же образом получаем
<Му),_„=₽,»|1о2. (1)
Численные значения коэффициентов р и р,, входящих в формулы (к)
и (1), приводятся в таблице 10. Из нее видно, что при мо-
S'ПРЯМОУГОЛЬНАЯ ПЛАСТИНКА ПОД ГИДРОСТАТИЧЕСКИМ ДАВЛЕНИЕМ 149
Йиы весьма близки к значениям их в полоске, находящейся под
Йствием нагрузки, распределенной по закону треугольника.
|эффициенты f и h Для изгибающих моментов свободно опёртой
' прямоугольной плаетинки под гидростатическим давлением
; q = qoX/a (v = 0,3, Ь > а)
Мл=₽aV( ,y^o «у“₽№- У=0
S £ i 8 8 e

H 4
H;i 0,0132 0,0239 0,0264 0,0259 0,0149 0,0239 0,0245 0,0207
0,0156 0,0276 0,0302 0,0239 0,0155 0,0247 0,0251 0,0211
0,0179 0,0313 0,0338 0,0318 0,0158 0,0250 0,0254 0,0213
US 0,0200 0,0346 0,0371 0,0344 0,0160 0,0252 0,0255 0,0213
MA 0,0221 0,0376 0,0402 0,0367 0,0160 0,0253 0,0254 0,0212
& L U7 0,0239 0,0406 0,0429 0,0388 0,0159 0,0249 0,0252 0,0210
0,0256 0,0431 0,0454 0,0407 0,0158 0,0246 0,0249 0,0207
0,0272 0,0454 0,0476 0,0424 0,0155 0,0243 0,0246 0,0205
Ito 0,0286 0,0474 0,0496 0,0439 0,0153 0.0239 0,0242 0,0202
0,0298 0,0492 0,0513 0,0452 0,0150 0,0235 0,0238 0,0199
0,0309 0,0508 0,(629 0,0463 0,0148 0,0232 0,0234 0,0197
1 3,0 0,0369 0,0594 0,0611 0,0525 0,0128 0,0202 0,0207 0,0176
I 0,0385 0,0517 0,0632 0,0541 0,0120 0,0192 0,0196 0,0168
1Б 0,0389 0,0623 0,0638 0,0546 0,0118 0,0187 0,0193 0,0166
1 0,0391 0,0625 0,0640 0,0547 0,0117 0,0187 0,0192 0,0165
‘^Уравнения (106) и (107) используются также для вычисления
Йёрезывающих сил. Первое из этих уравнений с помощью выраже-
£.(]) дает нам эти силы для точек оси х
►7 _____fy д (d’w д2ив\
“ и дх \дх* •+ йу2 )у=0
___gp (og—Зха) _ 2gc« V (—l)w+1 . tn*JC
6л т? macham а
(Общие выражения перерезывающих сил Qx и Qy суть:
<» z_nm+l ch
о Ы*-3**> 2go« у < 01 a
— 6a я2 Zj
/йяс11сЯ1 S*n a

mz ch ar
тм
cos---,
(m)
(П)
150
СВОБОДНО ОПЕРТАЯ ПРЯМОУГОЛЬНАЯ ПЛАСТИНКА
ггл v
Величина вертикальных опорных реакций Vx и Vy по краям полу-
чается путем алгебраического суммирования перерезывающих сил
с производными от крутящих моментов. Для сторон jc==O и х=а
эти реакции можно представить в виде
= ± 8уоа.
а для сторон у — ± i/2 в виде
(О)
(р)
где 8 и 8, — численные коэффициенты, зависящие от отношеннк bja
сторон и от координат взятой на краю точки. Ряд значений коэффи-
циентов дан в таблице 11.
Таблица 11
Коэффициенты 8 и 8, для опорных реакций свободно опертой
прямоугольной пластинки, находящейся под действием
гидростатического давления q = qBx!a («=0,3, Ь>а)
Ь,а Реакции iqt,a Реакции
ж=0 у=± 6/2
Т К I Я Т f 11 н § 11 В
1,0 0,126 0,098 0,294 0,256 0,115 0,210 0,234 0,239
1>1 0,136 0,107 0,304 0,267 0,110 0,199 0,221 0,224
1,2 0,144 0,114 0,312 0,276 0,105 0,189 0,208 0,209
1.3 0,150 0,121 0,318 0,284 0,100 0,178 0,196 0,196
1.4 0,155 0,126 0,323 0,292 0,095 0,169 0,185 1,184
1,5 0,159 0,132 0,327 0,297 0,090 0,160 0,175 0,174
1,6 0,162 0,136 0,330 0,302 0,086 0,151 0,166 0,164
1,7 0,164 0,140 0,332 0,306 0,082 0,144 0,157 0,155
1,8 0,166 0,143 0,333 0,310 0,078 0,136 0,149 0,147
1,9 0,167 0,146 0,334 0,313 0,074 0,130 0,142 0,140
2.0 3,0 0,168 0,149 0,335 0,316 0,071 0,124 0,135 0,134
0,169 0,163 0,335 0,331 0,048 0,083 0,091 0,039
4,0 0,168 0,167 0,334 0,334 о.озб 0,063 0,068 0,067
5,0 0,167 0,167 0,334 0,335 0,029 0,050 0,055 0,054
оо 0,167 0,167 0,333 0,333 — —
Величина сосредоточенных сил, которые необходимо приложить,
чтобы предупредить- приподнятие вершин пластинки прй ее изгибе,
$1] ПРЯМОУГОЛЬНАЯ ПЛАСТИНКА ПОД ГИДРОСТАТИЧЕСКИМ ДАВЛЕНИЕМ 151
Сможет быть найдена по значениям крутящих моментов Л4лу в вер-
шинах пластинки. Так как нагрузка несимметрична, то реакции
jipu х=0 и у=±£/2 отличаются от реакций /?2 на кРаях х = а
и у = + i/2. Эти реакции можно представить в следующем виде:
/?1 = ntqoat>, R2=n2<loab- (Ч)
Численные значения коэффициентов и п2 приведены в таблице 12.
Таблица 12
Коэффициенты п, и пг, входящие в уравнения (q), для
определения опорных реакций R, и R2 в вершинах углов
ч' свободно опертой прямоугольной пластинки, находящейся
” под давлением гидростатического давления д — д^х/а
Г (* = ОД»>а)
ь/а 1.0 м ‘2 w 1,4 1,5 1,6
п, «2 0,026 0,039 0,026 0,038 0,026 0,037 0,026 0,036 0,025 0,035 0,024 0,033 0,023 0,032
Ь/а v 1Д 1,9 2,0 зд 4,0 5,0
«1 «2 0,022 0,030 0,021 0,029 0,021 0,028 0,020 0,026 0,014 0,018 0,010 0,014 0,008 0.011
Поскольку равномерная нагрузка q0 получается в результате на-
ложения двух нагрузок, распределенных по закону треугольника.
*q~qcxla и q0(a—x)ja, то легко заключить, что сумма rtj-|-n2
^коэффициентов, приведенных в таблице 12, по умножении ее на Ь/а
должна дать в результате соответствующее тому же отношению Ь/а
’значение п из последнего столбца таблицы 8.
Если относительные размеры пластинки таковы, что а на рис. 66
больше, чем Ъ, то мы сможем получить ряд, который будет схо-
диться еще быстрее, предстаяив да, и w2 следующими выражениями:
».= ^X^.cos . (S)
т“1
Первое из этих выражений есть прогиб узкой полоски, параллель-
ной оси у, опертой по краям у ± bj‘2 и несущей равномерно рас-
пределенную нагрузку интенсивностью q^xja. Это выражение удо-
влетворяет дифференциальному уравнению (с), а также граничным
152
СВОВОДНО ОПЕРТАЯ ПРЯМОУГОЛЬНАЯ ПЛАСТИНКА
[ГЛ. V
Таблица 13
Коэффициент я для прогибов свободно опертой прямо-
угольной пластинки, находящейся под действием гидроста-
тического давления q = q^x/a (v =* ОД b > а)
О—®-. ,_0
а/Ь ж=0.25а х=0.50а ж=0,6Са x~0,7Sd
0,00325 0,00651 0,00781 - 0,00976
5 0,00325 0,00648 0,00778 0,00965
4 0,00325 0,00641 0,00751 0,00832
3 0,00321 - 0,00630 0,00692 0,00707
2 0,00288 0,00506 0,00542 0,00492
1.9 0,00281 0,00487 0,00518 0,00465
1.8 0,00270 0,00465 0,00491 0,00434
1.7 0,00261 0,00441 0,00463 0,00404
1.6 0,00249 0,00415 0,00432 0,00372
1,5 0.00234 0,00386 0,00399 0,00339
1 4 0,00218 0,00353 0,00363 0,00304
1.3 0,00199 0,00319 0,00325 0,00269
1,2 1.1 0,00179 0,00282 0,00288 0,00234
0,00153 0,00243 0,00245 0,00199
1,0 0,00131 0,00202 0,00201 0,00162
Таблица 14
Ковффициенты р и g, для изгибающих моментов в свободно опертой
прямоугольной пластинке, находящейся под действием
гидростатического давления д — q^x/a (* = ОД b< в)
а!Ь у=о
ж=0.25а ж=0.50а ж="0^Со х = 0,75а ДГ=0,25а х=О,50в ж=0,60в х=0,75я
со 0,0094 0,0187 0,0225 0,0261 0,0312 00625 0,0750 0,0937
5,0 0,0094 0,0187 0,0230 0,0309 0,0312 0,0623 0,0742 0,0877
4,0 0,0094 0,0192 0,0237 0,0326 0,0312 0,0817 0,0727 0,0820
3,0 0,0096 0,0202 0,0256 0,0345 0,0309 0,0594 0,0878 0,0715
2,0 0,0108 0,0232 0,0285 0,0348 0,0284 0,0508 0,0554 0,0623
1.9 0,0111 0,0235 0,0288 0,0346 0,0278 0,0492 0,0533 0,0498
1.8 0,0115 0,0239 0,0291 0,0341 0,0269 0,0474 0,0508 0,0470
1,7 0,0117 0,0243 0,0293 0,0377 0,0261 0,0454 0,0485 0,0442
1.6 0,0120 0,0246 0,0294 0,0331 0,0251 0,0431 0,0457 0,0412
1,5 0,0123 0,0249 0,0294 0,0324 0,0239 0,0406 0,0428 0,0381
1 4 0,0126 0,0253 0,0292 0,0315 0,0225 0,0376 0,0396 0,0348
1.3 0,0129 0.0252 0,0290 0,0304 0,0209 0,0346 0,0360 0,0314
1.2 0,0131 0,0250 0,0284 0,0291 0,0192 0,0313 0,0323 0,0279
1.1 0,0134 0,0247 0,0276 0,0276 0,0169 0,0276 0,0285 0,0245
1,0 0,0132 0,0239 0,0284 0,0259 0,0149 0,0239 0,0245 0,0207
ПРЯМОУГОЛЬНАЯ ПЛАСТИНКА ПОД ГИДРОСТАТИЧЕСКИМ ДАВЛЕНИЕМ 153
|г£ловиям да=0 и д2щ»/ду2 = 0 при у=±д/2. Выражение (sj пред-
ставляет собой бесконечный ряд, каждый член которого так же удо-
^иетворяет условиим на краях у = ± £/2. Функции Х2ш_] от х вы-
даны таким образом, что каждая из них удовлетворяет однородному
Таблица 15
»ффициенты я и для опорных реакций в свободно опертой при-
вольной пластинке, находящейся под действием гидростатического
давления q = qBx]a (v = ОД b < а)
?!ь Реакции бдо Реакции
x=a У=±Ь/2
У=0 у=6/4 y=o y=«/4 jr=0,2Sa ж=Ц5(И Jt=O,60<z л=0/5а
tco 0,125 0,250 0,300 0,375
| 5,0 0,003 0,006 0,092 0,076 0,125 0,250 0,301 0,379
f . 40 0,013 0,010 0,112 0,093 0,125 0,251 0,301 0,377
ь -3,0 0,023 0,018 0,143 0,119 0,125 0,252 0,304 0,368
Ж2,0 0,050 0,038 0,197 0,166 0,127 0,251 0,296 0,337
Bp 0,055 0,041 0,205 0,172 0,127 0,251 0,294 0,331
rf 1.8 0,050 0,045 0,213 0,179 0,128 0,249 0,291 0,325
/Г !-7 0,066 0,050 0,221 0,187 0,127 0,248 0,288 0,318
$1-6 0,073 0,055 0,250 0,195 0,127 0,245 0,284 0,311
g: t.5 0,080 0,060 0,240 0,204 0,127 0,243 0,279 0,302
Hu 0,088 0,067 0,250 0,213" 0,126 0,239 0.273 0,292
0,097 0,074 0,260 0,223 0,124 0,234 0,266 0,281
0,106 0,081 0,271 0,233 0,122 0,227 0,257 0,269
B'i.i 0,116 0,090 0,282 0,244 0,120 0,220 0,247 0,255
0,126 0,090 0,294 0,256 0,115 0.210 0.234 0,239
Таблица 16
Коэффициенты я, и п2, входящие в уравнения (q) § 31, для
определения оиорных реакций /?, и /?2 в вершинах углов
свободно опертой прямоугольной пластинки, находящейся
под действием гидростатического давления q = qBx!a
(*-03, b<a}
a/b 5 • • 2 I.» V
«I «а 0,002 0,017 0,004 •0,020 0,006 0,025 0,013 0,033 0,014 0,034 0,016 0,035 0,017 0,035
a]b i.ti 1.5 1,3 1,2 1,1 1,0
Л, «а 0,018 0,037 0,020 0,037 0,021 0,039 0,023 0,039 0,024 0,039 0,025 0,039 0,026 0,039
154 СВОБОДНО ОПЕРТАЯ ПРЯМОУГОЛЬНАЯ ПЛАСТИНКА (ГЛ V
уравнению (137) предыдущего параграфа (см. стр. 134), выражение
же (а) удовлетворяет граничным условиям на краях х=0 и х — а.
Поскольку метод определения функция Хъп- j сходен с тем, кото-
рый был уже использован нами выше для определения функций Ym,
ограничимся здесь лишь приведением окончательных численных ре-
зультатов в таблицах 13, 14, 15 и 16. Обозначения в этих табли-
цах те же, что и в ранее помещенных таблицах *для гидростатиче-
ского давлению
32. Свободно опертая прямоугольная пластинка под нагрузкой
в виде треугольной призмы. Положим, что интенсивность нагрузки
представлена, как показано на рис. 67. а, равнобедренным треуголь-
Рис. 67.
ником. Уравнение изогнутой поверхности
можно будет в этом случае, как и раньше,
выразить суммой
= (а)
где ч»! представляет собой прогиб свободно
опертой полоски, параллельной оси х, a чв2
имеет тот Же вид, что и в предыдущем па-
раграфе (уравнение (d)). Чтобы представить
прогиб чй, в виде тригонометрического ряда,
заметим, что прогиб, произведенный сосре-
доточенной силой Р, приложенной на рас-
стоянии Е от левого конца полоски *). равен
2Рая vr 1 • w1* • «кг
Гsm <- <»>
т-1
Подставив сюда qdb вместо Р и заметив, что q=2q$a при Е < с/2
и <7 = 2% (а — Е)/д при Е>о/2, получим прогиб полоски от эле-
ментарной нагрузки; тогда прогиб, произведенный всей распределен-
ной но полоске нагрузкой, определится интегрированием
4^о“2 V 1 »жл
41). , —- sin -------
* D-п* т1 а
2
f ssm^id<+

_ Sgpfl* у
(c)
') См. Тимошенко С. П., Сопротивление материалов, т. 2, стр. 48.
ПЛАСТИНКА ПОД НАГРУЗКОЙ В ВИДЕ ТРЕУГОЛЬНОЙ ПРИЗМЫ 155
Подставив это в уравнение (а) и воспользоваяшись уравнением (d)
^редыдушего параграфа, получим
§Это выражение удовлетворяет уравнению (113). а также граничным
ДОловиам на краях х —О и х = а\ постоянные Ат и Вт можно
шайти из условий на краях у = ± &/2, тех же самых, что и в пре-
дыдущем параграфе. Они дают нам
6(Х~+a.ch °»+°"=°-
рв„+Л„) ch «„ -ьвА, S1,0.
'jffle, как и ранее, мы пользуемся обозначением
тт.Ь
ат----^а~'
ЗРешая уравнения (е). находим
,а тРт6 ch ат
з -4<!) 2
т r.sme ch ат '
(0
Йтобы получить прогиб пластинки по оси х, положим у = 0
аважемйи (d). Тогда
(е)
вы-
8(—1)
.Максимальный прогиб будет в центре пластинки, где он равен

'Его можно представить в виде
£ QtP*
£де а — численны^ коэффициент, зависящий от отношение bja сторон.
Ряд значений этого коэффициента приведен в таблице 17
') Таблицы заимствованы из труда Б. Г. Галеркипа, цит. на стр. 145.
Таблица 17 g
Коэффициенты в, ?, г, а, л для свободно опертой прямоугольной пластинки под нагрузкой,
распределенной по закону треугольника (у = 0,3, b > в)
%
11» S £ £
и и и
о/я м д £ ! J Е 3
В £ э о?* ft:
• ₽ е, т Ъ а
1.0 0,00263 0,0340 0,0317 0,199 0316 0,147 0,250 00-38
1.1 0,00314 0,0390 0,0326 0.212 0,297 0,161 0,232 0,038
1.2 0,00364 0,0436 0,0330 0,222 0,280 0,173 0,216 0,037
1.3 0,00411 0,0479 0,0332 0,280 0,265 0,184 0,202 0,036
1.4 0,00455 0,0518 0.0331 0,236 0,250 0,193 0,189 0,035
1,5 0,00496 0,0554 0,0329 0,241 0,236 0,202 0,178 0,034 ‘
1.6 0,00,533 0X1586 0,0325 0,246 0,224 0,208 0,168 0,033
1,7 0,00567 0,0615 0,0321 0,247 0,212 0,214 0,158 0,031
1,8 0,00597 0,0641 0,0316 0,249 0,201 0,220 0,150 0,030
1.9 0,00625 0,0554 0,0311 0,251 0,191 0,224 0,142 0,029
2,0 0,00649 0,0685 0,0306 0,252 0,183 0,228 0,135 0,028
3,0 0,00783 0,0794 0,0270 0.253 0,122 0,245 0,090 0,019
03 0,00833 0,0833 0,0250 0,250 — 0,250 - -
СВОБОДНО ОПЕРТАЯ ПРЯМОУГОЛЬНАЯ ПЛАСТИНКА
' Коэффяциентй'ж; КЖ'Да^'ёвЮводйо впертой прямоугольной пластинки под нагрузкой,
распределенной по закону треугольника (v = 0,3, b < а)
а/ь й» «г Е г J £ Д g s? J o' и JI e? 4 | I ot
» р 1, т »i > *1 «
3,0 2,0 1,9 1.8 1.7 1,6 1,6 1.4 1.3 1,2 1,1 1,0 0,01302 0,00868 0,00686 0,00656 0,00624 0,00588 0,00549 0,00508 0,00464 0,00418 0,00367 0,00316 0,00263 0,0375 0,0387 0,0392 0,0392 0,0391 0,0390 0,0388 0,0386 0,0382 0,0376 0,0368 0,0356 0,0340 0,1250 0,0922 t 0,0707 0,0681 0,0651 0,0609 0,0585 0,0548 0,0508 0,0464 0,0418 0,0369 0,0317 0,045 0,091 0,098 0,106 0,115 0,124 0,135 0,146 0,158 0,171 0,185 0,199 0,500 0,442 0,412 0,407 0,402 0,396 0,389 0,381 0371 0,350 0,347 0,332 0,315 0,027 0,057 0,062 0,098 0,074 0,081 0,090 0,099 0,109 0,120 0,133 0,147 0,500 0,410 0,365 0,358 0,350 0,342 0,332 0,322 0,311 0,298 0,284 0,268 0,250 0,010 0,023 0,024 0,026 0,028 0,029 0,031 0,033 0,035 0,036 0,037 0,038

158 СВОБОДНО ОПЕРТАЯ ПРЯМОУГОЛЬНАЯ ПЛАСТИНКА [ГЛ. V
Воспользовавшись выражением (d) и поступая, как в предыдущем
параграфе, мы без затруднений можем получить выражения для изги-
бающих моментов Мх и Му. Максимальные значения этих моментов
в рассматриваемом случае имеют место, очевидно, в центре пластинки
и могут быть представлены в таком виде:
(^ж)«1аж = ₽?0О2.
(^уХпах = ^9ос2-
Значения численных коэффициентов р и р, также приведены в таб-
лице 17, В той же таблице даны, сверх того, и численные коэффи-
циенты 7, 7,, 8, £, и п для вычисление:
1) перерезывающих сил
(СлХпах = Т?« И «2у)шах —Т19о»
в серединах сторон х= 0 и у=— й/2 пластинки,
2) опорных реакций
Рис. 68.
в тех же точках и
3) сосредоточенных реакций R = nqoab в вершинах углов пла-
стинки. направленных вниз и препятствующих углам пластинки при-
подниматься при изгибе.
Все эти величины даны для b > а. Если b < а, то можно достиг-
нуть и лучшей сходимости, приняв долю
полного прогиба пластинки равной прогибу
полоски, параллельной оси у. Опускаем
выкладки и приводим в таблице 18 лишь
численные результаты.
Сочетая нагрузку, изображенную на
рис. 67, о, с раяномерной нагрузкой интен-
сивностью q0, получаем нагрузку, показан-
ную на рис. 68. Все сведения относительно прогибов и напряжений для
этого последнего случая могут быть получены путем сочетания дан-
ных таблицы 8 с соответствующими значениями таблиц 17 или 18.
33. Частично загруженная свободно опертая прямоугольная
пластинка. Рассмотрим симметричный случай изгиба, имеющий место,
когда сплошная нагрузка интенсивностью q раяномерно распределена
по заштрихованному прямоугольнику со сторонами и и v (рис. 69).
ЧАСТИЧНО ЗАГРУЖЕННАЯ ПРЯМОУГОЛЬНАЯ ПЛАСТИНКА
159
Начнем с того, что предстаяим заданную нагрузку рядом
4? V (—. гпт.и . тт.х . .
7. ~— --------sin-=— sin-------, (а)
st т 2а а ' ' '
т=1. 8, 5, ...
вечающим загружению участка prst пластинки. Прогиб при таком
гружении, как мы уже знаем, определяется уравнением (103), в пра-
ю часть которого здесь аводится выра-
гние (а):
w п д*а> . d*w
(—1)( . тли . тпх ...
5—L--------sin -jr— sin-. (b)
m 2a a ' '
Рис. 69.
не зависящее от перемен-
Примем, как и прежде, прогибы в
’.виде
' ~ jWg, (с)
У.
— частное решение уравнения (Ь),
;Н0Я у, т. е. удовлетворяющее уравнению
Й4Ш1
дх*
T.D
z—iym-wa
т
. тхи . тих
Интегрируя последнее уравнение по х, получаем
4tfa* vt (—,ляи micx
W, — /, 1 к---sin-д—sin—-. (d)
1 st’D m5 2a a ' 7
Величина w2 должна быть решением уравнения (137) (стр. 134). При-
нимая это решение в виде (135) и сохраняя в выражении (138) для ¥т
•ЛНшь четные функции у, на что мы имеем право в силу симметрии
Изогнутой поверхности относительно оси х. находим

160 СВОБОДНО ОПЕРТАЯ ПРЯМОУГОЛЬНАЯ ПЛАСТИНКА 1ГЛ. V
где в нашем случае
а = {_!)(*-«« sin (f)
т rfmsD' ' 2а '7
Уравнение (е) представляет прогибы на участке prst пластинки.
Рассмотрим теперь незагруженный участок пластинки, расположен-
ный ниже линии ts; для него ураянение изогнутой поверхности при-
нимает вид

<h)
О)
С)
(41,я+йИ*а+
+c;,slls+f4“Hell“>')sin's. (й
Теперь нам следует выбрать-постоянные Ат. Вт.D'm, входящие
в ряды (е) и (g) таким образом, чтобы удовлетворялись граничные
условия при у=Ь/2 и условия непрерывности по линки fs. В целях
упрощения формулировки этих условий введем обозначении:
_____тг.Ь ____тку
а,а 2а * 4л
Геометрические условия по линия ts требуют, чтобы
, dw dw' v
И - — для у =
Далее, поскольку по линия ts не приложено сосредоточенных сил.
вначения изгибающих моментов Му и перерезывающих сил Qy не
должны испытывать разрыва непрерывности при переходе через эту
линию. Учитывая уравнения (i), мы можем записать эти последние
уравнения в виде
й3® iPw' д3и> д3и>' v
ду1 ду2 оу’ dy8 7 2
Подстаяляя выражения (е) и (g) в уравнения (i) и (j) и введя обовна-
чения (fi), мы сможем представить эти уравнения в ваде
(л„ — Х«) Ch 2чт +(Ап — в'т) 2-(т Sh 2fm —
—Cmsh 2fm — ch2fmam = 0.
(Лт — Лт) sh йущ -|-(Дт — ftn) (sh -j- 2-fm ch 2ym)
— C«Ch 2-ym — Dm(ch2im -|- 2fm sh 2ym)=0.
(Am — Am) ch 2lm + (Д» - fim)(2 ch 2Im+ 2fm sh 21m) ~
— c'm sh 21m — D'm (2 sh 27„-f- 21m ch 21m) = 0,
(Am — 21m) sh 2im -J-(Bm Bm)(3 sh 2fm -j- 2fm ch 2im) ~
— Cm ch 21m — Dm (3 ch 2im —2ym sh 2f ,n) = 0.
(к)
ЧАСТИЧНО ЗАГРУЖЕННАЯ ПРЯМОУГОЛЬНАЯ ПЛАСТИНКА
!дз этих ураянений находим
Ат ~~ Ат — Нт (fm Sil 2^т — ch 2"(т),
Вт — в'т=^ Ch2u.
Ст — (ln ch 2"'[т — sh 2*f«j)»
o;=^Sh27m.
К этим четырем уравнениям, содержащим шесть постоянных
И*, -.., Dm, присоединяем два уравнения, представляющих гранич-
ные условия по краю у=£/2. Вводя выражение (g) в условия
ж/ = 0, d2®/dy2 = O для у = j/2, получаем
Ат ch ат —J- Вт ат sh ат -(- Ст sh ат -j-Dm a ch От = 0, 1
m sh ara4-D«ach a„ = О,
Вт ch a«4- в'т sh ат ~ 0.
(ш)
сравнения (ш) совместно с урввнениями (1) позволяют найти
^Достоянные

авляя эти значения и выражение (f) в уравнение (е), находим
> уравнение позволяет определить прогибы в любой точке загру-
ийого участка пластинки.
Для частного случая, когда и = а. v=b, из уравнений (h) най-
L Тга = ага/2- Выражения (п) при этом упрощаются:
уравнение (142) совпадает с уравнением (139) (стр. 136), выведен-
ии для равномерно загруженной прямоугольной пластинки.
6 С. П. Тимошенко, С. Вобаовский Кригер
162 СВОБОДНО ОПЕРТАЯ ПРЯМОУГОЛЬНАЯ ПЛАСТИНКА (ГЛ. V
Наибольший прогиб получается в центре пластинки и определяется
путем подстановки у = 0, jc = o/2 в формулу (142). дающую
4аО4 V1 1 . >ИЯИ|, 1
®«пах—0^5 2j_ TOss,n 2a V ChaCTX
X [ch (am - 27ct)+ sh (am-2fm)-l- «„£££] } • (143)
В качестве частного примера рассмотрим случай, в котором и —а,
а ©представляет собой весьма малую величину. Это—случай равно-
мерного распределения нагрузки по оси х. Принимая величину
в уравнении (143) малой и удерживая в нем лишь малые члены пер-
вого порядка» получаем, пользуясь обозначением
?flga У (—l)(m ___(144) -
«•max 2d m4 V « chs «га/ * '
3, 5, ...
Для квадратной пластинки это уравнение дает
=’„,= 0.00674^.
В общем случае максимальный прогиб можно представить в виде
Для «<&
= аТ5” лля
Ряд значений коэффициента а приводится в таблице 19.
Таблица 19
Прогибы свободно опертой прямоугольной пластинки, равномерно
загруженной по оси симметрии, параллельной измерению а
(“max = «9с«8/^)
bfa 2 0,00987 1,5 0,00911 0,00882 1.3 0.00844 1,2 0.00799 0.00742 1.0 0.00674
а(Ъ 1.1 0,00802 1.2 0,00926 1.3 0,01042 1.4 0,01151 1,5 0,0125 2,0 0,01629 0,02083
Возвращаясь к обшему случаю, когда v—не обязательно малая
величина и и может принять любое значение, выведем выражения для
изгибающих моментов Ма и /Иу из уравнения (142). Максимальных
своих значений эти моменты достигают в центре пластинки, причем
эти максимальные значения могут быть представлены формулами
<№Л-.,.= ₽ Р.
аз] ЧАСТИЧНО ЗАГРУЖЕННАЯ ПРЯМОУГОЛЬНАЯ ПЛАСТИНКА 163
Таблица 20
Коэффициенты ₽ для (М^шах в свободно опертой, частично
загруженной квадратной пластинке (v = 0,3)
wc- «J ы •л »,8 1,0
via Коэффициенты ₽ в уравнении (А1ж)1пах=₽₽
0 0.1 0,2 0,3 0,4 0,5 0,6 0,7 0,6 0,9 1.0 0,378 0,308 0,262 0,232 0,208 0,188 0,170 0,155 0,141 0,127 0,321 0,284 0,254 0,225 0,203 0,185 0,168 0,1-53 0,140 0,127 0,115 0,251 0,232 0,214 0,195 0,179 0,164 0,150 0,137 0,126 0,115 0,105 0,209 0,197 0,184 0,168 0,158 0,146 0,135 0,124 0,114 0,104 0,098 0,180 0,170 0,161 0,151 0,141 0,131 0,121 0,112 0,103 0,094 0,086 0,158 0,150 0,142 0,134 0,126 0,116 0,109 0,101 0,094 0,086 0,078 0,141 0,134 0,127 0,120 0,113 0,106 0,099 0,091 0,085 0,078 0,071 0,125 0,120 0,114 0,108 0,102 0,098 0,090 0,083 0,077 0,070 0,064 0,112 0,108 0,103 0,098 0,092 0,087 0,081 0,076 0,070 0,064 0,058 0,102 0,098 0,093 0,088 0,084 0,079 0,074 0,069 0,063 0,058 0,053 0,092 0,088 0,084 0,080 0,076 0,071 0,067 0,062 0,067 0,063 0,048
Таблица 21
Коэффициенты f и f, для (ЛГХ)1Щ,Х й (ЛГу)та1 в частично
загруженной прямоугольной пластинке при 6= 1,4а (v =0,3)
и)а- 2 V
via Коэффициент ₽ в уравнении (л,х)тах^ ₽Р
0 0,276 0,208 0,163 0,134 0,110
0,2 0,332 0,239 0,186 0,152 0,125 0,103
0,4 0,261 0,207 0,168 0,138 0,115 0,095
06 0,219 0,181 0,151 0,126 0,105 0,086
0,8 0,187 0,158 0,134 0,112 0,094 0,078
1.0 0,162 0,139 0,118 0,100 0,084 0,070
1 2 0,141 0,122 0,104 0,089 0,075 0,062
0,123 0,106 0,091 0,077 0,065 0,064
в/в- 0 0.2 0,4 0,6 ол 1,0
via Коэффициент ?, в уравнении (А*у)|пях= ₽]₽
0 сю 0,299 0,230 0,183 0,151 0.125
0,2 0,246 0,208 0,175 0,147 0,124 0,102
0,4 0,177 0,157 0,138 0,119 0,101 0,083
0,6 0,138 0,125 0,111 0,097 0,083 0,069
0,8 0,112 0,102 0,091 0,080 0,069 0,058
1.0 0,093 0,085 0,077 0,068 0,058 0,049
1,2 0,070 0,072 0,065 0,058 0,050 0,042
1,4 0,068 0,062 0,056 0,050 0,043 0,036
164
СВОБОДНО ОПЕРТАЯ ПРЯМОУГОЛЬНАЯ ПЛАСТИНКА
(ГЛ. V
где P=uvq — полная нагрузка на пластинку. Значения численных
коэффициентов р для квадратной пластинки и для различных раз-
меров загруженного прямоугольного участка приведены в таблице 20.
Коэффициенты р, находятся из этой же таблицы путем перестановки
букв и и V.
Численные коэффициенты ') р и для пластинки с отношениями
сторон &=1,4д и &=2д приведены соответственно в таблицах
21 и 22.
Таблица 22
Коэффициент ₽ и ₽, для (ЛГ*)тзх, (АГу>тах в частично
нагруженной прямоугольной пластинке при Ь = 2а (у_=03)
Вй’ 0 0.2 0.4 0,6 0,8
v)a Коэффициент ₽ в уравнении
0 0,2 0,4 0,6 0,6 1.0 1,2 1,4 1.6 1,8 2,0 0,347 0,275 0,233 0,203 0,179 0,161 0,144 0,130 0,118 0,107 0,289 0,252 0,221 0,195 0,174 0,155 0,141 0,127 0,115 0,104 0,094 0,220 0,199 0,181 0.164 0,148 0,134 0.122 0,111 0,101 0,091 0,083 0,175 0,163 0,150 0,138 0,126 0,115 0,105 0,096 0,087 0,070 0,072 0,144 0,135 0,125 0,115 0Д06 0,097 0,089 0,081 0,074 0,087 0.061 0,118 0,111 0,103 0,095 0,088 0,080 0,074 0,068 0,062 0,056 0.061
П/Й- с 0.2 0,6 0,8 ОД 1,0
©/й Коэффициент ₽! в уравнение ₽(Р
0 0,2 0,4 0,6 0,8 1.0 1.2 1,4 1,6 1,8 2,0 0,242 0,172 0,133 0,107 0,089 0,074 0,064 0,056 0,049 0,044 0,294 0,203 0,152 0,120 0,097 0,081 0,088 0,058 0,051 0,045 0,041 0,225 0,170 0,133 0,106 0,067 0,073 0.061 0,052 0,046 0,041 0,037 0,179 0,143 0,114 0,098 0,076 0,064 0,064 0,046 0,040 0,036 0,032 0,148 0,120 0,097 0,070 0,086 0,055 0,046 0,040 0,035 0,031 0.028 0,122 0,099 0,081 0,086 0,064 0,046 0,039 0,033 0,029 0,026 0,023
') Значения Мх и Му для различных отношений а]Ь, а]а и v/b приво-
дятся в графиках у Пнжо (Pigeand О., Ann. ponts, chaussSes, 1929),
а также ниже, в § 37.
34] ЗАГРУЖЕНИЕ СОСРЕДОТОЧЕННОЙ СИЛОЙ 165
34. Загружение сосредоточенной силой свободно опертой
прямоугольной пластинки. Пользуясь методом Навье, мы получили
(в § 29) выражение в виде двойного тригонометрического ряда для
прогиба пластинки, несущей сосредоточенный груз Р в некоторой
точке х = Е, у = ч (рис. 70). Для того чтобы найти эквивалентное
ему решение в виде ординарного ряда, начнем с того, что представим
решение Навье следующим образом:
4Р63 VI г, лиг? . ттсх
/1 Sln яп Т*'
п'а т а а
где коэффициент Sm определяется из
-Вводя обозначения
„ пг.(у—ч) _ ия(ч+у) •
” г cos—Т~ п cos— j, '
.приводим выражение (Ь) к виду
a’ — - j- ($т — 5га)-
При вычислении сумм (с) пользуемся известным рядом
1___j_л dig (к—2)
2а2 ' 2а sh та '
.^который имеет силу для 0 z < 2тг и рассматривается нами
’Прежде всего как функция S(a) от 2. Дифференцируем левую
уравнения (е) по а:
dS(a)______<, cos nz
~di (а2+п2)2 '
О)
(Ь)
(с)
(Ф
(е)
го
здесь
часть
Продифференцировав также празую часть ураянения (е) и подставив
результат в уравнение (f), заключаем, что
Seos nz_________ 1 3S (а)_ 1 . к ch а (я—Z)
(ая+пг)2 2а —di 2а4 4^ sh ни
- п-1
п (п— z) sha(x—2) , st® ch с (я — 2)сйта .
4а“ — sh та Н“4^ sh2»» ’
СВОБОДНО ОПЕРТАЯ ПРЯМОУГОЛЬНАЯ ПЛАСТИНКА
[ГЛ. V
166
Теперь, чтобы вычислить значения сумм (с), нам остается поло-
жить в уравнение (g) сначала г = (к/&)(у—vj). далее (у-{-»})
и, сверх того, a = mb{a. Подставив эти значения в уразнения (d)
и (а), мы приходим наконец к следующему выражению для прогиба
пластинки:
««“та- £ ¥*•«• V)x
,l,41sllbiLsb^L„„2!2i
у, b b a a . ._

Если у <Z n), то в уравнении (145) вместо величины yt следует
подставить у, а вместо tj соответственно ij] = 6—тд.
Остановимся подробнее на частном случае, когда нагрузка Р
сосредоточена в точке А на оси симметрии пластинки, которую
можно принять и за координатную ось к (рис, 71). Если принять
jj=fe/2 и ввести обозначение
то общее выражение (145) для прогиба прияодится к виду
® = -Sif £ [(1 +“",h sh14—2j,) ~
m=-l
. ni-rii ты
8Ш---- SIH--
-fe((.-2y)chY((— 2»)]------. (И6)
ЗАГРУЖЕНЙЕ СОСРЕДОТОЧЕННОЙ СИЛОЙ
167
имеющему силу для у>-0, г. е. для области пластинки, лежащей
ниже оси х (рис. 71). Положив, в частности. у=0, мы найдем
прогиб пластинки по оси х в виде
„ . тт& . тк.х
„ „ . sln-sin---
2(‘h%—ги^)—° ®
Этот ряд быстро сходится, и несколько первых членов его дадут
нам прогибы с достаточной точностью. В частном случае нагрузки Р.
приложенной в центре пластинки, максимальный прогиб, имеющий
место также в центре, получится посредством подстановки х = с = с/2
в выражение (1), что даст
i i(‘h“--®k)=“Tr- <147>
т-i, а, я,...
Значения численного коэффициента а для различных значений отно-
шения b/а даны в таблице 23.
Таблица 23
Коэффициенты а для прогиба (147) центрально нагруженной
прямоугольной пластинки (* = 0,3)
i/a=1.0 1,1 1.2 1,4 (,6 1,8 | 2,0 3,0 co
e=0,01160 0,01265 0,01353 0,01484 0,01570 O,O162o| 0,01651 0,01690 0,01695
Мы видим, что по мере того, квк длина пластинки возрастает,
максимальный прогиб быстро приближается к значению, соответ-
ствующему максимальному прогибу бесконечно длинной пластин-
ки *) Сопоставление максимальных прогибов квадратной пластинки
и центрально загруженной круглой пластинки, вписанной в квад-
рат (см. стр. 84), показывает, что прогиб круглой пластинки полу-
чается большим, чем для соответствующей квадратной пластинки.
Этот результат нужно приписать эффекту опорных реакций, сосре-
доточенных в вершинах квадратной пластинки и стремящихся произ-
вести нагиб пластинки выпуклостью вверх. Определению изгибающих
моментов в пластинках посвящены также §§ 35 и 37.
’) Прогиб пластинки под сосредоточенной нагрузкой был исследован
аксперименгально Бергттрессером (BergstrasserM., Forschungsarbelten,
т. 302, Берлин, 1928); см. также работу Ньюмарка и Леппера (New-
mark N. М., Lepper Н. Ач Univ. Illinois Bull,, т. 36, № 84, 1939).
168
СВОБОДНО ОПЕРТАЯ ПРЯМОУГОЛЬНАЯ ПЛАСТИНКА
(ГЛ. V
36. Изгибающие моменты в свободно опертой прямоугольной
пластинке под сосредоточенной нагрузкой. Чтобы определить изги-
бающие моменты на центральной оси у — 0 пластинки, загруженной
по схеме рис. 71. вычислим вторые производные выражения (146)
“ 81п^
(<)2w\ Р V1 а /л. ат \ - П™*
)У=О~ Юп 2j т VhCt“ Chsare)Sln а •
« -in т~'
Подставив эти производные в выражения (101) для изгибающих
моментов, получим
“ ап
(«Д.о = £ Ц-
т°-1
Если Ь весьма велико в сраянении с а, мы рпразе положить
tham~l, -^—«0.
т Ch* ат
Тогда
.0= 2- 2iTrs,1,T^s1”—• (ь>
Этот ряд схддится недостаточно быстро для удовлетворительного
вычисления моментов в непосредственной близости к точке приложе-
ния нагрузки Р.„ Поэтому возникает необходимость в выводе еще
иного выражения для моментов в окрестности этой точки. Из иссле-
доввния изгиба круглой пластинки силой, приложенной в ее центре
(см. § 19), мы знаем, что перерезывающие силы и изгибающие мо-
менты становятся в точке приложения нагрузки бесконечно большими.
С подобными же условиями мы сталкиваемся также и в случае
прямоугольной пластинки. Распределение напряжений внутри круга
малого рядиуса с центром в точке приложения нагрузки, по суще-
ству. то же, что и близ центра центрально нагруженной круглой
пластинки. Напряжение изгиба в любой точке внутри этого круга
можно рассматривать состоящим из двух частей, причем одна из них
тождественна той. которав соответствует случаю центрально нагру-
женной круглой пластинки радиуса а, другая же представляет
35]
ИЗГИБАЮЩИЕ МОМЕНТЫ ПОД СОСРЕДОТОЧЕННОЙ НАГРУЗКОЙ 169
собой разность между напряжениями в круглой и в прямоугольной
пластинках. По мере того как расстояние г между точкой приложе-
ния нагрузки и рассматриваемой точкой становится все меньше и
меньше, первая составная часть напряжения, изменяясь пропорцио-
нально In (с/г), принимает в центре бесконечно большое значение,
между тем как вторая составная часть, выражающая собой влииние
разницы между граничными условиями для той и
другой пластинок, остается конечной.
Чтобы получить выражения изгибающих мо-
ментов близ точки приложения нагрузки, начнем
л более простого случая бесконечно длинной пла-
стинки (рис. 72). Прогиб такой пластинки Легко
получить из выражения (146), положив, что вхо-
дящая в него длина стороны Ь неопределенно воз-
растает, в связи с чем безгранично увеличится и
величина ат~тпЬ12а, иными словами, допустив;
г«то
. cbam«
(b — 2y)« ch (b — 2y) « ±
родстазив это в уравнение (146), найдем требуемый прогиб *) сво-
:^одно опертой полосы, несущей сосредоточенный груз Р -в точке
*=?=?. №-0:
V Ра9 V1 1 - - tmzx 1. . ияуХ ——
Й s"’-« )' <И8>
^выражение это сохраняет силу для у^>0» т. е. для области, лежа-
вшей ниже оси х (рис. 72).
Соответствующие выражении для изгибающих моментов и кру-
;15ицего момента могут быть получены непосредственно из уравнений
,(101) и (102):
• <П-1
(149)
.. р Z1 ч V1 - Ш9Х ЯЧЛНЛ
= -5- у(1 — V) У sin-cos --е-т«у/а.
2ала а
у т-1
*) Этот важный случай изгиба пластинок был исследован подробно
Падай; см. Nadal A., Elastlsche Flatten, стр. 78—109, Берлин, 1925.
170
СВОБОДНО ОПЕРТАЯ ПРЯМОУГОЛЬНАЯ ПЛАСТИНКА
[ГЛ. V
Воспользовазшись еще раз величиной Л4 = (7Их-|-Л1у)/(1-}-v),
введенной на стр. ПО, находим
,, г\( д2™ д2и>\ Р VI 1 тих ^_кУ.,п /.влж
л=-°(1?ттрГ717!1п—м—г“* • <1S0>
Моменты (149) можно теперь выразить в зависимости от функции Мг
ж 1/1 \ ЙЛ[ 1
«Х,= —2<l-')y-^-
Суммируя ряд (150), найдем1)
„ еьД-со,
Р , а, а
(151)
(152)
Теперь, пользуясь этим выражением и уравнением (151). мы в силах
представить моменты бесконечно длинной пластинки в замкнутой
форме. Заметив, далее» что ДД«у = О всюду» за исключением точки
(х = £, у = 0) приложения нагрузки, мы заключаем, что функция
М =—D&w удовлетворяет (всюду, за исключением упомянутой
точки) уравнению ДЛ1 = 0. В силу второго уравнения из группы (111)
граничное условие Л1 —0 для краев х = 0 и х = а также удовле-
творяется функцией М.
Для точек оси х уравнения (151) дают Мх=Му и, следовательно,
(Л4Д=0=(Л4у)у=()=(Л1)у=в-Ц^-. (с)
Применив уравнения (с) и '(152) к частному случаю нагрузки,
приложенной на центральной оси полосы Z~a/2. получим
(Мд.»=(мЛ.0=<^1"7-----
1 — sin-
(Ф
— результат, к которому можно прийти также суммированием
ряда (Ь).
*) См.» например, Magnus W., Oberhettinger F„ Formeln und
Satze fOr die spezieilen Funfcilonen der maltiemattochenPbysikS-eHSfl., стр. 214,
Берлин, 1948,'
ЭД ИЗГИБАЮЩИЕ МОМЕНТЫ ПОД СОСРЕДОТОЧЕННОЙ НАГРУЗКОЙ 171
Вернемся теперь к вычислению изгибающих моментов для точек,
близких к точке приложения нагрузки, но не лежащих непременно
на оси х. В этом случае величины (ж—5) и у малы, и в выраже-
нии (152) мы вправе положить
. яу , , st2y!
cocB(X~S) « 1
COS а ~ 1 2д2
Таким образом, мы приходим к результату
представляет собой расстояние рассматриваемой точки от точки при-
ложения нагрузки Р. Подстазия теперь выражение (153) в уравне-
ние (151). находим следующие выражения, применимые для точек,
близких к точке приложения сосредоточенной нагрузки:
(154)
Интересно сравнить этот результат с полученным ранее для цен-
трально нагруженной свободно опертой круглой пластинки (см. § 19).
Взяв радиус г под углом а к оси х из уравнений (90) и (91) для
круглой пластинки, найдем
Мх= cos2a4- Mt sin2 а = (1 v) Ш у -I- (1 — v)-^- ,
AIy=iW„sln2a-|-Af<cos2a—^-(14-v)lny-|-(l — .
(e)
Если мы примем внешний радиус круглой пластинки раяным
— sin
acg
2а .
172 СВОБОДНО ОПЕРТАЯ ПРЯМОУГОЛЬНАЯ ПЛАСТИНКА (ГЛ V
то первые члены выражений (154) и (е) совпадут. В этих условиях
моменты Мх получатся в обоих случаях одинаковыми. Момент Му
для длинной прямоугольной пластинки получится из момента для
круглой пластинки в результате вычитания постоянной величины *)
(1—ч)Р/4я. Отсюда можно заключить, что в длинной прямоуголь-
ной пластинке распределение нвпряжений вокруг точки приложения
нагрузки получается путем наложения на напряжения для центрально
нагруженной круглой пластинки радиуса (2e/u)sin(T:$/e) напряжений
простого изгиба, произведенного моментами Му =—(1—у)Р[4к.
Можно допустить, что то же соотношение между моментами для
круглой и длинной прямоугольной пластинок имеет место и в слу-
чае нагрузки Р» раяномерно распределенной по круглой площадке
малого радиуса е. В этом случае из ураянения (83). пренебрегая
членом, содержащим с2, мы получаем для центра круглой пластинки
AI„.„ = £-[(l+*)lnj4 1]-
Отсюда на основании уравнений (154) для точек близ центра загру-
женной круглой площадки длинной прямоугольной пластинки имеем
Из этого сравнения длинной прямоугольной пластинки с круглой
пластинкой можно заключить, что все сведения» выведенные для по-
следней с помощью теории толстой пластинки (см. § 19) и относя-
щиеся к местным напряжениям близ точки приложения нагрузки Р,
могут быть применены также и к случаю длинной прямоугольной
пластинки.
Если пластинка не очень длинная, то для вычисления моментов Мх
и Му по оси х, вместо уравнения (Ь). следует пользоваться урав-
нениями (а). В силу того, что с возрастанием т веля чина tha„
быстро приближается к единице, a chazn становится большим чис-
лом. разность между суммами ряда (а) и суммой ряда (Ь) легко мо-
жет быть вычислена, причем моменты Мх и Му для точек оси х.
близких к точке приложении нагрузки, могут быть представлены
Заметим, что ха = г2—у2.
85] ИЗГИЕАЮШИЕ МОМЕНТЫ ПОД СОСРЕДОТОЧЕННОЙ НАГРУЗКОЙ 173
в следующем виде:
0+^₽ уд.
х 2л £4 т
т—\
о -
. 2esm—
^Pfl+д^------«_
4л этг
4л
.. (1-WP V 1 - mat ,
Лу=—V“ 17TS,I,O-S,n
(156)
где 7i и 72—численные коэффициенты, величины которых зависят
от отношения bfa. Несколько значений этих коэффициентов для слу-
чая приложения нагрузки в центре приводятся в таблице 24.
Таблица 24
Коэффициенты и ys для уравнения (141)
bja 1,0 1.2 1.4 2,0 со
7» —0,565 —0,350 -0,211 -0,125 —0,073 —0,042 0
7» 4-0,135 +0,115 +0,085 +0,057 +0,037 +0,023 °
Распределение напряжений около точки приложения нагрузки
точно так же почти не отличается от имеющего место в центрально
нагруженной круглой пластинке радиусом (2с/я) sin (тс$/а). Чтобы
получить изгибающие моменты Л1Х и Му около точки приложения
нагрузки, нам нужно лишь на моменты для круглой пластинки нало-
жить равномерно распределенные моменты Л(' = 71/э/4тс и 2И' =
== — (1 — v — у2) Р/4тг. Допустив, что этот вывод остается в силе
также и для того случая, когда нагрузка Р равномерно распределена
по кругу малого радиуса с, мы получаем для центра круга
174 СВОБОДНО ОПЕРТАЯ ПРЯМОУГОЛЬНАЯ ПЛАСТИНКА /ГЛ V
Сосредоточенные силы точно так же, как и распределенная на-
грузка, приводят к возникновению в вершинах прямоугольной пла-
стинки направленных вниз реактивных сил
и значительных моментов
защемления. Величины
этих реакций в углах
R = nP. (f)
обусловленных действием
приложенной в центре
пластинки силы, указы-
ваются в таблице 25 чис-
ленными значениями ко-
эффициента п, моменты
же защемления' разны
— Р/2(см. стр. 103). Вы-
числение значений /? вы-
полнено -здесь простым
способом» с которым мы
познакомимся в § 36.
Распределение изги-
бающих моментов и ре-
активных давлений для
частных случаев квадрат-
ной пластинки, загружен-
ной в центре, показано
на рис. 73. Штриховой
участок кривых отвечает условию равномерного распределения на-
грузки Р по площади заштрихованного круга радиуса с — 0.05а.
Таблица 25
Значении коэффициента п для определения реакций R в вершинах
свободно опертой прямоугольной пластинки, несущей в центре
сосредоточенный груз Р (v = 0,3)
6/« = 1.0 1.2 1,4 1.6 1.8 2,0 3,0 со
п = 0,1219 0,1162 0,1034 0,0884 0,0735 0,0600 0,0180 0
86. Прямоугольная пластинка бесконечной длины, свободно
опертая по краям. В нашем изложении мы уже ие раз имели дело
с бесконечно длинной пластинкой. Мы получали прогибы и моменты
для такой пластинки обычно из соответствующих решений для пла-
стинки конечной длины, позволяя этой последней неограниченно уве-
361
ПРЯМОУГОЛЬНАЯ ПЛАСТИНКА БЕСКОНЕЧНОЙ ДЛИНЫ
175
личиватъся в длину. В некоторых случаях представляется более вы-
годным идти в обратном направлении, т. е. находить сначала решения
для бесконечно длинной пластинки, а затем комбинировать их так,
чтобы получалось решение для пластинки конечной длины. В настоя-
щем параграфе мы дадим несколько примеров такого метода реше-
ния. Начнем со случая бесконечно длинной пластинки шириной а,
нагруженной по оси х. как показано на рис. 74. Так как изогнутая
поверхность тзкой пластинки будет симметрична
то для дальнейших рассуждений достаточно
рассмотреть одну лишь часть пластинки, кото-
рая соответствует положительным значениям у.
Поскольку нагрузка распределена лишь по
оси х, прогиб w пластинки удовлетворяет
уравнению
7йг-'-2-я?^+’ги=°- ()
Примем решение этого уравнения в виде
относительно оси х.
Рис. 74.
ff
*>=
(b)

удовлетворяющем граничным условиям на свободно опертых продоль-
ных краях пластинки. Уравнение (а) удовлетворяется при том усло-
вии. если функции Ym подобраны так, что
е-2^г;+^-г„=о.
Взяв решение этого уравнения в виде
и заметив, что как прогибы, так и их производные на значительном
удалении от оси х приближаются к нулю, мы можем заключить, что
постоянные Ат и Вт также должны быть приняты разными нулю.
На этом основании решение (Ь) можно представить таким образом:
, -rmty
(d)
Из условия симметрии имеем

176
СВОБОДНО ОПЕРТАЯ ПРЯМОУГОЛЬНАЯ ПЛАСТИНКА
ГГЛ V
Это условие удовлетворяется, если в выражении (d)? взять Cm = Dm.
Тогда
'"=Sc4,+-=^)'=?e1"-T- и
Постоянные Ст без затруднений вычисляются в каждом частном слу-
чае, если только ням дано распределение нагрузки по оси х.
Предположим, например, что нагрузка распределена равномерно
по всей ширине полоски. Интенсивность ее можно предстивмть сле-
дующим тригонометрическим рядом:
S1 , тпх
к"" —
где д0 есть нагрузка на единицу длины. Так как нагрузка поделена
пор.овну между обеими половинами пластинки, мы видим, что
,,, . г, д (d2w dsw\ 2 Vi 1 . тис
(в,),.»—D'sj“('a3'+'3jrL_<,—2. ®
т-1,5,5,...
Подставляя сюда иместо w выражение (е). получаем
2£>я3 V „ч mT-x 2 VI, гпт.х
-гг- —=v?„ 2, ъ;»"—.
m-1 Ш” 1.8,5,...
откуда
с- = в- r“ <”=1.3.s....:
поэтому
«=-’С У ’ +
XJ т* V 1 о / а
л>—1,3.5,...
(g)
Своего максимального значения прогиб достигает в центре пластинки
(х = о/2. у = 0), где он равен
। _ ft>°3 V (-1)
Я4£» Д т*
-1.3,5,-
БтсурО9 __БгсурД8
24-64D ~ 15360 ’
(Ь)
К тому же результату можно прийти, положив о.т = 1 и ат = со
в уразнении (144) (см. стр. 162).
В качестве второго примера применения решения (е) рассмотрим
нагрузку, равномерно распределенную по участку оси х длиной и
ПРЯМОУГОЛЬНАЯ ПЛАСТИНКА БЕСКОНЕЧНОЙ ДЛИНЫ
177
(рис. 74). Представим это распределение нагрузки тригонометри-
ческим рядом
4?о V1 1 - /n’t? , тгл , тхх
где q0 — интенсивность нагрузки на загруженном участке оси X.
Уравнением, соответствующим уравнению (f). для определения по-
стоянных Ст будет
После подстановки сюда (е) вместо w получим
2Dn3 V г , ткх 2йв V * - тт% тгм . тпх
-—s— 7,С’ m-’sln----==—— у.—sin-------sin-=—sin— .
a3 AJ m a v. m a 2a a ‘
откуда
, ___ goaa . . mm
Тогда уравнение (е) для прогибов принимает вид
<kfla 1 т тя?
«"-Sz> l « sm 2Г
. тг.х ...
sm (О
Частный случай сосредоточенной нагрузки, приложенной на расстоя-
нии Е от начала координат, получится из разобранного примера, если
длину и нагруженного участка оси х мы сделаем в нем бесконечно
малой. Подставия в уравнение (i)
и
получим
««« = ₽
. ттси тли
Sin-----S»------
<158>
т. е. выражение, совпадающее с формулой (148) предыдущего пара-
графа. Интегрируя выражение (i) для прогиба длинной пластинки,
находящейся под нагрузкой, распределенной по участку и и оси х, мы
можем прийти и к различным иным случаям нагрузки. Разберем, напри-
мер. случай нагруаки интенсивности д, равномерно распределенной
178 СВОБОДНО ОПЕРТАЯ ПРЯМОУГОЛЬНАЯ ПЛАСТИНКА ТГЛ V
по заштрихованному на рис. 75 прямоугольнику со сторонами,
равными и и V. Взяв бесконечно малый элемент нагрузки вели-
чиной q и dvj на расстоянии тд от оси х, мы получим вызванный
этой нагрузкой прогиб в точках с у > чд, если в выражении (i) про-
изведем подстановки: qdy вместо q$ и у—тд вместо у. Прогиб, про-
изведенный полной нагрузкой, для точек, у которых y^-g-, полу-
чится интегрироввнием
Путем надлежащего изменения пределов интегрирования мы можем
получить также и прогиб в точках, для которых у < ©/2. Рассмотрим
прогиб по оси х (рис. 75). Прогиб, произведенный верхней полови-
ной нагрузки, получится из выражения (j) посредством подстановки
Рис. 75.
величины v/4 вместо у и ©/2. Удваивая получен-
ный таким образом результат, мы примем при
этом в расчет также и эффект нижней половины
нагрузки и в окончательном итоге найдем
, . iqa* V1 1 . . mr.ii тк.х .,
(«'),-=-ОТ-Isr'ln—™-е-™— X
[
Если © = oo, то изображенная на рис. 75 нагрузка распределяется
по всей длине пластинки и изогнутая поверхность ее становится
цилиндрической. Соответствующий прогиб согласно выражению (к)
будет
(®)у=0= ^77 1 sin — Sin sin —.
(О
ПРЯМОУГОЛЬНАЯ ПЛАСТИНКА БЕСКОНЕЧНОЙ ДЛИНЫ
179
Положив в атом выражении ; = «/2 = «/2, получим
, . 4qa* V' 1 . пых
m-l, 3,5,...
что представляет собой изогнутую ось равномерно нагруженной
полоски.
Из выражения (i) для прогиба «у легко получаем следующие зна-
чения изгибающих моментов от нагрузки, равномерно распределенной
по участку и оси х.
Своих максимальных значений эти моменты достигают на оси х. гйе
гял \ к ял \ Чча (1 + ”) V1 1 Ч№М •_ ПХХ . .
(ЛД.„=(Л,),., = 2. s"-„- ™—• <»)
В частном случае, когда Е= п/2 = с/2, т. е. если нагрузка рас-
пределена по всей ширине пластинки.
Максимальный момент получается в центре пластинки
(AIJ,--’'"''.Л'1 У ’л>,Д--0.0<1287с«(1 | ,).
т-1,3,5,...
180 СВОБОДНО ОПЕРТАЯ ПРЯМОУГОЛЬНАЯ ПЛАСТИНКА (ГЛ V
Если и весьма мало. т. е. если нагрузка сосредоточена в точке, то
полагаем
. тки mr.ii _
8,"тг~тг " ’<<“ = '
Тогда из выражения (п) следует
,ч , Р(1 -4- v) VI 1 . . тих , .
(«д..=(л,),.о=—» s,n а ап« • <»)
«1-1
что совпадает с выражением (Ь) предыдущего параграфа и допускает
также представление в замкнутой форме (см. стр. 168).
В случае, если нагрузка q равномерно распределена по площади
прямоугольника (рис. 75). то изгибающие моменты для участка пла-
стинки, где у^п/2. получаются интегрированием выражений (ш):
Подобным же образом можно вычислить и моменты для участка пла-
стинки, где у < с/2. Для получения моментов по оси х нам остается
лишь в формулы (159) подставить f/2 вместо v и v/4 вместо у.
361 ПРЯМОУГОЛЬНАЯ ПЛАСТИНКА БЕСКОНЕЧНОЙ ДЛИНЫ 181
удвоив затем полученный при этом результат. Тогда
Вычисление моментов для центра загруженной прямоугольной пло-
щади можно провести также и с помощью выражений (167). приво-
димых ниже в § 37. При v весьма малом уравнения (160) совпадут
р уравнениями (п), если мы заметим, что qv в этом случае нужно
будет заменить на qD. При v весьма большом пластинка изгибается
по цилиндрической поверхности и уравнения (160) преобразуются
в аналогичные:
ч __ 4gaa V 1 win; л»яи тпх
-S' 1 -ЙГ sl" Т- s,“ “
... ч 4vffas V 1 - огл.^ т^и
6W..L=.o = •—— 7, —Г Sin ------Sin -К— sin----.
' ats mt а 2а а
Выражения для прогибов и изгибающих моментов в пластинке
конечной длины могут быть получены из соответствующих величин
в бесконечно длинной пластинке также и методом отображений1)
(method of images). Начнем со случав сосредоточенной силы Р, прило-
женной на оси симметрии х прямоугольной пластинки со сторонами а
н Ъ (рис. 76, а). Если мы теперь предстазим себе пластинку продолжен-
ной как в положительном, так и в отрицательном направлениях оси у
и нагруженной рядом сил Р. приложенных по линии тп на расстоя-
нии b одна от другой и направленных, как показано на рис. 76. Ь,
поочередно то в сторону -\-z, то в сторону —z, то прогибы такой
бесконечно длинной пластинки по линиям AXBV АВ, CD, С/),, ...
будут, очевидно, разны нулю. Изгибающие моменты по тем же линиям
будут также равны нулю, и данную нам пластинку ABCD мы вправе
будем рассматризать как часть бесконечно длинной пластинки, загру-
') Этот метод был применен Нанап (Nadal A., Z. Angew. Math. Meeh.,
т. 2, стр. 1, 1922) и Губером (Huber М.Т, Z. Angew. Math. Meeh., т. 6.
стр. 228, 1926).
182 СВОБОДНО ОПЕРТАЯ ПРЯМОУГОЛЬНАЯ ПЛАСТИНКА [ГЛ. V
женной по способу, показанному на рис. 76, Ь. На этом основании
прогибы и напряжения, произведенные в данной пластинке в точке
приложения О сосредоточенной силы, могут быть вычислены с по-
мощью формул, выведенных для бесконечно длинной пластинки. Из
уравнения (158) находим, что прогиб по оси х бесконечно длинной
пластинки от силы Р в точке О равен
Рис. 76.
Ла® v 1 , tnifi
ЪЮ i m3 ЙП ~
, тлх
sin---,
Две смежные, приложенные на рас-
стояниях Ь от точки О, силы Р
(рис. 76, Ъ) произведут на оси х прогиб
Pas v 1
“ t?D Zi tn?

где, как и раньше.
2а '
Силы Р, удаленные от точки О на расстояние 2&, произведут на
оси х прогиб
Ра* V1 1 , /> л ч —fa , max
Uh =- Щ’ /1 —a sin----(1 “Ь 4а )е ™ sin---,
3 jAD XJ тЛ а 41 т> а
и т. д. Полный прогиб по оси х будет дан суммой
т»=сй1-|-ет2-{-w3-|-... (р)
Заметив, что
thaw = 1~L. m. = 1 _2e*2lm-j-....
1 -f-е w
1 ________4________ 4? 2°m
ChS“»iz (e“rB_j_€“em)2 (j _f_ ₽-2em)2
=4e-2’« (1 — 2e-21® -|- Зе-*’-» — 4е-6я»« -f- ...),
мы можем привести выражение (р) к совпадению с выражением (146)
§ 34.
Применим метод отображений к вычислению реактивной силы
R^~2MKS,
возникающей в вершине D прямоугольной пластинки ABCD (рис. 76) при
аагружении ее в центре силой Р. Из уравнений (151) и (152) находим, что
37] РАВНОМЕРНОЕ ЗАГРУЖЕНИЕ ПО ПЛОЩАДИ ПРЯМОУГОЛЬНИКА 183
общее выражение крутящего момента для бесконечно длинной пластинки
в случае загружен™ ее лишь одной-единственнон внешней силой принимает
вид
Отсюда нагрузка Р, приложенная в точке х — В = д/2, у = О, повлечет за
собой появление в точке х = 0 крутящего
момента
Полагая теперь последовательно
ЗЬ{2, БЬ/2,..., мы найдем крутящие мо- —J-
менты, являющиеся результатом загруже-
ния пластинки силами ± Р, приложенными ,г
выше линии DC. Взяв сумму этих момен- -i-
тов, получим
Удвоив влияние (в) нагрузок, приложенных выше линии DC, мы тем
самым учтем и влияние нагрузок, размещенных симметрично ниже DC, и
таким образом определим момент, обусловленный полной величиной задан*
ной нагрузки:
Что касается реактивной, направленной вниз силы в точке D, а также и
реактивных сил в других вершинах, то их величина равна /? = — 2МХу,
где Мху определяется из уравнения (t).
К методу отображений можно прибегнуть и в том случае, когда точка
приложения нагрузки не лежит на оси симметрии (рис. 77, а). Прогибы и
моменты можно при этом вычислить, вводя систему вспомогательных сил,
как это показано на рисунке, и воспользовавшись формулой для бесконечно
длинной пластинки. Если нагрузка распредеаена по площади прямоугольника,
то определение изгибающих моментов для заданных и флятивных нагрузок
можно выполнить по формулам (167) — см. ниже § 37.
37. Изгибающие моменты в свободно опертой прямоугольной пла-
стинке при равномерном загружении ее по площади прямоугольника.
Остановимся еще раз на одиом важном для практики случае нагружения,
184 СВОБОДНО ОПЕРТАЯ ПРЯМОУГОЛЬНАЯ ПЛАСТИНКА [ГЛ. V
представленном на рис. 78. Поступая по способу, описанному в § 33, мы
убедимся, что при малых значениях jr/a и ряд, представляющий изгибаю-
щие моменты в центре загруженной площади, сходится медленно и потому
становится непригодным для получения численных значений.
Для вывода более удобных, отвечающих указанному случаю, формул')
введем в дополнение к (119) два новых обозначения:
",=4о+’>л+4р-’»лг-
= (!->>«
Рассмотрим сначала защемленную круглую пластинку радиусом ав,
загруженную центральной нагрузкой, распределенной как это показано на
рис. 78. Определение изгибающих моментов в центре такой пластинки вы-
полнено с помощью решении Мичелла для внецентрённо приложенной сосре-
доточенной силы. Если и и v малы в сравнении с аа, то результату инте-
грировании выражения (157) (стр. 173) может быть придан вид
Рис. 78.
V — k arctg у + у arctg k,
Ф — k arctg у — arctg k.
063)

Для свободно опертой круглой пластинки того же радиуса а* нам
следует добавить к выражениям для Мх и Му член Г/4л (см. стр. 172) и,
следовательно, член Z>/2n(l-f-v) к М, сохранив неизменным значение JV,
тогда для этих величии мы получим следующие формулы:
р (Ь)
4л I
Для того чтобы, наконец, получить соответствующие выражения для
бесконечной полосы (пне. 75), мы должны принять л0 = 2а/те sin (я?/в) и
ввести дополнительным момент Му = —(1 — (см. стр. 172). Эта
t) См. Woinowsky-Krieger 8., Ingr.-Areh., т. 21. стр. 331, 1953.
87] РАВНОМЕРНОЕ ЗАГРУЖЕНИЕ ПО ПЛОЩАДИ ПРЯМОУГОЛЬНИКА 185
последняя операция изменяет величину М на —(1—>) Р/4ж (1 -f- ч) и вели-
чину JV на ~1~Р/4п. Вводя это в уравнения (Ь), приходим к результату:
' л i 7,5
4а sin —
2,П—^ + 3-¥
М
^у=-^-а+Ф).
(164)
Значения коэффициентов «риф, зависящих лишь от отношения v/u, при-
водим в таблице 26.
Коэффициенты <? и Ф уравнений (163) (fc = o/u)
* ? Ф k г 0> к V ф
0 1,000 —1,000 1,0 1,571 0,000 2,5 1,427 0,475
0,05 1,075 —0,923 и 1,569 0,054 3,0 1,382 0,549
ОД 1,144 —0,850 1,2 1,564 0,104 4,0 1,311 0,648
0,2 1,262 -0,712 1,3 1,556 0,148 5,0 1,262 0,712
0,3 1,355 —0,588 1.4 1,547 0,189 6,0 1,225 0,757
0,4 1,427 —0,475 1,5 1,537 0227 7,0 1,197 0,789
0,5 1,481 —0,374 1,6 1,526 0261 8,0 1,176 0,814
0,5 1,519 —0,282 1.7 1,515 0,293 9,0 1,158 0,834
07 1,545 —0,200 1,8 1,504 0,322 10 1,144 0,850
0,8 1,560 -0,127 1,9 1,492 0,349 20 1,075 0,923
0,9 1,568 —0,060 2,0 1,481 0,374 со 1,000 1,000
Переходя теперь к случаю прямоугольной пластинки (рис. 78), нам
остается лишь добавить влияние вспомогательных нагрузок ) ± Р (рис. 77)
на значения (164) М и N. Окончательному результату для Случая, предста-
вленного на рис. 78, можно поэтому придать форму;
р / 4аsin— \
М = -з—121П----—|-Х—ф1,
4® \ / (165)
где ф, d даются выражениями (163) и таблицей 26, а
“ -о
, _ . V е т ; s ягя£
К==3 —4 7,—г-----sin2----,
XJ ch«„ а
0»=1 [
2я$ v 1 s s. т1^
a hi ch»aOT SIn а
(166)
*) Их позволительно считать сосредоточенными, если и и v малы.
186 СВОБОДНО ОПЕРТАЯ ПРЯМОУГОЛЬНАЯ ПЛАСТИНКА [ГЛ. V
где ат = тъЬ!2а. Члены Л и [л, определяемые быстро сходящимися рядами,
совершенно не зависят от размеров и и v (и даже от формы) загруженной
площадки; их числовые значения приводятся в таблице 27.
Таблица 27
Коэффициенты X и р уравнений (166) для свободно опертой
прямоугольной пластинки
ыа к для V“= И для 5,'а-]
0,1 0,2 0,3 0.4 0,5 0,1 I о,2 I 0,3 0,4 0,5
0,5 2,792 2,352 1,945 1,686 1,599 0,557 -0,17 —0,647 —0,852 —0,906
0,6 2,861 2,545 2,227 2.011 1,936 0,677 0,05 —0,431 —0,701 —0,779
0,7 2,904 2,677 2,433 2,259 2.198 0,758 0,24 —0,221 —0,514 —0,605
0,8 2,933 2,768 2,584 2,448 2,399 0,514 0,39 -0,031 -0,31С —0,404
0,9 2,952 2,832 2,694 2,591 2,553 0,856 0,456 0,148 —0,108 —0,198
1,0' 2,966 2,879 2,776 2,698 2,669 0,557 051 0,304 0,080 0,000
1,2 2,982 2,936 2,880 2,836 2,820 0,931 0,75 0,551 0393 0335
14 2,990 2,966 2,936 2,912 2,903 0,968 0,841- 0,715 0,616 0,578
1,6 2,995 2,982 2,966 2,953 2,948 0,975 ОДО 0,828 0,764 0,740
1,8 2,997 2,990 2,982 2,975 2,972 0,985 ОДО 0,897 0,858 0,843
2,0 2,999 2,995 2,990 2,987 2,985 0,991 ОДО 0,939 0,915 0,906
3,0 3,000 3,000 3,000 2.999 2,999 0.9УУ 0,998 , 0,995 0'795 0,994
.со 3,000 3,000 3,000 3,000 3,000 1,000 1,00С 1,000 1.000 1.000
Из уравнений (162) получаем выражения дая изгибающих моментов
_ / 4esin— \
/1*=&г[\2,п—^~+K~ f/O+’H-GH-Wd— >)
Г/ \
& 1Д2"1 С+''>-<!‘ + Й(|-'->
действующих в центре загруженной площадки (рис. 78). Выражениями (165)
и (167) можно воспользоваться, как в частном случае, также и при вычи-
слении моментов для свободно опертой бесконечной полосы.
Если распространить интегрирование по круговой, эллиптической или
по областям другой формы, то легко получить выражения Л1 и Л/ для соот-
ветствующих площадок загружения. Например, при загружена^ по площади
круга (рис. 79), найдем для центра крута выражения
р ( 2esin~ '
М = — I 2 1п-—-1-Л—2,
4® \ яс • j
(168)
38) ТЕМПЕРАТУРНЫЕ НАПРЯЖЕНИЯ В ПРЯМОУГОЛЬНОЙ ПЛАСТИНКЕ 187
эквивалентные результату (157). Сопоставляя (168) с выражением (165)
для А = 1, приходим к выводу, что загружения по кругу и по квад-
рату эквивалентны в отношении изгибающих моментов, возникающих при
этом в центре соответствующих площадок, если
с — = 1),57« или и=0,88Х2£- (с)
Следует обратить внимание на то, что по мере
того как нагрузка сосредоточивается на все мень-
шей и меньшей площади, точность приближенных
логарифмических формул для изгибающих момен-
тов, подобных, напрныер, уравнениям (157) и (167),
возрастает, между тем как сходимость обычных
рядов, представляющих эти моменты, замедляется.
Вычисления') подтверждают, таким образом, что
точность этих приближенных формул вполне доста-
точна для практических целей.
Рис. 70.
38. Температурные напряжения в свободно опертой прямо-
угольной пластинке. Предположим, что верхняя поверхность пря-
моугольной пластинки подвергается действию более высокой темпе-
ратуры, чем нижняя, так что, вследствие неравномерного нагрева,
пластинка испытывает стремление изгибаться выпуклостью вверх.
В связи с наличием на свободно опертых краях пластинки закрепле-
нии, препятствующего им выступать из плоскости опор, неравномер-
ный нагрев пластинки приведет к появлению некоторых опорных
реакций по ее краям и некоторых напряжений на известном расстоя-
нии от краев. Для вычисления этих напряжений воспользуемся мето-
дом, изложенным в § 24 е). Предположим сначала, что края пластинки
защемлены. В таком случае неравномерный нагрев приведет к воз-
никновению равномерно распределенных по контуру изгибающих мо-
ментов, величина которых определится формулой (см. стр. 65)
М =
h
(а)
где /—разность температур на
верхней и нижней поверхностях
') См. Woinowsky-Krieger S„ Ingr.-Arch., т. 3, стр. 340. 1932, и
Ingr.-Arch., т. 21, стр. 336, 337, 1953.
*) См. работу Маульбеча (Mauibetschl. L., J. Appl. Meeh, т. 2,
стр. 141, 1935); см. также Mel ап Е., Parkus Н„ Warmespannungen infolge
stationaren Temperaturtelder, Вена, 1953, куда включена и библиографнк по
температурным напряжениям (имеется русский перевод: Мелан Э., Пар-
ку с Г., Термоупругие напряжения, вызываемые стационарными температур-
ными полямк, Физматгиз, 1958.—Прим. пер.). Относительно напряжений,
возникающих в результате неточностей сборки, см. Nowackl W., Bull.
Acad, polon Set, т. 4, стр. 79, 1956.
188
СВОБОДНО ОПЕРТАЯ ПРЯМОУГОЛЬНАЯ ПЛАСТИНКА
rm. v
пластинки, а а—коэффициент температурного линейного расширения.
Чтобы получить изгибающие моменты Л1Х и Му для свободно опер-
той пластинки (рис. 62), мы должны на равномерно распределенные
моменты, данные уравнением (а), наложить моменты, возникающие
в свободно опертой прямоугольной пластинке под действием равно-
мерно распределенных по крвям моментов
л/ —
Для решения этой последней задачи воспользуемся уравне-
ниями (120) (см. стр. 120). Так как кривизна в направлении края
в случае свободного опирания равна, нулю, то мы имеем Mt=vMn.
Поэтому на контуре
Х.+Х rfD(l-H)
М 1+, - T+, =--------------------h—• <ь>
Таким образом, первое из уравнений (120) удовлетворяется, если М
принять постоянным по всей пластинке и равным его значению (Ь)
на контуре. Тогда второе из уравнений (120) дает
дЧр , дга> af (l-f-v) ( у
дх2 дуа ~ Л ™
Иначе говоря, изогнутав поверхность пластинки, подвергнутой нера-
вномерному нагреву, будет такой же, как и для равномерно растя-
нутой и равномерно нагруженной мембраны, и определится решением
уравнения (с), удовлетворяющим тому условию, что прогиб на кон-
туре должен быть равен нулю: чи — 0.
Поступая подобно прежнему, возьмем изогнутую поверхность
пластинки в виде
«)=®j1-|-w2, (d)
где Wj—прогиб абсолютно гибкой нити, равномерно нагруженной
и натянутой вдоль оси таким образом, что отношение интенсивности
нагрузки к осевой силе равно —af(l+*)/ft. При этом упругая кри-
вая будет параболой, которую мы сможем представить тригонометри-
ческим рядом
.1(1+») _____^0+.) V S'n~i~
W1— Л 2 ~ Л «3 Zj m’ •
Это выражение удовлетворяет уравнению (с). Прогиб w2, который
должен удовлетворять уравнению
а^+Ту5- ’
(О
38] ТЕМПЕРАТУРНЫЕ НАПРЯЖЕНИЯ В ПРЯМОУГОЛЬНОЙ ПЛАСТИНКЕ 189
может быть взят в виде V1 iz тпх , ®2= 2j г№8Ш— fe) 07=1,3,5,...
где Ym—функция находим одного лишь у. Подставив (g) в уравнение (f).
Отсюда Уп=АтЛ=3-+Втл!^-. (h)
Из симметрии изогнутой поверхности относительно оси х можно
заключить, что Ym должна быть четной функцией от у. Поэтому
постоянная Ат в выражении (h) должна быть принята, равной нулю,
и тогда окончательно мы получим
со
S, тясх [ a/(l_i_v) 4<z2 । п , илу! ...
Sl,, « I.----ft «
m=l,8.5,...
Это выражение удовлетворяет граничвым условиям «к = 0 на краих
х — 0 и х = а. Чтобы это же самое условие удовлетворялось и иа
краях y=s±bJ2, должно быть справедливо соотношение
В ch °*(1 +-Д.-д—=о
2а h *№
Подставив полученное на этого уравнения значение Вт в уравнение (i).
где, как и раньше, am—mvb/2a.
Имея это выражение для прогибов w, мы можем найти и соот-
ветствующие значения изгибающих моментов, а складывая их алге-
браически с моментный (а), получаем окончательно
ah
oW(l-l-v) r,(dSw (
"» = — ft-D(s?-
sinSchS.
_ 4£>crf(l —v*) у a a
й stft mcbam
07 = 1,3, 5,...
тих , тпу
sin--• ch-—
а_____а
mcham
(k)
160 СВОБОДНО ОПЕРТАЯ ПРЯМОУГОЛЬНАЯ ПЛАСТИНКА [ГЛ V
Сумма входящего в эти выражения ряда будет легко найдена, если
мы напишем ее в следующем виде:
тгх . mrty
“ sin---------ch - --
Vi ___________а а ___________
»; ch cm ~
m-1,3.5,...
Первый рад в правой части этого уравнения быстро сходится, по-
скольку ch (ткуfa) и ch ат с возрастанием т быстро приближаются
тпу
к ё а и соответственно к еат, Второй ряд можно представить таким
Нагибающие моменты Мх и Л4у принимают максимальные зна-
чения на кравх. Эти значения
Мы видим, что эти значения получены путем умножения Л4„ из фор-
мулы (а) на (1 —v). К этому же самому выводу мы придем, если
заметим, что приложенные к контуру моменты -М„ вызывают по-
явление в перпендикулярном направлении моментов
лл’ «ftD(l-l-v)
Mt — vMn ~ V-------'h~,~ ’
которые, будучи наложенными на моменты (g), дают значение (п).
39. Влияние деформации поперечного сдвига на изгиб тонкой
пластинки. Мы видели, что обычная (элементарная) теория тонкой
пластинки дает для прогиба дифференциальное уравнение (ЮЗ) чет-
’) См. Byerly W. Е., Elementary treatise оя Fourier series and spheri-
cal, cylindrical ana ellipsoidal harmonics, стр. 100, Бостон, 1893. Результат
легко получается с помощью известного рада
1 2 х sin v х^ х®
-7^-arctg j__х1 =xsiny4~-^-sin3y-|--^-sin5y4- ...
89J ВЛИЯНИЕ ДЕФОРМАЦИИ ПОПЕРЕЧНОГО СДВИГА НА ИЗГИБ 191
вертого порядка с двумя граничными условиями, которые могут и
должны удовлетворяться по каждому краю. Для пластинки конеч-
ной толщины естественнее, однако, потребовать выполнения трех
граничных условий вместо двух. Формально основанием невозмож-
ности удовлетворения более чем двум условиим в обычной теории
можно объяснить соответствующим порядком основного уравнения
этой теории; с физической точки зрения причина этого заложена
в том обстоятельстве, что при выводе соотношений между напряже-
ниями и прогибом игнорируется искажение элементов пластинки,
производимое перерезывающими силами, такими, как Q (стр. 68),
Qe и Qy (СТР- 89). Пренебрежение деформацией, вызванной попе-
речным компонентом напряжения, равносильно, очевидно, допущению,
что модуль сдвига 02 = оо. Поступав таким образом, мы как бы
заменяем реальный материал пластинки, согласно нашему предполо-
жению изотропной, некоторым гипотетическим материалом, не обла-
дающим идеальной изотропией. В силу допущения б2 = оо пластинка
не ^реагирует на кручение, производимое некоторой парой, прило-
женной к цилиндрической поверхности пластинки, если вектор пары
совпадает с нормалью к этой поверхности. Это позволяет отожде-
ствить приращение дМху(ду крутящих пар, обусловленных горизон-
тальными касательными напряжениями и действующих по краю х=а,
с результатом воздействия вертикальных сил Qx, приложенных по
тому же краю, и тем самым снизить число граничных условий
с трех до даух (стр. 101). Такое уменьшение числа граничных условий
внесло значительные упрощения в исследование напряженного состоя-
ния упругой пластинки. С другой стороны, приписав некоторые
чисто гипотетические свойства материалу пластинки, мы потеряли
право на уверенность в том. что распределение напряжений, пред-
сказанное нашей теорией, вполне совпадает с фактическим. Неточ-
ность обычной теории тонкой пластинки приобретает практическую
важность в областях пластинки, примыкающих к контуру или к от-
верстиям, диаметр которых нельзя считать большим в сравнении
с толщиной пластинки.
Обобщение обычной теории, учитывающее влияние, которое ока-
зывает на прогиб деформация сдвига, было дано по существу
Э. Рейсснером1).
Пусть элемент пластинки (рис. 80) подвергается действию внешней
поперечной нагрузки qdxdy и системы компонентой напряжения.
Следуя Рейсснеру, примем для распределения компонентов напря-
жения ох, ау и по толщине пластинки линейный закон, В силу
') См. Reissner Е., J. Math, and Phys., т. 23, стр. 184, 1044; J. Appl.
Meeh., т. 12, стр. А-68, 1945; Quart. Appl. Malh., т. 5, стр. 55, 1947. История
вопроса, восходящая к спору между Леви и Буссивеском, излагается Боллем
(ВоНе L., Bull. tech. Suisse romande, октябрь, 1947).
192 СВОБОДНО ОПЕРТАЯ ПРЯМОУГОЛЬНАЯ ПЛАСТИНКА |ГЛ V
уравнений равновесия (а) (на стр. 88) распределение компонентов
тЛ2 и подчиняется параболическому закону. Что касается компо-
нента напряжения аг, то его распределение устанавливается без труда
третьим на уравнений равновесия (а), если учесть* условия
-Л72 = """ =
для верхней и нижней поверхностей пластинки. Таким путем мы
приходим к следующим выражениям для компонентов напряжения
в функциях от их равнодействующих и координаты zz
_ Т2Мхг _ 12Л1уг _ 12Л/Хуг
°Х = ’ °V — дэ~ • Ъ-у = м
Полученная система уравнений, с исключением из нее уравнения (Ь)
совпадает с аналогичными соотношениями обычной теории. Равным
образом, можно переписвть и соответствующие условия рдановесия
для равнодействующих напряжений (см. стр. 97, 98):
дМу дМХу
ду дх
-Qy=0.
(с)
(d)
ВЛИЯНИЕ ДЕФОРМАЦИИ ПОПЕРЕЧНОГО СДВИГА НА ИЗГИБ
193
39]
Предполагав, что материал пластинки изотропен и что переме-
щения и0, -и0, w0 произвольной точки пластинки малы п сравнении
с ее толщиной h, используем общие соотношения закона Гука
где G—Е/'2 (1 -J- v). Мы, однако, не вводим сюда шестое соот-
ношение
поскольку оно стоит в противоречии с принятым нами линейным
законом распределения напряжений ах, оу,
Далее1), введем некоторое среднее для всей толщины пластинки
значение w поперечного перемещения, равно как и некоторые средние
значения у* и для угловых деформаций (поворотов) сечений соот-
ветственно х = const, у — const Определим эти величины, прирав-
нивав работу результирующих пар на средних углах поворота и
работу равнодействующих сил на среднем перемещении работе соот-
ветствующих напряжений на фактических перемещениях и0, Vg и ти0
в том же сечении, т. е. положим
А/2 hjl
J" охм0г/г = Л1лфл., -hfi -Л/2 J" ayVg dz = Myffy, — J ’,,4, -ЛЙ hp. (f)
h/2 J Xxz<WgdZ — Qx<W, -h!i -Л/2 f xyzWgdz=Qvw. -tip
1) Рейсснер при исследовании этого вопроса вводит условия совмест-
ности, воспользовавшись принципом наименьшей работы Кастильяно. Метод,
излагаемый здесь и приводящий по существу к тем же результатам, пред-
ложен Грином (Qrcen А. Е., Quart Appi. Math., т. 7, стр. 223, 1949);
см. также Schafer М., Z. angew. Math. Meeh., т. 32, стр. 161, 1952.
7 С, П. Тимошенко, С. Войновский Кригер
194 СВОБОДНО ОПЁРТАЯ ПРЯМОУГОЛЬНАЯ ПЛАСТИНКА [ГЛ V
Подставляя теперь выражения (а) для напряжений в уравнения (f),
приходим к следующим соотношениям между средними и фактиче-
скими перемещениями:
Исходя из уравнений (с) и учитывая (Ь), мы получаем возмож-
ность выразить компоненты ах, су, напряжений в зависимости
от фактических перемещений*):
Подставляя это в уравнения (а), умножав полученные уравнении
на I2zdz[№, интегрируя в пределах z~— h}2 и z = h}2, приняв,
наконец, во внимание соотношения (g), приходим к выражениям
(1)
где D определяется, как и ранее, уравнением (3). Совершенно так же,
подставляя выражения (а) для компонентов напряжения и ту2 в по-
следние два уравнения (е), умножая результаты на 3/2 [1 — (2д/й)2]«/г/й
) Члены с 2й ве входят в эти выражения для вх и <г„, поскольку они
погашаются тождественными членами противоположного знака, содержа-
щимися в ди0[дх и dvofdy.
ВЛИЯНИЕ ДЕФОРМАЦИИ ПОПЕРЕЧНОГО СДВИГА НА ИЗГИВ
195
и интегрируя в пределах z = ± Л/2, получаем
„ _ , 12 1 + ^ п
’*-“йГ + -5"£Л-^’
Чу dv + Я Eh <?У
(j)
Таким образом, восемь неизвестных величин, а именно Л4Х, Му, Мху,
Qx, Qy, if, <fx и tpy, сиизвны между собой двумя уравнениями (j).
тремя уравнениями (1) к, наконец, тремя уравнениями равновесия
(с) и (d).
Чтобы преобразовать эту систему уравнений к более удобному
для исследования виду, исключим величины <рх и <ру из уравнений
(j) и (i). Приняв во внимание уравнение (с), получим
„ rJd2® , d2®^ , Л8 dQx qh* v
^=-с(^+,-гг)+т-^-т<гт=г-
/ d2w d3w\ hs dQv qh2 t
Л1,=—d^h-v а-г)+-Г“^—To'T=7‘
(k)
Подстановка этих выражений в уравнении (d) прнаодит, если учесть
ураииение (с), к результату:
Чг юЛ<6г— и дх 10(1 —м) дх’
п h'hti °
Qy~ -ft AQy — ---ioTi-v)^’
где, как и раньше, обозначение А имеет смысл (105). В частном
случае Л = 0, т, е. в случае бесконечно тонкой пластинки только
что полученная система пяти уравнений, выражений (к) и (1) соот-
ветствует уравнениям (101) и (102) для моментов и уравнений (108)
для перерезывающих сил обычной теории тонкой пластинки.
Чтобы получить более полное дифференциальное уравнение изгиба
пластинки, нам останется лишь подставить выражения (i) в урав-
нения (с);
Dito = y —(169)
Мы можем удовлетворить этому уравнению, если предстаяим «сред-
ний прогиб» if в (х, у) в виде суммы
if=w' Ц- nf', (m)
где w'—частное решение уравнения
196 СВОБОДНО ОПЕРТАЯ ПРЯМОУГОЛЬНАЯ ПЛАСТИНКА ’ (ГЛ V
a w"— общее решение уравнения
Д ДаЛ = 0. (о)
Пользуясь, таким образом, уравнением ((69), мы получаем возмож-
ность, как и в обычной теории пластинок, удовлетворить всем
четырем граничным условиям. Но мы можем получить и дополни-
тельное дифференциальное уравнение, вводя в рассмотрение пере-
резывающие силы Qx и Qy. Действительно, уравнение равновесия (с)
удовлетворяется, если мы выразим эти силы в форме, подсказанной
видом уравнений (1), т. е.
р д(Да>) Эф
дх ’ ду '

или
О — дф
ду дх'
(Р)
(q)
В этих выражениях ф обозначает некоторую новую функцию напря-
жений, силы же Qx и <2у должны удовлетворять зависимостям

h2 dq
10(1 —v) ~дх'
hs dq
10(1 — v) dy ’
(0
как мы можем заключить из уравнений (1) и (п). Дифференцируя
эти уравнения соответственно по х и у и суммируя результаты,
приходим к условию равновесия
Э(?‘ dQ'
~ЗГ~^—ду~ + —°’ (s)
Чтобы сформулировать дифференциальное уравнение для функции
напряжений ф, подставляем выражения (q) в уравнения (1) и находим
^-(ф_^дф)=_^.(ф_^дф)=о, (t)
откуда заключаем, что выражения в скобках суть постоянные вели-
чины. Приравнивая их нулю, получаем зависимость
Ч—5ГФ=О. (170)
391 ВЛИЯНИЕ ДЕФОРМАЦИИ ПОПЕРЕЧНОГО СДВИГА НА ИЗГИБ 197
представляющую собой при сохранении прежней предпосылки, что
h J=0— второе фундаментальное уравнение обобщенной теории изгиба,
в дополнение к уравнению (169).
Установив таким образом два дифференциальных уравнения, одно
из которых четвертого, другое второго порядка, мы приобретаем
возможность удовлетворить трем вместо двух граничным условиям
для контура пластинки. Имея в виду общий случай элемента цилин-
дрической боковой поверхности пластинки, заданного направлениями
нормали п и касательной t (рис, 54), мы можем фиксировать поло-
жение элемента, например, уравнениями

(«)
Здесь w—данный средний прогиб, а <р„ и —данные средние углы
поворота элемента относительно осей t и п. В частном случае
защемленного кран эти условия принимают внд
«)=0, фя = 0, ^ = 0.
Вместо перемещений можно задать на границе некоторые значения
результирующих Qn, Мв, Мп1, тогда соответствующие граничные
условия будут
4. = Q.-

(V)
Для свободных краев эти условия принимают внд Q„==0, Л4„ = 0,
Л4я<=0, а для свободно опертого края Mn — 0, Mnt=0.
В последнем случае исчезают сосредоточенные реакции в вершинах
пластинки, которые там действуют согласно обычной теории, что
находится в очевидном противоречии с пренебрежением деформацией
сдвига, которое постулируется этой теорией.
Для иллюстрации применения этой уточненной теории рассмотрим пла-
стинку, имеющуй> форму полубесконечного прямоугольника, ограниченного
двумя параллельными краями у = 0, у —а и краем х = 0. Положим, что
пластинка не песет никакой нагрузки, что прогибы w и изгибающие мо-
менты Л1у отсутствуют по краям у = 0, у = в, по краю жех = 0 пластинка
подвергается воздействию изгибающих и крутящих моментов и перерезы-
вающих сил
~ , ППУ
Мх = Mq sin—— ,
Mxj)=n0cos
^ = Qosin^,
(W)
где Л10, Но, Qo—постоянные, а я— целое число. Тогда, учитывая, что
$ =* 0, из уравнении (п) получаем в»' = О, а из уравнения (гс); а> = w”. Мы
1Р8 СВОВОДНО ОПЕРТАЯ ПРЯМОУГОЛЬНАЯ ПЛАСТИНКА [ГЛ. V
можем удовлетворить уравнению (о) и условию отсутствия прогибов на
лг = со, положив
„ , лху / . । лпх \
• - » - и+——ГГ~
где А к В постоянные. Приняв, далее, для ф решение в виде
ф — л cos —~ ,
где X—функция одного лишь х, и подставка его в уравнение (170), находим
ф = Сё~х$ сое .
В этом последнем выражении
_ Г п»л» . io
₽ = у ~аг+т$‘
а С — постоянная венкчиза. Из уравнений (г) имеем Qx =• Qv 0. Уравне-
ния же (q) дают
О,— [2Я е~ С ~ «-*] sin SSL.
Q, = [2 В «- + Cfs" "] cos SSL.
Наконец уравнения (к) приводят к следующим выражениям для моментов,
действующих по краям х = 0:
<««>„»* <->>+в (‘ -’+4-^)+
+с(т^+т)]т‘»г?-'
Приравнивая этн выражения, а одновременно и выражение для перерезы-
вающей силы
соответственно выражениям (w), получаем систему трех уравнений, доста-
точных для вычисления неизвестных постоянных А, В и С. Таким образом,
уточненная теория пластинки позволяет удовлетворить всем трем условиям
по краю jc = O.
Обращаясь теперь к краю у=О, видим, что w обращается адесь в нуль
точно так же, как и 2Иу, в чем можно убедиться подстыковкой выражения
для Qy во второе из уравнений (к).
Другая теория пластинки, учитывающая поперечную деформацию сдвига,
была выдвинута А. Кроммом ’). Эта теория пренебрегает поперечным уко-
') Kromm A., fngr.-Arch., т. 21, стр. 266, 1953; Z. angew. Math. Meeh.,
т. 35, стр. 231, 1955.
40] ПРЯМОУГОЛЬНАЯ ПЛАСТИНКА ПЕРЕМЕННОЙ ТОЛЩИНЫ 199
роченнем но зато не налагает ограничений на закон распределения на-
пряжений изгиба по толщине пластинки требованием линейности. Применяя
эту теорию к случаю равномерно нагружеизой свободно опертой квадратной
пластинки a]h — 20, Кромм нашел распределение действующих по краю
перерезывающих сил в виде кривой, представленной на рис. 81. Для срав-
по обычной теория (рис. 63) и силы /?. Мы видим, что коль скоро мы при-
нимаем в расчет деформацию поперечного сдвига, появление сосредоточен-
ных реакций в вершинах пластинки исключается. Соответствующие отрица-
тельные силы распределяются вместо этого по малому участку контура,
примыкающему к вершине, и дают в самой вершине давление конечной
величины, направленное вниз. Моменты Л4ху по всем четырем краям пла-
стинки обращаются в этом решении в нуль.
С еще одним подходом к теории деформации сдвига можно познако-
миться по статье Генки ').
40. Прямоугольная пластинка переменной толщиныа). При выводе
двфференциального уравнения ранионесия пластинки переменной толщины
мы полагаем, что эта толщина изменяется всюду постепенно, без резких
скачков, так Что выражения для изгибающих и крутящего моментов, выве-
денные для пластинки постоянной толщины, остаются применимыми с доста-
точной точностью также и в этом случае. Тогда
£Ч'₽+'т>?')- "’”-£,(т5г+’’агг> | ,
i 'а
МХТ)^= — Af— О(1 — *) . |
’) Hencky Н., Ingr.-Arch.. т. 16, стр 72. 1947.
а) Эта задача была рассмотрена Гран Ольссоном (Oran Olsson R,
Ingenleur-Archiv, т. 5, Стр. 363, 1934); см. также Reissner Е., J. Math.
Phys., т. 16, стр. 43, 1937.
200 СВОБОДНО ОПЕРТАЯ ПРЯМОУГОЛЬНАЯ ПЛАСТИНКА [ГЛ V
Подставив эти выражения в дифференциальное уравнение равновесия эле-
мента [уравнение (100), стр. 98}
М™ d2Mv
"дх2 2 дхду = “(Ь)
и учтя, что жесткость пластинки при изгибе D яаляется уже не постоянной
величиной, по функцией координат х и у, получим
dD д . dD д . .
D& b.w-V-2^,--s—bw +2-^-^— hw +
1 дх дх ду ду 1
, . _ . ,, / d2D dsw „ d2D d2w . d2D d2w \ . _ .
+ &Dkw-(1— 2 дхду ^"dy2 ~dx2)~q’ <*71)
где, как и прежде, мы пользуемся обозначением
В качестве частного
случай, когда жесткость
Рис. 82.
примера применении уравнения (149) рассмотрим
пластинки при изгибе D есть линейная функция
от у, выраженная в виде
(с)
где DB и D, постоянные.
В таком случае уравнение (171) принимает
вид
(£>е -|- D,y) Д Lw -f- 2Dt Ilw = q
Д[(Ло-|-О1у)Д®} = 9 (172)
Рассмотрим случай, когда интенсивность на-
грузки q пропорциональна жесткости при изгибе D.
Пусть прогиб пластинки (рис..82) имеет внд
ЙО = ЙО) ЙОг,
где гг<1 равен прогибу вырезанной из пластинки полоски, параллельной оси х
и нагруженной сплошной равномерно распределенной нагрузкой интенсив-
ностью (d)
(d)
Этот прогиб, как и раньше, можно представить триговометрическим рядом
С помощью подстановки легко показать, что это выражение для й»| удо-
влетеоряет уравнению (172). Оно удовлетворяет также граничным условиям
и = 0 и d^wjdx2 = 0 на опертых краих х = 0 и х = а.
40] ПРЯМОУГОЛЬНАЯ ПЛАСТИНКА ПЕРЕМЕННОЙ ТОЛЩИНЫ 201
С другой стороны, прогиб должен удовлетворять однородному ура-
внению
Д [(Dc + £>>у) Д w] = 0. (f)
Напишем его в виде ряда
S.. . тпх
(g)
т ”•1,3,5,...
Подставив этот рад в уравнение (f), найдем, что функции Ym удовлетворяют
следующему обыкновенному дифференциальному уравнению:
О)
Применив обозначения
f„ _ (С.+ O,j) >„). (1)
из уравнения (h) найдем
fm = A„‘V + B^l~V-
Далее, уравнение (i) нам дает
Общее решение этого уравнения
l„ = C„«v + £i„s" (Ь)
где gm—частный интеграл уравнения (j). Для нахождения этого частного
интеграла пользуемся принадлежащим Лагранжу методом вариации парамет-
ров, иными словами, допустим, что gm имеет вид
'(I)
где Ет и Гт—функции у. Остается определить эти функция из следующих
уравнений *):

т/ Ачу_р' о °ту_
откуда
+ д»« v
ат (А, + ®|У)
, Л I в е
р' -яш I °те
2am(D„+D.y) ’
2^\DB + D,y) ’
*) Е^т и в этих уравнениях -i- производные по у от Ет и Гт.
202 СВОБОДНО ОПЕРТАЯ ПРЯМОУГОЛЬНАЯ ПЛАСТИНКА [ГЛ. V
Интегрируя эти уравнения, находим
sfe-1" тг<с-+ ” +
2а D -2И«<РО*Р.>)
. .в" г~^~ /* е Di *Е^<До+Ау)1
"* 2=^0, J 2am{D0+Diy)
р _ /* *” 4~дя» _ _ Вт t 2«те ф I fj .л
т~~ J ^m{D0+D,y} 2^ ,П D, +
2а о 8ат(ро~|~р.у)
Ат f----ЪГ Г е ^[2°т(Сс4-Р.У)1
2araDi J ЧДА>+А>> *
Подставив эти выражения в уравнения (1) и (к), введя обозначения')
и и
f — и. «<(-">- f
—со со
представим функции Ym в следующем виде:
У„ = (О.+ о,у) -/Т Л*“?> В, [jM'ffi?'»-] }
- Д; (Л (Да + О,„-Е,["2- <у Д^>] } +
+ Crf-'“’’+O„e-*"’. (ш)
Четыре постоянные интегрирования А'т, в'т, Ст, Dm определяются ия гра-
ничных условий на сторонах у=0 и у = Ь. В случае свободно опертых
краев они будут
(SU-*
Численные результаты дак свободно опертой квадратной пластинки, полу-
ченные путем суммирования лишь первых двух членов ряда (g), показаны
на рис. 832). Прогибы и моменты М* и Му по линии х = а/2 для пластинки
переменной толщины нанесены здесь сплошными линиями, штриховыми же
линиями показаны те же величины, вычисленные для пластинки с постоии-
’) Интеграл £/(«)—так называемый интеграл-логарифм—представляет
собой табулированную функцию. См., например, Янке Е., Эмде Ф., Таб-
лицы функций с формулами и кривыми, Фивматгиз, 1959, или Tables of sine,
cosine and exponential integrals, Nat. Bureau of standards, Нью-Йорк, 1940.
x) Эти результаты заимствованы из работы Гран Ольссона, цит. на
стр. 199.
40] ПРЯМОУГОЛЬНАЯ ПЛАСТИНКА ПЕРЕМЕННОЙ ТОЛЩИНЫ 203
ной жесткостью при изгибе £> = ^-(£)с4- Dib). При вычислении в основу
расчета было положено, что Dib — 7D0 и v=0,16.
Рассмотрим, наконец, случай, когда толщина пластинки является линей-
ной функцией одной лишь координаты у, интенсивность же нагрузки также
задана, как нскоторак функция у (рис. 82). Обозначая толщину пластинки
по линии у = W2 через Ji0, а соответствующую жесткость изгиба через
£Ап
D° = 12(1 —v2) ’
получаем для произвольной точки пластинки
D=£>.^ и + (о)
где X некоторая постоянная. Отсюда находим h = (1 — 1) ha при у = 0 и
Л = (14-А)йа при у=»&
Нижеследующий метод1), вводящий величину Л в качестве параметра,
подтверждает свою особую эффективность в решении поставленной задачи.
*) См. Favre Н.» G i I g В^ Z. angew. Math. Phys., т. 3, стр. 354, 1952.
204 свободно ОПЕРТАЯ ПРЯМОУГОЛЬНАЯ ПЛАСТИНКА [ГЛ V
Рассматривая прогиб как функцию переменных х, у, А, представим w (х, у, А)
радом
«- 3 «Д'". (р)
m -0
в котором т — целое число, коэффициенты же wm—функции лишь хи у.
Подставляя выражения (о) и (р) в уравнение (171) и приравнивая нулю
коэффициенты при последовательных степенях А, получим последовательность
дифференциальных уравнений
““"=вг-
ДА», = - 3 [Аг». + (-*' -1) АД«.О].
ДДю2=— з(4- -5“ Доч + Гтг—AaawiI —
2 U dy J ‘J (q)
_3{X[^-a_^]+
Положим, что края х = 0, х~а свободно оперты, и ограничим задачу
случаем гидростатической нагрузки
(Г)
Следуя М, Леви, примем решение уравнений (q) в ваде
юо— ro«sln-^-, (s)
V v • пях
«,|= L • (t)
s
,1,3,.
,sln------,
где коэффициенты Ymn (m —0, 1, 2, ..) — функции у. Наконец, нагрузку (г)
мы можем представить также аналогичным рядом
4а0у V1 1 - лях
’ = 4г- i 7Г“—• М
Л-1,3....
Подстановка выражений (s) и (v) в первое из уравнений (ч) позволит нам
найти функции Fen при граничных условиях КСл==0, У^п = 0 для у = 0 и
у = Ь, если эти края свободно оперты. Подстановка выражений (s) и (t) во
401 ПРЯМОУГОЛЬНАЯ ПЛАСТИНКА ПЕРЕМЕННОЙ ТОЛЩИНЫ. 205
второе уравнение системы (q) лает функцию Аналогично каждая из
функций wm находится подстановкой wc, .... a>m_| в дифференциальное
уравнение системы (q), содержащее wm в левой части. Процедура остается
по существу одинаковой и в том случае, если края у=О, Ь не свободно
оперты, а защемлены или свободны.
Приводим на рис. 84 численные результаты, полученные Н. Фавром и
В. Гнльгом для прогибов и изгибающих моментов по оси симметрии х = а[1
свободно опертой пластинки, для которой А = 0,2, к = 0,25 в случае гидро-
статического давления (г). Сплошными линиями здесь нанесены результаты
вычисления трех членов рада (р), штриховыми линиями — результаты
первого приближения.
ГЛАВА VI
ПРЯМОУГОЛЬНАЯ ПЛАСТИНКА ПРИ РАЗЛИЧНЫХ УСЛОВИЯХ
ОПИРАНИЯ ПО КРАЯМ
41. Изгиб прямоугольной пластинки моментами, распределен-
ными по краям. Рассмотрим прямоугольную пластинку, опертую по
краям и изогнутую моментами, распределенными по краям ± А>/2
(рис, 85). Прогибы w должны удовлетворять однородному диффе-
ренциальному уравнению
дх* дх*дуа ду* * ' '
причем должны соблюдаться следующие граничные условия:
где fi и /2 представляют собой законы распределения изгибающих
моментов по краем у==±£/2.
Положим, что решение уравнения (а) имеет вид ряда
\т , ткх , .
”= i Г,,™!—- . (е)
каждый член которого удовлетворяет граничным условиям (Ь), Отно-
сительно функций Ym мы предположим» как и раньше, что они
41] ИЗГИБ ПЛАСТИНКИ МОМЕНТАМИ, РАСПРЕДЕЛЕННЫМИ ПО КРАЯМ 207
имеют вид
r„=>!fflsh^+Bwch^+cms8h^+Dm^chs;
(О
удовлетворяющий уравнению (а).
Чтобы упростить исследовании, начнем с двух частных случаев:
1) симметричный случай, когда (Л1у) ъ — (AL) ь ;
v "'2
2) антисимметричный случай, когда (Л4у) ь~— (Afy)
у—2 у°"~2
Общий случай осуществляется комбинированием этих двух частных
случаев.
В случае симметрии ¥т должна быть четной функцией от у, и
тогда в выражении (f) необходимо положить Ain — Dm=D. После
этого из уравнения (е) получаем
„=£(B„ch2SL+-C„2Ssh^)s,„2Si. и
Для выполнения граничного условия (с) мы должны потребовать,
чтобы
Вт ch ат + Ста,п Sh ат = 0.
где по-прежнему
тт.Ь
ат~'~2а ‘
Отсюда
и прогиб в симметричном случае будет
„ = Vc„(^»«h (Ь)
XJ ni\ а а т т а ) а >
Ш=1
Для определения постоянных Сп исходим из граничных условий (d).
Представив распределение изгибающих моментов по краям у = ± Ь[2
тригонометрическим рядом, будем иметь в случае симметрии
A (*) =/,И= . (1>
где коэффициент Ет вычисляется обычным путем для каждого
частного случаи. Например, в случае равномерного распределения
208 ПРЯМОУГ. ПЛАСТИНКА ПРИ РАЗЛИЧНЫХ УСЛОВИЯХ ОПИРАНИЯ [ГЛ VI
изгибающих моментов будем иметь (см. стр. 184)
2
. a > 4Л1п
* 2
(j)
Подставив выражения (h) и (I; в условия (d), получим
откуда
nn V1 *и®я;2 .л- \ г , ялы:
— 2D 7, —5— Стchа,яsin------------= 7. Етsin——,
аа т т а т а
____
2Dwi2ns ch а
В частном случае равномерного распределения моментов интен-
сивностью Af0 получаем из выражения (j)
W = ^L
. mr-x
sin----.
а
Прогиб на оси симметрии (у —0) равен
. . 2Мва* V
1 . тпх
_т^—т_ sin--
тя ch ат а
(Ю
1 , лтх
— sin---.
т а
Если сторона а весьма велика в сравнении с Ь, мы можем положить
thamfvam и chamwl.
Пользуясь тогда рядом (j), получим
(®»)у=0 =
М0Ь* VI
2rcD
-Lein тгх — 1 м°ьз
т 1 а ~ 8 D '
Это—прогиб в середине полоски длиной Ь, изогнутой двумя равными
противоположно направленными парами, приложенными на концах.
Если а мало в сравнении с Ь. то cha,n будет большим числом,
и прогиб пластинки по оси х получится весьма малым.
Прогиб в центре пластинки для произаольного отношения между
длинами сторон прямоугольника получается из выражения (к)
4-^4
Moaf> У (___________П~я^~ 1 nro<hqw
n»D 1 ’ т» cham '
m=l,3,5,...
41] ИЗГИБ ПЛАСТИНКИ МОМЕНТАМИ, РАСПРЕДЕЛЕННЫМИ ПО КРАЯМ 209
Исходя из выражения (173) для прогибов, можно, путем диффе-
ренцирования, получить наклон изогнутой поверхности на контуре,
а взяв от та вторые производные, вычислить изгибающие моменты.
Ряд значений прогибов и изгибающих моментов, вычисленных этим
способом, приводится в таблице 28. Мы видим из нее, например, что
прогиб весьма узкой полоски шириной а приблизительно в 31/2 раза
больше, чем прогиб квадратной пластинки с такой же стороной а.
В то время как поперечное сечение в середине той же полоски вос-
принимает полностью момент 7И0, приложенный по ее концам, из-1
гибающий момент Afy в центре пластинки по мере возрастания отно-
шения b/а быстро уменьшается в сравнении с Л1о. Это следует
приписать компенсирующему влиянию краев х — 0 и х = а, не под-
вергающихся действию пар.
Таблица 28
Прогибы и изгибающие моменты в центре прямоугольной
свободно опертой плаетинки, нагруженной парами,
равномерно распределенными по краям ±fc/2 (рис. 85) (v=0,3)
Wa K,
0 0,1250 M^ID 0,300 Mo 1,000 Л40
0,50 0,0964 MBbslD 0,387 Mo 0,770 Mo
0,75 0,0620 Mb&fD 0,424 Mo 0,476 Mo
1,00 0,368 M^jD 0,394 Л1о 0,256 Mo
1,50 0,280 MBa2jD 0,264 Mo 0,046 Mo
2,00 ЫП7ЬМ0аЧ-О 0,153 Л40 —0,010 Mo
Рассмотрим теперь антисимметричный случай, когдв
В этом случае изогнутая поверхность будет нечетной функцией у. и
в выражении (f) мы должны положить Вт~Ст = 0. Тогдв

Из граничных условий (с) следует, что
210 ПРЯМОУГ. ПЛАСТИНКА ПРИ РАЗЛИЧНЫХ УСЛОВИЯХ ОПИРАНИЯ 1ГЛ. vr
откуда
l ияу 1 тпу . тяуХ . тпх
w~ У, A„lsh ----------tham—— ch—— I sin--.
a am m a a ) a
m=*i
Постоянные A.n определяются из условий (d)
2jAD Vi . ms . .. . mr.x Vi г , tnttx
—5— z, А» — sha,„tha„ sm----------= У. E„sin—:
a2 m Om m m a m a ’
откуда
и
A — a F °m
m WD m ms sb am th am
«* V Em
2iflD XJ rn*sham
ткУ тпУ .. tmty\ , mr.x
BMctha sh—---------z^-ch——|sin----.
m m a a a J a
(174)
Решения (173) и (174) для симметричного и антисимметричного
случаен позволяют нам получить поверхность прогибов также и для
общего случая, представляемого граничными условиями (d). С этой
целью разобьем данное нам распределение моментов на два соста-
вляющих— симметричное Му и антисимметричное
м , =--(«;,) , = 1 [л<х)+/2(х)1.
У “ 2 у 2 £
(^1 _ * = » = X /2(-«) b
У~2 У~ 2 £
Эти моменты по-прежнему можно представить тригонометрическими
рядами
(Mj) i=
’"г ».i
(П
и полный прогиб получится из выражений (173) и (174) в резуль-
тате наложения прогибов, вызванных каждым из обоих вышеуказан-
«2) ДВА КРАЯ ПЛАСТИНКИ ОПЕРТЫ. ДВА ДРУГИХ ЗАЩЕМЛЕНЫ 211
ных распределенных моментов (1) в отдельности. Поэтому здесь
со тпх
' = - = <"»
Если изгибающие моменты Afy= Ет sin распределены по
одному лишь краю у = 6/2. мы будем иметь f2(x) = 0, Е?т~Ет=
— ~Ет, я прогиб в этом случае получится равным
оэ Е sin"1 —
1 shara \ т т а а а Ц 4 7
Решения (173)—(176) настоящего параграфа найдут применение
в исследований пластинки при различных условних опиранйя по краям.
Моменты Л10, распределенные только по одному краю, например
у = Ь[!2, повлекли бы за собой возникнозение прогибов и изгибающих
моментов вдвое меньшей величины в сравнении с приведенными
в таблице 28. Совместное воздействие пар по всему контуру пла-
стинки потребовало бы при вычислении прогибов и моментов при-
бегнуть к наложению результатов, полученных выше для различных
видов частичного загруженияг).
42. Прямоугольная пластинка, два противоположных края
которой свободно оперты, два других защемлены. Положим, что
крия х = 0 и х = а прямоугольной пластинки, изображенной на
рис. 86, свободно оперты, а два других защемлены. Прогиб пластинки
под любой поперечной нагрузкой можно получить, решав сначала
задачу в том предположении, что все ее крав свободно оперты,
а затем прилагая по краям у— + 6/2 изгибающие моменты такой
величины, чтобы устранить повороты, производимые на этих краях
действием поперечной нагрузки. Комбинируя таким способом решения
главы V с решениями предыдущего параграфа, можно решать и мно-
гие иные задачи.
’) Изгиб парами, приложенными по краям, обсуждался также Баем
(Вау Н., Ingr.-Arch., т. 8, стр. 4, 1937), и Вегнером (Wegner U., Z angew.
Maib. Meeh., т. 36, стр. 340, 1956).
212 ПРЯМОУГ ПЛАСТИНКА ПРИ РАЗЛИЧНЫХ УСЛОВИЯХ ОПИРАНИЯ [ГЛ. vr
Равномерно нагруженная пластинка !). В предположении, что
крав пластинки свободно оперты, прогиб [см. уравнение (139), стр. 136J
получается равным
наклон же изогнутой поверхности по краю у = 6/2:
(£), .=^ 2 и
5 2 01=1,3,5,...
шшЫ
Чтобы устранить этот наклон и удовлетворить таким путем задан-
ным граничным условиям по краю, распределим по кравм у = ± 6/2
изгибающие моменты Му, определяемые
рядом
<7ИЛ.1’= 2 - и
2 Ш = 1,3,5,...
Рис. 86.
и припишем коэффициентам Ет такие зна-
чения, чтобы произведенный этими момен-
тами наклон был равен по величине наклону,
заданному выражением (Ь), но имел противо-
положный по отношению к нему знак. Поль-
зуясь выражением (173)z) для прогиба, вы-
званного моментами, найдем, что соответствующий наклон на краю
у = 6/2 равен
“ s)nS
2Д>- 2, ---' Е 2т № «„(«„th«„—I) —«Д. (d)
яг-1,3, i,.
Приравния эту величину, взятую с обратным знаком, выражению (Ь)
найдем
«И — th (!+«»;
х3лгв а,„ — 1 h а„ (ат th «,л — 1) ‘
‘) Обширный материал численных данных, относящихся к равномерно
нагруженным прямоугольным пластинкам при свободном опирании или заще-
млении по краям, в различных сочетаниях, можно найти в работе Черни
(Czerny F„ Bantech.-Arch., т. 11, стр. 33, Берлин, 1955).
2) Из симметрии поверхности прогибов пол равномерно распределенной
нагрузкой следует, что т в выражении (173) может принимать лишь нечет-
ные значения 1, 3, 5,...
42] ДВА КРАЯ ПЛАСТИНКИ ОПЕРТЫ. ДВА ДРУГИХ ЗАЩЕМЛЕНЫ 213
Отсюда изгибающие моменты
по защемленным краям ранны
к _________4дая у Sln а ат —th ат (1 +а/л th ат)
Максимум абсолютной величины этого момента имеет место в сере-
динах сторон, где х ~ а/2. Ряд (f) быстро сходится, и максимальный
момент легко может быть вычислен в каждом частном случае. Напри-
мер, для максимального момента квадратной пластинки первые три
члена ряде (f) дают Almaj —— 0,070</с2. В общем случае этот момент
может быть представлен формулой Му = чда2, где f — численный
коэффициент, величина которого зависит от отношения а/b сторон
пластинки. Ряд значений этого коэффициента приведен в таблице 29.
Подставлия значения (е) коэффициентов Ет в выражение (Ь73),
получим поверхность прогибов, отвечающую распределенным по краям
моментам Л4у:
_ 2</«’ у а
я5/) тйchат
v — lh (1 + Дге th om)
А а„, — th («„ th am — 1)
th h-^-k (g)
\ a a m m a )
Прогиб в центре получается после подстановки х = а/2, у = О
в выражение (g):
___У (—1) gnith«m —*h ои (1 -f-om tham)
VWmax Я5£) _^r mS cbatn am — th am (amth am — 1) ’
Это весьма быстро сходящийся ряд, и потому прогиб определяется
с высокой степенью точности, двже и небольшим числом его членов.
Для квадратной пластинки, например, уже один первый член дает
прогиб, верный до трех значащих цифр, а именно при v=Q,3:
— 0.00214 3g..
Вычитая этот прогиб из прогиба, произведенного в центре равно-
мерно распределенной нзгрузкой (табл. 8, стр. 143), мы получим
наконец и искомый прогиб для равномерно нагруженной квадратной
214 ПРЯМОУГ. ПЛАСТИНКА ПРИ РАЗЛИЧНЫХ УСЛОВИЯХ ОПИРАНИЯ (ГЛ. VT
пластинки, два крав которой свободно оперты, а два других заще-
млены:
0,00192-^-.
В общем случае прогиб в центре можно представить формулой
Ряд значений численного коэффициента а дан в таблице 29.
Таблица 29
Постоянные а, р, р„ р3 для прямоугольной пластинки,
у которой два края свободно оперты, а два других защемлены
(рис. 86) (v = 0,3)
Ь<а
«4- <—5-, У-0 у=о *-4- *=4
Л1у=₽Х Л-т?®*
— —_ —— - —
₽, е, т
СО 0,00260 0J0125 0,0417 -0,0833
2 0,00260 0,0142 0,0420 -0,0842
1,Ь 0,00247 OJ0179 0,0406 —0,0822
1.4 0,00240 0,0192 0,0399 —0,0810
1.3 0,00234 0,0203 0,0388 -0,0794
0,00223 0,0215 0,0375 —0,0771
1.1 0,00209 0.0230 0.0355 -0,0739
6>в
а “'тах=*ТГ Лж“=₽1«в8 "у-=?2?а* лу—т«л*
1 0,00192 0,0244 0,0332 -0,0697
1.1 0,00251 0,0307 0,0371 -0,0787
U 0,00319 0,0376 0,0400 -0,0868
1.3 0,0038В 0,0446 0,0426 —0,0938
1.4 0,00460 0,0514 0,0448 -0,0998
1,5 0,00531 0,0585 0,0460 -0,1049
1,6 0,00603 0,0650 0,0469 -0,1090
1.7 0,00668 0,0712 0,0475 —0,1122
1.8 0,00732 0,0768 0,0477 -0,1152
1.9 0.00790 0,0821 0,0476 -0,1174
2.0 0,00844 0,0869 0,0474 -0,1191
3,0 0,01168 0,1144 0,0419 —0,1246
со 0,01302 0,1250 0,0375 -0,1250
42] ДВА КРАЯ ПЛАСТИНКИ ОПЕРТЫ. ДВА ДРУГИХ ЗАЩЕМЛЕНЫ 215
Подставляя выражение (g) для прогибов в известные формулы (101)
для изгибающих моментов, получим
о5 ткх
м______• V Д рст —1Ь«^п(14-^п»Ьдст) . .
Х т 13 1 m3dl°ra ат — tbam(omth«m—1)
Л4 — 2gfl2 У р,л —th°mU+°».<bgCT)
У т.3 I»8СЬ<^, ат — tham(amtham — 1) *
х{(1—)-^sl>-=^T-t2-_(l->)=„th»„Kh-=S}. (о
В центре пластинки эти моменты принимают следующие значения:
т—1
м 290,2 У (—Ц 2 "re —th ат (1 th ат) v
* *s m8chom am — tham(amtham — 1)
X[2v + (1-v)a„tham|.
M — 290,2 V (-1) 2 °m' th °m Й + am th cm) v
У л« Zrf m8cha,„ am — iham{amtham—1) 24
XJ2-(1—v)arathamJ.
Эти ряды быстро сходятся, так что достаточно точное значение
моментов определяется уже всего лишь двумя членами этих рядов.
Налагав эти моменты на моменты свободно опертой пластинки (табл. 8).
получим окончательные общие формулы для моментов в центре пла-
стинки:
Мх=р^д®, Му = ^qai. (J)
где pj и р2—численные коэффициенты, величины которых зависят
от отношения Ь[а. Ряд значений этих коэффициентов приведен
в таблице 29.
Взяв случай квадратной пластинки, мы найдем, что в центре ев
моменты будут иметь следующие значения:
Мх=0,0244даг и Му = 0,033‘29«2.
Они будут меньше моментов Мх = Му = 0,0479да2 в центре сво-
бодно опертой квадратной пластинки. С другой стороны, моменты Л4
216 ПРЯМОУГ. ПЛАСТИНКА ПРИ РАЗЛИЧНЫХ УСЛОВИЯХ ОПИРАНИЯ [ГЛ. VI
в серединах защемленных краев превышают, как мы видели, вели-
чину 0.0479g<i2. Таким образом, защемление двух краев пластинки
Рис. 87,
приводит к увеличению в ней максималь-
ных напряжений. Если защемленными сто-
ронами в прямоугольной пластинке являются
более длинные стороны (Ь < а), то изги-
бающие моменты в серединах этих сторон,
а также прогибы в центре пластинки с
уменьшением отношения bja быстро при-
ближаются к соответствующим значениям
для защемленной по концам полоски.
Пластинка под гидростатическим
давлением (рис. 87). Поверхность проги-
бов свободно опертой прямоугольной пла-
стинки, подвергнутой, как показано на
рис. 66 (§ 31), действию гидростатического давления, выражается
уравнением
Наклон этой поверхности по краю у = 6/2 равен
Этот наклон можно устранить, распределив двнные рядом (с) мо-
менты ЛЕу по краям ± 6/2 и подобрав коэффициенты Ет этого
ряда таким образом, чтобы наклон от этих моментов был равен по
величине и противоположен по знаку наклону, двнному выражением (к).
При этом мы получим
Е 2gflg2(— l)w+1 . — tharo(l + amtllcCT)
m ‘ am — th am (am th am — 1)
Подставив это значение в ряд (с), найдем выражение для изгибаюших
моментов на защемленных кравх
«> ( l)m+Isln—
/лл ) Л _ V________________а ftn-k
В середине защемленных сторон, где х = aft, члены ряда (щ) с чет-
ным т исчезают, и сумма ряда, как это и должно быть, становится
42] ДВА КРАЯ ПЛАСТИНКИ ОПЕРТЫ, ДВА ДРУГИХ ЗАЩЕМЛЕНЫ 217
равной половине соответствующей суммы для равномерно нагруженной
пластинки [см. уравнение (1)[. Ряд быстро сходится, и значение из-
гибающего момента легко может быть получено для любой точки
края. Ряд значений этого момента вместе со значениями изгибающих
моментов по средней линии у — 0 приводится в таблице 30.
Таблица 30
Изгибающие моменты в прямоугольной пластинке
с двумя свободно опертыми и двумя защемленными краями,
нагруженной по гидростатическому закону (рис. 87) (v = 0,3)
у=0 y=0 x=-afl, y—bp. x~3a/4, y=bp
bja М, Л,х A'j, Af,
У
0,50 0,007^/? 0,021 qab2 0,018<?о62 0,029 ft,»2 -0,042 qob2 —0,062 ft,»2
0,75 0,011^6® 0,040 qob2 0,018 tf^2 0,021 qBb2 —0,040 qBb2 —0,045 ft,»2
1,00 0,013 <?n<z2 0,017 9ос2 0,017 qBa2 0,015 qBa2 —0,035 qBa2 —0,035 qBa2
1,25 0,021 qDa2 0.021 де* 0,024 qBa* 0,019 fta2 —0,045 qBa2 —0,043 qBa2
1,50 0,030 qDa2 0,023 qDa2 0,031 qBa2 0,020 qBa2 -0,051 qBa2 -0.048 qoa2
2 0,043 <?ойг 0,024 ?оа2 O.O^q^ -41,060 qBa2 -GfXAqtfl2
со 0,063 q0(? 0,019 ~qBa2 O,055tfoas 0,017 ft>e2 —0,063 ifoa2 —0,055 qBa2
Действие на пластинку сосредоточенной силы1). Прогиб
пластинки в этом случае получается точно так же путем наложения
на прогиб свободно опертой пластинки (§ 34) прогиба, произведен-
ного моментами, распределенными по защемленным краям. Для цен-
трально звгруженной пластинки и при условии защемления краев
у = + й/2 получим следующее выражение для прогиба под нагрузкой:
Первая сумма в скобках соответствует прогибу свободно опертой
пластинки [см. уравнение (147), стр. 167 [, вторая же представляет
собой прогиб, обусловленный действием моментов на защемленных
крзях. Для отношений bja = 2. 1, */2 и [/з значения входящего
в уравнение (ш) выражения в скобках равны соответственно 0,238;
0,436; 0.448 и 0.449.
1) См. Timoshenko S., Batiingenler, стр. 51, 1922.
218 ПРЯМОУГ ПЛАСТИНКА ПРИ РАЗЛИЧНЫХ УСЛОВИЯХ ОПИРАНИЯ [ГЛ. V!
Чтобы получить максимальное напряжение под нагрузкой, нам
остается теперь на напряжении, вычисленные для свободно опертой
пластинки, наложить напряжения от моментов
со
М= — Р У ~~Г---------------"'“т .
X* 4а sh ат ch атЦ-а 1 ' ' т
ш-1,3,5, ...
„ (О)
т-1,з. 5,...
Записав сокращенно значения этих поправочных моментов формулами
= ₽(А ту = (Р)
приводим таблицу 31 ряда значений коэффициентов р, и р2 дли за-
данных отношений b/а. Если центральнав нагрузка Р распределена
на площади малого круга или прямоугольника, то моменты (р) следует
присоединить к изгибающим моментам свободно опертой пластинки,
представленным логарифмическими формулами (157) и соответственно
(167). Момент Му на серединах защемленных краев квадратной пла-
стинки равен
Му =—О.166Р.
Вычисления показывают, что с увеличением длины защемленных краев
этот момент изменяется весьма слабо. При b[a=Q,5 он достигает
величины —0.168Р, падяя до —0.155Р при />/а=1,21).
Таблица 31
Поправочные изгибающие моменты на х — я/2, у = О,
обусловленные защемлением на у — ±Ь/2, при центральном
нагружении пластинки силой Р (рис. 71) (v — 0,3)
т ^ЯР
Ь/а ь
0 —0,0484 —0,0742 1.0 —0,0505 —0,0308
0,5 -0,0504 —0,0708 1,2 —0,0420 —0,0166
0.6 -0,0524 —0.0656 1,4 —0,0319 —0,0075
0,7 —0,0540 —0,0580 1,6 -0,0227 —0,0026
0,8 —0,0544 —0,0480 1,8 —0,0155 -0,0002
0.9 —0,0532 —0,0396 2,0 —0,0101 +0,0007
Следует заметить, что момент защемления наибольшей абсолютной
величины, а именно—Р/я——0.3183Р, возникает не при центральном
') Дальнейшие данные о пластинке с двумя защемленными протизопо-
лоишыми^краями см. у Пухера (Pucher A., Ingr.-Arcli., т. 14, стр. 246,
43] ТРИ КРАЯ ПЛАСТИНКИ СВОБОДНО ОПЕРТЫ И ОДИН ЗАЩЕМЛЕН 219
вагружении пластинки, а под нагрузкой, сосредоточенной близ за-
щемленного края (см. § 51). При действии на пластинку нескольких
подвижных нагрузок достоверное определение максимального значения
защемляющего момента осуществляется с помощью поверхности влия-
ния (см. § 76).
43. Прямоугольная пластинка, три края которой свободно
оперты и одни защемлен. Рассмотрим прямоугольную пластинку,
защемленную по краю у=6/2 и свободно опертую по остальным
краям (рис. 88). Прогиб пластинки под произвольной поперечной
нагрузкой может быть получен комбиниро-
ванием решения для пластинки, у которой
все стороны свободно оперты, с решением
(176) для случая, когда по одному из Краев
распределены изгибающие моменты.
Равномерно нагруженная пластинка.
Наклон по краю у = Ь[2, вызванный равно-
мерно распределенной нагрузкой, равен
(£),.=§£ 2
у 2 лг-1,8,5,...
—tham(14-amtha/n)J. (а)
Моменты AJy = 2£msIn<m’r-*7/I)’ распределенные по краю у = 6/2.
производят наклон1) [см. уравнение (176)[
/Й£₽1\ а V 1 - тлх чх
»sln—х
Хе.<“«*Ь2»я — + — (Ь)
Из условия защемления следует, что оба эти наклона равны по вели-
чине и противоположны по знаку. Поэтому
р_____________________am — »hPm(l + «m<hgCT)___ , .
т — thom4-amcthsom — Ctha^ — 2ат ' 1 7
и'выражение для изгибающих моментов по стороне у = 6/2 принимает
вид
'# ш-1,3,5,...
v______________°т—«Ь^П + Дд^ад)________________ ...
А —thara(amth«m——ctham(flmCtham —1) *
') В этом, т. е. симметричном, случае т может принимать одни лишь
нечетные авачения.
220 ПРЯМОУГ. ПЛАСТИНКА ПРИ РАЗЛИЧНЫХ УСЛОВИЯХ ОПИРАНИЯ [ГЛ. VI
Например, для квадратной пластинки величина изгибающего момента
в середине защемленного края определится через выражения (d) та-
ким образом:
(А1у) L ~ 0,0849а2.
У=" 2 ' Х” 2
По абсолютной величине этот момент больше значения —0,070 9а2,
найденного в предыдущем параграфе для квадратной пластинки,
у которой два кран зыцемлены, В таблице 32 приводится ряд зна-
чений момента в середине защемленной стороны при различных зна-
чениях отношения сторон о/Ь.
Таблица 32
Прогибы и изгибающие моменты прямоугольной пластинки,
один край которой защемлен, три другие свободно оперты
(рис. 88) (v = 0,3)
Ыа (к,к=яЛ. у=0 (My).x=aJ2, y=bj2 (л1Л=вд y=o
СО 2 1.5 1.4 13 1,2 1.1 1.0 1/ЦО 1/1.2 1/13 1/1.4 1/1.5 0,5 0 0,0130 qaLfD 0,0093 9а4//) 0,0064 qa'/D 0,0058 qa'jD 0,0050 qal'ID 0,0043 qat/D 0,0035 qa^D Wffi&q&ID 0,0032 qb^D 0,0035 qb*ID 0,0038 qb'/D 0,0040 qb'/D 0,0042 qb'/D 0,0049 qb'/D 0,0032 qt^D —0,1259c2 —0,122 mz2 -0,112 qa? -0,100 qa* —0,104 qa? —О.ООб^е2 -0,092 go? —0,084 9a2 —0,092 qbs -0№8q& —0,103962 —0,108 9b2 -0,1119b2 —0,1229b2 -0,1259b® 0,125 q& 0fMq& 0,069 9a2 0,0689c2 0,0669c2 0,0499c2 0,0419c2 0,0349c2 0,0339b2 0,0329b2 0,031 9b2 0,030 9b2 0,0289b2 0,0239b2 0,0199b2 0,0379a2 0,0479a2 0,0489a2 0,0479a2 0,0459a2 0,0449a2 0,0429a2 0,0399a2 0,0439b2 0,0479b2 0,0509b2 0,0529b2 0,0549b2 0,0609b2 0,0629b2
Подставия значения (с) постоянных Ет в выражение (176), полу-
чим изогнутую поверхность, обусловленную моментами защемлении,
и прогиб в центре пластинки определится как
* »И-1,3,5,
(—1) 2 Emom\hatll
т2 ch«m
(е)
Дли квадратной пластинки два первых члена этого ряда дают

43] ТРИ КРАЯ ПЛАСТИНКИ СВОБОДНО ОПЕРТЫ И ОДИН ЗАЩЕМЛЕН 221
Вычитая этот прогиб из прогиба свободно опертой квадратной пла-
стинки (табл. 8), находим, что прогиб в центре равномерно нагру-
женной квадратной пластинки с одним защемленным краем равен
п -г-
Значения прогибов и изгибающих моментов, полученные подобным
же образом для некоторых иных значений
отношения а/b. прияодвтся в таблице 32.
Пластинка под гидростатическим
давлением. Если пластинка подвергается,
как показано на рис. 89, гидростатиче-
скому давлению, то наклон по краю у = 6/2
в случае свободного опирания краев равен
(см. стр. 147)
(dw\ _ g0o8 у (—I)*"*1 v
\ду пЧ) т" 24
* 2 п-1
X Iaro ~ th “го (! + “го“roll 8™ • (f)
“Г
Рис. 89.
Наклон, вызванный изгибающими моментами, распределенными по
краю у = 6/2:
/дк>,\ а 1 • mlzx кг
(тД, L= whm sm —X
у'2 m=l
tham+amc№an—ctham -2aJ. (g)
Из условия защемления по этому краю находим, приравнивав выра-
жение (g) выражению (f), взятому с обратным знаком:
р 4go«* (—I/”4-1_________ат — th ат (14~ ат th ят)______________
т st* т? «яг th2 «яг — th аст + CthB am — ctham — 2ат
Отсюда выражение для нагибающего момента Му по краю у =6/2
будет
v_______ «иг —Й1 «я» 04-«го th c„J___________ ..
А 2am — th«ra («го th «го — 1) — cth «го («го cth«ro — 1) 12
Этот ряд быстро сходится, и мы при его помощи легко можем
вычислить значение момента в любой точке защемленного края Взяв,
например, квадратную пластинку и положив х — а(2, получим для
момента- в середине защемленного крав значение
(7Иу) ± а «—0,042^.
у=2* "а
222 ПРЯМОУГ, ПЛАСТИНКА ПРИ РАЗЛИЧНЫХ УСЛОВИЯХ ОПИРАНИЯ (ГЛ. vr
Таблица 33
Значения момента Жу по защемленному краю у = Ь/2
для прямоугольной пластинки, нагруженной
гидростатическим давлением qox!a (рис. 89)
tola Ж=С/4 к=ап х--'Ц\а
2° 3/2 1 2/3 1/2 0 —0,039 §0а2 —0,038 q^a1 —0,034 §ов2 —0,025 доа3 —0,030 усй2 '—0,031 ус62 —0.031 £0&2 —0,062 д0а2 —0,061$0a2 —0,056 q0a2 —0,042 50а2 —0,056 90&2 —0,061 д0&2 -0,062 q^fl —0,055 <?0а2 —0,053 у0е2 —0,050 —0,040 ёой3 —0,050 ес62 —0,073 qot>» —0.094 $с62
Как и должно быть, это составляет половину величины, приведенной
в таблице 32 для равномерно нагруженной квадратной пластинки.
Значения момента Для ряда точек
защемленного края при различных зивчениях
отношения bja приведены в таблице 33. Мы
видим аз нее, что с уменьшением отноше-
ния bfa значение /Иу по защемленному краю
быстро приближается к значению—д0Ь2х/8а
момента на защемленном конце полосы дли-
ной b под равномерно распределенной на-
грузкой интенсивностью qoxja.
Рассмотрим, теперь пластинку, нагружен-
ную гидростатическим давлением, в отличие,
однако, от ранее приведенного варианта,
защемленную по краю х — а (рис. 90).
Леви, представим поверхность прогибов ее
— уравнением
” = -a®-<16>’-2^+5t‘)+ J Xma>SSp, (I)
m-I.3,5....
в котором
Рис. 90.
Используя метод М.
, z- . ты , r, тг.х , тих
+С.л—+Ош-5-с11—.
Выражение (i) удовлетворяет дифференциальному уравнению изогнутой
пластинки и граничным условиям по краям у = ± />/2. Развертывав
41J ПЛАСТИНКА, ЗАЩЕМЛЕННАЯ ПО ВСЕМУ КОНТУРУ 223
заключенное в скобки выражение уравнения (i) в ряд
-1^- 2 ^A-cosJS.
m-1,3,5,...
находим коэффициенты Ат. Вт, ... из условий, относящихся к двум
другим краям, т. е.
(»)«=0 (-SL-OH,.«=0(^=0. (i)
Подстановка коэффициентов в выражение (i) завершает решение.
Прогибы и изгибающие моменты, вычисленные из последнего уравне-
ния, приведены в таблице 34.
Таблица 34
Прогибы и нагибающие моменты для прямоуголыюй властинки,
защемленной по краю х = а и несущей гидростатическую нагрузку
(рис. 90) (V = 0,3)
Ыа У=0 (M*)x=aJ2, y=0 ^у^х=а]2, y=o
0,0024 q^/D 0,029 яд* 0,009 лд2 —0,067 qt&
2 0,029 дса? 0,011 ?cn= -0,063 q^
1.5 WKH&qtflW 0,026 qatfl 0,013 qa& —0,061 qtc?
IX) 0,0013 q^/D 0,019 ?0a2 .0,016 qDtfl —0,048 90a2
2/3 0,0030 q^b* ID 0,034 qof>* —0,071 q^
0,5 QSXmq^/D 0,024^2 0,046 qJP —0,084 qDb2
0 0,0065 q^/D 0,019 q^ -0,125 ?Di>2
44. Прямоугольная пластинка, защемленная по всему конту-
ру *). При исследовании этой задачи будем пользоваться прежним ме-
тодом. Отправным пунктом будет для нас решение задачи о свободно
*) Перечень математической литературы на эту тему см. в Encyclonadie
der mathematlschen Wissenechaften, т. 4, статья 25 (Tedone-Tlmpe), стр. 165 и
186. Новейшие библиографические сведения по этому же вопросу приводятся
в работе Лява (Love А. Е. Н., Proc. London Math. Soc., т. 29, стр. 189).
Первые численные результаты по расчету напряжений и прогибов в защем-
ленных прямоугольных пластинках были получены Б. М. Колловичем в его
докторской диссертации, СПб., 1902. Дальнейшие успехи были достигнуты
И. Г. Бубновым, составившим таблицы для прогибов и моментов в равно-
мерно нагруженной прямоугольной пластинке с защемленными краями. См.
Бубнов И. Г., Строительная механика корабли, т. 2, стр. 465, СПб., 1914.
Ту же самую задачу разбирал в своей диссертации также и Генки (Неп-
с к у Н.. Der Spannungszusland in rechteckigen Platten, Мюнхен, 1913). Мет од
Генки был использован недавно Войташаком (Wojtaszak 1. A., J. Appl.
Meeh., т. 4, стр. 173, 1937). Полученные таким путем Войташаком численные
результаты для равномерно нагруженной пластинки совпадают со значениями,
приводимыми в таблице Бубнова. Дальнейшие исследования этого вида пла-
224 ПРЯМОУГ. ПЛАСТИНКА ПРИ РАЗЛИЧНЫХ УСЛОВИЯХ ОПИРАНИЯ (ГЛ. VT
опертой прямоугольной пластинке, на прогибы которой мы наложим
прогибы пластинки, подвергнутой действию распределенных по ее
краям моментов (см. § 41). Эти моменты
мы подберем таким образом, чтобы удов-
летворить условию д‘а'[дп = § на конту-
ре защемленной пластинки. Подобный ме-
тод применим к любому типу поперечной
нагрузки.
Равномерно распределенная нагрузка.
Чтобы упростить изложение, начнем со слу-
чая равномерно распределенной нагрузки.
Прогибы и моменты в этом случае будут
симметричны относительно координатных
осей, показанных на рис. 91. Прогиб сво-
бодно опертой пластинки, выраженный урав-
нением (139) (стр. 136), в новой системе координат получает вид

<-4, 2 cos =£ (1 - ch
юг-- а \ 2 ch яга а
2сЬа/и а а )’ ' ’
где ат=т-кЬ/2а. Поворот плоскости пластинки, т. е. наклон у края
у=Ьр, равен
(dw\ 2аа3 хт (—1) 2 тпх. .. .. , .. ,,
гу), L—/•// 2l i47“<:osyr[a"-,1,“«(1+a«,h“'J|=
J 2 m=l,3,5,...
станки при различных условиях загружения содержатся в работах: L е i t z
Н., Math. Phys., т. 64, стр. 262, 1917; Nadal A., Z. angew Math. Meeh.,
t. 2, стр. 14, 1922; Weinstein A., Rock D. H., Quart Арр]. Math., t. 2,
стр. 262, 1944; Frink P., Berger E„ Federhofer-Girkmann-Festschrift,
стр. 199, Вена 1950; Гринберг Г. А., Доклады АН СССР, т. 76, стр. 661,
1951; G i г k nt a n п К., Т u n g 1 Е., Osterr Bauztschr., т. 8, стр. 47,1953. Экспери-
ментальное исследование выполнено Лоусом (Laws Б. С., Phil. Mag., т. 24,
стр. 1072, 1937). В нашем дальнейшем изложении мы пользуемся методом,
развитым С. П. Тимошенко в докладе на V Международном конгрессе по
прикладной механике в Кембридже (США) (Proc. 5th. Inter Cong. Appl. Meeh.,
Cambridge, Mass., 1938). Этот метод отличается большей общностью по сра-
внению с ранее упомянутыми, и его можно применять к любому тиву на-
грузки, включая сюда и случай сосредоточенной силы.
ПЛАСТИНКА. ЗАЩЕМЛЕННАЯ ПО ВСЕМУ КОНТУРУ 225
Рассмотрим теперь изгиб пластинки моментами, распределенными
по краям у = ±6/2. По соображениям симметрии приходим к выводу,
что эти моменты могут быть представлены следующим рядом:
*» т-1
2 <->2 и
® т—1,3,5,...
Соответствующий прогиб получим из выражения (173) при под-
становке jc-f-a/2 вместо х и полагая т~1, 3, 5.________Тогда
m—1
___ У Е 1-11 2
‘ 2я8£> т »12с11яи а \ а а
т-1,3,6,...
(d)
Соответствующий этому прогибу наклон по краю у = Ь[2 равен
иг-1
у 2 лг-1.3,5, ...
(е)
В нашем дальнейшем изложении нам потребуется также и наклон
по краям, параллельным оси у. Образуя производную по х от выра-
жения (d) и полагая х = а{2, получаем
МрЛ = “ у Е > „и,«_d.sU
V дх ) « 2"£) т ncham \ а а т т а j
2 m-1,3,5,...
=-i S Jt(6sh“~d^-2^sh£n <*>
m-1, 3,6,...
Выражение в скобках представляет собой четную функцию от у,
обращающуюся в нуль на краях у=4- 6/2. Эту функцию можно
лредстзаить рядом
2 Л<с°8^. (g)
1-1,3,5,...
коэффициенты которого вычисляются по формуле
Л,= | У (ssli«„cliS—Zjcli^shSJcos-S-JJ.
8 С. П. Тимошенко. С. ВоЯиовский Кригер
226 ПРЯМОУГ. ПЛАСТИНКА ПРИ РАЗЛИЧНЫХ УСЛОВИЯХ ОПИРАНИЯ 1ГЛ VT
из которой следует, что
. ___ iota о* 1 .2
Л1~~ mW а» (Ь2 12\> СП “«•
(а2 + т2/
Подставляя это в выражения (g) и (f), получим
Подобным же образом можно получить выражение для прогибов w2
и для наклона на краях также и для того случая, когда моменты Л!х
распределены по краям х = ± с/2. Предполагая симметричное рас-
пределение и положив
“ т-1
<*4.^= L <~‘) 2 Л»с“-Т- 0)
2 т-1,3,5,...
находим для этого случая по формулам (е) и (h)
где рст=лгэтс/2й, и
Если моменты (с) и (i) действуют совместно, то наклон на краях
пластинки получится методом наложения. Взяв, например, край у=Ь]2,
найдем
441 ПЛАСТИНКА ЗАЩЕМЛЕННАЯ ПО ВСЕМУ КОНТУРУ 227
Располагая выражениями (Ь) и (1), мы в силах теперь вывести
уравнения для вычисления постоянных Ет и Fm из рядов (с) и (i),
которыми и определяются моменты, приложенные по кравм защемлен-
ной пластинки. В случае защемления пластинка по этим краям не
испытывает поворотов. Поэтому для края у = + ft/2 должно соблю-
даться условие
(dw\ , / tiwt , dw3\ .
^Li+(Tr+-arK4 = 0' (m)
Равным образом для краев х=+с/2:
(«0
Если мы теперь подставим выражения (Ь) и (1) в уравнение (ш) и-
сгруппируемJ) вместе члены с cos (i-xx/a), а затем заметим, что ура-
внение (ш) сохраняет силу при любом значении jc, то мы сможем
установить, что коэффициент при cos (litxfa') лопжен обращаться
в нуль для любого значения I. Таким путем мы приходим к системе,
состоящей из бесконечно большого числа линейных уравнений, по-
зволяющей вычислить коэффициенты Et и
-а—
st3 I* \chsat '/ I \ 1 1 ch2a^7
— V Fm 1 0 /o\
«-1,3,6;...
Аналогичная система уравнений получается также из уравнения (п).
Постоянные Ev Е3, .... Fv Fv ... определяются в каждом частном
случае из этих двух систем уравнений методом последовательных
приближений.
Для иллюстрации этого метода рассмотрим случай квадратной
пластинки. Распределение изгибающих моментов в ней будет одина-
ковым по всем ее краям. Поэтому El=Fl и обе вышеупомянутые
'Системы уравнений станут тождественными, причем общий вид их
будет
m-l,3,S4... тз)
=J8£4( «—
к8 z4 \ch‘a; '/
') Предполагается, что порядок суммирования в выражения (1) можно
изменять.
228 ПРЯМОУГ ПЛАСТИНКА ПРИ РАЗЛИЧНЫХ УСЛОВИЯХ ОПИРАНИЯ (ГЛ. VI
Подстзаляя в эти уравнения численные значения коэффициентов и
ограничившись лишь четырьмя первыми из них, получаем следующую
систему четырех уравнений с четырьмя неизвестными Еь Е3. Е5 и Е,:
1,8033Е114- 0,0764Еа 4- 0,0188Е5 + 0.0071£,=0.6677К,
0.0764^! 4-0,4045^| 4-0,0330Е5 4~ 0,0159Е7 = 0,01232К,
0,0188Е, -f-О.ОЗЗОЕ, 4- 0,2255Eg| 4-0,0163Е7=0,00!60А. ₽'
0.0071Е, 4-0,0159£j 4-0,0163t’5 4-0,1558£7 = 0,00042К,
где К= — Мы видим, что наибольшими коэффициентами
сопровождаются те члены, которые расположены по диагонали.
Пользуясь этим, находим первые приближения для постоянных Ех,_Е1.
принимая в расчет в левых частях уравнений (р) лишь те члены, ко-
торые располагаются слева от жирной ступенчатой линии. Таким пу-
тем получаем из первого уравнения системы Е1=0,3700/С. Подста-
вив это значение во второе уравнение, получаем Е3=—0.0395АГ.
Подстановка значений Ех и Е3 в третье уравнение дает Е6=—0,0180/С-
Из последнего уравнения узнаем Е7 = — 0,0083/С. Подставляя эти
первые приближения в Члены, стоящие в уравнениях (р) справа от
жирной линии, вычисляем вторые приближения, а именно: Е] =
= —0.3722К, Е3= — О.380Е, Es= —0,0178 А', Е,=—0.0085К.
Повторяя расчет еще раз, получим третье приближение и т. д.
Подстановка вычисленных виаченнй коэффициентов Ev Ez, ...
в ряд (с) дает нам изгибающие моменты по защемленным краям пла-
стинки. Своего максимума абсолютные значения этих моментов до-
стигают в серединах сторон квадрата. При четырех взятых в расчет
уравненивх (р) это значение получится разным
I 1у и |, х=0 = I£! - f3+£б - ^71 = 0-05’ W
Сравнение этого результата с данными таблицы И. Г. Бубнова, вы-
численной на основе значительно большего числа уравнений, подобных
урзанениям (р), показызает, что погрешность в определении макси-
мального изгибающего момента с помощью одних лишь четырех
уравнений (р) не достигает и 1%. Мы видим, что полученный нами
здесь для выражения моментов ркд знакопеременный и величине по-
грешности в расчетах с ним зависит от величины последнее из вы-
численных коэффициентов Ev Е3, ...
Подставив значения Ev Е3, ... в выражение (d), получим прогиб
пластинки, нагруженной моментами, распределенными по краям у =
= ±&/2. Для центра пластинки (х — у = 0) этот прогиб равен
44]
ПЛАСТИНКА. ЗАЩЕМЛЕННАЯ ПО ВСЕМУ КОНТУРУ
229
Удваивая этот результат, чтобы учесть влияние моментов, распреде-
ленных по краям х = ± н/2, и складывая с прогибом свободно
опертой прямоугольной пластинки (табл. 8),
находим прогиб в центре равномерно нагру-
женной квадратной пластинки с защемлен-
ными краями
(« J = (0.00406 - 0.00280) 3g- =
= 0,00126 Sg-. (Ч)
Аналогичные подсчеты можно воспроиз-
вести и для любого иного отношения сто-
рон прямоугольной пластинки. Результаты
этих подсчетов приведены в таблице 351).
Рис. 92.
Пластинка под гидростатическим давлением. Положив, что
интенсивность его (рис. 92) распределяется по закону
заметим, что влияние первого члена q^2 этого выражения на прогиб
пластинки учитывается уже ранее полученным решением. Остается
теперь учесть давление qQx{2a. Изогнутую поверхность свободно
опертой пластинки, несущей такую нагрузку, нетрудно получить.
Таблица 35
Прогибы и изгибающие моменты равномерно нагруженной
прямоугольной пластинки, звщемлеиной по контуру (рис. 91) (v==O,3)
Ь/а <ю>х=0, т-0 a У-0 (Лу) « 6 ' х=С, у=— ("г),-о,у-о (^Мг-О, у-0
1,0 0,00126 qayD —0,0513 уд2 —00513 уд2 0,0231 уа2 0,0231 уд2
1.1 0,00150 qa'fD —0,0581 уд2 —0,0538 уд2 0,0264 уд2 0,0231 уд2
1.2 0,00172 qayD —0,0639 уд2 —00554 уд2 0,0299 уд2 0,0228 уд2
1,3 0,00191 qayD —0,0687 уд2 —0,0563 уд2 0,0327 уд2 0,0222 уд’
.1.4 0,00207 уд</О —0,0726 уд’ —0,0568 уд2 0,0349 уд2 0,0212 уд2
1.6 OffJZX) qa*ID —0,0757 уд2 —0.0570 уд2 0,0368 уд2 0,0203 уд2
Цб 0,00230 qa^/D —0,0780 уд2 —0,0571 уд2 0,0381 уд2 0,0193 уа2
1.7 0,00238 qayD —0,0799 qa* -0,0571 уд2 0,0-392 уд2 0,0182 уд2
1,« 0,00245 ya4/£> -0,0812 уд2 -0,0571 уд2 0,0401 уд2 0.0174 уд2
1.9 0,00249 qayD —0,0822 qa* —0,0571 уд2 0,0407 уа2 0,0165 уа2
2,0 0,00254 qa*!D —0J0829 уд2 —0,0571 уд» 0,0412 уд2 0,0158 уд2
со OfiWMqayD —0,0833 уд2 -0,0571 уд2 0.0417 уд2 0,0125 уд2
) Эта таблица составлена Ивэнсом (Evans Т. И, J. Appi. Meeh., т.6,
стр. А-7, 1939).
230 ПРЯМОУГ. ПЛАСТИНКА ПРИ РАЗЛИЧНЫХ УСЛОВИЯХ ОПИРАНИЯ ГГЛ. VI
сочетая выражения (к) со стр. 216 и (а) со стр. 212. Положив
в последнем выражении q — — д^2 и заменив в обоих выражениях х
на x-f-e/2 в связи с переходом к новой системе координат, находим
изогнутую поверхность
симметричную относительно оси х и антисимметричную относительно
оси у. Поэтому чтобы уничтожить наклон вдоль контура пластинки,
нам нужно лишь приложить краевые моменты следующего вида:
“ т-1
2 т-1,3,5,...
- п , <s’
= 1 (~1)Т~ '"sin"A
2 т=2,4,6,...
Поступая, как и в случае равномерно распределенной нагрузки,
вычисляем коэффициенты Ет н из системы линейных уравнений.
В заключение необходимо сложить прогибы, возникающие в резуль-
тате одновременного действия нагрузки q^xfta и моментов (s) с про-
гибами защемленной пластинки под равномерно распределенной
нагрузкой д0/2. Численные результаты этой процедуры приводятся
в таблице 361).
Таблица 36
Прогибы и изгибающие моменты в прямоугольной пластинке,
защемленной по контуру под гидростатической нагрузкой
___________________(рис. 92) (v = 0,3)
Ь х=о. у=о- —Ь’-»
«“«-Б- MJC~Woa* *c“W
« р, ₽. Т| a
од 2/3 1.0 1«5 со 0,000080 0,000217 0,00063 0,00110 0,00130 0,00198 0.00451 0,0115 0,0184 0,0208 0,00515 0,00817 0,0115 0,0102 0,0063 -0,0115 -0/0187 -0,0334 —0,0462 -0.0500 —0,0028 -0,0066 —0,0179 —0,0295 —0,0333 -0.0104 -0,0168 —0.0257 —0,0285
’) См. Dana Young, J. Appl. Meeh., т. 7, стр. A-139, 1940. Более
обширные таблицы методом конечных разностей были вычислены Одли
(Odley Е. О., J. AppL Meeh., т. 14, стр. А-289, 1947).
!'fkl ПЛАСТИНКА, ЗАЩЕМЛЕННАЯ ПО ВСЕМУ КОНТУРУ 231
Загружены пластинки в центре. В качестве третьего примера
прямоугольной защемленной по контуру пластинки рассмотрим изгиб
.ее нагрузкой Р, сосредоточенной в центре (рис. 93). Приступам
к задаче и на этот раз, исходя из случая свободного опирания прямо-
угольной пластинки. Подставим в выражение (146) а/2 вместо 5 и
х-^-а/2 вместо х. получим (при у>0) изогнутую поверхность
а а т а ~ а а
:Угол поворота по краю у==£/2 равен
(dw\ — Ра У 1 mWC
\йу!_±— И) m»cos a Cha™
2 т«-1,Э,8,...
.Процедура вычисления изгибающих моментов
причем не отличается от ранее разобран-
ного случая равномерного загружения, при-
,'реы мы и здесь получаем те же две систе-
><и уравнений (ш) и (п). Прежними оста-
нутся и выражения для и Ч02, с той лишь
разницей, что в этих уравнениях потребу-
ется изменить первые члены, а именно в
^равнении (гп) вместо подста-
вить выражение (1), а в уравнении (п) соот-
ветствующее выражение вместо {dwldx)x=ali,
(, В частном случае квадратной пластинки,
Ограничившись четырьмя уравнениими, най-
по защемленным краям
Рис. 93.
дем, что левые части уравнений получаются такими же, как и
ь системе (р). Правые части найдутся из выражения (t):
l,8033Ej4-0,0764£,34- 0,0188Es4- 0.007IE, = — О.1828Р,
0.0764Е,4-0,4045Еа4-|0,03301^4- 0,0159£? = + 0.00299Р,
0.0188Е] 4- О,ОЗЗОЕ3-|- 0,2255Es -|- |0,0163Е7^ — 0.000081Р,
0.0071Е14-0.0!59Е'34- 0,0163Е5+ 0,1558Е7 = --| 0.000005Л
Решая эту систему уравнений, как и раньте, последовательными
приближениями, находим
Е1 = —0.1025Р, Е3=0,0263Р,
Е&=0,0042/’, Ej = 0.0015Р.
232 ПРЯМОУГ. ПЛАСТИНКА ПРИ РАЗЛИЧНЫХ УСЛОВИЯХ ОПИРАНИЯ [ГЛ VI
Подставив эти значения в выражение (с), получим изгибающий момент
в середине стороны y=fe/2. Более точное вычисление1) дает
(Л!у)у_е ж_0=^°-1257Р-
Сравнивая этот результат с полученным ранее для равномерно нагру-
женной квадратной пластинки, мы констатируем, что равномерно
распределенная нагрузка вызывает на серединах сторон моменты,
не достигающие и половины тех значений, которые получаются, если
та же самая нагрузка сосредоточена в центре.
Таблица 37
Изгибающие моменты в серединах длинных сторон,
прогибы и поправочные моменты в центре прямоугольной пластинки,
нагруженной н центре (рис. 93) (v==0,3)
P«* s ("y) Поправочные моменты
b a (re)x=y=!O ° o (^)ж^=0=₽1Р (СТЛ=У=(Г₽2Р
T ₽.
1.0 0,00560 —-0,1257 —0,0536 —0,0536
1,2 0,00647 —0,1490 -0,0579 —0,0526
1 4 0.00691 -0,1604 -0,0618 -0,0517
1,6 0,00712 —0,1651 —0,0653 —0,0510
1,8 0,00720 —0,1667 -0,0683 —0,0504
2,0 0.00722 —0,1674 -0,0710 —0,0500
co 0,00725 —0,168 —0,0742 —0.0484
Зная моменты по защемленным краям, мы можем из уравнения (d)
вычислить и соответствующие им прогибы. Накладывая прогибы,
вызванные этими моментами, на прогибы свободно опертой пластинки,
получим прогибы пластинки, защемленной по краям. Тот же самый
метод наложения доставит нам и все остальные сведения, касающиеся
изгиба пластинок с защемленными крзами под сосредоточенной в центре
нагрузкой2). Если же нагрузка Р распределена равномерно по пло-
щади малого круга или прямоугольника, то изгибающие моменты
*) В этом вычислении вместо четырех было взято семь уравнений.
s) Таблица составлена Дава Юнгом (Dana Joung, J. Appt. Meeh.,
т. 6, стр. A-114, 1939). Для получения значений моментов с четырьмя верными
знаками в этих вычислениях потребовалось использовать семь коэффициен-
тов £ и семь коеффициентов £ в уравнениях (nt) и (п). ДлльиеВшие решения
этой задачи были получены Маркусом (Marcus. Н., Die Theorie elastiseher
Gewebe, 2-е изд., стр. 155, Берлин, 1932; Barta J., Z. angew. Math. Meeh.,
т. 17; стр. 184, 1937; Pickett О., J. AppL Meeh., т. 6, стр. 168, 1939;
Thorne C. J., Atanasoff J. V., Iowa State ColL J. Set, t. 14, стр. 333,
1940). Экспериментальное исследование этого случая описывается в работе:
Sturm R. и., Moore R. L., J. AppL Meeh., t. 4, стр. A-75, 1937.
45] ОДИН ИЛИ ДВА СМЕЖНЫХ КРАЯ ОПЕРТЫ, ОСТАЛЬНЫЕ ЗАЩЕМЛЕНЫ 233
в центре загруженной площади х = у = 0 вычисляются суммирова-
нием результатов, найденных для свободно опертой пластинки [урав-
нения (157) и (167)] с некоторыми поправочными дополнительными
моментами
приводимыми в таблице 37, где наряду с ними указаны, сверх того,
наибольшие прогибы и наибольшие абсолютные значения момента
защемления. Этот последний может достигнуть величины 214 =1—Р/гс=г
~—0.3183Р, как упомянуто на стр. 218, для подвижной нагрузки.
45. Прямоугольная пластинка, у которой один или два смежных
края свободно оперты, остальные же защемлены. Начнем со слу-
чая пластинки, свободно опертой по краю у=0 и защемленной по
трем остальным краям (рис. 94). Независимо от того, как распределена
нагрузка по данной пластинке sstt, последнюю допустимо рассматри-
вать как половину пластинки rrtt, защемленной по всему контуру и
„несущей нагрузку, антисимметричную относительно оси ss. Поэтому
как прогибы, так и изгибающие моменты по этой оси обращаются
в нуль. Задача приводится к случаю, уже решенному нами в § 44.
Некоторые численные результаты для даух вариантов распределение
нагрузки читатель найдет в таблице 38J). Более подробную таблицу
') Табличными данными мы обязаны Дана Юнгу (D a n a You ng, J. Appl.
Meeh., т. 7, стр. А-139, 1940, а также: Siess С. Р., Newmark N. М.,
Univ. Illinois Bull., т. 47, стр. 98, 1950). Я. С. Уфлянд применил совершенно
иной подход к этой задаче; см. Доклады АН СССР, т. 72, стр. 655, 1950.
234 ПРЯМОУГ. ПЛАСТИНКА ПРИ РАЗЛИЧНЫХ УСЛОВИЯХ ОПИРАНИЯ (ГЛ. VI
изгибающих моментов мы помещаем ниже (стр. 271) в связи с вопро-
сом о проектировании балочных перекрытий.
Таблица 38
Прогибы и изгибающие моменты в прямоугольной пластинке,
один край которой свободно оперт, а три защемлены (рис. 94)
Нагрузка ъ а («) ь ("x) 0 b *= 2 • У 2 y-i
Равномерное да- влевие q Гидростатиче- ское давле- ние q^ylb 0,5 0,75 1.0 4/3 2 0,5 0,75 1,0 0,00449 qt>4D O.WWqbyD 0,00157 qb'/D 0,00215 qa*/D GfXQSIqa^D 0,00202 q^D 0,00132 0,00074 qobflD —0,0786 qb2 —0,0730qb2 —0,0601 qb2 —0<075Qqa2 —0,0837 qa2 -0,0368 qj* -W3Mqob2 —0,0287 qab2 —0,1148 qb2 —0,0838 qb2 —0,0551 qb2 -0,0571 qa* —0,0571 qa? —0,0623 q0b2 -NAWqtfi2 —00347
края х = 0, у = О
Прямоугольную пластинку rsut (рис. 95), у которой два смежных
свободно оперты, другие же два защемлены,
точно так же можно рассматривать как состав-
ную часть пластинки, защемленной по всему
контуру х = ± а, у — +b.
Пусть нагрузка распределена равномерно по
площади rsut данной пластинкиJ). Тогда ука-
занное на рис. 95 шахматное распределение
по площади 2а X 2Ь определит условия сво-
бодного опирания по х=0, у —0. Таким
образом, задача об изгибе пластинки с двумя
смежными свободно опертыми и двумя другими
защемленными краями опять приводится к уже
решенной в. § 44 задаче о пластинке, заще-
мленной по контуру. Вычисления покавывают,
абсолютной величине момент военикает близ
середины более длинной стороны пластинки. Значения этого момента
защемления таковы: при fc/e = 0,5 он равен —0.1180 qb2, при
Ь/а=^ 1,0 он падает до —0,0694 qb2. Наибольший изгибающий мо-
мент блив центра квадратной пластинки равен 0,034 qa2 (для v = 0,3).
Рис. 95.
наибольший по
') В видоизмененной форме метод Тимошенко был применен к этому
случаю Сайссом (Siess) и Ньюмарком (Newmark) (цит. на стр. 233).
О применении энергетического метода см. Stites W. В., J. Appl. Meeh.,
т. 14, стр. А-55, 1947; см. также Huang М. К., Conway Н. £>., J. AppL
Meeh., т. 19, стр. 451, 1952.
. «] ДВА ПРОТИВОПОЛОЖНЫХ КРАЯ ОПЕРТЫ, ТРЕТИЙ СВОБОДЕН 235
it соответствующий ему прогиб 10 = 0,0023 qa^D. Другие, численные
{-'‘значения изгибающих моментов для этого случая указываются ни
' Стр. 270.
46. Прямоугольная пластинка, два противоположных края
^которой свободно оперты, третий свободен, четвертый же заще-
'Лмлен или свободно оперт1) (рис. 96). Положим, что края х = 0
х = а свободно оперты (рис. 96), край усвободен, край у = 0
•ъ-Вящемлен. Граничные условия в этом случае
Сбудут
'..трс=0, -^^- = 0 для х = 0 и х — а, (а)
;л»=0, для У —0» (Ь)
„ а. для свободного края [см. ураянения (112),
i(113), стр. 102]
Рис. 96.
рассмотрим частный случай равномерно распределенной нагрузки,
сбудем поступать в этом случае, как в § 30, и положим, что полный
^прогиб слагается из двух частей
I’
фДе представляет собой прогиб равномерно нагруженной свободно
Опертой полоски длиной а, выражаемой рядом
4?а4 V1 1 - гпкх , „
*=#,£ -73 ""- « • W
‘Я w2 может быть определен рядом
03
f «2= 2.
т-1,3,5,...
Iijie
¥.=^(x,ch2a+B.^»b^+
да
’) Этот случай был исследован И. Г. Бубновым; см. английский перевод
его труда в Trans. Inst. Naval Arch., т. 44, стр. 15,1902, и его книгу <Строи-
.телъная механика корабля», т. 2, стр. 545, СПб., 1914. Задачей занимались
также Coriupp К., Ingr.-Arch.. т. 16, стр. 77, 1947, HBogunovic V.,
On the bending of rectangular plate with one edse free, Белград, 1953.
236 ПРЯМОУГ ПЛАСТИНКА ПРИ РАЗЛИЧНЫХ УСЛОВИЯХ ОПИРАНИЯ |ГЛ. vr
Ряды (d) и (е) удовлетворяют граничным условиям (d). четыре же
входящих в выражение (f) постоянных подбираются так, чтобы удовле-
творялись граничные условия (Ь) и (с). Исходя из условий (Ь), получаем
Ав~ Ж5И5 ’ (ь)
Из двух остальных условий находим
в 4 Г (3+v)(l-bv)di*ft,+2ychfa,
. -(I .IMhl.-ll-.'l ]
С<+4(1-4rf1,fi„+(l ^«2+(II42 J'
С_____< Г (3+4(l-»>8b?m<*Pm + v(l + v)»b?m ,
“ „V [ (.'<4 4(< - 4Л2?„-| <142;4+<1+42 "г
- v(l—4g„ch(l„-(1-,)(<„ 1
(3+4(1-4<*21<„+(1-42Й,+(1+4г J’
гае -
Выражение для изогнутой поверхности получим после подста-
новки постоянных (g) и (h) в уравнение (f) с использованием рядов
(е) и (d). Максимальный прогиб будет иметь место в данном случае
в середине неопертого края. Если длина Ь весьма велика сравни-
тельно с а, т. е. если свободный край удален на значительное рас-
стояние от защемленного края, то прогиб на свободном крае будет
равен умноженному на постоянный множитель (3—- v) (1 4-v)/(3-|-’v)
прогибу свободно опертой полоски длиной а под равномерно рас-
пределенной ивгрузкой. Благодаря наличию этого множителя макси-
мальный прогиб получится в данном случае на 6,4 % больше, чем
для полоски, если для v в обоих случаях принято одно и то же
виачение 0,3. Этот факт легко объясняется, если мы заметим, что
изогиутав поверхность пластинки близ свободного края получается
антикластической.
Взяв другой крайний случай, когда сторона а весьма велика
в сравнении с Ъ, мы найдем, что для него максимальный прогиб,
очевидно, такой же, как и для равномерно загруженной полоски
длиной Ь, защемленной на одном конце и свободной на другом. Ряд
значений максимального прогиба, вычисленных *) для различных зна-
чений отношения b/а, приведен в таблице 39. В той же таблице
даны также максимальные значения нагибающих моментов, получаемые
непосредственно на выражения для ивогнутой поверхности. Вычи-
сления показывают, что (А!ж)гаях имеют место в середине неопертого
•) Эта таблица составлена И. Г. Бубновым, цит. выше.
46] ДВА ПРОТИВОПОЛОЖНЫХ КРАЯ ОПЕРТЫ ТРЕТИЙ СВОБОДЕН 237
края. Абсолютное значение максимума момента Л4у получается
в середине защемленного края.
Таблица 39
Прогибы и изгибающие моменты для равномерно
нагруженной пластинки, у которой два противоположных края
свободно оперты, третий край свободен, четвертый же авщемлен
(рис. 96) (v - 0,3)
, y=0 "y
0 0,125 gb'ID 0 -0,500 qb2
1/3 0,094 qWD 0,0078 qa2 -0,428 a-fc2
1/2 0,0582 qb*}D 0,0293 qa2 -0,319 qb2
2/3 0,0335 ?54/D 0,0558 oa2 —0,227 qb2
1 0,0113 0,0972 qa2 -0,119 qb3
3/2 0,0141 qa4D 0,123 qa2 —0,124 qa3
2 OSAWqaUD 0,131 m2 —0,125 qa3
3 OftlSi qaUD 0,133 —0,125 qa2
со 0,0152 qa^D 0,133 qa.2 —0,125 qa2
Случай гидростатической нагрузки, распределенной по закону
%(! —у/Ь)г решается аналогично предыдущему. Пусть прогиб пред-
ставлен рядом
со со
4<z0 (1— У/^)«4 \? 1 < тъх । VI . тпх
m«),3,5,... л>»1,3,£,...
где Ym того же вида, что и (1), с той лишь разницей, что постоян-
ная здесь qQ вместо q. Поступая по-прежнему, из граничных усло-
вий (а). (Ь) и (с) находим четыре постоянные Ат, Вт....Dn.
Если пластинка изгибается нагрузкой, распределенной лишь по
ее свободному краю, а не по всей поверхности, то второе ив гра-
ничных условий (с) должно быть изменено, а именно: в правой части
уравнения вместо нуля должна стоять интенсивность нагрузки, рас-
пределенной по свободному краю. Был исследован также и частный
случай сосредоточенной силы, приложенной на свободном крае весьма
длинной пластинки (рис. 97) *). При этом было найдено, что прогиб
') Сы. MacGregor С. W., Meeh. Engineering, т. 57, стр. 225, 1935,
а также Holl D. L., J. Appl. Meeh., т. 4, стр. 8, 1937; Jaramillo Т. J.,
J. Appl. Meeh., т. 17, стр. 67, 1950; G1 г k m a n п К., Flachen-tragwerke,
4-е изд, стр. 233, Вена, 1956. Случай консольной пластинки, свободной
по трем краям и несущей равномерно распределенную нагрузку, рассматри-
вается в работе Nash W. A., J. AppL Meeh., т. 19, стр. 33, 1952. См. также
исследование такой пластинки: Koller W. Т., Alb las J. В., Proc. Konikl.
Ned. Akad. Wetenschap., Амстердам, т. 60, стр- 173, 1957, где приводятся
численные результаты.
238 ПРЯМОУГ ПЛАСТИНКА ПРИ РАЗЛИЧНЫХ УСЛОВИЯХ ОПИРАНИЯ [ГЛ vt
на свободном крае может быть представлен формулой
, „ РЬг
Коэффициент а быстро уменьшается с увеличением расстояния от
точки А приложения нагрузки. Несколько значений этого коэффи-
циента приведено в таблице 40. Абсолют- пюьЯкый V
Рис. 98.
Рис. 97.
Таблица 41
Изгибающие моменты М = ₽Р на х — 0, у = 0, при загружении Р
на X—О, у—b и свободном опирании по краям х— ±а]2
(рис. 97) (v = 0,3)
6/«— 4 2 1.5 1 2/3 0,5 1/3 0,25 0
—0,000039 -0,0117 —0,0455 -0,163 -0,366 -0,436 —0,498 —0,507 -0,509
Случай равномерно нагруженной прямоугольной пластинки, сво-
бодно опертой по трем краям и свободной по краю у=Ь (рис. 98),
поддается тому же самому способу исследозания, что и только что
’) Эта таблица составлена Богуновичем (V. Bog u по vic) (цит. выше),
см. также § 78.
«]
ДВА ПРОТИВОПОЛОЖНЫХ КРАЯ ОПЕРТЫ. ТРЕТИЙ СВОБОДЕН 239
,разобралный случай, если край у —О принять защемленным. Лишь
второе из граничных условий (Ь) при этом необходимо заменить
условием
Опуская выкладки, приводим здесь лишь
полученные для этого случая окончатель-
ные численные результаты. Максимальный
прогиб получается в середине свободного
края. В этой же точке достигает своего
максимального виачения и изгибающий
момент Л1Х. Эти значения прогибов wmax
и моментов приводятся во вто-
,ром и третьем столбцах таблицы 42 *). Да
таблицы дают изгибающие моменты в центре пластинки.
Таблнца 42
'-.-я Н4
Рис. 99.
последних столбца этой
Прогибы и изгибающие моменты в равномерно нагруженной
прямоугольной пластинке, у которой три края свободно оперты,
четвертый же свободен (рис. 98) (v = 0,3)
х-аП y-o x~a]2. У-Ы2
“’max Mx ",
1 : 2 0,00710 0,060 qa2 0,039 qa2 0,022 qa2
2 : 3 0,00968 qa4lD 0,083 qa2 0,055 qa2 0,030 qa2
1/1,4 0,01023 qa*/D 0,088 qa2 0,059 0,032 qa2
1/1,3 0,01092 qa'/D 0,094 qa2 0,064 qa2 0,034 qa2
1/1,2 0,01158 qa*/D 0,100 qa2 0,059 qa2 0,036 qa2
1/1,1 0,01232 qa'/D 0,107 qa2 0,074 qa2 0,037 qa2
1 0,01286 qa*JD 0,112 qa2 0,080 qa2 qa2
11 0,01341 qa'/D 0,117 qa2 - 0,085 qd? 0,040 qa2
1.2 0,01384 qa'lD 0,121 qa2 0,090 qa2 0,041 qa2
1.3 0,01417 qa*!D 0,124 qa2 0,094 qa2 0,042 qa2
1 4 0,01442 qa'jL) 0,126 qa2 0,098 qa2 0,042 qa2
1.5 0,01462 qa^D 0,128 qa2 0,101 qa2 0,042 q&
2 0,01507 qa'/D 0,132 qa2 0,113 qa2 0,041 qa2
3 0,01520 qa'/D 0,133 qa2 0,122 qa2 0,059 qa2
со 0,01522 qa*/D 0,133 qa2 0,125 qa2 0,037 qa2
') Эта таблица, а также таблица 43 составлены Б. Г. Галеркиным; см.
Бюллетень Политехнического института, т. 26, стр. 124, СПб., 1915.
240 ПРЯМОУГ. ПЛАСТИНКА ПРИ РАЗЛИЧНЫХ УСЛОВИЯХ ОПИРАНИЯ (ГЛ VI
В таблице 43 указаны также прогибы и изгибающие моменты
в середине свободного края и в центре пластинки при загружении
ее гидростатическим давлением.
Таблица 43
Прогибы и изгибающие моменты в нагруженной по гидростатическому
вакону прямоугольной пластинке, три края которой свободно оперты,
четвертый свободен (рис. 99) (v = 0,3)
. х=аП, у=ь X -аП, У=ЬП
а Mx > ЛУ
1Д 2/3 1,5 2,0 со 0,00230 q^/D 0,00304 qoa*/D 0,00368’ q0a4/D 0,00347 qoa4D 0,00291 qoa*lD 0 0,0167 $oa- 0,0265 q6& 0,0325 qD& 0,0308 q0& 0,0258 qD& 0 0,00135 q*a*/D 0,00207 qoa4D 0,00313 qoa*lD 0,00445 qDa*/D 0,00533 qoa*lD 0,00651 q^/D 0,0145 qa<& 0,0220 q^- 0,0331 goa" 0,0453 № 0,0529 qaa>- 0,0625 90a2 0,0120 ?0a2 0,0156 0,0214 qa& 0,0231 fta’ 0,0222 0,0187 q^fl
' 47. Прямоугольная пластинка, три края которой защемлены,
четвертый свободен. Пластинки с такого рода граничными усло-
виями представляют особый интерес, так как они входят состав-
ными частями в конструкции прямо-
угольных в плане резервуаров и подпор-
ных стен.
В свази с этим в первую очередь
здесь следует изучить их работу под
равномерно распределенной и под гид-
ростатической нагрузками.
Пусть защемление в данной нам
пластинке осуществлено по краям у = 0
и х — ± д/2, край у = Ъ оставлен
свободным (рис. 100). Под равно-
мерно распределенной нагрузкой ин-
Рис. 100.
тенсивностью q пластинка испыты-
вает прогиб w, эквивалентный результату наложения трех прогибов:
w — и>2 + «"а-
Первый из них
4^. у
1 L nf cos а
и второй
*71 «=1, 3,3, ...
(3)
(Ь)
(с)
если учесть новое положение начала координат, тождественны соот-
ветственно с выражениями (d) и (е) предыдущего параграфа.
ТРИ КРАЯ ЗАЩЕМЛЕНЫ. ЧЕТВЕРТЫЙ СВОБОДЕН
Третьему дополнительному компоненту полного прогиба ни,
обусловленному эффектом дополнительного защемления по краям
х — + а/2, следует приписать вид ')
л=1,3, 5, •••
+ У (CmSh^+^^ch^+7m,^Sh^)coS^,
1 £> \ т а 1 т а а ' т a а ) а
т=1,3,5,... (d)
где Fn, ... — постоянные, a — nnaftb.
Таблица 44
Прогибы, изгибающие моменты и опорные реакции
равномерно нагруженной пластинии, три края которой защемлены,
четвертый свободен (рис. ICO) (v = 1/6)
Ыа х=О,у~Ь х=0,у = 6/2
лгх-?,са2 ®=И2-ТГ М,-₽гСа2
°1 "1 “г ₽2 (с
0,6 0,7 0,3 0,9 1,0 1,25 15 0,00271 0,00292 0,00308 0,00323 0,00333 0,00345 0,00335 0,0336 0,0371 0,0401 0,0425 0,0444 0,0467 0,0461 0,00129 0,00159 0,00185 0,00209 0,00230 0,00269 0,00290 0,0168 0,0212 0,0252 0,0287 0,0317 0,0374 0,0402 0,0074 0,0097 0,0116 0,0129 0,0138 0,0142 0,0118
Ыа Ж=О/2, у=Ь X=aJ2. у=6/2 л=С, у=0
Лл=₽а?°2 Vx=Wa
9з Тз ₽4 14 Ps Тб
0,6 0,7 05 0,9 1,0 1,25 1.5 —0,0745 —0,0782 —0,0812 —0,0836 —0,0853 —0,0867 —0,0842 0,750 0,717 0585 0,656 0,628 0,570 0,527 —0,0365 -0,0439 —0,0505 —0,0563 —0,0614 —0,0708 —0,0755 0,297 0,346 0,385 0,414 0,435 0,475 0,491 —00554 —0,0545 —0,0535 -0,0523 -0,0510 —0,0470 —0,0418 0,416 0,413 0,410 0,406 0,401 0,388 0,373
’) В существенном этот метод был указан Гориуппом (Goriiipp,
Ingr.-Arch., стр. 153, 1948k см. также Van der Е b W. J., Ingenleur, т. 26,
стр. 31, 1950.
242 ПРЯМОУГ. ПЛАСТИНКА ПРИ РАЗЛИЧНЫХ УСЛОВИЯХ ОПИРАНИЯ [ГЛ VI
Поскольку для у=0, х=±а/2 прогиб -а>3=0, граничные усло-
вия, которым должны удовлетворять уравнения (d), принимают сле-
дующий вид:
I дуя dxs )у=ь
ду3 } дхяду]^ь — и>
д(и>1 + «>24-ю>а) ] _0
дх
(е)
Разложим теперь каждую из содержащихся в выражении (а) некру-
говых функций х в ряд вида 2 omcos(m’xxfa) и все аналогичные '
Таблица 45
Прогибы, изгибающие'моменты и онорные реакции
для нагруженной по гидростатическому закойу
прямоугольной пластинки, три края которой защемлены,
четвертый свободен (рис. 101) (v—1/6)
6/а JT=O, у=Ь *=0, у=Ь]2
’о®4 W=a,_° 1 Z>
“l “2 ₽2 ₽2
0,6 0,7 0,8 0,9 1,0 1,25 1,5 0,00069 0,00069 0,00058 0,00067 0,00065 0,00058 0,00042 0,0089 0,0093 0,0096 0,0096 0,0095 0,0085 0,0085 0,00044 0,00058 0,00072 0,00085 0,00097 0,00121 0,00138 0,0060 0,0060 0,0100 0,0118 0,0135 0,0169 0,0191 0,0062 0,0074 0,0083 0,0090 0,0094 0,0092 0,0075
6/в х=а/2, у=Ъ х=аП, у=ь/2 Лг=О, у=0
«л=₽з«0®2 Fjr”Woe VX=W Vy^W
Ъ ₽4 т* ₽5 Те
0,6 0,7 0,8 0,9 1,0 1,25 1,5 —0,0179 —0,0172 —0,0164 —0,0156 —0,0146 —0,0119 —0,0087 0,093 0,081 0,069 0,057 0,045 0,018 —0,006 -0,0131 —0,0170 —0,0206 —0,0239 —0,0269 -0,0327 —0,0364 0,136 0,158 0,177 0,194 0,209 0,234 0,245 —0,0242 —0,0261 —0,0278 —0,0290 -0,0299 —0,0306 —0,0291 0,248 0,262 0,275 0,286 0,295 0,309 0,311
ДВА ПРОТИВОПОЛОЖНЫХ КРАЯ оперты, два свободны 243
‘функции у в ряд вида ^b„ sin(«wy/26). Тогда из условий (е)
35ез труда выводится система линейных’'уравнений относительно
^в, С„.....fm. Решая эти уравнения,
мы получаем возможность выразить
рти неизвестные постоянные через
Йвестные значения Ат, .... Dm (см.
СТр. 235).
При загружении пластинки гид-
]ростатическим давлением по схеме
-рис. 101 решение (i) предыдущего
^параграфа следует наложить на реше- Д’
^ие вида (d) и поступать, как указано
'4ЫШе.
При любом типе загружения1) эту Рис. 101.
ладачу можно решить также и мето-
;&0Ы конечных разностей (см. § 83). Численные значения таблиц
И4 и 45 получены в основном этим методом.
g. 48. Прямоугольная пластинка, два противоположных края
Ьйторой свободно оперты, два других свободны или упруго
|жерты (рис. 102).
ЙЬ Рассмотрим случай, когда края х=О и х=в свободно опер-
sjft, а два других края поддерживаются упругими балками. Если
айгрузка распределена равномерно и балки совершенно одинаковы.
относительно оси х и
лишь условия на крае
СКРодтй или упруго *
акрпмгнавамупрай
И® прогибы пластинки оудут симметричны
жм'достаточно будет принять во внимание
аг-;---- Ь[2. Если, далее, предположить, что бал-
йеи сопротивляются лишь изгибу в вертикаль-
ных плоскостях и не сопротивляются кру-
шению, то граничные условия для края у—Ь/2
^соответствии с уравнением (114) примут вид
О
Свободный им упруго пифУ/ый неЛину нрай\^ < а » Мгч
(а)
I/
Рис. 102.
-Где EI обозначает жесткость несущих пластинку балок яри из-
гмбе. Поступая, как и в § 46, потребуем, что уравнение прогибов
’) Смотров А. А., Решение плит, нагруженных сплошной нагрузкой
тю закону трапеции, М. — Л., ОНТИ, 1936.
244 ПрЯМОУГ ПЛАСТИНКА ПРИ РАЗЛИЧНЫХ условиях ОПИРАНИЯ [ГЛ. VT
имело вид
w=«/1-f-ar2, (b)
где
4<7<i’ VI 1 . ткх ,.
= 7?sm~ ’ <с>
а
S., . тпх ...
и»8|п—• <d>
m-1.3,5,...
Из симметрии заключаем, что в выражении (f) предыдущего пара-
графа нам следует положить Сп = Dm=0 и тогда для Ут принять
выражение
*'„ = <(^cbS+Bm2SLshS). (е)
Обе остальные постоянные и Вп будут найдены на гранич-
ных условий (а), которые при обозначениях
ткЬ Е1
Ti-=a- го=л
дадут нам
А. (1 — ’) <*»».+Вт 12 ch «„+(1 — >) sh o„.I = ~,
+ В„ |(1 + sh — (1 — v) »„ ch «„ — m=Aa„ sh «J = jJL.
Решая эти уравнения, найдем
л ___ 4 ч(1 — v)c^ch«re—яяАсгсЬдд+^зНзд;)
т т5а5 (3-J-v)O—*) sh a,n ch am — (1—v)2ara_|_2razX ch2 am ’w
о _ 4_____________y(l —^ShCm+wtwXcham
m иг5пб (3 -|- v) (1 — v) sh am ch am — (1 — v)2 am -|- 2mnA ch2 am '
Изогнутая поверхность пластинки определяется подстановкой этих
постоянных в выражение
щ/ = «'1+®2 =
V ( 4 1 л -V. тяУ I о т™У tnny\ . П№Х ...
=Т>' i I '1»111 „ i-e- „ sl|-,> )s"‘ « - <">
m-1.8,5....
«1
ДВА ПРОТИВОПОЛОЖНЫХ КРАЯ ОПЕРТЫ. ДВА СВОБОДНЫ
245
Если поддерживающие балки абсолютно жестки, то Х=оо в вы-
ражениях (f) и (g) и постоянные Ат и Вт получают те же значе-
ния, что и в § 30 для пластинки, у которой все четыре стороны
покоятся на жестких опорах.
Подставив Х=0 в выражения (f) и (g), мы получим значения
постоянных ряда (h) для случая, когда две стороны пластинки сво-
бодно оперты, а дае другие свободны.
Оказывается, что исключая случай весьма малых значений Л. ма-
ксимальные прогибы и максимальные изгибающие моменты прихо-
дятся на центр пластинки. Ряд значений этих величин, вычисленных
для квадратной пластинки при различных X, приведен в таблице 46L).
Таблица 46
Прогибы и изгибающие моменты в центре равномерно загруженной
квадратной пластинки, два края которой свободно оперты,
а два других поддерживаются упругими балками (рис. 102) (у = 0,3)
K^EllaD тотах ("x)n>ax ("yKnax
СО 0,00406 ус*/© 6,0479 qa2 0,0479 qa2
- 100 0,00409 q&ID 0,0481 qa2 QfyfHqa2
30 0,00416 qa^D 0,0486^ 0,0473 qa2
10 0,00434 qa’-fD 0,0500 qa2 Q,WS>q&
6 0,00454 оа'ЧБ 0,0514 qa2 0,0455 qa2
4 0,00472 aa4/© 0.0528 qa2 0,0447 qa2
2 . 0,00529 qa*lD 0,0571 qa2 0,0419 qa2
1 0,00624 qa'jD 0,0643 qa2 0,0376 qa2
0.3 0,00756 qa*!D tyWAqa2 0,0315 qa2
0 UfA^qa^D 0,1225 qa2 0,0271 qa2
Заслуживает некоторого внимания частный случай X = О для пластинки,
свободно опертой по двум противоположным краям и свободной по двум
другим. Как видно из таблицы 47, прогибы и максимальные моменты такой
пластинки при равномерном ее загружеини лишь незначительно отли-
чаются от прогибов и моментов пластинки при цилиндрическом изгибе 2).
*) Таблица была составлена К. А. Чалышевым — Известия Института
инженеров путей сообщения, СПб., 1914. Впоследствии задача была рас-
смотрена Мюллером (MilПег Ingr.-Arch.,т.2, стр. 606, 1932). В этой ра-
боте были вычислены таблицы для несимметричных случаев. В работе
Йенсена (Jensen V. Р., Univ. Illinois Bull., 81, 1938) рассматриваются раз-
личные случаи прямоугольных и неразрезных пластинок на гибких балках.
s) Эти результаты принадлежат Холлу (Но 11 D. L., Iowa State Coll.
Eng. Exp. Sta. Bull., 129, 1936). Случай сосредоточенной нагрузки
см. Ohlig R, Ingr.-Arch., т. 16, стр. 51, 1947. Оба автора останавливаются
также на вопросе о влиянии защемления по опертым крзам.
'246 ПРЯМОУГ. ПЛАСТИНКА ПРИ РАЗЛИЧНЫХ УСЛОВИЯХ ОПИРАНИЯ 1ГЛ VI
Таблица 47
Прогибы и изгибающие моменты прямоугольной равномерно
загруженной пластинки, два края которой х = 0, х = а свободно
оперты н два других свободны (ряс. 102) (v = 04)
£ х=ар, у=О J>=±by2
о“ мх— ₽, qi? W “2D
ч 0! ai
0,5 1,0 2,0 со 0,01377 0,01309 0,01284 0,01302 0,1235 0X1225 0,1235 0,1250 0,0102 0,0271 0,0364 0,0375 0,01443 0,01509 0,01521 0,01522 0,1259 0,1318 0,1329 0,1330
49. Прямоугольная пластинка, упруго опертая но четырем краям или
опертая в вершинах, со свободными краями. Рассмотрим пластинку, не-
сущую равномерно распределенную нагрузку и поддерживаемую по контуру
четырьмя изгибаемыми балками. Предполагается, что последние жестко
оперты в вершинах пластинки, причем парал-
лельные балки могут иметь одинаковую жест-
кость (рис. 103).
Записав прогибы в виде
"’-Я4ОЙ+ч'’(1й‘‘-24“^+51*1+
4-8 (16у4 — 246У+564)]4-2^nch^cos-^-4-
, с . п-кх ту ,
+хАс ~ г+
. Vi . ту тх ,
Рис. 103. 4- 2 Dnx sh cos TV^~, (а)
где 8/у и Ап, .D„ вока неизвестные постоянные, а п — 1, 3, 5, ..., мы
удовлетворим дифференциальному уравнению ДДтв = q[D пластинки и усло-
виям симметрии1). Разложим входящие в выражение (а) алгебраические и
гиперболические функции в рады косинусов. Введя, далее, для х = <г/2,
у = Ь/2 граничные условия, аналогичные условиям (а) предыдущего пара-
графа, приходим к системе уравнений для постоянных Ап, D„ выраже-
ния (а).
Положив, в частности, 8/-f = 0 и Ehf/, == сю, мы получаем решение, уже
разобранное в § 48.
*) Этот метод решения принадлежит Б. Г. Галеркнну; см. его Собрание
трудов, т. 2, стр. 15, Москва, 1953. Указанные граничные условия легко
осуществимы и некому удобны для проверки теории испытаниями; см. D i -
tn 11 гоv N-, Baulngenieur, т. 32, стр. 359, 1957.
49] ПЛАСТИНКА, УПРУГО ОПЕРТАЯ ПО ЧЕТЫРЕМ КРАЯМ 247
Остановимся теперь на изгибе квадратной пластинки (а = 1>), лежащей
иа' четырех одинаковых балках. По условиям симметрии здесь 8/у = 1,
>4Я = ВЯ и Cn — Dn. Неизвестные коэффициенты Ап исключаются в ре-
зультате приравнивания нулю краевых моментов. Взяв затем лишь четыре
члена (л = 1, 3, 5 и 7) в ряду (а), получаем четыре линейных уравнения
Относительно Сг, Ся, Cs и Cj. Итоги числовых выкладок, выполненных ука-
ваиным способом, представлены в таблице 48.
Таблица 48
Прогибы и изгибающие моменты квадратной
пластинки, упруго опертой по контуру (рис. 103)
(v —0,25)
El X=0, у=C X----(l, y^ap
w=e^- лгл.=лу=₽,«л®
о ₽!
100 50 25 10 5 3 2 1 0,5 0 0,00406 0,00412 0,00418 0,00429 0,00464 0,00519 0,00546 0,00588 0,00668 0,00873 0,01174 0,0257 0,0460 0,0462 0,0463 0,0467 0,0477 0,0494 0,0502 0,0515 0,0539 0,0601 0,0691 0,1109 0 0,0002 0,0024 0,0065 0,0085 0,0117 0,0177 OjO332 0,0539 0,1527
В частном случае £7 = 0 приходим к квадратной пластинке, несущей
равномерно распределевную нагрузку и опертой лишь в нершииах. Вели-
ajtMiia -v оказывает малое влияние на прогибы и моменты в центре пластинки;
*в большей степени это влияние сказывается на моментах по краям. Если,
„например, принять ч=0,3, то значения, приведенные в последней строке
^таблицы 48 для v = 0,25, следовало бы заменить соотнетствевно на 0,249;
^0,1090 и 0,1404’). Рассматривалось также и решение задачи об опертой
члмшь в вершинах квадратной пластинке при симметричном загруясеинк ее
^относительно центра ®), Если нагрузка Р распределена развомерно по малой
’^площадке прямоугольного или кругового контура, то мы можем”) вывести
'выражение для моментов, вознияающих в центре загруженной площадки.
•) См. Marcus Н., Die Theorle elasticher Cewebe, 2-е изд., стр. 173,
Берлин, 1932; несколько различных случаев пластинок, закрепленных в точ-
ках, рассмотрено Надаи (Nadal A., Z. angew. Math. Meeh., т. 2, стр. 1,
1922), а также Торном (Thorne С. J., J. Appl. Meeh., т. 15, стр. 73, 1948).
®) См. Marcus, там же.
3) См. Woinowsky-Krieger. Ingr.-Arch., т. 23, стр. 349, 1955.
248 ПРЯМОУГ ПЛАСТИНКА ПРИ РАЗЛИЧНЫХ УСЛОВИЯХ ОПИРАНИЯ [гл vr
60] ПОЛУБЕСКОНЕЧНАЯ ПЛАСТИНКА ПОД РАВНОМЕРНЫМ ДАВЛЕНИЕМ 249
В частности, если площадка загружения — квадрат со стороной и, то
при v = 0,3 эти моменты выражаются формулой
Мх = Му = (0,1034 In «/и 4-0,129) Р. (Ь)
Располагая этим решением, а также решением для равномерно нагру-
женной квадратной пластинки при тех же -условиях опирания, мы решаем
вместе с тем и задачу расчета пластинки, представленной иа рис. 104а,
применив с этой целью метод наложеиня. Очевидно, что если квадратнли,
свободная по краям пластинка поддерживается равномерно распределен-
ными реакциями, то изгибающие моменты в'центре могут быть получены
путем вычитания из выражении (Ь) авачения *= Му = O,1090ja2, указан-
ного выше для равномерно нагруженной квадратной пластинки, опираю-
щейся в вершинах, при том же зваченин v = 0,3. В результате получаем
Мх = Му — (0,1034 In а/и 4-0,020) Р (с)
для v = 0,3. Распределение изгибающих моментов по средней линии фунда-
ментной плиты показано на рис. 1046 для и/а — 0,1 и и/а = 0,2. Для
весьма жесткой фундаментной плиты, покоящейся на податливом осно-
вании, позволительно допустить рав-
номерное распределение’ давлении.
Более общие гипотезы относительно
закона распределения давления вво-
дятся в главе VIII.
50. Полубесконечная прямо-
угольная пластинка под равномер-
ным давлением. Изогнутая поверх-
ность и распределевие напряжений у
короткой стороны длинной прямо-
угольной пластинки практически те
же, что и у края полубесконечной
пластинки, показанной на рис. 105.
Главным образом по этой причине
заслуживает рассмотрения сравнительно простая теория пластинок послед-
него' вида. Пусть нагрузка равномерно распределена по всей площади такой
пластинки, края же ее х = 0, х = а предполагаются свободно опертыми ).
Изогнутую поверхность пластвнки можно представить суммой функций
w — Wy-\-w2> (а)
где
+ах>=^ 2 •й=Ап— (Ь>
— частное решение уравнения ДД® = qjD, в котором q— интенсивность
нагрузки, а
—решение уравнения ДД® = 0, дающее нулевой прогиб для у=со. Коэф-
фициенты Ат и Вт остается выбрать так, чтобы удовлетворить граничным
') Приводимые ниже решения задачи принадлежат Издай; см. его книгу:
Nadal A., Elastlsclie Flatten, стр. 72, Берлин, 1925,
250 ПРЯМОУГ. ПЛАСТИНКА ПРИ РАЗЛИЧНЫХ УСЛОВИЯХ ОПИРАНИЯ {ГЛ. VI
условиям по краю у = 0. При этом могут представиться три следующих
зарианта.
Край у = 0 свободно оперт (рис. 105, в). Соответствующие условия
требуют при этом, чтобы w =0, d2w/dy2 = 0 для у = 0. Подстановка ряда,
выражающего w = w2, в эти условия дает значения коэффициентов
Ат — — VmS и = -4т/2. Таким путем приходим к поверхности прогибов
4g a* V А । тпУ\ е-тху,а . пли
io 1 • <">
ш=.1,3, 5, ...
где Wi определяется уравнением (Ь).
Особый интерес представляют изгибающие моменты Му пластинки. Для
ее средней линии х — а]2 находим дифферевцированием
«т=1, 3, 5, ...
Учитывая условие дМу/ду —0 и удерживая лишь нервый член быстро
сходящегося ряда, устанавливаем, что Му получает максимальное значе-
ние для
г'
Таблица 49 укавывает наибольшие значения изгибающих моментов н реак-
ций Vy по краям, а также силы /?, действующие в вершинах пластинки
и направленные вниз.
Таблица 49
Максимальные изгибающие моменты и реакции равномерно
напряженной полубесконечной пластинки со свободно опертыми
краями (рис. 105)
(«Jmax (®jl)ma> /г
0,2 0,3 ,е Р © ш s g ** *5 => 11 $ II 5= 8 н 8 * II II ы>| & м| а 0,0364 qa\x = у - 0,48а 0,0445 qa2, х — ~, у = 0,59а 0,520 ?в.ж= у, у = 0 0,502 qa, х=~, у = 0 0,1085 qa2 0,0949 qa1
Следует обратить внимание па го, что значение 0,0364 qa2 превышает
на 45% авачение 0,0250 <?a2 наибольшего момента Му бесконечно длинной
пластинки при равенстве в обоих случаях авачений коэффициентов Пуассона.
Край у = 0 защемлен (рис. 105, Ь). Следуя указанному выше общему
ходу рассуждений, но приняв на этот раз гравичные условия w = 0,
dw[dy = 0 для у =0, вместо выражения (И), получим
4<?а* V А . т”У\ е~тку,а . ткх
W-W'~^D Д + S1D— ®
«1=1,8, Б,...
'ЭД ПОЛУБЕСКОНЕЧНАЯ ПЛАСТИНКА ПОП РАВНОМЕРНЫМ ДАВЛЕНИЕМ 251
tcj по-прежнему овределяется уравнением (Ь). Соответствующий изги-
бэющий момент
уда2 .. 4gas VT Гя , тпу , 1 е~тпу1а . тжх . .
тя1,3,5,...
Еает максимума при х = в/2 и у = 2а/л(1—-v). Полагав v = 0,3, нахо-
= 0,91а и (jWyJmax = 0,0427 да2, в предположении же » = 0,2 максимум
до (Л4у)шах — 0,0387 да2 для у=0,80д. Можно также показать, что
йзменеш.е момевтов защемления по короткой стороне у = 0 следует про-
Стому закону
(Afy)y=0 =---(ах— Xs).
гия, что при больших значениях у поверхность прогибов пластиякк
о считать цилиндрической, для этой области имеем
А1Х = (ах — х2), Му = v (ах — Xs).
Йаким образом, распределение краевых моментов (g) совпадает с раснре-
жвленнем моментов Мх поперек пластинки при у — со, но имеет протияо-
ясложный знак.
g,", Край у = 0 свободен (рис. 105, с). Если условия, предписанные дак
Цая у —0, требуют, чтобы
d2w . d*w 0 d3w /Г)________ < dste __ п
v дх2 + dys ’ ду2 дх2ду ~01
йь воспользовавшись выражениями (а), (Ь) и (с), приходим к поверхности
ИЙогибов
... . 4vqa* V (1 + » \ e~m,w,a , тпх ...
Крогибы и изгибающие моменты Мх достигают максимума в середине сво-
ВЙдаого края. Можно показать, что
,1 Л)(3+,)
(«,),.„= O-y +v) (Д
гаа w, и (M»)i—прогибы и моменты бесконечной свободно опертой пла-
енгяки. Отсюда следует, что
ш т _ (3—v)(l + ^) ?Д8
-------------------------g—•
В качестве последнего примере, приводящего к иной форме решения,
рассмотрим равномерно нагруженную полубесконечную пластинку, один
Жрай у = 0 которой свободно оперт, а два края х •= ± в/2 защемлены
252 ПРЯМОУГ. ПЛАСТИНКА ПРИ различных условиях опирания 1ГЛ. vr
(рис. 106). Решение может быть получено подстановкой Ь — со в надлежа-
щим образом подобранное выражение для прогибов прямоугольной пластинки
ковечных размеров, свободно опертой по краям у=0, Ь и защемленной по
краям х = ± в/2. В итоге опускаемого здесь вывода находим
Дифференцируя выражение (i) и замечая, что
для у > 0,
7
а г
ё
приходим к результату
со . Ру ,п
_ р sin — z/8
-г1
& Таким образом, дифференциальное уравнение изгиба
Рис 106 пластинки удовлетворено. Можно показать, что над-
лежащие граничные условии дли у =0 и х = ± а[2
также удовлетворяются решением (I).
В выражения нагибающих Моментов здесь опять входят интегралы
с бесконечными пределами, доступные для вычисления. На этот раз пред-
ставляют интерес моменты Му. Положив, в частности, > = 0,2, получаем
СМу)тах = 0,0174 да2, имеющий место при у = ОДл, тогда как для бесконеч-
ной пластияки при том же аваченин v момент JWy==v да2/24 не превышает
значения 0,00833 да2.
Следует заметить, что свойствами полубескокечных пластинок можно
воспользозаться как основой для определения прогибов и изгибающих
моментов прямоугольных пластинок конечных размеров при любой заданной
комбинации свободно опертых или защемленных краев *).
51. Полубесконечная прямоугольная пластинка под сосредоточен-
ными нагрузками. Положив, что края х==0 и х = а пластинки свободно
оперты, рассмотрим в отношении третьей стороны (у — 0) следующие две
возможности: 1) край у — 0 свободно оперт и 2) край у = О защемлен.
Край у = 0 свободно оперт (рис. 107). Допустил, что заданная на-
грузка Р приложена в точке х = §, у = т), будем сначала иметь в виду
бесконечную пластинку’ опертую лишь по краям х = 0 и х — а. Прибегнув
к методу отражений (см. стр. 181), введем вторую нагрузку —Р, приложен-
ную в точках х=Е, у = — ij, бесконечной пластинки, тогда линия у=0
становится узловой линией изогнутой поверхности пластинки. При этом иско-
мый прогиб полубесконечной пластинки будет получен как результат наложении,
прогибов [см. уравневне (148), стр. 169], произведенных в бесконечной пла-
) Такой подход к теории прямоугольных пластинок освещается в работе
Кепке; см. Koepcke W., Ingr.-Arch., т. 18, стр. 106, 1950.
til] ПОЛУБЕСКОНЕЧНАЯ ПЛАСТИНКА ПОД СОСРЕДОТОЧЕН НАГРУЗКАМИ 253
стинке обеими сосредоточенными нагрузками. Поверхность прогибов будет
представлена уравнением

—— (ч+у)
Г, , тт. 1 тя5 . тпх
[1+—— ап—
^принимающим после некоторых упрощений вид
' Ра2 VI е~тт№ г / тк-гХ , илу иглу , тяу! . , mrt.t
•t—-«5 Zj —zz®— (1Ч-------1 sh ——---- ch—- sin—- sin---, (a)
• * at’D mB l\ ' a J a a a J a «
.Имеющим силу в пределах О-Су-Сч и удовлетворяющим условиям w,=0
— 0 для у = О. Прогибы для области у > ч определяются авало-
образом.
2* Если распределить сосредоточенную нагрузку по малой площадке, то
.дюмевт Мх в центре этой площадки, а также и соответствующие прогибы
оказываются меньшей величины
в сравнении с моментами и про-
гибами бесконечной пластинки, не
имеющей поперечного края при
у = О. Но момевт Л4у и здесь
'Шляется исключеввем. Представим его в виде суммы Му = Му0-[-ту,
'ГДе Муа—момевт бесконечной пластинки. Поправка т$, отражающая влияние
фагруэкн —Р (рис. 107), находится при этом без труда с помощью второго
•Йз уравнений (151) (см. стр. 170). Положил для примера у —ОД найдем
;1Иу= 0,0065 Р—наибольшее значение поправки, отвечающее положению на-
грузки в точке л=»л/2, у =0,453«.
Край у = 0 защемлен (рис. 108). Начнем с вычисления наклона изо-
'Гвутой поверхности (а) у края у = О. Получаем дифференцированием
(dwi\ Pti V1 №stg ткх
1-5 1 = —yv *,------------sin sin
\ »У /y=o •“ m a a
Ф)
254 ПРЯМОУГ. ПЛАСТИНКА ПРИ РАЗЛИЧНЫХ УСЛОВИЯХ ОПИРАНИЯ (ГЛ VI
Далее, подвергаем свободно опертую полубескокечную пластинку действию
моментов, распределенных по краю у = О согласно закону
(Л4у)у»о = /(-*) = sin
Соотнетствующие прогибы, исчезающие при у = со, зададим в виде
2(Лга + ЙгаУ)е-Й2''Же1п'^’- (с>
Коэффициенты Ат и Вт этого выражения определяются непосредственно
из условий
~ду^) = * (<3)
Отсюда находим Ат —0, Вт = E„fi!2mr.D,
и наконец ay V Ете-т,су1а , ткх им = „ V,- У, — sin . 2nD т а (е)
Поскольку нам нужно уничтожить наклон (Ь), краевые условия принимают
вид
Подстановка выражений (Ь) к (е) в уравнение (f) дает
а выражение (е) преобразуется в зависимость
<о - (У+т)
Рут, V ® , гп-кх
W.,=------гГ 7 i----------s,n------Sin-----. (ц)
s icD т а а
т=1
Таким образом, поверхность прогибов полубесконечной пластинки, защем-
левной по у = 0, определится суммой
w = Ю| 4- ®s> (h)
где под t»i разумеется выражение (а). Как и ряд (g), его можно предста-
вить в замкнутой форме. Преобразуем лишь для этой цели содержащиеся
в (g) функции синуса в показательные функции
с±4иг«У/в) и e±(oi«i/a)
ПОЛУБЕСКОНЕЧНАЯ ПЛАСТИНКА ПОД СОСРЕДОТОЧЕН. НАГРУЗКАМИ 255
д’используем разложение
1п(1±е®)= ± Дт----...
i 4 V
33 итоге этих преобразований выражение (g) предстанет в более простои
5виде:
ch ~(У + Ч) — сов —6)
Ch ~ (у 4- ч) — cos-’’- (*+5)
”‘=Sn"'
(О
Егеиие моментов защемления по краю у =0 будет получено как резуль-
дифференцирования функции (1):
)у=о =
-----L J----------------------1________1 (j)
* 2а а I , im п . .ли л „I
\ ch——сов —(л — {) ch—!-cos — (лЧ-5) /
\ е а ' ' а а' ' I
Йаи ив выражения (j), стремится к нулю. Но если
й(еют место одновременно условия { ==
и уравнения (j) находим
мере того как точка приложения сосредоточенной нагрузки прибли-
»ется к защемленному краю у = 0, величина момента (Му)у^0, определяе-
1 —СОЗ---
=-|ta(J&co,hST
Рис. 109.
2ях
шн, наконец, ij — О, момент Му обращается
Йуль.
|.У В заключение представим себе, что нагрузка Р
Кс. 109) равномерно распределена по прямолиней-
ИИу отрезку длиной и. Из уравнения (j) в таком случае —_______________
Йпя момент, вызванный такой нагрузкой в середине защемленного края.
&оизведя в этом выркжении подстановки л==л/2 и Pdfyu = P н выпол-
Ц интегрирование, найдем
мы легко можем
й,>
(в-Нб/2 . Я?
9Р ™ с sin-----------------------
--------Sh----- 1 --jj
au а I . 2ял , 2и£
J сп----------L 4- cos----
(а-и)/2
а
256 ПРЯ-МОУГ ПЛАСТИНКА ПРИ РАЗЛИЧНЫХ УСЛОВИЯХ ОПИРАНИЯ [ГЛ VI
Таблица 50 позволит найти положение нагрузки, приводящее к возникнове-
нию максимального момента защемлении, а также величину этого момента
^для разаичных значений отношения и/а.
Таблица 50
Максимальные моменты защемлении для х = а/2, обусловленные
действием нагрузки, распределенной по длине и (рис. 109)
uja 0 ОД ол 0,4 0.6 0.8 М
0 0,147 0,203 0212 0,312 0,321 0,343
Му/Р —0,318 —0.296 —0.275 -0.237 —ОЛИ -0.172 —0,143
ГЛАВА VII
НЕРАЗРЕЗНАЯ ПРЯМОУГОЛЬНАЯ ПЛАСТИНКА
62- Свободно опертая неразрезная пластинка. Входящие в со-
став конструкции зданий плоские междуэтажные перекрытия, опертые
"обычно по концам на наружные несущие стены, часто поддержи-
ваются еще и промежуточными опорами либо в виде балок и вну-
тренних стен, либо в виде стоек. В первом случае мы имеем дело
г неразрезной пластинкой в собст-
венном смысле слова; система же
непосредственного опирания пере-
крытия на стойки без введения
Промежуточного звена — балки,
.называется безбалочным пере-
крытием. Балочные перекрытия
делятся опорными балками на
Панели. В настоящей главе рас-
-Сматркааются неразрезные пла-
.стннки с панелями лишь пря-
моугольной формы.
*; Начнем со случая, доступного
Строгому решению методами, уже
Шйользованными в предыдущей
главе. Прямоугольная пластинка
Жириной Ь и длиной «1+в2Ч-вз> опертая, как показано на рис. 110,
(по краям, а также по промежуточным линиям ss и tt, представляет
собой свободно опертую неразрезную пластинку, перекрывающую три
Пролета. Мы предполагаем, что промежуточные опоры не оседают под
давлением поперечной нагрузки и не оказывают никакого сопроти-
вления поворотам пластинки относительно осей ss и tt. При этих
Допущениях изгиб каждого отдельного пролета подобной пластинки
йбез затруднений поддается расчету путем комбинирования уже изаест-
;Цых нам решений для поперечно нагруженной свободно опертой
прямоугольной пластинки с решениями для прямоугольной пластинки,
Изогнутой распределенными по краям моментами.
рцшц.
Рис. ПО.
258 НЕРАЗРЕЗНАЯ ПРЯМОУГОЛЬНАЯ ПЛАСТИНКА (ГЛ. VII
Предположим симметричные условия: равенство пролетов aj=e2 ==
= в3 = а и равномерное аагружение среднего пролета при свобод-
ных от нагрузки боковых пролетах (рис. 110, Ь). Рассматривая сред-
ний пролет как свободно опертую прямоугольную пластинку и при-
меняя выражение (Ь) § 44 (см. стр. 224). заключаем, что наклон изо-
гнутой поверхности по краю х2='с/2 равен
m—1
(£) ,=^ S
- т-1,3,5,,..
где р = л1яо/2й. Так как пластинка неразрезная, то по краям ее
х2= ± о/й появятся равномерно распределенные изгибающие мо-
менты Мк. Из симметрии видно, что эти моменты можно предста-
вить следующим рядом:
“ т-1
<4 2 <-'>2 о>)
2 т-1,3,5,...
Вызванные этими моментами прогибы получатся из уравнения (173),
соответствующий же им наклон по краю х2=о/2 [см. уравне-
ние (е), стр. 225] равен

’ 2
Из условия непрерывности заключаем, что сумма выражений (а) и (с),
определяющая собой наклон пластинки по линии х2=а/2, должна
определять наклон по той же линии в смежном пролете изогнутой
поверхности пластинки. Рассматривая этот смежный пролет как сво-
бодно опертую прямоугольную пластинку, ивогнутую моментами (Ь),
распределенными по краю ха = — й/2, находим из уравнения (176)
(см. стр. 211) соответствующий прогиб 11)г пластинки
®2.= 4?D Д С.°»7Н/-Х
B2J СВОБОДНО ОПЕРТАЯ НЕРАЗРЕЗНАЯ ПЛАСТИНКА 250
Соответствующий наклон по краю хл— — а/2 разен
OL S
* 2 m-I.8.6, ...
x(«.f„4-c,hf,. +- (.)
Уравнение для вычисления коэффициентов Ет таково:
(dw \ , [dwi\ _____(0v)2 \
дхл ). _а_I dxt L _Д — Ц3*7/. __ «*
’а ’2 * 2
Так как это уравнение остается спразедлияым при любом значе-
нии у, то для каждого значения т получаем следующее уравнение:
=таХ«'₽-+й1'₽"+-з^—Jfc)- W
откуда
; f _,
д kW 3th₽mch«₽e+eihlUcha₽m + 3?m-ftBCth«fte •
^Мы видим, что с возрастанием т коэффициент Ет быстро умень-
Ааается, приближаясь к значению —2цЬ2}г&т\ Имея вычисленные по
^формуле (g) коэффициенты Ет, находим из выражения (Ь) и значе-
ния изгибающих моментов Мх по линии tt. Зияченне этого момента
той у = 0, т. е. в середине ширины пластинки, равно
W, , . , „= 1
,5 . У-о m^l.3,5....
(₽зяв, например. 5 = в. будем иметь рт=«я/2. и формула (g) даст
>ам
S' Et = — 0.1555. Е3—— 0.0092.
Ец = ^- 0.0020. (A1J в = —О.О38!0в2.
" Х«-± 2 ,у-о
Д1згибающие моменты в центре среднего пролета легко получить,
комбинируя значения для свободно опертой пластинки под равномер-
ной нагрузкой с моментами, отвечающими прогибам wt. Положив,
Например, a—b. v — 0,2 (обычное значение для бетона), -находим
%ля первого из этих моментов значения
t - (JMJ„=(AI^J=0.0479 X«»2 = 0,0442fo7
8*
260 НЕРАЗРЕЗНАЯ ПРЯМОУГОЛЬНАЯ ПЛАСТИНКА
(см. табл. 8, стр. 143) и для вторых
ил. V»
(2И ^>а=—0.00679с2, (Л4у)! =—0,0125г/а2.
Поэтому
Если боковой пролет, как показано на рис. 110, с, равномерно
загружен, то изогнутая поверхность уже не будет симметричной отно-
сительно вертикальной оси симметрии пластинки и распределения
изгибающих моментов по линиям ss и tt окажутся различными. По-
ложим
“ ni-1
(мд 2 2
2 т-1,3,5,...
... (»
* 2 т=1,3,5,...
Для вычнснения коэффициентов Ет и Fltl выведем две системы урав-
нений из условия непрерывности поверхности прогибов пластинки на
линиях ss и tt. Рассматривая нагруженный пролет, из выражений (а)
и (е) найдем, что наклон изогнутой поверхности в точках опира-
ния SS ПрИ О] —с2=оз—° Равен
= 2j* у (-»>".... —у / Ь .... \
1 2 m—1,3,5,...
--Rd 2 —ch'!!F(thf-«+c‘,,f-+
+ Jt)‘ ®
Рассматривая теперь средний пролет как прямоугольную пластинку,
изогнутую моментами Мх, распределенными по линиям ss и tt и
выраженными рядом (h). находим по формуле (175) (см. стр. 211)
2 га-1, 3, 5,...
82]
СВОБОДНО ОПЕРТАЯ НЕРАЗРЕЗНАЯ ПЛАСТИНКА
Из выражений (i) и (j) получаем следующую систему уравнений для
вычисления коэффициентов Ет и Fmt
л. <«„ + с„) = - В„ (Е„ + F„) - С„ (Е„ - F„). (к)
где введены следующие обозначения:
Ат = 7Р th
В"-= +thM’
C~=jfc-cth₽ra.
<i)
Наклон изогнутой поверхности
определится из выражения (j):
среднего пролета по опорной лияии tt

X (Jfc+« ) + (F~ ~ (d" ₽" - '
Этот наклон должен равняться наклону в смежном незагруженном
пролете, получаемому из выражения (с) после подстановки в него Fm
вместо Е,п. Таким путем получим вторую систему уравнений, ко-
торав в обозначениях (I) может быть написана следующим образом:
®пг(^пг + тУ~^~^т — ^т)~ Fт- (т)
Из этого уравнения получаем
Ст— Вт
^{Вт-\-Сту
(п)

Подстановка в уравнения (к) дает
р л 8goa___________________2 (Вт -ф- Сго)_
т тпзтз (C„-Bm)«-4(Bm+Cm)2'
(О)
Подставляя в каждом частном случае вместо Ат, Вт и Cra- их чис-
ленные значения, полученные из уравнений (1), мы найдем коэффи-
циенты Ет и Fm, а далее из выражений (h) получим и изгибающие
моменты по линиям ss и tt. Положим, например, что Ь = а. Тогда
рга=тл/2, и уравнения (1) дадут нам
Л, = —0,6677, Bt=—1.1667. Q = —0,7936,
Л3 = —0,9983, Ва = —1,0013, С3 = —0,9987.
[ГЛ. VII
262 НЕРАЗРЕЗНАЯ ПРЯМОУГОЛЬНАЯ ПЛАСТИНКА
При т > 3 мы можем принять с достаточной точностью
Подстановка этих значений в уравнение (о) дает
£, = — -^“'-<>.1720. Es = —^<>.2496. В5 = — 0.2500.
Момент для середины опоры as равен
WX1_- у.0=(£1 -£з+5Н- • -•)=-0.04249л
Для середины опоры tt получим
(",)„.«.. ,-0 = (F' “Гз+‘ ’ ° = аС042«Л
Зная изгибающие моменты по линиям опор, мы легко можем получить
для каждого пролета пластинки и прогибы, накладывая прогибы,
вызванные опорными моментами, на прогибы от поперечной нагрузки.
Изгибающие моменты в панелях неразрезной пластинки можно
получить подобным же образом. Вычислив, например, моменты
в центре среднего пролета и положив
у=0>2, найдем
("Д,.а,^=-0.0039гЛ
* Ы 1
Рис. Ш.
Уравнения, полученные для трех
пролетов, легко могут быть обобщены
и распространены на случай с лю-
бым числом пролетов. При этом по-
лучается уравнение, аналогичное урав-
нению трех моментов для неразрезной
балки1). Рассмотрим (рис. 111) два
смежных пролета I и £-|~ 1 длиной соответственно а{ и <ц+1. Соот-
ветствующие значения функций (1) обозначены через
Л‘„. В‘„, С„ и ВЦ', СЦ\
Изгибающие моменты по трем последовательным опорным линиям
') Эта задача была исследована несколько иным способом Галеркиным;
АН СССР^195Х Б' Г” Собрание сочинений, т, II, стр. 410, Л.—М., Изд.
М СВОБОДНО ОПЕРТАЯ НЕРАЗРЕЗНАЯ ПЛАСТИНКА 263
можно представить рядами
. . 01-1 tjf-1_тяу
х 2 (-i)t'-- cos-4 -
т~1 ть? 1
2j (—1) 2 E«cos b
3, 5, ...
“ m-I
л'«= 2 (-о-тгвж^гщ.
з, 5,...
Рассматривая пролет f+1, из выражений (а) и (j) найдем
/ ___gW*. V (—П 8 со£СТяу д**»
°i+i n*D Zi m* b A™ —
2^*" 3,5,...
’ у ьдГС08-Тх
4 л D m
|И«-1, 3, 5, ...
х[(£™+е™+1)в»+,-(йн+е9с;м]. (p>
'Точно таким же образом, рассматривая пролет‘7, будем иметь
„ 2g<63 у (—1) 8 л‘ I
\Sxi J ai~ «*© т* со ь Ат +
' » 2* j?i—I, 3j 3j-
Чтят Zls т COS^X
Xl(e!.~' + E^Bi, + (li+Em’)c‘„l (q)
Из условия непрерывности заключаем, что
{ dw \ (dw\ П
*<4-1 ei ’
^+1" s 2
Подставив в это уравнение выражения (р) и (<j) и заметив, что оно
должно удовлетворяться при любом значении у, приходим к следую-
.Дцеыу уравнению для вычисления Е1^1, Егт и Е^1:
. («I,, -ci)+fj, (*;„ + с‘т+в^1+ti")+if*1 (Bir'-df)=
“1<‘ + «иУ. (177)
264
НЕРАЗРЕЗНАЯ ПРЯМОУГОЛЬНАЯ ПЛАСТИНКА
(гл. vii
Полученные нами выше уравнения (к) и (tn) являются частными слу-
чаями этого уравнения. Мы можем написать столько же уравне-
ний (177), сколько у иас имеется промежуточных опор, и если концы
пластинки свободно оперты, то в вычислении моментов на промежу-
точных опорах не встретится никаких затруднений. Левая часть
уравнении (177) остается в силе не только для равномерно распре-
деленной нагрузки, но также и для всякого иного типа нагрузки,
симметричной в каждом пролете относительно осей х и у. Правав же
часть уравнения (177), как и в уравнении трех моментов для балок,
имеет для каждого типа нагрузки всякий раз иное значение.
Задача о неразрезной пластинке, несущей сосредоточенные на-
грузки, может быть рассмотрена аналогичным образом. В частном
случае неограниченного числа равных пролетов и одной сосредото-
ченной силы, приложенной в некоторой точке какого-либо из про-
летов. прогиб пластинки может быть найден путем решения уравне-
ния в конечных разностях для неизвестного коэффициента Егт как
функции индекса I *).
Если промежуточные опоры—упругие, величина коэффициен-
тов Ет определяется пятичленными уравнениями, аналогичными
& a) bj cj
Рис. 112.
уравнениям пяти моментов тео-
рии неразрезных балок* 2). При
изучении изгиба неразрезных
пластинок необходимо к тому
же принимать в расчет и кру-
тильную жесткость несущих
балок, которав уменьшает ве-
личину угла поворота пластин-
ки при наличии опор3 * s).
Простейшим примером нераз-
резной пластинки, несущей сосре-
доточенную нагрузку, является
бесконечно длинная пластинка,
свободно опертав по краям х = О,
х = л, иеразрезная на опоре у = О
и несущая сосредоточенную на-
грузку Р в некоторой точке х —
y=ij (рис. 112, л). Условия аа-
гружения и граничные условия
легко могут быть выполнены путем наложении случаев, предстаяленных на
рис. 112, b и 112, с. В случае рис. 112, Ь каждая панель пластинки свободно
оперта по линии у = О, а поверхность прогибов длется выражением ± Wi/2,
*) См. Woinoweky-Krieger S., Ingr.-Arch., т. 9, стр. 396, 1938.
2) Неразрезная пластинка на упругих балках рассматриналась Йенсеном
(Jenвеп V. Р„ Univ. Illinois Bull., 81, 1Э38) и Ньюмарком (Newmark N, М.,
Univ. Illinois Bull, 84, 1938).
s) См. О i r fc m a n n K., Flaclienlragwerke, 4-е изд, стр. 275, Вена, 1956,
(Вышло переработанное, 5-е изд., Йена, 1960.—Ирам. пер.)
63] ПРИБЛИЖЕННЫЙ РАСЧЕТ НЕРАЗРЕЗНОЙ ПЛАСТИНКИ 265
в котором знак следует выбрать в зависимости от знака у, причем wt обо-
значает прогибы (а) § 51, а | у|С |ц|. В случае рис. 112, с каждая панель
защемлена по краю у = 0 и соответствующие прогибы равны w/2, гле
w—значение, определяемое выражением (h) § 51- Отсюда, следовательно.
. . г.
W = W,H—для 1}>у>0,
<0.
и моменты по краю у =0 получают значения, вдвое меньшие моментов
защемления полубесконечной пластинки с одним защемленным краем; эти
последние моменты определяются выражением (j) § 51.
68. Приближенный расчет неразрезной равнопролетной
пластинки'). Балочные перекрытия проектируются обычно неразрез-
ным и и притом не в одном только направлении, как это предпола-
галось в § 52. но в двух
взаимно-перпендикулярных на-
правлениях. Подобного рбдл
неразрезное перекрытие вос-
произведено схематически на
рис. 113. Пролеты и соответ-
ственно толщины одинаковы
для всех прямоугольных пане-
лей. Каждая панель имеет
постоянную нагрузку qG, а воз-
можно и временную р, причем
и та и другав распределяются
по площади панели равномерно;
таким образом, наибольшая
интенсивность полной нагрузки
достигает величины
Начнем с вычисления изги-
бающих моментов по проме-
жуточным опорам панели меж-
дуэтажного перекрытия. Вычисление обнаруживает, что эти мо-
менты зависят преимущественно от загрузки двух смежных пане-
лей, влиянием же загрузки более отдаленных панелей допустимо
пренебречь. Вполне оправданным поэтому будет’ рассчитывать
опорные моменты, исходя из предпосылки о равномерном распре-
делении нагрузки q по всей плошали перекрытия (рис. 114, я). Если
) Излагаемый ниже метод разработан в основном Маркусом; см. его
квигу; Marcus Н., Die vereinfachte Berecbnung biegsamer Flatten, Берлин,
1929. Коэффицвенты таблиц 51—56 основаны, однако, на решениях, выве-
денных в главе VI, и на значении коэффициента Пуассона и == ОД между
тем как Маркус использует для той же цели упрощенную теорию прямо-
угольной пластинки и принимает v =0,
266
НЕРАЗРЕЗНАЯ ПРЯМОУГОЛЬНАЯ ПЛАСТИНКА
(ГЛ. VII
4/ cj '
Рис. 114.
Чтобы показать, как пользозаться
пренебречь углами поворота панелей у промежуточных опор, то
каждая из панелей на рис. 114, а будет находиться в тех же усло-
виях, что и прямоугольная пластинка, защемленная по промежуточным
опорам и свободно опертая по внешнему контуру перекрытии.
Значении наибольших изгибающих моментов для пластинок с по-
добного рода граничными условиями приведены в таблицах 51—56.
Шесть возможных сочета-
ний свободного опирания и
защемления краев для пря-
моугольных пластинок ука-
заны, схематически при заго-
ловках к этим таблицам.
Направления координатных
осей х, у в каждой панели
перекрытия (рис. 113) дол-
жны быть выбраны в со-
ответствии со схемами
(рис. 115—120); пролет а
измеряется в направлении
оси х, пролет b — в напра-
влении оси у соответствую-
щей панели. Шесть случаев,
представленных схемами на
рис. 115—120, перенумеро-
ваны индексами 1—6, кото-
рыми отмечены также и со-
ответствующие коэффициен-
ты в таблицах 51—56.
этими таблицами, вычислим
изгибающий момент в середине опоры tw (рис. 113). Определим
с этой целью момент защемления в*, обеих панелях, примыкающих
к опоре. Для панели 2 нам следует применить таблицу 52 и формулу
= (а)
'где I — меньший из пролетов а или Ь панели. Аналогично, пользуясь
таблицей 56, находим момент защемления панели 6 из выражения
Д,(Ь)
Искомый момент с достаточной точностью определяется как арифме-
тическое среднее из найденных
^ = |оЙ2у+Д5ж)- (С)
Аналогично находятся и моменты для других промежуточных опор.
приближенный расчет НЕРАЗРЕЗНОИ ПЛАСТИНКИ
Отметим, что уравнение (с) выражает не что иное, как процедуру
распределения моментов, в ее простейшей форме, когда допускается
пренебречь как «перенесенными» с других опор моментами, так и
Таблица 51
Изгибающие моменты для равномерно
нагруженной пластинки (v = 0,2;
1“ меньший из двух пролетов:
а или ft)
0,0250 ")
0,0367
0,0406
0,0436
0,0446
0,0449
0.1250
0,0999
0,0868
0,0742
0,0627
0,0526
0,0442
0j0517
0.0592
0,0660
0,0723
0,0784
0,0449
0,0449
0,0449
0,0444
0,0439
0,0426
1
Рис. 115,
0,0836
0,0885
0,0927
0,0966
0,0999
0,1250
0,0414
0,0402
0,0391
0,0378
0,0367
0,0250 2)
‘) хИяах = 0,0364 qb2 на расстоя-
нии 0,48 Ь от короткой стороны.
21 Afma’jt ~ 0,0364 да* на расстоя-
нии 0,48 а от короткой стороны.
разностями жесткостей двух смежных панелей. Столь упрощенный
расчет в значительно большей степени оправдан в применении к не-
разрезной пластинке, чем к неразрезной белке.
Найдем, далее, изгибающие моменты в центре панели б (рис. 113).
Наиболее неблагоприятное распределение нагрузки для этих моментов
может быть получено путем наложения нагрузок, представленных
на рис. 114, Ь и с.
268
НЕРАЗРЕЗНАЯ ПРЯМОУГОЛЬНАЯ ПЛАСТИНКА
ггл vn
Влияние равномерно распределенной нагрузки §0-|- р[2 на значе-
ния моментов учитываем, пользуясь таблицей 56, откуда

где через I обозначен меньший из двух пролетов панели 6.
Таблица 52
Изгибающие моменты для равномерно
нагруженной пластинки (у— 02; I — меньший
из двух пролетов: а или ft)
Середина
защемленного
1,0
1,1
1,2
14
6
1,6
1.7
1,8
1,9
2,0
0,0125
0,0177
0,0214
0,0249
0.0272
0,0294
‘0,0307
0,0378
0,0451
0,0525
0,0594
0,0661
0,0625
0,0595
0,0562
0,0514
0,0465
0,0415
0,0367
0,0391
0,0404
0,0415
0,0418
0,0418
0,0722
0,0780
0,0831
0,0879
0,0921
0,1250
0,0414
0,0408
0,0399
0,0390
0,0382
0,0250')
—0,1250
—0.1210
—0,1156
—0,1086
—0,1009
—0,0922
’) Л4тах — 0,0397 qa? на расстоянии 0,80 а от
защемленного края.
Исследуем теперь характер воздействия шахматного распределения
нагрузки, показанного на рис, 114, с. Граничные условия для каж-
дой панели здесь остаются теми же, что и для свободно опертой
пластинки, моменты же в центре определяются непосредственно
БЭ]
ПРИБЛИЖЕННЫЙ расчет неразрезной пластинки
269
Изгибающие моменты для равномерно
нагруженной пластиния (v = 0£; I — меньший
из двух пролетов: « или Ь}
Центр пластинки
защемленного

житель
0,5
0,6
0,7
0,9
0,0083 >>
05100
05121
0,0152
0,0173
0,0196
0,0417
0,0418
0,0410
0,0393
0,0371
0,0344
>—0,0833
-0,0834
—0,0814
—0,0783
qb1
&
1.3
15
0,0216
0,0276
0,0344
0,0414
0,0482
0,0554
0,0316
0,0349
0,0372
0,0391
0,0405
0,0411
—05597
—0,0787
—0,0868
-0,0938
—0,0998
—0,1049
qa2
Рис. 117.
1Д
2,0
0,0620
0,0683
0,0741
0,0795
0,0846
0,1250
05413
0,0412
0,0408
0,0401
0,0394
05250 *)
—0,1090
—0,1122
—0,1152
—0.П74
—0,1191
—0.1250
15
') хМтах = 0,0174 qb2 на расстоянии 0,30 Ъ от
опертого края.
s) ТИщах = 0,0387 qa2 на расстоянии 0,80 а от
защемленного края.
из таблицы 51 для случая 1. -Нагрузка Д/2,
цели 6, дает
действующая в па-
м" —р М” — ₽!£. П
— 2 1' — 2
(«)
Для наибольших моментов в центре панели 6 получим выражения
‘бх-
(О
Чтобы вычислить наибольшие отрицательные моменты в той же точке,
270
НЕРАЗРЕЗНАЯ ПРЯМОУГОЛЬНАЯ ПЛАСТИНКА
[ГЛ. VII
Рис. 118.
Таблица 54
Изгибающие моменты для равномерно нагруженной пластинки
(v=0,2; г - меньший из двух пролетов: а или Ь)
Случай 41)
Ыа Центр пластинки Середина загпеыленнт» края житель
лгу=₽Х
Ч. ₽, Т, «4 %
0,8 0,8 07 0,8 05 1.0 1.1 1,2 14 1£ 1,6 1,7 1,8 15 2,0 Со та 0,0191 0ДЙ28 0,0257 0.0275 ' 0,0282 0,0281 0,0330 0,0376 0,0416 0,0451 0,0481 0,0507 0,0529 0.0546 0,0561 0,0574 1) Авторы вету Канады лицы. 0,0574 0,0522 0,0460 0.0396 0,0336 0,0281 0,0283 0,0279 0,0270 0.0260 0,0248 0,0236 0,0224 0.0213 0,0202 0.0191 выражают пр за помощь. —0,0787 —0,0781 —0,0767 —0,0746 —0,0715 —0,0678 —0.0766 —0.0845 -0,0915 —0,0975 —0.1028 —0.1068 —0,1104 —0,1134 —0,1159 —0,1180 изнательност оказанную —0,1180 —0,1093 —0,0991 —0,0882 —0,0775 —0,0678 —0,0709 —0,0736 -0,0754 —0,0765 —0,0772 -0,0778 —0.0782 —0,0765 —0,0786 —0,0787 Научно-исс работе но 0X1662 0,0570 0,0501 0,0430 0,0363 0,0305 0,0358 0,0407 0,0452 0,0491 0,0524 0,0553 0,0586 0,0608 0,0636 0,0662 ледовательск вычислению qb2 да2 ому той
ПРИБЛИЖЕННЫЙ РАСЧЕТ НЕРАЗРЕЗНОЙ ПЛАСТИНКИ
271
Рис. 119.
Изгибающие моменты для равномерно нагруженной пластинки
(*=0,2; / — меньший из двух пролетов: а или Ь)
Центр пластинки Середина защемленного края
ъ]а My==»stf*
"с ₽Б Ts *6
0,5 0,0206 0X1554 - 0,0783 —0,114
0,6 0,0245 0,0481 —0,0773 —0,102
0,7 0,0268 0,0409 —0,0749 —0,0907
0,8 0X1277 0,0335 —0,0708 —0,0778
0,9 0,0274 0,0271 —0X1657 —0,0658
1.0 0,0261 0,0213 —0,0600 —0,0547
1.1 0,0294 0,0204 —0,0659 —0,0566
1.2 0X1323 0,0192 —0,0705 —0,0573
1.3 0,0346 0,0179 —0,0743 —0,0574
0,0364 0,0166 —0,0770 —0,0576
1,5 0,0378 0,0154 —0,0788 —0,0569
1.6 0,0390 0,0143 —0,0803 —0,0868
1.7 0,0398 0,0133 —0,0815 —0,0567
1.8 0,0405 0,0125 —0X1825 —0,0567
1.9 0,0410 0,0118 -0,0831 —0,0566
2,0 0,0414 0,0110 -0,0833 —0,0566 ’
со . 0,0417 0,0083 —0,0833 —0,0566
Множи-
qa*
существенном
*) Данными этой таблицы авторы обязаны в ---------
(Czerny F.t Baufech. Arch., т. 11, стр. 33, Берлин, 1955).

Черни
нам остается лишь изменить знак нагрузки (рис. 114, &). Сопоставляя
(ф и (е). получаем
л,м
fe)
272
НЕРАЗРЕЗНАЯ ПРЯМОУГОЛЬНАЯ ПЛАСТИНКА
(ГЛ VII
Рис. 120.
Таблица 56
Изгибающие моменты для равномерно нагруженной пластинки
(v = 0,2; I — меньший из двух пролетов: а или О)
Случай 6
Ыа Центр пластинки Середина защемленного края Множа-
“е 4r=v'2
Те
0 0,0083 0,0417 —0,0571 —0,0833
0,5 0,0118 0,0408 —0,0571 -0,0829
0,6 0,0150 0,(Х'«1 —0,0571 -0.0793
0,7 0,0178 0,0344 -0,0-569 —0,0736 чъ*
0,8 0,0198 0,0299 —0,0559 —0,0664
0.9 0,0209 0.0252 —0,0840 —0,0588
IX) 0,0213 0,0213 —0,0513 —0,0513
1,1 0,0248 0,0210 —0,0581 —0,0538
12 0,0284 0,0203 —0,0639 —0,0554
13 0,0313 0,0193 —0,0687 —0,0563
0,0337 0j018l —0,0726 —0,0568
1,5 0,0358 0,0169 —0,0757 —0,0570 да*
1,6 0,0372 0,0157 —0,0780 —0,0571
1,7 0,0385 OJ0146 —0,0799 —0,0571
1.8 0,0395 0,0136 —0,0812 —0,0571
1.9 0,0402 0.0126 —0,0822 —0,0571
2,0 0,0408 0,0118 —0,0829 —0,0571
03 0,0417 0,0083 —0,0833 0,0571
В качестве второго примера применения приближенного метода вычи-
слим изгибающие моменты нсразрезной пластинки, предстаялеиной на рис. 121
и рассчитанной строгим методом в § 52.
Прежде всего устанавливаем направления координатных осей * и у
в соответствии с рис, 116 и 117. Положив, далее, чго нагрузка 9 =
равномерно распределена по всей площади пластинки (рис. 121, Ь), и введя
коэффициенты, указанвые в таблицах 52 и 53 для случаев 2 и 3 и отвечаю-
щие соотношению сторон b/a = I, находим аяачение момента для центра
оперы ss:
Мм = — 0,0640ф^9^7 (д0 руа2 _ _ О>О769 (?0 | ру (h)
B3J ПРИБЛИЖЕННЫЙ РАСЧЕТ НЕРАЗРЕЗНОЙ ПЛАСТИНКИ 273
-по способу, примененному в первом примере [уравнение (с)]. Применив точ-
ный метод решения, найдем, что наибольший по абсолютной величине мо-
мент у ss возникает при распределении нагрузки по схеме рис. 121, с. На-
лагая изгибающий момент, полученный на стр. 259, на момент, который мы
вычислили на стр. 262, мы установим точное максимальное значение момен-
тов
Mss = - [0,0381 (?о-Ь/>)+0,О424(9с + р>-0,0042?о] а*.
Mss = — (0,0805?о +0,0763р) а» (1)
Положив для примера q0 = q/3, p = 2q!3, найдем из (i): М№ =—Offlllqa9 —
значение, немного отличающееся от найденного приближенным методом
,М= —0XJ769tfC2.
В заключение вычислим наибольший изгибающий момент в центре сред-
ней панели при наиневыгоднейшем распределении нагрузки (рис. 121, г).
комбинируя нагрузки, соответствующие схемам рис. 121, О и е, и вводя
коэффициенты а и р из таблиц 53 и 51, приходим к следующим выражениям
для этих моментов:
Afx в £ 0,0216 (qB + ^) + 0,0442 а» = (0,0216ft + О,О329р) а*
Му = [о,0316 (ft + f ) + 0,0442 а» = (0,0315ft [ 0,0379р) а»
Интересно проверить полученные приближенные значения путем сравне-
ния с результатами, полученными на стр. 260 и 262. Распределяя нагрузку
опять согласно схеме рис. 121, d и меняя местами в указанных выше ре-
зультатах индексы х и у, получим
Мх = 0,0317 (ft4 />)д2 —(0,0051 -f-0,0051) fte2 = (0,0215ft 4-0,0317/5) а2, 1
Му = 0,0375 (д0 4 р) а» — (0,0039 -|- 0,0039) qОо2 = (0,0297ft 0,0375/) a2. J
Положив опять q0 = q/З и р = 2§/3, получим для momchiqb точные зна-
чения 0,0283 ?в2 и соответственно 0,0349 qa\ Уравнения (j) дают для тех же
моменте» приближенные значения 0,0291 qa1 и 0,00358 «ре2.
Погрешность приближенного метода в значительной мере проистекает
из того обстоятельства, что наибольшие положительные моменты не всегда
,приходятся на центр панели. Это отклонение максимума от центра особенно
резко проявляется в прямоугольных панелях удаиненной формы. Если, на-
пример, Ь значительно больше а, то максимальный момент Му возникает
близ короткой стороны прямоугольной пластинки. Отдельные значения этих
наибольших моментов приводятся в примечаниях к таблицам и их следует
рассматривать как наименее вероятные значения, для соответствующих
столбцов, независимо от фаятического соотношения 1>/а.
Наконец, следует обратить внимание, чго в несимметричном случае 4
моменты Мх и Aly не принимают максимальных значений в центре пла-
стинки. Таблица 54 показывает, однако, что разность между /4гаах и наи-
большим из аяачений Мж или Му не превышает 10% от этих последних
значений и что общий ход вычислений, проведенных на стр. 266, остается
В силе и в применении к случаю 4.
, В таблицу 54, в целях облегчения расчета отдельных панелей, не являю-
щихся неразрезными (рис. 118), введены значении максимальных моментов
274
НЕРЛЗРЕЗНАЯ ПРЯМОУГОЛЬНАЯ ПЛАСТИНКА
[ГЛ. VII
Л4тах, действующих при х=ОДа, у = 0,16; для прямоугольных пластинок
Направление стах практически совпадает с коротким пролетом, для квадрат-
ной же пластинки — с направлением диагонали х =— у. Эти значении Мх
могут быть использованы с запасом
также и в расчете неразрезных ла-
велей продолговатой формы.
Изложенный в втом параграфе
метод сохраняет силу и в тех слу-
чаях, когда пролеты, нагибные жест-
кости или интенсивность загружения
слегка отличаются отпаявли к панели
в неразрезной системе. Болве резкие
изменения этих параметров требуют
перехода к более точным методам.
Следует, однако, отметить, что
применение строгом теории в проек-
тировании неразрезных балочных пе-
рекрытий часто связано с кропотли-
вой вычислительной работой, причем
приобретаемая такой ценой точность
оказывается иллюзорной, если учесть
множество более или менее неопре-
деленных факторов, влияющих на
величину моментов в пластинке.
К таяим факторам относятся, напри-
мер, гибкость или крутильная жест-
кость опорных балок, сдерживающее
слияние наружных стен, анизотро-
пия самой пластинки и неточность
оценки величины таких - постоян-
ных, как, например, коэффициент
Пуассона v.
Можно, однако, упростить про-
цедуру расчета различными прие-
мами. Например; можно ограничить
ряд Фурье, представляющий вели-
чину изгибающего момента в пла-
стинке, начальным членом или заменить фактические значения моментов
или наялонов вдоль той или иной оноры пластинки их средними значе-
ниями, иан, наконец, использовать метод распределения моментон *).
64. Изгиб пластинки, опирающейся на несколько рядов равно-
отстоящих колонн (безбалочное перекрытие). Если размеры пла-
стинки велики в сравнении с расстояниями а к Ъ между колоннами
(рис. 122) и поперечная нагрузка распределена по ней равномерно,
то изгиб во всех достаточно удаленных от краез пластинки панелях
можно считать одинаковым, и мы будем вправе сяести нашу задачу
к вопросу об изгибе одной лишь единственной панели. Направив оси
*) Этот метод излагается, например, в работе S1 е s s С. Р-, New-
mark N. М., Univ. Illinois Bull., 43, 1950, где дается и дальнейшая библио-
графия по рассматриваемому вопросу. См. также статью Westerg а-
а г u Н. М., Proc. Am. Conor. Instr., т. 22, 1926, в которой содержатся ценные
заключения к вопросу о проектировании неразрезных балочных перекрытий.
ПЛАСТИНКА, ОПИРАЮЩАЯСЯ НА НЕСКОЛЬКО РЯДОВ КОЛОНН 275
координат параллельно рядам колоия и поместив начало в центре
панели, мы сможем рассматривать эту панель как равномерно на-
груженную прямоугольную пластинку со сторонами а и Ь. Изогнутая
поверхность ее в силу симметрии примет вид, показанный на рис. 122, Ъ
{пунктиром. Максимальный прогиб будет в центре пластинки, в нер-
•шииах же прогиб будет раяен нулю. Для упрощении задачи предпо-
'Дожим, что размеры поперечных сечений колонн малы и что ими
Г Рис. 122.
Чюжно пренебречь, пока- дело идет о прогибах и моментах в центре
даластинки 1). Мы будем тогда иметь равномерно нагруженную примо-
игольную пластинку, опертую в вершинах, причем из симметрия мы
{должны будем заключить, что наклон изогнутой поверхности в на-
правлении нормали к краю, а также перерезывающая сила обращаются
гй нуль во всех точках на краях пластинки, за исключением вершин2).
? Поступая, как и в случае свободно опертой пластинки (§ 30),
Примем полный прогиб в виде
Г' id=«и, w2, (а)
Тде
"=ЗИ>(’“^-)2 <ь>
{Представляет собой прогиб равномерно нагруженной полоски, заще-
Мленной по краям у=±&/2, удовлетворяющий дифференциальному
*£. *) В этой упрощенной форме задача рассматривалась несколькими авто-
рами; см., например: Nadal A., Clber die Biegung durchiaufender Flatten,
angew. Math. Meeh., t. 2, стр. 1, 1922; Галеркин Б. Г.. Собрание со-
чинений, т. 2, стр. 29, М.— Л., Изд. АН СССР, 1953.
~l.- 3) Обращение в нуль крутящего момента МХ]> по контуру следует из того
факта, что наклон в направлении нормали к контуру равен нулю.
276 НЕРАЗРЕЗНАЯ ПРЯМОУГОЛЬНАЯ ПЛАСТИНКА [ГЛ WI
уравнению (103) прогиба пластинки, равно как и граничным условиям
°- <с)
Прогиб w2 берем в виде ряда
, . V1 ttmx "
®г=л+ 2, ст
т-2,4,6,...
каждый член которого удовлетворяет условинм (с). Функции Y,„
должны быть подобраны таким образом, чтобы удовлетворялось одно-
родное уравнение
ДД®>2 = 0, (е)
и. сверх того, так, чтобы w удовлетворяло граничным условиям на
.краях у = ±6/2. Уравнение (е) и условия симметрии будут удовле-
творяться, если мы припишем ряду (d) форму
«2=А,+ S да
т=2.4, б,...
где постоянные Ао, Ат и Вт подлежат определению из граничных
условий на краю у — Ь/2. Из условия, указанного ранее относительно
наклона, т. е. из
\ \ dy dy )&’
3 2 3 2
мы непосредственно получим
где, как и раньше.
п________л
т /n“m + tllart’
П№.Ь
1т~ 2а '
(g)
(h)
Приняв теперь во внимание условие, налагаемое на перерезывающую
силу, мы видим, что в нормальном сечении пп (рис. 122,6) пла-
стинки, бесконечно близком к краю у— 6/2, перерезывающая силаф
равна нулю во всех точках, за исключением тех, которые близки
к колонкам, причем в этих последних точках Qy должна быть бес-
конечно большой, чтобы передать конечную нагрузку lj2 qab колонне
(рис. 122, с) на бесконечно малом расстоянии между х = в/2—с и
л:—О/2Ц-С. Представив Qy тригонометрическим рядом, который по
Btf ПЛАСТИНКА. ОПИРАЮЩАЯСЯ НА НЕСКОЛЬКО РЯДОВ КОЛОНН 277
условию симметрии имеет вид
Су=Со+ 2 C„cos^i, (1)
m=2,4,6, ...
и заметив, что
Qy = C для 0 < х — с и что
а
а
2 С
находим, пользуясь обычным приемом расчета, что
' с — gfl<> - р
2л
и
+ 2
,, 4 Г „ max . Р ,
С„,~~ / Qi, COS ----dx—--------(—I)2 ,
m aj a a K '
о
где P=±qab представляет собой полную нагрузку на панель пла-
стинки. Подстановка этих значений коэффициентов Со и Ст в ряд (i)
дает нам искомое граничное условие в таком виде:
l' х ____ п( d3w , d3w \ __
D( .у1’dx-,
„ “ т _
* Р VI , .«V /ИПХ Р
=------7, ( 1) 1 COS----к-.
а А4 ' ' а 2а
m-2,4,6,...
Подставив сюда вместо w выражение (а) и обратна внимание на то,
что второй член в скобках обращается в нуль в силу граничного
условия для dwjdy, получаем
03 т
(d3w2 \ Р V1 . , у-«- mttx
, ‘ ) .=--------->. (—I)2 cos——,
ду3 а к ' а.
у 2 т-2,4,6....
Откуда, пользуясь выражением (f), няходим, что
D 1И„ + Зв J Sh «„ + ВЛ Ch а„] = Д (—1)^. (j)
278 НЕРАЗРЕЗНАЯ ПРЯМОУГОЛЬНАЯ ПЛАСТИНКА - ft-л. vn
Решая уравнения (q) и (j) относительно постоянных Ат и Вт,
получаем
А ~ Ра* , nV«w4-th«m
171 ~ ' 4 sh ат th ат ’
п ~ т . ' '
В = (—1>2 —1—. I
т 2msri>D V ’ Sham
Прогиб пластинки принимает, таким образом, вид
<?64 {, 4№\ . Л I Я&Ь V « х/
W~ 384D V i2 ) + А>+ 2n3D 2j rn»shamtham *
и»=2, 4, 6. ..
Х[«,^й=_(^+^й=]. (1)
Постоянную Ао можно будет теперь определить из того условия,
что прогиб в вершинах пластинки обращается в нуль, т. е.
(да) ^ = 0.
Х“ S ' У” 2
Тогда
Д-------V 1 ,/я _________I
2пЧ) Zi nfiy’”' th!«m )' ' J
га-2, 4, 6,...
С помощью выражений (1) и (ш) можно вычислить прогиб в любой
точке пластинки. Максимальный прогиб получится, очезидно, в центре
,ап. __________ Я1’* qa3b V С"1)2 «ffi + thcra
(«Ы у=о — 384D" 2it»D Zj т* shcmth«ra
т-2. 4. 6,...
2n3D Zj Ж» Г"» th®«„ /•
m=2, 4, 6, ...
(П)
Вычисленные для некоторых величин отношения bfa значения этого
прогиба приведены в таблице 57. Здесь даны и вычисленные по
формулам (101) и (!) значения моментов (/Ид.)л=0> у=0 и (zWy)x=Oj у=с.
Мы видим, что при b > а максимальный изгибающий момент
в центре пластинки не очень значительно отличается от момента
в середине равномерно нагруженной полоски длиной Ь, защемленной
по концам.
ПЛАСТИНКА, ОПИРАЮЩАЯСЯ НА НЕСКОЛЬКО РЯДОВ КОЛОНН
'279
Таблица 57
Прогибы и моменты в центре панели (рис. 122)
(* = 012)
сЕ>* в,=о Р ЛГу=М*’
о ₽ ₽|
1 0,00581 0,0331 0,0331
1.1 1,2 0,00487 0,0261 0,0352
0,00428 0,0210 0,0363
1.3 0,00387 0,0175 0,0375
0,00358 0,0149 0,0384
1Л 0,00337 0,0131 0,0387
2,0 0,00292 0,0092 0,0411
0,00260 0,0083 0,0417
В опорных точках пластинки возникают сосредоточенные реакции и
Определяемые по формуле (1) моменты становятся при этом бесконечно
БОЛЬШИМИ.
Мы вправе, однако, допустить, что реактивные силы распределяются
^ерно по площади круга, представляющего поперечное сечение ко-
Возникающие в центре опорной площади изгибающие моменты со-
Зфанают при этом конечную величину и могут быть вычислены способом,
идаим с тем, которым мы пользоввлись для прямоугольной пластинки
(стр. 171). В применении к рис. 122 результат выражается формулами1)
»—5-.У 2 В„1 8П2-^—
х-~2'у T I л-i sh»-—-
В этих выражениях
Л1°' 4« [о + *>«" 2пс(1 -вУ (1 - д*)2... + ’] ’
р^= — т.Ь/а, а через с обозначен радиус круга, предполагаемого достаточно
Галим в сравнении с пролетами а и b панели. Выполнение указываемых
зачислений приводит уравнения (о) к ввду
* = - тг [<’+1п 2 - <“+Ч-
2 ’ У= 2 J
(Р)
1) Такве вычисления были произведены А; Надан в его книге «Elastlsche
Flatten», стр. 154, Берлин, 1925.
280 НЕРАЗРЕЗНАЯ ПРЯМОУГОЛЬНАЯ ПЛАСТИНКА 1ГЛ VII'
Входящие сюда коэффициенты вир приводится для некоторых отноше-
ний b/а в таблице 58.
Таблица 58
Значения коэффициентов я и р в уравнениях (р)
для моментов на опоре
Ь/а 1 1,1 1,2 1,3 1,4 1Д 2,0
3 0,811 0,811 0.822 0,698 0,829 0,588 0,833 0,481 0335 0374 0,836 0,286 0,838 0,256
Изгибающие моменты о центрах колон» прямоугольного сечения
можно вычислить, исходя из предпосылки, что опорные реакции
распределены равномерно по прямоугольникам, заштрихованным на
рис. 123 и представляющим собой поперечные сечения колонн1).
В случае квадратных панелей и квадратных колонн имеем с/а —d/b= k,
и моменты в центрах колонн и центрах панелей определятся из сле-
дующих формул:
=-Д±^-[(1~1г(2~>>-+
=у=С = (^у)л-у=0 ~
__ I 1 — Л* . 1 VI . пин-1 sh лгиА sin ягпй I
~ 4 I 12 яяА« Zj 1 J лг3аЬпис * W
L «а=1 J
Значения этих моментов, а также моментов для середин пролетов
между колоннами, полученные на основе того же решения и вычи-
сленные для различных значений k и v —0,2, приводятся в таб-
лице 59.
Из таблицы видно, что моменты у колонн значительно больше,
чем моменты в центрах панелей, причем их величина в значительной
степени зависит от размеров поперечного сечения колонн. Моменты
в центрах панелей остаются практически постоянными для 0.2.
') Этот случай был исследован Войновским-Кригером (Wolnowsky-
К г lege г S., Z. angew. Math. Meeh., т. 14. стр. 13, 1934). См. также ра-
боты: Lewe V., Bauingenieur, т, 1, стр. 631, 1920, и Frey К., Bauinge-
nieur, т. 7, стр. 21, 1926.
54] ПЛАСТИНКА ОПИРАЮЩАЯСЯ НА НЕСКОЛЬКО РЯДОВ КОЛОНН 281
Таблица 59
Изгибающие моменты и максимальная перерезывающая сила
для квадратной напели равномерно загруженной пластинки
(рис. 123) (у = 0,2)
(AQlT— у-Л/2— (АОж=у=о= =₽,«e2 (лл->*=в)2, у=о =₽29"2 =₽s<?a5
₽, '
0 0,0331 —0,0185 0,0512 со
0,1 0,2 -0,196 —0,131 0,0329 0,0321 —0,0182 —0,0178 0,0508 0,0489 2,73
0,3 0,4 —0,0933 —0,0678 0,0308 0,0289 —0,0170 0,0158 0,0458 0,0415 0,842
0,5 —0,0487 0,0265 —0,0140 0,0361 0,419
Поэтому предыдущее решение, полученное в предположении, что
опорные реакции сосредоточены в вершинах панелей, остается до-
Приближевное вычисление моментов с помощью ряда формулы (ч)
можно выполнить также и на основе выражений (р). Введя сюда с этой
целью ураянение (с) § 37, подставим в равенства (р) значение
= 0,57«,
т. е. величину радиуса круга, эквивалентного площади заданного квадрата
в/u. В частном случае квадратных панелей получаемые такин путем
численные результаты лишь незначительно отличаются от значений, приве-
денных во втором столбце таблицы 59.
.282
НЕРАЗРЕЗНАЯ ПРЯМОУГОЛЬНАЯ ПЛАСТИНКА [ГЛ VII
Перерезывающие силы достигают своего максимального значения
по серединам сторон колонн в точках т на рис. 123. Это значение
для случая квадратных панелей зависит от величины отношения k
и может быть представлено формулой Q—^qa2. Несколько числен-
ных значений коэффициен-
та 7 приведено в таблице 59.
Интересно отметить, что
разница между этими зна-
чениями и средними значе-
ниями, получающимися в
результате деления полной
приходящейся на колонну
нагрузки qa2(l—№) на
периметр 4йд поперечного
сечения колонны, составляет
всего лишь около 10%.
Равномерное загружение
всей пластинки создает наи-
более неблагоприятные'усло-
вия у колони. Чтобы полу-
чить максимальный изги-
бающий момент в центре
панели, нагрузку следует
распределить так, как по-
казано на рис. 124,0 штри-
ховкой. Решение для этого
Рис. 124.
случая легко получается комбинированием показанного на рис. 124, b
равномерного распределения нагрузки интенсивностью q/2 с показан-
ной на рис. 124, с нагрузкой <?/2, меняющей анак в смежных после-
довательных пролетах. Поверхность прогибов в последнем случае
получается, очевидно, такой же, как и для равномерно нагруженной
полоски длиной а, свободно опертой на концах. Взяв, например,
случай квадратных панелей и воспользовавшись значениями таб-
лицы 57, находим для центра панели (рис. 124, а)
<’»)„,.« = у Я 0.00381 g- + -< -g = 0.00942 .
— у « 0,0331»’ + -^?ог = 0.0791?о2.
-J у ? - 0.0331 - 0,0291?o>.
Из таблицы 59 заключаем, что
(^Л-о = 19 0,0512°2 + К 9°2 = °-0881?а2.
pl БЕЗБАЛОЧНОЕ ПЕРЕКРЫТИЕ 283
Эти результаты получены в предположении, что пластинка может
опор свободно поворачиваться. Обычно колонны жестко соединены
с перекрытием и в случае, если нагрузка распределена по схеме
рис. 124, их воздействие на перекрытие не исчерпывается одними
ipjnib вертикальными реакциями, но проявляется также в форме мо-
кентов, стесняющих изгиб панелей. Подобное сочетание безбалоч-
fepro перекрытия с колонной, представляющее собой конструкцию
жесткими узлами, должно быть поэтому
рассчитано путем обобщения теории рам —
только таким путем можно получить более
тачные значения изгибающих моментов под
йакоперемеиной нагрузкой ’).
г- Случай, когда одна панель равномерно
fepyжeнa, четыре же смежных с ней сво-
1ны от нагрузки, получается путем нало-
жения на равномерную нягрузку q/2 на-
кдики q/2, знаки которой чередуются, как
доказано на рис. 125. В этом последнем слу-
юе каждая панель находится в тех же
кловиях, что и свободно опертая пла^
ЙИика. и все необходимые данные относительно изгиба ее могут
вмть взяты из таблицы 8. Для центра панели квадратной пластинки
ИСколим
1= |q • 0,00581 уу ? ’ °-00406 -®- = 0,00494 9о-’р.
I ~ (^4у)л= у=0 =
= ~ q • 0,0331 «2 -j- 0.0479 - в2 = 0,0387 qa*.
йи же по существу приемом, т. е. использованием закона двойной
фиодичности в прогибах, решается и случай пластинки бесконечно
я».шой протяженности, загруженной равными сосредоточенными
[дамп, приложенными в центрах всех панелей 2).
‘'-Исследована также и задача изгиба равномерно загруженного
«балочного перекрытия из косоугольных панелей3).
\бб. Безбалочное перекрытие из девяти панелей и пере-
Кигия с двумя свободными краями. До сих пор предполагалось.
Исследуемое перекрытие имеет неограниченное простирание.
: *) Рекомендуемый способ излагается в ряде опубликованных работ; см.,
Йрииер, Marcus Н-, Die Theorle elastischer Gewebe, стр. 310, Берлин, 1932.
--_s) Эта задача обсуждается в книге Леве (Lewe V., Pllzdecken und
«fere tragerlose Eisenbetonplaiten, Берлин, 1926), а также в работе Poz-
И1 P., Riv. math. Univ. Рзггоа, т. 2, стр. 123, 1951.
См. Б лох.В. И., Доклады АН СССР, т. 73, стр. 45, 1950.
284
НЕРАЗРЕЗНАЯ ПРЯМОУГОЛЬНАЯ ПЛАСТИНКА [ГЛ. VII
Рис. 126.
Рассмотрим теперь пластинку,
свободно опертую на наруж-
ные стены, замыкающие ее квад-
ратный контур, а также на четыре
внутренние колонны (рис. 126).
Из симметрии заключаем, что
под равномерной нагрузкой ин-
тенсивностью q пластинка вызовет
в колоннах одинаковые реакции
R, которые в данной статически
неопределимой системе можно
рассматриавть как лишние неиз-
вестные. Устранив из системы все
колонны, получим свободно опер-
тую квадратную пластинку, несу-
щую лишь заданную нагрузку q.
Прогибы w0, производимые этой
нагрузкой над центрами колонн,
легко вычисляются с помощью
теории, изложенной в главе V.
Далее, устранив нагрузку q и
распределив силу /?— 1 (дейст-
вующую внизу) равномерно пс\
каждой из площадей а % и, по-
лучим в тех же точках х = ± а/2,
у = + а/2 некоторые иные про-
гибы ®»]. Из того условия, что
фактически в этих точках пла-
стинка не прогибается, заклю-
чаем, что «е»0—R,wl = 0, откудв
находим /? = we/wP Теперь ос-
тается лишь учесть совместное
влияние как равномерной нагруз-
ки q, так и четырех (теперь уже
известных) реакций колонн на
изгибающие моменты квадратной
пластинки размером За X За.
В случае частичного загруже-
ния пластинки по схемам рис. 126.0
и с нам следует наложить только
что полученные значения момен-
тов. уменьшив их предварительно
вдвое, на моменты свободно опер-
той пластинки площадью а X За.
несущей равномерно распределен-
«я
БЕЗБАЛОЧНОЕ ПЕРЕКРЫТИЕ
285
Рис. 127.
ную нагрузку ±^/2. Вычисления, выполненные по этому способу
Маркусом *), позволили найти изгибающие моменты, приведенные
в таблице 60. Реакция ко-
лонны в этом случае ока-
залась рав ной /? = 1,196 qa2.
'Подобным же способом мож-
но исследовать и момен-
ты в балке бесконечной
длины, опертой не только
по двум своим параллель-
ным краям, но и по одному
«ли же нескольким рядам
равностоящих колонн 2).
Без всяких затруднений
решается для некоторых ти-
йов загрузки также и слу-
чай изгиба длинной прямоугольной пластинки, опирающейся лишь
на Два параллельных ряда колонн (рис. 127). Начнем со случая,
КОгдв пластинка изогнута моментами А1у, выраженными посредством
Таблица 60
Коэффициенты ₽ для определения изгибающих моментов Al = $qaz
свободно опертой квадратной пластинки, опирающейся на четыре
промежуточные колонны (рис. 126) (и/а — ОД5, v = 0,2)
Точка а * Нагрузка а Нагрузка Ъ - Нагрузка с
М* "х мх МУ мх "у
1 0 0 0,021 0,021 —0,048 —0,004 0,069 0,025
г 2 (1,5 0 —0,040 0,038 —0,020 0,019 —0,020 0,019
3 1,0 0 0,069 0,025 0,093 0,027 —0024 —0,002
4 0 0,5 0,038 —0,040 -0,036 -0,036 0,074 —0,004
5 0,5 0,5 —0,140 —0,140 —0,070 -0.070 —0,070 —0,070
6 1.0 05 0,074 —0,004 0,092 0,014 —0,018 —0’018
7 0 1.0 0,025 0,069 —0,028 0,017 0,052 0,052
8 0,5 1,0 —0,004 0,074 -0,002 0,037 —0,002 0,037
9 1,0 1,0 0,053 0,053 0,066 0,044 —0,013 0,009
*) Marcus Н., Die Theorle elastlscher Gewebe, см. также Lewe, цит.
выше. Случай квадратной пластинки с одной промежуточной опорой был
исследовав Нильсеном (Nielsen N. J., Beslemntelse af Spaendinger I. Pla-
cet стр. 217. Копенгаген, 1920).
_ 2) Задача была решена Гренком (Grein К., Pilzdecken, Берлин
©48).
286 НЕРАЗРЕЗНАЯ ПРЯМОУГОЛЬНАЯ ПЛАСТИНКА (ГЛ. VII
ряда
,,, . ,, VI _ тпх
(Л4у) A=iW,i+ X Emcos—
? т-2, 4, 6,...
(а)
Поскольку поперечник нагрузка отсутствует, изогнутую поверхность
пластинки можно представить в виде ряда
«о=Л„ + Л|(у’-£) +
+ S (^с1-=^+В^«1^)со.-Т. (Ь)
т-2, 4, в,...
коэффициенты которого надлежит определить из следующих гранич-
ных условий:
r>ld2w . Й2Й.'\ ... V1 _ 1ИЯХ
- D (да + "даJ »="«+ 1 £-с“—•
»—я.-»,
Crift. + (2_,) =0.
[оу3 11 ' Дубл? Jy ь
а также из условия, что прогиб у колони обращается в нуль.
Подставив ряд (Ь) в уравнения (с), находим, что
А,~ 2D ’
. _ а2£п (14-v)shgCT—(1 — v)arochc„,
т тРтЧ) (3-bv)(l —v)8harocham —ато(1 —
о______а^Ет_______ah &т_________________
т ъ2тЧ> (34-v)she,nChctTO—ат(1— у) '
(d)
Сочетая это решение с решением (1) § 54, получаем возможность
исследовать изгиб пластинки, показанной на рис 127, а, под равно-
мерно- распределенной нагрузкой. С этой целью вычислим изгибаю-
щие моменты Му из выражения (I) по формуле (101).
При этом мы получим
?дЬ V (—Г 1 (1 — у) 1 irmx ,
12 2к ZJ т L>hcCT J а ’ w
т-2,4,6,-..
ВЛИЯНИЕ ЖЕСТКОГО СОЕДИНЕНИЯ С КОЛОННОЙ НА МОМЕНТЫ 287
рриравнивая этот момент взятому с обратным знаком моменту (а),
Найдем значения 7И0 и Ет, которые надо будет подставить в урав-
нения (d) для определения постоянных Л,, Ат и Вт, входящих
'в выражение (Ь). Складывая выражение (Ь) при этих значениях
достоянных с выражением (I) § 54. получим искомое решение
'для показанной на рис. 127. а разномерно нагруженной пластинки.
J Сочетав это решение с прогибом разномерно нагруженной сво-
бодно опертой полоски длиной Ь. равным
®=- 24П У!)-
рОлучаем решение для случая, когда пластинка изогнута, как пока-
зано на рис. 127, Ь, нагрузкой, равномерно распределенной по ее
!|сраям.
I
Рис. 128.
56. Влияние жесткого соединения с колонной на моменты в безба-
шом перекрытии. В исследованиях изгиба перекрытий мы неизменно
дполагали, что реакции колонн сосредоточены в некоторых точках или
предельны равномерно по неко-
ей площади в соответствии с по-
ечным сечением колонны или ее
ители. Как правило, однако, бе-
ные перекрытия сочленяются с
овнами в жесткие узлы по схеме,
данной на рис. 128.
Приступай к определению мо-
в подобного рода жестких
ах, начнем со случая круглой
и положим, что радиус ее
ого сечения равен с. Вос-
ь ') выражением (1)
54), убеждаемся, что дав квадрат-
панеан (а = 6) и малых аваче-
с/о нагибающие моменты в ра-
ом направлении обращаются
тически в нуль по окружности"
(рис. 122, а). По-
Витому часть пластинки, яежащак вне контура колонны и внутри этой окруж-
ности, находится в условиях кольцевой пластинки, свободно опертой по
ужности г = 0,22а и защемленной по окружности г = с, при поперечном
щении одной окружности относительно другой. На этом основании мак-
альные напряжения изгиба вокруг колонн можно получить из формул
Р5), выведенных ранее для круглой пластинки (см. стр. 77) и комбинируя
Ир рис. 36 случаи 3 и 8.
Более подробная разработка этой задачи выполнена Тёльке2). Числен-
ие результаты, полученные им для квадратной нанели и с/а —0,1 (рис. 129),
Приводятся в таблице 61, вместе со значениями нагибающих моментов, вы-
деленными для тех же условий на основе обычной теории. Нз таблицы
’) Эти вычисления были выполнены А. Падай; см. его книгу Elastische
Чел, стр. 156, Берлин, 1925.
s) ТО Ike F., Ingr.-Arch., т. 5, стр. 187, 1934.
288
НЕРАЗРЕЗНАЯ ПРЯМОУГОЛЬНАЯ ПЛАСТИНКА [ГЛ VII
Таблица 61
Коэффициенты ₽ для вычисления изгибающих моментов Af =g^a2
равномерно загруженной панели безбалочного перекрытия (v = C,2)
Изгнбаю- моЯевт Точка накали Круглая колонна (рис. 129) Квадратная колонна (рис. 130)
жесткое соединение С КОЛОННОЙ обычная теория жесткое соединение с колонной обычная теория
x = "2 y = '2 0,0292 0,0323 0,0264 0,0321
Afx 0,0399 0,0494 0,0348 0,0487
Afy —0,061 —0,0179 —0,0146 —0,0178
Afx = Afy x = 0, y = 0 —0,143 —0,131
Afx *=£,y=o —0,0626 —0,0803
Afr *=у.У = у -со —0,0480
Afr r = c —0,1682 —0,0629
видно, что жесткому соединению перекрытия с колонной свойственна тен-
денция увеличивать абсолютные аиачения моментов над опорами и умень-
шать положительные моменты в пролете.
фе&няям/ния панели
U‘i22a
В этой же таблице указаны моменты для безбалочного перекрытия,
жестко укрепленного на колоннах квадратного профиля ’} (рис. 130). Беско-
') См. Woinowsky-Krieger S„ J. Appt Meeh., т. 21, стр. 263,
1954.
B6j ВЛИЯНИЕ ЖЕСТКОГО СОЕДИНЕНИЯ С КОЛОННОЙ НА МОМЕНТЫ 289
нечно большие напряжения, возникающие в этом случае над углами колони,
носят резко выраженный локальный характер. Практически их эффект
ограничивается образованием трещин в растянутых зонах бетона и местным
течением стахьной арматуры.
Из изложенного можно заключить, (1) что фактические акачення изги-
бающих моментов в безбалочных перекрытиях над опорами лежат, как общее
Правило, между значениями, указанными в таблице 61 для жесткого узла,
и значениями обычной теории и (2) что круглые колоняы гарантируют более
равномерное распределение моментов защемленая, чем колонны, опорнав
площадь которых имеет квадратную форму').
*) См. Haas Г., Conception et calcul des planchets й dalles champignon,
Париж, 1950. Распределение напряжений в безбалочном перекрытии было
исследовано экспериментально Рошем и Эйхингером (R о S М,, Eichinger А.,
Proc. Congr. Concrete and Reinforced Concrete, Льеж:, 1930), а также Ками-
надом и Лермитом (Са mi trade R..L'Hermite R., Ann. inst tech, ba-
ilment et trav. publ., февраль 1936) и позднее Хагеманом (Нage m а n n J. G.,
Iftgenleur, t. 65, июнь 1953).
10 С П Тимошенко, С ВойноискиЯ Крю ср
ГЛАВА VIII
ПЛАСТИНКИ НА УПРУГОМ ОСНОВАНИИ
57. Изгиб, симметричный относительно центра. Поперечно
нагруженная пластинка может покоиться йа упругом основании, как
это имеет место, например, в бетонных покрытиях аятомобильных
дорог или взлетно-посадочных полос аэродромов, а также в насти-
лах. Исследование подобных задач начнем исходя из простейшего
предположения о том, что интенсивность реакции основания про-
порциональна прогибам w пластинки. Эта интенсивность опреде-
ляется выражением kw, в котором коэффициент k называется мо-
дулем основания или коэффициентом постели и имеет размер-
ность давления (выраженного в кг{сл^). отнесенного к единице
прогиба (см). Численное значение этого модуля в значительной мере
зависит от свойств основания. В применении к дорожным покры-
тиям или настилам это значение можно установить приблизительно
из нижеприводимой таблицы 621)-
Начнем со случаи круглой пластинки, загруженной симметрично
относительно центра. Положив в основу уравнение (58), присоеди-
ним к заданной поперечной нагрузке q нагрузку —Aw, представляю-
щую реакцию основания. Тогда дифференциальное уравнение изгиба
пластинки примет вид
<**»
В частном случае пластинки, нагруженной в центре2) силой Р.
интенсивность q обращается в нуль по всей площади пластинки, за
*) В таблице принята классификация грунтов по Казагранде. Она, од-
изко, ве снимает необходимости экспериментального определения k при ис-
следовании несущей способности пластинки. Более подробные сведения
имеются в Trans. Am. Soc. Civ. Engrs., т. ИЗ, стр. 901, 1948. См. также
Те г zag Ы К., G^otechnlque, т. 5. стр. 297, 1955 (Harvard Soil Mechanics
Series, № 51).
s) Эта задача была исследована Герцем (Herz Н„ Wiedemann’s Anna-
len der Physik und Chemie, t. 22, стр. 449, 1884); см. также его «Gesam-
melle Werke», r. 1, стр. 288, 1895; см. также Foppl A„ Vorlesungen uber
т
ИЗГИБ, СИММЕТРИЧНЫЙ ОТНОСИТЕЛЬНО ЦЕНТРА
291
Таблица 62
Значения модуля основания (коэффициента постели)
i Гр.-фавий. П.-песяк. И.-оиеньмелсюэврсшапыйпвам-ия./л.-ашна.
• > Н-^мвяовь"материал t/з зфвн меньше 0,7мм. О - фунт среанииес-
!•' кого /роиахююйвния. Л. - материал хорошо отсортированный- с
7.. ..подобранным зерновым составом. Пл - плохопросеянный
' ' М. -ср -сою -малоцгредней ажимаемости. G-сж.-силонойажшмае-
f мости.
Исключением центра. Введя обозначение
Приведем уравнение (178) к следующему виду:
м/ а* । 1 dX/dto , 1 dw\ . _
'*(-ар-+7*Клг+7лр)+»,=0- <ь>
Т«к как А измеряется в килограммах на кубический сантиметр (кг/см3),
t D в килограммо-сантиметрах (кгсм), то величина / обладает раз-
йерностью длины. Для упрощения наших дальнейших выкладок удобно
.Ввести безразмерные величины, воспользовавшись следующими обо-
значениями:
technlsche Mecbanik, т. 5, стр. 103, 1922. Нужно учесть, что объектом ис-
следования Герца была пластинка, плавающая на поверхности жидкости,
не пластинка на упругом основании. Здесь поэтому гипотеза о по-
'£тоянстве k выполняется, поскольку А у Герца — удельный вес жидкости.
292 ПЛАСТИНКИ НА УПРУГОМ ОСНОВАНИИ
Тогда уравнение (Ь) примет вид
[ГЛ. УШ
(да-+1₽Х5-+|-£)+г=0- «>
Применив символ Д вместо
d2 , 1 d
dx*-*" х dx
мы напишем это уравнение таким образом:
&Az~j-z=O.
Это — линейное дифференциальное уравнение четвертого порядка,
общее решение которого может быть представлено в следующем
виде:
z = АХ. (х)+ВХ2 (х)+СХг (х)+DXt (х). (I)
где А.....D—* постоянные интегрирования, а функции х.........х6
представляют собой четыре независимых решения уравнения (е).
Попытаемся теперь найти решение уравнения (е) в виде степей- '
него ряда. Пусть апхп будет общий член этого ряда. Дифференци-
рование лает нам тогда
Д(а„хя)=п(л— 1)спл:я-2 4- папхп-* = пга„хп~а
и
ДА (а„хп) == п2 (п—2J8 аяхп~4.
Для выполнения уравнения (е) необходимо, чтобы каждому члену а„хп
в ряде соответствовал такой член а„_4хя~4, для которого было бы
справедливо соотношение
п’(п— 2)2йвхп-4+в„„|х"-4 = 0. (g)
При этом условии по подстановке ряда в уравнение (е) все его
члены исчезают. Поэтому, если этот ряд сходящийся, то он пред-
ставляет собой частное решение уравнения. Из уравнения (g) сле-
дует, что
с» = ~ п5 (л”—*2)» ’ <h)
Заметив также, что
ДА (с0) = 0 и ДА (я2х2) = 0,
О)
17] ИЗГИБ, СИММЕТРИЧНЫЙ ОТНОСИТЕЛЬНО ЦЕНТРА 293
приходим к выводу, что имеются два ряда, удовлетворяющие урав-
нению (е), а именно:
•^1 (*)=»! 2».4’ 2«-4s- 6s-8г 22-4а-6«-82-102-12е + - • •
и
Х9(*) = -К2 '4s.6а “Ь42.62.8s- 10г 48-6«• 8й-102-122-142 + • • •
(j)
Из обозначений (с) можно видеть, чтр при малых значениях рас-
стояния г, т. е. для точек, близких к точке приложения нагрузки Р.
величина х мала и ряды (j) быстро сходятся. Мы видим также, что
последовательные производные рядов (j) сохраняют конечное значе-
ние в точке приложения нагрузки (х — 0). Это указывает на то, что
одних этих рядов недостаточно для представления напряженного со-
стояния в точке приложения нагрузки, где, как известно из ранее
разобранных случаев, нагибающие моменты становятся бесконечно
большими.
По этим соображениям частное решение Х3 уравнения (е) берется
нами н следующем виде:
Xa=XIlnx+Fa(x), (к)
где F3(x)— функция х. которую точно так же можно представить
Степенным рядом. Дифференцируя, находим
44?f»=4 S+ta +44F3<«
подставляя же Хъ вместо z в уравнение (е), получаем
+ In X (й LX, + A-,) + A iF, (x) + F, (x) = 0.
Поскольку A'i удовлетворяет уравнению (e) и может быть предста-
влена первым рядом (j), получаем для определения F3(x) следующее
уравнение:
Д Д Р3 (х) 4- F3 (х) « -| =
А( 2-3.4 , 6-7-8-х* Ю.П-12-Л® , \ „ч
----23-42 22-4’-64.8s 22.4s. 6г-8s • IO12.12s W
Взяв F3(x) в виде ряда
F3(x) = ft4x4+&8x8+*i2-*:12 + ... (ш)
в подставив этот ряд в уравнение (1), определим коэффициенты
bt. b&. Ь12, .., так, чтобы наше уравнение удовлетворялось. Заме-
тив, что
ДД(й4х4)=42 • 22-Z>4
294 ПЛАСТИНКИ НА УПРУГОМ ОСНОВАНИИ [ГЛ. vin
и приравняв нулю сумму членов, ие содержащих х, мы найдем, что
4>.2».6, = 4.^
ИЛИ
. — 2-3‘4" 3
£>4— 24-44 — 128 •
Приравнивая нулю сумму членов, содержащих х\ находим
. 25
Св----- 1769 472 •
Вообще будем иметь
л 1 Д“* > Гл I «И-И)0»-2)1.
—( 1) ftS(n—2>г |Л>-4~г 2S-4S-6S ... п2 J*
Таким образом, третье частное решение уравнения (е) будет
Х8»Х,1лл+1|а-х<—п^х>+... (п)
Подобным же способом иы найдем и четвёртый частный интеграл Я4
уравнения (е), положив
X4=Xslnx4-F<(x) =
v . . . Л-б-б» 1 {.4.5>6 . 10-9.8 А ,
— Х2|п-*4-4 4«.б4 * “~10>.8»(4 44-64 + 4я-б2,.. IO2)* + -"(о)
Подставив частные решения (j), (и) и (о) в выражение (f), полу-
чим общее решение уравнения (е) в следующем виде:
д= Д,(1 28 4а 4- 22,4»;^ i8j — +
i д (х2 *8 [_______—________1_|_
Д2.©3 ‘ 4“-62.82 • 10s
+ Лз[(1 — - • ) ,п *+
, 3 4 25 8 , 1 .
“•“igS* 1769472 Х *+ ’•*J
+ А4 [(х2 — + 42'6»%>*-102 —* • •) 1й «4-
, 5 « 1054'Ю-4 ,п , 1
345бХ 442 368 Х +'•']• <Р>
Теперь остается лишь определить в каждом частном случае постоян-
ные интегрирования Л,...Л4 так, чтобы удовлетворить граничным
условиям.
Рассмотрим случай, когда контур круглой пластинки радиуса а
совершенно свободен (не онерт). Использовав для радиальных мо-
ИЗГИБ. СИММЕТРИЧНЫЙ ОТНОСИТЕЛЬНО ЦЕНТРА 295
Гейтов выражение (52). а для радиальных перер езызающих сил Q2
рМЫражение (55), напишем граничные условия в следующем виде:
=0.
(q)
^дополнение к этим двум уравнениям мы имеем еще два условия,
Наносящиеся к центру пластинки, а именно, что прогиб в центре пла-
|сгйнки должен иметь конечное значение, а сумма перерезывающих
gptui, распределенных по боковой поверхности басконечно малого
жЬуглого цилиндра, вырезанного из пластинки в ее центре, должна
яирввнов'ешияать сосредоточенную силу Р. Первое из этих двух
Цсдовий приводах нас к тому заключению, что постоянная Л3 в общем
[решении (р) исчезает. Второе условие дает
Q +Р=0 (г)
[/иди, если воспользоваться обозначением (а),
d / <Z!® . 1 dw\ „ I „ _ . .
- “ *(^+7-sJ,.,2“+,=0' <s>
Jjhge e — радиус бесконечно малого цилиндра. Подставив в это урав-
жиие lz вместо и воспользовавшись для г выражением (р). най-
жем. что при бесконечно малом вначении х, равном e/Z, это уравне-
ж*е сводится к равенству
— И'-^--2га + Р = 0.
|$а которого следует, что
А*~ Br.kl3 *
«рмея значения постоянных Л3 и А4, мы можем найти из соотноше-
®ий (q) и обе остальные постоянные А, и А%. При заданных размерах
жластинкн и известных модулях пластинки и основания эти соотно-
£Р»ения приводятся к двум линейным относительно At и А2 уравнениям.
Возьмем для примера пластинку радиуса а=±5 см и такой жесткости,
{йто _
I '“fT=5“
тЙриложим в центре ее нагрузку такую, что
296 ПЛАСТИНКИ НА УПРУГОМ ОСНОВАНИИ 1ГЛ. VIII
Приняв это значение для D, подставив lz аместо и» и ajl = 1 вместо х и
воспользовавшись выражением (р), мы найдем на уравнений (q)
0,500.4 1 4- 0,250Л2 = 4,062Л4 = 4,062 102 1<Г8
0,687л, 8,483Л2 = 11.09А = 11,09 • 102 • МГ®.
Эти уравнения дают
А, -- 86 • 1(Г4, Аа = — 64 • 10-5.
Подставив эти значения в выражение (р) и приняв в расчет лишь члены,
содержащие х в степени пе выше четвертой, получим следующее выраже-
ние для прогиба:
w = te = 5[86- 10-4 (1 — ---64-10"6. ^4-102• 10-s^ln х)].
Прогиб в центре (х =s 0) будет тогда
(®)тэх = 43 • Ю“® СМ.
Прогиб на контуре (х = I)
* (®')т!о = 39,1 • 10-3 СМ.
Разница между этими прогибами сравнительно мала, и распределение давле-
ния по основанию лишь слегка отличается от равномерного.
Если мы возьмем радиус пластинки ядвое большим (а = 10 см), оставни
для жесткости пластинки прежнее значение, то величина х окажется на кон-
туре равной 2 и уразпения (q) примут следующий вид:
0,8264 4-1,980Л2 = 1,208Л4,
2,«6541-|-5,745Л2 = 16.37Д.
Эти уравнения дают
Л, = 3,930 = 400 • 10-5, Аг = —1,030 = —105 IO-5. (и)
Прогиб из выражения (р) получается равным
„ = =5{4<Ю. 10-= (1 -зЙг)-!»-Ю-= р-^) +
+№-1о-4Ч*’-та)+зйИ}-
Прогибы в центре и на контуре пластинки будут соответственно
«'max = 2 • 10"2 СМ И W,nin — 0,88 • 10-2 см.
Мы видим,-таким образом, что если радиус пластинки вдвое больше вели-
чины I, то распределение давления по основанию уже весьма сильно отли-
чается от равномерного. Использование энергетического метода в задаче
изгиба пластинки на упругом осиоввнии излагается в § 80.
58. Применение функций Бесселя в задаче об изгибе круглой
пластинки. Общее решение (f) уравнения (е) в предыдущем параграфе может
быть представлено также через функции Бесселя. С этой целью введем
в уравнение (е) иовую переменную таким цутем придем к урав-
нению
(а)
Д'Д'г—г = 0,
ПРИМЕНЕНИЕ ФУНКЦИЙ БЕССЕЛЯ
297
в котором
^=±+11.
Ж + е л
Уравнение (а) эквивалентно уравнению
Д' (Д'г-J-a) — (Д'аЧ- а) = О, (Ь)
а следовательно, также и уравнению
Д'(Д'г— а)-}-(Д'х —х)=0. (с)
Отсюда "Следует заключить, что (а) удовлетворяется решениями дифферен-
циального уравнения Бесселя
Ь также и решениями уравнения
Д'х— z =
d!z ,l_dz
— z=0.
преобразующегося в (d) при подстановке в него Ь’ вместо 6. Поэтому сов-
местное решение уравнений (d) и (е) можно записать в виде
' !+»/.(« Г1 >+»,»<,(.« Г1 >+»,x«(j»3T). (t>
.Здесь /0 и Кд—бесселевы функции соответственно первого и второго рода,
Чгг мнимого аргумента, Bt, Ва,... —произвольные постоянные. Поскольку
аргумент х— вещественное число, все входящие в уравнение (f) функции
згмеют комплексный вил. Для выделения вещественной части решения целе-
*Сбобразно ввести четыре новые функции, впервые использованные Кельви-
ном и определяемые как *)
10 (х У±Т) = Ьег х ± Ье1 х. |
Ко (х / ) = ker х ± kel х. J
.Полагак, далее,
Bt 4- в8 - ctl, В1 — Вг= — саи,
• В3 4- В, = Ctl, Ва — В<=~ Cait,
где новые переменные Ct, Са,...—вещественные числа, получаам следую-
зцее выражение для прогибов пластинки:
w = С, Ьег х4- Cs bel х-}- С3 kef х 4- С4 ker х. (Ь)
*) См., например, Watson О. N., Theory of Bessel functions, стр. 81,
Кембридж, 1948 (имеется русский перевод. Ватсон, Теория бесселевых
функций, ИЛ, Москва, 1949).
298 ПЛАСТИНКИ НА УПРУГОМ ОСНОВАНИИ [ГЛ. VHT
Все содержащиеся в нем функции табулированы ’) и вещественны для веще-
’ ственных значений аргумента. Для малых значений аргумента имеем
belx=4-
(i)
kerx =—lnx-f-tn2—i4--jg-+ ....
где y =0,5772157 ... — ноетоявная Эйлера, a In 2 — 7 = 0,11593... При боль-
ших значениях аргумента пользуются следующими асимптотическими выра-
жениями;
ksix~----sin

(D
где с = —т=-.
о
Общее решение (h) можно использовать для исследования любого случая
симметричного изгиба круглой пластинки, с отверстием или без него, при опи-
рании ее иа упругом основании. Четыре постоянные С, соответствующие
в наиболее общем случае четырем граничным условиям, определяются
в каждом частном случае* 2 *).
') См. Tables of Bessel functions and J((a)for complex arguments,
Columbia Univ. Press, Нью-Йорк, 1943, и аналогичные таблицы для функ-
ций Уо (г) и Fl (г), Нью-Йорк, 1950. Имеем
ber х = Re [ Jo (,xeiKlt)}, bei x = — Im [ Jo (xe/x/4)],
ker x - - ~ Re [У0(ж^4) J - % Im [ Jo W^)l,
kelx = ilm Jfe
2) Ряд частных решений этой задачи указывается Шлейхером в его
книге: Schleicher F., Kreisplatten auf elastischer Unterlage, Берлин, 1926.
В ней приводятся также таблицы функций Zt(x) = berx, Zs(^) =— belx,
Zs(x) =—{^Jkei-x. Z4(x) =— jkerx вместе с их первыми производ-
ными. Сокращенней таблица функций Z и нк первых производных дается
ниже, в § 118, где эти функции обозначены через ф.
ПРИМЕНЕНИЕ ФУНКЦИИ ЕЕССЕЛЯ 299
; Ограничимся случаем бесконечно большой пластнияи, несущей сосредо-
Точенную нагрузку Р в точке х = 0. Из четырех функций, составляющих
решение (h), первые две функции неограинчеино возрастают с увеличением
[аргумента, в соответствии с уравнениями (j); функция же kerx принимает
бесконечно большое значение в начале, как это мы можем заключить из
уравнений (1). Положив поэтому Cj = С8=±С«=*0, приводим решение (h)
виду
i/ w =s Cs kei х. (k)
Шля определения постоянной С8 вычислим из уравнений (1) перерезывающую
Зйиу [см. уравнения (193)[
:: л D d / d*w . 1 dw\ CtD/1 «tx . \
j... y,==t I3 dxxdx^'x dxf~ I3 (x 8
SC уменьшением ж величина Qr стремится к C^D/Px = C^D/Pr. С другой
^тороны, при равномерном распределении нагрузки Р по окружности ра-
[Мйуса г имеем Qr =—P}2*r. Приравнивая оба эти полученные для Qr вы-
юажения, находим
РР
2nD '
ЙТодстановка С8 в уравнение (к) дает, наконец, полное решение задачи Герца
|ji Соответствующая реакция основания определяется как р — kw
ЭКарактер изменения этих величин по меридианному сечепию изогнутой по-
верхности пластинки видел из криимх из рис. 131, где нанесены также и
диалогичные кривые, основанные на теории, с которой читатель позна-
комится в § 61.
®.’ В начале координат keix = —«/4, и прогиб под нагрузкой достигает
мяжсимального значения
р/г
®г.13! = ™ (180)
§?ля реакции основания в той же точке находим
р
Ртах = 'g/г' ♦ (181)
Жсли мы имеем дело с пластинкой бесконечно большой протяженности при
Условиях для жесткости и загрузки, указанных на стр. 295, то прогиб под
Нагрузкой принимает значение
5£5-«/А-<3.14)(5)(102-10-1)-0.01в см.
[Которое на 20% меньше, чем значение 0,02 см, найденное для круглой
иБастникн конечного радиуса а =±21,'
Sr Распределение изгибающих моментов под сосредоточенной нагрузкой
представлено из рис. 131, с. Мы убеждаемся, что радиальные моменты иа
Некотором расстоянии от нагрузки принимают отрицательные значения, причем
ittx численно наибольшее значение составляет около —0.02Р, Положительные
Рис. 131.
функции keix, взятой в форме (Q. Введя значения прогиба из (179) в фор-
мулы (52) и (53), приходим к результатам
р г / 2/- \ 1 1 I
М‘- £l(1 + '> (|П Т-V + 2 ° “4
’) В сравнении с характеристической длиной I = V D[k.
69] ПРЯМОУГОЛЬНАЯ НЕРАЗРЕЗНАЯ ПЛАСТИНКА 301
Сопоставление только что полученных выражений с уравнениями (90)
и (91) убеждает в том, что напряженное состояние пластинки близ точки
приложения нагрузки как в теории Герца, так и для свободно опертой круг-
лой пластинки радиуса л = 2&“*=1»123/ тождественно, если исключить
момент М' = М( =—^(1—*)> который следует наложить из моменты для
круглой пластники.
Рассмотрим теперь случай, когда нагрузка Р распределена по площади
круга радиуса с, малого в сравнении с I. Изгибающие моменты в центре
круглой пластинки, несущей такую нагрузку, равны
<™>
Тот же результат получается и из ураинений (83), если мы пренебрежем
малым в сравнении с 1 отношением с2/аХ Введя в уравнение (го) подстановку
а=±21е~" и добавив момент Л1=±—Р/8(1—м), найдем для центра загру-
женного круга бесконечно большой пластинян моменты
мп..°(1^)Р(|п-Т~1|+4) <п)
мт=я±д₽ (in • + ода). (is3>
В случае лысокой концентрации нагрузки значения напряжений при вычи-
слении их из уравнения (183) подлежат исправлению средствами теории
толстой пластинки. Такая исправлейная формула для напряжений дана на
стр. 187.
При равномерном распределении нагрузки по площади малого прямо-
угольника мы можем поступить так, как это изложено в § 37. Эквивалентом
квадратной площади, например, является круг радиусом с =0,57 «, где
и — длина стороны квадрата (см. стр. 187). Подставни это в уравнение (183),
получим
«„1-J1^₽(ii4+i.i"). <о>
Влияние любом произвольной группы сосредоточенных нагрузок на про-
гибы неограниченной пластинки можно определить, суммируя прогибы,
производимые квждой нагрузкой в отдельности.
59. Прямоугольная неразрезная пластинка на упругом осно-
вании. Пример пластинки, покоящейся на упругом основании и
опирающейся вместе с тем по прямоугольному контуру,- приведен
На рис. 132, где балка прямоугольного коробчатого сечения вдавли-
вается в упругое основание силами Р. Нижняя пластинка балки, на-
груженная упругими реакциями основания,- удерживается вертикаль-
ными стенками балки, а также вертикальными поперечными диафраг-
мами, показанными на чертеже пунктирными линиями. При исследовании
изгиба подобного типа пластинок предполагаем, как и раньше, что
интенсивность реакции упругого основания в некоторой точке про-
порциональна прогибу w в этой точке, так что р = kw, где
k— модуль основания.
302 ПЛАСТИНКИ НА УПРУГОМ ОСНОВАНИИ (ГЛ. VIII
В согласии с этим допущением дифференциальное уравнение
прогиба пластинки на упругом основании принимает вид
d'w . о d'w , d*w q kw . ч
дх* + г дх*ду* +'Эуг~~ D ~D~*
где q, как и раньше, интенсивность поперечной нагрузки.
Начнем со случая, изображенного на рис. 132. Если w0 обозна-
чает прогиб краев нижней пластинки, а ® — прогиб этой пластинки
относительно плоскости ее краев, то интенсивность реакции осно-
вания в некоторой точке выразится произведением A(w0—®>), и
уравнение (а) напишется в таком виде:
ДД®=^(«>0—w).
Расположив оси координат, как показано на чертеже, и предположив,
что края пластинки, параллельные оси у» свободно оперты, а два
других края защемлены, получаем граничные
условия
(•&)„_.,.„ = 0. (с)
<ч-4=°- ($Lra <d)
Прогиб ® можно взять в виде ряда
Первый ряд в правой части есть частное
решение уравнения (Ь), представляющее собой
;ртой. покоящейся на упругом основании по-
лоски. Второй ряд—решение однородного уравнения
А
ДДда-|-2уда==0. (f)
Функции Ут должны поэтому удовлетворять обыкновенному диффе-
ренциальному уравнению

B9J ПРЯМОУГОЛЬНАЯ НЕРАЗРЕЗНАЯ ПЛАСТИНКА 303
’Введя обозначения
^-=ь, 4=Х4’______________ <h>
Р = (1)
;Я взяв решение уравнения (g) в виде егу. получим для г следующие
Четыре корня:
г=₽+*1. — ? + <•< ₽—А- —₽—'т-
„Соответствующие четыре независимых частных решения уравнения (g)
Сбудут
eV cosy,„у, e-₽"»,’cosY„y, A’’sin Тгау. ₽-₽raV sin (j)
Гиричем их можно написать также и в следующем виде:
xh^ycosW. shpmycosTrey, ch pmy sin Tmy, sh ₽my sin Tmy. (k)
jlfe симметрии можно заключить, что Ym в нашем случае будет чет-
"йой функцией у. Пользуясь поэтому интегралами (к), получим
f»=М™ w+А *
$1 прогиб пластинки будет
X si”

+'1.Л1' и+ s' М * ы
'Это выражение удовлетворяет граничным условиям (с). Чтобы удо-
влетворить условиям (d), нам следует подобрать постоянные Ат и В,п
Этаким образом, чтобы имели силу уравнения
’Л*"°___*___l A ch cos -к
/т'* . лчН-л™сп 2 CQS 2 '
“ +о7
W.+W» с<» -Н*-
- - ВХ)С11 V81,1 V =°-
(ш)
^Подставив эти значения Ат и Вт в выражение (1). найдем искомый
прогиб пластинки. Исходя из того же уравнения (а), можно решить
304 ПЛАСТИНКИ НА УПРУГОМ ОСНОВАНИИ {ГЛ VI (1
и задачу о прямоугольной пластинке, свободно опертой по всему
контуру. При расположении координатных осей по схеме рис. 59
(стр. 124) прогиб пластинки, если воспользоватьсв решением Нанье,
выразится рядом
SYT . , тпх , ипу , „
2lA.»s,n—- (">
Ш = 1 '1=1
Пусть аналогично ряд
X? X.1 > - л«у
?= 2, 2i°«”sln—ипт- (°>
m=l n-1
представляет распределение заданной нагрузки, а ряд
(р)
— реакцию основании. Введя ряд (п) в левую часть, а ряды (о) и (р)
в правую часть уравнения (а), найдем
(ч)
В качестве примера рассмотрим изгиб пластинки сосредоточенной
силой Р, приложенной в некоторой точке ($, rj; тогда
4Р . тяЕ . twti
= —Г S|fl ------81П —,
ab а Ъ
0)
в силу уравнения (Ь) на стр. 131. Подстановкой выражений (q) и
(г) в уравнение (и) получаем
Зная прогиб пластинки под действием сосредоточенной силы, мы
можем получить методом наложения и прогиб под поперечной на-
грузкой какого угодно иного типа. Возьмем, например, случай равно-
мерно распределенной нагрузки интенсивностью д. Подставиз в вы-
ражение (q) вместо Р произведение gdkdf[ и интегрируя — в пре-
делах от 0 до а и от 0 до Ь, получим
2 2
т-1,3, Б,... г^1,ЗД.
, гпт.х , пяу
s In —~— sin —~
• (0
Б91 ПРЯМОУГОЛЬНАЯ НЕРАЗРЕЗНАЯ ПЛАСТИНКА 305
Если k обращается в нуль, то прогиб сводится к значению, давае-
мому решением Навье (131) для прогиба равномерно нагруженной
свободно опертой пластинки *).
Рассмотрим теперь случай, представленный на рис. 133. Большая
в плане, покоящаяся на упругом основании пластинка нагружена
* по оси х в равноотстоящих одна от другой точках силами Р2).
^Расположим оси координат, как ноказаио на чертеже, и, поскольку
?у нас нет сплошной поперечной нагрузки, воспользуемся уравне-
.нием (f). Рассмотрим решение этого уравнения в виде ряда
VI ь, тт,х
да=та-0Н~ X rr«c°s-^-.
гл-2.4.6....
?>де первый член
РА Ay , , Ay
w0=—~—е У2 (cos—^т-l-sln ,
0 2У1пй ^2 у*
Представляет собой прогиб бесконечно длинной параллельной осн у
^волоски шириной в единицу, нагруженной в точке у = 0 грузом Р/а
•4см. уравнение (283), стр. 522J. Остальные члены ряда удовлетво-
ряют требованию симметрии, согласно которому касательная к изо-
гнутой поверхности в направлении х должна иметь нулевой наклон,
S. е. быть горизонтальной как в точках приложения нагрузки, так
в средних между ними точках. Возьмем для функций ¥т частные
^Интегралы (j), обращающиеся в нуль при бесконечных значениях у.
дагда
г„= + '"''sillY„y.
(и)
f *) Случай прямоугольной пластинки с предписанными прогибами и мо-
-ментами по двум противоволожным краям и различными условиями по двум
^другим краям рассматривается в работе Fletcher H.J., Thorne С. J,
i J. Appl. Meeh, t. 19, стр. 361, 1952. В этой работе приводится обильный
^графический материал.
L *) Эта задача была изучена Вестергором (Westergaard Н. М.,
fragenltfren, г. 32, стр. 513, 1923). О практических применениях решения этой
Годами при проектирований бетонных дорог Вестергор сообщает в журнале
^Public Roads, т. 7, стр. 25, 1926, т. 10, стр. 65, 1929 и г. 14, стр. 185, 1933.
зов ПЛАСТИНКИ НА УПРУГОМ ОСНОВАНИИ 1ГЛ. УТИ
Чтобы удовлетворить условию симметрии = 0, мы должны
положить в этом выражении
Ря^л»
— .
1т
Введя же новые постоянные Лта== Лд/кт* мы представим прогибы (s)
в следующем виде:
«—«’»+ 2 A“cosTi<!~f”’O”co8'<ray+₽rasinw)- (’)
т^Я, 4,6, ...
Чтобы выразить постоянные Ат » функции от нагрузок Р, рассмо-
трим перерезывающую силу Qy, действующую в’ нормальном сечении
пластинки, проходящем через ось х. Из симметрии заключаем, что
эта сила обращается в нуль во всех точках, ва исключением точек
приложения нагрузок Р, где она должна дать равнодействующие,
равные —Pfi. При исследовании подобного же распределения пере-
резывающих сил в § 54 (стр, 277) было показано, что эти перере-
зывающие силы можно представить рядом
00 т
~ Р Р Z «СТ -
о>=-2?—г- X .
игж2,4;, 6,...
Вычисление же по формуле (v) дает для них следующее значение:
п г> д I
Qy =—D iy \+-
=-s-2° 2 ^тж+ту»»-^-
n=!,4,6,...
Из сравнения этих двух выражений для перерезывающей силы находим
т
X _ р<-'>8
” 2»ОРЛ< + 1»>
или, пользуясь обозначениями (1),
ПРЯМОУГОЛЬНАЯ НЕРАЗРЕЗНАЯ ПЛАСТИНКА 307
Подставляя это в выражение (v), получаем наконец
. PXS х1 (—I)2 тт.х -в yz , «
2j iA-43TTCM~Z~‘' ” (WOs^H-fUlnu»-
' га-2,4,6,... Г A 'ГНщ
(W)
химальный прогиб имеет, очевидно, место под грузами Р, и вели-
1 его определяется подстановкой x~af2, у=0 в выражение (w),
дает нам
„ =—5________t-f" V ________ь.
(184)
В частном случае единственного сосредоточенного груза Р, дей-
вдтощего из неограниченную пластинку, прогиб также может
й.?ь получен из формулы (164), если в ней положить л = со.
'этом случае первый член в формуле обращается в нуль, и, если
Иьзоваться обозначениями (i), мы получим
ру (\/ VF-Fp*--^
2/2 nk J '
d|>.
применив подстановку
2иУй^1*.
|ЙПдем, в согласии с результатом (180),
_ РУ Г 1 da РУ
®““ 2/2 яй j /2 * 14-0 8fe
(185)
яри такой величине прогиба максимальное давление на упругое
Йиованне равно
= £ (188)
симальное растягивающее напряжение имеет место на нижней
фхности пластинки под точкой приложения нагрузки. Вышеиз-
енная теория дает для изгибающего момента в этой точке бес-
гчио большое вначение, и потому здесь следует обратиться
308 ПЛАСТИНКИ НА УПРУГОМ ОСНОВАНИИ (ГЛ. VIII
к теории толстой пластинки (см. § 26). В вышеупомянутом иссле-
довании Вестергора на основе этой теории выведена следующая
формула для расчета максимального растягивающего напряжения на
ниЖней поверхности пластинки:
(«,k.I = O.276(l + »).£lg(-gr). (х)
Здесь h обозначает толщину пластинки, а
Ь = /1,6сгЧ-йг — 0.675ft при
Ь — с при
с < 1,724ft.
с> 1,724*.
где с — радиус того крута, по площади которого, как мы предпо-
лагаем, равномерно распределена нагрузка Р. При с = 0 мы прихо-
дим к случаю сосредоточенной силы.
В случае загружения площади квад-
рата «X® вместо с следует ввести
0,57 и (стр. 187).
Тому же приему расчета поддается
Рис. 134. и изображенный на рис. 134 случай
равноотстоящих нагрузок Р, прило-
женных nb краю полубесконечной пластинки. Окончательная формула
максимального растягивающего напряжения на нижней поверхности
пластинки под нагрузкой, если расстояние а велако, имеет вид
("Х.х= 0^29(1 + 0.64v) i [1g (^-)- 0.71]. (у)
где b вычисляется, плк и в предыдущем случае, а 6 есть радиус
полукруга, по площади которого предполагаетсв равномерное распре-
деление нагрузки Р. Формулы (х) и (у) оказались весьма полез-
ными при проектировании бетонных дорог, причем в этом случае
круг радиусв с представляет собой площадь соприкасания покрышки
колеса с поверхностью дороги *).
60. Пластинка, несущая несколько рядов равноотстоящих колонн.
В качестве последнего примера рассмотрим бесконечную пластинку-настил,
покоящуюся на упругом основании и несущую равноотстоящие и равные
’) Задача о распределении напряжений близ точки приложения нагрузки
в авршине большой пластинки пока еще не решена с той степенью досто-
верности, которая достигнута в решении только что рассмотренной задачи.
Некоторые относящиеся к этому вопросу эмпирические и полуэмпирнческие
формулы для напряжений можно найти в издании Американской Ассоциации
портланд-цемента: «Concrete pavement design, стр. 79, Чикаго, 1951». Ценные’
экспериментальные результаты в этой области былн получены Дантю
(bantu М., Ann. ponts et cbaussfees, т. 122, стр. 337, 1952). См. также
Black L. D., Trans. Eng. Inst. Canada, т. 2, стр. 129, 1958, и N е v е 1 D. Е.,
там же, стр, 132,
ВО] ПЛАСТИНКА. НЕСУЩАЯ НЕСКОЛЬКО РЯДОВ КОЛОНН 309
нагрузки P, из которых каждая распределена равномерно по площади «X®
прямоугольника, как это показано на рис. 135. К задаче об изгибе такого
«опрокинутого безбалочного -перекрытия» можно подойти изложенным ранее
методом Вестергора, применив про-
стой ряд ')- Много проще, однако,
а если исключить случай резко со-
средоточенной нагрузки, то и точнее,
получается решение в двойных рядах
по способу Навье.
Условия симметрии побуждают
пас представить поперечную на-
грузку колонн в виде ряда косинусов
VT VT 2/лтех
Л ДЙЯ!яС05~^—cos
(а)
Интенсивность заданной нагрузки
равна Pjuv внутри заштрихованных
прямоугольников на рис. 135 и
..нулю по всей остальной площади
। пластинки. Поэтому, поступая как
-^обычно, т. е. умножая уравнение (а)
2ткх °—*
на со?'------<
а
у, получаем
Рис. 135.
cos 2”J- dxdy и интегрируя в пределах —а/2, -|- а/2, для
4Ptmn тпи . nKV
amn = • , — Sin ~ Sin —j—.
tfmnuv a b 1
(Ь)
smn = 1 для т Ф 0, п =jfcO,
етв = ^ »ля «=0, П-/-О,
или т =1- 0, п = О.
W=-4 лля «=л = 0
г В частном случае гп = 0 пли л = 0 поэффициент получается непосредственно
-как предельное значение выражения (Ь).
' В соответствии с уравнением (а) примем теперь для прогибов ряд
=S X^cos^cos2^.
(С)
,й тогда связь между коэффициентами атп и Атп легко устававлляается
по соображениям, приведенным выше (см. стр 304). Введя обозначения
1.-^. 1 + Й. <»
*) См. М n 11 еI W., Ingr.-Arcb., т. 20, стр. 278, 1952, и Osterr. Irigr-Arch,,
7. б, стр. 404, 1952.
ПЛАСТИНКИ НА УПРУГОМ ОСНОВАНИИ [ГЛ, VIII
Л-_____&------
310
находим
"" Dt-mn + k
Подставляя это значение коэффициентов в ряд (с) и учитывав (Ь), приходим
к окончательному результату‘У
5 mnU . nKV О
4Р V V e"’«stn^“sIn~cosa«x<:os₽"5’
Изгибающие моменты находим теперь обычным дифференцированием, а рас-
пределение давления между пластинкой и основанием получаем умножением
выражения (1) на модуль k.
Частный случай Л = 0 отвечает равномерному распределению реакции
основания, т. е. схеме «опрокинутого безбалочного перекрытия», нагружен-
ного равномерно с интенсивностью q — Р)аЬ. Из структуры выражения (1)
видно, что введение коэффициента постели приводит к уменьшению проги-
бов, а также изгибающих моментов пластинки,
Случай прямоугольной пластинки конечных размеров, покоящейся на
упругом основании и подвергнутой действию сосредоточенной нагрузки, был
.исследован Хаппелем2). При определении прогибов такой пластинки был
использован метод Ритца (си. стр. 344), причем на частном примере цен-
трально нагруженной квадратной пластинки было показано, что ряд, предста-
вляющий прогиб, быстро сходится и что этот прогиб может быть получен
с достаточной точностью путем суммирования лишь немногих первых членов
ряда 8).
61. Изгиб пластинки, покоящейся на полу бесконечном упругом
основании. До сих пор мы предполагали, что осадки основания в определен-
ной точке его поверхности пропорциональны давлению пластинки
на основание в этой же точке и, следовательно, ие зависят от распределе-
ния давления в других местах. Это справедливо для пластинки, плавающей
на поверхности жидкоств (см. стр. 250), но если основание состоит из связ-
ного материала, то такая гипотеза лишь грубо аппроксимирует действительное
поведение основания; лучшего приближения можно иногда достигнуть на
основе следующих допущений:
1. Основание обладает свойстиами полубесконечного упругого тела.
2. Пластинка покоится на основании без трения.
3. Совершенный контакт между пластинкой и основанием сохраняется
также и в случае отрицательного взаимного давления.
Это последнее предположение может показаться произвольным; однако
в действительности отрицательное давление между пластинкой и основанием
более или менее компенсируется весом пластинки.
Упругие свойства основания могут быть охарактеризованы (если пред-
положить изотропию) модулем Юнга Ео и коэффициентом Пуассона v.
') Этот вывод принадлежит Леве (Le we V„ Baulngenteur, т. 3, стр. 453,
1923).
*) Н а рре I Н., Math. Z., т. 6, стр, 203, 1920. См, также Н a I br it te г F.,
Bautechnik, т. 26, стр. 181, 1949,
•) Задача о квадратной пластинке на упругом основании подверглась
также экспериментальному научению; см. по этому вопросу Vint J.,
El good W. N., Phil. Mag., 7-я серия, т. 19, стр. 1, 1935; Murphy О.,
Iowa State Coll. Eng. Exp. Sta. Bull., 135, 1957.
tff] ИЗГИБ ПЛАСТИНКИ НА ПОЛУБЕСКОНЕЧНОМ УПРУГОМ ОСНОВАНИИ ЗП
Приближенные численные значения *) этих постоянных, зависящие От природы
материала основания и получеизые из результатов динамических нспытавий.
приводятся в таблице 63 вместе со значением постоянной
‘•=*Аг
используемой в дальнейшем.
Таблица 63
Значения упругих постоянных для оснований
из различных материалов
Материал основания J?s, Кг/ся? ’о А’а, кг[слР
.Глина Лесс и глина .Песок средней крупности . . -Песок и травий Пластичная глина (нижней юры) Известь-пушонка (гашеная на воздухе) Песчаник 770 910 980—1300 2800 2660 11,550—13,300 112,000 0,17 0,42 0,33—0,23 0,33 0,44 0,32—0,38 0,26 400 553 553—686 1540 1645 6440—7700 60,200
Ограничимся в дальнейшем случаем бесконечно большой пластинки,
Обладающей осевой симметрией. Введя полярные координаты г. 6. предста-
вим уравнение пластинки зависимостью
Р ОД Aw (г) = q (г) —р (г), (Ь)
где q (г) обозначает заданную распределенную нагрузку, а р(г)—реакцию
'©снования.
Пусть К0(г, р, <р)—прогиб в точке (г, 0) поверхности основания, произ-
веденный нормальной единичной нагрузкой, приложенной к этой поверх-
ности (р, ч). Форма этой «функции влияния» («поверхности влияния») Ко
Зависит лишь от природы (характеристики) основания. Если воспользо-
ваться некоторыми свойствами бесселевых функций, то можно показать* 2),
Что уравнение (Ь) удовлетворяется выражением
(0
о
ч *) Они заимствованы из книги: Schultze Е., Muhs Н„ Bodenunter-
suchungen fur Ingenleurbauten, Берлин, 1950. См. также VerOffentl. Degebo,
тетрадь 4, стр. 37, 1936.
2) Решение задачи в этой общей форме принадлежит Холлу (Н о 11 D, L.,
Proc. V. Intern. Congr. AppL Meeh., Cambridge, Mass., 1938).
312 ПЛАСТИНКИ НА УПРУГОМ ОСНОВАНИИ 1ГЛ VIII
Здесь Je — бесселева функция нулевого порядка. Параметр, зависящий
от характеристияи основания, представляет собой интеграл
К («) = J 2wKo (s) /о (ад) ds, (d)
о
причем Ко определяется из
Ко (s) = Ко [(г* 4- р2 — 2rp cos
a s есть расстояние между точками (г, 0) и (р, у). Наконец,
Q (а) = J q (р) Jo (ар) р dp (е)
О
— параметр, зависящий от интенсивности §(р) симметричной нагрузки
в Г = Р-
В частном случае нагрузки Р, резпомерно распределенной по окруж-
•ности радиуса с. имеем
<?(“>= (f)
При равномерном распределении нагрузки Р по площади круга того же
радиуса уравнение (е) дает
<?<»>-<«>. <0
.куда входит бесселева функция первого порядка. Если, наконец, нагрузка
сосредоточена в начале координат (р = 0), находим из (f)
<?<«>-£•• (!•>
Что касается распределения реактивного давления, то соответствующую
функцию р(г) получаем из уравнения (Ь), гак как первый член разности
g (г) = J* Q (“)Л («Г) “ da
уже выражен выше через преобразование Фурье — Бесселя (е). Поэтому

Q (а) (ar)а da
\ + D^K(a)
Остановимся теперь на физической природе основании в двух ес вариан-
тах. Для плавающей пластинки (§ 57) функция влияния К0(з) обращается
новсюду в нуль, исключая' точку s=0, где приложена сосредоточенная
сила. В силу уравнения (d) величина /Со(«) должна быть в атом случае
постоянной. С тем чтобы получить из уразнения (с) выражение w (г) — р (Н/Л,
в соответствии с определением модуля, нам следует принять Ко (и) и
611 ИЗГИБ ПЛАСТИНКИ НА ПОЛУБЕСКОНЕЧНОМ УПРУГОМ ОСНОВАНИИ 313
Использовав ранее введенное обозначение = DJA (стр. 291), получим
из ураавения (с) выражение
л °
•> удовлетворяющее дифференциальному уравнению (178) плавающем пластинки.
" Для изотропией! полубесконечной среды мы имеем, в силу полученного
,-Буссииеском результата *), 7<0(s) = (l —•^l‘nElss, а из уравнения (d): К (а) =
»• =
'Где kc— упруган постоянная, определяемая из (а). Зависав сокращенно
, D 20(1-,’) I»' °
.получаем плконец решение (с) для указанной выше гипотезы материала2)

(Ш)
.? В частном случае нагрузки, сосредоточенной в начале координат, выра-
' жение (ш) в сочетании с (h) дает
(187)
al0. Отсюда прогиб под нагрузкой
3 РЙ
-и^=».№тгг
(188)
.-г-значение, отличающееся от полученного Герцем 0,125 Pl2]D. Распределе-
ние давления устававлинается непосредственно из общего выражения (j):
(189)
*) См., например, Timoshenko S., Goodier J, N., Theory ol
.elasticity, 2-е изд., стр. 365, Нью-Йорк, 1951.
I 2) I Io этому вопросу см. также Wotnowsk у -Krieger S, ingr.-Arch.,
?T. 3, crp. 250, 1932 и т. 17, стр. 142, 1949; Mar guerre К., Z. angew. Math.
'Meeh., t. 17, стр. 229, 1937; Hogg A. H. A., Phil. Mag., t. 25, стр. 576, 1938.
314
ПЛАСТИНКИ НА УПРУГОМ ОСНОВАНИИ
[ГЛ. vnt
и. в частности, под нагрузкой
1+1" si; <i
(ISO)
что опять отличается от результата Герца 0,125 Р/Р. Если мы примем для
обоих случаев одинаковые апачения гитах, то формула (190) дает для ртах
значение в 2,37 большее, чем формула Герца (181). В таком случае должно
иметь место соотношение I = 1,2417О, и кривые соответствующих прогибов,
вычисленные из уравнений (179) и (187), воспроизведены на рис. 131, а.
Рис. 131, b дает представление о характере изменения давления; на этот раз
для получения равных значений nm„ в обоих случаях следует положить
Можно, наконец, показать, что вблизи точки приложения сосредоточен-
ной силы моменты для обоих таких оснований получают одну и ту же
величину, если каждый из них выразить в зависимости от безразмерного
аргумента х = гЦ в одном случае и л = г//0—в другом. Отсюда мы заклю-
чаем, что выражениями для изгибающих Моментов типа (183) можно поль-
зоваться и для пластинки, покоящейся на изотропной упругой среде, если I
заменены на 10. Поступая таким образом с формулой (х) Вестергора для
напряжений (стр. 308), приходим к формуле
«..,-o,a5s(i + ,)-X.[ig(^) -ода]. („)
где k0 определяется из уравнения (а), а Ъ обозначвет ту же величину, что
и на стр. 308.
Задача об изгибе круглой пластники конечных размеров приводит
к бесконечной системе линейных уравнений для коэффициентов ряда,
которым выражаются прогибы такой пластинки ’)-
При решении этой задачи находит также применение и метод конечных
разностей ®).
Рассматривались, кроме того, задачи об изгибе бесконечной пластинки,
покоящейся на упругом слое, который в свою очередь опирается на идеально
жесткое основание8), а также задача о полубескоиечной павте дорож-
ного покрытия4).
*) См. BorowickaH., Ingr.-Arch., г. 10, стр. 113, 1939; И ш к о в а А. Г.,
Доклады АН СССР, т 56, стр. 129,1947; Pickett О., McCormick F. J„
Proc, I, U.S. Natl. Congr. Appl. Meeh., стр. 331, Чикаго, 1951. Влияние при-
поднятия внешней области пластинки, несущей центральную нагруаку, было
рассмотрено Юнгом (Jung Ingr.-Arch., т. 20, стр. 8, 1952). Изгиб примо-
Кюльных пластинок на упругом основании налагается М. И. Горбуновым-
осадовым «Прикладн. мат. мех.», т. 2, стр. 68,1940. (См. также его поздней-
шие работы: «Расчет конструкций на упругом основания». At, 1953; «Таблица
для расчета тонких плит на упругом основании», М., 1959.— Прим, пер.)
я) Н a b е I А„ Baulngenleur, т. 18, стр. 168, 1937; Применения к прямо-
угольным пластинкам см. Pickett G., Janes W. С., Ravi lie M, E„
McCormick F. J., Kansas State Coil. Eng. Sta. Bull., 65, 1951.
s) Hogg A. H. A., Phil. Mag., t. 35, стр. 265» 1944.
4) Pickett H. O., Badaruddin S., Proc. IX Intern. Congr. Appl.
Meeh., T. 6, стр. 396, Брюссель, 1957.
61] ИЗГИБ ПЛАСТИНКИ НА ПОЛУБЕСКОНЕЧНОМ УПРУГОМ ОСНОВАНИИ 315
Напряжения, производимые резко сосредоточенными поверхностными
силами, должны быть подвергнуты проверке на основе общей теории толстых
пластинок. Разработала также и специальная теория упруго опертых толстых
пластинок').
') Первыми исследованиями статического и динамического неведения
такого рода пластинок выполнены Маргерром (Marguerre К, Ingr.-Arch,
т. 4» стр. 332, 1933); см. также Szabd I., Ingr.-Arch., т. 19, стр. 128, 342"
1951; Z. angew. Math. Meeh, т. 32, стр. 145, 1952. О применении теории
Э. Рейсснера см. Naghdi Р. М., Rowley X С, Proc. I. Midwest Conf,
solid Meeh. (Univ. Illinois), 1953, стр. 119, и Frederick D, J. Appl. Meeh,
t. 23, стр. 195, 1956.
ГЛАВА IX
ПЛАСТИНКИ РАЗЛИЧНЫХ ОЧЕРТАНИЙ
62. Уравнения изгиба пластинки в полярных координатах.
При исследовании симметричного изгиба круглой пластинки мы уже
применяли полярные координаты (глава III). Этой же системой выгодно
воспользоваться и в общем случае изгиба круглой пластинки.
. Если отсчет координат гиб пронаводить так. как указано
на рис. 136, а. то связь между полярными и декартовыми коорди-
натами выразится уравнениями
г2=х1+у2» 6 = arctg у/х, (а)
откуда следует, что
= cos б,
* X = sine.
ду г
66 X cos 6
бу -----------—
(Ь)
Пользуясь этими выражениями, находим наклон изогнутой поверх-
ности пластинки в направлении х
да да дг . да 66 dw 1 да А ,
arcose—г-гг8|пв- <с>
Аналогичное выражение можно написать и для наклона в направле-
нии у. Чтобы получить выражение для кривнаны в полярных коор-
динатах, нам потребуются вторые производные. Повторяя указанную
в выражении (с) операцию дважды, находим
д2а ( д й 1 . а 6 \ (да д 1 да й\
ТУ = (т7 со»»- 7 » аг)“5 6-7 ТГ»“е) =
62W 90 о sin 0 cos 6 , dw sin2 6 I
=ТУС“ e-2T«T7--------7----b-37—+
, o dw sin 0 cos 6 , dsw sin2 0
+ ^“60" r2 +'“602 75“ •
w
62] УРАВНЕНИЯ ИЗГИБА ПЛАСТИНКИ В ПОЛЯРНЫХ КООРДИНАТАХ 317
Подобным же образом имеем
d2w __ dsw 2 в । о d*w sin 0 cos 6 . dw cos2 0
dy2 dr2 S,n * dftdr r ' dr r
n dw sin 0 cos 6 . d2w cos2 0 ,
, r2 *" Й02 r= ’
! d2w d2w . л d2w cos 20 dw cos 28
pT3y==^sinecos0+1759‘ ~r----------IB—V2-------
dw sin 0 cos 0 d2w sin 0 cos 0 ,
p. dr r ~ ’aP r2 ' W
При таком преобразовании координат получаем
a2® d2w d2w , 1 dw 1 d2w
dx2 ' dy2 dr2 ’• r dr ‘ r2 d42 ‘
1,После двукратного повторения этой операции дифференциальное
уравнение (103) для изогнутой поверхности поперечно нагруженной
’’пластинки преобразуем в полярных координатах к следующему виду;
;-аёА_,._( д2 1 й , 1 d2\[d2w , 1 dw , 1 d2w\ q ,.ot
Рис. 136.
^Если нагрузка распределена симметрично относительно центра пла-
стинки, то прогиб W не Зависит от 6, и уравнение (191) совпадает
М; уравнением (68), полученным
ЙЬнее (см. стр. 69) для случая
Симметрично нагруженной круг-
^ой пластинки.
Рассмотрим элемент, выре-
занный из пластинки двумя
'смежными осевыми плоскостями,
образующими между собой угол
*в0, и двумя цилиндрическими по-
верхностями радиусов г и r-\-dr
(рис. 136, Ъ). Обозначим дейст-
,-Ьующие на элемент изгибающие и
К единице длины, через Mt, Mt в
Данных на чертеже направлениях
"Выразить эти моменты через прогиб w пластинки, положим, что
.Ясь х совпадает с радиусом г. Тогда моменты Л4Г, Mt и Л1г< будут
лшеть те же значения, что и соответствующие той же точке моменты
?Л1Х, Му, Мху, и подстановка 6==0 в выражения (d), (с) и (f)
крутящий моменты, отнеся их
МГ1 и припишем им при ука-
положительпые знаки. Чтобы
318 ПЛАСТИНКИ РАЗЛИЧНЫХ ОЧЕРТАНИИ 1ГЛ. IX
длсг нам
. д2ю\ Гд2® . /1 dw . I й’шдт
^“-о^+'-гр-^^-о^+Ду-эг+тг-ж)].
(192)
.Подобным же образом иа формул (108) получим выражения для
перерезывающих сил J)
Q, = —к 0, = -О-^-, (193)
где Дот дается выражением (g).
В случае защемления граничные условна для круглой пластинки
- радиуса Q будут
«„-о. (£),.,-& (Ь)
В случае свободного опирания по контуру
(®U,=o. (Чи=& ©
В случае свободного (не опертого) контура (см. стр. 105)
(МЛ..=0. V=(ft—^L=0. (J)
Общее решение уравнения (191) может быть» как и раньше,
взято в виде суммы
w ~= отс--|- wv (к)
где —частное решение уравнения (191), a Wj—решение одно-
родного уравнений
( д2 । 1 д . 1 д2 . 1 dWi . 1 д’и>| \ п ,1П,.
(»< +7у+7т-да)(Тг- +7-Sr + н даГ) =°- <|94>
Это последнее решение берем в форме нижеследующего ряда
от, = Ro + 2 Kmcos mfi J- 2 Rm sin mfi. (195)
m«* *I m-I
’) Направление Qr на рис. 136. b противоположно указанному из рис. 28:
этим объясняется появление апака минус в уравнении (193).
*) Это решение было дано А. Клебшем в его «Theorle der Elasticity
fester Кбгрег», 1862.
КРУГЛАЯ ПЛАСТИНКА С НАГРУЗКОЙ ПО ЛИНЕЙНОМУ ЗАКОНУ 319
gjene /?0, Ri...Rlt R2, ... суть функции одного лишь радиального
^расстояния г. Подставив этот ряд в уравнение (194), получим для
Ожждой из этих функций обыкновенное дифференциальное уравне-
ние следующего типа:
^Общее решение этого уравнения при т > 1 имеет вид
рри m = Q и т—1 решения будут соответственно
Л0 = А)4-Ввг2-|-С01пгЧ-О()гППг )
! (т)
«i = Ar-|-B1r9+CIr’l+Dlrlnr. J
Аналогичные выражения можно написать для функций Rm. Подставив
&в выражения для функций Rm и Rm в ряд (195), получим общее
вешенке уравнения (194). Постоянные интегрировал ия Ат. Вт...Dm
Должны быть определены в каждом част-
ики случае, чтобы удовлетворить грапич-
йш условиям. Решение Ro, не зависящее
и угля 6, представляет симметричный
Йгнб круглой пластинки. Несколько
йстиых случаев этого рода было уже
^вобрано в главе Ш.
Рис. 137.
S3. Круглая пластинка под нагруз-
ЦЙ» изменяющейся по линейному за-
нгоиу. Если круглая пластинка подвер-
йгаЬтся действию нагрузки, распределен-
ий®, как показано на рис. 137, то эту на-
грузку всегда можно разбить на две
Жставляющие: 1) равномерно распре-
q,M. j
удаленную .нагрузку интенсивностью и 2) нагрузку, изме-
?ййощуюся линейно от интенсивности, равной нулю на диаметре CD
Ц1вастинки, до интенсивностей — р и -|- р на концах А и В диа-
^*tpa АВ. Случай рапномерной нагрузки был уже разобран в главе III.
дайм остается здесь исследовать лишь неравномерную нагрузку, изо-
браженную на рис. 137 двумя заштрихованными треугольниками *).
Jtr-------------
Ж. *) Эта задача была исследована Флюгге (FlUgge W., Bauingenleur,
gslQ, стр. 221, 1929).
320 ПЛАСТИНКИ РАЗЛИЧНЫХ ОЧЕРТАНИИ {ГЛ. IX
Интенсивность нагрузки q в некоторой точке с координатами г
и 6 равна
<-)
Поэтому частное решение уравнения (191) может быть взято в форме
. »r5cos6
После подстановки в уравнение (191) оно дает
откуда
(b)
400 ~~ 192аО '
В качестве решения однородного уравнения (194) мы вовьыем лишь
. один член ряда (195), содержащий функцию /?р и примем
(с)
Так как эти расчеты удобнее вести с безразмерными величинами,
то вместо г мы введем отношение
г а '
В этом новом обозначении прогиб пластинки напишется следующим
образом:
® = w0J-®'1 = -j^g-(p5-|-ЛрЧ-В^Н-Ср *-|-£)plnp)cosO, (d)
где р изменяется от нуля до единицы. Входвщие в это выражение
постоянные интегрирования А, В, ... определяются из граничных
условий.
Начнем со случав свободно опертой пластинки (рис. 137). Про-
гиб и изгибающий момент Л1Г на контуре такого типа пластинки
обращаются в нуль, так что
(«')₽=! = °> (^i«0. (е)
В центре пластинки (р = 0) прогиб w и момент Л1Г должны принять
конечные значения. Отсюда непосредственно следует, что постоян-
ные С и О в выражении (d) разны нулю. Остальные две постоян-
ные А и В найдутся теперь из уравнений (е):
(®)f=! = тИо (I + Л + Я) cos 0 = 0.
(ЛЦ.> = —[4 (5 + >) + 2 (3+>) В] cos 6 = 0.
КРУГЛАЯ ПЛАСТИНКА С НАГРУЗКОЙ ПО ЛИНЕЙНОМУ ЗАКОНУ 321
63]
Так как эти уравнения должны сохранить силу при любом значе-
нии б, то множители при cos 0 должны обратиться в нуль. Это дает
1 + лч-в=о,
4(5+>) + 2(3+v)B^0.
Подставив эти значения в выражение (d), находим прогиб пластинки
JB следующем виде:
геи+чй F+—Р+»рЧсо.е.
.Для вычисления изгибающих моментов и перерезывающих сил под-
ставим выражение (f) в уравнения (192) и (193), в результате чего
.получим
Afr = -^-(5+v)p(l —p»)cos 6,
м‘=WH ₽ [(6 -t- v) U + 3v) - (IЧ- Sv) (3 4- v) p*[ cos e.
Qr = 24^+v) [2 (5 + v) — 9 (3 + V) p2! cos 6.
Qt =~ 24(3+*) p [2 (5 + v) - 3 (3 + >) p2] sin 6.
(h)
Мы видим, что (Af,Xn,x имеет место при р= 1/Кз» где он равен
Mt достигает максимального значения при
причем это максимальное значение равно
Интенсивность вертикальной опорной реакции на контуре равна J)
Положительным считается ее направление вверх.
Ц С. П, Тимошенко, С, ВоВновсхпй-Крнгор
322 ПЛАСТИНКИ РАЗЛИЧНЫХ ОЧЕРТАНИЙ (ГЛ. IX
Момент этой реакции относительно диаметра СО пластинки (рис. 137)
равен
4 У* -—cos 6с2 cos 6 dS == ~~.
Этим моментом уравновешивается момент распределенной по пла-
стинке нагрузки относительно того же диаметра.
В качестве второго примера рассмотрим случай круглой пла-
стинки со свободным (не опертым) контуром. Подобное условие
реализуется, например, в случае круг-
°—*1 лоИ Фундаментпой плиты, поддержи-
IgTfrV вающей дымовую трубу. В результате
-р I I I 1 I р давления ветра на плиту будет переда-
•*—ваться момент М (рис. 138). Пред-
Рис. 138. положив, что соответствующие этому
моменту реакции распределены, как
показано на чертеже, по линейному вакону, мы получим здесь тот
же самый тип нагрузки, что и в предыдущем случае, причем общее
его решение может быть взято в том же самом виде (d), что и
раньше. Граничные условия на внешнем контуре пластинки, сво-
бодном от всяких сил. будут
(V)(.,=(<5,-4^-)₽_ =0. (1)
Внутренняя часть пластинки радиусом Ъ рассматривается как абсо-
лютно жесткая. Кроме того, предполагается, что край пластинки
защемлен по окружности радиусв Ь. Поэтому для р = b/a = f должно
удовлетворяться следующее граничное условие:
(П-Я’ь ®
Подставив выражение (d) в уравнения (i) и (j), получим следующие
уравнения для определения постоянных:
4(54-v)4-2(34-v)B-+-2(l—v)C+(l + v)D = 0.
4(174-v)4-2(34-v)^4-2(l—v)C—(3 —v)D = 0,
4^4 4.—2₽"^ 4- D=0.
Из этих уравнений определяем
П— ?4(24-ч)-К1-у)р(3+р«)
а~ * (8-НН-(1-»)₽*
г— 9 4(2Ч--*)Р4 — <3+ у)Ра(3+Р«)
С~ (3+у)+(1-у)₽«
D=12.
63; КРУГЛАЯ ПЛАСТИНКА с нагрузкой по линейному закону 323
Подставив эти значения в выражение (d) и пользуясь уравне-
ниями (192) и (193), получаем значения моментов и перерезывающих
сил. Постоянная А в эти уравнения не входит. Соответствующий
член в выражении (d) представляет поворот пластинки как твердого
тела относительно диаметра, перпендикулярного к плоскости чер-
тежа на рис. 138. Если модуль основания
известен, то угол поворота может быть вы-
числен из условия равновесия внешнего мо-
мента М и реакций основания.
Пользуясь выражением (d), легко решить
, И случай свободно опертой круглой пли-
•ты, нагруженной в центре моментом М
(рис. 139, о). Для этого нам нужно лишь
Спустить член с р5, представляющий распре-
деленную нагрузку. Постоянную С следует
;Т1риразнять нулю, чтобы исключить беско-
нечно большой прогиб в центре. Таким обра-
зом, выражение (d) сводится к
а)
Рис. 139.
w = (Яр + Bp3 -j- Dp In р) cos 6. (k)
Теперь нужно определить постоянные А, В и D из следующих гра-
цичных условий:
(®)р„!=0. (Mr)p=1 = 0,
+• +«
— a f sin О Т f (Qr)r.,a>sSM+M = O. ' '
-в -я
Первые два из этих уравнений представляют условия на свободно
опертом контуре; последнее фиксирует условие равновесия сил и
моментов, действующих на контуре плястинки, и момента М внеш-
них сил. Из уравнений (1) получаем
А
Отсюда
w
1-f-v Ма о_ 1 + ' г> Ма
— зц,- '4кб'‘
=-e®T^?t(l+’>(l~^+2(3+’)lnrt“se- <ш)
В связи с наличием в скобках члена, стоящего под знаком лога-
рифма, выражение (гл) дает для наклона изогнутой поверхности бес-
конечно большое аиаченне. Чтобы избежать этой трудности, централь-
ную часть радиуса Ь пластинки можно принять абсолютно жесткой *).
='• ‘) Опыты с такого рода пластинками производились Рорком (R о а г k R. J.,
Bull. Univ. Wisconsin, 74, 1932).
324
ПЛАСТИНКИ РАЗЛИЧНЫХ ОЧЕРТАНИЙ
(ГЛ IX
Предположив, что пластинка защемлена по этому внутреннему кон-
туру, испытывающем}' поворот под действием момента М (рис. 139, Ь),
находим
+ <1+»Я1-Р)l 2р + 2[(3 + >)+(1--)(Лр1пР-
— ₽2J0 + v)₽2—(3+v)]p-1}cos6, fn)
где f —о/a. Если р равно нулю, уравнение (п) сводится к ранее
полученному уравнению (ш). Подстановка выражения (п) в уравне-
Таблипа 64 ние (192) позволяет вычислить
₽=й/а ° ч
0,5 14,17 7,10 12,40
- 0,6 19,54 12,85 28,48
0,7 36,25 25,65 77,90
0,8 82,26 66,50 314,00
изгибающие моменты Мг и Mt.
Аналогичному методу расчета
поддается и случай, когда внеш-
ний контур пластинки защемлен
(рис. 139, с). Этот случай пред-
ставляет практический интерес
при проектировании упругих сое-
динений валов ]). Максимальные
радиальные напряжения на вну-
треннем и внешнем контурах пластинки и угол поворота цент-
ральной жесткой части будут в этом случае
(°г)г^ = а4£,Ч>- <°г)г=о = к14£^
М
atEh*’
где постоинные а, и Oj имеют значения, приведенные в таблице 64.
64. Круглая пластинка под сосредоточенной нагрузкой. Слу-
чай нагрузки, приложенной в центре пластинки, был уже разобран
в § 19. Сейчас мы предположим, что нагрузка Р приложена в точке А
на расстоянии b от центра О пластинки (рис. 140) *). Разделив пла-
стинку на две части цилиндрическим сечением радиусом Ь, как пока-
янно на чертеже пунктирной линией, мы сможем для каждой из этих
частей пластинки применить решение (195). Если угол 0 отсчитывается
от радиуса ОА, то следует удержать лишь те члены, которые со-
l) Reissner Н, Ingr.-Arch., ъ.1, стр. 72, 1929.
’) Задача была решена Клебшем, цит. на стр. 318. См. также F О р р 1 А..
Sitzungsber. Bayer. Akad. Wiss., стр. 155, 1912. Исследование этой задачи
в биполярных координатах было выполнено Меланом (М е I a n Е., Eisenbau,
стр. 190» 1920) и Ф люгге (Flflgge Die strange Bcrechnung von Kreis-
platten under Einzellasten, Берлин, 1928). См. также статью Шмидта
(Schmidt Н., Ingr.-Arch. т. 1, стр. 147, 1930) и Мюллера (MilIler W.,
Ingr.-Arch., т. 13. стр. 355, 1943).
«<’ КРУГЛАЯ ПЛАСТИНКА ПОД СОСРЕДОТОЧЕННОЙ НАГРУЗКОЙ 325
держат cos/nt*. Поэтому для наружной части пластинки будем иметь
(Ь)
«* = Ло+ 2 fl«cos тв- (а)
где
*о=А)+ № 4-С01п г + In г,
«I == 4- + С1Г-' 4- Dxr In г,
Rm = лгаг-4-^/"'Я14-Ст/-т+24-Оя/—+2,
• Аналогичные выражения могут быть написаны также для функ-
ций /?о» Ri. Rm< соответствующих внутренней части пластинки. Обо-
значим постознные для этой
вместо Ат, Вт, ... Тогда из тс
прогиб, наклон и моменты д
центре пластинки конечные
лучим
' Co = Do=O.
c;=d;=o,
Для каждого члена ряда (а)
дет, таким образом, определг
стоянные интегрирования для
стп пластинки и две для зн>
Шесть необходимых для
Получены ив граничных условий на контуре пластинки и из условий
непрерывности на окружности радиусом Ь. Если внешний контур
пластинки предполагается защемленным, то граничные условия будут
(«V..=o. (^),„ = о. (с)
Обозначив прогиб внутренней части пластинки через <wt и заметив,
что по окружности радиусом b не приложено никаких внешних мо-
ментов, мы сможем условия непрерывности на окружности записать-
следующим образом:
dw dwt d2w d2wi . ...
“=’"f 1F=TF- "!»<=* W
Последнее уравнение получено из соображения, относящегося к пере-
резывающей силе Qr на пограничной окружности. Эта сила
326
ПЛАСТИНКИ РАЗЛИЧНЫХ ОЧЕРТАНИЙ
[ГЛ. tx
непрерывна во всех точках окружности, за исключением точки А, где
она испытывает разрыв непрерывности вследствие присутствия при-
ложенной там сосредоточенной силы Р. Выразив эту силу в виде
ряда )
«6 I 2
(е)
и взяв для перерезывающей силы первое из выражений (193), по- -
лучим
° <*“)..» - о у (А®,),.»=-и (у+S и» “в j • ГО
Из шести уравнений (с), (<1) и (1) можно вычислить постоянные инте-
грирования и представить функции Rm и Rm в следующем виде:
Pi* Г1 , 2(o!-H)r (2а®—4r ai
16nD Lr “т" д’й3- Ъг 1П г ]’
р' _ рь* Г 2 (es—*‘) г (а® — 4г . а -]
16*0 [ а®Р *+ а№ Ь2 Ш г J’
РЬт « гт Г
«•= -
& = 8и(т-Ц„о {^[(”- 1>»’-'”«’+-S£i-]+
Пользуясь этими функциями, находим прогиб под нагрузкой
Мг=в.е=о=
Р (а2—Ъ2}2
16лО в®
(196)
При S —О эта формула совпадает с формулой (92) для центрально
нагруженной пластинки. Подобным же обравом исследуется и слу-
чай пластинки, свободно опертой по контуру.
•) Этот ряд аналогичен примененному нами выше в случае прямоуголь-
ной пластинки, стр. 277,
64} КРУГЛАЯ ПЛАСТИНКА ПОД СОСРЕДОТОЧЕННОЙ НАГРУЗКОЙ 327
С помощью того же ряда (а) может быть решена также и задача
круглой кольцевой пластинке, защемленной по знутреннему кон-
i туРУ (г=i) и находящейся под дейст-
вием сосредоточенной силы Р, приложен-
ной на внешнем контуре (рис. 141).
В этом случае грзничные условия для
внутреннего защемленного контура
(«,_» = О. (^)^=t>. (g)
•„•Для внешнего края, загруженного лишь в одной точке, эти условия
сбудут иметь такой вид:
у
L.V Л
2- -b2jcoswi() I-
т~\ '

^Выкладки, выполненные для частного случая bja = ^IZ, показывают1),
tAro наибольший изгибающий момент
(^Л=г», е=о ~- 4,45 .
из знутрением контуре равен
^Изменения момента ло знутрен-
,',иему краю, а также по окруж-
Jbocth радиуса г=5о/6 показаны
|йа рис, 142. Из него видно,
“ЧТО с увеличением угла 6. отсчи-
тываемого от точки приложения
дагрузки. момент быстро умень-
шается.
‘ Общим решением вида (а)
$иожно с успехом воспользо-
ваться в применении к круглой
Щгастинке, загруженной системой
-форредоточеиных сил, распре-
!$еЛенных симметрично относи-
дадьно центра пластинки 2), а так-
дке к кольцевой пластинке. Что
касается круглой пластинки без отверстий, нагруженной
-ВОЙ внецентренно приложенной силой, то к простейшим
лишь од-
решенияи
S ’) Reissner H., цит. на стр. 234. “
; s) Комбинируя эти реактиввые силы с заданным равномерным загруже-
йяем, мы можем решить задачу безбалочного перекрытия, ограниченного
круговым контуром: см. Hajnal-Konyi К., Bereclinung von krelsformlg
ECegrenzten PHzdecken, Берлин, 1929.
328
ПЛАСТИНКИ РАЗЛИЧНЫХ ОЧЕРТАНИЙ
{ГЛ. IX
приводит здесь метод комплексных переменных *), или же, если пла-
стинка защемлена, метод инверсии* 2 э * * * *). Для этого последнего случая
уравнение изогнутой поверхности принимает вид
+<**+ V - 2а cos 6 In ] (»>
где x — r[a, t=b[a (рис. 140). Выражение (197) сохраняет силу
для всей площади пластинки и дает для х = £, 6 = 0, т. е. для
точки приложения нагрузки прогиб (196), полученный выше методом
рядов.
65. Круглая пластинка, опертая в нескольких точках по контуру.
Б случае нагрузки, распределенной симметрично относительно центра пла-
стинки, мы приняли в качестве общего выражения для изогнутой поверх-
ности уравнение следующего вида8):
w = w0+wh (а)
где wD — прогиб пластинки, свободно опертой по всему контуру, a wt удо-
влетворяет однородному дифференциальному уравнению
АД-и?! = 0. (Ь)
Обозначив сосредоточенные опорные реакции в точках опирания 1,2, 3, ...
через Nt, Na, .... Ni и воспользовавшись для предстаяления сосредоточен-
ных сил рядом (h) предыдущего параграфа, получим для каждой реакции Nj
следующее выражение:
где
(с)
') Рейсснер применил этот метод к свободно опертой пластинке (Reis-
sner Е., Math. Ann., т. Ill, стр. 777, 1935). О применении метода Мусхе-
лишвили см. Лурье А. И., Бюлл. Ленингр. политехи, инстит., т. 31, стр. 305,
1928. и Прнкл. мат. мех., т. 4, стр. 93, 1940. См. также N a s 111 а К., Ingr.-
Arch., т. 23, стр. 85, 1955, и Roark R J., Wisconsin Univ- Eng. Exp. Sta.
Bull., 74, 1932.
2) Michell J. H., Proc. London Math. Soc., r. 34, стр. 223, 1902.
э) Несколько задач этого типа было рассмотрено Надаи (Nadal А.,
Z. Physik, т. 23, стр. 366, 1922). Пластинку, опертую в нескольких точках,
исследовал также Бассали (В a s s a I i W. А„ Proc. Cambridge Phil. Soc.,
т. 53, стр. 728, 1957), круглую же паастинку при смешливых граяичных усло-
виях—Гладвэлл (О lad well О, М. L„ Quart. J. Meeh. Appl. Math., т. 11,
стр. 159. 1958).
65] КРУГЛАЯ ПЛАСТИНКА, ОПЕРТАЯ В НЕСКОЛЬКИХ ТОЧКАХ 329
причем -j/ представляет собой угол, определяющий положение опоры i
Срис. 143). Тогда интенсивность опорных реакций в некоторой точке контура
будет дана выражением
2 ™ (|+2 w
в котором суммирование распространяется на все
цнн (с).
Общее решение однородного уравнения
(Ь) дано выражением (195), стр. 318. Считая
пластинку твердым телом и опуская члены,
выражающие бесконечные прогибы и моменты
в центре, получим из выражения (195)
= Ло + +
сосредоточенные резк-
r»n+«)cosm6 +
Рис. 143.

Для определения постоянных имеем следующие условия на контуре:

<Ю~. - (с, - ^г),„ - - 2 «• (т+Ёс“
где Мг[ и Qr даны уравнениями (192) и (193).
Рассмотрим частный случай, когда пластинка опирается в двух точках,
расположенных иа концах одного диаметра. Угол С мы будем отсчитывать
от этого диаметра. Тогда ti =0. у8 = тс. и мы получим
я>-^+2хЛ\)в{21п2-1+т^(21п2-4)-
“ S [m(m—1) + (1—ч)(/п^-1)м« m(mj-l) ] cos m® } ’(g)
4, 6, ...
где о>0—прогиб свободно опертой симметрично нагруженной пластинки,
Р—полная нагрузка на пластияку и р — г/а. Если нагрузка приложена
в центре, то из выражения (g), приняв v = 0,25, получаем
(ы/)

(«')

330 ПЛАСТИНКИ РАЗЛИЧНЫХ ОЧЕРТАНИИ [ГЛ. IX
Для равномерно нагруженной пластинки будем иметь следующие значения
прогибов:
<•>,.»=«да-тт-
(W) , , --<>,371
I-1-’-! U
Сочетанием деух решезий типа (g) мы можем прийти также и к случаю,
изображенному на рис. 144.
Если круглая пластинка оперта в трех точкак контура, отстоящих одна
от другой на 120°, и нагрузка приложена в центре, то прогиб пластинки
в центре будет равен
Под равномерно распределенной нагрузкой про-
гиб в центре будет
(«,)^0 = 0,0362^.
где Р=ла^.
Случай пластинки, опертой в трех точках, был исследован эксперимен-
тально на стеклянных пластинках. Эти эксперименты обнаружили весьма
удовлетворительное согласие с теорией*).
66. Пластинка, имеющая форму сектора круга. Выведенное для круг-
лой пластинки (§ 62) общее решение можно с некоторыми видоизменениями
применить также и для пластинки, имеющей форму сектора, свободно опер-
того но прямолинейным краям®). Возь-
Рис. 145.
мем в качестве примера равномерно
нагруженную пластинку в виде полу-
круги, опертую по диаметру АВ (рис. 145).
Прогиб такой пластинки ничем, оче-
видно, ие будет отличаться от прогиба
показанной пунктиром круглой пластин-
ки, загруженной, как показано на
рис. 145,5. Равномерно распределенная
нагрузка предстанляется в этом слу-
чае рядом
’= ’’ “•* <">
и дифференциальное уравнение изогнутой поверхности будет
=-i- V -^-sinntfl.
D £4 тп
m-1.3, 6,...
(Ь)
!) Эти опыты были проделавы Надам, цит. на стр. 328.
®) Задачи этого типа исследовались Надаи (Nadal A., Z. Ver. deutsch.
Ing., т. 59, стр. 169, 1925). См. также Г а л е р к и н Б. Г., Собрание сочине-
нии, т. 2, стр. 320, М, — Л., АН СССР, 1953, где для таких случаев даны
таблицы численных значений.
«) ПЛАСТИНКА, ИМЕЮЩАЯ ФОРМУ СЕКТОРА КРУГА 331
Частное решение этого уравнения, удовлетворяющее граничным усло-
виям на диаметре АВ, имеет вид
2в s1""’ (с>
Решение однородного дифференциального уравнения (194), удовлетворяющее
условиям на диаметре АВ, будет
">.= 2 (Л,л”siu»i «п
т-1, а, б,...
• Сочетание выражений (с) и (d) дает нам полное выражение для прогиба w
-полукруглой пластинки. Постоянные Ат к Вт находятся в каждом частном
случае из условий на криволинейном контуре пластинки.
В случае свободно опертой пластинки будем иметь
(®)г=е = 0, |
I <е>
Подставив в эти уравнения вместо w сумму рядов (с) и (d), получим сле-
дующие уравнения для вычисления Ат и Вт-
А а™-Л-В am+s = —____-....—. ________
X. т + т ras=(l6—т2) (4—m2)D*
‘Ата’’1 [.«(т — 1)—w (т — 1)] + Bmam+S (т 4-1) [т 4- 24-v (2 — т)] =
4?«2 [124-v(4 — та2)|
= nw(l6—т2)(4—яг2)Р
Из втих уравнений находим
л = _______________ga«(w4-54-n)
аттп (16— т2) (2 4- т) £ т 4- 0 + ’)j &
Вт = — »___________ga4(m4-34-v) ________________
в^+’дап (44- пг)(4— ms)[и 4- 1 (1 4-*)] D
При найденных значениях постоянных выражение для прогиба пластинки
принимает вид
09
,__ да* VI ) 4г1 1 .
W ~~ D I в4 тп (16— »лв)(4—/л2) '
д гт____________т-[~^4~ч__________________
1 а мл (16 — /й£)(24-т)^/п4~ (1+v)j
rm+s m4-3-}.v
nm+s r i
тп (44- т) (4 — т‘) 4- у G4- X
Это ныражение для прогиба позволит дам без затруднений получить из
уравнений (192) изгибающие моменты.
' 332 ПЛАСТИНКИ РАЗЛИЧНЫХ ОЧЕРТАНИИ (ГЛ IX
Аналогичным образом мы можем найти решение и для всякого иного
сектора с центральным углом п/Л, где к данное нам целое число. Оконча-
тельные выражения для прогибов и изгибающих моментов в заданной точке
могут быть представлены в каждом частном случае следующими формулами:
и» = а^-, Mr = $qa?, — (f)
где се, р и — численвые коэффициенты. Некоторые значения этих коеф-
фициентов для точек, взятых на оси симметрии сектора, приведены
в таблице 65.
Таблица 65
Значения коэффициентов а, pi для различных углов r.]k
пластимин-сектора, свободно опертого по контуру (v=0,3)
«/* rja-4t
« ₽ ₽ » ₽ Pl
г-/4 х/3 л/2 0,00006 0,00019 0,00092 0,00589 —0,0015 —0,0025 0,0036 0,0692 0,0093 0,0177 0,0319 0,0357 0,00033 0,00080 0,00225 0,00811 0,0069 0,0149 0,0353 0,0868 0,0183 0,0255 0,0352 0,0515
г/а=1
ъ ₽ ₽. ₽ ₽<
1 йЛ-- я 13w 4* 0,00049 0,00092 0,00203 0,00560 0,0161 0,0243 0,0381 0,0617 0,0169 0,0213 0,0286 0,0468 0 0 0 0 0 Q 0 0 ppp.© 1
Случай, когда пластинка, имеющая форму сектора, защемлена по дуге
контура и свободно оперта по прямолинейным краям, поддается решению
только что рассмотренным нами методом. Значения коэффициентов а и р
для точек, расположенных на осн симметрии сектора, приведены в таблице 66.
Из этой таблицы мы видим, что максимальное напряжение изгиба в рас-
смотренном случае имеет место в средней точке, ограничивающей сектор
дуги окружности.
Если этот круговой край в равномерно нагруженной пластинке, имеющей
форму сектора, совершенно свободен, т. е. не оперт, то максимальный
прогиб будет иметь место в средней точке этого свободного края. Для
случая, когда л/А = я/2, будем иметь
0.0633^-'.
Изгибающий момент в этой точке равен
В общем случае пластинки, имеющей форму кругового сектора и за-
щемленной или свободной (нсопертой) по радиальным краям, следует при-
ПЛАСТИНКА, ИМЕЮЩАЯ ФОРМУ СЕКТОРА КРУГА
Значения коэффициентов « и ₽ для различных углов r./k
пластинки-сектора, защемленной по дуге окружности
и свободно опертой по радиальным краям (v —0,3)
*1* * г/а=Ч. ria-ч. r/a=s/< r/a—t
« ₽ * 0 ° 0 0
п/4 0,00005 0,00017 —0,0008 0,00026 0,0087 0,00028 0,0107 0 -0,0250
л/3 —0,0006 0,00057 0,0143 0,00047 0,0193 0 -0,0340
п/2 0,00063 0,0068 0.00132 0,0272 0,00082 0,0113 0 —0,0488
0,00293 0.0473 0,00337 0,0446 0.00153 0,0016 0 -0,0756
бегать к приближенным методам >). Однако частная задача о клинообразной
пластинке, несущей поперечную нагрузку, допускает строгое решение (см. § 78),
Другая задача, также доступная точному методу—это задача об изгибе
пластинки, защемленной по двум круговым дугам 2). В этом случае надлежит
Значения коэффициентов «, ₽ и (уравнения (f)| для полукруглой
пластинки, защемленной по контуру (рис. 145, a) (v = ОД)
Распределение нагрузки г/а—0 ? г/а—0,486 “max г/ав0,ЗЮ ?I max r/d=J
Равномерная нагрузка q Гидростатическая на- грузка ?у/а —0,0731 —0,0276 0,355 0,00202 0.0194 -0,0584 -0,0355
’) См. Carrier G. F., Sb aw F. S., Proc. Symposia Appl. Math., t. 3,
стр. 125, 1950; Conway H. D., Huang M. K., J. AppLMech., t. 19, стр. 5,
1952; Hasse H. It, Quart. Meeh., Appl. Malb, t. 3, стр. 271, 1950. Загруже-
нне сосредоточенной силой рассматривается в докладе S е k I у а Т., Saito А.,
Proc. IV Japan Congr. Appl. Meeh., 1954, crp. 195. О защемленных пластинках,
ограниченных двумя радиусами и двумя дугами, см. Carrier О. F., J. Appl.
Meeh., т. II, стр. А-134, 1944. Та же задача при различных граничных условиях
рассматривается в работе D е v е г a 11L. I., Т h о г n е С. J., J. Appl. Месй.,
т. 18, стр. 359, 1951. Изгиб равномерно нагруженной полукруглой пластинки,
свободно опертой по крииолинейной части контура и свободной но диаметру
(диафрагмы паровой турбивы), подробно исследован Мустером и Садовским
Ш и s t е г D. F., S a d о w б к у М. A., J. Appl. Meeh., т. 23, стр. 329,1956).
Такая же пластиияа, но защемленная по криволинейной части контура соста-
вляет содержаяиеработы: MGggenburg Н.,Ingr.-Arch., т.24, стр. 308, 1956.
*) Функция Грива для этих граничных условий была получена Диксоном
(Dixon А. С., Proc. London Math. Soc., т. 19, стр. 373, 19ЙО). Интересный
случай ограничения (ее применимости) см.: Dean W. It, Proc. Cambridge
Phil. Soc., t. 49, стр. 319, 1953. При распределенных нагрузках можно из-
бежать несколько трудоемкого обращения к функции Грина; см. Wo 1 по-
чт s к у-К г 1 е g е г S, J. Appl. Alech., т. 22, стр. 129, 1955; Ingr.-Arch., т. 24.
стр. 48, 1956.
334 ПЛАСТИНКИ РАЗЛИЧНЫХ ОЧЕРТАНИИ [ГЛ. ГХ
воспользоваться биполярными координатами; численные же данные, отно-
сящиеся к частному типу такой задачи — о защемленной полукруглой-пла-
стинке,— приводятся в таблице 67.
Биполярные координаты с успехом находят применение также и в задаче
о пластинке, защемленной между внешним и внутренним (неконцентрическими)
круговыми контурами и несущей одну сосредоточенную нагрузку *).
67. Круглая пластинка переменной толщины. Круглые пластинки не*
равномерной толщины встречаются иногда при проектировании деталей
машин: таковы, например, диафрагмы паровых турбин или поршни машин
с возвратно-поступательным движением рабочих частей. Толщина таких пла-
стинок бывает обычно функцией радиального расстояния, а действующая
ва них нагрузка симметрична относительно центра пластинки. Ограничимся
в дальнейшем изложении э'гим симметричным случаем.
Поступай, как было разъяснено в § 15, и пользуясь обозначениями этого
параграфа, выведем из условий равновесия влемента, подобного изображен-
ному на рис. 23 (стр. 67), следующее уравивнве:
Л,+-^г-АГ,+Ог-О. (а)
где, как и раньше.
причем
a Q — перерезывающая сила, приходящаяся на единицу длины кольцевого
окружного сечения радиуса г. Для сплошной пластинки Q выразится фор-
мулой
0 = 'SF J 'f"rdr- W
0.
в которой q—интенсивность поперечной нагрузки.
Подстазнв выражения (Ь), (с) и (б) в уравнение (а) и заметив, что
жесткость пластинки при изгибе D уже не является постоянной величиной,
а изменяется в ааяисимости от радиуса-вектора, мы придем к следующему
уравнению:
Таким образом, задача об изгибе круглой симметрично нагруженной Пла-
стинки сводится к решению дифференциального уравнения (е) второго
’) Эта задача исследована Кудрявцевым И. В., Доклады АН СССР,
т. 53, стр. 203, 1946.
ВЛ КРУГЛАЯ ПЛАСТИНКА ПЕРЕМЕННОЙ ТОЛЩИНЫ 335
порядка с переменными коэффициентами. Чтобы представить уравнение в без-
размерной форме, введем следующие обозначения:
а—радиус внешнего контура пластинки,
Л— толщина пластинки в некоторой точке,
Ло — толщина пластинки в центре.
Тогда
Предположим, сверх того, что нагрузка распределена равномерно. Введя
Преобразуем уравнение (е) к следующему виду:
d*t . (1 , dlny*\ dy Z1_v. rflny»\ px под.
d?+U+“4i' x~dx“)? = “V ( *
Во многих случаях переменную толщину пластинки можно с достаточ-
ной точностью представить уравнением ’)
_₽£
У = * 6 . (Ь)
Где ₽ — постоянная величина, которую нужно выбрать таким образом, чтобы
в каждом частном случае подойти как можно ближе к действительным про-
порциям в размерах пластинки. Графики изменения толщины пластинки
в радиальном направлении, соответствующие различным значениям постоян-
ной величины ,р. показаны па рис. 146. Подставив выражение (h) в уравне-
ние (198), еайдем
Легко установить, что
»•---(S—°’
представляет собой частное решение уравнения (i). Одно из двух решений
однородного уравнения, соответствующего уравнению (1), может быть взято
в форме степенного ряда
. _а Г„ . V Ря(1+7)(3+т)... pfr-l-H) 1
2-4-4-6-Б...2л-2п(2п+2) Х ’ (R)
L л-т J
•) Первое исследование изгиба круглой пластинки неравномерной тол-
щины было выполнено Хольцером (Holzer Н., Z. ges. Turbtnenwesen, т. 15,
стр. 21, 1918). Приведенные в настоящем параграфе результаты заимство-
внны из докторской диссертации Пихлера «Изгиб радиально-симметричных
пластинок неременной толщины» (Pichler О., Die Blegimg kreissym-
metrlacher Plailen von veranderficher Dicke, Берлин, 1928). См. также статью
Гран Олъссоиа (Gran Olason R., Ingr.-Arch., т. 8, стр. 81, 1937).
'336
ПЛАСТИНКИ РАЗЛИЧНЫХ ОЧЕРТАНИЙ
[ГЛ IX
где О] — произвольная постоянная. Второе решение того же уравнения ста-
новится в центре пластинки, т. е. при х — О, бесконечно большим и, следо-
вательно, ие должно приниматься в соображение, если в центре пластинки
нет отверстия. Сочетая решения (j) и (к), мы можем написать общее реше-
ние уравнения (i) дли всей пластинки в следующем виде:
(1)
Постояииад С должна быть в каждом частном случае определена из усло-
вия на контуре пластинки. Поскольку ряд (к) равномерно сходитск, его
можно дифференцировать, и подстановка в уравнения (Ь) даст нам выраже-
ния для изгибающих моментов. Прогиб находится из уравнения (с).
В случае пластинки, защемленной по контуру, граяичные условии
будут иметь вид
= (¥)х=1==0, (ш)
и постоянная С в решении (I) примет следующее значение:
Чтобы получить численное значение С для данного значения р, определяю-
щего' профиль дламетрального сечения пластинки (см. рис. 146), мы должны
вычислить сумму ряда h для л,= 1. Итоги таких вычислений приведены
в вышеупомянутой работе Пихлера. В ней давы также и численные значе-
ния производной и интеграла ряда (к), с помощью которых можно вычислять
моменты и прогибы пластинок.
Прогиб пластинки в центре можно представить формулой
где а —численный коэффициент, зависящий от постоянной р. Ряд значений
этого коэффициента, вычисленных для v — 0,3, приводится во второй строке
таблицы 68.
Максимальные напряжения изгиба для различных радиальных расстоя-
ний могут быть представлены формулами
(ОгЬмх = ± 1 . (=l)m« = ± И -
«О
(Р)
6П
КРУГЛАЯ ПЛАСТИНКА ПЕРЕМЕННОЙ ТОЛЩИНЫ 337
Таблица 68
Численные коэффициенты а и с' для вычисления прогибов
в центре круглой пластинки переменной толщины (у =0,3)
0,0801
0,2233
0,0639 0,0505
0,1944 0,1692
0,0398
0,1471
0,0313
0,1273
0,0246
0,1098
0,0192 0,0152
0,0937 0,0791
0,01195
0,06605
Значения численных коэффициентов -j и fi Для различных размеров пла-
стинки н различных значении х — г]а представлены графически на рис. 147
и 148. При р=0 эти кривые дают те же самые значения напряжений, что
и полученные нами ранее для пластинки постоянной толщины (см. рис. 29,
стр. 72).
В случае пластинки, свободно опертой по контуру, граничные усло-
вия будут
(w)x=l=0, (AQ,= i=0. (q)
Исследование показывает, что уравнения, аналогичные уравнениям (о) в (р),
могут дать выражения для прогибов и максимальных напряжений также и
в этом случае При этом для постоянных величин мы будем пожзоватьск
обозначениями а, у и вместо с, у и ур введенных нами для защемлен-
ной по контуру пластинки. Значении «' приведены а последней строке таб-
лицы 68. значения же / к у, представлены графически на рис. 149 и 150.
338
ПЛАСТИНКИ РАЗЛИЧНЫХ ОЧЕРТАНИЙ
(ГЛ IX
Вычисление прогибов и напряжений в данной пластинке переменной тол-
щины мы начинаем с выбора надлежащего вначения постоянной ₽, предста-
вленной посредством кривых рис. 146. После того кая значение ₽ устано-
влено и условия на контуре известны, мы можем, воспользовавшись значе-
ниями таблицы 68, вычислить прогиб в центре, а с помощью кривых на
с удовлетворительной точностью ин одной из кривых рис. 146, то всегда
КОЛЬЦЕВАЯ ПЛАСТИНКА ЛИНЕЙНО ИЗМЕНЯЮЩЕЙСЯ ТОЛЩИНЫ 339
Й(ожно применить приближенный метод решения задачи. Этот метод заклю-
чается в том, что мы разбиваем пластинку концентрическими окружностями
«а несколько колец и для каждого из них пользуемся формулами, ранее
«введенными для кольцевой пластинки постоянной толщины. Процедура ра-
счета получается весьма сходной с той, которую Граммель (R. Grantmel)
{(предложил для вычисления напряжений во вращающихся дисках •).
68. Кольцевая пластинка линейно изменяющейся толщины. Рассмот-
м круглую пластинку с концентрическим отверстием, толщина которой
ется по закону, представленному на рис. 151. Пластинка весет на-
у интенсивностью а, равномер-
распределенную по площади,
также погонную нагрузку р = Р^Ь,
омерно распределенную но краю
ретин *). Положив, что изгибнан
гкость пластинки по окружности
й= Ь равна Ро = 12(1—v2),
м ее значение из иекото-
^асстояини г от центра вели-
(а)
Шадставляя вто в уравнение (е)
{5, 67 и принимая в расчет дополни-
тельную перерезывающую силу Pft*r, обусловленную загрузкой края, при-
водим к дифференциальному уравнению
<ь>
_. Решение однородного уравнения, соответствующего уравнению (Ь), полу-
жям без труда, положив у = Г*- Сочетая это решение с частным решением
сравнения (Ь), находим
’ = Лг’* + Вга‘+2Ос(1 —3V) — 6(1—+ —v)Dor» ’
8» _________ t____________________
с, =—1,5-}-/3,25 — Зт, «, = —1,5—/3,25 —Зъ (d)
частном случае v =/« выражение (с) заменяется иным:
У . , В gb» , г qtfi Р&
t- ezy;111 й (e)
f* ') O r a m m e'l R., Dinglers Polytechn J., t. 338, стр. 217, 1923. На ана-
логию, существующую между задачей о вращающемся диске и задачей
’да поперечном изгибе круглой пластинки переменной толщины, указал Фёппль
б р р I L., Z. angew. Math. Meeh., т. 2, стр. 92, 1922). Несимметричный
•Изгиб круглой пластинки переменной толщины рассматривался Гран Ольссо-
JHom (Oran Olsson R., Ingr.-Arch., т. Ю, стр. 14, 1939).
: a) Этот вопрос был исследован Конвеем (Conway Н. D., J. AppL
Meeh., т. 15, стр. 1, 1948). Численные результаты, приведенные в таблице 69,
ааимствованы из этой работы.
340
ПЛАСТИНКИ РАЗЛИЧНЫХ ОЧЕРТАНИИ
[ГЛ IX
Произвольные постоянные Л и В определяются из контурных
условии пластинки. Введя сокращенную запись вместо (?)г=6. Мь вместо
(Мг)г=б и аналогичным образом ус, Мп, даем в таблице 69 сводку гранич-
ных условий (в последнем столбце) и вычисленные с немощью уравнения (е)
аяачения коэффициентов k и kf. С помощью последних читатель сможет
Таблица 69
Коэффициенты уравнений (f) для различных значений
отношения а]Ь (рис. 151) (v = Vs)
Различные варианты эагружения и опирания (классификация таблицы 3J КоЭф- фицн- al° Граничные условия
1,25 1,5 2 3/ 4 5
♦ k Й, 0,249 0,00372 0,638 0,0453 3,96 0,401 13,64 2,12 26,0 4,25 40,6 6,28 O'CO II II II , Q, £-?
4 рой k fe, 0,149 0,00551 0,0991 0,0564 2,23 0,412 5,57 1,673 7,78 2,79 9,16 3,57 ©oo IIIIII
5 V k kt 0,1275 0,00105 0,515 0,0115 2,05 0,0934 1,97 0,537 17,35 1,261 30,0 2,16 ©•co 1 II II II
6 f k kt 0,159 0,00174 0,396 0,0112 1,091 0,0606 331 0,261 6,55 0,546 10,78 0,876 II II II eeo
k kt 0,353 0,00816 0,933 0,0583 2,63 0,345 6,88 1,358 11,47 2,39 16.51 3,27 ©o© II П II
йз’З k kt 0,0785 0,00092 0,208 0,008 0,52 0,0495 1,27 0,193 1,94 0,346 2,52 0,482 ООО IIIIII ft. ££
♦) Где Q = ^(a’—62).
69] КРУГЛАЯ ПЛАСТИНКА ЛИНЕЙНО ИЗМЕНЯЮЩЕЙСЯ ТОЛЩИНЫ 341
определять наибольшие абсолютные значения напряжений и прогибов для
шести различных случаев загружения q и Р яо формулам
(or)mai = * или (ar)max = А ,
qa* Ptfl
(«W = -^3- или (w),naj[ = *1 .
(О
Соответствующие аяачения для подобных же пластинок постоянной толщнвы
приводятся в таблице 3 (стр. 79).
69. Круглая пластинка линейно изменяющейся толщины. Исследо-
вание изгиба круглой пластинки '), представленной на рис. 152, обязывает
нас рассмотреть в отдельности две ее части:
1) Кольцевую область b < Г < а. Если v Ф X, го наклон « = дается
о аг
здесь опять выражением (с)
§ 68, однако без предпослед- ,д
“V'toyipe.™ область .1ПП1 IUII I1IIIIL
4де индексом I отмечена вну-
тренних область пластинки.
Общим решением уравнении
(а) будет
Постоянные А, В в уравнении (с) § 68, а также Л,, В/ в уравнении (Ь) уста-
навливаются граничным условием
и условиями непрерывности
WU.-A (£-•м.е-«-
Таблицы 70 и 71 дают прогибы и аяачения изгибающих моментов
для двух случаен загружения. Чтобы вычислять изгибающий момент в центре
в случае, когда сосредоточенная сила Р приложена в центре, мы вправе
’) Защемленные и свободно опертые пластинки такой формы исследо-
вались Фавром (Favre Н., Bull. Techn. Suisse romande, т. 75, 1949). При-
водимые ниже численные результаты получены в основном из работы
Favre Н., Chabloz Е., Bull. Techn. Suisse г., т. 78, 1952,
342
ПЛАСТИНКИ РАЗЛИЧНЫХ ОЧЕРТАНИЙ
[ГЛ. IX
Таблица 70
Прогибы и изгибающие моменты круглой защемленной пластинки
под равномерной нагрузкой (рис. 152, a) (v = 0,25)
Л[а ®тах7 оа* с.,3 £Ло JH —Вда3
г—а г—-а г—0 г—с
₽ ₽ ₽ ₽, К
0,2 0,008 0,0122 0,0040 —0,161 0,0122 0,0078 -0.010
(1,4 0,042 0,0332 0,0007 -0,156 0,0332 0,0157 -0,039
0,6 0,094 0,0543 —0,0188 —0,149 0,0543 0,0149 -0,037
0,8 0,148 0,0709 —0,0591 -•0,140 0,0709 0,0009 -0,035
1,0 0,176 0,0781 —0,125 —0,125 0,0781 —0.031 -0,031
принять, что эта нагрузка распределена равномерно по площади малого
круга радиусом с. Тогда момент Mr ~ Mt в точке г = 0 может быть выра-
жен функцией
Л4тах = Л4с—-^(1— '2£s) + *1p- <с>
Здесь А40 определяется из уравнения (83), имеющего силу для свободно
опертой пластинки постоянной толщины; второй член представляет влияние
краевого момента, третий член, отражающий неравномерность толщины
пластинки, определяется по таблице 71.
Таблица 71
Прогибы и изгибающие моменты круглой защемленной по контуру
пластинки под центральной нагрузкой (рис. 152, Ь) (у = 0,25)
С[а В II Mr~Mt мг^р
гг^а r=l> г=яа
о р ' ₽ (>.
0,2 0,4 0,6. 0,8 IX» 0,031 0,093 0,155 0,203 0,224 *) Из ура -0.114 —0,051 -0,021 —0,005 0 внения (с —0,034 -0,040 —0.050 —0,063 —0,080 )• —0,129 —0,112 —0,096 —0,084 —0,080 —0,028 —0,034 —0,044 -0,057 MJ.020 §§gs§
В случае высокой концентрации нагрузки, требующей обращения к теория
толстой пластинки, напряжение в центре нижней поверхности пластинки
69]
КРУГЛАЯ ПЛАСТИНКА ЛИНЕЙНО ИЗМЕНЯЮЩЕЙСЯ ТОЛЩИНЫ 343
дается выражением
где а0 можно вычислить из выражения (97).
Предполагая, далее, что изгибиая жесткость пластинки изменяется по
закону
D-D"('-i)"- <е>
где а0 обозначает длину, ио край-
ней мере равную радиусу пла-
стинки, мы приходим к общему
выражению наклона у в гипер-
геометрических функциях *). Част-
ное допущение т = t/т приводит,
однако, к решению в замкнутой
форме. Приняв, сверх того,v = ’/з.
возвращаемся няовь к случаю
пластинки с линейно изменяю-
щейся толщиной®).
Симметричная деформация
пластинок, подобных воспроизве-
денной на рис. 153, была также ис-
следована методом параметров,
близким к наложенному в §39. От-
дельные численные результаты®),
полученные этим путем, приво-
дятся в таблицах 72 и 73.
При центральном загружен и и
силой Р (рис. 153, Ъ) определе-
ние изгибающих моментов и рас-
тягивающих напряжений можно
производить по формулам
(О
«max = «о + -^?Ч (Е)
«о
Рис. 153.
аналогичным уравнениям (с) и (б). 2И0 и на этот раз находится из (83), при-
чем о0 обозначает результат, полученный из выражения (96), а коэффи-
циент у8 берется из.таблицы 73,
Практический интерес представляет также сочетание нагрузок
(рис. 153, а и Ь). Положив q =—Р/яа9, мы получаем состояние равновесия
круглой фундаментной плиты, несущей центральную нагрузку Р и испыты-
вающей в то же время равномерно распределенную реакцию грунта
’) Gran Olsson R., Ingr.-Arch. т. 8, стр. 270, 1937.
’) См. в особенности Conway Н. О., J. Арр!. Meeh., т. 18, стр. 140,
151; т. 20, стр. 564, 1953.
®) Как результаты, так и сам метод принадлежат Фавру и Шабло
(Favre Н., Chabloz Е. Z., angew. Math. Phys., т. 1, стр. 317, 1950, п
Bull, Techn. Suisse rom., т. 78, 1952).
344
ПЛАСТИНКИ РАЗЛИЧНЫХ ОЧЕРТАНИИ
[ГЛ IX
Таблица 72
Прогибы и изгибающие моменты свободно опертой пластинки
под равномерной нагрузкой (рис. 153, a) (> = 0,25)
Klmax Е з Eh0 Mr=egas Р(са2
Г=0 г-с/2 r=0 r=a]2 r=a
я (3 ₽ Р1 р, ?,
1,00 1,50 2,33 0,738 1.26 2,04 0,203 0,257 0.304 0,152 0,176 0,195 0,203 0,257 0,304 0,176 0,173 0,167 . 0,094 0,054 0,029
Таблица 73
Прогибы и изгибающие моменты свободно опертой круглой
пластинки под центральной нагрузкой (рис. 153,6) (v = O,25)
*0 fc, Ра1 ‘“’max 3 Eh0 Mr=Mt мг=ер
r=*al2 r=a/2 r=a
о 4 P Pj P,
1,0 1,50 2,33 0,582 0,93 1,39 0 0,029 0,059 0,069 0,088 0,102 0,129 0,123 0,116 0,060 0,033 0,016
Таблица 74
Изгибающие моменты круглой фундаментной плиты
под центральной нагрузкой и равномерно распределенным
давлением грунта (рис. 153,с) (> = 0,25)
A Й, Mr=Mf мг^р М( = ^Р
r=0 r—a]2 r=a!2 r-“
‘s P ₽l ₽|
1,00 1,50 2,33 —0,065 —0,053 —0,038 0,021 0,032 0,040 0,073 0,068 0,063 0,030 0,016 0,007
НЕЛИНЕЙНЫЕ ЗАДАЧИ ИЗГИБА КРУГЛОЙ ПЛАСТИНКИ
345
(рис. 153, с). Некоторые, относящиеся к этому случаю дазиые и, в частности,
значения коэффициента у2, входящего в формулы (f) и (g), приведены
в таблице 74
70. Нелинейные задачи изгиба круглой пластинки. Из теории
изгиба бруса известно, что если условия его опирания или загруже-
ния зависят от прогиба, то этот прогиб уже не будет пропорциона-
лен нагрузке, в связи с чем мы
теряем право в этих условиях ноль- ГТТТТ Г J ill 1 ТГПТ'1
зеваться принципом наложения2). f L
Аналогичные задачи встречаются </Г ' Т Г[ ‘‘
также и в вопросах изгиба пласты- 3 ’ ”
нока). Простым примером может
служить случай, показанный на —— I
рис. 154. Круглая пластинка радиу- //
са а прижата равномерно распре- мо Ъ)
деленной нагрузкой д к абсолютно
жесткому горизонтальному основа- Рис. 154.
нию. Если по контуру пластинки
приложены моменты интенсивностью Ма, то может оказаться, что
кольцеобразная часть пластинки будет, как показано на чертеже,
изогнута, средняя же часть радиусом b останется плоской. Подобные
условия имеют место в преобладающем большинстве случаев, напри-
мер. при изгибе днища круглых цилиндрических резервуаров, напол-
ненных жидкостью. Моменты Ма представляют в этом случае дей-
ствие цилиндрической стенки резервуара, испытывающего местный
изгиб днища. Применяя к кольцевой части днища известную фор-
мулу для равномерно нагруженной круглой пластинки [см. выраже-
ние (ш) в § 62], получим прогиб
«F=Cl+C8lnr+C3r2+C4r2lnr+-^.
(а)
Для определения постоянных интегрирования С,,___, С4 мы распо-
лагаем следующими граничными условиями для внешнего края:
(«0г=о—0, (Л1,)г=в=— Ма.
(Ь)
’) Дальнейшие сведения к расчету круглых пластинок переменной тол-
щины см. в трудах: G i 111 е m a n W., Aircraft. Eng., t. 22, стр, 224, 1950, и
Paschoud X, Schweiz, Arch., t. 17, стр. 305, 1951. Графический метод
расчета был двн С h е п 6 а Р. F., N a g b d i Р. М., J. Appl. Meeh., т. 19,
стр. 561, 1952.
®) Пример подобной задачи рассмотрен С. П. Тимошенко в «Сопро-
тивлении материалов», т. I, стр. 303, Гостехиздат, М., 1945.
8) См. Гиркман (Girkman К., Der Stahlhau, т. 18, 1931). Несколько
примеров такого рода задач разбирается также в статье Гофмана (Hof-
mann К., Z. angev. Math. Meeh., т. 18, стр. 226, 1938).
346 ПЛАСТИНКИ РАЗЛИЧНЫХ ОЧЕРТАНИЙ * [ГД !Х
На окружности радиуса b прогиб и наклон равны нулю. Изгибаю-
щий момент на этой окружности также должен быть равен нулю,
так как внутренняя часть пластинки остается плоской. Поэтому усло-
вия на окружности радиусом b будут
= = т,.„ =0. (е)
Подчиняя выражение (а) условиям (Ь) и
пяти уравнениям:
(с), приходим к следующим
С, + С2 In а + Сао! + С4о2 Ш а = — ,
С, -4- С, In b С362 4" С.62111 -а — — >
Сг^ + С32(. + 1)+
+С,(3+21пО+2»1па+»)=—Й>(3+»)+4г'
С, р F С32 Ь 4~ О 4-
4- С, (3 + 2 in b + 2. In b + .) = — (3 4- v),
С, 14 С82й 4 CJ> (2 in b 4- 1) = - ’J-.
(d)
Исключая из этих уравнений постоянные СР С4. получим урав-
нение, связывающее Л1а с отношением й/а, из которого для любого
заданного значения Ма можно вычислить радиус b плоской части
пластинки. При этом значении b определятся постоянные интегри-
рования, и уравнение (а) даст нам выражение прогиба пластинки.
Представив момент Ма и угод поворота <?а края пластинки уравне-
ниями
««=“< « И
и иояторив вышеукаванные вычисления для нескольких значений мо-
мента Ма. мы сможем для частного случая1) я = 0 представить соот-
ношение между постоянными коэффициентами аир графически, как
показано на рис. 155. Из этого графика мы видим, что ₽ авменяется
ие пропорционально а и что с уменьшением отношения Ь[а сопро-
тивление края пластинки повороту также уменьшается. Этот
закон имеет силу до тех пор, пока а не примет значение 5, при
*) Этот случай рассмотрен в статье Гофмана, цит. на стр. 345.
71J
ЭЛЛИПТИЧЕСКАЯ ПЛАСТИНКА
347
котором р=1 и Ь(а = ^. При этом пластинка соприкасается с осно-
ванием лишь в центре, как показано на рис. 154, Ь. При больших
значениях а, т. е. для моментов,' превышающих Afa=5joa/32, пла-
стинка вовсе не соприкасается с основанием, и зависимость между а
и р изобразится прямой линией АВ. Значение Ма ~ 5да2[32 является
именно тем значением, при котором вызванный моментами Мо про-
гиб в центре становится численно
равным прогибу равномерно нагру-
женной свободно опертой по краю
пластинки [см, уравнение (68)].
Другой пример того же типа
изображен на рис. 156. Равномерно
нагруженная круглая пластинка сво-
бодно оперта по краю, покоясь
в центре на абсолютно жестком
основании. Кольцеобразную часть
Рис. 155.
Рис. 156.
пластинки с внешним радиусом а и внутренним радиусом b здесь
точно так же можно рассматривать как равномерно нагруженную
пластинку и применить к ней решение (а). Отношение tya зависит
от прогиба 8 и интенсивности нагрузки д.
71. Эллиптическая пластинка. Равномерно нагруженная эл-
липтическая пластинка, защемленная по контуру. Если оси
координат расположены, как показано на рис. 157, то уравнение
контура пластинки будет иметь вид
1—0.
(а)
Дифференциальное уравнение
ДДш = -^- (Ь)
и граничные условия для защемленного контура, т. е.
"==0 " “°' (О
348 ПЛАСТИНКИ РАЗЛИЧНЫХ ОЧЕРТАНИИ [ГЛ. IX
будут удовлетворяться, если мы примем для прогиба W выражение1)
« = £-£)' <d)
Известно, что это выражение и его первые производные по х и у
в силу уравнения (а) обращаются на контуре в нули. Подставив
в уравнение (Ь) выражение (d), мы уви-
дим, что это уравнение будет удовлетво-
ряться, если только
Рис. 157. Таким образом, поскольку выражение (d)
удовлетворяет уравнению (Ь) и гранич-
ным условиям, оно представляет собой точное решение для равно-
мерно нагруженной эллиптической пластинки, защемленной по
контуру. Подставив х = у=0 в выражение (d), мы найдем, что «ц,.
определенное ив уравнения (199), будет прогибом пластинки в ее
центре. Если а = Ь. то мы получим для прогиба значение, выведен-
ное нами раньше для круглой защемленной по контуру пластинки
[уравнение (62), стр. 71]. Если а = оо, прогиб становится разным
прогибу равномерно нагруженной полоски пролетом 2Ь, защемленной
по концам.
Изгибающий и крутящий моменты получаются при подстановке
выражения (d) в уравнения (101) и (102). Таким путем мы найдем
Для центра пластинки и для концов большой оси эллипса получим
соответственно
(!)
Аналогичным образом для моментов Л1у в центре и на концах малой
оси эллипса найдем
*) Это решение, а равно и решение для равномерно изменяющейся на-
грузки q были получены Брайэном (О. Н. Bryan); см. книгу Л я в а, Мате-
матическая теория упругости, стр. 505, ОНТИ, М.—Л., 1935- Случай глипти-
ческой пластинки переменной Толщины был исследован Гран Ольссоноы
(Gran Oleson R., Ingr.-Arch., т. 9, стр. 108, 1938).
711 ЭЛЛИПТИЧЕСКАЯ ПЛАСТИНКА 349
Мы видим, что максимальное напряжение изгиба получается на
концах малой оси эллипса. Располагав значениями моментов Мх, Му
и Мху, мы можем с помощью уравнений (с) (§ 22, стр. 105) получить
н значения как изгибающего Л4„, так и крутящего Мп1 моментов
в любой точке контура, если произведем в указанных уравнениях
подстановки
Ъ'х. . (h)
ds ds Va*y*+b'x*
Перерезывающие силы Qx и Qy в произвольной точке получаются
путем подстановки выражения (d) в уравнения (106) и (107). Пере-
резывающая сила Qn на контуре находится из уравнения (d) (§ 22,
стр. 105), опорная же реакция Vn — из уравнения (g) того же пара-
графа. Таким путем мы найдем, что интенсивность опорной реакции
достигает максимального значения на концах малой оси эллипса,
причем абсолютное значение ее будет
лг ч _ а7Ь(За*~Ьfe2)Ф _ .
Ge)ntix —3a*-4-3i‘-|-2a2fcs лля а > (0
Минимум абсолютного значения Vn получается на концах большой
оси эллипса, где она равна
_ аЬ*(а'+ЪЬ*)д .
' «^1п — 3a* + 3b*-l-2asba ‘ W
Для круга « —£, и потому (Vr/,)mo=(V/.)mln = ga/2.
Эллиптическая пластинка, защемленная по контуру, под линейно из-
меняющимся давлением. Положив д = д^х. найдем, что уравнение (Ь) и
граничные условия (с) будут удовлетворяться при
- ч°х У а* ьг’
~ 24D б . I , 2
Ь' о®64
(200)
Из этого выражения, как и в предыдущем случае, можно вычислить
изгибающие моменты и реакции на контуре.
Эллиптическая пластинка, свободно опертая по контуру и равно-
мерно нагруженная. В этом случае решение сложнее, чем дав защемлен-
ной пластинки1); поэтому приведем здесь лишь некоторые окончательные
численные результаты. Положив а[Ь> 1/представим прогиб и изгибающие
моменты в центре формулами
= “^Г- И,-₽,?(- (k>
*) См. Г а л е р к и н Б. Г., Z. angew. Math, Meeh., т. 3, стр. 113, 1923,
350 ПЛАСТИНКИ РАЗЛИЧНЫХ ОЧЕРТАНИЙ [ГЛ. IX
Значения постоянных коэффициентов а, ₽ и ₽1 для различных значений
отношения а]Ь и дав ч = 0,3 приведены в таблице 75.
Таблица 75
Коэффициенты я, ₽, входящие в формулу (к) для расчета
равномерно нагруженной и свободно опертой эллиптической пластинки
(ч=0,3)
ajb 1 | М 1.8 1.3 1Д 1,5 2 3 4 в 03
а ₽ ₽. 0,70 0,83 0^06 0,215 0.206 0.235 0,96 0,219 0,261 1.07 0,223 0,282 1Д7 0,223 0,303 1,26 0,222 0,321 1,58 0,210 0,379 1,88 ОД88 0,433 2,02 0,184 0,465 2,10 0,170 0,480 2,28 0,150 0,500
Сопоставление этих численных значений с полученными ранее для пря-
моугольной пластинки (табл. 8, стр, 143) показывает, что при одинаковых
значениях отношения между сторонами прямоугольной пластинки и отно-
шения а[Ь полуосей эллиптической пластинки значения прогибов и .момен-
тов в центре для обоих этих типов пластинок заметно не различаюгсн. Был
исследован также и случай пластинки, имеющей форму полуэллипса, огра-
ниченного малок осью1).
72. Треугольная пластинка. Равносторонняя треугольная
пластинка, свободно опертая по краям. Ранее (см. стр. 112)
Рис. 158.
мы уже касались вопроса об изгибе такой
треугольной пластинки моментами Мп, рав-
номерно распределенными по контуру. При
этом было показано, что поверхность про-
гибов пластинки получается такой же, как
и для равномерно натянутой и равномерно
нагруженной мембраны, и выражается урав-
нением
(•)
где а обозначает высоту треугольника, координатные же осн рас-
положены так, как показано на рис. 158.
*) Г а л е р к и в Б. Г., Messenger Math., т. 52, стр. 99, 1923. Вопросу об
изгибе сосредоточенными силами защемленных по контуру эллиптических
пластинок посвящены следующие работы; Н а р р е 1 п.,' Math, Z.. т. 6,
стр. 203, 1920; Perry С. L., Proc. Symposia Appf Math., т. 3, стр. 131, 1950;
см. также Sengupta Н. М., Bull. Calcutta Math. Soc., т. 41, стр. 163, 1949;
т. 43, стр. 123, 1950. В последней статье вносится поправка к первой.
Б. Сен, применив криволинейные координаты, иолучил решения для заще-
мленных пластинок некоторых других очертаний при равномерно распреде-
ленной нагрузке; см. Sen В., Phil. Mag., т. 33, стр. 294, 1942,
72)
ТРЕУГОЛЬНАЯ ПЛАСТИНКА
351
В случае равномерно нагруженной пластинки поверхность про-
гибов будет1)
(201)
Дифференцируя, находим
iw = ~'ED [*"—Зу’х — оГх’ + Л+^-а8). (Ь)
Из уравнений (201) и (Ь) можно видеть, что как прогиб, так и из-
гибающий момент обращаются на контуре в нуль, поскольку в нуль
здесь обращается выражение в скобках. Последующее дифферен-
цирование дает

(с)
Таким образом, дифференциальное уравнение
поверхности прогибов также удовлетворяется, и
выражение (201) представляет собой решение за-
дачи. Располагая выражением для прогибов, мы
легко можем получить и выражения для изгибаю-
щих моментов и перерезывающих сил. Макси-
мальный изгибающий момент имеет место на бкс»
сектрисах углов треугольника. Рассматривая
точки по оси х и приняв v=0,3, находим
х = — 0,062а, 1
х = 0.128а. j
= 0.0248?а2 при
<«,)„„= 0,02S9fo2 при
(202)
В центре пластинки
М, = М, = (1 + ,) . (203)
J'l*—а—*
Рис. 159.
Задача загружения пластинки сосредоточенной силой допускает
решение методом отображений (см. стр. 181). Остановимся на слу-
чае, когда точка приложение нагрузки приходится на центр плас-
тинки (рис. 158). Рассматривая пластинку, показанную на чертеже
жирными линиями как часть бесконечно длинной прямоугольной
пластинки шириной а, прилежны к последней ряд фиктивных на-
грузок Р ’с чередующимися, как показано на чертеже, знаками.
Узловые линии образовавшейся под такой нагрузкой изогнутой по-
верхностью разобьют, очевидно, бесконечно длинную пластинку на
равносторонние треугольники, каждый из которых будет находиться
в точно таких же условиях, что и данная пластинка. Таким обра-
зом, задача будет сведена к задаче об изгибе бесконечно длинной
*) Задача об изгибе пластинки, имеющей форму равностороннего тре-
угольника, была решена Войновским-Кригером (W о 1 п о w s k у-К г I е g е г S„
Ingr.-Arch., т. 4, стр. 254, 1933).
352
ПЛАСТИНКИ РАЗЛИЧНЫХ ОЧЕРТАНИЯ
[ГЛ. IX
прямоугольной пластинки, нагруженной двумя рядами равноотстоящих
нагрузок Р и — Р. Зная решение дая одной сосредоточенной силы
(см. § 36) и применив метод наложения, легко вычислить прогиб
в точке А, а также и напряжения около этой точки, поскольку
влияние фиктивных сил на прогиб по мере удаления точек их при-
ложения от А быстро падает. Этот прием позволяет определить
прогиб в А:
«»„ = 0.00575(204)
Изгибающие моменты на небольшом расстоянии с от А будут
* 4гс \ ЛС / 675
М - <!±22Д (ш О.379)+!ЦД^.
У 4- \ ле / ог.
(205)
Так как для свободно опертой центрально нагруженной круглой
пластинки радиуса а0 радиальный и тангенциальный моменты на
расстоянии с от центра равны соответственно (см. стр. 84)
>H,^g-+/>€,na. , Л!-<1±Д£1П^._(Ц2)£, (d)
г 4к с ‘ 4тс С 4п ' •
то можно утверждать, что первые члены в правых частях уравне-
ний (205) тождественны с логарифмическими членами для круглой
пластинки радиуса
= (4)
Рис. 160,
Поэтому местные напряжения близ точки приложения нагрузки
могут быть вычислены а помощью теории толстых пластинок в ее
применении к случаю круглой
пластинки (см. § 19).
Равносторонняя треугольная
пластинка, защемленная по двум
или трем краям. Треугольную фор-
му придают иногда днищам бункеров
и силосов. В подобных случаях тре-
угольная пластинка защемляется
жестко но обоим своим наклонным
краям и упруго по третьему гори-
зонтальному краю (рис. 160). Прак-
тический интерес при этом пред-
ставляют только равномерное и
гидростатическое распределения на-
грузки. Максимальны и изгибающий
момент для пластинки и моменты защемления в середине защемленного края
определяются формулами
М — р#аг или М = (*)
72) ТРЕУГОЛЬНАЯ ПЛАСТИНКА 353
в зависимости от характера загружеамя (рис. 160). Значения коэффициен-
тов р и р,, полученные методом конечных разностей'), приводятся в таб-
лице 76.
Таблица 76
Значения коэффициентов р, р, в уравнениях (f) для равносторонней
треугольной пластинки (рис. 160) (v =0,20)
Распределение Край у«=0 спойодяо оперт Край у-=0 защемлен
нагрузки "у. мп> МХ1 у' "ля "уз
Равномер- ная р . . 0,0126 0,0147 —0,0285 0 0,0113 0,0110 —0,0238 —0,0238
Гидростати- ческая Pi 0,0053 0,0035 —0,0100 0 0,0051 0,0034 —0,0091 —0,0060
В заключение следует заметить, что свободно опертую по контуру
треугольную пластинку с углами в вершинах к/2, к/3, я/6 можно рассмат-
ривать как половину равносторонней пластинки (рис. 158), загруженной
антисимметрично выше оси х. Задача об
изгибе такой пластинки может быть ре-
шена различными способами, например ме-
тодом отображений2).
Пластинка, имеющая форму равно-
бедренного прямоугольного треуголь-
ника со свободно опертыми краями.
Такую пластинку можно рассматривать
как половину изображенной па рис. 161
штриховой линией квадратной пластинки,
и потому к ней могут быть применены
методы, выведенные выше для прямо-
угольных пластинок8). Если в точке А
с координатами Е и ij (рис. 161) прило-
жена нагрузка Р, то мы вводим фиктивную
нагрузку —Р, приложенную в точке A', i
Рис. 161.
—rj—j -. -г------------ч --------являющейся зеркальным отраже-
нием точки А относительно диагонали^ ВС квадрата. Эти две нагрузки вы-
зовут, очевидно, такой изгиб квадратной пластинки, что диагональ ВС займет
положение узловой линии, н тогда часть ОВС квадратной пластинки будет
находиться в точности в таких же самых условиях, что и свободно опертая
треугольная пластинка ОВС. Приняв сначала во иииманне нагрузку -\-Р
1) См. Смотров А. А., Решение плит, нагруженных сплошной на-
грузкой по закону трапеции, М. —Л., ОНТИ, 1936.
8) О решении этой задачи в двойных рядах см. Girder R., Sitzber.
Akad. Wiss. Wien, т. 145, стр. 61, 1936. Изгиб равносторонней треугольной
пластинки переменной толщины рассматрияается Геттлихером (С 01111 -
cher H., [ngr.-Arch., t. 9, стр. 12, 1938).
®) Такой подход к решению был указан Налай (Nadal A., Elastische
Platten, стр. 178, 1925). Другой способ решения той же задачи был дан
Б. Г. Галеркиным (Бюллетень Российской Академии наук, стр. 223, 1919,
и Бюллетень Политехнического института, т. 28, стр. 1, СПб., 1919).
12 С. П. Тимошенко, С. ВоПиопскнй-Кригер
354
ПЛАСТИНКИ РАЗЛИЧНЫХ ОЧЕРТАНИЙ
(ГЛ IX
и применив решение Наяье для квадратной пластинки (стр. 131), мы
прогиб
• ПГ''Ч
4Ра2\л Y’ ®Ю a S,n а . тпх . ппу
= (т*+п»У S,n“T“ ЯП ~ ’
получим
(g)
Точно таким же образом напишется и прогиб, вызванный нагрузкой —Р,
с той лишь разницей, что вместо Е здесь ладо будет взять а — tj и соответ-
ственно а—Е вместо ij

, turn . пяг
sin----1 sin----•
a a , mr.x . nry ...
----t—5— 575— sin--------sin ——. (h)
Полный прогиб треугольной пластинки получится суммированием выраже-
ний (g) и (h), т. е.
ro = wil-|-a’s. (j)
Чтобы получить прогиб тре-
угольной пластинки, вызванный
равномерно распределенной нагруз-
кой интенсивностью q, подставим
У,
Рис. 162.
в выражение (й) вместо Р произведенве и проинтегрируем его (то
площади треугольника ОВС. Таким путем получим
Кда'
U'~' 3tW
S
. тъх , пну
т sin-----sin ——
________а_______а
п (та — я2) (т* -f—л2)1
, тпх , ляу
п sin —— sin ——
__________а л а
т (я® — т2) (т2 4- и2)2.
(I)
Этот ряд быстро сходится, и им можно воспользоваться для вычисления
прогиба и изгибающих моментов в любой точке пластинки. Приняв ось сим-
метрии треугольника в качестве оси абсцисс лг„ мы сможем представить
прогибы и моменты Мл и Му на этой оси формулами
да*
w = a ~~ т, jWXj = р^а1, Myt = (к)
ТРЕУГОЛЬНАЯ ПЛАСТИНКА
355
72]
Значения численных коэффициентов ? и Pi для этих формул даны на
рис. 162 и 163. Сравнивая эти результаты с относящимися к равномерно
нагруженной квадратной пластинке и приведенными в табл. 8, можно кон-
статировать, что при одном и том же значении а максимальный изгибаю-
щий момент для треугольной пластинки будет несколько меньше половины
максимального изгибающего момента для квадратной пластинки.
Чтобы упростить вычисление прогибов и моментов, двойной ряд (j)
можно преобразовать в простой ряд •). С этой целью воспользуемся
известным рядом
U fjrt = "V1 СО8П*_______________2 . * Clim(2~~Л) ,
(n2-|-m2)’ т* ' 2тя sh"”1 *"
П-2, 4, 6, ... 2
ас2 chmx кх shw(^~~Х)
' 4m2 , „ г.т *" 2m2 . тп 1 ''
sh2—g- sh -g-
который можно представить в следующем виде:
2
ит (л) = (ат + ₽гах) ch тх+(чт+ bm) sh тх —(ш)
Переходя теперь к ряду
со
. \т cosnjc
vra(x)- 2^ (n2+m2}S(n2 —m2) ’ ( )
n=2,4, 6,|..
получим
dVm Vi n sin nx
~dx~~ 24 (я«4-лг®|®(И2 —re2)
n=2,4, 6,...
И
<PVm , str V cosnx
dx2 + Zj (л2 —m2)»“ Um' <₽>
n=>2,4,C, ...
Интегрируя уравнение (о), найдем
X .
Vm = Ат cos mx-f- Вт sin тх^-~ f (6) sin т (5 —ху dS, (q)
о
. =~тАт sin тх Ц- тВт cos тх — J Um (*) cos т (Е—х) di. (г)
6
Постоянные А„ и Вт определяются из условий
*) О таком преобразовании автору было сообщено И. В, Успенским.
12*
850
ПЛАСТИНКИ РАЗЛИЧНЫХ ОЧЕРТАНИЙ
(ГЛ IX
вытекающих из рядов (о) и (п). При этих значениях постоянных выраже-
ние (7) дает сумму ряда (о), который приводит двойной ряд в выражении (j)
к простому ряду.
73. Косоугольная пластинка. Пластинки, имеющие форму параллело-
грамма, находят в последнее время применение в настилах косых мостов.
Плита подобного тина обычно свободно опираются на устои по двум своим
Рис. 164.
сторонам, в то время как две другие
стороны их остаются свободными или
же опираются упруго на бортовые эле-
менты или балки.
Как общее правило, при анализе
напряженного состояния пластинок этого
тина следует рекомендовать исполь-
зование косоугольной системы коор-
динат, назначая в ней угол между
осями в соответствии с углом скоса
пластинки. Однако в отдельных част-
ных случаях для исследования косых
пластинок известные удобства может
представить и прямоугольная система
координат, причем наиболее много-
обещающим методом здесь «ваяется,
по-видимому, метод конечных разно-
стей. Таким именно путем быая полу-
чены нижеприводимые численные дан-
ные, относящиеся к равномерно загру-
женным косым пластинкам •). Пола-
гаем, что при свободном опирании по
всему контуру (рис. 164, а) выражениям
для прогибов и моментов в центре
такой пластинки можно приписать вид
w — а = рда‘. (а)
Наибольший изгибающий момент Дшах действует в направлении, весьма
баяаком к короткому пролету пластинки.
Если края у = 0 и у = а свободны, другие же два крав свободно оперты
(рис. 164, Ь), то центральнвн часть пластинки передает натрузку в напра-
влении, нормальном к опорам. Положив, что t»0 и (Mp)mmt—прогиб и изги-
бающий момент в центре пластинки, а (гоОлшх и (A*i)max—соответствую-
') Большая часть их принадлежит Йенсену (Jensen V. Р., Univ. Illinois
Bull. 332, 1941); Jensen V. Р., Allen L W., Univ. Illinois Bull., 369, 1947.
См. также SI ess С. P., Proc. ASCE, t. 74, стр. 323,1948. Аналитические ме-
тоды были исоользованы Фавром (F a vre Н., Schweiz. Bauztg., т. 60, стр. 35,
1942); Lardy Р., Schweiz. Bauztg., т. 67, стр. 207, 1949; а также Krett-
ner I., Ingr.-Arch., т. 22, стр. 47, 1954, где указывается и дальнейшля лите-
ратура. О применении энергетических методов см. также Guzman А. М,,
I. и I s о п | С. I., Pubis. Univ. Nacl. Buenos Aires, стр. 452, 1953. Чистому
изгибу косой пластинки посвящена работа: Reissner Е., Quart. Appl.
Math., т. 10, стр. 395, 1953. Испытания косых пластинок на моделях описы-
ваются в работе: Schmerber L4 Brandes О., Scliambeck Н,
Bauingenieur, т. 33, стр. 174, 1958, Применения метода конечных раз-
ностей излагаются также в § 83,
74] РАСПРЕДЕЛЕНИЕ НАПРЯЖЕНИИ ВОКРУГ ОТВЕРСТИЙ 357
щие значения для свободного края, мы можем выразить эти величины сле-
дующими формулами:
= (Afo)max = ₽0?ea,
4 (Ь)
(И'|)шах = ai , (М |>тах = ? I0®8- _
Численные значения коэффициентов приведены в таблице 77.
Таблица 77
Значения коэффициентов в уравнениях (а) и (Ь) для прогибов и
изгибающих моментов равномерно нагруженной косоугольной
пластинки (*=0,21)
4® т Пластинка (рис. 164, п) Пластинка (рис. 164, Ь)
₽ № ₽.
0 30 30 45 60 75 2 2,02 1,92 2 2 2 2 1,75 1,67 1,414 1 0,518 0,01013 0,01046 ОДО938 0,00796 0,00094 0,0999 0,0968 0,0898 0,0772 0,0335 0,214 0,1183 0,0708 0,0186 0,224 0,1302 ' 0,0869 0,0396 0,495 0,368 0,291 0,166 0,508 0,367 0,296 0,152
74. Распределение напряжений вокруг отверстий, Простейшим
подходом к внализу распределения напряжений около отверстия
авляется исследование очень большой пластинки; полученные для
нее результаты применимы без заметной погрешности к пластинкам
любой формы, если только ширина от-
верстия остается малой в сравнении с
общинн размерами пластинки.
Рассмотрим для примера беско-
нечно большую пластинку, находящуюся
в состоянии однородного напряженного
состояния, определяемого ивгибающими
моментами
М'Х=МО. 2Иу = 0 (а)
и поверхностью прогибов
М0(х«-*у«) _ __ Mer* v
~ 20(1—**) — 40(1—v*) 24
XU—v + (l-H)cos2G]. (b)
Чтобы определить возмущение, производимое в этом состоянии
чистого изгиба круглым отверстием радиуса а (рис. 165), вообра-
зим, что внутри контура круга удален материал. При этом необходимо
358 ПЛАСТИНКИ РАЗЛИЧНЫХ ОЧЕРТАНИЙ [ГЛ IX
заменить действие первоначальных напряжений, приложенных по кон-
туру отверстия, действием внешних пар и сил
(i4-ios 26).
(VX„ = ^-COS2B.
получаемых непосредственно дифференцированием выражения (Ь)
в соответствии с формулами (192).
На начальное напряженное состояние мы накладываем дополни-
тельное напряженное состояние, удовлетворяющее двум условиям:
1) суммарные значения пар и .сил обращаются в нуль на г—а и
2) наложенные напряжения, взятые в отдельности, должны исчезать
на бесконечности (г=оо).
Оба эти условия выполнимы, если дополнительный прогиб пред-
ставить в виде
«"=-^£(л|п, + (в+С-£)«»2б). <d)
Последнее выражение удовлетворяет также однородному дифферен-
циальному уравнению (194) и дает для результирующих напряжений
по контуру отверстия следующие значения:
«)„„ = -^-1(1-')Л + [4»В-в(1-.)С1 cos2В),
(е)
= "- ((6- 2>)Л -) 6(| - >)С) cos26.
Поскольку выражения (с) и (е) для Мг содержат постоянный член,
а также член, пропорциональный cos 20, между тем как оба выра-
жения для Vr содержат только по одному члену, для выполнения
на контуре отверстии требуемых условий ^=0 и V^-J- V" — 0
необходимы три уравнении. Решая эти уравнения относительно не-
иввестных коэффициентов А, В н С, мы найдем окончательные зна-
чения прогибов w = w' -}- чР и нижеследующие результирующие
напряжения по контуру отверстия:
= cos26j.
о.='Лчтл,’2в-
Для fl —«/2 и А»=к/4 получаем соответственно
(Qj)mas = (34->)q
да
(g)
74) РАСПРЕДЕЛЕНИЕ НАПРЯЖЕНИЙ ВОКРУГ ОТВЕРСТИИ 359
Наибольшую величину компонента напряжения, обусловленного мест-
ным возмущением, принято обозначать через
Om.x = fto- (h)
где о—среднее значение этого компонента в том же сечении,
a k—так называемый коэффициент концентрации напряжений. Зная
наибольшее напряжение изгиба на контуре отверстии, мы можем
определить и А = (М ДпахДО о» гДе Afo~“nePBO,ia4aj[bHOe значение
моментов напряжений для 6 = st/2, где возникают наибольшие напря-
жения Таким образом, при чистом изгиба имеем
что для стали (v = 1/3) составляет около 1,80.
Подобным же образом можно определять коэффициенты концен-
трации и для иных типов однородного напряженного состояния,
а также для отверстий, имеющих форму, отличную от круговой *),
Все эти результаты, однако, представляют сравнительно небольшую
ценность по следующим соображениям.
В то время как нормальные напряжения изгиба (если ограничиться
только что рассмотренным случаем) ме превосходят значения стат —
= 6Л4(/?/й2, наибольшая величина соответствующих касательных на-
пряжений рзана
» ___5_ Г) ____ бМр_______°max ft ...
Tmax — 2Д Vmax ~ (3_|_v)aft ~ (3-}-v)k a'
Уменьшав поэтому отношение a(h. мы можем по желанию увеличи-
вать отношение Таким путем мы вскоре приходим к попе-
речным касательным напряжениям такой величины, что их влияние
на деформацию пластинки перестает быть пренебрежимо малым
в сравнении с влиянием моментов. Следовательно, чтобы обеспечить
достоверные результаты для распределения напряжений вблизи от-
верстий, необходимо обратиться к специальным теориям, учитываю-
щим влнвиие деформации сдвига.
Значения, коэффициентов концентрации напряжений, полученные
средствами теории Рейсснера (см. § 39). нанесены в виде кривых
па рис. 166 в зависимости от отношения a/h. Кривав kb отвечает
) См. О ood t е г J. N., Phil. Mag., т. 22, стр. 69, 1936, и С а в и в Г. Н.,
Концентрация напряжений около отверстий, Москва, 1951.
s) Reissner Е„ J. Appl. Meet)., т. 12, стр. А-75, 1945. В наиболее
строгой форме задача рассмотрена Албласом (А 1 b 1 as J. В., Theorie van de
driedlmensionale Spanningstoestand in een doorborde plaat, Амстердам, 1957).
Об изгибе квадратной пластинки с круглым отверстием см. Е !-Н а в h 1 m у М„
Ausgewahlte Piattenproblcmc, Цюрих, 1956, где применяется элементарная
теория.
360 ПЛАСТИНКИ РАЗЛИЧНЫХ ОЧЕРТАНИИ (ГЛ. IX
рассмотренному выше случаю чистого изгиба, кривая kt дает кон-
центрацию напряжений для однородного кручения, производимого
моментами 7ИЖ=Л1О, М?~— Л4С и начальном напряженном состоя-
нии. Значения ^==1,80 и At=l,60. указываемые для этих случаев
элементарной теорией, при вычерчивании диаграммы выглядят как
прямые, асимптотически приближающиеся к соответствующим кривым
по мере неограниченного возрастания отношения a/h Из графика
видно, что даже для отверстий, по ширине втрое превышающих
толщину пластинки, погрешность, вводимая в результаты обычной
теорией, составляет свыше 10% от истинного значения kb. Заслу-
живает внимания тот факт, что с уменьшением диаметра отверстия
до нуля предельное значение kb = 3 коэффициента концентрации на-
пряжений при чистом изгибе достигает величины того же коэффи-
циента для плоского напряженного состояния, при котором пред-
полагается однородное растяжение в одном направлении.
Если отверстие (рис. 165) заполнено упругим материалом, отличающимся
от материала пластинки, мы имеем дело с «упругим включением». Незапол-
ненное отверстие и жесткое включение рассматриваются, естественно, как
предельные случаи упругого включения. Модуль Юнга для заполнения равен
нулю в первом случае и бесконечно большой величине ве втором. В ниже-
следующем остановимся вкратце па влиянии жесткого включения.
Точно так же, как и в случае отверстия, здесь следует сочетать началь-
ное состояние напряжений с дополнительными. Иными, однако, будут здесь
РАСПРЕДЕЛЕНИЕ • НАПРЯЖЕНИЙ ВОКРУГ ОТВЕРСТИЙ 361
условия, подлежащие выполнению па окружности радиуса г = а (в симме-
тричном случае)

(к)
Из выражений (192) для результирую-
заключаем, что на контуре включения
где w — полный прогиб пластинки,
щих напряжений непосредственно
должно соблюдаться соотношение
Mt = чМг, моменты же Мг/ обра-
щаются в нуль.
В частном случае чистого
изгиба (см. стр. 6f>) распределе-
ние радиальных моментов но кон-
туру жесткого включения нолчи-
ииется закону *)
Соответствующий коэффициент
концентрации напряжении равен
k= (З-f т)/(1— т»), т. е. 3,63 для
стали. Одвако поскольку этот ре-
зультат ве учитывает влияния по-
перечной деформации еда ига, он
имеет смысл лишь для больших
отношений o/ft.
Мы убеждаемся, что вблизи
жесткого включения радиальные
моменты Мг значительно превы-
шают тангенциальные моменты
М/', это находится в резком контрасте с напряженным состоянием вокруг
отверстия, где моменты Mt превосходят моменты М,. Величины обоих
моментов оказываются сбалансированными наилучшим образом в случае
упругого включения, как это видно из рис. 167. Здесь Et обозначает
модуль Юнга для материала пластинки, —для заполнения.
Включение с упругим заполнением можно заменить, не изменяя в суще-
ственном его влияния на пластинку, кольцевым упругим включением. Арми-
руя отверстие кольцом надлежащим образом подобранной жесткости, можно,
следовательно, значительно снизить концентрацию напряжений в материале
пластинки вокруг .отверстия 2).
') О о land М„ J. AppL Meeh., т. 10, стр. А-69, 1943; рис. 167 заимство-
ван из этой работы. См. также Yi-Yuan Yu, Proc. IL U. S- NatL Congr.
Appl. Meeh.,. Аии-Арбор, Мичиган, 1954, стр. 381.
s) Относящиеся к этому случаю исследования напряжений и численные
двиные см. н книге Г. Н. Савина, цит. на стр. 359.
ГЛАВА X
СПЕЦИАЛЬНЫЕ И ПРИБЛИЖЕННЫЕ МЕТОДЫ
ТЕОРИИ ПЛАСТИНОК
75. Особенности при изгибе пластинки. Если любой из компо-
нентов напряжения в точке ’) (х0, ус) пластинки принимает бесконечно
большое значение, то говорят, что напряженное состояние ее имеет
в этой точке особенность. Из выражений (1С1), (102) и (108) для
моментов и перерезывающих сил мы убеждаемся, что такой особой
точки не возникает, пока прогиб ю(х, у) и его производные до
четвертого порядка продолжают оставаться непрерывными функциями
хну.
Обычно особенность имеет место в точках приложения сосредо-
точенных сил или моментов. В некоторых случаях особенность,
обусловленная реактивными силами, может возникнуть в вершинах
пластинки независимо от характера распределения нагрузки по ее
поверхности.
При дальнейших рассуждениях совместим начало координат
с особой точкой пластинки. Тогда приводимые ниже выражения для
прогиба (после надлежащих дифференцирований) дадут для напряже-
ний значения, большие в сравнении с теми, к которым приводят
внешние нагрузки, приложенные в других точках, или краевые
усилия при малых х и у.
Сосредоточенная сила, приложенная во внутренней точке
пластинки. Если расстояние рассматриваемой точки от контура и
от точек приложения других сосредоточенных нагрузок достаточно
велико, то возникающее при этом напряженное состояние можно
охарактеризовать приближенно как осесимметричное относительно
сосредоточенной силы Р. В таком случае радиальная перерезывающая
сила на расстоянии г от точки приложения силы Р будет равна

’) Точнее: в точке (л0. у* х).
75) ОСОБЕННОСТИ ПРИ ИЗГИБЕ ПЛАСТИНКИ
363
Учтя выражение (193) для Qr, устанавливаем непосредственно соот-
ветствующий прогиб
”«=ваггЧ<- (206)
где а — произвольная длина. Пока отношение г (а мало, множитель
г2 hi я дает пренебрежимо малые напряжения.
Сосредоточенный момент, приложенный внутри контура
пластинки. Приложим силу — Mj/Дх в начале координат и силу
-\-MtlLx в точке (—Дх, 0), где — заданный момент. Прогиб,
произведенный совместным действием этих двух сил, будет равен
в силу ранее полученного (206)
м, (х+Д*)а+уа [(*4 М‘4 уТ" _
8«4> Дх а
_ -у1+Уа у.
Дх в *
(а)
Если Дх уменьшается до нуля, приходам к случаю сосредоточенно
приложенного в начале координат момента (рис. 168, а) и тогда
для прогиба найдем
,.тГ . dwa
= hm [да]^0=-_- —,
где —прогиб, определяемый из (206). Выполняя дифференцирова-
ние, находим
Alix j
’’=135-1
(b)
Опустив второй член A^x/SitD, не дающий напряжений, и переходя
к полярным координатам, получим
и>. - -т~тт с In — cos 6. (207)
1 4t.D а '
364 СПЕЦИАЛЬНЫЕ И ПРИБЛИЖЕННЫЕ МЕТОДЫ ТЕОРИИ ПЛАСТИНОК 1ГЛ X
Если пластинка подвергается действию момента /И2, как это показано
на рис. 168. Ь, то для определения соответствующего прогиба доста-
точно в предыдущей формуле заменить 6 на 6-|-те/2.
Два момента, приложенные внутри контура пластинки.
Рассмотрим теперь совместное действие двух равных моментов
противоположного знака, действую-
f м_щих в ДВУХ параллельных плоско-
гх' \ стях, отстоящих одна от другой
[....-I—J-A—J—7—J----& на Дх, как это показано на рис. 169.
( Положив Л11Дх=/У1, зафиксиро-
k м-у вав значение Нх и поступив как
прежде, придем к прогибу
Ну dwt d2wB , .
р W2~ Л4( “глГс==_р’_йхГ’
Рис. 169. являющемуся результатом особен-
ности более высокого порядка, чем
простой момент1). Подстановка выражения (206), в котором можно
воспользоваться и прямоугольными координатами, двет прогиб
^=та-(2|"7+2+СО82е)- '<208)
Выражения, содержащие особенность, можно получить также и
в случае пары, действующей в вершине клиновидной пластинки,
с двумя свободными краями, а также для полубссконечной пластинки,
нагруженной силой или моментом в какой-либо точке свободного
края 2).
Сосредоточенная нагрузка, приложенная вблизи защемлен-
ного края (рис. 170). Прогиб полубесконечной консольной пластинки,
несущей сосредоточенную нагрузку Р в точке (£, ?}). определяется
выражением
«.^-Д-Гш-гЧп.И+У+ь-у],
16яР [ *1 J
') Чтобы уяснить характер подобной нагрузки, представим себе, что
свободно опертая балка пролетом L, жесткостью EI загружена двумя мо-
ментами Л1, приложенными на расстоянии Дл один от другого таким обра-
зом, что эпюра моментов изображается прямоугольником со сторонами Ь.х
и М, расположенным симметрично относительно середины балки. Поступая,
как и прежде, г. е. полагая Дх->0 с сохранезнем постоянного значения
И = МЬх, мы приходим к эпюре Н, сосредоточенной в середине балки. Вводя
фиктивную нагрузку в середине Н/Е! и применив метод Мора, мы по-
лучили бы треугольную эпюру прогибов бааки с максимальной ординатой
НЬЦЕ1. Подобная же эпюра прогибов получается и для нагрузки, прило-
женной в середине идеально гибкой струны.
“) См. N a d a i A., Elasllsclie Platten, стр. 203, Берлин, 1925.
76]
ИСПОЛЬЗОВАНИЕ ПОВЕРХНОСТЕЙ ВЛИЯНИЯ
365

। •
I
। !
где г2 = (х— Е)г-|-(у— ч})2- Ограничимся вычислением момента за-
щемления в начале координат. Надлежащее дифференцирование
выражения (d) дает
Мх — — cos2 <f (209) 6
при х=у = 0, если Е и 7j не обращаются
в нуль одновременно. Вообще, как мы ви-
дим, момент защемления Мх зависит лишь
от отношения г^. Если, однако, = :
то момент Мх также обращается в нуль и, <
таким образом, функция Мя (Е, tj) испиты- >
ваёт в начале координат разрыв непрерыв- '-f
ности. й
Подобным же образом проявляется и
действие сосредоточенной силы, приложен-
ной близ жестко или упруго защемленного
края независимо от способа опирания пла-
стинки по остальному контуру. Это приводит к .......___
форме поверхности влияния для моментов, приложенных по краю
защемленных или неразрезных пластинок (см. рис. 171 и 173).
Для перерезывающей или реактивной силы, действующей в точке
—0 (рис. 170), получаем, как и раньше.

Рис. 170.
где г2 = Е2-[~тД
Qx=-^«>s3<p,
(210)
76. Использование поверхностей влияния для расчета пла-
стинок. В § 29 мы ввели функцию влияния /<(х. у, Е, tj), опре-
деляющую прогиб в некоторой точке (х, у) свободно опертой прямо-
угольной пластинки, когда единичная нагрузка приложена в ее
точке (?, vj). Аналогичные функции можно построить и для пластинок
с иными граничными условиями и иных форм контура. Поверхность
влияния /С(Е, rj) для прогиба в фиксированной точке (х, у) можно
представить также и графически с помощью линий уровня. Применив
принцип наложения к системе п сосредоточенных сил Ре приложенных
в точках (^, т^), мы можем найти полный прогиб в (х, у) как сумму
®»= S РЛ(х, у. Е,. чД (а)
Распределенная по площади А пластинки сплошная нагрузка интен-
сивностью р(Е. т?) Дает прогиб
J J р(Е. 7i)K{x, у, Е, Tj)dE^. (b)
366 СПЕЦИАЛЬНЫЕ И ПРИБЛИЖЕННЫЕ МЕТОДЫ ТЕОРИИ ПЛАСТИНОК (ГЛ X
В силу принципа взаимности Максвелла здесь имеет место соотноше-
ние симметрии
К(х, у. Е, It>= t®. Ч. X. у).
(С)
на основании „которого поверхность влияния для прогиба пластинки
в точке (х, у) можно получить как поверхность прогибов тд)
пластинки при загружено ее единичной нагрузкой, приложенной
в точке (х, у). Поверхность чи(Е, тд) описывается, таким образом,
дифференциальным уравнением ДДти(Е. тд)=О, причем решение этого
уравнения должно не только удовлетворять граничным условиям, но
и содержать особую точку того типа, с которым мы встретились
в уравнении (206) при Е=лс, Ч==у-
Особый практический интерес представляют поверхности влияния для
результирующих напряжений1)—они описываются уравнениями в частных
производных от а> (х, у) по аг и у. В качестве примера рассмотрим поверх-
ности влияния для величины
(d)
Сопоставляя это выражение с формулой (с) § 75, убеждаемся, что в си-
стеме Е, ч оно дает ординаты поверхности прогибов, имеющей при k=x,
Tj =; у особенность в связи с наличием «момента второго порядка» И = 1,
приложенного в этой точке, как это показано на рис. 169.
Познакомимся на нескольких примерах с техникой построения поверх-
ностей влияния и с их применением2).
Поверхность влияния для краевого момента круглой защемленной
пластинки3) (рис. 171), Представив прогиб (197) (стр 328) формулой
w = РК (х. О, Е, 8), мы получаем возможность рассматривать К как функ-
цию влияния для прогиба в некоторой точке (х, 0), если мгновенное поло-
жение единичной нагрузки соответствует точке (Е, 6). Вычисляя краезой
момент М, при л = г/а = 1, у=0, замечаем, что все ялены соответствую-
щих выражений (192), за единственным исключением, обращаются для за-
щемленного края л = 1 в нуль. Лишь один остающийся член дает
Ради сокращения записи положим £2— 25 cos 6-|-1 = -и2 и, далее, введем
угол ч (рис. 171, а). Тогда, поскольку 52 = 1—З^созер + ч2.
М, = — -^-(2 c°sT —
') Впервые такие поверхности были использованы Вестергором (Wes-
tergaard Н. М., Publ. Roads, т. 11, 1930); см. также Baron F. М.,
J. Appl. Meeh. т. 8, стр. А-3, 1941.
2) За подробностями, относящимися к так называемому методу особых
точек, отсылаем к работе Пухера (Pucher A., (ngr-Arch., т. 12, стр. 76,
194!).
’) Некоторые поверхности влияния для круглой защемленной пластияки
были даны Эль-Хашныи (EI-Hashimy М., Ausgewahlte Plattenprobleme,
Цюрих, 1956).
701 ИСПОЛЬЗОВАНИЕ ПОВЕРХНОСТЕЙ ВЛИЯНИЯ 36?
368 СПЕЦИАЛЬНЫЕ И ПРИБЛИЖЕННЫЕ МЕТОДЫ ТЕОРИИ ПЛАСТИНОК (ГЛ. X
— выражение, которое для пренебрежимо малых значений т, совпадает
с (209). Поверхность влияния для момента М, изобразится, таким образом,
линиями уровней (рис. 171, Ь) с ординатами, умноженными на коэффициент 4я.
Поверхность влияния для изгибающего момента Мк в центре сво-
бодно опертой квадратной пластинки * *), Чтобы получить окончательный
результат с помощью уравнений (101), здесь удобно воспользоваться поверх-
ностями влияния для величин
Поверхность влияния для Мхй можно построить, исходя из рис. 76.
Влияние сосредоточенной нагрузки Р = 1, приложенной в точке О, уста-
навливается с помощью первого из уравнений (151) и уравнения (152).
Последнее содержит в точке О требуемую особеияость типа, данного урав-
нением (206). Влияние-остальных нагрузок может быть учтено первым из
уравнений (149), ряд которого быстро сходится. Поверхность влияния на-
несена па рис. 72 в ординатах, умноженных на 8я.
Найдем изгибающий момент Мх для двух сосредоточенных нагрузок Р,
и Pt s^Pi, приложенных на заданном расстоянии 0,25 а одна от другой и
распределенных равномерно каждая ро площади 0,1 яХ 0J а. По остальной
своей площади пластинка может также нести равномерно распределенную
временную нагрузку интенсивностью q< PsfOfitas.
Поверхность влияния (рис. 172) построена для момента и распре-
деление нагрузки, приводящее к наибольшему значению МХГ1, нанесено на
рисунке сплошными линиями. Наличие особенности сказывается в том, что
у центра пластинки ординаты поверхности принимают бесконечно больший
значения; поэтому влияние нагрузки Р, легче всего будет определить от-
дельно 8) из уравнений (163) и (165) и таблиц 26 и 27. В данном случае мы
имеем v = 0, ч/« = k — 1, <f = 1,5708, ф =0, X = 2,669 и р = 0, откуда полу-
чаем N^=0, значение же М вычисляется далее. Что касается влияния на-
грузки Ря, то его можно принять пропорциональным ординате 2,30 поверх-
ности в центре загруженной площади. Если мы введем в расчет лишь
избытки этих местных нагрувок над интенсивностью д, приходящейся на
всю площадь пластинки, то нзм останется только суммировать значения
моментов отдельных нагрузок, чтобы получить полную его величину Мх£
1) Для нагрузки Р,‘. из уравнений (163), (165) при Е = а/2, <f = 0,ljK2e
М' = ft —/2 In--------------_j_2 669 —1,5711 = 0,219 (Pt —Ofilga2).
M 2 I ftl®F2 /
2) Для P2
Mxa = -^-2,30 (Ps — O.Okje8) = 0Д92 (Ps -~-0,01tfas).
д) Наиболее обширное собрание поверхностей влияния для ррямоугояь-
ных пластинок с различными условиями опираияя принадлежит Пухеру
(Pucher A., Eirrffiissfelder elastischer Flatten, 2-е изд., Вена, 1958). См.
также его работу в «Federhofer-Girkmann Festschrift», стр. 303, Вена, 1950.
О поверхностях влияния для неразрезных пластинок см. Hoeland О.,
Ingr.-Arch., 24, стр. 124, 1956.
*) Влияние центральной нагрузки может быть вычислено также с по-
мощью линий влияния, аналогичных линиям следующего примера, или же
с помощью таблицы 20.
76) ИСПОЛЬЗОВАНИЕ ПОВЕРХНОСТЕЙ влияния 369
3) Для равномерно распределенной нагрузки q из данных рис. 172
ЛГ"о = 0,ОЗб9?аг.
Следовательно,
Л4„ = 0,219Р, 4- О,О92Рг 4-0,0338^с2.
Благодаря квадратной форме пластинки и симметрии граничных условий
мы вправе воспользовался той же поверхностью влияния и для определе-
ния MVD. Положение нагрузки Р3, соответствующее ранее принятому поло-
жению для поверхности MXQ, показано штриховой лнияей, и значение мо-
мента, обусловленного силой Р2, определится как Л4у0 — 0,035 (Р2 O.Ol^a2),
влияния же Р3 и q останутся прежними. Полное значение Му0 выразится
суммой
Л4у0 = 0.21 ЭР, 4- O.O35Pg + O,O344j«2.
Положив для примера v = 0,2, найдем окончательно
Мх = 4- 0,2Му0 = 0.263Р, 4- О,О99Р2 4-0,0407де2.
370 СПЕЦИАЛЬНЫЕ И ПРИБЛИЖЕННЫЕ МЕТОДЫ ТЕОРИИ ПЛАСТИНОК [ГЛ. X
Поверхность влияния для момента Мк в центре опоры между двумя
внутренними квадратными панелями пластинки, неразрезной в напра-
влении х и свободно опертой на у = ± Ь/2. С этим случаем приходится
иметь дело при расчете мостовых покрытий, укладываемых на несколько
поперечных и на две главные балки. Если прогибом и крутильной жест-
костью всех этих несущих балок можно пренебречь, то получим поверхность
влияния') в виде, представленном ма рис. 173.
В автодорожных мостах нагрузка каждого колеса распределяется раияо-
мерно по некоторой прямоугольной илотади со сторонами и, v. Для на-
грузок, перемещающихся по осевой линии у = 0 плиты, на рисунке нанесено
пять линий влияния (для значений ®/й— от 0,05 до 0,40) с указанием значе-
нии их наибольших ординат. Это позволяет без затруднений определить наи-
неныгоднейшее положение нагрузки. Как поверхность влияния, так и линии
влияния нанесены с ординатами, умноженными на 8%.
Пример расчета. Допустим, что а = Ь = 7.2 м; примем, что на-
грузка ст заднего колеса Рг — 7250 кг. w — 45 см, о — 75 см. от переднего же
колеса Ру = 1812,5 кг, « = 45 см, v = 37,5 см. Влияние толщины покрытия
и плиты на распределение отдельных нагрузок может быть учтено в при-
веденных выше значениях в и ®.
Для заднего колеса имеем o/iftsO.lO, для переднего v/b~0,05. Поло-
жим, что положение задних колес определяется последовательно абсциссами
Е = 0,20а, 0,25а, 0,30а, 0,35а, О,40а. Соответственное положеине передних колес
фиксируется при этом расстоянием между осями, раиным 4,2 ж=0/>83о.
Определение поверхности влияния для каждого частного положения нагрузки
дает последовательность значений момента, нанесенных на рис. J73 штри-
ховой линией для соответственных значений Е. Кривая обнаруживает макси-
мум близ Е—0,30а. Процесс вычисления воспроизведен здесь только для
этого последнего положения.
Линии влияния, отмеченные числами 0,1<У и 0,05, позволяют учесть
влияние двух центральных нагрузок (у = 0):
— (7250 • 3.24+ 1812.5 - 3.32) = —29523 кг.
Поверхность же влияния дает влияние остальных шести нагрузок
—7250(1,66 + 2,25 + 0,44) —1812,5 (1,59+ 2.25 +0,41) = —39,364 кг.
Наколец, вводя принятый множитель 1/8% = 0,0398, приходим к результату
(jMx)min = —0,0398 (65100 + 86 600) = 2740 кг м]м.
Максимум, перерезывающий силы при равномерном загружении пло-
щади прямоугольника. Нагрузка этого типа, помещенная у защемленного
края бесконечной консольной пластинки, очерчена на рис. 170 штриховым
контуром. С этой' задачей также приходится встречаться при расчете
мостовых плит. Исходя из (210) и пользуясь принципом наложения, находим
при х = у = 0 следующее значение перерезывающей силы:
и >?2
2Р Г Г Е2
"s J (РЧ-ч")’*1
0 -v/2
откуда
(Q*-)mex ~ » 0)
где
e = i[^,D(^-+1) + 2arctfi-£]- ®
') О методе ее построения см. ссылку, приведенную к § 62.
Тб] ИСПОЛЬЗОВАНИЕ ПОВЕРХНОСТЕН ВЛИЯНИЯ 371
372 СПЕЦИАЛЬНЫЕ И ПРИБЛИЖЕННЫЕ МЕТОДЫ ТЕОРИИ ПЛАСТИНОК (ГЛ X
Значения коэффициента и
в уравнении (f)
Численные значения коэффициента а приводятся в таблице 78. Поскольку
влиияие других нагрузок на Qx обычно пренебрежимо мало, нам нет нужды
строить для Qx поверхность влия-
ния. Формулой (f) можно пользо-
ваться как обеспечивающей доста-
точно высокую точность при рас-
чете плит конечных размеров, а также
при упругом защемлении (в этом
случае (1) дает оценку сверху) края
78
»/“ °
0,1 0,223 1,2 0,852
0,2 0,357 1 4 0,884
о,3 0Д59 1,6 0,909
0,4 0,541 1,8 0,927
0.5 0,607 2,0 0,941
0,6 0,662 2,5 0,964
0,7 0,708 3 0,977
0,8 0,747 4 0,989
0,9 0,780 5 0,994
1,0 0,817 10 0,999
77. Функции влияния и харак-
теристические функций? Предста-
вляет^ интерес обнаружить сущест-
вование тесной связи между задачей
о функции влияния (или функции
Грина) дан изогнутой пластинки и
задачей о ее свободвых поперечных
колебаниях. Последние описываются
дифференциальным уравнением
I дх» + dv* I W D di* ’ W
где W(x, у, t)—прогиб, (л—масса
пластинки, отнесенная к единице
площади, £—время, Предполагая, что l?'—а;(х, у)cos/?Z, получаем для
функции w дифференциальное уравнение
D ДДи> — Хаг = о,
в котором X = р»^. при некоторых частных граничных условиях решения
уравнения (Ь) существуют только для определенной совокупности значений Л,,
н2....Хй, ... параметра X, так называемых характеристических чисел
(иля собственных значений) задачи. Соответствующие решения образуют
систему характеристических функций wt(x, у), w9(x, у)....s»fc(x, у)...
Эти функции взаимно ортогональны, т. е.
J J (X, у) wk (х, у) ах dy == О (с)
при £=?£=&, где интегрирование распространяется по поверхности пластинки.
Поскольку функции ™*(-*, у) определены с точностью до постовнпого мно-
жителя, представляется возможность их «нормировать», выбран этот мно-
житель так, чтобы удовлетворялось условие
' j* j" (х, у) dx dy=a2b2.
Форма, принятая для правой части (d), уместна для случая прямоугольной
пластинки со сторонами а и Ь, но каков бы ни был контур пластинки,
для wk должна сохраняться размерность длины. С установлением совокуп-
ности чисел Ай и соответствующей системы нормированных функций w% (х, у)
78] ПРИМЕНЕНИЕ БЕСКОНЕЧНЫХ ИНТЕГРАЛОВ И ПРЕОБРАЗОВАНИЙ 373
устанавливается ') вместе с тем и возможность разложения в рад
y-ft » и
fi=I
для функций влияния пластинки, причем характеристические функции
удовлетворяют граничным условиям.
Применяя уравнения (а) и (Ь) предыдущего параграфа к разложению (е),
заключаем, что прогиб пластинки всегдл можно представить линейным
сочетанием ее характеристических функций, как бы ни была распределена
нагрузка по ее площади.
Возьмем дан примера прямоугольную пластинку, свободво опертую по
кринм (рис. 59). Собственными функциям в, которые удовлетворяют уравне-
нию (Ь) с граничными условиями w = Дw = 0 и условию (d), будут
п,г-г тих . пку
Wk — 2 р ab sin —~— sin • (f)
где т и п — два произвольных целых числа. Соответствующее собственное
значение из уравнения (Ь):
Подстановка его в разложение (е) немедленно приводит к результату (134),
Для прямоугольных пластинок, у которых оперты лишь два противополож-
ных края, а услоинк по двум другим краям произвольны, функции влияния
можно получить подобным же образом. Одвако в этом случае возникает
необходимость вычислить предварительно значения А из триясцендептного
уравнения частот. Следующим объектом, для которого функцию влияния
можно получить в виде ряде, является круглая пластинка, для которой
формы колебаний, поддающиеся представлению в функциях Бесселя, хорошо
известны
78. Применение бесконечных интегралов и преобразований. Иной
путь решения задачи изгиба пластинок дает использование различ-
ных преобразований г). Некоторыми из них мы займемся в настоящем па-
раграфе.
Интегралы Фурье. В случае бесконечной или полубескопечпой полосы,
Ж и произвольных условиях по двум параллельным краям, уместен метод
®и, описанный па стр. 133, но при 5том ряды Фурье приходится заменять
соответствующими бесконечными интегралами. В дополнение к примеру,
рассмотренному в § 50, этим же путем э) можно решать и задачу о беско-
нечной консольной пластинке (рис. 174), несущей сосредоточенную силу Р.
') См„ например. Курант Р., Гильберт Д., Методы математической
физики, т. 1, 3-е изд., Гостехиздат, М,— л., 1951.
2) С теорией и применениями их можно познакомиться по книге: Sned-
don 1. N., Fourier transforms, Нью-Йорк, 1951. (Русский перевод: Снед-
дон И., Преобразования Фурье, ИЛ, 1955).
®) Решение и числовые результаты даются Jaramillo Т. J., J. Appl,
Meeh., т. 17, 1952. Используя ряды Фурье, Н. Jung решает некоторые задачи;
см. Math. Nachr., т. 6, стр. 343, 1952.
874 СПЕЦИАЛЬНЫЕ И ПРИБЛИЖЕННЫЕ МЕТОПЫ ТЕОРИИ ПЛАСТИНОК [ГЛ. X
Пусть — прогиб части АВ и и»8 — прогиб части ВС пластинки шири-
ной AC=a. Тогда должны быть выполнены следующие граничные
условия:
w. = О, —= 0 при х = о,
1 ох
• (а)
-₽+'T#-ft J +(!-’>иг0 "P" '=“•
вместе с условиями непрерывности
dw, dws . . »
®i=zcs, Aw( = Aw2 при л = е. (b)
Сосредоточенную силу P можно представить распределенной по длине v.
Рис. 174.
Вспомним, что любав четная функция у допускает представление через
интеграл Фурье
/(у)=^- cos «у da (с)
о 6
Поскольку интенсивность нагрузки /(О = Pjv постоянна в интервале
—v/2<vj<v/2 и исчезает на остальной площади пластинки, мы имеем
(<*)
С другой стороны, функция f(y) представляет собой разность между зна-
чениями перерезывающей силы Qx по обоим краем сечения х = 6. Поэтому
в силу уравнений (108) получаем
D дх ^Ли’1 —
J8J ПРИМЕНЕНИЕ БЕСКОНЕЧНЫХ ИНТЕГРАЛОВ И ПРЕОБРАЗОВАНИЙ 375
для х = £. В соответствии с (d) представим прогибы wt и ws интегралами
ч>1 = J” Xt (х, п) cos ay da, i = 1, 2, (f)
0
в которых функция
Xf (х> °) = (А + &ix) Ch ах -р [Ci + D-x) sh ах
имеет тот же вид, что и функция Ут на стр. 135.
Теперь остается подставить выражения (f) в уравнения (а), (Ь) и (с),
чтобы определить коэффициенты Л(, jB(.Ds, не зависящие от у, но зави-
сящие от а.
Распределение изгибающих моментов по защемленному краю, вычислен-
ное из этого решения для различных точек приложения сосредоточенной
нагрузки при ® = 0, v = 0,3, представлено на рис. 175.
Преобразование Меллина. Использование етого преобразования уместно
в расчете клинообразной пластинки при произвольных однородных (постоян-
ных) условиях по краям О — О и б =а (рис. 176). Положим '), в конкретном
случае, что край 6 = 0 защемлен, а край 6=« свободен, за исключением
точки г=г0, где приложена сосредоточенная спла Р.
') Эта задача была решена Войновскиы-Кригером; см. Woinowsky-
Krieger &, Ingr.-Arch, т. 20, стр. 391, 1952. Некоторые поправки были
внесены Койтером (Koller W. Т., Ingr.-Arch., т. 21, стр. 381, 1953).
Применение метода к пластинке, авщемЛенной по двум краем, см.:
У ф л я н д И. С., Доклады АН СССР, т. 84, стр. 463, 1952. См. также К о I-
t е г W. Т., А1 b 1 a s J. В., Proc. Konikl. Ned. Akad. Wetenschap., т. 57,
№2, стр. 259, 1954.
378 СПЕЦИАЛЬНЫЕ И ПРИБЛИЖЕННЫЕ МЕТОДЫ ТЕОРИИ ПЛАСТИНОК [ГЛ X
Пользуясь полярной системой координат (см. § 62), принимаем для диф-
ференциального уравнения ДДи/ = О общее решение в виде
uz(s)=/-«e(e, s).
(2)
где в—параметр, а
в(6s) = A (s)cos sf)-J-В (s)slnsfl 4-С (s) cos (s 42) в 4 D(s)sin(s4-2) 0. (h)
Прогиб и наклон по защемленному краю обращаются в нуль, если
- <>
Изгибающий момент М/ по сво-
бодному краю также исчезает
при условия, если
Функцию /(г) можно теперь предстанить с помощью формулы Меллина
следующим образом:
где с — вещественная постоянная, подчиняющаяся некоторым ограничитель-
ным условиям. В частности, для силы Р. сосредоточенной в точке г — гс‘,
получим
Этим подсказывается выбор вида выражения для прогиба пластинки
Тогда реактиипые силы по краю 6 = о определятся равностью
(п)
Подставив надлежащие выражения для Qt и Мг1 (см. стр. 317, 318) и
учтя (гп), получим
<Щ...— зет / {да+^+о-^^+о^+ЗДя},
»-оо| " /0)
781 ПРИМЕНЕНИЕ БЕСКОНЕЧНЫХ ИНТЕГРАЛОВ И ПРЕОБРАЗОВАНИЙ 377
Сопоставляя, наконец, выражения (I) и (о), получаем, в дополнение к урав-
нениям (1) и (j), четвертое условие для определения величин Л (л), В (s), С ($)
и D (s). Подстановка этих коэффициентов в выражения (h) и (т) и введение
Рис. 177.
нового переменного в — — (s1) I, гдв i = У"—I. лает следующее выраже-
ние для прогиба пластинки:
1Ргг„
W~ *D J A«(l |-us)

где О и Н—некоторые функции а, 6, и, a N—функция а и и.
Эпюра прогибов по свободному краю и эпюра моментов Mt по заще-
мленному краю 0=0 для частного случая а = я/4 и а = я/2 предстакаены
на рнс. 177.
Преобразование Ганкеля. Пусть круглая пластинка радиуса а изо-
гнута в поверхность вращения симметрично распределенной нагрузкой у (г).
378 СПЕЦИАЛЬНЫЕ И ПРИБЛИЖЕННЫЕ МЕТОДЫ ТЕОРИИ ПЛАСТИНОК [ГЛ X
Умножаем дифференциальное уравнение Mw^=qfD такой пластинки
на rJ0(Xr)dr и интегрируем по частям между пределами г=0 и г = со.
Если w = 0 для г "> а, то в результате получим
k*fw <*) rJ0 (*r) dr ^g (X), (q)
0
где
г(4 = <с,+*!с.)А(М+₽.с,+*1 2 *с<)-/1(М+4‘ f <0
6
Jo и Ji — бесселевы функции нулевого и первого порядков, Ст—постоянные.
Применение теоремы обращения Ганкеля к уравнению (q) двет
w = f Jo (М dk (8)
о
Постоянные Ct определяются теперь из условий по контуру г=а пластинки
и из условия, требующего, чтобы функция g^(A)/k4 быав ограничена. В слу-
чае кольцевой пластинки ') лишь слегка изменяется выражение (г). Примеры
применения решений типа (s) к задаче об упруго опертой пластинке приво-
дятся в § 61.
Синус-преобразование. В случае прямоугольной пластинки мы приме-
нили решения вида
w (*> у)=2 Y &s,n aXt
а для пластинки, имеющей форму сектора, решения вида
w (г, б) = 2 Я (г, р) sin рб.
Конечные сияусы-преобразования функция w, выполненные по отношению
к х иак соответственно 0 и введенные вместе с преобразованными произ-
водными от иг и преобразованным дифференциальным уравнением .пластинки,
оказались полезными при вычислении постоянных функций Y и R из данных
граничных условий пластинки8).
79. Метод комплексных переменных. Преобразовав независимые пере-
менные дифференциального уравнения (104) изогнутой пластинки с помощью
подстановки z = x-^ly, z — x—1у, получим это уравнение в новых пере-
менных
') Обоснование метода и обширный обзор преобразований, используе-
мых в его применениях, имеются в работе Юнга (Jung Н., Z. angew. Math.
Meeh., т. 32, стр. 46, 1952).
2) Использование этого метода принадлежит Девереллу и Торну; см.
Dever all L. L, Thorne C. J., J. Appl. Meeh., t. 18, стр. 152, 359, 1951.
79] МЕТОП КОМПЛЕКСНЫХ ПЕРЕМЕННЫХ
Положим w =иг0-|-«'|> где wt — общее решение уравнения
dazd* *z
a w0—частное решение уравнения (а). Тогда )
®|=эгкч>(г)+х(г)].
379
Ф)
где т и X—функции, аналитические в рассматриваемой области. Обычно
вместе с у входит и ее производная у — дх/^г-
В случае сосредоточенной силы Р, приложенной в z0 — -хь+<Уо> реше-
нию v>0 можно придать вид
юо = -|6^Д (*—-*о) (г—ас) Вт [(г—г0) (г—70)],
(с)
по существу эквивалентный выражению (206). Для равномерного загружения
уместна иная форма решения:
Если внешний или внутренний контур пластинки — окружность, мывсегдв
впране заменить ее единичной окружностью z = ей, или, короче, положить
z=o. Граничные условия ив z=o также должны быть сформулированы
в комплексной форме. Функция у и ф могут быть приняты в виде степенных
рядов с добавочными, если нужно, членами, в зависимости от значения
результирующих напряжений по внутреннему контуру пластинки. Умножение
граничных условий на множитель [2«/ (о —г)] -1 da и интегрирование по г=о
приведет тогда к искомым функциям 2) <р и ф.
Если контур пластинки отличается от окружности, можно применить
отображающую функцию z = =<0(рг“?), преобразующую данный контур
в единичную окружность t = ei<p = о. Определение функций fi(C) = f(z)H
Ф((С) = Ф(*) из граничных условий на С—о будет тогда приведено к уже
рассмотренной задаче. Изложенный здесь метод Мусхелишвили особезно
эффективен в случаях, касающихся распределения напряжений вокруг отвер-
стий®); функция 6>(С) в этих случаях отображает бесконечную область пла-
стинки во внутреннюю область единичного круга.
Метод комплексных неременных позволяет также выразить в замкнутой
форме функция Грина для круглой пластинки с различными граничными
’) 8? обозначает вещественную часть решения. Эта форма решения би-
гармонйческого уравнения принадлежит Гурса (G our sat Е., Bull. Soc.
Math. France,-т. 26, стр. 236, 1898).
О вычислении интегралов типа Коши см. Мусхелишвили Н. И.,
Некоторые основные задачи математической теории упругости, М.— Л, Изд.
АН СССР, 1949.
*) Широкое применение этого метода в задаче о концентрации напря-
жений выполнено Г. Н. Савиным; см. его киягу «Концентрация напряжений
вокруг отверстий», Москва, 1951. См. также Yi-Y пап Yu, 3. Appl. Meeh.,
т. 21, стр, 129, 1954, и Proc. IX Intern Congr. Appl, Meeh., т. 6, стр. 378,
Брюссель, 1957; также D е v е г а 11 L. 1., J. Appt Meeh., т. 24, стр. 295, 1957.
Несколько отличный метод, уместный также для некоторых задач теория
толстом пластинки, был применен Стивенсоном (Stevenson A, C.t Phil.
Wag., т. 33, стр. 639, 1942).
380 СПЕЦИАЛЬНЫЕ И ПРИБЛИЖЕННЫЕ МЕТОДЫ ТЕОРИИ ПЛАСТИНОК [ГЛ. X
условиями’). В иных случаях, как, например, для квадратной пластинки,
защемленной по контуру, приходится пользоваться приближенным опреде-
лением функций Грина* 2).
Если деформацию пластинки можно выразить посредством двойных три-
гонометрических рядов, то ее можно представить и в более простом виде,
использовав свойства двоякой периодичности эллиптических функций. Для
величины Д®, удовлетворяющей гармоническому уравнению Д (Д®) — о, такое
представление оказывается особенно удобным вследствие близкой связи
между функцией Грина для выражения Д® и функцией, отображающей
область заданной пластинки в единичный круг3). С определением Д® непо-
средственно устанавливается и величина перерезывающих сил как произ-
водных этой функции в соответствия с уравнениями (108).
80. Применение энергетического метода для вычисления про-
гибов. Вернемся к задаче о свободно опертой прямоугольной пла-
стинке. Из выкладок § 28 видно, что прогиб свободно опертой
прямоугольной пластинки (рис. 59) всегда может быть представлен
в форме двойного тригонометрического ряда4)
V1 - пну , .
tn=*l n-1 '
Коэффициенты его ат„ можно рассматривать как координаты, опре-
деляющие форму поверхности прогибов, и для их нахождения можно
воспользоваться принципом виртуальных перемещений. Для этого нам
потребуется выражение энергии деформации
Подставлия сюда вместо ад ряд (а), получаем для первого члена
подынтегрального выражения
0 С Lm=l л«1 J
<) Reissner Е., Malh. Ann., т. Ill, стр. 777, 1935; А. И. Лурье, Прикл.
мат. мех., т. 4, стр. 93, 1940.
2) Schultz-Grunow F., Z. angew. Math. Meeh., т. 33, стр. 227, 1953.
8) К у раит, Гильберт (см. цит. на стр. 373), т. 1, стр. 377. Эллип-
тические функции нашли применение, н частности, в работах Падай,
(A. Nadal, Z. angew. Math. Meeh., т. 2, стр. 1, 1922) (безбалочные пере-
крытия) и Тельке (Т б 1 k е F., Ingr.-Arch., т. 5, стр. 187, 1934) (прямоуголь-
ные пластнияи), а также у Аггарвала (Aggarwala В. D., Z. angew.
Math., Meeh., т. 34, стр. 226, 1954) (полигональные и, в частности, треуголь-
ные пластинки).
4) Членами этого ряда являются характеристические функции рассма-
триваемой пластинки (см. § 77).
SCI) ПРИМЕНЕНИЕ ЭНЕРГЕТИЧ МЕТОДА ДЛЯ ВЫЧИСЛЕНИЯ ПРОГИБОВ 381
Заметив, что
а Л
Г mix m'itx . Г . ту п'пу . _
f sin------sin-----ах = I sin—j^-sin—fz-pv = u,
J a a J b b J ’
о о
если т =# m‘ и n-j=n'. мы заключаем, что при вычислении инте-
грала (с) нам достаточно приннть в расчет лишь квадраты заклю-
ченных в скобки членов бесконечного ряда.
Формула
а Ь
Г Г . <> imx . ту . . ab
/ / Sln "S-8"1 » djtdj, = T
дает при вычислении интеграла (с)
Из того факта, что
a b а b
Г Г . , тлх . 9 raiy . . С Г •> tm.x - ту . .. ab
I I sir? sin*ахау — / / cos2—— со81~-^-ахау=-^-,
о о оо
можно заключить, что второй член стоящего под знаком интеграла
выражения (Ь) обращается в результате интегрирования в нуль. По
этой причине полная энергия деформация будет в этом случае выра-
жена интегралом (с) и в итоге сведется к
v-TdiJ <(£+£)’• <->
Рассмотрим изгиб пластинки (рис. 59) сосредоточенной силой Р,
нормальной к пластинке и приложенной в точке У = '17- Чтобы
получить виртуальное перемещение, удовлетворяющее граничным
условиям, обобщим некоторому коэффициенту ат’п‘ ряда (а) беско-
нечно малое приращение 8оСТ’я'« В результате этого прогиб (а) полу-
чит приращение
*, » , т'кх , п'ку
Сга>~оат'п‘ sin —— sin —£—
и сосредоточенная нагрузка Р произведет виртуальную работу
гч j , «'я? tl'tlt!
Poam‘tt’ sin —-— sin ‘.
382 СПЕЦИАЛЬНЫЕ И ПРИБЛИЖЕННЫЕ МЕТОДЫ ТЕОРИИ ПЛАСТИНОК [ГЛ X
Из принципа виртуальных перемещений следует, -что эта работа
должна быть равна приращению потенциальной энергии (d), обусло-
вленному приращением 8om>n-. На этом основании
OS- w'r.S . n'ac-л dV s,
РЪат-„’sm~— sin = ^a-7T8fl'n'n’'
Подставив сюда выражение (d) для V, получим
os rn'T^ П'ЯЧ о (тл । и'в У«
P^dm’n'sin а s’n j — д Dam‘n’ у а? Ч- j §ат’п’* (с)
откуда
Подставив это значение коэффициента ат’п' в выражение (а), при-
ходим вновь к результату (133).
Вместо того чтобы пользоваться принципом виртуальных переме-
щений при вычислении коэффициентов огап в выражении (а) для про-
гибов, мы можем достигнуть того же результата из рассмотрения
полной энергии системы. Если система находится в состоянии устой-
чивого равновесия, то полная энергия ее принимает минимальное из
всех возможных значений. Прилагая этот принцип к исследованию
изгиба пластинки, заметим, что полная энергия в подобных случаях
состоит из двух частей, а именно: из энергии деформации изгиба,
данной выражением (Ь), и из потенциальной энергии нагрузки, рас-
пределенной по пластинке. Если положение элемента qdxdy нагрузки
определять вертикальными его расстояниями w от горизонтальной
плоскости ху, то соответствующая ему потенциальная энергия может
быть принята равной — n>qdxdy. и потенциальная энергия всей на-
грузки будет
-- J J-.i fdxdy. (g)
Тогда полвую энергию системы ласт интеграл
Задача об изгибе пластинки сводится в каждом частном случае
к нахождению функции w от х и у, удовлетворяющей заданным гра-
ничным условиям и обращающей значение интеграла (ii) в минимум.
Используя для этой задачи средства вариационного исчисления,
ВО) ПРИМЕНЕНИЕ ЭНЕРГЕТИЧ. МЕТОДА ДЛЯ ВЫЧИСЛЕНИЯ ПРОГИБОВ 383
мы получим для ®> дифференциальное уравнение в частных произ-
водных (W4). выведенное уже ранее из условий равновесия элемента
пластинки. Интегралом (h) можно, однако, с успехом воспользоваться
и в приближенном исследовании изгиба пластинки. С этой целью
заменим задачу вариационного исчисления задачей об отыскании ми-
нимума некоторой функции, допустив, что прогиб w может быть
представлен в виде ряда
«е»=в1?1(х. у)+«2<[>2(л:, У)+«3<р3(х. у)+ Ч-оя«п(х. у). (211)
в котором функции ф], <f2, .... <fn выбраны так, чтобы они могли1)
представлять поверхность прогибов ® и в то же время удовлетво-
ряли бы граничным условиям. Подставив выражение (211) в инте-
грал (Ь)» получим после интегрирования функцию второй степени от
коэффициентов йр о2, ... Эти коэффициенты следует теперь вы-
брать так, чтобы интеграл (h) принял минимальное значение, т. е.
чтобы
-а— — О. -д— = 0........ -д— = 0. (I)
да, да2 дап 4'
Это—система п линейных уравнений относительно величин
о2, ...» йп, которые легко могут быть вычислены в каждом отдель-
ном случае. Если функции ? такого типа, что ряд (211) может пред-
ставить любую функцию внутри контура пластинки2 *). то этот метод
вычисления прогибов w приводит нас ко все более и более точному
приближению по мере того, как число п членов ряда возрастает;
взяв -же п бесконечно большим, мы получим точное решение задачи.
Применяя этот метод к случаю свободно опертой прямоугольной
пластинки, выразим прогиб ее тригонометрическим рядом (а), для
энергии же деформации используем выражение (d); "тогда интеграл (fa)
представится в следующем виде:
со оо
, vtebD Vi V) , ( т2 . л*\2
—//«2 о
О О т=1 п=1
*) Из опыта мы обычно знаем приблизительно форму поверхности про-
гибов, этим знанием нам и надлежит руководствоваться при выборе подхо-
дящих функций ф.
2) Мы видели, что двойной тригонометрический ряд (а) обладает этим
свойством в отношении прогибов w для свободно опертой прямоугольной
пластинки, поэтому им можно пользоваться и при получении точного реше-
ния задачи. Метод решении задач об изгибе пластинки с применением инте-
грала (11) был разработан Ритцем; см. J. relne angew. Math, т. 135, 1908,
а также Ann. Physlk, 4-я серия, т. 28, стр. 737, 1909.
384 СПЕЦИАЛЬНЫЕ И ПРИБЛИЖЕННЫЕ МЕТОДЫ ТЕОРИИ ПЛАСТИНОК [ГЛ X
а уравнения (1) примут вид
а I)
Ti'abD / ms . п?\2 Г Г тпх , пну . . л ,,.
-4— J ««л—sln-^rfxrfy=O. (к)
о о
Если нагрузка Р приложена в точке с координатами Е, •»], то
интенсивность q нагрузки равна нулю ио всех точках, за исключе-
нием точки Е, т]. для которой нам следует положить qdxdy=Р.
Тогда уравнение (к) совпадает с уравнением (е), выведенным выше
из принципа виртуальных перемещений. В практических целях полезно
обратить внимание на то. что входящий в выражения (Ь) и (h) интеграл
0)
обращается в нуль для пластинки, жестко защемленной по контуру.
То же упрощение имеет место и для многоугольной пластинки, если
одно из граничных условий требует, чтобы либо тег —0, либо
dw/dn = 0, где п — направление нормали к краю').
Если перейти от прямоугольных координат к полярным, допустив
при этом осевую симметрию нагрузки и деформации, то уравнение (h)
преобразуется в
При этом для защемленной по контуру пластинки значение члена,
содержащего множитель (1—v), и па этот раз сводится к нулю.
Энергетическим методом можно также вычислить прогиб круглой пла-
стинки, покоящейся на упругом основании. Для получения грубого прибли-
жения представим прогиб в виде
w = A-^-Br\ (п)
где А к В — две постоянные, подлежащие определению из того условия, что
полная энергия системы в состоянии устойчивого равновесия приобретает
минимальное значение.
Энергия деформации пластинки радиуса а на основании уравнение (ш)
выразится так:
Ul = 4BsDna«(14-v).
Энергия деформации упругого основания будет
2я а
i'. f f +
') См., например, Berger Е. R., Osterr. Ingr.-Arch., т. 7, стр. 41, 1953.
stl ИНОЙ СПОСОБ ПРИМЕНЕНИЯ ЭНЕРГЕТИЧЕСКОГО МЕТОДА 385
Полная энергия системы для случая, когда нагрузка Р приложена в центре,
равна
V = 4B*D^ (1 4 v) 4. лЛ QА*а?+1 АВа* 4 1 В*а^ — РА.
Беря производные от этого выражения по Л и по В и приравнивая их нулю,
получим
л+4в“,=да-
В соответствии с численным примером (стр. 296) примем
1 = а, -Д. = 1, = 102-10’5.
kaf &tka3
откуда
wma>E = Л =41,8-10-3 см.
Этот результат приблизительно на 3% меньше значения 43 • 10-3 см, полу-
ченного из .дифференциального уравнения пластинки, покоящейся на упру-
гом основании. Уточнение этого результата достигается введением в ряд (п)
большего числа членов.
Если мы ставим себе задачу найти не только прогиб, но и распределе-
ние напряжений близ точки приложении сосредоточенной нагрузки, нам сле-
дует внести в ряд (п) дополнительный член вида
• '8^'r8,nzi
в соответствии с типом особенности, имеющей адесь место [см. уравне-
ние (206)].
В полярных координатах интеграл (h) в самом общем случае принимает
вил
/— Г Г< Г/, 1 dte , 1
,/ J ( 2 Ц дг» + г дг + г» дб* J
-2<—>^(т£ + ^)+
+2<1-')('*"т“тгтг)']-»»}'-*''6- (»>
81. Иной способ применения энергетического метода. Вычи-
сление коэффициентов at,-a2,__ ап в выражении (211), которое
должно удовлетворять граничным условиям, но не дифференциаль-
ному уравнению задачи, можно выполнить также и без фактического
определения потенциальной энергии системы.
Зная виртуальный прогиб пластинки, мы можем вычислить
соответствующую работу нагрузки q либо непосредственно из инте-
грала
(SV), = J* J* qbwdx Ну, (а)
13 С. П. Тимошенко, С. ВоЛноаскмА-Крмгер
386 СПЕЦИАЛЬНЫЕ И ПРИБЛИЖЕННЫЕ МЕТОДЫ ТЕОРИИ ПЛАСТИНОК ГГЛ. X
либо косвенно, используя выражение
(8V)2 = J J ОД ЬмЪж dx dy. (b)
Если w—точное решение дифференциального уравнения DLLw~q
пластинки, то выражения (а) и (Ь) должны совпадать. Для прибли-
женного решения, представленного рядом (211), это заключение,
конечно, неприменимо, но мы можем достигнуть цели, приравнивай
выражения работ для частной совокупности виртуальных прогибов,
а именно для 8®, = tpI8o], 8гг>2 = ^28с2.Вт»п = <р„ 8вп. Вводя
эти выражения последовательно в уравнение 0V)i=(8V2), или, что
то же. в уравнение
J* Рqbwdxdy= J*DLLivbwdx dy, (с)
приходим к следующей системе уравнений1):
f f (дДш— ^jtf1dxdy=O,
f /(ьь®— р)ч!‘^‘>У=О- (fl

Остается лишь ввести выражение (211) в уравнения (d) и решить нх
относительно неизвестных коэффициентов at, a# .... ап. Это при-
водит к окончательному выражению для прогиба (211).
Чтобы иллюстрировать применение метода, рассмотрим равномерно
нагруженную прямоугольную пластинку, защемленную по всему кон-
туру (рис. 91). Записав для краткости 2х/а = и, 2yfb=v, введем
обозначения
С71==И4—2к2Ч-1.
1/8 = «« —2^4-ыг.
2г)2Ч-1,
У2=г16—
(е)
Тогда система функций
ъ-цу» *=1/,^ Ф3=ад. «₽4=ад
(О
') Принцип, приводящий к уравнениям, известным как уравнения Галер-
кииа, был указан Ритцем (Ritz W„ Oesamrn. Werke, стр. 228, 1911).
B2J РАЗЛИЧНЫЕ ПРИБЛИЖЕННЫЕ МЕТОДЫ 387
будет удовлетворять требуемым условиям
c*to Л I <
«'=-^- = 0, где и—±},
да/ ,, . ,
W = -^- = V При ф= ± 1.
Проведем подсчет для частного случая квадратной пластинки. Поскольку
здесь х и у взаимно заменимы, имеем а2^ая и, следовательно,
Ъ^^-UiV^UgVg.
Положив qa'iibD — N, запишем ряд (211) в виде
U' = ai{/,Ui-|-aj(fJ|Us4-C4^i)4_fli^sl/2- - (g)
Подставляя его последовательно в уравнения (d) с коэффициентами
fs 11 и использовав обозначении (е), вычислим интегралы в пределах
и == ± 1, v = ± 1. Приходим к следующей системе уравнений:
6,687345а, -|-1,215879а2 4-О,О675488а, « 0.14222217V, 1
1.215879а, 4-2,743525аг 4- 0,218235а, = 0,0406349АГ [ (й)
0,0675488а, 4- 0,218235аг -f- 0,00500462а, = 0.00290249А7. J
В первом приближении находим
Решав всю систему (h), получаем в третьем приближении
а, — 0,Ce023N, 0,-0,00535^ а, = 0,00625W.
Полученные из выражения (g) численные результаты для прогибов
в центре, моментов Мх = Л1у в центре и моментов Мк в точке х=а]12,
у =0 сводятся к следующему: в первом приближении: Qfl0l329qa*ID,Qff276qa2,
— 0,0425уаг; в третьем приближении: 0,001264ya*/D, 0J№!2Sqa2. — 0,0512je2.
Для сравнения прияодим соответствующие данные из таблицы 35:
0,00126?a4/D, 0,0231^, — 0,0513?а».
Моменты в центре вычислены для v==0,3.
Из приведенных выкладок можно сделать вывод, что если первое при-
ближение еще нельзя признать удовлетворительным, то третье представляется
вполне достаточным даже и для изгибающих моментов.
82. Различные приближенные методы. Комбинированный метод •).
Описавную в предыдущем параграфе методику можно ограничить, сведя ее
к одной переменной, например у, и получая таким путем для другого пере-
менного х обыкновенное дифференциальное уравнение. Вернемся к изгибу
защемленной квадратной пластинки под равномерной нагрузкой (рис. 91).
Ограничившись первым приближением, примем на этот раз
в> — ? (л) ф (у) — f (л) (а2 —8а’у24- 16у^>. (а)
*) Предложен Л. В. Канторовичем, Пав. АН СССР, № 5, 1033.
13*
388 СПЕЦИАЛЬНЫЕ И ПРИБЛИЖЕННЫЕ МЕТОПЫ ТЕОРИИ ПЛАСТИНОК (ГЛ. X
Граничные условия w — -^- — 0 при у == ± а]2 будут при этом удовлетво-
рены функцией ф (у). Попытаемся теперь удовлетворить условию (с) § 81,
взяв вариацию в виде
6 w = ф (у) бу (х). (Ь)
Подстановка в уравнение (с) § 81 дает
f [ f (a Aw—ф (У) ^у] dx 6<р (л) = О, (с)
что удовлетворяется при
в/2
f СТ
-е/2
Подставив теперь выражение (а) в это последнее уравнение, мы придем
к следующему дифференциальному уравнению для неизвестной функции ? (л):
с a' d*<f. а2 г!2ч> ___ 5
504 <?х’ 21 rfx«+*— 38477* 'е)
Очевидное частное решение этого уравнения будет ? = ^/384О. Для одно-
родного уравнения, к которому приводится (е) при д=0, мы можем при-
нять у — Это дает Л==±а±р« при а == 4,1503 и р = 2,2858. Вслед-
ствие симметрии поверхности прогибов относительно осн у решения урав-
нения (е) должны быть четными функциями х; поэтому получаем
’“зйо(1 + С‘л^“5^+с"й,“я”т)- ®
Для вычисления постоянных С, н Ся пользуемся граничными условиями
Ч—— О на х= ± я/2, откуда находим С, == —0,50227, С, ==—0,04396.
Этими значениями окончательно устанивчияаются форма функции (1) и ре-
шение (а).
Последнее дает следующие численные результаты для центра пластинки:
ет = С,001296?а*/.О (для »=0,3), Мх ~ 0,0241 qa2 и Му = 0,0261^.
Благодаря частичному использованию дифференциального уравнения
результат первого приближения получается более точным, нежели приведен-
ные в § 81, где энергетический метод был применен в чистом виде. В целях
дальнейшего повышения точности положим
W = ?! (X) ф1 (х) 4- ¥г (х) фг (х)+ ..(g)
где все функции ф(у) подчиняются требованию удовлетворять граничным
условиям при у = ± в/2. Использование уравнения (с) с вариациями ftwj ==
= Ф|8?|> 8ws= ф2$?2, ... приводит теперь к системе линейных дифферен-
циальных уравнений с постоянными коэффициентами для функции <f а (х),
¥« (*) - - • Решение подобной системы, хотя и не представляет принципиаль-
ных трудностей, может оказаться трудоемким для приближений более вы^
сокого порядка: в практических применениях, однако, приемлемые резуль-
таты дает чаще всего второе приближение.
B2J
РАЗЛИЧНЫЕ ПРИБЛИЖЕННЫЕ МЕТОДЫ
389
Метод обращения. Решением (211), удовлетворяющим лишь граничным
условиям задачи, можно воспользоваться также и иным путем. Вместо того
чтобы вычислять прогибы иа заданного распределения нагрузки с помощью
уравнения (103), воспользуемся тем же уравнением для определения на-
грузки
q = D& &w.
_ №)
приводящей к прогибу (211). В согласии с нашей гипотезой выражение (211)
не представляет строгого решения задачи, и поэтому нагрузка (h) никогда не
будет совпадать с заданной нагрузкой q. Мы вправе, однако, выбрать пара-
метры в,, ait ... в уравнении (211) таким образом, чтобы значения функ-
ций q и q в среднем становились равными на отдельных участках площади
пластинки.
Рассмотрим, например, прямоугольную пластинку (рис. 178), с симме-
тричными относительно обеих осей х и у граничными условиими и распре-
деленаеы нагрузки. Разбив пластинку на 1В равных -прямоугольных участ-
ков, нам достаточво будет в силу симмет-
рии рассмотреть только четыре таких участ-
ка, например Аи As, А3. At. Выражение (211)
можно будет ограничить всего четырьмя чле-
нами, т. е. принять
= °1Т1 + агЧг «эТз+«Л- 0)
Подчиним теперь значения q и q иа каждом
из участков условию
/ / Й—q)dxdy=Q, я=*1, 2, 3, 4. (j)
(ЮЗ) и вместе с тем
Это дает четыре линейных уравнения для че-
тырех параметров ап, и их решение позволит
установить оковчательный вад выражения
(О1)-
- Методы аппроксимации граничных усло-
вий. Если ‘нам удалось ивйти решение,
удовлетворяющее дифференциальному уравнению ,_____, .. ______ - ____
Одному из граничных условий, то второе принятое услоние может быть
удовлетворено путем определении совокупности надлежаще выбранных
параметров. При решении задачи § 44 в качестве таких параметров были
введены коэффициенты двух тригонометрических рядов, представляющих
изменения краевых моментов пластнияи. Разложение выражения для на-
клона dwtdN в ряд2) Фурье было проведено с той целью, чтобы обратить
этот наклон в нуль на контуре, как это требуется условиями'задачи. По-
следнее условие дает возможность нычислить параметры. Для приближенного
’) Иллюстрирующий пример применения этого метода можно найтт
Biezeno С. В. tind Ora nt иге I R., Technische Dynamik, 2-е изд., т. 1,
стр. 147, Berlin, 1953 (имееЛя русский перевод с 1-го издания: Вице и о и
Грам мель, Техническая динамика, т. 1, Гостехиздат, Москва, 1950).
2) Для выполнения граничных условии Надаи применил ортогонализа-
цию но контуру для системы функций более общего характера; см.
Nadal A., Elastische flatten, стр. 180, Берлин, 1925.
390 СПЕЦИАЛЬНЫЕ И ПРИБЛИЖЕННЫЕ МЕТОДЫ ТЕОРИИ ПЛАСТИНОК 1ГЛ. X
выполнения ковтурвых условий уместно бывает также прибегнуть к
тому или иному экстремальному принципу, например к методу наимень-
ших квадратов. В тех, однако, случанк, когда требуется одновременное
выполнение двух граничных условий, использование подобного принципа бы-
вает сопряжено с некоторыми дополнительными трудностями').
Если мы располагаем решением, которое удовлетворяет одному лишь
дифференциальному уравнению задачи, то простейшим иной раз путем
к полному решению бывает выполнение граничных условий только в не-
скольких надлежащим образом выбранных точках контура. При выборе
этих точек рекомендуется учитывать симметрию деформации пластинки,
если, конечно, такая симметрия существует. Для того чтобы удовлетворить
всем граничным условиям в т точках, нам нужно ипести 2m неизвестных
параметров.
В самом общем случае1) мы можем принять выражение для прогиба,
которое не удовлетворяет ни дифференциальному уравнению изогнутой
пластинки, ни гравичным условиям задачи. Тогда назначают некоторое число
точек, например п, внутри контура и на контуре пластинки, в которых диф-
ференциальное уравнение должно удовлетворяться в точности. Тогда для
получения решения задачи потребуется 2m-}-я параметров.
Метод Вайнштейна3) В частном случае пластнияи, защемленной по
контуру, можно сперва искать решение дифференциального уравнения
Д Awj = q/D для заданной нагрузки q и для граничных условий = 0,
Д®! =0, отличающихся от условий, заданных в действительности. В § 24
было показано, что этот последний способ эквивалентен последовательному
решению двух задач, относящихся к равновесию нагруженной мембраны.
Решение поставленной задачи можно взять в виде

(Ю
где а* * — некоторые коэффициенты, a — функции х, у, обращающиеся
в нуль па контуре и удовлетворяющие дифференциальному уравнению
Д = 0. Требуемое условие дт/дМ на контуре (где N— нормаль к кон-
туру) может быть преобразовано на основе теоремы Грина, что приводит
к следующей системе т аниейных уравнений для параметров с*:
f f ^dxdy^~^ia,! f f A¥1 =
fc-i
f f dx dy -f- fife J' J" Дф2 Дчря dx dy = 0,
где все интегралы берутся по всей площади пластинки. Этот метол пред-
’) Важный вклад в эту проблему внес Вертер (Berger Е., стр. 39, цит.
па стр. 384).
*) Этот метод излагается в работе Thorne С. J., Atanosoff J. Vn
Iowa State Cott. J. ScL, t. 14, стр. 333, 1940.
^Weinstein A., Rock D. H., Quart. Appl. Math., i. 2, стр. 262,
ед ПРИМЕНЕНИЕ УРАВНЕНИЙ В КОНЕЧНЫХ РАЗНОСТЯХ 391
стааляет выгоды в тех случаях, когда граничные условии w = 0, Дш = О
подсказывают значительно более простое решение в сравнении с действи-
тельными условиями задачи w — 0, ow/dN—G.
83. Применение уравнений в конечных разностях к исследо-
ванию изгиба свободно опертой прямоугольной пластинки. Ранве
(см. § 24) было показано, что дифференциальное уравнение изгиба
пластинки может быть заменено двумя уравнениями, из коих каждое
имеет форму уравнения провисания равномерно растянутой мембраны.
При этом было упомянуто, что это последнее уравнение может быть
решено с достаточной точностью путем замены его уравнением в ко-
нечных .разностях.
Чтобы проиллюстрировать этот метод решения, начнем со случая
равномерно нагруженной длинной прямоугольной пластинки. На зна-
чительном расстоянии от коротких ее сторон поверхность прогибов
такой пластинки можно считать цилиндрической. Если ось х распо-
ложить параллельно этим коротким сторонам, то дифференциальные
уравнения (120) принимают вид
д2М
дх2 ~ Ч'
d2w М
(а)
Оба эти уравнения имеют тот же вид, что и уравнение прогиба рас-
тянутой поперечно нагруженной гибкой струны.
Пусть АВ (рис, 179, а) представляет собой упругую кривую
нити, натянутой силами S и равномерно нагруженной вертикальной
нагрузкой интенсивностью q. Для вывода уравнения этой кривой
рассмотрим равновесие бесконечно малого элемента тп. Растягиваю-
щие силы в точках т и п направлены по касательным к изогнутой
кривой в этих точках, и потому, проектируя эти силы, а также на-
грузку qdx па ось zt получим

откуда
<?att>________q
dx2 ~~ "S'
(b)
(0
Это уравнение имеет тот же вид, что и уравнение (а), выведенное
для бесконечно длинной пластинки. Кривая прогибов получится теперь
в результате интегрирования уравнения (с), которое дает нам параболу
«2 *
«1)
392 СПЕЦИАЛЬНЫЕ И ПРИБЛИЖЕННЫЕ МЕТОДЫ ТЕОРИИ ПЛАСТИНОК [ГЛ X
удовлетворяющую условиям да = 0 на концах и имеющую в середине
прогиб 8.
Эта задача может быть решена и графически путем замены равно-
мерно распределенной сплошной нагрузки системой равноотстоящих
сосредоточенных сил qbx, где Дх представляет собой расстояние
между двумя смежными силами, и построения веревочного много-
угольника для этих сил. Если Л (рис. 179, Ь)— одна из вершин этого
веревочного многоугольника, а и — растягивающие силы
в двух его смежных сторонах, то горизонтальные проекции этих сил
будут равны S, сумма же их вертикальных проекций будет уравно-
вешивать нагрузку дДх. Это даст
-S **7Г*~' +3 "‘V"’* (е)
В этих уравнениях и — ординаты трех последова-
тельных вершин веревочного многоугольника» а (?е>Л—чрь_$Ьх и
— наклоны двух смежных его сторон. Уравнением (е)
можно пользоваться для вычисления последовательных ординат
83] ПРИМЕНЕНИЕ УРАВНЕНИИ В КОНЕЧНЫХ РАЗНОСТЯХ 393
«и2, .... te>k+1......wn веревочного многоугольника.
С этой целью составим таблицу (f):
0 Aw<i Awt_T Дюй
Дх а,

(* - 1) Дх ^’й-1
АДх «’А Д2и»д
(Л-Н)Дх • «Ъ+1
В первом столбце таблицы помещаются абсциссы последовательных
точек деления пролета. Во втором столбце — ординаты последова-
тельных вершин многоугольника. Образуя разности последовательных
ординат w,— «гг0.wb — «e>fc+1— wk..мы получим так
называемые первые разности, обозначенные через Дч»0,__ й®м,
Лтг>к, ...; мы вносим их в третий столбец таблицы. Вторые разно-
сти получаются путем образования разностей между последователь-
ными числами третьего столбца. Например, для точки k с абсциссой
khx вторав рланость равна
— Ьмк -towk= — — =
=«’*+1 —2®»*+(g)
В этих обозначениях уравнение (е) может быть написано следующим
образом:
Это — уравнение в конечных разностях, соответствующее дифферен-
циальному уравнению (с) и приближающееся к нему все больше и
больше по мере того, как число точек деления пролета увеличи-
вается.
Подобным же образом и дифференциальные уравнения (а) также
могут быть заменены нижеследующими ураянениями в конечных раз-
ностях:
Ь.Х* — ?. — D • (1)
394 СПЕЦИАЛЬНЫЕ И ПРИБЛИЖЕННЫЕ МЕТОДЫ ТЕОРИИ ПЛАСТИНОК ГГЛ. X
Чтобы проиллюстрировать применение этих уравнений для вычи-
сления прогибов пластинки, разделим пролет, положим, на восемь
равных панелей, т. е. положим, что &х = ^а. Тогда уравнения (1)
примут вид
,2 да
iw = —S4D-
Образуя в соответствии с уравнением (g) вторые равности для по-
следовательных точек деления -к',, ч»0, о2 и и>4 и заметив, что в на-
шем случае те>о=0 и 2Ио = 0. а из симметрии се>3 = w5 и Af3=Afs,
получаем следующие две группы линейных уравнений;
Ж,-2Л2+Мг = -^..
Л)-2Л3+Л! = -^,
Л3-2Л,+Л,= -^-.
®2 —2«г + ®, = —
2«а+®Ъ= —4дгГ.
(J)
Решив первую групцу, получаем следующие значения для А1;
/И,=4<. м, = (,?£.. ЛГ.= 8^. (к)
Эти значения в точности совпадают со значениями изгибающих мо-
ментов для равномерно нагруженной полоски, вычисленными из из-
вестного уравнения
Подставин эти значения (к) моментов во вторую группу уравнений (j),
получаем
чо2 — 2^ — —^N,
w2 — 2'o>3~\-wl = — 6N,
®у4—2w3-J-i»0=—
w3—2w9 w3 — 87V.
где
642D
Решая эти уравнения, получаем следующие прогибы в точках де-
ления:
«о t = 21 /V, ®>2 = 38,57V, w3 = 507V, w4~ 547V, (1)
ПРИМЕНЕНИЕ УРАВНЕНИЙ В КОНЕЧНЫХ РАЗНОСТЯХ
395
Приводим для сравнения точные значения этих прогибов, получаю-
щиеся из известного уравнения
® — 2ох’+ •**)
для прогиба равномерно нагруженной полоски длиной а; а именно
они таковы:
®1 = 20.7М w2 = 38N. «е>2 = 49,4Д/, ет4^-53.3М
Мы видим, что при делении пролета на восемь частей погрешиость
в определении величины максимальных прогибов из уравнений в ко-
нечных разностях (i) составляет около 1,25%. Увеличивая число
точек деления, мы можем повысить точность наших расчетов, но это
потребует и большей работы, ибо с уве-________________
личением числа делений увеличится и
нениям (120). Заменяя эти уравнения У
уравнениями в конечных разностях, мы р^. iso.
должны учесть разности, соответствующие
изменениям обеих координат: как х, так и у. Введем следующие
обозначения для первых разностей в точке А„„ с координатами
т&х и и Ду. При этом обозначения, принятые для смежных точек,
показаны на рис. 180:
4Л-1.г = wm,n — wm-l, п- = ^+1.» ~ п’
^yw,n. я—1 ~ п я—V ^у^'т, п ~ п+1 п’
Имея первые разности, мы можем образовать три вида вторых раз-
ностей:
396 СПЕЦИАЛЬНЫЕ И ПРИБЛИЖЕННЫЕ МЕТОДЫ ТЕОРИИ ПЛАСТИНОК (ГЛ. X
В этих обозначениях дифференциальным уравнениям (120j будут от-
вечать следующие уравнения в конечных разностях:
Ду2 “ —0’
Ал2
Ayyg> ___ М
(п)
В случае свободно опертой прямоугольной пластинки М и w обра-
щаются на краях в нули, и мы без затруднений можем решить по-
следовательно уравнения (п).
Чтобы проиллюстрировать процедуру вычисления моментов и про-
гибов. возьмем весьма простой случай равномерно нагруженной
квадратной пластинки (рис. 181). Грубое
— приближение для 1Л и •w будет получено
разбиением пластинки, как показано на чер-
теже, на 16 небольших квадратов, так что
——sc в уравнениях (п) Дх = Ду = ^-. Из симмет-
л рии очевидно, что эти вычисления доста-
точно проделать лишь для ’/е площади всей
5 пластинки, именно для заштрихованного на
чертеже треугольника. Но и на этой пло-
щади нам потребуется установить искомые
значения лишь для трех точек 0, /. 2,
в которых М и w отличны от нуля» В ос-
тальных точках 5, 4, 5 эти величины обращаются в нуль в силу
граничных условий. Начав с первого из уравнений (в) и применив его
к центру пластинки, т. е. к точке 0, найдем для этой точки с по-
мощью уравнений (т) и условий симметрии следующие значения
вторых разностей:
4^0=241] —24^.
4^ = 2^ — 2410,
У
Рис. 181.
где AIj и AIjj суть значения М соответственно в точках 1 и О. По-
добным же образом для точки I получаем
4ЖЖ41, = Л13 — 241,4- 410=— 241] + 410,
4^41]=2412—241].
Точно таким же образом можно вычислить и вторые разности
в точке 2. Подставив эти выражения для вторых разностей в пер-
вое иа уравнений (п), получим для точек О. I, 2 следующие три
397
MJ ПРИМЕНЕНИЕ УРАВНЕНИЙ В КОНЕЧНЫХ РАЗНОСТЯХ
уравнения:
4Л,_4Л,= -^.,
2Л12 — 4М, + Л)„ = — ,
-4М2 + 2М, = -^-.
из которых находим
Mr.—м — 7 gg2 м — 21
/и°~ 2 64 ’ ^2 —V6T-
Подставив эти значения во второе на уравнений (п), получим сле-
дующие три уравнения для вычисления прогибов w0, и -w2"
4wr — 4wc= — ~N,
2w2—— — ^N,
— 4w2-|- 2®i, = — 21 N,
где
Из этих уравнений находим следующие значения прогибов:
66 48 .. 35 ..
"c=TgN. = 4=-jeN-
Для прогиба в центре получаем
6666#а* да* 1
— i6 N — >6.16.64D — 0,00403 .
Сравнивая 9то с приведенным в таблице 8 значением 0.00406 qa4/D,
мы можем убедиться, что погрешность в вычислении максимального
прогиба меньше 1%. Для изгибающего момента в центре пластинки
находим
.j.0.0457 qa\
что меньше точного значения 0,0479 <уо2 приблизительно на 4~ %.
Отсюда можно видеть, что небольшое число подразделений пластинки
398 СПЕЦИАЛЬНЫЕ И ПРИБЛИЖЕННЫЕ МЕТОДЫ ТЕОРИИ ПЛАСТИНОК (ГЛ X
дает в рассматриваемом случае уже достаточную дли практических
применений точность. Если число делений удвоить, т. с. положить
Дх = Ду =-g-с, то значение по-
лученного при этом изгибающего
момента будет отличаться от точ-
ной величины менее чем на 1 %.
В качестве второй задачи ис-
следуем изгиб свободно опертой
косоугольной пластинки, несущей
равномерно распределенную нагрузку
интенсивностью q (рис. 182). Делим
ее стороны в этом случае на интер-
валы Дх = Д/6, Ду = Д/3, поэтому
первое из уравнении (h) запишется
здесь в виде
4Д^7И4-Д„,7И-----(о)
Применяя это уравнение последова-
тельно к точкам 1—8 и пользуясь
для разностей выражениями (ш), получаем следующую систему лииеиных
уравнений:
— Ю?Л|-|-4Л42 = —
4/Л, — 10ТИ2 4- М3 47И« = — ,
— 107Ws 4- 4Л,------
47Иг — 1ОТИ4 4- Ms 4- 4М7 =* —
4МЙ + < — 1<Ш6 4- ?44- 4Ж8 = — :
(Р)
М, - КИИ, + «1,- -9‘-
47И,4- 47И6— 107Иг 4- ТИ8 = — ,
8Л1б4-2Л1т —1074 = —
Решение этой системы дает
М, = 0^9942^-,
7Иа=* 0,49854
74 = 0,41462-^-,
74=0,59329-^-,
7WS = 0,66191-^-,
74 = 0,39387-^-,
ТИ7 = 0,56920-^-,
М6 = 074337-^-.
(Q)
ПРИМЕНЕНИЕ УРАВНЕНИЙ В КОНЕЧНЫХ РАЗНОСТЯХ
399
Второе уравнение из системы (п) принимает вед
4Д,жшЧ-Дуу«- = —
МП»
QD ’
(г)
С учетом результата (q) оно приводит ко второй группе уравнений
— 10®, 4- 4®2 = — 0,29942 N,
4к>, — I0oi2 4- ws -j- 4®4 == — 0,49854 N,
w2 —Ю®3 4" 4w6 =—0,41462 N,
4®2 --- 10 wt -J- W5 + 4o»7 = —0,59329 N,
4®3 — 10®b w6+4 we = — 0,66191 N,
— Wwe 4- 4to7----0,39387 N.
4 wt 4- 4 we — 10w? 4- ws =—0,56920 N,
8®6 2wT — 10и'8 = — 0,74337 N,
(s)
где N—qb^XD. Это дает прогибы
Wi= 0,13176 N,
ws =2 0.24455M
wa=* 0,22111 M
w4 = 0,32469 M
Ws= 0,38549 M
0,202931V,
wr = 0,31249 M
ro8 = 0,44523 N.
(t)
Следует отметить, что интегрирование дифференциального уравнения изо-
гнутой пластинки аналитическими методами встретилось бы в данном случае
со значительными трудностями.
Для вычисления моментов н средней точке 8 пластинки нам следует
прибегнуть к выражениям (101) и (102), предварительно заменив в них про-
изводные соответствующими отношениями конечных разностей. Так, поль-
зуясь1) выражениями (tn) и вводя значения (t) прогибов, получим (при
v = 0,2)
(ЛУ. _-D+ + _0.0590^.
W. — « - 0,0®^,
(M„). = (1-,)D У-Х-д7 + °,‘ -0W. .
Круг Мора (рис. 183) дает®) нам теперь следующие значения главных мо-
ментов для точки 8:
, ?ЛЖ4- Л4у Г(Мк— Л4У\2
«».,= —% ) ч-м^одав^,
4.1.“—2~( г ) +л4,-одаагА
’) См. также диаграммы на рис. 184 дав частного случая Дх = Ду.
®) Следует обратить внимание на разницу в обозначениях иа рис. 183
и 22. Главные моменты иа рис. 183 обозначены как 7Wmax и Л4|Г1[П. Кроме
того, точка иа обеих диаграммах движется по окружности по направлению
часовой стрелки. Нормаль к соответствующему сечению вращается в том же
направлении.
Рис. 183.
средственно из последовательности
400 СПЕЦИАЛЬНЫЕ И ПРИБЛИЖЕННЫЕ МЕТОДЫ ТЕОРИИ ПЛАСТИНОК [ГЛ. X
Направление связанных с этими моментами напряжений относительно
координатных осей х, у определится углом
1 2Л1„
°° 2 а,с|е мх-м, -я°25'-
Рис. 182 позволяет сделать вывод что напряжения в центре, обусловленные
моментами ЛТщах, действуют почти в точности в направлении короткой сто-
роны пластинки.
Форма пластинки рис. 182 такова, что мы не встретили трудностей
в разбиении ее на участки прямоугольной координатной сетки с постоян-
ными интервалами Дх и Ду. В более
общем случае при исследовании ко-
соугольных плит приходится прибе-
гать к треугольной сетке
Метод конечных разностей при-
меним также к пластинкам с защем-
ленными или свободными кравми,
а также к пластинкам со смешан-
ными граничными условиями1). По-
скольку в общем случае значение
AI на контуре не фиксируется,
в связи с чем использование мо-
ментов становится мало удобным,
вычисление прогибов w представ-
ляется возможным провести непо-
разностных уравнений, эквияалентной
дифференциальному уравнению Д Да» = q/D изогнутой пластинки. Для на-
глядности разностный эквивалент оператора ДД (...) представлен на рис. 184
вместе С другими полезными для использования операторами. Диаграмма
основана на предположении, что Дх — Ду — X. Каждое число нужно умно-
жить на символ Wh, обозначающий прогиб в соответствующей точке k, и
сумму таких произведений разделить затем на выражение, указанное
в схеме.
Для того чтобы сформулировать гравичиые условия для края, на кото-
ром прогибы обращаются в нуль,' составим прежде всего уравнение для
внутренней точки 7, ближайшей к краю (рис. 185), Применяя оператор ДД (..
получаем
[»i + ®#-f-wB+a’la-|-2(wg+w4 + №ll) + elt) —
— 8(K's-}-wc-|-= (ц)
где ws — ws — wt — О. Далее, нам следует исключить прогиб w, для фик-
тивной точки /, лежащей на продолжении координатной сетки за контуром
пластинки. Это легко сделать, поскольку при свободном опирании пластинки
в точке 3 мы имеем ——wJt при защемлении же ее w,—w7. Таким
образом, в уравнении (и) останутся лишь прогибы внутренних точек и
•) Широко применял такие сетки Йенсен (Jensen V. Р., Univ. Illinois
Bull., 332, 1941); приведенный выше численный пример заимствован из этой
его работы.
s) С большим количеством численных примеров подобного рода можно
ознакомиться по книге Маркуса (Marcus Н., Die Theorie elastischer Ge-
webe, 2-е изд., Берлин, 1932); см. также Nielsen N. J., Bestemmelse af
Spaendlnger i Plader, Копенгаген, 1920.
B3J ПРИМЕНЕНИЕ УРАВНЕНИЯ В КОНЕЧНЫХ РАЗНОСТЯХ 401
общее число таких неизвестных прогибов не будет превышать числа имею-
щихся в нашем распоряжении уравнений типа (и).
При наличии свободного края число таких разностных уравнении воз-
растет на число точек 2,3, 4.... но контуру, в которых прогибы не об-
ращаются в нуль. Соответствующие операторы A Aw должны быть при этом
распространены иа область сетки, лежащую вне контура пластинки на рас-
стоиииях К и 2Х от свободного края. Для каждой пары таких неизвестных
прогибов П'с вводятся два граничных условия вида
daw .
d3w
d3w
402 СПЕЦИАЛЬНЫЕ И ПРИБЛИЖЕННЫЕ МЕТОДЫ ТЕОРИИ ПЛАСТИНОК [ГЛ. X
выраженные в конечных разностях для точки 3, противостоящей двум внеш-
ним точкам сетки 0 и /. И тогдв общее число уравнений вновь станет рав-
Рис. 185.
ным числу неизвестных про-
гибов.
Когда значения Л1 внутри
пластинки перестают быть вели-
чинами, не зависящими от проги-
бов w, разностные уравнения для
прогибов получаются сложнее,
чем это имело место в двух ра-
зобранных примерах. Иногда в
-X решении этих уравнений с боль-
шим успехом находит примене-
ние метод релаксации •).
84. Экспериментальные ме-
тоды. При исследовании пласти-
нок неправильных очертаний, не-
регулярно изменяющейся тол-
щины или ослабленных большим
числом отверстий, эксперимен-
тальные методы приводят к цели
скорее, чем теоретический анализ.
Измерение деформаций в изогну-
той пластинке может быть произ-
ведено обычными приборами, предназначенными для этой цели электро-
тензометрами, а также тензометрами всевозможных иных типов 2). Нижесле-
дующий краткий обзор ограничивается лишь теми методами, которые
находят применение в специальных условиях изгиба тонких упругих пла-
стинок.
Использование фотоупругости ®). Этот метод, применяемый обычно
для исследования плоского напряженного состояния, требует, естественно,
известного приспособления к особенностям изгиба пластинок. Действи-
тельно, нормальные напряжения в двух волокнах, расположенных симме-
трично относительно срединной плоскости пластинки, при ее изгибе имеют
равную величину, но противоположные знаки. В "связи с этим оптический
эффект,, производимый растянутой зоной пластинки на проходящий через
’) Этот метод предложен Саусвеллом (R. V. Southwell). Изложение его
имеется в книге Timoshenko S, Goodler J. N, Theory of elasticty,
2-е изд, стр 468, Нью-Йорк, 1951. См. также Shaw F. S, An Introduc-
tion to relaxation methods, Нью-Йорк, 1953, где указывается дальнейшав
библиография. Другой метод последовательных приближений с использо-
ванием разностных уравнений был развит Либманом (LI е b m а п Н, Die
angenaherte Ermittlung hamionischer Fuuktionen und konformer Abblldungen,
Sitzber. Milnchen. Akad., стр. 385, 1918). Сходимость этого метода была
нсследонана Вольфом (Wolf F, Z. angew Math, Meeh., т. 6, стр. 118,
1926) и Курантом (Со u fa nt R, Z. angew. Math. Meeh, r. 6, стр. 322,
1926). Улучшенный метод двл Цурмюль (Z и г m й h I R„ Z. angew. Math
Meeh., t. 37, стр 1, 1957).
*) Электромеханический метод измерения кривизны в изогнутой плите
был применен Андрэ, Леонхардтом и Кригером (A n d г a W., Leon-
hardt F, Krieger R, Baningenleur, т. 33, стр. 407, 1958).
s) См, например. Timoshenko, Goodie г, цит. выше, стр. 13L
641 ЭКСПЕРИМЕНТАЛЬНЫЕ МЕТОДЫ 403
нее луч поляризованно е света, уничтожается противоположным эффектом
сжатой зоны.
Влияние этой второй, сжатой зоны можно исключить, соединив вместе
две тождественные пластинки из материала, применяемого для моделей
в поляризационном исследовании, с прокладкой между ними листа отражаю-
щей металлической фольги. Той же цели можно достигнуть также и посе-
ребрив одну или обе внутренние поверхности пластинок ’)- Вычисление
подтверждает, что оптический эффект такой двухслойной пластинки тол-
щиной h почти тот же, что и эффект одиночной пластинки толщиной Л/2,
находящейся в плоском напряженном состоянии той же величины, что и
напряжение крайнего волокна изогнутой пластинки.
Другой способ сделать изогнутую пластинку доступной для поляриза-
ционного исследования1) заключается в том, что она соединяется иа двух
экземпляров, материал которых, обладая одинаковыми свойствами фото-
упругости, характеризуется, однако, различными для каждого из этих двух
экземпляров упругими константами. Закон распределения напряжений из-
гиба перестает быть для такой пластинки линейным. Поэтому при изгибе
такая пластинка проявляет активное воздействие на оптические характери-
стики поляризованного луча света.
По третьему методу отражающая поверхность пластинки из какого
угодно упругого материала и каких угодно размеров покрывается листояым
материалом, обладающим фотоупругими свойствами 3). Характер воздействия
этого материала на поляризованный луч позволяет исчерпывающим образом
судить о напряженном состоянии крайних нолокон испытываемой пластинки.
Этому методу доступны не только модели пластинок лабораторных масшта-
бов, но и плпты, входящие в состав эксплуатируемых сооружений и под-
вергающиеся воздействию эксплуатационных нагрузок.
Использование отраженного света4 5). Влияние отражающей поверх-
ности дефпрмироваивой пластинки на изменения направлений двух смежных
лучей света может быть использовано для вычисления кривизн d^wjdx9,
d^wjdy2 и d2w/dxdy, а следовательно, также и для определения значений
изгибающих и крутящих моментов пластинки. Тому же назначению может
служить и искажение прямоугольной оптической сетки, проектируемой на
первоначально плоскую поверхность пластинки. К особо ценным результа-
там приводит этот путь для пластинок на упругом основании, механические
свойства которых никогдв ие удается выразить чисто аналитическими
средствами.
Интерференционный метод. Послужив основой для классического,
способа определения коэффициента Пуассона, интерференционный принцип
нашел также применение и в измерении прогибов изогнутой пластинки®).
•) См. Goodler J. N, Lee G. Н., J. Appl. Meeh,, т. 8, стр. A-27,
1941, и D a nt u M„ Ann. ponts, cliauss&es, стр. 281, 1952.
*) См. Favre FL, Schweiz. Bauzig, 1950. О применении этого метода
к консольной пластинке переменной толщины см. Sc hw lege г И, Ha-
ber I а п d О., Z. angew. Math. Meeh., т. 36, стр. 287, 1956.
8) Метод фотоупругости предложен в принципе Менаже (1930) (A. Mes-
nager), но его практическое использование реализовано лишь недавно; см.,
например, Z а п d m а и F., Wood М. R, Prod. Eng., сент. 1956. О при-
менении процедуры так называемого «замораживания» к пластинкам см.
Drucker D. С., J. Appl. Meeh., т. 9, стр. А-161, 1942
4) Теория метода и его применения к различным задачам изгиба пла-
стинки см. Dantu М„ Ann. ponts. chaussee, 1940 и 1952; см. также
Bowen G., Eng. News-Pec., т. 143, стр. 70, 1949.
5) См. Landwehr R, Gr abort G, Ingr.-Arch, т. IB, стр. 1, 1950,
404 СПЕЦИАЛЬНЫЕ И ПРИБЛИЖЕННЫЕ МЕТОДЫ ТЕОРИИ ПЛАСТИНОК (ГЛ X
Аналогия между плоским напряженным состоянием и изгибом пла-
стинки L). Существует аналогия между прогибом пластинки, подчиняющимся
дифференциальному уравнению Д Да> = 0, для частого случая действия
одних лишь краевых сил, и функцией напряжений Эри ?, удовлетворяющей
уравнению А Д'? = О. В то время как функция w определяет кривизны де-
формированной пластинки, функция Эри определяет компоненты о, — д*у/ду* 2 * *,
ax — iF4ldx2 и т^== —дгч)дхду плоского напряженного состояния упру-
гого тела. Если в обоих случаях мы имеем дело с одним и тем же конту-
ром, положим f(x, У)=0, то подобие явлений устанавливается соотноше-
ниями
dsw „ d2w „ t)2o> „
ах»-~ ~ дх^ ~
где К—произвольная постоянная, при которой значения кривизны остаются
малыми.
Если определенные критерии аналогии выполняются как на контуре
пластники, так и на границе упругого тела, то по измеренным прогибам w
можно вычислить компоненты плоского напряженного состояния и, наобо-
рот, по известной функции напряжений Эри можно найти деформации плд-
стинки ®).
') Установлена Вигхардтом (Wieghardt К., Mitt. Forschungsarb.
Ingenlerwesens, т. 49,1908). Дальнейшее развитие, этой аналогии см. Schae-
fer Н-, Abbandl. Braunschweig, wiss. Ges., т. 8, стр. 142, 1956.
2) Простая формулировка этих условий была дана Дантю (D a n t u М.,
Ann. ponts. chaussefes, стр. 386, 1952). Об экспериментальных методах, осно-
ванных на аналогии с электрическими явлениями, см. MacNeal R. Н.,
J. Appl. Meeh., т. 18, стр. 59, 1S51, и W о t г u Ь а К., Czechoslov,
J. Phys., т. 2, стр. 56, 1953. Дальнейшие сведения о различных эксперимен-
тальных методах имеются в книге F6ppl L., MCnch Е., Praktische
Spannungsoptik, 2-е изд., Берави, 1959.
ГЛАВА XI
ИЗГИБ АНИЗОТРОПНОЙ ПЛАСТИНКИ
85. Дифференциальное уравнение изгиба. В предыдущих рас-
суждениях предполагалось, что упругие свойства материала пла-
стинки остаются одинаковыми во всех направлениях. Встречаются,
однако, случаи, когда, стремясь привести теорию пластинки в соот-
ветствие с данными эксперимента1), мы должны учесть анизотропию
материала. Положим, что материал пластинки в отношении своих
упругих свойств обладает тремя плоскостями симметрии2). Если эти
плоскости принять в качестве координатных /тлоскостей, то соотно-'
тения между компонентами напряжения и деформации для случая
плоского распределения в плоскости ху можно будет представить
следующими уравнениями?
°л =
Sry ~ @1ху*
(а)
Мы видим, что дан характеристики упругих свойств материала
в случае плоского напряженного состояния нам потребуются четыре
постоянные £\-, Еу, 'Е и G. - •
Исследуя изгиб пластинки, изготовленной из подобного мате-
риала, мы, как и прежде, предполагаем, что перпендикулярные
к срединной плоскости пластинки, т. е. к плоскости ху. линейные
элементы ее остаются прямыми и нормальными .к изогнутой поверхности
*) Случай пластинки ns анизотропного материала был рассмотрен Бус-
синеском (Boussinesq J-, J. Math., 3-я серия, т. б, 1879). См. также
принадлежащий Сен-Венаиу перевод книги А. Клебша «Thfeorie de 1'elasUclte
des corps solldes», прим. 73, на стр. 693.
a) Такие пластинки называются иногда ортотропными. Изгибу пласти-
нок, обладающих упругими свойствами более общего характера, посвящены
исследования С. Г. Лехницкого; см. его книгу «Анизотропные пластинки»,
2-е изд., М., 1957.
ИЗГИБ АНИЗОТРОПНОЙ ПЛАСТИНКИ
ггл Xi
пластинки после ее изгиба1). На этом основании мы вправе
воспользоваться нашими прежними выражениями компонентов де-
формации
d2w d2w - d2w
ex—zS^’ Zv—~Z~d^‘ ’i*y~~~2z~fady • (b)
Соответствующие компоненты напряжений найдутся из уравнений (а)
/„• d2w , d2w\
= az!.' -g -а-гЬ
* \ дгх 1 dy2 J
(rS d2v> ,
°>------!t\E>Tj^+e dx')'
. _ nn-
fc)
Этими выражениями для компонентов напряжений определяются и
значения для изгибающих и крутящего моментов
Подставив выражения (212) в дифференциальное уравнение равно-
весия (100), получим следующее уравнение для анизотропной пла-
стинки:
*) Влияние поперечного сдвига в случае анизотропии, рассматривается
в работе Гиркмана и Беера (G irk шапп К., Beer R., Osterr. Ingr.-Arch.,
т. 12, стр. 101, 1958).
S6] ОПРЕДЕЛЕНИЕ ЖЕСТКОСТЕЙ В РАЗЛИЧНЫХ ЧАСТНЫХ СЛУЧАЯХ 407
Вводя обозначение
. Л=Л, + 2О„. (е)
получим
n d*w 1 ДЦ d*w 1 Л ‘”W
Соответствующие выражения для перерезывающих сил находим не-
посредственно из условий равновесия элемента пластинки (рис. 48)
и ранее полученных выражений для моментов. Они имеют вид
п __ с’ /л d2w , „ даш\ 1
<Ъ—о,’)'
_ 1 /о д’пХ | <2I4)
e> —еКо>тьг+н-да1 I
В частном случае изотропии имеем
г? — у/_ Е ptt___ __ Е
Их~ £у — -^5-. О — -SO + v)-
Отсюда
и уравнение (213) сводится к ранее выведенному уравнению (103).
Уравнением (213) можно пользоваться при исследовании изгиба
пластикки не только из неизотропного, .но и из неоднородного
материала, например железобетонных плит1), обладающих в двух
взаимно перпендикулярных направлениях двумя различными жестко-
стями при изгибе.
86. Определение жесткостей в различных частных случаях. Приве-
денные в предыдущем параграфе выражения (<3) для жесткостей подлежат
незначительным видоизменениям в соответствии с природой используемого
материала. В частности, все значения жесткости при кручении Dxy, осно-
ванные на чисто теоретических соображениях, следует рассматрияать лишь
как первые приближения, для получения же более достоверных значений
модуля б? нужно рекомендовать непосредственное испытание, подобное
воспроизведенному на схеме рис. 25, с. Общепринятые зпачеинк жесткостей
для некоторых’ случаен, представляющих практический интерес, прияо-
дятся ниже.
Железобетонные плиты. Пусть Es—модуль Юнга для стали, Ес—для
бетона, vc — коэффициент Пуассона для бетона, п = ES!EC. Исходя из упругих
*) Применением теории анизотропной пластинки к расчету железобетон-
ных плит мы обязаны Губеру (М. Т. Huber), опубликовавшему по этому
вопросу ряд работ; см. Z. Osterr. Ing. u: Archit. Ver., стр. 557, 1814. Важней-
шие результаты собраны в его книгах: «Теогуа Piyi», Львов, 1922, и «Pro-
bleme der Statik technlsch wichttger orthotroper Piatten», Варшава, 1929.
Резюме его работ приведены н Comptes rendus, т. 170, стр. 511 и 1305,1920,
и т. 180, стр. 1243, 1925.
изгив анизотропной пластинки
[ГЛ. хг
постоянных, введенных в § 85, получаем приближенно vf = В*jVЕхЕ'у-
Для плиты, армированной в двух перекрестных направлениях х и у, можно
принять
Dr--у^-И„+(п-1)4,1,
о,--^Г 1)4,1 (а)
В этих уравнениях 1СХ — момент инерции материала плиты (здесь-бетона),
fSx—момент инерции арматуры относительно нейтральной оси в сечении
Х = const, —1Су и Isy— соответствующие значения для сечения у — const.
Из приведенного здесь (и рекомендованного Губером) выражения для Dxy
получаем __
„ = /0,0,, . (Ь)
а также дифференциальное уравнение
п ^4 2УР~Р d'W IP —
U* +дхаду» + у ду'
которое без труда приводится к виду (103) путем введения новой переменной
yx = yVDxlDy.
У Таблица 79
Упругие постоянные для фанеры
(в единицах 103 кг/ся2)
Материал 4 Е У Е О
Фанера*’).— кленовак 5-слойная . Фанера ♦) из волокна афары— (Afara) — 3-слойная 131 137 90 140 119 msE. Н отропные 42 11Д V 11,7 6,0 , Brit. J. пластики!- 5,1 3 1 5,4 4,3 Appt. Phy стр. 40, 11,1 7J ' 6,0 12 7 s., т. 3, Йосква,
Габун*)' (Окуме) (Gaboon, Oko^- (ime) З-слоиный.........
Фанера **) — березовая 3- и 5-слой-
Фанера**) — березовая на бакели- товом клее........ . . .
Источник: *) Н е а г m о п R. F. S., A d стр. 155, 1952. ** ) Л е х н и ц к и й С. Г., Аниз 1947.
86] ОПРЕДЕЛЕНИЕ ЖЕСТКОСТЕЙ В РАЗЛИЧНЫХ ЧАСТНЫХ СЛУЧАЯХ 409
Очевидно, чго значения (а) зависят от состояния бетона. Например,
различия в плотностях или характере армирования в направлениях х и у
повлияют на отношение Dx/Dy значительно более резко после образования
в бетоне трещин, чем в бетоне, еще сохранившем свою монолитность.
Фанера. Для пластинки, склеенной из трех или пяти слоев, причем
ось х предполагается направленной параллельно волокнам наружного слоя,
Рис. 186. Рис. 187.
Гофрированный листовой материал. Пусть Е и м — упругие постоян-
ные материала, й —его толщина.
— форма волны, s—длина дуги полуволны (рис. 186). Тогда1)
Dy^Ef.
Р,~О,
I Eh3
s 12(1—ч*) ’
где приближенно
w _ о Л______®_
{ 12(1 + v)
/2й Г, о,81 ]
Ч -+ЧШ
Пластинка, армированная равностоящими параллельными элементами
жесткости в-одном направлении. Для пластинки, армированной симме-
трично относительно срединной плоскости, хак это показано на рис. 187,
’) См. Seydel Е, Вег. deut. Versuchsanstalt Luftfalirt, 1931.
ИЗГИБ АНИЗОТРОПНОЙ ПЛАСТИНКИ
[ГЛ. хг
410
можно принять')
Eh3
^х-п- 120_^ •
D - Eh* । £<
у 12(l-v») а,
где Е и м — упругие постоянные материала, Е'—модуль Юнга, I—Момент
инерции ребра жесткости относительно осн симметрии поперечного сечения
пластинки.
Пластинка, перекрестно армированная двумя взаимно перпендику-
лярными системами равноотстоящих элементов жесткости. Полагая
по-прежнему, что ребра симметричны
относительно срединной плоскости
пластинки, находим
Ehs
12(1 — 4»)
Eh3
Рис. 188.
Eh3
12(1-4»)
Здесь /, — момент инерции ребра
жесткости, 6j — расстонпие между
ребрами в направлении х; /2 и
л, —^соответствующие значения для
армирование в направлении») у.
Плита,, усиленная с одной сто-
роны системой равноотстоящих ре-
бер. Для случая, представленного схемой рис. 188, теория, изложенная в § 85,
может дать только самое грубое приближенное представление о действительном
напряженно деформированном состоянии плиты. Если Е—модуль упругости
материала (например, бетона), Л—момент инерции таврового профиля
с полкой шириной at и а = k/H, то для жесткостей можно принять следую-
щие значения;
D = -£а'ЛЗ_______
х 12 (в! — <Ч-а3/)
’) Рекомендовано С. Г. Лехницким (цит.На стр..405, 408). Более точные
значения приводятся в работе Huffington N, I, J. Appl. Meeh., т. 23,
стр. 15, 1956. Экспериментальное определение жесткостей для ребристых и
рифленых пластинок быно выполнено Хоппманом, Хаффингтоном и Ма-
гнессом (Hoppmann W. Н., Huffington N. I., Mag л'е а в L. S.,
J. Appl. Meeh, г. 23, стр. 343, 1956).
») Более точнак теория ребристых плит, армированных в одном или
в двух направлениях, приводвгцая к дифференциальному уравнению носьмого
порядка для прогибов, излагается в работах: Trenks К, Baulngenieur,
т. 29, стр. 372. 1954; Pfluger A, Ingr-Arch, г. 16, стр. 111, 1947.
87] ПРИМЕНЕНИЕ ТЕОРИИ К РАСЧЕТУ БАЛОЧНЫХ СЕТОК 411
Влиянием поперечной деформации сжатия во всех предыдущих форму-
лах пренебрегается. Наконец, крутильная жесткость определяется из вы-
ражения
Ол
где £)'у—крутильная жесткость плиты без ребер, а С—крутильнак жест-
кость одного ребра ’).
87. Применение теории к расчету балочных сеток. Уравне-
ние (213) применимо также и к решетчатой системе, изображенной
на рис. 189. Она состоит из двух систем параллельных балок, от-
стоящих одна от другой на равных расстояниях (о,) в направлении
оси х v на равных расстояниях (^) в направлении оси yt и жестко
сочлененных между собой в точках их пересечения. Балки оперты
по концам, а нагрузка приложена нормально к плоскости ху. Если
расстояния Oj и bt между балками малы в сравнении с размерами
а и b решетки и если жесткость при изгибе каждой из балок,
параллельных оси х. равна Bv а каждой из балок, параллельных
оси у, равна' В2, tq мы можем произвести в уравнении (213) сле-
дующие подстановки:
d,=4l- d»=—•
х Ь\ у at
(а)
*) С более точной теорией плит, усиленных .ребрами в одном или в двух
направлениях, которав приводит к дифференциальному уравнению восьмого
порядка для прогиба, можно ознакомиться в работе Trenks К., Bauln-
genleur, г. 29, стр. 372, 154; см, также Ptliiger A., Ingr.-Arch., т, 16,
стр. 111, 1947.
412
изгив анизотропной пластинки
ГгЛ. хг
Величина D, в этом случае обращается в нуль, величину же
можно выразить в функции от жесткостей при кручении С, и С2
балок, параллельных соответственно осям х и у. С этой целью рас-
смотрим кручение элемента, изображенного на рис. 189. Ь. При этом
мы получйм следующие соотношения между крутящими моментами
Э5«1
и кручением
Ci d2w С2 d*w .
Ь, дхду’ МУ* «, дхду ‘
Подставив эти выражения в уравнение равновесия (е) на стр. 98,
найдем, что в случае системы, ивображенной на рис. 189,а, диф-
ференциальное уравнение изогну-
той поверхности будет
В, dfw . / С, , Сг \ д*и> .
6, а, } дх2ду* "Г"
_____ т. е. того же самого вида, что и
уравнение (213).
Для получения окончательных
выражений изгибающих и крутящих
моментов для ребер нам остается
лишь значения, указываемые, напри-
мер, уравнениями (212), где они отнесены к единице ширины сетки, умножить
на расстояние между ребрами. Дак закона распределения моментов, напри-
мер Мх и Л4ху, в интервале между точками (т— 1) и (m-J-1) может быть
принята парабола, а заштрихованную площадь эпюры (рис. 190) можно
отнести к ребру (ст), уложенному в направлении х. Учитывая тогда выра-
жения (212), получим следующие приближенные формулы для обоих момен-
тов ребра (ст):

(С)
Для ребер, уложенных в направлении у, сохраняют силу ети же формулы,
если Bt заменить в них на Д,, Ct на Ся; точки (ст —)), ст, (ст 4-1) будут
тогда обозначать три последовательных узда на ребре, параллельном оси х.
Двумя параметрами, в -значительной мере определяющими упругие свой-
ства сетки и часто используемыми в расчетах, являются
(<1)
88] ИЗГИБ ПРЯМОУГОЛЬНОЙ АНИЗОТРОПНОЙ ПЛАСТИНКИ 413
Параметр А, умноженный на отношение сторон а/Ь (рис. 189), дает относи-
тельную несущую способность прямоугольной пластинки в направлениях
У и х, между тем как параметр jx характеризует крутильную жесткость
сетки в сопоставлении ее с мзгибной жесткостью.
Уравнение (215) широко используется в исследовании распределения
сосредоточенной нагрузки, приложенной в произвольной точке между глав-
ными балками моста, усиленного в поперечном направлении неразрезными
балками жесткости настила *).
88. Изгиб прямоугольной анизотропной пластинки. Если пла-
стинка свободно оперта по всему контуру, то решение уравне-
ния (213) может быть выполнено тем же методом, что и в случае
изотропной пластинки. Примени» цетод Навье (см. § 28) и предпо-
ложим. что пластинка загружена равномерно распределенной нагруз-
кой. Расположив оси координат, как показано на рис. 59, и пред-
ставив нагрузку в виде двойного тригонометрического ряда, напишем
для этого случая дифференциальное уравнение (213)
Р, 44 + 2« .,44+ О, 44 =
* ax' 1 Ох^ду1 1 У оу*
со со
16о0 Ч? V1 1 и - Яяу , .
= —F- 7_1 7, -—Sin ——sin—т2-. (а)
Jts тп а b v '
m-1.3,5,... л-1,3.5,...
Решение этого уравнения, удовлетворяющее граничным условиям,
может быть взято в виде двойного тригонометрического ряда
VV . тх-Х . пяу ..,
_ Z, —Е1Г' (Ь)
м—1,3,5,... л-1,3,5,...
Подставив этот ряд в уравнение (9). находим следующее выражение
для коэффициентов атп:
а ______________________1 ______________.
тп т«(т* г> I 2ffl8"2 М I ”* Г) \ *
Поэтому решением уравнения (а) будет
, <” со , тпх , пку
»=* 5 S w
М-1,3,5,... й-1,3,5,’““(a* + W Ь й« Ру)
*) Коэффициенты, дающие распределение для сосредоточенной нагрузки,
были вычислены для р = 0 Гюйоном (Guyon Y., Дли. ponts et cfianss&es,
т. 116, стр. 553, 1946), и для jitjfcO Массоне (Massenet С., Pubis. Intern.
Assoc. Bridge struct, engrs., t. 10, стр. 147, 1950). Подтверждение вычислен-
ных результатов испытаниями см. Sattler К., Baulugenleur, т. 30, стр. 77,
1955, а также: Naruoka М., Yonezawa Н$ Pubis Intern, assoc, bridge
struct, engrs., t. 16, 1956. О косых сетках см. Woinow sky-Krie-
ger S., Ingr.-Arch., t. 25, 350, 1957,
414 ИЗГИБ АНИЗОТРОПНОЙ ПЛАСТИНКИ [ГЛ. хг
В случае изотропного материала Dx = Dy — ti=D, и это решение
совпадает с приведенными на стр. ООО.
Остановимся на частном случае Н=\ПЬхЬу, уже упомянутом
на стр. 129. Сопоставляя выражение (с) с соответствующим выра-
жением (131) для изотропной пластинки, убеждаемся, что прогиб
в центре такой ортотропной пластинки с жесткостями Dx, Dy и
со сторонами а, b получается таким же, что и для изотропной пла-
стинки жесткостью D, со стороними а0 = а V4D[DX и = b VD(Dy.
Точно так же и кривизны ортотропной пластинки могут быть выра-
жены через соответствующие характеристики некоторой изотропной
пластинки. Полученные таким путем выражения для прогиба и из-
гибающих моментов ортотропной пластинки принимают вид

и
где a, Pj и р2 — численные коэффициенты, приводимые в таб-
лице1) 80, а
В качестве второго примера рассмотрим бесконечно длинную
пластинку (рис. 74) и предположим, что нагрузка распределена по
оси х согласно закону синусоиды

(О
Уравнение (213) для незагруженных участков пластинки принимает
в этом случае вид
х дх* ' дх2 ду2 • * ду*
Св)
‘) Вычислены Губером (Huber М. Т., РгоЫеше der Statik teclinisch
wlchtiger orthotroper Platten, стр. 74, Варшава, 1929) Численные данные,
относящиеся к равномерно нагруженным прямоугольным пластинкам при
различных условиях опирания и для различных коэффициентов жесткости
кручения, имеются в работе Шаде (Schade Н. A., Trans, soc. naval
architects marine engrs., t. 49, стр. 154, 180, 1941).
88] ИЗГИБ ПРЯМОУГОЛЬНОЙ АНИЗОТРОПНОЙ ПЛАСТИНКИ 415
Таблица 80
Постоянные а, р| н для свободно опертой прямоугольной
ортотропной пластинки с Н = УолОу, входящие в уравнения (d) и (е)
(рис. 59)
Решение этого уравнения, удовлетворяющее граничным условиям
на сторонах, параллельных оси у, можно принять в следующем
виде:
<h)
где Yn — функция одного лишь у. Подставив это в уравнение (к).
получим следующее уравнение для определения функций ¥т:
OyVS-iH^y^+D.S^-r^O. (1)
Корни соответствующего характеристического уравнении
1,2,3,4 а У Dy 0* Dy
Введя в соответствии с уравнением (d) § 87 обозначения
, 4и
~ V ~D^’ 14
нам нужно будет рассмотреть три следующих случаи:
Случай I, ц>1: 7f2> DjPy, |
Случай 2, р=»1: H2^=Djfiy, | (1)
Случай 3, р < 1: Н* < )
В первом случае все корни уравнения (j) — вещественные числа.
Рассматривай часть пластинки с положительными значениями у и
416 ИЗГИБ АНИЗОТРОПНОЙ ПЛАСТИНКИ (ГЛ. XI
заметив, что прогиб w и его производные на значительных расстоя-
ниях от точки приложения нагрузки должны исчезнуть, мы вправе
удержать лишь отрицательные корни. Введя обозначения
R ЛГ 2 1 I
напишем интеграл уравнения (i) в виде
ту ту_
“ +Вте”₽ .
тогда выражение (h) можно будет представить таким образом:
(ту _ тУХ
Ате~ < Ч-Вгае- ₽ J sin^х~.
Из симметрии заключвем, что на оси х
“О-
к Йу /у=0
Отсюда находим
вш=—|лт,
®=А.(« " —f )sl"—•
Коэффициент Ат определяем из условия, относящегося к перерезы-
вающей силе Q на оси х, которое дает
Подставив сюда вместо in его выражение (П), получим
л — ?о°эР* — gg4fl< ’
га 2га»Оу(а2—₽я) “ 2xW£»x(“s—Р2) *
Отсюда получаем выражение (п) для прогиба в окончательном виде
„ /ту тух
W~ ’ 'sln —• <°>
Во втором ив трех подлежащих нашему рассмотрению случаев (I)
характеристическое уравнение имеет два двойных корня и функция Ym
принимает тот же вид, что и в случае изотропной пластинки (§ 36).
88) ИЗГИБ ПРЯМОУГОЛЬНОЙ АНИЗОТРОПНОЙ ПЛАСТИНКИ 417
в третьем из случаев (j) вводим обозначения
и получаем решение
Переход от случая 1 к случаю 2 мы можем, таким образом, совер-
шить с помощью комплексных соотношений
. 1 1
а р' 1 а' ’ 1
11 1 ’ <0
Т= I
Зная поверхность прогибов для синусоидальной нагрузки (f), можно
получить прогибы и для любого иного типа загружения по оси х,
представив с этой целью нагрузку в виде ряда
* V
ш = >
и применив полученное для нагрузки (f) решение последовательно
к каждому члену этого ряда. Нижеследующие выражения получаются,
например, если нагрузка Р сосредоточена в точке х = Е. у —О
бесконечной полосы (рис. 72):
Случай 1. р> 1:
Р«з 1 V 1 ( ~^г r -Т) । тп' тпх
₽е “»—. (S)
Случай 2, I:
Pas 1 тпуХ . imts . twxx
Ti) = о an > 71—ИЧ---тЧс Р sm-----sin----. (t)
rn-i
Случай 3, p. < 1: -
my
Pa \i 1 / , my . D, A ray\ —nuts . nutx
sln7rs,n“S“-
(u)
Подобно тому, как это было сделано в отношении изотропной пла-
стинки (§ 35), мы и здесь при загружении сосредоточенной силой
14 С. П. Тямошенко. С. Вайновский-Цригер
418 ИЗГИБ АНИЗОТРОПНОЙ ПЛАСТИНКИ (ГЛ. XI
можем получить выражения изгибающих моментов в замкнутой
форме •).
Наличие такого решения дает возможность найти прогиб также
при распределении нагрузки по площади круга, выполнив для этого
интегрирование, как было показано в применении к изотропной
пластинке (§ 35). Метод же отражений позволяет и здесь решение,
обоснованное для бесконечно длинной пластинки, перенести в области
исследования пластинки конечных размеров* 2 * *).
89. Изгиб круглой и эллиптической пластинок. Простое решение
уравнения (213) может быть получено для случая эллиптической пластинки,
защемленнойя) по контуру и несущей равномерно распределенную нагрузку
ивтенсивностью д. Если главные направления х и у ортотропного материала
параллельны главным осям эллипса (рис. 157), то выражение
*>
в котором
W°= 24рх I . 24£> ’ (b>
п* ‘ д2А2 ' Ь*
удовлетворяет уравнению (213) и требуемым условиям на контуре. Изгибаю-
щие моменты пластинки определяются непосредстнеино из выражений (212).
В частном случае защемленной круглой пластинки (а = Ь) получаем следую-
щие результаты:
д(а‘-г^
------w
и'~ таг ко,+ад - 2 (о,*1+W»,
и, = -jggr |<0,+0.)(.1>-г>)-2<0,,1+ ОлЧ).
OIyxy,
Qx---^r<?Dx+H1,
Qy=--&&Dy+H),
(С)
') См. N о w а с k 1 W., Acta techn. acad. set Hung., t. 8, стр. 109, 1954;
Woinow sk у - Кг leger S., Ingr.-Arch., t. 25, стр. 90, 1957. Численные
результаты, относящиеся к поверхностны влияния для ортотропных- прямо-
угольных пластинок, можно найти а работах: Olsen Н., Relnitzlili-
ber F., Die zweiseltig gejagerte Platte, Берлин, 1950, и Hora berg Н.»
We in m e 1st e r J., E'nfliissfiachen far Kreuzwerke, 2-е изд., Берлин, 1956.
2) Несколько примеров этого типа разработано в книгах Губера:
Huber М. Т., Теогуа plyt., Львов, 1922, и РгоЫегое der Statik technlsch
wlchtlger ortliotroper Flatten, Варшава, 1929.
__ s) Изгиб свободно опертой эллиптической пластинки излагается в работе
Obasi Y., Z. angew. Math. Phys., т. 3, стр. 212, 1952.
вад
ИЗГИБ КРУГЛОЙ И ЭЛЛИПТИЧЕСКОЙ ПЛАСТИНОК
419
где
r + l'J+n> и С- = 1(ЗОл+2Л+ЗО,)
Поскольку кручекне по контуру отсутствует, опорные реакции находятся
как линейные полиномы контурных значении перерезывающих сил Ог и О.,
(см. стр. 105). у
Непосредственное решение осуществимо также и в случае чистого изгиба
или чистого кручения ортотропной пластинки. Подвергнем такую пластинку
равномерному ноздейстнню пар Мх = Мъ Му = М2 и Мху = 7И3. Представив
прогиб в виде
w = Вху Су®, (d)
мы, очевидно, удовлетворим дифференциальному уравнению (213). Тогда по-
стоянные А, В, С будут найдены .иа линейных уравнений
£»ХЛ + Р,С = — 1Л4Ь
£М + £»уС = —1л1„
(е)
DxyB -- Мд,
являющихся следствиями из выражений (212).
Изучен также и изгиб круглой пластинки с цилиндрическом аэолотро-
пией,’). Если в дополнение к свойству упругой симметрии заданное рас-
пределение нагрузки обладает еще и симметрией относительно центра пла-
стинки, то в обыкновенное дифференциальное уравнение изогнутой пластинки
войдут лишь Два значения пзгибной жесткости — радиальное и тангенциаль-
ное. Формальные решения этого уравнения для любых граничных условий
получить нетрудно; но выбор упругих постоянных для материала потребует
особой тщательности, поскольку некоторые допущения в отношении этих
постоянных приеодят к появлению бесконечно больших значений для изги-
бающих моментов в центре пластинки, даже и при сплошном распределения
нагрузки.
Большая часть специальных методов, находящих применение в решении
задач изгиба изотропной пластинки (глава X), с некоторыми видоизменениями
может принести пользу и в случае анизотропии.
Если, например, обратиться к методу комплексных переменных2), то
форма решения, как обнаруживает опыт, получается отавчной от той, с ко-
торой мы имели дело в § 79. Как можно показать, она зависит от корней
Pt, ps, —pj и — рг характеристического уравнения
ОуР* + 2//р2+Рх = 0,
*) Carrier G. F„ J. Appl. Meeh., т. 11, стр. A-129, 1944, а также
С. Г. Лехницкий (цит. на стр. 405).
®) См. Лехницкий С. Г., Прнкл. мат. мех, т. 2, стр. 181, 1938, и
MorcoviA--V, Quart. Appl. Math., т. 1, стр. 116, 1943. О применении ме-
тода к задаче о концентрации напряжений сы. Савин Г. Н, Концентрация
напряжений вокруг отверстий, Москва, 1951, в Лехницкий С. Г., Инже-
нерный сборник, т. 17, стр. 3, 1953. Концентрация напряжений в изотропных
и анизотропных пластинках рассматривается также в работе Хольгэйта
(Holgate S., Proc. Roy. Soc. London, т- 185A, стр. 35, 56, 1946).
U*
420 ИЗГИБ АНИЗОТРОПНОЙ ПЛАСТИНКИ [ГЧ. XI
являющихся либо мнимыми, либо комплексными числами. До определении
этих корней решение однородного уравнения
D* дх* +2Н дх*дуг + D> ду*
можно будет представить либо в виде
если р| =# р2> либо в виде
«'| « К Гу 1 Hi) + Aft (а)Ь
если р| = ₽i- В этих выражениях Vi и ft —произвольные аналитические функ-
ции комплексных переменных г,—лЦ-РгУ и ^s = x-J-p2y. Если прибегнуть
к методу Ритца, то выражение (Ь) § 80 для энергии деформации потребуется
заменить выражением
'-Ш№)’+2О^£+Ч^)>+
+40«>
в основном же процедура вычисления остается той же, что и в случае изо-
тропной пластинки.
дх
ГЛАВА ХИ
ИЗГИБ ПЛАСТИНКИ ПОД СОВМЕСТНЫМ ДЕЙСТВИЕМ
ПОПЕРЕЧНЫХ НАГРУЗОК И СИЛ
В ЕЕ СРЕДИННОЙ ПЛОСКОСТИ
90. Дифференциальное уравнение изогнутой поверхности.
В предшествующем изложении всюду предполагалось, что пластинка
изгибается одними лишь поперечными нагрузками. Если кроме попе-
речных нагрузок в условиях задачи имеются еще и силы, действую-
щие в срединной плоскости пластинки,
то эти последние силы могут оказать зна-
чительное влияние на изгиб пластинки,
и потому при выводе дифференциального
уравнения изогнутой поверхности их необ-
ходимо принять в расчет. Поступая, как
и в случае поперечной нагрузки (см. § 21,
стр. 96). рассмотрим равновесие малого
элемента, вырезанного из пластинки дву-
мя парами плоскостей, параллельных
координатным плоскостям xz и уг
(рис. 191). В отличие, однако, от слу-
чая, рассмотренного в § 21, у нас теперь
будут еще и силы7 действующие в сре-
динной плоскости пластинки. Обозначим
величину этих сил по отнесении их к еди-
нице длины через Nx, Ny и Nxy = Nyx,
как показано на чертеже. Проектируя эти
силы на оси х и у и полагая, что объем-
ных сил, а равно и касательных сил в этих направлениях по граням
пластинки нет, получим следующие уравнения равновесия:
~^+-тг=°-
Эти уравнения совершенно независимы от трех уравнений равновесия,
рассмотренных в § 21, и потому, как будет показано в § 92, ими
можно оперировать также независимо.
ы
Рис. 191.
О.
(216)
422 ПОПЕРЕЧНЫЕ НАГРУЗКИ И СИЛЫ В СРЕДИННОЙ ПЛОСКОСТИ (ГЛ. XII
Рассматривая проекцию показанных на рис. 191 сил на ось z.
мы должны учесть, что пластинка изгибается и что в результате
этого изгиба между направлениями сил Nx. действующих на противо-
положные грани элемента, равно как и между направлениями еил
образуются малые углы. Вследствие этого изгиба проекция нормаль-
ных сил Nx на ось z дает
После упрощения, если пренебречь малыми величинами выше второго
порядка малости, эта проекция получает такое выражение:
<а)
Точно таким же образом проекция нормальных сил N на ось z дает
d’w dNv dw
N>-^rJxdy+-i/--l^‘lxdy- <ь>
Что касается проекции перерезывающих сил Nxy на ось Z. то заме-
тим, что наклон изогнутой поверхности в направлении у на двух
противоположных гранях элемента выразится производными: dw/dy
по одной грани и (dw/dy)4- (d2®>/dx ду) дх по другой грани. Поэтому
Проекция перерезывающих сил на ось Z будет равна
d2w dNxv dw
j.- v dx dy 4—-r— dx dy.
x> дхду 1 дх ду
Аналогичное выражение может быть получено и для проекции на
ось z перерезывающих сил Nyx^=Nxy. Окончательное выражение
для проекции всех перерезывающих сил на ось z может быть в таком
случае написано в следующем виде:
d2w dNn dw dNxv dw
iNn^d,‘dy+~sr-6i-dl‘dil+-sr-srdxdy- <c>
Складывая силы (a), (b) и (с) с действующей на элемент нагрузкой
qdxdy и пользуясь уравнениями (216), мы получим вместо уравне-
ния (100) (стр. 98) следующее уравнение равновесия:
д3М, д'М..,, dW. I d2w d2w d2w \
тз—2 (’+л'»йг+л'»’г?-+2л'^гяг)-
Подставляя сюда вместо Мх, Му и Мху выражения (101) и (102).
получим
o'tr , n d*w , d*w 1 I . d2w . dsw . d2w \
*д^ + 2 дх'З? + df^D Njf дхЗ’+^з'
(217)
fill ПОПЕРЕЧНАЯ НАГРУЗКА И РАВНОМЕРНОЕ РАСТЯЖЕНИЕ 423
Этим уравнением следует пользоваться вместо уравнения (103) прн
определении прогиба пластинки, если кроме поперечных нагрузок
она подвергается еще и действию сил в ее срединной плоскости
Если в срединной плоскости пластинки действуют, сверх того еше и
объемные силы") или же если по ее поверхности распределены касательный
Jhc“191°. ЙЙаюг “Г* уравиения равновесия элемента, показанного на
(218)
Здесь X и Y обозначают два компонента объемных или касательных сил
приходящихся на единицу площади срединной поверхности пластинки
Если вместо уравнений (216) мы применим уравнения (21? то ^я изо-
He^V°BePXH0C™ У Н8С П°ЛУЧИТСЯ дифференциальное урХ
д*а> . _ d’w | д'-ш
дх* * дх*дуа * ду* “
<2В>
л£^ИенИЯ к Вместе с условиями на краях (см 6 22 стр 1001
кроме того, действию сил. лежяпшк и ₽» rnonuo. г
* noipvmcHHUH 11СН
кроме того, действию сил, лежащих в ее средин-
ной плоскости.
91- Прямоугольная свободно опертая
пластинка под совместным действием
равномерно распределенной поперечной
нагрузки и равномерного растяжения.
Положим, что пластинка подвергается, как
показано на рис. 192. равномерному рас-
тяжению в направлении х. Равномерную
поперечную нагрузку q можно представить тригонометрическим
рядом (см. стр. 128)
т-1, в, 5,
21 . ткх . яку
— sin—-sin ,—
тп а Ь
(а)
’) Примером объемной силы, действующей в срединной плоскости ила-
пластинкИ°ЖеТ служи1Ь хила тяжести в случае вертикального положения
s) Это дифференциальное уравнение было выведено Сеи-Венаном- см
заключительное примечание 73 в его переводе книги Клебша «Theorle de
1 elastidtfe des corps solides», стр. 704, 1883.
424 ПОПЕРЕЧНЫЕ НАГРУЗКИ И СИЛЫ В СРЕДИННОЙ ПЛОСКОСТИ [ГЛ. XII
Поэтому уравнение (217) принимает вид
д*а> , ? d*w , d*w______d2w_______
дх* ' ду* "Т & дхя —
s i <»
m-1, 3, 5, ... л-1,3,5....
Это уравнение, а также граничные условия на свободно опертых
краях, будут удовлетворены, если мы примем прогиб ш в виде ряда
V V • тпх • пяУ
<с>
Подставляя этот ряд в уравнение (Ь), найдем для коэффициентов сгап
следующие значения:
169 I п
а,па ~ 7Г? Г/т» , «2\2 , W
где т и п—нечетные числа 1, 3. 5. ...; а,„„ = 0,если т или п
или оба они оказываются четными числами. Таким образом, изо-
гнутая поверхность пластинки выразится уравнением
w=r^D ' [fm3 , zis\2 , X
m.i.3.5.... «-1,8,8.... 'ЯЛ[(-^- + тг)
X«n—— sm-^. (e)
Сравнивая этот результат с решением (131) (стр. 129). мы иа осно-
вании присутствия члена NxmzI^Da2 в скобках знаменателя при-
ходим к заключению, что под действием растягивающих сил Nx
прогиб пластинки, как это и следовало ожидать, несколько умень-
шается.
Воспользовавшись методом Леви (см. § 30), можно получить реше-
ние в виде простого ряда, эквивалентное выражению (е), но более
удобное для вычислений. Найденные этим путем *) максимальные
значения прогиба и изгибающих моментов при к = 0,3 имеют сле-
дующий вид:
= (<М,)„„ = р1?62. (0
') С о п w а у Н. D., J. Appl. Meeh., т. 16, стр. 301, 1949, где приводятся
сравнительные графики; случай 7V* =±= рассматривается в работе
Morse R. F., Conw ay Н D„ J. Appl. Meeh., t. 18, стр. 209, 1951, а слу-
чай пластинки, защемленной ио всему контуру: Chang С. С., Con-
way Н. D., J. AppL Meeh., т. 19, стр. 179, 1952. О совместном действии
изгиба и сжатик см. Lockwood Taylor J., The shipbuilder, Marine
Engine Builder, № 494, стр. 15, 1950.

426 ПОПЕРЕЧНЫЕ НАГРУЗКИ И СИЛЫ В СРЕДИННОЙ ПЛОСКОСТИ {ГЛ. ХП
Постоянные а, р и fl,, зависящие от отношения и от параметра
1 4icaD ’
нанесены на рис. 193. 194 и 195.
Если вместо растяжения у нас имеется сжатие, сила Nx стано-
вится отрицательной и прогибы (е) получаются большими, чем в пла-
стинке. изогнутой одной лишь поперечной нагрузкой. При некоторых
значениях сжимающей силы Nx знаменатель одного из членов ряда (е)
может в этом случае обратиться в нуль, и это указывает на то, что
при таких значениях пластинка без всякой поперечной нагрузки
может потерять в поперечном направлении устойчивость.
92. Применение энергетического метода. Энергетический метод,
примененный нами ранее при исследовании изгиба пластинки попе-
речной нагрузкой (см, § 80, стр. 380), может быть также исполь-
аоавн и в тех случаях, когда поперечная нагрузка сочетается с силами,
действующими в срединной плоскости пластинки. Чтобы вывести
выражение для энергии деформации, соответствующей этим послед-
ним силам, положим, что силы эти приложены сначала к неизогнутой
пластинке. Таким путем мы придем к плоской задаче, допускающей
S2] ПРИМЕНЕНИЕ ЭНЕРГЕТИЧЕСКОГО МЕТОДА 427
трактовку методами теории упругости1). Допустив, что эта задача
решена и что силы Nx, и Nxy известны в каждой точке пла-
стинки, мы получим вместе с тем и компоненты деформации сре-
динной плоскости пластинки из известных формул, выражающих закон
Гука, а именно
e*=TS~'y = iiNy~'N^ <»>
и тогда энергия деформации, обусловленная растяжением срединной
плоскости пластинки, будет равна
vi = Tlf f fe+flA+W'1’*'’
= Saf fW+rf- ™,Ny+2a + >)Nl,]<lxdy. (220)
где интегрирование распространяется по всей пластинке."
Приложим теперь поперечную нагрузку. Она изогнет пластинку
и вызовет дополнительную деформацию срединной плоскости. До сих
пор во всех наших исследованиях изгиба пластинок мы этим по-
следним видом деформации всегда пренебрегали. Здесь, однако, мы
обязаны принять ее во внимание, ибо эта малая деформация в соче-
тании с конечными силами Nx, Ny, Nxy может внести в выражение
энергии деформации некоторые члены того же порядка малости, что
и энергия деформации изгиба. Обозначим
сооч ветсТвенно через u,v и чя компоненты
по осям х, у и z малого смещения,
испытываемого при изгибе произвольной
точкой срединной плоскости пластинки.
Рассматривав линейный элемент ЛВ, ле-
жащий в этой плоскости в направлении х,
мы можем заметить- из рис. 196, что
удлинение элемента, обусловленное сме-
щением н, будет равно (ди/дх) dx, как в этом можно удостовериться
из сравнения длины элемента на рис. 196 с длиной его проек-
ции на ось х. Поэтому полное относительное удлинение в напра-
влении х элемента, расположенного в срединной плоскости пла-
стинки, будет равно

Рис. 106.
’) См., например, Тимошенко С. П., Теория упругости, стр. 170,
М., ОНТИ, 1937, а также Timoshenko S„ Goodier J. N* Theory of
elasticity, 2-е изд., стр. 11, 1951.
428 ПОПЕРЕЧНЫЕ НАГРУЗКИ Н СИЛЫ В СРЕДИННОЙ ПЛОСКОСТИ (ГЛ. Х1Г
Подобным же образом деформация в направлении оси у выразится
суммой
,___ди , 1 / dw у
Еу~~~ду + 2 V3yJ ’
(222)
Рассматривая теперь вызванную изгибом деформацию сдвига
в срединной плоскости, мы приходим, как и раньше (см. рис. 23),
к выводу» что деформация сдвига, обусловленная смещениями и и V.
будет равна (ди/ду)~\- (dv/dx).
Чтобы определить деформа-
цию сдвига, вызванную сме-
щением ®>. возьмем, как по-
казано на рис. 197, два бес-
конечно малых линейных
элемента ОА и ОВ в на-
правлениях х и у. Вследст-
вие смещений в направлении
z эти элементы займут поло-
жение О]А{ и Раз-
ность между углом тг/2 и
углом АкОгВл представит со-
бой деформацию сдвига, соот-
Рис. 197.
ветствующую смещению ®>.
Чтобы найти эту разность, рассмотрим прямой угол В2О1Аг, в ко-
тором B2Ot параллельна ВО. Повернув плоскость вокруг OlAi
на угол дчи/ду, мы совместим ее с плоскостью B,OiAl *). точку же В2
совместим с С. Смещение В2С равно (<Jw/dy)dy и наклонено к вер-
тикали B2BV образуя с ней угол dw/dx. Поэтому ВгС равно
(d-w[dx) (du>ldy)dy, и угол COfy, представляющий собой связанную
со смещением w деформацию сдвига, равен (д-w/dx) (dw/dy)^ При-
бавляя эту деформацию сдвига к деформации, вызванной смещениями
и И_1>, получим
, ди . dv , dw dw
‘ ду ' дх' дх ду
(223)
Формулы (221). (222) и (223) дают значения компонентов дополни-
тельной деформации в срединной плоскости пластинки, обусловлен-
ной малыми прогибами. Считая их весьма малыми в сравнении
с компонентами еж> еу и уху. принятыми нами во внимание при вы-
воде выражения (220). мы вправе допустить, что склы Nx, N?, NXf
остаются при изгибе неизменными. При таком допущении добавоч-
ная энергия деформации пластинки, обусловленная деформацией ее
>) Углы dw/dy н dw/dx соответствуют малым прогибам пластинки и
рассматриваются как малые величины.
©2] ПРИМЕНЕНИЕ ЭНЕРГЕТИЧЕСКОГО МЕТОДА 429
срединной плоскости в связи с изгибом, выразится интегралом
Подставляя сюда вместо в', е.'у, Yxy их выражения (221), (222) и (223),
получим окончательно
+4//[^(^)!+w»(5l)!+2a,-> <224>
Интегрируя по частям, мы убедимся, что первый интеграл в пра-
вой части выражения (224) представляет собой работу, произведенную
при изгибе силами, действующими в срединной плоскости пластинки.
Взяв, например, прямоугольную пластинку и направив оси координат,
как показано на рис. 192, получим для первого члена интеграла
Ъ a b ha
f dx =f1N*“ I''"*1 - f fu dx “f-
0 0 0 0 0
Поступив точно таким же образом с остальными членами первого
интеграла в выражении (224), найдем окончательно
о о
а а
0 0 0 0
Первый интеграл в правой части этого выражения равен, очевидно,
работе, произведенной при изгибе силами, приложенными на краях
х = 0 и у = а пластинки. Аналогичным образом второй интеграл
выражает работу сил, приложенных на краях у = 0 и у = й. Два
остальных интеграла в силу уравнений (218) равны работе, произве-
денной при изгибе объемными силами, действующими в срединной
плоскости. Каждый из этих интегралов обращается в нуль в случае
отсутствия соответствующих сил.
Складывая значения энергии, выраженные формулами (220) и (224).
с энергией изгиба [см. уравнения (117), стр. 106], мы получим полную
энергию деформации нвогнутой пластинки под совместным действием
поперечных нагрузок и сил, расположенных в срединной плоскости
430 ПОПЕРЕЧНЫЕ НАГРУЗКИ И СИЛЫ В СРЕДИННОЙ ПЛОСКОСТИ [ГЛ XII
пластинки. Эта энергия деформации раяна работе Tv, произведенной
поперечной нагрузкой при изгибе пластинки, плюс работе Th, произ-
веденной силами, лежащими в срединной плоскости пластинки. Заме-
тив, что эта последняя работа равна энергии деформации Vv сло-
женной с энергией деформации, представленной первым интегралом
выражения (224), заключаем, что работа, произведеннав поперечными
силами, равна
(225)
Применив теперь принцип виртуальных перемещений, сообщим про-
гибу w приращение Sw, и тогда уравнение (225) даст нам
(226)
Левая часть этого уравнения представляет собой работу, произве-
денную на виртуальном перемещении поперечной нагрузкой, правая же
выражает приращение энергии деформации пластинки. Применение
этого уравнения будет иллюстрировано на нескольких примерах
в следующем параграфе.
93. Свободно опертая прямоугольная пластинка под совмест-
ным действием поперечных нагрузок и сил в ее срединной пло-
скости. Начнем со случая прямоугольной пластинки, равномерно
растянутой в направлении Х'(рис. 192) и несущей сосредоточенный
груз Р в точке с координатами $ и ц. Общее выражение прогиба,
удовлетворяющее граничным условиям, будет
2 2 «я»™— s,,,—6- <а)
m—1.9.3,... л-1.9.3....
Чтобы получить коэффициенты атп для этого ряда, воспользуемся
общим уравнением (226). Поскольку в нашем случае Wy=WXJ(=0,
первый интеграл в правой части уравнения (225) после подстановки
в него ряда (я) вместо w выразится рядом
(Ь)
О О л;-1 п-1
S3) СВОБОДНО ОПЕРТАЯ ПРЯМОУГОЛЬНАЯ ПЛАСТИНКА 431
Энергия деформации изгиба, представленная в уравнении (225) вторым
интегралом, равна [см. уравнение (d), стр. 381J

Чтобы получить виртуальный прогиб 8®, сообщим коэффициенту аП1щ
приращение 8а„,Я1. Соответствующий прогиб пластинки будет
8® = §ат,П1 sin sin •
Работа, которую произведет поперечнав нагрузка Р на этом виртуаль-
ном перемещении, выразится произведением
Р 8вт,Я1 sin т'^‘ sin . (d)
Соответствующее приращение энергии деформации будет состоять
из двух членов, а именно
о о
•moi »=1 (е)
czj
= -у 8о(Л1Я]
Подставив выражения (d) и (е) в уравнение (226), получим
Ма«А sin-^J^ sin s=
откуда
432 ПОПЕРЕЧНЫЕ НАГРУЗКИ И СИЛЫ В СРЕДИННОЙ ПЛОСКОСТИ [ГЛ XII
Подставиз эти значения коэффициентов сГО1Л1 в выражение (а), найдем,
что прогиб пластинки равен
,m ” , mnt , птт
4Р 8 П a s n b . тпх . ту , .
alm'D /, Zi/a* , л»У , m*Nx sltl a s,n b ’
m=I Я Г iftPD
Если вместо растягивающих сил Nx у изс имеются сжимающие силы
той же величины, то прогиб пластинки получится путем подста-
новки —Nx вместо Nx в выражение (g). Эта подстановка дает
ПК-п
___ 4Р Sln a sln b тъх . лг.у ..
W~abi?D , /т* n* \а msNx Sl” a Sm b
m=I n-i + bs) z2a2D
Наименьшее значение Nx, при котором знаменатель одного из
членов в выражении (h) обращается в нуль, называется критическим
Рис. 198.
значением сжимающей силы Nx. Очевидно, эта критическая сила
получится, если положить л=1. Поэтому
(227)
где m должна быть подобрана таким образом, чтобы выражение (227)
приняло минимальное значение. Нанося на график значения величины
\. а г mb)
как функции отношения а/b для различных целых значений т, мы
получим сетку кривых, показанных на рис. 198. Те участки этих
ез] СВОБОДНО ОПЕРТАЯ ПРЯМОУГОЛЬНАЯ ПЛАСТИНКА 433
кривых, которыми следует пользоваться для определения k, показаны
сплошными линиями. Мы видим, что коэффициент k равен 4 для
квадратной пластинки, равно как и для всякой пластинки, которую
можно разбить на целое число квадратов со стороной Ь. Из чертежа
можно заметить, что для длинных пластинок k остается практически
постоянным и равным 4 *). Поскольку значение т в уравнении (227)
для продолговатых пластинок может отличаться от 1, такие пла-
стинки, будучи подвергнуты действию поперечной нагрузки в сочета-
нии с сжимающими силами, как общее правило, не прогибаются2)
по полуволне в направлении длинной" стороны пластинни. Если,
например, а]Ь = 2, 4, .... изогнутав поверхность принимает ясно
выраженную асимметричную форму относительно средней линии
х — а/2. (рис. 192). в особенности для значений Nx, близких к кри-
тическому значению (^)кри1.
« Пользуясь выражением (g) для прогиба, произведенного одним
сосредоточенным грузом, мы можем путем наложения получить прогиб
и от любой поперечной нзгрузкн. Положив, например, что пластинка
загружена равномерно распределенной нагрузкой интенсивностью q,
мы подставлаем в выражение (g) произведение q dE dvj вместо Р и
интегрируем его по всей площади пластинки. Таким путем мы полу-
чим то же выражение дла прогиба пластинки, под равномерно рас-
пределенной нагрузкой, что и выведенное нами другим способом
раньше (см. стр. 423).
Если пластинка, нагруженная поперечной силой Р, в то же время
сжата в срединной плоскости равномерно распределенными силами Nx
и Ny, то. поступав, как раньше, получим
Критические значения сил Nx и определятся из условия3)
я2аЧ) ' v?b2D \аг'Ь2}'
где т п п подбираются таким образом, чтобы Nx и принимали
минимальные значения при любой заданной величине отношения между
ними Nx: Ny. В случае квадратной пластинки, подвергнутой дей-
ствию равномерного давления в срединной плоскости пластинки, мы
') Более подробно этот вопрос рассмотрен в книге Тимо-
шенко С. П., Устойчивость упругих систем, стр. 290, 296 и след., Гостех-
издаг, 1955.-
s) Несколько примеров подобной деформации рассматризается у К. Гирк-
маииа (Stahlbau, т. 15, стр. 57, 1942).
3) Полное исследование этой задачи приводится С П. Тимошенко в
кияге «Устойчивость узругих система, стр. 290, Гостехиздат, 1955.
434
ПОПЕРЕЧНЫЕ НАГРУЗКИ И СИЛЫ В СРЕДИННОЙ ПЛОСКОСТИ [ГЛ XII
будем иметь а — b и NK = NV = р. Уравнение (j) дает тогда
A<p = -^r(m
(к)
Критическое значение р определится, если положить т — п — 1.
В случае пластинки, имеющей форму равнобедренного прямо-
угольного треугольника, подвергающейся выпучиванию при свободном
опирании по краям (рис. 161). изогнутав поверхность пластинки,
удовлетворяющая всем граничным условиям», будет иметь вид *)
(, пх . 2яу , . 2пх . яу \
sln тг5|П «+sm —s,n ~гг)-
Критическое же значение напряжения сжатия получится после подста-
94. Круглая пластинка при совмест-
ном действии поперечной нагрузки и
растяжения или сжатия. Рассмотрим круг-
лую пластинку (рис 199), подвергающуюся
одновременному воздействию симметрично
приложенной поперечной нзгрузки и рав-
номерного сжатия силами N, = Nf = Д'
в срединной плоскости. В результате угло-
вой деформации у, сопутствующей изгибу
(рис. 27), радиальнав сжимающая сила N
получит поперечный компонент N d^jdr,
который нужно будет прибавить к пере-
резывающей силе Q (рис. 28), предста-
вляющей эффект поперечного загруження. Дифференциальное уравнение (54)
поэтому будет иметь вид
При отсутствии в пластинке отверстия®) решением уравнения (а) будет
’=ад (*)+’•
(0
) Это—форма собственных колебаний квадратной пластинки, диагональ
которой является узловой линией.
’) При наличии концентрического отверстия к выражению (с) присо-
единяется член, пропорциональный функции Бесселя второго рода. Прн этом
внутренний контур следует нагрузить тем же давлением N, что и внешний
контур —в противном случае задача осложняется в связи с непостоянством
напряжений Nr и Nf.
КРУГЛАЯ ПЛАСТИНКА
435
04]
где Ji—бесселева функция первого порядка, ¥о~ частное решение уравне-
ния (а), зависящее от Q. a С\ •*- постоянная, овределяемая граничными
условиями пластинки.
Для жестко защемленной пластинки *), несущей равномерно распределен-
ную нагрузку интенсизностью д, частным решением будет
, дгаа дг
* ~ 2*4) ~ 2М'
откуда, следовательно,
_ dw _ „ {kr\ дг ...
9 dr 2АГ {d)
Интегрируя находим
»-^(£)-€+г- <•>
где Je— бесселева функция нулевого порядка, Са — вторая постоянная.
Определив С| из условия у — 0 на г = в и С2 из условия го == О на г = а,
приходим к окончательному решению’):
2*%(*)О 4*4) ' W
При Ji {k) 0 прогиб (i) получает бесконечно большое значение. Обозначая
нули функции /, в последовательности их возрастания через Ji,
мы убеждаемся, что условие k = jt определяет наименьшее критическое
значение
DA
Л^крит-(Е)
сжимающего усилия N. Но функции (й) представавет собой произведение
в котором л = 3,83171, js = 7,01559,... Для k < Д мы вправе пренебречь
членами *2//2, начиная со вторых скобок. Заметив, далее, что
в силу уравнений (Ь) и (g), находим приближензо
/|<ч=4<1-"). (о
где
') Случай упругого стеснения без поперечной нагрузки был рассмотрен
Рейссманом (J. Appl. Meeh., т. 19, стр. 167, 1952).
’) Этот результат можно найти у Надаи (Nadal A, Elastische Flatten,
стр. 255, Берлин, 1925).
436 ПОПЕРЕЧНЫЕ НАГРУЗКИ И СИЛЫ В СРЕДИННОЙ ПЛОСКОСТИ (ГЛ. Х1Г
Исходя из (1) можно доказать, что приближенно')
где v>q—прогиб, зависящий от одной лишь нагрузки q. Этому же способу
решений поддаются и иные сочетания граничных условий при иных законах
распределения поперечной нагрузки. В общем случае симметричного попе-
речного загружения в сочетании со сжатием можно принять приближенно
для центра пластинки (г = 0)
№« = Т=^’
(k)
/1 <Jw\ /d2w\ _ l-J-c^/l
\r"dr/B ’"\~dr^JD~ 1—a <7 dr )e
и для контура (г = а)
(1 dw \ 1 -J- с'а / 1 dwQ \
~г ~drja = 1—° \Г dr /а’
/ d3Wg\
~*Чв~ •-» Х&Че'
где v>q относится к пластинке, несущей одну лишь заданную нагрузку,
a a = N/JVKp имеет следующие значения:
для свободно опертой пластинки a = 4~20р •
, (т)
для азщемленнои пластинки в = ~14~68О~ *
причем иервое значение имеет силу для v = 0,3. Значения постоянных с0,
с'и с” приводятся в таблице 81. Если круглав пластинка несет поперечную
нагрузку, подвергаясь одновременно равномерному растяжению N вместо
сжатия, то мы имеем приближенно
где а—абсолютное значение отношения N/NKp. Что касается прпвизны,
то здесь в выражения (к) и (1) вместо множителя (1-}-со)Д1—а) вводится
другой множитель
I+(!+«)«*
причем постоянная с заменяет последовательно с0. с' и с*.
') См. Pettersson О.,Acta polytechn. Stockholm, № 138, 1954. Ниже-
следующие результаты заимствованы из этой работы: в ней, однако, задача
решается в более общей постановке — в предположении упругого защемле-
ния по контуру.
65] ИЭТИВ ПЛАСТИНКИ. ИМЕЮЩЕЙ МАЛУЮ НАЧАЛЬНУЮ КРИВИЗНУ 437
Таблица 81
Значения постоянных в приближенных выражениях
(к) и (I) = 0,3)
Случая Закон распределения нагрузки Граничные условия Значения постоянных
1 Равномерное распределение мо- ментной нагрузки по контуру Свободное опирание с, = 0,305 е =—0,270 е = —1,219
2 Равномерное загружение по пло- щади Свободное опирание с0 = 0,0480 d = £"=—0,0327
3 Защемление с0 = 0,308 с* = —0,473
4 Центральное равномерное загру-, женнепо площади радиуса ед’ Свободное опирание , И * 2>1БЗ- Со 1 + 1-1,31пе £ = £" = 0,205
5 Защемление . 1,308 1 1пе с" =0,0539
95. Изгиб пластинки, имеющей малую начальную кривизну1).
Положим, что срединнав поверхность пластинки уже несколько
выпучена до изгиба, так что в любой ее точке имеется некоторый
начальный прогиб да0, малый в сравнении с толщиной пластинки.
Если такую пластинку подвергнуть действию поперечной нзгрузки,
то последняя вызовет дополнительный прогиб так что полный
прогиб любой точки срединной поверхности пластинки будет
Для вычисления прогиба wi воспользуемся уравнением (103), выве-
денным для плоской пластинки. Этот прием допустим в том случае,
если начальный прогиб w0 мал, поскольку мы вправе рассматривать
его в этом случае как эффект фиктивной нагрузки и применить
принцип наложения2). Если кроме поперечных нагрузок имеются еще
и силы, действующие в срединной плоскости пластинки, то влияние
-этих сил на изгиб зависит не только от -wx, по также и от w0.
Чтобы учесть это обстоятельство, мы в правой части уравнения (217)
неодим полный прогиб w = Следует помнить, что левая
часть этого уравнения была получена из выражений для изгибающих
*) См. Тимошенко С. П„ Известия Института инженеров путей
сообщения, т. 89, СПб., 1915.
2) В случае больших прогибов величина их уже непропорциональна
нагрузке, и потому принцип наложении теряет свою силу.
438 ПОПЕРЕЧНЫЕ НАГРУЗКИ И СИЛЫ В СРЕДИННОЙ ПЛОСКОСТИ (ГЛ Х1Г
моментов в пластинке. Так как эти моменты зависят не от полной
кривизны, но лишь от изменения криинзны пластинки, то при записи
левой части этого уравнения в его применении к данной задаче нам
следует вводить не w. a wx. Таким образом, в применении к случаю
начально искривленной пластинки уравнение (217) принимает вид
d*v>i । g й4№| , _
~дх*'2 дл8дуа^“ ду* ~
(2ЭД
Из этого выражения мы видим, что влияние начальной кривизны
на прогиб эквивалентно влиянию фиктивной поперечной нагрузки
интенсивностью
х дх3 1 У ду3 ~ ХУ дхду
Таким Образом, при наличии начальной кривизны пластинка будет
испытывать изгиб под действием сил, лежащих в одной лишь пло-
скости ху.
Возьмем в качестве примера случай прямоугольной пластинки
(рис. 192) и допустим, что начальный прогиб пластинки определен
уравнением
. ia , т.у
=аи sin — sln . (а)
Если по контуру этой пластинки приложены равномерно распреде-
ленные сжимающие силы Nx, то уравнение (230) принимает вид
dfw. . „ cJ'ki. , d*w. 1 /.» *У л; d2wt\
~s~r I- 2 rt-J, -- тг — -г? Ig stn—sin(b)
dx* 1 дхг dy3 1 dy* D \ Л a* a b x ox3) ' •
Возьмем решение этого уравнения в виде
. , т.х , {гЛ
wt — Л sin — sin-^-. (с)
Подставив это значение в уравнение (Ь), получим
*?£>(. ,а*\3 „ ’
При этом виачении А выражение (с) дает прогиб пластинки, вызван-
ный сжимающими силами Nx. Сложив этот прогиб с начальным
прогибом (а), получим для полного прогиба пластинки следующее
выражение;
ws=«i04~w1 = y-Ji-sin —sln-^-, (d)
D5J ИЗГИБ ПЛАСТИНКИ. ИМЕЮЩЕЙ МАЛУЮ НАЧАЛЬНУЮ КРИВИЗНУ 439
где
“~ -^Р (л * ’ <е>
а2 ('+ Ь*)
Максимальный прогиб получится в центре, причем величина его будет
равна
»—=-&• №
Эта формула аналогична соответствующему выражению для стержня
с начальной кривизной1).
В более общем случае мы можем принять уравнение начально
изогнутой поверхности прямоугольной пластинки в виде следующего
ряда:
<g)
m=I л=1
Подставив этот ряд в уравнение (230), найдем, что дополнительный
прогиб в некоторой произвольной точке пластинки равен
VT V? - тпх , тту ,,.
2i*««slI,_“s,n-rL' <h)
где
Мы видим, что все коэффициенты Ьтп возрастают с возрастанием /7^.
Поэтому как только Nx приближается к критическому значению-
член в ряде (h), соответствующий поперечно выпученной форме пла-
стинки [см. уравнение (227)], приобретает главенствующее значение.
Мы имеем здесь полную аналогию со случаем изгиба начально искри-
вленного и подвергнутого сжатию стержня.
Если вместо сжатия в срединной плоскости пластинки имеет место
растяжение, задача решается тем же способом. При этом нужно лишь
в выведенных уравнениях изменить знак Nx. Без каких-либо затруд-
нений мы можем получить прогиб также и в том случае, когда у нас
кроме сил Nx имеются еще и равномерно распределенные по краям
пластинки силы Ny и Nxy.
’) См. Тимошенко С. П„ Сопротивление материалов, т. 2, стр. 101,
1946.
ГЛАВА XIII
БОЛЬШИЕ ПРОГИБЫ ПЛАСТИНКИ
96. Изгиб круглой пластинки моментами, равномерно распре-
деленными по контуру. Выше (см. ст[^ 62) при исследовании чи-
стого изгиба круглой пластинки было показано, что деформацией
срединной плоскости пластинки допустимо пренебречь в тех случаях,
когда прогибы малы в сравнении с толщиной пластинки. Во всех
случаях, когда прогибы уже не малы в сравнении с толщиной пла-
стинки и вместе с тем еще малы в сравнении с другими ее измере-
ниями. исследование задачи должно быть обобщено в том смысле,
что в нем следует принять во внимание также и деформацию сре-
динной плоскости пластинки1).
Положим, что круглав пластинка изогнута моментами А!о. равно-
мерно распределенными по ее контуру (рис. 200, а). Так как изо-
гнутая поверхность в этом случае будет симметричной относительно
центра О, то смещение точки в срединной плоскости пластинки
можно будет разложить на две составляющие: составляющую и
в радиальном направлении и составлиющую w. перпендикулярную
к плоскости пластинки. Поступая, как было указано ранее на рис. 196
(стр. 427), заключаем, что деформация в радиальном направлении
равна 2)
du , 1 fdw\* * . .
•'= <а>
Деформация в тангенциальном направлении равна, очевидно,
, = у- (Ь)
’) Эта задача была исследована С. П. Тимошенко; см. Известия Инсти-
тута инженеров путей сообщения, т. 89, 1915.
*) В случае весьма больших прогибов имеем
du , 1 Г/ du\? . /ЛУ]
"=•* + 2 IU)
и это вносит изменения в нижеследующие дифференциальиме уравнения;
см. Reissner Е., Proc. Symposia AppL Math., т. 1, стр. 213, 1949.
ИЗГИБ КРУГЛОЙ пластинки
441
Обозначая соответствующие растягивающие силы на единицу длины
через Nr и Nt и применяя закон Гука, получаем
Эти силы должны быть приняты в расчет при выводе уравнений
равновесия элемента пластинки, подобного показанному на рис. 200, Ь
&
Рис. 200.

и 200, с. Взяв сумму проекций на радиальное направление всех дей-
ствующих на элемент сил, получим
r-^-drM + N/lrdO — N,dr<n = 0.
откуда
. W,-W( + r^!- = o. (d)
442 БОЛЬШИЕ ПРОГИБЫ ПЛАСТИНКИ (ГЛ ХПГ
Второе уравнение равновесия элемента получим точно так же, как
и при выводе уравнения (55) (стр. 68), взяв моменты относительно
оси. перпендикулярной к радиусу. Таким путем найдем *)
___ л I । 1 1 du>\
'-----(е)
Беличику перерезывающей силы Qr найдем, рассмотрев равновесие
внутренней круглой части пластинки радиуса г (рис. 200. а). Это
приводит нас к соотношению
Подставив это выражение для перерезывающей силы в уравнение (е)
и воспользовавшись выражениями (с) для Nr и мы можем пред-
ставить уравнения равновесия (d) и (е) в следующем виде:
Эти два нелинейных уравнения - можно интегрировать численно, от-
правляясь от центра пластинки и двигаясь малыми приращениями
в радиальном направлении. Для центра кольцевого элемента малого
радиуса £ мы примем некоторую радиальную деформацию

и некоторую постоянную кривизну
1 _____________________________
fo“" \Л-’Л=о*’
Зная эти значения радиальной деформации и кривизны в" центре, мы
можем вычислить как радиальное смещение и. так и наклон dtu/dr
для г=т. Таким образом, все входящие в Правую часть уравнений
(231) величины нзм будут известны, и мы сможем вычислить аначе?
ния iPafdr7 и d\v(dr3 для г == с. Как только мы найдем эти вели-
чины, у нас будет возможность предпринять следующий шаг, а именно
передвинуться на длину с в радиальном направлении it вычислить
*) Направление силы Qr здесь противоположно уяазанному на рис. 28;
Этим объясняется знак минус в ураниеини (е)
96)
ИЗГИБ КРУГЛОЙ ПЛАСТИНКИ
443
все входящие в правую часть уравнений (231) величины для r = 2ci)
и т. д. Как только нам будут известны численные значения и и &,
а также их производные на конце каждого интервала, мы сможем
из уравнений (с) вычислить значения сил NT и Nt, а из уравнений
(52) и (53) (см. стр, 67) изгибающие моменты Мг и Посред-
ством таких повторных вычислений мы подойдем к радиальному
расстоянию г —а, где радиальная сила Nr обращается в нуль.
В результате мы получим круглую пластинку радиуса а, изогну-
тую моментами Л1П, равномерно распределенными по контуру. Изме-
няя численные значения и 1/р0 в центре, мы будем иметь пла-
стинки с различными значениями внешнего радиуса и различными
значениями распределенного по контуру момента.
На рис. 201 графически представлены результаты, полученные
для пластинки, у которой
д«23Л и (МДагв = Л1с = 2,93- Ю-3—-.
') Если интервалы, на которые разбизается радиус, достаточно малы,
то можно воспользоваться простым приемом, подобным тому, который был
применен С П. Тимошенко в книге «Теория колебаний в инженерном деле».
Представленные на рис. 201 численные результаты получены именно таким
путем. Более высокой степени точности можно достигнуть, пользуясь мето-
дом Адамса (Adams) или Штёрмера (StOrmer). О методе Адамса см. книгу
Башфорта (Bashforth, On forms of fluid dropsy «О формах капель
жидкости» Cambridge Univ. Press., 1883. Метод Штёрмера весьма подробно
излагается в книге А. И- Крылова «Приближенные вычисления», изданной
Академией наук СССР, Москва, 1935. См. также: Л. Коллатц, Численные
методы решения дифференциальных уравнений, М., ИЛ., 1953.
444 БОЛЬШИЕ ПРОГИБЫ ПЛАСТИНКИ [ГЛ XUI
Заметим. чтб максимальный прогиб пластинки получается здесь
равным 0,55ft; это приблизительно на 9% меньше прогиба w0. ука-
зываемого элементарной теорией, которая пренебрегает деформацией
в срединной плоскости пластинки. Силы Nr и N, в центральной части
пластинки обе оказываются положительными. В наружной части ее
силы Nt становятся отрицательными; это значит, что в тангенциаль-
ном направлении имеет место сжатие. Максимальное тангенциальное
напряжение сжатия на контуре составляет приблизительно 18% мак-
симального изгибающего напряжения изгиба -^а” . Напряжения из-
гиба, вызванные моментами Mt и Mt, получаются несколько меньше
напряжения бЛ^Л2, указываемого элементарной теорией, и прини-
мают наименьшее значение в центре, где погрешность элементарной
теории составляет около 12%. Из этого численного примера можно
заключить, что для прогибов порядка 0,5ft погрешности в указывае-
мых элементарной теорией значениях максимального прогиба и мак-
симального напряжения становятся вначительными и что для получе-
ния более точных результатов нужно принить во внимание деформа-
цию срединной плоскости.
97. Приближенные формулы для равномерно нагруженной
круглой пластинки с большими прогибами. Описанный в преды-
дущем параграфе метод может быть использован также и в случае
поперечной нагрузки пластинки. Он, однако, не нашел практического
применения, так как для получения прогибов и напряжений в каждом
частном случае приходится производить большую вычислительную
работу. Более удобный прием для приближенного вычисления про-
гибов можно получить, применяя энергетический1) метод. Пусть
круглая пластинка радиуса а вашемлена по контуру и подвергается
действию равномерно распределенной нагрузки интенсивностью q.
Допустив, что форма изогнутой поверхности может быть при этом
представлена тем же самым уравнением, что и в случае малых про-
гибов, положим
те^«Ц1 — (а)
Соответствующая энергия деформации изгиба по уравнению (ш)
(стр. 384) будет равна
9 См. Тимошенко С. П„ Теория колебаний в инженерном деле.,'
Приближенные формулы см. также в таблице 82 (стр. 456).
B7J ПРИБЛИЖЕННЫЕ ФОРМУЛЫ ДЛЯ КРУГЛОЙ ПЛАСТИНКИ 445
Для радиальных смешений примем выражение
и=г(а — г)(С1 + Сгг-ЬС3г2+ ...), (с)
каждый член которого удовлетворяет граничным условиям, требую-
щим. чтобы и обращалось в нуль в центре и из контуре пластинки.
Из выражений (а) и (с) для смещений вычислим, как показано в пре-
дыдущем параграфе, составляющие деформации ег и е, срединной
плоскости и посредством выражения
V, = ^f («?+4+2.М,)гл (d)
получим энергию деформации, обусловленной растаженнем срединной
плоскости. Взяв лишь два первых члена (с), будем иметь
V, — (o.250Ci«a + 0.1167С^>* + О.ЗООС,^ —
— 0.008460,0 ^- + 0,006820.0"^- + 0,00477 5^) . (е)
Постоянные С, и С2 определятся теперь из того условия, что пол-
ния энергия пластинки в положении равновесия принимает минималь-
ное значение. Поэтому
^ = 0 “ жН0- ®
Подставив выражение (е) вместо V1, получим два линейных уравне-
ния для С, и С2. Из них мы найдем, что
С,= 1.185-4 » С,=-1.754-.
после чего из уравнения (е) получим *)
= (g)
Прибавляя эту энергию, зависящую от "растяжения срединной пло-
скости. к энергии изгиба (Ь), получим полную энергию деформации
32 «п / \
'"Ч-Г, = -3-00^(1+0.244^- (h)
Второй член в скобках представляет собой поправку на деформацию
в срединной плоскости пластинки. Легко видеть, что эта поправка
") В этом вычислении принято v ₽ ОД
446
БОЛЬШИЕ ПРОГИБЫ ПЛАСТИНКИ
(ГЛ XIII
мала и ею можно пренебречь, если прогиб w0 в центре пластинки
мал в сравнении с толщиной h пластинки.
Зная теперь из выражения (h) энергию деформации, мы. пользуясь
принципом виртузльных перемещений, получаем и прогиб пластинки.
Из этого принципа следует, что
~ 2я fд dr = 8w° f (1 ~ 5Y r dr-
о 0
Подставив в это уравнение выражение (h), получим кубическое урав-
нение относительно <&>0. Это уравнение можно написать в таком виде:
™°=т-------------------------------------Hr (232J
14 0.488 —
Последний множитель в правой части уравнения выражает влияние
растяжения срединной поверхности на прогиб пластинки. Вследствие
этого влияния прогиб -а>0 перестает быть пропорциональным интен-
сивности ^-нагрузки и жесткость пластинки возрастает с прогибом.
Взяв, например, ту0— 1/2й, получим из уравнения (232)
«,=0,в9^-.
Это указывает на то, что прогиб в данном случае получился на 11 %
меньше, чем в том случае, когда мы пренебрегаем растяжением сре-
динной поверхности.
До сих пор мы предполагали, что радиальные смещения обра-
щаются на контуре пластинки в нуль. Но не исключена и противо-
положная возможность — свободного перемещения края в радиальном
направлении. Тогда выражение (232) необходимо будет заменить за-
висимостью ')
да* I
64D
1+0,146 5-
(233)
из которой явствует, что, влияние растяжения пластинки в условиях
свободного перемещения края сказывается значительно меньше, чем
в первом случае. Принимая, например, «0о=1/2/г, находим w0 =
= 0,965 (?e/64D), чему соответствует растяжение, составляющее
3’/2% вместо 11%, полученных выше.
Далее, из уравнений (Ь) и (с) § 96 мы можем заключить, что
если Л/г = 0 на контуре, то принимает на контуре вначение
’) Она получается методом, изложенным в § 100,
ST] ПРИБЛИЖЕННЫЕ ФОРМУЛЫ ДЛЯ КРУГЛОЙ ПЛАСТИНКИ 447
Nt=Eftet^=Ehu[r. т. е. становится отрицательной величиной. Создается
поэтому основание ожидать, что при достижении определенного
критического значения поперечной нагрузки краевая зона пластинки
переходит в неустойчивое состояние').
Другой вариант приближенного решения задачи был разработан
А. Надаи2). Он исходит из уравнений равновесия, сходных с урав-
нениями (231). Чтобы их вывести, нам нужно лишь преобразовать
уравнения (f) предыдущего параграфа таким образом, чтобы они
отвечали случаю поперечной нагрузки интенсивностью q. После такого
преобразования выражение для перерезывающей силы получает, оче-
видно, вид
<2,= -"4^,,rcr. (I)
О
Пользуясь этим выражением точно таким же образом, как в преды-
дущем параграфе мы пользовались выражением (1), получим вместо
уравнений (231) следующую систему уравнений:
. 1 du и 1 — v / dw V dw d2w
dr2 ' r dr г* 2г \dr J dr dr1 ’
dsw . 1 d2w i dw 12 dw Г du . и . 1 /ЖЛ*| I Г „
и
(234)
Чтобы найти приближенное решение задачи, следует принять для
прогиба w подходящее выражение в качестве первого приближения.
Подставив его в правую часть первого из уравнений (294), мы по-
лучим линейное дифференциальное уравнение относительно и, которое
может быть проинтегрировано и даст, таким образом, второе при-
ближение для и. Этим вторым приближением можно будет затем
воспользоваться для получения следующих приближений для и и «'
посредством повторного выполнения той же последовательности вы-
числительных операций.
Исследуя изгиб равномерно нагруженной, защемленной по кон-
туру круглой пластинки, Надаи начинает с производной dw/dr и
берет в качестве первого приближения выражение
>=‘[£-(3'1- ®
'-) Возникающая в этих условиях неустойчивость исследована Д. Ю. Па-
новым и В. И. Феодосьевым (Прикл. мат. мех., т. 12, стр. 389, 1948).
г) См. его книгу «Eiastische Platlen», стр. 288, 1925.
448 БОЛЬШИЕ ПРОГИБЫ ПЛАСТИНКИ [ГЛ. хш
которое в соответствии с условиями на защемленном контуре обра-
щается в нуль при г = 0 и г~а. Тогда первое из уравнений (234)
даст нам первое приближение для и, Подставив эти первые при-
ближения для и и йчи>1<1г во второе из уравнений (234) и решив его
относительно q, определим постоянные С и п в выражении (j) таким
образом, чтобы величина q как можно меньше отличалась от постоян-
ной. Таким путем при v = 0,25 мы получим для вычисления прогиба
в центре следующее уравнение1):
(235)
Для очень тонких пластинок прогиб может оказаться весьма
большим в сравнении с А. В подобных случаях сопротивлением
пластинки изгибу можно пренебречь и ее можно рассматривать как
гибкую мембрану. Общие уравнения для такой мембраны получают
из уравнений (234), положив левую часть во втором из этих урав-
нений равной нулю. Приближенное решение полученных таким спо-
собом уравнений пайдем, отбросив из левой части уравнения (235)
первый член как малый в сравнении со вторым членом. Отсюда
получим
0.583(^),»0,,76f(i-)4 * * * „ 0,665а .
Более полное исследоввние той же задачи2 *) дает
и,662« |Г -g-. (236)
Эта формула, находящаяся в весьма удовлетворительном согласии
с опытами8), показывает, что прогибы не пропорциональны интен-
сивности нагрузки, а изменяются пропорционально кубическому корню
из этой нагрузки. Для растягивающих напряжений в центре мембраны
и на контуре то же решение дает соответственно
и (O,)„0=o.328jr^.
') Другой метод приближенного решения уравнений (234) был пред-
ложен К. Ф. Фе^ерхофером (Federholer К., Eisenbati, т. 9, стр. 152,
1918); См. также' Forsclningsarbeiten, т. 7, стр. 148, 1936. Его уравнение
для отличается от уравнения (235) лишь численным значением коэффи-
циента в левой части, а именно при v = 0,25 вместо 0,583 у него получает-
ся 0,523.
2) Решение этой задачи было дано Генки (Н en cky Н., Z. Math. Physik,
т. 63, стр. 311, 1915). О некоторых особых явлениях, возникающих в краевой
зоне весьма тонких пластинок, см. Friedrichs К. О., Proc. Symposia
Appl. Math., т. 1, стр. 188, 1949.
я) См. Eck Bruno, Z. angew. Math. Meeh., т. 7, стр. 498, 1927.
Об испытаниях круглых защемленных по контуру пластинок см. также
McPherson A., Ramberg W., Levy S., NACA Rept., 744, 1942.
88] решение для Круглой пластинки, защемленной по контуру 449
Чтобы получить прогибы, пропорциональные давлению, что часто
требуется в различных измерительных инструментах, следует при-
бегнуть к гофрированным мембранам1), подобным, например, изо-
браженной на рис. 202. Вследствие гофрировки деформация сводится
главным образом к изгибу и потому
возрастает пропорционально давле- /*\ II
нию2 *). Если гофрировка (рис, 202) V/ В.
следует закону синусоиды, а число « ** а
волн, укладывающихся на длине диа- Рис. 202- .
метра пластинки, достаточно велико
(я >5). то при обозначениях рис. 186 для -и>0 = (w)nrax можно будет
воспользоваться следующим выражением8):
’’о=(^»=з(^)[заЬг+(4)1]+4№)8=^(Я-
98. Точное решение для равномерно нагруженной круглой
пластинки, защемленной по контуру4 * * *). Для того чтобы получить
более удовлетворительное решение задачи о больших прогибах равно-
мерно нагруженной круглой пластинки с защемленным контуром, не-
обходимо решить уравнения (234). С этой целью напишем прежде
всего эти уравнения в несколько ином виде. Как это можно заметить
из самого' процесса их вывода в § 96, первое из этих уравнений
эквивалентно уравнению
ч —wf + rTr = 0. (237)
Точно так же, как это видно из уравнения (е) § 96 и уравнения (1)
§ 97, второе из этих уравнений можно написать таким образом:
(iPvo . 1 1 dw\_л. dw .qr
D\-d^+yV-^SF)-N’SF+^- <238)
Из общих выражений для радиальной и тангенциальной деформаций
(стр. 440) получаем
’) Теория прогиба такого рода мембран изложена у Штанге (S t ange К..
Ingr, Arcfi., т. 2, стр. 47, 1931).
2) Библиографию по диафрагмам, применяемым в измерительных инстру-
ментах, см. в работе Херси (Hersey М, D., Rept. Nat. Advisory Comm.
Aeroeautics, 165, 1923).
s) В о л ь м и p А. С., Гибкие пластинки и оболочки, стр. 214, Москва,
1956. В этой книге имеется также обширная библиография по большим про-
гибам пластинок и оболочек.
’) Этим решением мы обязаны Уэю (Way S., Trans. Am. Soc. Meeh.
Eng., t. 56» стр. 627, 1934).
15 С, П. Тимошенко, С, БойновекиВ-Кригц,
450 БОЛЬШИЕ ПРОГИБЫ ПЛАСТИНКИ [ГЛ ХГП
Подставив в это уравнение
ег={Nr ~ vNt) и е(=~ (Nt — vW0
и применив уравнение (237), получим
' Х<л> > (2з9>
Три уравнения (237), (238) и (239), содержащих три неизвестные
функции Nf, Nf и w, мы используем теперь для решения задачи.
Начнем с преобразования этих уравнений к безразмерной форме
путем введения следующих обозначений:
'=!• М- ^=4’ s-=vr <240>
В этих обозначениях уравнения (а), (Ь) и (с) принимают вид
i(E5,) -S, = 0. (241)
e4(S,+ S,)+4(»S=0. (243)
Граничные условия требуют в данном случае, чтобы радиальное сме-
щение и и наклон d'Wjdr обращались на контуре в нуль. Пользуясь
уравнением (Ь) § 96 для смешений (ц) и применяя закон Гука, форму-
лируем эти условия так:
(Ч,.» = '(«,->S,),„ = 0. (244)
f dw\
(*•>-=°- («)
Полагая, что Sr есть симметричная функция, a dwjdr — антисим-
метричная функция от Е, представим эти функции следующими сте-
пенными рядами:
\-«,+Л2;= |Д,Е<+ .... (Ь)
^ = V8(C1E + C8E"+C5t"+ ...). (с)
в которых Во, В^, ... и Сь С&, ... суть постоянные, подлежащие
определению в дальнейшем. Подставив первый из этих рядов в'урав-
нение (е). найдем *
s,=в0+W8 + бв4е« + ...
и
B8J РЕШЕНИЕ ДЛЯ КРУГЛОЙ ПЛАСТИНКИ. ЗАЩЕМЛЕННОЙ ПО КОНТУРУ 451
Интегрируя и дифференцируя уравнение (е), получим соответственно
v=^(c,|+c>t+c'»t+-)- <»
-^(^7-) = П(С.+ЗСЛ+вСЛ+(О
Очевидно, все интересующие нас величины могут быть найдены,
если мы знаем постоянные Во, Во.....Ср С3, ... Подставив ряды
(Ь), (с) и (d) в уравнения (242) и (243) и заметив, что эти уравне-
ния должны удовлетворяться при любом значении Ё, приходим к сле-
дующим соотношениям между постоянными В а С:
В»~~ *(* + 2) iL СгпСЪ-т’
т-1, 3, Б,...
~ 12(1 —v2) V • Д Г
— Д2_1 ant^k-2-m<
т-0, 2, 4,
с’Ч(1-'Х^+ад)-
й = 2, 4, 6.........
А = 5, 7. 9..........
Мы видим, что приписав постоянным Во и С\ определенные значе-
ния, мы получаем возможность вычислить из соотношений (g) и все
остальные постоянные, и тогда значения Sr, St и d-wjdr определятся
рядами (b), (d) и (с), для всех точек пластинки. Как можно видеть
из рядов (е) и (f). фиксировать определенные значения для Во и Ct
означает то же самое, что и выбрать значения S, и кривизны в центре
пластинки *).
Построение кривых для расчета прогибов и напряжений в отдель-
ных частных случаях осуществляется следующим способом; для дан-
ных аначений v и p=^qfE и для выбранных нами значений Во и б\
Подсчитывается большое количество различных численных приме-
ров 2), причем определяются радиусы пластинок таким образом, чтобы
удовлетворялось граничное условие (а). Для всех этих пластинок
вычисляются значения Sr и Sf на контуре, а затем для того же кон-
тура находятся радиальные смещения («)г=л. Так как все эти вычи-
сления производятся для произвольно принятых значений Во и Ср
то граничные условия (244) вообще не удовлетворяются. Интер-
поляции, однако, дает нам возможность получить все необходимые
данные для пластинки так, чтобы удовлетворялись оба условия (244)
и (а). Результат этих вычислений представлен графически на рис. 203.
*) С выбором этих же самых величин мы уже сталкивались в случае
изгиба круглей пластинки моментами, равномерно распределенными по кон-
туру (см. стр. 442).
8) Уай (S. Way), цит, на стр. 449, вычислил 19 отдельных случаев.
15»
452
БОЛЬШИЕ ПРОГИБЫ ПЛАСТИНКИ
(ГЛ XIII
Рис» 203. Рис.
ОД КРУГЛАЯ ПЛАСТИНКА ПОД РАВНОМЕРНОЙ НАГРУЗКОЙ 453
Если прогиб пластинки мы нашли из этого графика, то соответ-
ствующее напряжение можно определить с помощью кривых рис. 204.
Кривые этого графика соответствуют мембранным напряжениям
и напряжениям изгиба
вычисленным для центра и для контура пластинки ’). Складывая о,
и <£, получаем полное максимальное напряжение в центре и на кон-
туре пластинки. Для сравнения на рис. 203 и 204 нанесевы также
прямые линии, соответствующие показаниям элементарной теории,
которая пренебрегает деформацией срединной плоскости. Следует
заметить, что погрешность элементарной теории возрастает по мере
возрастания нагрузки и прогибов.
99, Круглая свободно опертая пластинка вод равномерно распре-
деленной нагрузкой. Точное решение задачи *) может быть получено мето-
дом разложения в ряды, сходным с использованным в предыдущем параграфе.
В силу осевой симметрии имеем и на этот раз dwjdr = О и Nr = N/
для г = 0. Поскольку радиальные моменты на контуре исчезают, должно быть
Что касается напряжений и деформаций в срединной плоскости пластинки,
то для них имеют место два граничных условия: 1) Полагая, что контур
неподвижен, заключаем из уравнения (244), что St—vSr=O, что согласно
уравнению (237) эквивалентно условию
[s,(l-,)+r^.] „О. (Ь)
2) Полагая, что край может свободно перемещаться в радиальном напра-
влении, имеем непосредственно
(S,)ri=o = 0. (с)
Функции Sr и и в рассмотренном случае допускают представление
в рядах
s'= (дт + д*'+д.г,+ ). <»>
~=--spT(C,f+CaP»+C,f’+ (е)
) Напряжения даны в безразмерной форме.
2)Federhofer К., Egger Н„ Sitzber. Akad. Wiss. Wien, Века, Па,
т. 155, стр. 15,1946; см. также S11 р р е s М., Н a u s г a t b А. Н., J, Appl. Meeh.,
т. 19, стр. 287, 1952. Использованный в последней из указанных работ ме-
тод возмущения применим также и в случае сосредоточенной нагрузки.
454
БОЛЬШИЕ ПРОГИБЫ ПЛАСТИНКИ
[ГЛ. хш
где ^=гг!а. Вводя эти ряды в уравнения (241), (242), (243) и исключая из
них величину S,, приходим к следующим соотношениям между постоян-
ными В и С:
8-2
В%— J (да____(J к=3,5,..., (I)
m^l,3,S,...
*-2
Ч“1Р=Т 2 t = s, (g)
8С.-В1С, + 12У'3(1-,1) 'рг-О, (Ь)
где p=q[E, a q— интенсивность нагрузки. Все постоянные и на этот раз
легко выражаются через две постоянные В, в С„ в свою очередь связан-
ные между собой двумя дополнительными соотношениями, вытекающими
из граничных условий, а именно:
в первом случае,
У, ».!»-•)"«, 2 С»<»+’>-01 <>
8 = 1, 3,3,... 8-1, 3,6. ...
и но втором случае
2 2 СНА+*)=О. (j)
*=1,3,6, ... 6-1,3,5,..,
Чтобы приступить к решению полученной системы уравнений, можно вос-
пользоваться в качестве исходных значений Вг и Ci теми, которые
могли бы дать первое приближение. Такое решение, удовлетворяющее усло-
вию (а), может, например, иметь вид
-^ = С(Р₽«-₽).
(к)
Здесь С—постоянная, а р= д^* (п = 3, 5, ...). Подставляя это в урав-
нения (241) и (243), ваменяя в них 5 ва pajh к цсялючая S/, подучаем
Здесь и с2 — постоянные интегрирования, а
л,=4л(п-|-1), па = («+!) (п-РЗ).
Допустим, например, что заданные нам граничные условия отвечают слу-
чаю 2, Тогда
_ , 1\
2 Ui пя 8?’
(ш)
Постоянную С, наконец, можно найти тем или иным энергетическим мето-
дом, например описанным в § 100. Применив приведенные там уравне-
ния (ш) или (о), мы должны лишь подставить в них dy/dr = rhES, а вместо
dwjar — одно из указанных выше приближенных выражений (k), (1).
Наибольшие значения прогибов и полных напряжений, полученные'
Федерхофером и Эггером на основе точного решения, представлены гра-'
фнками на рис. 205 для Случая 1 и на рис. 206 для случав 2, Вычисления
выполнены для №0,25.

456
БОЛЬШИЕ ПРОГИБЫ ПЛАСТИНКИ
(ГЛ XI»
Таблица 82
Данные к вычислению приближенных значений прогибов w0
и напряжений в равномерно нагруженной пластинке (v==03)
Условия опирания Л в В центре На контуре
ar-at «г •<
Защемле- ние Контур непо- движен 0,471 0,171 0,976 2.86 0,476 0,143 —4.40 —1,32
Контур подви- жен 0,146 0,171 0,500 2.86 0 —0,333 —4,40 —1,32
Свободное опирание Контур непо- движен 1,852 0,666 0,905 1,778 0,610 0,183 0 0,755
Контур подви- жен 0.262 0,696 0,295 1,778 0 —0.427 0 0.755
Таблица 82 может оказаться полезной для приближенных вычислений
прогиба w0 в центре из уравнения вида
а также напряжений в срединной плоскости по формулам
и напряжений изгиба в крайнем волокне ')
(п)
(о)
(р)

100. Круглая пластинка, нагруженная в центре. Приближенное ре-
шение этой задачи может быть получено методом, описанным в § 81.
Работа внутренних сил иа виртуальных перемещениях Ве/ выражается
интегралом
а
е v j =—2« J (tfA,+г &г.
о
’) Знак отрицателен, если нижиня зона пластинки сжата.
1O0J КРУГЛАЯ ПЛАСТИНКА. НАГРУЖЕННАЯ В ЦЕНТРЕ 457
Принва но внимание уравнения (а) и (Ь) § 96, получим
ty,=-2VM^+-Hy)!]+wi й(гЛ (а)
о
Допустим далее, что на контуре либо радиальное перемещение в срединной
плоскости, либо радиальные силы Nr обращаются в нуль. Интегрируя тогда
выражение (а) по частям и положив Iи =к О или Nr = 0 на г = 0, найдем
В V, = 2я j*(rW>) — ty] Ви dr —2it У rNr ~ 8 dr. (b)
о о
Работа изгибающих моментов Мг и М/ на вариациях В (—d^w/dr^ и
8(—42dwldr) кривизн определяется авалогичным интегралом
+ (с)
о
Положим, что либо радиальный изгибающий момент Мг, либо наклон t(dw!dr)
должен обращаться на контуре в нуль Интегрирование выражения (с)
по частям дает тогда
«V, = 2» f D -A (to) 5 г dr. (ф
О
Наконец, работа внешних сил равна
а
6 V3 = 215 J qZwr dr,
о
или, если положить
Ф = уУ Qrdr, (е)
о
и ввести сюда эти значении:
8Гэ = 2тс У* -~(rtyt>wrdr.
о
Для 8®=0 на контуре находим
»V, = -2»y rfl(^}rdr. (!)
456 БОЛЬШИЕ ПРОГИБЫ ПЛАСТИНКИ [ГЛ. ХИГ
Условие 5(Vi+v2+ Уз) =0 приводит теперь к уравнению
а а
f[o~ ' *'+f Л'<] •« *r = 0. (Е)
о о
Нашим следующим шагом будет признать 'произвольными обе вариации 8w
и 8и. Мы придем тогда ко второму из дифференциальных уравнений (234),
для сил же Nr примем выражение (с) § 96 и урввиение (а) того же пара-
графа. Если мы предположим, что только это последнее уравнение равно-
весия должно быть выполнено, то нам потребуется еще удовлетворить
условию
/[D TF <Aw> -*—г44] 4 <8”> ""=°- <ь>
О
в котором f—функция напряжений, определяющая
44
и удовлетворяющая дифференциальному уравнению
4 ZA Л I Х2
2гЬг) °’
которое следует в свою очередь из уравнения (239). Интегрируя еще раз
выражение (h) но частям, получаем
/ [“ 14 (44)] =а «
о
Имея в виду использовать метод, описанный в § 81, выразим прогиб рядом
= С|?| (Г)+й2?2 (') + ... 4- aatn (Г). (i)
Точно так же, как и в выражении (211), каждая функции у. (г) должна удов-
летворять здесь двум граничным /условиям, предписанным для прогиба. Под-
ставляя выражение (1) либо в уравнение (h), либо в (к) и повторяя ход
рассуждения § 81, приходим к последовательности уравнений вида
а
Х~ОгГйГ’ .... и, (щ)
о
где
*-£>4<а»>-*-т-44- w
или же к группе уравнений
а
J Yftrdr, | = 1,2, .... п, (о)
о
где
— q-LjL№L dw\
v r dr \dr dr}
КРУГЛАЯ ПЛАСТИНКА, НАГРУЖЁННАЯ В ЦЕНТРЕ
459
Рассмотрим теперь защемленную пластинку, нагруженную сосредоточенной
силой Р в центре г =0. Ограничимся в выражении (1) одним первым чле-
ном ряда, приняв для прогиба формулу
»=.1Г.(1—?+25‘|п^)- <’>
представляющую точное решение для пластинки с малыми прогибами.
Из уравнения (j) получаем интегрированием
Допустим, что на контуре возможно свободное радиальное перемещение.
В таком случае постоянные интегрирования Ct и Са определятся из двух
условий. Первое, а именно
W),=e=o.
может быть переписано в виде

второе же
(S)
(О
Это последнее условие нужно добанить с тем, чтобы ограничить в центре
(г = 0) значение NT, определяемое из уравнения (i). Таким образом получаем
7 Stag
1 - 8 а* ’
С,=0.
Функция нагрузки в данном случае имеет вид
Р
У 2яг *
а выражения (q) и (г) дают
v_nB^_______,
x-d^F 1^7 +
bEwlh /г8 г 3 г8 г 7 г3 г 1г г\
^~(л8 ,й8 в У ,п2 а* * Wlrie ~К а ,п с)’
между тем как дается выражением в скобках (q). Подставляя это в урав-
нение (ш), приходим к соотношению
,6D»»+wH"”»-a—• Ю
Теперь из уравнений (101) получаем соответствующие прогибу (q) выраже-
ния для напряжений изгиба в крайнем волокне
460
БОЛЬШИЕ ПРОГИБЫ ПЛАСТИНКИ
[ГЛ XIII
Эти выражения дают бесконечно большие значения дак напряжений при
стремлении г к нулю. Полагая., однако, что нагрузка Р распределена равно-
мерно по площади круга малого радиуса г = с, мы получаем возможность
использовать здесь простое соотношение, установленное для пластинки
с малыми прогибами, между напряжениями аг в центре такой площади
и напряжениями cr = ciF произведенными в г = с той же нагрузкой Р,
приложенной & точке г = 0. Согласно Падай ') это соотношение имеет вид
tr п / . 3 Р
-2
Применил его к пластинке с большими прогибами, получим для центра
загруженной площади радиусом с приблизительно
Полученные результаты распространяются на круглую пластинку, защемлен-
Таблица 83
Данные для вычисления приближенных значений прогибов щ>
и ва пряжений в центрально нагруженной пластинке (v==C,3)
Условия опирания А в в центре . На контуре
° ", | Ь
Защемление Контур не- подвиж- ный 0,443 0,217 1,232 0,357 0,107 —2,198 —0,659
Контур по- движный 0,200 0,217 0,875 0 -0,250 —2,198 -0,659
Свободное овирание Контур не- подвиж- ный 1,430 0,552 0,895 0,488 0,147 0 0,606
Контур по- движный 0,272 0,552 0,407 0 -0,341 0 0,606
(У)
ную по неподвижному контуру. Вводя другие граничные условия, получаем
для wa уравнение
r Pai
являющееся обобщением уравнения (v). Постоянные А и В приводятся
в таблице 83. В той же таблице двны и некоторые коэффициенты *), необ-
ходимые для вычисления напряжений
(2)
) N a d a i A., Elastische Flatten, стр. 63, Берлин, 1925.
!) Все данные, содержащиеся в таблице 82, ваимствованы из книги
А. С. Вольмира, цит. выше, стр. 449.
1011 ОБЩИЕ УРАВНЕНИЯ ДЛЯ БОЛЬШИХ ПРОГИБОВ ПЛАСТИНКИ 461
действующих в срединной плоскости пластизки, а также напряжений изгиба
в крайних волокнах
Первые вычисляются с помощью выражений (1), последние из (101) для
моментов, причем акак — минус, если сжатие получается в мижнеи зоне ')-
101. Общие уравнения для больших прогибов пластинки. Для
исследования общего случая больших прогибов пластинки восполь-
зуемся уравнением (219). которое было выведено нами из рассмо-
трения, равновесия элемента пластинки в направлении, перпендику-
лярном к пластинке. Силы Nx, Ny и Nxy зависят теперь не только
от приложенных в плоскости ху внешних сил, но также и от дефор-
мации срединной плоскости пластинки в связи с изгибом. Предпо-
лагая, что объемных сил в плоскости ху не имеется и что нагрузка
действует перпендикулярно к пластинке, мы должны будем принять
Следующие уравнения равновесия элемента в плоскости ху:
dNx ' dNxv
"~дх~Ч дзГ“°-
6N*y а wy _.н
дх “I ду~
(а)
Третье уравнение, необходимое для определения трех величин Nx, Ny
и Nxy, получается из рассмотрения деформации в срединной поверх-
ности пластинки при ее изгибе. Соответствующие компоненты дефор-
мации [см. уравнения (221), (222) и (223)] будут
е — f)“- | 1 ( dwY
дх* 2\дх J ’
___ dv . 1 / dw\9
еу“" "ду ' ду ) •
___ ди . dv , dw dw
ду * дх дх ду
(Ь)
Взяв от этих выражений вторые производные и скомбинировав
получившиеся соотношения, можно показать, что
дгьл дггу d2jty / d2w у d2w, ds®
ду9 дх2 дхду \дхду] дхя дуя ‘
') Изгиб кольцевых пластинок с большими прогибаии освещается в рабо-
тах: Federhofer К., Csterr. Ingr.-Arch., т. 1, стр. 21, 1946; Reissner Е.,
Quart. Appl. Math., т. 10, стр. 167, 1952; т. 11, стр. 473, 1953. Большие про-
гибы вллиптической пластинки рассматриваются в статье Weil N- А.,
Newmark N. М., J. Appl. Meeh., т. 23, стр. 21, 1956.
462
БОЛЬШИЕ ПРОГИБЫ ПЛАСТИНКИ
(ГЛ XI11
Заменив компоненты деформации эквивалентными выражениями
е»=^-(ЛГу-7ЛГ*)’
U = -hGN^
«9
получим и третье уравнение относительно искомых Мх, и Nxy
Решение этих трех уравнений значительно упрощается введением
функции напряжений ’)• Очевидно, уравнения (а) тождественно
удовлетворяются, если положить
AS/? d*F d*F
N.^h^, N==h^-, Nxv=—h-^~t
* dy* У дх2 ХУ дхду
(е)
где F—функция x и у. Если эти выражения для сил подставить
в уравнения (d), то компоненты деформации напишутся следующим
образом.
1 / d*F d*F\
Е \ ду V дх*)'
fxy Е дхду '
Подставив эти выражения в уравнение (с), получим
. 2 d*F ау _ г/
дх* + дх* ду* — |Д дх ду) дх* ду* J*
Второе уравнение, необходимое для определения F и и>, получается
путем подстановки выражений (е) в уравнение (217). что дает
d*w । п d'w , d'w ______
дх* ' дх*ду*' ду* “
: _ ft {</ । d*F д*& . d*F d2w c d*F &w \
~~ D\h T ду» дх* дх* ду* дхду дхду)’
Уравнения (245) и (246) совместно с граничными условиями .опре-
деляют две функции Е н чи2). Зная функцию напряжений, мы с по-
*) См. Тимошенко С. ГС Теория упругости, стр. 36, М., ОНТИ,
1937, а также Timoechetilco S.. Goodie г J. N., Theory of elast icily,
2-е изд, стр. 26, 1951.
£) Эти два уравнения были выведены Карманом (Th, von KarmAn,
Encyklopadie der mathematlscheH Wissensc batten, i. IV, стр. 349 1910). Коппе
применял к изгибу пластинок общий метод нелинейной теории упругости
(Корре Е., Z. angew. Math. Meeh., т. 36, стр. 455, 1956).
tot] ОБЩИЕ УРАВНЕНИЯ ДЛЯ БОЛЬШИХ ПРОГИБОВ ПЛАСТИНКИ 463
мощью уравнений (е) можем определить напряжения в срединной
поверхности пластинки. Из функции w, определяющей изогнутую
поверхность пластинки, мы можем получить напряжения изгиба и ка-
сательные напряжения, пользуясь теми же формулами, что и в слу-
чае пластинки с малым прогибом [см. уравнения (101) и (102)]. Таким
образом, исследование больших прогибов пластинки сводится к ре-
шению двух нелинейных дифференциальных уравнений (245) и (246).
Решение этих уравнений в общем случае не получено. Некоторые
приближенные решения, однако, известны, и они будут рассмотрены
в следующем параграфе.
В частном случае изгиба пластинки по цилиндрической поверх-
ности1) с осью, параллельной осн у, уравнения (245) и (246) упро-
щаются. если заметить, что w в этом случае является функцией одного
лишь х и что производные d^F/dx2 и d^Ffd^ суть постоянные ве-
личины. Уравнение (245) тогда удовлетворяется тождественно, а урав-
нение (246) сводится к
й4я» __ д , Nx d*w
'дз? ~дх*’
Подобного рода задачи ^же разбирались подробно в главе I. В слу-
чае применения более удобных для круглых пластинок полярных
координат система уравнений (245) и (246) принимает вид
AAF =—-^-Z.(®). 4V),
f\\ia = ~L{rw, F)
где
. . р. d2w {1 dF , 1 d3F\ ,
Ь{чш. F)— dri dr -+- r2 des) +
/1 dw____1Л'\ dlp _9_LP d f* dw\
“Цг dr + e« dr* ) dr* dr tr dfl ) dr db)'
a L(tv, -w) определяется из предыдущего выражения после замены
в нем tv на F.
В случае весьма тонкой пластинки, прогибы которой могут во
много раз превысить ее толщину, сопротивлением пластинки изгибу
можно пренебречь, иными словами, жесткость пластинки при изгибе D
может быть прираанена нулю, и задача сведется тогда к нахождению
*) Более общая теория пластинок (в частности, консольных), изогнутых
без растяжения в развертывающуюся поверхность, излагается в работах:
Manefield Е. Н., Quart. J, Meeh. Appt. Math., т. 8, стр. 338, 1955;
А в h w е 11 D. О., Quart. J. Meeh. Appl. Math., t. 10, стр. 169, 1957. Явлевие
пограничного слоя, возникающего по свободным краям таких пластинок, рас-
сматривается в работе Fung Y. С., W11 г 1 с к W. Н., Quart J, Meeh.
Appl. Math., т. 8, стр. 191, 1955,
464 БОЛЬШИЕ ПРОГИБЫ ПЛАСТИНКИ [ГЛ XIII
прогиба гибкой мембраны. Уравнения (245) и (246) принимают в
этом случае вид*)
d*F . q d*F . d*F ________р.Гf d3 * s *w V da&> 1
дх* ' дх3 ду9 ' ду* дх9 ду9 Д’
Ч . d9F d9w д3Р d3w о д3Р d9w „
h ' ду9 дх9 ' дх3 ду9 дхду дхду '
(247)
Численное решение этой системы уравнений метолом конечных раз-
ностей было выполнено Генки2).
Энергетический метод представляет собой другое средство полу-
чения приближенного решения прогиба мембраны. Энергия деформа-
ции мембраны, обусловленная одним лишь растяжением ее срединной
поверхности, дается выражением
v=^f f dxdy =
Д4+еН2’вл+4<|-^«]‘,х‘,>’- (248>
Подставив выражения (179), (180) и (181) аместо компонентов де-
формации ех, еу, "[ху ПОЛУЧИМ
V=^//{(£)V£(£)‘+(£)V
, dv (dw^. 1 r/dw\2 . /Эк'У i2
"t'dy'VSyJ J •
«X Г du dv I dv (dw\2 , 1 ди /дт>У] ,
+ Idx dy—*~ 2 йу \dxj 2 dx J +
+M(£)+2 >£+(£) +
Применяя энергетический метод, мы должны в каждом частном слу-
чае принять надлежащие выражения для смещений и, v и •№. Эти
выражения должны, конечно, удовлетворять граничным условиям и
содержать несколько произвольных параметров, значения которых
подлежат определению методом виртуальных перемещений. Чтобы
иллюстрировать применение этого метода, рассмотрим равномерно на-
*) Эти уравнения были получены А. Фепплем (F б р р i A., Vorlesungen
fiber technische Mechanik, x. 5, стр. 132, 1907).
s) He nek у H., Z. angew. Math. Meeh., т. 1, стр. 81 и 423, 1921. См,
также Kaiser R., Z. angew. Math. Meeh., t. 16, стр. 73, 1936,
tCU ОБЩИЕ УРАВНЕНИЯ ДЛЯ БОЛЬШИХ ПРОГИБОВ ПЛАСТИНКИ 465
груженную квадратную мембрану ') со сторонами длиной 2а (рис. 207).
Смещения и. v и w должны в этом случае обращаться на контуре
в нуль. Сверх того, из симметрии можно заключить, что w — четная
функция от х и у, функции же и и v — нечетные функции от х и
соответственно от у. Все эти требования
удовлетворяются, если мы примем для сме-
щений следующие выражения:
» = ™<.cos 2JCOS2J-.
и == с sin ~~ cos ,
п 2а
V—C sin COS ,
а а
в которых содержатся два параметра та0 и с. Подставив эти выра-
жения в уравнение (243), получим при v = 0,25
Ей < 5n4 w4 17эт8 cwg /35л® 80U
7,5 ( 64 а» 6 а 4 \ 4 + 9И‘
О’)
Принцип виртуальных перемещений дает два следующих уравнения 2):
f (J)
Подставив выражение (h) вместо V, получим на уравнения (1)
е = 0,147—
а
а из уравнения (j)
™0= 0.8020^ (250)
Этот прогиб в центре несколько больше, чем значение (236), полученное
ранее для равномерно нагруженной круглой мембраны. Деформация
’) Вычисления для этого случая приводятся в книге «Сила и деформа-
ция» А--Л. Фёппля, т. 1, стр. 257, М, ГТТИ, 1933. См. также Hencky, работу,
указанную выше в сноске1) на стр. 464.
®) Правая часть уравнения (1) равна нулю, потому что изменение пара-
метра с приводит лишь к горизонтальным смещениям, вертикальная же на-
грузка не совершает работы-
466 БОЛЬШИЕ ПРОГИБЫ ПЛАСТИНКИ (ГЛ. XIII
растяжения в центре мембраны по вычислении из выражений (g) по-
лучается равной
т.С п /со ®0
е,= е„ =— = 0,462
х У а а2
соответствующее же растягивающее напряжение
0=1^-0.462-^=0.616^=0.396 ]^^^. (251)
Некоторые применения этих результатов к исследованию больших
прогибов тонкой пластинки будут показаны в следующем параграфе.
102. Большие прогибы равномерно нагруженной прямоугольной
пластинки. Начнем со случая пластинки с защемленными краями. Для полу-
чения приближенного решения задачи воспользуемся энергетическим мето-
дом ')• Полиак энергия V деформацвн пластинки получится путем сложения
энергии изгибе [выражение (117), стр. 106) с энергией, обусловленной дефор-
мацией срединной поверхности (выражение (249), стр. 464). Тогда принцип
виртуальных перемещений даст нам уравнение
BV—J* qwdxdy = 0, (а)
которое имеет силу при любых приращениях смещений о-, г и ®. Дифферен-
цируя приращение V, мы можем получить Из уравнения (а) систему уравнений
(24Й) и (246), точное решение которой неизвестно. Чтобы найти приближенное
решение нашей задачи, примем для-и, v к w три функции, удовлетворяющие
граничным условиям, налагаемым защемлением по контуру, и содержащие
несколько параметров, которые определятся из уравнения (а). Для прямоуголь-
ной пластинки со сторонами 2а и 24 и при расположении осей координат,
показанном на рис. 207, смещения запишутся в таком виде:
и = (а2—л8) (fi2—у2) х (Ьва Ь03у2+б20ла -J- б22х5уг), i
v = (a2—x*)(b2 — У2)у(с00+с02у24-сих!+сих2у8), | (b)
® = (а8 - (б8 - у2)8 (аи + а01у=+л^8). J
Первые два из этих выражений, представляющие собой смещения инов сре-
динной плоскости, суть нечетные функции относительно х и соответственно
относительно у, обращающиеся в нуль на контуре. Выражение для и>, являю-
щееся четной функцией относительно х и у, также обращается в нуль на
контуре, равно как и его первые производные. Таким образом, все граничные
условия, налагаемые защемлением по краям, удовлетворяются.
Выражений (Ь) содержат 11 параметров Ьоо,..., а10, подлежащих теперь
определению из уравнений (а), которое должно удовлетворяться мри произ-
*) Такое решение было явно Уэем (S. Way); см. «Труды V Международ-
ного конгресса но прикладной механике», Proc. V Intern. Congr. Appl, Meeh.,
Cambridge, Mass., 1938. О применении метода последовательных приближений
и об экспериментальных подтверждениях результатов см. Chien Wei-
Zang, Yeh Kai-Yuan, Proc. IX Intern. Congr. Appl. Meeh., Брюссель,
т. 8, стр. 403, 1957. Большие прогибы слегка изогнутой прямоугольной пла-
стинки при сжатии по краям исследуются в работе Syed Yusuff, J. Appl.
Meeh., t. 19, стр. 446, 1952,
tog РАВНОМЕРНО НАГРУЖЕННАЯ ПРЯМОУГОЛЬНАЯ ПЛАСТИНКА 467
вольном изменении каждого из этих параметров. Таким путем получаем 11
уравнений, из которых три имеют вид
(с)
а восемь остальных ‘):
Эти уравнений нелинейны относительно параметров атп, Ьтп и стп; в отли-
чие от того, как это было в случае малых прогибов (см. стр. 383), три урав-
нения вида (с) содержат члены третьей степени относительно параметров Оиш-
Уравнения вида (d) линейны относительно параметров и Стп и квадратны
Рис. 208.
относительно параметров Решение начинаем с уравнений (d), из которых
определяем параметры bmit и в функции атп, а затем вносим эти выра-
жения в уравнения (с). Таким путем мы придем к трем уравнениям третьей
степени, в которые будут входить лишь одни параметры атП. Для этих урав-
нений можно будет затем в каждом частном случае получить численные ре-
шения методом последовательных приближений.
Численные значения всех параметров были вычислены для различных
интенсивностей нагрузки § и различных форм пластинки, именно для Ь/а— 1,
f/e = 2/3 и bla = \$, в предположении, что v —0,3.
Из выражения для те видно, что если константа ат нам известна, то мы
сразу же можем получить прогиб пластинки в центре. Эти прогибы представ-
лены грнфически на рис. 208, где даны кривые Wmax/Л в функции qb*[Dh. Для
сравнения на графике нанесены также прямые линии, представляющие со-
бой прогибы, вычисленные на основе теории малых прогибов. Кроме того,
здесь имеется еще кривая для 6/<z=0, дающая значения прогибов для бес-
конечно длинной пластинки, вычисление которых произведено по способу,
') Появление нулей в правых частях этих уравнений обусловлено тем,
чтоприиаменениях и или v поперечная нагрузка ие совершает никакой работы.
468
БОЛЬШИЕ ПРОГИБЫ ПЛАСТИНКИ
1ГЛ, МП
изложенному в § 3 (см. стр. 23). Можно заметить, что прогибы пластинки
2
конечных размеров с bja < -g весьма близки к значениям, полученным для
бесконечно длинной пластинки.
Зная из выражений (Ь) смещения, мы можем из уравнений (Ь) предыду-
щего параграфа вычислить деформацию срединной плоскости и соответству-
ищи*; напряжения мем-
браны. Напряжения из-
гиба находятся после
этого из уравнений (101)
и (102) для изгибающего
и крутящего моментов.
Складывая напряжении
мембраны и напряжении
изгиба, получаем полные
напряжения. Максималь-
ные значения этих напря-
жений получаются в се-
рединах длинных сторон
пластинки. Они даны в
графической форме на
рис. 209. Для сравнении
здесь нанесены также
прямые линии, представ-
ляющие напряжения, по-
лученные на основе тео-
рии малых прогибов, и
кривая bla — Ь для на-
пряжений в бесконечно
длинной пластинке. Пред-
ставляется естественным
ожидать, что полное на-
пряжение при bja^=Q
должно быть больше, чем
при Ыа = Vs двя любого
значении нагрузки. Мы
ввдим, однако, что кри-
вая для лежит
ниже кривых для b/а— Чя
и b/а = 2/з- Это, вероят-
но, результат приближен-
ности решении энергети-
Рис. 209.
ческим методом, объясняющийся тем, что мы пользуемся здесь конечным
числом постоянных. Он указывает на то, что в вычисленных напряжениях
содержится погрешность в стерону запаса прочности, т. е. что они слишком
велики. Погрешность для bja —l!s составляет, по-видимому, около 10%.
Энергетический метод применим также и в случае больших прогибов
свободно опертой прямоугольной пластинки. Однако, как это можно заметить
из предшествующего исследования, проведенного для случая защемления
по контуру, его использование сопряжено с большим объемом вычислитель-
ной работы. Приближенное решение для свободно опертой прямоугольной
пластинки может быть получено простым способом, состоящим из сочетания
известных решений, указанных теорией малых прогибов и теорией мембраны
') Этот метод рекомендуется в книге Фёппля «Сила и деформация», циг.
на стр. 465.
102] РАВНОМЕРНО НАГРУЖЁННАЯ ПРЯМОУГОЛЬНАЯ ПЛАСТИНКА 459
Проиллюстрируем теперь применение этого метода на простом примере квад-
ратной пластинки. Положим, что нагрузку д можно разложить на две состав-
ляющие 1?| и ft таким образом, что часть будет уравновешиваться напря-
жениями изгиба и касательными напряжениями, вычисленными но теории
малых прогибов, часть же будет уравновешиваться напряжениями мембраны.
Прогиб в центре квадратной пластинки со сторонами 2а но вычислении с по-
мощью теории малых прогибов будет равен')
«.-0,730^.
Отсюда определяем
0,730а4’
Рассматривая пластинку как мембрану и пользуясь формулой (250), получим
<»„=ода> |У~
откуда
Прогиб w0 определится теперь из уравнения
wcEft3 WpE/z
« - 'I, +«. - цтздг + JJJJJ.
которое дает
*==4Н1,37+1,94'лп- (252>
После того кля из этого уравнения будет вычислен прогиб ш>0, а из уравне-
ний (е) и (f) найдутся нагрузки gt и #2, вычисляются, наконец, и соответст-
вующие напряжения, причем для qt пользуются теорией малых прогибов
(см. § 30), а для §2 уравнением (251). Полное напряжение найдется как
сумма напряжений, обусловленных нагрузками qx и qt.
Другой приближенный метод, представляющий практический интерес,
Основывается на соображениях, вытекающих из свойств выражения (248) для
энергии деформации растяжения срединной поверхности пластинки«). Этому
выражению можно придать вид
(й
где
* = ех+еу. «i = ex8y —-4 1*у-
Подобное же выражение может быть записано и в полярных координатах,
причем в случае осеной симметрии е2 = е,. е/. Для получения полной энергии
>) Коэффициент 0,730 возник в результате умножения приведенного
в таблице 8 числа 0,00406 на 16 и на 12(1 —Vs) = 11,25.
я) В е г g е г Н. М., J. Appf. Meeh., т. 22, стр. 465, 1955.
470
БОЛЬШИЕ ПРОГИБЫ ПЛАСТИНКИ
ГГЛ хш
деформации пластинки к величине (g) следует, разумеется, добавить еще
энергию изгиба. Однако проверка точных решений, подобных приведенным
в § 98, приводит к заключению, что члены дифференциальных уравнений,
связанные с присутствием еа в выражении (g), не оказывают большого влия-
нии иа окончательный результат.
Исходя из гипотезы, что членом, содержащим е3, практически допустимо
пренебречь в сравнении с е’, приходим к дифференциальному уравнению
изогнутой пластинки
ДЛш— asAw^=-^-, (h)
в котором величина
. 12 Г ди Sv . 1 / Sw V 1 / Sw ут
° i^idx+~3y + 2 IdxJ + 2 VdyJ J’
как обнаруживается, представляет собой постоянную. Из уравнений (Ь) § 101
следует, что удлинение ^ = £х+«у в таком случае сохраняет постоянство
для всей срединной поверхности изогнутой пластинки. В этом упрощенном
виде рассматриваемая нами задача приобретает таким образом черты близ-
кого сходства с задачами, которым была посвящена глава XII.
Для круглой пластинки под симметричной нагрузкой уравнение (0 пре-
образуется в
. 12 Г ди и 1 (dw\3l
а ~ № 1г? + г + 2 (dr) Г ®
В этом последнем случае постоянные интегрирования уравнения (h) вместе
с постоянной (с) позволяют выполнить все условия, предписанные для кон-
тура пластинки. Однако в целях более точного вычисления мембранных ва-
пряжений Nr, N( из прогибов вместо соотношения (j) следовало бы восполь-
зоваться первым из уравнений (231).
Вычисление мембранных вапряжений в прямоугольных пластинках, как
показывает практика, приводит к сравнительно более громоздким формулам.
И все же в целом процедура протекаэт при этом много проще, чем опери-
рование точными уравнеийяни (245) и (246), а численные результаты, в исследо-
ванных до сего времени случаях, обнаруживают точность, удовлетворительную
для технической практики. Тем пе менее в применениях этого метода пред-
ставляется уместной некоторая осторожность, поскольку заложенная в его
основе гипотеза не поддается непосредственной механической интерпретации.
103. Большие прогибы прямоугольной свободно опертой пластинки.
К точному решению1) задачи, исследованной приближенно в предыдущем
параграфе, можно подойти, отправляясь от системы уравнения (245) и (246).
') Оно найдено С. Леви: Levy S., МАСА Tecbn. Note, 846, 1942 и Proc,
Symposia Appl- Math., т. 1, стр. 197, 1949. О применении этого метода к за-
щемленным пластинкам см. последнюю из указанных работ, а также NACA
Techa. Notes 847 и 852, 1942; применение и слабо изогнутой пластинке при
сжатии nb краям см. Coan J. М., J. Appl Meeh., т. 18, стр. 143, 1951, М.
Стнппес применил метод Ритца к пластинке, опертой по двум противополож-
ным краям, в которой мембранные силы по контуру обращаются н нуль:
см. Proc. 1. Natl. Congr. Appl. Meeh., Chicago, Чикаго, 1952, стр1. 339.
ЮЗ] ПРЯМОУГОЛЬНАЯ СВОБОДНО ОПЕРТАЯ ПЛАСТИНКА 471
Представим прогиб пластники (рис. 59) в форме, предложенной Навье,
”= X 2, “'»»"«„ ь~- <’)
Граничные условия, распростравяющиеся на прогибы и изгибающие моменты,
удовлетворяются при этом некоторыми, пока неизвестными значениями ко-
эффициентов wmn. Заданное поперечное давление можно разложить в двой-
ной ряд Фурье
V V - - тт-х - пку
9= 2j 2j 9mnsin (b)
m-l I
Функция напряжений Эри получает при этом выражение
РхУ* РуЯ® VI VI „пу
f = -»r + TS-+ Ъ h /«»»» — “•-£-. (с)
иг = 0 л = О
где через Рх и Ру обозначена полная растягивающая нагрузка, приложенная
соответственно по сторонам л*=0 и у=0. Вводя выражения (а) и (с)
в уравнение (245), приходим к следующему соотношению между коэффициен-
тами обоих рядов:
/"” = Hi^bja+^albf 2 ьг„т^г,^Р,- W)
В сумму входят все произведения, для которых г ±р = т и s ± д = п.
Коэффициенты brspq определятся выражением
trspq == ^rspq ± (rV 4- s'p*), (е)
в котором из двух анляов положительный берется в тех случаях, когда
или г4-р = Ю1 и $—9 = я или же г—p — tn, a s-|-g = n, отрицатель-
ный же—в других случаях. Например, для ияадратной пластники (в=й)
имеем
Е
/за = 1600 (— 4№1.1®1,з +36wi,1ws^4-36wi.1wi,s-|-64wi,s!w1,6.,.).
Остается установить связь между прогибами, функцией напряжений и попе-
речной нагрузкой. Вводя выражения (а), (Ь) и (с) в уравнение (245), прихо-
дим к уравнению
г, </'«*, «!V . „ т2»2 . „ и2л2 .
Чтп~Dwjmnr. \-PyWmn-^ Ь
“Ь 4в362 ^4 Zrspqf rs®pq- (0
Суммирование охватывает на этот раз все произведения, для которых г ± р= т
и S ± (7 — п, коэффициенты же получают значения
Crspq = х {rqi^spy, если г Ф О и s Ф 0, (g)
или Же вдвое большие, если эти условия принимают противоположный смысл.
Первый знак положителен, если либо г — р — т, либо s—q = n (во не одно-
временно), и отрицателен во всех иных случаях. Второй знак положителен,
Wi
БОЛЬШИЕ ПРОГИБЫ ПЛАСТИНКИ
(ГЛ. XIII
если г-}-р = т и s — q^n или же г—р — tn ид-|-9 = л, и отрицателен
в иных условиях. Например,
дхл = £>да1,5И-(^+Ау + Рж№м-^ + +
~Ь 4д2$Г(—®Лдв,ы—8/оЛИ'х,вЧ- 100/2,(t»a>1 •—64/2,2a.'8li +
В самолетостроении пластинки, входящие в состая конструкций, жестко
обрамляются рамой так, что края их при деформировании сохраняют свою
прямолинейность ’) При этом удлинение пластинки, скажем, в направлении х,
не должно зависеть от у. На основании уравнений (Ь) и (0 § 101 его ава-
Вводя сюда ряды (а) и (с), получаем
Р^а
bhE
^у *8 У У 2 а
~hE “ 8а 2^
(1)
Ч Решение, принадлежащее Кайзеру (цит. на стр. 464), сеободио
от этого ограничительного условия.
473
1031 ПРЯМОУГОЛЬНАЯ СВОБОДНО ОПЕРТАЯ ПЛАСТИНКА
I. е. выражение, действительно не содержащее у. Аналогично
п . п , со со
. РуЬ 31 V V 2 S
ahE hE 86 2^ nwmn-
Что касается граничных условий, то здесь опять следует иметь в виду
два случая:
1) Все края неподвижны. Тогда =1у=0, и уравнения (I) и (j) поз-
волят нам выразить Рх и Ру через коэффициенты wmn.
2) Внешние силы в плоскости пластинки по контуру отсутствуют.
Это условие формулируется просто: Рх = Ру=О.
Далее, вычисляется несколько членов в рядах (а) и (Ь), и соответ-
ствующие выражения (d) вводятся в уравнение (f). Таким путем для любого
принятого нами чнела неизвестных коэффициентов &тп мы нолучим такоэ же
число кубических уравнений, решив их, вычислим коэффициенты (d) и таким
путей, пользуясь рядами (а) и (с), получаем все данные о напряжениях и
деформациях в пластинке. О точности решения можно судить, наблюдая
изменения численных результатов по мере постепенного возрастания числа
коэффициентов wnn, вводимых в процесс вычисления. Некоторые получен-
ные таким образом данные, относительно изгибных и мембранных напряже-
ний для равномерно загруженной квадратной пластинки с неподвижными
краями приводятся на рис. 210 и 211.
ГЛАВА XfV
ДЕФОРМАЦИЯ ОБОЛОЧКИ БЕЗ ИЗГИБА
Рис- 212.
104. Определения и обозначения. В нижеследующем исследо-
вании деформаций и напряжений в оболочке мы будем пользоваться
той же системой обозначений, что и в нашем изложении теории
пластинки. Толщину оболочки будем обозначать через h, причем
эта величина всегда будет рас-
сматриваться нами как малая
в сравнении с другими изме-
рениями оболочки и ее радиу-
сами кривизны. Поверхность,
делящая пополам толщину пла-
стинки, называется срединной
поверхностью. Задавая фор-
му срединной поверхности и
толщину оболочки в каждой
ее точке, мы исчерпывающим
образом определяем оболочку
в геометрическом отношении.
Чтобы исследовать внутрен-
ние силы, вырежем из обо-
лочки бесконечно малый эле-
мент, образованный двумя па-
рами смежных плоскостей,
нормальных к срединной по-
верхности оболочки и содер-
жащих ее главные кривизны
(рис. 212, а). Направим оси
координат к и у, как пока-
в точке О к линиям главной
срединной поверхности. Гл^в-
XZ и yz, обо-
вано на чертеже, по касательным
кривизны, а ось z нормально к
ные радиусы кривизны, лежащие в плоскостях
значим соответственно через гх и гу. Напряжения, действующие
в плоских гранях элемента, разложим по направлениям координатных
ОПРЕДЕЛЕНИЯ И ОБОЗНАЧЕНИЯ
475
осей и для компонентов напряжений сохраним ранее принятые нами
обозначения <зх, оу и тжу—ххг. В этих обозначениях1) резу-
льтирующие силы на единицу длины нормальных сечений, показан-
ных на рис. 212, Ь, будут
(Ь)
Малые величины z[rx и z[ry появляются в выражениях (я), (Ь), (с)
вследствие того, что боковые грани показанного на рис. 212. а эле-
мента в связи с кривизной оболочки имеют трапецеидальную форму.
В результате этого силы сдвига Nxy и А7ух вообще уже не равны
друг другу, хотя равенство сжу=тух и продолжает при этом оста-
ваться в силе. В нашем дальнейшем изложении мы, как уже сказано,
будем предполагать, что толщина h весьма мала в сравнении с. ра-
диусами rx, гу. -и на этом основании в выражениях (а), (Ь) и (с)
будем всегда отбрасывать члены z(rx и z[ry. Тогда A7jry = A7JUC, и
результирующие силы будут определяться теми же самыми выра-
жениями, что и в случае пластинки (см. § 21).
Изгибающий и крутящий моменты на едииину длины нормальных
сечений будут даны выражениями
*) Для поверхности вращения, положение элемента которой определяется
углами С и у (см. рис. 213), в обозначениях напряжений, результирующих
сил и моментов вместо индексов х и у применяются индексы о и <f,
476
ДЕФОРМАЦИЯ ОБОЛОЧКИ БЕЗ ИЗГИБА
ггл. xiv
причем правило, с помощью которого определяются направления мо-
ментов, остается здесь тем же, что и в случае пластинки. В этих фор-
мулах мы будем также пренебрегать и малыми величинами z/rx и z[ry.
обязанными своим присутствием кривизне оболочки, и пользоваться
для моментов теми же выражениями, что и в исследовании пластинки.
При исследовании нагиба оболочки мы предполагаем, что линей-
ные элементы ее, нормальные к ее срединной поверхности, подобные,
например, элементам AD и ВС (рис. 212.' а), остаются прямолиней-
ными и нормальными к деформированной срединной поверхности
оболочни. Начнем с простого случая, когда боковые грани эле-
мента ABCD поворачиваются при изгибе лишь относительно линий
пересечения их со срединной поверхностью. Если г* и г'— значения,
принимаемые радиусами кривизны после деформации, то относи-
тельные удлинения тонкой полоски, находящейся на расстоянии z от
срединной поверхности (рис. 212. в), будут равны
Если кроме поворота боковые грани элемента будут испытывать
еще и параллельное самим себе смещение вследствие растяжения
срединной поверхности и если соответствующие относительные уд-
линения срединной поверхности в направлениях х к у обозначить
через £j и соответственно е2, то удлинение ех рассматриваемой по-
лоски, как это изствует из рис. 212, с, будет равно
Произведя подстановки
получим
Z, = ds (1 — y-j, /2=rfs(l -Hl) (1 —
(?)
Аналогичное выражение можно получить и для удлинения еу. Пре-
небрегая по малости величинами z/rx и z/ry, будем пренебрегать
также и влиянием удлинений ех и е2 на кривизну1). Тогда вместо
') Аналогичные упрощении делаются обычно и в теории изгиба тонкого
кривого бруса. Можно показать, что такой прием является допустимым,
если толщина Л поперечного сечения мала в сравнении с радиусом г, т. е.
если, например, Л/г <0,1. См. книгу Тимощенко С. П., Сопротивление
материалов, т. 2, стр. S8, М., 1946.
1041
ОПРЕДЕЛЕНИЯ И ОБОЗНАЧЕНИЯ
477
выражений, подобных выражению (g), получим
8, = е2—2(4—т-)=е2—хл
где Хл и X? обозначают изменения кривизн. Пользуясь этими выра-
жениями для компонентов деформации полоски и положив, что нор-
мальные напряжении между полосками отсутствуют (а2=0), мы най-
дем следующие выражения для компонентов напряжений:
°* = 1'1 + “2 -2 fc + V,H.
°, = [«2 + ~2<Х, + V.,)!
Подставив эти выражения в уравнения (а) и (d) и пренебрегая ма-
лыми в сравнении с единицей величинами z[rx и получим
Л,Х=Т^Г<е1 + ','2)- N,= («2+ •«!) I (253)
M,=—Ofc + 'Xy). M,=—C(z, + 4C,>< I
где D имеет то же самое значение, что и в теории пластинки [см.
уравнение (3)[, и обозначает жесткость оболочки при изгибе.
Более общий случай деформации элемента, показанного на рис. 212,
получится, если мы предположим, что кроме нормальных навряжений
по боковым граням элемента действуют также и касательные напря-
жения. Обозначая (рис. 212, о) деформацию сдвига в срединной по-
верхности оболочки через поворот же ребра ВС по отношению
к ребру Oz вокруг оси х через и поступая, как и в случае
пластинки [см. уравнение (42)[, найдем
—2'Z г, > °-
Подставив это в уравнения (Ь) и (е) и произведя указанные нами
выше упрощения, получим
N =ц — . 1
-У "у* 2(1+.)- I (254)
Л„=О(1—,)ь,. J
Допустив, таким образом, что при ингибе оболочки линейные ее эле-
менты, нормальные к срединной поверхности, остаются прямолиней-
ными и нормальными к деформированной срединной поверхности,
мы получаем возможность выразить результирующие силы на
478 ДЕФОРМАЦИЯ ОБОЛОЧКИ БЕЗ ИЗГИБА 1ГЛ, XIV
единицу длины А7Л, Ny и Nxy, а также моменты Мх, Му и Мху в
функции от шести величин: трех компонентов деформации et, ez и f
срединной поверхности оболочки и трех величин и пред-
ставляющих собой изменения кривизн и относительное кручение
срединной поверхности.
Во многих задачах, требующих определения деформации оболочки,
напряжениями изгиба можно пренебречь, принимая обязательно во
внимание лишь те напряжения, которые обусловлены деформацией
в ее срединной поверхности. Возьмем в качестве примера тонкостен-
ный сферический резервуар, подвергающийся действию равномерно
распределенного внутреннего давления, нормального к поверхности
оболочки. Под этим давлением срединная поверхность оболочки под-
вергается равномерной деформации, и так как толщина оболочки
мала, то мы будем вправе предположить здесь, что растягивающие
напряжения распределены по ее толщине разномерно. Аналогичный
пример представляет собой тонкостенный резервуар в форме круглого
цилиндра, в котором газ или жидкость сжаты посредством поршня,
свободно движущегося по оси цилиндра. Кольцевые напряжения, воз-
никающие в цилиндрической оболочке под действием равномерного
внутреннего давления, распределяются по толщине оболочки равно-
мерно. Если торцы цилиндра защемлены, то оболочка не может сво-
бодно расширяться, и под действием внутреннего давления около
ее торцов может произойти некоторый изгиб. Более детальное иссле-
дование показывает, однако (см. § 114), что этот изгиб носит местный
характер и что часть..оболочки на определенном расстоянии от тор-
цов продолжает оставаться цилиндрической и испытывает лишь де-
формацию в срединной поверхности .без заметного изгиба.
Если условия таковы, что изгибом оболочки допустимо пренебречь,
то задача вычисления напряжений значительно упрощается, так как
результирующие моменты (d) и (е), равно как и результирующие
перерезывающие силы (с), при этом исчезают. Единственными неиз-
вестными останутся тогда три величины Ny и Nxy=NyX. которые
могут быть определены из условий равновесия элемента, подобного
показанному на рис. 212. Если, таким обризом, все действующие ия
оболочку силы нам известны, то вадача становится статически опре-
делимой, Получаемые при этом силы Nx. Ny и Nxy называются
иногда мем<Иранными силами, а теория оболочки, основанная на пре-
небрежении напряжениями изгиба, навивается мембранной теорией.
Приложения этой теории к различным частным случаям излагаются
в последующих параграфах этой главы.
105. Оболочка вращения, нагруженная симметрично относи-
тельно оси. Оболочки, имеющие форму поверхностей вращения,
находят широкое применение во всякого рода резервуарах, цистернах.
ОБОЛОЧКА ВРАЩЕНИЯ. НАГРУЖЕННАЯ СИММЕТРИЧНО
479
1051
бассейнах и куполах. Поверхность вращения получается в результате
вращения плоской кривой относительно оси, лежащей в плоскости
этой кривой. Эта кривая называется меридианом, а ее плоскость —
меридианной плоскостью. Элемент оболочки вырезается из нее,
как показано на рис. 213, а, двумя смежными меридианами и двумя
параллельными кругами. Положение меридиана определяется углом 6,
отсчитываемым от некоторой задан-
ной меридианной плоскости; по-
ложение параллельного круга опре-
деляется углом который нормаль
к поверхности образует с осью
вращения. Меридианная плоскость
м плоскость, перпендикулярная к
меридиану, являются плоскостями
главных кривизн в некоторой точке
поверхности вращения, а соответ-
ствующие радиусы кривизны обо-
значаются через г, и г2; радиус
параллельного круга обозначается
через г0. Таким образом, длины
встречающихся в точке О сторон эле-
мента будут, как показано на черте-
же, равны r\ity и r0£6 = r2siH(pd6.
Тогда площадь. поверхности эле-
мента выразится произведением
r^sin^dcp d6.
Из постулированной нами симмет-
рии нагрузки и деформации можно
заключить, что перерезывающих
сил на гранях элемента не будет,
приходящиеся же на единицу длины
как показано на чертеже, через и
щей в меридианной плоскости внешней нагрузки разлагается на две
составляющие У и Z, параллельные координатным осям. Умножая
эти составляющие на площадь rtr2sincprfcf>d6, получим составляющие
приложенной к элементу внешней нагрузки.
Чтобы написать ураянения равновесия элемента, начнем с сил,
действующих в направлении касательной к меридиану. На верхнюю
сторону (грань) элемента действует сила
W/o йе = Л/сг2 sin Т rie- (а)
Соответствующая сила на нижней стороне элемента будет равна
(к • dr° ’ ' "*
нормальные силы обозначены,
/V6. Интенсивность действую-
(Ь)
480 ДЕФОРМАЦИЯ ОБОЛОЧКИ ББз ИЗГИБА [ГЛ XlV
Из выражений (а) и (Ь), пренебрегая малой величиной второго по-
рядка, находим, что результирующая в направлении у равна
dr, dN. d
<с>
Компонент внешней силы в том же направлении равен
Yr^dfdfi. (d)
Силы, действующие на боковые стороны элемента, равны Nlrid^.
а их равнодействующая в направлении радиуса параллельного круга
равна NirldtfdG. Компонент этой силы в направлении у (рнс, 213, Ь)
равен
— N6r, cos <р dydb. (е)
Суммируя силы (с), (d) и (е), получаем уравнение равновесия в на-
правлении касательной к меридиану
-^-(N/o) —^вг1с<»<?+КГ1Г()==О. (1)
Второе уравнение равновесия получается суммированием проекций
Рис. 214.
действующие по верхней и нижней
сторонам элемента, имеют резуль-
тирующую в направлении г, равную
К/о-ЯЛр. fe)
Силы, действующие по боковым
сторонам элемента с равнодейст-
вующей N^dffdb в направлении
радиуса параллельного круга, дают
компонент в направлении z. равный
sin <р dq (h)
Компонент приложенной к элементу внешней нагрузки в том же
направлении равен
Zr\rodftdy.
0)
Складывая силы (g), (h) и (i), получим второе уравнение равновесии
Vo+N^iSin<P+^Vo=O- (j)
Если нам даны радиусы г0 и rlt а также компоненты Y и Z интен--
сивности внешней нагрувки, то с помощью уравнений (f) и (j) мы
можем в каждом частном случае вычислить силы и
Вместо рассмотрения равновесия элемента мы можем (рис. 214)
рассмотреть равновесие части оболочки, расположенной над парад-
106] ЧАСТНЫЕ СЛУЧАЙ ОБОЛОЧКИ ВРАЩЕНИЯ 481
дельным кругом, определяемым углом <f. Если приходящуюся на эту
часть оболочки результирующую полной нагрузки обозначить
через /?, то уравнение равновесия будет
sin ср+/? = О. (255)
Этим уравнением можно пользоваться вместо дифференциального
уравнения (f), из которого оно получается посредством интегриро-
вания. Если уравнение (j) разделить на произведение то оно
напишется в виде
Мы видим, что если определить силу Nv из уравнения (255), то
из уравнения (256) можно будет вычислить силу Таким образом,
задача о мембранных напряжениях легко решается в каждом частном
случае. Некоторые приложения этих уравнений будут разобраны
в следующем параграфе.
106. Частные случаи оболочки вращения’). Сферический
купол. Положим, что сферическая оболочка (рис. 215, а) подвер-
гается действию собственного веса, величина которого на единицу
площади постоянна и равна q. Обозначив радиус сферы через а, будем
иметь r0 = csincp н
v
fi = 2~ J* агд sin ср dcp= 2iro2^ (1 — cos ср),
о
Тогда уравнения (255) и (256) нам дадут
кт ____________________ag(l— cosy) ______ ад
v sin® f 1 + cos '
N.. — ag(-j-;-1------cos у).
’ v\14-cos<p T/
(257)
Мы видим, что силы получаются всегда отрицательными. Эго
значит. что по меридианам имеет место сжатие, которое возрастает
по мере увеличения угла ср. Для ср»=О имеем А^ =— для
tf = Kjz сила возрастает вдвое: N? =— aq. Силы Nb для малых
углов ср тоже отрицательны. Если )-_|_^COSy—cos ср = 0, т. е. для
*) Подобного рода примеры можно найти в книге Форххаймера (F о г ch-
helm е г Р., Die Berechnung ebener iind gekrDinmier BehalterhOden, 3-е изд.,
Берлин, 1931); См. также статью Геккелера (I. W. Oeckeler) в Handbuch
der Physik, т. 6, Берлин, 1928.
16 с. П. Тимошенко, С ВойновскиЯ Кригер
482
деформация оболочки без изгиба
[ГЛ XIV
Ч>=51°50', обращается в нуль и с последующим увеличением <р
становится положительной. Это указывает на то, что для <р, превы-
шающих 51°50/. в направлении, перпендикулярном к меридианам.
имеются растягивающие напряже-
ния.
Вычисленные по уравнению
(257) напряжения представляют
собой весьма точные *) значения
напряжений, фактически имеющих
место в оболочке, если опоры
ее такого рода, что реакции
направлены по касательным к ме-
ридианам (рис. 215, а). Обычно
конструкция бывает такова, что
на купол передаются лишь верти-
кальные реакции опор, горизон-
тальные же компоненты сил N„
воспринимаются опорным коль-
цом (рис. 215, Ь), которое под-
вергается равномерному окруж-
ному (тангенциальному) растяже-
нию. Так как деформация растя-
жения кольца обычно отличается
от деформации, имеющей место
в параллельном круге оболочки и
определяемой выражениями (257),
то около опорного, кольца будет
происходить некоторое изгибание
оболочки. Исследование этого
изгиба * 2) показывает, что в случае
тонкой оболочки он имеет ясно
выраженный местный характер и что на определенном расстоянии от
опорного кольца уравнения (257) продолжают с удовлетворитель-
ной точностью представлять распределение напряжений в оболочке.
') Малые напряжения изгиба, обусловленные деформацией срединной
поверхности, исследуются в raae^XVI.
2) См. § 131. Следует, однако, заметить, что в случае отрицательной или
нулевой кривизны (Г1Г8<0) изгибные напряжения, обусловленные краевым
эффектом, не обязательно ограничиваются краевой зоной оболочки. См.,
например, Ф люгге В., Статика и динамика оболочек, М., Госстройиздат,
1961. Ограничительный характер мембранной теории оболочки подробно
обсуждается А. Д Гольденвейзером в его книге «Теория упругих тонких
оболочек», стр. 423, Москва, 1953. Вопрос о совместимости мембранного
напряженного состояния под заданной нагрузкой с заданными граничными
условиями освещается также у Белендорфа (Behlendorff- Е., Z. angew.
Math. Meeh., т. 36, стр. 399, 1956).
10в] ЧАСТНЫЕ СЛУЧАИ ОБОЛОЧКИ ВРАЩЕНИЯ 483
Весьма часто верхняя часть сферического купола удаляется, как
показано ня рис. 215, с, и для поддержания вышерасположенных
конструкций укладывается верхнее укрепляющее кольцо жесткости.
Если угол, соответствующий верхнему отверстию купола, равен 2<р0.
а вертикальная нагрузка, приходящаяся на единицу длины этого
верхнего кольца, равна Р. то результирующая R, соответствующая
углу ср, выразится суммой
R = 2-k J* а2д sin <fd<f-}-2^Pa sln (pg,
Va
и тогда из уравнений .(255) и (256) мы найдем
А/ _ аа cos То — c°s ? . р sin Vo
v? ’ sin®» sin®» '
, v (258)
. , / COS «0 — COS W „ X I r) sin »0
N-. — aq I--------------cos ф I I--P- . B .
* * ( sin2 у V sin®?
В качестве другого примера сферической оболочки рассмотрим
сферический резервуар, опертый по параллельному кругу АА
Рис. 216.
(рис. 216) и наполненный жидкостью удельного веса у. Внутреннее
давление для некоторого угла у будет дано выражением1)
p = ~Z = ia(1 —cos ср).
Равнодействующая 7? этого давления для части оболочки, опреде-
ленной углом ср, выразится интегралом
t
R;=— 2ка2 l’ 7«(1 — cos ср) sin <p cos <p.d<p =
о
=—ycos!?(i —|«вч)].
') Равномерное давление, вызывающее в сферической оболочке равно-
мерное растяжение, без труда может быть наложено на это давление.
16*
484
ДЕФОРМАЦИЯ ОБОЛОЧКИ БЕЗ ИЗГИБА
(ГЛ. XIV
Подставляя это значение в уравнение (255), получим
из уравнения же (256) найдем, что
N=J*(5-6cos?+-|^’-).
V 6 \ 1 1 - COS If f
(260)
Уравнения (259) и (260) справедливы для <?<%- При вычислении
равнодействующей R для больших значений <р, т. е. для нижней
части резервуара, мы должны принять во внимание не только
внутреннее давление, но также и сумму вертикальных реакций
по кольцу ЛЛ. Эта сумма равна, очевидно, полному весу жидкости
4кс3у/3. Поэтому
R ~«а37 — 2iw?3y соб2 (1 —ycos ?)] •
Подставляя в уравнение (255), получим
,, /е । 2 cos2у \
^тг^ + т^^У- <261>
а из уравнения (256)
„I=4(1-Scos^^). (262)
Сразнивая выражения (259) и (261), мы видим, что на опорном
кольце Л Л силы изменяются сиачком на величину, разную
2-jc2/3sin290. Та же самая величина получится у нас при рассмо-
трении вертикальной реакции, приходящейся на единицу длины
кольца А А. и разложении ее на два компонента (рис. 216, Ь): один
по направлению касательной к меридиану, другой же — в горизон-
тальном направлении. Первый из этих компонентов рзвен указанному
выше скачкообразному изменению величины N?. горизонтальный же
компонент представляет собой резкцию в опорном кольце, вызываю-
щую в нем равномерное сжатие. Этого сжатия можно избежать, если
вместо изображенных на рис. 216, в вертикальных опорных стоек
поставить раскосы в направлениях, касательных к меридианам. Как
можно заметить из выражений (260) и (262). силы также испы-
тывают скачкообразное изменение на круге ЛЛ. Это свидетельствует
о том. что при переходе с одной стороны параллельного круга А А
на другую скачкообразному изменению подвергается и окружное
растяжение. Таким образом, мембранная теория не удовлетворяет
условию непрерывности на круге ЛЛ, и мы вправе ожидать, что
близ опорного кольца должен произойти некоторый местный изгиб.
ice!
ЧАСТНЫЕ СЛУЧАИ ОБОЛОЧКИ ВРАЩЕНИЯ
485
Коническая оболочка. В этом случае известные мембранные
напряжения могут быть вызваны силой, приложенной на вершине
конуса. Если сила Р действует в направлении оси конуса, то рас-
пределение напряжений симметрично, и из рис. 217
получаем ,
2w0COSa '
Уравнение (256) дает тогда Д/о —0. Случай попе- / \
речной силы, приложенной в вершине в направле- \
нии образующей, находит место в § 110, а загру- \
жение оболочки ее собственным весом рассматри- °
вается в § 133. f
Если по конической поверхности симметрично ₽ис. 217.
распределены поперечные силы, то мембранные на-
пряжения можно вычислить с помощью уравнений (255) и (256).
Так как кривизна меридиана в случае конуса равна нулю, то
/7 = со, и мы можем написать эти уравне-
ния в следующем виде:
77 ~___________
¥ 2ltroslny’
М=—
« i sin <f
Каждая из результирующих сил и 77е
может быть вычислена независимо, если
только нам известно распределение нагрузки.
В качестве примера рассмотрим случай изо-
браженного на рас. 218 конического резер-
Рис. 218.
•вуара, наполненного жидкостью удельного
веса 7. Если у измеряет вертикальное расстояние параллельного
круга от дна резервуара, d обозначает глубину всего слоя жидкости
в резервуаре, то давление на уровне некоторого параллельного круга
тп выразится произведением
р=—z=Y(a—й.
Кроме того, для подобного резервуара —(л/2)-{-а и r0=ytga.
Подставив эти значения во второе из уравнений (с), получим
дг __ T(^~y)ytg"
6 COS а
«Э
Своего максимума эта сила достигает, очевидно, при y = J/2
(Ne)
T<Plgg
4cos«
486
ДЕФОРМАЦИЯ ОБОЛОЧКИ БЕЗ .ИЗГИБА
|ГЛ XIV
При вычислении силы заметим, что нагрузка R в первом из урав-
нений (с) численно равна весу жидкости в конической части тпо
вместе с весом жидкости в цилиндрической части mnst. Отсюда
й мы получим
R = — —у+4 у) fe2®*
7у(^—
2 COS а
«D
Эта сила принимает максимальное значение при y=-^d, где она
равна
(N ) ---— d*jtga
Vernas 16 cos а
Если опорные реакции резервуара направлены, как показано на
рис. 218, по образующим, то выражения (с) и (d) представят рас-
Рис. 219.
пределение напряжений в оболочке с
большой точностью. Обычно по верх-
нему краю резервуара устраивается
кольцо жесткости. Это кольцо и вос-
принимает горизонтальные компоненты
сил вертикальные компоненты тех
же самых сил представляют собой
опорные реакции резервуара. В этом
случае мы найдем, что местный изгиб
оболочки произойдет у армирующего
кольца.
Оболочка, имеющая форму эл-
липсоида вращения. Такая оболочка
весьма часто применяется для торцов
цилиндрических йот лов. При этом, как
показано на рис. 2] 9, используется половина эллипсоида. Для эллипса
с полуосями а и b главные радиусы кривизны будут выражаться
формулами
аЧ*
з
(й8 sin2 ф -}- Ьг COS2 ф)2
а2
(a3 * sin2 ф Ч- № cos2 ф)2
(е)
или, если написать то же в примененных на чертеже прямоугольных
координатах х, у,
2Й» _ (a*y3+bW)2 Ф
' I гг й« • r2
106]
ЧАСТНЫЕ СЛУЧАИ ОБОЛОЧКИ ВРАЩЕНИЯ
487
Если главные кривизны определены из уравнения (е) или (f), то
силы N9 и находятся непосредственно из уравнений (255) и (256).
Пусть р будет равномерно распределенное давление пара в котле,
тогда для параллельного круга радиуса г0 мы будем иметь
/?= — ярг^, и уравнение (255) нам даст
= = <2»3)
Подставив это в уравнение (256). найдем
M=rW> = <26-0
Для вершины оболочки, т. е. для точки О, имеем rl — r2=a2jb.
и уравнения (263) и (264) дадут
",="•=<• <Й
На экваторе А А имеем Гд = А2/о и г2 — а. Отсюда
^=Т' n‘ = p^-4-)- <4
Мы видим, что силы N? всегда положительны, в то время как
силы A/j становятся на экваторе отрицательными, если
а2 > 2Я (i)
В частном случае сферы а^Ь, и мы найдем, что во всех ее точках
Л^Л7е = рв/2.
Оболочка, имеющая форму тора. Если тор получен враще-
нием круга радиуса а около вертикальной оси (рис. 220). то силы
определяются из рассмотрения
равновесия кольцеобразной ча-
сти оболочки, изображенной
на чертеже жирной линией АВ.
Так как силы в параллель-
ном круге ВВ горизонтальны,
то при рассмотрении равнове-
сия в вертикальном направле-
нии нам необходимо будет при-
нять во внимание лишь силы
N* на круге АА и приложенные к кольцу внешние силы. Полагав,
что оболочка подвергается- действию равномерного внутреннего дав-
ления р, получим уравнение равновесия
sin у — ър (г® — by
488 ДЕФОРМАЦИЯ ОБОЛОЧКИ БЕЗ ИЗГИБА [IJ1 XIV
откуда v 2г® sin v 2гв ' '
Подставив это выражение в уравнение (266), найдем ) „ (266) zr® Z
Подобным перечного же примером рассчитывается и тор эллиптического по- сечен ня.
107. Оболочки равного сопротивления. В качестве первого примера
оболочки постоянного сопротивления рассмотрим купол переменной тол-
щины, нагруженный собственным весом. Вес оболочки на единицу пло-
щади срединной поверхности равен ffi, и два компонента этого веса по
осям координат будут
У = -jh sin <р, Z = cos <?. (а)
Очертание меридианов для оболочки равного сопротивлеиня определвется
из того условия, чтобы сжимающее напряжение в срединной поверхности
было постоянно во всех направлениях и разнялось бы с, т. е. так, чтобы
/7у = ДГв =— ah.
Подставляя эго в ураввеине (256), находим
□Л (у—|- = yh cos у, (b)
откуда внеся сюда rs = r0 sin <f и решив относительно г„ получаем
-—---------------- (с)
-i-rocos — sin <?
Из рис. 213, 6 имеем
г, dy =---—.
COS <f
Таким образом, уравнение (с) может быть представлено в виде
dr0 _ r0 сов у ;
dv т , ’ '
r0 cos у — sin у
Для вершины купола, гдеу=0, правая часть уравнения становится неопре-
деленной. Чтобы устранить это затруднение, воспользуемсв уравнением (Ь).
') Рассмотрение деформации оболочки обнаруживает тем не менее, что
близ вершины г0 = й оболочки неизбежно должны возникнуть напряжения
изгиба, даже в отсутствие каких бы то ни было особенностей как в форме
поверхности оболочки, так и в распределении нагрузки; см. Dean W. R.,
Phil. Mag., 7-я серна, т. 28, стр. 452, 1939, а также Флюгге, цит. выше,
стр? 482.
107] ОБОЛОЧКИ РАВНОГО СОПРОТИВЛЕНИЯ 489
В силу условий симметрии на вершине имеем r( = rs, и отсюда
2s . , 2s
r, = rs= и dr0 = r,dv = — dy.
Поэтому дли вершины купола получаем
Форму меридиана мы можем получить из уравнений (е) и (d) посредство^
численного интегрировании, приняв в качестве отправного пункта вершину
купола и для каждого приращения Д? угла у вычисляя соответствующее
приращение Дге радиуса гв. Изменения толщины оболочки находятся
с помощью уравнения (f) § 105. Подставиз в это уравнение A^ = Ne ——«А
и заметив, что а—величина постоянная, получим
— (Лгв) 4- hr у сов т 4- i r^h sin у = 0. (f)
Подставив сюда вместо г, выражение (с), получим следующее уравнение:
d coB<p4-^resm?
----------------. (g)
' — г0 cos у — sin у
Для у = 0 из ураввения (f) найдем
d ,, . , , drD
(hrB) ~ hr, = h ~.
dy ' 1 dy
Мы видим, что при первом приращении Д? угла у для h можно взять любое
постоянное значение. Толщина оболочки для остальных точек меридиаза
находится после этого путем численного интегрирования уравнения (g).
Итоги такого рода подсчета изображены на
рис. 221 ') Мы видим, что условие _^’®1авва^
М; = = — ah
приводит нас ве только к определенной форме
срединной поверхности купола, но также и
к определенному закону изменения его тол-
щины вдоль меридиава. рис 221.
В случае резервуара равного сопротив-
ления, содержащего жидкость с давлением
уй в наивысшей точке А (рис. 222), наша задача сводится к нахожде-
нию такой формы меридиана, при которой внутреннее давленве, равное yz,
приводит к воавикновеиию во всех точках оболочки сил2)
Nf = Nq — const.
Подобная же задача встречается при определении ^формы капли жидко-
сти, покоящейся на горизонтальной плоскости. Под действием капиллярных
*) Этот пример был вычислен Флюгге; см. Флюгге В., Статика и
динамика оболочек, М., Госстройиздат, 1961.
2) Математическое исследование этой задачи приводится в книге Рунге
Кёнига (Runge С., Konlg И., Vorlesungen Ober nutuerisches Rechnen,
стр. 320, Берлин, 1924).
490 ДЕФОРМАЦИЯ ОБОЛОЧКИ БЕЗ ИЗГИБА |ГЛ. XIV
сил при этом образуется тонкая поверхностная пленка равномерного напря-
жения, которая обертывает жидкость и препятствует ей распространяться
по опорной поверхности. Обе задачи в математическом отношении иден-
тичны.
Для таких случаев уравнение (256) дает
АГ»(^4“)вТ». (h)
Ваяв, как показано на чертеже, прямоугольные координаты, имеем
X . . йх
rs — , г. df --ds —----.
smy * cosy
Отсюда
1___sin у 1 cosyrfy rfsiny
r9 x * Г| dx — dx
Уравнение (h) дает
dsiny , sin у _ у
dx ' x N~'
Заметив, что
* die . tgy
tev-— « >»-- • <)>
способом уравнение несьма сложно, и болве простой путь решения задачи
заключается ио введении новой переменной и =* sin у. Произведя эту под-
становку в уравнениях (1) и (j), получим
du . х__ уг
dx' и ~~ N?’
dz _ и
~dx~V'l — ui ‘
(b)
0)
ни] смещения е симметрично йагружкнмой оболочке йрашеиия 491
Эти уравнения можно интегрировать численно, отправляясь от наивыс-
шей точки А резервуаре. В силу симметрии в этой точке г1=г]|, и урав-
нение (h) дает
Введя обозначение
2NV
''~V'
2аг
мы можем написать
(ш)
Этим радиусом мы описываем первый элемент меридианной кривой Г|Дф=Дл,
соответствующий малому углу Д<р. В конце этой дуги мы имеем, как для
малой дуги окружности,
(Л<₽У
(П)
После того как из уравнений (п) найдем значения и и г, уравнения (к) и (I)
позволят нам найти для той же точки dujdx и dz/dx Исходя на этих
значений производных, мы получим возможность вычислить значеиня z и и
для конца ближайшего следующего интервала и т. д. Эти вычисления можно
без затруднений продолжить до угла у, разного, например, 50°, когда и
Ставет равным приблизительно 0,75. Начиная с этого пункта и до у = 140°
приращения z становятся значительно более паянными, чем приращения х,
и потому здесь становится выгодным принять в качестве независимой пере-
менной z вместо х. Для у > 140° независимой переменной нужно будет
взять опять х и вычисления продолжить до точки В, где касательная ВС
к меридианной кривой принимает горизонтальное положение. По площади
круга ВС резервуар имеет Горизонтальную поверхность соприкасания с фун-
даментом и давление уравновешивается реакцией этого фун-
дамента.
Рассчитанный таким способом резервуар будет резервуаром равного
сопротивления лишь в том случае, если давление в А окажется именно
таким, какое предположено в расчетах '). Вля всякого иного значении этого
давления силы We и Nv уже ие будут постоянными, по станут изменяться
вдоль меридиана. Величину их можно будет тогда вычислить из общих
уразиений (255) и (255). Мы обнаружим также,-что равновесие резервуара
потребует, чтобы оо параллельному кругу ВС действовали вертикальные
перерезывающие силы. Это укажет на то, что вблиав этого круга произой-
дет местный изгиб стенки резервуара.
108. Смещения в симметрично нагруженной оболочке вра-
щения. В случае симметричной деформации оболочки малое смеще-
ние точки можно разложить на два компонента: v — по направлению
касательной к меридиану и iv—;по направлению нормали к срединной
*) Такого типа резервуар был постровн чикагским заводом мостов и
металлических конструкций; см. Day С. L.. Eng. News. Rec., т. 103,
стр. 416, 1929.
492
ДЕФОРМАЦИЯ ОБОЛОЧКИ БЁЗ ИЗГИБА |ГЛ XIV
поверхности. Рассматривая элемент АВ меридиана (рис. 223),
мм видим, что приращение длины элемента вследствие Тангенциаль-
ных смещений v и v-[-(dvjd<f)d<f его концов равно (dv/dtp) dtp.
Вследствие радиальных смещений w точек А и В длина элемента
сокращается на величину w dtp. Изменением длины элемента, обу-
словленным разницей радиальных смещений точек А и В, можно
пренебречь, как малой величиной более высокого поридка малости.
Таким образом, полное изменение длины
элемента АВ вследствие деформации будет
равно разности
Рис. 223.
dv . ,
—
Разделив эту величину на перноначальное
значение длины rid<p элемента, мы найдем,
что линейная деформация оболочки в мери-
дианном направлении равна
___ 1 dt> w
т ^T~di гГ’
Если мы рассмотрим элемент параллельного круга, то увидим
(рис. 223), что благодаря смещениям и и w радиус гс круга возра-
стает на величин}'
VCOSf — TPSlntp.
Длина окружности параллельного круга возрастает в том же отно-
шении, что и радиус, поэтому
ев=~ (и cos <р — w sin <p),
или, подставиз г0 — r2 sin ср. получим
V , W
Исключив w из уравнений (а) и (Ь). получим для определения v
дифференциальное уравнение
— (с)
На основании аакона Гука компоненты деформации е? и ей можно
будет выразить в функции сил и Это нам’ даст
Ч=Ж<ЛГ.-’Л«-
1 (d)
109) ОБОЛОЧКА ВРАЩЕНИЯ ПОД НЕСИММЕТРИЧНОЙ НАГРУЗКОЙ 4Q3
Подставив в уравнение (с), получим
~ V cig т =. Jj-(г, ь — N, [r2 + (267)
Силы Nv и N6 «огут быть найдены в каждом частном случае из
условий загрузки, и тогда смещение v определится путем итери-
рования дифференциального уравнения (267). Обозначив правую часть
этого уравнения через /(<р). напишем
Общим решением мого уравнения будет
l,=sin'f(/^'Jf+c)’ fc>
где С — постоянная интегрирования, подлежащая определению из
условий на опоре.
Возьмем для примера сферическую оболочку постоянной тол-
щины, нагруженную своим собственным весом (рис. 215. а). В этом
случае rI = r2 = e силы и Д'ь задаются выражениями (257).
а уравнение (267) принимает вид
vctg® ——*51 ' cos-I
(If-------------------------------Eh у “ 1Ц- cos f)
Общее решение (е) получит тогда вид
® [sin у In (1 + cos Т) — r^—] + С Si“ t- ®
Постоянная С определится теперь из условия, что при tf=a сме-
щение v равно нулю (рис. 215. а). Из этого условия
[TTL__to(1+cot<,)], (g)
Смещение v определится после подстановки этого значения С в вы-
ражение (f). Смещение w найдется тотчас же из уравнения (Ь).
На опоре, где © = 0, смещение и1 можно вычислить непосредственно
из уравнения (Ь), не пользуясь решением (f). а подставив значение е8
ив второго уравнения (б).
109. Оболочка вращения под несимметричной нагрузкой. Рас-
смотрим вновь элемент.- вырезанный из оболочки двумя смежными
меридианами и двумя параллельными кругами (рис. 224); в общем
случае по его сторонам будут действовать не только нормальные
силы N* и 7Ve, но также и силы сдвига N^ = N^r Взяв сумму
проекций на направление у всех действующих на элемент сил, мы
494 ДЕФОРМАЦИЯ ОБОЛОЧКИ БЕЗ ИЗГИБА (ГЛ. XIV
должны будем к силам, рассмотренным в § 105, присоединить еще
силу
<Wte
~^-ггаоа<р. (а)
Рис. 224.
представляющую собой разность сил сдвига, действующих по боко-
вым сторонам элемента. Поэтому вместо уравнения (f) § 105 мы
получим уравнение
д dNfr
-JJ- (М/о> Ч—«г G — MG cos ?+ >"GG = °- <268>
При рассмотрении сил, действующих по направлению х, мы должны
включить: •*
I) разность между перерезывающими силами, действующими по
верхней и по нижней сторонам элемента; эта разность выражается
следующим образом:
drt , dNo»
0>)
2) силу
(с)
обязанную своим существова-
нием изменению силы Л7В;
3) силу
Mt^cosydQdy, (d)
возникающую в связи с на-
личием малого угла cos<p<?6
между направлениями сил сдви-
га действующих по бо-
ковым сторонам элемента;
4) наконец, компонент по направлению оси х, приложенной
к элементу внешней нагрузки, равный
Xrtf'dbdy. (е)
Суммируя все эти силы, получаем уравнение
^(W+Tri+4'ic°s?+x'»ri=0- <269>
Третье уравнение равновесия получится при проектировании всех
сил на ось z. Так как проекция сил сдвига на эту ось обращается
НО) НАПРЯЖЕНИЯ ОТ ВЕТРОВОЙ НАГРУЗКИ 495
в нуль, то третье уравнение совпадает с уравнением (256), выведен-
ным для симметричной нагрузки.
Задача определения мембранных напряжений под несимметричной
нагрузкой сиодится к решению трех уравнений (268), (269) и (2Б6)
для заданных значений компонентов X. V и 7. интенснаности внеш-
ней нагрузки. В следующем параграфе будет показано применение
этих уравнений к случаю оболочки, подвергающейся давлению ветра.
НО. Напряжения от ветровой нагрузки1). В качестве частного
примера применения выведенных в предыдущем параграфе общих
уравнений равновесия рассмотрим действие на оболочиу давления
ветра. Допустив, что направление ветра определяется меридианной
плоскостью 6 = 0 и что давление его нормально к поверхности
оболочки, мы будем иметь
= Z=/»sln <pcos6. (а)
Уравнениями равновесия тогда будут
д жr
If Л 'I — cos 9 = о
sin = — pr^\ sin <p cos<p.
(b)
Пользуясь последним из этих уравнений, исключим силу Л/9, в ре-
яультате чего получим для определения и = следующие
два дифференциальных уравнения2) первого порядка:
dNv / 1 dr0 \ ,. г, dNfy
dN„ ,11 1г. г,\ 1 »Ы, (с)
•) Первое исследование по этому вопросу было выполнено Рейсснером
(Reissner Н. Muller-Breslau-Festschrift, стр. 181, Лейпциг, 1912). См.
также работу Дишингера (F. Dischinger) в Haedbnch der Eisenbetonbau,
Emperger, 4-е изд., том 6, Берлин, 1928. Кроме того, см. Wiedemann Е.,
Schweiz. BauzeUung, т. 108, стр. 249, 1936, и Oirkmann К., Der Stahlbau.
Дальнейшее развитие теория несимметричной деформации находит в рабо-
тах: Truesdell С., Trans. Am. Malh. Soc., т. 58, стр. 96, 1945 и Bull.
Am. Malh. Soc., т. 54, стр. 994, 1948; Reissner E., J. Math, and Phys.,
t. 26, стр. 290, 1948; Zerna W., Ingr.-Arcb., t. 17, стр. 223, 1949.
*) Применением функции напряжения при исследовании ветровых на-
пряжений мы обязаны Пухеру (Pucher A., Pub. Intern. Assoc. Bridge
and Structural Eng,, t. 5, стр. 275, 1938). См. также § 113,
496 ДЕФОРМАЦИЯ ОБОЛОЧКИ БЕЗ ИЗГИБА (ГЛ XIV
Рассмотрим частную задачу в применении к сферической обо-
лочке, для которой л( —г2 = а. Возьмем решение уравнений (с)
в виде
/^cose’ [ (d)
м,—S9fsine, J *}
где и S9f суть функции одного лишь у. После подстановки
в уравнения (с) получим для определения этих функций следующие
обыкновенные дифференциальные уравнения:
1 „
_+2cteTS,+ravS^=-/«.coSlf.
W+2clg<fS,b+«?S’
Складывая и вычитая эти два уравнения и вводя обозначения
Ц=Х,+Ч- ui=st~sv О)
получим два следующих обыкновенных дифференциальных уравне-
ния, каждое из которых содержит лишь одно неизвестное:
+ (2 ctg т + U, = - pa (Ц- cos и.
-^ + (2 cig Т - ^jL) </2 = ро <1 - cos Т).
Применяя общее правило интегрирования дифференциальных уравне-
ний первого поридка, получим
Ц=-Цг^[с1+^“(С“?-4С“М]' h
= 'mfT [С“ - "" (“s f - 4 »)]
где Cj и С8— постоянные интегрированна. Подстановка в уравне-
ния (f) в применение уравнений (d) нам дадут в результате
+ j£ki^cosT+.ra(cosST-|cos<T)],
KZ'“(cr,s V — -3-cos»?)]. °
Чтобы определить постоянные интегрирования С, и С2. рассмотрим
оболочку, имеющую форму полусферы, и положим у=к/2 в вира-
110]
НАПРЯЖЕНИЯ ОТ ВЕТРОБОЙ НАГРУЗКИ
497
жениях (i). Тогда силы ио экватору оболочки будут
Nt=—J— “sS.
М, = Дцг^5|11(!.

Так как давление в каждой точке сферы имеет радиальное напра-
вление. то момент сил ветра относительно диаметра сферы, перпенди-
кулярного к плоскости 6 — 0, равен нулю. Пользуясь этим обстоя-
тельством и применяя первое из уравнений (j), получим
2я 2я
I* N^a2 cos 6 <?6 — д2 -С‘ ^>cos26d0 —0,
о о
что дает
Cj^ —С2. (к)
Второе необходимое нам уравнение мы получим, взяв сумму компо-
нентов всех сил, действующих па полусферу по направлению гори-
зонтального диаметра в плоскости 0 — 0. Это дает
2х 2. 2к
J* ^9ra sin 6rfB = — J* $ p sin®cos6 • a sin ? sin <p cos0dtpdb,
0 0 0
или
Cl— C2 «2
ait--%—- — — pa2-^Tt.
Из (k) и (l) получим
2 2
Сг~ — ap, C^ = jap.
(i)
Подставив эти значения постоянных в выражения (1) и воспользовав-
шись третьим из уравнений (Ь). получим
pa сов 0 cos® о I-»
w, =—т------(2 — 3 cos <р+ cos’ т),
= Т Sv <2 «lS'? 3 si "'‘ V — 2 V).
N«,=—тг -Sv <2 — 3 “s V+т>-
(П1)
С помощью этих уравнений ветровые напряжения легко могут быть
вычислены для любой точки оболочки. Если оболочка имеет форму
498
ДЕФОРМАЦИЯ ОБОЛОЧКИ БЕЗ ИЗГИБА
[ГЛ XIV
полусферы, то нормальных сил по краю се не будет, поскольку
(ААД_Я^ = О- Силы сдвига по краю будут отличаться от нуля,
по величине они будут равны, а по направлению противоположны
равнодействующей давления ветра. Максимум абсолютных значений
этих сил получится на концах диаметра, перпендикулярного к пло-
скости 6 = 0; в этой точке они равны ± 2ра{Ъ.
В качестве второго примера применения уравнений (с) рассмотрим
случай оболочки, имеющей форму кругового конуса, опирающегося
Рис. 225.
в вершине на колонну (рис. 225).
В этом случае радиус rf беско-
нечно велик, для элемента же
dy меридиана мы можем написать
dy = fl d<f. Отсюда
d___ _d_
dy 1 dy ’
Кроме того, имеем
ro=yslna, ^ = sina.
r2 = ytg“-
После подстановки в уравнения (с) получаем для конической оболочки,
находящейся под давлением ветра Z = pstntf cast), уравнения
I Nt . 1
dy у ’ ysina
6N*
—= — в sin a cos o,
oO r
dNb<f
dy
2Ntr
4---— == — psln6.
(n)
Второе уравнение легко интегрируется и дает
A/e,=-^(^+c)stne.
(с)
По краю оболочки у = I сил нет. Поэтому постоянная интегрирования
в выражении (о) равна
г— рР
С— 3 .
и мы получаем окончательно
Подставив в первое из уравнений (п), найдем
0Nv М. (р /’ — у3 \
—5----1----=— ... - -j- л sin a I cos 6.
oy 1 у \3 y3sina 1 r j
(p)
напряжения от ветровой нагрузки
Интегрирование этого уравнения дает
». рсозб/Г—у3 /г—у* о \
499
(q)
— выражение, которое, как это и должно быть, обращается в нуль
на краю y = Z. Силы определятся из третьего уравнения (Ь),
которое лает
No — — ру sin a cos 6. (г)
Выражения (р). (q) и (г) дают полное решение задачи о напряжениях,
возникающих под ветровой нагрузкой в конической оболочке, изобра-
женной на рис. 225. На вершине у = 0 силы Nv и 7Ve?j становятся
бесконечно большими. Чтобы устранить это затруднение, мы должны
вообразить себе, что для некоторого конечного значения у имеется
параллельный круг, по которому коническая оболочка укреплена на
колонне. Разделенные по этому кругу силы N9,. уравновешивают
действующее на конус давление
ветра. Можно заметить, что если
радиус круга недостаточно велик,
эти силы могут стать весьма боль-
шими.
При загружении оболочки попе-
речной силой Q, приложенной у вер-
шины конуса (рис. 226, о), уравне-
ния (л), правые части которых обра-
щаются при этом в нуль, удовлетво-
рятся прв
Интегрированием нетрудно устано-
вить, что перерезывающая сила, т. е.
результирующая напряжений N? для
любого сечения, нормального к осн
ковуса, равна Q и что момент этих
напряжений относительно оси О = п/2
этого сечения равен моменту Qy cos а нагрузки. Что касается компонентов NB
напряжения, то они исчезают для всей оболочки, как это подтверждается
третьим из группы уравнений (Ь), где нам следует наложить г, = со, р — 0.
Если нагрузка S действует в направлении образующей конуса (рис. 226, Ь),
следует учесть совместное воздействие обоях ее комнонентов Р = S cos а
(рис. 217) и Q=Ssine на силы Л^.
В результате получим
'Д <2с“8- '*
т. е. формулу, дающую оба экстремальных значения: = SI2v.ro для 6=0
и N.f = -- 3S/2nr для в = «.
500
Деформация оболочки бСз Изгиба
(гл xiv
111. Сферическая оболочка, опертая в отдельных изолированных
точках1). Начнем с общей задачи об оболочке, имеющей форму поверхности
вращении, и рассмотрим случай, когда силы приложены лишь по краю ее так,
что X = Y= Z = 0. Общие уравнения (Ь) предыдущего параграфа принимают
тогда вид
д dNblf
lrtNv) 4- ~^g- г, — Nff, cos 9 = 0.
4- г, = N^r, cos <р = 0,
Nvr0 4- N„r, sln 9 = О.
Возьмем решение этих уравнений в виде
= Sv„ cos пО, |
Nb = Sb„casnb, | (b)
= Styn sin n®. J
где ST„, 5вл и SflV„ суть функции одного лишь 9, а и — целое число. Под-
ставив выражения (Ь) в уравнения (а), получим
(reSv^ 4- пгх8^п — rtSsn cos 9 = 0,
— nr*$Чп 4- f iStjfn cos 9=0,
5|рл4“'7Г‘ ^Ол = 0-
(C)
С помощью третьего из этих уравнений ми можем исключить функцию S®,,,
после чего получим
(1 dr0 \ и StJ<e„
= 0,
I 1
(d)
В частном случае сферической оболочки r1=r2 = a, r0 = asin<?, и
уравнения (d) примут нижеследующий простой вид:
ti
I - 2 ctg9S<f« 4- $вуя = 0.
п (С)
^ + 2eieS^ + =?St,_O.
Поступая, как и в предыдущем параграфе, т. е. взяв сумму и разность
уравнений (е) и инедя обозначения
^Лл — ^fn -’(г л-
Usn — Svn— Sb9„,
(9
') См. Флюгге циг. выше. О применении функции напряжений при
решении подобного рода задач см. работу Пухера, цит. на стр. 495.
tin сферическая оболочка, опертая в отдельных точках 501
Решения этих уравнений;
Далее, из уравнений (f) получаем
[с- h Я+с“ (tg т)в ] -
s^n = 2 = 2gjl12v [c»n(ctg — с2„ (tg -J) ].
(g)
(h)
(0
Если оболочка без отверстия на вершине, то выражения (1) должны при-
нять для 9 = 0 конечные значения. Для этого требуется, чтобы постоянная
интегрирования С|и = 0. Подставляя это в уравнение (I) и пользуясь уравне-
ниями (Ь), найдем
— "" “ 2B-V (‘8 т)” '*
С / «®
N*=-sln'i0-
Если вместо 9 подставить в эти уравнения угол 90, соответствующий краю
сферической оболочки, то мы найдем те нормальные и перерезывающие
силы, которые нужно будет распределить но краю оболочки, для того чтобы
в ней возникли силы (j). Взяв дли примера случай, когда cpq = п/2, т. е.
когда оболочка представляет собой полусфер}', найдем из выражений (j)
Т-2
(AM «
*=-2
COS Л0,
> —sin «0.
.(к)
Зная напряжения, вызванные в сферической оболочке нормальными и
касательными силами, приложенными по ее краю и пропорциональными
соответственно cos п0 и sin л0, мы в силах решить и задачу о каком угодно
ином распределении нормальных сил по краю, предстаяив это распределение
тригонометрическим рядом, каждый член которого есть решение, подобное
решению (j)'). Возьмем в качестве примера случай полусферического купола
’) Применяя для нормальных сил ряд
W? — -% У] Can cos л0,
п=1,2,3,...
мы получим распределение этих сил, симметричное относительно диа-
метра 0 = 0. В общем случае этот ряд содержит не только члены с коси-
нусами, но и члены с синусами. Решения для членов с синусами получаются
в точности таким же способом, что и показанный нами для членов с коси-
нусами. В уравнениях (Ь) нужно лишь обменять местами совлб и sin «С.
502 ДЕФОРМАЦИЯ ОБОЛОЧКИ 6ЕЙ ИЗГМВА (ГЛ KtV
радиусом а, несущего лишь свой собственный вес q кг/м"1 н опирающегося
на четыре симметрично расположенные колонны. Если бы купол покоился
на сплошном фундаменте, то силы Nv были бы равномерно распределены
но краю, как показано на рис. 227, о, где интенсивность силы aN? на еди-
ничный угол нанесена в функции угла 6. В случае четырех равноотстоящих
друг от друга колонн распределение реакций будет соответствовать схеме,
изображенной на рис. 227, Ь, где 2е обозначает угол, соответствующий дуге
с)
Рис. 227.
окружности, поддерживаемой каждой колонной. Вычитая распределение сил
рис. 227, а из распределения сил рис. 227, Ь, получим распределение, изо-
бражающее систему сил, находящихся в равновесии (рис. 227, с). Это рас-
пределение можно представить в виде ряда
(aNv) 2 А. совлв, (1)
Я=4, 8,1В,...
в котором должны быть учтены лишь члены со значениями л = 4, 8,12,....
поскольку диаграмма 227, с после каждого интервала, равного я/2, повторяет
себя и содержит в угле 2я четыре полных периода. Пользуясь обычным
методом вычисления коэффициентов ряда (1), найдем
Поэтому распределение, изображенное диаграммой 227, с, представится рядом
со
, . 2од® V5 sin «а п
(Л^) 1
2 и=4, 8,12,...
(Ш)
112] МЕМБРАННАЯ ТЕОРИЯ ЦИЛИНДРИЧЕСКОЙ ОБОЛОЧКИ 503
Сравнивая каждый член этого ряда с первым уравнением (к), заключаем,
что
С 4ga sin ле
Взяв теперь решении вида (j), отвечающие каждому члену ряда (ш), и
налагая эти значения друг на друга, мы получаем возможность найти напря-
жения, вызываемые в оболочке силами (ш). Таким путем получаем
----У
т «sin* 2» AJ n V 2/
(n>
п-4. В, 12....
Накладывая это решение на решение (257), полученное ранее для купола,
поддерживаемого равномерно распределенными по краю силами (рис. 215, а),
мы получим формулы для расчета напряжений в куполе, покоящемся на
четырех колоннах. Следует, однако, заметить, что, давая распределение
реактивных сил Nv в соответствии со схемой рис. 227, Ь, это наложение
вводит вместе с тем перерезывающие силы N<p, не обращающиеся в нуль
по краю купола; иначе говоря, наше решение не удовлетвориет всем усло-
виям задачи. В самом деле, пока мы ограничиваем себя рамками мембран-
ной теории, мы не будем располагать достаточным' количестоом постоянных,
чтобы удовлетворить всвм условиям и получить полное решение задачи.
В фактически реализуемых сооружениях для воспринятия перерезывающих
сил Nfyf по краю оболочки укладывается обычно армирующее кольцо.
В подобных случаях решение, полученное наложением решений (257) и (и),
будет достаточно точво представлять внутренние силы, возникающие в сфе-
рическом куполе, покоящемся на четырех колоннах. Более удовлетворитель-
ное в смысле точности решение этой задачи достигается средствами теории
изгиба оболочки *).
Изложенный в этом параграфе метод применим также и в случае иесфе-
рического купола. При этом надлежит обращаться к уравнениям (d), под-
дающимся решению с достаточной точностью методами численного интегри-
рования 2)
112, Мембранная теория цилиндрической оболочки. При
исследовании цилиндрического изгиба оболочки (рис. 228, о) мы
предполагаем, что образующая оболочки горизонтальна и параллель-
на оси х. 1Лы вырезаем из оболочки элемент двумя смежными
*) Пример такого решения дан Якобсевом. См. его статью: A as-Ja-
cobsen A., Fngr.-Arch., т. 8, стр. 275, 1937.
2) Пример такого интегрирования приводится в книге Флюгге (цит. выше).
На стр. 55 этой книги приводится также вычисление мембранных сил
в апсидной оболочке-полукуполе (со свободным вертикальным краем), вы-
званных собственным весом. О применении метода комплексных переменных
к исследованию напряжений в сферических оболочках см. Martin F.,
Ingr.-Arch., т. 17, стр. 167, 1949, см. также Власов В. 3., Прикл. мат. мех,,
т. 11, стр. 397, 1947.
504
ДЕФОРМАЦИЯ ОБОЛОЧКИ БЕЗ ИЗГИБА
[ГЛ. XIV
образующими и двумя поперечными сечениями, перпендикулярными к оси
х, положение же этого элемента определяем координатой х и углом <р.
Действующие на стороны элемента силы показаны на рис. 228, Ь.
Кроме того, по поверхности элемента распределена нагрузка, причем
компоненты интенсивности этой нагрузки обозначаются, как и прежде,
Рис. 228.
через X, Y, Z. Рассматривая условия равновесия элемента и сум-
мируя силы в направлении х, получаем
dNx dN..x
- г d<f> dx -|—d<9 dx -J- Xr d(f> dx = 0. (a)
Подобным же образом силы в направлении касательной к нормаль-
ному поперечному сечению, т. е. в направлении оси у, дадут нам
второе уравнение равновесия
ЫН™ dN*
rdr-odx-\—~-d<fdx-\-Vrd^dx = 0. (b)
Силы, действующие в направлении нормали к оболочке, т. е. в на-
правлении оси z, дают уравнение
N? d<f dx Ц- Zr d<f dx = 0, (c)
1121 МЕМБРАННАЯ ТЕОРИЯ ЦИЛИНДРИЧЕСКОЙ ОБОЛОЧКИ 505
После упрощения три уравнения равновесия представятся в следую-
щем виде:
dNx । 1 dNxlf______
дх ' г '
1 dNv =_____У (270)
дх ' г д</
N^ — Zr.
В каждом частном случае мы легко можем найти значение N^. Под-
ставляя это значение во второе уравнение, мы найдем после инте-
грирования NXf. Пользуясь найденным таким образом значением Nx?
и интегрируя первое уравне-
ние, находим Nx.
В качестве примера при-
менения уравнения (270) рас-
смотрим горизонтальную труб-
ку круглого сечения, напол-
ненную жидкостью и опертую
по концам *). Если угол ? от-
считывать так, как показано
на рис. 229, Ь, а давление на
Рис. 229.
оси трубы обозначить через р0, то давление в любой ее точке будет
равно Ро—у a cos to. Мы получим, таким образом.
?f=E = 0, Z=—P0+TccosT« (d)
Подставляя в уравнение (270), находим
= Роа — cos ?, (е)
ЛГЛ}> =—J 70 sin (?,(?) =— pzjcsiiKp-l-CjC?), (f)
=f 7 cos tfx dx—^f —l^Ldx+C2 (?) =
- <b>
Теперь остается определить функции Ct(?) и С2(?> из условий
на краях.
Положим сначала, что сил Nx на концах трубы нет. Тогда
(Л'А.»=0. <«J„, = o.
’) Эта задача была исследовлиа Тома (Thoma D., Z. ges. Ttirblnenv/e-
sen, т. 17, стр. 49, 1920).
(ГЛ XIV
506 ДЕФОРМАЦИЯ ОБОЛОЧКИ БЕЗ ИЗГИБА
Мы удовлетворим этим условиям, если возьмем
сг(?) = 0- Cj(<p) = -^-sin<p+C.
Из выражения (f) видно, что постоянная С представляет силы NXf,
равномерно распределенные по краю трубы, как это имеет место
в том случае, когда труба подвергается кручению. Если никакого
крутящего момента к трубе не приложено, то мы должны положить
С = 0; тогда решение уравнений (270) в нашем частном случае будет
иметь вид
n9=P(fl — Т°2 cos?-
— x)sin?-
(271)
Nx =— -%X(l—X)COStf.
Мы видим, что и Nx пропорциональны перерезывающей силе и
соответственно изгибающему моменту равномерно нагруженной балки
пролетом. Z. Они могут быть поэтому найдены путем применения
формул теории балки к трубе, несущей равномерно распределенную
нагрузку интенсивностью1) на единицу длины трубы.
Подбирая надлежащим образом функцию С2(«р), мы в состоянии
решить аналогичную задачу также и для цилиндрической оболочки,
защемленной по торцам. В этом случае длина образующей не под-
вергается изменениям, и мы имеем условие
f (N,-,N,)dx = 0.
о
Подставляя
W* = — у X (I—X) cos <?+С2 (<Р). Nv ~ pDa — -[a2 cos <р,
получим
С2 (?)=vPoa+(4? —v°2) т cost
н
Nx——— vc^Ycos<p. (272)
Под действием сил N и Nx на концах трубы, вопреки нашему
допущению о защемлении этих концов, произойдет некоторая линей-
ная деформация по окружности. Это свидетельствует о наличии на
') Весом трубы в этом расчете мы пренебрегаем.
П2]
МЕМБРАННАЯ ТЕОРИЯ ЦИЛИНДРИЧЕСКОЙ ОБОЛОЧКИ
507
концам трубы некоторого местного изгиба, оставшегося неучтенным
мембранной теорией. Более полное решение задачи можно будет
получить лишь при совместном учете как мембранных напряжений,
так и напряжений изгиба, что будет выполнено в следующей главе.
Части циландрических оболочек, подобные показанному на
рис. 230, примениются иногда в качестве перекрытий для различного
рода сооружений. Обычно они бывают оперты лишь по торцам,
борта же АВ и CD остаются свободными. Для вычисления мембран-
ных напряжений в таки£ оболочках можно -опять воспользоваться
уравнениями (270). Возьмем, например, оболочку полукругового
поперечного сечения, несущую свой
собственный вес, который предпо-
лагается равномерно распределен-
ным по поверхности оболочки. В та-
ком случае мы имеем
X=0, V=р sin <р, Z = p cos <f.
Третье из уравнений (270) дает
—pa cos <р (h)
— величину, обращающуюся в нуль
на бортах АВ и CD, как это и
должно быть. Можно заметить, что
это уравнение будет удовлетво-
ряться также и в ton случае, если вместо полуокружности мы будем
иметь дело с какой-либо иной кривой, лишь бы при этом на краях
было <р=±т/2. Подставив выражение (h) во второе из уравне-
ний (270), найдем
NXf = — 2рх sin 4-Cj (<f). (i)
Поместив начало координат в середину пролета и положив, что на
обоих торцах х = ± Z/2 трубы имеют силу одинаковые условии,
заключаем из симметрии, что Cj(<p)=O. Отсюда
NXf = — 2pxs\ntf.
(j)
Мы видим, что это решение не обращается в нуль на бортах АВ
и CD, как это должно было бы быть для свободных краен. В прак-
тике конструирования борта обычно усиливаются продольными эле-
ментами, достаточно прочными, чтобы противостоять деформации,
производимой перерезывающей силой (j). Подставив выражение (j)
в первое из уравнений (270), получим
W» = “ cos ?+G (<Р). (к)
508
ДЕФОРМАЦИЯ ОБОЛОЧКИ БЕЗ ИЗГИБА
(гл XIV
Если оболочка оперта по торцам таким образом, что реакции
действуют в плоскостях концевых поперечных сечений, то силы Nx
должны обратиться на торцах в нуль. Поэтому
и мы получим
С2 (<р)= — pl2 cos <р/4а.
^ = — -^2 (/2 _ 4jc2).
(1)
Выражения (h), (j) и (1) предСтлиляют собой решение уравне-
ний (270) для нашего частного случая рис. 230, удовлетворяющее
условиям на торцах, а также одному из условий на бортах АВ
и CD. Второму условию, относящемуся к перерезывающим силам NX9,
удовлетворить нельзя, если учитывать одни ляшь мембранные напря-
жения. В практических применениях предполагается, что силы NXf
воспринимаются предназначенными для усиления бортов продольными
элементами. Мотйно ожидать, что это предположение будет обосно-
ванным в тех случаях, когда длина оболочки невелика, например
при 1-^2а, и что мембранная теория дает в таких случаях прибли-
женную картину распределения напряжений. Для более длинных
оболочек удовлетворительное решение можно получить, учитывая
как мембранные напряжения, так равно и напряжения изгиба. Этой
задачей мы займемся в следующих главах (см. §§ 124 и 126).
113. Использование функции напряжений для вычисления мембран-
ных сил оболочки. В общем случае оболочки, заданной уравнением z = f(x, у)
ее срединной поверхности, известные удобства может представить обращение
к функции напряжений'), определяющей все три компонента напряжения.
Рассмотрим элемент оболочки, подвергающейся действию нагрузки, интен-
сивность которой, будучи отнесенной к единице площади на плоскости ху,
задана компонентами л, V, Z (рис. 231). Статическое условие равновесия
элемента описывается в этих условиях уравнениями
д дх . то . д fa дх . дх\ . _ _
—т— I ЙЛг —т—I- № xv —5— I 4- —ч—-1 А,, - ! Ar,-V -4—I —Z = 0. (b)
дх \ х дх ду) ду \ У ду ' дх’
*) Названная функция введена А. Пухером, цнт. на стр. 495, и Beton и.
Eisen, т. 33, стр. 298, 1934; см. также Proc. V Intern. Congr. AppL Meeh.,
Cambridge, Mass., 1938. Цилиндрические координаты, более удобные дая
оболочек, имеющих форму поверхности вращения, также были применены
Пухером. Общая теория деформации, построенная на установках Пухера,
излагается в работе Flfigge W., Gey ling F., Proc, IX Intern. Congr.
Appl. Meeh., t. “6, стр. 250, Брюссель, 1957.
509
(с)
ИЗ] ИСПОЛЬЗОВАНИЕ ФУНКЦИИ НАПРЯЖЕНИИ
Входящие сюда обозначения имеют следующий смысл:
л-„ = «
cosy у у cos в У
причем tgy = dr/dx, igb^dr/dy. Выполняя указанное в (Ь) дифференциро-
вание и учитывая уравнения (а), получаем
"» ,>,< | 2 ;‘> ету
Мы можем удовлетворить обоим уравнениям (а), введя функцию напря-
жений F (л,у), обладающую таким свойством, что
«*
где нижними и верхними пределами интегрирования являются соответствен-
но Хс, х и у0, у при фиксированных х0 и уе. Подставляя это в уравнение
(d)
(d), получим следующее дифференциальное уравнение, которому должна
удовлетворять функция напряжений F-
d*F дгх 9 dsF дгг d*F
дх* дуя - дхду дхду ду* дх* ~4' ®
правая часть его записана здесь сокращенно обозначением
Если задачей указаны действующее по контуру оболочки мембранные си-
лы, то граничные условия без труда формулируются на основе уравнений (е).
В частности, опираяие оболочки по контуру на вертикальную стену, изгиб-
нав жесткость которой пренебрежимо мала, или же полное отсутствие
510
ДЕФОРМАЦИЯ ОБОЛОЧКИ БЕЗ ИЗГИБА
[ГЛ. XIV
опирания по контуру влекут за собой исчезновение краевых сил, нормаль-
ных к элементам ds контура и пропорциональных d^FIds-1. Поэтому закон
изменения функции напряжений по такому контуру должен быть линейный.
Оболочка, имеющая форму эллиптического параболоида. Для иллю-
страции метода исследуем указанного типа оболочку (рис. 232), срединная
поверхность которой описывается
уравнением
(h)
где ht и hs — положительные по-
стоянные. Сечения х = const и
у = const дадут два семейства пара-
бол, горизонталями же будут эллип-
сы. Допустив, что на оболочку дей-
ствует лишь вертикальная нагрузка,
равномерно распределеинав но пло-
щади ее основания, и прибегнув к
уравнениям (I) и (g), получим
1 . 1 &F _ р
h3 дхг + h, дуг 2 ’
(0
р nag где р= Z—интенсивность нагрузки.
ис' ‘ Пусть оболочку поддерживают
четыре вертикальные стены jc= ±в/2,
у=± Ь[2 таким образом, что реактивные силы, нормальные к соответ-
ствующей стене, обращаются на контуре в нуль. Тогда граничными усло-
виями для функции F fsypyt d3Fldy9 = 0 на х=±а]2 и д2/7/д*а==О на
у = ± fe/2. Это значит, что функция F на контуре линейна относительно х
и у. То обстоятельство, что члены, содержащие х или у лишь в первой
степени, не оказывают влияния на напряжения [см. уравнения (е)], равно-
сильно условию Г~О на всем контуре.
Мы удовлетворим уравнению (1) и осуществим F = 0 на у = ±Ь/2, при-
няв для F выражение
„ ph, I Ь1 Л , VT > . них пг.у
Г = 1 Ась —с»,~/
* = 1,3,5, ...
Где с = ^УгЛ1/Л1. С тем чтобы выполнить остающееся условие F = 0 на
х = ± а/2, разложим прежде всего алгебравческий член в выражении (j)
в ряд Фурье
(*>
Введя последний в уравнение (j), положив х <= ± а]2 и приравняв резуль-
тат нулю, получим для каждого п = 1, 3, 5, ... уравнение
цЗП3 1
ппа
~2с~
ИЗ] ИСПОЛЬЗОВАНИЕ ФУНКЦИИ НАПРЯЖЕНИЙ - 511
Оно позволяет вычислить коэффициент Ап и приводит к окончательному
решению
Для получения мембранных сил остается лишь продифференцировать
этот ряд в соответствии с выражениями (е) и использовать соотношения (с).
Результатом будет
Все входящие сюда ряды сходятся, за исключением лишь последнего
ряда, расходящегося в вершинах х = ± л/2, у = ± Й/2. Это обстоятельство
обусловлено особым свойством поверхности рассматриваемой оболочки, об-
разуемой поступательным перемещением плоской кривой. Элементы такой
поверхности не испытывают кручения и по этой причине мембранные
силы Nxy не участвуют, в распределении нормальной нагрузки оболочки.
Поскольку обе силы Nx и Ny обращаются у нершин в нуль, постольку
функция передачи нагрузки вблизи этих точек падает на одни лишь силы
сдвига Nxy. В связи с тем, что, как уже сказано, кручение в такого рода
оболочках исчезает, указанные силы сдвига возрастают к вершинам обо-
лочки до бесконечно больших значений, а на практике, если краевые усло-
вия Nx=0, Ny~O строго выполняются, изгибающие моменты и попереч-
ные перерезывающие силы увеличиваются в непосредственной близости
к вершинам.
Оболочка, имеющая форму гиперболического параболоида '). Другим
объектом, в отношении которого метод Пухера может с выгодой найти
применение, является оболочка, срединная поверхность которой задается
уравнением
(о)
') См. Almond F., Cinie civil, т. 102, стр. 179, 1933; Proc. Intern. Assoc.
Bridge Struct^ Engrs., t. 4, стр. 1, 1936; L a 1 a 111 e B., Proc. Intern. Assoc.
Bridge Struct. Engrs., T. 3, стр. 295, 1935. Различные вариавты загружения
рассматриваются К. Тестером: Tester К. О., Ingr.-Arch., г. 16, стр. 39, 1947,
512 ' ДЕФОРМАЦИЯ ОБОЛОЧКИ БЕЗ ИЗГИБА |ГЛ XIV
где C=a‘!h (рис. 233). Отсюда
dz _ у dz _ х d*z __ daz _ _ даг ____1 . .
дх е * ду ' с* дх* ' дуа ‘ дхду ~ с '
Если мы имеем дело с одной лишь вертикальной нагрузкой, то диффе-
ренциальное уравнение (f) приводится к виду
2 &F
Оно дает
(Ч)
(П
Рис. 233.
Предположим сначала, что нагрузка интен-
сивностью Z === q распределена равномерно
по горизонтальной проекции оболочки, при-
чем нормальные силы но ее контуру отсут-
ствуют. Это состояние описывается урав-
нениями
W, = W, = a (•>
Учтем теперь влияние собственного веса оболочки, выражающегося вели-
чнной оп = const, отнесенной к единице площади поверхности. Этой пло-
Рис. 234
щади соответствует площадь
СОЗ 7=2—, С
горизонтальной проекции оболочки.
Поэтому
Z = Тл’ + ^ + с1 . (t)
и уравнении (г) дает
Дифференцируя это выражение по у и интегрируя результат по х, нав же
производя эти операцвн в обратном порядке, в обоих случаях с учетом
уравнений (е) получаем
.V,—«Ш
2
Г>"+«2
5 2 +
Истинные значения сил Nx и N? находим из этих выражений с номощью
уравнений (с), в которых углы у, fl заданы тангенсзии: tg^ =— у/с,
tgfl =—xjc.
Несколько оболочек этого типа можно соединять вместе для того, чтобы
получить кровлю, например формы рис. 234. Следует, однако, учитывать,
что ни собственный вес ребер, обязательных в такого рода кровле, ни
113] ИСПОЛЬЗОВАНИЕ ФУНКЦИИ НАПРЯЖЕНИИ 513
частичная временная нагрузка, например, снеговая, не могут быть переданы
в этих оболочках одними лишь мембранными силами, и что в них, следова-
тельно, непременно возникают напряжения изгиба ’)•
Представляют практический интерес и достойны упоминания также ко-
ноидалъные оболочки, используемые иногда при проектировании кровель-
навесов и плотин2 * * s *). В строительной практике нашли применение8) также
и кровли-оболочки этого типа, но с криволинейными образующими вместо
прямолинейных.
’) См. Флюгге, цит. выше на стр. 482; FlOgge, Geyling цит. выше;
Gerard F. A., Trans. Eng. Inst. Canada, т. 3, стр. 32, 1959.
s) Теория коноидальной оболочки разработана Торрохой (Т о г г о j а Е„
Rlv. Ing., т. 9, стр. 29, 1941); см. также Scare М., Baulngenieur,
г. 33. стр. 256, 1958; также Флюгге, цит. выше.
s) См. Doganoff L, Bautechnik, т. 34, стр. 232, 1957.
17 С. П, Тимошенко, С. ВоЙновский-Кригер
ГЛАВА XV
ОБЩАЯ ТЕОРИЯ ЦИЛИНДРИЧЕСКОЙ ОБОЛОЧКИ
114. Круговая цилиндрическая оболочка под симметричной
относительно оси нагрузкой. В практических применениях мы
часто, встречаемся с задачами, где круговая цилиндрическав обо-
лочка подвергается действию сил, распределенных симметрично, от-
носительно оси цилиндра. Распределение напряжений в цилиндри-
ческих котлах, подвергаю-
щихся давлению пара, на-
пряжениями цилиндрических
резервуарах с вертикаль-
ной осью, подвергающихся
действию внутреннего дав-
ления жидкости, наконец,
напряжения в круглых тру-
бах под равномерным внут-
ренним давлением — все
это примеры такого рода
задач.
Чтобы получить уравне-
ния. необходимые для ре-
шения этих задач, рассмот-
рим элемент, подобный изо-
браженным на рис. 228, а
и 235, и выведем для него уравнения равновесия. Из симметрии
заключаем, что мембранные силы сдвига NX?=NVX- обращаются
в данном случае в нуль, а силы N? остаются ’ постоянными по ок-
ружности. Обратившись к поперечным перерезывающим силам, точно
так же из симметрии обнаруживаем, что отличными от нуля остаются
адесь лишь силы Qx. Рассмотрение действующих на элемент (рис. 235)
моментов приводит нас равным обравом, на основании симметрии,
к выводу, что крутящие моменты MXf — М?х обращаются в нуль,
изгибающие же моменты остаются постоянными по окружности.
КРУГОВАЯ ЦИЛИНДРИЧЕСКАЯ ОБОЛОЧКА
518
При этих условиях симметрии три на шести уравнений равновесия
элемента удовлетворяются тождественно, и нам остается рассмотреть
лишь три остальных уравнения, а именно те, которые получаются
проектированием сил на оси х и Z и нахождением моментов сил
относительно оси у. Полагая, что внешние силы сводятся к одному
лишь нормальному к поверхности давлению, мы сможем написать
эти уравнения равновесии следующим образом:
dNx j . п
. х a dx dtp— О,
dx т
a dx dtp 4- dx сйр-J- Za dx dtp = 0,
~~ a dx dtp — dx d<p= 0.
(a)
Первое из них указывает, что силы Nx постоянны *), и в нашем
дальнейшем изложении мы примем их равными нулю Если в дей-
ствительности оия отличаются от нуля, то обусловленные этими по-
стоянными силами деформации и напряжения легко могут быть вы-
числены и наложены на напряжения и деформации, произведенные
поперечной нагрузкой. Остальные два уравнения без труда напи-
шутся в следующем упрощенном виде:
(Ь)
Эти два уравнения содержат три неизвестные величины Nv, Qx и Мх.
Для. решения задачи нам следует поэтому рассмотреть смещения
точек в срединной поверхности оболочки.
Из симметрии заключаем, что компонент V смещения в окруж-
ном направлении обращается в нуль. Нам остается поэтому принять
во внимание лишь компоненты и и ю в направлениях х и соответ-
ственно z. Тогда выражения для компонентов деформации примут
вид
Отсюда, применяя закон Гука, получаем
(d)
Первое из этих уравнений дает
du tp
dx а '
') Влиянием этих сил на изгиб мы в данном исследовании пренебрегаем.
П*
Б16
ОБЩАЯ ТЕОРИЯ ЦИЛИНДРИЧЕСКОЙ ОБОЛОЧКИ
|ГЛ. XV
из второго же следует, что
.r _ Ehw
Рассматривая изгибающие моменты, приходим, по соображениям сим-
метрии, к выводу, что кривизна на окружности остается постоян-
ной, крияизна же в направлении х равна — , Пользуясь теми же
уравнениями, что и для пластинки, получаем
Zf’=vZf_, ’ |
х dx2 |
где
12(1 —т»)
есть жесткость оболочки при изгибе.
Возвращаясь теперь к уравнениям (Ь> и исключая из них Qx,
находим
=-Z
dxa Т а Ч *
откуда с помощью уравнений (е) и (f) получаем
d? d2w\ Eh
dxa\U dX3)~i~ а»
1!) = Z.
(273)
Таким образом, все задачи, связанные с симметричной деформа-
цией круговой цилиндрической оболочки, сводятся к интегрированию
уравнения (273).
Наиболее простым способом это уравнение решается в том слу-
чае. когда толщина оболочки постоянна. При этом оно принимает
вид
d*w . Eh
(274)
Введя обозначение
R4 = г275х
₽ 4дЗД c’ft2 ’
мы можем представить его в более простом виде
S + <276)
Это уравнение совпадает с полученным вами ранее уравнением для
призматического стержня с изгибной жесткостью D, покоящегося на
1И]
КРУГОВАЯ ЦИЛИНДРИЧЕСКАЯ ОБОЛОЧКА
517
сплошном упругом основании и наводящегося под действием нагрузки
интенсивностью Z1).
Общее решение этого уравнения имеет вид
w — e$x (Cjcos ₽х 4- С2 sin рх)4- е~ (С8 cos ₽ х 4- С4 sin рх) -|- f (л),
(277)
где f(x)— частное решение уравнения (276), a Ct........С4—по-
стоянные интегрирования, которые нужно определять в каждом ча-
стном случае из условий на концах ци-
линдра.
Возьмем в качестве примера длинную круг-
лую трубку, к которой приложены изгибаю-
щие моменты А10 и перерезывающие силы Qo,
причем и те и другие равномерно распределены
по х = 0 (рис. 236). Распределенное по по-
верхности оболочки давление Z в этом случае
отсутствует, и потому в общем решении
(277) нужно положить f(x) — 0. Так как при-
ложенные на х = 0 силы производят местный
изгиб, быстро уменьшающийся до нуля по
Рис. 236.
мере увеличения расстояния х от торца, то мы
заключаем, что первый член в правой части уравнения (277) должен
исчезнуть2). Поэтому С1 = С8=0, и мы получаем
т> = е~$х (С2 cos р х -|- С4 sin рх).
(g)
Постоянные С8 и С4 можно теперь определить из уравнений на
загруженном конце; эти условия записываются следующим образок:
(h)
Если вместо -w подставить сюда выражение (g), то эти граничные
условия дадут нам
C’ = -2pD(<2«+W' C‘ = 2?t>- ">
*) См. Тимошенко С. П., Сопротивление материалов, т. 2, стр. 12,
М„ 1946.
в) Если учесть, что система сил, приложенных по торцу трубы, уравно-
вешена, а длина трубы может быть произвольно увеличена, то это выте-
кает также из принцвна Сен-Венана; см. например, Timoshenko S.,
Ooodier J. N, Theory of elasticity, 2-е изд., стр. 33, 1951.
618 ОБЩАЯ ТЕОРИЯ ЦИЛИНДРИЧЕСКОЙ ОБОЛОЧКИ [ГЛ XV
и следовательно, в окончательном виде выражение» для w получится
таким:
W ~ <Sln ₽* “ C0S C0S (278)
Максимальный прогиб получается на загруженном конце, где он
равен
(«’),-«=-^5'(Р"0+<у. (279)
Отрицательный знак для этого прогиба объясняется тем обстоя-
тельством, что w считается положительным в направлении к оси
цилиндра. Наклон на загруженном конце получается путем дифферен-
цирования выражения (278). Это дает
(4”), 10=w12₽л"cos 4<3«(“s ₽*+sin =
W.+<4>>- (280)
Если ваести обозначения
<р(рх) = е~а* (cos рх 4- sin рх),
ф (рх) = е~е* (cos рх — sin рх),
6 (Вх)~ t“₽xcospx,
C(px)^»e-₽xsinpx,
(281)
то выражения .для прогиба и его последовательных производных
могут быть представлены в следующей упрошенной форме:
»=-^iw<M+w>(fi*)i.
-S' = 2Я7 |2W(₽*)+ (?*)).
1 (292)
^ = -.2Ру|2₽Л,«Т(₽*) + 2<?Л(М],
§- = -g-lW(fx)-Qrf(f»)t
Численные значения функция Ч’(Рх), ффх), 6 (рх) и С(рх) приводятся
в таблице 841). Функции ^(рх) и ф($х) представлены графически
’) Числа этой таблицы взяты из книги: Zimmermann Н., Die Berech-
nung des ElsenbabHoberbaues, Берлин, 1888.
1HJ КРУГОВАЯ ЦИЛИНДРИЧЕСКАЯ ОБОЛОЧКА 519
Таблица 84
Значении функций <₽, ф, 0 и С
т 4 е с
0 1,0000 1,0000 1,0000 0
0,1 0,9907 0,8100 0,9003 0,0903
0,2 0,9651 0,6398 ‘ 0,8024 0,1627
0,3 0.9267 0,4888 0,7077 0,2189
0.4 0,8784 0,3564 0,6174 0,2610
0,5 0,8231 0,2415 0Л323 0,2908
0,6 0,7628 0,1431 0,4530 0,3099
0.7 0,6997 0,0599 0,3798 0,3199
0,8 0,6354 -0,0093 0,3131 0,3223
0,9 0,5712 -0,0657 0,2527 0,3185
1,0 0,5083 —0,1108 0,1988 0,3096
1,1 0,4476 -0,1457 0,1510 0,2967
1,2 0,3899 -0,1716 0,1091 0,2807
и 0,3355 —0,1897 0,0729 0,2626
1,4 0,2849 —0,2011 0,0419 0,2430
1,5 0,2384 —0,2068 0,0158 0,2226 .
1,6 0,1959 —0,2077 —0,0059 0,2018
1.7 0,1576 —0,2047 —0.0235 0,1812
1.8 0,1234 -0,1985 —0,0376 0,1610
1,9 0,0932 —0,1899 —0,0484 0,1415
2,0 0,0667 -0,1794 —0,0563 0,1230
2,1 0,0439 —0,1675 -0,0618 0,1057
2,2 0,0244 —0,1548 —0Д1662 0,0895
2,3 0,0080' —0,1416 —0.0668 0,0748
2,4 -0,0056 —0,1282 —0,0669 0,0613
2,5 -0,0166 —0,1149 —0,0658 0,0492
2,6 —0,0254 —0,1019 -0,0636 . 0,0383
2,7 —0,0320 -0,0895 —0,0608 0,0287
2,8 —0,0369 —0,0777 —0,0673 0,0204
2,9 -0,0403 —о,о«» -0,0534 0,0132
3,0 —0,0423 —0,0563 -0,0493 0,0071
3,1 -0,0431 —0,0469 —0,0450 0,0019
3,2 —0,0431 —0,0383 —0,0407 —0,0024
3,3 —0,0422 —0,0306 -0,0364 —0,0058
3,4 —0,0408 —0.0237 —0,0323 —0,0085
ЗЛ —0,0389 -0,0177 —0.0283 -0,0106
3,6 —0,0366 —0,0124 —0.0245 —0,0121
3,7 —0,0341 —0,0079 —0,0210 —0,0131
3,8 —0,0314 —0,0040 -0,0177 —0,0137
3,9 -0,0286 —0,0008 —0,0147 —0,0140
520 ОБЩАЯ ТЕОРИЯ ЦИЛИНДРИЧЕСКОЙ ОБОЛОЧКИ [ГЛ XV
Продолжение
т 4 в с
4,0 —0,0258 0,0019 —0.0120 —0,0139
—0,0231 0,0010 —0,0095 —0,0136
4,2 -0,0204 0,0057 —0,0074 -0,0131
4,3 —0,0179 0,0070 —0,0054 —0,0125
4,4 —0,0155 0,0079 —0,0038 —0.0117
4,5 —0,0132 0,0085 —0,0023 —0.0108
4,5 —0,0111 0,0089 —0,0011 -0,0100
4.7 —0,0092 0,0090 0,0001 —0,0091
4.8 -0,0075 0,0089 0,0007 -0,0082
4,9 —0.0059 0,0087 0,0014 -0.0073
5,0 —0,0046 0,0084 0,0019 - 0,0065
5,1 —0.0033 0,0060 0,0023 —0,0057
5,2 —0,0023 0,0075 0,0026 —0,0049
5,3 —0,0014 0,0069 0.0026 —0,0042
5,4 —0.0006 0,0084 0.0029 —0,0035
5,5 0,0000 0,0058 0,0029 ‘ —0,0029
5,6 0,0005 0,0052 0,0029 -0,0023
5,7 0,0010 0,0046 Q0028 —0,0018
5,8 0,0013 0,0041 0,0027 —0,0014
5,9 0,0015 0,0036 0.0026 —0,0010
6,0 0,0017 0,0031 0,0024 —0,0007
6,1 0,0018 0,0026 0,0022 —0,0004
6,2 0,0019 0,0022 0,0020 —0,0002
6,3 0,0019 0,0018 0,0018 4-0,0001
6,4 0,0018 ' 0”0015 0,0017 0,0003
6.5 0,0018 0,0012 0,0015 0,0004
6,6 0,0017 0,0009 0,0013 0,0005
6,7 0,0016 0,0006 0,0011 0,0006
6,8 0,0015 0,0004 0,0010 0,0005
6,9 0,0014 0,0002 0,0008 Q.0006
7.0 0,0013 0,0001 0.0007 0,0006
на рис. 237. Из этих кривых и нз таблицы 84 видно, что функции,
определяющие изгиб оболочки, с возрастанием величины рх прибли-
жаются к нулю. Это указывает на то, что произведенный в оболочке
изгиб действительно имеет лишь местный характер, как это и было
предположено вначале, когда мы вычисляли постоянные интегриро-
вания. '
Если момент Мх и прогиб w найдены из выражений (282), то
изгибающий момент определится помощью первого из уравне-
I1S) ЧАСТНЫЕ СЛУЧАИ СИММЕТРИЧНОЙ' ДЕФОРМАЦИИ 521
ний (f), значение же сил N находится ив уравнений (е). Таким обра-
11Б. Частные случаи симметричной деформации круговой
цилиндрической оболочки. Изгиб длинной иилиндрической обо-
W &
Рис. 238.
лочки под нагрузкой, равно-
мерно распределенной по
круговому сечению (рис. 238).
Если нагрузка приложена до-
статочно далеко от торцов
цилиндра, то для каждой по-
ловины оболочки можно при-
менить решение (278). Цо со-
ображениям симметрии мы .за-
ключаем, что в этом случае
Qo= — Р/2. Поэтому правая часть уравнения (278) напишется у нас
таким образом:
w=(sln ₽* — cos ₽х) 4- ~ cos ₽х]. (а)
причем х отсчитывается здесь от того поперечного сечения, в ко-
тором приложена нагрузка.
Чтобы вычислить входящий в выражение (а) момент 2И0, вос-
пользуемся выражением (280), Дающим значение наклона при х —0.
В нашем случае в силу симметрии этот наклон обращается в нуль.
Отсюда
2рЛо-Д = О,
и мы получаем

Б22
ОБЩАЯ ТЕОРИЯ ЦИЛИНДРИЧЕСКОЙ ОБОЛОЧКИ
[ГЛ XV
Подстановка этого значения в выражение (а) определяет прогиб
оболочки
W=T?(S|”₽X+?<₽*> <283>
дифференцирование же дает
1г=-~2₽ipff'"*''ta₽*-:—ЧИР4®*»-
Й = (Е'п₽х - “s ₽*>=— 4рт Ф<£4-
S = 4₽*W e-*-«*₽* = -j&S(fLO.
(с)
Замечая из уравнений (Ь) и (f) предыдущего параграфа, что
х dx* -* dx3
получаем для изгибающего момента и перерезывающей силы оконча-
тельно следующие выражения:
Ч. = £«₽*) Q« = — 4 »<?*)• (284)
Все эти полученные на^и результаты представлены графически на
рис. 239. Мы видим, что максимальный прогиб получается под на-
грузкой Р и что его значение, определяемое из уравнения (283),
равно
«’«пах = -gpao — ’ t285)
Максимальный изгибающий момент также приходится в точку при-
ложения нагрузки и определяется из уравнения (284)
(286)
Максимум абсолютного значения перерезывающей силы равен, оче-
видно. Р/2. Значения всех этих величин на некотором расстоянии
от нагрузки легко могут быть получены из таблицы 84. Из этой
таблицы, а также из рис. 239 мы видим, что все величины, опре-
деляющие изгиб оболочки, малы при х > Это обстоятельство
свидетельствует о том,' что изгиб носит местный характер и что
оболочка длиной /==2тс/р, нагруженная посередине, испытывает
практически тот же максимальный прогиб и то же максимальное
напряжение, что и очень длинная оболочка.
Имея решение задачи для того случай, когда нагрузка сосредо-
точена в круговом поперечном сечении, мы легко, пользуясь прин-
ципом наложения, можем решить эту задачу и для нагрузки, распре-
T1SJ
ЧАСТНЫЕ СЛУЧАИ СИММЕТРИЧНОЙ ДЕФОРМАЦИИ
823
деленной по некоторой длине цилиндра. Разберем для примера случай
равномерной нагрузки интенсивностью д, распределенной по длине I
цилиндра (рис. 240). Полагая, что нагрузка приложена на вначитель-
ном расстоянии от торцов ци-
линдра, мы вправе воспользо-
ваться для вычисления проги-
бов решением (283). Прогиб
в точке А, произведенный
элементарной кольцевой на-
грузкой интенсивностью *) gdk.
приложенной на расстоянии £
Рис. 240.
от А. определится из выражения (283) после замены в нем Р
через gd\ и х через Е:
Прогиб, получающийся в А под действием всей нагрузки, распре-
деленной по длине I. будет найден интегрированием
«=f WB «"K(«>s?5+s',i₽9+ f =
О о
— e'^cos^b— e-₽ccospe). ,
Точно так же методом наложения можно будет найти и изгибающий
момент в точке. А.
Цилиндрическая оболочка под равномерным внутренним
давлением (рис. 241). Если торцы оболочки свободны, то внутрен-
нее давление р вызывает лишь кольцевое (окружное) напряжение
*) Произведение g di есть нагрузка на единицу длины окружности.
524 ОБЩАЯ ТЕОРИЯ ЦИЛИНДРИЧЕСКОЙ ОЕОЛОЧКИ (ГЛ XV
причем радиус цилиндра возрастает на величину
S___оа«__ра*
8~ £ ~~ Eh '
Если торцы оболочки, как показано на рис. 241, а, защемлены,
то они будут лишены возможности смещаться, и потому у торцов
возникнет местный изгиб. Если длина I оболочки достаточно велика,
то мы можем при исследовании изгиба применить решение (278),
Рис. 241.
причем как момент Мц, так и перерезывающая сила Qc определятся
из условий, что как прогиб, так и наклон на защемленном торце
х=0 (рис. 241, а) должны обращаться в нуль. Соответственно
этим условиям уравнения (279) и (280) предыдущего параграфа при-
нимают вид
2₽3О Оо)=
-§JS-(2P2M0+Q^ = 0?
причем 6 определяется здесь уравнением (d).
Решая относительно 2И0 и Qo, изходим
Л«=2роа = ^. Q,=-4p>ra = _i. (287)
В результате мы получили положительный изгибающий момент и
отрицательную перерезывающую силу, действующие так, как показано
на рис, 241, а. При подстановке.этик значений в выражение (282)
и с помощью таблицы 84 прогибы и изгибающие моменты легко
могут быть вычислены для любого расстояния от торца оболочки.
Если вместо защемленных торцов мы имеем свободно опертые,
как показано на рис. 241, Ь. то прогиб и изгибающий момент Л!
у торца обращаются в нуль; ,Мо = О, и из уравнений (279) мы найдем
Qo= —2р8ДВ.
Подстановка этих значений в решение (278) позволит нам вычислить
прогиб на любом расстоянии от торца.
USJ ЧАСТНЫЕ СЛУЧАИ СИММЕТРИЧНОЙ ДЕФОРМАЦИИ 525
В предыдущем изложении предполагалось, что длина оболочки
велика. Если в действительности это ие так, то изгиб на одном конце
оболочки уже нельзя будет считать не зависящим от условий на
другом конце, и нам тогда нужно будет обратиться к общему ре-
шению (277), содержащему четыре постоянные интегрирования. Част-
ным решением уравнения (276) для случая равномерной нагрузки
(Z = — р) будет
Р . ра*
4₽4D — Eh '
Вводя вместо показательных функций гиперболические, мы сможем
тогда написать общее решение (277) следующим образом:
w = — +Cj sin px sh px -j- C2 sin px ch px -|-
+ Ca cos px sh px+C4 cos px ch px. (e)
Если начало координат поместить, как показано на рис. 241, Ь, по-
середине длины цилиндра, то выражение (е) будет четной функцией х.
и тогда
С2 = С3^0.
(D
Постовнные С, и С4 нужно теперь подобрать таким образом» чтобы
удовлетворялись условия на концах. Если торцы свободно оперты,
то прогиб и изгибающий момент должны обращаться на концах в нуль,
и мы получим
<4.1=°- (S), i=»- И
2 2
Подставив в эти соотношения выражение (е) и вспомнив, что С2 =
= С3=0> найдем
— |-C1sinasha+C4cosacha=0,
Cjtosacha — d4sinasha = 0.
(h)
где ради упрощения положено
0)
Из этих уравнений получаем
ряа_______smash a____________pc? 2sinashg
Eh Sin2 a sh1 a-j-COS2 a ch® a Eh cos2a-|-ch2a
pas cos ache _________pc? 2 COS a ch a
Eh sin2ash2a-]-cos2 a ch2 a Eh COS 2а-J-ch 2a
0)
В28 ОВЩАЯ теория ЦИЛИНДРИЧЕСКОЙ ОБОЛОЧКИ (ГЛ. XV
Подставив значения (j) и (f) постоянных в выражение (е) и заметив
из выражения (275). что
“=40fH-^. (к)
получаем
pl* I. 2sin<zsha . .
» = “6«5У(1 ‘ га2. | С1,2,S,,₽X -
2 COS a ch a n , _ \
—$. + el,2. COSP**?*) ®
Если размеры оболочки известны, то безразмерную величину а можно
в каждом частном случае вычислить из обозначения (i) и соотноше-
ния (275). Подстановка этого значения в выражение (I) позволит нам
вычислить прогиб оболочки в любой ее точке.
Для середины оболочки, подставляя дс = О в выражение (1), по-
лучаем
. . pl* {, 2cO6acha' \ z ,
(®)л=0 64Da‘ cos 2a-f-ch 2а/'
Если оболочка длинная, то а неопределенно возрастает и второй
член в скобках в выражении (in) становится малым, вследствие чего
1) прогиб приближается к значению (d)„ вычисленному для случая
свободных торцов. Это указыавет на то, что в случае длинной обо-
лочки влиянием концевых опор на прогиб в середине можно пре-
небречь. Взяв другой крайний случай, а именно случай, когда вели-
чина а весьма мала, мы можем, разлагав тригонометрическую и
гиперболическую функции в степенные ряды, показать, что заключен-
ное в скобки выражение из уравнения (ш) приближается к значению
5«4/6 и что прогиб (1) приближается к значению, соответствующему
разномерно нагруженной и свободно опертой балке длиной I, обла-
дающей жесткостью при изгибе, равной D.
Дифференцируя дважды выражение (1) и умножая результат на D,
находим изгибающий момент
.,. d2w р1г { sin ash a „ , п
-Dw (-йгагтлясов ₽*ch -
tosh ch a , _ , „ \
~ со.а.+сЬ2. CO
В середине оболочки этот момент равен
(М , __ pl* sin ash a
инхЛг=О— 4з2 cos 2a 4-Ch 2a ' lO)
Мы видим, что при больших значениях а, т. е. для длинной обо-
лочки, этот момент становится столь малым, что им можно пренебречь,
почему среднюю часть оболочки во всех практических приложениях
115] ЧАСТНЫЕ СЛУЧАИ СИММЕТРИЧНОЙ ДЕФОРМАЦИИ 527
можно считать находящейся под действием одних лишь кольцевых
напряжений pafh.
Аналогичным путем можно подойти и к случаю защемленного по
торцам цилиндра (рис. 24 L а). Переходя непосредственно к окон-
чательному результату1), мы видим, что действующий по защемлен-
ному торцу изгибающий момент А1о равен
12881
где
. sh'Sa — Sin 2а
& W — Sh2a 4-Sin2a
В случае длинной оболочки а велико, множитель у2(2а) в выраже-
нии (288) приближается к единице, и значение момента приближается
к величине, указываемой первым из выражений (287). Для более
коротких оболочек значение входящего в уравнение (288) множителя
у2(2а) может быть взято из таблицы 85.
Таблица 85
Коэффициенты у
2а ж, (2а) • »»(2а)
0,2 5,000 0,0068 . -0,100
0,4 2,502 0,0268 0,200
0,6 1,674 0,0601 0,300
0,8 1,267 0,1065 0,400
1,0 1,033 0,1670 0,500
1,2 0,890 0,2370 0,596
1,4 0,803 0,3170 0,689
1,6 0,755 0,4080 0,775
1,8 0,735 0,5050 0,855
2,0 0,738 0,6000 0,925
2.5 0,802 0,8220 1,045
3,0 0,893 0,9770 1,090
3,5 ОД66 1,0500 1.085
4.0 1,005 1,0580 1,050
4,5 1,017 ‘ 1,0400 1,027
5,0 1,017 1,0300 1,008
Цилиндрическая оболочка, изогнутая силами и моментами,
распределенными по торцам. Эта задача была нами разобрана
выше в предположении, что оболочка длинная и что каждый ее торец
') Оба случая были разобраны подробно И. Г. Бубновым в его «Строи-
тельной механике корабля», т. 2, стр. 368, СПб., 1913. Там же приводятся и
таблицы численных значений, упрощающие вычисление моментов и прогибов.
ОБЩАЯ ТЕОРИЯ ЦИЛИНДРИЧЕСКОЙ ОБОЛОЧКИ 1ГЛ XV
можно рассматривать независимо от другого. В случае более корот-
ких оболочек влияние обоих торцов, надлежит учитывать совместно,
применяя для этого решение (с) с четырьмя постоянными интегриро-
вания. Поступая, как и раньше, приходим к следующим результатам.
Рис. 242
Для случая изгиба равномерно распределенными перерезывающими си-
лами Qo (рис. 242, а) прогиб и наклон на концах равны
_ ,2QcPai Ch2a + cos 2“ ___ 2Qb₽«1 v )
— Eh sh 2a 4-sin 2a “ Eh XlW’ I
(d«>\ , 2Q0₽sfl2 sh2a—siB2a 2<?0₽«a» I (289)
teJx-o.jr-r- EA sh2a4-sm2a Eh
В случае изгиба моментами Л1о (рис. 242, b) получаем
2М$№ sh 2a— sin 2a _ 2Л1ер»а»
Eh sh 2a + sin 2a Eh XH"*)»
\dw\ 4?4Л40₽*л1 ch 2a—cos 2a _____ . ’ 4Л1с(52л2
Eh Bh 2a-f-sin 2a — Eh b^a)-
(290)
В случае длинной оболочки коэффициенты Х2 и Хз в выражениях
(289) и (290) близки к единице, и результаты совпадают с теми зна-
Рис. 243.
(рис. 243) и подвергающейся
давления* р.
Положим сначаля, что кол<
него давления возникнут коль:
чениями, которые получаются ив
выражений (279) и (280), Чтобы
упростить расчеты для более ко-
ротких оболочек, значения функ-
ций Xi- Хг и Хз с°браны в таб-
лице 85.
С помощью решений (289) и
(290) легко можно найти напря-
жения в длинной трубе, усилен-
ной равноотстоящими кольцами
действию равномерного внутреннего
щ нет; тогда под действием внутрен-
гевые напряжения ct = pa/h и радиус
115]
ЧАСТНЫЕ СЛУЧАИ СИММЕТРИЧНОЙ ДЕФОРМАЦИИ
529
трубы увеличится на
ра2
Eh
Приняв затем во внимание кольца и предположив, что они абсолютно
жесткие, устанавливаем, что между каждым кольцом и трубой воз-
никают реактивные силы. Обозначим величину этих сил на единицу
длины окружности трубы через Р. Эту величину Р нам нужно теперь
определить из того условия, что силы Р производят прогиб трубы
под кольтом, равный ее расширению 6, вызванному внутрезним да-
влением р. Для вычисления этого прогиба заметим, что часть трубы
между двумя смежными кольцами можно рассчитывать как оболочку,
показанную на рис. 242, а и 242. Ь. В таком случае ф0=—•g’A
и величина изгибающего момента Мо под кольцом определится из
условия, что dw/dx —О в этой точке. Тогда на основании уравве-
ний (289) и (290) находим
“ + (2а) - 0.
откуда
4₽Ь(2«) ’
(Р)
Если расстояние I между кольцами аелико1), величина
2а=р,=75Г^<Г^'
будет также велика, функции (2а) и Хз(2а) будут близки к еди-
нице, а момент Л1о приблизится к значению (286). Чтобы вычислить
входящую в уравнение (р) силу Р, нам нужно будет воснользоваться
выражениями для прогибов, данными в уразнениих (289) и (290). Эти
выражения дают
рда2
-Ж“Х1(2«)-
или
Р&2 4(2») /ю2
ген /,(2.) ен‘

1 ]
Т Х><2») J
8£й.
Р-
(291)
При больших значениях 2а это сяодится к
2£й
= 8.
что совпадает с уравнением (285). Если 2а невелико, значение реак-
тивных сил Р вычисляется из уравнения (291) с помощью таблицы 85;
') Для v = O,3 2а = 1.285///НЛ.
530’ ОБЩАЯ ТЕОРИЯ ЦИЛИНДРИЧЕСКОЙ ОБОЛОЧКИ (ГЛ XV
решав уравнение (291) относительно Р и подставляя результат в вы-
ражение (р). найдем
Л1О=^Х3<2»)- <282)
Это совпадает с выражением (285), полученным ранее для оболочки
с защемленными торцами.
Для того чтобы принить во внимание растяжение колец, заметим,
что реактивные силы Р вызывают в кольце растягивающую силу Рд
и что соответствующее увеличение внутреннего радиуса кольца равно *)
Ра'
^'АЁ-
где А— площадь поперечного сечения кольца. Чтобы принять в ра-
счет это расширение, подставляем Б — Б, вместо Б в уравнение (291),
в результате чего получаем
Г 1 у? (2а) ] Ph 1
РР |»(2“)-2 ₽»)
Сила Р легко определяется из этого уравнения с помощью таблицы 85,
момент же найдем из уравнения (292), подстазив в него р—(РЦА)
вместо р.
Если давление р действует не только на цилиндрическую обо-
лочку, но также и на ее днища, то в оболочке возникнут продольные
силы
Увеличение радиуса оболочки будет ТСЛ’да равно
- 2
и в уравнения (292) и (293) иместо р нужно будет подставить ве-
личину —-g
Урезнениями (293) и (291) можно пользоваться также и в случае
равномерного внешнего давления, если только сжимающие напряже-
ния в кольце и оболочке достаточно далеки от критических напря-
жений, при которых может произойти выпучивание2). Этот случай
’) При ©том предполагается, что размеры поперечного сечения кольца
малы в сравнении с радиусом а.
s) Выпучивание колец и цилиндрических оболочек исследуется в книге
Тимошенко С. П., Устойчивость упругих систем, М., 1946.
U6j ВАЛЛОНЫ И РЕЭЁРЬУАРЫ ПОД ДАВЛЕНИЕМ 581
представляет практическую важность при проектировании подводных
лодок, и он исследовался разными авторами1).
116. Баллоны и резервуары под давлением. Метод, иллюстри-
рованный примерами предыдущего параграфа, может быть применен
также и для вычисления напряжений в цилиндрических сосудах, под-
вергающихся действию внутреннего давления2). При изложении
«мембранной» теории уже неоднократно указывалось, что эта теория
неспособна представить фактические напряжения в частях оболочки,
расположенных близко к краям, поскольку граничные условия на краях
обычно не могут быть полностью удовлетворены из рассмотрения
одних лишь мембранных напряжений. Аналогичное положение, когда
п
Рис. 244.
мембранная теория оказывается несостоятельной, возникает также и
при расчете цилиндрических напорных резервуаров в местах примы-
кания цилиндрической части их к днищам. В этих стыках мембранные
напряжения сопровождаются обычно местными напряжениями изгиба,
распределяющимися симметрично относительно оси цилиндра. Эти
'местные напряжения можно вычислить по формуле (278) из § 114.
Начнем с простого случав цилиндрического сосуда с полусфери-
ческими днищами (рис. 244) 3). На достаточном расстоянии от стыков тп
’) См. статью Зандена и Гюнтера (Sanden К., Glint her К., Werff
und Reederei. т. 1, стр. 163—168, 189—198, 216—221, 1920; т. 2, стр. 505—510,
1921).
*) См. также: Essllnger М., Sfatlsche Berechnung von Kesselbdden,
Берлин, 1952; S a 1 e t С., BarthelemyJ., Bull, assoc, tech, maritime aero-
aeut., t. 44, 505, 1945; Maulbetsch J. L„ Hetenyl M, ASCE Design
Data, 1, 1944; Schultz-Grunow F„ Ingr.-Arch., t. 4, стр. 545, 1933;
Svensson N. L., J. Appl. Meeh., T. 25, стр. 89, 1958.
®) Этот случай был исследован Мейсснером (Meissner Е., Schweiz.
Bauzeitung, т. 86, стр 1, 1925).'
532 ОБЩАЯ ТЕОРИЯ ЦИЛИНДРИЧЕСКОП ОБОЛОЧКИ [ГЛ XV
м mfnt мембранная теория является достаточно точной и дает для
цилиндрической части радиусом а
Nt = pa. (а)
где р обозначает внутреннее давление.
При сферических днищах теория дает для равномерной растяги-
вающей силы значение
N = ^-. (Ь)
Удлинение радиуса цилиндрической оболочки под действием сил (а)
равно
Удлинение же радиуса сферических днищ
8»=5ИГ<,-,>' W
Из сравнения выражений (с) и (d) можно заключить, что если мы
примем во внимание одни лишь мембранные напряжения, то у стыков,
как показано на рис. 244, Ь, у нас получится раврыв непрерывности.
Это свидетельствует о том. что у стыков должны действовать нерере-
аывающие силы и изгибающие моменты 7И0, равномерно распре-
деленные по окружности, и такой величины, что они компенсируют
9тот разрыв йепрерызности. Вызванные этими силами напряжения
называются иногда разрывными напряжениями.
При вычислении величин Qo и УИ0 мы предполагаем, что нагиб
носит местный характер и что при исследовании изгиба цилиндриче-
ской части применение решения (278) может обеспечить нам доста-
точную точность. Исследование изгиба сферических днищ предста-
вляет собой более сложную задачу, которая во всех подробностях
будет разобрана в главе XVI. Здесь же мы займемся лишь прибли-
женным ее решением, сделав предположение, что этот изгиб дости-
гает авметной величины в той зоне сферической оболочки, которая
примыкает к шву, и что эту зону можно трактовать как часть длин-
ной цилиндрической оболочки1) радиуса а. Если и сферическая и
цилиндрическая частя сосуда котла или резервуара одинаковой тол-
щины, то поворот, испытываемый краями обеих этих частей у стыка
(рис. 244. Ь) под действием сил Qo, будет одинаков. Эго свидетель-
) Мейсснер в вышеупомянутой работе показал, что погрешность в вели-
чине напряжений изгиба при вычислении во такому приближенному методу
для тонкой сферической оболочки мала, и при a[h > 30 она меньше 1 %.
не] ГАЛЛОНЫ И РЕЗЕРВУАРЫ ПОД ДАВЛЕНИЕМ 533
ствует о том, что Л40 обращается в нуль и что для компенсации
разрыва непрерывности достаточно лишь силы Qo. Величина же Qa
определится теперь из того условия, что сумма численных значений
прогибов на краях обеих частей резервуара должна равняться раз-
ности 6, — В2 радиальных растяжений, определяемых мембранной тео-
рией. Из уравнения (279) для прогибов получаем
Qn ___- * __ pas
I’D —2~ 2Eft ’
откуда, пользуясь обозначением (275),
л _ . Р
2ЕЛ ~ 83 ’
Найдя это значение силы Qo, мы получаем возможность вычислить
по формулам (236) прогибы и изгибающие моменты Мх для любой
точки *)
Подставив выражение (е) вместо и выражение (275) вместо р
в формулу для Мх, получим
Этот момент достигает максимума своего абсолютного значения на
расстоянии * = к/4р» ибо производнав его, как это можно видеть
из четвертого уравнения (282). обращается в этой точке в нуль.
Сочетая максимальное напряжение изгиба, вызванное УИГ, с мем-
бранным напряжением, находим
Напряжение, действующее на знешней поверхности цилиндрической
оболочки, приблизительно на 30% больше, чем мембранное напря-
жение, действующее в осевом направлении. При вычислении напря-
жений по окружности кроме мембранного напряжения pajh нужно
принять во внимание кольцевое напряжение, вызванное прогибом п>,
равно как и напряжение изгиба, вызванное моментами —
>) Следует заметить, что направление Qc на рис, 244 противоположно
направлению этой силы на рис. 236.
534 ОБЩАЯ теория цилиндрической оеолочки (ГЯ XV
На этом основании получаем для наружной поверхности цилиндри-
ческой оболочки
' Л a h* * h I 4 Н 4/3(1 —v?) vr
Взяв у— 0,3 и воспользовавшись таблицей 84. находим
(«,)„„=, 1.032-К- при рх = 1.85. (h)
Так как в сферических днищах мембранное напряжение меньше, чем
в цилиндре, то максимальное напряжение в них будет всегда меньше
вычисленного по формуле (h). Поэтому в расчете такого рода котлов
и резервуаров нужно исходить именно из последнего значения.
Тот же самый метод вычисления разрывных напряжений можно
применить и в том случае, когда днища имеют форму эллипсоида
вращения. Мембранные напряжения в этом случае определяются по
т формулам (263) и (264) (см. стр. 487). По стыку
I тп (рис. 245), представляющему собой экватор
. У эллипсоида, напряжения в меридианном и в эква-
! термальном направлениях будут соответственно
4----------V-Й? „ ___Ра - _____ Ра (t а2 ) /и
Г I ; °,= 2Г’ ‘’• = TrU-2w)- (ц
\. I Удлинение радиуса экаатора равно
Рис. 245. = =
Подставив эту величину вместо 82 в вышеприведенные вычисления
перерезывающей силы Qo. находим
й в'___________________________ра* а*
81—02— Ек 2Ь»
и тогда вместо уравнения (е) получим
ga 6S •
Мы видим, что перерезывающая сила Qo для эллипсоидальных днищ
получается большей, чем для полусферических в отношении с2//»2. В том
же отношении возрастут, очевидно, и напряжения непрерывности. Взяв,
например, а/Ь = 2, мы получим иэ выражений (g) и (h)
х _ ар , • Зар г(г-\ — О «72
( Лк 2ft + Ay3(l_vS) Ц 4/ ’ 2Л ’
1171 РЕЗЕРВУАРЫ СО СТЕНКАМИ ПОСТОЯННОЙ ТОЛЩИНЫ 535
Наибольших значений достигает здесь опять напражение
поэтому именно из этого напряжения и нужно исходить при; проекти-
ровании *).
117. Цилиндрические резервуары со стенками постоянной
толщины. Если резервуар подвергается действию давления жидкости,
как показано иа рис. 246. то напряжения в стенке можно вычислить
из уравнения (276). Подставив в это уравнение
Z=—7(1/—х). (а)
где у-—вес единицы объема жидкости, получим
+ = (Ь)
Частным интегралом этого уравнения будет
TG?—-*) . lld—xya*
4₽4Г> ~ Eh '
(О
Это выражение представляет собой радиальное расширение цилин-
дрической оболочки со свободными торцами под действием кольце-
вых напряжений. Если вместо / (х) в
уравнении (277) ввести выражение (с),
то мы получим общее решение уравне-
ния (Ь):
w = е₽* (Ct cos px С2 sin px) -f-
(Cseos | C4 Sta fx)-
На практике толщина h стенки бывает
в большинстве случаев мала в сравнении
Рис. 246.
как с радиусом о, так и с глубиной d
резервуара, и мы можем считать оболочку бесконечно длинной. По-
стоянные С* и С2 обращаются при этом и нуль, и мы получаем
w=e^ (C3cospx-|-C4sinpx)—т а . (d)
Теперь из условий у днища резервуара мы можем определить по-
стоянные С?з и С4. Если предположить, что нижний край стенки
') Более подробные сведения о напряженизх в котлах с ванипсоидаль-
ным днищем можно найти в книге ХЁна (Н 0 h п, Ueber die Festigkelt der
gewMbten Boden und der ZyHnderschale, Цюрих, 1627). В ней приводятся
также результаты экспериментальных исследований напряжений непрерыв-
ности, обнаруживающие хорошее согласие с приближенным решением. См.
Также Schulz-Grunow F., Ingr.-Arch., т. 4, 545, 1933,
53в ОБЩАЯ ТЕОРИЯ ЦИЛИНДРИЧЕСКОЙ ОБОЛОЧКИ (ГЛ. XV
резервуара защемлен в абсолютно жесткий фундамент, то граничные
условия будут иметь вид
(S'= 1(<™₽*+ап₽*>+
+ре,.-*' («.₽*-№ fx) = ₽ (С4 - С„)+= 0.
Из этих уравнений получаем
с,=^. с«=йр-4)-
° СП ’ СП \ р/
Выражение (d) преобразуется при этом в следующее:
w — — — х — е~?хpcospx-f-^rf — jjsin ₽*]}•
откуда, пользуясь обозначением (281), получаем
а—’<Р->-(‘-р)сН- (е>
Это выражение позволяет нам с помощью таблицы 84 легко вычи-
слить прогиб в любой точке. Действующая по окружности сила
найдется тогда из формулы
\=—=тЦ| «ьо—(1 - ^)сфч]. го
Вторая производная от выражения (е) дает нам изгибающий момент
й6 <м=
Располагая выражениями (Г) и (g), мы легко можем вычислить
максимальные напряжения в каждом частном случае в любой точке.
Изгибающий момент достигает своего максимального значения
у днища, где он равен
(«.),_„=/М„=(1---1 1 1“М (1|)
I о де/ Г12(1-,')
К тому же результату мы придем и с помощью ранее выведен-
ных формул (279) и (280) (см. стр. 518). Если принять, что
нижний край оболочки совершенно свободен, то выражение (с) нам
даст
ф)_ =<• т
1171
РЕЗЕРВУАРЫ СО СТЕНКАМИ ПОСТОЯННОЙ ТОЛЩИНЫ
537
Чтобы уничтожить это смещение и поворот края и, таким образом,
удовлетворить граничным условиям у дна резервуара, нужно прило-
жить, как указано на рис. 246, перерезывающую силу Q, и изги-
бающий момент 2И0. Значения этих сил и момента получатся, если
мы приравняем выражения (279) и (280) выражениям (i), взятым
с обратными знаками. Это нам дает
Из этих уравнений мы опить получаем выражение (h) для 7И0. Для
перерезывающей же силы Qo находим ’)
Вавв для примера а = 9,15 м, d = 7,93 м, Л = 3,56 м. у = 0,001 кг}сл^
и v = OJ25, находим р== 0,00718 см 1 и fid = 5,691. При этом значении вели-
чины 0d наше допущение относительно того» что оболочка бесконечно
длинна, приводит нас к весьма точным значе-
нием для момента и веререзывающеЙ силы.
Выражения (h) и (j) дают нам
А40 = 6338 кгм]м, Qo = —10 074 кг/м.
При сооружении стальных резервуаров
очень часто пользуются листовым металлом
нескольких различных толщин, как показано
на рис. 247. Применяя частное решение (е)
к каждому поясу постоянной толщины, мы
обнаруживаем, что эти различия в толщине
влекут за собой разрывы непрерывности в
смещениях и/, по стыкам тп и mtni, Эти раз- р 947
рывы непрерывности, равно как и смещезня
у дна ob, могут быть устранены путем при-
ложения моментов н перерезывающих сил. Полагая, что вертикальное изме-
рение каждого цилиндрического пояса достаточно велико для того, чтобы
оправдать применение формул для бесконечно длинной оболочки, вычисляем
необходимые для уничтожения разрыва непрерывности моменты н перере*
зывающие силы, как и раньше, с помощью уравнений (279) и (280) и нала-
гаем дая каждого стыка по два условия, согласно которым два смежных
пояса оболочки должны иметь у этого стыка одинаковые прогибы и общую
касательную. Если применение формул (279) и (280), выведенных для беско-
нечно длинной оболочки, не может быть оправдано, то к каждому участку
резервуара следует применить общее решение, содержащее четыре постоян-
ные интегрирования. Определение постояивых в этих условиях стано-
вится гораздо 'более сложным, так как отдельные стыки теперь уже нельзя
*) Отрицательный знак указывает на то, что сила Qo имеет здесь на-
правленно, указанное на рис. 246, т. е. противоположное тому, которое пред-
полагалось при выводе уравнений (279) и (280) и которое указано на
рис. 236.
538
ОБШЛЯ ТЕОРИЯ ЦИЛИНДРИЧЕСКОЙ ОБОЛОЧКИ
(ГЛ. XV
рассматривать независимо один от другого, а это првнодит к необходимости
решать систему совместных уравнений. Такая задача допусяает решение
приближенными методами').
118. Цилиндрические резервуары со стенками переменной толщины.
В случае если толщина стенки резервуара изменяется, решение задачи тре-
бует интегрирования уравнения (273), причем жесткость D при изгибе и
толщина h должны рассматриваться здесь уже не как постоянные величины,
а как функции х. Иначе-говоря, мы имеем здесь дело, с лилейным диффе-
ренциальным уравнением четвертого нередка с переменными коэффициен-
тами. В качестве примера рассмотрим случай, когда толщина стенки является
линейной функцией координаты х 3). Взяв начало
координат, как показано на рис._ 248, будем,иметь
для толщины и для жесткости прп изгибе —
дующие выражения:
--.57-
Рис. 248.
при этом уравнение (273) принимает вил
__ 12(1—у«)у(л—Лр)
еле-
(а)
(Ь)
Частным интегралом этого уравнения будет
(с)
Это решение иредстааляет собой радиальное расширение оболочки со сво.
бедными краями под внутренним давлением v.(x—х0). В результате смеще-
ния (с) произойдет некоторое изгибание образующих цилиндра. Соответ-
ствующий изгибающий момент равен
М._____у>Ых0
* rfx2-------------6(1— у2) '
(d)
Этот момент не зависит от х и во всех встречающихся на практике слу-
чаях столь мал, что его влиянием можно обычно пренебречь.
') Приближенный метод решение этой задачи был предложен Рунге
(Runge С., Z. Math. Physik, т. 51. стр. 254, 1904). Гиркмая (К, Girkmann)
применил этот метод к расчету крупного сварного резервуара; Der Stahlbau
т. 4, стр. 25, 1931.
*) Reissner Н., Beton и Eisen, т. 7, стр. 150, 1908. См. также
Ф люгге В., Статика и динамика оболочек, М„ Госстрой нздат, (961.
О резервуарах, форма которых слегка отклоняется от цилиндрической, см.
Federhofer К.» Osten> Bauzeitschrift, т. 6. стр. 149, 1951; о резервуарах
со стенкой, толщина которой изменяется по квадратичному закону: Feder-
hofer К., Oslerr. Ingr.-Arch., т. 6, стр. 43, 1952. Метод параметров, близкий
к изложенному в § 40, был применен Форой (Faure Н., Proc. 1Х Congr.
Appl. Meeh., Брюссель, т. 6, стр. 297, 1957). Данные, относящиеся к про-
ектированию резервуаров дли воды, приводятся в книгах: Cray W. S
Reinfored concrete reservoirs and tanks, Лондон, 1954, и L e w e V., Handbuch
ilir Eisenbetonbau, t. 9, Берлин, 1934.
118] РЕЗЕРВУАРЫ СО СТЕНКАМИ ПЕРЕМЕННОЙ ТОЛЩИНЫ 539
Чтобы получить полное решение уравнения (Ь), нам остается к част-
ному интегралу (с) прибавить решение однородного уравнения
d* ( - d?w \ . 12 (1 — v2) л
dx* (* dx*) + а*а* ^не-
которое по делении на X может быть написано таким образом:
1 12(1—-у2). л
X dx* V* Ле1)'1’ а’л» й’“'°
Решение этого уравнение четвертого порядка можно привести к решению
двух уравнений второго порядка *), если мы заметим, <по
— h2 — [i— (х*~ IB
х dx* V dx* / x dx I dx lx dx V
Для упрощение записей -введем следующие обозначений:
<•>
и. тогда уравнение (е) примет вид
LIL(w)]+p<w=O, (h)
причем его можно будет записать одних из следующих способов:
L [L (w) i₽5w] —if* [Цю) Ц- гр*ш] = 0, 1
или > (I)
L [L lw) — tp2w] -f- if* [L (w) — rpsw] = 0. J
где i — V—1-
Мы видим, что уравнение (h) удовлетворяется решениями уравнений
второго порядка
L 4- if*w — 0, (j)
L (а>) — Zpscci = О. (к)
Положив, что
»! = 5Р| 4- = Чз 4- »¥< (О
суть два линейно независимых решения уравнения (j), мы заметим, что
и'а = У1 — fyi и а,1 = ?а —/<р4 (гл)
представляют собой решения уравнения (к). Все четыре решения (1) и (ш).
вместе взятые, представят тогда полную систему независимых решений
уравнение (h). Пользуясь суммами и разностями решезнй (I) и (tn), мы
сможем представить общее решение уравнения (h) в следующем виде:
« = С,?, 4- Cs?2 4- С8у3 + C,<f„ (п)
’) Это приведение было покавано Кпрхгоффом (Kirchhoff G., Berli-
ner Monatsberichte, стр. 815, 1879); см. также Todhunter L, Pearson К.,
History Of the theory of elasticity, t. 2, стр. 92.
540 ОБЩАЯ ТЕОРИЯ ЦИЛИНДРИЧЕСКОЙ ОБОЛОЧКИ (ГЛ. XV
где (?i,.... СА—произвольные постоянные. Таким образом, задача сводится
к определению четырех функций .$><> причем все они могут быть
получены, если нам известно полное решение одного из уравнений (j) и (к).
Взяв уравнение (j) и подставив вместо £(п>) его значение (f), получим
^+2-g- + ^ = 0. (о)
При введении новых переменных
Ч=2рУ££, C=wVx (р)
уравнение (о) преобразуется в
’>I$+’>w+(’,,-,)C=0- «
Возьмем в качестве решения этого уравнения степенной ряд
С1=йл + «|Ч + ад2+ (8)
Подставив зтот ряд в уравнение (г) и приравняв коэффициенты при каждой
степени ц нулю, получим следующее соотношение между ковффициентами
ряда (s):
(п’ —1)с„4-с„_я = 0. (t)
Применяя это уравнение к первым двум коэффициентам и положив
e_i=e_2 = 0, найдем, что Qo = 0 и что а, может быть приравнено любой
произвольной постоянной величине. Вычисляя с помощью уравнения (t) сле-
дующие коэффициенты, найдем, что ряд (8) имеет вид
С = С*"2 (* — "^4 + 2-4-6 — 2-(4-6)* 8 ’') = С/| (U)
где С1?)— функция Бесселя верного рода и первого порядка. В нашем
дальнейшем изложении нам удобно будет пользоваться соотношением
у,/ч)=__________________________________I 1_______________^4 ZV1
,vw dij I 22 (2-4)* (2-4.fi)2 J d-q ' v>
в котором ’ ряд, заключенный в скобки и обозначенный через Jo, -предста-
вляет собой функцию Бесселя первого рода нулевого порядка. Подставив
вместо выражение 2pVfx [см. обозначение (p)J в ряд, представляющий
и собрав отдельно действительные и отдельно мнимые члены, по-
лучим
Л>(-Ч) = фа(2р У*)+«Ф»(2р (w)
где
ф((2?Ух)-1 (2-4)* +(2-4-6-8)® ~
л. <2?К^)2 . (2₽УГ)« (2₽УГ)Ю
2g -j- (2.4.б)2 (2-4-6-8> 10)а
(294)
118] РЕЗЕРВУАРЫ СО СТЕНКАМП ПЕРЕМЕННОЙ ТОЛЩИНЫ .541
Решение (и) дает нам тогда
С, = -С'[ф;(2р»гЛ+<Й(2рГл>]. («)
где <pj и ф2 обозначают производные функции (294) но аргументу 2pjGr.
Второй знтеграл уравнения (г)—более сложного вида. Не дифферен-
цируя, мы устанавливаем, что его можно представить в- виде
Чг = [Фз <2₽ Vx~) 4- i’4<4 (2р W)], <Ь')
где фз и Ф4 суть производные по аргументу 2pVx" от следующих функций:
Ь (2р Г F) - ± ф, <2, KF) -| [я, +1л ф, (2, Гл)].
ф, (2р УТ) = 1 ф, (2, »'У) +1 [«, + In ф, (2, /Г")].
/gpVry 5(3) /2,/х V , 5(5) fgfVZY»
1 \ 2 / . (3-?M 2 I + (5-4.3-2C (, 2 /
+
„ _ S(2) f2|.yVV S(4)
2 22 \ 2 ) (4-3-2)® 2 }
S(6) (2i>WY2
(6-5-4-3-2)’ k 2 J
S<n)-l+4+,4+...+|.
In p= 0,57722.
Имея решения (а') и (if) уравнения (г), мы заключаем, что обЩее реше-
ние (п) уравнения (е) есть
« = уу - [с,ф; о, /i)+ ед; (2Р /х >+
+с3ф;(2,гг)+с4ф;(2РГ7')]. (с->
Численные значения функций 4*1»---•4*4 11 их первых производных приве-
дены в таблице 86’). Графическое представление функций ф],.... дано
на рис. 249. Мы видим, что с увеличением расстояния от конца значения
этих функций быстро возрастают или уменьшаются. Это указывает на то,
что при вычислении постоянных интегрирования в решении (с') мы очень
]) Эта таблица была вычислена Ф. Шлейхером; см. Schleicher F.,
Kreisplatten auf elastischer Untertage, Берлин, 1926. Вместо функций ф можно
пользоваться хорошо известными функциями Кельвина. Связь между теми и
другими уясняется ия следующих соотношений: 4-| (*)=Ьег х, фа (х)=—bef (л),
4's W = — (2/я) kei х, 4ч = — (2/л) кег х. Более точные таблицы ©тих функ-
ций сы. на стр. 298.
В приложении общей теории к частным случаям вычисление последова-
тельных производных w упрощается, если мы воспользуемся следующими
соотношениями:
Ф? («) = Фг© “ J (6>»
о-*4 (*)-!<£<«)•
Фз («) =—Ф1G)—у Фг («).
4-;<е)=-Ф8в)-4ф;с),
(лэ
в которых символ £ введен вместо 2рУх. Тогда из выражения (с') поручим
«,=- ^-•--^-VT[C1^ra + Cf|i© + <yi«)+C,<«)]. (е’>
— = 1С‘ ’° - 2|' ~ ®++
+ с3[Е(-<<0-2Й(г>]-с«1еФа<Ч+зд;®]). (О
- с2 [lift; © - 4 й ф, (t> - st; и]+
+с, [i0v; га - < ® ф< га -<- ччга] -
- С, |(i)V. Й - 4 (0 Фа (!) -Чч <«|). («’)
<?ж=л^.= (q [!ф, й +2й га]+q № га-2Ф1 rai+
+с, ft и+2ф] га]+с, [£ф, и - 2ф; га]) ап
J18] РЕЗЕРВУАРЫ CO СТЕНКАМИ ПЕРЕМЕННОЙ ТОЛЩИНЫ 543
Таблица 86.
Таблица функций ф(х)
* ДМ*) dx dx
0,00 0,10 I 0,20 0,30 0,40 0,50 0,60 0,70 0,80 0,90 1.00 1,10 > 1,20 1,30 1,40 1.5Q 1,60 1.70 1,80 1,90 2,00 2,10 2,20 2,30 2,40 2,50 2,60 2,70 2,80 £90 3,00 3,10 3,20 3,30 3,40 3,50 3,60 3,70 3,80 3.90 4-1,0000 +1.0000 +1,(ХЮ0 +0,9999 +0,9996 +0,9990 4-0,9980 +0,9962 +0,9936 +0,9898 +09844 +0,9771 +0,9676 -т-0,9554 +0,9401 4-0,9211 +Q8979 1-0,8701 +0,8367 - +0,7975 +0.7517 +0.6987 +0.6377 40,5680 +0,4890 +0,4000 4-0.3001 +0,1887 —0,2214 —0*3855 - 0,56'14 —0,7584 —0,9680 -1,1936 —1.4353 —1,6933 —1,9674 —2,2576 0,0000 —0j0025 —OJDIOO —0,0225 —0,0400 —0,0625 —0,0900 —0,1224 —0,1599 —ода —0,2496 —0,3017 —0,3587 —0,4204 —0,4867 —0,5576 —0,6327 —0,7120 —0,7953 —0,8821 —0,9723 —1,06.54 -1,1610 —1,2585 —1.&575 —1,4572 —1.5569 • -1,6557 —1.7S» —1,8472 —1,9376 —2,0228 —2,1016 —2,1723 —2,2334 —2,2832 —2,3199 —2.3413 —2,3454 —2,3300 0,0000 -0,0001 —0,0005 —0,0017 —оххио —OJOO78 0,0135 -0,0214 -0,0320 —0,0455 -0,0624 -0,0831 -0,1078 —0.1370 —0,1709 —0,2100 —0,2545 —0,3048 —0,3612 —0,4238 —0,4931 -0,5690 —0.G52U —0,7420 —0,8392 —0,9436 . —1,0552 —1,1737 —12993 —1,4315 —1,5698 —1,7141 —1,8636 —2JD177 —2,1755 —23361 —2,4983 —2,6608 —2,8221 —2,9808 0.0000 -0.0500 —0,1000 —0.1500 —0.2000 —0,2499 -0,2998 —0,3496 —0,3991 —0.4485 —0,4974 —0,5458 -0,5935 —0,6403 —0,6860 -0,7302 —0,7727 —0,8131 —0,8509 —0,8857 —0.9170 —0,9442 —0,9661 —0,9836 —0,9944 —0,9983 —0,9943 -0,9815 —0,9589 —0,9256 -0,8804 —0,8223 —0,7499 —0,6621 —0,5577 —0,4353 —0,2936 —0,1315 +0,0526 +0,2596
544 ОБЩАЯ ТЕОРИЯ ЦИЛИНДРИЧЕСКОЙ ОБОЛОЧКИ (ГЛ. XV
1№1 РЕЗЕРВУАРЫ СО СТЕНКАМИ ПЕРЕМЕННОЙ ТОЛЩИНЫ 545
Продолжение
— лм-n
А Ф1(Х) ’ dx dx
4,00 4,10 4,20 2,5634 2,2927 —3,1346 0,4912
2.8843 -2,2309 —3,2819 -0,7482
—3^195 -2,1422 —3,4199 -1,0318
4 30 —3,5679 2,0236 —3,5465 -1,3433
4.40 —3,9283 -1,8726 —3,6587 -1,6833
4,50 —4,2991 -1,6860 —3,7536 -2,0526
460 —4.6784 1,4610 —3,8280 2,4520
470 -1,1946 —3.8782 -2,8818
4,80 —5.4531 -0,8837 —3,9006 3,3422
4,90 5,8429 -0,5251 —3,8910 -3,8330
5,00 5,10 5,20 5,30 -6,2301 -0,1160 —3,8454 -4,3542
-6.6107 0.3467 —3.7589 -4,9046
-0,8658 —3,6270 -5,4835
-7,3344 1,4443 -3,4446 -6,0893
5,40 -7,6674 -2,0845 —3,2063 -6,7198
5,50 -7,9.736 1-2,7890 —2,9070 7,3729
5,50 -8.2466 Д5597 -2,5409 -8,0453
5,70 5,80 5,90 . —8,4794 -4,3986 —2,1024 -8,7336
—3.6644 5.3068 -1,5856 -9,4332
-8,7937 -6,2854 -0,9844 +10.1394
6,00 -3.8583 |-7,3347 -0,2931 +10,3462
йфа(Х)
* dx dx
0,00 0,10 0,20 -0,5000 -0,4946 -0,4826 -U409 -1,1034 0,0000 —0,0929 0,1419 -63413 J-3,1340
0,30 0,40 0,4667 -0,4480 —0,8513 —0,6765 —0,1746 —0,1970 -2,0498 -1,4974
0,50 [-0,4275 —0,5449 . —0,2121 -1,1585
060 И) 4058 —0,4412 —0,2216 -0,9273
0,70 0,50 0,90 -0,3834 0,3606 1-0,3377 —0,2308 —0,2268 —0,2286 —0,2276 0.7582 0,6286 -.-0,5258
1,00 1,10 1.20 1,30 +0,3151 +0,2929 +0,2713 +0,2504 -0,1825 —0,1419 —0,1076 —0,0786 -0,2243 -0,2193 —0,2129 -0,2054 HO,4422 -0,3730 -0,3149 |0,265b
1,40 +0,2302 -0,0542 —0,1971 1-0,2235
1,50 1-0.2110 —0,0337 —0,1882 -0,1873
1,60 1,70 1 80 0.1926 —0.0166 —0,1788 -0,1560
1-0,1752 -0.0023 —0,1692 0,1290
1-0,1588 + 0,0094 —0,1594 -0,1056
1,90 -0.1433 4-0,0189 —0,1496
Продолжение
* *»<*) 4ч W dh<*> dx dx
2,00 +0,1289 +0,0265 —0,1399 4 0,0679
2,10 +0,1153 - -0,0325 —0,1304 +0,0527
2.20 +0,1026 - -0,0371 -0,1210 +0,0397
2,30 +0,0911 - -0,0405 —0,1120 +0,0285
2,40 +0,0804 +0,0429 —0,1032 4-0,0189
2,50 +00705 +0,0444 —0,0948 +0,0109
2,60 -*-0,0614 +0,0451 - 0.0868 +0,0039
2,70 -J-0,0531 +0,0452 —0,0791 —0,0018
2,80 -,-0,0455 4-0,0447 -0,0719 —0,0066
2,90 +0,0387 4-0,0439 —0,0650 —0,0105
3,00 +0,0326 4-0,0427 —0,0586 —0,0137
3,10 4-0,0270 4-0,0412 —0,0526 —0,0161
3,20 +0,0220 4-0,0394 —0,0469 —0.0180
3,30 +0,0176 4-0,0376 —0,0417 —0,0194
3.40 + 0,0137 4-0,0356 —0,0369 —0,0204
3,50 4-0,0102 +0,0335 —0,0325 —0,0210
3,60 4-0.0072 - -0,0314 —0,0284 —0,0213
3,70 4-0,0045 - -0,0293 —0,0246 —0,0213
3,80 4-0,0022 - -0,0271 —0,0212 0,0210
3,90 +0,0003 0,0251 —0,0180 -0,0206
4,00 —0,0014 4-0,0230 —0.0152 —0,0200
4,10 —0,0028 --0,0211 —0,0127 —0,0193
4,20 —0,0039 - -0,0192 —0,0104 —0,0185
4,30 —0,0049 - -0,0174 —0ДО83 -0,0177
4,40 —0,0056 +0,0156 —0,0065 —0,0168
4,50 —0,0062 +0,0140 —0,0049 —0,0158
4,60 —0,0066 - 0,0125 —0,0035 —0,0148
4,70 —0,0069 --0,0110 —0,0023 —0,0138
4,80 —0,0071 --0,0097 —0,0012 —0,0129
4,90 —0.0071 J-0,0085 —0,0003 , —0,0119
5,00 —0,0071 +0,0073 4-0,0005 —0,0109
5,10 —0,0070 - -0,0063 + 0,0012 —0,0100
520 —0,0069 - 0,0053 +0,0017 —0.0091
5,30 —0,0067 - -0,0044 +0,0022 —0,0083
5,40 —0.0065 +0.0037 4-0.0025 -0.0075
5,50 —0,0062 +0,0029 40,0028 —0,0067
5,50 —0,0059 +0,0023 - -0,0030 —0,0060
5,70 —0,0056 +0,0017 - -0,0032 —0,0053
5,80 —0,0053 +0,0012 --0X1033 —0,0047 •
5,90 —0,0049 +0,0008 +8,0033 —0,0041
6,00 —0,0046 +0,0004 +0,0033 —0,0036
IS С. П. Тимсшеако, С Войнииский Кригер
546
ОБШАЯ ТЕОРИЯ ЦИЛИНДРИЧЕСКОЙ ОБОЛОЧКИ ГГЛ XV
С помощью этих'формул прогибы и напряжения вычисляются для лю-
бой точки, если только из начальных условий определены постоянные
С]....Cj. Если 2?У jc±=6, то значения функций ф,.ф4 следует взять
из таблицы 47. Для больших значений аргумента достаточно точны ниже-
следующие приближенные выражения:
В качестве примера рассмотрим цилиндрический резервуар тех же
общих размеров, что и тот, с которым мы имели дело в предыдущем пара-
графе (стр. 537), и положим, что' толщина стенки изменяется от 356 мм
у два до 8,9 мм у верхнего края. В таком случае расстояние начала коор-
динат (рис. 248) от дна резервуара будет равно
<< + *.-= я.
Отсюда (2р V’jt)x=iJCo+(f = 21,45. Для такого большого значения аргумента
функции фп.... ф< и их первые производные могут быть заменены их при-
ближенными выражениями (296). Прогиб к наклон у днища резервуара
соответствующие частному решению (с), будут
• , . тс2 d I dw, \ w? хв
ft ‘ &(*,+ <)• ()
Полагая, что длина цилиндрической оболочки в осевом направлении весьма
велика, принимаем постоянные Са и С4 в решении (с') равными нулю, а по-
US) ТЕМПЕРАТУРНЫЕ НАПРЯЖЕНИЯ В ЦИЛИНДРИЧЕСКОЙ ОБОЛОЧКЕ 547
стоянные С| и С2 определяем таким образом, чтобы прогиб и наклон у дна
оболочки обращались в нуль. Эти требования дают нам два следующих
уравнения:
^=|С,[2РГГф!(2РГГ»-2Й(2Рт]- ОТ
_^[грТГф,(гр^7)+2й(гр^.л111=^.7г^;;?..
Вычислив значения функций ф1( фа и их производных из асимптотических
формул (296) и подставив найденные значения в уравнение (j'), получим
С, = —269 3^- . - N,
Еа Уа±хо
где
Еа Уа-^-х0
Внеся эти значения постоянных в выражение (g'), найдем для изгибаю-
щего момента у дна
Af0 — 6311 кгм}м.
Точно таким же образом, пользуясь выражением (h'), находим величину
перерезывающей силы у дна резервуара
QB — — 9400 кг}м.
Эти результаты ненамного отличаются от ранее полученных значений
для резервуара со стенками постоянной толщины (стр. 537).
ПО. Температурные напряжения в цилиндрической оболочке.
Равномерное распределение температуры. Если цилиндрическая
свободная по торцам оболочка подвергается воздействию равномер-
ного изменения температуры, то никаких температурных напряжений
в ней не возникает. Но если торцы ее оперты или защемлены, то
свободное расширение оболочки станет невозможным и на торцах
возникнут местные напряжения ивгиба. Если температурное расши-
рение оболочки со свободными торцами известно, то при посред-
стве уравнений (279) и (280) легко получить, как это и было сде-
лано в случаях, показанных на рис. 241, значения реактивных мо-
ментов и сил для любого способа симметричного опирания.
Градиент температуры в радиальном направлении. Поло-
жим, что fj и t2 (постоянные) температуры стенки цилиндра на ее
внутренней и соответственно на наружной поверхностях и что
по толщине стеики температура изменяется линейно. При этих
18*
548
ОБШАЯ ТЕОРИЯ ЦИЛИНДРИЧЕСКОЙ ОБОЛОЧКИ |ГЛ. XV
условиях в точках, находящихся на значительном расстоянии от кон-
цов оболочки, изгиба не будет, и напряжения можно будет вычи-
слить по формуле (51), выведенной для защемленной по краям пла-
стинки (см. стр. 65). В таком случае напряжения на наружной и
на внутренней поверхностях оболочки будут равны
+ £а <<-<»)
- 2(Г-<’
(а)
причем верхний знак относится к наружной поверхности, указывая
на то, что при /j > /2 на ||ей будут действовать растягивающие
напряжения.
Вблизи торцов обычно имеет место некоторый изгиб оболочки,
и потому полные значения температурных напряжений получатся
в результате наложения на (а) напряжений, приводящих к выполне-
нию заданных граничных условий. Рассмотрим для примера случай
свободных торцов, у которых напряжения ож должны отсутствовать.
Приступая к анализу напряженно-деформированного состояния, за-
метим, что напряжения (а) сопровождаются
(р'..'Аул1 ,s здесь появлением равномерно распределен-
мо р________J ных моментов Л40 (рис. 250, а), величина
а) которых равна
Си."W//4 --g Eatt,— tAh*
| Af°~" 12(1 —v) • <b)
k 4?
Реализация условий свободного торца тре-
Рис. 250. бует здесь наложения моментов той же
величины, но противоположного знака
(рис. 250, Ь). Напряжения на свободном торце определятся поэтому
путем наложения на напряжения (а) напряжений, вызванных момен-
тами— (рис. 250, Ь). Эти последние напряжения легко вычислить,
пользуясь решением (278). Из этого решения следует, что

(A1J,
£«(4—
a v a 2?2D 2/3(1 —')
(c)
(d)
Мы видим, что на свободном торце максимальное температурное
напряжение действует в окружном направлении и получается путем
сложении напряжений (а) с напряжениями, вызванными моментами ЛГ
и силой N?. Полагая, что получаем, таким образом»
_ £а(Л-4)
(б¥)тах — 2(1—м)
(е)
II»] ТЕМПЕРАТУРНЫЕ НАПРЯЖЕНИЯ В ЦИЛИНДРИЧЕСКОЙ ОБОЛОЧКЕ 549
При v=o,3 это напряжение приблизительно на 25% больше напря-
жения (а), вычисленного для точек, находящихся на большом рас-
стоянии от торцов. Отсюда мы можем заключить, что если в каком-
либо хрупком материале, например стекле, возникнет вследствие
разности температур — £2 трещина, то начнется она с торца и
будет следовать в осевом направлении. Подобным же образом можно
вычислить напряжения также и для тех случаев, когда торны защем-
лены или оперты ’).
Градиент температуры в осевом направлении. Если темпе-
ратура постоянна по толщине стенки, но изменяется по длине ци-
линдра, то -задачу легко свести к решению уравнения (274)?). Пусть
t = F(x) представляет собой повышение температуры оболочки,
отсчитываемое от некоторой постоянной начальной температуры.
Положим, что наша оболочка разбита плоскостями, перпендикуляр-
ными к оси х, на бесконечно тонкие кольца; тогда, обозначив
радиус оболочки через а. мы сможем представить радиальное рас-
ширение. колец вследствие изменения температуры в виде произведе-
ния 2aF(x). Это расширение можно уничтожить, вернув оболочку
к ее начальному диаметру, путем наложения внешнего давления такой
интенсивности Z, что
что дает
Нагрузка такой интенсивности полностью устраняет температурное
расширение оболочки, вызывая в ней лишь окружные напряжении
величиной
V" '* &/7«- И
Чтобы получить полные температурные напряжения, мы должны'на
напряжения (g) наложить напряжения, производимые в оболочке
нагрузкой интенсивностью —Z. Эту последнюю нагрузку нужно
приложить для того, чтобы освободить боковую поверхность обо-
лочки от внешней нагрузки, данной ураянением (f). Напряжения,
вызванные в оболочке нагрузкой —Z, получаются посредством
интегрирования дифференциального уравнения (276), принимающего
в данном случае вид
= (Ь>
Несколько примеров такого рода разбирается в работе Кента
(Kent С. Н., Trans. Am. Soc. Meeh. Eng., т. 53, стр. 167, 1931).
s) См. Тимошенко С. П., Лессе ль с Д., Прикладная теория
упругости, М., Гостехнздат, 1931.
550 ОБЩАЯ ТЕОРИЯ ЦИЛИНДРИЧЕСКОЙ ОБОЛОЧКИ (ГЛ XV
В качестве примера применения этого уравнения рассмотрим
длинный циляндр. подобный показанному на рис. 251, а, и положим,
что часть цилиндра, лежащая вправо от поперечного сечения тп,
имеет постоянную температуру t0, между тем как температура левой
части линейно падает до величины на
конце х~Ь согласно закону
t — t —
Изменение температуры в некоторой точке
этой части цилиндра выражается, таким об-
разом. формулой
(fo-1

FM-t-
(i)
Рис. 251.
Подставив это выражение для изменения тем-
пературы в уравнение (h). находим, что част-
ным решением этого уравнения будет

(P
Соответствующее этому частному решению смещение показано на
рис. 251,6, из которого видно, что в сечении тп получается при
этом угол разрыва, равный
Чтобы устранить этот разрыв, необходимо приложить моменты Л!о.
Так как соответствующее частному решению (j) напряжение о? ком-
пенсирует напряжения (g), то мы заключаем, что напряжения, вызван-
ные моментами Л40, представляют собой полные Температурные на-
пряжения, вызванные указанным выше падением температуры. Если
расстояния поперечного сечения тп от концов цилиндра велики, то
значение момента Л10 можно получить путем подстановки
непосредственно из уравнения (280). которое дает'3)
Af0 = —pb^-(f0 /J. (1)
*) Если разность f0—f, положительна, как мы приняли при выводе,
то момент Мв будет отрицательным и примет напрзаление, показанное на
рис. 251. ь.
1191 ТЕМПЕРАТУРНЫЕ НАПРЯЖЕНИЯ В ЦИЛИНДРИЧЕСКОЙ ОВОЛОЧКЕ 551
Внеся сюда вместо 0 его значение из выражения (275) и взяв v == 0,3.
найдем, что максимальное температурное напряжение равно
^=0.353 4“ V<*(/„ /,). (т)
В этих подсчетах предполагалось, что расстояние b до торца
цилиндра велико. Если в действительности это не так, то в значе-
ние момента (1) должна быть внесена поправка, вычисление которой
производится следующим образом. В бесконечно длинной оболочке
момент Л!о вызывает на расстоянии х — b появление момента и
перерезывающей силы (рис. 251, с)1), определяемых общим реше-
нием (282)
,/Зщ, (П)
^ = -O|^ = -2W(pi).
Так как на расстоянии х— Ь у нас имеется свободный край, то дли
устранения сил (h) (рис. 251, Ь) нам необходимо приложить- момент
и силу, величины которых равны
— Л1Х—-- Л1^(рЛ), — рх^2₽/И0С(₽г>). (о)
Момент, произведенный силами (о) в поперечном сечении (тп),
дает искомую поправку ДЛ!0, которую нужно внести в значение
момента (1). Величина этой попраяки определяется тратьим из ypaff-
нений (282), если вместо мы подставим в него — Мур (flft) 2) и
— 2^Л10С(Р4’) вместо Q. Эти подстановки дают
ДА!• = - О-£" = - Л1„|? (f »)Р - 2Л„ К (Р »)Р. (pj
Рассмотрим для примера чугунный цилиндр следующих размеров:
а 246 мм, Л =* 35 мм, 108 мм, а = 101 - Ю-7, Е = 9,1.10® мг/сл?,
= 180° С. Тогда формула (ш) дает
, =тах = 656 KijCM1.
Вычисляя поправку (р), имеем
₽*=>“
и из таблицы 84
Ч ДО) = 0,238, С ДО) = 0223
') Показанные на рис. 251, b направления Мх и Qx положительны, если
ось х направлена так, как показано на рис. 251, а.
2) Здесь введен знак, обратный по отношению к имеющемуся в выра-
жений (о), так как уравнения (282) выведены для направления' осн х, про-
тивоположного’указанному на рис. 251, л.
552 ОБ ШЛЯ ТЕОРИЯ ЦИЛИНДРИЧЕСКОЙ ОБОЛОЧКИ
Отсюда по формуле (р)
[ГЛ XV
&М=ь— Ме (0.238* 4-2-0,223s) =х-0,156М„.
Это указывает -на то, что для получения истинного максимального значения
температурного напряжения вычисленное выше максимальное напряжение (q)
нужно уменьшить на 15,6%.
Изложенный здесь метод вычисления температурных напряжений в слу-
чае линейного закона изменения температуры (1) без затруднений может
быть применен также и в тех случаях, когда F (л) имеет иной — не линей-
ный вид.
120. Деформация нерастяжимой круговой цилиндрической
оболочки'). Если торцы тонкой круглой цилиндрической оболочки
свободны и нагрузка не симметрична относительно оси цилиндра,
то деформация сводится в основном к изгибу. Величину прогиба
в подобных случаях можно получить с достаточной точностью, со-
вершенно пренебрегая растяжением срединной поверхности оболочки.
Пример такого типа загружения изображен на рис. 252. Укорочение
вертикального диаметра, по которому действуют силы Р, может
быть определено здесь с удовлетворительной точностью, если при-
нять во внимание один лишь изгиб оболочки и допустить, что сре-
динная поверхность ее нерастяжима.
Рассмотрим сначала те ограничения, которые налагаются на ком-
поненты смещения в тех случаях, когда деформация цилиндрической
оболочки не сопровождается растяжением. Выделив в точке О сре-
динной поверхности оболочки элемент и направив оси координат,
как показано на рис. 253, обозначим компоненты смещений точки О
в направлениях х, у и z соответственно через и, © и ж Линейная
деформация в направлении х будет тогда
*) Теория деформаций нерастяжнмых оболочек принадлежит Рэлею
Lord .Rayleigh, Proc. London Math. Soc, i. 13, 1881, и Proc. Roy, Soc
London, i. 45, 1889),
12(5} ДЕФОРМАЦИЯ НЕРАСТЯЖИМОЙ ЦИЛИНДРИЧЕСКОЙ ОБОЛОЧКИ 553
Для вычисления линейной деформации в окружном направлении
воспользуемся уравнением (а) (§ 108, стр. 492). При этом будем
иметь
Деформация сдвига в срединной поверхности выразится суммой
______________________________ ди , dv f .
^*5 edf ' дх ’ '
той же самой, что и в случае малых прогибов пластинки, с той
лишь разницей, что вместо dy здесь входит произведение ad<f.
Условие, согласно которому деформация не должна сопровождаться
растяжением, требует при этом, чтобы три компонента деформации
обращались у срединной поверхности в нуль, т. е. чтобы
ди __Q 1 - - о |
Их ' ~а df а * ад? $х
Эти Требования будут удовлетворены, если мы представим смещения
в следующем виде:
«х = 0.
«1 = о S (й„ cos n<p — а'п sin п?). (е)
да, - — а 2 п (ап sln п(? + а'п cos ”?)•
где а — радиус срединной поверхности оболочки, — центральный
угол, а ап и а‘п — постоянные, вычисляемые для каждого частною
случая загрузки. Смещения (е) представляют тот случай, когда все
поперечные сечения оболочки деформируются совершенно одинаково.
На эти смещения нам нужно наложить смещения (два из которых
изменяются по длине цилиндра), выражаемые посредством следую-
щих рядов:
и^,= — а -i- (b„ sln п<р + bn cos ny).
v2 — x 2 (bn cos n<p — b’n sin
w2 — — x S л (bn sin n<f -f- b'n cos n<p) ,
Рис. 254.
654 ОБЩАЯ ТЕОРИЯ ЦИЛИНДРИЧЕСКОЙ ОБОЛОЧКИ [ГЛ. XV
Подстановкой в уравнения (d) легко доказать, что эти выражения
точно так же удовлетворяют условиям нерастяжимости. Таким обра-
зом, окончательными выражениями для смещений при деформации
нерастяжимой цилиндрической оболочки будут
и Uj-j-п2. w-~ Wj4-tt«2. (g)
Для вычисления деформации без растяжения цилиндрической
оболочки, находящейся под действием данной системы сил, удобно
применить энергетический метод. Чтобы
вывести нужное нам выражение для энер-
гии деформации изгиба оболочки, начнем
с того, что вычислим изменения кривизны
срединной поверхности оболочки. В на-
правлении образующей это изменение
равно нулю, поскольку, как это можно
видеть из выражений (е) и (f), образую-
щие остаются прямыми. Изменение кри-
визны окружности получится из сравнения
кривизны элемента тп окружности (рис. 254) до деформации с кри-
визной. соответствующей элементу т1п1 после деформации. До де-
формации кривизна в окружном направлении равна
______ dz ___ 1
d s adz ~~ a *
Кривизна элемента после деформации
-Д1-ЙЙ j-----г—;—.
OS] (a—w)a<f
Отсюда изменение кривизны
_^+fe. »___________t i
(«— ady dj>* /
Пользуясь вторым из уравнений (d). мы можем также написать
Изгибающий момент, произаодящий это изменение кривизны, равен
м __________________________D (dv t дги' \
а» “1" йу» )•
Соответствующая же энергия деформация изгиба ия единицу пло-
щади может быть вычислена по тому же Способу, которым мы поль-
1201 ДЕФОРМАЦИЯ НЕРАСТЯЖИМОЙ ЦИЛИНДРИЧЕСКОЙ ОБОЛОЧКИ 555
зовались в расчетах пластинок (см. стр. 60), причем она оказывается
равной
2а’ \ с)<? д^ ) ~ 2а* + д?) ‘ ф
Кроме изгиба каждый элемент, подобный, например, изображен-
ному у точки О на рис. 253, будет испытывать кручение. Для того
чтобы вычислить деформацию кручения, заметим, что элемент обра-
зующей поворачивается1) при этом на угол, равный —d-wjdx, от-
носительно оси у, и на угол, равный dv[dx, относительно оси г.
Если мы обратимся теперь к подобному же элементу образующей,
отстоящему от первого на расстоянии a dy по окружности, то заме-
тим, что его поворот относительно оси у в результате смещения ®
будет равен
^~5^~~~д^дхй^' О
Вращение того же элемента в плоскости, касательной к оболочке,
равно
В силу того, что между двумя элементами имеется угол dy, ука-
занное вращение будет иметь составляющую относительно оси у,
равную 2)
до .
(к)
Из 'формул (j) и (к) заключаем, что полный угол кручения между
двумя рассматриваемыми элементами разен
/ d*w . dv\,
-5G,o<'T = -(3?K+-3?)rf?
и что величина энергии деформации кручения на единицу площади
выразится произведением (см. стр. 61)
PQ —•*) ( V m
• a* \дудх~^ дх) ’ W
Складывая выражения (i) и (I) и интегрируя по всей поверхности
оболочки, находим полную энергию деформации цилиндрической
’) При установлении знака поворота здесь применено правило винта
с правой нарезкой.
*). В этом выражении мы пренебрегаем малой величиной второго
порядка.
S56 ОБЩАЯ ТЕОРИЯ ЦИЛИНДРИЧЕСКОЙ ОБОЛОЧКИ
оболочки, подвергающейся деформации без растяжения
[гл «V
D Г Г \(dv , d2®V । о/, . 9/ б2® . й«У] . .
SSTj J Kv+ Tv) +-2(|^')“ (<>1«« + <>Л
Подставив сюда аместо w и v их выражения (g) и интегрируя, на-
ходим для цилиндра длиной 21 (рис. 252) следующее выражение для
энергии деформации:
yni{'‘![',!('‘2„+<)+4'2K+»;1)]-'-
л«2
4-2(1—^(Й + Й1)}. (297)
Это выражение не содержит члена с п= 1, так как соответствую-
щие смещения
= а (а^ cos <f — a' sin <₽),
= — a (^sin?-]- aj cos 9)
(m)
представляют собой смещения круга как твердого тела в его пло-
скости. Вертикальный и горизонтальный компоненты этого сме-
щения находятся подстановкой <р=я/2 в выражения (ш); при этом
получаем
(®1Х= « — — аа', п = — аах.
Это смешение не оказывает влияния на величину энергии дефор-
мации.
Тот же вывод может быть сделан и в отношении смещений,
представленных членами с п= 1 в выражениях (f).
Применим теперь выражение (297) энергии деформации к вычислению
деформации, произведенной в цилиндрической оболочке, двумя равными и
противоположными силами Р, действующими по диаметру в сечении, от-
стоящем на расстоянии е от середины оболочки ) (рис. 252). Эти силы
производят работу лишь на радиальных смещениях w точек их приложения,
т. е. точек х — с, у==0 и 9= я. Так как члены с коэффициентами ап и Ьп
в выражениях для w, и и>2 [см. уравнения (е) и (f)J в этих точках обра-
щаются в нуль, то в выражение для деформации войдут лишь члены с коэф-
фициентами а„ и Ьп. Пользуясь принципом виртуальных перемещений, иншем
') Отучай Цилиндрической оболочки, усиленной упругими кольцами н
нагруженной двумя противоположными силами, которые действуют по диа-
метрам этих колец, рассматривал Р. С. Леви (Levy R, S.. J. Appt Meeh.,
т. 15, стр. 30, 1948).
1201 ДЕФОРМАЦИЯ НЕРАСТЯЖИМОЙ ЦИЛИНДОИЧГСКОЙ ОБОЛОЧКИ 55?
уравнения для вычисления коэффициентов а'п и д'я:
dV г
—— Ъап = — па Ъап (1 + cos лж) Р,
дап
dV ! t
—— ЪЬп = — пс ъьп (1 cos mi) Р.
Подставляя сюда вместо V выражение (297), получаем дли случая, когда
п—четное число,
а*Р
п(п*—Т?ъО1 ’
_________ перс8___________
(и2 — I)2 r.Dl пЧ2+2(1 — v)c2j
(")
Если п — вечетное число, имеем
(®)
-vjc2] ’
И тогда по формулам (е) и (f)
Ра3
Ра3
r.Dl
Ра3
W =—НТ

Если силы Р приложены в середине оболочки, т. е. если с = 0, то укоро-
чение вертикального диаметра оболочки будет равно
2Ра3 V 1 лтлп ра* zv
r.Dl i (п2 — I)2 -01149 2DI <q)
Ь = (w)¥=<0 + («’)P=,
Удлинение же горизонтального диаметра
2Ра3
<Ч4+<”,,-Й“та'„.
спу=°'137ЯЯ- «
V <-*)'
А4 (л8-
Легко вычислить также изменение длины любого другого диаметра. Подоб-
ные же выкладки можно произвести и для того случая, когда с отлично
от нуая, а прогибы изменяются с расстоянием х от середины.
Решение (р) не удовлетворяет условиям на свободных краях оболочки,
так как оно требует, чтобы во избежание изгиба в меридианных плоскостях
быан приложены распределенные моменты Изгиб этот носит.
658 oenu# теория цилиндрической оболочки |гл. xv
однако, местный характер и заметно не влияет на прогибы (q) и (г), что
находится в удовлетворительном согласии с экспериментами.
Только что описанным методом анализа деформаций цилиндрической
оболочки без растяжения можно воспользоваться также и при вычислении
деформации части цилиндрической оболочки, вырезанной из целого цилиндра
радиуса а двумя осевыми сечениями, образующими между собой угол а
мы получим такую деформацию обо-
лочки без растяжения, что смещения и
и ср, а также изгибающие моменты М9 обратятся по краям тп и mtrii
в нуль. Такие условия имеют место в том случае, если оболочка подперта
н точках т, п, п, радиально направленными стержнями и нагружена
в плоскости симметрии силой Р. Произведенный этой нагрузкой прогиб
можно найти, воспользовавшись принципом виртуальных перемещений.
121. Общий случай деформации цилиндрической оболочки ’).
Чтобы вывести дифференциальные уравнения для определяющих де-
) Общая теория изгиба тонкой оболочки была построена Лявом; см.
Love А. Е Н, Phil. Trans. Roy. Soc., Лондон, серия А, стр. 491, 1888,
а также его книгу; Л я в А., Математическая теория упругости, ОНТИ,
М.— Л., 1935, глава 24, стр. 540; см. также Lamb Н, Proc. London Math.
Soc., т. 21.
Изгиб цилиндрических оболочек см. также Ret-esner Н, Z. angew.
Math. Meeh., г. 13, стр. 133, 1933; Donnell L. Н, NACA Rept., 479, 1933
(упрощенная теория); Torroja Е., Batanero J., Cubiertos laminates
cilindros, Мадрид, 1950; Park us H., Osterr. Ingr.-Arch, t. 6, стр. 30, 1951;
Zerna W„ Ingr.-Arch, 7. 20, стр. 357, 1952; Csonka P, Acta tech. Acad,
sci. Hung., ?. 6, стр. 167, 1953. Эффект сосредоточенной нагрузки рассма-
трияается в работах; Aas-Jakobsen A, Bautagenleur, т, 22, стр. 343,
1941; Р а б о т н о в Ю. Н, Доклады АН СССР, т. 3, 1946; В л а с о в В. 3.,
Общая теория оболочек, Гостехиздат, Москва, 1949. Цилиндрические обо-
лочки, усиленные ребрами, рассматривались в работах; Hof f N. J„ J. Appl.
Meeh, T. 11, стр. 235, 1944; Reissner H, Anniversary volume, Анн-Арбор,
Мичиган, США, 1949; Schnell W, Z. Flugwiss, t. 3, стр. 385,1955. Анизо-
тропные пластинки (вместе с общей теорией) трактуются в работе
F'liigge W, Ingr.-Arch, т. 3» стр. 463, 1932, также у В. 3. Власова (цит.
выше)—главы 11 и 12. Материалы к вопросу о распределении напряжений
иокруг армированных отверстий приводятся в статье: Natl. Luchtvaarlab.
Rappts, стр. 362, Амстердам, 1950. Теория толстой цилиндрической оболочки
была разработана Базантом (Вazant Z„ Proc, assoc. Bridge structural engrs.,
i. 4, 1936).
|21J ОБЩИН СЛУЧАЙ ДЕФОРМАЦИИ ЦИЛИНДРИЧЕСКОЙ ОБОЛОЧКИ Б59
формацию оболочки смещений и. v и да, будем поступать так же,
как и при расчете пластинки. Начнем с уравнений равновесия эле-
мента, вырезанного из цилиндрической оболочки двумя смежными
осевыми сечениями и двумя смежными сечениями, перпендикуляр-
ными к оси цилиндра (рис. 253). Образозанный таким способом
элемент срединной поверхности оболочки после деформации изобра-
жен на рис. 256. а и Ь. На рис. 256, а показаны результирующие
Ь)
Рис. 256.
силы, а на рис. 256, Ь — результирующие моменты, о которых
говорилось в § 104. До деформации оси х, у и z в любой точке О
срединной поверхности были направлены по образующей, по каса-
тельной к окружности и соответственно по нормали к срединной
поверхности. После деформации, которая предполагается здесь весьма
малой, эти направления слегка изменяются. Мы совмещаем тогда
новую ось z с нормалью к деформированной срединной поверхности,
ось х — с касательной к образующей, которая может стать при этом
кривой, ось же у направляем перпендикулярно к плоскости XZ.
Напривления результирующих сил также слегка изменятся, и эти
ОБЩАЯ ТЕОРИЯ ЦИЛИНДРИЧЕСКОЕ ОБОЛОЧКИ
[ГЛ XV
изменения нужно принять во внимание при состзалении уравнений
равновесия элемента О АВС.
Начнем с вывода формул для углов поворота сторон ВС и АВ
относительно сторон ОА и соответственно ОС элемента. При этом
мы будем считать смещения и, v и да весьма малыми; вычислим
углы поворота, обусловленные каждым ив этих смещений, и посред-
ством наложения получим результирующий угол поворота. Начнем
с вращения сторон ЕС относительно сторон СА. Это вращение
можно разложить на три составляющие вращения относительно
осей х. у и z. Вращения сторон О А и ВС относительно оси х
вызваны смещениями v и чи, Так как смещения ч> представляют
собой движение сторон ОА и ВС в окружном направлении (рис. 253),
то при радиусе срединной поверхности цилиндра, разном а, соот-
ветствующее вращение стороны ОА относительно оси х будет
равно v/a, а стороны ВС
Таким образом, вращение ВС относительно стороны О А вокруг
оси х, обусловленное смещениями и. будет разно
В результате смещений да сторона ОА повернется относительно
оси х на угол d-wjady, а сторона ВС — на угол
dw i) I ()w \
a • дх \адч> I
dx.
Поэтому вызванный смещениями да относительный угол поворота
равен
Суммируя (а) и (Ь), найдем относительное вращение сторон ВС около
оси х при отсчете угла от стороны ВС’.
1 / dv . d*w \ . .
7<с>
Вращение стороны ВС вокруг оси у относительно стороны ОА вызы-
вается изгибом образующих в осевых плоскоствх и равно
д2и> .
(d)
Вращение стороны ВС вокруг оси z относительно стороны ОА
является результатом изгиба образующих в касательных плоскостях
и равно
d*v .
К
1211 ОБЩИЙ СЛУЧАИ ДЕФОРМАЦИИ ЦИЛИНДРИЧЕСКОЙ ОБОЛОЧКИ 561
Таким образом, формулы (с), (с!) и (е) дают три компонента вра-
щении стороны ВС относительно стороны ОД.
Выведем теперь соответствующие формулы для вращения сто-
роны АВ относительно стороны ОС. В силу кривизны цилиндри-
ческой оболочки начальный угол между этими боковыми сторонами
элемента ОАВС равен dtp. В результате смещений v и w этот угол,
однако, изменится. Угол поворота боковой стороны ОС относительно
оси х равен
Соответствующий угол для боковой стороны АВ равен
v . dw । div. dw \ .
а~^~ ady'dy ad<f )
Таким образом, вместо начального угла dtp мы получим
. , . / dv . dsw \
^+а‘г\т^+-Л^)- <й
Для вычисления угла поворота стороны АВ около оси у относи-
тельно стороны ОС используем выражение для угла закручивания
из предыдущего параграфа (см. стр. 555); оно'дает нам требуемое
угловое смещение
<ь>
Вращение стороны АВ вокруг оси z относительно ОС вызывается
смещениями v и w. Обусловленный смещениями v угол поворота
стороны ОС равен dv[dx, стороны же АВ
так что относительный поворот равен
0)
Вследствие смещения w сторона АВ поворачивается в осевой пло-
скости на угол dw[dx. Компонент этого поворота относительно
оси z равен
ди/ j
—гг4»- <>|
Суммируя (i) и (j), находим относительный поворот стороны АВ
около оси z при отсчете от стороны ОС
' d3v dw \
k d f дх дх )
(к)
562
ОБЩАЯ ТЕОРИЯ ЦИЛИНДРИЧЕСКОЙ ОБОЛОЧКИ
[гл xv
Располагая этими формулами ]) для углов, мы можем теперь на-
писать три уравнения равновесия элемента ОАВС (рис. 256), проек-
тируя все силы на оси х, у и Z- Начав, с сил, параллельных резуль-
тирующим силам Nx и NvX, и спроектировав их на ось х, получим
dNx дЛ'
-g^-axad^. —gj-d^dx.
Ввиду наличия угла поворота, представленного выражением (к), силы,
параллельные N „ дадут компонент в направлении х, равный
/ дяи dw\ , .
~NA^x ^)d'?dx
Вследствие вращения, представленного выражением (е), силы, парал-
лельные NXif, дадут компонент в направлении х, равный
---Мга, dx °
дх2 1
Наконец, л результате вращений, представленных выражениями (d)
и (к), силы, параллельные Qx идадут в направлении X компо-
ненты, равные
„ dsw , , „ ( йга> . dv \ , ,
- Q, -да - Q, (й^+аг)
Что касается приложенных к элементу внешних сил, то мы.
предполагаем, что он подвергается действию одного лишь нормаль-
ного давления интенсивностью д, проекция которого на ось х равна
нулю.
Суммируя все вычисленные выше проекции, получаем
dNx dNvx ! &v да>\
^xad^-^dx-N^^-^dx-
.. d2v , , „ d2w . . fx f d2w । dv\ , , n
- W dxa “t - Ox SP dxa dt - 4 (dfix + -8?) df dx = °-
Аналогичным образом напишутся и два других уравнения равно-
весия. После упрощения все три уравнения можно будет представить
*) Эти формулы легко могут быть получены для цилиндрической обо-
лочки из общих формул, выведенных .Пивом в его книге «Математическая
теория упругости», М. —Л, ОНТИ, 1935.
1211 ОБЩИЙ СЛУЧАЙ ДЕФОРМАЦИИ цилиндрической ОЁОЛОЧКИ 563
в следующей виде:
, /. , dv , dsw \ , R7 / dv . d2w \ , -
+ дД‘ +'ea-/+’I1svr)+,'»>v<>7'1 агг5’)+?‘,=0-
Переходя теперь к трем уравнениям моментов относительно
осей х, у и z (рис. 256, Ь) и принимая опять в расчет малые угло-
вые смещения сторон ВС я АВ относительно О А и соответственно ОС,
получим следующие уравнения:
дМк„ дМа , дги _ [ d!v dw\
--------± — аМх-^—М г|_-—— — _ио<? =0,
дх д? х дх* 9х\дхд? дх ]' f
дМ<г,г дМх d2v f d2v dwX
~sf 1
•. / dv dsw \ , ,. d2w ... I dv , d2w \
(299)
Пользуясь первыми двумя иа этих уравнений *), мы сможем
исключить Qx и Qy из уравнений (298) и прийти таким путем к трем
уравнениям, содержащим результирующие силы Nx. N? и NXf и
моменты Мх, Mf и МХр. С помощью формул (253) и (254) из § 104
все эти величины можно выразить в функции трех компонентов ех,
ef и ТхР Деформации срединной поверхноств и трех приращений
Xf и Х^т кривизны. На основании выводов предыдущего параграфа
эти последние величины можно представить в функции смещений и.
’) Чтобы удовлетворить третьему из этих уравнений, нужно, как об.этом
упомянуто в. § 104,. принять во виимавие трапецеидальную форму сторон
элемента АОВС. Этот вопрос трактуется в книге Флюгге, цит. выше.
564 ОБЩАЯ ТЕОРИЯ ЦИЛИНДРИЧЕСКОЙ ОБОЛОЧКИ (ГЛ XV
v и и>, а именно г):
ди
Е,--S-'
л дх
__д2ч>
__ dv w
v аду а
__ 1 / до , д2ш> \
Хр й2 ( йф ' ду2 / *
, — й“ | *
аду ' дх ‘
__ 1 (dv . dsw \
а 1 дх ~1~ дх ду }'
(300)
Таким образом, для определения смещений и, -и и ио мы получаем
окончательно три дифференциальных уравнения.
При выводе уравнений (298) и (299) было принято во внимание
изменение кривизны элемента О АВС. Это является необходимым,
если силы Nx, Ny и Nxy немалы в сравнении с их критическими
значениями, при которых может произойти боковое выпучиввние
оболочки 2). Если эти силы малы, их влиянием на изгиб можно пре-
небречь, и мы вправе отбросить в уравнениях (298) и (299) все
члены, содержащие произведения результирующих сил или резуль-
тирующих моментов на производные малых смещений a. v и w.
В таком случае три уравнения (298) и первые два уравнения системы
(299) можно будет переписать в следующем упрощенном виде:
(301)
дЛ4/р
- ---sJL+‘’<?.=0.
дх ду 1 т
dMvlc дМх
^'“Sx oQ, = 0.
Исключая перерезывающие силы Qx и Qy, получаем, наконец, сле-
дующие три уравнения:
ду ~1~
д2Мх
дхду ~^~а дх2
dN
1) Это — те же самые выражения для изменения кривизны, что и при-
мененные в предыдущем параграфе, воскольку влиянием линейной дефор-
мации в срединной поверхности на кривизну пренебрегалось в обоих случакх.
2) Задача о выпучивании цилиндрической оболочки разбирается в книге
Тимошенко С. П„ Устойчивость упругих систем, Гостехиздат, 1955
н здесь рассматриваться не будет.
122] ЦИЛИНДРИЧЕСКАЯ ОЙОЛОЧКА, СВОБОДНО ОПЁРТАЯ ПО ТОРЦАМ 565
Все входящие в эти уравнения величины можно с помощью фор-
мул (253), (254) и (300) выразить в функции смещений и, V и w,
в результате чего получим
Более углубленное исследование обнаруживает1), что два послед-
них члена в левой части второго из этих уравнений и последний
член в левой части третьего уравнения являются малыми величинами
того же порядка, как и те, которыми мы уже пренебрегали, при-
нимая гипотезу линейного распределения напряжений по толщине
оболочки и игнорируя растяжение (провисание) срединной поверх-
ности оболочки (см, стр. 476). В связи с этим представляется
логичным опустить и вышеупомянутые члены и принять в расчете
цилиндрической оболочки следующую упрощенную систему уравнений:
, 1 —-у д2« . 1 -J-v d2v у dw
дх2 ' 2a* ду* 1 2а дхду "а дх '
1-|-у дяи 1у дЧ> \ d2v 1 dte
2 дхду '° 2 дх4 ' а д'/4 а ду *
ди dv w fl2 / dfw , 2 d4w . \_
дх ’ аду а 12 \а дх* ’ ~а дх’д?4 йадучJ
= ~SS^—- (301)
Некоторые упрощенные выражения для результирующих напря-
жений, соответствующие упрощенным соотношениям (304) между
перемещениями оболочки, будут даны в § 125.
Из изложенного ясно, что задача о поперечно нагруженной цилин-
дрической оболочке сводится в каждом частном случае к решению
этой системы дифференциальных уравнений. Некоторые применения
этих уравнений будут показаны в следующих двух параграфах.
122. Цилиндрическая оболочка, свободно опертая по торцам.
Рассмотрим случай цилиндрической оболочки, опертой по торцам
*) См. В. 3. Власов (цит. выше на стр. 503), стр. 316, а также стр. 257
(более точные уравнения).
566
ОБЩАЯ ТЕОРИЯ ЦИЛИНДРИЧЕСКОЙ ОБОЛОЧКИ
(ГЛ. XV
и подвергающейся, как показано на рис. 257 ’), давлению заключен-
ной внутри ее жидкости. Условия опирания и условия симметрии
деформации будут удовлетворены, если мы возьмем компоненты
смещения в виде следующих рядов:
VT VI . тих
“= Л л Л„„ COS №f COS — .
VI VI n , mii.f
« = л л В,™ sm n<p sin ; ,
V V п яггсх
®=2- 2й С"’"cos я*8,п ~~г •
(а)
где I — длина цилиндра, а ср — угол, отсчитываемый так, как показано
на рис. 257 * 2).
Рис. 257.
Интенсивность нагрузки q представляется следующими выраже-
ниями:
q =— 7й(созср—cosa), если ф<о, |
„ г (Ь)
ч q — Q, если ip>e, J
где у — удельный вес жидкости, а угол в определяет, как показано
на рис.. 257, Ь, уровень жидкости. Нагрузку q можно представить
рядом
V» V » тпх , .
,= £2(0.,со'’»™—• и
коэффициенты которого Отп легко могут быть вычислены обычным
путем из выражений (Ь). Эти коэффициенты представляются выра-
жениями
D„ =-------——тт- (cos a sin па—п cos па sin а), (d)
’) См. Тимошенко С. П., Теория упругости, т. 2, стр. 385, СПб., 1916.
2) Путем подстановки выражений (а) в уравнения (300) можно показать,
что растягивающие силы Nx и моменты Мх обращаются на концах в нуль;
сднако перерезывающие силы при этом не обращаются в нуль, так как ]>?
и Мк^ на концах не рааны нулю.
122] ЦИЛИНДРИЧЕСКАЯ ОБОЛОЧКА. СВОБОДНО ОПЕРТАЯ ПО ТОРЦАМ 567
где
т=1, 3, 5, ... и л = 2, 3, 4.......
причем
©я,0 = — (sin а—а cos а), (е)
a
Owl = —^-(2a-sin2a). (f)
В случае, если цилиндрическая оболочка целиком заполнена жидко-
стью, то, обозначив давление у оси цилиндра ’) через yd, будем иметь
Ч=— T(<i+ccos<p), (g)
а вместо выражений (d), (е) и (f) получим
0^=0. М. <4
Чтобы найти деформацир оболочки, внесем выражения (а) и (с)
в уравнения (304). При этом для каждой пары значений т и п мы
получим систему трех линейных уравнений, из которых можно вы-
числить* 2) соответствующие значения коэффициентов Лтп> Впп и С,пп.
Взяв частный случай, когда d~a, найдем, что для л=0 и т—1,
3, 5,___эти уравнения особенно просты, причем мы получим
о ____о с _____ ™г' л —_________________kN___________
—v> '’тО----Ц ' znO — < _2 т
Для n = 1 выражения для коэффициентов получаются более сложными.
Чтобы показать, сколь быстро уменьшаются эти коэффициенты с уве-
личением т, приводим в таблице 87 численные значения этих коэф-
фициентов для частного случая, когда
а = 50 ел. 1 = 25 см, h=7 см, и = 0,3 и а = тг.
Мы видим, что с возрастанием т коэффициенты быстро уменьшаются.
Ограничив поэтому число коэффициентов только теми, которые
*) В замкнутом цилиндрическом сосуде это давление может быть больше
чем ау.
2) Такие вычисления были выполнены для некоторых частных случаев
Войташаком (Wojtaszak I. A., Phil. Mag., 7-я серия, т. 18, стр. 1099, 1933).
См. также статью Рейсснера (Reissner Н., Z. angew. Math. Meeh., т. 19,
стр. 133, 1933).
568 ОБЩАЯ ТЕОРИЯ ЦИЛИНДРИЧЕСКОЙ ОБОЛОЧКИ (ГЛ XV
приведены в таблице, мы получим деформацию оболочки с достаточ-
ной точностью.
Таблица 87
Значения коэффициентов в выражениях (а)
т 2 10* . Лтй' Nh 2 W3 Cmo Nh 2.10s ’ А» R 2|P* mi ’ Nh 2-1Q3 "I ‘ Kh
1 3 5 57,88 0,1073 0,00503 -1212 —6,742 —0,526 49,18 0,1051 0,00499 —66,26 — 0,0432 — 0,00122 —1183 —6,704 -0,525
123. Изгиб участка цилиндрической оболочки. Метод, исполь-
зованный в предыдущем параграфе, может быть применен также
и к участку цилиндрической оболочки, опертому по краям и под-
вергающемуся действию равномерно распределенной нагрузки q,
нормальной к поверхности (рис. 258) *). Возьмем компоненты смеще-
ния в виде рядов
Vi VI , пгм тг.х
“ = 2, 2sm . cos—t~
V' V’ r, nr.a mux
v=2i 2ie™<:l" , sin~г
V Vi „ tmj mux
=Zt 2isin « s,n~ •
(a)
где a — стягиваемый оболочкой центральный угол, а I— длина обо-
лочки. Посредством подстановки выражения (а) в уравнения (300)
можно показать, что мы при этом удовлетворим граничным условиям,
требующим, чтобы по краям <р = 0 и tp = a прогиб п>, сила и
момент обращались в нуль и чтобы по краям х —0 и х — 1
обращались в нуль прогиб w, силы Nx и момент Мх. Интенсивность
нормальной нагрузки д может быть представлена рядом
Ч = S S sin sin
(Ь)
Подстзлляя ряды (а) и (Ь) в уравнения (301). мы получим следующую
систему линейных алгебраических уравнений для вычисления коэф-
’) См. Тимошенко С. П., Теория упругости, т. 2, стр. 386, 1916.
123| ИЗГИБ УЧАСТКА ЦИЛИНДРИЧЕСКОЙ ОБОЛОЧКИ
фициентов Атп, Втп и С„„:
569
(С)
Чтобы иллюстраровать применение этих уравнений, рассмотрим
случай равномерно распределенной нагрузки '), действующей на отре-
зок цилиндрической оболочки с малым углом а и малой стрелой
провисания /=а[1 — cos(a/2)J. В этом частном случае выражение (Ь)
принимает вид
У у SI„'Sslr5-?,
тгтп I а ’
коэффициенты же 0^ определяются выражением
п =
Umn inn?
(ф
(е)
Подстановка этих вначений в уравнения (с) позволит нам вычислить
коэффициенты Атп, Втп, Ста- Расчеты, выполненные для частного
случая, когда аа—1, и для нескольких значений отношения f//i,
обнаруживают, что при малых значениях этого отношения ряды (а)
быстро сходятся, и уже небольшое число первых членов дает смеще-
ния с удовлетворительной точностью. При этом обнаруживается
также, что с увеличением fth быстро уменьшаются и максимальные
значения напряжений изгиба, вызываемых моментами Мх и /И„.
Вычисление этих напряжений для сравнительно больших значений //Л
весьма кропотливо, так как ряды, выражающие эти моменты, схо-
дятся не так быстро, и потому требуется учитывать большее число
членов.
Изложенный в этом параграфе метод напоминает метод Навье для рас-
чета прогибов 1фямоугольной пластинки, свободно опертой по краям. Если
в оболочке, изображенной на рис. 258, свободно опертыми являются лишь
прямолинейные края и = 0 и два же других края защемлены или
*) Предполагается, что на1рузка действует по направлению к оси
цилиндра.
570 ОБЩАЯ ТЕОРИЯ ЦИЛИНДРИЧЕСКОЙ ОБОЛОЧКИ [ГЛ XV
свободны, то здесь можно будет применить решение, сходное с методом
М, Леви для случаи прямоугольной пластинки (см. стр. 133). Примем для
компонентов смещения следующие ряды:

(I)
где Um. Vm и Wln— функции одного лишь х. Подставив эти ряды в урав-
нении (304), получим для Um, Vm и Wm три обыкновенных дифференциаль-
ных уравнения с постоянными коэффициентами. Эти уравнения можно
интегрировать с помощью по-
казательных функций. Подоб-
ного рода расчет, проведенный
для замкнутой цилиндрической
оболочкиг), показывает, что
решение весьма громоздко и
что пригодные для практиче-
ских приложений результаты
могут быть получены лишь
при введении упрощающих
допущений. Можно пока-
зать, что каждая система
функций Um. Vm, содер-
жит восемь постоянных инте-
грирования для каждого при-
нятого значения т. Поэтому
для каждого края х = const
в нашем распоряжении должно
быть четыре условия. Сформу-
лируем эти условия для ниже-
следующих трех случаев.
Край защемлен. Обычно такое опирание предполагается абсолютно
жестким, чему соответствуют нижеследующие краевые условия:
и=0, в = 0, w=0, 4^- = 0. (g)
дх
Если, однако, поверхность оболочки у своего края имеет возможность сво-
бодно перемещаться в направлении х, то первое из указанных выше условий
следует заменить на другое: Nx — 0.
Край свободно оперт. Подобного типа шарнирный край не обладает
способностью передавать момент Мх. необходимый для реализации условна
dw/dx=0 Допустив поэтому, что конструкция опоры не оказывает сопро-
тивлении в направлении х, приходим к такой системе граничных условий:
v = 0. w=0, Мл = 0, Л'А=0, (Ь)
’) См. статью Мизеля (Mleael К-, Ingr.-Arch., т. 1, стр. 29, 1929).
В этой статье излагается приложение теории к расчету напряжений
в обшивке подводной лодки.
123] ИЗГИБ УЧАСТКА ЦИЛИНДРИЧЕСКОЙ ОБОЛОЧКИ 571
и которой ни смещение и ни результирующие напряжений Nx„, Mxv и Qx
не обращаются у края в нуль.
Опорные реакции у свободно опертого края (рис. 259, а) заслуживают
краткого рассмотрения. Действие крутящего момента MXf ds, приложен-
ного к элементу АВС О края, статически эквивалентно действию трех сил,
показанных на рис. 259, Ь. Приращение радиальных сил Л4ЖТ по краю при-
водит, как и в случае пластинки (рис. 56), к возникновению дополнительной
Рис. 259.
перерезывающей силы интенсивностью — дМх?!д$, полная величина которой
(рис. 259, с) выражается разностью
ДМ™
г—W
Остающийся компонент Мхч, d<f (рис. 259, 5) можно рассматривать как допол-
нительную мембранную силу интенсивностью MXfd<?lds *= MXffa. Поэтому
результирующая иембраннак сила в направления касательной к краю выра-
жается суммой
МХ9
S, = w„ + -^. (В
Свободный край. Приравняв все результирующие напряжения к нулю
для края, находим, что граничные условия, характеризующие свободный
край, принимают вид
М*=0, Мх = 0, Sx=0. Тх = й. (к)
где Sx и Тх определяются соответственно нз выражений (j) и (I)').
') Решение задачи изгиба, основанное на упрощенных дифференциальных
равнениях Л. Доннелла, см, Ноf f N. J„ J. Appl. Meeh., r. 21, стр. 343, 1954,
.м. также § 125 настоящей книги.
572 ОБЩАЯ ТЕОРИЯ ЦИЛИНДРИЧЕСКОЙ ОБОЛОЧКИ (ГЛ, XV
124. Приближенное исследование изгиба цилиндрической оболочки.
Соображение предыду|Цего параграфа приводят пас к выводу, что примене-
ние общей теории изгиба цилиндрической оболочки, даже и в простейших
случаях, сопряжено с весьма сложными вычислениями. Чтобы сделать тео-
рию применимой к решеивю практических задач, необходимо внести
в нее дальнейшие упрощения. При изложении мембранной теории цилин-
дрической оболочки было установлено, что эта теорив дает удовлетвори-
тельные результаты для участков оболочки, находящихся на значительном
расстоянии от торцов, но что она не в состоянии удовлетворить всем гра-
ничным условиям на торцах. Представляется поэтому логичным принять
указываемое мембранной теорией решение как первое приближение, к более же
точной теории изгиба обратиться лишь для выполнения граничных условий.
Обращаясь к этой последней теории, мы должны потребовать, чтобы
никакой внешней нагрузки на оболочке не было распределено и чтобы по
ее торцам были приложены лишь такие
силы и моменты, которые являются
необходимыми, для того чтобы удов-
летворялись граничные условия на
торцах. Произведенный таяими сила-
ми изгиб может быть выражен систе-
мой уравнений (303), если для нагруз-
ки q принять в них значение, равное
пулю.
В приложениях, встречающихся,
например, в строительной технике *),
торцы х и х = I оболочки (рис. 260)
бывают обычно оперты таким образом,
что смещения ® и w на торцах равны
нулю. Испытания обнаруживают, что
в таких оболочках изгибом в осевых
плоскостях можно пренебречь, и по-
тому в уравнениях равновесия (301)
мы можем принять мг = 0 и — 0.
и крутящим моментом При этих
Мы вправе также пренебречь ____________________ _.ж.„_________
допущениях система уравнений (301) может быть значительно упрощена*
а результирующие силы и компоненты смещения могут быть выражены
в функциях®) момента Л1?. Четвертое из уравнений (301) дает нам
1 dMv
Подставив это в третье уравнение той же системы, получим для q — О
4 df а
(а)
(Ь)
’) В последнее время тонкие железобетонные цилиндрические оболочки
с успехом применяются в разаичното рода сооружениях, например, для
перекрытие больших залов. Описания некоторых из этих сооружений можно
найти в статье Дишингера (D 1 s с h i n g е г F., Handbuch f. Elsenbetonbau,
т. 12, 3-е изд., Берлин, 1928). См. также статью Дишингера Ф. и Фнн-
стервальдерз У„ Baulngenieur, т. 9, 1928. См. также литературные
указания в § 126 настоящей книги.
2) Эта приближенная теория изгиба цилиндрической оболочки была по-
строена Финстервальдером (Ffnsterwalder U-, Ingr.-Arch-, т. 4, стр. 43,
12fl ПРИБЛИЖЕННОЕ ИССЛЕДОВАНИЕ ИЗГИБА ОБОЛОЧКИ 573
Второе и первое уравнения (301) дадут нам тогда
1/ ад,. >/ем д-м,\
~<S--a\Qv--gf~)-lH\~Sr+~W-r ”
d*Nx 1 d*MXf 1 (д3М9 д*М9\
дх* ~ а д?дх “ л3 \ д<р* дх* )'
Компоненты смещение можно выразить также и в функции от М9 и его
производных. Начнем с известных соотношений [см. уравнения (253) и (254)]
ди 1 ,,, .
, д“ I _г(Ч-»>.,
еь *•' -
dv w 1 ,
eT = ^-T = £ft-^-^>-
Из этих уравнений получаем
,LbnJ. 11™'
дх3 Eh г ' 9 дх а\ ду д<р ) ] ’
d?w 1 Г ( dWjc d3Nv\ ,
(О
(f)
Пользуясь этими выражениями совместно с уравнениями (Ь), (с) и (d),
а также выражением для изгибающего момента
О (dv dsw\
пНд? + й?*)’ fe)
получаем, наконец, для определении следующее дифференциальное урав-
нение восьмого порядка;
d*Mv d8Mp dW.,, д^М..
+ (2+V) а* л У +2-3-^ + (1 +2v) а* ; А +
йу® 1 ' 1 ' дх*д<^ о<рв 1 ' 1 ’ ох*д^ 1
d’JM„ d*Mv d*Mv
+2<2+'>“2^+V-+"'TWW-+
а*Л4„ d»Mv a’ d4Af„
+ <1+^^ + <2+'>fl*^ + 12<1-^AT-^=°- <h>
Частный интеграл этого уравнения дается выражением
Л), = /«-sin И
574 ОБШАЯ ТЕОРИЯ ЦИЛИНДРИЧЕСКОЙ ОБОЛОЧКИ (ГЛ XV
Подставляя в уравнение (h) и введя обозначение
тм \ «
- j— = *, 0)
придем к следующему алгебраическому уравнению для определения а:
«в + (2- (2+v)X2] а® + ((14-2^)1* - 2(2 +v)X®+1]««+
+ (- + (1 + -(2 + v)X*] а® +12(1 - v?) £= 0. (к)
Восемь корней уравнение могут быть представлены в виде
«I, г, 3, 4 = ± (11 ± *₽l)> “S. 6, 7, в — ± (Тя ± (!)
Начав с края у=.О и положив, что с увеличением <? момент Му быстро
уменьшается, используем лишь те четыре корня (I), которые удовлетворяют
этому требованию. Комбинируя четыре соответствующих решения (I), полу-
чим тогда
Мч = (Cj cos + Ct sin ₽,<?) +
+e-l2? (Cs cos pa7 + C« sin J sin • (m)
что для — 0 дает
Если вместо единственного члена (i) взять тригонометрический ряд
Mv = 2j Anfi т sm —у-, (и)
то мы сможем получить любое распределение изгибающего момента Mv по
краю <f = 0. Располагая выражением для Mv, из уравнений (а), (Ь) и (с)
получим результирующие силы Qv, н Nrr
Если в каком-либо частном случае нам даны распределения моментов
и результирующих сил Qv, и NXf по краю <р — 0, то мы можем пред-
ставить эти распределения рядами синусов. В таком случае значениями
четырех коэффициентов в членах, содержащих sin(»«tx/Z), в этих четырех
рядах можно воспользоваться для вычисление четырех постоянных Cf.С,
в решении -(ш)- Таким Путем для данного распределения сил можно полу-
чить полное решение задачи.
Если при посредстие уравнений (f) мы получили выражения для u, v и w
в функции Mv, то этими выражениями можно воспользоваться для решения'
задачи, в которой заданы не силы, а вместо них смещение по краю ф — 0.
Примеры такого рода задач можно иайти в ранее упомянутой статье Фнн-
стервальдера ), показавшего, -что только что описаиныи приближенный
метод может быть с успехом применен при решении важных задач строи-
тельной механики.
125. Применение функции деформаций н напряжений. В общем
случае изгиба цилиндрической оболочки, для которой отношение Ца (рис. 260)
не обязательно должно быть большим, влиянием моментов Мх и Мх* пре-
*) Цит. на стр. 572.
'1251 ПРИМЕНЕНИЕ ФУНКЦИИ ДЕФОРМАЦИИ И НАПРЯЖЕНИИ 575
небречь нельзя. С другой стороны, упрощенная форма (уравнения (304)]
соотношений между перемещениями допускает введение функции ) F (х, у),
определяющей деформированное и напряженное состояния оболочки. При-
менив обозначение
„' № . х . д2 , д2
£Т’ 4-•ж+'г?- <>
перепишем уравнения (304) нижеследующим образом, включив в них все три
компонента X, Y, Z внешней нагрузки:
1 —у <5®« . 1-f-v dsv dw
2 + V-5T
д2и дЧ' . 1 — у d2v dw _ (1—ч2)л3
' ду® ’ 2 dzs d--t Eh
ди , dv ... (1 — \2)а®
у -57- 4--5-w — сЗДЛж — — -—=--L—
d5 1 df Eh
(305)
Эту систему уравнений можно привести к одному дифференциальному урав-
нению, положив
d*F d2F ,
“----did?
d3F ,0 , V d3F
v д^
tti — — -|- u'c,
(306)
где ae, ve, we — система частных решений неоднородных уравнений (305).
Что касается функции деформаций и напряжений F(5, <?), то оив должна
удовлетворять дифференциальному уравнению
44*"Ч ™~-0. (307)
эквивалентному группе уравнений (305), если ®) Х= F= Z = 0. Можно по-
казать, что в этом последнем случае ве только функция F, но также и
все компоненты смещений и деформаций, равно как и все результиру-
ющие напряжений оболочки, удовлетворяют дифференциальному урав-
нению (307).
Выражения (300) для удливений, деформаций сдвига и изменений кри-
визны срединной поверхности оболочки также при этом сохраняют силу.
Результирующие напряжений можно представить либо через смещения, либо
непосредственно через функцию F. В соответствии с упрощениями, при-
водящими к уравнениям (304), елинние смешений и и v на изгибающие и
') Эта функция была введена В. 3. Власовым (цит. на стр. 503); почти
эквивалентные результаты, без введения функции напряжений, были по-
лучены Доннеллом (Donnell Н_, NACA rept., 479, 1933). См. таяже
Hoff N. I., J. Appl. Meeh., т. 21, стр. 343, 1954.
®) Власовым (в цитированной работе) была введена также и другая
функция напряжений Fx, Fy, Fz для представления частного интеграла урав-
нений (305), если л, у или соотиетствевно Z не обращаются в нуль.
576 ОБЩАЯ ТЕОРИЯ НИЛИН ПРИЧЕСКОЙ ОБОЛОЧКИ [ГЛ XV
крутящие моменты допустимо признать пренебрежимо малыми. Учтя все
ети соображения и применив обозначения
K=T=F- D = TS(f^- <««>
получаем следующие выражения:
К ( ди , (dv Eh d*F
в [ « +11 ” wJj “ а д?д^ ’
К / dv , ди \ Eh д*Р
bf-w + * *-)= тК •
K(l —v)/cfa , Eh d'F
2а \d? ' д: ) а d£3df *
х аг \ dz* о?2 } « \ d;8 dy2)
., О {д2™ , d2w \ D ( д* d2 \ „
», .. £>(! — *) dsw О „ . д2
v-v as dzdf a1 ' dzdf
„ D d t D d
Qx =-S- Д® — —Г ~p- hhLF,
о3 de с* A
D d . D d ~
Q^--^d^^'= a* dlf ^F-
Представив дифференциальное уравнение (307) в виде
(A)4F + 4^±£.d0,
(309)
(311)
(b)
(с)
убеждаемся, что уравнение (307) эквивалентно группе четырех уравнений
HF
(d)
где i = 1. 2 п — 1. 2, 3, 4. Приния, наконец,
126] ИССЛЕДОВАНИЕ НАПРЯЖЕНИИ ЦИЛИВДРИЧ. КРОВЛИ ОБОЛОЧКИ 577
для четырех новых функции Ф„ получаем систему четырех уравнений
+ >*»«’»=О. W
в которой для постоянных р„ допускаем соотношения
1-.- ------
(g>
Рз — Р-4 = 2^- (1 — V») .
По своей форме уравнения (f) аналогичны уравнению колебаний мембраны.
В сравнении с уравнениями (d) уравнения (f) имеют то преимущество, что
они остаются инвариантными относительно преобразования координат цилин-
дрической поверхности оболочки.
126. Исследование напряжений цилиндрической кровли-оболочим ')-
Три типичные схемы цилиндрических покрытий представлены на рис. 261
и 265. Оболочки могут быть либо норазрезными в направлении х, либо
опираться лишь в двух плоскостях, например в плоскости* х = О и х = 1.
to
Рис, 261.
Ограничимся последним случаем. Предполагаем, что опорные конструкции
обладают жесткостью в отношении сил, действующих и их собственных-
плоскостях, х = const, и совершенной (идеальной) гибкостью в сопротив-
лении поперечной нагрузке. На рис. 261, а растянутые элементы у у —
гибки, между тем как оболочки, показанные схематически на рис. 261, b и 265,
укреплены балками значительной жесткости, в особенности в вертикальной
плоскости.
’) См. по этому вопросу: Практическое руководство Ам об-ва граж-
данских инженеров: Design of cylindrical concrete shell roofs, ASCE manuals-
of eng. practice, № 31, 1952; Gibson J. E., Cooper D. W., The design
of cylindrical shell roofs, Нью-Йорк, 1954; Jenkins R. S„ Theory and-
design of cylindrical shell structures, Лондон, 1947; Aas-Jakobsen A.,.
Die Berechnung der Zylinderscfaalen, Берлин, 1958. Богатый материал к про-
ектированию кровель-оболочек и интересное сопоставление различных ме-
тодов исследования напряжений в них можно найти в трудах симпозиума,,
посвященного этой теме и организованного Лондонской Ассоциацией це-
мента и бетона в 1954 г. (Proceedings of a Symposium on Concrete shell root
construction. Cement .and Concrete Association, London, 1954.)
•/,18 С. П Тимошенко, С. Войновскей-Кригср
578 ОБЩАЯ ТЕОРИЯ ЦИЛИНДРИЧЕСКОЙ ОБОЛОЧКИ (ГЛ XV
Произвольное распределение нагрузки по поиерхиости оболочки может
быть представлено значениями трех компонентов, выраженных в виде рядов
х=
т - •
r=
Z-
т = •
. mica
'm~ —T—-
Представим также рядами и частные решения и0, v0, wB в выражеивях (306)
«в = 5} Uam (?) G0S ПГ“ ’
®л= Т ^ога(¥)8'п-^.
Полученные из этих рядов при посредстве уравнений (309) и (310),
где ^ — х/а, выражения для результирующих напряжений Nx и Мх показы-
вают, что условия (h) § 123 для шарнирных краев полностью выполняются
ив опорах х = 0, х — 1.
Чтобы получить общие выражения дав смещений в случае
X = F=Z=0,
воспользуемся разрешающей функцией F (§ 125), предав ей сначава вид
= (1)
Подстановка этого выражения в дифференциальное уравнение (307) приво-
дит к следующему характеристическому уравнению для «
Р->й'।-7;-Н=о. ю
в котором с1 == к*[12а*. Восемь корней этого уравнения могут быть
126] ИССЛЕДОВАНИЕ НАПРЯЖЕНИЙ ЦИЛИНДРИЧ. КРОВЛИ-ОБОЛОЧКИ 579
представлены табличкой:
“I =Ti4-f₽i.
B« = Ti—*₽1»
°» = Т«+Ф»
«4—-ъ—4₽».
ПЭ =--®1.
«в ——“а,
а} = — аг.
(О
«3 = —а4
при вещественных значениях у и р. Введя обозначения
получаем
7,-V-^ Vd+.rs^+i+n-prs.
j- / ИVa—i'^+i—и — ₽ к2).
rs
«1>
Возвращаясь к предстаялению решения в виде ряда, находим, что функции
напряжений можно придать следующее общее выражение:
2/”(’’>з'«^. го
где
/« (?) = С,«в«*+ Сгя,₽^+ ... +сат^, (О
a Clm, Сат,... —произвольные постоянные.
, Теперь мы располагаем достаточными данными для того, чтобы из за-
висимостей (306) вычислить соответствующие смещения. Прибавив к ре-
зультату решение (с), приходим к следующим выражениям для полных пе-
ремещений срединной поверхности оболочки:
“ = 2 (‘«4 + </„ + <4.) СОЗ ,
(к)
»- 2 (244-4"-4/„+«'„)ош4£.
m=i
где штрихами обозначено дифференцирование по у.

580
ОБЩАЯ ТЕОРИЯ ЦИЛИНДРИЧЕСКОЙ ОБОЛОЧКИ
[ГЛ. XV
Компоненты деформаций и напряжений находятся теперь из выраже-
ний (300), (309), (310) и (311). В самом общем случае распределения на-
Рис. 262-
грузки для вычисления постоянных
Cmi,_______ Ств, отмеченных числами
натурального ряда 1, 2, 3, ..., необ-
ходимо и достаточно располагать че-
тырьмя граничными условиями по
каждому краю о= ~<?в.
В качестве примера рассмотрим
случай вертикальной нагрузки, рав-
номерно распределенной по поверх-
ности оболочки. Со стр. 507 имеем
X ~ 0, У= р sin Ч, Z = р COS Ч- (1)
Коэффициенты ряда (а) устанавливаются поэтому из соотношений
(ш)
где т = 1, 3, 5, ... Надлежащее частное решение (с) находим из
Сот = А0т COS <р, Vom — В0т Eiil ?. ’ ^От = Сот cos ¥•
Коэффициенты ^ояз, Вот, СОт определяем неносредстненно подстанов-
кой выражений (с), (и) и (tn) в уравнения (305).
Чтобы удовлетворять условиям симметрии относительно плоскости мери-
диана y =0, функций (j) должна иметь них
АД?) = Art cos Ы ch Ti? + Агт sln PriP sh Ц^А/в cos ch y2-y -J-
4-AnSlnPsfSh-fc?, (O)
где ₽i, ₽s- 71 H '(2 определяются выражениями (b), a m= 1, 3, 5,... Для того
чтобы простейшим образом сформулировать граничные усвовня на <р = ±<р0,
напишем выражения для вертикальных и горизонтальных компонентов сме-
щения по краям, а также и значения по тем же краям мембранных сил
(рис. 262): i
’ 5 = »sio%4-a»cosy0, (pj)
j В = v сов <fo — ® sin ¥o. (pz)
(dM„r\
Q V + J cos f»’ <Рз)
i / , v
H cos -f0 — -J- —g~ J sin <p0. (P<)
isej исследование Напряжений цилиндрмч кровли оболочки ggj
Наконец, угол поворота оболочки относительно края выражается зави-
симостью
х-4+5г- <->
В правых частях всех этих выражений нам следует повсюду положить у = у0.
Рассмотрим теперь в отдельности три возможных типа граничных условий.
Кровля с идеально гибкими бортовыми элементами (рис. 261, а). По-
скольку покрытие, как предполагается, состоит из нескольких пролетов, де-
формация его должна быть симметричной относительно вертикальной пло-
скости, проходящей через промежуточное ребро у = ±у0, где перемещение В
и поворот (угловая деформация) х должны обращаться в нуль. Отсюда
v сой т>в — w sin у0 = 0, (q,)
«+^--о (ч.>
на у = ув. Положив, что погонный лес. борта равен Qo, извлекаем из урав-
нения (р3) дополнительное условие
2V = Qo, (q3)
где Qo. будучи постоянной, может быть представлена ряпом
<₽•>
Наконец, удлинение ех оболочки на краю у = у0 должно быть равно удли-
нению борта. Если через Ав обозначить площадь ее поперечного сечения,
а через Ео соответствующий модуль упругости ’), то мы находим для р
"Sv/ = -gg, ft,)
О
где интеграл представляет растягнаающую силу борта.
Дальнейший расчет проводится следующим порядком, из условий
(91), ..-, (?<) вычисляем четыре коэффициента А,т, ....Алг Для каждого
лг = 1, 3, 5, ... Функция напряжеивй F опредеавется тогда из уравнений (о)
и (I), перемещения же из выражений (306) или (к). Наконец, из выра-
жений (309)—(311), основываясь на известных перемещениях, или, в общей
части решения, непосредственно из функции напряжений F. получаем ре-
зультирующие полных напряжений.
Многопролетное покрытие, усиленное балками жесткости (рис. 261, Ь).
Условдя симметрии
V COS у0 — W sin Уо — О (гх)
«+-J--0 (Г.)
Of
на у = у<|—те же, что и в предыдущем случае. Чтобы сформулировать
) Если борт составлен из различных материалов, например из стальной
арматуры и бетона, в расчет вводится площадь приведенного поперечного
сечеиня.
'/я19 С В Тимошенко, С. Войновскмй-Кригер
S82 ОСШАЯ ТЕОРИЯ ЦИЛИНДРИЧЕСКОЙ ОБОЛОЧКИ |ГЛ. XV
третье условие, положим, что Qo—данный погонный вес балки, h0 —
высота ее поперечного сечения, /?0/0— жесткость при изгибе в вертикаль-
ной плоскости, Лс — площадь поперечного сечения. Тогда дифференциальное
уравнение для прогиба ц балки примет вид
р / ___ Q 21/4-9 ^Чх /. v
Г°/о '2~2----дх~’ vs>
причем функции tj, V и Qo даются соответственно выражениями (р,), (р3)
и (ре)- Последний член в уравнении (гя) отражает разность уровней для края
Рис. 263.
оболочки и оси балки. Что касается удлинения et верхних волокон балки,
то оно зависит не только от растягивающей силы, -но также и от кри-
визны балки. Учтя влияние кривизны /Prjdx3, заменяем уравнение (q<) усло-
вием болве общего вида
ЕйАй J гл 2 dx3 дх '
о
Дальнейшая процедура расчета сохраняет в существенном тот же характер,
что и в ранее рассмотренном случае.
>26] ИССЛЕДОВАНИЕ НАПРЯЖЕНИИ ЦИЛИН ДРИЧ КРОВЛИ-ОБОЛОЧКИ 583
Распределение мембранных сил и изгибающих моментов M.f, получен-
ное ’) таким путем для среднего пролета пркрытия, состоящего всего из трех
таких пролетов, показано на рис. 263. В направлении х длина оболочки
равна I = 41 м, поверхностная нагрузка составляет р = 253 кг!мг, а погон-
ный вес балки Qc=667 кг/м. Результирующие напряжений, полученные
средствами одной авшь мембранной теории, нанесены штриховыми линиями.
Однопролетная оболочка, усиленная балками жесткости (рис. 265).
В атом случае нам следует учесть не только прогиб балки, исхода из сме-
щений ч и б по краю, но также и вращения у балки (рис. 264) Дифферен-
циальное уравнение для вертикального
прогиба принимает на этот раз вид
, д*т, Ло dN„x
Ы Л? = 1 2 iJT-
в котором обозначения сохраняют
прежний смысл. Для горизонтального
прогиба получаем аналогично уравнение
Edo (® х If) = (®2>
где Е0!0 обозначает жесткость балки
при изгибе в горизонтальной плоскости,
значения же Ъ, у и Н определяются вы-
ражениями (р2), (р6) и (р4).
Условие равновесия пар, действую-
щих на элемент балки и взятых относи-
тельно оси балки (рис. 264), дает сле-
дующее уравнение:
Рис. 264.
где Mt — момент кручения балки. Но связь между моментом кручения Mt,
углом закручивания 6 = dy/dx и жесткостью кручения Со балки имеет, как из-
вестно. вид
Ж-Со 5-. («)
Подставив это в уравнение (I), получаем третье краевое условие
(ва)
В котором у определяется из (р5) при у = у0.
Удлинением сх верхних волокон балки вследствие прогиба S можно пре»
небречь, поскольку среднее для всей толщины балки значение еЛ равно
нулю. Поэтому условие (г4) предыдущего случая переписыцаетсн здесь дишь
с изменением коэффициенту
ди
dx‘
’) Финстервальдер (цнт. на стр. 572) применив здесь метод, изложенный
д § 124; см. также Proc. Intern. Assoc. Bridge Structural Engrs.. т. 1, стр, 127.
1932. ’
584 ОБЩАЯ ТЕОРИЯ ЦИЛИНДРИЧЕСКОЙ ОБОЛОЧКИ [ГЛ "XV
Как и в выше разобранных случаях, дальнейший ход вычисления сводится
к определению постоянных /lrt> ..А4т для каждого значения т —1,3,5,...
из уравнений (st) — (s4) и к определению напряжений путем суммирова-
ния рядов.
Рис. 265 представляет собой эпюру напряжений для оболочки длиной
I — 29,5 л, у = 45°. Из нее видно, в частности, что распределение мембран-
ных напряжений ах но полной высоте покрытия, состоящего из оболочки
и двух балок жесткости, сильно отличается от линейного. Тем не менее
если вместо (s2) в каяестве краевого условия принять li —0, то можно пот
лучить почти линейную эпюру напряжений (2). Ерли же мы примем вДо*
бавок, что и угловая деформация у тоже обращается в нуле, то придем •)
к распределению напряжений, представленному кривой (3).
') Подробности вычислений см. в книге Глркманна (Olrkmann К.,
Flaclieiitragwerke, 4-е изд., стр. 499, Вена, 1956). Диаграммы рис. 263 и 265
Воспроизводим из угон книги с разрешения автора и издателя.
126J ИССЛЕДОВАНИЕ НАПРЯЖЕНИЙ ЦИЛИНДРИЧ. КРОВЛИ-ОБОЛОЧКИ 585
В вышеизложенную довольно утомительную процедуру вычисления на-
пряжений могут быть введены те или иные упрощения.
Так, например, если отношение l/а достаточно велико, то, как это
было разъяснено в § 124, допустимо пренебречь результирующими напряже-
ний Мх, Qx и Л!.,-;,. Далее, частное решение (с) можно заменить реше-
нием, полученным непосредственно применением мембранной теории ци-
линдрически! оболочек (§ 112), Перемещения, требующиеся для формули-
ровки граничных условий, можно овределить на уравнений (309). Метод,
указанный в § 124, упрощается и далее, если из всех производных по у,
необходимых для выражения комповентов деформации и напряжений, оста-
вить только производные наинысшего порядка ).
С другой стороны, вычислительная работа по определению напряжений
в значительной степени облегчается использованием специальных таблиц,
содержащих значения компонентов деформаций и напряжений, связанных
с воздействием на цилиндрическую оболочку сил, приложенных по ее краям 2).
Методы итерации 3) п конечных разностей ’) также нашли применение в ана-
лизе напряженного состояния оболочек.
Если краевые условия на опорах л=0, х=1 оболочки отличаются
от предположенных на стр. 577, нарушения в распределении напряжений,
возникающие в результате воздействия дополнительных краевых сил, тре-
буют специального исследования5).
Если отношение //л не мало, кровлю-оболочку можно рассматривать
первоначально как балку6). Различные методы расчета такой балки основаны
на тех или иных предпосылках относительно распределения мембранных
сил Nx по высоте поперечного сечения балки. Возможным методом, напри-
мер, будет распределение мембранных сил по контуру оболочки в соответ-
ствии с теорией упругости и распределение их по образующим в соответ-
ствии с элементарной теорией балки.
Для очень коротких мпогопролетных кровель-оболочек значение краевых
услоннй на у = ± ч стлиовится второстепенным, и это открывает путь
к дальнейшему упрощению анализа напряжений7).
До сих пор мы рассматривали цилиндрические оболочки только круго-
носо профиля. Остановимся сейчас на цилиндрической оболочке произволь-
ного симметричного очертания (рис. 266). Если нам дан закон распределения
’) См. Schorer Н., Proc. ASCE, т. 61, стр. 181, 1935.
2) Подобного рода таблицы (для -v — 0,2) были составлены Лундгреном
и приводятся в его книге: Lundgren Н,, Cylindrical shells, т. 1, Копенгаген,
1949. Таблицы, вычисленные на основе упрощенного дифференциального
уравнения Доннелла,- имеются в книге: Rudiger D., U г b а п J., KTelszylinder-
schalen, Лейпциг, 1955. См. также литературные ссылки на стр. 577.
3) Aas-Jakobsen A., Bauingenleur, т. 20, стр. 394, 1939.
А) HenckyH., Neuere Verfahren In dec Festigkeitslehre, Мюнхен, 1951.
Первое применение этого метода к анализу напряжений в оболочках см.
Keller Н, Schweiz. Bauzlg., стр. Ill, 1913. Метод релаксацнн был исполь-
зован в этих же целях Ф люгге (F liigge W., Federhorer-Oirkmann-Festschrift,
стр. 17, Вена, 1950).
5) Здесь находят применение теории Мигеля (цит. выше, стр. 570) или же
приближенный метод, предложенный Финстервальдером (цит. ныше, стр. 572).
®) Этим подходом пользовался в особенности Аас-Якобсен (A. Aas-Jakob-
sen) (цит. выше, стр. 93).
’) См. Thfirlintann В., Berenter R. О., Johnston В. G.,
Proc. L LT. S. Natl Congr. AppL Meeh., стр. 347, 1952. О применении метода
фотоупругости к цилиндрической оболочке (туннельному тюбингу)см. Sonn-
tag О., Bauirigenleur, т. 31, стр. 408, 1956.
586
ОБЩАЯ ТЕОРИЯ ЦИЛИНДРИЧЕСКОЙ ОБОЛОЧКИ
[ГЛ. XV
Рис. 266.
вертикальной нагрузки в функции лишь одного угла у, мы всегда можем
построить цилиндрическую поверхность давления, проходящую через обра-
аующие А, С и В. Если, например, нагрузка распределена равномерно по пло-
щади основания оболочки, то веревочной кривой АСВ будет парабола.
Предположим теперь, что срединная поверхность оболочки совпадает с по-
верхностью давления для заданной нагрузки, тогда вся нагрузка будет
передаваться силами к краям А и В обо-
лочки, и в тая ом случае по всей длине ци-
линдра она будет, в конечном счете, поддер-
живаться бортовыми балками. Если же вместо
этого мы хотим, чтобы нагрузка передавалась
иа торцовые опоры оболочки действием мем-
бранных сил Nx и Мф, нам придется вы-
брать для контура оболочки профиль, ноторый
располагался бы над веревочной кривой (или
линией давления) (рис. 266).
Из отношения Nv = — Za (см. уравне-
ния (270)] заключаем также, что для вер-
тикальной нагрузки, т. е. для Z~pvcos<p, имеем = —•Nacosy, где
pv — интенсивность нагрузки. Следовательно, кольцевые силы но краю
исчезают лишь в том случае, если у0 = я/2, т. е. если касательные к линии
контура оболочки вертикальны на краях А и В. Это условие выполняется
для таких контуров, как полуокружность, полуэллипс или циклоида ’)— все эти
кривые располагаются выше кривой давления для равномерно распределенной
нагрузки.
') О мембранных напряжениях в оболочках этого типа см., например,
GlrkmanB (цит. выше. стр. 584) nPflilger A., Elementare Schalenstatik,
Берлин, 1957- Изгиб полуэллиптических оболочек рассмотрен Аас-Якобсеном
(Aas-Jakobsen A.. Ofinle civil, стр. 275, 1937). С цилиндрическими
кровлями-оболочками иных очертаний можно познакомиться в работе Виде-
мана (Wiedemann Е., Ingr.-Arch., т. 8, стр. 301, 1937).
ГЛАВА XVI
ОБОЛОЧКА ВРАЩЕНИЯ ПОД НАГРУЗКОЙ,
СИММЕТРИЧНОЙ ОТНОСИТЕЛЬНО ОСИ
127. Уравнения равновесия. Рассмотрим условия равновесия
элемента, вырезанного из оболочки двумя смежными меридианными
плоскостями и двумя сечениями, перпендикулярными к меридианам
(рис. 267) *). Из условия симметрии можно заключить, что по сто-
ронам элемента, располо-
женным в меридианных пло- - — _
скостях, будут при ЭТОМ s'''''//
действовать одни лишь нор- s' //
мальные напряжения. Эти х' / /
напряжения можно свести / / /
к результирующей силе / м? / if
7Vert <йр и результирую- / OksT'J /
щему моменту Л1ег2 dip. при- /
чем А1в не зависят от угла 6, °._____з
определяющего положение /
меридианов. Перпендикуляр-
ная к меридианам сторо- ----————'
на элемента, определяемая /\!
углом <р (рис. 267), нахо- / / ч
дится под действием нор- / д/ + -pi dp \ \
мальиых напряжений, даю- у у др дд \
щнх результирующую си- 4£>+
лу A^sin^dfi. момент
Рис. 267.
ющие силы, сводящиеся к си-
ле <3^2 sin ф 46, нормальной к оболочке. Приложенную к элементу
внешнюю нагрузку можно, как и раньше, разложить на два ком-
понента: касательный к меридианам У/у^ sin <р d<p d0 и нормальный
') Мы пользуемся здесь теми же обозначениями для радиусом кривизны
Jfc’
588 ОБОЛОЧКА ВРАЩЕНИЯ [ГЛ XVI
к оболочке Zr^sincpdcpde. Полагая, что мембранные силы ZVe
и N? далеки от своих критических значений’), мы пренебрегаем
при выводе уравнений равновесия изменением кривизны, следуя в
этом отношении пути, намеченному в § 105. В уравнение (1)
указанного параграфа, полученное путем проектирования сил на ка-
сательную к меридиану, необходимо теперь ввести в левой его части
член — Qvro- Точно так же в левой части уразнения (j), полученного
путем проектирования сил на нормаль к оболочке, должен быть при-
соединен добавочный член d(Q/o)/efcp. Третье уравнение получается
из рассмотрения равновесия моментов всех приложенных к элементу
сил относительно касательной к параллельному кругу. Это дает 2)
/ dAL \ / dr0 л \ „
(л,3 л,dlf)V0 +т?‘,Чde — л’/'|'й — л,'г‘“sf''f—
—Qvr2 sin <prj dtp <26 = 0.
После упрощения это уравнение вместе с двумя уравнениями § 105.
с изменениями, как только что было указано выше, дают следу-
ющую систему трех уравнений равновесия:
i (N^ - ЛГЛ cos v + r„r, Y = 0.
d(Qvr0)
W/o+sin<P 4—h &Л—0,
(^o) — л,сг1cos <P — CzZo = °-
(312)
В эти три уравнения равновесия входят пять неизвестных величин:
три результирующие силы Nv, N6 и- Qv и два результирующих
момента Мъ и Число этих неизвестных можно свести и к трем,
если мы выразим мембранные силы и 7V8 и моменты М? и Л4е
в функциях компонентов v и w смещения. При исследования в § 108
деформации, вызванной мембранными напряжениями, мы получили
для компонентов деформации срединной поверхности выражения
1 dv w
е«= ctgf ,
*) Вопрос о выпучивании сферических оболочек излагается в книге Т и-
мошенко С. П., Устойчивость упругих систем, М., Гостехиздат, стр. 371,
1955.
*) При этом выводе мы учитываем, что угол между плоскостями, в ко-
торых действуют моменты рзаен cos у dv.
127] УРАВНЕНИЯ РАВНОВЕСИЯ 589
из которых на основании закона Гука находим
"> = i"‘.-[(~г? -«)+т;<”йет—«>]•
Для того чтобы получить подобные же выражения для моментов Л!
и /Ид, рассмотрим изменения кривизны изображенного на рис. 267
элемента DABC. Обратив внимание на верхнюю и нижнюю стороны
этого элемента, заметим, что начальное значение угла между этими
двумя сторонами равно rfa. Вследствие смещения ® вдоль по мери-
диану верхняя сторона элемента повернется относительно перпенди-
куляра к меридианной плоскости на угол v/r^. В результате сме-
щения to эта же сторона повернется, сверх того, относительно
той же оси на угол d'wlrldf. Таким образом, полный поворот верх-
ней стороны элемента будет
v dw .
тг+т^- <в>
Поворот нижней стороны будет равен
v . dw , d (v . dw \ .
Отсюда изменение кривизны меридиана1)
1 d (v dw \ ..„
rt d? (г, + г। dtf) ’
Чтобы найти изменение кривизны в плоскости, перпендикулярной
к меридиану, заметим, что в силу симметрии деформации каждая пз
боковых сторон элемента DABC повернется в меридианной пло-
скости на угол, данный выражением (а). Так как нормаль к боковой
стороне АВ элемента образует угол (я/2)— cos<prf6 с касательной
к меридиану DC (ось у), то поворот стороны АВ в ее собственной
плоскости будет иметь компонент по оси у. равный
(v , dw \ .г,
Это приводит к изменению кривизны, равному
(v , dw \ cose / v , dw \ cteo , ч
’) Деформацией срединной поверхности мы здесь пренебрегаем, а из-
менение кривизны получаем путем деления изменения угла на длину fj dy
дуги.
590 ОБОЛОЧКА ВРАЩЕНИЯ
Пользуясь выражениями (Ь) и (с), находим тогда
[гл. xvr
(314)
Подставив выражения (313) и (314) в уравнения (312), получим три
уравнения с тремя неизвестными величинами V, w и Qr Решение этих
уравнений откладывается до следующего параграфа.
Выражениями (314) мы можем, кроме того, воспользоваться для
установления важного вывода относительно точности, изложенной
в главе XIV мембранной теории. В § 108 был дан вывод уравнений
для вычисления смещений v и Подстановка определенных этими
уравнениями смещений в выражении (314) позволяет вычислить изги-
бающие моменты и напряжения изгиба. Мембранная теория этими на-
пряжениями пренебрегает. Если сравнить эти величины со значениями,
указываемыми мембранной теорией, то из этого сравнения можно
сделать выводы относительно точности названной теории.
Возьмем в качестве частного примера сферическую оболочку, на-
груженную своим собственным весом (стр. 481). Если опоры таковы,
что показано на рис. 215, а, то смещения, согласно мембранной тео-
рии, будут на основании уравнений (f) и (Ъ) § 108 равны
ЛМ+Д.( 1--1.
Efl Vl-f-COSa 1 + cosy 1 l-j-cosa/ т‘
® = vctg?-^-(T^b_—C0Sf).
Подставив эти выражения в формулы (314) для изгибающих момен-
тов, получим
AI, = Al, = ^^±icos». (е)
Абсолютное значение соответствующего напряжения изгиба на поверх-
ности оболочки будет равно
cos 'F*
Взяв отношение этого напряжения к напряжению сжатия о, указыва-
емому мембранной теорией 1см. уравнение (257)], изходим
9 2-4--V ад 2-4~v h .. , .
— 1 COS ф - ь"/1 г '—Г" — n zi —г — (1 Ч- cos <₽) cos ф.
2 1 — \ “ h (1 -f- cos у) 2(1—v) a 4 1 •
128] ПРИВЕДЕНИЕ СИСТЕМЫ УРАВНЕНИЙ РАВНОВЕСИЯ 591
Максимальное значение этого отношения получается в наивысшей
точке, т. е. на полюсе оболочки, где <р=0. причем для v = 0,3 оно
равно
3,29 Л. (tj
Мы видим, что для тонкой оболочки отношение (1) напряжений из-
гиба к мембранным напряжениям мало и что мембранная теория дает
удовлетворительные результаты, если только условия на опорах та-
ковы, что оболочка может свободно расширяться, как показано на
рис. 215, а. Если в уравнения (312) подставить выражение (е) для
изгибающих моментов, то для мембранных сил Nv и 7Ve можно полу-
чить еще и лучшие приближения. Эти результаты будут отличаться
от решений (257) лишь на малые величины, в которые в качестве
множителя будет входить отношение Л2/«2.
Из приведенных соображений следует, что при вычислении напря-
жений в симметрично нагруженной оболочке мы имеем право в ка-
честве первого приближения принять решение, указываемое мембран-
ной теорией, внеся в него поправки, вычисленные из уравнения (312).
Эти исправленные значения напряжений будут достаточно точны, если
края оболочки могут свободно расширяться. В протияном случае по
этим краям нужно будет приложить такие силы, чтобы удовлетворя-
лись граничные условия. Вычислением напряжений, вызванных этими
последними силами, мы займемся в следующем параграфе.
128. Приведение системы уравнений равновесия к двум диф-
феранциальным уравнениям второго порядка. Из изложенного в пре-
дыдущем параграфа выясняется, что с помощью'выражений(313)и(314)
мы можем получить из уравнений (312) три уравнения с тремя неиз-
вестными v, w и Qr Пользуясь третьим из этих уравнений, мы легко
можем исключить перерезывающую силу Qv. и тогда три уравнения
сведутся у нас к двум уравнениям с неизвестными v и w. Именно
таким способом и были получены уравнения, послужившие инструмен-
том для первых исследований изгиба оболочек1). Значительного уп-
рощения уравнений можно достигнуть введением новых переменных
В качестве одной из этих новых переменных мы примем угол пово-
рота касательной к меридиану. Обозначив этот угол через V,
*) См. S1 о<1 о 1 a A., Die Dampfturbinen, 4-е изд., стр. 597, 1910; Kel-
ler Н., Mitt. Porscbungsarbeiten, т. 124, 1912; Fankhauser Е„ диссер-
тация, Цюрих, 1913, и VDL, т, 58, стр. 840, 1914.
s) Этот метод исследования напряжений в оболочках был разработай
для случая сферической оболочки Рейсснером (Reissner Н., МйНег-Вгеа-
lau-Featschrlft, стр. 181, Лейпциг, 1912). Мейсснер (Е. Meissner) его обобщил
и применил к частным случаям: Physik. Zeltschr., т. 14, стр. 343, 1913; Vicr-
teljahrschr, d, Naturforscft. Ges., Цюрих, т, 60, стр. 23, 1915,
ОБОЛОЧКА ВРАЩЕНИЯ
(ГЛ XVI
получим из уравнения (а) предыдущего параграфа
v=^(»+^)- (’>
Второй переменной у нас будет
U = Г2%' (Ь)
Чтобы упростить преобразование уравнений к этим новым перемен-
ным, заменим первое из уравнений (312) другим, аналогичным урав-
нению (255) (см. стр. 481), которое можно получить при рассмотре-
нии равновесия части оболочки, лежащей выше параллельного круга,
определяемого углом <р (рис. 267). Полагая, что никакой временной
нагрузки оболочка не несет, получаем уравнение
2^0^ sin <р+ cos = 0,
из которого следует
",=—e,ctgf=—J-t/ctgip. И
Подставив это во второе из уравнений (312). находим для Z = 0
и, заметив, что r0 = r2sin<p, получаем
. (d>
Таким образом, обе мембранные силы N* и Ng представлены в функ-
ции величины U. Зависящей, как видно из обовначепия (Ь), от пере-
резывающей силы Q*.
Чтобы вывести первое уравнение, связывающее V и U. восполь-
зуемсв уравнениями (313), из которых непосредственно получаем
<4-’«)• и
„ctgcp —«,= Л-М —,лу. (0
Исключая из этих уравнений w, находим
— v ctg 'f = 1(г,+vr2) N? — (г24- '"9 Ml- fe)
128]
ПРИВЕДЕНИЕ СИСТЕМЫ УРАВНЕНИИ РАВНОВЕСИЯ
693
Дифференцирование уравнения (f) дает1)
dV „4 V dv) d [ 1"Л ,»Г ,,ч1
Ж ctg<P~~а^ = lift W-vAQ|'
(h)
Производная dw/dq легко исключается из уравнений (g) и (ti), после
чего мы получаем
Подставив сюдл вместо и N6 выражения (с) н (d), находим сле-
дующее уравнение, связывающее U и V:
4^ + ±rjL(i\+2Xctglp_Ji/Al№_
г j d<f2 г j [ dy \r1 I Fj Fjft dtf j dy
<3i5>
Второе уравнение относительно U и V получится в результате под-
становки выражений (314) для Л1₽ и М9 в третье из уравнений (312)
н введения обозначений (а) и (Ь). Таким путем находим
4^ + ±Г-г(а) + йсЦ:’'+з2771]'5~ ’
Г1 d’-f Г, р d<f \Г\ f Fj F,ft d'f j rfy
„±[v_3^^ + ^ctg!T]v=_^. (316)
Таким образом, задача об изгибе оболочки, имеющей форму поверх-
ности вращения, силами и моментами, равномерно распределенными
по параллельному кругу, представляющему собой край оболочки,
сводится к интегрированию двух уравнений (315) и (316) второго
порядка.
Если толщина оболочки постоянна, то члены, содержащие в ка-
честве множителя производную dh/dq, обращаются в нуль, а произ-
водные от неизвестных U и V получают в обоих уравнениях оди-
наковые коэффициенты, Обозначение
’) Мы рассматрияаем здесь общий случай и предполагаем при выпол-
нении этой операции дифференцирования, что толщина ft оболочки—веди,
цица переменная.
594
ОБОЛОЧКА ВРАЩЕНИЯ.,
[ГЛ XVI
позволит нам представить эти уравнения в следующей упрощенной
форме:
Циу+^-U = E!iV.
L<y)-^v=-^
(317)
Из этой системы двух дифференциальных уравнений второго порядка
мы легко получаем для каждого неизвестного уравнение четвертого
порядка. С этой целью выполним по отношению к первому из урав-
нений (317) операцию, обозначенную символом £(...), что нам даст
LL(U1+^L 00 =EhL(V\
Подстановка второго из системы уравнений (317)
дает нам
U(U)+,L^—±UU)—%U=--%-U. (SIS)
Точно таким же образом находим и второе уравнение
LL(V)_,L^ + ^-L(V)-^-V = —^V. (315)
Если радиус кривизны Tj —величина постоянная, как это имеет
место в случае сферической или конической оболочки, а также в слу-
чае кольцевой оболочки, подобной, например, той. которая изобра-
жена на рис.*$20, то уравнения (318) и (319) допускают и дальней-
шее упрощение. Так как в этом случае
(.00 =4 1(17).
то, введя обозначение
4 £h v«
Iх £) ’ (Р
мы можем придать обоим уравнениям форму
TZ.((J)H-pe(J = O. (320)
причем они могут быть написаны одним из следующих способов;
L IL(U) fy? U] — fy?|£ ({/) 4-ф Ц] =0
I |L(I/)-If 17Ц- IflL (U) -IfU] = О,
128J СФЕРИЧЕСКАЯ ОБОЛОЧКА ПОСТОЯННОЙ ТОЛЩИНЫ 595
Эти уравнения показывают, что решения уравнения второго порядка
£(U)±Zp8C/ = 0 (321)
являются также и решениями уравнения (320). Поступая, как было
разъяснено в § 118, нетрудно показать, что полное решение уравне-
ния (320) можно получить из решения одного из уравнений (321).
В следующих двух параграфах будет освещено применение уравне-
ний (321) к частным случаям.
129. Сферическая оболочка постоянной толщины. В случае, если
толщина оболочки постоянна, г1=г2=в и символ (1) предыдущего
параграфа принимает следующий вид:
(•(• • • >+с,ет^(- >—с‘е-ч=<- • .)] (а)
Приняв в качестве одной из неизвестных вместо U величину
aQv и ваедя вместо постоянной р новую постоянную р. определяе-
мую уравнением
(Ь)
мы подучаем возможность представить первое из уравнений (321)
в следующем виде:
^L+c,Sf^-dg,Te, + 2'P!e, = 0- (322)
Переход к новым переменным *)
х —siii2<p, 1
sin у J
приводит к дальнейшему упрощению, в результате чего уравнение
(322) в этих новых переменных принимает вид
*(х-0^+«х-2)^ + -^»=0. (<0
Это уравнение принадлежит к известному типу дифференциального
уравнения второго порядка, имеющего вид
х(1—х)/Ч-1Т—(М-₽4-1)*1У —«0У = О. (е)
*) Этот способ решения уравнения был дан Мейсснером (Е. Meissner),
ЦИТ. выше,
S96 ОБОЛОЧКА ВРАЩЕНИЯ [ГЛ XVI
Уравнения (d) и (е) совпадут, если мы положим
1=2. «=AL»SS1. (f)
Решение уравнения (е) можно взять в виде степенного ряда
у=Л+л1х+4->-‘!+Ал'’+ ••• (£>
Подставив этот ряд в уравнение (е) и приравняв коэффициенты при
каждой степени х нулю, получим следующие соотношения между
коэффициентами:
1 1-7 ° 2(14-1) 1
" п (14-л- 1)
При таких соотношениях между коэффициентами ряд (g) принимает вид
>=д[1+ ^х+^+.1>^+1) Х>+
+ М.».т(т+1>Ь+?> *+••]• С>
Это так называемый гипергеометрический ряд. Он сходится при всех
значениях х, меньших 1, и может быть применен для представления
одног£,из интегралов уравнения (d). Подставна вместо а, р и -у их
значения (f) и введя обозначение
S=5 + 8^=5 + 4ijAS*0-^) (1)
получим в качестве решения уравнения (d) полином
2 __л Г| । З*-»8 х . <3»—М) (7»—М) 2 1
^1 — А ['4-1бГП2Х+ 1б«- 1-27273 * + •••]• (])
содержащий одну произвольную постоянную Ло.
Получение второго интеграла уравнения (d) представляет большие
трудности1). Его можно написать в виде
’) Решение дифференциальных уравнений с помощью пшергеометри-
ческих рядов излагается в книге Римана-Вебера, Дифференциальные
уравнения математической физики, т. 2. См. также Камке Е., Differen-
tialgleichungen, т. 1, 2-е изд, стр. 465, Лейпциг, 1943,
IS9] СФЕРИЧЕСКАЯ ОБОЛОЧКА постоянной ТОЛЩИНЫ 597
где у (х) есть степенной ряд, сходящийся для |х[< 1. Эго второе
решение становится бесконечным при х = 0, т. е. на полюсе сферы
(рис. 267). и должно быть отброшено, если на этом полюсе нет
отверстия.
Если мы ограничим наше исследование этими последними случаями,
то нам нужно будет принять во внимание лишь решение (j). Под-
ставив вместо 82 его значение (i) и разбив ряд (j) на его действи-
тельную и мнимую части, получим
(1)
где Sj и S2—стеленные ряды, сходящиеся при |х|<С 1- Тогда ре-
шением первого из уравнений (321) будет *
(7I = asin<pzJ~71+Z/2. (m)
где и /2 — два ряда, получаемых непосредственно из рядов и S2.
Интеграл второго уравнения (321) может быть представлен теми
же рядами /, и /2 (см. стр. 539). Таким образом, общее решение
дифференциального уравнения четвертого порядка (320) для случая
сферической оболочки без отверстия на полюсе может быть пред-
ставлено в виде
U aQy=AI^BI.. (л)
где А и В—постоянные, подлежащие определению из двух условий
по краю сферической оболочки.
Имея выражение (п) для U. мы легко можем получить вторую
неизвестную V. Начнем с того, что внесем выражение (ш) в первое
из уравнений (321). Это нам дает
£ (/, + Я2) = - (7,+Z/2).
Отсюда
£(Л) = р2/2, £(/2) = -Р2Л- (о)
Подставив выражение (п) в первое из уравнений (317) и использовав
выражения (о), получим
EhaV = aL (77) 4- = (Hv — Bep2) /г 4- (Лар2 4- Bv) /2. (p)
Мы видим, что вторая неизвестная V точно так же допускает пред-
ставление посредством рядов /г и /2.
Располагая значениями U и V, мы можем получить все силы, мо-
менты й смещения. Силы и 7Ve находятся из уравнений (с) и (d)
предыдущего параграфа. Изгибающие моменты М? и Л4в опреде-
ляются из уравнений (314). Заметив, что в случае сферической
598 ОБОЛОЧКА ВРАЩЕНИЯ [ГЛ. XVI
оболочки r]sesr3s=e, получим в обозначениях (а)
«=-4«+“И-
Для вычисления компонентов v и чв смещения воспользуемся сле-
дующими выражениями для линейной деформации в срединной по-
верхности:
е„ = 4г № — vN6), е6 = ~ (М — vW ).
V Eh 9 0/ 0 \ В
Подставив сюда вместо Nv и их выражения в функции U и V.
получим выражения для еу и eg, которыми можно будет воспользо-
ваться при вычислении v и w, как это было разъяснено в § 108.
В практических применениях бывает обычно важно знать сме-
щение В в плоскостях параллельных кругов. Его можно получить,
проектируя компоненты v и w на такую плоскость. Это дает
(рис. 267)
5=«jcos^>—wsin<p.
Если мы заметим, что & представляет собой приращение радиуса г0
параллельного круга, то нам легко будет выразить его в функциях
от U и V, а именно
8=osin<fe,=5^(M — '.Лу = — v£/ctgT) (г)
Таким образом, все величины, определяющие изгиб сферической
оболочки силами и парами, равномерно распределенными по краю,
могут быть представлены с помощью двух рядоя 7t и /2.
Легкость, с которой этот расчет может найти применение на
практике, определяется быстротой сходимости рядов 7j и /2. Схо-
димость же эта аввисит главным образом от величины
р=]7” «
которая, если пренебречь малой в сравнении с единицей величиной •<&,
допускает приблизительное выражение
Вычисления обнаруживают1), что для р < 10 сходимость ряда удо-
') Такне вычисления были выполнены Боллем (В о 11 е Lv Schweiz Bau-
zeltung, т. 66, стр. 105, 1915),
129] СФЕРИЧЕСКАЯ ОБОЛОЧКА ПОСТОЯННОЙ ТОЛЩИНЫ 599
влетворительна и что все нужные нам величины можно будет при
этом находить без больших трудностей для разных условий на краях.
В качестве примера рассмотрим случай сферической оболочки, подвер-
гающейся действию равномерного нормального давления р (рис. 268), Мем-
бранные напряжения в этом случае
будут
«5Р = ОВ=—(О
Рис. 268.
Соответствующие же мембранные силы,
удерживающие оболочку в равновесии,
= <!>
Налагая на эти мембранные силы гори-
зонтальные силы
,, Ра
H~^-cosa,
равномерно распределенные по краю
оболочки, мы придем к случаю, изо-
браженному на рис. 268, а, где нагру-
женная оболочка поддерживается вер-
тикальными реакциями горизонтальной
плоскости. Напряжения в этом случае
определятся наложением на мембран-
ные напряжения (t) напряжений, вы-
зываемых горизонтальными силами Н. Эти последние напряжения можно
получить из общих решений (и) и (р), определяй входящие в эти решения
постоянные Л и В таким образом, чтобы удовлетворялись граничные усло-
вия
(Л^яд = Нcos a, (MyYf-a = О.
Напряжений, полученные таким путем для частного случая, когда а = 143 см,
h^G см, a =s 39°, р = 20 кг/см2 и v « 0,2, показаны на рис. 269.
Налагая на мембранные силы (и) горизонтальные силы //| и изгибаю-
щие моменты Afe, равномерно распределенные но краю, мы можем полу-
чить также и случаи оболочки с защемленными краями (рис. 268, 6). Напря-
жения в этом случае получаются путем изложения на мембранные напря-
жения (t) напряжений, вызванных в оболочке силами Н( и моментами М,.
Эти последние напряжения находятся, как и раньше, из общих решений (п)
и (р), причем постоянные Л й В опредеаяются так, чтобы удовлетворялись
граничные условий
(«в)ф»в=Д (Юф=а = 0.
Полные напряжения, полученные таким путем для вышеприведенного чи-
сленного примера, показаны на рнс. 270.
Вычисления максимальных сжимающих и максимальных растягивающих
напряжений для оболочек с различными соотношениями размеров, нахо-
дящихся под действием равномерного нормального давлеияя р, обнару-
жили •), что величина этих напряжений зависит главным образом от величины
’) См. статью Болля, цит. выше.
Рис. 269. Рис. 270.
Т2Я] СФЕРИЧЕСКАЯ ОБОЛОЧКА ПОСТОЯННОЙ ТОЛЩИНЫ б()1
отношения
sln2 а
h
и может быть представлена сравнительно простыми формулами. Для случая,
представленного на рис. 2(58, а, эти формулы дают следующие максимумы
абсолютных значений напряжений:
а „ . „ ,/йв1п«\2
для у Sin® а < 1,2 с = — 1,24р I——1 COS а,
для 1,2 < Sin® а < 12 я = 1^1,64-2,44 sin а cos а —1|.
Для случал, представленного на рис. 2(58, Ь, соответствующие формулы
будут:
лля ^S<3 . = _р(!У5!Ду[о,75_о.038(^)%1>>>.].
12, " — 12^.
В предыдущем изложении предполагалось, что отверстия у полюса
оболочки нет. Если такое отверстие имеется, то мы должны удовлетворить
граничным условиям как на нижнем, так и на верхнем ее крае. Для этого
нам нужно принять но внимание обн интеграла (j) и (к) уравнения (d)
(см. стр. 595), что приведет нас в ковечном результате к такому решению
уравнения (320), в котором будут содержаться четыре постоянные; в каж-
дом частном случае эти постоянные должны быть подобраны таким обра-
зом, чтобы удовлетворялись граничные условия на обоих краях. ..Соответ-
ствующие вычислении обнаруживают '), что если угол а не мал, то силы,
распределенные по верхнему краю, оказывают лишь весьма слабое влияние
на величину напряжений на нижнем крае, а так как эти последние напря-
жения бывают обычно наиболее значительными, то все необходимые дан-
ные для расчета оболочки с отаерстием мы сможем получить, если при
.вычислении максимальных напряжений воспользуемся формулами, выведен-
ными для оболочки без отверстия.
Изложенный в настоящем параграфе метод вычисления напряжений
в сферической оболочке может быть применен также и для вычисления
Температурных навряжений, Положим, что температуры па наружной и из
внутренней полерхвостях сферической оболочки постоянны, во что в ра-
диальном направлении имеет место изменение температуры по линейному
закону. Если t есть разность температур на наружной и внутренней по-
верхностях, то вызванный этой разностью температур изгиб оболочки будет
полностью устранен постоянными изгибающими моментами (см. § 14)
•Ё случае полной сферы эти моменты существуют в действительности
-и приводят к возникновению напряжений изгиба, максимальные значения
которых
. . . . 6afD(14-v) .
(af)max — (Зб)шах — ^g “2(1—v)*
*} Qm- статью Болл я, цит. на стр. 598,
602 ОБОЛОЧКА ВРАЩЕНИЯ (ГЛ. XVI
Если у нас имеется лишь часть сферы, опертой, как показано на
рис. 268, а, то край ее может свободно поворачиваться и полные темпера-
турные напряжения получатся при наложении на напряжения (w) напряже-
ний, вызванных в оболочке моментами
м _
я~ й
чаем методом, изложенным в настоящем параграфе •) При условиях опира-
ния, показанных на рис. 268, Ь, температурные напряжения определяются по
формуле (w), если только температура срединной поверхности остается
постоянной. В противном случае на напряжения (w) нужно наложить на-
пряжения, вызываемые силами Н и моментами Л4а; находятся они в каждом
частном случае из граничных условий.
130. Приближенные методы вычисления напряжений в сфе-
рических оболочках. В предыдущем параграфе было указано, что
применимость точного решения для напряжений в сферической обо-
лочке зависит от быстроты -сходимости входящих в это решение
рядов. Ряды сходятся медленнее, и для вычисления приходится при-
бегать ко все большему и большему числу членов ряда по мере
того, как возрастает отношение a/h, т. е. по мере того, как тол-
щина оболочки уменьшается в сравнении с ее радиусом 2). Для такой
оболочки были разработаны приближенные методы, приводящие при
больших значениях a/h к решениям весьма высокой точности.
Одним из приближенных методов решения этой задачи является
метод асимптотического интегрирования3). Исходя из уравнения (320)
и вводя вместо перерезывающей силы Qf величину
2=Q¥Vsin<p, (а)
получаем уравнение
z1 v + a^z" ajz' -f- $4 4- о0) z — 0. (b)
в котором
_________63 9 9 ___ Seos у
16sin4ч ‘ 8sin®ч 16 ’ ci “ S|ns•
') Температурные напряжения в оболочках изучались Эйхельбергом
(Eichelberg О„ Forschungsarbeiten, № 263,1923), Для оболочки произволь-
ной толщины см. также Me Dowell Е. L„ Sternberg Е., J. Appl.
Meeh., т. 24, стр. 376, 1957.
s) Вычисления Экстрёма (Ekstrom I. Е., Ing. Veiensk. Akad., т. 121,
Стокгольм, 1933) показывают, что при a/h =62,5 необходимо принять в рас-
чет не менее 18 членов ряда.
- ®) См. доклад О. Блюменталя в Трудах 5-го Международного математи-
ческого конгресса, Кембридж, 1912 (Repls. V Intern. Cong. Math.), а также
СГР Статью в Z. Math. Physik, т. 62, стр. 343, 1914.
130] НАПРЯЖЕНИЯ В СФЕРИЧЕСКИХ ОБОЛОЧКАХ 6(й
Мы видим, что для тонкой оболочки, у которой ajh представляет
собой большое число, величина 4р4 будет весьма значительной в
сравнении с коэффициентами а0, й, и а2. если угол <р не мал. Так как
в нашем дальнейшем изложении мы будем интересоваться напряже-
ниями близ края, где <р = а (рис. 268), причем а не мал, то у нас
есть право пренебречь в уравнении (Ь) членами, содержащими коэф-
фициенты а0, а, и е2. Таким путем мы приходим к уравнению
г''Ч-40Ъ = О. (d)
Это уравнение сходно с уравнением (276), которым мы пользовались
при исследовании симметричной деформации круглой цилиндрической
оболочки Применяя общее решение уравнения (d) и обозначение (а),
получаем
— e?f <Cicos + С2 sin ₽?) +
" р sin ч
, + е-^(С3 cos Р<р 4- С4 sin ₽<р). (е)
Из приведенного выше анализа изгиба цилиндрической оболочки
нам известно, что напряжения изгиба, вызванные равномерно распре-
деленными по краю силами, быстро уменьшаются с увеличением
расстояния от края. В подобных же условиях находится также и
тонкая сферическая оболочка. Заметив, что с уменьшением угла у
первые два члена в решении (е) уменьшаются, в то время как два
следующих увеличиваются, мы приходим к выводу, что в случае
сферы без отверстия на полюсе допустимо принять в расчет в ре-
шении (ё) лишь два первых члена, положив
== €05 В<р 4~ С2 sin р<р). (Г)
Располагая этим выражением для Qf и применяя соотношения (Ь),
(с) и (d) из § 128, а также соотношения (р), (q), (г) из § 129, мы
получаем возможность вычислить все величины, определяющие изгиб
оболочки, а из условий на краях определить постоянные Сг и <?2.
Этим методом без труда можно пользоваться в различных частных
случаях, причем для тонкой оболочки он обеспечивает хорошую
точность *).
Вместо того чтобы оперировать с дифференциальным уравне-
нием (320) четвертого порядка, мы можем положить в основу при-
ближенного исследования изгиба сферической оболочки два уравнения
') Пример применения метода асимптотического интегрирования приво-
дится в статье С. П. Тимошенко; см. Бюллетень Об-ва инженеров-техноло-
гов, СПб., 1913. В вышеуказанных работах Блюменталя указываются спо-
собы дальнейшего уточнения приближенного решения.
604 6ЁОЛОШ ЁРАЩЁНИЯ |ГЛ XVI
(317) •). В нашем случае эти уравнения можно переписать сле-
уюшим образом:
ds<X dQ9
=EhV.
d* *V dV a’Q. ®
'ajr + cte’’Tf-№2t+»)V=--------o5-.
где Qv — перерезывающая сила, a V — угол поворота касательной
к меридиану, определяемые уравнением (а) из § 128. В случае весьма
тонкой оболочки, если угол <р не мал, величины Q? и V, обладая
таким же колебательным характером, как и функция (f), с увеличе-
нием расстояния от края оболочки быстро затухают. Так как значе-
ние параметра ft в случае тонкой оболочки велико, то производная
функция (f) будет велика в сравнении с самой функцией, вторая же
ее производная будет велика в сравнении с первой производной. Это
говорит о том, что, пренебрегая в левой части уравнений (g) чле-
нами, содержащими функции н V и их первые производные,
можно все же достигнуть удовлетворительного приближения; урав-
нения (g) допустимо поэтому заменить следующей упрощенной си-
стемой ураянений2):
йгУ _ Й« п
Исключая из этих уравнений V, получаем

(h)
(0
)<„ 3(1-.'<)( A)2. (J)
Общим решением этого ураянения будет
cos Xqi -|- C^t sin +Сае~^ cosXtp -|- Cte~^ sfn Xtp. (k)
•) Этот метод был предложен Геккелером (G ecke I er I. W„ Forschungs-
arbelten, № 276, Берлин, 1926), а таяже Штаерманом И. Я., Бюллетень
Киевского Политехи, ин-та, 1924; обобщение его см. Работ но в Ю. Н„
Доклады АН СССР, Ноная серия, т, 47, стр. 329, 1945.
*) Это упрощение задачи эквивалентно замене примыкающей к краю
части оболочки касательной к ней конической оболочкой и применению
к этой конической оболочке уравнения, выведенного для круглого цилиндра
(§ 114). См. Meissner Е„ A. Stodola-Festschrlfl, стр. 406, Цюрих, 1929.
НАПРЯЖЕНИЯ В СФЕРИЧЕСКИХ ОБОЛОЧКАХ 605
Если у нас имеется оболочка без отверстия на полюсе (рис. 271. а),
изгибаемая силами и моментами, равномерно распределенными по
краю, то из общего решения (к) нам нужно принять во внимание
лишь дна первых члена, уменьшающихся с уменьшением угла ф.
В таком случае
Qv = cos Хф —|- С2е*? sin Хф. (1)
Две постоянные С! и С2 нужно будет определить в каждом частном
случае из условий на крае (<р=а). При оперировании с граничными
условиями выгодно ввести угол ф = а—<р (рис. 271). Подставив
в выражение (1) вместо <р разность а — ф
интегрирования С и (. мы сможем пред-
ставить решение (1) в виде
<?р = Се^81п(Хф-|-Т). (ш)
Пользуясь теперь уравнениями (Ь), (с) и
(d) из § 128, находим
и введя новые постоянные
Qfctg<p =
—— etg («—ф) Се~м sin О'Ф + Т)’
".=->=-х^х
X Се-» sin 1 — -4)
Первое из уравнений (h) двет нам выра-
жение для угла поворота
(324)
(323)
Рве. 271.

Изгибающий момент можно определить из уравнений (q) предыду-
щего параграфе. Пренебрегая в этих уравнениях членами, содержа-
щими V, находим
^=-7^=T7TCe'4s,"(^+lr+i)’
М, = «л,=С« j* • 111 (Ч*+ 1+7) •
(325)
Наконец, из уравнения (г) предыдущего параграфа определяем гори-
воитальный компонент смещения
8«_«^ = _^51п(а-ф)ХГ2Се'4Б1п(Хф-ЬТ-|).
20 С П Тимошенко. С. Войновский-Крчгер (326)
606 ОБОЛОЧКА ВРАЩЕНИЯ (ГЛ XVI
С помощью формул (323)—(326) мы легко можем спраяиться
с любым частным случаем.
Возьмем для примера случай, изображенный на рис. 271, Ь. Гра-
ничные условия будут
(ЛД..= Л«.. («Д..=0. (и)
Подстановка ф='О в первое из уравнений (323) убеждает нас в том,
что второе из граничных условий (п) удовлетворится, если мы при-
равняем постоянную 7 нулю. При подстановке 7 = 0 и ф=.О в пер-
вое из уравнений' (325) обнаруживается, что первое из условий (п)
будет удовлетворено, если мы положим
Л. = <С.
что дает
с_ мап
Подставив определенные таким путем значения постоянных 7 и С
в выражения (324) и (326) и положив ф=0, найдем поворот и го-
ризонтальное смещение края
4АЧИ„ 2Ув1Па .. zon-л
=----ЁыГ- <8>».0=-eS-4- <327)
Для случая, представленного на рис. 271, с, граничные условия
будут
(AlvV==о, (Nv)v=o= — Н cos а. (о)
Чтобы удовлетворить первому из этих условий, мы должны поло-
жить 7 =— те/4; чтобы удовлетворить второму граничному условию,
воспользуемся первым из уравнений (323), которое даст
— /7cosa = Cctgasin-J.
Отсюда определяем
С___ Sffsina
Внеся значения постоянных 7 и С в уравнения (324) и (326), на-
ходим
___-2^ sin о „
(V>f°-----Д-Н.
Мы видим, что коэффициент при 7ИО во второй из формул (327)—
тот же самый, что и коэффициент при Н в первой из формул (328).
Это должно было следозать непосредственно из теоремы о взаимности.
?? §
130] НАПРЯЖЕНИЯ В СФЕРИЧЕСКИХ ОБОЛОЧКАХ
Формулами (327) и (328) можно непосредственно пользоваться при
нюним разного рода частных задач. Рассмотрим, например, случай сф«
ческой оболочки, защемленной по краям, под-
вергающейся действию равномерного нор-
мального давления р (рис. 272, о). Решая сна-
чала соответствующую мембранную задачу
(рис. 272, О, найдем, что равномерное сжи-
мающее усилие в оболочке будет равно .
= К-.
Край такой оболочки не будет подвергаться
повороту, горизонтальное же его смещение
выразится величиной
- oslna
6 = - (М——
ра2(1 —v) ,
“-------2Й— <Р>
Рис. 272.

Чтобы прийти к решению нашей задачи, на
мембранные силы (рис. 272, J) налагаем силы
и -моменты, равномерно распределенные по
краю, как на рис. 272, с. Эти силы и моменты
такой величины, что соответствующее им
горизонтальное смещение равно по величине
к противоположно по знаку смещению (р);
соответствующий же им поворот края равен ,v—-----------...
мул (327) и (32’8) мы получаем следующие уравнении для определения Л1в и Н:
Eah Eh
24 ЯП. _ 24781п-2.я = («Ч1--4.„п
Eh 2Еп
нулю. Таким путем из фор-
из которых находим
Л1В = -
471--------J- У 3(1+4
а Л1
a sin а “ 21 sln а
(q)
Отрицательные аяаки указывают из то, что направления Л!а и Я противо-
положны указанным на рис. 27L
Приближенные уравнения (h) были получены путем отбрасывания неиз-
вестных функций Qv и V и их первых производных из точных уравнений (g).
Лучшего приближения можно достигнуть, если ввести новые переменные 1)

’) Это то же самое преобразование, которое было применено и О. Блю-
менталем. См. уравнение (а), стр. 602.
20-
ОБОЛОЧКА ВРАЩЕНИЯ
(ГЛ. XVI
60S
Подстваив
Qv= , V =
У sin у
в уравнения (g), найдем, что члены, содержащие первые производные от <?i
и V,, обращаются в нуль. Чтобы получить поэтому упрощенную систему
уравнений, аналогичную уравнениям (h), нам следует лишь пренебречь чле-
нами, содержащими величины Q, и У„ как малыми в сравнении с членами,
содержащими вторые производные от тех же самых величии. Это дает
d<f D Vl'
Эти ураянения решаются точно таким же способом, как и уравнения (h).
Возвращаясь к первоначальным переменным Qv и V, мы получим тогда
вместо выражений (in) и (324) следующие решения *):
Q? = с v ( .. «пвф4-7).
у sm (а — ф)
21»
V = ----С , ----cos (Хф 4- 7)
Ek ><dn(a—ф) 1
Поступая теперь в точности так же, как и в нашем предшествующем изло-
жении, получаем вместо формул (323), (325) и (326) следующие выражения:
(329)
= — ctg(а — ф) с ----- sin (Аф+ т).
УЪш(а~ф)
Тл-М*
= С Ч1Л'7"7т 12сО8 *>““(*>+ й»>s,n <'44- т)1>
21
,-М>
[ft, cos (Хф -И) 4 Sta (Аф4-1)1.
(330)
—с * Ц(1+(Л, 4- Л2) -2Л2] сов СФ 4- т) 4
4 А У sin (а — ф)
+2^«ш(Хф + Т)].
у csilifg—ф) с
Eh
где
~г—, . — [сов (Хф ч 7) — kt sin (Хф+1)].
V sin (а—ф)
1__2v
*i = 1-----2Х~ c,g <а —
’) Это более точное приближение было получено Хетени (Н е t е п у 1 М„
Pub. [ntern. Assoc. Bridge Struct. Eng., t. 5, стр. 173, 1938), Приводимый ниже
численный пример заимствован из названной работы.
ISO] НАПРЯЖЕНИЯ В СФЕРИЧЕСКИХ ОБОЛОЧКАХ 609
Применяя формулы (330) к ранее разобранным и представленным на
рис. 271, Ь и 271, с частным случаям, получим вместо формул (327) и (328)
следующие более точные приближения:
—S- "'.-“ТЛТ"’ <331»
(О,.,--(332)
Применяя эти формулы к частому случаю, представленному на рис.
272 в, мы легко получим вторые приближения для опорных моментов Ма и
сил реакций Н.
Чтобы сравнить первое и второе приближения с точным решением, рас-
смотрим численный пример, в-котором а = 2280 мм, h = 76 мм, а = 35°,
р = 0,07 кг]ыР и ч=1/6. Первое и второе приближения для Af<p были вычи-
слены с помощью первого из уравнений (325) и третьего из уравнений (330),
Они представлены на рис. 273 штриховыми линиями. Для срляивкия посред-
ством рядов предыдущего параграфа было вычислено также и точное реше-
ние ), представленное на рис. 273 сплошной линией. На рис. 274 показана
сила W&, вычисленная для того же частного примера. Оба эти трафика
убеждают нас в том, что второе приближение характеризуется весьма удо-
влетворительной точностью. Заметив, что в вашем примере отношение ajh
’) Для того чтобы получить в этом случае достаточную точность, по-
требовалось принять в расчет 10 членов ряда.
©10
ОБОЛОЧКА ВРАЩЕНИЯ
(ГЛ XVI
равно всего лишь 30, угол же а = 35° сравнительно мал, мы имеем право
заключить, что применение второго приближения вполне дозволительно
Рис. 274.
с точки зрения требований точности в большинстве случаев, встречающихся
в современной инженерной практике ’).
131. Сферическая оболочка с опорным кольцом. Чтобы несколько
уменьшить влияние распирающего действия купола на несущую конструк-
цию (рис. 275, а и 276, в), иногда применяется кольцевая балка, опертая либо
непрерывно по всей своей длине, либо в конечном числе точек. Вертикаль-
ными прогибами такой балки в нижеследующем анализе можно будет пре-
небречь.
Рассмотрим условия по краю = а купола, несущего какую-либо сплош-
ную симметричную нагрузку. Вызванные этой нагрузкой мембранные силы
*) Случай, когда угол а мал н решение (329) недостаточно точно, рас-
смотрен Геккелером (Oeckeler I. W., Ingr.-Arcli., г. 1, стр. 255, 1930).
Пастернак решил ту же самую задачу с помощью уравнений в конечных
разностях (Р a s t е г n а к Р_, Z. angew. Malh. Meeh., т. 6, стр. 1,1926). Исследо-
вание оболочки из анизотропного материала выполнено Штаерманом (Stcu-
е г m а п Е, Z. angew. Math. Meeh., т. 6, стр. 4,1925). Споттс (Spotts М. F„
3. Appl. Meeh., Trans. A. S. M. E., t. 61, 1939), а также Тельке (T б 1 k e F-,
Ingr.-Arcli., T. 9, стр. 282, 1938) решили частную задачу о сферической обо-
лочке переменной толщины. Вопрос о влиянии сосредоточенных нагрузок
см. Martin F., Ingr.-Arch., т. 17, стр. 107, 1949, и ниже, § 132. Вопросы, свя-
занные с несимметричной деформацией сферической оболочки, разбираются
у Хаверса (Havers A., Ingr.-Arch., т. 6, стр. 282, 1935). В более общей по-
становке эта же задача в связи с расчетом напряжений в сферическом
куполе, опирающемся на колонны, освещена Якобсеном (Aas-Jakob-
eehA., Ingr.-Arch., т. 8, стр. 275, 1937).
1st; СФЕРИЧЕСКАЯ ОБОЛОЧКА С ОПОРНЫМ КОЛЬЦОМ 611
Nv, Nt повлекут за собой в согласии с уравнением (г) (стр. 558) прираще-
ние радиуса гв = a sin а на величину
Ъо = -^(^6~ Щ),-а- (а)
Это перемещение будет сопровождаться поворотом касательной к контуру
оболочки у ее края
в согласии с результатами, полученными на стр. 552, и появлением распора
//0 == — cos «(7V?)f=а. (с)
Соответствующая ему растягивающая сила в кольце будет равна
а удлинение ев — , где £—модуль упругости для материала кольца.
Рис. 275.
Приращение радиуса ге в результате действия распора Н определится
величиной
С тем чтобы привести в соответствие деформацию оболочки с дефор-
мацией кольца, приложим по их контурам равномерно распределенные пары

612 ОБОЛОЧКА ВРАЩЕНИЯ [ГЛ XVI
интенсивностью М„ и радиальные силы интенсивностью Н (рис. 275, Ь)-
Пользуясь результатами (327) и (328), получаем следующие выражения для
горизонтального перемещения края и поворотов V:
где
2Aasfnn
Eh
Eha
2aAsln2c
Eh
2X2 Sin a ,,
-та- "
(е)
м=а(1-,.)(«)’.
Действие Afn й ff на кольцо статически эияиналентно совместному действию
опрокидывающих пар
Т^Мк+Не (f)
и сил II, приложенных на уровне центра тяжести поперечного сечения
кольца (рис. 275, с). Эти последние, как это следует из уравнения (d),
производят радиальное перемещение кольца, равное
Bs=£M’ te)
по без его вращения.
Остается учесть деформацию кольца, вызванную моментами Т. Элемент
кольца длиной ds = rodfl поддерживается в равновесии действием опро-
кидывающего момента Тds и двумя изгибающими моментами Мц=Тds/dG ==
—• Тг0 (см. рис. 275, d, где все три момента представлены эквивалентными
векторами). Поэтому максимальное окружное напряжение в кольце, обу-
словленное моментами Т, выразится как
е ... , 67>»
bd* bd2 •
Соответствующие относительные удлинения крайних — верхнего и ияжнего—
волокон кольца будут равны соответственно е = ± ЪТг^ЕЬсР. Отсюда угол
поворота поперечного сечения кольца ныразнтся в виде
2г0 127г* 12г*
= “1в1=-^Г=£^г(^ + №)- <h>
где |е| обозначает абсолютное значение наибольшего относительного
удлинения.
Но полное горизонтальное перемещение края оболочки должно быть
равно полному горизонтальному перемещению кольца; то же равенство
должно иметь место и для угловых деформаций Приходим к следующим
.зависимостям:
| 6 = (1)
Vo-j-v-v* (j)
здесь Vse представляет влияние вращения на радиальное смещение кольца
на уровне края оболочки. После подстановки выражений (а) — (li) для сме-
щений и углов поворотов в (I) и (j) получаем деа линейных уравнения для
13!] СФЕРИЧЕСКАЯ ОБОЛОЧКА С ОПОРНЫМ КОЛЬЦОМ 613
неизвестных значений Afa и Н. Эти значения определяют также постоян-
ные интегрирования приближенного решения, как это показано^ в § 130. Мы
сможем теперь получить полные результирующие напряжении и прогибы,
комбинируя влияние мембранных сил с влиянием прогиба, если для послед-
него принять, например, выражения (323), (324) и (325),
Ли «ритера ршхиотркм сфертескш «упол (р«. 276 “>
Л — 24 м а—40° /„ = 14 8 м Zi = 58 мм, размеры же поперечного сечения
“oibS* eW™'i - «» i •> = ».® * «= “>®“ Ж «X”
ОДНО и то же значение как для оболочки, так и для к®дь“а’-"® ого веса
принята равной нулю. Купол подвергается дейс™'“ Ло®7®е2,11'меМбран.’
отнесенного к поверхности купола и составляющего гОбк2/*1р
ные силы для такой вагрузки определяются уравнениями (257), а вы ,
614
ОБОЛОЧКА ВРАЩЕНИЯ
[ГЛ. XVI
выполненное по указанному выше способу, приводит к следующим зна-
чениям краевых сил1):
Ма = — 0,11 тм]м,
Я=—0,170 тп/лт.
Соответствующие аяачения изгибающего момента М9 показаны на рис. 276, Ь.
Выше, при определении эффекта краевых сил мы воспользовались
упрощенным дифференциальным уравнением (1) § 130. Но ход рассуждении
и вычислительная процедура остаются по существу неизменными, если ис-
ходить из более точного дифференциального уравнения.
132. Симметричный изгиб пологой сферической оболочки. Пусть
срединная поверхность сферической оболочки (рис. 277, а) задана урав-
нением
г = У а* — — (л—z0), (а)
Так как мы имеем дело с «пологой» сферической оболочкой, то положим
dz г г
——«а— ------ — к---
аг Уаг—г* а
и примем для симметрично-
го1) распределения нагрузки
в качестве единственной не-
зависимой переменной радиус
г (рис. 277, а). Дифферен-
циальные урапиеная равнове-
сия (312) принимают тогда вид
4-гр,=о, (ь>
^ + LW+W1)+
+ гр = 0, (с)
(d)
где р и рг обозначают интенсивность нагрузки соответственно в нормаль-
ном и в меридианном направлениях. Соотношения между результирующими
напряжения, компонентами деформации и смещениями w и v (в направле-
’) С подробностями вычисления можно ознакомиться у Гиркманна
(Olrkmano К., Flachentragwerke, 4-е изд., стр. 442, Вена, 1956). Рис. 276, b
воспроизведен здесь с любезного разрешении К. Гиркманна и издательства
Ю. Шпрингера (Вена),
s) Общая теория пологой сферической оболочки, построенная Э. Рейс-
снером, свободна от этого ограничения; см. J. Math, and Phys., т. 25, стр. 80,
1946; т. 25, стр. 279, 1947.
132] СИММЕТРИЧНЫЙ ИЗГИБ ПОЛОГОЙ СФЕРИЧЕСКОЙ ОБОЛОЧКИ 615
ния* р и рг) формулируются следующим образом:
1 dv tr 1
1 _ I <e>
(1 dw daw\
7-dT+y,-d^f’
Учтем теперь то обстоятельство, что в случае пологой оболочки влия-
нием перерезывающей силы Qr на мембранные силы в уравнении. (Ь) до-
пустимо пренебречь. Предположим, далее, что грузовой член рг может быть
представлен производной от возможной нагрузки Е, т. е. что рг = — dQ/dr.
Тогда условиями, для того чтобы удовлетворялось уравнение (Ь), будут
зависимости
"•=^+е- I
<ь>
где F — функция напряжений. Легко также установить, что соотношения (е)
ме&ду компонентами деформации и перемещения удовлетворяют уравнению
совместности
1 de,
г dr
(О
в котором Л =dijdr'i-\-(\lr) (d/dr).
Сопоставляя уравнения (е) и (i), приходим к нижеследующему фунда-
ментальному уравнению для Гик
ддл+^-Дш=—(!—«) де. х G)
Для получения второго фундаментального соотношения между теми же
функциями подстляим Q, из (d) в уравнение (с). Находим
^[^W_M1]+i(A,r+w,)+r,= 0. (Ч
Введем теперь выражения (f) и (h) в уравнение (к), выполнив надлежащие
упрощения;
Наконец, запишем выражения для вертикальной веререзывающей силы Qr
и для горизонтального перемещения 8; оба они пригодятся в формулировке
граничных условий оболочки
eie ОБОЛОЧКА ЙРАЩЁНЙЯ (ГЛ xvi
Выражение для перерезывающей силы
Qr- —(п)
Имеет здесь тот же вид, что и в теории пластинок.
В случае р = С = О интегрироалние системы уравнений (j) и (1) можно
выполнить путем умножения уравнения (j) на множитель — А и суммирова-
ния результата с уравнением (I), Это дает
(о)
Из (о) получаем уравнение для одиночной функции w — AF, положив
А — — 1/MiDE, т. е.
<Р>
где I — /—1. Введем также характеристическую длину I, определив ее отно-
шением y.Ehla = ill2. так что
<=----------.
/12(1 — v’)
Дифференциальное уравнение (о) принимает тогда вид
ДА (о1— AF)-— A(w— Af)=0. (г)
Положив, далее
и'-А/^Ф+Ф, (s)
находим Ф и Ф как общее решение уравнений
//TV
ДФ = О, ДФ—Ру-1Ф = О. (t)
Соответствующие решения принимают вид
Ф = Л + AJnJt, (и)
* “ А [ф| (-*)+% (*)1+Л [ф4 (х)+% (а)], (у)
где
*=7« (w)
Ап—произвольные комплексные постоянные, а ф, (х), .... ф.(х) —функции,
определенные на стр. 540 и табулированные в таблице 86. Использовав ре-
шения (и) и (v) вместе с группой вещественных постоянных Сп и разделив
затем, после подстановки, в уравнении (в) вещественную и мнимую части,
мы приходим к следующим общим выражениям для нормального прогиба ш
и функции напряжений ’) Г:
w = С1Ф1 (•*) + С8ф2 (х) -f- Сафз (-*) + С4ф« (х) + Cs, (х)
F= ~ /ЩГ^) W (*)~С»Ы^+С^г(х) + С61пх]. [у]
') Можно покаавть, что член С71пх следует опустить в выражении (х),
постоянным же членом С& можно пренебречь как малым в выражении (у).
132] СИММЕТРИЧНЫЙ ИЗГИВ ПОЛОГОЙ СФЕРИЧЕСКОЙ ОБОЛОЧКИ 61?
Оценить значение этих результатов можно хотя бы на примере пологой
оболочки очень большого радиуса, подвергающейся действию сосредоточен-
ной силы Р, приложенной я вершине г = 0.
Прежде всего здесь должно удовлетворяться очевидное условие
Мх‘ <2)
между тем как аз, dwldr, Nr и We должны принимать конечные значения
для r = Q a w, Мг, Л1в обращаться “ ""° «»
выражений (т), чтобы удовлетво-
рить уравнению (г), находим
Ра /12(1 -»>
2® Efl2
для остальных же постоянных по-
лучаем
с„=|св,
Окончательно
Поскольку ф3(0) = 0,5 для про-
гиба оболочки в точке приложе-
ния нагрузки, находим
в нуль для г =со. Вводя первое из
Eh2 *
Распределения мембранных
Распределения мембранных на-
пряжений az— Ntfh, и с® = Ntjh,
а также напряжений изгиба
с' = ч=6А1/Л2 и eg = тбЛуЛ2 по верхней поверхности оболочки (для нее
указаны верхние знаки) нанесены в виде эпюр на ряс. 278.
Если центральная нагрузка Р распределена равномерно по площади
круга малого радиуса с, то для центра загруженной площади г = 0 имеют
место следующие результаты:
/12(1 —v’) Рс Г 1 « ... 1
W°~ ® ЕЛг |_ Рд 2р ^4»)]’
/12(1—v») Р Г 1 X ... .1
, 3(1 -Н) Р Фа»)
618 6Б0Л0ЧКА ВРАЩЕНИЯ (ГЛ XVt
Так как выражения (х) и (у) содержат всего шесть произвольных
постоянных, то все симметричные условия в центре и по няешнему контуру
оболочки могут быть выполнены.
Следует обратить внимание также на то, что в отношении изгиба поло-
гая сферическая оболочка ведет себя сходно с пластинкой на упругом осно-
вании. Лишь характеристическая длина выражается на Этот раз уравне-
нием (q), вместо выраженнн (а), указанного на стр. 291 для пластинки.
Поэтому, если I, будучи определена уравнением (q), оказывается малой
в сравнении с радиусом контура, то этот случай следует считать эквива-
лентным случаю пластинки на весьма жестком основании. Прогибы и изги-
бающие моменты в центре такой оболочки лишь в ничтожной степени за-
висят от условий на внешнем контуре, влияющих на состоянпе только
краевой зоны оболочки1).
133. Коническая оболочка. Для того чтобы применить общие уравнения
§ 128 к частному случаю конической оболочки (рис. 279, в), введем вместо
переменной <р новую переменную у, определяющую расстояние от вершины
конуса. Длина бесконечно малого элемента меридиана будет теперь ие rt d<f,
как раньше, a dy. В связи с этим преобразованием переменных нам потре-
буется произвести следующие преобразования производных по у.
4 4 4* 4 fr 4\ 4» . dry d
d<f 1 dy' d<$3 dtf \ 1 dy f 1 4y® 4<y dy '
Преобразуется при этом и оператор (Q ва § 128
М.. + <>
Заметив, что для конуса угол <f постоянен, и обозначив угол л/2—у через
а (рис. 279), получим
Г.-ytga, -_^S.= tgo.
Внеся эти выражения в (а) и положив г, — со, получим для оператора £(...)
’) О деформациях нерастяжимой пологой упругой оболочки см. John-’
son М. W., Reissner Е, J. Math, and Phys., т. 34, стр. 335; особые реше-
ния были рассмотрены В. Флюгге и Д. Конрадом (F 1 й g g е W., Con-
rad D. A., Stanford. Univ. Tech. Repl., 101, 19561; отдельные результаты
были получены уже Геккелером (Oeckeler J. W„ Ingr.-Arch., т. 1,
стр. 255, 1930). Общие дифференциальные уравнения для имеющих началь-
ную крияизну пластинок (пологих оболочек) были установлены Маргерром
(Marguerre К., Proc. V Intern. Congr. Appl. Meeh., 1938, стр’. 93). Изгиб
пологих аниейчатых оболочек см. Ora vas О. Ае., Osterr. Ingr.-Arch., т. 11,
стр. 264, 1957. Нелинейный изгиб пологих сферических оболочек: SI -
топе R. М., J. Math, and Phys., т. 35,-стр. 164, 1956. Изгиб пологих гели-
коидальных оболочек; Reissner Е., Арр!. МесК.т. 22, стр. 31, 1955. Гелико-
идальным оболочкам посвящены также работы: Malcor R., Travaux, т, 32,
стр. 605, декабрь 1948, а также Соломон Л.. Прикл. мат. мех., г. 18, стр. 43,
1954. Теория пологих оболочек излагается у Власова В. 3., Общая тео-
рия оболочек и ее приложения в технике, Госгехиздаг, Москва, 1949,
619
133] КОНИЧЕСКАЯ ОБОЛОЧКА
Уравнения (321) из § 128 примут тогда следующий вид:
. / d»U . dU
плн при и = гя<?? = у tgaQy >)
> ^(yQy)
- у dy» + dy
Воспользовавшись обозначением (j)
C’-~5T—
128 и введя новое обозначение
из §
r dig
(b)
Рис. 279.
получим наконец
^(УОУ) <*(УОу)
У dy2 *" dy
— Q9^H.»yQv = 0.
Обратияшнсь к первому из этих
уравнений, вреобравуем его путем вве-
дения вместо у новой Беременной
в известное уравнение Бесселя,
нам Даст
d*(y<?y) t 1 d(yQy)
т dig»
(d)
Подобное уравнение нам уже встречалось при исследовании цилиндрической
оболочки неременной толщины (§ 118). Введенные там функции 4*1.
численные значения которых даны в таблице 86, могут быть применены и в на-
стоящем случае. Поэтому общее решение для yQy, удонлетворяющее обоим
уравнениям (с), можно представить в таком виде2):
yQy - с, [ф. © + +с,[ф, © —©]+
+с,[ф.©+|m
’) В дальнейшем изложении теории конической оболочки вместо бу-
дет употребляться индекс у.
») Весьма полное исследовзиве конической оболочки имеется в доктор-
ской диссертации Дюбуа (Dubois F„ Ober die Festigkeit der Kegelschale,
Цюрих, 1917). В этой работе разбирается также ряд численных примеров
н приводятся кривые, иллюстрирующие распределение напряжений в кони-
ческой оболочке для различных значений угла при вершине. Случай произ-
вольной нагрузки был рассмотрен Хоффом (Hoff N.X, J.Appl. Mech.,T. 22,
стр. 557, 1955); вопрос же температурных напряжений освещается в работе:
Huth J. Н., J. aeronaut, set, т. 20, стр. 613, 1953.
620 ОБОЛОЧКА ВРАЩЕНИЯ (ГЛ XVt
где Е = 2Хр у, а значки ' обозначают производные по 5. Из нашего предыду-
щего изложения и из значений таблицы 86 нам известно, что функции ф,
и ф2, равно как и их производные ф2 и ф2, обладают колебательным харак-
тером, причем колебания их быстро затухают по мере уменьшения рассто-
яния у. Этими функциями и следует воспользоваться при исследовании изгиба
конической оболочки, вызванного силами и моментами, равномерно распре-
деленными по краю у = 1. Функции ф3 и ф, с их производными также имеют
колебательный характер, но их колебания с уменьшением расстояния у воз-
растают. Поэтому, если мы имеем дело с полным конусом, то третий и чет-
вертый члены в решении (f), содержащие эти функции и их производные,
должны быть отброшены. Остающиеся при этом дее постоянные С( и Сг
определятся в каждом частном Случае из граничных условий у торца у = I.
Оболочка в форме усеченного конуса ограничивается верхним и нижним
торцами, и для того чтобы удовлетворить всем условиям на обоих этих тор-
цах, нам нужно будет в общем решении (f) принять во внимаяие все четыре
переменные ., Ct. Подсчеты показывают, что для применяемых обычно
в технике тонких оболочек и для значений угла а, достаточно далеких от
тг/2, силы и моменты, приложенные на одном торце, оказывают лишь малое
влияние на напряжения и смещения у другого торца ’). Это обстоятельство
упрощает задачу, поскольку мы и здесь получаем право ограничиться в на-
шем решении лишь двумя постоянными. Рассматривая условия нижнего края
оболочки, мы принимаем во внимание лишь те члены интеграла (f), в кото-
рые входят постоянные С, и Сг, рассматривая же условия верхнего края, —
члены с постокиными Сз и С4.
Чтобы определить эти постоянные в каждом частном случае, нам нужны
выражения для угла поворота V, для сил /V,, и и для моментов Му, Мд,
Из уравнений (с) и (<3) § 128 имеем
Ny= — Qytg“. )
dU d(rtQy) d(yQy) | (g)
Ng =-----5— =-------г—— ------5—— tga. I
dy dy dy b }
Первое из уравнений (317) дает утол поворота
1 tg8a г d2(yQ„) й(уО.,) 1
1'-И. + <ь>
Изгибающие моменты в соответствия с формулами (314) будут .
Путем подстановки у tga вместо а в уравнение (г) § 129 находим
JSillctgar '«J j
-----------------------п—[----------w
Таким образом, все величины, определяющие изгиб конической оболочки
оказались выраженными н зависимости от перерезывающей силы Qy, зиаче-
') Для af%,84° Дюбуа (F. Dubois) нашел, что распределение напряжении
в усеченном конусе имеет тог же самый характер, что и в круглой пластинке
с отверстием в центре. Это указывнет на то, что при таких углах приложен-
ные на обоих краях силы и моменты надлежит рассматривать совместно.
133J КОНИЧЕСКАЯ ОБОЛОЧКА 621
ние которой дается общим решением (f). Функции Фь ..., Ф< и их первые
производные-для Е < 6 приводятся в таблице 86. При больших значениях 5
с достаточной точностью можно пользоваться асимптотическими ныраже-
ниями (296) (стр. 546) этих функции, обеспечивающими достаточную точность.
Рассмотрим для примера случай, представленный на рис. 279, а. Поло-
жим, что оболочка нагружена лишь едины своим собственным весом и что
край ее (у = I) может свободно поворачиваться, однако лишен возможности
смещаться в поперечном направлении. Рассматривая сначала соответствую-
щую мембравную задачу (рис. 279, 6), находим
АГв = —?ys!natgto, 1
где q—вес, приходящийся на единицу площади оболочки. Под действием
этих сил произойдет сжатие оболочки по окружности края, величина которого
(1>
Чтобы удовлетворить граничным условиям данной задачи (рис. 279, а), нам
нужно на мембранные напряжения, определяемые уравнениями (к), наложить
напряжения, вызванные в оболочке горизонтальными силами Н (рис. 279, с),
величина которых рассчитыивется так, чтобы при этом было устранено сжа-
тие (I). Для решения этой последней задачи используем два первых члена
решения (f), положив
yQ, - с, [ф, ® ’ (4 ®]+с, [ф, (£) -1 ф; ®]. (и>
Постоянные Ct и Сг определятся теперь из граничных условий
(Л1у)е-2ХУГ = 0< (6>s = 2X yF=~E0?sina=!'^5^~(2sln2““v). (и)
в которых вместо Му и Ь нужно подставить выражения (1) и (j). После вве-
дения выражения (га) вместо уС*у формулы (1) и (j) призимают ввд
м, - р|с, [-еф; и+2 a - ••> ф. © -- (1е~у)-Ф1 (Е) ]+
+ С,[еФ1 (£)-2(1->)ф. (£)- —'-^-Фя «)]). (О)
» = (IV.sl”°^° |с,[еф;(£>-2ф,(£>-4Ф1 (Е>] +
+с. [&й <е> - 2 ф. (£>+|ф; ®] |+
+ |С, [ф, (£) + 4 ф' (£)] + С, [ф, (£)- 4 ф; (£)] }. (р)
Подставия 2X'^ri~ вместо Е в выражения (о) и (р) и воспользовавшись
таблицей 86 или асимптотическими выражениями (296), получим левые части
уравнений (и). Если нагрузка q и размеры оболочки нам даны, то из этих
уравнений мы можем вычислить постоянные Ct и С2. Подсчеты показывают,
что для оболочек с обычно применяемыми в инжеифной практике пропорциями
622 ОБОЛОЧКА ВРАЩЕНИЯ [ГЛ. XVI
величина Е больше шести, и потому лля входящих в уравнения (о)
и (Р) функций следует пользоваться приближенными выражениями (296). При-
ближенное решение для конической оболочки может быть получено без труда
тем же самым способом, который был иллюстрирован в предыдущем пара-
графе в применении к сферической оболочке.
Точное решение допускает также и задача о конической оболочке, тол-
щина которой изменяется пропорционально расстоянию у от вершины. Ре-
шение в этом случае проще, чем для случая постоянной толщины *).
134. Общий случай оболочки вращения. Изложенный в § 128 об-
щий метод решения задач о тонкой оболочке можно применить также
и к кольцевой оболочке типа, изображенного на рис. 220. Таким же
путем исследуется и деформация кольцевой оболочки, показанной на
рис. 280, в2). Комбинируя несколько таких колец, мы подходим
и к решению задачи о сжатии гофрированной трубы, представленной
на рис. 280, Ь3). Комбинируя несколько конических оболочек, мы
получаем гофрированную трубу (рис. 280, с). Сжатие такой трубы
можно исследовать с помощью решения, выведенного в предыдущем
параграфе для конических оболочек. Метод § 128 применим также
и к поверхности вращения более общего типа, если только толщина
стенки изменяется таким образом, что общие уравнения (315) и (316)
принимают вид (317)4). Решение- этих уравнений, если только оно
и возможно, бывает обычно весьма сложным и не допускает непосред-
ственно применения в практических задачах.
В то же время все имеющиеся решения свидетельствуют о том,
что для тонкой оболочки при достаточно большом угле напряже-
ния. вызванные силами и моментами, равномерно распределенными
по краю, носят местный характер и быстро уменьшаются до нуля
с увеличением расстояния от края. Это обстоятельство подает нам мысль
') Metssner Е., Vierteljahrechr. Naturforsch. Ges., Цюрих, т. 60, стр. 23,
1915. См. также Honegger Е., Festlgkeitsberechnung von KegelschaleH
mlt linear veranderlicher Wandstarke, докторская диссертация, Цюрих, 1919.
Случай произвольной изгрузки см. N о 11 а и Н.» Z. angew. Math. Meeh.,
Т. 24, стр. 10, 1944.
s) Точное решение такого рода задач дается н труде Внсслера (W I s s-
I е г Н., Festlgkeltsberechnung von Rlngflachenschalen, докторская диссерта-
ция. Цюрих, 1916). О применениях к тороидальной оболочке см. также
Clark FL A., J. Math, and Phys., т. 29, стр. 146, 1950, и частности, для
эллиптического сечения: Clark R. A., Gilroy Т. J., Reissner Е.,
J. Appl. Meeh., т. 19, стр. 37,1952. Короткие осесимметричные оболочки, загру-
женные по краям, рассматриваются в работе: Н о г v а у G., Linkous С.,
Born J. S., J. Appl. Meeh., т. 23, стр. 53, 1956. Расчет кольцевых, кониче-
ских и сферических оболочек с плоским днищем см. Н о г v а у G., С1 а и-
sen L М., J. Appl. Meeh., т. 22, стр. 25, 1955.
8)Таяие гофрированные трубы рассматривались Штанге (Stange К.,
Ingr.-Arch., т. 2, стр. 47, 1931). Клерк и Рейссвер исследовали гофрирован-
ные трубы некоторых типов как «почти цилиндрические» оболочки
(Clark R. A., Re leaner Е., J, Appl. Meeh., т. 23, стр. 59, 1956). Теорию
таких труб разработал также Бурмистров Е. Ф„ Прикл. мат. мех., т. 13,
стр. 401, 1949.
*) См. статью Мейсснера, цит. выше.
1S4|
ОБЩИЙ СЛУЧАЙ ОБОЛОЧКИ БРАЩеННД
О возможности применения того самого типа приближенных решений,
с которыми мы познакомились при исследовании сферической обо-
лочки, также и в более общих случаях. Исходя из общих уравнений
(315) и (316) (стр. 593), отбра-
сываем из левых частей этих
уравнений функции U и V и их
первые производные, малые в
сравнении со вторыми производ-
ными *). Это приводит нас к сле-
дующей упрощенной системе
уравнений:
гя агУ =_и_
г2 ®
(а)
Дифференцируя дважды первое из
этих уравнений, получаем
(Ь)
dy2 1 rf d<f j d<f
Если после дифференцирова- Рис 280.
ния мы сохраним в каждой части
уравнения, опять лишь по одному члену, содержащему производную
наивысшего порядка от функций U и V, то получим
r2 r. <?V Ehr2 и
~~ pi._____________—_________А..
Г? d¥4 dV2 г2 D •
(0
’) Этим методом получения приближенного решения в Общем случае мы
обязаны Генке леру (Geckeller L W., Forschungsarbelten, № 276, Стр. 21,
Берлин, 1926). Распространение метода Блюменталя асимптотического интег-
рирования на общий случай оболочки, имеющей-форму поверхности враще-
ния, было предложено Штаерманом (Steuerman Е., Proc. Ill Intern. Cong.-
Appl. Meeh., т. 2, стр. 60, 1930). Метод асимптотического интегрирования см.
также Н 11 deb га nd F, В., Proc. Symposia Appl. Math., т. 3, стр. 53, 1956.
Общая теория оболочек и границы ее применимости см. Н11 d е b г а и d F. В.,
Reissner Е„ Thomas О. В„ NACA Tech. Note 1833, 19-19; Zerna W„
Ingr.-Arch., т. 17, стр. 149, 1949; Green A. E., Zerna W., Quart. Meeh.,
Appl. Math., t. 3, стр. 9, 1950; Park us H., Osterr. Ingr.-Arch., t. 4, стр. 160,
1951); Knowles J. K., Reissner E., J. Math, and Phus., t. 35, стр. 351,
1957; N euber H., Z. angew. Math. Meeh., t. 29, стр. 97, 1949. Влияние по-
перечной деформации сдвига из оболочки вращения рассматривается в ра-
боте Na g h d I P. M, Quart. Appl. Math., t. 15, стр. 41, 1957. Успехами
к нелинейной теории оболочек мы обязаны в первую очередь Н. А. Алу-
мя8, К. 3. Галимову и X. М. Муштарн. См. указатель литературы в книге:
Во ль мир А. С., Гибкие пластинки и оболочки, М.-Л., 1956. См. также
Parszewskl Z., Proc. IX Intern. Congr. Appl. Meeh., t. 6, стр. 280, Брюс-
сель, 1957; Schwarze G„ Ingr.-Arch., t. 25, стр. 278, 1957.
624 Оболочка Вращения [гл xvt
После введения обозначения
1 Ehrl «
К=Т-^Г=3(1-,)йЬ <">
Ч гг^л
уравнение (с) принимает вид
4^ + ®<и = 0. (е)
аналогичный уравнению (i) § 130, полученному для сферической обо-
лочки. Разница между этими двумя уравнениями сводится лишь к тому,
что множитель X. определяемый выражением (d), в общем случае
уже не остается больше постоянной величиной, а изменяется в зави-
симости от угла <р. Так как функция U с увеличением расстояния
от края быстрее падает до нуля, то мы сможем получить удовлет-
ворительное в смысле точности приближенное решение уравнения (е),
заменив X некоторым постоянным средним значением. Здесь можно
применить непосредственно полученное выше приближенное решение
для сферы.
Чтобы получить более удовлетворительное решение, оболочку
можно разбить параллельными кругами на несколько зон и для каж-
дой из них принять некоторое среднее постоянное значение X. Начав
с первой от края оболочки зоны, из условий на краю точно так же,
как это было показано для сферической оболочки, находим две по-
стоянные общего решения (329). Тогда все величины, определяющие
деформации и напряжения в этой зоне, будут найдены из уравне-
ний (330). Значения этих величин у границы первой зоны дают на-
чальные значения тех же самых величин для второй зоны. Таким
образом, изменив численное значение X для второй зоны, мы можем
продолжать вычисления дальше, пользуясь тем же общим реше-
нием (329)’).
Если множитель X можно представить выражением
где а и b—постоянные, то мы можем получить и точное решение
уравнения (е)* 2). Поскольку, однако, уравнение (е) является лишь
") Применение этого метода к расчету напряжений в днищах напорных
резервуаров дается в работе Котса (CoatesW. М., Trans. Am. Soc. Meeh.
Eng., т. 52, стр. 117, 1930).
2) См. статью Геккелера, цит. на стр. 623. Применение этого решения
к расчету напряжений в уступчатых куполах приводится в книге Флюгге В.,
Статика и динамика оболочек, М., Госстройиздат, 1961. Оболочки пере-
менной толщины составляют также объект исследования De Silva С N.,
N a g h d i P. M., Quart. Appl. Math., r. 15, стр. 169, 1957.
1341 ОЭДИЙ СЛУЧАЙ оболочки ВраШейи$» 625
приближенным отношением, такое точное решение представляет,
по-видимому, мало преимуществ сравнительно с вышеизложенным
приближенным расчетом *).
‘) Библиография по оболочкам содержится также в книгах: В. Флюгге
(цит. выше), К. Girkmann (цит. выше), L’Hermite R., Resistance des
rnaterlaux, iheorique el expferimentale, Париж, 1954. Теория призматических
(складчатых) и пирамидальимх оболочек освещается в вышеуказанных книгах,
а также в книге Born J., Faltwerke, Штутгарт, 1954. Библиография, в част-
ности, но кровлям-оболочкам имеется в изданиях Aas-Jakobsen А.
(цит. выше) и Proc. Symposium on concrete shell roof construction, Cement
and concrete association, Лондон. 1954.