АКАДЕМИЯ НАУК СССР

РЕДКОЛЛЕГИЯ СЕРИИ «НАУЧНО-БИОГРАФИЧЕСКАЯ ЛИТЕРАТУРА»
И ИСТОРИКО-МЕТОДОЛОГИЧЕСКАЯ КОМИССИЯ
ИНСТИТУТА ИСТОРИИ ЕСТЕСТВОЗНАНИЯ И ТЕХНИКИ АН СССР
ПО РАЗРАБОТКЕ НАУЧНЫХ БИОГРАФИЙ ДЕЯТЕЛЕЙ
ЕСТЕСТВОЗНАНИЯ И ТЕХНИКИ:
Л. Я. Бляхер, А. Т. Григорьян, Б. М. Кедров,
Б. Г. Кузнецову В. И. Кузнецов, А. И. Купцов,
Б. В. Левшин, С. Р. Микулинский, Д. В. Ознобишин,
3s К. Соколовская (ученый секретарь), В. И. Сокольский,
Ю. И. Соловьев, А. С. Федоров (зам. председателя),
И. А. Федосеев (зам. председателя),
Н. А. Фигуровский (зам. председателя),
А. А. Чеканов, А. П. Юшкевич,
А, Л. Яншин (председатель), М. Г. Ярошевский.

А. Т. ГригорыШ,
Б. Д. Ковалев
Даниил
БЕРНУЛЛИ
1700-1782
ИЗДАТЕЛЬСТВО «НАУКА»
МОСКВА
1981

Г—83 ГригорьянА. Т., Ковалев Б. Д. Даниил
Бернулли (1700-1782). — М.: Наука, 1981.
Эта книга — научная биография выдающегося
механика и математика Даниила Бернулли. Наряду с
другими корифеями классической науки XVIII в. он по
праву относится к классикам современного
естествознания. Его пионерские работы оказали решающее
влияние на развитие теоретической гидродинамики,
теории колебаний и теории вероятностей. Задолго до
появления основополагающих работ Дж. Максвелла и
Л. Больцмана он сформулировал основные идеи
кинетической теории газов. Анализ работ Д. Бернулли,
изучение его обширной научной переписки дают
представление об облике и стиле мышления этого
интересного человека, всецело преданного науке.
16.2
Ответственные редакторы
А. Ю. ИШЛИНСКИЙ и А. П. ЮШКЕВИЧ
Издательство «Наука», 1981 г.
Г 054Ю2)—81 48~82 НП 1602000000

Предисловие
Эта книга представляет собой научную биографию
Даниила Бернулли — выдающегося механика и
математика XVIII в. Она адресуется широкому кругу читателей,
интересующихся проблемами формирования и развития
классической науки. Содержащийся в ней фактический
материал может оказаться полезным специалистам по
математике, механике, физике и истории науки.
В творчестве Даниила Бернулли отразилась
практически вся проблематика точного естествознания первой
половины XVIII в. Вслед за И. Ньютоном и Г. В.
Лейбницем и вместе со своим отцом Иоганном Бернулли,
Л. Эйлером, Ж. Д' Аламбером и другими корифеями
классической науки Даниил Бернулли заложил основы
современного точного естествознания. Его работы
оказали революционизирующее влияние на развитие механики
и математики, в том числе механики жидкостей, теории
колебаний, небесной механики, динамики океана и
атмосферы, теории интегрирования дифференциальных
уравнений, теории вероятностей, математической статистики
и др.
Формулировка принципа суперпозиции линейных
колебаний, распространение принципа сохранения живых
сил на механику жидкостей, доказательство
знаменитой гидродинамической теоремы Бернулли (уравнение
Бернулли), введение понятия стационарных течений,
развитие представлений о механической и
немеханической формах энергии, разработка теории интегрирования
дифференциальных уравнений специального вида,
применение в теории упругости тригонометрических рядов
и т. д.— все это как обязательный элемент входит сейчас
в современные курсы механики, математики,
математической физики. Задолго до появления фундаментальных
работ Дж. Максвелла и Л. Больцмана Даниил Бернулли
сформулировал (причем довольно детально) основные
идеи кинетической теории газов.
Несмотря на исключительно важную роль, которую
сыграл Даниил Бернулли в истории мировой науки, его
творчество до сих пор не исследовано в достаточном
объеме. Биографическая литература о нем чрезвычайно скуд-

па (см. приложение в конце книги), сведения of>
отдельных сторонах его творчества крайне фрагментарны,
бессистемны и не собраны воедино.
Значительно больше повезло в этом отношении
Иоганну Бернулли — отцу Даниила и современнику Ньютона,
сотрудничавшему с Лейбницем и оставившему
неизгладимый след в науке. Мировая слава, которую снискал
себе И. Бернулли, несколько затмила отнюдь не менее
выдающиеся научные успехи его сына.
Предлагаемая работа ставит одной из своих задач
восстановить действительный статус Даниила Бернулли
как ученого и более четко определить его место в истории
мировой науки. Книга воспроизводит атмосферу
интеллектуальной жизни Европы XVIII в., рассказывает о
возникновении и развитии фундаментальных понятий, идей
и представлений, составляющих базис современной
научной картины мира, и о преломлении этих идей в
творчестве Даниила Бернулли.
В книге много нового, ранее не опубликованного
материала. Так, специалистам по механике жидкостей
будут, очевидно, небезынтересны сведения, касающиеся
начальных шагов теоретической гидродинамики, когда
своеобразная, появившаяся в контексте физиологических
исследований идея Даниила Бернулли о guttulae —
капельках — неожиданно привела к радикальной
перестройке основ технической гидравлики и всей теоретической
гидродинамики. Своеобразным апофеозом этой
перестройте dv а — v2
ки стал вывод уравнения Бернулли v т~= -о ,
прообраз которого встречается уже в его работах 1727 г.
(обсуждение же самой проблемы предпринималось
Даниилом Бернулли еще раньше). Этот факт тем более
любопытен и неожиданен, что начало подготовки рукописи
«Гидродинамики», с непосредственной работой над
которой обычно и связывают вывод указанного уравнения,
относится лишь к концу 1728 — началу 1729 г.
Специалистам по теоретической механике могут, по-видимому,
оказаться полезными дополнительные сведения о ранних,
относящихся к периоду 1723—1725 гг. работах ученого,
содержащих начальные формулировки многих идей,
развитых Даниилом Бернулли впоследствии во время его
пребывания в Петербургской академии наук. В книгу
включена также некоторая дополнительная информация о
работах Бернулли по ряду общих вопросов, связанных с
6

аксиоматикой механики. То обстоятельство, что им
впервые была достаточно четко сформулирована в
терминах интегрального исчисления идея фактического
тождества механики Декарта—Лейбница и механики
Ньютона, обычно противопоставлявшихся друг другу,
переориентировало классическую механику в качественно новом
направлении. Фактическое утверждение Даниила Бер-
нулли о том, что фундаментальные законы сохранения в
механике есть не что иное, как первые интегралы
динамического уравнения Ньютона, послужило поводом к
постепенному прекращению известного спора о «мере
сил» и стимулировало развитие теоретической механики
в рациональном направлении. Даниил Бернулли был
одним из первых, кто предложил идею всеобщей
математизации теоретической механики, т. е. сведения ее к
задачам чистого анализа. Этот призыв прозвучал за полвека
до первой реализации указанной идеи в «Аналитической
механике» Лагранжа и более чем за полтораста лет до
того, как была сформулирована знаменитая шестая
проблема Давида Гильберта.
Прослеживая шаг за шагом нетривиальный ход
мыслей Даниила Бернулли, авторы стремились создать
портрет ученого и человека, который, вобрав в себя все черты
представителя точной науки XVIII в., был все-таки во
многих отношениях достаточно далек от стереотипа уче-
пого того времени. Приведенные материалы обширной
научной переписки Даниила Бернулли с
многочисленными корреспондентами зпакомят читателя с человеком
незаурядным, весьма живым, неспокойным, не склонным к
компромиссу, порою довольно своенравным, всецело
преданным высоким идеалам науки.
В работе над книгой большую помощь оказали
материалы Архива Академии наук СССР в Ленинграде.
Работники Государственной библиотеки имени В. И. Ленина
в Москве помогали в подборе необходимой литературы.
На разных стадиях подготовки рукописи к печати
отдельные ее главы читались А. Н. Боголюбовым, Б. А. Розен-
фельдом, Л. А. Филатовой, высказавшими ряд ценных
замечаний. Совместно с А. П. Юшкевичем написаны
главы 18 и 19.
Всем им, особенно ответственным редакторам книги —
А. 10. Ишлинскому и А. П. Юшкевичу, авторы приносят
свою глубокую благодарность.

Глава 1
Генеалогия
Творчество Даниила Бернулли — яркий пример того,
насколько важными в жизни человека могут оказаться
начальные условия. Два компонента — генетика и
микроклимат, окружавший Бернулли в детстве и юности,— в
решающей степени определили его будущее. Вся его
последующая жизнь и так рано и удачно начатая научная
карьера воспринимаются нами теперь как единое
закономерное целое. Все (или почти все) в Данииле
Бернулли связано с его удивительной родословной,
объясняется ею.
На протяжении более столетия (XVII—XVIII вв.)
несколько поколений Бернулли демонстрировали
самоотверженное служение математике, механике, физике. Мы
привыкли слышать о выдающихся одиночках и их
потомках, о которых говорят, что природа, истратившись на
гения, отдыхает в его детях. Но незаурядность,
передающаяся по наследству из поколения в поколение,—
явление достаточно редкое. Подобно музыкальной семье
И. С. Баха, семья математиков и механиков Бернулли
остается уникальной. Числа Бернулли, многочлены
Бернулли, распределение Бернулли, лемниската Бернулли и
многое другое — за всем этим стоят имена целой плеяды
замечательных ученых. То, что было сделано ими за сто
с лишним лет в математике, механике и других областях
науки, позволяет поставить их в один ряд с теми людьми,
о которых Эйнштейн говорил: «Для человечества они
означают то же, что органическая жизнь — для материи: они
являются носителями более высокого сознания» \
Вот несколько красноречивых цифр. Из одиннадцати
членов рода Бернулли, занимавших университетские
кафедры, восемь были математиками, причем три
—выдающимися. В течение 105 лет кафедра математики в Ба-
зельском университете была, по сути дела, «фамильной»
1 Эйнштейн А. Собрание тр. М.: Наука, 1967, т. 4, с. 89.
8

кафедрой, поскольку руководил ею один из членов семьи
Бернулли. На протяжении двух веков (с 1687 г.)
кто-нибудь из Берпулли состоял профессором этой кафедры.
Из восьми мест, предназначавшихся Парижской
королевской академией наук для иностранных членов, два в
течение почти ста лет занимали члены семьи Бернулли —
вначале братья Якоб I и Иоганн I, вслед за ними Даниил
Бернулли, а после его смерти его брат Иоганн II. Четыре
представителя семейства Бернулли были почетными2,
а три — действительными3 членами Петербургской
академии наук. Двое из них — братья Николай и Даниил —
были в числе первых академиков, приехавших в Россию
из-за границы по приглашению \
Как случилось, что старинный род, интересы которого
не выходили за пределы юриспруденции и тому подобных
почтенных занятий, породил плеяду таких замечательных
математиков? Как сформировались те начальные условия,
которые так счастливо определили судьбу и научную
карьеру Даниила Бернулли?
Первые сведения о роде Бернулли, происходящего из
Антверпена5, относятся по времени к разгару событий
нидерландской буржуазной революции конца XVI в. В те
суровые времена Антверпен — крупнейший и богатейший
город Нидерландов — был одним из главных очагов
борьбы за политическую независимость, против тирании
испанских наместников, против экономических и
религиозных притеснений. Он пережил не однажды осаду, штурм
и голод. Связанный с этими событиями раскол страны на
северную часть (протестантскую Голландию, получившую
независимость) и южную (католическую Фландрию, так
и оставшуюся под протекторатом испанской короны)
привел к жестокому террору со стороны испанских
наместников. Судьба рода Бернулли оказалась во многом
типичной для многих фламандских семейств. Религиоз-
2 Иогапн I Бернулли (1667—1748), Даниил Бернулли, Иоганн III
Бернулли (1744—1807), Якоб II Бернулли (1759—1789).
3 Николай II Бернулли (1695—1726), Даниил Бернулли, Якоб II
Бернулли (1759—1789).
4 Виппер Ю. Ф. Семейство математиков Бернулли. М., 1875; Spi-
ess О. Der Mathematiker Bernoulli. Basel, 1948.
5 Существует точка зрения, согласно которой более далекие
предки Бернулли (Bernoulli, Berneuyl) были выходцами из
Испании (см.: Fleckenstein J. О. L'ecole mathematique Baloise des
Bernoulli a 1'aube du XVIIIе siecle. Paris, 1959, p. 9).
9

ные преследования и открытый террор герцога Альбы
заставили одного из старейших членов этого рода —
Якоба Бернулли — покинуть Антверпен и уехать в Германию
(интересно, что в одном с ним потоке беженцев были и
предки великого Рубенса). Приехав в Германию, Якоб
обосновался во Франкфурте-на-Майне, где и умер в
1583 г.6 В Германии Бернулли прожили недолго, и уже
в начале XVII в. один из внуков Якоба Бернулли, тоже
Якоб (1598—1634), приехал в Базель, ставший
впоследствии родиной математической династии Бернулли.
Базель — древний город, воздвигнутый еще в Римскую
эпоху,— представлял собой в те времена небольшой
городок на стыке нынешних границ трех государств:
Швейцарии, Германии и Франции. В конце XVI в. его, как и
многие другие города центральной Европы, наводнили
толпы иммигрантов-гугенотов, людей умных, с
передовыми взглядами, приехавших сюда в поисках лучшей жизни.
Это способствовало развитию наук, искусства, разного
рода ремесел. Приобрело популярность изготовление
часов и других точных приборов. Получили развитие
медицинские, математические знания, механика. Широкому
распространению биологии и медицины способствовало
издание в 1551—1587 гг. монументального пятитомного
труда «История животных» К. Геснера — натуралиста,
филолога и библиографа, а также более ранних по
времени работ Т. Парацельса и М. Сервета. Позднее,
в XVII в., получили известность медицинские трактаты
Т. Боне и И. Вепфера. И. Бюрги к этому времени
(начало XVII в.) независимо от Дж. Непера ввел в математику
логарифмы. Вскоре получили признание имена П. Гуль-
дина, указавшего способ вычисления поверхностей и
объемов тел вращения, И. Баугина, составившего описание
пяти тысяч растений и опубликовавшего его в 1650—
1661 гг., его брата К. Баугина, введшего новые принципы
систематики растений.
Нельзя сказать, впрочем, что развитие науки
протекало в Швейцарии безболезненно. В Европе XV—XVII вв.,
вовлеченной в нескончаемую борьбу между монархами и
папами, протестантами и католиками, богатыми и
обездоленными,— в Европе этого периода наука, знания,
передовые идеи пробивали себе дорогу через массу предрас-
6 Известно, что один из членов франкфуртской ветви — Лев
Бернулли (умер в 1672 г.) сопровождал Адама Олеария в его
поездке в Московское государство и Персию.
10

судков и заблуждений. Великие научные идеи
сосуществовали бок о бок с не менее выдающимся невежеством.
Это было время великого гуманизма и научного
прогресса, с одной стороны, и чудовищной жестокости и
фанатизма — с другой. Так, создавший теорию
кровообращения, ставшую фундаментом для последующего развития
физиологии человека и животных, испанский
ученый-гуманист Мигель Сервет был казнен в кальвинистской
Женеве в 1553 г., разделив участь многих эмигрантов.
В Швейцарии повсюду не прекращалась «охота на
ведьм», т. е. на лиц, подозреваемых в сношениях с
нечистой силой. Вышедшая еще в 1487 г. книга «Молот
ведьм» — учебное пособие по борьбе с «колдунами» и
«ведьмами» — до середины XVII в. переиздавалась более
двадцати раз. Это было время величайших заблуждений,
когда астрономы были одновременно и астрологами, а
химики — алхимиками. Даже великий Ньютон до конца
своих дней тщетно искал таинственный Magisterium —
философский камень, при помощи которого можно было бы
превращать неблагородные металлы в золото... Сложное,
так до конца и не понятое время.
В калейдоскопе больших и малых событий наука,
рациональные знания медленно, но верно проникали,
внедрялись в духовную и интеллектуальную жизнь
общества. Добываемые учеными, священнослужителями,
безвестными комментаторами, переносимые из города в
город, из страны в страну путешествующими
вельможами, простыми людьми, странствующими студентами,
схоластами, художниками и прочими знания закреплялись
затем в ученых трактатах, которые попадали на полки
библиотек монастырей, аббатств, университетов —
основных носителей и хранителей научных ценностей. На
территории Швейцарии такими центрами научной жизни
были сначала Санкт-Галленское аббатство (IX—XI вв.),
а затем — основанные в XV—XVI вв. университеты в
Лозанне, Женеве и Базеле.
Университет в Базеле — гордость города — начал свое
существование с 1460 г., являясь, таким образом, одним
из старейших в Европе. Его структура (четыре
факультета, из которых один был общеобразовательный —
философский и три специальных — богословский, медицинский,
юридический) сохранилась в неизменном виде вплоть до
переезда в Базель семьи Бернулли. Наличие в городе
университета, библиотек, типографии, относительно вы-
11

сокий уровень общей образованности населения (в
значительной степени за счет иммигрантов), наконец,
относительная политическая и экономическая независимость
Базеля, его выгодное географическое положение, мягкий
климат, щедрая природа — все это, разумеется, сыграло
определенную роль в принятом Якобом Бернулли
решении обосноваться здесь (начало XVII в.) и в какой-то
мере предопределило судьбу будущего знаменитого
семейства.
В 1654 г. в семье сына Якоба Бернулли — Николая —
родился первенец, которого в честь деда назвали Якобом.
Занимавший тогда солидный пост члена Высокого Совета
и Суда Николай употребил все свое влияние, чтобы
максимально использовать преимущества базельской жизни
и дать сыну приличное образование. После прохождения
общего курса обучения на философском факультете Ба-
зельского университета и успешной защиты диссертации
на соискание степени магистра искусств
семнадцатилетний Якоб должен был выбрать для продолжения
образования один из трех специальных факультетов:
богословский, медицинский или юридический. Не без известного
давления со стороны отца Якоб выбрал богословский
факультет. И надо отдать ему должное: на этом поприще он
достиг определенной известности. Ему довелось, в
частности, читать проповеди в разных городах и странах на
немецком и французском языках, которыми он, кстати
говоря, прекрасно владел. Во время своих заграничных
путешествий Якоб принимал участие в богословских
диспутах и дискуссиях.
Неизвестно, чем бы закончилась в конце концов эта
его богословская деятельность, если бы не один
замечательный случай. Однажды, рассматривая геометрические
фигуры, Якоб вдруг открыл в них некую до этого
скрытую гармонию линий и был поражен своим открытием.
За этим последовали тайные занятия математикой,
которые вскоре поглотили его целиком. Успехам в этой новой
для него деятельности содействовала рано проявленная
им самостоятельность в работе, основательность, с
которой он проникал в самую глубь изучаемого предмета,
и, наконец, блестящее знание латыни — официального
языка науки того времени, без которого чтение
математических трудов было бы немыслимо.
Математика стала для Якоба всепоглощающей
страстью, которую, конечно, не могли б полной мере
12

Якоб Бернулли
(1654-1705)
одобрить его строгие
родители. Считая,
по-видимому, занятия
математикой все-таки делом
несолидным, они отдавали
предпочтение более
подходящей в практическом
отношении карьере юриста,
медика и другим,
подобным им. Однако
каких-либо радикальных попыток
остановить молодого
Якоба они тем не менее не
предпринимали. В
двадцатидвухлетнем возрасте,
согласно обычаям того
времени, Якоб отправился в
свое первое заграничное
путешествие, длившееся
около четырех лет.
Сначала он поехал в Женеву,
потом на юг Франции и в
Париж. Продолжая
успешно совершенствоваться по богословской части, Якоб
занимался за границей изучением сочинений Декарта,
исследованием причин и характера морских приливов,
изготовлением солнечных часов. В 1680 г. весь ученый мир
наблюдал интересное астрономическое явление — большую
комету, пролетавшую вблизи Земли. Это вдохновило Якоба
Бернулли на его первое самостоятельное сочинение, в
котором он определял комету не как случайный метеор,
а как отдельное небесное тело нашей солнечной системы.
В 1681 г. Якоб отправился в свое второе путешествие,
цель которого состояла уже не в совершенствовании
навыков в богословских диспутах, а в приобретении новых
знаний в области математики, механики, астрономии.
Этими соображениями определился, по-видимому,
маршрут путешествия: Амстердам, Лейден, Лондон. В
Амстердаме он слушал лекции профессоров навигационной
школы, в Лейдене консультировался у
профессоров-математиков по различным вопросам высшей математики, в
Лондоне позпакомился с известным астрономом Гринвичской
обсерватории Флэмстедом. К этому периоду относится
выход в свет второго сочинения Якоба Бернулли «О тяжести
13

1
ЯКОБ
(1654-1705)
профессор
математики
в Базеле
1
i
НИКОЛАЙ
(1687—1759)
доктор прав,
профессор
математики
в Падуе,
НИКОЛАЙ
БЕРНУЛЛИ
(1623-1708)
член Высокого
1
НИКОЛАЙ
(1662-1716)
живописец
и член Суда
J
НИКОЛАЙ
(1695-1726)
доктор прав,
профессор права
в Берне,
профессор
профессор логики г Т математики
и права
в Базеле
1
ИОГАНН
(1744-1807)
лиценциат прав,
королевский
астроном в
Берлине
в Петербурге
1
1
ДАНИИЛ
(1751—1834)
доктор медицины,
профессор
красноречия
в Базеле
1
ф
ИОГАНН КРИСТОФ
(1782-1883)
профессор
технических наук
в Базеле
Совета и Суда
-1
ИОГАНЦ
(1667-1748)
доктор медицины,
профессор
математики
в Гронингене
и Базеле
J
ДАНИИЛ
(1700-1782)
доктор медицины,
профессор
физиологии
и математики
в Петербурге,
профессор
анатомии и
физики
в Базеле
1
ЯКОБ
(1759—1789)
лиценциат прав,
профессор
математики
в Петербурге
1
ИБРОНИМ
(1669-1760)
аптекарь
J
ИОГАНН
(1710—1790)
доктор прав,
профессор
красноречия и
математики
в Базеле
J
НИКОЛАЙ
(1704-1785)
1
4
ИЕРОНИМ
(1748—1829)
Генеалогия семейства Бернулли
воздуха», снискавшего ему известность в ученых кругах.
Вернулся из-за границы Якоб Бернулли в Базель уже
признанным ученым. Здесь ему поручили чтение лекций
по экспериментальной физике, а после смерти
профессора Мегерлина он был единодушно избран в 1687 г.
Советом Базельского университета на должность ординарного
профессора математики, которую он занимал вплоть до
своей смерти.
14

Лучшим учеником Якоба был его младший брат
Иоганн — третий из четырех сыновей Николая Бернулли,
родившийся в 1667 г. и уже в ранние годы поражавший
всех ясностью суждений и быстротой ума. Этих качеств,
как казалось его отцу, было достаточно, чтобы
рассчитывать на успех, скажем, на коммерческом поприще7.
С этой целью отец сначала определил Иоганна в
университет, а затем отправил в небольшое турне по Франции.
После возвращения в Базель и продолжения учебы
восемнадцатилетний Иоганн получил степень магистра.
Незаурядные качества своего ума молодой Иоганн
тратил не на освоение коммерческой науки, а на
изучение математики. В течение двух лет он под руководством
своего старшего брата самым основательным образом
проработал все имеющиеся в то время математические
трактаты и овладел премудростями математики во всем ее
объеме, включая мало кем понимаемый тогда анализ
бесконечно малых. Видя такое рвение со стороны
младшего брата, но желая вместе с тем сориентировать его в
более практическом направлении, Якоб Бернулли
посоветовал Иоганну заняться медициной, поскольку к ней
можно было применить математику, следуя опыту
Декарта, Борелли и др. Иоганн последовал совету брата и
спустя некоторое время благополучно защитил
диссертацию на соискание степени лиценциата медицины. После
ставшего уже традиционным в семье Бернулли посещения
Женевы и Парижа (1690—1692), где Иоганн интенсивно
упражнялся в решении различных задач, состязаясь с
«коллегами по музе», он получил степень доктора
медицины, представив диссертацию «О движении мускулов» —
первый и последний свой серьезный опыт применения
математических методов в физиологии. Во время этого
вояжа Иоганн познакомился с маркизом Лопиталем,
несостоявшимся артиллерийским офицером, которому по
его просьбе давал уроки математического анализа. Около
пяти лет спустя эти лекции-экспромты Бернулли вошли
в хорошо известный и неоднократно переиздававшийся
на разных языках учебник Лопиталя «Анализ бесконечно
малых».
7 Впрочем, надо отдать должное Иоганну Бернулли и вообще
всем другим членам этой семьи: никто из них не следовал
трезвым советам своих родителей. Среди Бернулли были
живописец, аптекарь, профессоры красноречия, юристы, медики
и другие, но коммерсантом, кажется, не стал никто.
15

Слухи о математических успехах Иоганна Бернулли
быстро распространились за границей, и, когда в
Германии в 1693 г. возникла идея основать академию, Лейбниц
предложил ему принять участие в ее организации. Однако
Иоганн отказался от этого предложения. Двумя годами
позже он отказался от профессуры в Галле, так как
несколько ранее принял приглашение Христиана Гюйгенса
занять должность профессора математики Гронингенско-
го университета. В канун нового, восемнадцатого столетия
молодой профессор с женой и маленьким сыном Николаем
прибыл в Голландию — родину своих предков.
Выбор Иоганна был, конечно, не случаен. Голландия
того времени переживала подъем после освобождения от
испанского владычества. Развивались промышленность,
наука, культура. Строились новые города, проводились
каналы, воздвигались дамбы, сооружались мануфактуры.
Страной «образцового капитализма» пазвал Голландию
этого периода Ф. Энгельс. Несмотря на то что первый
голландский университет открылся в Лейдене в 1575 г.,
т. е. намного позже других европейских университетов,
наука в Голландии благодаря усилиям Гюйгенса и других
корифеев механики, физики и астрономии за сто лет
достигла высокого уровня развития, причем главным
образом за счет своей тесной связи с техническими
задачами. Вследствие этого в Голландии были широко
представлены разного рода технические и инженерные профессии,
но почти не было «чистых» математиков-теоретиков.
Здесь в Гронингене 29 января 1700 г. родился второй
сын Иоганна — Даниил Бернулли.
Детство Даниила протекало в обстановке, типичной
для семьи обретающего солидность и уверенность
ученого мужа, который был строгим, но заботливым отцом.
Помимо проведения в университете регулярных занятий
по математике, Иоганн Бернулли читал также еще и
экспериментальную физику (как в свое время его
старший брат Якоб). Его лекции по этому новому тогда еще
предмету пользовались большой популярностью8.
8 Экспериментальная физика как университетский курс в то
время еще только входила «в моду». Большую роль в
распространении этой дисциплины сыграл Христиан Вольф — профессор
университетов в Тюбингене, а затем в Галле, написавший
знаменитый курс физики, который был издан во многих странах
мира. В Петербургской академии наук экспериментальная
физика начала развиваться благодаря трудам Г. Бюльфингера,
ранее профессора университета в Тюбингене, ученика Вольфа.
16

Иоганн Бернулли
(1667—1748)
Этот этап жизни и
творчества Иогапна
Бернулли позднее как в
зеркале отразится в жизни
Даниила в бытность его в
Петербургской академии
наук: те же
систематические занятия математикой,
тот же глубокий
(пожалуй, даже глубже, чем у
Иоганна) интерес к
практическим проблемам
экспериментальной физики
и т. п.
Даниил любил
математику. Первым
воспитателем его и старшего брата
Николая был их отец
Иоганн Бернулли;
старший брат на первых порах
много помогал младшему.
Часто братья подолгу
засиживались за решением задач, которые были им заданы
отцом. Однажды Даниил потратил слишком много
времени на решение одной из таких задач, за что получил
выговор от рассердившегося отца.
В эти годы, насколько известно, в жизни Даниила
Бернулли не произошло ничего выдающегося. В 1713 г.
мальчик заканчивает обычный курс базельской гимназии,
а затем университет. В доме одного священника он
постигает тонкости французского языка. В шестнадцать лет
Даниил уже магистр философии.
До этого времени жизненный путь Даниила — почти
точная копия жизни его старшего брата, который всегда
служил для него примером. И надо сказать, у Николая
было чему поучиться. Он проявил в раннем возрасте
исключительные способности к языкам и уже в восемь
лет говорил на голландском, немецком, французском и
даже немного по-латьгаи. Все пророчили Николаю
блестящую научную карьеру, все видели в нем ученого, хотя
сам Николай питал откровенную неприязнь к сидячему
образу жизни. Трезвые суждения отца, однако, заставили
все-таки молодого человека засесть за изучение правове-
17

дения и защитить диссертацию па степень лиценциата
права.
Затем жизненные дороги Даниила и Николая
разошлись. Насколько известно, отец никогда не побуждал
юного Даниила к юридической карьере. Вероятно, он не
находил в нем необходимых для этого качеств, а возможно, это
был результат влияния Лейбница. Отмечая яркий
математический талант Даниила, Лейбниц писал Иоганну
Бернулли: «Я радуюсь, что твой сын носит печать
Бернулли и хранит наследственный блеск фамилии» 9. Из писем
Иоганна Бернулли Лейбниц знал также и о незаурядных
математических способностях старшего из сыновей —
Николая, радовался этому и писал в ответ, что было бы
лучше, если бы тот занимался физикой и медициной вместо
юриспруденции. Этот авторитетный совет, возможно,
сыграл известную роль в выборе Даниила. Вообще путь в
науку через медицину (такую важную и всегда нужную
профессию) многим казался тогда наиболее оптимальным.
С одной стороны, эта профессия всегда при любых
обстоятельствах могла обеспечить твердый достаток и
устойчивое положение в обществе, а с другой — допускала
сопряжение с другими науками, в частности с математикой.
Как уже упоминалось, сам Иоганн Бернулли получил (по
совету брата Якоба) медицинское образование и степень
доктора медицины. Некоторое медицинское образование
в свое время получили также Леонард Эйлер, Жан Д'Алам-
бер и другие ученые, перешедшие затем полностью на
стезю математики.
Начав изучать медицину в Базеле, Даниил Бернулли
продолжал занятия ею в 1718 г. в Гейдельберге и в 1719 г.
в Страсбурге. После возвращения в Базель он в 1721 г.
защитил диссертацию «О дыхании» 10 и получил степень
лиценциата медицины. В это время в Базеле открылись
вакансии профессуры по анатомии и ботанике, а затем по
логике. Были разыграны традиционные жребии, но
Бернулли не повезло.
По мере изучения различных общеобразовательных и
специальных дисциплин Даниил Бернулли постепенно
проникался все большим интересом к математике. Этим
9 Цит. по ст.: В. И. Смирнов. Даниил Бернулли (1700—1782).—
В кн.: Бернулли Д. Гидродинамика. Л.: Изд-во АН СССР, 1959,
с. 435. (Далее: Смирнов В. И. Даниил Бернулли).
10 Bernoulli D. Dissertatio inauguralis physico-medica de respira-
tione. Basel, 1721.
18

своим увлечением он был обязан влиянию брата Николая.
Со своей стороны Николай, обучая математике своего
младшего брата, по собственному своему признанию,
именно тогда впервые по-настоящему ощутил себя
математиком. Это взаимозаражение математикой, возникшее
у братьев в ходе их домашних занятий сначала в форме
игры, переросшей затем в серьезный устойчивый интерес,
решающим образом сказалось на формировании Даниила
Бернулли как математика. Много позже в своей
автобиографии он писал, что серьезно заниматься
«математическими науками и изучением природы» начал в Базеле в
1720-1723 гг.
Незаметно подошло время отправляться в очередное
традиционное заграничное путешествие, на этот раз в
Италию. Важность этой поездки для будущей карьеры
Даниила Бернулли была очевидной. Такие поездки в то
время, когда не было средств массовой информации,
давали очень многое. Если взглянуть на географию
путешествий Даниила Бернулли в целом, то она производит
внушительное впечатление: Женева, Париж, Гронин-
ген, Страсбург, Венеция, Гейдельберг, Падуя, Болонья,
Петербург и др. Представители семейства Бернулли
побывали во всех ведущих научных центрах Европы
того времени, в том числе в Голландии (где работал
Гюйгенс, определивший математическую карьеру медика
Иоганна Бернулли), в Англии (где племянник Иоганна,
Николай I Бернулли, встречался с Ньютоном и Галлеем)
и т. д.
О племяннике Иоганна Бернулли следует сказать
особо. Сын живописца и члена Суда, родившийся в Базеле
в 1687 г., Николай I Бернулли (1687—1754) не пожелал
идти по стопам отца и обучаться живописи, несмотря на
то что эта профессия при надлежащем рвении могла, по
мысли отца, привести к успеху. Влияние Якоба и
Иоганна Бернулли оказалось сильнее родительских советов,
и семнадцатилетний Николай получает степень магистра
за защиту диссертации о бесконечных рядах. После
поступления на юридический факультет университета
Николай продолжает свои занятия математикой, посещает
с учебной целью Гронинген, где в то время другой его
дядя, Иоганн, служил профессором математики. Со слов
последнего математические успехи Николая Берпулли
становятся известны Лейбницу. Среди ранних достижений
молодого Николая (ему тогда не было еще и девятнадцати
19

лет) было, в частности, определение пути светового луча
в неоднородной среде (французский академик Делагир
в решении этой задачи допустил ошибку).
Видя в племяннике незаурядные математические
способности и желание работать в этой области, Иоганн Бер-
нулли принял активное участие в его судьбе. В 1708 г. он
послал Лейбницу для ознакомления работу Николая под
названием «Теория алгебраических уравнений»,
встреченную Лейбницем с восторгом. После окончания
юридического факультета Николай получил в 1709 г. степень
лиценциата прав за диссертацию «О применении теории
вероятностей в правоведении». Работа содержала
статистический анализ случаев пропажи без вести, решение
вопросов упорядочения уплаты долгов и т. п. Лейбниц
официально поздравил Иоганна Бернулли с рождением
нового математического таланта. В 1710 г. Николай
отправился в Париж, а в 1712 г. совершил путешествие в
Лондон, где вел ученые беседы с Ньютоном, Галлеем,
Муавром и другими выдающимися учеными. Возвращаясь
домой, он остановился в Париже, где три месяца
занимался математикой с Монмором, автором известного
сочинения «Анализ азартных игр». К этому времени относится
начало его личной переписки с Лейбницем. В своих
письмах Лейбниц писал, что он, шестидесятилетний старик,
хотел бы поучиться у двадцатипятилетнего Николая
Бернулли. По-видимому, Николай действительно был
выдающимся даже в такой знаменитой династии, как род
Бернулли. И если не он, а другие члены семейства стали
всемирно известными математиками, то определенную
роль в этом сыграло то обстоятельство, что у последних
были более благоприятные условия для математических
занятий. В самом деле, все они, прежде всего, в
относительно молодом возрасте занимали кафедры, где читали
математику и физику. К тому же все они работали в
ведущих научных центрах Европы. Николай же хотя и
занимал (благодаря стараниям Иоганна Бернулли) в
течение нескольких лет (1716—1719) место профессора в
Падуе и, не смог получить такого же места по
возвращении в Базель из-за отсутствия вакансии. Получив в 1717 г.
степень доктора прав, он с 1722 г. был профессором логи-
11 На это место был приглашен сам Иоганн Бернулли, который
отказался, а вместо себя рекомендовал своего талантливого
племянника.
20

ки в Базеле, а в 1731 г. стал профессором права и
прослужил в этой должности до самой смерти.
По итальянскому маршруту, впервые проложенному
двоюродным братом Николаем, теперь отправился Даниил
Бернулли. Сначала он направился в Венецию на
стажировку к Пьетро Антонио Микелотти — видному
итальянскому врачу, известному своими опытами применения
теоретических методов математики, механики и физики
к медицине. В 1721 г., незадолго до приезда Даниила
Бернулли в Венецию, там была опубликована
«физико-механико-медицинская» диссертация Микелотти, посвященная
вопросам гидродинамики живых организмов 12. Эта работа
увидела свет вместе с новым изданием медицинской
диссертации Иоганна Бернулли «О движении мускулов»
(они были сброшюрованы в одном переплете) — факт
показательный, свидетельствующий о высоком научном
авторитете Бернулли в кругах итальянских ученых13. Все это,
разумеется, в весьма сильной степени способствовало
успехам и продвижению молодого Даниила, которому
красоты и соблазны древнего города не мешали с большим
усердием совершенствовать свои знания в области, в
которой в девяностых годах XVII в. работал его знаменитый
отец.
Несмотря на мягкость характера и, быть может, даже
некоторую застенчивость, Даниил во время своего
краткого пребывания в Венеции проявил изрядную
оперативность и с помощью «одного знатного венецианца, друга
автора», напечатал «Математические упражнения» — свою
первую крупную работу14. Написанная в традиционной
манере, она посвящалась защите идей отца и дяди от
нападок некоторых итальянских ученых. И хотя это —
первая крупная работа начинающего ученого, в ней уже
ощущается почерк будущего мастера. В ней уже можно
увидеть ростки некоторых идей, которые будут развиты
им в его «Гидродинамике» и других работах последующих
лет.
12 Michelotti P. A. De separatione fluidorum in corpore animali. Dis-
sertatio physico-mechanicomedica. Venetiis, 1721.
13 Bernoulli J. De motu musculorum, de effervescentia et fermen-
tatione. Ed. 2 — a priori emendatior. Accedunt Petri Antonii
Michelotti tridentini. Venetiis, 1721.
14 Bernoulli D. Exercitationes quaedam mathematicae. Venetiis,
1724.
21

Опубликование первой серьезной крупной научной
работы, широкое распространение ее в научных кругах15
стало для Даниила Бернулли важнейшим дебютом,
определившим конкретную область всех его дальнейших
изысканий.
15 Годом позже некоторые результаты, содержащиеся в
«Математических упражнениях», были напечатаны в лейпцигском
журнале «Труды ученых» («Acta eruditorum»).
Глава 2
Дебюты
Уже беглое знакомство с «Математическими
упражнениями» i производит такое впечатление, будто это не
первая крупная работа Даниила Бернулли, а нечто вроде
обзора, подводящего итог многолетней научной
деятельности, настолько она насыщена идеями, которые будут
развиты Даниилом Бернулли позже в «Гидродинамике»
(1738) и других работах.
Книга состоит из четырех частей, три из которых
(первая, третья и четвертая) посвящены математическим
вопросам, а одна — приложениям математики к механике,
гидравлике и медицине. Наибольшую известность
получили чисто математические разделы книги, главным образом
в связи с приведенным там изящным исследованием так
называемого уравнения Риккати2. В этих математических
разделах, составляющих большую часть общего объема
книги, Даниил Бернулли полемизирует с известными
итальянскими математиками Джиованни Риззетти, Джа-
копо Риккати и другими по различным вопросам, относя-
1 Полное название работы звучит так: «Даниила Бернулли из
Базеля, сына Иоганна, некоторые математические упражнения»
(«Danielis Bernoulli Basileensis Joh. Fil. Exercitationes quaedam
mathematicae»).
2 Это название уравнение вида у'+ау2=Ьхт получило по
предложению Д'Аламбера в 1763 г. В настоящее время его называют
специальным уравнением Риккати. В этой главе мы рассмотрим
разделы «Математических упражнений», посвященные
уравнению Риккати и механике. К другим рассмотренным здесь
Даниилом Бернулли математическим вопросам (рекуррентные
ряды, теория вероятностей) мы обратимся в 19-й и 20-й главах.
22

DANIELIS BERNOULLII
BASILEENSIS
7 OH. FIL.
EXERCITATIONES QUiEDAM
MATHEMATICS
VENETIIS. MDCCXXIV.
Apud Dominicum Lovifam.
?E1{M1SSU,
ET
Титульный лист книги «Математические упражнения», 1724 г.
щимся к чистой математике, над решением которых в
разное время трудились Паскаль, Ферма, Гюйгенс, Монмор,
Фонтенель, Муавр, братья Бернулли - Якоб и Иоганн,
а также сын последнего - Николай и др. Эти главы,
написанные изысканной латынью, содержат много ссылок на
лейпцигские «Acta eruditorum»; в них также много и
других свидетельств широкой математической эрудиции и
23

образованности автора, привезшего с севера дух новой
науки.
Следует отметить, что Италия конца XVII — начала
XVIII в. вообще и Венеция в частности находились в
положении своего рода математической провинции.
Звездный час итальянской математической истории,
украшением которой стали имена Галилея, Кавальери, Торричел-
ли, Вивиани и других, прошел. Эпицентр математических
бурь и катаклизмов переместился в страны центральной
и северной Европы. Можно сказать, что точное
естествознание делалось теперь там, на севере, где математики были
нужны зарождающемуся буржуазному строю так же, как
инженеры, строители, рабочие мануфактур. Революция
в математике в этих 'странах совпала по времени с
революцией социальной. Дух социальной реконструкции
проник в научные сферы деятельности: в математике, в
частности, стал царить тот же дух борьбы,
предприимчивости, конкуренции, что и в политике и экономике. Сама
профессия ученого становилась профессией в прямом
смысле этого слова со всеми вытекающими отсюда
последствиями. Математика все чаще и больше применялась к
задачам естествознания, прежде всего к механике и
технике. В результате усилившейся миграции населения,
с одной стороны, и расширения межгосударственных
связей—с другой, наука стала многонациональной, в связи
с чем вопросы приоритета, национального престижа
приобрели ярко выраженный, обостренный характер.
Этот дух новой рациональной науки Даниил Бернулли
привез с собой в Венецию, этим духом проникнуты
математические разделы его «Математических упражнений».
Круг проблем, затронутых в сочинении (и в первую
очередь проблемы интегрирования уравнения Рикка-
ти), можно назвать «семейными» проблемами
математической династии Бернулли. Их постановка и первые
попытки решения были самым тесным образом связаны
с именами Якоба и Иоганна Бернулли, разрабатывавших
тогда основы теории интегрирования дифференциальных
уравнений. Их исследования, относящиеся к этим
вопросам, проводились в ходе разработки дифференциального
и интегрального исчисления, открытого Исааком
Ньютоном и Готфридом Вильгельмом Лейбницем в
шестидесятых—семидесятых годах XVII столетия. Братья Бернулли
были также первопроходцами в этих областях математики
и сделали очень многое для создания методов математи-
24

ческого анализа и теории дифференциальных уравнений,
ставших ныне классическими.
Короткая заметка Лейбница о дифференциальном
исчислении вышла в 1684 г. в октябрьском номере лейпциг-
ского журнала «Acta eruditorum» под длинным названием:
«Новый метод максимумов и минимумов, а также
касательных, для которого не служат препятствием ни
дробные, ни иррациональные величины, и особый для этого
род исчисления» 3. Приведя формулировки основных
правил алгоритма дифференцирования, отыскания
экстремумов и касательных к плоским кривым, Лейбниц не
сообщил здесь никаких доказательств своих предложений.
Якоб Бернулли, великий самоучка и энтузиаст, вместе
с младшим братом Иоганном столь сильно
заинтересовался новым методом, что написал его автору в Ганновер
письмо, прося дальнейших разъяснений. Это было первое
письмо в их переписке. Но Лейбниц был в то время
далеко от своей родины —в Италии, и письмо долго
пролежало без ответа. Братьям пришлось постигать тайны
нового метода самим. И когда Лейбниц, находившийся в то
время в великом, поднявшем много шума споре с
картезианцами о мере живой силы, предложил последним в
1689 г. решить задачу об изохроне, то Якоб Бернулли не
замедлил опубликовать в «Acta eruditorum» свое решение
этой задачи со всеми необходимыми расчетами, применив
к ней в полной мере новый перспективный метод — анализ
бесконечно малых. Вместе с решением Якоб со своей
стороны тоже предложил задачу, над которой в свое время
трудился Галилей,— задачу о цепной линии. Теперь с
помощью нового метода она могла быть решена, и в 1691 г.
Гюйгенс, Лейбниц и Иоганн Бернулли прислали свои
решения. Свободное владение всеми тонкостями нового
метода проявилось в сочинении Якоба Бернулли 1692 г.
о локсодромии и некоторых спиралях, в частности
логарифмической. Рассмотрев эту старую задачу (первые
упоминания о логарифмической спирали содержатся в
письме Декарта к Мерсену, 1638; независимо ее открыл
Торричелли), Якоб был поражен тем, что эволюта и кау-
3 Leibniz G. W. Nova methodus pro maximis et minimis, itemque
tangentibus, quae nee fractas, nee. ^rationales quantitates mora-
tnr, ct singulare pro illis calculi genus.— Acta eruditorum, Lipsiae,
1684. Есть русский перевод А. П. Юшкевича в журнале «Успехи
математических наук», 1948, т. III, вып. 1(23), с. 166—173,
25

стика этой кривой также являются логарифмическими
спиралями, и назвал ее spira mirabilis, «дивной кривой»
(термин «логарифмическая спираль» предложил Г. Ф. Ло-
питаль). Перед смертью Я. Бернулли пожелал, чтобы на
его надгробии в соответствии с традицией, восходящей к
временам Архимеда, была изображена spira mirabilis
с надписью «Eadem mutata resurgo» (измененная,
воскресаю прежней).
Эти и другие блестящие результаты братьев Бернулли
поставили их в один ряд с Лейбницем в вопросах
разработки основ математического анализа. Отвечая на первое,
долго пролежавшее без ответа в Ганновере письмо Якоба
Бернулли, Лейбниц писал, что успехи Якоба в новом
анализе таковы, что ему уже нечему учиться у Лейбница
и при должном старании он вполне может и сам без
посторонней помощи постигнуть все нюансы нового метода.
В перечисленных выше работах появляются первые
в истории математики дифференциальные уравнения.
Впервые термин «дифференциальное уравнение»
встречается на страницах письма Лейбница к Ньютону (1676),
но в открытой печати он появился в 1684 г. в
упоминавшейся выше статье Лейбница об основах анализа
бесконечно малых. С особенной активностью в разработку
методов решения дифференциальных уравнений включился
Иоганн Бернулли. Надо сказать, что к этому времени
в отношениях между сдержанным, медлительным,
основательным и даже немного скрытным Якобом Бернулли
и его братом Иоганном (которой был моложе его на
тринадцать лет и отличался, помимо живости восприятия и
быстроты реакции, еще и некоторой несдержанностью,
надменностью во всех вопросах, касающихся его успехов
в математике) наступил период отчуждения. До открытой
размолвки было еще далеко, однако в своих
математических занятиях Иоганн полностью изолировался от
старшего брата — своего первого учителя. Но круг интересов у
обоих оставался одним и тем же.
В 90-х годах XVII в. Иоганн и Якоб Бернулли
начинают активно заниматься разысканием методов решения
линейных дифференциальных уравнений. Для однородных
дифференциальных уравнений подходящий способ был
найден Иоганном Бернулли, для линейного уравнения
первого порядка — Лейбницем. В обоих случаях дело
сводилось к уравнениям с разделяющимися переменными,
т. е. к обыкновенным квадратурам. Метод разделения
26

переменных представлялся весьма перспективным, и его
старались применять ко всем новым типам уравнений.
К 1694 г. относится первое упоминание об уравнении
типа Риккати в небольшой статье Иоганна Бернулли,
помещенной в «Acta eruditorum». Однако в этой заметке
он только привел уравнение и сообщил, что не решил его:
«Я еще не выяснил, можно ли разрешить
дифференциальное уравнение x2dx+y2dx=a2dy путем разделения
переменных» 4. Подобные заявления в статьях того времени
воспринимались по обычаю как вызов на
интеллектуальную дуэль. Якоб Бернулли принял вызов и энергично
взялся за поиски решения. Упоминания о попытках
Якоба Бернулли решить это уравнение в его простейшей
форме
у'=Уг+хг (1)
можно найти в его письмах к Лейбницу, датированных
1697-1704 гг.5
Уравнение долго не поддавалось решению. «Я бы
хотел далее от тебя узнать,— писал он в письме к Лейбницу
27 января 1697 г.,— пытался ли ты исследовать dy—
=yydx+xxdx. Я делал множество попыток, но решение
этой задачи постоянно ускользало от меня»6. В конце
концов Якоб Бернулли представил искомое решение в
виде бесконечного ряда. Правда, сначала (1702) он
только сумел свести исходное уравнение к виду, в котором
решение могло быть представлено с помощью рядов;
само же представление было получено годом позже.
«Кстати,—писал он Лейбницу 15 ноября 1702 г.,—я
вспоминаю другое уравнение dy=yydx+x2dx, в котором мне
не удалось разделить переменные так, чтобы уравнение
осталось просто дифференциальным; но я разделил их
сведением к следующему
дифференциально-дифференциальному уравнению ddy: y=—x2dx2»7. Иначе говоря,
Якоб Бернулли свел исходное уравнение первого
порядка к линейному уравнению второго порядка, введя
фактически новую зависимую переменную и, определяемую из
4 Цит. по кн.: Ватсон Г. II. Теория бесселевых функций, М.: Изд-во
иностр. лит., 1949, т. 1, с. 10.
5 Leibnizens gesammelte Werke. Dritte Folge (Mathematik). Halle,
1855, Bd. 3, S. 50-57.
6 Цит. по кн.: Ватсон Г. Н. Теория бесселевых функций, т. 1, с. 9.
"Здесь и далее сохранена символика оригинала.
7 Там же, с. 9.
27

-- = //. (2)
U
Поскольку для полученного линейного уравнения
второго порядка решение и(х) находится легко в виде ряда,
то искомое решение у (х) будет представляться, как это
видно из (2), в форме частного от деления двух
степенных рядов. Такое решение Якоб Бернулли и сообщил
примерно через год в очередном письме к Лейбницу8.
«Разрешаю уравнение dy=yydx+xxdx в виде дроби,
числитель и знаменатель которой выражается через ряды,
а именно:
/v>3 <v7 Х^~ Х^
Т ~~З^Г7^ 3-4.7.8.11 ~" 3-4-7-8-11-12.15 +
+ 3.4-7-8-1Ы2.15-16-19 ~~~'"
у= - ^— .
1 ~~ ЗТ4 "*" 3-4-7.8 — 3.4-7-8.11-12 +
3.4-7-8.11.12.15.16
фактически произведя деление, можно записать
результат в виде единого ряда, в котором не так легко открыть
закон образования коэффициентов,
У~ 3 "■ 3-3-7 + 3-3-3-7-11 + 3.3.3.3.5.7.7.11 + " #>>
По мнению Г. Н. Ватсона, такое решение (в рядах)
вряд ли кого могло удовлетворить в то время, поскольку
целью интегрирования считали получение решения в
конечном виде. И в этом смысле проблема интегрирования
уравнения (1) по-прежнему оставалась открытой. Тем
не менее ажиотаж, поднятый Иоганном Бернулли вокруг
этого дифференциального уравнения в 1694 г., несколько
утих, и в течение более двадцати лет уравнениями типа
Риккати практически никто серьезно не занимался.
Лишь в 1724 г. венецианский граф Джакопо Риккати
вернулся к старой проблеме и поместил в «Acta erudito-
rum» свой способ решения уравнения более общего вида,
которое теперь называют специальным уравнением
8 Leibnizens gesammelte Werke, dritte Folge, Bd. 3, S. 75.
9 Цит. по кн.: Ватсон Г. Н. Теория бесселевых функций, т. • 1,
с. 10.
28

Риккати:
у'=ах»+Ъу\ (3)
где a, b — произвольные постоянные. Свое решение он
записал в указанной работе в виде анаграммы, содержащей
следующие слова: «Решение проблемы, предложенной
Риккати, записанное тайными знаками: 24а, 6fe, 6c, 8d,
ЗЗе, 5/, 2g, 4Л, ЗЗг, 6Z, 21ттг, 26гс, 16о, 8/?, 5g, 17r, 16s, 25*,
32и, 5#, Зг/, +, —, , ±, =, 4, 2, 1» 10. Подобная
конспирация отнюдь не была простой забавой, а являлась
выражением элементарной предусмотрительности.
Интеллектуальные поединки были в те времена не редкостью,
и применение анаграмм, подобных той, к которой
прибегнул Риккати, было продиктовано вполне понятным
стремлением сохранить за собой приоритет. К такой же
хитрости обращался в свое время Исаак Ньютон,
зашифровавший в анаграмме формулировку основной задачи
дифференциального исчисления и обеспечивший тем
самым, как ему казалось, право на приоритет в открытии
дифференциального исчисления.
Сразу же вслед за статьей Риккати в том же томе
«Acta eruditorum» была помещена небольшая заметка
Даниила Бернулли, содержание которой сводилось к
подтверждению того, что уравнение несколько более общего
вида, чем (1)га именно
axndx+uudx=bdu,
до сих пор считается неразрешимым.
Сам Даниил не стал разгадывать анаграмму Риккати
(которая, кстати говоря, так никогда и не была
разгадана) , а энергично взялся за исследование самого уравнения
и поиск случаев, когда его решение сводится к
разделению переменных. Такие случаи он вскоре нашел и
опубликовал в «Математических упражнениях» и.
Результат Даниила Бернулли сводился в общих
чертах к доказательству того, что при п, равном одному из
следующих значений: 0; -4/i, -4А; -7з, -8А>; -12Д, -12А;
—16/7, —16/9; ..., или в краткой записи
n=-im/{2m±l) (4)
10 Там же, с. 10.
11 Bernoulli D. Exercitationes quaedam mathematicae. Venetiis, 1724,
p. 77—80.—Acta eruditorum, Lipsiae, 1725, p. 473—475.
29

(т — любое целое), и при любых постоянных а и Ь
уравнение (3) разрешимо в элементарных функциях. Чтобы
показать это, Бернулли предварительно доказывает
вспомогательное предложение, заключающееся в том, что
уравнение (3) с показателем (индексом) п при
независимой переменной х может быть преобразовано в уравнение
того же вида, но с другим индексом, равным
(5)
а также в уравнение с индексом
rc**=_rc-4. (6)
Если принять во внимание, что при тг=О переменные
разделяются и исходное уравнение, следовательно, может
быть легко проинтегрировано, то легко видеть из формул
(5) и (6), что в случаях гг=—4 и п=—4/3 это уравнение
также может быть проинтегрировано. Комбинируя
варианты, описываемые соотношениями (5) и (6), и повторяя
процесс понижения индекса нужное число раз, можно
убедиться, что уравнение Риккати интегрируется в
конечном виде во всех случаях, удовлетворяющих
условию (4).
Позднее Эйлер укажет (1769), что, помимо случаев,
охватываемых формулой (4), уравнение (3)
интегрируется в элементарных функциях также и при индексе
п=-2 (7)
(предельный вид уравнения Риккати). А Лиувилль в
1841 г. докажет достаточно сложным методом теорему,
утверждающую, что классические случаи, указанные
Даниилом Бернулли и Эйлером, вообще являются
единственными, когда уравнение Риккати разрешимо в конечном
виде. Таким образом, соотношения (4) и (7) являются
необходимыми и достаточными условиями разрешимости
уравнения Риккати (3) в элементарных функциях. Общее
решение его может быть записано только с помощью
цилиндрических функций.
Даниил Бернулли придавал большое значение работе
Риккати. Несмотря на то что уравнение (3) по виду лишь
немногим отличалось от уравнения (1), предложенного
Иоганном Бернулли тридцатью годами ранее, и несмотря
на то что анаграмма Риккати так и не была разгадана,
Даниил Бернулли все же назвал уравнение (3), а вместе
с ним также и уравнение более общего вида (называемое
30

теперь обобщенным уравнением Риккати)
у'=а(х)+Ь(х)у+с(х)у> (8)
уравнениями Риккати. Уравнение (8) было впоследствии
изучено Эйлером.
Явная симпатия и подчеркнутое уважение Даниила
Бернулли к «умнейшему Риккати», «ученейшему
Риккати» объяснялись не только и, может быть, даже не
столько общностью математических интересов, сколько
единством взглядов на вопросы приложений методов математики
к механике, гидравлике, технике. Риккати,
родившийся в Венеции в 1676 г. и получивший образование в
знаменитом Падуанском университете, из которого вышли
Галилей и другие выдающиеся ученые, был в то время
одной из наиболее авторитетных фигур в области
строительства речных плотин, каналов и других
гидротехнических сооружений, которыми Италия славилась еще со
времен знаменитых римских водопроводов. Продолжая
традиции Секста Юлия Фронтина и других создателей и
кураторов римских водопроводов, каналов, плотин и
прочих гидротехнических и фортификационных сооружений,
Риккати подходил к решению практических вопросов
вполне научно, сопровождая свои соображения
математическими расчетами и выкладками. Это сочетание
инженерного и академического подходов было характерным
для итальянской школы практической гидравлики,
основу которой составляли ставшие классическими сочинения
Фронтина «О водопроводах Рима» («De aquaeductibus
urbis Romae», ок. 98 г.) и др. На протяжении четырех
столетий они неоднократно переиздавались в Риме (1490),
Амстердаме (1661), Падуе (1722), Везеле (1841) и
других городах12.
В формальном плане практическая гидравлика
понималась тогда в Италии как раздел общего учения об
архитектуре, что тоже было связано с давними
традициями, восходящими к Витрувию. Ее элементы можно
встретить на страницах обширных трактатов и руководств по
архитектуре XVII—XVIII вв.13 Основные идеи теоретико-
12 См. также: Frontini de aquis urbis Romae. Leipzig, 1858; Commen-
taire sur aqueducs de Rome. Paris, 1820; Addition au Commentaire
de S. J. Frontine. Paris, 1821.
13 См., например: Blondel F. Cours d'architecture enseigne dans
l'Academie royale d'architecture. Paris, 1675; Belidor B.
Architecture hydraulique. Paris, 1737.
31

механического плана (принцип неразрывности,
постулирующий обратную пропорциональность скоростей и
сечений потока; принцип истечения, устанавливающий
зависимость между скоростью истечения жидкости из
отверстия в сосуде и высотой уровня, и др.), которыми
руководствовались в своей практической деятельности
современники Риккати, вытекали из основополагающих
работ классиков итальянской гидравлической школы —
Бенедетто Кастелли, Эванджелиста Торричелли, Луиджи
Арконати, Карло Фонтана, Доменико Гульельмини,
Джиованни Полени.
К наиболее значительным сочинениям среди
трактатов, написанных этими корифеями механики, относилась
прежде всего работа доминиканского священника,
профессора математики Бенедетто Кастелли «Геометрические
доказательства, касающиеся измерения текущей воды» 14,
где он привел, в частности, несколько различных
модификаций принципа неразрывности, формулируемого в
элементарной форме так:
v~l/e (9)
(и — скорость потока, а — величина поперечного сечения
канала). В 1644 г. ученик Кастелли Эванджелиста
Торричелли добавил в тридцать седьмом предложении второй
книги трактата «О движении естественно падающих и
брошенных тяжелых тел» 15 к результату (9) своего
учителя первое (правильное) решение задачи истечения,
известное теперь как формула Торричелли:
v2~h (10)
(v — скорость истечения жидкости из отверстия в дне
сосуда, h — высота уровня). Мысль именно о такой форме
закона истечения (по форме этот закон совершенно
аналогичен хорошо известному закону Галилея о падении
тяжелых тел16) была подсказана Торричелли его
собственными наблюдениями, свидетельствовавшими о том, что
струя вытекающей жидкости разделяется на ряд отдель-
14 Castelli В. Dimostrazioni geometriche della misura delle acque
correnti. Roma, 1628.
15 Torricelli E. De motu gravium naturaliter descendentium et projec-
torum. Firenze, 1644.
18 Galilei G. Discorsi e dimostrazioni mathematichi intorno a due
nuove scienze... Leida, 1638. Рус. пер.: Галилей Г. Избранные
труды/Гл. ред. А. Ю. Ишлинский. М.: Наука, 1964, т. 2.
32

р
к
А
\ м\
\ С Е
- н
L
Т
н
Q
z_
в
(\
F д :
Рис. 1.
К задаче об истечении
ных свободно падающих капелек,
движущихся со скоростью и,
определяемой начальной высотой
уровня h (гипотеза Торричелли).
Соотношения (9) и (10),
рассматриваемые в совокупности,
давали первую в истории механики
жидкости систему уравнений
неразрывности и движения. Такое
совместное их рассмотрение,
ставшее впоследствии традиционным
у Даниила и Иоганна Бернулли,
Д'Аламбера, Эйлера и др.,
впервые провел Исаак Ньютон17,
давший для той же задачи истечения
другой, более утонченный вариант
решения, основанный на иной ги-
гипотезе, чем у Торричелли. Это решение, кроме всего
прочего, годилось для отверстий истечения не бесконечно
малого сечения. Идея Ньютона, сформулированная им во
второй книге «Математических начал натуральной
философии», сводилась к тому, что истечение жидкости из
отверстия в дне цилиндрического сосуда рассматривалось
как свободное ее падение как целого (continua) в трубке
тока (воронке, cataract) ABFE (рис. 1), подчиняющееся
закону неразрывности в форме (9), с одной стороны, и
закону падения тяжелых тел типа (10) — с другой.
Исходя из этих предположений, Ньютон построил
замкнутую гидродинамическую теорию, которая
позволила ему в той же второй книге «Математических начал»
наряду с вопросами кинематического характера (скорость
истечения, величина расхода, влияние формы отверстия
и различных насадков на характер истечения, влияние
внутреннего движения жидкости в сосуде и т. п.)
правильно поставить и дать первые варианты решения
проблем динамического характера: о силе воздействия
вытекающей жидкости на тела, лежащие в сечении отверстия
истечения или находящиеся в свободном потоке, о реак-
17 Newton I. Philosophiae naturalis principia matheinatica. Londini,
1687; 2 ed., Amstaelodami, 1714. Русский перевод указан в
прим. 18.
2 Заказ Ns 838
33

ции вытекающей струи, о силе, «которая могла бы
произвести полное количество движения вытекающей воды».
Последний из перечисленных вопросов представлялся
многим авторам наиболее интригующим и сомнительным,
несмотря на то что Ньютон нашел для названной силы ее
точное количественное выражение. По его расчетам
(не приведенным, впрочем, в книге), эта сила равнялась
удвоенной силе статического давления покоя в сечении
отверстия истечения. «Сила, которая могла бы произвести
полное количество движения вытекающей воды,— пишет
Ньютон во втором следствии предложения 36 второй книги
«Математических начал» издания 1714 г.,— равна весу
цилиндрического столба воды, основание которого есть
отверстие EF и высота 2CJ или 2СК, ибо вытекающая вода
в продолжение того времени, пока ее количество
сравняется с объемом этого столба, приобрела бы, падая под
действием своего веса с высоты G/, ту скорость, с которою она
вытекает»18. Отсутствие соответствующей аргументации,
по-видимому, и вызывало известное недоверие читающей
публики к полученному результату.
Перечисленный круг проблем, относящихся, вообще
говоря, не просто к практической гидравлике, но также и к
теоретической гидродинамике в современном ее
понимании, оказался в центре внимания гидротехника Джакопо
Риккати, с одной стороны, и врача Даниила Бернулли —
с другой. Почему Риккати привлекли поднятые Ньютоном
проблемы, не требует пояснений. Ясны также и мотивы,
которыми руководствовался Даниил Бернулли,
обстоятельнейшим образом изучавший фундаментальный труд
Ньютона, дотошно сверяя первое издание «Математических
начал» со вторым, существенно измененным именно в
части, относящейся к задаче истечения и вызывавшей много
нареканий, споров, горячих дискуссий. С медицинской
'/•очки зрения Бернулли интересовали вопросы
определения скорости движения жидкости (крови) в кровеносных
сосудах, влияние величины кровяного давления на
характер этого движения и т. д. Попытки математически
поставить задачу медицинского характера естественным
образом приводили Даниила Бернулли к классическим задачам
18 Ньютон И. Математические начала натуральной философии.—
В кн.: Крылов А. Н. Собр. тр. М.; Л.: Изд-во АН СССР, 1936,
т. 7. с. 440—441. (Далее: Ньютон П. Математические начала
натуральной философии).
34

ньютоновской гидродинамики:, в частности,, к задаче исте*-
чения из сосуда.
По этой причине Даниил Бернулли посвятил вторую,
самую крупную (занимающую почти половину общего
объема книги) и, без сомнения, центральную часть
«Математических упражнений» обсуждению этой и ряда
смежных проблем механики.
Раздел имеет романтичное, уводящее нас к давним,
воспетым Франсуа Рабле временам публичных диспутов:
«Вызов на диспут между знаменитейшим Дж. Риккати
и автором». В этом разделе «Математических
упражнений» нет таких четких и изящных результатов, как в
математической части с ее решением уравнения Риккати,
зато в ней мы находим обстоятельный обзор состояния
вопроса, два письма Риккати к Даниилу Бернулли,
датированные 1724 г., и обширные примечания к ним автора по ходу
текста (форма, типичная для такого рода полемических
работ того времени).
С самого начала раздела в числе ученых, исследования
которых имели отношение к классической задаче
истечения, Даниил Бериулли называет имена Исаака Ньютона,
Готфрида Вильгельма Лейбница, Христиана Гюйгенса,
Иоганна I Бернулли, Джакопо Джурина, Пьетро Микелот-
ти, Джиованни Полени, Джакопо Риккати и др. В этой
задаче (обычной и осложненной наличием приставной трубы
или насадка к отверстию истечения, как это показано на
одном из рисунков Даниила Бернулли, помещенном в
«Математических упражнениях») основной интерес Даниила
Бернулли сосредоточивается на проблеме определения
силы давления в покоящихся и движущихся жидкостях.
Совершая небольшой экскурс в область истории, он уже
в самом начале говорит о Ньютоне и Гюйгенсе как о
пионерах в постановке и попытках решения этой проблемы.
При этом он имеет в виду в первую очередь решенную
последними задачу о равновесии вращающейся около
неподвижной оси жидкой массы, находящейся в поле
центральной силы (силы тяжести) с центром внутри этой
массы (жидкая модель Земли) 19. В качестве необходимого
условия равновесия Ньютон принимал равенство весов
двух исходящих из центра С мысленно выделенных
цилиндрических объемов жидкости АасС и cCQq одинакового
19 Newton I. Philosophiae naturalis principia mathematica. Londini,
1687; Huygens Ch. Discours de la cause de la pesanteur. Leiden,
1690.
35 2*

Рис. 2.
К теории фигуры Земли
е q n p
Рис. 3.
К задаче об истечении
сечения, один из которых направлен вдоль оси вращения
PQ, а другой ортогонально к ней (рис. 2). В
«Математических упражнениях» этот вопрос анализируется с точки
зрения возможности использования подхода Ньютона в
задаче о течении в горизонтальной трубе FM,
присоединенной к цилиндрическому сосуду AFBC (рис. 3). Подобно
тому как это имело место у Ньютона, в сочинении Даниила
Бернулли рассматриваются два цилиндрических объема
жидкости AF и FM, «уравновешивающие» друг друга в
процессе истечения20. Особо заметим, что здесь говорится
уже не о равновесии двух тяжелых масс, тяготеющих к
центру их пересечения, а о равновесии в терминах
внутренних давлений. Такой подход на порядок выше
ньютоновского рассмотрения и наглядно характеризует
качественный переход от классического понятия
гидростатического давления Стевина—Паскаля к новому понятию
внутреннего давления Бернулли—Эйлера.
Очень любопытными представляются в связи со
сказанным фрагменты «Математических упражнений»,
содержащие некоторые соображения о «капельке» (guttulae) EF,
являющиеся результатом своеобразной суперпозиции
гипотезы Торричелли о разделении струи на отдельные
изолированные и независимые друг от друга капли и гипотезы
Ньютона о движении вытекающей из сосуда жидкости как
непрерывного целого (рис. 3) 21. Согласно приведенным
в «Математических упражнениях» рассуждениям
«капелька» EF, входящая в трубу FM из сосуда, испытывает с од-
20 Bernoulli D. Exercitationes quaedam mathematicae, p. 36.
21 Ibid, p. 32—36.
36

ной стороны давление, производимое весом вертикального
столба жидкости АЕ1 а с другой — реактивную силу
вытекающей из горизонтальной трубы FM жидкости. При этом
подчеркивается, что здесь имеет место явление той же
природы, что и при отдаче стреляющего орудия, так что
внутреннее давление в текущей жидкости может с
успехом интерпретироваться в терминах принципа равенства
действия и противодействия, который в работе Даниила
Бернулли именуется «второй аксиомой физики» 22.
Частое обращение к упоминавшейся выше диссертации
Пьетро Микелотти «О разделении жидкостей в теле
животного» в связи с обсуждением гипотезы Торричелли и
других смежных вопросов свидетельствует о той большой
роли, которую сыграл этот ученый (и его книга) в
научных изысканиях Даниила Бернулли. По-видимому, под
влиянием прежде всего этой диссертации и постоянного
личного контакта Бернулли с Микелотти (главной целью
поездки Даниила Бернулли в Венецию было, как мы
помним, изучение практической медицины под руководством
Микелотти) у Бернулли отчетливо определилось
направление его деятельности по крайней мере на ближайшие
десять — пятнадцать лет. Это исследования в области
гидродинамики. По сути говоря, в медицине молодой Даниил
черпал разнообразие задач, проникал в их физическую
суть, отыскивал полуинтуитивно оптимальный подход к их
решению. Но суть этих задач оставалась чисто
гидродинамической. Можно сказать, что в рассматриваемый период
времени (1724—1725) основным предметом его научных
интересов были главным образом вопросы
гидродинамического характера. Все они найдут позднее в
«Гидродинамике» свое дальнейшее развитие. Там мы увидим почти
точную копию некоторых фигур из «Математических
упражнений» (см. рис. 3), те же рассуждения относительно
разделения жидкости на «капельки», ту же аргументацию с
позиций принципа равенства действия и противодействия
и многое другое.
Выход в свет «Математических упражнений» Даниила
Берпулли получил в научных кругах Италии большой
резонанс. Во всяком случае, только что учрежденная
Академия наук в Болонье сразу же внесла Даниила Бернулли
в список своих членов, а организаторы такой же академии
в Генуе даже предложили Даниилу пост президента.
22 Ibid., p. 36.
37

Однако эти предложения йе могли заинтересовать
Даниила Бернулли по многим причинам. Во-первых, в то
время название «академия» в достаточной мере оправдывали
лишь две — Парижская королевская академия наук и
Лондонское королевское общество. Все остальные
многочисленные академии не имели сколько-нибудь серьезного
статуса и носили характер скорее дискуссионных кружков
или научных семинаров, как мы сказали бы сейчас.
Существование таких организаций поддерживалось главным
образом за счет энтузиазма ее членов. К этому следовало
добавить также и общее состояние упадка, царившее
в Венецианской республике того времени. Период
активной жизни в Венеции, пора ее расцвета и могущества
ушли в прошлое, теперь это был провинциальный город,
город-музей, город-курорт. Жизнь в экзотической Венеции
могла теперь вдохновить скорее художника, каких, кстати,
там было немало (достаточно упомянуть хотя бы таких
признанных мастеров, как Тьеполо, Каналетто, Гварди
и др.), чем ученого-рационалиста.
Передовые страны Европы, прежде всего Франция
и Англия, в это время уже вступили в новую фазу своего
развития, беря курс на развитие промышленности,
техники (в первую очередь военной), прикладных наук. Они
нашли новое применение традиционной гидравлике, ис
пользуя теперь ее методы для расчета и конструирования
судов. После работ Игнаса Парди, Франсуа Блонделя
и др.23, связанных с механикой и гидравликой, уже в
конце XVII—начале XVIII в. во Франции, например,
стали регулярно появляться сочинения по разным
проблемам, касающимся управления судов, судовождения,
навигации. Сюда относились, в частности, книги: «Теория
судовождения» Бернара Рено, «Теория постройки судов»
Поля Хоста, «Теория практического судовождения, или
принципы и руководства для мореходов» Анри Пито24.
Изобретатели изощрялись в конструировании
всевозможных устройств для измерения скорости движения кораб-
23 Pardies I. La statique ou la science de forces mouvantes. Paris,
1673; Blondel F. Cours d'architecture enseigne dans Г Academic
royale d'architecture. Paris, 1675.
24 Renau B. Theorie de la manoeuvre des vaisseaux. Paris, 1689;
Host P. Theorie de la construction des vaisseaux. Lyon, 1697;
Pitot H. La theorie de la manoeuvre des vaisseaux reduite en
pratique, ou les principes et les regies pour naviguer le plus
avantageusement qu'il est possible. Paris, 1731.
38

ля — задачи, несложной только на первый взгляд25.
Ведущие европейские академии всячески поощряли
деятельность ученых в этом направлении.
В 1724 г. Парижская академия наук объявила конкурс
на тему «О средствах сохранять равномерность водяных
или песочных часов на море». Это был, кстати говоря,
первый из академических конкурсов, регулярно
проводившихся с тех пор ведущими европейскими академиями.
Первая премия была присуждена Даниилу Бернулли и его
отцу Иоганну.
Решение жюри конкурса было, конечно, не
случайным. Иоганн Бернулли не был новичком в вопросах,
относящихся к применению механики к морскому делу . Ему
принадлежит даже специальное исследование под
названием «Очерк новой теории судовождения с несколькими
письмами по тому же предмету» 2в. Написанное в 1714 г.,
это исследование касалось давней, относящейся к концу
восьмидесятых — началу девяностых годов XVII в.
дискуссии между Рено, выпустившим в 1689 г. свою
«Теорию судовождения», и Гюйгенсом. Об этой дискуссии
Иоганну Бернулли стало известно от его ученика Лопи-
таля, сообщившего о ней бывшему учителю в письме от
16 июля 1694 г. Эта работа Иогапна Бернулли,
свидетельствующая о его раннем и глубоком интересе к вопросам
гидравлики, по-видимому, стимулировала формирование
научных интересов молодого Даниила. Впрочем,
некоторые историографы считают возможность такого влияния
Иоганна Бернулли на занятия гидродинамикой его сына
спорной27; значительно более вероятным с их точки
зрения является влияние работ Микелотти.
Как бы то ни было, а успех серьезного специального
исследования по прикладной механике благоприятным
образом отразился на всей последующей научной
деятельности Даниила Бернулли, отличительной чертой которой
стала никогда не оставлявшая его с тех пор
предрасположенность к конкретным актуальным задачам, практически
важным и нужным. Это нашло выражение уже в том, что
25 Pitot H. Description d'une machine pour mesurer la vitesse des
eaux et le sillage des vaisseaux.— In: Histoire de l'Academie dcs
sciences. Paris, 1732.
26 Bernoulli J. Essay d'une nouvelle theorie de la manoeuvre des
vaisseaux avec quelques lettres snr le meme sujet. Basle, 1714.
27 Hahn R. L'hydrodynamique au XVIII siecle. Aspects scientifiques
et sociologiques. Paris, 1965, p. 16.

в течение своей жизни он много раз принимал
участие в академических конкурсах, пришедших на смену
традиционным обменам задачами путем личного контакта
ученых и с помощью переписки. В десяти случаях
Даниилу сопутствовала удача, причем в четырех из них он
становился единоличным обладателем приза. По числу
премий, полученных в академических конкурсах, Бернулли
уступал первенство среди своих современников лишь
Эйлеру.
Тематика конкурсного исследования Даниила
Бернулли перекликается с содержанием второго раздела
«Математических упражнений». Строго говоря, задача о
клепсидре — это задача на применение в чистом виде
интегрального принципа неразрывности
OU=C0Vo (11)
и формулы Торричелли, которую можно записать для
данного случая в виде
vo = V2gy- (12)
Совместное решение соотношений (11) и (12) приводит
к уравнению такой образующей кривой клепсидры
при которой обеспечивается постоянство скорости и
снижения свободной поверхности уровня в верхнем сосуде
клепсидры, что и является показателем хода времени в
подобных часах (здесь х, у — декартовы координаты
образующей клепсидры; о — площадь снижающейся со
скоростью v свободной поверхности; а0 — площадь отверстия,
соединяющего верхний и нижний сосуды клепсидры; v0 —
скорость истечения из этого отверстия; g — ускорение
силы тяжести). Подобные задачи на применение принципа
неразрывности и формулы Торричелли составляют
основное содержание подавляющего большинства исследований
Даниила Бернулли по механике жидкости, проведенных
им в последующие девять лет (1725—1733). Эти задачи он
называл «совершенно геометрическими, т. е. не
требующими никакого физического рассмотрения» 28, имея в виду
28 Бернулли Д. Гидродинамика, или Записки о силах и движениях
жидкостей / Пер. В. С. Гохмана; Коммент. и ред. А. И.
Некрасова и К. К. Баумгарта; вступительная статья В. И. Смирпопа.
Л,: Изд-во АН СССР, 1959, с. 95.

сводимость их математической формулировки к
ческим соотношениям (11) и (12).
Целью дальнейших его исследований по
гидродинамике стало последовательно разрабатываемое им в
течение указанных девяти лет положение, заключающееся
п том, что в более общих постановках «опыт показывает
обратное» и задачи о движении жидкости в каналах
произвольной геометрии оказываются существенно
физическими, т. е. требующими введения представлений о
внутренних напряжениях в жидкостях. Эти исследования
Гыли проведены Даниилом Бернулли во время его
пребывания в Петербургской академии наук, основанной
Петром I, куда Даниил был приглашен в 1725 г. в качестве
действительного члена вместе с группой других
иностранных ученых.
Глава 3
Петербургская академия наук
Петр I, вошедший в историю под именем Петра Вели-
кого, был исключительной личностью. Это был царь,
правивший огромной страной и преобразовавший ее с
помощью серии важнейших реформ; человек выдающейся
воли, ума и характера, одинаково умело владевший
топором и искусством политики; самодержавный монарх,
лишенный монаршей чопорности, сделавший пленную
девушку российской царицей; честолюбец, без ложной
скромности назвавший построенный им город на Неве
своим именем; ученый, член Парижской академии наук
(1717), лично знавший Фонтенеля, Лейбница, Делиля,
Дювернуа, Вольфа. Он первым из русских царей
предпринял в начале своей политической карьеры
заграничное путешествие. Во время этой и других поездок он
обучался ремеслам, наукам, изучал структуру научных
обществ, академий и университетов, примеряя все эти
иностранные образцы к российским условиям.
Эти условия были далеки от благоприятных. Науки
как таковой в России тогда не существовало. Сам Петр
впоследствии вспоминал, что лишь в четырнадцать лет
41

Ой впервые узнал об астролябии, причем никто из его
окружения так и не смог вразумительно объяснить ему
принцип работы с этим инструментом до тех пор, пока не
нашелся некий голландец, который настолько владел
математикой и механикой, что был в состоянии
преподавать Петру I геометрию и фортификацию.
Однако несмотря на отсутствие науки, почва для ее
организации в России была уже в достаточной мере
подготовлена. За годы царствования Петра экономика страны
заметно окрепла. Развились новые отрасли
промышленности — металлургия, суконное производство, были
построены верфи, оружейные заводы. Всего в стране
действовало около двухсот мануфактур.
Как и на Западе, центрами интеллектуальной жизни
в России сперва были монастыри, в которых в XV—
XVI вв. действовали школы начального типа.
Существовавшие еще с XV в. библиотеки этих монастырей
пополняли свои фонды не только за счет ввоза литературы
из-за границы, но также и благодаря открывшемуся
в 1561 г. в Москве печатному двору, где работал
легендарный первопечатник Иван Федоров. При некоторых
монастырях действовали школы, где преподавались
латинский и греческий языки, а также грамматика, риторика,
богословие, философия. Для составления календарей
изучали арифметику, которая, как и начала геометрии,
требовалась и для налогового дела, и для торговли. Кроме
монастырских школ, существовали небольшие школы
более светского характера.
В 1631 г. в Киеве была основана Киево-Могилянская
академия, а в 1687 г. в Москве —
Славяно-греко-латинская академия. Эти учебные заведения готовили
образованных людей и для церкви, и для государства. Здесь по
самодеятельным рукописным учебникам изучали не
только древние языки, но и логику, натурфилософию.
В Московской академии обучался П. В. Постников,
первый из известных нам русских, получивший докторскую
степень в Падуанском университете.
В общей программе государственных реформ,
проводившихся Петром I, важное место заняла организация
светских государственных школ для подготовки остро
необходимых стране кадров технической и научной
интеллигенции. С этим было связано начало издания печатной
учебной литературы по широкому кругу математических
и естественных наук. В первой четверти XVIII в., начи-
42

ная с 1701 г., открывается целый ряд новых школ сперва
в Москве, а затем и в других городах. Но всего этого было
в более далекой перспективе недостаточно, и Петр
задумал учредить в России Академию наук как главный центр
развития и распространения естественно-научных и
технических знаний.
Идея Петра, которая впервые в достаточно четкой
форме прозвучала в 1698 или 1699 г. в ходе беседы с
патриархом Адрианом, состояла в создании чисто светской
академии как государственного учреждения, субсидируемого
из царской казны и контролируемого властями. В ходе
личных контактов Петра I и Лейбница в 1711, 1712,
1716 гг. эта идея приобрела более четкие очертания.
Обмен письмами Петра I и Христиана Вольфа
свидетельствует о том, что к 1720 г. у русского царя четко
сформировалась мысль «учредить Академию наук и при
ней другое заведение, где бы могли знатные лица изучать
необходимые науки, а вместе с тем водворить художества
и ремесла» 4. Соответствующее решение Сената было
принято в 1724 г.
Самым тонким, очевидно, был вопрос об оптимальном
подборе кандидатов в академики. В феврале 1721 г. Петр I
посылает за границу своего библиотекаря И. Д.
Шумахера, будущего административного руководителя академии,
для вручения Парижской академии карт и описания
Каспийского моря (что оправдывало избрание царя Петра
академиком «вне всяких рангов» в Париже), а также для
переговоров с иностранными учеными с целью
«сочинения социетета наук, подобно как в Париже, Лондоне,
Берлине и прочих местах» 2. К этой работе специальным
указом были привлечены лейб-медик царя Лаврентий
Блюментрост, ставший впоследствии первым
президентом академии, русские послы в Берлине и Париже Г. И.
Головкин н Б. И. Куракин. Большую помощь в подборе
кандидатов оказали лейпцигский ученый И. Б. Менке и
в особенности Хр. Вольф, сам, впрочем, не принявший
приглашения российского царя занять пост президента,
по зато рекомендовавший на академические посты
математиков Якоба Германа, Николая II и Даниила Бернулли,
1 Из письма Хр. Вольфа лейб-медику Петра I, будущему
президенту академии Л. Блюментросту от 11 января 1721 г. Цит. по
кн.: Пекарский П. П. История императорской Академии наук
в Петербурге. СПб, 1870, т. 1, с. XXVIII—XXIX.
2 Цит. по кн.: Пекарский П. П. История императорской Академии
наук в Петербурге, т. 1, с. 5.
43

физиков Мартини, Бюльфингера и др. Вскоре вслед за
приглашениями последовали письменные согласия и
заключения контрактов. С нового 1725 г. академики начали
съезжаться в Россию, где правление страной перешло
после смерти Петра к его жене Екатерине.
По поводу приглашения братьев Николая и Даниила
Бернулли в Петербургскую академию в краткой
автобиографии Даниила просто записано, что «он был приглашен
в С.-Петербург вместе с братом Николаем»3. В
«Материалах для истории императорской Академии наук» мы
находим запись, помеченную датой 22 июля 1724 г.,
о получении в Петербурге письма из Нюрнберга от
И. Г. Доппельмейера, содержащего отказ последнего от
предложенного места в академии и далее сообщение о
том, что он знает «весьма преизрядного человека, а
именно Николая Бернуллиуса, славного Йог. Бернулли сына,
который не усумнится службу принять, ежели он
усмотрит, что оная ему полезна» 4. Блюментрост очень
заинтересовался возможностью вступить в контакт с
представителем знаменитого семейства Бернулли. В ответном
письме к Доппельмейеру от 3 ноября 1724 г. он пообещал дать
Николаю Бернулли должность профессора кафедры
механики с жалованьем в 1000 рублей, которое со временем
могло быть доведено до 1500 рублей в год. Это был самый
высокий из предлагавшихся академикам окладов,
составляющий 4% всей суммы, отпущенной Петром I на
организацию академии.
В это же время по инициативе Христиана Вольфа
между Блюментростом и Иоганном Бернулли завязалась
переписка по поводу приглашения в Петербург также и
Даниила Бернулли, находившегося в то время в Италии.
В записи академических материалов от 29 декабря 1724 г.
мы находим сообщение о том, что «Вольф подает великую
надежду о [Данииле] Бернулли» б.
В результате переговоров Блюментрост направил
Иоганну Бернулли письмо с официальным приглашением
Бернулли на службу в Петербургскую академию, не ука-
3 Бернулли Д. Автобиография.— В кн.: Бернулли Д.
Гидродинамика, с. 429.
4 Материалы для истории императорской Академии наук. СПб.,
1885, т. 1, с. 60. (Впрочем, мысль о приглашении Николая II
Бернулли Доппельмейеру подсказал X. Гольдбах. См. об этом
в кн.: Копелевич Ю. X. Основание Петербургской академии
наук. Л.: Наука, 1977.)
5 Том же, с. 74.
44

зав, однако, кого именно он имеет в виду — Николая или
Даниила. 20 января 1725 г. Иоганн Бернулли писал по
поводу этого курьеза Христиану Гольдбаху, который тогда
находился в переписке с Блюментростом и Головкиным:
«Уже несколько месяцев тому назад мне писал славный
Вольф, что ему поручено от имени российского
императора предложить кафедру математики в Петербургской
Академии моему сыну. Поскольку он, однако, не указал
имени сына, коему она предназначается, и лишь по
некоторым обстоятельствам можно было о сем догадаться,
то я решил, что это — младший сын», т. е. Даниил6. Здесь
же Иоганн Бернулли говорит о вышеупомянутом письме
Блюментроста, полученном им ранее, в котором не было
указано, кто именно из сыновей приглашался в Петербург,
а также о болезни Даниила Бернулли, находящегося в то
время в Падуе. В заключение Иоганн Бернулли просит
Гольдбаха передать русскому послу в Берлине Головкину
и Блюментросту, занимавшимся подбором кандидатов в
академики, о причинах опоздания ответа от него и
просьбу отсрочить ответ до выздоровления Даниила Бернулли.
Сам Даниил писал в тот же период Христиану
Гольдбаху следующее: «Если вам будет угодно сообщить этим
господам (Блюментросту и Головкину.— А. Г. и Б. К.)
какие-либо сведения о моей личности и моих силах в
математике, то... прошу вас только не льстить мне по
дружбе и сказать откровенно ваше мнение, хотя бы оно было и
не в мою пользу... Я только что в эту минуту получил
письмо от брата: он из дружбы, истинно братской,
говорит, что не решается отпустить меня в Московию, а ежели
я уже непременно хочу отправиться туда, то и он готов
пожертвовать своими выгодами (у него кафедра, которая
ему приносит по крайней мере 150 луидоров) и
сопутствовать мне. Я полагаю, что было бы легко найти обоим нам
место в Петербурге тем более, что нет ничего обширнее
математики. Если вы можете способствовать
осуществлению этого предположения, то окажите услугу, устранив
разлуку двух братьев, которых так сильно соединяет
самая тесная дружба» 7.
Наконец, 5 июля 1725 г. был подписан контракт,
согласно которому Даниил Бернулли назначался
профессором физиологии при Петербургской академии наук с
6 Цит. по ст.: Смирнов В. И. Даниил Бернулли, с. 436.
7 Цит. по кн.: Пекарский П. П. История императорской Академии
паук в Петербурге, т. 1, с. 100.
45

жалованьем в 800 рублей в год. А спустя три месяца,.
27 октября того же года, вместе со своим старшим братом
Николаем, получившим профессуру на кафедре
математики с окладом в 1000 рублей, Даниил Бернулли прибыл
в северную столицу8.
Одной из главных причин стремления ученых запада
служить Российской империи были (помимо высоких и
благородных целей) те весьма благоприятные и щедрые
условия, которые смогли создать организаторы
Петербургской академии для приезжающих иностранцев. Лучше
всех выразил настроения ученых, давших свое согласие
на приезд в Петербург, Иоганн Бернулли: «...лучше
несколько потерпеть от сурового климата страны льдов,
в которой приветствуют муз,— писал он, отправляя своих
сыновей в Петербург,— чем умереть от голода в стране с
умеренным климатом, в которой муз обижают и
презирают» 9.
У Иоганна Бернулли были веские основания делать
подобные заявления. Многие европейские академии того
времени не имели твердого бюджета, а некоторые (как
Королевское общество в Лондоне) представляли собой
добровольные научные общества, время от время получавшие
правительственные субсидии. Академия же в Петербурге
представляла собой государственное учреждение с
обширным штатом ученых и вспомогательного персонала, своими
мастерскими, типографией, библиотекой, обсерваторией и
т. д. Все расходы, связанные с академическими изданиями
(журналы, книги и проч.), изготовлением приборов и т. п.,
брало на себя государство.
Много позже, 18 ноября 1749 г., Эйлер, вспоминая
годы, проведенные им в Петербургской академии, писал из
Берлина Шумахеру: «...я и все остальные, имевшие
счастье состоять некоторое время при Русской
императорской Академии, должны признать, что тем, чем мьт
являемся, все мы обязаны благоприятным
обстоятельствам, в которых там находились. Что касается меня лично
то при отсутствии столь превосходного случая я бы вы-
пужден был заняться другой наукой, в которой, судя
по всем признакам, мне предстояло бы стать лишь кропа-
8 Об организации в России Академии наук и комплектовании ее
состава см. указанную выше книгу 10. X. Копелевич.
9 Цит. по кн.: История Академии паук СССР. М.; Л.: Изд-во
АН СССР, 1958, т. 1, с. 71.
46

На вопрос прусского короля Фридриха II о том,
где он изучил все, что зйает, Эйлер отвечал: «...я всем
обязан своему пребыванию в Петербургской Академии» и.
Структура Петербургской академии наук существенно
и во многих аспектах выгодно отличалась от структуры
других европейских академий. В Лондонском королевском
обществе, например, не были представлены исторические
и юридические науки. Для Франции было характерным
параллельное существование «тематических» академий,
в том числе Парижской академии наук, где изучались
математические науки и естествознание, академии
надписей для изучения истории, Французской академии,
предназначавшейся для изучения французского языка. В
Берлинской академии значительное место было отведено
богословским наукам.
Петербургская же академия носила более
универсальный характер и делилась на три класса — математический,
физический и гуманитарный, включавших в себя
различные кафедры, в том числе: кафедру математики, кафедру
астрономии, географии и навигации, кафедру механики,
кафедру теоретической и экспериментальной физики,
кафедру анатомии и физиологии, кафедру ботаники и др.
Кроме того, на Петербургскую академию была возложена
подготовка национальных научных кадров и для того
учреждены при ней гимназия и университет. Этого в
других академиях не было.
Кафедру математики возглавил старший по возрасту
и виднейший из академиков Якоб Герман, перед тем
работавший в университете Франкфурта-на-Одере и
приехавший в Петербург летом 1725 г. В Европе он был
известен работами по анализу бесконечно малых и
различным приложениям. Особую известность получила его
изданная на латыни работа «Форономия, или записки о
силах и движениях твердых и жидких тел» 12,
опубликованная в 1716 г. В январе 1731 г. Герман вернулся к себе
на родину, в Базель. Первые шесть томов «Комментариев
Петербургской императорской академии наук» 13 содержат
10 Цит. по кн.: История Академии паук СССР, т. 1, с. 71.
11 Там же, с. 71.
12 Phoronomia, seu de viribus et motibus corporum et fluidorum.
Amstelodami, 1716.
13 Эти «Комментарии», т. е. «Записки», выходили с 1728 по 1806 г.
на латинском языке сперва под названием «Commentarii Acade-
miae scientiarum imperialis Petropolitanae» (14 томов), а затем
47

ряд статей Германа по различным вопросам
математического анализа, геометрии, механики, в том числе об
интегрировании обыкновенных дифференциальных уравнений
первого порядка, о кривых и поверхностях второго
порядка, о сферических эпициклоидах, о колебаниях маятника
и т. д.
Другой видный академик, занявший в 1725 г. место
профессора математики в Петербургской академии,
Христиан Гольдбах, был человеком широких интересов. Он
был эрудитом во всех областях естественных и
гуманитарных наук. Как писал академик П. Н. Фусс, в Петербурге
он с одинаковым энтузиазмом вступал в горячие
дискуссии с Байером по поводу классической и восточной
филологии, со Стошем по поводу археологии и т. д.; Бюльфин-
гер увлекает его метафизикой, а «Эйлер и Бернулли
заставляют его толковать о математике и приобщают к
тайнам высшего анализа и науки чисел» 14. В теории
чисел имя Гольдбаха известно в связи с так называемой
гипотезой Гольдбаха 15. В Петербургских «Комментариях»
можно встретить некоторые его работы, касающиеся,
в частности, исследования уравнения Риккати,
преобразований бесконечных рядов и др. В дальнейшем Гольдбах —
первый конференц-секретарь и советник академии (1725—
1728), ушел из нее в 1742 г. на дипломатическую работу
в ведомство иностранных дел русского правительства, где
занимал высокие посты и дослужился до чина тайного
советника.
Третий из петербургских академиков, работавших на
кафедре математики,— Николай II Бернулли прожил в
Петербурге всего восемь месяцев, скончавшись летом
1726 г. В первом томе «Комментариев» были посмертно
опубликованы две его статьи о движении тел под
действием удара и по теории интегрирования дифференциаль-
под названиями «Novi commentarii...» (20 томов), «Acta...»
(6 томов в 12 частях) и «Nova acta...» (15 томов).
14 Correspondance mathematique et physique de quelques celebres
geometres du XVIII siecle. Par. P.-H. Fuss. T. 2. St.-Petersbourg,
1843, p. XXXIII. (Далее: Correspondance mathematique et
physique).
15 Гипотеза Гольдбаха, согласно которой всякое натуральное число,
большее двух, есть сумма не более трех простых чисел, была
впервые сформулирована в письме Гольдбаха к Эйлеру от
27 мая (7 июня) 1742 г. Академик И. М. Виноградов в 1937 г.
доказал справедливость этой гипотезы для всех достаточно
больших нечетных чисел.
48

яого уравнения Риккати и линейных уравнений первого
порядка.
Одним из наиболее авторитетных членов академии был
приехавший в Петербург осенью 1725 г. Георг-Бернгард
Бюльфингер, о котором уже говорилось выше. Ему была
предложена профессура по кафедре логики, метафизики
и морали. Однако научные интересы Бюльфингера
выходили далеко за рамки его основной должности. В
Петербурге он занимался физикой (в 1726 г. он перешел на
кафедру экспериментальной и теоретической физики),
механикой, математикой, а позднее увлекался ботаникой.
Среди петербургских академиков он был первым
представителем картезианской механики и противником учения
Ньютона о пространстве и времени. Ряд его работ по
картезианской теории вихрей опубликован в первых томах
«Комментариев». Одна из таких работ, объяснявшая
довольно сложным образом элементарные механические
движения, получила приз Парижской академии наук.
Бюльфингер был первым и самым серьезным противником
Даниила Бернулли в вопросах, связанных с механикой,
экспериментальной физикой и др., причем противником
не всегда достаточно объективным. Их споры иногда
выходили за рамки традиционной научной дискуссии, и
после вмешательства Шумахера в один из таких конфликтов
Бюльфингер в 1731 г. уехал из России. Однако как
почетный член Петербургской академии он и впоследствии
продолжал поддерживать с ней связь.
Среди сотрудников академии, занимавших другие
кафедры, следует особо отметить Жозефа Делиля,
известного французского астронома, профессора Королевского
колледжа в Париже, члена Парижской и Прусской академий
наук и Лондонского королевского общества. Делиль был
приглашен в Петербургскую академию самим Петром I
через Шумахера еще в 1720 г. Приехав в Петербург в
марте 1726 г., Делиль занялся астрономическими
наблюдениями, подготовкой проекта создания астрономической
обсерватории (первоклассной по тем временам) и
множеством других важных вопросов. В частности Делиль
предложил способ сообщения жителям Петербурга
сигналов точного времени пушечным выстрелом.
Помощниками Делиля были Фридрих-Кристоф Майер и
Георг-Вольфганг Крафт, оба ученики Бюльфингера.
В 1731 г. Крафт получил звание академика и должность
49

профессора общей математики, а затем (1733) заменил
Эйлера на кафедре экспериментальной и теоретической
физики. Научная деятельность Майера, одного из
наиболее талантливых академиков, закончилась рано: он умер
в Петербурге в 1729 г., оставив четырнадцать статей,
из которых наиболее ценными были работы по
математике, в особенности по тригонометрии.
Особую группу составили сотрудники кафедры
анатомии и физиологии. Здесь тон задавали Даниил Бернулли
и доктор медицины Тюбингенского университета Иоганн-
Георг Дювернуа, приехавший в Россию в 1726 г. и
проработавший в академии до 1741 г. Если Даниил
Бернулли занимался главным образом вопросами
механико-математического моделирования физиологических функций
и процессов в организме человека и животного, то
Дювернуа был приверженцем традиционной описательной
анатомии. В своей исследовательской практике Дювернуа
делал вскрытия патологоанатомического характера,
использовал в работе микроскоп. Результаты наблюдений
ученого регулярно публиковались в первых четырнадцати
томах петербургских «Комментариев».
Третий сотрудник кафедры анатомии и физиологии,
Иосиф Вейтбрехт, получил образование в России. Будучи
учеником Даниила Бернулли и Дювернуа, он в своей
деятельности развивал их исследования. Основные
работы Вейтбрехта касались проблемы физиологии мышц
и органов кровообращения. Им, в частности, было
показано, что движение крови по сосудам объясняется не
только деятельностью сердца, сила сокращений которого
недостаточна для обеспечения непрерывной циркуляции
крови по сосудам, но и анатомо-физиологическими
особенностями стенок сосудов.
Усилиями трех названных академиков — Даниила
Бернулли, Дювернуа и Вейтбрехта в России была создана
первая физиологическая школа. Классические работы,
выполненные на кафедре анатомии и физиологии Петербургской
академии наук в первой половине XVIII в., такие,
например, как «Syndesmologia» (1742) — труд о связках
человеческого тела Вейтбрехта, известны сейчас каждому
специалисту. На долю Даниила Бернулли выпала честь быть,
кроме того, основоположником нового нетрадиционного,
нестандартного направления в отечественной физиологии.
Его путь физиолога-исследователя, далекий от
стереотипной в то время карьеры анатомов, привел в копечпом сче-
50

те к замечательным открытиям, выходящим за рамки
собственно физиологии и снискавшим ему мировую славу.
Каково отношение физиологических исследований
Даниила Бернулли к предмету его вечной страсти —
математике и механике? В чем конкретно выражалось
взаимовлияние этих двух сторон творчества ученого? Вот
вопросы, которые будут рассмотрены в последующих главах.
Глава 4
Профессор физиологии
Корни глубокого интереса Даниила Бернулли к
проблемам физиологии можно легко увязать с теми общими
настроениями, которые переживала научная
общественность Европы XVII—XVIII вв. — периода становления и
развития механицизма как научной системы, как
научного миропонимания. Триумфальное шествие механики
и математики, захватывающих в сферу своего влияния все
новые и новые области интеллектуальной деятельности
людей, побуждало исследователей к новым, еще более
рискованным и соблазнительным попыткам применения
рациональных методов в самых, казалось бы,
«нематематических» областях знания. Среди других попытка
проникновения с помощью механико-математических методов
в тайны человеческой природы, живой материи, самой
жизни представлялась задачей весьма трудной, но вместе
с тем и весьма благодарной. Она сразу оказалась в центре
внимания представителей широких математических кругов,
и в первую очередь таких признанных эрудитов, как
Декарт, Лейбниц, Иоганн Бернулли и др.
С точки зрения Рене Декарта, главного идеолога
механико-математического подхода в физиологии, основа жизни
заключалась в теплоте, которая концентрировалась в
сердце и сообщалась по кровеносным сосудам всем частям
тела *. Еще в 1637 г. в «Рассуждении о методе» 2 Декарт
писал: «Для того, чтобы те, которые не знают силы
математических доказательств и не привыкли различать ис-
1 Descartes R. Traite de l'homme. Paris, 1677.
2 Descartes R. Discours de la methode. Leyde, 1637.
51

тинные доводы от правдоподобных, не вздумали без
исследования опровергнуть изложенное, я желаю
предупредить их, что указанное мною движение с
необходимостью следует из расположения органов в сердце,
которое можно видеть глазом, из теплоты, ощущаемой
пальцами, и из природы крови, с которой можно ознакомиться
на опыте» 3.
Одним из главных элементов, определявших работу
тела человека и животных как действие некоей машины,
было открытое в 1616 г. английским врачом Вильямом
Гарвеем непрерывное циркуляционное обращение крови
в теле. Исследование Гарвея под названием
«Анатомическое исследование о движении сердца и крови в
животных» 4 увидело свет в 1628 г. и сразу же было с
энтузиазмом поддержано Декартом, у которого, по его
собственным словам, «не хватало слов, для того, чтобы выразить
ему похвалу за такое великое открытие» 5. По сути дела,
с этой даты физиология ведет отсчет своей истории как
самостоятельная научная дисциплина.
Суть и ценность идеи Гарвея заключалась, во-первых,
в открытии им большого и малого кругов кровообращения
и, во-вторых, в обнаружении того факта, что сердце
является единственным двигателем крови в организме. Гарвей
установил, что кровь вытекает из сердца по артериям и по
венам возвращается к нему обратно. Все эти уникальные
четко сформулированные открытия были подготовлены
более ранними трудами Гиппократа и Аристотеля, Галена
и Везалия, Сервета и Коломбо, Фаллопия и Мальпиги и
многих других6.
Открытие Гарвея в значительной мере стимулировало
развитие медицинской науки вообще и физиологии
в частности. XVII в. ознаменовался серией выдающихся
открытий в области физиологии, следовавших одно за
другим. В 1661 г. итальянский биолог М. Мальпиги в ходе
доказательства существования кровообращения впервые
описал капилляры. В первой половине столетия Декарт
открыл рефлекторный принцип, согласно которому вся
деятельность организма является отражением (рефлексом)
3 Декарт Р. Рассуждение о методе с приложениями «Диоптрика»,
«Метеоры», «Геометрия». М.: Изд-во АН СССР, 1953, с. 46.
4 Harvey W. Exercitatio anatomica de motu cordis et sanguinis in
animalibus, 1628.
5 Декарт Р. Избранные произведения. М.: Госполитиздат, 1950,
с. 558.
6 История биологии с древнейших времен до начала XX века.
М.: Наука, 1972.
52

внешних воздействии, осуществляющимся через
центральную нервную систему. Выпустивший в 1680—1681 гг.
в Риме сочинение «О движении животных»7,
получившее широкое признание, итальянец Джиованни Борелли
впервые применил математические методы и законы
механики для объяснения движения животных и механизма
дыхания. В этой же книге Борелли впервые использовал
методы гидравлики для исследования движения крови по
кровеносным сосудам. Для Иоганна Бернулли, а затем
и Даниила эта работа Борелли стала главным источником
идей, нашедших свое выражение в диссертациях обоих
ученых и их последующих сочинениях.
Этот путь сопряжения методов гидравлики и
физиологии в конечном счете привел к тому, что к концу первой
трети XVIII столетия английский ученый С. Гейлс
определил величину кровяного давления. К этому же
времени относится завершение Даниилом Бернулли работы
над «Гидродинамикой», одной из главных целей которой
было определение давления в сосудах в более общей
постановке. Работая над своей книгой, Даниил выражал
надежду, что она «откроет новую эпоху (nouveau jour) в
физиологии» 8.
Однако фактически им было сделано гораздо больше.
Открытые Даниилом Бернулли законы динамики
жидкости были вскоре положены в основу гидродинамики,
гидравлики, гемодинамики, физиологии; они используются
и в геологии, и в исследованиях динамики звезд, и во
многих других областях естествознания. Действительная
ценность открытого Даниилом Бернулли в полной мере
была осознана много позже; в тот период деятельность
Даниила Бернулли,1 протекавшая в пограничной области
между практической физиологией и относительно
абстрактной математикой и механикой, не всеми его
современниками воспринималась с должным интересом и пониманием.
По существу говоря, именно этот пограничный характер
исследований Бернулли и привел в известной мере к тому,
что Даниил Бернулли не стал безусловным лидером ни
среди физиологов, ни среди математиков.
Тот факт, что Даниил Бернулли в короткий
промежуток времени (1724—1733) достиг столь впечатляющих
7 Borelli G. De motu animalium. Romae, 1680—1681.
8 Из письма Даниила Бернулли к Христиану Гольдбаху от 17 июля
1730 г. См. в кп.: Correspondence mathematique et physique,
t. 2, p. XXX.
53

результатов, был во многом обусловлен исключительно
благоприятными условиями, которые были созданы для
физиологов в Петербургской академии, о чем он сам
неоднократно говорил.
Официальное начало деятельности Даниила Бернулли
в качестве профессора физиологии в Петербурге относится
к концу 1725 г. 4 декабря 1725 г. на заседании
Конференции императорской академии наук (так назывались тогда
регулярно проводившиеся дважды в неделю собрания
академиков) Бернулли сделал свое первое научное
сообщение на тему «Возражения Питкарну против его теории
о выделении соков в теле животного» («De secretione
humorum in corpore animali contra Pitcarnium»). Через
две недели за первым докладом последовал второй на
аналогичную тему.
Однако уже следующий свой доклад, прочитанный
Даниилом Бернулли через полтора месяца, он полностью
посвятил чистой механике. С этого момента выступления
Даниила по вопросам, относящимся к чистой механике
и математике, стали системой. В течение первого года
пребывания Бернулли в Петербурге им было сделано
около десяти таких сообщений. Все они имели целью
построение подходящего механико-математического базиса
для последующей разработки физиологических проблем.
Эта тенденция была характерна не только для научной
деятельности Даниила Бернулли, но и для его лекционно-
просветительской работы в качестве профессора
университета при академии9.
В Петербурге Даниил Бернулли продолжает
поддерживать связь со своим учителем Пьетро Антонио Мике-
лотти. 16 июля 1726 г. он выступил в академической
Конференции по поводу письма Микелотти, относящегося
к разным вопросам из области медицины. Впоследствии
имя Микелотти не раз будет упоминаться на заседаниях
академической Конференции.
Основное направление работ Даниила по физиологии
в этот период было связано с проблемой механического
описания двигательной функции мышц человека и
животных. Это определяло и характер чисто механических работ
Даниила Бернулли этого периода: основные среди них
были посвящены вопросам определения, сложения и разло-
9 См.: Материалы для истории императорской Академии наук, т. 1,
с. 170.
54

жения сил. К этим вопросам примыкали проблемы
кинематики (сложения движений). Среди докладов, прочитанных
в этот период Даниилом, есть, в частности, такие, как
«О сложении и разложении сил» (1 февраля 1726 г.),
«Геометрические доказательства к рассуждению о
сложении сил» (8 и 15 марта 1726 г.), «О сложении движений
и сложении сил» (14 июня 1726 г.) и др.
Выбор такой тематики естествен. Развивая и
совершенствуя идеи своего отца Иоганна, изложенные в его
неоднократно переиздававшейся диссертации «О движении
мускулов», Даниил Бернулли моделировал работу мышц с
помощью механизма действия растянутой или сжатой
пружины. В это же время он интенсивно занимался
исследованием физиологии зрения. Результаты всех этих
исследований были опубликованы уже в первом томе
петербургских «Комментариев»10, официальное утверждение
содержания которого состоялось 16 января 1728 г. на
очередном заседании Конференции. В соответствии с планом
в него были включены сразу три работы Даниила
Бернулли: «Исследование принципов механики и геометрические
доказательства относительно сложения и разложения сил»,
«Опыт повой теории движения мускулов» и
«Эксперименты со зрительным нервом» и.
Первые годы пребывания Даниила Бернулли в
Петербурге были омрачены безвременной смертью его старшего
брата Николая, который не отличался крепким здоровьем,
лечился в Италии, но это не помогло. На состоявшемся
1 августа 1726 г. торжественном собрании Петербургской
академии наук, проходившем при участии императрицы,
Екатерина I лично выразила свои соболезнования
Даниилу Бернулли и заверила его в своем расположении к нему.
После смерти брата Даниилу перешли две его
математические рукописи, которые он подготовил к опубликованию
в первом томе петербургских «Комментариев».
Через год скончалась Екатерина I. Начавшееся
царствование Петра II сулило мало хорошего. Вместе со своим
двором он переехал в Москву. Вслед за ним уехал и Блю-
10 Commentarii Academiae scientiarum imperialis Petropolitanae,
далее именуется сокращенно: Comm. Petrop.
11 Examen principiorum mechanicae et deinonstrationes geometri-
cae de compositione et resolutione virium.— Comm. Petrop., 1728,
1, p. 126—142; Tentamen novae de motu musculorum theoriae.—
Ibid., p. 297—313; Experimentum circa nervum opticum.— Ibid.,
p. 314-317.
55

ментрос?, после чего фактическое руководство академией
перешло в руки Шумахера, отличавшегося деспотическим
нравом и выполнявшего эти новые возложенные на него
функции не лучшим образом.
Большой радостью для Даниила Бернулли в эти
времена было общение с юным Эйлером, приехавшим в
Петербург при горячем содействии Даниила как раз в день
смерти Екатерины I.
Леонард Эйлер, родившийся в Базеле 15 апреля 1707 г.,
был сыном пастора Пауля Эйлера, человека искушенного
в математике (он учился некогда у Я. Бернулли) и
познакомившего сына с ее началами. В 1720 г. Леонард Эйлер
поступил в Базельский университет, и здесь в изучении
математики ему помог своими консультациями Иоганн
Бернулли. В 1723 г. Эйлер закончил первый цикл учения
в университете и получил степень магистра искусств. По
желанию отца он продолжил учение на богословском
факультете университета, но любовь к математике взяла
верх, и он оставил богословие. В ходе своих внеурочных
занятий с Иоганном Бернулли Леонард подружился с его
сыновьями — Николаем и Даниилом. Когда те
отправились в Петербург, «у меня,— писал Эйлер впоследствии,—
явилось неописуемое желание отправиться вместе с ними...
Дело, однако, не могло так скоро осуществиться, а между
тем названные молодые Бернулли крепко обещали мне по
прибытии своем в Петербург похлопотать о пристойном
для меня месте, что скоро и действительно случилось
с тем, чтобы я свои математические знания применял к
медицине» 12.
Сохранилось письмо Даниила Бернулли, написанное
Эйлеру в 1726 г., передающее некоторые детали,
связанные с приездом Эйлера в Петербург: «Несколько месяцев
тому назад я писал к вам по приказанию нашего
президента г. Блюментроста и от его имени приглашал вас занять
место адъюнкта в нашей Академии с жалованьем
по 200 рублей в год. Я очень хорошо понимал, что оно
гораздо ниже ваших достоинств, и хотя вы сами приняли
такое предложение, я не преминул однако хлопотать о
ваших выгодах и был настолько счастлив, что преуспел в
этом. Вы будете судить о том сами, милостивый государь,
по письму, которым удостоил меня г. Блюментрост и кото-
12 Цит. по кн.: Пекарский П. П. История императорской Академии
наук в Петербурге, т. 1, с. 250.
56

рое посылаю вам в подлиннике. Вас ожидают здесь с
величайшим нетерпением, итак поспешите насколько
возможно скорее и выезжайте еще этою зимою. Но если вас
устрашит позднее время года, то советую воспользоваться
малым промежутком остающегося у вас времени, чтобы
изучить анатомию и прочесть книги, в которых излагается
физиология в применении к геометрическим началам, как-
то Беллини, Борелли, Питкарна и других. Между тем не
забудьте прислать в наискорейшем времени какую-нибудь
из ваших статей. Ею вы убедите, что сколько ни говорил
я о вас хорошего, однако так и не высказал всего, так как
уверен, что я тем самым оказал Академии гораздо
большую услугу, чем вам» 13.
В начале зимы 1726 г. известие о принятии в
Петербургскую академию дошло до Эйлера. Весной 1727 г. он
отправился в Петербург.
Идея приглашения Эйлера в Петербург на кафедру
физиологии целиком принадлежала Даниилу Бернулли. Он
всерьез собирался основать здесь, в северной столице,
новую физиологическую школу, способную конкурировать
с существовавшими в то время ведущими школами Запада.
С этой целью он стремился создать вокруг себя в
Петербурге кружок квалифицированных математиков,
способных перевести описательную физиологию на
рациональный язык точного естествознания. В привезенном Эйлером
и представленном в академию обширном списке задач, за
решение которых он мог бы сразу приняться, значительное
место было отведено задачам, непосредственно
примыкающим к физиологии в том плане, в каком ее хотел
видеть Даниил Бернулли. Это были в первую очередь
задачи о движении жидкости в трубах и сосудах, задачи о
распространении звука и т. д. Эйлер занял место адъюнкта
на кафедре анатомии и физиологии, где вскоре подготовил
трактат на тему «Основы движения крови по артериям»
(«Principia pro motu sanguinis per arterias determinando»).
Однако поставленная Даниилом Бернулли задача
превышала возможности того времени. Прежде всего совершенно
недостаточно развита была сама механика жидкостей. Что
касается Эйлера, то он вскоре почти полностью
сосредоточился на математике и ее приложениях к задачам
механики, физики и астрономии. Некоторое время спустя он пе-
Тт же, с. 250-251.
57

решел сперва на кафедру физики (1731), а затем на
кафедру математики (1733).
Сам Даниил Бернулли сознавал необходимость
предварительной углубленной разработки гидромеханики и
физики; немало внимания он уделял совершенствованию
прикладных математических методов. В 1728 г. он даже
перешел с должности профессора физиологии на
должность профессора математики (которая после его отъезда
в Базель перешла к Эйлеру). Более того, даже спустя три
года после приезда в Петербург у Даниила Бернулли не
было ясности относительно генеральной темы, которую,
согласно договоренности, каждый академик должен был
разработать до истечения срока действия контракта. О
состоянии, которое испытывал тогда Даниил Бернулли,
можно судить по тону его писем. «Узнав через г-на Мюллера,—
писал он 15 сентября 1728 г. Блюментросту,— что вы
приказали, чтобы каждый из профессоров составил вкратце
какой-нибудь трактат, я имею честь испрашивать для
себя, в частности, вашего решения по этому предмету, чтобы
мне можно было тем лучше сообразоваться с ним. Поэтому
умоляю вас, милостивый государь, дать мне знать, обязан
ли я составить какой-нибудь трактат из физики,
математики или же систему физиологии. Я сознаюсь, что последняя
возьмет у меня несравненно более времени, чем первые,
но трудность не устрашит меня, и я думаю, что сделал
довольно много новых наблюдений касательно
кровообращения, движения мускул, дыхания, питания, зрения,
образования голоса и пр. Сделайте, милостивый государь, мне
одолжение, удостоив меня вашими приказаниями сколь
возможно скорее, потому что подобного рода работы
требуют много времени, а между тем срок приближается» 14.
К этому времени у Даниила Бернулли созревает идея
написания большой книги по физиологии, первой частью
которой стал бы большой отдельный самостоятельный
трактат по гидравлике. Об этом намерении он сообщает
своим корреспондентам Джиованни Полени, Христиану
Гольдбаху и др. В письме от 5 июня 1729 г. Даниил
Бернулли информирует Шумахера о своих планах: «Месяцев
с шесть как я приступил к сочинению очень полного
трактата о законах движения воды, который будет около
сорока листов. Однако эта работа займет у меня почти день и
14 Цит. по кн.: Пекарский П. П. История императорской
Академии паук в Петербурге, т. 1, с. 101.
58

ночь в продолжение всего времени, которое у меня
остается по моему обязательству... У меня теперь мысли так
наполнены этим предметом, что я весьма бы желал иметь
возможность, не отрываясь новыми занятиями, окончить
работу так, как она представляется теперь в моем уме.
Я обязуюсь в таком случае окончить ее прежде моего
отъезда. Я не думал, чтобы это сочинение потребовало столько
труда, а потому намеревался присоединить к нему вторую
часть, для применения этих открытий к кровообращению,
движению воздуха при вдыхании и других жидкостей
человеческого тела» 15.
Можно привести много подобных высказываний
Даниила Бернулли, выдержек из писем, цитат из его
многочисленных работ, раскрывающих истинный характер
отношения его к предмету физиологии. Много этих свидетельств
можно найти в книге Ф. Губера «Даниил Бернулли
(1700—1782) как физиолог и статистик» 16 — одной из
немногих биографических работ, в которых Даниил
Бернулли предстает перед читателем в том амплуа, какое он сам
первоначально хотел занять в мире науки, в амплуа
физиолога и медика, применяющего математические методы.
Значительную часть всего научного наследия Даниила
Бернулли по механике, физике, математике (намного
превышающего по объему все его чисто физиологические
работы) следует понимать, строго говоря, как имеющее
подчиненное по отношению к физиологии отношение.
Занимаясь разработкой этих проблем, Даниил Бернулли, как
правило, имел в виду их последующую практическую
реализацию в различных отделах физиологии. Именно в этом
заключается основной смысл научного творчества
Бернулли, его творческое кредо. Однако объективный ход
развития науки привел к тому, что Даниил Бернулли стал
одним из основоположников механики.
15 Там же, с. 106.
16 Huber F. Daniel Bernoulli (1700—1782) als Physiologe und Sta-
tistiker. Basel, Stuttgart, 1959.
59

Глава 5
Механика
Теоретическая механика обязана Даниилу Бернулли
многим, но, по-видимому, больше всего пониманием того,
что ее фундаментальные законы, записанные в форме
законов сохранения, есть не что иное, как первые
интегралы дифференциальных уравнений движения
(уравнений Ньютона)
тдгхг1д?=Рг, г=1, 2, 3. (1)
Возможно, кто-то из 'современных механиков не найдет
в этом очевидном факте «состава открытия», тем более
что оно подготавливалось и делалось не одним Даниилом
Бернулли. Однако нашим предшественникам этот факт
представлялся далеко не очевидным, и исторически всё
складывалось не так просто.
Одной из самых глубоких проблем, занимавших
ученых-механиков во все времена, была проблема адекватной
формулировки основного закона механической природы.
За многовековую историю развития человеческой мысли
было предложено большое число разных вариантов
решения этой проблемы, которые, однако, можно свести к двум
основным. Остановимся на первом из них.
Этот вариант характеризовался тем, что реализовавшие
его исследователи шли с самого начала по пути выделения
в механических явлениях некоторых сохраняющихся
комплексов свойств, величин, характеристик и т. п. Начала
разработки такого подхода восходят к древним грекам,
которые в своих рассуждениях зачастую даже отрицали
наличие в природе вообще каких бы то ни было
изменений. Идеологом такой ортодоксальной позиции был Пар-
менид.
В ходе поисков сохраняющихся комплексов
естественным путем возникла специфическая форма
математического выражения законов и закономерностей природы
в виде пропорций, отвечающих этой сохраняемости.
Например, соотношение Аристотеля
Si/ti=S2/t2=s/t=const (2)
(записываемое в те времена, конечно, не в символической,
а в словесной форме) выражало сохранение, т. е. неизмен-
60

яость, равномерность движения (здесь s — путь, t —
время). Отношение sit впоследствии постепенно приобрело
самостоятельный механический смысл и было названо
скоростью. Еще позже стали рассматривать случаи, когда
Стиль и характер поисков субстанциальных связей от
древних греков перешел с некоторыми изменениями в
XVII в. Рене Декарт был первым, кто поставил задачу
отыскания основного закона природы как действительно
математическую задачу и решил ее в первом
приближении, причем достаточно строго \ Сформулированный им
вариант парменидовской идеи неизменности мира,
постулирующий сохранение суммарного количества движения
в масштабе всей вселенной (закон сохранения количества
движения)
Smii7i=const, (3)
базировался на элементарных наблюдениях за поведением,
соударяющихся тел (здесь Шг — масса, у» — скорость).
Согласно основной идее Декарта, считавшего движение
(наряду с протяженностью) главным атрибутом материи, все
без исключения движения в природе вызываются
взаимными соударениями тел и их инерциальным
перемещением в пространстве в промежутках между столкновениями.
Все явления, происходящие в природе, Декарт считал
сводимыми к такой модели взаимных соударений.
Это была чисто механическая и существенно
упрощенная модель мира. Создав ее, Декарт указал на самый
корень проблемы поиска единой рациональной
всеобъемлющей связи, единого механического принципа. Соударение
тел — вот исходная первооснова всего существующего
в материальной природе, вот что обусловливает единство
и взаимосвязанность частей кажущегося разрозненным
мира. А математическое выражение этого единства,
символизирующее связь двух соударяющихся масс ти т21
скоростей до удара (и4, и2) и после него (у4, у2),
miui+m2u2=mivi+mzv2 (4)
становится, следовательно, основным законом механики.
Впрочем, в отношении понятия массы ни у Декарта,
ни у его современников не было четкого представления:
все они говорили, как правило, не о массе, а о «весе», «тя-
1 Descartes R. Principia philosophiae. Amstelodami, 1644.
61

жести», «грузе», «теле» и т. п. Лишь Ньютон в 1687 г.
впервые попытался внести ясность в представление о массе
(количестве материи), определив ее как «меру таковой,
устанавливаемой пропорционально плотности и объему
ее» 2.
После Декарта законы теории удара продолжали
исследоваться, проверяться и уточняться с помощью
многочисленных экспериментов. Первым формулу Декарта
(4) скорректировал Христиан Гюйгенс в трактате «Об
ударе тел», написанном в 1652 г. В октябре 1666 г.
Лондонское королевское общество объявило конкурс на
решение задачи об ударе, на который представили свои
работы Валлис, Рен и Гюйгенс, еще более продвинувшие
вперед теорию соударения. Вскоре к разработке проблемы
подключился Эдм Мариотт, опубликовавший в 1678 г.
свой «Трактат об ударе тел», выдержавший три издания
(1678, 1679 и 1684 гг.). К восьмидесятым годам относится
и серия экспериментов, выполненных Ньютоном в плане
исследований явления удара и описанных им в
«Математических началах натуральной философии».
Несмотря на многочисленные исправления и
дополнения, суть идеи Декарта, лежащей в основе его закона (3),
оставалась прежней. Однако вскоре выяснилось, что эта
связь не может претендовать на то, чтобы называться
всеобщим законом механики. Формула (3), так хорошо
зарекомендовавшая себя в теории упругого удара,
оказалась несостоятельной в случаях, где механическое
движение переходит из одной формы в другую. В этом случае
предположение о сохранении количества движения
приводило к ошибочному выводу о возможности бесконечного
накопления количества движения, т. е. о возможности
«вечного механического движения».
Первым, кто высказал принципиальное возражение
против учения Декарта, был Готфрид Вильгельм Лейбниц,
опубликовавший в 1686 г. статью под названием
«Краткое доказательство ошибки знаменитого Декарта и
других, относящейся к закону природы, согласно которому
бог желает сохранить количество движения одним и тем
же». Справедливость и всеобщий характер закона
сохранения количества движения (3) для многих
исследователей казались вытекающими из «золотого правила меха-
2 Ньютон И. Математические начала натуральпой философии,
с. 23.
62

Готфрид Вильгельм
Лейбниц
(1646-1716)
ники» (правила статики),
согласно которому веса в
состоянии равновесия
обратно пропорциональны их
возможным перемещениям
или скоростям этих
перемещений. Так как в то
время вес все еще
отождествлялся с массой, то эта
пропорциональность и
означала, по сути дела,
равенство тех произведений,
которые Декарт называл
«количеством движения».
Лейбниц, однако, показал,
что это равенство носит
случайный характер и что,
строго говоря, здесь
должно соблюдаться равенство
произведений весов и
высот. Просто в данном
частном случае высоты
оказались пропорциональны
скоростям. Но в общем случае высоты, согласно закону
падения Галилея, должны быть пропорциональны квадратам
скоростей, достигнутых при падении, поэтому вместо
соотношения (3) следует писать
2j tfiii?j2 = const. (5)
Величина, стоящая в левой части под знаком суммы,
называлась Лейбницем по-разному: «живая сила», «сила
движения», «движущая сила». А все соотношение в
целом называлось «принципом сохранения живых сил».
Надо, впрочем, сказать, что вся эта терминология была
введена Лейбницем еще до того, как закон сохранения
живых сил приобрел знакомые нам очертания и
математическое выражение. Лейбниц сформулировал его как
всеобщее философское положение, а не как
математическую теорему. В основе его лежали соображения весьма
общего порядка.
Позднее разработкой идеи Лейбница и ее
последующей математической реализацией в конкретных задачах
механики занимались Христиан Гюйгенс, Иоганн и
Даниил Берпулли и др.
63

Таким представляется нам сейчас одно из двух
направлений развития механики с момента ее зарождения
до начала XVIII в., характеризовавшееся поисками
основных закономерностей материальной природы в форме
законов сохранения.
Была еще и другая линия развития механики, идущая
от Гераклита, основным лейтмотивом которой был не
поиск глобальных сохраняющихся связей, или законов
сохранения, а отыскание локальных
причинно-следственных связей, или законов изменения. В отличие от Пар-
менида Гераклит считал, что все в мире находится в
состоянии непрерывного изменения, движения.
Аристотель добавил к этому, что такое непрерывное движение,
или «изменение вообще», не случайно, не стихийно,
а подчинено внутренней логике, что вслед за причиной
с необходимостью идет следствие, которое в свою очередь
становится причиной другого следствия, и т. д. С тех пор
задача объяснения совокупности явлений окружающего
мира стала формулироваться как задача отыскания
причин, по отношению к которым данные явления
материальной природы являются следствиями.
В механике синонимами термина «причина» были
такие, как «побуждение», «мощь», «сила» и т. п. Но
употребление этих терминов не всегда (особенно на ранних
этапах развития механики) сопровождалось достаточным
проникновением в суть вопроса. И тем не менее даже в
этом случае, даже не будучи вначале четко
сформулированной, идея силы — одна из наиболее глубоких и
содержательных идей механики во все периоды ее развития —
на протяжении столетий играла в механике роль
фундаментального централизующего начала. Причем
«поскольку каждому сознательному применению человеком силы
предшествовал волевой акт, то позади физического
понятия силы искали нечто более глубокое, метафизическое,
какое-то присущее телам стремление; в случае, например,
силы тяжести — стремление соединиться с себе
подобным» 3.
С тех пор как первичное примитивное представление
о силе вошло в практику научных исследований, вопросом
первостепенной важности стал вопрос о том, каким
именно образом сила передает движение движущемуся телу.
Платон в «Теэтете» и Аристотель в «Физике» говорили,
Лпуэ М. История физики. М.: Гостсхиздат, 1956, с. 22.

в частности, об особом механизме, который якобы имел
место при движении тела в среде4. Согласно этим
представлениям стрела, например, выпущенная из лука,
приводит в движение окружающий ее воздух, который,
обтекая стрелу со всех сторон, подталкивает ее сзади и
таким образом сообщает ей движение. Некоторые из
комментаторов Аристотеля, например Иоанн Филопон
(Иоанн-Грамматик), считали, что обратный вихрь в следе
движущегося тела не является причиной движения и что
«движущая сила» непосредственно передается телу от
какого-нибудь двигателя. Такая трактовка, между
прочим, уже допускала возможность движения в вакууме.
Ибн Сина (Авиценна) и другие комментаторы в своих
сочинениях продолжали и впоследствии развивать эту
оказавшуюся очень живучей идею.
Полемика вокруг вопроса о силах, может быть,
не была бы столь оживленной (история науки знает
немало успешных попыток построения «механики без
сил»), если бы не существование земного тяготения —
этого постоянного свидетельства присутствия некоторой
«природной силы». Тяжесть, понимаемая как некая
способность, заставляющая каждое тело двигаться в свое
«естественное место», поначалу была единственным
представителем силы природы. Именно с силой тяжести
ученые раннего периода истории механики связывали
причину всех естественных проявлений материального мира.
Это обстоятельство с течением времени привело к
известной абсолютизации понятия веса: всякий новый тип «сил
природы» непременно связывался с тяжестью, выражался
и измерялся ею. Так, например, обстояло дело с
развитием представлений о внутреннем давлении в жидкостях5.
Вначале оно успешно выражалось через вес жидкой массы
(Архимед, III в. до н. э.). Затем, однако, эта связь стала
усложняться (Стевин, Паскаль, XVI—XVII вв.) и, нако-
4 Движение тела вне среды, т. е. в вакууме, Аристотель считал
абсурдным и на этом основании считал невозможным
существование пустоты. Мир как механическая система, думал он,
представляет собой абсолютно сплошное тело — материальный
континуум.
5 Трусделл К. Этапы развития понятия напряжения.— В кн.:
Проблемы механики сплошной среды (к семидесятилетию
академика Н. И. Мусхелишвили). М.: Изд-во АН СССР, 1961;
Ковалев В. Д. Понятие давления на ранних этапах развития
гидродинамики.— В сб.: Вопросы истории естествознания и техники.
М.: Наука, 1974. Вып. 4(49).
3 Заказ № 838 65

нец, усложнилась настолько, что потребовалось введение
в механику принципиально нового, не зависимого от
других понятия внутреннего давления в точке среды (Эйлер,
XVIII в.). С тех пор вес и внутреннее давление
(упругость) определялись в соответствии с точкой зрения
Лейбница как «два главных средства, употребляемые
природой при производстве тех или иных феноменов».
Несмотря на очевидные проявления сил в природе,
исследователи даже к середине XVII в. так и не
научились оперировать этим понятием достаточно свободно.
Говоря о грузах, тяжестях и прочем, они не рисковали
включать эти понятия непосредственно в математические
выкладки и формулы. Законы Кеплера, законы Галилея,
формула истечения Торричелли — все это были
кинематические соотношения. Термины «импетус», «живая сила»,
«потенция» и другие, несмотря на наличие некоторого
оттенка динамического, были тем не менее терминами
кинематическими. Вслух говорили лишь о кинематической
мере сил, но не о самих силах.
Первыми, кто в полный голос заговорил о силе как о
самостоятельной физической величине, были Христиан
Гюйгенс и Исаак Ньютон. Гюйгенс в 1659 г. дал формулу
для определения центробежной силы
Fn6=mv2/r, (6)
продемонстрировав тем самым принципиальную
правомерность введения сил в механику, а Ньютон в 1687 г.
придал этому понятию столь серьезный статус, что ввел
его в исходный постулат всей механики: «Закон II.
Изменение количества движения пропорционально
приложенной движущей силе и происходит по направлению
той прямой, по которой эта сила действует» 6, т. е.
d(m\)/dt = F. (7)
Отдавая должное своему предшественнику, Ньютон писал
в 1714 г.: «Все, что с тех пор Гюйгенс опубликовал о
центробежных силах, я предполагаю, он знал раньше
меня» 7.
Мы описали две основные линии развития механики с
древнейших времен до конца XVII в. Одна из них (линия
6 Ньютон И. Математические начала натуральной философии,
с. 40.
7 Цит. по кн.: Григорьян Л. Т. Механика от античности до наших
дней. 2-е изд. М.: Наука, 1974, с. 176—177.
66

Исаак Ньютон
(1643-1727)
Парменида—Декарта)
характеризовалась поисками
связей типа законов
сохранения, которые заверь
шились формулировкой
сначала закона
сохранения количества движения
(Декарт, 1644), а затем
формулировкой закона
сохранения живых сил
(Лейбниц, 1686). Другая
(линия Гераклита—Ньютона)
привела теоретическую
механику к формулировке
основного закона динамики-
второго закона Ньютона
(1687).
Обе линии всегда
мыслились как принципиально
различные. Законы
природы, описываемые
соотношениями (3), (5) и (7) и
сформулированные в ходе длительной эволюции в двух
принципиально расходящихся направлениях, казались
различными по существу. Принципиальное различие
логических корней, лежащих в основании формул (3), (5)
и (7), определяло их, казалось, совершенно неоспоримое
внутреннее различие. Связь, хотя бы просто формальная,
если и замечалась некоторыми исследователями, то тут
же игнорировалась: каждый из ученых был озабочен
стремлением создать свою собственную «систему мира»,
что, конечно, способствовало не сопряжению, а, наоборот,
разобщению идей.
Этому разобщению способствовал в какой-то мере
также и «территориальный фактор»: представители двух
противоборствующих направлений в механике находились
по разные стороны Ла-Манша. Наконец, известную роль
здесь могли сыграть также политические и религиозные
мотивы: Англия всегда находилась в сложных
отношениях со своими континентальными соседями.
Здесь шла не только борьба идей, но и борьба людей,
начало которой было положено самим Ньютоном.
Обладая достаточно сложным, скрытным и эгоистичным
характером, он, вообще говоря, мало располагал к простой
67
3*

задушевной беседе, особенно с незнакомыми ему людьми.
Умом, характером, всей своей колоритной фигурой
Ньютон не только не снижал накала борьбы и научной
полемики, но, наоборот, способствовал разжиганию кипевших
вокруг страстей. Атмосфера скрытности, взаимного
недоверия достигла апогея в личной полемике Ньютона с
Лейбницем — его первым конкурентом в части открытия
основ дифференциального исчисления.
В результате совместного влияния всех этих причин
вопрос о защите идей Лейбница в то время, когда идеи
Ньютона заняли в Англии главенствующее положение,
стал для ученых континентальной Европы делом
престижа. В авангарде этой борьбы стал ученик и преемник
Лейбница—Иоганн Бернулли. Старый, но полный
энтузиазма и творческих сил профессор понимал, что лучший
способ доказать англичанам правоту и силу лейбнициан-
ского подхода — это дать решение с помощью принципа
живых сил какой-либо задачи, уже решенной ранее с
помощью второго закона Ньютона. И Иоганн Бернулли
пришел в 1727 г. в своем конкурсном очерке
«Рассуждение о законах передачи движения» 8 такое решение,
показав, что оно совпадает с решением по методу Ньютона.
Однако годом ранее его двадцатишестилетний сын Даниил
провел некоторые рассуждения, имеющие
непосредственное отношение к рассматриваемой проблеме.
В своей первой петербургской работе по механике,
ставшей своеобразной «визитной карточкой»
начинающего академика, Даниил Бернулли осуществил стыковку
закона Ньютона (7) с законом Декарта (3) и законом
Лейбница (5), показав тем самым очевидную связь двух
противоборствующих направлений в теоретической
механике начала XVIII в. Работа была подготовлена в
феврале 1726 г. в виде статьи под названием «Исследование
принципов механики и геометрические доказательства
относительно сложения и разложения сил» и вышла в
первом томе петербургских «Комментариев» 9.
В этой работе Даниил Бернулли рассмотрел основные
идеи механики Ньютона и Вариньона, провел
сравнительный анализ исходных принципов, лежащих в основе тео-
8 Bernoulli J. Discours sur les lois de la communication du mouve-
ment. Paris, 1727.
9 Bernoulli D. Examen principiorum mechanicae et demonstrationes
geometricae de compositione et resolutione virium.— Comm. Pet-
rop., 1728, 1, p. 126—142.
68

рий указанных авторов. В ходе этого анализа Бернулли
сформулировал следующее «механическое начало»,
повторенное им затем в «Гидродинамике»: «Если тело из
состояния покоя получит одну и ту же скорость при
посредстве прямых движущих давлений, которые
изменяются любым образом, и если все давления умножить
на соответствующие им малые отрезки времени, то
сумма всех этих произведений будет всегда одинаковой, т. е.
если давление равно /?, малый отрезок времени равен dt4
то j pdt будет постоянным» 10.
Легко видеть, что «механическое начало» Даниила
Бернулли
I pdt = const (8)
есть фактически результат интегрирования обеих частей
особым образом записанного уравнения второго закона
Ньютона
mdv=pdt (9)
при условии y=const и единичной массе т=\ и, т. е. при
условии
^mv= const. (10)
Предположение (10), т. е. фактически закон сохранения
количества движения Декарта, влечет, согласно Даниилу
Бернулли, выражение (8), являющееся не чем иным, как
интегральной формулировкой второго закона Ньютона
для данного специального случая. Таким образом,
«механическое начало» Даниила Бернулли устанавливает связь
между двумя ранее обычно разделявшимися законами
механики,
В этой же работе Бернулли выполнил аналогичную
процедуру для принципа живых сил, показав, что и он
может быть сведен ко второй аксиоме ньютонианской
динамики. На обоснование связи этих двух принципов
механики у Даниила ушло около восьми лет12, но первые
формулировки идеи мы находим все в той же работе
10 Бернулли Д. Гидродинамика, с. 391.
11 В первой половине XVIII в. в уравнении второго закона
Ньютона практически все исследователи принимали т=1 и
записывали это уравнение в виде dv/dt=p или еще чаще dv=pdt.
12 О том, с какой изобретательностью'Даниил Бернулли
осуществил это обоснование, будет подробно рассказано в следующих
главах (см., в частности, гл. 11).
69

1726 г. Рассматривая движение тела А под действием
предварительно сжатой пружины BL, изображенной на
рис. 4, автор выполняет интегрирование уравнения
Ньютона, сопровождая эту операцию следующими словами:
«Пусть LH=x, HD=p, скорость в данный момент=у,
время, за которое пружина стремится переместиться из / в
Я, равно t, и, следовательно, dv=pdt=pdx/v1 или
w = I \ pax и и =
Стремясь сгладить остроту отношений между
поборниками европейской науки и ныотонианцами, Даниил
Бернулли введет впоследствии специальный термин
«равенство между действительным снижением и
потенциальным подъемом» вместо принятого в Европе выражения
Рис. 4. К интегрированию
уравнения Ньютона
«сохранение живых сил», к которому, как он писал,
«некоторые, в особенности в Англии, неизвестно почему все
еще продолжают питать отвращение. Действительно, мне
кажется, что во всем учении Лейбница о живых силах
нет ничего такого, с чем не согласились бы все, хотя
каждый и выражается по-своему, на что, если не
ошибаюсь, я ясно указал в «Комментариях имп. Академии
наук в Петербурге» (т. I, с. 131 и след.). Я счел
желательным сослаться здесь на это место, дабы кто-нибудь
из читателей не был введен в заблуждение словами и
знал, что я принимаю в механике только то, что принято
всеми и в том числе Галилеем, когда он установил, что
приращения скоростей пропорциональны давлениям и
элементам времен» 14.
Процедуру получения интеграла сохранения живых
сил Даниил Бернулли повторил в 1727 г. в работе
«Рассуждение о действии жидкостей на твердые тела и о
движении твердых тел в жидкостях» (см. фрагмент статьи
Бернулли, приведенный далее в гл. 8).
13 Bernoulli D. Examen principiorum mechanicae..., p. 131.
14 Бернулли Д. Гидродинамика, с. 28—29.
70

При всей значимости и важности проводимых
Даниилом Бернулли формальных манипуляций, приводящих к
обнаружению неочевидных (с точки зрения, например,
исследователей середины XVII в.) связей между законом
падения Галилея, законом истечения жидкости из малого
отверстия в сосуде Торричелли (имеющим тот же
внешний вид), основным законом ньютонианской динамики,
законами удара Декарта, принципом живых сил
Лейбница,— при всей их значимости эти манипуляции выглядели
пока что не более чем просто формальными операциями,
содержащими некий внутренний, пока еще непонятный,
эвристический момент. Эти операции приводили к
желаемому результату, но почему — никто не мог дать пока
вразумительного объяснения. Связь картезианских и нью-
тонианских идей была обнаружена, но понимание еще не
было достигнуто. Для многих ученых, склонных к
смешиванию метафизических и рациональных аспектов
классической механики в традиционном для ряда ученых
XVII в. (и даже XVIII в.) духе, отсутствие обоснования
такой связи было равносильно отсутствию самой связи.
Позиция чистых математиков, которые были в состоянии
вывести все известные законы механической природы,
приняв в качестве исходного постулата единственный —
второй закон Ньютона,— такая позиция для механиков
начала XVIII в. во многих отношениях казалась
недостаточной.
Во-первых, не было еще достаточной уверенности в
допустимости применения формальных методов
математического анализа (дифференцирование, интегрирование)
к механическим задачам и многие ученые-механики в то
время проявляли почти безотчетную инстинктивную
осторожность и сдержанность в их использовании. С другой
стороны, мысль о построении практической механики,
механики реальных машин, механизмов, технических
устройств и т. п. на достаточно абстрактном, по сути дела
философском принципе — принципе соответствия причины
и следствия, математическим выражением которого и
являлось уравнение Ньютона, казалась слишком уж
необычной и рискованной даже для прогрессивно настроенных
ученых первой половины XVIII в. Тот факт, что этот
закон находил в ряде случаев экспериментальное
подтверждение, не делал его более понятным и ясным.
Подчеркивая эту мысль, Даниил Бернулли в своем
«Исследовании принципов механики» указывал, что этот
71

закон15 был получен из опытов Галилея, относящихся к
падению тяжелых тел, и потому должен быть причислен
к «случайным истинам» (contingenter vera). Глобальное,
ничем не обоснованное, непроверенное распространение
его на случай других видов сил, отличных от силы
тяготения, по мнению Бернулли, не может быть правомерным.
Все дело в том, что «мы не знаем природы причины и
способа ее действия и потому не можем знать,
действительно ли действие пропорционально своей причине, или
же оно пропорционально какой-нибудь степени, или
вообще какой-нибудь функции от своей причины» 16. По
мнению Даниила Бернулли, в законе Ньютона можно было
бы взять не первую, а произвольную степень силы
(например, в обозначениях Бернулли: dv=pdt, dv=ppdt или
du=p3dt и т. п.), и только опыт, а не логика, заставляет
нас брать именно первую степень.
Любопытно, что Эйлер, которого Даниил Бернулли
часто упрекал за недостаточное почтение к ньютоновским
идеям, в своей «Механике», вышедшей в Петербурге в
1736 г., предпринял попытку «доказать», что «эта
теорема (второй закон Ньютона.— А. Г. и Б. К.) не только
правильна, но и по необходимости должна быть верной,
так что если бы мы предположили dc=p2dt или p3dt или
же равным какой-либо другой функции вместо р, то мы
пришли бы к противоречию. Так как Бернулли в
«Comment» (том I) все их рассматривал как равновероятные,
то я приложил много стараний для твердых доказательств
закона Ньютона» 17. Итог «многих стараний» сосредоточен
в следующих словах: «Доказательство последнего
предложения легче выводится из § 148 (в котором
устанавливается зависимость ds~pdt2.— А. Г. и Б. К.), откуда
вытекает, что отрезочек [пути] m\i пропорционален силе р,
умноженной на квадрат промежуточка времени dt, так что
т\х пропорционален pdt2. Но ведь m\i, деленный на время
dt, дает приращение скорости; поэтому приращение ско-
15 Этот закон в формулировке Даниила Бернулли выглядит так:
«Приращения скорости пропорциональны элементу времени,
умноженному на движущие силы, или давления».
16 Bernoulli D. Examen principiorum mechanicae..., p. 127.
17 Эйлер Л. Основы динамики точки. Первые главы из «Механики»
и из «Теории движения твердых тел». М.; Л.: ОНТИ, 1938,
с, 123—124.
72

расти будет пропорционально pelt, как и было сказано в
предложении» 18.
Обсуждением этой проблемы занимались в то время
также Д'Аламбер и другие ученые. Имена Лейбница,
Иоганна Бернулли, Германа, Бюльфингера и других
исследователей постоянно фигурируют в связи с анализом
этой проблемы в «Исследовании принципов механики»
Даниила Бернулли.
В противоположность второй аксиоме Ньютона
исходные принципы геометрической статики Вариньона
представлялись Даниилу Бернулли более основательными,
понятными и более предпочтительными именно в решении
конкретных практических задач прикладной механики.
Принцип параллелограмма сил, лежащий в ее основе, он
относил к «необходимым истинам» (necessario vera).
При этом ньютоновской механике с ее основной аксиомой
отводилась роль некоего методического ориентира, по
которому можно дополнительно, для большей убедительности,
контролировать результаты решения задачи,
координировать ход мысли и т. д., но исходные принципы которой
нельзя использовать в качестве отправной точки.
В конце 1727 г. Даниил Бернулли получил от своего
отца из Базеля два письма, датированных 11 октября и
20 декабря, в которых Иоганн Бернулли развил идею
сопряжения принципа живых сил Лейбница с принципом
ускоряющих сил Ньютона на примере решения задачи
определения центра качаний сложного маятника. В этих
письмах, опубликованных затем во втором томе
петербургских «Комментариев»19, он показал, что решение
задачи с помощью двух указанных методов приводит
к одинаковому результату. Кроме того, он здесь же
предложил желающим решить ряд других задач о колебаниях.
Ответы с подробными разъяснениями он опубликовал в
третьем томе «Комментариев». Причем эти решения были
снова получены двумя способами — с помощью принципа
живых сил и с помощью «обычных принципов статики»,
к которым Иоганн Бернулли относил выражение vdu=pdx.
18 Там же, с. 124.
19 Bernoulli J. Theoremata selecta pro conservatione virium vivarum
demonstranda et experimentis confirmanda. Excerpta ex Episto-
lis datis ad filium Danielera, 11 Oct. et 20 dec. (styl. nov.) 1727.—
Comm. Petrop., 1729, 2.
73

В 1735 г., когда «Гидродинамика» Даниила Бернулли
и «Механика» Эйлера готовились к выходу в свет, Иоганн
Бернулли поспешил обеспечить себе первенство в
вопросе сопряжения механики Лейбница с механикой
Ньютона и опубликовал в «Acta eruditorum» работу «Об
истинном значении живых сил в механике» 20. Вся последняя
часть работы была посвящена исключительно вопросам
стыковки лейбницианской механики и механики
Ньютона. Сформулировав ряд задач механики, Иоганн
Бернулли писал следующее: «Мы будем решать эти задачи двумя
способами, а именно косвенным путем (но по большей
части более удобным и более сжатым) при помощи теории
живых сил и прямым, заимствованным из самых
известных и никем не оспариваемых принципов статики.
Посмеет ли кто-либо оставаться настолько твердолобым,
чтобы, видя неизменное согласие во всех примерах,
решенных тем и другим путем, все-таки и тогда продолжать
сомневаться в пригодности первого метода. Или — что еще
более несообразно, чтобы не сказать нечестно — посмеет
ли кто сказать, что это совпадение обязано чистой
случайности, хотя такую случайность нельзя себе даже и
представить? Ведь из многих сотен примеров, разобранных до
сих пор нами, мы не нашли ни одного, который не
доказывал бы нам полного совпадения...» 21.
В заключение статьи Иоганн Бернулли формулирует
новую механическую задачу и дает два ее решения:
«I. Решение косвенное, полученное на основании теории
живых сил» и «II. Прямое решение на основании чисто
механических принципов». «Кто основательно изучит оба
мои метода, косвенный и прямой, так хорошо
согласующиеся между собой,— заканчивает автор,— тот не может
сомневаться в правильности моего решения» 22.
В опубликованной тремя годами позже
«Гидродинамике» Даниила Бернулли связь прямого и косвенного
методов впервые получила обоснование. О том, как проводил
Даниил в своем капитальном труде сопряжение принципа
живых сил и принципа ускоряющих сил и как хитроумно
20 Bernoulli J. De vera notione virium vivarum earumque usu in
dynamics.— Acta eruditorum, 1735.
21 Бернулли И. Избранные сочинения по механике. М.; Л.: Гос-
техиздат, 1937, с. 247—249.
22 Там же, с. 260.
74

он обосновывал это сопряжение, будет подробно
рассказано ниже, в глазах 9—12. Там будет показано, что Даниил
Бернулли в отличие от Иоганна смотрел на эти два
закона природы как на взаимозависимые. Если для Иоганна
Бернулли они составляли основу двух разных подходов
к решению механических задач, то Даниил видел в их
связи выражение глубокой (не только формальной)
внутренней общности различных проявлений физического
мира, их единства.
Конечно, сказанным далеко не ограничивается
деятельность Даниила Бернулли в механике, и в этой главе
была кратко проанализирована только лишь начальная
фаза его творческого пути, охарактеризована его общая
позиция ученого-механика безотносительно к
рассмотрению конкретных задач. Таких задач в этой области
естествознания им было решено больше, чем в какой-либо
другой, и в следующих главах будет еще рассказано об
этих его работах по механике. Здесь же, в заключение
настоящей главы, мы дополним портрет Даниила Бернул-
ли-мехаыика еще несколькими характерными штрихами.
Статья «Исследование принципов механики» писалась
параллельно с циклом ранних работ Даниила,
относящихся к механико-математическому обоснованию физиологии.
В сущности, эта статья мыслилась именно как
вспомогательная по отношению к физиологическим
исследованиям. Это обстоятельство и определило отчасти
специфический подход Даниила Бернулли к основным принципам
механики, их выбору. Применение принципа
параллелограмма сил в классе физиологических проблем (анализ
двигательных функций конечностей, механизмы
управления различными органами тела и т. д.), кажется,
очевидно, более естественным, чем использование более
абстрактного принципа Ньютона.
С физиологией связывается отчасти и повышенный
(особенно на первом этапе творческой деятельности)
интерес Даниила Бернулли к принципу живых сил. Подобно
тому, как для любого физиолога XVIII в., воспитанного
в духе идей Декарта, Беллини, Борелли и других,
человеческий организм являлся машиной, так и для не вполне
«чистых» математиков, склонных к ассоциативному,
образному мышлению, машины представлялись, вероятно,
в виде своего рода живых организмов. Сама терминология
механиков того периода («сила», «живая сила», «мертвая
сила», «мощь», «мощность», «сила, одушевляющая тело»,
75

т. е. побуждающая его к движению, и т. п.) формировалась
за счет словаря тогдашних эскулапов, которых к тому же
было существенно больше, чем профессиональных
механиков и математиков. В начале своей работы в
Петербургской академии наук Даниил Бернулли определенно
тяготел к таким механическим моделям и таким
механическим принципам, которые в большей мере отвечали
физиологии, приближались к ней в максимальной
степени23. И принцип живых сил не был здесь исключением.
К высокой же и абстрактной философии Кеплера и
Ньютона (особенно в той ее части, в которой она
соприкасалась с мистицизмом и всевозможными «божественными
откровениями») 24 Даниил Бернулли питал в этот
начальный период интерес в основном платонический.
Но, впрочем, только в начальный период.
Впоследствии, в ходе работы над «Гидродинамикой» и в особенности
после участия в конкурсах Парижской академии наук на
различные темы, связанные с определением взаимного
наклонения планетных орбит (1732), исследованием
морских приливов и отливов (1740) и др., Даниил Бернулли
часто обращался к общим проблемам механики не с
«узкоцеховой» позиции теоретизирующего физиолога, а
как чистый механик. Его перу принадлежит ряд работ,
относящихся к анализу общих проблем механики (помимо
«Исследования принципов механики», о котором
говорилось выше, см., например, также работу «Различные
размышления, касающиеся общей физики» и др.)? серия
докладов в Петербургской академии наук, очерки,
отмеченные призами Парижской академии, и т. д.
В приобщении Даниила Бернулли к проблемам чистой
механики большую роль сыграл молодой адъюнкт
Петербургской академии Леонард Эйлер. Через год после своего
приезда в Петербург Эйлер доложил свою первую
большую (читавшуюся в продолжение трех заседаний подряд:
2, 5 и 12 апреля 1728 г.) диссертацию по таутохронным
колебаниям. Бернулли сразу же подключился к
разработке этой проблемы и 27 августа того же года представил
23 Первое свое публичное сообщение в Петербургской академии
по поводу «живых сил» Бернулли сделал 26 января 1728 г.,
почти сразу после завершения цикла исследований «мертвых
сил» (о сложении и разложении сил) и сдачи подготовленных
на эту тему статей в печать для опубликования в первом томе
«Комментариев».
24 Как известно, Ньютон был весьма религиозным человеком и
автором нескольких историко-богословских сочинений.
76

в академическую Конференцию доказательство новой
теоремы о колебаниях простого маятника. С этого момента
указанная тематика стала одной из ведущих во всей
творческой деятельности Даниила Бернулли-механика.
Колебания маятников Даниил исследовал не только
в вакууме, но и в средах с сопротивлением, поскольку
раздел механики, связанный с изучением движения тел
в сопротивляющихся средах, всегда был одним из
наиболее интенсивно развивающихся разделов. Апогея эти
исследования достигли в классических работах Галилея,
Ньютона, Лейбница. Последний даже пытался оспаривать
у Ньютона приоритет в этом вопросе (работа Лейбница
была опубликована почти одновременно с
«Математическими началами» Ньютона). Позднее исследования в этой
области были продолжены многими механиками,
физиками, баллистиками и т. п. Не обошел вниманием эту
важную проблему механики и Даниил Бернулли, тем более
что вопрос о движении в сопротивляющихся средах
тесным образом связывался с гидромеханикой. В четвертом
и пятом томах петербургских «Комментариев» за 1729—
1731 гг. вышли три специальные статьи Даниила
Бернулли но этому поводу, а в мае и августе 1731 г. Даниил
доложил о своих исследованиях в этой области членам
Петербургской академии. Позднее к разработке теории
колебаний подключился Д'Аламбер, и усилиями трех
корифеев механики XVIII в. (Даниила Бернулли, Эйлера
и Д'Аламбера) указанная теория приобрела знакомые нам
теперь очертания.
К концу своего пребывания в Петербурге Даниил
Бернулли стал одним из ведущих ученых в области механики,
мнение которого при решении различных научных и
технических вопросов, рассматривавшихся в академии, было
в числе решающих. Когда, например, в 1732 г. в Москве
возникла проблема подъема Царь-колокола, то разработка
проекта поднятия колокола была поручена академикам
Даниилу Бернулли, Эйлеру и Лейтману.
Интерес к проблемам технической механики у
Даниила Бернулли сохранялся в течение всей жизни. Когда
ученик Даниила Бернулли, а впоследствии секретарь
Эйлера Николай Фусс в одном из своих писем из России
рассказал об успехах известного механика мастерских
Петербургской академии И. П. Кулибина,
семидесятисемилетний Бернулли отвечал следующим письмом: «То, что
вы сообщаете мне о вашем механике самоучке г. Кулиби-
77

не по поводу деревянного моста через Неву шириною в
1057 английских футов, дает мне высокое мнение об этом
искусном строителе и плотнике, воспитанном между
простыми крестьянами и обязанном своим высшим знаниям
только некоторого рода инстинкту... Вы, конечно, видели
работу г. Андреа, изданную в форме писем в Цюрихе
1776 года; там вы найдете очень подробное описание
деревянного моста в Шафгаузене длиною в 364 англ. фута;
но здесь воспользовались устоем, устроенным самою
природою и находящимся посредине, так что длиннейшая
часть имеет только 200 футов, очень ничтожных в
сравнении с 1057. Эта ширина Невы мне кажется чрезмерною,
и признаюсь, что я не имел бы смелости одобрить
постройку такого моста, разве можно было бы утвердить два
или три устоя, чтоб разделить весь мост на три или
четыре почти равные части. У меня составилось это мнение
только после внимательного чтения всего описания г.
Андреа. Я ни мало не слушаюсь чистой теории в этих
работах, потому что невозможно достаточно исчислить всех
обстоятельств, которые непременно должны быть приняты
в расчет: необходимо работать ощупью над бесчисленным
множеством предметов, не допускающих никаких точных
определений. Главный строитель обязан чаще всего
обращаться к своей врожденной сообразительности. В этом-то
я признаю все преимущество, которым может владеть
такой человек, как Кулибин. Я проникнут уважением к
нему, но не в состоянии победить своего скептицизма в
отношении моста, о котором идет речь. Пожалуйста,
уведомьте меня, какова высота модели в своей середине
сравнительно с ее оконечностями и каким образом этот великий
артист разместил 3500 пуд. тяжести на своей модели?
Если она в состоянии удержать еще 500 пуд., которые
предположил он наложить на нее, то это увеличение будет
сильным доказательством самого счастливого успеха,
какой только можно было обещать. В прежние времена я
делал много разысканий о силе и сопротивлении деревьев,
обделанными разнообразными способами; эти разыскания
всегда подтверждались на опыте, но я еще колеблюсь на
счет сопротивления бревна известной длины» 2\
К практической, технической, строительной, одним
словом, к предметной механике, механике реальных вещей
25 Письмо Даниила Бернулли к Николаю Фуссу от 7 июня 1777 г.
Цит. по кн.: Пекарский П. П. История императорской Академии
наук в Петербурге, т. 1. с. 118—120.
78

Даниила Бернулли склоняли не только внешние
обстоятельства, не только его деятельность на поприще
медицины, сыгравшая такую большую роль в петербургский
период, не только прямое влияние отца и друзей, но и еще
нечто внутреннее, уходящее глубоко в родословную
семейства Бернулли. Один из родственников Даниила — дядя
Николай был художником. Другой дядя, пользовавшийся
большим авторитетом у Даниила,— Якоб Бернулли любил
мастерить всевозможные хитроумные технические поделки.
Некоторым образом эти качества художника и мастера
передались Даниилу. Изобретенные им клепсидры,
приборы для определения давления в трубах, механизмы для
определения высоты полюса на море, разнообразные
магниты, барометры и прочее — все это свидетельства
художественно-конструктивного, почти образного мышления
Даниила Бернулли. Это качество встречается не так уж
часто. Людей такого типа объединяет то, что все они
склонны к конкретному, осязаемому, «вещному», в чем-то даже
детскому восприятию истины, к эмоциональному ее
переживанию. К такой категории людей и относился Д.
Бернулли.
Глава 6
Бернулли, Эйлер и Д'Аламбер
Классическая механика в том виде, в каком мы ее
знаем теперь, была создана в XVII—XVIII столетиях. Среди
ее основоположников важное место занимают Даниил
Бернулли, Леонард Эйлер и Жан Лерон Д'Аламбер.
Деятельность этих трех ученых лучше рассматривать
совместно. Логичнее здесь говорить о групповом портрете, ибо,
несмотря на то что география их деятельности была
достаточно обширной (Петербург, Базель, Берлин, Париж
и др.), все они работали в тесном контакте,
поддерживаемом обширной многолетней научной перепиской. Для них
не существовало национальных преград, хотя
политический климат в странах, где жили и работали ученые, не
всегда был достаточно спокойным; не было языковых
барьеров, потому что они прекрасно владели всеми основными
европейскими языками. Их научному содружеству не ме-
79

шали различия в происхождении, характер их
человеческих отношений определялся только их отношением к
науке, тем, насколько каждый из них был в состоянии
справиться с той или иной математической или физической
задачей. Все человеческое в этих трех удивительных
личностях сплелось с внутренней сутью их творческой
деятельности, и они не делили себя на ученых и «просто
людей».
Выше были приведены необходимые биографические
данные об Эйлере вплоть до 1733 г. К этому добавим лишь,
что тревожная политическая обстановка, сложившаяся в
Петербурге после смерти императрицы Анны Ивановны,
побудила Эйлера принять предложение прусского короля
Фридриха II переехать в Берлин, где он работал в
местной академии наук в 1741—1766 гг., продолжая сохранять
самые тесные отношения с Петербургской академией, куда
через четверть века возвратился, на этот раз навсегда.
Первое, что поражает в Эйлере-ученом, это его
совершенно фантастическая продуктивность. 850 сочинений по
математике, механике, физике, астрономии, среди которых
многотомные монографии, мемуары, статьи, очерки,
вошедшие в 72 тома его Полного собрания трудов («Leonhardi
Euleri opera omnia»), которое издается с 1911 г. и еще не
завершено. Огромная научная переписка, насчитывающая
около 4000 писем, с более чем 270 корреспондентами —
этот материал займет не менее 8 томов в дополнение к
72-томному собранию сочинений.
Треть работ по механике, опубликованных в
продолжение всего XVIII в., принадлежит Эйлеру. Сочинения
Эйлера публиковались во всех без исключения томах
петербургских «Комментариев» и продолжали там
печататься в течение еще очень долгого времени после его смерти.
Он был первым из своих современников по числу
выигранных призов Парижской академии наук. По поручению
администрации Петербургской академии Эйлер длительное
время сотрудничал в географическом департаменте, где
вместе с Делилем работал над составлением карт.
Благодаря этой деятельности российская картография, по словам
Эйлера, вышла в Европе в число передовых. От
чрезмерной нагрузки Эйлер еще во время своего пребывания в
Петербурге ослеп на один глаз, а впоследствии также и
на второй; многие его труды со сложными
математическими выкладками писались его учениками под диктовку.
80

При всем этом Эйлер отнюдь не был машиной,
непрерывно продуцирующей гениальные фолианты. Нет, это
был живой человек, имевший многочисленную семью и не
лишенный житейской мудрости («где больше дадут, туда
и служить пойду»). Он был достаточно тонким
дипломатом и со всеми стремился поддерживать хорошие
отношения, что, впрочем, не всегда ему удавалось.
В Петербурге Эйлер написал большую часть своих
работ. Первой из наиболее крупных была выпущенная в
1736 г. книга «Механика, изложенная аналитически» *.
В ней двадцатидевятилетний ученый сформулировал свою
обширную программу создания классической механики,
основанной на новейших методах математического
анализа, реализацией которой он занимался до последних дней
своей жизни 2.
Основу механических представлений Эйлера,
сформулированных им в этом сочинении, составляли идеи,
идентичные тем, которые высказывали Даниил и Иоганн Бер-
нулли десятью годами ранее и которые сводились к
развитию динамических взглядов Ньютона и поиска
возможностей их сопряжения с механикой Декарта—Лейбница.
Однако если у обоих Бернулли эти идеи формулировались
в полемической манере (другой формы и не могло быть в
двадцатых годах XVIII в., когда второй закон Ньютона
еще многим был непонятен), то Эйлер все здание
классической механики с ее многочисленными задачами (удар,
движение под действием центральных сил, движение в
средах с сопротивлением и т. п.) построил на единой
основе, базируясь только на аксиоматике Ньютона.
В «Механике» Эйлера мы не находим многословных
обсуждений второго закона динамики в духе Иоганна
Бернулли, нет в ней и сложных ходов мысли, поисков
хитроумных обоснований и аргументаций, сравнительного
анализа разных подходов в духе Даниила Бернулли.
«Механика» Эйлера — пример научной литературы нового
образца. В чем-то ее стиль даже конспективен, за что ее
часто называют (вслед за самим Эйлером) простым
переложением ньютоновых «Математических начал» с
геометрического языка на более современный — аналитический.
Такая оценка явно занижена и не соответствует ни фак-
1 Euler L. Mechanica, sive motus scientia analytice exposita. Petro-
poli, 1736. T. 1—2.
2 См. «Общее примечание», завершающее первую главу
эйлеровой «Механики» (§ 98).
81

тическому эффекту, произведенному ее изданием, ни
количеству труда автора, вложенного им в это сочинение,
определившее в известной мере всю его дальнейшую
судьбу.
Присланную в Базель «Механику» Эйлера Даниил Бер-
нулли читал с большим удовольствием и дал ей высокую
оценку в письме от 28 декабря 1737 г. Получив годом
позже от Даниила Бернулли его «Гидродинамику», Эйлер
тоже в свою очередь высказался о ней в самых
восторженных выражениях. В письме к Даниилу от 5 мая 1739 г.
Эйлер энергично защищал принципы «Гидродинамики» от
возражений Иоганна Бернулли и писал, что он проверил
и нашел правильными все вычисления Даниила Бернулли
в «Гидродинамике» за исключением одной ошибки на
странице 156.
В конце тридцатых и начале сороковых годов XVIII в.
на математическом небосклоне взошла новая звезда. «Мне
из Парижа чрезвычайно хвалят одного совсем молодого
прекрасного математика, в особенности по отношению к
механике,— писал Даниил Берпулли к Эйлеру 23 декабря
1743 г.,— я полагаю, что его называют Д'Аламбером» 3.
Жан Лерон Батист Д'Аламбер, родившийся 7 ноября
1717 г., был одной из наиболее колоритных фигур в
математическом мире XVIII столетия. Незаконнорожденный
сын артиллерийского генерала Детуша и мадемуазель Тан-
сен, пробовавшей свои силы на литературном поприще,
был найден на ступенях церкви святого Жана Круглого
(отсюда происходит имя Жан Лерон). Детство
маленький Жан провел у кормилицы в семье стекольщика,
которую нашел заботливый Детуш, завещавший сыну
пожизненную ренту в триста франков. С четырех лет до
тринадцати Д'Аламбер воспитывался в пансионе, затем в течение
трех лет обучался в коллеже Мазарини, где приобщился
к литературе, и тогда же познакомился с молодыми
людьми, ставшими впоследствии известными французскими
энциклопедистами, с которыми на протяжении всей
дальнейшей жизни его связывала тесная дружба 4. Здесь же
Д'Аламбер слушал лекции по картезианской философии,
3 Цит. по ст.: Смирнов В. И. Даниил Бернулли, с. 451.
4 Вместе с Дени Дидро — одним из лидеров энциклопедистов —
Д'Аламбер занимался в 1752—1757 гг. изданием многотомной
«Энциклопедии, или Толкового словаря паук, искусств и
ремесел», имевшей важное значение в общественной жизни
Франции и всей Европы.
П

а также по математике,
которая стала одним из
любимых его предметов.
После двух лет
занятий в Академии
юридических наук Д'Аламбер
получил степень лиценциата
права и взялся за
изучение медицины.
Параллельно с этим он занимался
математикой, живо
интересовался искусством.
Короче говоря, был человеком
широких интересов.
Причем отношение к
математике в этот период у него
было не всегда достаточно
ровным. Но в конце концов
из всех многочисленных
занятий Д'Аламбера
наибольшее предпочтение
было отдано именно
математике, и 19 июля 1739 г.
двадцатидвухлетний Д'Аламбер сделал свое первое
научное сообщение в Парижской академии наук. На заседании
выступил академик Алексис Клод Клеро и высказался о
докладчике с похвалой. «Если вы заблагорассудите,— писал
позднее Даниил Бернулли в цитированном выше письме
к Эйлеру,— то можете... попросить у г. Клеро более
подробных известий о нем», т. е. о Д'Аламбере.
Бернулли был бы, по-видимому, более сдержан в своих
оценках Д'Аламбера, если бы знал, что последний в это
самое время занимался опровержением ряда основных
положений его «Гидродинамики». Первое свое исследование
по механике жидкостей Д'Аламбер представил в
Парижскую академию в 1740 г. и был зачислен адъюнктом по
секции астрономии. Характерной чертой этого (как,
впрочем, и всех последующих исследований) сочинения
Д'Аламбера была его исключительная оригинальность и
смелость, что объясняется, очевидно, именно широтой его
взглядов и интересов: будь Д'Аламбер только
математиком, он, вероятно, был бы более сдержан в своих
суждениях.
Леонард Эйлер
(1707-1783)
83

' Именно эти черты отличают и первое крупное
сочинение Д'Аламбера — «Трактат о динамике» 5, изданный в
Париже в 1743 г. Все в нем было необычно: от формулировки
основных принципов механики, к которым автор относил
принцип инерции, принцип сложения движений и
принцип равновесия, до трактовки «общего принципа для
нахождения движения многих тел, произвольным образом
действующих друг на друга». Этот последний давал общий
метод решения механических задач, основанный на
сведении задач динамики к статике. Для любой системы
материальных точек Д'Аламбер сформулировал правило
(принцип Д'Аламбера), с помощью которого движение
тела можно было свести к покою6.
В том же 1743 г. вышла в свет книга Клеро «Теория
фигуры Земли» 7. Ее выход не был случайным. Сороковые
годы XVIII в. были годами интенсивных поисков решения
глобальных вопросов: проблем тяготения, приливов и
отливов, небесной механики, астрономии, динамики
атмосферы и океана, навигации и т. д. Инициатором этого
направления исследований была Парижская академия наук.
Благодаря регулярно проводившимся в эти годы под ее
эгидой конкурсам по указанным ироблемам усилия ученых
разных стран все более концентрировались на этой
глобальной тематике. Лидерами в исследованиях этого рода
стали ' Мопертюи, Клеро, Даниил Бернулли, Эйлер и
Д'Аламбер. Что касается Бернулли и Эйлера, получивших
вместе с Колиыом Маклореном в 1740 г. премию
Парижской академии за исследования, посвященные приливам,
то их интерес к этой проблеме был особенно большим.
Работа над этой тематикой тесно сблизила Клеро с Даниилом
Бернулли и Эйлером. Причем, будучи более связан с
Парижем, чем Эйлер, Даниил Бернулли выступал вначале
посредником между Эйлером и Клеро в их переписке и
инициатором в постановке ряда задач механики.
Помимо собственной ценности глобальных
исследований, они были важны еще и тем, что содержали новые
прогрессивные математические методы и приемы, вводили
5 D'Alembert J. Traite de dynamique. Paris, 1743. Рус. перевод:
Д'Аламбер Ж. Динамика. М.; Л.: Гостехиздат, 1950.
6 Современное изложение принципа Д' Аламбера принадлежит
Лагранжу (1788).
7 Clairaut A. Theorie de la figure de la Terre. Paris, 1743, Рус.
петэевод: Клеро А. К. Теория фигуры Земли. М.; Л.: Гостехиздат,
1947.
84

новые понятия и термины, которые могли затем
использоваться в других областях естествознания. Ученые XVIII в.
с удивительной легкостью и непринужденностью
переносили методы решения задач из одной области науки в
другую, не имеющую прямого отношения к первой. Так,
методика использования аппарата частных производных
в книге Клеро (1743) была с успехом применена Д'Алам-
бером (1752) в анализе многомерных течений жидкости;
до этого практически все гидродинамические исследования
касались преимущественно одномерных течений — течений
в трубах, каналах и т. п. В связи с этим Эйлер еще в
1740 г. в своем конкурсном сочинении «Физическое
исследование причины прилива и отлива моря», премированном
Парижской академией наук вместе с сочинениями Д. Бер-
нулли, К. Маклорена и А. Каваллери, отмечал, что по
этой причине разработанные к настоящему времени
гидравлические теории не могут быть использованы для
определения движения океана8.
Другим нововведением Клеро было применение
представлений Даниила Берыулли о мысленно выделенных
элементарных жидких объемах. В такой близкой к
современной форме эти представления формулировались
впервые.
Исследования Клеро по теории фигуры Земли так
поправились Эйлеру, что уже в следующем, 1744 г. он
предложил избрать Клеро иностранным членом
Берлинской академии наук. Даниил Бернулли был избран в эту
академию тремя годами позже.
Синтезируя метод Клеро с более ранними (1738)
идеями Даниила Бернулли об элементарных трубках тока,
Эйлер в своих дополнениях к его немецкому переводу
«Начал артиллерии» англичанина Бенджамина Робинса,
изданному в 1745 г.9, дал решение парадокса Д'Аламбера,
сформулированного последним в его «Трактате о
равновесии и движении жидкостей» 10. Даниил Бернулли живо
интересовался работой Эйлера (см. их переписку 1745 г.),
8 Euler L. Inquisitio physica in causam fluxus ac refluxus maris.
Paris, 1741, § 75. (Opera omnia, s. 2, v. 31).
9 Эти дополнения Эйлера по объему в пять раз превосходили
сочинение самого Робинса. В 1777 г. работа Эйлера была
переведена на английский язык.
10 D'Alembert J. Traite de l'equilibre et du mouvement des fluides.
Paris, 1744.
85

тем более что в бытность свою в Петербурге он сам
занимался исследованиями по внутренней и внешней
баллистике и проводил учебные стрельбы в связи с задачей
определения сопротивления воздуха. Результаты этих
исследований вместе с описаниями экспериментов были
опубликованы в его работе 1727 г. «Рассуждение о действии
жидкостей на твердые тела и о движении твердых тел в
жидкостях», напечатанной во втором и третьем томах
петербургских «Комментариев» и.
К этому времени до Даниила Бериулли дошли,
наконец, критические замечания Д'Аламбера по поводу его
«Гидродинамики». Это крайне возмутило Бернулли,
отдавшего этому главному труду своей жизни столько времени,
сил и здоровья. В письме к Эйлеру от 7 июля 1745 г. он
обрушился с сокрушительной критикой на молодого
Д'Аламбера и с упреками в адрес Мопертюи, который, по
его мнению, незаслуженно восхищался талантом
Д'Аламбера. Он писал, что Мопертюи вообще по легкомыслию
часто проникается излишним уважением к не стоящим
того людям. «Так, в последний раз, когда Мопертюи был
в Базеле, он представлял мне как miraculum rairaculorum —
чудо чудес молодого Д'Аламбера, издавшего «Механику»
и «Гидродинамику». Я ему, наконец, сказал, что в
двадцатилетнем возрасте невозможно в этой науке рассмотреть
все начала и делать изумительные успехи. Между тем это
побудило меня достать вышеупомянутое сочинение, и я с
удивлением увидел, что в этой «Гидродинамике» кроме
некоторых незначительных вещей все остальное только
наглое самодовольство... Он опровергает меня по вопросу
о реакции воды, вытекающей из сосуда, а также по поводу
вытекания воды через многие отверстия и думает, что
скорость в этом случае будет такой же, как и в случае
истечения через простое отверстие. И во многих других местах
он высказывается против меня, но вместе с тем нисколько
не боится (что меня радует) критиковать знаменитейших
мужей, как мальчишек» 12.
11 Bernoulli D. Dissertatio de actione fluidorum in corpora solida
et motu solidorum in fluidis.— Comm. Petrop., 1729, 2, p. 304—342;
1732, 3, p. 214—229.
12 Correspondence mathematique et physique, t. 2, p. 577. Здесь
(и в ряде случаев далее) мы даем ссылку на оригинальную
переписку Даниила Бернулли, а не на имеющийся русский
перевод П. П. Пекарского (см. его «Историю императорской
Академии наук в Петербурге»), поскольку терминология этого пе-
86

Раздражение Даниила Бернулли при упоминании
одного лишь имени Д'Аламбера не проходило в течение
целого года. Во многих своих письмах к Эйлеру, относящихся
к этому периоду, он непрерывно подвергал критике как
самого Д'Аламбера, так и его сочинения. Продолжалась
и размолвка с Мопертюи, который по-прежнему активно
протежировал Д'Аламберу. «Г. Мопертюи взял на себя
труд,— писал Д'Аламбер к Эйлеру 3 августа 1746 г.,—
передать вам от моего имени экземпляр моих двух сочинений
(речь, вероятно, идет о «Трактате о динамике» и
«Трактате о равновесии и движении жидкостей».— А. Г. и Б. К.),
которых, по его словам, у вас нет. Это малейший знак
признательности, который могу я вам представить за то
хорошее, что вы о них высказали господину Мопертюи.
Я бы желал, милостивый государь, чтобы они были более
достойны вас. По крайней мере, буду очень доволен, когда
заслужу ваше одобрение относительно трех или четырех
пунктов, в которых я не согласен с г. Даниилом Бернулли.
Ученый геометр написал много личного, что я не прав во
всех отношениях; но признаюсь, что чем более вдумываюсь,
тем более убеждаюсь, что я прав, не соглашаясь с его
мнениями. Вы должны были видеть, милостивый государь,
в моей статье о ветрах, что я очень расхожусь с ним
относительно одного, очень важного обстоятельства. Пускай,
говорит он, что я виноват — я соглашусь с ним, когда он
ясно докажет это, потому что хотя я и весьма уважаю его
авторитет, но считаю обязанностью сдаваться только перед
очевидностью» 13.
Письма Эйлера к Д'Аламберу, относящиеся к этому
периоду, свидетельствуют о его глубоком интересе ко всему,
чем занимался в это время молодой французский
ученый 14. Вместе с тем в переписке Эйлера с Даниилом
Бернулли, относящейся к концу сороковых годов, постепенно
начинает ощущаться некоторая отчужденность, тон писем
ревода, выполненного около ста лет тому назад, является в
значительной степени устаревшей.
13 Цит. по кн.: Пекарский П. П. История императорской Академии
наук в Петербурге, т. 1, с. 283—284.
14 Сохранившаяся переписка Эйлера с Д'Аламбером, а также с
Клеро и Лагранжем опубликована в 5-м томе серии 4А Полного
собрания сочинений Эйлера (Euler L. Opera omnia. Ser. 4A,
vol. 5. Basel, 1980). Во вступительной статье к этому тому
А. П. Юшкевича и Р. Татона подробно рассмотрен вопрос о
взаимоотношениях Эйлера с Д'Аламбером и частично с Д. Бернулли
(в связи с конкурсом 1746 г.).
87

становится все более холодным. Что же касается
критически настроенного Д'Аламбера, то он не ослаблял своего
натиска и в дальнейшем и продолжал в своих письмах к
Эйлеру критиковать различные положения
«Гидродинамики» Даниила Бернулли, хотя сам Даниил уже,
по-видимому, несколько остыл после своей вспышки.
В 1746 г. Берлинская академия наук объявила
конкурс на лучшую работу о причине ветров. Узнав решение
жюри конкурса (оно было в пользу Д'Аламбера), Даниил
Бернулли писал Эйлеру, что он без обиды уступает
премию Д'Аламберу, и выражал желание сохранить хорошие
отношения с Мопертюи. Кстати говоря, именно после
ознакомления с конкурсной работой Д'Аламбера между
Эйлером, бывшим тогда руководителем математического
отделения Берлинской академии наук и членом жюри
конкурса, и Д'Аламбером началась переписка.
Что же касается Даниила Бернулли и Д'Аламбера, то
они так и не нашли общего языка и не вступили в
переписку, в то время как дипломатичный Эйлер ухитрялся
поддерживать связь с обоими.
Чтобы разрядить обстановку и успокоить обидевшегося
друга, Эйлер сообщил Даниилу Бернулли, что его
(Бернулли) работа получила специальное одобрение, в то время
как она была напечатана лишь как представленная на
конкурс (причем по личной просьбе Даниила,
высказанной им в письме от 29 июня 1746 г., работа была
напечатана без указания фамилии автора). Узнав об этой
дипломатической уловке Эйлера, Бернулли почувствовал себя
еще более уязвленным и, высказав свой упрек Эйлеру
(см. письмо от 16 августа 1749 г.), с новой энергией
обрушился на призовой очерк Д'Аламбера, а заодно и на
его «Трактат о равновесии и движении жидкостей», на
работы по теории колебаний и др. «Д'Аламбера я считаю
великим математиком в отвлеченных вопросах,— писал
Даниил Бернулли к Эйлеру 26 января 1750 г.,— но когда
он совершает набег в область прикладной математики, то
все мое уважение к нему исчезает: его «Гидродинамика»
слишком по-детски наивна, чтобы я мог уважать его в
подобных вопросах. Его статья о ветрах бессодержательна,
и тот, кто прочтет все, будет знать о ветрах ровно
столько, сколько знал до начала чтения работы. Я хочу сказать,
что в этом случае требуются физические определения, а не
отвлеченные интегрирования... Он остается все время в
области абстрактного и не приводит ни разу конкретного
88

примера... Он хотел по-обезьяньи подражать вам, но его
вкус виден в его произведениях и в недостатке чувства
реальности» 15.
Это письмо было одним из последних в более чем
двадцатилетней переписке Даниила Бернулли и Эйлера. Лишь
спустя почти два десятилетия связь двух старых друзей
была восстановлена, но в ней уже, конечно, не было той
страстности, которая отличала их переписку молодых лет.
Даниил Бернулли был не единственным, с кем в этот
период (начало пятидесятых годов) Эйлер прекратил
связь. Тень взаимного отчуждения легла между Эйлером
и Д'Аламбером. Отчасти это было связано с ухудшением
положения Эйлера при дворе Фридриха IT, в чем в
значительной мере оказался «виновным» сам Эйлер. В 1747 г.
Эйлер опубликовал трактат против свободомыслия и в
защиту христианства «Rettung der gottlichen Of fen badrung
gegen die Einwtirfe der Freygeister». Это существенно
испортило его репутацию в глазах короля: дело в том, что
некоторое вольнодумство было в то время как раз в моде
среди некоторых великих мира сего. И Фридрих II, и
российская императрица Екатерина II любили «поиграть в
свободомыслие».
«Я замечаю,— писал в те дни Эйлер в Англию Иоганну
Ветштейну,— что наклонность к изящной литературе
начинает здесь брать верх над математикою, так что у меня
является опасение, чтобы моя личность скоро не сделалась
здесь лишнею» 16. После избрания его в 1747 г.
иностранным членом Лондонского королевского общества Эйлер
одно время рассчитывал получить туда приглашение на
постоянную службу. Ожидания, однако, оказались
напрасными, и ему не оставалось ничего другого, как
довольствоваться своим пошатнувшимся положением в Берлине.
Эйлер, правда, продолжал поддерживать самый тесный
контакт с Петербургской академией наук, куда его снова
приглашали: кафедра математики, оставленная им в 1741 г.,
оставалась незанятой. Однако он не спешил давать
согласие.
В начале пятидесятых годов отношения между Эйлером
и Д'Аламбером сложились не вполне благоприятно.
В 1748 г. Берлинская академия наук объявила конкурс
па лучшую теорию сопротивления жидкостей. Инициато-
15 Correspondanco mathematique et physique, t. 2, p. 649—650.
16 Цит. по кн.: Пекарский П. П. История императорской
Академии наук в Петербурге, т. 1, с. 263.
89

ром темы был, без сомнения, Эйлер. Д'Аламбер послал в
Берлин большое исследование, посвященное разработке
этого вопроса. Однако премия не была присуждена никому
из участников конкурса, а работы были отосланы обратно
авторам с рекомендацией сравнить теоретические
выкладки с экспериментальными данными. Зная, что Эйлер в то
время сам занимался вопросами гидродинамики, и
опасаясь, что он может воспользоваться его оригинальными
результатами, Д'Аламбер расценил такое решение жюри как
прямое оскорбление. В письме от 10 сентября 1751 г.
Д'Аламбер уведомил Эйлера, что он оскорблен
несправедливостью по отношению к нему и интригами при
обсуждении конкурсных работ в Берлинской академии, что он
решил снять сочинение с конкурса и опубликует его в
другом месте. Он также сообщил, что отказывается от участия
в объявленном в 1749 г. по инициативе Эйлера конкурсе
Петербургской академии по теории движения Луны, хотя
труд его по этому вопросу полностью завершен 1Т. Письмо
заканчивалось словами о том, что все это не мешает
Д'Аламберу питать должное уважение к математическим
заслугам Эйлера.
Д'Аламбер действительно выпустил свой очерк в 1752 г.
в Париже под названием «Опыт новой теории
сопротивления жидкостей» 18, но двумя годами ранее Эйлер
подготовил сочинение «Исследование движения рек»
(опубликованное только в 1767 г.), в котором мы находим ряд идей,
сходных с идеями, изложенными Д'Аламбером. Кроме того,
в 1752 г. Эйлером была подготовлена рукопись под
названием «О движении жидкостей вообще», доложенная на
заседании в Берлинской академии наук и положенная в
основу статьи, увидевшей свет лишь в 1761 г. после
окончания Семилетней войны. В ней тоже чувствуется влияние
работы Д'Аламбера. Наконец, в 1755 г. Эйлер написал
свою знаменитую трилогию («Общие начала равновесия
жидкостей», «Общие начала движения жидкостей»,
«Продолжение исследований по теории движения жидкостей»),
в которой дал систематическое изложение
математического аппарата теоретической гидродинамики для общего
случая нестационарного течения сжимаемой жидкости.
17 Премию на этом конкурсе 1751 г. получила по предложению
Эйлера же работа о движении Луны Клеро, опубликованная на
французском языке в Петербурге в 1752 г.
18 D'Alembert J. Essai d'une nouvelle theorie de la resistance des
fluides. Paris, 1752.
90

Д'Аламбер не скоро забыл этот инцидент. Лишь в
начале шестидесятых годов, когда он сблизился с королем
Фридрихом II, их переписка возобновилась. Причем
Д'Аламбер в своих письмах неоднократно предлагал свои
услуги в восстановлении прежних отношений между
Эйлером и прусским королем, издавна бывшим покровителем
Д'Аламбера.
К недоразумениям, имевшим место в пятидесятых
годах между Д'Аламбером и Эйлером, Даниил Бернулли уже
не имел никакого отношения. К этому времени он отошел
от рассмотрения вопросов гидродинамики, и создавалась
аналитическая механика жидкостей уже без его участия.
Однако в основу ее легли идеи, содержащиеся в работах
Бернулли двадцатых — тридцатых годов. О механических
основах гидродинамики, заложенных Даниилом Бернулли,
и пойдет дальше речь.
Глава 7
Механика жидкости
Когда король Людовик XIII купил в 1627 г. Версаль,
это место представляло собой обыкновенную деревушку,
каких во Франции того времени было множество. Там
монарх построил небольшой охотничий домик, куда время от
времени совершал наезды. При Людовике XIV Версаль
стал главной резиденцией короля, в связи с чем во второй
половине XVII в. там развернулось большое
строительство. Охотничий домик Людовика-отца был радикально
перестроен и превратился в конечном счете в великолепный,
построенный в стиле классицизма дворец с примыкающим
к нему парком.
Украшением ансамбля были фонтаны с роскошными
статуями работы Ф. Жирардона, А. Куазевокса и др.
Сооружение этих фонтанов представляло собой сложную
инженерную проблему, включавшую такие серьезные задачи,
как расчет напора в трубах, обеспечивающего
необходимую высоту подъема воды, расчет ее оптимального
расхода, теоретическое определение скорости течения в
водопроводе, расчет внутреннего давления в трубах, расчет
91

прочности и т. п. Решение этих сложных задач король
поручил академику Парижской академии наук Эдму Ма-
риотту.
Выбор этот был не случаен. Подобно многим ученым
того времени, Мариотт был аббатом-приором в небольшом
провинциальном французском городке близ Дижона.
Однако подлинной его страстью была физика. Причем именно
экспериментальная физика, что для Франции философов
и поэтов было обстоятельством немаловажным. Следуя
примеру своих коллег из Лондонсгшго королевского
общества, с членами которого ученые континента (и в первую
очередь французские) находились в постоянном
соперничестве, Мариотт на заседаниях Парижской академии
проводил многочисленные и разнообразные опыты. Главной
целью основной серии этих экспериментов было
определение сил внутреннего давления в жидкостях и газах.
В 1676 г. на основе многочисленных опытов,
осуществленных при различных давлениях, Мариотт вывел закон об
обратной пропорциональности объема газа и давления *.
Этот же закон был сформулирован членом Лондонского
королевского общества Робертом Бойлем четырнадцатью
годами ранее, однако в работах Мариотта наблюдения были
проведены с большей точностью и убедительностью.
Интересовали Мариотта также вопросы модной в то
время теории сопротивления тел, движущихся в средах.
Подходя к решению этих проблем с позиций декартовой
теории удара 2, он полагал, что величина сопротивления
должна быть прямо пропорциональна скорости, и
становился, таким образом, на точку зрения Галилея («Беседы
и математические доказательства, касающиеся двух
новых наук», четвертый день). Мариотт внес также
значительный вклад в разработку многих других разделов
механики и физики.
В целом вся эта серия исследований Мариотта
относилась к тому, что сегодня называется механикой сплошной
среды. Причем в отличие от работ многих его
предшественников (Паскаля, Декарта, Мерсенна и др.) работы
Мариотта были инженерными по своей сути, носили
отчетливо выраженный прикладной характер. Эти обстоя-
1 Mariotte E. Essai sur la nature do Fair. Paris, 1676.
2 Mariotte E. Traite de la percussion et du choc des corps. Paris,
1679. _ j
92

тельства и определили в конечном счете выбор Мариотта
в качестве технического руководителя строительства
водопровода в Версале. Свои обязанности ученый исполнял
с энтузиазмом и чувством большой ответственности.
Виртуоз в части проведения разного рода кабинетных опытов,
он здесь превзошел самого себя. Среди его опытов по
определению давления в трубах и их прочности были поистине
грандиозные: в одном из них, например, свинцовая труба
диаметром в .'И) сантиметров и длиной порядка 30 метров
заполнялась водой, после чего ее стенки постепенно
подтачивались (примерно наполовину) до тех нор, пока сила
тяжести воды не разрывала трубу.
Отчетом по этой работе стало сочинение Мариотта
«Трактат о движении воды и других жидких тел» 3,
увидевший свет в 1680 г. (уже после смерти автора), т. е.
почти одновременно с «Математическими началами»
Исаака Ньютона. Трактат состоял из нескольких
самостоятельных разделов и охватывал большой круг
разнообразных проблем. Первая часть целиком посвящалась анализу
природных свойств жидкости, исследованию природы
упругости, определению причины ветров. Во второй
рассматривались различные случаи равновесия жидких тел под
действием их собственного веса, упругого сжатия и удара.
Третья часть трактата касалась проблем измерения
текущей воды. Четвертая содержала исследование траекторий
струй жидкости различной геометрии и имела, очевидно,
самое непосредственное отношение к задаче о фонтанах.
Наконец, в пятой части демонстрировались решения задач
о распределении воды, определении ее расхода, а также
расчеты сопротивления труб на разрыв и т. д.
С точки зрения постановки проблемы несомненный
интерес представляет проблема, рассмотренная Мариоттом
в «Трактате о движении вод и других жидких тел»
(первый раздел четвертой части), поскольку аналогичные
задачи займут позднее центральное место в
«Гидродинамике» Даниила Бернулли. В указанном разделе Мариотт дал
описание эксперимента, главным элементом которого был
сосуд, состоящий из вертикального цилиндра из
вставленной в его нижнюю часть горизонтальной трубы с боковым
отверстием, через которое жидкость выбрасывалась
вверх в вертикальном направлении.
3 Ma riot te Е. Tiaite du rnouvement des eaux et des corps fluides.
Paris, 1686.
93

Сочинение Мариотта «Трактат о движении вод и
других жидких тел» и другие его исследования по
гидродинамике 4 стали заметным событием в научной литературе
XVII в. Сочетание инженерных и теоретических подходов,
продемонстрированное в «Трактате», его явный
практический уклон сделали эту работу произведением нового типа,
отвечающим экспериментальной направленности академий
Англии, Франции и др. Как источник большого
количества опытного материала книга Мариотта оказала
глубокое влияние на исследователей конца XVII — начала
XVIII в., особенно на Даниила Бернулли.
Это влияние было настолько сильным, что
гидродинамические работы Даниила Бернулли петербургского
периода воспринимаются нами теперь как продолжение,
развитие и обобщение экспериментальных результатов
классического сочинения Эдма Мариотта. Свидетельств этому
можно привести множество. «Гидродинамика» буквально
«начинена» задачами Мариотта, цитатами и фрагментами
из его сочинения, которое Даниил называл превосходным.
Он постоянно возвращался в своих исследованиях к
анализу многочисленных парадоксов в поведении
движущихся в сосудах жидкостей, которые приводили в восторг в
свое время Мариотта, а теперь и Бернулли. Аргументируя
необходимость публикации своей «Гидродинамики»,
Даниил Бернулли указывал, однако, что в теоретическом плане
Мариотт ушел в исследованиях по гидравлике не дальше
своих современников. В частности, не дальше Ньютона,
подобно которому «этот автор (т. е. Мариотт.— А. Г. и
Б. /Г.), проявляющий большую проницательность в
остальных исследованиях, сбился с пути в настоящих
исследованиях» 5.
Конечно же, в выборе тематики Мариотта в качестве
главной темы труда Даниила Бернулли по гидродинамике
какую-то роль могло сыграть и то обстоятельство, что, как
и полвека назад в Версале, в новом строящемся
Петербурге и в летней царской резиденции — Петергофе тоже нужно
было строить водопровод, фонтаны и т. п. Публикация
4 Сборник «Recueil des ouvrages de M. M. de l'Academie des
sciences», вышедший в 1693 г., и первый том «Histoire et Memoires
de l'Academie» содержат много статей Мариотта по
гидродинамике, в которых он, исходя из теоретических выводов
Галилея и Торричелли, определял величину внутреннего давления
в трубах, проводил элементарные расчеты труб и сосудов на
прочность и т. д.
5 Бернулли Д. Гидродинамика, с. 208.
94

крупной научной работы о движении жидкостей в
водопроводах, бассейнах, трубах, фонтанах могла стать
хорошей рекламой и Петербургской академии, и молодому
ученому. Ученым того времени нередко поручали
гидротехнические работы. Достаточно вспомнить, как в 1749 г.
в Германии Эйлеру было поручено осмотреть канал между
Гавелем и Одером, указать необходимые меры
реконструкции этого водного пути, улучшить водоснабжение Сан-
Суси. Аналогичным образом Д'Аламбер вместе с аббатом
Боссю и Кондорсе по предложению французского
правительства выполнял в семидесятых годах XVIII в. научно-
исследовательские работы по экспериментальному
определению сопротивления жидкостей.
Помимо экспериментальной гидравлики Мариотта,
серьезное влияние на исследования Даниила Бернулли по
гидродинамике оказали, как уже подчеркивалось ранее,
исследования Ньютона по механике жидкостей, а также
гидравлическая и медико-физиологическая школы Италии
первой четверти XVIII в. Причем если влияние
итальянских гидравликов и физиологов было особенно ощутимым
на первом этапе творчества Даниила Бернулли, к которому
относится, в частности, его работа «Математические
упражнения», то непосредственное влияние идей и
представлений Мариотта и Ньютона Даниил по-настоящему
испытал на втором этапе (конец двадцатых и начало
тридцатых годов). Именно к этому времени относится его работа
над «Гидродинамикой».
В этот период — период подлинной зрелости ученого —
отчетливо выявилось основное качество его интеллекта:
широта охвата проблем, кардинальный подход к их
исследованию. Широта эта проявлялась не только в умении
связывать, синтезировать разнородные по характеру и
содержанию предметы — физику и медицину, баллистику и
гидравлику, математику и кинетику, но еще и в
скрупулезном и основательном проникновении в истоки
исследуемого предмета. Изучая тот или иной аспект
гидродинамики, он шаг за шагом выяснял его сущность. Это
роднило его с Ньютоном, который всегда стремился к
выявлению логического в результате хронологического изучения
предмета. Таков путь исследования и многих других
корифеев науки.
Предисловие к «Гидродинамике» (т. е. ее первая часть),
как и вся работа Даниила Бернулли в целом, насыщено
подробными ссылками исторического характера, наглядно
95

иллюстрирующими картину развития гидродинамики с
древних времен, с одной стороны, и помогающими понять
логическую структуру содержания книги — с другой. Без
показа этой глубокой исторической перспективы было бы
невозможно правильно и в полном объеме понять
содержание «Гидродинамики» и своеобразный ход мыслей ее
автора.
В сущности, история гидродинамики, понимаемой в
широком смысле, начинается два-три тысячелетия назад,
когда земледельцы Древнего Египта, Междуречья, Индии,
Китая под влиянием специфических условий жизни были
вынуждены заняться сооружением оросительных каналов,
плотин, колодцев и т. п. Практика строительства
примитивных водопроводов широко применялась позднее в
разных странах, в частности в Римской империи, где она
приобрела статус особого рода инженерного искусства.
В I—II вв., когда население Рима уже составляло миллион
человек, вопросы правильного планирования и ведения
городского коммунального хозяйства выросли в сложную
общегосударственную проблему. К этому времени в Риме
действовало более десятка водопроводов, протяженность
которых в ряде случаев достигала 70—100 километров.
Причем, помимо открытых водопроводов (типа лотков),
строились также и водопроводы закрытого типа, в
которых использовались свинцовые трубы. Сооружение таких
водопроводов во многих случаях оказывалось
предпочтительнее строительства дорогостоящих акведуков, при
проектировании которых иебходимо было строго следить за
изменением рельефа местности и т. п. Поступающая по
таким водопроводам вода собиралась в водохранилищах,
откуда с помощью специальных мерных трубок
(насадков), регулирующих величину расхода жидкости,
распределялась среди населения. Необходимость учета
потребляемой воды требовала от работников специальных служб,
возглавляемых куратором, знания некоторых простейших
методов расчета расхода жидкости. Водопроводы
использовались и при строительстве фонтанов. В Помнеях,
например, во второй половине I в. фонтаны сооружались на
перекрестках главных улиц и даже в некоторых домах.
Предназначались они не столько для декоративных,
сколько для утилитарных целей.
Круг практически важных технических проблем,
связанных с проектированием, сооружением pi эксплуатацией
водопроводов, каналов и т. п., явился тем самым «социаль-

ным заказом», реализация которого привела впоследствии
к рождению гидравлики, а затем и гидродинамики как
самостоятельной научной дисциплины. Не случайно к
рассматриваемому периоду (I в.) относится первая дошедшая
до нас работа широкоизвестного куратора римских
водопроводов и видного государственного деятеля Секста Юлия
Фронтина «О водопроводах Рима», содержащая в
зачаточной форме элементы гидравлики. Теперь эту работу
можно расценивать как попытку, постановки задачи о течении
тяжелой несжимаемой жидкости в каналах и трубах и
задачи об истечении через отверстие в сосуде и через
различные произвольным образом наклоненные насадки.
Ныне такие задачи являются классическими, с них
начинается изложение многих современных курсов
гидромеханики. Однако из-за отсутствия необходимого
математического аппарата задачи, поставленные в начале новой
эры, не могли быть решены ни в эпоху расцвета Римской
империи, ни после ее распада (когда центр культурной
и научной жизни переместился на Ближний и Средний
Восток), ни в эпоху Возрождения. Впрочем, эпизодические
попытки таких решений предпринимались неоднократно
различными авторами, среди которых в особенности
выделяется Леонардо да Винчи, оставивший в своих
многочисленных записках множество интересных выводов,
суждений и наблюдений.
Первые попытки систематического изучения проблем
движения жидкости относятся к XVI—XVII вв.
Активизация политической, экономической и культурной жизни
не только привела к возрождению старых технических
проблем, но и добавила к ним большое число новых. Это
были прежде всего проблемы управления горными
потоками, задачи, связанные с развитием судоходства,
строительством каналов, шлюзов, портовых и
фортификационных сооружений, проблемы использования энергии воды,
ветра и т. д. В этот период переиздаются сочинения
Фтнштина и появляются новые работы по гидравлике,
использующие для решения задач элементарные
математические методы (в частности, работы Кастелли, Торри-
челли и др.).
Радикальный анализ гидродинамических проблем,
связанных с движением жидкости, требовал, строго говоря,
знания высшей математики (анализа бесконечно малых) в.
6 Глубокий анализ этого вопроса дал Ф. Энгельс (см. в кн.:
Энгельс Ф. Диалектика природы. М.: Госполитиздат, 1952, с. 206).
4 Заказ NS 838 97

Поскольку, однако, последняя получила достаточное
развитие лишь в XVIII в., исследователям вначале пришлось
пойти по другому пути. Это был своеобразный путь
синтеза зарождающейся гидравлики с уже достаточно
развитой к тому времени гидростатикой Архимеда—Стевина,
которая не требовала привлечения методов анализа
бесконечно малых, а ограничивалась лишь методами
элементарной математики7. Типичный пример такого подхода дает
нам вторая книга «Математических начал» Ньютона,
в особенности ее седьмой отдел, где автор провел
исследование движения жидкой массы, вытекающей из сосуда,
базируясь на представлениях классической гидростатики
(т. е. с помощью оперирования понятиями весового
давления—давления покоя, высоты уровня и т. д.). Важным
здесь является то, что подобно тому, как это имело место
в традиционной гидростатике, в гидродинамике Ньютона
движущаяся жидкая масса рассматривалась как единое
целое — сплошная среда. Ньютон, как и следовавшие за
ним ученые, был в то время далек от того, чтобы сводить
анализ движения несжимаемой жидкости к рассмотрению
движения составлявших ее частиц (корпускул), и
проводил его в рамках механики континуума методами
гидростатики.
Объясняя, почему в гидродинамике XVII—XVIII вв.
приемлемым оказался не классический дискретный
подход, рассматривающий жидкость как систему
материальных точек, а континуальный, Д'Аламбер писал: «Положим,
что мы обладаем преимуществом, которого мы лишены,
а именно — знаем форму и взаимное расположение частиц,
которые составляют жидкость. Тогда законы их
сопротивления и действия были бы безусловно сведены к
известным законам движения, так как изучение движения,
сообщенного одним телом любому числу окружающих его
частиц, есть только задача динамики, для решения
которой имеются все необходимые механические основы.
Однако чем больше число частиц, тем труднее приложить
эти принципы. Следовательно, этот метод мало пригоден
для изучения сопротивления жидкостей. Но мы далеко не
имеем всех необходимых данных для применения этого
метода, так как не знаем не только формы и расположения
частиц, но также того, как эти частицы толкаются телом
7 Отсюда, кстати говоря, становится ясным происхождение
термина «гидравлико-статика», введенного Даниилом Бернулли в
его «Гидродипамике».

и как они перемещаются друг отйосительпо Друга»8.
В рамках же континуального подхода можно было обойти
все эти тонкие вопросы, сведя, подобно Стевину, Паскалю
и Ньютону, сложные действительные (структурные)
свойства реальной жидкости «к одному опытному принципу,
а именно к равенству давления по всем направлениям»,
и определить это (уже феноменологическое) свойство
модели как «основное свойство жидкости»9. Используя
это фундаментальное представление гидростатики, ученые
переходили затем к рассмотрению движущихся жидкостей.
Однако вскоре оказалось, что для более детального
(чем это было у Ньютона) анализа движения жидкости
кроме указанного гидростатического принципа нужен был
еще один — динамический. В сущности, и у самого
Ньютона такой принцип фигурировал в его рассуждениях: это
был закон падения Галилея. Механики XVIII в. взяли
на вооружение второй закон Ньютона. Здесь, впрочем,
могло возникнуть одно затруднение, заключающееся в
том, что второй закон динамики, строго говоря, относился
к материальным точкам, так что механики вновь как будто
бы оказывались перед необходимостью отказа от
континуальной модели и возврата к классическому
рассмотрению движущейся жидкости как системы материальных
точек. Однако ученые успешно обошли эту трудность,
введя важную модель мысленно выделенного жидкого
объема.
Переход от рассмотрения движения системы
дискретных частиц реальной жидкости к анализу движения
совокупности мысленно выделенных гипотетических
«частиц» сплошной среды — жидких объемов сыграл в
истории гидромеханики исключительно важную роль. То
обстоятельство, что указанные гипотетические «частицы»
рассматривались «жидкими», позволяло исключить из
рассмотрения соударения и тому подобные
неконтинуальные эффекты. А тот факт, что оперирование при этом
производилось все-таки «частицами», давал возможность
авторам XVIII в. применять в данном случае аппарат
ньютонианской динамики точки. Имея в виду эту
двойственность, Э. Маделунг в своей классификации физико-
механических теорий отнес теоретическую гидромеханику
8 D'Alembert J. Essai (Tune nouvelle theorie de la resistance des
fluides, p. XXVII—XXVIII.
9 Там же, с. XXVIII.
99 4*

к разряду так называемых квазиконтинуальных теорий
(в отличие от чисто континуальных — теории
электромагнитного поля и т. п.) i0.
Даниил Бернулли стал одним из инициаторов
реализации этой идеи в механике жидкости и. В своей первой
крупной естественно-научной работе «Математические
упражнения» он использовал понятие guttulae как
базисное, лежащее в основе многих рассуждений. Guttulae
Даниила Бернулли — это не «капля» в обычном
(физическом) смысле слова. Это именно та модель или по крайней
мере прообраз той модели гипотетической жидкой
частицы, о которой говорилось выше. Попав на страницы
сочинений Даниила Бернулли в ходе изучения им работ
Торричелли, Микелотти и др., употреблявших подобный
термин в физическом смысле, понятие guttulae приобрело
у Даниила Бернулли более абстрактный, математический
смысл. Значительным здесь было, конечно, влияние
Иоганна Бернулли, проводившего аналогичную операцию
мысленного выделения элемента кривой в исследованиях
1691—1692 гг. (опубликовано в 1743 г.). Результатом
синтеза всех этих физических, механических и
математических представлений стало понятие элементарного
жидкого объема — основное понятие кинематики и
динамики жидкой среды.
Тот факт, что Даниил Бернулли и следовавшие за ним
механики первой половины XVIII в. стали использовать
в своих рассуждениях не конечные элементы, а именно
«бесконечно малые частицы жидкости» (guttulae,
элементарные жидкие цилиндрики, параллелепипеды, тетраэдры
и пр.), стал поворотным пунктом в истории механики.
У Ньютона ничего подобного не было. В его задаче
истечения в качестве элементарного выделенного жидкого
объема выступал конечный элемент жидкости, который
в начальный момент времени ограничивался дном сосуда,
поверхностью уровня и поверхностью трубки тока, а затем
под действием собственного веса перемещался,
деформируясь, вдоль этой трубки тока (см. рис. 1) 12. Теперь же
10 Маделунг Э. Математический аппарат физики. М.: Наука, 1968,
с. 410.
11 Первым, впрочем, в этом вопросе был Ньютон, но он в отличие
от Даниила Бернулли предложил модель конечного жидкого
объема, применение к которому второй аксиомы динамики
точки без соответствующих оговорок является неправомерным.
12 Трубкой тока в данном случае являлась поверхность вращения,
направляющей которой служила кромка отверстия истечения.
100

Даниил Бернулли, а вслед за ним и другие ученые стали
выделять в отличие от Ньютона малый элемент
движущейся в трубе жидкости, чтобы получить
дифференциальную формулировку задачи и использовать для ее решения
инфинитезимальные методы. Это не очень явно
чувствуется в ранних работах Даниила Бернулли, относящихся
к первой половине двадцатых годов, но в полной мере
ощущается в «Гидродинамике», о чем мы еще будем
говорить в последующих главах, когда перейдем к детальному
разбору самого сочинения. При этом все рассуждения,
связанные с выделением этого малого жидкого объема,
представляющего элемент среды, ограниченный стенками
трубы и двумя близко расположенными параллельными
сечениями, носят у Даниила Бернулли вспомогательный
характер и отбрасываются тотчас же, как только
выводится окончательный результат.
Эта тенденция еще сильнее выразилась у Иоганна
Бернулли, Эйлера и Д'Аламбера, выделявших, подобно
Даниилу Бернулли, бесконечно малый слой жидкости, но
уже не в реальной трубе, а в мысленно выделенной
трубке тока. Это был первый крупный шаг на пути к решению
неодномерных задач. Однако окончательный переход к
анализу пространственных течений произошел тогда, когда
Д'Аламбер (1749), а затем Эйлер (1752) выделили в
сплошной среде малый жидкий параллелепипед (Эйлер
в той же работе выделял также и тетраэдр) и, применив
к нему основной закон ньютонианской динамики,
получили дифференциальные уравнения динамики идеальной
жидкости.
Наиболее последовательное применение этот
континуальный подход получил у Леонарда Эйлера.
Переводчик и исследователь классических работ Эйлера по
механике В. П. Егоршин замечал в связи с этим, что Эйлер
в известном смысле не отличал бесконечно малую
«частицу» тела от «точки». Более точно это можно высказать
следующим образом. Выделяя в сплошной среде малый
объем и рассматривая его перемещение под действием
сил, действующих на его гранях, Эйлер затем стягивал
этот объем в точку и приходил, таким образом, к
дифференциальным соотношениям, относящимся не к объему,
а к точке пространства, заполненного жидкостью. Иными
словами, он в более явном и строгом виде делал то же,
что и Даниил Бернулли, для которого понятие
элементарного жидкого объема, как уже отмечалось выше, носило
101

вспомогательный, иллюстративный характер и
отбрасывалось сразу, как только получался окончательный
дифференциальный результат.
В этом заключается основная ценность метода
мысленного выделения, открывающая возможность прямого
применения в гидродинамике эффективных методов
математического анализа. Ясно, что реальная корпускула
жидкой среды, состоящей из дискретных молекул, не
может быть подвергнута такой операции стягивания в
точку, в то время как бесконечно малая частица,
мысленно выделенная в непрерывной жидкости, может быть
стянута в точку в полном соответствии с эйлеровым
определением математического понятия бесконечно малой
величины.
«Название «бесконечно малые»,—писал Эйлер в своем
капитальном «Дифференциальном исчислении»,
опубликованном в 1755 г.,— согласно природе этих количеств
должно толковаться в том смысле, что мы считаем их за
нули в полном смысле (omnio nulla), т. е. за ничто»13.
Однако «не только позволительно, но, по сути дела,
и надлежит считать эти приращения сначала конечными
и изображать их на чертежах, когда последние нужны
для иллюстрации (выделено нами.— А. Г. и Б. К.)
рассматриваемого вопроса, конечными линиями. Затем
нужно мысленно представить, что эти приращения становятся
все меньшими и меньшими, и тогда мы найдем, что их
отношение все более и более приближается к некоторому
определенному пределу, которого они достигают, однако,
лишь тогда, когда полностью обращаются в нуль» 14.
Таким образом, применительно к гидромеханике,
согласно воззрениям Эйлера, все представления о мысленно
выделенных жидких объемах полностью исключаются в
результате операции стягивания в точку: жидкость
представляется теперь в виде плотной непрерывной
совокупности точек, поступательно перемещающихся друг
относительно друга и относительно внешнего пространства.
Полученные с помощью континуального подхода
дифференциальные уравнения движения характеризуют теперь
движение не жидких объемов, а точек жидкой среды (при
лагранжевом описании) или изменения параметров
жидкости (при эйлеровом описании). Эти уравнения не со-
13 Эйлер Л. Дифференциальное исчисление. М.; Л.: Гостехиздат,
1949, с. 39.
14 Там же, с. 41.
102

держат ни размеров жидких частиц, ни их масс, а
содержат только характеристики поля и их производные,
определенные в точке пространства, заполненного
жидкостью.
Указанные идеи явились определяющими в выводе
фундаментальных уравнений гидродинамики идеальной
жидкости, полученных Эйлером в 1755 г. Но при этом
всегда необходимо помнить, что начала разработки
гидродинамических идей в том направлении, в каком они
привели Эйлера к построению математического базиса
теоретической гидродинамики, были положены Даниилом Бер-
нулли.
Глава 8
«Гидродинамика»
Истины рождаются не столько в спорах, сколько в
результате длительной и кропотливой
научно-исследовательской работы. В справедливости этой сентенции мы
убеждаемся всякий раз, когда вспоминаем обстоятельства,
при которых создавалась «Гидродинамика» Даниила Бер-
нулли.
С самого начала пребывания в Петербурге у Даниила
Бернулли, как и у его брата Николая, установились не
очень благоприятные отношения с Якобом Германом и в
особенности с Георгом-Бернгардом Бюльфингером. Бюль-
фицгер был на семь лет старше Даниила и обладал уже
достаточным опытом преподавательской работы, читая в
Тюбингенском университете курс метафизики Лейбница.
В Петербургскую академию он был приглашен по той же
специальности на кафедру логики, метафизики и морали.
Между тем на заседаниях академической Конференции и
в академических кулуарах он постоянно вторгался в
сферы, в которых молодой и горячий Даниил Бернулли
считал себя более компетентным. Эти постоянные вторжения
и не всегда достаточно уважительный тон коллеги сильно
раздражали Даниила, который с детства был обидчивым
и не всегда сдержанным. Причем если говорить по
существу, то у Бернулли не было никакого формального

права обижаться на своего критически настроенного
оппонента: еще с давних времен в научных кругах
действовал «закон о диспутах», согласно которому любые, даже
оскорбительные выражения, высказанные в ходе
дискуссии (и тем более если они высказаны на латыни), не
считались таковыми.
Дебаты между ними начались уже с первых месяцев
пребывания в Петербурге. В феврале 1726 г., когда Даниил
Вернулли сделал в академии одно из своих первых
научных сообщений по механике, Бюльфингер активно
выступил против основных идей, выдвинутых докладчиком.
Спустя неделю на очередном заседании академической
Конференции полемика возобновилась с новой силой.
Не лучшим образом сложились взаимоотношения
Даниила Бернулли с Якобом Германом. Герман был
старейшим из петербургских академиков, его с почтением
называли там professor primarius (первый профессор).
Кроме того, он приходился дальним родственником Леонарду
Эйлеру, с которым, как известно, отношения у Даниила
Бернулли были самыми дружескими. Однако ни высокий
статус, ни авторитет, ни родственные связи Германа с
лучшими из друзей Бернулли не могли умерить пыл и
принципиальность Даниила во всем, что касалось
отстаивания научных истин. В научных вопросах он не мог
оставаться беспристрастным просто в силу своего
характера и темперамента. Наука была единственной и
всепоглощающей его страстью1. Ему были чужды тактические
маневрирования околонаучного толка, он никогда не был
политиком в науке.
4 марта 1726 г. Даниил Бернулли опять выступил на
заседании Конференции с доказательством одной из
задач механики, которое он считал более предпочтительным,
чем приведенное в «Форономии» Германа. Обычно
спокойный и уравновешенный, отличавшийся флегматичным
правом Якоб Герман на этот раз вступил в ожесточенную
полемику, защищая свое доказательство.
Председательствовавший на заседании президент академии Блюментрост
в конце концов был вынужден вмешаться, после чего обе
стороны принесли свои извинения.
Спустя почти два месяца, 29 апреля, когда
Бюльфингер выступил с чтением своей диссертации, Даниил
Бернулли не преминул воспользоваться представившейся
1 Быть может, по этой причине Даниил Бернулли не был женат,
104

возможностью и fi доёольно резкой форме отозвался о ней.
Дискуссия переросла в ожесточенный спор. Попытка
добродушного Дювернуа разрядить обстановку не имела
успеха, так как в дискуссию вступил Николай Бернулли,
заметив, что Дювернуа не понимает сути
рассматриваемого предмета.
Таким образом, к концу первого года пребывания в
Петербурге в стане «недоброжелателей» не в меру
горячего, вспыльчивого и обидчивого Даниила Бернулли были
уже по меньшей мере два академика. И когда 3 июня
1726 г. он выступил с очередным докладом, Герман и
Бюльфингер сражались с ним уже вдвоем. Силы были
явно неравны, и разгорячившийся Бернулли вообще
отказался слушать какие бы то ни было замечания и
нарекания с их стороны, за что получил персональный выговор
от президента.
Одним словом, обстановка, сложившаяся уже с первых
дней пребывания в Петербурге, была для Даниила
нелегкой. Заметим, что негативный характер отношений между
ним и Германом был в известной мере следствием
принципиального неприятия ряда научных концепций Германа
и другими представителями семьи Бернулли. Николай II
Бернулли, в частности, еще до приезда в Петербург,
в 1720 г., активно выступал против трудов Якоба Германа.
Вскоре, однако, страсти несколько улеглись, период
психологической акклиматизации, «притирки» и
некоторого понятного, в общем-то, первоначального отчуждения
между конкурирующими академиками с их частными,
«цеховыми» интересами прошел. Немалыми усилиями
президента академии Блюментроста и его помощника —
библиотекаря и советника Шумахера задачи сотрудников
были распределены персонально, и каждый из членов
академии занялся своим непосредственным делом, ради
которого приехал в северную столицу. Остаток 1726 г. и
весь 1727 г. прошел для Даниила Бернулли в разработке
разнообразных проблем физиологии, математики,
механики, физики, в подготовке трех больших рукописей для
первого тома «Комментариев», в чтении многочисленных
докладов на еженедельных заседаниях академической
Конференции. Таких докладов за первые два года своего
пребывания в Петербурге Даниил Бернулли прочитал
около двух десятков. Если добавить к тому же, что
решение не только научных, но и
административно-хозяйственных вопросов также входило в круг обязанностей акаде-
105

мической Конференций, то можнб йредстайить себе ту
нелегкую нагрузку петербургских академиков и то
непрерывное напряжение, в котором им приходилось
работать. Темп их работы и продуктивность были чрезвычайно
Высокими, что и обусловило быстрый рост популярности
Петербургской академии наук за границей. «Не могу вам
с достаточной убедительностью объяснить»,— писал 18
декабря 1734 г. Эйлеру Даниил Бернулли из-за границы,—
с какой жадностью повсюду спрашивают о «Петербургских
мемуарах»... Было бы желательно, чтобы поспешили с их
печатаньем» 2.
В июне 1727 г. Даниил Бернулли передал на
рассмотрение Петербургской академии рукопись по гидравлике
под названием «Новая теория движения воды, текущей по
различным каналам» 3. Это была первая из работ по
данной тематике, подготовленных в Петербургской академии
и опубликованных в «Комментариях». Основная идея
сочинения заключалась в систематическом использовании
двух фундаментальных принципов механики — принципа
неразрывности (или гипотезы перпендикулярных слоев)
и принципа сохранения живых сил применительно к
некоторым задачам гидравлики. В главной своей части
рассуждения Даниила Бернулли сводились к отработке на
задачах Ньютона и Мариотта (см. гл. 7) практического
применения этих двух принципов.
На первых страницах своей работы Даниил Бернулли
отмечает заслуги своего отца Иоганна Бернулли и
Христиана Гюйгенса — пионеров в разработке и практической
реализации идеи Лейбница (принципа сохранения живых
сил), сформулированной последним в общефилософских
терминах. Даниил считает возможным использовать этот
принцип в качестве базиса для построения теории
движения жидкости. Обращаясь к читателю, он заявляет, что
попытки определения законов движения вод по трубам и
каналам предпринимались давно многими геометрами,
что за многие десятки лет систематических исследований
было проведено множество различных опытов, однако
теории не дал никто. Свое сочинение он относит к числу
первых таких попыток построения замкнутой теории на
основе двух указанных выше общих принципов.
2 Correspondence mathematique et physique, t. 2, p. 415—416.
3 Bernoulli D. Theoria nova de motu aquarum per canales quoscun-
que fluentium.— Comm. Petrop., 1729, 2, p. 111—125.
106

Работа небольшая (всего 15 страниц), но очень
содержательная. В ней автор формулирует пять предложений,
в первом из которых решается задача определения расхода
в горизонтальных трубах произвольного поперечного
сечения. Причем в этом случае гипотеза перпендикулярных
слоев (которая, очевидно, является справедливой в
случае, когда речь идет, например, о снижении уровня в
сосуде, из которого она вытекает: здесь два
последовательных положения снижающейся свободной поверхности,
отделенные элементарным промежутком dx,
действительно остаются перпендикулярными направлению движения
жидкости) применяется автором для горизонтально
текущих вод, где ее справедливость уже не является
бесспорной.
После доказательства вспомогательной теоремы
(предложение 2) Даниил Бернулли от определения расхода
переходит к задаче определения скорости истечения из не
бесконечно малого отверстия в донной части вертикально
расположенного сосуда, образованного вращением
произвольной кривой. Здесь опять используется гипотеза
перпендикулярных слоев и простейшие методы
дифференциального исчисления. В третьем следствии этого
предложения автор обсуждает свою старую задачу о клепсидре,
связывая проводимые рассуждения с исследованиями
Вариньона и Мариотта. Этот анализ продолжается и в
четвертом следствии, где в заключение рассматривается
задача определения образующей воронки (cataract) в
классической задаче истечения Ньютона и обсуждаются
некоторые результаты публичных опытов Бюльфингера.
Четвертое предложение посвящено определению
скорости снижения свободной поверхности в цилиндрическом
сосуде, из которого вода, попадая в вертикальную
цилиндрическую трубу (насадок), присоединенную к отверстию
в донной стенке, свободно вытекает во внешнее
пространство. В пятом следствии этого важного предложения
рассматривается специальный вариант этой задачи,
осложненный тем, что приставная бесконечно длинная труба
выходит из бокового отверстия в сосуде и располагается
горизонтально. Для сосуда такой геометрии автор ставит
задачу определения связи высоты z уровня,
снижающегося по мере вытекания содержимого сосуда в трубу, со
скоростью Vv этого снижения4. Эта связь, согласно
4 Даниил Бернулли всюду, как правило, говорит о «скорости У у»,
связывая ее, согласно закону Галилея, с «высотой у, соответст-
107

расчетам Даниила Бернулли, имеет следующий вид:
аа — zz
2(z—nnz-\- ппа)'
где п — величина поперечного сечения сосуда, а — его
высота, площадь поперечного сечения горизонтальной
трубы при этом предполагается равной единице.
Заканчивается работа применением гипотезы
перпендикулярных слоев к сосудам не осесимметричным, а
имеющим произвольную форму (предложение 5).
Указанная работа Даниила Бернулли во многих
отношениях является уникальной. Во-первых, это первое
сочинение по теоретической гидравлике, опубликованное
в России. Во-вторых, в работе, помимо чисто
кинематических аспектов (учитываемых с помощью гипотезы
перпендикулярных слоев), сделана серьезная попытка
использовать динамический принцип (принцип живых сил). В этом
смысле свою гидравлику Даниил Бернулли и называет
теоретической, в этой стыковке кинематических и
динамических аспектов и состоит суть его теории. Попытки
такого синтеза предпринимались и ранее, в частности
Ньютоном и Вариньоном, однако Даниил не принимает
их во внимание, так как в качестве динамического
принципа ими использовался по сути дела второй
закон Ньютона, причем в весьма робкой форме. А
Бернулли питал вначале к этому закону некоторое недоверие,
считая его «случайным принципом», который можно
вывести как следствие из другого — «необходимого
принципа», но который сам по себе не может приниматься в
качестве базисного.
Кроме того, надо отметить и то обстоятельство, что в
данной работе Даниилу Бернулли удалось реализовать
принцип живых сил в таком классе задач, в котором это
вующей скорости». Для того чтобы привести в соответствие
специфическую символику Бернулли с современной,
необходимо, очевидно, во всех выкладках положить величину ускорения
силы тяжести #=1/2. Впоследствии эту же символику
использовал и Леонард Эйлер (об эйлеровой символике см.
вступительную статью К. Трусделла, открывающую двенадцатый том
второй серии собрания сочинений Эйлера: Truesdell С. Rational
fluid mechanics, 1687—1765.— In: Leonhardi Euleri opera omnia,
ser. 2, vol. 12. Lansannac, 1954. (Далее: Truesdell C. Rational
fluid mechanics, 1687—1765).
108

сделать было не так-то просто. Основная трудность
реализации принципа живых сил в задачах гидромеханики
заключалась в том, что здесь приходилось оперировать
деформируемыми объектами, а не телами с
фиксированной геометрией. Даниил Бернулли обошел эту трудность
и изящно справился с задачей, найдя подходящий путь
такой реализации с помощью гипотезы перпендикулярных
слоев.
Идея построения на строгой научной основе
теоретической гидравлики, которая была до этого времени по
преимуществу эмпирической дисциплиной, захватила
Даниила самым серьезным образом. Этому способствовало
также и изменение его статуса в Петербургской
академии: он был назначен на должность профессора
математики. Вплоть до начала сороковых годов Бернулли
продолжал заниматься разработкой этой идеи.
В числе первых корреспондентов, которым Даниил
Бернулли поведал о своих изысканиях, были, конечно, его
итальянские коллеги и друзья. В письме к Джиованни По-
лени от 13 августа 1727 г. Даниил Бернулли писал:
«...наконец, я удачно напал на истинную теорию движения
воды, которая является весьма общей и может быть
применена к различным случаям. Вы знаете, с какой
тщательностью эта проблема исследовалась умнейшими
геометрами, но напрасно... но вот что еще более замечательно: в
это же самое время такая же теория была открыта другим
методом г. Эйлером из Базеля, студентом моего отца» 5.
Далее в этом же письме Даниил Бернулли приводит
дифференциальное уравнение, связывающее скорость течения
с высотой уровня жидкости в сосуде — основное
соотношение теории Бернулли, и выражения для
определения времени истечения. «Если г. Риккати
пожелает испытать свою силу,— добавляет Бернулли,— я
предлагаю ему определить законы движения [воды] через
цилиндры с просверленными на различной высоте
отверстиями». Даниил имеет в виду здесь, конечно, сосуды
Мариотта.
Это письмо писалось в то время, когда Даниил
Бернулли интенсивно работал над второй своей статьей по
гидравлике «Рассуждение о действии жидкостей на твердые
5 Цит. по ст.: Truesdell С. Rational fluid mechanics, 1687—1765,
p. XXX.
109

тела и о движении твердых тел в жидкостях» *. Еще не
окончив полностью статью, он сдал в июне 1727 г. первые
четыре основные ее части вместе с первой своей статьей
для опубликования во втором томе «Комментариев». Через
четыре месяца работа была завершена полностью и
оставшиеся две части (пятая и шестая) были сданы для
печатания в третьем томе академического издания.
Содержание «Рассуждения» принципиально
отличается от содержания «Новой теории». Здесь речь идет не
об определении законов движения, а об определении
законов давления («напора», или «натиска») текущей воды,
Автор предлагает ряд хитроумных способов
экспериментального измерения такого натиска, а также дает
формулу для определения величины сопротивления тела,
движущегося в жидкости, именно во второй части Даниил
Бернулли приводит формулировку второго закона
Ньютона и записывает соответствующую формулу. Он говорит,
что если скорость тела, падающего в сопротивляющейся
жидкости, будет и, а «движущая сила в данный момент
будет =р, то, следовательно,
dv=pdt» \ (2)
Обозначая далее разность удельных весов падающего тела
и жидкости через а и полагая сопротивление среды
пропорциональным и2, т. е. равным пи2, Даниил Бернулли
записывает следующее окончательное выражение:
d8 = vdt = —^—, (3)
а — nvu v '
где п — коэффициент, учитывающий форму тела и
удельный вес жидкости.
Прошло полгода после окончания работы над
«Рассуждением», прежде чем Бернулли доложил ее результаты
перед академиками. Сначала на заседании академической
Конференции 12 марта 1728 г. была доложена первая часть
диссертации, а спустя три дня — вторая.
Эта же тема стала предметом еще одного доклада
Даниила Бернулли, прочитанного им на заседании
академиков 21 мая 1728 г. Причем, как свидетельствуют записи
протоколов академической Конференции, этот доклад
6 Bernoulli D. Dissertatio de actione fluidorum in corpora solida et
motii solidorum in fluidis.— Comm. Petrop., 1729, 2, p. 304—342;
1732, 3, p. 214-229.
7 Comm. Petrop., 1729, 2, p. 321.
110

(содержащий главным образом доказательство Ьдной пв~
вой теоремы, касающейся теории движения твердых тел
в сопротивляющихся жидкостях) был критически
воспринят Бюльфингером. По-видимому, именно с этого дня
между Бюльфингером и Даниилом Бернулли начались
систематические конфликты по гидродинамическим
вопросам.
Как бы то ни было, когда в начале осени 1728 г. в
академии проводилось комплектование второго тома
петербургских «Комментариев», в него вошли обе
гидравлические работы Даниила Бернулли, составившие
фундамент будущей «Гидродинамики»: «Новая теория
движения воды, текущей по различным каналак» и
«Рассуждение о действии жидкостей на твердые тела и о
движении твердых тел в жидкостях».
К этому времени Бернулли уже не сомневался, что
действительно «напал на истинную теорию»; он
чувствовал, что нашел нечто очень важное. Дух открытия витал
в воздухе. Однако это были пока еще теоретические
построения, основанные на догадках, воображении и
интуиции. Все нужно было еще проверить экспериментально.
Тем не менее молодой ученый верил в полный успех своей
теории и чувствовал себя способным выполнить большую,
по-настоящему серьезную самостоятельную работу.
Теперь, когда замысел этой работы приобрел более или
менее четкие очертания, Даниил Бернулли неоднократно
обращался к руководству Петербургской академии с
просьбами о предоставлении ему официальной санкции
на подготовку такой работы.
С аналогичными просьбами Даниил Бернулли
обращается к Шумахеру. Бернулли пользовался тогда
поддержкой Шумахера, отчасти потому, что оба
недолюбливали Германа и Бюльфингера.
Вскоре, по-видимому, последовала соответствующая
санкция, так как уже с самого начала нового 1729 г.
Даниил Бернулли отошел от многих своих текущих дел и с
головой погрузился в «сочинение очень полного трактата
о законах движения воды, который будет около сорока
листов» 8. И вот тут, в самый разгар работы, которая
«занимала почти день и ночь», в дни, когда все мысли были
«так наполнены этим предметом» и нервы были на преде-
8 См. приведенный в гл. \ фрагмент письма Даниила Бернулли
к Шумахеру от 5 июня 1729 г.
111

ле, в это нелегкое время судьба подвергла его тяжелому
испытанию.
К этому времени Парижская академия наук объявила
конкурс на разработку лучшего способа определения
высоты полюса на море. В условиях качки корабля такая
задача была совсем непростой. Несмотря на занятость,
Бернулли решил принять участие в конкурсе и договорился с
Шумахером о докладе изобретенного им способа с
демонстрацией модели прибора, пригодного для работы при качке
судна. 10 июня 1729 г. была объявлена тема доклада и
назначен официальный оппонент. Доклад был приурочен
ко дню рождения царя Петра II и должен был читаться
на специальном торжественном публичном заседании
28 июня. Здесь же предполагалось зачитать
жизнеописание Николая Бернулли, скончавшегося три года тому
назад. Бюльфингер, конечно, не мог упустить такого
случая, и когда Даниил Бернулли накануне торжественного
заседания перед академиками делал небольшое
предварительное сообщение с демонстрацией прибора, то
Бюльфингер высказал официальное возражение как против
доклада Бернулли на торжественном собрании академии в
честь дня рождения Петра II, так и против чтения на нем
жизнеописания Николая Бернулли. В качестве одного из
аргументов, помимо возражений принципиального
характера, Бюльфингер выдвинул, в частности, тот довод, что
работа Даниила Бернулли не была доложена по полной
форме ввиду отсутствия текста доклада и т. п.
Несмотря на возникшее недоразумение, публичное
собрание не было отменено, так как приглашения уже
были разосланы, и 28 июня 1729 г. Даниил Бернулли
сделал свой доклад с соответствующими демонстрациями
изобретенного им прибора. Оппонировавший ему
Герман, несмотря на высказанные им серьезные сомнения в
отношении прибора Бернулли, вел себя корректно, а Байер
прочитал памятную речь в честь покойного Николая
Бернулли. Заседание завершилось прениями, в ходе которых
адмирал Сивере пообещал Даниилу Бернулли выделить
фрегат для проведения натурных испытаний прибора.
Попытка Бюльфингера унизить Даниила Бернулли
уязвила его очень глубоко. И когда 1 июля академики
собрались на очередное заседание Конференции, спор
вспыхнул с новой силой, после чего Бюльфингер и
Даниил Бернулли направили находившемуся в Москве
президенту Блюментросту пространные жалобы. «Обвинения»
112

Бюльфингера сводились главным образом к тому, что
Даниил Бернулли якобы намеренно не представил
предварительно свой доклад официальному оппоненту, что он
самоуверенно говорил об экспериментах, которые не были
проведены в присутствии академиков, и сведения об этих
экспериментах печатает в «Комментариях», что по вине
Даниила Бернулли празднование дня Петра и Павла было
омрачено траурной речью о Николае Бернулли. Даниил
обвинялся в заимствованиях у Майера (ученика
Бюльфингера, также написавшего в то время работу на эту
тему и направившего ее в Парижскую академию наук) и
у своего собственного отца.
По инициативе Шумахера из Москвы последовало
указание президента о создании специальной комиссии по
рассмотрению спора между Бюльфингером и Бернулли.
8 записи академических материалов, помеченной 11
августа 1729 г., записано следующее: «Сего числа имелась
сессия о спорном деле между Бернуллием и
Бюльфингером, в которой определено на присланный от господина
президента указ изъяснения учинить» 9. После «учинения
изъяснений» Майером, Делилем, Мюллером, Германом,
Бюльфингером и Даниилом Бернулли президент прислал
из Москвы письмо, имевшее целью разрядить обстановку.
О том, как кипели страсти в то памятное лето,
свидетельствуют многие фрагменты переписки Шумахера с Блю-
ментростом («приказывайте, милостивый государь, что
вам угодно, я буду повиноваться, но, ради Господа и во
имя спокойствия общества, не предоставляйте нас ярости
г. Бюльфингера» 10 и т. п.).
В результате всех этих околонаучных инсинуаций
Даниил Бернулли оказался на грани сильного нервного
истощения. Об этом красноречиво говорят его письма,
относящиеся к рассматриваемому периоду. «Боже мой,
к каким крайностям вынуждают меня,— писал он
Шумахеру, ища у него поддержки.— Обвиняют меня прямо в
ложных выводах, и это обвинение делает г. Бюльфингер.
Еще более: он меня выдает за преступника, сообщая
сведения de vita et moribus meis и. Я могу только оплакивать
9 Материалы для истории императорской Академии наук, т. 1,
с. 539.
10 Из письма Шумахера к Блюментросту от 18 августа 1729 г.
Цит. по кн.: Пекарский П. П. История императорской
Академии наук в Петербурге, т. 1, с. 88.
11 О моей жизни и нравах.
113

Жан Лерон Д'Аламбер
(1717—1783)
мое несчастье... Конечпо,
наши усилия совершенно
различны: г. Бюльфингер
старается лишь
уничтожить меня, а я хочу
только доказать мою
невиновность, не желая ему ни
малейшего зла. Это видно
из моего письма к г. Блю-
ментросту, в котором
я имел честь писать к
нему в самых почтительных
выражениях день спустя
после катастрофы в
нашем торжественном
заседании, а также и из
письма г. Бюльфингера,
написанного гораздо после и
наполненного
оскорблениями. Он хочет
уничтожить мою известность,
а между тем не в
состоянии доказать ни одного ложного вывода, и мне легко
обличить и опровергнуть его вздорное злоречие. Мне он
не оказывал ни малейшего одолжения, а между тем я,
как истинный друг, часто исправлял его статьи, которые
он не хотел печатать, не показав их мне три или четыре
раза для исправления. Он этим умел очень хорошо
воспользоваться, о чем свидетельствуют его диссертации» 12.
Бюльфингера этот урок научил многому. Поняв, что
конкуренции в научных вопросах с Даниилом Бернулли
ему не выдержать, лишенный поддержки со стороны
большей части академиков и руководства, Бюльфингер в
1731 г. покинул Петербург. Вместе с ним уехал Герман.
Приехав в Тюбинген, Бюльфингер направил Даниилу
Бернулли дружеское письмо, на которое Даниил ответил
также в самых корректных выражениях. Вернувшись в
Тюбинген, который он покинул около шести лет тому
назад, Бюльфингер прочитал там публичную речь «О
достопримечательностях города Петербурга». В ней он
особенно хвалил мастерские при академии наук.
12 См. письмо Даниила Бернулли к Шумахеру от 10 сентября
1729 г. Цит. по кн.: Пекарский П. П. История императорской
Академии наук в Петербурге, т. 1, с. 104—105.
114

Между тем, несмотря на многочисленные
неприятности, которые принес Даниилу Бернулли злополучный
1729 г., его работа над «Гидродинамикой» продолжалась.
В этом году он выполнил свои классические опыты с
прибором типа сосуда Мариотта (рис. 5), подтвердившие
теоретически сформулированную ранее основную идею
его будущей гидравлико-статики. Отчет об этих опытах
вышел в виде небольшой статьи под названием «Экспе-
А
Рис. 5. Иллюстрация к статье Д. Бернулли «Эксперименты,
поставленные в присутствии общества для подтверждения теории
давления, испытываемого боковыми стенками канала со стороны
текущей воды», 1729 г.
115

рименты, поставленные в присутствии общества для
подтверждения теории давления, испытываемого боковыми
стенками канала со стороны текущей воды» 13. Эта статья
была помещена в четвертом томе «Комментариев» за
1729 г., который увидел свет уже после отъезда Даниила
Бернулли из Петербурга.
Работа начинается с заявления о том, что история
гидравлических экспериментов восходит к Фронтину.
Однако все предыдущие авторы занимались
определением давления только покоящихся вод и никто не
рассматривал движущиеся среды и т. д. Наиболее важным
является фрагмент работы, содержащий утверждение о
том, что если площади сечений трубы и отверстия
истечения обозначить соответственно через т и п, а высоту
уровня воды в сосуде через а, то давление воды,
протекающей в трубе, будет равно
тт-пп ы (4)
mm v '
Даниил Бернулли подробно описывает конструкцию
прибора, с помощью которого проводилась проверка
формулы (4): прибор, выполненный в мастерских
Петербургской академии по чертежам Даниила Бернулли и под его
наблюдением, состоял из горизонтальной трубы с
вертикальным патрубком, торцевого колпака с отверстием
и основного цилиндрического сосуда (рис. 5). Далее
следует описание четырех опытов, выполненных с помощью
описанного и еще двух других приборов. Заканчивается
работа сообщением о том, что все многократно
проведенные опыты полностью подтвердили теорию, т. е.
формулу (4).
О своих экспериментах Даниил Бернулли подробно
информировал своего постоянного корреспондента
Христиана Гольдбаха. Обмен информацией по вопросам
гидравлики между Гольдбахом и Даниилом Бернулли начался
еще в июне 1725 г., когда Даниил рассказал о своем успехе
на конкурсе Парижской академии наук. Однако если
тогда Гольдбаха не слишком заинтересовали результаты
Бернулли, то теперь, в 1730 г., он вступил в активное
обсуждение формулы (4) Даниила Бернулли.
13 Bernoulli D. Experimenta coram societate instituta in confirma-
tionem theoriae pressionum quas latera canalis ab aqua trans-
fluente sustinent— Gomm. Petrop., 1735, 4, p. 194—201.
14 Там же, с. 196.
116

Даниил Бернулли
17 июля 1730 г. Даниил Бернулли писал Гольдбаху:
«Что касается меня, то я целиком погружен в проблему
вод, которая представляет мое единственное занятие, и в
последние дни я отказался от всего, что не касается
гидростатики или гидравлики... В эти минувшие дни я сделал
новое открытие, которое может оказаться очень полезным
в проектировании водопроводов, но которое главным
образом откроет новую эру в физиологии; я именно
разработал статику текущей воды, науку, которую никто до меня
не рассматривал, насколько я знаю... Речь идет здесь об
определении усилия воды, которая проталкивается
некоторой силой в произвольной трубе...» 15. Далее следует
описание прибора и рисунок типа изображенного в «Экспери-
15 Correspondance mathematique et physique, t. 2, p. 373—374.
117

ментах» (см. рис. 5). «Я проводил эксперименты,— пишет
Бернулли,— с помощью хорошо отполированного
железного цилиндра, который я оборудовал различными
крышками, имеющими отверстия разных размеров, такими, как
аРМ$; в середине цилиндра был припаян небольшой
отрезок трубы yRS8 для установки стеклянной трубки
CRSD. Все эксперименты имели полный успех» 16.
Обозначая через п отношение площадей поперечного
сечения трубы и выходного отверстия истечения, Даниил
Бернулли приводит выражение для определения высоты SF
жидкости в стеклянной вертикальной трубочке CRSD:
SF= nna~a . (5)
пп v ;
Эта высота характеризует величину усилия,
испытываемого стенками горизонтальной трубы, благодаря чему
выражение (5) дает «новые правила для конструирования
водопроводов, чего г. Бюльфингер не мог себе представить
до тех пор, пока я не провел, наконец, опыт в присутствии
других академиков» 17.
Гольдбах сразу же послал ответное письмо, в котором
попытался опровергнуть результат Бернулли, на что
последний, сохраняя терпение и выдержку, дал Гольдбаху
новые подробные разъяснения. «Ваша гидростатическая
догадка весьма далека от опыта и моей теоремы, которую
вы не очень хорошо поняли»,— пишет он в следующем
письме от 24 августа 1730 г.18 Далее, используя
обозначения Гольдбаха {пп — площадь поперечного сечения трубы,
1 — площадь поперечного сечения отверстия истечения),
он утверждает, что высота SF подъема жидкости в
барометрической трубке, характеризующая величину давления
(П4 _ 1) а (пп — 1) а
внутри трубы, равна ——± , а не ——— , как
ошибочно полагал Гольдбах 19. Поскольку, однако,
Гольдбах и дальше продолжал упорствовать, Бернулли спустя
некоторое время прекратил переписку.
Позднее в письме к Эйлеру от 20 января 1742 г. он дал
такую оценку компетентности Гольдбаха в научных во-
16 Там же, с. 375.
17 Там же, с. 375.
18 Там же, с. 391.
19 В том, что Гольдбах действительно ошибался, легко убедиться
простой подстановкой в уравнение Бернулли в его современном
виде выражения для скорости г, полученного из элементарной
интегральной формы уравнения неразрывности vn2= const.
118

прбсйх! «То, что г. Гольдбах в силу различных
обстоятельств есть влиятельнейший член Петербургской
академии,— это я очень хорошо знал; но чтобы он имел какие-
то необыкновенные заслуги — это мне было неизвестно,
хотя у меня было столько же, сколько и у вас, случаев
узнать их...» 20
Завершался 1730-й год, пятилетний срок действия
контракта Даниила Бернулли с Петербургской академией
подходил к концу. Он продолжал интенсивно работать над
«Гидродинамикой», отдавая все силы этой работе. За
оставшиеся несколько месяцев 1730 г. Даниил Бернулли
прочитал в академической Конференции три доклада, и все
три были посвящены гидродинамике. Бернулли торопился.
Теперь, когда все основные результаты его шестилетнего
труда стали известны многим, надо было спешить с
изданием «Гидродинамики». Промедлением могли
воспользоваться его соперники и конкуренты. Негативную
позицию заняли теперь Гольдбах и некоторые другие лица.
Отвернулся от Даниила Бернулли даже его бывший
покровитель Шумахер, которого (в силу его некомпетентности)
не могли, конечно, покорить ни очевидное изящество
формулы (4), ни тот факт, что она хорошо
подтверждается на опыте.
Трудности закалили Даниила Бернулли. Теперь это
был уже не робкий юноша, каким он приехал в северную
столицу пять лет назад со старшим братом, когда, не зная,
где приложить свои знания и энтузиазм, он искал
покровительство, защиту, подходящую тему для серьезной
работы. Теперь, в нелегкой борьбе отвоевав статус
независимости, право ведения самостоятельной научной работы, он
превратился в маститого ученого мужа, хорошо
знающего свою цель и готового бороться за нее с любыми
противниками.
Совершив свое открытие, Бернулли, несмотря на
поднятый вокруг него нездоровый ажиотаж, уже интуитивно
чувствовал, что оно действительно не вполне ординарное.
Ажиотаж, пожалуй, только наоборот подчеркивал,
усиливал значимость открытия: малосущественные результаты
не вызвали бы столь бурную реакцию научной
общественности. Формула (4) и все, что к ней имело отношение,
20 Correspondance mathematique et physique, t. 2, p. 479—480.
Справедливости ради следует сказать, что оценка, данная Бернулли
Гольдбаху, была чрезмерно субъективной.
119

DAN4EUS BERNOULLI Jo»
Мех», Pstor* Basil»
AGAD, SCfENT. IMPER. PETROPOUTAME, PRTOS MATHES£OS
SUBLBIIOEIS FROKOED.NUNC МБМШ £T PROF. HONOR,
HYDRODYNAM1CA,
SIVE
DE VIRIBUS ET MOTIBUS FLUIDORUM
COMMENTARIL
OPUS ACADEMICUM
ДВ AUCTOEB, DUM PBTaOFOtI AG£&£TV
COHGBSXUM,
sARGENTQRATL^
D0L$StR£RI*
Anno м d
h. Hekr. "'Вкшr
Титульный лист «Гидродинамики» Д. Бернулли, 1738 г.
стало теперь для Даниила Вернулли чем-то вроде
любимого детища, в которое он вкладывал без остатка все свои
силы. Однако жизнь готовила Даниилу новое, еще более
суровое испытание (об этом —в гл. 12).
Дальнейшая судьба «Гидродинамики» складывалась
следующим образом. После продления контракта осенью
120

1730 г. Бернулли продолжал работать над главами,
периодически докладывая их основное содержание на
заседаниях академической Конференции. За три последних года
пребывания в Петербурге (1730—1733) на шести таких
заседаниях Бернулли прочитал пять докладов: о
сопротивляющихся средах (31 августа 1731 г.), о циркуляции
воздуха в русских печах (2 ноября 1731 г.), о гидростатике
(22 сентября 1732 г.), о наблюдениях с помощью
барометра (10 и 13 октября 1732 г.), о гидрометрии (18 мая
1733 г.). В этот период Даниилом Бернулли были
представлены три последние статьи по гидродинамике в
третий, четвертый и пятый тома петербургских
«Комментариев», комплектование которых проходило в декабре
1730 г. и в июле 1731 г. В третий том вошла работа о
действии жидкости на тела, в четвертый — о сопротивлении,
пропорциональном квадрату скорости, в пятый — о
колебаниях маятника в сопротивляющейся среде.
После возвращения в 1733 г. на родину и
окончательного завершения работы над книгой Бернулли
отправляется в 1734 г. в «жилище муз» город Страсбург, где
договаривается с издателем Дульзекером об издании книги
за 100 талеров гонорара и 30 бесплатных авторских
экземпляров.
«Моя «Гидродинамика» еще не готова,— писал Даниил
Бернулли Эйлеру в 1735 г.— Для меня было бы очень
приятно, если бы г. камергер И.-А. Корф (новый
президент Петербургской академии.— А. Г. и Б. К.)
представил ее, когда она будет готова, от моего имени ее
императорскому величеству (русской императрице Анне Иоан-
новне.— А. Г. и Б. К.) и похлопотал, чтобы это сочинение
было всемилостивейше принято в знак моей
всеподданнейшей и совершенно чуждой расчетов признательности» 21.
После предварительной публикации рецензии на
«Гидродинамику» в «Химии» Г. Бургаве сочинение Бернулли
вышло, наконец, в 1738 г. из печати и тотчас же было
послано в Петербург. По совету «главного командира
академии» Корфа (так официально называли нового
президента академии) Даниил Бернулли посвятил ее курлянд-
скому герцогу Эрнсту Бирону — любимцу императрицы
и фактическому правителю тогдашней России.
21 Цит. по кн.: Пекарский П. П. История императорской
Академии наук в Петербурге, т. 1, с. 111.
121

«Наконец, выходит в свет наша «Гидродинамика»,—
читаем мы в предисловии автора,— после того как были
преодолены все препятствия, задержавшие ее напечатание
в течение почти восьми лет; возможно, что ей и не
привелось бы увидеть света, если бы вся эта работа пришлась
исключительно на мою долю. Я охотно объявляю, что
главнейшая часть этой работы обязана руководству,
замыслам и поддержке со стороны Петербургской Академии
наук. Повод для написания этой книги дало
постановление Академии, в котором первых профессоров,
собравшихся для ее создания, обязали и затем определенно
побуждали, чтобы они писали рассуждения на какую-нибудь
полезную и, насколько возможно, новую тему. Всякий
легко согласится с тем, что теория о силах и движениях
жидкостей, если только она не создана против воли
Минервы, не является ни бесполезной, ни тривиальной. Для
того чтобы рассеять скуку у читателя, я подверг
рассмотрению разнообразные вопросы, в особенности в
последних пяти частях, а также включил примеры
аналитические, физические, механические, как теоретические, так
и практические, некоторые геометрические, мореходные,
астрономические и иные. Введение таких примеров
представляется мне не только допустимым, но прямо
вытекающим из существа принятой работы. Беспристрастный
и сведущий в этих вопросах читатель легко исправит
ошибки, которые могли проскочить при спешке.
Настоящая моя работа преследует единственную цель: принести
пользу Академии, все усилия которой направлены к тому,
чтобы содействовать росту и общественной пользе благих
наук» 22.
В книге тринадцать частей. Первая является
вступлением и содержит различные предварительные замечания.
Во второй части «речь идет о покоящихся жидкостях и об
их равновесии как по отношению друг к другу, так и по
отношению к другим силам». Третья часть посвящена
определению скоростей жидкостей, вытекающих из любым
образом устроенного сосуда через любое отверстие. В
четвертой рассматриваются времена истечения жидкости из
сосуда. В пятой ставится и решается задача определения
движения вод из постоянно заполненных сосудов. Шестая
часть исследует движение жидкости в бесконечно длинной
трубе и колебательные движения в трубах (внутренние
Вернулли Д. Гидродинамика, с. 9.
ш

гидравлики). Ё седьмой части обсуждается
проблема движения вод в погруженных сосудах, «где на
примерах показывается, сколь замечательно полезно начало
сохранения живых сил даже в тех случаях, когда следует
считать, что кое-что из этих сил постоянно теряется».
В восьмой части изучается движение однородных и
неоднородных жидкостей в сосудах сложной геометрии с
многочисленными внутренними перегородками и отверстиями.
Девятая часть посвящена рассмотрению гидравлических
машин, в частности машин для подъема воды, улитки
Архимеда и др. В десятой части речь идет о свойствах
и движениях упругих жидкостей, в частности воздуха.
В одиннадцатой рассматриваются вихревые движения
жидкостей. Двенадцатая часть излагает «статику
движущихся жидкостей», названную автором гидравлико-стати-
кой. Тринадцатая, заключительная часть посвящена
определению реакции жидкостей, вытекающих из сосудов, и об
их натиске на плоскость, на которую они попадают после
вытекания.
Основная цель сочинения сформулирована в первых
строках вступительной части сочинения: «Так как теория
жидкостей состоит из двух частей, из которых одна,
гидростатика, рассматривает давление и различные случаи
равновесия покоящихся жидкостей, а другая, гидравлика,
рассматривает движения жидкостей, то обычно писатели
трактуют их отдельно; но я нашел, что они связаны между
собой столь тесной связью, что каждая из них очень
нуждается в помощи со стороны другой, и я не усомнился их
соединить, поскольку этого требует порядок вещей, под
более общим названием гидродинамики» 23.
Такова история создания «Гидродинамики» — одного
из наиболее впечатляющих памятников мировой научной
литературы.
23 Там же, с. 11.
123

Глава 9
Принцип сохранения живых сил
Рассмотрим исходные постулаты и основные
допущения «Гидродинамики». «Раньше, чем попытаться
определить движение жидкостей,— пишет Даниил Бернулли
сразу вслед за двумя вводными разделами сочинения,—
мы повторим... начала, которые должны быть для этого
применены»1. Таких начал у Бернулли два: принцип
сохранения живых сил и гипотеза перпендикулярных
слоев (простейший вариант принципа неразрывности).
Приведем формулировку двух этих принципов в том
виде, в каком они были записаны в рукописном варианте
«Гидродинамики», представляющем первоначальную
редакцию сочинения2. В этой более ранней редакции
указанные постулаты звучат даже несколько более четко и
описаны более детально, что само по себе может служить
косвенным свидетельством того, что первоначальный
интерес Даниила Бернулли к принципу живых сил
постепенно в ходе работы над сочинением ослабевал и
смещался в сторону принципа ускоряющих сил (второго
закона ныотонианской динамики).
«§ 2. Гипотеза 1. Скорость протекания воды по трубе
всегда обратно пропорциональна сечению сосуда. Авторы
книг по гидростатике доказывают это предложение,
исходя из того, что в одно и то же время через каждый
отдельный участок сосуда протекает одно и то же количество
воды. Но необходимо признать, что при этом делается
предположение, которое верно лишь приближенно, а если
сосуды имеют очень неправильную форму, то допущение
одинаковой скорости воды на одном участке сосуда
неверно даже приближенно: гораздо более вероятно, что вода
течет медленнее у стенок сосуда, а быстрее у его
середины. Это правило принимаем и мы, так как вряд ли оно
далеко от истины, поскольку я убедился в его
правильности на многочисленных опытах.
1 Бернулли Д. Гидродинамика, с. 54.
2 Этот черновой вариант «Гидродинамики» находится в Архиве
Академии наук СССР и представляет большой интерес с точки
зрения понимания эволюции научных взглядов Даниила
Бернулли.
124

§ 3. Гипотеза 2. Если какие-либо грузы начинают
любым образом двигаться в силу своей тяжести, а затем
все снова возвращаются в состояние покоя, то общий
центр тяжести вернется на прежнюю высоту. Поскольку
я знаю, эту аксиому впервые применил Гюйгенс для
правил движения, возникающего при ударе тел, совершенно
упругих, и для нахождения центра качания, и она не
отличается от закона сохранения живых сил, согласно
которому принимается, что движение, возникающее
вследствие силы тяжести в какой угодно массе М, таково,
что сумма квадратов скоростей отдельных точек равна
квадрату скорости той же массы М, свободно упавшей,
помноженной на ту высоту, с которой упал ее центр
тяжести» 3.
К указанным основным постулатам Даниил Бернулли
в ходе рассуждений добавляет также допущения об
отсутствии вязкости, о несжимаемости, о наличии
установившегося режима течения. Из перечисленных
дополнительных допущений особый интерес представляет последнее,
впервые введенное в гидродинамику Даниилом Бернулли.
Исследуемый род течений (установившихся, или
стационарных, в современной терминологии) Бернулли называет
«состоянием постоянной устойчивости», «состоянием
устойчивости или постоянства», «установившимся
состоянием». Поясняя суть этих терминов, он говорит, что в этом
случае «жидкость, не подвергаясь никакому изменению,
движется все время согласно одному и тому же закону» \
Без этого допущения Даниил Бернулли считал задачу
определения движения жидкости «неопределенной, ибо в
одной и той же трубе к какому-либо моменту времени
одна и та же скорость может быть создана на
бесчисленное множество ладов; поэтому для того, чтобы можно
было бы измерить причину, толкающую вперед воду,
следует представить себе однообразие в движении вод»5.
Заметим, однако, что, несмотря на такое отрицательное
заключение Даниила Бернулли, его отец вскоре
предпринял попытку математического описания одномерных
нестационарных течений (см. его «Гидравлику», 1742).
В двумерных (плоских и осесимметричных) задачах учет
эффектов нестационарности был впоследствии
осуществлен Д'Аламбером, причем эту процедуру он провел толь-
3 Бернулли Д. Гидродинамика, с. 513.
4 Там же, с. 342.
5 Там же, с. 368.
125

Кб для специального типа нестационарности,
выражающегося в том, что скорость в момент времени t в каждой
точке (х, у) полагалась у него в виде функции с
разделяющимися переменными v(x, г/, t)=Vi(x, y)vz(t) (см. его
«Опыт новой теории сопротивления жидкостей», 1752).
В наиболее полном объеме математическую постановку
задачи нестационарного течения осуществил в 1757 г.
Эйлер в «Общих началах движения жидкостей».
Вернемся, однако, к исследованию исходных
постулатов теоретической гидродинамики Даниила Бернулли.
Главным в развитии Даниилом Бернулли принципа
живых сил было применение его к теории движения
жидкостей. До него этот принцип применялся главным
образом в динамике системы материальных точек.
Использование этого постулата в механике сплошной среды, где
требовалась принципиальная модернизация всего подхода
в целом и где, в частности, становилось необходимым
введение представлений о мысленно выделенных в
континууме элементарных жидких объемах,— это в
теоретической механике XVIII в. проводилось впервые.
Среди основных предшественников в вопросе о
принципе живых сил Даниил Бернулли выделяет в
«Гидродинамике» троих. В первую очередь он называет Галилео
Галилея, показавшего в своих «Беседах и
математических доказательствах», что тело, падая вертикально или
опускаясь с той же высоты по наклонной плоскости,
приобретает в обоих случаях одну и ту же скорость. Это,
говорит Даниил Бернулли, «может быть доказано на
основании природы давления» 6.
Первым из последователей Галилея Даниил Бернулли
называет Христиана Гюйгенса, который использовал
предложение Галилея для более общего допущения при
выводе законов соударения упругих тел и при
определении центра колебаний составного маятника7. Исходной
аксиомой, лежащей в основе теории живых сил, Даниил
Бернулли считает аксиому, сформулированную
Гюйгенсом в его исторической работе «Маятниковые часы»: если
любое число весомых тел начинает двигаться произвольно
под действием силы своей тяжести и затем все они сами
6 Бернулли Д. Гидродинамика, с. 27.
7 Ограничиваясь формально-математической стороной вопроса,
Даниил Бернулли не упоминает здесь имени Лейбница, желая,
по-видимому, подчеркнуть практическую, а пе
общефилософскую направленность своего сочинения.
126

собой приходят в состояние покоя, то общий центр
тяжести этих грузов вернется на первоначальную высоту8.
В этой формулировке Бернулли особый акцент делает на
допущении «произвольности» движений, позволяющем
включать в рассмотрение не только ударное
взаимодействие падающих тел, но также и случай, когда они
«взаимно друг на друга давят». Очевидно, это обстоятельство
является важным при рассмотрении падения (истечения)
жидкости из всевозможных отверстий в сосудах или их
течения в трубах.
Из аксиомы Гюйгенса, постулирующей
тождественность величин подъема и опускания механической
системы, вытекает собственно принцип сохранения живых сил,
сформулированный им в его классической работе
следующим образом: если любое количество тяжелых тел
начинает двигаться произвольно под действием силы
собственной тяжести, то скорости отдельных тел повсюду
будут таковы, что сумма их квадратов, умноженных на
соответствующие массы, будет пропорциональна
вертикальной высоте, на которую снизится общий центр
тяжести этих тел, умноженной на массы всех тел.
Третьим в иерархическом списке основоположников
рациональной теории живых сил у Даниила Бернулли
стоит его отец — Иоганн Бернулли, который впервые
широко и обстоятельно показал полезность вышеуказанного
принципа сохранения живых сил сначала в своей
конкурсной диссертации 1726 г. «Рассуждение о законах
передачи движения», а затем в двух письмах к сыну,
опубликованных во втором томе петербургских
«Комментариев».
Наконец, после ссылки на трех своих
предшественников Даниил Бернулли называет и самого себя, ставя себе
в заслугу применение (впервые в истории механики)
принципа сохранения живых сил «для исследования
законов движений, возникающих иод действием собственной
тяжести в жидких телах. А именно,— отмечает он,— я
допустил, что скорости частиц все время таковы, что когда
отдельные частицы движутся вверх до состояния покоя,
то общий центр их тяжести поднимается на
первоначальную высоту. Однако... я предпочел приурочить это поло-
8 Huygens Ch. Horologium oscillatorium. Lcyden, 1673. Рус. пер.
в кн.: Гюйгенс X. Три мемуара по механике. М.: Изд-во АН
СССР, 1951.
127

жение к словам Гюйгенса, а не к словам отца, и передать
их выражением: равенство между действительным
снижением и потенциальным подъемом, а не другим:
сохранение живых сил» 9.
Переход к иной, отличной от введенной Лейбницем
терминологии («живые силы», «теорема живых сил»)
заключал в себе достаточно глубокий смысл. Цель,
которую преследовал при этом Даниил Бернулли,
заключалась в максимально возможном отходе от отвлеченных
общефилософских рассуждений в духе Лейбница и
Иоганна Бернулли, отходе от традиционного спора о «мере
сил», развернувшегося в двадцатых и тридцатых годах
XVIII в. По поводу этой терминологии Даниил Бернулли
высказывался еще в 1726 г. в статье «Исследование
принципов механики», опубликованной в первом томе
петербургских «Комментариев». Позднее эти замечания он
включил в рукопись «Гидродинамики», но потом изъял
их из окончательного текста.
Эти замечания Даниила Бернулли, высказанные в
1726 г., сводились к следующему. По существу, говорит
Бернулли, все сходятся на том, что в учении Лейбница о
живых силах нет ничего такого, с чем не согласились бы
все, хотя каждый выражает это своими словами. Весь
вопрос сводится к тому, что именно следует называть
живой силой, т. е. силой, «присущей движимому телу»:
число ли всех элементарных упругих противодействий,
которые движущееся тело может вызывать до тех пор,
пока оно не потеряет всякое движение (при этом время
не принимается во внимание), или же сумму всех
моментальных давлений, противоположных направлению
движения и необходимых для того, чтобы остановить тело.
Понимая под «числом всех минимальных упругих
противодействий» величину, выражаемую интегралом
\pdx, (1)
а под «суммой всех моментальных давлений»
'рЛ, (2)
Даниил Бернулли отмечает, что «мы правильно поступим,
если будем считать в первом случае живую силу тела
пропорциональной квадрату скорости, во втором — самой
9 Бернулли Д. Гидродинамика, с. 28.
128

скорости. В обоих случаях мера будет постоянной;
действительно, в природе вещей упомянутая выше сумма
моментальных давлений сохранится в той же степени, как
и число напряжений. Но мне первое определение по
многим причинам кажется более приемлемым, чем второе,
и я применяю это первое» 10.
Таким образом, выражение (1) Даниил Бернулли
связывает с традиционным понятием живой силы.
Здесь мы вновь возвращаемся к теме, которая была
затронута выше,— теме сопряжения механики Лейбница
и механики Ньютона. Очевидно, что Бернулли
фактически интегрирует уравнение второго закона Ньютона,
записываемое им в виде vdv=pdx, и результат
интегрирования представляет как лейбницеву «живую силу». В те
времена никто еще не мог позволить себе подобной
смелости суждений: никто не мог усмотреть лейбницеву
«живую силу» (~v2) в ньютоновском уравнении движения,
описывающем движение под действием «мертвой силы» (р).
Рассуждая таким образом, Даниил Бернулли
подчеркивал, что он пришел к этим выводам не из отвлеченных
умозрений и что он «принимает в механике только то,
что принято всеми, в том числе Галилеем, когда он
установил, что приращения скоростей пропорциональны
давлениям и элементам времен» и.
Фундаментальные понятия бернуллиевой
интерпретации теории живых сил с наибольшей четкостью вводятся
в третьей главе «Гидродинамики». Под потенциальным
подъемом механической системы, каждая из частей
которой движется с произвольной скоростью, автор
подразумевает высоту, достигаемую центром тяжести указанной
системы, если представить, что каждая из ее частиц при
обращенном вверх движении поднимается, насколько она
может, под влиянием собственной скорости.
Действительным снижением Даниил Бернулли называет высоту,
на которую снижается центр тяжести после того, как
каждая из частиц пришла в состояние покоя. Согласно
10 Там же, с. 510—511'. Здесь р— давление, х — расстояние, t —
время.
11 Даниил Бернулли умышленно связывает последнее
предложение с именем Галилея, а не Ньютона, потому что при такой
более глубокой ретроспекции ощутимее проявляется общность
логических корней ныотонианства и лейбницианства: обе
концепции механики, подчеркивает, таким образом, Бернулли,
исходят, по сути дела, из одного и того же начала — закона
падения Галилея.
5 Заказ н 838 129

принципу сохранения живых сил действительное
снижение механической системы должно быть равно ее
потенциальному подъему — такова генеральная мысль Даниила
Бернулли.
Легко усмотреть в этих представлениях прообраз
понятий кинетической и потенциальной энергии. При этом
закон сохранения живых сил в интерпретации Даниила
Бернулли
Г*=У* (3)
(как и в оригинальной формулировке Лейбница,
Гюйгенса и др.) выступает как прообраз современной теоремы
сохранения полной механической энергии системы в
консервативном поле
T+F=#, (4)
описывающей энергетический баланс системы в каждый
момент времени, (здесь Т — кинетическая энергия, V —
потенциальная энергия, Н — полная энергия системы).
Мы говорим здесь «прообраз», поскольку выражения (3)
и (4), очевидно, не тождественны друг другу. Уравнение
в форме Бернулли (3) относится к двум различным
состояниям системы, а не к одному и тому же моменту
времени, как уравнение (4): левая его часть (Г*)
характеризует состояние системы в тот момент, когда ее
кинетическая энергия достигла максимального значения, а
правая (V*) характеризует другой момент времени, когда
кинетическая энергия полностью перешла в
потенциальную.
Рассмотрим, как конкретно реализует свой метод
Даниил Бернулли в задачах механики жидкости. Прежде
всего представляет интерес то, каким образом
производится вычисление значений потенциального подъема и
действительного снижения. В третьей части
«Гидродинамики», имеющей ключевое значение, автор ставит задачу
определения потенциального подъема всей массы воды,
протекающей в горизонтальной трубе произвольного
(переменного) сечения, если известна ее скорость в
некоторой заданной точке или «высота у, соответствующая
скорости» в заданном сечении площадью п. Эта высота,
по сути дела, есть не что иное, как потенциальный подъем
в данном сечении. Тогда, пользуясь гипотезой
перпендикулярных слоев, можно определить потенциальный
подъем, или высоту, соответствующую скорости, в любом
130

другом сечении: если размер этого сечения принять
равным т, то искомая «высота скорости» окажется равной
пги2/т2. Если далее проинтегрировать выражение для
потенциального подъема в произвольном сечении по
некоторому заданному участку трубы, то можно получить
искомую суммарную величину потенциального подъема.
Величина действительного снижения определяется у
Даниила Бернулли путем умножения количества
вытекающей через заданное сечение жидкости на высоту
уровня воды в сосуде, отсчитываемую от этого сечения,
и отнесения полученного результата к полному
количеству воды во всем объеме сосуда.
Переходя от конечных значений искомых параметров
к их приращениям, Бернулли получает возможность
определения движения жидкости, вытекающей из отверстия
(не малого!) в донной части сосуда произвольной
геометрии, содержимое которого (в отличие от традиционных
классических постановок) не пополняется в процессе
истечения. Применение метода живых сил приводит
Даниила Бернулли к дифференциальному уравнению,
описывающему указанное движение и имеющему вид
,т, m2vydx , m2v dx -, /Сч
Mto ^— + —j— = — yxdx, (5)
которое «может быть вообще проинтегрировано, так как
буквы N и у являются заданными функциями я, а и
является величиной одного лишь измерения» 12 (здесь у —
площадь свободной поверхности жидкости в сосуде;
п — площадь поперечного сечения отверстия истечения;
х — высота уровня свободной поверхности над отверстием
истечения; v — высота, соответствующая скорости
движения воды в произвольном сечении; т — площадь
этого сечения; N — величина суммарного потенциального
подъема жидкости в сосуде).
Уравнение движения жидкости (5) описывает течение
в сосудах типа клепсидры, разработкой которых Даниил
Бернулли занимался еще в юные годы до приезда в
Петербургскую академию. Оно является ключевым во всей
гидравлической части «гидравлико-статики» Бернулли,
не связанной с определением сил внутреннего давления,
вызывающих описываемое движение. Это уравнение,
которое автор называет каноническим уравнением, есть
12 Бернулли Д. Гидродинамика, с. 59.
131 5*

результат композиции принципа живых сил и принципа
неразрывности в его ранней форме (гипотеза
перпендикулярных слоев) — приема, весьма характерного для
раннего периода творчества Даниила Бернулли.
Интегрирование канонического дифференциального
уравнения (5) для случая вертикально расположенного
цилиндрического сосуда (или трубы) с отверстием в
донной части приводит Бернулли к следующему
выражению для определения скорости течения внутри сосуда:
где т/п — отношение площадей сечения цилиндра и
сечения отверстия истечения; а — первоначальная высота
уровня воды в сосуде над отверстием; х — текущее
значение высоты уровня; v — «высота, соответствующая
скорости внутренней воды». В классическом случае
пренебрежимо малого отверстия (или, что то же самое, бесконечно
широкого сосуда) формула (6) сводится к более простой:
Расчет клепсидр требовал строгого и точного
определения времени, затрачиваемого на вытекание жидкости
из сосуда. Вопрос этот не так прост, как может
показаться с первого взгляда, поскольку в разного рода истечениях
имеют место явления, связанные со сжатием вытекающей
струи, что было показано еще Полепи в его книге «О
водоемах», а потом Ньютоном во втором и третьем
изданиях «Математических начал». Для решения этой задачи
(анализом которой занимался еще Эванджелиста Торри-
челли) Бернулли вновь применяет принцип сохранения
живых сил. Напомним, что в ходе развития и применения
основополагающих идей Галилея к исследованию
свободного движения (падения) жидкости Торричелли в своем
сочинении «О движении естественно падающих и
брошенных тяжелых тел» показал, что два одинаковых по
ширине сосуда с жидкостью разной высоты hi и h2
опорожняются в разные времена ti и t2, которые связаны
соотношением j- = 1/ -^ . Но поскольку отрезки путей,
проходимых твердым телом, брошенным вертикально
вверх, связаны с временными интервалами таким же
132

соотношением, то Торричелли сделал отсюда вывод о том,
что струя воды, фонтанирующая со скоростью,
пропорциональной корню квадратному из высоты уровня, при
отсутствии внешних воздействий должна достигать высоты
уровня жидкости в этом сосуде.
Даниил Бернулли пошел дальше Торричелли и,
принимая его вывод о пропорциональности скорости
истечения корню квадратному из высоты уровня в качестве
аксиомы, перешел к определению времени истечения из
сосудов с произвольными формами и немалыми
отверстиями. Математическая постановка задач этого класса,
изложенных в четвертой части «Гидродинамики»,
сводится у него к интегрированию дифференциального
уравнения
« = -#=. (8)
где t — текущее значение времени начиная с первого
момента истечения; я —координата высоты уровня; У v —
скорость снижения свободной поверхности жидкости в
сосуде (или, что для цилиндрического сосуда одно и
то же, скорость течения жидкости внутри сосуда).
Подставляя в уравнение (8) значение v из формулы (6) и
вводя поправочный коэффициент а, учитывающий эффект
сжатия вытекающей струи путем замены п на п/а,
Даниил Бернулли приходит к дифференциальному
уравнению со сложной правой частью, интегрирование которого
проводит приближенно с начальным условием х = а,
разлагая правую часть уравнения (8) в ряд.
Третий цикл задач, решенных Даниилом Бернулли с
помощью принципа сохранения живых сил, был связан
с определением движения жидкости, вытекающей из
постоянно наполненного сосуда (см. пятую часть
«Гидродинамики»), «Все свойства этого движения,—пишет автор,—
могут быть сведены преимущественно к трем уравнениям:
1) между количеством выброшенной воды и
соответствующей скоростью, 2) между временем и скоростью и
3) между количеством воды и временем. Если имеется
одно из этих уравнений, то остальные отсюда сами собой
вытекают» 13.
Первая из задач формулируется следующим образом:
определить скорость воды, вытекающей из постоянно на-
13 Бернулли Д. Гидродинамика, с. 134.
133

полненного сосуда после того, как заданное количество
воды уже вытекло. Применяя обычным образом метод
живых сил, автор составляет дифференциальные
уравнения для двух случаев подачи дополнительной жидкости
в сосуд, интегрируя которые получает выражения
«высоты скорости»
ne—nm2
для случая, «когда вода вливается путем движения
сверху, соединенного со снижением ближайшей
поверхности», и
v = a(l-e "
(Ю)
для случая подливания сбоку (здесь через с обозначено
«число, логарифмом которого является единица»). В
случае бесконечно широкого сосуда оба варианта
описываются формулой (10). В других же случаях различие
соотношений (9) и (10) проявляется в тем большей степени,
чем меньше сечение сосуда: при прочих равных условиях
движение при первом способе подливания оказывается
всегда более быстрым, чем при втором.
Эту задачу автор рассматривает как частный
специальный случай общей «гидравлической статики», к
построению которой он вернется в двенадцатой части. Это первое
упоминание о гидравлико-статике в сочинении Даниила
Бернулли.
Следующий важный класс задач, исследованных в
«Гидродинамике» с помощью принципа живых сил,
касается двух видов течений: 1) течения в бесконечно
длинной трубе переменного сечения, закон изменения которого
задан, и 2) колебательного движения жидкости в трубах
(«Гидродинамика», часть шестая). В первом случае автор
подробно обсуждает вопрос о том, как изменяется
потенциальный подъем и действительное снижение жидкости
при различных наклонах и конфигурациях труб: при
горизонтально расположенной трубе с переменным сечением,
конической суживающейся трубе, цилиндрической трубе
с внезапным сужением, наклонно расположенной трубе.
Во всех случаях автор рассматривает элемент жидкости,
ограниченный двумя параллельными сечениями, и
находит, как связаны скорости в этих двух сечениях. Для
134

задачи о трубе с внезапным сужением он вычисляет
время, за которое рассматриваемый элемент полностью
перейдет в узкую часть трубы из широкой.
Изложение второй из указанных в начале шестой
части задач Даниил Бернулли начинает с упоминания
соответствующей теоремы Иоганна Бернулли,
обобщившего во втором томе петербургских «Комментариев» задачу
Ньютона о колебаниях жидкости в CZ-образной трубе.
Именно, Иоганн Бернулли показал, что если три трубы
одинакового сечения составлены в виде буквы U так, что
средний элемент, расположенный горизонтально,
составляет с вертикальными элементами углы, синусы которых
равны р и q, и если через L обозначить суммарную длину
части составной трубы, заполненную водой, то все
колебания жидкости, приведенной в колебательное движение
в этой трубе, как конечные, так и малые, будут
изохронными и продолжительность их будет равна
продолжительности малых колебаний простого маятника, длина
которого равна L/(p+q) (теорема Иоганна Бернулли). Теорема
Ньютона, рассматривающая случай труб, составленных
друг с другом под прямыми углами, оказывается тогда
частным случаем, и длина эквивалентного простого
маятника получается равной L/2.
В отличие от Ньютона и Иоганна Бернулли автор
переходит к рассмотрению произвольно изогнутых труб
неравного сечения и «исследует этого рода вопрос во всем
его объеме». Применяя принцип сохранения живых сил,
он определяет условия, при которых неравные колебания
жидкости становятся изохронными, и для этого случая
дает выражение длины эквивалентного маятника. Для
случая затухающих колебаний Даниил Бернулли находит
величину, определяющую время затухания.
Пятый класс гидродинамических задач, решенных
Даниилом Бернулли с помощью теории живых сил,
составляют задачи о движении жидкости в погруженных
сосудах (см. седьмую часть «Гидродинамики»). Автор
анализирует возникающие в этих случаях механические
явления с позиций теории колебаний, развитой в
предыдущей части сочинения. «Представим себе,— пишет
автор,— заполненный водой цилиндр, дно которого
просверлено и который до известной высоты погружен в
покоящуюся, как бы бесконечную жидкость, тогда легко
понять, что поверхность воды, содержащейся в цилиндре,
опустится и притом ниже поверхности наружной воды,
135

а затем снова поднимется и т. д. Но эти колебания очень
сильно отличаются от колебаний, рассмотренных в
предыдущей части, а именно от колебаний, при которых
возвратные движения в обратном порядке всегда
тождественны с теми движениями, которые им предшествовали.
На этом основании кто-нибудь мог бы предположить, что
обратное течение воды будет совершенно таким же, каким
было ее снижение; однако если бы он так решил, то он
бы сильно ошибся, хотя бы движение нисколько не
уменьшалось вследствие прилипания вод к стенкам сосуда или
вследствие иных подобного же рода помех. Совершенно
так же законы движения тел от удара для упругих тел
очень сильно отличаются от тех же законов, которые
имеют силу для неупругих тел, хотя бы мы и полагали,
что и в том и другом случае тела движутся самым
свободным образом. Я пользуюсь этим сравнением, которое
отлично поясняет наше доказательство, ибо подобно тому,
как законы движения неупругих тел правильно
определяются, если считать, что после столкновения та часть
живой силы, которая была затрачена на сжатие тел,
теряется (ибо она не восстанавливается при последующем
движении, как в упругих телах), так и подъем жидкости
может быть не менее правильно определен, если точно
исследовать, сколько живой силы сообщается в отдельные
моменты внутреннему движению частиц воды и никогда
не будет возвращено поступательному движению воды,
о котором идет речь» 14.
Рассмотрев отдельно случай, когда уровень воды в
погружаемом сосуде выше уровня окружающей жидкости,
и отдельно случай, когда этот уровень ниже, автор
формулирует условия изохронности колебаний и находит
длину эквивалентного маятника так же, как он это делал
в предыдущей части своей работы.
Рассмотренные в шестой и седьмой частях два типа
колебаний «поясняют природу волн, побуждаемых ветром.
Ибо они движутся именно таким образом, что в них воды
постоянно поднимаются и снова опускаются. Отсюда
ясно утверждение Ньютона, что времена колебаний
находятся в половинном отношении к ширинам волн, ибо
он допускает, что форма волн является всегда себе
подобной и, стало быть, что их ширина пропорциональна
глубине, до которой воды приводятся в движение. Представ-
*4 Там же, с. 179—180.
№

яяется правдоподобным, что глубина эта равна длине
простого таутохронного с волнами маятника» 15.
После отработки принципа живых сил на
элементарных задачах Даниил Бернулли переходит к рассмотрению
течений жидкости в неправильных сосудах усложненной
геометрии («Гидродинамика», часть восьмая). В этом
цикле гидродинамических задач «на основе теории живых
сил, часть из которых постоянно поглощается, изъяснют-
ся преимущественно особые явления жидкостей,
выбрасываемых через весьма многие отверстия, причем
предпосылаются общие законы для определения повсюду
движения жидкостей» 16.
Эта часть «Гидродинамики» написана под большим
влиянием трактата Эдма Мариотта «О движении вод и
других жидких тел». В начале автор напоминает о двух
исходных постулатах, положенных в основу рассуждений
(принципе неразрывности и принципе живых сил),
а затем приводит решения ряда задач. В первой задаче
рассматривается истечение жидкости из отверстия в донной
части бесконечно широкого цилиндрического сосуда17,
внутри которого вмонтирована горизонтальная
перегородка с отверстием (второе дно). Искомая скорость истечения
из такого двухполостного сосуда в результате применения
двух указанных выше принципов получается у Бернулли
равной
у = _—_, , , (И)
п2 + т
где и — «производящая высота», как называет ее автор,
х — высота уровня, тип — размеры еечений верхнего
и нижнего отверстий соответственно. Бернулли
подчеркивает, что результат. (11) получен без применения
дифференциального исчисления, поскольку «форма сосуда,
повсюду весьма обширного, не может изменить... движения»
жидкости из выходного отверстия.
Касаясь далее задачи Мариотта о вертикальном
подъеме жидкости из бокового отверстия в горизонтальной
трубе, присоединенной к цилиндрическому сосуду с
внутренней горизонтальной перегородкой, Даниил Бернулли
подчеркивает, что формула (11) очень хорошо описывает
15 Там же, с. 197.
16 Там же, с. 203.
17 Это предположение о бесконечной ширине сосудов
распространяется на всю восьмую часть «Гидродинамики».
137

ЭКсиерйментаЛЬйо наблюдаемые (Марйоттом й др.)
явления. Используя данные предыдущих параграфов, Бернул-
ли дает рекомендации конструктивного характера по
усовершенствованию сосуда Мариотта.
Затем рассматриваются сосуды Мариотта с большим
числом горизонтальных перегородок, сечения отверстий
в которых равны соответственно а, (5, *у и т. д. Если
площадь отверстия вертикального истечения обозначить
через п, то «производящая высота» выразится формулой
Путем подбора отверстий, говорит Бернулли, можно
построить такой сосуд, в котором поверхность жидкости
будет опускаться за одно и то же время от одной
перегородки до следующей, «а если эти перегородки находятся
на одном и том же расстоянии друг от друга, а также от
дна, то можно придумать однообразное устройство
клепсидр».
После исследования течения неоднородных жидкостей
автор указывает, что «все эти начала, которые мы до сих
пор применяли, легко распространяются, как я уже
говорил, и на сосуды, у которых сечение находится в
конечном отношении к отверстиям. В их истинности можно
убедиться и иным, совершенно отличным путем, как я это
покажу, когда перейду к гидравлической статике, ибо при
этом втором способе доказательства становятся более
обозримыми давления жидкостей в отдельных частях сосуда;
статические же законы этих жидкостей сильно отличаются
от законов, предназначенных для покоящихся
жидкостей» 18.
Следующий цикл проблем, примыкающих к задачам
типа Мариотта, начинается с рассмотрения истечения из
бокового отверстия в нижней части призматического
сосуда, разделенного на три секции не горизонтальными,
а вертикальными перегородками (рис. 6, а). При
установившемся режиме течения (это первое упоминание о
понятии стационарного движения) высоты уровней в
каждой из трех указанных секций оказываются различными:
они все более снижаются по мере приближения к
выходному отверстию. Определение этих высот уровня
составляет предмет исследования Даниила Бернулли. Пользуясь
18 Бернулли Д. Гидродинамика, с. 213.
138

A H^zr:
в
7_~_Г.
н
—
м
—
N
п
L
Р
В
-«-
/?
Л/'
|Г _
^
^
\\ Л
Рис. 6. Различные
модификации сообщающихся сосудов
методом, разработанным для случая горизонтальных
перегородок в модели клепсидры, автор выводит следующие
зависимости:
где BE — разность высот уровней первой и второй секций;
LP — разность высот уровней второй и третьей секций;
QR — высота уровня третьей секции; т, п, р — размеры
отверстий между секциями, а также выходного отверстия.
Поскольку ВН + LP + QR = DR (здесь DR — высота
уровня жидкости в первой секции), то
^ % = DR,
откуда получается
Аналогичные рассуждения приводят к соотношениям для
высот LP и QR. Таким образом, вообще имеем
(13)
139

В следующих параграфах восьмой части определяются
скорости истечения из отверстий сложных сосудов с
различным числом секций. Отправляясь от модели,
изображенной на рис. 6, в, Даниил Бернулли вычисляет,
в частности, скорость Ух истечения жидкости из
отверстия Н. В том случае, когда отверстие бесконечно мало,
выражение для определения указанной скорости имеет вид
где а = BL, Ъ = QN, аи^- площади поперечных сечений
отверстий М и N. «Это находится в прекрасном согласий
с § 12, так как очевидно, что через очень малое отверстие
вода подскакивает на такую же высоту, какую имела бы
вода, если бы она так же давила на пластинку LQ вниз,
как внутренняя вода давит на нее вверх» 19.
Качественно новые вопросы рассматриваются в
девятой части «Гидродинамики», посвященной анализу
гидравлических машин. Здесь принимается предположение,
состоящее в том, что жидкости выбрасываются из сосудов
не собственной тяжестью, а посторонней силой. Кроме
того, Даниил Бернулли впервые рассматривает здесь
вопросы, относящиеся к расчету к.п.д. машин (в
современной терминологии) и к тому, что сегодня называется
работой силы на перемещении.
Вначале дается определение понятия «движущей
силы» и «абсолютной мощи». «Под движущей силой я
буду в дальнейшем подразумевать то действующее начало,
которое заключается в тяжести, в одушевленном давлении
или в других такого же рода силах, которые называют
мертвыми.
Произведение же, получающееся от умножения этой
движущей силы на ее скорость, а также на время, в
течение которого она развивает свое давление, я буду
называть абсолютной мощью или, так как произведение
скорости на время прямо пропорционально просто
пройденному пути, то абсолютную мощь можно будет также
определить с помощью движущей силы, умноженной на
пробегаемое ею расстояние. Это произведение я называю
абсолютной мощью в силу того, что только с ее помощью
следует оценивать труды работников, понесенные ими на
**9 Там же, с. 225.
140

поднятие вод, что я вскоре докажу на правилах,
наблюденных мною по данному вопросу» 20.
После этого приводятся с доказательствами девять
таких правил для случая гидравлических машин,
«выбрасывающих виду вверх с натиском», и одно для машин,
«переносящих воду без значительного натиска из более
низкого месъа в более высокое».
Вслед за этими предварительными теоретическими
рассуждениями общего характера Даниил Бернулли
приступает к решению двух конкретных задач, относящихся
к винту Архимеда, и исследованию машин, «приводимых
в движение натиском жидкости».
Выше был приведен перечень основных задач
гидродинамики, решенных Даниилом Бернулли с помощью
разработанной им модификации принципа сохранения
живых сил21. Даже это простое перечисление основных
(далеко не всех) задач дает достаточное представление
о внушительности вклада, сделанного Даниилом Бернулли
в теорию движения жидкостей. К этому следует также
добавить, что все теоретические постановки указанных
задач он неизменно подкреплял многочисленными
опытами, которые проводил, как правило, после того, как
большая часть теоретического материала была в частном
порядке сообщена друзьям и коллегам и доложена на
заседаниях Петербургской академии (а также и в других
академиях, в частности в Женевской, где Даниил
докладывал свои результаты по теории механизмов и
гидравлических машин). Бернулли поступал так для того, чтобы
«не впасть в ошибку вследствие предвзятости в
измерениях из-за предположения неправильного, хотя и
удовлетворяющего приблизительно измерениям. Ведь даже
прозорливейшие мужи, ознакомившись с моими теоремами,
открыто признавались, что они не могут убедить себя в их
правильности и не думают, чтобы эти теоремы можно
было подтвердить на опыте. После того, как все эти
предосторожности были приняты, я, наконец, произвел опыты
в присутствии друзей, и эти опыты оказались в таком
20 Там же, с. 232.
21 Здесь не рассматривалась задача Даниила Бернулли об
определении величины давления в движущейся по трубе жидкости
(анализу этой фундаментальной проблемы, сделавшей имя
Бернулли бессмертным, посвящена глава 11). Полностью опущена
здесь также и разработка им кинетической теории газов (об этом
*4)
.141

согласии с моей теорией, что я лично не мог рассчитывать
на него» 22.
Все перечисленные выше вопросы, связанные с
использованием принципа живых сил в гидромеханике, были
рассмотрены Даниилом Бернулли в период его пребывания
в Петербурге. После отъезда в Базель в 1733 г. его
интерес к этой тематике стал постепенно ослабевать. В
первую очередь это было связано с тем, что со смертью
Иоганна Бернулли (1748) вопрос о живых силах перестал
ставиться в столь острой форме, как это делал Иоганн.
С другой стороны, многие ученые стали постепенно
проникаться все большим пониманием связи принципа
сохранения живых сил с основной аксиомой Ньютона. Сам
Даниил Бернулли в этом отношении сделал больше, чем
кто-либо другой.
Но в период службы в Петербургской академии
Бернулли живо интересовался этими вопросами и дотошно
собирал всю информацию, имеющую хоть малейшее
отношение к принципу сохранения живых сил.
К этому периоду относится, в частности, его
небольшая рукописная заметка под названием «Замечания по
поводу поставленного в Англии опыта, относящегося к
принципу живых сил» 28. В ней говорится следующее: «В
недавно полученном мною письме мой отец описал мне
один опыт, поставленный в Англии три года тому назад для
опровержения взгляда Лейбница относительно
сохранения живых сил. Он сделал это не из-за важности вопроса
(он не является существенным), но по случаю некоей
гидравлической задачи, в которой (как я указывал
раньше) необходимо, прежде чем приступить к вычислениям,
надлежащим образом рассмотреть вопрос, позволяет ли
природа вещи, чтобы в материи, из которой она состоит,
сохранялись живые силы, или не позволяет; последнее,
однако, ничего не говорило бы против абсолютного
сохранения живых сил, так как часть их могла бы перейти
в другую материю — доступную или недоступную
чувствам, но не относящуюся к предположенной системе,—
и в этой материи остаться» 2\ В последних словах
заключена одна из первых четких формулировок идеи перехода
механической энергии в другие виды энергии, в частности
22 Бернулли Д. Гидродинамика, с. 17.
23 Эта заметка, написанная рукой Даниила Бернулли, хранится
в Архиве Академии наук СССР.
24 Цит. по ст,; Смирнов В. И. Даниил Бернулли, с. 473—474,
142

тепловую. ПозЖё эта идей получила свое четкое
оформление в седьмой части «Гидродинамики», где была
проведена аналогия между указанным типом явлений и
неупругим соударением тел, при котором «часть живой силы,
которая была затрачена на сжатие тел, теряется»:
подобно этому в гидродинамике часть «живой силы сообщается
в отдельные моменты внутреннему движению частиц
воды и никогда не будет возвращена поступательному
движению воды» 25.
На полях указанной заметки имеется приписка: «Так
как эти замечания сделаны только по поводу опыта, но
такой опыт не был проделан, то печатание этого
маленького сочинения было бы неуместным. Даниил Бернулли».
После отъезда из Петербурга Бернулли лишь дважды
выступил в печати по поводу принципа сохранения
живых сил. Первая из этих работ была написана около
1738 г. Опубликованная впоследствии в десятом томе
петербургских «Комментариев» 26, она получила высокую
оценку Эйлера27. Во второй раз Даниил вернулся к этому
вопросу после того, как в 1744 г. Д'Аламбер подверг
принцип сохранения живых сил сокрушительной и во
многом справедливой критике. Он выступил против самого
существа дела, т. е. против самых корней, лежащих в
основе теории живых сил. «Неправильно было бы,— писал
он в «Трактате о равновесии и движении жидкостей»,—
как это делают некоторые авторы (имеется в виду,
конечно же, Даниил Бернулли.— А. Г. и Б. К.), выводить
законы равновесия жидкости из того мнимого принципа, что
центр тяжести жидкости, находящейся в равновесии,
должен занимать наинизшее положение». Ту же мысль
Д'Аламбер упорно проводил во втором издании своего
«Трактата о динамике» 28 с целью, как он писал,
предостеречь математиков от такого рода ошибочных применений
принципов механики, которым иногда придают излишнюю
общность.
Даниил Бернулли поспешил выступить с
контраргументами. В 1748 г. в берлинском мемуаре «Замечания об
25 Бернулли Д. Гидродипамика, с. 180.
28 Bernoulli D. Commentationes de immutatione et extensione prin-
cipii conservationis virium vivarum, quae pro motu corporum сое-
lestium requiritur.—Comm. Petrop., 1747, 10, p. 116—124.
27 См. письмо Эйлера к Даниилу Бернулли от 13 сентября 1738 г.
28 D'Alembert J. Traite de dynamique, 2-me ed. Paris, 1758.
143

общем понимании закона сохранения Живых сил»29 он
провел тщательное доказательство предложения,
заключающегося в том, что для механической системы
материальных точек, находящихся в поле силы тяжести, обратно
пропорциональной квадрату расстояния между ними,
изменение живой силы системы зависит только от
начальных и конечных положений точек и что если эти точки
возвращаются в начальное положение, то живая сила
принимает прежнее значение. В конце работы Бернулли
подчеркнул, что это положение годится и для случая
центральных сил, действующих по произвольному, а не только
квадратичному закону. «Общий закон [сохранения живых
сил],— писал Даниил Бернулли в своей работе,—
справедлив для любого гравитационного закона. Только с целью
облегчения формул и уменьшения интегралов я
ограничился законом обратной пропорциональности квадратам
расстояния. Но природа никогда не отказывается от
великого закона сохранения живых сил, это я и хотел
показать» 30.
После ответной реплики Д'Аламбера, приведенной им
во втором издании «Трактата о динамике», Бернулли
прекратил полемику, оставшись при своем мнении. В те
годы некому было рассудить, кто из двух ученых был
прав. Это сделал позже Лагранж, особо отметивший в
своей «Аналитической механике» (1788) вклад Даниила
Бернулли в развитие принципа жирых сил и его заслугу
в применении теории живых сил к анализу движения тел,
притягиваемых неподвижным центром с силой,
пропорциональной произвольной функции расстояния. «Даниил
Бернулли расширил этот принцип,— писал Лагранж,—
и вывел из него законы движения жидких тел,
заключенных в сосуды; до него эта проблема всегда исследовалась
довольно поверхностно и произвольно» 31.
Полемику Даниила Бернулли с Д'Аламбером по
поводу принципа сохранения живых сил (как, впрочем,
и вообще спор ученых о «мере сил», который Д'Аламбер
назвал «совершенно бесплодным метафизическим спором
о словах, недостойным внимания философов») не следует
29 Bernoulli D. Remarques sur le principe de la conservation des
forces vives pris dans un sens general.— Hist. Berlin, 1750J
30 Цит. по кн.: Спасский Б, И, История физики, ч. 1. М.: Высшая
школа, 1977, с. 189—190. . :
31 Лагранж Ж. Аналитическая механика, М.; Л.: Гостехиздат,
1950, т. I, с. 315—316.
144

рассматривать как случайный эпизод научной полемики
двух ученых, придерживавшихся полярных позиций.
Этот спор есть в известном смысле частное выражение
многовекового противоборства двух концепций, двух
линий развития (о которых шла речь в гл. 5). В истории
механики были периоды, когда первая из этих двух
линий (выше она упоминалась как линия Парменида—
Декарта) брала верх над второй, в другие периоды
случалось и обратное, когда на передний план выступала
линия Гераклита—Ньютона.
Надо сказать, что Д'Аламберу с его негативным
отношением к теории живых сил, выступавшему против того,
чтобы этот принцип был положен в основу механики,
проводить полемику с Даниилом Бернулли было в
известной степени легче и проще. Д'Аламбер пришел в механику
в то время, когда идеи ныотанианства
(локально-дифференциальные описания механических явлений,
аналитические подходы) стали доминировать в механике, когда
на смену основательно забытым «Началам философии»
Декарта пришли три издания «Математических начал»
Ньютона, «Механика» Эйлера, «Трактат о флюксиях»
Маклорена и т. д. Не будучи обремененным грузом знаний
прбшлого, узами, которые непосредственно связывали бы
его рассуждения с философией Декарта, Лейбница и,
таким образом, ограничивали бы как-то его мышление,
Д'Аламбер сразу воспринял и впитал в себя то главное,
чем жил XVIII в.,—его подчеркнуто рационалистическую
направленность.
Что же касается Даниила Бернулли (который был,
между прочим, на семнадцать лет старше Д'Аламбера), то
в нем еще сильны были корни, связывавшие его
творчество с идеями XVII в. Вращавшийся с ранних лет в среде
лейбницианцев, традиционно воспитанный в почтительном
отношении к идеологам точной науки XVII в.—Декарту,
Лейбницу, Якобу' Бернулли, Даниил не мог так легко
отойти от всего того, чему его учили с детства. Но будучи
современником XVIII в., он в своих изысканиях
стремился идти и шел в направлении от традиционной механики
Декарта—Лейбница к новой (аналитической) механике,
основанной на аксиоматике Ньютона. Тот факт, что через
все творчество Даниила Бернулли пролег своеобразный
«водораздел», отделяющий механику XVIII в. от
механики XVII в., существенно отразился на характере его
сочинений. В них мы находим удивительные, подчас
145

хитроумные переплетения дьу* подходов, причем
легко прослеживается постепенный переход от явной
гиперболизации значения принципа живых сил в ранний
период деятельности Бернулли к значительно более
сдержанной оценке его роли в последующем. Это особенно
остро ощущается при чтении его «Гидродинамики». Ее
начало содержит почти исключительно рассуждения о
принципе живых сил, а конец существенно разбавлен анализом
с позиций принципа ускоряющих сил. И дело тут не
просто в особой композиции сочинения, в специально
продуманном предварительном его плане. Когда Даниил
Бернулли начинал работу над «Гидродинамикой» в 1728—
1729 гг. (а по сути дела раньше — еще в 1726 г., когда им
были получены первые результаты исследований по
механике жидкости), плана-то у него как раз и не было; этот
план постепенно вырисовывался в процессе многолетней
работы над сочинением, и поэтому можно с уверенностью
сказать, что последовательность глав «Гидродинамики»
в очень сильной степени отражает хронологическую
последовательность модернизации механических
представлений ее автора. Это в известной степени объясняет нам
своеобразие доказательства знаменитой теоремы
Бернулли: вывод уравнения Бернулли проведен им с помощью
принципа живых сил, но окончательная интерпретация
выполнена в терминах принципа ускоряющих сил (см.
гл. 11).
Даниил Бернулли принадлежал двум разным эпохам.
Это и определило его особое (пожалуй, даже не имеющее
аналогов) положение в истории точного естествознания.
С одной стороны, он был классиком, вобравшим в себя
лучшие идеи и сам стиль мышления XVII в.; с другой —
новатором, идущим в авангарде рациональной науки
XVIII в., заложившим вместе с другими корифеями
естествознания основы аналитической механики. В этом,
вероятно, источник своеобразия, неповторимости творческого
портрета Даниила Бернулли.
146

Глава 10
Принцип неразрывности
В основе гидродинамики Даниила Бернулли лежат
два закона сохранения: закон сохранения живых сил и
закон сохранения массы (принцип неразрывности). При
не очень внимательном анализе творчества Бернулли
может создаться впечатление, будто вся бернуллиева
механика жидкостей построена только на теории живых сил
либо (в лучшем случае) что принцип живых сил играет в
ней значительно более важную роль, чем принцип
неразрывности. И, таким образом, роль закона сохранения
массы в гидродинамике Даниила Бернулли зачастую остается
в тени.
Причина этого недоразумения отчасти заключается в
ажиотаже, поднявшемся вокруг принципа сохранения
живых сил в механике первой половины XVIII в.;
с другой стороны, это объясняется тем, что принцип
неразрывности по сути своей настолько прост и очевиден
с современной точки зрения, что он непроизвольно
выпадает из внимания и молчаливо предполагается как нечто
само собой разумеющееся \ И дело здесь даже не
столько в том, что без принципа неразрывности Даниил
Бернулли не смог бы продвинуться ни на шаг в своих
гидромеханических исследованиях, сколько в том, что именно
этот принцип (а не принцип живых сил) является у него
по существу дела основным, первостепенным.
Достаточно вспомнить, что свои первые работы по механике
жидкостей (конкурсная задача о клепсидре и серия задач
петербургского периода, в особенности начальной его
фазы) Даниил Бернулли выполнял исключительно «на
основе простого рассмотрения скоростей», т. е.
основываясь только на принципе неразрывности,
формулируемом им в форме гипотезы перпендикулярных слоев
(термин Даниила Бернулли). При этом он совершенно не
привлекал теорию живых сил как, впрочем, и вообще
какую-либо динамическую теорию. Теория живых сил
1 В истории точного естествознания этот случай далеко не
единичен. Многие «очевидные» представления, понятия,
концепции часто долгое время не формулировались явным образом,
о чем, например, свидетельствует история аксиом геометрии,
147

понадобилась ему позже — тогда, когда встал вопрос о
построении достаточно строгой теории, с помощью
которой можно было бы квалифицированно обосновать
выводы динамического характера, в том числе уравнение
Бернулли. Заметим, однако, что даже указанное уравнение,
записанное Даниилом в форме
„давление...равнотт~~уш а"2,
7П7П
было первоначально получено им в 1729 г. без
привлечения теории живых сил, неким полуинтуитивным
образом; причем единственно строгим количественным
принципом на этом этапе его исследовательской деятельности
был принцип неразрывности. Истоки этого
полуинтуитивного, чисто кинематического подхода (как будет
показано в гл. 11) восходят к «Математическим началам»
Ньютона.
Все это, конечно, не случайно. Традиции,
восходящие к Ньютону и Стевину и еще далее, к Архимеду
и Евклиду, связывали с геометрическими методами
изучения материальной природы самое понятие строгости.
Геометрический язык, геометрический стиль мышления
рассматривались как почти единственные, которым
можно было бы доверять безоговорочно. Понятие «геометр»
было синонимом предельной четкости и безупречности
рассуждений. В геометрии (как казалось последователям
Архимеда и Евклида) полностью отсутствовала какая-
либо недосказанность или туманность, какой-либо
метафизический подтекст, содержащийся, например, в новых
методах инфинитезимального исчисления, развитых в
XVII—XVIII вв. В ней все было предельно ясно и
понятно. В то время лучшим способом продемонстрировать
свое уважение к коллеге-ученому было назвать его
«ученейшим и умнейшим Геометром». Если математика
тогда почиталась царицей наук, то на геометрию
смотрели как на царицу математики.
Эта безграничная и почти безотчетная вера в
незыблемость геометрических принципов, постулатов и
теорем привела к тому, что когда механика «созрела» для
анализа движения тел (в том числе и небесных), то
геометрические методы заняли в ней лидирующее по-
2 Bernoulli D. Experimenta coram societate instituta in confirma-
tionem theoriae pressionum..., p. 196.
148

ложение. Образцом совершенства применения
геометрических методов к механике стали гениальные работы
Клавдия Птолемея и Иоганна Кеплера. Их работы
обозначили действительное рождение кинематики как
самостоятельной научной дисциплины — науки, и по сей день
остающейся основой теоретической механики. Все, что
позднее добавлялось сверх этого кинематического
базиса — силы, мощности, энергии,— все это было в сущности
выражением физического, а не собственно
механического. Не случайно Декарт утверждал, что единственное,
в чем он не может сомневаться, так это в протяженности
материального мира и движении как его главных
свойствах. Именно кинематическую структуру мира он
относил к обязательным его атрибутам. Позитивистски
настроенный Д'Аламбер также был склонен к исключению
из механики всего того, что было в той или иной мере
покрыто налетом метафизичности, и по мере возможности
стремился оставлять в арсенале механики только
наиболее очевидные — кинематические — соотношения,
понятия, концепции.
Одним из наиболее важных для рациональной
механики стал период, когда кинематические проблемы небесной
механики постепенно «спустились» до уровня земных
проблем, практически важных технических задач. В ходе
этого процесса и был сформулирован кинематический
принцип неразрывности — первый в истории механики
жидкостей точный количественный результат. Первая
четкая формулировка этого принципа принадлежит
Леонардо да Винчи, благодаря трудам которого движение
жидкостей было переведено из сферы опыта и
наблюдений в область целенаправленных теоретических расчетов.
На рубеже XV—XVI вв. он провел огромное количество
наблюдений за поведением жидкостей в различных
условиях; еще больше оставил он описаний непро-
веденных опытов. Все это, собранное по крупицам, он
заносил в свои необычные записные книжки и собирался
издать их в виде отдельного трактата «О воде».
Необычность их состояла, в частности, в том, что Леонардо
писал слова в обратном, точнее — в зеркальном порядке,
пользуясь для этой цели специальным вертикально
поставленным зеркалом. Благодаря усилиям ученых и
издателей эти уникальные заметки стали сейчас
достоянием широких кругов общественности (см., например,
недавно выпущенное прекрасное факсимильное издание:
149

Leonardo da Vinci. The Madrid codices. McGraw-Hill, 1974).
В своих заключениях Леонардо пользовался не только
данными своих опытов, но также и результатами,
почерпнутыми из трактатов других ученых — как своих
современников, так и гидравликов прошлого. Среди этих
источников были и некоторые материалы, пришедшие в
эпоху Возрождения из античной Греции и Древнего Рима.
Сегодня, впрочем, ученые не могут с полной
определенностью сказать, располагали или нет римские
инженеры — строители знаменитых акведуков — знанием каких-
либо количественных связей между скоростью потока в
канале, площадью поперечного сечения и расходом,
т. е. количеством протекающей в определенное время
жидкости. Известен ли был им принцип неразрывности?
Правда, у Фронтина в его трактате «О водопроводах
Рима» встречаются фрагменты, которые можно как-то
связать с некоторыми представлениями об обратно
пропорциональной зависимости скоростей и сечений потока
жидкости. Впрочем, если Фронтин и не имел понятия
о принципе неразрывности, то в своей инженерной
практике он делал нечто, приближающее его в какой-то
степени к пониманию этой важной кинематической
связи. Основной процедурой, которой он по роду своих
служебных обязанностей занимался, было вычисление
расхода воды за данный промежуток времени и рациональное
ее распределение между потребителями. Для
определения расхода он проводил тщательнейшие промеры, о чем
красноречиво говорят оставленные им материалы. И он
сам, и его коллеги подходили к оценке этих количеств
преимущественно с чисто геометрических позиций, т. е.
так, как если бы речь шла о статике, а не о динамике.
Интуитивно предполагалось просто, что чем больше сосуд,
из которого вытекает жидкость, чем больше в нем высота
уровня воды и чем больше площадь поперечного сечения
канала или трубы, тем расход воды будет больше, нежели
в противном случае. Площадь поперечного сечения трубы
(или площадь отверстия истечения) наряду с высотой
уровня были главными мерами в решении задач
распределения воды. Скорость же вводилась в эти рассуждения
весьма неявно и робко. Эта робость объяснялась прежде
всего тем обстоятельством, что строгого понятия скорости
в ту пору (I в.) еще просто не существовало. Точный
смысл этого понятия был определен лишь Галилеем в
XVII в. Однако от оперирования понятиями «скорее», «мед-
150

яеййеё», «быстрее>> (которыми йользовались Фронтий й
его современники) до строгого включения понятия
скорости в уравнения кинематики и динамики было еще очень
далеко. Поэтому если и можно допустить все же наличие
у Фронтина представления о принципе неразрывности,
то лишь в самой слабой, зачаточной форме — форме,
отождествляющей этот принцип с различными
формулировками в терминах расхода.
Единого мнения о том, знал ли Фронтин о принципе
неразрывности, не было и во времена Даниила Бернулли,
когда неоднократно переиздававшиеся сочинения
Фронтина активно изучали многие ученые и инженеры. Сам
Даниил Бернулли считал, что Фронтину был известен
принцип неразрывности. Об этом можно судить, в частности, по
одной любопытной задаче механики жидкостей —
парадоксу эжекции, изучением которого занимались Даниил
Бернулли, Вильгельм Гравезанд и др. (об этом см. в гл. 13).
В работах, следующих за сочинениями Фронтина,
принцип неразрывности жидкости начинает формулироваться
с большей степенью точности и четкости. Герон
Александрийский уже прямо указывая в своих сочинениях на то,
что расход, или норма распределяемой воды, зависит, во-
первых, от высоты уровня в водохранилище, а во-вторых,
от величины поперечного сечения канала и скорости
течения в нем. Наконец, у Леонардо формулировка
принципа неразрывности достигла наибольшей степени ясности.
Если подход Фронтина к этому принципу был, по
существу, инженерным, то Леонардо ввел в теорию
движения жидкостей, теоретический подход. С математической
точки зрения его формулировки этого принципа
безупречны настолько, что, владей он минимальной математической
символикой, соответствующие уравнения были бы точной
копией современной интегральной формы уравнения
неразрывности для элементарной трубки тока
vo = const, (1)
где v — скорость течения, о — площадь сечения потока.
В этом смысле закон (1) можно с достаточным основанием
назвать принципом неразрывности в форме Леонардо.
Приведем некоторые фрагменты из многочисленных
заметок Леонардо да Винчи, содержащих обсуждение этого
принципа.
«Река в каждой части своей длины в одинаковое время
дает проход равному количеству воды независимо от ши-
151

рины, глубины, йакЯойа, шероховатости й извилистости».
«Любое движение воды [в канале] равной ширины будет
проходить тем быстрее, чем меньше глубина». «Река
одинаковой глубины будет иметь более быстрое течение
в более узком сечении, чем в более широком» 3.
Часто, однако, строгую математическую формулировку
принципа неразрывности связывают с именем
основоположника итальянской гидравлической школы Бенедетто
Кастелли. В главной своей работе «Об измерении текущих
вод» 4, впервые опубликованной в 1628 г., Кастелли дал
три следующих элементарных формулировки принципа
неразрывности для установившихся течений (известных
в Италии как закон Кастелли):
«Сечения одной и той же реки пропускают равные
количества воды, даже если эти сечения неравны». «Даны
два сечения реки; отношение количества воды, которое
проходит через первое сечение, к тому, которое проходит
через второе, пропорционально отношению величин
первого и второго сечений и отношению скоростей в первом
и втором сечениях». «Даны два неравных сечения,
пропускающие одинаковые количества воды; сечения
обратно пропорциональны скоростям» 5.
В последующие периоды принцип неразрывности (1)
занимает ведущее место в механике жидкостей как
единственно надежный и строгий количественный результат.
Он является одним из основных постулатов во всех
рассуждениях Ньютона, касающихся движения сплошных
жидкостей. Ньютон формулировал его в следующем виде:
«...площади обратно пропорциональны скоростям воды,
через них протекающей в одинаковое время и в
одинаковом количестве» 6. В такой же форме принцип
неразрывности использовали Доменико Гульельмини и другие
авторы.
В последние два десятилетия XVII в. в теоретической
гидравлике наметился переход к новой тематике,
способствовавшей большему уточнению принципа
неразрывности и даже формулировке его в таком виде, в котором он
был наиболее пригоден для последующей интерпретации
3 Цит. по кн.: Rouse H., Ince S. History of hydraulics. Iowa, 1957,
p. 49.
4 Castelli B. Delia misura delle acque correnti, 1628.
5 Цит. по кн.: Rouse H., Ince S. History of hydraulics, p. 59—60.
6 Ньютон И. Математические начала натуральпой философии,
с. 437.
152

в терминах дифференциального исчисления. Этот переход
наметился уже в работах Ньютона, Мариотта и других,
труды которых были связаны не только с анализом
течений в реках и открытых каналах, но и с исследованием
движения жидкостей в закрытых сосудах, трубах,
сложных гидротехнических сооружениях. Одной из основных
задач этого типа была задача расчета вертикального
опускания воды в сосуде и истечения ее из отверстия в
донной части. Постепенная смена проблематики и ее
расширение плодотворно отразились на характере
формулировки закона (1) и придали ему новую окраску.
Эта фаза в истории принципа неразрывности была
тесно связана с именем Даниила Бернулли. Благодаря
своему раннему увлечению проблемой оптимальной
конструкции клепсидр (1724) Даниил Бернулли внес в
принцип неразрывности новый элемент, приблизивший момент
рождения теоретической гидродинамики как
самостоятельной теоретической дисциплины со своим специфическим
формально-математическим аппаратом и особым
арсеналом средств, методов, подходов.
В чем состоял этот новый привнесенный Даниилом
Бернулли в гидравлику элемент и почему он был связан
с задачей о клепсидре?
Со времени Леонардо, Кастелли, Торричелли,
Ньютона, Мариотта, Вариньона и других классическая задача
истечения жидкости решалась, как правило, в
предположении стационарного режима истечения. Такой режим
достигался обычно тем, что сосуд, из которого вытекала
жидкость, принимался бесконечно большим (или, что то
же самое, отверстие истечения предполагалось исчезаю-
ще малым по сравнению с шириной сосуда). Это означало,
что высота уровня жидкости в сосуде предполагалась
неизмененной в течение всего процесса истечения. В тех
случаях, когда характер задачи оказывался нестационарным
по существу (например, в случае не бесконечно малого
отверстия), исследователи прибегали к соответствующим
ухищрениям. Так, Ньютон с целью корректной постановки
задачи истечения тяжелой жидкости из отверстия в
донной части цилиндрического сосуда придумал специальную
модель с непрерывно подтаивающим цилиндрическим
столбом льда, надстроенным над свободной поверхностью
жидкости в указанном сосуде, для того чтобы уровень
этой поверхности с течением времени поддерживался
неизменным.
153

В то время, по-видимому, были очень актуальны задачи
о водяных часах, или клепсидрах, с исследования которых
и началась деятельность Даниила Бернулли. Указанные
задачи в отличие от упомянутых выше являлись
существенно нестационарными. Тот факт, что Гюйгенс в своем
трактате «Маятниковые часы» указал более современный
и удобный способ решения важной проблемы
хронометрирования, отнюдь не снижал роли традиционных водяных
и песочных часов, применявшихся в быту и повседневной
практике. Особенно широко они применялись на судах,
где в течение еще долгого времени продолжали быть
незаменимыми.
Главным элементом, лежащим в основе идеи
измерения времени в водяных часах бернуллиевого типа,
являлось снижение горизонтальной поверхности уровня
жидкости в сосудах сложной формы. Такой клепсидрой
мог, например, служить цилиндр, разделенный на
несколько секций горизонтальными перегородками с отверстиями
в каждой из них. Расстояния между этими перегородками
можно было подобрать так, чтобы времена опорожнения
каждой из секций были одинаковыми. Очевидно, можно
также придумать и другие конструкции клепсидры, в
которых за счет специальной формы образующей кривой
скорость снижения свободной поверхности будет
сохраняться в процессе истечения. Все эти конструкции в
разное время неоднократно прорабатывались Даниилом
Бернулли и другими учеными.
В предыдущей главе было указано, как Даниил
Бернулли в своей «Гидродинамике» проводил рассуждения,
связанные с задачами такого рода. Эти исследования
явились дополненной и переработанной интерпретацией его
первой работы по гидравлике «Новая теория движения
текущих по каким-либо каналам вод» 7, написанной под
непосредственным влиянием конкурсной работы 1724 г.
о новой конструкции клепсидры. Центральное место в
«Новой теории» занимает проблема выяснения характера
снижения уровня свободной поверхности в сосудах разной
геометрии и при различных условиях. В работе широко
используется прием, заключающийся в вычислении
значения локального расхода жидкости через отверстие при
снижении уровня свободной поверхности на величину dx,
7 Bernoulli D. Theoria nova de motn aquarum рог canales quoscun-
que fluentium,—Comm. Petrop., 1729, 2.
154

предполагающуюся малой. При этом два рассматриваемых
уровня (начальный и конечный), отделенные
промежутком dx, остаются, очевидно, параллельными друг другу.
В этой параллельности уровней как раз и состоит главное
допущение Даниила Бернулли, делающее математически
строгой традиционную формулировку принципа
неразрывности. Только при таком допущении параллельности
сечений можно, по мнению Бернулли, пользоваться этим
принципом как базисным в гидравлических исследованиях.
Очевидная справедливость гипотезы параллельных
сечений, или гипотезы перпендикулярных слоев, при
исследовании характера снижения свободной поверхности
становилась, однако, проблематичной при переходе к анализу
движения жидкости в сосудах, каналах, трубах и т. п.,
расположенных горизонтально или под произвольным
углом. Применяя тем не менее и здесь свою гипотезу
перпендикулярных слоев, Бернулли в полной мере сознавал
ее относительную условность в этих и других более общих
случаях.
В формулировке самого Даниила Бернулли его
гипотеза звучит так: «...движение жидкостей приблизительно
таково, что повсюду скорость обратно пропорциональна
соответствующему сечению сосуда, о чем я в надлежащем
месте прибавлю еще кое-что другое» 8. Или: «...во-первых,
мы принимаем, что скорости жидкостей повсюду обратно
пропорциональны сечениям сосудов (выделено Даниилом
Бернулли.— А. Г. и Б. К.)\ с помощью этого начала
определяется потенциальный подъем всей воды по
заданному потенциальному подъему любой частицы...» 9.
Из последней формулировки (как и из многих других
фрагментов сочинений Бернулли) следует, что гипотезе
перпендикулярных слоев он придавал решающее значение:
«на основе простого рассмотрения скоростей», т. е. без
привлечения динамических принципов — чисто
кинематически — оказывалось возможным успешно решать многие
важные классы задач, в частности задачу о
цилиндрическом варианте клепсидры. Не случайно из двух
положенных в основу «Гидродинамики» гипотез данная гипотеза
идет у автора под номером один.
Приведем еще одну из наиболее подробных
формулировок принципа неразрывности в форме гипотезы перпен-
8 Бернулли Д. Гидродинамика, с. 54.
9 Там же, с. 203.
155

дикулярных слоев Даниила Бернулли: «...после того как,
конечно мысленно, мы представили себе жидкость
разбитой на слои, перпендикулярные к направлению
движения, мы допускаем, что частицы жидкости одного и того
же слоя движутся с равной скоростью, так что скорость
жидкости оказывается повсюду обратно пропорциональной
соответствующему сечению сосуда. Это допущение и было
использовано, хотя, впрочем, известно, что вследствие
трения жидкость у стенок течет несколько медленнее,
а по середине быстрее и что наряду с этим следует
допустить и еще некоторые другие отступления. Однако от
этого рода неточностей лишь очень редко может
получиться значительная погрешность» 10.
В заключительных словах приведенного фрагмента в
чистом виде содержится физическая формулировка идеи
Прандтля (1904) о существовании вблизи твердых
поверхностей тонких пристеночных пограничных слоев, в
которых проявление вязких свойств жидкости становится
существенным. Указанный эффект трения может быть
исключен, если предположить отсутствие вязкости (что
Даниил Бернулли и делает повсюду в своих работах).
Однако и при этом предположении гипотеза
перпендикулярных слоев все равно оказывается недостаточно общей:
«...если сосуды имеют очень неправильную форму, то
допущение одинаковой скорости воды на одном участке
сосуда неверно даже приближенно» и. Заметим, кстати, что
Д'Аламбер и Эйлер впоследствии обошли эту трудность,
предположив бесконечно малую ширину каналов, т. е.
приняв за основу модель трубки тока.
Бернулли не ограничивается простой констатацией
факта обратной пропорциональности скоростей и сечений
потока, а, подобно другим авторам, «доказывает это
предложение, исходя из того, что в одно и то же время через
каждый отдельный участок сосуда протекает одно и то же
количество воды» 12. Эти доказательства, как видим,
проведены в терминах расхода и восходят, таким образом,
к Фронтину. При этом, однако, Даниил Бернулли делает
существенное добавление, включая допущение
стационарности течения: «...скорости вод, протекающих через отверстия,
обратно пропорциональны отверстиям, так как при
состоянии постоянства через каждое из этих отверстий за одно
10 Там же, с. 30.
11 Там же, с. 513.
12 Там же, с. 512.
156

и то же время должны протекать одни и те же количества
вод» 13.
Термин «принцип неразрывности» впервые ввел, по-
видимому, Иоганн Бернулли в письме к Эйлеру от 7
марта 1739 г., в котором он рассказывал о своей работе над
«Гидравликой». Отмечая особо важную роль принципа
неразрывности в решении поставленных им в
подготавливаемой книге задач, Иоганн Бернулли писал: «После
упорного и продолжительного обдумывания я понял,
наконец, что недостаточно принимать во внимание одну
только силу или давление, которым жидкость
побуждается в трубах к местному или поступательному движению,
но также принцип неразрывности (выделено Иоганном
Бернулли.— А. Г. и Б. К.) должен быть принят в
рассмотрение, благодаря которому изменения в производимых
эффектах происходят не скачком, а постепенно,
бесконечно малыми ступенями, как это происходит в случае, когда
жидкой среде нужно перейти от меньшей скорости к
большей или от большей к меньшей» 14.
В «Гидравлике» Иоганна Бернулли, опубликованной в
1743 г., принцип неразрывности в форме гипотезы
перпендикулярных слоев использовался как исходный постулат
наряду со второй аксиомой ньютоновской динамики. Точно в
таком же виде использовал гипотезу Даниила Бернулли
и Д'Аламбер в 1744 г. в своем «Трактате о равновесии и
движении жидкостей». Использование им гипотезы
перпендикулярных слоев в таких задачах со сложной
геометрией течения, как обтекание жидкостью неподвижного
тела, находящегося внутри цилиндрического канала,
делало все более необходимой замену бернуллиева варианта
принципа неразрывности на какой-то другой, более
приемлемый. Интуитивно уже тогда было ясно, что это можно
было бы сделать посредством обращения к инфинитезима-
лым приемам, т. е. если трактовать принцип
неразрывности не в большом, а в малом.
Следует сказать, что и в этом плане Бернулли первым
проявил инициативу, задав необходимое направление,
в котором следовало искать более общую формулировку
принципа неразрывности. Мы имеем в виду введенную им
в четвертой части «Гидродинамики» модель трубок тока,
которая используется по сей день в новейших областях
13 Там же, с. 215.
14 Цит. по ст.: Truesdell С. Rational fluid mechanics, 1687—1765,
p. XXXH-XXXIII.
157

современной механики жидкости и газа. Продолжая
обсуждение вопроса об определении границ применимости
гипотезы перпендикулярных слоев, Даниил Бернулли
указывал: «Возьмем, например, вертикальный цилиндр,
снабженный отверстием посредине горизонтально
расположенного дна; внутреннюю же воду мы представим себе
разделенной на горизонтальные слои. При наличии
указанных условий мы полагали, что движение каждого слоя
является одинаковым, а именно таким, что слои
сохраняют горизонтальное положение, причем, однако, я
указывал, что это допущение не может быть распространено на
ближайшие к отверстию слои; но так как отсюда не может
произойти заметной ошибки в отношении скорости
вытекающих вод, то я полагал, что незачем принимать в
расчет это обстоятельство. Но теперь, когда с наклонным
движением внутренней воды связаны другие явления,
каковым в особенности является движение в вышеуказанных
ближайших к отверстию слоях, мы его вкратце
рассмотрим... Мне кажется, что движение внутренней воды
следует представить себе таким, какое имело бы место, если
бы вода проходила по бесчисленным расположенным друг
возле друга трубочкам, причем средние из них спускались
бы приблизительно по прямой линии от поверхности до
отверстия, остальные же — по линиям, постепенно
изгибающимся вблизи отверстия... Из этой фигуры видно, что
отдельные частицы опускаются этим путем почти по
вертикальному направлению, пока не доходят близко ко дну,
и что тогда их движение постепенно отклоняется по
направлению к отверстию, так что ближайшие ко дну
частицы перемещаются по направлению к отверстию почти
горизонтальным движением, другие же — более
вертикально. Подобного рода движения я зачастую мог
наблюдать глазами, когда в воде плавали частицы воска,
именуемого испанским» 15.
Эта идея Даниила Бернулли была развита Эйлером в
1745 г. в «Новых началах артиллерии», а затем в 1750 г.
в «Исследованиях движения рек» 16. В последней работе
автор, подвергнув критике прямое применение гипотезы
перпендикулярных слоев в задачах со сложной геометрией,
писал: «Глубокие размышления гг. Бернулли и Д'Алам-
бера, которым мы обязаны всем тем, что открыто в настоя-
15 Бернулли Д. Гидродинамика, с. 96—97.
16 Euler L. Recherches sur le mouvement des rivieres.— Mem.
Berlin, 1767, 16 (opera omnia, s. 2, v. 12).
158

Щей науке (т. е. в гидравлике.— А. Г. и В. К.) к
настоящему времени, базируются на... гипотезе
[перпендикулярных слоев]; и нужно признать, что во всех
случаях, к которым они применяли свои теории, эта гипотеза
хорошо согласовывалась с истиной» 17. В более же общем
случае «надо рассматривать отдельно каждую частицу
воды» и требовать, чтобы ее объем в процессе движения
оставался неизменным. Это условие Эйлер выдвигает
вместо (1) и считает, что именно оно, а не (1), должно
лежать в основе вывода дифференциального уравнения
неразрывности, справедливого в каждой точке сплошной
жидкой среды. Таким путем Эйлер получает уравнение
неразрывности плоского течения несжимаемой жидкости,
связывающее дифференциальным образом произвольное
положение х, у жидкой частицы с некоторым начальным
положением хОу у0 той же частицы (х0 и у0 выступают
здесь в качестве независимых переменных задачи,
известных в гидромеханике под названием «лагранжевы
координаты»).
Упоминая в указанной работе имя Д'Аламбера, Эйлер
имел в виду (наряду с «Трактатом о равновесии и
движении жидкостей») также, вероятно, и конкурсное
сочинение Д'Аламбера 1749 г. «Опыт новой теории сопротивления
жидкостей» 18, в котором автор, развивая идею Даниила
Бернулли, впервые в истории гидродинамики получил из
соотношения (1) дифференциальное уравнение
неразрывности для трубки тока в осесимметричных и плоских
течениях несжимаемой жидкости.
Дальнейшая история развития принципа
неразрывности складывалась следующим образом. В работе 1752 г.
«Начала движения жидкостей» 19 Эйлер оставляет
прежним тезис, заменяющий у него гипотезу
перпендикулярных слоев: «Движение должно быть ограничено тем
правилом, что отдельные конечные части должны всегда
сохранять одинаковый объем... и этим правилом ограничи
ваются общие выражения движения отдельных элементов
жидкости» 20. Далее в отличие от предыдущей своей
работы Эйлер рассматривает два бесконечно близких
положения малого мысленно выделенного треугольного элемента
17 Euler L. Opera omnia, Lausannae, 1954, s. 2, v. 12, p. 273.
18 D'Alembert /. Essai d'une nouvelle theorie de la resistance des
fluides. Paris, 1752.
19 Euler L. Principia motus fluidorum.— Novi comm. Petrop., 1761, 6.
20 Euler L. Opera omnia, s. 2, v. 12, p. 133.
159

воды, который «переносится движением за время dt» в
новый треугольник. «Ясно,— продолжает Эйлер,— что
мысленно вся масса жидкости может быть разделена на
элементы такого рода, так что то, что мы определим для
одного элемента, распространяется таким образом вообще
на все» 21. Последующее приравнивание площадей первого
и второго треугольников приводит Эйлера с точностью
до бесконечно малых к дифференциальному уравнению
неразрывности плоского течения в так называемых
«эйлеровых переменных», имеющему вид
£+5-° <2>
(здесь и, и — компоненты вектора скорости вдоль
координат х, у). «В этом состоит критерий возможных
движений... и если это условие не выполняется, то движение
жидкости не будет иметь места» 22. Аналогичные
рассуждения, примененные к движению бесконечно малого
тетраэдра, приводят к формуле, справедливой в
трехмерном случае, а использование еще и закона Бойля — Ма-
риотта позволяет Эйлеру получить в «Общих началах
движения жидкостей» 23 общий вид дифференциального
уравнения неразрывности для пространственного
неустановившегося течения произвольной сжимаемой жидкости
плотности р
dp дри dpv dpw _ п ,о\
0F + 17 + -Ц + II — и' W
где t — время.
Таков несколько неожиданный, «незапланированный»
итог, к которому привела в гидродинамике гипотеза
перпендикулярных слоев Даниила Бернулли. Мы говорим
«незапланированный», имея в виду заявление Бернулли
о том, что после его «Гидродинамики» в механике
жидкостей больше нечего делать, и Даниил всерьез выражал
сомнение в том, что ее когда-либо удастся «разработать
больше, чем это удалось» ему24.
21 Там же, с. 138.
22 Там же, с. 141'.
23 Euler L. Principes generaux du mouvement des fluides.— Mem.
Berlin, 1757, 11 (opera omnia, s. 2, v. 12).
24 Бериулли Д. Гидродинамика, с. 16.
160

Глава 11
Интеграл Бернулли
Значение того, что Даниил Бернулли сделал в
теоретической гидродинамике открытием соотношения, названного
впоследствии его именем,— уравнения Бернулли, или
интеграла Бернулли (иногда говорят также о теореме
Бернулли),— действительно велико. Он и сам это хорошо
понимал, когда уже в конце двадцатых годов XVIII в.
говорил о том, что, наконец, «напал на истинную теорию
движения воды». Что же касается «Гидродинамики», над
которой Даниил работал вплоть до 1738 г. и в которой
уравнение Бернулли выведено им с наибольшей ясностью
и тщательностью, то там понимание исключительной
важности этого уравнения для механики жидкости
продемонстрировано автором в наивысшей мере. Вся структура
«Гидродинамики», в которой было проведено
исследование значительного числа разного типа задач, такова, что
в ней тем не менее постоянно ощущается единый, четко
обозначенный лейтмотив: все в ней ведет к главной идее
сочинения — уравнению Бернулли.
Первые интригующие заявления рекламного характера,
в которых автор обещает читателю сообщить «кое-что
новое», встречаются сначала в первой части сочинения,
затем — уже в более конкретной форме — в пятой, восьмой
и других частях. Наконец, в предпоследней, двенадцатой
части дается обстоятельное изложение так долго
ожидаемой читателем «гидравлико-статики», главным элементом
которой был вывод уравнения Бернулли.
Термин «гидравлико-статика», введенный Даниилом
Бернулли, объяснялся им следующим образом.
Предшественники автора в своих исследованиях по механике
жидкостей преимущественно ограничивались рамками
гидростатики, т. е. занимались в основном расчетом давления
на стенки сосудов, наполненных жидкостью. Однако,
указывает Бернулли, «следует хорошо отличать давления вод,
покоящихся в трубах, от давления текущих вод, хотя,
насколько я знаю, до сих пор на это никто не обращал
внимания» *. Это обстоятельство, по мнению автора, имеет
1 Бернулли Д. Гидродинамика, с. 47.
6 Заказ П 838 161

! i
1—J
В d
F
в
существенное значение,
так как при более
детальном взгляде на движение
жидких сред
обнаруживается, что «движущиеся
жидкости производят
меньше давление, чем
покоящиеся» 2. Но постигнуть
этот нетривиальный факт,
не имея в резерве
подходящего теоретического бази-
са? нелегко. Вникнув бо-
лее глубоко в механизм,
Управляющий изменением
величины давления в
движущейся жидкости, «я к
своему удовольствию,— пишет Бернулли,— мог прибавить
новую часть теории жидкостей, которую мне казалось
лучше всего назвать гидравлико-статической, так как она
одновременно рассматривает как движение, так и давление
жидкостей» 3. Эта «статика текущей воды...— продолжает
далее автор,— оказалась чрезвычайно легкой, но тем не
менее никому не известной» 4. Центральным
математическим соотношением гидравлико-статики Даниила
Бернулли, выражающим факт обратной зависимости давления от
скорости, и является знаменитое уравнение Бернулли,
полученное в двенадцатой части «Гидродинамики», где
решается задача определения давления в горизонтальной
трубе, выходящей из достаточно большого сосуда (рис. 7).
Это уравнение в обозначениях Бернулли имеет
следующий вид:
vdvа — v2 ,л\
или, если принять во внимание принцип неразрывности
ип = У а,
^i (2)
где v — скорость течения жидкости в трубе в направлении
координаты х; а — высота уровня свободной поверхности
2 Там же, с. 549.
3 Там же, с. 20—21.
4 Там же, с. 546.
162

воды в сосуде; п — отношение сечения трубы к сечению
выходного отверстия; р — давление; с — константа \
Можно думать, что отец Даниила Иоганн Бернулли не
вполне понимал существо главной идеи сына, по
крайней мере в 1727 г., т. е. в то время, когда у самого
Даниила эта уникальная идея уже, по-видимому, созрела в
общих чертах. Не допуская мысли о возможности
снижения динамической напряженности в жидкой среде при
увеличении скорости, И. Бернулли в то время был
совершенно уверен, что «большая скорость в жидкости
увеличивает натиск, с которым она действует на стенку канала,
и, чем быстрее течет жидкость, тем больше она стремится
расширить свой проход»6. Даниил Бернулли исправил
ошибку отца, показав что в действительности дело обстоит
прямо противоположным образом, и этот вывод стал
основной идеей не только его «Гидродинамики» ,но и
гидродинамики вообще.
Как начиналось развитие этой уникальной идеи
Даниила Бернулли, где ее корни и истоки? Сам автор
уверяет нас на страницах «Гидродинамики» и других своих
сочинений, что эта мысль придумана только им и он не
намеревается делить с кем бы то ни было приоритет в
этом вопросе. И надо сказать, что впоследствии никто и не
пытался оспаривать его приоритет7. Но так ли это на
самом деле? Даже в самых авторитетных источниках и
солидных специальных исследованиях по истории механики
вопрос о происхождении, об истоках идеи Даниила
Бернулли ни разу никем не поднимался. Между тем
хорошо известно, что такие идеи не возникают на пустом
месте, что любую из самых хитроумных и новомодных
идей из области математики, механики и физики при
достаточной квалификации и терпении можно,
по-видимому, всегда вывести по крайней мере из античной науки.
История уравнения Бернулли не исключение и
начинается во всяком случае не позднее I в. Связана эта исто-
5 Сейчас мы не будем устанавливать эквивалентность между
оригинальной формулировкой автора и современной трактовкой
интеграла Бернулли, не будем уточнять физический смысл
каждого из членов выписанных здесь уравнений — все это
станет ясным в процессе дальнейшего изложения.
6 Бернулли И. Избранные сочинения по механике, с. 181.
7 Известный спор Даниила Бернулли с отцом носил, в сущности
(как это будет ясно из следующей главы), методический
характер.
163 6*

рия, как и многие другие аспекты гидромеханики, с
классической задачей истечения жидкости из сосуда — первой
задачей механики жидкостей, с которой традиционно
начинается изложение почти всех современных курсов
гидромеханики.
Как уже говорилось, главная забота Секста Юлия
Фронтина как куратора Римских водопроводов состояла в
разумной организации оптимального распределения
дефицитной для города с миллионным населением воды. Эта
вода поступала в городские водохранилища-накопители
из горных северных районов нынешней Италии по
многокилометровым акведукам или трубопроводам. Из
водохранилищ через специальные мерные трубки вода поступала
затем к потребителям. «Будем помнить,— писал Фронтин
в сочинении «О водопроводах Рима»,— что с чем более
высокого места притекает вода в водохранилище и по чем
более короткому протяжению она течет, тем более она
отклоняется от своей нормы и превосходит ее. А чем место
ниже, то есть чем меньше напор и чем водопровод
длиннее, тем ленивее течет вода и количество ее не достигает
нормы. Поэтому, сообразно со сказанным, бывает нужно
затруднить или облегчить вытекание воды» 8.
Последнюю фразу можно расценивать как постановку
одной из самых первых задач гидравлики. Решение такой
задачи «затруднения или облегчения вытекания воды»
отыскивалось по преимуществу в терминах геометрии и
отчасти кинематики. В заключительных словах
приведенного фрагмента можно даже усмотреть некое подобие
принципа неразрывности (о чем уже говорилось в
предыдущей главе). Такой стиль подхода к решению
гидравлических задач сохранился вплоть до XVIII в., т. е. до
выхода в свет «Гидродинамики» Даниила Бернулли.
Основываясь на наблюдениях, Фронтин заключал, что
если мерная трубка, через которую вода вытекает из
водохранилища к потребителю, «расположена прямо по
горизонтали, она сохраняет надлежащую норму воды;
будучи поставлена в направлении потока воды и наклонена
книзу, она увлекает большое количество ее; если поставить
ее сбоку от потока и приподнять вверх, то есть
расположить более удобно для пьющего, вода медленнее поступает,
не достигая нормы. Этот calix — медная трубка, служащая
8 Архитектура античного мира. М.: Изд-во Академии архитектуры
СССР, 1940, с. 97.
164

меркой... и устанавливаемая у канала или водохранилища;
к ней приделываются водопроводные трубы... Придуман он,
видимо, по той причине, что стойкость меди, труднее
поддающейся изгибу, препятствует расширению или
суживанию трубки по произволу... При размещении трубок, через
которые вытекает вода, нужно следить, чтобы все они
располагались по одной горизонтали и одна не оказывалась
ниже или выше другой. Та, которая ниже, увлекает больше
воды; верхняя дает меньше, потому что нижняя увлекает
поток воды к себе» 9.
Большую определённость если не в решении задачи
истечения, то по крайней мере в ее постановке мы
находим у Леонардо да Винчи. «Если бочка содержит вино,—
спрашивал он,— уровень которого находится на высоте в
4 локтя, и вино выбрасывается на расстояние 4 локтей, то
когда вино, опускаясь, дойдет до уровня в 2 локтя, станет
ли оно выбрасываться по той же трубочке также на
расстояние 2 локтей, т. е. убывает ли понижение уровня и
импульс выбрасывания в равной пропорции или нет?
И если бочка, будучи полной, выливает через свою трубку
2 кружки в час, должна ли бочка, наполненная
наполовину, выливать на этом основании только одну кружку в час
через ту же трубку, что и раньше?» 10. Ответам на эти
вопросы и лежащим в их основе закономерностям Леонардо
придавал принципиальное значение и добавлял, что «это
правило вместе со всеми другими подобными,
касающимися воды, которая течет по трубам, должно быть
помещено в начале книги «Об инструментах», чтобы можно
было опираться на большее число правил, приводя
доказательства, относящиеся к инструментам».
Леонардо пытался ответить на поставленные им самим
вопросы следующим образом: «При удвоении высоты
поверхности воды над плоскостью ее опоры удваивается ли
количество вытекающей воды, или ее вытекает больше,
или меньше? Больше,— и доказывается это той
нагрузкой, которую нижняя вода получает от возросшего
количества воды сверху, ибо первоначальная масса была
унция и на нее давила тяжесть другой унции... а если
сверху прибавить еще унцию, то первая, нижняя из
указанных унций имеет над собой вдвое большую тяжесть,
нежели та, которая давила на нее раньше, и, следова-
9 Там же, с. 97.
10 Леонардо да Винчи. Избранные естественно-научные
произведения, с. 381—382.
165

тельно, движение удвоилось в отношении скорости,
проходимого пути и количества вытекающей воды» ". Ряд
рисунков, сопровождающих рассуждения Леонардо,
свидетельствуют о том, что по крайней мере зависимость
дальности выброса струи из отверстия в боковой стенке сосуда
от высоты уровня он считал пропорциональной.
Более четкий, нежели у Леонардо, но вместе с тем
опять-таки неправильный ответ на вопрос о величине
скорости истечения был дан Бенедетто Кастелли в
работах «Геометрические доказательства, касающиеся
измерения текущей воды» и «Об измерении текущих вод».
Согласно его выводам, эта скорость оказывалась
пропорциональной высоте уровня.
Ученик Кастелли Эванджелиста Торричелли исправил
ошибку своего учителя и в трактате «О движении
естественно падающих и брошенных тяжелых тел» дал
правильное первое приближение решения задачи истечения.
В разделе под названием «О движении воды»,
помещенном в конце сочинения, Торричелли указал, что сочетание
двух принципов — принципа сообщающихся сосудов и
принципа Галилея о падении тяжелых тел — с
необходимостью приводит к следующему заключению:
«Вырывающаяся вода имеет в самой точке истечения тот же
импульс, который имело бы тяжелое тело или одна капдя
той же воды, если бы естественным движением спустилось
от верхней поверхности воды до отверстия истечения» 12.
В современных обозначениях это можно выразить так:
V-U, (3)
где V — скорость истечения, а — высота уровня свободной
поверхности.
В течение довольно длительного времени этот вывод
Торричелли был основным теоретическим результатом,
который использовался при проектировании водопроводов,
расчете фонтанов и т. п. Однако очень скоро при
практической реализации проектов обнаружились значительные
(и слишком регулярные, чтобы их можно было отнести
на счет какой-либо случайной причины) отклонения от
теоретического результата Торричелли. Например, Ма-
риотт в своих опытах по истечению воды из сосудов через
трубу с направленным вверх выходным отверстием полу-
11 Там же, с. 387—388.
12 Цит. по кн.: Rouse H., Ince S. History of hydraulics, p. 62.
166

чал высоту подъема воды в фонтане, равную половине
высоты уровня жидкости в сосуде. Гульельмин, по словам
Даниила Бернулли, восемь раз повторял подобный опыт,
но неизменно получал значение одной четверти (в других
случаях — двух третей) высоты уровня.
Расхождения экспериментальных результатов
послужили поводом к построению различных полуэмпирических
теорий, предназначенных для объяснения наблюдаемых
парадоксов, которые могли трактоваться как своеобразное
нарушение принципа выравнивания жидкости в
сообщающихся сосудах (вообще задача истечения тесно связана
с другой древней проблемой — проблемой сообщающихся
сосудов — и имеет одинаковые с ней корни, но здесь мы
не касаемся этой проблемы). Одной из таких теорий стала
теория, построенная Ньютоном в 1687 г. на
предположении о половинном значении высоты подъема воды
относительно высоты уровня свободной поверхности в сосуде.
Впоследствии, однако, Ньютон под влиянием критики
усомнился в достоверности такого допущения и в
следующих изданиях «Математических начал» вернулся к
классическому постулату Торричелли.
Однако это был не простой возврат к результату
теперь уже почти вековой давности. Систематическое
фигурирование в анализе Ньютона представлений о давлении,
указание (пусть пока еще косвенное) на существование
связи между этим давлением на дно сосуда и величиной
скорости истечения — все это позднее нашло выражение в
гидродинамике Даниила Бернулли.
Ввиду особой важности, которую исследования
Ньютона по проблеме истечения имели в формировании идей
Бернулли, ниже будет подробно рассмотрено решение
Ньютоном этой задачи и рассказано о том, как им впервые
в истории гидродинамики была установлена связь между
давлением и скоростью.
Основное значение исследований Ньютона по механике
жидкости состоит в том, что он впервые предпринял
попытку сопряжения методов традиционной гидростатики
Архимеда — Стевина с новой, еще только зарождавшейся
динамикой. В тот период эта попытка являлась
новаторской; в позиции Ньютона было много нового и
неожиданного, и не случайно, что динамика жидкостей на рубеже
XVII—XVIII вв. стала ареной активной борьбы идей,
мнений, точек зрения. Ньютона много и долго критиковали
за многочисленные промахи, допущенные им во второй
167

книге «Математических начал», целиком посвященной
вопросам гидромеханики. Он прислушивался к этой критике
и не раз пересматривал результаты своих исследований.
Пересматривал даже тогда, когда уже в значительной
мере отошел от занятий математикой, механикой и физикой.
Во втором и третьем изданиях «Математических начал»
наибольшей переработке подверглись именно те разделы,
которые относились к гидродинамике, к задаче истечения.
И тем не менее его критиковали снова и снова.
Увлеченные этой критикой ученые того времени не всегда могли
увидеть и по достоинству оценить оригинальность и
эвристическую ценность идей Ньютона. Для этого
понадобилось несколько десятилетий и особый исследовательский
дар Даниила Бернулли, который первым понял всю
смелость и неординарность мыслей Ньютона.
Так или иначе, у современников Ньютона со временем
выработалось уже какое-то стереотипное негативное
отношение к его механике движущихся жидкостей. Это
усугублялось еще и тем обстоятельством, что в своей
гидродинамике Ньютон был, так сказать, не похож на самого
себя. Здесь он полностью отступал от своего
традиционного стиля. Не любивший «измышлять гипотез» Ньютон
в динамике жидкостей вводил их сплошь и рядом. За это
его и критиковали. Но, критикуя Ньютона, его
последователи (незаметно для себя и для других) использовали
уникальные идеи ученого, «кормились» ими, развивали
их. Ньютон в гидродинамике был поставщиком проблем,
настоящим «генератором идей» больше, чем в какой-либо
другой области, в частности в динамике точки, которую он
строил, по его собственному выражению, «стоя на плечах
гигантов». Что же касается динамики жидкостей, то здесь
у Ньютона практически не было предшественников.
Здесь он был первым.
Для современной истории науки, отделенной от эпохи
Ньютона тремя столетиями, важно не то, что в своих
гидродинамических изысканиях он допускал ошибки, а то,
что он фактически сделал, в каком направлении
сориентировал все последующие исследования в этой области
естествознания. Кратко это направление можно
охарактеризовать следующим образом: Ньютон построил
гидродинамику на фундаменте уже достаточно развитой к тому
времени гидростатики Архимеда—Стевина, дополнив ее
соображениями кинематико-геометрического толка
(принцип неразрывности, принцип Торричелли). Впоследствии
168

именно эту идею Ньютона Даниил Бернулли принял как
эстафету и, устранив ошибки и неточности своего учителя,
опубликовал «Гидродинамику», с момента выхода которой
теоретическая гидродинамика как самостоятельная
научная дисциплина начала отсчет своей истории.
Что же представляла собой гидростатика Архимеда—
Стевина до Ньютона и как Ньютон ввел в нее элементы
динамики? Или более конкретно: каким образом Ньютон в
своей задаче истечения трансформировал традиционное
представление о давлении и применил его к случаю
движущейся жидкости?
Итогом развития доньютоновой гидростатики Архимеда
(III в. до н. э.), Симона Стевина (1586) и Блеза Паскаля
(1663) стало прочно утвердившееся в научных кругах
мнение, что сила Ро гидростатического давления налитой в
сосуд жидкости на любой участок дна этого сосуда
площади а не зависит от его формы и численно равна весу
цилиндрического столба жидкости, построенного на этом
участке дна как на основании и имеющего своей высотой
высоту уровня свободной поверхности а, т. е.
(4)
где -у — удельный вес жидкости.
Леонардо да Винчи первым попытался проверить
справедливость этого вывода для случая движущихся
жидкостей, вытекающих из сосуда через отверстие в дне.
Путем многочисленных и весьма искусных опытов он пришел
к заключению, что жидкость, вытекающая из донного
отверстия, выталкивается силой давления, определяемой
тем же соотношением (4), что и в случае покоящейся
жидкости. То есть, если обозначить через р0 давление
покоящейся жидкости в произвольной точке дна сосуда, а через
р — давление в той же точке для случая, когда жидкость
вытекает из донного отверстия, то сформулированный
Леонардо вывод может быть выражен следующим
соотношением:
Р=Ро. (5)
«Не вся тяжесть действует, давя на воду,
поднимающуюся по трубке,— писал Леонардо,— но лишь та ее
часть, которая соответствует продырявленной части в
горизонтальной поверхности сосуда»13. Для того чтобы
убедиться в этом, он предлагал провести следующий опыт:
13 Леонардо да Винчи. Избранные естественно-научные
произведения, с. 377.

«...возьми два четырехугольных куска стекла в 74 локтя и
прикрепи то и другое параллельно друг другу на
расстоянии двойной толщины лезвия ножа, укрепив края с трех
сторон воском; далее, с четвертой стороны наполни
светлой водой, в которую брошены мелкие семена, плавающие
на всех уровнях этой воды. Затем ты сделаешь маленькое
отверстие в дне и дашь выход воде. Держи неподвижно
свой глаз у стенки сосуда, и движение названных семян
даст тебе понятие, какая вода с большей скоростью течет
к отверстию и откуда она движется» 14. Из рисунков
Леонардо, сопровождающих этот фрагмент, ясно видно, что
в движение приходит масса жидкости, расположенная в
основном над отверстием истечения. Мысль о тождестве
гидростатического давления в покоящейся жидкости и
давления в движущейся жидкости получает особенно четкое
выражение при описании другого опыта Леонардо: «Если
ты хочешь произвести испытание, какая часть воды в
сосуде, из которого она вытекает, выходит наружу,
произведи, такой опыт с сосудом проса, гладкого и мелкого.
Закрывай и открывай различные отверстия в таком
сосуде и ты увидишь, опускается ли верхняя поверхность
проса в той части, которая находится по отвесу над
нижним отверстием, или же нет» 15. Рисунок, иллюстрирующий
эту заметку, вновь подтверждает мысль о незначительном
влиянии на характер истечения жидкости, расположенной
вне цилиндрического объема над отверстием в дне сосуда.
Ньютон, рассматривая в своих «Математических
началах» задачу определения «движения воды, вытекающей
через круглое отверстие, сделанное в дне сосуда» 1в,
предложил другую модель. Он предположил, что течение воды
внутри сосуда не отличается от падения ее в своеобразной
воронке, образованной вращением гиперболы пятого
порядка (см. рис. 1); при этом все жидкое пространство в
сосуде, находящееся вне этой воронки, можно
предположить замороженным. Такая картина приводит к иному
(чем в случае покоящейся жидкости) распределению весов
жидкости, действующих на дно сосуда и в сечении
отверстия: на находящееся по соседству с отверстием дно
сосуда будет действовать теперь уже не вся тяжесть рас-
14 Там же, с. 388.
15 Там же, с. 382-383.
18 Здесь задача истечения трактуется в том виде, в каком она дана
автором в последнем, третьем издании «Математических начал»
(1729).
170

положенной над ним воды, как это было в случае
реализации модели Леонардо, а лишь вес замороженной
(т. е. остающейся в покое) ее части. «Вес всего количества
воды в сосуде...— пишет Ньютон,— относится к той части
этого веса, которая поддерживается дном, как сумма
площадей (сечения сосуда F и отверстия истечения /.—
А. Г. и Б. К.)... к их разности» 17. В сумме с «той частью,
которая затрачивается на вытекание воды», величина
тяжести равна полному весу жидкости в сосуде.
По существу, Ньютон здесь решает систему двух
алгебраических уравнений—неразрывности (в форме
Леонардо) и движения (в форме Галилея или Торричелли):
откуда для произвольного 1-го сечения воронки, в которой
свободно (под действием одной только силы тяжести)
падает вода, получается выражение вида
Заметим попутно, что здесь можно провести известную
аналогию между современным подходом к решению задач
механики жидкостей и подходом Ньютона. Мы начинаем
с выписывания системы уравнений гидродинамики,
которая в простейшем одномерном случае состоит из
дифференциального уравнения неразрывности и
дифференциального уравнения движения. В еще более простом случае
вместо последних можно взять их интегральные
варианты — уравнение (6') и интеграл Бернулли. Наконец, от
интеграла Бернулли можно в первом приближении
перейти к формуле Торричелли (6") как к его частному
случаю. Таким образом, получается, что математическая
постановка (6) задачи о движении жидкости у Ньютона
принципиально не отличается от современной постановки
и сводится к системе двух уравнений — неразрывности и
движения.
Соотношение (7) определяет зависимость между
площадью fi некоторого 1-го сечения и его отстоянием а{ от
высоты поверхности уровня воды в сосуде а (здесь V —
17 Ньютон И. Математические начала натуральной философии,
с. 441.
171

скорость истечения, vi — скорость в i-м сечении, / —
площадь отверстия). Записанное в линейных величинах
выражение (7) есть уравнение кривой пятого порядка
(образующая воронки).
Таким образом, подчинение движения жидкой массы
двум законам — принципу неразрывности (6') и
принципу падения (б'7) приводит к изменению давления на дно,
описанному в «Математических началах», которое
можно символически записать в виде
где Р — вес жидкости, оказывающий при своем
истечении давление на дно сосуда, аЛ- полный вес жидкости
в сосуде. Переписанное в терминах давлений
и " = Т
соотношение (8) перейдет в следующее выражение для
среднего значения статического весового давления на
дно в случае движущейся жидкости:
(9)
Из сравнения формул (2), (5) и (9) совершенно
очевидно, что смысл фактически полученного Ньютоном
результата весьма близок к тому, который был
сформулирован Даниилом Бернулли в его «Гидродинамике» и
который известен теперь как интеграл Бернулли. Суть
обоих результатов в конечном счете одна и та же:
статическое давление на внутренние поверхности труб или
сосудов, в которых движется жидкость, всегда меньше
соответствующего давления покоя, т. е. р<р0. Сам
Ньютон, по-видимому, не вполне сознавал, что соотношением
(9) он подвел науку о движении жидкостей к
важнейшему открытию, поскольку не в получении этого
результата видел свою основную задачу. Даниил Бернулли был
первым, кто осознал это в полной мере и заявил об этом
в полный голос.
Прямой ссылки на уравнения Ньютона типа (8) или (9)
у Даниила Бернулли нет. Однако трудно поверить, что
Даниил, так тщательно штудировавший Ньютона, мог не
обратить внимание на тот единственный фрагмент, в
котором Ньютон дает выражение для определения давления
т

на дно сосуда с протекающей в нем жидкостью. Причем
данная задача является одной из самых главных задач
всей бернуллиевой «Гидродинамики». Можно
предположить другое, а именно, что Даниил Бернулли нигде не
обмолвился о содержании упомянутого фрагмента из
«стратегических» соображений, поскольку он, как и
большинство его современников, не отличался особой
пунктуальностью в отношении упоминания заслуг
предшественников и ссылок на их работы.
Итак, прямой ссылки на уравнения типа (8) или (9)
ни в «Гидродинамике» Бернулли, ни в его более ранних
работах по механике жидкостей не содержится. Однако
хотя бы формальную связь результата Даниила Бернулли
с уравнением Ньютона (9) можно усмотреть. В самом
деле, если предположить, что F>f, и разложить правую
часть выражения (9) в ряд Тейлора, то полученный
результат примет вид
При такой форме записи результат Ньютона становится
особенно близок к основному результату
«Гидродинамики» Даниила Бернулли (2), который в принятых нами
обозначениях можно записать в виде
Р^—р^Р* (11)
где под F следует понимать площадь поперечного
сечения горизонтальной трубы, а под / — площадь сечения
выходного отверстия (см. рис. 7).
Родство структуры формул Ньютона (9) и
Бернулли (11) очевидно; только у Бернулли в отличие от
Ньютона всюду фигурируют вторые, а не первые степени
площадей. Любопытно, что именно по этому поводу
Христиан Гольдбах в переписке 1730 г. подверг критике
уравнение (11), сообщенное ему Даниилом Бернулли в письме
от 17 июля, считая верным уравнение типа (10) (см. гл.8).
Родство конечных результатов естественно, так как
постановки исходных задач сходны. Ньютон решал
задачу определения весового давления при истечении
тяжелой жидкости из отверстия в дне цилиндрического
сосуда; Бернулли решал задачу отыскания давления в трубе
(или давления на стенки трубы, что с точки зрения Бер-
нулди одно и то те, поркольку «таков^ природа
173

ния»). Задачи, казалось бы, разные. Но если принять во
внимание, что течение жидкости в случае задачи
Бернулли происходит в трубе конечной длины со
специальной просверленной крышкой на ее выходе, то можно
утверждать следующее. То, что было фактически сделано
Даниилом Бернулли в двенадцатой части
«Гидродинамики», сводилось к повороту сосуда Ньютона на 90° и
представлению его в качестве торцевого участка
горизонтальной трубы. Высота уровня жидкости в сосуде, к которому
труба прикреплялась, определяла полное давление покоя
р0 как на торцевую крышку, так и на стенки трубы.
Решая затем систему уравнений (одно из которых
представляло, как и у Ньютона, принцип неразрывности в форме
Леонардо, а второе — принцип сохранения живых сил в
оригинальной форме Даниила Бернулли), он получил
решение вида (11). То есть математическая постановка
задали Бернулли, так же как и у Ньютона, сводилась к
системе двух уравнений. Причем очевидно, что их различие
незначительно: второе из двух уравнений указанной
системы берется у Даниила Бернулли в более общем виде,
чем у Ньютона (принцип сохранения живых сил вместо
принципа Торричелли). Таким образом, не только
физическая, но и математическая постановка задачи
Бернулли во многом схожа с ньютоновской постановкой.
Учитывая все сказанное выше, можно утверждать, что
уравнение Бернулли (11) является в известном смысле
развитием формулы Ньютона (10) или (9), дальнейшим
ее уточнением, расширением на случай движения в
трубах, когда течение в первом приближении можно считать
одномерным. Более того, несмотря на то что у Бернулли
рассматривалось течение в горизонтальной трубе, а не в
цилиндрическом вертикально расположенном сосуде,
характер рассуждений, предшествовавших выводу
уравнения Бернулли в «Гидродинамике»,—рассуждений,
призванных обосновать подход, с помощью которого это
уравнение было получено, также во многих отношениях
тождествен ходу рассуждений Ньютона.
Последнее обстоятельство связано с одной очень
важной и очень древней проблемой, будоражившей умы
ученых во все времена, и особенно в XVII—XVIII вв.,—
проблемой сопротивления, оказываемого движущемуся
в жидкости телу. После решения классической задачи
истечения (предложение 36 второй книги
«Математических начал») Ньютон переходит к определению сопро-
174

тивления тел в жидкостях. Он делает это довольно
оригинальным и вместе с тем простым приемом, помещая
в сечении отверстия небольшой диск, который, таким
образом, обтекается выходящей из сосуда струей воды.
Если принять во внимание формулируемый здесь же
Ньютоном принцип обращения движения, то полученная
в этом случае модель аппроксимирует движение в
жидкости плоского диска, а также (как считает Ньютон)
цилиндрического тела с плоским торцом. Обычным
применением модифицированного, т. е. учитывающего
ускоренный характер вытекания жидкости, принципа
отвердевания Ньютон доказывает, что сопротивление,
испытываемое в данном случае телом, помещенным в отверстие
истечения, равно весу отвердевшего конуса с
нелинейной образующей, построенного на переднем торце этого
тела как на основании. Поскольку высота указанного
конуса, равная высоте уровня свободной поверхности,
имеет квадратичную связь со скоростью истечения по
формуле Галилея (или Торричелли, хотя имени
последнего Ньютон нигде не упоминает, называя формулу (3)
«аксиомой Галилея»), то отсюда Ньютон делает
заключение о том, что сопротивление, происходящее от движения
тела в сплошной жидкости, пропорционально квадрату
скорости: Ri~v2. У Ньютона это доказательство формулы
квадратичной зависимости сопротивления от скорости не
единственное, но, пожалуй, самое оригинальное.
Заметим, что здесь мы оставляем в стороне
рассуждения о линейном и других законах сопротивления в
различных (сплошных и дискретных) средах, носящие у
Ньютона второстепенный характер, и ограничиваемся
рассмотрением лишь некоторых основных его
соображений о квадратичном законе, единственно, как он
выражался, «соответствующем природе».
Помимо указанной составляющей полного
сопротивления, испытываемого движущимся в среде телом, Ньютон
выделил еще и другую составляющую Др, «происходящую
от давления». Под этой частью сопротивления он понимал,
в частности (если говорить о падении тела в жидкости),
архимедову силу вытеснения, определяемую различием
удельных весов тела и жидкости.
Схематично описанное здесь определение
сопротивления движущегося в жидкости тела наглядно
характеризует основную идею, лежащую в основе построения
Ньютоном теоретической гидродинамики: к анализу движения
175

он приходит путем соответствующей модернизации чисто
гидростатической задачи, т. е. гидродинамику Ньютон
выводит из гидростатики.
В 1727 г. Иоганн Бернулли в своем «Рассуждении о
законах передачи движения» развил идеи Ньютона,
касающиеся определения сопротивления тел в жидкостях,
не прибегая, впрочем, к ньютоновской модели
отвердевания.
В июне того же года Даниил Бернулли послал в
«Комментарии» Петербургской академии наук первую
часть своей статьи «Рассуждение о действии жидкостей
на твердые тела и о движении твердых тел в жидкостях»,
в которой, вероятно, воспользовался выводами своего отца,
содержащимися в указанном выше сочинении Иоганна
Бернулли. Для подобного предположения имеются все
основания, поскольку этот раздел в силу своего
гидродинамического характера несомненно должен был привлечь
внимание Даниила, все еще находившегося в это время
под впечатлением своих дискуссий с итальянскими
гидравликами.
Во второй части своей работы Даниил Бернулли,
в частности, записывает уравнение движения тела,
падающего со скоростью v в сопротивляющейся среде
(используя принцип обращения движения, в данном случае
можно также говорить об уравнении движения жидкости,
набегающей с той же скоростью и на неподвижное тело).
Если силу полного давления, испытываемого телом,
говорит Бернулли, обозначить через р, то уравнение
движения тела в жидкости (или движения жидкости около
неподвижного тела) будет иметь следующий вид:
dv=pdt. (12)
Обозначив далее через а разность удельных весов тела и
жидкости и принимая во внимание, что инерционное
сопротивление жидкости пропорционально квадрату
скорости (т. е. равно пи2, где п — коэффициент, учитывающий
форму тела и удельный вес жидкости), Даниил
переписывает дифференциальное уравнение (12) в виде, готовом
для интегрирования:
ds = vdt= ur-nvv » гДе s — координата. (13)
Легко видеть, что интеграл Бернулли (1) и
соотношение (13) практически идентичны друг другу. Ниже будет
показано, что это сходство не только внешнее.
176

В августе того же 1727 г. Даниил Бернулли с
воодушевлением сообщил в Италию в письме к Джиованни
Полепи, что «к счастью, напал на истинную теорию
движения воды, которая является весьма общей», а в 1729 г.
он впервые представил уравнение Бернулли в форме (2)
широкой аудитории. На заседании Конференции
Петербургской академии наук Бернулли с помощью
сконструированного по его проекту прибора провел серию важных
экспериментов, подтверждающих формулу (2). «Все
эксперименты имели полный успех»,— писал год спустя
Даниил Бернулли в Москву Христиану Гольдбаху,
рассказывая коллеге о своем открытии и подробно описывая
конструкцию прибора. Кстати говоря, эта конструкция
(см. рис. 5) не только сильно напоминала конструкцию
сосуда Мариотта, представляя по сути дела его
модернизированный вариант, но также являлась почти точной
копией прибора, о котором писал Ньютон в
«Математических началах», когда говорил о вытекании жидкости из
сосуда в горизонтальную трубу и последующем выходе
ее «вверх через малое отверстие, сделанное в верхней
стенке трубы» 18.
Этот этап в развитии идей, связанных с выводом
интеграла Бернулли, интересен прежде всего тем, что
здесь Даниил Бернулли разработал свой уникальный,
ставший предметом его гордости особый прием, который,
как ему казалось, давал оптимальный вариант
обоснования указанного интеграла в терминах классических задач
Архимеда, Ньютона, Иоганна Бернулли и других о падении
тела в сопротивляющейся среде и действии жидкости на
тело. Рассуждения о двух составляющих сопротивления
падающего тела Д» и Rp, которые, действуя в
совокупности, дают суммарную величину полного сопротивления
(или величину движущей силы, что согласно третьему
закону Ньютона одно и то же), прямо подвели автора
«Гидродинамики» к разработке его уникального подхода.
Возможность построения обоснования, базирующегося
на указанных рассуждениях, вытекала из тех простых
соображений, что в случае движущихся жидкостей
«движущая сила», природа которой может быть и
неизвестной, проявляет себя в реально наблюдаемом
сопротивлении, испытываемом телами или жидкостью в окружаю-
18 Ньютон И. Математические начала натуральной философии
с. 440.
177

щей среде, ибо, являясь внутренней скрытой «силой
природы», эта движущая сила «распознается по силе, ей
равной и противоположной, которая могла бы
воспрепятствовать падению» 19.
Подобно тому как в 1727 г. в задаче о падении тела в
жидкости Даниил Бернулли строил движущую силу р,
фигурирующую в дифференциальном уравнении
движения Ньютона (12), по величине суммарного
сопротивления а—nvv, так и теперь, в случае определения давления
в горизонтальной трубе, он поступает аналогичным
образом. Однако перенос методики решения задачи о падении
жидкости на задачу о течении в трубе наталкивается на
серьезную трудность. Если в первой задаче движение
ускоренное и, следовательно, там можно воспользоваться
уравнением Ньютона (12), то во второй задаче жидкость
течет в трубе равномерно без ускорения, и поэтому
применение уравнения движения ньютонианской динамики
становится как будто бы невозможным. Тем не менее
жидкость оказывает давление на стенки трубы, так что
динамика Ньютона должна здесь иметь место, и,
следовательно, ускорения должны (пусть неявно)
присутствовать в задаче. Ведь если есть сила, то должно быть и
ускорение, вызываемое (или могущее быть вызванным)
этой силой,— после Галилея и Ньютона эта истина была
непререкаемой. Сам термин «давление» в те времена
связывался с ускоренным движением. Иоганн Бернулли,
например, полностью отождествлял понятия давления и
движущей силы. Определяя в работе «Об истинном
значении живых сил и их применении в динамике» понятие
движущей, или «мертвой силы», он писал, что она «есть
не что иное, как побуждение, которым тело понуждается
к ускорению или замедлению движения. Такова,
например, тяжесть, которая побуждает тела к падению,
ускоряет тела падающие, поднимающимся же телам
противодействует и их движение замедляет. Вообще мертвая сила
может быть названа давлением». И далее: «Давление
есть нечто относительное, предполагающее две вещи,
взаимно противоположные, а именно причину,
производящую давление, откуда бы эта причина не происходила,
а затем тело, которое подвергается давлению. Когда
исчезает причина, производящая давление, прекращается и
само давление» 20.
19 Там же, с. 28.
20 Бернулли И. Избранные сочинения по механике, с. 222.
178

Таким образом, вся проблема свелась для Даниила
Бернулли к отысканию ускорений в задаче истечения из
трубы, поскольку если он хотел определить силу
давления (на стенки трубы), то ему следовало найти то
ускоренное течение, в котором эта сила могла бы
реализоваться. Это было непростым делом, особенно после того, как
еще в конце XVII в. Вариньон — большой авторитет для
Бернулли — представил в Парижскую академию наук
сообщение по поводу ньютоновского варианта задачи
истечения: все свои рассуждения Вариньон построил на том
(отличном от ньютоновского) допущении, что движение
каждая из вытекающих частиц получает внезапно, т. е.
без ускорения.
Вариньон, по-видимому, одним из первых ввел
понятие элементарного (малого) жидкого объема в
классический вариант задачи об истечении и указал, что этот
элементарный объем жидкости, вытекающий из точечного
(по предположению) отверстия в дне сосуда в каждое
мгновение, получает все свое движение от давления,
производимого весом столба жидкости, основанием
которого он является (нечто похожее мы уже встречали у
Леонардо). Причем движение этой частицы возникает
практически внезапно, т. е. без ускорения. Раз сила здесь
равна весу столба жидкости (=4f/a), то согласно основной
аксиоме динамики можно получить связь этого веса
с приращением количества движения частицы, выходящей
в каждое мгновение из отверстия21. Поскольку далее
количество движения пропорционально скорости V и массе
(которая, в свою очередь, пропорциональна
произведению площади отверстия / на величину элементарного пути
частицы dx=Vdt), то в результате получается
соотношение а ~ F2, т. е. формула Торричелли. Таким образом,
справедливость формулы Торричелли для случая малого
отверстия Вариньон считает доказанной.
Даниил Бернулли не раз указывал на недостатки
такого подхода. По его мнению, главный из них заключался в
неправомерном игнорировании ускорения жидкой
частицы, приближающейся к отверстию истечения. Возможно,
21 Заметим, что поскольку движение вытекающей частицы
возникает внезапно из нулевой скорости, то приращение
количества движения оказывается совпадающим с самим
количеством движения. Поэтому дифференциальный, по сути дела,
подход Вариньона не привел его тем не менее к
дифференциальному уравнению движения.
179

Ньютон был не вполне прав в том, что ускорение
вытекающей жидкости, начиная с самой границы свободной
поверхности и вплоть до отверстия истечения, считал
происходящим по закону Галилея, т. е. закону падения
тяжелых тел в вакууме. Но «исправление» модели Ньютона
Вариньоном уводило решение проблемы истечения в
другую крайность. Даниил выбрал третий подход, не
похожий на прежние.
Итак, весь вопрос свелся к тому, чтобы в задаче о
равномерном течении в горизонтальной трубе каким-то
образом выделить, найти (или ввести) ускорения, ибо без
них Даниил Бернулли не мог воспользоваться
дифференциальным уравнением движения (12) или (13). И он
нашел такую возможность и сумел ввести ускорение в
задачу о равномерном движении. Но каким оригинальным
образом! Самому Даниилу определенно импонировала
его собственная изобретательность и хитроумие в
решении этого вопроса, и с подчеркнутой значительностью он
писал: «...всякое движение, начиная с покоя, проходит
через бесчисленные ступени раньше, чем получает
определенную скорость... Я обратил внимание на
невозможность определения давления воды, протекающей по трубе
с заданной скоростью, на ее стенки, если только не будут
постигнуты умом те изменения, которые я назвал бы
мгновенными, как бы они ни были недоступны
чувственному восприятию. Разобравшись в них впервые, я к
своему удовольствию мог прибавить новую часть теории
жидкостей» 22.
Суть идеи Бернулли, с помощью которой ему удалось
ввести ускорения в задачу о равномерном движении и,
таким образом, воспользоваться принципом ускоряющих
сил Ньютона, заключалась в следующем. Он расщепил
исходную задачу определения давления в трубе на две
подзадачи. Первая из них, гипотетическая, получается из
исходной путем мысленного мгновенного разрезания
трубы в некотором сечении и удалении отрезанной части.
При этом жидкость, которая до обрыва двигалась со
скоростью и (сдерживаемой наличием просверленной
крышки на торцевой части трубы), начинала теперь
разгоняться до величины, определяемой формулой Торричелли.
Вот это-то гипотетическое ускорение и использует Даниил
Бернулли далее в своих рассуждениях. Вот как он сам
22 рернулли Д. Гидродинамика, с. 20—21,

описывает суть своего метода. «Таким образом, вода в
трубе стремится к большему движению, но ее упор
встречает сопротивление со стороны дна FD (рис. 7). Этот
упор и противодействие ему сжимают воду, каковое
сжатие сдерживается стенками трубы, и, стало быть,
последние испытывают на себе подобное же давление. Таким
образом, ясно, что давление стенок пропорционально
ускорению или приращению скорости, которую приобрела
бы вода, если бы мгновенно исчезла всякая помеха для
движения, так что она выбрасывалась бы прямо в
воздух» 23.
Для полученной гипотетической задачи ускоренного
истечения из внезапно обрезанной трубы Даниил Бер-
нулли составляет дифференциальное уравнение
движения, выражающее второй закон ньютонианской динамики.
Точнее, не составляет, а выводит его, исходя из
принципа сохранения живых сил.
Этот факт представляет интерес, и о нем еще пойдет
речь ниже. В наши дни в гидродинамике обычным делом
считается получение законов сохранения путем
интегрирования дифференциальных уравнений движения,
выражающих второй закон Ньютона и понимаемых как
исходные. Но Даниил Бернулли поступил в данном случае
прямо противоположным образом и вывел
дифференциальное уравнение ньютоновской динамики из закона
сохранения живых сил. Причем делал он это не
традиционным путем, т. е. не посредством дифференцирования,
а просто с помощью некоторых формальных
преобразований, поскольку исходный принцип живых сил
записывался им не в интегральной, а в дифференциальной форме.
«Итак, теперь дело свелось к тому, чтобы отрезав
трубу ED в cd в какой-либо момент времени при
продолжающемся протекании воды через о, определить, какое
ускорение может вследствие этого получить капелька
abdc\ такое именно давление будет испытывать со
стороны протекающей воды частица ас, взятая на стенках
трубы. Для этой цели надлежит рассмотреть сосуд
ABEcdC и для него найти ускорение весьма близкой к
вытеканию частицы воды, если она будет иметь скорость
Рассматриваем скорость как переменную. Пусть ско-
23 Там же, с, 362—363,
181

рость воды в трубе Ed равна и; сечение трубы, как и
раньше, равно п, длина Ее равна с. Обозначим длину
бесконечно малой и весьма близкой к вытеканию водной
частицы ас через dx. В Е будет находиться равная капелька,
которая будет готова вступить в трубу в тот самый момент
времени, когда другая капелька aedb выбрасывается. Но
в то время как капелька в Е, масса которой равна ndx,
вступает в трубу, она приобретает скорость и, а также
живую силу nv2dx, каковая живая сила полностью
возникла вновь, ибо вследствие бесконечно большого размера
сосуда АЕ капелька Е, не вступившая еще в трубу, не
обладала никаким движением. К указанной живой силе
nv2dx следует прибавить приращение живой силы,
получаемое водой в ЕЬ, пока капелька ad вытекает, а именно
2ncvdv. Эта сумма соответствует действительному
снижению капельки ndx с высоты BE, т. е. а. Таким образом,
мы имеем
nu2dx + 2ncvdv = nadx,
или
vdv __a — v2
ЧзГ^ 2с *
Но при всяком движении приращение скорости do
пропорционально давлению, умноженному на малое
время, которое в данном случае равно dx/v. Таким образом,
в нашем случае давление, испытываемое капелькой ad,
пропорционально величине vdv/dx, т. е. величине
»2\
Из предпоследнего предложения этого отрывка ясно
видно, что для самого Даниила Бернулли главная
формула его гидродинамики (1) есть не что иное, как
дифференциальное уравнение гипотетического движения жидкости
(т. е. ускоренного истечения ее из мысленно обрезанной
трубы), отвечающее второму закону Ньютона; последнее
же предложение фрагмента показывает, как из этой
формулы можно получить величину искомого давления на
стенки трубы. Далее Бернулли, используя тот факт, что
изменение длины горизонтальной трубы GD не влияет на
величину этого давления, приводит выражение (1) к тому
виду (2), в котором он записал его в 1729 г. в своих
«Экспериментах» и в 1730 г. в письме к Гольдбаху.
24 Бернулли Д. Гидродинамика, с. 363—364.
182

Такова история появления в гидродинамике интеграла
Бернулли. Прежде чем дать краткую оценку его роли и
значения, заметим, что современная механика сплошной
жидкой среды оперирует, строго говоря, двумя
независимыми понятиями внутреннего давления. Одно из них
определяется в механике жидкости и газа строго
математически через линейный инвариант тензора внутренних
напряжений Тц (г, j = 1, 2, 3), объемную вязкость [х*
и дивергенцию скорости жидкости в точке dvh/dxh
рщ=—— f ЁЁ- + Н«*я7[' *,jf,&=l,2,3,
а другое вводится в термодинамике операционально и
может быть определено, например, с помощью
эмпирического уравнения состояния Клапейрона:
ргд=Др7\
где R — газовая постоянная, р — плотность, а Т —
температура по шкале Кельвина. Большинство исследований
прошлого, выполненных в духе гидростатики Архимеда—
Стевина—Паскаля, опиралось на последнее из двух
указанных понятий. Процедура измерения, выработанная в
ходе этих исследований, сводилась к определению
внутреннего давления в покоящейся жидкости с помощью
барометрической трубки (Торричелли, Вивиани, Паскаль
и др.). Таким образом, давление ртл есть по самой своей
сути давление покоя (для случая несжимаемой жидкости
оно называется гидростатическим) и выражает состояние
некоторого элементарного объема среды, в то время как
давление ргж является, вообще говоря, давлением
движения (гидродинамическое давление) и выражает состояние
некоторого элементарного объема геометрического
пространства, через которое проходит движущаяся среда.
Равенство этих двух давлений ниоткуда не следует. Тем не
менее полагают, что
/>гд=/?тд, (14)
и говорят об одной величине — внутреннем давлении р в
точке.
Даниил Бернулли был первым, кто четко и ясно
сформулировал гипотезу (14) и экстраполировал для
одномерных задач понятие термодинамического (т. е.
измеряемого с помощью барометрической трубки) давления
183

/?тд в духе Стевина и Паскаля на случай описания
напряженного состояния в движущейся среде. Эту
экстраполяцию он осуществил в ходе вывода уравнения Бернулли.
С наибольшей ясностью указанная гипотеза
сформулирована в следующем фрагменте «Гидродинамики»:
«После изложения теории движения мы снова
возвращаемся к равновесию жидкостей, но жидкостей
движущихся, законы которых до сих пор еще не были даны.
Поразительно, что в то время, как в других случаях
движение определяется на основании давления, здесь,
наоборот, давление получается из движения, которое должно
быть раньше определено из окружающих условий. Я не
думал, чтобы можно было надежно пойти по иному пути,
чем тот, по которому я следовал. Именно я рассматривал
трубу, по которой течет вода, разрезанной в том месте
и в тот момент времени, которые обусловливаются задачей.
Затем на основе предпосланных наших правил я выяснил
ускорение прилегающей частицы воды, очень близкой к
вытеканию. На основании этого ускорения можно было
составить представление о давлении на указанную
частицу воды, которое, согласно природе жидких тел, равно
давлению на стенки трубы. После того как это давление
определено, становится ясно, что должно было бы
произойти, если бы труба была в том же самом месте просверлена
и если бы отверстию соответствовала приставная
трубочка. А именно произошло бы то, что в последней вода
поднялась бы на некоторую высоту до состояния покоя
в трубочке и эта вода поддерживалась бы снизу водой,
протекающей по каналу, так что здесь установилось бы
равновесие между текущими водами и покоящимися.
Поэтому-то я и решил, что настоящую теорию будет уместно
назвать гидравлико-статической» 2\
В установлении результата (14) состоит одна из
главных заслуг Даниила Бернулли2в. Без него было бы
невозможно введение в механику жидкостей понятия
внутреннего давления как характеристики поля, или скалярной
функции точки. По сути дела, то, что было сделано
Леонардом Эйлером в «Началах движения жидкостей» (1752,
25 Там же, с. 24—25.
26 Важность сформулированного Даниилом Бернулли постулата
(14) видна уже из того, что его значение в механике
континуума аналогично роли, которую играет в классической
механике эмпирическая гипотеза Ньютона о тождественности
инертной и гравитационной масс: тяи=тТр.
184

опубл. 1761) и что можно квалифицировать как первое
четкое операциональное определение понятия
внутреннего давления в точке27, есть не более чем расширение
методики Даниила Бернулли с одномерного случая на
многомерный.
Другой заслугой Даниила Бернулли является то, что
открытием своей формулы (1) он указал на
согласованность изменений скорости и давления при движении
жидкостей — факт, отмечавшийся ранее Ньютоном, но в
слабой форме. Бернулли выделил этот факт и сформулировал
его с максимальной степенью четкости.
Наконец —и это, быть может, самое главное с точки
зрения генезиса механики жидкости — открытие
интеграла Бернулли вплотную подвело гидродинамику к
формулировке фундаментальных дифференциальных
уравнений движения Эйлера, а затем и Навье—Стокса.
Глава 12
Отец и сын
«Мой отец,—писал Д. Бернулли,—у меня отбирает
всю мою гидродинамику, ни одной буквой из которой я
воистину не обязан моему отцу, и таким образом в один
час я теряю плоды десятилетней работы. Все теории
взяты из моей гидродинамики, и тем не менее мой отец
решается называть свое сочинение «Гидравликой, ныне,
в 1732 г., впервые открытой», а моя гидродинамика была
напечатана лишь в 1738 г. Однако же мой отец взял все
у меня, за исключением лишь того, что он придумал
другой общий способ определения приращения скорости,
но все это открытие изложено на нескольких страницах.
Все, что мой отец не считает полностью своим
изобретением, он презирает и, наконец, в довершение зла, он
27 Это определение сводится к предположению того, что
движущаяся «вода повсюду будет просто находиться в
определенном состоянии сжатия подобно тому состоянию, в котором
находится покоящаяся при определенной высоте [уровня]
вода. Поэтому эта высота... может оказаться наиболее
удобной для представления давления в произвольной точке I
жидкости» (Euler L. Opera omnia, s. 2, v. 12, p. 149).
185

включает в свою книгу еще ваше письмо, в котором вы
также стараетесь приуменьшить значение моих
изобретений в одном вопросе (решение этого вопроса найдено
мною впервые и только мною, и я претендую на то, что я
исчерпал его совершенно). Вы утверждаете, что я
определил давление жидкостей, протекающих по каналу,
только в состоянии неподвижности; однако же я вслед за
этим на с. 259 (в конце) показываю, что давление в об-
а — i>2 А
щем виде равно 2а • А чт0 такое, отличное от меня,
сделал мой отец в этой области? Постановка вопроса
принадлежит мне; мысль, что надо рассматривать канал
как бы обрывающимся в том месте, где определяется
давление, также принадлежит мне; мысль, что следует
искать ускорение последней частицы в первый момент
обрыва, также принадлежит мне, и, наконец, то, что по
этому самому ускорению, либо частью, либо полностью
задержанному, можно найти сжатие капельки и то, что
это сжатие определяет давление воды в канале,—все это
принадлежит мне. Что же касается моего отца, то он не
сделал абсолютно ничего, кроме того, что определил
скорость на свой лад и притом повторяя это много раз...
Заклинаю вас, как своего лучшего друга, если
представится подходящий случай, снять с меня несправедливой
подозрение в плагиате, без того, чтобы виноватым
оказался мой отец, и сделать так, чтобы истина в этом, что
касается спора между моим отцом и мной, не потерпела
никакого ущерба. Было бы ниже моего достоинства,
если бы я стал защищаться сам» *.
Это фрагмент из письма Даниила Бернулли к Эйлеру,
написанного 4 сентября 1743 г., вскоре после выхода в
свет четвертого тома «Собрания трудов» Иоганна
Бернулли с помещенной там «Гидравликой, впервые
открытой и доказанной из чисто механических основ» 2.
Опубликование «Гидравлики» буквально ошеломило Даниила.
Это было, кажется, одним из самых сильных потрясений
в его жизни. Мало того, что в книге отца были
рассмотрены задачи того же сорта, что и в «Гидродинамике»
Даниила (причем практически без упоминания его имени),
работа Иоганна Бернулли была к тому же помечена
1 Цит. по ст.: Смирнов В. И. Даниил Бернулли, с. 457—458.
2 Bernoulli J. Hydraulica, mine primum detecta ас demonstrata
ex fundamentis pure mechanics.— Opera omnia. Lausannae;
Genevae, 1742, t. 4.
186

1732 г. Это было для Даниила ударом сильным, но не
самым последним. На первых страницах своей
«Гидравлики» честолюбивый Иоганн Бернулли поместил выдержку
из одного письма Эйлера, полученного им в ходе
письменного обсуждения рукописей отдельных глав сочинения.
«В то время как никто, кроме твоего знаменитейшего
сына,—писал Эйлер в этом письме,—не касался этой
темы (а он определил давление лишь весьма косвенным
путем, так как все движение он свел к состоянию
неподвижности3), ты сразу же, открыв естественный способ,
точно определил давление при всяком состоянии воды» 4.
Даниилу Бернулли было трудно простить другу эту
«измену». После всего, что было между ними, после
множества хлопот и ходатайств Даниила перед
администрацией Петербургской академии наук о принятии в ее
члены молодого Леонарда, после долгих лет совместной
работы вдали от родины, после всех тех трудностей жизни в
северной столице, которые им довелось испытать вместе,
после всего этого Даниил не мог квалифицировать
поступок Эйлера иначе как оскорбление. Теперь, когда позади
остались почти полтора десятка лет напряженной работы
в области гидродинамики, когда были преодолены все
препятствия и «Гидродинамика», наконец, вышла из
печати, после всего этого вместо ожидаемого признания и
триумфа получить такое оскорбление, причем не от кого-
нибудь постороннего, а от отца и лучшего друга —это
было для Даниила последней каплей, переполнившей
чашу терпения и основательно выведшей его из
душевного равновесия.
«Я прошу вас высказать мне с дружеской
откровенностью и доверием,—писал Д. Бернулли все в том же
письме от 4 сентября 1743 г.,— ваше мнение о сочинениях
моего отца, особенно о последнем томе. Что касается
меня, то я могу с полным основанием быть недовольным
этой книгой: новые механические задачи по большей
части принадлежат мне; мой отец видел даже мои
решения, прежде чем он решил их на свой лад. При этом он
ни одним словом не упоминает обо мне. Это мне особенно
тяжело потому, что мое решение еще не опубликовано.
Мое первое решение задачи о спонтанном вращении
вокруг центра, выведенное из свойств минимальной инер-
3 Т. е. к установившемуся состоянию.
4 Цит. по ст.: Смирнов В, И. Даниил Бернулли, с. 458.
187

ции, он долго онровергал и поносил, но кончил тем, что
опубликовал его как свое собственное. Впрочем, так как
я благодаря счастливому стечению обстоятельств получил
лист из его рукописи, в котором находилось оспариваемое
решение, и так как я передал ему через брата мою
претензию, то он включил и меня в качестве второго автора.
Приблизительно так же обстоит дело и с остальными
„новыми математическими задачами11» 5.
Каково же было действительное положение вещей в
этом споре между отцом и сыном?
Метод определения давления в трубе, разработанный
Даниилом Бернулли, не является «прямым» методом в
том смысле, в каком употреблял этот термин Иоганн
Бернулли в своих работах 1727 и 1735 гг. (см. гл. 5).
Давление как искомый параметр определяется у Даниила не
посредством интегрирования дифференциального
уравнения движения, выражающего второй закон Ньютона,
а, наоборот, дифференциальное уравнение составляется
специально для того, чтобы по его виду можно было
определить величину давления. Даниил Бернулли намеренно
придумал такой воображаемый режим ускоренного
течения жидкости из внезапно оборванной трубы, чтобы
применение к этому гипотетическому течению уже
отлаженной методики принципа сохранения живых сил привело
к соотношению вида
vdv/dx—p. (1)
Тогда о правой части этого соотношения можно было бы
сказать, что она суть давление, которое в оборванной
трубе вызывает конвективное ускорение vdv/dx, т. е.
является эквивалентом движущей силы, выталкивающей воду из
образовавшегося отверстия с соответствующим ускорением,
а в необорванной трубе выражает собой собственно
внутреннее давление. Иными словами, Даниил Бернулли хотел
сказать, что искомое давление в горизонтальной трубе не
является движущей силой в исходной задаче (ибо в самой
трубе оно не вызывает ускорения в силу равномерности
ее поперечного сечения), но оно является эквивалентом
движущей силы в задаче воображаемой. Таким образом,
что является силой, движущей жидкость в реальных
условиях, например при течениях в трубах переменного
сечения, Бернулли не показал. )
5 Там же, с. 456—457.
188

Применение к решению задачи прямого метода,
основанного на непосредственной, т. е. без привлечения
энергетического принципа, записи уравнения Ньютона для
установившегося одномерного движения жидкости
vdv/dx=—dp/dx, (2)
было для Даниила Бернулли невозможно из-за того, как
считал его отец, что «у него не было никакой идеи о
вихрях в то время, когда он писал свою книгу» в.
Что же представляет собой эта «идея о вихрях»,
позволившая перейти от частных описаний к
аналитическому изучению движения жидкости в духе второго
закона Ньютона? Наиболее целостное представление о
развитии этой и других идей «Гидравлики» Иоганна
Бернулли можно составить из анализа предисловия к самому
сочинению.
Предисловие начинается с общей постановки задач
гидростатики и гидравлики, обращается внимание на их
отличия и особо отмечается, что гидравлика в отличие от
традиционной гидростатики рассматривает также течения
нетяжелых жидкостей7. Здесь имеются в виду такие
течения, в которых жидкость проталкивается в канале не
за счет собственного веса, а за счет сил внутреннего
давления, возникающих в самой жидкой среде каким-либо
образом. Именно для объяснения этого механизма
возникновения движущей силы жидкости, протекающей в
трубах, Иоганн Бернулли несколько позже введет одно из
узловых понятий «Гидравлики» — понятие вихря. К одной
из наиболее важных задач гидравлики, занимающей
центральное место в сочинении, автор относит задачу о
течении жидкости в трубах переменного сечения, где как раз
в полной мере реализуется его идея о вихрях.
Далее И. Бернулли в своем предисловии упоминает
о «Гидродинамике» своего сына, в которой он находит
«много догадок... однако она базируется на косвенном
основании, а именно принципе живых сил» 8. Иоганн в
положительных тонах характеризует этот принцип, восходя-
6 См. письмо Иоганна Бернулли к Эйлеру от 7 мая 1739 г. Цит.
по ст.: Truesdell С. Rational fluid mechanics, 1687—1765,
p. XXXIII.
7 С точки зрения газовой динамики, построенной на постулате
отсутствия массовых сил, это замечание И. Бернулли имеет
существенное значение.
8 Bernoulli /. Opera omnia, t. 4, p. 392.
189

щий к Гюйгенсу, очень кратко напоминает о своем вкладе
в его разработку, однако тут же указывает, что более
эффективным следует признать «прямой метод,
основанный на применении первого динамического принципа»
(принципа ускоряющих сил, или второго закона
Ньютона); этот метод непосредственно «сам по себе дает
возможность исследовать всевозможные естественные
движения вод в сосудах, трубах и каналах переменной ширины» 9.
Затем Иоганн Бернулли излагает суть своей идеи
о вихрях. Изложение это в целом сходно с содержанием
его более раннего письма (от 7 мая 1739 г.) к Эйлеру,
с которым он послал ему первую часть рукописи
«Гидравлики» для предварительного ознакомления. Отмечая в
письме неполноту, с которой эта проблема исследовалась
другими авторами (в том числе и самим Эйлером), Иоганн
пишет: «Вы убедитесь, что причина недостаточного
успеха авторов по гидравлике происходит от одной лишь вещи,
на которую никто не обращал внимания: конечная часть
сил сжатия уходит на образование вихря, когда вода
переходит из одной трубы в другую разной ширины, и вихрь
сам может быть рассмотрен как заключенный в
бесконечно малой частичке воды» 10.
Каким именно образом конечная часть сил
внутреннего давления уходит на вихреобразование, становится
ясно после формулировки в предисловии основных
определений и лемм «Гидравлики». Интересно, что под № 1
идет определение ускоряющей силы (vis acceleratrix),
а не традиционные определения пространства, времени,
движения и других кинематических понятий, как в более
старых исследованиях. Это современное динамическое
понятие наряду с понятием мертвой силы (vis motrix,
определение 2) Иоганн Бернулли считает исходными
понятиями своей теории. Далее в рассмотрение вводится
масса т, а затем с помощью ускорительной силы g (т. е.
ускорения силы тяжести) определяется специальный тип
мертвой силы P=mg (т. е. вес).
После этого И. Бернулли последовательно вводит в
рассмотрение новое важное, хотя и несколько нечеткое
понятие напряженности (intensitas). Оно принципиально
отличается от всех существовавших до Иоганна Бернулли
динамических понятий, и его введение в механику сплош-
9 Там же, с. 392.
10 Цит. по ст.: Truesdell С. Rational fluid mechanics, 1687—1765,
p. XXXII.
190

яых тел является с точки зрения автора совершенно
необходимым, так как наличие самих по себе мертвых сил еще
не может объяснить ни основных свойств движения
сплошных сред, ни их отличий от движения
изолированных друг от друга дискретных материальных точек или
тел. Так, например, Бернулли следующим образом
объясняет, почему тела с различными мертвыми силами (т. е.
весами) падают тем не менее всегда с одинаковым
ускорением. Можно думать, поясняет И. Бернулли, следуя
отчасти за Галилеем, что причина этого заключена в
тождественности отдельных мертвых сил частей,
составляющих тела, в их «одинаковости», вследствие чего можно
говорить о своеобразном погашении внутренних взаимно
уравновешенных сил одинаковой, не меняющейся во
времени напряженности. Данное значение напряженности
сообщает телу конкретное значение ускорения.
С другой строны, «тяжесть вертикально падающего
тела имеет большую напряженность по сравнению с тем
же телом, [движущимся] по наклонной плоскости, ибо
в первом случае ускорительной силы производится
больше, чем во втором; в обоих случаях тяжесть постоянна» и.
Отсюда, между прочим, следует, что напряженность для
случая тела, движущегося по горизонтальной поверхности,
равна нулю, и никакого ускорения в этом случае телу но
сообщается.
Так вводится у Иоганна Бернулли понятие
напряженности постоянной мертвой силы — понятие,
характеризующее твердые сплошные тела. Деформируемые же тела
представляют собой такой род сплошных тел, в которых
мертвые силы, или давления, не остаются постоянными.
Поэтому наряду с постоянной мертвой силой Иоаганн
Бернулли вводит в рассмотрение переменную мертвую силу,
т. е. такую, которая изменяет напряженность в сплошной
деформируемой среде и, следовательно, может вызвать
появление ускорительной силы в данной области среды.
В другом месте будет иное значение ускорительной силы.
Такова, в частности, сила упругого натяжения,
напряженность которой, по мнению И. Бернулли, меняется с
изменением состояния упругого тела, происходящим,
например, при его сжатии или растяжении.
Введением универсального понятия напряженности,
объединяющего под одной эгидой как твердые, так и де-
11 Bernoulli /. Opera omnia, t. 4, p. 394.
191

формируемые тела, Иоганн Бернулли стремится
подчеркнуть известную аналогию между пребыванием тяжелого
тела на наклонной плоскости и пребыванием
деформируемого тела в сжатом или растянутом состоянии. Степень
наклона плоскости в первом случае становится аналогом
степени сжатия или растяжения во втором. В обоих
случаях естественная динамика освобожденных тел,
предоставленных самим себе, механизм производства
ускорительной силы оказываются непосредственно связанными
с энергетическими характеристиками исследуемых
объектов; только в одном случае в качестве этой
характеристики выступает потенциальная энергия положения, а в
другом — потенциальная энергия состояния, определяемая,
например, в случае жидких сплошных сред величиной
внутреннего давления. Указание на единство природы
этих двух видов энергии есть в большой степени заслуга
Иоганна Бернулли.
Далее в предисловии «Гидравлики» формулируется
следующее «Правило»: если пройденный телом путь
обозначить через х, массу этого тела через т, «мертвую силу
в конце пройденного пути» через р, скорость через v и
время прохождения промежутка х через £, то, интегрируя
уравнение точечной динамики Ньютона, можно получить
выражение, имеющее в оригинальных обозначениях
И. Бернулли вид
\ р dx = y mw- (3)
Такая запись позволит Иоганну Бернулли в дальнейших
разделах книги трактовать механизм движения жидкости
в сужающемся (ступенчатом) канале не в чисто ньюто-
нианском, а в традиционном для европейских ученых
«энергетическом» духе, т. е. как процесс производства
«действия мертвой силы», под которым он понимает
приращение живой силы. Живая сила, таким образом,
выступает у Бернулли как реализация мертвой.
То, что здесь было фактически сделано Иоганном
Бернулли, в современной механике формулируется просто как
закон сохранения механической энергии, являющийся
интегралом основного уравнения динамики Ньютона:
элементарная работа pdx мертвой силы р на участке dx
численно равна приращению d(mv2)/2 живой силы на этом
участке.
192

Указанное «Правило», которому Иоганн Бернулли
придавал универсальный смысл (не случайно оно было
вынесено в предисловие), было непосредственно использовано
им при выводе основной формулы в решении задачи о
течении жидкости в канале — уравнения Бернулли,
являющегося практически точной копией интеграла Бернулли
(см. гл. 11). Сама задача у Иоганна формулируется
следующим образом: «Пусть имеется канал BE, наполненный
однородной жидкостью, не имеющей никакой собственной
тяжести, но испытывающей напор со стороны части
отверстия АЕ, равный значению мертвой силы р, каковая,
Рис. 8. К задаче об
определении давления в канале с
уступом
А
£ к м_ |Л
давя равномерно, распределяется по всей ширине
жидкости АЕ; определить закон ускорения, с которым жидкость
протекает через канал» (рис. 8) 12.
Следует отметить некоторые особенности постановки
задачи:
а) жидкость в общем случае невесома;
б) сжатие и перемещение жидкой массы в
горизонтально расположенном канале осуществляется не весом
жидкости в достаточно большом вертикальном сосуде (как
это неизменно имело место у Торричелли, Мариотта,
Ньютона, Д. Бернулли и др.), а произвольной силой р;
в) ширина канала переменна (в данном случае
рассматривается течение жидкости из канала ширины АЕ
в более узкий канал ширины ВС), так что течение
жидкости, обтекающей образовавшийся уступ, происходит с
положительным ускорением.
Обращает на себя внимание прежде всего тот факт,
что Иоганн Бернулли ставит здесь задачу гидравлики
в общем виде. Но сути дела, это уже не гидравлическая
задача, а задача гидродинамики, так как она
непосредственно связана с интегрированием уравнения Ньютона для
случая одномерного течения несжимаемой жидкости. Это
обстоятельство представляется существенным, потому что
12 Там же, с. 397.
7 Заказ № 838 493

здесь точно указывается момент, когда постановка
основной задачи гидродинамики в простейшей ее форме была
доведена до окончательной степени ясности. У Ньютона
и Даниила Бернулли подобные формулировки, как уже
отмечалось выше, не были достаточно четкими, они не
были поставлены во главу угла, как это имело место у
Иоганна Бернулли, и, фигурируя в контексте, часто
(особенно у второразрядных авторов) терялись среди
многочисленных деталей прикладного характера. У Иоганна
Бернулли постановка задачи предельно ясна, и первая же
часть «Гидравлики» начинается сразу с нее.
Решение поставленной таким образом задачи
составляет предмет следующих параграфов первой части
сочинения, основным из которых является § 9 с двумя
вытекающими из него следствиями. Содержание § 9
—центрального во всем сочинении — сводится к следующему.
Сначала автор вводит систему условных обозначений к
фиг. 1 своей «Гидравлики» (рис. 8). Геометрические
характеристики течения выражаются следующими
символами: HL=t, LM=y, Ll=dt, HI=h, GF^m. Скорость
в канале GC обозначается через v, тогда «скорость
жидкости LMml равна ти/у, каковую обозначим ш>. После
введения системы обозначений для геометрических и
кинематических характеристик автор вводит динамические
параметры: «Далее, следовательно, ускоряющая сила,
которая одушевляет (animatur) слой жидкости Lm, =4;
в силу этого естественное ускорение ^dt—udu, поэтому
4ydt=yudu, отсюда следует, что мертвая сила, которая
сдавливает слой жидкости LMml, =yudu. Отсюда следует,
что действительная мертвая сила, согласно § 2, образуется
из мертвой силы, существующей в трубе НЕ и
распространяющейся по всей ширине АЕ». Относясь к последней
как LM к HI или у к h, указанная действительная
мертвая сила является, таким образом, той «частью мертвой
силы в трубе НЕ, которая производит действие мертвой
силы yudu в вихревом слое LMml; и интегрируя по всему
вихрю, получаем
или
ЛЛ — mm
194

кайовое [выражение] обозначав* Meptfcyto силу в р
НЕ, необходимую... для изменения скорости из меньшей
в большую» 13.
Затем в следствии 1 Иоганн Бернулли замечает, что
«отсюда видно, что характер кривой IMF, как и ширина
вихря HG, не входят в выражение мертвой силы,
образующей движение вихрей. При данных экстремальных
размерах HI и GF, т. е. h и т, и скорости v в трубе НЕ всегда
имеется мертвая сила
hh — mm /С*\
Р= 2h VV> (6)
идущая на производство движения вихрей» 14.
Наконец, рассматривая во втором следствии §
^установившееся движение жидкости, автор замечает, что хотя
скорость v в трубе BF всегда постоянна (так же, как и
скорость в трубе НЕ), тем не менее для «связывания»
этих разных скоростей требуется определенный участок
трубы, занимаемый вихрем, на котором жидкость
движется с отличным от нуля конвективным ускорением и, таким
образом, непрерывно переходит от одной постоянной
скорости к другой. Для непрерывного во времени
поддержания этого ускорения на постоянном уровне и необходима
«адекватная мертвая сила, или давление р... Отсюда
с очевидностью вытекает, что вся эта сила р целиком
используется на формирование вихря», связывающего
различные участки потока с различными кинематическими
и динамическими характеристиками в целостную картину
и поддерживающего эту картину не меняющейся во
времени. «По этой причине,— заключает И. Бернулли,—
hh — mm /P7v
РVV>> W
Формула (7), развивающая идеи Даниила Бернулли,
является результатом достаточно тонких и нетривиальных
рассуждений Иоганна Бернулли. Выше мы видели, с
какими сложностями отыскивали отец и сын Бернулли
форму для выражения своих рассуждений и обоснования
идей, очень важных для понимания генезиса
теоретической гидродинамики XVIII в. И неизвестно, как
сложилась бы дальнейшая судьба механики жидкости в
рассматриваемый период, если бы не эти идеи и представления,
18 Там же, с. 400.
14 Там же.
195 7*

которые оба ученых" облекали в несколько, быть может,
туманную и непривычную для нас форму.
Сложность этих представлений была обусловлена
естественными причинами. Одна из пих (может быть, самая
главная) состояла в трудности сопоставления ускорения
с установившимся режимом течения как с чем-то
неизменным, статичным. На первый взгляд могло показаться, что
эти два понятия — ускорение и установившееся течение —
взаимно исключают друг друга, как исключают друг друга
понятия ускоренного и ииерциалышго движения.
Впервые этот вопрос был поднят Даниилом Бернулли в связи
с анализом установившихся течений жидкости в трубах
переменного сечения. Сравнивая такие течения с
равномерным прямолинейным качением шара, он говорил, что
«если предположить, что не имеется совершенно никаких
препятствий для движения, ясно, что движению вод не
будет конца подобно тому, как шар, двигаясь совершенно
свободно по горизонтальной доске, продолжает без конца
свое движение. Однако между этими двумя движениями
существует важное различие, а именно: все части шара
постоянно движутся с равномерной скоростью, в воде же
они беспрерывно изменяют свое движение» 15, т. е.
движутся с конвективным ускорением, отличным от нуля:
vdv/dx¥=0. Вместе с этим от точки к точке меняется и
режим внутреннего напряженного состояния движущейся
среды, т. е. меняется внутреннее давление. Иоганн
Бернулли развил и углубил эти идеи, прибегнув к
своеобразной вихревой модели.
Надо сказать, что разработка этой вихревой модели
у И. Бернулли не была случайной. В известном смысле
она явилась результатом развития аналогичных идей
Ньютона, который в задаче истечения также пытался
фактически связать изменение динамической напряженности
в жидкой среде с наличием ускорения вытекающей из
сосуда жидкости. Действительно, у И. Бернулли вихрь —
местное циркуляционное течение — возникает в месте
стыковки каналов различной ширины, где образуется
угловой уступ с застойной зоной. Основная масса жидкости
обтекает этот уступ вдоль разделяющей линии тока.
В результате получается, что течение в целом подобно
истечению воды через ньютоновскую гипотетическую
ледяную воронку. Ход рассуждений Иоганна Бернулли так-
15 Бернулли Д. Гидродинамика, с. 161—162.
196

Же во многом сходен с ньютоновским. Основные признаки
этого сходства сводятся к следующим:
а) причину изменения давления на твердые
поверхности сосудов с движущимися в них жидкостями оба
ученых связывали с принципом неразрывности;
б) Ньютон, формулируя для задачи истечения основную
аксиому динамики, рассматривал силу, необходимую для
производства полного количества движения вытекающей
из ледяной воронки воды; И. Бернулли рассматривает
интеграл сил давления по всей толщине вихревой зоны;
в) интерпретация самого понятия внутреннего
давления, или сжатия, у Иоганна Бернулли также родственна
ньютоновской: когда он говорит, например, что «мертвая
сила сдавливает слой жидкости», то имеется в виду, что
сжатие производится во всех внутренних элементах этого
слоя, как и у Ньютона, когда тот писал о сжатии
внутренних частей сплошной жидкости;
г) результат, полученный обоими исследователями,
определяет величину давления, испытываемого твердыми
поверхностями, которая у Ньютона численно равна силе
тяжести покоящейся в застойной зоне воды, а у И.
Бернулли — силе, идущей на вихреобразование в этой
застойной зоне.
Сам Иоганн Бернулли отрицал наличие связи
вихревой модели с моделью ледяной воронки Ньютона, как если
бы хотел застраховаться от возможного обвинения в
заимствовании: «В основном пояснении я воздерживаюсь от
идеи вихря, чтобы англичане не могли воспользоваться
случаем и не спутали мой вихрь с воронкой Ньютона, как
если бы я заимствовал ее у него, хотя они и отстоят друг
от друга, как небо от земли» 16.
Используя для удобства современную символику, все
сказанное можно подытожить следующим образом (v —
текущая скорость жидкости в точке канала,
расположенного вдоль координатной оси х\ w — ускорение; т — масса
элементарного выделенного жидкого объема единичной
плотности; о — текущая площадь сечения канала). Иоганн
Бернулли в § 9 «Гидравлики», подобно Даниилу,
сконструировал уравнение второго закона Ньютона, использовав
при этом в качестве основных постулатов не принцип
неразрывности и принцип живых сил (как Даниил), а прин-
16 Цит. по ст.: Truesdell С. Rational fluid mechanics, 1687—1765,
p. XXXIII—XXXIV.
197

йер&зрЫЬноСти й, строго говоря, определение
конвективного ускорения, с которым бесконечно малый жидкий
объем перемещается в канале:
w=v du/dx. (8)
Умножая обе части этого равенства на массу, он получил
затем выражение типа второго закона динамики, а именно
mw=mv du/dx.
Если принять во внимание, что m=odx, то последнее
соотношение можно переписать в виде
mw=Gv dv. (9)
Поскольку в этом выражении слева стоит произведение
mw, то, следовательно, все, что оказалось в результате
преобразований в правой части соотношения (9),
является, по определению, движущей силой. Таков лейтмотив
рассуждений Иоганна Бернулли.
Таким образом, И. Бернулли впервые нашел
формальное выражение для элементарной движущей силы,
необходимой для того, чтобы сообщить конвективное ускорение
бесконечно малому жидкому объему, перемещающемуся
в канале произвольного сечения:
FnE=ovdv. (10)
В случае конечного жидкого элемента, ограниченного
сечениями 1 и 2, движущая сила принимает у Иоганна
Бернулли значение
= ai(4—г)
Формула (11), или (7), сходна с выражением силы,
вызывающей ускорение в гипотетическом течении,
полученным Даниилом Бернулли17, которое в принятых
обозначениях можно переписать в виде
(12)
где Vi и v2 — скорости потока в исследуемом сечении бер-
нуллиевой трубы и отверстии истечения, aft — константа.
Проведенный выше анализ центральной задачи
«Гидравлики» Иоганна Бернулли позволяет в полной мере
17 См. формулу (1) предыдущей главы.
198

оценить суть спора о приоритете между отцом и сыном
Бернулли. В том, что приоритет принадлежит все-таки
Даниилу Бернулли, не может быть никаких сомнений.
Но несомненно также значение вклада Иоганна Бернулли,
и прежде всего потому, что именно с его помощью
интеграл Бернулли превратился в действительно рабочий
инструмент теоретической гидромеханики. В интерпретации
Даниила, в его довольно сложном и до некоторой степени
даже старомодном выводе («косвенный метод» — принцип
живых сил в то время уже начинал сходить с авансцены
теоретической механики как основное ее начало, и на его
место становился «прямой метод», основанный на
непосредственном использовании второго закона Ньютона) этот
интеграл еще не мог быть взят широко на вооружение
математиками, механиками и техниками. В нем было еще
много «физического». Иоганн Бернулли свел
многочисленные и достаточно пространные доводы
«Гидродинамики» Даниила к нескольким строчкам своей «Гидравлики»,
добавив расширение полученного результата на
нестационарный случай18, после чего этим результатом мог
пользоваться уже любой математик. Из многословных выводов
своего сына Иоганн выделил рациональное зерно и
устранил главное препятствие, затруднявшее понимание
интеграла и, возможно, вызывавшее некоторое недоверие к нему
со стороны механиков. Принцип ускоряющих сил (как
уже отмечалось) был непосредственно применен им к
реальному течению, а не к гипотетическому, как это было
у Даниила Бернулли. Основное соотношение Даниила,
полученное им в двенадцатой части «Гидродинамики»,
было в определенном смысле синтетическим: его левая
часть и dv/dx характеризовала конвективное ускорение
а—г?2
гипотетической задачи, а правая —^— представляла
собой кинематическое выражение величины искомого
давления в исходной задаче. Здесь возникала та же но сути
дела ситуация, что и при формулировке Даниилом
Бернулли его принципа сохранения живых сил для
механических систем, в котором левая и правая части равенства,
выражающего этот принцип, соответствовали разным
моментам времени, вследствие чего этот принцип не мог
рассматриваться как прямой аналог современного закона
сохранения механической энергии.
18 Bernoulli J. Hydraulica, pars 2.
199

Еще большую ясность и определенность в понимание
и использование в практических расчётах интеграла
Бернулли внес Леонард Эйлер, с энтузиазмом подхвативший
идеи обоих Бернулли. 15 сентября 1740 г. он писал
Даниилу: «Только что получил от отца Вашей милости
вторую часть его гидродинамической теории, которую я
нахожу безмерно хорошей. В частности, он весьма основательно
определяет давление на стенки сосудов из первых
принципов, что прекрасно согласуется с теорией Вашей
милости» 19. Эйлер весьма высоко ценил и вклад Даниила
Бернулли в развитие механики движущихся жидкостей.
В гидродинамических работах разных лет он неизменно
упоминал его имя и считал Даниила Бернулли ученым,
«пролившим первый свет на эту проблему, которую он
так удачно развил в своем великолепном сочинении по
гидродинамике». Сам Эйлер своим первоначальным
интересом к гидродинамике, который не покидал его в течение
всей жизни, был в значительной мере обязан Даниилу
Бернулли с его тонкой физической интуицией и умением
физически ставить принципиальные узловые вопросы.
Однако в формальном отношении Эйлер все же отдавал
предпочтение «прямому методу» своего учителя — Иоганна
Бернулли, который он начал развивать вслед за
Иоганном еще в ходе подготовки «Гидравлики» к печати.
Так, в письме от 5 мая 1739 г., уведомляющем Иоганна
Бернулли о получении первой части рукописи его
«Гидравлики», Эйлер развивает «прямой метод», вычисляя
скорость истечения воды из вертикального сосуда
произвольной формы как функцию высоты свободной
поверхности. Он указывает, что обошелся при этом без
использования представлений И. Бернулли о гипотетических
вихрях.
В «Новых началах артиллерии», опубликованных в
1745 г., Эйлер снова использовал метод Иоганна Бернулли
для определения «силы, действующей в направлении mS,
касательной к каналу в т» и требующейся «для изменения
движения текучей среды в канале АаМт в каждой точке
М»20. Каналом в данном случае Эйлер называл трубку
тока, «первоначальную ширину которой следует рассмат-
19 Цит. по ст.: Truesdell С. Rational fluid mechanics, 1687—1765,
p. XXXIV.
20 Эйлер Л. Исследования по баллистике. М.: Физматгиз, 1961,
С 292.
200

ривать как бесконечно малую, так как для Каждого ряда
нужно представить себе особый канал». В обозначениях
формулы (10) найденная Эйлером элементарная
движущая сила может быть представлена в виде
(13)
Здесь впервые появляется знак минус, указывающий на
разнонаправленный характер изменения скорости и
давления в трубке тока.
Спустя четыре года Д'Аламбер в «Опыте новой теории
сопротивления жидкостей» также воспользовался методом
Иоганна Бернулли и, интегрируя правую часть
соотношения вида
FJJx = — vdv1 (14)
получил для трубки тока «весьма малой» толщины
выражение типа
сходное с формулами Иоганна и Даниила Бернулли (11)
и (12). При этом полученный результат (15),
связывающий скорость v2 в некотором произвольном сечении 2
указанной трубки тока с постоянной скоростью i>i=const
набегающего потока (сечение 1), Д'Аламбер называет
«давлением в точке», лежащей в сечении 2.
Общим в соотношениях (10) —(15) является,
очевидно, то, что все они выражают динамическое понятие
движущей силы F или F' через кинематические величины,
т. е. в конечном счете сводят этот динамический параметр
к другим — нединамическим. По существу такая замена
сил их выражениями в кинематических терминах
означала фактическое исключение сил из анализа. Примером
такого исключения является уравнение Д. Бернулли,
описывающее гипотетическое движение жидкости, в
котором фигурируют только кинематические величины. Другим
примером может служить сходное с уравнением
Бернулли (в оригинальной формулировке самого Даниила)
дифференциальное уравнение движения жидкости Д'Алам-
бера.
Здесь уместно вспомнить, как Д'Аламбер использовал
интеграл Бернулли для вывода первого в истории
механики жидкостей дифференциального уравнения плоского
201

и осесймметричного движения жидкости, й признать, чфо
по оригинальности и изобретательности своих
рассуждений Д'Аламбер был вполне достойным соперником
Даниила Бернулли. Напомним вкратце вывод указанного
уравнения Д'Аламбера.
Своему предназначенному для участия в конкурсе
Берлинской академии наук мемуару Д'Аламбер дал
узкоспециальное название «Опыт новой теории сопротивления
жидкостей». Однако его можно с полным правом назвать
монографией, включившей в себя все основное, что было
сделано предшественниками Д'Аламбера и им самим в
теоретической гидромеханике к середине XVIII в. Помимо
общих методических рассуждений и критического обзора,
здесь формулируется ряд основных положений
гидростатики, с рассмотрения которых начинается сочинение и на
которых базируется все последующее изложение. Это
прежде всего фундаментальная гипотеза о «равенстве
давлений по всем направлениям», на основе которой автор
строит всю свою гидростатику и формулирует условие
равновесия сжимаемой жидкости
где p^const — плотность, а X и У —проекции массовой
силы на оси декартовой системы координат х, у,
действующей на бесконечно малый элемент жидкости. Формула (16)
является здесь обобщением аналогичного условия Клеро
6Y дХ
полученного ранее в его «Теории фигуры Земли» для
случая p=const.
Затем Д'Аламбер переходит к анализу движущейся
жидкой среды и выводит дифференциальные уравнения
неразрывности и движения. Для вывода последнего
Д'Аламбер в явном виде использует принцип,
сформулированный им еще в 1743 г. в «Трактате о динамике»
(называемый теперь принципом Д'Аламбера), беря в
качестве заданной силы величину, определяемую
кинематическим выражением (15), т. е. движущую силу Fn,
вычисленную с помощью интеграла Бернулли. В качестве
силы инерции он принимает величину, выражающую
конвективное ускорение жидкой частицы для двумерного
202

случая. Первую из этих сил Д'Аламбер называет «1а
pression du Canal», вторую — «la force du Canal».
Приравнивание этих сил
сила канала = давление канала (18)
приводит к основному уравнению движения жидкости,
которое в соответствии с генеральной идеей Д'Аламбера
следует понимать теперь как уравнение статики, т. е. как
уравнение, связывающее одни лишь силы (точнее, их
кинематические эквиваленты). Затем после преобразований
Д'Аламбер приводит соотношение (18) к форме, которая
в современных общепринятых символах имеет вид
где и и и — компоненты вектора скорости вдоль
координатных осей х, у.
Уравнение (19) называется теперь условием
потенциальности (или беэвихренности) установившегося
двумерного течения идеальной жидкости. В гидродинамике
Д'Аламбера оно является именно уравнением движения,
поскольку выведено из принципа Д'Аламбера. Характер
сопоставления в формуле (18) конвективного ускорения,
с одной стороны, и кинематического выражения
движущей силы — с другой, подобен характеру сопоставления
этих величин в оригинальной формуле самого Даниила
Бернулли. Разница тут лишь в том, что, во-первых,
Д'Аламбер рассматривает двумерный случай, а во-вторых,
у Бернулли фигурирующие характеристики относятся к
гипотетической задаче (см. гл. 11) 21.
Дальнейшая «биография» интеграла Бернулли
связывается снова с именем Эйлера. В «Исследованиях
движения рек», написанных в 1750 г., автор проводит четкое
интегрирование дифференциальных уравнений плоского
движения жидкости в лагранжевых координатах и
получает в итоге формулу Бернулли, минуя сложности метода
Д'Аламбера. Эту процедуру он проводит здесь точно так
21 Этот факт наглядно демонстрирует, какое сильное влияние
оказывал результат Даниила Бернулли на формирование
аналитического (дифференциального) аппарата динамики
жидкостей в пятидесятые годы XVIII в. (и в том числе у его
главного оппонента Д'Аламбера), хотя сам Бернулли к этому
периоду уже отошел от разработки гидродинамических проблем.
203

же, как для одномерной задачи, решенной им ранее в
работе «О движении воды в трубах».
С тех пор вид интеграла Бернулли, по сути дела, не
подвергся сколько-нибудь серьезной модернизации и в
том виде, в каком его записал Эйлер в пятидесятых годах
XVIII в., используется и поныне. Здесь можно было бы
только упомянуть еще о различных его модификациях
типа интеграла Коши для неустановившихся течений,
являющегося развитием идей Иоганна Бернулли,
изложенных во ©торой части его «Гидравлики»; можно было бы
также вспомнить и о распространении интеграла Бернулли
на случай течений сжимаемого теплопроводного газа —
теорему Крокко, еще более обобщающую традиционный вид
интеграла Бернулли и устанавливающую связь
завихренности потока с его термодинамическими свойствами —
энтропией, энтальпией, балансом энергии. Из всех
модификаций интеграла Бернулли упомянем здесь только о той,
которая была получена самим Даниилом: формула,
полученная им для течения в горизонтальной трубе
постоянного поперечного сечения, была затем обобщена в той же
двенадцатой части «Гидродинамики» на случай движения
в трубах произвольного наклона и геометрии. В этом
случае, «если мы по желанию представим себе любую форму
сосуда и любую скорость вод, текущих по трубам...,
давление вод будет постоянно равно а—6, где под а
подразумевается высота, соответствующая скорости, с которой вода
должна была бы вытекать спустя бесконечно большое
время, если бы труба была разрезана и если бы сосуд
поддерживался все время полным, а под Ъ — высота,
соответствующая скорости, с которой вода в действительности
протекает. Весьма удивительно, что это простейшее
правило, которого придерживается природа, могло до сих пор
оставаться неизвестным» 22.
Такова сложная, интересная и неоднозначная история
интеграла Бернулли — выдающейся догадки знаменитого
ученого. Сколько долгих и мучительных размышлений,
сколько конфликтных ситуаций стоит за тем, что теперь
известно любому школьнику, но что еще во второй
половине XVIII в. квалифицировалось как «великий
парадокс», заключающийся в том, что «от большей скорости
получается меньшее сопротивление, а от меньшей
скорости большее сопротивление» 23.
22 Вериулли Д. Гидродинамика, с. 367—368.
23 Euler L. Opera omnia, s. 2, v. 12, p. 220.
204

Глава 13
Парадоксы континуума
Слова о «великом парадоксе» были сказаны не каким-
нибудь дилетантом в вопросах математики и механики, а,
напротив, таким признанным авторитетом, как Леонард
Эйлер, которого, очевидно, трудно упрекнуть в отсутствии
математического воображения и недостаточности
проникновения в физическую суть исследуемого предмета. К тому
же, так думал не один Эйлер, так что дело тут вовсе не в
субъективности восприятия, не в чрезмерной
впечатлительности отдельного исследователя, но в действительно
кажущейся парадоксальности факта обратной зависимости
динамической напряженности среды от величины скорости.
В это действительно трудно поверить без предварительной
подготовки.
К. Маркс справедливо отмечал, что «научные истины
всегда парадоксальны, если судить на основании
повседневного опыта, который улавливает лишь обманчивую
видимость вещей» \ Если, имея перед собой две одинаковые
прозрачные трубки с водой, выходящие из одного сосуда,
мы попытаемся визуально определить, в какой из них
вода движется, а в какой — нет, то мы, вероятно, не сможем
этого сделать сразу. Даже поместив каким-нибудь образом
внутрь этих трубок какой-либо предмет, мы все равно не
сможем продвинуться в решении вопроса, так как в силу
парадокса Д'Аламбера равномерно движущаяся жидкость
будет обтекать препятствие, не оказывая на него никакого
действия. Даниил Бернулли первым указал на одно из
возможных решений этой задачи: достаточно прикрепить
к имеющимся трубкам тонкие прозрачные вертикальные
трубочки, и тогда по высоте подъема жидкости в них
можно будет легко определить относительную скорость
течения (меньший подъем в вертикальной трубке, т. е.
меньшая величина статического давления, будет
соответствовать большему значению скорости протекающей воды).
Переход от непосредственных ощущений к
опосредованному суждению о поведении материальных объектов
1 Маркс К., Энгельс Ф. Сочинения. М.: Тосполитиздат, 1960, т. 16,
с. 131.

составляет основу научного анализа; недостаток
информации, непосредственно снимаемой нашими ощущениями,
компенсируется здесь включением логики. Для человека,
не знакомого с этим языком логики, генеральная мысль
Даниила Бернулли будет непонятна. Более того, здравый
смысл сочтет ее просто неверной. Иоганн Бернулли,
например, в 1727 г. просто не мог допустить мысли о том, что
меньшая скорость может вызвать большее давление, и
утверждал прямо противоположное, причем не где-нибудь в
кулуарах, а публично, в широкой печати. Возможно,
последующее исправление ошибки отца Даниилом Бернулли,
ставшее центральным итогом его гидродинамических
исследований, задело самолюбие честолюбивого Иоганна и
привело его к тяжбе с сыном по поводу наиболее удобной
интерпретации полученного результата, а также по поводу
вопроса о приоритете.
Популярность теоремы Бернулли в механике можно,
пожалуй, сравнить с популярностью такой теоремы, как,
например, теорема Ферма в математике (с той только,
впрочем, разницей, что первая является полностью
доказанной). Открытием своего интеграла Д. Бернулли положил
начало дискуссии, продолжающейся более двухсот лет.
Многие исследователи — ученые, инженеры, просто
любители — предлагали в разное время множество объяснений,
доказательств, обоснований, представляющих «великий
парадокс» в более очевидной на их взгляд и более доступной
форме. Сам автор термина «великий парадокс», Леонард
Эйлер подчеркивал в 1767 г., объясняя теорему
Бернулли, что во избежание парадокса следует иметь в виду тот
факт, что скорости и давления сравниваются в уравнении
Бернулли в точках, расположенных в общем случае на
одной и той же линии тока, а не на различных.
Даже в более поздние времена интеграл Бериулли не
всегда и не всеми воспринимался как вполне очевидный.
Р. Мизес, например, в связи с этим ставил вопрос о такой
подаче студентам материала, относящегося к анализу
теоремы Бернулли, при которой она не казалась бы столь
неожиданной. Он считал, в частности, что эта теорема
применительно к движущимся в среде телам усваивается легче,
если говорить не о движении тела в жидкости, а о натека-
нии жидкости на неподвижное тело. С точки зрения
принципов динамики это не меняет дела, однако второй вариант
действительно воспринимается обычно как более
наглядный и очевидный.
206

Удивительный феномен природы, лаконично
выраженный в теореме Бернулли, привлек к себе внимание
многих физиков, как современников, так и живших в
последующие столетия. Доказательство Альберта Эйнштейна,
выполненное в элементарных качественных терминах, на
редкость простое и изящное. В статье «Элементарная
теория полета и волн на воде», опубликованной в 1916 г. в
немецком журнале «Природа», он так же, как в свое
время Д. Бернулли, берет за основу принцип неразрывности.
Поскольку через каждое поперечное сечение трубы в
единицу времени должно протекать одно и то же количество
жидкости, говорит Эйнштейн, скорость течения будет
наибольшей там, где площадь поперечного сечения
минимальна, и наоборот. Кинематически очевидное непрерывное
возрастание скорости частиц в направлении сужения
трубы требует далее обоснования в динамических
терминах. Очевидно, продолжает автор статьи, при отсутствии
влияния внешних факторов (например, веса,
электромагнитных сил и т. п.) единственной причиной, способной
вызвать такое ускорение частиц жидкости, могут быть
только действующие на них внутренние силы — силы
давления. Если рассмотреть движение одной из таких частиц,
то легко видеть, что для того, чтобы она имела в данный
момент времени ускорение, направленное в сторону
сужения трубы, давление на ее заднюю поверхность должно
быть больше давления на переднюю часть. В силу процз-^
вольности выбора частицы отсюда следует общий вывод
о непрерывном падении давления в направлении
сужающейся части трубы. Такое же распределение давления,
т. е. убывание давления в направлении сужения, будет
иметь место и в случае обращения движения на
противоположное.
В наше время предлагаются и другие обоснования ий-
теграла Бернулли, выполненные, например, в рамках мо-
лекулярно-кинетической теории. В соответствии с этой
теорией все частицы жидкости находятся, как известно,
в беспорядочном хаотическом тепловом движении.
Совокупность микроударов частиц о поверхность, помещенную
в эту среду, и создает известное макроощущение
давления. Представим теперь жидкость, движущуюся в
сужающемся канале. Очевидно, что с уменьшением величины
поперечного сечения скорость потока начнет расти
(имеется в виду направленная скорость потока в целом). Все
части, устремляясь в более узкое пространство, будут дви-
207

гаться при этом все более направленно и, следовательно,
менее хаотично. Вместе с уменьшением степени
хаотичности в движении отдельных корпускул уменьшится и
интенсивность ударов частичек о стенки сужающегося
канала, т. е. в конечном счете уменьшится величина
давления, испытываемого этими стенками.
Свойство движущихся сплошных жидких сред,
описываемое интегралом Бернулли, без сомнения, является
одним из основных свойств. Даже если ничего не знать из
гидромеханики, кроме этого интеграла, то все равно
можно было бы дать достаточно разумное объяснение
множеству загадочных, парадоксальных на первый взгляд
явлений. Теорема Бернулли объясняет, например, почему
ураганный ветер срывает крыши домов (т. е. не сдвигает, а
именно срывает: сначала приподнимает, а потом сносит
в горизонтальном направлении), почему вода
перемещает огромные камни по дну реки и т. п. Простой расчет
может показать что лобовой силы потока в этих случаях
будет далеко не достаточно для того, чтобы произвести
подобные эффекты. Оказывается, все дело заключается в
том, что поток, обтекая находящиеся па горизонтальной
поверхности тела и предметы, приобретает
непосредственно над этими телами (в силу принципа неразрывности)
дополнительную скорость, вследствие чего давление в этих
областях падает и тела «всплывают» над горизонтальной
поверхностью в перпендикулярном к потоку направлении.
Эти же эффекты управляют механизмом совершенно
непостижимого для непосвященных спонтанного
притяжения двух тел, обтекаемых потоком в направлении,
перпендикулярном соединяющей их линии. Непонимание
сути этого явления, т. е. фактически недостаточное
знакомство с теоремой Бернулли, часто служило причиной
всякого рода недоразумений, а иногда и настоящих трагедий.
К их числу относится морская катастрофа 1912 г.,
происшедшая с одним из крупнейших по тем временам
океанских судов — лайнером «Олимпик». Судно двигалось по
заданному курсу, когда его стал догонять эскадренный
броненосец «Гаук». Вскоре корабли поравнялись и
некоторое время двигались параллельно, отделенные друг от
друга стометровым промежутком. Вдруг более легкий
«Гаук» неожиданно развернулся на 90° и устремился со
все возрастающей скоростью прямо на «Олимпик».
Усилия капитанов оказались тщетными, «Гаук» столкнулся с
лайнером и проделал в его борту изрядную пробоину.
208

Причина таких явлений легко объясняется. Эжектирую^
щие усилия, развивающиеся в подобных случаях, могут
достигать больших значений и по характеру проявления
подобны засасывающим усилиям, действующим на
попавшие в водоворот предметы.
Таким образом, теорема Бернулли лежит в основе
большого числа различных по характеру и масштабам явлений
природы. В этом отношении она ничуть не менее
значительна, чем, например, закон всемирного тяготения
Ньютона. И это неудивительно, так как, живя в воздушном
океане, люди постоянно находятся во власти этого
закона точно так же, как, обитая в непрерывно действующем
гравитационном поле, они постоянно испытывают
воздействие этого поля, т. е. тяжесть.
Даниил Бернулли сам хорошо понимал
исключительную универсальность полученного им результата. Он
применял его к объяснению не только чисто
гидродинамических явлений — течений жидкости в трубах, каналах и
проч., но и различных явлений, происходящих в
атмосфере. «Далее,— писал Бернулли,—существуют и другие
явления природы, правильное объяснение которых зависит
от этой гидравлико-статической теории... Дым,
поднимаясь в печи, увлекает за собой с большим натиском и
воздух через отверстие, сделанное в печи. Ветер, переносясь
из более тесного места в более открытое, теряет кое-что
из своей упругости, о чем, например, можно заключить
на основании того, что окна, открытые воздухом,
вышедшим из помещения вследствие своей большой упругости,
после закрываются. Можно было бы привести и другие
явления, которые не представляется возможным все
исследовать» 2.
Несмотря на кажущуюся простоту, интеграл
Бернулли таит в себе целый ряд неожиданных следствий
(настолько неожиданных, что они сами по себе могут
квалифицироваться как парадоксы). Примером может служить
парадокс предельной скорости. Суть его состоит в том, что
скорость любого тела, движущегося в сплошной жидкой
среде, не может превысить некоторую конечную величину
vnv. Существование этой предельной скорости связано с
тем, что согласно уравнению Бернулли изменения
давления и скорости в движущейся жидкой среде происходят
согласованно: непрерывное увеличение скорости сопро-
2 Бернулли Д. Гидродинамика, с. 376.
209

вождается непрерывным уменьшением давления, которое
в конечном счете может достичь нулевого значения р=0.
Это нулевое значение и определяет существование
предельной скорости. Принципиально важным является здесь
указание о том, что жидкость предполагается сплошной.
Дело в том, что, строго говоря, скорость i;np может быть
превышена движущимся телом, но тогда образуются ка-
витационные зоны, так что сплошность среды нарушается.
В сплошной же среде i?np всегда существует и
определяется ее термодинамическими свойствами: плотностью р и
давлением р (точнее, их комбинацией Y2plp).
Этот парадокс был открыт Даниилом Бернулли, хотя
и не для случая движущегося тела в жидкости и не в
такой четкой формулировке. Точнее будет сказать, что
Даниил фактически открыл парадокс, но не выделил его
специально, не сделал необходимого акцента. В его задаче
истечения речь идет о той предельной скорости, которую
может достичь вытекающая из сосуда суживающаяся
струя без нарушения сплошности, т. е. без разделения на
отдельные изолированные друг от друга капли. В этот
момент «все давление исчезнет, так что обычно авторы
смешивают все с частью или даже с нулем. Но я докажу,
что давление может стать даже отрицательным и, таким
образом, может смениться всасыванием» 3.
Здесь сформулирована еще одна гипотеза Д.
Бернулли — гипотеза существования отрицательного давления,
к которой он пришел в процессе анализа все той же
основной своей задачи — задачи истечения. Следует вообще
подчеркнуть, что, пожалуй, никто из механиков, когда-
либо исследовавших эту проблему, не отдал ей столько
сил и энергии, не проанализировал ее с такой полнотой и
строгостью, как Даниил Бернулли. Он сам неоднократно
подчеркивал даже, что исчерпал этот вопрос полностью.
И действительно, в своих исследованиях он, кажется, не
упустил из виду ни одной, даже самой малой и
незначительной на первый взгляд детали. И это не удивительно,
так как истечение струи из донного отверстия
действительно является одним из любопытнейших механических
явлений, которые приводят к комплексной задаче и требуют
системного подхода к ее изучению. По мере движения
струи вдоль вертикальной оси многократно меняется
характер законов, управляющих ее движением. Сначала
3 Там же, с. 48.
210

(пока жидкость еще находится в сосуде) определяющими
являются законы классической гидростатики. Затем в
действие включаются законы динамики: принцип падения
Галилея—Торричелли, законы сохранения массы,
количества движения, энергии. На определенном участке струи
принципы континуальной механики уступают первенство
законам поверхностного натяжения, которые начинают
превалировать в тем большей степени, чем меньше
становится характерный размер отдельных капель, на которые
распадается сплошная струя, и т. д.
Вывод о существовании отрицательного давления,
формально вытекающий из теоремы Бернулли, в современной
механике исключается посредством введения
феноменологической гипотезы, постулирующей неспособность жид*
костей выдерживать растягивающие усилия. Поэтому при
достижении unv вытекающая из сосуда жидкость
разбивается на отдельные капли. Образование капель — процесс
сложный и интересный и обязан своим происхождением
особому свойству жидкостей — свойству образования
свободных поверхностей. Молекулярное строение жидкостей
таково, что силы поверхностного натяжения оказываются
достаточно большими, чтобы при определенном снижении
величины внутреннего давления превзойти его.
Упомянутые свойства являются определяющими в процессах кап-
леобразования и в так называемых капиллярных
явлениях, которыми живо интересовался Даниил Бернулли
(прежде всего потому, что открытые им «гидравлико-ста-
тические» законы здесь уже не работали). Эти явления
входят в пограничную область, отделяющую механику
континуума от механики дискретных систем.
Постулат о неспособности жидкостей выдерживать
растягивающие усилия — опытная гипотеза. Из элементарных
визуальных наблюдений (Ньютон, Д. Бернулли, Эйлер
и др.) был сделан вывод о том, что одни части жидкости
«давят» на другие и только поэтому могут двигаться.
Другая же альтернатива никем не допускалась и не
рассматривалась. Но Бернулли мыслил шире. Допустив, что
жидкость может двигаться не только в результате действия
давления (т. е. напора), но и под действием эжекции
(отсоса), он сумел объяснить многие любопытные
феномены. Эффект эжекции Даниил Бернулли называл
эффектом отрицательного давления. Однако с точки зрения
современной механики континуума этот термин нельзя
признать удачным.
211

В шестом опыте двенадцатой части «Гидродинамики»
Д. Бернулли предлагает специальную конструкцию
сосуда, с помощью которого можно поднимать на большую
высоту жидкость, находящуюся в другом сосуде. Это,
по-видимому, одна из первых моделей пульверизатора,
использующая принцип эжекции. В другом примере он
рассматривает трубу с вертикальным ответвлением, высота
подъема жидкости в котором и дает в соответствии с
генеральной идеей Бернулли представление о величине
давления в движущейся по основной трубе жидкости. Но в
данном случае Бернулли располагает вертикальную
трубочку не кверху от основной трубы, а книзу и говорит:
«Когда Ъ больше а, то величина а—Ь оказывается
отрицательной, и, таким образом, давление превращается во
всасывание, т. е. стенки трубы испытывают давление внутрь.
А тогда следует рассматривать это дело таким образом,
как если бы вместо столба воды СТ, который
располагается наверху и находится в равновесии с текущей водой,
существовал подвешенный водяной столб с£, стремлению
которого упасть противодействовало бы притяжение
текущей воды» 4.
С эжектирующими свойствами струй жидкости связана
целая серия эффектов, которые можно объединить под
эгидой парадокса неразрывности. В этой серии наиболее
привлекательным является эффект увеличения расхода
жидкости с помощью конического насадка,
присоединяемого к отверстию истечения. Данное явление было
открыто, по всей вероятности, в первой трети XVIII в.5, однако
Даниил Бернулли отмечает, что «это утверждал и Фрон-
тин, без сомнения установивший это на опыте, но другие
современные ученые это отрицают» 6. Развивая далее свою
мысль, в третьей части своего сочинения он снова
подчеркивает, что закономерность, согласно которой «через
стакан узаконенного размера, а также положения
расходуется воды больше должного, если к нему тут же присоеди-
4 Там же, с. 369—370.
5 Д. Бернулли, в частности, ссылается в «Гидродинамике» на
подробное описание этого явления, данное известным
голландским ученым, профессором Лейденского университета и
издателем трудов Гюйгенса — Вильгельмом Гравезандом в его
широко распространенных тогда «Математических элементах
физики».
6 Бернулли Д. Гидродинамика, с. 89.
212

Рис. 9.
К задаче об
эжекции
няются трубы большего размера»,
установил именно Фронтин7.
В собственной формулировке
Даниила Бернулли этот эффект
описывается следующим образом:
«Опытом установлено, что из двух
совершенно равных и одинаково
расположенных цилиндров, из
которых один снабжен взамен
отверстия более узкой трубой, быстрее
опорожняется тот цилиндр, у
которого снизу приделана труба,
причем тем быстрее, чем больше
сечение трубы увеличивается от
места ее прикрепления по
направлению к ее концу...» 8. Д. Бернулли
ставил себе в заслугу первую
теоретическую постановку и решение
этого вопроса. Впрочем, он
проводил и экспериментальные
исследования проблемы эжекции: ему
принадлежит, в частности,
обстоятельное исследование о движении
воздуха в русских печах, о чем он
сделал специальный доклад на заседании в Петербургской
академии наук. Аргументацию, изложенную в этом
сообщении, Даниил Бернулли широко использовал затем при
объяснении парадокса эжекции (рис. 9). Так, он пишет в
«Гидродинамике»: «Пусть будет устроено очень малое
отверстие в трубе (присоединенной к отверстию в дне сосуда.—
А. Г. и Б. К.) недалеко от входа... Если во время
протекания воды заткнуть это отверстие пальцем, то будут
протекать чистые воды; если же отнять палец, то через это
отверстие скоро начнет вторгаться воздух и будет
смешиваться с протекающей водой. Если это понять, то легко
будет изложить причину тех явлений, которые
наблюдаются в печах или дымоходах; а именно дым устремляется
вверх, так как он легче воздуха, что было установлено на
основании опытов, проведенных над дымом в вакууме, где
его наблюдали опускающимся вниз. Таким образом, с
поднимающимся дымом дело обстоит так же, как со
снижающейся водой; а последняя па фиг. 18 вытекает через от-
7 Там же, с. 75.
8 Там же, с. 72
213

верстие MN тем быстрее, чем оно шире и чем ниже оно
расположено; стало быть, и дым тем быстрее будет
проходить через печь, и тем больший огонь разгорится в
очаге, чем выше тянется дымоход и чем больше он будет
расширяться кверху, если только не будет слишком
сильным, каковые оба явления подтверждаются на опыте. Сверх
того, далее, я сам наблюдал, что если где-либо печь
продырявить, то дым нисколько не стремится выходить через
это отверстие, а скорее воздух врывается через него с
большим натиском и, смешиваясь с дымом, поднимается
вверх в печи. Не иначе врывается и воздух в трубу FGNM
(фиг. 18 и 19) через малое отверстие е, как мы указали» 9.
Любопытно, что подобная идея эжектирующего
действия расширяющегося насадка лежит в основе способа
получения сверхзвуковых скоростей газового потока в соплах
современных газодинамических установок и реактивных
двигателей. Этот способ был открыт шведским
промышленником и изобретателем Густавом Лавалем в ходе опытов
по усовершенствованию паровых турбин. Возникновение
скоростей движения газовых частиц с числами Маха
M=v/a (и — скорость движения газа, а — скорость
распространения звука в газе), превышающими единицу,
основано на тех же эжектирующих свойствах диффузора, что
и увеличение расхода вытекающей из сосуда несжимаемой
жидкости. Со времен Фронтина, Герона и Леонардо было
известно, что скорость потока жидкости или газа можно
увеличить до некоторого предела упр путем сужения
стенок канала, в котором движется среда. В несжимаемой
жидкости значение i?np жестко определяется свойствами
среды, т. е. отношением /?/р, и никаким путем поднять
скорость выше предельной нельзя, не нарушая
сплошности. В сжимаемой жидкости, как оказалось, этого можно
достичь, если за сечением канала, где М==1 (так
называемое «звуковое горло» сопла), вместо его дальнейшего
сужения перейти к расширению. При этом в указанной
расширенной части канала возникает сверхзвуковое течение
(Л/>1), скорость которого по мере дальнейшего
расширения потока может возрастать в принципе до бесконечности.
Правда, прежде чем это произойдет, в силу вступят
эффекты конденсации (так как газ, расширяясь, интенсивно
охлаждается), эффекты разреженности, исключающие
дальнейшую применимость методов механики сплошной
среды, и т. д.
9 Там же, с. 76—77.
214

Подобно тому как качественные наблюдения й оййса-
ния Леонардо да Винчи лежат в основе авиации, так и
физические догадки Ньютона, Даниила Бернулли и их
последователей составляют базис современного учения о
реактивном движении. Сам Д. Бернулли, занимаясь
проблемой разработки судна с реактивным двигателем,
предназначенного для перемещения по поверхности воды,
конечно, не мог предполагать, что его идеи будут воплощены
через два с лишним столетия в столь впечатляющих
масштабах. Причем Бернулли не только сформулировал
основные качественные идеи и принципы конструкции таких
машин, но и выполнил соответствующие расчеты, привел
необходимые выкладки10.
Одним из наиболее удивительных парадоксов
континуума является парадокс Д'Аламбера. Можно сказать, что
Даниил Бернулли сформулировал этот парадокс в своей
«Гидродинамике» достаточно четко, но не в том виде,
в каком принято его формулировать теперь. Поэтому имя
Бернулли и не фигурирует обычно при обсуждениях этого
парадокса. Рассуждения, относящиеся к указанной
проблеме, встречаются у Д. Бернулли при анализе задачи о
течении жидкости в бесконечно длинной трубе, а не в задаче
внешнего обтекания тел, как это принято в современных
курсах. Если, говорит Даниил Бернулли в шестой части
«Гидродинамики», взять трубу переменного сечения (на
рисунке, сопровождающем эти рассуждения, изображена
труба с уступом) и рассмотреть перемещение в ней
элементарного объема жидкости, не испытывающего воздействия
каких-либо сил, то о движении этого элемента можно
будет сказать, что оно будет продолжаться бесконечно долго,
подобно тому как шар, двигаясь свободно по
горизонтальной плоскости, продолжает без конца свое движение.
В этом примере, приведенном Даниилом Бернулли,
обращает на себя внимание его указание на то, что
движение жидкого элемента, происходящее с меняющейся в
соответствии с принципом неразрывности скоростью, тем
не менее не требует воздействия никаких внешних сил.
При протекании через узкую часть трубы жидкость
получит дополнительное приращение скорости; при переходе к
более широкой части, наоборот, начнет замедляться. Не-
10 Подробнее об этом см.: Михайлов Г. К. К истории динамики
систем переменного состава и теории реактивного движения
(до начала второй мировой войны). Препринт ин-та проблем
механики АН СССР № 49. М., 1974.
215

равномерное движение жидкого элемента происходит без
вызывающих ускорение сил — эта мысль,
«противоречащая» как будто бы духу второго закона Ньютона, звучит
у Даниила Бернулли вполне четко. Силы внутреннего
давления здесь не идут в расчет: их изменения в процессе
движения балансируются соответствующими изменениями
скорости согласно теореме Бернулли и не оказывают
влияния на движение элемента в целом.
Указание на аналогию установившегося движения
жидкости с инерциальным движением твердого тела при
отсутствии внешних воздействий действительно является
одной из форм выражения парадокса Д'Аламбера, в чем
легко убедиться, если обратить движение и представить*
что криволинейная стенка канала суть поверхность
обтекаемого жидкостью тела.
Кроме перечисленных гидродинамических эффектов
(«великий парадокс», парадокс предельной скорости,
гипотеза отрицательного давления, парадокс неразрывности
или увеличения расхода, эффекты эжекции, парадокс
Д'Аламбера и др.)» в книге Даниила Бернулли много и
других интересных и тонких наблюдений, которые автор
представляет читателю как парадоксы. Эта манера
изложения является вообще характерной для естествоиспытателей
всех периодов истории механики, в той или иной мере
касавшихся вопросов механики жидкости. С античных
времен взгляд на жидкость как на объект не совсем обычный
с точки зрения механики, обладающий удивительными
физико-механическими свойствами, переходил от одного
поколения ученых к другому. Древним грекам казался
парадоксальным принцип сообщающихся сосудов, когда
жидкость, содержащаяся в двух коленах U-образного
сосуда с разными ширинами колен, находилась тем не менее
на одинаковом уровне. Разные тяжести воды, казалось,
каким-то непостижимым образом «уравновешивали» друг
друга. Леонардо да Винчи приходил в восторг от таких
парадоксов и посвятил им много своих заметок с весьма
затейливыми иллюстрациями. Стевин, написавший по
этому поводу специальный трактат в 1586 г., говорил, что все
многообразие явлений, связанных с принципом
сообщающихся сосудов, «можно было бы счесть за чудо, если бы
причина этого явления не была известна» и.
11 Начала гидростатики. Архимед, Стевин, Галилей, Паскаль,
с. 124.
216

Паскаль, вероятно, был одним из первых, кто связал
существование удивительных гидродинамических
парадоксов со сплошностью жидкой среды и сформулировал идею
существования этой связи вполне четко. Причину
парадоксов классической гидростатики он видел в том, что
«вещество, которое содержится в сосудах и заполняет их...
жидкое, ибо это именно обстоятельство является общим
для всех примеров» 12. Подчеркивая важность этой мысли,
Паскаль неоднократно повторял ее в своих сочинениях.
Объясняя принцип, лежащий в основе работы
гидравлического пресса, он писал: «Отсюда, кажется, становится
вполне ясным, что жидкое состояние тела,
простирающегося от одного отверстия до другого, является причиной
увеличения сил» 13. О подобном же увеличении сил говорил
в свое время и Стевин, приводя, в частности, пример с
перевернутым Т-образным сосудом, который иллюстрировал
его обобщенное определение архимедова понятия
гидростатического давления. Суть этого феномена, пояснял
впоследствии Паскаль; заключается в том, что вес воды в
таком сосуде «вследствие непрерывности и жидкого
состояния воды оказывает давление вообще на все части сосуда».
Время подтвердило справедливость выводов Паскаля.
Источник гидродинамических парадоксов заключался в
безусловном интуитивном применении феноменологической
гипотезы сплошности. В огромном числе практически
важных случаев эта гипотеза действительно отлично
работала; все гидродинамические теоремы Даниила Бернулли,
Д'Аламбера, Эйлера и других целиком базировались на
этой гипотезе, и именно она позволила ввести в механику
жидкости эффективный аппарат дифференциального
исчисления. Если воспользоваться классификацией Г. Бирк-
гоффа, установившего группу основных правдоподобных
допущений (plausible arguments), которыми, как правило,
сами того не подозревая, пользуются все практикующие
математики и механики и которые в основном и являются
источниками всевозможных парадоксов и недоразумений,
то причину парадоксов в гидромеханике можно свести к
ряду следующих plausible arguments. Первым из них
является «разрешение» на неограниченное использование
теорем анализа. В основе этого правдоподобного допущения
лежит, очевидно, постулат сплошности: именно сплонь
12 Там же, с. 240—241'.
13 Там же, с. 241.
317

ность среды обеспечивает возможность применения
развитого аппарата непрерывно-дифференцируемых функции с
требуемой степенью гладкости, областью определения
которых и является как раз рассматриваемая среда. Второе
правдоподобное допущение Биркгоффа состоит в том, что
гидродинамики в своих исследованиях всегда априорно
верили в корректность поставленной задачи, в
существование ее решения. Именно эта вера заставляла
исследователей развивать теорию даже тогда, когда она становилась
заведомо неверной, когда ее выводы переставали
согласовываться с экспериментальными данными. Так было с
открытием уравнений гидродинамики Эйлера в пятидесятых
годах XVIII в., когда Эйлер в цикле своих работ развил
стройную теорию движения жидкости, хотя отлично знал,
что эта теория неминуемо приводит к парадоксу Д'Алам-
бера. Между прочим, последнее обстоятельство удержало
Д'Аламбера от дальнейших попыток усовершенствования
и развития заложенных им в 1744—1752 гг. основ
теоретической гидродинамики: в последние годы он занимался
преимущественно экспериментальными исследованиями.
Существование фундаментальных понятий механики
жидкости — понятий внутреннего давления в точке,
температуры, плотности и других — обусловлено гипотезой
сплошности. Эти физические величины, строго говоря,
имеют смысл только в континууме, так как их введение
в теорию основывается на операциональных идеях, т. е.
в основе этих понятий лежит процедура измерения с
помощью барометра, термометра и т. д. Впрочем, если
воспользоваться статистико-механическим подходом, то
можно будет говорить о температуре и давлении и в
несплошной (разреженной) среде, но эти представления будут
тогда носить уже иной, может быть, несколько условный
характер, далекий от тех реальных ощущений, с которыми
обычно связывается у нас представление о давлении,
температуре и прочем. Так, можно, например, в принципе
говорить о температуре порядка 1000° на высоте двухсот
километров, но при этом нельзя гарантировать, что
находящийся на такой высоте материал обязательно должен
расплавиться. Впрочем, температурные парадоксы
становятся ощутимыми и на значительно более низких высотах,
порядка десяти километров, когда неожиданно
обнаруживается, что в крутом кипятке невозможно сварить обычное
яйцо.
218

Ясно, 4to между поняФияМй сплошной среды и
Дисконтинуума пролегает некий условный рубеж, по одну
сторону которого и работали гидродинамики XVIII в. Что
является критерием, определяющим эту условную
границу? Современная динамика разреженного газа, отвечая на
этот вопрос, вводит специальное понятие — число Кнудсе-
на Kn=Z/L (Z — длина свободного пробега молекул среды,
L — характерный масштаб длины). Модель сплошной
среды в этих категориях отвечает асимптотике Кп-^0; однако
обычно считают, что методы континуальной механики
жидкостей и газов являются правомерными при Кп^0,01.
Во времена Даниила Бернулли в механике,
естественно, не было критериев, подобных числу Кнудсена, однако
ученые все же вполне отчетливо сознавали относительный
характер понятия материального континуума. Наряду с
чисто феноменологическим подходом Бернулли, по сути
дела, первым с достаточной четкостью и весьма широко
применял в механике жидкостей и газов структурный
подход. Он вполне отдавал себе отчет в условности и
феноменологической природе понятий континуума, давления,
температуры и т. п. и там, где это было возможно, стремился
дать им структурное определение, структурное
обоснование в духе Галилея и Декарта и «сказать кое-что о
природных свойствах жидкостей... но не потому,— писал Д.
Бернулли,— что я рассчитываю изучить их лучше, чем другие,
а потому, что я считаю недопустимым отступить от этого
обычая, освященного всеми авторами» 14.
Несмотря на то что обращение к внутренней структуре
материи стало в XVII—XVIII вв. своеобразной нормой
научного анализа, никто из современников Даниила
Бернулли не смог добиться в этом вопросе таких впечатляющих
результатов, какие были достигнуты им. Более чем за сто
лет до Клаузиуса, Максвелла и Больцмана Даниил
Бернулли заложил основы кинетической теории газов.
14 Бернулли Д. Гидродинамика, с. 31.
219

Глава 14
Кинетические представления
Вопрос о соотношении непрерывного и дискретного
начал в материальной природе, получивший освещение в
научной литературе последних лет *,— вопрос не новый.
На разных этапах истории развития человечества эти два
начала, восходящие к Демокриту (с его идеей атомарной
структуры материи) и Аристотелю (автору глобальной
гипотезы сплошности), находились в состоянии
непрерывного противоборства. В разные периоды истории механики
верх брала то одна концепция, то другая. Так, древние
идеи греческих атомистов вскоре сменились
континуальными представлениями Аристотеля, которые в силу своей
безупречной, как тогда казалось, логической аргументации
с позиций постулата horror vacui (боязнь пустоты)
сохраняли лидерство почти два тысячелетия. Представители
нового времени — Галилей, Торричелли и другие — прямыми
убедительными опытами опровергли эту физическую
доктрину и создали все необходимые предпосылки для
последующего построения базиса классической механики.
Прошло еще некоторое время, и гипотеза сплошности
снова вышла на первый план, но уже не как физическая,
а как феноменологическая. Те выгоды, которые сулило
применение методов анализа бесконечно малых в
континуальной механике (а такое применение было возможно,
очевидно, только при условии принятия гипотезы сплошности,
когда область определения функций, фигурирующих в
задачах гидромеханики, теории упругости и проч., предпола-
1 См., в частности, работы К. Трусделла и В. Нолла (Noll W. On
the continuity of the solid and fluid states.— J. Rational Mech.
Anal., 4, 1955, p. 3—81'; Truesdell C. Essays in the history of
mechanics. New York; Berlin; Heidelberg, 1968; Noll W. The
foundations of classical mechanics in the light of recent advances
in continuum mechanics.— The Axiomatic method, with
reference to geometry and physics. Amsterdam, 1959, p. 266—281),
в которых высказывается немало доводов в пользу
аксиоматического построения теоретической механики на основе
континуальных представлений (а не на основе модели ньютони-
анской материальной точки). Идеи, интенсивно развиваемые
представителями этой школы, по характеру и целям прямо
противоположны идеям Максвелла и Больцмана, ставившим в
механике XIX в. во главу угла дискретную модель.
220

галась всюду непрерывной), представлялись математикам
первой половины XVIII в. настолько обнадеживающими,
что развитие механики континуума, базирующейся не на
модели материальной точки, а на модели бесконечно
малого мысленно выделенного элемента среды, приобрело
почти лавинообразный характер. И в частности, рождение
именно в этот период теоретической гидродинамики Бер-
нулли — Д'Аламбера — Эйлера как самостоятельной
научной дисциплины со своим специфическим аналитическим
аппаратом, специфика которого определялась опять-таки
все той же гипотезой сплошности, было прямым следствием
этого подлинного бума инфинитезимальной математики, ее
формальных методов2.
Наглядный пример удивительной эффективности чисто
формального подхода на этом этапе развития механики
дает анализ рождения в середине XVIII в. континуальной
динамики сжимаемой жидкости, что потребовало
преодоления многовековой инерции мышления, поскольку в доэй-
леровский период понятие сплошности почти всегда
отождествлялось с понятием несжимаемости. Простая
формальная замена условия сохранения величины объема dx
движущегося бесконечно малого элемента, выделенного в
сплошной среде с постоянной плотностью р,
на условие сохранения массы т
dm=p dx=const
привела Эйлера в 1755 г. к обобщению всей динамики
идеальной несжимаемой жидкости на общий случай
сжимаемых сред.
Стихийное, не контролируемое опытом,
экспериментами проникновение методов дифференциального и
интегрального исчисления в гидромеханику не могло не
привести рано или поздно к недоразумениям типа парадокса
Д'Аламбераит. п. Одним из первых, кто прямо и наиболее,
быть может, четко указал на необходимость сопоставления
данных теории с экспериментом, был Леонард Эйлер
(факт поучительный для тех, кто считает Эйлера чистым
математиком). Вместе с тем сам Эйлер никогда не скрывал
2 Впрочем, здесь, как и всегда во взаимоотношениях механики
с математикой, существовала и обратная связь: задачи
механики обусловливали в свою очередь развитие инфинитези-
мальных методов.
221

f ого, что его теоретическая механика жидкостей есть
«изобретение чистого разума», довольно «ловко», как он
говорил, найденное с помощью «первых принципов механики»,
за что не раз подвергался критике. Даже после смерти
Эйлера в его адрес продолжали высказываться упреки по
поводу «несдержанности в вычислениях»,
предпринимавшихся якобы «только для упражнения своих способностей
и удовлетворения своей страсти к математике» 3.
Причина таких настроений заключалась в том, что,
несмотря на быстрый прогресс математического анализа
в первой половине XVIII в., он все еще оставался
недоступным для многих исследователей. В их понимании модель
мысленно выделенного бесконечно малого элемента
должна была представляться, очевидно, как некий эквивалент
действительных частиц (составляющих реальные тела),
которые занимают в пространстве некоторый объем и в то
же время являются точками, лишенными геометрических
размеров. Причем эти «точки» таковы, что их «объемы»
могут в процессе движения меняться. Объяснить же эти
экзотические свойства гипотетических частиц на ином,
нематематическом, неформальном языке математики были
еще не в состоянии. «Метафизика дифференциального
исчисления,— отмечал в связи с этим Д'Аламбер в статье
«Дифференциал» в выпущенной им совместно с Дидро
«Энциклопедии»,— о которой так много писали, еще
важнее и, быть может, с большим трудом поддается
разработке, чем сами правила этого исчисления» \
Наиболее удачно охарактеризовал сложившуюся
ситуацию в 1797 г. Лазарь Карно: «Нет ни одного открытия,
которое произвело бы в математике столь счастливый и
быстрый переворот, какой был сделан анализом
бесконечно малых; ни одно другое открытие не доставило более
простых и более действительных средств для
проникновения в познание законов природы. Расчленяя тела, так
сказать, на их составные элементы, оно как бы показало их
внутреннее строение и образование. Но так как все, что
является крайним, ускользает от чувств и воображения, то
оказалось весьма трудным составить себе истинное пред-
3 Из некролога Кондорсе «Eloge de M. Euler», напечатанного в
«Истории Парижской королевской академии наук» (Histoire
de rAcademie Royale des Sciences) за 1783 г.
4 Цит. по кн.: История математики с древнейших времен до
начала XIX столетия / Под ред. А. П. Юшкевича. М.: Наука,
1970, т. 2, с. 274.
222

ставление об этих элементах, особых видах бытия, которые
то играют роль истинных количеств, то должны
рассматриваться как абсолютное ничто и по своим двусмысленным
свойствам как бы занимают среднее место между
величиной и нулем, между бытием и небытием. По счастью, эти
трудности не повредили успеху открытия: существуют
такие первичные идеи, которые всегда оставляют в сознании
некоторую неясность, но первые же следствия которых,
однажды из них извлеченные, открывают поле, обширное
и легкое для исследования» 5.
В проблеме обоснования континуального подхода
можно выделить два аспекта — математический и физический.
Первый из них, связанный с правомерностью применения
методов анализа бесконечно малых к гидромеханике, был
тесно сопряжен со степенью понимания сути
математического анализа. Как только это понимание было достигнуто,
вопрос обоснования автоматически отпал.
Другой аспект, связанный с правомерностью
использования самой модели континуума и установления границ
ее применимости, должен был решаться, очевидно, на
стыке гидромеханики и молекулярной физики. Отмечая
недостаточную физичность континуального подхода, Людвиг
Больцман в конце XIX в. указывал, что
«дифференциальные уравнения с частными производными,
предназначенные для описания поведения континуума, должны
рассматриваться как первоначально заданные», и считал, что
«все-таки механическое обоснование дифференциальных
уравнений при помощи средних чисел, связанных с
представлением о приходе и уходе мельчайших частиц,
чрезвычайно повышает их наглядность, и до сих пор кроме
атомистики не найдено никакого иного механического
обоснования явлений природы»в. Больцман выразил этими
словами точку зрения, общую для большинства химиков,
физиков и других «структуралистов», выступавших в
разные времена главными оппонентами против чрезмерно
абстрактного и слишком формального, на их взгляд,
континуального подхода. Характерными для этой точки зрения
являются замечания М. В. Ломоносова по поводу
«славного в ученом свете прения о простых существах, то есть о
5 К ар но Л. Размышления о метафизике бесконечно малых. М.:
Гостехтеориздат, 1933, с. 63—64. См. книгу, указанную в
предыдущем примечании, с. 278—281.
6 Больцман Л. Лекции по теории газов. М.; Л.: Гостехиздат, 1956,
с. 27.
223

частицах, не имеющих никакого протяжения. Когда
протяжение есть необходимо нужное свойство тела,— писал он
в 1760 г. в «Рассуждении о жидкости и твердости тел»,—
без чего ему телом быть нельзя, и в протяжении состоит
почти вся сила определения тела, для того тщетен вопрос
о непротяженных частицах протяженного тела» 7.
Этими же соображениями руководствовался и Даниил
Бернулли, когда приступал к созданию своего варианта
кинетической теории. В основу этой теории был положен
опыт, визуальные наблюдения, выполненные им в
традиционной манере Галилея, Декарта и Мариотта. Основные
идеи этой теории сосредоточены в десятой части
«Гидродинамики» — самой крупной по объему из всех разделов
сочинения 8. В ней он исходил из того восходящего к
Декарту тезиса, что любым жидким телам присуще
внутреннее движение, без которого трудно было бы вразумительно
объяснить исключительную подвижность частей жидкости
друг относительно друга, а также свойства закипания
жидкостей, растворения в них твердых тел, испарения и др.
Этим объясняется то, говорит Д. Бернулли, что многие
твердые предметы плавятся от достаточной температуры,
«которая все вовлекает в движение». Это внутреннее
движение приводит, по мнению автора, к тому, что частицы
перестают соприкасаться друг с другом и свободно
перемещаются друг относительно друга, в результате чего они,
не испытывая трения, от малейшего импульса сдвигаются
с места 9. Это отличает жидкости от простого конгломерата
частиц, соприкасающихся друг с другом, как в куче песка.
Бернулли приводит в качестве примера, иллюстрирующего
его мысль, опыт с чашкой, содержащей мельчайшую муку
из яичной шелухи. Если чашку поставить над огнем, то
мука в ней «напоминает, как говорят, кипящее молоко.
А чем сильнее жар, тем, конечно, быстрее происходит дви-
7 Ломоносов М. В. Избранные труды по химии и физике. М.:
Изд-во АН СССР, 1961, с. 330.
8 Впоследствии небольшой фрагмент этого раздела
«Гидродинамики» был переведен на немецкий язык и издан сначала
отдельной брошюрой, а затем напечатан в известном журнале
«Poggendorf's Annalen» (т. 99 за 1857 г.).
9 В современной реологии это свойство выражается через
равенство нулю аддитивной постоянной в реологическом
уравнении среды, что влечет за собой отличие от нуля компоненты
внутреннего напряжения при любом, даже самом малом,
значении компоненты тензора скоростей деформации.
224

жение частиц и тем все большими промежутками они
отделяются друг от друга, что согласуется с расширением
всех жидкостей при увеличении тепла и с их сжатием от
холода, каковому закону подчиняется и вода, пока она
еще не замерзла» 10.
Далее автор строит некоторые предположения
относительно уникального свойства воды, которая при
замерзании (вопреки ожиданиям) расширяется, а также
высказывает ряд догадок по поводу причин твердости
замерзших тел. Он полагает, что эта твердость обусловливается
все большим сближением частиц, составляющих среду, так
что эти частицы падают друг на друга, приходят во
взаимное сопрокосновение и одновременно удаляют из своих
промежутков инородные частицы. При этом сближении
притяжение частиц в соответствии с законом всемирного
тяготения Ньютона значительно возрастает, что и
объясняет в конечном счете тайну твердости материальных тел.
Надо сказать, что анализ «вечных» проблем
механики — проблемы происхождения твердости, тяжести,
упругости, текучести и т. д.— всегда был в центре научных
интересов Даниила Бернулли. Это были вопросы,
пограничные с метафизикой, к проблемам которой всегда тяготели
европейские ученые того времени. «Существуют в природе
вещей явления, которые превышают разум человеческий;
к ним я причисляю тяжесть, твердость, упругость и
другие явления того же рода; действительно, многие уже
придумали разнообразные объяснения этим первичным
свойствам тел; некоторые из этих объяснений чрезвычайно
замечательны и остроумны, однако же никто не придумал
таких объяснений, кторые были бы вполне
удовлетворительными» и.
В первые годы своего пребывания в Петербургской
академии наук Даниил был увлечен кинетическими идеями
своего отца, изложенными в его «Рассуждении о законах
передачи движения», и даже собирался включить их в свою
«Гидродинамику» в качестве исходных начал. В
первоначальной редакции сочинения он наряду с именем Иоганна
Бернулли упоминал также и имя Эйлера, написавшего
в 1727 г. под влиянием своего учителя «Опыт объяснения
явлений воздуха», опубликованный во втором томе «Ком-
10 Бернулли Д. Гидродинамика, с. 32.
11 Фрагмент из первоначальной редакции «Гидродинамики».
Цит. но кн.: Берпцл.ш Д. Гидродинамика, с. 531.
8 Заказ № 838 225

ментариев» в 1729 г. Однако впоследствии, в окончательной
редакции сочинения, он снял все ссылки на Иоганна Бер-
нулли и Эйлера.
Десятый раздел «Гидродинамики» начинается с
построения модели абстрактной, не существующей в природе
упругой жидкости, в основу которой, однако, положено
«строение воздуха, к которому преимущественно относятся
настоящие наши соображения... Поскольку мы собираемся
теперь рассмотреть упругие жидкости,— пишет Д. Бернул-
ли,— нам будет дозволено придумать для них такое
строение, которое находится в соответствии со всеми до сих пор
установленными свойствами, дабы таким образом получить
возможность подойти к остальным еще недостаточно
исследованным свойствам. А важнейшие свойства упругих
жидкостей заключаются в том, что 1) они являются
весомыми, 2) распространяются во все стороны, если их не
ограничивают, и 3) дают себя все больше и больше сжать
при возрастании сил сжатия» 12.
Затем в терминах выстраиваемой таким образом
модели упругой жидкости Даниил Бернулли
интерпретирует свойство упругости газа. «Итак,— говорит
Бернулли,— представь себе вертикально поставленный
цилиндрический сосуд ACDB и в нем подвижную крышку
(поршень) EF, на которой лежит груз Р. Пусть в полости
ECDF содержатся очень малые частицы, движущиеся
чрезвычайно быстро в различных направлениях. Тогда
частицы, ударяясь о крышку EF и поддерживая ее своими
непрерывно повторяющимися ударами, образуют упругую
жидкость, которая при удалении или уменьшении груза
Р расширяется, а при его увеличении сгущается и которая
тяготеет к горизонтальному дну CD совершенно так же,
как если бы она совершенно не обладала свойством
упругости; ибо находятся ли частицы в покое или же
колеблются, они не изменяют своей тяжести, так что дно
поддерживает как вес жидкости, так и ее упругость. Итак,
подобную жидкость, согласующуюся с важнейшими
свойствами упругих жидкостей, мы подставим вместо воздуха и,
таким образом, объясним другие свойства, которые уже
были открыты у воздуха, а дальше поясним еще и иные,
до сих пор недостаточно исследованные его свойства» 13.
12 Бериулли Д. Гидродинамика, с. 282.
13 Там же, с. 282—283.
226

С этой целью автор ставит задачу определения связи
между величиной давления р, которое изменяется в
процессе эксперимента с помощью поршня,
перемещающегося в вертикальном направлении в цилиндрическом
сосуде с газом, и величиной объема, занимаемого этим
газом. Получающаяся при этом формула может быть
записана в следующем виде:
р2
ui—y ^
где символом h обозначена высота поршня в сосуде,
а цифры 1 и 2 соответствуют двум разным положениям
этого поршня.
Очевидно, что формула (1) есть не что иное, как
расширение закона Бойля—Мариотта, учитывающее
отчасти внутреннюю структуру газа. Этот учет
осуществляется у Даниила Бернулли путем введения
специального параметра ftmm, смысл которого становится ясным,
«если мы представим себе, что поршень, прижатый
бесконечно большим грузом, снизится до положения, при
котором все частицы взаимно соприкасаются».
Таким образом, формула (1) является не простой
модификацией закона Бойля—Мариотта, но
предвосхищением уравнения Ван-дер-Ваальса. Бернулли
подчеркивает особо, что полученное им соотношение
справедливо только для описания изотермического процесса,
т. е. «степень теплоты в воздухе во время его сжатия
должна тщательно поддерживаться неизменной». В
другом комментарии к модифицированной формуле Бойля—
Мариотта Бернулли указывает, что на основании
наблюдаемых в природе явлений можно считать, что воздух
может быть сильно сжат до сколь угодно малого объема,
так что если принять Лтт=0, то формула (1)
вырождается в обычный закон Бойля—Мариотта.
Это правило, продолжает автор, может быть
применено почти без оговорок и для более разреженных газов,
чем обычный атмосферный воздух, но «может ли оно
быть принято и для воздуха значительно более
сгущенного, это я считаю еще недостаточно выясненным, ибо
до сих пор не было еще поставлено опытов с такой
степенью точности, какая требуется в данном случае» 14.
14 Там же, с. 285.
227 8*

В 1702 г. в «Мемуарах» Парижской королевской
академии наук была опубликована работа известного
французского физика, члена Парижской академии Гийома
Амонтона, в которой был рассмотрен вопрос о характере
влияния изменений температуры на закон Бойля—Ма-
риотта. Амонтон указал на то простое и в то же время
важное обстоятельство, что упругость воздуха может
быть увеличена не только путем сжатия (или
уменьшения его объема), но и посредством увеличения
температуры воздуха Т. Даниил Бернуллли развивает идеи
Амонтона и подчеркивает, что поскольку, как известно, «когда
повсюду возрастает внутреннее движение, то теплота
увеличивается, то отсюда следует, что увеличение
упругости воздуха, не изменяющего своего объема, указывает
на увеличение интенсивности движений частиц, что
находится в правильном соответствии с нашей
гипотезой» 15.
Не ограничиваясь замечаниями качественного
характера, Бернулли формулирует предложение, ставшее
впоследствии известным под названием закона Шарля. «Мне
представляется,— пишет Бернулли,— что было бы вполне
сообразно считать, что теплота воздуха, если он
имеет одинаковую плотность, пропорциональна его
упругости», т. е.
Т~р. (2)
Если же допустить постоянство давления,
продолжает автор, и изменять лишь плотность р и скорость и
беспорядочного теплового движения частиц газа, то можно
утверждать, что «плотности в любых соответствующих
друг другу местах... будут находиться приблизительно
в обратном отношении к квадратам скоростей, с
которыми частицы в этих местах движутся» 16. Если принять
во внимание, что в статистической термодинамике
температура определяется через квадрат средней скорости
свободного пробега молекул, то в приведенной Даниилом
Бернулли формулировке нетрудно увидеть
предвосхищение еще одного закона теории газов — закона Гей-Люс-
сака
р~1/*Л (3)
Здесь следует заметить, что у самого Д. Бернулли,
15 Там же, с. 285.
16 Там же, с. 292.
228

разумеется, отсутствует четко формулируемое
определение температуры через среднеквадратичную скорость
молекул газа, однако в десятой части «Гидродинамики»
можно найти много косвенных намеков на эту мысль.
Можно даже предположить, что только
профессиональная осторожность ученого побудила Бернулли не
проводить прямую аналогию между температурой и
среднеквадратичной скоростью хаотического движения молекул,
хотя его фактические действия нельзя квалифицировать
иначе, чем как указания на такую зависимость. Речь
идет здесь не о связи теплоты с внутренним движением
частиц вообще (это Бернулли знал и, как и М. В.
Ломоносов, много об этом говорил; более того, это является
главным элементом его кинетических воззрений), а о
точном статистическом определении понятия температуры.,
к которому вплотную приблизился Д. Бернулли.
В той же десятой части сочинения Бернулли
сформулировал и прообраз общего уравнения состояния
газовой среды, ставшего известным как уравнение
Клапейрона, опять-таки используя в нем вместо
макротемпературы среднеквадратичную скорость газовых частиц.
Формулируя этот закон в виде гипотезы и придавая ему
исключительное значение в механике и физике,
Бернулли предпосылает его формулировке следующую
преамбулу: «Полагаю, что найти истинный закон, которого
придерживается природа, является делом, на которое
едва ли следует надеяться, ибо кто иначе, чем путем
поверхностных догадок, постигнет отношение средних
скоростей в воздушных частицах. Но я случайно напал
на некую гипотезу, которая совсем неплохо
соответствует явлениям». Суть этой гипотезы сводится к
утверждению того, что «упругости находятся в отношении,
составленном из квадрата скоростей частиц и первой
степени плотностей» 17, т. е.
p~pv\ (4)
Формулируя закон (4), который можно назвать
теперь законом Клапейрона (достаточно лишь вместо vz
подставить макроскопический аналог — температуру Т),
Д: Бернулли здесь же устанавливает границы его
применимости. По его мнению, он становится
несправедливым при достаточно высоких давлениях, как это имело
17 Там же, с. 302—303.
229

место и в случае формулы (1). Этот закон будет
описывать явления тем более точно, говорит Бериулли, чем
рассматриваемый газ будет более разреженным.
Закону (4) Даниил Бернулли придавал
универсальный смысл и считал, что состояние газа полностью
определяется тремя параметрами, входящими в выражение
(4), два из которых (неважно, какие именно) являются
независимыми. «Из того, что было указано о колебании
воздушных частиц, от которого, конечно, зависит
теплота воздуха, и в особенности из того, что было сказано
в § 10, ясно, что в воздухе имеется одна и та же
степень теплоты во всех тех случаях, когда существует
одно и то же отношение между его упругостью и
плотностью» 18.
В кинетических представлениях Даниила Бернулли
есть еще много других ценных идей и изящных догадок.
Среди них и барометрическая формула, и первые
попытки построения «стандартной атмосферы» (распределение
термодинамических характеристик воздуха по высоте),
и попытки разработки теории рефракции лучей,
проходящих через атмосферу, и первые попытки решения
задачи об истечении газа из сосуда, и многое другое. Эта
область физики, вероятно, как никакая другая требует
от исследователей особого дара фантазии и воображения,
необходимого для того, чтобы за реальным поведением
газов и жидкостей увидеть скрытый от ощущений мир
молекул и атомов, совершающих хаотическое тепловое
движение. Даниил Бернулли обладал этими качествами
больше, чем кто-либо иной. Неудивительно поэтому, что
именно он пришел к открытию кинетических идей,
указав на их многочисленные и важные приложения
задолго до строгого математического выражения этих идей
в трудах классиков естествознания XIX в.
18 Там же, с. 312—313.
230

Глава 15
Снова Базель
В жизни Даниила Бернулли можно выделить два
четко обозначенных периода: до 1733 г. (включавший его
пребывание в Петербурге) и после него. Оба периода
настолько различны, что можно даже подумать, будто речь
идет о жизни двух разных людей.
С одной стороны, такое впечатление создается
благодаря тому, что серьезная и важная
научно-исследовательская работа академиков Петербургской академии
наук, особенно в начальной ее фазе, когда там работал
Д. Бернулли, проходила в совершенно особом
специфическом режиме, отличавшемся исключительно
напряженным ритмом и высокой эффективностью исследований.
Этот особый ритм работы и самой жизни формировал
особый тип исследователя, далекий от стандартного
стереотипа ученого-буквоеда, средневекового схоласта, дух
которого еще жил в Базеле, куда в 1733 г. после
восьмилетнего пребывания в Петербурге приехал Даниил
Бернулли.
Действительно, у каждого члена Петербургской
академии был целый кодекс всевозможных и в общем-то
нелегких обязанностей и достаточно насыщенный рабочий
план, выполнение которого контролировалось
администрацией. Здесь надо было выдавать регулярно научную
продукцию, в значительной части имеющую
практический выход, ориентированный на укрепление военной и
экономической мощи государства. Ведь именно в этом
состояла главная идея Петра I, создавшего российскую
академию. Ученым постоянно приходилось выполнять
всевозможные деловые поручения и технические заказы
правительства, на заседаниях академии бывали
представители военных ведомств, флотские адмиралы, разные
эксперты и т. д.
Предъявляемые к ученым — астрономам, географам,
естествоиспытателям, математикам и т. д.— требования
решения практических задач не препятствовали, как
правило, вести исследования, которые теперь называются
фундаментальными. Во многих случаях задачи практики
не могли быть решены без глубоких теоретических
разработок. Кипучая жизнь Петербурга, научные соревно-
231

вапия в академической деятельности усиливали
творческий потенциал молодых академиков, подстегивали,
удесятеряли их энергию. Не случайно те из академиков, кто
выдержал горячий ритм работы и жизни в Петербурге,
стали впоследствии выдающимися учеными. Это прежде
всего относится, конечно же, к Леонарду Эйлеру и
Даниилу Бернулли.
В Базеле все было не так. Там не было большого
сообщества ученых и царил дух традиционной
университетской науки. Окунувшийся в эту спокойную мирную
домашнюю атмосферу тишины и размеренности, Даниил
Бернулли предстает перед нами уже совсем в другом
качестве.
Возвращение Д. Бернулли из Петербурга в Базель
было вызвано разными причинами. Одной из главных
было ухудшение отношений с Шумахером, и уже в
1730 г. он стал подумывать об отъезде. Вместе с тем,
когда пятилетний срок действия контракта уже истекал
и администрация приступила к подготовке нового
контракта, Бернулли поставил условия, которые Шумахер
нашел чрезмерными. «Контракт г. Бернулли почти уже
составлен,— сообщал в те летние дни 1730 г. Шумахер
президенту Блюментросту,— но он мне кажется
несколько высокомерным. С первою почтою я сообщу его с
моими предварительными замечаниями» 4.
Новый контракт, подписанный 1 сентября 1730 г.,
по-видимому, не во всех отношениях устраивал
Даниила Бернулли. 8 февраля 1731 г. Шумахер снова
информирует президента академии о его притязаниях: «Г.
профессор Бернулли представил к подписанному уже им
контракту прилагаемое при сем заключение не по иной
какой причине, как только потому, что хочет поломаться
и вместе с тем попугать. Но по некоторым
обстоятельствам можно догадаться, что он будет очень смущен,
если нарушится заключенный с ним контракт, почему
полагаю, что вы не можете лучше наказать неуместную
бойкость и заносчивость этого господина, как приказав
передать ему прилагаемые при сем условия в ответ на
его требования. Этим он смирится, а другие, напротив,
сделаются осторожнее и, может быть, благодарнее. Если
1 Цит. по кн.: Пекарский П. П. История императорской
Академии наук в Петербурге, т. 1, с. 107.
232

им не показать вовремя примера, то вы скоро испытаете,
что все снова обратятся в прежнее настроение» 2.
После того как выдвинутые Даниилом Бернулли
условия не были удовлетворены, он обратился с письмом
от 22 ноября 1731 г. к президенту академии о желании
покинуть Россию в июне следующего года. Несколько
позже последовало очередное прошение, поданное
Даниилом снова на имя президента, с выражением
пожелания вернуться на родину. Он мог бы остаться, писал
в этом письме Берпулли, только в том случае, если бы
его назначили бессменным деканом с каким-либо
рангом 3 и предоставили какую-нибудь гражданскую
должность. После того как президент ответил, что это не
входит в круг его полномочий, Бернулли 19 июля 1732 г.
обратился к самой императрице с просьбой об
увольнении со званием почетного академика и ежегодной
пенсией в 200 рублей, добавляя, что был бы готов еще
некоторое время остаться только в случае предоставления
ему титула придворного советника «или другого какого
чина, о котором я, как старейший профессор, некоторую
надежду иметь могу».
К этому времени под влиянием писем Шумахера и
самого Даниила Бернулли президент уже склонялся
к тому, чтобы отпустить Даниила, и в докладе к
императрице не советовал задерживать его в Петербурге. Тем
более, писал Блюментрост, что освободившаяся с
отъездом Даниила Бернулли кафедра математики может быть
занята Эйлером, а на место последнего встанет Крафт.
В начале 1733 г. Бернулли просил императрицу уже
только об увольнении со званием почетного академика и
пенсией 200 рублей. В это время в Петербурге
находился младший брат Даниила — Иоганн II Бернулли
(1710—1790), приехавший сюда летом 1732 г. с
предложением своих услуг на тот случай, если Даниила
отпустят и занимаемая им кафедра останется вакантной.
Иоганн-младший не возражал бы также и против того,
чтобы ему предоставили в Петербурге кафедру
юриспруденции.
2 Там же, с. 107.
3 Как известно, Петр I ввел не только в армии, но и на
государственной службе «табель о рангах», который насчитывал
14 различных степеней, определявших социальное положение
их носителей. Академики в то время таких титулов, как
правило, не имели.
233

Иоганн Бернулли-младший был (как можно об этом
судить по некоторым данным) любимцем отца и с
ранних лет занимался с ним математикой. Четырнадцати
лет Иоганн защитил магистерскую диссертацию, а в
семнадцать лет получил степень доктора прав.
Математический талант молодого Иоганна раскрылся рано.
В 1729 г., когда ему было всего девятнадцать лет, он
отправил своему старшему брату в Петербург диссерта-
нию о рядах, о которой Даниил отозвался с похвалой.
Впоследствии Даниил говорил, что, не имей Иоганн
какого-то особенного страха перед писательством, он мог
бы превзойти всех Бернулли. Неоднократный участник
конкурсов Парижской академии наук (в четырех из
которых он выходил победителем, частью вместе с отцом),
Иоганн состоял членом Берлинской академии, а после
смерти Даниила Бернулли занял его место среди восьми
иностранных, членов Парижской академии.
Приехав летом 1732 г. в Петербург с несколькими
друзьями-швейцарцами, Иоганн Бернулли-младший
сразу же активно включился в научную жизнь северной
столицы. Он посещал многочисленные заседания
академической Конференции, на которых прослушал большое
количество докладов по теории колебаний, по вопросам
гидрометрии и т. д. В этот период академия много
занималась разработкой и анализом результатов знаменитых
Камчатских экспедиций во главе с выдающимся
исследователем Витусом Берингом. Даниил Бернулли
принимал в этой работе живейшее участие: давал
всевозможные технические и научные рекомендации по
обеспечению экспедиции необходимым инструментарием
(барометрами, термометрами и проч.), выступал с сообщениями
на заседаниях академической Конференции. Этот этап
деятельности Даниила Бернулли нашел впоследствии
свое отражение на страницах его «Гидродинамики».
Вскоре и Иоганн Бернулли-младший представил на суд
петербургских академиков свою работу. 26 января
1733 г. на заседании Конференции он доложил
диссертацию, получившую одобрение у членов академии.
К этому времени российская императрица уже
подписала указ об увольнении Даниила Бернулли, в
котором отмечались высокие заслуги его перед
Петербургской академией, членом которой он был с первых
месяцев ее существования. Готовясь к отъезду, Даниил еще
продолжал участвовать вместе с младшим братом в за-
234

седаниях академии. 12 июня 1733 г. он в последний раз
посетил очередное собрание академиков, а 24 июня
отбыл вместе с братом на родину. «После опасного
морского путешествия они были занесены в Данциг,
откуда отправились в Голландию, а затем в Париж»4.
Письма, написанные Даниилом Бернулли сразу
после приезда домой, полны оптимизма, уверенности в
своих силах, желания работать с утроенной энергией.
«Я теперь, так сказать, совсем другой человек в
смысле здоровья с тех пор, как наслаждаюсь нашим
прекрасным швейцарским воздухом»,— писал он Эйлеру
4 июня 1735 г.5 Вот несколько фрагментов из писем
Даниила Бернулли к Эйлеру, относящихся к этому
периоду.
«Благодарю вас за оказанную мне услугу касательно
моего пенсиона и уверяю вас, что я о том никогда не
забуду. Я охотно приму все условия, которые угодно
будет г. камергеру предложить мне, потому что для меня
истинное удовольствие всю жизнь состоять в русской
императорской службе; все же прочее я считаю за
ничто... Вашу механику я ожидаю с величайшим
нетерпением. Мне приятно, что печатается также IV том
«Комментариев». Действуйте всячески на г. камергера, чтобы
«Комментарии» печатались правильно и рачительно: вам
известно, как важно это для чести Академии. Радуюсь,
что мои статьи заслуживают некоторое внимание... Вы
уже знаете, что гг. Мопертюи и Клеро назначены к
отправлению в Ботнический залив для произведения там
опытов и наблюдений преимущественно для определения
вида земли. Может быть г. Делиль имеет повеление от
французского двора находиться там. Очень жаль, что оба
эти двора не состоят в полном согласии, потому что
ничто не было бы так полезно для науки, как тесная связь
между собою обеих Академий, которые теперь только
две и заслуживают это название. Может быть, что,
несмотря на это (т. е. на политическое разногласие между
Россией и Францией.— А. Г. и Б, /Г.), кто-нибудь будет
послан в Ботнический залив на счет Академии, чтобы
произвести соединенными силами некоторые наблюдения.
Я бы желал, чтобы вы были посланы: никто не может
4 Берпулли Д. Автобиография,— В кн.: Бернулли Д.
Гидродинамика, с. 430.
5 Цит. по кн.: Пекарский П. П. История императорской
Академии наук в Петербурге, т. 1, с. 112.
235

Лучше вас исполнить этого. Для вас было бы очень
приятно познакомиться с г. Клеро; быть может, они
(французские ученые.— П. П.) прибудут в Петербург, если им
будут в том благоприятствовать... Русские войска,
находящиеся в соседстве у нас, делают много чести
своему народу. Все, проезжавшие через их лагерь,
рассказывают о доброй дисциплине, хорошей наружности и
вежливости офицеров. Я также может быть съезжу туда...» в
После отъезда из Петербурга и прибытия на родину
Даниил Бернулли сразу занялся хлопотами по
организации печатания уже готовой рукописи
«Гидродинамики». С этой целью он побывал в ряде городов
центральной Европы — Женеве, Страсбурге и других, повсюду
зондируя возможность скорейшего издания книги. Надо
полагать, что соперничавший с сыном старый Иоганн не
оказывал Даниилу в этом никакого содействия, иначе
было бы трудно объяснить, почему работа Д. Бернулли
не вышла у тех же издателей, услугами которых
пользовался его отец.
В одной из поездок в 1733 г. с Даниилом Бернулли
произошел занятный случай, о котором он впоследствии
часто вспоминал и который наглядно свидетельствует
о популярности Бернулли в европейских научных
кругах того времени. В почтовой карете, следовавшей по
одной из дорог Западной Европы, сидели два попутчика.
Завязавшаяся между ними беседа вскоре приняла
ученый характер. Один из молодых людей, мсье Тран,
адъюнкт Парижской королевской академии наук, спросил,
как зовут его спутника, столь искушенного в точных
науках.
— Даниил Бернулли,— ответил тот.
Тран, прекрасно осведомленный об известном в
ученом мире академике, принял это за шутку со стороны
молодо выглядевшего и ничем особо не примечательного
собеседника и ответил в тон ему:
— А я Исаак Ньютон!
Велико же было его удивление, когда он узнал, что
его столь моложавый на вид попутчик действительно был
Даниилом Бернулли.
Еще до приезда в Базель Даниил был соискателем
вакантной должности профессора по кафедре анатомии
и ботаники, которую он и получил сразу же до прибы-
8 Там же, с. 111—112.
236

тии. Впрочем, собственно медициной, физиолого-анато-
мическими исследованиями Даниил теперь уже не
занимался. В этом нет ничего удивительного: в Базеле не
было такого уникального анатомического театра, как в
Петербурге. Не было также прекрасно оборудованных
мастерских и физического кабинета, как в Петербурге.
Кстати говоря, именно поэтому Даниил в первое время
не мог здесь с прежней энергией заниматься физическим
экспериментированием. Все свое время Д. Берыулли
отдавал преподаванию и как преподаватель снискал себе
большую известность.
Однако удовлетвориться только преподавательской
карьерой Бернулли теперь уже не мог. Оказавшись
после кипучей жизни в Петербурге в известной изоляции
от крупных научных центров, вдали от своих друзей и
недругов, единомышленников и оппонентов, вне кипения
страстей, научных споров, Бернулли не мог
довольствоваться тихими радостями провинциального уединения.
Постепенно он начинает включаться в прежнюю
активную научную жизнь, посылает свои работы для печати
в Петербург, Париж, Берлин, участвует в академических
конкурсах. Из-под его пера выходят в этот период
статьи, причем не только по прежней тематике (теория
колебаний, общие проблемы механики, обобщение
теории живых сил и др.), но и по новой (теория
вероятностей). Особенно повезло Даниилу на конкурсах
Парижской академии наук: только с 1737 по 1746 г. он пять
раз выигрывал призы за работы по устройству якорей
(1737), о приливах и отливах (1740), об устройстве
магнитных стрелок (1743), об определении времени на море
(1745), о теории магнита (1746).
Как почетный академик Петербургской академии, по
уставу обязанный регулярно обеспечивать ее научной
продукцией, Даниил Бернулли поддерживал с ней
тесную связь (главным образом через посредство Эйлера,
когда последний еще находился в Петербурге): русской
академии он фактически посвятил свою
«Гидродинамику», ей он систематически посылал из Швейцарии свои
статьи и очень сокрушался, когда они терялись (а такое
случалось). Незадолго перед отъездом Эйлера из
Петербурга в Берлин Даниил писал ему: «Я прошу вас до
вашего отбытия устроить дело так, чтобы Академия
назначила мне корреспондента, подобно тому как
стараются завести это в Париже. Я желал бы, чтобы в Петер-

бурге были медики, знающие начала математики, в
особенности же механики и гидравлики, так как я по этим
предметам, при нынешних моих занятиях, сделал очень
много наблюдений» 7.
В одном из своих писем из Берлина в Петербургскую
академию Эйлер дал следующую характеристику своему
коллеге и другу Даниилу Бернулли: «Среди
иностранных членов он почти один из тех, кто оказал Академии
существенные услуги, и он в состоянии и в полной
готовности продолжать эти обязанности с большим
старанием» 8.
Единственное, что, вероятно, омрачало теперь
научные контакты Даниила Бернулли с Петербургской
академией в качестве ее почетного члена — это вопрос о его
пенсии, которая ему выплачивалась нерегулярно, с
большими перерывами. Долгое время вопрос оставался
нерешенным, несмотря на ходатайства Эйлера, Шумахера,
Кантемира и др. Пенсия не выплачивалась Бернулли
даже после специального постановления Академии наук
от 18 марта 1737 г. Это постановление гласило: «В
Базель обретающемуся профессору Бернулли быть членом
почетным для содержания с ним во всяких, до Академии
касающихся делах, корреспонденции. Того ради и
жалованья ему от Академии произвести генваря с 1 дня
прошлого 1735 г. по двести рублев, так же как давалось
профессору Герману. И за прошлые 735 и 736 годы
400 рублев для посылки к нему Бернуллию выдать
профессору Эйлеру, записав в расход с распискою. И о том
к расходу дать указ» 9.
Шумахер в 1744 г. обращался в высшие круги
специально по этому вопросу с представлением, в котором
о Данииле Бернулли говорилось следующее: «Он за
определенную ему годовую пенсию по 200 рублей
обязался труды и услуги свои показывать... Оное свое
обещание исполнял с таким тщанием, что академические
Комментарии учеными его сочинениями почти
наполнены. С Академиею содержал он не только прилежную
корреспонденцию, но и других ученых людей
изобретения и труды всеми мерами в пользу здешней Академии
обращать старался; а сверх того он, яко член здешней
7 Цит. по кн.: Пекарский П. П. История императорской
Академии наук в Петербурге, т. 1, с. ИЗ.
8 Цит. по ст.: Смирнов В, И. Даниил Бернулли, с. 446.
9 Там же, с. 448.
238

Академий, й напечатанною в Германии собственным
своим иждивением книгою о гидростатике не малую
Академии учинил славу» 10.
В 1742 г. Даниил Бернулли вступил в переписку
с русским послом в Версале князем А. Д. Кантемиром,
выдающимся писателем и широко образованным
человеком, который были искушен и в математических
науках и, по словам Мопертюи, сказанным в одном из
писем, снискал в Париже всеобщее уважение и известность.
В ходе обмена письмами Кантемир, в частности,
обратился с просьбой к Даниилу Бернулли сообщить ему
свое мнение о его исследованиях по акустике. В ответ
на эту услугу Кантемир обещал (по собственной
инициативе, как потом подчеркивал Даниил) похлопотать
перед российскими властями об упорядочении выплаты
пенсии Бернулли и даже предложил обратиться с
необходимыми представлениями к министрам или к самой
императрице. Впрочем, и эти попытки не дали
желаемого эффекта.
Бернулли, конечно же, обижала такая
невнимательность со стороны петербургской администрации. «Если
до меня еще доходит что-нибудь из Петербурга,—читаем
мы в письме Даниила Бернулли к Эйлеру от 4 января
1746 г.,— то всегда нечаянно, и это тем более доставляет
мне радости. Между тем я не вижу, как можно было бы
снова восстановить Академию на прочном основании.
Отличиться бы можно было физикою механическою и
экспериментальною, а вы бы из-за границы были в
состоянии делать хорошие предложения, быть полезным
некоторым академикам и, сверх того, заниматься
согласно нынешнему направлению. Теперешних академиков я
не настолько знаю, чтобы судить, достаточны ли
собственные их умозрения для внушения уважения к
Академии, о чем я прошу вашего мнения, так как убежден,
что вы не сомневаетесь в моей скромности и
благонамеренности» и.
За время с 1741 по 1747 г. Д. Бернулли не раз
приглашали вернуться в Петербургскую академию на ту же
кафедру математики, которая с момента отъезда Эйлера
в Берлин в 1741 г. оставалась незанятой, или же
перейти на работу в Берлинскую академию наук. Но Даниил
10 Там же.
11 Цит. по кн.: Лекарский /7. Я. История императорской
Академии наук в Петербурге, т. 1, с. 115.

не хотел рисковать и отклонял эти приглашения. «Я
также не вижу, чтобы я мог при настоящем положении
оказать какие-либо услуги,— писал он Эйлеру в Берлин
23 апреля 1743 г.— Те небольшие способности,
которыми наградил меня Бог, я не смог бы лучше применить
как в первые годы существования вновь учрежденной
Академии... По моему мнению, лучше иметь при
Академии наук лишь небольшое число высоких гениев,
которые понимают истинное значение наук и умеют
различать действительность от мишуры и при этом
осведомлены в отношении того, что в каждой науке прежде
всего может быть найдено полезного и что еще в ней
следует дальше искать в еще большем количестве, если
только таковое может быть найдено... В Академии
должна быть в некоторой степени субординация подобно
тому, как в военном сословии. Просвещенный ум увидит
все, что может вести к новым полезным изобретениям;
для этого он нуждается в людях, которые работают под
его руководством и от которых требуется больше
ловкости, нежели научных знаний. Следовательно, если бы
я мог считать себя также среди этого небольшого числа
настоящих ученых, от какового воображения я, однако,
очень далек, то я все-таки был бы лишним, так как
вам известно и я слышал, что как скоро король
(т.е. Фридрих П.— А. Г. и Б. К.) опять вернется к
мысли об Академии, различные знаменитые люди уже
готовы определиться туда. Мысль о родине не
оказывает на меня ни малейшего впечатления; нам скорее
совестно покидать наших старых родителей. К этому
присоединяется однообразие спокойной жизни и
посредственность моего настоящего положения, которые я
начинаю предпочитать всякому блеску» 12.
Отсутствие у Бернулли прежнего стремления ехать
в Петербург было вызвано, как уже упоминалось,
неурядицами административного характера, которые
переживала в то время Петербургская академия наук. Та
ориентация, которую задал академии четверть века
назад Петр I, теперь в значительной степени сводилась на
нет. «Боюсь только,— писал Даниил Бернулли Эйлеру
в 1746 г.,—что уже будет невозможно привести
Академию в прежнее цветущее состояние, но это бы
осуществилось, когда бы вы решились отправиться туда года
12 Цит. по ст.: Смирнов В. И. Даниил Бернулли, с. 444—445.
240

па два. Дело можно бы так устроить, что король, по
соседству и из дружбы к императрице, отпустил бы вас
в Россию, и в таком случае, конечно, не может
возникнуть никаких неудобств. Я вызываюсь исправлять в
продолжении двух лет ваши обязанности в Берлине, но с
тем, чтобы вы получали берлинское жалованье» 13.
Однако приглашения из Петербурга, несмотря на
отказы Бернулли, продолжали поступать. Причем раз от
разу они становились все более заманчивыми. Сначала
Даниилу Бернулли предлагали оклад 1200 рублей,
потом 1600. Звали вместе с Иоганном-младшим, которому
предлагали кафедру механики и оклад 860 рублей. В
первое время приглашали также и Иоганна-старшего, но,
по-видимому, больше из соображений такта. Пытались
соблазнить предоставлением должности конференц-сек-
ретаря и намекали, что это был бы удобный случай
войти в милость к графу Кириллу Разумовскому —
новому президенту академии.
В 1747 г. Петербургская академия обратилась к
Эйлеру с просьбой помочь администрации вернуть
Даниила Бернулли. 7 июля 1747 г. Эйлер писал в
Петербург: «...присланный контракт послал немедленно
господину Бернуллию; но ваше высокоблагородие легко
рассудит, что он за 1200 рублей едва ли паки поедет.
Господин президент, по милости своей, хотя великую
надежду на меня полагает, однако я сомневаюсь, откроет
ли мне господин Бернуллий свои мысли, сего ради я
наперед употребляю всякую предосторожность, чтобы
мне не отвечать, если сия негоция не по желанию его
высокографского сиятельства окончится» 14.
Наконец, из петербургской академической
канцелярии в Базель последовало нечто похожее даже на
угрозу (письмо от 26 марта 1748 г.): «...если вы будете
настаивать в своем отказе после предложенных вам столь
выгодных условий, то вы, милостивый государь, введете
г. президента в подозрение, которое может повредить
многим»15. Однако теперь, после смерти отца, получив
наследство и место иностранного члена Парижской
академии наук (годом раньше Даниил был избран в Бер-
13 Цит. по кн.: Пекарский 77. 77. История императорской
Академии наук в Петербурге, т. 1, с. 115.
14 Цит. по ст.: Смирнов В. И. Даниил Бернулли, с. 445.
15 Цит. по кн.: Пекарский 77. П. История императорской
Академии наук в Петербурге, т. 1, с. 116.
241

линскую академию), Д. Ёернулли был спокоен за
будущее. «Что касается вопроса о том, что не хочу ли
я теперь, после смерти своего покойного отца, принять
петербургское приглашение, то могу честью своей
заверить вас, что я не в состоянии был бы сделать это,
если бы даже я имел к этому большое желание. Я уже
давно очень болен и поэтому не в состоянии выполнять
мои здешние дела, не говоря уже о том, чтобы
совершить такое большое путешествие и жить в таком
суровом климате. Поэтому я прошу вас засвидетельствовать
г-ну президенту мою глубокую благодарность за честь,
которая мне сделана и за доброе доверие, которое мне
оказано. Впрочем, я имею без пенсии больше, нежели
мне требуется на мои скромные расходы, и смотрю на
все с философской точки зрения» 16.
Обретя с получением наследства финансовую
независимость, Даниил Бернулли в этот период почти
полностью прекратил связь с Петербургом вплоть до 1767 г.,
когда при содействии Эйлера была возобновлена
выплата ему пенсии почетного академика. Тогдашний конфе-
репц-секретарь академик Яков Штелии направил
Даниилу в Базель в связи с этим почтительное письмо,
в котором говорилось: «...его сиятельство граф Орлов
(директор Петербургской академии.— А. Г. и Б. К.) и
члены комиссии, не имея права входить в подробности
за прошедшее время, когда, Бог знает почему,
некоторым почетным членам прекратили пожалованные им
пенсии, назначили снова обыкновенный пенсион в 200
рублей некоторым из наших иностранных членов,
поименованным в академическом регламенте, а именно
тем, кои отличились до сих пор своими достоинствами и
в состоянии исполнять условия, соединенные с этою
обязанностью, как-то: присылать от времени до времени
статьи в наши Комментарии, вести переписку с Акаде-
миею и принимать на себя некоторые поручения ее.
Между такими членами вы, милостивый государь,
считаетесь первым, почему, согласно определению нашей
Академии, имею честь уведомить вас настоящим
письмом, что с 1 января текущего 1767 года вы будете
получать пенсион в 200 рублей ежегодно...» 17.
16 Цит. по ст.: Смирнов В. И. Даниил Бернулли* с. 446.
17 Цит. по кн.: Пекарский 77. 77. История императорской
Академии паук в Петербурге, т. 1, с. 118.
242

За доброе отношение Даниил отплатил добром: с
этого момента он до самой своей смерти печатался только
в изданиях Петербургской академии наук, где
опубликовал за период с 1767 по 1780 г. два десятка научных
работ. Вообще из его 75 печатных работ 50 напечатяно
в Петербурге.
Глава 16
Тяготение
Согласно легенде, Аристотель покончил жизнь
самоубийством от отчаяния, что не может объяснить
происхождения морских приливов. Независимо от степени
достоверности этой легенды, по-видимому, можно понять
состояние великого грека, оказавшегося беспомощным
перед этим уникальным явлением природы.
Теперь, благодаря трудам Ньютона, Гюйгенса, Кле-
ро, Даниила Бернулли, Эйлера и других, причина этого
явления стала известна: она заключается в притяжении
Луны. Но при этом остается неизвестным, откуда
происходит само тяготение, ибо «это начало стоит настолько
выше человеческого разумения, что, думается, нет
никого, кто был бы в состоянии каким-либо образом его
понять» *. Однако, несмотря на столь пессимистическое
заявление, упорные размышления лучших из умов над
этой проблемой, казалось бы, чисто метафизического
толка не пропали даром и неожиданно привели к
приложениям, носящим настолько практический характер, что
ими заинтересовались даже государственные деятели.
Речь идет о научном обосновании с помощью теории
всемирного тяготения гипотезы существования новых,
пока еще не открытых мореплавателями земель в
южном полушарии.
Доказательство возможности существования
значительных площадей суши в южном полушарии
основывалось в конечном счете на теории тяготения
вращающейся земной массы. Согласно главному тезису автора
этой гипотезы Пьера Мопертюи, вращающаяся Земля
1 Бернулли Д. Гидродинамика, с. 33—34.
243

в процессе длительной эволюции должна была
приобрести под действием сил тяготения такую форму
(симметричную относительно плоскости экватора), при
которой площади континентов, выступающих над
поверхностью Мирового океана, «уравновешивали» бы друг
друга. Иными словами, суммарная площадь материков
северного полушария должна была приблизительно
равняться общей площади суши южного полушария.
Поскольку, кроме Австралии и Новой Зеландии, в южном
полушарии к тому времени не было обнаружено
никаких крупных массивов суши, то предполагалось, что
огромный континент, равновеликий евразиатскому
материку, еще не был открыт.
Гипотеза материкового равновесия Мопертюи была
немедленно подхвачена и в деталях разработана
англичанами. Предприимчивые картографы, гидрографы,
другие специалисты уже вычерчивали на картах
предполагаемые контуры неведомых пока богатых земель.
Английский гидрограф Александр Дальримпль четко
определил, что «континент этот больше всей
цивилизованной части Азии от Турции до восточной оконечности
Китая»2. Согласно его расчетам, длина материка
должна была равняться 8516 километров, а население должно
было составлять не менее 50 миллионов человек.
Проблема формы Земли имела также важное
значение в картографии и в споре между сторонниками и
противниками теории всемирного тяготения Ньютона.
Согласно Ньютону, Земля должна иметь форму сфероида
вращения, слегка сплюснутого вдоль полярной оси.
Градусные измерения второй половины XVII в. и начала
XVIII в. разнились между собой, и часть их
противоречила этому выводу Ньютона. В тридцатых годах
XVIII в. в Южной Америке и в северных районах
Европы были предприняты новые градусные измерения.
Принципиальное научное значение их было очень
велико: они подтверждали теорию Ньютона, нанося
решительный удар по воззрениям его противников.
Требовалось, однако, разработать общую теорию фигуры
Земли и связать следующие из нее количественные
результаты с данными новых градусных измерений.
Ученые энергично включились в разработку теорий,
обосновывавших существование в еще неисследованных
2 Цит. по кн.: Свет Я. М. Джемс Кук. М.: Мысль, 1979, с. 20,
244

частях земного шара пеобжитых земель — потенциальных
колоний. Именно в эти указанные авторитетными
учеными районы земного шара и устремлялись в первую
очередь экспедиции. Кроме того, ученые — математики,
механики, физики и другие — играли большую роль в
деле обеспечения экспедиций необходимым
инструментарием: секстантами, квадрантами, буссолями, компасами,
хронометрами и проч. Д. Бернулли был одним из самых
активных разработчиков конструкций многих приборов,
причем его конструкции часто оказывались лучше
других и премировались призами Парижской академии наук.
Можно вспомнить также и деятельность отца Даниила —
И. Бернулли в деле разработки оптимальных
конструкций морских судов и т. д.
Снаряжение и отправка экспедиций производились,
разумеется, под большим секретом: помимо специальной
секретной инструкции, у руководителя похода всегда
имелась другая — «дежурная», несекретная, в которой
истинная цель экспедиции тщательно камуфлировалась
и представлялась как чисто научная. Например, целью
первого плавания Джемса Кука (1768—1771)
официально считались астрономические наблюдения за
уникальным явлением — прохождением планеты Венеры через
солнечный диск. На самом же деле главной целью
экспедиции был поиск неведомой Южной Земли (Terra
Australis incognita).
Инициаторами экспедиций и теоретических работ,
относящихся к точному определению фигуры Земли, в
Парижской академии наук были прежде всего Мопертюи и
Клеро, написавший в 1743 г. сочинение «Теория фигуры
Земли». Их исследования приобрели широкую
известность в научных кругах Европы. Они не могли быть
тривиальными, поскольку было ясно, что проблема
формирования фигуры Земли являлась сложной, комплексной
проблемой. Клеро надо было учесть эффект совокупного
воздействия по крайней мере двух основных факторов —
вращательного движения Земли как не абсолютно
твердой (в первом приближении — жидкой) массы, с одной
стороны, и тяготения — солнечного, лунного и
собственного земного — с другой. В такой формулировке
указанная проблема восходила к Ньютону и Гюйгенсу, которые
первыми показали, что Земля имеет форму сплюснутого
у полюсов сфероида, первыми приближенно
рассчитали разницу между экваториальным и осевым радиусами
245

Земли, первыми показали влияние лунного тяготения на
приливы и отливы.
Ньютон, впервые решивший в предложении 37
третьей книги «Математических начал» задачу об
отыскании «силы Луны, движущей море», и прибавивший к пей
десять уникальных следствий, разумеется, не исчерпал
проблему полностью. После него в XVIII в. ею
занимались многие ученые, в том числе Даниил Бернулли, Эйлер,
Маклорен, которые стали призерами специального
конкурса Парижской академии наук 1740 г., объявленного
по инициативе Мопертюи и Клеро и посвященного
проблеме происхождения приливов.
Проблема приливов находится в компентенции
механики жидкостей. Определение циркуляции больших
водных масс в больших пространствах есть, по сути дела,
пространственная задача теоретической гидродинамики.
Причем в силу гипотезы сплошности (и это очень
хорошо понимали Эйлер и его современники) величина
пространства не играет здесь принципиальной роли:
движение жидкости в блюдце будет описываться такими же
уравнениями, что и движение воды в океане (следует
только соблюсти при этом равенство соответствующих
критериев подобия)3.
Правда, для гидродинамиков, воспитанных на трудах
итальянской гидравлической школы Кастелли—Гульель-
мини и физико-механико-медицинских трактатах
биомехаников конца XVII —начала XVIII в., переход от
одномерных течений в каналах, трубах, кровеносных
сосудах и т. д. к сложным трехмерным задачам заключал в
себе массу казавшихся тогда труднопреодолимыми
сложностей. С математической точки зрения наиболее
существенной в этом переходе была необходимость отступления
от рассмотрения процессов, происходящих с вышедшей
из некоторого начального состояния частицей в данный
момент времени, подобно тому как прослеживается
движение материальной точки, о которой известно, откуда
она вышла, но неизвестно, куда она придет (и это
требуется определить). Иначе говоря, здесь речь идет о
задаче типа Коши с известными начальными условиями и
неизвестной последующей историей, которую нужно
определить. Действительно, в случае рассмотрения од-
3 Эйнштейн, рассматривая в одной из своих работ вопрос о
характере циркуляции воды в реках, брал за основу
движение чаинок в чашке чая.

номерного движения жидкости по трубам й ?. п.
известна, как правило, высота уровня жидкости в сосуде, из
которого жидкость вытекает; эта высота в конечном
счете и определяет характер всего исследуемого движения.
В задачах такого рода как бы сам собой напрашивается
так называемый «лагранжев» подход (один из методов
механики континуума), оперирующий понятием
начального состояния.
Иначе дело обстоит с исследованием движения
океанических масс. Здесь первостепенную роль начинают
играть эффекты трехмерности, которые приводят к
качественной модификации задачи. Методика решения
задач типа Коши в этом случае становится в принципе
неприемлемой: вместо нее становится необходимой
постановка краевой задачи типа Дирихле. Условия на
границах рассматриваемой области определяют движение
масс жидкости внутри нее. Можно предполагать, что
«эйлеров» подход, использующийся в гидродинамике
наряду с лагранжевым, возник в ходе рассмотрения задач
именно такого типа.
Оценивая возможность применения аппарата
гидродинамики, развитой к концу тридцатых годов XVIII в.,
к рассмотрению нового класса многомерных задач, Эйлер
указывал: «Хотя в последнее время получены
значительные дополнения в теории движения воды, тем не менее
они относятся к движению воды, протекающей в
сосудах и трубах, и едва ли могут быть использованы для
определения движения океана» \ Это заявление,
сделанное Эйлером в 1740 г. в его отмеченной премией работе
«Физическое исследование причины отлива и прилива
моря», стало программным для исследователей,
занимавшихся тогда вопросами механики жидкостей. Именно
такой — более широкий, чем прежде,— взгляд на
положение дел в механике континуума привел Д'Аламбера и
Эйлера в пятидесятых годах XVIII в. к построению
математического базиса теоретической гидродинамики, хотя
методы, с помощью которых они осуществляли свою
программу, были по сути дела заимствованы из
традиционной гидравлики, модифицированной Даниилом Бернулли
в гидравлико-статику.
4 Euler L. Inquisitio physica in causam fluxus ac refluxus maris.
Paris, 1741, § 75.
247

Таким образом, ё сороковых-пятидесятых годах
XVIII в. исследования глобальных проблем — проблемы
тяготения и связанных с нею проблем морских
приливов и отливов, задач небесной механики и других —
получили новый стимул. В свою очередь они оказали
положительное воздействие на многие смежные области
естествознания (в том числе и теоретическую
гидродинамику), оживили многие традиционные подходы к
решению старых классических задач, еще более укрепили
свои исходные положения, восходящие к Ньютону.
Получив вместе с Эйлером, Маклореыом и малоизвестным
французским ученым А. Каваллери приз Парижской
академии наук за свою работу о приливах5, Даниил
Бернулли завершил ее словами: «Если я и добился
некоторого успеха, то я должен это отнести к чести
ученого философа [Ньютона], это именно он дал нам
возможность обоснованно рассуждать об этих вопросах»6.
Сообщая в письме к Эйлеру от 30 апреля 1740 г.
о результатах конкурса, о том, что премия разделена на
четыре части, Д. Бернулли называет в числе
награжденных Эйлера, Маклорена и себя. По поводу же
четвертого (Каваллери) он иронически замечает, что его
единственная заслуга состоит в том, что он не является
противником картезианства в вопросах теории тяготения.
Причем сказано это было в таком тоне, который может
навести на мысль, будто сам Бернулли был ярым
противником Декарта в отношении теории тяготения. Он
действительно и в письмах, и в различных публикациях
всегда использовал даже самый незначительный повод,
чтобы противопоставить себя Декарту. При этом он
всюду стремился подчеркнуть, что является последователем
Ньютона. Об истоках такой привязанности к
ньютоновским идеям уже не раз говорилось в предыдущих
главах. Эта приверженность доходила порой до такой
степени, что Бернулли резко критиковал Эйлера за
недостаточное, по его мнению, внимание к
основополагающим идеям его кумира. 20 января 1742 г. в письме,
посвященном разбору призового очерка Эйлера по
теории приливов, Даниил Бернулли пишет: «...можно
пожалеть доброго старого Ньютона, который у вас не
только не находит места наряду со всеми этими «знаменитей-
5 Bernoulli D. Traite sur le flux ct reflux de la mer. Paris, 1740.
6 Цит. по ст.: Смирнов В. И. Даниил Бернулли, с. 455.
248

шими» Гольдбахами, Бильфиыгерами и т. д., но вы
говорите о нем даже с полным презрением. Как истинный
друг, я считаю себя обязанным написать вам об этом,
так как это вызывает возмущение многих ученых; мне
известно, что если бы ваша работа «О морском
волнении» не была признана столь безукоризненно хорошей,
какой и я ее признаю, то вы не получили бы ни
частицы премии, так как репутация Ньютона стоит теперь
так же высоко во Франции, как и в Англии... Мне
хорошо известно, как мало у вас оснований быть довольным
англичанами, которые вместо того, чтобы почитать вас
как истинное украшение нашего века, презирают все и
всех; но я уверен, что, если бы великий Ньютон был еще
в живых, он говорил бы о вас совсем в ином тоне» 7.
Все сказанное может навести на мысль, что по
крайней мере в вопросах теории тяготения Даниил Бернулли
был последовательным ньютоыианцем. Напомним, что сам
Ньютон, впервые в достаточной мере полно и ясно
сформулировавший основы теории тяготения в
«Математических началах», считал нелогичным предположение о
существовании некоего «носителя» тяготения, вводя таким
образом гипотезу дальнодействия. Правда, эта позиция
была у Ньютона не единственной: он занимался также
разработкой гипотезы эфира в духе Декарта, который
развил последовательную концепцию тяготения в рамках
гипотезы сплошности. Декарт предполагал
существование в окружающем пространстве особой среды —
тончайшего эфира, находящегося в непрерывном круговом
движении. Вращаясь вокруг Земли с высокой скоростью,
этот эфир, согласно его воззрениям, оттеснял все
весомые тела по направлению к центру Земли подобно тому,
как оттесняются чаинки к центральной оси стакана с чаем
при помешивании ложкой. Опыты, аналогичные
приведенному примеру со стаканом чая, были очень
популярны в XVII в. (ими занимались Декарт, Ньютон,
Гюйгенс и* др.).
Нечто подобное обнаруживается и у Даниила
Бернулли. Его подход к анализу проблемы тяготения —
чисто гидродинамический, и не случайно результаты его
исследований были впервые опубликованы именно в
«Гидродинамике». Рассмотрению этих вопросов посвящена
7 Там же, с. 453—454.
249

одиннадцатая часть сочинения, па которой мы вкратце
остановимся.
С того времени, начинает свои рассуждения Д.
Бернулли, как Кеплер и Декарт ввели в механику вихревую
модель для объяснения различных явлений природы8,
многие исследователи не раз пытались с большим или
меньшим успехом использовать ее для решения задач.
Первым, кто действительно проник в сущность
проблемы вихревого (кругового) движения в целом, Бернулли
называет Христиана Гюйгенса, имея в виду его трактат
«Рассуждение о тяжести». Своей целью Даниил ставит
развитие этих идей и применение их при построении
собственной модели тяготения. Анализ распадается на
два случая: случай жидкостей, приведенных в состояние
вихря, и случай жидкостей, содержащихся в
движущихся сосудах. Все движения предполагаются при этом
установившимися. Используя теоремы Гюйгенса и Ньютона
о круговом движении, Бернулли рассматривает
задачу о вращении жидкости внутри вертикального
цилиндрического сосуда вокруг его оси и исследует изменение
конфигурации свободной поверхности. Общий вид
уравнения свободной поверхности с учетом осесимметрич-
ности представляется следующим:
dx=2Vdy/y,
где х, у — ордината и абсцисса произвольной точки
свободной поверхности относительно центральной точки дна
сосуда, принятой за начало координат; V — высота,
соответствующая вращательной скорости элемента свободной
поверхности в точке (х, у).
Далее рассматривается задача о движении тел (тела),
вовлеченных в вихрь. Для простоты исследуется случай
движения изолированного малого шарика, имеющего
тот же удельный вес, что и завихренная жидкость.
Движение этого шарика вызывается двумя силами:
касательной, возникающей вследствие натиска жидкости,
и центростремительной, которая вызывается вращением
жидкости. При этом Бернулли придерживается точки
зрения, согласно которой касательная сила всегда пре-
8 Точнее, эта модель вихревого, или кругового, движения имеет
более глубокую историю и восходит по меньшей мере к
Аристотелю, впервые развившему стройную по тем временам
теорию «совершенных» круговых движений (планет по
орбитам).
250

восходит центростремительную, Ёопрекй
распространенному контраргументу, будто «легкая материя,
приведенная быстро в состояние вихря, может вытеснить тела
по направлению к оси». В этой связи автор замечает:
«...несмотря на то, что эти утверждения мне известны,
я все-таки сомневаюсь в них после того, как выяснил,
что касательная сила почти бесконечно больше
центростремительной. А не лучше ли будет справиться с этим
затруднением, если мы допустим существование около
одной и той же оси двух противоположных и равной
мощности вихрей? Ибо мне кажется, что очень многие
явления природы не могут быть приведены в согласие
с гипотезой вихрей, если только мы не допустим, что
два или большее количество вихрей могут весьма
свободно взаимно перемещаться в каком угодно
направлении. По крайней мере уже одно всеобщее взаимное друг
к другу тяготение небесных тел, которое не может быть
взято под сомнение, в достаточной мере показывает, что
следует либо распроститься с вихревой гипотезой, либо
допустить совершенно свободное перекрещивание
многих вихрей во всех направлениях. Следовательно, если
вообразить два противоположных вихря одинаковой
мощности около одной и той же оси, то тогда
противоположные натиски уничтожили бы касательные силы обоих
этих вихрей, но вместе с тем оба вихря действовали бы
совместно в оттеснении тела по направлению к оси»9.
Затруднение, возникающее при использовании модели
двойного вихря и заключающееся в том, что в этом
случае имеет место не центр, а ось тяготения, Даниил Бер-
нулли устраняет предположением о наличии не одной,
а двух или более взаимно перпендикулярных осей
вращения с четырьмя или более вихрями равной мощности10.
Поскольку опыт свидетельствует об отсутствии
сопротивления со стороны бесконечного множества вихрей,
заполняющих вселенную, то отсюда следует, что
вихревая материя должна иметь чрезвычайно «разреженную
и тонкую» структуру и обладать «такой скоростью,
какую человеческая мысль едва может постичь, ибо чем
9 Бернулли Д. Гидродинамика, с. 347.
10 Эти идеи были подробно изложены Даниилом Бернулли в
его очерке, получившем премию Парижской академии на
конкурсе 1732 г. (Recherches physiques et astronomiques sur
Finclinaison mutuelle des planetes.— Recueil des pieces qui ont
remporte le prix de l'Academie des sciences. Paris, 1733—1734).
251

более жидкость разрежена, тем более быстрым, по
необходимости, мы должны представить себе ее движение» и.
Далее следует объяснение свойств тяготеющих тел
в рамках вихревой гипотезы Даниила Бернулли:
равенства скоростей падения разных тел (независимость
скорости падения от массы) и связанной с этим
изохронности колебаний маятников — различных по массе, но
одинаковых по длине. Здесь же обсуждается вопрос
о наличии эффективной твердой субстанции вещества,
в связи с чем вводятся понятия «весомых частиц» и
«твердого вещества». (Здесь мы не будем подробно
останавливаться на всех рассмотренных Даниилом Бернулли
свойствах тяжелых тел, так как его рассуждения
сейчас представляют только исторический интерес.)
Собственно механизм тяготения Д. Бернулли описывает в
рамках построенной им модели следующим образом:
«Итак, допустим, что имеется покоящееся в вихревой
жидкости тело, которое не пропускает через свои поры
никаких частиц жидкости. Тогда тело будет стремиться
к центру вихря и его центростремительная сила будет в
точности равна центробежной силе вихревой жидкости,
которая ^находилась бы в подобном же объеме на
таком же расстоянии от центра. Таким образом, любые
тела, расположенные на схожем месте вихря, обладают
одинаковой центростремительной силой, если они имеют
одинаковый объем, хотя бы количества вещества в
отдельных телах и были сколько угодно неравными, и
если бы подобного рода тела могли свободно двигаться по
направлению к центру вихря, то они уносились бы с
неравными скоростями, а именно — со скоростями,
обратно пропорциональными корням квадратным из
количеств веществ, если пройденные пути равны»12. Этим
завершается «попутное изложение рассуждений о
природе вихрей и об их применении к явлениям тяготения».
Позже Даниил Бернулли не раз возвращался к
проблеме моделирования тяготения. Эта тематика
определенно нравилась ему. «Мне очень приятно,—писал он в
апреле 1740 г. Эйлеру в Петербург,— что вы не
отвергаете моих несколько лет назад высказанных идей
объяснения причины тяготения бесконечными вихря-
11 Бернулли Д. Гидродинамика, с. 348—349.
12 Бернулли Д. Гидродинамика, с. 349.
252

ми»13. И, спусти четыре года, снова: «Я радуюсь, что
вам так нравится мысль о сопротивлении эфира...
Впрочем, я полагаю, что эфир имеет так же тяготение к
солнцу, как воздух к земле; я не могу скрыть от вас, что
в этих вопросах я ныотонианец чистейшей воды, и я
удивляюсь, что вы все еще продолжаете держаться за
принципы Декарта; и здесь играет роль какое-то ваше
влечение к этой теории. Если господь Бог мог создать
душу, природа которой непонятна, то он мог также
снабдить материю всеобщим притяжением, хотя такое
притяжение и выше нашего понимания; наоборот, в
принципах Декарта всегда заключено нечто, что противоречит
нашему пониманию» 14.
В 1748 г. Даниил Бернулли предпринимает
попытку совместного рассмотрения двух предметов его
увлечений разных лет — теории живых сил и теории
тяготения. В своем берлинском мемуаре «Замечания о
принципе сохранения живых сил, взятом в общем смысле»
он распространяет закон сохранения живых сил на
общий случай переменного поля тяготения. В начале
работы автор указывает, что в обычном своем виде,
восходящем к Лейбницу и Гюйгенсу, принцип живых сил
справедлив в постоянном поле тяготения, и говорит
далее, что при надлежащей модернизации его можно
использовать и в поле тяжести, зависящем от положения
точки (тела).
Исходным в рассуждениях Даниила Бернулли
является принцип живых сил, формулируемый им в
следующем виде: «Пусть имеется несколько тел, образующих
систему, так что никакое тело не может двигаться
независимо от других. Если каждое тело находится под
действием какого-либо переменного притяжения, то я
утверждаю, что сохранение живых сил
устанавливается следующим образом. Обозначим массы тел через
т, т ,... и их скорости через v, v',... и будем
рассматривать затем каждое тело изолированным от
системы и положим, что оно, подверженное притяжению,
выходит из начальной точки и приходит в конечную
точку, описывая какой угодно путь; легко определить
скорость, которую должно будет иметь это тело,
изолированное от системы»15. Если эти скорости обозначить
13 Цит. по ст.: Смирнов В, И. Даниил Бернулли, с. 455.
14 Там же, с. 454.
15 Там же, с. 471.
253

через и, и! , , то равенство, выражающее закон
сохранения живых сил будет иметь вид
mv2+m'v'2+ ... =
Далее автор рассматривает задачу о движении тела из
начального положения А в конечное положение С в поле
неподвижного притягивающего центра Е, действующего
на движущееся тело с силой притяжения | = £ (г), где
г — расстояние от тела до центра тяготения. Если
принять (как это делает Д. Бернулли), что тело сначала
движется вдоль прямой ЛЕ до некоторой точки D, а
затем перемещается по окружности с центром в Е в
конечное положение С, то закон сохранения живых сил
можно будет записать в виде
= — 2m §l(r)dr. (1)
Здесь принимается во внимание то обстоятельство, что
при движении по дуге DC скорость тела, как считает
Бернулли, остается постоянной, и поэтому в формуле (1)
учитывается только лишь движение вдоль прямой АЕ.
Автор указывает далее, что в соотношении (1) надо
добавить постоянную интегрирования, которая учитывает
начальное положение и начальное значение живой силы.
В случае, когда в начале был покой и \ (г) = fcVr2,
Бернулли записывает закон сохранения живых сил для
нескольких материальных точек, находящихся в поле
неподвижного центра тяготения Е:
mv* + «V + .. .=2m(£-bl) + 2»'(£-£) , (2)
где а, а ,... — начальные расстояния точек от
притягивающего центра; х, х ,... — конечные расстояния.
Интересен более сложный вариант, рассмотренный
Даниилом Бернулли, когда центр Е предполагается
подвижным и, таким образом, задача о притяжении тел к
центру переходит в задачу о взаимном притяжении тел.
Для случая двух тел, подчиняющихся закону тяготения
Ньютона, Бернулли выводит теорему, согласно которой
живая сила остается постоянной при любом пути
перехода от начального расстояния а до конечного
расстояния х, так что можно, например, считать одно тело
неподвижным, а другое приближающимся к нему по пря-
254

мой. При начальном покое закон сохранения живых сил
принимает у Д. Бернулли вид
) (3)
где \х и р — некоторые константы.
Интерес к проблемам тяготения сохранялся у
Даниила Бернулли в течение почти десятилетнего периода
с момента выхода в свет «Теории фигуры Земли» Клеро.
Даниил был одним из самых активных участников
дискуссии по вопросам теории тяготения, начало которой
было положено исследованиями Мопертюи и Клеро.
В значительной мере благодаря энтузиазму этих двух
ученых проблема тяготения по меньшей мере в течение
десятилетия не сходила с повестки дня и продолжала
возбуждать умы виднейших математиков и физиков
первой половины XVIII в. Не ограничиваясь
теоретическими трудами, они, в частности, совершили путешествие
в Ботнический залив с целью экспериментального
определения формы земного шара; об этом сообщал в одном
из своих писем к Эйлеру Даниил Бернулли (см. гл. 15),
рекомендуя и ему принять участие в экспедиции.
Бернулли высоко ценил талант Клеро и не раз
подчеркивал свое доброе и уважительное отношение к нему.
Когда в Петербургской академии по инициативе Эйлера
был объявлен конкурс на лучшую теорию фигуры Луны,
то ни у кого не было сомнений, что приз будет вручен
Клеро. 26 января 1750 г. Даниил Бернулли писал в
связи с этим Эйлеру в Берлин: «Хотя я еще не видел
теории луны господина Клеро, но я не могу отказать себе
в высказывании априорного взгляда. Я знаю, какой он
способный человек, и притом, что важнее всего, я
вполне убежден в удовлетворительности теории Ньютона» 1в.
Бернулли чутко реагировал на любое сообщение,
любое высказывание, свидетельствующее в пользу
гипотезы тяготения Ньютона, именно гипотезы, поскольку сам
Ньютон не высказывался с абсолютной уверенностью
в том, что тяготение, подобно инерции, является
врожденным свойством тел («...я не утверждаю, что
тяготение существенно для тел»,—подчеркивал осторожный
Ньютон в третьей книге «Математических начал»).
И своей задачей (а также задачей всех, занимающихся
16 Цнт. но ст.: Смирнов В. И. Даниил Бернулли, с. 454.
255

этой проблемой) Даниил Бернулли считал прежде всего
по возможности строгое доказательство этой гипотезы.
Говоря об экспериментах П. Буге в начале своей
работы «Различные размышления, касающиеся общей
физики», Бернулли отмечал, что Буге «полностью доказал
гипотезу Ньютона о том, что тяжесть есть эффект
притяжения материи землей, гипотезу, о которой заурядные
люди не имели никакой идеи, которая кажется смешной
философу, руководимому принципами Декарта, и
которая несомненна для тех, которые изучали природу и
свободны от предвзятых мнений,— гипотеза, достойная
великого Ньютона. Действительно, мир не мог бы
существовать таким, какой он есть, если бы не было
универсального притяжения материи, которое всемогущество
создателя сообщило материи способом, непостижимым
для людей, и которое не может быть произведено само
собой материей и движением, ибо если бы во вселенной
существовали бы только материя и движение, то это
движение, каким бы оно ни было, необходимо стремилось бы
удалить частицы друг от друга, и мир рассеялся бы.
Таким образом необходимо, чтобы существовала
нематериальная сущность, которая побуждает постоянно материю
сближаться в то время, как движение отдаляет
частицы друг от друга» 17.
Конец первой половины XVIII в. принес Даниилу
Бернулли немало огорчений. Как уже говорилось, к
этому времени его контакт с Эйлером начал ослабевать.
Бернулли не мог без ревности видеть сближение своего
старого друга с Клеро, Д'Аламбером, Мопертюи и
многими другими — сближение, которое впечатлительный
Даниил квалифицировал не иначе как измену. Союз
слишком экспансивного Даниила Бернулли и слишком
дипломатичного Эйлера не мог быть бесконечно длительным.
Занимаясь подготовкой и организацией конкурса
Берлинской академии на лучшую теорию ветров, Эйлер,
возглавлявший в то время математическое отделение
академии, готовил этот конкурс, отчасти имея в виду
Д'Аламбера. Между тем Даниил Бернулли бесспорным
специалистом в этом вопросе считал именно себя, и его
совершенно обескуражило присуждение премии Д'Алам-
беру. Чтобы скрыть «позор поражения», Даниил попро-
17 Цит. по ст.: Смирнов В. И. Даниил Бериулли, с. 454—455.
256

сил Эйлера при опубликовании его (Бернулли)
сочинения не указывать на титульном листе имени. В таком
виде оно и было издано18. Об очерке Д'Аламбера,
получившем приз академии, Д. Бернулли отзывался
совершенно однозначно: «Его статья о ветрах
бессодержательна, и тот, кто прочтет все, будет знать о ветрах ровно
столько, сколько знал до начала чтения книги», хотя
в другом, более раннем письме к Эйлеру он говорил, что
признает решение жюри вполне правильным.
Между прочим, критика Даниилом Бернулли
сочинений Д'Аламбера, посвященных прикладной
математике (как чистого математика Даниил Бернулли вполне
уважал Д'Аламбера и не раз заявлял об этом), оказала
известное влияние на Эйлера: в конкурсе Берлинской
академии наук 1748 г. о теории сопротивления
жидкостей Эйлер забраковал бесспорно талантливое сочинение
Д'Аламбера за чрезмерно абстрактный подход в
решении прикладных вопросов. Впрочем, здесь сыграли
роль и ухудшившиеся по различным мотивам
взаимоотношения между Эйлером и Д'Аламбером.
Глава 17
Прикладная математика
В истории механики наступил качественно новый этап,
после того как загадки вихревых движений, поражавшие
еще воображение Аристотеля (который называл круговые
движения «совершенными»), были раскрыты сначала
Гюйгенсом и Ньютоном, а затем Даниилом Бернулли и
другими учеными. Всеобщее увлечение проблемами
вращательного движения в сороковых и пятидесятых годах и
интенсивная разработка проблем небесной механики
имели исключительные последствия даже для такого
бурного, наполненного важнейшими научными событиями
времени, каким был XVIII век.
18 [Bernoulli D.]. Recherches physiques et mathematiques sur la
theorie des vents regies. Sujet propose par l'Acad. roy. des
sciences pour 1746. Berlin, 1746.
9 Заказ M 838 257

Знаменитая теория вращения абсолютно твердого
тела, созданная Эйлером в пятидесятых годах и
вошедшая теперь во все учебники по теоретической механике
как эталон логического совершенства и математической
красоты, родилась в ходе решения глобальных проблем
небесной механики. В ее задачах реализовались
уникальные свойства волчка, приведенного во вращение, свойства
прецессии, нутации и прочие регулярные (и именно
поэтому и вызывающие удивление и ощущение
«совершенства») особенности. Вращательное движение Земли, по
общему мнению лидеров математического естествознания
XVIII в., должно было подчиняться тем же законам
природы, что и движение элементарного волчка. Это
единство законов механики ободряюще действовало на
воображение ученых, и они с энтузиазмом приступили
к исследованию проблем небесной механики в ставшем
уже традиционным духе, т. е. в предположении как
жидкого движущегося в поле тяготения тела, так и тела
абсолютно твердого.
Одним из первых, кто занялся исследованием
проблемы вращательного движения абсолютно твердого тела,
был Д'Аламбер. В сороковых годах XVIII в. он
опубликовал в Париже работу, касающуюся определения натуцион-
ного движения небесных тел. В 1746 г. Даниил Бернулли,
занимаясь дальнейшей разработкой теории
вращательного движения, сформулировал закон сохранения момента
количества движения (третий закон сохранения), что
явилось существенным дополнением к ньютоновской
механике.
Однако только Эйлеру удалось придать вид настоящей
теории отрывочным, фрагментарным сведениям или просто
декларативным заявлениям в области исследования
вращательного движения абсолютно твердого тела. Это стало
возможным благодаря тому, что в пятидесятых годах им,
наконец, был построен базис теоретической механики,
в основе которого лежал «единственный закон механики»,
имевший принципиальное значение для всех
последующих открытий, в том числе для развития теории
вращения1. Главным здесь, пожалуй, было четкое проведение
1 Первая работа, в которой Эйлер, подобно Даниилу Бернулли,
сформулировал закон сохранения момента количества
движения, вышла в 1746, г., но именно пятидесятые годы XVIII в.
вошли в историю механики как годы максимальной
продуктивности в смысле разработки синтетических, обобщающих
258

Эйлером грани между этим классом движений и классом
движений поступательных, рассмотрением которых в
первой книге «Математических начал» занимался Ньютон и для
которых он и сформулировал основной закон динамики,
выражающийся формулой F = mw. Для общего случая
чисто вращательного движения вопрос о применимости
этого закона оставался не вполне ясным. В своем
«Открытии нового принципа механики» (1750, опубл. 1752) Эйлер
указывал, что любое движение тела складывается из двух
компонент — поступательного перемещения и вращения,
законы которых вообще должны быть различными. Однако
в этой же работе Эйлера было показано (и это является
одной из его главных заслуг), что описание чисто
вращательного движения твердого тела относительно
неподвижной оси может быть сведено к тем же самым ньютоновым
уравнениям поступательного движения, которые в
специальной эйлеровой записи (отличающейся от записи
Ньютона) могут рассматриваться таким образом как
основные уравнения любого движения, т. е. «единственным
основанием всей механики и других наук, изучающих
движения любого рода тел» 2.
Поиск единого закона, охватывающего все виды
движений любых типов тел, совпал с периодом бурного
расцвета методов математического анализа. Не случайно
поэтому формальное выражение искомого закона, или
аксиомы (первого принципа), сводилось к его
аналитической формулировке в терминах языка математического
анализа. Ни интегральные формулировки, которые
сейчас представляются даже более универсальными, чем
инфинитезимальные, ни конечно-разностные (которые
благодаря Куранту, Фридрихсу, Леви и другим теперь
широко используются в общих вопросах механики,
например при доказательствах теорем существования и
единственности и т. п.) в то время, как правило, мало
интересовали ученых. Все их внимание было сосредоточено только
на методах анализа бесконечно малых. Это был настоящий
«аналитический бум» (подобный «численному буму» наших
дней, связанному с внедрением ЭВМ).
От поисков аналитической формы единого принципа
механики исследователи шли к всеобщей перестройке
теорий — теории движения абсолютно твердого тела, теории
движения жидкостей, теории дифференциального и
интегрального исчислений и т. д.
2 Euler L. Opera omnia, Lausannae, 1957, s. 2, v. 5, p. 88.
259 9*

всей механики в целом на основе математического
анализа.
Даниил Бернулли был одним из первых в ряду тех
естествоиспытателей, которые стали провозвестниками
новой эры в механике и которые активно занимались
культивированием аналитических методов в
теоретической механике. Причем подход этот не просто сводился
к последовательному применению методов анализа
бесконечно малых, открытого Ньютоном и Лейбницем,
которые сами мало использовали его в механике. Речь здесь
шла не об эпизодическом использовании инфинитези-
мальных методов в задачах механики, а о
систематическом введении их в механику, т. е. вплетении их во
внутреннюю структуру самой механики. Речь шла, таким
образом, не о применении некоторых частных методов
одной научной дисциплины в другой, а о синтезе двух
различных наук. В работах Даниила Бернулли и его
современников рождалась новая механика, отличная от
натурфилософских обобщений Аристотеля, хотя и
взявшая из них много ценного, от дискуссионной полемики
Галилея, от геометризированной механики Ньютона,—
механика нового образца, понимаемая как часть
математики.
Высшей формой проявления нового стиля в механике
стала опубликованная в 1788 г. «Аналитическая механика»
Лагранжа, который демонстративно подчеркивал, что
в его книге нет ни одного рисунка и что методы,
изложенные в ней, не требуют каких-либо наглядных
геометрических построений или механических аналогий, и нужно
лишь последовательно проводить единообразные
выкладки, чтобы овладеть предметом механики в полном
объеме. Такой подход вскоре принял характер четко
обозначенной тенденции. Механика XIX в. развивалась под
знаком этой декларации исследователей XVIII в.
В 1900 г. на II Международном математическом
конгрессе Давид Гильберт сформулировал свои знаменитые
«Математические проблемы», шестая из которых касалась
вопроса об аксиоматическом построении физики, в
частности механики. С этого момента сформулированная
Гильбертом программа математизации (аксиоматизации)
физики стала пониматься как рабочая программа для
огромной армии исследователей. Гильберт сказал в полный голос
с высокой трибуны то, что начали систематически
проводить в жизнь уже Д. Бернулли, Эйлер, Д'Аламбер и их
260

Современники и что эпизодически пытались делать и и*
предшественники, особенно Ньютон и Гюйгенс, а еще
ранее Галилей.
Однако подробный анализ творчества Даниила Бер-
нулли убеждает в том, что все-таки в первую очередь он
был физиком, а не математиком. Бернулли сам не раз
заявлял об этом. О своей «Гидродинамике» он говорил
как о трактате скорее физическом, чем математическом,
т. е. его построение существенно отличалось от
традиционного с обязательными атрибутами (определениями,
постулатами, теоремами, следствиями и т. д.). В этом трактате,
писал Д. Бернулли, «я решил не слишком гнаться за
геометрическим методом в предварительном изложении
допущений, определений и прочих подготовительных
соображений и не придерживаться повсюду порядка
изложения геометров, которые обычно всякий вопрос
начинают с самого начала, строят ряд предложений и
обрабатывают все в таком порядке, чтобы из первых
предпосылок все в отдельности правильно вытекало, и не оставляют
ничего недоказанным, хотя бы это было доказано
многими другими. У меня не было этой заботы по отношению
к тому, что было дано другими, будь то определения,
аксиомы или даже теоремы. Однако я доказываю все, что
является новым, а в первой части привожу даже
доказательства таких теорем, которые были в разных местах
доказаны другими. Когда встретятся какие-нибудь
термины, которых другие не объясняли или не применяли,
то я буду давать их определение в самом тексте.
Остальное я буду излагать либо в стиле геометров — в форме
предложений, теорем, задач, следствий и пояснений, либо
просто в виде рассуждения» 3.
Иногда кажется даже, что Даниил Бернулли вообще
не признавал чистую математику. Доля истины в этом
есть, хотя такое представление в значительной мере
объясняется повышенной эмоциональностью Бернулли.
В письме к Эйлеру от 26 января 1750 г. он писал: «Для
реальной физики было бы лучше , если бы математики
вовсе не существовало на свете» 4. Чрезмерную
категоричность Даниила можно понять, если принять во
внимание, что в этом письме он обрушивается с резкой крити-
3 Верпулли Д. Гидродинамика, с. 34.
4 Цит. по ст.: Смирнов В. И. Даниил Бернулли, с. 452.
261

кой в адрес своего вечного оппонента — Д'Аламбера,
упрекая последнего в «недостатке чувства реальности».
Подобные упреки в чрезмерной приверженности к
вопросам чистой науки, например теории чисел, Даниил
Бернулли высказывал также и в адрес Эйлера. В письме
К Николаю Фуссу 18 марта 1778 г. Д. Бернулли писал:
«То, что вы мне сообщаете как о себе, так и о г-не Эйлере,
несомненно относится к бесконечно более высокой
области. Я имею в виду изящную теорему Эйлера о простых
числах и его новый способ исследования любого
предлагаемого числа, как бы велико оно ни было, простое ли
оно или нет. То, что вы потрудились сообщить мне по
этому вопросу, мне показалось очень тонким и достойным
нашего великого маэстро. Но не находите ли вы, что
простым числам уделяется слишком большая честь тем, что
на них истрачено столько богатств ума; не есть ли это
дань утонченному вкусу нашего века?»5 Показательно,
что за год до этого в письме к тому же адресату Бернулли
с восторгом отзывался о технических изобретениях
русского механика-самоучки Кулибина.
Таким образом, вопросы прикладной математики
в творчестве Д. Бернулли на протяжении всей его долгой
жизни превалировали над чистой математикой, так что
его можно с достаточным основанием назвать одним из
основоположников прикладной математики.
Последовательно проводя четкую грань между теоретическими и
прикладными аспектами математики, он тем самым
фактически определил прикладную математику в системе
теоретического естествознания в целом, выделил ее в
самостоятельную область науки.
Разумеется, в многочисленных заявлениях Даниила
Бернулли, подобных приведенным выше, чувствуется
влияние идей Иоганна Бернулли, которому принадлежит
знаменитое обращение к «умнейшим геометрам» Европы
с предложением решить задачу о брахистохроне (1696).
Это обращение содержало, в частности, следующие слова:
«Для того, чтобы вызвать интерес со стороны любителей
подобных вопросов и побудить их охотнее предпринять
попытку разрешения указанной задачи, довожу до их
сведения, что эта задача не сводится к пустой умственной
спекуляции, лишенной какого бы то ни было
практического значения, как это может кому-либо показаться.
5 Там же.
262

В действительности она представляет большой
практический интерес и притом, кроме механики, также и для
других дисциплин, что может всем показаться
неправдоподобным» 6.
И тем не менее Даниила Бернулли следует все-таки
признать первым из тех, кто стал систематически
реализовать заключавшуюся в цитированных словах его отца
программу. Пожалуй, только сейчас можно по-настоящему
оценить сделанное Даниилом Бернулли. Как мы видели,
уже в юношеские годы он стал заниматься практическим
применением математических методов к медицине.
Значительную роль в формировании практических склонностей
у Д. Бернулли сыграли и регулярно объявлявшиеся
конкурсы европейских академий, приобщавших ученых к
актуальным вопросам практики. Однако решающее значение
в этом, бесспорно, принадлежит петербургскому периоду
жизни и творчества Д. Бернулли, поскольку в
Петербургской академии все было подчинено практической
направленности. Именно оттуда берет свое начало устойчивый,
никогда не покидавший Бернулли интерес к прикладным
вопросам математики.
Важность шага, сделанного Даниилом Бернулли в
направлении соединения методов математического анализа
с тем, что принято называть инженерной практикой,
исключительна. Для выполнения этой задачи необходим был
именно тот высокий профессиональный уровень, именно
та степень математической подготовленности, которой
обладал Даниил Бернулли и о которой позволяет судить
знакомство с его математическими исследованиями.
Как было показано ранее, уже в 1724 г. Даниил
Бернулли открыл случаи, когда специальное уравнение Рик-
кати допускает разделение переменных. В 1725 г. по
приезде в Петербург он вместе со своим братом Николаем,
также активно занимавшимся проблемой интегрирования
дифференциальных уравнений типа Риккати, обращается
к линейным уравнениям. В 1732 г. в третьем томе
петербургских «Комментариев» выходит статья Бернулли,
посвященная проблеме решения таких уравнений.
Впоследствии, в сороковых — пятидесятых годах, он снова
возвращается к вопросу интегрирования линейных уравнений.
На этот раз его исследования носят уже откровенно
прикладной характер и конкретно применяются к теории при-
6 Цит. по кн.: Вариационные принципы механики / Под ред.
Л. С. Полака. М.: Физматгиз, 1959, с. 11.
263

ливов. В работе 1740 г., написанной для конкурса
Парижской академии наук, Даниил Бернулли параллельно и
независимо от Эйлера разрабатывает основы оригинального
метода, который известен теперь как метод вариации
произвольных постоянных при решении дифференциальных
уравнений второго порядка и обычно связывается с
именем Лагранжа. Следует заметить, что в указанной работе
Даниила Бернулли этот метод был представлен в
несколько более общем виде, чем в работе Эйлера, который
варьировал не все входящие в уравнение величины. Позднее
этот метод был всесторонне пересмотрен Лагранжем в
его работах 1762, 1765 и 1775 гг., который и дал методу
его современное название. Примерно к этому же времени
относится разработка Даниилом Бернулли (одновременно
с Эйлером и независимо от него) метода интегрирования
линейных обыкновенных однородных дифференциальных
уравнений второго порядка с постоянными
коэффициентами — метода, ставшего впоследствии классическим. Однако
указанный метод носит имя Эйлера, поскольку мемуар
Даниила Бернулли был опубликован лишь в 1751 г., т. е.
на восемь лет позже работы Эйлера.
К петербургскому периоду жизни Д. Бернулли
относится разработка теории рекуррентных рядов, начатая им
еще в «Математических упражнениях» (1724). В 1728 г.
в «Комментариях» была опубликована первая серьезная
работа Даниила в этом направлении, а спустя десять
лет — вторая. Впоследствии Бернулли не раз возвращался
к этой важной тематике, занимавшей многих математиков
того времени. В этой области ему удалось получить много
интересных результатов. Имя Даниила Бернулли вообще
очень хорошо известно специалистам по теории
бесконечных рядов. С этими его исследованиями связана одна
любопытная деталь. В 1729 г. в письме к Гольдбаху
Бернулли вплотную подошел к тому, что теперь называют гамма-
функцией Эйлера (или вторым эйлеровым интегралом).
В этом письме Бернулли, в частности, указал, что общий
оо
член ряда 23 и' имеет вид
1
i-Г М - -
2/ \i + x 2 + х 3 + х A — i + x
где х — целый или дробный индекс, а А — «бесконечное
264

Число» \ Непосредственно всЛеД за этим 9йлер приступил
к разработке общей теории гамма-функции.
Более подробно речь о математических работах Д. Бер-
нулли будет идти в следующих главах; здесь же,
резюмируя, еще раз подчеркнем, что все его исследования по
математике в целом характеризовались стремлением найти
практическое применение, конкретный выход результатов
этих исследований. Вместе с многочисленными и
разнообразными но характеру работами Иоганна Бернулли,
Эйлера, Д'Аламбера, Тейлора, Маклорена и других
исследования Д. Бернулли, относящиеся к первой половине
XVIII в., положили начало новому направлению точного
естествознания — прикладной математике во вполне
современном значении этого термина.
Значение произведенной названными учеными
переориентации математической мысли в практическом —
инженерном — направлении трудно переоценить. На этом
этапе развития науки был положен конец бытовавшему
в механике эпохи Джонатана Свифта противопоставлению
«механики практиков» и «практики механиков»8, когда
существовали в почти совершенной независимости и
изоляции друг от друга наука университетская
(схоластическая) , с одной стороны, и практика ремесленников, людей
практического склада — с другой. Если какое-то
взаимодействие между ними и имело место, то оно
осуществлялось скорее в направлении от практики к науке, а не
наоборот. Именно идеи практиков, базировавшиеся на
соображениях здравого смысла, питали в известной мере
академическую науку, оплодотворяли ее, в то время как
обратный ход идей (их внедрение в практику) стоял на
втором плане. Работы Бернулли и его современников
способствовали коренному изменению такого положения
вещей.
7 Correspondance mathematique et physique, t. 2, p. 325.
8 Боголюбов А. Н. Практика механики и механика практиков
(из истории науки и техники XVIII в.).—В кн.: Механика и
физика XVIII в. М.: Наука, 1976, с. 58—117.
265

Глава 18
Линейные колебания
К жемчужинам научного наследия Даниила
Бернулли относится теория линейных колебаний — «малых
дрожательных изохронных движений, от которых зависит
вся акустика и, пожалуй, сама оптика» *, и тесно
связанная с ней теория бесконечных рядов. Сочинения Бернулли,
посвященные разработке этих проблем, представляют
собой лучшую иллюстрацию, лучшее подтверждение его
методологической позиции математика-прикладника. То, что
было сделано им в течение полувекового периода (с 1727
по 1778 г.), а также д'Аламбером, Эйлером и Лагранжем,
составляет основу современной математической физики.
Первым, кто подвел Даниила Бернулли к этой
тематике, был его отец. В 1727 г. Иоганн Бернулли отправил
в Петербург два письма, в которых обратил внимание сына
на одну очень интересную работу английского математика
Бенджамина Тейлора. Исследования Тейлора,
относящиеся к 1713 г., привлекли внимание И. Бернулли не
случайно. Метод решения, предложенный в «рудиментарной
форме» Тейлором, был не просто новым и оригинальным — он
давал мощное орудие (это Иоганн понял сразу) в решении
целого класса качественно новых нестационарных задач.
По своему физическому характеру все эти задачи
исходили из классической проблемы, поставленной впервые
Галилеем и состоящей в отыскании формы находящейся в
равновесии тяжелой однородной нити. Решение этой
задачи впервые было дано Д. Грегори, показавшим, что
искомой кривой является цепная линия. Вскоре от
стационарных задач указанного типа исследователи стали
переходить к нестационарным, что стало возможным после
выдающихся успехов механиков XVII в., прежде всего
X. Гюйгенса, в построении теории математического
маятника. Возникновение нового направления в механике
XVIII в.— теории колебаний упругих кривых — стало, та-
1 Так определил значение теории линейных колебаний Д.
Бернулли в одной из поздних своих работ «О колебаниях струн,
состоящих из двух частей, не равных между собою как по
длине, так и по толщине» («De vibrationibus chordarum ex
duabus partibus...».— Novi comm. Petrop., 1772, 16, p. 257—280).
266

ким образом, результатом синтеза теории равновесия
материальных (весомых) кривых и теории линейных
колебаний математического маятника.
Суть идей основоположника указанного направления
Бенджамина Тейлора заключалась в следующем (при
изложении этих идей мы будем использовать современную
терминологию и общепринятые обозначения). В своей
^работе 1715 г. Тейлор рассмотрел задачу о малых плоских
поперечных колебаниях закрепленной на концах упругой
натянутой однородной струны, выведенной из положения
равновесия и предоставленной затем самой себе. Он
нашел, что ускорение произвольно выбранной точки струны
обратно пропорционально радиусу кривизны в этой точке.
При условии, что колебания являются малыми, это
свойство колеблющейся струны можно в современном виде
записать линейным уравнением в частных производных
второго порядка
где х, у — декартовы координаты точки струны; t — время;
аг — постоянная, зависящая от физических данных.
Тейлор, а затем Иоганн Бернулли в статьях 1724 и
1732 гг., напечатанных в петербургских «Комментариях»,
не решив уравнения (1) в общем виде, указали, что струна
принимает форму синусоиды с зависящей от времени
амплитудой. Из рассуждений Тейлора следовало, что
существует бесконечно много синусоидальных форм струны. Но
его анализ проблемы, как и исследование И. Бернулли, был
далек от полноты. Общее решение уравнения (1) быйо
найдено только в конце сороковых годов XVIII в. Следует
добавить, что свои результаты Тейлор и Бернулли
выражали в устарелой символике и терминологии, так что само
уравнение (1) в их трудах отсутствовало.
Вскоре после того, как Иоганн Бернулли указал сыну
на упомянутую работу Тейлора, Даниил всерьез
заинтересовался этими вопросами. Приезд в Петербург Эйлера
и его первые доклады на заседаниях академической
Конференции, также посвященные вопросам колебания, еще
более стимулировали деятельность Д. Бернулли в этом
направлении. Одна за другой начали публиковаться его
работы по теории колебаний.
Как и при исследовании Любых проблем, с которыми
сталкивался Д. Бернулли, разработку теории колебаний он
267

начал с рассмотрения классических задач о колебаниях
маятников в духе Галилея, Гюйгенса, Ньютона, понимая
проблему механических колебаний максимально широко.
В круг его интересов входили всевозможные задачи о
колебаниях струн, математических и физических маятников,
маятников с конечным и бесконечным числом степеней
свободы. Всестороннему исследованию он подверг также
задачи о колебаниях жидкостей и воздуха в трубах,
колебаниях упругих стержней, рычажных весов и т. д.
Первой крупной работой Даниила Бернулли по теории
колебаний2 стала опубликованная в шестом томе
«Комментариев» статья об определении малых колебаний
грузов, связанных с подвешенной невесомой гибкой нитью
и — в пределе — малых колебаний однородной весомой
нити; вскоре вслед за этой работой вышла другая статья
Бернулли на эту же тему3. В первой из статей Бернулли
записывает уравнения для определения главных колебаний
рассматриваемой механической системы, выражающие
пропорциональность усилий, действующих на грузы и
отнесенных к единице массы, и малых отклонений от
положения равновесия, т. е. от вертикальной прямой,
проходящей через общий центр тяжести системы. С помощью
полученных соотношений Д. Бернулли выводит
алгебраическое уравнение для нахождения периода колебаний, т. е,
длины эквивалентного синхронного маятника, и
отыскивает отношение амплитуд колебаний грузов для каждого
корня указанного уравнения.
Интересен случай колебаний составного маятника,
вырождающегося при увеличении числа грузов до
бесконечности в тяжелую нить длины I. Сила, действующая на
элемент ds такой нити, согласно Бернулли, определяется
? ,dy (l — s) ddy
выражением \ а ^ —^ , где у — величина
отклонения точек колеблющейся нити от вертикального
положения равновесия. Приравнивание этой силы величине,
2 При нашем кратком рассмотрении трудов Д. Бернулли по
теории линейных колебаний, теории бесконечных рядов и
г теории вероятностей мы будем в основном придерживаться
цитированной выше статьи В. И. Смирнова «Даниил Бернул-
' ли (1700-1782)».
3 Bernoulli D. Theoremata de oscillationibus corporum filo flexili
connexorum et catenae verticaliter suspensae.— Comm. Petrop.,
1738, 6, p. 108—122; Demonstrationes theorematum suorum de
oscillationibus corporum filo flexili connexorum et catenae ver-
-'' tlcaliter suspensae.—Comm. Petrop., 1740, 7, p. 162—173. '
268

пропорциональной отклонению, приводит Д. Бернулли
к дифференциальному уравнению
dy
где п -— величина, обратно пропорциональная квадрату
частоты колебаний, умноженному на ускорение силы
тяжести, т. е. длина эквивалентного изохронного маятника.
Решение полученного уравнения (2) Бернулли
представляет в виде ряда
» XX2 Xs Xх
У ~ ~п "*" 4й2 ~~ 4.9.«8 •" 4-9.16-л* ~~' * "
который в современных обозначениях можно выразить
через цилиндрическую функцию y = Jo ( Т/ ~ ) •
С новой силой интерес Д. Бернулди к вопросам теории
колебаний .проявился под влиядием исследований Д'Алаэд-
бера и Эйлэра, относящиеся к концу сороковых годов
XVIII в. Первые статьи Д'Аламбера 1747 г. (опубликована
в 1749 г.) и Эйлера 1748 г. (опубликована в 1750 г.)
привели к следующему результату: «волновое» уравнение (1)
имеет общее решение вида
, y^(p(x+at)+q(x-at), (3)
где ф и i|) — произвольные функции, подчиненные
некоторым условиям. В каждом отдельном случае эти функции
могут быть определены при задании граничных условий
задачи
0(0,0-0, »(U)-0 (4)
(I — длина конечной струны) и ее начальных условий
„(*,<))=/(*), °ai%v=g(x). (5)
Вопрос о природе «произвольных функций», которые
могут входить в состав общего решения (3), тотчас стал
предметом долгого спора между Д'Аламбером и Эйлером,
в котором затем приняли участие почти все ведущие
математики второй половины XVIII в. Разногласия между
Д'Аламбером и Эйлером для нашего изложения
несущественны, и мы остановимся лишь на том этапе полемики,
Когда в нее вступил Даниил Бернулли, предложивший ре-
цшть Мдачу о струне с помощью так называемого теперь
269

принципа наложения (суперпозиции) элементарных
колебаний, применявшегося им и в некоторых более ранних
работах. Идея Бернулли, высказанная им в 1747—
1748 гг.4, заключалась в том, чтобы представить в
каждый данный момент форму колеблющейся струны, т. е.
решение уравнения (1), в виде бесконечного
тригонометрического ряда по синусам кратных аргументов
2/ = asin ^ + psin ^ + у sin ^ + ..., (6)
где а, р, у ... являются функциями времени t. Он
утверждал, что произвольная функция может быть представлена
рядом (6) при подходящем подборе коэффициентов. Но
доказать свое утверждение Д. Бернулли не умел, и это
обстоятельство лишало в то время его метод возможности
применения, а аргументацию убедительности5.
Предложение Бернулли, как и многие его лучшие идеи,
базировалось на чисто физических интуитивных соображениях,
заключающихся в том, что звук, издаваемый
колеблющейся струной, слагается из основного тона и бесконечной
совокупности обертонов.
Ни Д'Аламбер, ни Эйлер, ни впоследствии Лагранж не
отрицали ценности принципа наложения колебаний,
предложенного Даниилом Бернулли. Однако и Эйлер и Д'Алам-
бер высказали по поводу метода Бернулли соображения,
которые, как им казалось, опровергали его
универсальный смысл. Что касается Эйлера, то он еще пятью годами
раньше Бернулли предложил решение в виде
тригонометрического ряда для одного частного случая задачи о
колебании струны. Но у Эйлера и в мыслях не было
придавать этому результату сколько-нибудь обобщающее зна-
4 Это предложение было сформулировано Даниилом Бернулли
в двух статьях, опубликованных в трудах Берлинской
академии наук за 1753 г.: Reflexions et eclaircissemens sur les nou-
velles vibrations des cordes.— Mem. Berlin, (1753), 1755; Sur le
melange de plusieurs especes de vibrations simples isochrones,
qui peuvent coexister dans un meme systeme de corps.— Ibid.
5 Любопытно, что позднее, в 1777 г., Эйлер весьма элементарно
вывел формулы, позволяющие для функций, разложимых в
ряды вида (6) или в аналогичные ряды по косинусам,
находить их коэффициенты, позднее названные коэффициентами
Фурье, по имени французского математика, вновь их нашедшег
го в начале XIX в. (см.: История математики с древнейших
времен до начала XIX столетия / Под ред. А. П. Юшкевича.
М.: Наука, 1972, т. 3, с. 316). ' ' '•
270

чение. Согласно его точке зрения, рядом (6) может быть
представлена далеко не любая кривая. Кривая, которую
мы рисуем, говорил Эйлер, может в каждой точке пойти
произвольно, а ряд (6), будучи однажды записан, уже не
допускает никакого произвола; в частности, он уже с
самого начала заведомо предполагает, что функция должна
быть нечетной и периодической. Указав на пример, когда
начальному возмущению струны при £=0 подвержена
только некоторая ее часть, Эйлер использовал его в
качестве наглядного, как ему казалось, опровержения метода
Бернулли. В ответ на это Д. Бернулли в одном из писем
к Эйлеру утверждал, что эту задачу об определении
колебательного движения при произвольной начальной
конфигурации струны как раз можно решить его методом и
добавлял: «Но не в этого рода абстрактных вопросах, как
я утверждаю, моя новая теория может быть полезной.
Я больше удивляюсь тому сокровищу, которое было
сокрыто, а именно возможности привести движения,
которые существуют в природе и которые, как кажется, не
подчиняются никакому закону, к простым изохронным
движениям, которыми природа пользуется в большинстве
своих действий» 6.
Д'Аламбер также выдвинул свои возражения. По его
убеждению, невозможно исчерпать весь класс
аналитических функций путем какого угодно большого перебора
коэффициентов ряда (6). Сумма этого ряда всегда обязана
быть непрерывно дифференцируемой (гладкой), а
аналитическое выражение (например, вида "j/sin x) не
обязательно обладает таким свойством. В качестве примера,
опровергающего, по мнению Д'Аламбера, метод Бернулли,
он приводил случай, когда в начальный момент струна
отклонена в одной точке и принимает таким образом
треугольную форму.
Однако Д. Бернулли интуитивно верил в возможность
такого представления произвольных функций. Он,
несомненно, вызвал бы меньшее неудовольствие своих
оппонентов, если бы не начал свою первую статью 1753 г. с
безапелляционного заявления, что в работах Д'Аламбера и
Эйлера не получено никаких новых решений волнового
уравнения, которые нельзя было бы построить с помощью
его метода. «Я надеюсь,— писал он в конце указанной
6 Цит. по ст.: Смирнов В. И. Даниил Бернулли, с. 484.
271

работы,— что сказанное мною в этом мемуаре может
пролить больше света на природу новых колебаний струны,
найденных с такой проницательностью Д'Аламбером и
Эйлером; и в этом была вся моя цель. Если метод, которым
они пользовались для решения их проблем, гораздо более
сложен, чем мой, то я могу лишь удивляться
превосходству их таланта. Что же касается вопроса о том, являются
ли новые колебания действительно простыми и
синхронными колебаниями для всех точек или они только смесь
нескольких различных колебаний, сосуществующих в
одной и той же струне и различных по продолжительности,,
то я говорил об этом для того, чтобы лучше объяснить
природу этих колебаний, будучи далек от спора со столь
великими людьми о значении некоторых выражений» 7.
В исторической перспективе идея Бернулли, пользу
которой строго доказать он был не в состоянии, оказалась
чрезвычайно важной. В. И. Смирнов писал: «...пример
колебания натянутой струны не был по существу
выигрышным для Даниила Бернулли. Метод Д'Аламбера—Эйлера
не использует бесконечных рядов, и при заданных
начальных условиях он дает решение задачи в известном
смысле в конечном виде. Но круг задач, при решении
которых этот метод применим с такой простотой, весьма
ограничен, и Даниил Бернулли был вполне прав, когда
подчеркивал общность своего метода по сравнению с
методом Д'Аламбера—Эйлера» 8. Но все это выяснилось
гораздо позднее, через полстолетия, в течение которого не
утихали споры о природе произвольных функций, которые
могут входить в решения уравнений с частными
производными, и о возможности представления таких функций
тригонометрическими рядами. Мы не можем входить в
подробности этого спора, в равной мере важного для истории
математической физики и теории тригонометрических
рядов и сыгравшего большую роль в развитии понятий
функции и интеграла. Ограничимся замечанием, что метод
Бернулли получил широкое распространение прежде всего-
благодаря уже упомянутому выше Ж. Фурье, который
в своей классической работе по теории распространения
тепла, опубликованной в 1822 г., указал, в частности, что
широкий класс функций, заданных на конечном участке
различными аналитическими выражениями, представим
7 Там же, с. 483—484.
8 Там же, с. 482—483.
272

на этом участке рядом
-тг + / (ап cos nx + Ьп sin пх),
п=1
получившим затем название ряда Фурье, и в Частности
рядом только по синусам или только по косинусам9.
Между прочим, Д. Бернулли был первым, кто обратил
внимание на необходимость, вообще говоря, ограничения
интервала изменения значений аргумента функции в
представлении ее тригонометрическим рядом (1772). Но все
же он не нашел общей формулы определения
коэффициентов Фурье (этот вопрос, как уже указывалось, был вскоре
решен Эйлером). Выражая и позднее уверенность в
общности своего метода, Бернулли писал в конце семидесятых
годов Н. Фуссу: «Я убежден в том, что мой метод дает
in abstracto все возможные случаи» 10. Здесь же он
высказал возможность применения его метода к
непериодическим колебаниям.
Основная идея метода Бернулли с достаточной
отчетливостью высказана в его работе «О смешении различного
вида простых изохронных колебаний, которые могут
существовать в одной и той же системе тел» (см. вторую
работу Бернулли, указанную в сноске 4). Здесь
рассуждения проводятся на примере колебаний дискретного
аналога струны — невесомой натянутой нити с
несколькими расположенными на ней грузами. Приведем
несколько наиболее характерных фрагментов из этой работы.
«То, что я только что сказал о природе колебаний тел, свя-
9 Краткое изложение спора о колеблющейся струне см. в кн.:
История математики с древнейших времен до начала XIX
столетия, т. 3, с. 412—419. Более подробное изложение см.: Tru-
esdell С. The rational mechanics of flexible or elastic bodies,
1638—1788.—In: Euler L. Opera omnia, Turici, I960, Vol. 11/2,
ser. 2. Чрезвычайно богатая в фактической части и
математически безупречная книга Трусделла вместе с тем несет
печать несколько пристрастного отношения автора к основным
участникам спора. Ср. статьи: Юшкевич А. П. К истории
спора о колеблющейся струне.— В кн.: Историко-математические
исследования, М.: Наука, 1975, вып. 20, с. 221—231;
Демидов С. С. О понятии решения дифференциальных уравнений с
частными производными в споре о колебании струны в
XVIII веке.— В кн.: Историко-математические исследования.
М.: Наука. 1976, вып. 21, с. 158—182.
10 Цит. по ст.: Смирнов В. И, Даниил Бернулли, с. 477, 484.
273

занпых натянутой нитью,— пишет Д. Берпулли,— я пе
боюсь распространить на все малые обратные движения
(petits mouvements reciproques), которые могут
происходить в природе, если только эти малые обратные движения
поддерживаются перманентной причиной. Всякое тело,
которое немного отклоняют от его точки покоя, стремится
к этой точке с силою, пропорциональной малому
расстоянию от точки покоя; если взять при этом систему каких-
нибудь тел, то каждое тело может совершать столько
простых регулярных колебаний, сколько имеется тел в
системе, и далее все эти простые колебания могут
существовать одновременно в рассматриваемой системе... Это
рассмотрение окажет нам большую помощь для того,
чтобы понять, как может произойти, чтобы бесчисленное
множество лучей проходило через малое отверстие и
пересекалось в темной комнате, не возмущая друг друга. Масса
световой материи есть система, составленная из
бесчисленного множества частей или шариков (globule), и каждый
шарик может одновременно совершать бесчисленное
множество простых и изохронных регулярных колебаний,
причем эти колебания не спутываются и не возмущают друг
друга... Эта идея кажется мне весьма удобной для
объяснения различных преломляемостей, различных скоростей и
всех других явлений, указанных в отношении
примитивных цветов» и.
В более позднем сочинении Даниила Бернулли «Общее
физико-механическое рассуждение относительно
принципа сосуществования простых колебаний, не нарушаемых
в сложной системе» 12 содержится краткое изложение
основных соображений автора по поводу его метода
суперпозиции. В работе рассматривается попутно задача о
колебаниях струны неравномерной толщины, задача о звучащей
струне (пример из акустики), задача о звучании стальных
пластин, подвешенных на нити. Здесь же Бернулли
сообщает о создании им и Эйлером теоретической акустики,
о проведенных им многочисленных экспериментах. Автор
отмечает при этом, что в своей теории звука он пошел по
пути, проложенному Ньютоном в его «золотой теории
цветов». Подобно оптическим экспериментам Ньютона, Да-
11 Цит. по ст.: Смирнов В, И. Даниил Бернулли, с. 485.
12 Bernoulli D. Commentatio physico-mechanica generalior princi-
pii de coexistentia vibrationum simplicium haud perturbatorum
in systemate composite— Novi comm. Petrop., 1775, 19, p. 239—
259.
274

ниил Бернулли проводил, в частности, опыты по
исключению некоторых тонов звука при помощи фиксации
звучащей пластины в определенных местах.
Отмеченные выше работы Д. Бернулли
характеризуются прежде всего тем, что, не имея строгих обстоятельных
доказательств, они в большей своей части носят
описательный характер и представляют ценность в методическом
отношении. Не является исключением в этом плане и статья
Бернулли, опубликованная в 1775 г. в «Новых
комментариях» Петербургской академии наук под названием
«Специальное физико-механическое рассуждение о сложных
взаимных движениях, многообразных и доныне не
обследованных, каковые легко могут быть наблюдаемы в
двучленных маятниках в подтверждение его (Даниила
Бернулли.— А. Г. и Б. К.) принципа о сосуществовании простых
колебаний» 13. В этой работе Бернулли подверг
качественному анализу задачу о колебаниях двучленного маятника
с равными звеньями. Здесь также приведен ряд
интересных тонких наблюдений, в частности по поводу колебаний
рычажных весов. Вопросы, поднятые Даниилом в этой
работе, вскоре побудили Эйлера выступить с двумя статьями
по поводу проблемы колебаний весов.
Исследования Д. Бернулли, посвященные изучению
малых колебаний воздуха в трубе, а также связанные
с ними исследования по теории звука, созданной им вместе
с Эйлером и Лагранжем, составляют особую группу работ
ученого. Наиболее крупной из них является сочинение
«О звуке о тонах органных труб» 14, напечатанное в
парижских «Мемуарах». Эта работа была одной из последних
работ ученого, вышедших в Парижской академии. После
этого он публиковался только в изданиях Петербургской
академии наук. Работа начинается с упоминания
незадолго до этого вышедшего в свет исследования Ж. Лагранжа
о духовых инструментах, в котором используется
теоретический подход, совершенно аналогичный подходу
Даниила Бернулли. Затем автор рассматривает
цилиндрические трубы, наполненные воздухом, совершающим
колебательные движения различной частоты. Исследуется
влияние концов трубы на частоту колебаний воздуха,
определяющую высоту тона звука: рассматриваются случаи,
когда труба закрыта с двух концов, открыта или полуот-
13 Ibid., p. 260—284.
14 Bernoulli D. Sur le son et les tons de tuyaux d'orgues.— Mem.
Paris, 1764.
275

крыта. Рассматривается также влияние мундштука на
изменение высоты звучания трубы. Теоретические
соображения автора подкрепляются ссылками на различные
эксперименты. В работе обсуждается аналогия между
колебаниями воздуха в трубе и колебаниями струн и вновь
высказываются соображения по поводу принципа
суперпозиции.
Вслед за введением в проблему Д. Бернулли переходит
в указанной работе к «механическому» исследованию и
«аналитическому» решению задачи. В качестве исходного
постулата принимается закон Бойля—Мариотта, после
чего записывается основное дифференциальное уравнение
главных синхронных колебаний воздуха
где а — амплитуда отклонений мысленно выделенного
элемента воздуха от его естественного положения,
находящегося на расстоянии х от начала коордиаат; Р — константа,
определяемая упругими свойствами воздуха в
естественном состоянии; г — константа, определяемая как длина
синхронного маятника. Интегрируя уравнение (7) и
сопровождая выкладки рядом соображений! физического
характера, Бернулли записывает формулу распределения
плотности б вдоль трубы. Для случая, когда период оснодных
колебаний совпадает с длиной, L трубы, это распре дел едие
представляется в виде ! ,,
6ncd nx ' л" jw i /q\
= -у- COS -у- , , (О)
Lt Li " ' ' ' ' i.i
где через d обозначена величина плотности воздуха в
невозмущенном состоянии, а через р — константа.
Результат (8), полученный для случая закрытой
трубы, автор развивает далее на случаи полуоткрытой и
полностью открытой труб. В порядке дополнительного
замечания к теоретической части Бернулли исследует влияние
температурных факторов на высоту звучания труб,
рассматривает случай составных труб с уступом. Работа
заканчивается обобщением дифференциального уравнения
(7) на случай произвольно меняющегося вдоль трубы
сечения. Интегрирование такого уравнения представляется
затруднительным, поскольку «в этой проблеме не хватает
не теории, а анализа, необходимого для интегрирования».
Впрочем, полученное уравнение для конической трубы
276

оказывается интегрируемым. Работа завершается
определением скорости звука, причем результат совпадает со
значением, полученным в свое время Ньютоном.
Если исследования колебаний воздуха в трубах,
выполненные Даниилом Бернулли, представляют интерес в
связи с акустическими приложениями, то цикл его работ,
посвященных колебаниям упругих пластин, или стержней
(lamina), занимает важное место в исследованиях XVIIIв.
в связи с задачами теории упругости. Как и в предыдущих
случаях, эти проблемы поднимались и разрабатывались им
совместно с Эйлером и другими учеными, причем
инициатором этих исследований был Даниил. К основным идеям
он пришел задолго до того, как опубликовал их. В серии
писем к Эйлеру (7 марта 1739 г., 28 января 1741 г., 20
октября 1742 г. и др.) он сообщил о получении им
дифференциального уравнения четвертого порядка, о простом
обобщении метода на случай неоднородной упругой кривой,
а также на случай, когда упругая кривая в естественном
состоянии не прямолинейна. О задачах, связанных с
колебаниями пластин, Бернулли говорил как о теме,
«изобилующей множеством преизящнейших вопросов».
Первые официальные сведения о некоторых
основополагающих идеях Д. Бернулли в этом направлении
содержатся в широко известном сочинении Эйлера «Метод
нахождения кривых линий, обладающих свойствами
максимума либо минимума» (1744). В добавлении к этой
работе, специально посвященном указанному вопросу, Эйлер,
в частности, писал следующее: «...достославный и
остроумнейший в этой возвышенной области исследований
природы Даниил Бернулли сообщил мне, что он может
представить всю силу, заключающуюся в изогнутой упругой
пластине, одной формулой, которую он называет
потенциальной силой, и что это выражение для упругой кривой
должно быть наименьшим». Именно если радиус
кривизны изогнутой пластины обозначить через Д, а дугу AM
через 5, то, «согласно определению Бернулли,
потенциальная сила, заключающаяся в части пластинки AM, будет
выражаться формулой \ -^ » если только пластинка
будет повсюду одинаково толстая, широкая и упругая и в
естественном состоянии будет вытянута прямолинейно» 15.
15 Эйлер Л. Метод нахождения кривых линий, обладающих
свойствами максимума либо минимума. М.: Гостехиздат, 1934,
с. 449-450.
277

Результаты исследований Д. Бернулли, как уже
отмечалось, были опубликованы значительно позже. В первой
из статей, вышедшей в 1751 г. (но помеченной 1741 —
1743 гг.) в «Комментариях Петербургской академии наук»
под названием «Физико-геометрическое рассуждение о
колебаниях и звучании упругих пластин» 16, он рассмотрел
гармонические колебания пластин, «расположенных
горизонтально и колеблемых единственно собственной
упругостью». Отправляясь от идей своего дяди — Якоба Бер-
нулли, который установил связь между сопротивлением
изгибу и парой с моментом, пропорциональным кривизне,
Даниил пришел к хорошо известному в теории упругости
уравнению четвертого порядка
У(1У) = ^. (9)
где / — константа, определяемая упругими
характеристиками пластины. Здесь же Бернулли провел
интегрирование уравнения (9), причем общее решение записал как в
виде степенных рядов, так и в конечном виде. «Это
последнее приведение я даже не намеревался пытаться
произвести, если бы прежде не узнал от проницательнейшего
Эйлера, что он им владеет» 1Т.
Вопросы теории колебаний упругих пластин
рассмотрены Д. Бернулли и в другом его сочинении того же
периода: «Механико-геометрические исследования о
многообразных звуках, различным образом издаваемых упругими
стержнями, иллюстрированные и подкрепленные
акустическими опытами» ".
Различные аспекты теории колебаний, развитые
Даниилом Бернулли, Д'Аламбером, Эйлером и другими,
явились базисом обширной области механики, роль и
удельный вес которой в системе всего математического
естествознания увеличиваются год от года. Одного лишь принципа
суперпозиции, выдвинутого Даниилом Бернулли в теории
16 Bernoulli D. De vrbrationibus et sono laminarum elasticarum
commentationes physico-geometricae.— Comm. Petrop., 1751, 13,
p. 105—120.
17 Цит. по ст.: Смирнов В. И. Даниил Бернулли, с. 492.
18 Bernoulli D. De sonis multifariis, quos laminae elasticae diver-
simode edunt disquisitiones mechanico-geometricae experimen-
tis acusticis illustratae et confirmatae.— Comm. Petrop., 1751,
13, p. 167—196.
278

колебаний и предвосхитившего идеи Фурье, было бы уже
достаточно, чтобы сделать его имя бессмертным. Однако
все это лишь малая часть научного наследия великого
ученого, характеризующая только одну из сторон его
многогранного таланта.
Глава 19
Бесконечные ряды
Несмотря на несколько негативное отношение к
проблемам чистой (абстрактной) математики, Даниил Бернул-
ли с большим увлечением занимался, как мы видели,
вопросами интегрирования дифференциальных уравнений,
анализом возможности представлений функций с помощью
рядов (в том числе и тригонометрических) и т. п. Особый
интерес Бернулли питал, в частности, к теории
расходящихся (или «несообразных», по его собственному
выражению) рядов.
По поводу ранних математических работ Д. Бернулли,
относящихся к итальянскому периоду его творчества, уже
говорилось в первых главах книги. Именно в этот период
по-настоящему раскрылся его интерес к проблемам
интегрирования дифференциальных уравнений,
сохранившийся и впоследствии. Это был период, когда, решая
конкретные задачи, математики стремились прежде всего
получить результат в конечном виде. Однако уже в то время
было очевидно, что круг случаев конечного
интегрирования весьма ограничен. Поэтому математики, начиная
с Ньютона и Лейбница, широко пользовались другой
возможностью — представлением решения
дифференциальных уравнений в виде бесконечных рядов (это относилось
не только к дифференциальным, но также и к
алгебраическим уравнениям).
Бернулли привнес в это направление существенно
новый элемент: он использовал для решения уравнений
рекуррентные ряды. До него (в 1720 г.) такие ряды
рассматривал А. де Муавр, но его работы не были вначале
известны Даниилу. Когда же он, будучи в Петербурге,
узнал о них, то подготовил самостоятельную работу по
279

этим вопросам, которая была опубликована в 1*732 i\
в третьем томе петербургских «Комментариев» *.
В этой работе ставится задача отыскания корней
уравнений, имеющих, в частности, вид
1—ах+Ьх2+сх\ (1)
Для решения таких уравнений Д. Бернулли составляет
члены рекуррентного ряда по формуле
оп = aan_i + Ьап_2 + сап_3, (2
где первая тройка чисел od, а2, а3 задается произвольно,
а последующие получаются циклическим способом.
Бернулли утверждает, что отношение an_i/an приближенно
равно корню уравнения, ближайшего к нулю. Сейчас
известно, что этот вывод при некоторых условиях следует
непосредственно из связи (1) с разностным
уравнением (2).
В другой своей работе, опубликованной в пятом томе
«Комментариев»2, Даниил Бернулли переходит от
рассмотрения алгебраических (конечных) уравнений
типа (1) к исследованию трансцендентных уравнений,
записываемых в виде бесконечного ряда
У=х+Ъ2х*+Ъ*х*+... (3)
После деления обеих частей уравнения (3) на у оно
приводится к виду (1), и Бернулли применяет к нему метод
рекуррентных рядов так же, как он это делал в конечном
случае.
Исследования Даниила Бернулли в области
рекуррентных рядов оставили заметный след в математическом
анализе. В своем «Введении в анализ бесконечно малых»
Л. Эйлер посвятил этим рядам специальную главу (см.
главу 17 первого тома указанной работы Эйлера).
На склоне лет Бернулли вновь вернулся к теории
рядов. В работе «О суммировании некоторых несообразных
рядов, их толковании и применении»3, опубликованной
1 Bernoulli D. Obsrvationes de seriebus quae formantur ex addi-
tione vel substractione quacunque terminorum se mutuo conse-
quentium...— Gomm. Petrop., 1732, 3, p. 85—100.
2 Bernoulli D. Notationes de aequationibus, quae progrediuntur in
infinitum...— Comm. Petrop., 1738, 5, p. 63—82.
3 Bernoulli D. De summationibus serierum quarundam incongrue
veris earumque interpretatione atque usu.— Novi comm. Petrop.,
1772, 16, p. 71—139.
280

в 1772 г. в Петербурге, он провел исследование некоторых
свойств расходящихся рядов. И хотя эта работа не дает
строгих определений, в ней содержится ряд идей (пусть
в зачаточной форме), составляющих базис современной
теории расходящихся рядов. «Общим свойством рядов,—
пишет в начале своей работы Даниил Бернулли,—
главным образом рекуррентных, является то, что они, будучи
продолжены до бесконечности, иногда показывают сумму,
явно неверную in concreto, хотя вовсе не абсурдную
in abstracto. В самом деле, только та сумма, которой нас
учит анализ, опирается на некое достаточное основание,
в силу которого она должна быть определена так, а не
иначе. Это достаточное основание, поскольку заключается в
истинной природе вопроса, не допускает, чтобы решение
было неверным in abstracto; этим и объясняется то, что
если мы применим различные способы решения, то мы
всегда и постоянно получим одно и то же значение. Более
того: если мы применим это парадоксальное решение как
промежуточное звено для определения при помощи его
других величин, значение которых не подвергается
никакому сомнению, то определенное нами значение явно
окажется правильным,— это будет совершенно так же, как
в тех случаях, когда вещественные количества получаются
при помощи мнимых количеств» 4.
В качестве иллюстрации Даниил Бернулли приводит
предложенный в свое время Лейбницем пример суммиро-
оо
вания ряда ^ (—^)П' частные суммы которого, очевид-
но, равны единице при нечетном числе слагаемых и нулю
при четном. На этом основании Бернулли заключает
(следуя Лейбницу), что сумма ряда в целом должна быть
равна 1/2. «То, что в сущности эта сумма не истинна и не
ложна, во-первых, очевидно само по себе, а во-вторых, это
ясно из того, что из ложного истинное никогда не может
быть получено при правильных методах решения, а, как
мы увидим из изложенного ниже, это может
получиться» 5. Другой пример заключается в рассмотрении ряда
2J (—1)п(и+ 1), сумма которого, как показывает Д. Бер-
нулли, равна 1/4.
Общий метод суммирования рядов, предлагаемый да-
Цит. по ст.: Смирнов В. П. Даниил Бернулли, с. 475,
Т же,
281

лее Даниилом Бернулли, состоит в вычислении среднего
арифметического частных сумм. Если члены
рассматриваемого ряда удовлетворяют при любом п и некотором р
р1
р1
условию ап+р=ап и S а*= °' то Бернулли предлагает
fr=o
в качестве суммы ряда брать среднее арифметическое из
частных сумм а0, ао+а^ ao+tfi+a2,..., ao+ai+ ... +ap-i.
В оригинальном изложении Д. Бернулли этот метод
формулируется так: «Если первый член периода будет а,
сумма двух первых членов — Ь, сумма трех первых членов — с
и т. д. до полного исчерпания всего периода и если п будет
число членов, образующих период, то наш принцип дает
сумму бесконечного рекуррентного ряда, равную
а + Ь + с--- ^б
w •
п
В заключение Д. Бернулли иллюстрирует свой метод
на примере тригонометрических рядов и приводит
следующую формулу:
V
sin пх =
7 UJ.XJL f СсЛ/ —— лл •
j/_j 2 — 2 cos x
71=1
Ьернулли говорит, что не может дать здесь никакого
строгого доказательства своего метода, который для него «ясен
сам по себе», хотя он и понимает, что «другие могут
чувствовать иначе».
Другая работа Даниила Бернулли, опубликованная в
следующем году в семнадцатом томе «Новых
комментариев Петербургской академии наук» 7, посвящена проблеме
суммирования тригонометрических рядов по синусам и
косинусам кратных дуг. В ней он получает, в частности,
следующие соотношения:
ОО
sin пх п х V4 cos пх я2 пх
2
п х V4
= "2"T' 2-J
1
2j 2-J
71=1 71=1
Кроме того, приводятся некоторые попутные соображения,
касающиеся вопроса о связи разложений функций в триго-
6 Там же, с. 476. О методе суммирования Д. Бернулли см. также
в кн.: Харди Г. Расходящиеся ряды. М.: Изд-во иностр. лит.,
1951, с. 18—24.
7 Bernoulli D. De indoli singulari serierum infinitarum quas sinus
vol cosinus angulorum arithmetice progredientium formant,
earumque summatione ct usu.— Novi comm. Petrop., 1773, 17,
p. 3-23.
282

нометрические ряды по синусам с задачей о колебаниях
струны при закрепленных концах. Указывается на
необходимость быстрого убывания коэффициентов в разложении
у=а sin #+p sin 2х+ч sin Зх+ ...
для того, чтобы результат соответствовал физическим
условиям задачи.
В последней своей работе, посвященной рядам и
относящейся к 1774 г.8, Даниил Бернулли вновь возвращается
к основным идеям своей петербургской статьи 1771 г.
Работа полемическая, в ней автор дискутирует с аббатом
Ш. Боссю, опубликовавшим в 1769 г. в «Мемуарах»
Парижской академии работу по смежному вопросу (о
суммировании конечных тригонометрических рядов). О том, что
привело его к созданию указанной статьи, Д. Бернулли
пишет: «После того как в упомянутых моих работах я вывел
и обстоятельно доказал, сколь несообразна сумма, хотя и
найденная надлежащим путем и надежно подтвержденная
многими методами, между собой весьма различными,
после этого я вспомнил подлинное объяснение всей тайны,
которую я некогда наблюдал, когда проживал в Петрополе,
и, воспользовавшись этим случаем, подробнее развернул
этот метафизический вопрос, по моему разумению не
доказуемый чисто геометрическим путем. После же всего я
напал на новые формулы Боссю, упомянутые в § 1... и на
меня напало желание исследовать, что же эти формулы
укажут, если число членов будет взято бесконечным, так,
чтобы боссютово [решение] могло сойтись с моим» 9.
В указанной работе Д. Бернулли выводит формулы для
конечной суммы синусов и косинусов кратных дуг. Что же
касается дискуссии между Бернулли и Боссю, то суть ее
проясняется из сравнения формулы Боссю с
соответствующей формулой Даниила Бернулли, которые он далее
сравнивает для случая п=«» и получает следующее
выражение:
sing [I '—cosg — cos oo g — cos (oo -f-1) g] sing
1 — cos 2g 2 (1 — cos g) #
Затем Бернулли указывает, что его «формула, стоящая
справа, свободна от всякого кривотолка; боссютова же
8 Bernoulli D. Theoria elementaria serierum, ex sinibus atque cosi-
nibus arcuum arithmetice progredientium diversimode composita-
rum, dilucidata.— Novi comm. Petrop., 1774, 18, p. 3—23.
9 Цит. по ст.: Смирнов В. И. Даниил Бернулли, с. 478—479.
283

загадка (выражение, стоящее Слева.— А. Г. и ё. К.) с
первого взгляда кажется неразрешимой» 10.
В заключение краткого обзора того, что было сделано
Даниилом Бернулли в теории бесконечных рядов,
напомним, что он был первым, кто в ходе своих исследований
в этой области пришел к фактическому определению
гамма-функции Эйлера. Эта мысль была им сформулирована
еще в 1729 г. Кроме того, Бернулли был первым, кто
подошел к фактическому введению в математику бесселевых
функций. Наконец, он был также первым, кто дал
представление экспоненты с помощью суммы бесконечного
ряда.
Глава 20
Теория вероятностей
Одним из самых излюбленных разделов математики
была у Даниила Бернулли теория вероятностей. Это и
понятно, так как увлечение теорией вероятностей в
семействе Бернулли было наследственным. Впрочем, для
большинства членов семьи решение занимательных задач
исчисления вероятностей было больше чем предметом
простого увлечения, и, занимаясь этими вопросами вполне
основательно, они получили в указанной области ряд
важных результатов.
Систематические занятия Д. Бернулли вопросами
теории вероятностей (о раннем интересе к этим вопросам
свидетельствуют уже его «Математические упражнения»,
хотя в них еще нет новых идей) относятся к базельскому
периоду его жизни и деятельности (1738 г. и
последующие). Это тоже не является неожиданным: социальная
обстановка в Базеле середины XVIII в. способствовала
развитию теоретико-вероятностных дисциплин; здесь
интенсивно развивалось социальное страхование, часто
возникали довольно сложные ситуации, связанные с разделом
наследства, и т. д. В этих ситуациях юридические вопросы
переплетались с вопросами теории вероятностей и матема-
10 Там же, с. 479.
284

тической статистики. Иногда вероятностные и
статистические изыскания приводили на практике к курьезным
происшествиям. Причиной одного из таких случаев послужила
диссертация двоюродного брата Д. Бернулли — Николая I,
служившего профессором права в Базельском
университете.
В 1744 г. в Базеле проходил судебный процесс, который
привлек к себе большое внимание. Некто, обанкротившись
и запутавшись в долгах, неожиданно для всех (в том числе
и для своих кредиторов) уехал из города и много лет не
подавал о себе никаких вестей. Вскоре умерла его дочь,
состояние которой перешло к ее брату. Тут вмешались
кредиторы бесследно исчезнувшего отца, в числе которых
был и Николай Бернулли, и возбудили иск, изъявив
притязания на наследство умершей. Вместо пререканий и
доказательств на право наследования брат умершей
перепечатал фрагмент из диссертации Николая Бернулли «Об
использовании искусства предположений в правоведении»
(1709), в котором впервые было дано некое
математическое определение того интервала времени, по истечении
которого можно было допустить, что человек, находящийся
в отсутствии и не подающий о себе вестей, умер. По мнению
автора диссертации, отсутствующего можно было считать
умершим тогда, когда вероятность того, что он умер, вдвое
превышала вероятность того, что он жив. Отсюда
следовало, что в сложившейся данной конкретной ситуации
отсутствующего должника следовало считать умершим.
Основываясь на этом, суд решил дело в пользу сына
исчезнувшего банкрота, т. е. в ущерб кредиторам (в том числе
и автору упомянутой диссертации).
Своим рождением теория вероятностей обязана
творчеству математиков XVII в. Сначала Христиан Гюйгенс
в работе «О расчетах азартных игр» (1657), а затем Якоб
Бернулли в знаменитом «Искусстве предположений»,
опубликованном посмертно Николаем Бернулли в 1713 г.,
заложили основы этой науки, хотя первые попытки
исчисления вероятностей осуществлялись уже Тартальей,
Кардано, Галилеем, Паскалем, Ферма и др.
Понятие вероятности выкристаллизовалось, с одной
стороны, в ходе анализа и прогнозирования результата
в азартных играх, с другой — в процессе серьезной и
кропотливой работы статистического характера, проводимой
в медицине, юриспруденции и т. п. Первое более или менее
четкое определение вероятности дал Якоб Бернулли. Он
285

определил ее так: вероятность есть степень уверенности
и относится к достоверности как часть к целому. Большая
заслуга в приведении теории вероятностей к ее
современному виду принадлежит Лапласу. Он, в частности, ввел
понятие «благоприятного исхода». В 1795 г. Лаплас прочел
курс лекций «Опыт философии теории вероятностей», а в
1812 г. опубликовал книгу «Аналитическая теория
вероятностей», где обобщил весь накопленный за два столетия
материал и воздвиг стройное здание новой научной дш>
циплины. «Теория вероятностей,—писал он,—есть,
собственно говоря, только переложение здравого смысла на
формулы, она доставляет средства для точной оценки того,
что постигает ум верный, хотя часто бессознательно» \
В наше время теория вероятностей стала не просто
самостоятельной научной дисциплиной с
многочисленными ответвлениями; дух ее проник в самые глубины
физических, химических, биологических и других наук,
вероятностные подходы к обоснованию многих классических
законов природы (в том числе законов термодинамики,
ньютонианской механики и т. д.) представляются сейчас
наиболее соответствующими реальной действительности.
Первая работа Даниила Бернулли по теории
вероятностей датирована 1738 г., последняя — 1778 г.; и на
протяжении всех этих четырех десятилетий, разделяющих две
указанные даты, Бернулли не переставал интересоваться
вопросами теории вероятностей.
Статья 1738 г. вышла в пятом томе петербургских
«Комментариев» под названием «Попытка новой теории
вероятностей исчисления случайных величин»2. Работа
интересна прежде всего тем, что, во-первых, использует
одно из основных понятий современной теории
вероятностей — понятие математического ожидания, а во-вторых,
вводит в рассмотрение новую величину — моральное
ожидание. Что касается первого из этих двух понятий, то оно
было введено в теорию вероятностей достаточно давно.
Первые попытки его введения можно обнаружить еще у
Паскаля, Ферма и Гюйгенса. В своем мемуаре «О расчетах
азартных игр» Гюйгенс дал определение термина
«стоимость шанса», причем именно это понятие (а не понятие
вероятности) считалось у Гюйгенса основным. Якоб Бер-
1 Цит. по кн.: Александрова Н. В. Математические термины. М.:
Высшая школа, 1978, с. 17—18.
2 Bernoulli D. Specimen theoriae novae de mensura sortis.— Comm.
Petrop., 1738, 5, p. 175-192.
286

нулли оперировал сходным по смыслу термином «судьба
игрока», а ван Скоутен — переводчик мемуара Гюйгенса на
голландский язык — впервые употребил понятие
«ожидание». Современный термин «математическое ожидание»
был введен Лапласом.
Работа Бернулли начинается с классического
определения математического ожидания в виде суммы
произведений значений случайной величины на вероятности этих
значений. Затем автор вводит понятие морального
значения у перехода капитала а в капитал х по формуле
V = b\og^ (1)
(Ь>0 — коэффициент) и находит асимптотическое
представление математического ожидания в предположении
а->°°. С этой целью он рассматривает ряд возможных
значений с4, с2,..., сто выигрыша и соответствующую
последовательность их вероятностей р4, р2,..., р™. Определяя
среднее моральное значение выигрыша
±^, (2)
П=1
Бернулли вычисляет величину х из уравнения (1), в
котором вместо у подставляется выражение для z из (2):
т
*= П (с» + а)п.
п=1
Разность х—а, т. е.
т
П (с„Ч-а)Рп-а, (3)
П=1
согласно Д. Бернулли, есть величина морального
ожидания выигрыша при основном капитале а.
Легко усмотреть в выражении для морального
ожидания (3) классическое представление математического
ожидания. В самом деле, если в (3) перейти к пределу при
а-^оо, то выражение упростится и перейдет в следующее:
m
2 Pncn{tyi которое, по определению, есть не что иное,
п 1
как математическое ожидание выигрыша.
287

Так Даниил Бернулли устанавливает связь между
понятиями морального и математического ожиданий. Этот
опыт Бернулли был не единичным и получил впоследствии
поддержку и развитие у таких признанных корифеев
теории вероятностей, как Лаплас и Пауссон. Автор
известного учебника «Исчисление вероятностей» Ж. Бертран
признавал, что «теория морального ожидания сделалась
классической, и никогда это слово не может цитироваться
столь удачно: эту теорию изучали, ей обучали, ее излагали
в истинно знаменитых книгах» 8.
В дифференциальном виде закон Бернулли (1)
формулируется так: бесконечно малое приращение морального
значения перехода капитала а в капитал х прямо
пропорционально бесконечно малому приращению капитала dx
и обратно пропорционально величине капитала:
Ау=ъЦ. (5)
Несмотря на то что именно по поводу этих идей
Даниила Бернулли Ж. Бертран высказывался в своей книге
как о классических основах теории вероятностей, он не
преминул тут же заметить, что «успех (теории морального
ожидания.— А. Г. и Б. К.) на этом и окончился, ею
фактически не занимались и из нее не смогли сделать никакого
употребления» 4. Тем не менее теория морального
ожидания Д. Бернулли сыграла определенную положительную
роль в развитии теории вероятностей. Спустя более
полутораста лет, в 1896 г., в серии «Основания современного
учения о ценности» был издан немецкий перевод
указанной работы Бернулли.
Ровно через тридцать лет после выхода в свет первой
статьи Даниила по теории вероятностей им была
подготовлена к печати еще одна работа того же рода, но
отличающаяся совершенно новым нетрадиционным подходом.
Работа была опубликована в «Новых комментариях»
Петербургской академии под названием «Попытка применения
алгоритма бесконечно малых в теории вероятностей»5.
Новизна идеи состояла в использовании методов
математического анализа в задачах теории вероятностей6. Ос-
3 Цит. по ст.: Смирнов В. И. Даниил Бернулли, с. 464.
4 Там же.
5 Bernoulli D. De usu algorithmi infinitesimalis in arte coniectan-
di specimen.— Novi comm. Petrop., 1768, 12, p. 87—98.
6 Впрочем, первую попытку применения методов анализа
бесконечно малых в теории вероятностей Д. Бернулли осущест-

новноп ьричиной, побудившей Даниила Бернулли
прибегнуть к использованию инфинитезимальных методов, было
то, что точное решение вероятностных задач в
классическом духе, как правило, приводило к громоздким
рассуждениям комбинаторного характера. С точки зрения
Бернулли, умелое использование методов анализа бесконечно
малых существенно упрощало решение задач теории
вероятностей.
Для иллюстрации своего метода (Д. Бернулли
ограничивается в этой работе лишь качественным анализом,
математических выкладок здесь нет) автор рассматривает
задачу о вынимании записок из урны. Поясняя суть идеи,
Бернулли пишет, что «для совершения этого дела с
удобством могут быть применены исчисления бесконечно
малых, если только каждое изменение можно счесть как бы
за бесконечно малое, а это возможно до тех пор, пока
число записок, остающихся в урне, весьма велико, ибо тогда
единица может приниматься как бы за бесконечно малую;
это основано на той арифметической гипотезе бесконечных,
которой пользовались до открытия дифференциального и
интегрального исчислений. Впрочем я понимаю, что этот
отвлеченно поставленный вопрос нуждается в дальнейшем
объяснении, и потому перехожу к иллюстрации сути дела
примерами, причем сперва пользуюсь обычным анализом,
а от него перехожу к применению алгоритма
бесконечных» 7.
Суть задачи состоит в следующем. В урну помещено
четное число записок, разбитых на пары (п штук пар);
каждой паре присваивается номер, который
регистрируется на записках, составляющих данную пару. После этого
из урны одна за другой вынимается несколько записок,
в результате чего в урне остается г записок. Автор
определяет математическое ожидание х числа оставшихся пар
записок с одинаковыми номерами. Делает он это двумя
способами: традиционным алгебраическим и новым,
основанным на использовании методов дифференциального
исчисления. Первый подход приводит его к такому
значению:
вил еще раньше, в 1760 г., в статье, посвященной вопросу о
пользе оспопрививания (опубликована в 1766 г.).
7 Цит. по ст.: Смирнов В. И. Даниил Бернулли, с. 465—466.
10 Заказ JSft 838 289

после чего он сразу записывает асимптотическое
выражение для случая большого количества исходных пар и
числа оставшихся в урне записок:
Используя дифференциальный подход, Д. Бернулли
прежде всего указывает, что уменьшение г на единицу
приводит к одному из двух возможных исходов: либо к
извлечению записки, входящей в пару, либо к извлечению
одиночной записки. Тогда для первого возможного варианта
можно записать равенство dx=dr, а для другого dx=0.
При этом вероятность первого случая считается равной
2х/г. Это приводит к дифференциальному уравнению
, 2xdr /ОЧ
dx = , (8)
решение которого (при условии, что г=2п при х=п) дает
выражение вида х=г2/Ап, т. е. совпадающее с
асимптотическим соотношением (7).
Таким образом, применение дифференциального
подхода к решению вероятностных задач, осуществленное
Даниилом Бернулли, дает асимптотические формулы,
пригодные лишь для случая больших значений определяющих
параметров. Но зато решение, выполненное с помощью
такого подхода, оказывается существенно более простым.
Спустя два года, в 1770 г., в Петербурге вышла в свет
новая работа Д. Бернулли, развивающая идеи
предыдущего сочинения8. В ней, в частности, рассматривается
классическая задача о шарах и урнах. В двух урнах имеются
по одинаковому числу шаров (п штук), но в одной из них
шары белые, а в другой черные. Из первой урны во вторую
перекладывается один шар, затем из второй урны также
перекладывается в первую один шар. Процедура
повторяется г раз. Задача состоит в отыскании математического
ожидания числа белых шаров в первой урне. Для решения
этой задачи автор снова использует два подхода:
алгебраический и дифференциальный. Первый дает результат
вида
8 Bernoulli D. Disquisitiones analyticae de novo problemate conge
cturali.— Novi comm. Petrop., 1770, 14, p. 1—25.
290

который при достаточно большом п переходит в формулу
2г
(9)
Второй метод (дифференциальный) приводит к такому
же результату. Как и в предыдущей работе, суть идеи
состоит в символическом обозначении единицы через dx,
т. е. в предположении бесконечной малости единицы по
сравнению с большими числами, встречающимися в
задаче. Если из первой урны, рассуждает Даниил Бернулли,
вынуть белый шар, то dx=—1 с вероятностью х/п, а если
черный, то dx=dr=l с вероятностью (п—х)/п.
Интегрирование получающегося отсюда уравнения
дает при начальном условии х=п (когда г=0)
результат (9).
Современная теория вероятностей, математическая
статистика и другие смежные дисциплины оперируют
понятием распределения случайной величины. У истоков этой
идеи стоит ряд авторов, в том числе f Д. Бернулли. Кривая
распределения случайных ошибок, предложенная им в его
последней работе по теории вероятностей «Наиболее
вероятное значение среди нескольких расходящихся между
собой наблюдений и устанавливаемое отсюда наиболее
близкое к истине заключение»9, представляла собой
полуокружность, радиус которой являлся пределом возможной
величины случайных ошибок. В этой работе Даниил
Бернулли ввел новый (неизвестный до того) способ
определения наиболее вероятного значения, получающегося из
серии наблюдений. Раньше в качестве такого значения
обычно брали среднее арифметическое из всех
фигурирующих в задаче величин. Бернулли указал на недостатки
такого метода, заключавшиеся в том, что при его
использовании обычно приходилось отбрасывать сильно
отклоняющиеся данные наблюдений. «Я не вижу рубежа,— писал
он,— по ту или иную сторону коего лежат наблюдения,
совсем отбрасываемые, так что может случайно
получиться, что отбрасываемое наблюдение как раз могло
представить самую лучшую поправку из всех. Тем не менее я от-
9 Bernoulli D. Dijudicatio maxime probabilis plurium observatio-
num discrepantium atque verisimillima inductio inde formanda.—
Acta academiae scientiarum petropolitanae, 1778, pars 1, p. 3—23.
291 10*

нюдь не порицаю огулом совет отбрасывать то или иное
наблюдение... То, что собственно получается при
наблюдении, это, в силу самой гипотезы, мы полностью
игнорируем, но само наше это незнание окажется убежищем,
прибегнуть к коему мы принуждены, раз мы придерживаемся
того, что является не истиннейшим, но правдоподобней-
шим, не вполне определенным, но вероятнейшим, как
предлагает наша теория» 10.
Д. Бернулли вместо традиционного метода среднего
арифметического предлагает свой метод, адекватный
современному. Кривую распределения случайных ошибок он
строит, исходя из пяти следующих условий: во-первых,
ординаты этой кривой должны монотонно убывать по обе
стороны от центра; во-вторых, кривая должна быть
симметричной; в-третьих, касательная в центральной точке
кривой распределения должна быть параллельной оси
абсцисс; в-четвертых, на достаточном удалении от центра
ординаты должны равняться нулю; в-пятых, касательная
к кривой распределения в точке ее пересечения с осью
абсцисс должна пересекать последнюю под прямым углом.
Примером такой кривой может быть, в частности,
полуокружность.
Центральное место в последующих рассуждениях
Даниила Бернулли занимает вопрос определения
продольной координаты центра кривой распределения. Именно это
обстоятельство (т. е. метод определения из наблюдений
того значения координаты, при котором плотность
вероятности оказывается наибольшей) современные
исследователи и считают наиболее ценным элементом данной работы.
Что касается использования полуокружности в качестве
кривой распределения случайных ошибок, то оно в теории
вероятностей впоследствии не привилось. Но так или
иначе эти идеи Д. Бернулли, по-видимому, оказали
определенное влияние на Гаусса, предложившего в 1809 г. первый
вариант своего известного принципа наименьших
квадратов ".
Большое впечатление произвел мемуар Д. Бернулли на
Эйлера. В трудах Петербургской академии наук рядом с
работой Бернулли была напечатана статья Эйлера
«Замечания к предыдущей работе», в которой автор полемизиро-
10 Цит. по ст.: Смирнов В. И. Даниил Бернулли, с. 468.
11 Шейнин 0. Б. Теория вероятностей до П. Л. Чебышева.—
В кн.: Историко-математические исследования. М.: Наука,
1978, вып. XXIII, с. 284—306.
292

вал с Даниилом Ёернулли. «Для меня весьма лестйо,—
писал в этой связи Даниил в письме к Николаю Фуссу
18 марта 1778 г.,— что Академия сочла мой мемуар
«Наиболее вероятное значение...» достойным напечатания в
новом томе своих «Комментариев», которые сейчас
печатаются; я особенно горд тем, что Эйлер имел в этом повод
угостить публику мемуаром по тому же вопросу. Но я
уверен в том, что этот великий аналист рассмотрел вопрос
с совершенно иной точки зрения, чем я; мой мемуар
скорее метафизический, чем математический: этот ряд
сомнений, хорошо или плохо рассмотренных, но которые, с
моей точки зрения, заслуживают изучения со всем
вниманием непредубежденными философами» 12.
В теории случайных ошибок Д. Бернулли не был
первым. Его работе предшествовали исследования И.
Ламберта (выполненные в 1760—1765 гг.), которому принадлежит
сам термин «теория ошибок». В них впервые было
проведено исследование свойств погрешностей наблюдений и
сделана попытка дедуктивного построения закона
распределения этих погрешностей. Ламберт пытался найти
достаточное обоснование общепринятой методике исключения
наиболее отклоняющихся от номинала результатов наблю-
дещгй. Основываясь на исследованиях Ламберта и своих
собственных, Бернулли ввел в теорию ошибок нормальное
распределение, рассмотренное им как асимптотическое,
и провел четкое разграничение погрешностей измерения
на случайные, т. е. такие, которые накапливались
пропорционально квадратному корню из количества наблюдений,
и систематические, т. е. постоянные.
Особое место в творчестве Д. Бернулли занимают
работы по статистике народонаселения. Вместе со своими
предшественниками в этом вопросе (и в первую очередь
Муавром и Николаем Бернулли) Даниил внес
значительный вклад в решение таких актуальных для того времени
вопросов, как вопросы о смертности населения, о
соотношении мужских и женских рождений, о количестве детей
в семьях и т. д.13
12 Цит. по ст.: Смирнов В. И. Даниил Бернулли, с. 469—470.
13 См. работы Д. Бернулли: Essai sur les probabilites de la vie
humaine (1746); Essai d'une nouvelle analyse de la mortalite
causee par la petite verole et des a vantages de Г Inoculation pour
la prevenir (1760). Анализ работ Д. Бернулли по статистике см.
в кн.: Huber F. Daniel Bernoulli (1700—1782) als Physiologe und
Statistiker. Basel; Stuttgart, 1959.

Глава 21
Последние годы жизни
В Базельском университете с давних пор
неукоснительно соблюдался определенный ритуал избрания
профессоров на вакантные места. И лишь один раз за долгие годы
все формальности баллотировки были обойдены, когда в
1750 г. Совет университета без объявления конкурса
предложил освободившуюся кафедру физики Даниилу Бернул-
ли. При этом было сохранено его право голоса на
медицинском факультете, а жалованье увеличено.
Переход Д. Бернулли на «более близкую его сердцу
кафедру физики» (так писал об этом впоследствии в
автобиографии сам Даниил) — наглядное свидетельство
глубокого уважения коллег к многочисленным заслугам
Бернулли как ученого. И не только как ученого. Те, кто знал,
близко Даниила Бернулли в период, когда он вступил во
второе пятидесятилетие своей жизни, говорили о его
высоких моральных и человеческих качествах. Годы суровых
испытаний, закаливших его характер, и каждодневного
напряженного труда, обострившего ум, сгладили
юношескую задиристость и своенравность Даниила. Теперь это
был солидный ученый муж, умудренный богатым
жизненным опытом, много переживший и много знавший. Теперь,
когда над ним не довлел авторитет отца, вечно
терроризировавшего его своими приоритетными притязаниями,
ничем и никем не сдерживаемый, Даниил работал легко и
свободно. Однако теперь, будучи избранным в своем
родном городе дважды ректором Базельской академии в 1744
и 1756 гг. и членом Базельского петринского капитула в
1753 г. (в следующем году Бернулли был назначен уже
деканом капитула), являясь, кроме того, членом
Петербургской, Болонской, Берлинской, Парижской академий
наук, Лондонского королевского общества и других
научных учреждений, а также обремененный рядом других
гражданских обязанностей, Даниил Бернулли уже не мог
работать с прежней интенсивностью и отдачей. Темп его
научной деятельности начиная с 1750 г. несколько
снизился и оставался таким в течение многих лет. Так,
например, за 1751—1755 гг. им было подготовлено всего две
работы; столько же он написал в следующие пять лет
(1756—1760). Эти цифры достаточно красноречивы, если
294

вспомнить, что за первые пять лет петербургского периода
жизни Бернулли подготовил пятнадцать печатных работ *.
Впрочем, в этом спаде творческой активности Д. Бернулли
в пятидесятых—шестидесятых годах не последнюю роль
сыграла Семилетняя война, надолго разобщившая ученых,
живших в разных странах.
Дошедшие до нас сведения о Данииле Бернулли
пятидесятых—семидесятых годов рисуют человека скромного,
уравновешенного, пользовавшегося заслуженным
уважением не только среди своих коллег, но и у всех знавших
его граждан города. Многие из базельцев считали для себя
большой честью состоять в знакомстве с Д. Бернулли.
В числе близких знакомых, посещавших гостеприимный
дом Бернулли, были такие известные ученые, как Мопер-
тюи, Кениг и др. Об одном из визитов С. Кенига Даниил
вспоминал с особым удовольствием. Однажды во время
обеда Кениг, талантливый математик, предложил
Даниилу задачу, над решением которой он (Кениг) долго
трудился, прежде чем достиг цели. Велико же было его
удивление, когда Д. Бернулли почти тотчас же за столом
представил решение предложенной задачи.
При всем этом Бернулли был лишен тщеславия, всегда
оставаясь скромным и сдержанным в оценке своих
достоинств. Впрочем, скромность его не была чрезмерной.
И там, где это было необходимо, он, как и прежде в
молодые годы, в полной мере проявлял свою
принципиальность и горячий, унаследованный от предков-испанцев
(если верить свидетельствам отдельных авторов) нрав.
В научном плане эта своенравность ума и характера,
независимость мышления и ортодоксальность жизненной
позиции выражались, например, в том, что, по свидетельству
знавших его людей, Даниил Бернулли в зрелые годы не
стремился обременять себя слишком скрупулезным
изучением трудов своих современников, предпочитая
самостоятельно доходить до понимания самых глубоких истин. Не
случайно поэтому некоторые фразы, встречающиеся в его
ранних сочинениях (типа: «этот трактат скорее
физический, чем математический»), сменились с течением
времени на замечания другого рода («мой мемуар скорее
метафизический, чем математический»). Впрочем, в этих экс-
1 См. таблицу в статье Т. И. Райнова «Даниил Бернулли и его
работа в Петербургской Академии».— Вестник Академии наук
СССР, 1938, № 7.
395

курсах в метафизические сферы Бернулли не заходил
слишком далеко, никогда не теряя чувства реальности.
Изменение статуса Д. Бернулли в его родном
университете определенным образом отразилось на характере его
научной деятельности и способствовало расширению его
связей с многочисленными корреспондентами,
сотрудниками, коллегами. Преподавательская работа Д. Бернулли
продолжалась непрерывно в течение 26 лет, и лишь в
последние годы, когда здоровье ухудшилось, на кафедре его
стали подменять племянники — сначала Даниил, а потом
Якоб. Чтение лекций по экспериментальной физике еще
более приблизило Даниила к его любимой тематике. В
процессе преподавания этого предмета у Бернулли появлялись
и отрабатывались новые идеи. Среди них — соображения,
возникшие в связи с исследованиями сороковых годов в
области теории тяготения. В тот период он был особенно
увлечен идеей магнетизма как источника тяготения.
К тому же периоду относятся исследования, выполненные
Даниилом в рамках конкурсов Парижской академии и
отмеченные призами: «О наилучшем способе устройства
магнитных стрелок наклонения» (1743) и «Теория
магнита» (1742, 1744, 1746). Впоследствии в исследованиях
такого рода Даниилу Бернулли стали помогать его
сотрудники по кафедре экспериментальной физики, особенно
Дитрих, получивший известность в истории науки как
конструктор первых подковообразных магнитов.
С приходом на кафедру физики Даниил Бернулли
развил там активную деятельность. По существу, он был
единоличным руководителем всех проводившихся в
университете работ по экспериментальной физике и как
руководитель пользовался у своих сотрудников большим
авторитетом. Один из последователей Бернулли, работавший под
его руководством, А. Социн издал в 1778 г. трактат
«Основы электричества», посвятив это сочинение Даниилу
Бернулли. Изобретатель множества физических приборов,
аппаратов, инструментов, Д. Бернулли широко ставил
вопросы о переоборудовании мастерских и обновлении
физического инструментария кафедры. В его ведении
находилось несколько физических кабинетов, которые были
оснащены всеми необходимыми приборами. Такая
постановка дела полностью соответствовала характеру и стилю
мышления Д. Бернулли. Здесь в полной мере проявлялась
его удивительная способность проникновения в
физическую суть проблем, его уникальная физическая интуиция.,

умение ставить «мысленный эксперимент». Эти качества
Бернулли и незаурядный талант физика-экспериментатора
обеспечивали его высокий творческий потенциал.
Интересной представляется оценка результатов
творчества Бернулли, данная им самим в разное время.
Разумеется, не всеми своими работами Бернулли был
одинаково доволен. Но были среди них такие, результаты
которых доставляли ему большое удовлетворение. К числу
таких работ принадлежит «Гидродинамика». В краткой
автобиографии Даниил писал по поводу своей книги
следующее: «Однако же в течение того времени, которое он
(т. е. Даниил Бернулли.— А. Г. и Б. К.) провел в этих
краях (т. е. в России.— А. Г. и Б. К.) он сделал все
возможное для того, чтобы приблизиться к тому результату,
к достижению которого стремился славной памяти
основатель Академии... Поэтому Бернулли написал свою
«Гидродинамику или Записки о силах и движениях жидкостей»,
и это сочинение перед своим отъездом он представил
Академии, а позже, в 1738 г., в расширенном виде напечатал
в Страсбурге» 2.
Другим сочинением Бернулли, работа над которым
доставила ему много радости, было конкурсное исследование,
выдвинутое им в 1732 г. на соискание премии Парижской
академии наук. Вот что писал об этом сам Д. Бернулли:
«Кроме того, за короткое время до своего отъезда он
(т. е. Бернулли.— А. Г, и В. К.) узнал, что будет дана
удвоенная премия тому, кто разрешит вопрос «О
взаимном наклонении планет», который был предложен в 1732 г.
Парижской Академией наук, но тогда не было
представлено такого решения вопроса, которое было бы достойно
премии; поэтому он решил, что и он должен принять
участие в этом состязании. Слава этой премии до такой
степени овладела умами ученых, что, как заявила
Академия в особом объявлении, было очень много ученых,
которым ей с большим огорчением пришлось отказать в
премии. Трем ученым открыт был доступ в Академию и
выданы похвальные грамоты; присужденная же премия была
разделена между двумя ученнми. Когда были вскрыты
запечатанные конверты с девизами, оказалось, что эту
награду получили отец и сын Бернулли. Поэтому сочинение
Даниила Бернулли, написанное по-латыни, было переведено
2 Бернулли Д. Автобиография.— В кн.: Бернулли Д.
Гидродинамика, с. 429.
297

им на французский язык и издано Академией на обоих
языках» 3.
Говоря о произведениях Д. Бернулли, нельзя не
отметить язык, которым они написаны, язык,
свидетельствующий о незаурядных литературных способностях автора.
Бернулли, несомненно, был искусным литератором. Его
сочинения выдержаны в благородной, изысканной
классической манере и свидетельствуют о широкой эрудиции,
высокой образованности и математической культуре автора.
Д. Бернулли писал отточенными лаконичными фразами,
и многие фрагменты его работ можно отнести к лучшим
образцам научной литературы XVIII в. Вводимые
Даниилом Бернулли научные термины отличались четкостью и
конкретностью. Термины «гидродинамика»,
«установившееся состояние» привились в науке и живут до сих пор.
Большинство своих сочинений Бернулли писал по-латыни,
умело используя все тонкости этого языка. Благодаря
всему этому сочинения Даниила Бернулли читаются очень
легко.
Продолжая разговор о самооценке творчества Д.
Бернулли, приведем в заключение несколько фрагментов из
его автобиографии, написанной не позднее 1776 г. Этот
документ был получен канцелярией Петербургской
академии наук 21 июля 1776 г. Он написап от третьего лица.
«Даниил Бернулли, доктор философии и медицины,
ординарный и непременный профессор физики в Базель-
ской Академии.
Появился на свет 29 января 1700 г. от родителей
Иоганна Бернулли, украшавшего тогда кафедру
математики в Гронингене, и от Доротеи Фалькнер, происходившей
также из прославленной и очень древней базельской семьи.
На шестом году жизни был возвращен родителями на
родину, где он, научившись немецкому языку и закончив
обычный курс обучения в классах Базельской гимназии
в 1713 г., был признан достойным быть предназначенным
для чтения академических лекций.
Затем он вступил в число изучающих медицину и
усердно слушал врачей, преподававших тогда в Базеле...
Но пример членов его семьи, а именно его отца и
старшего брата Николая, а также наклонности его собственной
души влекли его к математическим наукам и изучению
8 Там же, с. 429—430.

природы. Он почти целиком отдался этим занятиям, хотя
и не забросил вовсе медицину. По этой причине он прибыл
в 1723 г.,в Венецию, чтобы утвердиться в практическом
знании медицины и приобрести в ней опыт под
руководством знаменитейшего врача Микелотти. В 1724 г. один
знатный венецианец, друг автора, напечатал на свой счет
в Венеции несколько экземпляров небольшого сочинения,
в основном полемического, под названием: «Даниил Бер-
нулли. Математические упражнения». После этого наш
Бернулли был чужд каким бы то ни было научным
пререканиям, о чем с полной ясностью свидетельствуют его
разнообразные сочинения, изданные после этого...
Затем, привлекаемый славой первейшего мужа Иоанна
Батиста Морганьи, он прибыл в Падую, но не успел он
перейти ее границы, как заболел жесточайшей
лихорадкой; однако силу этой болезни победило тщание самых
выдающихся врачей Валиснера, Морганьи и Когросса. Но
болезнь так подорвала его силы, что он едва восстановил
их после шестимесячного пребывания у Падуанских муз
и не мог проявить себя какими-либо успехами в изучении
наук. Но Болонья дала ему, в то время как он находился
в Италии, новую почетную степень. В этом городе
достославное учреждение для развития наук тогда превратилось
в ученую академию, и Бернулли в 1724 г. был внесен в
список ее членов.
Точно так же и в знаменитой республике Генуе
возникла мысль основания подобного же научного общества.
Руководство этой академией было предложено Бернулли.
Но он был более скромного мнения о себе и, не будучи
уверен в своих силах, считал это дело для себя слишком
трудным и потому вначале был в нерешительности. Пока
он колебался, божественное провидение предложило ему
другой удел: после того как незадолго до этого Петром
Великим, императором россиян, была основана в
С.-Петербурге знаменитейшая Академия наук, он был в 1725 г.
приглашен в С.-Петербург вместе с братом Николаем,
который уже через восемь месяцев закончил свой земной
путь и ушел из жизни.
Даниил же после пятилетия, в течение которого он
посвятил свой труд Академии, вследствие слабости
здоровья решил просить об увольнении и вернуться на родину.
Но в силу каких-то причин он был удержан Академией,
что послужило к еще более замечательной его славе, ибо
жалованье его было увеличено наполовину, и он получил
299

звание почетного профессора Академии, причем ему была
назначена пожизненная пенсия и дано разрешение
оставаться в Петербурге до тех пор, пока это ему будет
полезно.
Эти проявления императорской милости удерживали
его как оковы, и поэтому он еще три года пробыл в
Петербургской Академии, до тех пор, пока неустойчивое
состояние его здоровья не заставило его, наконец, серьезно
подумать о возвращении на родину...
В 1733 г. он отбыл на родину в сопровождении
младшего брата Иоганна, который тогда совершал поездку с
учебной целью. После опасного морского путешествия они
были занесены в Данциг, откуда отправились в
Голландию, а затем в Париж.
В это время Академия родного города Даниила
предоставила ему звание публичного профессора анатомии и
ботаники.
В это время он всецело посвятил себя науке о природе
и математической науке и поэтому лишь в небольшой
степени занимался изучением медицины; тем не менее,
побуждаемый любовью к родине, он принял это приглашение
и вернулся к прежним занятиям. В конце 1733 г. он
прибыл в Базель, по обычаю предков принял права и почести
доктора медицины и вступил во вверенный ему удел.
Однако некоторое время спустя, когда в том же его родном
университете освободилась каферда физики, он с согласия
как высших должностных лиц этой республики, так и
высокого академического совета переменил кафедру
медицины на более близкую его сердцу кафедру физики.
В то же время, поскольку он получил звание почетного
профессора Петербургской Академии с соответствующим
жалованьем, он прилагал все усилия к тому, чтобы
выполнять надлежащим образом эти обязанности, отправляя
в Петербург свои сочинения, главным образом
механического содержания; эту работу он продолжает вплоть до
нынешнего дня. Всем другим весьма выгодным и
блестящим поручениям, которые возлагались на него учеными
учреждениями всех стран, он предпочитал научные
занятия на досуге и любовь к родине.
Однако он постоянно переписывался с иностранными
учеными, из которых предпочтительно перед другими здесь
заслуживают быть упомянутыми Мопертюи, Бугер,
Леонард Эйлер, Клеро и Иоганн-Альбрехт Эйлер...
Следует также упомянуть о том, что Бернулли в своем
300

родном университете был награжден различными
почестями и званиями своими согражданами...
Нельзя умолчать, что Бернулли был в числе тех семи
иностранных ученых, которых милостивейшая и
могущественнейшая ныне царствующая императрица россиян
удостоила подарком — именным экземпляром знаменитой
золотой медали, недавно вычеканенной в память о слав-
ком мире, заключенном с турками. С нетерпением и вместе
с тем с глубочайшей благодарностью Бернулли ожидает
получения на ближайших днях этого ценнейшего
памятника своего счастья»4.
На склоне лет Д. Бернулли занялся благотворительной
деятельностью (подобно многим гражданам Базеля). На
собственные средства им было построено нечто вроде
маленького отеля для путешествующих студентов и ученых,
в котором они могли найти приют, пропитание и даже
некоторую денежную субсидию для нуждающихся. На
фасаде основанного Даниилом Бернулли заведения было
написано: «Hospitium fur arme Reisende» (Приют для
бедных путешественников).
В последние годы жизни Д. Бернулли сузил круг
общения до пяти—шести человек — своих старых друзей,
с которыми он встречался вечерами за непринужденной
беседой. К этому времени у него стала развиваться
тяжелая болезнь с мучительными приступами удушья. Весной
1782 г. приступы усилились, и 17 марта в возрасте
восьмидесяти двух лет Даниил Бернулли скончался.
Научная общественность отметила кончину великого
ученого глубоким трауром. На родине Бернулли был
опубликован некролог, написанный племянником ученого —
Даниилом II Бернулли, доктором медицины и профессором
красноречия8. В Париже члены Королевской академии
наук, для которой так много сделал Д. Бернулли, на
специальном заседании заслушали речь секретаря академии
Кондорсе, посвященную памяти Бернулли6. В ней оратор
остановился, в частности, на широких научных интересах
выдающегося ученого, которые «влекли его
преимущественно к исследованию вопросов, которые представляют
4 Вернулли Д. Автобиография.—В кн.: Бернулли Д.
Гидродинамика, с. 427—432.
5 Bernoulli D. II. Vita Danielis Bernoulli.— Acta Helvetica. 1787,
9, p. 1-32.
e Condorcet M. J. Eloge de M. Bernoulli.— Hist. Paris, 1785, p. 545—
585.
301

больше трудностей в приведении их к математическому
аппарату, чем в решении, когда это приведение уже
сделано. В задачах, которыми он занимался, он старался в
самой их природе найти средства к их упрощению, к их
приведению к простейшей форме, оставляя за
вычислениями только то, что от них не может быть отнято. Он имел
склонность пользоваться теорией для того, чтобы
проникнуть глубже в познание природы, прилагая математику
не только к умозрительной механике, к абстрактным
законам тел, но также и к физике, к явлениям природы в ее
реальном состоянии и к тем явлениям, которые нам
доставляют наблюдения. Никто лучше его не умел находить в
анализе средства для того, чтобы подвергнуть вычислениям
все детали явления; никто лучше его не мог поставить
опыт так, чтобы он мог дать или подтверждение
результатов теории или чтобы он мог служить основой вычислений.
В полной мере он и философ и физик» 7.
7 Цит. по ст,: Смирнов В. И. Даниил Бернулли, с. 455—456.

Основные даты жизни Д. Бернулли
1700, 29 января — день рождения
1713 — окончание учебы в Базельской гимназии
1716 — защита магистерской диссертации
1718 — завершение обучения в Базельском университете
1718—1720 — изучение медицины в Гейдельберге и Страсбурге
1721 — получение степени лиценциата медицины
1723—1725 — пребывание в Италии
1724 — выход в свет «Математических упражнений»
1724 — избрание в Болонскую академию
1725 — поступление на службу в Петербургскую академию
1729 — первое публичное сообщение об открытии «интеграла
Бернулли»
1733 — отъезд из Петербурга
1733 — получение кафедры анатомии и ботаники в Базеле
1738 — выход в свет «Гидродинамики»
1747 — избрание в Берлинскую академию
1748 — избрание в Парижскую академию
1750 — переход на кафедру физики Базельского университета
1750 — избрание в Лондонское королевское общество
1782, 17 марта — смерть

Библиография
Работы Даниила Бернулли 4
1. Dissertatio inauguralis physico-medica de respiratione. Basel,
1721.
2. Positiones miscellaneae medico-anatomico-botanicae. Basel, 1721.
3. Theses logicae sistentes methodum examinandi syllogismorum va-
liditatem. Basel, 1722.
4. Exercitationes quaedam mathematicae. Venetiis, 1724.
5. Notata in praecedens schediasma 111. Co. Jacobi Riccati,— Acta
eruidotorum, 1724, supp. 8.
6. Danielis Bernoulli explanatio notationum suarum, quae exstant
Supplem.— Acta eruditorum, 1725, t. VIII, sect. II.
7. Solutio problematis Riccatiani propositi in Act. Lips. Suppl.—
Acta eruditorum, 1725, t. VIII, p. 73.
8. Discours sur la maniere la plus parfaite de conserver sur mer
l'egalite du mouvement des clepsidres ou sabliers — Recueil des
pieces qui ont remporte le prix de l'academie royale des sciences.
Paris, 1725.
9. Examen principiorum mechanicae et demonstrationes geometricae
de compositione et resolutione virium.— Comm. Petrop. 1728, 1,
p. 126—142.
10. Tentamen novae de motu musculorum theoriae.— Gomm. Petrop.
1728, 1, p. 297—313.
11. Experimentum circa nervum opticum.— Comm. Petrop., 1728,
p. 314—317.
12. Theoria nova de motu aquarum per canales quoscunque fluen-
tium.— Comm. Petrop., 1729, 2, p. 111—125.
13. De mutua relationi centri virium, centri oscillationis et centri
gravitatis demonstrationes geometricae.— Comm. Petrop., 1729,
2, p. 208-216.
14. Dissertatio de actione fluidorum in corpora solida et motu soli-
dorum in fluidis.— Comm. Petrop., 1729, 2, p. 304—342.
15. Dissertatio de actione fluidorum in corpora solida et motu soli-
dorum in fluidis continuatio.— Comm. Petrop., 1732, 3, p. 214—229.
16. Methodus universalis determinandae curvaturae fill a potentiis
quamcunque legem inter se observationibus extensi, una cum so-
lutione problematum quorundam novorum eo pertinentium.—
Comm. Petrop., 1732, 3, p. 62—69.
17. Observationes de seriebus quae formantur ex additione vel subst-
ractione quacunque terminorum se mutuo consequentium, ubi
praesertim earundem insignis usus pro inyeniendis radicum
omnium aequationum algebraicarum ostenditur.— Comm. Petrop.,
1732, 3, p. 85—100.
1 В основу настоящей библиографии положен наиболее полный
список работ Д. Бернулли, данный Г. Штраубом в ст.: Straub H.
Bernoulli Daniel.— In: Dictionary of scientific biografy, ed.
Ch. Gillispie. New York. 1970, vol. 2, p. 36-46.
304

lcS. Quelle cst la cause physique de l'inclinaison des plans des orbi-
tes des planetes par rapport au plan de l'equateur de la
revolution du soleil autour de son axe.— Recueil des pieces qui ont
remporte le prix de l'academie royale des sciences. Paris, 1735.
19. Experimenta coram societate instituta in confirmationem theo-
riae pressionum quas latera canalis ab aqua transfluente susti-
ent.— Comm. Petrop., 1735, 4, p. 194—201.
20. Theorema de motu curvilineo corporum, quae resistentiam pa-
tiuntur velocitatis suae quadrato proportionalem una cum solu-
tione problematis in Act. Lips, in Nov. 1728 propositi.— Gomm.
Petrop., 1735, 4, p. 136—143.
21. Problema astronomicum inveniendi altitudinem poli una cum de-
clinatione stellae ejusdemque culminatione ex tribus altitudinibus
stellae et duobus temporum intervallis brevi calculo solutum.—
Gomm. Petrop., 1735, 4, p. 89—101.
22. Reflexions sur la meilleure a donner aux ancres.— Recueil des
pieces qui ont remporte le prix de l'Academie royale des sciences.
Paris, 1737.
23. Notationes de aequationibus, quae progrediuntur in infinitum,
earumque resolutione per methodum serierum recurrentium: ut
et de nova serierum specie.— Comm. Petrop., 1738, 5, p. 63—82.
24. Dissertatio brevis de motibus corporum reciprocis seu oscillato-
riis, quae ubique resistentiam patiuntur quadrato velocitatis suae
proportionalem.— Comm. Petrop., 1738, 5, p. 106—125.
25. Additamentum ad theoremata de motu corporum curvilineo in
mediis resistentibus, in quo resistentiae considerantur quae par-
tim quadratis velocitatum partim momentis temporum
proportionates sunt.— Comm. Petrop., 1738, 5, p. 126—141.
26. Specimen theoriae novae de mensura sortis.— Comm. Petrop.,
1738, 5, p. 175—192.
27. Hydrodynamica, sive de viribus et motibus fluidorum commenta-
rii. Argentorati, 1738.
28. Theoremata de oscillationibus corporum filo flexili connexorum et
catenae verticaliter suspensae.—Comm. Petrop., 1738, 6,
p. 108—122.
29. Demonstrationes theorematum suorum de oscillationibus
corporum filo flexili connexorum et catenae verticaliter suspensae.—
Comm. Petrop., 1740, 7, p. 162—173.
30. Traite sur le flux et reflux de la mer.— Recueil des pieces qui ont
remporte le prix de TAcademie royale des sceinces. Paris, 1741.
31. De legibus quibusdam mechanicis, quas natura constanter affectat,
nondum descriptis, earumque usu hydrodynamico, pro determi-
nanda vi venae aqueae contra planum incurrentis.—Comm.
Petrop., 1741, 8, p. 99-127.
32. De variatione motuum a percussione excentrica.— Comm. Petrop.,
1744, 9, p. 189—206.
33. Rechercnes physiques et mathematiques sur la theorie des vents
regies. Sujet propose par 1'Academie royale des sciences de
Berlin, 1746.
34. Essai sur les probabilites de la vie humaine, 1746.
35. Nouveau probleme de mecanique. (De determiner le nouvement
variable (Tun point fixe...).—Mem. Berlin, 1746, p. 74—90.
36. Commentationes de immutatione et extensione principii conser-
vationis virium vivarum, quae pro motu corporum coelestium re-
quiritur. Comm. Petrop., 1747, 10, p. 116—124.
305

37. Commentationes de statu aoquilibrii corporum liumklo insiden-
tium.— Gomm. Petrop., 1747, 10, p. 147—163.
38. Memoire sur la maniere de construire les boussoles d'inclinai-
son.— Recueil des pieces qui ont remporte le prix de Г Academic
royale des sciences. Paris, 1748.
39. Nouyeaux principes de mecanique et de physique, tendans a
expliquer la nature et les proprietes de Fiaman,— Recueil des
pieces qui ont reniporte le prix de TAcademie royale des sciences.
Paris, 1748.
40. Sur la meilleure maniere de trouver l'heure en mer.— Recueil des
pieces qui ont remporte le prix de Г Academic royale des sciences.
Paris, 1750.
41. De motibus oscillatoriis corporum humido insidentium.— Gomm.
Petrop., 1750, 11, p. 100—115.
42. Commentationes de oscillationibus compositis praesertim iis qua о
fiunt in corporibus ex filo flexili suspensis.—Gomm. Petrop.,
1750, 12, p. 97—108.
43. Remarques sur le principe de la conservation des forces vives
pris dans un sens general.— Mem. Berlin, 1750.
44. De motu mixto, quo corpora sphaeroidica super piano inclinato
descendunt.— Comm. Petrop., 1751, 13, p. 94—99.
45. De vibrationibus et sono laminarum elasticarum commentationes
physico-geometricae.— Comm. Petrop., 1751, 13, p. 105—120.
46. De sonis multifariis, quos laminae elasticae diversimode edunt
disquisitiones mechanico-geometricae experiments acusticis illn-
stratae et confirmatae.—Comm. Petrop., 1751, 13, p. 167—196.
47. Excerpta ex litteris ad Leonhardum Euler.— Comm. Petrop.,
1751, 13.
48. Reflexions et eclaircissemens sur les nouvelles vibrations des
cords.— Mem. Berlin, 1755.
49. Sur le melange de plusieurs especes des vibrations simples iso-
chrones, qui peuvent coexister dans un meme systeme de corps.—
Mem. Berlin, 1755.
50. Sur les nouvelles aiguilles d'inclinaison.—J. de scavans, 1757.
51. Lettre de monsieur Daniel Bernoulli a M. Clairaut, au sujet des
nouvelles decouvertes faites sur les cordes tendues.— J. des
scavans, 1758.
52. Reflexions sur les avantages de l'inoculation.— Mercure de
France. Paris, 1760.
53. Sur le son et les tons des tuyaux d'orgues.— Mem. Paris, 1764.
54. Essai d'une nouvelle analyse de la mortalite causee par la petite
verole et des avantages de Tinoculation pour la prevenir.— Mem.
Paris, 1766.
55. Memoire sur les vibrations des cordes d'une epaisscur inegale.—
Mem. Berlin, 1767.
56. De usu algorithmi infinitesimalis in arte coniectandi specimen.—
Novi comm. Petrop., 1768, 12, p. 87—98.
57. De duratione media matrimoniorum pro quacunque conjugum
aetate, aliisque quaestionibus affinibus.— Novi comm. Petrop.,
1768, 12, p. 99—126.
58. Gommentatio de utilissima ac commodissima directione petentia-
rum frictionibus mechanicis adhibendarum.— Novi comm. Petrop.,
1769, 13, p. 242-256.
306

59. Sur la nature ct la cause des courans.— Recueil des pieces qui
ont remporte le prix TAcademie royale des sciences Paris,
1769.
60. Recherches sur la maniere la plus avantageuse de supleeer a
Faction du vent sur les grands vaisseaux, soit en у appliquant
les rames, soit en у employant quelque autre moyen, que ce
puisse etre.— Recueil des pieces qui ont remporte le prix FAca-
demie royale des sciences. Paris, 1769.
61. Disquisitiones analyticae de novo problemate coniecturali.— Novi
comm. Petrop., 1770, 14, pars 1, p. 1—25.
62. Mensura sortis ad fortuitam successionem rerum naturaliter
contigentium applicata.— Novi comm. Petrop., 1770, 14, pars 1,
p. 26—45.
63. Commentationes physico-mechanicae de frictionibus variis illu-
stratae exemplis.—Novi comm. Petrop., 1770, 14, pars 1,
p. 249—269.
64. Continuatio argumenti de mensura sortis ad forluitam
successionem rerum naturaliter contingentium applicata.— Novi comm.
Petrop., 1771, 15, p. 3—28.
65. Examen physico-mechanicum de motu mixto qui laminis elasticis
a percussione simul imprimitur.— Novi comm. Petrop., 1771, 15,
p. 361—413.
66. Quelle est la meilleure maniere de diminuer le roulis et le tanga-
ge d'un navire.— Recueil des pieces qui ont remporte le prix de
FAcademie royale des sciences. Paris, 1771.
67. De summationibus serierum quarundam incongrue veris carum-
que interpretation atque usu.— Novi comm. Petrop., 1772, 16,
p. 71-139.
68. De vibrationibus chordarum ex duabus partibus, tam longitudine
quam crassitie, ab invicem diversis, compositarum.— Novi comm.
Petrop., 1772, 16, p. 257-280.
69. De indole singulari serierum infinitarum quas sinus vel cosinus
angulorum arithmetice progredientium formant, earumque sum-
matione et usu.— Novi comm. Petrop., 1773, 17, p. 3—23.
70. Exposita theoretica singularis machinae hydraulicae tiguri hel-
vetiorum extructae.— Novi comm. Petrop., 1773, 17, p. 251—271.
71. Theorie elementaria serierum, ex sinibus atque consinibus arcuum
arithmetice progredientinm diversimode compositarum, dilucida-
ta.— Novi comm. Petrop., 1774, 18, p. 3—23.
72. Vera determinatio centri oscillationis in corporibus qualibuscun-
que filo flexili suspensis ejusque ab regula communi discrepan-
tia.— Novi comm. Petrop., 1774, 18, p. 247—267.
73. Commentatio physico-mechanica generalior principii de coexisten-
tia vibrationum simplicium haud perturbatorum in systemate
composito.—Novi comm. Petrop., 1775, 19, p. 239—259.
74. Commentatio physico-mechanica specialior de motibus reciprocis
compositis.—Novi comm. Petrop., 1775, 19, p. 260—284.
75. Adversaria analytica miscellanea de fractionibus continuis.—
Novi comm. Petrop., 1776, 20, p. 3—23.
76. Disquisitiones ulteriores de indole fractionum continuarum.— Novi
comm. Petrop., 1776, 20, p. 24—47.
77. Dijudicatio maxime probabilis plurium observationum discrepan-
tium atque verisimillima inductio inde formanda.— Acta Petrop.,
1778, pars 1, p. 3—23.
307

78. Specimen philosophicum de compensationibus horologicis et ve-
riori mensura temporis.- Acta Petrop., pars posterior, 1778, p. 109-
128.
79. Oratio physiologica de vita.—Verhandlungen der Naturforschen-
den: Gesellschaft Basel, 1940-1941, 52, S. 189—266.
80. Hydrodynamica (1733); эта рукопись, представляющая собой
первоначальную редакцию «Гидродинамики», находится в
архиве АН СССР.
В библиотеке Базельского университета имеются следующие
шесть неопубликованных работ Д. Бернулли:
81. Methodus isoperimetricorum ad novam problematum classem pro-
mota, LIa751C3.
82. Solutio problematis inveniendi curvam, quae cum aliis data sit
tautochrona (1729), LIa751C4.
83. De legibus motus mixti variati, quo corpus sphaericum super
piano aspero progredietur, LIaC19.
84. Discours sur la cause et la nature de la pesanteur (1728),
LIa752D2.
85. Quelle est la meilleure methode d'observer les hauteurs sur mer
par le soleil et par les etoiles (1729), LIa752D3.
86. Rechercbes mecaniques et astronomiques sur la theorie de Saturne
et de Jupiter (1748), ЫаЗЗ.
Падания на русском явыке
1. О движении мышц.— В кн.: Краткое описание комментариев
Академии наук. СПб., 1728, ч. 1, с. 57—62.
2. Гидродинамика, или Записки о силах и движениях
жидкостей /Пер. В. С. Гохмана; Коммент. и ред. А. И. Некрасова,
К. К. Баумгарта; Вступ. статья В. И. Смирнова. Л.; Изд-во
АН СССР, 1959.
3. О средней продолжительности браков при всяком возрасте
супругов и о других смежных вопросах.—В кн.: Птуха М. В.
Очерки по истории статистики в России. M.f 1955. Т. 1.
4. Автобиография.— В кн.: Бернулли Д. Гидродинамика, с. 427—432.
Переписка Д. Бернулли
1. Correspondence matbematique et physique de quelques celebres
geometres du XVIII siecle, Par P.-H. Fuss. St.-Petersbourg,
1843, t. 2.
2. Correspondance entre Daniel Bernoulli et Jean-Henri Lambert.
Publie par P. Radelet-de Grave et V. Scheuber. Paris, 1979.
3. Euler L. Opera omnia. Sub auspiciis Soc. scientarum naturalium
Helveticae et Acad. scientarum URSS. Ed. curaverunt Ch. Blanc,
A. T. Grigorian, A. P. Ju§kevic\ V. I. Smirnov, E. Trost. Ser. 4A.
V. 1. Commercium epistolicum. Basel, 1975.
4. Эйлер Л. Переписка. Аннотированный указатель. Л.: Наука,
1967.
Работы о Д. Бернулли
1. Виппер Ю. Ф, Семейство математиков Бернулли. М., 1875.
2. Пекарский П. П. История императорской Академии наук в
Петербурге. СПб., 1870. Т. 1.
308

3. Райнов Т. И. Даниил Бернулли и его работа в Петербургской
академии наук.—Вестник АН СССР, 1938, № 7/8, с. 84—93.
4. Смирнов В. И, Даниил Бернулли (1700—1782).— В кн.:
Бернулли Д. Гидродинамика. М.: Изд-во АН СССР, 1959, с. 433—501.
5. Bernoulli D. II. Vita Danielis Bernoulli.—Acta Helvetica, 1787,
9, p. 1—32.
6. Die Basler Mathematiker Bernoulli und Leonhard Euler. Vortra-
ge von Fr. Burckhardt u. a. «Verhandlungen der Naturforschen-
den Gesellschaft Basel», 7, 1884.
7. Condorcet M. J. Eloge de M. Bernoulli. Hist. Paris, 1785, p. 82—
107. Oeuvres de Condorcet, Paris, 1847, t. 2, p. 545—585.
8. Fleckenstein J. 0. L'ecole mathematique baloise des Bernoulli a
l'aube du XVIII-e siecle. Paris, 1959.
9. Gedenkbuch der Familie Bernoulli zum 300. Jahrestag ihrer Auf-
nahme in das Basler Biirgerrecht. Basel, 1922.
10. Huber F. Daniel Bernoulli (1700—1782) als Physiologe und Sta-
tistiker. Basel — Stuttgart, 1959.
11. Merian P. Die Mathematiker Bernoulli. Basel, 1860.
12. Pasquier L. G. Leonard Euler et ses amis. Paris, 1927.
13. Puppini U. La forma originaria del teoreme di Daniel Bernoulli
nell'Idrodinamica.— L'Energia Elettrjca, 1943, 21.
14. Sheynin O. B. Bernoulli's work on probability.—Rete. Struktur-
geschichte der Naturwiss., 1972, 1, N 3—4, p. 273—300.
15. Spiess O. Die Mathematiker Bernoulli. Basel, 1948.
16. Straub H. Bernoulli Daniel.— Dictionary of scientific biografy,
ed. Ch. Gillispie. New York, 1970, vol. 2, p. 36-46.
17. Truesdell C. Essays in the history of mechanics. Berlin;
Heidelberg; New York, 1968.
18. Wolf R. Biographien zur Kulturgeschichte der Schweiz, Zurich,
1860. 4 B-de.

Принятые сокращения
Comm. Petrop. — Commentarii academiae scientiaram imperialis
Petropolitanae.
Novi comm. — Novi commentarii academiae scientiaram imperia-
Petrop. lis Petropolitanae.
Acta Petrop. — Acta academiae scientiaram imperialis
Petropolitanae.
Mem. Berlin. — Memoires de l'academie royale des sciences
(Berlin).
Mem. Paris — Memoires de l'academie royale des sciences
(Paris).
Hist. Berlin — Histoire de l'academie royale des sciences (Berlin).
Hist. Paris — Histoire de l'academie royale des sciences (Paris).

Указатель имен
Александрова Н. В. 286
Амонтон Г. 228
Андреа 78
Аристотель 52, 60, 64, 65, 220,
243, 250, 257, 260
Арконати Л. 32
Архимед 26, 65, 98, 123, 141, 148,
167—169, 177, 183, 216
Байер Г.-З. 48
Баугин И. 10
Баугин К. 10
Баумгарт К. К. 40, 318
Бах И. С. 8
Белидор Б. 31
Беллини Дж. 57, 75
Беринг В. 234
Бернулли Даниил (1751—1834)
14, 301, 309
Бернулли Иероним (1669—1760)
14
Бернулли Иероним (1748—1829)
14
Бернулли Иоганн (1667—1748)
5, 6, 9, 14-21, 23-28, 30, 33,
35, 39, 44-46, 51, 53, 55, 56, 63,
68, 73-75, 81, 82, 100, 101, 106,
127, 128, 135, 142, 157, 163,176—
178, 186-201, 204, 206, 226, 241,
262, 265-267, 298
Бернулли Иоганн (1710—1790)
9, 14, 233, 234, 241, 300
Бернулли Иоганн (1744—1807)
9, 14
Бернулли Иоганн Кристоф
(1782-1863) 14
Бернулли Лев (ум. 1672) 10
Бернулли Николай (1623—1708)
12, 14
Бернулли Николай (1662—1716)
14,79
Бернулли Николай (1687—1759)
14, 19-21, 285, 293
Бернулли Николай (1695—1726)
9, 14, 16-19, 23, 43-46, 48, 54,
56, 103, 105, 112, ИЗ
Бернулли Николай (1704—1786)
14
Бернулли Якоб (ум. 1583) 10
Бернулли Якоб (1598—1634) 10,
12
Бернулли Якоб (1654—1705) 9,
12—16, 18, 19, 23-28, 56, 79,
145, 285
Бернулли Якоб (1759—1789) 9,
14, 296
Бертран Ж. 288
Биркгофф Г. 217, 218
Бланш Ш. 308
Блондель Ф. 31, 38
Блюментрост Л. Л. 43—45, 54,
56, 58, 105, ИЗ, 114, 232, 233
Боголюбов А. Н. 7, 265
Бойль Р. 02, 160, 227, 228, 276
Больцман Л. 5, 219, 220, 223
Боне Т. 10
Борелли Дж. А. 15, 53, 57, 75
Боссю Ш. 95, 283
Буге П. 300
Бургаве Г. 121
Бюльфингер Г. Б. 16, 44, 48, 49,
73, 103-105, 107, 111-114, 118,
249
Бюрги И. 10
Валлис Дж. 62
Валиснер 299
Ван-дер-Ваальс Я. Д. 227
Варинъон П. 73, 107, 108, 153,
179
Ватсон Г. Н. 27, 28
Везалий А. 52
Вейтбрехт И. 50
Вепфер И. 10
Ветштейн И. 89
Вивиани В. 24, 183
Виноградов И. М. 48
Виппер Ю. Ф. 9, 308
Витрувий М. П. 31
Вольф Р. 309
Вольф Хр. 16, 41, 43, 44
Гален К. 52
Галилей Г. 24, 25, 31, 32, 63,
66, 70-72, 77, 92, 99, 107, 126,
129, 133, 151, 166, 171, 175,
311

178, 180, 211, 216, 219, 220, 224,
260, 261, 268, 285
Галлей Э. 19, 20
Ган Р. 39
Гарвей У. 52
Гаусс К. Ф. 292
Гварди Ф. 38
Гейлс С. 53
Гей-Люссак Ж. Л. 228
Гераклит Эфесский 64, 67, 145
Герман Я. 43, 47, 73, 103—105,
111, 113, 114, 238
Герон Александрийский 151,
214
Геснер К. 10
Гиллиспи Ч. 304, 309
Гильберт Д. 7, 260
Гиппократ 52
Головкин Г. И. 43, 45
Гольдбах Хр. 44, 45, 48, 53, 58,
116-119, 173, 177, 182, 249,
264
Гохман В. С. 40, 308
Гравезанд В. 151, 212
Грегори Дж. 266
Губер Ф. 59, 293, 309
Гульдин П. 10
Гульельмини Д. 32, 152, 167, 246
Гюйгенс Хр. 16, 19, 23, 25, 35,
39, 62, 63, 66, 106, 125-128,
130, 154, 212, 243, 245, 249, 250,
253, 257, 261, 266, 268, 285-
287
Д'Аламбер Ж. Л. 5, 18, 22, 33,
73, 77, 79, 82—91, 95, 98, 101,
125, 143-145, 149, 156-159,
201—203, 205, 215-218, 220-
222, 247, 257, 258, 260, 265,
266, 269—272, 278
Дальримпль А. 244
Декарт Р. 7, 13, 15, 25, 51, 52,
61-63, 67, 71, 75, 81, 92, 145,
149, 219, 224, 248-250, 253
Делагир 20
Делиль Ж. 41, 49, 80, ИЗ, 235
Демидов С. С. 273
Демокрит 220
Детуш 82
Джурин Дж. 35
Дидро Д. 82, 222
Дирихле П. Г. 247
Доппельмейер И. Г. 44
Дульзекер 121
Дювернуа И. Г. 41, 50, 105
Евклид 148
Егоршин В. П. 101
Жирардон Ф. 91
Ибн Сина 65
Инс С. 152, 166
Иоанн Филопон (Иоанн
Грамматик) 65
Ишлинский А. Ю. 7, 32
Каваллери А. 85, 248
Кавальери Б. 24
Кантемир А. Д. 238, 239
Кардано Дж. 285
Карно Л. 222, 223
Кастелли Б. 32, 97, 152, 153, 166,
246
Кельвин 183
Кениг G. 295
Кеплер И. 66, 76, 149, 250
Клапейрон Э. 183, 229
Клаузиус Р. 219
Клеро А. К. 83-85, 87, 90, 235,
236, 243, 246, 255, 300
Кнудсен М. 219
Когросс 299
Коломбо 52
Кондорсе Ж. А. 95, 221, 301, 309
Копелевич Ю. X. 44, 46
Корф И.-А. 121
Коши О. 204, 246, 247
Крафт Г.-В. 49, 233
Крокко Л. 204
Крылов А. Н. 34
Куазевокс А. 91
Кук Дж. 244, 245
Кулибин И. П. 77, 78, 262
Куракин Б. И. 43
Курант Р. 259
Лаваль Г. 214
Лагранж Ж. Л. 7, 84, 144, 264,
266 275
Ламберт Ж. 293, 308
Лаплас П. С. 286—288
Лауэ М. 64
Леви Г. 259
Лейбниц Г. В. 5-7, 16, 18-20,
24-28, 35, 41, 43, 51, 62, 63,
66-68, 71, 73, 74, 77, 81, 103,
106, 126, 128-130, 142, 145,
253, 260, 279, 281
Лейтман И.-Г. 77
Ленин В. И. 7
312

Леонардо да Винчи 97, 140—151,
153, 165, 166, 169-171, 174,
179, 214-216
Лиувилль Ж. 30
Ломоносов М. В. 223, 224, 229
Лопиталь Г. Ф. 15, 26, 39
Маделунг Э. 99, 100
Мазарини Дж. 82
Майер Ф.-К. 49, 50, 113
Маклорен К. 84, 85, 145, 246, 248,
265
Максвелл Дж. К. 5, 219, 220
Малыгаги М. 52
Мариотт Э. 62, 92—95, 106, 107,
109, 115, 137, 138, 153, 160, 177,
193, 224, 227, 228, 276
Маркс К. 205
Мартини Хр. 44
Мах Э. 214
Мегерлин 14
Менке И.-Б. 43
Мериан П. 309
Мерсенн М. 25, 92
Мизес Р. 206
Микелотти П. А. 21, 35, 37, 39,
54, 100, 299
Михайлов Г. К. 214
Монмор П. 20, 23
Мопертюи П. Л. 84, 86—88, 235,
239, 243-246, 295, 300
Морганьи И. Б. 299
Муавр А. 20, 23, 279, 293
Мусхелишвили Н. И. 65
Мюллер Г.—Ф. 58, 113
Навье А. 185
Некрасов А. И. 40, 318
Непер Дж. 10
Нолл В. 220
Ньютон И. 5—7, И, 19, 20, 24,
26, 29, 33-36, 62, 66-77, 81,
93, 95, 98—101, 106-108, 110,
129, 132, 135, 136, 145, 148, 152,
153, 167-178, 180-182, 185,
193, 197, 211, 215, 216, 225,
236, 243-245, 248-250, 254,
257, 259-261, 268, 274, 277,
279
Парацельс Т. 10
Парди И. 38
Парменид 60, 64, 67
Паскаль Б. 23, 36, 65, 92, 99, 169,
183, 184, 216, 217, 285
Паскуайе Л. 309
Пекарский П. П. 43, 45, 56, 58,
78, 86, 87, 89, ИЗ, 114, 121, 232,
235, 238—242, 308
Петр I 41—44, 49, 231, 233, 240,
299
Питкарн 54, 57
Пито А. 38
Платон 64
Полак Л. С. 263
Полени Дж. 32, 35, 58, 109, 132,
177
Постников П. В. 42
Прандтль Л. 156
Птолемей К. 149
Птуха М. В. 308
Пуассон С. Д. 288
Пуппини У. 309
Рабле Ф. 35
Раделе-де Грав (Radelet-de
Grave P.) 308
Разумовский К. 241
Райнов Т. И. 295, 308
Раус Г. 152, 166
Рен Хр. 62
Рено Б. 38, 39
Риззетти Дж. 22
Риккати Дж. 22, 24, 28—31, 34,
35, 48, 49, 109, 263
Робине Б. 85
Розенфельд Б. А. 7
Рубенс П. П. 10
Свет Я. М. 244
Свифт Дж. 265
Сервет М. 10, 11, 52
Скоутен 287
Смирнов В. И. 18, 40, 45, 82, 142,
186, 187, 238, 240-242, 248, 253,
255, 261, 268, 271-274, 278, 288,
289, 292, 293, 302, 308, 309
Спасский Б. И. 144
Стевин С. 36, 65, 98, 99, 148,
167-169, 183, 184, 216, 217
Стоке Дж. 185
Социн А. 296
Тансен 82
Тарталья Н. 285
Татон Р. 87
Тейлор Б. 265—267
Торричелли Э. 24, 25, 32, 33, 40,
66, 71, 94, 97, 100, 132, 133, 153,
313

166—168, 171, 175, 179, 180,
183, 193, 211, 220
Трост Е. 308
Трусделл К. А. 65, 108, 109, 157,
189, 190, 197, 200, 220, 273, 309
Фаллопий Ф. 52
Фалькнер Д. 298
Федоров И. 42
Ферма П. 23, 206, 285, 286
Филатова Л. А. 7
Флекенштейн И. О. 9, 309
Флэмстед Дж. 13
Фонтана К. 32
Фонтенель Б. 23, 41
Фридрих II 47, 80, 89, 91, 240
Фридрихе К. 259
Фронтин С. Ю. 31, 97, 116, 150,
151, 156, 164, 212-214
Фурье Ж. Б. 270, 272, 273, 278
Фусс Н. И. 77, 78, 262, 273, 293
Фусс П. Н. 48, 308
Харди Г. 282
Хост П. 38
ттота ТТ Л 9Q9
Шарль 228
Шейнин О. Б. 292, 319
Шойбер В. 308
Шпис О. 9, 309
Штвлин Я. 242
Штрауб Г. 304, 309
Шумахер И. Д. 43, 46, 49, 56,
58, 105, 111, ИЗ, 114, 119, 232,
233, 238
Эйлер И.-А. 300
Эйлер Л. 5, 18, 30, 31, 33, 46-48,
56-58, 66, 72, 74, 76, 77, 79,
79-91, 95, 101-103, 108, 126,
143, 145, 156-160, 184-187, 189,
200, 201, 203-206, 211, 217,
218, 220, 225, 226, 232, 233, 235,
237-243, 246-248, 252, 255,
257—262, 264—275, 277, 278,
280, 284, 292, 308
Эйлер П. 56
Эйнштейн А. 8, 207
Энгельс Ф. 16, 97, 205
Юшкевич А. П. 7, 25, 87, 222,
270, 273, 308

Оглавление
Предисловие 5
Глава 1. Генеалогия 8
Глава 2. Дебюты 22
Глава 3. Петербургская академия наук 41
Глава 4. Профессор физиологии 51
Глава 5. Механика 60
Глава 6. Бернулли, Эйлер, Д'Аламбер 79
Глава 7. Механика жидкости 91
Глава 8. «Гидродинамика» 103
Глава 9. Принцип сохранения живых сил 124
Глава 10. Принцип неразрывности 147
Глава И. Интеграл Бернулли 161
Глава 12. Отец и сын 185
Глава 13. Парадоксы континуума 205
Глава 14. Кинетические представления 220
Глава 15. Снова Базель 231
Глава 16. Тяготение 243
Глава 17. Прикладная математика 257
Глава 18. Линейные колебания 266
Глава 19. Бесконечные ряды 279
Глава 20. Теория вероятностей 284
Глава 21. Последние годы жизни 294
Основные даты жизни Д. Бернулли . . • 303
Библиография 304
Принятые сокращения 310
Указатель имен 311

Contents
Preface 5
Chapter 1. Genealogy 8
Chapter 2. Debuts 22
Chapter 3. The Petersburg Academy of Sciences ... 41
Chapter 4. The professor of physiology 51
Chapter 5. Mechanics 60
Chapter 6. Bernoulli, Euler, D'Alambert 79
Chapter 7. The fluid mechanics 91
Chapter 8. «Hydrodynamics» 103
Chapter 9. The principle of the living forces conservation 124
Chapter 10. The principle of continuity 147
Chapter 11. Bernoulli's integral 161
Chapter 12. Father and son 185
Chapter 13. Paradoxes of continuum 205
Chapter 14. Kinetic ideas 220
Chapter 15. Back to Basel 231
Chapter 16. Gravitation 243
Chapter 17. The applied mathematics 257
Chapter 18. The linear oscillations 266
Chapter 1*9. The infinite series 279
Chapter 20. The probability theory 284
Chapter 21. Last years of Bernoulli's life 294
The main dates of D. Bernoulli's life . . . 303
Bibliography 304
Abbreviations 310
Index of names 311

Contenu
Preface 5
Chapitre 1. Genealogie 8
Ghapitre 2. Les debuts 22
Chapitre 3. L'academie des sciences do Petersbourg 41
Chapitre 4. Le professeur de physiologie 51
Chapitre 5. La mecanique 60
Chapitre 6. Bernoulli, Euler, D'Alambert 79
Chapitre 7. La mecanique des fluides 91
Chapitre 8. «Hydrodynamique» 103
Chapitre 9. Le principe de la conservation des forces
animees 124
Chapitre 10. Le principe de la continuite [147
Chapitre 11. L'integrale de Bernoulli 161
Chapitre 12. Le pere et le fils 185
Chapitre 13. Les paradoxes de continuum 205
Chapitre 14. Les idees cinetiques 220
Chapitre 15. Encore Bale 231
Chapitre 16. La gravitation 243
Chapitre 17. La mathematique appliquee 257
Chapitre 18. Les oscillations lineaires 266
Chapitre 19. Les series infinites 279
Chapitre 20. La theorie de la probabilite 284
Chapitre 21. Les dernieres annees de la vie de Bernoulli 294
Les dates generales de la vie de D. Bernoulli 303
Bibliographie 304
Abreviations 310
Index des noms 311

Inhalt
Vorwort 5
Kapitel 1. Genealogie 8
Kapitel 2. Debute 22
Kapitel 3. Die Petersburger Akademie der Wissenshaften 41
Kapitel 4. Professor der Physiologie 51
Kapitel 5. Mechanik 60
Kapitel 6. Bernoulli, Euler, D'Alambert 79
Kapitel 7. Die Mechanik der Fliissigkeit 91
Kapitel 8. «Hydrodynamik» 103
Kapitel 9. Das Prinzip der Erhaltung der Lebenskrafte 124
Kapitel 10. Das Prinzip der Kontinuitat 147
Kapitel 11. Die Integrate von Bernoulli 161
Kapitel 12. Vater und Sohn 185
Kapitel 13. Die Paradoxe des Kontinuums 205
Kapitel 14. Kinetische Vorstellungen 220
Kapitel 15. Wieder Basel 231
Kapitel 16. Die Gravitation 243
Kapitel 17. Die angewandte Mathematik 257
Kapitel 18. Lineare Scliwankungen 266
Kapitel 19. Infinite Reihen 279
Kapitel 20. Die Wahrscheinlichkeitsrechnung .... 284
Kapitel 21. Die letzten Lebensjahre von Berneulli . . . 294
Die Hauptdaten des Lebens von D. Bernoulli 303
Bibliographic 304
Die Kurzunge 310
Namensanzeiger 311

Ашот Тигранович Григорьян
Борис Демьянович Ковалев
Даниил Бернулли
1700-1782
Утверждено к печати
Редколлегией серии
научно-биографической литературы
Редактор издательства В. П. Лигаеьский
Художественный редактор Н. А. Фильчагина
Технический редактор Н. Н. Плохова
Корректоры Р. 3. Зсмлянская, Ю. Л, Косорыгин
ИБ № 24275
Сдано в набор 7.08.81.
Подписано к печати 1.12.81.
Т-28238. Формат 84х1087з2
Бумага типографская Jsft 1
Гарнитура обыкновенная
Печать высокая
Усл. пе I. л. 16,8 Уч.-изд. л. 17,7. Усл. кр .-отт. 17
Тираж 27 000 экз. Тип. зак. 838
Цена 1 р. 20 к.
Издательство «Наука»
117864 ГСП-7, Москва, R-485, Профсоюзная ул. 90
2-я типография издательства «Наука»
121099, Москва, Г-99, Шубинский пер., 10