см НИКОЛЬСКИЙ
КУРС
МАТЕМАТИЧЕСКОГО
АНАЛИЗА
I
С. М. НИКОЛЬСКИЙ
КУРС
МАТЕМАТИЧЕСКОГО
АНАЛИЗА
Т о м I
Издание третье,
переработанное и дополненное
Допущено Министерством высшего
и среднего специального образования СССР
в качестве учебника, для студентов физических
и механико-математических специальностей
высших учебных заведений
МОСКВА «НАУКА»
ГЛАВНАЯ РЕДАКЦИЯ
ФИЗИКО-МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ЛИТЕРАТУРЫ
198 3
22.16
Н
УДК 5(7
Никольский С AJ. Курс математического анали-
1(. 'Г. 1. Зе изд., перераб. и доп.—М.: Наука, Главна»
редакции физико-математической литературы, 1983.-
4(11 с.
Учебник для студентов физических и механико-ма-
тематических специальностей вузов написан па основе
курса лекций, читаемого автором в Московском физико-
техническом Институте. Фактически принят как учебное
пособие в некоторых втузах с повышенной программой
но математике.
Первый том содержит дифференциальное исчисле-
ние функций одной и многих переменных, ряды и ин-
тегральное исчисление для функций одной переменной.
Для третьего издания учебник существенно перера-
ботай и дополнен.
Илл.-83.
1702050000- 105 7Я ™
.......	।  , /о о<>
053 (02)-83
С изменениями.
И з; <ател ь с тао <-На у j; а ».
Главная редакция
(физико-математической
литературы, Н75
/р'-. С изменениями.
'У издательство «Наука».
Главная редакция
фпзико-матсматнческой
литературы, 1 Ш
ОГЛАВЛЕНИЕ
Предисловие к первому изданию..................................... 8
Предисловие ко второму изданию .......................• .	.	.	11
Предисловие к третьему	изданию..................................12
Глава 1. Введение.................................................13
§ 1.1.	Вступление.............................................13
$ 1.2.	Множество. Интервал,	отрезок...........................13
§ 1 Л	Функция................................................16
§ 1	Понятие непрерывности	функции...........................27
§ 1.5.	Производная............................................30
5 1.(2.Первообразная.	Неопределенный	интеграл.................36
§ 1.7. Понятие определенного интеграла. Площадь криволиней-
ной фигуры..............................................38
Г л а н ' 2. Действительное число.................................43
$ 2.1. Рациональные и иррациональные числа....................43
!; 2.2. Определение неравенства...............................48
§ 2.3.	Определение арифметических действий....................49
S 2.4. Основные свойства действительных чисел.................52
§ 2.Г. Изоморфизм различных представлений действительных чи-
сел. Длина отрезка, физические величины.......................55
§ 2.6. Дополнение.............................................61
2 7. Неравенства для абсолютных величин......................63
!; 2 8. Точные верхняя и нижняя грани множества ....	64
Г .1 а а а 3. Предел последовательности...........................66
5 3 1. Понятие предела последовательности.....................66
3.2. Арифметические действия с пределами....................70
2 3.3. Бесконечно малая и бесконечно большая величины .	.	72
S 3.4. Существование предела у монотонной ограниченной по-
следовательности .............................................74
5 Числ	о в...............................................76
$ 3 С. Леммы о вложенных отрезках, существовании точных гра-
ней множества и сечения во множестве действительных
чисел.............................................• .	.	.	77
§ 3.7.	Подпоследовательности. Верхний и нижний пределы .	.	79
§ 3.8.	Критерий Коши существования предела.................86
§ 3.9.	Теорема Вейерштрасса................................88
§ 3.10.	Счетное множество. Счетность множества рациональных
чисел. Несчетность множества действительных чисел .	.	89
4
ОГЛАВЛЕНИЕ
Глава 4. Предел функции............................................92
§ 4.1.	Понятие предела функции...........................  100
§ 4.2.	Непрерывность функции в точке.......................105
§ 4.3.	Пределы функции справа и слева. Монотонная функции
§ 4.4.	Функции, непрерывные па отрезке.....................109
§ 4.5.	Обратная функция....................................113
§ 4.6.	Показательная н логарифмическая функции .	.	.	.	116
S 4.7. Степенная функция г6	......................120
§ 4.8.	Еще о числе е.......................................121
/ о Г Sin X	4
§ 4.9.	lini		.	.	...................................122
х-о х
§ 4.10.	Порядок переменной, эквивалентность (асимптотика) 123
Глава 5. Дифференциальное исчисление для функций одной пере-
менной .......................................................127
§	5.1.	Производная.......................................  127
§	5.2.	Дифференциал функции................................131
§	5.3.	Производная функции от функции......................133
§	5.4.	Производная обратной функции .......	135
§	5.5.	Таблица производных простейших элементарных функций	138
§	5.6.	Производные п дифференциалы высшего порядка .	.	139
§ 5.7.	Возрастание и сбывание функции па интервале и л точ-
ке. Локальный экстремум......................................143
§ 5.8.	Теоремы о среднем значении. Критерии возрастания л
убывания функции па интервале. Достаточные критерии
локальных экстремумов....................................145
§ 5,9.	Формула Тейлора...................................150
§ 5.10.	Формулы 'Гейлора для важнейших элементарных функций	158
§ 5.11.	Ряд 'Гейлора......................................162
§ 5.12.	Выпуклость кривой в точке. Точка перегиба ....	166
5 5.13.	Выпуклость кривой на отрезке......................168
§ 5.14.	Раскрытие неопределенностей.......................169
§ 5.15.	Кусочно непрерывные и кусочно гладкие функции .	.	174
Г л а в а 6.	п -мерное пространство. Геометрия кривой........177
§ 6.1.	«-мерное пространство.'Линейное множество ....	177
§ 6.2.	Евклидово « мерное пространство. Пространство со ска-
лярным произведением.....................................178
§ 6.3.	Линейное нормированное пространство...............181.
§ 6.4.	Вектор-функция в п-мерпом евклидовом пространстве	.	182
§ 6.5.	Кривая в «-мерном пространстве....................18.5
§ 6.6.	Геометрический смысл производной вектор-функция .	.	191
§ 6.7.	Длина дуги кривой.................................192
§ 6.8.	Касательная. Нормаль к плоской кривой .	.	.	.	.	194
§ 6.9.	Кривизна и радиус кривизны кривой. Плоская кривая.
Эволюта и эвольвента.........................................196
§ 6.10.	Соприкасающаяся плоскость и подвижный триэдр кривой 202
ОГЛАВЛЕНИЕ
5
§	0.11	.	Асимптота.....................................................................................207
§	6.12.	Замена переменных...............................................................209
Глава 7. Дифференциальное исчисление функций многих переменных 211
§	7.1.	Открытое .множество..............................................................211
§	7.2.	Предел функции ...................................................................214
§	7.3.	Непрерывная функция..............................................................217
§	7.4.	Частные производные и	производная	ио направлению	221
§	7.5.	Дифференцируемая функция. Касательная	плоскость	223
§ 7.6.	Производная сложной функции; производная ио направ-
лению; градиент.......................................227
§	7.7.	Независимость от порядка	дифференцирования	. . .	233
§	7.8.	Дифференциал функции. Дифференциал	высшего	порядка	235
§ 7.9.	Предельная точка. Теорема Вейерштрасса. Замкнутые и
открытые множества.........................................239
§ 7.10.	Функции на множестве. Свойства непрерывных функций
па замкнутом ограниченном множестве........................245
§ 7.11.	Продолжение равномерно непрерывной функции. Частная
производная на границе области ........................... 250
§ 7.12.	Лемма о вложенных прямоугольниках и лемма Бореля 251
§ 7.13.	Формула Тейлора....................................................................................252
§ 7.14.	Формула Тейлора с остатком в форме Пеано. Единствен-
ность .....................................................257
§ 7.15.	Локальный (абсолютный) экстремум функции	....	258
§ 7.16.	Теоремы существования неявной функции	.	.	.	.	.	262
§ 7.17.	Теорема существования решения системы	уравнений	.	.	267
§ 7.18.	Отображения........................................................................................272
§ 7.19.	Гладкая поверхность................................................................................275
§ 7.20.	Гладкая поверхность, заданная параметрически. Ориенти-
руемая поверхность....................................279
§ 7.21.	Пример пеориептируемой поверхности.	Лист	Мёбиуса	284
§ 7.22.	Локальный относительный экстремум..................................................................285
§ 7.23.	Особые точки кривой................................................................................292
§ 7.24.	Кривые на поверхности..............................................................................296
§ 7.25.	Криволинейные координаты в окрестности гладкой грани-
цы области...............................................  302
§ 7.26.	Замена переменных в частных производных ....	304
§ 7.27.	Система зависимых функций...............................................................................308
Глава 8. Неопределенные интегралы. Алгебра многочленов ,	.	312
§ 8.1.	Введение. Методы замены переменной и интегрирования
по частям.............................................312
§	8.2.	Комплексные числа.................................................................................318
§	8.3.	Предел последовательности	комплексных	чисел.	Функция
комплексного переменного...........................................................................  322
§	8.4.	Многочлены..........................................................................................326
§	8.5.	Разложение рациональной функции	на	простейшие	дроби	330
G '	ОГЛАВЛЕНИЕ '
§ 8.6.	Интегрирование рациональных дробей .....	336
§ 8.7.	Метод Остроградского выделения рациональной части на
интеграла ....................................- .	.	.	,	336
§	8.8.	Интегрирование алгебраических иррациональностей	.	.	349
§	8.9.	Подстановки Эйлера..............................  .	341
§	8.10.	Биномиальные дифференциалы. Теорема Чебышева	.	.	343
§	8.11.	Интегрирование тригонометрических выражений .	.	,	344
§ 8.12.	Тригонометрические подстановки..........................................................  348
§ 8.13.	Несколько важных интегралов, не выражаемых в элемен-
тарных функциях.............................................348
Глава 9.	Определенный интеграл Римана...............................................................350
§	9.1.	Вводная часть и определение.................  350
§	9.2.	Ограниченность интегрируемой функции...................351
§	9.3.	Суммы Дарбу...........................................................352
§	9.4.	Основная теорема...........................................................354
§ 9.5.	Теоремы о существовании интеграла от непрерывной и
монотонной функции на [а, 6]................................357
§	9.6.	Теорема Лебега............................................................................358
§	9.7.	Аддитивные и однородные свойства нитегралй .	.	,	360
§	9.8.	Неравенства и теорема о среднем .	  362
§ 9.9.	Интеграл как функция верхнего предела. Теорема Нью-
тона — Лейбница.............................................364
§ 9.10.	Вторая теорема о среднем..................................................................368
S 9.11.	Видоизменение функции.....................................................................369
§ 9.12.	Несобственные интегралы...................................................................371
§ 9.13.	Несобственные интегралы	от	неотрицательных функций 375
§ 9.14.	Интегрирование по частям..................................................................378
§ 9.15.	Несобственный интеграл и	ряд..............................................................380
$ 9.16.	Несобственные интегралы с особенностями в нескольких
точках......................................................384
§ 9.17.	Формула Тейлора с остатком,	в интегральной форме .	.	388
§ 9.18.	Формулы Валлиса и Стирлинга...............................................................389
Глава 10. Некоторые приложения интегралов. Приближенные ме-
тоды ......................................................393
§	10.1.	Площадь в полярных координатах..393
§	10.2.	Объем тела вращения........394
§	10.3.	Длина дуги гладкой кривой .	.	  395
§	10.4.	Площадь поверхности тела вращения..................397
§	10.5.	Интерполяционный многочлен Лагранжа........398
§	10.6.	Квадратурные формулы прямоугольников	и	трапеций	399
§	10.7.	Общая квадратурная формула. Функционал	....	401
§	10.8.	Формула Симпсона..................402
§	10.9.	Общий метод получения оценок квадратурных	формул	403
§	10.10.	Еще о длине дуги...................................................409
§	10.11.	Число л. Тригонометрические функции.............409
ОГЛАВЛЕНИЕ
Глава И. Ряды..................................................413
§ 11.1.	Понятие ряда.......................................413
§ 11.2.	Действия с рядами..................................414
§ 11.3.	Ряды с неотрицательными членами.....................415
§ 11.4.	Ряд Лейбница.......................................421
§ 11.5.	Абсолютно сходящиеся ряды..........................421
§ 11.6.	Условно и безусловно сходящиеся ряды с действитель-
ными членами...............................................425
§ 11.7.	Последовательность и ряды функций. Равномерная сходи-
мость .....................................................427
§ 11.8.	Интегрирование и дифференцирование равномерно схо-
дящихся рядов на отрезке...................................433
§ 11.9.	Кратные ряды. Перемножение абсолютно сходящихся ря-
дов .......................................................438
§ 11.10.	Суммирование рядов и последовательностей методом
средних арифметических .	.	.	.	...............442
§ 11.11.	Степенные ряды.....................................443
§ 11.12.	Дифференцирование и интегрирование степенных рядов 447
§ 11.13.	Степенные ряды функций ez, cos z, sin z комплексной
переменной.................................................451
Дополнение. Приближенное вычисление элементарных функций 454
Предметный указатель..........................................4(50
ПРЕДИСЛОВИЕ К ПЕРВОМУ ИЗДАНИЮ
Этот учебник, выходящий в двух томах, соответствует, если
не считать некоторых добавлений, программе курса математиче-
ского анализа, читаемого мною уже много лет в Московском
физико-техническом институте.
Первая глава носит вводный характер. В ней на основе интуи-
тивных представлений о пределе вводятся основные понятия ма-
тематического анализа и даже на основании наглядных и физи-
ческих соображений устанавливается связь между производной
и интегралом и даются элементы техники дифференцирования и
интегрирования, нужные читателю, изучающему параллельно
физику.
Вторая глава посвящена действительному числу. В основу по-
нятия числа взято его представление в виде бесконечной десятич-
ной дроби. Только часть этой главы — крупный шрифт,— рас-
сматривается как обязательная. При желании опа может быть
еще уменьшена.
Я придерживаюсь точки зрения, впрочем, традиционной, что
основные факты математического анализа сначала должны быть
изложены для функций одной переменной, а затем уже для мно-
гих переменных. Здесь неизбежны повторения, но они незначи-
тельны. С другой стороны, для такой аудитории, какой являются
студенты наших мехматов, физматов и физтехов, вполне воз-
можно переходить от одной не к двум и не к трем, а сразу же
к п переменным. Весь вопрос тут только в удачных обозначени-
ях. Но они уже выработаны в журнальной и монографической
литературе, целесообразность их уже проверена и теперь они
должны становиться достоянием наших учебников. Такой под-
ход обеспечивает правильную перспективу. Ведь во второй поло-
вине курса,— в таких разделах как ряды Фурье, интеграл
Фурье,— читателю придется овладевать представлением о беско-
иечномерности функциональных пространств.
В своем изложении я достаточно рано ввожу понятие «-мер-
ного евклидова пространства, пространства со скалярным произ-
ведением, банахова пространства и широко пользуюсь этими по-
нятиями, однако, в меру необходимости выполнения программы.
Как требуется программами, изложение курса ведется па ос-
нове интеграла Римана. Я старался аналогичные теоремы в одно-
мерном и многомерном случаях доказывать аналогично, чтобы
сэкономить силы читателя для других вопросов.
ПРЕДИСЛОВИЕ К ПЕРВОМУ ИЗДАНИЮ
9
Очень деликатный вопрос — как быть с полнотой пространств
L и Л2? Чтобы решить этот вопрос, я не строю абстрактные эле-
менты, заменяющие функции, интегрируемые по Лебегу, и в ос-
новном тексте ограничиваюсь только разъяснениями о том, как
соответствующий факт выглядел бы в терминах интеграла
Лебега.
Впрочем, учебник снабжен добавочной главой 19 (том II),
посвященной интегралу Лебега. Я уверен, что многие мои чита-
тели по собственной инициативе будут заглядывать в нее. Они
от этого ничего не потеряют. Современная математическая физи-
ка, которую им придется изучать, нуждается в интеграле Лебега.
Например, прямые вариационные методы математической физики
немыслимы без употребления интеграла Лебега. К чтению главы
19 читатель будет вполне подготовлен после того как он позна-
комится с понятием меры Жордана.
Главы 17 и 18 (том II) тоже дополнительные. В главе 18 уде-
лено место таким важным понятиям современного анализа, как
усреднение функции по Соболеву и разбиение единицы. По-на-
стоящему они должны входить в обязательные программы повы-
шенных курсов анализа.
Глава 17 посвящена дифференцируемым многообразиям п
дифференциальным формам. Кульминационным ее пунктом яв-
ляется доказательство теоремы Стокса в и-мерном пространстве.
Эта глава может служить проверкой того, насколько оказался
подготовленным читатель, освоивший эту книгу.
Я желал, чтобы мой читатель, освоив курс, легче ориентиро-
вался в методах математической физики. Ряд добавлений сделан
именно исходя из интересов математической физики. Большое
поле деятельности здесь возникает при изложении вопросов, свя-
занных с функциями многих переменных. Здесь наша педагоги-
ческая мысль должна еще поработать. Я надеюсь, что и моя кни-
га вносит некоторую лепту в это трудное дело.
Я хочу отметить книги, оказавшие па меня большое влияние.
Во-первых, это «Курс анализа бесконечно малых» Ш. Ж. де
ла Валле-Пуссена. Двухтомник Валле-Пуссена, память которого
я хочу здесь почтить, я старательно изучал будучи студентом,
а теперь он служит моей настольной книгой.
Во-вторых, это книга «Введение в теорию функций действи-
тельного переменного» П. С. Александрова и А. Н. Колмогорова,
которую я тоже в свое время старательно изучил и, следуя ей,
читал свои курсы в Днепропетровском университете. Но я, кроме
того, неоднократно слушал лекции этих двух выдающихся авто-
ров, один из них — А. Н. Колмогоров — мой научный учитель.
Выражаю им здесь свою глубокую благодарность.
Я хочу выразить свою признательность коллективу кафедры
математики Московского физико-технического института, в ко-
тором я работаю двадцать пять лет, в течение которых много
10
ПРЕДИСЛОВИЕ К ПЕРВОМУ ИЗДАНИЮ
раз обсуждались вопросы преподавания математического анализа.
Конечно, при этом я должен особо выделить моих коллег
проф. Л. Д. Кудрявпева, заведующего кафедрой, и проф. О. В. Бе-
сова, беседы с которыми были особенно интенсивными.
С первыми главами рукописи книги детально ознакомились
мои коллеги проф. Е. А. Волков и проф. П. И. Лпзоркип, отме-
тив имеющиеся там недочеты, которые я устранил. Главу 17,
посвященную дифференциальным формам, внимательно прочи-
тал проф. Г. В. Гамкрелидзе; многие его советы я учел. Мне
были очень полезны также советы проф. А. А. Дезина, с которым
я беседовал по этому вопросу.
Мои официальные рецензенты академик И. П. Векуа и ка-
федра математики Московского института электронного машино-
строения весьма благожелательно отнеслись к моей книге; они
дали ряд полезных советов, которыми я воспользовался.
Я учел, конечно, и советы моего коллеги, редактора книги
А. А. Башарина, тщательно прочитавшего текст рукописи и про-
верившего его во всех деталях.
Всем указанным липам я приношу свою глубокую благо-
дарность.
С. М. Никольский
ПРЕДИСЛОВИЕ КО ВТОРОМУ ИЗДАНИЮ
Для 2-го издания сделаны изменения, носящие чисто педаго-
гический характер (см., в частности, §§ 3.7, 3.8, 5.8, 5.11, 6.2,
6.11, 7.5, 7.12, 7.22, 8.5, 10.10). Иногда они свелись к перераспре-
делению материала внутри параграфа. Менее нужные факты по
возможности относились в конец параграфа, чтобы в случае не-
обходимости можно было их; опустить без ущерба для понимания
дальнейшего текста.
Автор считает существенными следующие недочеты, замечен-
ные в 1-м издании тома I:
стр. 223, строки 5, 6 снизу, следует читать так:
kyh&xhf = &yh [f (х + h, у) — f (х, у)] =
= h [f'y (х + h, у + eh) — fy(x, у +0/г)] =
=	(% + e>h, у + eh) = h2 (x, y) + e]
стр. 173, строки 5, 6 снизу, следует читать так:
а неотрицательное число.
Я благодарю А. А. Башарина, Ю. С. Никольского, А. М. По-
лосуева и С. А. Теляковского, обративших мое внимание на не-
которые недочеты в 1-м издании.
С. М. Никольский
ПРЕДИСЛОВИЕ К ТРЕТЬЕМУ ИЗДАНИЮ
3-е издание несколько дополнено. Сравнительно существен-
ным изменениям подверглись § 2.3 (лемма 1), 2.4, 3.4, 3.6, 3.7
(теоремы 2, 3, 6), 3.8, 5.14 (теоремы 1, 2), 7.16 (теорема 1), 7.17
(теорема 1), 7.19, 11.3, 11.6 (теорема 2), 11.7, 11.8, 11.11, 11.12.
Я благодарю О. В. Бесова, Я. С. Бугрова, А. И. Вейсенберга,
Р. В. Гамкрелидзе, В. Г. Лозовика, Ю. С. Никольского, М. С. Ни-
кулина, С. А. Теляковского, В. П. Шанькова, сделавших полез-
ные замечания, а иногда обративших: мое внимание па недочеты
во 2-м издании I и II томов. Есть еще один квалифицированный
математик, которого я благодарю за присланные замечания, ио
его подпись оказалась неразборчивой.
Я благодарю также многих слушателей — студентов Москов-
скою физико-технического института, которым я читал из года
н год математический анализ, следуя этой книге. К их замеча-
ниям я прислушиваюсь особенно.
2-е издание переведено на другие языки: латышский — изда-
тельством Zvaigzne (Riga, 1979), английский — издательством
Мир (1975), испанский (первый том) — издательством URMO
S. A. de edicional (Bilbao, 1979).
К тому же издательство Мир готовит 2-е издание своего пере-
вода. Переводчики тоже делали замечания. Я благодарю перевод-
чиков на латышский язык У. Гринфильда, Г. Энгелиса и Е. Энге-
лиса, па английский язык — В. М. Волосова и па испанский
язык — Апарисио Бернардо.
1982
С. М. Никольский
Глава 1
ВВЕДЕНИЕ
§ 1.1. Вступление
Название «Математический анализ» представляет собой со-
кращенное видоизменение старого названия «Анализ бесконечно
малых». Последнее больше говорит, по оно тоже сокращенное.
Название «Анализ посредством бесконечно малых» характеризо-
вало бы предмет более точно.
Выло бы лучше, если бы название отражало те объекты, ко-
торые подвергаются анализу (изучению). В классическом мате-
матическом анализе такими объектами являются прежде всего
функции, т. е. переменные величины, зависящие от других пере-
менных величин.
Мы говорим «прежде всего», потому что дальнейшее развитие
математического анализа привело к возможности изучения его
методами более сложных образований, чем функции (функциона-
лов, операторов и т. д.). Во об этом говорить пока рано. Ближай-
шей пашей задачей является изучение достаточно общих, встре-
чающихся на практике функций методами бесконечно малых или,
что все равно, методами пределов. В чем заключаются эти мето-
ды— это постепенно будет разворачиваться перед читателем в
дальнейшем. Скажем пока, что эти методы, в частности, приводят
к очень важным операциям над функциями — дифференцирова-
ния и интегрирования.
Параграфы 1.2, 1.3 посвящены понятиям множества и
функции.
Следующие три параграфа, 1.4 — 1.6, носят чисто вводный
характер. Из них читатель получит представление об основных
понятиях математического анализа, которые будут подробно в
развернутом виде изучаться в этой книге.— непрерывности, про-
изводной, неопределенного и определенного интегралов. Понятием
предела мы, конечно, здесь пользуемся, но вовсе его пока не оп-
ределяем и не разъясняем, всецело пока полагаясь на интуицию
читателя. Возможен и такой способ чтения книги, мри котором
параграфы 1.4—1.6 выпускаются, с тем чтобы впоследствии воз-
вратиться к ним по мере ссылок на них.
§ 1.2. Множество. Интервал, отрезок
Любое собрание или совокупность каких-либо предметов на-
зывают в математике множеством. Например, можно говорить о
множестве всех деревьев, находящихся на данной поляне, или
14
ГЛ. 1. ВВЕДЕНИЕ
о множестве гусей, пасущихся па ней, или о множестве всех це-
лых чисел. Если А обозначает некоторое заданное множество
предметов, ах — один из этих предметов, то говорят, что х есть
элемент множества А и записывают этот факт так: х е А.
Если у не есть элемент А, то это записывают так: уёА
или у А.
Если одно и то же множество оказалось обозначенным двумя
буквами, А и В, пишут А = В, подчеркивая в случае необходи-
мрсти, что здесь идет речь о теоретико-множественном равенстве,
которое не надо смешивать с равенством между числами.
Если из тою, что х^А, всякий раз следует, что х&В, то
пишут А <= В и говорят, что А входит в В или А есть подмно-
жество или часть В. Отдадим себе отчет в том, что при таком
определении случай А = В есть частный случай А <= В. Ведь если
не только А с В, но и Вс: А, то А — В, и наоборот.
Если множество состоит только из одного элемента х, то луч-
ше его обозначить другой буквой, например, А, потому, что надо
отличать логически множество, состоящее из одного элемента, от
самого этого элемента. Необходимо еще формально ввести пустое
множество, не содержащее в себе никаких элементов, которое
обозначают так: 0 (или О). По определению О с: А, каково бы
ни было множество А.
Из школьного курса математики мы знаем, что между дейст-
вительными числами и точками прямой можно ввести взаимно
однозначное соответствие *) при помощи следующего правила.
Числу 0 приводится во взаимно однозначное соответствие произ-
вольно выбранная на прямой точка О — нулевая точка. Длина
некоторого определенного отрезка принимается за единицу. Каж-
дому действительному числу ±а (а>0) приводится в соответст-
вие точка прямой, отстоящая от нулевой точки па расстоянии,
равном а, и лежащая правее или левее О, в зависимости от того,
стоит ли перед а знак «+» или « —». Наоборот, если А. есть ка-
кая-либо точка нашей прямой, отстоящая от 0 на расстоянии а,
то ей приводится в соответствие число +а или —а, в зависимости
от того, лежит ли А правее или левее 0.
Прямая, все точки которой описанным выше образом приве-
дены в соответствие со всеми действительными числами, называ-
ется числовой прямой или действительной осью. Точки ее назы-
ваются числами, которые они представляют. Таким образом, мож-
но говорить о точке 0, 1, 1,2, V2 и т. д. Мы будем позволять себе
числа называть точками (числовой прямой) и, наоборот, точки
числами.
Пусть числа (точки) а и Ъ удовлетворяют неравенству а < Ь,
') По этому поводу см. дальше § 2.7.
§ 1.2. МНОЖЕСТВО. ИНТЕРВАЛ, ОТРЕЗОК
15
М ножество чисел х, удовлетворяющих неравенствам а х Ь,
называется отрезком (с концами а, &) или сегментом и обозна-
чается так: [а, 61.
Множество чисел х, удовлетворяющих неравенствам а<х<Ь,
называется интервалом (с концами а, Ь) или открытым отрезком
и обозначается так: (а, 6).
М ножество чисел х, удовлетворяющих неравенствам а С х < b
или а < х =5 Ь, обозначаются соответственно [а, б), (я, 6] и назы-
ваются полуоткрытыми отрезками или полуинтервалами. Первый,
например, закрыт слева и открыт справа.
Часто рассматривают еще множества, называемые бесконеч-
ными интервалами пли полуинтервалами: 1) ( —°°, <»), 2) (—°°, al,
3) ( — ос, «), 4) (а, «>), 5) [я, «О.
Первое из них есть множество всех действительных чисел
(действительная прямая); остальные состоят из всех чисел, для
которых соответственной 2) х а, 3) х<а, 4) а < х, 5) а х.
В связи с этой терминологией удобно употреблять слова ко-
нечное пли бесконечное число. Конечное число — это просто
число. Бесконечное же число на самом деле не есть число —
это СИМВОЛ +°о или —°о.
Отметим, что у отрезка [о, 6] концы всегда конечны. У ин-
тервала же («, Ы «концы» могут быть конечными и бесконечны-
ми числами.
Пишут еще
[я, 6] = {х: а С х bl, (а, Ь) = {х: а < х < Ы.
Например, правая часть первого из этих множественных равенств
читается так: множество всех чисел (точек) х, для которых вы-
полняются неравенства а =С х Ь.
Пусть А и В — два множества любой природы. Суммой или
объединением А и В называется множество, обозначаемое через
Л + В или A U В, представляющее собой совокупность всех эле-
ментов А и. В.
Разностью А и В называется множество, обозначаемое через
Л\В (или А— В), представляющее собой совокупность всех эле-
ментов А, пе принадлежащих В.
Пересечением А и В называется множество, обозначаемое че-
рез АВ или А 0 В, представляющее собой совокупность всех эле-
ментов, каждый из которых принадлежит как А, так и В.
Справедливо теоретико-множественное равенство
(А±В)С^АС±ВС\	(1)
где Л, В, С — произвольные множества. Например, в случае «+»
оно доказывается так. Если элемент х принадлежит левой части
(I). то он принадлежит одновременно как А + В, так и С. Но
тогда х обязательно принадлежит хотя бы одному из множеств
А или В. Пусть для определенности х&А; тогда х е АС, а еле-
16
ГЛ. 1. ВВЕДЕНИЕ
довательно, и правой части (1). Наоборот, пусть х принадлежит
правой части равенства; тогда х принадлежит одному из мно-
жеств АС или ВС. Пусть для определенности х^АС; тогда х
принадлежит как А, так и С, следовательно, х принадлежит как
А+В, так и С, т. е. левой части (1).
Понятие суммы множеств естественно распространяется на
любое конечное и даже бесконечное число слагаемых (множеств).
Выражения
N	оо
U	+ • • • 4“ -‘‘IjV, и ~ ^1 +	+ • • •
й=1	h=l
обозначают объединения всех элементов множеств Л,, ..., Дх,
соответственно А,, А2, ..., и называются суммами или объедине-
ниями указанных множеств.
Справедливы равенства
N	N	оо	оо
с и 4 = и CAk, С и Ak = и CAk
fe=l	fe —1	;<=1
(аналогичные (1) в случае «+»), где С — произвольное мно-
жество.
Примеры.
оо
1) Ю,2]+[1,3]= [0,3]; 2) [0,2]-[1,3]-- [0,1); 3) [J А [ 1)
—оо
ОО
= IJ [А, к + 1) = R, где 7?— множество всех действительных чисел.
h—— оо
§ 1.3. Функция
Пусть Е есть множество чисел и пусть в силу некоторого
вполне определенного закона каждому числу х из Е приведено
в соответствие (одно) число у; тогда говорят, что на Е задана
функция (однозначная), которую записывают так:
у = /(х)	(.х^Е).	(1)
•
Это определение функции предложено П. И. Лобачевским и Ди-
рихле*). Множество Е называют областью задания пли опреде-
ления функции /(х). Говорят также, что задана независимая
переменная х, которая может принимать частные значения х из
множества Е, и каждому х = Е в силу упомянутого закона при-
ведено в соответствие определенное значение (число) друюй пере-
менной у, называемой функцией или зависимой переменной. Не-
зависимую переменную называют аргументом.
*) Н. И. Лобачевский (1792—1856)—великий русский математик, со-
здатель неевклидовой геометрии. Л. Дирихле (1805—1859) немецкий мате-
матик.
§ 1.3. ФУНКЦИЯ
17
Для выражения понятия функции употребляют геометриче-
ский язык. Говорят, что задано множество Е точек х действитель-
ной прямой — область определения или задания функции, и за-
кон, в силу которого каждой точке х е Е приводится в соответ-
ствие число у — fix).
Если мы хотим говорить о функции как о некотором законе,
приводящем в соответствие каждому числу х^Е некоторое чис-
ло у, то достаточно ее обозначить одной буквой f. Символ Дж)
обозначает число у, которое в силу закона / соответствует зна-
чению х^Е. Если, например, число 1 принадлежит области Е
задания функции f, то /(1) есть значение функции f в точке х =
= 1. Если 1 не принадлежит Е (1ё£), то говорят, что функция
/ не определена в точке х = 1.
Множество Et всех значений у = fix'), где х^Е, называется
образом множества Е при помощи функции /. Иногда пишут в
таком случае Et=fiE). Но это обозначение надо употреблять
с осторожностью, по возможности разъясняя его всякий раз, ког-
да оно употребляется, чтобы не было путаницы с обозначением
у = fix), где х есть произвольная точка (число), принадлежащая
.множеству Е, а у — соответствующая ей при помощи функции
(закона /) точка множества Е>. Говорят еще, что функция f
отображает множество Е на множество Е^
Если образ Et — fiE) cz А, где А — множество чисел, вообще не
совпадающее с Е,, то говорят, что функция f отображает Е в А.
Для функций / и ф, заданных на одном и том же множестве
Е, определяются сумма / + ср, разность f — ср, произведение ]'ц,
f	.X.
частное —. Это новые функции, значения которых выражаются
соответственно формулами
/ (*) + ф И, f (*) — ф (•*), / (*) Ф (*)>	, хе=Е, (2)
где в случае частного предполагается, что ф(ж) #=0 па Е.
Для обозначения функции употребляют и любые другие буквы,
F, Ф, V, ..так же как вместо х, у можно писать z, и, и, ю, ...
Если функция f отображает множество Е в Е,, а функция F
отображает множество Е, во множество Е?, то . функцию z =
= Fifix)) называют функцией от функции, или сложной функ-
цией, или суперпозицией f и F. Она определена на множестве Е
п отображает Е в Ez.
Возможна сложная функция, в образовании которой участвует
п функций: z = Е1(Е2(/73... iFnix))...)).
Практика доставляет там много примеров функций. Например,
площадь S круга есть функция его радиуса г, выражаемая фор-
мулой S = лг2. Эта функция определена, очевидно, на множестве
всех положительных чисел г.
Можно, не связывая вопрос с площадью круга, говорить о за-
висимости между переменными S и г, выраженной формулой
•18
ГЛ. 1. ВВЕДЕНИЕ
«S' = лг2. Функция 5 = ф(г), заданная этой формулой, определена
на всей действительной оси, т. е. для всех действительных чисел
г — не обязательно только положительных.
Ниже приводятся примеры функций, заданных формулами:
1)	у - /1 - х'-, 4) у 2__
2)	г/== Jg (1 4 z), 5) г/ —arcsiii х.
3)	у ~ х — 1,
Мы имеем в виду действительные функции, принимающие дейст-
вительные значения у для действительных значений аргументам.
Нетрудно видеть, что областями определения приведенных функ-
ций являются соответственно:
1)	отрезок [—1, 1] = {—1 м < 1);
2)	множество х > —1;
3)	вся действительная ось;
4)	вся действительная ось, из которой исключена точка
5) отрезок [ — 1, 41].
Функции, определяемые в примерах 1) г£ 2), можно рассмат-
ривать как функции от функции: 1) y~fu, u — l — v, v = x-\
2) У = 1g и, и = 1 + х.
Важным средством задания функции является график. Зада-
дим прямоугольную систему координат х. у (рис. 1.1), па оси х
отметим отрезок [и, />] и изобразим любую кривую Г, обладаю-
Рвс. 1.1.
щую следующим свойством: какова
бы ни была точка х [а, 6], прямая,
проходящая через нее параллельно
оси у, пересекает кривую Г в од-
ной точке А. Такую заданную в пря-
моугольной (декартовой) системе ко-
ординат кривую Г мы будем назы-
вать графиком. График определя-
ет функцию у — /(м) на отрезке
1 а, б] следующим образом. Если х есть произвольная точка от-
резка [а, 61, то соответствующее значение у — ](х) определяется
как ордината точки А (см. рис. 1.1). Следовательно, при помощи
графика дается вполне определенный закон соответствия между
х и у = /(х). .
Мы задали функцию при помощи графика на множестве Е,
являющемся отрезком [а, &]. В других случаях Е может быть
интервалом, полуинтервалом, всей действительной осью, множе-
ством рациональных точек, принадлежащих к данному интер-
валу, и т. д.
Зададим на некотором интервале (а, 6) функцию /(z) и произ-
вольное (постоянное) число а^О. С помощью а и f можно
сконструировать ряд других функций: 1) a/U); 2) fix) + а;
§ 1.3. ФУНКЦИЯ
1!)
3) /Сг — а); 4) f(ax). Функции 1) и 2) определены на том же
интервале (а, Ь). Ординаты графика функции 1) увеличены в а
раз сравнительно с соответствующими ординатами /(ж). График
функции 2) получается из графика / поднятием последнего па
величину а*); график же функции 3) получается из графика f
путем сдвига последнего вправо на величину а. Наконец, функ-
ция 4) при а>0 определена, очевидно, на интервале (а/а, Ь/а.);
график ее получается из графика / путем равномерного его сжа-
тия в а раз.
Функцию f называют четной или нечетной, если она опреде-
лена на множестве, симметричном относительно нулевой точки
и обладает на нем свойством /(—х) = /(ж) или свойством f{—x) =
= —f(x).
График четной функции, очевидно, симметричен относитель-
но оси у,' а график нечетной функции симметричен относительно
начала координат. Например, л24 (к — натуральное), cos а:,
In Ы, V1 + х2, /(Ы) — четные функции, a x,2'1+1 (fc > 0 — целое),
sin х, xl 1 + х2, xf(\kx\) — нечетные функции.
Нетрудно видеть, что произведение двух четных или двух не-
четных функций есть функция четная, а произведение четной
функции на нечетную есть нечетная функция.
Конечно, большинство функций не четны и не нечетны.
Функция на различных частях области ее определения может
быть задана различными формулами. Например, пусть поезд, вы-
шедший из пункта А в момент t — 0, шел в течение двуХ часов
со скоростью 100 км в час и, прибыв в пункт В, стоял там один
час, а затем шел дальше в течение трех часов со скоростью 80 км
в час. Тогда функция s = /(t), выражающая расстояние (в кило-
метрах) поезда от А в момент времени t, очевидно будет опре-
деляться следующими тремя формулами:
(lOOt	(0<£<2),
/(0=200	(2<£<3),
(200 + 80 (t -3)	(3<f<6).
Функция может быть задана в виде таблицы. Например, мы
могли бы измерять температуру Т воздуха через каждый час.
Тогда каждому моменту времени t = 0, 1, 2, ..., 24 соответство-
вало бы определенное число Т в виде таблицы:
до понимать как соответственно опускание или сдвиг влево на величи-
ну |а|.
20
ГЛ. 1. ВВЕДЕНИЕ
Таким образом, мы получили бы функцию Т = определенную
на множестве Е целых чисел от 0 до 24, заданную таблицей.
Если функция у = j{x) задана на некотором множестве Е
формулой, то всегда можно считать, что ей соответствует вполне
определенный график, определяющий геометрически эту функ-
цию. Обратное совсем не ясно: если функция задана произволь-
ным графиком, то может ли опа быть выраженной некоторой фор-
мулой? Это очень сложный вопрос. Чтобы ответить па пего, надо
отдать себе отчет в том, какой смысл мы вкладываем в слово
формула. Выше, когда мы говорили, что данная функция у =
— f(x) выражается формулой, мы молчаливо считали, что при
этом у получается из х при помощи конечного числа таких опе-
раций, как сложение, вычитание, умножение, деление, извлече-
ние корня той или иной степени, логарифмирование, взятие опе-
рации sin, cos, arcsin и других алгебраических и тригонометри-
ческих операций.
Математический анализ дает средства для значительного рас-
ширения понятия формулы. Весьма важным таким средством
является разложение функции в бесконечный ряд по элементар-
ным функциям.
Многие, а может быть и все, встречающиеся на практике
функции могут быть изображены формулой, представляющей со-
бой некоторый бесконечный ряд. членами которого являются эле-
ментарные функции, которые будут определены ниже. Но сейчас
об этом говорить не время. Мы еще не готовы к этому.
Так или иначе, задана ли функция /(х) формулой или же она
задана другим каким-либо способом, например, при помощи гра-
фика, она у яге может служить объектом изучения средствами
математического анализа, если она удовлетворяет некоторым до-
полнительным общим свойством, таким как непрерывность, моно-
тонность, выпуклость, дифференцируемость и др. По об этом бу-
дет идти речь впереди.
Важнейшим средством изучения функции является понятие
предела, являющееся основным понятием математического ана-
лиза. Следующая глава посвящена этому понятию.
Если каждому числу х, принадлежащему данному множеству
Е чисел, в силу некоторого закона соответствует определенное
множество ех чисел у, то говорят, что этим законом определена
многозначная функция y = f(x). Если окажется, что е, для каж-
дого х еЕ состоит только из одного числа у, то мы получим
однозначную функцию.
Однозначную функцию называют просто «функцией» без до-
бавления прилагательного «однозначная», если только это не
приводит к недоразумениям.
Алгебра и тригонометрия доставляют нам примеры много-
значных функций; такими являются функции Ух, Arcsin х,
Arctg х, ...
§ 1.3. ФУНКЦИЯ
21
Функция Ух определена для х^О. Опа двузначна*) для
х > 0: каждому положительному х соответствуют два действи-
тельных числа, отличающихся между собой знаками, квадраты
которых равны х. Что же касается функции Arcsin х, то опа
бесконечпозначна. Она приводит в соответствие каждому значе-
нию х из отрезка [ — 1, +1] бесконечное множество значений у,
которые могут быть записаны по формуле
у = (—I)* arcsin х + fcn (/с — 0, 2, ...).
Выше мы говорили о функциях от одной переменной. Но мож-
но говорить также о функциях двух, трех и вообще п пере-
менных.
Функция от двух переменных определяется следующим об-
разом. Рассматривается множество Е пар чисел (х, у). При этом
имеются в виду упорядоченные пары. Это значит, что две пары
(xi, у,) и (х2, yj считаются равными (совпадающими) тогда и
только тогда, когда xt — х2 и i/j = у2. Если в силу некоторого за-
кона каждой паре (х, у) Е приведено в соответствие число z,
то говорят, что этим определена на множестве Е функция z —
= ftx, у) от двух переменных, х и у.
Так как каждой паре чисел (х, у) соответствует на плоскости,
где введена декартова система координат, точка с абсциссой х и
ординатой у, и, наоборот, каждой точке таким образом соответ-
ствует пара (z, у), то можно говорить, что наша функция f(x, у)
задана на множестве Е точек плоскости.
Функции z = /(z, у) от двух переменных изображают в трех-
мерном пространстве, где задана прямоугольная система коорди-
нат (г, у, z), в виде геометрического места точек (z, у,- j(x, у)),
проекции которых принадлежат множеству Е определения /.
Например, таким геометрическим местом для функции
z = Т 1 — х~ — у~, х2 + у2 С 1
является верхняя половина шаровой поверхности радиуса 1 с
центром в нулевой точке.
В этом же духе можно определить функцию трех перемен-
ных. Областью ее определения' может теперь служить некоторое
множество Е упорядоченных троек чисел (яг, у, z) или, что все
равно, им соответствующих точек трехмерного пространства, где
введена декартова система координат.
Если каждой тройке чисел (точке трехмерного пространства)
(z, у, z) е Е в силу некоторого закона соответствует число и, то
говорят, что этим определена па Е функция u = F(x, у, z).
*) Впрочем, символ । z (k = 2, 3, ...) мы будем понимать всюду, ес-
ли это не оговорено особо, кек арифметическое значение корня k-й степени
из х 0, т. е. как неотрицательное число, к-я степень которого равна х.
22
ГЛ. 1. ВВЕДЕНИЕ
Аналогично можно рассматривать множество Е упорядочен-
ных систем (х1г.^.хп) из п чисел, где п — заданное натуральное
число. Опять, если каждой такой системе, принадлежащей Е, со-
ответствует в силу некоторого закона число z, то говорят, что z
есть функция от переменных xit ..., хп, определенная на мно-
жестве Е, и записывают эту функцию в виде z = F(x,, ..., хп).
В случае п>3 в нашем распоряжении, уже нет реального
«-мерного пространства, чтобы использовать его для изображения
систем («!, ..., хп) в виде принадлежащих ему точек. Но мате-
матики выдумали «-мерное пространство, и оно им благополучно
служит, и притом не хуже чем реальное трехмерное простран-
ство. Именно, «-мерным пространством называется множество
всевозможных систем п чисел (л^, ..., х„) (см. § 6.1).
Если две функции, / и ср, от п переменных заданы па одном
и том же множестве Е систем (xh ..., хп) — точек «-мерного
пространства,—то можно определить сумму / + ср, разность / — ср,
произведение /ср и частное //ср как функции, определенные на Е
при помощи равенств, аналогичных равенствам (2), где надо
только числа х заменить системами {х1ч ..., агп). Естественным
образом определяются также сложные функции, такие как
/(ср(х, у\ ф(лг, у, z))=E(x, у, z), где (х, у, z) — тройки чисел,
принадлежащих некоторому множеству троек.
Ниже приводится несколько примеров функций многих пере-
менных, заданных посредством элементарных формул.
Пример 1. и = Ах + 13у + Cz 4-D, где А, В, С, D — заданные посто-
янные действительные числа, есть линейная функция от трех переменных
(ж, у, z). Она задана на всем трехмерном пространстве. Более общая линей-
П
пая функция от п переменных (лд, ..., хп) задается формулой и = У, -|-
7 — 1
+ Ъ, где «|, ..ап, b — заданные постоянные числа. Эта формула опреде-
лена в любой точке (ал, ..., хп) «-мерного пространства, или, как еще го-
ворят, на всем «-мерном пространстве.
Пример 2. z = lg|l — х2—у2. Эта действительная функция задана
на области, представляющей собой круг радиуса 1 с центром в (0, 0), из ко-
торого удалены все граничные точки, т. е. точки окружности радиуса 1 с
центром (0, 0). Для этих точек наша функция не определена, потому что
1g 0 не имеет смысла.
Поимев 3. Функция
ГО для !/>0,
Z — f (х, у) — для < Q
геометрически изображается двумя параллельными полуплоскостями, не
связанными между собой. Расположение их по отношению к системе коор-
динат (х, у, z) очевидно.
Функция от одной переменной может быть задана неявным
образом при помощи равенства
F(x, у) = 0,	(3)
где F есть функция от двух переменных х и у.
§ 1.3. ФУНКЦИЯ
23
Пусть на некотором множестве G точек (х, у) задана функ-
ция F. Равенство (3) определяет некоторое подмножество Й мно-
жества G, на котором функция F равна нулю. Конечно, в част-
ности й может быть пустым множеством. Пусть Й — непустое
множество, и пусть Е есть множество (очевидно, непустое) таких
значений х (чисел), которым соответствует хотя бы один у так,
что пара х, у принадлежит Й. Таким образом, Е есть множество
всех чисел х, каждому из которых соответствует непустое мно-
жество ех чисел у так, что (х, у) s й, или, что все равно, так, что
для указанной пары (х, у) выполняется равенство (3). Этим оп-
ределена на множестве Е некоторая функция у = cp(z) от х, вооб-
ще говоря, многозначная. В этом случае говорят, что функция ср
определена неявно при помощи равенства (3). Для нее, очевидно,
выполняется тождество
F(x, <р(л?)) = 0 для всех х & Е.
По аналогии можно также определить функцию .г = фС/у) от
переменной у, определяемую неявно при помощи равенства (3).
Для нее выполняется тождество
F'(ф(у), у) s 0 для всех у *= Е1г
где Et есть некоторое множество чисел. Говорят еще, что функ-
ция у = ср(ж) (или лг = ф(гД) удовлетворяет уравнению (3).
Функцию a: = i|?(i/) называют обратной но отношению к функ-
ции у = <р(х).
П р и м е р 4. Уравнение
л2 + у1 — г2.	(4)
где г > 0 неявно определяет двузначную функцию от одной переменной
у = ±1’г2 — х3 (—г <. т < г);
впрочем, при х = ±г она однозначна.
Естественно считать, что эта двузначная функция распадается на две
непрерывные однозначные функции у = +|г2—х2 и у= — у г2— х2
(—Графики их (полуокружности) в совокупности дают окруж-
ность радиуса г с центром в начале координат. Эта окружность есть гео-
метрическое место точек, координаты (х, у) которых удовлетворяют урав-
нению (4).
Перейдем к более общему н-мерному случаю. Пусть па неко-
тором множестве G точек (xt, ..., х„) n-мерного пространства
задана функция Fix,, ..., хп). Равенство
F(xt, ..., хп) = 0	(5)
определяет некоторое подмножество й множества G, на котором
функция F равна пулю. Пусть Й — непустое множество и пусть
Е — множество (непустое!) таких систем (.Xt, ..., xn-i), которым
соответствует хотя бы одно значение хп такое, что точка (ад,..., ж„)
принадлежит й. Таким образом, Е есть множество всех систем
( ci, ..., Хя-Д, каждой из которых соответствует непустое множе-
24
ГЛ. 1. ВВЕДЕНИЕ
ство ... ,x„_j чисел хп таких, что {xt, ..xlt) *= й, или, что все
равно, таких, что для {xt, ..., хп) выполняется равенство (5)
Этим определена на множестве Е некоторая функция хп =	. .
..., OJn-J от (ац, ..., x„-i), вообще говоря, многозначная. Говорят,
что функция ф определена неявно при помощи равенства (5).
Для нее, очевидно, выполняется тождество
F(xt, ...,Xn-i, ф(лЩ . ... Т„-;))^0	(х1; . . ., Л?„-1) Е Е,
Элементарные ф у пк ции
1.	Постоянная функция С. Каждому действительному числу х
соответствует г/, равный одному и тому же числу С. График этой
функции (в прямоугольной системе координат) есть прямая, па-
раллельная оси х, находящаяся па расстоянии |С| от оси х и рас-
положенная выше оси х, если С > 0, и ниже осп х, если С < 0.
2.	Степенная функция хп (п = 0, ±1, ±2, ...). При и поло-
жительном целом функция х'1 определена на всей действитель-
ной оси. При п отрицательных целых опа определена на всей
действительной оси, за исключением точки х — 0. Неудобно во
всех случаях считать 0° вполне
определенным числом (см. далее
§ 5.14). Конечно, например, при
рассмотрении функции у = х\ мо-
жет оказаться удобным формально
считать, что 0° = 1. Ведь тогда эта
функция будет иметь непрерыв-
ный график (прямую, параллель-
ную оси х) для всех значений х.
На рис. 1.2 приведены графи-
ки функций у = X, х2, X3, х\
3.	Многочленом степени п на-
зывается функция вида
Р{х) = «о + а^х + ... + апхп,
где а0, Ui, ..., ап — постоянные ко-
эффициенты и п есть заданное натуральное число. Многочлен сте-
пени п получается из постоянных ak (А: = 0, ..., ге) и функций
х, х2, ..., хп при помощи конечного числа арифметических дейст-
вий: сложения, вычитания и умножения.
Многочлен называют также целой рациональной функцией
{степени п). Областью его определения является вся действитель-
ная ось.
4.	Рациональной функцией называется функция вида
где Р{х) = По + ...+ апхп и Q{x) = b0 + btx + ... + Ь,лхт — некото-
рые многочлены (Ат¥=0).
§ 1.3. ФУНКЦИЯ
25
Рациональная функция определена для всех х действительной
осп, кроме нулей многочлена Q, т. е. точек х, для которых Q(x} =
= 0. Количество таких точек не превышает т.
Рациональная функция получается из некоторых постоянных
и функций вида xh (/с натуральное) путем применения к ним
арифметических действий (в конечном числе): сложения, вычита-
ния, умножения и деления.
5.	Степенная функция ха {а — постоянное число) изучается
в школьном курсе алгебры. Однако не все, связанное с этой
функцией, полностью обосновывается в обычных школьных кур-
сах алгебры. Например, определение ха, когда а есть иррацио-
нальное число, основано на достаточно топких понятиях из тео-
рии пределов. После того как будет изложена теория пределов,
мы вернемся к функции х”, дадим ее исчерпывающее определе-
ние и докажем ее свойства.
6.	Показательная функция а1 (а>0). Эта функция также из-
вестна из школьного курса алгебры. Однако про нее, так же как
и про степенную функцию, можно сказать, что связанные с нею
определения п свойства обычно не пол-
ностью получают обоснование в школьном
курсе. Поэтому к функции ах мы еще вер-
немся. Обратная к ах есть функция lgox.
7.	Функция sin х известна читателю
из курса тригонометрии. Она определяет-
ся там из геометрических соображений.
Напомним определение sinz. Зададим
число х. Отложим па окружности радиу-
са 1 от начальной точки А (рис. 1.3)
дугу длины |ж| в направлении, противопо-	Рис. 1.3.
ложном движению часовой стрелки, ес-
ли х > 0, или в направлении движения часовой стрелки, если
х < 0. Длина дуги исчисляется в радианах. Пусть В есть конец
дуги. Тогда длина перпендикуляра ВС к прямой ОА, взятая со
знаком «+», если В будет выше ОА, и со знаком « —», если В
будет ниже ОА, есть у = sin ж.
В этом же известном читателю духе определяются функ-
ции cos х, tg.r, cosec х, secx, ctgz и устанавливаются их
свойства.
Затем определяются обратные тригонометрические функции
Arcsin х, Arccos х, ...
Все перечисленные в пп. 1—7 функции могут быть названы
простейшими элементарными функциями. Всякая функция, сЬс-
тавленная из простейших элементарных функций с помощью
операций сложения, вычитания, умножения, деления и функции
от функции, если количество примененных при этом указанных
операций конечно, называется элементарной функцией. Такую
функцию мы и называем функцией, заданной формулой.
26
ГЛ. 1. ВВЕДЕНИЕ
Примеры элементарных функций: sinz2, (sin ж)2, tglgTl — х\
cos п arccos х, Xх — а" lsax (а > 0).
Полярная система координат. В плоскости зададим
луч OL (полярную ось), выходящий из точки О — полюса поляр-
ной системы координат (рис. 1.4).
Произвольная точка А плоскости определяется нарой чисел
(р, 0)—ее полярными координатами, где р — расстояние А до
О, а 0 — выраженный в радианах угол между OL и О А. Точка О
исключительная. Опа определяется парой (0, 0), где 0 — произ-
вольное число. Угол 0 отсчитывается против часовой стрелки.
Функцию р =/(0), заданную па интервале (отрезке пли произ-
вольном множестве Е значении 0) можно интерпретировать как
множество точек (о, 0) плоскости, где 0е Е, р =/(0). Многие
кривые на плоскости могут быть описаны в полярных коор-
динатах соответствующими функциям!! р = /(0) (многозначны-
ми или однозначными). Например, 1) функция р = а" («> 0,
— оо<0<оо) описывает в полярных координатах спираль Архи-
меда (рис. 1.5); 2) функция
? cos (0 — 0fl) ’
0е(оо— у, 0О
В Ро>°
описывает такую прямую, что опущенный на нее из полюса О
§ 1.4. ПОНЯТИЕ НЕПРЕРЫВНОСТИ ФУНКЦИИ
27
перпендикуляр имеет длину р0 и образует с полярной осью угол
0О (рис. 1.6); функция р = 2 cos 010	| описывает ок-
ружность радиуса 1 с центром в точке Л(1, 0) (рис. 1.7).
§ 1.4. Понятие непрерывности функции
На рис. 1.8 изображен график функции у — fix) ia^x^b).
Его естественно назвать непрерывным графиком, потому что он
может быть нарисован одним непрерывным движением каранда-
ша без отрыва от бумаги. Зададим произвольную точку (число)
з;е[«. 6J. Близкая к ней другая точка х' е [а, Ы может быть
записана в виде х' — х + &х, где Ах есть число положительное
или отрицательное, называемое приращением х. Разность
А/ = Ay = fix + Ах) — fix)
называется приращением функции f в точке х, соответствующим
приращению Ах. На рис. 1.8 Ау равно длине отрезка ВС.
Будем стремить Ах непрерывно к нулю; тогда для рассматри-
ваемой функции, очевидно, и А у будет стремиться к нулю:
Ау0	(Ах-*0).	(1)
Рассмотрим теперь график, изображенный на рис. 1.9. Он со-
стоит из двух непрерывных кусков РА и QB. Однако эти куски
не соединены непрерывно и потому график естественно назвать
разрывным. Чтобы график изображал однозначную функцию
у = Fix) в точке х0, условимся, что Fix0) равно длине отрезка,
соединяющего А и х0; в Знак этого точка А изображена на гра-
фике жирно, в то время как у точки Q нарисована стрелка, ука-
зывающая, что Q не принадлежит графику. Если бы точка Q
принадлежала графику, то функция f была бы двузначной в
точке хс.
28
ГЛ. 1. ВВЕДЕНИЕ
Придадим теперь х0 приращение Ах0 и определим соответст-
вующее приращение функции:
ДЕ = Е(х0 + Дх0) — Е(х0).
Если мы будем Ах0 стремить непрерывно к пулю, то теперь уже
нельзя сказать, что ДЕ будет стремиться к нулю. Для отрица-
тельных Ах0, стремящихся к пулю, это так, но для положитель-
ных вовсе не так: из рисунка видно, что если Дх0, оставаясь по-
ложительным, стремится к пулю, то соответствующее прираще-
ние ДЕ при этом стремится к положительному числу, равному
длине отрезка AQ.
После этих рассмотрений естественно ввести следующее
определение (принадлежащее Коши). Функция /, заданная па
отрезке 1а, &], называется непрерывной в точке х этого отрезка,
если приращение ее в этой точке, соответствующее приращению
Ах*), стремится к нулю при любом способе стремления Хх к
нулю. Это свойство (непрерывности в х) записывается в воде
соотношения (1) пли еще так:
lim Ду — 0.	(2)
Д.с^О
Запись (2) читается так: предел Ду равен пулю, когда Дт стре-
мится к нулю по любому закону. Впрочем, выражение «по любо-
му закону» обычно опускают, подразумевая его.
Если определенная на [а, функция f не является непре-
рывной в точке хе La, Я, т. е. если для нее не выполняется свой-
ство (2) хотя бы при одном способе стремления Дх к нулю, то
опа называется разрывной в точке х.
Функция, изображенная на рис. 1.8. непрерывна в любой
точке х^ La, &J, функция же, изображенная па рис. 1.9, очевид-
но, непрерывна в любой точке х е La, b\, за исключением точки
х0, потому что для последней соотношение (2) не выполняется,
когда Дх0 -> 0, оставаясь положительным.
Данное определение непрерывности функции в точке, само по
себе совершенно корректное, базируется пока на интуитивном
понимании понятия предела. После того как будет изложена тео-
рия пределов, это определение, которое может быть расширено и
на случай функций многих переменных, получит полное обосно-
вание.
Функция, непрерывная в любой точке отрезка (интервала),
называется непрерывной на нем.
Непрерывная функция математически выражает свойство, с
которым нам приходится часто встречаться па практике, заклю-
чающееся в том, что малому приращению независимой пере-
менной соответствует малое же приращение зависимой от нее
переменной (функции).
*) Здесь имеется в виду Дх такое, что х + Дх е [и, Ь].
§ 1.4. ПОНЯТИЕ НЕПРЕРЫВНОСТИ ФУНКЦИИ
29
Прекрасными примерами непрерывной функции могут слу-
жить различные законы движения тел s — /(f), выражающие
зависимости пути s, пройденного телом, от времени t. Время
и пространство непрерывны, при этом тот или иной закон движе-
ния s = /(Z) устанавливает между ними определенную непрерыв-
ную связь, характеризующуюся тем, что малому приращению
времени соответствует малое приращение пути.
К абстракции непрерывности человек пришел, наблюдая окру-
жающие его так называемые сплошные среды — твердые, жид-
кие или газообразные, например, металлы, воду, воздух. На са-
мом деле, всякая физическая среда представляет собой скопление
большого числа отделенных друг от друга движущихся частиц.
Однйко эти частицы и расстояния между ними настолько малы
по сравнению с объемами сред, с которыми приходится иметь
дело в макроскопических физических явлениях, что многие такие
явления можно достаточно хорошо изучать, если считать прибли-
женно массу изучаемой среды непрерывно рас-
иределепной без всяких просветов в занятом ею '	/
пространстве. На таком допущении базируются 115
многие физические дисциплины, например, гидро-	[
динамика, аэродинамика, теория упругости. Ma-	1
тематическое понятие непрерывности естественно	!
играет в этих дисциплинах, как и во многих дру- 45-• i
гих, большую роль.	I
Непрерывные функции образуют основной 5	' I
класс функций, с которым оперирует математи-	—*-
веский анализ.
Примерами непрерывных функций могут слу- Рис. 1.10.
жить элементарные функции, определенные в
§ 1.3. Они непрерывны на интервалах изменения ж, где они
определены.
Разрывные функции в математике отражают скачкообразные
процессы, встречающиеся в природе. При ударе, например, вели-
чина скорости тела меняется скачкообразно. Многие качествен-
ные переходы сопровождаются скачками. Например, зависимость
Q = fit) между температурой t одного грамма воды (льда) и ко-
личеством Q калорий, находящегося в ней тепла, когда t изме-
няется между —10° и + 10°, если принять условно, что при
— 10° величина Q = 0 выражается следующими формулами:
|0 fbt	5, — 10 t 0,
V () = + 85,	0 < t < 30.
Мы считаем, что теплоемкость льда равна 0,5. При t = 0 эта
функция оказывается неопределенной — многозначной; можно
для удобства условиться, что при t = 0 она принимает вполне
определенное значение, например, /(0) = 45. Функция Q — fit),
очевидно, разрывная, при t = 0, изображена на рис. 1.10,
30
ГЛ. 1. ВВЕДЕНИЕ
§ 1.5. Производная
Понятие производной возникло как результат многовековых
усилий, направленных на решение таких задач, как задача о про-
ведении касательной к кривой или о вычислении скорости нерав-
номерного движения. Подобные задачи и задача о вычислении
площади криволинейной фигуры интересовали математиков с
древних времен. В XVII веке в работах Ньютона и Лейбница эта
деятельность получила определенное теоретическое завершение.
Ньютон и Лейбниц создали общие методы дифференцирования и
интегрирования функций и доказали важную теорему, носящую
их имя, устанавливающую тесную связь между операциями дпф-
Р 5 ференцировапия и интегрирования. Надо, однако,
/ иметь в виду, что современное изложение этих во-
Л/fl'	нросов существенно отличается от того, как они
/)	излагались во времена Ньютона и Лейбница.
// f В рассуждениях и понятиях, которыми опериро-
вали в то время, с пашей точки зрения можно
найти много неясного; да и сами математики того
'	времени это сознавали, о чем свидетельствуют
Рис. 1.11. ожесточенные дискуссии, которые происходили
по этим вопросам между ними.
Современный математический анализ базируется па понятии
предела, которое выкристаллизовалось в четкую формулиров-
ку не так уж давно — в первой половине прошлого столетия. Боль-
шая заслуга в этом принадлежит французскому математику Koran.
Понятие предела существенно используется в определениях
понятий непрерывности функции, производной, интеграла.
Мгновенная скорость. Пусть точка движется по пря-
мой и функция s =/(Z) выражает зависимость от времени te
е (а, 6) ее расстояния (с учетом знака*)) s до некоторой на-
чальной точки О прямой. В момент времени Z«=(a, Ь) точка на-
ходится на расстоянии s = /(Z) от О. В момент же времени
Z + AZe(a, b)(AZ¥=O) она находится на расстоянии s+As==
= /(Z + AZ) от О. Средняя скорость ее па промежутке времени
(Z, t + AZ) равна
As / (Z Ч-Д«) — / (/)
tcp ~ M ~ At
Мгновенную или истинную скорость v точки в момент времени Z
естественно определить как предел, к которому стремится уср
при AZ 0, т. е.
т. As
v = lim .
Дг
*) Точнее, s есть координата точки прямой, где заданы начальная
точка О, единичный отрезок и положительное направление.
§ 1.5. ПРОИЗВОДНАЯ
31
Касательная к кривой. Рассмотрим какую-нибудь не-
прерывную кривую*) Г в плоскости пли пространстве (рис. 1.11).
Пусть А — лежащая на ней точка, и А' — другая лежащая на Г
точка. Прямую S, проходящую через А и А', будем называть
секущей (кривую Г). Будем теперь точку А' двигать непрерывно
по Г, неограниченно приближая к А. Тогда секущая S будет
вращаться относительно А. Может случиться, что при этом 5 бу-
дет стремиться запять в пределе положение вполне определенной
(проходящей, очевидно, через А) прямой, которую мы обозначили
через Т. Если это будет иметь место, то говорят, что кривая Г
имеет в точке Л касательную. Именно, прямую Т называют ка-
сательной к Г в точке А.
Не всякая непрерывная кривая в любой ее точке имеет каса-
тельную. Тривиальным примером этого может служить кривая,
изображенная на рис. 1.12. Опа состоит из двух гладких**) кус-
ков Г\ и Г2, соединенных ъ точке А «под углом». Па рисупке на
Г отмечены две другие точки, А', А”, соответственно лежащие
на Г,, Г2; через S' и S" обозначены проходящие через А', А” и
и А секущие.
Очевидно, что если А', А", двигаясь соответственно по Г\, Г2,
будут приближаться к А, то секущие S', S" будут стремиться
занять в пределе положение двух разных нряг-ых Т' и Т". Поэ-
тому рассматриваемая кривая пе имеет касательной в точке А.
Впрочем, можно было бы, развивая введенное определение, ска-
зать, что паша кривая имеет в точке А две односторонние каса-
тельные, по об этом речь сейчас не идет.
*) Строгое определение непрерывной кривой будет дано в § 6.5. Со-
гласно этому определению произвольная точка Л е Г непрерывно зависит
от параметра (числа) t, пробегающего интервал пли отрезок. Если тонки
А, А' е= Г определяются соответственно значениями t, t' параметра и если
I' стремится к Z, то говорят, что А' стремится (неограниченно приближает-
ся) к А, двигаясь по Г.
**) Строгое описание гладкого куска кривой дано в § 6.5.
32
ГЛ. 1. ВВЕДЕНИЕ
Пусть теперь кривая Г есть график непрерывной па (а, Ь}
функции (рис. 1.13) у = /(ж).
Зададим на Г точку А, имеющую абсциссу х, и другую точку,
С, имеющую абсциссу х + Ах (А.т#=0). Секущая S, проходящая
через А и С, очевидно, образует с положительным направлением
оси х угол р, тангенс которого равен
4 о Ьу __ / (X -L Al) — / (А
й1 Л.с	\х
Будем Ах стремить к нулю; тогда, вследствие непрерывности
/, будет также Ау стремиться к нулю, и точка С, двигаясь по Г,
будет стремиться к точке А. Если окажется (этого может и не
быть!), что при этом отношение стремится при любом спосо-
бе стремления Ах к нулю к одному и тому же конечному преде-
лу (числу) к:
(Дх_>0),
то тогда и угол р будет стремиться к некоторому отличному от
л/2 углу а. Смеете с j и секущая 5, вращаясь около точки А,
будет стремиться запять в пределе положение прямой Т, прохо-
дящей через А под углом а с положительным направлением осн
х. Но тогда Т есть касательная к Г в точке А и
lim = lim tg р = tg а.
A.t-’O	Дх->0
Мы установили, что, если отношение при Ах -* 0 стре-
мится к конечному пределу, то кривая Г имеет в точке А каса-
тельную, тангенс угла которой с положительным направлением
оси х равен этому пределу.
Сила тока. Допустим, что известна функция Q = вы-
ражающая количество электричества, прошедшее через фиксиро-
ванное сечение провода за время t. За период от t до t + At че-
рез сечение протекает количество электричества AQ = f(t — At) —
/(7). Средняя сила тока при этом равна
г _ \Q
ср At	At
Предел этого отношения при At -» 0 дает силу тока в момент Z:
I = lim
Д<-»0
AC
At
§ 1.5. ПРОИЗВОДНАЯ
33
Производная, bee три рассмотренные задачи, несмотря на
то, что они относятся к различным областям человеческого зна-
ния— механике, геометрии, теории электричества,— привели к
одной и той же математической операции, которую нужно про-
извести над некоторой функцией. Надо найти предел отношения
проращения функции к соответствующему приращению аргумен-
та, когда последнее стремится к нулю. Мы могли бы как угодно
увеличить число задач, решение которых приводится к подобной
операции. К пей приводит задача о скорости химической реак-
ции, о плотности неравномерно распределенной массы и др.
Естественно, что эта операция получила в математике специ-
альное название. Опа называется операцией дифференцирования
функции. Результат ее называется производной.
Итак, производной от функции /, заданной на некотором ин-
тервале (а, Ъ), в точке х этого интервала, называется предел,
к которому стремится отношение приращения функции f в этой
точке к соответствующему приращению аргумента, когда послед-
нее стремится к нулю. Производную принято обозначать так*):
f = Ит ,= iim Лтж у-/О).
Лл-'О “'	Д.г—>0	'
Но широко употреоляются и другие обозначения: у',	.
Удобство того или иного из них читатель впоследствии оценит сам.
Результаты рассмотренных примеров теперь можно сформули-
ровать так:
Скорость в момент t движущейся по числовой прямой точки,
координата которой s есть функция s = fit) от времени t, равна
производной от этой функции s'= fit).
Тангенс угла а между касательной к кривой, описываемой
фрикцией y=fix), в точке, имеющей абсциссу х, и положитель-
ным направлением оси х равен производной fix).
Сила тока I в проводе в момент t, если функция Q = fit) вы-
ражает .количество электричества, прошедшее за время t через
сечение провода, равна производной 1 = Q' = fit).
Некоторые формул ы. При натуральном п — 1, 2, ...
ix")' = пхг~\	(1)
*) Предел li.ni -~С’ где рассматриваются только > 0 или толь-
Ах-»0 Дх
ко Az < 0, называется соответственно правой или левой производной от f
в точке х. Про функцию /, заданную па отрезке [а, 6], принято говорить,
что она имеет на этом отрезке производную, если она имеет производную
в любой точке интервала (а, Ь) и, кроме того, правую производную в точ«о
л и левую — в точке Ь.
34
ГЛ. 1. ВВЕДЕНИЕ
sin4F	/	, h
а —,— cos «ж 4- --
ah	(	1 2
т
В самом деле, считая \х — h, будем иметь
(ж")' = Ит a-l = Пт	=
/„О /г h^O	11
= lim h + fe)"~1 ~~(J + Л>"'~2'т +   	г"-1! _
л-.о	h
= lim (х 4~ Л)’1-1 Нт (х 4- }1)п~2х 4- ... 4~ lim х"~' -- пх,г~\
h't)	ll^O	—
где мы снова пользуемся элементарными свойствами пределов,
которые будут обоснованы в дальнейшем (см. ниже замечание).
Справедливы также формулы:
(sin ахУ = a cos ах,	(2)
(cos axY = — a sin ах,	(3)
где а — константа. Докажем первое равенство, доказательство
второго предоставляем читателю. При а О
,. sin а (х -I- h)— sin ах ,.
Jim--------------------= lim
h->0	™	Л->о
ah
sin—	,
= a lim —4— lira cos (ax 4- -4 | = a-1 - cos ax ~ a cos ax.
i^o a!<	2)
2
,,	.... sin a ,	Y
Мы воспользовались свойством lim-------= 1 и тем фактом, что
а->0 а
функция cos х непрерывна. Оба эти утверждения будут обоснова-
ны далее (см. § 4.2 и 4.9). При а — 0 равенства (2) и (3) выра-
жают, что производная от постоянной равна нулю (см. ниже (4)).
Производная от функции /(ж) есть в свою очередь функция
/Ух). Если производная от /'(ж) существует, то она называется
второй производной от j(x) и обозначается так: /"(ж).
Подобным же образом определяются высшие производные
/'"’(ж) от fix') порядка п, где п— любое натуральное число.
Вторая производная от функции s = выражающей закон
движения точки па прямой, равна, очевидно, ускорению этой
точки в момент времени t.
Уже из сказанного видно, что понятие производной имеет гро-
мадное значение в прикладных вопросах, но оно является фун-
даментальным п в самой математике. Это будет видно из даль-
нейшего.
Отметим, что постоянное число С, рассматриваемое как функ-
ция от х (см. § 1.3), имеет производную, равную нулю тождест-
венно (т. е. равную пулю для всех хУ В самом деле,
/ (х) = С, / (х -ф Аж) = С, С = lim С у = lim 0 = 0.	(4)
Л.с-,0	Дл'/О
s 1.5, ПРОИЗВОДНАЯ
35
Обратное утверждение также верно: если про функцию из-
вестно, что ее производная равна нулю тождественно, {Ах)^0,
то она. есть постоянная. Это простое утверждение, чтобы его
доказать строго математически, требует уже достаточно серь-
езного аппарата, с которым мы познакомимся позднее (см. § 5.8).
С другой стороны, из механических соображений оно совершен-
но очевидно. В самом деле, пусть функция s = /(i) выражает
.закон движения точки по прямой, причем ее скорость тождест-
венно равна нулю: v = fAt) ^0. Тогда точка стоит на месте и
расстояние s ее до начальной точки О равно постоянной при
любом t. Тот факт, что в этом рассуждении мы х заменили на
t, не имеет значения — время тоже можно обозначить через х.
Отметим еще, что если функции и(х) и v(x) имеют в неко-
торой точке х производную и А, В — постоянные числа, то функ-
ция
j(x') = A utx) + BvAnA	(5)
также имеет производную, равную
fix) = A иАх) + BvAx).	(6)
В самом деле,
lim 7 {-с	~ 7	= lim А" (,r J'~ h) + Bv Cr + ~ lAu W + Bv W1 -
Л-0	!l	Л-0	,l
lim (A +	lim !B
h->0 I	ll )	h^> k	h I
. i. и	(z 4-	h) — и (x)	. n т	v (x 4- h)	— v (?)	. , J , . _ , . .
x= A lim	v_|_ в lim /-----------------------— =	Au (x) + Bv’ (x).
(7)
Во втором равенстве в этой цепочке равенств мы воспользовались
тем фактом, что предел суммы равен сумме пределов, и в треть-
ем,— что постоянную законно вынести за знак предела.
По индукции можно доказать более общее утверждение*):
п	\	’ п
2 cijUj (х) I =2 азиз
3=1	/	j=i
где a.j — постоянные числа, а про функции щ(х) предполагается,
что они имеют производные.
В частности, получим производную от многочлена:
2 a,hxh | = 2 kaitxh~x
ь=о /	1
(щ — постоянные).
*) Надо иметь в виду обозначение
п	п
а1 + + • • • + % = 2 аз = 2 аг
3=1	1
3(>
ГЛ. 1. ВВЕДЕНИЕ
Замечание. Формулу (х")' = пхп~' (n = 1, 2, ,можно
доказать по индукции. При п = 1 имеем
,	,. х -k h — х .	„
х — J im —--------------= 1 = хй.
л_п h
Если теперь допустить, что формула (хп~‘)' = (n — I)#"-2 (л =
=•2, 3, ...) верпа, то получим (см. § 5.1 (5))
(хп)' = (хх“ 'У—х'хп 1 + х{хп~1)’ — ПХп~‘
Отметим формулы (4) — (9) § 5.1 и таблицу § 5.5, которые
могут оказаться полезными читателю еще до того как он дойдет
до них, изучая предмет систематически.
§ 1.6. Первообразная. Неопределенный интеграл
Пусть па интервале (а, &) задана непрерывная функция /.
Но .определению функция F называется первообразной функ-
цией для / на интервале (а, Ь) *), если на нем производная от F
равна /;
F'(.x) = fix') (х (a, bY.
Очевидно, что если функция F есть первоооразная для / па
(«, Ь), а С — постоянная, то функция Е(х) + С есть также первое
образная для /, потому что
(/Дх) + О' = F'(x) +'С' = F'(x~) = )(х).
Обратно, если F и Ft — первообразные для /(х) на («, Ь), то они
необходимо отличаются друг от друга на всем интервале («, Ь)
ла некоторую постоянную С:
Fl(x)=F(x') + C.
(1)
В самом деле, (Ft (г) — F (х))' = Ру(х) — F' (х) = f (х) — / (х)= 0.
Но тогда, как отмечалось в предыдущем параграфе, существует
такое (постоянное) число С, что F ^х) — F (х) = С, на (а, Ь). От-
сюда следует (1).
Итак, мы установили, правда, пользуясь механическими со-
ображениями, важный факт: если F есть какая-либо первообраз-
ная от / на интервале (а, Ь), то всевозможные первообразные от
f на этом интервале выражаются формулой F(x) + С, где вместо
С можно подставить любое число.
Дадим теперь следующее определение:
Неопределенным интегралом от непрерывной на интервале
(й, Ь) функции / называется произвольная ее первообразная
*) Аналогично определяется первообразная для / па отрезке [«, 6],
Надо принять во внимание только сноску.па стр. 33,
§ t.fi. ПЕРВООБРАЗНАЯ. НЕОПРЕДЕЛЕНЕН,III ИНТЕГРАЛ
37
функция. Неопределенный интеграл обозначается так:
f fixldx.
Из сказанного следует, что если F есть некоторая определен-
ная первообразная функция для f на интервале {а, &), то не-
определенный интеграл от / на этом интервале равен
Sjdx = F(x) + C,	(2)
где С — соответствующим образом подобранная постоянная.
Если /2 — непрерывные на интервале (а, 6) функции и А,,
А2 — постоянные, то имеет место следующее равенство, выража-
ющее основное свойство неопределенного интеграла:
J (x41/1(z) + Azfztx'l'ldx = AJ fj.x'ldx + A2f f2(x>dx + С, (3)
)-де С есть некоторая постоянная. .
В самом деле, по определению неопределенного интеграла
слева в (3) стоит какая-то одна из первообразных функции от
AJdx) +A,jAx'). С другой стороны, имеет место-равенство
(Л 1 f fSxldx + A 2f fA.rAdxY =
= A ,(J ft(x)dxY + Л2(/J2(.x)dx)' = Aifl(x') + Л2/,(х), (4)
потому что интегралы Sftdx, Sf2dx обозначают соответственно
некоторые первообразные функции от Д и /2. Поэтому правая
часть (3) без последнего члена С есть также первообразная для
A tfSx) + Л2/2(х), по тогда опа отличается от левой части (3) на
некоторую постоянную.
Свойство (3) по индукции распространяется па любое конеч-
ное число непрерывных на (а, Ь) функций /1; ..., /п и постоян-
ных Ль ..., /1„:
f ( S Aih (-0 ) dx = 5 А Д /j (х) dx + С.	(3)
Как следствие при А, = 1, Л2 = ±1, п = 2 вытекает равенство
J (/, ± /2) dx = f hdx± f /2 dx + С,
а при А । = Л и А 2 = О, ,Л = / — равенство
J А / dx = A J / dx + С.
Пример ы.
I х”-1	== — + С, п = 1, 2, ...	(6)
J	п
1"*	sin ar
cos ar dr ~—-—•C, «5^=0,	(7)
(*	cos ar
sin ar dx = —
4" a 0t
(8)
38
ГЛ. 1. ВВЕДЕНИЕ
В самом деле (см. 1.5 (1), (2), (3)),
sin ах \'	।	1
—------ = — (sin ах)' = — a. cos ах — cos ах,
а ]	а	а
cos ах V
------- . = — — (cos ах)' = sin ах.
а 1 а
Из (5) и (6) следует, что неопределенный интеграл от многочлена
п
(^) ~	степени п (а^ — постоянные) равен
о
J Рп (х) dx = jg + с-
§ 1.7. Понятие определенного интеграла.
Площадь криволинейной фигуры
Зададим па отрезке [а, 6] (а и b — конечные числа) неотри-
цательную непрерывную функцию /(х). График ее изобразим
на рис. 1.14. Поставим задачу: требуется разумно определить
понятие площади фигуры, ограниченной кривой y = f(x), осью
х, прямыми х = а и х — Ъ и вычислить эту площадь. Поставлен-
ную задачу естественно решить так.
Произведем разбиение отрезка [а, Ь] на п частей точками
(1)
выберем па каждом из полученных
частичных отрезков
[xj, xJ+1]	()=0, 1, ..., га—1)	(2)
по произвольной точке е Ixj, x,+ J, определим значения /(^4
функции / в этих точках и составим сумму
п — I
Sn — 2 /(£j) ^%3 (&Х3 “	£3)1	(’’)
О
которую называют интегральной суммой и которая, очевидно,
равна сумме площадей затушеванных прямоугольников (см.
рис. 1.14).
Будем теперь стремить все Ах,- к пулю и притом так, чтобы
максимальный (самый большой) частичный отрезок разбиения
стремился к пулю. Если при этом величина Sn стремится к оп-
ределенному пределу S, не зависящему от способов разбиения
(1) и выбора точек на частичных отрезках, то естественно ве-
личину S' называть площадью нашей криволинейной фигуры.
§ 1.7. ОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ. ПЛОЩАДЬ
39
Таким образом,
п-1
S = Нт 2 / (?1)
maxAxj-»o о
(4)
Итак, мы дали
фигуры. Возникает
определение площади пашей криволинейной
вопрос, имеет ли каждая такая фигура пло-
щадь, иначе говоря, стремится ли на самом деле к конечному
пределу ее интегральная сумма
S„, когда max Aaj -> О? В даль-
нейшем будет доказано, что этот
вопрос решается положительно:
каждая определенная выше кри-
волинейная фигура, соответствую-
щая некоторой непрерывной функ-
ции /(я), действительно имеет
площадь в смысле сделанного оп-
ределения, выражаемую, таким
образом, зависящим от этой фигу-
ры числом S.
Рис. 1.14.
Другой возникающий здесь вопрос, насколько естественно
данное определение площади, как всегда в таких случаях, реша-
ется практикой. Мы скажем только, что практика полностью оп-
равдала это определение. У пас будет много случаев убедиться
в правильности сделанного определения.
Но обратим внимание па выражение (4). Отвлекаясь от зада-
чи нахождения площади, мы можем па него смотреть как на
некоторую операцию, при помощи которой по данной функции
/, заданной па [«, Ы, определяется число 5. Она называется опе-
рацией интегрирования функции f на (конечном) отрезке [а, bl,
а результат ее, если он существует, называется определенным
интегралом от f па [а, bl и записывается так:
п — 1	b
S = lim 2 / (li) = \f (х) dx.
max Дх;->о j=o	a
(5)
Итак, по определению определенным интегралом от функции
I на отрезке la, 6J называется предел интегральной суммы (4),
когда максимальный частичный отрезок разбиения (1) стремится
к нулю.
В этом определении, которое теперь уже не связано с зада-
чей о нахождении площади, функция f пе обязательно непрерыв-
на и неотрицательна па [а, 6]. Надо отметить, что это определе-
ние не утверждает существования определенного интеграла для
всякой функции /, заданной па [а, &], т. е. существования пре-
дела (5). Оно только говорит, что если этот предел существует
40
ГЛ. 1. ВВЕДЕНИЕ
для заданной на [а, i>] функции /, то он называется определен-
ным интегралом от / па [a, id.
Следует иметь в виду также, что когда говорят, что указанный
предел S существует, то подразумевают, что он не зависит от
способов разбиения отрезка [а, 6] на части и выбора на получен-
ных частичных отрезках точек Например, если известно, что
1
определенный интеграл S = j f (.г) dx от некоторой функции /
о
па отрезке [0, 1] существует, то он может быть получен, напри-
71—1
мер, при помощи отыскания предела S -= lim — V / ( —] иитег-
"	j._0	\ " /
ралытых сумм, соответствующих разбиению [0, 1] на п равных
частей точками Xj = jln (j = 0, 1, ..и) и выбору в качестве g,
левых концов частичных отрезков разбиения.
Но число 5 может быть получено так же как предел
интегральных сумм, соответствующих разбиению [0, 1] точками
ж3==(//н)2 (у=0, 1, ..., п— 1) и выбору в качестве §, правых
концов частичных отрезков разбиения. В этом случае длина /-го
частичного отрезка удовлетворяет соотношениям
 ( f + И2 (i \2-= 2/ +1 <21" 'Ч "L1 -2п -1 Л_____1-->о
\ "	/	\ п / id	id	п* п id
(п->оо),
показывающим, что максимальный из них (самый правый) име-
ет длину, стремящуюся к пулю вместе с неограниченным возра-
станием п.
В теории определенного интеграла доказывается, что всякая
непрерывная на отрезке [а, б] функция интегрируема па нем,
т. е. для нее предел (5) существует. Отсюда и следует упомяну-
тый факт, что всякая фигура рассмотренного выше типа имеет
площадь.
Пример. Площадь S (рис. 1.15), ограниченная параболой у — г2,
осью х и прямой х = 1, равна
Мы показали, что интегральная сумма функции у = т2, соответствую-
щая разбиению [0, 1J на равные части, стремится к числу 1/3.
§ 1.7. ОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ. ПЛОЩАДЬ
41
»-1 -
Тот факт, что сумма У,	соответствующая произвольному
о
разбиению [0, 1], стремится к 1/3. когда max Дж, -* О непосредствен-
но доказать элементарными методами не так уж просто. Это, однако, сле-
дует из упомянутого утверждения, что определенный интеграл от непре-
рывной на (конечном) отрезке функции всегда существует.
Приведем другие примеры практических задач, решение ко-
торых сводится к вычислению определенных интегралов.
Работа. Пусть к движущейся по прямой точке приложена
направленная вдоль этой прямой пере-
менная сила F = f(x), где /(л) есть не-
прерывная функция от х—абсциссы » ,	г
движущейся точки. Работа силы F при \	/
передвижении точки от а до b равна \	/
п-1	Ъ	У \ /Й
IV = lim 5 1 (Vi) Аж; =И / (д;) dx, -------------»-
max A.vj-»o j=o	„	и	! х
где а = х„ < х, < ... < х„ = b,	\xj =	Рис. 1.15.
= 7cj+i — х,. В-самом деле, в силу не-
прерывности / произведение / (.ху) А .г,- близко к истинной работе
на EcKj, 3Cj+|], а сумма этих произведений близка к истинной рабо-
те на [а, Ь] и притом тем ближе, чем меньше niaxA,z;.
з
Масса стержня пер е меппой п л о т и о с т и. Будем
считать, что отрезок [а, й] осп х имеет массу с переменной ли-
нейной плотностью р(ж) 0, где рйг)— непрерывная па [«, bl
функция. Общая масса этого отрезка равна интегралу
<г—1	ь
М -- lim У р (xj) \xj = j р (х) dx,	(6)
maxA.vj->o о	„
а = х0 < х, < ... < х„ = Ь, \х, = xj+i — Xj.
Непосредственное вычисление определенного интеграла по
формуле (5) связано с трудностями — интегральные суммы сколь-
ко-нибудь сложных функций имеют громоздкий вид и зачастую
не легко преобразовывать их к виду, удобному для вычисления
пределов. Во всяком случае, па этом пути не удалось создать
общих методов. Интересно отметить, что впервые задачу этого
рода решил Архимед. При помощи рассуждений, которые отда-
ленно напоминают современный метод пределов, он вычислил
площадь сегмента параболы. В дальнейшем на протяжении ве-
ков многие математики решали задачи на вычисление площадей
«фигур и объемов тел. Все же еще в XVII веке постановка та-
ких задач и методы их решения носили сугубо частный харак-
тер. Существенный сдвиг в этом вопросе внесли Ньютон и Лейб-
ниц, указавшие общий метод решения таких задач. Они пока-
l£l
ГЛ. 1. ВВЕДЕНИЕ
зали, что вычисление определенного итеграла от функции может
быть сведено к отысканию ее первообразной.
Пусть задана непрерывная на [а, 6] функция /(.г) и пусть
7г(х) есть ее первообразная. Теорема Ньютона и Лейбница ут-
верждает справедливость равенства
ь
J / (х) dx = F (Ъ) — F (а),	(7)
а
показывающего, что если для функции / известна ее первооб-
разная F, то вычисление определенного интеграла от / на [о,
сводится к простой подстановке чисел а и b в F.
Эта теорема будет доказана в § 9.9, а сейчас мы дадим ее
простое механическое толкование. Будем считать, что х есть
время, а функция у —Fix) выражает закон движения по прямой
точки, т. е. у есть расстояние с соответствующим знаком в мо-
мент х движущейся точки до закрепленной нулевой точки.
Путь, пройденный точкой за промежуток времени а < х < Ь,
очевидно, равен*)
A = F(6)-F(a).	(8)
С другой стороны, он может быть вычислен интегрированием
скорости fix) = F'ix) точки:
п—1
Л = Нт У, f (xf) \xj — \ f (х) dx.	(9)
max Axj-^o j =o	'a
Ведь произведение fixs)\Xj приближенно выражает путь, прой-
денный точкой па отрезке времени Ixj, xj+i], где Xj определены
как в (1). По тогда из (8) и (9) следует (7).
Пример ы. ь	ь
f x^dx = я- | == 1 (bn - «”) (п 0),
J	П [ Н
а	а
Ъ	Ь
С . sin ах I 1 / .	7	.	,	~ . п
I cos ах ах =--- ~ —(sin ab — sin ad}, а =£ 0.
J	а I а
а	а
b
При этом мы считаем, что F (х) | = F (b) — F («)»
а
Количество подобных примеров можно значительно увели-
чить после того, как читатель познакомится с §§ 5.1—-5.5, где
изложены основы техники дифференцирования элементарных
функций.
♦) Впрочем, термин «путь, пройденный точкой», не совсем точно выра-
жает данное явление. Если, например, закон движения таков, что точка
сначала продвинулась вправо, пройдя путь Ль а затем влево, пройдя путь
Л?, то Л ~ Ai — Л2-
Глава 2
ДЕЙСТВИТЕЛЬНОЕ ЧИСЛО
§ 2.1. Рациональные и иррациональные числа
В этой главе мы даем обзор основных свойств (аксиом) дейст-
вительного числа. Это уместно, потому что среди этих свойств
имеются такие, с которыми мы не имели дела в арифметике и
школьном курсе алгебры, где рассматриваются операции над по-
стоянными числами. Между тем эти свойства обнаруживаются
при рассмотрении переменных чисел или, как говорят по тради-
ции,— переменных величин.
При изучении функций приходится привлекать свойства чи-
сел во всей, их полноте помимо тех свойств, с которыми мы хо-
рошо знакомы из школьной математики.
Целые числа:
..., —2, - 1, 0, 1, 2,	(1)
можно складывать, вычитать и умножать друг на друга, получая
снова целые числа.
Рациональные числа будем записывать в виде ±р/q (+p/q =
= p/q), где р и q целые, р^О (р больше или равно пулю) и q>
> 0. Таким образом, если это не оговорено, в выражении p/q
мы считаем р и q неотрицательными. Два рациональных числа
± pjq, и ± р2/q2 считаются равными в том и только в том случае,
если они имеют одинаковый знак и если piq2 = qcpz. Выражение
±Q/q определяет одно и то же число 0 независимо от знака (« + »
или « —») и числа q. Два неотрицательных числа, pjqi и pjqz,
находятся в отношении
?i
если р^2 < qxp2. Хорошо известно, как сравниваются рациональ-
ные числа с произвольными знаками и как определяются четы-
ре арифметических действия над ними. Нет необходимости это
напоминать *).
В практических вычислениях вполне достаточно оперировать
только рациональными числами. Однако числа нужны еще для
*) Мы считаем, что читателю известны из школьного курса основные
свойства рациональных чисел и только повторяем некоторые из них без
доказательства.
44
ГЛ. 2. ДЕЙСТВИТЕЛЬНОЕ ЧИСЛО
целей измерения геометрических и физических величин (длин
отрезков, площадей, объемов, температур и т. д.). Мы здесь име-
ем в виду не практическое приближенное измерение этих величин,
а точное (теоретическое) выражение их числами. Для этих целей
рациональных чисел уже недостаточно. Рассмотрим, например,
отрезок, представляющий собой гипотенузу прямоугольного тре-
угольника с равными катетами длины единица. Если допустить,
что длина этого отрезка выражается положительной рациональ-
ной дробью р/q, которую будем считать несократимой, то пло-
щадь построенного на нем квадрата равна р2/q2, а площадь каж-
дого из квадратов, построенных на катетах, равна 1. Тогда в си-
лу теоремы Пифагора получим равенство р2 = 2q\ Правая его
часть есть целое число, делящееся на 2, по тогда левая должна
быть четной, а вместе с ней и р. Отсюда следует, что левая часть
делится па 4, но тогда q2 делится на 2, откуда также q делится
на 2. Итак, р и q имеют общий множитель 2, что противоречит
предположению, что дробь p/q взята несократимой. Таким обра-
зом, имеются отрезки, длины которых не выражаются рациональ-
ными числами. Их называют несоизмеримыми с единицей. Что-
бы выразить их длины *), появилась необходимость в новых чис-
лах, называемых иррациональными. Так возникло число V2, вы-
ражающее длину гипотенузы рассмотренного треугольника.
Существуют различные способы введения иррациональных
чисел. Покажем, как можно ввести их при помощи бесконечных
десятичных дробей.
Зададим произвольное положительное рациональное число p/q.
Превратим его по известным правилам арифметики в десятич-
ную дробь. В результате получим
где а0 — целое неотрицательное число, a оц (А’ = 1, 2, ...) —
цифры.
Будем писать
р/q •=	а!а2... = +аа, ...	(.3)
и называть десятичную дробь в правой части (3) десятичным
разложением числа p/q.
Легко показать, что десятичное разложение положительного
рационального числа не зависит от способа задания последнего,
иначе говоря, при замене в (2) р и с/ соответственно на /ц, </,,
*) A priori длина и положительное число — разные понятия, но между
ними имеется тесная связь, называемая изоморфизмом (см. далее § 2.7).
§ 2.1. РАЦИОНАЛЬНЫЕ И ИРРАЦИОНАЛЬНЫЕ ЧИСЛА
45
где pqi — ptq, получается в точности то же десятичное разложе-
ние а„, ai«2....
Будем считать, что дробь p/q несократимая.
Хорошо известно, что если знаменатель дроби p/q имеет вид
q == 2*5', где s и I — неотрицательные целые числа, то ее деся-
тичное разложение есть конечная десятичная дробь
которая, в частности, может оказаться натуральным числом
(p/q = а0). Если формально приписать справа к этой десятичной
дроби бесконечно много пулей, то она превращается в беско-
нечную десятичную дробь:
— = а(), ccj ... am — tz0, . ато000 . .. = tz0, ... ат (0).	(5)
Я
Мы называем ее периодической десятичной дробью с периодом
О, потому что в ней цифра 0 периодически повторяется.
Пользуются также и другим представлением конечной деся-
тичной дроби (4) в виде периодической десятичной дроби с пе-
риодом 9:
щ, а,... а,„ = а(„ as... «„.-Дат — 1)99 ... =
= а», <Х1 •. • ат-1(ат — 1)(9)	(ат>0), (6)
хотя оно и не возникает в процессе (2).
Пусть теперь знаменатель положительной дроби p/q не име-
ет вид 2’5'. Тогда процесс (2) бесконечный — на любом его шаге
возникает положительный остаток. Каждый остаток меньше q,
и потому после того, как цифры числа р снесены, среди первых
q остатков окажется по крайней мере два равных между собой.
Но как только возникает остаток, который уже был прежде,
процесс становится повторяющимся — периодическим. Поэтому
десятичное разложение произвольного положительного рацио-
нального числа p/q имеет вид
- == а0, ал ... ctmYj . . .	... у., . .. = а0, ах ... ат ... ys).
(7)
Разложения (5) или (6) можно рассматривать как частные
случаи (7). Разложение вида (7) называется положительной де-
сятичной периодической дробью с периодом, представляющим
Собой Группу ЦИфр 'Yj'Yj ...
46
ГЛ. 2. ДЕЙСТВИТЕЛЬНОЕ ЧИСЛО
Ниже приводятся частные примеры положительных бесконеч-
ных десятичных периодических дробей:
{ = 0,166... = 0,1(6),	у = 0,(142857),
| = 0,22 ... = 0, (2),	{ = 0,0707	0,(07),
~ = 0,017017 . . . = 0, (017), ~ = 0,0070707 ... = 0,0 (07).
В первом примере периодом является цифра 6, во втором—-
группа цифр 142857, в четвертом — группа цифр 07.
У положительной десятичной дроби хотя бы одно из чисел
«о, ест, а2.., не равно нулю.
Итак, каждому положительному рациональному числу p/q при
помощи процесса (2) ставится в соответствие положительная де-
сятичная периодическая дробь с периодом, отличным от 9*).
При других вычислениях могут получаться десятичные дро-
би с периодом 9, по при желании пх затем можно записать че-
рез соответствующие им конечные десятичные дроби или, что
все равно, десятичные дроби с периодом 0.
Верно и обратное утверждение: каждая положительная деся-
тичная периодическая дробь, если она не имеет период 9, может
быть получена при помощи процесса (2) из некоторой обыкно-
венной положительной дроби p/q (единственной).
Например, если дробь 103/330 подвергнуть процессу (2), то
103
получим десятичную периодическую дробь кчг = 0,3 (12). Обрат-
ООО
по, эта последняя превращается в исходную дробь при помощи
равенств .
3,(12)	= 3 +0,(12)	3	12	300	103
Ц ’	10	10	10	Н 99-ю	990	330	'
Отрицательному рациональному числу —p/q приводят в соот-
ветствие бесконечное десятичное разложение числа p/q, взятое
со знаком «—».
Итак, имеется взаимно однозначное соответствие**) ±р/q =
= =0 ас, ata2a3... между не равными нулю рациональными чис-
лами и бесконечными десятичными пе равными нулю периоди-
ческими дробями. Каждому не равному нулю рациональному
*) Если допустить, что процесс (2) привел к десятичной дроби с пери-
одов 9, то, начиная с некоторого этапа процесса, остатки у*,	, равны
между собой, а в частпом получаются цифры 9. Но тогда 10уй =	+Yn-i,
и так как у/, = уй+1, то = q. Но этого не может бытй, так как < q.
**) Если каждому элементу х множества А соответствует определенный
элемент у множества В так, что любой элемент у еВ соответствует одно-
му и только одному хе А, то говорят, что этим установлено одпо-одпознач-
ное или взаимно однозначное соответствие (х -- у).
§2.1, РАЦИОНАЛЬНЫЕ П ИРРАЦИОНАЛЬНЫЕ ЧИСЛА
47
числу соответствует при помощи указанного выше процесса одно
и только одно его десятичное бесконечное периодическое разло-
жение, не имеющее периода 9. Обратно, любое такое разложение
соответствует при помощи указанного процесса некоторому не
равному нулю рациональному числу (единственному).
Числу нуль (оно тоже рациональное) естественно привести
е соответствие разложение 0 = ± 0,00 ... — 0,00...
Кроме периодических десятичных дробей существуют непе-
риодические, например, 0,1010010001..0,121122111222 ...
Вот еще пример: если извлекать корень квадратный из 2 по
известному правилу, то получим определенную бесконечную не-
периодическую десятичную дробь 12 = 1,41... Она определена в
том смысле, что любому натуральному числу к соответствует оп-
ределенная цифра ак к-го разряда числа 12, однозначно вычис-
ляемая согласно правилу извлечения квадратного корня.
Математический анализ дает много путей вычисления числа
л, с любой наперед заданной точностью. Это приводит к вполне
определенному бесконечному десятичному разложению л, кото-
рое, как оказывается, пе является периодическим.
Дадим теперь определение иррационального числа, пока чисто
формальное. Иррациональным числом называется произвольная
бесконечная непериодическая дробь
а — ± Ио, с^садз •..,	(8)
где а0—целое неотрицательное число, a oh (fc = l, 2, ...) — циф-
ры, знак же равенства « = » выражает, что мы обозначили пра-
вую часть (8) через а. Впрочем, удобно говорить, что правая
часть (8) есть десятичное разложение числа а.
Рациональное и иррациональные числа называются действи-
тельными {или вещественными') числами.
Из сказанного следует, что всякое не равное нулю действи-
тельное число может быть записано в виде бесконечной десятич-
ной дроби (8). Если оно рационально, то его десятичное разложе-
ние есть бесконечная десятичная периодическая дробь. В про-
тивном случае согласно нашему определению выражение (8) са-
мо определяет иррациональное число.
Число а, где не все оц равны нулю, называется положитель-
ным или отрицательным, в зависимости от того, будет ли в (8)
фигурировать. « + » или «—»; при этом, как обычно, «+» будем
позволять себе опускать.
Действительные числа определены пока формально, надо
еще определить арифметические операции над ними, ввести для
них понятие «>» и проверить, что эти операции и понятие
«>» согласуются с уже имеющимися соответствующими опера-
циями и понятием «>» для рациональных чисел, а также удов-
летворяют свойствам, которые мы предъявляем к числам.
48
ГЛ. 2. ДЕЙСТВИТЕЛЬНОЕ ЧИСЛО
Определение понятия «>» дается в § 2.2, а определения ариф*
метических операций в § 2.3. В § 2.4 формулируются и доказы-
ваются основные свойства числа, распределенные па пять групп
I—V. Первые три группы содержат известные свойства, которы-
ми мы руководствуемся при арифметических вычислениях и
решениях неравенств. Группа IV составляет одно свойство С1р-
химеда). Наконец, группа V также состоит из одного свойства:
существования предела у неубывающей ограниченной последова-
тельности. В сущности, для дальнейшего нам будет важно толь-
ко знать, что действительные числа (десятичные дроби) суть объ-
екты, для которых определены понятие «>» и арифметические
операции, удовлетворяющие свойствам I — V. Поэтому может
быть и такой способ чтения книги, когда читатель систематиче-
ски читает крупный шрифт, только более или менее ознакомив-
шись с мелким шрифтом, где даются доказательства свойств
I-V.
Из свойств I—V можно получить логически все остальные
свойства числа.
Существует аксиоматический подход к определению действи-
тельного числа, заключающийся в том, что числами называются
некоторые объекты (вещи) а, Ъ, с, ..., удовлетворяющие свойст-
вам I—V. При таком подходе свойства I — V называются аксио-
мами числа.
Аксиоматическое построение понятия числа па первый взгляд
может показаться более простым. Однако здесь возникает вопрос,
совместны ли аксиомы I — V? Чтобы доказать их совместность,
появляется необходимость построить формальные символы, для
которых можно определить арифметические операции и понятие
«>» и проверить, что они удовлетворяют аксиомам I—V. Такими
символами как раз л могут служить бесконечные десятичные
дроби.
§ 2.2. Определение неравенства
Зададим два числа а = ±а0, аЛа2, ..., b = ±[ф,	..., оп-
ределяемых бесконечными десятичными дробями, не име-
ющими периода 9 *). Будем считать, что они равны между сабой
тогда и только тогда, когда их знаки одинаковы и
ah =	(А‘ = 0, 1, 2, ...).
Для положительных а и b ito
равно, b > а, если < ^0, или,
лое неотрицательное число) I,
Ui + 1 < Р<+1.
определению, а< Ъ или, что все
если найдется такой индекс !.це-
что ац = Ск = 0, 1, 2, ..., I) и
*) Если число задано десятичной дробью с периодом 9, то его всегда
можно записать также в виде десятичной дроби с периодом 0.
§ 2.3. ОПРЕДЕЛЕНИЕ АРИФМЕТИЧЕСКИХ ДЕЙСТВИЙ
49
По определению, а > 0 пли а < О-в зависимости от того, будет
ли а положительным пли отрицательным, далее по определению,
а < Ь, если а < О, b > 0, или если а, b < 0 и |я| > IЫ.
Если а = ±ас, а.\а.г..., то, по определению, —а = +сс0, aia2...
и абсолютная величина |«| =+a0, ai«2 . .. = a0, <Xia2 .... Таким
образом,
{а
— а
(а>
(«<
0),;
0).
Приведенные определения согласованы с соответствующими
определениями для рациональных чисел.
§ 2.3. Определение арифметических действий
Пусть каждому неотрицательному целому числу (индексу) п
в силу некоторого закона 'приведено в соответствие число ж„. Со-
вокупность
яг0, xt, х2, ...	(1)
называется последовательностью (чисел). Отдельные числа хп
последовательности (1) называются ее элементами. Элементы хп
и х„, при т =/= п считаются отличными как элементы данной пос-
ледовательности, хотя как числа они могут быть равны между со-
бой, т. е. может быть хп = хт. Последовательность называется
неубывающей (невозрастающей), если	(лгА 5= лгл+1) для
всех к = 0, 1, 2, ...
Будем говорить, что последовательность (1) ограничена сверху
(числом М), если существует целое число М такое, что xh^M
для всех к = 0, 1, 2, ...
Если числа xk последовательности (1) целые, то будем гово-
рить, что опа стабилизируется к числу S, если найдется такое ко,
что хк = £ для всех к > к0.
Очевидно, что если последовательность целых чисел не убы-
вает и ограничена сверху числом М, то она стабилизируется к
некоторому целому числу % < М.
Рассмотрим теперь последовательность неотрицательных де-
сятичных дробей
а1 = к10, ссп <х12 а13 ...,
= (Z20, (Z21 К22 К2Э • • • > .	- (2)
«3 ~ °-30> И31 a32a33 • • •!
Правые части в (2) образуют таблицу (бесконечную матрицу).
Будем говорить, что последовательность (2) стабилизируется
к числу а = ус, 71 Уг Цз   ., « писать
a„Z£a,	(3)
4 с. М. Никольский, т. I
50
ГЛ. 2. ДЕЙСТВИТЕЛЬНОЕ ЧИСЛО
если к-й столбец таблицы (2) стабилизируется к каково бы ни
•было к —0, 1, 2, ... . При этом, очевидно, автоматически оказы-
вается, что — целое неотрицательное, а (7г = 1, 2, ...) —
цифры.
Замеча и и е. Последовательность чисел at, а2. а3 ..., где
a2/i = 1, 0 ... 0 И.,, {к = 1,2, ...),
Араз
«й+1=0, 9 ... 9..,	(7с = 0, 1, 2, ...)
h раз
не стабилизируется. Из § 3.1, где вводится понятие предела, будет ясно,
что данная последовательность имеет предел, равный 1 (ап 1). Итак, по-
следовательность десятичных дробей может иметь предел и в то же вре-
мя не стабилизироваться. Однако из того, что »„ zj «, следует, что а„ -»а
(см. § 3.1).
Для произвольного числа а = а0, сноо ... введем его п-ю срез
ку «<n) = oco, ai ... ап, представляющую собой конечную десятич-
ную дробь. Мы считаем, что операции с конечными десятичными
дробями читателю известны из курса арифметики.
Зададим положительные числа а = а0, tzia2..., b = р0,
разложенные в бесконечные десятичные дроби.
Введем последовательность чисел
a(1l) + 6<n) = a0, aL . .. ан + 0О,	0)
(п = 1, 2, ...).
Ниже будет доказана лемма, из которой будет следовать, что эта
последовательность стабилизируется к некоторому определенно-
му числу у0, у(, ц2.... Его естественно назвать суммой чисел а и
Ъ и писать а 4- Ъ = Ъ Цг • • •
Итак, мы определяем сумму а + b как число, для которого
а(») _р	—> а -р I)	(5)
Произведение, разность и частное чисел а и Ъ определяем
следующим образом:
(a^bwyn)~>ab,	((>)
а{п) - (б(,!) _р 10-«) а - b (а>б>0)*),	(7)
Выражения слева в (5) — (8) не убывают при возрастании п:
благодаря этому и ограниченности их вверху они на основании
*) п > п,>, где настолько велико, что разность слева в (7) положи-
тельна. Отметим, что равенство (а — Ь) + 6 = а(а > b > 0) доказывается
в § 2.8 после (4), а равенство а--1_ — 1(«>0) доказывается па основа-
fl
лпи § 2.8 (12).
§ 2.3. ОПРЕДЕЛЕНИЕ АРИФМЕТИЧЕСКИХ ДЕЙСТВИЙ
51
доказываемой ниже леммы стабилизируются к определенным
числам, которые обозначаются соответственно через ab, a—bt
alb. Надо иметь в виду, что а(71) не убывает при неограниченном
возрастании тг, а 6(п) + 10~п не возрастает; кроме того, имеют
место неравенства
(а(п)Ь{пТ} < («о + 1) Фо + 1), «(’1> ~ (b(n) IO’”) < (afl + 1),
( «(п) уэт) %-1-1
\ bw -I- 1ЛГП /	Р,
(где s такое, что |3S > 0), показывающие, что левые их части ог-
раничены.
Положим еще
0-'га^а±0“«, а-0 == 0- а => а — а == -у- •= 0	0, Ы> 0).
(9)
Мы определили для неотрицательных чисел а, Ъ их сумму,
разность, произведение и частное, предполагая в случае разности,
что а Ъ, и частного, что b > 0. Эти определения распространя-
ются обычными способами на числа а и b произвольных знаков.
Например, если а, Ь^0, то полагаем а + b — b + a = —( |а| + I bI).
Если же а и b — числа разных знаков и	то полагаем
« + 6 = t + a = ±||al — I&11, где выбирается знак, одинаковый со
знаком а. В частности, имеет место
а + (—а) = 0
(10)
для любого а.
Подобные правила можно было бы привести для остальных
арифметических действий, но в этом нет необходимости — они
хорошо известны из школьного курса алгебры.
Но, чтобы обосновать сказанное, нам предстоит доказать
лемму:
Лемма 1. Если неубывающая последовательность (2) конеч-
ных десятичных дробей (см. § 2.2, (4) и (5)) ограничена сверху
целым числом М, то она стабилизируется к некоторому числу а,
удовлетворяющему неравенствам
ап< a -Z М (n = 0, 1, 2, ...).	(11)
В самом деле, в условиях леммы целые числа нулевого столб-
ца матрицы (2) также не убывают и ограничены сверху числом
М, поэтому они стабилизируются па некотором целом неотрица-
тельном числе 7е М. Рассуждая теперь по индукции, допустим,
что уже доказано, что столбцы матрицы (2) с номерами, не пре-
вышающими к, стабилизируются соответственно к у0, у,, ..., у и
К», 11 ...	(П, Чь — цифры).	(12)
52
ГЛ. 2. ДЕЙСТВИТЕЛЬНОЕ ЧИСЛО
Докажем, что (fc + 1)-й столбец в (2) также стабилизируется к
некоторой цифре 7,(+1 и имеет место неравенство
Tfo, Tfi... MwМ-	ИЗ)
В самом деле, раз десятичные разложения чисел а„ при
п > nt при достаточно большом /г, имеют вид
Иц  '(л 71 • • • Y/iCCn, k-i-2 • . * M >
и, кроме того, an не убывает, то для указанных п цифры ап./, н
(<9) не убывают, и следовательно, стабилизируются при
где п2 достаточно велико, к некоторой цифре 7й+1. При этом
7<„ 71... уй+1 ап М («>и2), и мы доказали (13) и тот факт,
что onZZ>«. Так как «„ конечная десятичная дробь, то при
некотором к для всех s > к цифры а„, = 0 и ап = ссл(1, а,ц ... а,л
<• 7<>, 7>  • • 7л У», 717^ • • • а- lie может быть а > М. Иначе дли
некоторого к было бы 7,,, ^i...^k>M, что противоречит (12).
§ 2.4. Основные свойства действительных чисел
(.Свойства порядка.
И. Для каждой пары действительных чисел а и b имеет место
одно и только одно соотношение:
а = Ь, а> Ь, а <Ъ.
12. Из а < b n b < с следует а < с (транзитивное свойство зна-
ка «<»).
13. Если а < Ь, то найдется такое число с, что а < с < Ь.
Свойства С и 12 вытекают непосредственно из определений знаков
« = » и «<». Если положительные, не имеющие периода 9. числа « =
= ио. а,а2 ..., b = Ро, Pi₽2 ... записаны в виде бесконечных дробей и а <_ Ь,
то при некотором s0
«л — (J»,, к so — 1 (если s0 — 0, то эти равенства опускаются),
а, < В, .
0	> Ьо
Найдется также .4 > s0 такое, что as, <9. Если положить с ----- a ,
otj ... aSi_j (aSi + l), то, очевидно, с — конечная десятичная дробь, удов-
летворяющая неравенствам а < с < Ъ.
Распространение доказательства 13 на случай любых а и Ь не представ-
ляет труда.
II. Свойства действий сложения и вычитания *).
II,. а + b = b + а (переместительное или коммутативное свой-
ство).
*) При аксиоматическом подходе надо еще добавить: каждой паре чи-
сел я, Ь в силу некоторого закона соответствует число я + Ь, называемое их
суммой; при этом выполняются Hi — Us- П3 и П4 тогда надо видоизменить:
существует число 0 (пуль) такое, что а + 0 — а для всех я, так же как
существует для каждого а число —я такое, что а + (—я) = 0. Единствен-
§ 2.4. ОСНОВНЫЕ СВОЙСТВА ДЕЙСТВИТЕЛЬНЫХ ЧИСЕЛ
53
IL.	(а + Ь') + с = «+(& + с) (сочетательное или ассоциативное
свойство).
П3. а + 0 = а.
Н4. б + (-а)=0.
IJ5. Из а < b следует, что а + с < b + с для любого с.
Доказательство этих свойств достаточно привести для положительных
чисел «, Ь, с. Тогда эти свойства автоматически переносятся па числа лю-
бого знака, как это хорошо известно из элементарной алгебры. Итак, пусть
а, Ь, с > 0.
Свойство II, следует на основании § 2.3, (5) пз того, что оно верно для
конечных дробей:	+ fe(w) =	+ а<") (п — 1, 2, ...).
Свойства Из и Н4 непосредственно вытекают из сделанных выше оп-
ределений (см. § 2.3, (9) и (10)).
Доказательство И2 см. в § 2.8. Свойство П5 очевидно, когда я и & —
конечные десятичные дроби. Пусть теперь а и b произвольны. Выберем
конечную десятичную дробь d такую, что а < d <_ b. Тогда при достаточно
больших п имеем ain> < d < }><”>, и, так как все это конечные дроби, то
я,п) J- с < d + с <	+ с. С ростом п срезки и не убывают, по-
этому а + с + d + с < b + с, откуда а + с < b + с.
Равенство II] тривиально, если а или Ъ равно нулю (см. § 2.3 (9)).
Ш. С в о й с т в а действий умножения и деления*).
ПТ], ab = Ьа (переместительное или коммутативное свойство).
]Ц2. ай(с) = я(&с) (сочётательиое или ассоциативное свойство).
Ш3. а • 1 = а.
Ш,„ а • - = 1 {а #=0).
а
111,	. (<т + );)<? = ас + Ъс (распределительный или дистрибутив-
ный закон).
несть нуля может быть выведена логически из рассматриваемых аксиом:
допущение существования другого нуля 0' влечет, что 0' = 0' + 0 = 0 +
-|-0' = 0. Выводится также из аксиом существование разности а—Ъ, т. е.
числа, которое надо добавить к Ь, чтобы получить* а. Это число есть
« + (—6), потому что а + (—Л) + Ь = а, + 0 = а. Оно единственно, потому
что если b + с = b + с', то с = (—b) + b + с = (—fe) + Ь + с’ = с'.
*) При аксиоматическом подходе надо добавить: каждой паре я, Ъ в
силу определенного закона соответствует число аЬ, называемое произведе-
нием и и Ь. При этом выполняются свойства III] — Ш6. Надо еще видоиз-
менить J IIj и 1114: существует число 1 (единица), отличное от 0 и такое,
что « • I = « для всех «; существует для любого а =+ 0 число i/a такое,
что а • —— 1. Единственность единицы выводится логически из рассмат-
а
риваемых аксиом так же, как существование и единственность частного
alb	т. е. числа, которое надо умножить па Ь, чтобы получить а.
Вывод вполне аналогичен выводу в сноске к II, где 0 надо заменить на 1 и
действие сложения на умножение. При этом автоматически. 1 > 0; ведь
если допустить, что 1 < 0, то (см. П4, П5) 0=1+ (—1) < —1 и (см. П16)
1 (—1) < 0(—-1), т. е. (см. Шз) —1 < 0, и мы получим противоречие:
~-1 < 0 < —1. Надо учесть, что
0 • (—1) == 0  (—1) +0-1+ 0-1 = 0(—1 + 1 + 1) =0-(0+ 1) = 04 = 0.
54
ГЛ. 2. ДЕЙСТВИТЕЛЬНОЕ ЧИСЛО
Ш6. Из а < Ъ, с > 0 следует ас < Ъс.
По тем же соображениям, что и для свойств II, существенно проверить
III в случае только положительных а, Ь, с (см. § 2.8),
IV.	Архимедово свойство.
Каково бы ни было число с > 0, существует натуральное
п > <£ В самом деле, если с — а0, a.ta2 ..., то можно взять
п = а0 + 2.
Из архимедова свойства и некоторых предыдущих свойств
следует, что, каково бы ни было положительное число 8, всегда
можно указать такое натуральное п, что выполняется неравен-
ство 1/п < е.
В самом деле, согласно IV для числа 1/е можно указать на-
туральное п такое, что 1/8 < п, что в силу Ш6 влечет нужное
неравенство.
Заметим, что для данного числа с>0 в ряду 0, 1, 2, ... це-
лых неотрицательных чисел, очевидно, имеется единственное т,
для которого выполняются неравенства т < с < т + 1.
V.	Свойство существования предела у неубы-
вающей ограниченной последовательности дей-
ствительных чисел.
Если последовательность положительных чисел
а,, аг, а3, ...	(1)
не убывает и ограничена сверху числом М, то существует дейст-
вительное число а, не превышающее М, к которому эта после-
довательность стремится как к своему пределу:
liman = a<M.	,
П-^оо
Это значит, что для всякого е > 0 найдется натуральное чис-
ло п„ такое, что \а — «п| = а — ап < 8 для всех п > п0.
Доказательство. Каждый элемент а„ последовательности
(1) разложим в бесконечную десятичную дробь:
а„ = а„, о, гйп, з. •. .	(3)
Последовательность чисел (3) ограничена сверху числом М
(а„ М) и не убывает, поэтому па основании леммы 1 из § 2.3
последовательность десятичных дробей (3) стабилизируется к не-
которому числу а V М:
ап zta = f0,	....
Но тогда ап стремится к а как к своему пределу:
lim ап -= а.
п-»оо
В самом деле, для любого е > 0 найдется натуральное m та-
кое, что 10-га < е. Так как ап стабилизируется к а, то найдется
§ 2.5. ИЗОМОРФИЗМ РАЗЛИЧНЫХ ПРЕДСТАВЛЕНИЙ
55
«о такое, что при п > га» первые т компонент чисел ап уже ста-
билизированы:
Я» 1=3	0, Y1 • • • YrnC^jj, m—10^nj m’'2 • 
т. e. равны соответственно первым т компонентам числа а. По
тогда
\а — «„|- = а — ап = 0, 0 ... О т+1	,„+2, ... ' • 10“’" < е (га > га»),
что и требовалось доказать.
Замечание 1. Из I—V следует более общее чем V свойст-
во, утверждающее, что всякая монотонная, т. е. неубывающая или
иевозрастающая, ограниченная последовательность не обязатель-
но положительных чисел имеет предел (конечный; см. далее
§ 3.4). Пусть R есть множество всех рациональных чисел. В R
свойства I — IV выполняются, однако свойство V не всегда выпол-
няется, как показывает следующий пример.
Пример. Пусть а = а0, оцагаз  • • есть произвольное положительное
иррациональное число, а
а<"> = ав, «1 ... а„ (п = 1, 2, 3, ...)
его же срезки. Числа а<") рациональные и образуют ограниченную сверху
числом «. последовательность. При этом их десятичные разложения стаби-
лизируются к десятичному разложению числа а. Но тогда, как мы знаем,
lim = а.
П~юо
Таким образом, числа а<”> принадлежат Л, по предел их последователь-
ности не принадлежит R, а если учесть, что предел у последовательности
может быть только один (см. далее § 3.1), то получим: для R свойство V,
вообще говоря, не выполняется.
§ 2.5. Изоморфизм различных представлений
действительных чисел.
Длина отрезка, физические величины
В предыдущих параграфах были определены действительные
числа а, Ь, с, ... в виде бесконечных десятичных разложений и
было установлено, что они удовлетворяют свойствам, составляю
щим указанные выше группы I —V (коротко, свойствам I—V).
Но мы могли бы, рассуждая аналогично, определить беско-
нечные двоичные или троичные (вообще га-ичные) разложения
а', Ь', с , ... и ввести для них понятия «>» и операции сложения
«+» и умножения «•». При проверке оказалось бы, что эти новые
объекты тоже удовлетворяют свойствам I — V.
Отметим еще так называемые дедекиндовы сечения во мно-
жестве рациональных чисел. Во многих учебниках именно на их
основе определяют действительные числа (см. II. С. Александ-
ров и А. II. Колмогоров, Введение в теорию функций дей-
ствительного переменного, ГТТИ, 1938, а также Г. М. Фихте и-
56
ГЛ. 2. ДЕЙСТВИТЕЛЬНОЕ ЧИСЛО
гольц, Курс дифференциального и интегрального исчисления,
т. I, «Наука», 1970).
Всевозможные дедекиндовы сечения а', Ъ', с', ... представ-
ляют собой не что иное, как разложения всего множества рацио-
нальных чисел па два непустых класса 21 и 23, где любое число
класса 21 меньше любого числа класса 29. Оказывается, что для
дедекиндовых сечений можно определить понятия «>», « + », «»
и установить, что с этими определениями они удовлетворяют
свойствам I—V.
Наконец, отметим, что при определении действительных чисел
иногда считают удобным вводить (см. В. В. Немыцкий,
М. И. Слудская и А. II. Черкасов, Курс математического
анализа, т. I, Физматгпз, 1957) так называемые фундаментальные
последовательности рациональных чисел. Существенно разные
(в известном смысле) такие последовательности обозначают сим-
волами а , Ъ', с' ..., вводят для них понятия «>», «+», «-» и до-
казывают, что они удовлетворяют свойствам I — V.
Важно отметить, что все указанные определения действитель-
ных чисел с формальной точки зрения не отличаются друг от
друга. Это следует из формулируемой ниже теоремы, которую
можно назвать теоремой об изоморфизме множеств, удовлетворя-
ющих условиям I—V.
Понятие изоморфизм, точнее, изоморфизм относительно свойств
♦ >», «+», «•», lim (предел) будет разъяснено-ниже попутно.
Теорема 1. Пусть Е есть множество десятичных дробей а,
Ь, с, ... и Е' есть множество элементов а', Ъ', с , ..., для кото-
рых определены понятия больше («>») и операции сложения
(« + ») и умножения («•») так, что выполняются свойства I— V.
Тогда между элементами а^Е и а' е Е' можно указать вза-
имно однозначное соответствие
а ~ а',
являющееся изоморфизмом по отношению к понятию «>», ариф-
метическим действиям и понятию предела.
Это значит, что, если
а ~ а’, b ~ Ь',
ТО	,	, * л
а±Ъ~а'±Ь',
аЬ^а'Ь'
если при этом а<Ъ, то а <Ъ'.
Наконец, для ограниченной сверху неубывающей последова-
тельности элементов ап^Е (п = 1, 2, ...) имеет место
lim ап ~ lim ап.	(2)
И->оо	П->оо
§ 2,5. ИЗОМОРФИЗМ РАЗЛИЧНЫХ ПРЕДСТАВЛЕНИЙ
57
Таким образом, будем ли мы оперировать десятичными разло-
жениями а, Ь, с, ... пли им соответствующими элементами а', Ь',
с', ..если это оперирование сводится к арифметическим дей-
ствиям, взятым в конечном числе, или к нахождению предела
неубывающей последовательности, мы каждый раз будем прихо-
дить к элементам d и d', находящимся в указанном выше соот-
ветствии d ~ d'.
Таким образом, все определенные выше конкретные множества
(дедекиндовых сечений, фундаментальных последовательностей,
бесконечных двоичных разложений и т. д.) изоморфны между со-
бой в указанном смысле.
Это указывает па возможность корректно определить понятие
действительного числа аксиоматически в том смысле, как это
уже было определено в конце § 2.1.
Из сказанного следует, что с формальной точки зрения все
равно, исходим ли мы при определении действительных чисел из
бесконечных десятичных дробей пли из аксиоматического подхо-
да к понятию числа. Конечно, с философской точки зрения вто-
рой подход более приемлем: числа суть абстракции, выражающие
количественные отношения в природе, а десятичные дроби — их
представляющие формальные символы.
Приведем основные факты, связанные с доказательством теоремы об
изоморфизме.
Пусть Е есть множество всех действительных чисел и Е' — множеств1»,
вообще говоря, любых других объектов, удовлетворяющих свойствам I—V.
Тогда в Е' имеются нуль 0' и единица Г (О' < Г) и имеют смысл эле-
менты 2' = 1' + Г, 37 = 2' + Г, ... и элементы —Г, —2', —3', ... В резуль-
тате получим последовательность с двойным входом *) (различных между
собой) элементов Е':
... —2', —Г, О', 1', 2', ...,
соответствующих целым числам
... —2, -1, 0, 1, 2, ...
Элементы (3) можно делить друг на друга, исключая деление па О'.
Поэтому в Е/. имеются (рациональные) элементы вида ±р'/д' = ±п'р'/n'q' =
= «' (д' > 0, р'>0), находящиеся во взаимно однозначном соответствии
с рациональными числами ±р/q = а, что мы кратко запишем так: а ~ а'.
Здесь п’ соответствует натуральному числу п. Это соответствие является
изоморфизмом по отношению к знаку «>» и арифметическим операциям,
т. е. выполняются соотношения (1) пока для рациональных элементов.
На самом деле указанный изоморфизм а ~ а' распространяется на все
элементы множеств Е и Е'. Убедимся в этом. В силу уже установленного
изоморфизма между рациональными элементами имеет место соответствие
± %’ ai •  • ап ~ ± «о- «1 • • • < = ± (%<\  • • ап)7Юп'
’') Про элементы «л, зависящие от целого к и расположенные так:
... а-2, a-i, at>. в,, «г, ...,
говорят, что они образуют последовательность с двойным входом.
58
ГЛ. 2. ДЕЙСТВИТЕЛЬНОЕ ЧИСЛО
между конечными десятичными дробями Е и Е', где в скобках справа на-
ходится целое число а,,а; ... ап = аоЮ” + ailO’1-1 + ... +а„. Это соот-
ветствие изоморфно по отношению к знаку «>» и арифметическим опера-
циям. Пусть а — Ио, ссщг... есть произвольное положительное число, пред-
ставленное бесконечной десятичной дробью.
Легко видеть, что оно является пределом неубывающей последователь-
ности его срезок: а = lim a<n>. Так как sj a0 + 1 для любого числа п =
= 1, 2, ..., то также а^' <	+ 1)'. Кроме того, элементы а^' не убы-
вают, потому что числа а<"> не убывают. Поэтому па основании свойства V,
которое предположено верным в Е', существует в Е' элемент а', являющий-
ся пределом: а' = lim .
Естественно а' записать в виде выражения а’ = afl, ax a2 ..., называя
его бесконечной десятичной дробью в Б', а — его n-ми срезками.
Этим каждому действительному числу а приведен в соответствие элемент
ч' е Е'	Это соответствие не противоречит соответствию
aQ, aL ... а/( ->а', а' ... ah,
потому что наряду с равенством
Ио, «]...«*= a0, ai .. .аА_, (а/, — 1)99 ...	(а* > 0)
имеет место равенство
аХ • • X = аХ • • • аХ (X- 9 9'9' • • *	(4)
Ведь бесконечная дробь справа по определению есть предел ее срезок
(в Е'), но число a0, at . . . ah, как нетрудно видеть, уже является этим
пределом, по тогда они равны, потому что последовательность может иметь
единственный предел.
Но мы еще покажем, что всякий элемент Л е Е' обязательно соответ-
ствует некоторому числу а ez Е и притом единственному.
Зададим произвольный положительный элемент X е Е'. Согласно ар-
химедову свойству (верному в Б') существует натуральный элемент п' >
> X. Таким образом, 0'<Х<п' н, так как 0'<Г, то 0'< 1'<2'< ... <
< п'. В этой цепи, очевидно, существует единственный (целый неотрица-
тельный) элемент а0 такой, что ag^ X < a03- 1'. Пересматривая теперь
элементы конечной цени afl. 0' < a , Г < • • • < a0, 9' < a0 + Г, найдем
средн них единственный aQ, такой, что
(ao’ai)'<Z<(ao’ai + 1)'
(если ai = 9, то (а , а(-|-1)' — а04-1). Продолжив этот процесс, но ин-
дукции получим последовательность цифр ai, аг, ... такую, что
(а0, ai ... а*)' X < (а0, ai ... a*-i («л + 1))'
при любом к. Так как к тому же правая часть в этих соотношениях отли-
чается от левой па (10~ft)'->0 (Б->оо), то
X = lim (a„, a,	(5)
Итак, каждый положительный элемент /. е Б' соответствует некоторо-
му очевидно положительному числу а (а = X). Единственность этого числа
вытекает из следующих соображений.
§ 2.5. ИЗОМОРФИЗМ РАЗЛИЧНЫХ ПРЕДСТАВЛЕНИЙ
59
Пусть 0 < а < Ъ. Найдутся конечная десятичная дробь г, и натураль-
ное I такие, что 0 < а1- '> «у а < г bW >, дЛЯ всех натуральных п. По-
этому а' = lim г' <	-s'. Ь', т. е. а' < Ъ'.
Этим доказано (пока в случае положительных а, а'), что соответствие
а^-а' изоморфно но отношению к знаку «>». В частности, установлено,
что разным положительным а соответствуют разные положительные а'. Та-
ким образом, соответствие а-> а' есть на самом деле взаимно однозначное
соответствие а а' (или а ~ а') между положительными злементами Е
и Е’.
Отметим, что для положительных а, b е Е имеют место равенства
[йОО_(Ь(«) + 10-’г)]' =«('’)' -(ftW' + io-"') («> Ь),
---=(а(пУЬу,уУпУ,	(°)
/ а<п) \'	aW
\	+	/	//">' +10“'"'
И так как из того, что последовательность десятичных дробей
Сп = а0„, alna2ll ... (я = 1,2,...)
стабилизируется к дробис = fo, Y1T2.-- (сп^ с), следует, что сп ста-
билизируется к с’	то равенства (6) влекут соответствия (1). Вер-
но также соотношение (2).
Для отрицательных чисел а полагаем а' = —(—а'). В результате вме-
сте с соответствием 0 ~ 0' получим взаимно однозначное соответствие
а ~ а’ между действительными числами и всеми элементами Е'. О.по, оче-
видно, изомофно относительно знака «>>>, а также относительно арифме-
тических операций. Пе приводя все детали рассуждений, поясняющих это
последнее утверждение, ограничимся доказательством равенства (a-f-b)' =
= а' + Ь\ когда а > О, b < 0, а > | Ь |.
В этом случае
(я ЬУ = (а — (£>])' = а' — | Ъ'\ — а’	Ъ'.
Первое равенство в этой цепи верно в силу .известных свойств чисел, вто-
рое уже доказано для а > | Ъ |, третье — в силу того, что а’— |д'| есть та-
кой элемент Е’. который надо прибавить к |Ь'|, чтобы получить а'. Этот
элемент (единственный) есть а'+ (—|6'|) = «'-)-(—(—&)') — а' + Ъ' (см.
сноску к свойствам II в § 2.4).
Особое внимание занимает представление чисел точками прямой, явля-
ющееся общепринятой удобной геометрической интерпретацией чисел. Ос-
тановимся на нем подробнее.
Предупредим читателя, что приводимые ниже рассуждения носят по
очень формальный характер, скорее, они представляют собой схему, сле-
дуя которой можно провести аккуратные рассуждения.
Будем рассматривать всевозможные отрезки прямых, лежащих в дли-
ной плоскости. Среди них выберем одни произвольный, о котором будем
говорить, что он имеет длину, равную единице. Равновеликие отрезки, сов-
падающие при наложении, обладают некоторым общим свойством, которое
обозначают буквой а (или Ъ, с, .. .) и называют длиной любого из этих от-
резков. Пусть о и б — отрезки длины соответственно а и Ь. Если при нало-
жении их друг па друга о окажется существенной частью б, т. е. если при
этом окажется, что о есть часть био пе совпадает с б, то считают, что их
длины находятся в отношении а < Ь.
Отрезок, полученный из единичного отрезка делением последнего па
q равных частей и взятием геометрической суммы р таких частей, назы-
вается рациональным (соизмеримым с единицей),
СО
ГЛ. 2. ДЕЙСТВИТЕЛЬНОЕ ЧИСЛО
Ясно, что длины отрезков удовлетворяют аксиомам I.
По определению, сумма а + Ъ и разность а — b (а > Ъ) суть соответ-
ственно длины геометрической суммы и разности отрезков. Легко видеть,
что свойства II (за исключением пока П3, П4) для длин удовлетворяются.
На рис. 2.1 изображен произвольный угол, па одной стороне которого
отложены от вершины последовательно отрезки ОА и АС длины 1 и Ь, а
иа" другой — отрезок ОВ длины а. Кроме того, проведена прямая CD, па-
раллельная прямой АВ. Опа отсекает отрезок BD. длину которого, по оп-
ределению. назовем произведением ab. Это определение корректно, потому
что, если бы мы подобную конструкцию создали для другого угла б'
(рис. 2.2), то получили бы отрезок B'D', равновеликий отрезку BD,
Ясно, как определить «/& —результат деления « па Ъ. Надо (рис. 2.3)
на одной стороне угла отложить последовательно от вершины отрезки /ши-
ны b и а, а на другой — единичный отрезок, провести CD параллельно ЛВ,
м тогда длина АС, по определению, есть а/Ь. Это определение также кор-
ректно, и при этом действие деления оказывается обратным к умножению:
Ь(а!Ь) — а.
Рис. 2.3.
Легко проверяется геометрически, что свойства III для длин удовлет-
воряются. Например, дистрибутивный закон Ш5 проверяется с помощью
рис. 2.4. Подобным образом проверяется, что (а—б)с = яс—Ьс (а>Ь).
Рассмотрим теперь прямую с отмеченной на ней точкой 0. Точкам пря-
мой, лежащим правее 0, взаимно однозначно соответствуют длины отрез-
ков, соединяющих эти точки с нулевой точкой. Эти длины будем называть
положительными длинами. Вводим формально отрицательную длину — а,
соответствующую точке прямой, симметричной относительно 0 точке а
(т. е. точке, соответствующей длине в). Точке 0 чисто формально приводим
г. соответствие длину пуль. В результате между точками всей прямой и но-
выми символами я, Ь, которые могут теперь быть положительными, от-
§ 2.6. ДОПОЛНЕНИЕ
(И
рицательными и нулем, установлено взаимно однозначное соответствие.
По известным правилам, которые незачем повторять, для новых символов
определяются арифметические операции и знак «>». Они удовлетворяют,
как это доказывается в курсе элементарной алгебры, свойствам I—III, по-
скольку положительные а, Ь, ... им удовлетворяют. На прямой мы можем
мысленно отметить рациональные точки ±p/q, соответствующие положи-
тельным и отрицательным длинам отрезков, соизмеримых с выбранной еди-
ницей. Они сами по себе удовлетворяют свойствам I—II.
Свойства IV, V для новых объектов также удовлетворяются. Свойство
V выражает на математическом языке тот факт, что прямую мы мыслим
как некоторый непрерывный геометрический образ. Таким образом, снаб-
женные знаком (как указано выше) длины отрезков удовлетворяют свой-
ствам I—V п, следовательно, они изоморфны действительным числам. Это
обстоятельство позволяет в практике смешивать понятие длины отрезка и
понятие соответствующего этому отрезку в силу указанного изоморфизма
числа.
В заключение отметим, что физика доставляет нам много примеров по-
нятий, изоморфных действительным числам; их называют физическими ве-
личинами. Температура, масса, скорость, если она направлена вдоль оп-
ределенной прямой,-— это- все физические величины. Впрочем, они могут
оказаться изоморфными не всем действительным числам, а только при-
надлежащим некоторому интервалу. Например, в случае массы этим ин-
тервалом является (0. оо).
§ 2.6. Дополнение
Этот параграф содержит доказательства и схемы доказательств от-
дельных утверждений § 2.4. Мы думаем, что читатель, желающий с ними
ознакомиться, легче их воспримет после того, как усвоит следующую да-
лее гл. 3. Это не значит, что § 2.6 базируется па гл. 3, но в идейном отно-
шении излагаемые как тут, так и там вопросы схожи, и в то же время из-
ложение в § 2.6 носит достаточно сжатый характер.
Справедливо свойство:
Пусть для бесконечных дробей а = а0, «.i«2 ..Ь — j30, рфа ..., не име-
ющих периода 9, верно равенство
6<») = а(>.) + 2^,	(1)
где стремится к пулю при п -> оо 6(,1) — срезки а, Ъ). Тогда а= Ъ
«, следовательно, а* =	& = 0, В 2, ...
Доказательство. Пусть обе десятичные дроби а и & не имеют
периода 9. Допустим, что опи не равны, для определенности а < Ь. Тогда
при некотором натуральном к
а — ao,ai ... од _	; । ...,
Ь = «o,ai ... aft_iPi,?u 1 • • ,	(«*<₽/<),
и, кроме того, as < 9 при некотором s > к. Поэтому при любом п > s
//-.) _ а( о) = ао(Х1_..	, jjn — aoOS1 .., ah-iakO.K + 1 ...«„>
a0,ai... «ь-фл — a0,ai...	... a,-, (as + 1) = б > 0.
По это невозможно, потому что по условию &<">—абп> == Л,>	0 при
п -+ оо.
Заметим, что равенство
с = Mi - . 7*99 ... = 70,71 • • • 7*-i (7* + 1)000...
показывает, что га-е срезки входящих в него десятичных дробей отличают-
62
ГЛ. 2. ДЕЙСТВИТЕЛЬНОЕ ЧИСЛО
<я на величину 10~п, стремящуюся к пулю при га->оо. Цо тогда данное
свойство, доказанное уже для десятичных дробей а и Ь, не имеющих пе-
риода 9, верно также, если одна из них или обе имеют 9 своим периодом.
Докажем теперь, что, если а > Ь О 0, то
(а — Ь) + Ь = а.	(2)
В самом деле,
а(п) —. (£,(«)	10“ n) тХ а — Ь, (а — b)1n)4-b(”>zj(a—6)4-5.
Поэтому для каждого п найдется такое s > п, что
(а— &)(") = [я(»> — (Ъ<^ + 10-’)] <"> = а(п> — Ь<"> + Х„,	(3)
[(а — Ь)4-Ь]("> = [ (а— ft) (s> +	’)](") == (а — 6) («> -|- b1-п > 4" р„,
тде /.«-HJ и	при п -+• оо.
Но тогда
[(а— &) + Ь]<п> = (а-&)("’ +ft'"’+р„ =
= a<n> —	+ Ь(п) + Вп <= <г(п> +	(4)
где vn = кп + р„ -> 0 (л -+ оо).
Из соотношения (4) на основании доказанного свойства следует (2).
Величину (бесконечно малую) Ап-»-0 (ге->-оо) принято еще записы-
вать так: о(1) (п-»-оо). Надо иметь в виду, что если наряду с Л„ рассмат-
ривается тут же другая бесконечно малая величина, ее обозначают тем жо
символом о(1).
Покажем, что
а + (& + с) = (а + Ь) + с.	(5)
В самом деле, при п -+• оо
[а+ (Ь + с)]<«) -=«<">+ (6 + с)<"> +о(1) =
= a<n> 4- Ь(п> 4~ й(п> + о(1)	(6)
[(а + Ь) + с] <"> = (а+ Ь)<"> + с<"> + о( 1) =
= а{п) й(п) с(„) + 0(1),	(7)
Поэтому па основании доказанного свойства имеет место (5).
Свойства Illi — Ш5 суть непосредственные следствия нижеследующих
равенств:
(a(">6<’,>)<"> = (Zh.’!W”>) <”>,	(8)
<(a&)<n)c(’,))(") = (ab)(n)c(n) 4- o(l) = a<">4- o(l) (n-> oo), (9)
(a(n>(fec)(">)(") =	4-o(l) (re->oo),	(10)
(я(") . (!)(">)(") = a<n> 4-o(l) (ra-^oo),	(11)
PP’"+ °(1) >po~a(n) + 0 (1) = 1 +0 (1>’ (12)
((a 4- i)(»>c(">)t”>=(a 4- b) (">c'.”>4-o(l) = a<">c("> 4- M">c<n>4-o(l),	(13)
(ac)1"> 4- (be) <"> = a<n>c<n> 4-b<n>c<"> 4-o(l) (л->оо),	(14)
Свойство (8) очевидно. Для примера поясним доказательство свойства
(9). Первое его равенство верно потому, что снятие внешнего значка п вле-
чет увеличение первого члена (9) на величину (конечную десятичную
дробь), не превышающую 10~” — о (1),
§ 2.7. НЕРАВЕНСТВА ДЛЯ АБСОЛЮТНЫХ ВЕЛИЧИН
63
Далее, ab есть число, к которому стабилизируется
zj ab.
По тогда для любого п найдется зависящее от пего s >,га такое, что (цк,
v„ = о(1), п -+• оо)
(«/,)(») =	= {(а<"> + цп)(&<и) +v„)}<"> =
=	+ (a(’')Vn + 6<">цп + p„v«)}<n> = {«(п’6<п> + о (1)}<»> =
= (а <") Ъ(п >) (> -1- о (1) = а,я) о (1) (га —>- оо).
В третьем равенстве надо принять во внимание, что а'"> sg а и 6'n) sg
поэтому a<">vn = о(1), Ь(,,)цп = о(1), кроме того, о(1) +о(1) = о(1).
Из (9) — (14) следует соответственно III, — Ш5 в силу доказанного выше
утверждения (2). Проверку того факта, что действия над бесконечными
дробями согласованы с соответствующими действиями пад рациональны-
ми дробями, предоставляем читателю.
В случае, например, сложения требуется проверить, что бесконечное'
десятичное разложение суммы
Р, Р2 p1q2 + p2q1
~ + V = ад
в точности равно сумме бесконечных десятичных разложений слагаемых.
§ 2.7. Неравенства для абсолютных величин
Неравенство
I а I < 8
эквивалентно двум неравенствам
— 8 < а < 8<
Отсюда неравенство
\а — Ы < 8
эквивалентно неравенствам
b — е<«<Ь + е.
Аналогично, неравенство
|я -г N С 8
эквивалентно неравенствам b — s^a^b + z.
Справедливы также неравенства
la + &| С Iа\ + IЬ\,
1а — b\ > I |«| — |Ь| |.
(1>
(Г)
(2)
(2')
(3)
(4>
(5)
Неравенство (4) можно получить, рассмотрев отдельно четыре
случая: 1) а, b ж 0, 2) a, b С 0, 3) а О С Ь, 4) b С О С а.
Например, в случае 2)
« + b «С & О, Iа + &| = —(а + b) = —а — b = \а\ + |&|,
64
ГЛ. 2. ДЕЙСТВИТЕЛЬНОЕ ЧИСЛО
а в случае 3), если допустить что 1б|	|а|,
I« + АI = &+ «< I а I + IЫ.
Случай 3) при допущении |Ь| < |а| читатель разберет сам.
так же как случай 1). Случай 4) сводится к 3).
Далее, в силу (4)
lalsSli’I + la— Ы, IЫ Ы + I а — Ь\,
т. е.
|я| — la — М sS |а| + |я - b\,
но тогда верно (5).
§ 2.8. Точные верхняя и нижняя грани множества
Множество Е действительных чисел г называется ограничен-
ным, если существует положительное число М такое, что выпол-
няется неравенство Ш <М для всех х^Е пли, что все равно,
—М <х< М.
Если Е не удовлетворяет указанному свойству, т. е. каково бы
пи было положительное число М (как бы оно ни было велико),
найдется такое е Е, что lzol > М, то Е называется неограни-
ченным.
Множество Е называется ограниченным сверху (соответствен-
но снизу'), если существует число К (соответственно А) такое, что
х е; К (соответственно !с^х) для всех х^Е. Число К (соответ-
ственно А) называется верхней (нижней) гранью Е.
Очевидно, что ограниченное множество является одновремен-
но ограниченным сверху и снизу. Множество R всех действитель-
ных чисел, очевидно, неограничепо как снизу, так и сверху; мно-
жество R+ положительных чисел ограничено снизу, по не огра-
ничено сверху; отрезок |я, А| и интервал (а, Ъ) при конечных а
и b являются примерами ограниченных множеств.
Число М (соответственно т) называется точной верхней (соот-
ветственно нижней) гранью множества чисел А, если выполняют-
ся следующие свойства:
1) хЕМ (соответственно х > т) для всех х = Л.
2) Как бы ни было мало е > 0, найдется такое число х„^А,
что М — е < х0 (х0 < т + е).
Точная верхняя грань А обозначается так:
М = sup Л = бирж,
хеА
а точная нижняя грань так:
т = inf А = inf х,
хе А
(sup, inf — сокращения латинских слов supremum — наивысший,
infimum — наинизший). В следующем параграфе будет доказана
§ 2.8. ТОЧНЫЕ ВЕРХНЯЯ И НИЖНЯЯ ГРАНИ МНОЖЕСТВА
G5
существование точной верхней грани у ограниченного сверху
множества, так же как точной нижней грани у ограниченного
снизу множества. Единственность их очевидна.
Для неограниченного сверху множества А будем писать:
sup А = sup х — +°°,
«е А
а для неограниченного снизу:
inf А = inf X = —оо;
хеА
будем называть в этом случае +°°, —соответственно точной
верхней и точной нижней гранью А.
Отрезок [а, б] и интеграл (а, Ь), очевидно, имеют в качестве
своей точной верхней грани точку (число) Ь. В случае отрезка
точная верхняя грань (число Ь) принадлежит ему, а в случае ин-
тервала — не принадлежит. Множество (—°°, 0), очевидно, имеет
в качестве своей точной верхней грани число 0 и в качестве ниж-
ней символ
Отметим очевидное равенство
inf х — —sup t—x).
хе л	хе А
Выше мы определили понятие точной верхней грани отдельно
для ограниченного и для неограниченного сверху множества. Ни-
же дается общее определение, годное для обоих случаев.
Число М (конечное или +°°) называется точной верхней
гранью множества действительных чисел А, если выполняются
следующие свойства:
1) х С М для всех х s А;
2) каково бы ни было конечное число М' < М, найдется та-
кое число х0 s А, что АГ <х„^М.
Подобное определение можно дать и для точной нижней гра-
ни неограниченного снизу множества чисел. Теперь m может быть
либо конечным числом, либо — °°.
Возникает вопрос, имеет ли произвольное множество действи-
тельных чисел точную верхнюю (нижнюю) грань. Для неограни-
ченного сверху (снизу) множества, как мы видели, имеет — но
определению. Опа равна +°° (соответственно — °°). Для ограни-
ченного множества тоже имеет. Это будет доказано далее в § 3.6.
Глава 3
ПРЕДЕЛ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТИ
§ ЗЛ. Понятие предела последовательности
Метод пределов есть основной метод, на котором базируется
математический анализ.
Пусть каждому натуральному числу п — 1, 2, ..приведено
в соответствие в силу некоторого закона число *) хп. Тогда гово-
рят, что этим определена последовательность чисел х^, хг, х3,...
или, короче, последовательность
Отдельные снабженные номерами п {индексами) числа хп на-
зывают элементами последовательности {хг). Они могут быть дей-
ствительными или комплексными. Мы здесь рассматриваем слу-
чай, когда они действительны.
Для разных nt, пг отдельные элементы х„ , х,^последователь-
ности могут оказаться равными как числа (а:П1 = ^и2)- Однако
хП{ и ж„2 рассматриваются как разные элементы последователь-
ности.
Ниже приводятся примеры последовательностей:
1) {п} = {1,2,3, ...},
5)	(1 +	} = {1,1; 1,01; 1,001;
6)	{(- 1И = {- 1, + 1, - 1,..
7)	{1;2; ...; 10; 0,1; 0,01; 0,001;
В случае 7) не видно, как написать общую формулу для про-
извольного элемента хп, однако закон образования чисел х„ ясен:
п (п = 1, ..., 10),
‘) То есть хп — функция на множестве натуральных чисел.
§ 3.1. ПОНЯТИЕ ПРЕДЕЛЛ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТИ
67
Мы еще будем употреблять следующую терминологию: пере-
менная хп пробегает последовательность {хпУ или последователь-
ность значений хп.
Переменную х„, все значения которой равны одному и тому
же числу а, называют постоянной и обычно обозначают просто
через а.
Ио определению, число а, называется пределом последователь-
ности если для любого положительного числа е найдется
(зависящее от него) натуральное число N такое, что для веек
натуральных п > N выполняется неравенство
|х„ — а\ < е (и > 7V).
При этом мы будем писать
limz„ =lim хп = а
П -• оо
или
хп -*• а
и говорить, что переменная хп стремится к а или что последова-
тельность {,гп} стремится {сходится) к числу а.
Покажем, что переменная 2) имеет предел, равный нулю.
В самом деле, зададим е и составим неравенство
ы = 4~ <е-
Оно верно для всех п>—или для всех n>N, где N есть ка-
1
кое-либо натуральное число :V>—. Таким образом, для любого
е >0 найдется такое натуральное N, что lznl <е для всех п > N.
В точности также доказывается, что и последовательность 3)
имеет предел 0. Переменная 4) стремится к 1, потому что в
этом случае
11 — хп | = 11--—I — _L < 8
1	1 I	п I п
для всех n>N, где N— натуральное число, большее, чем 1/е.
Нетрудно показать, что и переменная 5) стремится к 1. Пе-
ременная 7), очевидно, стремится к нулю. Не имеет значения
тот факт, что опа сначала имеет тенденцию возрастать: в этом
вопросе важно, какие значения она имеет для достаточно боль-
ших п.
Если хп удовлетворяет неравенству
\а — xj < 8,
то это все равно, что хп удовлетворяет неравенствам
а — е < х„ < а д- е
63
ГЛ. 3. ПРЕДЕЛ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТИ
или, употребляя геометрический язык, что точка (число) при-
надлежит интервалу (« — 8, а+е). Поэтому, употребляя геометри-
ческий язык, можно дать такое определение предела: перемен-
ная хп имеет пределом число (точку) а, если для любого е>0
найдется такое натуральное N, что для всех п> N точки хп &
(а — а + е).
Произвольный интервал (с, d), содержащий в себе точку а,
т. е. такой, что с < а < d, называется окрестностью точки а. Оче-
видно, какова бы ни была окрестность (с, d) точки а, найдется
такое 8 > 0, что интервал (а —е, а + е) содержится в (с, d), т. е.
(а — 8, а + е) с (с, d).
Поэтому тот факт, что хп а, можно выразить еще и так:
какова бы ни была окрестность (с, d) точки а, все точки х„, на-
чиная с некоторого номера п, должны попасть в эту окрестность,
т. е. должно существовать натуральное N такое, что х„ е (с, d)
(n>N). Что касается точек х,, ..хя с индексами n^N, то
они могут принадлежать пли не принадлежать (с, d). Таким об-
разом, если вне (с, d) имеются точки х„, то их конечное число.
С другой стороны, если известно, что вне (с, d) имеется толь-
ко конечное число точек xril, хПг,х„г, то, положив
= шах {щ, п2, ..ns},
мы можем сказать, что для всех п> N точки хп^(с, d). Поэто-
му можно дать еще такое определение предела: переменная
имеет своим пределом а, если вне любой окрестности точки а
имеется конечное или пустое множество точек хп.
Переменная 6) ни к какому пределу не стремится, потому
что если предположить, что эта переменная имеет предел, рав-
ный а, то любая как угодно малая по длине окрестность точки и
должна была бы содержать все элементы хп, за исключением ко-
нечного числа их. Но впе интервала длины 1/2, как бы он ни
был расположен на действительной осп, имеется, очевидно, бес-
конечное число элементов хп нашей последовательности.
Нетрудно видеть, что и последовательность 1) ие стремится
ни к какому пределу. Впрочем, в дальнейшем мы будем говорить,
что она стремится к бесконечности, вкладывая в это понятие не-
сколько иной смысл.
Легко виде!ь, что если переменная х„ имеет предел, то он
единственный. Ведь если бы опа имела два предела, а и Ъ, где
а < Ь, то интервалы (а — 8, а+е) и (6 — 8, 6 + е), где е = (6 —
— а)/3, должны были бы содержать каждый все точки последова-
тельности {хп), за исключением конечного их числа. По эго, оче-
видно, невозможно, потому что эти интервалы не имеют общих
точек (не пересекаются).
Пример 6) показывает, что для разных п,, п2 отдельные зна-
чения последовательности {х„} могут быть равными: х1Ч—хПг. Од-
§ 3.1. ПОНЯТИЕ ПРЕДЕЛА ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТИ
69
пако хп, и жП! рассматриваются как разные элементы последова-
тельности.
Легко видеть, что если две последовательности {хп}, {х„} име-
ют только конечное число различных соответствующих элементов
(имеющих одинаковый индекс п), то они одновременно либо не
имеют пределов, либо имеют пределы и притом равные.
Докажем несколько теорем, выражающих свойства перемен-
ных, стремящихся к пределам.
Теорема 1. Если переменная хп имеет предел, то она огра-
ничена.
Доказательство. Пусть хп а. Тогда для 8=1 должно
найтись натуральное число N такое, что
1 > 1х„ — а\ для п > N.
Отсюда 1 > I хп — а I > I х„ I — I а I пли
I хп I < I а | +1 для п > N.
Положим М = max {|а| + 1, larj, ..., Ia:wl}. Тогда очевидно, что
|,тJ * М (п = 1, 2, ..
т. е. переменная хп ограничена.
Теорема 2. Если переменная хп имеет не равный нулю
предел а, то найдется такое N, что
| хп | > -	для n>N.
Больше того, для указанных п, если а > 0, то хп> а/2, если
же а < 0, то хп<а/2. Таким образом, начиная с некоторого номе-
ра, хп сохраняет знак а.
Доказательство. Пусть хп-+ а. Тогда для е = lai/2 долж-
но найтись натуральное N такое, что
~~ > | а — хп | > | а | — | хп | (п > N),
। ।— । ।	1^1 I а|
откуда |х„|>|а|----——, и первое утверждение теоремы
доказано. С другой стороны, неравенство |д|/2 > la — zn| эквива-
лентно следующим двум:
I а I	, I а I ,
а----<хп<а + -1—L	;У).
Тогда, если а > 0, то
-у = а —	< %п (n>N)t
70
ГЛ. 3. ПРЕДЕЛ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТИ
а если а < 0, то
< а -г- —Цу— = а-— =	(и>А),
и этим доказано второе утверждение теоремы.
Теорема 3. Если х„ -* я, уп -* Ъ и хп уп для всех
/г =1, 2, ..., то « С /л
Доказательство, /{опустим, что Ъ < а. Зададим е < п/, ’ 
и подберем натуральные N, и N2 так, чтобы
а — е < хп (n>N,), yn<b+e (n> N,),
что возможно, потому что	а уп Ь.
Если А = шах {А,, Л’2}, то, очевидно, уп < b + е < а — е < х„
(п> Л’), и мы пришли к противоречию, так как по условию
С у„ для всех п.
Если бы в условии теоремы .3 было бы хп < уп (вместо хп «5
=5 уп), то все равно можно утверждать только, что а С b (при-
мер: хп = 1 - 3~", уп = 1 — 2-").
Теорема 4. Если переменные хп и уп стремятся к одному
и тому же пределу а и хп^ z„ С уп (п=1, 2,...), то перемен-
ная z„ также стремится к а.
Доказательство. Задав е > 0, можно найти Л\ и N2 та-
кие, что
а - е < хп (n>Nt), уп<а + ъ (n>N2),
откуда для п > N — max {N,, N,}
а — е < хп zn уп < а + е,
и
\zn — а\ < е (п> N),
что и требовалось доказать.
Теорема 5. Если хп -* а, то |а?„1 1нI.
Доказательство теоремы следует из неравенства
I \хпI — l«l I «S 1ж„ — я|.
§ 3.2. Арифметические действия с пределами
Пусть х„ и уп обозначают переменные, пробегающие соответ-
ственно последовательности {хп} и {(/„). По определению, сумма
хп + г/„, разность х„ — у„, произведение х„уп и частное хп/уя суть
переменные, пробегающие соответственно последовательности
{.гп + у„}, {л’п — уЛ}, {хпу„}, {хп/уп}. В случае частного предпола-
гается, что уп 0 для всех п = 1, 2, ....
Если х„ = с для п — 1, 2, ..., то в этом случае пишут с ± у„,
суп, с/уп вместо хГ1 ± уп, хлуп, хп/уп.
§ 3.2. АРИФМЕТИЧЕСКИЕ ДЕЙСТВИЯ С ПРЕДЕЛАМИ
71
Справедливы следующие утверждения:
lim (х„ ± у„) = lim х„ ± lim уп,	(1)
lim = lim xn lim yn,	(2)
, x lim .r„
lim--- = -p-----, если lim yn 0.	(3)
Inn//,,	*	v '
Эти утверждения надо понимать в том смысле, что если су-
ществуют пределы хп и уЛ, то существуют также и пределы их
суммы, разности, произведения и частного {с указанной оговор-
кой) и выполняются равенства (1) — (3).
Доказательство. Пусть х„ а и уп -* Ь. Зададим 8 > 0
и подберем N так, чтобы
|	— а | <	| уп — Ъ | < (п > N).
Тогда
|(х» ± У,,) — (я ± 1>) К | хп — а | + | у,, — b | <-|~+ -|-= е (n>N),
и мы доказали (1).
Чтобы доказать (2), заметим, что
\x„y„ — ab \ = |я„г/„ — ауп + ауп — ab\ С
\х„уп — ауп\ + \ауп — ab\ С IупI 1хп — а! + |а| \уп — Ь\. (4)
Так как уп имеет предел, то (по теореме 1 предыдущего па-
раграфа) существует положительное число М такое, что
|г/„|<Л/ (п=1, 2,...).	(5)
При этом можно считать, что М выбрано так, чтобы выполнялось
также неравенство
\а\<М.	(6)
Подберем натуральное N так, чтобы
I хп — а |	| Уп —	(«>ЛГ).	(7)
Тогда из (4) — (7) следует, что
I ХпУп — ab I <	= е (n>N).
Этим доказано равенство (2).
Пусть теперь к условию, что ха -* а и уп -* Ь, добавляется ус-
ловие, что Ь¥=0. Тогда
хп___а_ = хпЬ - Упа
Уп	Ь	Упь
\(хп-а)Ь+(Ь-уп)а\
| Уп | । ь I ""
< | хп - а ' , I - .Уп I i а I
Уп\	| Уп
72
ГЛ. 3. ПРЕДЕЛ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТИ
Теперь уже удобно использовать теорему 2 предыдущего пара-
графа, в силу которой
I Уп I > -ф- (п > А\)	(<))
для достаточно большого Л\. Зададим е > 0 и подберем N, и Л’3
такие, чтобы
I хп — а | < (га > Л\),	(10)
„1,2
|«11г/»-ь|<— (n>N3).	(11)
Тогда, положив Ar = max{7V1, Л\, N3}, будем в силу (8)—(11)
иметь
(га ~> N),
что доказывает равенство (3).
Заметим, что пределы переменных, стоящие в левых частях
равенств (1) —(3), могут существовать без того, чтобы сущест-
вовали отдельно пределы хп и уп. Например, если хл = у„ = га, то
хп и у,г не имеют (конечных) пределов, в то время как lim(xn —
~Уп) = 0, lim £„/;/„ = 1.
Теоремы о пределах суммы, разности, произведения и частно-
го во многих случаях дают возможность узнать, имеет ли пере-
менная предел и чему он равен, если она есть результат конеч-
ного числа арифметических действий над несколькими другими
переменными, существование и величина пределов которых из-
вестны.
Однако часто встречаются случаи, выходящие за границы
применимости доказанных теорем, и здесь остается большое поле
для инициативы математика.
§ 3.3. Бесконечно малая и бесконечно большая величины
Переменная ос„, имеющая предел, равный нулю, называется
бесконечно малой величиной или, короче бесконечно малой.
Таким образом, переменная ап есть бесконечно малая, если
для любого е > 0 найдется N такое, что |ос„ I < е (га > N).
Нетрудно видеть, что для того, чтобы переменная хп имела
предел а, необходимо и достаточно, чтобы хп = а + а„, где есть
бесконечно малая.
Переменная называется бесконечно большой величиной или
просто бесконечно большой, если для любого М>0 найдется та-
кое N, что IfJj > М {п> N). При этом пишут
lim = оо или
ОО
(1)
§ 3.3. БЕСКОНЕЧНО МАЛАЯ И БЕСКОНЕЧНО БОЛЬШАЯ ВЕЛИЧИНЫ
73
и говорят, что стремится к бесконечности. Такая терминоло-
гия считается удобной, несмотря на то, что знак 00 не обознача-
ет никакого числа и бесконечно большая заведомо ни к какому
конечному пределу (.числу) не стремится.
Если бесконечно большая начиная с некоторого N прини-
мает только положительные значения или только отрицательные
значения, то пишут
lim = 4-°° или	(2)
соответственно
JimfS„= —00 или	(3)
Таким образом, из (2), так же как и из (3), следует (1). При-
мер переменной {( — !)"«} показывает, что может иметь место со-
отношение (1), в то время как не имеет места ни (2) ни (3).
Отметим следующие очевидные свойства:
1. Если переменная хп ограничена, а уп~- бесконечно боль-
шая, то х„/уп -+ 0.
2. Если абсолютная величина хп ограничена снизу положи-
тельным числом, а уп — неравная' нулю бесконечно малая, то
хп/уп -+ оо.
Докажем только второе свойство.
Дано, что для некоторого числа а> 0 имеет место неравенство
п = 1, 2, ... и для всякого е>0 существует N такое,
что
I//J < е (п > N).	(4)
Тогда
(n>N).
У и	с
Зададим произвольное положительное число М и подберем по
нему е так, чтобы М = а/е, а по е подберем такое N, чтобы име-
ло место свойство (4). Тогда
>М
(«>
N),
что и требовалось доказать.
Из высказанных двух утверждений получаются следующие
следствия:
lim —— = 0, lim —— = оо (с =/= 0).
УП->ОО Уп	'Jn
Множества (Jf, °°), (-«>, М), {х: 1x1 >М), где М — произволь-
ное число, называются соответственно окрестностями «точек»
— ос 4-ос оое
74
ГЛ. 3. ПРЕДЕЛ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТИ
Пусть я^О и к — натуральное число. Под выражением । а мы бу-
дем понимать, если это не будет оговорено особо*), арифметическое значе-
ние корня lit степени из о, т. е. неотрицательное число, А.-я степень кото-
рого равна а. Оно существует и единственно. Ото нам будет удобно дока-
зать позже (в конце § 4,5). Но уже сейчас мы будем этим фактом поль-
зоваться. Так поступают в элементарной математике — не обосновывают
логически существование корней, но доказывают их свойства**).
Пример ы.
£ __ __________________________________________________
l.	liniyn --оо (fc — 1,2, 3 ...), потому что неравенства) п > Л’ и
71 —> оо
п > Л’*, где Л' > 0, вытекают одно из другого, и поэтому для любого N
можно указать такое п0 (именно, па > .V'1), что для всех п > па будет
I п > N.
2.	Однако lim ) н -=1. Действительно, д п 1-ф где е„ >0.
И —> оо
„	п (п — 1)	2
Поэтому***) n^(14-e„) >1 + — рт; t-„, откуда е,, < и (см-
пример 1) еп < }2/|- /г—1-> 0 (п -> оо).
3.	При а> 1 и натуральном к lim (г/7а’')=-0, потому что, если
7I-* ОО
ли положить а = 1фе, то е>0 и при п > к
§ 3.4.	Существование предела у монотонной
ограниченной последовательности
Не всякая переменная имеет предел. Часто бывает важно
знать, существует ли у данной переменной предел? Следующая
теорема дает очень простой признак существования предела пе-
ременной.
Теорема 1. Пусть переменная хп (п=1, 2, ...) не убывает
(не возрастает), т. е. удовлетворяет условию хп^х„ + 1 (соответст-
венно хп^хп+1) для любого п—1, 2, ... Если она ограничена
сверху (снизу) числом В (соответственно А), то существует пре-
дел linu„, равняли некоторому числу М (соответственно т), удов-
летворяющему неравенству М'б В (соответственно AsZm). Если
лее она не ограничена сверху (снизу), то lim хп = +«flimхл =
~ —°°).
*) Прп к > 2 есть п комплексные корпи к-тл степени из я.
**) Имеются в виду свойства, перечисленные в § 4.6 (до § 4.6 (1)).
***) Мы здесь воспользовались формулой Ньютона. Ее элементарный
вывод теперь не входит в нашу школьную программу, но его можно найти
во всех старых учебниках алгебры. Этот вывод, основанный на понятии
производной от г”, см. в § 5.9, пример 1,
§ 3.4. МОНОТОННАЯ ОГРАНИЧЕННАЯ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТЬ
75
Доказательство. Пусть переменная хп ограничена свер-
ху числом В п не убывает.
Если ж, > 0, то и хп > 0 для п — 1, 2, .... В этом случае тео-
рема уже была доказана (см. § 2.4, свойство V). Ее утвержде-
ние было выбрано в качестве одного из основных свойств дейст-
вительных чисел. При аксиоматическом подходе это утверждение
может быть принято как аксиома V действительного числа наря-
ду с аксиомами I—IV (см. конец § 2.1).
Пусть теперь х, < 0 и с > kJ. Переменная yn = xn-i~c (п =
= 1, 2, ...) очевидно принимает положительные значения (t/„ >
>0), пе убывает	и ограничена сверху числом В + с
(yn-Z.B + с). Поэтому на основании уже доказанного существует
предел
lira уп = уй sS В + с.
По тогда существует также предел
М = lim хп = lim (уп — с) = г/0 — c -Z В.
Пусть теперь неубывающая переменная хл пе ограничена
сверху. Тогда, как бы ни было велико положительное число N,
найдется такое п0, что V <.г„о. Но в силу того, что хп не убывает,
< хп для п > пп.
Таким образом, каково бы ни было положительное число V.
найдется такое п0, что
N < хп для п > По,
а это и значит, что limi„=+«.
Для невозрастающей переменной хп теорема доказывается
аналогично. Но можно свести вопрос к уже доказанному. Так как
хп пе возрастает и ограничена снизу, то — хп не убывает и огра-
ничена сверху числом —А, поэтому существует lim (—«„) < —А,
а с ним и предел limi„, равный
т = lim хп = —lim (— ж„) > А.
Пример!. Переменная qn (re = 1, 2, ...), где 0 < q < 1, удовлетво-
ряет условию g” + l < qn, т. е. она монотонно убывает, кроме того, она ог-
раничена снизу, потому что 0< qH для любого ге. Поэтому согласно тео-
реме 1 существует предел lim qn = А.
» оо
Очевидно, что gn + ' должна иметь тот же предел А, но
lim gn + 1 — q lim qn = qA и A = дЛ.
'Гак как g 1, то это может быть лишь если А = 0. Итан,
lim qn — 0 (0 < q < 1).
П-*-оо
Отсюда следует, что для « > 1
1
lim ап = lim —;—- ~ + оо.
П—» оо	П-* ос (I/O)
76
ГЛ. 3, ПРЕДЕЛ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТИ
Пример 2. Пт — = 0.
В силу равенства |<г"/и!| ==|а|’1/п! достаточно рассмотреть случай
а > 0. Пусть т — натуральное число такое, что т + 1 > а. Тогда (см. при-
мер 1)
§ 3.5.	Число е
Рассмотрим переменную
а (и) = (^1 +	(п=1,2, ...).
Имеем
и, аналогично,
Члены а(п) меньше соответствующих членов а(п+ 1) и, кро-
ме того, а(ге+1) имеет на один (последний) положительный член
больше, чем а(п). Поэтому a(n)<a(n+l) (и = 1, 2,...) и пере-
менная а(н) монотонно возрастает.
Далее,
Это показывает, что переменная а(и) ограничена сверху.
Таким образом, переменная а(п) монотонно возрастает и ог-
раничена сверху. По теореме 1 она имеет предел, который но
превышает 3.
Этот предел — вполне определенное число, которое называют
числом в. Таким образом,
Число в имеет большое значение в математическом анализе.
Мы убедимся в этом скоро. В известном смысле оно является
естественным основанием для логарифмов. Число е называется
еще неперовым числом по имени шотландского математика Д. Не-
§ 3.6. СУЩЕСТВОВАНИЕ ТОЧНЫХ ГРАНЕЙ МНОЖЕСТВА
77
пера (1550—1617). Это — иррациональное число. Ниже приводит-
ся его значение с первыми шестью точными десятичными зна-
ками:
е *= 2,718281...
В § 5.10 показано, как вычислить число е с наперед задан-
ной точностью.
В дальнейшем, когда будет введено понятие предела функции,
мы увидим, что указанный предел существует и равен е, когда
п стремится к бесконечности любого знака, изменяясь непре-
рывно.
§ 3.6.	Леммы о вложенных отрезках, существовании точных
граней множества и сечения во множестве действительных чисел
Лемма 1. Пусть задана последовательность отрезков (мно-
жеств чисел х, для которых ап Ь„)
о„ = [а„,	(п=1, 2,...),
вложенных друг в друга, т. е. таких, что о„+1 с о„ (п = 1, 2,...),
с длинами, стремящимися к нулю:
dn = Ьп — ап-+ 0 (п-►«’).
Тогда существует, и притом единственная, точка (число), од-
новременно принадлежащая всем отрезкам о„.
Доказательство. Очевидно, что a, sS я2 «5 ... при лю-
бом заданном т. Это показывает, что числа ап не убывают и ог-
раничены сверху числом bm при любом т, и согласно теореме 1
§3.-4 существует число с, к которому стремится последователь-
ность ап, при этом а„ s? с Ът. Так как в этих неравенствах п
н т произвольны, то, в частности,
а,, С с С bn (n — i, 2, ...),
следовательно, с е оп, каково бы пи было п.
Найденная точка с — единственная, удовлетворяющая сфор-
мулированному свойству. Ведь если допустить существование
другой такой точки щ, то выполнялись бы неравенства ап < с
< bn, а„ с, < Ьп, откуда b„ — ап > I щ — с| = е > 0 для любого п.
Но это противоречило бы тому, что Ъп — ап -> 0.
Лемма 2. У ограниченного сверху (снизу) числом М (чис-
лом т) множества действительных чисел существует точная
верхняя (нижняя) грань, не превышающая (не меньшая) М(т).
Доказательство. Пусть Е есть произвольное ограничен-
ное сверху числом М множество действительных чисел (точек) и
пусть х„ — какая-либо точка Е.
Зададим отрезок [я, Ml, где а < х0, который обозначим через
о0- Разделим о» на два равных отрезка и обозначим через ot пра-
вый из пих, если ои содержит в себе точки Е, в противном еду-
78
ГЛ. 3. ПРЕДЕЛ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТИ
чае обозначим через о, левый отрезок. Разделим Oj па два рав-
ных отрезка и обозначим через о2 правый из них, если ок содер-
жит точки Е, в противном случае берем в качестве о2 левый от-
резок. Продолжив этот процессе по индукции, получим последо-
вательность вложенных отрезков а0 = сц => о2 =>... таких, что их
длины стремятся к пулю и при любом п отрезок о.„ содержит в
себе точки Е, но правее о„ нет точек Е. Согласно лемме 1 суще-
ствует, и притом единственная, точка с, принадлежащая всем о,;.
Очевидно, что c'SM. Докажем, что
sup Е — с.
Для этого покажем, что выполняются два условия:
1) х с для всех х е Е;
2) для любого е > 0 существует х^ Е такое, что
с — е < Xt < с.	(1)
Если бы утверждение 1) не было верно, то существовала бы
точка у ^= Е такая, что с < у. Так как отрезки о„ содержат в себе
с и длины их стремятся к нулю, то найдется п такое, что точка
у будет правее о„. Но этого не может быть, потому, что по по-
строению правее о„ нет точек Е. Этим доказано условие 1).
Зададим теперь е > 0. Очевидно найдется п такое, что о„ ока-
жется правее точки с — е. При этом в о„ имеется по крайней ме-
ре одна точка, которую обозначим через хч принадлежащая Е.
Для нее выполняются неравенства (1).
Если теперь Е есть ограниченное снизу числом т множество
точек х, то соответствующее множество точек —х ограничено
сверху числом — т, и так как последнее имеет точную верхнюю
грань, которая не превышает —т, то существует
inf х = — sup (—ж) > т.
хеЕ	XSE
Лемма 3. Если множество R всех действительных чисел раз-
бито на два непересекающихся непустых множества,
R^A+B,
так, что всякое а^А меньше всякого Ь<^В, то либо существует
число с, наибольшее в А, и тогда в В нет наименьшего числа,
либо существует число с, наименьшее в В, и тогда в А нет наи-
большего числа.
Доказательство. Пусть множество R всех действитель-
ных чисел разбито на два класса Л и В, как это сказано в фор-
мулировке леммы. Пусть b — число, принадлежащее В. Тогда
а<Ь для всех а^А, и в силу леммы 2 существует точная верх-
няя грань
sup а = с =£ Ъ.	(2)
О,—А
Число с по условию принадлежит одному из классов А или В.
§ 3.7. ПОДПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТИ. ВЕРХНИЙ И НИЖНИЙ ПРЕДЕЛЫ 79
Если с^Л, то очевидно, что с есть наибольшее число в клас-
се А. Допустим, что наряду с этим в В есть наименьшее число,
которое обозначим через 60. Тогда среднее арифметическое
(с + Ь0)Г1 = d<ba,
и потому d^A (ведь — наименьшее число в классе В). С дру-
гой стороны, с < d и вследствие (2) d не может принадлежать Л,
и мы пришли к противоречию.
Если теперь допустить, что с^В, то аналогичными рассужде-
ниями легко устанавливается, что с есть наименьшее число в
классе В, и тогда в А нет наибольшего числа. Этим лемма 3 до-
казана.
Замечание. В нашем распоряжении имеется четыре внеш-
не отличных, но по существу весьма близких утверждения:
1)	Лемма 1 —о вложенных отрезках.
2)	Лемма 2 — о существовании точной верхней грани у ог-
раниченного множества.
3)	Лемма 3 — о сечении во множестве действительных чисел.
4)	Теорема 1, § 3.4 — о существовании предела монотонной
ограниченной последовательности.
В нашем изложении утверждение 4) представляет собой одно
из основных свойств действительных чисел — свойство V. С по-
мощью этого свойства (и свойств I — IV) мы доказали утвержде-
ния 1), 2), 3).
На самом деле утверждения 1), 2), 3), 4) (при наличии I — IV)
эквивалентны. Любое из них влечет за собой, как нетрудно про-
верить, верность остальных.
§ 3.7. Подпоследовательности. Верхний и нижний пределы
Пусть задана произвольная последовательность действитель-
ных чисел {хп} — {х„	х3, ...}. Из нее можно выделить бес-
конечным числом способов новую последовательность
= {Х„р Хп2, Хп3, . . . ],
где индекс пк пробегает возрастающую последовательность (бес-
конечную!) натуральных чисел п1<п2<п3<... Последователь-
ность [Tn/ij называется подпоследовательностью последователь^
пости {хп}.
Нас здесь будут интересовать только подпоследовательности,
которые сходятся либо к конечному числу, либо к +<», либо
к —<»w(t. е. имеют предел конечный, +<х> или —<»). Их мы
будем называть сходящимися, а их пределы — числами {конеч-
ными или бесконечными), распространяя, таким образом, назва-
ние «число» и на символы —и +°°. Мы считаем, что — <» <
<а < +°°, где а — любое действительное (конечное) число. В си-
лу этого соглашения +°° есть наибольшее число, а — <х> наименъ-
80
ГЛ. 3. ПРЕДЕЛ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТИ
шее. Для расширенного таким образом множества чисел, оче-
видно, выполняются аксиомы числа группы I (см. § 2.4).
Предупредим читателя, что в наших рассуждениях весьма
существенно, что элементы хп (не числа г„!) последовательности
{.»,.} считаются различными, если они соответствуют различным
индексам п. Надо различать числа (точки), которые пробегаются
последовательностью, от ее элементов.
Например, последовательность
1, 2, 3, 1, 2, 3, 1, ...	(1)
(как и всякая последовательность) состоит из бесконечного числа
элементов ад, хг, х3, ..но опа пробегает весьма бедное множе-
ство чисел {1, 2, 3), состоящее только из трех чисел (точек),
Легко видеть, что если последовательность сходится, то любая
ее подпоследовательность тоже сходится и притом к тому же
числу (конечному, +<», —оо). По из того, что последовательность
{хп} имеет сходящуюся подпоследовательность не следует, что
сама она сходится.
Но справедлива теорема, имеющая большое применение. Ее
часто называют теоремой Вейерштрасса:
Теорема 1. Из всякой ограниченной последовательности
{хп} можно выделить подпоследовательность	сходящуюся
к некоторому числу (конечному).
Доказательство. Пусть значения х„ нашей пЪследова-
тельпости принадлежат отрезку До = [с, с/J. Разделим его па две
половинки и обозначим через Д( самую правую из них, содер-
жащую в себе бесконечное число элементов хп.
Это надо понимать в том смысле, что если обе указанные
половинки содержат в себе бесконечное число элементов, то Д,
есть правая из них, а если только одна из них содержит бес-
конечное число элементов хп, то именно она и обозначается
через Др
Пусть хП1 — один из элементов отрезка Д,. Обозначим далее
’срез Д2 самую правую половину отрезка Д„ содержащую в себе
бесконечное число элементов хп. Очевидно, что среди последних
найдется элемент rc,i2 с н2>н1. Вообще, если отрезки Д, Д:>
. .=> Дк-1 и принадлежащие соответственно им элементы
х,,^ . • •, xnh_x уже определены, то обозначим через Дь самую
правую половину отрезка Дл-1, содержащую в себе бесконечное
множество элементов хп. Очевидно, что среди последних пан-
де гея элемент хП)г с > Пл-п Обозначим через а точку, принад-
лежащую всем Д* (4-1, 2, ...). Очевидно, определенная нами
подпоследовательность стремится к а.
Теорема доказана.
Теорема 2. Из любой последовательности действительных
чисел (ограниченной или неограниченной) можно выделить под-
§ 3.7. ПОДПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТИ. ВЕРХНИЙ И НИЖНИЙ ПРЕДЕЛЫ 81
последовательность, сходящуюся к конечному числу, 4*«>
или —оо.
В самом деле, это утверждение для ограниченной последова-
тельности уже доказано в теореме 1 и тогда соответствующая
подпоследовательность сходится к конечному числу. Если же
последовательность {хп} не ограничена сверху (снизу), то для
любого натурального к найдется очевидно натуральное nh такое,
что к < x„k (xnh <Z — к) и подпоследовательность стремится
к 4-00 ( —оо).
Докажем часто употребляемую в анализе теорему.
Теорема 3. Если последовательность {хп) такова, что ее
любая подпоследовательность содержит в свою очередь подпо-
следовательность, сходящуюся к одному и тому же числу Л
(конечному, 4-оо или — оо), то существует предел Пта:п = Л.
В самом деле, если бы последовательность (х„) не стреми-
лась к Л, то существовала бы окрестность А, вне которой име-
лось бы бесконечное число элементов хп. Перенумеровав эти
элементы в порядке возрастания п, получаем некоторую под-
последовательность {3”nfe}. Из последней на основании предыду-
щей теоремы можно выделить ее подпоследовательность ,
стремящуюся к некоторому числу В (конечному, 4-<» или —~),
очевидно, заведомо не равному А. Мы получили противоречие’
потому что последовательность {.Гпй,} является подпоследова-
тельностью исходной последовательности {хп) и по условию стре-
мится к А.
3.7.1 *). Введем теперь определение: число а (конечное, 4-°°
или —оо) называется верхним (нижним) пределом последователь-
ности действительных чисел {хп} (или переменной хп), если су-
ществует подпоследовательность хПк, сходящаяся к нему, и при
этом всякая другая сходящаяся подпоследовательность после-
довательности {хп} сходится к числу не большему (не меньше-
му) чем а.
Например, последовательность (1), очевидно, имеет верхний
предел, равный 3, и нижний предел, равный 1, а последователь-
ность 1, —2, 3, —4,.., имеет верхний предел 4-°° и нижний,
равный — оо.
Верхний и нижний пределы последовательности обозначаются
соответственно через limj?n, linu„ или еще так: lim sup хп,
lim inf хп (см. в конце параграфа упражнение).
Последовательность хп может иметь только один верхний
(нижний) предел, потому что если допустить, что а, и а2 — два
*) Пункт 3.7.1 посвящен верхним и нижним пределам, которые в этой
книге используются только в теории рядов (§ 11.3, теоремы 2, 3, § 11.11,
теоремы 1—3).
82
ГЛ. 3. ПРЕДЕЛ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТИ
такие предела и а, < а2, то существовала бы подпоследователь-
ность сходящаяся к а2, что противоречит тому факту, что
а, есть верхний предел.
Отметим, что метод вложенных друг в друга отрезков, кото-
рый мы применили при доказательстве теоремы 1, привел пас
к подпоследовательности [хп>1 j, сходящейся к числу а, которое
равно верхнему пределу последовательности {хп}:
а = lim х„.
В самом деле, пусть а' > а. Подберем п настолько большим,
что а оказывается правее Д„. Но правее Д„ может быть только
конечное число элементов хп и, следовательно, не существует
подпоследовательности {хп}, которая бы сходилась к числу а.
Таким образом, указанный процесс доказывает существова-
ние верхнего предела у ограниченной последовательности.
Если бы мы наш процесс видоизменили, обозначая через Д„
для каждого п не самую правую, а самую левую половину Д„_,,
содержащую бесконечное число элементов х„, то в результате
получили бы число а (точку), равное нижнему пределу после-
довательности {х„}.
Покажем, что верхний (нижний) предел ограниченной после-
довательности {х„} обладает следующим свойством: для любого
е>0 интервал (а—е, а + е) содержит в себе бесконечное число
элементов хп. при этом справа (.слева) от этого интервала име-
ется не более, чем конечное число элементов хп.
В самом деле, можно указать такое п, что Апс(а — е, а+е),
но в Д„, имеется бесконечное число элементов х„ — тем более
в (а—е, а + е); правее (левее) же Д„ имеется не более чем ко-
нечное число элементов х„ — тем более правее (левее) интерва-
ла (а — е, а + е).
Для ограниченной последовательности {хп} действительных
чисел это свойство верхнего (нижнего) предела может служить
другим эквивалентным его определением.
Действительно, в случае, например, верхнего предела, если
число а обладает этим свойством и а' > а, то взяв е так, чтобы
было а<а+г<а', получим, что правее й+е имеется не более
чем конечное число элементов хп и, следовательно, не может
существовать подпоследовательность последовательности {х„},
сходящаяся к а'. Но подпоследовательность, сходящаяся к а,
существует; чтобы получить ее, фиксируем е>0 и подбираем н,
так, чтобы (й— е, а +-е). Затем подбираем пг > пх так, что-
I 8	, е\
бы х„г е.
что возможно, так как интервал
а—у, а +- yj содержит бесконечное число элементов хп. Затем
§ 3.7. ПОДПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТИ. ВЕРХНИЙ И НИЖНИЙ ПРЕДЕЛЫ 83
подбираем п3 > пг так, чтобы х„3 е -----а -gj и т. д. Оче-
видно, x^h а (к -+ сю).
Если последовательность ire ограничена сверху, то, очевидно,
можно выделить из нее подпоследовательность, сходящуюся к
+ °о, и так как + °° больше любого числа, то
lim х„ = + °°.
Если последовательность ограничена сверху конечным чис-
лом, которое обозначим через Ь, по не ограничена снизу, то воз-
можны два случая:
1-й случай. Найдется такое конечное число а < &, что не-
равенства а хн С b удовлетворяются для бесконечного числа
индексов п. Таким образом, из этих индексов, если их располо-
жить в возрастающем порядке, образуется бесконечная подпо-
следовательность натуральных чисел {«J = {«, < пг < .. .1. По-
следней соответствует подпоследовательность {-Сп,,} пашей после-
довательности, очевидно, ограниченная. Существование ее верх-
него предела уже доказано. Легко видеть, что
lim хп = lim х,„,
п , 'ЧС
ft—> ос
и мы доказали существование lim х„ и в этом случае.
2-й случай. Для любого а -£ b неравенство а^хп^Ь или,
что в данном случае все равно, неравенство а х„, выполняется
для конечного числа индексов п. Ото значит, очевидно, что
lim х„ = —оо.
Но тогда и верхний предел lim	= — оо (так же как нижний!),
т. е. он и в этом последнем случае существует.
Объединяя эти результаты с установленными выше резуль-
татами для ограниченной последовательности, получим:
Теорема 4. Любая последовательность действительных чи-
сел {г„1 имеет верхний (нижний) предел (равный конечному
числу, + °о или — оо).
Если последовательность ограничена, то ее верхний и нижний
пределы конечны.
Теорема 5. Всегда lim хп lim хп, и равенство в этом со-
отношении имеет место тогда и только тогда, когда существует
предел х„ (конечный, +оо или —оо), и тогда
lim хп — lim хп = lim хп.	(2)
В самом деле, если существует предел го все подпосле-
довательности {хп} сходятся к нему, и поэтому имеет место (2),
84
ГЛ. 3. ПРЕДЕЛ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТИ
Наоборот, пусть
lim х„ = lim хп = А.	(3)
Если А — конечное число, то из (3) следует, что для любого
е > 0 неравенства
А — е, < хп< А + е,
соблюдаются для всех индексов п, за исключением конечного их
числа, а это значит, что хп А. Если теперь А — +<», то нера-
венству хп *5 М может при любом конечном М удовлетвори i ь
только конечное число элементов хп, но тогда lim хп — +°°. Ана-
логично рассматривается случай А = — о°.
Отметим очевидное равенство
lim хп -= — lim (— хп).	(4)
Справедливы неравенства (правые части конечны)
lim (xn + уп) -С lim хп + lim уп,	(5)
lim (хп + уп) > lim хп + lim уп,	(6)
где переменные х„ и уп ограничены. Неравенство (5) доказыва-
ется так: найдется сходящаяся подпоследовательность
такая, что
lim (а?п + р„) = lim	(7)
можно далее из {«*} выбрать подпоследовательность {пд} такую,
что существует предел lim хп>. Далее, из подпоследовательности
fl
можно выбрать в свою очередь ее подпоследовательность
(/г") такую, что lim уп" существует, но тогда, очевидно, и lim хп«
k	k
будет существовать. Поэтому
lim (xnk + p„ft) = lim	-
= limxn" + lim < b'm arn + lim yn. (8)
ft	k
Из (7) и (8) следует (5).
В силу (4) и (5)
lim (xn + уп) = —lim ( — хя + (—у„)) >
> —(lim (—х„) + lim (—#„)) = lim хп + lim уп,
т. е. справедливо (6).
Теорема 6. Пусть А — конечное положительное число и
существует предел limzn = A и {у„} — любая последовательность.
§ 3.7. ПОДПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТИ. ВЕРХНИЙ И НИЖНИЙ ПРЕДЕЛЫ 85
Тогда
lim {хпуп} -= A lim у„.	(9)
В частности,
Jim = Л lim z/„.	(10)
Здесь считается А  (+<») = +<х> и А • (—°°) = —
Доказательство. Будем считать, что есть произ-
вольная сходящаяся (к конечному числу, +°° или —оо) подпо-
следовательность последовательности {уп}- Тогда {xnkyn^ авто-
матически будет произвольной сходящейся подпоследователь-
ностью последовательности {хпуп}. Поэтому
4 lim ynh = lim < lim (хпуп),
следовательно,
A lim уп < lim (хпуп).	(11)
С другой стороны,
lim {xnhyni^ = A lim ynk < A lim уп,
следовательно,
lim (хпуп) < A lim уп.	(12)
Из (11) и (12) следует (9).
II р и м.е р. Последовательность
77 = {sin па} (я = 0, 1, 2, ...)
в случае, если а = Хл, где X = p/q рационально (/>. q > 0), носит периоди-
ческий характер:
sin a, sin 2а, ..., sin2?a, sin a, sin 2а, ,,,	(13)
Пределы различных сходящихся ее подпоследовательностей могут быть
равны только одному из первых 2q чисел (13). Наибольшее из них, очевид-
но, есть lim sin na, а наименьшее есть lim sin па.
Пусть теперь X > 0 иррационально. Будем отмечать числа па на еди-
ничной окружности 7, как это принято в тригонометрии. Тогда, каковы бы
ни были различные натуральные числа щ и п2, точки nta и п2а геометри-
чески различны, так как в противном случае имело бы место равенство
гг.а = nta + 2А'л, a = Хп,
где к— целое, т. е. (л2—щ)Х = 2к п X было бы рациональным. Следова-
тельно, точки па (п = 0, 1, 2, ...) образуют бесконечное множество, кото-
рое мы обозначим через ВД. Но тогда для любого в > 0 найдется пара то-
чек п,а, n2a, геометрически отстоящих друг от друга (вдоль у) на расстоя-
нии меньшем, чем в. Это значит, что
(п2 — щ)а = 2кл -J- (О = р (ni < п2),
где | (ч | < е, а к — целое.
Точки 0, ,3, 2(1, 3(1, ... принадлежат, очевидно, !Ш. Кроме того, любые
рядом стоящие точки этой последовательности находятся на равном рас-
86
ГЛ. 3. ПРЕДЕЛ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТИ
стоянии, меньшем, чем 8. Отсюда следует, что какова бы ни была точка
iey. на 1 существует на расстоянии (вдоль у) меньшем, чем е, точка мно-
жества ВД. Это показывает, что любая точка t <= у есть предельная точка
множества
Из сказанного следует, что каково бы ни было t, всегда можно подоб-
рать подпоследовательность натуральных чисел ю < п2 < га3 < .., такую,
что
lim sin nha = sin t.
k-'x
Ho sin t пробегает все значения отрезка [—1, +1]; отсюда следует, что
lim sin па = — 1, lim sin па = 1.
Упражнение. Доказать, что для любой переменной
lim хп = lim sup lim xn = lim inf xh.
n-»ook>n	П->орк>П
Указание. Для неограниченной сверху (снизу) переменной «up =
k>n
= -|- оо (inf -= — оо), и тогда надо считать, что lim (-|- оо) -|- оо
/?>Я	П->оо
(lim (— оо) = —- оо).
П-* ОО
§ 3.8, Критерий Коши*) существования предела
Пусть переменная х„ (и = 1, 2, ...) стремится к конечному
пределу а. Тогда для произвольного положительного числа е
найдется такое что
|х„ — а|<е/2	(«XV).
Пусть п и т будут любыми натуральными числами, большими,
чем N-. Тогда
1хп — «| < е/2 и |х,„ — al < и/2	(n,m>N).
Отсюда
I хп — хт I = I хп — а + а — хт |< | хп — а | + | а—хт |<	= е,
и мы получим утверждение:
Если переменная х„ (n = 1, 2, ...) имеет конечный предел,
то она удовлетворяет следующему условию, называемому усло-
вием Коши-, для любого е>0 найдется такое N, что для всех
п, m> N выполняется неравенство
Верно и обратное утверждение:
*) О. Л. Коши (1789—1857) — французский математик. В его трудах
впервые определены основные понятия математического анализа (предел,
непрерывность, интеграл, ...) так, как это принято в современной матема-
тике.
§ 3.8. КРИТЕРЕРИЙ КОШИ СУЩЕСТВОВАНИЯ ПРЕДЕЛА
87
Если переменная хп (п=1, 2, ...) удовлетворяет условию
Коши, то она стремится к конечному пределу, т, е. существует
число а такое, что
lim хп — а.
Докажем это утверждение. Пусть задана переменная хп
(п=1, 2, ...), удовлетворяющая условию Коши. Положим е = 1
и подберем N такое, чтобы
|х„ — xj <1	(и, m > JV).
Зафиксируем какое-либо m > N. Из написанного неравенства
следует
1 >	— xm| > |х„| — kJ,
или
kj<l+kj (п> N),
и переменная хп ограничена.
Но из ограниченной последовательности {хп} можно выде-
лить подпоследовательность	сходящуюся к некоторому
числу:
lim.-r,,. = «.	(1)
h. х
Покажем, что тогда последовательность kJ имеет предел, равный
lim хп = а.
П->Х
В самом деле, зададим е > 0 и подберем N такое, чтобы вы-
полнялись неравенства
|х„ — хJ < е/2	(м, m > N).	(2)
Подберем также к0 настолько большое, чтобы одновременно вы-
полнялись неравенства
Xnh — а
< е/2,
щ > N для всех к > к0.
(Л -* °°), и в сил5' (1).
к > к„ положить m = nh
Это ВОЗМОЖНО В силу ТОГО, ЧТО п„ -> оо
Но тогда в неравенстве (2) можно при
и будем иметь
| хп — « К | хп — xnfi | + | хПк — а | <у + у = е (п> N).
Это доказывает, что последовательность {з:„} имеет предел,
равный а.
Если соединить вместе доказанные прямое и обратное ут-
верждения, то получим следующую теорему, о которой говорят,
что она дает критерий Коши существования (конечного) предела.
88
ГЛ. 3. ПРЕДЕЛ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТИ
Теорема. Для того чтобы переменная хп (и = 1, 2, ...)
стремилась к (конечному) пределу, необходимо и достаточно,
чтобы она удовлетворяла условию Коши.
Отметим, что условие Коши можно сформулировать и в сле-
дующей форме: для всякого е > 0 найдется такое N > 0, что
+ Хп | < 8
для всех п> N и любых натуральных р.
§ 3.9. Теорема Вейерштрасса *)
Пусть Е есть множество чисел (точек действительной при-
мой). По определению, точка а называется предельной точкой Е,
если любая ее окрестность, т. е. интервал (с, d), где с < а < d,
содержит в себе хотя бы одну точку х, принадлежащую Е и от-
личную от а.
На самом деле любая окрестность, (с, d) предельной точки а
содержит в себе бесконечное число точек множества Е и из них
можно выделить бесконечную последовательность' различных
точек х,, х2, х3,. . . (хп¥= xh, п^ к), сходящуюся к а. Действи-
тельно, по определению, на (с, d) имеется точка xt е Е, xt а.
Но можно указать интервал (с„ dt) длины — с, < 1, содержа-
щий а, но не содержащий На нем, по определению а, должна
найтись точка х2 е Е, х2¥= а. Но снова можно указать интервал
(с2, d2) длины d2 — с2 < 1/2, содержащий а, но не содержащий х,
и х2, и на нем найти точку х3 ’= Е, х3=£ а и т. д. В результате
мы получим нужную последовательность.
Итак, можно дать второе (эквивалентное) определение про-
дельной точки: точка а есть предельная точка множества Е,
если любая ее окрестность содержит бесконечное множество
точек Е.
Множество Е' всех предельных точек множества Е называ-
ется производным множеством от Е.
Пример 1. Множество Е точек последовательности {1/п} имеет пре-
дельную точку 0.
Действительно, любая окрестность точки 0‘ содержит в себе бесконеч-
ное множество точек нашей последовательности. С другой стороны, если
а 0, то интервал (а — в, а 4- в), где 0 < е < |а|, содержит конечное чис-
ло точек множества Е или вовсе не содержит их. Таким образом, един-
ственная предельная точка множества Е есть 0.
Таким образом, в данном примере производное множество Е' состоит
из одной точки 0. При этом она не принадлежит Е. Множество Z?b состоя-
щее из 0 и точек вида 1/n (п = 1, 2, ...), очевидно, также имеет 0 своей
предельной точкой. Она принадлежит В,. Таким образом, предельная точка
множества Е может принадлежать и не принадлежать Е.
Пример 2. Множество R всех рациональных чисел имеет в качестве
своих предельных точек любую точку действительной оси — рациональную
и иррациональную, потому что в любом интервале имеются точки R. Сово-
*) К. Вейерштрасс (1815—1897) — немецкий математик.
§ 3.10. СЧЕТНОЕ МНОЖЕСТВО
89
кучность предельных точек множества, иррациональных точек х, удовлет-
воряющих неравенствам 0 х 1, есть, очевидно, отрезок [0,1].
Множество Л, состоящее из конечного числа точек, очевидно,
пе может иметь предельную точку, т. е. в данном случае А' —
пустое множество. Бесконечное неограниченное множество также
может не иметь предельной точки, как показывает пример мно-
жества натуральных чисел 1, 2, 3... Однако, имеет место
Теорема Вейерштрасса. Бесконечное ограниченное
множество Е точек имеет по крайней мере одну предельную
точку, т. е. Е' — не пустое множество.
Эта теорема доказана в § 7.9 (теорема 2) в n-мерном случае.
Но и сейчас читатель при желании может ее прочитать, имея
в виду пока одномерный случай.
§ 3.10. Счетное множество.
Счетность множества рациональных чисел.
Несчетность множества действительных чисел
Множество Е элементов х любой природы называется бес-
конечным, если, каково бы ни было натуральное число п, в нем
имеется больше, чем п элементов.
Е называется счетным, если оно бесконечно и его элементы
можно перенумеровать. Это значит, что между (всеми) элемен-
тами х е Е и числами натурального ряда
{1,2,3,...}	(1)
можно установить взаимно однозначное -соответствие. Если при
этом элементу х е Е соответствует натуральное число п, то есте-
ственно обозначить его через хп. В результате множество Е мож-
но записать в виде последовательности элементов:
Е = {х„ хг, х3, ...}.	(2)
В частности, множество (1) натуральных чисел тривиальным
образом счетно. Очевидно также, что множество четных нату-
ральных чисел счетно, потому что оно бесконечно и его элемен-
ты х можно занумеровать, положив хп = 2п (п=1, 2, ...).
Пусть Е есть счетное множество, перенумерованное в виде
последовательности (2), и А — непустая его часть. Тогда в А
имеется элемент с наименьшим номером. В самом деле, в (2)
имеется элемент хп е А с некоторым номером nt. Элементов
х„ s А с номерами п < и, имеется только конечное число; среди
них можно выбрать элемент хп, с наименьшим номером — это
и будет, очевидно, элемент А, имеющий самый малый номер в А.
Если Е — счетное множество и А — его бесконечная часть,
то А — счетное множество; которое можно занумеровать следу-
ющим образом: обозначим через z, элемент А с наименьшим
номером в Е; выкидываем из А этот элемент и в оставшемся
90
ГЛ. 3. ПРЕДЕЛ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТИ
бесконечном множестве выбираем элемент с наименьшим но-
мером в Е, который обозначаем через z2; выкидываем z2 из
А, и т. д.
Счетная {теоретико-множественная) сумма
Е = U Eh = Е1 + Е2 + ...
/,=1
счетных множеств Eh есть счетное множество. В самом деле,
запишем элементы х\ е Eh (j = 1, 2, ...) в виде таблицы:
ЕА = {лд, х%, Хд, .. .},
Z72	12	2	2	1
Е1 —- [2г, 2‘2, 23,
Е3 = {x'j, х'2, х'д, ...},
Перенумеруем их в следующем порядке:
уЛ	1	2	3	1
«Лг 1 , ъЕ 2 5	, tAz 3 , <А' 2 , *Az £ ,	,	• • • ,
выбрасывая, однако, на каждом этапе нумерации те элементы,
которые уже были занумерованы на предыдущем этапе: ведь
может случиться, что Е” и Е‘ имеют общие элементы. В резуль-
тате получим бесконечную последовательность элементов {yt, у2,
у3, ...}, очевидно, исчерпывающую множество Е. Это доказывает,
что Е — счетное множество.
Аналогично доказывается, что конечная сумма Е = Е'+ ...
...+ EN счетных или конечных множеств, среди которых есть
хотя бы одно счетное, счетна.
Докажем, что множество положительных {отрицательных)
рациональных чисел, а следовательно, множество всех рацио-
нальных чисел, счетно.
Чисел p/q (р>0, q > 0 — целые) с р + q = 1 нет, среди же
чисел p/q с р + q = 2 имеется одно: 1 = 1/1; обозначим его через
у{. Среди не занумерованных еще чисел p/q с р + q = 3 имеется
два: 1/2 и 2 = 2/1; обозначим их соответственно через уг и у3;
этот процесс продолжаем по индукции. В результате все поло-
жительные рациональные числа будут, очевидно, перену-
мерованы.
С другой стороны, множество всех действительных чисел не
счетно {несчетно).
Докажем, что уже единичный интервал (0, 1) есть несчетное
множество, откуда и будет следовать высказанное утверждение,
потому что мы знаем, что часть счетного множества может быть
только конечной или счетной. Точки х (числа) интервала (0, 1)
будем записывать в виде бесконечных десятичных дробей. До-
пустим, что интервал (0, 1) есть счетное множество, тогда все
§ 3.10. СЧЕТНОЕ МНОЖЕСТВО
91
его точки можно было бы перенумеровать
х1 = 0,	,
х1 = 0, а^а^аз . . .,
х3 = 0,	,
(3)
Однако это заключение, как мы сейчас увидим, противоречиво.
Для каждого натурального п определим цифру а„ так, чтобы
выполнялись неравенства 0 < ап < 9, ап =^= а„, что, очевидно, воз-
можно. Сконструируем число а = 0, • aia2a3... Оно принадлежит
интервалу (0, 1) и должно, таким образом, значиться под не-
которым номером п0 в таблице (3): а = х °. Но тогда должно бы-
п о
ло бы быть a,i0 = <%п0, что невозможно.
Упражнения.
1. Доказать, что множество точек плоскости с рациональными коорди-
натами (х, у) счетно.
2. То же доказать для множества точек (яд, ..., хп) n-мерного прост-
ранства с рациональными координатами Х).
Глава 4
ПРЕДЕЛ ФУНКЦИИ
§ 4.1.	Понятие предела функции
Число А называется пределом функции f в точке а, если
функция / определена на некоторой окрестности а, т. е. на не-
котором интервале (с, d), где c<a<d, за исключением, быть
может, самой точки аь и если для всякого е > 0 можно указать
зависящее от него 6 > 0 такое, что для всех х, для которых 0 <
< \х — а\ < 6, имеет место
1/Сг) — А | < е.
Тот факт, что А есть предел / в точке а, принято записывать
следующим образом:
lim /(х) = А или /(х) А (х->-а),
х-> а
Другое определение предела функции в точке может быть
высказано в терминах пределов последовательностей.
Число А называется пределом функции f в точке а, если она
определена на некоторой окрестности точки а, за исключением,
быть может, самой точки а и если предел последовательности
{/(х„)} существует и равен А, какова бы ни была последователь-
ность {хп}, сходящаяся кай такая, что хп ¥= а для всех п. Та-
ким образом,
lim / (хп) = А.
хп->а
Здесь считается, как и в других подобных случаях, само собой
разумеющимся, что сходящаяся к а переменная хп пробегает зна-
чения, для которых /(х) определена.
Высказанные определения эквивалентны. В самом деле, пусть
функция / имеет предел в смысле первого определения и пусть
задана переменная х„, не равная ни при каком п числу а и
стремящаяся к а. Зададим е и подберем 6 так, как это сказано
в первом определении. Затем подберем натуральное N так, чтобы
ix„ — а\ < 6 для п > /V. Но тогда
|/(х„) — А | < е для п > N,
< это значит, что последовательность чисел {/(х„)1 стремится к А,
и так как это свойство .верно для любой сходящейся к а после-
g 4.1. ПОНЯТИЕ ПРЕДЕЛА ФУНКЦИИ
93
довательпости {хп}, лишь бы х„^=а и все хп принадлежали к
области определения функции, то доказано, что из первого опре-
деления предела следует второе.
Обратно, пусть функция /(х) имеет предел в смысле второго
определения. Допустим, что при этом она не имеет предела в
смысле первого определения. Это значит, что существует хотя бы
одно е, которое мы обозначим через е0, для которого нельзя
подобрать нужное б, т. е. для любого б среди х, удовлетворяю-
щих соотношениям 0< \х — а\ < б, должен найтись хотя бы один
такой, что для него |/(х(б)) — АI > е0.
В качестве б мы берем все числа вида б—1/Zc (Zc — 1, 2, ,.
и для каждого из них найдем точку xk = xw, для которой
1
О | X/j U | {Xh &)
\f(xh) — АI > е0 (fc = 1, 2, ...).
Из этих соотношений видно, что хк-*-а (хк*£а), в то время
как /(х„) заведомо не стремится к числу А. Таким образом, до-
пущение, что из второго определения предела не следует первое,
приводит к противоречию.
Эквивалентность двух определений доказана.
Выражение предел функции в точке а часто заменяют выра-
жением предел функции при х, стремящемся к а, или, короче,
предел функции при ха. Если угодно, это выражение больше
соответствует духу понятия предела потому, что число А —
--= lim f(.x) ничего не говорит о значении / в самой точке х «= а.
х->а
Функция может не быть определенной в х = а. Число А говорит
о поведении функции в малой окрестности точки а, из которой
выбрасывается точка а. Оно говорит о том, что если х прибли-
жается к а по любому закону, оставаясь не равным а, то соот-
ветствующее значение /(х) в свою очередь приближается к А,
т. е. делается как угодно близким к А.
Пример 1. Рассмотрим функцию /(z) = (т2 — 4)/(ж — 2). Опа опре-
делена для всех Попробуем найти ее предел при х -> 2. Для любого
х2 — 4
аг=/=2	= х 2, а так как при определении предела при х -> 2
совсем не принимаются во внимание значения / в точке х = 2, то
X — 4
lim—=	+ 2).
х~>ч л “	х->2
Это равенство пока написано в том смысле, что если один из пределов су-
ществует, то существует и второй и равен ему. Таким образом, вместо того
чтобы вычислять предел более сложной функции (х2— 4) / (л:— 2), доста-
точно вычислитьщредел более простой функции х + 2. Этот последний при
х ->-2, очевидно, равен 4. Ведь если подставить в х + 2 вместо х произволь-
ную переменную х„, стремящуюся к 2, то независимо от способа стремле-
94
ГЛ. 4. ПРЕДЕЛ ФУНКЦИИ
ния ее к 2
lim («„4-2) = 2 4-2 = 4.
Вычисления, связанные с нахождением данного предела, обычно рас-
полагают следующим образом:
з2-4
lim ——ту -- lim (•< "Ь 2) = lim «4-2 — 4.
Х-.2 х	х-»2	х->2
Подчеркнем, что функции /(«) = (г2 —4)/(т— 2) и <p(r) =z + 2 яв-
лялся разными функциями. Первая из них определена для х =/= 2. в то вре-
мя как вторая определена для всех х. Однако при вычислении предела функ-
ций при .г->2 пас совершенно не интересует, определены или не опреде-
лены эти функции в самой точке х = 2, и так как /(«) = ф(«) для х 2,
то
lim f (х) = lim ср (.г) = ср (2).
Х-*2	Х-.2
Пример 2. Очевидно, что lim .г2 = 1, потому что, если хп -> 1, хп =/= 1,
X->1
то lim х® = lim хп lim х = 1-1 = 1. С другой стороны, этот факт можно до-
казать на языке е и 6.
Определяй какой-либо интервал, содержащий точку 1, например (7г,
3/а). Для любого х, принадлежащего ему, очевидно, выполняются неравен-
ства
, ,	5
I .г2 — 1 | = | х 4- 1 | | х — 1 | -С ~2 I х ~~ 1 I •
о • f1 2 1
Зададим теперь произвольное 8 > 0 и положим 6 = mine -у, -g-e 1. Тогда
для всех х, удовлетворяющих неравенству \х—1| <6, будет иметь
место соотношение
Рис. 4.1.
Пример 3. Функция sin (1/.г) (график ее изображен на рис. 4.1) оп-
ределена для всех значений х 0. Она определена, таким образом, в ок-
рестности точки х — 0, за
исключением самой точки
х = 0. Зта функция не име-
ет предела при х -> 0, пото-
му что последовательность
отличных от нуля значений
2
~л(2А-4- 1)’
k = 0. 1. 2, ...,стремится к
пулю и в то же время
f(x„) = (-1)*
не стремится при к -> оо ни
к какому пределу.
Введем еще следующее определение. Будем писать
Л = lim /(ж)
Х-*оо
и говорить, что число А есть предел функции f(x) при х, стре-
§ 4.1. ПОНЯТИЕ ПРЕДЕЛА ФУНКЦИИ
95
мящемся к бесконечности, если / определена для всех х, удов-
летворяющих неравенству |х| >К при некотором К > 0, и для
любого 8 > 0 можно найти число М > К такое, что |/(х) — A i < е
для всех х, удовлетворяющих неравенству Ы > М.
Можно доказать, что это определение эквивалентно следу-
ющему:
Число А есть предел функции Цх) при х <», если функция
/(х) определена для всех х с |х| > М при некотором М и
lim / (х„) = А
для любой сходящейся к °° последовательности {х„}.
Доказательство эквивалентности этих двух определений про-
водится по той же схеме, что и в разобранном выше случае
предела / в конечной точке а.
Вообще, многие свойства пределов /(х) при х -> а, где а —
конечное число, и при х -+ <» являются аналогичными. Можно
изложить эти свойства единым образом, так что изложение будет
одновременно относиться как к случаю, когда х -> а, где а —
конечное число, так и к случаю х оо. Для этого под буквой а
надо понимать либо число (конечное *)) либо символ °°. Если а
есть число, то под окрестностью точки а понимается любой ин-
тервал (с, cZ), содержащий в себе точку а. Таким образом, окре-
стность (конечной) точки а есть множество всех точек х, удов-
летворяющих неравенствам с < х < d. Если же я = °° (или +°°,
или — о°), то под окрестностью а мы условимся понимать мно-
жество всех х, удовлетворяющих неравенству
|х! > М (или х> М, или х < —М, М>0).
Мы будем писать
lim /(х) = А,
х-?а
где а может быть конечным числом или °° (или +°о, или —°°),
если функция /(х) определена па некоторой окрестности а, за
исключением**), быть может, самой точки а, и если для любого
в > 0 найдется такая окрестность точки а, что для всех х, при-
надлежащих к ней и отличных от а, имеет место неравенство
1/(х) — АI < е.
.Это определение объединяет в себе, очевидно, разобранные
выше случаи предела /: когда х стремится к конечному числу а
и когда х стремится к <», +оо, — <х>.
*) Символы оо. -роо, - оо называют бесконечными числами; в таких
случаях обычные числа называют конечными числами.
**) Дта оговорка нужна только в случае конечной точки (числа) а,
ГЛ. 4. ПРЕДЕЛ ФУНКЦИИ
«О
Приступим к изложению свойств функции /(х), имеющей пре-
делы при х -> а, где а есть число или °°, +°°, — °°. Условимся
произвольную окрестность а называть символом Uta). Легко про-
верить, что пересечение двух окрестностей, Utta) и U2ta), есть
снова некоторая окрестность Uta).
Теорема 1. Если Нт/(х)=Л, где А — конечное число, то
х->а
па некоторой окрестности Uta) функция ftx) ограничена, т. е.
существует положительное число М такое, что
|/(х)| М для всех x<=Uta), х~-Аа.
Доказательство. Из условия теоремы следует существо-
вание окрестности такой, что
1 > |/(х) — АI > |/(х) I — [А | tx Uta), х ¥= а).
Отсюда для указанных х
1/(х)| <1+ |Л|,
где надо считать М = 1 + |Л|. Теорема доказана.
Теорема 2. Если limfix) = А и Л¥=0— конечное число,
х->а
то существует окрестность Uta) такая, что
I f (х) I >-^ (xf=U(a), х^а).
Больше того, для указанных х
д
/ (х) > у, если А > О,;
и
f (х) < у, если Л < 0.
Доказательство. Из условия теоремы следует существо-
вание для е = 1Л |/2 окрестности Uta) такой, что
Ц— > | Л — / (х) | :> | Л | — | / (г) | (х е U (а), х=£а),
откуда |/(х)| > IЛ |/2 для указанных х. Первое из этих нера-
венств можно заменить следующими:
. Ml X/ X 4 , Ml
л — -МТ < / (х) < Л Д- -ЦМ-.
При Л > 0 отсюда следует
_ = Л_ l_L</(x),
а при Л < 0 следует
/,(х) < Л + 1М-= у,
что и требовалось доказать.
§ 4.1. ПОНЯТИЕ ПРЕДЕЛА ФУНКЦИИ
97
Теорема 3. Если
lim(я) = Лр Нга/2(х)=Л2
х-*а	х-*а
и на некоторой окрестности U(a), х^=а
{Ax') < /2(х),
то At sS А2.
Доказательство. Пусть х„ -* а, хп =£ а; тогда для доста-
точно большого По имеет место неравенство
/1UJ «£ /2(х„)	(n>n0)
и после перехода к пределу неравенство At С Аг.
Теорема 4. Если
lira/j (x) = А, Ит/2(х) = Д	(1)
х-*а	х-*а
и на некоторой окрестности U(a), х¥=а
/Дя) s£ ф(х) «£/2(х),	(2)
то
lim q> (х) — А.	(3)
х-»а
Доказательство. Пусть хп а, хп=А а\ тогда при доста-
точно большом По для п > По
fAxJ ss <pU„) < /2(х„),
и в силу (1) существует предел <р(;г„), равный А, а так как
{хп} есть произвольная сходящаяся к а последовательность, то
имеет место (3).
Теорема 5 (Критерий Коши существования
предела). Для того чтобы существовал предел (конечный)
lim/(я), необходимо и достаточно, чтобы функция j(x) была on-
х-* а
ределена в окрестности а, за исключением, быть может, самой
точки а, и для всякого е > 0 существовала такая окрестность
U(a), что каковы бы ни были точки х’, х" е [7(a), х, х" а,
|/(Z) -f(x")\ <е.
Доказательство. Пусть lim/(x)=4, где А — конечное
х-*а
число; тогда существует окрестность а,, где /(х) определена, за
исключением, быть может, самой точки а. Кроме того, для лю-
бого е>0 найдется такая окрестность U(a), что если x&U(a),
х^а, то \f(x) — А | < е/2. Пусть х , х" <s.U(a) и х', х" у4 я;
тогда
! / (х') - f (х") |< I f (х')- A\ + \A-f (О I < |	| = 8,
и мы получили, что условие теоремы необходимо.
98
ГЛ. 4. ПРЕДЕЛ ФУНКЦИИ
Докажем достаточность этого условия. Пусть функция /(а;>
определена в некоторой окрестности а, за исключением, быть
может, самой точки а, и пусть для любого е > 0 можно указать
окрестность Uia) такую, что — fix") I < е. для всех х', х"
е 17(a), х', х" а. Зададим произвольную последовательность
{.rn}, хп¥=а (n = 1, 2, ...), стремящуюся к а. Тогда согласно
критерию Коши для последовательности, стремящейся к преде-
лу, найдется натуральное /V такое, что для и, т > Л’ будет хл,
хт е U(.а). Но тогда
1/(хп) — /(дг„,) | < е (п, т > IV),
и последовательность {fix,,)} удовлетворяет критерию Коши и,
следовательно, имеет предел.
Мн доказали следующее свойство рассматриваемой функции
/: для любой сходящейся к а последовательности чисел хп ¥= а
существует lim/(.г,,). Из этого свойства автоматически следует,
что пределы lim/(x„), соответствующие разным сходящимся к сс
последовательностям, равны между собой. Но тогда существует
lim/(х). В самом деле пусть а, а; хп, хп^= а, п = 1, 2, ...
х->а
Тогда по доказанному, существуют числа А и А' такие, что
jix„)-»-A и f (хп)Л'. Составим новую последовательность:
{аГ], xlt х2, х2, хя,. . .}. Опа сходится к а. По доказанному выше,
должна сходиться к некоторому числу и соответствующая по-
следовательность (/(xj, f (zj, / (z2), f(x2), / (x3) ...).Ho это воз-
можно, только если А = А'. Таким образом, А = А'.
Теорема доказана.
Теорема 6. Пусть
Пт/(2:)=Л, lim tp (ж) — В,
х->а	х~*а
где А и В — конечные числа. Тогда
lim [fix) ± ф(х)1 = А ± В, lim [fix)  <р(л)] = АВ
х—>а
и при условии, что В =# О,
,. н.г) А
lim—— = -г-.
в
Докажем для примера второе равенство. Пусть хп а, х.„ а.
in = 1, 2, ...); тогда
limfixn) = A, lim <р(х„) = В,
но так как предел произведения двух переменных, пробегающих
последовательности, равен произведению их пределов, то
lim 1/(х„)ф(хн)J = lim fixn) lim <р(а?п) — АВ.
9 4.1. ПОНЯТИЕ ПРЕДЕЛА ФУНКЦИИ
99
Это равенство доказано для любой переменной хп -*• а, хп ¥= а,
поэтому lim [/(х)ф(х)! = АВ.
х-+а
По определению, lim /(х) — °°, если функция /(х) определена
х--> а
па некоторой окрестности а, за исключением, быть может, самой
точки а, и если для всякого положительного числа М найдется
такая окрестность С7(а) точки я, что
|/(x)|>Af (х е U(a), х •¥* а).
Если lim /(х) — оо и в некоторой окрестности точки а функ-
х-*а
ция /(х) > 0 (соответственно /(х) < 0), то етце пишут
lim /(х) = +оо
х-*а
(соответственно lim/(x) = — оо).
Легко доказать следующие теоремы:
Теорема 7. Если функция f(x) удовлетворяет на некото-
рой окрестности а неравенству
1/(х)| >М>0,
а для функции ф(х) имеет место
lim ф(х) = 0	(ф(х) ¥= 0 для х ¥= а),
х-*а
ТО
lim—ffi = оо.
Х^а ч* W
Теорема 8. Если |/(х)| <М в некоторой окрестности точ-
ки а и если lim <р (х) = оо, то
х->а
]im/M = о.
х->а Ф W
Следствие. Если ф(х) -> 0 (х -* я, ф(х) =И= 0), то
lim—= оо,
и если ф(х) -» оо (х -> я, ф(х) ¥= 0), то
lira—- -= 0.
Теорема 9. Пусть для функции f, определенной в окрестности точки
а (конечной или бесконечной), выполняется условие; из всякой сходящейся к
о последовательности {/,.} можно выделить подпоследовательность |хп. |,
для которой lim //а- )= .4. Тогда lim / (х) = А.
k-*oo \	х-*а
Доказательств. Пусть хп-+а. Согласно условию любая подпо-
следовательность последовательности	содержит в себе подпоследо-
вательность, сходящуюся к А. Но тогда по теореме 3 § 3.7 f(xn) ->/1.
100
ГЛ. 4. ПРЕДЕЛ ФУНКЦИИ
§ 4.2. Непрерывность функции в точке
По определению, функция / называется непрерывной в точке
(конечной) а, если она определена в некоторой окрестности точ-
ки а (в том числе и в самой точке а) и если
lim/(ж) = f (a).	(1)
х->а
Па основании сказанного в § 4.1 о пределе функции в точке
можно дать следующую развернутую формулировку непрерывно-
сти функции в точке:
Функция / называется непрерывной в точке а, если она опре-
делена на некотором интервале (с, d), содержащем точку а, и
если для любого е > 0 можно найти такое б > 0, что для всех х,
удовлетворяющих неравенству \х — я|<б, выполняется нера-
венство
1/(х) —/(а)1 < е.
В силу сказанного в § 4.1 приведенной формулировке полностью
эквивалентна следующая формулировка:
Функция f непрерывна в точке а, если она определена на
содержащем а, и если для любой
последовательности {хп), сходя-
щейся к а, имеет место
lim f(xn) = / (а).
хп^а
Если функция ](х), заданная
в окрестности точки а, пе явля-
ется непрерывной в точке а, т. е.
если для нее не выполняется выс-
0	x0~t> xD xB+S "х казанное выше свойство, то го-
рис 42	ворят, что она разрывна в точ-
ке а.
Можно дать и прямое определение разрывности / в точке а:
Пусть функция j определена в окрестности точки а и пусть
существует такое положительное число е0 > 0, что для любого
6 > 0 найдется точка х6 такая, что
1а — х61 < ё, if (а) — j(xt>)\ > е0;
тогда f(x) разрывна в точке а.
Рассмотрим непрерывную кривую С — график непрерывной
функции у = /(х), х е 1а, Ь] (рис. 4.2). Термин «непрерывная
кривая» здесь употреблен в житейском (интуитивном) смысле —
ее можно начертить всю, не отрывая карандаша от бумаги.
Зададим произвольное значение х0 е (а, Ь). Ему соответствует
значение /(а:0) нашей функции. Зададим е > 0 и проведем три
прямые параллельно оси х, соответственно на расстояниях /(т0)—е,
§ 4.2. НЕПРЕРЫВНОСТЬ ФУНКЦИИ В ТОЧКЕ
101
-JixA и /(хв) + е от оси х. Легко видеть, что для нашей
(непрерывной) кривой всегда можно подобрать такое б > 0 (за-
висящее от е), что для всех х, принадлежащих интервалу (х0 — б,
х + б), соответствующие ординаты fix) нашей кривой будут удов-
летворять неравенствам
/(ж0) — 8 < /U) < fU0) + 8.
Другими словами, для всякого 8 > 0 можно указать такое
б > 0, что для всех х, удовлетворяющих неравенству ix —	<6,
выполняется неравенство I/(ж) —/(£<>) I < е.
Таким образом, математическое определение непрерывности
функции отвечает интуитивному понятию непрерывной кривой.
Обратимся еще к графику, изображенному на рис. 4.3.
Этот график представляет собой, разрывную кривую L, со-
стоящую из двух непрерывных кусков и Ьг. Кусок взаимно
однозначно проектируется (в направлении оси у) на отрезок
1щ ci. Кусок же L2 предполагается лишенным левой концевой
точки, он взаимно однозначно проектируется на полуинтервал
(с. hi. Каждому значению х е [а, 6] соответствует единственное
значение у = /(я), равное ординате точки кривой L, имеющей
абсциссу х. Кривая L разрывна, она состоит из двух не склеен-
ных друг с другом кусков Li и Ьг. Разрыв имеет место при пере-
ходе аргумента х через значение с. Убедимся в том, что функ-
ция fix) также не является непрерывной в точке с. Очевидно,
что fic) = Ас (рис. 4.3). Возьмем положительное число 80 < АВ.
Внимательное рассмотрение чертежа показывает, что как бы
мн было мало 6 > 0, среди значений х, удовлетворяющих нера-
венству |с —ж|<б, имеются такие, а именно большие чем с,
что для них
\fix) — fic)\ > 8о.
Таким образом, разрывному графику соответствует разрывная
функция. В данном случае функция fix) разрывна в точке в
(ср. с § 1.4).
102
ГЛ. 4. ПРЕДЕЛ ФУНКЦИИ
Величина Ду = А/(х) =/(х +Л) —/(х) называется приращени-
ем функции / в точке х, соответствующим приращению h незави-
симой переменной.
Мы можем понятие непрерывности функции / в точке « вы-
разить еще следующим образом (па языке /г): функция fix),
непрерывна в точке а, если функция fia + h) от h определена
в некоторой окрестности h = 0 и если для всякого 8 > 0 найдется
б>0 такое, что для |/г| < б выполняется
\fia + h) — /(а)| < е.
Иначе говоря, функция / непрерывна в точке а, если ее при-
ращение в этой точке, соответствующее приращению h аргумен-
та, стремится к нулю вместе с h.
Из свойств предела функции (см. § 4.1) и определения не-
прерывности в точке немедленно следует
Теорема 1. Если функции /(х) и ср(х) непрерывны в точ-
ке а, то непрерывны также в точке а и их сумма fix) + <р(х),
разность fix') — ср(х) и произведение f(x)tpix), а также и частное
/(х)/ср(х) при добавочном условии, что ср(а) =/= 0.
Докажем еще теорему о непрерывности функции от функции.
Теорема 2. Если функция ср(х) непрерывна в точке а и
функция fiy) непрерывна в точке b = tpia), то функция от функ-
ции Fix) — fitpix)) непрерывна в точке а.
Доказательство. Зададим е > 0. Вследствие непрерыв-
ности функции f в точке b найдется такое о > 0, что функция
fiy) определена на интервале ib — о, b + о) и выполняется не-
равенство
\fiy) — fib)\< е для \у — Ь\ < о.	(2)
Л вследствие непрерывности функции ср в точке а найдется такое
б > 0, что функция ср(х) определена па интервале (а —б, а + б)
и I ср(х) — ср(а) I < о для
\х — а| < б.	(3)
Из полученных соотношений следует, что для всех х, удов-
летворяющих неравенству (3), функция fitpix)) определена и
имеет место неравенство
l/(q>(x)) —/(ср(а))| < е или |F(x) — F(a)| < е, (4)
что и требовалось доказать.
Чтобы доказать непрерывность F в точке х = а, рассуждают
еще так. Так как функция ср непрерывна в точке а и функция f
непрерывна в точке b = ср(а) и, кроме того, Fia) = fiqia)), то
для любой стремящейся к а последовательности {х„} имеет место
lim F (xn) = lim f (ср (xn)) = / (ср (а)) = F (а).
хп-»а	<Р(»п)^<₽(“)
§ 4.2. НЕПРЕРЫВНОСТЬ ФУНКЦИИ В ТОЧКЕ
103
Если функция Ф(ж) получена из нескольких функций с по-
мощью только арифметических действий и операций функции
от функции, то установление факта непрерывности Ф в данной
точке может быть сведено к последовательному применению пре-
дыдущих двух теорем, если эти теоремы применяются конечное
число раз.
Отметим следующие теоремы, непосредственно вытекающие
из определения непрерывности функций в точке и из теорем
§ 4.1 о пределе функции.
Теорема 3. Если функция f(x) непрерывна в точке а, то
существует окрестность Uia) точки а, на которой f(x) ограни-
чена.
Теорема 4. Если функция j(x) непрерывна в точке а и
/(а) =# 0, то существует окрестность U(a) точки а, на которой
Больше того, если /(а) >0, то
(xe=U(a)),
а если j(a') < 0, то
(xe=U(a)).
Пример 1. Постоянная функция f(x) =С определена и непрерывна
для любого значения х, потому что приращение ее, соответствующее лю-
бому приращению h, равно
\С = С - С = 0,
и следовательно, тривиальным образом ДС->0 (Л->0).
Пример 2. Функция f(x) = хи (ге = 1, 2, ...) определена на всей
действительной оси и непрерывна на ней.
В самом деле, функция у = х очевидно, непрерывна для любого х.
Поэтому этот же факт имеет место для функции х2 — хх, но тогда и для
./3 = хгх. По индукции приходим к непрерывности хп.
Пример 3. Алгебраический многочлен
Р(х) = аохп -|- a1z’1-rl -j- а2хп~2 -)-... -рап
(«о, ..., ап — заданные числа и п — натуральное число) есть, очевидно,
функция, непрерывная для любого х, потому что xn~h (/с = 0, 1, ..., п)
есть, как показано выше, непрерывная на действительной оси функция,
ro.z"-'’ есть непрерывная на оси функция как произведение двух непре-
рывных па оси функций ah и хп~к и, наконец. Р(х), непрерывна на оси как
сумма конечного числа непрерывных на оси функций.
Пример 4. Рациональная функция

уП +	+ ап
/и =
Vm+- + *m ’
ь0^0
(n, m — натуральные числа и а*, Ь>.— заданные числа) есть "непрерывная
функция для всех значений х, для которых Q(x) 0. Это следует из того,
104
ГЛ. 4. ПРЕДЕЛ ФУНКЦИИ
что f(x) получается из непрерывных функций xh и чисел, взятых в конеч-
ном числе, путем производства над ними арифметических действий (сло-
жения, вычитания, умножения и деления).
Пример 5. Функция f(x) = sin х непрерывна для всех значений х.
Это вытекает из следующих рассуждений.
Имеет место неравенство |sin X| <2 |Х|.
Чтобы доказать его при | X |	л/2, помножим
его (обе его части) па 2, и тогда левая' его часть
будет равна длине хорды (рис. 4.4), стягиваю-
щей дугу длины 21X|. Если теперь |Х|	л/2,
то | X | 2s л/2 >1^| sin 2, |. Поэтому
х | sin (z -(- h) — sin x | = J 2 sin — cos ^z -f- — j |
<2 |||.l = |X|.
рис 44	и | sin (z + X) — sin .r | -* 0 при h -> 0, а это зна-
чит, что функция sin х в точке х (любой) не-
прерывна.
Пример 6. Функция cos х непрерывна для всех значений х потому,
что
| cos (х -J- h) — cos х | -; j'2 sin -у sin^z y'l l < 2 I-ту | • 1 — | X |	0, • h 0.
Из полученного неравенства видно, что для всякого е можно найти 6
(в данном' случае 6 — е) такое, что если | h | < б, то |cos(z ф- h) —
— cos х | < в.
Замечание. В этой книге мы исходим из обычного геометрического
определения тригонометрических функций (см. § 1.3, п. 7). Но возможны
другие их определения, носящие чисто аналитический характер (см.
§ 10.11).
Пример 7. Функция | х | непрерывна для всех значений z, потому
что
| | х + h | — | х | | тД | х -|- h — z | = | X | —»- 0,	X —> 0.
Если функция / не является непрерывной в точке х = а и
в то же время существует конечный предел lim /(ж), то говорят,
х—»а
что она имеет устранимый разрыв в этой точке. Этим хотят ска-
зать, что / можно видоизменить в точке а (если она определена
в а) или доопределить ее в этой точке (если она в а пе опреде-
лена), положив /(а) = lim/(д:), и после этого / станет пепрерыв-
х^-а
ной функцией в этой точке.
Пример 8. Функция
(х2 — 1
/(Z)= -7=Т’ z=#1-
I 3, z = l,
очевидно, разрывна в точке х = 1. Но -этот разрыв устраняется, если по-
ложить /(1) = 2.
Если функция / непрерывна для всех х в достаточно малой
окрестности точки а, за исключением х = а, и неограничена в
этой окрестности, то говорят, что / имеет бесконечный разрыв в а.
§ 4.3. ПРЕДЕЛЫ ФУНКЦИИ СПРАВА И СЛЕВА
105
Пример 9. Функция sin (1/z) может служить примером ограничен-
ной функции с неустранимым разрывом вх = 0, а функция tg.-c— приме-
! л
ром функции, имеющей бесконечные разрывы I в точках~хк = -гр -|- кл,
к==0, ±1, ± 2, ...у
Пример 10. Функции cos (sin я2) и (sin г)2 являются непрерывными
на всей действительной оси функциями. Это следует из того, что функции
х\ sin х, cos х непрерывны на действительной оси, и из теоремы о непре-
рывности функции от функции.
§ 4.3.	Пределы функции справа и слева.
Монотонная функция
По определению, левой окрестностью точки (числа) а назы-
вается произвольный полуинтервал (с, я], а правой окрестностью
а называется произвольный полуинтервал [a, d){c<a<d). Ок-
рестностью («точки») +оо естественно считать (.полубесконечный)
интервал (N, +°°), а окрестностью интервал (—<», (V), где
N — в обоих случаях произвольное (конечное) число. Можно еще
говорить, что окрестности -фоо, —°° суть соответственно левая
и правая окрестности («точки») оо.
На основе этих определений вводится понятие правого и ле-
вого предела функции f в точке а (конечной и бесконечной). На-
пример, говорят, что А есть правый предел f в точке а (конеч-
ной или бесконечной), если / определена в некоторой правой
окрестности а, за исключением, быть может, самой точки а, и ес-
ли для любого 8>0 можно указать такую правую окрестность я,
что для всех принадлежащих к ней х а выполняется неравен-
ство |/(ж) — ЛI < е.
Впрочем, правый (левый) предел / в оо обычно называют пре-
делом / при ж — оо (х -»• +оо).
Можно еще дать другое определение правого предела функ-
ции в точке. Говорят, что функция / имеет правый предел в
точке а (конечной или бесконечной), равный числу А, если она
определена на некоторой правой окрестности я, за исключением,
быть может, самой точки я, и если Пт/(а:„)=Л для любой схо-
«п-»°
дящейся к а последовательности {хп}, значения которой хп ¥= а
и принадлежат к указанной правой окрестности.
Тот факт, что оба сформулированные определения правого
предела эквивалентны, доказывается совершенно аналогично то-
му, как это делается в случае предела (см. § 4.1).
Сказанное понятным образом переносится на понятие левого
предела. Вообще, теоремы § 4.1 о пределах по аналогии пере-
носятся па правые и левые пределы.
106
ГЛ. 4. ПРЕДЕЛ ФУНКЦИИ
Если а — конечная точка, то правый и левый пределы / в
ней записываются соответственно так:
/ (а + 0) = Hm f (ж), / (а — 0) = lim f (х).
х-»а	х-+а
х>а	х<а
Пользуясь определением пределов на «языке е и 6», легко
доказать, что для того чтобы / имела предел в конечной точке а,
необходимо и достаточно, чтобы существовали правый и левый
пределы / в этой точке и были равны между собой, и тогда
f(a + 0) *= f(a — 0) = lim f(x).
x^a
Пределы / при x ->• — оо, -|-oo, оо часто записывают соответ-
ственно так:
limf(x) = /(—оо), lim f (х) = / (+ оо), lim f (х) = f (оо).
х-> — оо	х-»4-оо	х~*оо
Здесь, как в случае конечной точки, имеет место очевидное ут-
верждение: для того чтобы существовал предел f при х оо
необходимо и достаточно, чтобы существовали и были равны
между собой пределы / при г-^+оои х— оо и тогда /(—оо) =
= /(+оо) = /(оо).
До сих пор мы говорили о конечных пределах функции (4
было конечно!), но можно по аналогии ввести пределы:
lim f (х) = -|- оо, lim f (х) = — оо,
Х-*+<ю	Х-»4-оо
lim f (х) = -|- оо, lim /(ж) = — оо.
Х-* — оо	Х-> —оо
Например, последнее из этих четырех соотношений выражает,
что функция f определена для всех х, меньших некоторого числа
(т. е. на некоторой окрестности — оо), и каково бы ни было по-
ложительное число IV, найдется такое число L, что для всех
х< L имеет место /(я) < — N.
Односторонние пределы, т. е. пределы справа и слева, имеют
большое значение при рассмотрении монотонных функций.
Пусть Е — множество действительных чисел (точек прямой).
Функция /, определенная на Е, называется неубывающей (не-
возрастающей) на Е, если из того, что х', х" е Е и х' < х", сле-
дует, что f(x') =5 f(x") (соответственно f(x') > fix")).
Неубывающие и невозрастающие на Е функции носят общее
название монотонных функций на Е.
Теорема 1. Пусть функция / не убывает на интервале
(а, Ь), где, в частности, может быть а ——ос, Ь = + оо. Если она
ограничена сверху числом М, то существует предел (конеч-
ный) lim f(x) sg М. Если же она не ограничена сверху, то
х~Ъ
х<Ъ
lim fix) = +оо.
х->Ъ
х<Ъ
g 4.3. ПРЕДЕЛЫ ФУНКЦИИ СПРАВА И СЛЕВА
107
Доказательство. Из ограниченности / следует сущест-
вование конечной точной верхней грани sup f(x) = А + М.
X G (а,Ь)
Таким образом, /(ж) + А для всех Ь), и для всякого е>0
существует х, е (а, Ь) такое, что А — е < /(х,) + А. Но в силу
того, что f не убывает,	xt + х < Ь. Таким образом,
для любого е > 0 можно указать х, < b такое, что А — е < f(x) <
< А + е для всех х, удовлетворяющих неравенствам х, < х < Ь.
Это и значит, что
А == lim / (х).
х->Ь
х<Ь
Пусть теперь неубывающая функция / не ограничена сверху.
Тогда для любого М существует xt е («, Ь) такое, что М < /(z,)
и вследствие того, что / не убывает на (а, Ъ),
М < /(zt) < /(х), х-l < х < Ь,
а это и говорит о том, что
lim / (х) = + оо.
х-»Ь
х<Ъ
По образцу доказанной теоремы легко доказывается и
Теорема 2. Если функция / не убывает на (а, Ь), еде мо-
жет быть а = — оо, Ь = + оо, и fix') ограничена снизу числом т,
то существует {конечный) предел функции f в точке а справа:
lim f(x)=A m.
х-*а
х>а
Если же функция / не ограничена снизу, то
lim / (х) = — оо.
х-*а
х>а
Читатель может самостоятельно видоизменить формулировки
и доказательства подобных теорем для невозрастающей на (а, Ь)
функции.
Пример. На отрезке [0, 2] задана функция
f х для 0 + х < 1,
j (х) = <
[я + 1 для 1 < х < 2.
Она однозначна и монотонна на [0, 2]. Легко видеть, что /(1 — 0) — 1,
/(1 + 0) =/(1) =2.
Теорема 3. Если функция f не убывает на отрезке [а, &],
то в каждой точке хе {а, Ь) существуют пределы f(x — 0) и
/(х + 0) и выполняются неравенства
f(x —0) f{x) f{x + 0).
108
ГЛ. 4. ПРЕДЕЛ ФУНКЦИИ
Существуют также пределы /(а + 0), /(& — 0), удовлетворяющие
неравенствам
/(а)</(а + 0), f(b -ОХ /(6).
Эта теорема немедленно следует из предыдущих теорем, если
учесть, .что из ее условий вытекает, что функция / не убывает
на каждом из отрезков 1а, ж], [х, &].
Можно ввести понятие непрерывности функции в точке спра-
ва и слева.
Функция f называется непрерывной в точке а (конечной)
справа {слева), если существует /(а + 0) и /(а + 0)=/(с) (соот-
ветственно, если существует /(а —0) и /(а — 0) =/(а)).
Если для функции / в точке а (конечной) имеют смысл оба
числа /(а —0) и /(а + 0) (конечные) и если она все же разрывна
в а, то говорят, что эта функция имеет разрыв первого рода в
точке а.
Отметим, что если функция f непрерывна как справа, так и
слева в точке а, то она, очевидно, непрерывна в точке а. Можно
еще сказать, что для того, чтобы функция f(x) была непрерыв-
ной в точке а, необходимо и достаточно, чтобы три числа, f{a — Q),
f{a), /(а+0), имели смысл и чтобы они были равны между собой.
Мы приводим для примера шесть графиков функций, имею-
щих разрыв первого рода в точке а. Буква А обозначает точку
А = (а, ]{а)) плоскости. Стрелка на конце куска кривой обозна-
чает, что концевая точка, где находится стрелка, выброшена.
На рисунках 4.5—4.8 изображены графики функций /, для ко-
торых все три числа /(а), /(а —0), /(а + 0) имеют смысл. На
рис. 4.5 числа /(а), /(а —0), /(а + 0) различны между собой; функ-
§ 4,4. ФУНКЦИИ, НЕПРЕРЫВНЫЕ НА ОТРЕЗКЕ
109
ция пе только разрывна в а, но и разрывна справа и слева в а.
На рис. 4.6 / непрерывна слева в а. На рис. 4.7 / непрерывна
справа в а. На рис. 4.8 f имеет устранимый разрыв в а. На
рис. 4.9 / не определена в а, разрыв неустраним. На рис. 4.10
f не определена в а, но / можно доопределить в а так, что она
будет непрерывной в а.
Заметим следующий важный факт. Если заданная на отрезке
[я, Ь] функция f монотонна на нем (не убывает или не возраста-
ет), то, какова бы ни была точка х е [а, &], в ней функция f
либо непрерывна, либо имев? разрыв первого рода. Это утвер-
ждение есть непосредственное следствие из теорем 1, 2 и опре-
деления понятия точки разрыва первого рода*).
Если функция / определена в окрестности точки а, исключая
быть может а, и имеет разрыв в а, пе являющийся разрывом
первого рода, то говорят, что опа имеет в а разрыв второго рода.
Например, функция sin (1/х) имеет в точке х = 0 разрыв вто-
рого рода. Функция
( 0, х 0,
ф (х) = < . 1
т ' sin —. х > 0
х
также имеет в точке х = 0 разрыв второго рода, потому что хотя
для нее и имеет смысл число
ф(0-0) =0,
по не имеет смысла число ф(0 + 0).
§ 4.4.	Функции, непрерывные на отрезке
Функция / называется непрерывной на отрезке [а, Ь] (на
множестве точек х, удовлетворяющих неравенствам а^х^Ь),
ec.in она непрерывна во всех точках интервала (а, Ь) (множе-
ства точек х, для которых а < х < Ь), непрерывна справа в точ-
ке « и непрерывна слева в точке b **).
Функции, непрерывные на отрезке, обладают рядом замеча-
тельных свойств, к изложению которых мы сейчас приступим.
Впрочем, мы не останавливаемся пока на важном понятии —
равномерной непрерывности функции; оно будет изучено позд-
нее (§ 7.10, теорема 4), сразу для функции п переменных. Из
полученных там результатов выводятся соответствующие резуль-
таты для непрерывной на отрезке [а, М функции от одной
переменной.
г) О числе точек разрыва монотонной функции см. конец § 9.5.
**) Подчеркнем, что у отрезка [а, Ь] всегда его концы -- конечные
числа (точки).
110
ГЛ. 4. ПРЕДЕЛ ФУНКЦИИ
Начнем со следующей леммы:
Лемма 1. Если все значения хп последовательности
стремящейся к числу а, принадлежат [а, bl, то и ае[«, 6].
Доказательство. Эта лемма следует из теоремы 3 § 3.1.
Теорема 1. Если функция / непрерывна на отрезке [а, Ь1„
го она ограничена на нем.
Доказательство. Допустим, что f не ограничена на [а, bl.
Тогда для каждого натурального числа п найдется точка хп е
е [a, bl такая, что
|/(х„)1 > п (га=1, 2, ...).	(1)
Последовательность {^„1 ограничена (а и Ь — числа!) и из нее
можно выделить подпоследовательность {xnh}, сходящуюся к не-
которой точке ае(а, Ь] (см. предыдущую лемму и теорему 1 иа
§ 3.7). По в точке а функция / непрерывна и потому*)
lim / (хпЛ = / (а).	(2>
k=<x
Но свойство (2) противоречит свойству (1). Поэтому / может-
быть только ограниченной на [а, bl.
Заметим, что если функция непрерывна на интервале (а, Ъ)
или на полуинтервале [а, Ь) или (а, Ь], то она не обязательно
ограничена на нем. Например, функция Их непрерывна на полу-
интервале (0, 1J, ио не ограничена на нем.
Если эту функцию доопределить, положив /(0) = 0, то она бу-
дет конечной в любой точке отрезка [0, 1J, однако, неограни-
ченной на нем.
Теорема 2. Непрерывная на [а, 6] функция / достигает в
некоторых точках отрезка [а, 6] своих максимума и минимума,
т. е. существуют точки а и 0, принадлежащие [а, Ы, для кото-
рых имеет место
min / (х) =? / (а), max / (х) = f ф).
л€=[а,Ь]	х€-[а,Ь]
Таким образом, /(а) </(х) =£/([)) для всех х^ [а, bl.
Доказательство. По предыдущей теореме непрерывная
па la, bl функция ограничена, слёдовательно, она ограничена
сверху некоторым числом К:
j(x) < К (х е [а, Ь1).
По тогда существует точная верхняя грань / на [а, Ь]:
sup f(x) = M.	(3)-
xs [ а, b ]
Число М обладает следующим свойством: для любого натураль-
*) Если а = Ь (соответственно а = я), то в этой точке / непрерывна
слева (справа).
§ 4.4. ФУНКЦИИ, НЕПРЕРЫВНЫЕ НА ОТРЕЗКЕ
111
пого числа п найдется па [а, Ы точка хп такая, что
Л/—Л/ (и —1,2, ...).
Последовательность {х„), как принадлежащая к [а, Ы, ограниче-
на, и потому из нее можно выделить подпоследовательность [хп.}
сходящуюся к некоторому числу которое заведомо принадле-
жит 1а, Ь] (учесть лемму 1). По функция / непрерывна в точке
р и потому lim/=/ф). С другой стороны, М — — </(тП/()<
<3/ {к = 1,2, ...) и
lira / (хпЛ = М.
k-eOQ
Но так как / может стремиться только к одному пределу, то
Л/ = /(р).
Верхняя грань (3), таким образом, достигается в точке р,
т. е., как говорят, функция f достигает в точке р своего максиму-
ма на отрезке [а, &]. Мы доказали, что существует точка
ре la, 6J, для которой
max f(x) — f (Р).
Доказательство другой части теоремы о минимуме аналогич-
но, ио его можно свести к доказательству первой части теоремы,
учитывая, что
min f (х) —— max {—/(ж)}.
х=[а,Ы	xe(a,!i]
Замечание. Функция у = х непрерывна на интервале
((I, 1) и ограничена па нем; верхняя ее грань sup x — t не дости-
хе(о,1»
гается, т. е. пет такого х„ е (0, 1), для которого эта функция
равна 1. Таким образом, в доказанной теореме условие непре-
рывности / на замкнутом (содержащем в себе оба конца а и Ь)
отрезке существенно.
Очевидно, что sup arctg х = л/2. Однако, нет такого х на луче
х>(>
х > 0, для которого функция arctg х принимает значение л/2, и
она не достигает максимума патЗО. В данном случае условия
теоремы не выполняются: область задания непрерывной функции
arctg.г неограничена.
Теорема 3. Если функция / непрерывна, на отрезке [а, Ь]
и числа j(a) и fib) не равны нулю и имеют разные знаки, то на
интервале (а, Ь) имеется по крайней мере одна точка с такая,
что f(c) = 0.
Доказательство. Обозначим отрезок [а, Ь] через Д„. Разде-
лим До на две равные части. Если в середине До функция равна
112
ГЛ. 4. ПРЕДЕЛ ФУНКЦИИ
пулю, то теорема доказана; если этого нет, то одна из половинок-
А» такова, что на концах ее наша функция принимает значения
разных знаков. Обозначим именно эту половинку через А, и раз-
делим ее на две равные части. Может случиться, что в середине
А, наша функция равна нулю, и тогда теорема доказана. Если
нет, то обозначим через А2 ту из половинок, на концах которой
/ принимает значения разных знаков. Рассуждая так по индук-
ции, мы либо наткнемся на очередном этапе рассуждений на
точку се<«, Ь), для которой /(с) = О, и тогда теорема доказана,
либо получим последовательность (бесконечную) вложенных
друг в друга отрезков Aj Д2 °..., на каждом пз которых / име-
ет значения разных знаков. Тогда существует точка с, принад-
лежащая всем А„, следовательно, и 1я, 61. Очевидно, /(с) = О,
потому что, если допустить, например, что /(с) > 0, то нашлась
бы окрестность Uc точки с такая, что для всех х из [а, Ь], при-
надлежащих Uc, функция fix') была бы положительной, но этого
не может быть, потому что при достаточно большом п отрезок
А„<= t7c, а / не сохраняет знак на Ап. Теорема доказана.
Следствие. Если функция f непрерывна на [а, 6], /(я)=Л,
/(6) = В и С—-произвольное число, находящееся между числами
А и В (А^В), го на интервале (я, 6) найдется по крайней мере
одна точка с, для которой fic) = С.
Это следствие можно сформулировать и так: непрерывная на
отрезке [а, 6] функция принимает все промежуточные значения
между ее значениями на концах отрезка 1а, 61.
Доказательство. Определяем новую функцию Е(х)—
= fix')—С, где С — константа — число, находящееся между Л —
=/(я) и В ==/(6). Так как f—непрерывная на [я, 6] функция, то
и F — непрерывная па [а, 61 функция. При этом, очевидно, F
принимает па концах отрезка 1я, 6] значения, имеющие разные
знаки. Тогда, по доказанной теореме, должна найтись внутри
1я, 6] такая точка с, что F(c)=O или /(c)—С = 0, т. е. /(с) =
= С. Это требовалось доказать.
П ример. Уравнение
cos х — х — О
имеет корень на интервале (0, п).
В самом деле, функция /(z) = cos х — х непрерывна на отрезке [0. л/
и на концах его принимает значения разных знаков: /(0) == 1, /(л) =
= -(1 +л).
Замечание. Для разрывной на [я, 6] функции доказанная
теорема вообще не имеет места, как легко видеть па примере
функции
Ж = ( J’
I 1,
— 1 sC ‘Г <'' 0
0 хFZ 1.
§ 4.5. ОБРАТНАЯ ФУНКЦИЯ
113
§ 4.5.	Обратная функция
Зададим какую-либо функцию у = /Сг) на произвольном мно-
жестве чисел (точек на прямой) Е и обозначим через £/ = /(£)
образ Е (см. § 1.3).
Каждому у е Ei приведем в соответствие множество всех х е
е Е, для которых у = /(я) Это не пустое множество, обозначим
его через еу.
Таким образом, на Е, определена функция х = ср(г/), вообще
говоря, многозначная. Функция tp(y) называется обратной функ-
цией по отношению к /(х).
Важно выделить тот случай, когда обратная функция одно-
значна. Это всегда имеет место, если функция / строго монотон-
на, т. е. строго возрастает или строго убывает па области Е свое-
го определения.
Функция / называется строго возрастающей (убывающей) на
Е, если из того, что х', х" е Е и х' <х", следует, что f(x') <
< /(.г") (соответственно j(x') > f(x")).
Если f(x) есть строго возрастающая (убывающая) функция
на Е, то обратная ей функция х = ц>(у), очевидно, также одно-
значная, строго возрастающая (убывающая) на образе E, = f(E)
функция.
В этом случае, очевидно, имеют место тождества:
ср[/(х)1 = х, х е Е; /Lcp(f/)1 = у, у *= Ei.
IIри этом удобно обозначать обратную к / функцию символом/-1:
f~'/(x) = X, X Е Е-, j!~l(y) = y, y^Ei.
Теорема 1. Пусть у = j(x) есть непрерывная строго возра-
стающая на отрезке [а, В1 функция и A — f(a), В — f(b).
Тогда образ [а, 6] есть отрезок [А, В] и обратная к f функ-
ция x = tp(y) однозначна, строго возрастает и непрерывна на
\А,В\.
В этой теореме можно заменить «возрастающая» па «убываю-
щая» и тогда в ее заключении надо заменить [А, В] на (В, А].
Доказательство. Пусть Е{ = f(la, &]). По условию А.Ве
<“=/?, и, так как функция / непрерывна на Е = [а, 51, то и любая
точка LA, BJ принадлежит Ei (см. следствие теоремы 3 § 4.4 о
промежуточных значениях непрерывной функции).
Вели точка у не принадлежит [А, В], то вследствие строгой
монотонности / опа не может быть образом какой-либо точки
;гь~.га, /Д. Этим доказано, что образ отрезка [а, 61 при помощи/
есть отрезок [А, В]. То, что обратная определенная па [А, В]
функция х = ц>(у) однозначна и строго монотонна, следует не-
посредственно из строгой монотонности у = j(x) па [а, Ь). Оста-
ется доказать непрерывность функции х = ср(у) в любой точки
у„е(А, В].
С. М. Никольский, т. Т
114
ГЛ. 4. ПРЕДЕЛ ФУНКЦИИ
Пусть уа есть внутренняя точка [4, 51, т. е. i/oe (4, В). Ей,
мы уже знаем, соответствует единственная точка	b) такая,
что у0 = f(z0) или х0 = ср(у0).
Зададим положительное число е > 0, которое будем счи-
тать настолько малым, что [я0 — е, т0 + е]<=[я, Ь], и пусть у, =
= /(ж0 —е), у2 = fixa + е). Из строгой монотонности f следует,
что для любого ye (ylt у2) соответствующее значение x = ip(y)s
е (х0 — е, ха + е).
Таким образом, доказано, что для всякого достаточно Малого
€>0 именно такого, что l\r0 — е, x0 + eJcz[a, &], можно подо-
брать окрестность (г/ь у2) точки уа такую, что |г — жв1 =
= Iф(у) — ср(г/0)1 < е для всех у <= (г/,, у2).
Сформулированное здесь свойство функции <р(г/) доказано дня
достаточно малых е > 0. Но тогда оно, очевидно, верно и для
любых 8 > 0. Это свойство выражает тот факт, что функция ср(у)
непрерывна в точке у0.
Для концевой точки у0 = В соответствующая точка ха = b =
= ср(г/0). Полагаем х< = Ъ — 8 > a, yt = f(xt) и тогда, очевидно, бу-
дет 1ср(г/0) — cp(j/)l <8 для всех y^(yi, t/ol-
В этом же духе рассматривается случай уа~А.
Приведем еще другое доказательство непрерывности функции х =
(обратной к функции у = f(x), непрерывной и строго монотонной на [а, &]),
Зададим у0 е и, Ь] и произвольную последовательность точек у„ е М,й];
такую, что уп-*-уа- Положим ха — <р(уо), хп = ф(!/п). Тогда у0 = f
Уп = f(xn). Непрерывность <р в точке у0 будет доказана, если мы покажем,
что х„ -* Хд.
Допустим, что это не так. Тогда найдется подпоследовательность ’
стремящаяся к некоторой точке х' е [я, &], отличной от ха. В силу строгой
монотонности / тогда f(x0) =/= f(x').
Но по условию /	= Упк “* У у ~f (г0)> а в силУ непрерыв-
ности /
Мы получили противоречие, потому что одна и та же последовательность
{/(гпА'Ц не может стремиться к разным пределам.
Пример. Функция у — sin х непрерывна и строго монотонна на от-
резке [—л/2, л/2]. Образом этого отрезка посредством функции sin х явля-
ется отрезок [—1, +1]. На основании доказанной теоремы существует оп-
ределенная на отрезке [—л/2, л/2] обратная к sin х однозначная непрерыв-
ная строго возрастающая функция х — arcsin у (—1 у sg 1).
Для функции у = sin х, рассматриваемой на всей действительной оси,
обратная функция, как известно, уже многозначна:
х = Arcsin у = (—1)А arcsin у + frn (Л = 0, ±1, ±2,...),	(1)
т. е. каждому у е= [—1, + 1] соответствует множество еу значений х, опре-
деляемых формулой (1).
§ 4.5. ОБРАТНАЯ ФУНКЦИЯ
115
Теорема 2. Пусть у — Цх) есть непрерывная строго возра-
стающая на интервале {а, Ь) функция и пусть
Л = inf/(а:), В = sup/(а:), x^ia, Ь),	(2)
где, в частности, может быть а, А — — Ь, В — + «>.
Тогда образ (а, Ь) есть интервал (Л, В) и обратная к f функ-
ция х — <р(г/) однозначна, строго возрастает и непрерывна на
(Л, В).
Замечание. В этой теореме можно слова «возрастающая»,
«возрастает» заменить на «убывающая», «убывает», но тогда
образ (а, Ь) будет (В, Л).
Из определения числа В непосредственно следует, что если
оно конечно, то точка у> В не может принадлежать образу
/((а, Ь)). Но и число В тоже не может принадлежать /((а, Ъ)),
иначе существовала бы точка xt е (а, Ь) такая, что В = /(а:1), и
так как на интервале (а, Ь) можно определить точку х2 > х^ то
в силу строгой монотонности / мы получили бы /(яД > В = ftxj,.
что противоречит определению В.
Подобным образом доказывается, что и число Л не принадле-
жит /((а, £>)), если оно конечно. Итак, образ/((а, 6)) принадлежит
(Л, В). Но на самом деле эти два множества совпадают. Действи-
тельно, пусть у е (Л, В). Тогда в силу определений (2) должны
найтись такие xt, х2 е (а, Ь), что
yt = f(xt) < у < fix2) — Уг,
и вследствие строгого возрастания / должно быть xt < х2. Но
функция / непрерывна на (а, Ь), тем более на [х,, х2], и когда х
пробегает отрезок [а:,, х21, сама она должна пробегать все значе-
ния между у, и у2, следовательно, и значение у.
Это значит, что существует значение х = ф(р) (единственное
в силу строгой монотонности /) такое, что у = fix). Этим доказа-
но, что образ интервала (а, Ь) есть интервал (Л, В) и что опре-
деленная выше функция x = q(y) есть обратная к / функция.
Функция <р непрерывна в точке у, потому что ф можно также
рассматривать как обратную функцию к функции /, определен-
ной на указанном отрезке 1х,, х2\, а к этой последней можно
применить предыдущую теорему. Тот факт, что ф строго возра-
стает, очевиден. Теорема доказана.
Примечание. В теореме 2 интервалы (а, Ь), (Л, В) можно
соответственно заменить на полуинтервалы, например, па [а, Ь),
[А, В) и тогда а и Л — конечные числа.
Пример. Рассмотрим ул«, где а > 0 и п — натуральное число.
Арифметическим значением корня п-й степени из а называется положи-
тельное число, п-я степень которого равна а. Это число обозначается еще
так:
П,/ а - а1,п.	(3)
116
ГЛ. 4. ПРЕДЕЛ ФУНКЦИИ
Существование и единственность этого числа вытекает из следующих со-
ображений. Функция
У = »"	(4)
непрерывна и строго возрастает на полуинтервале [0, оо), и, кроме того,
она равна нулю при х = 0 и стремится к +°° вместе с х. На основании
теоремы 2 и примечания к ней функция у — хп имеет обратную однознач-
ную и непрерывную функцию х = (р(у) (0 у <_ оо), строго возрастаю-
щую, равную нулю при у = 0 и стремящуюся к -|-оо вместе с у.
Таким образом, каково бы ни было у <= [0, оо), существует единствен-
ное положительное число х — ц>(у) такое, что [ф(у)]п = у. Но тогда
ф(у) = У1/п-
В частности, если считать у — а, то мы доказали существование и един-
ственность арифметического значения корня n-й степени из а (а 0).
§ 4.6. Показательная и логарифмическая функции
Ф у н к ц и я ах. Зададим положительное число а > 0. Если п —
натуральное число, то число а" определяется как произведение
а" — а ... а из п сомножителей, каждый из которых равен а, а
число а'/п — как арифметическое значение корня га-й степе-
ни из а.
Если теперь p/q (g>0) есть неотрицательная рациональная
дробь, то, по определению, полагают
ар/4 = (ар)1/я = (а,/’)р, а" = 1..
Доказательство второго равенства в этой цепи и того факта,
что это определение приводит к тому же числу, если дробь p/q
будет записана в форме np/nq — р/q, где п — произвольное на-
туральное число, известно читателю из элементарной алгебры.
Наконец, по определению, полагают
Этим определена функция а* (а > 0) для любых рациональных
значений х.
Обозначим через Q множество всех рациональных чисел.
Функция а* определена на этом множестве. В курсе элементар-
ной математики доказывается па основании только аксиом чис-
ла I — IV групп, что она удовлетворяет свойству:
ах+й = аха!/,	(1)
каковы бы ни были х, у — Q. Там доказывается также неравен-
ство ах < ау (х < у, х, y^Q, а> 1).
Но функцию ах можно доопределить на всех иррациональных
точках так, что определенная таким образом на всей действитель-
ной оси R продолженная функция, которую естественно обозна-
чить снова через ах, будет непрерывной всюду на R. Больше то-
го, для продолженной функции свойство (1) выполняется уже
для всех х, у е R.
§ 4.6. ПОКАЗАТЕЛЬНАЯ И ЛОГАРИФМИЧЕСКАЯ ФУНКЦИИ
117
Начнем с того, что дойажем вспомогательное неравенство (Бернул-
ли *)).
Гели а. > 1 и N — натуральное, то а1/л’ = 1 -|- Л, где X > 0. Поэтому,
учитывая формулу бинома Ньютона, получим
а = (1 + X)w > 1 + № и й,/Л' — 1 < (а — 1)/Лг.
Если теперь h есть произвольное положительное рациональное число,
удовлетворяющее неравенствам 0 < Л 1, то можно подобрать такое нату-
ральное N, что 1/(Л’ 4-1) < h sg 1/М Поэтому при а > 1
ah — 1 < a1/N — 1 <	(а — 1) дД~! < 2 (а ~ !) h-
Па основании неравенства Бернулли получим
a'J — ах = ax(av~x — 1) 2ах(а — 1) (у — х) (х, у е Q, 0 < у — х !)• (2)
Зададим произвольное положительное рациональное число с и введем
новое множество Qc, состоящее из всех х е Q, которые удовлетворяют не-
равенству X с.
Из (2) следует:
а* — ах ?'' М(у — х) (х, у е Qc, 0 <Z у — х 1, М = 2(а — 1)«с),	(3)
где, таким образом, М есть константа, не зависящая от рассматриваемых
z, у.
Следовательно,
|а* — а«\ sg М\х — у |	(т, у е Qc, |т — у| < 1).	(4)
Зададим произвольное действительное число х = ±а0, а,а2аз... и по-
ложим
_ -j_aOi ai ... а„ (и = 1, 2, 3, ...).
Если х е Qc, то и е <?с- Кроме того, | х — х<- п> | sC J(r" < 1,
поэтому
| ах — ах<П) | М | х — х(^ |,
и. следовательно, имеет место равенство
lim «х(п) = «х.	(5)
п-»оо •
Так как с может быть любым положительным рациональным числом,
то мы доказали, что для всякого рационального числа х выполняется ра-
венство (о).
Пусть теперь х есть иррациональное число, удовлетворяющее неравен-
ству х < с. Так как lim х'1' = х, то на основании критерия Коши суще-
П-*оо
ствования предела для любого числа е > 0 найдется такое N, что
|г(») — г<т)| < е/Л/ (n, т > N),	(6)
Это показывает в силу (4), что имеет место неравенство
| ax<n> — ax(m> | «С Л7 = 8	(я, т > N),
*) Я. Бернулли (1654—1705) — швейцарский математик.
<18
ГЛ. 4. ПРЕДЕЛ ФУНКЦИИ
верное для любых указанных натуральных п, т. Но тогда последователь-
I г(п)1
ность чисел la J тоже удовлетворяет условию Коши: существует пре-
дел атой последовательности при п -> оо. Этот предел обозначают символом
ах, т. е. пишут
= lim ах(п\	(7>
Итак, для любого действительного числа х выполняется равенство (7).
Для рационального х это равенство доказано выше. Для иррационального
х доказано только существование предела в правой части (7), а левая часть
ах считается равной правой по определению.
Пусть теперь х и у любые действительные числа, удовлетворяющие не-
равенствам х < с, у с, |х — у| < 1/2. Тогда при п > 1
х(п) с, у(п) < с,
|х<”’ —J,(n)| Sg |х<п> _ж[ 4- ];£ —	— у(п)|	2-10~п + у<1
и
«(«)
|а -а | С Я|х<«>-(/<”)[ (п = 1, 2, .,.),	(8)
Перейдем в полученном неравенстве к пределу при п -> оо. Так как
при этом х<п> -> х, у(п> -> у, ах, ау П -> у и функция |х| непрерыв-
на, то получим
Ja* —	— у|	(9}
при 0<	—у| < 1/2. Из неравенства (9) непосредственно следует, что
функция ах непрерывна для любого х <_ с, следовательно, и для любого xt
потому что с можно считать произвольным.
Имеют место свойства
ах < а», если х < у,	(10)
lim ах = 0, lim ах=4-оо,	(И)
зс->— оо	х~*+оо
ах + и = ахач.	(12)
Чтобы доказать эти свойства, будем исходить из того, что для рациональ-
ных х, у они известны из школьного курса элементарной алгебры.
Пусть А и ц — постоянные рациональные числа такие, что х < X <
< р < у, и пусть х ., уп е Q — переменные такие, что хп->х, возрастая,
и уп -* У, убывая. Тогда а*” < ак < а» < аУп, а после перехода к пределу
их Р а'- < ав sg а», и мы получили (10). Свойства (И) следуют из того, что
это верно в случае, когда х->--оо, или х->--|-оо, пробегая рациональные
значения, и из доказанной уже монотонности (см. (10)). Наконец, (12) сле-
Уп жн Уп
дует из равенства а = а “а после перехода в нем к пределу.
До сих пор мы считали а > 1. Если 0 < а < 1, то полагаем
1
(!/«)«’
.— ОО < X < оо.
(13)
В этом случае свойство (12) функции ах и ее непрерывность сохранятся, но
теперь уже опа будет строго убывать. Наконец, полагаем
Р = j
для всех х.
(14)
§ 4.6, ПОКАЗАТЕЛЬНАЯ И ЛОГАРИФМИЧЕСКАЯ ФУНКЦИИ
119
Отметим еще, что при натуральном т
ахт = а*сУт~1)* — (ах)2а(т~2>х = ...== (ах)“,
(a*/m)m = ах л ах/т — (ах)1/т,
поэтому для рационального числа p/q > О
(а*)р/'г = (ax)(‘/3>P = (ax/«)r =
Далее, если у — произвольное положительное число, и уп~+У, где уп —
рациональные, то
ах* = lim aVn = lim (ax)Vn = (ax)v,
n^OO	n~r<X>
и мы доказали, что аху — (ах)" пока для у > 0. На основании (12) это
равенство, очевидно, распространяется на случай произвольного у (ведь
= аУ-v = аа = 1).
Функция IgaZ (a>0, а¥=1). Пусть для определенности а >
> 1. Тогда у = ах есть функция непрерывная и строго возраста-
ющая па всей действительной оси. При этом
inf ах = 0, sup ax == + оо.
Х=(—оо,+оо)	Х?=( —оо,-|-оо )
Таким образом, функция ах отображает действительную ось
( оо, : оо) на открытую полуось (0,оо), и обратная к пей функ-
ция по теореме 2 § 4.5 однозначна, строго возрастает и непре-
рывна на (0, оо). Эта функция называется логарифмом у при ос-
новании а и обозначается так:
1g- У-
Из сказанного следует, что (мы заменяем у на х)
lim lg0 х = + оо, lim lga х — — оо.
х>0
11 ри a < 1 рассуждения аналогичны. Функция ах также отобра-
жает действительную ось (—оо, фоо)на полуось (0, +оо), но
строго убывая. Обратная функция lg„ х, определенная на (0, +оо),
также будет строго убывать, и теперь
lim lg„ х =- — оо, lim lgnx = ф оо.'
х-*оо	х-*0
х>0
Имеют место тождества (a ¥= 1, а > 0)
а е,"‘ ~х (0 < х < ф- оо), ig„ax = х (—оо <' х < ф оо).
Отсюда на основании свойств функции а* при х, у>0 имеем
и
lga(xi/) = IgaX + lga!/.
120
ГЛ. 4. ПРЕДЕЛ ФУНКЦИИ
Если в этом равенстве заменить х на х/у, то получим
lga X — lga У = lga
Далее,
=	=	(х>0.),
поэтому
lga ху — у lga х (а =И= 1, а > 0, х > 0).
Наконец, отметим, что для положительных не равных 1 чисел
а и b имеет место
lgab-lgba f leabVgba Jgba
а	= I a I = b — a
и, следовательно,
Iga6 • lgs a = 1.
Логарифм числа а при основании e называется натуральным
логарифмом числа а и обозначается так: lge а = In а.
§ 4.7. Степенная функция хь
Здесь b — постоянная, ах — переменная. При любом b эта
функция во всяком случае определена на положительной полу-
оси х > 0 (ведь в § 4.6 мы обосновали определение числа а\ где
а > 0 и х произвольно).
Имеет место формула (см. § 4.6)
хъ^еь'ех
(О
с помощью которой свойства степенной функции можно вывести
из известных уже нам свойств показательной и логарифмической
функций. Очевидно, хь есть непрерывная функция. При 6 > О-
опа строго возрастает и обладает свойствами
lim хь = 0, lim хь = + оо.
эс-»О	х->4-оо
х>0
При b > 0 естественно считать, что 0ь = 0; тогда функция хь
делается непрерывной справа в точке х = 0.
При b < 0 функция хь непрерывна и строго убывает на поло-
жительной полуоси и обладает свойствами
lim л? = оо, lim хь = 0.
XXI	х-^+оо
sexi
Формула (1) влечет характеристическое свойство степен-
ной функции:
(ху')ь~= хьуь (х,у>0).
§ 4.8. ЕЩЕ О ЧИСЛЕ е
121
Па рис. 1.2 и рис. 4.11, 4.12 приведены графики функции хь
х > 0 для нескольких положительных и отрицательных значений Ь.
Степенная функция хь имеет смысл как действительная функ-
ция и для отрицательных х, если Ъ — целое или рациональное
p/q, где q — нечетное.
§ 4.8. Еще о числе е
В § 3.5 рассматривалась функция
а(п) = (1+-^)П
от целого аргумента п, и было показано, что если и-+• оо, пробе-
гая натуральные числа, то а(п) стремится к пределу, который
был назван числом е. Но функция а(п) определена на самом де-
ле для произвольных, действительных значений п, исключая п е
ен ( — 1, 0]. Мы покажем, и это важно для приложений, что
lim а (п) = е,	(1)
тг->оо
где предел понимается как предел функции а(га), определенной
для указанных п.
Чтобы доказать (1), достаточно убедиться в том, что (1) верно
в двух случаях: когда «->+<» и когда п -*• — °°, пробегая не обя-
зательно целые значения.
Если п — положительное действительное число и [и] — его
целая часть, то и< [л] + 1 и+ 1 и очевидно, что
1	\Гп]+1	/	1\п+1	/	4 \[п]+2
1 + , . , . I < 1 + -	< 1+гт <е
[n]	1I	\	п I	\	[«] >
При	очевидно, [«I, Ln] + 1+ оо, откуда первый и
122
ГЛ. 4. ПРЕДЕЛ ФУНКЦИИ
последний члены цепи стремятся к е. Поэтому
1 Y'+1
14—	_> е (п -> + оо),
п /	'
и так как при этом
1
то мы доказали (1). Пока для п-*+<».
Если теперь п -*• — оо, то т — —п +оо и
lim 14--) — lim 1----------1	= lim I----------
a->-oo \ и/	m->+°o V	m‘	m->+<x> \	1
s= lim
m-*4~oo
1
m — 1
1 +
т. e. доказано (1) и при n — оо. Но тогда верно (1).
Полагая /г= 1/ге, получим еще
lim (1	h}1/h ~ lim (1 + —) = е.
h->0	п->оо ' П!
_ г г» 1. sin х
§ 4.9. lim —-
х-*0 л
Целью этого параграфа является доказать, что
1. sins .
lim------= 1
х-,0	*
(1)
Функция ф(х) = (sin х)/х определена для всех значений х=/=0.
Пусть 0<х<л/2; тогда (рис. 4.13) sin х < х < tg х,' потому
yi	что половина хорды, стягивающей дугу
		'	окружности, меньше половины дуги,
/-------------------которая в свою очередь меньше поло-
[	вины длины, объемлющей дугу лоиа-
[	пой. Тогда 1 < x/(sin х) < l/(cos х), или
I ~О \ ~В I /В х
\	X. /	cosx<—<1.	(2)
Эти неравенства, очевидно, верпы пе
Рис. 4.13.	только для положительных, по и для
отрицательных х, удовлетворяющих не-
равенствам 0< 1x1 < л/2, в силу четности входящих в (2) функ-
ций.
Функция cos х непрерывна (см. § 4.2, пример 6), поэтому
lim cos х = cos 0=1.
X->0
§ 4.10. ПОРЯДОК ПЕРЕМЕННОЙ, ЭКВИВАЛЕНТНОСТЬ
123
Перейдем в соотношениях (2) к пределу при х -* 0. Пределы
левой и правой частей (2) равны 1, поэтому существует и при-
том равный 1 предел средней части (2).
§ 4.10. Порядок переменной, эквивалентность (асимптотика)
Говорят, что / на множестве точек Е имеет порядрк ф или
еще / есть О большое от ф на Е и пишут при этом
/(я) = О(ф(х)) на Е,	(1)
если
|/(х)|	С|ф(х)| на Е,	(2)
где С — не зависящая от х положительная константа.
В частности,
/(ж) = 0(1) на Е
обозначает тот факт, что / на Е ограничена.
Очевидно, если /(х) = О(фДх)) па Е и ф,(х) = О(ф2(х)) па Е,
то j{x) — О(ф2(х)) на Е.
Примеры.
I. sin х = О(х) на (—оо, -роо).
2. х — О(х2) на [1, оо] (но не па [0, 1]); при этом х2 и х здесь переста-
вить местами, очевидно, нельзя. С другой стороны, х2 — О(х) = 0(1)
на [0, 1].
Мы будем писать
/(х) = о(ф(.т)) (х-> й)	(3)
и говорить, что функция / есть о малое от ф при х -* а, если
/(х) = е(х)ф(х),	(3')
где функция е(х) -> 0 (х -* а).
Мы также будем писать
/(х) = О(ф(х))	(.х	а),	(4)
если существует окрестность [7(a) точки а (конечной и бесконеч-
ной) такая, что
/(х) = О(ф(х)) (хе U(a), х=£а).	(4')
Само собой разумеется, что определение (3), так же как и (4) ,
предполагает, что обе функции / и ф определены па некоторой
окрестности точки а, за исключением, быть может, самой точки а.
Пели па некоторой такой окрестности (исключая точку а) ф(х)
¥ 0, то определения (3) и (4), Очевидно, эквивалентны следую-
щим: говорят, что f есть о малое от ф при х -*• а, если
124
ГЛ. 4. ПРЕДЕЛ ФУНКЦИИ
и / есть О большое от <р при х-+ а, если существует окрестность
U(a), на которой, за исключением точки а, отношение /(х)Ар(х)
ограничено. Можно считать, что стремление х -* а происходит
только слева (х<а) или справа (х>а), и тогда для бесконечной
точки в первом случае надо считать, что т-++<»и во втором,
что х — оо. Конечно, под окрестностью а понимается тогда пра-
вая или соответственно левая ее окрестность.
Наконец, можно считать в (3), (4), что х стремится к конеч-
ному или бесконечному пределу а, пробегая определенную после-
довательность Хц х2, ...
Очевидно, что если /(х) — о(ф(х)) (х -*• а), а ф(х) = o(xf(x))
(х -> а), то /(х) = о(ф(х)) (х -*• а), потому что
/(х) = е(х)ф(х) = e(x)ei(x)ip(x) = е2(х)ф(х),
где е2(х) = s(x)si(x)О (х -*• а), так как е(х)-*0 и е((х)~>-0.
Примеры.
1.	х" = о(ех) (.ж —> +°°), (и = 1, 2, 3, ...).
2.	.г2 = о(х) (ж-»-0).
3.	х — о(х2) (х —>-оо).
4.	1пж = о(ж) (ж->4-оо).
5.	ж = О (sin г) (ж->0).
Говорят, что функции /,(х) и /2(х) эквивалентны (равны
асимптотически) при х -► а и пишут
/Дх) ®/2(х) (х-*а),
если обе они определены и не равны нулю на некоторой окрест-
ности точки а, за исключением, быть может, самой точки а, и если
Здесь относительно стремления х к а можно согласиться, так же
как выше.
Теорема 1. Для того чтобы две функции ^(х) и были
эквивалентными (равными асимптотически) при х-+ а, необхо-
димо и достаточно чтобы выполнялись свойства
^(х) = /2(х) + o(f2(x)) (х->я), f2(x)^0 (х¥=а).	(7)
Доказательство. Из (6) следует, что
= 1 + е (х)	(8 (х) -> 0, х -> а),
откуда
/((х) = /2(х) + е(х)/2(х) = /2(х) + о(/2(х)) (х -> а),
т. е. справедливо (7).
§ 4.10. ПОРЯДОК ПЕРЕМЕННОЙ, ЭКВИВАЛЕНТНОСТЬ
125
Обратно, пусть имеет место (7). Тогда f^x) = f2(x) + е(х)/2(х),
где е(х) -* 0 (х а). Отсюда
I, (х)
7^) = 1+е^
и после перехода к пределу при х а получим (6).
Заметим, что если Д(х) «/2(х) (х->а), то, очевидно, и обрат-
но, /2(х) ~ Д(х) (х -* а).
Теорема 2. Пусть в окрестности точки а, за исключением,
быть может, ее самой, заданы три функции, f^x), f2(x) и Л(х).
Если j,(.x) ~ /2(х) при х -> а, то
lim {Л (х) Л (х)} = lim {/2 (х) Л (х)}.	(8)
ос-* а	х-*а
Это равенство надо понимать в том смысле, что если сущест-
вует предел правой его части, то существует также, и притом
ему равный, предел левой части, и обратно.
Отсюда следует, что если один из пределов не существует, то
не существует и второй.
Доказательство. Пусть существует предел, стоящий в
правой части (8), равный А. Тогда, очевидно,
f ()
lim {Д (х) Л (х)} = lim-l-r— lim {/2 (х) Л (х)} = 1-А = А.
х-*а	х-*а ^2 ' ' х~>а
Аналогично доказывается существование предела правой части
(8) и равенство (8), если известно, что существует предел левой
части (8).
Доказанная теорема очень проста и в то же время она весьма
важна. Для применения ее на практике надо знать побольше
случаев эквивалентных пар функций.
Ниже мы приводим ряд таких случаев.
.,	,	,. sins ,
1) sin х « х (х -> 0), потому что lim----= 1.
Х->0 Х
1
2) 1 — cos х^ — х2 (х -> 0), потому что
X	/ 'Г\2
1 —coss 2 sin2-д	\"2/	1
1Ш1 -------- =_ ИЩ ------- 1]Ш -----_L_ — —.
х—*0	%	Л'-’О z	х-*о х
Второе равенство в этой цепи верно на основании теоремы 2
в силу того, что sin (х -> 0).
3) eh— 1 « h (й -> 0), потому что, если положить eh— 1 = z, то
eh — 1 + z, h = In (1 + z) и
,. th 1	>.	z	..	1	1	.
lim —г— = lim , ,. ,—- = lim------------r- = .— = 1.
/^o h г^о In (1 + 2)	2-,0 In (1 + ln e -
126
ГЛ. 4. ПРЕДЕЛ ФУНКЦИИ
При этом предпоследнее равенство верно, потому что In и есть
функция непрерывная для и > 0 и, в частности, в точке и — е.
4) In (1 + и) « и (w -* 0), потому что
lim lEllijf) _ ljm in ц и),/и = in e _ J
u->0	“	u->0
5) Vj I u _ l Д-; “ (u -> 0), n = 1, 2, .. ., потому что
y '	n
НЕЕ.-* =---------------------»--------------> 1 (u -> 0).
±	- [(1 + u/n~iVn + (1 + u) (n-2)/n + . . . + 1]
n	n
Учесть, что функция (l+u)“ непрерывна в точке и — 0.
G) tgx ~ х (ж 0), потому что
Х-»О Х X-О \ Х
так как cos х — непрерывная функция.
Например, в силу 2) и 5) и теоремы 2
з
lim + т — 1 _ ктД. __ Л	(9)
х-»о 1 — cos х х-*о т2	3
Г
Полезно следующее определение. Если для функции ф(х)
можно подобрать числа а и т, где а =# 0, такие, что ф(х) « оист,
х 0, то говорят, что функция ахт есть главный степенной член
функции ф(х). Очевидно, что числа a, m однозначно зависят от
функции <р(х).
Правые части асимптотических равенств 1)—6) суть, очевид-
но, главные степенные члены левых частей. Общие методы на-
хождения главных степенных членов в более сложных случаях
основаны па применении формулы Тейлора (см. далее § 5.11,
примеры 3, 4, и § 5.14).
Если axm, (а, £ ¥= 0) суть, соответственно, главные степен-
ные члены функций <р и ф, то на основании теоремы 2
х-о Ф (х)	х^0 Вх«
•р	(гп,	=	л),
0	(т	>	п),
оо	(т	<	п).
(Ю)
Это рассуждение в частном случае было проведено при вы-
числении предела (9).
Глава 5
ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ
ДЛЯ ФУНКЦИЙ ОДНОЙ ПЕРЕМЕННОЙ
§ 5.1. Производная
Перед чтением этой главы мы рекомендуем читателю прочесть
еще раз § 1.5, где говорилось о том, как возникает понятие про-
изводной. Л сейчас мы начинаем сразу с формального определе-
ния производной.
Производной от функции j в точке х называется предел, к ко-
торому стремится отношение ее приращения Ду в этой точке к
соответствующему приращению \х аргумента, когда последнее
стремится к нулю:
,, , . т А у т. / (х + А.г) — fix)	...
/ (х) = lim = hm  -------т-——	(1)
Дх-*0	Дх->0	°
Заметим, что при фиксированном х величина есть вполне
определенная функция от Дх:
ф(Дх) = ^-
Если функция / определена в некоторой окрестности тонких,
то функция ф(Дх) определена для достаточно малых, не равных
нулю Дх, т. е. для Дх, удовлетворяющих неравенству 0< IДх| <
< б, где б достаточно малое положительное число. При Дх = О
с.ча заведомо не определена. Вопрос о существовании производ-
ной функции f в точке х эквивалентен вопросу о существовании
предела функции ф(Дх) в точке Дх = 0.
Теорема 1. Если функция f имеет производную в точке х,
то она непрерывна в этой точке.
Доказательство. Из существования конечного предела
(1) следует, что
= /' И + е (Дх),
где е(Дх) -> 0 при Дх -> 0. Отсюда
Ду = /'(х)Дх + е(Дх)Дх = /'(х)Дх + о(Дх) (Дх -+ 0)
и
lim Ду — 0.
128 ГЛ. 5. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ. ОДНА ПЕРЕМЕННАЯ
А это последнее равенство выражает, что функция / в точке х
непрерывна.
Утверждение обратное теореме 1 не верно: если функция /
непрерывна в точке х, то отсюда не следует, что она имеет про-
изводную в этой точке (см. ниже).
Говорят, что / имеет в точке х бесконечную производную,
равную + оо или — оо (случай оо исключается), если в этой точке
f (х) = lim = -[- оо или соответственно /' (х) = lim — оо.
Ах->« Лх	Дх-»о М
Наконец, введем понятия правой и левой производной от f
в точке х:
f'+(x) = lim = ф (0 4-0),
Дх-0 аХ
Дх>0
/-(*) = lim = 4(0-0).
Дх-*о
Дх<0
Для того чтобы существовала производная f(x), очевидно,
необходимо и достаточно, чтобы существовали производные от f
в точке х справа и слева и были равны между собой и тогда
автоматически они равны /'(.г).
Это утверждение верно также, если в нем термин «производ-
ная» заменить на «бесконечная производная».
Функция, изображенная па рис. 5.1, а, имеет производную
в точке ха — график в этой точке имеет (см. § 1.5) касательную
(единственную). Функция, изображенная на рис. 5.1, б, не имеет
производной, по существуют /+ (х0) и /_ (л?0), не равные друг дру-
гу. Функции, изображенные на рис. 5.1, в, г, имеют бесконечные
производные /'(х0) = 4-оо и {'(xq) = —оо соответственно, а функ-
ции на рис. 5.1, д и е не имеют производной в точке хй. В случае
рис. 5.1, д f _ (х0) = 4-о°, f+(xo) = — °°> а в случае рис. 5.1, е
/- (х0) = — оо, /+ (z0) =4-оо.
Надо иметь в виду, что производная от функции в точке х
есть функция от х. С этой точки зрения обозначение f'(x) явля-
ется весьма удобным, f'(a) обозначает число — производную от
функции / в точке а.
§ 3.1. ПРОИЗВОДНАЯ
129
В § 1.5 были выведены формулы (1) — (4) производной от х"
(и = 0, 1, ..sin х и
cos х. Ниже выводится производная от по-
казательной функции ах (а>0):
v lim ,—-ф—— -- ах---------------------=
^ulga(l--3) Jim lg (1z)l/z
z-*.O
=- ~ -- ах In а. (2)
Здесь мы воспользовались подстановкой ah — 1 = z -* 0 (h -* 0)
и тем фактом, что функция lg0 и для и > 0, в частности, при и =
— е. непрерывна.
Если в последнем равенстве положить а = е, то получим
(е*)' = ех.	(3)
Рассмотрим функцию (рис. 5.2)
При х = 0
Ду _ I о h । — । о । _ । h । f 1	> 0, h ->0),
‘J	" '*“’4-1 (/г < 0, h 0).
Производная от |х| в точке х = 0 не существует, потому что пра-
вая производная в этой точке отлична от левой; в остальных точ-
ках производная от !х| существует и
равна
0,
0.
1,
Из рассмотрения графика видно, что функция |х| непрерыв-
на для любого х. в том числе и в точке х = 0. Это видно также
из следующих выкладок:
I\х + h\ — |х| I С lx + h — xl — 1/г| -* 0 (Д-*
Функция 1x1 интересна тем, что она непрерывна для любого
х. по имеется такое значение х, именно х = 0, для которого она
не имеет производной. В точке х = 0 графика этой функции не
существует касательной.
Пример функции Ы показывает, что обратное теореме 1 ут-
верждение неверно.
В математике известны примеры функций /, непрерывных па
отрезке [л. М и не имеющих производной пи в одной точке этого
отрезка функция Вейерштрасса). Их графики невозможно пари-
130 гл. 5. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИИ. ОДНА ПЕРЕМЕННАЯ
.совать, но они могут быть заданы с помощью некоторых формул.
Эти примеры мы пе приводим здесь.
Пример 1. Функция
(0 для рациональных л,
/ (*) = ( 2
щ для иррациональных ж
разрывна во всех точках х 0, но в точке х — 0 имеет производную
,	1 W — / (0) о — о
/ (0 = 0, потому что для h рациональных Д——!------------= 0 и для h
h,	h
 / (Л) - f (0)	7? - 0
иррациональных ------д--- =---— = h -> 0 (h ->• 0).
Призер 2. Функция
[ 1
_ Jx sin—при .г =/= О,
I 0 при ж == О
непрерывна па (—оо, оо); для всех х ф 0 опа имеет производную, но в точ-
ке х = 0 она пе имеет даже правой производной и' левой, потому что ве-
/ w - / (о . 1
личина------~ sin не имеет предела, когда h -> 0, оставаясь по-
ложительным или отрицательным
Если функции и(х) и к(х) имеют производные в точке х,
их сумма, разность, произведение и частное (при условии, что
v(x) 0) имеют производные и справедливы равенства
то
(4)
(ии)' = ии‘
VU — uv'
J- u'v.
(6)
Доказательство (4) приведено в
дадим независимой переменной х
ветствующие приращения пик будут Ап и Аг. Тогда
(и Ди) (v -г Дг) — ии __
§ 1.5. Докажем (5), (6). При-
приращенпе Ах. Пусть соот-
(uv)' — lim
1.
---- = 111X1-----------7----------—
Д1
1 •	Да , ।. Ди , ।. Аи .	, ,	,
= lim и —1- lim v —- Jim -т-\v = uv 4- vu ,
Дд._п	Дт	Дж 4я^0Дж
из того, что v имеет производную, следует, что опа
О при Ах -* 0.
потому что
непрерывна, т. е. что Аг
В частности, еслц^ С — постоянная, то (Си)' — Си' + С'и = Си,
потому что* С' — 0.
Докажем (6):
Аи Др
uY	т 1 /	и-'г Ди	т	РДж u Дж
- —	lim —	——= lim	—-—, . .	=
v! дх-»о-г Да г/ д^о v (i> +Дг)
vu — uv
§ 5.2. ДИФФЕРЕНЦИАЛ ФУНКЦИИ
131
Несколько.основных форму
в а и и я
л
дифференциро-
2
X
1.
— 1
-х2
(^¥=0).
Более
общая формула
— nx
х2п
(п = 1, 2.
Таким образом, справедлива формула
(хп)' — пхп~1 (п = 0, ±1,
обобщающая формулу § 1.5 (1) на любые
Дальше мы увидим, что она остается верной и для нецелых п.
9	.	.,__ /sinxV__ cos .г (sin ж)' — sin х (cos х)'
±2,
(7)
целые п.
п
3.
\cos xj	cos“x
COS X COS X — sin X (— sin ,r)
_	о
COS X	COS X
, . у ____(еоя xV____sin x (cos x)' — cos x (sin x)
(Cgx) — ^gin	~	sin2^
• 2	2
— Sill X— COS X	n
=--------------------— — cosec2 x.
sin X
sec2 х. (8)
(9)
1
§ 5.2. Дифференциал функции
Ксли функция / имеет в точке х производную, то существует
предел
Нт ТГх =	Ду = / (х + Дх) — / (х).
Отсюда следует, что =/'(х) + е(Дх), где е(Ах)-> О при Дх-►
-s 0. Таким образом,
Ау =/'(х)Дх + е(Дх)Дх; &(Дх) -> 0 при Дх -* 0	(1)
ПЛ II
Ду = f (х)Дх + о(Дх) (Дх-> 0).	' (1')
Если ввести обозначение А=/'(х), то равенство (1) можно
записать следующим образом:
Ду = ЛДх + о(Дх) (Дх0).	(2)
Говорят, что функция / дифференцируема в точке х, если ее
приращение Ау в этой точке можно записать в виде (2), где А —
некоторая константа, не зависящая от Ах (по вообще зависящая
от х).
132 ГЛ. 5. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ. ОДНА ПЕРЕМЕНИ ЧЯ
Из сказанного следует, что если функция / имеет в точке х
производную, то она дифференцируема в этой точке (.A=f'(x)).
Верно и обратное утверждение: если функция f дифференци-
руема в точке х, т. е. ее~ приращение в точке х представимо в ви-
де (2), то она имеет производную в точке х, равную числу А.
В самом деле, пусть приращение Дг/ в точке х представимо
в виде (2). Разделим обе части (2) па Ах и перейдем к пределу.
Тогда
]' (х) = А lim = /1 _j_ ]im 0 (i) — A.
A.v-*O
Таким образом, для того чтобы функция / имела производную
в точке х, необходимо и достаточно чтобы она была дифферен-
цируемой в этой точке.
Равенство (2) показывает, что если А = f (х) =/=0, то прираще-
ние функции эквивалентно при Ах 0 первому слагаемому пра-
вой части (2):
Ау « Л Ал (Ах-'-О).
В этом случае (когда А ¥= 0) член А Ах называется главным ли-
нейным членом приращения. Главный член линейно (точнее,
пропорционально) зависит от Ах. Приближенно, пренебрегая
бесконечно малой о(Ах) высшего порядка, при малых Ах можно
считать Ау равным главному члену.
Главный линейный член приращения называют дифференциа-
лом функции / в точке х (соответствующим приращению Ах не-
зависимой переменной х) и обозначают так:
dy = dj = j Ax') Ах.
В целях симметрии приращение Ах независимой переменной
обозначают еще через dx, полагая, таким образом, Ах = dx. Ото
соглашение не противоречит выражению dx = х’Ах = Ах для
дифференциала функции у = х от х.
Таким образом, дифференциал функции / в точке х запи-
шется так:
dy = f'(x)dx.	(3)
Из этого равенства следует, что производная от f в точке х рав-
на	т- е- она равна отношению дифференциала ф>унк-
ции f в точке х к соответствующему дифференциалу независимой
переменной х.
Надо иметь в виду, что дифференциал dx независимой пере-
менной не зависит от х, он равен Ах — произвольному прираще-
нию аргумента х. Что же касается дифференциала dy функции у
(отличной от х), то он зависит от х и dx (см. (3)).
Можно дать геометрическое представление указанных по-’
пятий.
§ 5.3. ПРОИЗВОДНАЯ ФУНКЦИИ ОТ ФУНКЦИИ
133
Рассмотрим (рис. 5.3). график функции у = fix); А и В суть
точки графика, соответствующие значениям х и х + Ах незави-
симой переменной. Ординаты точек А и В соответственно равны
;(.г) и fix + Ах). Приращение функции Ay =-.fix + Ах) — /(я) в
точке х равно длине отрезка BD и представляется в виде суммы
\ (/ = BD =* DC + СВ, где DC =
Mg а Ах = /' (х)Ах и а есть угол
между касательной в точке А к
Рис. 5.3.
графику и положительным на-
правлением оси х.
Мы видим, что отрезок DC
есть дифференциал функции / в
ючке х:
DC = dy = (fix) Ах.
Таким образом, па долю второго
члена СВ приращения Ау при-
ходится величина (ААх). Ота ве-
личина при больших Ах может
быть даже больше, чем главный член, ио опа есть бесконечно ма-
лая более высокого порядка, чем Ах, когда Ах -* 0. При /'(ж)=#0
для всякого ,е > 0 можно указать такое 6 > 0, что при всех Ах,
удовлетворяющих неравенству I Ах| <6, имеет место неравенство
С В/DC < е.
Отметим очевидные формулы:
d (и ± v) — (и ± и)' dx — и' dx ± и' dx — du ± dv,	(4)
d (ur) = (uv)' dx = (uv' -ф u'v) dx = и du -j- v du,	(5)
(ux	/ uV , vdu—udv
— | = I - dx ----------5---- (b)
Г/	\vj	C
Пример. Нужно прикинуть, сколько материала истрачено на изго-
товление коробки кубической формы, если известно,, что внутренний раз-
мер ребра коробки равен 10 см, а толщина стенок равна 0,1 см.
Объем куба есть функция К(«) = а3 от длины его ребра а. Объем сте-
нок коробки определяется как приращение функции
ЛГ = у(ю + 0, 1) - V( 10) « V(10) • 0, 1 =
= 0. 1 [За2]а = 10 = 300-0, 1 =30 (с.ч3).
§ 5.3. Производная функции от функции
Теорема. Пусть задана функция от функции z — lAx) =
fiqfix)), где y — qAx), z — fiy). При этом функция ф имеет про-
изводную в точке х, а функция / имеет производную в точке у.
Тогда существует производная от F в точке х, равная
Ffix) — j'J,y)(p'(x),	(1)
134 ГЛ. 5. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ. ОДНА ПЕРЕМЕННАЯ
Доказательство. Так как функция / имеет производную
в точке у, то опа дифференцируема в этой точке (см. предыду-
щий параграф), т. е.
Az = /'(г/)Ау + g(At/)Ay (e(Ai/) -* 0 при At/-*!))..	(2)
Будем считать, что е(0) = 0. Равенство (2) при таком согла-
шении останется верным (0= /'(у)0 + 0, 0).
Зададим приращение Ах независимой переменной х. Оно вле-
чет за собой определенное приращение Дг/ функции у = <р(х), ко-
торое, в свою очередь, влечет за собой приращение Аг функции
z = f(y), выраженное через Ау по формуле (2).
Но полученное число Аг есть в то же время приращение
функции z — F(x), соответствующее взятому нами приращению
Ах в точке х.
Разделив обе части равенства (2) па Ах, получим
^„Г(г/)^ + е(Дг/)^.	(3)
А.г	1 &х ' ' Кх
Перейдя теперь к пределу при Ах 0, получим производную
F' (х) = lim	= /' (у) lira	+ lim я Ду) lim	= 
Ах—0 а	Ат—О Ау-0	Ах—о
= /' (1/) ф' О’) 4- 0-ф' (х)	/' (у) <р' (.г).
Заметим, что соглашение, что е(0)=0, было сделано на тот слу-
чай, когда при некоторых Ах¥=0 будет Д(/ = 0.
Формула (1) может быть усложнена. Например, если z = /(.!/),
у = <р(х), х —ф(§) и все три функции имеют производные в со-
ответствующих точках, то Z| = zuyxx^.
Пример 1. Чтобы вычислить производную по переменной х от функ-
ции z = cos (sin3z2), вводим цепочку вспомогательных функций:
z = cos и, и — с3, v = sin /с = х-.
Тогда
t/z	/	->
= (cos и)' (г3) (sin И’)' (а?2)' =
= — sin и (Зс2) cos w-2x = — fix cos x2 sin2 x2 sin (sin3 x2).
Функции
sh X =	ех — е х	ch х =	ex + e~x
	2		2
с	sh х		ch x
th х —	ch х ’	cth x =	sh a"
называются соответственно гиперболическими синусом, косинусом, тай ге и-
§ 5.4. ПРОИЗВОДНАЯ ОБРАТНОЙ ФУНКЦИИ
135
сом, котангенсом. Очевидно,
(sh а:)' = (ех -Ц е~х) = ch ay	(4)
(ch х)' = (ех — е~х) = sh х,	(5)
ch х (sh г)' — sh х (ch г)' (ch а)2 — (sh т)2	1
(th х)' —-------—-—т------•-----=--------—	------- =	2 ,	(6)
(ch х)	(ch х)	(ch т)
,	/ 1 V (th х)'	1 (ch х)2	1
(ctha) th xj (th a)2 (ch ж)2 (sh т)2 (sh ж)2 ’
Другое доказательство теоремы. Рассмотрим некоторую
последовательность значений Дж 0.
Если ее значения вызывают соответствующие &у =/=0, то
Az	/Az ДгА , ,
“л-
Другой характерный случай, если значения Да: рассматриваемой после-
довательности вызывают Ду = 0. Тогда Дг = 0, и
Дз	О
lim -т— — im -г— = 0 = zu„.
А.с-,О А'с Дх-,0 Дж	V Х
Последнее равенство в этой цепи верно потому, что в этом случае, очевид-
но, необходимо ух = 0.
Если теперь последовательность значений Да; 0 произвольна, то из
нее всегда можно выделить подпоследовательность первого или второго ви-
Д-	, ,
да. В обоих случаях предел	(А.г ->0) существует и равен %уух. Но тогда
• Дг
существует предел для пашей последовательности (см. § 4.1, теорема
9), равный, очевидно, z^yr
§ 5.4. Производная обратной функции
Пусть на интервале (а, Ь) задана непрерывная строго моно-
тонная, т. е. строго возрастающая или строго убывающая, функ-
ция у — j(x'). Пусть образ (а, Ь) есть интервал (Л, В). Тогда об-
ратная к / функция х = <р(г/) есть однозначная непрерывная и
строго монотонная па (Л, В~) функция (см. § 4.5).
Зафиксируем х е (a, ft) и дадим ему приращение (х+Дже
е (я, ft)). Тогда / получит соответствующее приращение Дг/
(у, у + Ау^ (Л, В)), такое, что у + Дг/ = fix + Дж).
Наоборот, ф(г/ + Дг/) = х+ Дж.
Вследствие непрерывности прямой и обратной функций для
указанных Дж и Дг/ имеет место утверждение: из Дж-* 0 следует
Д у 0, и обратно.
Пусть теперь функция ср в точке у имеем неравную нулю
производную <р'(г/). Покажем, что в таком случае функция f так-
136 ГЛ- 5. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ. ОДНА ПЕРЕМЕННАЯ
же имеет в соответствующей точке х производную. В самом -деле,
\у_______________________________1_
Дж Д.с’
	Ту
Так как из того, что \х 0, следует, что Т/ -* 0, то
..	Д?/	1	1
hm =---------— = —г-,—,
а.г-о А/с lim Т
и мы получили
г =та	W
или
(!')
ах ах	' 7
ф/
Этим доказано, что если у — fix') есть строго монотонная не-
прерывная функция и т = ф(у)—обратная к ней функция, имею-
щая в точке у производную ф'(у)^О, то функция j имеет в соот-
ветствующей точке х производную, определяемую формулой (1).
Может случиться, что в точке у lim —= оо. В этом случае,
очевидно, функция / имеет в точке х производную /'(а:)=0.
Если же lim= О, то для строго возрастающей функции
Ду-о '
при этом Ax/Ai/>0, а для строго убывающей Ая/Аг/<0. В пер-
вом случае fix) — +°°, а во втором fix) —
Производная lgn х. На основании доказанной теоремы, ес-
ли у = Igo X, то
(ig« xY = ттр- = —-— = -4—	О > °)-
(“ ) аПпа х Ьа х
В случае натурального логарифма производная имеет особен-
но простой вид
(1и;г)'=4--
Этим объясняется, что в математическом анализе, по крайней
мере в теоретических рассуждениях, предпочитают рассматри-
вать логарифмические функции при основании е.
Функция In х как действительная функция определена толькр
для положительных значений х*).
*) Для отрицательных .г функция In ж также может быть естественно
определена как комплексная функция. Но эти вопросы нас здесь не инте-
ресуют,
§ 5.4. ПРОИЗВОДНАЯ ОБРАТНОЙ ФУНКЦИИ
137
Но можно рассматривать функцию In 1x1, которая определена
как для положительных, так и для отрицательных х. Ее график
симметричен относительно осп у, а для положительных х совпа-
дает с графиком In х (рис. 5.4).
Функция In |х| будет играть большую роль в интегральном
исчислении. Ее производная при хч^О равна
(In | х 1 у = -р-р sign х = -1- (х #= 0),
где
f 1 для х > 0,
sign х — ।	.	. п
(— 1 для х < 0.
(См. далее § 8.1, второй пример таблицы неопределенных ин-
тегралов.)
Для производной от степенной функции х’"(х > 0), где п — лю-
бое действительное число,
имеет место формула
(х-')' = (еп1пх)' = -2-е"1пж =
= пхп~\	(8)
обобщающая формулу § 1.5,
(1).
Производные обрат-
ных тригонометриче-
ских ф у н к ц и й. Функция у = arcsin х строго возрастает на
отрезке [ — 1, +11 и отображает этот отрезок па [—л/2, л/2].
Обратная к ней функция х — sin у имеет производную (sin у)'=
= cos у, положительную на интервале (—л/2, л/2). Поэтому
, • v 1 1
tarcsin х) =	—-у =----------
7	(sin у)	cosy
1 _ 1
}У 1 — sin2 у ]/1 — г2
(—1<х<1).
Следовательно,
(arccos х)' =	— arcsin х 1 =	. (— 1 < х < 1).
\ “	/ у 1 — У1
Здесь берется арифметическое значение корня (со знаком « + »).
Функция у =arctg х строго возрастает на действительной оси
( — оо, -f-оо) и отображает ее па интервал (—л/2, л/2). Обратная к
ней функция x = tgy имеет производную (tg уУ — sec2 у, не рав-
ную нулю па этом интервале. Поэтому
111 1
(arctg х)' = -—-7 = —5— =-5— =-— (— оо < х < оо).
(tg У) sec2 у 1 + tg2 у 1 + j.,j
 (igx")2
Упражнение. Доказать равенство (lgxа)' = — —
138 ГЛ. 5. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ. ОДНА ПЕРЕМЕННАЯ
§ 5.5. Таблица производных
простейших элементарных функций
(С)' = О (С — постоянная);
(tg ж)' — sec2 ж;
(хп)' = пж’1 1 (п = 0, + 1, + 2, .. .); (ctg ж)'— — coscc3 ж;
(ахУ = In а-ах (а > 0);	,  , 1 arcsin ж) = 	; /1-ж2’
(ха)' — ажа-1 (.г > 0);	z , 1 (arccos ж) — —
Jsaf (lga ж)' » х (ж > 0, а > 0); 1 (1пж)'х=— (ж>0); 1 (1п|ж|)' = — (Ж^О);	1 (arctg ж) =-	2 ; 1 -|- X (sh ж)' -= cli ж; (ch ж)' — sh ж;
(
1 (ж > 0);
- 1 (ж < 0);
1
(th з-y ~---------т;
(ch ж)2’
, 1
(сth .Г) -- — ---------5.
(Sh.T)“
(sin ж)' ----- cos ж;
(cos х)' = — sin X.
Упражнени я.
Показать, что *)
1.
Vах1 у Ъх-\-с =
2я.г-,' Ъ
2 аж2 Ьж -1 с
(I х | У --= sign х
е
2. "Zrln (z +	3
! х \'	1
3, arcsin — --- -у—
t а /	1/„2
1
1. arcsin —I — 4----------/ ... (верхний знак соответствует ж > О,
\ х 1 ж И ж2 — 1
а нижний ж < 0).
5. (жх)' = (е* 1п х)' = хх (1 4- In ж).
1	( I х I V 1
С. (in I tg ж I)' = —----, откуда I In tg -п- I — —г—.
' 1 "в 1' sin ж cos ж	\ I в 2 |/ sin ж
7. —г— (arcsin —— -|- —ZX а2 — ж2) = ]/а2 — ж2.
\	а а~	/
8. ( |ж|р)'	^0- (Р>1).
(О,	ж = 0.
♦) Формулы 1—7 полезно иметь в виду при вычислении неопределен-
ных интегралов.
§ 5.6. ПРОИЗВОДНЫЕ II ДИФФЕРЕНЦИАЛЫ ВЫСШЕГО ПОРЯДКА 139
. § 5.6. Производные и дифференциалы высшего порядка
Производная от функции / есть снова функция. Поэтому мож-
но попытаться взять от нее производную. Полученная функция
(если она существует) называется второй производной от jkx) и
обозначается через /"(х). Таким образом,
/"U)=(/'(z))'.
По индукции, производная /<п)(х) порядка п определяется как
первая производная от производной /(п-1>(а:) порядка (и—1):
Конечно, производная re-го порядка от данной функции / в
данной точке х может существовать и не существовать.
Если говорят, что функция / имеет производную n-го порядка
в точке х, то этим самым утверждают, что она имеет в достаточ-
но малой окрестности точки х производную	порядка
(/г —1), которая имеет производную в точке х. Эта последняя
обозначается через /’"’(я) и называется производной порядка п
от / в точке х.
Функция хт, где m — целое положительное число, имеет на
всей действительной оси производную любого порядка
(ж"')"’) = m{m — 1)... (m — п + l)xm~n.
1 Гри п > m (xm)M = 0.
Степенная функция ха, где а — произвольное действительное
число, имеет для х > 0 производную любого порядка и, опреде-
ляемую по аналогичной формуле
(а;О)(п)	а(.а_ 1) ... (а— п+ i)xa~n.	(1)
Очевидно,
(ax)(n) = (In	(—°° < я < °°),	(2)
и, в частности,
-(ех)(п) = ех (—°° < я < °°).	(3)
Нетрудно проверить формулы
(sina?)(m) = sin^x 4- (п = 1, 2, ...),	(4)
• (cos т)(п> = cos (я +	(5)
Если s = /(i) есть функция, выражающая зависимость прямо-
линейного пути, пройденного точкой, от времени t, то вторая
производная s" = f" (t) есть ускорение точки в момент t. В даль-
нейшем мы увидим, что знание второй производной от функции
имеет большое значение при изучении поведения ее графика.
140 ГЛ. а. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ. ОДНА ПЕРЕМЕННАЯ
Формула Лейбница. Если функция j=>uv, где ни v а
свою очередь функции, имеющие в некоторой точке производные
порядка п, то f имеет производную n-го порядка в этой точке,
выражаемую по формуле Лейбница:
uvw + C},u'v{'l~^ + Clu"^+ ... -г и{'% = £(?'
/-0
(В)
где С1п — биномиальные коэффициенты и и*'” = и (см. § 5.9,
(б) и (7)).
Доказательство этой формулы проводится но индукции.
При п = 1 она очевидна. Если предположить, что опа верна при
п, то ее верность при п + 1 получается пз следующих выкладок:
'<,,+U = i	=2 С' (u(/+”r("-" + u^~'+1
7—0	7=0

0
так как С®+1 = Ca„ С* =	== 1 и Cj.+i = Cln + C'~l (I ^1,...
Пример, (.r sin z)100 -----
l л \	t nA
---ж sin I .r100 — 1100-1-sin I ж г 99 —I - .r sin ж — 100 cos .r.
Рассмотрим функцию у = /(ж), заданную на некотором интер-
вале («, Ь). Ее можно бесконечным числом способов записать
в виде
у = <р(ф(ж)). = /(ж) (те(я, 6)).	(7)
Ниже мы будем употреблять следующую терминологию: пере-
менная у есть функция (у = /(ж)) от независимой переменной х;
эта же самая переменная у есть функция от зависимой перемен-
ной ц(у=-ф(н), и^х). Последняя зависит от независимой пере-
менной х(и — ф(ж)). Таким образом, роль переменной х здесь
носит исключительный характер — она в этих рассуждениях бу-
дрт фигурировать только как независимая переменная.
Дифференциал от функции /
dy — j'(x)dx	(8)
мы будем также называть первым дифференциалом от / в точке
х, соответствующим дифференциалу (приращению) независимой
переменной dx = Дж.
Дифференциал п-го порядка от функции j в точке х, соответ-
ствующий дифференциалу независимой переменной dx = Дж, он-
§ 5.G. ПРОИЗВОДНЫЕ It ДИФФЕРЕНЦИАЛЫ ВЫСШЕГО ПОРЯДКА 141
ределяется по индукции:
d'y = сН&'-'у) = dl.i'"''dx')dx,:-') =	(9)
Таким образом, в этих равенствах дифференциалы d и dn~l
берутся для одного и того же дифференциала dx независимой пе-
ременной х, который tipti этом рассматривается как постоянная
величина (не зависящая от х).
Из равенства (9) следует, что п-я производная от / в точке
,г есть отношение
(Ю)
ах
где в числителе d"y есть п-я дифференциал от у в точке х, соот-
ветствующий тому значению dx, которое стоит в знаменателе.
Пусть теперь переменная у рассматривается как функция от
зависимой переменной и(и^х), т. е. у = ф(к), и = ф(ж), где ф
и ф имеют достаточное число производных. Тогда
cly = f^x^dx — ф'(и)ф'(а:)йа: = (f>'(u)du,	(11)
и мы выразили первый дифференциал dy через и.
Равенство (11) замечательно вот с какой точки зрения. Мы
определили дифференциал dy функции у как произведение про-
изводной от у по независимой переменной х на дифференциал
dx. Оказывается, что dy можно определить так Же, как произве-
дение производной от у но зависимой переменной и на дифферен-
циал du. При этом имеют место равенства
dy y'xdx = y'udu,	(12)
если, конечно, дифференциал du, стоящий в третьем члене (12),
соответствует именно тому dx. которое стоит во втором члене (12).
В этом смысле говорят, что форма dy = <f'(u)du записи перво-
го дифференциала инвариантна относительно любой переменной
и. Для дифференциалов второго и более высокого порядка инва-
риантность уже не имеет места. Мы хотим этим сказать, что при
п > 1 и и х d"y, вообще говоря, не равняется ф(,|)(и)</и", как
это имеет место по определению в случае, когда и = х есть неза-
висимая переменная.
В самом деле,
d'y — d(dy) = d(q>'(n)dw) = dq'(a)du + q/(it)d2u =
= ф" (u)(du)2 •+ q/(u)d2u. (13)
Теперь d2u ¥= 0 и членом ф'ФИ'и нельзя пренебречь, ведь dlu =
= ф" (x}(dx)'i. Таким образом, второй дифференциал, в отличие от
первого, не имеет инвариантного характера.
142 гл. 5. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ. ОДНА ПЕРЕМЕННАЯ
Тб же явление (отсутствие инвариантности) имеет место и для
дифференциалов более высокого порядка. Имеем
d'y == d(d2y) = ф'"(и)(йи)3+ф" (u)d(du)2 + ф" (u)du d2u + ф'(н)й3я =
= ф'"(u)(du)3 + ф" (u)2Ju d2u + ф" (u)du d2u + ф'(u)d3u =
= ф'"(и)(б?1г)3+ Зф" (u)du d2u + ф'(н)й3н.	(14)
В этом же духе вычисляются дифференциалы более высокого
порядка. К сожалению, с увеличением п соответствующее выра-
жение для dny становится все более и более громоздким.
Пусть у есть функция от и, где и — зависимая переменная,
т. е. в свою очередь есть функция от третьей переменной х. Явно
эту последнюю зависимость и от х мы не хотим выражать. Боль-
ше того, мы можем ее вовсе не знать, а только предполагать, что
такая зависимость есть. Требуется вычислить процзводиые от у
по и: уи,уи,Уи, . ..
Мы уже знаем, что
= £ <15>
т. е. что производная от у по переменной и равна отношению
дифференциалов: dy.du.
При вычислении производных более высокого порядка при-
меняется это правило и правило вычисления дифференциалов от
суммы, разности, произведения и частного (см. § 5.2, (4), (5),
(6)). Кроме того, ладо иметь в виду, что d"y = d(d’l~iy').
Имеем
ЛФЛ
'' _ \du] j du d2 у—-dy d~n du d“y— dy d2u
У и — —  = —--------:--;---- —- -------у----. у10)
dU	du	du3
Левая часть (16) есть вторая производная от у по и, а правая
часть есть определенное рациональное выражение от дифферен-
циалов du, dy, d2u, d2y. Если u = x, т. e. независимая переменная,
то du=dx=^{), a d2u = 0, и из (16) следует уже известное нам
,2
" d у	Y
равенство уи = —т, но если и есть функция от х, не равная х,
du
то уп вычисляется по формуле (16).
Имеем также
(du d~у — dy d2u \
du3 I
V'1 — du
du3 (d2u d2y + du d3y — d2y d2u — dy d3u) — (du d2y — dy d2u) 3du2d2u
du7
(17)
§ 5.7. ВОЗРАСТАНИЕ И УБЫВАНИЕ ФУНКЦИИ
143
Добавление. Производная от четной функции есть функ-
ция нечетная:
. I. f (—г- h) — f (—>) J. /(.г — h) — f (х)	,, , .
I (— ж - Ilin—--------j—= lim --------------7—— = - / (ж).
Л--0	n	n
Аналогично производная нечетной функции есть четная функ-
ция. Поэтому производная порядка к от четной функции есть
четная или нечетная функция в зависимости от того, будет ли
к четным или нет.
§ 5.7. Возрастание и убывание функции
на интервале и в точке. Локальный экстремум
Функция / называется строго возрастающей на интервале
(л. Ь) (или отрезке [а, 51), если для любых точек х,, хг из (а,Ь)
(или [в, 5]), удовлетворяющих неравенству Xt < ж2, имеет место
неравенство J(xt) < f(x>).
Функция / называется неубывающей на (а, Ь) (или [а, 51),
если из того, что х,, ж2е (а, Ь) (или [д, 51) и х, < xt следует
/(ж,) С/(аг2).
Аналогично, функция / называется строго убывающей, соот-
ветственно невозрастающей на (а, 5) (или [а, 5]), если из того,
что х,<х2, х,, х2<^(а, 5) (или [а, 51) следует, что f(xl)>j(x2),
соответственно f(xi) i(x,).
Пусть функция / определена в некоторой окрестности точки х.
Тогда для достаточно малых Дж имеет смысл ее приращение в
точке Х-.
Ку = j(x + Дж) — f(x).
По определению, функция /:
4) возрастает в точке х, если существует 6>0 такое, что
g>0 (0<|Дж|<6);	(1)
2)	убывает в точке х, если существует б>0 такое, что
^<0 (0<|Аж|<6);	(2)
3)	достигает локального .максимума в точке х, если существу-
ет б > 0 такое, что
Aj/=s;O (I Лж I < 6);	(.3)
4)	достигает локального минимума в точке х, если существу-
ет 6 > 0 такое, что
Ку > 0 (I Дж| < б).	(4)
Подчеркнем, что все неравенства (1) — (4) должны соблюдать-
ся для достаточно малых Дж, положительных и отрицательных.
144 ГЛ. 5. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ- ИСЧИСЛЕНИЕ. ОДНА ПЕРЕМЕННАЯ
Указанные четыре свойства можно еще выразить так: для
всех точек х'е(х —6, х) и для всех точек.х" ^(х, z + б) имеет
место:
в случае 1) /(х') < f(x) < f(x" ),
2) /(/)> /(x)>f(x");
и для всех точек х' е (х — 6, х + 6):
в случае 3) /(#') < /(х),
4) Дх') > /(х),
т. е. в случае 3) значение / в точке х является максимальным
в достаточно малой окрестности х и в случае 4) значение / н
точке х является минимальным в достаточно малой окрестности х.
Локальные максимум или минимум называют локальным
экстремумом.
В дальнейшем нас будет интересовать вопрос, как узнать, что
имеет место тот или иной из приведенных четырех случев, если
известны производные от / первого или более высокого порядка
в точке х или по соседству с ней.
Допустим, что функция / в точке х имеет положительную
производную: lim — f(x) > 0. Таким образом, величина
Дх^О а
Ьу/Ьх, являющаяся при фиксированном х функцией от Дх, стре-
мится к положительному числу. Но тогда (см. теорему 2 § 4.1) и
сама эта величина должна быть положительной для всех- Ах,
удовлетворяющих неравенству |Дх! < б, при достаточно малом б,
т. е. согласно определению 1) функция / в точке х должна воз-
растать.
Аналогично доказывается, что если /'(х)<0, то / убывает
в точке х. Мы доказали следующую теорему:
Террема. Если функция / в точке х имеет положительную
(отрицательную} производную, то она возрастает (убывает)
в этой точке.
Из этой теоремы немедленно следует
Теорема Ферма. Если функция f достигает в точке х ло-
кального экстремума (максимума или минимума) и в ней суще-
ствует производная f(x), то последняя равна нулю (f'(x) = 0).
В самом деле, если бы f'(x) =/= 0, то в силу предыдущей теоре-
мы функция должна была бы быть возрастающей или убываю-
щей в точке х, что исключает возможность существования экстре-
мума функции в этой точке.
Эту теорему можно сформулировать и так:
Для того чтобы функция f, имеющая в точке х производную,
достигала в ней локального экстремума, необходимо, чтобы про-
изводная от f в этой точке была равной нулю.
Конечно, условия /'(х) = 0 недостаточно, чтобы функция име-
ла в х локальный экстремум. Если /'(х) = 0, то функция / мо-
§ 5.8. СРЕДНЕЕ ЗНАЧЕНИЕ. КРИТЕРИИ ЭКСТРЕМУМОВ
145
•.кет не иметь локального экстремума в точке х. Она может в этой
точке возрастать, как это имеет место, например, для функции х*
при х=0, убывать (например, fix') = — х3 при х — 0), а может
точка х и не быть ниточкой возрастания ни убывания, ниточкой
экстремума функции. Например, функция
{.с2 sin—, х =/= 0,
х
0, х = 0
(5)
имеет производную /'(0) = 0, потому что
limiH-./W == Um т = Rm	= lim х sin 1 = 0
.V^o х~°	х х->о х	х-о х ‘
( I  1
I ведь sin —
окрестности
С другой стороны, в любой как угодно малой
Ы < 6 точки 0 как справа, так и слева от нее f
принимает положительные и отрицательные значения. Поэтому
точка 0 не является ни точкой возрастания, пи точкой убывания,
он точкой экстремума функции /.
В следующем параграфе мы переходим к очень важным тео-
ремам, называемым теоремами о среднем. С их помощью будет
весьма удобно получить дальнейшие заключения, относящиеся к
leopnn локальных экстремумов.
§ 5.8. Теоремы о среднем значении.
Критерии возрастания и убывания функции на интервале.
Достаточные критерии локальных экстремумов
Тзорема Ролля*). Пусть функция / непрерывна на от-
резке [а, &], имеет производную на интервале (а, Ъ) и принимает
равные значения на концах его ifia) =/(&)).
Тогда на интервале (а, Ь) есть хотя бы одна точка с, где про-
изводная от f равна нулю (/'(с) =0).
Доказательство. Пусть М и m соответственно максимум
и минимум f на отрезке [а, Ь]. Они существуют в силу непрерыв-
ности / на [а, &]. Если выполняются равенства М = m = fia), то
/(х)=Л/ для всех x^la, Ь] и /'(с)=0 в любой точке се (а, Ь).
Если же указанные равенства одновременно не выполняются, то
но крайней мере одно из чисел М или m отлично от числа
<(«)=/(&), пусть для определенности М. Но тогда максимум
функции / па отрезке [а, 6] достигается в некоторой точке с ин-
тервала (а, Ь) и, следовательно, в этой точке / имеет также ло-
кальный „максимум. Так как в точке с производная /'(с) суще-
*) М. Ролль (1652—1719) — французский математик, доказавший эту
'Н'орему для многочленов.
10 С. М. Никольский, т. I
146 гл. 5. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ. ОДНА ПЕРЕМЕННАЯ
ствует, то по теореме Ферма она равна пулю. Случай т ¥= fia)
разбирается аналогично.
Теорема доказана.
Теорема о сред нем Кош и. Пусть функции ф(ж) и ф(ж)
непрерывны на отрезке [а, Ь] и имеют производные на интервале
(а, Ь) одновременно не обращающиеся в нуль. При этом qib) —
— ф(а) ¥= 0 *).
Тогда на интервале (а, Ь) найдется точка с, для которой вы-
полняется равенство
(fl<c<b).	(i)
Ф (&) — ф (а) ф (с)	'	'	' '
Доказательство. Вводим функцию
Fix) = [ф( fe) — ф(а)] фЫ — [ф(&) — ф(а)] 1|>(х).
Она, очевидно, непрерывна на [a, fe] и имеет производную на ин-
тервале (а, Ь). Кроме того, F(a) — Fib). Поэтому по теореме Рол-
ля найдется такая точка с е (а, 6), что F'ic) = 0, т. е.
[ф(6) — ф(а)]1|/(с) = [-ф( Ь) — ф(а)]ф'(с).	(2)
Число ф'(с)¥аО, потому что в противном случае, в силу того,
что ф(&) — ф(а) 0, было бы ф'(с) = 0, но ф'(с) и 1р'(с) по усло-
вию одновременно не равны пулю. Поэтому произведение 1ф(£) —
— ф(а)]ф'(с) ¥= 0. Разделив па него левую и правую части ра-
венства (2), получим (1).
Как следствие из теоремы Коши при ф(х) *= х и ф = / полу-
чим теорему Лагранжа:
Теорема о среднем Лагранжа **). Пусть функция fix')
непрерывна на отрезке [а, 5] и имеет производную на интервале
(а, Ь). Тогда существует на интервале (н, Ь) точка с, для кото-
рой выполняется равенство
fib) - fia) = ib - a)f (с) (а<с<Ь).	(3)
Теорема Лагранжа имеет простой геометрический смысл, ес-
ли записать ее в таком виде:
=	{а<с<Ь).
Левая часть этого равенства есть тангенс угла наклона к оси
х хорды, стягивающей точки («, fia)) и ib, fib)) графика функ-
ции y = fix), а правая часть есть тангенс угла наклона касатель-
ной к графику в некоторой промежуточной точке cs(a, b).
Теорема Лагранжа утверждает, что если кривая (рис. 5.5) есть
график непрерывной на 1а, Ь] функции, имеющей производную
*) Заметим, что, например, условие ф'(т) ¥= 0 на (я, Ь) влечет за со-
бой ф(Ь)—ф(я)=/=0.
♦*) Ж. А. Лагранж (1736—1813) — французский математик,
§ 5.8. СРЕДНЕЕ ЗНАЧЕНИЕ. КРИТЕРИИ ЭКСТРЕМУМОВ
147
на (а, Ь), то на этой кривой существует точка, соответствующая
некоторой абсциссе с(а < с < Ь) такая, что касательная к кривой
в этой точке параллельна хорде, стягивающей концы кривой
(а, /(а)) и (b, f(b)).
Равенство (3) называется формулой
приращений. Промежуточное значение
с удобно записывать в виде
с = а + 0(6 — а),
где 0 есть некоторое число, удовлетворя-
ющее неравенствам О<0<1. Тогда фор-
мула Лагранжа примет вид
/(6) — /(а) = (Ь — a)f(a + 0(6 — а))
(О<0<1).	(4)
(Лагранжа') конечных
Она верна, очевидно, не только для а < Ь, но и для а > Ь.
Теорема 1. Функция, непрерывная на отрезке [а, Ь] и име-
ющая неотрицательную (положительную) производную на интер-
вале (а, Ъ), не убывает (строго возрастает) на 1а, Ь].
Действительно, пусть а^ Xi< х2 Ь; тогда на отрезке [лч, х2]
выполняются условия теоремы Лагранжа. Поэтому найдется на
интервале (xlt х2) точка с, для которой
f(x2) — f(xt) = (х2 — Xt)j'(c)  (xt< с < х2).
Если по условию f >0 на (а, Ь), то f'(c) >0 и
f(x2) — j(xt) > 0;	(5)
если же /' > 0 на (а, Ь), то f'(c) >Р и
f(x2) — f(xt) > 0.	(6)
Так как неравенства (5) и (6) имеют место, каковы бы ни были
;<?!, х2, где a^Xt-< х2^Ь, то в первом случае /не убывает, а во
втором / строго возрастает на отрезке [а, 6].
Теорема 2. Если функция имеет на интервале (а, Ь) про-
изводную, равную нулю, то она постоянна на (а, Ь).
В самом деле, на основании теоремы Лагранжа имеет место
f(x) — j(xt) = (х — Xi)f'(c),
где Xi — фиксированная точка интервала (а, Ь), х—произволь-
ная его точка (она может находиться справа и слева от Xi) и с —
некоторая, зависящая от Xi и х точка, находящаяся между xt и х.
Так как по условию f'(x)=O на (а, Ь), то f(c)=O и ,j(x) =
= /(х1)=С’ для всех х<=(а, Ъ).
Заметим, что в приведенных теоремах ослабление налагаемых
в них условий может привести к неверности утверждений.
448 ГЛ. 5. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ.- ОДНА ПЕРЕМЕННАЯ
Например, функция j{x), определяемая равенствами
/(*) =
(рис. 5.6), очевидно, непрерывна на отрезке [0, 1], равна нулю
на его концах и имеет производную во всех точках (0, 1). за
исключением только одной точки г = —, и для нее уже, очевидно,
не выполняется теорема Лагранжа.
Докажем теорему, которая дает до-
статочный критерии существования ло-
кального экстремума функции. .
Теорема 3. Если функция f не-
прерывна в окрестности точки X. и име-
ет производную
/'Сг)>0
/'(х)	0
(^0)
ОО)
справа от х„,
слева от zu,
то х0 есть точка локального минимума {максимума) f.
Выражение справа {слева) от х0 означает «на достаточно ма-
лом интервале с левым (правым) концом т0». Доказательство не-
посредственно следует из формулы конечных приращений.
&f — j{x) — f{xa) = {х — x0)l'{x„ + 0(z ~^x0)),
потому что из условий теоремы следует, что правая часть фор-
мулы неотрицательна (неположительна) в достаточно малой ок-
рестности точки х0 независимо от знака х — х0.
Заметим, что в этой теореме существование производной в са-
мой точке х0 не предполагалось. Конечно, если производная f{x„)
существует, то по теореме Ферма она равна пулю.
Следующая теорема дает достаточный критерий существова-
ния локального экстремума функции по знаку второй про-
изводной.
Теорема 4. Если функция f удовлетворяет условиям /'{ха)~
= 0 и f"{x„)>0 (/"(z0)<0), то х0 есть точка локального мини-
мума {максимума) функции j.
Доказательство. Существование второй производной в
точке х:1 влечет за собой существование первой производной
f'{x) в окрестности точки ха и, тем более, непрерывность / в этой
окрестности. Из того, что /"(z0)>0 (<0) следует, что f(x) воз-
растает (убывает) в точке х0 и, так как /(zo)=O, то справа от
zn/'>0(<0), а слева от z0/'<0(>0). Теперь утверждение тео-
ремы следует из предыдущей теоремы.
§ 5.8. СРЕДНЕЕ ЗНАЧЕНИЕ. КРИТЕРИИ ЭКСТРЕМУМОВ
149
Мы знаем, что непрерывная на отрезке [а, Ь] функция, имею-
щая всюду на интервале (а, Ь) положительную производную,
строго возрастает на отрезке [а, Ь]. С другой стороны, пример,
который приводится ниже, показывает, что если непрерывная в
окрестности точки х = 0 функция / имеет положительную про-
изводную в этой точке, то отсюда не следует, что / возрастает в
некоторой достаточно малой, окрестности х — О»
Таким образом, возрастание функции в точке не влечет, вооб-
ще говоря, ее возрастание в некоторой ее окрестности.
Пример 1. Функция F (л) =у -f- / (л), где / определяется равенством
1
(5) предыдущего параграфа, имеет производную F' (0) =-2’+ f (0) = 1/2 > О
в точке х = .0 и. следовательно, возрастает в этой точке. В то же время
она не возрастает на любом интервале, содержащем эту точку. Действи-
тельно, для х 0
1 1 1
. F' (л)	— сов — + 2»sin—.
При Xk = 1//>л (к ==1,2,...)
гЫ=4-(-1Л
откуда видно, что в любом интервале, содержащем в себе нулевую точку,
производная F' принимает значения разных знаков и, следовательно, F не,
изменяется на нем монотонно.
Пример 2. На отрезке [—1, е] дана функция
... Гл-In I X I,	л^=0,
ф (л) — 1
[0,	X = 0.
Она непрерывна, имеет конечную производную всюду на [-—1, е], за ис-
ключением х = 0, где
ф (А) — ф (0)
ф' (0) = lim -----г------= lim In | h I — — oo.	(7)
/<•«	"	k-,0
Hi (7) следует, что ф в точке х = 0 убывает. Уравнение -ф'^) — 1 +
4-In =0 имеет два корпя: л-, = —1/с, лг = 1/с. Кроме того, ф"(т) =
= 1/л (х #= 0) и ф"(—1/с) <0. ф"(1/.е) >0, следовательно, —1/е есть
точка локального максимума, а 1/с—точка локального минимума.
Пример 3. График функции (см. § 8.9)
Г — а
b -j- 2t "|/с
(б2 — 4ес <0, с > 0)
распадается на две непрерывные ветви, соответствующие изменению t на
(—оо. —Ь/2^с), (—Ь12.}с, оо). На каждом из этих интервалов функция мо-
нотонно возрастает от —оо до -f-оо. Это легко видеть, если учесть, что в
силу условия Ь2 — 4ас > 0 производная л' > 0 и при t — —Ь/2}с выраже-
/ о с П
пие (Г — а) =	— а < 0.
150 ГЛ. 5. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ. ОДНА ПЕРЕМЕННАЯ
§ 5.9. Формула Тейлора
При помощи формулы Тейлора *) можно по данным значени-
ям /(«), /'(а), ...,	функции / и ее производных в точке
а и некоторым сведениям о производной /(п) в окрестности этой
точки узнать приближенно, часто с большой точностью, значе-
ние / в точках этой окрестности.
Средством приближения являются специально строящиеся по
указанным значениям Многочлены, называемые многочленами,
Тейлора данной функции.
Мы начнем с того, что выведем формулу Тейлора для мно-
гочлена
Р(х) — b0 + b.x + ... + bnx“.	(1)
Зададим произвольное число пив правой части равенства
(1) произведем замену х на {х — а) + а:
РЫ — Ъа +	— а) + al + ... + Ьп[(х — а) + а]п.
Затем раскроем квадратные скобки и приведем подобные при
одинаковых степенях х — а. В результате получим равенство
Р (ж) = Ро (х — а) -)-... (х — а) = 2 Рй — а) > (2)
h=0
где р* — постоянные, зависящие от исходных коэффициентов Ь,,.
Равенство (2) называется разложением многочлена Р(х) по
степеням х — а, а числа называются коэффициентами данного
разложения.
С этой точки зрения исходное равенство (1) можно трактовать
как разложение P(z) по степеням х, т. е. по степеням х — а, где
а = .0.
Будем последовательно дифференцировать равенство (2):
P'(x) = + 2р2(^ — и) +	— а)2 + ...,
Р" (х) = 2р2 + 3 • 2p3(z — а) + 4 • Зр4(ж — а)2 + ...,
Рт(х) =	+ (/с + Ш... 2pk+1U - а) + ...
В последнем равенстве, определяющем /с-ю производную, по-
ложим х = а. Тогда в правой части все члены, начиная со второго,
обратятся в нуль, и мы получим Р^Ча) = k\$h (k = 0, 1, 2, ...).
При этом, как обычно, мы считаем, что Р(0,(а) = Р(а), 0! = 1.
|1так, коэффициенты разложения (2) многочлена Р(х) по сте-
пеням х — а необходимо выражаются по формуле
(к = 0, 1, 2 ...).	(3)
а!
) Б. Тейлор (1685—1731) — английский математик.
§ 5.9. ФОРМУЛА ТЕЙЛОРА
151
Отсюда, в частности, следует, что один и тот же многочлен
75(х) степени п можно разложить по степеням х — а единствен-
ным образом, т. е., если для всех значений х
п	п
Р(х) = 5 Рд (* — а)к = 2 (я — a)h,
/<-0	k~0
где	постоянные, то
(*=0,1,
так и Од вычисляются по одной и той же
Ведь как числа
формуле (3).
Итак,

= 2^о-«)‘- (ч
А=о
Формула (4) называется формулой Тейлора по степеням
х — а для многочлена Р(х) степени п.
Формулу Тейлора по степеням х, т. е. выражение
Л!
fi l)
(5)
называют также формулой Маклорена.
II р и м е р 1. Б и и о м Ньютона. Рассмотрим многочлен n-й степени .
где а — произвольное число, а п — натуральное число. Его k-я производная
равна
Р(*)(Х) = «(,1— |) ... (п — к +
откуда /чм(0) = п(» — 1) ... (п — 7<-+
ванни формулы Маклорена для многочлена п-И
п (п — D „_2 2 ,
--2!---а х +
ь ч(»-1)М-2) в„_^3
и, следовательно, на осно-
степени будем иметь
(«-J т)" = а" ;-па'
3!
(п - 1) ... 1
ip “	+* •
Ньютона.
(6)
Это равенство называется формулой бинома
Если ввести обычное обозначение
п (п — 1) . . . (п — /,•+ 1)
С'> ];! >
то формула бинома Ньютона может быть записана в более компактной
форме:
(7)
(«+^= спаП~^к-
Л-0
(6')
п

152 ГЛ. 5. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ. ОДНА ПЕРЕМЕННАЯ
Числа	называются биномиальными коэффициентами.
Отметим, что если числитель и знаменатель дроби в (7) помножить па
(п — к)!, то получим
й n(n—i)...(n — k + 1)(п—к) , .. 1
Сп —	Л! (п — к)\
т. е.
№ = 0,1, 2,... я).	(7')
Случай к = 0 тоже включается в эту формулу. Ведь 0! = 1.
Другое важное свойство биномиальных коэффициентов выражается ра-
венством
pk + 1   ph I /'’fc-t-l
Доказательство его предоставляем читателю. Если учесть, что С® = О’” =1,
то с помощью последнего равенства можно легко получить последова-
тельно числа для любых п и к, всякий раз пользуясь только одним
действием сложения.
Выше мы вывели формулу Тейлора для многочлена. Пусть
теперь в окрестности точки а задана функция /, не являющаяся
многочленом степени п — 1, по имеющая там производные до п-
го порядка включительно*).
Вычислим числа /(a), j\a), ...,	и составим при их по-
мощи функцию
п —1	,
у /(ft) («)
А.1
^0
(х — a)h.
(8)
Очевидно, Q есть многочлен степени п — 1. Он называется
многочленом Тейлора, именно (га—1)-.н многочленом Тейлора,
функции f по степеням (ж —а).
Если бы исходная функция / сама была многочленом степени
п — 1, то, как мы установили, выполнялось бы тождество /(х) —
= <?(ж) для всех значений х из пашей окрестности. Но в данном
случае это тождество не имеет места, ведь мы предположили,
что / не есть многочлен степени га—1. Это не мешает многочле-
ну Q быть тесно связанным с /. В самом деле, разложим много-
член Q по формуле Тейлора:
Q И = 2	~
______________
*) На самом деле все выводы в- этом параграфе проходят при менее
ограничительных условиях, налагаемых на / (см. ниже формулировку те-
оремы 1). '
§ 5.9. ФОРМУЛА ТЕЙЛОРА
153
Тан как (8) и (9) суть разложения по степеням х — а одного к
того же многочлена, то
= (?<M(a) tfc = 0, 1, п- 1).	(10)
Итак, (га—1)-й многочлен Тейлора от функции / можно опре-
делить еще п как такой многочлен степени п—1, для которого
выполняется п равенств (10).
Пример 2. На рис. 5.7 изображена кривая
нулевого приближения в окрестности точки а =
фнк ее пулевого многочлена Тейлора у = <2о(-г),
представляющий собой прямую у = /(0), па-
раллельную оси х. В качестве же первого при-
ближения к нашей кривой естественно взять
касательную к ней в точке г = 0. Ее уравнение
есть y=Q\(x)- гДе <21 (^) =/(0) +/'(0)z. Сле-
дующее приближение — это второе прлблпже- .
ине у = (Л(г), где (>2 Ы •= / (0) +/'(0)-?+
Г (0)
_j,-. Лто многочлен Тейлора по степеням
.г второй степени, т. е. такой многочлен второй
степени, что он и его производные первого п
у = /(х). В качестве ее
0 естественно взять гра-
второго порядка в точке 0 совпадают соответственно с /(0), /'(0),	(0).
Мы видим, что графики последующих многочленов Тейлора функции
/ по степеням х прилегают все теснее и теснее к графику /, во всяком слу-
чае, в достаточно малых окрестностях точкичя = 0, если, конечно, функция
в пен достаточно много раз дифференцируема.
Положим
f(x) = <2„-i(x) + Rn(x),	(11)
где есть (га—1)-й многочлен Тейлора функции / по степе-
ням х — а.
Равенство (11) называется формулой Тейлора функции / в
окрестности точки а, а R„(x) называется остаточным членом или
п-м остатком рассматриваемой формулы Тейлора.
Замечательно, что для остаточного члена можно дать нетри-
виальные выражения через п-ю производную от /. Ниже мы вы-
ведем два таких выражения: остаточный член в форме Лагран-
жа и остаточный член в форме Коши.
Остаточный член формулы Тейлора в форме Лагранжа выгля-
дит следующим образом:
где ' g есть некоторая (зависящая от х и га) точка интервала
(га, х). Здесь и далее х можно считать не только большим, но и
меньшим, чем «*). Обычно точное значение £ неизаестно, утвер-
ждается лишь, что 5 находится где-то на интервале (а, х).
*) Если х < а, то' (а, х), [в. х] обозначают множества точек t, удовлет-
воряющих соответственно неравенствам т< (<о, а:	«,
154 ГЛ. 5. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ. ОДНА ПЕРЕМЕННАЯ
Бывает удобно число £ записать в виде 5 = в+0(г-з), где
0 есть некоторое число, удовлетворяющее неравенствам 0 < 0 <
< 1. При таком обозначении остаточный член в форме Лагранжа
имеет следующий вид:
/?п (х)'= р....../п) (а + 0 (х — а)),
О < 0 < 1.
Остаточный член формулы Тейлора в форме Коши выглядит
так:
#п W	/п) (а + 0 (х — «)),	О<0<1,
где 0 — число, зависящее от х и п.
Отметим, что при п = 1 формула Тейлора функции с остаточ-
ным членом в форме Лагранжа (или Коши) есть уже известная
нам формула Лагранжа о среднем значении:
fix) — /(а) = (х — а)}'(а 4- 0(х — «)), 0 < 0 < 1.
Соответствующая теорема гласит:
Теорема 1. Пусть функция f непрерывна на отрезке [а, х!
вместе со своими производными до in—D-го порядка включи-
тельно и имеет производную порядка п на интервале (а, х). .
Тогда ее п-й остаточный член формулы Тейлора может быть
записан в форме Лагранжа или в форме Коши.
Доказательство. Зададим произвольное натуральное чи-
сдо р и указанное в теореме значение х. Предупредим, что па
протяжении доказательства х будет оставаться неизменным. Лам
будет удобно ввести новую вспомогательную переменную и. Но
отношению к ней х будет рассматриваться как постоянная.
Мы ставим своей задачей найти удобное выражение для остат-
ка Rn(x) в формуле Тейлора
= + (z)-
/г=0
Коротко будем говорить, что мы ищем 7?„(х), т. е. значение ос-
татка в точке х. Для этого представим Rnix) в виде произведения
Rn(x) — (х — a)vII, сведя таким образом вопрос к отысканию вели-
чины Н. Величина Н зависит от х и в силу сделанного соглаше-
ния будет рассматриваться как постоянная.
Итак, мы имеем равенство
/ (*) = 2	(а) +- а},’н’
л=о
§ 5.9. ФОРМУЛА ТЕЙЛОРА
155
Заменим чисто формально в правой его части постоянную а на
переменную и. Тогда получим функцию
ф (и) = 2 И + 7 - иУН =
К!
О
-/(«) +	/'(«) + ... + -"(Г-i)?1 /^1’(и) +(х-и^н' (12>
которая во всяком случае определена и непрерывна для всех зна-
чений и, принадлежащих отрезку [a, т1, потому что на этом от-
резке непрерывна исходная функция /(и) вместе со своими про-
изводными до (тг — 1)-й включительно. Кроме того, из определения
фупкциц Ф(н) следует, что при и —а она принимает значение
/(х) (Ф(в) =/(х)). Больше того, при и = х опа также обращается
в /(х) (ФСг) =/Gr)), что непосредственно видно из правой части
(12): если положить в пей и — х, все члены обращаются в нуль,
кроме перв.ого, равного fix). Наконец, наша функция Ф(и) имеет
па интервале (а, х) производную, потому что па нем имеет про-
изводную тг-го порядка исходная функция /.
Мы видим, что наша вспомогательная функция Ф(н) удовлет-
воряет условиям теоремы Ролля — она непрерывна па отрезке
[a, xi, имеет производную Па интервале (а, х) и принимает рав-
ные значения на его концах. Но тогда согласно теореме' Ролля
существует между а и х промежуточная точка и = а + 6(х-— а)
такая, что производная Ф' в ней равна нулю.
Найдем фактически эту производную:
Ф' (и) = /' (и) — /' (и) ~ (х — и) f" (и) — (х — и) f" (и) + . . .
• • • -	/(П“1)	/<И) И - Р <Х - иУ~1Й-
В этом выражении всевчлепы сокращаются, за исключением
последних двух. Если в оставшееся выражение подставить ука-
занное значение и = а + 0(х — а), то, как было сказано, оно обра-
тится в нуль.
Решая полученное уравнение относительно Н и умножая най-
денное II на ix — а)р, получим искомое выражение для остаточ-
ного члена:
Хп (*) = (^^-(1 - еГТ1 («+ е (* - «))•
Это выражение зависит от р, где р может быть любым нату-
ральным числом. Если в нем положить р = п, то получим оста-
точный член в форме Лагранжа, а если положить р = 1, то в фор-
ме Коши.
156 ГЛ. 5. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ. ОДНА ПЕРЕМЕННАЯ
Отметим, что при а = 0 формулу Тейлора называют также
формулой Маклорена. В этом случае она имеет вид
(13>
О
7?„ (х) = уд- (0£) — форма Лагранжа,
Rn (х)	(„ L i)i U ~ О)"-1/00 (0Д-) — форма Коши.
Предположим теперь, что функция / имеет в точке а непре-
рывную производную /<в) порядка п. Отсюда следует, что сущест-
вует некоторая окрестность точки а, на которой функция / имеет
производную /(в) п тем более непрерывную производную
Таким образом, условия для разложения / по формуле (13) с ос-
татком в форме Лагранжа соблюдены, и можно написать, учиты-
вая предположенную непрерывность /|,!> при х = а, что
(х) =	(а + 0 (х - «)) .=	/<,1) (а) + г„ (.г) (14)
И
гп (х) =	[/(1> 'а 6	—	~	~	0	=
---= о((х — а)п) (х^а).
Следовательно,
/(•?') = 2	а? + °((-Е~ а)“)	(л-->я).	(15)
п!
/1=0
Разложение (15) называют формулой Тейлора разложения
функции j по степеням (х — а) с остаточным членом в форме
Пеано *).
Мы доказали следующую теорему.
Теорема 2. Если функция f имеет непрерывную производ-
ную порядка п в точке а, то она разлагается по формуле (15)
Тейлора по степеням х — а с остаточным членом в форме Пеано.
Докажем лемму.
Лемм а. Из равенства
а0 J- otj (х — а) 4- ... + ап (х — а)п 4- о [(х — а)")	—я)-|-
+ ... 4- а„ (х — а)п 4- о ((х — «)"), х -> а, (16)
где а/,,	— числа, не зависящие от х, следует, что
 ak = a.'h (к = 0,1, . .., п).	(17)
*) Д. Пеано (1852—1932) — итальянский математик.
§ 5.9. ФОРМУЛА ТЕЙЛОРА	157
Действительно, возьмем предел левой и правой частей (16) при
х а. Тогда получим равенство а0 = а0. Таким образом, можно
считать, что в (16) слагаемых а0, а0 пет, и можно (16) сократить
на х — а н получить равенство
а1 + а2 ~ °) + • • •' + “п U-- (О"”1 + О ((Х - О)" ’) =
«1 Д- а2 (х — а) + ... Д- а„ (х — а)п~1 Д- о ((г — а)’1”1) г
откуда после перехода к пределу при х -+ а. получим еще, что
<zt — аР Продолжая этот процесс последовательно, мы получим
(.17) и лемма доказана.
Из доказанной леммы и сказанного выше следует единствен-
ность разложения функции / по формуле Тейлора с остатком в
форме Пеано. Эти слова4 надо понимать в следующем смысле.
Исли функция /, имеющая в точке х — а непрерывную производ-
ную n-го порядка, представлена в виде
/(г) = а0 + <хАх — я) + ... + а,Ах — а)" + о((х — я)’1),' х -> а, (’18)
где а,, — постоянные числа, то эти числа равны
т. е. (18) есть тейлорово разложение / с остатком в форме Пеано.
Формула Тейлора в окрестности £ = 0 четной {нечетной) функ-
ции f содержит в себе члены только четной {нечетной) степени xt
}(х) =а0 + агхг + arf + ...,
(f(x) = ацх + а3х3 + ...).
Это следует из того, что нечетные производные от четной функ-
ции, так же как четные производные от нечетных функций, суть
нечетные функции (см. конец § 5.6). Но последние к тому же
предполагаются непрерывными в точке х = 0, но тогда они необ-
ходимо равны нулю в этой точке.
В частности, с помощью этого утверждения легко следует, что
для того чтобы многочлен
п
Р (х) = 2
о
был четным (нечетным), т. е. четной (нечетной) функцией, необ-
ходимо и достаточно, чтобы все его члены имели х в четной (не-
четной) степени.
158 ГЛ. 5. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ. ОДНА ПЕРЕМЕННАЯ
Пример 3. Из равенства 1-f-т2 + ... -pz2™ = (1 — т2т+2)/(1—я2)
и того факта, что х2т+2/(1 — х2) = о(х2т) (z->0), следует, что
—= 1 + X2 + ... + xim + о (т2т) (х ->0).	(19)
1 — X	,
Но тогда (19) есть формула Тейлора функции (1 — г2)-1 по степеням х с
остаточным членом в форме Пеано.
§ 5.10. Формулы Тейлора
для важнейших элементарных функций
Функция f(.x) = ex. Для этой функций
f(”)(x') = ех, /(я>(0) = 1, /(п)(0ж) = е0х (ra = 0, 1, 2, ...).
Поэтому формула Тейлора по степеням х функции е? с остат-
ком, в форме Лагранжа имеет вид
~	-г г2	т71-1
е ==1+г+’2Г + •’ • + (н- 1)! +7?"
Лп(х)=^-евх (О<0<1).
Если положить в ней х = 1, то получим приолиженное выра-
жение для е:
1	1
е та 1 + 1 + 2? + ••• + (ге-1)!
с ошибкой I Яп(1) I Де< Я.
При любом х > 0
К 7|-еж->0	(п—>оо)
и при х < 0
I Rn (х) I с --->- 0 (п -> оо).
Функция /(ж) = sin х. Для этой функции
/Сп) (х) = sin (х 4- п |-j,	/1п) (0) = sin^-,
/(п) (0ж) = sin (0^ -1~ лр) (п = 1, 2, ...).
Формула Тейлора по степеням х с остаточным членом Лагран-
жа имеет вид
г®	'	,.4_1	j-2v-1	„
sin х = х----4- ... + (1)	. (2v _	+ ^2v+i (.x)i,
T?2V+1 (x) = Sin + (2v + 1) j).
§ 5.10. ФОРМУЛЫ ТЕЙЛОРА ДЛЯ ЭЛЕМЕНТАРНЫХ ФУНКЦИЙ 1Г><)
Остаток стремится к нулю при v -*• °° для любого х:
I ^2V+1 (ж) I <	0	(v->Oo). '
Функция f(x) = cosx. Для этой функции
/"•’ (х) = cos + у),	/(п) (0) = COS у,
/п) (0а;) = cos(far+ (и = 1,2,...).
Формула Тейлора по степеням х с остаточным членом в фор-
ме Лагранжа имеет вид
х2	,, , r«lv-l)
cosz = l- 2Г+4Г- ... +(-1)	-(2(7—ij)T + Rw
R-zv (х) = cos ^0я +2v
Остаток ведет себя как и в случае sin х:
I г l2V
I #2V (*) К -> 0	(v->oo).
Особенно хорошо стремится к нулю остаток функций sin я: и
cos х при 1д?1	1. Заметим, что численные значения 'этих функ-
ций как раз достаточно знать для дуг х в пределах между чис-
лом 0 и числом п/4 < 1.
Функция /(.ж) = In(1 + ж) определена и сколько угодно раз
дифференцируема для х> —1. Ее формулу Тейлора по степеням яг
можно написать для п = 1, 2, ... при х > — 1.' Так как
Г(*) =	(°) = (“ I)”'1 (« ~ *)!>
(1 + *)
то формула Тейлора имеет вид
г2	„ т”-1
ln(l + х) = X -	1) -J—1 + *»(*)•
При этом для остатка запишем две формы — форму Лагранжа:
(Х) =	----х (0 < 9 < 1)
’ nU + flz)" '	’
п форму Коши:
. . „	{» д \n—1
(0<9<1).
'	'	1 + fix \ 1 + QxJ '	’
Пусть	1; тогда, обращаясь к форме Лагранжа, полу-
чим | Rn (х) | «С — хп 0 (и -> оо). Мы видим, что при 0 < х < 1
d60 гл. 5. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ. ОДНА ПЕРЕМЕННАЯ
остаток стремится к нулю быстро, при х = 1 стремление к нулю
происходит очень медленно.
В случае — 1<ж<0 форма Лагранжа не дает возможности
сделать определенное заключение о стремлении Нп к нулю, пото-
му что мы знаем только, что 6 удовлетворяет неравенствам
О < 9 < 1. При этом не надо забывать, что 9 зависит от х и п. Но,
применяя форму Коши, получим, считая, что 0< 1x1 <1, оценку
i-ДпК i-iL| ~>° («^°°)>
1 — е _ 1 -е ,
потому, что ТТЙ<-ГТё = 1-
При х = — 1 In (1 + х) пе имеет смысла. При х> \ формула
при любом п имеет смысл, однако ее остаточный член Нп(х) те-
перь уже не стремится к нулю при п -* °°. В этом можно убедить-
ся*), рассуждая следующим окольным путем. Положим
гП-1
+ ••• +(-!)“
Тогда
(%) Rn (#) =	4.1 (х) -|- Rn+i (х)
И-
Пп{х) -Вп+1 (х) = (-1)”+1^.
Для х > 1 и п -+• оо правая часть этого равенства пе стремится
к пулю. Поэтому Я„(х) при п -> оо не может стремиться к нулю —.
не выполняется критерий Коши существования предела.
Итак, остаточный член формулы Тейлора функции 1п(1 + х)
по степеням х стремится при п оо к нулю только при х, удов-
летворяющих неравенствам — 1 < х 1.
Функция fix) =<1 + х)т. Для этой функции
fwix) = mim — 1).. .im — п + 1)(1 + х)”’-",
/(”’(0) == mim — 1).. .im — п + 1).
Формула Тейлора по степеням х имеет вид
(14 !) .1+и +	+ ".<”.-.<1 <" ~2>	+
+ ... +	+ и, М.
При этом остаток в форме. Лагранжа записывается так:
1)-..(^-» + 1) >„уп-п
*) Это следует также из расходимости Нри f> 1 ряда с общим чле-
ном. (— 1) nXn~i!{n—• 1) (см. § 11.1).
§ 5.10. ФОРМУЛЫ ТЕЙЛОРА ДЛЯ ЭЛЕМЕНТАРНЫХ ФУНКЦИЙ IGt
а в форме Коши
п nt (m — 1) ... (тп - n + 1) „	(1-0 \п-1
(п-i)!	х	’
При натуральном т и любом х все члены формулы, начиная
с (тп+1)-го, исчезают и формула Тейлора превращается в эле-
ментарную формулу Ньютона (см' § 5.9, (6)).
Для остальных т формула имеет смысл, во всяком случае при
х > — 1.
Пусть 0 «5 х < 1. Тогда, если воспользоваться формулой Лаг-
рапжа, получим для п > т:
I Rn \Х) I --С J---------------- х -+ 0 (п -> оо)
(см. ниже замечанцр).
Если же — 1<х<0, то, воспользовавшись формулой Коши,
получим (см. ниже замечание)
| Я, (X) I < С	+ 1! I IX Г , о («-ОС),
\п 1/J
1 де С — число, вообще зависящее от х, но не зависящее от п, по-
тому что ((1 — 0)/(1 + бх))"-1 < ((1 — 0)/(1 — О))"-1 = 1 и при
ш-1>0
(1 + Ox)™’1 С 2™-1,
а при т — 1 < О
Таким образом, остаточный член формулы Тейлора функции
(1 + х)т при — 1 < х < 1 стремится к нулю при п -* <». При х > 1
остаточный член уже не стремится к нулю*), так как, если обо-
значать через Sn(x) сумму первых’ п членов разложения (1 + х-)’”,
то получим (см. пиже замечание)
(х)	(х) = iS’n-j-l (*^) 1 Rn (х) =
т (т.— 1) ... (от — п + 1) п ' ,	.
— -------------:----------- X —> ОО (П -*• ОО)
П	'	'
S
и для /?п(х) не выполняется условие Коши существования
предела.
Случаи х = ±1 мы не рассматриваем. Скажем только, что в
этих случаях остаточный член Rn может стремиться и не стре-
миться хк пулю при п оо в зависимости от т. При т<0 и
х = —1 функция (1 + х)"‘ вообще не имеет смысла.
*) Это следует также из расходимости ряда при х > 1 с общим членом
т (т — 1) . . . (т—п -|- 1)
------------~------------х" (см. § 11.1),
И С. М. Никольский, т. I
162 гл, 5. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ. ОДНА ПЕРЕМЕННАЯ
Замечание. Для
____ т (т — 1) ... (m — n + 1) п
ип -	X ,
где т — произвольное действительное число, имеет место
Но тогда, как докажет это читатель, при п °°
ип 0, если |л:| < 1, ип оо, если Ixl > 1
(впрочем, см. § 11.3, теорема 2).
§ 5.11.	Ряд Тейлора
Выражение
Ио + Ut + П2 + Из + . . .,	(О
где ик — числа, зависящие в силу некоторого закона от натураль-
ного индекса к (к = 0, 1, 2, ...), называется рядом.
71—1	4
Обозначим через Sn = 2 uh сумму его первых п членов. Чис-
о
ла Sn составляют последовательность {£„} = {£,, S2, S3, Если
она сходится, т. е. существует конечный предел lim Sn = S, то го-
ворят, что ряд (1) сходится и имеет сумму, равную S. При этом
пишут S = и0 + И[ + и2 + ...
Если функция f имеет в некоторой .окрестности точки а про-
изводные сколь угодно высокого порядка, то для нее чисто фор-
мально можно написать ряд
/(«)+^(*-а)+ГД(*-а)2+ ....	(2>
который носит название ряда Тейлора функции f по степеням
(х — а). Для данных значений «их он может сходиться или рас-
ходиться. Особенно важен тот случай, когда ряд Тейлора функ-
ции / сходится к самой функции, т. е. имеет суммой /(х).
Это имеет место тогда и только тогда, когда остаточный член
в формуле Тейлора
и-i (ft)
 ! (*) =	— а) (х) = Sn (х) Нп (х)	(3)'
о
стремится к пулю при п -+ °°. Действительно, если lim Rn (х) — О,
71—>оо
то из (3) следует, что
limS„(x) = /(x)t
71->оо
§ 5.11. РЯД ТЕЙЛОРА
103
и так как S„(x) есть сумма первых п членов ряда (2), то ряд (2)
сходится поимеет своей суммой f(x);
/(х)^/(а)+^(х-а) + Г(аИ;~а)2 +...	'(4)
Обратно, если известно, что для некоторого значения х имеет
место равенство (4), т. е. если известно, что ряд (2) при этом
значении х сходится и имеет своей суммой число f(x), то это
значит, что для указанного значения
Иш5п (х) = / (х).
П-*оо
Но тогда из (3) следует, что /?„(#)-> О, п -> °°.
На основании результатов, которые, были получены в преды-
дущем параграфе, мы можем теперь сказать, что имеют место
следующие разложения в ряды Тейлора:
sin я = х —	+ —... (— оо < .т < оо),
о! 1 о!	4	'
л .Г . X	.	\
COS X = 1-----7г+-7Т — ...	(— оо <Сх <Z оо),
2J • • 4!	'	'
(1 + х)т = 1 + тх + т (т2~ В * * 11 хг +
in (1 4- х) = х — 4- + 4— ••• (— 1 < я < 1).
м о
В приведенных примерах множества Е точек х, где ряды Тей-
лора по степеням х сходятся, представляют собой интервал или
полуинтервал с центром в 0. Это не случайные факты. В даль-
нейшем будет выяснено, что ряд вида (см. § 11.11)
а0 +atx + а2х2 + ...,	(6)
где ah — заданные постоянные числа, обладает тем свойством, что
если он сходится в точке xt, то он заведомо сходится для всех х,
удовлетворяющих неравенству |х| < IxJ. Ряды вида (6) называ-
ются степенными рядами.
Бывают и такие случаи, что для функции f можно формально
написать ее ряд Тейлора по степеням (ж — а). .
/(«) + ф(х-а)+^(х-й)Ч- ....	(7)
иначе говоря, для этой функции имеют смысл производные /(й)(«)
164 гл. 5. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ. ОДНА ПЕРЕМЕННАЯ
для любого &=0, 1, 2, ... и ряд (7) сходится для некоторых зна-
чений х, однако сумма ряда для этих х не равна j(x). .
Пример!. Вот пример такой функции:
Если | х | < 1, и = 1 — х2, то
ф' (х) = — 2х(1-ж2)-%1/(ж2-1) = - 2xu—2е—1/U -> О, х -> 1.
По индукции доказывается, что для к = 0, 1, 2, ...
ф<*> (х) = р (Х) (1 _	= Р (Ж) и-1е~~1/и р (1}.о = 0
X < 1, X -> 1,
где Р(х) —некоторый многочлен, а число I > 0 зависит от к. Если учесть,
что if (ж) =0 при | х | + 1, то мы доказали, что lim ф(й) (ж) =0. Далее,
х+1
ф(1) = 0, и если уже установлено, что ф<й> (1) =0 при некотором к, то
ф<*+1) (1) = Нт 1	--— = lim ф№+1> (1 + 6 (х - 1)) = 0 (0 <0<1).
х-*1 х 1	х-*1
Итак, для функции ф имеют смысл равные нулю числа ф(1), ф'(1),
ф"(1), ... и можно написать ее ряд Тейлора по .степеням х— 1. Ike его
члены при любом х равны нулю. Он, таким образом, сходится, и его сумма
для любого х равна нулю, но отлична от ф(/) для ]х] < 1. Аналогичные
факты имеют место при T — —1.
Функция ф есть пример бесконечно дифференцируемой на действи*
тельной оси функции, равной нулю вне некоторого отрезка.
Функции /(ж), разлагающиеся в ряд Тейлора по степеням
(х — а), сходящийся к fix') в некоторой окрестности точки а, на-
зываются аналитическими во всех точках указанной окрестности
(открытой). В частности, они аналитические' в точке а.
Из сказанного выше следует, что функции ех, sin х, cos х—
аналитические на всей действительной оси, а функции In (1 + .г)
и (Т+а;)т — аналитические на интервале ( — 1, +1).
Можно показать (см. ниже пример 2), что, каково бы пи было-
«>0, функции In (1 + х) и (1+ж)т разлагаются в сходящийся
к ним ряд Тейлора по степеням (х — а) для достаточно малых
х — а, откуда следует, что функции In (1 + х) и (1 + х)т на самом
деле аналитические при любом х > 0. Аналитические функции
изучаются в специальной математической дисциплине — теории
функций комплексного переменного, называемой также теорией
аналитических функций.
Возможна следующая классификация функций, заданных на
интервале. Функции:
1)	произвольные, вообще разрывные;
2)	непрерывные;
3)	имеющие производную /<п) для некоторого п = 1, 2, 3, ...;
§5.11. РЯД ТЕЙЛОРА
165
4)	имеющие непрерывную производную /(п) для некоторого
п = 1, 2, ...;
5)	бесконечно дифференцируемые, т. е. имеющие производную
любого порядка, таким образом, имеющие непрерывную про-
изводную /<п* любого порядка;
6)	аналитические.
Каждый следующий класс в этом ряду содержится в преды-
дущем и состоит из более «хороших» функций.
Функция, определенная равенствами (8), бесконечно диф-
ференцируема на (—°0, оо), но не является аналитической на нем.
Впрочем, она аналитическая на (1, °°), (—оо, 1) и на (—1, 1).
Пример 2. Пусть /(х) = In ж. Тогда
/<М(Ж) = (—!)'>-• (fc — 1)!х-‘ (х > 0; к = 1, 2, ...),
V (_ 1>*-1 (х _ а)к
In х = In а + 2, ------------4т лп (ж), а > 0,
1
(.г-а)”
где R (х) =-----------——------—, |ж — а | < а. Если |г — а( < а/2,
п (а 4- о (х — а))
то тогда |а4-е(х — а) | > а — |.т — а| > а — (а/2) == а/2,	| (х —- а)/(а
4- 9 (х — .а)) | < 1 и |ЛП (х) I < 1/га 0.
Таким образом, имеет место разложение в сходящийся ряд
х — а (х— а)1 (х— а)3
In х = In а 4-	4- -^з— + .. .
для любого а > 0 и | х — а | < а/2. Это показывает, что функция In х —
аналитическая для любого а > 0.
Пример 3. Найдем главный степенной член функции 1п(1 4- х 4- ж2):
In (1 4- X 4- Ж2) = (х 4- X2) 4- о(х 4- X2) — X 4- о (х) 4- о(х) х 4- о(ж),
х 0.
Ведь In (1 4- и) = и -}- о (и), и -> 0; и — х 4* х2 -> 0 х -> 0; х2 = о (х), х -4- 0
и о (х + х2) = о (х), х 0, потому что
I	I
°	1
Пример 4. Найдем теперь главный степенной член функции
In (1 4" X 4- X2) — X.
Если воспользоваться предыдущим результатом, то это не даст главно-
го члена. Ведь тогда
In (1 4- х 4- х2) —х — х 4- о(х)—х — о(х),	х->-0.
По мы получили некоторую информацию. Главный член, если.существует,
то имеет степень п > 1. Попробуем воспользоваться формулой Тейлора с
166 ГЛ. 5. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ. ОДНА ПЕРЕМЕННАЯ
2
i-+o(u2),
остатком o(u2), и->-0 в смысле Пеано. Имеем In (1 -{-и) = и —
и -> 0, поэтому
In (1 + х + х2) - Z = ж +	+o(U +^2)2)=
— х2 — -Т— о (х2) -|- о (а?2) = JL- о (х2), х -> 0.
§ 5.12.	Выпуклость кривой в точке. Точка перегиба
Говорят, что кривая у — fix) обращена в точке ха выпуклостью
кверху (книзу), если существует окрестность ха такая, что для
всех ее точек х касательная к кривой в точке ха (т. е. в точке,
имеющей абсциссу х0) расположена выше (ниже) самой кривой
(рис. 5.8; здесь в точке xt
кривая обращена выпук-
лостью книзу, в точке х2—
кверху).
Говорят, что точка гс0 есть
точка перегиба кривой у=
= fix),- если при переходе х
через х0 точка кривой (имею-
щая абсциссу х) переходит
с одной стороны касательной
на другую (на рис. 5.8 точ-
ка х3 — точка перегиба).
Иначе говоря, существует достаточно малое 6 > 0 такое, что для
всех x^ix0 — 6, х0) кривая находится с одной стороны касатель-
ной в х0, а для всех х <= ix0, х0 + 6) — с другой.
Указанные определения выделяют возможные расположения
кривой относительно касательной к ней в достаточно малой ок-
рестности точки касания. Но пе нужно думать, что эти опреде-
ления исчерпывают все возможные случаи такого расположения.
Вспомним о кривой, являющейся графиком функции
(0 (ж = 0),
1	|х2 sin -i- (х =/= 0).
Ось х пересекает и касается этой кривой в точке х = 0 и х =
= 0 не есть точка перегиба. .
Теорема 1. Если функция f имеет в точке х,, вторую непре-
рывную производную и /"(я:0)>0 (<0), то кривая у — fix) обра-
щена в ха выпуклостью книзу (кверху).
§ 5.12. ВЫПУКЛОСТЬ КРИВОЙ В ТОЧКЕ. ТОЧКА ПЕРЕГИБА
167
Доказательство. Разлагаем f в окрестности х = х(. по
формуле Тейлора
/(*)=/ (х0) + /' (х0) (х — х0) + R (х),
R(x) = {-^^f(x0+Q(x-x0)) (О<0<1).
Остаток Ж#) равен величине превышения кривой / над касатель-
ной к ней в точке х0. В силу непрерывности если f"ixo)>O,
то и f" (ж0 + 0(х — ж0)) > 0 для х, принадлежащих достаточно
малой окрестности точки ж0, а потому, очевидно, и Rix) > 0 для
любого отличного от х0 значения х, принадлежащего к указанной
окрестности.
Аналогично рассматривается случай /" ix0) < 0. .
Теорема 2. Если функция f такова, что производная f"
непрерывна в х0, a /"(жо)=О и f'" ix0) ¥= 0, то , кривая y = fix)
имеет в х0 точку перегиба.
Доказательство. В этом случае
/(*) = / (я0) + /' (z0) (х — хй) + R (х),
R (х) = (Х ~^3 Г (х0 + Q(x- х0)).
В силу непрерывности в х„ и того факта, что /"'(^с)¥=0, Сле-
дует, что f'ix0 + 0(ж — ж0)) сохраняет знак в некоторой окрест-
ности точки х0', он один и тот же справа и слева от .точки хя.
С другой стороны, множитель ix — x0)3 меняет знак при переходе
х через х0, а вместе с ним и величина Rix) (равная превышению
точки кривой над касательной в х„) меняет знак при переходе х
через хя. Это доказывает теорему.
Сформулируем более общую теорему:
Теорема 3. Пусть функция f обладает следующими свой-
ствами:
j"ixo)=... = fwix0)=O,
]1к+'Чх) непрерывна в ха и /(.'‘+1>(ж0)	0.
Тогда, если к — нечетное число,'то кривая y = fix) обращена
выпуклостью вверх или вниз в зависимости от того, будет ли
f{h+i)ixi>) < 0 или /(Л+*)(я:0) > 0, а если к — четное число, то х0
есть точка перегиба кривой.
Если дополнительно к приведенным уже условиям еще
/'(хо) = О,	(1)
то, если к — нечетное число, функция f достигает в точке х0 ’
максимума или минимума в зависимости от того, будет ли
/(А+1)(?:„)< О или f(k+l)ix0) >0.
168 ГЛ. 5. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ. ОДНА ПЕРЕМЕННАЯ
Доказательство основано на том; что при указанных
условиях имеет место разложение по формуле Тейлора
/ (7 = f 70) + (г - х0) /' (х0) +	/й+1) (.Го + 0 (я - х0)),
а при дополнительном условии (1) это разложение превращается
в следующее:
/ (7 =7 (*о) +	/*+1) 7о + 0 (^ - Х0)).
В заключение заметим, что говорят также, что кривая у —
— j(x) имеет точку перегиба в точке х, где производная /(л:)
равна +°° или —00 (см. рис. 5.1. в, г на стр. 128 и замечания к
ним).
§ 5.13.	Выпуклость кривой на отрезке
По определению кривая у = /(ж) называется выпуклой кверху
{книзу) на отрезке [а, 5), если любая дуга этой кривой с конца-
ми в точках х,, хг__{а^^ <х2^Ь) расположена не ниже (не вы-
ше) стягивающей ее хорды (рис. 5:9, 5.10).
Рис. 5.9.
Теорема 1. Пусть функция f непрерывна на [а, Ь] и имеет вторую
производную на (а, Ь).
Для того чтобы кривая у = f(x) была выпуклой кверху (книзу) на
[а. Ь], необходимо и достаточно, чтобы выполнялось неравенство f" (х) sC
0(f"(x)	0) для всех х Е (а, Ъ).
Доказательство. Пусть паша кривая — выпуклая кверху на
[а, &]. Тогда для любых х и h>0 таких, что х, х + 2Л е [а, &], имеет
место неравенство f(x + h) Да (f(x) + f(x + 2h))/2, откуда f(x -f- h) — f (x)
> f(x + 2h) —f(x + h).
Если теперь zi и x2 — произвольные точки интервала (я, Ь), то, поло-
жив h = (х2 — хД/п, будем иметь
/(*1 + h) — f(x,) > f{xi -f- 2h) — f{Xi + h) > .,. Дг f (z2) — f(x2 — h).
. Таким образом, (/(x, + h) — f(xi))/h Js (/(z2 — h) — f(x2))/{—h), -и, пе-
реходя к пределу при h 0, получим неравенство
f{xi) >f{x2),
§ 5. t4. РАСКРЫТИЕ НЕОПРЕДЕЛЕННОСТЕЙ
169
показывающее, что производная на интервале (а, Ь) не возрастает. Но
тогда /"(ж) sg 0 на (а, Ь).
Обратно пусть f" (ж) sj 0 и « < .г, < гг < (/. Нужно доказать, что функ-
ция F(x) = j(x) — /(xi) — m(x — xt), где m = (/(x2) —/(xi))/(x2 — xj,
удовлетворяет неравенству F(x) О на [xi, х2]. Допустим, что это не так.
Тогда min F (х) — F {хЛ < 0 и xt < х0 < х2. Поэтому F^xХ= 0.
(г2~=Го)2
Применив формулу Тейлора, получим 0 = F (х^ —Т (хр) -ф---------
>2
_ /" (z0 +0 (*2 —*„)). Но в правой
предположению, отрицатель-
XF'-(Xo + e(x2-xo)) =F(x0)+^2!
части этой цепочки равенств первый член, по
шли, а второй неположительный, поэтому пра-'
вал часть меньше нуля и мы пришли к про-
тиворечию.
Доказательство в случае
Рис. 5.11.
аналогично.
Пример. Функция у = sin х имеет не-
прерывную первую производную и вторую
производную
(sinx)" =—sin х s'i 0
па [0. л/2]. Поэтому хорда ОЛ, стягивающая
дугу кривой у = sin х на [0, л/2], ниже синусоиды (рис. 5.11). Так как
уравнение хорды у = (2/я)х, то мы получим неравенство
2
— х sin х >
2’
часто употребляемое в математическом анализе.
§ 5.14.	Раскрытие неопределенностей
В пашем распоряжении теперь имеются очень сильные мето-
ды дифференциального исчисления — теоремы о среднем и фор-
мула Тейлора. С их помощью можно автоматизировать вычисле-
ние многих пределов, приводящих при грубом применении обыч-
ных правил к неопределенностям вида (p 00 — °°, 0-оо, 0°,
оо°, 1°°.
Случай 0/0. Требуется вычислить lim в предположе-
нии, что lim / (х) = 0, lim <р (х) = 0, <р (х) =/= 0 в окрестно-
х—>а	х-»а
сти а.
Пусть а — конечное число и для функций / и <р найдены глав-
ные степенные члены (относительно (х — «)):
/(ж) ~ аР{х — а)р + о((а; — а)р) (х а), а.Р ¥= О,
<р(ж) = 0в4а: — а)’ + о((ж — а)’) (ж -» а), Ф 0.
170 ГЛ. 5. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ. ОДНА ПЕРЕМЕННАЯ
Тогда (см. § 4.10, (10))
(ар
ТГ при р = q,
Рр
П ТТПИ	п
0 при p>q,'
оо при p<q-
Примеры.
Но функции / и <f могут не иметь производных в точке а или
почему-либо может быть затруднительно или нежелательно вы-
числение их в этой точке. Тогда может быть полезна следующая
общая теорема, доказательство которой основано на применении
теоремы о среднем Коши:
Теорема. 1. Пусть функции f и <р непрерывны и имеют про-
изводные в окрестности точки а {а — число или °°), за исключе-
нием, быть может, точки а; при этом <р и <р' не равны нулю
в указанной окрестности и
lim / (х) = lim <р (х) = 0.
х->а	х-*а
Тогда, если существует предел
lim 4-тп. = А
х-»а *Р W
(1)
(конечный или бесконечный), то существует также равный ему
предел
lim = lim
itwa Ф (®) х-»а
4^ = А-
ф (х)
(2)
§ 5.14. РАСКРЫТИЕ НЕОПРЕДЕЛЕННОСТЕЙ
171
В частности, здесь речь может идти о правом или левом пре-
деле, -и тогда под окрестностью а понимается правая или левая
ее окрестность.
Доказательство. Пусть « — число (конечное). Тогда, по-
лагая /(«) = 0 = lim/(я), <р(а) = 0 = lim ф(ж), мы получим, что
х-*а	х->а
функции f и ф непрерывны в точке а. Это свойство вместе со
сформулированными в теореме свойствами позволяет применить
к функциям / и ф теорему Коши. Таким образом, какова бы ни
была точка х из указанной окрестности, найдется между а и х
точка £ =а + 0(х — а), 0 < 0 < 1 такая, что
/ (*) = /(*) — / (а) = /' (I)	/ov
ф (*) . <₽(*) — <₽ (о) ф'(£)'	' ’
Если существует предел (1), то, очевидно, также существует
предел
а следовательно,, и предел (2).
Итак, существование второго предела в (2) влечет существо-
вание равного ему первого предела в (2). Обратное утверждение
неверно.
Пример 4. В силу того, что sin х ~ х(х -> 0),
,	a?2 sin (1/х)
11П1-----:------
х^О 81ПЖ
= Inn х sin— = 0.
х->о х
С другой стороны, соответствующее отношение производных равно
2х sin (1/г)— cos(l/x) 1	1 cos(l/x)
—:------------------- = 2х ----sin— — •-------.
COS X	COS X X cos X
Оно, очевидно, не стремится ни к какому пределу при х -> 0. Это видно из
того, что первый член правой части стремится к нулю, а второй не стре-
мится к какому-либо пределу. Это не мешает тому, что после подстановки
в (4) вместо х функции j — Цх), которая возникает в формуле Коши (3),
получается такая функция от х, которая имеет предел при х -+• 0.
Нам надо рассмотреть еще случай а = оо (или.а = +оо или
а — — °°). Сделаем подстановку х = 1/и. Тогда получим функции
/?(«)= Д1/и), Ф(н) = ф(1/н) от и. Они непрерывны в окрестности
точки 0 (при « = Н-оо или а = —оо — в правой или левой окрестг
постях точки 0), имеют производные (по и) в этой окрестности
и Ф, так же как Ф' не равны нулю в ней.
При этом lim F (и) = lim / (ж) = 0 и lim Ф (u) = lim ф (х) = 0.
и->0	х-*оо	и->0	х->оо
Далее, если существует lim ? то, очевидно, существует
Х->оо ф W
172 ГЛ. 5. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ. ОДНА ПЕРЕМЕННАЯ
равный ему предел:
lim ДМ = lim	= lim ДЖ
,^0Ф (и)	t^0 <р'(1/ы) (— 1/ы2)	х-,00 Ф W
Поэтому на основании уже доказанного выше (для конеч-
ного а)
lim -	= lim
Х^оо Ф (*)	и-,0
F (и)
Ф (и)
lim
u-*o
F' (и)
Ф' (и)
lim
х-*оо
f (я)
ф' (®) 
Этим теорема доказана-.
Приводимое ниже доказательство теоремы 1 годится как для
конечного, так и бесконечного а, т. е. а может быть равным
+ °° ИЛИ —оо.
Пусть задана принадлежащая к указанной в теореме окрест-
ности последовательность точек дт, (хк^а), стремящаяся к a (xs ->
-*• а). В силу того, что /(ж)	0, ф(х) -* 0 при х -* а, для каждого
натурального к найдется натуральное пк такое, что
| / (x»k) | <JI / М, |Ф(М1<Г1ФСШ к = 1,2,...,
при этом можно считать, что.л* < nk+1. Поэтому
/ (xnh) = о (f (хк)),
ф (Xnh) = о (ф (xh)),	°° ’
Gr>)
и справедливо асимптотическое равенство (см. теорему 1 § 4.10)
/(*ft) Ж (*»)-/(М
ф(**) ~ Ф(^)-Ф(^й)
(к —> сю).
(0)
Применяя для каждого к теорему Коши (см. (1)
дим точку \к s (xh, Xnh) такую, что
§ 5.8), нахо-
= г (?ft)
ф(^-<р(^) ф'(М’
В силу условия (1) из (6) и (7) получим (см. теорему 2
§ 4.10), что существует предел
lim
fe->00
lim ——г---7—г
к-»ооФ(^)-ф(%)
lim
k-*oo
НМ-
ф' (^)
= А.
ф ы
Теорема доказана.
Случай оо/оо. Справедлива следующая теорема.
Теорема 2. Пусть функции /(х) и ф(х) непрерывны и име-
ют производные f и ф' в окрестности (в частности, в правой или
в левой окрестности) точки а (конечной или ' бесконечной), за
исключением самой точки а. При этом ф'^О в указанной окрест-
§ 5,14. РАСКРЫТИЕ НЕОПРЕДЕЛЕННОСТЕЙ
173
пости и
lim / (х) = lim ср (ж) = оо
х-*а	х-»а
Гогда, если существует
ШпЛр-
х^а Ф W
то существует равный ему предел
1ппЦ^ = lim -
х-.аФЙ х-.«Ф' (*)
(-4-90 или — оо).
= Л,
(8)
(9)
(Ю)
f' W = д
Доказательство. Зададим произвольную последователь-
ность точек хк (лд¥=я), стремящуюся к a (ад -> а).
Так как по условию /(ад) -* <р(хк) -* °°, то каждому нату-
ральному к можно привести в соответствие натуральное пк > к
(пк> nK..i) такое, что
*|/Uft)|<|/(MI’ * I Ф Ы I < I Ф (^nfe) I (*=» 1,2, ...).
Следовательно,
/(ад) = o(/(a?nft)), ф(М = »(ф (znft)) (А:->оо).
Поэтому (см. теоремы 1 и 2 § 4.10) для некоторых %к^(хк, хПк)
,. У(М 1- f (М	~>•	Л	И	„о
lim -7- ( = lim -т—Ц-----т-т = lim	' я/. = А	(к =	1, 2,	..-.),
л-^Ф(%) ь^Ф^-ФЫ ьЛ (Ik)
(И)
потому что при к оо ад а,
следовательно, х„к -* а (к< пк)
п -> а. Мы доказали, что из всякой последовательности
i/(Mi '	К (Ml
можно выделить подпоследовательность	—Jb для
которой
lim
k-»oo
Ч’(М
= А.
Но тогда (см. теорему 9 § 4.1) существует предел
lim^ = А
К-»афИ)
и выполняется равенство (16).
В равенстве (10) существование второго предела влечет су-
ществование ему равного первого, но не наоборот, как показы-
вает следующий пример: предел
,. х — sin х •	/.
lim ----------= lim 1
sin x \	.
-------1 = 1
x-*oo
X
X
x-»oo
174 ГЛ. 5. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ. ОДНА ПЕРЕМЕННАЯ
существует, между тем как предел при х -* °° отношения произ-
водных (1 —cosa:)/l не существует.
Выражаемые теоремами 1, 2 правила, в силу которых вычис-
ление предела отношения функций может быть сведено к вычис-
лению предела отношения их производных, называют правилом
Лопиталя, по имени математика, который сформулировал это
правило, правда, для весьма простых случаев. Впрочем это пра-
вило было известно И. Бернулли до Лопиталя*).
Другие неопределенности. Нам остается еще рас-
смотреть другие виды неопределенностей. Их можно свести к пре-
дыдущим.
Если /->
оо и <р
оо, то пишем/ — ф =
Л
<₽
1\ 1
7): 7? и полу-
чаем неопределенность вида 0/0.
Если же /-+0 и <р-+то пишем /ф = что приводит
к неопределенности вида 0/0.
Выражения и”, приводящие к неопределенностям 0°,	1“
удобно логарифмировать, что приводит к неопределенностям ви-
да 0 • оо.
lim,® In и
Например, lim и = ех^а если предел показателя степени в
х^>а
правой части конечный. Если же последний равен +°°, —°°, то
предел левой части равен соответственно +°°, 0.
Примеры.
, 1 • In X , • ,lt 1 /х п
5. Inn ---------= lim —— — 0.
Х->оо X х->оо 1
хк
7. lim хке х — lim —
X-*-j-OO	х-*+оо в
6. lim х In х = lim = lim  = 0-
'х-»0	х=»0 1/«£	х~*0 1/*Х'
Х>0	Х>0	Х>0
 kxk~x	,. fc!
lim --------— = ... = lim — = 0 (к —
х-»+оо е	х->-|-оо е
= 1,2, ...).
§ 5.15. Кусочно непрерывные и кусочно гладкие функции
Функцию / мы называем гладкой на отрезке [а, bl, если опа
имеет непрерывную производную на этом отрезке.
В этом определении под. производной в точках а, Ъ понима-
ется соответственно правая и левая производная в этих точках.
Гладкая па [а, Ь] функция автоматически непрерывна на [а, bl,
ведь она имеет всюду на [а, Ь] производную.
Другое эквивалентное определение гласит: функция f глад-
кая на [а, &], если она непрерывна на отрезке [«, Ь] и имеет на
интервале (а, Ь) непрерывную производную fkx) такую, что
*) Г. Ф. Лопиталь (1661—1704) — французский математик. И. Бернулли
(.1667—1748) — швейцарский математик.
g 5.15. КУСОЧНО НЕПРЕРЫВНЫЕ И КУСОЧНО ГЛАДКИЕ ФУНКЦИИ 175
существуют пределы
/'(а + 0)=А, f(b-O)=B.
(1)
Ясно, что первое определение влечет второе. Допустим теперь,
что /—гладкая в смысле второго определения. Тогда
= f(a + Qh)-+A (b > О, Л-> 0, 0 < 0 < 1) (2)
и, следовательно, / имеет производную (правую) в точке а, рав-
ную /'(а) = А. В силу первого равенства (1) она непрерывна
(справа) в этой точке. Аналогично доказывается существование
и непрерывность производной от f в точке b и равенство /'(b) =
= В. Следовательно, / гладкая также и в смысле первого опре-
деления.
Функцию / мы называем кусочно непрерывной на отрезке
1а, bl, если она определена и непрерывна всюду на [а, bl, за
исключением, быть может, конечного числа точек х} ( a^Z хЛ< ...
...<xN^b'), в которых существуют пределы / справа и слева,
т. е. имеют смысл конечные числа /(я, —0), /(/tj + O). Впрочем,
для х = а и х = b предполагается, что имеют смысл соответствен-
но только /(а + 0), /(Ь — 0).
Таким образом, кусочно непрерывная на [а, Ь] функция f
непрерывна на каждом из интервалов (х,, xj+l). Больше того, не-
зависимо от того, определена или не определена она в точках
xh Xj+l, ее можно видоизменить или доопределить в этих точках
так, что она окажется непрерывной уже на отрезке [х,, arj+1].
Пример 1. Функция [г], определяемая
как наибольшее целое число, не превышаю- У .v
щее х, может служить примером функции, яв-	,
ляющейся кусочно непрерывной на любом
отрезке [а, Ь]. Ее график изображен на	_
рис. 5.12, Точками разрыва функции [ж] яв-	* *
ляются целые значения х = 0, ±1, ±2, ...
Разрывы в. этих точках первого рода, т. е. в	'	•—*-
них существуют правый и левый пределы '
функции. Рассмотрим один из наибольших ин- 1---—------£---1-----
тервалов непрерывности нашей функции, для 0/2	*
определенности (1, 2). На нем функция рг]
непрерывна. На соответствующем отрезке
[1, 2] она уже перестает быть непрерывной	Рис. 5.12.
([2 — 0] = 1 =# [2]), Но достаточно ее видо-
изменить, положив равной 1 при х = 2, как она окажется непрерывной
па [1, 2].
Мы назовем функцию / кусочно гладкой на отрезке [a, bJ,
если она кусочно непрерывна и имеет кусочно непрерывную про-
изводную /' на этом отрезке. Таким образом, отрезок [а, Ь] мож-
но разбить точками
а — х0 < xt < ... < xN = b	(3)
так, что / непрерывна вместе со своей производной /' па каждом
176 гл. 5. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ. ОДНА ПЕРЕМЕННАЯ
из интервалов (х„ orJ+l) и, кроме того, существуют односторонние
конечные пределы как /, так и /' в концевых точках xs этих
интервалов.
Если, рассматривая вполне определенный отрезок [х)ч xi+t],
видоизменить или доопределить нашу функцию / на его концах
x = Xj, х1+1 так, что она примет в них соответственно значения
/(xj + O), f(xj+t — 0), то, как это было установлено в начале этого
параграфа, функция / окажется гладкой па отрезке [xh xj+ll.
Например, функция ф(х) = [х], очевидно, не только кусочно
непрерывна, но и кусочно гладкая на любом отрезке [«, Й, по-
тому что на интервалах (т, т+1), где т — целое; опа непре-
рывна вместе со своей производной и па их концах существуют
односторонние пределы ф и ф'. Если заменить значение ф(т + 1) =
= т + 1 на новое значение ф(т + 1) = т, то функция ф окажет-
ся постоянной на замкнутом отрезке [т, т + И, следовательно,
гладкой (см. рис. 5.12).
Важным частным случаем кусочно гладкой функции является
непрерывная кусочно гладкая на отрезке [«, Ь] функция f. Для
нее имеют место следующие характерные свойства:
1) / непрерывна па-[а, Й; 2) существует разбиение (3) от-
резка [а, Ь] такое, что f является гладкой функцией на каждом
из частичных отрезков [х}, яг;+11.
Пример 2. Функция |т| не является гладкой на [—1, 1], потому что
в точке х = 0 она не имеет производной. С другой стороны. |ri — непре-
рывная кусочно гладкая на [—1, +1] функция, потому что она непрерыв-
на на [—1, 4-1] и имеет непрерывную производную на интервалах (—1,0),
(0. 1). которая к тому же имеет соответствующие односторонние пределы
на концах этих интервалов.
{-4-1 х 2> 0
— 1’ х < о'
Мы считаем, что функция sign х в точке х = 0 не определена.
Упражнения.
1.	Показать, что функция, изображенная на рис. 5.6, кусочно гладкая.
Показать еще, что функции изображенные на рисунках 5.1, в — в. не явля-
ются таковыми.
Пояснение. Учесть, что эти функции в точке ха имеют бесконеч-
ные производные, во всяком случае, правые и левые.
с 0, . х = 0,
2.	Показать, что функция f (х) = j ^2sjn S 0 < | х | < 1 пе является
1 х
гладкой на отрезке [—1, +1], несмотря па то, что она имеет производную
во всех точках этого отрезка.
3.	Показать, что если функция / непрерывная, но не гладкая на отрез-
ке [а, Ь], и в то же время гладкая-на каждом из отрезков [а, с], [с, Ь], то
f не имеет производной в точке с, хотя и имеет в этой точке правую и ле-
вую производные.
4.	Показать, что если / непрерывна и имеет производную f во всех
точках [а,- &], то последняя не может иметь разрывы первого рода (произ-
водная от / в примере 2, хотя и существует всюду на [—1,	но имеет
в х = 0 разрыв второго рода).
Глава 6
n-МЕРНОЕ ПРОСТРАНСТВО. ГЕОМЕТРИЯ КРИВОЙ
§ 6.1. н-мерное пространство. Линейное множество
Произвольную упорядоченную систему х — (х,, ..хп) из п
действительных (комплексных) чисел х$ называют вектором, или
точкой п-мерного действительного (.комплексного) пространства
Нп. Таким образом, Нп есть множество всех указанных х.
Векторы (точки) х, у^/?п мы будем складывать и вычитать
и умножать на них действительные (комплексные) числа, руко-
водствуясь следующим правилом: если ~х =»= (xt, ..., хп), у =
= (yt, ..уп) и а, р— действительные (комплексные) числа, то
ах ± Ру = (axi ±	.., ал ± р„у«).
Вектор (точку) 0 = (0, ..., 0) называют нулевым вектором (точ-
кой) Rn. Очевидно, х + 0 = х для любого хей;. Полагают еще
( —1)х = —х и тогда, очевидно, х — у = х + (—у).
В приложениях (в геометрии, в механике) говорят, что х =
= (xt, ..., х„) есть вектор, начало которого есть нулевая точка,
а конец — точка х =>	х„). В двумерном и трехмерном слу-
чае (п = 2, 3) такая терминология имеет наглядный смысл.
Непосредственно проверяется выполнение следующих свойств
(х, у, ze/?„. а, р — действительные (комплексные*)) числа):
1)	х+у = у + х,	5) ах + рх = (а + р)х,
2)	(х + у) + z х + (у + z),	6) а(рх) := (ар)х,
3)	из х + у = х + z следует у = z, 7) 1  х = х.
4)	ах + ау = а(х + у),
Множество Е элементов х, у, z, ... любой природы называется
линейным действительным (комплексным) множеством, если для
любых двух элементов х, у е Е в силу некоторого закона опреде-
лен элемент х~уе£. называемый их суммой, и если для любо-
го действительного (комплексного) числа а и любого элемента
xs£ определен также элемент ах^Е (произведение а на х)
и при этом выполняются перечисленные выше свойства (аксио-
мы) 1) —7).
Из сказанного следует, что можно рассматривать как при-
мер линейного множества. Но существуют и многие другие такие
*) О комплексных числах см. § 8.2.
12 с,. М. Никольский, т. I
178
ГЛ. 6. n-МЕРНОЕ ПРОСТРАНСТВО
примеры. Множество всех последовательностей действительных
или комплексных чисел х = {д:1, х2, .. Л, если считать, что
ах + 0У = (cLXt + Pj/1, ах2 + $уй, . . Л, у = {у>, У г, ., Л,
есть линейное множество. Его подмножество, состоящее из сходя-
щихся к конечным числам последовательностей, с тем же опре-
делением сложения и умножения на число, очевидно, также есть
линейное множество. Множество С всех непрерывных на отрезке
[а, Ы функций / (действительных или комплексных), если счи-
тать, как обычно, что
а/ + Рф = а/(;г) + Рф(ж) (/, ф е С),
есть тоже, очевидно, линейное множество.
п
Наконец, множество многочленов Рп (х) — степени пе
о
выше п есть также линейное множество, если понимать их сло-
жение и умножение на число в обычном смысле.
В списке аксиом 1)—7) ничего не говорится явно о вычитании эле-
ментов и о нулевом элементе. На самом деле эти понятия возникают па ос-
нове этих аксиом. Положим 0Х= 0 • х; тогда х-|-0х=х + О- х = 1- х —
= х.
Аналогично определяем 0У = 0 • у; для него также у + 0 у	= у.	Далее,
X + У + 0у= х + (у + 0у) = X + у,
х + У + 0х = х + (0х+ У) = (х + 0х) + у	= х + у-
Но тогда	(аксиома 3)) 0Х = 0у= 0, каковы бы ни	были х,	у s	Е.	Итак,
0 есть нулевой элемент в Е, так как для любого х е £ имеет место х + 0 =
= х. Положим теперь —х = (—1)х; тогда х + (—х) = (1 — 1)х — Ох = 0.
Вычитание х — у двух элементов х, у е Е определяется при помощи равен-
ства х — у = х+(—у). Это действие, обратное действию сложения:
(х-у) + у = х-Ь(-у) +у = х+ [(—у) +у] = х + 0 =х.
§ 6.2. Евклидово n-мерное пространство.
Пространство со скалярным произведением
Пусть Rn есть, действительное или комплексное ^-мерное про-
странство. Произвольным его точкам (векторам)
х = (x1? ..., х„), у = (г/i, ..., yj
приведем в соответствие число
(х,у ) = S хш,	(1)
3=1
называемое скалярным произведением векторов х и у.
Здесь черта над г/j есть знак комплексного сопряжения. В слу-
чае действительного пространства ys действительны и ур—Уз-
Скалярное произведение, очевидно, обладает следующими
свойствами:
§ 6.2. ЕВКЛИДОВО n-МЕРНОЕ ПРОСТРАНСТВО
179
1)	(х, у) = (у, х);
2)	(х, у) есть линейная форма по х, т. е. для любых векторов
х, у, z и чисел а, £
(ах + Ру, z) = а(х, z) + р(у, z);
таким образом, в силу 1)
(х, ay + pz) = a(x, у)+.р(х, z);
3)	(х, х) > 0 для любого вектора х, а из равенства (х, х) =
= 0 следует, что х = 0, так как тогда х, = 0, 7 = 1, ..п.
Введем следующее определение: если Е есть линейное (дейст-
вительное или комплексное) множество и любым его двум эле-
ментам (обобщенным векторам) х, у приведено в соответствие
число (х, у), подчиняющееся условиям 1) — 3), то будем гово-
рить, что Е есть линейное пространство со скалярным произведе-
нием (где введено скалярное произведение).
Конечно, если Е — действительное линейное множество, то в
формулировках условий 1) — 3) можно черточки, обозначающие
комплексное сопряжение, опустить.
Теперь мы можем сказать, что п-мерное пространство Rnr в
котором введено понятие (1), есть пространство со скалярным
произведением.	'
В математике известны и другие линейные пространства со
скалярным произведением. Некоторые из них мы будем изучать
(см. гл. 14).
Пусть х и у — два элемента какого-либо линейного мпожест»
ва Е, где введено скалярное произведение, и X — произвольное
число (действительное или комплексное, в зависимости от того,
будет ли Е действительным или комплексным), Тогда в силу
свойств 1) —3 )
0 s? (х + Zy, х + Ху) = (х, х) + Х(х, у) + Х(х, у) Т IX12(у, у).
Нели (у, у) > 0, то положив в (2)
•(у> У)
и, учтя что аа = lai2, будем иметь
(3)
* (х, у) = X (х, у) = -	= - IX |2 (у, у),
т. е.
0<7(х, х)
l(x,y) I2
(У, У) ’
(4)
и мы получили важное неравенство (неравенство Буняковского):
I(х, у)|^(х, х)1/2(у, у),/2.	(5>
180
ГЛ. 6. n-МЕРНОЕ ПРОСТРАНСТВО
При (у, у) = 0, т. е. если у = 0 есть Нулевой элемент, оно тоже
верно, потому что (х, 0) = (х, 0 • 0) = 0(х, 0) = 0.
Далее, для любых двух элементов х, у е Е имеет место:
(х + у, х+ у) = (х, х) + (х, у) + (у, х) 4- (у, у) 'S
«S (х, х) + 21 (х, у)| + (у, у) «S
(х, х) + 2УСх, х)У(у, у) + (у, у) = (У(х, х) + У(у, у))2, (6)
и мы получили другое важное неравенство:
(х + у, х + у)1/2^(х, х)1/2 + (у, у)‘/г.	(7)
Для пар элементов вида х = ау и у, где а — число и у любое пли у =
= 0 и х любое, неравенство (5) обращается в точное равенство
I (X, у)| = (X, х)1«(у, у)'+	(8)
Наоборот, если выполняется равенство (8), то либо у = 0, либо выпол-
няется (2) со знаком равенства, если X определить по формуле (3), и тог-
да х + Ху = 0 в силу свойства 3) скалярного произведения.
Неравенство (7), очевидно, обращается в равенство при условии, что
либо у — 0, либо х = ау, где а — неотрицательное число.
Но и наоборот, если (7) есть на самом деле равенство, то все соотно-
шения в (6) обращаются в равенства, откуда, в частности, следует (8).
Следовательно, либо у =*= 0, либо х = ау, где а — число. Положив в равен-
стве (7) х = ау, (у, у) > 0, получим после сокращения на (у, у) равен-
ство 11 + а | = 1 + | а |, откуда а 0.
Арифметическое значение корня квадратного из (х, х) назы-
вается нормой х и обозначается так: 11x11 = (х, х)|/2 (см. следую-
щий параграф).
п-мериое пространство Rn, где введено скалярное произведе-
/ п	\ 1/2
ние (1), а вместе с ним и норма || х || = | х | = 21 хз Г для х =
\ г	/
= (xj, ..., хп), называется евклидовым п-мерным пространством.
Таким образом, нормы элементов х евклидова и-мерного прост-
ранства мы будем обозначать также через |х|. При п=3 норма
| х | = (^i + х* + а:|)1/2 вектора х=(а:1, хг, х3) есть его длина.
Неравенства (5), (7) для элементов евклидова п-мерного про-
странства превращаются в следующие неравенства для систем
чисел (zj, ..., Хп), (у„ ..., р„):
П	__	/ п	\ 1/2 / П	\ 1/2
’iXlj/d2 <	(9)
1 \ 1	/ \ 1	/
/ п	\1 2	/ п	\ 1/2	/ П	\ 1/2
2l^ + </d2 <2hl2 + 21^'Р •	0°)
\ 1	/	\ 1	/	\ 1	/
Из (9) следует
п	/ п \ 1/2 / п	1/2
21 х)У> К 21 I2 Z । Уз I	(И)
1 \ 1 / \ 1 /
§ 6.3. ЛИНЕЙНОЕ НОРМИРОВАННОЕ ПРОСТРАНСТВО
181
потому что можно считать, что неравенство (9) применено к не-
отрицательным числам kJ, lyj = lyj.
Отметим еще неравенства
п	f п	\ 1/S	П
(12)
"	1	\ 3=1	}	1
Первое из них вытекает из (11), если считать у, — 1 (у = 1, ...
..., и), а второе проверяется непосредственно после возведения
его частей в квадрат.
Соотношение (9) называется неравенством Коши, а (10) есть
частный случай неравенства Минковского 1см. далее § 14.2, (12)).
§ 6.3.	Линейное нормированное пространство
Если Е есть линейное множество элементов х, у,... и каждо-
му его элементу х приведено в соответствие число 11x11, удовлет-
воряющее ниже формулируемым трем свойствам 1) — 3), то гово-
рят, что Е есть линейное нормированное пространство, а число
|| х || называют нормой элемента х.
1)	||х||Э= 0 для любого хе£: из равенства || х || =0 следует, что
х = 0, т. е. есть нулевой элемент линейного множества Е\
2)	||ах||= |а1 ]|х|| для любого хе£-и любого числа а (комп-
лексного или действительного, в зависимости от того, будет ли
^^комплексным или действительным);
3)	|| х у ||	||jc || 4- || у II, каковы бы ни были х, у е Е.
Таким образом, евклидово пространство /?„ есть нормирован-
ное пространство с нормой
(1)
Возможны и другие (не евклидовы) нормировки пространства
Rn. Например, для точек (векторов) х — (xlt ..., хл)еЛ„ можно
ввести норму
||х||= max{|xtl, k2l, ..., kJ),	(2)
или
(1<р< оо)
(3)
Тот факт, что (2) есть норма, так же как то, что (3) при р=1
есть норма, читатель легко может проверить (общий случай см.
§ 14.2).	, ,
Неравенство 3) называется неравенством треугольника. В дву-
мерном или трехмерном случае евклидова пространства оно как
раз и выражает известный геометрический факт, что длина сто-
роны треугольника не превышает суммы длин остальных его
182
ГЛ. 6. n-МЕРНОЕ ПРОСТРАНСТВО
двух сторон, и кстати доказывает этот факт аналитическим
путем.
Из неравенства 3) следует (если заменить в нем х на х — у
или у на у-х), что
Их _ у|| > iixll - llyll, Их - yll > llyll - 11x11,
поэтому
Их — yll Э- I llxll — llyll I.	(4)
В нормированном пространстве Е можно определить понятие
предела. Будем говорить, что последовательность элементов х„ в
Е сходится (стремится) к элементу хе£ и писать х„~*хили
limx„ — х (п -> оо), если Пх„ — xll -> 0 (га
Если последовательность элементов х„-е Е имеет предел х =
е Е, то этот предел единственный, потому что из того, что х„
-> х, х„ -> у, следует
Их — у11 = И(х — х„) + (хп — у)И '5 Их — х„П + Пх„ — yll -> О,
откуда Jlx — yll = 0, т. е. х = у.
Так как | Их„П — llxll I С Пх„ — xllО, то из того, что хп сходит-
ся к х, следует, что Пх„П стремится к 11x11:
Пх„Н -> 11x11 (п -> оо)»
Если хп, у„, х, у е Е, а а„, а — числа и если х„ -> х, уп -> у,
а„ -> а, то
lim *(хп ± у«) = х ± у, lim (апхп) = ах.
?1->оо	п-+<х>
В самом деле,
Н(х ± у) — (х„ ± уп)II Их — х„П + Пу — у„И -> 0 (га -> оо),
Пах — а„хп11 = И(а — а„)х + а„(х — х„)П С II(ос — ап)х11 +
+ На„(х — х„)П 1а — а„1 Hxll + 1а„1 Их — х„П -* 0 (га -> оо)
§ 6.4. Вектор-функция в га-мерном евклидовом пространстве
Пусть Е есть множество действительных чисел t. Если каж-
дому t е Е в силу определенного закона приведен в соответствие
вектор*)
X = x(t) = (Xi(t), x2(t), ..., xn(t)),	(1)
то будем говорить, что этим определена вектор-функция х(Е)наЕ,
Обычные функции a(t) (приводящие в соответствие каждому
teE число a(t)) называют также скалярными функциями.
♦) Мы-будем иметь в виду векторы х, принадлежащие действительно-
му пространству Rn, но ничего в наших рассуждениях не изменится, если
считать Rn комплексным.
§ 6.4. ВЕКТОР-ФУНКЦИЯ В n-МЕРНОМ ПРОСТРАНСТВЕ
183
Будем говорить, что вектор-функция x(t) имеет предел в точ-
ке t0, равный вектору у = (у,, ..уп), и писать
limx(i)=y или x(i)-* у,	(2)
t-t,
если
lim ly — x(t)l = 0,	(3)
о
или, что все равно (.пояснения ниже), если
limz/i) = j/j (j«= 1, ..., re).	(4)
Равенство (3) утверждает, что скалярная функция ly — x(t)l .
от t имеет предел при t -> t0, равный нулю, но это, как мы зна-
ем, предполагает, что она определена на некоторой окрестности
точки to, за исключением, быть может, самой точки ta, но тогда и
все компоненты aj(t) определены на этой окрестности.
Имеют место неравенства (см. 6.2, (11))
77= IЮ - х} (t) К
у п
= I У — X (01,
из которых следует, что если выполняется (3), то выполняется и
(4) для всех ] = 1, ..., re, и наоборот.
По определению, вектор-функция x(t) имеет, правый (левый)
предел в точке ta, равный у= (у„ ..., у„), если
lx(i) — yl->0, t-+to, t>ta
(соответственно |x(t) — у| -> 0,	t<t0). Эти пределы обозна-
чаются соответственно так:
х (t0 + 0) = lim x(i), х (t0 — 0) =lim x (1).
t->(0	i-»i0
t>t0	t<t0
Легко видеть, рассуждая как выше, что
xUo + 0) = (ZjUo + 0), ,,xn{to + 0)),
x(to — 0) = (.x^to — 0), Xntto — 0)),
причем существование векторных пределов, стоящих в левых ча-
стях этих равенств, влечет существование соответствующих пре-
делов компонент, и наоборот.
По определению, вектор-функция x(f) непрерывна, непрерыв-
на справа или непрерывна слева в точке t0, если существуют со-
ответственно пределы limxU), x(i0 + 0) и xU0 — 0), равные x(i0).
t-+to
184
ГЛ. 6. n-МЕРНОЕ ПРОСТРАНСТВО
Эти определения, очевидно, эквивалентны утверждениям, что
компоненты Xj(t)' (j = 1, ..., п) в точке t0 непрерывны, непрерыв-
ны справа, непрерывны слева.
Очевидно, что x(Z) непрерывна в t = Zo тогда и только тогда,
когда существуют" xtto), x(Zo + O) и x(Z0 —0) и выполняются ра-
венства x(Z0) = x(Z0 + 0) = x(Z0 — 0).
Производная от вектор-функции x(Z) в точке t определяется
как предел:
х(,) = * = цт +	..*.<*> = lim
1 dt	h	h-.o'h
если, конечно, он существует. Производная порядка т от x(i) оп-
ределяется по индукции:
При этом, очевидно, существование ее влечет за собой существо-
вание производных т-ro порядка от компонент и наоборот. Име-
ет место равенство
(ИГ = 1,2, ...).
Производные первого и второго порядка' обозначают и так:
x = x(Z), x = x(t).
Если x(Z), y(i) — вектор-функцця, a a(z) — скалярная функ-
ция, то имеют место равенства:
lim [х (!) ± у (£)] = lim х (Z) ± lim у (Z),
(-Оо
lim [a (Z) х (Z)J = lim а (Z) lim х (Z),
d .	, dx , dy	d . . dx , da
— (x ± y) =-----h -г, -г- (ах) = а = 4- — x,
dt '	" at dt dt '	dt'dt
где, конечно, предполагается, что пределы или производные, фи-
гурирующие в правых частях равенств, существуют. Эти равен-
ства тривиальным образом доказываются переходом от векторов
к соответствующим координатам, например,
lim [х (Z) ± у (Z)J = /lim [х± (Z) ± уг (/)], .. ., lim (Z.) ± уп (Z)]
= /lim z1 (Z) ± lim yt (Z), ..., lim xn(t) lim yn (Z)
\/->(o	г^(о	,'*,o
= / lim	(Z), .. ., lim xn (ZH ± / lim y± ..., lim yn (Z) \ =
V-’fo	1	V-’-'o	'^'o	1
= lim x (Z) ± lim у (Z).
§ 6.5. КРИВАЯ В n-МЕРНОМ ПРОСТРАНСТВЕ
185
Но можно рассуждения проводить чисто векторным путем, на-
пример, полагая lima(i) = (5, lirnx(f) = у, получим
t-^t0	t-><0
la(i)x(Z) — fly I < lla(i) — 0]x-(OI + I fi(x(t) — y)l <
=S |a(t) — pl IxWI + Ipl lx(t) - yl -> 0 • lyl +4pl -0 = 0, t-+18.
§ 6.5. Кривая в «-мерном пространстве
При непрерывном возрастании t на [а, 6] ((а, &)) точка, оп-
ределяемая непрерывной вектор-функцией
х(1) = (ф,(/), ...,	(1)
описывает некоторый образ — траекторию {годограф) вектор-
функции x(i) или множество точек, упорядоченное посредством
переменной t. При этом не исключено, что подвижная точка х(£)
может возвратиться в точку пространства Rn, которую она уже
прошла, но уже при новом значении t. При п = 2, 3 подобные
траектории имеют реальный смысл.
Наряду с непрерывной вектор-функнией (1) будем рассматри-
вать вектор-функции, определяемые векторными равенствами
х* (т) = х (X (т)) = (ф1 (X (т)), .. ., (X (т)))
(т ё 1с, d] или т е (с, d)) (2)
или, что все равно, системами скалярных равенств
^1 = Ф*1 (т) = Ф1 (X (т)),	= ф*„ (т) = ф„ (X (т)),	(2')
где 1 = Х(т) есть произвольная непрерывная строго монотонная
(действительная!) функция, отображающая (взаимно однознач-
но!) некоторый отрезок [с, d] (интервал (с, d)) .новой перемен-
ной т на отрезок [а, 61 (интервал (а, Ь)) прежней переменной t.
Ясно, что уравнение (2) определяет ту же траекторию, что и
уравнение (1), и упорядочение ее точек с помощью t и т про-
исходит одинаково, если Х(т) строго возрастает, и оно меняется
на противоположное упорядочение, если Х(т) строго убывает.
Говорят, что уравнение (1) определяет непрерывную кри-
вую Г, заданную параметрически через параметр t, в то время
как уравнение (2) определяет ту же кривую Г, но через пара-
метр т. Таким образом, различным указанным строго монотон-
ным непрерывным функциям Х(т) соответствуют различные па-
раметрические представления одной и той же непрерывной кри-
вой Г.
Всегда можно функцию Х(т) подобрать так, что будет с = 0,
d = 1.
Функции Х(т) можно разбить па два класса: класс строго воз-
растающих функций и класс строго убывающих функций. Пер-
вый класс упорядочивает точки Г в одном направлении, а вто-
186
ГЛ. 6. n-МЕРНОЕ ПРОСТРАНСТВО
рой — в другом, ему противоположном. В связи с этим возника-
ет понятие ориентированной кривой Г. Мы можем обозначить,
например, через Г+ кривую Г, ориентированную при помощи па-
раметра t. Г+' определяют также всевозможные уравнения (2),
где Х(т) — непрерывные строго возрастающие функции. Эту же
кривую Г, ориентированную противоположно, естественно обо-
значать через Г_. Она определяется всевозможными уравнения-
ми (2), где Х(т) — непрерывные строго убывающие функции.
Кривая Г называется гладкой на [а, Ы [на (а, Ь)), если ее
можно*) задать при помощи гладкой вектор-функции x(i), т. е.
непрерывной и имеющей непрерывную не равную нулю произ-
водную на 1а, Ь] (на {а, Ъ)) или, что, очевидно, все равно, если
компоненты Xj(t) вектор-функции х(1) есть гладкие скалярные
функции на [а, б] (на (а, 6)), имеющие производные, одновре-
менно не равные нулю. Это последнее свойство эквивалентно то-
му факту, что
|x'(Z)l2= S [^(0]2>0, te [а, 6] ((а, Ь)).	(3)
3=1
В этой формулировке, конечно, непрерывность х(£) в конце-
вых точках аиЬ понимается как односторонняя непрерывность
справа в а и слева в Ь. Производная же х'П) в а и b понимает-
ся как правая в а и левая в Ь.
Мы будем называть параметр т допустимым параметром глад-
кой кривой Г, если он связан, с t при помощи равенства i = Z(r),
те [с,	((с, й)), где Z(t) не только непрерывна и строго моно-
тонна, но имеет непрерывную производную, не равную нулю на
[с, (fl ((с, й)). Таким образом, производная Л.'(т) на самом деле
имеет один и тот же знак на [с, d] ((с, d)): « + » или «—». Если
т — допустимый параметр, то сформулированное выше на язы-
ке t определяющее свойство гладкой кривой, очевидно, сохра-
нится, если его формулировать па языке т, потому что вектор-
фупкция х(Х (т)) = х#(т),имеет непрерывную производную па [с, (fl
((с, й)), к тому же не равную нулю:
S ^(t)2 = X'(t)2S zj(i)2>o.
3=1	3=1
Зададим точку (ж?, ..., г®) = х° G Г, соответствующую значе-
нию t0 е (а, Ь). Одно из слагаемых суммы в (3) положительное,
для определенности будем считать п-е: xn\toy^>O.
*) Здесь слово «можно» существенно, так как гладкую вектор-фупкцпю
можно «испортить», введя новый параметр т при помощи подстановки t =
= Х(т), где Л(т)—строго монотонная непрерывная функция, имеющая
производную, равную нулю, или вовсе не имеющая производной в некото-
рых т.
§ 6.5. КРИВАЯ В n-МЕРНОМ ПРОСТРАНСТВЕ
187
Тогда существует окрестность*) значения ta на которой xnW
сохраняет знак, и на этой окрестности уравнение x„—xn(.t) мож-
но разрешить:
1 — Р (^п),	’  "П1 &П <Хп “1“ Лз)»
где тц, ц2 > О — некоторые числа, ар — функция, обратная к
ж„(1), непрерывная и имеющая непрерывную производную. Но
тогда кусок нашей кривой (1), соответствующий указанной
окрестности, наряду с уравнениями (1) определяется также урав-
нениями
Xj = Hl (^n) = х, (^n)l (7 = 1, .... n — 1),
Xn = Xn (xOn — Щ < Xn < X°n + Ц2).
Эти уравнения можно дифференцировать один раз (в указан-
ной окрестности):
dx,
.  dt
Сказанное мы резюмируем:
Теорема 1. Какова бы ни была точка х° гладкой кривой Г,
соответствующая некоторому значению t = С <= (а, Ъ) параметра,
можно указать такое достаточно малое б > 0, что кусок Г, соот-
ветствующий изменению t ща интервале (10 — б, t0 + б), можно
параметрически выразить по'крайней мере через одну из коор-
динат хе.
Xj = ф; (Xi) (/ = 1, ..., i — 1, i + 1,..., n; x°i — i^ < x{ < 4 + Пг),
где функции ф,- имеют непрерывные производные'.
йх^
dx,	dt
(7 = 1,	+
dxt	dxi u	’	,i,,/
dt
В частности, в двумерном случае гладкая кривая определяет-
ся двумя уравнениями:
х — tp(t), у = ф(1) (1е(а, б)),	(4)
где ф и ф имеют непрерывные, одновременно не равные нулю
производные. Если, например, ф'(10) ^0, то существует интервал
(70 —б, 10 + б), на котором ф имеет обратную функцию t = ф-‘(х),
н тогда у = /(х) = ф(ф“‘(я:)). Обычно в этом случае говорят, что
*) Если to = а, Ъ, то вместо окрестности надо иметь в виду полуокрест-
ность (правую или левую) точки t0.
188
ГЛ. 6. n-МЕРНОЕ ПРОСТРАНСТВО
функция у — fix') задана параметрически равенствами (4), фор-
мулу же
dy
dx dx	' '
dt
трактуют как формулу производной от функции f(x) в парамет-
рическом виде. Очевидно также, что
d2’/ _ d [ Л ) _ d j dt _ W ~ v'txt
dx1'2	dx x't J dt a;' J dx	^.'3	’
если добавочно допустить, что существуют вторые производные
Кривая Г называется непрерывной кусочно гладкой на [а, И
(на (а, 6)), если ее можно задать при помощи непрерывной на
[а, М ((«, й)) вектор-функции x(Z) такой, что отрезок [а, Ы (ин-
тервал (я, 6)) может быть разбит на конечное число частей точ-
ками а = t0 < tt < ... <tN = b так, что x(Z) на этих частях *)
la, Z,] [Z15 Z2], ..., [ZN_,, Ы есть гладкая кривая.
Надо иметь в виду, что в точках деления tk (k = 1, ..., N — 1)
левая производная x(Zft —0), вообще говоря, не равна правой
x(Zft+0), но обе они отличны от нудя (среди их компонент име-
ется хотя бы одна не равная нулю).
Различные параметрические представления непрерывной ку-
сочно-гладкой кривой Г определяются уравнением (2) при помо-
щи функции Z = Z(t), имеющей на [с, d] ((с, <Z)) не равную нулю
непрерывную производную1 Х'(т).
Непрерывная кривая (1) называется также кривой Жордана,
(жордановой кривой) по имени французского математика Жор-
дана (1838—1922). Если при этом х(«) = х(Ь), то кривую называ-
ют замкнутой (замкнутой кривой Жордана). Если, кроме того, из
того факта, что x(Z,) = x(Z2) следует только, что либо Z(=Z2, либо
одно из чисел Zb Z2 равно а, а другое Ь, то кривая Г называется
замкнутой самонепересекающейся кривой Жордана или непре-
рывной замкнутой самонепересекающейся кривой.	~
Если из равенства x(Zj)=x(Z2) (Zn Z2 е la, &] или Z(, Z2e
e (a, b)) следует Z2 = Z2, то говорят, что Г есть незамкнутая самд-
непересекающаяся кривая.
При п = 2 мы получим плоскую непрерывную кривую
xi = a:1(z), x2 = x2(t), t^[a, ?>] или Ze (a, b).	(7)
*) В случае интервала [a, tj, [i.v-i, Ь] заменяются соответственно на.
(я, ti], [tjv-1, b).
8 6.5. КРИВАЯ В n-МЕРНОМ ПРОСТРАНСТВЕ	189
Например, уравнения
X = COS0, P = sin0 ( —оо<0<оо)	(8)
определяют гладкую плоскую кривую. Когда 0 непрерывно изме-
няется от до +<», соответствующая точка (х, у) описывает
Сескбнечпое число раз окружность
хг + уг = 1.	(9)
В связи с этими говорят, что уравнения (8) суть параметриче-
ские уравнения окружности (9). В данном случае параметр 0
имеет геометрический смысл — это есть угол, образованный ради-
ус-вектором точки (х, у) с положительным направлением оси х.
Уравнения окружности (8) можно записать более экономно:
z = cos0, y = sin0 (О 0 =5 2л),	(10)
где 0 пробегает только отрезок [0, 2л]. Кривая (10) есть гладкая
самонепересекающаяся замкнутая кривая. Про окружность Г,
рассматриваемую как геометрическое место точек (х, у), удовлет-
воряющих уравнению (9), тоже обычно говорят, что она замкну-
тая кривая. Это можно понймать в следующем смысле: сущест-
вует непрерывная самонепересекающаяся заданная параметриче-
ски замкнутая кривая, кривая (10), пробегающая, точки Г и толь-
ко точки Г.
Жордан доказал следующее геометрически очевидное утверж-
дение; требующее, однако, для его .обоснования нетривиальных
рассуждений: самонепересекающаяся непрерывная замкнутая
кривая Г, лежащая на плоскости R, делит множество R — Г на
две непересекающиеся непустые области, внутреннюю по отно-
шению к Г и внешнюю: R — Г = А; + Ае. Любые две точки в
можно соединить непрерывной кривой, полностью принадлежа-
щей к Ai, а любые две. точки Ае можно соединить непрерывной
кривой, принадлежащей к Ае. Любая кривая, соединяющая про-
извольную точку А( с произвольной точкой Ае, имеет по крайней
мере одну общую точку с Г (пересекается с Г). Область At огра-
ничена, в то время как Ае пе ограничена.
Нужно сказать, что определение непрерывной кривой являет-
ся настолько общим, что имеются примеры удовлетворяющих это-
му определению математических объектов, которые весьма силь-
но отклоняются от нашего обычного представления о кривой, в
особенности, если разрешить ей самопересекаться.
Доказано, например, что можно определить такие непрерыв-
ные на отрезке [О, И функции
x = <p(i), у = ф(г) (O^i^l),
что при непрерывном возрастании t от £ = О до t—1 перемен-
ная точка (<pU), tyU)), отправляясь при t = 0 от положения (0,0),
пробежит буквально все точки квадрата 0 < х, у 1 и при t—1
190
ГЛ. 6. n-МЕРНОЕ ПРОСТРАНСТВО
окажется в верхнем правом его углу (1, 1). Таким образом, эта
кривая (кривая Пеано) заметает буквально все точки квадрата
О =5 х, у 1, и при этом отдельные его точки заметаются кривой
не один раз.
На рис. 0.1. изображена плоская кривая Г, которую будем считать за-
данной непрерывно дифференцируемыми функциями
х = <p(t), г/=ф(«), ф'2 + ф'2 > 0, 0 < t < 1.
Когда t непрерывно возрастает на интервале (0, 1), точка (х, у) движется
по кривой Г от точки А через В, С и снова при t ->1 стремится к В. Мы
видим, что, немостря на непрерывную дифференци-
ал	------s. руемость функций ф и ф, кривая Г имеет особенность
(	I	в точке выражающуюся в том, что как бы ни был
I	7	мал прямоугольник с центром в В, принадлежащая ему
|	часть Г не проектируется взаимно однозначно ни на
„*	одну из осей координат. Если гладкая кривая Г в лю-
“	бой ее точке не обладает этим недостатком, т. е. ес-
_________________> ли любую точку можно покрыть прямоугольником Л с
О______________I ребрами, параллельными осям координат, так, что ГА
рис g ।	проектируемая взаимно однозначно на одну из коор-
динатных осей, то Г называют одномерным дифферен-
цируемым многообразием.
В § 17.1 доказана лемма 1, из которой как частный случай вытекает
следующее утверждение.
Если определенная на отрезке [я, 6] гладкая кривая Г
= Фг W’ .2 ('Pi)2 > °’
1=1
самонепересекается, т. е. если Г и [я, Ь] при помощи уравнений (1) нахо-
дятся во взаимно однозначном соответствии, то полученная из нее выки-
дыванием обоих ее концов кривая Г (заданная на интервале (а, 6)) есть
одномерное дифференцируемое многообразие.
Пример 1. Эллипс Г
(я, Ь > 0)
есть ограниченная гладкая замкнутая самонепересекающаяся кривая, по-
тому что Г также описывается параметрически уравнениями
х = a cos 0, у — Ь sin 0 (0^0 ^2л),
(12)
определяющими ограниченную гладкую замкнутую кривую в том понима-
нии терминов гладкость, замкнутость, как это определено выше в этом па-
раграфе.
Пример 2. Астроида Г
| аж|2/з + | Ьг,|2/3 = (а2_Ь2)2/з (0 < ъ < а)
(13)
есть ограниченная непрерывная кусочно гладкая замкнутая кривая, пото-
му что уравнение (13) эквивалентно следующим двум:
„2	1.2	„2	,2
d ... и	О	d --- Р	Q
х =--------cos30, у =--------j---sin3 0	(О<С0<С2л),	(14)
причем имеется только одна пара значений 0 (0 = 0, 0 = 2л), которым со-
ответствует одна и та же точка Г. Из (13) видно, что кривая Г симметрия-
§ 6.6. ГЕОМЕТРИЯ. СМЫСЛ ПРОИЗВОДНОЙ ВЕКТОР-ФУНКЦИИ
191
на относительно осей координат, а из (14) видно, что она непрерывна;
производные от х и у по 9 тоже непрерывны и одновременно не равны ну-
лю всюду, за исключением точек 0, л/2, л, Зл/2. Поэтому куски Г, соответ-
ствующие интервалам (0, л/2), (л/2, л), (л, Зл/2), (Зл/2, 2л), гладкие (см.
§ 6.9, рис. 6.11).
§ 6.6. Геометрический смысл производной вектор-функции
' Пусть в пространстве, где определена прямоугольная система
координат Ах, у, z), задана гладкая вектор-функция (см. стр. 186)
r(i),= if(i), %(*)),	t^(a, b).
(1)
На рис. 6.2 изображен годограф век-
тора г = r(t)~ и отмечены две точки
А и В годографа — концы векторов
r(t) и r(i + At) с началом в нулевой
точке.
Очевидно, что вектор АВ = Аг =
= г(/ + At) — r(t). При А£-»-0 точка
В, двигаясь по годографу, стремится
к точке А, а секущая, проходящая
через А и В, стремится занять поло-
жение определенной прямой, которую называют касательной к
годографу в точке А. Поэтому предельный вектор
• г Дг
г = lim —,
дг-»о д<
(он не равеи^нулю!) лежит на касательной к годографу в точке Л.
Длина |г| вектора г есть предел длины вектора при Ai->0?
потому что
In-l-s-Hi-srH
Если t есть время и конец вектора r(i) описывает движение
некоторой точки, то г(0 есть вектор, выражающий скорость этой
точки в момент времени t. Длина егб |г| есть скалярная величина
скорости. Кроме того, вектор г определяет направление движения
точки в момент t. Вектор г есть ускорение точки в момент t.
В § 6.4 мы уже останавливались на некоторых свойствах про-
изводной от вектор-функции. Отметим еще следующие очевидные
свойства (EaXbJ = аХЬ):
<1 ,	( db\ , I da ,\ d	Г , </b 1 , Г da ,1
- (а, Ь) = (а,	Ь), [ахЬ] = [аХ —] + [^Х b],
где (a, b) = ахЬх + ауЬу + azbz — скалярное произведение, а [а X Ы =
192
ГЛ. 6. n-МЕРНОЕ ПРОСТРАНСТВО
= (ауЬг — агЬу, azbx^ axbz, axby — aybx)— векторное произведение
векторов а и Ь.
Отметим еще следующий факт. Пусть гладкая вектор-функция
b = b(i) имеет постоянную норму (длину): _|Ь(£)| = с — const > 0.
Тогда (Ь, Ь) = Ьг — с2 и
#-(Ь,Ь) = 2 (b, 4Н = 0-
dt ' ’ '	\ ’ dt I
Таким образом, для любого t векторы b и ортогональны (по
условию Ь, =/= 0^.
Произвольный вектор a = a(t), имеющий при любом. рассмат-
риваемом t положительную длину (|а| >0), можно записать в ви-
де а = аю, где
а /«!<«) a (t) а (t) \
а> (0 = т—г = . । , , • , , , . , а (О — а =
v ’	| а |	\ | а | ’ | а | ’ | а | /’ v '	1 ।
= /«1 (О3- + «а (О2 + «з (О2
Очевидно, что если вектор а имеет производную для рассмат-
риваемых £, то функции ю и а имеют производные для этих t.
Производная от вектора а раскладывается на два вектора:
da	da ,	da>	...
—т— =	(о 4- а	(1)
dt	dt	dt	' '
Из них первый направлен в ту же сторону, что и а (или ю),
и дДина его равна скорости изменения длины а, а второй ортого-
нален к и. Эта формула применяется в механике для разложения
вектора ускорения на две составляющие, из которых одна имеет
направление движения, а другая направлена перпендикулярно
к ней.
§ 6.7. Длина дуги кривой
Пусть Г есть непрерывная кривая
r(t) = (cp(t), i|?(t), x(i)) (tela, 6)).'	(1)
Разобьем отрезок [a, Ы па части точками
а = t0 < < ... < tH = b.	(2)
Им соответствуют точки кривой Г А = Ао, ..., Ап=В. Если
соединить их последовательно отрезками (рис. 6.3), то получим
ломаную, вписанную в Г.
Длиной кривой Г называется предел, к которому стремится
•сумма длин звеньев этой ломаной,
= lim	Ь max — tt_j)-> 0,	(3)
§ 6.7. ДЛИНА ДУГИ КРИВОЙ
193
когда максимальный частичный отрезок разбиения (2) стремится
к нулю. Если предел (3) существует, то говорят, что кривая
спрямляема на отрезке [а, б] изменения параметра t.
Будем считать теперь, что наша кривая Г гладкая. Таким об-
разом, функции ср, ф, х предполагаются непрерывными и имею-
щими непрерывные производные па [а, Ы, подчиняющиеся не-
равенству
|rU)P=<p'U)2 + i|/U)2 + x'(*)2>0	(£е[а, 61).	(4)
В разделе «Интегральное исчисление» будет доказано, что
гладкая кривая спрямляема на любом отрезке изменения пара-
метра t и что длина дуги гладкой кри-
вой Г обладает свойством аддитивности.
Зто значит, что если Pt, Р2, Р3 — три
точки Г, соответствующие значениям
Z2, t3 параметра, и Л < t2 < t3, то име-
ет место равенство,
\Р^3\^\Р^2\ + \Р^3\.
Введем новую функцию, ’s = F(t),
Рис. 6.3.
равную длине дуги АС, соответствую-
щей изменению параметра на отрезке
[о, И. В интегральном исчислении будет доказано, что функция
F(t) обладает следующими свойствами: она непрерывна и имеет
непрерывную производную на [а, 6], определяемую формулой
. F'(t) = -g- = /ср' (if + ф' (О2 + х' № > 0.	(5)
Кроме того, Е(а) = 0. Но тогда s есть строго возрастающая функ-
ция, отображающая отрезок [а, Ь] изменения t па некоторый от-
резок [0, Z] изменения s, и существует обратная к ней функция
i = A(s) (O^s^Z),
непрерывная и имеющая непрерывную производную A'(s) >0.
Следовательно, s можно рассматривать как один из допусти-
мых параметров пашей гладкой кривой Г:
х = <p(A(s)), у = ф(Л(х)), z = x(A(s))	(0=^№SZ).
Пусть теперь т есть произвольный допустимый параметр 1’,
связанный с t при помощи функции Z = Z(t), имеющей не равную
нулю непрерывную производную. Тогда знак =	(т) зави-
сит от знака А/(т). Таким образом, учитывая формулу производ-
ной функции от функции, будем иметь
Г (т) /ф' (Z)2 + ф' (Z)2 + х'(02 = ± к’и('г)3 + фд(т)а + х!(т)2,
(0)
J 94
ГЛ. 6. n-MEPHOE ПРОСТРАНСТВО
где
х = фДт) = ф(Л(т)), у — фЛт) = фШт)),
z = хДт) =х(Х(т)) (те (с, d))
(7)
— уравнения Г, выраженные через параметр т, а перед корнем
стоит знак « + » или «—» в зависимости от того, будет ли s воз-
растать или убывать при возрастании т.
Отсюда
ds = ±~Vdx'z + dy2 + dz2,	(8)
где при dx > 0 надо поставить « + » в первом случае и « —» во
втором. Однако при dx < 0 надо, наоборот, поставить в первом
случае «—», а во втором «+».
Если в равенстве (6) положить т = s, то справа перед кор-
нем надо поставить знак «+», и мы получим равенство
л 1 ГI dx \2 , / dy \2	( dz V3 „
1 I/ Yds) ' y'ds’ /	’ Заметим, что мы считали, что
s = 0 при t — а и что s возрастает вместе с t.
Заметим еще, что приведенное выше определение длины дуги
Г внешне зависит от параметрического представления кривой.
На самом деле длина дуги есть инвариант, не зависящий от вы-
бора параметра t, при помощи которого задана кривая (см.
§ 10.3, (3)).
§ 6.8. Касательная. Нормаль к плоской кривой
В пространстве, где определена прямоугольная система коор-
динат (х, у, z), пусть задана гладкая кривая, определяемая век-
тором г(£) = (z(i), y{t), z(t)), te(a, б) (рис. 6.4). Будем считать,
что отсчет дуги выбран так, что ее дли-
на возрастает вместе с возрастанием
параметра t (так же, как в § 6.7).
Положим Го = r(t0) = (Хо, у,>, z„) и
r0 = r(i0)= (ж0, г/о, Zo). Вектор г„ имеет
направление касательной к нашей кри-
вой в точке t0, поэтому произвольная
точка касательной р = )х, у, z) опреде-
ляется вектором
Р = Го + ПГо,	(1)
где и— произвольное число (текущий параметр касательной).
Равенство (1) есть уравнение касательной к кривой в точке ta.
в векторной форме.
§ 6.8. КАСАТЕЛЬНАЯ. НОРМАЛЬ К ПЛОСКОЙ КРИВОЙ
195
Из (1) следует, что уравнения касательной в декартовых коор-
динатах имеют вид
X — х0 = их'о, у — у0 = иу0, Z — z0 = uz0,
или
х~хо = " -	_ г~го
’о	V» zo
(2)
Обозначим через a, jj, 7 углы, которые образует положитель-
ное направление касательной (направление г0) соответственно с
-положительными направлениями осей координат х, у, z. Очевидно
где 1-$Ч обозначает, что в ~г~ надо подставить значение s = s„,
\ OS /q	OS
соответствующее t = i0. Перед корнями стоит знак «+», потому
что мы согласились, что длина дуги возрастает вместе с t.
Кривую, заданную в плоскости х, у, можно рассматривать как
частный случай кривой в пространстве, у которой z(£) s0. Поэто-
му соотношениям (2) в плоском случае соответствует одно урав-
нение
т--го _ '/ - У О
. ;го у'о
Положительное направление касательной образует в этом случае
с осью х угол а, для которого
В плоскоги случае можно еще определить понятие нормали в
точке to кривой, то есть прямой, принадлежащей рассматриваемой
плоскости и проходящей через точку t0 перпендикулярно к каса-
тельной. В некоторых вопросах важно задать положительное на-
правление нормали N. Оно_задается так, чтобы направление Т ка-
сательной, идущее в сторону возрастания t, и N образовали систе-
му, ориентированную так же, как система осей координат х, у,
tfG
ГЛ. 6. n-MEPHOE ПРОСТРАНСТВО
иначе говоря, угол, образованный Т и N, должно быть возможно
непрерывным передвижением по плоскости совместить с коорди-
натным углом так, что Т совпадет с положительным направле-
нием оси х, a N — с положительным направлением оси у (рис. 6.5
и 6.6).
Пусть X, |_1 — суть углы, образованные положительным направ-
лением нормали соответственно с осями х, у. Из рисунков видно,
что сделанное соглашение приводит нас к формулам *)
,	( dy \	( dx \ .
cos Л = — sin а = — -г , cos ц — cos а = —— .
\ ds /0’	\ ds /0
§ 6.9. Кривизна и радиус кривизны кривой.
Плоская кривая. Эволюта и эвольвента
Кривизной окружности радиуса R называется число 1/7?. Это
число можно получить как отношение угла между касательными
в концах какой-нибудь дуги окружности к длине этой дуги. По-
д	следнее определение	дает	идею определения кри-
~~*	визны, пригодного	для	произвольных, гладких
Х*	кривых.
\	Рассмотрим гладкую кривую Г (рис. 6.7).
Она спряемляема, и имеет смысл говорить о дли-
1 не любой ее дуги АВ. Угол а (0 < а У л) между
рис 67 (положительными) направлениями касательных
к дуге в ее точках А и В называется углом смеж-
ности дуги АВ. Отношение угла смежности дуги АВ к ее длине
называется средней кривизной дуги АВ (см. рис. 6.7). Наконец,
кривизной кривой Г в ее точке А называется предел (конечный
пли бесконечный) отношения угла смежности а дуги .47? кривой
к ее длине As (As > 0), когда последняя стремится к нулю:
tf^lim-2-.	(1)
______________
*) Запомнить это можно, взяв векторное произведение (0, 0, 1) X
X (cosa, sin а, 0) = (—sin а, cos а, 0).
§ 6.9. КРИВИЗНА II РАДИУС КРИВИЗНЫ. ЭВОЛЮТА, ЭВОЛЬВЕНТА 197
Таким образом, 0 =£ К °°. По определению, величина R = 1/К
(где считается, что 0=1/°°, оо — 1/0) называется радиусом кри-
визны Г в точке А.
•Заметим, что угол смежности а (а > 9) дуги АВ равен углу между
векторами r(t) и r(t + Д() = г + Дг, где г(£) — радиус-вектор точки Г, млн
углу между соответствующими единичными векторами т(£) = r(l)/|r(t) | и
т(г + Дг). Поэтому косинус угла а, очевидно, равен скалярному произведе-
нию (т(1), т(/ + Дг)), а сам угол а может быть записан в виде
а = атссоз(т(/), т(1 + Д0) (ОСа^л),
откуда видно, что для гладкой кривой из Дг -> 0 следует а -* 0.
Из векторной алгебры известно, что
Sina^.|;.x(;, + A;.)l	. |;.ХАГ! , Ar^t + At)-^), (2)
| г 11 г 4- Д г I | г 11 г х Д Г I
так как г X г — 0. Знаменатель здесь не равен нулю, потому что
у гладкой кривой г #= 0. При At -> 0 знаменатель стремится к
|г|2 > 0, а числитель стремится к пулю. Введем длину дуги s —
= s(t) пашей кривой. Длина куска АВ равна As = s(t + At) — s(t)
(At>0). Из As-* 0 . следует At -* 0, потому что t и s оба — до-
пустимые параметры гладкой кривой (см. § 6.7).
Будем теперь предполагать, что радиус-вектор r(t) пашей глад-
кой кривой Г имеет вторую производную r(t), и при этом условии
докажем существование конечной кривизны Г в точке А (опреде-
ляемой параметром t).
В силу (1), (2) кривизна Г в точке t равна (пояснения ниже)
К — Ит-^-
д«
Дг
Дг
. sin а 1.
= im—лТ~ = hm~ 7	:
Д^О Л5 Д/->0 | г 11 г а+ Д/)|
(3)
т. е.
К --
1
К
_ I г (г)Х г (I) |
I Г (О I3
/(//
z'T'2
(4)
В третьем члене (3) мы заменили а на sin а под знаком пре-
дела. Это законно, ведь если для стремящейся к нулю последова-
тельности значений As соответствующие значения а > 0, то
.;ina~a (a->0) и применима теорема 2 § 4.10, если же значе-
ния а = 0, начиная с некоторого, то для них sin а — а = 0 и снова
верно второе равенство (3).
198
ГЛ. 6. «-МЕРНОЕ ПРОСТРАНСТВО
Если параметр t = s есть длина дуги Г, то, как мы знаем,
|r(s)| = 1 и вектор r(s) перпендикулярен к r(s), поэтому
К = | г (s) |. R — —.	(5)
1 Г (s) I
В плоском случае (z 0) выражение кривизны через коорди-
наты выглядит так:
(6)
Если плоская кривая задана уравнением I/= /(#), где функ-
ция / в окрестности точки х имеет непрерывную производную и
в самой точке вторую производную, то, полагая в последней фор-
муле t = х, получим
(7).
(в полярных координатах см. § 7.26, упражнение 1).
Пусть А = (ж, /(х)) есть точка кривой Г. Точка О, лежащая
па нормали к Г в точке А на расстоянии R = 1/К от А в сторону
вогнутости Г, называется центром кривизны Г
£	в точке А.
Кривая 7, являющаяся геометрическим ме-
стом центров О кривизны плоской кривой Г,
/ \ называется эволютой Г. Сама кривая Г пазы-
-	1 *- вается эвольвентой у.
/о	На рис. 6.8 изображена плоская кривая Г.
'/	Направление возрастания ее длины дуги s по-
/_________казано стрелкой. Вторая производная у =
7]	х =/"(.г)<0. Поэтому радиус кривизны в точ-
,, о о ке А равен
Рис. 6.8.	г
(8)
Направляющие косинусы касательной (направленной в сторону
.	dx dy
возрастания s) равны -j-, -j~, а направляющие косинусы единич-
US (tv
ной нормали V, идущей от 4 в сторону вогнутости Г, задаются
числами
v
(9)
Координаты (£, т]) центра О кривизны Г в точке А определяются,
§ 6.9. КРИВИЗНА II-РАДИУС КРИВИЗНЫ. ЭВОЛЮТА, ЭВОЛЬВЕНТА 199
очевидно, равенствами
Это таким образом, уравнения эволюты.
В случае расположения и ориентировки кривой Г как па
рис. 6.8 ух <0, xt > 0. Поэтому из формулы
f 'Г	1'1
" =	~~v'xt
Ух	' /о
V
следует, что числитель ее правой части отрицательный, и потому
[см. (6)]
s'l = (*? + y't2)1 2-
(И)
Следовательно, пз (10) следует, что уравнения эволюты кривой Г
в параметрической форме имеют вид
, j’2 -I- ;/2	, .т’2	(Z2
g = X — yt-7-7,--'-ГТ7, Л^У + xt—,---------—•	(12)
xl!/t ~~ Vfrt	Xt!/t JlXt
Они сохраняются и при других расположениях и ориентировке
относительно осей координат.
Ниже дается другой вывод уравнений (12) эволюты кривой Г.
Вводим для Г в качестве параметра длину дуги s. Соответ-
ствующую вектор-функцию записываем, как это обычно делают,
в виде r(a) = (x(s), y(s)), хотя формально следовало бы употреб-
лять другие обозначения, например, г,(а) = СгДа), !/Да)). Вектор
г(а) перпендикулярен к вектору r(s), а следовательно, и к векто-
ру v = г (а)/ |r (а)|. Вектор V, очевидно, есть единичный вектор
нормали, направленный внутрь Г, поэтому- радиус-вектор р эво-
люты определяется векторными уравнениями (см. (5))
p = r + vjR = r + г(а)/?2
или, что все равно, двумя скалярными равенствами (р = (~, ц)):
( /2 ,	/2\3	/ ,2 ,	»2\3
"	" Г* + у« )
— а?	- п г W-.2 ’ Л У Л'Уа ? ~i г  (Id)
-ytxt)	Wh - Vlxt)'
По
' 'dt	'	]/ '2 ,
x>’= xtsr	st = v xt + yt ,
st
200
ГЛ. 6. n-МЕРНОЕ ПРОСТРАНСТВО
. „ ж' + //,'//")
/ N	f U /	g %	__ "	1	.... " 1 1
ftdist 11	St
и, аналогично,
« (н + !,t ) !/t ~~ -h (xtxt + Wt) i — !/У",
У, = 3-------c------------------= Xt	.
st	st
Подставляя полученные выражения rs, ys в (13), получаем
уравнения (12).
Отметим два факта, характеризующие связь между эвольвен-
той и эволютой:
1) Нормаль к эвольвенте в любой ее точке s является в то же
время касательной к эволюте.
В самом деле (см. (11)1,	= ysxs—xsys, и свойство 1) выте-
кает из того, что касательные векторы к Г и у в соответствую-
щих точках перпендикулярны [см. (10)]:
x’sC + УАк =	+ (/s') + (y"x's — xAh) R +	— Xj/s) R's =
= 1 - ± R + 0 = 0.
2) Справедливо равенство
0' = ±7?',	(14)
где, если А и О — соответствующие точки эвольвенты Г и эво-
люты 7, то R— радиус кривизны Г в Л, а о — длина дуги у, со-
единяющей О с некоторой неподвижной точкой у. Знак « + » или
«—» зависит от направления отсчета о.
В самом деле, равенство (1Ю) запишем следующим образом:
г — р = — Rv,
где г, р — Соответственно радиус-векторы А и О, откуда
(г — р, г — р) = R\ Дифференцируя по t, получим (пояснения ниже)
RR' = (г — р, г — р) = — (г — р, р) = —Я|р| — ^Ro',
что влечёт за собой (14).
Второе равенство цепи следует из того, что в силу уже дока-
занного свойства 1) (г —р, г) =0, третье — из того, что |r — pj =R
и векторы г —р и р направлены одинаково; четвертое следует из
§ 6.9, КРИВИЗНА И РАДИУС КРИВИЗНЫ. ЭВОЛЮТА, ЭВОЛЬВЕНТА 201
того, что |р| = ±0, где знак ± зависит, от выбора отсчета а па
эволюте.
Например, если о возрастает вместе с t, то R' = —о', откуда
Ц	Ц •
i R’dx = — \ о' dt, и в силу формулы Ньютона—Лейбница
h	П
Ri ~ Ri = Oi о г,
где 0t, Ri соответствуют значению t,, а а2, Rz со- / //\
ответствуют значению 12. Таким образом, в рас- / //
сматриваемом случае увеличение длины дуги эво-
люты вызывает равное ему уменьшение радиуса \uf
кривизны эвольвенты.
Представим себе нить, навернутую на эволю-	и
ту. Пусть опа сматывается с последней, будучи	I
lice время натянутой. Отделяясь от эволюты, она, |
очевидно, все время будет касаться эволюты. Рис. 6.9.
Свободный же ее конец будет описывать эволь-
венту (рис. 6.9). Так как длина нити может быть произвольной,
то эволюта порождает бесконечно много эвольвент.
Пример 1. Эволюта циклоиды
х = t — sin t, у = 1 — cos t	(14)
есть кривая g = t + sin t, T] = — 1 + cos/. Полагая t = т-f-л, получим
уравнения
g — л = т — sin т, г) -|- 2 = 1 — cos т,
определяющие исходную кривую, но только, сдвинутую (эволюта циклои-
ды есть циклоида, конгруэнтная исходной; рис. 6.10).
Пример 2. Эволюта эллипса
есть астроида (рпс. 6.11),
х = a cos t, у = b sin t (a Д; b > 0)
2	,2
a — b
& = -v-
cos3 t
«2 — b- ,3
i] = —-----j— sin t
(cm. § 6.5, пример 2).
202
ГЛ. 6. n-МЕРНОЕ ПРОСТРАНСТВО
§ 6.10. Соприкасающаяся плоскость
и подвижный триэдр кривой
Соприкасающейся плоскостью к кривой Г в ее точке А назы-
вается предельное положение плоскости, проходящей через каса-
тельную к Г в точке А параллельно касательной в другой точке
В кривой, когда последняя, двигаясь по кривой, стремится к А.
Покажем, что если кривая r(t) имеет непрерывную производ-
ную г в окрестности точки t0 и, кроме того, вторую производную
rU0) такую, что г0 X r0 ~ r(i0) X г(<0)	0, то соприкасающаяся плос-
кость к этой кривой в’ точке t = t0 существует и имеет уравнение
(р — r0)[r0 X г0] = 0,	(1)
где р — радиус-вектор текущей точки плоскости.
В самом деле, положим
ДГо = г(/о + ДО — г(/0).
Тогда вектор Г()Х—2.^ г (Q X	, ортогонален (перпенди-
кулярен) к приложенным к точке А векторам r(Z„) и г(<„ + ДО,
а следоватёльно, и к проходящей через них плоскости. Так как
он стремится при At ->- 0 к вектору r„ X г„ 0, то и указанная
плоскость стремится к плоскости, проходящей через А, перпен-
дикулярной к г0 X г, а это и есть соприкасающаяся плоскость к Г
в А. «Ее уравнение, очевидно, есть (1).
Существует еще другое определение: соприкасающейся плос-
костью кривой Г в точке А называется предельное положение
подвижной плоскости, проходящей через точку А и две другие
точки-А,, А2 кривой Г, когда последние, двигаясь по Г, стре-
мятся К А:
Можно показать, что при условиях, наложенных выше па r(i),
в окрестности точки t0 существует соприкасающаяся плоскость
к Г в этой точке и в смысле этого второго определения и она
определяется уравнением (1). Таким образом, она совпадает с со-
прикасающейся плоскостью в смысле первого определения.
В декартовых координатах уравнение (1) записывается в виде
где х, у, z -— текущие координаты соприкасающейся плоскости,
г0 = (*0, Уо, zo). го = Уо, Zo) и r0 = (z'o,	Z#).
Выпущенные из точки А = Сг, у, z). векторы г и г, очевидно,
принадлежат к соприкасающейся плоскости S. Если t — s есть
§ «.10. ПОДВИЖНЫЙ ТРИЭДР КРИВОЙ
203
длина дуги Г, то r(s) — единичный вектор, а вектор г($) перпен-
дикулярен к т($).
Из точки А нашей кривой Г (подчиняющейся указанным усло-
виям) можно выпустить три единичных вектора, а, р, у, опреде-
ляющих естественную прямоугольную систему координат в ок-
рестности А
—L.= r(s)	—единичный вектор касательной;
м
в = JlfL =	(s) = R ^-^-единичный вектор главной нормали;
I'rWI	dS
у _а>Р	—единичный вектор бинормали.
- (3)
Заметим, что направление а зависит от параметра t в том
смысле, что замена t на —t изменяет направление а на нротиво;
лоложиое.
Что касается вектора [J, то мы его определили с помощью
параметра s — длины дуги Г. Замена s па —s или на s + s0, где
.‘•0 — постоянная, не влечет за собой изменение r(s) (дифференцИ;
рование по s производится два раза), поэтому [$ есть инвариант —
его направление вовсе не связано с параметрическим представ-
лением кривой.
Нормалью к кривой Г в точке А естественно называть" пря-
мую, проходящую через эту точку перпендикулярно к касатель-
ной к Г в этой точке. Среди нормалей имеется одна, принадле-
жащая к соприкасающейся плоскости 5 (к кривой Г в точке А).
Она называется главной нормалью. Вектор r(s), очевидно, принад-
лежит к 5 и перпендикулярен к касательной, поэтому он лежит
на главной нормали. Удобно считать, что вектор r(s) или [J опре-
деляет положительное направление главной нормали. Можно еще
сказать, что Р есть выходящий из точки А единичный вектор,
принадлежащий к 5 и направленный в сторону вогнутости кри-
вой Г (точнее, ее проекции на S).
Отложим от точки А в направлении Р вектор длины R — ра-
диуса кривизны Г в А. Конец его — точка О — называется цент-
ром кривизны Г в Л. В случае плоской кривой Г это определение
совпадает с приведенным в § 6.10 определением центра кривиз-
ны. Очевидно, что центр кривизны О определяется вектором [см.
6.9, (5)1
р = т + Я₽ = г+-^-
|г(01
204
ГЛ. 6. «-МЕРНОЕ ПРОСТРАНСТВО
Наконец, вектор 7 определен как единичный вектор, перпен-
дикулярный к а и 3 и притом направленный так, чтобы система
(а, р, у) была ориентирована так же, как прямоугольная система
координат (х, у, z), в которой рассматривается кривая.
Прямая, на которой лежит вектор у (приложенный к точке А),
называется бинормалью к Г в Л, Вектор у определяет ее поло-
жительное направление.
Приложенные к движущейся по Г точке А векторы а, Р, у оп-
ределяют подвижный триэдр.
Отметим, что нормаль к плоской кривой, определенная в § 6.8,
очевидно, совпадает (при r(s) =£ 0) с главной нормалью. Положи-
тельные же направления на этой прямой (нормали или главной
нормали) определены из разных принципов и могут-не совпадать.
Исследование поведения вектора r(s) в окрестности точки s0 часто
удобно проводить, рассматривая r(s) — r(s0) в прямоугольной системе коор-
динат а, р. f. Будем считать, что г = r(s) (s— дуга Г) и r0 = r(s0) есть
вектор точки ЛоеГ и ab есть скалярное произведение векторов а и Ь.
Тогда а, р, "f — функции от s. Из равенства "fa = 0, "f"f = 1 следует, что
dy
проекции на направления а и у равны нулю:
dy	da 	„ dy
Ja = _v _ =_|r|vP==0) -rfJ? = 0.
Но тогда
5-70.	«
где
&
Число 1/Г называется кручением Г в рассматриваемой точке А е Г.
Его можно, очевидно, еще определить как число, абсолютная величина ко-
I 11 Idy]
торого равна у — (скорости изменения единичного вектора бинор-
мали относительно s); знак же i/T положительный или отрицательный в за-
dy
висимости от того, будет ли проекция на направление р положитель-
на или отрицательна.
Отметим формулы Френе:
•da Р dy р dp ay
~d~s =~Л’	Ts" ~Т{~ t'	(ti)
Первые две из них уже доказаны [см. (3). (4)], а третья доказывается сле-
дующим образом. Из тождества Ра = '$ = 0, рр = 1 дифференцированием
их по s получаем
ар
ds
da
dp . dy 1
Ts^ ~$~d~s = Т
Следовательно,
dp
ds
!-
in-

2
— R’
dp n
7Г P = 0.
ds 1
a у
я T
§ 6.10. ПОДВИЖНЫЙ ТРИЭДР КРИВОЙ
205
Пл (6) следует, что если кривизна Г тождественно равна нулю (1//? =
da
ззО), то^ = 0, откуда следует, что r(s) = r(s0) + (s — s0)r(s0), т. e. Г есть
прямая. Если же кручение Г тождественно равно нулю (1;7' = 0), то
dy
= 0, (уг) у« ' -уг О и yr = const; это показывает, что Г — плос-
кая кривая.
II р и .м е р 1. Винтовая линия Г
х — a cos 9, у = a sin 0, z = h0 (я, h > 0)
имеет длину дуги s, производная которой по 0 равна
г- 1	1	1	 	______
у х'^ + у jj + z'q = ]/e2 + Л2’
Поэтому единичный вектор а касательной к Г имеет проекция
dx
dx did	a sin 0 dy a. cos 0 dz h
ds ~~ ds ~~	72 ds — 1/ 2 , 7z’ ds ^i/~z~, 75’
— ya h	ya h	у a -j- h
di)
Далее,
d~x	a cos 0 d2ii	— a sin 9	rf2z
—5	- "2----5’	=- —--— = 0,
ds-	a --IT	ds~	a“h~	ds~
Л'=-= | r | = -5——;> ₽ =-4-—cos0i—sin0j + O-k,
a2 -I- h* |r|
что показывает, что главная нормаль к Г параллельна плоскости х, у и
идет по направлению к оси кругового цилиндра, па который навернута
винтовая лилия. Наконец,
h sin 0 h cos 0	a
V =	... , * -	J +	'"•>k’
V a~ -f- h~ ] «“ -j- h“ у a2 + h~
dy h cos 0 _ h sin 0 .	1 dy	h
*"77?i + 777i+(lli’ 7 = dT0 = -jqr^-
В предположении, что r(s) имеет в окрестности s = sD непрерывные про-
изводные до третьего порядка включительно, имеет место формула Тейлора
(S — .! )2 .. (S — S )» ...
Г - г0 . (S - .,0) го+ —г0 + —го + о ((, - ,/)
(•’ -> %),	(7)
где остаток есть вектор, длина которого стремится к пулю быстрее, чей
1ак как единичные векторы
г
« = г0, ₽=—’ у = аХр (гУ-0)
IM
20В
ГЛ. 6. n-МЕРНОЕ ПРОСТРАНСТВО
ортогональны, то имеют место равенства
r(s) — r($od = X(s)«+ g(s)^ + v(s)T,	($)
X(s) •= (r —r0, a), p(s) = (r —r0, P), v(s) = (r —r0, 7), .
V (so> "	r.raJ> .v, ( r («! a)ls=eo = 1>	. 0)
p'(so) = (r0, ₽) = о, p"(.?o) = (Го. £)	0,	(10)
v'(s0) = v"(s0) = 0, v"'(»o) = (r’(s0), 7) ^0.	(11)
Последнее условие (v"'(s0) =# 0) мы предполагаем дополнительно. Оно обыч-
но имеет место (случай v'"(s0) =0 исключительный).
Если смотреть на кривую Г по направлению бинормали, то будем ви-
деть ее проекцию Г, на плоскость векторов a. (1:
(Г — Го)у= Л(«)а + p(s)[k
В силу свойств (9), (10) Гу имеет в точке Ао касательную Т и в малой
окрестности Ло "находится полностью над Т или под Т (рис. 6.12).
Рис. 6.12.
Рис. 6.13.
Если смотреть па Г ио направлению касательной, то будем видеть ее,
проекцию Га па плоскость векторов 7: (г — r0)a = p(.s)|J + v(s)y. Таким
образом, Г« определяется уравнениями
- П = М(«), £ = v(s),	-	(12)
где (i), £)—прямоугольные координаты в системе, определяемой ортами
(₽• Y)-
Имеем в силу (10)
n = (ц.5.) р" (s&) + 0 ((s _ .<о)з) (S^So),
и н силу (11)
/ $   \ з
& = “ЛГ2-v"' <s°)+ °	  s«)3) (s *«)•
Таким образом, при малых |s — s0| знак — p(s) один и тот же, незави-
симо от знака s — s0,
( dt,\ v'(s) v" (s) v" (so) n
S.,S(| p (S)	,-^p '(s)	p'(s0)
а злак £ = v(s) меняется вместе с переменой знака s — тР, и кривая (12)
имеет в начале координат, (р, 2) точку возврата (рис. 6.13; см. еще да-
лее § 7.23).	" •
§ 6.11. АСИМПТОТА
207
Наконец, ес.ш смотреть на Г по главной нормали, то будем видеть ее
проекцию Гр на плоскость векторов а. у:
(г —г0)р = Л(«)а + v(s)T
1! силу (!•), (11) кривая £ = A(s), с = v(s) обладает свойствами
->'Ю о	r (%)v"(M-r (%)v'(so).,0
V'Uo Г(М ’ \d^lu
\«S /о
Это показывает, что кривая Гр имеет точку перегиба в Ло (рис. б.К).
§ 6.11. Асимптота
Пусть задана кривая (или ветвь кривой) Г, определяемая урав-
нением
у = fix) (x>N),	(1)
где fix) — непрерывная для любого х > N функция. Точку А =
= (т, fix)) кривой Г можно считать зависящей от х.
Пусть, кроме того, задана прямая L
у=ах + Ь,	(2)
(я, b — постоянные числа). Если расстояние от точки А кривой
до прямой L стремится к нулю при неограниченном возрастании
х, то прямая L называется асимптотой кривой Г, соответствующей
стремлению х к +°°.
Итак, пусть L есть асимптота Г при х -* +°°. Уравнение L
в нормальном виде записывается так:
у — ат — b „
Поэтому расстояние точки А = ix, fix)) кривой Г до L равно
р(х) = [fix) — ах — 6I/V1 + а2. Так как L, по условию, асимптота
Г при л -* +°°, то lim pix) = 0. Отсюда
х—»-7-со-
lim [fix) — ах — 61 = 0.	(3)
lini = а.
х^ + х Х
Из сказанного следует, как надо поступать, чтобы найти асимп-
тоту Г при х +°с. Надо взять предел (4). Если он не суще-
ствует, то кривая Г не имеет асимптоты. Если же предел (4)
203
ГЛ. 6. n-МЕРНОЕ ПРОСТРАНСТВО
существует и равен а, надо вычислить предел
lim {/(х) — ах} = Ъ.
х—> -г-оо
(5)
Если на самом деле предел (5) пе существует, то кривая Г- не
имеет асимптоты при х	Если же он существует, то полу-
ченные константы а и Ъ определяют прямую, которая и есть
асимптота Г при х -* +«>. Так как пределы (4) и (5) если суще-
ствуют, то единственны, то непрерывная кривая Г (или ветвь
кривой), определяемая равенством (1), либо пе имеет вовсе либо
имеет единственную асимптоту при х -> +
Аналогично определяется асимптота при х -> —°о непрерывной
кривой (ветви кривой)
y = j{x) (x<—N),	(6)
а также асимптота при х -> «> кривой
р = /(х) (N «S 1x1)
(7)
(состоящей из двух ветвей, соответствующих х > N и х<~ N).
В проведенных выше рассуждениях надо считать в случае (6),
что х а в случае (7), что х ->
Если кривая Г (или ветвь кривой) определяется уравнением
у = /(х) (а < х < Ь), где /(х) — непрерывная функция па интер-
вале («, &), обладающая свойством Ит/(х)=4-°о, то в этом
х-*а
х>а
случае естественно называть прямую х = а асимптотой Г. Во
всяком случае, прямую х — а принято называть асимптотой Г,
если непрерывная функция /(х) -> <», х а и строго монотонна
в правой или левой окрестности точки х = а. Ведь тогда кривую
Г можно записать в виде х = ф(у), где у, положительное или
отрицательное, достаточно велико по абсолютной величине и пря-
мая х = а, очевидно, является асимптотой Г в указанном в нача-
ле параграфа смысле.
Пример 1. Отдадим себе отчет, какой вид имеет график Г функции
/ (г) = -J- + х + е~х.
t	{ 4	е~х ।
Предел lim Ш. = lim — -J- 1 Д-------- = 1. Но уже предел этого
х->4'°° х х-*4-оо \	/
отношения при	—оо равен
Далее, lim If (х) — х] = 0. Таким образом, у — х есть асимптота Г
х-> 4-оо
при х -> -|-оо. Прямая х = 0 тоже есть асимптота Г при стремлении х к О
справа и слева:
Пт / (х) = 4-00, Пт / (х) = — оо.
«->0	я-»о
5С>0	«<о
§ 6.12, ЗАМЕНА ПЕРЕМЕННЫХ
209*
Найт» корни уравнения f (х) — 0 не удается. Но очевидно, что
2
Г' (х) = -г- + е~х > 0 (х>0),
х
lim /' (х) = — сю, lim /'(z) = 1.
<х->04-0	я-»4-оо
Таким образом, /'(х) на (0, оо) строго возрастает и существует только
<лно значение х0 > 0, где /' (х0) = 0. Функция /(х), очевидно, убывает на
(О- х0) от Ч-оо до /(хо), затем возрастает,
и ири этом ее график имеет при х->+°°
асимптоту у = х и весь находится над по-
следней.
На интервале (—оо, 0)
/' (х) = - ~+l-e-*<0,
х
потому что — 1/х2<0 и 1 — е~'х < 0. Учи-
тывая это, легко видеть, что /(х) на (—оо,
о) строго убывает от -j-oo до —оо. Далее,
2
/" И) = — + е~х,
х
Г" (X) = - 4- - е~х < 0 на (- СО, 0),
X
lim Г' (х) оо, lim /" (х) = — оо,
а - * — оо	. ос->0,х<0
Поэтому па (—сю, 0) имеется, н притом единственная, точка xt перегиба
графика /(х).' Па (—оо, xj) график / обращен выпуклостью книзу, а на
(..-I, 0) — выпуклостью кверху _(см. схематический график, рис. 6.15).
Пример 2. Кривая у = Ух (х 0) не имеет асимптоты, потому что
>отя предел
г	п
lim —— = 0
И'-»+<х> Х
v существует, все же предел
lim ("|/х — 0, х) — оо
«-> + ос
ко конечный.
§ 6.12. Замена переменных
Пусть у
есть функция от х; а х = ф(1) — заданная функция
от t. Тогда у есть функция от t. Производные .
ал dx
dy d2 у
.? выражаются через производные	...и через
производные = q>' (t),	= <р" (У) по следующим
. . от у по
известные
формулам
14 M Никольский, т. I
210
ГЛ. 6. n-МЕРНОЕ ПРОСТРАНСТВО
<§ 6.5, (5), (6)):
dy
0	(1)
dx dx_' dt
dt
dx d~y dy d“x
d-ц ~dt dr~-'di’dt*
.2	/	3	•
dx	I dx ।
\dt I
Более сложным является случай, когда нужно выразить про-
dy d~y	dv d~v	, .	. .
«вводные л-,—j,... через -т-, —, .где п = /дг/) х =	—
ах dx~	а* dt~
данные функции. Здесь функция Х(г/) предполагается обратимой
Очевидно, что
dy dv   dy dr
dv dt	dx dt1	*’ '
откуда
dy dv
dy dv dt	/
= -IT'	<
dt
d у	dv	Y
и мы выразили через и данные функции от v и от t.
Дифференцируя (3) по t, получим
d2y (dv\~ , dy d2v d2y (dx\~ , dy d".r	.r.
dv~\dt) ‘ di' dt2 ~ dx2\dU dx dt2'	'*’*
Заменив в (5) выражением (4), и разрешив полученное урав-
d1 у	d~y	dv d~v
нение относительно ^5, получим, что —Ч выражается через -т-,—г
dx	dx	dt"
м известные функции от v и от t.
d3i
Чтобы получить —надо продифференцировать (5) по t, за-
dx
dii d2y
мепить V, -4 найденными выражениями и разрешить получен-
dx dx“
d3 у , ।	„	
мое уравнение относительно —j- Нодооным ооразом поступаем
dx
для получения соответствующих выражений для более высоких
dhy
производных —у
Глава 7
ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ
ФУНКЦИЙ МНОГИХ ПЕРЕМЕННЫХ
§ 7.1. Открытое множество
В «-мерном пространстве Rn = R зададим произвольную точ-
ку х° =(х®, ..., х„). Шаром (или замкнутым шаром) радиуса
г > 0 с центром в этой точке называют множество точек х =
= (xt, ..хн) е R, для которых выполняется неравенство
I X — Х° I =
г.
Открытым шаром радиуса г с центром в х° мы будем назы-
вать множество точек х, для которых выполняется строгое нера-
венство ix — х°| < г.
Определим прямоугольник в R (замкнутый прямоугольник или
прямоугольный параллелепипед в R) как множество точек xzR,
|.оордипаты которых удовлетворяют, неравенствам щ<х, 1ц
/=1, ..н). В случае п = 3 это реальный прямоуголь-
ный параллелепипед с гранями, параллельными осям прямоу-
гольных координат (xi, х2, х3).
Можно еще определить открытый, прямоугольник в R как
множество точек, удовлетворяющих строгим неравенствам а,<
•< х:, < Д (J = 1, .... п).
Множество точек х, координаты которых удовлетворяют нера-
венствам | Xj — х°} | a (j — 1, . .,, п), где а > 0 — заданное число,
естественно назвать кубом (или замкнутым кубом) в 7? с центром
и точке х0 и стороной длины 2д. Конечно, при п = 3 это будет
куб с гранями, параллельными осям (прямоугольной) системы
координат.
Наконец, открытый куб (в Я) определяется при помощи нера-
венств | Xj — х? | < a (j — 1, . . ., ri).
(п	\ ’ .’2
— Xj)2 I < г говорят, что если
j	/
точка х принадлежит шару радиуса г с центром в х°, то опа при-
надлежит и кубу со стороной длины 2г с тем же центром. Таким
образом, ^уб со стороной длины 2г с центром в х° содержит
<• себе шар радиуса г с тем же центром. С другой стороны, если
точка х принадлежит кубу, |х^ — х°|< а (/ = !,..., /г), то для нее
212 ГЛ. 7, ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ. МНОГИЕ ПЕРЕМЕННЫЕ
выполняется неравенство ZX-0—	< V па, ноказываю-
\ 1 /________
щее, что шар с центром в х° радиуса а'\ п содержит в себе куй со
стороной длины 2а с тем же центром, (см. § 6.2 (12)).
Мы рассматривали открытые шары и кубы, ио это же верш»
и для замкнутых шаров и кубов.
Зададим произвольное множество Е точек хе/?. По определе-
нию, х” называется внутренней точкой множества Е, если суще-
ствует открытый шар с центром в этой точке, полностью при-
надлежащий Е. Слово шар здесь можно заменить на куб, потому
что всякий шар содержит некоторый куб с тем же центром, л на-
оборот.
Множество называется открытым, если все его точки внутрен-
ние. Зто определение можно еще сформулировать так: множест-
во Е открытое, если из того, что какая-нибудь точка принадлежит
ему, следует, что она внутренняя точка.
Отсюда видно, что пустое множество есть открытое мно-
жен во.
Открытый шар
1х-х"1
есть открытое множество. В самом деле, пусть у есть принадле-
жащая ему точка, т. е. |у —х"| = р < г, и х — произвольная точ-
ка, принадлежащая шару
!х — у',<е (е<г —р).	(2)
Для нее |х — х". = |х — у + у — х"| sg I х — у| + ! у — х1’) < е + р < г.
Ото показывает, что шар (2) принадлежит шару (1).
Предоставляем читателю доказать, что открытый прямоуголь-
ник, в частности, открытый куб, есть открытое, множество.
Пересечение (EG- двух открытых множеств G, и G, есть от-
крытое множество. В самом деле, пусть точка х" принадлежит к
G,G7. Так как х" есть внутренняя точка как G, так и G,, то су-
ществуют два открытых шара с центром в х", из которых первый
принадлежит Gt, а второй — G,. Пересечение их есть, очевидно,
открытый шар (наименьший из них), принадлежащий G,G-.
Леско видеть, что сумма конечного или счетного числа откры-
тых множеств есть открытое множество. Однако пересечение
счетного числа открытых множеств может и не быть открытым,
например, пересечение открытых шаров !х| < 1//с (й = 1, 2, ...)
есть точка (нулевая точка).
Окрестностью точки х!|е/?ч называют произвольное открытое
множество, содержащее в себе эту точку. Очевидно, что пересече-
ние двух окрестностей х1’ есть в свою очередь окрестность х".
После сказанного понятие внутреней точки множества Е мо-
жно еще определить так: х" есть внутренняя точка Е, если суще-
§ 7.1. ОТКРЫТОЕ .МНОЖЕСТВО
213
ствуег принадлежащая Е окрестность х". В самом деле, если х“ —
внутренняя точка по первому определению, то найдется принад-
лежащий Е открытый шар с центром в х°, но последний есть ок-
рестность х". Наоборот, если х“ есть внутренняя точка по второ-
му определению, то существует принадлежащая Е окрестность
х“, которая, будучи открытым множеством, содержит открытый
шар с центром в х".
В дальнейшем в нашем распоряжения будет много примеров
открытых множеств, определенных строго математически, а сей-
час мы призовем читателя к геометрической интуиции, сказав,
что если с произвольно геометрического тела содрать его грани-
цу, то получим открытое множество.
В ближайших параграфах мы будем рассматривать функции
Рх) = /(.с,, ..., х„) от п переменных х,, ..., хп или, что все равно,
от точки х = (х..... хп), определенные на окрытых множествах
я-мерного пространства.
Множество Е называется связным, если любые его две точки
х', х" можно соединить принадлежащей ему непрерывной кривой,
т. е. если существует непрерывная вектор-функция х = х((), ОС
CiCl такая, что х(0) = х', х(1) = х", xlt)&E (см. § 6.5).
Отрезком х'х" называется кривая x(t) = tx’ + (I. — l)x", t<s
s 10, 1J, очевидно, непрерывная и соединяющая точки х', х".
Множество называется выпуклым, если вместе с точками х',
х" принадлежит ему соединяющий их отрезок. (Примеры см. ко-
нец § 7.3.)
Замечание 1. Куб А в Л„ можно определить при помощи пе-
ра нс пег в:
А = С С С Ь,; i = I, .«},
где 2d =---- /д— о,- (/' = 1, ..., п). Легко видеть, что А есть сумма 2“ кубов
вида {А; ^7 .г, С и,; / = 1, .... «}. где всевозможными способами надо по-
ложись ?. , = Ц; = («; + bj)/2 ИЛИ Л; = (я ; + Ь}) /2, |Л ; = 6;. Говорят,
что :>тьм куб А разбит на 2’1 равных кубов (имеющих стороны длины d).
Замечание 2. Мы называем кубом в Пп то, что при п — 3 есть
обычный (трехмерный) куб со сторонами, параллельными осям координат.
Общее определение «-мерного куба требует введения ортогонального пре-
образования координат:
п
где *® . - (.г®, .... а-®) е Нп и а,-* —действительные числа, для которых
И	11
У, а’А - 1, У а!Ла<А - 0 (< #=/; I. j -1, ..., «). Например, замкнутым
1 h	/<--1
кубом Л в Rn с центром в х°е R,, и сторонами длины 2d называется такое
множество точек	которое после надлежащего (зависящего от А)
ортогонального преобразования координат превращается во множество вида
{I i sg <1; к — 1..«}.
Подобное замечание относится и к «-мерным прямоугольникам.
214 ГЛ. 7. .ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ. МНОГИЕ ПЕРЕМЕННЫЕ
§ 7.2. Предел функции
По определению, функция f(x) — f(xlt ,,xj имеет предел
в точке*0 «= (z?, ..., а-’), равный числу А, обозначаемый так:
lim/(x) = lim f(x1,...,xn)~A	(1)
(пишут еще /(х) -> А(х -> х0)), если она определена на некото-
рой окрестности точки х°, за исключением, быть может, ее самой,
и если существует предел
lim f(xh) = A,	(2)
xW
какова бы пи была стремящаяся к х° последовательность точек
х* из указанной окрестности (к = 1,2,...), отличных от х° (см.
§ <3).
Другое эквивалентное определение заключается в следующем:
функция f имеет в точке х° предел, равный А, если она опреде-
лена в некоторой окрестности точки х°, за исключением, быть мО-
жет, ее самой, и для любого е > 0 найдется такое 6 > 0, что
1/(х)-Л1<8	(3)
для всех х, удовлетворяющих неравенствам
0<|х —х°1 <6.	(4)
В этом определении можно заменить неравенства (4) па сле-
дующие
о < 2 | Xj — x°j I < 6	1, . .., п),
3=1
пли сказать, что для любого е>0 найдется окрестность 17(х°)
такая, что для всех принадлежащих к пей х х° выполняется (3).
Эквивалентность первого и второго определения в п-мерном
случае доказывается аналогично тому, как это делалось в одно-
мерном случае (см. § 4.1).
Сформулируем критерий Коши существования предела (дока-
зываемое как в одномерном случае) (см. § 4.1 теорема 5).
Для того чтобы функция f имела в точке х° предел (конеч-
ный), необходимо и достаточно, чтобы для любого 8>0 нашлась
окрестность 17(х°) (в частности, куб или шар с центром в х°)
так, чтобы для всех х, х' е 17(х"), отличных от х", имело место
неравенство
|/(\) - /(х')1 < 8.
Критерий Коши можно сформулировать и так: для того что-
бы функция j имела в точке х° предел, необходимо _и достаток-
§ 7.2. ПРЕДЕЛ ФУНКЦИИ
215
но, чтобы функция /(х) —/(х'), зависящая от переменных
(х, х')=	, хп, хи .. ., хп), имела предел в точке (х°, х°),
равный нулю.
Очевидно, что если число А есть предел /(х) в х°, то А есть
предел функции /(х° + h) от h в пулевой точке:
lim / (х° + h) = А,
J1—► О
и наоборот.
Рассмотрим некоторую функцию f, заданную во всех точках
окрестности точки х°, кроме быть может точки х°, пусть а> =
— (<о1, ..., (оп) — произвольный вектор длины единица (Icol = 1)
и t > 0 — скаляр. Точки вида х° + tot (0^4) образуют выходя-
щий из х° луч в направлении вектора (о. Для каждого (о можно
рассматривать функцию
/ (х° + t(f>) = / (-4 + toj, ..., х°Л 4- tan) (0<4. <6М)
от скалярной переменной t, где бм есть число, зависящее от ю.
Предел этой функции (от одной переменной 4)
lim / (х° + 4<о) = lim / (х° 4-toj, ..., х°н 4- 4®п),
00,00	M,t>0
если, он существует, естественно назвать пределом / в точке х° по
направлению вектора <о.
В частности, если (о — единичный орт ej — (0,..., 0, 1,0, ..., 0),
направленной но оси xJt то можно говорить о пределе / в точке х"
но направлению положительной полуоси хр
Jim / (х° -j- 4ej) = lim / (х”, . .., x°j_1, х” 4- t, х"+1, . ..., ж”),
t-*o,	/-•<>.
оо	/х>
или отрицательной полуоси хр
lim /(х° — Zej) = lim / (х[, ..х°^±, х° — t, х®+1, . .., х®)..
т-»о,
i>0	f>0
Из того, что функция f имеет в точке х° предел, равный А,
следует, очевидно, что опа имеет в этой точке предел, равный А,
и но любому направлению. Но обратное утверждение неверно —
функция / может иметь предел в х“, равный А по любому на-
правлению и в то же время не иметь предела в х°.
Пример 1.
.г3 Л- у3	— у2
В /(г, у) = - 3- 	; 2) ф(.Г, У) =-2	 2 .
х + у	X 4- у
Функции f и <[ определены на плоскости (х, у), за исключением точки (0, 0).
Имеем
Щ?2
4- у2:
216 ГЛ. 7. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ. МНОГИЕ ПЕРЕМЕННЫ!
откуда
lim / (х, у) — О
х,у-^0
(для е>0 полагаем 6 — е/2 и тогда | / (х, у) | < е, если только
(*2 + i/2)'2 < б).
Далее, считая, что к постоянная, имеем
1 — А 2
ф(а;),ж)= ,
откуда водно, что предел ср в (0, 0) по разным направлениям вообще раз-
личен. Поэтому ср не имеет предела в (0, 0).
П ример 2. В плоскости (х, у) определим спираль р = 0 (0 < 0
।	sg2n). где р — радиус-вектор, а 0 — полярный угол.
7Т	Пусть t|>(x, у) определяется следующим образом
1	(рис. 7.1): ф (0, 0) = 1, ф(ж, у) = 0 для р =;
= V^2 у2 0 > 0, ip. линейна па любом отрез-
Ж|\таХ	ке, соединяющем точку (0, 0) с точкой спирали.
/// | \\\\	Легко видеть, что lim ip (1х, /у) = 1, какова бы пи
/аУлГГГ^<\	(^°
/п \	была точка (х, у) (0, 0), т. е. существует равный
. у / / 1х >	1 предел ip в (0, 0) по любому направлению, между
\7~/УТдх тем как предел ф в (0, 0) не существует. Ведь ес-
।	ли приближаться к точке (0, 0) по кривой, накодя-
щейся между спиралью и осью х в первой чет-
I	верти плоскости (х, у), то вдоль этой кривой
Рис. 7.1.	ip(x, у)=0.
Будем писать lim/(x) = °°, если функция / определена, в не-
которой окрестности х°, за исключением, быть может, х°, и для
всякого 7V > 0 найдется б>0 такое, что |/(х)|>А’, коль скоро
О < I х — х° I < б.
Можно говорить о пределе /, когда х->
lim/(x)=A.	(5)
х-*оо
Например, в случае конечного числа А равенство (5) надо пони-
мать в том смысле, что для всякого е>0 можно указать такое
А >0, что для точек х, для которых |х| > N, функция / опреде-
лена, и имеет место неравенство |/(х) — А| < е.
Справедливы равенства
lim (/ (х) ± ф (х)) = lim f (х) ± lim ф (х),
»-»х°	х-»х°	х-»х°
lim (/ (х) ф (х)) = lira / (х) lim tp (х).
х-х"
(6)
(7)
(8)
х-х"
lim f (х)
Ух" ,-	(lim
lim	(х)	(
о	' X-* X
х->х
х-х° Ф(Х)
1де может быть х° = °°. При этом, как обычно, пределы (конеч-
ные) и их левых частях существуют, если существуют пределы /
и ф. Докажем для примера (7)
§ 7.3. НЕПРЕРЫВНАЯ ФУНКЦИЯ
217
Пусть х'* -*• х° (х',=/=х°); тогда
]im (/(хл) <jp (х'1)) = lim / (х'!) lim ф (xft) =
х'Щх®	хй-,х°	х'!-.х°
= lim / (х) lim <р (х).	(9)
х-»х°	х-»х°
Таким образом, предел в левой части (9) существует и равен
правой части (9), а так как последовательность {х*} призвольна,
то он равен пределу функции /(х)ф(х) в точке х°.
Теорема 1. Если функция / имеет предел, не равный нулю
в точке х°,
lim / (х) = А О,
0
х-»х
то существует б > 0 такое, что для всех х, удовлетворяющих не-
равенствам
0<|х —хч|<б,	(10)
она удовлетворяет неравенству
|/(х)| > 1Л1/2.	(И)
Больше того, она сохраняет там знак А.
В самом деле, положив е = |4|/2, найдем б>0 такое, чтобы
для х, удовлетворяющих неравенствам (10), выполнялось
|/(х)-Л1 < 1Л1/2.	(12)'
Поэтому для таких х |Л1/2 > |Л —/(х)|	|Л| — !/(х)|, т. е. име-
ет место (11).
Из (12) для указанных х следует:
Л--I4L < > (х) < Л +-LiJ-,
откуда А/2 < /(х) при Л>0п /(х) <А/2 при А <0 (сохранение
знака).
Замечание. В § 7.10 будет дано более общее определение
предела функции, заданной на произвольном множестве.
§ 7.3. Непрерывная функция
По определению, функция /(х)=/(х1, ..., а?„) непрерывна
в точке х° = (ж’, ...,х°п), если она определена в некоторой ее
окрестности, в том числе и в самой точке х°, и если предел ее
в точке х° равен ее значению в ней:
lim / (х) = / (х°).
_ „о
(1)
218 ГЛ. 7. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ. МНОГИЕ ПЕРЕМЕННЫЕ
Условие непрерывности f в точке х" можно написать в экви-
валентной форме:
Jim / (х° + h) = / (х°),	(Г)
в -к»
т. е. функция /(х) непрерывна в точке х°, если непрерывна функ-
ция /(х° + h) от h в точке h = 0.
Можно ввести приращение / в точке х°, соответствующее при-
ращению h = (Д|, ..hn),
А/,/(х°) =/(х° + h) —/(х°),
и па его языке определить непрерывность / в х°: функция f не-
прерывна в х", если
lim Дп/ (х°) =
11->0 .
= lim [/(4 +4+А») —/W, • • •, 4)] = 0. (1")
Tij,... лп->о
Из формул (6) —(8) § 7.2 непосредственно следует
Т е о р е м а 1. Сумма, разность, произведение и частное непре-
рывных в точке х° функций /(х) и <р(х) есть непрерывная функ-
ция в этой точке, если, конечно, в случае частного <р(х’) /=().
Постоянную с можно рассматривать как функцию /(х) от
х = (xt, ..., х„). Она непрерывна для любого х, потому что
/(х + h) - /(х) = с — с — 0 -*• 0 (h -> 0).
Следующей по сложности является функция /;(х) = xt (j =
— 1, ..., z?), где индекс / может равняться одному из значений
1, ..п. Она также непрерывна (как функция от x=(xi, ...
..., #„)!). Действительно, пусть h = (/?b ..., /г,,); тогда
I//х+ h) — /j(x)Ц= I kxj + hj~) —	= |/ij Ihl -> 0 (h -+ 0).
Если производить над функциями и постоянными действия
сложения, вычитания и умножения в конечном числе, то бу-
дем получать функции, называемые многочленами от х или
(xi, ..., хп). Па основании сформулированных выше свойств мно-
гочлены суть непрерывные функции наИп (для всех хе/Д,). От-
ношение P/Q двух многочленов есть рациональная функция,
очевидно, непрерывная всюду на за исключением точек х,
где (Мх) = 0.
Функция
Р (х) = x3L — #2 ~г ^1^3 + 2a:ia:2 — 3x1	4
может служить примером многочлена от (xt, х2, х3) третьей сте-
пени.
Вообще, имеет место очевидная
§ 7.3, НЕПРЕРЫВНАЯ ФУНКЦИЯ
219
Теорема 2. Пусть /(жь ..x,J — непрерывная функция
в точке (xi, ..., Хт) пространства Rm и пг < п.
Если ее рассматривать как функцию
F(xt, .,ж„) = /(ж,, ..xm)
от х=(ж,,	ж„), то F непрерывна относительно x—(xh ...,х„)
(в пространстве Rn) в любой точке вида (х^, ..., х„, ж„+1, ..., ж®,),
где числа ^m+i-  • • , х°п произвольны.
В самом деле, если h= (/г,, ,./г,.), то
NhF (хв) = F (ж® + hu .. ., ж® + /г„) — F (ж", .. ., ж*)—
= f (4 + К, • • •> 4n + hm) — / (ж?, . . ., ж„)->0 (h->0).
Пусть к = (А.1, ..А») есть целый неотрицательный вектор, т. е. имею-
щий неотрицательные целые компоненты А, (/= 1, .... п). Если х
= (xi, ...,.з-„) — точка Н„, то условимся о следующем обозначении;
Эта функция непрерывна для всех хе/!„. потому что она есть произ-
ведение из конечного числа множителей вида х:, каждый из которых есть
непрерывная функция от х. Введем еще новое обозначение
|k|=SA?	(Г)
j=i
которое употребляют для целых неотрицательных векторов-к и которое не
/ «	\ 1.2
надо путать с | к | ~ 2 М ) Составим сумму
\ji /
Р... (х) -- 2 вкхк; 2 ak Ъ ...Xhn,
|k|<.V	|k|<.V	1
распространенную на всевозможные векторы k с [к[ гдеа^=аЛ^.—
постоянные коэффициенты, снабженные целочисленными векторными ин-
дексами к. Эта функция (очевидно непрерывная) называется многочленом
от х степени Д'.
Справедлива
Теорема 3. Пусть функция /(х) =/(жь ..ж,п) непрерывна
в точке х® = (ж®, ..., ж,°п) пространства Rm (точек х), а. функции
ф/u) = ср/гц, ..., ипУ непрерывна в точке и® = (и?,	и^,)прост-
ранства Rn (точек и). Пусть, кроме того, ф3-(и°)= ж? (J— 1, ..m).
Тогда функция
F(n) = /(ф1(и), ф2(и), ..., ф,„(и))
непрерывна (по и) в точке и°.
Доказательство. Так как / непрерывна в х°, то для лю-
бого е > 0 можно указать 6 > 0 такое, что / определена для всех
220 ГЛ. 7. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ. МНОГИЕ ПЕРЕМЕННЫЕ
х, для которых | X; — ж®| < 6 (/ = 1, ..., т), и для них выполняет-
ся неравенство |/(х) —/(х°)| < е, и так как функции ср; непрерыв-
ны в точке и0 пространства Rn, то можно определить такое ц >
> 0, что для точек u^Rn шара |и —и°|<т] выполняются не-
равенства	11
|ф/и) — ф,(и°) I < 6 (/=1, ..., ш).
Тогда выполняется также неравенство
{/’’(и) — /’(и°)| = |/(ф1(и),	ф„(и)) — /(фДи0),	фП1(и°))I < е,
н теорема доказана.
Функцию мы будем называть элементарной функцией от пере-
менных хп, если опа может быть получена из этих пере-
менных и констант с при помощи конечного числа операции сло-
жения, вычитания, умножения, деления и операций ф, где ф —
элементарные функции от одной переменной (см. § 1.3). Функции
1) sin In 11 + хг + у2, — фь
2) sin2 х + cos 3(х + у) = ф2,
могут служить примерами элементарных функций.
Легко проверить, пользуясь теоремами 1—3, что функции ф,
и ф2 непрерывны на плоскости (х, у), функция же ф3, очевидно,
определена и непрерывна в тех точках (х, у), для которых дробь
(х — р)/(х + у) положительна и конечна.
Из теоремы 1 § 7.2 и определения непрерывности функции
в точке непосредственно следует
Теорема 4. Функция f(x)=/(xj,	х„), непрерывная
в точке х° и неравная нулю в этой точке, сохраняет знак /(х“)
в некоторой окрестности этой точки.
Следствие. Пусть (функция /(х) определена и непрерывна
на Rn (во всех точках Rn). Тогда множество G точек х, где она
удовлетворяет неравенству j(x) > с (или /(х) < с), какова бы ни
была постоянная с, есть открытое множество.
В самом деле, функция./Пх) =/(х)— с непрерывна па Rn,
н множество всех точек х, где F(x) > 0, совпадает с G. Пусть
x"eG; тогда существует шар
|х —	<6,
па котором 77(х)>0, т. е. он принадлежит к G и точка х° е G —
внутренняя для G.
Случай /(х) <с доказывается аналогично.
П р и м е р.
11	2
1 "к
§ 7.4. ЧАСТНЫЕ ПРОИЗВОДНЫЕ. ПРОИЗВОДНАЯ ПО НАПРАВЛЕНИЮ 22!
2) h w = 21 хь |;
1
3) /о (х) = max I хк |.
j	h 1	1
;)ти три функции определены и непрерывны на Rn. Непрерывность /3 вы*
текает из следующих выкладок:
I /3 (X +h)-/3 (х) 1=1 max |	+ hh | - max | ,rft | | <
< max | xh +	— xh | = max | \ | -> 0 (| h | -> 0).
В таком случае множества значении х, для которых выполняются ие-
равенства /,(х) <с (i = 1, 2, 3),— открытые множества. Первое из них
есть внутренность эллипсоида в ге-мер-
нол пространстве; второе и третье
при п = 2 суть внутренности квад-
ратов, изображенных соответственно
на рис. 7.2 и 7.3.
Эти три множества выпуклые, по-
тому что из неравенств /, (х) < с и
(у) < с следует	— Ду) < с,
1>	1. '
Неравенства ),(х) > с > 0 опреде-
ляют внешности указанных фигур.
§ 7.4. Частные производные и производная по направлению
В этом параграфе мы будем рассматривать функции /, опре-
деленные на произвольном открытом множестве G с R,,.
Назовем приращением f в точке х=(.т1, ..., хп) (&G) по
переменной xt с шагом h величину
AXjhf (*) = / Сч, • •  > 4-i> Ч + h, Xj+1, . хп) — /	хн),
где h — действительное число, достаточно малое, чтобы эта вели-
чина имела смысл.
Частной производной по х} в точке х называется предел
<7/
д™ ^Ит
<>х.	h
(7 = 1,..., п),
если он существует. Частная производная —-— есть обычная
производная от функции f(xh ..., х„), рассматриваемой как
функция только от переменной х} при фиксированных xt,
. . Xj— t, Xj+i, ..., xn.
Функция z = f(x, у) от двух переменных изображается в трех-
мерном пространстве, где задана прямоугольная система коор-
динат (х, у, z), поверхностью — геометрическим местом точек
(.г, у, j(.x, у)), где (х, y)<=G. Очевидно, что величина fx(x0, у0)
222 ГЛ. 7. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ. МНОГИЕ ПЕРЕМЕННЫЕ
(если она существует) равна тангенсу наклона к оси х, касатель-
ной к сечению этой поверхности плоскостью у — уя в точке, име-
ющей абсциссу х0.
..	(>f , .	<	,	’
Производные U = 1, ..п) называют также частными-
производными первого порядка от /.
(id,	d2f	.. .	.	.
выражения -т----т— j	—т—	(г, j	— 1,	..п)	называют част-
(JI (sйбj	Оa j
ными производными второго порядка. При i — j их принято обоз-
начать так:
д д , d'f	.
д----7--- f — ----(l = 1, . . . , П).
дх1 dxi дх?	7
Выражения  -----3--з— / = -з—з—т— называют частными про-
r	dxk дх^ dZj dx^dx^dxj	'
неводными третьего порядка, и т. д. Широко’пользуются обозна-
чениями, такими как приведенные ниже:
д д _ дт д О д д _д_ <9	<76
dxh dxh dxf ' Sz дУ дУ "Z dx ~ dz ду*дг?дх
m раз
Мы увидим в дальнейшем, что во многих важных случаях
эти операции частного дифференцирования законно менять
местами без изменения результата.
' Можно еще ввести понятие производной по направлению.
В случае функций от одной переменной оно не употребляется.
Пусть <о = (<Bj, ..., шп) есть произвольный единичный вектор.
Производной от функции f в точке х по направлению <о назы-
вается предел
df = lim f (х + НО) — / (х)
50) t-,o	 1
t>0
(если он существует). Подчеркнем, что при вычислении этого
предела предполагается, что t стремится к нулю, принимая по-
<V(x)
ложительные -значения, поэтому можно еще сказать, что —
есть правая производная в точке t — О от функции /(х + <Щ)
по t.
Можно, как в случае функций от одной переменной, говорить
о правой и левой частной производной по Xj. Надо учесть, что
производная по направлению положительной оси х, совпадает
с правой частной производной по Xj, однако производная по на-
правлению отрицательной оси х} имеет знак, противоположный
знаку левой производной по Xj.
§ 7.5. ДИФФЕРЕНЦИРУЕМАЯ ФУНКЦИЯ. КАСАТЕЛЬНАЯ ПЛОСКОСТЬ 223
§ 7.5. Дифференцируемая функция. Касательная плоскость
Для простоты будем рассматривать трехмерный случай; в п-
мерном случае рассуждения аналогичны. Случай п = 1 был спе-
циально рассмотрен в § 5.2.
Пусть на открытом множестве G R3 задана функция
и — fix, у, z),
имеющая в точке (х, у, z) е G непрерывные частные производ-
ные первого порядка. Отсюда автоматически следует, что эти
частные производные существуют в некоторой окрестности
(х, у, г), хотя, быть может они в точках, отличных от (х, у, z),
не являются непрерывными. Рассмотрим приращение / в (х, у, z),
соответствующее приращению (Ах, Ар, Az), где |Ах|, |Ар1,
lAz| <6 и б достаточно мало, чтобы точка (х + Ах, у 4-Ар, z4-
+ Az) не выходила из указанной окрестности. Имеют место ра-
венства (пояснения ниже):
А// =	f (х 4- Дх, у Ар, z Az) — / (х, p, z) =	(1)
=	/ (х + Ах, у + Ay, z + Az) — / (х,у + Ay, z	+ Az)	+	(2)
+ / (х, у + Ay, z + Az) — / (х, у, z +	Az) +	(3)
+ /(х,у. z-4-Az) —/(x,y,z):= (4)
fx (ж + QjAx, у + Ay, z + Az) Ax 4- /' (x, у + 0.2Ay, z4-Az)Ap4-
+ f'z (x, y, z + 03Az) Az = (5)
= У, z) + ej Ax + (fy (x, y, z) + e,) Ay +
+ (/2(x,p, z) + e3) Az = (6)
= /' (x, y, z) Ax + f'y (x, y, z) Ay + f'z (x, y, z) Az4-o(p) (p->0), (7)
0 < Op 0-2, 03 < 1, P = VAx2 + Ay2 + Az2, ep e2, e3->0 (p ->- 0). (8)
< )тметим, что соотношение p -> 0 эквивалентно трем соотноше-
ниям: Ах 0, Ау -* 0, Az 0.
Переход от (2) к первому члену (5) обосновывается так:
функция /(£, р+Ар, z + Az) от £ (при фиксированных у + Ау,.
z + Az) имеет, по условию, производную (по £) па отрезке
1х, х + Ах] ir к пей применима теорема Лагранжа о среднем.
Аналогичное пояснение ко второму и третьему членам (5). Пере-
ход от (5) к <6) чисто формальный: мы положили, например.
f'x(x + 0tAx, у + Ay, z 4- Az) = fx(x, у, z) 4- eP
I Io не формален здесь факт, что щ -> 0 при р-* 0. Он следует
из предположенной непрерывности fx в (х, у, г). Наконец, пере-
ход от (6) к (7) сводится к утверждению, что имеет место равен-
ство
.. е4Ах + е2Ду + e3Az = о(р) (р-* 0). .
224 ГЛ. 7. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ. МНОГИЕ ПЕРЕМЕННЫЕ

В самом деле (см. § 6.2, (9)) при р -* 0
1 BjAx 4- е2Ду + е3Дг |/р < р + el
Мы доказали важную теорему:
Теорема 1. Если функция u = f имеет непрерывные част-
ные производные (.первого порядка) в точке (ж, у, г),- то ее при-
ращение в этой точке, соответствующее достаточно малому при-
ращению (Дж, Ду, Дг), можно записать по формуле
Аи= ^-\х + -^\у	+ о(р)(р->0), р= /Дж2+Ду2+ Дг2,
V Л/	U У	U А
(9)
где частные производные взяты в точке (ж, у, z).
Так как значения частных производных в правой части (9)
не зависят от Дж, Др, Дг, то из условий теоремы 1 следует, что
приращение / в (ж, у, z), соответствующее приращению
Дг), может быть записано по формуле
Дн — ДДж + ВДу + СДг + о(р) (р -* 0),
(Дж, Ду,
(10)
фуп КЦИИ
где числа А, В, С не зависят от Дж, Ду, Дг.
Сделаем следующее определение: если приращение
/ в точке (ж, у, г) для достаточно малых (Дж, Ду, Дг) может
быть записано в виде суммы (10), где А, В, С — числа, не зави-
сящие от Дж, Ду, Дг, то говорят, что функция / дифференцируе-
ма в точке (ж, у, г). Таким образом, дифференцируемость функ-
ции j в (ж, у, г) заключается в том, что ее приращение в этой
точке можно записать в виде суммы двух слагаемых: первое
слагаемое есть линейная функция ЛДж + ВДу + СДг от (Дж, Ду,
Дг) — она, называется главной линейной частью приращения \f,
второе же слагаемое, вообще, сложно зависит от приращений
Дж, Ду, Дг, но если стремить их к нулю, то оно будет стремить-
ся к нулю, быстрее, чем р = УДж2 + Ду2 + Дг2.
Легко видеть, что если функция / дифференцируема в точке
<ж, у, г), т. е. представляется равенством (10), то она имеет в
этой точке производные, равные:
У- = А, %- = В, =
dx	т)у	dz
Например, первое равенство (11) доказывается так. Пуст:»
приращение f в (ж, у, г) записывается по формуле (10). Если
считать в последней Дж — h, Ду = Дг = 0, то получим равенство
Д^п — Ah + о(/г) (7i->0). После деления его па h и перехода
к пределу, получим
(II)
1 ЦП -:- = — == Д.
§ 7.5. ДИФФЕРЕНЦИРУЕМАЯ ФУНКЦИЯ. КАСАТЕЛЬНАЯ ПЛОСКОСТЬ 225
Из сказанного следует
Теорема 2. Для того чтобы функция f была дифференци-
руемой в точке, необходимо, чтобы она имела в этой точке част-
ные производные, и достаточно, чтобы она имела в. этой точке
непрерывные частные производные.
Из (10) следует, что если функция дифференцируема в точке,
то она непрерывна в этой точке.
Пример 1. Функция j(x, у, z), равная нулю на координатных плос-
костях х — 0, у = 0, z = 0 и единице в остальных точках Я3, имеет, оче-
видно, частные производные, равные нулю в точке (0, 0, 0), но она, очевид-
но, разрывна в этой точке и потому не может быть в пей дифференцируе-
мой. Таким образом, одного существования частных производных в точке
недостаточно для дифференцируемости и даже непрерывности в этой точке.
Отметим отличие многомерного случая от одномерного. При п = 1 свой-
ство дифференцируемости / в х записывается в виде равенства А/ = ААх +
+ o(Az), следовательно, если А =/= 0, то остаток стремится к нулю при
Az-*0 быстрее главной части. При п> 1 это уже пе так; например, при
п = 3, каковы бы пи были числа А, В, С, одновременно не равные нулю,
всегда можно стремить Дг, Ду, Az к дулю так, чтобы при этом постоянно
выполнялось равенство ААх + ВАу + С Az = 0, -но тогда в (10) остаточный
член о (р) вообще больше главного. Впрочем, если мы заставим Ах, Ay, Az
стремиться к нулю так, чтобы выполнялась пропорциональность Ах : Ду:
: Az = А : В : С, то тогда главная часть приращения будет величиной, имею-
щей строго порядок р, и остаток будет стремиться к нулю быстрее глав-
ной части.
Если функция f дифференцируема в точке (х, у, z), то глав-
ная линейная часть ее приращения в этой точке называется еще
дифференциалом f в этой точке, соответствующим приращениям
<Лх,*/Ау, Az) независимых переменных.
Он записывается так: df~ /Ах -f- /Ау + Az. О других
обозначениях мы будем еще говорить.
Рассмотрим поверхность S, описываемую функцией z = /(дг, у),
заданной в окрестности точки (х0, у0).
Плоскость Lo называется касательной плоскостью к поверх-
ности S в ее точке Р0 = (х0, у„, z0) (z0 = /(z0, г/0)), если расстоя-
ние ДР, Е,) подвижной точки Р = (х, у, z) <== S до L„ стремится
к пулю быстрее расстояния р от Р до Р„:
ДР, Lt,) = o(p) (р + 0).	(12)
Теорема 3. Если функция f дифференцируема в точке
(£», уД, то описываемая ею поверхность имеет, и при том един-
ственную, касательную плоскость в точке Ра, определяемую
уравнением
z~z^^0{X~X(>} + ^\{y~y^ (13)
(()о обозначает, что в скобках надо положить 'х — х0, У^уД.
Доказательство. Пусть функция / дифференцируема
в точке (х„, уД, S — описываемая ею поверхность и L, — плос-
15 С. М. Никольский, т. I
226 ГЛ- 7. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ. МНОГИЕ ПЕРЕМЕННЫЕ
кость, определяемая уравнением (13). Произвольная точка Р&
е S имеет координаты (х, у, fix, у)). Из аналитической геомет-
рии известно, что- ее расстояние до Lo выражается формулой
(пояснения ниже)
Г (Р, Lo) = i | / (*> у) Уо) -(-й)0(,г ~ х») -	- Уо) | =
— о(г) = о(р), г->0, р —0, (14)
~ /(х — х0)2 4- (у — у0)2, __________
Р = /(-г — ХО)- + (у — !/о)2 + if (х, у) — f (х0, г/0)р.
Здесь М — 1/ (4М ~г (+1 есть нормирующий множитель
у \ Vх /О X /о
плоскости Lo. Второе равенство (14) имеет место вследствие пред-
положенной дифференцируемости / в точке (х0, у о). Последнее
же равенство говорит, что величина вида о(г).(г-»-0) обладает
тем	свойством,	что ее	отношение к р стремится	к	нулю	при р
-4 0. Ведь	если	р -> 0,	то тогда и	г -*• 0 (0 =4 г	р!)	и	потому
I ° (г)	I — I ° (г) .	| < I ° (r) i	>	Q
I Р	I I г '	р I I г I
Мы доказали, что плоскость, определяемая уравнением (13),
есть касательная плоскость к S в точке (хл, уо).
Другой касательной плоскости к S в точке (х0, у0) не существует.
В самом деле, пусть касательная плоскость к 5 в Ро имеет уравнение
А (х — х0) + В(у — уо) — C(z — z0) = 0, А2 -|- В2 + С2 = 1.	(15)
Тогда
А(х — х0) + В(у — Уо) — C(f — j0) — о(р) = о(г), р->0, г-*0. (16)
Последнее равенство в (16) объясняется следующим образом. В силу
дифференцируемости / в точке (х0, Уо)
где с — константа, не зависящая от г. Надо учесть, что е ограничено, пото-
му что е -* 0 при г -> 0. Но тогда
р = Уг2 + I/ —/о|2 < сщ,
где ci не зависит от г п р->0 при г—>-0, следовательно,
I °<Р> I I ° (Р) Р I . I ° (р) I „ n п
| —1 = | —7|<S| —|-0’	Р-°-
Если положить в (16) у = уо, разделить на х — ха п перейти к пределу
при х -> a-о, то получаем
( df\
А — С -у- = 0.
§ 7.6. ПРОИЗВОДНАЯ СЛОЖНОЙ ФУНКЦИИ; ГРАДИЕНТ
227
Аналогично, полагая в (16) х = х0, деля на у — у0 и переходя к пре-
делу при у -> уо, получим
Но тогда С =/= 0, потому что иначе было бы А = В = С = 0, и, следо-
вательно, наша плоскость имеет вид (13).
Пример 2. Функция (а > 0)
у _ Н®2 + у2)(1+а)/г в рациональных точках,
[ 0	в остальных точках,
очевидно, разрывна в любой точке, отличной от нулевой, в нулевой же точ-
ке она дифференцируема;
f(х, у) — /(0, 0) = f(x, у) = Ох + Оу + р1+“,
где р,+“ = о(р) (р ->• 0). Таким образом, / есть пример функции, дифферен-
цируемой в точке, но не имеющей непрерывных частных производных в
этой точке.
Примеры 1 и 2 показывают, что свойство функции быть диф-
ференцируемой в точке слабее свойства иметь непрерывные част-
ные производные в точке, но сильнее свойства иметь частные
производные в точке.
§ 7.6. Производная сложной функции;
производная по направлению; градиент
Ограничимся рассмотрением функции трех переменных, опре-
деленной на открытом множестве G<= Rs. Распространение изла-
гаемых здесь фактов на «-мерный случай производится анало-
гично.
Теорема 1. Пусть функция
u — f(x, у, z)	(1)
•дифференцируема в точке (х, у, z) еС, а функции
х = ф(«), р = ф(0, z = xU),	(2)
зависящие от скалярного параметра t, имеют производную в t.
Тогда производная по t от сложной функции (производная от f
вдоль кривой (2)) и = F(i) = /(ср(О, ф(0, %(/)) вычисляется по
формуле .
F' (t) = /' (ф (0, ф (0, X (0) ф' (0 +/у (ф (0, Ф (0, X (0) ф'.(0 + -
+ /г(ф(0,ф(0,Х(0)Х'(0,
или, короче:
du.___ Of dx	.	df	dy	,	9/ dz
dt	Ox dt	‘	dy	dt	1	dz dt
(3)
228 ГЛ. 7. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ. МНОГИЕ ПЕРЕМЕННЫЕ
В самом деле, вследствие дифференцируемости / в (х, у, z)
каково бы ни было достаточно малое приращение (Ах, Ду, Az),
Am = f (х + Ах, у + Ay. z + Az) — / (х, у, z) ~
= £ Лж + 77	+ 77 Az + 0 (р) (Р /Лл'2 г Ay2i-Az-^0).
(4)
Значению t, которому при помощи равенств (2) соответствует
точка (х. у, z). придадим приращение At. Оно вызовет прираще-
ния Ах, Ay, Az функций (2). Если именно их подставить в (4),
то получим приращение Fit + At) — E(t) = Aw функции F в точ-
ке t. После деления (4) на At и перехода к пределу получим
F'(t) = lim -%- = lim + AL +	%- +	=
'	д/->о	,z ' At J
df dx , df dy ( df dz
dx dt dy dt dz dt ’
t. e. (3), потому что функции (2) имеют производные, а
" (р)	, . ч /~ / Ar \2 , ( Av \а / Az2 \
-Й- = 8(Р). у
^О./х^-у^-М? = 0 (At->0)
(At -> 0 влечет р -* 0).
Теорема 2. Если функция f дифференцируема в точке
(х, у, z), то для нее имеет смысл производная по направлению
любого единичного вектора n = (cos a, cos р, cosf), выражаемая
(формулой
df r)f , Of а , df
— = — cos а 4- — cos В 4—- cos у.	(о)
Щ1 dx	dy ' dz ’	' '
Доказательство. Согласно определения производной по
направлению (см. § 7.4) и в силу предыдущей теоремы
df = lim f <х t cos a. у t cos fi, z + t cos y) -- / (z, у. r.)
Щ| l-»0	1
t>n
=	/ (^ + t cos a, у 4-1 cos ₽, z 4-t cos y)|( #
, df a df
= — cos a 4- — cos p 4- cos y,
. dx	1 dy r ' dz •’
где частные производные взяты в (х, у, z).
Если х = <p(s), у = ф(«), z = х(») — уравнение гладкой кри-
вой Г, где параметр s — длина дуги, то величины
4r=^(s)’	=
§ 7.6. ПРОИЗВОДНАЯ СЛОЖНОЙ ФУНКЦИИ; ГРАДИЕНТ
229
суть направляющие косинусы вектора касательной к Г. Поэтому
величина
4 = S ф' (s) + S X (s) = i f (Ф (s)> t W, X «
где / — дифференцируемая функция, есть производная по па-
правлению указанного касательного вектора. Говорят еще, что
Д/	t	г
— есть производная от / вдоль 1.
Введем вектор
, ,	/я/	df 0f\	....
grad / = Н-,	з”> Т •	(°)
а 1 \дх	ду dz /’	'
называемый градиентом функции / в точке (х, у, z).
Плоскость, проходящая через точку (х0, у0, z0) и перпендику-
лярная к градиенту / в этой точке, если он не равен нулю, име-
ет уравнение
(7)
Эта плоскость замечательна тем, что ее можно (в силу (5)) рас-
сматривать как геометрическое место выходящих из (х„, у°, ;«)
лучей, вдоль которых производная от / равна нулю. В § 7.19 Су-
дет доказано, что эта плоскость есть касательная плоскость
в (хв, у0, z0) к поверхности, определяемой уравнением
/(х, у, z)=4 (4=/(х0, ув, л,)).	(8)
Формула (5) говорит, что производная or.fe точке {х, у, z)
по направлению единичного вектора п равна проекции градиента
] в этой точке на направление п:
= (grad /, n) = gradn /.	(9)
Имеет место очевидное неравенство
#<|grad/|
(Ю)
для любого вектора п. Если grad f = 0, что обычно бывает толь-
ко в исключительных точках, то = О для любого вектора и.
Если же grad / 0 (одна из частных производных от / не равна
нулю), то (10) есть строгое неравенство для всех единичных век-
торов п, за исключением единственного вектора п0 = (cos ае,
230 ГЛ- ". ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ. МНОГИЕ ПЕРЕМЕННЫЕ
cos Ро, cos т0), направленного в сторону grad f. Таким образом,
(И)
Из сказанного следует, что градиент функции f в точке
(х, у, z) можно определить как вектор, обладающий следующи-
ми двумя свойствами:
1) длина его равна максимальной величине производной по
направлению в (х, у, z) (для дифференцируемой в (х, у, z)
функции этот максимум существует и есть число неотрица-
тельное);
2) если его длина не равна нулю, то он направлен в ту же
a	a 8f
сторону, что и вектор п, вдоль которого производная — макси-
мальна.
Это новое определение градиента полностью эквивалентно его
формальному определению при помощи формулы (6). Оно пока-
зывает, что grad / есть инвариант, т. е. он может быть определен
независимо от системы координат, в которой рассматривается
функция f от точки (см. (1)). Чтобы пояснить эти слова, рас-
смотрим физический пример. Будем считать, что G есть физиче-
ское тело, а и = и(Р) есть температура переменной его точки Р,
вообще меняющаяся от точки к точке. Если в пространстве ввести
прямоугольную систему координат (х, у, z), то физическая функ-
ция и = и(Р) может быть заменена на математическую и =
= j(x, у, z), где (х. у. z) — прямоугольные координаты точек Ре
е G. В другой прямоугольной системе (х', у', z') паша физиче-
ская функция будет описываться, вообще говоря, другой мате-
матической фупкцп.еп
и — ft(x', у', z') =
. =• f(.aix' + apj' + a3z',	+ ЪУ' + Isz'), (12)
где
x = atx' + a2y' + as?',
у = fitx' + $2y' + p3z',	(13)
z = ^x' + ц2у' + y3z'
— формулы преобразования координат.
§ 7.6. ПРОИЗВОДНАЯ СЛОЖНОЙ ФУНКЦИИ; ГРАДИЕНТ
231
Градиент нашей физической функции и — и'Р) естественно
определить в духе второго приведенного выше определения. Это
есть вектор, по направлению которого температура в данной точ-
ке Р возрастает быстрее всего,- длина же его равна максималь-
ной скорости возрастания температуры среди скоростей, соответ-
ствующих разным направлениям.
Мы знаем, что если функция /, описывающая нашу физиче-
скую функцию, в системе (х, у, z) дифференцируема в
Р — (х, у, z), для нее имеет смысл градиент в этой точке,
деляемый тройкой чисел
df df d/V
дх ' ду ’ dz )'
точке
опре-
(14)
Во второй системе координат (х', у', z') он задается, другой
тройкой:
p/t д/г
\ Ох’ ’ ду' ’ dz' /‘
(15)
Таким образом, мы из чисто физических соображений доказали,
что если некоторый вектор в прямоугольной системе координат
(х, у, z) задан тройкой чисел (14), то при условии дифференци-
руемости / в (х, у, z) он в новой системе (#', у', z') задается
тройкой (15), где /t определяется формулами (12), (13). Но этот
факт можно доказать и формально.
В самом деле, вектор (14) согласно формулам, известным из
аналитической геометрии, в новой системе (х', у', z') имеет ком-
поненты
df dh
дх"1
111
ду' ’
дг'
df , Q df df
сс. —г~ ~b Pi ~т~ Vi —
1 дх ду 11 дг
Of , д df .	df
“2-^7+ Р2-^ +72-^--
а дх ду 1	дг
(16)
Тот факт, что эти компоненты равны соответственно	-т-7, -—7, -т-7,
.	’	ох ду oz
вытекает из теоремы 1 о производной сложной функции. Надо
иметь в виду при применении этой теоремы, что обычную про-
изводную по t, очевидно, всюду можно заменить на частную
производную по t.
Градиент / еще записывают так:
gradf = V/5	(17)
где v — оператор *), который каждой дифференцируемой в
*) Знак V напоминает арфу, греческое название которой — гсфХа
(набла).
232 ГЛ. 7. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ. МНОГИЕ ПЕРЕМЕННЫЕ
(х, у, z) функции / приводит в соответствие вектор — grad/.
Этот оператор называется оператором Гамильтона или операто-
ром набла. Его удобно считать символическим вектором
/ д д д \
\ дх ’ ду ’ dz /’
(18)
и рассматривать grad/ как символическое произведение векто-
ра V на скаляр /.
При физическом подходе к функции как к некоторой величине и, за-
висящей от точки пространства, формулы (16) естественно записать следу-
ющим образом (не вводя функций / и fi для разных систем координат):
ди
дх' ’
ди
ди	ди	ди
aidT	+	Р107	+	I’l'd?
> ди	ди	ди
а2 дх	+	^2	ду	+	1’г dz ду' ’
ди ди ди
аз ~дх + Рз ~д^ ~'г Ь дГ = ~dz7~'
(19)
В формальной теории векторов вектором (трехмерным) назы-
вается вещь, обозначаемая символом а и выражаемая в каждой
прямоугольной системе координат (.х, у, z) тройкой чисел а =
(Ял,	dz ) — компонент а в системе {х, у, z). При этом ком-
поненты вектора а в любой другой прямоугольной системе ко-
ординат (х', у', z'), а = (ахг, аУ', аг>), получаются из (ах, az)
при помощи преобразований
йхл = cCjAx -|- Pjfly у^а2, аи> = а2ах -|- Н-
a2f — а.йах Н-
аналогичных преобразованиям координат U, у, z) в (xr, у', z');
х'= aix+$,у + у'= а2х + $2у + v2z, z'= а3х + ^Зу + y3z.
Формулы (19) дают, таким образом, формальное доказательство
того факта, что grad / есть вектор.
Отсюда уже нетрудно сделать следующий формальный шаг. Будем счи-
тать, что оператор V есть вектор (символический), имеющий в прямоуголь-
ной системе (х, у, z) компоненты!—, —, JL), а в произвольной другой
\дх ду dz)
прямоугольной системе (х’, у’, z') — компоненты	Прп этом
уда:' ду’ dz')
новые компоненты выражаются через старые при помощи (символических)
равенств
д _	д	д	д
дх' ~ а1	дх	Р1	ду	1	I’l	dz ’
д	д	д	д
ду’ а2	дх	^2	ду	dz'
д	д	д	д
dz' ~ аз	дх "1" Рз	ду	~ 1’з	dz ’
(20)
§ 7.7. НЕЗАВИСИМОСТЬ ОТ ПОРЯДКА ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИЯ
233
т. е. так, как если бы символический оператор V был реальным вектором.
Если помножить (символически) левые и правые части (20) на скаляр и
(дифференцируемую функцию), то мы получим известное уже нам равен-
ство (19) между частными производными от функции от и.
Таким образом, если заданы компоненты градиента / в системе (z, у, z)
и нужно вычислить его компоненты в системе (я', у', z'), можно посту-
пить так. Считаем, что grad / = V/ есть произведение вектора V на ска-
ляр /, находим компоненты V в системе (ж', у', z') по формулам (20), а за-
тем умножаем их на скаляр /. Иначе говоря, при преобразовании вектора
V/ к новым координатам применяются те же операции, как если бы V
был обычным вектором, a f — помноженным на него числом (скаляром).
Пример 1. Пусть f(r) = F(Q) есть функция от расстояния г —
— r(P, Q) между фиксированной точкой Р(х0, у0, za) и переменной точкой
Q = (я, у, z);
(X —	у — IK	z — z\
Г (r)-----<L, f (r) 1-io , f (r)--0-
r	r	r )
есть вектор, имеющий направление вектора PQ и длину | grad F | —
= |/'(г) |. Поэтому
dF
-^-=1/ (г)|соз(Р<?,п).
В частности, если F(Q) — [(г) =1п(1/г), то
dF cos (PQ, п)
йп	г
Пример 2. Функции
( ди ( ди (ди
(Vu,VK) = ^j	+
а2	п2	Л2
ди	ди	ди
Ли = VV1Z = -2- +	—5- + —2
дх	ду	dz
(2D
(22)
инвариантны относительно преобразований прямоугольных систем коор-
динат, потому что Vu = grad и — вектор (инвариант), левая часть (21) есть
квадрат его длины (скалярное произведение вектора на самого себя), a VV
есть символический инвариант (скалярное произведение символического век-
тора V на самого себя), умноженный на скаляр.
§ 7.7. Независимость от порядка дифференцирования
Теорема 1. Пусть на открытом плоском множестве G за-
дана функция fix, у). Если она имеет в точке ix, у) непрерыв-
ные смешанные производные .°-L. "-L. то они равны между
дхду' дудх'
собой в этой точке:.
• d2/ й2/	rn
дхду дудх'	* '
В самом деле,
А^А^/ = AxJ/te, у + /г) - fix, у)1 =fix + h, у + h) —
— fix + h, у)- fix, y + h) + fix, y\ = &viAxi,f, (2)
234 И. 7. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ. МНОГИЕ ПЕРЕМЕННЫЕ
Далее (пояснения ниже),
ДулДхл/ = Aj/h [f (x + h,y) — f (х, г/)] = h[f'y (х + h, у + 0Л) —
— 4 (я, У +	= h2fxV (х + GJi, у + 0Л) =
= Лг [fxy (х, у) + е] (е -> 0 при h 0). (3)
,2 ,
Так как производная .° ’ непрерывна в точке (х, у), то тем
дхду
самым она существует в достаточно малой окрестности этой
„	’	. Sf '
точки и автоматически в этой окрестности существует — fv.
При достаточно малом h мы не выходим из этой окрестности и
законно, как это сделано во втором равенстве (3), применить
теорему о среднем по у к функции (/(х + Л, у) — fix, у)]. Пред-
последнее равенство есть применение этой же теоремы по х к fy,
что законно, потому что в указанной окрестности существует
а/'
частная производная = fxy. Последнее равенство, где отме-
чается, что е —* 0 при h -> 0, выражает, что производная fxy в
точке (х, у) непрерывна. Из (3) следует, что
lim	= f у),
h^o
Аналогично, пользуясь непрерывностью fyx-< доказывается ра-
венство
1™^^ = 4.(х,у),
h~tO П
и так как — /\vfl^xi,f при любых h, то верно и (1).
Заметим, что непрерывность обеих входящих в (1) частных
производных есть только достаточное условие для выполнения
равенства (1). В литературе известны и менее ограничительные
накладываемые на f условия, влекущие за собой это равенство,
по очень редко приходится их применять.
Пусть дан целочисленный неотрицательный вектор к =
= (fcb ..., кп) (/vj^O). Будем говорить, что частная производная
подчинена вектору к, если каково бы ии было 7 = 1, ..., п, при
ее вычислении применяется операция ^уне больше, чем /г, раз.
Если, в частности, kj — O, то операция пе применяется. Те-
перь мы можем высказать теорему.
Теорема 2. Если все подчиненные вектору к частные про-
изводные от функции /(x) = /(Xi, ..., хп) непрерывны (в R,,)
в точке х, то в любой из них можно переставить порядок диф-
ференцирования как угодно, не изменяя результата.
§ 7.8. ДИФФЕРЕНЦИАЛ ФУНКЦИИ
235
Доказательство этой теоремы во всей ее общности потребо-
вало бы хотя и простой, но громоздкой индукции. Мы ограни-
чимся только примером. Производная _______—L___ подчинена, оче-
dzdxdzdy
видно, вектору (1, 1, 2). В предположении, что не только она,
но и все частные производные от /, подчиненные этому вектору,
непрерывны по (я, у, z), мы можем, пользуясь всякий раз либо
определением частной производной либо теоремой 1, получить
равенства
дЧ_______а2 д2/- а2 / d2f \	a2 f дМ
dzdxdzdy	dzdx dzdy	dzdx \dydz /	dxdz \dydz J
— 9 9,2 PH 9 92	\ — ^7
~ dx dzdy\dz J dx dy dz	dxdydz1 '
Например, во втором равенстве мы рассуждаем так: частные
з2 .	-2 j
производные —— и —по условию, непрерывны относительно
dzdy	dydz
(х, у, z), тем более они непрерывны при фиксированном х отно-
сительно (у, z), поэтому они равны. В пятом равенстве это же
«7
рассуждение проводится для
Упражнение. Показать, что функция
v =________1-_____е «('о-*)
8л3/2 (<0 — г)з/2
г -= /(* ~ *0)2 + (У - Уо)2 + (2 - 20)2,
называемая фундаментальным решением уравнения теплопроводности, удов-
летворяет дифференциальным уравнениям в частных производных:
Др	dv
\v-’dT0-()’ Др + щ^°
/	с>2 а2 а2	д2	d2 д2 \
\	dx2^ dij2^ dz2'	° dx^	dz%/'
§ 7.8. Дифференциал функции.
Дифференциал высшего порядка
Рассмотрим функцию
W = /(х) = /(х,, ..., хп),	fl)
заданную на некотором открытом множестве G <= /?„. Ее можно
бесконечным числом способов записать в виде
W = ф(н) = ф(и(, . .., ит),	(2)
где
ц, = ф/х) (/ == 1, ...., т; х е G).	(3.)
238 ГЛ. 7. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ. МНОГИЕ ПЕРЕМЕННЫЕ
Ниже мы будем употреблять следующую терминологию: пе-
ременная W есть функция от независимой векторной переменной
х; эта же переменная W есть функция от зависимой векторной
переменной и. Последняя зависит от независимой переменной х:
каждому вектору х из G соответствует вектор
и = (фДх), ..ф,„(х)).
Таким образом, роль векторной переменной х здесь носит
исключительный характер — она в приводимых ниже рассужде-
ниях будет фигурировать только как независимая переменная.
Пусть функция / имеет непрерывные частные производные
первого порядка в точке хе G. Тогда, как мы знаем из § 7.5,
она дифференцируема, т. е. приращение ее в этой точке может
быть записано в виде
Сумма
(Р + 0),
(П
3=1
(4)
(•’)
называется главной линейной частью приращения W в точке х
или еще дифференциалом W в этой точке, соответствующим при-
ращениям .., \хп независимых переменных.
Для независимых Xi, ..., хп полагают
\Xj = dXj (/ = !,...,«),	(6)
и называют эти величины не только приращениями независимых
переменных но и их дифференциалами. Мы будем их назы-
вать независимыми дифференциалами в знак того, что они не
зависят от х~(.хА,	Формально «независимость» величин
dXj будет проявляться в том, что при дифференцировании (по
xlt ..., хп) они будут рассматриваться как постоянные (d(dxj) = 0).
В силу соглашения (6) дифференциал W может быть запи-
сан в форме
3=1
Ясно, что dW есть величина, зависящая, вообще говоря, от
Xi, ,.., хп и d.r,, ..dxn.
§ 7.8. ДИФФЕРЕНЦИАЛ ФУНКЦИИ
237
Для любых двух функций, и и V, имеющих непрерывные ча-
стные производные в точке х, справедливы свойства
d(u ± v) = du ± dv,	(8)
di.uv') — udv + vdu,	(9)
vdu~udv	(Ю)
и при этом частные производные от функций, стоящих в скоб-
ках, непрерывны в точке х.
Докажем, например, третье из этих равенств:
ди dv
it	9 (и\
Непрерывность — I видна из третьего члена цепи.
Дифференциал от функции W называют еще дифференциа-
лом первого порядка, потому что приходится еще рассматривать
дифференциалы высших порядков.
Пусть теперь функция IF имеет вторые непрерывные част-
ные производные. По определению, второй дифференциал от нее,
соответствующий независимым приращениям (дифференциалам)
dxt, ..dxH, определяется равенством
d'W^dkdWy,
(И)
где считается, что обе операции d в правой части (И) берутся
для указанных независимых приращений dx^, . .., dxn, которые
должны рассматриваться как постоянные (пе зависящие от
Xi, х„). Такий образом,
П П А/
<12>
г—1 з^1	J
Так как 5-—Т" ~ я . я  *то второй дифференциал представляет
V w V dC	V dC (/ •Л'
собой квадратическую форму относительно независимых диффе-
ренциалов dxh ;dxn.
238 ГЛ. 7. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ. МНОГИЕ ПЕРЕМЕННЫЕ
Вообще, дифференциал порядка I от W для независимых диф-
ференциалов dxi, ..., dxn определяется по индукции при помощи
рекуррентного соотношения
d’W = d(d'-W) (Z = 2, 3, ...),	(13)
где dl, d, dl~l берутся для указанных независимых дифференциа-
лов dxh которые к тому же рассматриваются при вычислениях
как постоянные (не зависящие от хь .... z„).
Рассуждая как в (12), легко получим, что
^=222
А=1 i=l 3=1
d3w
dx^dx^oxj
dxfrdxidxj
и в общем случае
dlW = У ... У :--------d W я dx. ... dxk..
A £idxh .дхп Ч
4=1 AZ=1
Мы определили понятие дифференциала функции W в тер-
минах независимых переменных xt, ..., хп (или независимой
векторной переменной х). Но пусть, как это было объяснено в
начале этого параграфа, W рассматривается теперь как функ-
ция от зависимой векторной переменной и = (и,, ..., и„). Воз-
никает вопрос, как выражаются дифференциалы первого и выс-
шего порядков в терминах этой переменной и. Начнем- изучение
этого вопроса в случае дифференциала первого порядка.
Будем предполагать, что функции ф(и) и ф,(ж) (/=1, ..., п)г
о которых шла речь в начале параграфа, имеют непрерывные
частные производные. Тогда
dW
dxj
dW
дйi dXj
dxj =
™ aW " du,	™ dW
= 2k2s;^-25<'“1’ <14)
1=1 j=l	1=1
и мы получили, как в случае одной переменной, что первый диф-
ференциал от W выражается через зависимые переменные так
же, как через независимые. В этом проявляется инвариантность
формы первого дифференциала.
Чтобы исследовать поставленный вопрос, в случае второго
дифференциала будем предполагать, что функции ср и имеют
непрерывные частные производные второго порядка.
§ 7.9. ПРЕДЕЛЬНАЯ ТОЧКА. ТЕОРЕМА ВЕЙЕРШТРАССА
239
Дифференцируя обе части (14), приняв во внимание свой-
ства (8) и (9), получим (пояснения ниже)
™ ,.-,щ	.	22, (22, fpw	nW \
d^W =d(dW) = 2 d du‘)=~~ 2 2 d^du*dui + d^Ui u
i— 1	i=l \j=l	J
m m 2fT7	m
= У У тЦ— cLuiduj + V -— d2Uj. (15)
du^U:	1 1 диг '	' '
i—1 j=i	i=i
Во втором равенстве этой цепи мы воспользовались свойствами
(8) и (9), и, кроме того, тем фактом, что форма первого диффе-
ренциала сохраняется и для зависимых переменных й}.
Мы видим, что второй дифференциал от функции W, выра-
женный в терминах зависимых переменных и,-, существенно рас-
падается на два слагаемых. Первое слагаемое представляет собой
квадратическую форму, аналогичную форме (12), где d2W вы-
ражалось через независимые переменные. Второе же слагаемое
представляет собой некоторый добавок, с которым надо считать-
ся: если Ui^ j:,, то этот добавок, вообще говоря, не равен нулю.
Впрочем, если щ (4=1, ..., т) — линейные функции от ...
..., л „, то свойство инвариантности сохраняется и для диффе-
ренциалов высшего порядка.
Отметим, что из наших рассуждений следует, что если вы-
ражение (15) взято для dxi, ...,dxn, которые фигурируют "в вы-
ражении (12), то оба эти выражения тождественно равны, каковы
бы ни были х, для которых существуют указанные выше непре-
рывные частные производные второго порядка, и каковы бы ни
были независимые dxf.
Выраженные через зависимые переменные и,- дифференциа-
лы d3W, dlW. ... вычисляются подобным образом последователь-
но. Приходится считаться с тем фактом, что выражения для них
становятся все более громоздкими.
§ 7.9. Предельная точка. Теорема Вейерштрасса.
Замкнутые и открытые множества
Рассмотрим произвольное множество Е точек х — (xi, ..., х„)
пространства Rn = R.
По определению, х° = (xj, ..., х^) есть предельная точка Е,
если любая ее окрестность содержит хотя бы одну точку х, при-
надлежащую Е и отличную от х“.
На самом деле из этого определения следует, что любая ок-
рестность х° содержит в себе бесконечное множество точек х,
принадлежащих Е, и можно определить последовательность то-
чек х* е£, k = 1, 2, ... таких, что х* #= х’ и |х* — х°[ -*• 0.
240 ГЛ. 7. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ. МНОГИЕ ПЕРЕМЕННЫЕ
В самом деле, согласно определению предельной точки, для
каждого натурального к = 1, 2, ... имеется х'е£, для которой
0< |xft —х°| < i/k и |xfe —х°| < lx*-1 —х°|, где /с=1, 2, ....
Приведем другие определения предельной точки, очевидно,
эквивалентные данному выше:
х° есть предельная точка Е, если любой открытый шар (от-
крытый куб) с центром в х° содержит хотя бы одну точку х = Е,
х =/= х° или если существует последовательность точек {х*1} такая,
что х'е£ х" х°, х* х° (/с -► оо).
Множество всех предельных точек Е обозначается через Е'
и называется производным множеством от Е.
Пример 1. Пусть Е— множество точек х= (ал, ..., хп) с рацио-
нальными координатами. Любая точка х° =	...,	R есть предель-
ная точка Е, потому что произвольный куб | — ж® | < 6 (/ = 1, ..., я) со-
держит в себе точки Е, отличные от х°. Таким образом, Е' = Rn.
Пример 2. Конечное множество точек х1, х2, ..., xv пе имеет пи од-
ной предельной точки (£ =И= 0) хотя бы потому, что в любой окрестности
предельной точки должно было бы быть бесконечное множество точек Е.
Пример 3. Множество Е хк — (к, 0, ..., 0) (А = 1, 2, ...) не имеет
предельных точек (Е' = 0), потому что расстояние между любыми его точ-
ками [х* — х!| = | А — Z| Э: 1 (А =/= I). Если бы точка xeR, была предель-
ной точкой Е, то в любой ее малой окрестности находились бы две точки
Е,— расстояние между ними могло быть меньшим как угодно малого
б > 0.
Пример 4. Пусть
У1 = 1Х:	Г =-- / х: 2 4 = г4-	2аА>г3|.
lx I 11	)	11	)
Распространяя обычную терминологию с 'я = 3 на произвольное п, мы
скажем, что Vi есть открытый шар в Rn с центром в нулевой точке, Г — его
граница, и Уг — его внешность. Имеют место следующие факты:
<=ri+г’ (Fi+гг =4+г- К = ^+г>
(Е2 + г)' = Р2 + Г’ г' = г-
Из наглядных соображений (рис. 7.4), которые легко перевести на язык
неравенств, следует, что точку х1 е Vi можно окружить достаточно малым
шаром (с центром в ней) полностью принадлежа-
щим Vi, откуда х1 есть предельная точка l’i, но не
есть предельная точка Г и V2. Любой шар с
центром в произвольной точке х2е Г содержит в
себе отличные от нее точки Vi, Г и V2, и потому х2
есть предельная точка Pi, Г, V2, Щ + Г, V2 + Г.
Наконец, точку х3 е V2 можно окружить шаром,
полностью принадлежащим V2, и потому опа есть
предельная точка V2, но не есть предельная точ-
ка Pi, Г, Vi + Г. Отсюда следуют равенства (1).
Множество Е называется ограниченным, если оно содержится
в некотором шаре (кубе). В противном случае Е называется не-
ограниченным. В этом определении можно считать, что шар
(куб), о котором идет речь, имеет центр в нулевой точке, потому
§ 7.9. ПРЕДЕЛЬНАЯ ТОЧКА. ТЕОРЕМА ВЕЙЕРШТРАССА
241
что, если все точки хе£ удовлетворяют неравенству |х— х°Н<р1у
то и неравенству |х| < |х — х’| + |х°| < р2, где р2 = р1 + |х<)|.
Следующая теорема обобщает соответствующую одномерную
теорему и базируется на ней:
Теорема 1. Из всякой ограниченной последовательности то-
чек xh — (х*, ..., х^)(к = 1,2, ...) можно выделить подпоследо-
вательность {х4} (Z — 1, 2, ...), сходящуюся к некоторой точке х°:
IP- х°||->-0 (/->оо).
Доказательство. Так как последовательность {х*} огра-
ничена, то существует число М такое, что
M>|xft|>U*l (7 = 1, •••>»; £=1,2,...).
Это показывает, что координаты точек хч также ограничены. Пер-
вая координата пробегает ограниченную последовательность
(k = 1, 2, ...), и на основании одномерной теоремы найдется под-
последовательности {^1} натуральных чисел и некоторое число
Xi такие, что я /х? (Z2оо). Вторую координату х2 рассмот-
рим только для найденных натуральных к^. Подпоследователь-
ность \хг f ограничена, и по одномерной теореме можно выбрать
{kj 7
0	12	0 m
х2 / и число х2 такие, что х2 -+х2. 1ак
Как есть подпоследовательность т0 имеет место одно-
временно х± -^х^ х2 -+хг. В. силу ограниченности третьей ко-
ординаты можно, рассуждая как выше, получить подпоследова-
тельность {fc'3) подпоследовательности для которой одно-
временно

3
> ГО
—> хх,
Ь1
'Г 3->- т°
**- 2 г «л 2,
йгз о
ж3 л->ж3,
где ж® — некоторое число. Продолжая этот процесс, на n-м его
этапе получим подпоследовательность натуральных чисел ktn — к:
п систему чисел Xi,x%, .. . ,ж® такие, что одновременно х]1 х%
(I -> оо; j с 1, ..., п). Полагая х° = (я?, ..., х%), получим ут-
верждение теоремы.
Но возвратийся к предельным точкам. Конечное (состоящее
из конечного числа точек) множество не имеет предельных точек
(пример 2). Существуют бесконечные неограниченные множест-
ва, не имеющие предельных точек (пример 3). Однако имеет
место
Теорема 2 (Вейерштрасса). Ограниченное бесконечное
множество Е имеет по крайней мере одну предельную точку.
242 ГЛ. 7. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ. МНОГИЕ ПЕРЕМЕННЫЕ
Д о к а з а т е л ьс т в о. Так как множество Е бесконечно, то
оно содержит в себе последовательность {х*} (бесконечную!) раз-
личных между собой точек. Из нее можно на основании преды-
дущеи теоремы выделить подпоследовательность рс сходящую-
Л»
ся к некоторой точке х" е Rn. Так как все х для разных I раз-
личны, то х" есть, очевидно, предельная точка Е — ведь в любой
kl  к <
ее окрестности имеются точки х	Е, отличные от х®.
Конечно, х° может принадлежать или не принадлежать к Е.
Множество Е <=R„ называется замкнутым, если все его пре-
дельные точки принадлежат ему (£' <= £).
Надо иметь в виду, что в этом определении не утверждается,
что Е обязано иметь предельные точки, а только говорится, что
если Е имеет такие точки, то они принадлежат к Е. Таким об-
разом, всякое множество, не имеющее вовсе предельных точек,
замкнуто. Пустое множество, конечное множество, множество це-
лых точек (имеющих целые координаты) в пространстве Rn —
все это замкнутые множества.
Множество примера 1 не замкнуто потому, что иррациональ-
ные точки являются предельными его точками, но они не при-
надлежат ему.
Шар вместе с границей (пример 4), внешность шара вместе
с границей, сама граница — все это примеры замкнутых мно-
жеств. Открытый шар, внешность (замкнутого) шара — не зам-
кнутые множества. Это геометрически очевидно, но-легко может
быть обосновано при помощи соответствующих неравенств.
Дадим еще другое определение замкнутого множества: мно-
жество Е замкнуто, если из того, что точки сходящейся к х° по-
следовательности {хА} принадлежат Е, следует принадлежность х’
множеству Е.
Эти определения эквивалентны. В самом деле, пусть Е зам-
кнуто в смысле первого определения, а второе определение для Е
не выполняется. Тогда найдутся последовательность {хА} и точка
х“ такие, что хкеЕ, х* -*• х®, но х°^£. Но это возможно, очевид-
но, только тогда, когда элементы х* последовательности пробега-
ют бесконечное множество (различных между собой) точек, но
тогда х° есть предельная точка Е и она должна по условию при-
надлежать Е. Мы пришли к противоречию. Итак, из первого оп-
ределения следует второе.
Наоборот, пусть Е — замкнутое множество по второму опре-
делению и х° предельная точка Е; тогда найдется, как мы знаем,
последовательность точек xfe е Е, х* -► х°. По второму определе-
нию х’еЕ и, таким образом, всякая предельная точка Е при-
надлежит Е, т. е. выполняется первое определение.
Если к множеству Е добавить все его предельные точки, то
мы получим множество, которое обозначают через Е и называют
замыканием Е. Таким образом, Е — Е + Е'.
§ 7.9. ПРЕДЕЛЬНАЯ ТОЧКА. ТЕОРЕМА ВЕЙЕРШТРАССА
243
Теорема 3. Замыкание множества Е есть замкнутое мно
жество.
Доказательство. Пусть х° есть предельная точка Ё, За-
дадим е > 0. В шаре |х — х°| <е должна существовать точка х'е
<= Ё, х' ¥= х“. Последнюю можно окружить шаром, принадлежа-
щим исходному шару, настолько малым, что он не содержит в
себе точки х°. В нем обязательно должна быть точка Е, которая,
таким образом, принадлежит исходному шару. Итак, в любом
шаре с центром х° имеется отличная от х° точка Е. Это показы-
вает, что х° есть предельная точка Е, т. е. х° е Е.
Между замкнутыми и открытыми (см. § 7.1) множествами
имеется тесная связь: если Е замкнуто, то R—Е открыто, и нао-
борот. В самом деле, пусть Е замкнуто и x°s7?~ Е; тогда су-
ществует шар с центром в х°, принадлежащий к 7? — Е. Если бы
это было не так, то существовала бы последовательность точек
х”е£, сходящаяся к х° (хй-*-х°), и в силу замкнутости Е тогда
бы х° s Е, и мы пришли к противоречию.
Пусть теперь Е — открытое множество. Возьмем произволь-
ную, принадлежащую R — E, последовательность точек х\ сходя-
щуюся к некоторой точке х°. Последняя не может быть точкой
Е, потому что в любой ее окрестности имеются точки R — Е, но
тогда она принадлежит R — Е. Следовательно, R — Е замкнуто.
Введем три определения.
1. Точка х° называется граничной точкой множества Е, если
любая ее окрестность содержит в себе как точки Е так и точки,
не принадлежащие Е.
2. Точка х° называется (см. § 7.1) внутренней точкой множе-
ства Е, если существует ее окрестность, полностью принадлежа-
щая Е.
.3. Точка.х0 называется внешней по отношению ко множеству
Е, если она не только не принадлежит Е, но существует окрест-
ность х°, полностью не принадлежащая Е.
' Всюду в этих определениях, очевидно, «окрестность»- можно
заменить на «открытый шар с центром в х°» или «открытый куб
с центром в х°».
Обратим внимание на тот факт, что определения 1—3 взаимно
исключают друг друга и единственно возможны. Иначе говоря,
каждая точка х е R удовлетворяет одному и только одному из
этих определений.
Таким образом, если задано произвольное множество EczR,
то по отношению к нему все пространство R распадается на три
попарно непересекающихся множества:
1)	Е, — множество внутренних точек Е — открытое ядро мно-
жества Е. Это открытое множество, потому что, если xeij, то
найдется полностью принадлежащий к Е открытый шар V с цен-
тром в х°. Но все точки V — внутренние для V, следовательно,
и для Е, следовательно,
16*
244 ГЛ. 7. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ. МНОГИЕ ПЕРЕМЕННЫЕ
2)	Ег — множество внешних точек Е — внешность Е. Это
тоже открытое множество, что доказывается аналогично.
3)	Г — множество граничных точек Е — граница Е.
Это замкнутое множество, потому что Et + Е2 — открыто как
сумма двух открытых множеств и Г — R — (Е, + Е2).
Множества Ei + Г и Е2 + Г, очевидно, замкнутые, потому что
их дополнения до R открытые.
Имеют место (теоретико-множественные) равенства
Et + r = E + r = E, Е2 + Г=(Я-Е) + Г = Ё^Ё,
доказательство которых представляется читателю.
В равенстве /? = Е1 + Е2 + Г одно или два слагаемых в пра-
вой части могут оказаться пустыми множествами. Надо иметь в
виду, что пустое множество и все пространство R являются од-
новременно открытыми и замкнутыми множествами.
Пример 5. Пусть функция /(х) определена и непрерывна на R и с —
заданное число, тогда, как нетрудно доказать, множества (точек х, для ко-
торых выполняются указанные в скобках соотношения) {/(х) = с), {/(х)^
eg с}, {/(х) с} замкнутые, а множества {/(х) > с}, {/(х) < с} — откры-
тые. Конечно, некоторые из этих множеств могут оказаться пустыми, но
пустые множества одновременно замкнуты и открыты.
Результаты примера 4 немедленно следуют из этих утверждений. На-
до иметь в виду, что если бы функция /(х) была задана только на части R,
то указанные утверждения могут и не иметь места.
Теорема 4. Всякое открытое одномерное (лежащее на оси (—оо, оо))
множество G есть сумма конечного или счетного числа попарно не пере-
секающихся интервалов-.
В самом деле, пусть точка х° е G; тогда существуют интервалы S -
— (А, ц), покрывающие х° и полностью принадлежащие G. Пусть
а = inf А, (5 = sup ц,
тде нижняя и верхняя грани распространены на всевозможные указанные
интервалы 6 0> В частности, может случиться, что о^= —оо или = -(-оо
или эти равенства выполняются одновременно (и тогда G = (—оо, оо)).
Каждой точке х°е С мы привели в соответствие максимальный интервал
б = (а, Р), ее содержащий и полностью содержащийся в G. Пусть А есть
множество различных интервалов б (очевидно, попарно не пересекающих-
ся). Каждому из них приведем в соответствие одно принадлежащее ему ра-
циональное число. Ясно, что А конечно или счетно, потому что оно экви-
валентно некоторому подмножеству рациональных чисел. Это доказыва-
ет теорему.
Упражнения.
1.	Доказать, что сумма конечного или счетного числа открытых мно-
жеств, а также пересечение конечного числа открытых множеств' есть от-
крытое множество. Привести пример счетной системы открытых множеств,
пересечение которых не есть открытое множество.
2.	Доказать, что сумма конечного числа замкнутых множеств, так же
как пересечение конечного и счетного числа замкнутых множеств, есть мно-
жество замкнутое. Привести пример счетной системы замкнутых множеств,
сумма которых не есть замкнутое множество.
§ 7.10. СВОЙСТВА НЕПРЕРЫВНЫХ,ФУНКЦИЙ
245
§ 7.10. Функции на множестве. Свойства непрерывных функций
на замкнутом ограниченном множестве
Пусть на произвольном множестве А точек n-мерного прост-
ранства (Л <=/? = /?„) задана функция /(х) = /(л:1,	х„) их0 —
предельная точка А. Будем говорить, что число Л есть предел f в
точке х° на множестве А, если lim/(xft) = Л, какова бы ни была
сходящаяся к х° последовательность точек х'еЛ, отличных
от х°.
Это определение эквивалентно следующему: для любого е > 0
найдется куб или шар с центром в х°, для всех точек х которо-
го, содержащихся в А, но отличных от х°, выполняется неравен-
ство |/(х) —Л1<е. Эквивалентность этих определений доказыва-
ется аналогично тому, как это делается в случае предела функ-
ции / в точке х° без добавления «на множестве» (см. § 4.1 и 7.2).
Аналогично доказывается условие Коши существования пре-
дела / в точке х* на множестве А: для того чтобы существовал
(конечный) предел f в точке х° на множестве А, необходимо и
достаточно, чтобы' для любого е > 0 нашлось 8 > 0 такое, чтобы
выполнялось неравенство |/(х) —/(х')1 < е для всех к, х'еД,
для которых 0 < I х — х° 1 <6, 0 < |х' — х°| <6.
Будем говорить, что определенная на А функция f непрерыв-
на на А в точке х’еЛ, если
lim/(xft)=/(х°),	(1)
XfeG.4
какова бы пи была сходящаяся к х° последовательность точек
.У = /I.
Обратим внимание, что если х° есть изолированная точка А,
т. е. пе являющаяся предельной для А, то существует шар с
центром в х°, содержащий в себе только одну точку множества
А, а именно х°. Но тогда, если х* s А и хк -> х°, то х” = х° для
всех к > А, где N достаточно велико и равенство (1) выполня-
ется автоматически.
Таким образом, если х° есть изолированная точка А, то функ-
ция, определенная на А, необходимо непрерывна на А в этой
точке.
Если функция /, определенная на А, непрерывна в любой
точке А, то говорят, что / непрерывна на А.
Докажем две теоремы, выражающие замечательные свойства
функций, непрерывных па ограниченном замкнутом множестве;
они обобщают соответствующие свойства непрерывных функций
от одной переменной, заданных на отрезке.
Теорема 1. Функция f, непрерывная на замкнутом огра-
ниченном множестве А, ограничена на нем.
246 ГЛ. 7. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ. МНОГИЕ ПЕРЕМЕННЫЕ
Доказательство. Допустим, что она не ограничена на А;
тогда для любого натурального к найдется такая точка х* е А,
что
\f(xh')\>k (к =Л, 2, ,.(2)
Полученная последовательность {xft) ограничена. Из нее мож-
но выделить подпоследовательность {xft ), сходящуюся к некото-
рой точке х"еЯп. Вследствие замкнутости А точка х°е А, а в си-
лу непрерывности / в х° на A lim f(xh ) = /(х°), и мы получи-
xft,-»x°
ли противоречие с неравенствами (2).
Теорема 2. Функция /, непрерывная на замкнутом ограни-
ченном множестве А, достигает на нем своего максимума и ми-
нимума.
Доказательство. Из предыдущей теоремы известно, что
/ ограничена на А. Поэтому она имеет на А конечные точные
нижнюю и верхнюю грани:
inf/(х), Af = sup/(x).
хеA	хе а
Из свойства верхней грани следует, что для любого натурально-
го к найдется точка х'1 е А такая, что
(А-= 1,2, ...).	(3)
Полученная последовательность {хк} ограничена, и потому из
нее можно выделить подпоследовательность (х |, сходящуюся к
некоторой точке х°. В силу замкнутости А точка х‘е Л ив силу
непрерывности f на A lim / (х 3) = / (х°). С другой стороны, из
х^7-»х°
(3) следует, что этот предел должен равняться числу М. Но
тогда
/ (х°) = М = max f (х).
хеА
Аналогично доказывается существование точки y°sA, в ко-
торой f достигает минимума на Л:
/ (у0) = m = min / (х).
хе А
Рассмотрим снова пока произвольное множество А с R и оп-
ределенную на нем не обязательно непрерывную функцию /, но
ограниченную на Л.
Зададим число б > 0 и введем величину
и (б) = и (б, /) = sup |/(х') — / (х") |,	(4>
|х'—х"|<6
х',х"еА
§ 7.10. СВОЙСТВА НЕПРЕРЫВНЫХ ФУНКЦИЙ
247
называемую модулем непрерывности f на множестве А. В пра-
вой, части (4) взята точная верхняя грань абсолютных величии
разностей значений /, соответствующих всевозможным парам
точек х', х" ® А, отстоящих друг от друга на расстоянии мень-
шем, чем 6.
Модуль непрерывности есть функция от 6, очевидно, неотри-
цательная. Она не убывает, потому что если 0 < б < б,, то
<о(б)= sup |/(х') — /(х")К sup |/(х') — /(х")| = «(6J.
|х'—х"|<6	|х' —
х',х"еА	х',х"ел
Поэтому существует предел
со (0 4- 0) == lim о) (6) = Х^ 0.	(5)
6->о
в>0
По определению полагаем далее со(0) — X.
Теорема 3. Для любого е>0 найдется такое 6>0, что
каковы бы ни были х', х" <=А, |х' —х"| < б, выполняется нера-
венство
1/(х') — Дх" )1 < Х+е,
где число X определено в (5).
Доказательство. Допустим, что теорема неверна. Тогда
существует такое е0 > 0, что для любого натурального к найдут-
ся точки х^, хй е А такие, что | хй — хй | <1//с, в то время как
I / (хл) — / (хл) | > ^ + е0- Но тогда
со (1//с) > | / (а-л) — / (4) | > X + е0
(1 \
-г I X + е0, что невозможно.
* /
Введем определение:
1)	Функция / называется равномерно непрерывной на мно-
жестве А, если ее модуль непрерывности со (б) на А стремится
к пулю при 6 -*• 0, т. е.
со (0 + 0) — lim со (б) = 0.	(6)
6^0
Приведем другое эквивалентное определение.
2)	Функция /называется равномерно непрерывной на А, если
для любого е>0 найдется такое б > 0, что для любых х', х" е=
е=- А с |х' — х" I < б имеет место |/(х') — Дх" )| < е.
Определение 1) влечет за собой 2) в силу теоремы 3, где на-
до положить X — 0. Наоборот, если имеет место 2), то, задав в >
> 0 и подобрав б > 0 так, как это сказано в 2), получим
и (б) = sup | / (х') — / (х") | < е,
х',х"<=А
|х'~х"|<в
и так как со монотонно не убывает, то отсюда, следует (6),
т. е. 1).
248 ГЛ. 7. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ. МНОГИЕ ПЕРЕМЕННЫЕ
Докажем теперь важную теорему.
Теорема 4. Функция f, непрерывная на ограниченном
замкнутом множестве А, равномерно непрерывна на нем.
Доказательство. Допустим, что теорема неверна. Тогда
существует е0 > 0 такое, что для любого натурального к найдет-:
ся пара точек
Хй, х" е .4,	| Хй — Хй I < 1/к,	(7)
для которых
1/(хй) — /(хй)|>е0.	(8)
В силу ограниченности последовательности {хА} и замкнутости
А, существует подпоследовательность (хйр, сходящаяся к неко-
торой точке х’е .4: х^ -> х°. В силу (7) тогда и х^ -> х°, и пото-
му вследствие непрерывности / в х°,
lim | / (хй;) — / (хЦ | = |/ (х°) — / (х°) | = О,
fej-»oo	J
что противоречит (8).
Рассмотрим функцию /, заданную на множестве ,4ейа. Будем предпо-
лагать, что она ограничена на А. Пусть х° е А и б > 0. Обозначим через
Р« шар |х — х°| б с центром в х° радиуса б и положим М6 = sup /(х),
xsAVe
m. = inf /(х). Очевидно, что Ма есть невозрастающая, а т6 — неубываю-
x=AVg
щая функции от б, поэтому разность Ж — те, есть невозрастающая функция
от б. Следовательно, существует предел
lim — mA = со (х°),
6>о
который называют колебанием функции f в точке х°. Нетрудно доказать,
следующую тёорему:
Теорема 5. Для того чтобы определенная на замкнутом ограничен"
ном множестве А функция f была непрерывной на А в точке х°е*4, необ-
ходимо и достаточно, чтобы ее колебание в этой'точке равнялось нулю
(<о(х°)=0).
Докажем еще теорему:
Теорема 6. Пусть А есть замкнутое ограниченное множество и
X > 0. Тогда множество Е\ тех точек хе А, для которых <о(х) А,
замкнуто.
В самом деле, если х^-^х0 и <o(xft) A (k = 1, 2, ...), то х°е.4 и,
кроме того, если Р«(х0) есть некоторый шар с центром в х° радиуса б, то
найдется такое к, что точка xft будет находиться строго внутри Та(х0). Но
тогда можно указать шар Р0(х'1) с центром в xft и настолько малого радиу-
са, что
Г0(х*) е= Т„(х0),
и, следовательно,
Mt,(х0) — m8(x°) 5г Ма(хк) — ma(xk) > (ofx") > А.
Таким образом, Мо (х°) — тб (х°) >А для любого шара Тб(х°). Но тогда:
<о(х°) >А.
§ 7.10. СВОЙСТВА НЕПРЕРЫВНЫХ ФУНКЦИЙ
249
Пример 1. Множество £2 называется выпуклым, если вместе с лю-
быми его двумя точками принадлежит Q и отрезок, их соединяющий.
Для выпуклого множества Q имеет место неравенство
со (61 + ба, 7) со (61, /) + со (6а, /)	0 < 61, 6а.	(9)
Действительно, если х^ х" s Q, |х'— х"| < 6t + 6а, то на отрезке, соединя-
ющем х' и х", можно указать точку х такую, что |х' — х| < 61, |х" — х| <
< ба. Поэтому для 61, ба > 0.
со(61 + ба;/)= sup |/(х')-/(х")|<
< sup I / (х') — / (X) 1+ sup |/(х") —/(х)1 = со(бг/)+со(б ,7).
lx'-хКб!	|х"-х|<б2	1	2
где верхние грани распространяются на произвольные х, х', х" s Q, удов-
летворяющие написанным неравенствам. Случаи 61 = 0 и ба = 0 получа-
ются переходом к пределу. Пз (9) следует неравенство
со(тб) ягсо(б)	(10)
при любом натуральном т.
Пример 2. Из (9) и монотонности <о следуют неравенства
0<со(б2, /) -<о(61, 7) < со (ба-б,, /), 0 < б, < б2,	(И)
откуда видно, что to(Z, 7) есть непрерывная функция от t 0, если / не-
прерывна на замыкании ограниченной выпуклой области Q.
Пример 3. Функция (Дирихле), равная нулю на рациональных точ-
ках отрезка [0, 1] и единице на иррациональных, разрывна во всех точках
[0, 1] относительно [0, 1], но это не мешает ей быть непрерывной на мно-
жестве А рациональных точек (относительно А).
Упражнения.
1. Показать, что модули непрерывности со (£) функций
1)	}х (0	х	1) (см. начало § 15.5);
2)	х2 (0	х	1);
3)	sin х ^0 х г.С'
4)	sin-j(0< | .t| < 1);
5)	sin х (—оо < х < оо)
определяются равенствами:
1)со7) =	2)ф(0 = 11-(1-<>2
' I 1	(l<t);	I	1	(l<z);
3)	<0 7) = fsi“г (0<*<я/2)’ 4)co(t)=2	(0<t);
5)Ы(£)= 2sH (0<«Сл),
[ 2	(л<:«).
2.	Показать, что если функция со (t) (г > 0) непрерывна при t = 0 и
удовлетворяет условиям
0 sg со(62) — со(61) < со(б2 — 61) (0 < 61 < б2),
то она есть модуль непрерывности самой себя.
250 ГЛ. 7. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ. МНОГИЕ ПЕРЕМЕННЫЕ
3.	Расстоянием точки х’б Я до множества Е сП называется число
г (х°, Е) = inf I х0 - х I = inf 1 / у (х _ А»
xSE	хея у ~ 1	3
Здесь и далее Е, Et, Е2, F — непустые множества.
Доказать, что если Е — замкнутое множество (ограниченное или неогра-
ниченное), то расстояние г(х°, Е) достигается в некоторой точке у е Е,
т. е. г (х°, Е) = min | х° — х | = | х° — у I.
XSE
4.	Доказать, что расстояние г(х°, Е) есть непрерывная функция от х°.
5.	Расстоянием между двумя множествами Е, и Ег называют число
г (Е,Е) = inf |х'-х"|.
1	1 x'SEj
х"5Е2
Доказать, что если Ei и Е2 — замкнутые множества и одно из ппх. ог-
раничено, то существуют две точки у е Ei и ze Е2, для которых эта ниж-
няя грань достигается, т. е. г	Е ) — min I х' — х" | = | у — z |.
х'еЕ1,х"еЯя
Таким образом, если Ei и Е2 не пересекаются, то г(Е,, Е2) > 0.
6. Доказать, что если F замкнутое, a Q открытое ограниченное мно-
жество и FcQ, то найдется в > 0 такое, что множество F* точек х, рас-
стояние которых до F не превышает в, принадлежит Q.
§ 7.11. Продолжение равномерно непрерывкой функции.
Частная производная на границе области
Теорема 1. Если функция f равномерно непрерывна на незамкнутом
множестве А, то ее можно продолжить на А — А, и притом единственным
образом, так, что полученная (продолженная) определенная на Л функция
будет непрерывной на А.
Доказательство. Пусть № е Д — А, таким образом, х° есть пре-
дельная точка А. В силу равномерной непрерывности f па А для любого
в > 0 найдется 6 > 0 такое, что
|/(х')-/(х")| < s	(1)
для всех х', х" е А, для которых
|х'-х"|<6.	(2)
По для точек х', х"е.4, для которых |х' —х0|, |х" —х°| < 6/2 выполняет-
ся неравенство (2), а поэтому и (1). В силу условия Коши тогда существу-
ет предел / на А в точке х°. Естественно его обозначить через /(х°). Этим
наша функция f теперь уже определена на А.
Пусть теперь х0 и х0 — произвольные точки А такие, что
|х'-х"|<6.	(3)
Тогда найдутся две последовательности точек хй, хй е А таких, что
' | хй -- хй | < 6 И хй -► х', хй -► хй (к-*- оо). Для них для любого к выпол-
няется неравенство | / (хй)— /(хй) |< 8» которое после перехода к преде-
лу -при к -+ оо превращается в соотношение
|/ (хо) — ^(хо) Г<	&
§ 7.12. ВЛОЖЕННЫЕ ЦРЯМОУГОЛЬНИКИ. ЛЕММА БОРЕЛЯ
251
Мы доказали, что для любого е > 0 найдется б > 0 такое, что коль
скоро х0, х# е А и выполняется неравенство (3), автоматически имеет мес-
то неравенство (4)'. Иначе говоря, мы доказали, что продолженная функ-
ция / равномерно непрерывна на А. Но тогда она непрерывна в любой
точке А.
Другого удовлетворяющего условию теоремы продолжения не может
быть, потому что если бы мы в какой-нибудь точке х’еД-Л положили /
не равной пределу lim / (х), то / была бы разрывной в этой точке. Тео-
рема доказана.
Пусть С с Я - открытое множество и (7 — его замыкание, а / — не-
прерывная на С функция. В некоторых точках границы Г множества G
может оказаться невозможным задать ту пли иную частную производную
от /. Например, если G есть круг о: хг + у2 < 1, то в точке А = (0, 1) его
границы не имеет смысла производная /ж от определенной на о функции
f(x, у),-—соседние с А точки в направлении оси х не принадл'ежат а. Од-
нако иногда можно ввести обобщенное понятие частной производной от /
по непрерывности. Если наша функция / не только непрерывна на С\_но
df '
имеет на G частные производные (/ = 1, ..., п), равномерно непрерыв-
ные на G, то, пользуясь теоремой 1, эти последние можно продолжить по
непрерывности и на С — G — Г — границу G. Эти продолжения обычно на-
зывают соответствующими частными производными от / на Г, хотя это уже
будут, вообще говоря, обобщенные производные. Но если какая-нибудь
точка = Г допускает определение обычной односторонней производной
(правой пли левой), то последняя совпадает в этой точке с соответствую-
щей обобщенной производной. Чтобы убедиться в этом, обратимся к на-
шему примеру с кругом а. Для точки В = (х°, у0), х0 > 0, |у°| < 1 гра-
ницы о имеет место
/ (х° — к, у9)—- f (х9, у°)	, (-0	0	, , 0 о\ h n ~ п
—:------~t-----------= 4 Vх — ®h> У > fx > У )•	h>0,
где справа в качестве предела стоит обобщенная производная. Но тогда,
очевидно, существует равная ей обычная левая производная от / в (г°, у0).
В дальнейшем (см. § 19.8, теоремы 1, 3, 4) доказывается, что если
(п— 1)-мерная граница Г области G (или ее часть 7) непрерывно диффе-
ренцируема г раз, то функцию /, равномерно непрерывную на G вместе со
своими производными до порядка г включительно, можно продолжить за
пределы Г (или у) с сохранением дифференциальных свойств. В частности,
во всех точках Г (или 7) продолженная функция f(x) будет иметь обычные
непрерывные частные производные до порядка г включительно.
§ 7.12. Лемма о вложенных прямоугольниках
и лемма Бореля
Лемма. Пусть задана последовательность прямоугольников
Xj bj, у = 1, ..., и] (к = 1, 2, ...),
вложенных друг в друга (Д*=>Дк+1), с диаметром dk =
/ iw-«:
стремящимся к нулю (du -> 0). Тогда су-
252 ГЛ. 7. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ. МНОГИЕ ПЕРЕМЕННЫЕ
ществует единственная точка х° —	 • •,	Я, принадлежа-
щая всем Ал.
Д о казательство. Из условия леммы следует, что при
каждом / = 1, .... и отрезки Ь^] (Ас = 1, 2, ...) вложены
друг в друга и длина их стремится к нулю при к -> <», поэтому
в силу аксиомы о вложенных отрезках для каждого / существу-
ет единственное число х°, принадлежащее всем отрезкам bf ]
(k — i, 2, ...) одновременно. Точка х°, имеющая своими коорди-
натами эти числа, очевидно, и есть та, о которой говорится в
лемме.
Лемма Боре ля*). Пусть некоторая бесконечная система
открытых множеств V (например, открытых кубов или шаров)
покрывает замкнутое ограниченное множество Е с R. Тогда
в этой системе существует конечное число указанных множеств
V, все же покрывающих Е.
Доказательство. Так как множество Е ограничено, то
существует куб А <=: R, которому принадлежит Е. Допустим, что
лемма неверна. Разделим А па 2’1 равных частичных кубов. Тогда
среди последних, очевидно’, обязательно найдется такой, который
мы обозначим через At, что теорема для множества E\t также
неверна (любая конечная система множеств V не покрывает
EAJ. Разделим Aj на 2’1 равных кубов; среди них найдется снова
такой, который мы обозначим через Д., что для множества ЕДг
теорема неверна. Продолжив этот процесс неограниченно, полу-
чим систему включенных друг в друга кубов Aj зД2 =>..., диа-
метры которых стремятся к нулю, таких, что для множества ЕАк
(k — 1, 2, ...) теорема неверна. Существует (в силу предыдущей
леммы) точка х° е R, принадлежащая всем А». В силу замкну-
тости Е она принадлежит Е и потому покрыта некоторым мно-
жеством Vo нашей системы. Так как Vo — открытое множество,
то Ал <= Vo при некотором достаточно большом к. Следовательно,
ЕД„ с
Мы пришли к противоречию, потому что, с одной стороны,
EAk покрывается одним множеством V», с другой,— не сущест-
вует никакой конечной системы множеств V, покрывающих ЕД
§ 7.13. Формула Тейлора
Рассмотрим функцию /(х) =/(л.,, ..., х„), заданную на откры-
том множестве Q с ВЛ и имеющую па Q непрерывные частные
производные того порядка, который нужен, чтобы имели смысл
формулы, о которых будет идти речь ниже.
*) Э. Борель (1871—1956) — французский математик.
§7.13. ФОРМУЛА ТЕЙЛОРА
253
Зафиксируем точку х° = (ж®, ..., я®) сЙ и пусть б > 0 есть
достаточно малое число, чтобы все точки х = (xt, ..хл) из ее
окрестности
|х° —х| = j/" SUj — ^)г<6
принадлежали Q.
Введем вспомогательную функцию
А(«) = /(х° + Цх — х0)) = f (z“ + t(x1 — х°), .,4 + t(xn — xty)
от переменной t e [0, 11. Таким образом, мы временно фиксируем
еще точку х из окрестности (1). Однако впоследствии х будем
считать переменной. Очевидно, что
F(0)=/(x°), Р(1) = /(х).	(2)
Согласно теореме о производной сложной функции
F(t)=2(^-^)^U° + t(x-x«)),	(3)
j=i	1
Таким образом,
п
Г(О) = 2^-^)^(х0),	(4)
j-i	’
Далее, ’	.	'
"	п	2{
F" W = 2 (xi ~ 2 ~	(x° + Z <x “ x°)) =
Г-1	7i—1	7 ft
n n	2
= 2 2 Co ~	- x°) дг£" <x° + *<x — x°)) <5>
j=l h=l	7	.
И
n n	2
F"(°)=22(^-^)(^-^)^r(x°)’	(6>
j=i h=i	i h
Рассуждая по индукции, мы придем к производной
() - 2 •   2 h - А)    (^, - О	(’>
,1=i	7(=1	•	4	>	3i	it
и ее значению при t — 0:
(0) = 2 ••‘2	дх f<<XQX •	(8)
?!=! 7t=l '	'	31 Ц
254 ГЛ. 7. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ. МНОГИЕ ПЕРЕМЕННЫЕ
Пусть f имеет на Q непрерывные частные производные до
порядка I включительно. Тогда F имеет непрерывные обыкно-
венные производные по t до того же порядка I включительно.
Поэтому имеет место разложение по формуле Тейлора для одной
переменной:
г-i h
Fw==2b-^(ft>(°) + r'W’
о
где гДО = (i!/Z!)^(!,(0i) (О<0<1) и 0 зависит от х и С Отсюда
г-i
F (!) = 2 АТ (°) +	С1) = IFW О)- (9)
О
Следовательно,
/ (х)—2 а! 2 • 2 —^i) • • • —х°зкудхд
й=о 7Х=1	)р=1	'	>1‘" ' >k 
(Ю)
(х)=12 • • • 2 К - h W+e(rx0)) •
11 j—!	V 31	V 11	3‘)	0Х^    dX3i
(H)
Это и есть формула Тейлора функции п переменных в окре-
стности точки х° с .остаточным членом Ri в форме Лагранжа.
h п
Надо иметь в виду, что среди членов кратной суммы ,2... 2
51=1 jft=l
в (10) имеются равные между собой. Напишем несколько членов
формулы Тейлора в случае двух переменных:
R1 - 'П'	“ *1) 5^ +	— Х°^	(0 < 0 < !)•
§ 7.13. ФОРМУЛА ТЕЙЛОРА
255
Здесь применено символическое обозначение:
dhf \
Знаки ( )0 ( )в обозначают, что в f вместо х подставляется
х", соответственно х° + 0(х — х°).
Подобным образом в случае трех переменных
1—1
/ 7i, х2, х3) =	- Г(Х1 — а-?) — + (х2 — 4) — +
Л=0	11	2
+ (x3-x^±-]kf + Rl,
ахз]о
Ri -1\ |(*i	^i) дх^ -+
+ — 4) о < в < 1,
°хз!е
где употребляемая символика, надо полагать, уже понятна чи-
тателю.
Формулу Тейлора можно еще записать в следующей ком-
пактной форме:
/(*) = 2	/№) (*°) + Л/,
Ri = 2	fw (х° + 0 (х — х0)),	(О<0<1),
|k|=Z	'	.
где |кГ=2/сь к! = Д! ... кп\ (0! = 1), /*> (х) =
1	. дх^
(х — х°)к = (хг — x*)hl ... (х„ — x°n)hn.
Формула Тейлора очень часто употребляется в случаях I =
= 1, 2. При 1=1 она после переноса в левую часть равенства
/(х°) имеет вид
/(«)-/ (х°) = 2 О (^ ~ ^°)>	(12)
j=i' i'x°+e(x—х°)
и представляет собой обобщение одномерной формулы конечных
приращений Лагранжа на n-мерный случай.
При I = 2 она записывается в следующем виде:
п
/W=7(x°) + 2(£:1 (xi-xfi + R2,	(13)
0=1 ' I/O
256 ГЛ. 7. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ. МНОГИЕ ПЕРЕМЕННЫЕ
J?2
'Г/ \
Ч^хо+0(х_хо)
(xk — Z®) (xi — X°i) =
=422(arh) к*~~+ер2>
А=1 1—1 \	‘/О
(14)
п
где е -* 0 при р2 = У, (xj — xf)2 -*• 0.
j=i
Действительно, в силу непрерывности рассматриваемых про-
изводных
d2f
дхкдх1
х°+0(х-х°)
д2! А
Ы
где еы -> 0 при р-* 0, поэтому, полагая r] = maxiewf, заключаем,
л,г
что второе слагаемое в правой части (14) не превышает по абсо-
лютной величине
я 2 21 хк — I к — хЧ | = т] (2 к* — 4 |Г < w2-
Л I	и	/
В таком случае его можно записать в виде ер2, где I е I < ин -* О
(р ->• 0).
Последнюю сумму в (14) можно записать в виде А (£) —
п п / \
--= 2 2 где akl-=alk= [^k-] ,	— 4) (к =
А=1 1=1	\ * ’ Чо
=1, ..., п).
Таким образом, Л(§) есть квадратическая форма от п пере-
менных. Если считать, что = xh — х^ = dxk, то
А (£) = <^70 = 22 (дГд^ \ dx^dxi
к I \ к г/О
есть уже знакомый нам второй дифференциал от / в точке х°,
соответствующий независимым дифференциалам dxi, ..., dxn.
Заметим еще, что остаток (9) формулы Тейлора функции f (Z) от одной
переменной можно записать в интегральной форме (см. § 9.17):
t
Ч (t) = -(1 Д  J « - «)'-^(г) (н) du.
О
Ему соответствует в силу (7) следующее выражение для остатка формулы
Тейлора функции /(г) многих переменных:
*	п	п
«z(x)='-i(i)=7r1i)rj(1-“)i_12	2
о	*1=1	*1=1
S 7.14.'ФОРМУЛА ТВЙЛОРА С ОСТАТКОМ В ФОРМЕ ПЕАНО
257
dlf (х° 4- и (х — х0))	—— х 1к Г
дх^ ...dXj du = l 2^--------------sj-^- 1(1 — «),-1/(к)(х°Ч-и(х—х®))<7м.
1	'	|к|=(	’ J
(15)
В силу непрерывности подынтегральных функций в (15) по (и, х) са-
ми интегралы суть непрерывные функции от параметра х (см. § 13.14, тео-
рема 1). Больше того, если наша функция / имеет в окрестности хэ не-
прерывные производные (f-f-s)-ro порядка, то эти интегралы можно диф-
ференцировать (под знаком интеграла) s раз (см. § 13.14, теорема 3).
§ 7.14. Формула Тейлора с остатком в форме Пеано.
Единственность
Пусть в. окрестности ЙСЯП точки х° = (я®, ..., z®) задана
функция /(х) = /(ж,, .. ., хп) и для всех х из некоторого шара
|х — х° | < 6 (принадлежащего Q) имеет место представление
(1)
где
Pn (х) = 2 ak (х — Х°)А
п	п	\	(2)
[ ач....д , | к I = 2 (X — х°)А = П	);
\ 1 1=1/
тогда говорят, что функция / разложена в окрестности точки к*
по формуле Тейлора с остаточным членом в форме Пеано. На-
пример, мы знаем, что если функция / имеет в окрестности точ-
ки х° непрерывные частные производные до порядка N включи-
тельно, то она представима по формуле (1).
Докажем, что представление функции Дх) по формуле (1)
единственно, иначе говоря, если' известно, что / наряду с (1)
представлена в-виде
/(х).--= 2 ^(x-x«)k + o(piV) (р->0, |х —х»|<6),	(3)
|к|<У
тде ah — ahl..ftn— постоянные коэффициенты, то dh = ah (| k |
В самом деле, вычитая (3) из (1), получим равенство
Оз 2 “к (X — х°)к + о (р*) (р-еО, ак = (ак — о')),	(4)
|k|^W
справедливое для |х — x°|<fi. Зафиксируем точку х и введем
переменную точку zt = х“ + t(x — х’), зависящую от t <= [0, 11.
Очевидно, что z( — х" = t(x — х®") и |z( — х“| = Вх — х’|. Поэтому
если в (4) заменить х на z(, то получим
0^ 2 “к (х — х°)к?к| 4- о (tN) (7->0).
|к|-<^
258 ГЛ. 7. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ. МНОГИЕ ПЕРЕМЕННЫЕ
Полученное равенство можно записать в виде
7V
0=2 tl 2 «к (х — Х°)к 4- о (tN) (7 —» 0).
7- О |k|Z
Но тогда (см. § 5.9, лемма) имеет место
2 ак (х — x°)ft = 0 (7= 0,1, ...,7V),	(5)
|kl==(
какова бы ни была точка х шара |х — х°| < б. Итак, равенство
(5) имеет место тождественно для всех х из указанного ша-
ра. Если от левой части (5) взять производную порядка р =
= (р,, ..., р„), Ipl = I < N, то получим р!  ар = 0, откуда а р= 0,
что и требовалось доказать.
Пример. При х, у -► 0
Ф (»>'!/) =	у) = [1 + ж + / + о (z2)] [1 + у + у2 + о (р2)] =
= 1 + (х 4- у) + (z2 4- ху 4- у2) 4- о (х2) + х2у 4- ху2 4- х2у2 о (у2) =
= 1 + ('х 4- у) 4- (ж2 4- ху 4- у2) 4- о (р2) (р -> 0);
мы получили разложение функции ф в окрестности точки (0, 0) по фор-
муле Тейлора с остаточным членом о(р2), р->0 в форме Пеано.
§ 7.15. Локальный (абсолютный) экстремум функции
Пусть на открытом множестве й <= Rn задана функция /(х) —
===!./(х,, • • ч *Гп).
Говорят, что / достигает своего (абсолютного) локального
максимума в точке х° е Й, если существует положительное число
б>0 такое, что для всех точек х, для которых
функция /(х) определена и подчиняется неравенству /(х) </(х°)7
Аналогично, по определению, f достигает в х° своего (абсо-
лютного) локального минимума, если существует ее окрестность
(1), на которой функция / определена и удовлетворяет неравен-
-ству/(х) >./(х0);
Локальный минимум или максимум называют локальным эк-
стремумом.
Если функция f достигает в х° локального экстремума и име-
ет в ней частные производные первого порядка, то последние
должны в этой точке равняться нулю:
(Л =^(4...,4) = о (7 = 1,...,п),
\^xi/o dxi '	'
.потому что тогда для каждого j функция
/ (4, • • • । 4-1, х}, х°з+ъ • • , 4)
i 7.15. ЛОКАЛЬНЫЙ (АБСОЛЮТНЫЙ) ЭКСТРЕМУМ ФУНКЦИИ
259
от одной переменной X) имеет локальный экстремум в х® и ее
о	/ df \
производная по х} при Xj = Xj, равная К— , должна равнять-
\° i/o
ся нулю’.
Из сказанного следует, что если мы хотим отыскать точки
х° е Q, где f достигает локального экстремума, мы должны их
искать среди точек №Й, где / либо пе имеет какой-либо ча-
стной производной либо имеет их, но они. равны нулю. Нас будет
интересовать второй случай. Покажем, как можно, разлагая
функцию / по формуле Тейлора, узнать, имеет ли па самом
деле / в указанной точке х" экстремум и какой (максимум иди
минимум)?
Пусть функция f имеет в окрестности |х — х°| <б непрерыв;
пые производные второго порядка и ее первые производные все
обращаются в нуль в точке х°. Тогда ее разложение по формуле
Тейлора (при I = 2) может быть записано так:
/(*) — /(х°) = S S dhilkh + ер2;	' (2)
k=i i=~ 1
ам = alh = Y	; lk^xh-xnk,_ е->0 при р «= ]/
п п
Квадратическая форма А(%) = S 2 может обладать
1-1
одним из следующих четырех свойств:
1)	форма Л(£) строго определенна положительно, т. е. ЛД) >
> 0 для любых £ = (|„ g2, ..с р > 0;
2)	форма Л(|) строго определенна отрицательно, т. е. Л(§) <
< 0 для любых £ с р > 0;
3)	форма Л(£) определенна, но не строго, т. е. А(§) > 0 для
всех или Л(£)«£0 для всех £ и при этом существует точка
V = (?i, • • -X) с р' = jUfcS>° такая, что Л Д') = 0;
4)	форма ЛД) не определенна, т. е. существуют такие и £"»
что Л(Г)>0, ЛД")<0.	•
Докажем, что в случае 1) функция f достигает в х° локаль-
ного минимума, в случае 2) — локального максимума, в случае
же 4) в точке х° заведомо нет экстремума. Наконец, в случае
3) вопрос остается открытым — при данной информации функ*
ция может иметь экстремум, но может и не иметь его.
Положим для £ с р > 0 ц=Д/р —(Цо • • •, Цп), т. е. гь=Д,/р
(/ = 1, ..., п). Тогда равенство (2) можно записать в виде '
/(х)-/(х“)=р8(Ф(п) + е),	(3)
260 ГЛ- 7- ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ. МНОГИЕ ПЕРЕМЕННЫЕ
п п
TPS> Ф(ч) = 2 2 ЯыПьПь
Л1 11
п
Таким образом, функцию Ф(э]) мы должны рассматривать на
шаровой поверхности (4), представляющей собой ограниченное
замкнутое множество а. Очевидно, что Ф(ц) непрерывна на а.
В.случае 1) Ф(ц) > 0 на о. В силу того, что а—-замкнутое
Ограниченное множество и Ф(ц) непрерывна на нем, существует
минимум min Ф(ц) — т > 0, ц е а.
Далее, так как 8 -> 0 при р 0, то существует достаточно
малое 6>0 такое, что для всех р<6 lei < т/2. На основании
(3) тогда для указанных р>0 / (х)— /(x°)>p2(zn-------у-) —
=	р2>0, т. е. в точке х’ функция / достигает локального ми-
нимума.
Утверждение 2) доказывается аналогично. Если форма строга
определенна отрицательно, то функция Ф(ц) < 0 на а, следова-
тельно она достигает своего (отрицательного) максимума на о,
который мы обозначим через — М (М > 0). Но для достаточно
малого 6 > 0, если р < 6, то lei <Л//2, поэтому для 0<р<&
/ (х) — / (х°) < р2 М +	~ р2 < 0,
т. е. / имеет в х° локальный максимум.
В случае 3) наша форма для некоторой точки 0 обра-
щается в нуль, но тогда в силу однородных свойств формы для
любой точки вида х' = aV, где а — любое число, она также долж-
на равняться нулю. Это показывает, что для всех указанных
точек х' наша форма равна нулю и, следовательно, /(х’+х') —
— /(х°) = ер2. Но знак 8 неизвестен, поэтому мы не можем ска-
зать, имеет / в х° экстремум или нет.
Единственное, что можно сказать при этих условиях, что
если форма тождественно не равна нулю и положительно (пе
строго) определенна, то в х° не может быть максимума, или,
если она тождественно не равна нулю и отрицательно (не стро-
го) определенна, то в х° не может быть минимума.
В случае 4) опять удобно обратиться к равенству (3). В этом
случае, по условию, существует точка для которой форма
положительна, и точка V, Для которой форма отрицательна,
но тогда для соответствующих им точек ц', ц" будут выпол-
няться неравенства Ф(ц') > 0, Ф(ц")<0 и при малых р ока-
жется, что Ф(ц') + е>0, Ф(ц") + е < 0, т. е. в любой малой
окрестности х° имеются точки х' и х", для которых /(х')>/(х')
и /(х") </(х°), а это означает, что в х* заведомо нет экстремума.
§ 7.15. ЛОКАЛЬНЫЙ (АБСОЛЮТНЫЙ) ЭКСТРЕМУМ ФУНКЦИИ
261
Составим ряд главных миноров квадратической формы Л(£):
Ai — Д2 —
ан
Й21
й12
$22
ап
аП1
а1п
ап»
• ••; Ап
Согласно теореме Сильвестра из теории квадратических форм
1)	если Ai>0, Д2 > 0, ..., Д„>0, то форма строго положи-
тельно определенна (случай 1);
2)	если А, < О, Д2 > О, Д3 < О,	(—1)”Д„>0, то фопма
строго отрицательно определенна (случай 2);
3)	Если At >0, Д2 0, Д„ > 0 или А, =5 0, Д2>0, ...
..., (—1)"Дп>0 и имеется j, при котором Д^ = 0, то форма за-
ведомо не строго определенна (случай 3);
4)	во всех остальных случаях форма неопределенна (слу-
чай 4).
В двумерном случае равенство (2) выглядит следующим об-
разом:
/(*n х.г) - / (z«, z°) = V2 (Л?2 +	+ C$) + ер2,
в ( ffif С =
Пт2 ’	\ dx, Ox. I ’	I ,,T2 I *
V l/o	\ 1 2/0	\°^2/0
и соответствующий Сильвестров ряд состоит из двух членов:
Д1 = Л, Д2 = |^| = АС — В?.
Следовательно,
а)	если Л > 0 и АС — В1 > 0, то / имеет в х° минимум;
Ь)	если Л < 0 и АС — В2 > 0, то максимум;
с)	если АС — 52 < 0, то нет экстремума;
d)	если АС — В2 — 0, то неизвестно, есть ли экстремум.
Впрочем, эти факты легко получить непосредственно из пред-
ставления (£ = (g, ц) ¥= 0)
Л (?) = Atf + 25|т) + Ст]2 -	(Л=/=0).
В случае а), если |т]| > 0, то Л(?) > 0, а если ц = 0, то должно
быть ? =А 0 и тогда снова Л(?) >0.
В случае Ь), если |ц I >0, то Л(?) <0, а если ц =0, то должно
быть £	0 и тогда Л(?) < 0.
В случае с) и А ¥= 0 можно, с одной стороны, подобрать (?, ц)
так, что и (Л£ + 5ц) = 0, а с другой, положить г] = 0 и
?>0. В обоих случаях будет Л(?) ¥= 0, но разных знаков. Если
же Л — 0, но С ¥= 0, то приходим к тем же фактам заменяя
Л на С.
262 гл. 7. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ. МНОГИЕ ПЕРЕМЕННЫЕ
В случае d), при Л#=0 А(£) =. (Ag + 5т])2/Н, и можно указать
не нулевую точку £ = (|, ц) такую, что А(£)=0. Тот же факт
получим при С ¥= 0, заменяя А на С. Наконец, если А = С = О,
то форма А(£) = В^г], очевидно, неопределенна.
Пример 1. /(.г, у) — ж3 + у3 — 9ху + 1. Уравнения — =0 —= 0
дх ’ ду
дают два решения: х = у = 3 (минимум), х = у = 0 (нет экстремума).
Пример! _/(х, г/)=х4+г/4— 2^ +	— 2 г/2 + 1. Три решения:
х — +|2, у = —(’2 (минимум); х — —У2, у = + 1'2 (минимум); х = у = 0
(случай d, но на самом деле пет экстремума).
Пример 3. f(x, у) = хг — 2ху2 Ц-у4 — у5. Решение х — у = 0 (сом-
нительный случай). С другой стороны, очевидно, f(x, у) = (х — y2)z — у5,
и так как при любом е >0 /(е2, е) = —е5 < 0, /(е, 0) = е2 > 0, то экстре-
мума в точке (0, 0) нет. Однако при любых h, к (/г2 + к2 > 0) функция
y(t) = f(ht, kt) имеет минимум при t = О!
§ 7.16. Теоремы существования неявной функции
Зададим произвольную функцию /(z, у) от двух перемен-
ных z, у. Приравняем ее пулю:
/(z, у)—0.	(1)
Множество всех точек’ (z, у), для которых выполняется равен-
ство (1), обозначим через SIR. Пусть (zr, у0)^9Я, т. е. /(z0, у0)=0.
Если не накладывать никаких условий на /, то ^множество
ЭЯ может иметь самую различную природу. Например, в случае
/(z, у) = (z — z0)2 + (у — уо)2 множество ЭЯ состоит из одной-едип-
ственной точки (z0, у0); в случае
/(z, у) = (z — zo)2 — (у — Уо)2 = (z + у -*Zo — y0)(z — У — Zo + Уо)
ЭЯ есть пара прямых, проходящих через (z0, у»). Однако часто
имеют место случаи, когда ЗЯ, по крайней мере в достаточно ма-
лой окрестности (z0, у»), представляет собой кривую, описывае-
мую непрерывной (однозначной) функцией
у = tp(z), z <= (ze — 6, Zo + б).
Возникает вопрос, как по свойствам функции f узнать, что
. имеет места именно этот случай?
Ниже доказываются две общие теоремы, отвечающие на по-
ставленный вопрос.
Теорема 1. Пусть задано уравнение
f(x, у)=0,	(1)
удовлетворяющее следующим свойствам.
Функция f определена на некоторой двумерной окрестности
й точки (z°, у0) плоскости (z, у) и непрерывна там вместе со
§ 7.16. ТЕОРЕМЫ СУЩЕСТВОВАНИЯ НЕЯВНОЙ ФУНКЦИИ
263
своими частными производными (первого порядка)', при этом*)
— =£ 0	(2)
U /(z°, у") - 0.
Пусть, далее, 24 есть множество всех точек (х, у), удовлет-
воряющих уравнению (1) (в частности, (z°, у°)е24).
Тогда, каково бы ни было Ье > 0, найдется прямоугольник
А = {|х — х('| < а, Iу — у"! < Ь), Ь<Ьа, '	(3)
принадлежащий Q, такой, что множество 24 А описывается не-
прерывно дифференцируемой функцией
у = гр(х); а-еЛ",	(4)
Д° = {|х —zol <а}.	(5)
Другими словами, прямоугольник А обладает тем, свойством,
что на егв проекции Д° па ось х можно определить непрерывно
дифференцируемую функцию (4), удовлетворяющую уравне-
нию (1):
j(x, tp(z)) sf), ze Д’.
График ее полностью принадлежит Д. Эта функция единственна
в том смысле, что любая точка (х, у) е 24Д имеет координаты,
связанные уравнением- (4). В частности, у0 = tp(z°), потому что
(х°, /) е 24Д.
Теорема 1'. Пусть задано уравнение
f(x, у) — f(xt, ..., хп, у) = 0,	(Г)
удовлетворяющее следующим условиям.
Функция / определена на некоторой окрестности Q точки
(х°, у9) = (я®, ..хпп, у°) пространства- Rn+i точек (х, у) =
= (xt, ..., хп, у) и непрерывна там вместе со своими частными1
производными (первого порядка)-, при этом
g¥<0, /(х®, у°) = 0.	(2')
Пусть, далее, 24 есть множество всех точек (х, у), удовлетво-
ряющих уравнению (!') (в частности, (х°, у“)е24).
Тогда, каково бы ни было Ь6>0 найдется в Q прямоугольник
Л ={ |х> — ж®| < а, 7 = 1, ...,п, | у — у°| < И, Ъ<Ъ9, (3')
принадлежащий Q, такой, что множество 24Д описывается непре-
рывно дифференцируемой функцией (т. е. имеющей непрерывные
*) Достаточно предполагать, что | —) = f',.(x9, у9)	0. Отсюда в силу
\ду/о и
непрерывности g следует выполнение условия (2) на некоторой ок-
рестности точки (х9, у°).
264 ГЛ. Т. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ. МНОГИЕ ПЕРЕМЕННЫЕ
частные производные)
у = ifi(x) = ф(х1( ..хп), х е Д’,
Д° = [ | х} — х° | < а, ] = 1, .. ., п\.
W)
Доказательство теоремы 1. Так как непрерывна
на области Q, то из (2), следует, что имеет один и тот же
знак всюду на Q. Для определенности пусть > 0 на Q.
Введем замкнутый прямоугольник
Д = {|х — z’l < а, \у — y’lcfe), b < fe0,	(6)
принадлежащий Q (Д й). Так как и непрерывны
df п
и -^ > 9, то для некоторых положительных констант тп^ и
на Д
тг
(7)
Функция /(х°, у) от переменной у строго возрастает на отрезке
[у° — Ъ, y’ + fe], потому что > 0 на Д, и, так как /(х°, у’)=0,
то j(x°, у" — Ь) < 0, /(х°, у" + Ь) > 0. Вследствие непрерывно-
сти / на Д, найдется положительное число а < а такое, что
j(x, у° — Ъ) < 0, ftx, у0) >0, z-е Д“ (см. (5)).
Рассмотрим теперь для произвольной фиксированной точки
х <= Д’ функцию f(x, у) от у на отрезке 1у° — Ь, у9 + Ь). В силу
,	(df \
свойств ] она непрерывна, строго возрастает > U) и имеет
противоположные знаки на его концах. Но тогда существует,
и притом единственное, у s (у0 — Ь, у" + Ь), мы его обозначим
через t|i(z), для которого f(x, гр(х)) =0.
Этим доказано существование определенной на Д’ функции
»|:(х), удовлетворяющей требованиям теоремы, если не считать,
что пока не доказана ее непрерывная дифференцируемость.
Пусть х, х + \х <= Д’, у = i|?(z) и
Ду => гр(х + Дх) — if>(x).
Тогда, применяя формулу конечных приращений Лагранжа
для функции двух переменных (см. § 7.13, (12)), получим
0 = / (х -f- Ьх, у + Ду) — / (х, у) =
= f'x (х + 0Дх) у + 9Ду) Дх + /у (х + 9Дх, у + 0Ду) Ьу
§ 7.16. ТЕОРЕМЫ СУЩЕСТВОВАНИЯ НЕЯВНОЙ ФУНКЦИИ
265
или
	.	f'x<x +	У + 6Л.У) .	/о. Др =		Az.	(8) /v(x+0Ax, !/ + 0М/)
Учитывая, что Д <= Д (см. (7)), получим
|/х/4| < тг!т1 на А,	(9)
следовательно,	lim Др = б,	(10) Дх-»0
что показывает, что функция у =₽ ^(х) непрерывна на Д’.
Но теперь, деля (8) на Az, мы можем перейти к пределу при
Az -» 0 и получить, что для любого ze А" существует производ-
ная
,, , /х(^, !/)
ф (Z) =----------г------
fy (*, У)
fy (*. t (ж))
(Н)
Здесь надо учесть, что /х и fy непрерывны и fy > 0 на Д’.
Мы доказали не только существование производной if>'(z), но
и важную формулу (И), с помощью которой можно вычислять
if>'(z). Непрерывность ф'Сг) непосредственно видна из этой фор-
мулы, потому что fx и fy непрерывны на прямоугольнике, а кри-
вая у — >|)(z), непрерывность которой уже установлена, не выхо-
дит за его пределы.
Доказательство теоремы 1' аналогично. Вместо х на-
до рассматривать х и считать, что ЭД, А, Д’ определяются как в
формулировке теоремы 1' и
А = ( I х-t — х” | а, | у — р° | < fe] с: Q, Ъ < Ь°.
Теперь уже имеют место неравенства
I fxj | < гп2, fy > т1 на Л,
(7')
и по аналогии доказывается существование и единственность
функции
у = гр(х) -= ^(zt, ..., z„) хеД°, (х, ф(х)) =
= (zt, ..., zn, ф(х)) е Д, (12)
удовлетворяющей уравнению (!'). Единственность понимается
в том смысле, что любая точка (х, р) е А, удовлетворяющая
уравнению (Г) имеет координаты, связанные между собой ра-
венством (12).
Пусть теперь
Ар = ф(х +'Дх) — ф(х), х, х + Дх е А’,
266 гл. 7. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ. МНОГИЕ ПЕРЕМЕННЕЕ
где x==(z1T	х„), Дх == (Д#,,	\хп). Тогда согласно формуле
конечных приращений Лагранжа для функции многих перемен-
ных (см. § 7.13, (12))
О -= / (х -f- Дх, у + Ду) — / (х, у) = 2 (х + ОДх, у +
7=1
+ еду) д^ + fy (х + едх, у + еду) Ду, о < в < 1,
и, следовательно,
п
АУ = — -Г---	1—, У fXi (X ч- 9Дх, у + еду) Axi (8')
/дх + едх, 1/ + 9Ду)
и, в силу (7'),
lim Ду = 0.	(10')
Дх-*0
Далее, считая, что Дх; 0, \х{ = 0 при /¥= i, из (8') получаем
- Ду _	f*} ('р •••’ *7-1’ *j + 0A*p *j+V	*„• !/+ 0А?)
fy(xV •••’ *j-i’	zj+1,	xn, </ + 9Дг/)’
и после перехода к пределу при Д^ -* 0, учитывая (10') и что
/яр /у непрерывны и fv > 0, получим
df i)f[x,ty (х))
/hl,	(/Г:
(/ '••••’«)•	с11')
dy . dy
rnj- (x)	’
При этом непрерывны по x, потому Что правая часть
(11') непрерывна по х.
Теорема 2. Если функция j[x, у) [соответственно /(х, у)].
удовлетворяет условиям теоремы 1 [соответственно теоремы 1')
и, кроме того, имеет на й непрерывные частные производные
порядка I, то и функция хр(;гУ [соответственно ф(х)], о которой
идет речь в теореме 1 [соответственно теореме 1'), имеет на Д’
непрерывные частные производные порядка I.
Доказательство. Дифференцируя (И) по х, получим
А/
где, конечно, всюду в частные производные надо вместо [х, у)
подставить [х, a|-(z)). Правая часть этого равенства — непрерыв-
ная функция от х, следовательно, и a|?"(z) непрерывна.
Продолжая дифференцирование, наконец, получим, что про-
изводная ^'’(х) есть рациональная функция частных производ-
§ 7.17. СУЩЕСТВОВАНИЕ РЕШЕНИЯ СИСТЕМЫ УРАВНЕНИЙ
267
пых от / до порядка I включительно и производных ф', ..ф(г-1),
непрерывность которых установлена на предыдущем этапе диф-
ференцирования. При этом знаменатель дроби, равной этой ра-
циональной функции (в силу условия /у=#0), не равен нулю.
В случае теоремы Г равенству (13) будут соответствовать
следующие [см. (11')]:
<?2ф А/	—	z. 4 л
дх.дх: =	Та	(1, 7 — 1, . . ., П).
1 3	3 у
Пример. Левая часть уравнения (у — ж)2 = 0 имеет непрерывные
частные производные, но производная по у при х = у = 0 равна нулю.
Это не мешает тому, что данное уравнение имеет единственное решение
(у — г), равное нулю при х = 0. Таким образом, теорема 1 дает только
достаточные условия для существования единственной неявной функции,
график которой проходит через заданную точку (х°, у°), но не необходимые.
§ 7.17. Теорема существования решения системы уравнений
Теорема 1. Пусть задана система уравнений
хп, у\, ...,	=	у)=0, 7 = 1; .... m, (1)
удовлетворяющая следующим свойствам.
Функции fj определены на некоторой {{п + т)-мерной) ок-
рестности й точки (х®, у®) = (ж?, ..., х'п, У], ..., Ут) пространства
Вп+т точек (х, у) = (а?7, ..., х„, yh ..., ym) и непрерывны там
вместе со своими частными производными {первого порядка) с
якобианом {определителем Якоби*))
°(/Р-
Т>(У1, .... ут) ду^
(2)
Кроме того, точка (х®, у®) удовлетворяет системе (1).
Пусть ЭД есть множество всех точек (х, у), удовлетворяющих
системе (1) (в частности, (х'°, у")еЭД).
Тогда, каково бы ни было Ьо>0, найдется прямоугольник
А = { | х, — хЧ | < a, i — 1, ..., п, | у} — у” | < Ь, 7 = 1,..., иг},
Ь<Ьв,	(3)
принадлежащий й такой, что множество ЭДА описывается непре-
рывно дифференцируемыми функциями
у, = ф/х), j = 1, ..., тп, х 6= Д",	(4)
А* — {| Xi — хЧ | <_ a; i =	(5)
Другими словами, прямоугольник А обладает тем свойст-
вом, что на его проекции А® на координатное подпространство
*) К. Г. Якоби (1804—1851) —немецкий математик.
2G8 ГЛ. 7. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ. МНОГИЕ ПЕРЕМЕННЫЕ
(zi, хп) можно определить непрерывно дифференцируемые
функции (4), удовлетворяющие уравнениям (1):
/,(х,	(х), ..., грт(х))^О, хеД°, 7 = 1, т (6)
и неравенствам |грДх)— у® | < Ь. Эти функции единственны в
том смысле, что любая точка (х, у)еВДД имеет координаты, свя-
занные уравнениями (4).
В частности,у/ = 4',(х"), ; = 1, ..., т, потому, что (х°, у0) е
е«ЙД.
Замечание 1. Можно также пользоваться такой форму-
лировкой, которая будет удобна ниже: а) точки вида
(х, у) = (х, фДх), ..., tm(x)), ХЕ Д’	(7)
принадлежат Д и удовлетворяют уравнениям (1) (т. е. (х, у)е
еВДД); других точек, удовлетворяющих уравнениям (1), в Д нет,
т. е. если-точка (х, у)еф1Д, то опа имеет вид (7) при некотором
х ё Д°.
Замечание 2. В теореме можно считать, что прямоуголь-
ник Д и его проекция Д° определяются неравенствами
А =	— -г?I <а;, г = 1, .. те; |у,- — у®| <fy, j = 1, ..т],
(3')
Д® = {| z; — z® | <а;, 7 = 1,...,и},	(5')
с различными, вообще говоря, числами а{, bj. Ведь если теорема
верна для прямоугольника (3') при некоторых a,, b,, то, положив
b = min Ь}, можно вследствие непрерывности функций указать
такое число а < а(, I = 1, ..., п, что точки (х, -ф±(х), ..., i|;m(x))
схеЦг; — z® | < a, i —	окажутся в прямоугольни-
ке (3).
Если теперь точка (z, у), удовлетворяющая уравнениям (1),
принадлежит прямоугольнику (3), то она принадлежит и прямо-
угольнику (3'), и, так как для последнего теорема верна, то z
связано с у соотношениями (4).
Заметим, однако, что вообще невозможно добиться, чтобы а.
и b в (3) были равными, в чем легко убедиться на примере од-
ного уравнения
E(z, у) = у — 2z = 0, Zo = у» = 0.
Доказательство. При т = 1 теорема уже доказана (см.
§ 7.16, теорема 1'). Пусть она верна при т — 1 (иг > 1); докажем
ее верность при т.
Так как якобиан (2) не равен нулю в точке (х°, у’),, то один
из его миноров порядка т — 1 тоже не равен нулю в этой точке,
а вследствие его непрерывности, и в некоторой достаточно малой
9 Т.П. СУЩЕСТВОВАНИЕ РЕШЕНИЯ СИСТЕМЫ УРАВНЕНИЙ
209
окрестности этой точки, которую мы будем считать совпадаю-
щей с й, уменьшив в случае необходимости прежнюю окрест-
ность Й. Не нарушая общности, будем считать, что это- есть ми-
нор
D (Л’ • •• ’ Лп-1) , л
.......*0'
(8)
Но, по предположению, теорема верна для т—1, поэтому, учи-
тывая (8), ее можно применить к первым т — 1 уравнениям (1)
и заключить, что для любого Ь<> > 0 существует в 7?„+т принад-
лежащий й прямоугольник
А = [[ XJ — гг® I <а, 7 = 1, ..., п, \ут — у°т\ <Р, \уг — у?|<у,
i = т — 1}, У<Ь9 (9)
такой, что множество ФГ точек (х, у) = (х,, ..., х„, yt, ..., ут) из
Д, удовлетворяющих первым т — 1 уравнениям (1), описывается
непрерывно дифференцируемыми функциями
Ю = фДх. I/m)-	7 = 1, • • ., т — 1, (х, ут)(= Д',
Д'= (|zi —	<а,	i = l, ..., п, |ym — Ут|<Р).
Таким образом, в частности,
y°j =	(х“, у°т), j = 1, ..., т — 1.	(11)
Замечание 3. Мы могли бы на этом первом этапе рассуж-
дений взять а = Р, но на втором этапе, возможно, придется чис-
ла а, р непропорционально уменьшить. Легко убедиться в том,
что это уменьшение не нарушит уже доказанное.
Итак, выполняются следующие свойства:
а)	Точки ((и + пг)-мерные)
(х, ф,(х, Ут), • • *, фт—1(х, Ут)) Ут) Л, (х, Ут) А
и удовлетворяют первым (т — 1) уравнениям системы (1), т. е.
выполняются тождества
/i(x, ф,(х, ут), ..., фт-1(х, Ут), Ут) s 0,
(12)
(i = 1, ..., т — 1), (х, ут) е А'.
б)	Имеет место единственность: если какая-либо точка
(х, у) = (х„ . . Хт, У1, . . ., Ут) ® А
и удовлетворяет первым (пг-^1) уравнениям системы (1), то
270 ГЛ. 7. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ. МНОГИЕ ПЕРЕМЕННЫЕ
для координат этой точки автоматически справедливы соотно-
шения:
(х, j/m)e A', л( = ф4(х, ут) (i = 1, ..., т — 1).	(13}
Допустим, что нам удалось подобрать непрерывно дифферен-
цируемую функцию А(х), хеА‘, где Д®={|х,—	г =
=1, ..., п.}, такую, что точки ((п+ 1}-мерные)
(х, А(х)) = (xj, ..., хп, Мх))еД', xe/V, (14)
Тогда функции <р<(х, А(х)), х е Д° будут непрерывно дифферен-
цируемыми на Д°, и будут очевидно удовлетворяться тождества:
/((х, ф,(х, А(х)), ..., фт-Дх, А(х)), Х(х))®0,
(15)
i = 1, ..., т— 1, х е Д°.
Существует бесконечное' множество ,непрерывно дифференцируй
ёмых функций А, которые подчиняются условию (14). Естествен-
но попытаться среди них выбрать такую, чтобы для нее наряду
с (15) выполнялось бы также тождество
/т(х, фДх, А(х)), ..., фт-Дх, А(х)), Х(х))®0, хеД’. (16)
Тогда, если положить
фДх) = фДх, А(х)), фга(х)=А(х), i = 1, ..., т — 1, хе Д’, (17)
то получим т непрерывно дифференцируемых функций
г/, = -ф, (х), х е А®, у” — ф| (х°), i = 1, ..., т, (18)
удовлетворяющих системе (1).
Но это только план. Надо его осуществить.
Рассмотрим уравнение
F(x, ут) = }т(х, Ф1(х, ут), ..., фт-Дх, ут), ут) = 0	(19)
и отметим следующие три свойства функции Fix, ут):
1)	Функция Е(х, ут) определена на прямоугольнике Д' и
имеет там непрерывные частные производные, потому что этим
свойством обладают функции (10), которые к тому же не выхо-
дят за пределы прямоугольника Д точек (х, у), где /т(х, у) не-
прерывно дифференцируема.
2)	F (х®, J/®,) = /т (х®, ф1 (х®, у0™), ..., фт_г (X®, у^), Ут) =
= /т (X®, У°) = Р-
3)	Частная производная
•^#=0
на Д'.
3 7.17. СУЩЕСТВОВАНИЕ РЕШЕНИЯ СИСТЕМЫ УРАВНЕНИЙ
271
Свойство 3) вытекает из следующих рассуждений.
Дифференцируя (на Д') функции (12) и (16) по ут, получим
fZilZk <	, dh d%n-i , 9fj Q .	,
дУт ‘ ‘ дУт-1 дУт "Г дУт '	
dF_ =	^1	dfm дЧ>т-1 , d_im
<>Ут i)yldym'V’" 9Ущ—1 дут дУт'
т — 1,
Поэтому, если прибавить к m-му столбцу
д<Р>
1-е его столбцы, умноженные на z—, получим
иУт
определителя ‘ (2)
9fl	дЦ
ihJt ’ ' ’ дУт-1 дУт
dfm dfm dfm
<Уу1"’дут_1 дут
°УХ" 'дУт_1
т-1 т х
Ч	^т-1
дУ1"'
¥=0,
9F
дУт
откуда, учитывая (8),	=# 0,
Наша теорема при т => 1 есть теорема 1'
ее к функции F(x,z/m), заданной на области
§ 7.16. Применим
A'=.[|zi — z®|<a, ' 1 = 1,
| Ут Ут | Pl •
Условиями этой теоремы являются уже проверенные нами ус-
ловия 1) — 3). В силу этой теоремы, если уменьшить уже най-
денное р > 0, то для него можно подобрать а > 0, вообще говоря,
меньшее уже найденного а, так, что для полученного уменьшен-
ного прямоугольника*) (мы его снова обозначаем ..через Д') бу-
дут выполняться следующие утверждения в), г);
в) Существует на
Д° = {|х —xd <а, 1 = 1, ...,п)
непрерывно дифференцируемая функция
Ут = X (X) (х е Д®, Ут = X (X®))
(19)
такая, что точки ((п + 1)-мерпого пространства) (х, л(х))еД'
(х = Д°) удовлетворяют уравнению F(x, Х(х)) sQ.
. *) Утверждения а), б) сохраняются и для уменьшенного прямоуголь-
ника Д'. Таким образом, мы считаем, отныне, что уменьшенный прямоуголь-
ник Д' фигурирует как в уже доказанных утверждениях а), б), так и в ут-
верждениях в), г), которые формулируются ниже.
272 ГЛ. 7, ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ. МНОГИЕ ПЕРЕМЕННЫЕ
г) Если точка (х, ут) е Д' удовлетворяет уравнению F(x, ут) —
= 0я то необходимо: х е Д* и ут = А,(х).
Положим (см. (17))
пфДх) —ф<(х, А,(х)) (i = 1, ..., т — 1), фт(х) = Х(х), хе Д’.
Тогда получим систему непрерывно дифференцируемых функций
у = ф4(х), хеД“, 2/® = ф4(х°) (г = 1, ..., т — 1)
таких, что точки
(х, ф,(х),	1|>/х))еД (хе Д’)
удовлетворяют всем уравнениям (1). Остается доказать единст-
венное ть.
Пусть точка (х, у) е Д и удовлетворяет уравнениям системы
(1). В частности, она удовлетворяет первым (иг — 1) уравнениям
системы (1) и потому на основании б)
(х, рт)е=Д', у( = фДх, уто) (г=1, ..., т — 1).	(20)
В силу этого и в силу того, что точка (х, у) удовлетворяет н
т-му уравнению системы (1),
/™(х, ф,(х, ут), ..., фт-4(х, ут), ут) = 0,
иначе говоря,
Г(х, ут) = 0, (х, ут) е Д'.
Но тогда в силу г) имеет место связь ут — %(х) = фт(х) и не-
обходимо хе Д* и в силу (20) тоже необходимо
yt == ф/х, Мх)) = ф((х) (2=1, ..., т — 1).
Теорема доказана полностью, но только для прямоугольника
Д, имеющего вид (9). Переход к прямоугольнику вида (3) мож-
но осуществить, учтя замечание 2.
Теорема 2. Если к условиям теоремы 1 добавить, что функ-
ции fj непрерывно дифференцируемы I раз на Q, то функции
ф,(х>, хе Д°, / = 1, ..., т, решающие системы, непрерывно диф-
ференцируемы I раз на А.
Теорема доказывается аналогично теореме 2 § 7.16.
§ 7.18.	Отображения
Пусть задана система непрерывно дифференцируемых функ-
ций
У;-фД) -“ф/Xi, ..., хк), хей, /•=!, ..., m, (1) '
где Й — открытое множество точек х = (xt, ..., xm).
Будем говорить, что система (1) определяет непрерывно диф-
ференцируемое отображение
у-=Лх, xeQ	(1'}
§ 7.18. ОТОБРАЖЕНИЯ
273
множества Q на некоторое множество Q' точек y — (yt, ?л„).
Будем еще писать Q'=t4(Q), и называть Q' образом Й, а й —
прообразом Q' (посредством отображения А).
Наряду с А рассмотрим другое непрерывно дифференцируе-
мое отображение, В:
Zj = Ф/у) = фДJ/1, • • •> г/m), уел, J = l, 2, .... т
открытого множества Л точек у на некоторое множество точек
z = (zt, ..., zm). Таким образом, z = By, у е Л.
Если *) Q'cA, то имеет смысл сложное непрерывно диффе-
ренцируемое отображение z = В Ах, х е Q, определяемое равенст-
вами Zj = ф/ф,(х), ..., фт(х))' xeQ (; = 1, ..., т).
Якобианы отображений А, В, В А связаны замечательными
равенствами
Д(гГ гт)	дгг
D (хг ..., Jm)	dXj
dys dXj ~
dys	D(21......zm) Д(УГ ’Um)
dXj	D(yv ..., ym) D(X1, ...,
(2)
доказательство которых, как мы видим, основано на применении
формулы производной от сложной функции и правила умноже-
ния определителей.
В частности, если В обращает А на множестве точек хе Q,
т. е. х = В Ах, х е Q есть тождественное отображение, то в силу
того, что его якобиан равен 1, получим формулу
D(xv...-Xm) D(Vv •••’Ут)	_ о
D(V1, ..., ут) ...,хт)’
(3)
Будем теперь считать, что определяемое равенствами (1) не-
прерывно дифференцируемое отображение у = Ах имеет яко-
биан **) -а	=# 0, хей, не равный нулю всюду на ат-
и Иг •  • ’ хт)
крытом множестве Q. Имеют место следующие свойства:
1)	Q' = H(Q) — открытое множество (вместе с Q1),
2)	если Q — область, то и й' — область,
3)	отображение А локально взаимно однозначно, т. е. какова
бы ни была точка x’eQ. найдется шар V е Q с центром в ней,
такой, что отображение А, рассматриваемое только на V, взаим-
но однозначно.
♦) Отметим, что если х°е(1и у° = Лх°еЛ, то в силу непрерывно-
сти А найдется окрестность ^хо точки х°, образ которой посредством А
принадлежит к Л. Уменьшая Q, положив Й=У 0, получим тогда, что
Й' с: Л.
*♦) Случай, когда якобиан отображения (1) равен нулю, изучается в
5 7.27.
18 С. М. Никольский, т. I
274 ГЛ. 7, ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ. МНОГИЕ ПЕРЕМЕННЫЕ
Пусть х° е Q и 'у0 = Ax’ е Q'. Введем пространство Д>т точек
(х, у) = (z); ..хт, у1у ..Ут) и в нем рассмотрим уравнения
/<(х, у) = фДлго .,хт) — р,-=» 0, i = 1, ..т.
Точка (х°, у0) удовлетворяет этим уравнениям и в ее некоторой
окрестности (в Д2,„) функции h непрерывно дифференцируемы
и имеют якобиан
_ Д(Фр--->Фт) , р
Р(*1> хт) D(xi’
Поэтому в силу теоремы 1 предыдущего параграфа для любого
Ъа > 0 найдутся положительные а а~Ь < ЬЛ такие, что множество
ЯЛА всех точек (х, у), принадлежащих прямоугольнику
А = Д1ХД2,
Ах= Ihj —	i = 1> •• •, т},
Д2 = {\'х} — Xj | < b, j ч» 1, ..., m} CZ Q
и удовлетворяющих уравнениям (1), описывается непрерывно
дифференцируемыми функциями
Лч = ф<(у), у е (i == 1, ..т).
Поэтому х е Д2 при у е Дь Обозначим определяемое этими функ-
циями непрерывно дифференцируемое отображение через х =
- Ду, у е Д„
Сказанное можно выразить следующим образом:
а)	если уе Д-, то х = //уе Д2,
б)	у = ЛВу, уеД,,
в)	из того, что х <= Д2, у <= Д1 и у = Ах, следует, что х — Ву.
Пусть 5(Д1) = (о. В силу а) со <= Д2 с Q. В силу б) Л(со) =
= Д, <=£>'.
Таким образом, любая точка у0 ей' содержится в некотором
открытом кубе М <= Q' и, следовательно, есть внутренняя точка
£2'. Мы доказали свойство 1): й' открытое множество.
В силу б) якобиан перехода от у к х посредством В не равеп
нулю [см. (3)1 па открытом множестве Дь Но тогда в’силу уже
доказанного свойства 1), которое надо применить вместо А, й
соответственно к В, Дь множество со точек х открыто.
Итак, операция А отображает открытое множество со па
Д1 = о/.
Пусть х' и х" — точки со, для которых Ах'— Ах" =у. Тогда
х'ЕшсД^уеД, и в силу в) х' = By. Рассуждая аналогично,
получим также х" = By, т. е. х' — х". В частности, доказано
г)	ВАх = X, X Е СО.
Это показывает, что А отображает открытое множество со на
Д, взаимно однозначно. В частности, А отображает любой шар
У с со с центром в х0' взаимно однозначно, что доказывает свой-
ство 3).
§ 7.19. ГЛАДКАЯ ПОВЕРХНОСТЬ
275
Замечание. Свойства в) и г) выражают, что операции А
и В взаимно обратны.
Пусть теперь Й есть область; тогда по уже доказанному свой-
ству 1) й' вместе с Q открыто. Если теперь у', у" ей' — произ-
вольные точки, то им соответствуют некоторые точки х', х''ей
такие, что Лх'=у', Ах" = у". Но Й— связное множество, и най-
дется непрерывная кривая xU) eQ. О С t С 1 такая, что х(0) = х',
х(1)=х", таким образом, принадлежащая й и соединяющая точ-
ки х', х. Но тогда кривая y(i) = Л(х(/)], ОС t С 1 тоже, очевидно,
непрерывна, принадлежит й' и соединяет у' с у". Следовательно,
12' связно, т. е. область, и мы доказали свойство 2).
Свойство 3) утверждает только локальную взаимную однознач-
ность, глобальной взаимной однозначности может и не быть. На-
пример, преобразование a: = pcos0, y = psiji0 полярных коорди-
нат точек плоскости в декартовы при р > Q й произвольном 0 не-
прерывно дифференцируемо и имеет положительный якобиан,
равный р. Оно отображает точки (р, 0) (р > 0, — °° < 0 < оо) плос-
кости (р, 0) в , точки (z, у), отличные от нулевой точки, локально
взаимно однозначно. Однако каждой такой точке (х, у) соответ-
ствует хотя и одно р, но бесконечное число различных значений
0, отличающихся между собой на.2Лл (к — ±1, ±2, ...).
§ 7Л 9. Гладкая поверхность
Пусть R есть трехмерное пространство, где определена прямо-
угольная система координат (х, у, z).
Если G — открытое множество в плоскости (х,у) и
Z — f(x,y) (Ст, ^)<=G)	(1)
— функция, имеющая па G непрерывные частные производные
(первого порядка), то множество S <= В, описываемое этой функ-
цией, называется гладкой поверхностью.
Про эту поверхность мы будем говорить, что она проектирует-
ся на плоскость z = 0. Равенство (1) устанавливает взаимно од-
нозначное соответствие S G между точками (х, у, z)^S и точ-
ками (х, у) е G.
Если G — ограниченная область (открытое связное множество)
df df
с границей р, а частные производные	не только непрерыв-
ны, но и равномерно непрерывны на G, то в этом случае фукцию
/ и ее частные производные можно продолжить по непрерывности
па у. Мы будем говорить, что продолженная таким образом функ-
ция z — f(x, у) ((ж, у) eG) описывает^гладкий кусок S. Множество
Г = <$ — S называется краем S (или S). Его проекция на плоскость
z = 0 есть, очевидно, множество у.
Если р — кусочно гладкая кривая (контур)
х = <p(s), у = i|?(s)	(0 С s С s0),
276 гл. 7. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ. МНОГИЕ ПЕРЕМЕННЫЕ
то Г есть в свою очередь кусочно гладкая «кривая
X = ф(«), у = ф(«), Z = /(ф(«), ф(х))	(O^S<Jo).
В этом случае S будем называть элементарным гладким куском.
Если Ао — (ха, у,,, z0) есть произвольная точка гладкой поверх-
ности, описываемой уравнением (1), то в силу того, что G есть
открытое множество, и в силу непрерывности / для любого 62 > О,
можно указать такое 61 > 0, что прямоугольник (прямоугольный
параллелепипед)
А = {|z — Xol С 6П \у —	lz —z0|c62}	(2)
вырезает из S элементарный гладкий кусок а:
z=f(x,y) ((z, y) е Д'), А' = {k — rr0| < 6t, |у — у0| < 63 <= G,
где, таким образом, Д' есть проекция А на плоскость z = 0.
Если Аа есть точка края Г элементарного гладкого куска S, то
для нее йожно только утверждать, что существует трехмерный
прямоугольник А вида (2) с центром в Ао, вырезающий из S ку-
сок со, описываемый уравнением z = f(x, у) ((z, у) е «'), где <а' —
часть Д'.
Понятия гладкой поверхности и гладкого куска распространя-
ется по аналогии и на случаи, когда эти поверхности описываются
уравнениями'вида x — W(y, z) или у = Ф(г, z), т. е. когда они
(взаимно однозначно) проектируются соответственно на плоскости
z = 0, у = 0.
Распространим теперь эти понятия на поверхности, которые
в целом вообще не проектируются ни на одну из координатных
плоскостей.
' Условимся говорить, что множество S с R есть гладкая по-
верхность, если, какова бы пи была его точка А0 = (z°, у\ ze),
можно указать (трехмерный) прямоугольник
А = { I z — z°| < 6lt I у — у°\ < 62, |z — 2°1	6J,
вырезающий из S элементарный гладкий кусок о, который описы-
вается по крайней мере одним из уравнений
z = Л (х, у)
х = f2(y, z)
У = /з (z, х)
{I X — z° К 61, I у — у° К 62},
{I У — У° К |Z —z°KM,
{|z —z°K6g, |z — ze|<61}..
Так как мы назвали о элементарным гладким куском, то тем
самым считали само собой разумеющимся, что функции /2, /2
имеют на соответствующих замкнутых прямоугольниках непре-
рывные частные производные.
Пусть, например, на открытом трехмерном множестве Й за-
дана произвольная функция F(z, у, z), непрерывная вместе со
§ 7.19. ГЛАДКАЯ ПОВЕРХНОСТЬ
277
своими частными производными первого порядка. Уравнение
F(x, у, z) = О
(3)
определяет некоторое множество S точек (z, у, z) е Й. Если S
непустое множество и
(4)
то S есть гладкая поверхность.
В самом деле,- пусть Аа — (х0, у0, z0) е S. В силу (4) одна из
частных производных от F в точке Ао не равна нулю; будем счи-
тать, что 1-д—1 .=# 0. Тогда в силу непрерывности частных произ-
\ "z /о
водных от F, на основании теоремы о неявной функции (см.
§ 7.13, теорема 1'), существует трехмерный прямоугольник
А = {|ог — zol, |у — у01сб; |z— zel<AJ, (б, Х>0),	(5)
вырезающий из S часть о, описываемую явно непрерывно диффе-
ренцируемой функцией
г = ф(х,у),	(z, у) е Д', Д' = {|л: — zol, \у — у0|<б),	(6)
т. е. о — элементарный кусок.
Кусок о (или поверхность S) имеет в точке Ао касательную
плоскость, определяемую уравнением [см. § 7.5, (13)]
z~zo=	+(4г)0	(7)
или, в силу равенств [см. § 7.16, (10')]
(	OF \	(	dF \
/ X _ _	'	/0	f	\	дУ	'о
к	(,z /о	k	dz	)о
уравнением
О' - + vM0 {z -Ze) = °- (8)
Пример 1. Шаровая поверхность Л
X2 + уг + z2 = R2 (R > 0)	(9)
есть гладкая поверхность, потому что функция F = хг + у2 + z2 имеет не-
прерывные частные производные Fx = 2х, Fv=2y, Fz = 2z, одновременно
не равные нулю на (непустом множестве) Л. Касательная плоскость к Л
278 ГЛ. 7. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ, МНОГИЕ ПЕРЕМЕННЫЕ
в точке (zo, Уо, zo) е А имеет, очевидно, вид
х0(х — rQ) + уа(у — у„) + z0(z — z0) = о.
Пример 2. Уравнение х2— у2 — z2 — 0 определяет круговой конус
с вершиной в начале координат и осью, совпадающей с осью х.
Частные производные от функции Ф(х, у, z) = х2 — у2 — г2, равные
Ф^=2х, Фу = — 2у, Фг — — 2z, обращаются одновременно в нуль только в
начале координат. Из геометрических соображений видно, что в начале
координат конус не имеет касательной плоскости, во всех же остальных
точках касательная ^плоскость к рассматриваемому конусу существует и
непрерывно изменяется вместе с точкой, где она касается конуса.
С точки зрения введенной терминологии можно сказать, что круговой
конус, если из него выбросить его вершину, есть гладкая поверхность.
Краем гладкой поверхности 5 называется множество Г = А —
— S, если оно непустое.
Функции
Z = X2 + у2	( — оо < X, У < оо),
z =* tg х tg у	(—л/2 < х, у < л/2),
Z = sinx	( — оо < X < оо)
описывает неограниченные гладкие поверхности без края. Третья
из них определяется ограниченной функцией, по соответствующая
поверхность (множество) не ограничена.
Шаровая поверхность 5 есть гладкое и в то же время замкну-
тое множество — она не имеет края. Если из S выкинуть при-
надлежащую ей точку Л о, то останется, очевидно, гладкая поверх-
ность S с краем, состоящим из этой точки.
Часть поверхности S, являющуюся замыканием гладкой связ-
ной поверхности с кусочно гладким краем, будем называть глад-
ким куском поверхности S.
Часть St шаровой поверхности 5 [см. (9)], состоящая из точек
(х, у, z) с z>0, есть гладкая поверхность.хЕе край Г есть окруж-
ность х2 + у2 — R2, z = 0. Замыкание £, = S, + Г есть кусок (верх-
нее полушарие с краем), описываемый функцией z = V/?2 — х1 — у2
(х2 + у2 =£ Я2). Эта функция непрерывна па круге х2 + у2 С /?2, но
ее частные производные непрерывны только в открытом круге
x2+y2<R2 и неограничены вблизи его границы. Таким образом,
St, хотя и проектируется на плоскость (ж, у), но соответствующая
описывающая St функция не является непрерывно дифференци-
руемой вплоть до границы указанного круга. На другие коорди-
натные плоскости St не проектируется вовсе. Таким образом, St
не является элементарным гладким куском. С другой стороны,
легко видеть, что S (и S,) можно разрезать на конечное число
элементарных гладких кусков.
Поверхность, если ее можно разрезать на конечное число эле-
ментарных гладких кусков, называется кусочно гладкой;
S 7.20. ГЛАДКАЯ ПОВЕРХНОСТЬ, ЗАДАННАЯ ПАРАМЕТРИЧЕСКИ 279
Поверхность прямоугольника (прямоугольного параллелепипе-
да) кусочно гладкая, но не гладкая.
Отметим, что гладкая поверхность определена нами так, что она есть
по терминологии главы 17 двумерное дифференцируемое многообразие в Я».
§ 7.20. Гладкая поверхность, заданная параметрически.
Ориентируемая поверхность
Мы уже знаем, что гладкая поверхность может быть определе-
на в явном (см., например, § 7.19, (1)) или неявном [см. § 7.19,
(3)] виде. Больше того, произвольная гладкая поверхность по
самому своему определению всегда локально выражается явно.
Существует еще важный способ задания гладких поверхностей —
параметрический.
Наряду с .трехмерным пространством R, где 'задана прямо-
угольная система координат (х, у, z), введем еще плоскость W
параметров и, V, где задана прямоугольная система координат
(и, н). Пусть й с; W — открытое множество и на нем заданы три
функции от параметров и, v
х = (р(и, v), т/ = ф(и, и), z=-%(u,v) ((tt,v)eQ) (1)
или, что все рйвио, векторная функция
r = <pi + $j + xk.	(2)
Будем предполагать, что функции <р, ф, % имеют непрерывные
частные производные на й и что выполняется неравенство
. 	• /Dlr, у')\2 , /ZHv, z) .2 , !D(z, г)\2__	,,	.	,п.
Г„ХГ1, 2= 7П-— + 7ГГ— + п'Н~Ч >° ((“> ₽ ей . (3)
1 и ' 1 ID (и, v) j ID (и, v) / ‘ I и {и, v) I	"	'	’	'
Геометрическое место S точек (z, у, г), определяемое функци-
ями (1), называют поверхностью. При этом тот факт, что 5 задана
функциями (1) с указанными свойствами, мы будем выражать
так: поверхность S гладко задана параметрами (в,р)ей.
Не всегда поверхность S, гладко заданная при помощи пара-
метров, есть гладкая поверхность (дифференцируемое многообра-
зие) в том смысле, как этот последний термин определен в пре-
дыдущем параграфе, но можно дать простой достаточный крите-
рий для этого.
Именно, если уравнения (1) устанавливают взаимно однознач-
ное соответствие Й э (ц, р) (х, у, z) = 8, то система функций (1)
определенных на любой области Q'cy'cfi, описывает гладкую
поверхность (дифференцируемое многообразие).
Мы не доказываем здесь это утверждение. Оно не будет нужно
для ближайших наших целей. Впрочем, оно доказано, даже в
более общем виде, во II томе (см. § 17.1 лемма 1).
Отметим важный факт, вытекающий из неравенства (3). Пусть
(п°, г’) е Й — произвольная фиксированная точка области пара-
280 ГЛ. 7. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ. МНОГИЕ ПЕРЕМЕННЫЕ
метров. Для нее один из определителей, входящих в (3), положи-
телен, пусть для определенности первый. Тогда найдется окрест-
ность со <= Q этой точки такая, что на ней первые два уравнения
(1) однозначно разрешимы относительно (и, и). Подставив соот-
ветствующие функции от х. у в третье уравнение, получим, что
некоторый кусок о cz S описывается непрерывно дифференцируе-
мой функцией z = j(x, у) J.3 (х, у) =₽* (и, и) е со.
Этим доказано, что, какова бы ни была точка (и0, и°), сущест-
вует ее окрестность w ей такая, что соответствующий ей кусок
o<=S проектируется (взаимно однозначно!) по крайней мере на
одну из координатных плоскостей. Это локальное свойство поверх-
ности, гладко заданной через свои параметры, является очень
важным, но следует иметь в виду, что оно слабее того, свойства,
которому должна удовлетворять гладкая поверхность (дифферен-
цируемое двумерное многообразие в пространстве 7?s), как она
была определена в предыдущем параграфе (см. пример 1).
лив самопересечение по отрезкам и = ui
Рис. 7.5.	Рис. 7.6.
Пример 1. На рис. 7.5 изображена поверхность S, которую можно се-
бе представить как полученную из прямоугольного листка А бумаги
(0 < и < а, 0 < г < 6) (рис. 7.6), который мы гладко скручиваем, позво-
и и = и2. Реально такую поверх-
ность можно осуществить, разре-
зав листок А на две части по пря-
мой и = и2, скрутив одну из ча-
стей и приклеив вторую часть
так, как на рис. 7.5. Произволь-
ной точке А припишем в качестве
ее параметров (и, г) координаты
соответствующей точки прямо-
угольника А. Но каждая точка от-
резка CD cz S при этом будет со-
ответствовать двум парам (ult v)
и (и2, г). Благодаря этому S
может быть названа самопересекающейся (параметрически заданной)
поверхностью. С точки зрения терминологии, принятой нами в пре-
дыдущем параграфе, поверхность S не является гладкой: любой прямо-
угольник (прямоугольный параллелепипед) с центром в какой-либо точке
Р е [С, D] вырезает из S часть, не проектирующуюся ни на одну из коор-
динатных плоскостей. С другой стороны, определенную точку Р е [С, D]
можно считать соответствующей двум точкам (u!; г0) и (ц2, г0) плоскости
(и, г). Обе они.могут быть покрыты настолько малыми, принадлежащими
плоскости (и, и), кружками с центрами в них, что им соответствуют куски
Oj, о2 a S, каждый из которых проектируется по крайней мере на одну из
координатных плоскостей.
Интересно еще рассмотреть поверхность S' с S, соответствующую па-
раметрам (и, г), пробегающим прямоугольник Д' = {0 < и < ц2, 0 < и <
< Ь}. Из рис. 7.5 видно, что S' есть параметрически заданная поверхность
без самопересечений: имеет место взаимно однозначное соответствие
S' Д'. Но все равно точки Р е [С, О] являются особенными для S': в лю-
бых как угодно малых (трехмерных) окрестностях И таких точек принад-
лежащие им части S'il не проектируются ни на одну из координатных
плоскостей. Таким образом, S', так же, как S, не является гладкой по-
верхностью.
Замечание. По другой терминологии гладкой поверхностью S' на-
зывают совокупность точек (х, у, z), упорядоченную при помощи парамет-
§ 7.20. ГЛАДКАЯ ПОВЕРХНОСТЬ, ЗАДАННАЯ ПАРАМЕТРИЧЕСКИ 281
ров (u, v) посредством равенств (1), где ф, ф, %—непрерывно дифферен-
цируемые функции, подчиняющиеся неравенству (3). Согласно этой терми-
нологии точки (х, у, z), соответствующие разным парам (и, р), считаются
разными элементами S, хотя, быть может, эти элементы определяют од-
ну и ту же геометрическую точку (х, у, z).
Заменим параметры (u, v) поверхности S параметрами (u', v');
и —Mu', г'),	н=р(и', v')	((и', v') е Й' ч* Й),	(4)
где А и р. — непрерывно дифференцируемые функции с якобианом
^7^*0	(5)
а отображение (4) приводит во взаимно однозначное соответствие
открытое множество й' параметров (и', и') с открытым же (см.
§ 7 ..18) множеством й параметров (и, и). В результате получим
уравнения S, выраженные через параметры (и', и');
х = <рх (и', и’) = <р (А (и, и'), ц (и', v')),
у = фл (и', v1) — ф (А (и , v’), р (и', v')),
z = Xi (“'» v') = X (“'» H («'. p')) ((“'. v>)	Й'),
(6)
где <p„ ф1, x< — функции, непрерывно дифференцируемые на й',
и где выполняются неравенства

Новые параметры (u', v’) с указанными выше свойствами мы
будем называть допустимыми параметрами поверхности S.
Рассмотрим гладкую поверхность S, заданную параметрически
при помощи уравнений (1) с указанными там свойствами. В лю-
бой точке она имеет касательную плоскость и нормаль. Чтобы
получить выражение для нормали в терминах вектора г = <pi +
-4- if j + xk, можно рассуждать следующим образом.
Вектор т = г(п, при фиксированном значении параметра v
описывает кривую, соответствующую изменению параметра и.
Вектор г„ направлен по касательной к этой кривой. Аналогично
вектор г, направлен по касательной к другой кривой, которая
описывается вектором г, когда и фиксировано, a и меняется.
Если считать векторы т„, г» выходящими из точки (и, v) по-
верхности S, то они определяют проходящую через них плоскость,
касательную kS в точке (u, v). Из условия (3) следует, что векто-
ры ги, г» не коллинеарны. Нормаль к S в точке и, и определяется
282 ГЛ. 7, ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ. МНОГИЕ ПЕРЕМЕННЫЕ
вектором
•	* /дфдх	. рх а<р дх ау . . /ау а-ф д<рдт|Л.
и v \ди dv dv ди/ ' \ди ди dv ди ' \ди dv dv ди /
(8)
При этом можно определить две единичные, непрерывно зави-
сящие от (w, ij eQ нормали-.
п = ±г^	((и,г)ей).	(9).
|w|
Знаку «+» соответствует одна сторона поверхности S со щет-
кой выпущенных в ее сторону единичных векторов, непрерывно
зависящих от (и, п), а знаку «—» — другая сторона S.
Дадим следующее определение. Если из каждой точки А глад-
кой поверхности S можно выпустить единичную нормаль п(Л)
так, что полученная векторная функция от А будет непрерывной
на всей поверхности S, то S называется ориентируемой поверх-
ностью.
Поверхность, для которой определена такая функция п(4),
называется ориентированной [при помощи п(Л)]. Если мы будем
говорить, что S есть ориентированная гладкая поверхность, то
тем самым будем считать, что S обозначает не только поверх-
ность (множество), но и тот факт, что на ней задана указанная
непрерывная на S функция п(Л). Говорят еще, что функция
п(А) задает определенную сторону ориентируемой гладкой по-
верхности [куда выходит из S щетка единичных векторов п(Л),
непрерывно зависящих от А].
Ту же поверхность, но ориентированную противоположным
образом, надо уже обозначать другой буквой. Две такие противо-
положно ориентированные поверхности удобно обозначать буква-
ми S+ и S-. Одна из них произвольно обозначается через S+,
а другая автоматически получает обозначение S_.
Шаровая поверхность ориентируема — выпущенный из какой-
либо ее точки единичный вектор во вне шара, очевидно, непре-
рывно продолжается па всю поверхность. Этим шаровая поверх-
ность ориентирована. Другая, противоположная, ориентация
шаровой поверхности определяется единичным нормальным к ней
вектором, направленным внутрь соответствующего шара.
Выше мы видели, что если S есть гладкая поверхность, опре-
деленная параметрически уравнениями (1) с указанными там
свойствами, то она ориентируема. Знаку «+» в формуле (9) соот-
ветствует некоторая ориентация S, а знаку «—» будет тогда со-
ответствовать противоположная ориентация.
Вообще же существуют гладкие поверхности, неориентируе-
мые (см. следующий параграф).
§ 7.20. ГЛАДКАЯ ПОВЕРХНОСТЬ, ЗАДАННАЯ ПАРАМЕТРИЧЕСКИ 283
После сказанного можно утверждать, что всякая неориенти-
руемая гладкая поверхность не может быть задана параметри-
чески при помощи единой системы уравнений (1') с указанными
там ограничениями, налагаемыми на функции ф, ф, у.
С другой стороны, мы знаем, что если S есть гладкая поверх-
ность, то по самому ее определению для каждой ее точки
найдется прямоугольник А с центром в ней, вырезывающий из
S кусок о, описываемый явно функцией, пусть z = f(x, у), (х, у) е
е Д', непрерывно дифференцируемой на соответствующей проек-
ции Д. Ясно, что кусок а имеет две стороны, определяемые нор-
малью п = (п„ пу, пг), где
_	р	q	,1
П- = -}— —Г	— - Пу —. -F ,    —п% — 4— г......	—,
/1	+	/1 + р2+д2
[ df df\
и ~ дх' q ду}‘
Верхним знакам в этих равенствах соответствует верхняя сторона
куска о, а нижним — нижняя сторона.
Поэтому можно сказать, что всякая гладкая поверхность ло-
кально ориентируема.
Пример 2. Шаровая поверхность. Уравнения (см. § 12.19)
х — R cos 9 cos <р, у — R cos 0 sin <р, z.= R sin 0, —оо < 0, <p < co, (10)
где R > 0 — заданное число, определяют при помощи полярных угловых
параметров 0, ф шаровую поверхность S радиуса R с центром в нулевой
точке, в чем легко убедиться, если исключить из этих уравнений 0 и ф.
Область G изменения параметров (0, ф) является вся плоскость. Правые
части уравнений (10)—непрерывно дифференцируемые функции от 0, ф.
Вычисления показывают, что
|г9 X гч>| = Я21 cos 01.	(И)
Ун
0
Рис. 7.7.
Из (И) мы видим, что нельзя сказать, что шаровая поверхность S зада-
на гладко параметрами 0, ф на всей плоскости этих параметров. Из послед-
ней надо исключить точки (0, ф), у которых cos 0 = '
= 0. Но это недостаток не поверхности, а ее пара-
метрического представления. Как мы знаем (см.
предыдущий параграф), 5 есть гладкая поверхность '
и ее полюсы, 1 соответствующие значениям 0 —
= ±л/2, пе являются исключительными.
Параметрическое представление (10) самопере-
секается потому, что мы не ограничили в нем мно-
жество параметров. Более экономно считать его за-
данным на множестве —л/2 < 0 < л/2, a ф <
< а 4- 2л, где а — некоторое действительное число.
Это множество при помощи (10) отображается взаимно однозначно на
шаровую поверхность S, из которой выколоты два ее полюса. На этом мно-
жестве |гв.Хг<|>| > 0.
Пример 3. Тор. В плоскости (х, у) зададим окружность радиуса а
с центром в точке (6, 0) (0 <«<&). Вращение ее как твердого тела в
пространстве (х, у. z) вокруг оси у приводит к поверхности Т, называемой
тором. Пусть 0 есть величина угла, изображенного на рис. 7.7, и ф — угол,
284 ГЛ. 7. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ. МНОГИЕ ПЕРЕМЕННЫЕ
на который повернута вокруг оси у плоскость нашей окружности. Поверх-
ность Т выражается через параметры (0, <р) так:
х — (Ь 4- a cos 0)cos <р, у = а sin 6, z = (b + а cos 0)sin <p
(О 6, ф < 2л).	(12)
В декартовых координатах уравнение Т имеет вид
Ф = tfx2 + z2 — Ъ)г + у2 — а2 = 0.
При этом на Т
/ ЙФ V / дФ \2	/ дФ \2	/ .Z-S---S- \2	, „
Нг- + -д— + Н~ =4( V X 2 + * — Ъ) + 4у2 > 0.
I дх I 1 I ду I 1 I dz I	1 , i \	•
Это показывает (см. § 7.10), что Т есть гладкая поверхность, что, впрочем
интуитивно очевидно.
§ 7.21. Пример неориентируемой поверхности.
Лист Мёбиуса*)
Возьмем прямоугольный лист бумаги (рис. 7.8), который мы
будем мыслить без отрезков аа', bb', составляющих части его
границ. Перёкрутим его один раз и его стороны ab и ab' склеим
так, чтобы точки д, Ь' и Ь, а' Склеились попарно (рис. 7.9). Полу-
ченная поверхность есть лист Мёлиуса. Интуитивно ясно, что это
будет гладкая поверхность, если скручивать листок гладко, не
ломая бумаги. Не так уж трудно, хотя и несколько громоздко,
осуществить такую конструкцию при помощи формул, ио мы это
не будем делать, полагаясь на интуицию читателя. На рис. 7.8 от-
мечен отрезок сс' — средняя линия прямоугольного листа бумаги.
Этой линии на листе Мёбиуса соответствует замкнутая кривая сс'
(не изображенная на рис. 7.9), у которой точки с и с' слились
Рис. 7.8.
Рис. 7.9.
в одну точку. Выпустим из с единичную нормаль п(с) произволь-
ным, но определенным образом. Раз направление п(с) выбрано
(среди двух возможных), то этим уже детерминированно опреде-
ляется выбор п(Л) для всех точек Лесс', если мы хотим, чтобы
вектор п(Л) непрерывно зависел от Л. Однако в точке с' вектор
п(с') уже выбран — ведь с и с' совпадают. Легко видеть, что если
точку средней линии прямоугольника непрерывно двигать от с к
с', то единичная нормаль п(Л), где Л — точка листа Мёбиуса,
соответствующая с, будет стремиться к —п(с), а не к п(с), и, сле-
довательно,-вектор-функция п(Л) оказывается разрывной в точке
с = с' е 5.
♦) А. Ф. Мёбиус (1790—1868) —немецкий геометр.
£ 7.22. ЛОКАЛЬНЫЙ ОТНОСИТЕЛЬНЫЙ ЭКСТРЕМУМ
285
§ 7.22. Локальный относительный экстремум
Пусть Q есть открытое множество «-мерного пространства и
/, <pt, ..., <pm (1 =5 т < п) — определенные на Q функции.
Обозначим через Е множество точек х, для которых выпол-
няются одновременно равенства (связи):
<р/х) =0 (у = 1,... т; т < п).
По определению, точка хлей есть точка локального относи-
тельного максимума (минимума) функции f при наличии связей
(1), если х’е£'и существует 6>0 такое, что для всех х*=Е,
удовлетворяющих неравенству | х — х® | =	2	< 6,
имеет место /(х) < /(х°) (в случае максимума) и /(х)>/(х°)
(в случае минимума).
Точка локального относительного максимума или минимума
называется точкой локального относительного экстремума.
Займемся сначала выяснением вопроса о необходимых усло-
виях, чтобы х° была точкой локального относительного экстре-
мума.
Будем предполагать, что в окрестности точки х° функции
/, <р4, ..., <р„ имеют непрерывные частные производные. Больше
того, будем предполагать*, что в точке х° ранг матрицы
(/ =1, ..., m, k = 1, ..., п) равен т. Таким образом, среди опреде-
лителей порядка т, порождаемых этой матрицей, имеется не рав-
ный нулю. Для определенности будем считать, что это есть опре-
делитель
д(фг ..., <рот)
.D (л-р ...,
7 дф, \
I дх. I
\	1	/о
/ "Чт \
I I
\	1 /о
"Ф1 \
/о
8(?т \
дхт /
т / о
=/=0.
(2)
Мы считаем, что символ ( )0 обозначает тот факт, что в функ-
цию, стоящую в скобках, вместо х подставлено х°. На основании
теоремы о неявных функциях существует прямоугольник
А = Д'X А",	(3)
А' = 11 Xj — x°j | < 6, / = 1, ..., m},
A" = [| xi — x''| <o, i = m + 1, ..., «)
и (единственные) непрерывно дифференцируемые функции х,=
=	хп) (/ = 1, ..., т), определенные на А", удовлет-
286 ГЛ. 7. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ. МНОГИЕ ПЕРЕМЕННЫЕ
воряющие равенствам (1):
(p/gt, рт, жт+1,	= О (/ = 1, ..т).
При этом | щ — х° | < 6 (; = 1, ..., т).
Подставим в / вместо xt, ..., хт соответствующие фупк*
ции р.1, ..., цт. Тогда / будет функцией только от (п — т) пере-
менных хт+1, ..., хп, независимых между собой:
/(Ц1, • • *, Цт, Xm-^i^ • • •, хп ) — ^P(:Em-f.l, . . Хп).
Очевидно, что если f достигает локального максимума или мини-
мума (относительного) в х° = (xj, ..., а:®,), то Ф (хт+1,хп)
достигает в точке (.Zm+i,	локального абсолютного макси-
мума (минимума). Но тогда, как мы знаем, точка (4+ь  • •» я®)
должна быть стационарной для функции Ф, т. е. выполняются
равенства
~ 0	(/= пг + 1, ..., п).	(4)
\ ° i /о
Здесь знак ( )0 теперь уже означает, что в функции, стоящей
в скобках, полагается xm+1 = Xm+i, ..хп — Мы думаем, что
такое двоякое обозначение к путанице не приведет.
Равенства (4) эквивалентны одному равенству
йФ= 2 (-£) ^ = о, (п
j—тн4-1 \	3/0
которое должно быть верным для произвольных (независимых
между собой) dxm+i, ..., dxn. В самом деле, из (4) следует (4')
при любых dxm+t, ..., dxn. Обратно, если верно (4') для любых
дифференциалов dxm+i, ..., dxn, то, в частности, оно верно, когда
один из этих дифференциалов равен 1, а остальные равны нулю,
а это приводит к равенствам (4).
По определению точка х° Е называется стационарной точкой
функции / при наличии связей (1), если для нее выполняются
равенства (4), или, что все равно, как мы выяснили, если выпол-
няется одно равенство (4') для любых независимых между собой
dxt (Z = m + 1, ..., n).
Это определение, очевидно, эквивалентно следующему:
Точка х° е Е называется стационарной точкой f при наличии
связей'И), если для нее полный дифференциал
п
rf/= 2(-£“) dxk = 0
.h=i\ ft/о
(5)
§ 7.22. ЛОКАЛЬНЫЙ ОТНОСИТЕЛЬНЫЙ ЭКСТРЕМУМ
287
для всех dxh, удовлетворяющих линейным связям
2	^=°	(/=i,...»ш).	(б>
\ к/о
В самом деле, в силу инвариантного свойства, дифференциала
й/ = йФ, где входящие в df (зависимые) дифференциалы^, ...
..., dxm соответственно равны
dxk= У -£rdxi (* = 1,
j=m+l 3
По последние вместе с независимыми дифференциалами dxm+i, ..,
..., dxn связаны соотношениями (6).
Приведенные рассуждения попутно дают способ отыскания
стационарной точки. Он сводится к решению п — т уравнений
(4) относительно (хт+1,..., хп). Однако предварительно, надо было
еще решить уравнения (1) относительно xt, ..., хт. Этот способ
в сколько-нибудь сложных случаях является неудобным. Более
простым является способ, называемый методом множителей Лаг-
ранжа.
Метод множителей Лагранжа (отыскания стационарных то-
чек) заключается в том, что вводится вспомогательная функция
m
F{x) = f (х) — S (х)	(7>'
1
от независимых переменных х = (xt,..., хп), где К] — постоянные
числа (множители Лагранжа), подлежащие определению вместе
с координатами неизвестной стационарной точки х°. Сначала за-
даются произвольные числа Xt, ..., Xm и для соответствующей им
функции F(x) от независимых переменных (не связанных связями
(1)) решается задача на абсолютный экстремум. Точнее, прирав-
ниваются к нулю все ее частные производные:
=	|1=1.....„).	(8)
дх, дх,	1 дх,	'	’	'	' '
k	к j=i к
К полученной системе (8) из п уравнений присоединяется еще
система (1) из m уравнений связи. Совокупная система из п+тп
уравнений решается затем относительно п + m неизвестных хь ...
..., хп, X,, ..., X™. Оказывается, что каждому решению х(, ..., х°п,
X®,____ X®, соответствует стационарная точка х° = (z®, ..., z®) за-
дачи и, наоборот, если х° есть стационарная точка, то ей соответ-
ствует единственная система множителей X?, • • • ч такая, что
составленные для них уравнения (8) удовлетворяются при х = х\
288 ГЛ. 1. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ. МНОГИЕ ПЕРЕМЕННЫЕ
Введем n-мерные векторы
(grad/)0 =	,
(A °xi /О
fell
(grad <pj)0 =
(9)
(/ = 1, ..., m). (IQ)
Факт, что x° есть стационарная точка, можно выразить так.
Из того, что вектор (dx,,... dxn) ортогонален ко всем векторам
(grad од)о (i — 1,. ., zn), т. e. из того, что удовлетворяется система
(6), следует, что удовлетворяется равенство (5), т. е. вектор
(dx,, ..., dxn} ортогонален к вектору (grad/)0. Но тогда, как из-
вестно из линейной алгебры (см. ниже лемму), существует т
чисел Xt, ..., лт таких, что
(grad /)0 = Mgrad <pt)0 + ... + Xm(gradq)m)(). (И)
Иначе говоря, при х = х’ выполняются равенства (1) и (8) и мы
доказали наше утверждение в одну сторону. Наоборот, если при
х = х° при некоторых числах Х(, .... Х,„ выполняются равенства
т
(8), т. е. векторное равенство (grad /)0 — 2 X, (grad <p<)0, то из того,
г=1
что выполняются равенства (6), т. е. из того, что вектор (dx,,...
...,dxn) ортогонален к векторам (10), следует, очевидно, что он
ортогонален к вектору (9), т. е. что выполняется равенство (5),
и мы доказали утверждение в обратную сторону.
Выяснение вопроса о том, будет ли данная стационарная точка
х’ точкой относительного экстремума и какого (максимума или
минимума), тоже удобно проводить, рассматривая лагранжеву
функцию F. Будем считать, что в точке х° якобиан (2) не равен
нулю. Тогда в силу связей (1) можно считать, что переменные
xm+i, ..., хп в окрестности х° независимы (между собой), а пере-
менные х„ ..., хт от них зависят. Для симметрии можно считать,
что все переменные х,, ..., хп — зависимые (от xm+i,..хп}. На
основании теории локального абсолютного экстремума достаточ-
ные условия максимума можно получить, исследуя второй диффе-
ренциал d2/o в точке х°, считая хт+1, х„ независимыми. Мы
т
знаем, что / (х) =f(x) — 2	(х) = ^(х) для всех х, удовлет-
п
воряющих связям (1). Поэтому для этих х df = dF — 2
Л=1 а
для всех dxk, удовлетворяющих связям (6), и
<Pf = diF—'^i'^i
Zt=l 1=1
ft 4	ft=i ft
для всех dxh, d’x,,, удовлетворяющих связям (6) и вытекающим
§ 7.22. ЛОКАЛЬНЫЙ ОТНОСИТЕЛЬНЫЙ ЭКСТРЕМУМ
289
из них связям после их дифференцирования*). Подставим в эти
равенства стационарную точку х° и будем считать, что ее
множители Лагранжа. Тогда 1-т—) =0, и мы получим равенство
\ °Хк /О
п п /	_	\
2 2 ( дх dxt ) dxhdxl>
fe=l 1=1 \ k I / 0
верное для всех dxk, подчиняющихся связям (6).
Полученный результат можно сформулировать так. Пусть на-
до вычислить второй дифференциал d2/0 от функции j в ее ста-
ционарной точке х° при наличии связей = 0 (/ = 1,..., т). Для
у	И
этого определяется лагранжева функция F = f — 2 I'-FPi и вычис-
3=1
п п , а^р \
ляется ее второй дифференциал d2F0= У У — I dxhdxb
\ . ОХ, ОХ 1 / _
k=l 1=1' k I/O
формально считая, что ..., хп — независимы. Тогда имеет место
равенство
= c/2F0,	(12)
справедливое, каковы бы ни были dxh (к = 1,..., и), подчиняю-
щиеся линейным связям (6). В этом смысле исследование d2fa
может быть сведено к исследованию (FFa.
Допустим, что есть строго положительная. форма, т. е.
d2Fa > 0, каковы бы ни были (независимые между собой) dx„, не
равные нулю одновременно. Зададим dxm+l, ..., dx„, одновременно
не равные нулю; через связи (6) им соответствуют вполне опреде-
ленные значения dxt, ..., dxm; получим систему dxi, ..., dxn диф-
ференциалов, одновременно не равных нулю; им соответствует
d2F„ > 0, но тогда и d2fa > 0, т. е. квадратичная форма d2fa от
переменных dxm+l, ..., dxn (которая явно нигде не писалась)
строго положительная. В таком случае /, как функция независи-
мых между собой переменных хт+1, •  ., хп, достигает в х° локаль-
ного абсолютного минимума или, что все равно, /, как функция
от ..., хп, достигает в х° локального относительного минимума
при наличии связей (1). Подобным образом можно заключить,
что если d2Fa есть отрицательно определенная форма, то / имеет
в х° локальный относительный максимум.
Но могут быть более сложные случаи, когда </2F0 не есть
определенная форма, но она делается определенной, если диф-
ференциалы dxb ..., dxn подчиняются связям (6). В этом случае
применение равенства (12) также удобно при этом методе.
п Г) ^2	п
*) Имеются в виду связи У* "V---------dxxlx; -|-	— h . сРх~ 0
<,Х:дХ:	‘	дх, * 1 -
i = 17=1  1 7	i=l 7
<fc=l, .... т).
290 ГЛ. 7. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ.. МНОГИЕ ПЕРЕМЕННЫЕ
Схема решения задачи на относительный экстремум на обла-
сти Q сводится к следующему.-
Выделяется на Q подмножество Qt точек х, в которых функ-
ции f, ф„
рица
.., <рт имеют непрерывные частные производные, а мат-
имеет ранг т. На Q, описанным выше способом нахо-

дятся стационарные точки. Каждая из них затем исследуется на
экстремум. Если в ней существуют непрерывные частные произ-
водные второго порядка, то может оказаться эффективным метод
исследования второго дифференциала функции Лагранжа F. Если
теория приводит к сомнительному случаю, то требуется специаль-
ное исследование. Конечно, и точки хей-й, требуют также
специального исследования.
Пример
на окружности
1. Найдем локальные экстремумы функций /(ж, у) — ху
(Г):
<р(ж, у) = ж2 + у2 — 1 = 0.	(13>
Функции / и ф дважды непрерывно дифференцируемы на всей плоскости.
Кроме того, ранг матрицы
|5ф II
дх’ ду || II 2х’ 2//|
равен 1 (т. е. количеству связей) на всей плоскости х, у, ва исключением
точки (0, 0). Но последняя не находится на Г. Следовательно, точки, где
возможен локальный экстремум, находятся только среди стационарных
точек.
Приравнивая нулю частные производные функции Лагранжа задача
F(x, у) = ху — Х(х2 + у2 — 1), получим уравнения
dF	dF
= у — 2Zz = 0; -г— = х — 2л у = 0.
дх . а	ду	”
(14>
Решая их вместе с уравнением (13), получим четыре пары стационарных
точек х-= ±1/1'2, у — ± 1/у2, соответствующих всевозможным распределе-
ниям «+» и «—». Паре xt = yi = 1/V2 соответствуют А| = 1/2 и лагран-
жева функция
F(x, у) = ху — (х2 + у2 — 1)/2.
Второй дифференциал от F в точке (xi, yi) имеет вид d2F — —dx2 4-
4- 2dx dy — dy1 = —(dx — dy)2. В силу (13)
2x dx + 2y dy — 0,
откуда dy = —dx, и окончательно
d2F = — (2dx)2 — —4dx2,
где dx — независимый дифференциал. Следовательно, в точке (xt,yi) имеет
место локальный относительный максимум задачи, равный /(1/У2, 1/1'2) —
— 1/2. Легко заключить, используя симметрические свойства /, что в точ-
ке (—1/У2, —1/У2) имеет место другой локальный относительный максимум,,
равный 1/2.
§ 7.22. ЛОКАЛЬНЫЙ ОТНОСИТЕЛЬНЫЙ ЭКСТРЕМУМ
291
Так как окружность Г есть ограниченное замкнутое множество и непре-
рывная иа Г функция / должна достигать на Г своего максимума, и так
как максимум на Г необходимо есть локальный максимум на Г, то max F =
_ _ _  _ г
— /(1/|2, 1/У2) = /(—1/У2, —1/У2) — 1/2 и, аналогично,
min / = /(!/}% -1/У2) = /(-1/Г2Г1/V2) = -1/2.
г
Лемма. Пусть а, Ь1, ..., Ь”1 — векторы п-мерного простран-
ства (т<п). Для того чтобы имело место представление
а = У ХД>3,	(15)
i=i
яде Xj—некоторые числа, необходимо U достаточно, чтобы всякий
вектор с, ортогональный ко всем Ь’:
(с, ЬО = 0	(/ — 1, ..т), . .	(16)
автоматически был ортогонален к а:
(с, а)=0.	(17)
Доказательство. Если имеет место (15), то (16) влечет
(с,а) = (с, 2 Х,Ь3) = 2 Xj(c,bJ) = O,
\	3-1	/	3=1
я мы доказали необходимость условия леммы.
Перейдем к доказательству достаточности. Ортогонализи-
руя систему Ь‘, ..., bm, получим ортонормированную систему
а1, ..., а”, обладающую тем же свойством: из равенств
(с, а0 = 0, / = !,,.., гп,
следует, что (с, а) = 0.
Разложим вектор а по векторам aJ:
а= 2^Х + Г» Х^=(а, а^).
3=1
Вектор г ортогонален ко всем а’,, но тогда (г, а)=0 и, следова-
тельно,
0 = (г, а) = [г, 2	+ гj = (г, г).
\	3=1	/
Но тогда
г = 0 и а = 2 М3.
i=i
292 ГЛ. 7. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ. МНОГИЕ ПЕРЕМЕННЫЕ
§ 7.23. Особые точки кривой
Из теории неявной функции известно, что если функция
F(x, у), обращается в нуль в точке (х0, у„), имеет непрерывные
частные производные в некоторой окрестности этой точки и
(1>
то существуют такие 61, 62 > 0, что множество Е всех точек (х, у\
принадлежащих прямоугольнику
|ж — х0| <61, |у —у0|<62	(2>
и удовлетворяющих равенству F(x, у) = 0, описывается функцией
у = cp(z) (//о = <p(z0)), имеющей непрерывную производную (на
— Жо1'< б4).
Если в этой формулировке вместо (1) предположить, что
1—1 #= 0, то можно указать прямоугольник (2) такой, что соот-
'О.С.'о
ветствующее ему множество Е описывается равенством х = ф(у)
(х0 = ip(z/0)), где ф — функция имеющая непрерывную произ-
водную.
Сейчас нас будет интересовать тот случай, когда наложенный
на функцию F условия сохраняются, за исключением одного.
Именно, будем предполагать, что обе частные производные от F
в точке (жо, Уо) равны нулю: (^~) =	= О-
Множество Г всех точек (х, у), для которых функция F = О,
мы будем называть кривой, отдавая себе отчет в том, что на са-
мом деле Г может не быть геометрическим образом, который
обычно принято называть кривой. Например, если функция F
тождественно равна нулю, то Г есть вся плоскость (z, у). Нас
будет интересовать вопрос, какой вид имеет Г в достаточно малой
окрестности точки (z0, у0).
Не уменьшая общности, будем считать, что х0 = 0, у0 = 0. Бу-
дем предполагать также, что функция F имеет непрерывные част-
ные производные четвертого порядка (за исключением одного слу-
чая, АС — 52>0, когда достаточно существования вторых непре-
рывных производных).
/ я*р \	( d2F \	[d2F\
Положим А = —- I	В = т—г- , С — л а •
\ дх2 /0	/0’	\ ду /0
Будем предполагать, что числа А, В, С одновременно не рав-
ны нулю и рассмотрим отдельно возможные случаи.
1)	АС — В2 > 0. Тогда на основании теории локального абсо-
лютного экстремума функция F достигает в точке (0, 0) строгого
локального максимума или строгого локального минимума, откуда
следует, что для точек достаточно малого круга а с центром в ну-
левой точке, отличных от центра, F(x, у) 0.
$ 7.23. ОСОБЫЕ ТОЧКИ КРИВОЙ
293
Таким образом, кривая Г, описываемая уравнением
F(x, у) = 0,	(3)
в круге о сводится к одной точке (0, 0).
В этом случае говорят, что точка (0, 0) есть изолированная
точка Г. Сама она принадлежит к Г, но в ее достаточно малой
окрестности нет других точек it
Уравнение х2 + у2 =0 может служить простым, примером этого
случая.
2)	АС — 52<0. Согласно формуле Тейлора
F(x, у) — Ах2 + 2Вху + Су2 + ц(х, у),	(4)
где ц имее,т в нулевой точке вторые производные, равные нулю и
ц = О(р3)	(р2 =х2 + у2).	(5)
В первом приближении уравнение F(x, у) = 0 естественно за-
менить уравнением Ах2 + 2Вху + Су2 = 0, которое в данном слу-
чае (АС — В2 < 0) определяет пару (не мнимых) прямых
(а,а:+ Р!у)(а2х + $гу) =0,	(6)
Если сделать подстановку
| = atx + 3,1/, ц = а2х + р2г/,	(3)
то из (4) получим
. F(x, у) = Ф(£, ц) = tji] + 44g, г]),	(9)
где
ф = <2(г3)	(r2 = V + n2).	(10)
Здесь (10) следует из (5), так как в силу (7)
с,р < г < с2р,
где с,, с2 > 0 — некоторые константы.
В силу единственности разложения по формуле Тейлора с ос-
татком в форме Пеано (см. § 7.14) из (10) следует, что представ-
ление (9) есть формула Тейлора функции Ф(^, ц) в окрестности
| = ц = 0 с остаточным членом -порядка 1 = 3. Но тогда
з
1=0
где 1р( имеют непрерывные частные производные первого порядка
(см. конец § 7.13).
294 ГЛ. 7. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ. МНОГИЕ ПЕРЕМЕННЫЕ
Итак,
3
i=0
(11)
В плоскости (5, ц) (рис. 7.10) проведем две биссектрисы, деля-
щие пополам координатные углы. Для исследования части Yi кри-
Рис. 7.10.	Рис. 7.11.
вой Г' (Ф(5, т])=0), попавшей
(в достаточно малой окрестнос-
ти нулевой точки) в затушеван-
ную фигуру, сделаем замену
переменных (5, ц) на (5, и),
где
т] — 5 и, (|w| < 1). (12)
А для исследования части кривой Г', попавшей в незатуше-
ваниую фигуру,, заменим (5, ц) на (и, ц), где
5 = нт] (lu| 1).	(13)
В силу (11) и (12)
Ф(е, n) =	+е!ф(ё, и) =0,	(1-4)
где <j)(g, и) имеет непрерывные частные производные.
Сокращая на 5\ получим
Х(5, it) = u + 5<рС5, tt)=O.	(15)
Точке £ = 0, т| = 0 в силу (12) могут соответствовать точки
(5, и), где ^ = 0 и |и| С1. Но уравнению (15) может удовлетво-
рить только точка 5=0, и = 0. Левая его часть при этом имеет
непрерывные частные производные в окрестности точки В=0,
и = 0 и = 1.В таком случае, на основании теоремы о неяв-
пых функциях, существует, и притом единственная, функция
м = |х(5) (р.(0)=0), определенная на достаточно малом интервале
151 <б, имеющая непрерывную производную и удовлетворяющая
уравнению (15), и тогда соответствующая ей функция
т) = 5ц(5),	(16)
также непрерывно дифференцируемая па 151 <6, имеет производ-
ную (г]')о = 0 и удовлетворяет уравнению Ф(5, ц)=0. Она опи-
сывает кусок кривой Г'. Другой кусок кривой Г', касатель-
ный к оси ц в нулевой точке, обнаруживается посредством под-
становки (13).
Таким образом, в рассматриваемом случае кривая Г (образ Г'
при обратной замене 5> Л на х, у) в окрестности нулевой точки
плоскости х, у распадается на два пересекающиеся под углом (не
равным нулю) куска ч, и (рис. 7.11).
§ 7.23. ОСОБЫЕ ТОЧКИ КРИВОЙ
295
3)	АС — В2 — 0. В этом случае
Ах2 + 1Вху + Су2 = {ах + $у)2,
где а и р одновременно не равны нулю. Положим | = рх — ау,
ц = ах + Ру и, рассуждая как выше, получим, что в новой (пря-
моугольной) системе координат (£, г|) наша кривая определится
уравнением
n2 + i	=	(17)
i=0
где ф,- имеют непрерывные производные. Подстановка ц = при-
водит после сокращения на |2 к уравнению
x(g, и) = и2 + |<р(£, и) = 0.	(18)
Теперь снова х(0, 0) = 0 (х(0, н)¥=0 при н^О). Если (ф)0 =
= ф(0, 0)=И=0 [случай (ф)о = О исключительный), что наиболее ве-
роятно, то =(<р)о#=О- Поэтому к равенству (18) применима
теорема О неявной функции, в силу которой существует, и при-
том единственная, функция £ = v(u) (0 = v(0)), имеющая непре-
рывную производную, удовлетворяющая в достаточно малой ок-
рестности и = 0 уравнению (18).
Имеем v (и) = — н2ф (£, и), v' {и) = — ^2шр — н2^ф (v (u)> w)]j(P2-
Пусть (ф)0 < 0, тогда, очевидно, найдется б > 0 такое, что
v'(н)
( 0 < и б),
(— б и < 0),
(« = 0),
и v(ti) строго убывает до нуля на [—6, 01 и строго возрастает от
нуля на [0, 6J. Поэтому на каждом из этих отрезков функция
| = v(u) обратима и имеют смысл обратные непрерывные функ-
ции, которые могут быть записаны в виде и = ±У—^[(ф)0+^е(|)]
(е(£) -► 0, | -*• 0), где | > 0.
Следовательно, мы получим два гладких куска кривой Г':
7] = ±Ц-|[(ф). + el « ±ГНф£ (s-0, 0s= fe«=6).
296 ГЛ. 7. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ. МНОГИЕ ПЕРЕМЕННЫЕ
Соответствующая исходная кривая Г изображена на рис. 7.12.
Говорят в этом случае, что (0, 0) есть точка возврата кривой Г.
При (ср)0 > 0 картина аналогична, но «возврат» имеет место
в область ё < 0 (рис. 7.13), когда подкоренное выражение поло-
жительно.
Конечно, если (<р)0 = 0, то требуется дальнейшее исследование.
Заметим, что подстановка | = ггр не дает новой ветви кривой,
потому что после сокращения (17) на гр получим уравнение 1 +
+	(г|, и) =0, не имеющее решения при ц = 0 и конечном и.
§ 7.24. Кривые на поверхности
Рассмотрим дважды непрерывно дифференцируемую поверх-
ность о:
z = /(z, у),	(1)
и принадлежащую ей дважды дифференцируемую гладкую кри-
вую Г: r(s) = <p(s)i + rf>(s)j + t,(s)k, где s — длина дуги Г.
Будем пользоваться обозначениями
dz	dz	d2z	д2 z	. o2z
D = — q — —, Г = —5, S = „ . , t = ----------
dx ? dy	дх2	dxdy	dyl
(2)
(мы думаем, что от того, что s обозначает длину дуги Г и ироиз-
d2z
водную путаницы пе произойдет).
Единичная нормаль к поверхности о в ее точке А = (х, у, z),
образующая острый угол с положительным направлением оси z,
равна
п =  ...~р = i + —z.....Г.7 == j Н---1 к.
V41 + Р2 + <Г	V1 + / + 'Q2 V 1 + Р~ +• <72
С другой стороны, единичный вектор главной нормали к Г в Л
равен (j 6.10, (3))
г ,,	... d х . , d у . . dz > ] .	. ,
v= =7?r = R	j + — k (r^0 ,
.I r I	\ as as ds /
где R — радиус кривизны Г (й >0) и х, у, z — компоненты г.
Обозначим через 9 угол между п и v. Тогда
cos 0 _ — Р d2-r ~ 7 d2y 4- d2z
- ds2 Yi + p2 4-
Но так как Г <= о, то дифференциалы компонент г (соответствую-
щие ds) удовлетворяют условию связи dz = pdx + qcly, откуда
d2z = р d2x 3- q d~y + г dx2 + 2s dx dy + t dy2,	(4)
§ 7.24. КРИВЫЕ НА ПОВЕРХНОСТИ
297
поэтому в силу (3)
cos в _ г dz2+2s dx dy-t dy2_ га2 + 2s оф + ф2	,r.
“ “ ds2 Vl + p2+T /l + pa + ?2-’
dx o dy	_
гдеа = ^,р = ^—косинусы углов касательной к 1 соответст-
венно с осями х, у.
Из формулы (5) непосредственно следует, что все кривые
Гс о, имеющие в точке А е о общую соприкасающуюся плоскость
L, отличную от касательной плоскости к о в А, имеют в А одну
и ту же кривизну. Ведь для всех таких кривых правая часть (5)
в точке А есть одно и то же число, так же как cos 0 для них —
одно и то же число, а их кривизна в А равна частному от деле-
ния правой части (5) на cos 0. Таким образом, кривизна какой-
нибудь из указанных кривых равна, например, кривизне той из
них, которая получается как сечение поверхности о соприкасаю-
щейся плоскостью L.
Это утверждение, вообще говоря, неверно, если cos 0 = 0, т. е.
когда соприкасающаяся к Г плоскость совпадает с касательной
плоскостью к о. Чтобы убедиться в этом, достаточно заметить, что
две лежащие на плоскости касающиеся друг друга кривые не
обязательно имеют в точке касания равные радиусы кривизны.
Пусть Г есть нормальное сечение поверхности о в ее точке А,
т. е. кривая, по которой пересекается о с плоскостью, проходя-
щей через нормаль к о ,в А, а Г' — какое-либо сечение о плос-
костью, проходящей через касательную к Г в точке А. Тогда для
кривых Г и Г' правые части (5) в точке А равны между собой.
К тому же для. Г угол 0 = 0 или 0 = л. Поэтому имеет место
равенство
где R и R' — радиусы кривизны соответственно нормального се-
чения и плоского сечения, имеющего с ним общую касательную.
Равенство (6) называется формулой Менье *). Его можно еще
записать так: Я'= ±7? cos 0 = Z?icos 01 (так как Я>0 и Д'>0).
Формула (5) для радиуса кривизны нормального сечения име-
ет вид
1 га2 +2 $оф + ф2
/irpTTT"’	(0
где слева надо было бы поставить знаки «±», соответствующие
случаям 0 = 0 и 0 = л. Но мы этого’делать не будем. Для даль-
нейшего будет более удобно разрешить радиусу кривизны иметь
*) Ж. Б. Менье (1754—1793) —французский математик.
298 ГЛ. 7. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ. МНОГИЕ ПЕРЕМЕННЫЕ
как положительный, так и отрицательный знак (7? >0 или 7?<0),
в зависимости от того, будет ли вогнутость нормального сечения
обращена в сторону положительной оси z или отрицательной.
Все предыдущие рассуждения, в том числе и формула (7),
были выведены в предположении, что lr(s)l >0, т. е. что R ко-
нечно. Ведь при r(s) — 0 понятие главной нормали, к кривой не
имеет смысла. Однако формула (7) верна и при r(s) = 0. В самом
деле, левая часть (7) в этом случае равна нулю (R = <»), но пра-
вая часть (7) тоже равна нулю. Ведь правая часть (3) равна пу-
лю, а с ней в силу (4) и правая часть (5) или (7).
Перенесем начало прямоугольной системы координат в рас-
сматриваемую точку А нашей поверхности о, а ось z направим
по нормали к а. Тогда р = q = 0, а2 + f)2 = 1, и можно положить
а = cos 9, p=sin0. Формула (7) радиуса кривизны нормального
сечения тогда будет иметь вид
— г cos2 0 -|- 2s cos 0 sin 0 Z sin2 0 = r-~- +~^ cos 20+s sin 20.
(8)
Кривизна 1/7? есть непрерывная функция на отрезке [0, 2л].
Поэтому опа достигает на нем максимума и минимума, которые
можно найти приравниванием нулю ее производной. В результа-
те получим уравнение
tg2e = H=h'
На интервалах (л/4, Зл/4) и (Зл/4, 5л/4) функция tg20 строго
возрастает, пробегая все значения от —до +°°. Поэтому на
каждом из этих интервалов существует только по одному корню
01 и 02 уравнения (9). К тому же 02 — 01 = л/2. На периоде име-
ется еще два корня, 0, + л и 02 + л, но они определяют те же
сечения.
Итак, при г ¥= t имеется два и только два взаимно перпенди-
кулярных направления, вдоль которых кривизна нормального се-
чения достигает своего максимума 1/7? ( и минимума 1//?2. Если
э-Ai направления принять за оси координат х, у, то уравнение (8)
будет иметь вид 1/7? = г cos2 0 + t sin2 0, потому что в этом случае
уравнение (9) должно удовлетворяться при 0 = 0.
Имеем 1/2?! = г, 1/R2 = t, и мы получили формулу (Эйлера*))
1 _ cos29 sin29
Числа 7?! и /?2 называются главными радиусами кривизны поверх-
*) Л. Эйлер (1707—1783) — великий математик, механик и физик, рус-
ский академик.
§ 7.24. КРИВЫЕ НА ПОВЕРХНОСТИ
299
ности (в точке 4). Они соответствуют главным сечениям поверх-
ности (взаимно перпендикулярным между собой).
Сечению 0' = 0 + (л/2) соответствует согласно формулы (10)
кривизна
1 sin2 0 . cos2 0
Сложив (ДО) и последнее равенство, получим равенство
показывающее, что сумма кривизн любых двух взаимно перпен-
дикулярных сечений есть величина постоянная. Она называется
средней кривизной поверхности в точке.
Точки дважды непрерывно дифференцируемой поверхности
принято классифицировать следующим образом.
1.	Эллиптическая точка соответствует случаю RtR2 >
> 0. В этом случае R> и R2 имеют одинаковые знаки, но тогда и
R для любого сечения имеет тот же знак, т. е. все нормальные
сечения имеют вогнутость в сторону положительной или отрица-
тельной оси z, в зависимости от того, будет ли знак «+» или «—».
Точки поверхности эллипсоида обладают этим свойством.
2.	Гиперболическая точка соответствует случаю RJ{2 <
< 0. В этом случае вогнутости главных сечений и прилегающих
к ним сечений направлены в противоположные стороны. Так как
кривизна MR есть непрерывная функция от 0, то должно сущест-
вовать по крайней мере два сечения с кривизной, равной , нулю.
На самом деле их только два, соответствующие значениям 0,
для которых tg 0 = ±V— R2/Ri', радиусы кривизны этих сечений
бесконечны. Однополостный гиперболоид есть пример такой по-
верхности, ее точки обладают этим свойством.
3.	Параболическая точка соответствует случаю
1/Я1Я2 = 0 (но одно из чисел Ri, R2 конечно). Таким образом, либо
Я, > ф l/Яг = 0 и тогда
1 _ cos2 0
~R ’
либо 1/Rt = 0, R2 < 0 и тогда 1/7? = sin2 0/Я2.
В этом случае имеется только одно сечение, имеющее нулевую
кривизну, а все остальные сечения имеют кривизну одного и того
же знака, и вогнутость их направлена в одну сторону. Точки ци-
линдрической поверхности — пример этого случая.
Узнать, к какой категории относится точка поверхности z =
= /(ж, у) с касательной плоскостью, не обязательно параллель-
ной осям х, у, можно по знаку rt — s2. Пусть г>0 и rt — $2>.О;
тогда квадратическая' форма
г dx2 + 2s dx dy + t dy2	(14)
300 ГЛ. 7. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ. МНОГИЕ ПЕРЕМЕННЫЕ
строго положительно определена и величина cos 0 в формуле (5)
для всех значений 0 сохраняет знак, следовательно, рассматри-
ваемая точка эллиптическая.
Если rt — s2 < 0, то форма (11) меняет знак для некоторых
двух разных пар (dx, dy), что указывает на гиперболичность точ-
ки. Если же rt — s2 = 0, то форма (11) сохраняет знак для всех
(dx, dy), за исключением одного направления, что показывает,
что точка параболическая.
Этими рассуждениями мы косвенно доказали, что знак rt — s1
есть инвариант по отношению к преобразованиям прямоуголь-
ных координат, при которых уравнение малого куска поверх-
ности, содержащего точку А, записывается в двной форме z =
— f(x, у). В этом можно убедиться также при помощи кропотли-
вых выкладок связанных с заменой переменных в частных про-
изводных.
Пусть теперь r=t, rt — s2 = г2 — s2; тогда формула (8) имеет
вид 1/7? = г + s sin 20.
1)	Если г2 —s2>0, то имеет место эллиптическая точка. При
этом, если s=A0, имеется, как и в случае 1), два главных сечения
с максимальным и минимальйым радиусом кривизны. Если же
s = 0, то 1/7? = г = const — все сечения имеют одну и ту же кри-
визну (точка округления).
2)	Если г2 — s2 < 0, то имеет место гиперболическая точка.
3)	Если г2 — s2 = 0, то, очевидно, это параболическая точка.
Пусть гладкая поверхность S задана в параметрической форме
г = xi + yj + zk = cp(u, i?)t + хр(гг, c)j + /(ц, n)k (и, vesQ), (12)
где Q — область. Дифференциалам du, dv соответствуют в силу
(12) дифференциалы компонент
dx = 4^ du -|- -4^-- dv, dy = du dv,
ои	dv	du 1 dv	(pi)
dz = du -|- 4- dv,
du	dv
которым в свою очередь соответствует выражение для квадрата
дифференциала дуги на S:
ds2 = dx2 -|- dy2 dz2 = E du2 -f- 2F du dv -|- G dv2,
E =	+	+	F = — — 4- — —	(14)
\ du J ‘ \ du J ’ \ du J ’ du dv ’ du dv ' du di’’ ' '
q __ f дх у / dy 'j2	/ dz у
\ dv / ' \ dv j ' \dv /
Выражение (14) есть квадратическая форма относительно du,
dv. Для гладкой поверхности это строго определенная положи-
§ 7.24. КРИВЫЕ НА ПОВЕРХНОСТИ
301
тельная форма, потому что ее дискриминант
PC Г'1 I В (У< z) V । ( D (z' х) \2 I I В (х, у) А2_। ... I2 0
(15)
Определенную гладкую кривую Г <= S можно задать при помощи
непрерывно дифференцируемых функций
u = X(t), p = p(i), (Х'2 + ц'2>0).	(16)
Если'Х и (J. подставить в (12) вместо и и V, то получим гладкую
кривую Г, лежащую на S. Ведь для нее при любом t выражение
tin dv
+	+G
0
(17)
положительно — это следует из условия (16) в скобках и строгой
положительности формы.
Умножая левую часть (17) на dt2, получим (14), т. е. квадрат
дифференциала нашей дуги Г (соответствующего дифференциалу
dt). Для данной дуги Г<=5 дифференциалы du и dv зависимы
между собой, но если нас интересуют всевозможные Г <= S, прохо-
дящие через данную точку А е S, то они, очевидно, определяют
всевозможные пары дифференциалов du, dv.
Выведем формулу, соответствующую формуле (5) в парамет-
рической форме. Для этого будем предполагать, что поверхность
S не только гладкая, но и дважды непрерывно дифференцируемая.
Левую часть (5) можно еще записать так:
COS0 (V, П) , .	.	/	. ГиХГ» 1
— = — = 0(0- «) = r 00- -17-71- -
\	I гих Ч /
(18)
где п — единичная нормаль поверхности S. Мы считаем, что
г(и, v) есть вектор точки поверхности S, a r(s) — вектор точки Г.
Но
г (s)
du ,* dv
— -4- г -г—
и ds ” ds
и если учесть, что векторы г„, г» ортогональны к п, то
cos 0  ( ruudu2 + 2r.-»rf" dv+ rvvdv2) (ru x rv)
R	1	1
тде ds2 можно заменить выражением (14)
302 ГЛ. 7. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ. МНОГИЕ ПЕРЕМЕННЫЕ
§ 7.25. Криволинейные координаты
в окрестности гладкой границы области
Пусть й — ограниченная область, граница которой есть гладкая (замк-
нутая) поверхность X. Из каждой точки .4 е S выпустим внутрь Й нормаль
и отметим на ней точку Л>.. находящуюся на расстоянии Z > 0 от А. Со-
вокупность всех точек Ах при данном фиксированном Л > 0 образует не-
которую поверхность (рис. 7.14, где изображены сечения 5, плос-
костью). Если К велико, то отдельные точки S>. окажутся принадлежащими
к разным нормалям. Другое дело, если к достаточ-
но мало. В этом случае можно ожидать, что в слое,,
- находящемся между 5 и 5>.. нормали не пересека-
ются и тогда каждая его точка находится на од-
ной и только одной нормали, выпущенной из неко-
торой точки А е 5. Это на самом деле имеет место,
если поверхность 5 дважды дифференцируема, т. е.
если описывающие ее локально, функции имеют не^
прерывные вторые частные производные.
Ниже это утверждение доказывается в «-мер-
ном случае.
Лемма. Пусть непрерывная на открытом множестве йсЯв опера-
ция У = А (х) отображает Й на	вообще говоря, не взаимно одно-
значно. Однако некоторое замкнутое ограниченное множество F отобража-
ется взаимно однозначно; мало того, предположим, что каждой точке хе?
можно указать ее окрестность Йх а й, отображаемую операцией А взаимно-
однозначно. Для любого Z > 0 введем множество Fk, состоящее из точек
Й, каждая из которых отстоит хотя бы от одной точки F на расстоянии
меньшем, чем "X. Тогда существует Хо > 0 такое, что А отображает F ° вза—
К f "к \г
имно однозначно: F 0 (F °) .
Доказательство. Зададим убывающую к нулю последователь-
ность чисел Кь. Если бы лемма была неверна, то для каждого к нашлись
бы две различные точки xh, yhe F "такие, что Ахь — Ауь. Так как мно-
жество точек xk, yke b с. b ограничено, то для некоторой подпоследо-
вательности индексов к, которую мы занумеруем заново,	Ул-*
-► у° е F, /1хЛ Лх°, Л уЛ -> 4у°, Лх° — Лус', откуда х° = у0, потому что А
отображает F на F' взаимно однозначно. Но это невозможно, потому что
точка х° = у0 принадлежит определенной окрестности й*0 и при доста-
точно большом к будет xfe,	и так как хх ф yk, то должно быть
Axh Ау„.
Рассмотрим (в — 1)-мерное многообразие S (см. § 17.1)
xt — <р»(и), (и = (иь ..., Ип-1) ew, i = 1, ..., п).	(1)
Точке х е S приведем в соответствие единичный вектор
v = (а,, ..., а»)	(2)
при помощи формул
где Ai — алгебраические дополнения элементов первого столбца опреде-
§ 7.25. КРИВОЛИНЕЙНЫЕ КООРДИНАТЫ В ОКРЕСТНОСТИ ГРАНИЦЫ 30.4
лителя (Д > 0)
а Йф1
1 ди1 " й“п-1
д(Рп дфп
диг	ди^
Числа At одновременно не
i)Uj
равен п — 1.
(4)
равны нулю, потому что ранг матрицы
Вектор V называется единичным вектором нормали к S в точке х е 8.
Другой единичный вектдр нормали отличается от v знаком.
Важно, что v определяется эффективно по заданным уравнениям S.
В этом проявляется ориентируемость многообразия S.
Для точек х = (xlt ..., хп) некоторой окрестности S введем замену
переменных
xt — tat + <р,- (ui, ..., un—i) (u е <о, i = 1, ...., n),
(5)
где t — новая действительная переменная. Сами по себе функции (5) опре-
делены при любом u Е <о и любом действительном t. Они непрерывно диф-
ференцируемы, потому что <р< дважды непрерывно дифференцируемы. Важ-
но еще, что какова бы ни была область ы' cz ш’ cz <о, найдется такое 6 > 0,
-что множество
8» = {|t| С 6, и е о/}
отображается при помощи уравнений (5) с положительным якобианом вза-
имно однозначно и, следовательно, непрерывно дифференцируемо в обе сто-
роны. Это следует из доказанной выше леммы, потому что операция (5),
которую мы обозначим’ через А, непрерывно отображает открытое множе-
ство Q = {—оо < t <. оо, и е ы} пространства Нп в /?„; при этом замкну-
тое ограниченное множество F = {1 = 0,-ивш'} cz Q отображается взаим-
но однозначно и, кроме того, каждой точке F можно указать ее окрестность,
отображаемую операцией А взаимно "однозначно (ведь в такой точке яко-
биан преобразования (5) Д > 0).
Рассмотрим еще трижды непрерывно дифференцируемую самонепересе-
кающуюся кривую Г (г (i) X г(0 ¥= 0)
г = <p(s)i + 4>(s)/ + %(s)k	(0 s < s0),
где s — длина ее дуги. Ее единичная главная нормаль ? и бинормаль у бу-
дут тогда непрерывно дифференцируемыми (один раз) функциями от s
(см. § 6.11). Положим
р=г + Л₽+рТ,	(6)
где X, р — произвольные действительные числа. При помощи этого равенст-
ва каждой тройке чисел (s, X, р) (0 s s0, —оо < X, р < оо) приводит-
ся в соответствие тройка (£, ц, £) декартовых координат вектора р. Обозна-
чим через Нр (р > 0) множество точек пространства (s, X, р), определяе-
мых неравенствами 0 s s0, X2 + р2 р2. Координаты £, ц, £ вектора р
суть непрерывно дифференцируемые функции от s, X, р с якобианом Ь
(s, X, р), равным при X = р = 0
а1
%
аз
О =
₽! -Тт
₽3-
Рз Уз
= |а(₽Х т)|=1
304 ГЛ. 7. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ. МНОГИЕ ПЕРЕМЕННЫЕ
(aj, рj, ifj — соответственно компоненты единичных векторов касательной,,
главной нормали и бинормали). Так как кривая Г самонепересекающаяся,
то равенство (6) устанавливает взаимно однозначное соответствие между
точками (s, 0, 0) (0 s s0) замкнутого ограниченного в пространстве
(s, X, у.) множества и точками (g, д, l) кривой Г. Но тогда на основании
доказанной выше леммы найдется достаточно малое р, при котором опера-’
ция (6) отображает множество Нр точек (s, X. у) на множество Q точек
(£, д, £) взаимно однозначно. Непрерывная дифференцируемость на О об-
ратной операции имеет место на оснований теоремы о неявных функциях
во всяком случае при достаточно малом р, для которого якобиан
jD(s, X, у.) > 0.
Благодаря приведенному рассуждению нам удалось в достаточно малой
окрестности О кривой Г создать криволинейную систему координат (s, X, у),
в которой Г определяется уравнениями X = 0, у = 0, и при этом между
этими координатами и декартовыми координатами (£, д, £) точек Q имеет
место взаимно однозначное и непрерывно дифференцируемое в обе сто-
роны соответствие g = /i(si, X, у), д = /z(s, X, у), £ = fs(s, X, у) (см. еще
по этому поводу § 17.2).
§ 7.26. Замена переменных в частных производных
Ограничимся рассмотрением двумерного случая. В п-мерном
случае выкладки аналогичны.
1) Рассмотрим функцию
z = fix, у),	(1)
где
x = (fiu, ц), у = ф(п, ц).	(2)
Tr	dz	dz
Покажем, как производные р = —, q = выражаются через
производные от z по и и V. Для этого продифференцируем (1)
по и и v:
dz	dz дх dz ду dz ' dz dx . dz dy
du	Ox du ‘ dy du ’ dv dx dv ' dy dv '	' '
Решая эти уравнения относительно р и q, получим
D (z, у)	D (х, z)
D(u,v)	m
P D (j, y) ’	4 D (x, y) ’	W
D (u, v)	D (u, v)
Конечно, в этих рассуждениях предполагается, что <р и ф имеют-
непрерывные частные производные по и, v с неравным нулю яко-
бианом. В дальнейшем подобные условия, обеспечивающие разре-
шимость соответствующих уравнений, мы будем предполагать вы-
полненными, не оговаривая это особо.
Равенства (4) можно записать следующим образом:
^ = C^-+D^,	(5)
д х ()и 1 bv ду ди dv 1
где важно отметить, что коэффициенты А, В, С, D зависят только^
§ 7.26. ЗАМЕНА ПЕРЕМЕННЫХ В ЧАСТНЫХ ПРОИЗВОДНЫХ
305
= А-
от и, V, но не от z. По тогда
d2z д / dz
Г = -5 = Н-
dx \ дх
^а^Ца^-\-в~
du \ ди д
я2	д2
+ 2Ав4-^-+ В2 ~ +
ouov
A — +B—) = A2^ 4-
du- ' dv j duz
, dA \ dz	( . дВ , n dB\ dz
dv j du	\ du dv j dv
(6)
я2
..	„ О Z
и мы получили выражение для частной производной —т через
дх
частные производные от z по и и v.
ТТ	Z 4	г	/-	Z-
Чтобы вычислить s = -	, t = —5-, поступаем подобным об-
, охау
разом. Производные более высокого порядка вычисляются после-
довательно этим же методом. Так, для вычисления
()z dz
ставить в правую часть (6) А — -р В — вместо z
нужные дифференцирования.
2) Решим теперь более общую задачу. Пусть
нения
д\
—3-надо под-
дх
и произвести
заданы урав-
Fj(x, у, z, и, v, w} = 0 (7 = 1, 2, 3),
(7)
связывающие х, у, z и новые переменные и, v, w. Требуется про-
изводные р, q, г, s, t выразить через частные производные от w
но и и V. Так как z есть функция от х, у, то и, у, w суть тоже
функции от х, у.
Продифференцируем равенства (7), считая х, у независимыми
переменными
dFt , dF, , dF, dF,	dF,	OF-
— dx 4——• dy -j—-— dz 4----du 4~ — dv -|—:— dw — 0 (8^
dx dy	uz	au 1 du 1 oiv	' ’
= 1, 2, 3),
и решим систему (8) относительно du, dv, dw:
du = A^dx 4- A\dy -|- A\dz,
dv = A'\dx 4- A2dy 4- A\dz,
dw = Afdx A%dy 4- Agdz.
(9>
Здесь коэффициенты А3, зависят от х, у, z, и, v, w. Так как dw =
, div ,
= ~дйau + ~dv~clv' T0’ подставляя в это равенство выражения (9)
для дифференциалов du, dv, dw и решая полученное уравнение
306 гл. 7. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ. МНОГИЕ ПЕРЕМЕННЫЕ
относительно dz, придем к равенству
dz — М dx + N dy,	(10)
dw dw
где M и N зависят от х, у, z, и, v, w, -х—.
В силу независимости дифференциалов dx, dy справедливы
равенства
р — М, q = N,	(И)
решающие поставленную задачу для производных первого поряд-
ка. Чтобы ее решить для производных второго порядка, вычислим
вторые дифференциалы от и, v, w, соответствующие независимым
дифференциалам dx, dy.
При вычислении, кроме dx, dy, появятся дифференциалы dz,
du, dv, dw, которые заменяются через dx, dy при помощи формул
(9), (10); кроме того, появится дифференциал d2z, и мы получим
сРи = B\dx2 + B\dx dy + B\dy2 + B\d2z^
d2v = B2dx2 -j- B*dx dy + B^dy2 + B^dtz,
d2w = B*dx2 -f- B^dx dy + B^dy2 -f- 5’d2z.
Ho
(12)
d2w = du2 + 2 dudv + ^-dv2 + ^-d2u + d2v. (13)
£u2	dudv ‘	'du ‘ dv	' '
Дифференциалы, входящие в (13), заменяем соответствующи-
ми выражениями (9), (12) и полученное выражение решаем отно-
сительно cPz-.
d2z — Pdx2 + ‘lQdxdy + Rdy'i,	(14)
откуда г = Р, s = Q, t = R, где правые части зависят от х, у, z, и,
v, w и от производных w по и, v порядков пе выше 2. Конечно,
в правой части (13) можно исключить х, у, z при помощи (7).
Мы применили метод замены переменных, который естествен-
но называть методом дифференциалов. Этим методом можно ре-
шить и первую рассматриваемую выше задачу (см. (1), (2)),
и тогда надо считать z= w.
Пример 1. Выразить оператор Лапласа ♦) (двумерный)
в полярных координатах. Решим эту задачу методом дифференциалов (хо-
тя ее можно решить и методом 1).
Имеем
х = р cos 6, у = р sin 0.	(16)
*) П. С. Лаплас (1749—1827) — французский астроном, математик и
физик.
6 7.26. ЗАМЕНА ПЕРЕМЕННЫХ В ЧАСТНЫХ ПРОИЗВОДНЫХ
307
Считая х, у независимыми, дифференцируем (16):
dz: = cosOdp—psinOdO, dy = sin 0dp + p cos OdO.
* 1
Отсюда dp = sin 0dy + cos Mx, d0 = (— sin Qdx 4- cos Qdy) —.	Далее,
p
d2p = (— sin Qdx + cos 0dy) d0 = pd02,
d2© = — (— cosOdz — sin 0dy) dO —	(— sin 0da: + cos0dy) =
P	p2
_ _ dpdO ___ dpd0 ___2 dpdfi
' P P ~P~*
Подставляя эти выражения в равенство
9 д2и д2и д2и » ди л ди 2
d2u =-------------у + 2	+----Г	d Р + ~я7Г “ 0
dp2 dpd0 dO2	др г 1 d0
и приводя подобные при dx2, dx dy и dy2, получим, в частности, выражения
д2и „ д2и
для —у и —у» что дает
дх ду
2
_____ д2и 1 д2и 1 д и
 “ ' др2 + р2 d02 + Р ^Р '
Пример 2. Выразить оператор Лапласа (трехмерный)
д2	о2
Л„
au	—- -|-	- -г —-у
дх ду dz
(17>
в полярных координатах.
Имеем х = р cos 0 cos <р, у = р cos 0 sin tp, z = р sin 0. Введем вспомога-
тельную переменную г = р cos 0. Тогда х ~ г cos <р, у = г sin tp, z = z и в
силу формулы (17)
__ д2и , 1 д2и । 1 ди , д2 и
dr г dtp г	dz
Остаемся в этом выражении сделать подстановку г = р cos 0, z = р sin 0,
<р — <р, в силу которой на основании той же формулы (17)
д2и . д2и   д2и  1 д2и . 1 ди
dr2	dz2	др2 р2 дв2 Р «Р ’
и на основании формулы (4)
D (z, и)
ди D (р 0)	1 . „ ди , Q ди
dr	D (r, z) p dO	dp
... 4Г
Поэтому
д2и 1 д2и 1 d2u 2 du sin 0 du
Д“ = "dp2 + p2 dO2 + p2cos20 d^2' + ’p "p"- p2 cos 0 ~дй'
(18)
Мы считали, что 0 (широта) отсчитывается от экватора сферы (—п/2<;
<•0 С л/2). Подстановка 0' = (л/2) —0 (0 < О' < л) приводит к отсчету от
308 ГЛ. 7. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ. МНОГИЕ ПЕРЕМЕННЫЕ
,2	-,2
ди	ди
северного полюса сферы. Тогда —г = —тт,
PH	он .
cos 9' = sin 0, sin 0' = cos 0,
1 д2и
2 ди 1 cos 0' ди
p2sin20' Йф2 Р дР~~ р2 sin °'	(18>
ди ди
~дв =~ liy~’
д2и	1 д2и
= л '2 Ф а" дН'
др	р ао
Упражнения.
1. Показать, что формула кривизны плоской кривой у = f(x) в поляр-
ных координатах (^ = rcos0, y = rsin0) преобразуется следующим об-
разом:
#у_\
dr2 |
/ dy У2]3''2
Vs d\
! Г df)2
dr \2 13/2
д2и
2. Показать, что дифференциальное уравнение---— — о подстановка-
ми]
д2 и	2 дги
ми § = х + at, ц = х — at сводится к уравнению —г = “ —Г*
dt дх
§ 7.27. Система зависимых функций
Пусть задана система т (т^п) функций
yj = fj(x) = fj(.xh ..., хп) (x^G; j = I, ..т),	(1)
непрерывно дифференцируемых на области G n-мерного прост-
ранства.
По определению, система (1) зависима на G, если по крайней
мере одна из функций, например, ут, выражается через осталь-
ные на G при помощи равенства
ут = Ф(щ, ..., ym-J,	(2)
где Ф — некоторая непрерывно дифференцируемая функция от
г/i, ..., ym-i, т. е. (2) есть тождество относительно х = (х^, ..., хп)
па G, если в нем положить г/, = //х) (j = l, ..., т). В случае
(2) будем еще говорить, что функция ут зависима от функций
yh ..., ym-t на G.
Теорема 1. Если система (1) зависима на G, то все опре-
делители m-го порядка, порождаемые матрицей
..Л
<-х,п
д! m (,fm
дх, ‘ ‘ дхп
(3)
тождественно равны нулю на G.
§ 7.27. СИСТЕМА ЗАВИСИМЫХ ФУНКЦИЙ
309
Действительно, пусть, например, ут зависит от	ym-i
при помощи равенства (2). Тогда
т—1
dxi дУк дх1
Поэтому определитель
дхх ‘ ’ • дхт
dJ_m
‘ ' дхт
== 0
(на G),
потому что, если помножить его первые Cm — 1) строки соответ-
ственно на — (Л = 1, ..., rn — 1) и вычесть полученные строки из
т-п строки, то последняя будет состоять из нулей.. Аналогично
рассуждая, получим, что и любой другой определитель m-го по-
рядка, порождаемый матрицей (3), тождественно равен нулю
на G.
Теорема 2. Пусть все порождаемые матрицей (3) определи-
тели m-го порядка тождественно равны нулю на G, a s (s < m)
есть наибольшее число, для которого в некоторой точке х° G
один из порождаемых матрицей (3) определителей не равен ну-
лю. Пусть (не нарушая общности') это будет определитель
д2±
oxs
.....	(4)
дх ' ' ' i)xs
Тогда найдется окрестность Q <= С точки х°, где система функций
/„ ..., Д не является зависимой, остальные же функции Д+1, ...
..., /п зависят на Q от Д, ..., Д:
/Да:) = ФД/Дя), ..., /3(x)) (Х = s+ 1, ..., m),	(5)
т. е. существуют непрерывно дифференцируемые функции Фх,
для которых на Q выполняются тождества (5).
Доказательство. Так как, по условию, определитель (4)
пе равен нулю в точке х°, то в силу его непрерывности он нера-
вен нулю в некоторой ее окрестности и по теореме Г система
Д, ..., Д не является зависимой на £Д и на любой содержащейся
в й, окрестности точки х°.
Далее, в силу того, что определитель (4) на £Д не равен пу-
лю, система
yj — fj^Xt, ..., xs, xs+i, ..., ж„)=0 (/ = 1, .... s) (6)
810 ГЛ; 7. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ. МНОГИЕ ПЕРЕМЕННЕЕ
разрешима относительно (xt, xs\ точнее, найдется прямо-
угольник
Д = {I хч' — х°1 < ст, ..., IX, — ж® I < ст, I xs+1 — я°+11 < 6, ...
...., |л:п —	\ У1 —	...» \у> —
и можно определить непрерывно дифференцируемые функции
(единственные)
х> = щ(х,+1, ..., хп, yi, у„) (/=1, ..., s) (7)
на
Д' == { | х,+1 — I < 6, ..., I хп — Хп I < 6, I yt — уЧ I < 6, ...
—(8>
обращающие равенства (6) в тождества относительно . (xs+1, ..-
..., х„, уъ ..., у,):
У> — //(И,  ,	*«+«,	£я) = 0 (j = l, ..., s) (9>
и так, что | р; — х”|Сст (j==l, ..., s). При этом прямоугольник
А" = { | хг — хЧ | ст, . .., | xt — хЧ | ст, | х3 — xs+11^6, ...
. . ., I Хп =- Хп I < 6}
принадлежит Q,. Мало того, если какая-либо точка (ж,, ..., xnt
yt, ..., ys) е А удовлетворяет системе (6), то ее координаты свя-
заны равенствами (7) (это и есть единственность).
Нам будет удобно ввести векторы (& > s — натуральное)
\ дх^ dxs dXfr] '	'	\^xh ^Xk 1
Дифференцируя (9) no xh, получим
a«)b = 2^ji+^^0. (/ = i,...,S).
S ^xi ^xh dxh
(10)
Подставив ц, в Д, k = (s + 1, ..., n), получим функции
Д(ц!, ..., p„, x!+i, ..., xn),	(И)
зависящее (a priori) от zs+1, ..., хп, yit ..., ys. Однако на самом
деле они зависят только от у,, ..., у,. Докажем это. Полные про-
изводные от них по хк равны
а*«ь =
= д dxi дхи+ дхл
(12)
§ 7.27. СИСТЕМА ЗАВИСИМЫХ ФУНКЦИЙ
311
Но, по условию, определитель
df1
дх1,‘ ' dxsdxh
df»
дх^
д_к
дх^
dxs 4xh
дхадхк
= 0,
в то время как его минор s-ro порядка, находящийся в верхнем
левом углу, не равен нулю на й,; поэтому вектор а(М есть неко-
торая линейная комбинация из векторов а(1), ..., а(а). Но в силу
(10) последние ортогональны к Ь; тогда и вектор а<К) ортогона-
лен к Ь, т. е. выражение (12) тождественно равно нулю на Д'.
Мы показали, что при X > s и к > s полная производная от функ-
ций (И) по хк тождественно равна Кулю на Д', т. е. они на са-
мом деле не зависят от x,+t, ..., хп. Поэтому
/х(р.,, ..., ps, xs+l, ..., xj = ФДу„ ..., у.) (X = s + 1, ..п),
(13)
где Фл.— непрерывно дифференцируемые функции от у,, ..., у,.
Определим теперь, пользуясь непрерывностью функций fj(x) для
указанных выше б, о, такое б, < б, о, что коль скоро
| Xj — ЛГ; | < 61	(6j < б, а),
имеет место
|/j(z) —//л;°)| <б (/= 1,	s).
(14)
(15)
Но тогда, для х = (z,, .. хп), принадлежащих кубу (14), который
мы обозначим через Q, имеет место (пояснения ниже)
/х(л7,, . . ., Хп) /л(Ц1,  . ., Цз,	Хп) ==3
= ФДуо ..Уз) = ФДАСг), ..., /5(х)), (16)
т. е. у->. зависит на Q от у,, ..., у3.
Для х = (xt, ..., r,)eQ точки (zs+1, ..., х„, yt, ..., у,) Д'
(i/j = /j(x), см. (8)), поэтому
Х}pj(x,+i, хп, yt, ..., ys) (/=1, ..., s),
что доказывает первое равенство цепи (16); второе равенство сле-
дует из (13), третье сводится к обратной замене у, па /,(х).
Глава 8
НЕОПРЕДЕЛЕННЫЕ ИНТЕГРАЛЫ.
АЛГЕБРА МНОГОЧЛЕНОВ
§ 8.1. Введение. Методы замены переменной
и интегрирования по частям
В § 1.6 были введены понятия первообразной функции и не-
определенного интеграла. Мы рекомендуем читателю возобновить
в памяти все, что говорилось там, перед тем как изучать эту гла-
ву. Цель этой главы дать практические навыки вычисления неоп-
ределенных интегралов от некоторых элементарных функций.
В теории определенных интегралов будет доказан^ теорема,
утверждающая, что непрерывная па интервале (а, Ь) (или на от-
резке [а, Ы) функция /(а:) имеет на нем первообразную f (ж), ко-
торая, конечно, в свою очередь непрерывна. Так как неопреде-
ленным интегралом от / на (а, 6) называется произвольная пер-
вообразная для / функция и любые две первообразные для / от-
личаются лишь на некоторую постоянную, то неопределенный
интеграл от / на (а, Ь) равен Sj(x)dx = F(x) + С, где F(х) — ка-
кая-либо первообразная для / функция, а (Т— соответствующим
образом подобранная постоянная. Таким образом, на основании
указанной выше теоремы можно сказать, что всякая непрерыв-
ная на интервале функция / имеет на нем неопределенный инте-
грал. Одпако если / есть элементарная функция (см. § 1.3), то
оказывается, что далеко не всегда ее первообразная F, а следо-
вательно, и неопределенный интеграл от нее, есть в свою оче-
редь элементарная функция. Это может быть, а может и не быть,
и в этом различие между дифференциальным и интегральным
исчислением. В то время как производная от элементарной функ-
ции есть элементарная функция, обратное утверждение, вообще
говоря, не верно. Имеются такие элементарные функции, кото-
рые, как говорят, не интегрируются в элементарных функциях; их
неопределенные интегралы хотя и существуют, но не являются
элементарными функциями.
Но все же к нашему счастью имеются классы интересных в
математической практике элементарных функций, которые инте-
грируются в элементарных же функциях, т. е. их первообразные
суть элементарные функции.
Эта глава посвящена изучению методов интегрирования функ-
ций подобных классов.
Начнем с того, что приведем таблицу неопределенных инте-
гралов, вытекающую из основной таблицы производных от про-
§ 8.1. ЗАМЕНА ПЕРЕМЕННЫХ И ИНТЕГРИРОВАНИЕ ПО ЧАСТЯМ 313
стейших элементарных функций:
J	+ с (и + 1 0);
J — dx = In | х | С;
f exdx = ex -p C;
f axdx = y—---1- C (a > 0, a^=l);
J	In a
J cos x dx = sin x -|- C;
j" sin x dx = — cos x -|- C;
f sec2 x dx =' tg x + C;
cosec2 x dx = — ctg x -f- C;
I . dx = arc sin x -4- C — — arc cos x Ц- C
«’ 1/1 - 4
ch x dx = sh x 4~ C\
( sh x dx = ch x + C-
Слева в каждом равенстве стоит произвольная (но определен-
ная) первообразная функция для соответствующей подынтеграль-
ной функции, справа же — одна определенная первообразная, к
которой еще прибавляется константа С такая, чтобы выполня-
лось равенство между этими функциями.
Первообразные функции в этих формулах определены и не-
прерывны на тех интервалах, на которых определены и непре-
рывны соответствующие подынтегральные функции. Эта законо-
мерность не случайна: как отмечено выше, всякая непрерывная
па интервале функция имеет на нем непрерывную первообразную.
В § 1.6 была выведена формула
f (А^и (х) -|- A2v (х)) dx = Aj и (х) dx -|- Аг J v (х) dx 4- С, (1)
выражающая линейное свойство неопределенного интеграла.
Основную роль в интегральном исчислении играет также фор-
мула замены переменной (или подстановки):
J / (х) dx = j / (<р (О)-ф' (1) dt 4- С = J / (<р (0) dq (t) + С. (2)
314 гл. 8. НЕОПРЕДЕЛЕННЫЕ ИНТЕГРАЛЫ. АЛГЕБРА МНОГОЧЛЕНОВ
В этой формуле предполагается, что я:=ф(<) есть непрерывно
дифференцируемая (имеющая непрерывную производную) функ-
ция на некотором интервале изменения t, a f(x) — непрерывная
функция на соответствующем интервале или отрезке оси х. Пер-
вое равенство (2) утверждает, что левая его часть тождественно
равна правой, если в ней (после интегрирования!) сделать под-
становку x-tpit) и подобрать соответствующуй» константу С.
Докажем это утверждение. Слева в (2) стоит функция, которая
является первообразной от f(x). Ее производная по t равна
4- С / (х) dx = -у- ( f / (х) dx] <р' (0 = /(ф(О)ф' (О-
Следовательно, если ввести в этой функции подстановку х —
= ф(<), то получится первообразная от функции /(фП))ф'(£). Ин-
теграл же справа есть, по определению, некоторая первообразная
от /(ф(Н)ф(<). Но две первообразные для одной и той же функ-
ции отличаются на некоторую постоянную С. Это и записано в
виде первого равенства (2). Что касается второго, то оно носит
формальный характер — мы просто уславливаемся писать
J F (t) ф' (t) dt = J F (t) dtp (i).	(3)
Например,
J e*2x dx= J ex22x dx -\-C = -i- J ex2d (x2) -|- C =
= "T	eu +	==-y-e*2 + C4 (u = x2).	(4)
Первое равенство написано в силу (1), второе в силу (3), тре-
тье — в силу (2) (постоянная изменилась) и четвертое — в силу
формулы из таблицы (постоянная изменилась). Однако в прак-
тике вычислений в членах, содержащих неопределенный интег-
рал, константы С не пишут и тогда цепочка (4) упрощается:
е*2х dx— -у- J е*22х dx = -y-J e*2dx2 — -у е*2 С,
к тому же мы опустили очевидные 3-е и 4-е равенства.
Вот еще примеры:
J езх dx = -у- Je*xd (Зх) = -L е»» + С,
J sin кх dx= -у У sin кх d (кх)==----у cos кх 4- С
(*=/=0).
§ 8.1. ЗАМЕНА ПЕРЕМЕННЫХ И ИНТЕГРИРОВАНИЕ ПО ЧАСТЯМ 315
Приведем еще примеры, которые все равно нам понадобятся
в теории интегрирования рациональных дробей:
С dx _ f d{x — a) ____________________1_______
J (х — а)т J {х — а)т {х — а)’"'?1 (1 — т) ’
С dx	\ d'x — a)	I.	। ।
।-------= I------------- = In а: — а + С;
J х — a	J х — а	1	’
dx 1
i2 4- х2 “ а
d (х/а)	1	. х , „
—' = — arctg — + С;
1 4- (х/а2)	«	“
<а¥=0)	= 1	-------L-U=.
J х — а2 2а J \х — а х + а/
— (In I х — а I — In I х + а |) 4- С = In I 1 л_
2а'	1	1	1	17	2а | х 4- а | 1
/ р2 _______ С dx _______________ f dx ___________
V 4 J J x2 4- px 4- q J (x 4- (p/2))2
= f d (x 4- (p/2)) = _	1	„
J (x 4-(p/2))2	* + (p/2) +
«> 0) f-2—-----
/ d x 4- px 4- q
dx
(x 4- {p/2))2 + (q — (p2/i))
f	= L C..1 “ \2dx = 1 arctgi±^+C;
J (x +(p/2))2 4-a2 “4 4.| p+(P/2)V a s a •
\ a I
(6)
>o)f ; dx =C d{x^(p/2))
S	ldx“-\-p¥ + q J (x 4-(p/2))2- a2
= 1 ln ±±lg/g)...-..a 4-C; (7)
,x —p	—p a
f dx
J x“ + px + q
ру+Р,+,)|д1п|х. + ра! + 8|+с.
J x 4- px -I- q
(4^0)	+
' J x2 4- px 4- q	<J xl 4- px 4- q
dx =
= A f (2x + P)dx _£ Г (2B/A) - P dx =
2 J . x2 4- px 4* q J x2 4- px 4- q
= In I з:2 4- рл: + g I + Z> f -a-;
J x + px + q	^\Л	/
(далее см. (7)).
316 гл. 8. НЕОПРЕДЕЛЕННЫЕ ИНТЕГРАЛЫ. АЛГЕБРА МНОГОЧЛЕНОВ
Для теории интегрирования рациональных дробей важно, что
вычисление интегралов типа (5) — (8), где а, А, В, р, q — кон-
станты, приводит к элементарным функциям (рациональным, In
и arctg).
Перейдем к формуле интегрирования по частям:
J uv'dx — uv — J vu'dx С	(9)
или, что все равно, J udv = uv — J vdu -f- C.
В этой формуле и и v — непрерывно дифференцируемые функ-
ции. Производная от ее левой части равна uv', а производная о г
правой части также равна uv' = (uvY — vu', поэтому они отлича-
ются лишь на некоторую постоянную, что и записано в (9).
Например,
f In л; dx — х In х — J dx — х (in х—1) -f- С;
J xexdx = J х dex = exx — J exdx = ex(x — 1) + C;
J x sin xdx — \xd (— cos x) =
=’ — xcosx + J cosxdx = — xcosx + sin x Ц- C;
J eaxcosx dx— eax sin x — a J eaxsin xdx =
= eax sin x — a [e0* (— cos x) -f- a J ею cos x dx\,
откуда
C „„ J eax (sin X 4- a cos r) . „
eaxcosxdx —-------------------k C.
J	1 + a2
Приведем еще пример, который будет нужен для теории ин-
тегрирования рациональных дробей.
Пусть к > 1 — натуральное и а > 0; тогда
| dx	2 f dx । 1 f x2xdx
J (x2 + a2)'*”1 ~ a J U2 + a2)A + ~ J (x24-a2)A =
2 f dx , 1 ( x	if rfx • )
~ a J U2 + a2)ft + ~ [(I - k)(x2 + a2)ft -1 ~ J + a2)A-i ]’
откуда
2 f dx	x	। 3 — 2k \ dx •
a J (z2 + a2)ft = 2 (к - 1)U2 + a2)'1'1 + ^A-k) J	+ a*)k-l '
Теперь (если к > 2) к интегралу в правой части можно при-
менить тот же процесс, приводящий к понижению на единицу
показателя степени в знаменателе подынтегральной дроби. В кон-
8 8.1. ЗАМЕНА ПЕРЕМЕННЫХ И ИНТЕГРИРОВАНИЕ ПО ЧАСТЯМ 317
це концов придем к интегралу от (хг + а2)-1 (приводящему к
arctg).
Таким образом, при q — (р2/4) = а2 > 0 и натуральном к инте-
грал
берется в элементарных функциях.
Примеры.
Замена переменной (подстановка):
1.	C dx	x + 1 1 . , 2 — (arctg x + arctg 1) 4- C — arctg , ,	C (a>0). J 1 - j— JC	I т
2.	Г	dx'	(* d (z/a)	z 1		5	- 1	17	2	— arCSln „	+C (“>0). J	V a — X2 J	V 1	— (x/a)2	a
3.	f*	dx .	Cd (tg x) J sin x cos x j tgx	In | tg x |-|-C.
4.	f	zdx	fl d(a — x2)	iZ о 9 1Ьy‘ ^+c-
5.	f	f d (cos x) j tg x dx	1 со8л.	— In |cosx| 4 C.
6.	(* dx	(* dx	f 2 x (x \	x 1-i-cosx-	2x -- Jsec 2 ‘ЧгНг +c-l 1	J 2 cos2 ту
7.	Г dx	P	dx	Г d(tgT)	1	/1	\ J 1 + cos2 x~J 2 cos2 x4si„2 X“ J 2 + tg2 x“ V2 ^4tg
Интегрирован иепочастям
8.	i arcsin х dz =х arcsin х— | —у- . . dx = х arcsin x-k у 1—
J	J /1-х2
f	х ^Х	1/----2	Г
9.	| arcsin х —/    - = — И 1 — х arcsin х 4- 1 dx —
J /1-х2	J
= х — /1 — хг arcsin х 4 С.
С х dz	С
10.	I -%— — х tg х — I tgx dx = х tgx — In | cos x | 4- C.
Комбинированные способы:
:2x — 1) dx = tg x — x 4- C.
x dx =
12- J V dx = J (1 + x) y~-................2 =(! + *) arcsin x —
arcsin x dx = arcsin x — /1-х2
318
ГЛ. 8. НЕОПРЕДЕЛЕННЫЕ ИНТЕГРАЛЫ. АЛГЕБРА МНОГОЧЛЕНОВ
§ 8.2. Комплексные числа
Формально комплексные числа можно определить как пары
(а, р) действительных чисел, для которых определено равенство
и арифметические действия по следующим правилам:
1) равенство (а, р) = (alt Pt) имеет место тогда и только тог-
да, когда а = а, и р = р,;
2) (а, р) ± (аь р1) = (а±а1, p±Pi);
(а, р)(а15	= (aai — PPi, afh + atp);
(<х.Р)
(««! + PPt) —офд \
+	’ а? + ₽1 /’
а* + ^>0.
Для пар вида (а, 0) и только для них вводится понятие «<»:
(а, 0) < (р, 0), если а < р.	(1)
Имеет место очевидное взаимно однозначное соответствие а ~
~ (а, 0) между парами (а, 0) и действительными числами. Важ-
но, что оно изоморфно по отношению к арифметическим дейст-
виям и знаку «<»:
а ± р ~ (а ± Р, 0) = (а, 0) ± (Р, 0);
аР ~ (ар, 0) = (а, 0) (р, 0);
<^°>
(см. также (1)).
Это показывает, что пары (а, 0) суть действительные числа
(см. § 2.4). Они только изображены необычно — в виде пар. По-
этому будем писать а = (а, 0).
Итак, множество наших пар содержит в себе в качестве сво-
его подмножества множество действительных чис'ел. Пары же
(а, р), где р=#0 —это уже (не действительные) комплексные
числа.
Легко проверяется, что наши пары подчиняются аксиомам
арифметических действий таким же, как. аксиомы действитель-
ного числа (см. § 2.4, аксиомы II, III), если только выбросить
из последних те из них, которые связаны со знаком <. Для пар
же (а, 0) выполняются вообще все аксиомы действительного
числа. ,
Мы уже обозначили пары (а, 0) через а. Обозначим еще па-
ру (0, 1) буквой № = (0, 1)).
Над действительными числами а и символом i можно произ-
водить арифметические операции — ведь это же есть пары, для
которых эти операции были ощ!еделены. В результате этих опе-
раций будут получаться снова пары, которые, однако, можно за-
писывать как некоторые арифметические комбинации из дейст-
вительных чисел а, р, ... и символа I. Это исчисление облегча-
ется тем, что i2 = И — (0,- 1) (0, 1)= (—1, 0) = —1.
§ 8.2. КОМПЛЕКСНЫЕ ЧИСЛА
319
Любую пару можно представить в виде арифметической ком-
бинации из действительных чисел иг:
(а,0) = (а,О) + (О,0) = а + 0(О, 1) = а+0/.	(2)
Таким образом^ между парами (а, 0) и выражениями а+г0 име-
ется взаимно однозначное соответствие, выражаемое равенством
(2). Это соответствие есть изоморфизм -по отношению к арифме-
тическим операциям, потому что в силу правил исчисления над
действительными числами и символом г
(а + г0) ± (аг + 100 = (а ± aj + г (0 ± 00,
(а + гр) (а, + г0О = (aaj — 00J + г (а0г + а^),
. «!₽ — «Ej
M + Pl
а-НЕ _ ««i + EPi .
а1 + 4₽1 ” +
(а?+0?>О).
Мы можем теперь изгнать из обращения (а, 0) и оперировать
представляющими их выражениями (комплексными числами) a 4-
+10. Делается еще один шаг: комплексные числа a + г’0. где
а, 0 — действительные, обозначаются буквами,
например, пишут а = а + г0; а называется дей-
ствительной частью (компонентой) числа а,
а мнимой его частью (но 0—действительно!).
Обычно, когда говорят, что задано комплек-
сное число а = а + 0г, не делая дополнитель-
ных оговорок, то автоматически считают а
и 0 действительными числами.
Рис. 8.1.
Комплексные числа изображаются в виде (рис. 8.1) точек
(комплексной) плоскости, каждому числу « = а + г’0 приводится
в соответствие точка (точка а) с прямоугольными - координатами
(а, 0). Обозначим через р длину радиус-вектора точки а и через
6 (при a =/=0) —угол (в радианах), образованный им с положи-
тельным направлением оси х. Ясно, что a = pcos0, 0==psin0,
р = Va2 + 02 S* 0, поэтому
а = а + 10 = p(cos 0 + г sin 0).
(3>
Если а — 0, то р = 0 и равенство (3) сохраняется при любом 0.
Итак, мы доказали, что всякое комплексное число а можно
представить в форме (3), где р — неотрицательное число. При
этом р в этом (тригонометрическом) представлении есть единст-
венное (неотрицательное) число; 0 при а¥= 0— также единствен-
ное число, если потребовать, чтобы оно удовлетворяло неравен-
ствац
О<0<2л.	(4)
Если изменить в (3) одно из чисел р, 0 или оба (при условии
(4)), то получим уже другую комплексную точку.
Число р называется модулем а и обозначается так: |а| = р =
— Va2 + 02. Еслй а действительное, то модуль и абсолютная вели-
чина а совпадают.
320 ГЛ. 8. НЕОПРЕДЕЛЕННЫЕ ИНТЕГРАЛЫ. АЛГЕБРА МНОГОЧЛЕНОВ
Число же 0, удовлетворяющее неравенствам 0	0 < 2л, на-
зывается аргументом а в приведенной форме и обозначается так:
arg а*). Но уравнению (3) удовлетворяет также любое значение
0, отличающееся от arg а на величину 2/гл (& = 0, ±1, ...). По-
этому еще вводится понятие аргумента а:
0 = Arg а = arg а + 2/сл (7с = 0, ±1, ±2,...),	(5)
это бесконечпозначная функция от а. Любое решение уравнения
(3) относительно 0 может быть записано в форме (5).
Положим
ei9 — cos 0 + i sin 0 (—<»<0<oo).
Мы, таким образом, впервые определяем функцию ez для чисто
мнимого аргумента г — £0. Для произвольной комплексной пере-
менной z — x + iy функция ег определяется затем пни помоши
равенства
ег = exe’v = ex(cos у + i sin у);	(6)
е'в есть комплексная функция (принимающая комплексные зна-
чения) от действительного аргумента 0. Когда 0 изменяется не-
прерывно на полуинтервале 0 < 0 < 2л, точка е™ описывает не-
прерывно окружность радуса 1 с центром в О. Таким образом,
|е’°| = Vcos2 0 + sin2 0 = 1. Ясно, что е'9— периодическая функция
периода 2л: е'(0+2п) — е'9. Опа подчиняется свойствам
Л+91) = Л’'91, е-’9 = Ду,	(7)
каковы бы пи были 0 и 0±, потому, что
Л'91 = (cos 0 + i sin 0) (cos 0, + i sin 0t) =
= (cos 0 cos 0j — sin 0 sin 0i) + i (cos 0 sin 0, + sin ()t cos 0) =
= cos (0 + 0X) + i sin (0 4- 0J — е'к9+01\
lr /71	if) -i9l	n
Из (7) следует еще, чтое —е е = у--. Из сказанного
е 1
выше следует, что всякое комплексное число представимо в (три-
гонометрической) форме: а = рег1>, где р 0 — единственное число, -
равное |а|, a 0 = Arg«, определено с точностью до слагаемого
2/гл (& = 0, ±1, ...).
Имеет место неравенство
|д+Ы < lai + I&I	(8)
*) Впрочем, иногда удобно аргументом а в приведенной форме назы-
вать число 0, определяемое равенством (3), для которого аа 0 < а0 -|- 2л
или ао < 0 “о + 2л, где а0 — произвольно выбранное число.
§ 8.2. КОМПЛЕКСНЫЕ ЧИСЛА
321
и вытекающее из него другое неравенство
I |а| — 1Ы I sS la — b\,
(9)
каковы бы нн были комплексные а и Ь. Геометрически они вы-
ражают (рис. 8.2), что сторона треугольника не больше суммы
его остальных сторон и не меньше их разности. На языке ком-
понент чисел а = а+ф, б = а, + гр, неравенство (8) сводится
к неравенству (см. § 6.2, (9))	_______
У (а -г а,)2 + (Р : р,)2 <	+ /«г + P‘t
Справедливы также равенства
| ab | = | а 11 b |,	(19)
Arg (ab) — Arg а 4- Arg Ь -|- 2А-л,	(И)
IrkrH’ b^Q’ <12)
Рис. 8.2.
Arg-| = Arga —Argb+ 2А-Л, (к = (), ± 1, ...).	(13)
Равенство (11) надо понимать в том смысле, что в качестве
аргументов a, b, ab можно взять любые допустимые числа 0„ 02,
Q, и тогда окажется, что 0 отличается от 0, + 02 на величину
2/сл, где к — некоторое целое.
Докажем (10) и (11). Пусть ар,/**1, b -- PjC **2, ab -- ре’8,
где-0,, 02, 0 какие-то определенные (но произвольные) допусти-
мые аргументы a, b, ab. Тогда
j0	'(Й1 + Р2)
ре р,р,е
и па основании единственности представления комплексного чис-
ла в показательной форме р = р,р2, 0 = 0, + 02 + 2А.'л, где к — не-
которое целое.
Если комплексное число а = a + ip, то число а — a — i$ назы-
вается сопряженным к а. Таким образом, если а — a — действи-
тельное, то а — а.
Имеем
а ± b — а ± b, ab = ab, (у) = 4 (£>=/= 0),	(14)
Потому что, если а = a, -f- ф, = р2е l, b — а2 4- ip2 = рае 02, то
а ± b = (04 ± «,) -{- (Рх ± рз) i == (а, ± а2) — (Pt ± р2) г —
= («л — РД) ± (а2 — РД) « а ± Ь,
ab “ ррхе ~ PiPa^	— рхе р2г ab.
322 гл. 8. НЕОПРЕДЕЛЕННЫЕ ИНТЕГРАЛЫ. АЛГЕБРА МНОГОЧЛЕНОВ
Рассмотрим задачу о вычислении корня п-й степени из числа
а — ре‘в (р>0). Требуется, таким образом, найти все числа Ь =
== ге'ф такие, что Ьп = а. Но тогда rne‘n't — ре’° (г, р > 0) и, вслед-
ствие единственности представления комплексного числа в пока-
зательной форме, р = г", гаер — 0 + 2А’л, к = 0, ±1, ... Из первого
равенства следуетг = ргр>0(г — арифметическое значение кор-
ня га-й степени из положительного числа р). Из второго же, что
Ф = — -j-----(А*	0, i 1, ..
т п п	'
Значения ф, дающие различные корни n-й степени из а, соот-
ветствуют только п значениям к:
Ф*==4+4г (^ == 0,1, ..., га — 1).	(15)
Остальным целым к соответствуют значения ср, отличающиеся
от одного из значений (15) на величину, кратную 2л.
Мы доказали, что у комплексного числа а ¥= 0 существует п
(и только п) корней степени п, записываемых по формуле:
•J/а = у7 pei0 = yzp eVh (к == 0,1, . .., п — 1),
где cph определяются равенствами (15).
Пример.
2ч 4- 1
sin---т,— г.
— -[ cos X -Г cos 2х -|- . . . + cos пх -- ---- 1)и (х),	(16)
2 si п
•Г	/	1 X
cos — — cos In + — IX
sin x -) ... sin nx = ----------------.	(17)
2 sin —
Если в равенстве
V* ikx	_ gix ^«n+ll/SH» _ S
ХшЛ	etx_1	e'lxl‘l_
sin (n + (1/2)) x t cos (.r/2)— cos (n -f- (1 /2)) x
2 sin (1/2)	~’ 2 ~ 1	2sinU72)
приравнять действительные и мнимые части, то получим (16) и (17). Обе
суммы, (16) и (17), имеют большое значение в теории рядов Фурье; функ-
ция (16) называется суммой или ядром Дирихле.
§ 8.3. Предел последовательности комплексных чисел.
Функция комплексного переменного
По определению, последовательность комплексных чисел z„ =»
= а„ + (га = 1, 2, ...) имеет своим пределом комплексное чис-
ло Zo = а0 + i$0, если
|z„ — zu| = )'(а„ — а0)2’+ (,3„ - -х 0 («-><»)	(1)
§ 8.3. ПРЕДЕЛ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТИ КОМПЛЕКСНЫХ ЧИСЕЛ
323
или, что, очевидно, все равно, если одновременно а„ -* а0 и ->
-+ р0 (и-’-°0). В этом случае пишут lim zn — za или zn -> z„.
Нетрудно видеть, сводя вопрос к рассмотрению действитель-
ной и мнимой компонент zn, что для последовательности {zu},
так же как для действительных последовательностей, имеет ме-
сто условие Коши существования предела: для того чтобы после-
довательности {z„l имела предел, необходимо и достаточно, чтобы
для любого е > 0 нашлось такое N, чтобы для всех п, п' > N вы-
полнялось неравенство | zn — zn>\<Z е.
Легко также доказывается, что из существования предела (1)
следует, что lz„| -+• |zol (и -* °°).
Имеют место также равенства
lim (zn ± z„,) = lim zn ± lim zn>,
lim (znz„/) = lim zn lim zn>,	.
..	(3)
, z limi .	. ।
lim—= -------- (lim zn,^= о), I
V lim Zn,	|
причем, как обычно, предполагается существование пределов
z„ и znt и заключается существование пределов, стоящих в этих
равенствах слева.’
Пусть G есть некоторое множество комплексных чисел z =
— x + iy (точек комплексной плоскости). Если в силу некоторого
закона каждому ze С приведено в соответствие число w, вообще
говоря, комплексное, то говорят, что этим определена па G функ-
ция комплексной переменной w = /(z).
Для такой функций, так же как для функции действительной
переменной, вводится понятие предела, непрерывности и произ-
водной.
Окрестностью za называется множество точек z (комплексной
плоскости), для которых при некотором 6 выполняется неравен-
ство
lz-z0l<6.	.	(3)
Говорят, что число (комплексное) А есть предел функции j в
точке г», и пишут	/
lim/(z) = A или f(z) -*• A, z -* z0,
z-*z
о
если f определена в некоторой окрестности этой точки, за исклю-
чением, быть может, ее самой, и если для любого е > 0 найдется
6>0 такое, что |/(z). —Д.| <е для всех z, удовлетворяющих нера-
венствам 0 < lz — z0| < 6.
Это определение эквивалентно следующему: какова бы ни бы-
ла последовательность {z„l, zn¥=z0, сходящаяся к z0, lim/(zn)=>
= А.
324 гл. 8. НЕОПРЕДЕЛЕННЫЕ ИНТЕГРАЛЫ. АЛГЕБРА МНОГОЧЛЕНОВ
Имеют место свойства:
Jim {«(z) ± v (z)} — lim и (z) ± lim v (z),
z^z0	l-»lo г-ч
lim {u (z) v (z)} = lim и (z) lim г (z),
z->z0	Z-»ZO г--.’о
lim и (z)
(4)
lim
u(z) = г-го
v (z) lim v (z)
z->z0
1 im v (z) O'
Z-,Z0
Они доказываются вполне аналогично тому, как это делается для
функций действительной переменной (см. § 4.1, теорема 6).
Говорят, что функция / непрерывна в точке z", если она оп-
ределена в некоторой ее окрестности, в том числе и в ней самой,
и если lim /(z) — j{z°).
г~,го
Конечно, из (4) следует, что сумма, разность, произведение и
частное непрерывных в z° функций есть функция непрерывная в
г° (при обычной оговорке для частного).
Говорят, что f'(za) есть производная от / в точке z(), если
1|тж±^дк>.гы.	(5)
Az-О	Д2
Производная A-го порядка от / в точке z определяется по индук-
ции:
/<*)(2) = (/(*-*)(2))' (к~2, 3, ...).	(6)
Справедливы равенства, доказываемые в точности так же, как
в действительном случае:
Ju (z) ± v (z)]' = и’ (z) ± v' (z),
|u (z) v (z)J' = и (z) v' (z) + и (z) v (z),	(7)
v (z) u' (z) — и (z) v’ (z)	, ,	, ...
I—— I — ----------------- (р(г)я==и),
J	v(z)2	'	'
{(z — a)n)'= n (z — а)п^ (« = 0, ± 1, ± 2, .(8)
Нам придется также иметь дело с комплексноэначными функ-
циями от действительной переменной
/(л:) = cp(z) •+ 1ф(я)	(9)
(ср, ^-—действительные функции, определенные на некотором
множестве действительных х). Функция е,в “ cos 6 + Lsin O
(—оо<0<оо) может служить примером такой функции. Для та-
ких функций естественно определяется производная и неопреде-
§ 8.3. ПРЕДЕЛ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТИ КОМПЛЕКСНЫХ ЧИСЕЛ
325
ленный интеграл:
fix) = ф'(х) + гф'(х),
J / (х) dx — J ф {x)dx 4- i J ф (х) dx 4- С
(10)
(Н)
(С — комплексная константа).
Из (11) следует равенство
j (Л/1 (х) 4- Bf2 (х)) dx = A j /((х) dx В J /2 (х) dx 4- С, (12)
где А, В — комплексные константы, a ft и /2 — комплекснознач-
ные непрерывные функции.
а
Рис. 8.3.
Замечание. Пусть функция /(z) задана па открытом множестве G
точек г комплексной плоскости, пересекающемся с действительной осью х
ио некоторому интервалу (в, Ь) (рис.. 8.3). Тогда / можно рассматривать
также как функцию f(x) от действительной перемен-
ной х е («, Ь) (вообще, комплексвозначную). Если /
имеет в точке х е (а, Ь) производную в смысле комп-
лексного переменного, т. е. если существует предел
I- / 1х + Az) — f (т)	,, ,	.
Inn ——’------’---.. ' = / (ж), где Az стремится к
Az-м)	Az
нулю, пробегая любые комплексные значения, то.тем
более / имеет равную ей производную в точке х
в смысле действительного переменного, где требуется,
чтобы существовал предел lim	= f'(x), когда Ах стре-
A.v^o Ах
мптся к нулю, пробегая только любые действительные значения. Обратное
утверждение неверно, как показывает пример функции |z|. Производная в
смысле действительной переменной от нее в точке х > 0 существует и рав-
на 1, между тем как производная от нее в той же точке в смысле комп-
лексного переменного пе существует потому, что отношение (Az = ре1в)
| х 4- A.Z | — | .г | <г -р cos б)2 4- (р sin fl)2 —х
Az “	р/0
/.r2 + 2.rpcose 4- р2 - .г (2xpcosfl + p2)^+ o(p) сояв + в(1)
р?й	"	pei0	Л
cos О-
ЗГ (р-*0) (’3)
не имеет определенного предела при р == |Az| --О. Пределы существуют,
когда Az-*0 но лучам,-выходящим из нулевой точки, но они вообще раз-
ные для разных лучей. В третьем равенстве мы вынесли х аа аиак корня
.. ____ и
и затем применили равенство (/1 4- и = 1 -J-	-[ о {и), и -*0.
326 ГЛ, 8. НЕОПРЕДЕЛЕННЫЕ. ИНТЕГРАЛЫ. АЛГЕБРА МНОГОЧЛЕНОВ
§ 8.4. Многочлены
В § 5.9 было уделено внимание многочленам степени п,
Q (х) = аа + atx + ... + апхп (ап 0),
где коэффициенты ак и переменная х считались действительны-
ми. В частности, была получена формула Тейлора
где производные понимались в смысле действительного пере-
менного.
В этом парагарфе мы будем рассматривать более общие мно-
гочлены степени п,
Qtz) = а„ + atz + ... + anzn (»„=#= 0),	(1)
где ак, вообще говоря, комплексные коэффициенты, a z — х + iy —
переменная, применяющая любые комплексные значения.
Если z в-правой части (1) заменить па (z — z0) + z0, возвести
в требуемые степени и привести подобные члены с одинаковыми
степенями (z —z0), то Q(z') представится в виде суммы но степе-
ням z — z0:
Q(z) = Ъс + b^z — z„) + ... + 6„(z — Zo)".	(2)
Производная от <?(z) порядка к (в комплексном смысле;
см. §8.3) равна Q^Uz') = klbk + (к + 1)... 2(z - z0) + ... Поэ-
тому
и
><—п
Мы получили формулу Тейлора для многочлена по степеням
(z *—z0). Из нее следует, что Q(z) имеет единственное разложенце
вида (2): если два многочлена тождественно (т. е. для всех г)
равны, то коэффициенты их при одинаковых степенях (z — z0)
равны, потому что они определяются одними и теми же форму-
лами (3), В частности, многочлен степени п, тождественно рав-
ный нулю, имеет все коэффициенты, равные нулю.
Если точка z0 такова, что
^(zo) = ^(z0) = ... = <2(t-'’(zo)=O, ^(*’(zo)¥=O,	(5)
то Q можно представить в виде
Q(z) = (z - za)kR(z) ' СШ)=/=0),	(6)
§ 8.4. МНОГОЧЛЕНЫ
327
где R — многочлен степени п — к, и наоборот. Действительно, из
(5) следует (6) на основании формулы Тейлора (4); с другой
стороны, если верно (6), то помножим все члены разложения
Ii(z) по степеням (z — z0) на (z —г0)й и сложим; тогда в силу
единственности получим тейлорово разложение Q по степеням
(z — z0), удовлетворяющее свойствам (5).
В случае (5), или, что все равно, (6), говорят, что z0 есть ко-
рень многочлена Q кратности к. Можно еще сказать, что z0 есть
корень Q кратности А, если Q(z) делится на (z — z0)ft, но не де-
лится на (г — го)А+1.
Имеет место основная теорема алгебры, заключающаяся в
следующем: многочлен Q степени п>0 имеет по меньшей мере
один комплексный корень.
Из этой теоремы легко заключить, что на самом деле Q имеет
п и только п корней, если учесть их кратность. В самом деле,
пусть zt есть корень Q степени п. Кратность его обозначим через
Тогда
Q (г) = (г гД Qi (z) (Qi (zi) 0),
где Qt — степени n — kt. Если n —	> 0, то по той же основной
теореме у многочлена Qs найдется корень z2 некоторой кратности
к2, и тогда
ь	ь
Qi (z) (г г1) (г zz) 2 Qz (z) (Qz (zl)' Qz (za) 0)*
Если Qi все еще будет иметь положительную степень, то продол-
жим эти рассуждения. После конечного числа этапов подобных
рассуждений мы придем к тому, что Q{z) имеет (разные) корни
zb ..., zm соответственно кратностей Ад, ..., km, где п = /с( + . ..
... + /fm, и предстваляется в виде произведения
Q (z) = ап (z — Z,)*1 ... (z — zm)m (ап =£0, п =	, Д- кт}. (7)
Других корней <2 пе имеет, потому что в силу (7) для всяко-
го z0 Ф Zj (/ = 1, ..., m), очевидно, (Яг,,) =# 0. Это показывает, что
представление Q в виде произведения (7) единственно.
Остановимся еще на интересной связи между рассматривае-
мым многочленом Q(z) и его производной ()'(z). Она заключает-
ся в том, что общий наибольший делитель Q(z) и Q'(z) есть мно-
гочлен, равный с точностью до постоянного не равного нулю мно-
жителя мнбгочлену
L(z) = (z-z1)"1‘1...(z-zm)',’B’1.	(8)
В самом деле, z> есть корень многочлена Q кратности kj, и пото-
му выполняются условия
C(zi) = Q’ (2j) = ... = (гД 0, (Zj) 0.
328 гл. S. НЕОПРЕДЕЛЕННЫЕ ИНТЕГРАЛЫ. АЛГЕБРА МНОГОЧЛЕНОВ
Отсюда для A(z) — Q'(z) вытекают условия
Л (г,) = A(ftj“2) (z,) = 0, A(Aj-1) (Zj) #= О,,
говорящие, что z, есть корень Q'(z) кратности kj — 1. Но в таком
& • ”“ 1	'
ёлучае (z — zj) 1 есть делитель как Q(z), так и Q’(z), a (z — гД 1
не является делителем Q'(z). Так как это рассуждение *) можно
провести для любого j = 1, ..т. то это и доказывает, что мно-
гочлен L есть общий наибольший делитель Q и Q'. Если к,;= 1
при некотором /, то соответствующий множитель в (8) равен 1.
Заметим, что многочлен L(z) всегда можно найти эффективно
методом’ алгоритма Евклида, хотя его корпи, быть может, так и
останутся неизвестными.
Напомним этот метод. Пусть даны многочлены Ма и Mi сте-
пеней соответственно т и га, где т > п. Располагаем их члены
по убывающим степеням z и делим Мо на Mt. Получим частное
и остаток Л/2. Степень последнего ниже степени М,. Затем де-
лим Mt па М2, остаток обозначим через М, и т. д. Так как па
каждом этапе этих рассуждений степень понижается по меньшей
мере на 1, то в конце концов процесс, оборвется—остаток ока-
жется нулем. В результате получим цепочку:
М„ = MiRt) + М2, Mi = M2Ri + Ms, ...,
Af,_2 = M,-iR,^ + Mh Mt-> = M,R,-\,
где Rh — многочлены, а степени Мк с увеличением к понижаются.
Из этих равенств, видно, что
о. н. д. (М,,, Mt) = о. н. д. (Mi, М2) = ...—= Mt,
и М, есть общий наибольший делитель (о. и. д.) М* и М{.
Отметим, что основная теорема алгебры доказывает только
существование корня (вообще комплексного) у многочлена га-й
степени, не давая эффективных методов нахождения его в общем
случае. Впрочем, доказательство этой теоремы проводится мето-
дами математического анализа, а не алгебры, и если мы пе дока-
зываем здесь эту теорему, то потому, что опа связана более ор-
ганически с теорией функций комплексного переменного.
Существуют формулы .решения общих уравнений второй,
третьей и четвертой степеней. Для уравнений степени п > \ та-
ких формул нет. Абель**) доказал, что опи не могут существо-
вать. Это надо понимать в том смысле, что при га > 4 корни
уравнения аахп + ... + an-iX + ап = 0 (щ, =#0) не выражаются че-
рез коэффициенты ah посредством функций от этих коэффициен-
тов, представляющих собой результат конечного числа операций
*) В этих рассуждениях о связи Q и Q' можно также считать, что коэф-
фициенты Q и переменная х действительны. Именно этот случай найдет
нримейение в f 8.7.
, ♦♦) Н. Г. Абель (1802—1829)-— выдающийся норвежский математик.
§ 8.4. МНОГОЧЛЕНЫ
329
только следующего вида: сложения, вычитания, умножения, де-
ления п извлечения корня.
Многочлен Q{z) 1см. (1)] называется действительным, если
все его коэффициенты действительны. Действительный много-
член, если его рассматривать для действительных z = х, есть дей-
ствительная функция Q(.x), т. е. принимающая действительные
значения.
Важное свойство действительного многочлена выражается
в равенстве
0Н = Q(~z),	(9>
верном для любого комплексного z. Оно устанавливается на осно-
вании формул § 8.2, (14) при помощи следующих выкладок, гДе
ладо учесть, что = <г* (в силу действительности ak):
<2(z) = 2 ak^ = 2 ак^ = S ак^ = 2 akZk = <?(z).
h—0	ft=O	k—0
Докажем теорему.
Теорема. Если действительный многочлен Q(z) имеет комп-
лексный корень z„ = a + кратности к, то он имеет также ко-
рень z„ = а — ip, емУ сопряженный той же кратности.
Доказательство." По условию, ()(z0) — Q'izJ = ...
... =	— 0, Qw(za) 0. Легко видеть, что если ()(z) есть
. действительный многочлен, то и его производная (T°(z) порядка I
есть действительный многочлен. Поэтому в силу (9)	—
= Q(n(zt>) для любого I — 0, 1, 2, ;,. и, следовательно,
<?(z0) = Q'(z6) =... =	= 0, Qw(zc) * 0.
На основании этой теоремы и, принимая во внимание дока-
занное разложение 1см. (7)] многочлена n-й степени Q(z) на
множители, действительный многочлен степени п (й„=#0) можно
представить в виде произведения
<?(z) == ап (z — щ/1.'. .(z — ar)lr (z2 + pxz -j- q^1.. ,(z2 +p«z+g-s)ms,
(10)
где rtt, ..., pi, ..., p„ qt, ..., q, — действительные числа, мно-
гочлены z2~+pjz + qj имеют комплексные (попарно сопряжен-
ные) корпи и п = Ц + ..'. + 1г + 2(?П1 + ... + ms). Отметим, что
числа г, s, а,, ..., аг, р,, ..., р„ qh ..., q„ h, ..., lr, mh ..., m,
определяются многочленом Q(z) однозначно.
В самом деле, обратимся к разложению (7). Если среди входя-
щих в пего корней zA имеются действительные, то мы их заново
пронумеруем, обозначив через щ, ..., аг. Соответствующие сте-
пени биномов обозначим через lt, ..., lr.
330 ГЛ. 8. НЕОПРЕДЕЛЕННЫЕ ИНТЕГРАЛЫ. АЛГЕБРА МНОГОЧЛЕНОВ
Наряду с каждым множителем (z — Zj) ц с комплексным кор-
нем Zj, в произведении (7) на основании доказанной теоремы обя-
зательно имеется также множитель вида(з— zj) \ где ktl~kv —
— к. Полагая zt = а + [W, (z, = а — £г), получим
(z — 2j)*(z — Zj)k = (z — а — (П)й(г — а + $i}h =
= L(z — а)2 +	— (z2 + pz + g)*, p — — 2а, q = a2 + j)2,	(11)
где p и q — действительные числа.
Теперь остается только перенумеровать множители, соответ-
ствующие разным попарно сопряженным корням Q и заменить
ими соответствующие множители (7). В результате получим (10).
§ 8.5. Разложение рациональной функции
на простейшие дроби
В этом параграфе мы будем рассматривать произвольную
действительную рациональную функцию
(1)
представляющую собой правильную дробь. Это значит, что Р и
Q — действительные многочлены, причем степень Р меньше сте-
пени Q. Будем считать, что Р имеет степень т, а ^ — степень п,
следовательно, т < п. При этом мы будем считать, что х — дей-
ствительная переменная, таким образом, /(ж) есть действитель-
ная функция. Для краткости будем обозначать через sP, sQ, ...
соответственно степени многочленов Р, Q, ...
Лемма 1. Пусть а — действительный корень кратности к
знаменателя (1(т) дроби (1):
Q(x) = (х - a)W	(A4a)¥=0).	(2)
Тогда существует и притом единственное разложение дроби
(1) в виде
Р (х) __ А ,________Af (х)
Q (х) (х— а}>1 (х— а)^—1 А (х)’
где А — постоянная, а второй член (3) — правильная дробь.
При этом А — действительное число, а М(х) — действитель-
ный многочлен.
Единственность разложения (3) заключается в том, что су-
ществуют единственные числа А и многочлен М(.х), для которых
имеет место (3).
Доказательство. Допустим, что разложение (3) имеет
место, где А — некоторое постоянное число, а М(х) — непрерыв-
ная функция. Приведя правую часть (3) к общему знаменателю
и приравнивая полученный числитель к числителю левой части
§ 8.5. РАЗЛОЖЕНИЕ РАЦИОН. ФУНКЦИИ ИА ПРОСТЕЙШИЕ ДРОБИ
331
(3), получим равенство
Р(х) = AN(x) + (х — а)М(х)	(4)
(верное не только для значений х, для которых Q(x)^0, но,
вследствие непрерывности левой и правой частей (4), и для всех
действительных х). Положив в нем х — а, и учтя, что ЛЧа) ¥= О,
получим
число А — действительное, потому что Р и 7V — действительные
многочлены и а — действительное. Подставив найденное значение
А в (4), находим (единственным образом)
М (х) = Р (т) ~ AN (х} .	(6)
Так как числитель (б) есть многочлен, где А подобрано так, что-
бы он обращался в нуль при х — а, то он делится на х — а и М(х)
есть многочлен (действительный). По условию sP, sN^n — 1. То-
гда в силу (6) 8.ч < п — 2, т. е. «м меньше (н — 1) — степени зна-
менателя второй дроби правой части (3), следовательно, эта
дробь правильная.
Обратно, если число А и многочлен М(х) определяются по
формулам (5), (6), то, очевидно, выполняется равенство (3).
Замечание. Для произвольной не обязательно действитель-
ной правильной дроби (1) и комплексного а лемма 1 полностью
верна, за исключением последнего ее утверждения — теперь уже
число А вообще комплексное, так же как Mix') есть не обяза-
тельно действительная функция.
Лемма 2. Пусть Q(x) представляется в виде
Q(x) — (х2 + рх + q)hN(x),	(7)
2
где р, q — действительные, q—>0, к — натуральное и N(x) —
многочлен (действительный), не имеющий своими корнями корни
хг + рх + q.
Тогда существует единственное разложение дроби (1) в виде
Р (т) __ Ах 4- В_____________М (х)_______ „
Q (х)	(х2 + рх -j- q)k (х2 4- рх 4- ?)й-1 N (х)
где А, В — постоянные, а вторая дробь в правой части (8) пра-
вильная.
Числа А, В и многочлен М(х) —действительные.
Доказательство. Обозначим через а = а + ip, а = а —
корни многочлена х2 + px+q (^=/=0). Из условия леммы следует,
что они еще являются корнями кратности к нашего действитель-
ного многочлена Q(x). Допустим, что разложение (8) имеет место.
332 гл. 8. НЕОПРЕДЕЛЕННЫЕ ИНТЕГРАЛЫ. АЛГЕБРА МНОГОЧЛЕНОВ
Приведем правую часть (8) к общему знаменателю и приравняем
числитель полученной дроби числителю левой части (8). В ре-
зультате получим тождество
Р(х) = (Ах + B)N(x) + (х* + рх + q)M(x).	(9)
Подставив в него числа в и а, получим
Р(а) т= (Аа + B)iN(a), Р(а) — (Аа + B)N(a)
или
Ла + /?=^4Ч = Л> Аа +5 =	-= Л 00)
А («)	Л(«)	\Л(а))	' '
(по условию, )V(a), N(a) 0). Определитель полученной системы,
которую надо решить относительно А и В,
а 11
а 11
= а — а = 2fW =f= 0.
Поэтому система разрешима; при этом А и В — действительные
числа. В последнем можно убедиться, не решая системы (10).
Возьмем сопряженные величины от обеих частей уравнений (10):
Ла + Я = Л, Ла + В = Л.	(10')
Системы (10) и (10') равносильны, поэтому их (единственные)
решения также должны совпадать: А = А, В — В. Но тогда А
и В —- действительны.
Подставляем теперь в (9) полученные числа А и В и находим,
что
М (х) = Р (г) ~ (Лт + g> N (r>.
A- pz + q
Так как числитель полученной дроби обращается в пуль в кор-
нях хг + рх + д (так были подобраны А и В), то он делится на
знаменатель без остатка и Mix) есть многочлен, очевидно, дейст-
вительный. Пе представляет труда выяснить, что вторая дробь
в правой части (8) правильная. Лемма доказана.
С помощью лемм 1 и 2 нам удастся разложить нашу действи-
тельную дробь в конечную сумму так называемых простейших
рациональных дробей. Напомним, что так как Q(x) есть действи-
тельный многочлен степени и, то для него, как было доказано
в предыдущем параграфе, справедливо, разложение на множите-
ли вида § 8.4, (10). Пользуясь леммой 1 и леммой 2, на основа-
нии этого разложения можно утверждать, что наша правильная
дробь может быть записана последовательно в виде (пояснения
S 8.5. РАЗЛОЖЕНИЕ РАЦИОН. ФУНКЦИИ НА ПРОСТЕЙШИЕ ДРОБИ
333
ниже)
Р(х) _	4’*	_
— aj*1	(ж — а^)11	(•’-)
 4V - t 4г%	|	ма(.г)
(* — «j*1	(х-“а1)1( 1	(r'-“i)Z1
A'" + ... + 4n _JV±_
(r ~ "1/1	(x —“1)	( r — «2)*2 iV2 (x)
(*-*1)’	1	(*-«r)
.<> ,	4„> + c% ,	g(»z+c<» ,
x ~ ar (я2 + P1x + gj”* ^ • • • + q^+p^-H	 1
b%* + c%	b^ + c^ ttrx
+ —----------ЗГ" + • • • +~2~--— > (14)
(? -f- ps^+ qs)	x +/’sx+?»
iде константы А, В, С с соответствующими индексами единст-
венны и действительные.
Соотношение (11) получено на основании леммы 1; при этом
многочлен Л',(х) (действительный) определен из равенства
Q (х) = (х — я,)'1 Л\ (х) (Л\ (аг)=£0).	(15)
Переход от (И) к (12) слова осуществляется при помощи лем-
мы 1, что законно, потому что вторая Дробь в правой части (11)
действительная и правильная и М(я1)ч&0. В (13) процесс выде-
ления простейших дробей, соответствующих действительному
корню я(, закончился, дальше точками ниже (13) отмечается про-
должение этого процесса для других действительных корней, а
затем для комплексных корней Q, где уже последовательно при-
меняется лемма 2.
Конечно, этот процесс мы изобразили в общем случае — мо-
гло, н’апример, случиться, чтц у Q простых корней вовсе нет,
тогда наш процесс сразу же начался бы с применения леммы 2.
Единственность чисел А, В, С в разложении (14) пока пол-
ностью не доказана, потому что нахождение их было связано с
определенным процессом. Быть может, при другом способе опре-
деления А, В, С эти числа будут другими? Мы изложим ниже
метод нахождения А, В, С путем сравнения коэффициентов. При
обосновании его выяснится, что эти числа образуют единствен-
ную систему.
Мы уже доказали, применяя леммы 1 и 2, что при данном
многочлене Qtx), каков бы пи был многочлен Р(х), где «₽<$<?,
334 ГЛ. 8. НЕОПРЕДЕЛЕННЫЕ ИНТЕГРАЛЫ. АЛГЕБРА МНОГОЧЛЕНОВ
существует система чисел А, В, С, ..для которой имеет место
тождество (14) (для всех действительных х, отличных от корней
Q). Приведем (14) к общему знаменателю, соберем коэффициент
ты при одинаковых степенях и полученные линейные комбина-
ции из А, В, С, ... приравняем коэффициентам многочлена Р(ж),
имеющим соответственно одинаковые степени. В- результате по-
лучим систему из п линейных уравнений относительно неизвест-
ных А, В, С, ... Количество уравнений и неизвестных здесь сов-
падает. Уже известно, что эта система имеет решение для любого
многочлена Р(х) (т. е. для любой правой части системы!) — мы
это доказали при помощи лемм 1 и 2. Поэтому определитель си-
стемы заведомо пе равен нулю и, следовательно, числа Л, В,
С, ... образуют единственную систему.
Пример. Па основании сказанного выше имеет место равенство
я.т3 + b:A ex -f- d Ах 4- В	С	D
z24-x+1)(^-2)2 = Af-z + l + (х - 2)2 + х — 2 ’	*
Точнее, для любого многочлена третьей степени ах3 + Ьх3 + сх + d су-
ществуют постоянные .4, В, С, D такие, что для всех х 4= 2 выполняется
равенство (16). Чтобы найти эти постоянные, приведем правую часть (16)
к общему наименьшему знаменателю. Числители обеих частей полученно-
го равенства должны быть равны:
ах3 bx3 -f- сх + d = (Ах -р В) (.г — 2)2-|-C(z2-|-z-|-l)-|-
4-£>(z2 +ж + 1)(г —2>
для х ¥= 2, ио вследствие непрерывности функций, входящих в это равен-
ство, и для х = 2. Приравнивая коэффициенты при одинаковых степенях х,
получим линейную систему из четырех уравнений с четырьмя неизвестны-
ми .4, В, С, D;
а == А + В, с — 44 — 4В + С — D,
b = В — 44 + С — В, d = 4В + С — 2D.
Мы уже знаем, что для любых a. l>. с, d эта система имеет решение, но
тогда, как известно из теории линейных уравнений, числа А, В, С, D, ре-
шающие систему, единственны.
Дадим еще другое разложение Р/Q на простейшие дроби, ос-
нованное па применении только леммы 1.
Пусть Xi, ..., кт суть различные (комплексные и действитель-
ные) корни Q кратностей kt, ..., кт. Будем последовательно от-
делять от Р/Q соответствующие этим корням простейшие дроби
вида А/(х — кУ, применяя только лемму 1 и примечание к ней-
В результате получим разложение
р /г)	4*1*
*	)	I ,	|-	1	।	1	!	!	т
(17)
где числа А теперь уже, вообще говоря, комплексные.
g 8.5. РАЗЛОЖЕНИЕ РАЦИОН. ФУНКЦИИ НА ПРОСТЕЙШИЕ ДРОБИ
335
Чтобы получить выражения для коэффициентов, соответству-
ющих, например, корню помножим обе части этого равенства
на (х — Хт) 1. Тогда получим
~ Э/,’1 + Дц-! (х — Xj) 4- ... + X1' (% — М + (х ^i) 1 R (•г),
(18)
где Rix) — функция, имеющая производные любого порядка в
точке Xi.
Поэтому очевидно, что
= lim	(19)
dx* I	- V \х>)
что, в частности, показывает, что числа А единственны. Форму-
ла (19) может быть полезной в практических вычислениях.
Отметим, что разложение (17), очевидно, имеет место (см. при-
мечание к лемме 1) для любой правильной дроби Р/Q, не обя-
зательно действительной. Однако в случае действительной дроби
Р/Q имеет место определенная закономерность, которая наруша-
ется в случае недействительной дроби. Мы имеем в виду следу-
ющий факт: в разложении (17) действительной дроби Р/Q у сла-
гаемых A/ix-XP при действительных X константы А действи-
тельны, а при комплексном X. наряду со слагаемым A/ix — ТА’
обязательно имеется такое слагаемое A/ix — Х)< Этот факт явля-
ется характерным для разложения действительной дроби
в виде (17).
В самом деле, можно написать
Р(т) _ А	В
Q (х) ~ (х —+ (х — X? 1
(20)
Применяя к этому равенству операцию сопряжения и учитывая,
что дробь Р/Q н переменная х действительные, получим
Р (х) _
Q(x)
А________u В
- Z)A ' {X - A)fe + ' ’ ’
(21)
что
разложения из (20) и (21) следует,
сумма ix — действительное) -------—г
(х - Х)я
есть действительная функция от х, потому что она
В силу единственности
Л = В. Заметим, что
л._А_
1 (x-X)ft
состоит из сопряженных друг другу слагаемых.
336 ГЛ- 8. НЕОПРЕДЕЛЕННЫЕ ИНТЕГРАЛЫ. АЛГЕБРА МНОГОЧЛЕНОВ
§ 8.6. Интегрирование рациональных, дробей
Пусть нужно найти неопределенный интеграл
С Р W 1	И
J ew dx
от рациональной действительной дроби на интервале, не содер-
жащем в себе ни одного действительного корня Q(x). Па таком
интервале функция P(x)/Q(x) непрерывна и имеет смысл говорить
о ее первообразной. Если степень sP многочлена Р не меньше
степени se (sP>sQ), то прежде всего разделим Р на Q но извест-
ным правилам:
Р Р*
£ = * +
Многочлен R интегрируется без труда, a PJQ — правильная дей-
ствительная- дробь. Все трудности сводятся к интегрированию
правильной дроби, которую мы снова обозначим через P/Q.
Будем считать, что Q представляется в виде произведения
§ 8.4, (10). Тогда Р/Q можно разложить на простейшие дроби по
формуле § 8.5, (14), каждая из которых, как мы знаем, может
быть проинтегрирована в элементарных функциях.
Мы доказали, что принципиально всякая рациональная функ-
ция интегрируется в элементарных функциях. Практически пол-
ное интегрирование (1) можно довести до конца в случае, если
известны все Корни Q и их кратности. По мы уже говорили в
§ 8.4, что это не всегда удается узнать. В связи с этим всякого
рода упрощения интеграла (1) являются очень цепными.
Об одном важном таком упрощении, предложенном Остро-
градским, будет идти речь в § 8.7.
§ 8.7. Метод Остроградского*)
выделения рациональной части из интеграла
Допустим, что надо вычислить неопределенный интеграл
<*>
где P/Q — правильная действительная рациональная функция
(правильная действительная дробь) и Q степени н. Чтобы уяс-
нить метод, проведем сначала чисто теоретические рассуждения.
Пусть Х|, ..., Ат — разные (действительные и комплексные)
корни Q кратностей соответственно /г,, ..., кт. Разложим Р/Q по
схеме § 8.5, (17). Это разложение можно записать в виде
р (т) __ у, А
______________ Q W (х —
♦) М. В. Остроградский (1801—1861) — выдающийся русский математик,
академик.,
§ 8.7. МЕТОД ОСТРОГРАДСКОГО ВЫДЕЛЕНИЯ РАЦИОН, ЧАСТИ 337
где на самом деле, конечно, А, к и к должны быть снабжены
соответствующими индексами.
Запишем его еще в таком виде:
7 =
Й>1	'
(3)
где в первую сумму входят дроби с первой степенью (х — X), а
во вторую — остальные простейшие дроби. Как первая сумма, так
и вторая являются действительными функциями от х, хотя от-
дельные их слагаемые, вообще говоря, комплексные (см. конец
§ 8.5).
Первую сумму приведем к общему знаменателю:
/V (х) у А = +Atx + ... +	;
К(х) A х — X (х — Aj . . . (х — Am)	' ’
(NIK— правильная действительная дробь). Вторая сумма полно-
стью
интегрируется и притом в рациональных функциях:
А , vr	А	, „
h>l
(1 - к) (х - А)*-1
X а хп~т~1
:	. . . f “Я—т—Iх______
/*1—1
М (х)
£(./•)
&
О
Мы произвели почленное интегрирование, вообще говоря, ком-
нлексозпачпых функций (см. § 8.3, (12)). Но в результате полу-
чили действительную функцию, потому что слагаемые, из кото-
рых она состоит, действительные или попарно сопряженные.
MIL, очевидно, есть правильная дробь. С мы считаем действи-
тельной константой.
В силу сказанного, если проинтегрировать равенство (3), по-
лучим
С р (-Н	_ м м Д_ С л' (*•) d r
J Q (х) аХ L (х) + J К (х) ’
К (z) — (х — XJ ... (х — кт),
L (х) = (х~ kJ"1'1 ...(х- кт)^1
(6)
(7)
(8)
(константу в правой части (6) относим за счет стоящего там не-
определенного интеграла).
Итак, мы доказали, что при заданном Q и любом многочле-
не рп + piX + ... + рп_.х‘'~' — Р(х) можно найти такие числа -а,,
а,, ..., an-m-t; Ь<,, ..., bm-i (количество их п), что для многочле-
нов Mix) и Nix), имеющих эти числа своими коэффициентами,
выполняется равенство (6), где M/L, N/K—правильные дроби.
22 С. М. Никольский, т. I
338 ГЛ- s- НЕОПРЕДЕЛЕННЫЕ ИНТЕГРАЛЫ. АЛГЕБРА МНОГОЧЛЕНОВ
Покажем, как находить М и N. Для этого продифференци-
руем (6):
Р	/ М . N М'	1 ML’ N
~Q “	t L) + К	~ L	L L	+ К	•
Отсюда, приводя правую часть к общему знаменателю Q — LK
и приравнивая числители обеих частей, получим
Р = КМ’ -	+ LN.	(9)
Но К и L выражаются формулами (7), (8), a L’ имеет множитель
(х — kj) ... (я — Am) (kj >1), поэтому KL' делится па L
и KUIL есть многочлен.
Теперь мы складываем многочлены в правой части (9), при-
водим подобные при одинаковых степенях х и приравниваем их
соответствующим коэффициентам рк многочлена Р. В результате
получим алгебраическую линейную систему уравнений
а0®0 + • • •	. • + Рт-1Фт-1 = Pk, (Ю)
(к = 0, ..., п)
относительно искомых at, bj. Она линейная, потому что правая
часть (9) линейно зависит от многочленов Л/', L', N, которые
только и содержат я,-, bj.
Коэффиценты а?, pj системы (10) известны, они определяются
данным многочленом Q. Они действительны. Определитель си-
стемы (10) заведомо не равен нулю. Это следует из того факта,
что каждой правой части (10) соответствует определенный много-
член Р{х), которому в свою очередь соответствуют числа А раз-
ложения (2), из которых при помощи (4) и (5) определяются чи-
сла at, bj, о которых мы доказали, что они удовлетворяют урав-
нениям (10). Иначе говоря, система (10) имеет решение для каж-
дой правой части, откуда определитель ее не равен нулю.
Заметим, что мы раскладывали <2 на множители и вводили чи-
сла А, только, чтобы обосновать метод. Многочлен L можно полу-
чить при помощи алгоритма Евклида, а многочлен К — делением
Р на L. Для этого не нужно знать корни Q. Чтобы получить си-
стему (10), мы записываем искомые многочлены М и N в виде
М (х) = dg -f- djX -}-... 4~ Яп—т—уХ ,
ТУ (ж) —Ьд 4- Ь^х -4 • • • 4* bm—^х	,
где коэффициенты at, bj пока не известны, вставляем их в равен-
ство (6), дифференцируем его и приравниваем коэффициенты
числителей при одинаковых степенях х.
Что касается интеграла от МК, то конечно, в нашем распоря-
жении имеются средства его полного интегрирования только при
условии, что известны все корня К (они простые). С другой сто-
§ 8.7. МЕТОД ОСТРОГРАДСКОГО ВЫДЕЛЕНИЯ РАЦИОН. ЧАСТИ 339
роны, существуют приближенные методы интегрирования функ-
ций, пе связанные с тем, интегрируется подынтегральная функция
в элементарных функциях или нет. Если понадобится вычислить
приближенно интеграл от рациональной функции Р/Q, то чаще
всего будет целесообразнее сначала выделить из него рациональ-
ную часть по методу Остроградского, а затем уже интегрировать
оставшуюся часть N/К приближенно.
Отметим еще, что в разложении N/К на простейшие дроби
(см. (4)) могут входить члены А/(х — X), соответствующие дейст-
вительным X. Их интегралы имеют вид
f —dx = A in I х — X I + С.
J х — Л	1	1
Если же X = а + 1$ — комплексное, то наряду со слагаемым
А/(х — X) в сумму (4) входит еще слагаемое А/(х — X). Их сумма
А	А _	Вх\1)
Х — 1 ' X — К ~ (х _ а)2 р2 ’
где В, D — некоторые действительные числа. Интегрирование та-
кой дроби, как мы знаем, приводит к In и arctg. Таким образом,
интегрирование рациональной дроби N/К приводит к трансцен-
дентным (не рациональным) функциям (In, arctg).
dx
Пример. Требуется найти интеграл J р,3	2 . Знаменатель в нем
имеет кратные корни, и потому удобно применить метод Остроградского.
Представляем интеграл в виде
dx % + 0,ж + «.,т2 f Ъп + Ь^х 4- а.,ж2
(ж3 * * —1)2	ж3 —1	'’а ж3 —1
где «I, bj — искомые постоянные. Дифференцируем это равенство и после
приведения к общему знаменителю, равному (ж3—I)2, приравниваем чи-
слители:
1 f % + air+я‘>т2 V fe0+&iz+М'2
(.г3 — 1)2	\ ж3 — 1 J + ж3 — 1	’
1 = (ж3 — 1) (2а2ж -I- oj — Зж2 («0 + ахх 4- «2ж2)	(ж3 — 1) (^ж2 -|- Ьух +
Приравнивая коэффициенты при одинаковых степенях, получим сис-
тему уравнений
62 = О, Ь{ — == 0, fro — 2аi = 0, Зад = О,
frj 2й2 = 0, fro	—1/
откуда
\ d.r	1	.7	2 f	dx
J Цз _ 1}2 = - у ттг - т J
340 ГЛ. 8. НЕОПРЕДЕЛЕННЫЕ ИНТЕГРАЛЫ. АЛГЕБРА МНОГОЧЛЕНОВ
Разлагаем теперь подынтегральную функцию справа на простейшие
дроби:
х9— 1 х — 1 -Т + х + t •
(11)
После приведения к общему знаменателю получим тождество (верное для
любого х)
1 = А (х* + х + 1) + {Вх + С) (х — 1).
Подставляй в него х = 1, получим А = 1/3. Сравнивая коэффициенты при
высшей степени х и члены, не содержащие х, получим еще 0 = А + В,
1 = А — С, откуда В — —1/3, С — —2/3. Остается подставить найденные
А, В, С в (11) и проинтегрировать.
§ 8.8. Интегрирование алгебраических иррациональностей
Рациональную функцию от х, и, v, w (букв конечное чис-
ло) мы будем обозначать символом Жх, и, V, ..., ш). Она полу-
чается в результате применения к х, и, .. w арифметических
операций (сложения, вычитания, умножения и деления), взятых
в конечном числе.
Интеграл
о»
тде X, ..., р — рациональные числа, имеющие общий наименьший
знаменатель т, при помощи подстановки («d—6с#=0)
•т ах 4* b
1 “ ex d	' ’
сводится к интегралу от рациональной функции. В самом деле,
х есть, очевидно, рациональная функция ц(0 от t, а вместе с ней
рациональна и ее производная ц'П). Поэтому, обозначая через
р, ..., q числители (целые числа) соответственно дробей X, ...
..., р, приведенных к общему знаменателю (т), получим, что ин-
теграл после подстановки (2) сводится к следующему:
j Я(р(/),Р', р' (t)dt — j Rl(t)dt,
где Riit) — рациональная функция от t.
Пример ы.
f з,	р	____
1. I —==• = 2 | (1 + t2)* dt, t ---- У'х — 1, х = 1 -j- t2, dx = 2t dt.
J |/ X — 1	J
C dx f 6?	C t3
2. 1 —  = I —5-----------7 dt = В I . - ; .‘ dt =
J xl 1 -I- xl iS J t . < J 1 T «
= 6 J* (1 — t t2) dt — 6 J x = гв, dx = 6(5<Zf.
§ 8.9. ПОДСТАНОВКИ ЭЙЛЕРА
341
§ 8.9. Подстановки Эйлера
С помощью этих подстановок интеграл
R (х, y)dx (у = Vа + bx + ех-) (с=#0),	(1)
где /?(г, у) — рациональная функция от х, у приводится it ин-
тегралу от рациональной функции.
Первая подстановка соответствует случаю, когда корни
а, fl (а ¥= g) трехчлена а + Ьх + сх2 действительны. Она имеет вид
I __ а + fa + с.г2 Ус (.г — «) (.г — Р)
Эта подстановка совпадает с подстановкой (2), § 8,8.
Функция х = ср(О, так же как ее производная ф', рациональ-
ная функция, поэтому
J R (.г, у) dx — J R (ф (0, t [ф (0 — al) ф' (/) dt — J Rt (0 dt,
где R, — рациональная функция.
Обратный переход от t к х осуществляется по формуле (2).
Вторая подстановка. Корни трехчлена а + Ьх + сх*
комплексные. Тогда надо считать, что с > 0, иначе трехчлен был
бы отрицательным для всех х. Полагаем
y — t^xlfc.	(3)
Возводя это равенство в квадрат и заменяя у2 его выражением,
получим	_
.a + bx — t2 Т 2tx~l'с;
отсюда
х \	= Ч (0. dx -- ф' (1) dt,	(Д)
b ±2t ус
поэтому
R (х, у) dx — J R (ф(0, t =F Ф (0 Р<с)ф' (0 dt — J Rx (0 dt,
где R,(t) — рациональная функция от t.
Обратная подстановка
t = 1/а+bx +ex2 ± xllс.	(5)
Отметим, что рассматриваемая подстановка годится и когда кор-
ни трехчлена а + Ьх + ех2 действительны, лишь бы с > 0.
342 ГЛ. 8. НЕОПРЕДЕЛЕННЫЕ ИНТЕГРАЛЫ. АЛГЕБРА МНОГОЧЛЕНОВ
Замечание. Первой подстановке (3) y = t — х) с соответ-
ствует функция (см. § 5.8, пример 3)
b -j- 2t V с
График ее распадается на две непрерывные ветви, соответствую-
щие изменению t на интервалах (—<», — Ь/2Ус) и ( —Ь/2Ус, °°). Па
обоих интервалах она строго монотонно возрастает от — оо до +оо.
Указанным ветвям соответствуют две обратные однозначные
функции
t — х\ с ± Уа + Ьх + сх2.
Первая из ппх (со знаком +) была взята в качестве соответству-
ющем подстановки (5) интеграла, а вторая отличается от другом
подстановки (5) лишь знаком..
Отметим, что подстановка ,r — 1/z преобразует наш трехчлен
при а^=0 в выражение taz2 + bz + c/(±z), и следовательно, пре-
образует интеграл (1) в интеграл такогб же типа. Здесь «+» или
«—» ставится в зависимости от того, будет ли интервал измене-
ния z частью луча z > О или z < 0. Вообще, эта подстановка раз-
рывна: она переносит окрестность 0 в окрестность бесконечно уда-
ленной точки, и наоборот. Поэтому непрерывная на оси х функ-
ция после такой подстановки делается разрывной при z — 0, во-
обще с неустранимым разрывом. Если подынтегральная функция
Л(х, у) в исходном интеграле уже имеет разрыв в точке х = 0, то
подстановка x=i/z в указанном смысле не усложняет положе-
ние вещей.
II р и и с р 1. (трехчлен имеет комплексные корни)
р d.r	С d.r С dt	I Ъ	,/	у I
т/, h, j...= J J (&/2) -н 4 |П I 2 + Х +	; bx + Х I 
Делаем вторую подстановку:
a - j- bx ж2 = t — х, а bx == t2 — 2lx,
dx 2 dt
bdx — 2t dt ~^2t dx—2x dt, ~7—,	.
В частности,
dt	2x — b	42	b
= — arCsin r	С, в-{-т = a >0, x — -7 = at;
1 — tl	V b2 4- 4а -
§ 8.10. БИНОМИАЛЬНЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЫ. ТЕОРЕМА ЧЕБЫШЕВА
343
3) трехчлен имеет комплексные корни (верхний знак здесь и далее со-
ответствует положительным х или г); трехчлен может иметь и действитель-
ные корни, лишь бы они были различны.
(* dx.	_	1
в частности, I-----т= = 4- arcsin— -4-С;
J х V х1 - 1	х
С dx	f	dx
5) интегралы 1 у........	" • I............у —-   
J у а + Ьх + еж2 J (х — т) у а 4- Ьх 4- сх2
приводятся к предыдущим, если ввести новые переменные, соответственно,
z = 11 с| х, z = У| с| (х — т).
§ 8.10.	Биномиальные дифференциалы.
Теорема Чебышева *)
Рассмотрим интеграл
I* хт (а 4- ta”)p dx,
(1)
где а, b — произвольные, отличные от нуля числа, а т, п, р — ра-
циональные числа. Подынтегральное выражение в (1) называется
биномиальным дифференциалом.
Подстановка хп — t, х = ti/n, dx = t{1<n)~ldt приводит (1) к
виду
1J z<m+l/n)-l {а + bt}pdt
(2)
Если положить ((т+'1)/п) — 1 = д, то вопрос сводится к ин-
тегралу вида
J tq (а 4- Ы)р dt,
(3)
где р и q — рациональные.
Интеграл (3) всегда берется в элементарных функциях, если
одно из чисел р, q, р + q — целое {положительное, нуль или отри-
цательное).
♦) П. Л. Чебышев (1821—1894) — великий русский математик и меха-
ник, академик.
344 ГЛ. 8. НЕОПРЕДЕЛЕННЫЕ ИНТЕГРАЛЫ. АЛГЕБРА МНОГОЧЛЕНОВ
В самом деле, если р — целое, то наш интеграл имеет вид
j* R (z, ttydt,' где q — рациональное. Если же q — целое, то он име-
ет вид j R (z, (а + bt)p) dt, где р — рациональное. Наконец, если
Z	\—t—/
Все эти три выражения, как мы знаем (см. § 8.8) приводятся
соответствующими подстановками к интегралам от рациональных
функций.
II. Л. Чебышев доказал замечательную теорему, утверждаю-
щую, что если, рациональные р и q не удовлетворяют одному из
перечисленных трех условий, то интеграл (3) не интегрируется,
в элементарных функциях.
У и р а ж н е и и я.
Вычислить интегралы:
,	f T3dx „	f	dx	„	fl :
1.	1 —-......: 2.	1 ----=;	3.	1 —:------ dx;
® J ]/г — 1 J .r]/u -j- bx	J 1 -1- a:1'4
f f dx	к	,о я 3 j x* C	dx
4. 1	—.......;	5. 1 (a-j-- x)~ dx; 6. I -----------------------------
Jj ' У ./1 J	J (1 + .C)1;a - (1 + H1 2.
Показать, что
§ 8.11. Интегрирование тригонометрических выражений
Рассмотрим интеграл
j 7?(cos х, sin .г) dx,
(1)
где
R (и, v)
P(u,v)
Q (a, v)
(2)
— рациональная функция от a, v (Р и Q — многочлены от и, v).
1. Если один из многочленов Р, Q четный по V, а другой —
нечетный по V, то R можно представить, умножив, если это не-
обходимо,, числитель и знаменатель (1) на v, в жце R(u, v) =
М (и, v*) v ...	. ...	.	
—	---gj-, где ЛНц, V), Mp, v) — многочлены от р, v. Поэтому
подстановка t = cosx приводит интеграл (1) к виду
С м (t 4 — t2) С
R (cos х, sin х) dx ~	|	dt ~ \ R (Z) dt,
уде U(Z) — рациональная функция от Z.
§ 8.11. ИНТЕГРИРОВАНИЕ ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИХ ВЫРАЖЕНИЙ 345
2.	Если один из многочленов 1\ Q — четный по и, а другой —-
нечетный но и, то подстановка t = sin х рационализирует наш ин-
теграл. Это доказывается как выше.
3.	Если Р и Q-. 1) оба ие изменяются при замене и, v соот-
ветственно на —и, —и пли 2) оба меняют знак, то цнтеграл (1)
рационализируется подстановкой
t = tg х	(.?>)
(пли t — ctga;).
Рассмотрим только первый случай, потому что второй сводится к нему
умножением и числителя, и знаменателя дроби (2) на и или и. Каждый
член многочлена Р имеет впд
Ли!»т =.-- А (-Y vl+m = Aw’vl+m (
\ V 1	\ V /
где А — постоянный коэффициент. Поэтому
Р (u, v) — М («>, и2) — У, а («’) о23	(4)
есть многочлен от к;2 и г2 (см. конец § 5.9).
Справа в (4) сумма распространена на конечное число слагаемых,
о (w) — некоторые многочлены только от и’, a s — целые неотрицательные
числа. Аналогично устанавливается, что
<2 (и, !) N (и', I’2) == У 3 (it’) С23
ость многочлен от w и и2.
Так как в силу подстановки (3) sin2 х = t2l(l + I2), dx — dt/(] -f- t2),
то интеграл (1) преобразуется следующим образом:
М I t, .. |dt
f	'-----= - С г (t) dt,
J N it, -Г— ) (1 -I- r) '
\ 1 At2)
где r(/) — рациональная функция^
4.	Для любой рациональной функции 7?(п, v) подстановка
>g 4 рационализирует интеграл (1). В самом деле, тогда
, X	X
— tg 7"	1 — t2	2 tg T 2t ,
COSX ----------- ------r„ sin a: =---------r =	’
< + .g4 * + ‘-	.	•+?
Л 1 sec" - Г (I + О 3»,	=.
2	2	2	'	1 -j- t2
5.	Функция
n
Tn{x) = -^ +2 C0S S‘n ^‘r),
346 ГЛ. 8. НЕОПРЕДЕЛЕННЫЕ ИНТЕГРАЛЫ. АЛГЕБРА МНОГОЧЛЕНОВ
где ак, Ьк — постоянные коэффициенты, называется тригонометри-
ческим полиномом порядка (или степени) п. Интегрирование ее
не представляет никакого труда:
п
I Тп (х) dx = х + 2 i (а^ sip/cx — bh cos /«) -f- C. (6)
Часто встречаются выражения
cos"' x cos' x, cos™ arsin' x, sin”1 x sin' x,	(7)
где m, /—целые неотрицательные числа. Это есть тригонометри-
ческие полиномы порядка m+ l, т. е. их можно преобразовать к
виду (5), где ак и bh-— постоянные числа. Этот факт можно до-
казать, применяя метод индукции.
В самом деле (пояснения ниже)
(Ах 1 гх\т а , .	.
---2-----J	' + ...4-е	) =
= (cos пгх 4- Cm cos (т — 2) х + ... 4- cos (— тх)).	(8)
Надо учесть, что cos™ х — действительная функция, и потому
последний член в этой цепи равенств получается из предпослед-
него выделением его действительной части. Мнимая часть авто-
матически равна нулю. После замены в (8) х на (х+(л/2)) по-
лучим, в зависимости от того, будет ли т четным или нечетным,
sin”1 х — ——— (cos тх — Ст cos (т — 2) х 4~
4- Cm cos (т — 4) х 4- ... 4- (~ 1)т 2 cos (— /пх)),	(9)
(__рт+1/2	.
sin х =-----------(sin тх — С™ sin (т — 2) х 4- ...).	(10)
Тот факт, что выражения (7) суть тригонометрические поли-
номы указанной четности, следует из (8) — (10) и равенств
sin Хаг cos рх = — [sin(X 4- р) х 4- sin (X — р) х],
i	«а
cos X.r cos par = — |cos (X p) x 4- cos (X — p) xj.
11 p и меры
(’ dr f dx C d (tg .r)
1 • I 4in r~e<~>77 = 1 7-- =  Hr "r" = Jn I tg 1 I I C
J sin Л COS X J tg X COS X _ J eg2
(подстановка (3)).
Г dx If	dx	(• d (tg (x/'lp
2‘ J sin x ‘ 2 J tg (.c/2) cos2 (ar/2j tg (x/2) " “PgUMIl О
§ 8.11. ИНТЕГРИРОВАНИЕ ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИХ ВЫРАЖЕНИИ
347
(подстановка 4 § 8.11).
3.
' dx Г	dx
« b cos х J а (cos2 (,r/2) -j- sin2 (,т/2)) 4- i>(cos2(.r/2) — sin2 (z/2))
Г______________________dz__________________________
J [а (1 4'tg2 (т/2)) 4- 6 (1 — tg2 Cr/2))1 cos2 (.г/2)
___ Г__________idt________
“J а (1 4-<2) 4-Ml-г2)
(подстановка 4 § 8.11).
Р	dx	(*	dx	z *>**,«» \
4.	I —:—:— = I -------(а“ -р 4" > 0),
1 а b cos х |-с sin.z J а;т- г cos (z — <p)
где (постоянные) г и <р подобраны так, чтобы & = rcoscp, c = rsinq>.
Таким образом, этот интеграл свелся к предыдущему.
5.	J sina dx — f (1 ~ cos2 (cos т) = — (1 —z2)2 dt.
6.	f — f (1 + «tg2 r)^ (ctg r) =-= — f (1 + t2)2 dt.
J sin X .)	J
P d-T f (1 -	2 dt 1 P (1 + i2)4 , f x\
J sin5.r	J\ 2Z J 1 4-Г 16 J t5 * \	2 /'
P sin3 X	? 1 - z2
8.	1 --—dx --- — I —j— dt (Z = cost).
J cos4 .<	J. t
C . c (I — cos 2j\s 1 f I	1 4- cos 4.1A
9.	I sin x dx - j I-------j dz '= "у I 11 — 2 cos 2r 4-------------jdx.
P .	<>	—cos 2,r \2 /1 4- cos 2.r \
10.	I sin4 x cos" .r dx ~ I I---r,---I I-------2---1 dx =
If,	.	1 ff /1 -I- cos 4z\l
- -у I (1 — cos" 2z) (1 — cos 2.r) dx — — I 1 — I..--------j (1 —• cos 2,r) dx
(дальше воспользоваться формулами (11)).
f	dx	p	dx
11.	---------r.----5----7- I ~T~-----------—Г~\-------
J a cos" .r 4  l>~ sin" x J \a“ 4- b" tg z)cos".c
J = a'Ctg ( tg T) + C (t " tg r> a > °’ 6 > °)"
Г 2 — sin.r f	d.r
12.	I 7Г7----dx 2 ---------------s-----------5--- 4 In I 2 4- cos z ] ==
j2-fcosz J 24-cos“ (z/2)—sin2(z/2)	'
f	dx
— 2 1 —------r,-----------r,---r--------r.----\------г-’-----r 4- In I 2 -I- cos zl =
J 2 (.cos" (z/2) {- sin" (z/2)) 4- (cos2 (z/2) — sin2 (z/2))
f	dx	f d tg (t/2)
— 2 1 -------r4---------5—— 4* In I 2 4" cos x I =4 I  ------—г----— 4-ln|2-1 cosxl.
J 3 cos2 (z/2) 4- sin2 (x/2)	J 3 4- tg2 (z/2)	1
348 ГЛ. 8. НЕОПРЕДЕЛЕННЫЕ ИНТЕГРАЛЫ. АЛГЕБРА МНОГОЧЛЕНОВ
§ 8.12. Тригонометрические подстановки
Интегралы вида
1) j Я (j, У а~ — х'2) dx, 2) J Л (т, У а2 + х1) dx,
3)	J Л (х, Vх*—а2) dx (а > 0)
превращаются в рациональные выражения от sint и cos t при
помощи следующих иодстандвок
1)	х — a sin t, откуда dx — a cos I dt, На2 — x2 — a cos t-,
2)	x = atgt, откуда dx = a cos-21 dt, la2 + x2 — ttcos”* t;
3)	x = «secZ, откуда dx — a tg t sec t dt, Уz2 — a2 = «tg t
Пример.
§ 8.13. Несколько важных интегралов,
не выражаемых в элементарных функциях
Доказано, что неопределенный интеграл от функции е_ иг-
рающей большую роль в теории вероятнотей, не выражается в
элементарных функциях. Это же имеет место для функции
(sinx)/x, часто встречающейся в математическом анализе.
Большое значение в приложениях играют так называемые эл-
липтические интегралы (соответственно первого, второго и
третьего рода):
dx	р	,z2 dx
/(1 -г2)(1 -Ла) ’	/(1 -?)(! - /Л’2) ’
------7^=== (0 < к < I).-
(1|- /г?) V (1 - /) (1 - Л?)
Первые два из них зависят от параметра к, а третий — от к ц
еще от другого параметра к.
Доказано, что все три эти интеграла не берутся в элементар-
ных функциях.
S 8.13. ИНТЕГРАЛЫ, HE ВЫРАЖАЕМЫЕ В ЭЛЕМЕНТ. ФУНКЦИЯХ 349
Подстановка ж =»sin<р (0<ф<л/2) сводит первый из них
И виду
J-—Д==_,	(2)
J И (1— A-2 sin2 <р)
второй — к виду
4 f ....?V--ra' “if /1 —/с‘2 sin2 ф<7ф,	(3)
* J Y 1 — k“ sin2 ф kJ
а третий — к виду
f ------.. . fj4.—	.	(Zf>
" (1 + h sin2 <p) V 1 — fc2 sin" ф
В выражении (3) возникает интеграл
J /Г— кг sin2 ф dtp,	(5}
отличный от (2). Интегралы (2), (5), (4) называются эллиптиче-
скими интегралами соответственно 1-го, 2-го и 3-го рода в форме
Лежандра*).
Эллиптическим интегралам посвящена обширная литература.
Имеются подробные таблицы значений соответствующих им не-
которых важных определенных интегралов, в частности, таблицы
интеграла (5), взятого на интервале (0, л/2).
♦) А. М. Лежандр (1752—1833) — французский математик.
Глава 9
ОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ РИМАНА*)
§ 9Л. Вводная часть и определение
Понятие определенного интеграла было введено в § 1.7. Чи-
тателю, возможно, следует возобновить в памяти то, что говори-
лось там. Эта глава начинается с формального определения опре-
деленного интеграла по Риману, изучаются его свойства и выяс-
няются условия, которым должна удовлетворять функция, чтобы
она была интегрируемой; даются также дальнейшие приложения
определенного интеграла, излагается теория несобственных ин-
тегралов. Уже сейчас подчеркнем, что определенный интеграл в
узком (собственном) смысле, требующий для своего определения
одного предельного перехода, имеет смысл, как будет видно ни-
же, только для конечного отрезка и притом для ограниченных
функций, непрерывных и некоторых разрывных. Для неограни-
ченных функций риманов интеграл заведомо не существует. Од-
нако можно ввести понятие несобственного интеграла по Рима-
ну, требующее для своего определения двойного предельного
перехода. С его помощью корректно определяется площадь фигу-
ры с границей, не слишком быстро растущей в бесконечность.
Другой несобственный интеграл определяется для функций,
заданных на всей действительной оси. С его помощью можно вы-
числить работу силы, действующей на неограниченном интервале.
Зададим па конечном отрезке [а, 6] функцию /. Отрезок [я, 61
разобьем на п частей точками а = х0 < х, < ... < хп = Ъ, и будем
говорить, что произведено разбиение R (отрезка [а, Ы). На каж-
дом частичном отрезке 1х<, х,+(] разбиения выберем по произволь-
ной точке (£(е [ац, xi+lD и составим сумму
Sr = 2 / (Si)	-•= Z<+1 — ?,)
i=0
Ее называют интегральной суммой (Римана) функции / па отрез-
ке [а, 6], соответствующей разбиению R. Интегральная сумма
определена неоднозначно, потому что зависит от выбора £, е
[Xj9 Xi+ 1] .
♦) Б. Ф. Риман (1826—18G6) — выдающийся немецкий математик.
g 0.2. ОГРАНИЧЕННОСТЬ ИНТЕГРИРУЕМОЙ ФУНКЦИИ
35t
По определению, определенным интегралом (Римана) от f на
[а, 6] называется предел
П-1	&
lim 2 / (£0 Азч = / (х) dx = I,	(1>
maxA-vj-»» i—о	’a
понимаемый в том смысле, что I есть такое число, что для вся-
кого е > 0 можно указать такое 6 > О, что для всех разбиений
/?, у которых &х( < 6, имеет место |5В —71 <е, независимо от вы-
бора точек t.ie х,+11.
Другое эквивалентное определение предела (1) следующее:
какова бы ни была последовательность разбиений Rh — {а —
— Хц <С Xi < ... <Xnk ='б] такая, что max Дх?-> 0, к—► оо, при
любом выборе для каждого к произвольных, но определенных
точек fej е [^i, Xi+iJ, соответствующая интегральная сумма име-
ет предел
пА-1
lim SRh = lim 2
k-fco	fe->oo i-0
(не зависящий от выбора указанных Rh и £?).
Эквивалентность этих двух пониманий предела (1) доказыва-
ется аналогично тому, как устанавливается эквивалентность по-
ниманий предела функции на языке е, б и на языке последова-
тельностей.
Факт существования интеграла можно еще выразить на язы-
ке критерия Коши: для любого е > 0 найдется 6 > 0 такое, что
для разбиений 7? и 7?' с частичными отрезками длины, не боль-
шей б, имеет место | S н — SR> | < е.
§ 9.2. Ограниченность интегрирующей функции
Теорема 1. Если функция / интегрируема на [а, &], то она
ограничена на Га, М.
В самом деле, пусть / пеограничена на [а, 6], и SR —
п —1
= 2 f(§j)&Xj — ее интегральная сумма, соответствующая про-
7=0
извольному разбиению R. Так как / пеограничена на [а, Ы, то
она пеограничена по крайней мере на одном из отрезков [ад xj+l]
разбиения, пусть на Xj0; x^+J|. Имеем
SR = / (|,0) Дх>0 + 2' / (t)	- / (^) Аад + А,
где сумма S' распространена па все j jo. Мы считаем, что все
входящие в нее произвольны, но фиксированы. Отсюда |Ан|2>
^|/ (£j0) |Дх>0 — |Л|. Зададим как угодно большее число N и
352
ГЛ. 9. ОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ РИМАНА
составим неравенство
а. |/<м>кЩл-
]0
В силу неограниченности / на [г,0, з%+1] имеется такая точка
5jn s [rJo, я%+1], для которой оно выполняется.
Мы получили, что если / неограничена на [в, Ы, то каковы бы
пи были число N > 0 и разбиение R, соответствующая R инте-
гральная сумма может быть сделана путем надлежащего выбора
точек большей по абсолютной величине, чем N. Следователь-
но, / не интегрируема па [я, б].
В дальнейшем будут рассматриваться только ограниченные
функции.
§ 9.3. Суммы Дарбу *)
Пусть на [я, Ы задана ограниченная функция / и пусть R =
= {я = х„< хА < ... < хп = Ь] — произвольное разбиение [я, &].
Положимт}= inf f(x), М,= sup /(х). По определе-
xe[xj,xj+i]	XS[Xj,Xj+1]
иию числа
п—I	-и—1
Sr = 2 mjAXj, SR = 2 MjAXj
1=0
называются соответственно нижней и верхней интегральными
суммами Дарбу f, соответствующими разбиению R. Это вполне
определенные числа, зависящие от f и R.
Очевидно, что SR < SR.
Пусть У?,, R2, R3— разбиения [я, 61. Если все точки Rt при-
надлежат Ri, то будем писать R, R, и говорить, что R2 есть
Продолжение Ri. Если множество точек, из которых состоит /?.,
есть теоретико-множественная сумма множеств точек, из которых
состоят R, и R2, то будем писать R3 — Rt + R3.
Если R с 7?', то
Sr<Sr,<Sr,<Sr.	(1)
Действительно, будем считать, что
R — (эсп < х, <.. .< хп},
R ~ {.z\( — -Го,о <С a;e j ... <	~	= ДЧ,о < ^1,1	 • •
... <С •Tn—~ Яп—i = %n—1,0 C • •  "С %n—	j •
Тогда, очевидно, Mjk = sup	sup	и
,xi,ft+i] ‘ xe[xj,
__ n— 1 О-1	«—1	lj~1	n-l
Sr' — 2 2 Mjk\xjk < 2 Mi 2 ^jh = 2 Mj\xj = sn,
j. Q A=o	j^,0	h—9
♦) Г. Дарбу (1842—1917) — французский математик.
§ 9.3. СУММЫ ДАРБУ
353
л мы доказали последнее неравенство (1). Первое доказывается
аналогично.	_
Каковы бы ни были разбиения Rt, R2 имеет место 5д^ SBi,
потому что 5д, < ^Л1+н2	Sfy
Зафиксируем Rt и пусть R произвольно; тогда
5д ^inf5fl = 7.
-	- R
Число Z = infSR называется верхним интегралом функции f на
д
[д, 6]. Мы доказали его существование и тот факт, что для любо-
го R (теперь мы заменяем Rt на R) имеет место
SR^I.
•По тогда существует точная верхняя грань
I = sup Sн	I,
Н -
называемая нижним интегралом, функции f на [а, Ы. Итак, дока-
зано существование нижнего (/) и верхнего (Z) интегралов / на
14. Л] и.неравенство 1^1.
Лемма 1. Если Е,, Ег — множества чисел, то
sup (х 4- у) — sup х 4- sup у.
ySE2
Доказательство предоставляем читателю.
Лемма 2. Если на отрезке [с, d] задана ограниченная функ-
ция f, то
sup [/(£) —/01)1= sup |/(В) — /(n)l = M~ m, (2)
£,ле[с,Д	Л.пе(с,<г]
где M = M[c,d]= sup f(x), m — т[сд] = inf f(x).
*6[e,d]	te[c,d]
Доказательство. Для любых В» Л® lc,'rf]
/(В)- /(»])< 1/(?)-/(т])1 ^м-m.	(3)
С другой стороны, найдутся такие В, Л ® [с, «Л, что /(В) > М — е/2;
/(гр < т + е/2; для них
/(В) - /(гр > W - е/2) - (иг 4- е/2) = М - т - е.
Мы доказали, что первый и третий члены (2) равны. Тем более
в силу (3) они равны второму члену.
Число
М — т = ы =•= (1)[с, <п
называется колебанием / на [с, dl.
354
ГЛ. 9. ОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ РИМАНА
Из лемм 1 и 2 следует, что
sup 2 [/ <Лз) — / 0ъ)1	= 2 sup I / (£Д — / (т)Д I \Xj =
j=0	3=0
jlEj (37 j	Ulj) AXj = 2 WjAxj = Sr Sr, (Oj = <0[x- x; +-11 (4)
3=0	3=0	—	13 3 1
(всюду в этих соотношениях равенства!).
§ 9.4.	Основная теорема
Теорема 1 (основная). Пусть задана ограниченная на
конечном отрезке [а, Ы функция f.
Следующие утверждения эквивалентны:
1)	1_=Г,
2)	для всякого 8 > 0 найдется такое разбиение R, что
SR — SR<e;	(1)
3)	для всякого 8 > 0 найдется 6 > 0 такое, что для всех раз-
биений R с частичными отрезками \х} < 6 имеет место нера-
венство (1);
4)	существует интеграл
ь
\l(x)dx = l.	(2)
— а
При этом 1=1=1.
Здесь, конечно, подразумевается, что 7, J — нижний и верх-
ний интегралы / на [а, Ь], a SR, SR — нижняя и верхняя инте-
гральные суммы /, соответствующие разбиению R.
Эту теорему можно перефразировать так:
Для того чтобы существовал интеграл от f на [а, Ь], необхо-
димо и достаточно выполнение одного из условий 1)—3). При
этом величина интеграла равна 1 = 1.
Доказательство. 1)-* 2) (из утверждения 1) следует
утверждение 2)). Из 1), где считаем 1 = 1, следует, что найдутся
разбиения Ri, R2 такие, что I — (е/2)<5И1, Sr2 < 7 + 8/2.
Тогда
7 — у < ^7?! Sr С-/ Sr <Sr, <7 + у, R ~ R1Jr Rf
Отсюда в силу того, что 7 = 7, имеет место 2).
2) -* 1). Пусть 7? — разбиение, для которого верно (1). Тогда
в силу неравенств _SH «£_7 < 7 5Л имеет место 7 — J < е. Но
е > 0 как угодно мало, а _7 и 7 — определенные числа, не завися-
щие от 8, поэтому 1 = 1,
§ 9.4. ОСНОВНАЯ ТЕОРЕМА
355
4) -► 3). Пусть существует интеграл (2). Из определения ин-
теграла следует, что для любого е > 0 можно указать такое
6 > 0, что для любого разбиения R, у которого Ах3- < 6, имеют
место неравенства
п-1
3
каковы бы ни были точки ^<^[х,-, xj+J. Отсюда, беря верхнюю
и нижнюю грани по %,- е [х3, х3+Э входящей в эти неравенства
суммы, получим
+	(3)
т. е. 3).
3) -> 2). Это тривиально.
2) -> 3). Это самая нетривиальная часть теоремы, утверждаю-
щая, что если для любого е > 0 найдется зависящее от него раз-
биение = {а = х0 <хг <С ... <хп = Ь}, для которого Ан* —
— Ан*<е, то также найдется 6>0 такое, что для всех разбие-
ний R с Ах3<6 выполняется (1).
Именно, в качестве б возьмем число, удовлетворяющее нера-
венствам 26 < х*+1 — х* (/ = 0,1, ..., п — 1), 4пб/£ < е, где К
= sup |/(х)|.
xG[a,i>]
Тогда имеем (пишем М.;, т}, Ах3 без индексов)
Sr~Sr = 2' (М - т) Дх + 2" (М - т)
где сумма S' распространена на все (замкнутые) отрезки разбие-
ния R, каждый из которых содержит в себе одну из точек R*,
а 2 — на все остальные отрезки R.
В сумму S' входит не более чем 2п слагаемых — один отрезок
покрывает точку а, другой — точку Ь, и каждая из точек хх, ...
..., хп_х покрывается одним пли двумя отрезками. Имеем
2' (М — т) &х 2К82п < е.
Сумму 2 напишем в виде кратной суммы 2" = 22i , где 2'
г
обозначает сумму слагаемых 2 > соответствующих отрезкам
R, каждый из которых попал в один и тот же интервал (х;, xj+1)
старого разбиения R*-
Имеем
2"	— т) Ах =
= 2" 2‘	~ т) &х 2(ЛГ* — и*) 2’ ^х	2 (Л1*—т*) Ах*<е.
i	i	i
356
ГЛ. 9. ОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ РИМАНА
Поэтому Sb — SR < 2е для всех разбиений Я, для которых
&х < 6, т. е. имеет место 3).
3) -> 4). Пусть имеет место 3). Тогда, как уже доказано, спра-
ведливо 2) и 1). Зададим е > 0 и подберем 6 > 0 так, как указано
в 3). Тогда для разбиений Я, о которых говорится в 3),
Sn</</<SR.
Отсюда, полагая / = / = /, получим
k-S/(^) A^|<sR-_sR<e,
т. е. I есть определенный интеграл от f на 1а, 6]. Мы доказали 4).
Теорема полностью доказана.
Как следствие из основной теоремы, справедлива
Теорема 2. Пусть задана последовательность разбиений Rk
a = z*<zj< <xnh^b =
у которых max = б, -► 0.
i 3
Если для функции / выполняется одно из условий
(4)
Иго У / (£)) д4 = lim SR (/) = I,
k-*oo j1 " J ft-,00
lim SR (/) = lim SR (/) = I,	(6)
fe->oo A
го это влечет существование интеграла
Ъ
1 = J7 (х) dx.	(7)
а
Наоборот, существование интеграла от f на [й, i] влечет выполнение
условий (4) — (6).-
Из (4), так же как из (6), следует, очевидно, свойство 2) основной тео-
ремы. Из (5) же следует, что для любого е > 0 найдется к такое, что
/-7<4</+i	(8>
каковы бы ни были s	Беря верхнюю и нижнюю грани Sn^
по указанным получим
е	-	е
(9>
откуда следует свойство 2) основной теоремы, в силу которой существует
интеграл- (от / на [a, i]), равный, очевидно, 1.
Наоборот, если интеграл существует и равен I, то по его определению
существует предел (5) для любой последовательности разбиений с б*->0,
в частности, для рассматриваемой нами последовательности. Но тогда для
§ 9.5. ТЕОРЕМЫ О СУЩЕСТВОВАНИИ ИНТЕГРАЛА
357
любого е найдется к0 такое, что для к > кв выполняются неравенства (8;
и, следовательно, (9), имеет место (6), тем более (4).
Теорема доказана.
Из теоремы 2 следует, что для того чтобы убедиться в существовании
интеграла, достаточно убедиться, что существует предел (о) (при любом
выборе 5)!) для одной какой-нибудь последовательности разбиений Rk
с б* -> 0. Например, когда [«, &] дробится последовательно на равные части.
Замечание. Справедлива теорема Дарбу (здесь не доказы-
ваемая), утверждающая, что для любой ограниченной на 1а, Ь]
функции
limS(/?) = 7, lim S(R) = I,	(10)
б-»о	6-*о
хотя / может и не быть интегрируемой (_£ < 7).
Пример. Для функции (Дирихле) /, равной 1 в рациональных точках
отрезка [0,1] и 0 в иррациональных, при любом разбиении Я отрезка [0, 1]
верхняя интегральная сумма S(R) = 1, а нижняя S(R) =0. Таким обра-
зом, 7 =» 0 < 1 = 7, и- функция Дирихле ограничена, но ие интегрируема.
§ 9.5. Теоремы о существовании интеграла
от непрерывной и монотонной функции на [а, Ы
Теорема 1. Если функция / непрерывна на [a, 5J, то она
интегрируема на [а, Ы.
Доказательство. Пусть / непрерывна на [а, Ы; тогда
для разбиения R, у которого частичные отрезки Aaj < б, имеет
место (&, rpstoj, z.+J)
S I/ (Ь) — / (91)] A*; < S ® (6) Ax; = oj (6) (b — a),
i—о	j—о
где co(6) = sup	есть модуль непрерывности /
|я'—x"J<0
на [а, Ы.
Поэтому
п-1
SR — Sr = sup 2 [/ (5Д — / (пД1 Atfj < ® (6) (Ь — а).
Ij.Bj i—o
Но, как мы знаем, для непрерывной на замкнутом конечном от-
резке [а, Ь] функции <в(б) -* 0 (6 -* 0), поэтому для любого е >
> 0 можно указать такое б > 0, что SR — 5Н < е.
В силу эквивалентности условий 2) и 4) основной теоремы
интеграл / на [а, Ы существует.
Теорема 2. Функция, определенная на отрезке [а, 61 и
ионотонная на нем, интегрируема на нем.
358
ГЛ. 9. ОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ РИМАНА
Пусть для определенности / не убывает; тогда для произволь-
ного разбиения R при =5 6
2 1/ (li) — f 0р)1	< 2 I/ (*l+i) — / (*j)l	<
i=o
<8 2 [/ (^j+1) — / to)l = 6 [/ (&) — / (a)] <8 (£/, Ц; e [*J,
j=0
если 6 достаточно мало. Отсюда, взяв верхнюю грань по гр,
получим
Sr — SH = sup 2 [/ (gj) — / (ц3)] A^ < e,
и на основании эквивалентности условий 2) и 4) основной тео-
ремы получим, что / интегрируема на [а, Ы.
Заметим, что монотонная на [а, 6] функция может иметь только ко-
нечное или счетное число точек разрыва (см. § 3.9).
Действительно, пусть а Ж] < х2 < ... < жл &— какие-либо, мо-
жет быть, не все точки разрыва (первого рода) монотонной функции f(x),
которую мы будем считать неубывающей. Подберем в > О настолько ма-
лым, чтобы
Ж[ + в < ж2 — в < ж2 + в < ж3 — в < ...
Тогда
N
У, [/ (zk + е) — / (*й — 8)] < / (&) - / (а) = х
fc=i
(если ж, = а, то надо считать /(«— в) = /(а), а если жп = Ь, то
f(b -(- в) = /(&)) и после перехода к пределу при в-»-О
(если ж, = а, то Ж] — 0 = а; если жп = Ь, то ж„ + 0 = Ь). Это неравенство
показывает, что функция может иметь не больше одной точки разрыва со
скачком, большим х/2. Если такая точка есть, то припишем ей номер 1,
затем пересматриваем, имеются ли точки со скачками большими, чем х/3;
таких точек не может быть больше чем две, и если таковые среди незану-
мерованных на самом деле есть, приписываем им следующие номера и т. д,
В результате все точки разрыва будут перенумерованы.
§ 9.6.	Теорема Лебега *)
В предыдущем параграфе было доказано, что всякая непре-
рывная на отрезке [а, &] функция интегрируема (по Риману) на
этом отрезке. Там же доказано, что всякая монотонная (ограни-
ченная!) на отрезке [а, 61 функция интегрируема на нем. Мо-
♦) А. Лебег (1875—1941)—французский математик, один из основате-
лей современной теории функций действительного переменного.
§ 9.6. ТЕОРЕМА ЛЕБЕГА
359
потопная функция может иметь разрывы, но количество точек
ее разрыва конечно или счетно. Возникает вопрос, как много
точек разрыва может иметь функция, чтобы опа оставалась все
же интегрируемой по Риману. Исчерпывающий ответ на
него дает
Теорема Лебега. Для того чтобы функция f была интег-
рируемой на (конечном) отрезке [а, 6], необходимо и достаточно,
чтобы она была ограниченной на [а, Ь] и непрерывной всюду
на [а, Ы, за исключением множества лебеговой меры нуль.
Доказательство этой теоремы будет дано в § 12.10 для п-
мерного случая.
По определению, множество е имеет лебегову меру нуль, ес-
ли, каково бы ни было е > 0, найдется покрывающая е счетная
или конечная система интервалов, сумма длин которых меньше
е. Конечное и счетное множества точек имеют меру нуль. В са-
мом деле, пусть точки множества перенумерованы: xlf х2, ...
Покроем каждую из них интервалом так, чтобы длина интервала,
покрывающего точку хп, была меньше, чем е  2~п. Сумма длин
этих интервалов будет меньше е.
Таким образом, из теоремы Лебега следует, что всякая ог-
раниченная на [а, Ы функция, имеющая конечное или счетное
число разрывов, интегрируема по Риману.
Заметим, что среди множеств, имеющих лебегову меру нуль,
имеются и несчетные множества.
Пример. Разделим отрезок [0, 1] на три равные части и средний ин-
тервал (1/3, 2/3) (открытое множество) выкинем; каждый оставшийся от-
резок [0, 1/3] и [2/3, 1] также разделим на три равные части и средние их
открытые части выкинем. Оставшиеся четыре отрезка разделим на три ча-
сти и средние открытые части выкинем. В результате этого процесса, про-
долженного неограниченно, будет выброшено счетное число интервалов
общей длины, равной 1 = (1/3) + (2/9) + (4/27) + ... Оставшееся на [0, 1]
множество Е замкнуто.
Можно доказать (см., например, П. С. Александров и А. Н. Кол-
могоров. Введение в теорию, функций действительного переменного, М.,
ГТТИ, изд. 3, 1938), что Е не только замкнуто, но и совершенно — любая
точка Е есть предельная точка Е, а также Е нигде не плотно на [0, 1] —
любой интервал содержит в себе точки, отличные от Е; кроме того, Е не-
счетно и в то же время имеет лебегову меру нуль. Е называется канторо-
вым множеством меры нуль.
k Зададим функцию
... [1 (хе£),
'W-jo (ze=J0,1]-£).
Она, очевидно, непрерывна во всех точках [0, 1] — Е и разрывна во
всех точках Е.
Таким образом, функция / может служить примером интегрируемой по
Риману функции, имеющей несчетное множество точек разрыва.
360
ГЛ. 9. ОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ РИМАНА
§ 9.7.	Аддитивные и однородные свойства интеграла
Теорема 1. Если / интегрируема на [а, Ь] и а <с<Ь, то
она также интегрируема на [а, с] и [с, Ы, и наоборот. При этом
Ъ	с	.Ь
[ / (х) dx — J / (a) dx + j / {%) dx.	(lj
а	а	с
Доказательство. Возьмем произвольную последователь-
ность разбиений содержащих в себе точку с, со стремящимся
к нулю максимальным частичным отрезком. Rk индуцирует на
[а, с] и [с, 6] соответственно разбиения Rk и Rk,
Если теперь интеграл от /на [a, Ы существует, то в силу
теоремы § 9.4 левая часть (2) - стремится при к -* °° к нулю,
а следовательно, и каждое слагаемое (неотрицательное!) правой
части стремится к нулю, что влечет по той же теореме суще-
ствование интегралов от / на [а, с] и [с, Ы. Поэтому из очевидно-
го равенства
sR/t = sR, + s
н
следует после перехода к пределу при к -+• °° равенство (1).
Наоборот, если существуют интегралы от / на отрезках [a, d
и 1с, Ь], то для произвольных их разбиений Rk и Rh со стремя-
щимися к нулю максимальными частичными отрезками отдель-
ные слагаемые правой части (2) стремятся при к -* <» к нулю,
но тогда и левая часть (2) стремится к пулю, что влечет за со-
бой существование интеграла / на [а, Ы.
Мы определили интеграл от / на [а, Ы, где а< Ь. Но полезно
расширить это определение, считая в случае а > Ь, что
b	а	а
\ f (x)dx = — [ / (x)dx и j / (х) dx = 0.
a	b	а
b
При таком расширенном понимании символа равенство (1),
а
как нетрудно проверить, сохраняется для любых а, Ь, с, если
только существует интеграл на наибольшем среди отрезков [а, &],
[в, d, [fe, d.
Мы считаем здесь, что ta, fel—отрезок, соединяющий точки
а и Ь, и даже называем отрезком [а, о] точку а.
Теорема 2. Пусть fix), ф(х) — интегрируемы на [а, &]
функции и С — постоянная', тогда
5 9.7? АДДИТИВНЫЕ И ОДНОРОДНЫЕ СВОЙСТВА ИНТЕГРАЛА
ЭЙ
1) /(ж) ±ф(ж), 2) Cftx), 3) |/Gr)l, 4) /(ж)ф(ж),5)где
|/(ж)| >d>0 на [а, 61 — суть интегрируемые (функции. При
этом
ь	ъ	ь
J (/ (z) ± Ф (•*)) dx = j / (х) dx ± J ф (т) dx,	(3)
а	а	а
Ь	Ь
J Cf(x)dx~C^f(x)dx.	(3')
а	а
Заметим, что факт интегрируемости указанных функций непо-
средственно следует из теоремы Лебега, если принять во внима-
ние, что лебегова мера суммы двух множеств, имеющих лебегову
меру нуль, очевидно, в свою очередь равна нулю. Но можно до-<
казать это утверждение, не прибегая к теореме Лебега.
Берем произвольное разбиение а = х0 < х, < ... < хп = Ь.
Тогда
Hm 2 (/ (5j) ± ф (5j)l &xi =
max Axj-»o i
b	b
= lim 2 / (5j) &xi ± lim 2 Ф (I j) &xi = f / (x) die ± J ф (x) dx,
3	3	a	a
потому что, по условию, интегралы от /(ж) и ф(л?) существуют.
Таким образом, предел в левой части этих соотношений сущест-
вует и равен правой части. Но это значит, что имеет место (3).
Подобным образом
ь	ь
[c/dx= lim 2<7(5j) ^xi = C lim 2/(5j)	= C f fdx.
„	max Axj->0	"a '
Мы доказали 1), 2), (3) и (3').
Будем обозначать через М/= sup /, m.f~ inf /.
xe[x;-,Xj+1]	x=[xj,Xj+1]_
Будем считать, что Kf~ sup |/f. Имеем для произвольных
хе[а,Ь]
Р *== Ixj,
1/(5) I ~ |/(р)|<1/(5) -mt,
f (5) ф (5) — / (р)ф(р) < I /(5)1 1ф (5) — ф (p) I +
+ IФ(p)11/ (5) - / (n) | < Kf (My -	+ Ky - mt\
fil) /(П)-	/®/(П) di{Mt
362
ГЛ. 9. ОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ РИМАНА
Беря верхние грани левых частей полученных неравенств по
,5, r| е (xj, xj+J, умножая их на Axj и суммируя по j, получим
2 W/l — "»|7|) Дх < 2 (Mf ~	(4)
(А//ф Дх Kf (АГф —- лГф) Дх 2 (М/ — тп,) Дх, (5)
2(^г/ —	— т/)\х	(6)
(мы опустили j у Дх,). Но вследствие интегрируемости / и ф
правые части (4) — (6) при Дх<6, где б достаточно мало, мож-
но сделать как угодно малыми, но тогда и левые. В случае (5)
найдем для данного е разбиения 7?lf R2, для которых
SRl (/) - 5Я1 (/) < е, SRi (ф) - ДЛ2 (ф) < е.
Эти неравенства верны, если заменить й2 на R = й, + /?2.
Заметим, что из интегрируемости |/(х)| не следует интегри-
руемость /(х), как это легко видеть на примере функции, равной
1 в рациональных точках [а, 6] и — 1 в иррациональных.
§ 9.8.	Неравенства и теорема о среднем
Теорема 1. Если f и интегрируемы и удовлетворяют не-
равенству f(.x) ^ф(х) на [а, &], то
ь	ь
f dx	( ф dx.	(1)
а	а
Существование этих интегралов уже предположено и надо до-
казать только само неравенство. Имеем, очевидно, для любого
разбиения R
2 / (^) д^ < 2 <р (5j) д^-
Переходя к пределу при max Дх, -+• 0, получим (1).
Теорема 2. Если f интегрируема на [а, &], то
ъ	ъ
§ f dx ^$\f\dx^K(b-a),	(2)
а	а
где К— sup |/(х)|.
а<х<Ь
Имеем — |/(х)1 < /(х) < 1/(х)|. Поэтому по предыдущей тео-
реме
Ь	b	b	ь
— j | f | dx = j (— | /1) dx < j / dx < j I f | dx,
a	a	a	a
§ 9.8. НЕРАВЕНСТВА И ТЕОРЕМА О СРЕДНЕМ
363
откуда следует первое неравенство (2). Далее, 1/1 «S К, поэтому
ь	ь
J | /1 dx^. j" Kdx = K(b — a),
a	a
и мы получили второе неравенство (2).
В теореме 2 имелось в виду, что а < Ь. Если а > Ь, то
ь
J j dx
а
а	а
\fdx ^\f\dx^(a-b)K = K\b — а |.
i>	ь
Теорема 3 (о среднем). Если / и
[a, Ь) и ф(ж) > 0, то
ъ	ь
J ftp dx = Л J ф dx,
а	а
Ф интегрируемы на
(3)
где тп^.Л^ М, пг = inf / (х), М — sup /(х).
Действительно, в силу того, что ф(ж) > О,
тифСг) < /(ж)ф(ж) < М(р(х).	(4)
Интегрируя эти неравенства, получим
Ь	b	ь
m § (pdx^. f /ф dx М У ф dx.	(5)
а	а	а
Ъ
Если У ф dx = 0, то второй интеграл в этих соотношениях также
а
b
равен 0 и равенство (3) очевидно; если же Уф<£г>0, то из (5)
а
следует
ь
У /<р dx
------<М,
J <р dx
а
т. е. второй член в этих соотношениях равен числу Л, удовлетво-
ряющему неравенствам m «5Лчто и требовалось доказать.
Следствие. Если в этой теореме / непрерывна на [a, fe],
го найдутся точки xt, х2 е [a, fe) такие, что f(x2) — М, fixj — m
и точка £ е 1х„ х2] такая, что /(|) — Л, поэтому в случае непре-
364
ГЛ. 9. ОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ РИМАНА
рывной на [я, Ы функции f равенство (3) можно записать в виде
ь	ь
J ftpdx = /(£) J <pdx (a<£<b).	(6)
a	a
Теорема 4. Если /—интегрируемая неотрицательная на
[я, И функция такая, что в некоторой точке х0 е [я, Ь] ее не-
прерывности >0, то
ъ
J / dx>0.
а
В самом деле, из условия теоремы следует, что существует
число /. >0 и отрезок о с [а, Ы, содержащий в себе х,. такие,
что f(x) Ж на о. Пусть 6 = [я, 6] — о — множество (состоящее
из одного или двух отрезков). Тогда
ь
/ dx = J / dx 4- \ j dxZ^ f / dx~^ A. | о | > 0,
а	о	6	a
где I a I — длина a.
§ 9.9. Интеграл как функция верхнего предела.
Теорема Ньютона — Лейбница
Пусть на отрезке (я, 6] задана интегрируемая функция f.
Начнем с того, что отметим, что
b	ь
J f (х) dx — J / (и) du,
«	a
т. е. не имеет никакого значения, какая буква (х или w) стоит
под знаком / в определенном интеграле по отрезку [я, &J.
Зададим произвольное значение х е [я, &J и определим новую
функцию F (х) = J / (t)dt. Она определена для всех значений хе
а
э [я, Ь], потому что мы знаем, что если существует интеграл от
/ на [я, Ь], то существует также интеграл от f на [я, х\, где а
< х С Ь. Напомним, что мы считаем, по определению,
F(a) = dt = 0.	(1)
а
Заметим, что
ь
F(h)-$f(t)dt.
а
§ 9.9. ИНТЕГРАЛ КАК ФУНКЦИЯ ВЕРХНЕГО ПРЕДЕЛА
365
Покажем, что F непрерывна на [а, Ь]. В самом деле, пусть х,
х + Л е [й, &]; тогда
x+h	х	x+h
F (х + h) — F (x) = j / (t)dt — j f(t) dt = j f(t)dt,
a	a	x
и, если К = sup I/(01, a =S / «S 6, to
| F (x + h) - F (x) К
x+h
J /(0^
<К|Л|->0 (Л-*0).
Таким образом, F непрерывна на [а, 6] независимо от того,
имеет или нет / разрывы; важно, что / интегрируема на [«, Ы.
На рис. 9.1 изображен график /. Площадь переменной фигу-
ры аАВх равна F(x). Ее приращение F(x'+h) — Fix) равно пло-
щади фигуры xBC(x + h), которая в
силу ограниченности /, очевидно, стре-
мится к нулю при fe -* 0 независимо от
того, будет ли х точкой непрерывности
или разрыва /, например, точкой х = d.
Пусть теперь функция f не только
интегрируема на [а, Ь]. но непрерывна
в точке хе [а, &]. Докажем, что тогда
F имеет
равную
в этой точке производную,
В самом
Р'(х)^Дх).	(2)
деле, для указанной точки
х4-Л	x+/i
= 1 J f(t)dt = ± j‘ [/ (х) + n (,)] dt ===
x + fi	x + ft
+ 4 J n(0dt = /W + 0(1) (A + 0). (3)
X	X
Мы положили /П) =/U) + pU), а так как /Gt) — постоянная от-
носительно t, то j / (z) dt .-= f (x) h. Далее, в силу непрерывности
X
j в точке х для всякого е > 0 можно указать такое 6, что |ц(/)| <
< е для U’ — t\ <6. Поэтому
ll,
ТТЙ I I 8 = 8 Для I h I < 6,
|"Л |
x + h
1 С
Л J 9(0^.
что доказывает, что левая часть этого неравенства есть о(1) при
Л-* 0,
366
ГЛ. 9. ОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ РИМАНА
Переход к пределу в (3) при Л О показывает существова-
ние производной от F в точке х и справедливость равенства (2).
При х = а, b речь здесь идет соответственно о правой и левой
производной.
Если функция / непрерывна на [а, 6], то на основании дока-
занного выше соответствующая ей функция
X
F(x)=^f(t)dt	(4)
а
имеет призводную, равную fix): F'ix) — fix)	Следо-
вательно, функция Fix) есть первообразная от / на [а, Ы.
Мы доказали, что произвольная непрерывная на отрезке
[а, 6] функция f имеет на этом отрезке первообразную, опреде-
ленную равенством (4). Этим доказано существование первооб-
разной для всякой непрерывной на отрезке функции (см. § 8.1).
Пусть теперь Ф(а?) есть произвольная цервообразная функ-
ции fix) на [а, Ы. Мы знаем, что <&ix) — Fix) + С, где С — неко-
торая постоянная. Полагая в этом равенстве х = а и учтя, что
Fid) — 0, получим Ф(а) = С.
Таким образом, Fix) ~ (&ix) — Ф(п). Но
ь
j / (х) dx = F (b).
Поэтому
J / (х) dx = Ф (Ъ) — Ф (а)=Ф(х)
а	х—а
(5)
Мы доказали важную теорему:
Теорема 1 (Ньютона — Лейбница). Если / непрерыв-
на на отрезке [а, 6] и Ф — ее любая первообразная на этом от-
резке, то имеет место равенство (5).
Из (5) по теореме Лагранжа следует:
ь
§f(x)dx = f(l,)(b — a) (а <%<&),
а
где | е (а, Ь) — некоторая точка. Этим уточняется равенство
§ 9.8, (6) при ф(а:) = 1, где утверждалось, что [я, &].
Теорему 1 можно обобщить.
Теорема 2. Для непрерывной кусочно гладкой на [а, Ы
функции F имеет место
ь
F (Ъ) — F (а) — § F'(х) dx.	(6)
а
§ 9.9. ИНТЕГРАЛ КАК ФУНКЦИЯ ВЕРХНЕГО ПРЕДЕЛА
367
Доказательство. Пусть (см. § 5.15)
а = х0 < х, < ... < хп — Ь,
где Xi, ..., xn-i — точки разрыва F' (первого рода!). Тогда (по-
яснения ниже)
F (b) — F (а) — 2 to+i) — Р to)] =•
-2 \ F' (х) dx = \F' (х) dx. (7)
ij	a
Второе равенство в (7) верно, потому что для любого /
F(xj+1)-F(x}) = J F'(x)dx.	(8)
xj
Ведь производная F'(x) существует и'непрерывна на интервале
to, х^). Кроме того, существуют пределы F'to + O), F'(xi+i — 0),
которые равны соответственно правой и левой производной от
F в точках х = а, Ь.
Из интегрируемости F’ на каждом из отрезков [х„ следу-
ет ее интегрируемость на [а, 61 и последнее равенство (7).
Замечание. Функция F' не определена в точках х,, ...
..., x„-i&[a, ft], но это пе мешает ей быть интегрируемой на
[о, 6] (см. подробнее по этому поводу § 9.11).
Теорема 3. Для непрерывных кусочно гладких на [а, 61
функций и(х), v{x) имеет место формула интегрирования по ча-
стям:
ь
и' (х) v (х) dx и (х) v (х)
а
Ъ
j и (х) v' (х) dx.
(9)
Ведь произведение u(x)v(x) есть также непрерывная кусочно
гладкая на [а, 6] функция, имеющая, таким образом, всюду на
(а, Ь], за исключением конечного числа точек, производную, вы-
числяемую по формуле
(,и(.х)и(х)У = и(х')иУх) + u'(x)v(x).
Если учесть еще, что функции u'(x)p(a:), u(x')v'kx') интегриру-
емы на [a, h], то в силу предыдущей теоремы
и (х) V (х)
ь ъ	’ ь
== J и' (х) v(x)dx -f- J и (х) v’ (х) dx,
а а	а
откуда следует (9).
368
ГЛ. Э. ОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ РИМАНА
Теорема 4 (о замене переменной). Справедливо
равенство
Ъ	d
J j(x)dx = J /[<р(01 ф' (t)dt,	(10)
а	с
где функция z = (j(f) непрерывно дифференцируема на [с, dl,
а — <р(с), b = <p(d) и значения <p(Z) (с < t «5 d} принадлежат от-
резку [Л, BJ, на котором f(x) непрерывна. {.Таким образом,
la, bl <= [А, В1.)
В самом деле, пусть F(x) и Ф(О — соответственно первообраз-
ные функции /Сг) и /[<р(£)1<р'(£). Тогда (см. § 8.1, (2)) имеет ме-
сто тождество Ф({) — F(<p(t)l + С, c^t^d, где С — некоторая
постоянная. Теперь (10) следует из очевидного равенства
F(b) - F(d) = F[<p(d)] - Иф(с)] = Ф(Л - Ф(с)
на основании теоремы Ньютона — Лейбница,
л
Пример 1. fsin х dx = — cos х |" = 2 в силу теоремы Ньютона — Лейб-
о
иица: sinх непрерывна на [0, л],.— cost ее первообразная.
П р и м е р 2.
ь
J sign t dt = 111J* = | &| — | a |	(11)
. a
в силу теоремы 2, потому что |ж| есть непрерывная кусочно гладкая (или
гладкая, если ab 0) функция на отрезке [а, 6], а sign х — ее производ-
ная, существующая всюду на [а, Е>], за исключением точки х = 0.
В частности, из (И) следует:
X
j" sign t dt — | х |.
о
§ 9.10. Вторая теорема о среднем
Теорема. Если функция <р — неотрицательная неубывающая на от-
резке [а, 6], a f — интегрируемая на [а, 6], го существует точка
е [в, Ь] такая, что
Ь	ь
j* <р (ж) / (ж) dx = <р (6) j* / (ж) dx.	(1)
а	Е
Доказательство. Будем сначала считать, что <р имеет непрерыв-
ную производную на [а, 6]. Интегрируя по частям, получим
ь	ь	ъ ь
<р (ж) / (ж) dx = — <р (ж) J / (и) du |* + J <р' (ж). J / (и) du dx =
a	х	ах
Ь	Ь Ь
= <p (a) / (u) du + j <jp' (ж) j / (и) du dx. (2)
a	ax
§ fl.ll. ВИДОИЗМЕНЕНИЕ ФУНКЦИИ
369
Пусть
ь	ь
т — min I f (и) du, М =* max \f(u}du\
a^x^bJ	a<x<b*
x	x
тогда правая часть (2), учитывая, что ф(я), ф'(х) > 0, ие больше чем
(ь \	.	/ ь \
Ф (а) + J ф' (ж) dx I М=<р (Ь) М, но не меньше, чем I ф (в) ~f-J ф' (х) dx |да=
а	• /	\ t а	/
= ф(6)т. Поэтому найдется |е[«, 6], для которого выполняется ра-
венство (1).
Если теперь ф — неубывающая неотрицательная функция, вообще го-
воря, разрывная, то она интегрируема на [а, б] и существует последова-
тельность непрерывно дифференцируемых неубывающих неотрицательных
функций ф„, для которых (см. § 18.2, 5), том II)
ь
J | <р (х) — фп (х) | dx -> 0,	п->оо.	(3)
а
На основании уже доказанного при любом п найдется точка е
е [а, 6], для которой
ь	ь .
( Фп W f & dx == ф (6) f f (*) dx-	(4>
«	In
Из последовательности {gn} можно выбрать подпоследовательность, сходя-
щуюся к некоторой точке Ее [я, 6]. Но тогда в силу непрерывности ин-
теграла справа в (4) по нижнему пределу и того факта, что
ь	ь	ь
( Фп/ dx ~ j Ф/ dx < к J | Фп — Ф | dx~+ 0> «-*оо, йГ>|/(ж)|,
а	а	а
из (4) после перехода к пределу при п->-оо следует (1).
§ 9.11. Видоизменение функции
Теорема. Если функция / интегрируема на [а, Ы, то после
видоизменения ее в конечном числе точек отрезка [а, Ь] она ос-
танется интегрируемой без изменения величины интеграла.
Доказательство. Ясно, что видоизмененная функция
/1(л:) ==/Сг) + ф(ж),
где <р равна нулю всюду на [а, Ы, за исключением указанных в
условии теоремы точек. Ясно также, что интеграл от ф на [а, bl
равен нулю. Поэтому f, интегрируема и
ь ь ь ь
J fxdx = J / dx + j* ф dx = J / dx.
a	a	a	a
До сих пор при исследовании функции / на интегрируемость
мы предполагали, что / задана во всех точках [а, Ь]. Из дока-
370
ГЛ. 9. ОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ РИМАНА
ванной теоремы мы видим, что интегрируемость f не зависит от
того, какие значения принимает / на конечной системе точек от-
резка [а, &],. Но раз так, то можно и не предполагать, что / зада-
ла на этих точках. В этом смысле мы будем говорить об интег-
рируемости ограничейной функции на fa, &], заданной на самом
деле на множестве, полученном выбрасыванием из [a< 6] конеч-
ного числа точек, например, об интегрируемости sind/a?) или
(sin х)!х на [0, 1]. Обе эти функции непрерывны и ограничены
только на (0, 1], но говорят, что они интегрируемы на [0, 11.
Если заданную на отрезке [а, Ы интегрируемую на ием функ-
цию / видоизменить на счетном множестве точек, то видоизме-
ненная функция /t сможет оказаться уже не интегрируемой. На-
пример, функция fix) = 1 имеет интеграл Римана на [0, 1], рав-
ный 1 (любая ее интегральная сумма равна 1). Но если ее значе-
ния в рациональных точках заменить на значения, равные 0, то
получится функция /, Дирихле, не интегрируемая по Риману:
любая ее верхняя сумма Дарбу равна 1, а нижняя равна 0. Од-
нако это явление бывает не всегда.
Пусть е есть то множество, на котором мы видоизменили
функцию /, интегрируемую на fa, &], и /1 — видоизмененная
функция. Тогда fix) = /,(а:) + <р(л?), где <р(х) = 0 на [а, Ы—е.
Если множество е такое, что для любой таким образом ему соот-
ветствующей ограниченной (!) функции ср существует интеграл
ъ
J <р dx = 0, то на таком множестве можно, очевидно, видоизменить
а
функцию /, не нарушая ее интегрируемости, и тогда уже не важ -
но, определена или нет на самом деле f на этом множестве.
ь
В таких случаях говорят, что интеграл J f (х) dx существует на
1а,- &], хотя функция f определена только на [a, й! — е.
Пример. Функция ф(ж) = sin (sin(l/z))-* определена на [0, 1] — е,
где е — множество, состоящее из 0 и точек хь = 1/A-jt (Яг = 1, 2, ...), очевид-
но, счетное. Если дополнить ф на е любыми числовыми значениями, образую-
щими, однако, ограниченное в совокупности множество, то получим опре-
деленную на [0, 1] функцию ф1(х), интегрируемую на [0, 1], потому, что
она ограничена на [0,' 1] и непрерывна всюду на [0, 1] за исключением то-
чек множества е, имеющего лебегову меру нуль.
Интегрируемость ф вытекает также из следующей теоремы:
Теорема. Функция f, ограниченная на [а, Ь] и интегрируемая на
любом отрезке [а, ж], где а < х •< Ь, интегрируема* на [а, Ь].
В этой формулировке [а, х] можно заменить на [ж, Ь].
Доказательство. Зададим е > 0. Пусть |/(ж) | sg М на [в, 6] и
б = е/4Л7. Так как / интегрируема на отрезке [а, Ь—б], то существует
его разбиение R' = {а = ж0 < ж, < ... < x„-t = 6 — 6} такое, что
П-2
5д, =	j ~ тз) ^:гз < -у.
3—0
g 9.12. НЕСОБСТВЕННЫЕ ИНТЕГРАЛЫ
371
Введем еще разбиение R = {а =	. < жп~1 < хп = 6} отрезка
[в, 6]. Тогда
$ r	= (*Унл ^Я') (jVn-i тп—1) $ < 2 4“ 2М6 = е,
что показывает (см. § 9.4, основная теорема), что / интегрируема на [а, &].
В нашем примере чр ограничена на [0, 1] и интегрируема на любом от-
резке [6, 1], б > 0. Ведь на [б, 1] она имеет не больше чем конечное число
точек разрыва.
§ 9.12. Несобственные интегралы
Зададим на конечном полуинтервале [а, Ъ) функцию /. Допу-
стим, что она интегрируема на любом отрезке [а, Ь'1, где b' < Ъ
и неограничена в окрестности точки Ъ. Тогда ее интеграл на
[а, Ы или, что все равно, на [а, Ы в обычном смысле (Римана),
не может существовать, потому что интегрируемая на [а, 61 по
Риману функция необходимо ограничена. Однако может слу-
Ъ'
читься, что существует предел lim I / (х) dx. Если это так, то
>	Ь'-Ь *
этот предел называют несобственным интегралом от f на отрезке
[а, Ы и записывают в виде
ь	Ь'
J / (х) dx = lim j" / (х) dx.	(1)
a	b'~>ba
ь
В таком случае говорят, что интеграл J / dx сходится. В про-
,	а
тивном случае говорят, что он расходится пли не существует
как несобственный риманов интеграл.
Допустим теперь, что функция / задана на луче [а, °°) и ин-
тегрируема на любом конечном отрезке [а, Ь'1, где а<Ь' <
Если существует предел
Ь'
lim f(x) dx,
b'^ooJa
то он называется -несобственным интегралом от / на [о, °°) и
обозначается так:
оо	Ъ'
I / (х) dx = lim / (х) dx.
а	ь'^°°а
Условимся в следующей терминологии. Выражение
ь
(2)
372
ГЛ. 9. ОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ РИМАНА
будем называть интегралом (от j) с особенностью в точке Ь, если
выполняются следующие условия: если b — конечная точка, то
функция / интегрируема на [а, Ь'] при любом Ь', удовлетворя-
ющем неравенствам а < b' < Ь и, кроме того, неограничена в ок-
рестности точки Ъ. Если же Ъ = +«>, то про функцию / предпо-
лагается лишь, что она интегрируема на [а, 6'] при любом конеч-
ном Ь' > а.
ь
Подобным образом определяется интеграл j / (х) dx с единст-
а
венной особенностью в точке а. Теперь b — конечная точка. Если
точка а < Ъ тоже конечна, то / в окрестности а неограничена и
интегрируема на любом отрезке [я', &], где а < а' < Ь. Если же
я = —00, то функция / предполагается интегрируемой на [я', б]
для любого я' < Ь.
В дальнейшем мы будем для определенности рассматривать
интеграл (2) с единственной особенностью в точке Ь, конечной
или бесконечной. Все выводы по аналогии могут быть перенесе-
ны на случай интеграла с единственной особенностью в точке я.
Теорема 1. Пусть задан интеграл (2) с единственной осо-
бенностью в точке Ь. Для его существования необходимо и доста-
точно выполнение условия (Коши): для всякого е>0 сущест-
вует b0< Ъ такое, что
Ъ"
J f(t) dt
b'
(3)
< S,
каковы бы ни были Ь', Ь", удовлетворяющие неравенствам Ьа<
<Ъ'<Ь" <Ь.
Доказательство. Рассмотрим функцию
F(х) = f(t)dt' (a<Zx <Zb).
Существование интеграла (2) эквивалентно существованию
предела lim F (х), что в свою очередь эквивалентно выполнению
х~*Ъ
х<Ъ
условия Коши: для любого е > 0 существует Ьо, где а < Ьо < Ь,
так что выполняется неравенство \F(b") — F(b')\< е для всех
Ь' и Ь", удовлетворяющих неравенствам Ьо < Ь' < Ь" < Ь. Но
Е(^)-Е(У) » f f(t)dt
Ь'
я теорема доказана.
§ 9.12. НЕСОБСТВЕННЫЕ ИНТЕГРАЛЫ
373
Пример 1. Интеграл
(4)
где а > 0 — постоянное число, имеет, очевидно, единственную особенность
в точке х = 0. Чтобы пояснить, сходится ли он, надо вычислить предел
।
lim f_^L = lim —1---------1_
е-»в 1 —<х ха *
е>0 е
-= lim —— [1 — е1 а] — < 1 — а ’
e^ol-а	I .
а < 1,
а > 1.
Таким образом, интеграл (4) сходится при «<1и равен (1 — а)-1 и
расходится при а > 1.
Если же а = 1, то он расходится:
1
С Иг
lim I-----= lim In е = + оо.
е->о J х е-»о
е
Пример 2. Интеграл
оо	N
= lim f = lim
1 — a A'-.oc
-"27’Y	при a > 1 (сходится),
,+ оо	при a < 1 (расходится),
A
1	-= lim i	lim InN — 4“ 00 (расходится).
.) X A’-*ao J .t‘	Ar—»oo
J	1
Пусть снова задан интеграл '
ь
j / (x) dx,
a
(5)
имеющий единственную особенность в точке Ъ. Тогда интеграл
f dx,
{&)
где а < с < Ь, также имеет единственную особенность в точке Ь.
Условие Коши существования интегралов (5) и (6) формулиру-
ется, очевидно, совершенно одинаково. Поэтому эти интегралы
одновременно сходятся или одновременно расходятся. Кроме
374
ГЛ. 9. ОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ РИМАНА
того, при а < с < Ь, очевидно, имеет место
Ь	Ьг	/с. Ь' \
J / dx =	lim J / dx	~	lim I J /dx -f- J / dx I	—
a	b'~>ba	b'-»b\a c /
c	bf	с	b
= J / dx Ц- lim J / dx = J fdx 4- j / dx, (7)
a	b/_*bc	a	c
c	b
где J — обычный риманов собственный интеграл, а интегралы J и
а	а
b	'
j — несобственные.
С
Отметим равенство
ь	Ь'
(А/ + В ф) dx = Jim ( (А/ -|- 5ф) dx =
a	b'^ba
b'	Ъ'	ь	ъ
= A lim I fdx-\-B lim V <p dx — A f f dx -|- В f ф dx,	(8)
b'-ba	b'~»bb	a	a
где А и В — постоянные. Его надо понимать в том смысле, что
если существуют интегралы в правой части, то существует также
интеграл в левой и имеет место равенство (8).
Говорят, что интеграл (5) (имеющий особенность в точке Ъ)
сходится абсолютно, если сходится интеграл
ъ
’	’ | / (х) | dx < 00	(9)
а
от абсолютного значения |/Сг)|.
Абсолютно сходящийся интеграл сходится. В самом деле, из
сходимости интеграла (9) следует, что для любого е>0 па ин-
тервале (а, Ь) найдется точка Ьо такая, что если Ьо < Ь' < Ъ" <Ь,
то
ь"
Ь"
е>
т. е. для интеграла (1) выполняется условие Коши.
Так как
Ь'	Ъ'
J f(x)dx	J | /(я) | dx,
а	а
то после перехода к пределу при Ъ' -+• Ь для абсолютно сходяще-
§ 9.13. НЕСОБСТВЕННЫЕ ИНТЕГРАЛЫ ОТ НЕОТРИЦ. ФУНКЦИЙ 375
гося интеграла (5) получим
ь
/ (х) dx j" | f(x) | dx.
(10)
Несобственный интеграл может сходиться, но не абсолютно
(см. далее примеры §§ 9.14 и 9.15). Конечно, несобственный ин-
теграл от неотрицательной функции, если сходится, то абсолютно.
Отметим еще следующую очевидную теорему:
Теорема 2. Если F непрерывна на отрезке [а, 6] и имеет
непрерывную на [в, Ь) производную F'{x), то
'	ъ'	ь
F (Ь) — F (а) ~ lim [F (У) — F (а)] = lim j F' (х) dx = f F’ {x) dx,
Ъ'^Ъ	b'-*a	a
b'<b	b’<b
где интеграл справа может быть собственным и несобственным.
Например,
1
где особенность интеграла имеет место в левом конце [0, И.
§ 9.13. Несобственные интегралы
от неотрицательных функций
Пусть задан интеграл
ь
j / (х) dx,	(1)
а
имеющий единственную особенность в точке Ь, и на промежутке
1а, Ь) интегрирования fix') 0.
Тогда, очевидно, функция
ь’
F(b') — j(x)dx (a<b'<b)
а
от Ь' монотонно не убывает. Поэтому, если она ограничена,
/’’(&')	(а< 6' < Ь), существует интеграл (1):
ь	Ь’
1 / (х) dx = lim I / (я) dx М.
Если же F неограничена, то интеграл (1) расходится:
ь	Ъ'
f / (х) dx — lim f / (х) dx = -f- оо.
376
ГЛ. 9. ОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ РИМАНА
Если fix) 0 на [а, Ь), то пишут
ь	ь
J / (х) dx < оо или J / dx = оо,
а	а
в зависимости от того, будет ли интеграл сходиться или расхо-
диться.
Теорема 1. Пусть интегралы,
ь
[f(x)dx,	(1)
а
b
J Ф (х) dxfl	(2)
а
имеют единственную особенность в точке Ь и на промежутке
[а, Ъ) выполняются неравенства
О fix) С фЫ.	(3)
Тогда из сходимости интеграла (2) следует сходимость ин-
теграла (1) и имеет место неравенство
ь	ь
J / dx^§ ф dx,
а	а
а из расходимости интеграла (1) следует расходимость интеграл
ла (2).
Доказательство. Из (3) следует, что для а<Ь'<Ь
Ъ'	bf
J / dx J ф dx.	(4)
а	а
Если теперь интеграл (2) сходится, то правая часть (4) ограни-
чена числом, равным интегралу (2), но тогда ограничена и ле-
вая. И так как левая часть при возрастании Ь' монотонно не
убывает, то она стремится к пределу (интегралу);
Ь	Ь'	ь
У / dx = lim У / dx У ф dx.
а	Ь'-»Ь а	а
Наоборот, из расходимости интеграла (1) следует, что пре-
дел левой части (4) при Ъ' -*• °° равен а следовательно, и пре-
дел правой равен
Теорема 2. Пусть интегралы (1) и (2) имеют единственную
особенность в точке Ь, подынтегральные функции положительны
и существует предел
lim-Ц^ = Л>0.	(5)
к-яь Ф.Ф
§ 9.13. НЕСОБСТВЕННЫЕ ИНТЕГРАЛЫ ОТ НЕОТРИЦ. ФУНКЦИЙ 377
Тогда эти интегралы одновременно сходятся или одновременно
расходятся.
Доказательство. Из (5) следует, что для положительно-
го & < А можно указать такое с е [а, Ь), что
А — е <	< А 4- в (с < х < Ь),
	<р(х)	1	'	”
н так как ф(л?) > 0, то
(А — е)<р(х) < j(x') < (А + е)ф(ж) (с<х<Ь).	(6)-
ь
Из сходимости интеграла J <р dx следует сходимость интег-
а
Ъ	Ь
рала <р dx и сходимость интеграла J (А ф е) <р dx. Но тогда по
с	с
b
предыдущей теореме сходится также интеграл j* f dx, а вместе
С
Ь	Ъ
с ним интеграл §fd'x. Наоборот, из сходимости ^fdx следует
а	а
Ъ
сходимость fфdx
С
венство -
потому, что наряду с (5) имеет место ра-
j i m деМ = _L > о
х “ /(?)	А
Замечание 1. Теорема 2 может быть обобщена следующим
образом. Пусть функции f и ф по-прежнему удовлетворяют усло-
виям этой теоремы и ф — непрерывная и неотрицательная на
ь	ь
(а, Ь) функция. Тогда интегралы J ftydx и J qnfydx одновременно
а	а
сходятся пли одновременно расходятся. Чтобы доказать это ут-
верждение, надо рассмотреть вытекающие из (6) неравенства
(А — е)<р(л:)ф(л:) < /(ж)ф(ж) < (А + е)<р(а:)ф(а:).
Замечание 2. Если в теореме 2 А = 0, то сходимость ин-
!>	Ь
теграла J <p dx влечет сходимость интеграла J / dx, что следует
а	а
из второго неравенства (6), где е >0 произвольно.
Замечание 3. В теореме 2 можно заранее считать, что
только одна из функций / или <р положительна на [а, Ь), потому
что из (6) тогда следует, что и вторая положительна на [с, Ь)
при некотором с.
378
ГЛ. 9. ОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ РИМАНА
Примеры. Значок ~ между двумя интегралами обозначает, что эти
интегралы в силу теоремы 2 одновременно сходятся или одновременно рас-
ходятся.
dx
Д/х 4- о (Д/я)
х 0.
1
С dx
J х •— In (1 + г)
о
х —> 0.
Интегралы 1), 2) имеют единственную особенность в точке х = 0 (это
отмечено выше символом ж->0). В знаменателях под этими интегралами мы
выделили главные степенные члены (см. §§ 4.10 и 5.11) и применили теоре-
му 2. Интеграл 1) сходится, а интеграл 2) расходится.
ОО	ОО	оо
3) J Л~ж₽ dx = J Ga+2e-xf5) J_ dx < К J < оо, P > 0.
11 1
Функция в скобках непрерывна на [1, оо] и стремится к нулю при
х -*• оо, поэтому она ограничена на [1, оо) некоторой константой К. Таким
образом, этот интеграл, имеющий единственную особенность в х — оо, схо-
дится.
§ 9.14. Интегрирование по частям
Пусть на луче [а, оо) заданы непрерывные функции <p(z) и
ф(х), а ф к тому же имеет непрерывную производную. Тогда, ес-
ли обозначить через Ф(л?) какую-либо первообразную от ф(д;),
получим
N
j ф (т) ф (х) dx ~
а
N
= ф(Л)Ф(У)— ф(а)Ф(о)—j" ф' (х) Ф (х) dx, a<_N < оо. (1)
Если существует несобственный интеграл
ОО
J ф' {х) Ф (х) dx = А	(2)
a
и существует предел
lim ф (ж) Ф (х) = В,	(3)
Х-4 4-оо
то существует несобственный интеграл
ь
J Ф (х) ф (х) dx — В — ф (а) Ф (а) — А.	(4)
а
§ 9.14. ИНТЕГРИРОВАНИЕ ПО ЧАСТЯМ
379
Отметим некоторые частные достаточные признаки существо-
вания интеграла (2) и предела (3), а следовательно, и сущест-
вования интеграла (4).
1) Если функция
|Ф(х)|=СЛ/	(5)
ограничена,
ф(х) -* 0 (яг -> <»)	(6)
и
оо
I ф' (^)\dx < °°»	(7)
а
то интеграл (2) и предел (3) существуют.
Действительно, тогда интеграл (2) сходится, даже абсолютно:
оо	оо
| ф' (т) Ф (х) | dx М f | ip' (х) | dx <Z оо,
а	а
II
1'ф(л?)Ф(;г) I «7 М 1ф(я:) I ->• 0 (х -* °°).
Таким образом, в данном случае интеграл (4) сходится и
В-0.
2) Признак Дирихле. Этот признак заключается в том, что
для функции Ф выполняется неравенство (5), что же касается
функции ф, то она предполагается убывающей на [а, <») и стре-
мящейся к нулю при х -+• оо, и, таким образом, имеющей неполо-
жительную производную. Тогда условие (6) выполняется. Выпол-
няется также и признак (7) потому, что существует предел
н	д;	•	.
lim ( 1ф'(яг) I dx ~ — lim ф' (х) dx — lim [ф (а) — ф (2V)] = ф (а).
/V->oo	Л’->оо £	N-»oo
Таким образом, признак Дирихле есть частный случай приз-
нака 1).
Пример. Интеграл
ОС
J я
о
(8)
имеет единственную особенность (в «точке» оо). Надо иметь в виду, что
функция (sin х) /х имеет устранимый разрыв в точке х = 0. Если ее поло-
жить равной 1 в этой точке, то она станет непрерывной. Интеграл (8) схо-
дится потому, что интеграл
ОО
J X
1
380
ГЛ. 9. ОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ РИМАНА
сходится на основании признака Дирихле (функция 1/х монотонно убыва-
ет, стремится при х -* оо к нулю и имеет непрерывную производную, а
функция sin х непрерывна и имеет ограниченную первообразную (—cos ж)).
Однако интеграл (8) сходится не абсолютно (см. § 9.15, пример 1).
§ 9.15. Несобственный интеграл и ряд*)
Рассмотрим интеграл
ъ
j j (х) dx,	(1)
а
имеющий единственную особенность в точке Ь. Пусть
д ж 5о 51	< ... b, Ьк Ь.
Тогда можно определить ряд
Ь1	Ь3	оо b*+i
j" / dx 4- j / dx -J- ... = 2 [ / dx,	(2)
 bj	/:=° ih
к-й член которого равен
ьл+г
= J / dx.
bh
Теорема 1. Если интеграл (1) сходится, то сходится также
ряд (2) и имеет место равенство
ь о» ьл+1
j / dx = 2 j / dx.	(3)
a . e bh
Действительно,
n ЬЛ + 1	bn+l	b
lim 2 j j dx — lim J / dx = j" / dx,
.	"-’°0 0 bh	П-.-00 bJe	-a
Если / неотрицательна на [a, °°), то и наоборот, из сходимо-
сти ряда (2) следует сходимость интеграла (1). В самом деле,
пусть ряд сходится и имеет сумму, равную S. Для любого Ь',
где а < Ь' < Ь, можно указать такое п0, что Ьп > Ь’ для п > п„.
Поэтому, учитывая, что /(х) > О,
Ь'	ьп	п_г bh+1
f dx	j f dx = j" f dx ^.S,
a	a	^=0 b).
♦) Для понимания этого параграфа требуются самые элементарные по-
нятия о ряде в пределах § 11.1.
g 9.15. НЕСОБСТВЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ И РЯД
381
т. е. интеграл в левой части ограничен и, следовательно, несоб-
ственный интеграл (1) существует. Но тогда, как доказано выше,
справедливо равенство (3).
Если же функция / не сохраняет знак на [а, Ъ), то из сходи-
мости ряда (2) вообще не следует сходимость интеграла. Напри-
мер, ряд
оо	оо
У j sin х dx = 2 0 = О
оо
сходится, интеграл же J sin t dt расходится потому, что функция
о
ОТ X
X
J sin t dt =• 1 — cos x
о
не стремится к пределу при х -* °°.
Теорема 2. Если функция f непрерывна и не возрастает на
[О, оо), то интеграл
ОС
j / (х) dx
о
и ряд
оо
2/W = /(0)+/(!) +7(2) + ...
одновременно сходятся или одновременно расходятся.
Доказательство. Имеют место неравенства
А + 1
/(/* + !)< J /(л) th </(&), (к = 0, 1, ...).
h
Суммируя их по к, получим
=	+ f /(^)^<2/(Л).	(4)
1	»	4	о
Отсюда, учитывая, что все члены в этих соотношениях при
возрастании п монотонно не убывают, следует утверждение тео-
ремы.
Из доказанной теоремы следует, что ряд
1 + + • • • <5)
сходится при а > 1 и расходится при а С 1 потому, что функция
382
ГЛ. 9. ОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ РИМАНА
1/(1 + х)“ при
10, о»), а
а > 0 непрерывна и монотонно убывает на
dx
(1 + *)“
< 00
= оо
(а>1),
В случае a 0 непосредственно видно, что ряд (5) расходится.
Теорема 3. Пусть в интеграле
t_n£Ldx
J ф (х)
(6)
функции ф(х) и фС») непрерывны, ty(x) >0 и возрастает (не убывает),
ф(х) неотрицательна и периода I и J ф (х) dx > 0. Тогда интеграл
о
Г...-'Г .	(7)
J Ф (х)
о
и интеграл (6) одновременно сходятся или одновременно расходятся.
Доказательство. Представим интеграл (6) формально в виде
ряда
ОО	«,	(k+Dl
С Ф W dx - V 1	1 - f Ф W dx
J	J ^Wdx-	(8)
о	«=»	hl
В силу периодичности ф
№+i)i	г	i
I Ф (x) dx = i ф (kl +«) du — I ф (u) du = p. > 0,
hl	О	О
и так как ф возрастает, то, очевидно,
ц	ц
ф ((fc + 1)/) ^ ф (W)	№ = о,1,...).	(9)
Интеграл слева в (8) одновременно сходится с рядом справа в (8),
ОО
который в силу (9) сходится одновременно с рядом	, кото-
рый, наконец, по предыдущей теореме сходится одновременно с интегра-
лом (7), и теорема доказана.
Пример 1.
ОО
dx = оо
С | sin х |
J. х
п
по теореме 3, где надо считать I — л, ф(х) = [sinx|, ф(х) — х.
§9.15. НЕСОБСТВЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ И РЯД
383
Пример 2. Рассмотрим интеграл
ОО
С —--------dx (а > 0).	(10)
J / 4- sin х
1
Он имеет единственную особенность в точке оо. При а > 1 он абсолютно
сходится:
ОО	00
f lsin*l dz< f —< 00,
J I xa + sin x I	J / — 1
2	1	'	2
eo
C
потому что xa ~ хл — 1 (x -><»), a I — <
J xa
2
При a sg 1 интеграл (10) абсолютно не сходится потому, что
ОО	оо
f, lsinj| dx>fl^Slrfx^oo
J Lra 4- sin x I J xa 4- 1
я ’	• л
в силу последней теоремы. Ведь функция | sin х | непрерывна, периода л и
я	я
j | sin х ] dx =; j sin £ dx ~2 > 0, функция же xa + 1 непрерывно возрастает
о	о
оо
и j,(a:® + l)"1dx= ОО.
л
1
Но интеграл (10) все же для -2'<а<1 сходится (не абсолютно). Дей-
ствительно, применяя интегрирование по частям, получим
N	N
f Sin*	dx = - COS X • д 1 . - N - f	dx.
J x“‘+ sin x	x + s*n x 1 J (x“ + sin x)2
Первый член правой части при а > 0 имеет при N -> оо конечный предел,
второй член есть сумма интегралов
N	N
l'N = - [-....s.os>.. dx, z; = -aLcos*<l.*fc.
J (x“ + sin x)2	* J (xa + sin x)2
Ho
oo	oo	oo
f l.cos Ж.1	< f....dx < c f < oo,
J (x“ + sin x)2	J (xa - I)2	J	xl+a
2	'	2	2
поэтому l "N стремится к конечному пределу при N -> оо для любого a > О,
и вопрос свелся к исследованию IN.
384
ГЛ. 9. ОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ РИМАНА
ОО
Г»	2
тт	I COS X j
Интеграл 1 ------------- dx
J (ха + sin х)~
л
ралом
при а > 0 сходится одновременно с интег-
cos2.г
#2а
(11)
(см» замечание 1 в конце § 9.13) в силу того, что £a + sinx ~ ха(х->-оо).
А интеграл (11) одновременно сходится с интегралом
оо
(* dx
J х*а
л
(1/2 < а),
(1/2 > а)
(см. предыдущую теорему).
Итак, предел IN при ЛГ-»-со существует только при а> 1/2, поэтому
и интеграл (10) сходится только при а > 1/2.
§ 9.16. Несобственные интегралы
с особенностями в нескольких точках
Пусть (а, Ь) есть интервал, конечный или бесконечный, и на
нем задана функция / такая, что интеграл
ь
$f(x)dx	(1)
а
имеет особенности только в точках а и Ь. Это значит, что а — — оо
или, если а — конечная точка, то в ее окрестности функция /
неограничена; также b = + °° или, если b — конечная точка, то в
окрестности ее / неограничена. Кроме того, функция / интегри-
руема на любом отрезке la', Ь'1, где а < а’ < Ь’ < Ь.
Произвольная точка с интервала (а, Ь) делит его на два ча-
стичных интервала (я, с), (с, Ь).
Интеграл
j / (х) dx
(2)
имеет единственную особенность (в точке а); интеграл
ь
$f(x)dx	(3)
С
также имеет единственную особенность (в точке Ь). Для интег-
ралов (2) и (3) мы уже знаем, в каком случае они существуют
(сходятся) как несобственные интегралы.
в 9.1G. ИНТЕГРАЛЫ С ОСОБЕННОСТЯМИ В НЕСКОЛЬКИХ ТОЧКАХ 385
По определению, несобственный интеграл (1) существует
(сходится) в том и только в том случае, если каждый из интег-
ралов (2) и (3) существует. При этом полагают
Ъ	с	Ъ
i / (х) dx — / (х) dx 4- j / {х} dx.
а	а	с
Это определение не зависит от с. В самом деле, если а < с <
< с < Ь, то
Ь	с'	ь
J =+(•	ю
с	с	с'
сг
где интеграл J — собственный, и, аналогично,
С
с cf cf
J + J = ,f-	(5)
аса
cr
Сложив (4) и (5) и сократив на J, получим
Но может быть более сложный случай. Пусть задан, пока
формально, интеграл
ъ
J / (,т) dx,	(6)
а
где интервал (а, Ь) может быть конечным и бесконечным. Пусть,
далее, интервал (а, 6) можно разбить точками а = с0 < ct < сг...
... < cn-t < cn = Ъ на конечное число частичных интервалов (сл,
С|,+1) таких, что каждый из интегралов
ек+1
J / (х) dx (к = 0, 1, ..., п — 1)	(7)
имеет только одну особенность па одном из концов (сА, сл+1).
Тогда, если все несобственные интегралы (7) существуют
(сходятся), то, по определению, считают существующим (сходя-
щимся) и интеграл (6). При этом полагают
Ь	сЛ+1
f / (х) dx — 2 f / dx.
386
ГЛ. 9. ОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ РИМАНА
Если хотя бы один из интегралов (7) не сходится, то и ин-
теграл (6) считается расходящимся (не существующим).
Аналогично, интеграл (6) называется абсолютно сходящимся
тогда и только тогда, если все интегралы (7) абсолютно сходятся.
Мы хотим еще сделать одно замечание. Допустим для при-
мера, что точка а конечна, а < Ь < <», и интеграл
оо
j" / dx	(8)
а
имеет, кроме точки °°, еще только одну особенность в точке 6.
Пусть b < с < оо. Тогда, как было определено выше, несоб-
ственный интеграл (8), который мы будем считать существующим,
можно определить следующим образом (е,>0):
СО	b	С	оо
\ f dx = f dx f dx + f dx ==
а	а	Ь	с
& 81	с
lim f f dx + lim [ j dxlim f j dx
с	18з
j dx + [ / dx -j- j f dx
Ь+е2	c
(Sj, £2,
e3>0), (9)
t. e. если существует несобственный интеграл (8), то существует
также предел выражения в фигурных скобках, когда положи-
тельные et, е2, е3 стремятся к нулю независимо друг от друга *).
Важно отметить, что обратное утверждение также верно, т. е.
если существует предел правой части (9), когда положительные
Ci, е2, е2 стремятся к нулю независимо друг от друга, то суще-
ствуют каждый из трех пределов, стоящих в третьем члене (9),
т. е. существует несобственный интеграл (8). Чтобы доказать
это, введем обозначение
ь-ех	.с	1/Р3
<Р1(е1)= J Фг(82) = J М-Ч Фз(е3) = j fdx.
a	b+fig	с
Пусть известно, что существует предел
lim {ф1(е1)+ф2(е2) + ф3(е3)};
тогда выполняется условие Коши: для всякого т] > 0 должно най-
тись такое б > 0, что если 0 < еь е2, е3, ех, е2, е3 < 6, то
I Фх (Si) + ф2 (е2) + ф3 (е3) — фх (ei) — ф2 (е2) — ф3 (е3) | < П-
*) Здесь идет речь о пределе функции ог трех переменных в нулевой,
точке на множестве точек с положительными координатами.
g Я.16. ИНТЕГРАЛЫ С ОСОБЕННОСТЯМИ В НЕСКОЛЬКИХ ТОЧКАХ 387
Но мы имеем право взять
ДЛЯ ВСЯКОГО Г) > О можно
— Ф1(®1)1<Н для 0<«о
е2 = е2, е3 = е3. и тогда получится, что
подобрать б>0 такое, что
б!<6, а это показывает, что суще-
ствует предел
JimcpJeJ.
(10)
Подобным образом доказывается существование остальных двух
пределов:
lim<p2(g2), limxp3(e3).	(И)
е2-о	е3^о
Таким образом, доказано, что для существования интеграла
(8) необходимо и достаточно существование предела в правой
части (9), когда положительные е15 е2, е3 стремятся к нулю неза-
висимо друг от друга.
В этом утверждении существенно, что переменные et, е2, е3
независимы. Если бы, например, было’известно, что существует
предел правой части только при е, = е2 = е3-^0, то этого было
бы недостаточно, чтобы заключить существование каждого из
пределов (10), (11) порознь.
Приведенные рассуждения распространяются - понятным об-
разом и на другие случаи расположения особенностей интеграла.
В качестве примера рассмотрим интеграл
1
(12)
Оп имеет единственную особенность в точке 0. Оп пе существу-
fl	г
f dx С dx.
ет, потому что пе существуют отдельно интегралы 1 - и 1 ——.
-1	0
На основании сказанного выше можно еще сказать, что интег-
рал (12) пе существует потому, что не существует предел
In | X |
+ In I X I
1	F
= ln -4
%
когда Ei n e2 стремятся к пулю независимо друг от друга.
Итак, несобственный интеграл по Риману от функции Мх на
отрезке [—1, 1J пе существует.
Однако существует одно важное обобщение пёсобствеппого
интеграла (в смысле главного значения— по Коши), в силу
388
ГЛ. 9. ОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ РИЙАНА
которого указанный интеграл понимается как предел
(т. е. здесь е^е, —е2!). Здесь Р. V.— сокращенная запись вы-
ражения Principal Value (англ.) — главное значение (см. § 16.7,
(5)).
§ 9.17. Формула Тейлора с остатком в интегральной форме
Пусть функция / имеет на некотором интервале, содержащем
в себе точку а, непрерывную кусочногладкую производную по-
рядка г—1 включительно. Тогда на указанном интервале суще-
ствует, за исключением конечного числа точек, производная
/1г,(х), представляющая собой кусочнонепрерывную функцию
(см. § 5.15). Для любого значения х из этого интервала имеет
место формула Тейлора с остаточным членом в интегральной
форме:
/(х) = (1)
h—o
х
11И	(0! -1).	(2)
о
Действительно, последовательное интегрирование R(x) по ча-
стям дает
X
W)-- Т-П7Г f - •Г' +	У(г ~ °'” 1’’~"(1) * "
+	/1'”’ «)*”•••=-: 2 ТГ1 Iх -»>*+/ (*)•
;	.о
Если в интеграле (2) сделать подстановку t=* а+(х — а)и,
dt •= (х — a)du, то получим следующее выражение для остаточно-
го члена:
7? (х) — (х — б)г (х),
1
Ф (*) == 7~ij! j U ~	1(r)	~ a) w) du'
0
(3)
Й 9.18. ФОРМУЛЫ ВАЛЛИСА И СТИРЛИНГА
389
Здесь, если /(г)(х) непрерывна, то й 'ф(ог) — непрерывная функция
от х, потому что к интегралу (3) применима теорема о непрерыв-
ности его по параметру х (см. § 12.13). Если же функция / име-
ет непрерывные производные более высокого порядка /<r+>,(s > 0),
то ф(х) законно дифференцировать s раз под знаком интеграла
(см. § 13.12). Поэтому в этом случае ф(;г) будет з раз непрерыв-
но дифференцируема. Этот факт мы не могли бы получить, рас-
сматривая остаточный член формулы Тейлора в форме Лагран-
жа, содержащей в себе функцию 0, дифференциальные свойства
которой a priori неизвестны.
§ 9.18. Формулы Валлиса и Стирлинга *)
Формула Валлиса имеет вид
(т\)г22т
у л.= lim -—-—у=..
(2т)! V т
Чтобы вывести ее, проинтегрируем по частям интеграл:
Л/2	Л/2	Л/2
j sin” х dx — — sin”-1 x cos x | -J- (n — 1) J sin"-2 x cos2 x dx =
о	oo
Л/2	Я 2
— (га — 1) j sin"-2 x dx— (n — 1) j sin".rdz.
6	о
Перенося второй интеграл правой части этого равенства в левую
и деля на га, получим
Л/2	~ Я 2
J sin"a/rfz-=	J sin"-2 х dx.	(2)
о	о
Отправляясь от четного и нечетного га и последовательно приме-
няя это равенство, понижающего степень sin х па две единицы,
получим
Л/2
I sin <хах~
о
2т — 1 2т- 3
2 т 2т — 2
dx =
(2т — 1)!! л
2m!!	2 ’
Л/2
j sin4m+1 х dx
о
2т 2т — 2
2m - j- 1 2m — 1
Л.'2
2 Г .	,	(2m)!!
..-77- SIH X dx= 7Л--------------r-j-fj.
3 J	(2m L 1)1!
о
*) Д. Валлис (1616—1703) — английский математик; Д. Стирлинг
(1692—1770) — шотландский математик.
390
ГЛ. 9.‘ОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ РИМАНА
Разделив теперь эти равенства одно на другое и положив
Л 2
J’ .si п2"*.г dr
=	------0п-1, 2, ...),
j sin2m+1 х. dx
о
приходим к равенству
Л — 2
“ Z(2m —1)!!(2от 41)!!""1'
(3)
Заметим, что па отрезке [0, л/2)
sin2m+,a: '4 shr"'.r С sin2'"~lx,
откуда
j sin2'"’11 xdx^. sin2”1 x dx^. ) sin2"1-1 x dx.
о	0	0
л
Деля члены этой цепи на J sin2ntT1 xdx и применяя равенство (2),
о
получим
Л/2
f sin2'n-l.rd.r 
1 < „ < _»___________________2w I- 1 __ J I 1
- 2m -i-p —
j sin2"4‘.r dr
0
откуда следует, что
Цт “* 1
{m -► oo).
Из (3) и (4) следует асимптотическое равенство
л « 2________« 2	Ъп
(2m - 1)!! (2т 4- 1)!1 ~ “ \(2/n - 1)!!/ “ "
(4)
(т
где мы последовательно пренебрегли множителями рт,
2m .
2т -р 1 ~*" ’
откуда
о (2т - 2)!!
2 V т-г.---------т-п
(2т — 1)!!
- [(2m - 2)!!]2
(2m—-1)!
2 lzmt(2m)l!1* 1	('»!)2 22п^
к (2т)! 2m ’ ’ (2т)! Ут
(»1-> оо),
т. е. имеет место (1)
§ 9.18. ФОРМУЛЫ ВАЛЛИСА И СТИРЛИНГА
391
Формула Стирлинга представляет собой равенство:
Т	и!	4
11Ш —————- = 1
,^ооУ2лп’‘+1/2е-п
(5)
или, что все равно, асимптотическое равенство
и! ~	+1/2г-'‘	(«->«>)
(6)
Покажем неравенства
12л пп+{1те-п
(7)
из которых непосредственно следует (5) или (6).
Положим
п!
Яп ~ пп+1/2е
(8)
t \п+(1,2) а (	1 \	/	1 \
1	, 1П_±_= n + ± In 1 + -1-1.
'•/	«п+1	\	-/ К nJ
Тогда
ап
“п + 1
Функция i/x монотонно убывает и выпукла книзу при х > О,
поэтому площадь фигуры, ограниченной ее гра-
фиком, осью х и прямыми х = п, х = п + 1, мень-
ше площади трапеции пВС(п + 1), но больше пло-
щади трапеции пВ'С'(п + i), где В'С — отрезок
касательной к нашей кривой в точке ее, имеющей
абсциссу х — п + (1/2) (рис. 9.2):
Рис. 9.2.
ГТ nt-f
С
С'
Умножая члены этой цепи на п + (1/2) и вычитая
членов 1, получим
затем из всех
1..	....1....
п (п 4- 1)	4« (п 1)
£/£________1
4 \ п п -4-
ап	171	11
----  < ~7~ I	:—») или
“п+1	4\«	« + 1/
1<—
1 [_1____1
4 \п п+1
(9)
1
1
2
£
2
£
п
е
(п = 1, 2, ...)•
2
Подставляя теперь в эти неравенства n + j (j = 0, 1, ..., к— 1)
392
ГЛ. 9. ОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ РИМАНА
вместо п и перемножая их, получим
।	g4 ^4 ”+А
an+k
(10)
Первое неравенство (9) показывает, что последовательность по-
ложительных чисел aj (j - -1, 2, ...) монотонно убывает и, следо-
вательно, стремится к неотрицательному пределу, который обо-
значим через а. Из неравенств (10) после перехода в них к пре-
делу при к ->- оо, получим
1<^<е1/4п	(И)
откуда видно, что а > 0.
Формула Валлиса па языке
так
чисел я„, очевидно, записывается
Ул = lim
яп _	«
ОС «
и, следовательно,
а ~ У 2л.
(12)
Из (8), (11) и (12) следуют неравенства (7).
Глава 10
НЕКОТОРЫЕ ПРИЛОЖЕНИЯ ИНТЕГРАЛОВ.
ПРИБЛИЖЕННЫЕ МЕТОДЫ
§ 10.1. Площадь в полярных координатах
Площадь S фигуры, ограниченной двумя выходящими.из по-
лярного полюса О лучами 0 = 0О, 0 = 0* и кривой Г, заданной в
полярных координатах непрерывной функцией р = /(0), может
быть определена следующим образом (рис. 10.1).
Производим разбиение отрезка [0О, 0*1 изменения 0:
00 < 01 < . • • < Ort " О#'
Элемент площади фигуры, ограниченной кривой Г и лучами 0 =
= 0*, 0 = 0ft+i, приближенно выражаем площадью кругового
сектора, ограниченного теми же лучами и окружностью радиуса
р„ = /(ОД, равной PaA0a, А0л = Оа-н — Ofc-
Естественно считать, по определению,
,	п-1	р*
5= lim У РаА0а == f p2c?0==	| /2(0) ^0.	(1)
тахдеА-^о в	а	- 'к
Мы получили формулу площади фигуры в полярных коорди-
натах. Для непрерывной функции /(0) интеграл (1), как мы зна-
ем, существует.
Конечно, возникает вопрос, будет ли определенная таким об-
разом величина S равна тому же числу, как если бы мы вычис-
лили площадь нашей фигуры в декартовых координатах. Этот
394 гл. 10.-ПРИЛОЖЕНИЯ ИНТЕГРАЛОВ. ПРИБЛИЖЕННЫЕ МЕТОДЫ
вопрос положительно решается на основании общей теории меры
ио Жордану (см. § 12.4).
Пример. Изображенная на рис. 10.2 окружность в полярных коорди-
натах определяется уравнением р = 2Н cos 0. В силу (1). ее площадь равна
S = 2ft2 j* cos2 0 d0 = 4Я2 J 1 ~ ^os 20 d0 = пП\
— Л'2	О
§ 10.2. Объем тела вращения
Пусть Г есть кривая, описываемая в прямоугольной системе
координат х, у непрерывной положительной функцией у = j(x)
(a 'Zx ^Z b). Вычислим объем V тела вращения, ограниченного
плоскостями х == а, х — b и поверхностью вращения кривой Г вок-
руг оси х.
Производим разбиение отрезка [о, ft] на части a — x^<xt<...
... < хл = b и считаем, что элемент АУ объема тела, ограничен-
ный плоскостями х = хк, z = zk+l, приближенно равен объему
цилиндра высоты Azt = xk+l — xh и радиуса //* = /(.£,,):
АУа ~ayl  \хк = л/ (xh)‘l \xk.
n-1
Величина Vn = л 2 f(xk)2&xk приближенно выражает V и
о
•п-1	*
У = lim У, / (хк)2 \хк -= л j /2 (z) dx.	(1)
max Дйд~*о о	*а
Мы получили формулу объема тела вращения. Приведем еще
другой- вывод этой формулы, ос-
нованной на введении дифферен-
циала объема. Обозначим через
V(x) объем части тела, заключен-
ный между плоскостями, прохо-
дящими через точки анх оси х,
перпендикулярно к последней
(рис. 10.3). Приращение АУ(т),
соответствующее приращению
Az > 0, есть объем части тела, за-
ключенной между плоскостями,
перпендикулярными к оси х, про-
ходящими через точки х и х + Az.
Докажем, что имеет место равенство
АУ = n/2(z)Az + o(Az) (Az-»-0).	(2)
В самом деле, пусть
т = min /(g), М ==' max /(В).
§ ю.з. ДЛИНА ДУГИ ГЛАДКОЙ кривой
395
Тогда, очевидно,
япгАх С AV(x) С лЛРДх, ят2\х С л/2(х)Дх =SпМг\х, (3)
и так как функция непрерывна, то М — т0 (Да?--.О). Это по-
казывает, что
я{Мг — т2)\х = о^Лх) (Ах-»-0).	(4)
Из (3) и (4) следует (2).
Равенство (2) говорит, что первое слагаемое его правой части
есть дифференциал V:
dV — я(2(.х)\х = nf{x)dx.
На основании формулы Ньютона — Лейбница искомый объем
равен
ь	'
У = У(й) = У(Ь)-Р(а) = n^f-(x)dx,
а
Пример. Эллипсоид вращения (вокруг оси х)
есть тело, ограниченное поверхностью вращения кривой
У = Ь 1 — 2—	(— а л: < а)
вокруг оси х, поэтому на основании формулы (1) его объем равен
§ 10.3. Длина дуги, гладкой кривой
Пусть Г есть гладкая кривая, определенная функциями (см.
§ 6.5)
x = <p(t), р = ф(<), z — ykt}, asZt^b,	(1)
таким образом, имеющими па (а, Ь] непрерывные производные.
Введем разбиение а = Zo < tt < ... < tn = Ь "и составим сумму
(см. § 6.8)
Sn = 5 Ах* Ду/, -j- Дзд ,
о
Аа-ft = ф (tfe+1) — ф (М, Ayft = t(ffc+1) — Ф(М,
Дг* => X (^+i) — X (60, 6 = maxAtft, ktk = tk+l —
31)6 гл. 10. ПРИЛОЖЕНИЯ ИНТЕГРАЛОВ. ПРИБЛИЖЕННЫЕ МЕТОДЫ
представляющую собой длину ломаной, вписанной в Г с верши-
нами в точках, соответствующих значениям tk.
Имеем тогда < рй, v*,	/А+1) при б -+• О
я-г___________________________
Sn =	/ф' (на)2 + if (vA)2 + х' (Ха)2 Аб, =
О
П-1	 П —1
(^а)2 +	(^л)2 + хг (^)2
о	о
ъ
->j /фл (о2 -t-	7Рх7(О2 dt.
а
В нервом равенстве цепи мы воспользовались теоремой о
среднем.
Чтобы обосновать, что У! £аА/а 0 при б -> О, введем вспо-
могательную функцию
a(w, v, ш) = У<р,(ы)г + ф/(н)2 + х,(«;)г»
очевидно непрерывную на кубе А = {а < и, v, w b}. Модуль ее
непрерывности на А обозначим через со (б). Так как расстояние
между^ точками (б, б., tk) и (р„, v*, XJ нашего куба не превыша-
ет б УЗ, то
leAl = la(6» th, tn) — сс(щ, vk, X*)l =5 ю(бУЗ),
и потому
2 ehM <ф(б /3) 2 А<а = (б-«)® (б/3)^О, б->0.
О	о
Мы доказали, что длина гладкой кривой (1) существует и
выражается формулой
ь
А = J /ф' (02 + Ф' W + x'W2^-	(2)
U
При замене переменной при помощи непрерывно дифферен-
цируемой функции i==X(r), (X'(t)>0, c^Zx^d) получим, оче-
видно,
d ___________________________________________
S = J Kti (т)2 + ti (т)2 + Х-2 (г)2 dx,	(3)
С
где ф/т) = <р(Х(т)), ..., что показывает инвариантность форму-
лы (1) длины дуги.
Если кривая (плоская) задана уравнением
у = {(.х),	(.а^х^Ь),
S 10.4. ПЛОЩАДЬ ПОВЕРХНОСТИ ТЕЛА ВРАЩЕНИЯ
397
где / имеет непрерывную производную па [а, &], то, очевидно, ев
длина дуги выражается формулой
ь
S == [ У i + /' (ж)2 dz
а
(надо положить в (2) t = х, y = f'-x), z — 0).^
Пример. Длина дуги винтовой линии
г = a cos 0, у — a sin 0, z = Ь9,	(0	0 SJ 0О)
в силу (2) равна
«о ________ _______________
5= [ /а2 + *М = е0 Уа2 ь\
О
§ 10.4.	Площадь поверхности тела вращения
Пусть Г есть кривая, описываемая в прямоугольной системе
координат х, у положительной функцией у — fix) (a =S х Ь),
имеющей па fa, М непрерывную производную.
Вычислим площадь S поверхности вращения Г вокруг оси х.
Для этого произведем разбиение [а, 61
а = ха < xt < ... < хп b,	(1)
впишем в кривую Г ломанную Гп с вершинами ixk, fixk)) и вы-
числим площадь поверхности вращения последней вокруг, оси г:
п-1	_________
Sn = л 2 [/ (ъ) + / (%+1)1 V А4 + Ay2, Ayft = / (x/i+1)- — / (xk),
- о
и перейдем к пределу при гпах-Аг* -* 0.
В результате получим
ь	ь
S — 2л f f(x) У1 4- /' (x)2dx = 2л [ у У1 4- y’2dx. (2)
а	.	а
В самом деле, вынося из-под корпя &хк (Ддл>0) и применяя
к ДуА теорему о среднем, получим (пояснения ниже)
п-1	____________
5Я = л 2 [/ (xh) 4- / (zft+i)] /1 + /' Ата =
О
п-1	___________
= 2л 2 / (W /1+7' (Ik)2 Azft 4- а ->
О
ъ
-+ 2л J / (х) /1 4- f \x)2 dx (max Axft -> 0, xh <	< zA+t),
398 ГЛ. 10. ПРИЛОЖЕНИЯ ИНТЕГРАЛОВ. ПРИБЛИЖЕННЫЕ МЕТОДЫ
где
О = Л 2 [/ Ы) + / (Xk+1) — 2/ (|А)] /1 + /' (Ь)2 Az*.
О
Доказательство того, что
а -* 0 при Az* -> 0,	(3>
следует из соотношений:
|а|<л /14-А/22 l/(^)+/(za+i) — 2/Uft)|Azft<
О
< е 2 Azfe = е (й — a), max Azft < бт
О	h
где М = max P^l + /' (z)2, и число б > О, зависящее от е > О,
а<х<Ь
настолько мало, что
I / (-Tfc) — / (Ь) I < —77====; ПРИ Azft < б.
2л у 1 4- м
Такое б существует в силу равномерной’ непрерывности
функции / на [а, &].
Общее определение площади произвольной гладкой поверх-
ности см. § 12.23, том II.
Пример. Площадь поверхности вращения куска параболы у = х2
i ______________________________________.
(О .г сГ 1) вокруг оси х равна 5 —- 2л j" ж2 -f- 4ж2 dx.
о
§10.5. Интерполяционный многочлен Лагранжа
Пусть па отрезке [я, б] задана функция / и система точек
Zo, Zj, ..., z„.	(1)
Поставим задачу: требуется найти многочлен*) P(z) = а0 4-
+ n,z + ... + апхп, степени п совпадающий с /(z) в указанных
точках, т. е. чтобы выполнились равенства
/(z*)=P(z*)	(* = 0, 1, ..., re). .	(2)
Чтобы решить эту задачу, введем многочлены
О (т\ =	~	~	" ^+1)  • • (ж ~
Vhl )	(^~z0) ... (^-жА_х)(жй-ж&+1) ...(zft-zn) VJ
(к = 0, 1, .. .,sre).
♦) Коэффициенты многочлена могут быть любыми числами, в частно-
сти, может быть Н,1 =0.
§ 10.6. КВАДРАТУРНЫЕ ФОРМУЛЫ ПРЯМОУГОЛЬНИКОВ И ТРАПЕЦИЙ 399
Очевидно, что QK для каждого & = 0, 1, п есть многочлен
степени п, равный 1 в точке хк и 0 в остальных точках системы
(1): №) = 6W (*, 7=0, 1, ..., п).
Символ (Кронекера) определяется равенством:
[1, к —- /,
= (о, к =£j.
Положим
п
р (•*) = S Qh (х) / (а)-	(4)
О
7’(г) есть многочлен степени п, обладающий свойствами
p(xf) =	=<?/(*>)/(+/) = fUi) (/ = 0, 1, ..., п),
в
т. е. он решает поставленную задачу и притом единственным об--
разом, потому что, если допустить, что существует еще другой
многочлен Р,(х) степени п, решающий эту задачу, то разность
Pix) — Pt(x) была бы многочленом степени п, имеющим п+1
корней. Но тогда Р(х) — Р,(х) 0.
Отметим, что если исходная функция / сама есть многочлен
степени п, то f(x)^Pix) тождественно, потому что два многочле-
на, совпадающие в п + 1 различных точках, тождественно равны.
§ 10.6.	Квадратурные формулы прямоугольников и трапеций
Пусть надо вычислить определенный интеграл от непрерыв-
ной на отрезке [а, 6] функции f. Если известна ее первообразная,
то для этого естественно применить формулу Ньютона — Лейб-
ница. По далеко не всегда первообразная известна и возникает
задача о приближенном вычислении интеграла.
Простейший способ приближенного вычисления определенно-
го интеграла вытекает из определения последнего. Делим отре-
зок [а, М па равные части точками
х^а+к^-— (к = 0, 1, ..., N)	(1)
и полагаем	'	,
а	0
где знак * выражает приближенное равенство.
Выражение (2) называется квадратурной формулой прямо-
угольников. В случае рис. 10.4 искомая площадь фигуры, огра-
ниченной кривой у = fix'), осью х и прямыми х = а, х = Ь, при-
400 ГЛ. 10. ПРИЛОЖЕНИЯ ИНТЕГРАЛОВ. ПРИБЛИЖЕННЫЕ МЕТОДЫ
ближенио равна сумме площадей изображенных там прямоуголь-*
ников.
Мы знаем, что для непрерывной па [а, Ы функции предел
при N — оо право!! части приближенной формулы (2) точно ра-
вен левой, что дает основание считать, что при большом N ошиб-
ка квадратурной формулы (2), т. е. абсолютная величина разно-'
сти правой и левой ее частей, мала.
Однако возникает вопрос об оценке ошибки. Ниже мы узна-
ем, как эту оценку получить, если потребовать, чтобы функция
/, кроме непрерывности, удовлетворяла некоторым условиям глад-
Очень важно заметить, что если функция /(^) = Ах + В есть
линейная функция, то для нее формула (2) точна — правая часть
(2) в точности равна левой. Так как линейная функция есть мно-
гочлен первой степени, то мы можем сказать, что квадратурная
формула прямоугольников точна для всех многочленов не выше
первой степени.
Дадим еще второй естественный способ приближенного вы-
числения определенного интеграла, приводящий к квадратурной
формуле трапеций. Он заключается в том, что отрезок [а, Ь] де-
лится па равные части точками системы (1) и полагается при-
ближенно, что
ъ
J/(.)	+ . . .
• • • +	=	+ 2/Ы + 2/(хг) + ...
• • • + 2/	-j- / (я/у)). (3)
В формуле трапеций площадь рассмотренной выше криволи-
нейной фигуры приближенно исчерпывается трапециями (рис.
10.5). Важно отметить, что формула трапеций точна для линей-
ных функций Ах + В (Л, В — постоянные), т. е. для многочленов
не выше первой степени; если подставить такую функцию в (3)
вместо /(ж), то получится точное равенство. В этом смысле фор-
мула трапеций не имеет преимущества перед формулой прямо-
угольников, обе они точны для линейных функций.
§ 10.7. ОБЩАЯ КВАДРАТУРНАЯ ФОРМУЛА. ФУНКЦИОНАЛ 401
§ 10.7.	Общая квадратурная формула. Функционал
Понятие квадратурной формулы мы теперь обобщим. Зададим
(на отрезке [я, 61) систему точек
а ха < Xi < ... < xN sZb	(1)
и систему чисел
Ро, р^, ..., pN.	-	(2)
Положим для непрерывной на [я, &] функции f
N
L(f)^^phf(xh)	(3)
О
п чисто формально будем считать £(/) приближенным выраже-
нием нашего интеграла;
ь
J / (я) dx « L (/).	'	(4)
а
Приближенное равенство (4) называется квадратурной фор-
мулой с узлами (1) и весами (2).
Пусть 2)1 обозначает некоторое множество функций f и каж-
дому / «= в силу определенного закона приведено в соответст-
вие число F(f); тогда-говорят, что F есть функционал, определен-
ный па Эй. Если 9)? есть линейное множество (см, § 6.1) и F обла-
дает свойством
/•'('у,/,-ЕВД) =%/?(/,)+ р/-(/2),
каковы бы пи были числа а, J3 и функции /2еЭД, то говорят,
что функционал F (определенный'a SR) — линейный.
. Множество всех непрерывных па [а, функций принято
обозначать через С = С’(а,' 6). Это.— линейное множество, потому
что, если а, 0— числа и.Д, /2еС, то аД-[-|3/2 е С. Интеграл
I)
f jdx есть, очевидно, линейный функционал, определенный на С.
Выражение. L(/) (см. (3)) есть тоже, как легко видеть, линей-
ный функционал, определенный на С. Отсюда следует, что если
равенство (4) оказалось точным для непрерывных функций
/1, ..., /|, взятых в конечном числе, тб оно автоматически точно
для функций 1иай/л(а:)1 гДе — произвольные числа.
402 гл. 10. ПРИЛОЖЕНИЯ ИНТЕГРАЛОВ. ПРИБЛИЖЕННЫЕ МЕТОДЫ
§ 10.8.	Формула Симпсона *)
В этом параграфе мы вводим важную в прикладном анализе
квадратурную формулу Симпсона. Она очень проста и в то же
время обладает замечательным свойством: она точна для всех
многочленов третьей степени.
Начнем с того, что решим задачу: требуется найти числа
/1, В, С такие, чтобы квадратурная формула
1
J / (ж) dz « Af (- 1) + Bj (0) + Cj (1)	(1)'
-i
была точна для функций 1, х, х\ Нодставля эти функции в (1)
вместо /, получим систему уравнений
2 = А В 4- С, 0 = - А + С, А + С,
откуда А = С — 1/3, В = 4/3. По так как А = С, то легко прове-
ряется, что полученная формула (1) точна и для функции .г! и
в силу линейности входящих в нее функционалов (см. предыду-
щий параграф) она точна для всех многочленов пе выше треть-
ей степени.
Более общая квадратурная формула имеет вид
ъ
+ (Ф0 +	(2>
а
Ото простейшая квадратурная формула Симпсона, соответствую-
щая отрезку [а, Ы.
Докажем, что опа точна для многочленов третьей степени.
В самом деле, полагая в (2)
и сокращая па (Ь — а)/2, получим
1
J F 4 (F (- 1) -}- 4F (0) + F (1)). '	(3)
-1
Но формула (3) точна для многочленов от t пе выше третьей
степени, поэтому и формула (2) точна для многочленов от х не
а 4- b , . !> — я
выше третьей степени — ведь подстановка х = —— + t - з-   пе-
Z	Li-
роводит многочлены не выше 3-й степени в многочлены не выше
3-й степени.
*) Т. Симпсон (1710—1761) —английский математик.
§ 10.9. МЕТОД ПОЛУЧЕНИЯ ОЦЕНОК КВАДРАТУРНЫХ ФОРМУЛ
403
Если разделить отрезок la, bi на 2А' равных частей точками
xlt = a+^k
и к отрезкам [.г,,, х2], [х2, х,], ... применить формулу (2), то в
результате получим {усложненную) квадратурную формулу
Симпсона
ь
/(х) dx
(I
U М + 4/ (лд) + 2/ (х2) + 4/ (.г3) +...+/ (^.v))-
0)
С точки зрения практических вычислений сложность вычис-
лений по формуле Симпсона и прямоугольников одинакова. Но
если-’фупкция / достаточно гладкая, то ошибка приближения по
формуле Симпсона при больших N значительно меньше соответ-
ствующей ошибки при приближении методом прямоугольников
(см. § 10.9).
§ 10ч9. Общий метод получения оценок квадратурных формул
Формулу
С
=/>(/) (1)
о	0
для отрезка [0, 1] мы будем называть канонической квадратур-
ной формулой с узлами
O^to<tl<...<tn^i •	(2)
и 'весами
р0, Pi, ..., р„.	(3)
Канонической формуле (1) соответствует квадратурная фор-
мула для отрезка [с, dl:
rt	п
i / (ж) dx — с) 2 Put (с + (d — с) tk)==
с	°
= (d — c)L(f(c + (d — c)t)). (4)
Узлы ее с + (d — c)th делят отрезок [с, dl в том же отношении,
в каком узлы tk канонической формулы делят [0, 1], а веса рав-
ны (d — c)pk (к = 0, 1, ..., п).
Если разделить отрезок [а, 6] на равные части точками
'	Xk = a + b_±^k (к^ 0, 1, .... N)
404 гл. 40. ПРИЛОЖЕНИЯ ИНТЕГРАЛОВ. ПРИБЛИЖЕННЫЕ МЕТОДЫ
и к каждому отрезку [х,„ применить формулу, соответству-
ющую канонической,
vA+i
J / (х) dx «	L [j ^xk 4—&—
xk
затем просуммировать ее левые и правые части по к, то получим
формулу
р	Л’-1	, , '	„
] /(-г) dx х- —у— 2	(хк у /И,	(5)
о	'	* *=«	'	'	''
которую мы называем усложненной, квадратурной формулой, со-
ответствующей канонической формуле (1).
Чтобы получить оценку ошибки прп помощи формулы, (5),
будем предполагать, что исходная каноническая формула точна
для всех многочленов степени не выше г — 1.
Обозначим через Wr(a, b) класс функций /, заданных па от-
резке [(?, fcj и имеющих па нем непрерывную кусочно гладкую
производную порядка г — 1 (см. начало § 9.17).
Если функция /е |У'(0, 1), то для нее имеет место разложе-
ние по формуле Тейлора с остатком в интегральной форме (см.
§ 9.17)
/(0 = Р (t) + В (t), где Р (Z) = 2 ahlh, .
о
X	1
К (О \r -11)1 j* ~	(и) du = j К (t — и) (м) du,
о	о
0 {и 0),
Подставим / в каноническую формулу (1), перенеся в ней
правую часть в левую. Если учесть, что формула (1) точна для
многочлена Р(1), то получим
1	1 /1	\ -
i / (t) dt — L (f) = j I j К (t — u) /r) (u) du j dt —
а	о \o	/ .
1 / n	\	1 / \	X
— j ( S Ph^ (tx— и) 1 /<r) (u) du == П j К (Z — u) dt j /(r) (u) du —
O'*	'	о \6	/
l/n	- \	1
—	2 PhK (th — и) /г) (и) du = J A (u) f(r> (u) du *),
 о ' °	'	о
*) Мы заменили порядок интегрирования, что обосновывается в теории
кратных интегралов.
§ 10.9. МЕТОД ПОЛУЧЕНИЯ ОЦЕНОК КВАДРАТУРНЫХ ФОРМУЛ
405
1
К (t — и) dt =
О
П
A (U) =	- 2 лОй - «)•
о
Отсюда, вводя обозначения
' 1
х — [ | А (и) | du,
о
l|/r)ll= |/<r)(u)|,
получим оценку
1
J‘/(Z)dZ-L(/)
О
ce)
(7)
(8)
(9)
< XII/(г) li-
Функция АС/), а вместе с ней константа х, зависит от весов
и расположения узлов в формуле (1), но не от /. Константа х
для данной канонической формулы может быть раз навсегда вы-
числена. Опа точна — правая часть достигается для функции /е
<= рро (0,..1), имеющей производную /<г)(ж) = signА(х).
Получим теперь оценку ошибки- в формуле (4), соответствую-
щей отрезку [с, dl, в предположении, что f<sWr(e, d). Перенеся
второй член в (4) в левую часть и сделав подстановку
х — с + (cZ — c)Z, FU) = /(с + (d — c)Z),
и учтя, что = (d — сУ/^Чх), получим
<1
J / (х) dx — (d — с) L (f (с 4- (d — с) t))
С
- (d — с)
1
j F (i) dt - L (F)
о
==C(d —c)x||FCr)|(0,n =.
= (d-c)r+1x|/(r)Lrf), (10)
где IIФ ll(c.d) = sup'|ф (.г)|.
c^x^d
В оценку (10) входит в виде-множителя прежняя константа
х и, кроме того, появился новый множитель (d — c)r+i, зависящий
от длины d— с отрезка [с, d], Последний стремится к нулю вме-
сте с d — с, и тем более быстро, чем больше г.
Дадим, наконец, оценку для усложненной формулы (5)
в предположении, что / Wr.(a, b). Так как в таком случае
400 гл- 1<|- ПРИЛОЖЕНИЯ ИНТЕГРАЛОВ. ПРИБЛИЖЕННЫЕ МЕТОДЫ
f е W'(.xh, Хн+\) при любом к, то в.силу (10)
(И)
Будем говорить, что усложненная квадратурная формула
имеет' свойство Т'1, если опа точна для многочленов степени
г—1. Мы только что доказали, что если функция /ерЕЧа, Ь) =
= W' и ее интеграл па [а, /Л приблизить при помощи усложнен-
ной квадратурной формулы (5) со свойством Тг~~1, то оценка при-
ближения имеет порядок N~r.
Отметим без доказательства, что если /"е Wh и формула имеет
свойство 7'" ’, то оценка, приближения при к<г и к^г имеет
соответственно порядок Ат~", ^г.
Например, усложненная формула Симпсона имеет свойство
Т3, поэтому при приближении при ее помощи функций / е W‘!
при А > 4 оценка имеет порядок А7-4, а при к < 4 — порядбк N~h.
В заключение сделаем еще следующее замечание. Зададим
систему узлов ха < xt < ... < хг. Произвольный многочлен Р(л)
степени г можно представить тождественно при помощи интер-
поляционной формулы Лагранжа (3), (4) § 10.5, где надо считать
п = г.
Если положить
кк = f Qk (Л") dx (к = 0, 1, . . ., г),
а
то-мы получим квадратурную формулу
Г
I / (z) dx « 2 W (ж-ft),
;; «
точную для любого многочлена степени г.
§ 10.10. Еще о длине дуги
В дальнейшем без пояснений предполагается, что Г есть непрерывная
самонепересекающаяся кривая, определенная непрерывными функциями
х =.ф(0, У = Ф(0, z = x(«), a^t^b,	(1)
Введем обозначения: р есть некоторое разбиение
а to < ti < <2	t n ~ b	(2)
§ 10.10. ЕЩЕ О ДЛИНЕ ДУГИ
407
отрезка [а, 6].
6„ = max Ath, crp = max 1/ Az^ + Ду^ Az^,
Го — вписанная в Г ломаная с вершинами, соответствующими значениям
е р, и, наконец, |Г|, |ГР|—длины соответственно Г и Гр. Если Г не
< прямляема, то считаем]Г| —
Отмстим свойства:
1.	Соотношения
6р->0,	-(3)
оР-*0	(4)
вытекает одно из другого и, следовательно, длину непрерывной кривой Г
можно определить при помощи одного из двух равенств
I Г | = lim I Г I = lim I Г I.	(5)
Лр-,0 । Р 1	ар-,0 1 f 1
В самом деле, из (3) следует (4), потому что функции ср, ф. % равно-
мерно непрерывны на [а. 6]. Далее, уравнения (1) определяют операцию,
отображающую отрезок [я, 6J значений t на множество Г точек (г, у, .z).
Она непрерывна, и потому Г ограничено и замкнуто (см. теорему 1 § 12.20).
В силу же самонепересекаемости Г эта операция устанавливает взаимно
однозначно соответствие [«. Ь [ = Г, и потому (см. ту же теорему) обратная
ей операция непрерывна, т. е. представляет собой непрерывную функцию
t = Ф(.т, у, z) па замкнутом ограниченном множестве Г, следовательно,
равномерно непрерывную на Г.	,	।
2.	Если рср', т. е. все точки 1; s р принадлежат также р', то
|Гр|^1Гр'|.	(б)
Это очевидно. Добавление к р еще одной точки t, приводит к тому, что
некоторое звено ломаной Г„ заменяется-на два звена, образующие с ним
треугольник (возможно, и вырожденный).
3.	Справедливы соотношения
suP|rp| = lim I Г | = | Г|.	(7)
о 1	6р->о 1
Число |Г|. которое они определяют, может быть конечным, и тогда
кривая Г спрямляема и |Г| — ее длина (см. § 6.7). Если же ]Г] = Д-оо, то
кривая Г не спрямляема.
Чтобы доказать (7). положим А = sup ]ГР| и-зададим произвольны^чис-
ла Д'. А" такие, что А' < А" < А. В силу свойства точной верхней грани
существует разбиение р» = [а = г* < t* < ,.. <	= 6} такое, что А" <
< | Гр»
Зададим положительное е<А" —А' и подберем, пользуясь равномер-
ной непрерывностью функций <р(0, ф(г), %(г) на [а, 6], такое б > 0, что
для всех /, t + Аг е= [«, Ь], |Аг| < 6. выполняется неравенство
>. = У Az-’ + Ду2 + Az2 < е/2А’,
где Z — длина хорды, соединяющей точки Г, соответствующие t и t Д- Аг,
Для произвольного разбиения р отрезка [а, 6] с 6(> < 6 имеют место
неравенства (пояснения ниже)
Л" < I ГР* I < I ГР+₽* I < I Гр I +	(8)
или Л' < | Гр|.
408 ГЛ. Ifl. ПРИЛОЖЕНИЯ ИНТЕГРАЛОВ. ПРИБЛИЖЕННЫЕ МЕТОДЫ
Третье неравенство в цепи (8) объясняется следующим образом. •
Пусть АД1 — хорда, соединяющая две соседние вершины Гр, а дуга
ДА'а Г содержит внутри себя вершины Гр*, число которых пусть будет
V. Впишем в АД' ломаную уАл, с вершинами, совпадающими с указанны-
ми вершинами Гр*. Количество звеньев этой ломаной равно v + 1, а каж-
дое звено имеет длину, не превышающую е/2/V, поэтому длина УАА> не
e(v+l)
больше чем ---.
•Если произвести такую замену хорд ДА’ с: Гб на соответствующие ло-
маные улл для всех дуг ЛА', внутри которых имеются точки Гр*, то и
результате Гр превратится в Гр_|_р*, й, так как количество вершин Гр*,
которые могут попасть в ту или иную дугу УАА- > не больше чем /V, то
I Гр+р* I < I гр| + е>
т. е.'выполняется третье неравенство (8).
Мы доказали, что для любого числа Л' < Л найдется б > 0 такое, что
выполняются неравенства Д' < |ГР| sg Л для всех Гб с бр < б.
• " Этим доказано (7), где |Г| =Л.
4. Если Г спрямляема на [а, б], то и па [а, с] ина [с, Ь], а <. с < б;
и наоборот, если Г спрямляема на [а, с] и [с, б], то и на [а, б]. При этом
| Г| = |Гас| + |Геь|.
(9)
Доказательство. Зададим последовательность разбиений рЛ от-
резка [я, б] с б k -* 0 (А ->-оо). Предполагаем, что Г^ при любом к со-
держит в себе точку с. Тогда индуцирует на [а-, с] и [с, б] соответ-
ственно разбиения pj и р^ с б й, б^л
0 (к
1ГрИ=НГрР + |Гр*| ^==^2...-).	(Ю)
Если Г спрямляема, то |.Г | < оо и |	| -► | Г |. Но тогда последова-
тельности 1 Г k I и I Г Л I ограничены, и так как б ft, б д ->0, то они стре-
I P1I I Р2|	- Pi ₽2
мятся соответсвенно к конечным пределам |Гас|, |Гсь|. Таким обра-
зом, Гос и Геб спрямляемы и из (10) после перехода к пределу при к -> оо
следует (9).
Наоборот, если Гас и ГС6 спрямляемы, то| Г h 1-> | Гас|> I г а |~*| ГсЬ |-
I рг I	I р2 I
но тогда в силу (10) существует предел	и так как б^->-0, "то
в силу свойства 3 кривая Г спрямляема. .
(б — а \
О < е < —~2— I обозначает дугу Г, соответствующую от-
резку [а + е, б — е]. Если Ге спрямляема при любом указанном е, то
liml Ге 1= |Г|.
е->о
(И)
Таким образом, для спрямляемости Г необходима и достаточна конеч-
ность предела в (11),	'
§ 10.1 i. ЧИСЛО л. ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ
409
Доказательство. Впишем в ГЕ ломаную' Г8 со -звеньями, не
превышающими в, такую, что
|Ге|-е<|г'|<|Ге|,	(12)
и пусть Г" — полученная добавлением к г' двух звеньев ломаная, впи-
санная в Г.
В силу непрерывности Г
|Гв|-|Ге|-*0,	е->0.	(13)
Очевидно, что । Ге | по убывает при монотонном стремлении 8 к нулю.
Поэтому предел (11), конечный или бесконечный, существует и равен на
основании (12), (13)
lim | Г | = lim | Г') = lim | r" | = | r |,
e->0	£—>o	e-»o
где последнее равенство следует из (7).
§ 10.11. Число л. Тригонометрические функции
Рассмотрим окружноЛь х2 + у2 = 1. Верхняя ее полуокружность Г
описывается непрерывной функцией f(x) = yi — х2, —Isgat^l. Но про-
изводная /'(ж) = — z/yi — х2 непрерывна только на интервале (—1, 1). По-
этому формулу длины дуги § 10.3, (4) в данном случае законно пока при-
менить только к отрезку [—1 + е, 1 — е] [0 < е < 1), на котором / непре-
рывна вместе со своей производной:
l-e	t-e
По функция (1 — х2)-'11 интегрируема па отрезке [—1, +1], если интеграл
понимать в несобственном смысле, поэтому по свойству § 10.10, (11)
4-1
|Г| = 1пп|Ге|= f — ±_..... < оо, -	(1)
™ J /1-?
и мы доказали, что полуокружность Г спрямляема и длина ее выражается
числом, равным интегралу справа (1). Это число называется числом я:
л =
+1
-1
dx
/1^7 ‘
(2)
Мы дали обоснование существования этого важного предела со всей
строгостью, предъявляемой в современном математическом анализе. В эле-
ментарной геометрии дается корректное определение длины дуги окружно-
сти, но существование ее обосновывается в общем при-помощи интуитив-
ных соображений, хотя и сопровождается логическими выкладками. Функ-
ция arccos х может быть определена при помощи равенства
1
(3)
410
ГЛ. 10. ПРИЛОЖЕНИЯ ИНТЕГРАЛОВ. ПРИБЛИЖЕННЫЕ МЕТОДЫ
где 9 есть длина дуги АВ (рис. 10.6), а х есть абсцисса точки В верхней
полуокружности Г<
Мы видим, что в силу свойств интеграла как функции нижнего пре-
дела функция arccos х непрерывна, строго убывает на отрезке [—1, +1 )
и имеет производную
(arccos.;)' — —... ....
/1-.?
— 1 < х < 1.
Ясно также, что arccos 1 = 0, arccos 0 = л/2, arccos (—1) = л.
В таком случае существует обратная к arccos х, определенная на отрез-
ке [0, л] непрерывная, монотонно убывающая функция х = cost), называ-
емая косинусом дуги 0 (выраженной в радианах!).
Понятие длины дуги 0 окружности обычным образом распространяется
на всю действительную ось (— <х> < 0 < оо). Соответственно распростра-
няется cos 0. Именно, мы полагаем, что cos 9(—оо < 9 < оо) есть четная
периода 2л функция, определенная на [0. л] как выше. Ото определение
соответствует обычному определению, в силу которого cos 0 есть абсцисса
точки В окружности, имеющей дуговую, координату 9. Из итого определе-
ния и свойств cos 0 на [О, л] легко следует непрерывная дифференцируе-
мость cos 0 на всей оси (—<» < 0 < со). Кроме того, из формулы (3) лег-
ко устанавливается, что cos 0 есть функция нечетная относительно 9 =
л /	I п , \	[л	\\
-- _ cos — - - U — — cos — — В . .
2 \	2	/	\2	))
Будем теперь считать, что подвижная точка В принадлежит правой по-
ловине окружности (рис. 10.7),
Фу акция
х = 1'1 — у2, — 1	у 1.
0=--arcsin у
/1 - Г
14)
- 1 С у < 1
выражает длину дуги АВ с соответствующим знаком. Она, очевидно, непре-
рывна, нечетна, строго возрастает на [—1, +1] и удовлетворяет свойствам
0(—1)=—л/2, 0(0) = 0, 0 = л/2. При этом она непрерывно дифференци-
руема на (—1, 4-1). Обратная к ней функция
у =» sin О
строго возрастает и непрерывна на [—л/2, +л/2]. Ее продолжают на всю
действительную ось, полагая четной относитёльно прямой х =
= л/2(sin ((л/2) 4- и) = sin ((л/2) — к)) и периодической периода 2л. Лег-
§ 10.11. ЧИСЛО п. ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ
411
ко проверяется, что sin 0 есть непрерывная на (—оо. оо) функция, равная
ординате точки В единичной окружности, имеющей дуговую координату 0.
Ясно, что cos2 0 + sin2 9 = 1, —оо < 0 < оо? ведь cos 0 и sin 9 суть со-
ответственно абсцисса и ордината одной и той же точки единичной окруж-
ности.
Имеет место равенство
выражающее геометрически, что для любого х е [—1, 4-1] дуга, принадле-
жащая [—л/2, л/2.|, синус которой равен х, плюс дуга, принадлежащая
[О, л], косинус которой равен ,г, составляют в сумме число л/2-
Если Ое [0. л]- п х = cos 0, то 0 = arccosz, а в силу (5) arcsin х =
= (л/2) — 0, следовательно,
cos 0 = sin (-5--0 j.	(6)
л
2
Аналогично, если 0 е [—л/2, л/2]
и ,r=sin 0,
то 0 = arcsin .г,
О нгссоз/,
следовательно,
(Т)
Равенства (6), (7), если воспользоваться симметрическим и периодиче-
ским свойствами cos 0 и sin 0, легко распространить па любые 0.
Справедливы также равенства
(sin 0)' — cos 0, (cos 0)' = —sin 0, —оо < 0 < oo.t	(8)
Л) 1
Ведь, например, из (4) следует -j— = г.......	(—1	1), откуда и
получается первое равенство (8):
(sin 0)' —	= ]/\ — sin2 0 = cos 0
«9
для —л/2 st 0 ат л/2, но тогда и для всех 0 в силу указанных периодиче-
ских и симметрических свойств функций sin 0 и cos 0.
Пользуясь формулами (8) и тем фактом, что cos 0 = 1, sin 0 = 0, мож-
но вычислить производные высших порядков от функций cos 0, sin 0 в точ-
ке 0 = 0 и представит^ эти функции по формуле Тейлора с остаточными
членами, соответствующими как угодно большому п, как этр уже делалось
в § 5.10. К тому же, пользуясь ограниченностью высших производных от
dn sin 0 I \
———, мы,, как в § 5.10, можем
U0 I /
11 dn cos 0
наших функций I —,
"Л I
заключить, что их тейлоровы остаточные члены стремятся при п -> оо к ну
лю' для любого 0. Но тогда мы приходим к разложениям наших функций
в степенные ряды
‘о3
sin 0 = 0 — -L--р ...,
О2
COS 0 — 1 — —— + . . . ,
2!
(9)
с помощью которых можно получить (см. далее § 11.13) основные тригоно-
412 гл. 10. ПРИЛОЖЕНИЯ ИНТЕГРАЛОВ. ПРИБЛИЖЕННЫЕ МЕТОДЫ
метрические формулы
cos (а 4- Р) = cos а cos р — sin а sin 3,
(Ю)
sm (а + ,3) = sin а cos Р + cos а sin ?•
Конечно, формулы (10) можно получить и непосредственно из (3)
И (4).
Пусть, например 0 < а, 3 и а + р 5g л. Тогда (пояснения ниже: х =
= cos a cos р — sin а sin [J)
1 ’	cos al	1
р = f d'1' f d-r' = г d:r' ’ f dx' ' (11)
А /1-.Т2 J /1-/2 J /Г^Т2 A
1. Vt> p	К	П	CUo Gt *
1
n a + ft = | z — Отсюда в силу (3) получим первую формулу для
i V 1 - /а
указанных а, р.
Второе равенство цепи .(11) получено путем замены переменной а-'=
= х cos а -|1 — т2 sin а. равенство
’ dx' ____ dx
следует из того, что
dx' -----—----(cos a p^l — хг + х sin a) dx
У1-.Т2
n 1 — x 2 — (cos a И 1 — x~ g- x sin a)~. Надо еще учесть, что в этом равен-
стве выражение в скобках неотрицательное. Полагая х = cos и, 0 g: и sg (J.
запишем это выражение в виде cos a sin u + cos и sin а. Ясно, что оно не от
рицательное, если а, и g л/2. Если же а < л/2, и > л/2, то, учитывая, что
sin t и cos t убывают на [и, л — а], получим
cos a sin u,+ cos u sin а cos a sin (л — а) + cos (л — a) sin а =
= cos a sin а — cos a sin а = 0.
Другой случай, и < л/2, а > л/2, доказывается также путем замены ме-
стами и и а.
В заключение отметим, что в приведенном здесь изложении неравен-
ство (см. '§ 4.2, пример 5)
|sin в| ;g |0|
(12)
можно доказать
|0| =
и так как- л =
tdt = | sin 0 |,
л
1
I dt = 2 и | sin 01 :g 1, то ' (12) верно
и для
вс'ех 0. Далее неравенство (см. § 4.9) 0 sg tg 0. О 0 sg л/2 можно полу-
чить, воспользовавшись теоремой. Лагранжа: tg 0 — 0 = 0 (sec2 0i — 1) g? 0,
0 «g Jh С 0 «S л/2.
Глава 11
РЯДЫ
§ 11.1. Понятие ряда
Выражение
Щ + Ut + It,, • -	(1)
где числа uk (члены ряда), вообще комплексные, зависят от ин-
дексов к — 0, 1, 2, ..., называется рядом. Этому выражению мы
не приписали никакого числа, потому что сложение бесконечного
числа слагаемых не имеет смысла. Ряд (1) еще записывают так:
оо	оо
2	~ 2 дк-	(2)
Л-0	о
Эта чисто формальная запись часто более удобна, чем запись (1).
Числа
S„ = П,> + щ + ... + н„ (п = 0, 1, ...)
называются п-ми частичными суммами ряда (1).
По определению, ряд (1) сходится, если существует предел
lim Sn = S.
П->оо
В этом случае пишут
S = ий -I- иг и2 -|- ... = 2	(3)
и называют 5 суммой ряда, т. е. выражениям (1) или (2) при-
писывают число S. Говорят еще, что ряд (3) сходится к S.
В силу условия Коши (верного и для комплексных чисел) для
того чтобы ряд (1) сходился, необходимо и достаточно, чтобы для
всякого е>0 нашлось такое N, чтобы для всех натуральных п>
> N и любого натурального р выполнялось неравенство
I u-„+t “Г ... + ип^.р, == 1Sп+р Sп I < е.
Отсюда, в частности (полагая р = 1), следует, что если ряд
(1) сходится,то его общий член стремится к нулю;
lim ип «= 0.	(4)
П-*ос
По условие (4),.будучи необходимым, не является достаточным
для сходимости- ряда, как это будет видно из дальнейших при-
меров.	..
Рассмотрим еще ряд
ОО .
wn+i + ^п+2 -И ... = S Wn+zt*	(5)
/<=1
414
ГЛ. И. РЯДЫ
Так как условие Коши сходимости рядов (1) и (5) формули-
руется совершенно одинаково, то они одновременно либо сходят-
ся либо расходятся (пе сходятся). Если они сходятся, то сумма
ряда (5) равна
т
Кш 2 Kill	S-n) ~ Sn.
717- X
Если члены ряда (1) неотрицательны (таким образом, дейст-
вительны), то’ его частичные суммы образуют неубывающую по-
следовательность Si С S, ^'S3 "Т ..поэтому, если эта последова-
тельность ограничена,
Sn^M (п = 1, 2, ...),
ряд сходится и его сумма удовлетворяет неравенству
lim Sn — 5 М.
Если же она пеограничена, то ряд расходится:
lim S„ оо.
'11 —г ОО
В этом случае пишут
оо
2 uh = оо.
/(<1 '
Пример 1. Рид
1 + Z + 2 = + • • •	(С>)
имеет (при z 1) частичную сумму ^„(z) = (1 ~ z'rt +')/(! — :) Если
|г| <1, то |z" + l | — |з |,г * 0. т. е. z'1 + 1 -> 0 (п -> оо);' если |z| > 1, то
]z’,+i|_>Oo и наконец, если |z| = 1, то ряд (6) расходится, потому что
и этом случае его общий член, имеющий модуль, равный единице (|с” + 1| =
= 1), не стремится к нулю ири п->оо. -
- Таким образом, ряд (6) сходится и имеет сумму, равную (1 — зр1 па.
открытом круге |z| < 1, а для остальных точек z комплексной плоскости
он расходится.
§ 11.2. Действия с рядами
ОС	оо	оо
Если ряды %uh ul£vh сходятся и а — число, то ряды 2амл*
оо	о
оо
JS (wa ± г?*) также сходятся и
е
оо	со
2“Wfe = «2wa>	(1)
о	о
ОО	оо	оо
2 (w/i ± 0i) =	± 2 vh-	(2)
О	О	0.
S 11.3. РЯДЫ С НЕОТРИЦАТЕЛЬНЫМИ ЧЛЕНАМИ
415
Действительно,
эо	п	'	П	оо
2 «Щ. = lim 2auft a lim 2 dk = a 2 u/<,
О	П~>х> о	?i-*oo о	о
со	» '	П	п
2 (“ft ± vk) = lim 2 (“Л ± “л) = Ит(2 uk ±	2 vh ==
о	П-»А> о	П-»ос о	о
оо	оо
= 2 иь ± 2 уй-
о	о
Подчеркнем, что из сходимости ряда, стоящего слева в (2).
вообще не следует сходимость каждого из рядов, стоящих справа
в (2). Например, ряд
(1-1)+ (1-1) + ...,	(3)
ОО	00
сходится (все его члены равны 0), но выражение 21 — 21 не
*	оо
имеет смысла — ряды, входящие в него, расходятся.
Если ряд
щ + и, + иг +...	(4)
сходится и имеет сумму S, то члены его можно любым образом
сгруппировать скобками (однако-не переставляя их), например,
так:
11„ + (и, + щ) + (н3 + Щ + Н5) + . . .,
образуя новый ряд, члены которого равны суммам чисел, стоя-
щих в скобках. Новый ряд будет сходящимся и притом к 5, по-
тому что его частичные суммы образуют подпоследовательность
сходящейся последовательности частичных сумм ряда (4).
Наоборот, раскрывать скобки в ряду, вообще говоря, незакон-
но, например, после раскрытия скобок в сходящемся ряду (3)
получается расходящийся ряд 1 — 1 + 1 — ... Впрочем, если
внутри скобок всюду стоят только неотрицательные или неполо-
жительные числа, то раскрытие в таком ряду скобок не изменяет
сходимости ряда и величины его суммы.
§ 11.3. Ряды с неотрицательными членами
Теорема 1 (признаки сравнения рядов), Пусть
даны два ряда:
х>	оо
1) 2^й,	2) 2^
О	. • о
с неотрицательными членами
а) Если и„ < щ (Л — 0, 1, 2, .,.), то из сходимости ряда 2)
следует сходимость ряда 1), а из расходимости ряда 1) следует
расходимость ряда 2).
416
ГЛ. 11, РЯДЫ
б) Если
lim А
!<> оо
А>0,
(1>
то ряды 1) и 2) одновременно сходятся или расходятся.
Доказательство. Пусть ряд 2) сходится и S — его сум-
ка. Тогда
п	п
(п = 0, 1, ..
о	о
т. е. частичные суммы ряда 1) ограничены и ряд 1) сходится.
Его сумма S' удовлетворяет неравенству S' — S.
Пусть теперь ряд 1) расходится: тогда Сем. § 11.1) его ча-
стичная сумма неограниченно возрастает вместе с п, что в силу
неравенства
п	п
2 Kh < 2 ст, (« = о, 1,...)
о	о
влечет также неограниченное возрастание частичных сумм ряда
2), т. е. расходимость последнего.
Пусть, теперь имеет место равенство (1). Тогда на самом деле
гд > 0,. и для положительного е < А найдется N такое,’ что
Л — е <	< А + е (к> N), откуда
vAA — е) < uh < (А + e)vk.	(2)
СО
Если ряд 2) сходится, то сходится также ряд 2 (А -|- е) vh f
я+i
оо
в силу второго неравенства (2) сходится также ряд 2 иъ, а вместо
W+1
с ним и ряд 1). Если же ряд 2) расходится, то расходится также
- оо	-	оо
ряд 2 l’h (-4 — е), а вместе с ним ряд 2 ик- По тогда расходит-
N + 1	Х+1
ся также ряд (1).
Теорема доказана.
Теорема 2 (признаки Д а л а м б е р а). Пусть дан ряд
• оо
2^	(3)
о
с положительными членами.
а) Если
^±1<<7<1 (к -0,1, 2, ...),
‘
(4}’
§ 11.3. РЯДЫ С НЕОТРИЦАТЕЛЬНЫМИ ЧЛЕНАМИ
417
то ряд (3) сходится; если же
(* = 0,1,2,...),	(5>
ин
то расходится.
б) Если
lim-^ = ?,	(6>
Ьм “л
то ряд (3) при q < 1 сходится, а при 1 < q С °° расходится, и его-
общий член ик оо.
Доказательство. Имеем
поэтому из (4) следует, что
ип = uoqn,
q<l
(n = 0, 1, 2, ...),
и так как ряд У uoqnсходится, то вместе с ним и ряд (3). Из (5)
1
следует, что
ип 3s «о (п = 0, 1, 2, ,..),
и так как ряд м0 + иа +... расходится, то и ряд (3) расходится.
Если теперь выполняется свойство (6) и q < 1, то для поло-
жительного 8 такого, что q + e<l, uh+l/uh < q + е < 1
где N достаточно велико. В силу признака (4) в таком случае
ОО	''
ряд 2 ич сходится, а вместе с ним и ряд (3).
Если же q > 1, то возьмем е > 0 такое, что q — s > 1. Но
ик+Л/ик> q — е	при достаточно большом N, поэтому для
;V sS ,п0 < п получим
ип = ~~ —— • • -------un>(q — в) Un0~+°°	(п->оо).
и,1-1 иП-2	ип0
Это показывает, что'ип -* °° и ряд (3) расходится.
Т е о р е м а 3 (признаки Коши). Пусть дан ряд (3) с по-
ложительными членами.
а)	Если	'	
V^..<q<i	(* = 0,1,...), .	(7)
418
ГЛ. 11. РЯДЫ
то он сходится-, если же
(fc == 0, 1, ...),	(8)
то он расходится.
б)	Если
lim V «л (0<9<°о)>	(9)
 k-> ОО
то при q < 1 ряд (3) сходится, а при q > 1 расходится, и при
этом ик «>.
в)	Если верхний предел
lim Y ик — q (0 оо),	(9')
Л-^ОО
то ряд (3) при q < 1 сходится, а при q > 1 расходится и при
этом общий член ик ряда не ограничен.
Доказательство. Из неравенства (7)' следует, что ик < q"
оо
(к = 0, 1, 2, и так как в случае q<i ряд сходится, то
о
сходится и ряд (3). Из неравенства же (8) следует, что ик > 1
(к •= 1, 2, ...), и так как ряд 1 + 1 + ... расходится, то расхо-
дится и ряд (3). Утверждение а) доказано.
Пусть q<l. Тогда найдется е>0 такое, что q<q + e,<i.
Из свойства (9) при q < 1 следует, что
L___
У Uh < q -t е < 1	(А- > N)	(10)
при достаточно большом N, откуда
ик < (<? + ё)4 (А: N),
ОО	ОО
и так как ряд2(? + е)' сходится, то сходится и ряд ^м^.а вме-
Л'	N
сте с ним ряд (3). Если же q> 1, то можно указать q' такое, что
q > q' > 1. Тогда из свойства (9) при q>l вытекает, что ик >
>(?')* [к > Л’) при достаточно большом N. Следовательно, ик
-> <» и ряд (3) расходится. Мы доказали б).
Из свойства (9') так же, как из свойства (9) при q < 1, выте-
кает (10). Далее рассуждения ведутся как при доказательстве б)
. при q < 1. Если же q > 1, то берем q' такое, что q > q' > 1 и из
19') заключаем, HTO^fuhs>q' для некоторой подпоследователь-
ности последовательности {иД. Но тогда
л,
uhs> (q ) (s = 0,1, 2, ...),	оо ($-> оо).
Это показывает, что ряд (3) расходится и его общий член но
ограничен. Этим утверждение в) доказано.
§ 11.3. РЯДЫ С НЕОТРИЦАТЕЛЬНЫМИ членами
419
Замечание 1. Ряд с общим членом ип = п~а (а>0) схо-
дится при а>1 и расходится при а С 1 (см. § 9.15, (5)*)).
При этом в обоих случаях
lim = 1,	(И)
так же как
lim ’j/ ип
п-+оо
1.
(12)
Таким образом, существуют как сходящиеся, так и расходящиеся
ряды с признаками (11) или (12).
1 1
Ряд 1 + -я т~ т + • • • называется гармоническим рядом.
А о
Замечание 2. Если для последовательности положительных чисолг
и„ существует предел
ип +1
lim —— = q, 0 ^<7^оо,	(13)
П-> оо Un
то отсюда автоматически вытекает, что
lim yZип = q.
Н—» ОО
(14)
Поэтому, рассуждая теоретически, предельный признак Даламбера (т. е.
(6)) ничего нового сравнительно с предельным признаком Коши (т. е.
(9)) не дает. Но на практике признак Даламбера часто очень удобен.
Докажем высказанное утверждение. Пусть, имеет место (13) пока для
q > 0 конечного. Тогда для любого положительного е < q найдется такоо
п, что q — е < и,L + ti/u,,+/<_.< q + е (k = О, 1, ...). Но тогда
,	U”+l Мл+2-
(о — е)1 < ------=------
“ч “П+1
ип +р
ип+р-1
< (? + е)р>
ип + р
т. е. (<? — е)'р <-- < (?+ е)р, откуда
„1ХЧ+Р) {q ~ е)Р/("+Р) <	(д + E)P/(«+P)t
и после перехода к пределу при р оо получим
q — lim р/"ип	lim	q е.
По е > 0 произвольно мало и потому
q ---= lim у/ ип = lim yrun = lim j/ип.
1	П—> оо
Если q = 0. то в этих выкладках всюду в левых частях неравенств на-
до формально заменить q — е на 0, а в правых — считать q — 0.
*) В § 9.15 мы пользовались понятием ряда только в пределах сведе-
ний, изложенных в § 11.1.
420
гл. н. РЯДЫ
Если же j = оо, то надо всюду в правых частях неравенств заменить
j + 8 на оо, а в левых частях считать, что q — е есть произвольное поло-
жительное число. Далее, выражение «но е > 0 произвол).но мало» надо за-
менить на «но q — е произвольно велико».
Обратное утверждение уже неверно: предел (14) может существовать,
а предел (13)—нет. Например, пустьип = qn±i^n, где « + » ставится при п
четном, а «—» — при п нечетном. Тогда	'"-^(мн-оо), а
< другой стороны,
“п+1 _ дТ + У^й+т+Т п (при п нечетном).
“п • gi—/п+1-Тп (прй п четном).
При q ф 1 отношение ип+1/кп не ограничено и, таким образом, не стремит-.
<я к конечному пределу.
Примеры.
оо ,Л	оо	k	оо
1) Зтг; 2) 2~а(*>0); 3). 2(^-1);
О	1	k	1
4) V In f i , 1 V 5) У 4k+V* (<? > 0). •
1	k)
Ряды 1), 2), очевидно, сходятся при х = 0. Но ряд 1) также сходится
для любого х > 0, потому что тогда иА + 1/иА = х/(4-1)-*0, к -* оо. Ряд
же 2) сходится при 0 < х <_ 1 и расходится для х > 1, потому что для
пего ma + i/u), = х'(к/(к 4- !))“-> х, к -> оо; при х = 1 см. выше замечание 1.
Ряды 3) и 4) расходятся, потому что е'/к — 1 « 1//с (&->оо) и 1п(1 +
(1/Л-)) « l//i .(.t-» оо) («ж» — знак асимптотического равенства, см.
ОО
$ 4.ГО), а ряд 2 — расходится. Ряд 5) сходится при 0 gc
Д’
О
.	k г—	-« л_ь —1'2
ся при 9 > 1, потому что для него у ик — q -> q
«= 1 он тоже расходится — общий его член в этом случае
5 < 1 и расходит-
(k->- oo). При. q
равен 1.
Т е о р е м а 4. Пусть ряд
и0 + Ui Ч- и2 Ч- ..,	(15)
с неотрицательными членами сходится и имеет сумму S. Тогда
полученный в результате произвольной перестановки его членов
новый (.заново перенумерованный) ряд
Но Ч” ^1 Ч~ ^2 Ч^ Ц- . . 	(1Ь)
также сходится и имеет ту же сумму S.
Д о.к а зате л-ь ст во. Пусть
‘Sn — к о Ч" Ч" • • • Ч~ ип
— частичная сумма ряда (16). Члены ее находятся в ряде (15)
под некоторыми номерами /с0, ..., кп. Пусть Л' — наибольшее чи-
сло среди них и SN есть (V-я частичная сумма его. Очевидно,
§ 11.5. АБСОЛЮТНО СХОДЯЩИЕСЯ РЯДЫ
421
Sn<i Sn «С 5, и так как п произвольно, то ряд (16) сходится и
имеет сумму S' С S. Но теперь приведенное рассуждение можно
провести еще раз, поменяв ряды (15) и (16) местами, и полу-
чить, что S S'. Поэтому S = S',
§ 11.4. Ряд Лейбница
Ряд вида
а0 — at 4- аг — а3 + ...,	(1)
где числа «*>0, монотонно убывая, стремятся к. нулю (яй>яй+1;
щ 0, к -* оо), называется рядом Лейбница.
Покажем, что ряд Лейбница сходится и его сумма S<e0.
В самом деле, частичная его сумма S2n+i с нечетным номером
2п + 1 может быть записана в виде
Ssn+i = До (й1 Яг) (Яз Я4)	» »• (Ягп-i Дгп) Ягп-Н)
откуда очевидно следует, что она ограничена сверху числом я»:
S2„+1 До.
С другой стороны, опа может быть записана в виде
S2n-pi (я0	«1 > 4" (я2 Яз) 4” . *. 4” (я2„ Я2п-н\
откуда следует, что опа монотонно не убывает. Но в таком случае
существует предел-
lim S2,i+1 = S< я0.
П-*ао
Очевидно также, что
lim S.2n = lim .(S2n+i — я2п+1) = S — 0 = S.
T1~»OO	x
Теорема доказана.'
1 1
Пример. Ряд 1 — ту 4~ у — • • • есть, очевидно, ряд Лейбница. Таким
образом, он сходится и его сумма 5 не превышает 1 (на самом деле, 8 =
= In 2, см.'Д 5.11, (5)).
§ 11.5. Абсолютно сходящиеся ряды
Ряд с комплексными членами
«о 4-и1 4-я2 4-..,	(1)
называется абсолютно сходящимся, если сходится ряд
1я01 + Iw J 4- I u2l 4-,.,	(2)
модулей его членов.
422
гл. и. РЯДЫ
Абсолютно сходящийся ряд сходится. В самом деле, пусть ряд
(1) абсолютно сходится, тогда сходится ряд (2) и в силу призна-
ка Коши для любого е>0 найдется такое N, что е> 1нп+11 +
. ,.+ |u„+P| для всех значений р и п > N. Тем более, тогда
г > |ц„+1 + .,. + и„+Р|. Поэтому в силу критерия Коши ряд (1)
сходится.
Сходящиеся ряды с неотрицательными членами тривиальным
11
образом сходятся абсолютно. Ряд 1----— -f—-— ,.. (а > 0) схо-
2®	3“
дится, потому что он есть ряд Лейбница. Однако абсолютно оп
сходится только при а > 1.
Теорема 1. Если ряд абсолютно сходится, то при любой
перестановке его членов абсолютная сходимость полученного но-
вого ряда не нарушается и его сумма остается прежней.
Доказательство.. Сначала докаже?^ теорему в случае, ко-
гда члены ряда uh действительные числа.
Положим (для действительных щ)
(й/,, если uk^0,	_	(—ult, если
Uh (0, если uft<0, Uh	i 0, если uh> 0;
числа и^ и очевидно, неотрицательные и
uh = Ub —	(4)
Наряду с рядом (1) будем рассматривать два ряда,
оо	оо
2“^ и 2^/7
о	о
(5)
(с неотрицательными членами).
Пусть ряд (1) абсолютно сходится и члены его — действитель-
ные числа щ. Тогда ряды (5) также сходятся, потому что, оче-
видно, Uh | Uh |, Uh I Uk |.
Пусть ряд, полученный после перестановки исходного ряда
(I), имеет вид v, + v2 + и3 + ... Для его членов введем, как вы-
ше, числа Vk и i\- Тогда (пояснения ниже)
2 Uk = 2 № — щ) = 2 — 2 =
0	0	0	0
оо	оо	оо	оо
= 2 -2^" = 2(^+- = 2^-
ООО	о
Первое равенство в эт«й цепи следует из (4), второе—из § 11.2,
(2), если учесть, что ряды (5) сходятся, третье следует из того,
что сходящиеся ряды с неотрицательными членами перестановоч-
ны, четвертое из § 11.2, (2) и, наконец, пятое,— потому, что
<’л = Vh — Теорема для действительных щ доказана.
§ 11.5. АБСОЛЮТНО СХОДЯЩИЕСЯ РЯДЫ
423
Пусть теперь и„ = а,, 4- г,В,. — комплексные числа, а числа гй
имеют прежний смысл. Так как IакI luj, IjJj |и*Ц то ряды
00	оо
с (действительными членами) и SPa абсолютно сходятся,
о	°
и члены их, как сейчас было доказано, можно переставлять, по-
этому, считая, что vb =	4- i6fe, получим
~ (cx-k Ч~ J'Pa) —-	-j~ i 2jPa
0	0	0	0
. oo	oo.oo	oo
= 2 Y/i + *2 8h = 2 (Vk + iSft) = 2 Vh-
ООО	0
Теорема доказана полностью.
ОО	оо
Теорема 2. Пусть ряды^ик и 2 абсолютно сходятся и
о
произведения икщ Uc, I = О, 1, ...) перенумерованы каким-либо
способом (при помощи одного .индекса) и обозначены w0, wlr
w2, ... Тогда справедливо равенство
оо	оо	оо
2 uh х 2 vi = 2 wk,
о о о
где ряд справа абсолютно сходится.
Доказательство.. Положим
п	п	п	п
®п ~	, вп ~ 2 I , <ъ. — 2	— 2 I ^4*
ll^O	'	i ll	ГП
Имеем (пояснения ниже)
ос	‘' сс
2t uh |х 2 I = lim Sn-lim on = lim (s„an) =
0	0	?l—>oc	n-*oc	H-*oc
= SoGo + (SjOj — S„O0) + (s2O2 ~ «101) + • • . ~
= I	+ (! Hot’ll + IltifJ + |ltlt’0|) + (I Uof2l +
+ | U,V2 I + |u2V2| + IwafJ + |w2P0| ) + ...==
lu„y0| + | «„Г, I + I UiVj I + I Utf01 + |«(,У2| + I Uit’i I + . . . =
= I Wo | + ItPjl + .|lf2| + . . .	(6)
Ряды с членами |u*|, It’d по условию сходятся и потому первое
равенство (6) имеет смысл. Так как пределы sn и о„ (при п-> <»)
существуют, то существует предел snolt и равен их произведе-
нию — это выражено вторым равенством. В третьем предел s„o„
заменен на сумму соответствующего ряда, членами которого яв-
424
ГЛ. 11. РЯДЫ
ляются выражения в
жения записываются
Рис. 11.1.
скобках. В четвертом равенстве эти выра-
через суммы произведений I ukVi I. При со-
может помочь рис. 11.1 (в скобки попада-
соответствующие целочисленным точкам
(к, Z), лежащим на непрерывных жирных
линиях вида АВС). В пятом раскрыва-
ются скобки. В силу того, что внутри
скобок стоят суммы неотрицательных сла-
гаемых, после их раскрытия полученный
ряд продолжает сходиться к той же сум-
ме. В последнем, шестом равенстве в ря-
ду с неотрицательными членами переста-
влены члены, что законно.
Подобные преобразования сделаем для
исходных рядов:
2 uh vi = lim sn Hm o„ = lim (snor„) —
0	0	n-эоо ft->oo	n-»oo
— so°o 4* (si°i — so°o) 4" • • • — uoyo 4- (woyi 4-	4- Wi^o)
= U0V0 + UoHj 4- lift + Ujllo + uov2 + ... = w0 + w1 4-	4- . ..
(6')
В предпоследнем равенстве после формального раскрытия скобок
получается сходящийся, даже абсолютно, ряд, как это выяс-
нено при рассмотрении (6). В последнем равенстве переставлены
члены в абсолютно сходящемся ряде, что законно.
Важный пример (пояснения ниже):
V Л , \ г' . , z у z2	у2 Z®
® о
2	2	3	л	л
, Z V . ZV . Р I	л । * / < д . 1 / । \О‘|
+ gr 4- -jj- 4- з| 4- • • • =14- (2 4- у) 4--2j (z 4- v)" +
4- зу (2 4- р)3 4- . • • =2
/<=0
(г 4- »)h
И
Перемножаемые ряды абсолютно сходятся для любых комплекс-
ных z и v, поэтому их можно (на основании теоремы 2) перемно-
жить, как если бы это были многочлены. При этом произведения
можно расположить в любом порядке, составленный из них
ряд абсолютно сходится. В данном случае выгодно члены-
fc! Z!
сгруппировать так, чтобы в n-ю группу попали произведения, со-
ответствующие целочисленным парам (к, I), где к + 1 = п (п —
-О, 1,2,...).
§ it.в. УСЛОВНО И БЕЗУСЛОВНО СХОДЯЩИЕСЯ РЯДЫ
425
§ 11.6. Условно и безусловно сходящиеся ряды
с действительными членами
Пусть задан ряд
Uo+Ui + w2 + ... '	-	(П
с действительными. членами. Определим для него, как в преды-
дущем параграфе, два ряда,
ОО	оо
и	(2)
о	о
(с неотрицательными членами).
Если ряд (1) абсолютно сходится, то, как мы знаем, сходятся
также ряды (2). Очевидно, и наоборот,— из сходимости двух ря-
дов (2) следует абсолютная сходимость ряда~И), потому что
\uh\ = llk +Uk-
Таким образом, для того чтобы, ряд (1) абсолютно сходился,
необходимо и достаточно, чтобы порождаемые им ряды (2) оба
сходились.
Пусть теперь ряд (1) сходится, но пе абсолютно. Тогда один
из рядов (2), пусть для определенности первый, расходится, т. е.
2 ut = °® (ведь ut > О). Но
о
п	п	 п
2 “Г = 2 ut — 2 uh.	(3)
о	о	о
Первая сумма в правой части (3) неограниченно возрастает вме-
сте с и, а вторая стремится к конечному пределу, потому что ряд
(1) сходится, поэтому левая часть (3) неограниченно возрастает
вместе с п. Таким образом, оба ряда (2) расходятся.
Заметим еще, что из сходимости ряда (1) следует, что щ->0,
а тогда, очевидно, и и£, Щ —>0.
Мы показали, что если ряд (1) сходится, но не абсолютно, то
порождаемые им ряды (2) оба расходятся, но при этом и£, Щ ().
Это утверждение можно еще переформулировать так:
1) Для того чтобы ряд был абсолютно сходящимся, необхо-
димо и достаточно чтобы ряды, составленные только из положи-
тельных и только из отрицательных его членов, были схо-
дящимися.
. " Впрочем, может оказаться, что один из этих рядов на самом
деле есть конечная сумма или вообще отсутствует.
2) Если ряд сходится не абсолютно, то ряды, Составленные
только из положительных и только из отрицательных его членов,
расходятся, а- их общие члены стремятся к нулю.
426
ГЛ. 11. РЯДЫ
Существует следующая терминология. Говорят, что ряд схо-
дится безусловно, если он сходится и любая перестановка его чле-
нов не нарушает его сходимости, и ряд сходится условно, если он
сходится, но существует перестановка его членов, нарушающая
его сходимость, т. е. делающая переставленный ряд расходящимся.
Из доказанной в предыдущем параграфе теоремы о переста-
новочности абсолютно сходящегося ряда следует, что ^-абсолют-
но сходящийся ряд сходится безусловно.
Из утверждения же 2) и теоремы, которую мы доказываем
ниже,, следует, что б) сходящийся не абсолютно ряд сходится
условно.
Из утверждений а) п б) тогда следует, что для того, чтобы
ряд сходился безусловно, необходимо и достаточно, чтобы он был
абсолютно сходящимся.
После сказанного самому понятию безусловной сходимости
можно дать другую, эквивалентную формулировку: сходящийся
ряд называется безусловно сходящимся, если ряд, полученный
после любой перестановки его членов, продолжает сходиться и
имеет прежнюю сумму.
Но перейдем к теореме, о которой шла речь.
Теорема 1 (Римана). Пусть заданы два расходящихся
оо	оо
ряда^ссь и 2 Рй с положительными членами, стремящимися к
о	о
нулю при к -> оо (аЛ -> 0.	->-0).
. Тогда, каково бы ни было 5(— °° С S оо), можно сконструи-
ровать ряд вида
«о + ai + • • • +	— Ро — • • • — РЛ' 4- a/<1+i +  • •
• • • +ал2 — Р ' — ... — Р ' + a*2+i + • • •. (4)
/fj + L	1 о
имеющий сумму S.
Таким образом, при S = +°°, —он будет расходиться. В этот
ряд входят все а* п и притом ио одному разу.
Доказательство. Пусть для определен пости S положи-
тельное число конечное. Числа < /с2 < .. ., к± < /г2 < ... под-
бираются как наименьшие натуральные числа, для которых вы-
полняются последовательно неравенства:
Ч
1) A = 2^>s,
о
2) А = А - 2Pi <S,
О
/;-2
3) А3 = A.i+ 2	> S, 4) -44 = А3 - 2 Р; <
,;.н
§ 11.7. РАВНОМЕРНАЯ СХОДИМОСТЬ
427
Возможность подобрать такие числа kt каждый раз следует из
ОО	оо
расходимости рядов У. а, и S Pj-' Теперь тот факт, что ряд (4) схо-
0	°
дится к S, следует из того, что aft, рЛ 0 Ос -> оо).
Чтобы получить теорему при S = °°, можно в правых частях
неравенств 1), 2) ... поставить вместо S соответственно числа 2,
1, 4, 3, 6, 5, ...
§ 11.7.	Последовательности и ряды функций.
Равномерная сходимость
Рассмотрим последовательность функций {/Л(х)}, определен-
ных па некотором множестве точек х — (ж15 ..., х„) «-мерного
пространства. Они могут принимать комплексные значения
(Д(х) = aft(x) + ip„(x)). Можно считать также, что х — коплекс-
ные точки (x = £ + irp, пробегающие множество Е точек комп-
лексной плоскости и тогда /Да:) — функции комплексной пере-
менней х.
Пусть для каждого хе£ последовательность {/Дх)} стремится
к числу /(х) (функции от х). Обозначим через
р„ = sup | / (х) —/„ (х) |	(1)
верхнюю грань, модулей уклонений /Дх) от /(х)7>распространеи-
ную на множество Е. Будем предполагать, что р„ для каждого п
конечно (р„ < <»).
Говорят, что последовательность {/Дх)5 равномерно сходится
на Е к J(x), если р„ - О (н ->- °°).
Дадим другое эквивалентное определение: последовательность
{/Дх)} равномерно сходится к /(х) па Е, если для любого е>0
найдется такое N, что для п > N выполняется неравенство
|/(х) —/Дх)| < е для всех № Е.	(2)
Если выполняется первое определение, то для любого е>0
можно найти такое N, что < е для всех п > N. Но тогда
1/(х) - /Дх)| С р„ < е	. (3)
для всех х е Е и п > N, т. е. выполняется второе определение.
Если же выполняется второе определение, то для любого е > О
найдется такое 2V, что для n>N выполняется неравенство (2).
Взяв верхнюю грань его левой части по хе f. получим р„
(n>N), откуда р„-> 0, т. е. выполняется первое определение.
Верно также третье (эквивалентное) определение: последова-
тельность {/Дх)} равномерно сходится на Е к /(х), если су-
ществует последовательность {а„} положительных чисел (не за-
висящих от х) такая, что ап -> 0 и 1/Дх) — fix) I С ап для всех
хе£, гг = О, 1,- 2, ....
428
гл. и. РЯДЫ
В самом деле, если верно первое определение, то, положив'
ап = р„ (n = 0, 1, 2, ...), получим третье определение. Обратно^
из третьего определения, следует
р„ = sup I /п (х) — / (х) I < осп
XSE |	I
и рп О, п -» оо.
Например, пусть функции /(ж), /„(ж) определены и непрерыв-
ны на отрезке [а, Ы. График функции у = /(х) изображен на
чертеже (рис. 11.2), Кроме того; там изображена полоска Пг
толщиной 2е	-
/(я) — е < у < /(ж) + 8 (a х С Ь),
состоящая из точек (х, у), удаленных от этого графика в Направ-
лении оси у на величину меньшую, чем 8 > 0.
Последовательность функций {/„(«)} равномерно на [в, М
стремится к /(ж), если'для любого 8>0 найдется N такое, что
все графики Г„ функций /„ с n > N попадут полностью в 7/е. •
Но могут быть такие йоследовательностп {/„(ж)}, сходящиеся
к fix) для любого x^la, &], что для некоторых е >0 по суще-
ствует такое N, чтобы графики fn(x) с n>N попадали полностью
в Пе. В этом случае мы говорим, что последовательность {/„}
сходится к / на [а, Ы. неравномерно (см. далее пример 2 и
рис. 11.3).
Можно еще дать четвертое определение равномерной' сходи-
мости в духе Коши: последовательность {/„(х)} равномерно схо-
дится на Е, если для любого е > 0 найдется такое N, что выпол-
няется неравенство
l/n+j>(x) — /„(х)1 < 8	(4)
при любых n > N и р > 0 и для всех х е Е.
Из того, что последовательность равномерно сходится в смыс-
ле второго определения, следует, что для всякого 8 > 0 найдется
такое N, что для n > N и любых р выполняется неравенство ’
. |/„+Р(х)-/„(х)|	1/„+1>(х) — /(х)1 + |/(х) — /„(х)| <2е
для всех х е Е,
§ 11.7. РАВНОМЕРНАЯ СХОДИМОСТЬ	429
т. е. выполняется четвертое определение. С другой стороны,
пусть выполняется четвертое определение; тогда для каждого от-
дельного значения х е Е выполняется, очевидно, обычный приз-
нак Коши сходимости последовательности, поэтому она сходится
к некоторой функции /(х). Зададим теперь е > 0, и подберем N
так, как указано в четвертом определении. В неравенстве (4),
где n>N фиксировано, перейдем к пределу при	в ре-
зультате получим
|/(х) —/п(х)1 в- (хе£1
откуда
р„ = sup] / (х) — /п (х) | < е,
и так как n > W можно взять любым, то р„ -» 0 (« -> «>), т. е. вы-
полняется первое определение.
Нетрудно видеть, что если а — число, а {/Дх)} и {<рДх)}—
две последовательности функций, равномерно сходящиеся на Е,
то последовательности {a/Дх}} и {/Дх) ± <pft(x>} также равномер-
но сходятся на Е. Нетрудно также видеть, что если последова-
тельность функций равномерно сходится на Е, то она равномер-
но сходится и на Е' <= Е. Обратное утверждение, вообще говоря,
не верно.
Заметим еще, что каждой последовательности функций {/„(х)}
соответствует ряд
/о(х) + (/Дх) — /Дх)) + (/2(х) — /Дх)) + ...,_
га-е частичные суммы которого соответственно равны /„(х).
Пусть теперь задан ряд
«о(х) + иДх) + иДх) + ...,	(5)
члены которого, вообще говоря, комплексные функции от х е Е,
где Е — по-прежнему некоторое множество точек «-мерного
пространства или комплексной плоскости.
По' определению, ряд (5) равномерно сходится на множестве
Е к функции 5(х), если последовательность {Sft(x)} его частичных
сумм равномерно сходится па Е к 5(х).
В частности, определение равномерной сходимости ряда, оче-
видно, можно высказать так: ряд (5) равномерно сходится на
множестве Е, если для любого в > 0 найдется такое N, что для
п > N и р > 0 и всякого х е£ выполняется неравенство
iw„+,(x) + ... + u,,+p(x)l < е.
Следующая теорема' дает важный критерий равномерной схог
димости ряда.
Теорема 1 (Вейерштрасса). Если члены ряда (5) удов-
летворяют неравенствам
|щ(х)|<а* (А: == 0, 1, ,,.),	(6)
где хе£, а ак — числа (не зависящие от ж), и если ряд с члена-
430
ГЛ. 11. РЯДЫ
ми ah сходится, то ряд (5) сходится на множестве Е абсолютно и
равномерно.
В самом деле, из сходимости ряда с членами а* и из (6) сле-
дует, что для любого е > 0 найдется такое А, что при любых
п > N и р > 0 и произвольном № Е
е > а„+1+ ... + а„+Р > |и„+((х) I + ... + I un+.p(x) I >
|ия+,(х) +... + m„+p(x)|,
а это и значит, что ряд (5), равномерно сходится па Е. Абсолют-
ная его сходимость очевидна.
Докажем лемму, которая нам пригодится в дальнейшем.
Лемма 1. Пусть комплекснозначная функция F(x), опреде-
ленная на множестве Е <= /?П; в точке х° е Е обладает следующим
свойством-, для любого е>0 можно указать окрестность Ё(х'’)с:
<=Е (например, С7(х’) есть пересечение Е с некоторым открытым
шаромУ^ с центром в х°, т. е. U (х°) = ЕУ такую, что F(x)
можно представить в виде суммы двух функций
Е(х)=/-1(х)+/<’2(х),	(7)
из которых Fi непрерывна в х° (относительно Е), a F-, удовлетво-
ряет неравенству
1Г2(х)1 <е для всех xeU(x°),
Тогда функция F непрерывна в х°.
Доказательство. Зададим е > 0 и найдем разложение (7)
и окрестность С7(х°), как это сказано в формулировке леммы;
так как функция Fi непрерывна в х°, то найдется окрестность
774(х“), которую можно считать принадлежащей Щх”} (Ui(x(')<=
U(x°)), такая, что
[ЕДх) — /'\(х°)| < е,- хеЕДх0).
По тогда
|f(x) -Г(х°)1 < |Е,(х) -ЕДх")! + |Е2(х) -Е2(х°)| <
|Е,(х) -	+. !/’2(х)| + |Е2(х°)| <
< е + е + е = Зе, х е ЕДх’),
а это доказывает непрерывность F в х".
Докажем вторую важную теорему.
Теорема 2. Если последовательность функций {/„} равно-
мерно сходится на множестве Е к функции f, и fn непрерывны
в точке х° (относительно. Е), то f также непрерывна в х°.
Па языке рядов этатеорема гласит: сумма равномерно сходя-
щегося на .Е ряда функций, непрерывных в точке х’е£, есть не-
прерывная функция в этой точке.
Доказательство. Функцию f представим в виде
/(х) = /п(х).+ [/(х) — /„(х)],
§ 11.7. РАВНОМЕРНАЯ СХОДИМОСТЬ
431
где п — некоторое натуральное число. В силу равномерной схо-
димости к / на Е существует п такое, что
|/(х) —/„(х)| < е
для всех х е Е, тем более, для всех х, принадлежащих некоторой
окрестности (7(х°)с:£ точки х°. При этом, по условию, /„ непре-
рывна в х°. Но тогда па основании доказанной леммы и функция
/ непрерывна в х°.
Приведем еще более топкие признаки равномерной сходимо-
сти рядов, основанные на применении к ряду так называемого.
преобразования Абеля (аналога операции интегрирования по
частям).
Рассмотрим ряд
Ио^О +	+ «2^2 + . •	(8)
где ctt, fik — функции от х е Е (пли постоянные числа).
Положим Bh = j}„+1 + р„+2 +...+ и к усеченной сумме ря-
да (8) применим преобразование (Абеля):
^и+1Рл+1 4" • • ' “Г +р^п4-р ~
--°C+i^i + aii+2(^2—^i)4~ • • • _1~0£'м+р(^р—^р-1)=(а«+1—ап+з)
4" (а«+2 ~ а?1+з) ^2 4* • • • + (Кп+р-1 — Яп+р) ^р-1 + ССп+рВр =*
р-1
:== (<Xn+ft	Т-Л + 1)	“Ь ®fl+p^p-	(9)
Л—I
Легко теперь установить следующие два критерия равномер-
ной сходимости (в случае постоянных осА, ф, — просто сходимо-
сти) ряда (8).
Теорема 3 (признак Дирихле равномерно й схо-
димости ряд а). Если частные суммы ряда
Ро+^ + ^ + ...	(10)
ограничены в совокупности, а действительная функция ак(х)
(с возрастанием к) равномерно (относительно х) на Е стремится
к нулю, убывая, то ряд (8) сходится равномерно.
В самом деле, пусть константа М превышает модули частных
сумм о„ ряда (10). Тогда при любых п и к,
\Bk[ = |о„+А — o,J s£ !о„+4 + 1о„|	2М.
Поэтому в силу (9) и того факта, что а„ равномерно стремится
к пулю, убывая, выполняется неравенство
р	р-н
xL Р»+й ^4 2Л/	{<xn^.h	ссп_|_,[.р1) 4~ (хп_].р2Л/ — 2A[an^i <Z е,
1	k—i
для любых п > N и р и любых х е Е, если только N достаточно
велико. Следовательно, ряд (8) равномерно сходится. Последнее
432
гл. 11. РЯДЫ
неравенство в этой цепи верно для всех х е Е в силу равномер-
ного стремления ап+1(х) к нулю:
Теорема 4 (признак Абеля равномерной сходи-
мости ряда). Если действительные функции оц монотонно убы-
вают (с возрастанием к) и ограничены в совокупности, а ряд- (10)
равномерно сходится на Е, то и ряд (8) сходится равномерно на Е.
В самом деле, пусть М~> 1оц| (А = 0, 1, (функции щ мо-
гут быть и отрицательными!). В силу равномерной сходимости ря-
да (10) для любого е>0 можно указать такое N, что <е
для любых п > N и к. Поэтому в силу (9) и монотонности аг для
любых ,п > N и р .
р	I	р-i
2	OLn+k Рл+л I	е (®«+л	®n+fe+i) ~Ь е I о^п+р I =
1	I	А=1
— в (®п+1 а-х+р) ~Ь е I 00i+p |	ЗеЛГt
т. е. ряд (8) равномерно сходится.
Пример 1. Ряд
1+ (ж-1) + (х2-х) + (z3-z2) + ... (Ossrsgl)	(II)
сходится на отрезке [0, 1], по неравномерно. В самом деле, n-я его частич-
ная сумма равна Sn (х) — хп и
.(1 (,г=1),
lim Sn (х) = 5 (л-) =
п-»оо	(.0  (0 а" 1).	• .
Поэтому р„ = sup 15 (х)— 5 (х) | = sup | хп | =1, и р„ не стремится к
х=[о,1Т	. 1	хе[о,1)
пулю при и-еоо.
С другой стороны, ряд (11) равномерно сходится на любом отрезке
[0, д], где .0 < q < 1, так как в этом случае	z
р„ = sup I S (х) — Sn (.г) I = sup I хп I = qn -► 0	(п -+ оо).
,	xS[0,<z]	XS[O,9]
Сумма ряда (И) разрывна в точке х = 1, хотя члены ряда—непрерыв-
ные функции па [0, 1]. Ото показывает, что сумма неравномерно сходяще-
гося ряда непрерывных функций не обязательно есть непрерывная функ-
ция. Однако существуют неравномерно сходящиеся ряды (последователь-
ности) непрерывных функций, сходящиеся к. непрерывным же функциям,
как показывает следующий пример.
Пример 2. Пусть (рис. 11.3) функция
(0
fn^[n
при
при
х — 0 п 1 /п х 1,
х — l/2'n
(12)
линейна и непрерывна на [0,1/2п] и [1/2п, 1/п]. Очевидно, limfn(z) =0
П-»м
(0<г< 1).
С другой стороны, сходимость на отрезке f0, 1] неравномерна, потому
чтор„ = sup I fn (.?) — 0 I = п -> оо. На всяком же отрезкб [е, 1] сходи-
.TS[0,l]
мостр равномерна, потому что fn (х) = 0 на [е, 1] при п > 1/е.
§ 11.8. ИНТЕГРИРОВАНИЕ И ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИЕ
433
Пример 3. Ряды
V cos кх
~ ka
sin кх
ка
(а>0)
(13)
при а > 1 равномерно и абсолютно сходятся на всей действительной оси
(—оо < х < оо), потому что абсолютные величины их к-х членов нс пре-
вышают к~а, а при а > 1 ряд 2 к~а сходится. В этом рассуждении мы
применили признак Вейерштрасса. При а 1 он уже не применим, так
как в этом случае ряд У, к~а расходится. Однако при 0 < а 1 наши
ряды равномерно сходятся на отрезке [е, 2л — в], каково бы ни было поло-
жительное е, где 0 < е < 2л — е < 2л. В самом деле, частные суммы рядов
+ cos х cos 2х -|- cos Зх +..., sin х sin 2х
соответственно равны (см. примеры в конце § 8.2)
(n = 1, 2, ...).
Они ограничены в совокупности на [е, 2л — е]:
|Dn(;i:)|<2sin(e/2)’ I Кп W I < Sin (е/2) (я-1,2,...);
кроме того, п~а (ге + 1)_“ и п-“-еО, поэтому по признаку Дирихле ря-
ды (13) равномерно сходятся на [е, 2л — в].
§ 11.8. Интегрирование и дифференцирование
равномерно сходящихся рядов на отрезке
Теорема 1. Пусть на отрезке [а, 6] задана последователь-
ность {fn} (комплекснозначных) непрерывных функций, сходя-
щаяся к функции f. Если сходимость равномерна на [а, Ь], то
lim 'f fn (1) dt =. j* / (1) dt	(1)
jwoo a 'a
равномерно на [a, bl. В частности (при x=b),
ь	ь
lim [ fn (t) dt = [ f (1) dt.	(2)
ZWOO -a	-a
Доказательство. Из условий теоремы следует (см. § 11.7,
теорема 2), что предельная функция / непрерывна на [а, Ь] и
max \fn(t) — /(1)| = rn->0 (n->oo).
434
гл. и. РЯДЫ
Поэтому
X	X
J /п (0 dt — J / (i) dt
а	а
b
/п (0 — f (0 dt < У rn dt= (b — a)
a
где правая часть пе зависит от х и стремится при п -> °° к пулю,
а это доказывает теорему.
Теорема 2. Равномерно сходящийся на отрезке [а, 6] ряд
(комплекснозначных) непрерывных функций
Six') — щ(х) 4- и,(х) + и,(х) 4-...	(3)
можно почленно интегрировать (а С хй < Ь):
XXX
j S(t) dt = J u0 (t) dt + ur(t) dt +...	(4>
V Л.-0	A'()
Полученный при этом ряд (4) равномерно сходится на 1а, /Я.
В частности,
ь	ъ	ь
j S(t) dt = j u0 (t) dt 4- f «j (t) dt 4- ...	(5)
a	a	a
Доказательство. По условию сумма
'	‘	п
Sn (х) = 2 “л (х)
° \
равномерно сходится к S(x) на [а, &].. Поэтому на основании
теоремы 1 выполняется равенство
X	х	п X
j" S(t) dt = lim f Sn(t)dt = lira У, ( Uk(t)dt
L*	n-»oo ..	?j—»oc A—0 у
Л0	x0 _
равномерно относительно x<^(a, &]. Это показывает, что ряд (4)
сходится равномерно относительно x^la, 61.
Теорема 3. Пусть на отрезке la, /Я задана последователь-
ность (комплекснозначных) функций {/„}, имеющих непрерывную
производную. Если она сходится в точке х„ е [а, 6] и, кроме то-
го, соответствующая последовательность производных {fn] равно-
мерно сходится на отрезке [а, Ь] к функции <р, то последователь-
ность {/„} тоже сходится равномерно на этом отрезке к некото-
рой функции j и
/'(х) — <p(z), х&(а, Я.	(6)
Доказательство. Имеют место равенства
X	'
Al (ж) = fn (х9) 4- J fn (t) dt (п = 0, 1, 2, ..., х^ [я, Ь]), (7)
х0
потому что функции /„ непрерывно дифференцируемы па [я, Ы.
§ 11.8. ИНТЕГРИРОВАНИЕ И ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИЕ
435
По условию существует предел
lim fn (х0) = А,
п-»со
который мы обозначаем через А. Так как fn (t) Ф (t) при п-*<»
равномерно на [a, ЭД и функции /п(0 непрерывны, то и cp(i) не-
прерывна на [а, ЭД (см. § 11.7, теорему 2) и, кроме того, (см. тео-
рему 1,)
lim f fn (<) dt = J ф (t.) dt
И'*°° x0	x0
равномерно на [а, ЭД. Но тогда правая часть (7) при п -*• °° рав-
номерно на [а, ЭД стремится к некоторой функции /(х), определя-
емой равенством
f(x) — А 4- cp(f) dt, х^ [а, ЭД.	(8)
Таким образом, fn(x) -*• fix) при п -+ <» равномерно на [а, ЭД. Ес-
ли учесть, что ф(0 непрерывна на [а, ЭД, то из равенства (8)
следует, что (см. § 9.9 (2)) /(х) имеет производную па отрезке
.[«, ЭД, равную ip(x), т. е. выполняется равенство (6).
Теорема доказана.
Отметим следствие из теоремы 3.
Следствие. Если функции fn(x) непрерывно дифференци-
руемы на (а, ЭД, п = 1, 2, ..., п, и выполняются свойства fn(x) -*•
—>-/(х), fn (х) -> ф (х), п-+<х>, равномерно на [а, ЭД, то
fix') — q>(x),	ЭД.
На языке рядов теорема 3 имеет следующий аналог:
Теорема 3'. Пусть на отрезке [а, ЭД задан ряд
и^х) + и,(х) + и2(.х) + ...	(9)
(комплекснозначных') функций, имеющих непрерывную произ-
водную.
Если ряд (9) сходится в некоторой точке х0 е [а, ЭД и, кроме
того, формально продифференцированный ряд
ий (х) + щ. (х) 4- и2 (х) 4- ...	(10)
равномерно сходится на [а, ЭД, то ряд (9) равномерно сходится
на [а, ЭД, и производная от его суммы Stx) есть сумма ряда (10).
Таким образом,
S(x) = и0(х) 4- ujx) 4- и2(х) 4- . ..,	(И)
5'(х) = и'о (х) 4- Wi (х) 4- и2 (х) 4- ... (а<х<;ЭД (12)
28*
436
ГЛ. И. РЯДЫ
Доказательство. Пусть и<>(х) + ... + un(x) — Sn(x), тогда
и'о (х) 4-... + ип (х) Sn (х).
На языке сумм Sn и Sn условие теоремы 3' гласит: сущест-
вует предел lim Sn {х0), и последовательность’непрерывных про-
П->оо
изводных (5п(а;)] сходится равномерно на отрезке [а, Ы. Но
тогда по теореме 3 последовательность {Sn(x)}, а вместе с пей
ряд (11) сходится равномерно на этом отрезке к некоторой диф-
ференцируемой функции Six) и производная S'(x) = limSn(x)r
- П->оо
т. e. S'ix), есть сумма ряда (12).
Пример 1. Рассмотрим ряд
„	( «л \
” С os I кх + Т I
ла W = У --------= !’ 2-  •	О
При а четном это ряд вида
оо
«> +2~
1 *
а при ос нечетном — вида
00
«) +2^4
ка
d ( ал 1	(	л V
Так как cos \кх ~ cos \^х (а — 1) гу)» т0 Ф°Рмальп°
d
Аа (а:) = -	(z).	(14)
Но это равенство верно и по существу при a = 3, 4, ... для любого дейст-
вительного х, а при а = 2 — при любом действительном
т=Л2*л (А = О, ±1, ±2, ...),	(15)
что следует из теоремы 3 и разобранных в примере 3 § 11.7 свойств рядов
а), б). При доказательстве равенства (14) при a = 2 для какого-либо фик-
сированного х, удовлетворяющего неравенствам (15), берем отрезок [а, 6],
содержащий строго внутри точку х, но не содержащий точки вида 2А:.т
(к = 0, ±1, ...). На [а, Ь] оба ряда (13) при a = 1, 2 сходятся равномер-
но, что дает возможность применить теорему 3.
Пример 2. Пусть функция
/„(*) =
(16)
— линейная и непрерывная на [0, 1/2п] и [1/2и, 1/ге], где а„—любая по-
следовательность чисел. Тогда, очевидно, 1 im fn (z) = 0 для всех
§ 11.8. ИНТЕГРИРОВАНИЕ И ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИЕ
437
х е [0, 1], а
1	1'2п	Г'п
С	С	f	fl	'l	ап
I fn (х) dx — I 2nanx dx — i 2naft y— — xj dx =
о	о	'/tn
Очевидно, далее, что
rn = sup | / (x) — 01 = an.
Последовательность {fn(x)} равномерно сходится на [0, 1] тогда и только
тогда, когда ап ->-0. Равенство
1	\
j* fn	(ж) dx	j	f(x) dx (/ (x) = 0)	(17)
о	0
XA«
выполняется тогда и только тогда, когда -—->-0 (п -> оо).
Мы видим, что из равномерной сходимости /„ к / = 0 на [0, 1] следу-
ет сходимость интегралов (17), что согласуется с теоремой 2. Но последо-
вательность {/„} может сходиться неравномерно, в то время как свойство
(17) все же соблюдается, например, при ап = 1. Но уже, например, при
ап = п последовательность {/„} не только сходится к нулю неравномерно,
но и свойство (17) не соблюдается.
Пример 3. Из равенства (1 — z)-1 = 1 + z + z2 + ... (z = peie, p <
<Z 1) следует, что
2 (1 — peiH) ~ 2 + pe + pe -r
П отделяя действительную и мнимую части, получим
7>р(0) = т,-------Р . a = t + pcos0 + р2 cos 20 + ...,
р - 1 — 2р cos 0 + р z
О- (О) = --Р 8|'П-в-- _	. g 2 j 20 .1, _
1 l-2pcos0+p2 r
Функция Pp(0) называется ядром Пуассона, а ()p(0) — ему сопряженной,
функцией.
Упражнение. Показать, что Рр(0) и <?р(0) — гармонические функ-
ции (для р < 1), т. е. удовлетворяют дифференциальному уравнению Лап-
ласа (Ди — 0; см. § 7.26, (15) и (17)). Для этого проверить, что pn cos л0
при любых п и р 0 — гармоническая функция и применить теорему о по-
членном дифференцировании равномерно сходящихся рядов (то же для
pn sin «0).
Пример 4. Будем исходить из равенства
TZ77 = 1 -х + ?- ... (—1<х<1),	(18)
где ряд справа есть сумма убывающей геометрической прогрессии со зна-
менателем (—х).
На основании теоремы Вейерштрасса ряд (18) равномерно сходится на
любом отрезке [—?, ?], где 0 < q <; 1, потому что на этом отрезке
|(—l)ftxft|^g и 2<?*!<'00'
438
гл. и. РЯДЫ
Поэтому в силу теоремы 2 ряд (18) законно проинтегрировать на
[О, ж], где же [—з, з]:
(* dt	х~ .г3
1п(1+.г)= j-r^7==z--5-4-—(19)
в
Так как положительное число q < 1 произвольно, то равенство (19)
справедливо для всех х е (—1, 1).
При х = —1 обе части (19) не имеют смысла. Однако при ж — 1 они
имеют смысл: левая часть равна In 2, а правая есть сумма сходящегося ря-
1 1
да 1 — 2 +з" — • • • Возникает вопрос, верно ли равенство
‘ ’I 1
1п2=1-2- + 5--...
и, таким образом, верно ли равенство (19)- не только на интервале (—1,
+1), но и на полуинтервале (—1, +1].
Покажем, что это так. Ряд (19) на самом деле равномерно сходится на
всем отрезке [0, 1]. Это .следует из признака равномерной сходимости Абе-
ля (см. теорему 4, § 11.7).
Действительно, общий член ряда (19) можно записать в виде
(-i)ft-1 —=	=	№ =	...)•
При этом числовой ряд 2 сходится. Но его можно рассматривать как
равномерно сходящийся ряд постоянных функций. G другой стороны, функ-
ции = ж* ограничены (|жй |	1, ж е [0, 1]) и образуют при возрастании
к монотонную последовательность.
Итак, ряд (19) равномерно сходится на [0, 1]. Его члены непрерывные
функции, поэтому его сумма есть некоторая непрерывная на [0, 1] функ-
ция, которую мы обозначим через ф(ж).
Возникла следующая ситуация. Функция ф(ж) и In (1 + ж) непрерыв-
ны на [0, 1] и совпадают на [0, 1]. Тогда, очевидно, они совпадают при
1 1
ж = 1 тоже, т. е. In 2 = ф (1) = 1 — <> +д- — ....
Другое доказательство этих фактов было дано в §§.5.10, 5.11.
§ 11.9.	Кратные ряды.
Перемножение абсолютно сходящихся рядов
Выражение
22^,	(1)
fc=0 /=о
где ак1 — числа (действительные или комплексные), зависящие
от пар индексов к, I — 0, 1, 2, ..называется двойным или дву-
кратным рядом. Числа называются членами, а числа
m п
smn = 2 2 ам (m, n = 0,1, 2, ...)	(2)
fc—0 1—0
- частичными суммами ряда (1).
§ 11.9. КРАТНЫЕ РЯДЫ. ПЕРЕМНОЖЕНИЕ
439
По определению, ряд (1) сходится к числу 5, называемому
суммой ряда (1), если существует
lim Smn = S,	(3)
т,п-+<х>
т. е. если для любого е > 0 найдется такое 2V, что
IS —Sm„l < е
для всех т, n>N. В этом случае пишут
ОС оо
s= 22^
h—o 1=0
Остановимся на случае, когда члены ряда (1) неотрицательны
(аи > 0). Положим ,
Л = sup Smn.	(4)
m,n
Если Л < оо — конечное число, то для любого е > 0 найдется
пара т0, п0 такая, что Л — е < Smono^ Л, а вследствие неотри-
цательности ам
Smo„oCSm„, т, п> N — max (m0, п0).
Поэтому Л — е < Smn < Л + е, т, п> N, и существует предел
11Ш Smn == S = Л.
m,n-»oo
Если же Л = °0, то, очевидно (при ак1 > 0!), lim ’Smn = S= оо.
m,n-*oo.
В этом случае пишут
ОО оо
2 2 aki = °°-
11=0 Z=o
Ряд (1) называется абсолютно сходящимся, если сходится ряд
ОО оо
22 \aki |. Как и в случае обычных рядов, доказывается (прибе-
Л=0 1=0
гая к условию Коши), что абсолютно., сходящийся ряд сходится.
Наряду с рядом (1) можно рассматривать еще выражение
ОО
2 «м
1=0
которому естественно приписать число А (если только оно су-
ществует), получаемое следующим образом: если для каждого
к = 0, 1, ... ряд, заключенный в скобки, сходится и имеет сум-
ОО
му Л^ и ряд 5 А сходится к числу Л, то полагаем
о
ОО	оо / оо	\
л == 2	— 2 12 ам )•	(5)
11=0	Л=0 \1=0	/
оо /
2
л=о \
440
гл. н. РЯДЫ
Теорема 1. Если ряд (1) абсолютно сходится, гр имеет
место равенство
5 2 ац = 2 ( 2 «м .	(6)
А=о 1=о	к—о \ 1=0	/
Доказательство. Допустим сначала, что ам неотрица-
тельны. Пусть левая часть (6) (имеющая смысл!) равна числу 5.
Для любых неотрицательных s и п при s С тп
П	ГП П
2 a>i	2 2	(7)
1=0	Л=0	1=0
оо
откуда ряды 2 asl(s = 0,1,2, ...) сходятся; поэтому, если во
втором неравенстве зафиксировать m и перейти к пределу при
п оо, получим, что
тп / оо \
2 I 2 ам)	*5
л=о\I—о	/
для любого т, откуда
и тот факт, что А S.
следует существование числа А (см. (5))
С другой стороны, если число А конечно, то при любых тп, п
1П П	тп	/ оо	\
Smn ~ 2 2	2	( 2	I
Л=0 1=0	А=0	\ 1 — о	/
п потому
S ~ sup5mn^ А.
т,п
Равенство (6) при aw > 0 доказано.
Пусть теперь ак1 действительны. Положим
+ f«Ai	_ I—a/ii (а/аг^О),
afti = l0 (а«<0), aw = ( 0 (aft; > 0).
Тогда
= «М — «ЛЬ «М + «Л1 = | akl I •
Поэтому из сходимости ряда 22|«л/| следует сходимость рядов
22 «ЛЬ 22 aki с неотрицательными членами и потому
2 2 ам = 2 2 ам 2 2 ам ~
(= 2 (2 ам) — 2 (2 ам) = 2 (2 ам j.
Наконец, если аи = aw + фм — комплексные числа и ряд
221 aki I сходится, то сходятся также ряды 221 ®А1 I, 22|₽Л1 |>
§ 11.9. КРАТНЫЕ РЯДЫ. ПЕРЕМНОЖЕНИЕ
441
где aw и — действительные числа, поэтому
2 2	= 2 2 ahi + i 2 2 Рлг =
=?(? ocftij + I 2 (2 ₽ы) = 2 (2 aki^-
Теорема доказана полностью.
Рассмотрим еще новый вопрос. Пусть задан двойной ряд (1),
сходящийся и притом абсолютно. Его сумму 5, так же как сум-
му S' ряда, составленного из абсолютных величин его членов,
можно записать в виде пределов последовательностей
п п	пп
S ~ lim 2 2 ам = lim Snn, S' = lim 2 21 ahi I == И™ Snn,
П-9СО 0 0	7Woo	n-*oo 0 0	n-*oo
обычных, зависящих только от одного индекса п. Последователь-
ностям {Snn}, {Sпп} соответствуют сходящиеся ряды
5 = «оо + («10 + «И + «01) +
”1“ («20 “Ь «21	«22	«12	«02) “Ь («30 + ...) + ...,	(8)
|аОо! + (кц>1 + knl + I «oil) +
+ (l«2ol + I «211 + kill + kill + koa I) +. • . (9)
с членами, равными суммам чисел, стоящих в скобках. Но в скоб-
ках второго ряда стоят неотрицательные числа, поэтому сходи-
мость его не изменится, если в нем скобки вычеркнуть:
kool + kiol + kail + k2ol +• • .	(10)
Но тогда ряд
«00 +.«10 Н" «01 + «20 + . • .,	(11)
полученный вычеркиванием в (8) всех скобок, абсолютно сходит-
ся, следовательно, сходится, очевидно к 5.
Мы доказали, что если двойной ряд (1) сходится к числу S
и притом абсолютно, то полученный из него обычный (однократ-
ный) ряд (11) сходится тоже к S и тоже абсолютно. Но члены
абсолютно сходящегося ряда можно переставлять как угодно, не
нарушая его сходимости и не изменяя суммы.
Этим доказана следующая теорема:
Теорема 2. Если, члены двойного ряда (1), сходящегося к
числу S и притом абсолютно, перенумеровать любым способом
(i?o, vt, v2, ...) при помощи одного индекса, и составить ряд
к,, + и, + и2 + ..., то последний будет сходиться к тому же числу
S (абсолютно').
В заключение заметим, что можно рассматривать трех-, че-
тырех- и вообще n-кратные ряды
ОО ОО ОО	00	оо
22 2 «А Ни» • • • •> 2 ... 2 Щ,, ... 1
Ml=0m=0	fej=0	>‘п0
Для них могут быть доказаны по аналогии теоремы, аналогич-
ные теоремам 1—3.
442
гл. и. РЯДЫ
§ 11.10. Суммирование рядов и последовательностей
методом средних арифметических
Пусть задан числовой ряд
На + И, + U2 + . . .
Положим
Sn = Но + Hi + иЛ-... + и„,
S п -j- S .	Sn
°n=i-------7+1--------- (« = 0,1,2,...).
(1)
(2)
.(3)
По определению, ряд (1) (или последовательность {5„1) сум-
мируется методом средних арифметических к числу о, если суще-
ствует предел
lim 0п = а.	(4)
П->0О
Теорема. Если ряд (1) сходится к числу S, то он суммиру-
ется методом средних арифметических и притом к тому же чис-
лу S.	-
Доказательство. Пусть ряд (1) сходится; тогда суще-
ствует такое М > 0, что
’ 15,1^ М (у = 0,1,...),
(5)
и такое достаточно большое натуральное и, которое мы будем
считать фиксированным (а к, и в дальнейшем р — переменными),
что
I5n+ft-51 < е (Zc = l, 2, ...).	(6)
Имеем, далее,
5 Оп-ьр“
откуда, учитывая, что -	р (й'+р +!)"’ получим
15 - an+p I < е + --^±.1^ м + -Дутр м <е+е+е==3е (р>р0).
если ра достаточно'велико. Следовательно, о„+р -► 5 (рили,
что все равно, о,-»- 5 (j -> оо), т. е. теорема верна.
Пример. Ряд 1 — 1 +1 — ... расходится, но он суммируется к числу
1/2 методом средних арифметических.
§11.11. СТЕПЕННЫЕ РЯДЫ
443
§ 11.11. Степенные ряды
Ряд вида
а0 +а^ +a2z2 + ...,	(1)
где ak (к = О, 1, 2,...) — постоянные, вообще говоря, комплексные
числа, a z — комплексная переменная, называется степенным ря-
дом с коэффициентами ak.
В теории степенных рядов центральное место занимает следу-
ющая основная теорема.
Теорема 1 (основная). Для степенного ряда (1) суще-
ствует неотрицательное число R, конечное или бесконечное (0^'
^2?^ ос), обладающее следующими свойствами:
1) ряд сходится, и притом абсолютно, в открытом круге
|z| <R и расходится в точках z с \z\ > R,
2) число R определяется по формуле
R = ——1------,	(2)
limZRJ
71—*ОС
где в знаменателе стоит верхний предел (см. § 3.7).
Мы позволяем себе при этом считать, что 1/0 — <» 1/<» = 0.
Таким образом, если указанный верхний предел равен 0, то
R — оо, если же он равен °°, то R — 0.
Открытый круг |zl <R называется кругом сходимости степен-
ного ряда. При R — °° он превращается во всю комплексную плос-
кость. При R — 0 степенной ряд имеет только одну точку сходи-
мости, именно, точку z = 0.
Замечание 1. Число R, удовлетворяющее утверждению 1)
теоремы 1, очевидно, единственно.
Замечание 2. Если для степенного ряда (1) существует
обычный предел lim V | ап |, то он равен верхнему пределу
п-*ос
lim ап |. Поэтому в этом случае
U—* ОС
R = 1 /lim 1/| ап |.
/ п~»оо
Читатель, пе ознакомившийся с понятием верхнего предела,
может проследить за ходом доказательства теоремы 1, предполо-
жив, что для рассматриваемого степенного ряда указанный предел
существует. В этом случае всюду в проводимых ниже рассужде-
ниях надо заменить lim на lim.
Доказательство теоремы 1. Пусть число R опреде-
ляется по формуле (2). В точке z — О степенной ряд сходится,
поэтому теорема при z == 0, I zI = 0 < R, верна.
444
ГЛ. 11. РЯДЫ
Будем далее считать, что |zl >0. Наряду с рядом (1) введем
второй ряд, составленный из его модулей,
.|а0| + |щг! + |a2z2l + ....	(!')
Общий член второго ряда обозначим через
u„ — \anzn\ (п = 0,1, 2,...).	(3)
Согласно обобщенному признаку Коши сходимости ряда (см.
§ 11.3 теорема 3,в)), еслиlim v'lln<Z 1,то ряд (!') сходится, если
П~*0О
же lim |/“п>1, то ряд (1) расходится и его общий член не ог-
раничен. Но
lim = lim у/1 anzn | = lim (|z | ]/|an|) =
= I z I lim ]/| an | — I z [//?.
Здесь мы вынесли за знак верхнего предела конечное число
|z| >0 (см. § 3.7, теорема 6).
Из сказанного следует:
Если |z|<7?, т. е. Iz|//?<1, то ряд (!') сходится, а вместе
с ним сходится, и притом абсолютно, ряд (1).
Если же !z| > R, т. е. \z\/R> 1, то ряд (1) расходится и его
общий член |a„z"| не ограничен, поэтому общий член ряда (1)
a„zn не стремится к нулю при п -> °° и для него не выполняется
необходимый признак (см. § 11.1 (4)). Это показывает, что ряд
(1) расходится.
Итак, мы доказали, что определяемое из равенства (2) число
R обладает следующим свойством: если |z| <R, то ряд (1) схо-
дится, если же l-z| >R, то ряд (1) расходится.
Основная теорема доказана.
Будем в дальнейшем дЛя краткости обозначать через щ замк-
нутый круг I z I < q комплексной плоскости. Заметим, что наш
степенной ряд сходится на открытом круге |z| <R, вообще гово-
ря, неравномерно. Однако, верна следующая теорема:
Теорема 2. Степенной ряд (1) абсолютно и равномерно
сходится на любом круге о9 = {z: I z I q}, где q < R, a R — радиус
сходимости ряда (1).
Доказательство. В самом деле, пусть q<R, тогда q
есть действительная, т. е. лежащая на оси х, точка, принадлежа-
щая открытому кругу сходимости ряда (1). Поэтому в этой точке
оо
наш степенной ряд абсолютно сходится, т. е. 21ап?п|<°о.
С другой стороны,
|a„zn| С |а„ди| (га = 0,1, 2,...),	z<=o3.
§ ll'.ll. СТЕПЕННЫЕ РЯДЫ
445
Так как правые части этих неравенств не зависят от zs
и ряд, составленный из правых частей, сходится, то по признаку
Вейерштрасса (см. § 11.7, теорема 1) степенной ряд (1) сходится
на о, абсолютно и равномерно.
Из теоремы 2 как следствие вытекает
Теорема 3. Сумма
s(z) = а0 + atz + a2z2 +...
степенного ряда есть непрерывная функция на его открытом
круге сходимости |z| </?.
В самом деле, члены нашего ряда — непрерывные функции
от z, а сам ряд равномерно сходится на круге о9, q<R. Следова-
тельно, по известной теореме из теории равномерно сходящихся
рядов (см. § 11.7, теорема 2) сумма ряда s(z) есть непрерывная
функция на но тогда и на всем круге |z| <R, потому что
q<R произвольно.
Для вычисления радиуса сходимости степенного ряда в нашем
распоряжении имеется формула (2), но часто на практике при
вычислении R удобно бывает воспользоваться признаком Далам-
бера.
Пусть существует предел (конечный или бесконечный)
lim | ап+1/ап |,	(4)
п-*оо
который мы пока обозначим через 1/7Л. Тогда (см. (3))
lim = Rm | g"+1Z^ । = | z | lim ^±1
n-»oo un	|	|	an
I g I
V
и, согласно признаку Даламбера (§ .11.3, теорема 2), если lz| <
</?!, то ряд (!'), а вместе с ним и ряд (1), сходится, если же
Izl >Й1, то |и„1	°° и ряд (1) расходится.
Но число R с такими свойствами может быть единственным,
поэтому Ri~R (см. теорему 1).
Итак, мы доказали, что если существует предел (4), то он
равен i/R:
lim | ап+1/ап | = i/R,
n~*OO
(5)
где R — радиус сходимости степенного ряда (1).
Заметим, что мы окольным путем доказали, что если предел
(4) (конечный или бесконечный) существует, то он равен верхне-
му пределу lim;/1 ап |. На самом деле имеет место более сильное
утверждение, которое доказано в § 11.3 (замечание 2): существо-
вание предела (4) (конечного или бесконечного) влечет за собой
существование равного ему предела limy |ап|.
446
ГЛ. It. РЯДЫ
Замечание 3. В учебной литературе (также как в первом
и втором изданиях нашего курса) обычно начинают изложение
степенных рядов с теоремы Абеля, которая гласит:
Теорема Абеля. Если степенной ряд (1) сходится в точ-
ке z„ ¥= О комплексной плоскости, то он сходится абсолютно и
равномерно в замкнутом круге |zl sS q, где q — любое число,
удовлетворяющее неравенствам 0< g< lz0|.
Доказательство. Эта теореме теперь уже является след-
ствием из теорем 1 и 2. В самом деле, так как z0 есть точка схо-
димости ряда (1), то I z01 не может быть большим, чем R. Поэтому
Izol R, 0 < q < |zoi sj R и q<R. Но тогда по теореме 2 степен-
ной ряд (1) сходится на круге I z I «S q абсолютно и равномерно..
Примеры.
1 + Z + Z2 + . .	(6)
Z Z2
1 + 7а + ^+--- <«>0),	(7)
1 + z + 2!z2-f-3!z3-f- ...,	(8)
z z2 z3
1 4- 1 + 2! + 3! + • • •	(9)
С помощью формулы (2) заключаем, что радиус сходимости рядов (6)
и (7) равен 1; для ряда (8) он равен 0 и для ряда (9) равен оо.
Сумма ряда (6) (геометрической прогрессии) в открытом круге |з| <
< 1 равна (1 — г)-1, а остаток
n+i
rn(z)=------->0 (n —► со).
1 — z
Однако сходимость на указанном круге неравномерна. Неравномерность
сходимости имеет место уже для положительных z = х на интервале 0 <
< х < 1; неравенство
при любом заданном п нельзя удовлетворить для всех указанных х.
Ряд (7) при а > 1 равномерно сходится на замкнутом круге |z| cj 1
ого сходимости, так как
zh/fc“<A:_a и 2*“a<°° dzld).
Если же 0 < a 1, то в точке z = 1 ряд (7), очевидно, расходится.
Остальные точки z с |z| = 1 запишем следующим образом: г — eie,
О < 6 < 2л,
z” = е>"9 = cos пв + i sin «0
и
+ IM* ii + IM* 3 §  +	оо . V* sin п0 А п« ' п~1 п
§ 11.12. ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИЕ И ИНТЕГРИРОВАНИЕ
447
Оба полученные ряда (по косинусам и по синусам) для 0 < 0 < 2л
сходятся (см. § 11.8 пример 3). Таким образом, ряд (7) сходится во всех
точках окружности | z | =1, кроме z = 1.
Ряд (8) сходится только в точке z = 0, а ряд (9) схдоится во всех точ-
ках z комплексной плоскости, притом равномерно на любом круге |z|
< оо.
§ 11.12. Дифференцирование и интегрирование
степенных рядов
Теорема 1. Радиусы сходимости степенного ряда
а0 + «12 + a2z2 + ...	(1)
и ряда, полученного из него формальным дифференцированием
a, 4- 2a2z + 3«3z2 + ...',	(2)
совпадают.
Доказательство. Пусть R есть радиус сходимости ряда
<1), а 2?! — радиус сходимости ряда (2). Тогда (см. § 3.7, теоре-
ма 6)	•
4- = Tim	= lira n 4-1, j/1 an | ) =
= lim yz«4-1 • lim }/]aM |
и R ~ Ri.
Теорема 2. Степенной ряд
f(z) — «о 4- ay 4- ауг + ...	|z| < R	(3)
законно формально дифференцировать в пределах его (.открытого)
круга сходимости |z| < R, т. е. верна формула
f'(z) = «1 4- 2a2z 4- 3a3z2 4-...,	|z| <R.	(4)
Доказательство. Эту теорему мы докажем сначала в
предположении, что z — х есть действительная переменная; это
даст нам возможность свести вопрос к хорошо известному факту
из теории действительных рядов. Итак, степенной ряд (3) для
действительной переменной z — х имеет вид:
j(x) — а0 4- aix 4* агх? 4-...,	— R<x<R.	(ЗЭ
Этот ряд теперь уже имеет не круг, а интервал сходимости
(~R,R).
Соответствующий формально продифференцированный • ряд
имеет вид
<р(.г) — щ 4- 2azx 4- З«3ж2 4-...	(4')
Его сумму мы пока обозначили через срСг). Он сходится на ин-
тервале (—Я, R) на основании предыдущей теоремы,
448
ГЛ. И. РЯДЫ
Оба ряда, как мы знаем, равцомерно сходятся на отрезке
[—q,q\, где q < R. При этом члены второго ряда непрерывны и
являются производными от соответствующих членов первого. По
тогда на основании известной теоремы из теории равномерно схо-
дящихся рядов (см. § 11.8, теорема 3) выполняется равенство
д>(ж)=/'(т)	(5)
на отрезке [—q, g], следовательно, и на интервале (—R, R), пото-
му что q<R произвольно.
Переходим к доказательству теоремы в общем случае — для
комплексного z. Оно, конечно, годится и для действительных х.
Пусть z — произвольная точка круга
lz|<7?
и число (конечное!) Z?i удовлетворяет неравенству
|z| <RX<R.
Будем рассматривать только такие комплексные h, для которых
|й| <Я4- |z| =б.
Тогда
\z + h\ <Rt
и
//г + ^~/(2) = «1 W + сс2(h) + ...,	(6).
где
°-п W = ап--~------- = ап ((2 + ^)	+ (2 + h)n 2z + ... 4-z” 1)‘
(|fe[>0, 71 = 1,2, ...).
Положим еще
ап (0) = ап lim (z +	= паг^п~\	(7)
л-*о h
В силу этого допущения члены ряда (6) определены не только
для |Л| > 0, но и для /г = 0, и притом они оказываются непре-
рывными функциями от h на круге
\h\ С 6.
Для них имеет место оценка
ап (h) |<| ап КДГЧЯГ2#! + • • • +	| ап | 7?Г-1 (| h | < 6).
Положительные числа, стоящие в правых частях неравенства,
пе зависят от h, а ряд, составленный из пих, сходится. Ведь R —
радиус сходимости ряда (2), a Ri < R. Но в таком случае по тео-
реме Вейерштрасса ряд (6) функций, непрерывных па круге
§ 11.12. ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИЕ И ИНТЕГРИРОВАНИЕ
449
1/г1 =£ 6, равномерно сходится на этом круге. Это показывает, что
сумма ряда (6) есть также непрерывная функция от h на этом
круге, в частности, при h — 0. Но тогда существует предел
Ит /(,?..+. ^)-../(;) = а1 (0) + а2(0) + ...
h->t>	h
при любом способе стремления комплексных h к нулю. Таким
образом, для любого z с
\z\<R
существует производная /'(z) (в смысле комплексного перемен-
ного), равная
/'(z) = а, + 2a2z + 3asz2 + ...,
что доказывает теорему для комплексных z.
Отметим, что в силу теоремы 1 ряд (1) законно почленно диф-
ференцировать сколько угодно раз. На /г-м этапе мы получим
равенство
/(k)(z) = к\ак + (к + 1)к.. .2a*+1z + ...,
справедливое для всех z с I z I < R. Если положить в нем z = 0,
то получим /<й) (0) = к\ак или
=	(^ = 0,1,2,...).
Отсюда, в частности, следует, что разложение функции f(z)
в степенной ряд (см. (1)) в некотором круге |z| <7? (или в ин-
тервале i—R <х< R), если речь идет о функции fix) действитель-
ного переменного х^ единственно.
Вопрос о почленном интегрировании степенных рядов во всей
его полноте потребовал бы введения криволинейного интеграла
от функции комплексной переменной. Мы ограничимся здесь рас-
смотрением этого вопроса только для степенных рядов
fix) = а0 + аЛх + а2хг + ...	(8)
от действительной переменной х iz = x).
Если по-прежнему R = 1 / lim 3/1 ап | и R > 0, то для всех х,
П~>°о
принадлежащих интервалу (— R, R), называемому интервалом
сходимости степенного ряда (8), этот ряд сходится, и притом аб-
солютно. Для всех же х с 1x1 >7? (при конечном R) общий член
ряда не ограничен, и ряд расходится. Конечно, если R = 0, то
ряд (8) имеет единственную точку сходимости х = 0.
Итак, пусть задан степенной ряд (8), сходящийся па интерва-
ле —7? < х < R, где 0 < R °°. Числа ah могут быть действитель-
ными и комплексными. Зададим фиксированную точку х0 <=
е (—R, R) и переменную точку хе (—7?, R) и подберем q>Q
450
гл. 11. РЯДЫ
так, чтобы —R <—ц<Хо, х< q<R. Степенной ряд (8) равно-
мерно сходится на отрезке I—q, g], находящемся строго внутри
интервала сходимости ряда. Но тогда его можно почленно ин-
тегрировать (§ 11.8, теорема 2) на отрезке, соединяющем х0 с х:
X
J / (t) dt = а9 (х - х0) + “1 (х2 — 4) + (х3 — 4) + ...
к0	2	3
(— R<Zx, х0< R).	(9)
В частности, при ха = 0 получим
X
fa. А ап
f (t)dt = а9х+ -^х2+ -^х3 + . .. (— R<x<R).	(10)
о
П р и м е р ы.
3	5
arctgx =r — Z—-L.—	1	1),	(11)
3	5
•	__ I х । 1 * 3	х . 1 *3 • 5	х .	[	.	i л
arcsin ж =	ж + —- + —------------|-	... (—1<ж<1).	(12)
2-3	2! 225	3!	237
Для хе (—1, 1) эти равенства получаются соответственно почленным
интегрированием на отрезке, соединяющем 0 и х известных равенств
1	. , 3:2 , I’3 4 , 13-5 хв
(1 _ я2)172 ~ 1 + 2 + 2!	3!	23 + ’ ’'	(13>
Ряд (11) при х = 1, — 1 сходитсй по признаку Лейбница. Само же ра-
венство (И) справедливо на основании доказываемой ниже второй теоре-
мы Абеля.
Ряд (13) при х = 1, —1 не может сходиться, иначе его сумма по вто-
рой теореме Абеля была бы непрерывной функцией на [—1, +1]. Все же
ряд (12) при х = 1, —1 сходится, потому что в этом случае абсолютная ве-
личина его общего члена равна (пояснения ниже)
I u I = (2га —1)!1	= (2п — 1)11 (2п)!! =	(2п)!__________
(2п)!1 (2п + 1)	((2га)!!)2\2га + 1)	22n (а!)2 (2n + 1) %
~|/2л (2п)2п+(1/2)е~2п 2 -i/Т '	1
2ги2лп2п+1е~2п(2п + 1) я Vn(2n+1) (ге °°)-
Мы пользуемся обозначениями, которые уже употреблялись в § 9.18.
В четвертом соотношении («) применена формула Стирлинга (§ 9.18, (6)).
Ряд, общий член которого равен правой, части нашей цепи, сходится, но тог-
да сходится и ряд (см- М)’
В силу второй теоремы Абеля сходимость ряда (12) при х = ±1 вле-
чет непрерывность на [—1, -f-1] его суммы S(x). Но имеет место равенство
S(x) — arcsinж на (—1, +1), a arcsine непрерывна на [—1, +1], поэтому
это равенство верно и на [—1, +1].
§ 11.13. ФУНКЦИИ cz, cos z, sin z КОМПЛЕКСНОЙ ПЕРЕМЕННОЙ
45t
Вторая теорема Абеля. Если, степенной ряд
fix) = а0 + atx + a-iX1 + ...	(14)
имеет радиус сходимости R<°o и ряд (14) сходится при x — Rr
то функция fix) непрерывна не только на интервале i—R,R),
но и на полуинтервале i—R, R).
В самом деле, общий член ряда (14) можно записать в виде
аих” = anRnix/R)n,
где (постоянные) числа anRn можно рассматривать как члены
сходящегося ряда, а функции ix/R)n образуют невозрастающую
на 10,2?] ограниченную последовательность (1 > (х/7?)"> ix/R)nJr\
п = 0, 1, ...). Поэтому согласно признаку Абеля (см. § 11.7, тео-
рема 4) ряд (14) непрерывных на отрезке (О, R\ функций сходит-
ся на нем равномерно, и следовательно, его сумма fix) есть не-
прерывная функция на (0, /?].
§ 11.13. Степенные ряды функций е2, cosz, sinz
комплексной переменной
Функции е’, cos z, sin z комплексной переменной z определя-
ются как суммы рядов:
. г2
expz = ez = 1 -J-- + ф + ...,	(1)
Z2 24
cosz — 1 —+-4J-- ...,	(2>
Л ?
sin г =z_ — + _ _ ...	(3)
Эти ряды сходятся для любого комплексного z, потому что
радиус сходимости -каждого из них равен <». Таким образом,
функции ег, cos z, sin z определены на всей комплексной плоско-
сти. Для действительных
Z X
это определение приводит к известным действительным функциям
ех, cosх, sina; (см. § 5.11).
Функция ez обладает важным функциональным свойством:
ez + u = ezeu	(4)
для любых комплексных z, и (см. пример в § 11.9).
Очевидно, что
е’г = cos z + i sin z,	(5)
cos z = -L (ez e-12), sin z =(e‘z— e~'2),	(6)
Z	Z l
для любого комплексного z.
452
гл. и. РЯДЫ
Равенства (6) называются формулами Эйлера. Из _ (6) и (4)
«следуют обобщения известных тригонометрических формул:
sin(z + и) = sin z cos и + cos z sin u,
cos (z + u) = cos z cos и — sin z sin u,
теперь уже справедливых для произвольных z и и.
Наконец, из (4) следует, что при z — x + iy
ez = e*eiv = ex(cosi/ + isiny).	(7)
Функция z = In w от комплексной переменной w определяется
как обратная функция к функции
w = ег.	(8)
Если записать w Ф 0 в показательной форме
iv = ре'0 (p=|td > 0),
то равенство (8) запишется в виде
ре'0 = exeiy (,z = x + iy').
Поэтому
z = In w = In I ivI + i Arg w = In ltd + i arg w + i 2кл (9)
U = 0,±l,.±2,...),
-где In lid (lid > 0) понимается в обычном смысле. Из (9) вид-
но, что in iv (ni¥=0) есть многозначная функция от w вместе с
Arg и>, независимо от того, будет ли iv действительным или комп-
лексным.
Например, с точки зрения этой теории (функций комплексного
переменного) in 1 равен одному из чисел
2кл1 (к = 0, ±1, ±2, ..
В действительном анализе для выражения In 1 выбирают среди
этих чисел единственное действительное число 0.
Но мы не будем углубляться дальше в теорию функций ком-
плексного переменного — это не наша задача. Сделаем только
замечание по поводу формулы
2	3
1п(1+я)=я--^- + 4-- ...	(- 1<х<1),	(10)
которая была выведена в § 5.11, для действительных х. Если под-
ставить в ряд в правой части (10) вместо х комплексное z с
|z| < 1,
то ряд останется сходящимся. Можно сказать, что его сумма
равна ln(l + z), так как мы его определили выше, точнее, равна
§ 11.13. ФУНКЦИИ ег, cosz, sin z КОМПЛЕКСНОЙ ПЕРЕМЕННОЙ 453
одной из однозначных ветвей многозначной функции
ln(l + z).
Функции комплексного переменного, разлагающиеся в степен-
ные ряды (ряды Тейлора), называются аналитическими функция-
ми. Они изучаются в разделе математики, называемом теорией
аналитических функций или теорией функций комплексного пе-
ременного.
В заключение отметим, что если в степенном ряде (по степе-
ням и)
а0 +aiu + a2u2 + ...	(И)
с кругом сходимости Ы < 7? положить u — z — z0, где z0 — фикси-
рованное число (вообще говоря, комплексное), то получим ряд
а0 + at(z — z0) + a2(.z — z0)2 + ...,	(12)
называемый степенным рядом по степеням z — z0. Он сходится
в круге (сходимости) |z — z0| <R и расходится для z, удовлетво-
ряющих неравенству |z — zj >R.
Дополнение
ПРИБЛИЖЕННОЕ ВЫЧИСЛЕНИЕ
ЭЛЕМЕНТАРНЫХ ФУНКЦИЙ
Функции е\ sin х, cos ж, ch ж, sh х разлагаются в ряд Тейлора по степе-
ням х для любых значений х (—оо < х <оо). Эти ряды весьма быстро
сходятся к порождающим их функциям.
Например, остаточный член ряда Тейлора функции ех оценивается,
как мы знаем (см. § 5.10), следующим образом:
|Дп =
1	’ I п! |	и!
. м(х) = Р* г>°’ о<е<1.
(.1, ж<0,
Если |ж|	1, то остаток Rn(x:) при неограниченном возрастании п стре-
мится к нулю очень быстро. В случае, когда |ж| > 1, убывание к нулю
остатка хотя и имеет место, но много медленнее.
Остаточный член ряда Тейлора функции sin х по степеням х оцени-
вается следующим образом (см. § 5.10):
Снова, если |ж| < 1, остаток при vоо стремится к нулю очень быстро.
Если же нам понадобится вычислить sin х для 1 х si л/2, то можно вос-
пользоваться разложением
1	Я	\	л (л — Ж)2 , (л — ж)4
81П X = COS —- — X = 1 — -----I- 2---- /... — . . .
\2	]	'2!	4!
по степеням л/2 —ж, сходящимся для |л/2 — ж| < 1 весьма быстро.
Перейдем теперь к вопросу о вычислении логарифмов и корней.
Функция In ж. Зададим число А > 1. Если 1 < А < 2, то предста-
вим А в виде
Л = 1 -f- п (0 < u < 1)
и вычислим In Л, воспользовавшись рядом Тейлора функции In (1 -f- и) по
степеням и:
2	„з
In 4 — In (1 + и) = и — -у-+ — ~ • • •	(О
Если считать приближенно
„П—1
ln(l + u)~u-“ 4- ... +(-!)« ±—,	(2)
2	п — 1
то ошибка приближения будет равна
/? (и) = (- 1)П+1 ±2 + (- 1)п+2 ±211 + . ..,
”	п	п +1
и так как в правой части этого равенства стоит ряд Лейбница (с точ-
ностью до знака), то
]ffn(u)|<±l	(3)
ПРИБЛИЖЕННОЕ ВЫЧИСЛЕНИЕ ЭЛЕМЕНТАРНЫХ ФУНКЦИЙ
455
Правая часть этого неравенства быстро стремится к нулю при п -+ оо,
например, если и < 0,1. Чтобы получить при этом условии ошибку, мень-
шую, чем 10“*, достаточно в приближенном равенстве (2) положить п = к.
Эднако, если бы мы пожелали достигнуть точности, равной 10~4 при
и = 1/2, надо было бы взять п = 10:
п V 2 ]I 10	10240
Получается много вычислений. А ведь каждый их этап сопровождается
еще ошибками другого рода — ошибками вычисления.
Ниже дается способ вычисления натурального логарифма любого чис-
ла А > 1. Этот способ, даже когда А < 2, имеет преимущество
собой ^2).
Имеем
in
1 — X
перед спо-
хг х3
а:3
й=0
Д.2А+1
2*4-1
2
2
равенство
~2 V* x2h+1
1 - ®	2к 4- 1
А=0	1 -
откуда следует приближенное
1 X
In -----
(4)
с ошибкой
| Д2п+1 <Х) | < (2/l-|-2 + 1 — х) Ж”’
которая выводится следующим образом.
Приближенные равенства
„2	•	„	т2П+1
Ь(1+х)«х-4-+ ... +(- l)2n£—г
2	2п4~ 1
г2
In (1 — х) « — X — — — .
имеют место с ошибками, не превышающими
ж2П+2	ж2»+2
2п -|- 2’ 1 — х
_2п+1
t*'
2п 4-1
соответственно
(см. § 5.10, функция In (14-х)). Сложив эти ошибки, получим неравенст-
во (5).
Заметим, что функция
Ф (*) =	(° < х < 1)
строго монотонно возрастает на полуинтервале [0, 1) и при этом
ф (0) = 1, lim ф (ж) = 4-°°.
х-»1-0
Приближенный метод (4) можно порекомендовать, и в случае 1<А<2.
Например, чтобы вычислить In (3/2), решаем уравнение
3	14-х
2 ~~ 1 — х
456
ДОПОЛНЕНИЕ
•J ,	(6)
3 \ 3 /	(7)
1 935 ’	(6')
1 :11025'.	(7'1
на полуинтервале [0, 1). Получим
1	t 1	1 Д
х ~ 5	( 2 > 5 !}
На основании (4) запишем для примера два приближенных равенства
3	2	2 / 1 V
1п2~5+3^5
, 3	2	2 / 1 \ з
1п 2 ~.5 + 3 ^5 J +'
с ошибками соответственно
(n=i) |лз(т)|<
(га = 2) |Яь("5’)|^
Ряд (3), как мы видим, на этом примере сходится весьма быстро. Для срав-
нения применим метод (2), где надо положить и = 1/2. Имеем, например,'
1 3 1 1 1 1 1
1п 2	~ 2	“ 8	+ 24	”64	+б0
с ошибкой, ие превышающей (см. (3))
<" = «) л.Ш|< <1^ = зк.
Здесь при вычислении In(3/2) было использовано 6 членов ряда Тейлора
и при этом получена ошибка, не превышающая 1/384, что в 3 раза хуже
ошибки (6), полученной с использованием только двух членов.
Заметим, что и > х. Ведь
1 ~|-х
и =  j — - — 1>1-|-ж — 1 = ж.
k г—'	k —
Число у А. Пусть надо вычислить у А (А > 0) для некоторого на-
турального числа к. Пусть пока
А = 1 -f- х,
тле 0 < х < 1. Тогда мы можем для вычисления данного корня
воспользоваться рядом Тейлора
= 1+1-* + 1/А (.v* ~ v. х2+... (о<х<1).	(8)
к	Z!
Заметим, что га-й член этого ряда получается из (га — 1)-го члена ум-
ножением последнего на
Это число отрицательное, и модуль его меньше 1:
| (1/А:) — га 4- 11 п — 1 — (1 /А-)
га х ” га
Поэтому ряд (8) есть ряд Лейбница и его га-й остаточный член
ПРИБЛИЖЕННОЕ ВЫЧИСЛЕНИЕ ЭЛЕМЕНТАРНЫХ ФУНКЦИЙ
457
•оценивается следующим образом:
|«n W |<
Таким образом, если считать приближенно, что
Л/т-г- 4 ! 1 I <!/*) ((1/А:) — 1) 2 , I
У 1 + х я> 1 + — х 4- '------->	х + ... +
, (У*) (d/fe)-l)	((1/fc) — п + 2) „_х
+	(о — 1)!	х (
то. ошибка приближения будет удовлетворять неравенству
|Яп(х)| < хп.
Если х достаточно мало, например х < 0,1, то полученный результат
вполне удовлетворительный. Если, например, надо вычислить у' l-f-гс точ-
ностью до 10~5, можно воспользоваться для этой цели приближенной фор-
мулой (9), положив в ней п = 5. Мы, таким образом, должны взять сумму
первых 5 членов разложения (8).
” Однако, если х = 1/2, то для получения точности 10~5 пришлось бы ос-
тавить в ряду (8) 15 членов, потому что
(1 \14	/1 ,15
у >10~5, у) <10~5.
Это очень много. Не надо еще забывать, что с каждым отдельным этапом
вычислений накапливается еще ошибка другого рода — ошибка вычи-
слений.
Ниже дается метод решения поставленной задачи, годный для любого
положительного числа А. Этот метод заключаете^ в том, что число А за-
писывается в виде произведения
А = (l + x)#*	(0 < х < 1),
где В подбирается так, чтобы число х было меньше наперед заданного чис-
ла в > 0. Тогда
у'A = Z(1 + х) Вк = Bh/T+~x
k ----
и вопрос сведется к приближенному вычислению у 1 +-с при 0 '< х < е.
Рассуждения можно расположить следующим образом. Задано произ-
вольное натуральное число /V. Рассматривая последовательно числа
Iй, 2й, 3*, 4й, ...,	(10)
находим среди них число такое, что
< ANh < (MN + l)ft.
Если в левом неравенстве этого соотношения на самом деле = АЛ’к,
то поставленная задача решена:
4=^,	-
N
Будем считать далее, что
MhN < ANh < (MN + 1)&	(И)
ИЛИ
/ N \h (MN + 1 V
1 < A J < 1	] 
458
ДОПОЛНЕНИЕ
Так как < ANh < A (N + l)ft и М^+1есть наибольшее число в последо-
вательности (10), не превышающее A (N + 1)А, то
MhN<MhN+1 (ЛГ = 1,2, ...).
Далее из второго неравенства (И) следует
N^A<zMn 4-1. Му'~А - 1 < мк,
откуда lim MN = оо. Но тогда
Л’->ОО
MN +1
lim —М  = 11	<12>
1У-.оо
Имеем
V'л = ?/ а( n \4M»\h - M-v (JL\k... Ьгт—
V W ud ~~]/ ИМ “ —1 + x’ (13>
где мы положили
f JV \h
1+ж=л(^)- (14)
fl 
Вопрос свелся к вычислению у 1 + х.
В наших рассуждениях N есть произвольное натуральное число. Не-
равенства (11) можно записать следующим образом:
/Л/у-1-1\Л
1 < 1 + X < —,
где х = хя зависит от N. Из свойства (12) следует, что при достаточно
большом N всегда можно х = хя сделать меньшим наперед заданного чис-
ла е> 0, например е = 0,1.
Пример. Надо вычислить у17 с точностью до 4-го знака.
Возьмем N = 10. Очевидно,
8000 < 17№ = 1700 < 27 000.
Ясно, что число М я надо искать, перебирая кубы натуральных чисел,
находящиеся между 8000 и 27 000. Произведя эту переборку, получим
М3 = 25s = 15625, (MN + I)3 = 17578,
M3N < 17№ < (My -I- I)3.
Имеем
з — з /	/ 10 \3 / 25 \3 з / i 10 » з_______________
У17 = ]/ 17-(2t) (hf) =2-5}/ 17(-25) ~ 2,5y 1-y 0,1.
Полагая в формуле (9) n = 5, получим приближенное равенство
^17 «1 + 4- (0,1) 4- <У,3).	~~ (0,1 )2 4-
о
(1/3) ((1/3)-1) ((1/3)-2)	.	(1/3) ((1/3)—1) ((1/3)—2) <(1/3)—3) ..
'г	31	10,1) -f-	щ	(и,1)
с ошибкой
л5 < ю-5.
ПРИБЛИЖЕННОЕ ВЫЧИСЛЕНИЕ ЭЛЕМЕНТАРНЫХ ФУНКЦИЙ 459
Замечание. Bj 5.10 мы исследовали сходимости ряда Тейлора функ-
ции (1 + х)"‘ на интервале (—1, +1). Но при некоторых т ряд Тейлора
(1 + z)m = 1 4- тхт 4-	хт-1 +	.	(15)
может сходиться также на том пли ином конце этого интервала —1
или +1.
На основании 2-й теоремы Абеля, если степенной ряд (15) сходится
при х = 1, то обязательно к 2"*.
Сходимость же ряда (14) при х = — 1 указывает на тот факт, что
функция (С-f- х)т должна быть непрерывна при х ——1. Это может быть
лишь если т > 0, и тогда сумма ряда (14) при х = — 1 равна нулю.
ПРЕДМЕТНЫЙ УКАЗАТЕЛЬ
Абеля преобразование 431
— теорема о сходимости степенного
ряда 446, 451
— теоремы о рядах 432
Абсолютная величина числа 49, 63
Абсолютно сходящийся интеграл 374
— — ряд 421, 438 - .
Аддитивность интеграла 360
Алгоритм Евклида 328
Аналитическая функция 164, 453
Аргумент (независимая перемен-
ная) 16
— комплексного числа 320
Арифметические действия над чис-
лами 49, 319
Архимедово свойство чисел 54
Асимптота 207
Асимптотическое равенство 124
Ассоциативный закон сложения чи-
сел 53
---умножения чисел 53
Астроида 190, 201
Бесконечная десятичная дробь 44
Бесконечно большая величина (по-
следовательность) 72
—	малая величина (последователь-
ность) 72
Бесконечный интервал 15
—	полуинтервал 15
—	предел 72
Биномиальный дифференциал 343
Бином Ньютона 151. 161
Бинормаль кривой 203
Бореля лемма (о покрытии) 251
Буняковского неравенство 179
Валлиса формула 389
Вейерштрасса признак равномерной
сходимости 429
—	теорема 88
—	— об ограниченности непрерыв-
ной функции 110
—	— об экстремальных значениях
непрерывной функции 110
Вектор м-мериый 177
Вектор-фупкция 182
Величина физическая 61
Верхняя грань точная 64
— сумма Дарбу 352
Винтовая линия 205
Вложенных отрезков лемма 77, 251
Внутренняя точка множества 212
Выпуклость кривой в точке 166
--- на отрезке 168
Гамильтона оператор (набла) 232
Гармонический ряд 419
Гиперболическая точка 299
Главная нормаль кривой 203
Главное значение интеграла по Ко-
ши 387
Главные радиусы кривизны 298
Главный линейный член прираще-
ния 132, 224, 236
—	степенной член функции 126
Годограф вектор-функции 185
Градиент функции 229
Граница множества 244
График функции 18
Даламбера признак сходимости ря-
да 416
Дарбу интегральные суммы 352
Дедекинда сечение 77
Действительная часть комплексного
числа 318
Десятичная дробь 44
Дирихле признак 379, 431
—	функция 357
—	ядро 322
Дифференциал функции 131, 235
Дифференциалы высших порядков
139.	235
Дифференциальный бином 343
Дифференцирование рядов 433
Дифференцируемое многообразие
190
Длина дуга кривой 192, 395, 406
Допустимые параметры гладкой
кривой 186
— — — поверхности 281
Евклида алгоритм 328
Евклидово n-мерное пространство
178
е (число) 76, 120, 158
ПРЕДМЕТНЫЙ УКАЗАТЕЛЬ
Зависимая переменная 16, 140, 236
Замена переменных 209, 304
Замкнутое множество 242
Значение интеграла по Коши 387
!
Изолированная точка множества 245
Изоморфизм 55, 319
Инвариантность формы первого диф-
ференциала 141, 238
Интеграл неопределенный 36, 312
— несобственный 371
— определенный 38, 350
— от монотонной функции 357
— от непрерывной функции 357
— с переменным верхним пределом
364
— эллиптический 349
Интегральная сумма Римана 350
— теорема о среднем 362
Интегральные суммы Дарбу 353
Интегральный признак сходимости
рядов 381
Интегрирование подстановкой 313
— по частям 316, 378
— рядов 433
— тригонометрических выражений
344
Интервал 13
Интерполяционный многочлен Ла-
гранжа 398
Иррациональное число 43
Касательная 31, 203
Колебание функции в точке 248
— — па множестве 353
Коммутативный закон сложения чи-
сел 53
----умножения чисел 53
Комплексное число 318
Комплекснозиачная функция 324
Координаты криволинейные 302
— полярные 26
Корень (нуль) многочлена 327
Коши вид остаточного члена форму-
лы Тейлора 155
— критерий для несобственных ин-
тегралов 372
— — для последовательностей 86
— — для рядов 413
— — для функций 97, 214
---равномерной сходимости 428
— неравенство 181
— признак сходимости пяда 417
— теорема о среднем 146
Край поверхности 278
Кратный ряд 438
Кривая гладкая 174, 186
— Жордана 188
— замкнутая 189
461
Кривая кусочно непрерывная 188
— непрерывная 188
— ориентированная 186
— плоская 188
— самонепересекаюгцаяся 189
— спрямляемая 192
Кривизна кривой 196
Круг сходимости степенного ряда
443
Кручение кривой 204
Куб 211, 213/
Кусочно гладкая функция 174
Лагранжа вид остаточного члена
формулы Тейлора 153, 155, 254
— теорема о среднем 146
Лапласа оператор 306
Лейбница формула 140
Линейное множество 177
— нормированное пространство 181
Лист Мёбиуса 284
Локальный экстремум 143, 258
Лопиталя правило 169
Мгновенная скорость 30
Мнимая часть комплексного числа
319
Многообразие одномерное 190
Многочлен 150, 219, 326
—	Тейлора 150
Множество 13
—	замкнутое 242
—	неограниченное 64
—	ограниченное 64
—	, — сверху 64
—	, — снизу 64
—	• открытое 212
—	счетное 89
Множителей Лагранжа метод 285
Модуль комплексного числа 319
—	непрерывности 247
Набла (оператор Гамильтона) 232
Независимая переменная 16, 140. 236
Необходимое условие интегрируемо-
сти функции 351
---сходимости ряда 413
Неопределенностей раскрытие 169
Непрерывная вектор-функция 183
— кривая 185
— функция 27, 100
— — комплексного переменного 322
Неравенство Бернулли 117
— Коши 180
— Минковского 181
—	треугольника 181
—	чисел 48
Несчетность действительных чисел
89
462
ПРЕДМЕТНЫЙ УКАЗАТЕЛЬ
Неявная функция 23, 262
Нижний интеграл Дарбу 352
—	предел последовательности 74
Нижняя грань точная 64
—	сумма Дарбу 352
Норма элемента 182
Нормаль (к кривой) 194, 203
—	главная 203
Ньютона — Лейбница теорема 42,
366
Область определения функции 17
Обобщенная производная 250
Образ посредством функции 17
Обратная функция ИЗ
Обратные тригонометрические функ-
ции 25, 114
Объединение (сумма) множеств 15
Объем тела вращения 394
Однозначная функция 20
Односторонние окрестности 105
— пределы 105
Окрестность символов оо, +оо, —оо
105
—	точки 95, 212
Операция дифференцирования 33
—	интегрирования 39
Ориентированная кривая 186
Ориентируемая поверхность 279, 282
Особая точка кривой 292
Остаточный член формулы Тейлора
в интегральной форме 388, 256
—--------в форме Коши 154
—-------------Лагранжа 154 256
— — — — — — Пеано 156, 256, 257
Остроградского метод 336
Отображение 272
Отрезок (числовой) 13, 59
Параметр кривой допустимый 186
Первообразная 36, 312
Переменная (величина) 16
— зависимая 16, 140, 236
— независимая 16, 140, 236
Переместительный (коммутативный)
закон сложения 52
— (—) — ужножения 53
Пересечение множеств 15
Плоскость касательная 223
—	соприкасающаяся 202
Площадь в полярных координатах
393
—	криволинейной фигуры 38
Поверхность гладкая 275
—	ориентированная 282
—	ориентируемая 282
—	, параметрически заданная 279
—	самопересекающаяся 280
Подпоследовательность 79
Подстановки Эйлера 341
Полином (многочлен) 24, 219, 326
Полярные координаты 26
Порядок дифференцирования 139, 222
—	переменной 123
Последовательность 66
—	бесконечно большая 72
---малая 72 -
—	монотонная 74
—	неубывающая 74
—	ограниченная 64
—	, — сверху 49
—	равномерно сходящаяся 427
—	стабилизирующаяся 49
—	функций (функциональная) 427
Правило Лопиталя 169
Предел вектор-функции 183
—	по направлению 215, 227
—	последовательности 66
		верхний 79
—	— комплексных чисел 322
— — пижний 79
--- слева 105
--- справа 105
— функции 92, 214
Предельная точка множества 239
Преобразование Абеля 431
Признак равномерной сходимости
Абеля 432
---—' Вейерштрасса 429
------Дирихле 379, 431
—	сходимости Даламбера 416
—	— Коши 417
---ряда (интегральный) 380
Приращение аргумента 27
—	функции 27
Произведение комплексных чисел
318
Производная 30, 127
—	бесконечно большая 128
—	в параметрическом виде 187
—	вектор-функции 184
— высшего порядка 139, 184
—	левая 128
—	обратной функции 135
—	по направлению 228
—	правая 30, 128
— суперпозиции (функции от функ-
ции) 17, 133, 227
— частная 221
Производное множество 240
Пространство евклидово (п-мерное)
178
— со скалярным произведении 178
Прямоугольник 211
Равномерная непрерывность 247
Равномерно сходящаяся последова-
тельность 427
— сходящийся ряд 427
ПРЕДМЕТНЫЙ УКАЗАТЕЛЬ
463
Радиус кривизны 196
— сходимости степенного ряда 443
Разность комплексных чисел 318
—	множеств 15
Разрыв второго рода 109
—	первого рода 109
Рациональная функция 24, 330
Рациональное число 43
Римана интегральная сумма 350
Ролля теорема о среднем 145
Ряд 413
—	гармонический 419
—	кратный 438
—	Лейбница 421
—	равномерно сходящийся 427
— с неотрицательными членами 415
— степенной 162, 443
. — сходящийся 413
—	— абсолютно 421
—	— безусловно 425
—	— условно 425
— Тейлора 162, 453
— функций 427
Свойство Архимеда вещественных
чисел 54
Система зависимых функций 308
Скалярное произведение 178
Скорость мгновенная 30
Сочетательный (коммутативный) за-
кон сложения 53
— (—) — умножения 53
Спрямляемая кривая 192
Средняя скорость 30
Степенная функция 24, 120
Степенной ряд 162, 443
Стирлинга формула 389
Строго возрастающая функция 143
—	убывающая функция 143
Сумма Дарбу интегральная 352
—	(объединение) множеств 15
—	Римана интегральная 350
—	ряда 413
—	— частичная 413
Суммирование нядов 442
Суперпозиция функций 17, 219
п Г —
Существование у а 115
—	решения системы уравнений 267
Счетное множество 89
Таблица интегралов 313
—	производных 138
Тейлора многочлен 150
—	ряд 162
—	формула 150
Теорема Вейерштрасса о равномер-
ной сходимости 429
Теорема Коши о промежуточных зна-
чениях непрерывной функции 112
— — о среднем 146
Лагранжа о среднем 146
—	Лебега 358
—	о среднем интегральная 362
--- Ролля 145
—	Ферма 144
—	Чебышева 343
Точка возврата кривой 295
—	выпуклости кверху 166
---книзу 166
—	гиперболическая 299
—	изолированная 245
—	множества внутренняя 212
	граничная 244
—	параболическая 299
—	перегиба 166
— разрыва 29, 101
--- второго рода 109
—	— первого рода 108
—	стационарная 286
— устранимого разрыва 108
— эллиптическая 299
— n-мерного пространства 177
Тригонометрическая форма комплек-
сного числа 320
Формула Валлиса 389
—	квадратурная 399
—	Лейбница 140
—	Менье 297
—	Ньютона — Лейбница 42, 366
—	Остроградского 336
—	прямоугольников 399
—	Симпсона 402
—	Стирлинга 389
— Тейлора 150 г S’2
— трапеций 399
— Фрейе 204
Фундаментальное решение уравне-
ния теплопроводности 235
Функции эквивалентные 124
Функционал 401
—	линейный 401
Функция 16
—	аналитическая 164
— бесконечно дифференцируемая
164
— гладкая 174
— Дирихле 357
— дифференцируемая 131, 223
— комплексного переменного 322
— комплекснозначная от действи-
тельного переменного 324
—	кусочно гладкая 174
---непрерывная 174
—	логарифмическая 11й
—	многих переменных 21
Л64
ПРЕДМЕТНЫЙ УКАЗАТЕЛЬ
Функция многозначная 20
— монотонная 106
— па множестве 245
—, непрерывная в точке 27, 217
—,--------слева 108
—,--------справа 108
—, — нет замкнутом ограниченном
множестве 245
— нечетная 19
— неявная 23, 262
— обратная 113
— — тригонометрическая 25
— показательная 116, 158, 451
— постоянная 24
—, разрывная в точке 27
—	рациональная 24
—	сложная 102, 219
— степенная 24. 120
— тригонометрическая 25, 158, 409,
451
—	четная 19
—	элементарная 24
Центр кривизны 196
Циклоида 201
Чисел аксиомы 52
—	свойства 52
Число действительное 43
—	иррациональное 43
—	комплексное 318
—	рациональное 43, 47
— е 76. 121, 158
—	л 449
Шар 211, 277, 283
Эвольвента 198
Эволюта кривой 198
Эйлера подстановки 341
Эквивалентные функции 124
Экстремум локальный 143, 258
Элемент последовательности 66
Эллипс 190, 201
Эллиптические интегралы в форме
Лежандра 349
Ядро Дирихле 322
— Пуассона 337
Якобиан 267
Сергей Михайлович Никольский
КУРС МАТЕМАТИЧЕСКОГО АНАЛИЗА
Том I
Редактор М. М. Горячая
Техн, редактор Л. В. Лихачева
Корректор Н. Б. Румянцева
ИБ Ki 11783
Сдано в набор 15.12.82. Подписано к печати 20.06.83.
Формат 60х90'/1в. Бумага тип. № 3. Обыкновенная гарни-
тура. Высокая печать. Условн. печ. л. 29. Уч.-изд. л. 30,22.
Тираж 40 000 экз. Заказ № 438. Цена 1 р. 30 к.
Издательство «Наука»
Главная редакция физико-математической литературы
117071, Москва, В-71, Ленинский проспект, 15
4-я типография издательства «Наука»
630077, Новосибирск, 77, Станиславского, 25