/
Author: Гликман И.Я. Русин Ю.С.
Tags: электротехника радиотехника радио приборостроение издательство советское радио
Year: 1976
Text
И. Я. ГЛИКМАН, ю. С. РУСИН
РАСЧЕТ
ХАРАКТЕРИСТИК
ЭЛЕМЕНТОВ ЦЕПЕЙ
РЭА
И. Я. Гликман, Ю. С. Русин
Расчет характеристик
элементов цепей
радиоэлектронной аппаратуры
Моск в a
Советское радио • 1976
6Ф2.43
Г54
УДК 621.396.6.621.001.24
Гликман И. Я. и Русин Ю. С.
Г 54 Расчет характеристик элементов цепей радио-
электронной аппаратуры. М., «Сов. радио», 1976.
160 с. с ил.
Приведены методы и расчетные формулы для определения харак-
теристик и параметров индуктивных, емкостных и резистивных эле-
ментов радиоэлектронной аппаратуры, а также для расчета цепей с по-
стоянными магнитами.
Книга предназначена для широкого круга специалистов, работаю-
щих в электро- и радиотехнической промышленности, в приборострое-
нии.
30404-014
Г 046(01)-76 30"75
6Ф2.13
Редакция литературы по электронной технике
ИОН ЯКОВЛЕВИЧ ГЛИКМАН
ЮРИЙ СЕМЕНОВИЧ РУСИН
Расчет характеристик элементов цепей
радиоэлектронной аппаратуры
Редактор Л. В. Голованова
Художественный редактор 3. Е. Вендрова
Обложка художника Б. К. Шаповалова
Технический редактор Г. А. Мешкова
Корректор Н. Л. Жукова
Сдано в набор 15/V-1975 г. Подписано в печать 24/Xl-1q"5 г.
Т-18938 Фоэмат бумаги 84ХЮ8/33 Бумага типографская № 1
Об »м 8,4 усл. п. л.. Уч.-изд. л. 7,401 Тираж 17 000 экз.
Зак. 316 Цена 40 коп.
Издательство <Советское радио», Москва, Главпочтамт, а/я 693
Московская типография № 10 Союзполиграфпрома
при Государственном Комитете Совета Министров СССР
по делам издательств, полиграфии и книжной торговли.
Москва, М-114, Шлюзовая наб., 10.
© Издательство «Советское радио», 1976 г.
ПРЕДИСЛОВИЕ
Для эффективного использования находящихся в экс-
плуатации электромагнитных устройств и создания но-
вых, помимо хорошо обоснованной теории и аналитиче-
ских методов, разработчик должен располагать материа-
лом, позволяющим с минимальными затратами времени
осуществить элементный расчет проектируемых устройств,
а также определить характеристики существующих.
Практика показывает, что больше всего времени обычно
затрачивается на определение электрических параметров
элементов цепей: катушек индуктивности, конденсаторов,
резисторов; более или менее полный расчет требует, кро-
ме того, учета теплового режима, полей наводок и т. д.
Авторы настоящей книги ставили перед собой задачу
дополнить существующую научно-техническую литерату-
ру (пока еще весьма немногочисленную) по рассматри-
ваемой тематике справочной книгой, которая, с одной
стороны, дает готовые зависимости для подавляющего
большинства практически важных расчетов характери-
стик элементов, а с другой стороны, поможет найти при-
ближенные решения при расчетах, отличающихся от
стандартных.
Предлагая рекомендации для расчетов, авторы стре-
мились приводить по возможности более простые и удоб-
ные соотношения, дающие удовлетворительное совпаде-
ние с экспериментом, применение которых требует обра-
щения только к логарифмической линейке.
При изложении материала, как правило, использова-
лась система единиц СИ; исключение составляют неко-
торые формулы с эмпирическими коэффициентами. Для
удобства приведена сводная таблица используемых еди-
ниц измерения с переводными коэффициентами (см.
табл. П.1).
В связи с тем, что в одной книге невозможно отра-
зить все стороны столь обширного вопроса, как расчет
характеристик элементов цепей, авторы ограничились
только наиболее часто встречающимися случаями опре-
деления радио- и электротехнических характеристик и
3
Таблица П. 1
4
особенностей режимов работы элементов, используемых,
главным образом, в схемах не микроэлектронного испол-
нения. При этом незатронутыми остались вопросы физи-
ки явлений (например, природа потерь), выбора мате-
риалов (например, с точки зрения температурной ста-
бильности), проектирования элементов и некоторые
другие. Не рассмотрены также вопросы расчета элемен-
тов, специфичных для отдельных разделов радиоэлектро-
ники, например, СВЧ и силовых цепей; по нашему мне-
нию, это должно стать содержанием отдельных книг.
В ряде случаев применимость тех или иных расчет-
ных формул регламентируется частотным диапазоном
Авторы будут благодарны за отзывы и пожелания, ко-
торы просят направлять в издательство «Советское ра-
дио» по адресу. Москва, Главпочтамт, а/я 693.
При этом под высокими частотами следует понимать такие,
для которых длина волны соизмерима с определяющими геометри-
ческими размерами рассматриваемого объекта. Для весьма высоких
частот длина волны существенно меньше этих размеров.
ГЛАВА 1
РАСЧЕТ ИНДУКТИВНОСТИ
1.1. ОБЩИЕ ВОПРОСЫ
Чрезвычайно большое внимание, уделяемое расчету
индуктивности в технической литературе вообще и в на-
стоящей книге в частности, объясняется двумя основны-
ми причинами. Во-первых, определение индуктивности
является одной из важнейших задач, решаемых при про-
ектировании электромагнитных устройств и элементов
электро- и радиотехнической аппаратуры; во-вторых,
индуктивные элементы цепей (катушки индуктивности)
являются наименее стандартизованными (по номиналу)
и потому создаваемыми проектировщиками в наиболь-
шем количестве вариантов. Этому способствует тот факт,
что в условиях неспециализированного производства и
в лабораторных условиях из всех элементов радиотех-
нических цепей индуктивные элементы являются наибо-
лее доступными в изготовлении.
Индуктивностью, или коэффициентом самоиндукции,
называют коэффициент пропорциональности между то-
ком и возбуждаемым им потокосцеплением, т. е.
Б = = (1.1)
где GM — некоторая величина, являющаяся функцией
геометрии системы; w — число витков катушки. Индекс
при Т указывает на то, что рассматривается коэффи-
циент пропорциональности между током в какой-либо ка-
тушке (или контуре) и потокосцеплением в ней; по этой
причине иногда употребляют термин собственная индук-
тивность. Если рассматривается коэффициент пропорцио-
нальности между током в какой-либо катушке и потоко-
сцеплением, вызванным им в другой катушке, то вводит-
ся понятие взаимная индуктивность. При этом
Л412=Т2М/Л; M21=T1m//2,
6
где М — коэффициент взаимной индукции; 4Gm и Тгм —
потокосцепления, вызванные в первой или во второй ка-
тушке током второй (7а) или первой (Л) катушки сооот-
ветственно.
Далее будут рассмотрены только такие системы, когда
в пространстве между катушками нет областей, свойства
которых зависят от величины потока, т. е. речь пойдет
о работе в линейном режиме. При этом Л112 = Л421.
Собственная индуктивность всегда, как следует из
определения, является величиной положительной и не за-
висит от направления тока.
Взаимная индуктивность может быть как положи-
тельной, так и отрицательной величиной и изменяет свой
знак при изменении направления одного из токов.
Предположение о линейности режима работы цепи,
сделанное выше, позволяет в ряде случаев упростить на-
хождение взаимной индуктивности, поскольку при этом
можно пользоваться правилом взаимной замены длин:
взаимная индуктивность двух катушек не изменится, если
поменять местами их длины, сохранив неизменными диа-
метры и положение центров.
Как видно из формулы (1.1), величина GM имеет раз-
мерность магнитной проводимости. Но так как отдель-
ные витки создают потоки, не обязательно сцепленные
с полным числом витков, величина потокосцепления не
будет определяться простым перемножением величины
полного потока на общее число витков; при этом GM мо-
жет считаться прводимостыо чисто в формальном смысле.
Правильное определение индуктивности требует сум-
мирования отдельных величин потокосцеплений, т. е.
п
L = 2 (1.2)
А=1
где GMs — проводимость для Л-го потока, сцепленного
с Wk витками.
На основе соотношения (1.2) получена формула, ко-
торая легла в основу расчета индуктивности для некото-
рых частных случаев, приведенных ниже:
Z/2
[* w0 (х) F (х) pdx 4- Ф’о
о
(1-3)
где а>о(х)—число витков на единицу длины катушки;
F(х) —функция распределения м. д. с. по длине катуш-
7
ки; р — периметр сечения катушки при данной коорди-
нате х\ То — величина потокосцепления, обусловленная
долей магнитного потока, сцепленного со всеми витками
катушки; G(x)—функция зависимости проводимости от
координаты х.
Основную сложность при пользовании формулой (1.3)
представляет определение проводимости.
В специальной литературе приведены различные ме-
тоды определения проводимости и формулы для конкрет-
ных случаев; исходя из них, а также из геометрии систе-
мы и распределения м. д. с., можно найти функцию G(x).
В тех случаях, когда для какой-либо цепи возможно
интегральное определение формализованной магнитной
проводимости (или сопротивления), для вычисления
индуктивности можно воспользоваться формулой, связы-
вающей индуктивность с магнитным сопротивлением,
в виде
Т _ 9 SM /, ,,
где SM — площадь поперечного сечения магнитопровода;
/м— длина средней магнитной силовой линии; /?м— маг-
нитное сопротивление.
Если магнитопровод составлен из участков с различ-
ными магнитными характеристиками, то последователь-
но-параллельное соединение преобразуется по правилам,
действующим для обычных сопротивлений. Учет нелиней-
ности кривой,,намагничивания осуществляется с помощью
так называемой приведенной кривой, построение которой
широко описано в литературе. Однако такой способ ма-
ло пригоден, если в магнитной цепи имеются участки, на
которых распределение потока по сечению существенно
отличается от распределения в материале соседних уча-
стков магнитопровода, например, большие воздушные
зазоры. Иногда для тдких участков удается вычислить
эквивалентные геометрические размеры, тогда можно
найти их магнитное сопротивление и осуществить необ-
ходимые расчеты.
Простую ориентировочную оценку индуктивности по-
добных элементов можно выполнить, исходя из ряда
упрощающих допущений, которые на практике сводятся
к рекомендации учитывать влияние сердечника как соот-
ветствующим образом учитываемую добавку к индуктив-
ности, вычисленной для воздушной катушки с теми же
размерами, что и рассматриваемая.
8
Т аблица 1,1
Материал Начальная магнитная про- ницаемость, Нн Потери
о5ш,ие, Вт/кг Sr- Ю3, м/А 5в-10«, 1/Гц 5п.10з
Электротехническая сталь Пермаллои: 350—600 10—20 — — —
50Н 2 503—3 000 2,0
80 НХС 12 000—18 000 0,4
79 НМ Ферриты: 12 000—18 000 0,15 — — —
марганец-цин- ковые 700—6 030 0,04—0,37 — — —
никель-цинко- вые Магнитодиэлектрики: 10—2 000 0,1—2,0 — — —
иа основе карбо- нильного желе- за на основе аль- снфера 9—11 0,1—0,3 0,5—4 0,05— -0,2
типа ТЧ 50—90 5—7 250—1 000 2—3
типа ВЧ 20—32 — 1,2—2 12—85 1,2
Примечания. I. Смысл параметров 8Г, &в и &п (коэффициенты потерь)
разъясняется в § 1 8.
2, Для электротехнической стали потери при f = 400 Гц и В=1 Т.
3. Для пермаллоев потери при f = 4 кГц, В = 1 Т; р-н при f = 1 кГц.
4. Для ферритов потери на гестерезис 10e/p.H.
В последующих разделах настоящей главы приводят-
ся результаты приложения общей теории и методики
расчета индуктивности к наиболее часто встречающимся
конкретным задачам. Для ориентировки в табл. 1.1 при-
ведены некоторые усредненные характеристики наиболее
часто применяемых для сердечников серийных отечест-
венных магнитных материалов.
1.2. ВОЗДУШНЫЕ КАТУШКИ*)
ОДНОСЛОЙНАЯ ВОЗДУШНАЯ КАТУШКА
СО СПЛОШНОЙ НАМОТКОЙ
- 10'2^2
L (Z/d) + 0,44 ПрИ —
L=10-3cta2& при l)d>b.
Здесь d — диаметр катушки; I — длина катушки.
*> Все линейные размеры приведены в сантиметрах, индуктив-
ность — в микрогенри.
9
Таблица 1.2
d/l 0,05 0,06 0,07 0,08 0,09 0,10 0,11 0,12
k 0,483 0,577 0,671 0,763 0,855 0,946 1,037 1,126
d/l 0,13 0,14 0,15 0,16 0,17 0,18 0,19 0,20
k 1,215 1,303 1,390 1,477 1,563 1,648 1,732 1,816
Значения k в зависимости от величины d/l (а не l/dl)
приведены в табл. 1.2.
Поправки на шаг намотки для однослойных катушек
(к значениям, вычисленным по формулам для сплошной
намотки)
ДЛ = да(с?/2) (Д1+Д2) - IO"3.
Величины Д1 и Д2 приведены в табл. 1.3 и 1.4; d —
средний диаметр катушки; с?м — диаметр провода по ме-
ди; р— шаг намотки; b — ширина ленты; с — толщина
ленты.
многослойная воздушная КАТУШКА
г__________ 8-10-2a>2dcp
3dcp + 9Л + 10/
где с?Ср — средний диаметр катушки; h~-высота катуш-
ки; t — радиальная ширина намотки; ДД— поправка на
шаг намотки.
Д£=ф1п (с?из/с?м) +0,1] • IO-3.
Здесь dH3— диаметр провода в изоляции; dM — диа-
метр провода по меди.
ПЛОСКИЕ КАТУШКИ СО СПИРАЛЬНОЙ НАМОТКОЙ
1. Катушка с круглыми витками
L = 0,l®2c?cp[a/(4a~{-11)] при a=dcp[t-,
L — 2-l0~3w2dcpk при а<10.
Здесь dCp — средний диаметр намотки; t — радиаль-
ная ширина намотки; величина k определяется из
рис. 1.1.
ш
Таблица 1.3
Вид
провода
Поправки
I г2
Круглый
In 4--0,6
По табл. 1.4
Тонкая
лента
(с ^0,16)
44 44 44 Ь/р
Лента
квадрат-
ного сече-
ния
(*=С)
11
Таблица 1.4
2. Катушка с квадратными витками
L — 0,128аСр J/'- да6 In (8аСр//);
аСр — средняя длина стороны квадрата.
Если Z<CtzCp, то можно пользоваться формулой
L — 8- 10-3w2tzCp[ln (аСрД) +0,726].
Поправка на шаг намотки
ДЛ = да^(Д1 + Д2)-10-’,
где Д1 = 1п (рМм)—0,6; Д2 — из табл. 1.4; р — шаг намот-
ки; dM — диаметр провода по меди.
12
СОЛЕНОИД НА КАРКАСЕ ПРЯМОУГОЛЬНОГО СЕЧЕНИЯ
L — 8- 10“W(a-{-b)ki при Z/6<1;
L = 4п- 10~3w2 (ab/l)k2 при ljb^\,
где a, b — стороны поперечного сечения каркаса (tz<6);
1 — длина катушки; ki — из рис. 1.2; й2= 1—агу + а2у2;
y=bfl\ значения а — из табл. 1.5.
Таблица 1.5
а/Ь 0,1 0,2 0,3 0,4 0,5
СЦ 0,112 0,183 0,238 0,285 0,325
а2 0,016 0,032 0,048 0,064 0,080
а/Ь 0,6 0,7 0,8 0,9 1,0
а1 0,361 0,393 0,422 0,449 0,473
а2 0,096 0,111 0,127 0,143 0,159
Погрешность расчетов по формуле для 1/Ь^\ опреде-
ляется по рис. 1.3, где е —наибольшая величина относи-
тельной погрешности.
ПЛОСКИЕ КОНТУРЫ
1. Круговое кольцо из провода круглого сечения
L=2n- 10-3D [In (D/d) +0,08],
где D — диаметр кольца по центру сечения; d — диаметр
провода.
Формулой можно пользоваться и при высоких ча-
стотах.
Погрешность расчетов уменьшается пропорционально
второй степени отношения D/d и не превышает 2% при
D/d^b для низких и средних часто! и при D/d ^10 для
высоких частот.
2. Круговое кольцо из провода квадратного сечения
L=2n- 103D[ln (D/a) +0,19].
При высокой частоте
£=2л • 10-3D[ln (D/a) +0,12],
где а — сторона поперечного сечения провода.
13
3. Круговое кольцо из тонкой ленты
L = 2it • 1O’’D [In (D/6) + 0,89],
где b — ширина ленты.
4. Контур в виде правильного многоугольника (при
условии, что длина провода значительно больше периме-
тра его сечения)
А = 2-10~3/(1пА— В)*\
где I — длина провода; A = 4l/d— для круглого провода
с диаметром d\ А=21/(a + b)—для провода прямоуголь-
ного сечения со сторонами а и 6; В — коэффициент, ве-
личина которого зависит от числа сторон п (см.
табл. 1.6).
Таблица 1.6
п 3 4 5 6 8
в 3,197 2,853 2,712 2,636 2,561
1.3. КАТУШКИ ИНДУКТИВНОСТИ НА ЗАМКНУТЫХ
МАГНИТОПРОВОДАХ И БРОНЕВЫХ
СЕРДЕЧНИКАХ
Практически расчет индуктивности катушек с магни-
топроводами замкнутой формы производят по формуле
(1.4), являющейся следствием общих соотношений для
магнитных цепей. При расчетах, как правило, принима-
ется, что магнитный поток весь проходит через магнито-
провод (без утечек и рассеяния), а средняя магнитная
силовая линия проходит через центры тяжести попереч-
ных сечений магнитной цепи (т. е. совпадает со средней
линией магнитопровода). Сделанные предположения по-
зволяют сравнительно легко с помощью формулы (1.2)
выполнить расчет индуктивности катушек с сердечника-
ми замкнутой формы обычно встречающихся конфигу-
раций.
*> Формулой можно пользоваться также для определения индук-
тивности кругового витка, приняв В = 2,451.
14
Для сердечников сложной конфигурации удобно вве-
сти некоторые эффективные значения 5Э и /э, иногда
определяемые экспериментально.
В связи с тем, что из всех конфигураций замкнутых
магнитопроводов в подавляющем большинстве случаев
применяются кольцевые сердечники (сердечники торои-
дальной формы), ниже приводятся формулы для расчета
этого частного, но чрезвычайно важного для практики
случая. При этом даны также уточненные формулы, вы-
веденные с учетом поправки на положение средней маг-
нитной силовой линии.
Дальнейшее уточнение расчетов, которое может по-
требоваться в ряде специальных случаев применения за-
мкнутых магнитопроводов, связано с учетом неравномер-
ности распределения индукции по сечению сердечника и
может быть выполнено аналитическими или графически-
ми методами, описанными в литературе.
СЕРДЕЧНИКИ ТОРОИДАЛЬНОЙ ФОРМЫ
Индуктивность катушек на тороидальных сердечни-
ках определяется по формулам, приведенным в табл. 1.7.
Неполная обмотка (рис. 1.4)
7. — [(p«S//ср) “I- 0,5/?срД],
где
. _ (к—а)2 [2 (it — а) + sin 2а] । 4, 1 10~2
8(1+COS а)2 ~Г" а2
cos 2а);
S — сечение магнитопровода; /ср— длина средней линии
магнитопровода; рср— периметр среднего витка. Значе-
ния А для некоторых част-
ных случаев приведены в
табл. 1.8.
Рис. 1.4.
15
Таблица 1.7
16
Таблица 1.8
2а 0 п/4 л/2 7Г Зл/2 2л
А 1,94 1,62 1,35 0,95 0,53 0
Графическое изображение функции А (2а) приведено
на рис. 1.5.
КАТУШКИ СО СПИРАЛЬНОЙ НАМОТКОЙ
ЛЕНТОЧНЫМ ПРОВОДОМ
Индуктивность этих катушек определяется по форму-
лам для многослойной катушки с теми же наружным и
внутренним диаметрами и высотой намотки, если вместо
числа витков в формулу подставить число слоев ленточ-
ной катушки.
КАТУШКИ С ОБМОТКОЙ НА КАРКАСЕ
При массовых измерениях магнитных параметров
сердечников (например, для целей разбраковки) иногда
используются разъемные катушки, вмонтированные в кар-
кас, внутрь которого помещают тороидальные сердечни-
ки. Связь между магнитной проницаемостью материала
сердечника ц и индуктивность катушки L в этом случае
выражается формулой
где S и SK — площади поперечных сечений сердечника и
каркаса;
J ____ Dk —• Лк
КСР~ In (DK/dK) •
DK и dK — наружный и внутренний диаметры каркаса.
Если разность между DK и dK невелика, то rfKCp мож-
но определять по формуле
<1к ср= (Ок + dK)/2.
При этом дополнительная погрешность расчетов не пре-
высит 5%, если DK/dK^2, и 1%, если £)к/^к^:1,5.
2—316 17
ЭКВИВАЛЕНТНЫЕ РАЗМЕРЫ (/э И S,)
Формулы эквивалентных (эффективных) значений
длины средней магнитной силовой линии 1а и поперечно-
го сечения магнитопровода 5Э, рекомендуемые для
использования при расчетах по формуле (1.4):
/э=/г21//г2; Sa=kifkz. (1 5)
Здесь ki и kz— коэффициенты, характеризующие гео-
метрию сердечника (по табл. 1.9).
Рекомендации составлены по материалам Междуна-»
родной Электротехнической комиссии (МЭК) примени-
тельно к наиболее часто встречающимся конфигурациям
сердечников. Предполагается, как отмечалось выше, что
величина потока одинакова для всех сечений и что поток
по всему сечению распределен равномерно.
Эти формулы могут быть использованы также для
сердечников с малым воздушным зазором, который учи-
тывается при определении магнитной проницаемости сер-
дечника (см. соответствующий параграф).
Для определения эквивалентных размеров деталей
различной конфигурации, не изображенных на рисунках
табл. 1.9, рекомендуется исходить из того, что средняя
длина пути потока для угла детали равна среднему кру-
говому пути, соединяющему центры площадей двух
смежных однородных сечений, а площадь поперечного
сечения, связанная с этой длиной, берется как средняя
площадь двух смежных однородных сечений.
Если нет необходимости вычислять отдельно /э и 5Э
(например, для определения объема), то в соответствии
с формулами (1.4) и (1.5) можно найти индуктивность
L = [LollW2/kl,
где ki имеет то же значение, что и в формуле (1.5) и так-
же определяется выражениями, приведенными в табл. 1.9.
КАТУШКИ НА Ш-ОБРАЗНЫХ И ЦИЛИНДРИЧЕСКИХ
БРОНЕВЫХ СЕРДЕЧНИКАХ
Из числа сердечников, для которых приведены фор-
мулы в табл. 1.9, в радиотехнической аппаратуре широ-
кое распространение находят Ш-образные и цилиндри-
ческие броневые сердечники.
Эти сердечники имеют сложную форму магнитной
цепи; кроме того, их весьма часто используют с воздуш-
18
Конфигурация сердечника
»(«s + *$•) а» у+ Ts-)
ч + f ц+d
2*
19
+
II
20
ным зазором (на рисунках место зазора показано услов-
но двойной штриховкой), а цилиндрические броневые
сердечники обычно и с подстроечником.
Из-за сложной зависимости эквивалентных характе-
ристик сердечников (в том числе и магнитной проницае-
мости) от всех этих факторов не представляется возмож-
ным дать достаточно удобные и точные формулы для
определения индуктивности и добротности катушек с уче-
том величины зазора. Поэтому первоначальное ориенти-
ровочное определение индуктивности катушек на этих
сердечниках может быть выполнено на основе материа-
лов настоящего раздела, а уточнение расчетов, нахожде-
ние условий получения оптимальной добротности и т. д.
требует обращения к экспериментальной методике, изло-
женной в литературе.
Таблица 1.10
Типораз- мер 111- образного сердечни- ка Ш2.5Х Х2.5 шзхз Ш4Х4 Ш5Х5 Шбхб Ш7Х7
&3 0,0420 0,0485 0,0705 0,0923 0,104 0,122
V, см3 0,147 0,26 0,65 1,23 2,24 3,84
Габарит- ные раз- меры, мм юхюх Х2.5 12Х12Х ХЗ 16Х16Х Х4 20Х20Х Х5 24Х24Х Х6 зохзох Х7
Продолжение табл. 1.10
Типораз- мер 111- образного сердечни- ка Ш8Х8 ШЮХЮ Ш12ХЮ Ш16X20 Ш20Х28
кз 0,129 0,150 0,234 0,348 0,498
V, см3 5,62 8,40 17,45 41,8 82,1
Габарит- ные раз- меры, мм 32Х32Х Х8 36Х36Х ХЮ 42Х42ХЮ 54X54X20 65X65X28
Примечание. Габаритные размеры относятся к сердечнику, сложенному
из двух Ш-образных деталей. Обозначение типоразмера сердечника содержит указа-
ние на величину площади St (первая цифра соответствует размеру 21).
2Y
Т аблица 1.11
Типоразмер цилиндрического броневого сер- дечника Б6 Б9 БИ Б14 Б18
Аз 0,074 0,095 0,147 0,178 0,244
V, см3 0,067 0,105 0,28 0,51 1,0
Габаритные размеры, мм 06,5Х Х5.6 09X5,6 011X6,2 014Х Х8.4 018X10,6
Продолжение табл. 1.11
Типоразмер цилиндрического броневого сер- дечника Б22 Б26 БЗО Б36 Б48
&3 0,277 0,294 0,362 0,517 0,641
V, см3 2,0 3,6 5,3 11,2 24,3
Габаритные размеры, мм 022Х Х13.6 026Х Х16.4 0 30X19 036X22 0 48X31,4
Примечание. Габаритные размеры относятся к сердечнику, сложенному
из двух чашек. Обозначение типоразмера сердечника (кроме БЗ) содержит указание
на наружный диаметр rf4.
Если для изготовления катушек применяются сердеч-
ники без зазора, то расчет индуктивности ведется по
формуле (1.4) с учетом соотношений, приведенных
в табл. 1.10.
Для облегчения расчетов применительно к типораз-
мерам ферритовых сердечников, входящих в номенклату-
ру отечественной промышленности, в табл. 1.10 и 1.11
даны численные значения коэффициента k3, связанного
с эквивалентными параметрами сердечника формулой
Аз = 0,4п5э//э (где S9 — в см2; /э — в см);
при этом формулу для индуктивности удобно записать
в виде
22
Таблица 1.12
Ти юразмер Ш оэразно- го сердеч- ника /а-Юз, мкГ Марка феррита
600 НН 700 НМ 2000 НМ, 2000НМ1 400Э HM
Ориентиров© гный зазор, мм
Ш2.5Х2.5 16 25 40 60 8 0,52 « 0,32 1 0,18 4 0,10 о 0,53 S о.зз II 0,20 4 °-12 о 0,54 IS 0,34 И 0,21 4 0,13 о 0,55 co 0,34 II 0,22 4 °.14
шзуз 25 60 100 S 0,44 С| А -Г II Оиб 1 0,46 II 0,17 © § 0,48 II 0,19 4 0,12 Hg 0,49 0,20 II 0,13
Ш4Х4 60 100 160 ° 0,33 1 °47 о § 0,35 11 0,19 4 0,11 пg 0,38 'L- 0,22 4 || 0,13 вS 0,40 0,23 4 II 0,14
Ш5Х5 100 250 1°^ о 3 0,32 о II § 0,36 f'ii о,1з О II II § 0,37 0,14 <1 II
Ш6Х6 160 250 400 ю 0,23 II. 0,11 О § 0,26 II. 0,14 Л ~~ 118 0,30 0,19 ^11 0,11 III 0,31 5е?1 0,20 -4 II (J, 12
Ш7Х7 250 400 630 § 0,20 II - © § 0,22 II. 0,10 ||g 0,28 0, 13 || 0,09 ||8 0,29 o£ 0,15 || 0,10
Ш8Х8 250 400 630 § 0,26 и _ о __ § 0,28 II. 0,13 IIS 0,34 0,20 || 0,12 || 8 0,37 5° 0,22 II 0,13
Ш10Х10 250 400 630 О оо 0,35 II 0,17 © - — 118 0,45 = Й 0,27 II 0,15 II S 0,47 Sg 0,28 II 0,17
Ш12Х15 400 630 1250 1620 io 1=1360 । I Si о — о 0-53 II 8 0,31 st; o,i4 11 0,09 0,55 ||8 0,34 s° 0,16 II 0,11
Ш16Х20 800 1250 2000 L !=2050 1 — ьэ ►и о — § 0,43 Il 0,29 S 0,16 00 — I z о
23
Продолжение табл. 1.12
Типоразмер Ш образно го сердец ника Марка феррита
Юз, мкГ 690 НН 700 НМ | 2000 НМ, 2000НМ1 | 4000 НМ
Ориентирово4ный зазор, мм
Ш20Х28
1000
2000
3000
4000
8 0,48
8 0,12
II -
8 0,65
о 0,29
II 0,17
= 0, 11
Примечания 1 Здесь приняты следующие обозначения L, — индуктив-
ность на 1 виток, т е —индуктивно ть в наногенри на 1 виток при ис-
пользовании сердечника без зазора (при технологическом зазоре 0,05 мм)
2 Данные приведены для сердечников, составленных из две х Ш образных
деталей.
В этих же таблицах приведены величины объемов
сердечников, которые могут потребоваться для вычисле-
ния потерь (добротности).
Введение небольшого воздушного зазора практически
не влияет на эквивалентные размеры сердечника, однако
для использования общих расчетных формул, например
формулы (1.4), необходимо знание зависимости эквива-
лентной магнитной проницаемости от величины зазора.
Теоретически вычислить эту зависимость с достаточной
точностью для сердечников сложной формы весьма за-
труднительно, а в некоторых случаях и невозможно.
В табл. 1.12—1.14 приведены полуэмпирические данные,
применение которых при расчетах индуктивности не тре-
бует обращения к общим формулам или требует этого
в небольшой степени (при интерполяции или экстраполя-
ции на разные величины зазоров).
1.4. КАТУШКИ ИНДУКТИВНОСТИ
НА СЕРДЕЧНИКАХ, ИМЕЮЩИХ УЧАСТКИ
С РАЗЛИЧНЫМИ ХАРАКТЕРИСТИКАМИ
На практике часто встречаются случаи применения
магнитопроводов, имеющих по длине пути магнитного
потока участки с различными свойствами. Эти различия
могут заключаться как в геометрии (обычно в изменении
размеров сечения), так и в самом материале, т. е. в маг-
нитной проницаемости. Могут быть, разумеется, всякие
варианты сочетаний упомянутых различий,
24
Продолжение табл. 1.13
| Марка феррита | 20 ВЧ k, % 2 1 1 1 1 1
5, % “ 1 1 1 1 1
30 ВЧ2 % 1 1° 1 1 1
5, мм СО 11^-111
J 50 ВЧ2 k, % IS" 1 1 1 8 1 1 1 1
5, мм i“A । । । 51111
| WH OOZ % ‘ч 40 20; 40 15- 35 8; 20 1 •го 3) 10; 20 45 35 30; 45 1 1 1 1 1 1
Ъ, мм 0,84 0,45 0,23 0,15 0,73 0,45 0,21 0,8 0,52 0,30 1 1 1 1 1 1
1 1000 низ % ‘ч о о ш «ф 04 — I 18^-» 04 — 50 35 15; 20 35 25; 40 15; 25 25; 50 15 10 10; 15 7; 10
Ъ, мм 0,89 0,5 0,3 0,18 0,75 0,46 0,27 0,85 0,53 о,з 0,15 0,55 0,29 0,15 0,55 : 0,23 0,20
I 1500 НМЗ % i о Ш Ш 1 1 Is."- Ш LO 00 04 — 50 35 19; 30 10; 15 40 35; 45 20; 30 25; 50 20 10; 20 8; 15
5, мм 0,9 0,51 0,31 0,18 СОСО ь. 1 о’о'оЪ- 0,97 0,55 0,3 0,16 0,59 0,34 0,16 0,58 0,24 0,2
2000 НМ1 k, % ш о 1 1 18?" е> 04 04 о ез 1 IS8". ю о 40 35; 45 20; 30 10; 15 30 25 12 88 1П СП
5, мм -«04 | | | Ю СО 04 1 ©ФО 0,49 0,3 0,18 0,97 0,56 0,3 0,16 0,6 0,35 0,19 0,58 0,25 0,2
£,103, мкГ 40 60 100 160 250 400 100 160 250 400 63J 163 250 400 639 400 630 1000 0091 0001 099
Типоразмер цилиндричес- кого броневого сердечника И СО С4 и о й СО СО из СО S
26
Т аблица 1.14
Типо- размер Д01 для цилиндрических броневых сердечников, нГ, марок феррита
2000НМ1 1500НМЗ 1000НМЗ 700НМ 50В 42 30ВЧ2 20ВЧ
56 640 490 380
□9 1060 890 680 520 47 28 19
511 1180 990 750 570 50 30 20
514 2220 1840 1370 1030 88 53 35
518 3080 2750 2000 1480 120 73 48
522 3970 3200 2700 1700 137 83 55
526 5400 4300 3040 2200 170 — —
530 5970 4700 3250 2340 — — —-
536 8700 6800 4740 — — —
Б48 11300 8700 6000 — 1 — —
Примечания. 1. В табл. 1.13 и 1.14 обозначены: —индуктивность иа
один виток, т. е. Li=L/w2: LOi—индуктивность на один виток при отсутствии зазо-
ра; k—коэффициент перекрытия по индуктивности с помощью подстроечника.
2. Данные приведены для сердечников, составленных нз двух чашек.
3. Два числа в графе k табл. 1.13 указывают на коэффициент перекрытия при
использовании двух стандартизированных типоразмеров подстроечникоз (отличающих-
ся диаметром).
Общим методом расчета таких элементов является
построение на основе характеристик отдельных участков
магнитопровода единой для всей цепи кривой, так назы-
ваемой приведенной кривой (обычно строится в коорди-
натах м. д. с. — поток), с помощью которой можно опре-
делить общую для всего магнитопровода характеристику
(например, поток при последовательном соединении уча-
стков с разными свойствами и затем индуктивность).
После этого в случае необходимости находят величины,
относящиеся к отдельным участкам (например, распре-
деление магнитных потенциалов).
Способы построения приведенной кривой достаточно
подробно изложены в технической литературе (для де-
талей сложной формы некоторое облегчение построения
может быть достигнуто при пользовании рекомендациями
§ 1.3). Поэтому ниже будет рассмотрен только аналити-
ческий расчет индуктивности наиболее часто встречаю-
щихся типов магнитопроводов, в которых различие
свойств отдельных участков вызвано наличием воздуш-
ного зазора.
27
КАТУШКИ НА СЕРДЕЧНИКАХ С МАЛЫМИ ЗАЗОРАМИ
Приведенные в настоящем параграфе формулы спра-
ведливы при условии где 6 — ширина зазора; а —
любой линейный размер поперечного сечения магнито-
провода.
В формулы для расчета индуктивности вместо вели-
чины р. следует подставлять (магнитная проницае-
мость сердечника), определяемую как
р-о--1+¥-1)^ при ^>1;
и. f
Р — ' ' V при р > 1;
1 pjV/4n: ’ 1 ’
р = 4t//V при р—> ОО.
N — так называемый коэффициент размагничивания.
В общем случае AZ = SM6/S3/M, SM и /м— соответственно
поперечное сечение сердечника и длина средней магнит-
ной силовой линии в магнитопроводе; S3— поперечное
сечение зазора. При отсутствии специальных полюсных
а
Рис. 1.6.
наконечников (например, концентраторов) SM = S3 и N =
— 6/lw. С достаточной для инженерной практики точно-
стью можно принять, что ZM равно длине средней линии
магнитопровода. В частности, для тороидального сердеч-
ника с зазором 8<^ndcp при этом получается N=6/ndcp.
На рис. 1.6 приведены еще некоторые примеры часто
встречающихся на практике катушек индуктивности
с магнитопроводами, имеющими малые зазоры.
Для рис. 1.6,а
г Ь — 0,83л . r. с — d । ] с у» । jx , 4 (d 4- 8) 1
L = [-ln (5yd) + 0,5 — +1,6 (8 + d) In j.
Для рис. 1.6,6
г (& ~~ 0’ ЗЗД | rx г I D n г\ 1 \
L = w (мВД- + 0’5 —+-3.2A In —J.
28
Примечания. 1. Размеры, не обозначенные на
рис. 1.6,6, соответствуют таковым на рис. 1.6,а.
2. Как следует из вышеприведенных формул, большей
индуктивности соответствует меньшая длина намотки при
прочих равных условиях.
На рис. 1.6,s схематически изображена магнитная
цепь элемента на П-образном сердечнике, причем малый
зазор располагается между торцами стержней и плоско-
стью (на рис. 1.6,в она заштрихована), которая является
магнитным экраном. Предполагается, что (Н—h) ~^Ъ\
8^а; I — ширина сердечника в направлении, пер-
пендикулярном плоскости чертежа; h — высота обмотки.
Индуктивность такого элемента
L = 0,5|му2 +
I \ J \ Оу
+< (Ч~+20’5 ) +тЛ+-6>
где т = 84/(2ЬitS);
А — коэффициент, величина которого может быть опре-
делена по графику рис. 1.7 в зависимости от k2=[b/(а +
+ Ь)]2. Для удобства пользования графиком значения
аргумента выше 0,5 и соответствующие им значения
КАТУШКИ НА СЕРДЕЧНИКАХ С БОЛЬШИМИ
ВОЗДУШНЫМИ ЗАЗОРАМИ. ПОНЯТИЕ
ОБ ЭКВИВАЛЕНТНОМ ЗАЗОРЕ
Формулы для катушек с малыми зазорами были вы-
ведены в предположении, что поле в зазоре близко
к однородному и величина потоков рассеяния пренебре-
жимо мала по сравнению с рабочим потоком.
29
Если магнитопровод содержит воздушный зазор, для
которого не выполняется условие б<<а, то при расчетах
необходимо учитывать отклонение распределения поля
в зазоре от идеализированного. При этом магнитное со-
противление для основного потока становится соизмери-
мым с сопротивлением, преодолеваемым потоком рассея-
ния, и формулы для определения проводимости воздуш-
ного зазора усложняются.
Для сохранения формы записи всех соотношений при
расчете магнитной цепи, справедливых при малых зазо-
рах, целесообразно ввести понятие об эквивалентном за-
зоре. Это такой зазор, который имеет ту же проводи-
мость, что и реальный, а геометрия его определяется
сечением полюсов магнитопровода и некоторой эквива-
лентной величиной ширины зазора бэ. Все формулы для
сердечников с зазором остаются справедливыми при под-
становке в них бэ вместо б. Погрешность таких расчетов
будет несколько выше, чем при расчете цепей с малыми
зазорами, однако вполне приемлемой для большинства
практических случаев.
Наиболее часто встречаются полюса магнитопровода
в виде двух прямоугольных призм, расположенных друг
против друга. Выражение для бэ в этих случаях имеет
вид
8э = 8 4-
(обмотка не перекрывает зазора)
или
(обмотка перекрывает зазор).
Здесь 6 — геометрическая ширина зазора; ^—пери-
метр сечения магнитопровода у зазора; S — сечение маг-
нитопровода у зазора (т. е. сечение полюса); 2с — высо-
та обмотки; а — расстояние от сердечника до средней
линии продольного сечения обмотки (т. е. приближенно
полуширина обмотки).
Для частных случаев, не приведенных в настоящем
параграфе, бэ и проводимость воздушного зазора можно
определить по формулам других параграфов (см., напри-
мер, § 4.1).
30
КАТУШКИ С РАЗОМКНУТЫМ МАГНИТОПРОВОДОМ
Особым видом цепей с воздушным участком магнито-
провода являются разомкнутые магнитные цепи. Наибо-
лее часто на практике встречаются два вида таких эле-
ментов: катушки на П-образных сердечниках и катушки
на стержневых сердечниках.
Схематическое изображение П-образного сердечника
приведено на рис. 1.8; заштрихованная часть соответст-
вует размещению обмотки. Для такого элемента
L = h»= [Л р - (Д-Ч20.5)].
Величина А имеет то же значение и определяется та-
ким же образом, как и для цепи, изображенной на
рис. 1.6,s [см. пояснение к формуле (1.6)].
Индуктивность катушек на стержневых сердечниках
определяется в зависимости от материала сердечника и
соотношения геометрических параметров:
L — 10~вап2 (Да//)р, при k 1; (1.7)
L = 1,1 • 10~‘w2dcp Г1 + 1/^-ф21п (1 4- (1.8)
при 1 < k < 5;
L = 0,5^®ad;[(0,5/K/d) (ЗЛ — 2) 1) In (£ -|- 1) —
— (Л — 1) 1п(Л — 1) — 0,4]
при k > 5;
L = [(0,75//d) — 0,2] при 1;
L 0,75paw2l
при k > 1; l/d 10.
Здесь
И ~~г г кг i----ггпри lx 1:
о 1 + ЛГ, 1) н г ’
^ = -1 + м1Р/ прир->1;
Рис. 1.8.
31
p. =:lfNi при |л —>оо;
I — длина сердечника; 1К— длина катушки; k = l/lK; d —
диаметр цилиндрического сердечника; а, b — стороны по-
перечного сечения сердечника прямоугольного профиля;
(ZCp — средний диаметр обмотки; Ni— из табл. 1.15 [1]
и рис. 1.9.
Таблица 1.15
Ud 1,о 1.5 2,0 10 20 30 40 50 60 80 100
1007V, I/109N, 27,0 0,037 20,6 0,048 14,0 0,715 1,72 0,58 0,62 1,61 0,28 3,6 0,20 5,0 0,13 7,7 0,087 11,5 0,052 19,1 0,036 27,2
Значения Ni можно применять в расчетах с тем боль-
шей точностью, чем выше ц. В табл. 1.16 приведены зна-
чения ц, начиная с которых введение поправок на вели-
чину становится нецелесообразным.
Таблица 1.16
l/d 10 20 50 100
500 1 000 5 000 10 000
Для ориентировочных расчетов при ц—>оо (точнее,
при p.^l/A/'f и l/d>\0) справедлива формула
„ __/n(//d) —0,818
1 “ (Z/d)2
При ц=1—5 можно при-
нять Л/1=0,5 (cZ/Z)3.
В формулах (1.7) и (1.8)
индуктивность выражается
в миллигенри при подста-
новке линейных размеров
в сантиметрах.
Для сердечников прямо-
угольного сечения справед-
ливы все вышеуказанные
формулы со следующими
уточнениями:
32
1) для формулы (1.7) A^i определяется из выражения
^=1,27-^ (+1-4
’ /а а + b
{-0,29
или по графику рис. 1.10;
2) в остальные формулы следует подставлять значе-
ние диаметра цилиндра, эквивалентного по площади по-
перечного сечения сердечнику прямоугольного профиля,
т. е. d=4,13 V^ab.
1. 5. ИНДУКТИВНОСТЬ ТЕЛ СПЕЦИАЛЬНОЙ
ФОРМЫ
При работе на высоких частотах (в частности, в кон-
турах УКВ) иногда возникает необходимость определе-
ния индуктивности прямолинейных проводов, электродов
и т. п., объединенных общим названием «тела специаль-
ной формы». Делается предположение, что эти тела изго-
товлены из неферромагнитных материалов, а провода
являются прямолинейными.
ОДИНОЧНЫЙ ПРОВОД
Провод круглого сечения
L — ^-l <1п4-+0,63б\
2гс 1 а * J
на высокой частоте
(1ц 4+0,386 Y
\ a J
Провод прямоугольного сечения
£=±2-/ fln-J_+l,193Y
2л; а + b ’ J
приближенно на высокой частоте
L = ^-l (in——|—0,22при a — b*t
2гс а 1 ’ J г *
L=-g-/^ln4+0>08) приа>Ь.
Здесь I — длина провода; d — диаметр провода; а, b —
стороны поперечного сечения проводи,
3—316 33
ДВА ПАРАЛЛЕЛЬНЫХ ПРОВОДА (ПРЯМОЙ И ОБРАТНЫЙ)
Провод круглого сечения
L=±x</ln_^._ Л.
71 k я J
На высокой частоте
L=£/Arel,(^-1),
где I — расстояние между осями проводов.
Провод прямоугольного сечения
L — —(l In —L--Z-U1,25/
п ( a + b 1
где t — расстояние между центрами сечений.
На высокой частоте величина индуктивности может
быть определена по графику рис. 1.11.
Вышеприведенные форму-
лы справедливы при Z/(Z^20
или 1/(а + Ь) ^20.
Индуктивность системы
двух проводов любого сечения
можно определить по общей
формуле
L = Li + Z.2—2М,
где Z-1 и Z.2 — индуктивности
каждого провода; М — взаим-
ная индуктивность (см.
§ 1-6).
Рис. 1.11.
Для проводов круглого сечения с разными диаметра-
ми приближенно можно вычислить индуктивность по вы-
шеприведенным формулам, если принять d равным сред-
нему геометрическому реальных диаметров.
ПУЧОК РАВНОУДАЛЕННЫХ ПАРАЛЛЕЛЬНЫХ ПРОВОДОВ
l^-^z Ап „ 1.
2“ I 7 dRn-i I
\ г /
где п— число проводов; d — диаметр отдельного прово-
да; R — радиус размещения проводов (расстояние от
центра пучка до центра любого провода); /(=[(0,942 +
34
4-Inn)/2п] + 0,154. Величины К для некоторых значений
п приведены в табл. 1.17.
Таблица 1.17
п 3 4 5 7 10 12 15
к 0,49 0,44 0,41 0,36 0,31 0,30 0,28
ПОЛЫЙ ПРОВОД КРУГОВОГО СЕЧЕНИЯ
f In-0,386 Y
2rt kD J
где D — наружный диаметр провода; d — внутренний
диаметр провода; k — коэффициент, значения которого
приведены в табл. 1.18.
Таблица 1.18
d/D fe d/D k
0,0 0,779 0,6 0,878
0,1 0,782 0,7 0,906
0,2 0,793 0,8 0,936
0,3 0,809 0,9 0,967
0,4 0,829 1,0 1,000
0,5 0,852
При весьма высоких частотах формула остается спра-
ведливой, если принять k = \.
КОАКСИАЛЬНЫЙ КАБЕЛЬ
2и I а 1 /
где I — длина кабеля; D — внутренний диаметр наруж
кого цилиндра; d — внешний диаметр внутреннего цилин-
дра; k — коэффициент, зависящий от частоты; в первом
приближении можно принять k — 0,25 при низких и сред-
них частотах и k = 0 при высоких и весьма высоких ча-
стотах.
35
ПЛОСКАЯ КОНДЕНСАТОРНАЯ СЁКЦйЯ
Индуктивность определяют по формуле, представляю-
щей собой модификацию выражения для индуктивности
системы двух шин:
L = \kQldlb,
где I — длина электрода; d — толщина диэлектрика; b —
ширина электрода. Предполагается, что b'^-d'^-a (а —
толщина электрода). Если имеет место только неравен-
ство d<^_b~^>a, то
т 1,05 . ( 2л + 3d
ТС \ о
Формулы справедливы для обкладок с одинаковым рас-
положением выводов. Если выводы смещены один отно-
сительно другого по длине обкладки, то индуктивность
секции определяется по эквивалентной схеме, расчет ко-
торой приводится в специальной литературе.
ПЛОСКАЯ КОНДЕНСАТОРНАЯ СЕКЦИЯ, СОСТОЯЩАЯ
ИЗ НЕСКОЛЬКИХ ПАРАЛЛЕЛЬНО СОЕДИНЕННЫХ
ЭЛЕМЕНТОВ
L=%-1 + 1,193Y
где / —длина секции (в направлении между торцами
обкладок); £=//(а + Ь); а и b — ширина и толщина
секции.
ЦИЛИНДРИЧЕСКАЯ СЕКЦИЯ С ВЫСТУПАЮЩИМИ
ОБКЛАДКАМИ (Т. Е. ТАК НАЗЫВАЕМАЯ
БЕЗЫНДУКЦИОННАЯ НАМОТКА)
Определение индуктивности можно проводить по фор-
муле для провода круглого сечения, принимая, что / —
длина секции (в направлении между торцами обкладок),
d — наружный диаметр секции.
ПРОВОД КРУГОВОГО СЕЧЕНИЯ, ИЗОГНУТОГО ПО ДУГЕ
ОКРУЖНОСТИ
£=£ (o,5Dp(ln£>-0,61)4-4sin-y- ^ -l(\nd- /Ц.
Здесь D— диаметр окружности, по дуге которой изо-
36
ГйуТ пройод; б — централь-
ный угол, соответствующий
длине провода (О^0^2л);
d— диаметр провода; k\ —
коэффициент, величина ко-
торого приведена на
рис. 1.12; ^=0,44 для низ-
ких и средних частот и
/г3 = 0,69 для высоких и
весьма высоких частот.
В частном случае, когда
<р/2л='[(2л—9)/2л] С 1,
L -- -g- {0,5Д [9 (In £>—0,61) +
-|-<р(1п<р—0,39)(—/(Ind— ks}\.
Рис. 1.12.
1.6. ВЗАИМНАЯ ИНДУКТИВНОСТЬ
ПРЯМОЛИНЕЙНЫЕ ПРОВОДА
1. Параллельные провода одинаковой длины
м-^-i finz+ । ДА
~ 2л; Vn t I Е I )
где I — длина проводов; t— расстояние между осями
проводов.
В частных случаях
Afi = -gi fin ~t—|—j 0,307^ при I > /;
М.г-^-^-7- при I <^t.
4~ t r
Погрешность вычислений не превышает 0,25/2//2 для
Mi и 0,085/а//2 Для М2.
Предполагается, что токи протекают в одном направ-
лении и расстояние t существенно больше любого линей-
ного размера поперечного сечения проводов. Если t со-
измеримо с линейными размерами поперечных сечений,
то для одинаковых проводов
М = fin -1- - 0,307 \
где К — коэффициент, величина которого зависит от фор-
мы поперечного сечения: для кругового сечения К=В,
37
для квадратного сечёний й тонких Лент, обращенных
друг к другу узкой стороной, /(=10“2ехр (\nt + ki). Для
квадратного сечения ki зависит от величины а = аЦ (а —
сторона квадрата; а—из табл. 1.19).
Таблица 1.19
а <0,3 0.3 0,4 0,5 0,6 0,7 0,8 0,9 1,0
К,-103 0 0,1 0,2 0,5 1,0 1,9 3,1 4,6 6,5
В формулу для К величину t следует подставлять
в метрах, величина /( при этом получается в сантиметрах.
Для тонких лент
где а — ширина ленты.
На высоких частотах также можно пользоваться вы-
шеприведенными формулами; погрешность полученных
результатов при этом несколько увеличивается.
2. Провода одинаковой длины, сходящиеся в одной
точке
М = I cos <р In f 1 Д- — \
2л: \ ' с )
I — длина проводов; ф— угол между проводами; с — рас-
стояние между концами проводов.
Предполагается, что токи идут от общей точки.
3. Провода, расположенные по одной прямой
М = (р.о/ 4п) [(а Д- b Д-t) In (а Д- b Д- f) Д- / In t —
— (а Д- 0 In (а Д- i) — (b Д- /) In (b Д- /)];
а, b — длины проводов; t — ближайшее расстояние меж-
ду ними.
Частные случаи:
а) а = Ь = 1
Л1 = (|1о/4л)[(2/ + /) In (2/ + /) + /1п t—2(/ + /) In (/ + /)];
б) t = Q
М= (цо/4л) [ (a + b) In (a + b)—a In а—b In b]
(гальваническая связь между проводами отсутствует);
в) п = Ь = /; t=0.
М. _. = 1,386- IO’’/,
[мкГ] ’ [см]«
38
Предполагается, что токи протекают в одном направ-
лении.
4. Параллельные провода разной длины. Определе-
ние взаимной индуктивности сводится к определению
взаимной индуктивности нескольких пар проводов (см.
рис. 1.13,а), для которых можно пользоваться вышепри-
веденными формулами для проводов одинаковой длины:
2М = М! + М2—М3—
<5 с b d
!~ * *1 к Г Д'
а б
S г
Рис. 1.13
При этом Лф—Mi вычисляются в предположении, что:
для Мг 1г = а-\-Ь-\- d;
для М2 l2 = d;
для М3 —
для А1< /4 b —d.
Частные случаи:
для рис. 1.13, б l1 = b-]-c; l2=b-{-d; 1з = с, lt = d-,
для рис. 1.13, в 1з=а; l2 = b; 13 = а — Ь-, 7И4 = 0;
для рис. 1.13,г 11=а-\-Ь; 1з — а\ = М2 = ().
5. Провода разной длины, сходящиеся в одной точке
М — -yi cos <р la In -~т—{-Мп----;
4л; г ( р — 2Ь 1 р — 2а j
Ф — угол между проводами; а, b — длины проводов; р —
периметр треугольника, образованного проводами и ли-
нией, соединяющей их концы (р = а + Ь + с).
Предполагается, что токи идут от общей точки.
6. Непараллельные провода, лежащие в одной пло-
скости
М ~ Mi 4- М2—М3—М^
Значения Mi—Mt вычисляются по формулам для про-
водов, сходящихся в одной точке (п. 2 и 5), причем дли-
39
ны проводов выбираются следующим образом (см.
рис. 1.14):
для М, а — «1-|- аа; й = 51-|-Ьа; e = Ci;
для М2 а—а2, b~b2, с = сг;
для М3 а — аг\ b = bx-\-bt’, с = с3\
для М4 а =-а{а-,\ b = bt; с — с^.
ДВА ПРОВОДА, ИЗОГНУТЫХ ПО ДУГАМ
одной окружности
Л4 = -^- D ^sin <р sin — sin 81 + 02-
— sin 82 ~^--3 4-Л14~&а — kt — ki'\;
D — диаметр окружности; 9i — центральный угол, соот-
ветствующий одной из дуг; 02—центральный угол, соот-
ветствующий второй дуге; 03—центральный угол, соот-
ветствующий кратчайшему расстоянию (по дуге окруж-
ности) между концами проводов; <р = 61 + 02+0з; ki—kt—
коэффициенты, определяемые по рис. 1.12 при значениях
аргумента и углах 0t—03:
для Л, 0 = 01—1—03; для 9 = 9з;
для k2 0 = 0а-J—03; для kt, 0 = <р.
ВЗАИМНАЯ ИНДУКТИВНОСТЬ МЕЖДУ КАТУШКАМИ
И КОНТУРАМИ
1. Одинаковые плоские катушки (рис. 1.15,а)
M^^-w>dk;
Таблица 1.20
11 d
h d 0,1 0,2 0,3 0,4 0,5 0,6 0,7 0,8
0,1 6,7 4,6 3,4 2,5 1,85 1,4 1,1
0,2 9,5 6,4 4,5 3,34 2,45 1,82 1,4 1,1
0,3 8,8 6,0 4,3 3,2 2,4 1,8 1,4 1,1
0,4 8,0 5,7 4,2 3,1 . 2,35 1,8 1,39 1,09
0,5 7,3 5,4 4,0 3,0 2,3 1,77 1,38 1,09
0.G 6,8 5,0 3,8 2,9 2,25 1,74 1,36 1,08
0,7 6,2 4,7 3,7 2,8 2,2 1,72 1,35 1 ,08
0,8 5,8 4,5 3,6 2,7 2,15 1,7 1,34 1,08
40
d—средний диаметр Катушки; k— коэффициент (см.
табл. 1.20). Эта формула справедлива для катушек,
у которых a/d<^l, где а — осевой размер катушки; h—
ширина (радиальный размер) обмотки; t—расстояние
между катушками (между средними сечениями).
Рис. 1.15.
2. Одинаковые круговые контура (рис. 1.15,6) и ка-
тушки квадратного сечения
М =
Здесь D — средний диаметр контура; k — коэффициент
(см. табл. 1.21, где t — расстояние между контурами).
Таблица 1.21
t. D 0,05 0,10 0,15 0,20 0,25 0,30 0,4 0,5 0,6 0,8 1,0
к 15 10,8 8,4 6,8 5,8 3,8 3,2 2,5 1,9 1,15 0,73
t D 1,2 1,5 2,0 2,5 3,0 3,5 4,0 4,5 5,0 5,5 6,0
к 0,5 0,28 0,135 0,06 0,042 0,027 0,018 0,013 0,0095 0,0072 0,0057
41
Для катушек с квадратным или близким к нему сечё-
нием, расположенных аналогично контурам рис. 1.15,6,
М = \knWi.wJ)kl^n,
где D — диаметр центрального витка. Формула верна для
t>D при небольших сечениях обмотки.
Для круговых колец, т. е. контуров с конечными раз-
мерами сечения, t выбирается равным расстоянию меж-
ду центрами ближайших поперечных сечений.
3. Одинаковые катушки с параллельными осями
(рис. 1.15,г)
Л4[мкГ) = 0,6-10" ^w^d'/t1,
где d — средний диаметр катушки, см; t — расстояние
между осями, см.
Формула дает результаты тем точнее, чем меньше
отношение h/d, где h — толщина обмотки.
4. Одинаковые плоские катушки с параллельными
осями (рис. 1.15,в)
Д4 = (лу.о/8) WiW2dki (A2+2,25/s2i/s3 +
+ 5,86fe4ife4),
где d — средний диаметр катушки; k\=d]c2.t\ t — расстоя-
ние между осями катушек; k2, k3, ki — коэффициенты, за-
висящие от отношения h/d- h — ширина (радиальный
размер) обмотки;
2 / h у_, 1
3 d J "Г 9 d J
k2
7 / h \2i 13 f h у 1 f h y.
~ (TJ ' ТбД TTj < 77 \~d~) ’
6S / h у t 338 / h у I 164 / h у .jll3 / h у
15 d J 75 d ) "'‘175 d J < 2625 d ) ’
Формулой можно пользоваться для катушек, у кото-
рых a/d<^\, где а — осевой размер катушки. Результаты
расчетов будут тем точнее, чем меньше величины d/2t,
h/d и a/d, т. е. для плоских катушек с малой шириной
обмотки, не слишком близко расположенных друг
к другу.
5. Одинаковые контура квадратной формы, располо-
женные в соответствии с рис. 1.15,6
M = V H”4(7W-+№ - 2i. +0
42
где а — сторона квадрата; t— расстояние между плоско-
стями, в которых лежат квадраты;
= ]Лг2-[-^; d2 = ~|/2а24~^ .
С несколько большей погрешностью формулой можно
пользоваться и при контурах, имеющих конечные разме-
ры сечений; при этом t выбирается равным расстоянию
между плоскостями, проходящими через центры сечений.
6. Длинные катушки с малой толщиной обмотки и
одинаковыми диаметрами. Для определения взаимной
индуктивности между катушками с длиной, существенно
превышающей толщину обмотки, которые расположены
так, что оси катушек лежат на одной прямой (рис. 1.15Д),
можно воспользоваться формулой для одинаковых кру-
говых контуров. При этом в катушках выделяются край-
ние и центральные витки, для которых определяются
коэффициенты k. Тогда
Л1 = у,0да1да2£)/г/4л,
где D — диаметр катушки (по среднему витку);
А = >/, (2^1 j, -ф- kv, +^1з,4- kV2 + kl>3),
т. е. среднее арифметическое коэффициентов для отдель-
ных пар витков.
Иногда для нахождения взаимной индуктивности
удобнее воспользоваться следующими формулами:
а) если катушки имеют одинаковое число витков на
единицу длины, то
Л1 = 1/2 (Т12з+Ь2—Li2—Тгз),
где Li2s — собственная индуктивность катушки, имеющей
длину I1 + I2 + I3, li, h — длины катушек. /2— кратчайшее
расстояние между катушками; £2— собственная индук-
тивность фиктивной катушки длиной /2 с тем же числом
витков на единицу длины, что и данные катушки; Л12 и
Агз — собственные индуктивности катушек, имеющих дли-
ны соответственно h + l2 и 12 + 13 с тем же числом витков
на единицу длины. Предполагается, что все катушки
имеют одинаковые диаметры £>;
б) если катушки имеют разное число витков на еди-
ницу длины, то
Л1 = Л11Ш1йУ2//1/3,
43
Рис 1 16
где All — взаимная индук-
тивность, вычисленная
в предположении, что чис-
ло витков на единицу дли-
ны для обеих катушек оди-
наково и равно единице.
Формулами можно
пользоваться и тогда, когда
катушки примыкают друг
к другу вплотную. При
этом, очевидно,
Af==V2 (Lis—Li-—L2).
7. Концентрические ка-
тушки одинаковой длины
(рис. 1.15,е)
М = (р-о/Фл;) WiW2k VDd,
где D и d — диаметры соответственно наружной и вну-
тренней катушек (по среднему витку); k — коэффициент,
зависящий от соотношения размеров катушек (см.
рис. 1.16).
Для катушек, у которых £)//<!, большую точность
можно получить, если воспользоваться формулой
М = (цо/4л) WiW^(6/а)2(aki—Dk2/2),
где
&=d/D-, a. = llD\ а = (£>/2)/1+4а2 .
Значения коэффициентов k\ и k2 приведены в табл. 1.22
в зависимости от параметров 5 и Л—1/(1 +4а2).
8. Обмотки, расположенные одна над другой на
общем тороидальном сердечнике
Ж = (ца/л) WiW2 (S/dCp),
где S —поперечное сечение сердечника; dCp= (D+d)/2.
Здесь D и d — соответственно наружный и внутренний
диаметры сердечника. Более точно dcp=(D—d)/\n (D/d)
(см. пояснение к формулам для dcp в § 1.3).
Иногда удобнее пользоваться формулами несколько
иного вида:
для сердечника прямоугольного сечения
Л1= (|*й/2л)Щ1ЩгЛIn (Dcp+t)/(Dcp—t),
44
Таблица 1.22
£1 при различных X t
0,2 0,15 0,10 0,05 0
0,84833 0 99535 0,99735 0,99880 0,99969 1 1,0
86783 99577 99759 99891 99972 1 0,95
88418 99618 99783 99902 99975 1 90
89870 99657 99805 99912 99978 1 85
91176 99695 99827 99922 99980 1 80
0,92356 0,99730 0,99847 0,99931 0,99983 1 0,75
93426 99764 99866 99940 99985 1 70
94394 99795 99884 99948 99987 1 65
95270 99825 99901 99956 99989 1 60
96060 99852 99916 99963 99990 1 55
0,96769 0,99877 0,99931 0,99969 0,99992 1 0,50
97400 99900 99944 99975 99994 1 45
97958 99921 99955 99980 99995 1 40
98444 99939 99966 99985 99996 1 35
98862 99955 99975 99989 99997 1 30
0,99212 0,99969 0,99982 0,99992 0,99998 1 0,25
99498 99980 99989 99995 99999 1 20
99718 99989 99994 99997 0,99999 1 15
99875 99995 99997 0,99999 1,00000 1 10
0,99969 0,99999 0,99999 1,00000 1,00000 1 0,05
1 1 1 1 1 0 0
где h и t — соответственно аксиальный и радиальный
размеры среднего витка; ДСр— средний диаметр витков;
для сердечника кругового сечения
d2cp
М = w,w2 — ,
^ср + У D2cp — d2cp
где dcp — диаметр среднего витка внутренней катушки.
Расчеты по формулам настоящего параграфа тем точ-
нее, чем меньше отличаются между собой соответствую-
щие размеры витков крайних слоев.
Если обмотки нанесены на ферромагнитный сердеч-
ник, то величина взаимной индуктивности увеличиваема
в ц раз.
9. Многослойные катушки
а) катушки расположены в соответствии с рис. 1.15,д.
Для определения взаимной индуктивности можно вос-
45
пользоваться методом, изложенным для длинных кату-
шек с малой толщиной обмотки и одинаковыми диамет-
рами (см. п. 66). При этом, если плотности витков ка-
тушек одинаковы, то
М. =2(^123 -j- Z.2 — Z-12 А2з);
при разных плотностях витков
M = Mi(wiW2/hl3),
где Mt вычисляется в предположении, что wfl—X для
обеих катушек.
Обозначения те же, что и для формул, относящихся
к п. 66;
б) катушки расположены в соответствии с рис. 1.15,е.
В пространство между связанными катушками вводится
фиктивная катушка с произвольным числом витков и
намоткой того же типа, что и у данных катушек. Затем
производятся те же вычисления, что и для многослойных
катушек, расположенных в соответствии с рис. 1.15,д
(см. формулы, приведенные выше в п. 9а).
КОЭФФИЦИЕНТ СВЯЗИ
Взаимодействие между магнитными полями разных
катушек можно характеризовать не только взаимной
индуктивностью, но и коэффициентом связи. Использова-
ние связи k удобно тем, что его величина не зависит от
числа витков и типа намотки, а определяется только гео-
метрическими факторами, т. е. размерами и расположе-
нием катушек:
Величины М. и L вы-
числяются методами, из-
ложенными выше.
В частных случаях:
для катушек (с малой
толщиной обмотки), рас-
положенных в соответст-
вии с рис. 1.15,е, k =
= (D/dy2-; если катушки
имеют при этом раз-
ные длины, то k—
= 7)2/нар/^2^внутр‘, для оди-
наковых катушек с квад-
43
ратным или близким к нему сечением обмотки, располо-
женных в соответствии с рис. 1.15,6, величину k можно
определить по графику рис. 1.17 (кривая 7), где изо-
бражена зависимость k от отношения //<7ср (7 — рас-
стояние между центральными витками катушек, rfCp—
средний диаметр катушки).
СЕКЦИОНИРОВАННЫЕ ЦИЛИНДРИЧЕСКИЕ КАТУШКИ
Обычно применяемые цилиндрические секционирован-
ные катушки представляют собой набор одинаковых ка-
тушек (секций), каждая из которых является многослой-
ной, расположенных так, что их центры находятся на
одной прямой (аналогично рис. 1.15,6); секции соеди-
няются между собой последовательно. При этом общая
индуктивность
L = Lo[n + 2/j(n—1)],
где Lo — индуктивность одной секции; п — число секций;
k— коэффициент связи между смежными секциями; ве-
личину его можно определить по кривой 1 рис. 1.17 в за-
висимости от отношения tldcv (t — расстояние между
центральными витками смежных секций, dcp — средний
диаметр секции). Lo вычисляется способами, изложенны-
ми в параграфах, посвященных определению индуктив-
ности.
СМЕЩЕННЫЕ КАТУШКИ
Если одинаковые катушки расположены аналогично
рис. 1.15,6, но с некоторыми эксцентриситетом, то к вы-
численным обычным способом (т. е. без учета смещения)
значениям взаимной индуктивности и коэффициента свя-
зи необходимо ввести поправку kt, на которую умножа-
ются полученные величины М и k.
Таким же образом вводится поправка для катушек,
расположенных аналогично рис. 1.15,6, но с осями, по-
вернутыми друг относительно друга на некоторый угол.
Значения поправок приведены на рис. 1.17:
кривая 2— поправка kt в зависимости от отношения
t/dCp (t— эксцентриситет, dcp — средний диаметр ка-
тушки) ;
кривая 3 — поправка kt в зависимости от а — наи-
меньшего угла между осями катушек.
47
1.7. ЭКРАНИРОВАНИЕ КАТУШЕК
ИНДУКТИВНОСТИ. КАТУШКИ С НЕМАГНИТНЫМИ
сердечниками
Введение экранов, и в частности применение экрани-
рованных катушек, преследует цель устранения нежела-
тельных связей между элементами схемы и влияния
окружающего пространства. Подробно вопросы, связан-
ные с экранированием, рассмотрены в гл. 5. В настоя-
щем параграфе приводятся лишь те расчетные соотно-
шения, которые отражают влияние экранов на собствен-
ную и взаимную индуктивности катушек.
Наличие экранов уменьшает обе эти величины, но
в разной степени. Уменьшение взаимной индуктивности,
или степени связи между двумя катушками, является
желательным эффектом, и величина его характеризует
качество экранирования. Уменьшение собственной индук-
тивности является нежелательным, но неизбежным
эффектом при экранировании.
Качество экранирования, при прочих равных усло-
виях, тем выше, чем меньше удельное электрическое
сопротивление материала экрана. Наиболее часто при
изготовлении экранов применяют алюминий и медь для
высоких частот и сталь для низких частот; изредка
используются ферритовые экраны или ферритовые про-
межуточные детали (обычно цилиндры) между катуш-
кой и металлическим экраном; вместо ферритов могут
быть применены магнитодиэлектрики.
Экраны из магнитных материалов приводят к увели-
чению индуктивности, до некоторой степени компенсируя
тем самым влияние металлических экранов. Индуктив-
ность увеличивается в пределах до 10% в зависимости
от соотношений размеров катушки и экрана. Качество
экранирования в таких случаях ниже, чем при медных
или алюминиевых экранах.
Влияние экрана на параметры катушки тем сильнее,
чем ближе его стенки расположены к обмотке. Заметим,
что экранирование меняет не только индуктивность, но
также и емкость и сопротивление, а следовательно, и
добротность катушки.
На практике катушки, имеющие малые размеры по
сравнению с расстоянием до других элементов, в спе-
циальном экранировании не нуждаются.
48
Экраны, как правило, имеют форму тонкостенного
стакана, внутри которого симметрично относительно сте-
нок располагается катушка.
Формулы, приведенные ниже, относятся к экранам,
имеющим круглую форму. При необходимости выполнить
расчет для прямоугольного экрана можно пользоваться
теми же формулами, принимая диаметр экрана равным
1,2а, где а — наименьшая сторона прямоугольника или
сторона квадрата.
Предполагается, что расстояние между краем намот-
ки и дном экрана не меньше, чем диаметр катушки.
Изменение индуктивности при экранировании
AL=— LOka,
где Lo — индуктивность неэкранированной катушки; ka—
коэффициент, зависящий от соотношения геометриче-
ских размеров экрана и катушки.
Для однослойных и тонких многослойных катушек
где Рк и Da— соответственно средние диаметры катуш-
ки и экрана; ki— коэффициент, зависящий от отноше-
ния lK/DK (1К — длина катушки); значения ki определяют-
ся по графику рис. 1.18.
Для многослойных катушек со значительной глуби-
ной намотки
«, {Dn/ Da) з
£оК1оэ[1 + (/э/£>э)21 ’
где Dn = ^(Z>’k4-Z)>s)/2;
/ — длина (высота) экрана; /.ок= (£0/®2/)к)-103; £оэ =
= (ЛЭ//Д)-10*; L9 — индуктивность фиктивной однослойной
цилиндрической катушки с размерами, равными 1Э и Ра,
и числом витков, равным единице (индуктивность в ми-
крогенри, линейные размеры в сантиметрах).
Для однослойной и длинной многослойной катушки
(/К^5РК) можно пользоваться формулой
k3 = 1 - [1 - (Рк/£>э)’] [1 - (/к/2/,)2].
Ослабление связи между катушками, расположенны-
ми по разные стороны экрана, зависит также и от ча-
стоты.
4—316 49
Для ориентировочной оценки степени ослаблений
можно пользоваться формулой
b= (kDKtf)2 + l,
где b — степень ослабления; t — толщина экрана; / —
частота, кГц; k — коэффициент, зависящий от материа-
ла экрана (для меди Л = 6,35; для алюминия £=4). (Ли-
нейные размеры в сантиметрах.)
Рис. 1.18.
Немагнитные сердечники в катушках индуктивности
используются в качестве элементов подстройки при ра-
боте в области высоких и весьма высоких частот. Влия-
ние таких сердечников на параметры катушек аналогич-
но влиянию экрана, т. е. приводит к уменьшению индук-
тивности и добротности и к увеличению вносимого со-
противления и емкости.
Экран и немагнитный сердечник могут в известном
приближении рассматриваться как короткозамкнутый
виток, индуктивно связанный с катушкой.
Для приближенного учета влияния таких сердечни-
ков могут быть использованы формулы, приведенные
выше для экранированных катушек (с подстановкой
в них соответствующих размеров сердечника вместо раз-
меров экрана). Некоторое уточнение можно получить
с помощью графика рис. 1.19, где изображена зависи-
мость уменьшения индуктивности при введении немаг-
нитного сердечника от отношения DK/-DC (Dc —диаметр
сердечника) и &=£)с//с (Zc — длина сердечника).
1.8. КАТУШКИ С ПОТЕРЯМИ. ДОБРОТНОСТЬ
Определение потерь в катушках индуктивности явля-
ется существенным, главным образом, с точки зрения их
влияния на характеристики схемы, в которой работают
50
катушки. Значительно реже вычисление потерь представ-
ляет интерес с точки зрения мощности, дополнительно
затрачиваемой источником питания (или источником
сигнала); эта мощность может также привести к неже-
лательному изменению теплового режима элементов.
В настоящем параграфе будут рассмотрены те вопро-
сы, касающиеся потерь, которые непосредственно связа-
ны с характеристиками цепей, т. е., другими словами,
потери будут рассмотрены с точки зрения влияния их
на добротность катушки. Вопросы, связанные с тепло-
вым режимом элементов, изложены в самостоятельном
параграфе (см. гл. 6).
Общая формула для определения добротности имеет
вид
Q = toL/7?nc,
где 7?пс — сопротивление потерь системы, нахождение ве-
личины которого излагается ниже. Приведенное выраже-
ние для добротности соответствует последовательной
эквивалентной схеме.
В связи с тем, что катушки обладают собственной
емкостью, существует некоторая частота f0 (собственная,
или резонансная частота), вблизи которой емкость ока-
зывает существенное влияние на величину добротности
(из-за изменения действующей индуктивности и дейст-
вующего сопротивления). Способы вычисления собствен-
ной емкости катушек, по которой определяется связан-
ная с ней частота /0, приведены в гл. 2.
Влияние собственной емкости на добротность катуш-
ки описывается формулой
AQ = -Q№2,
где AQ— уменьшение добротности Q при работе на ча-
стоте f<fo. Из-за приближенного характера формул для
определения f0 величиной AQ можно пренебречь, уже при
На добротность катушки оказывает влияние экрани-
рование
Потери в катушке складываются из потерь в прово-
де, диэлектрических потерь в каркасе и изоляции про-
вода и потерь в сердечнике.
С некоторым приближением можно принять, что со-
противления потерь, вызванных различными факторами,
соединены последовательно. Таким образом, задача сво-
дится к определению отдельных составляющих Rue,
51
суммированию их и подстановке в формулу для вычи-
сления добротности.
Потери в проводе складываются из потерь на по-
стоянном токе и потерь, вызванных поверхностным эф-
фектом и эффектом близости. Зная размеры катушки и
характеристики обмотки, можно вычислить активное
сопротивление провода /?п при работе на частоте f; фор-
мулы для расчета приведены в гл. 3, посвященной опре-
делению сопротивлений.
Определить потери в диэлектрике, заполняющем
межвитковые промежутки обмотки, можно, исходя из
величины энергии поля между витками. При этом опре-
деляющими факторами для величины сопротивления по-
терь в диэлектрике £д становятся размеры катушки и
характер намотки (влияющие на индуктивность и ем-
кость катушки), а также рабочая частота (потери в ди-
электрике существенны только на высоких и весьма вы-
соких частотах) и tgS материала изоляции и каркаса:
Яд [ом]^0-25-10’3^
где Сд — емкость катушки через диэлектрик, пФ; А —
индуктивность катушки, мкГ; f — рабочая частота, МГц.
Практически диэлектрические потери в каркасе целе-
сообразно учитывать в катушках большого диаметра
(преимущественно однослойных), имеющих сравнитель-
но большую собственную емкость и каркасы из мате-
риала с большой величиной tg бд. В многослойных ка-
тушках основную роль играют потери в межвитковой
изоляции (сюда относится, естественно, и пропитка).
В тех случаях, когда необходимо учитывать оба ви-
да диэлектрических потерь (когда они близки по значе-
нию), они определяются раздельно для каждой из соб-
ственных емкостей (через каркас и через межвитковую
изоляцию); затем сопротивления потерь пересчитывают-
ся в последовательное вносимое сопротивление по фор-
мулам эквивалентных преобразований, приведенным
в любой учебной или справочной литературе по элек-
трическим и радиотехническим цепям.
Потери в сердечнике также могут быть охарактери-
зованы сопротивлением потерь, которое вычисляется по
формуле
/?с — tg 6с'
52
Заметим, что если потери в сердечнике являются
преобладающими, т. е. Rn(:^R(:, то Q = 1/tg6С.
Непосредственное применение формулы для /?( воз-
можно тогда, когда известна величина tg 6е, учитываю-
щая суммарные потери в сердечнике. Однако при расче-
тах довольно часто приходится пользоваться справоч-
ным материалом, в котором приводятся данные, харак-
теризующие разные виды потерь раздельно. Тогда при
работе сердечников в слабых полях, где потери малы,
tg Зс = tg 6г + tg 6в + tg 6п,
где tg6r—тангенс угла потерь на гистерезис; tg6B —
тангенс угла потерь на вихревые токи; tg 6П — тангенс
угла потерь на последействие.
В тех случаях, когда имеются данные о так назы-
ваемых коэффициентах потерь на гистерезис (6Г), вих-
ревые токи (6в) и последействие (бп), можно восполь-
зоваться соотношениями
tg 8г = ЬгН; tg 8в == tg 8п = 8п •
(Н — напряженность магнитного поля.)
В сильных полях, когда потери значительны и зада-
ны коэффициенты 6, tg6c следует определять по фор-
муле
tg 8с — tg (arctg 8г + arctg 8S -f- 8П).
Иногда потери в сердечнике характеризуются мощ-
ностью потерь. Такая характеристика удобна тем, что
непосредственно может быть связана с тепловым режи-
мом элементов и расходом энергии источника питания
или сигнала; кроме того, величины мощности можно
суммировать при любых эквивалентных преобразовани-
ях. Неудобством такой характеристики является некою-
рая громоздкость пересчета к форме, удобной для вы-
числения добротности.
В общем виде
Рс = /а#с,
где Рс — суммарная мощность потерь в сердечнике, 13т;
/ — ток в обмотке, A; Rc — сопротивление потерь, Ом.
В справочных материалах обычно приводятся данные об
удельной мощности потерь, Вт/кг (реже — Вт/см3), так
что для пересчета необходимо знагь вес или объем сер-
дечника.
53
Если заданы мощности потерь для каждого вида
раздельно, т. е. Рг, Ръ и Рп, то, как отмечалось выше,
Р С = Рг + Рв + Ри.
Для вычисления сопротивления потерь сердечника,
помещенного в разъемный каркас с катушкой (см.
§ 1.3), можно воспользоваться формулой
где Ас = 3к/3с — отношение поперечных сечений карка-
са и сердечника.
Вычисление потерь в катушках с цилиндрическими
сердечниками имеет некоторые особенности, связанные
с тем, что эффективное значение магнитной проницае-
мости сердечника не совпадает со значением магнитной
проницаемости материала. При этом необходимо ввести
поправочные коэффициенты в соответствии с формулами
8 г = 8г (р-е/р-)2; 8'в= 8В(р-о/р-); В'п = 8п (р>о/р>).
Величины 6' относятся к цилиндрическому сердечнику;
определение приведено в § 1.4.
Аналогично обстоит дело и с определением потерь
в катушках с малыми воздушными зазорами.
Как уже отмечалось, введение немагнитного зазо-
ра приводит к уменьшению как индуктивности, так и
tg6c; из определения добротности и формул для вы-
числения tg<Vc следует
Q' — ______!_____
tg + (I/H-Qo)
где Q'c — добротность катушки на сердечнике с зазо-
ром (без учета потерь в каркасе и межвитковой изо-
ляции); Qo — добротность воздушной катушки с теми же
размерами.
При рассмотрении формулы для Q'c видно, что,
во-первых, введение немагнитного зазора может приве-
сти к увеличению добротности катушки; во-вторых, су-
ществует некоторая оптимальная длина зазора /Зопт,
при которой добротность становится максимальной
(Q,c = Qm3kc)- Для обычно применяемых сердечников
^3 ОПТ z= (^с/Р1) j/" QoP'^lgSc-• 1 у,
Qm3KC == O,5y\Qoftg6c.
Здесь — длина средней силовой линии.
54
Рис 120
Применение немагнитных сердечников такЖе оказы-
вает влияние на добротность катушки, поскольку при-
водит к уменьшению индуктивности (см. § 1.7) и к уве-
личению вносимых потерь.
Уменьшение добротности, вызванное введением не-
магнитного сердечника, можно приближенно оценить по
графику рис. 1.20, где изобра-
жена зависимость уменьшения |^Д|
добротности от уменьшения
индуктивности.
Как и в случае применения
немагнитного сердечника, до-
бротность экранированной ка-
тушки всегда ниже добротно-
сти той же катушки без экра-
на. Введение экрана приводит
к уменьшению индуктивности
(см. § 1.7), увеличению вноси-
мого сопротивления потерь (за счет потерь в экране) и
уменьшению сопротивления провода (за счет изменения
эффекта близости).
Вносимое сопротивление, связанное с потерями в эк-
ране, определяется по формуле
[Ом] = °.2-г/гэж’- V/рэ (Z)K/Z9),
где ра — удельное электрическое сопротивление мате-
риала экрана, Ом-см; / — рабочая частота, МГц. Зна-
чения остальных величин приведены в § 1.7.
Уменьшение сопротивления провода, вызванное вве-
дением экрана, можно определить по формуле
bRa = R~-R~3'
Значение R~ вычисляется по формулам для сопротив-
ления обмотки на высоких частотах, приведенным
в § 4.3; значение R~ вычисляется по тем же формулам,
но с подстановкой в них У 1гл вместо kc и умножением
второго слагаемого на (1—&э)2.
Уменьшение добротности, вызванное наличием экра-
на, тем сильнее, чем ближе к катушке расположен
экран; аналогичная зависимость имеет место и при
уменьшении индуктивности.
55
Иногда Для описания свойств магнитных материа-
лов используют так называемую комплексную магнит-
ную проницаемость
Н = Р>1 — /1*2.
Переход от составляющих этой формулы к величи-
нам, использованным ранее для всех вышеприведенных
расчетов, осуществляется в соответствии с соотноше-
ниями
|А=рЛ!А’1-|- = tg8c— Р2/Р4.
1.9. ИНДУКТИВНОСТЬ РАССЕЯНИЯ
Одним из важных параметров, определяющих рабо-
ту трансформаторов, является индуктивность рассеяния
Ls. Как известно, магнитный поток, сцепляющийся с об-
мотками трансформатора, можно условно разделить на
рабочий (основной) поток и поток рассеяния. Первый
из этих потоков сцеплен с обеими обмотками, и путь его
проходит в основном по магнитопроводу, а второй —
сцеплен только с одной какой-либо обмоткой и прохо-
дит в основном по воздуху. При этом основной поток
создается суммой намагничивающих сил всех обмоток
трансформатора, а поток рассеяния соответствует пото-
ку, который будет существовать в трансформаторе, если
в его обмотках имеют место одинаковые по величине,
но противоположные по направлению намагничивающие
силы.
Формулы, определяющие величину индуктивности
рассеяния, могут быть использованы для определения
индуктивности обмоток, имеющих короткие витки. Та-
кая система может рассматриваться как трансформа-
тор с соответствующим расположением первичной и вто-
ричной обмоток, последняя из которых замкнута нако-
ротко.
Ниже приводятся формулы, определяющие Ls для
различных случаев конструктивного исполнения обмо-
ток.
КОАКСИАЛЬНЫЕ ЦИЛИНДРИЧЕСКИЕ ОБМОТКИ (рис. 1.21)
Индуктивность рассеяния, приведенная к виткам Wi,
вычисляется по следующей общей формуле:
2л r gtg2
56
где р — средний периметр витка. Параметры §12, gi и
gz, представляющие среднегеометрические расстояния
сечений обмоток друг от друга и от самих себя, могут
быть выражены следующими соотношениями:
1,21,6)
§i—0,223 (h +bi); g2=0,223 (h-\-bz);
§12=0,223/1 + 0,78cf;
б) в общем случае расположения обмоток друг от-
носительно друга (§i и §2 по п. а)
_ (0,223/1! +0,78rf)a (0,223/ы + 0,78d)g
~ (0,223йт + 0,78d)T (0,223/г. + 0,78d)5 ’
где
2 -<7, /г0 —/г5 + /г2, а— zhfa •
□___(^5 + h2)2 . __ h".f ________ /г2г
Р “ 2hih2 ’ Y— 2hth2 ’ ° 2lhht ‘
Для некоторых соотношений геометрических пара-
метров обмоток и частных случаев их взаимного рас-
положения выражение, определяющее §12, упрощается:
при
/г5 = /г,-=/г (Й!^й2); ha = h2-{-hx‘t
а — р = [ht -J- /г2)г/8й1/г2; у = 8 = а — "/»
_ (0,223/ia + 0,78d)2“ .
£'2 (0,223/1 + 0,78d)2a~1
57
при /г5 = 0 (или /гт = 0);
а = /г1/2/г2; ^ = й2/2й,; у = (а —р) — 1; 8 = 0
_ (0,223/га + 0,78d)a (0,223/г2+0,78Ц)?
(0,223^ + 0,78с()“+?- 1 ’
при d = 0 (обмотки расположены одна над другой по
вертикали) /i.f =/г,/г» {h0 в этом случае равно расстоя-
нию между ближайшими торцами обмоток); /г5 =/г2/г<>
§12 = ho 0,5 {hi -|-hi).
КОАКСИАЛЬНЫЕ ТОРОИДАЛЬНЫЕ ОБМОТКИ (рис. 1.22)
При расположении обеих обмоток по всей поверхно-
сти тора
L. = — ay2 er In ^° + 02 Г1) (° —Га)
* 2к w Ш (О- Г)2 (D + П) (D + Гг)'
а = 0,5 (ai + a2); П, г2 — радиальные
а2 — аксиальные размеры
где г = 0,5(Г1Н-г2);
размеры средних витков; ait
средних витков.
При расположении обмоток на части поверхности то-
ра Ls определяется как для эквивалентных цилиндри-
ческих коаксиальных обмоток. При этом за высоту об-
мотки принимается аксиальный ее размер.
СЕКЦИОНИРОВАННЫЕ ОБМОТКИ
а) секции выполнены в виде чередующихся коакси-
альных цилиндров (рис. 1.23):
т Ро ч ft I bi "1 Ьа \
= - (г’ + =Г~)’
59
где fi — высота Секций; m — s—1; s — общее число сек-
ций; р — периметр среднего витка (остальные парамет-
ры по рис. 1.23);
б) чередующиеся секции расположены на тороидаль-
ном магнитопроводе (см. рис. 2.24):
Ls— 1 -f-ln 1 -f- -g—I—
где 1? — радиус средней силовой линии магнитопровода;
I — расстояние между соседними секциями (по средней
линии); A, h — толщина намотки секции в радиальном
и аксиальном направлениях.
ОБМОТКИ, РАСПОЛОЖЕННЫЕ НА РАЗНЫХ СТЕРЖНЯХ
(рис. 1.24)
Г p.flW2l [ n bl | г> bs I bfol f п | Ыо1 \ I
~~~~ I АСР1 -» -*хср2 g 1 2 ( **вн1 | 2 I *1
где
Ь* 01 1 / b'cpi -р br 1 \ Ь’ 02 1 / Ь’ср2 Ц- bf2 \
Т~~~ "Г 2 ) ’ ~2 Г 2 J ’
b'cpi/2 = 0,417?вн1 1,41а0; ^'срг/З = О,417?внг -1 >41 Ло>
bzi/2 = J/<J1?2bhi “I- 0,5/г2 — 1?bhi!
Ь'г/2 = 3/?2внг 0,5/}2 — Reni-
Остальные обозначения в соответствии с рис. 1.24.
Рис. 1.24.
59
При близких геометрических параметрах обеих об-
моток (т. е. при 7?сР1~7?ср2; Rbhi~Rbh2)
где
^?ср = 0,5 (7?cpi +^сра); Rbh 0,5 (/?bhi ^?внг)>
Ь' = 2 [/З^вн + О.б/?- Квн].
Если при этом обмотки имеют и осевое смещение
друг относительно друга (рис. 1.25), то
д,=Е!р ГЛ,Л±^+»./Лн+4') I,
где
6* = 1(&сР4-У)/4](/1-Д) + 6-Д;
&ср = О>8/?вн + 2,8ао; Ь' — 2(|/3/?2вн*ф"0,5/г2 —-Rbh);
д — 2h-t.
Остальные обозначения в соответствии с рис. 1 25.
ОБМОТКА, ВЫПОЛНЕННАЯ ЛЕНТОЧНЫМ ПРОВОДНИКОМ
(рис. 1.26)
Если обмотки расположены коаксиально и при этом
одна охватывает другую полностью, то расчет Ls про-
изводится по приведенным выше формулам, т. е. как
для обмоток, выполненных обычным проводом. В слу-
чае же, когда обмотки выполнены по типу дисковой
конструкции, т. е. обмотки не охватывают друг друга,
а лежат одна над другой, величина индуктивности рас-
сеяния будет существенно зависеть от частоты питаю-
60
щего напряжений и может быть определена по фор-
муле
J _ poWhp fh , b'i + Ь'г \
Ls~~~ (° I----3—)’
где р — периметр среднего витка;
[при 1 < lA'fYPo bi (или bt)]-,
bi, b2 и остальные параметры в соответствии с рис. 1 26.
Формулы для Ь'1 и Ь'2 справедливы практически до
частоты f Xnyp.ob2i)-1,
при ЭТОМ Ь1<Ьг.
Для f < (тгYpuot>E) “1 b^ — b, и b’2 = bt.
ГЛАВА 2
РАСЧЕТ ЕМКОСТЕЙ
2.1. ОБЩИЕ ВОПРОСЫ. ХАРАКТЕРИСТИКИ
ДИЭЛЕКТРИЧЕСКИХ МАТЕРИАЛОВ
В радиоэлектронных цепях применяются, как прави-
ло, стандартные серийно выпускаемые конденсаторы,
емкость которых известна из паспортных данных. Зада-
ча о расчете емкости возникает поэтому либо при соз-
дании экспериментальных устройств, либо для учета
емкостных связей. Такой класс задач определил выбор
рассматриваемых в настоящей главе электродных си-
стем.
Расчетные формулы получены на основе общих тео-
ретических положений и методов, изложенных, в част-
ности, в гл. 5. В табл. 2.1 даны величины относительной
диэлектрической проницаемости е и тангенса угла ди-
электрических потерь tg 6 для двух частот: 50 и 10е Гц
для различных изоляционных материалов при темпера-
туре 20°С.
Диэлектрическая проницаемость вакуума
ео=10-В 9/36л [Ф/м].
61
Таблица 2 t
Материалы е tg8 102 *
50 Гц 10» Гц 50 Гц 10s Гц
Бакелит 7 5—12
Битумы 3 — 0,5
Бумага 2,5—3,0 2 —
Вини тласт 3,6—4,0 0,1-0,5 ——
Гегинакс 6—8 6—7 12—18 3-5
Карболит 6 — 5
Лавсан (пленошый) 3,0—3,6 —- 0,2—0,6 —
Лакоткань.
стеклянная 4,0—6,0 —. 0,г—0,6 —
хлопчатобумажная 4 0—6,0 — 8—10 —
шелковая 4,0—6,0 3—8 —
Полиамидная смола — 3,8—4,2 3,5 —
Полиметилметакрнлат (оргстекло) 3,5—4,0 — 2-6 —
Полистирол 2,1—2,6 2,1—2,6 0,02—0,03 0,01—0,08
Полиуретан 4,0-5,0 — 1,2—1,8
Пол и хлорвини л 4,7 — 1,0—10 —
Полиэтилен высокого давления 2,1—2,3 — 0,03—0 06 —
Полиэтилен низкого давления 2,2—2,4 — — 0,02—0,03
Резина 2,6—3,0 — 0,5-0,8 —
Совол 5,1 0,02 —
Слюда 6,7 — 0,01
Стекло 5,3—7,5 — 0,6—1,0 ——
Текстолит 5—7 6-8 6—19 5—7
Траисформаторгое масло 2,2 — 0,02 —
Фарфор । 5,5—6,0 — 1,7 —
Фторопласт (ФТ-4) 1,9—2,2 — 0,01—0,03
Шеллак 3,1 — 0,9 —-
Эзонит 3,2 — 0,2—0,6 ——
Электрокартон 3,0 — 0,2 —
Эмаль — — 2—5 •—
Эпоксидный компаунд заливочный 4,5 3,9 I 0,4—0,8 8
Эпоксидный компауид пропиточный 4,2 3,9 0,3 3
Эквивалентная диэлектрическая проницаемость изо-
ляции из двух составляющих при условии, что объем-
ная концентрация одной с ei мала по сравнению с дру-
гой, составляющей, имеющей проницаемость ег, может
быть вычислена по формуле
„ (1 । Vi ei —
®э — s2 I 1 *Т" 57-i- I ’
где Vi, V2— объемы материала с проницаемостью ei и
62 соответственно.
Справедливы также следующие оценки для е и tg 6:
п п
2 Vk 2 ек7к
2=1——
п п
2 1/к/ек 2 Vk
t=i *=i
62
2 ^Ktg8K/eK екУк1§8к
2 ^к/ек skVk
Более подробно применение гетерогенных материа-
лов рассматривается в § 4.1.
Для анизотропных сред, имеющих различные значе-
ния е по трем (двум) взаимно перпендикулярным на-
правлениям (ех, &у, ez), эквивалентная величина еэ опре-
делится как
s3 = 3i/s^z (S3 = 'KS^S!/)-
Потери в диэлектрике вычисляются по формуле
P = 2itf tgSCV2,
где f — частота; С — емкость; U — напряжение на емко-
сти С.
Строго говоря, эта формула справедлива при tg 6,
не зависящем от величины напряженности поля Е. Во
всех других случаях она носит приближенный характер
(погрешность расчета, естественно, зависит от конкрет-
ных условий).
2.2. ЕМКОСТЬ В СИСТЕМЕ
ПЛОСКОПАРАЛЛЕЛЬНЫХ ЭЛЕКТРОДОВ
Под плоскопараллельной понимается система, кото-
рая в одном направлении имеет бесконечную протяжен-
ность, а в любой плоскости, перпендикулярной этому
направлению, электроды имеют идентичные сечения. На
практике к таким случаям можно отнести системы,
имеющие осевой размер, значительно превосходящий все
остальные размеры сечения (например, двухпроводную
линию). В такой системе можно пренебречь влиянием
искажения поля на ее концах и, следовательно, изме-
нением емкости за счет этого эффекта. Поэтому для
плоскопараллельных электродов имеет смысл говорить
либо о емкости, приходящейся на единицу длины, либо
q емкости некоторого участка конечной длины.
§3
ДВЕ ПАРАЛЛЕЛЬНЫЕ ПЛАСТИНЫ, ЛЕЖАЩИЕ
В ОДНОЙ ПЛОСКОСТИ
1. Пластины одинаковой ширины
C-SS
С ° К(й)
где К(£), К(б') —полные эллиптические интегралы 1-го
рода с модулями & = а/(п + &); k' = У\—/г2; 2а— рас-
стояние между пластинами; b — ширина пластины; / —
длина пластины в осевом направлении
Справедливы следующие приближенные формулы:
c^SSoAin^±^-
тс а
(величина относительной погрешности б<2% при
0</?<0,3),
С ~ ее0 (2,035 - 1,45-4-=-^ I
(8<2°/о при 0,3<й<0,9).
2. Пластины различной ширины
С — 2ег /
с — ле, к (й) I,
где
k’ = /1 - k*\
d, b — ширина одной и другой пластины; 2а— расстоя-
ние между пластинами.
Могут быть использованы также приближенные фор-
мулы п. 1 (при оговоренных там ограничениях, накла-
дываемых на величину fe).
ДВЕ ПЛАСТИНЫ, РАСПОЛОЖЕННЫЕ ПОД УГЛОМ ДРУГ
К ДРУГУ (рис 2.1)
Емкость между сторонами пластин, обращенными
друг к другу:
Емкость между внешними сторонами пластин
С, -^4-Inf— yf
(2 •— а) гс \ а F Pi J
И
Полная емкость
C=Ci + C2
(Пластины имеют одинаковую
лены от вершины угла ал )
ширину и равноуда-
ДВЕ ПАРАЛЛЕЛЬНЫЕ ПЛАСТИНЫ, ЛЕЖАЩИЕ
В РАЗНЫХ ПЛОСКОСТЯХ
1. Пластины одинаковой ширины (рис. 2.2,а)
c«SSo Г14- —+ 14-
[ 1 rc b \ ' a J \ a
при 4 < b/d < 30 (8 < 2°/0);
C -S ss0Tt (ln^) 1 I
при b/d <1 (8< l°/o).
Могут быть использованы также и следующие фор-
мулы:
С =г SS0Tt f In I
\ ь J
при b/ d < 1;
r 36rt bl Г < . d Г.. . 2nb\ 1
C^Tcoss«-Tl1 + ^(1+ln^-l]
при b/d > 2;
c " ra“-'? + 4)'
при b/d > 3.
2. Пластины различной ширины (рис. 2.2,6)
С^МС0,
где Со—емкость пластин при bt—Ьг; А4=0,85 arctg (8/л) X
X (Ь2/Ь1).
5—316 65
ДВЕ ВЗАИМНО ПЕРПЕНДИКУЛЯРНЫЕ ПЛАСТИНЫ
(ПРОЕКЦИЯ ОДНОЙ ПЛАСТИНЫ ДЕЛИТ ДРУГУЮ
НА ДВЕ РАВНЫЕ ЧАСТИ)
1. Пластины конечной ширины (рис. 2.3,а)
С ~ ее0 — 1In -4- при 0 < k < 0,3;
ГС к г
С == 2se0 (2,035 — 1,456) I при 0,3 < k < 0,9,
(a/d) + V[l + (b/d)]^(a/d)^ _
[1 + (b/d)] [(а/d) + Г1 + (a/d)A ’
Рис 2 3.
2. Одна пластина полубесконечная (рис. 2.3,6)
С =& se0 — I In -4- при 0 < k < 0,3;
ГС к
С = 2ss0 (2,035— 1,456)/ при 0,3<6<0,9,
6 = [(а/о!) + 1/1+(а/^]-*.
ДВА ПАРАЛЛЕЛЬНЫХ ЦИЛИНДРА, РАСПОЛОЖЕННЫХ
ОДИН ВНЕ ДРУГОГО (ДВУХПРОВОДНАЯ ЛИНИЯ)
где Oi, аг — радиусы цилиндров; d — расстояние между
осями проводов. Если провод проходит на расстоянии
0,5d над проводящей плоскостью, емкость увеличивает-
ся вдвое (ai=a2).
ДВЕ ПОЛУБЕСКОНЕЧНЫЕ ПЛАСТИНЫ, ЛЕЖАЩИЕ
В ОДНОЙ ПЛОСКОСТИ
Емкость между участками длиной а двух полубеско-
нечных пластин, лежащих в одной плоскости:
где 2d—расстояние между пластинами,
66
МЛАстина между ДВУМЯ ПАРАЛЛЕЛЬНЫМИ
плоскостями
При О^А^О.З (рис, 2.4,а)
C«eeo(8ZM)ln(4/A);
при 0,3cfe<0,9
' С == 4ss„Z(2,035 — 1,45А),
где £ = th(nb/2/i);
при О^^^О.З (рис. 2.4,6)
С = es0 (8//it) In (4/А);
при 0,3^£<^0,9
С~4ее0/(2,035—1,45£),
где /e = sin(jtb/2/i).
и=о _ и~о
и~о и=о
а б
Рис. 2 4.
ОДИН ПРОВОД МЕЖДУ ДВУМЯ плоскостями
(ПЛОСКОСТИ ЗАЗЕМЛЕНЫ)
С — 2iteE()/1 In ( — sin1 ,
L \па ь J J
где b — расстояние между плоскостями; 2а— диаметр
провода; h — расстояние между проводом и одной из
плоскостей (а<Сй).
ДВА ПРОВОДА МЕЖДУ ДВУМЯ ПЛОСКОСТЯМИ (рис. 2 5)
и~о
67
ЦИЛИНДР В ЦИЛИНДРЕ
С — 2тее0/ [In (zz —1/ /Za — 1)] \
где п = (а21 + а22—/г2) (2aia2)-1; at, а2 — радиусы цилинд-
ров; h — расстояние между осями цилиндров.
2.3. ЕМКОСТЬ СИСТЕМ ЭЛЕКТРОДОВ
«ПОЛЮС—ПОЛЮС» И «ПОЛЮС—ПЛОСКОСТЬ»
Если рассматриваемый проводник находится в среде
с диэлектрической проницаемостью ei, расположенной
над полупространством с проницаемостью ег, то возмож-
ны следующие два случая:
1) (например, при расположении проводника
над проводящей плоскостью),
2) ei3>82 (т. е. границу между средами можно счи-
тать непроницаемой для силовых линий электрического
поля или поля другой физической природы).
Величина емкости заданного проводника в каждом
из этих случаев будет существенно различной. Если гра-
ница раздела между средами представляет собой плос-
кость, то рассматриваемая система будет представлять
собой систему, хорошо известную в технической лите-
ратуре под названием «полюс—плоскость». Зеркальное
отражение системы «полюс — плоскость» относительно
плоскости (границы между средами) приводит к систе-
ме «полюс — полюс». Емкости рассматриваемых двух
систем для каждого соотношения между величинами
81 и б2 связаны между собой определенными зависимо-
стями.
Если проводник находится над проводящей плоско-
стью («полюс — плоскость»), то его емкость Cnni будет
равна удвоенной емкости СПЛ2 системы «полюс — полюс»
при условии, что полюса имеют одинаковые по величи-
не, но противоположные по знаку потенциалы
Спп1 = 2 Спп2-
Ниже приводятся формулы для определения Сщп
при разноименно заряженных полюсах.
68
ДВЕ ПОЛУБЕСКОНЕЧНЫе ПРЯМОУГОЛЬНЫЕ ПРИЗМЫ
(рис 2 6,а)
Емкость между заштрихованными частями призм
при (х^а) равна
Рис. 2 6
ДВЕ КОНЕЧНЫЕ ПРЯМОУГОЛЬНЫЕ ПРИЗМЫ (рис 2 6,6)
C = ss0 /2(^-+ Za)i 4(a+b) Ь Г 2 (я + Ь) . 41 П
1 * а 2а 30 [ а ' J I
ДВА ПОЛУБЕСКОНЕЧНЫХ ЦИЛИНДРА (рис 2 7,я)
Емкость между заштрихованными частями цилинд-
ров при (х^а) равна
z-» ( R~ । R < X -|- — (7.2
C =Ttes0 —L-— In------------!-----------
\ 2a rt a
ДВА КОНЕЧНЫХ ЦИЛИНДРА (рис 2 7,6)
г /Я2 aJ-R 1„ 4(а + М
С = тее0 — ф — 1П------------
2а ' гс а
69
КОНУС И ОБРАТНЫЙ КОНУС (НА ТОРЦЕ ЦИЛИНДРА)
(рпс. 2.8)
С — TtSSo
R tg2 а
~R ' 2а”
6а (* + tg2“) + 5/?
а.
ДВА ГИПЕРБОЛОИДА ВРАЩЕНИЯ (рис. 2.9)
Емкость между заштрихованными частями гипербо-
лоидов определяется по формуле (2a — расстояние меж-
ду фокусами):
Г — 2 У 2 пее„/
In | (2а — Ь)/а} ’
где
Z = a{[l -(a2,M)ig2<1/2-l};
ar — а — b; br = У2ab Ьг.
ДВА ГИПЕРБОЛИЧЕСКИХ РЕБРА
Сечение рассматриваемой системы будет иметь вид
такой же, как и для предыдущей системы (рис. 2.9).
Емкость на единицу длины между заштрихованными
частями этих электродов будет равна:
2 . I + К/2 — а2
С = es0 — In —------->
гс а
где I, аГ и ЬГ имеют те же значения, что и в предыду-
щем случае.
ДВЕ СФЕРЫ
Для различных соотношений между геометрически-
ми параметрами системы справедливы приближенные
формулы:
70
при (с?—2R) >2R
рп Г1 I В № — ^dR + ЗУ?2) 1 .
2 ' (d — 2R) (d* — 5dR+ 5№)J ’
при (d — 2R) > R
с=«('+т4а).
где d — расстояние между центрами сфер; R — радиус
сферы.
ДВА ПОЛУБЕСКОНЕЧНЫХ ПРЯМОУГОЛЬНЫХ РЕБРА
(рис. 2.10)
Емкость на единицу длины между частями ребер,
ограниченными поверхностями ABCD и A'B'C'D' опре-
деляется как
С = — es0 In (( х + — д2 \ ,
п \ a J
Рис. 2.10.
где
k 4ехр —k'—V^ — k2-
ДВА ДИСКА, ЛЕЖАЩИЕ В ПАРАЛЛЕЛЬНЫХ ПЛОСКОСТЯХ
(КОНДЕНСАТОР С ДИСКОВЫМИ ЭЛЕКТРОДАМИ)
При d/R<\
г П Г7'# 1- 1''1.
C^ss07? [v+(ln— - 1J:
при d/R>\
С 4ss07? fl-------------— arct<< ~
\ ZU /\
где d — расстояние между дисками; R — радиус диска.
(Центры диское лежат но одной оси.)
71
ДВЕ ПРЯМОУГОЛЬНЫЕ ПЛАСТИНЫ, ЛЕЖАЩИЕ
В ПАРАЛЛЕЛЬНЫХ ПЛОСКОСТЯХ (КОНДЕНСАТОР
С ПРЯМОУГОЛЬНЫМИ ОБКЛАДКАМИ)
При b/d<^.\ (b^a)
C = 2/^aes0 (K(k)- -A-V-
\ V re d !
где К (k) — полный эллиптический интеграл 1-го рода с мо-
дулем k = ]/1 — (Ь/а)2',
а, b — стороны пластины; d — расстояние между пла-
стинами. Если /?г<0,75, то
q _ 2iteE0 (а + 6) d
re V тс d — (я -|- b)
при a/d>3, b/d>3
ab Г, . d, f i । i 2гея\ "I Г i । d f, < i \
c%—Ы------------n _L In \ 1 J--------1 _L In ' ;
d [ 1 ^/i[ ' icb \ 1 d ,
при d < У ab
r. ( ab . a + & . Vab\
ДВЕ ОДИНАКОВЫЕ ПЛАСТИНЫ ПРОИЗВОЛЬНОЙ ФОРМЫ,
лежащие В ПАРАЛЛЕЛЬНЫХ ПЛОСКОСТЯХ
(КОНДЕНСАТОР С ОБКЛАДКАМИ ПРОИЗВОЛЬНОЙ ФОРМЫ)
Если расстояние между пластинами d значительно
меньше величины У S, где S — площадь пластины, то
емкость может быть определена по следующей прибли-
женной формуле:
г Г S . L . VS\
с ~ аГ п—7/®®°’
где L — величина периметра пластины.
Все вышеприведенные формулы этого параграфа от-
носятся к электронейтральным системам, т. е. к систе-
мам, состоящим из двух (в нашем случае) электродов,
которые имеют равные, но противоположные по знаку
потенциалы.
В начале этого параграфа указывалось, что при на-
личии непроницаемой границы (ei^>e2) расчет емкости
заданного проводника сводится к расчету емкости си-
стемы, состоящей из этого проводника и его зеркально-
72
Го отражения, при условии, что оба проводника имекЗт
равные и одинаковые по знаку потенциалы, т. е. соеди-
нены между собой. В этом случае, если потенциалы про-
водников одинаковы, емкость системы «полюс — плос-
кость» C2=Ci/2, где Ci — емкость системы «полюс —
полюс».
Если проводник находится над непроницаемой гра-
ницей («полюс—плоскость» е15>ег), то его емкость С'ппг
будет равна половине емкости СПП2 системы «полюс —
полюс» при условии, что полюса имеют одинаковые по
величине и по знаку потенциалы:
С пп2 = 0,5Спп2.
Величины емкостей С'агв, систем «полюс — полюс»
(при одноименных заряженных полюсах) приведены
ниже.
ДВА КОАКСИАЛЬНЫХ ДИСКА, РАСПОЛОЖЕННЫЕ
В ПАРАЛЛЕЛЬНЫХ ПЛОСКОСТЯХ
При Ija^l
С 16ss0a[l -|-(2/Tt)arcctg(Z/a)]"1,
где I — расстояние между дисками; а — радиус диска;
при
С«8ее0а[1,133 + 0,267(//а)2].
ДВЕ ПАРАЛЛЕЛЬНЫЕ ПРЯМОУГОЛЬНЫЕ ПЛАСТИНЫ
При rf/a<2, а/Ь~^Л
С =й 4тггг„а —|—-
I bd 1 а
_1______1_ / d у I_____1_ / rf I -1.
2 4 ' 32 J J ’
при d/a > 1, a/by> 1
С = 2С01 [1 -|-(C01/4^tEde(,)],,
где d — расстояние между пластинами; а, b — величины
сторон пластины; См--емкость одиночной пластины
(см. § 2.4).
73
ДВЕ ПРЯМОУГОЛЬНЫЕ ПЛАСТИНЫ, ЛЕЖАЩИЕ
В ОДНОЙ ПЛОСКОСТИ (рис. 2.11)
При d/a^>\
(1 >&/а>0,5),
(0,5>6/a=s=0).
8л (а + b) des0
Дг d а-\- b
8 Ил яее0
In (4а/6) + a/dyл
Рис. 2.11.
2.4. ЕМКОСТЬ УЕДИНЕННЫХ ТЕЛ
круговой ДИСК
С = 8еео/?,
где R — радиус диска.
ЭЛЛИПТИЧЕСКИЙ ДИСК
С=4ееосгл/К(&),
где К(&)—полный эллиптический интеграл 1-го рода
с модулем k= (1—Ь2/а2)1'2; а, b — большая и малая по-
луоси эллипса соответственно.
Приближенно значение эллиптического интеграла
в интервале изменения k от 0 до 0,75 может быть опре-
делено по формуле
К(^)^ш/(а + &) (8<1»/0).
Тогда при 1 Ь/а ^0,5
С ~ 4еео(а + Ь).
Для интервала изменения k от 0,75 до 1,0 справедли-
во выражение
К(А)~1п(4а/&) (6<5%).
Емкость при 0,5^6/а^О определится по формуле
C~4nee0a[ln(4a/fe)]-1.
74
ПРЯМОУГОЛЬНАЯ ПЛАСТИНА
С 4]АГге0а(К(^))-1,
где К (k) — полный эллиптический интеграл 1 -го рода с мо-
дулем —Ь2/аг', Ь, а —стороны пластины (Ь<а).
При 1^6/а^0,5
Кп \ а J
При 0,5^6/а-И) с = 4}6Гее0а[1п(4а/ЭД-‘.
КРУГОВОЕ кольцо
При Ь/а> 1,1
С = 8««.6 у- (arccos -5-+^"1 ~ 75- Arth -5-) [1 +
+ l,43.10-=4tg.(l,3f)]:
при b/a <1,1
С = 2it2ss0 (a-[-b){ln[16(a-\-b)l(b — а)]}'1,
где Ь, а — внешний и внутренний радиусы кольца соот-
ветственно.
цилиндрическая трубка конечной длины
(С БЕСКОНЕЧНО ТОНКИМИ СТЕНКАМИ)
При 1/а<4
С ~ 4 л2ееоа[1п (16а/0 ]-1;
при 9>//а>4
С ~ 4ltW{[ln(16Z/a)]2 + (1t!/12)}-,1
где 2а, 21 — диаметр и длина цилиндрической трубки
соответственно.
ЦИЛИНДР КОНЕЧНОЙ ДЛИНЫ
При //а<4
С 4л2ег0п[1п (16а//) ]-1;
при lla<^8
С = 4itse0a [0,63720,5535 (//а)0-”];
при 1/а^>8
С = 2iree0/[In (21/а) - I]’1,
где 2а, 21 — диаметр и длина цилиндра.
75
КОЛЬЦО (TOP)
С~4л2еео/?{1п (8/?/а) ]-1,
где R— радиус кольца; а — радиус поперечного сече-
ния проводника, который образует кольцо. Погрешность
вычисления емкости по этой формуле составляет 2%
при /?/а>10 и 12% при R/a = 1.
При R/a=l С~ 1,74 -4лееоа.
ЭЛЛИПСОИД
1. Трехосный эллипсоид (а>й>с)
С — 4тсееоа|/1 — (с2 [a2) [F (?, &)]'1,
где
ъ - i/1-^27^); <₽ _ arcsin i/rZTZ;
Г l-(C2/«2)’ ? —arcsiny I л2
F(cp, k)—неполный эллиптический интеграл 1-го рода.
В частном случае, когда полуоси эллипсоида пред-
ставлены выражениями а, а(1+а), а(1 + а|3) при
|ар|<1, емкость эллипсоида будет приближенно равна
С ~ 4гггое« [1 %- ’/За (1 -Н) - ’/«5а2 (1 - ^ + ₽*)].
2. Сжатый сфероид (а=Ь>с)
С — 4irse„a ]/l — (с2/a2) (arccos da}"'-
3. Вытянутый сфероид (а>Ь = с)
С —4itss0a' 1— (b2la2) (Arch afby1.
4. Сфера (a = & = c)
С=4лееоа.
КУБ
С 0,66 • 4лвеоа,
где а — сторона куба.
При вычислении емкости уединенных проводников
можно пользоваться оценкой: емкость плоского (объем-
ного) проводника соответствует (не превышает) емкости
эллипса (эллипсоида), поверхность (объем) которою
равна поверхности (объему) заданною проводника, а со-
отношение между его осями равно соотношению основ-
ных габаритных размеров проводника.
76
2.5. КОНДЕНСАТОРНАЯ ЕМКОСТЬ
НЕКОТОРЫХ СИСТЕМ ЭЛЕКТРОДОВ
В предыдущих параграфах частично рассматрива-
лась конденсаторная емкость некоторых проводников
(в § 2.2 — плоскопараллельных электродов, в § 2.3 —
система «полюс — полюс»), имеющих плоскость в каче-
стве симметрирующей границы.
Настоящий параграф в известной мере дополняет
затронутую тему другими системами проводников.
СФЕРИЧЕСКИЙ КОНДЕНСАТОР
1. Концентрические сферы
С = 4лее0г/?/(Р—г),
где R, г — радиусы внешней и внутренней сфер соот-
ветственно.
2. Эксцентрические сферы (t//r<l)
с ~ р - — ^--г) ^3
где d — расстояние между центрами сфер.
3. Две сферы, одна из которых расположена вне дру-
гой (7?/2с?<1)
С
4itss0
rR
R + r
1 -
1 rR 1
d /? + r ]
где 2d — расстояние между центрами сфер.
При г — R емкость С = 2tcs0R[1 — (R/2c?)]"*. Если
R > г, то С 4то=гог [1 — (г/Д)]-1.
Последней формулой можно пользоваться для вычи-
сления емкости системы сфера — бесконечная плоскость.
Тогда d — расстояние от центра сферы до плоскости.
Погрешность расчета по этой формуле уменьшается
с ростом величины отношения v.=d/r и уже при %=
= 1,55, не превышает 1,9% Для малых значений х
(х=1,15—1,55) более точные (до 2%) результаты по-
лучаются по формуле
С == 2тгее0 ——
«1 --- in *2
77
где
%1 = И(с?/г)’—1 ; х2 = (dfr)
ДВА КОНФОКАЛЬНЫХ ЭЛЛИПСОИДА
1. Вытянутые сфероиды (а = Ь<с)
С = to^d Г1п
— а а-ъ + J
где
Л = Уа\ — с21 = ]/а22 — с22; at, ct, аг, с2 —
полуоси внутреннего и внешнего эллипсоидов соо!вет-
ственно.
2. Сжатые сфероиды (а=Ь>с)
С =• 4nesod [arccos (Ci/ai) — arccos (c2/a2)]-1.
коаксиальные торы КРУГЛОГО сечения
4л2ее04 Г. / R \г /. . о г , Г X 1
где R, г — радиусы поперечного сечения внешнего и вну-
треннего торов соответственно; 2d — средний диаметр
тора.
Уточненная формула для коаксиальных тороидаль-
ных электродов кругового сечения имеет вид
K(nd + 2r) Г. RM-2r) I-')
z(^ + 2R) j [Ш r(ni-2R) । /
С = 2z!ssod | In
Рис. 2.12.
Если центры сечений смещены, то
[ г (W2 -J- /\) г -— Ю 1
(обозначения указаны на рис. 2.12).
78
СФЕРА ВНУТРИ КУБА
С = 4»..₽ <1 - [1,75-1-5^!^]щау,
где R - радиус сферы, а—сторона куба.
СФЕРА МЕЖДУ ДВУМЯ БЕСКОНЕЧНЫМИ ПЛОСКОСТЯМИ
При 0<R//i<0,7 C«4neeoR(1+р + р2);
при 0,8<R/ft<l,0 C«3neeoR2(/i—R)-1,
где p(R//i)ln2, R — радиус сферы; 2/i — расстояние1
между плоскостями.
ПЛАСТИНА ВНУТРИ ОБОЛОЧКИ
ЭЛЛИПТИЧЕСКОГО СЕЧЕНИЯ
Емкость на единицу длины (если края пластины сов-
падают с фокусами эллипса):
С = 2itee0 [Arch (а/с)]~'г
где с= Уа2 — Ьг; 2а и 2b — оси эллипса.
КОНЦЕНТРИЧЕСКИЕ ОБОЛОЧКИ ПРЯМОУГОЛЬНОГО
СЕЧЕНИЯ (НА ЕДИНИЦУ ДЛИНЫ)
I b d,d . b \1
+_arctg_+_ arctg^j,
где 2(a + d) и 2а— стороны внешней и внутренней обо-
лочек, параллельные друг другу; 2(с+Ь) и 2с — то же
для других сторон.
2.6. ЕМКОСТЬ ПРОВОДНИКОВ
В СЛОИСТЫХ СРЕДАХ
ЦИЛИНДР, ОСЬ КОТОРОГО ПЕРПЕНДИКУЛЯРНА ГРАНИЦАМ
РАЗДЕЛА'МЕЖДУ СЛОЯМИ
Предполагается, что радиус цилиндра г0 много мень-
ше его длины I (г0<^1). Емкость цилиндра для различ-
ных случаев его расположения относительно слоев ди-
электрика определяется по следующим формулам.
79
где *>
1. Цилиндр располагается целиком в среднем слое
(рис. 2.13)
6i --- 62
— , Cl —
£1 + S2
4/i
l + M. C_J_.
’ с — 4/t >
S1
777777777777
е? -
Рис. 2.13.
Го
31 + 4t , _________
’ 4/г
77777777777р.
4?
'////,' 777g.
ег
2.15.
Рис.
при t = 0 (рис. 2.14)
С = StcZsjS,
л=1
2c
n
Jc
n
2. Цилиндр расположен целиком в нижнем слое
(рис. 2.15)
3. Цилиндр расположен в среднем и нижнем слоях
(рис. 2.16)
При 0,5/ + /=С/г
Величины k, а, b и с во всех формулах § 26 определяются
одинаково.
80
при 0,5/ -j— /
где St = (1 4~&) [1 — Л-j- 2k (й —
Рис, 2.16.
со <<£/•
Рис. 2.17.
при t = 0
2те/е1е,
ЦИЛИНДР, ОСЬ КОТОРОГО ПАРАЛЛЕЛЬНА ГРАНИЦ\М
РАЗДЕЛА МЕЖДУ СЛОЯМИ
1. Цилиндр расположен в среднем слое (ряс. 2.! 7)
1 '2
п 2^7
С —
ОО
Skn I arsh —~ -j-
\ п -Р t/h 1
п=1
6—316
81
+ afshTT^r+2arsh^
2. Цилиндр расположен в нижнем слое (рис. 2.18)
C = 2nls2s0 In 277+^
n=l
с
п + t/h
eo«£f
Рис 2 18
Рис. 2.19.
ДВА ПРОВОДА, РАСПОЛОЖЕННЫЕ
В ДИЭЛЕКТРИЧЕСКОМ СЛОЕ
1. Слой в виде полуплоскости (рис. 2.19)
При E1<S2
c=rf.,.(lnACSE)-'
При 61 > ss
С = 7t/s280 ( In — — - .
\ ra y^ + b2 J
Рис. 2.20. Рис. 2.21. Рис. 2 22.
2. Слой в виде бесконечной полосы (рис. 2.20)
При ei<Ce2
C = We,sJlnAjHW
( Го тс
82
При Sj > Ss
С = it/sss0 (In th -^Л
rtr0 2b j
3. Слой в виде пластины конечного сечения (рис.
2.21)
С = it/s2e0 [in Гsh — In (1 — exp [—2 it] | .
L \ 1ТГо ь / I L I (
4. Плоскость, в которой расположены провода, пер-
пендикулярна границам слоя (рис. 2.22)
С = We2s0 In 2 (а -|- ft) U tgfe-Ь^Г'.
V* i~" **/ I
2.7. СОБСТВЕННАЯ ЕМКОСТЬ КАТУШЕК
Собственная емкость катушек складывается из:
— емкости С{ между внутренним слоем витков и
магнитопроводом (если последний имеется);
— емкости С2 между слоями;
— емкости С3 между обмотками.
Кроме этого, может быть емкость между внешним сло-
ем обмотки и электромагнитным экраном, если он име-
ется, а также емкость монтажа и подводящих проводов
(последние две составляющие полной собственной емко-
сти в зависимости от конкретных условий определяются
по формулам предыдущих параграфов).
Величина емкости С4 между витками, расположенны-
ми в одном слое, значительно меньше, чем Ci, Сг и Сз,
и поэтому в расчетах обычно не учитывается. Эту ем-
кость следует учитывать только для однослойных воз-
душных катушек, т. е таких, где другие составляющие
полной собственной емкости отсутствуют:
г__________4гр____
* (4я—w) (п—1) SS°’
Здесь г — радиус голого провода; е — диэлектрическая
проницаемость изоляции; 2а— расстояние между осями
проводов; р — периметр витка; п — число витков (про-
водов в слое).
Отдельные составляющие емкости определяются по
следующим формулам.
83
ЕМКОСТЬ МЕЖДУ ВНУТРЕННИМ СЛОЕМ ОБМОТКИ
И МАГНИТОПРОВОДОМ
С] — 8ss0r«p(4<2 — тег)-1 (рядовая намотка);
С'г = гг1}Ьр^~1 (намотка лентой);
С\ = 8es0rm'p (4а — иг)-1 (намотка типа „пирамида”),
где А, а — расстояния между магнитопроводом и лен-
той (или осью провода); п, т'— число проводов в слое
и число «косых» слоев «пирамиды»; b—ширина ленты.
ЕМКОСТЬ МЕЖДУ СЛОЯМИ, ПРИВЕДЕННАЯ
К КОНЦАМ ОБМОТКИ
С2 = 4$s0r«p[(4a — w) (m — 1)] ’ (рядовая намотка);
С'2 = ге0&р[д1 (m — I)]-1 (намотка лентой);
С"2 0 (намотка типа „пирамида”),
где т — число слоев; р — периметр среднего витка; 2а.
Ai — расстояния между витками в соседних слоях.
ЕМКОСТЬ МЕЖДУ КОАКСИАЛЬНЫМИ ОБМОТКАМИ
С3 — 4ееогСрИСррср (4сц лТср) 4,
где 2ai — расстояние между наружным слоем внутрен-
ней обмотки и внутренним слоем наружной обмотки;
гСр — средний радиус голого провода смежных обмоток;
п,.(,— среднее число проводов во внешнем и внутреннем
слоях смежных обмоток; рср— средний периметр кана-
ла между обмотками.
ЕМКОСТЬ МЕЖДУ НЕКОАКСИАЛЬНЫМИ ОБМОТКАМИ
С3 = 2irssb/z [In (г -|- Уг2 — 1 )]"
где г= (z/2—7?2i—/?22) (2RiR2yi; у — расстояние между
осями обмоток; 7?1 = pi/2n; 7?г = р2/2л; pi, pz—периметры
внешних слоев обмоток.
Разрежение витков приводит к увеличению собст-
венной емкости. Это увеличение практически происходит
до того момента, пока расстояние между витками в слое
не станет равным удвоенному расстоянию между этим
слоем и магнитопроводом или расстоянию между слоя-
ми (в зависимости от того, какая частная емкость опре-
деляется). При дальнейшем увеличении расстояния меж-
ду витками емкость сохраняет свою величину. Числен-
ное значение емкости для этого случая определяется
84
по формуле С=Сд+С0> где Со — емкость при плотной
укладке витков, определяемая по формулам, приведен-
ным выше; Сд — дополнительная емкость, обусловлен-
ная разрежением и определяемая выражениями [для
(а + г)]:
для емкости между внутренним слоем обмотки и маг-
нитопроводом
Рис. 2.23. Рис. 2.24.
Здесь 2d — расстояние между витками.
Каждая из перечисленных выше частных емкостей
может быть приведена к любым двум точкам схемы об-
моток. Для этого существуют так называемые формулы
приведения (табл. 2.2). Схема замещения показана на
рис. 2.23.
Емкость тороидального трансформатора с секциони-
рованными чередующимися обмотками (рис. 2.24) опре-
деляется по формуле
где Wi, wz — число витков первичной и вторичной об-
моток; C2i, С22 — межслоевые емкости первичной и вто-
ричной обмоток; N — число секций; C3 = eeo(<7+g)p/2b;
b — расстояние от обмотки до магнитопровода; 2q и
2g—ширина секции (по средней линии магнитопрово-
да) первичной и вторичной обмоток.
При намотке секций в один слой
85
Т а блица 2.2
Исходная схема
Формула приведения
Сэ=С(1е>2/Ш1)2
Сэ=С'[(ш1—ffi>2)/a'ip
Сэ=С(а,2/ш1)* 1 2 3 4 5
НЕКОТОРЫЕ ОБЩИЕ ПОЛОЖЕНИЯ
Уменьшение величины собственной емкости обмоток
достигается:
1) применением специальных видов намотки (в один
слой, «пирамидой», с плотной укладкой витков друг
к другу, во много слоев с малым числом витков в слое);
2) применением специальных конструктивных мер
(секционирования, увеличения межобмоточных расстоя-
ний, использования перфорированных каркасов, увели-
чением толщины каркасов):
3) применением диэлектриков с малым е;
4) заземлением выводного конпа внутреннего слоя
обмотки;
5) применением электростатических экранов (следу-
ет иметь в виду, что неверное подсоединение экрана
к концам обмотки может дать увеличение полной соб-
ственной емкости, поэтому каждый конкретный случай
использования экранов должен быть проанализирован
теоретически с помощью приведенных выше формул).
86
ГЛАВА 3
ПОСТОЯННЫЕ МАГНИТЫ
3.1. ОБЩИЕ ВОПРОСЫ. ОСНОВНЫЕ
ХАРАКТЕРИСТИКИ И ПАРАМЕТРЫ
В современной технике постоянные магниты находят
широкое применение. Наиболее часто они используются
в приборостроении и электроаппаратостроении, где раз-
нообразие требований и конструкций устройств влечет
за собой разнообразие форм исполнения магнитов и,
следовательно, разнообразие задач, стоящих перед про-
ектировщиками и исследователями.
Применительно к элементам цепей радиоэлектронной
аппаратуры расчет постоянных магнитов и магнитных
цепей, их содержащих, ограничен значительно более
узким кругом задач, которые и рассматриваются ниже.
Из большого числа методов, предлагаемых различ-
ными авторами, нами составлена и приведена такая
процедура расчета, которая является, по нашему мне-
нию, достаточно простой и удобной и может служить
для ориентировочных предварительных (или повероч-
ных) расчетов соответствующих систем с удовлетвори-
тельной для этих целей точностью.
Приведенные результаты могут, конечно, быть ис-
пользованы и несколько шире, например, для расчета
подмагничивания магнитострикционных элементов. Для
этих целей применяются как окончательные формулы,
так и теоретико-методические положения, изложенные
в настоящей главе. Вместе с тем, многие интересные и
важные случаи применения постоянных магнитов лежат
несколько в стороне от намеченного для данной книги
направления и требуют обращения к другим специаль-
ным источникам; это же относится к случаям, для ко-
торых получение удобных и достаточно точных расчет-
ных формул оказалось невозможным и необходим бо-
лее детальный и углубленный подход к вопросу.
В технике постоянные магниты используются Для
создания магнитного поля на внешнем по отношению
к магниту участке магнитной цепи. Такое их применение
и определяет тот факт, что и материалы для чзготов-
87
Лёйия постоянных магнйтоЁ и сами магниты характери-
зуются главным образом той частью петли гистерезиса,
которая лежит во втором квадранте (так называемая
кривая размагничивания). Этим же определяются основ-
ные величины, которые используются при оценке маг?
нита (рассмотрены ниже). К этим величинам, в первую
очередь, относится коэрцитивная сила Нс, остаточная
индукция Вг, магнитная энергия WU = BH и коэффи-
циент возврата рг.
На рис. 3.1 показаны характерные точки Вг и Нс,
кривая размагничивания (линия Вг—Нс во втором квад-
ранте) и кривая магнитной энергии (линия Вг—0 в пер-
вом квадранте).
Если постоянный магнит рассматривается вне маг-
нитной цепи, то для него рабочая точка, т. е. точка,
определяющая поток и м. д. с., находится на пересече-
нии кривой размагничивания и прямой, выходящей из
начала координат под углом а — точка А на рис. 3.1.
Величина этого угла зависит от размеров магнита и
в меньшей степени от материала, из которого он изго-
товлен. Зависимость имеет вид tga = m, где m=l/A^i;
определение Ni дано в § 1.4. Численные значения Ni
можно найти по графикам и таблицам § 1.4, а также по
рис. 3.2, где приведены данные для сплошных цилинд-
ров. При (l/d)<l и ц>10 можно (с точностью до 10 —
15%) пользоваться формулой
________1-(W____________
l/d
1 4. —?===- arccos (l/d)
Kl - (Z/rf)2
88
Для магнитов прямоугольного сечения можно поль-
зоваться графиком рис. 1.10 или приближенной полу-
эмпирической формулой
m = kl/ (а + Ь) + 1,
где а и b — стороны сечения; 6 = 3,7 + 0,71fl/b при
(а/&)>2; 6 = 4,6 при 1<^(а/6)<2.
Для магнитов в виде полых цилиндров
2V. = (ОД* [In (Z/D) —0,82],
где D0 = y~D2 — d2; D и d — наружный и внутрений диа-
метры цилиндра. При таком AZt получается приближен-
ное значение т (тем точнее, чем больше ц по сравне-
нию с т и чем больше отношение 1/D). Если ц недоста-
точно велико, ошибка уменьшается с уменьшением
1/D.
Можно также воспользоваться соотношением
тп==/Пс 1 — (d/£>)2 ’
где тп — значение т для полого цилиндра; тс — значе-
ние т для сплошного цилиндра.
На рис. 3.3 изображена приближенная зависимость
т от размеров подковообразного магнита, а на рис. 3.4—
от размеров звездообразного магнита.
Точки на кривой размагничивания, определяющие
состояние магнита только по его заданным размерам,
характеризуют возможности магнита при работе в сво-
бодном пространстве.
Если необходимо определить размеры магнита, ко-
торый может обеспечить (без помещения его в магнито-
провод) заданную индукцию, то из точки на кривой раз-
магничивания, соответствующей этой индукции, прово-
дится прямая в начало координат. Тангенс угла наклона
этой линии и кривые или таблицы зависимости т от
геометрических размеров магнита дают возможность
определить искомые размеры. Однако решение задачи
будет неоднозначным, поскольку величина т однознач-
но зависит не от размеров магнита, а от их отношения.
В § 3.2 рассмотрены задачи расчета постоянных маг-
нитов применительно к конкретным типам магнитопро-
водов, т. е. с какими-то ограничениями; эти ограничения
89
и устраняют неоднозначность решения, о которой упо-
миналось выше.
Следует особо отметить, что излагаемые в настоящей
главе методы и расчетные формулы для определения
характеристик постоянных магнитов относятся (в основ-
ном) к идеализированному случаю, когда предполагает-
ся, что магнитодвижущая сила сосредоточена в точеч-
ных полюсах на концах реального магнита, разность
магнитных потенциалов по длине его постоянна, а вы-
численная или заданная индукция (поток) является
интегральной и относится к нейтральному сечению маг-
нита.
Такие допущения в технической литературе делают-
ся весьма часто; применительно к элементам радиотех-
нических цепей, в которых обычно используются магни-
ты малых размеров, эти допущения вполне приемлемы.
Необходимо также иметь в виду, что результаты рас-
четов, выполненных и по более совершенной методике,
являются достаточно ориентировочными (из-за ряда ДО’
лущений о характере рассеяния, распределения м. д. с.
и т. д.) и в случае необходимости подлежат проверке и
уточнению путем макетирования.
Точки на кривой размагничивания характеризуют
работу магнита не только в тех случаях, когда рассма-
тривается уединенный магнит, но и тогда, когда намаг-
ничивание его осуществляется после сборки магнитной
системы. Если при этом расчет производится для цепи,
содержащей воздушный зазор, и падением магнитного
потенциала вдоль магнитопровода можно пренебречь,
то процедура расчета остается такой же как пля уеди-
ненного магнита. Рабочая точка определяется пересече-
нием кривой размагничивания и прямой, идущей из на-
чала координат под углом
ai = arctg(G/M/SM). (3.1)
Здесь G — Gs -ф- Gs -^kGSM\
1М и Sm — длина и площадь поперечного сечения посто-
янного магнита; Gs— проводимость воздушного зазо-
ра; Gs — проводимость рассеяния магнитопровода; GSM—
проводимость рассеяния магнита; k — коэффициент, за-
висящий от распределения магнитных потенциалов
вдоль магнита (в качестве первого приближения его
величину для стержневых магнитов можно принять рав-
ной 0,6).
На рис. 3.1 изображена рабочая точка Ai, получен-
ная построением при щ. Индукцию соответствующую
этой точке, можно представить как состоящую из двух
слагаемых: В{= Вь-\-В8, где — индукция, соответст-
вующая основному потоку, т. е. потоку через воздушный
зазор; Bs — индукция, соответствующая суммарному по-
току рассеяния.
Графически эти составляющие выражаются отрезками
B^ = AtD; Bs=zHtD, причем точка D образована пересече-
нием линии AJB. с прямой ОА, выходящей из начала
координат под углом
а = as — arctg [(G, -ф- kGsv)
Если постоянный магнит намагничивается вне цепи,
в которой он должен работать, или происходят какие-
либо изменения в условиях работы (изменение прово-
димости отдельных участков магнитопровода, появление
9!
Дополнительного источника м. д. с. и т. д.), то его со-
стояние, обеспечивающее магнитный режим цепи, опре-
деляется точками, лежащими на так называемой линии
возврата. Линия возврата является геометрическим ме-
стом точек состояния магнита при изменении от перво-
начального состояния на кривой размагничивания (точ-
ки отхода). Линия возврата, строго говоря, представляет
собой узкую петлю гистерезиса, которую в большинстве
случаев можно заменить прямой, тангенс угла наклона
которой (угол р) к оси абсцисс называется коэффици-
ентом возврата и характеризует свойства материала,
из которого изготовлен магнит.
Помимо петли гистерезиса, замененной линией воз-
врата, при практических расчетах обычно пренебрегают
зависимостью ц,- от положения точки отхода, т. е. от
индукции в магните, и принимают, что коэффициент
возврата определяется только материалом. Фактически
такая зависимость существует, но выражена она доволь-
но слабо, за исключением, может быть, областей вблизи
точек В,- и Нс. Расчет обычно ведут по некоторому сред-
нему значению; в таблицах чаще всего эго среднее зна-
чение приводится равным щ для точки, соответствующей
максимуму магнитной энергии (точка Ат на рис. 3.1).
Если первоначальная рабочая точка намагниченного
отдельно магнита (точка отхода) была А (рис. 3.1),
а затем он был помещен в магнитопровод, проводимость
которого характеризуется углом си, то рабочая точка
перемещается из А не в точку Ai по кривой размагни-
чивания, а в точку А2 по линии возврата, исходящей из
А под углом p = arctgpr.
Следует обратить внимание, что индукция и напря-
женность поля в точке Л2 будут меньше, чем в Ai (это
относится, очевидно, ко всем точкам линии возврата по
отношению к точкам кривой размагничивания, лежащим
на продолжениях соответствующих лучей); однако ино-
гда переход на линию возврата является предпочтитель-
ным даже в тех случаях, когда есть возможность рабо-
тать на кривой размагничивания. Это объясняется тем,
что на линии возврата зависимость между индукцией и
напряженностью поля линейна, а свойства магнита об-
ратимы, т. е. имеет место некоторая стабилизация ха-
рактеристик. Поэтому к переводу рабочей точки на ли-
нию возврата прибегают, в случае необходимости, с по-
мощью различных искусственных мер.
92
Геометрическое место рабочих точек системы с по-
стоянными магнитами, подвергнутой искусственному ста-
рению (стабилизации), также образует кривую, которую
иногда называют кривой вторичного размагничивания.
Если в магнитной системе с рабочей точкой Л2 про-
изошло изменение (например, увеличение) проводимо-
сти до состояния, характеризуемого углом ат, то новая
рабочая точка Л3 будет лежать на пересечении линии
возврата, проходящей через точку Л2, и луча, проведен-
ного из начала координат под углом аьг.
При наличии дополнительной м. д. с. все построения
аналогичны вышеописанным, но лучи под требуемыми
углами проводятся не из начала координат, а из точки
на оси абсцисс, соответствующей приложенной м. д. с.
с учетом знака.
Если нельзя пренебречь магнитным сопротивлением
отдельных участков магнитопровода, то рабочая точка
определяется как пересечение некоторой приведенной
основной кривой намагничивания (построенной с уче-
том потоков рассеяния) и кривой размагничивания или
линии возврата (точка Л4 или Л5 на рис. 3.1). Аналити-
ческое выражение для такой кривой намагничивания:
В=^пН,
где
+ (3.2)
Здесь Ri — магнитное сопротивление кто участка магни-
топровода.
В частном случае линия, описываемая выражением
для В, может оказаться прямой линией (при работе
в слабых полях, например), тогда формула для iin дает
значение тангенса угла наклона этой прямой (луча из
начала координат или из точки, соответствующей до-
полнительной м. д. с.).
Если магнит предназначен для создания потока
в магнитопроводе, не содержащем воздушного зазора,
то все рассуждения, приводящие к получению вышепри-
веденных расчетных формул для В и остаются спра-
ведливыми. При этом в окончательном выражении сле-
дует принять G6—>-оо, тогда
Нл =
(3.3)
93
Для ориентировки й табл. 3.1 приведены некоторые
усредненные характеристики материалов, наиболее ча-
сто используемых в отечественной промышленности для
изготовления постоянных магнитов.
Таблица 3.1
Материал вг, т //с- 10-зт А/м Коэффи- циент возврата, р.г.10в, Г/м Удельная внешняя энергия, Дж/м»
Ковкие стали (ти- па ЕХ) без кобальта 0,9—1 3,5—5 43—53 800— 1160
с кобальтом 0,8—0,9 7,9—13 14—26 1 550—2 500
Литые сплавы ти па: ЮНД 0,5—0,6 40—52 4,4—5,6 3 600—5 200
юндк 0,75—1,33 44—62 1,5—8,5 6 000—24 000
Металлокерамика типа: альни, альнико 0,55—0,7 24—44 5,4—7.8 3 400—5 600
магнико 1,0—1,15 44—50 4,2 11 700—13 200
Ферриты бариевые типа: БИ 0,19—0,21 120—136 1,4—1,5 3 000—3 600
БА 0,33—0,38 150—210 1,3 9 700—13 000
Металлопластиче 0,3-0,33 38—41 4,3—5,7 1 300—1 620
Ские материалы (ти- па альии и альиико) Сплавы с плати- 0,45—0,58 125—210 1,6—2,6 12 000—19 000
НОЙ 1
3.2. ЦЕПИ С ПОСТОЯННЫМИ МАГНИТАМИ
Методика расчета систем с постоянными магнитами,
основанная па применении формул § 3.1, обладает до-
статочно большой общностью. Ее использование возмож-
но во всех случаях, когда известны или могут быть
вычислены как с помощью описанных в литературе спо-
собов, так и с помощью формул § 4, или найдены путем
моделирования соответствующие проводимости рассея-
ния.
Ниже излагаются некоторые частные случаи расчета
магнитных цепей с постоянными магнитами, чаще дру-
гих встречающиеся при анализе радиоэлектронных це-
пей. Расчет магнитных систем, специфичных для радио-
электронных приборов (электровакуумные и СВЧ
94
устройства), в которых применяются главным образом
рогообразные, С-образные (одно- и двухсвязные), Ф-об-
разные системы с постоянными магнитами, отражен
в специальной литературе и в настоящей книге не рас-
-сматривается.
Прежде чем перейти к изложению задач расчета це-
пей с постоянными магнитами, необходимо отметить сле-
дующее обстоятельство. В на ’
стоящее время весьма широког
применение находят магнить,
изготовленные из материалов
с высокой коэрцитивной силой
(в частности, из бариевых
ферритов). Для таких мате-
риалов различие между коэр-
цитивной силой по индукции
и по намагниченности может
быть достаточно большим, и учет этого различия стано-
вится необходимым для устранения возможного допол-
нительного источника погрешностей.
Переход от характеристик по намагниченности к ха-
рактеристикам по индукции (а также обратный пере-
ход) может быть осуществлен графически (рис. 3.5).
Линия, соединяющая точки Вг и ВНС, получена из исход-
ной кривой I, проходящей через точки Вг и jHc, путем
следующего построения. Из начала координат проводит-
ся линия ОС под углом а к оси абсцисс, причем величи-
на этого угла определяется соотношением tga = po, где
цо — магнитная проницаемость вакуума. Затем находят-
ся ординаты линии II как разность между ординатами
линий I и ОС.
Задачи расчета цепей с постоянными магнитами рас-
падаются на две основные группы: определение магнит-
ного состояния (рабочей точки) элемента, содержащего
постоянный магнит с известными размерами, и опреде-
ление размеров постоянного магнита, обеспечивающего
необходимое магнитное состояние элемента.
Решение задач первой группы предполагает, разуме-
ется, знание геометрических и магнитных характеристик
всех элементов магнитной цепи. Поэтому величину ин-
дукции в нейтральном сечении магнита и свободную
напряженность поля можно найти описанным в § 3.1
графическим путем, используя формулы (3.1), (3.2) или
(3.3). Для определения индукции в тех или иных сече-
96
Ниях магнитопроводов в первом приближении можно
считать, что поток рассеяния является сосредоточенным,
и вычислять индукцию, исходя из основного потока (см.
формулы для Bi, Bs, as и относящийся к ним текст
в § 3.1). Найденные значения индукции однозначно опре-
деляют и распределение напряженности поля и магнит-
ную энергию.
Задачи второй группы можно разделить на две ос-
новные части: определение
чивающего необходимую
Рис 3.6.
размеров магнита, обеспе-
напряженность поля (или
индукцию) в элементе, и
определение размеров
магнита, обеспечиваю-
щего в элементе макси-
мальною энергию. Ре-
шение этих задач пред-
полагает известными
кривую размагничивания
и коэффициент возврата
для магнита, а также
геометрические и магнит-
ные характеристики
остальных частей магнит-
ной цепи. Строго говоря, точное знание размеров частей
магнитопровода невозможно до определения размеров
магнита, и задачи, таким образом, должны решаться ме-
тодом последовательных приближений.
Однако в практике расчета магнитов применительно
к элементам радиоэлектронных цепей почти не встре-
чается случаев, когда уточнение размеров магнита- су-
щественно повлияло бы на размеры частей магнитопро-
вода, первоначально заложенные в расчет. В дальней-
шем будет отмечено, каким образом это влияние могло
бы быть учтено в рамках предлагаемой методики.
Рассмотрим, прежде всего, решение задач об опре-
делении размеров магнита по заданному подмагничива-
нию элемента. Для этого также целесообразным являет-
ся графоаналитический метод, применение которого
иллюстрируется построением рис. 3.6. Сначала необхо-
димо ориентировочно выбрать пределы изменения иско-
мых размеров магнита, т. е. задаться несколькими ори-
ентировочными значениями отношения SM//M (или
/м/5м). Эта процедура не вызывает обычно никаких за-
труднений, так как, во-первых, вариации подлежит, как
96
правило, один какой-нибудь размер (например, длина
магнита для элемента, изображенного на рис. 3.7,а, или
сечение магнита для элемента, изображенного на рис.
3.7,5) при фиксированных других; во-вторых, пределы
изменения для определенно-
го вида элементов не очень
широки.
Затем, в соответствии
с формулой для tga (см.
§ 3.1), из начала координат
проводятся прямые, опре-
деляющие точки отхода для
б
предположительно выбран- Рис. 3 7.
ных (с некоторым шагом)
размеров магнита. На рис. 3.6 для примера построены
три линии, определяющие точки отхода а\, аг и а3. Из
полученных точек отхода строятся линии возврата
(й1Д1, и йзЛз).
Из начала координат в соответствии с формулами
(3.2) или (3.3) строятся линии для магнитной цепи в це-
лом с учетом выбранных размеров магнита и, если
потребуется, с учетом влияния этих размеров на разме-
ры других участков магнитопровода (линии Obi, 0&2,0&з).
Геометрическое место пересечения линий аА и 06
определяет рабочую характеристику элемента, т. е. ли-
нию перемещения рабочей точки при изменении разме-
ров магнита (штриховая линия). Если линия, соответст-
вующая заданному значению подмагничивания (напри-
мер, индукции Bi) и параллельная оси абсцисс,
проходит через точку пересечения линий аА и 0Ь, то раз-
меры магнита определяются непосредственно без допол-
нительных построений. В рассматриваемом примере эти-
ми размерами будут те, которые определили крутизну
прямой 0«i и точки кривой Обь
В более общем случае (например, для значения ин-
дукции В4) проводится прямая, параллельная оси абс-
цисс до пересечения с рабочей характеристикой (точка
4), и через точку пересечения проводится прямая под
углом, определяемым коэффициентом возврата, до пере-
сечения с кривой размагничивания (точка at). Угол на-
клона прямой 0а4 (угол а) определяет коэффициент раз-
магничивания и, тем самым, искомые размеры магнита.
Если намагничивание происходит после сборки маг-
нитной цепи, то процедура расчета значительно упроща-
97
ется, так как при этом рабочие точки располагаются
на кривой размагничивания и отпадает необходимость
в построении линий возврата.
Существенное упрощение получается также и в том
случае, если можно не учитывать нелинейности характе-
ристик магнитопровода (линий 06), так как при этом
кривые, которые должны быть построены по точкам,
заменяются прямыми, выходящими из начала коорди-
нат под соответствующи-
ми углами [см. формулу
(3-1)].
Повышение точности
расчета при учете зави-
симости щ от положения
рабочей точки (при этом
линии аА перестанут быть
параллельными) является
не очень существенным,
требует большой до-
полнительной работы
(главным образом, из-за отсутствия исчерпывающих
справочных данных) и потому едва ли может быть при-
знано целесообразным.
Переходя к рассмотрению второй части задач, сфор-
•мулируем ее следующим образом: найти такие размеры
магнита, которые обеспечивали бы максимум магнитной
энергии во внешней цепи. Если такая задача поставле-
на для уединенного магнита, то ее решение легко нахо-
дится построением кривой зависимости энергии от индук-
ции (см. правый квадрант рис. 3.1). Через точку Ат на
кривой размагничивания, соответствующую максимуму
магнитной энергии, проводится луч 0Ат. Угол наклона
этого луча ат к оси абсцисс определяет размеры магни-
та (точнее, отношение размеров). Если рабочие точки
магнита, работающего в составе магнитной цепи, рас-
положены на кривой размагничивания, то оптимальные
его размеры определяются так же, как и для уединенно-
го магнита, при условии, что рассеянием можно прене-
бречь.
В более общем случае следует выполнить вспомога-
тельное построение, показанное на рис. 3.8.
Из начала координат проводится луч (линия 1) под
углом к оси абсцисс, определяемым проводимостью рас-
сеяния. Причем, если речь идет об энергии, отдаваемой
98
магнитом во всю внешнюю цеПь, то наклон линии /
определяется рассеянием только самого магнита; если
необходимо учитывать энергию только основного потока,
то наклон линии I определяется общей проводимостью
рассеяния.
Далее строится кривая ВГН'С, т. е. кривая «полезного»
потока; ординаты этой кривой получаются как разность
ординат кривой размагничивания ВгНа и прямой Oai (ли-
нии /). Для кривой ВгН'с, так же, как и для исходной
кривой размагничивания, может быть вычислена и по-
строена зависимость Wm(B) —линия W' на рис. 3.8. Эта
линия имеет тот же характер, что и кривая W (исход-
ная), но является менее выпуклой; максимум ее обычно
лежит несколько ниже максимума кривой W (соответст-
венно точки А и А').
Точка максимума энергии А' для рассматриваемой
кривой потока ВГН'С определяет на ней точку а', которая,
в свою очередь, определяет рабочую точку а'т на исход-
ной кривой размагничивания. Точки а' и А' имеют оди-
наковые ординаты, т. е. относя 1ся к одному и тому же
значению индукции; точки а' и а'т имеют одну и ту же
абсциссу, т. е. относятся к одному и тому же значению
напряженности поля.
Искомые размеры магнита определяются углом на-
клона а линии, соединяющей точку а'т с началом коор-
динат (линия III).
Как видно из построения рис. 3.8, при учете рассея-
ния рабочая точка на кривой размагничивания выбира-
ется выше точки ат, соответствующей максимуму энер-
гии уединенного магнита.
При изложении методики расчета предполагалось,
что коэффициент рассеяния не меняется при изменении
размеров магнита в некоторых пределах; аналогичное
допущение будет сделано и далее. Отказ от этого пред-
положения приводит к необходимости прибегать к по-
следовательному приближению в рамках той же мето-
дики. Это имеет место, например, в тех случаях, когда
угол между линиями I и II (рис. 3.8) весьма велик.
Можно, однако, учесть зависимость проводимости
рассеяния магнита (и, если необходимо, рассеяния всей
внешней цепи) от положения рабочей точки на кривой
размагничивания в процессе построения линии I, кото-
рая при этом будет вогнутой кривой; немного изменит-
ся при этом и вид линии ВГН'С, главным образом, в ниж-
7* 99
ней части (не представляющей интереса Для практичё-1
ского использования). Во всем остальном процедура
расчета не меняется.
Аналогичная мегодика расчета может быть примене-
на также и при расположении рабочей точки на линии
возврата. При этом кривая «полезного» потока (аналог
линии ВгН'а на рис 3 8) получается вычитанием орди-
нат линии проводимости рассеяния из ординат линии
возврата. Точка отхода выбирается ориентировочно,
а весь расчет ведется методом последовательного при-
ближения.
Выполняемые построения хоть и весьма просты, но
довольно трудоемки. Поэтому, учитывая общую сравни-
тельно невысокую точность инженерных методов расче-
та цепей с постоянными магнитами, на основании накоп-
ленного опыта в литературе рекомендуется принять
оптимальные размеры магнита такими, чтобы они соот-
ветствовали точке на кривой размагничивания, располо-
женной на расстоянии (0—0,1) ниже точки а'т (рис 3 8).
Наибольшую трудоемкость при расчетах цепей с по-
стоянными магнитами представляет определение соот-
ветствующих проводимостей рассеяния. Поэтому для це-
пей, в которых можно не учитывать магнитное сопро-
тивление магнитопровода, в качестве первого приближе-
ния рекомендуется формула
G=kG^-\- xG's,
где О\ = 5й/8 — «полезная» проводимость зазора, опреде-
ляемая его рабочими поверхностями; S5 — площадь попе-
речного сечения зазора; 6 — длина зазора; GM —
= |щ(5м/^м)—проводимость рассеяния магнита; щг —
дифференциальная проницаемость материала магнита
в рабочей точке (численно может быть принята равной
коэффициенту возврата); х— эмпирический коэффици-
ент, величина которого для различных видов магнитных
цепей определена на основе статистической обработки
весьма большого числа устройств серийного изготовле-
ния (см. табл. 3.2)*\
Во всех остальных случаях для определения прово-
димостей приходится прибегать к рассмотрению возмож-
*> Формула для G и значения табл 3 2 заимствованы из книги
Арнольд Р. Р. Расчет и проектирование магнитных систем с по-
стоянными магнитами М, «Энергия», 1969
100
ных путей потока и к аппроксимации этих путей поверх-
ностями, позволяющими выполнить аналитический рас-
чет. Таким же образом получены формулы в гл 2 для
различных видов полюсов.
Таблица 3.2
Назначение магнитной системы
Для электроизмерительных приборов с
внешним магнитом
Для электроизмерительных приборов с
внутрирайонным магнитом
Для приборов для физических исследова-
ний (системы с большим весом и габаритами)
Для магнетронов
Для сравнительно небольших .громкогово-
рителей с индукцией приблизительно до 0,8 Т
(8000 Гс)
Для громкоговорителей с индукцией выше
0,8 Т
Для электродинамических микрофонов
Для стирающих магнитных головок с по-
стоянными магнитами
X
1,1—1.3
1,2—1.3
1,2—1,4
1,2—1,6
1,4—1,5
1,5—1.8
1,3—1.5
1,3—1,5
Иногда может встретиться случай, когда магнит со-
здает определенный поток в элементе, работая в то же
время как уединенный. Примером может служить эле-
мент, изображенный на
рис. 3.9.
Для расчета этой це-
пи, предполагая, что ма-
териал цилиндра облада-
ет достаточно большой
магнитной проницае-
N S
У 5
мостью, можно принять, Рис 3 9
что рабочая точка на кри-
вой размагничивания определяется коэффициентом раз-
магничивания, который имел бы магнит длиной, равной
сумме длин обоих магнитов (/М = Л + ^), и с тем же попе-
речным сечением. Учитывая изложенное, легко найти
индукцию или напряженность поля в ц линдре при за-
данных размерах магнита, а также решить обратную
задачу по методике, изложенной ранее для уединенных
магнитов.
101
Если наружные контуры магнита и цилиндра совпа-
дают, а материал магнита имеет низкую магнитную про-
ницаемость (например, если магниты изготовлены из
ферроксдюра), то можно воспользоваться приближен-
ными формулами
[Во (D^ — d2) . D — ОН 11ы
V “ 2НЫ ’ м D? - d?'
где Во — индукция в цилиндре; Нм — напряженность по-
ля на концах магнитов.
Если, кроме того, рабочий участок кривой размагни-
чивания аппроксимируется прямой линией, то можно
пользоваться соотношениями, связывающими размеры
магнита с индукцией в цилиндре через параметры маг-
нита:
1/;
_ 2H’cB’T(l^(D* — d*))
В'г + 2Нгс(ЫОг)
где So — поперечное сечение цилиндра; Н'с и В'т— точки
пересечения аппроксимирующей прямой с осями Н и В
соответственно (в частном случае Н'С=НС и В'Г=ВГ).
Применительно к элементам радиоэлектронных цепей
возможность использования энергии постоянного магни-
та для выполнения механической работы обычно инте-
реса не представляет. Однако может представлять инте-
рес вопрос о механической силе магнитного притяжения
при условии соприкосновения магнита с сердечником
элемента (с учетом арматуры). Эта сила может быть
вычислена по формуле
F = —B2S2M/S,
где В — индукция, соответствующая пересечению линии
возврата с осью В; S — площадь соприкосновения.
ГЛАВА 4
РАСШИРЕНИЕ ПРИМЕНИМОСТИ ПОЛУЧЕННЫХ
РЕЗУЛЬТАТОВ. РАСЧЕТ ЭЛЕКТРИЧЕСКИХ
СОПРОТИВЛЕНИЙ
4.1. РАСШИРЕНИЕ ПРИМЕНИМОСТИ
ПОЛУЧЕННЫХ РЕЗУЛЬТАТОВ
В связи с тем, что в объеме одной книги невозможно
предусмотреть все частные случаи, которые могут пред-
ставить практический интерес, целесообразно сделать
попытку распространения применимости полученных
результатов на более широкий класс задач. Это распро-
странение может осуществляться по двум направлениям:
во-первых, необходимо указать способ получения резуль-
татов для задач внутри одного класса элементов на
основе общих теоретических положений для этого клас-
са; во-вторых, необходимо показать связь между соотно-
шениями, полученными для одного и другого класса эле-
ментов.
Первое направление отражено в соответствующих
главах книги, относящихся к тем или иным классам эле-
ментов. Так, для вычисления индуктивности элементов,
не рассмотренных в качестве конкретных примеров, мо-
гут быть использованы теоретические положения § 1.1,
а также отдельные методические указания в соответст-
вующих параграфах гл. 1. Для вычисления емкости
в общем случае могут служить материалы гл. 5 и мето-
дические указания в некоторых параграфах гл. 2.
Второе направление отражает два пункта: 1) исполь-
зование формул, полученных для одного класса элемен-
тов, при расчете элементов другого класса; 2) расчет
характеристик элементов, изготовленных из гетероген-
ных материалов.
Аналогия, существующая в формах записи уравнений
электромагнитного поля для различных классов элемен-
тов цепей, находит свое отражение в общих формулах
для вычисления интересующих нас параметров.
Если записать с точностью до постоянного множите-
ля, зависящего от выбора единиц измерения, ряд формул
для элементов различного класса, то можно легко уви-
деть, какова должна быть процедура применения ре-
зультатов, полученных для элементов одного класса,
к элементам другого класса (аналогичной конфигура-
ЮЗ
ции). Например, индуктивность на 1 виток (магнитная
проводимость) GM=p,(S/Z);
емкость C=e(S//); (4.1)
проводимость (резистивная) G = o(S/l).
Каждая из этих формул может быть разделена на
два множителя, которые мы условно назовем физиче-
ским (ц, е, о) и геометрическим (S/1). Поэтому процеду-
ра перехода должна заключаться в разделении исходной
формулы на сомножители по тому же признаку и в уста-
новлении соответствующих связей для искомой зависи-
мости.
Отметим, что размерность геометрического множите-
ля во всех формулах (4.1) одна и та же, что указывает
на одинаковую зависимость от каких-то эффективных
(в общем случае) площадей и длин.
Пусть, например, требуется найти проводимость воз-
душного зазора в магнитопроводе, полюса которого име-
ют вид сплошных цилиндров, а обмотка зазора не пере-
крывает. Поскольку такая магнитная цепь в гл. 1 не рас-
смотрена, можно воспользоваться формулой для емкости
системы «полюс — полюс» применительно к рис. 2.7,а
(см. § 2.3). Эта формула имеет вид
C=^oS|_ + O,641n +
следовательно, на основе вышеизложенного, проводи-
мость воздушного зазора рассматриваемого магнитопро-
вода в этом случае будет описываться выражением
0. = ^ [^+0,64In 4(^+Ь)._|_ & 1
5 г 2а 1 ’ а 1 2 J
где величина b может быть приближенно принята рав-
ной длине свободной от обмотки части полюса. Из этого
же выражения легко найти и эквивалентную длину за-
зора.
Среди элементов радиоэлектронных цепей иногда
встречаются такие, у которых материал, главным обра-
зом определяющий свойства элемента (например, мате-
риал сердечника катушки индуктивности или диэлектрик
конденсатора), является неоднородным.
При этом на практике чаще всего встречаются два
случая:
1) неоднородность материала такова, что можно чет-
ко выделить его сложную структуру. Сюда относятся,
104
Например, многослойные конденсаторы. Поскольку, как
правило, компоненты (слои) в таких элементах распо-
лагаются либо вдоль силовых линий, либо перпендику-
лярно к ним, расчет сводится к рассмотрению последова-
тельно или параллельно соединенных элементов и может
быть легко выполнен по известной методике;
2) неоднородность материала такова, что компоненты
образуют некоторые ячеистые системы или смеси, в об-
щем случае — статистические. К ним можно отнести, на-
пример, магнитодиэлектрики.
Методика расчета таких элементов ничем не отлича-
ется от описанной в соответствующих параграфах на-
стоящей книги; следует лишь учесть, что в расчетные
формулы должны быть подставлены значения jx, е, а и
tg 6, которые зависят как от свойств отдельных компо-
нентов, так и от их количества (строго говоря, имеется
зависимость еще от характера взаимного расположения
частиц различных компоненгов).
Ниже приводятся приближенные формулы, которыми
можно пользоваться для определения характеристик не-
однородных сред, состоящих из двух компонентов. Вы-
ражения для у,, е и о являются совершенно идентичны-
ми, поэтому приводятся выражения только для е (см.
также формулы в § 2.1).
Если предположить, что диэлектрические проницае-
мости компонентов отличаются друг от друга существен-
но (сТрОГО ГОВОРЯ, при 61=1), то
__ I 1 ЗГ 2
• е2 + 2 е2 - 1 10/ ’
, — S2 — 1,31 V 1г
е2 — 1 е2+ 4/з а
где 62 и V2 — диэлектрическая проницаемость и объем
компонента с e2^>ei.
При малых концентрациях
_ 3 + (1 + 2Vs) (е2 — П
3+(1— V2) (е2 —1) ’
а при очень малых объемах Vj
_____________________ if (е2 — 1)
1 ' ег + 2 *
В последней формуле равенство ei = 1 необязательно.
Если предположить, что включения имеют форму,
близкую к сфере, то
(S/S1)V3 (1 _ У1) = (Si _ S)/(S2 _ 81); (4.2)
105
Нрй малых концентрациях
8 — 81 Зё] (б2 -Sj) У2/(б2 -j- 2sj).
Формула дает результат тем точнее, чем ближе друй
к другу значения ei и е2.
Для ориентированных в одном направлении эллип-
соидальных включений в формулу (4.2) вместо степени
1/3 следует подставлять Nj4n, (N — коэффициент размаг-
ничивания в направлении измерения).
В более общем случае произвольно ориентированных
включений
, 1
(1—V2) 3(1+0)Х
Г (2 ~~ Е) е + (1 + Р) е2 1 (1+р)^2-р) _ е»~е
L (2 - Р) е1 + (1 + ?) е2 j е2 -е1 ’
где p=(7Vi—Л^)/4л;; Л4 и N2— коэффициенты размагни-
чивания в направлении оси вращения эллипсоида и пер-
пендикулярно ей.
Широко применяется простая и удобная формула
Лихтенекера, дающая удовлетворительное совпадение
с экспериментом в случае равномерной мелкодисперсной
смеси при мало отличающихся свойствах компонентов:
ig8=v, ig s, + (i — v^igs,.
Формула дает результат тем точнее, чем ближе друг
к другу значения ei и ег и чем ближе Vi и V2 к предель-
ным значениям.
Для статистических смесей
s = а Д- +
(3V2 — 1) е2 (3V2 — 1)е2
при этом предположение о близости величин ej и е2 не-
обязательно.
Вводя комплексные диэлектрические проницаемости,
можно вычислить tg6 для гетерогенных материалов:
tg 8 = Im (г)/Re (s)
(о комплексной проницаемости см. § 1.8).
Все вышеприведенные формулы для определения е
гетерогенных материалов являются приближенными и
недостаточно универсальными. Однако в настоящее вре-
мя для инженерных расчетов рекомендовать другие до-
статочно простые и удобные соотношения не представ-
ляется возможным.
106
4.2. РАСЧЕТ ЭЛЕКТРИЧЕСКИХ СОПРОТИВЛЕНИЙ
В радиоэлектронных цепях обычно применяются
резисторы, серийно выпускаемые промышленностью; их
номинал, мощность и т. д. известны из паспортных дан-
ных. Исключение составляют иногда проволочные рези-
сторы, которые изготавливаются применительно к кон-
кретным устройствам для удовлетворения каких-нибудь
специальных требований (повышенной стабильности
и др.). Расчет сопротивлений проволочных резисторов
необходим также для определения добротности катушек
индуктивности. В настоящем параграфе рассматривается
расчет сопротивлений именно таких резисторов.
Кроме того, применительно к радиоэлектронным це-
пям интерес может представить определение сопротив-
лений утечек по объему или поверхности диэлектриков,
на которых электроды образованы какими-либо прово-
дящими деталями схемы. Расчет таких сопротивлений
легко выполняется на основании формул настоящей кни-
ги с учетом аналогии, отражаемой зависимостями (4.1).
Сопротивление проводника зависит от его удельного
сопротивления р, длины I и площади поперечного сече-
ния S:
J? = pl/S.
Все входящие в правую часть этой формулы величи-
ны, а следовательно, и само сопротивление зависят от
температуры. Учет этой зависимости обычно осуществля-
ется в первом приближении с помощью усредненного
температурного коэффициента а в соответствии с фор-
мулой
Rt= Ro (1 + aAf),
где Rz — сопротивление при данной температуре; Ro —
сопротивление при нормальной температуре (обычно при
20°C, реже — при 0°С), для которой приводятся исход-
ные данные; — перепад температур.
В табл. 4.1 приведены справочные данные, характе-
ризующие некоторые наиболее часто применяемые для
изготовления резисторов проводниковые материалы.
Диаметр провода связан с допустимой плотностью
тока, определяющей тепловой режим; если не требуется
строгого учета тепловыделения (см. гл. 6), то можно ори-
ентировочно принять для стабильных резисторов плот-
ность тока, равной 1—2 А/мм2, для прочих — равной 5—
107
10 А/мм2. Для резисторов из микропровода допускается
плотность тока 200—300 А/мм2.
Таблица 4.1
Материал р, Owmm’/m в, 1/-С
Медь 0,01754—0,0182 0,004
Серебро 0,01692 0,004
Алюминий 0,0295 0,0042
Манганин 0,42—0,48 + (5—30) -10"6
Константан 0,48—0,52 -(5-25). 10-е
Нихром 1,02—1,27 (100—200) -10-6
Фехраль 1,3—1,4 (60—120) - 10-е
При этом
d =
где d— искомый диаметр провода; I — рабочий ток; j—
допустимая плотность тока.
Длина провода связана с сопротивлением провода и
его диаметром соотношением
l = dzR/i,27р;
если известно сопротивление погонного метра провода
Д1, то
l=R/Ri.
Для резистора в виде катушки
£>н = 1,13 |/(ас1М//г) + Дг.,
где £>н и DB — наружный и внутренний диаметры обмот-
ки, см; du — диаметр провода в изоляции, мм; h — длина
обмотки, см; а — коэффициент неплотности, зависящий
от диаметра провода (см .табл. 4.2); / — длина прово-
да, м.
Таблица 4.2
Диаметр провода без изоляции, мм 0,12 0,15—0,25 0,35-0,41 0,51—0,93 >1,0
а 1,3 1,35 1,2 1,1 1,05
Число витков
Здесь D — в сантиметрах; I — в метрах.
108
Величина сопротивления, найденная по вышеприве-
денным формулам, относится к работе на постоянном
токе или на низких частотах. Переход к повышенным
частотам требует учета двух факторов; во-первых, с ро-
стом частоты увеличивается сопротивление провода за
счет поверхностного эффекта и эффекта близости; во-
вторых, на высоких частотах существенным становится
влияние индуктивности, собственной емкости и яиэлек-
трических потерь катушки.
Увеличение сопротивления провода на повышенных
частотах ввиду важности этого вопроса рассматривается
отдельно (см. § 4.3).
Уменьшение влияния реактивных составляющих до-
стигается путем применения каркасов специальной кон-
струкции и специальных способов намотки. Эти конст-
руктивно-технологические меры отражены в соответст-
вующей литературе. Ограничимся поэтому формулой для
определения индуктивности одной из наиболее часто при-
меняемых намоток — бифилярной:
Llar] = l[l+9,21g&ld-l)],
где / — длина провода, см; d — диаметр провода; т —
расстояние между осями проводов.
Индуктивность обычных резисторов, выполненных
проводом, намотанным на каркас, может быть вычисле-
на по формулам гл. 1; емкость и диэлектрические поте-
ри, влияющие на полное сопротивление резисторов, оп-
ределяются в соответствии с выражениями гл. 2.
4.3. СОПРОТИВЛЕНИЕ ПРОВОДНИКОВ
НА ПОВЫШЕННЫХ ЧАСТОТАХ
СОПРОТИВЛЕНИЕ ШИНЫ ПРЯМОУГОЛЬНОГО СЕЧЕНИЯ
п " I ( . 26 . . 26V ( ь 26 26\—1 „ 1
R~ = шГч (sh -k + Sltl k) (ch T - cos г) п₽и Y = 7 •
где 2b, 2h— размеры поперечного сечения шины (/i^>6);
k— (nypf)~1/2; p— магнитная проницаемость материала
шины; f — частота; I — длина шины (проводника).
109
СОПРОТИВЛЕНИЕ ШИНЫ ПРИ НАЛИЧИИ СОСЕДНЕЙ
Сопротивление шины прямоугольного сечения, вблизи
которой проходит такая же шина, но с током противо-
положного направления, будет равно
при условии, что расстояние между проводниками 2d
значительно меньше 2h.
СОПРОТИВЛЕНИЕ КРУГЛОГО ПРОВОДА
Для низких частот (г0<й)
р ____ Г1 ।_____L. (Го V •
1^48 k J ’
для высоких частот (г0>&)
г) ______ I Г 1 । г о I 3 й 1 ( 1 | Го \
" пт207 4 ' 1k '32 го j ~ rcr20f у 4 'Ik j
где го — радиус проводника.
СОПРОТИВЛЕНИЕ КРУГЛОГО ПРОВОДА
ПРИ НАЛИЧИИ СОСЕДНЕГО
Для низких частот (г0<&)
р __
для высоких частот (r0^>k)
~ Irtr^k J^2—-Г()2
где А== 1 -|- 12(r0/d)’-|-2(r0M)*-|-...;
d— расстояние между проводами.
Максимальное увеличение сопротивления проводни-
ка будет при соприкосновении обоих проводников (d—
= 2г0). При этом Я =4,136.
Следует отметить, что степень увеличения сопротив-
ления проводника не зависит от направления тока в со-
седнем проводнике. При этом будет наблюдаться лишь
различный характер вытеснения тока: при одинаковом
направлении токов наибольшая плотность тока будет
НО
наблюдаться в точках сечения проводников, наиболее
удаленных друг от друга, а при различных — в наиболее
близко расположенных точках.
СОПРОТИВЛЕНИЕ многожильного КРУГЛОГО ПРОВОДА
R __
где го — радиус провода; г а — радиус отдельной жилы;
йз = Аг(г(г/го)2 — коэффициент заполнения; N — число жил;
1 / rd \* .
д [т)
-Т—Т (rd>k).
СОПРОТИВЛЕНИЕ ПРОВОДНИКА С ПОПЕРЕЧНЫМ
СЕЧЕНИЕМ ПРОИЗВОЛЬНОЙ ФОРМЫ
При достаточно высоких частотах, т. е. когда наи-
меньший габаритный размер поперечного сечения про-
водника ГМин>2^, может быть использована следующая
приближенная формула:
где S — сечение проводника; D — длина контура сечения;
Ro — сопротивление постоянному току.
СОПРОТИВЛЕНИЕ ПРЯМОУГОЛЬНОГО ПРОВОДНИКА,
РАСПОЛОЖЕННОГО В ПАЗУ
где b — ширина паза; h — высота проводника;
F = lh^k'
3 U+*M(W (h<k'Y,
k' — l/ b '
~ F ’
61 — ширина проводника.
Ill
Сопротивление обмотки различного выполнения
а) одножильным проводом
r-=«-[%+Cw)’ d:
б) литцендратом
в) ленточным проводником
R.=R,[x + (^! г],
где
У =
[ 1 (г<2);
l0,352z + 0,28 (z>[2);
z*/64 (z<l);
0,185z —0,17
0,177z — 0,13
(1<X<5);
(z>.5);
z = d У/ f /3, (d — [mm]; f ~ [кГц]);
c = 1,95 (A/ — 1 )/(tf — 0,477);
D — наружный диаметр катушки, см; d—диаметр голого
провода, одной жилы литцендрата или толщина ленты,
см; d0 — наружный диаметр
литцендрата (без изоля-
ции), см; w — число витков;
W— число жил литцендра-
та; kc — коэффициент по
рис. 4.1 в зависимости от
параметров bjD и h/D-, b,
h — толщина и высота (или
ширина ленты) намотки,
см; пг — число слоев ленты;
g — степень разрядки вит-
ков, равная g—ajd (для
одножильного провода),
g=alda (для литцендра-
та); а —расстояние между осями соседних витков.
Следует отметить, что для сильноточных систем ис-
пользуются обмотки, в которых отдельные витки выпол-
нены несколькими проводниками, соединенными парал-
лельно. С точки зрения уменьшения влияния частоты
112
йа сопротивление, выгодно соединять параллельно витки,
расположенные в разных слоях Однако при этом следу-
ет иметь в виду, чго возможно появление больших по-
терь, обусловленных уравнительными токами.
Наличие магнитопровода также приводит к увеличе-
нию сопротивления обмотки:
Kfhd^w2
3k
гс/р. hdw2
Т Ыс
>4
где h, d — размеры сечения магнитопровода; ц— магнит-
ная проницаемость магнитопровода; lc, 2 b— длина сред-
ней линии и толщина листов магнитопровода.
Для ориентировочных расчетов наиболее часто при-
меняемых медных проводников можно пользоваться сле-
дующими приближенными формулами:
для круглого сечения
= 83,2 (]/f”
для прямоугольного сечения
R'~ = 1,3[а/Г/(а-Р)]-10-’,
—сопротивление одного погонного метра, Ом; f —
частота, М|Гц; с? —диаметр провода, см; а и b — размеры
сечения провода, см; а — коэффициент, величина которо-
го приближенно равна
11,32 (1<а/&<4);
} 1,35ехр [5,4-10-3 (а/Ь— 4)] (afb^-4).
Если провод изготовлен из других материалов, то
в формулы для определения необходимо ввести по-
правочный множитель Y р/рм (р — удельное сопротивле-
ние материала провода; рм—удельное сопротивление ме-
ди); этими же соотношениями можно пользоваться для
проводников, покрытых слоем другого металла.
Приведенные приближенные формулы относятся к не-
магнитным прямолинейным проводникам при условии
х«й,
где х'== 0,5 V?IJ (X— [мм], р — [Ом-мм’/м], f — [МГц]);
h — минимальный размер поперечного сечения рассматри-
ваемого проводника или покрытия.
8—316 113
t Л A t A i
ПОТЕНЦИАЛЬНЫЕ ПОЛЯ И ЭКРАНИРОВАНИЕ
5.1. КРАТКИЕ СВЕДЕНИЯ ОБ ОСНОВНЫХ
МЕТОДАХ РАСЧЕТА ПОТЕНЦИАЛЬНЫХ ПОЛЕЙ
В качестве основной характеристики стационарного
поля обычно используется потенциал U, т. е. функция,
удовлетворяющая уравнению
\U=—qlk, (5.1)
где А — оператор Лапласа; q — плотность источников
поля; k — физическая константа, характеризующая при-
роду рассматриваемого поля (для электростатического
поля, например, k соответствует диэлектрической прони-
цаемости, для температурного — коэффициенту тепло-
проводности и т. д.).
Если потенциал поля определяется в области, где
нет источников, т. е. 7=0, уравнение (5.1) принимает
вид
ДЦ=0. (5.2)
Задача расчета поля сводится к определению потен-
циальной функции при заданных граничных условиях,
т. е. заданных значениях потенциала, градиента потен-
циала или их комбинации на границах области, в кото-
рой определяется поле. Различают три основных рода
граничных условий, т. е. задания на границе рассматри-
ваемой области закона распределения: а) потенциала
(задача Дирихле, условия 1-го рода); б) нормальной со-
ставляющей потенциала (задача Неймана, условия 2-го
рода); в) линейной комбинации потенциала и его нор-
мальной производной (условия 3-го рода).
Следует отметить, что возможность получения наибо-
лее простого пути решения задачи, связанной с расче-
том поля, во многом зависит от выбора системы коор-
динат и метода определения потенциала.
В настоящем справочнике авторы не ставили себе
целью подробно изложить основы приведенных ниже ме-
тодов расчета полей. Указаны лишь сущность методов
и границы их применения. В списке литературы к дан-
ной главе приводятся работы, в которых читатель мо-
114
жет найти необходимые сведения по каждому из ука-
занных методов.
Метод разделения переменных. Основан на представ-
лении решения уравнения (5.2) в виде произведения
функций, каждая из которых зависит только от одной
переменной. Применение метода ограничивается необхо-
димостью удовлетворения нулевым граничным условиям
хотя бы по одной переменной.
Метод Г. А. Гринберга применяется для случая нену-
левых граничных условий. При этом решение отыскива-
ется, как и в методе разделения переменных, в виде ря-
да по собственным функциям соответствующей задачи
с нулевыми граничными условиями, но коэффициенты
при каждой собственной функции определяются методом
конечных интегральных преобразований (см. ниже).
Метод комплексного потенциала. Область применения
метода ограничивается расчетом плоскопараллельных
полей, удовлетворяющих уравнению (5.2). Идея метода
заключается в преобразовании сложных форм гранич-
ных поверхностей в более простые, для которых реше-
ние может быть найдено относительно легко. Указанное
преобразование областей производится с помощью аппа-
рата теории функций комплексного переменного. Основ-
ная трудность, с которой обычно встречаются при поль-
зовании этим методом, заключается в том, что отобра-
жающая функция (т. е. функция, осуществляющая
преобразование исходной области в расчетную) обычно
оказывается достаточно сложной, и окончательное реше-
ние не удается выразить в замкнутой форме.
Метод непосредственного определения напряженности
поля. В основе этого метода лежит предварительное оты-
скание функции у, представляющей собой угол, образуе-
мый вектором напряженности поля и одной из коорди-
натных осей. Функция у в случае плоской задачи, кото-
рая решается в прямоугольной системе координат, удов-
летворяет уравнению Лапласа. При этом граничные
условия для у являются однотипными, что также служит
известным упрощающим фактором для решения задачи.
Связь между функцией у и напряженностью поля выра-
жается соотношениями
д-( (*. У) д . Р1
дх ~~ ду П ’
^фтМ = __^1цЕ.
ду дх
115
Метод зеркальных изображений оказывается полезным
в тех случаях, когда границами поля являются плоские
или цилиндрические поверхности. Сущность метода за-
ключается в замене влияния границы на исследуемое
поле дополнительной системой зарядов (или токов, в за-
висимости от рода рассматриваемой задачи). При этом
место расположения зарядов (токов), их величина и ха-
рактеристика среды определяются граничными усло-
виями.
Метод Грина основан на отыскании некоторой вспо-
могательной функции (называемой также функцией Гри-
на), по которой в дальнейшем определяется физический
потенциал искомого поля. При этом нахождение указан-
ной вспомогательной функции, как правило, представля-
ет собой значительно более простую задачу, чем опреде-
ление потенциала. Задача определения функции Грина
всегда совпадает с определением поля точечного источ-
ника, расположенного внутри рассматриваемой области
при нулевых граничных условиях.
Метод применим только для однотипных граничных
условий.
Метод интегральных преобразований заключается
в интегральном преобразовании исходного дифференци-
ального уравнения в частных производных, которое оп-
ределяет потенциал таким образом, что в результате оно
переходит в обыкновенное дифференциальное уравнение,
которое решается значительно проще. Окончательное
решение получается обратным преобразованием с по-
мощью так называемых формул обращения. Наиболее
часто применяемыми для расчета полей типами инте-
гральных преобразований являются преобразования
Фурье и Ханкеля. При этом преобразование Фурье ис-
пользуется для плоских задач в прямоугольной системе
координат, а преобразование Ханкеля — для цилиндри-
ческой системы. Необходимым условием применения
указанных преобразований для расчета полей является
наличие бесконечно протяженной граничной поверхности,
совпадающей с координатной поверхностью, и однород-
ность граничных условий.
Для неоднородных граничных условий, заданных
бесконечно протяженной границе, достаточно эффектив-
но может быть использован метод парных интегральных
уравнений.
116
В последующих параграфах настоящей главы даются
готовые формулы для расчета поля различных форм
электродов. В отдельных случаях читатель может само-
стоятельно получить интересующие его зависимости с по-
мощью одного из перечисленных выше методов, выбран-
ного в соответствии с конкретными условиями задачи.
В силу известной аналогии между электрическими и
магнитными полями всегда возможен переход от харак-
теристик, определяющих поле одной физической приро-
ды, к характеристикам поля другой. Иначе говоря, мож-
но использовать выражения, определяющие электриче-
ское поле, для расчета магнитных полей и наоборот.
При этом, очевидно, необходимо, чтобы геометрическая
конфигурация обеих систем была одинаковой. Тогда пе-
реход от одной характеристики к другой осуществляется
простой заменой ц на е и соответствующих разностей
потенциалов.
5.2. ПОЛЕ НА РАЗЛИЧНЫХ РАССТОЯНИЯХ
ОТ ИСТОЧНИКОВ
В большинстве практических задач исследователя
интересует определение поля не во всем пространстве,
окружающем источники, а только в ограниченной кон-
кретной области. Это обстоятельство значительно упро-
щает расчет без большой потери точности.
В свете сказанного все задачи, связанные с расчетом
поля, в основном можно разделить на два класса:
1) расчеты, целью которых является определение
поля в непосредственной близости к поверхности источ-
ников;
2) расчеты, целью которых является определение
поля в области, достаточно удаленной от источников.
Первая задача возникает, например, при расчете до-
пустимых пробивных напряжений, нахождении условий,
исключающих появление короны, при выборе изоляцион-
ных расстояний и т. д.
Вторая задача связана, например, с оценкой степени
влияния одного элемента аппаратуры на соседние, с вы-
числением величин наводок и др.
ПОЛЕ НА ЗНАЧИТЕЛЬНОМ УДАЛЕНИИ ОТ ИСТОЧНИКОВ
Потенциал электрического поля проводника произ-
вольной формы на растоянии от его центра, большем
117
или равным его основному габаритному размеру, при-
ближенно может быть принят равным потенциалу точеч-
ного (или линейного в случае плоского поля) источника.
При этом максимальная погрешность не превышает 8%.
Это же положение можно отнести и к градиенту потен-
циала (т. е. напряженности поля). Однако в последнем
случае максимальная погрешность увеличивается
до 12%.
Потенциал U и напряженность поля Е точечного и
линейного источников определяются соответственно по
формулам
U = -^— и Е = -Л-
U = н—lnr и E = ^- (г >Г),
2ite 2ner ' '
где q — заряд электрода; т — заряд на единицу длины;
е — диэлектрическая проницаемость среды; г — расстоя-
ние от точки наблюдения до центра электрода; Г — наи-
больший габаритный размер электрода.
Отсюда вытекают два следствия.
1. Поле системы одинаково заряженных проводников
может быть определено как поле точечного (линейного)
заряда, если, во-первых, заряд этот равен сумме заря-
дов всех проводников, входящих в систему, и, во-вторых,
расстояние от центра системы до рассматриваемой точки
превышает или равно наибольшему размеру системы.
2. Поле системы произвольно заряженных проводни-
ков в точках, находящихся вне области, границы кото-
рой отстоят от центров проводников на расстояния, пре-
вышающие их наибольший размер (или равные ему),
может быть определено как поле соответствующих то-
чечных (линейных) зарядов.
Поскольку в практических задачах обычно задается
потенциал проводника и, а не заряд q, последний может
быть найден через известную величину емкости провод-
ника С (см. гл. 2): q = CU.
Аналогичные выводы относятся и к магнитному по-
лю, которое создается током, протекающим по катушке.
Магнитное поле катушки с током на расстоянии от ее
центра, равном или превышающем наибольший габарит-
ный размер катушки, совпадает с полем среднего витка,
по которому протекает полный ток (Iw):
118
и_______ Мт (р2 — izz} .
’ 4р.0гсг5 ’
Н = — -г^р (г > Г),
Р 4пр.0г5 ' '
где Мт = — магнитная проницаемость возду-
ха, равная 4п-10"’_Г/м; I — ток, протекающий по виткам
катушки; w — число витков; </? — радиус среднего витка;
z=r3(7?2+r2)~3/2; р, z — радиальная и осевая координаты;
По приведенным формулам может быть рассчитано
поле обмоток, расположенных на шихтованных и ленточ-
ных магнитопроводах. Это объясняется тем, что влия-
ние поля, возбуждаемого вихревыми токами, мало и
практически может не учитываться.
При расположении обмоток на сплошных магнито-
проводах (например, на магнитопроводах из феррита)
внешнее поле ослабляется действием вихревых токов и
при очень больших частотах становится достаточно сла-
бым; для этих систем поле определяется по формуле
н f 1 !____________2 \
it V г \r-Rir + R I + (г + R) J
где ц,— абсолютная магнитная проницаемость магнито-
провода.
При наличии нескольких обмоток результирующее
поле находится как сумма полей отдельных эквивалент-
ных витков с учетом направлений и величины токов
в каждом из них и фазовых соотношений.
ПОЛЕ ВБЛИЗИ ПОВЕРХНОСТИ ИСТОЧНИКОВ
Оценка величины поля в интересующей точке поверх-
ности источника может быть выполнена на основе сле-
дующих соображений:
а) если в данной точке поверхность имеет два край-
них значения радиуса кривизны (₽Мин — минимальный и
/?маКс— максимальный), то напряженность поля в этой
точке будет меньше, чем на трехосном вписанном эллип-
соиде, касающемся заданного электрода в рассматривае-
мой точке, и больше, чем на сфере, имеющей объем, рав-
ный объему электрода (при условии, что потенциалы
всех трех электродов равны одной и той же величине).
119
Таблица 5 1
Наименование системы
Вид системы
Формула для определения Е на острой кромке
Цилиндр против пло-
скости
Цилиндр в цилиндре
Полукруглое ребро на
плоскости
„ 2£/0
Е = —
ПолуЭллиптическое
ребро на плоскости
Продолжение табл. 5.1
Наименование системы
Гиперболическое ребро
Формула для определения Е на острой кромке
nVdR
Острый угол величи-
ной а
£ = (1,26)? где и =-?/(! + ?); ? = а/п
Многожильный ^про-
вод с 5 числом жил бо-
лее 10
По
£ = 1,41 г In (d/г)
Продолженш' табл. 5.1
Наименование системы
Вид системы
Формула для определения Е на острой кромке
Плоское тонкое ребро
£=1,11
VdR
[si пну
nY (1 — Y)
Прямой угол против
плоскости
£ = 1,12L7„
[sinrey "I
«Y (i — 7) J
1/2 1
Ребро против пло-
скости
z/„ 17£2 (й)
™ k = 2 (1 + eW
£ (k] — эллиптический интеграл 2-го рода
П родолжение табл. 5.1
Наименование системы
Ребро против пло-
скости
Вид системы
Формула для определения Е на острой кромке
Uo 1 , Л , 1 •
£-ь96 гд Met = ll+d •
_ |Л j _ #>; K(k)—полный эллиптический интеграл 1-го
рода
Пластина против пло-
скости
f По Г1 11 л. 0,12 1
£=7sfl,,11+ wrf)0,7t-l
при (b/d) >0,05
Продолжение табл. 5.1
Наименование системы
Вид системы
Формула для определения Е на острой кромке
ко
сл
Пластина против угла
Цилиндрический вы-
ступ на плоскости против
плоскости
Сфера
Сфера против пло-
скости
где тг = 1,86
£ = 0-76vWlZ,n2 + I’
/ D \1.6
при 0 sg j
Т777Т7
£-^-i
& = А I/
h h
1 + a ~2d
при 0,5 <h/d
£ = £»/£
£
б) если вокруг рассматриваемой поверхности описана
другая поверхность (причем последняя имеет с исходной
общие точки касания), то в точках касания напряжен-
ность поля на описанной поверхности будет меньше, чем
в тех же точках на исходной поверхности;
в) если в рассматриваемой точке поверхности про-
водника степень неоднородности поля x\ = dE!dr, то на
сфере, имеющей то же значение степени неоднородности
поля, напряженность поля будет меньше, чем на исход-
ной поверхности;
г) если на бесконечно протяженной цилиндрической
поверхности радиуса R задано распределение потен-
циала U(z), то величина нормальной составляющей на-
пряженности поля на этой поверхности будет равна
Er(R, z) ^Era+U(z)/2R,
где Ет — нормальная составляющая напряженности по-
ля плоской системы, для которой задано такое же рас-
пределение потенциала U(г) на бесконечной плоской
границе (см. § 5.3).
Помимо указанных приемов расчета и оценки поля
могут быть использованы формулы для вычисления на-
пряженности поля некоторых конкретных систем, кото-
рые приведены в табл. 5.1.
5.3. ОПРЕДЕЛЕНИЕ ПОЛЯ ПО ЗАДАННОМУ
РАСПРЕДЕЛЕНИЮ ПОТЕНЦИАЛА
В некоторых частных случаях задания закона рас-
пределения потенциала на граничных поверхностях
определение потенциала поля во всем пространстве,
окружающем источник, может быть выполнено непосред-
ственно с помощью соответствующих формул.
ПОТЕНЦИАЛ ЗАДАН НА ПЛОСКОСТИ
Если известен закон распределения потенциала U0(x)
на плоскости (г/ = 0) в прямоугольной системе координат,
то потенциал во всем окружающем пространстве будет
определяться выражением
+ 0О
127
ПОТЕНЦИАЛ ЗАДАН НА ПОВЕРХНОСТИ ЦИЛИНДРА
Если задан закон распределения потенциала как
функция угла U0(R, <р) (в полярной системе координат)
на поверхности цилиндра радиусом R, бесконечно протя-
женного в осевом направлении, то потенциал поля вне
(г>7?) и внутри (r<R) цилиндра определится как
—2;_ J r2__2flrCos(| —+ V
--TC
—It
потенциал задан на поверхности
ПРЯМОУГОЛЬНОГО КАНАЛА
Если потенциал на поверхности прямоугольного кана-
ла бесконечной длины, которая образована границами
0<тДу<тй., задан в виде
<Ж=о=?о (у);
U\x=a = Ъ (у) (0<у<й);
^\у=г> — фо (х); и[у=ь—- ф1 (х) (0 < х й),
то потенциал внутри канала определится как
У(лг,) = 4-5
Л=1
ь
, k~ (а —х) Г z \ * k~ti j ।
sh —% (у) sin dy 4-
6
+ sh^f?I(y)sin^ dy
1 b J г '>;7/ b v sh (kna/b)
co г a
+45 sh^=^p0(x)sin^-dx4-sh^X
fe=ll 0
X J (x) sin
Q
sin(fatx/a)
sh (M/a)' ’
123
ПОТЕНЦИАЛ ЗАДАН НА ОСИ
Если в цилиндрической системе координат задан за-
кон распределения потенциала U0(z, г=0) по оси г, то
потенциал во всем окружающем пространстве опреде-
лится как
2к
U (г, г) = J U„ (г -|- jr sin 0) d0.
о
ПОТЕНЦИАЛ ЗАДАН НА СФЕРЕ
Если задан закон распределения потенциала £7в(0),
на сфере радиусом R как функция угла 0, где О^0<;л,
то потенциал вне и внутри сферы определится по фор-
мулам
J и. (0) Рт (cos 6) sin 6 d0 X
О J
C7(r, 6) =
У U» (0) Pm (cos 0) sin 0 d 0
0
X^y/’m(COS0) (Г<£),
где Pm(cos0)—функция Лежандра
5.4. ПОЛЯ НЕКОТОРЫХ КОНКРЕТНЫХ СИСТЕМ
Ниже приводятся выражения для определения элек-
трических и магнитных полей конкретных систем, кото-
рые могут быть полезны при соответствующих расчетах
различных устройств радиоэлектронной аппаратуры. При
этом, с целью предоставления читателю наиболее про-
стых формул для практических расчетов, в одних случаях
даются формулы для потенциала, а в других — для на-
пряженности поля (градиента потенциала) или ее со-
ставляющих по осям координат. При необходимости пе-
129
реход от одной характеристики поля к другой может
быть осуществлен по следующим известным формулам:
Е = —U= — { Е dn,
an |
где dU/dn — производная потенциала по заданному на-
правлению.
МАГНИТНОЕ ПОЛЕ ВИТКА С ТОКОМ
Магнитное поле витка радиусом R, по которому про-
текает ток I, определяется выражениями:
"'=s- rnrfws -к4
н'=+(*>]•
где К(&) и Е(й) — полные эллиптические интегралы 1-го
и 2-го родов с модулем
2 07
r)=4- Z2 *
К(&) и Е(&) находятся по таблицам или по следующим
приближенным формулам:
K/mJW') (А <0,75);
Л ' Ь/(1 + /F)2 (k < 0,99);
с/м (1,57 — 0,56^;
Е (k) = {
4 ' Ь(14-А')/4 (А<0,9),
где k' = )/1 — А2.
МАГНИТНОЕ ПОЛЕ ПРОВОДА
Н=1/2пг.
МАГНИТНОЕ ПОЛЕ ПРЯМОУГОЛЬНОЙ ШИНЫ (рис. 5.1)
[(у+*т-м-(у-№-м+
-J-(x4~o)ln —(х — d) in
J30
Ну\=
--[ (•* 4~ °) — М — ”Ь
опии I
+ (у + Ь)1п^--(у-&)1п^-].
Рис. 5.1.
В частном случае, когда а < b (г*= г3; г,= гг; 6»= 6«;
61 = 62), 2а, 2Ь — стороны сечения,
Г1 * /ко
МАГНИТНОЕ ПОЛЕ СОЛЕНОИДА КОНЕЧНОЙ ДЛИНЫ
Векторный потенциал соленоида длиной 2с и радиу-
сом R с числом витков w, ось которого совпадает с осью
г цилиндрической системы координат, в области r^R
определяется выражением
00
А cos и sin Хс dx
Ч КС \ К
о
где Л(Д/?), Ki(V)—модифицированные функции Бес-
селя.
ЭЛЕКТРИЧЕСКОЕ ПОЛЕ ЗАРЯЖЕННОГО КРУГОВОГО ВИТКА
Если круговой виток радиусом А? имеет заряд q, то
потенциал его поля будет равен
т=0,2,4,.,.
х 11:.4.б'.!?И~1) fln(cosO) (г>R);
9*
131
00
4r.s# /_J ' \ R )
m=u,2,4, ...
где 6 — угол между г и осью витка; г — расстояние от
рассматриваемой точки до центра витка; Рт — полином
Лежандра.
ЭЛЕКТРИЧЕСКОЕ ПОЛЕ ЗАРЯЖЕННОЙ ИГЛЫ
U — in Кг3 + + г)2 + + г t
4пе Кг3 + (й — z)3 — й + z
где 2/г — длина иглы.
ЭЛЕКТРИЧЕСКОЕ ПОЛЕ ЗАРЯЖЕННОГО ДИСКА (рис. 5.2)
и = arct8
" |/ г3 — й3 + / (г3 — Я3)3 + 4P3z3
ПОЛЕ ДВУХ КОМПЛАНАРНЫХ ПЛАСТИН КОНЕЧНОЙ
ШИРИНЫ
Е____________________Д оЬ__________________
к (й) ^[(а + х)3 + Р2] [(« — X)3 + Р3] [(6 — х)3 +
+ р2] [(& + х)3 +г/3] •
где 2U0— разность потенциалов между пластинами; 2а
и 2Ь — расстояния между ближними и дальними краями
пластин; К(&)—полный эллиптический интеграл 1-го
рода с модулем а/Ь.
При а = Ь пластины переходят в два бесконечных тон-
ких провода (двухпроводную линию)
£ __ х________________________1
2rte /х2 _|_ г,2 ’
где т — заряд, приходящийся на единицу длины
провода.
132
ПОЛЕ ДВУХ ПОЛУБЕСКОНЕЧНЫХ ПЛАСТИН (рйс. §.3)
£_________У_«_____, ____________J____________
arcsin[(a — d)/a] [(х — а)г + г/2] [(х + «р + гр] ’
где 2U0 — разность потенциалов между точками х =
= ± (а—d).
2d
(Г
2а
х
Рис. 5.3.
ПОЛЕ ДВУХ ПОЛУБЕСКОНЕЧНЫХ ИГЛ (рис. 5.3)
4/о
V 2 1п(2д —d)/d
]//[(х + ау+уг] [(х —др + У2] + х2 — «3 + У2 ,
У + «)2 + J/2] [(X —ау + уг]
где 2Uq — разность потенциалов между точками х==
= ± (я—с/).
ПОЛЕ ПЛАСТИНЫ
Электрическое поле бесконечно протяженной пласти-
ны с линейно распределенным по ее ширине потенциа-
лом U=Umx/a определяется выражением (рис. 5.4):
Vmx
U (х, у) = ——-
_______________________иУ 2______________________
К У[(х + а)‘ + y2]L(x — а)2 + У2! + У2 — Xs +а‘
К/цх + а)2 + y'htx — a)1 + У2] — У2 + х2—аа
хУТ
Примечание. Оба равенства равносильны. По пер-
вому удобнее производить вычисления при у->о° и х->0,
по второму—при у->0 и Х->оо.
133
Частные значения для напряженности поля
Л
Рис. 5.4.
О'
2а
Если пластина эквипотенциальна, то напряженность
поля определяется по формуле
Е =-----— ----------
f[{x 4- а)а +i/2] [(х — Л)2 4-^2]
В частном случае при а->0 (когда пластина превра-
щается в линейный провод)
2пе Кха 4- (/2
ПОЛЕ МЕЖДУ ДВУМЯ УСЕЧЕННЫМИ КОНУСАМИ (рис. 5.5)
р _______2^6<?_______1 (г П\.
г 1пЦ2с—а)/а] c^ — z^ V—'Ч-
р ____________________' /-__п\
r In [(2с — a)'a] 1 Л
134
ПОЛЕ ВНУТРИ ЦИЛИНДРА КОНЕЧНЫХ РАЗМЕРОВ
(рис. 5.6)
При t/j = L,3=0;
i j ir VI *________/о ((26 — 1) nr/A] чу
l ’ л 7j 26-1 Z0[(26-l)^/A] A
4=1
x , . (26 — 1) яг
X sm -----j2—;
при = 0; t/2 = 0; C73 — (/„
oo
и [г, г»=21/. у Sll,"(/L22?""?!,
v ' Pk$h (pkL/R) J i (pk)
4=1
где /о, Д, 7i — функция Бесселя; ph—k-й корень функ-
ции /о-
При ином распределении потенциалов на поверхности
цилиндра потенциал находится в виде линейной комби-
нации приведенных выше решений. При этом частные
граничные условия в сумме должны соответствовать
заданным.
При Ui=U3=0; Uz=UozlL
tj ir ~\_ 2По ЧГ] /_ 114+1 5*n (fetz/E) Ko (fair/E)
’ “ K k K»(k*R/L) ’
4=1
где Ko — модифицированная функция Бесселя 2-го рода.
ПОЛЕ РАЗНОИМЕННО ЗАРЯЖЕННЫХ ПЛАСТИН, ЛЕЖАЩИХ
НА ПОВЕРХНОСТИ ЦИЛИНДРА (рис. 5.7)
Потенциал на поверхности цилиндра задан следую-
щим образом:
при г = К, 0<а<'я/2 и = ий;
n/2<a<n: U = 0;
гс<а<Зп/2 [7 = — [70;
Зтг/2 :'С а =С 2т: U = 0.
135
Потенциал внутри цилиндра будет равен
а U., ( 2Ку । j 2/?х \
U = ~ (arc^-R^T + arctg
При r = R, 0<a<ir [7 = £/0;
1г<а<2т. U =—Uq.
Тогда потенциал для r<zR определится как
= arctg.gf C0SK .
It ° P2---/-2
При ином распределении потенциала на поверхности
цилиндра поле в области r<^R определяется по соответ-
ствующему выражению § 5.3.
ПОЛЕ ОДНОИМЕННО ЗАРЯЖЕННЫХ ПРОВОДОВ,
НАХОДЯЩИХСЯ НАД ПРОВОДЯЩЕЙ ПЛОСКОСТЬЮ
Потенциал поля одноименно заряженных проводов,
лежащих в одной плоскости, параллельной проводящей
поверхности, определяется по формуле
Z7 / v ,д _ t in ch [к (У + b)/a] — cos [it (2х + а)/2а]
2ite ch [it (у — &)/«]— cos [it (2x —л)/2а] ’
где b — расстояние от проводов до поверхности; а — рас-
стояние между проводами; т — заряд провода.
Начало координат расположено на проводящей по-
верхности на линии, проходящей через середину расстоя-
ния между проводами.
ПОЛЕ ПРОВОДА, РАСПОЛОЖЕННОГО ВНУТРИ
ПРОВОДЯЩЕГО УГЛА (рис. 5.8)
/ It г \ f п
ch(yln — )-cos (у (?-?')
U (Г, <р) = In —Р:
А * 4пе / гс г \ ( гс
ch ( у1п у I - COS fy (<f + /)
136
S.5. ЭКРАНИРОВАНИЕ
Под экранированием обычно понимается защитй
бпределенной части пространства от помехонесущих по-
лей.
Защита от помехонесущих электростатических полей
сводится к заключению объекта защиты в сплошную
металлическую оболочку произвольной толщины, выпол-
ненную из любого хорошо проводящего металла, соеди-
ненного с точкой нулевого потенциала (иногда говорят
с «землей»). Следует учитывать, что экранирование уве-
личивает емкость системы и монтажа, величина которой
может быть оценена с помощью соответствующих фор-
мул гл. 2. Наличие в экране неплотностей (щелей) при-
водит к проникновению в экран внешнего электростати-
ческого поля. При этом напряженность поля внутри
экрана может быть определена по формуле
Е = Е„ (26/т.г)2 ехр^[— frd[b — 2)],
где Ео — внешнее поле; b, d — ширина щели и толщина
экрана соответственно; г — расстояние от щели до рас-
сматриваемой точки внутри экрана.
Защита от помехонесущих электромагнитных полей
осуществляется с помощью экранов, которые выполня-
ются на основе следующих рекомендаций:
1) начальная магнитная проницаемость и электриче-
ская проводимость материала экрана должны быть по
возможности более высокими;
2) толщина экрана должна быть по возможности наи-
большей (для сравнительно низких частот помехонесу-
щего поля);
3) воздушный промежуток между экранируемым эле-
ментом и экраном должен иметь наибольшую величину
(однако практически это расстояние обычно составляет
— 10 мм);
4) конструкция экрана должна быть выполнена та-
ким образом, чтобы на пути силовых линий помехонесу-
щего поля не встречались швы и стыки. Недопустимо
крепление экранируемого элемента стальными деталями,
которые могут образовывать пути с малым магнитным
сопротивлением;
5) наибольшая степень экранирования достигается
путем применения многослойных экранов; при этом це-
лесообразно сочетание материалов с большой магнит-
137
ной проницаемостью и большой электрической проводи-
мостью (например, пермаллой и медь);
6) целесообразно также применение нескольких экра-
нов, расположенных один внутри другого и разделенных
воздушными промежутками. Наличие щелей в таких
экранах приводит к значительному возрастанию поля во
внутренней области.
Величина напряженности магнитного поля внутри
экрана может быть оценена по формуле (по линии, пер-
пендикулярной щели):
Н = Н0 + (5,144-
ХехР
где 6=(л/цу)-1 (остальные обозначения даны выше).
Приведем коэффициенты экранирования (т. е. отно-
шение внешнего поля к полю внутри экрана) для раз-
личных полей.
ПОСТОЯННОЕ МАГНИТНОЕ ПОЛЕ
Для цилиндрического экрана
для сферического экрана
k _ 1 । JL (нг-1)г А _
где Дь Т?2 — внутренний и внешний радиусы экрана со-
ответственно; — относительная магнитная проницае-
мость материала экрана.
ПЕРЕМЕННОЕ ЭЛЕКТРОМАГНИТНОЕ ПОЛЕ
Коэффициенты экранирования определяются в зависи-
мости от параметра р= d /п/урч) (где d — толщина эк-
рана, см; f — частота помехонесущего поля, Гц; у —
удельная проводимость материала экрана, Ом-Сем-1;
цо=4л;-10-9 Г• см-1) по следующим формулам:
138
а) для неферромагнитного материала при низкой ча-
стоте (р<1)
ZnydfpoR ’
где R — радиус экрана, см;
б) для неферромагнитного материала при высокой
частоте (р>1)
In | k31 = р + 4" In 4" [ (frY+УУ+4"1;
в) для ферромагнитного материала при низкой ча-
стоте (р<1)
=4 [(дё-)'+GO]<ch 2" -см ад+
+4 (4з-+-?4)sh2^-4 (-gr~ О) sta2" +
+4~ (ch 4" cos ЭД»
где цг— относительная магнитная проницаемость мате-
риала экрана;
г) для ферромагнитного материала при высокой ча-
стоте (р>1)
1пь -р I 1 In 1 IY 1 + У-|У 1 VI
ШАэ p~t~ 2 111 2 2 ‘ 2 3pR J ]’
Коэффициент экранирования замкнутой оболочки,
выполненной из металлической сетки, не зависит от ча-
стоты и определяется по формуле
k — 1 + д •
/гэ— д— ,
A=w(1(G—‘О
где R— радиус эквивалентной сферы; S — средний раз-
мер ячейки сетки; а — радиус провода, из которого вы-
полнена сетка.
Параметры индуктивного элемента (индуктивность и
сопротивление потерь), помещенного в сплошной экран
139
с магнитной проницаемостью ц и электрической прово-
димостью у, претерпевают следующие изменения
w2SsK
ДГ — “^к с .
л Т _ P-oB^SSk р
ЙГ~?”
где w — число витков; Зк— поперечное сечение катушки;
d — толщина экрана; R — радиус экрана (эквивалентной
сферы); |Ло — магнитная проницаемость воздуха;
4 Rd
3 82
/ 2 ад у ’ № < 8)’
1 + 3 йг )
38/Я (d>5);
2-(35/7?)
(d>8),
где 8 = (itfxp-) 1/2; / — частота тока, протекающего по об-
мотке; р. = р.гр.о.
ГЛАВА 5
ТЕПЛОВЫЕ РЕЖИМЫ ЭЛЕКТРОМАГНИТНЫХ
ЭЛЕМЕНТОВ
6.1. ОБЩИЙ МЕТОД ТЕПЛОВОГО РАСЧЕТА
В зависимости от соотношения потерь в магнитопро-
воде Рс и в обмотке Рк v = PclPK электромагнитный эле-
мент может работать в одном из двух следующих ре-
жимов.
Режим А характеризуется тем, что тепловой поток,
обусловленный потерями в сердечнике, рассеивается
140
в окружающую среду как сердечником, так и катушкой,
Тепл0(вой поток, создаваемый потерями в катушке, рас-
сеивается только через ее поверхность. Для этого режи-
ма справедливо условие
СО : V »3 (Rk -f- Rok) Rk»
где RK, Ron, Roc — тепловые сопротивления обмотки, пе-
рехода «поверхность обмотки — среда» и перехода «по-
верхность магнитопровода — среда» соответственно.
Выражения, по которым оппеделяются тепловые со-
противления, приведены в § 6 2.
Максимальный перегрев магнитопровода ДтСМакс и
обмотки Дткмакс вычисляются соответственно по форму-
лам
ДТс макс =- (Pv/l+v)(l -s)Rnc;
Дткмакс— (jP/1 “|~V)P?k(1 -р- 2sv) -ф-А’ок (1 Sv)],
где P = PC + PK; s= (vRoc—Rk~Rok) (vR)-1; R = Ro + R0k +
+R0C + 2RK; Ro—тепловое сопротивление перехода «маг-
нитопровод — обмотка».
Среднеобъемный перегрев обмотки и перегрев ее по-
верхности определяются по выражениям:
д^р=row(2/?к (I + 2sv)+Здок (1 +sv)1;
p
Дтц = । — (1 -|- sv) Rok.
Режим Б характеризуется тем, что тепловой поток,
обусловленный потерями в катушке, рассеивается в окру-
жающую среду как катушкой, так и сердечником; тепло-
вой поток потерь в сердечнике рассеивается только сер-
дечником. Для этого режима справедливо условие
(Rk -|- Rok) R^ V > 0.
Максимальный перегрев магнитопровода и обмотки
определяется как
Р
Д'Тс макс == j v (1 fl) Roc!
Дтк макс = ] _[_ v (Rk/Z -f- Rok),
где zi=IRk+(1 4-v)Roc-|-Ro]R-’.
141
Среднеобъемный перегрев обмотки и перегрев ?е по-
верхности будут равны:
Д-Сср = 3 [3/г (1 п) 7?ок (4/г — 3/г2 — Д) 7?к];
^Тп — 1 _|_ v ^ок-
Для электромагнитных элементов, у которых магни-
топровод полностью закрыт обмоткой (например, у то-
роидальных конструкций элементов), имеет место только
режим А при s=l. Максимальный перегрев обмотки
в этом случае определяется по формуле:
Д'Ск макс = | _]_ v Ю 4“ 2^) к 4- (I 4“ •
Следует иметь в виду, что сопротивления 7?ос и Rov
зависят от коэффициента теплоотдачи а, который, в свою
очередь, является функцией температуры поверхности.
Поэтому целесообразно в случаях, требующих повышен-
ной точности, расчет проводить методом последователь-
ных приближений, каждый раз уточняя значения указан-
ных сопротивлений.
6.2. ФОРМУЛЫ ДЛЯ ОПРЕДЕЛЕНИЯ
ТЕПЛОВЫХ СОПРОТИВЛЕНИЙ
СОПРОТИВЛЕНИЕ ОБМОТКИ Як
р ______ (30 — 1) а
49Хк(й + «)/к ’
где 6 — степень увеличения сопротивления обмотки на
рабочей частоте (см § 4 2); а — толщина обмотки; h —
высота обмотки; 1К — длина среднего витка; — коэф-
фициент теплопроводности обмотки (см. § 6.3).
В системе СИ тепловое сопротивление имеет размер-
ность— град/Вт.
СОПРОТИВЛЕНИЕ ПЕРЕХОДА «МАГНИТОПРОВОД —
ОБМОТКА» 7?0
Тепловое сопротивление между магнитопроводом и
обмоткой обусловлено наличием гильзы или каркаса об-
мотки и различными прослойками:
142
Где —периметр поперечного сечения магнитопровода
в той его части, где располагается обмотка; Лг-— толщи-
на i-й прослойки, имеющей коэффициент теплопровод-
ности (см. § 6.3); п— число различных прослоек меж-
ду магйитопроводом и обмоткой.
СОПРОТИВЛЕНИЕ ПЕРЕХОДОВ «ПОВЕРХНОСТЬ ОБМОТКИ —
СРЕДА» /?0„ И «ПОВЕРХНОСТЬ МАГНИТОПРОВОДА —
СРЕДА» /?ос
RoK~
^ос = 1/ctSoc,
где а — коэффициент теплоотдачи (см. § 6.3); S0K, Soc—
поверхности охлаждения обмотки и магнитопровода со-
ответственно.
СОПРОТИВЛЕНИЕ МЕЖДУ ДВУМЯ ПАРАЛЛЕЛЬНЫМИ
ВЕРТИКАЛЬНЫМИ СТЕНКАМИ, РАЗДЕЛЕННЫМИ
ВОЗДУШНОЙ прослойкой
7?cc = 2,2-10-*y/'d^(l/S),
где d — расстояние между стенками, см; S = |KS1Ss;S1
S2 — величины поверхностей каждой стенки, см2; Ат —
разность температур между сгенками, град.
СОПРОТИВЛЕНИЕ ПЕРЕХОДА «ОРЕБРЕННАЯ
ПОВЕРХНОСТЬ — СРЕДА»
7?р= 1/ар5,
где ар — приведенный коэффициент теплоотдачи оребрен-
ной поверхности (см. § 6.3); S—полная теплоотдающая
поверхность.
6.3. ТЕПЛОФИЗИЧЕСКИЕ ХАРАКТЕРИСТИКИ
КОЭФФИЦИЕНТ ТЕПЛООТДАЧИ а
Величина коэффициента теплоотдачи зависит от сле-
дующих факторов:
а) от направления теплового потока и характера окру-
жающей среды:
к воздуху а = 1,2-10~»;
143
от воздуха к стенке
от стенки к воде
от стенки к маслу
от масла к стенке
а = 2,3-10“’;
а = 0,5;
а = 3,6-10“’;
а = 9-10“’.
6) от скорости обтекающего стенку воздухр.
а0 = а(1 -ф-0,5 ]/о),
где ц'^5 м/с— скорость воздуха, м-с-1;
в) от температуры стенки и среды
а^ = 5,3 тс — 10“4 [Вт/(см2 • град)]
или
ах = [11,5 —]— 0,05(т:с — т„)]-10“* (Вт/(см2-град)],
где тс, То — температуры стенки и среды (воздуха) соот-
ветственно;
г) от наличия другой стенки, имеющей ту же темпе-
ратуру и находящейся на расстоянии d:
(^10“’/Г1/4);
“ |109aJ/T1/4 (0<d<10“’A-1/4),
где h — высота стенки, м; d — ширина щели, м.
Величина коэффициента теплоотдачи для воздушной
среды в общем случае выражается соотношением (при
м/с):
5,777-10-^(1 +0,5/о)Х
т0)//г fo<d<-y=4;
л— х 1
5,3-10“*(1 +0,5/о) X
х/ 4 --- /,.10-2 \
/\ V и 4 —) •
\ /Л /
Коэффициент теплоотдачи а имеет две составляющие:
конвенктивную ак и соответствующую лучеиспусканию
ал- При этом для воздуха
ак=^2,42^/тс — т0-10“* [Вт/(см2-град)];-
ал == 2,88 тс — т0 10“ * [Вт/(с№ град)].
144
Коэффициент теплоотдачи оребренной стенки опре-
деляется по формуле
ар = а [ASP-j-Sc] S-1,
где а — коэффициент теплоотдачи в свободном простран-
стве; SB — поверхность всех ребер; Sc — поверхность
стенки; S — полная поверхность охлаждения, равнай
-Sp+Sc;
I, 8 — ширина и толщина ребра; X — коэффициент тепло-
проводности материала ребра.
КОЭФФИЦИЕНТ ТЕПЛОПРОВОДНОСТИ X (Вт/(см-град)]
АГ-4В................................3,2-10-’
Алюминий.............................2,08
Бумага сухая.........................0,1 • 10~2
Бумага промасленная..................0,15-10“»
Вода ................................0,6- 10-з
Воздух...............................2,5-10-4
Войлок...............................0,06-10-2
Гетинакс ............................2,4-10-’
Заливочный компаунд..................5,4-10-’
Лакоткань............................0,25-10~а
Латунь...............................0,86—1,09
Масло ...............................0,1- IO-2
Медь.................................3,7
Обмотка непропитанная................(2—4)-10“’
Обмотка пропитанная..................(1—2)-10“’
Пенопласт ...........................0,06-10-2
Пеностекло...........................0,16-10-г
Пенофенолпласт.......................0,05-10-2
Полихлорвинил........................0,44-10-2
Пропиточный компаунд.................1,5-10“’
Резина...............................(1,2—2,0)Х
ХЮ-’
Сталь................................0,2—0,5
Стекло...............................0,74 • 10-2
Текстолит............................(0,23—0,34)Х
ХЮ-2
Чугун................................0,63
Эбонит...............................0,16-10" 2
Электрокартон........................0,17-Ю-2
УДЕЛЬНАЯ ТЕПЛОЕМКОСТЬ с [Дж/(г-град)]
Алюминий............................0,9
Асбест ..............................0,82
Бумага .............................1,5
10—316 145
бода .................................4,2
Воздух................................1,0
Гетинакс .............................0,3_0,4
Изоляция Обмоток ..................... 2,0
Латунь................................0,39
Масло ................................1,8
Медь..................................0,39
Стекло ...............................0,8—0.9
Сталь.................................0,48
Эбонит ............................... 0,59
СТЕПЕНЬ ЧЕРНОТЫ в
Алюминий
нормально прокатанный ........ 0,062
грубополированный....................0,18
фольга..............................0,028
Сталь
листовая шлифованная..................0,5—0,6
„ прокатанная..................0,66
, окисленная .................. 0,82
никелированная н полированная .... 0,045
оцинкованная, окисленная............0,28
Латунь
полированная........................0,03
хромированная и полированная........0,075
Лаки и краски
белый эмалевый лак..................0,91
черный лак .........................0,8—0,96
масляные краски всех цветов.........0,92—0,96
бронзовая краска ................... 0,51
алюминиевые краски и лаки..........0,27—0,7
Стекло гладкое..........................0,94
6.4. ТЕПЛОВОЙ РЕЖИМ ЭЛЕМЕНТОВ В БЛОКАХ
Наиболее распространенными типами блочных кон-
струкций являются конструкции, имеющие герметиче-
ский кожух, перфорированный кожух и принудительную
вентиляцию.
Для расчета теплового режима элементов, находя-
щихся внутри блочной конструкции одного из указанных
выше типов, необходимыми исходными данными явля-
ются: число тепловыделяющих элементов N, каждый из
которых (с номером i) характеризуется определяющей
высотой ht, поверхностью охлаждения SOi, мощностью
тепловыделения Pt, площадью основания Зе и высотой Не
блока, площадью основания шасси 5Ш, на котором рас-
полагаются элементы. Здесь под термином элемент по-
нимается любой источник тепловой энергии (трансфор-
матор, конденсатор, различные радиодетали и т. д.).
146
ОПРЕДЕЛЕНИЕ ОСНОВНЫХ ПАРАМЕТРОВ
ЭКВИВАЛЕНТНОЙ МОДЕЛИ
Коэффициент заполнения блока
N
1=1
где Vq=SqHq\ — объем i-го элемента.
Высота нагретой зоны (эквивалентной)
N
h3 = N~1^ hi.
1=1
Нагретой зоной называется га часть внутреннего про-
странства блока, в которой располагаются тепловыде-
ляющие элементы.
Эквивалентная поверхность охлаждения расчетной
модели элемента
N
5оэ — N St>i.
z=i
Расчетная модель элемента представляет собой па-
раллелепипед с высотой Нэ и квадратным основанием.
Сторона основания расчетной модели элемента
а 4/?2э Sos — 2йэ.
Величина промежутков между расчетными моделями
элементов
d = ysjN-а.
ОПРЕДЕЛЕНИЕ ТЕМПЕРАТУРНОГО РЕЖИМА БЛОКА,
ИМЕЮЩЕГО ГЕРМЕТИЧЕСКИЙ КОЖУХ
Критическая величина промежутка между элемента-
ми (здесь и далее имеется в виду расчетная модель эле-
мента)
109й;|/4,
где ofKp и йа выражены в метрах.
Эффективная поверхность охлаждения элемента
е _ («(« + 4/lsd/rfKp)
>->эфф— {
| а (о, —4/гэ)
(fifnp '~5 d)',
d).
147
Превышение температуры нагретой зоны над темпе-
ратурой окружающей блок среды равно:
N
Дт — (^?ск ~j~ 7?зк) 2 Р1 ’
1=1
где /?ск — тепловое сопротивление между окружающей
средой и поверхностью кожуха; R3K — тепловое сопротив-
ление между нагретой зоной и кожухом (нагретая зона
ограничена с одной стороны поверхностью ХЭфф, а с дру-
гой — поверхностью шасси Хш).
При этом
Г> __ 1 , р ___ /?ЗК1РзК2
aSog ’ P,3ii<+R3Xz ’
р _ 2,2-10-3^6,-^ .
„ _J 2,2-Ю-з
АЗК2 - --т/Ё> Го===- *
V ОэффЗоб2
где Хоб — полная поверхность охлаждения блока; Sosil
So62 — поверхности блока, расположенные над и под
шасси; fai и h&2 — расстояния от верхней и нижней кры-
шек кожуха до шасси.
Превышения температуры воздуха в блоке над темпе-
ратурой окружающей среды равно
N
Д-св = Д-с — (аХэфф)-12 Pt-
/=1
Поскольку температура воздуха в блоке определена,
тепловой режим каждого i-ro элемента может быть рас-
считан по формулам § 6.1 и 6.2 с учетом их конкретных
геометрических и теплофизических характеристик, а так-
же реальных тепловыделений.
ОПРЕДЕЛЕНИЕ ТЕПЛОВОГО РЕЖИМА БЛОКА,
ИМЕЮЩЕГО ПЕРФОРИРОВАННЫЙ КОЖУХ
Данный расчет основывается на предположении, что
рассматриваемая система состоит из следующих пяти
изотермических зон: кожуха (тк), нагретой зоны (т3),
воздуха в верхней части кожуха (тг), воздуха в нижней
части кожуха (я) и окружающей среды (тс).
148
При этом
Т1 = 0,5 (Тс + Тш) J Т2 = 0,5(Твь1х + 'Гш) ,
где гш и твых — температура шасси и выходящего из
блока воздуха.
Теплосодержание воздуха, поступающего в нижнюю
и верхнюю части кожуха, обусловлено потоком тепла,
идущего от кожуха и нагретой зоны:
Ql = Як [Зщ (Тщ - Т;) 30бг (Тк - Т1)]>
Qa = Як [>?эфф (тз — Тг) —Зоб1 (Тк Т2)],
где як 2,42 У Дт-10~4 — конвективная составляющая ко
эффициента теплоотдачи, Вт-см-2-град~’.
С другой стороны
Qi = 2Gc(ti—тз);
Qz=2Gc (твых Тг),
где G— массовый расход воздуха, кг-с-1; с — удельная
теплоемкость воздуха (см. § 6.3).
Мощность, поступающая посредством лучеиспускания
от нагретой зоны к кожуху, передается от него конвек-
цией воздуху внутри блока, а также конвекцией и луче-
испусканием в окружающую среду:
Ял (тз — Тк) (Зэфф &п) Зоб = Як [Зоба (Тк Т]) Зобз
X (тк ~ тг)] 4~ Я (тк — Тс) Зоб,
где ял ~ 2,88 У At-10~4 — коэффициент теплоотдачи, со-
ответствующий лучеиспусканию, Вт-см"2-град"1.
Полная мощность, выделяемая в нагретой зоне, пе-
редается окружающей среде посредством теплоотдачи
с поверхности блока S06 и выходящим из блока воздухом:
Р = а (гк—гс) Зоб +2Gc (тг—Ti).
Расход воздуха через блок равен
z;_а о„т f [(^i ~Ь ^О/^с] — (^i/7'i) (Ьг/Тг)
U — ЯрдзУс/ с V у Тс+ ($l/Sj)z тш + (S,/^)2 Гкых
где Ар^0,69[1—ехр(—2,7-iO-2p)].
Для круглых и квадратных отверстий без козырьков
йр~О,64; р — угол между козырьком отверстия перфора-
ции кожуха и стенкой кожуха, выраженный в градусах;
149
Si, S2, S3 — площадь отверстий в нижней и верхней ча-
стях кожуха и шасси; hi, h2— расстояния от шабси до
отверстий в кожухе; ус — плотность воздуха; Т — символ
абсолютной температуры.
Полученные уравнения однозначно определяют вели-
чины Ti, т2, т1(, Тз и G. Расчет может быть произведен,
например, методом последовательных приближений.
В качестве первого приближения может служить расчет
герметизированного блока, т. е. при G = 0.
Практические рекомендации, относящиеся к конст-
руированию блока, сводятся к следующему.
а) площадь отверстий в кожухе должна составлять
20—30% полной поверхности кожуха;
б) отверстия на крышке и дне должны иметь одина-
ковую площадь;
в) высота кожуха должна быть по возможности наи-
большей;
г) дно кожуха (если в нем имеются отверстия) долж-
но быть максимально удалено от поверхности, на кото-
рой устанавливается кожух;
д) оптимальная ширина отверстий в кожухе должна
быть порядка 5 мм.
Эти мероприятия уменьшают перегрев аппаратуры
внутри кожуха на величину, в отдельных случаях дости-
гающую 30% от перегрева аппаратуры в герметизиро-
ванном кожухе.
ОПРЕДЕЛЕНИЕ ТЕПЛОВОГО РЕЖИМА БЛОКА,
ИМЕЮЩЕГО ПРИНУДИТЕЛЬНУЮ ВЕНТИЛЯЦИЮ
Теплосодержание воздуха, поступающего в блок,
обусловлено потоками тепла, идущего от нагретой зоны
и от кожуха. Мощность, поступающая к кожуху от на-
гретой зоны посредством лучеиспускания, передается
в окружающую среду и охлаждающему воздуху. Мате-
матически указанные процессы можно записать двумя
уравнениями:
Ял (х3 — тк) /М = ао (тк — Тер) + а (тк — тс);
PS“* — а (тк тс) -j- «о [М (т3 — тср) 4- (''к — Тер)],
N _
где Р = 2', рг, а0= а (1 4~0,5]/Ъ);
z=i
150
v — G (yF)-1— скорость охлаждающего воздуха; F—
среднее «живое» сечение блока; тСр = 0,5(твх+твых); тВых,
Твх — температуры воздуха, выходящего и входящего
в блок.
В качестве первого приближения для решения ука-
занной системы уравнений можно исходить из предполо-
жения, что вся мощность, выделяемая в нагретой зоне,
расходуется на увеличение теплосодержания охлаждаю-
щего воздуха:
VyFС (Твых Твх) =Р',
Ол^эфф (Тз Тер) — Р
Для интенсификации условий теплообмена в блочных
конструкциях необходимо придерживаться следующих
рекомендаций:
а) окрашивать внутренние и наружные поверхности
кожуха и шасси масляными красками или лаками (пере-
грев снижается на 10—15% по сравнению с неокрашен-
ными поверхностями);
б) использовать оребрение или перфорирование по-
верхностей охлаждения (перегрев снижается на 10%);
в) располагать наиболее критичный к перегреву блок
в нижней части стойки;
г) избегать застойных зон со слабой циркуляцией
воздуха. Такие зоны образуются при подводе воздуха
через отверстия малого диаметра или одного отверстия;
д) стремиться к обеспечению выравнивания подачи
воздуха, например, с помощью перфорированных реше-
ток;
е) стремиться к расположению элементов таким об-
разом, чтобы между ними образовывались каналы при-
мерно одинакового сечения;
ж) размещать элементы в шахматном или близком
к нему порядке по ходу воздуха;
з) стремиться к заполнению блока элементами, ха-
рактеризующемуся коэффициентом заполнения k3=
= 0,1—0,6, что обеспечивает оптимальный его тепловой
режим.
6.5. ТЕПЛОВОЙ РЕЖИМ ПРИ ПОВТОРНО-
КРАТКОВРЕМЕННОЙ РАБОТЕ
Повторно-кратковременный режим (ПКР) работы
элемента характеризуется равномерно повторяющимися
процессами нагревания и охлаждения. По прошествии
151
Достаточно ДлитеЛыЮго времени наступает установив*
шийся периодический режим. В этом режиме температу-
ра (или перегрев) будет колебаться между двумя край-
ними значениями. При этом максимальная величина
температурного перепада при ПКР определяется как
. . 1— ехр (— а/Т)
Дтмакс _ Дтк ;
А "макс = Дтк (а/ р) = (Т > р),
где Атк = Р(а5о)-1 — установившееся значение темпера-
турного перепада в непрерывном режиме; Р—'Номиналь-
ная нагрузка; So — поверхность охлаждения; а — время
нагрева; р — время одного цикла, включающее в себя
время нагрева и охлаждения; Г=С(аЗо)-1— постоянная
времени; С — эквивалентная теплоемкость элемента; q =
=р/а — скважность.
Эквивалентная теплоемкость элемента вычисляется
по формуле
__ Себе + CmGm 4~ Си^и
бе + Gm + би ’
где ес, см, си — удельные теплоемкости стали, меди и
изоляции (см. § 6.3); Gc, GM, GH—масса стали, меди и
изоляции соответственно.
Величина нагрузки для эквивалентного непрерывного
режима определяется по формуле
р — р 1 ~ехР(~- р
8 1 — exp (— р/Т) ~~ q
При расчетах тепловых режимов элементов, работаю-
щих в определенных циклах включения и отключения,
необходимо учитывать характер отключений, т. е. про-
исходит ли полное отключение элемента или только сни-
жение нагрузки. В последнем случае расчет целесооб-
разно проводить следующим образом. Сначала выделя-
ется та часть нагрузки, которая действует непрерывно,
и определяются соответствующие температурные пере-
пады. Затем для оставшейся части нагрузки, уже имею-
щей известную цикличность, определяются температур-
ные перепады по приведенным выше формулам. Резуль-
таты обоих расчетов суммируются.
152
При относительно кратковременных включениях или
перегрузках практически вся мощность расходуется на
нагрев самого элемента Теплообмен с окружающей сре-
дой в этом случае пренебрежимо мал. Если (t/T) <0,13,
то в окружающую среду рассеивается меньше 1 % мощ-
ности. Для оценки времени, в течение которого с по-
верхности элемента теплообмен с окружающей средой
практически отсутствует, может служить соотношение
t^.2T, а формула х=РЦС определяет температуру эле-
мента.
ПРИЛОЖЕНИЕ
КРИТЕРИИ ПОДОБИЯ
Для трансформаторов и дросселей, широко исполь-
зуемых в радиоэлектронной аппаратуре, справедливы
следующие критерии подобия, которые служат для целей
сравнения электромагнитных систем указанного рода и
их моделирования.
Критерии электромагнитного подобия для трансфор-
маторов имеют следующий вид:
Т1 = /ЛР(^2^'\У)-1 = 0,6-- 1,0; 7’2==P}x(/W)-* =
= 60^ 100; = 10’2,
где Р — мощность, Вт; V — объем магнитопровода, см3;
т — температура перегрева, град; f — частота, Гц; В —
индукция, Т; р, — относительная магнитная проницае-
мость; /гм — коэффициент заполнения медью окна магни-
топровода; А — эмпирический коэффициент, определяю-
щий свойства материала магнитопровода, А-см-В^’Х
X с-1/2.
Коэффициент А имеет следующие численные значе-
ния для наиболее распространенных марок магнитных
материалов: 1750 (ЭЗЗО—0,35), 580 (3350—0,08), 360
(50Н—0,05), 90 (80НХС).
Критерий подобия для дросселей имеет вид
D = ]AAf3/iW = 0,3,
где IF — энергоемкость, Вт-с (остальные обозначения
см. выше).
Оптимальные соотношения между основными геоме-
трическими параметрами обмотки и магнитопровода мо-
гут быть определены с помощью критерия
П =SCSOKH (UcV2/3) -1 = 4 • 10-»,
где- 5С, 50КН — площадь поперечного сечения и площадь
окна магнитопровода; 1Г, 1м — длгна средней силовой ли-
нии в магнитопроводе и среднего витка обмотки; V —
объем магнитопровода и обмотки.
ЭЛЕКТРОМАГНИТНОЕ ПОЛЕ ВИТКА
Электромагнитное поле витка радиусом а, по которо-
му протекает переменный ток /sinal, определяется по
формулам:
154
при r-CX
Hr=Ia2 cos 0 sin at (2r3)-1,
HB=Ia2 sin0 sin at (4r3)-*,
Е^=ц0а1а2 sin 0 sin at (4r2)-1;
при
77e=—Ik2a2 sin 0 [sin co (t—kr)\ (4r)-1;
E = la^ka2 sin 0 [sin co (t—kr) ] (4r)-1,
где r — расстояние от центра витка до рассматриваемой
точки; 0 —угол между осью витка и г; X — длина волны;
ОПРЕДЕЛЕНИЕ БРОСКОВ ТОКА
ПРИ ВКЛЮЧЕНИИ ТРАНСФОРМАТОРОВ
Наибольшее значение броска тока в трансформаторе
появляется при следующих условиях:
1) в момент прохождения напряжения питания через
нуль;
2) при отсутствии нагрузки, т. е. в режиме холостого
хода.
Величина тока включения при указанных условиях
может быть определена по формуле
/макс 400/-(2В-^^,
где Bq= 1,57"; w— число витков первичной обмотки; I —
длина средней силовой линии в магнитопроводе, см.
При наличии остаточной индукции в магнитопроводе
(Вг~ 0,6ВМакс) величина тока включения будет равна
7макс-~400/
Между мощностью трансформатора Р [Вт], частотой
f [Гц], объемом магнитопровода V [см2]1 и кратностью
броска /и=/макетном (где /ном — номинальное значение
тока) существует зависимость
(17—0,5т)2 Pf-'.
Заметим далее, что для силовых трансформаторов
приближенно выполняются следующие соотношения:
полный объем трансформатора равен 4,517, объем обмот-
ки 2V, а полная поверхность охлаждения 13V2/3 [см2].
155
ПОТЕРИ В ЛЕНТОЧНЫХ МАГНИТОПРОВОДАХ
Удельные потери р [Вт/кг] в витых ленточных магни-
топроводах определяются по формуле
p=AfmBn,
где f — частота, кГц; В — индукция, Т.
Параметры А, т и п для различных материалов име-
ют следующие значения:
А т п
Э350-0,08 26 1,4 1,8
79НМ-0,05 4,6 1,6 2,0
50НП-0.02 2,5 1,3 1,4
68НМП-0.05 7 1,5 1.7
34НКМП-0.05 6,8 1,4 1,65
В разрезных ленточных магнитопроводах имеют место
дополнительные потери за счет образования на торцах
их половин перемычек, замыкающих накоротко отдель-
ные пластины. Это увеличение потерь учитывается коэф-
фициентом резки, равным 1,5 для сталей ЭЗЗО—Э350;
2,5 для 80НХС; 2,0 для 50Н и 50НП.
При наличии воздушного зазора в магнитопроводе
удельные потери в нем уменьшаются вследствие умень-
шения магнитной энергии в материале и становятся рав-
ными
р'=р(14- р.б/7)-1,
где р— удельные потери при отсутствии зазора; ц— от-
носительная магнитная проницаемость материала магни-
топровода; б и I — величины воздушного зазора и сред-
ней силовой линии в магнитопроводе. Однако за счет
поля рассеяния (выпучивания) в зоне воздушного зазо-
ра возникают дополнительные потери
^доп~8,24аМу/гс(^Ср)2л-3 [Вт],
где d—ширина ленты, см; а — длина полюсного конца,
т. е. зоны, где наблюдается поле рассеяния, см; у —
удельная проводимость материала магнитопровода,
Ом-1см-1; kc — коэффициент заполнения магнитопрово-
да сталью; f — частота, Гц; ВСр — средняя величина ин-
дукции поля рассеяния, В-с-см-2.
156
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
Общие вопросы
1 Волгов В. А. Детали и узлы радиоэлектронной аппаратуры. М.
«Энергия», 1967
2 Тинкин Г. Г. Справочник по радиотехнике М, ГЭИ, 1948.
3 Каплянский А. Е. и др Теоретические основы электротехники
М, «Высшая школа», 1972
4 Круг К. А. Основы электротехники М, Госэнергоиздат, 1954
5 Лэнди Р. Л., Дэвис Д., Албрехт А. Справочник радиоинженера.
Пер с англ М, Госэнергоиздат, 1961
6 Ренне В. Т. и др Расчет и конструирование конденсаторов
Киев, «Техшка», 1966
7 . Родионов В. М. Сборник номограмм по радиотехнике М, «Сов.
радио», 1953
8 Русин Ю. С. Расчет электромагнитных систем М, «Энергия»,
1968
9 Электротехнический справочник. Под общ ред М Г Чиликина
TIM, 1971
К главе первой
1 Бозорт Р. М. Ферромагнетизм Пер с англ М , ИЛ, 1956
2 Бороничев Г. К. О расчете магнитного поля в кольцевом ферри-
товом сердечнике с неполной обмоткой — «Труды научн -техн,
конф ЛЭИС», 1965, вып 3
3 Злобин В. А., Муромкииа Т. С., Поспелов П. В. Изделия из фер-
ритов и магнитодиэлектриков Справочник Под общ ред
Н Д Горбунова и Г А Матвеева М, «Сов радио», 1972
4 Калантаров А. Л., Цейтлин Л. А. Расчет индуктивностей Л,
«Энергия», 1970
5 Лентес М. В. Особенности проектирования мощных реакторов
для кратковременной работы —«Электричество», 1963, № 10
6 Петров Г. Н. Расчет индуктивных параметров рассеяния микро-
трансформаторов — Труды МЭИ, 1962, вып. 38
7 Розенблат М. А. Коэффициенты размагничивания стержней вы-
сокой проницаемости — «ЖТФ», 1954, № 4.
8 Тихомирова 3. Т. Оценка методов расчета магнитных цепей
с воздушным зазором приборов и аппаратов — «Электричество»,
1961, № 1
9 Ферриты и магнитодиэлектрики Справочник. Под ред Н Д Гор-
бунова и Г А Матвеева М, «Сов. радио», 1968.
10 Фракман Ю. В. О расчете ярмового рассеяния трансформато-
ров — «Электричество», 1965, № 4
К главе второй
1 Андреев С. Н. Расчет поля плоского конденсатора с учетом
краевого эффекта —«Изв вузов СССР Электромеханика», 1961,
№ 8
2. Барт Я. А., Лившиц А. Л. К теории расчета электростатических
полей — «Изв вузов СССР Электромеханика», 1964, № 12.
157
3. Биис К., Лауренсон П. Анализ и расчет электрйЧескйх й МЭТ
нитных полей. Пер. с англ. М., «Энергия», 1970.
4. Бухгольц Г. Расчет электрических и магнитных полей. М., ИЛ,
1961.
5. Гликман И. Я., Грач И. М., Русин Ю. С. Поле неэквипотенци-
альных пластин, лежащих в одной плоскости. — «Труды ФПИ»,
1970, вып. 40.
6. Гринберг Г. А. Избранные вопросы математической теории элек-
трических и магнитных явлений. М., Изд-во АН СССР, 1948.
7. Иоссель К). Я., Кочанов Э. С., Струнский М. Г. Вопросы расчета
и моделирования электрохимической антикоррозионной защиты
судов. — «Судостроение», 1965.
8. Кадей Г. Электромагнитные экраны в высокочастотной технике
и технике электросвязи. Пер. с нем. М., Госэнергоиздат, 1957.
9. Русин Ю. С. Расчет некоторых плоскомеридианных систем.—
«НДВШ. Энергетика», 1958, № 4.
10. Русин Ю. С. К вопросу расчета электростатических полей.—
«Электричество», 1962, № 9.
11. Русин Ю. С., Гришин А. В., Каплянский А. Е. Расчет поля в сек-
торном зазоре электромагнита. — «Магнитная гидродинамика»,
1967, № 2.
12. Русин Ю. С. К определению нормальной составляющей напря-
женности поля на поверхности цилиндра. — «Электричество»,
1970, № 4.
13. Страшкевич А. М. Электронная оптика электростатических по-
лей, не обладающих осевой симметрией. М., Физматгиз, 1959.
14. Фролов Б. В. Применение теории магнитного диполя для расче-
та магнитных полей контуров с токами. — «Изв. вузов СССР.
Электромеханика», 1965, № 10.
К главе третьей
1. Арнольд Р. Р. Расчет и проектирование магнитных систем
с постоянными магнитами. М., «Энергия», 1969.
2. Вольфарт Э. Магнитно-твердые материалы. Пер. с англ М.,
«Энергия», 1963.
3. Постоянные магниты. Справочник. Под ред. Ю. М. Пятина. М.,
«Энергия», 1971.
4. Преображенский А. А. Магнитные материалы. М., «Высшая
школа», 1965.
5. Сливинская А. Г., Гордон А. В. Постоянные магниты. М., «Энер-
гия», 1965.
К главе четвертой
1. Ванин Б. В. Диэлектрическая проницаемость неупорядоченных
неоднородных сред. — «Электричество», 1965, № 7.
2. Вейнберг А. К. Магнитная проницаемость, электропроводность,
диэлектрическая проницаемость и теплопроводность среды, со-
держащей сферические и эллипсоидальные включения. — «ДАН»,
1966, т. 169, № 3.
3. Ламмеранер М., Штафль М. Вихревые токи. Пер. с нем. «Энер-
гия», 1967.
4. Оделевский В. И. Расчет обобщенной проводимости гетероген-
ных систем. — «ЖТФ», 1951, вып. 6.
158
5. Русин Ю. С. Учет влияния поверхностного эффекта и эффекта
близости на омическое сопротивление обмотки. — «Электросвязь»,
1965, № 2.
6. Скороход Н. М. Об электропроводности дисперсных смесей про-
водников с непроводниками. — «ИФЖ». 1959, № 8.
К главе пятой
1. Долинский Ю. М., Клименко Б. В. Определение вариационными
методами проводимостей между полюсами с осевой симмет-
рией.— «Электричество», 1969, № 8.
2. Иоссель Ю. Я., Кочанов Э. С., Струнский М. Г. Расчет электри-
ческой емкости. М., «Энергия», 1969.
3. Ковалев С. И. О вычислении емкости характеристического со-
противления несимметричной полосовой линии. — «Изв. вузов
СССР. Радиотехника», 1962, № 3.
4. Кононов А. П. Расчет емкости плоского конденсатора с учетом
краевого эффекта. — «Изв вузов СССР. Электромеханика», 1966.
№ 3.
5. Новопавловский В. С. Приближенное определение проводимости
плоских фигур. — «ИФЖ», 1968, № 2.
6. Полна Г., Сеге Г. Изопериметрические неравенства в математи-
ческой физике. Пер. с нем. М., Физматгиз, 1962.
7. Русин Ю. С. Определение магнитной проводимости. — «Изв. ву-
зов СССР. Электромеханика», 1963, № 12.
8. Русин Ю. С. Определение собственной емкости обмоток. — «Ра-
диотехника», 1964, № 2.
9. Русин Ю. С. Магнитная проводимость поля двухполюсного маг-
нита. — «Вестник электропромышленности», 1959, № 10.
К главе шестой
1. Вейник А. И. Приближенный расчет процессов теплопроводно-
сти. М„ Госэнергоиздат, 1959.
2. Готтер Г. Нагревание и охлаждение электрических машин. Пер.
с нем. М., Госэнергоиздат, 1961.
3. Дульнев Г. Н. Теплообмен в радиоэлектронных устройствах.
М., Госэнергоиздат, 1963.
4. Дульнев Г. Н., Семяшкин Э. М, Теплообмен в радиоэлектронных
аппаратах. М., «Энергия», 1968.
5. Пехович А. И., Жидких В. М. Расчеты теплового режима твер-
дых тел. М., «Энергия», 1968.
6. Русин Ю. С. Расчет перегрева трансформаторов и дросселей. —
«Изв. вузов СССР. Электромеханика», 1965, № 12.
7. Русин Ю. С. К определению температурного режима трансфор-
маторов с открытым магнитопроводом. — «Электротехника», 1969,
№ 5.
ОГЛАВЛЕНИЕ
Предисловие ............................................ 3
Глава 1. Расчет индуктивности
1.1. Общие вопросы.......................................... 6
1.2. Воздушные катушки..................................... 9
1.3. Катушки индуктивности на замкнутых магнитопроводах
и броневых сердечниках..................................... 14
1.4. Катушки индуктивности на сердечниках, имеющих уча-
стки с различными характеристиками..........................24
1.5. Индуктивность тел специальной формы....................33
1.6. Взаимная индуктивность.................................37
1.7. Экранирование катушек индуктивности. Катушки с не-
магнитными сердечниками.....................................48
1.8. Катушки с потерями. Добротность........................50
1.9. Индуктивность рассеяния................................56
Глава 2. Расчет емкостей
2.1. Общие вопросы. Характеристики диэлектрических мате-
риалов .................................................61
2.2. Емкость в системе плоскопараллельных электродов . . 63
2.3. Емкость систем электродов «полюс—полюс» и «полюс—
плоскость»..................................................68
2.4. Емкость уединенных гел.................................74
2.5. Конденсаторная емкость некоторых систем электродов . 77
2.6. Емкость проводников в слоистых средах..................79
2.7. Собственная емкость катушек............................83
Глава 3. Постоянные магниты
3.1. Общие вопросы. Основные характеристики и параметры . 87
3.2. Цепи с постоянными магнитами.......................94
Глава 4. Расширение применимости полученных результатов.
Расчет электрических сопротивлений
4.1. Расширение применимости полученных результатов . . ЮЗ
4.2. Расчет электрических сопротивлений.................107
4.3. Сопротивление проводников на повышенных частотах . 109
Глава 5. Потенциальные поля и экранирование
5.1. Краткие сведения об основных методах расчета потен-
циальных полей..........................................114
5.2. Поле на различных расстояниях от источников . . . 117
5.3. Определение поля по заданному распределению потен-
циала .....................................................127
5.4. Поля некоторых конкретных систем......................129
5.5. Экранирование.........................................137
Глава 6. Тепловые режимы электромагнитных элементов
6.1. Общий метод теплового расчета........................140
6.2. Формулы для определения тепловых сопротивлений . . 142
6.3. Теплофизические характеристики........................143
6.4. Тепловой режим элементов в блоках.....................146
6.5. Тепловой режим при повторно-кратковременной работе . 151
Приложение. Критерии подобия...............................154
Список литературы.......................... , . . . 157
160