Приближенное
решение
операторных
уравнений

М. А. КРАСНОСЕЛЬСКИЙ,
Г. М. ВАЙНИККО,
П. П. ЗАБРЕЙКО,
Я. Б. РУТИЦКИЙ,
В. Я. СТЕЦЕНКО

ИЗДАТЕЛЬСТВО «НАУКА»

ГЛАВНАЯ РЕДАКЦИЯ

Ф11311КО-МАТЕМАТИЧЕСКОИ ЛИТЕРАТУРЫ

MUCK UЛ 1 У О 9
518
К 78

УДК 513.88



Приближенное решение операторных уравнений, М. А. Крас-
носельский, Г. М. Вайникко, П. П. Забрей к о,
Я. Б. Р у т и ц к и й, В. Я. Стеценко.

Книга посвящена описанию и исследованию при-
ближенных методов решения операторных уравнений.

В первой части книги (главы 1—3) изучаются раз-
личные итерационные процессы решения линейных и
нелинейных уравнений. Здесь устанавливаются как тра-
диционные, так и существенно новые условия сходи-
мости последовательных приближений; выводятся раз-
личные априорные оценки погрешностей; анализируется
влияние случайных ошибок (например, типа ошибок ок-
ругления) на сходимость; описывается распределение
ошибок и т. д. Предлагаются простые методы получе-
ния оценок спектральных радиусов линейных операто-
ров, изучаются методы приближенного отыскания соб-
ственных функций. Излагается новая схема получения
апостериорных оценок погрешностей.

Вторая часть книги (глава. 4) содержит системати-
ческое построение теории проекционных методов (ме-
тода Галеркина, метода Петрова, метода моментов и
т. д.) как применительно к приближенному решению ли-
нейных и нелинейных уравнений, так и к проблеме соб-
ственных функций.

Наконец, в последней части (глава 5) изучаются
приближенные методы решения нелинейных уравнений
с параметрами. Основное внимание уделено асимпто-
тическим приближениям в задаче о ветвлении решений.
Предлагается способ построения асимптотических при-
ближений к неявной функции.

Основной текст книги существенно дополняет боль-
шое число упражнений разной трудности.
Оглавление

Предисловие

Г л а в а 1

Метод последовательных приближений

§ 1.	Существование неподвижной точки у сжимающего оператора . .	9

*

1.1.	Оператор сжатия (9). 1.2. Использование эквивалентной нормы (11). 1.3. Отно-
сительная единственность решения (13). 1.4. Спектральный радиус линейного опера-
тора (14). 1.5. Об операторах, коммутирующих с операторами сжатия (16). 1.6. Случай
компактного множества (18). 1.7. Оценка коэффициента в условии Липшица (19).

1,8.	Уравнения с равномерно сжимающим оператором (20). 1.9. Локальная теорема
о неявной функции (22).

§ 2.	Сходимость последовательных приближений......................... 24

2,1.	Последовательные приближения (24). 2.2. Уравнения со сжимающим операто-
ром (24). 2.3. Линейные уравнения (26). 2.4. Факториальная сходимость (27). 2.5. Не-
линейные уравнения (28). 2.6. Влияние нулевого приближения на оценку быстроты
5ходи мости (31). 2.7. Убыстрение сходимости (34). 2.8. О распределении ошибок (37).

,W. Влияние ошибок округления (42).

| 3. Уравнения с монотонными операторами............................  43

♦1.1, Постановка задачи (43). 3.2. Конус в банаховом пространстве (44). 3.3. Разреши-
Мость уравнений с монотонными операторами М7). 3.4. Ненулевые положительные
flOlllPHHH (51). 3.5. Уравнения с вогнутыми операторами (53). 3.6. Использование сте-
операторов (55). 3.7. Принцип сжатых отображений в метрических простран-

UTMMX (Г>7). 3.8. Об одной специальной метрике (59). 3.9. Уравнения со степенными
Нелинейностями (63). 3.10. Уравнения с равномерно вогнутыми операторами (66).

| 4, Уравнения с нерастягивающими операторами........................ 67

4,1.	Нериетягивающие операторы (67). 4.2. Пример (69). 4.3. Самосопряженные нерас
♦игимющне операторы (70).

Глина 2

Линейные уравнения

| ft. Оценки спектрального радиуса линейного оператора ............. 74

|(11 Сниитрильпый радиус (74). 5.2. Положительные линейные операторы (75). 5.3. Не-
МЙЛОЖИМЫп операторы (78). 5.4, Сравнение спектральных радиусов различных опера-
ММНН (7U), Й.П. Оценки спектрального радиуса снизу (81). 5.6. Оценки спектрального

• снерху (82). 5.7. Строгие неравенства (86). 5.8. Примеры (88).

| Hi Пличный метод оценки спектрального радиуса..................... 90

ill, П>Ч1«»инам ггоргмп (90). 6.2. Примеры (92). 6.3. Конусная норма (93). 6.4. Обобщен-
ий! IfpllHUHii гжитых отображений (94).
§ 7.	Преобразование линейных уравнений................................ 96

7.1.	Общая схема (96). 7.2. Полиномы Чебышева (97). 7.3. Уравнение в гильбертовом
пространстве с самосопряженным оператором ‘ (98). 7.4. Уравнения с вполне непрерыв-
ными операторами (100). 7.5. Метод Зейделя (103). 7.6. Замечание о сходимости по
другим нормам (106).

§ 8.	Метод минимальных невязок .......................................107

8.1.	Постановка задачи (107). 8.2. Сходимость метода минимальных невязок (108).

8.3.	Неравенство моментов (НО). 8.4. а-процессы (112;. 8.5. Вычислительная схема (114).

8.6.	Применение к уравнениям с несамосопряженными операторами (115).

§ 9.	Приближенное вычисление спектрального радиуса....................115

9.1.	Использование итераций оператора (115). 9.2. Положительные операторы (118).

9.3.	Вычисление наибольшего собственного значения (120). 9.4. Приближенное вычис-
ление собственных значений самосопряженных операторов (121). 9.5. Метод нормаль-
ных хорд (124). 9.6. Методы ортогональных хорд (127). 9.7. Одновременное использо-
вание нескольких итераций (128).

§ 10.	Монотонные итерационные процессы................................130

10.1.	Постановка задачи (130), 10.2. Выбор начальных приближений (131). 10.3. Уско-
рение сходимости (132). 10.4. Уравнения с неположительными операторами (134).

Глава 3

Уравнения с гладкими операторами

§ 11.	Метод Ньютона — Канторовича..............................136

11.1.	Линеаризация уравнений (136). 11.2. Сходимость (137). 11.3. Дальнейшее иссле-
дование быстроты сходимости (139). 11.4. Нелокальное условие сходимости (140).

П.5. Простые нули (142).

§ 12.	Модифицированный метод Ньютона — Канторовича.............142

12.1.	Модифицированный метод (142). 12.2. Основная теорема (143). 12.3. Шар един
ственности (144). 12.4. Модифицированный метод с возмущениями (145). 12.5. Уравне-
ния с вполне непрерывными операторами (147). 12.6. Уравнения с недифференцируе-
мыми операторами (150). 12.7. Замечание о методе Ньютона — Канторовича (151).

§ 13.	Приближенное решение линеаризованных уравнений..............152

13.1.	Постановка задачи (152). 13.2. Теорема о сходимости (153). 13.3. Применение
метода минимальных невязок (155). 13.4. О выборе начальных приближений (158).

§ 14.	Апостериорная оценка погрешности............................161

14.1.	Оценка погрешности и теоремы существования (161). 14.2. Линеаризация урав-
нения (163). 14.3. Вращение конечномерного векторного поля (166). 14.4. Вращение
вполне непрерывного векторного поля (169). 14.5. Индекс неподвижной точки (171).

14.6.	Индекс неподвижной точки и апостериорная оценка погрешности (178). 14.7. Спе-
циальный случай (180). 14.8. Отказ от полной непрерывности (183).

Глава 4

Проекционные методы

§ 15.	Некоторые общие теоремы сходимости проекционных методов . . 189

15.1.	Описание проекционных методов (189). 15.2. Основная теорема сходимости (191).

15.3.	Раствор подпространств гильбертова пространства (195). 15.4. Метод Галеркина
для уравнений второго рода (199). 15.5. Некоторые дополнения к теореме 15.3 (201).

15.6.	Переход к уравнению второго рода (203). 15.7, Метод коллокации (205). 15.8. О фак-
тор методе (209).
| 16. Методы Бубнова — Галеркина и Галеркина — Петрова...................212

10,1. ('ходимость метода Бубнова — Галеркина для уравнений второго рода (212).
Irt.ll. Необходимые и достаточные условия сходимости метода Галеркина — Петрова
дли уравнений второго рода (212). 16.3, Сходимость метода Бубнова — Галеркина для
уравнений с положительно определенной главной частью (215). 16,4. Лемма о сход-
ных операторах (217). 16.5. О быстроте сходимости метода Бубнова — Галеркина (220).
Irt.O. Правильные операторы (223). 16.7. О быстроте сходимости метода Галеркина —
Петрова (226). 16.8. Метод моментов (228).

| 17. Метод Галеркина с возмущениями и общая теория приближен-
ных методов..............................................................231

17.1. Постановка задачи (231). 17.2. Леммы об обратимости операторов I — цТ и
/ —	(233). 17.3. Теорема сходимости (235) 17.4. Связь с общей теорией приближен-

ных методов Л. В. Канторовича (237). 17.5. Возмущение галеркинского приближе-
нии (238). 17.6. О базисах в подпространствах гильбертова пространства (240).

17.7. Лемма о матрицах Грама (241). 17.8. Устойчивость метода Галеркина — Пет-
рова (244). 17.9. О сходящихся квадратурных процессах (248). 17.10. Метод механиче-
ских квадратур для интегральных уравнений (252).

$ 18. Проекционные методы в проблеме собственных значений .... 255

Irt.I. Проблема собственных значений (255). 18.2. Сходимость метода Галеркина с воз-
мущениями (257). 18.3. Быстрота сходимости (260). 18.4. Метод Бубнова — Галер-
КИПА. Оценки собственных значений (264). 18.5. Оценки собственных элементов (267).
irt.lJ. Уточненные оценки собственных значений (269). 18.7. Метод Галеркина — Пет-
рова (271). 18.8. Случай неограниченных операторов (273). 18.9. Операторы в веще-
ственных пространствах (275).

J 19. Проекционные методы решения нелинейных уравнений...................276

19.1. Постановка задачи (276). 19.2. О разрешимости нелинейных уравнений (277).

19,3. Сходимость метода Галеркина с возмущениями (278). 19.4. Апостериорная оценка
Погрешности г281). 19.5. Вращение вполне непрерывного векторного поля (282).
19,(1, Второе доказательство сходимости (284). 19.7. Метод механических квадратур
дли нелинейных интегральных уравнений (286). 19.8. Метод конечных разностей (290).

19,0. Метод Галеркина (292). 19.10. Метод Галеркина — Петрова. Устойчивость (296).

19.11. Проекционные методы в условиях односторонних оценок (299). 19.12. Задачи на
Минимум функционала (301). 19.13. О факторметоде для нелинейных уравнений (303).

Г л л в а 5

Малые решения операторных уравнений

# 20. Приближенное построение неявной функции.................304

110,1.	Основная теорема о неявной функции (304). 20.2. Полилинейные операторы и
формула Тейлора (307). 20.3. Дифференцирование неявной функции (311). 20.4. Метод
неопределенных коэффициентов (313). 20.5. Последовательные приближения (315).
110,(1. Асимптотические приближения к неявным функциям (319). 20.7, Формальные
рилы и формальные неявные функции (324). 20.8. Аналитичность неявной функ-
ции (327).

| 21. Конечные системы уравнений.................................331

91.1. Некоторые понятия теории колец (331). 21.2. Кольца степенных рядов (338).
Ill .3. Диаграмма Ньютона (345). 21.4. Ветвление решений скалярных аналитических
уравпеипй (356). 21.5. Метод исключения (361). 21.6. Грубый случай (369). 21.7. Системы
йийлптических уравнений (372).

Ц 22. Ветвление решений операторных уравнений...................374

UZI. Постановка задачи (374). 22.2. Расщепляемые операторы (376). 22.3. Матричные
представления расщепляемых операторов (378). 22.4. Уравнения разветвления (380).
Illi А Асимптотические приближения уравнений разветвления (385). 22.6. Уравнения
и формальных степенных рядах (393), 22.7, Уравнения с аналитическими операто-
рами (396),
§ 23.	Простые решения и метод неопределенных коэффициентов . . . 402

23.1.	Простые решения (402). 23.2. Асимптотические приближения к простым реше-
ниям (410). 23.3. Простые решения и уравнения разветвления (412). 23.4. Почти-реше-
ния операторных уравнений (413). 23.5. Метод неопределенных коэффициентов (414).

23.6.	Уравнения с аналитическими операторами (422).

§ 24.	Задача о точках бифуркации...................................  425

24.1.	Постановка задачи (425). 24.2. Уравнения с вполне непрерывным операто-
ром (427). 24.3. Использование уравнения разветвления (429). 24.4. Амплитудные кри-
вые (429).

Литература .  .......................................................437

Предметный указатель...............................................  453
Предисловие

Теория приближенных методов решения различных матема-
ТНческих задач стала в настоящее время одной из важных глав
функционального анализа. Идеи функционального анализа не
только позволили существенно упростить взгляд на многие чис-
ленные методы, но и привели к разработке принципиально но-
вых вычислительных схем в проблемах линейной алгебры, диф-
ференциальных и интегральных уравнений, нелинейного ана-
лиза и др.

В общей теории приближенных методов известны многочис-
ленные фундаментальные результаты. Мы имеем в виду, в част-
ности, классические работы Л. В. Канторовича; исследования
проекционных методов, восходящие к Н. Н. Боголюбову,
II. М. Крылову, М. В. Келдышу, Г. И. Петрову и существенно
продвинутые С. Г. Михлиным, Н. И. Польским; развитые
Л. Н. Тихоновым методы приближенного решения некоррект-
ных задач, общую теорию разностных схем и др.

На протяжении последних десяти лет на Воронежском семи-
наре по функциональному анализу систематически обсуждались
вопросы, связанные с численными методами; в Воронежском
университете был прочитан ряд спецкурсов по применению
функционального анализа в вычислительной математике. Часть
проведенной работы подытожена в настоящей монографии.
Авторы не ставили перед собой цели дать исчерпывающее изло-
жение даже основных известных результатов.

Книга состоит из пяти глав.

В первой главе изучаются итерационные процессы: условия
сходимости, оценки быстроты сходимости, влияние ошибок
округления, распределение ошибок и т. д. В этой главе большое
внимание уделено сходимости итерационных процессов в усло-
виях, когда неприменим принцип сжатых отображений (изло-
жена теория вогнутых операторов, выяснена роль равномерной
выпуклости нормы и т. д.). Во второй главе изучаются линей-
ные задачи: методы приближенного решения линейных уравне-
ний, оценки спектральных радиусов линейных операторов, при-
ближенное отыскание собственных значений и т. д. Важную роль
играют идеи теории полуупорядоченных пространств, В третьей
главе изучаются уравнения с нелинейными гладкими операто-
рами. Эта глава идейно близка к работам Л. В. Канторовича.
Большое внимание в третьей главе уделено обсуждению ситуа-
ций, которые возникают в том случае, когда применение при-
ближенных методов проводится по различным упрощенным фор-
мулам. Предлагаются способы получения апостериорных оценок
погрешности, основанные на топологических соображениях.
Значительную часть глав 1—3 составило содержание спецкурса,
который поочередно читали М. А. Красносельский и Я. Б. Ру-
тицкий; ряд параграфов первой и второй глав написан
М. А. Красносельским и В. Я. Стеценко.

Глава 4 посвящена систематической теории проекционных
методов (методы наименьших квадратов, Галеркина, Галер-
кина — Петрова и др.) в их применениях к приближенному ре-
шению линейных и нелинейных уравнений, к приближенному
отысканию собственных значений. Эту главу в основном напи-
сал Г. М. Вайникко.

В последней, пятой, главе рассматриваются приближенные
методы в трудном разделе нелинейного анализа — теории вет-
вления малых решений. Авторы сочли целесообразным кратко
изложить основные факты теории формальных степенных рядов.
Эту главу написали П. П. Забрейко и М. А. Красносельский.

В книге приведено большое число упражнений. Среди них
есть совсем простые и весьма сложные.

Г., А. Безсмертных, Н. Н. Гудович, А. Ю. Левин, Е. А. Лиф-
шиц, В. Б. Меламед и А. И. Перов высказали интересные
соображения и советы при обсуждении отдельных частей книги.
Ряд важных замечаний был сделан Л. В. Канторовичем и
Г. П. Акиловым, ознакомившимися с рукописью книги. Авторы
искренне благодарны всем указанным лицам.

Авторы
Глава 1

Метод последовательных
приближений

§ 1.	Существование неподвижной точки
у сжимающего оператора

1.1.	Оператор сжатия. Пусть оператор Л определен на не-
котором множестве 991 банахова пространства Е и удовлетво-
ряет условию Липшица

II Дх —4г/1|<<?||х-УII (х, уеЖ). (1.1)

Гели 9<1, то говорят, что А есть оператор сжатия (или сжи-
мающий оператор).

Теорема 1.1 (принцип сжатых отображений).
Пусть множество 3)1 замкнуто. Пусть оператор сжатия А преоб-
разует это множество в себя: A3k(zz3k.

Тогда оператор А имеет в 3k единственную неподвижную
точку х*. Иначе говоря, уравнение

х=Лх

(1-2)

имеет в 9Dt единственное решение х*.

Доказательство. Рассмотрим на 3k неотрицательный
функционал

Ф (х) = ||х — Лх||.	(1.3)

Пусть хп — некоторая минимизирующая Ф(х) последователь-
ность:

lim Ф (xrt) = inf Ф (х) = а.
n->oo	XGil'i

Очевидно,

а < Ф (Ахп) = || Ахп - А2хп ||< q || хп - Ахп || = q Ф (х„),

откуда вытекает, что a^qa. Следовательно, а=0.

Так как

ТО

< ф (х„) + q II х„ - xm II + ф (хт),
т. е. последовательность хп фундаментальна. Ее предел х* при-
надлежит Эй (Эй замкнуто!). Функционал Ф(х) непрерывен,
так как в силу (1.1)

ф (х) - Ф (у) I = | II х - Ах II - II у - А у III

Поэтому

< IIX - у II +1| Ах - Ay II < (1 + q) IIX - у ||.

Ф (х*) = lim Ф (х„) = 0,
П->оо

а это означает, что х* есть решение уравнения (1.2).

Пусть у* также является решением уравнения (1.2), при-
надлежащим Эй. Тогда

||х* — у*\\ = ||Лх* — Лг/*||	^||х* — у*||

и, следовательно, ||х* — у*\\ =0, т. е. х*=у*.

Теорема доказана.

Чаще всего рассматриваются операторы сжатия, определен-
ные на всем пространстве Е или на некотором шаре Т. В по-
следнем случае теорему 1.1 удобно применять в следующей
частной форме.

Теорема 1.2. Пусть А является оператором сжатия на
замкнутом шаре Т = {х: ||х — Xoll^r} банахова пространства Е,
и пусть

1|Лх0 —х01К (1 — q)r.	(1.4)

Тогда оператор А имеет в шаре Т единственную неподвиж-
ную точку.

Для доказательства достаточно проверить включение А Т cz Т.
Оно очевидно: если ||х — х0|| <1 г, то из (1.1) и (1.4) следует не-
равенство

|| Ах — х0 ||<|| Ах — Ах01| + || Ах0 — х01| < q || x — x0|| + (1 — q)r

Упражнение 1.1. Пусть функция К(/, s; и) непрерывна по совокуп-
ности переменных /, s е [а, 6], — оо < и < оо, и удовлетворяет условию

I К (t, s; и) - К (t, s; о) |< М (р) | и - о |	(| и |, | v | < р).

Показать, что оператор
ь

Ах (0 = J К [/, s; х (s)J ds
а

действует в пространстве С непрерывных на [а, Ь] функций и удовлетво-
ряет на каждом шаре пространства С условию Липшица (1.1). При каких
условиях он является оператором сжатия на шаре ||х|| ро?

Упражнение 1.2. Пусть выполнены условия теоремы 1.1. Показать,
что последовательность Axn — xn+i (л = 0, 1, 2, ...) при любом мини-
мизирует функционал (1.3).
1.2. Использование эквивалентной нормы. Пусть на простран-
стве Е кроме основной нормы || • || определена вторая норма,
которую мы будем обозначать через || • ||*. Напомним, что нор-
мы II • II и 11 • ||* называются эквивалентными, если

т|| х ||<||х |1* II (хе£),

где т, УИ>0. При переходе к эквивалентным нормам сходя-
щиеся последовательности элементов пространства остаются
сходящимися, замкнутые множества остаются замкнутыми, от-
крытые — открытыми и т. д.

Если оператор А удовлетворяет в некоторой норме условию
Липшица, то при переходе к эквивалентной норме он, конечно,
также удовлетворяет этому условию. Часто приходится встре-
чаться со следующей ситуацией. В первоначально заданной
норме оператор А удовлетворяет условию Липшица, но не
является сжимающим. Однако при переходе к другой специаль-
но конструируемой эквивалентной норме А становится операто-
ром сжатия. В построении такой специальной нормы, как пра-
вило, состоят основные трудности при исследовании конкрет-
ных уравнений.

Рассмотрим в качестве примера систему обыкновенных диф-
ференциальных уравнений

= Вь .... U (t=

которую запишем в векторной форме

(1.5)

где х(0={М0, •••> £п(0} — вектор-функция со значениями
в //-мерном пространстве Rn. Как известно, задача о разреши-
мости системы (1.5) при заданном начальном условии

х(0)=0

(1.6)

эквивалентна задаче о разрешимости векторного интегрального
уравнения

t

х (/) = J f [s, х ($)] ds.	(1.7)

о

Будем предполагать, что f(t,x) непрерывна по совокупности
персмеппых и удовлетворяет по х условию Липшица

lf(t y)\^L\x-y\	(х, yt=Rn-, 0</<7). (1.8)

Здесь и всюду в дальнейшем через |х| обозначается длина век-
|орп V в пространстве Rn.
Рассмотрим оператор Л, определенный правой частью урав-
нения (1.7):

t

Ах (0 = J f [$, * (5)] ds.	(1 -9)

о

Нетрудно видеть, что этот оператор действует в каждом про-
странстве Сх ((ХтХТ) непрерывных на отрезке [0, т] вектор-
функций с нормой

|| х ||т = шах | х (/) |.	(1.10)

Из (1.8) вытекает, что

||Дх-Д^||х<£т||х-^||г (MeQ-

Поэтому при

1

оператор А удовлетворяет условиям теоремы 1.1. Значит, за-
дача (1.5) — (1.6) имеет единственное решение х*(/), опреде-
ленное на промежутке 0^/<min{7\ 1/L}.

Фактически задача (1.5) — (1.6) имеет решение, определен-
ное на всем промежутке [0, Т]. Для доказательства можно сно-
ва использовать теорему 1.1, если ввести в пространстве Ст
специальную норму. Положим

||х||#= max e"Li/|x(/)|

(х £= Ст\

(1.Н)

где Lx>0. Очевидно,

^1ГЦх||г<||х||,<||х||г

(х се Сг),

т. е. нормы || х ||, и || х ||г эквивалентны. При этом в силу (1.8)

|| Лх — Ау\\* = шах

t

e~Lit J {f [s, x (s)] - f [s, у (s)]} ds
0

t

^.L max eL^s~tS)e~L[S \ x (s) —у (s)\ds^

т

t

^L||x —z/||, max
J

eLx(s-t) = -£- (1 —

e~L,T) || x - у ||,.

Положив Li = L, убеждаемся, что оператор (1.9) в норме
(1.11) является оператором сжатия с постоянной

9=1 — e~L{T < 1.
Следовательно, задача (1.5) —(1.6) имеет единственное решение
х;1:(/), определенное при всех /е=[0, Т].

В качестве второго примера рассмотрим уравнение

t

х (t)= j /С(/, s)f [s, x ($)] ds + qp (0,	(1.12)

о

где x(0—искомая функция, qp(f)—данная непрерывная на
|(), Т] функция, 7<(/, s), f(s, х) —непрерывные по совокупности
переменных 0^/, s <1 Ту —оо<х<оо функции, вторая из кото-
рых удовлетворяет условию

\f(i, x)-f(t, y)\^L\x-y\	(— оо < х, у < оо). (1.13)

Очевидно, оператор Л, определенный правой частью урав-
нения (1.12), действует в пространстве С непрерывных на [0, Т]
функций. Он удовлетворяет неравенству

II Ах-Ayl < ^(1 -	- у\\.	(х, у<=С),

где || • ||* — норма (1.11), а

♦

К = шах | К (£ s) |.

Если KL, то Л в норме (1.11) является оператором сжа-
тия. Из теоремы 1.1 следует, что уравнение (1.12) имеет един-
ственное решение, определенное на [0, Т].

Упражнение 1.3. Показать, что в построениях п. 1.2 вместо нор-
ми (1.11) можно использовать норму

II X U = max | х (/) |

(при каких L2?).

Упражнение 1.4. Доказать, что линейное интегральное уравнение
Вольтерра

t

х (/) = J К (/, s) х (s) ds + Ф (/)
о

г непрерывным ядром K(t,s) (и непрерывной ф(/)) имеет единственное сум-
мируемое решение.

1.3.	Относительная единственность решения. Конкретные задачи, как
правило, приводят к уравнениям, не связанным с каким-либо определенным
функциональным пространством. Одно и то же уравнение можно рассматри-
вать как уравнение с оператором, действующим в различных множествах ЭЛ
разных пространств Е. Допустим, что каким-либо способом (например, при
помощи теоремы 1.1) доказана единственность решения рассматриваемого
уравнения в множестве ЭЛ некоторого пространства Е. Отсюда, конечно, не
вытекает, что это уравнение не имеет других решений в пространстве Е и
чю оно не имеет решений, не принадлежащих Е.
В качестве примера рассмотрим уравнение

1

х (/) = х2 (s) ds.

<

о

(1.14)

Оператор 4, определенный правой частью этого уравнения, в каждом шаре
|| х || р (р < 1/2) пространства С непрерывных на [0, 1] функций удовлетво-
ряет условиям теоремы 1.1. Поэтому тождественный нуль является един-
ственным решением уравнения (1.14) в шаре ||х || < 72. Однако это уравне-
ние имеет второе непрерывное решение x(t) si.

Вместо (1.14) можно было рассмотреть скалярное уравнение х=х2, ко-
торое на любом отрезке [—р, р] (р < 7г) удовлетворяет условиям теоре-
мы 1.1, но имеет два решения х=0 и х=1. Скалярное уравнение х=—х3 в
пространстве вещественных чисел имеет единственное нулевое решение, а в
пространстве комплексных чисел — три решения.

Рассмотрим теперь однородное интегральное уравнение Вольтерра

о

(1.15)

с ядром

К (/, S) =

. t,

если 0 s tel

_.пи /J-ift2 с <Г 1

ССЛИ Ld	о	<5^	1»

Ядро /<(£,$) непрерывно на квадрате 0^/,$^1 (проверьте!). Поэтому урав-
нение (1.15) не имеет ненулевых суммируемых решений (см. упражнение
1.4). Однако это уравнение имеет несуммируемое решение

/

X (0 = •

О,
1А,

если

если

/ = 0,
0</< 1.

Этот пример был указан П. С. Урысоном.

1.4.	Спектральный радиус линейного оператора. Если А—
линейный оператор, то условие сжатия эквивалентно тому, что
норма оператора А меньше чем 1. В связи с этим возникает
вопрос о построении таких эквивалентных норм, при которых
норма данного линейного оператора А будет возможно меньшей.

В теории линейных операторов доказывается (см., напри-
мер, Л. В. Канторович и Г. П. Акилов [1], стр. 153) существо-
вание конечного предела

р0= lim /||ЛП||.	(1.16)

Л-»оо

Число ро называется спектральным радиусом линейного ограни-
ченного оператора А. Очевидно,

ро< 1ИЦ.
Спектральный радиус р0 характеризуется тем, что из нера-
венства

I I > Ро

вытекает существование ограниченного оператора (А — V)"1.
В частности, если А — вполне непрерывный линейный оператор,
то ро=|Хо|, где Хо — наибольшее по модулю собственное значе-
ние оператора А. Здесь нужно рассматривать вещественные и
комплексные собственные значения оператора А; напомним, что
число 2i = o+/r называется собственным значением оператора 4,
действующего в вещественном банаховом пространстве Е, если
найдутся такие х, у^Е, что

Ах = ох-ту, Ау = тх + оу (|| х || +1| у || >0).

Упражнение 1.5. Показать, что при переходе к эквивалентной нор-
ме спектральный радиус линейного оператора не меняется.

Упражнение 1.6. Пусть

t

Л х (/) = J К (Е s) х (s) ds

а

- интегральный оператор Вольтерра с непрерывным ядром Х(/. s) (а С i, s b).
I Вмазать, что спектральный радиус Л, как оператора, действующего в С, ра-
нен пулю.

Указание. Предварительно доказать неравенство

где К = max |	(f, s) |.

a^t, b

Упражнение 1.7. Пусть fk (n=l, 2, ...)—заданная монотонно убы-
вающая числовая последовательность, стремящаяся к нулю. Построить при-

мер такого линейного оператора Л, что

Уил п|| =₽„

(п=1, 2, ...).

Покажем, как построить такую эквивалентную норму в про-
странстве Е, при которой норма линейного оператора А сколь
угодно близка к его спектральному радиусу. Пусть задано
н > 0. Определим такое п, что

У||л«|| <р0 + е.
и положим

1|х||# = (ро + еГ1||х|| + (Ро + еГ2||Лх||+ ... +||Лп’'х||. (1.17)

< )чсвидно,

[(Ро + е)пЧ + (Ро + e)ft-2 IIА || + ... +1| Ап~х ||] || х ||,
т. е. нормы || • || и || • |Ц эквивалентны. Простой подсчет показы-
вает, что

IIАII. = sup || Ах ||„ < р0 + е.

Так как в любой норме Ро^МН*, то

Ро<МИ<Ро + е-

что и требовалось доказать.

В частности, для линейного интегрального оператора Воль-
терра, спектральный радиус которого равен нулю (см. упраж-
нение 1.6), в пространстве С по каждому 8 > 0 можно построить
такую эквивалентную норму, при которой норма оператора бу-
дет меньше е.

Для самосопряженного линейного оператора Л, действую-
щего в гильбертовом пространстве, норма равна спектральному
радиусу. В общем случае не для всех линейных операторов мо-
жет быть построена такая эквивалентная норма, при которой
ЦЛ||ч. = ро. Это нельзя сделать, например, для ненулевого инте-
грального оператора Вольтерра.

Упражнение 1.8. Пусть А—линейный вполне непрерывный опера-
тор, действующий в пространстве Е. Пусть каждому собственному значению
оператора А, модуль которого равен спектральному радиусу, соответствуют
инвариантные подпространства, состоящие лишь из собственных векторов.
Построить в Е эквивалентную норму, при которой ||Л||* = Ро-

Упражнение 1.9. Пусть А—линейный вполне непрерывный опера-
тор, действующий в пространстве Е. Пусть хотя бы одному собственному
значению X, модуль которого равен спектральному радиусу р0, соответствуют
не только собственные, но и присоединенные *) векторы. Показать, что при
переходе к любой эквивалентной норме в Е будет выполнено неравенство
1ИН*>ро-

1.5.	Об операторах, коммутирующих с операторами сжатия.
Иногда бывает полезным следующее простое соображение: если
оператор В, отображающий замкнутое множество 3)1 банахова
пространства Е в себя, коммутирует с оператором А (АВ = ВА),
удовлетворяющим на 9W условиям принципа сжатых отображе-
ний, то неподвижная точка оператора А является одновременно
и неподвижной точкой оператора В.

Действительно, если Лх'*=х*, то

АВх* = В Ах* = Вх*,

т. е. Вх* является неподвижной точкой оператора Л, и поэтому
Вх*=х*.

*) Вектор go называется присоединенным для линейного операто-
ра А, соответствующим собственному значению Xq, если AgQ^= Xogo, но
(Д —Xo/)ngo=O при некотором п>\.
Пусть, например, оператор В отображает замкнутое мно-
жество Зй в себя и некоторая его степень является опе-
ратором сжатия. Тогда АВ = Вп+х =ВА, и, следовательно, опера-
тор В имеет в 3)? неподвижную точку. В этом случае оператор В
имеет в Э№ единственную неподвижную точку, так как все непо-
движные точки оператора В являются одновременно неподвиж-
ными точками оператора А = Вп.

Приведенные выше рассуждения использовали лишь то об-
стоятельство, что уравнение х=Ах имеет в 3W единственное
решение. Поэтому справедлива

Теорема 1.3. Пусть уравнение х=Ах имеет в множестве
!Dt единственное решение. Пусть B3R d Эй и оператор В на 2)?
коммутирует с оператором А.

Тогда уравнение х = Вх имеет в по крайней мере одно
решение.

Упражнение 1.10. Показать, что некоторые степени интегрального
оператора
t

Ах (/) = J К (t, s) х (s) ds + (p (/)
о

с непрерывным ядром /((/, s) (и непрерывной ср(/)) являются операторами
сжатия в пространстве С непрерывных на [0, 1] функций.

Использование степеней Лп линейного оператора А при доказательстве
теорем существования, основанном на применении принципа сжатых отобра-
жений, в определенном смысле равносильно переходу к эквивалентной норме.
Предположим, что в некоторой эквивалентной норме || * | * оператор А удо-
влетворяет условию сжатия. Это значит, что II Ах — Ay I* q || х — у ||#, где
7 < 1, и

m || х ||< || х ||« < М || х ||	(х <= £).

Тогда при таких п, что

будет выполнено неравенство

|| Апх - Апу |К II Апх - Апу ||* <	1| х - у ||* < II х - у |К <7о И х - у ||,

lib	III	III

т. е. n-я степень оператора А является в старой норме оператором сжатия.
Пусть, наоборот, некоторая степень оператора А является оператором
сжатия на УЯ:

|| Апх - А"у |К Яо II х - у ||	(<7о < 1; х, y^.'SSl).

Определим в Е новую норму:

п-1	п-2

1И1*=<70п llx|| + <70rt ||Лх|+ ... +|]4п"1х||.

Нез труда проверяется, что

|| Ах - Ау ||* < q£ || х - (/||*

(х, j/e9R)<
1.6.	Случай компактного множества. Утверждение принципа
сжатых отображений, вообще говоря, перестает быть верным,
если А не является на ЭИ оператором сжатия, но

|| Ах —Лг/1|<|| х — у ||	(х, у <= ЗЯ; х =# у).	(1.18)

Так, например, отображение

Ах = х + —
X

преобразует полупрямую [1, оо) в себя и удовлетворяет условию
(1.18), но не имеет на этом множестве неподвижной точки.

Однако если множество ЗИ компактно, то утверждение прин-
ципа сжатых отображений сохраняет силу и в этом случае.

Для доказательства снова рассмотрим функционал (1.3).

Ф(х) = ||х — Лх||.

Этот функционал непрерывен (так как непрерывен оператор/!).
Поэтому в некоторой точке х* компактного множества он
принимает минимальное значение. Это минимальное значение
равно нулю, так как в противном случае из (1.18) вытекало бы
противоречивое неравенство

ф (Лх*) = || Лх* - Л2х* || < || х* - Лх* || = min Ф (х).
х е

Таким образом, Ф(х*)=0, а это и означает, что х* является
неподвижной точкой оператора Л. Единственность ее выте-
кает непосредственно из (1.1). Из приведенных рассуждений
вытекает

Теорема 1.4. Пусть оператор А преобразует замкнутое
множество ЭИ в свою компактную часть и удовлетворяет на нем
условию (1.18).

Тогда оператор А имеет в ЗИ единственную неподвижную
точку.

Отметим, что оператор Л, удовлетворяющий условиям этой
теоремы, не обязательно является оператором сжатия (ни на ЗИ,
ни на множестве Л ЗИ). В качестве примера можно рассмотреть
отображение
v2

Лх = X---

отрезка [0, 1] в себя.

Упражнение 1.11. Пусть условие (1.18) заменено более слабым усло-
вием

||Лх~Дг/|К||х- у\\	(х, */€=ЭД)-

Пусть ЗИ — либо отрезок [а, Ь], либо круг х2+г/2^/?2, либо круговое кольцо
r2^x2+t/2^/?2. В каких из этих трех случаев можно гарантировать суще-
ствование неподвижной точки у оператора Д?
Упражнение 1.12. Пусть с0 — пространство сходящихся к нулю по-
следовательностей х={£1, ...» In, • • •} (£п->0) с нормой ||х|| =max |gnl. Пусть
п

оператор А определен в этом пространстве равенством

Лх = (^ (l+kll). 4^’	....••• •

I 2	4	8	\ 2rt+ / J

Показать, что А преобразует шар ||х||<1 в себя, удовлетворяет на этом
шаре условию (1.18), но не имеет неподвижных точек.

Упражнение 1.13. То же для оператора Л, определенного в с0
равенством Ах = {-!]!, ..., т]п, ...}, где т)п= -	1 gn + — sin п (л=1, 2, ...),

Упражнение 1.14. То же для оператора Л, определенного в про-

странстве С [0, 1] равенством Л х (/) = (1 — t) х (/) + t sin

1.7.	Оценка коэффициента в условии Липшица. Из формулы
конечных приращений

ZU) - Ж = Ж U - ?/)

вытекает, что скалярная дифференцируемая функция f(x) удо-
влетворяет на отрезке [а, Ь] условию Липшица (1.1) с постоян-
ной

q= sup |f(x)|.

Аналогичное утверждение о коэффициенте в условии Липшица
может быть сделано и для дифференцируемых операторов, хотя
формула конечных приращений для них неверна.

Пусть нелинейный оператор А определен на множестве
ЯЛсгЕ. Напомним, что А называется дифференцируемым (по
Фреше) в точке Зй, если найдется такой линейный ограни-
ченный оператор В, что

]im \\A(xQ + h)~AxQ-Bh\\
ii/iii->o	ИИ

Оператор В называют производной оператора А в точке х0 и
обозначают через А'(х0).

Пусть, например, функции /< (/, $; и) и /<'(/,$; и) непрерыв-
ны по совокупности переменных	Тогда инте-

гральный оператор

ь

А х (/) = J К R, 5; х ($)] ds
а

(1.20)

определен на шаре ||х||^/? пространства С непрерывных
на [а, Ь] функций и дифференцируем на этом шаре как опе-
ратор со значениями в С. Производная оператора (1.20)
определяется, как легко видеть, равенством
ь

А' (х0) h (/) = J к'и [/, s; х0 (s)] h (s) ds.
а

(1.21)

Упражнение 1.15. Если при каждом фиксированном h^E отноше-
ние -у [Л (х0 +	— Ах0] слабо сходится при t -> 0 к Bh, где В — некоторый

линейный ограниченный оператор, то говорят, что А слабо дифференцируем
по Гато в точке xq. Оператор В в этом случае называется слабой производ-
ной Гато. Для обозначения обычно применяется тот же символ Д'(хо), как
и для производной Фреше.

Пусть производная Гато Л'(х) существует в точке хо и в некоторой ее
окрестности, причем II А' (х) — А' (х0) ||-> 0 при ||х— х0|| -> 0. Показать, что
оператор А дифференцируем по Фреше в точке а:0.

Допустим, что множество Эй, на котором задан оператор Л,
выпукло. Пусть

qQ= sup || Л'(х)||.	(1.22)

Тогда для любых двух х, уеЭЙ и для любого линейного функ-
ционала I

I (Ах — Ау) = 1 [Л' (у + 0 (х - у)) (х - у)] <|| 11| • qQ • || х - у ||.

Отсюда

\\Ax-Ay\\^qQ\\x-y\\	(х, j/еЭЙ). (1.23)

Из последнего неравенства вытекает общий способ получения
оценок коэффициента q в условии Липшица (1.1) — такой оцен-
кой может служить любая оценка норм производной оператора.

В качестве примера рассмотрим снова оператор (1.20). Он
удовлетворяет на шаре ||х|| < R условию Липшица с коэффи-
циентом q, если

I Ku (t, s; и) | < —

{a^t,s^b-,\u\^R\	(1.24)

Упражнение 1.16. Показать, что наименьшее q в условии Липшица
(1.1) для дифференцируемого на выпуклом множестве оператора А совпа-
дает с числом (1.22).

Упражнение 1.17. Оценка (1.23), где qo определено равенством
(1.22), неверна, если множество 9Й невыпукло. Постройте пример.

Упражнение 1.18. Пусть оператор А дифференцируем по Гато (см.
упр. 1.15) на отрезке, соединяющем точки х, у. Верна ли формула

II Ах -Ау\\ = || А' [(1 - 0) х + 0Л (х - у) ||,

где 0 = 0 (х, у) —некоторое число из промежутка (0, 1)?

1.8.	Уравнения с равномерно сжимающим оператором. Пусть
Т —шар ||х— х0|| < Р банахова пространства £, а 5 — шар
||z— г0| < а банахова пространства Оператор f(x; z), зави-
сящий от параметра zgS и действующий в пространстве Е, на-
зовем оператором равномерного сжатия (или равномерно сжи-
мающим оператором), если при всех z^S

|| F (х; z) - F (у, z) |К q || х - у ||	(х, г/еГ), (1.25)

где q < 1 и q не зависит от г.

В этом пункте мы будем предполагать, что равномерно сжи-
мающий оператор F(x\ z) при каждом z^S преобразует шар Т
в себя. Тогда из теоремы 1.1 вытекает существование един-
ственного в шаре Т решения x*=x*(z) (z^S) уравнения

x=F(x\ z).	(1.26)

Нас будет интересовать вопрос о свойствах решения x*(z).

Теорема 1.5. Пусть оператор F(x\ z) непрерывен по znpu
каждом фиксированном х.

Тогда решение x*(z) непрерывно.

Доказательство. Вейлу (1-25)

IIX, (z0) - xt (z) II = IIF [х, (z0); z0] - F [x. (z); z] || <

<11F [x. (z0); z0] - F [x. (z0); z] || +1| F [x. (z0); z] - F [x, (z); z] || <

< IIF I*. (z0); Zq] - F [x, (z0); z] || + q || x„ (z0) - x, (z) ||,
откуда

IIX, (z0) - x, (z) II < IIF [x, (z0); z0] - F [x4 (z0); z] ||.
1	4

Поэтому из непрерывности оператора F(x\ z) вытекает непре-
рывность функции x*(z) в точке z0.

Теорема доказана.

Опишем одну схему исследования свойств решения x*(z)
уравнения (1.26).

Допустим, что функции x(z) (2gS) со значениями в Т, обла-
дающие некоторым интересующим нас свойством (!), образуют
в некоторой метрике полное пространство R. Оператор F(x\ z)
естественным образом порождает на множестве всех функций
x(z) со значениями в Т оператор суперпозиции

Fx (z) = F [х (z); z].	(1-27)

Если окажется, что этот оператор преобразует R в себя, то
можно пытаться доказать существование у него неподвижной
точки. Если такая неподвижная, точка существует, то она совпа-
дает с x*(z) (в силу единственности решения!). Следовательно,
x.x.(z) принадлежит R, или, иначе говоря, x*(z) обладает свой-
ством (!).

Проиллюстрируем эту схему,
Оператор F(x; z) (х е Г; 2gS) называется слабо непре*
рывным, если из хп — ->х0»	вытекает

F (*п, zn)—+F(xQ, z0).

Теорема 1.6. Если оператор F(x; z) слабо непрерывен, то
решение x*(z) уравнения (1.26) слабо непрерывно.

Доказательство. Обозначим через R множество огра-
ниченных слабо непрерывных функций x(z) со значениями в Т.
Легко видеть, что R является замкнутым множеством в полном
пространстве всех ограниченных на S функций с нормой

|| х II = sup IIX (z) ||.

z^S

Из условий теоремы и (1.25) вытекает, что оператор (1.27)
оставляет R инвариантным и является на R оператором сжатия.
Поэтому из теоремы 1.1 следует, что этот оператор имеет в R
неподвижную точку, которая совпадает с решением x#(z) урав-
нения (1.26). Как элемент множества R решение x*(z) слабо
непрерывно.

Теорема доказана.

Упражнение 1.19. Пусть оператор F (х; z) удовлетворяет следую-
щему условию: из zn - 9Л- > г, ||хп — х || -> 0 вытекает || F (хп\ zn) — F (х, z) ||->0.
Показать, что решение х* (z) уравнения (1.26) является усиленно непрерыв-
ной функцией, т. е. из zn -£±-> z следует || х* (zn) — х* (z) II О-

Упражнение 1.20. Пусть из ||zn —z||->0,	х вытекает

F (хп\ ——•> Р (х; z). Показать, что решение х* (г) уравнения (1.26)
является ослабленно непрерывной функцией, т. е. из ||zrt —z||->0 вытекает
X* (Zfi)-> х* (z).

Упражнение 1.21. Доказать, классические теоремы о непрерывности
и дифференцируемости по начальным данным решений обыкновенных диффе-
ренциальных уравнений методом, примененным при доказательстве тео-
ремы 1.6.

1.9.	Локальная теорема о неявной .функции. Пусть £,
Е2 — банаховы пространства и f(x; z)—оператор, определен-
ный при ||z — z0| a (z, Zq^Ei) на шаре ||х— xoll b про-
странства Е со значениями в пространстве Е2. Пусть

f(x0; zo)=O,	'	(1.28)

т. е. %о является решением уравнения

f(x, z) =0	(1.29)

при z = z0. Если при всех z, близких к z0, существуют близкие
к %о решения x(z) уравнения (1.29), то говорят, что уравнение
(1.29) определяет неявную функцию x(z).

Вопрос о существовании и свойствах неявной функции,
определенной уравнением (1.29), возникает в различных зада-
чах анализа. Одним из методов доказательства теорем суще-
ствования неявной функции является метод, основанный на
применении принципа сжатых отображений. Приведем здесь
одну такую теорему.

Теорема 1.7. Пусть оператор f(x\ z) удовлетворяет сле-
дующим условиям:

а)	/(х, z) непрерывен по совокупности переменных х, z при
||г — 20|| < а; ||х — х0|| < b и f(x0; zQ) =0.

б)	Оператор f(x‘, z) при тех же значениях аргументов имеет
производную Фреше fx(x', z), непрерывную по норме операто-
ров в точке {х0; z0}.

в)	Линейный оператор f'x(xQ*, z0) непрерывно обратим.

Тогда существуют такие числа а, р>0, что для каждого z из
шара \\z — г0||-<а уравнение (1.29) имеет в шаре ||х — х0|| 4^ р
единственное решение x#(z). Функция x*(z) непрерывна.

Доказательство. Уравнение

эквивалентно уравнению (1.29). Покажем, что непрерывный по
совокупности переменных оператор

F (х; z) = х - [X (х0; z0)] f(x.z)

при некоторых а, р является равномерно сжимающим операто-
ром для ||х — х0|Кр, \\z— Zoll а. Отсюда будет следовать
существование и непрерывность неявной функции х*(г).

Из условия б) вытекает, что оператор F(x, z) дифференци-
руем по Фреше по х и производная

F'x(x; z) = I — [X (х0; z0)] ' f'x (х; z)

непрерывна по совокупности переменных (по норме операто-
ров). Так как Fx(xo; го) = О, то можно указать такое р>0, что
при || х — ХО||<Р, || z — zQ || р выполнено неравенство

FxU; z)

(1.30)

Так как F (х0; z0) = x0, то можно указать такое положительное
а^р, что при ||г —Zolina

||F(x0; z)-x0|K(l — <?)р.

Из этого неравенства вытекает, что при ||г — z0||-^a опера-
тор F(x\ z) преобразует шар ||х — Xq||< р в себя. Из (1.30)
вытекает, что для тех же значений z

||F(x; z) — F{y\ z) || < q\\ x - у ||	(||x-x0||, || у - yQ ||< ₽).

Теорема доказана.

Упражнение 1.22. Пусть нелинейный оператор Л, определенный в
банаховом пространстве Е, удовлетворяет на шаре Т = {х: ||х||^р) условию
Липшица (1.1). Пусть /49 = 9, где 9 — нуль пространства Е. Резольвента R(а)
нелинейного оператора А определяется тождеством

R (a) f = аА R (a) f + f.

1)	Показать, что при | а | < \/q резольвента R (а) определена на шаре
В/II < (1 — | <х | <?) Р-

2)	Показать, что резольвента удовлетворяет неравенствам

Ттгппу • I - ч I < I®<"> f - »(“> IК 11 - ‘ <

3)	Показать, что

§ 2.	Сходимость последовательных приближений

2.1.	Последовательные приближения. Продолжим изучение
уравнения

х = Ах	(2.1)

с оператором Л, действующим в банаховом пространстве Е. Рас-
смотрим последовательность

хп=Ахп_1 (п=1,2, ...),	(2.2)

где х0 — некоторый начальный элемент. Последовательность
хп может быть построена, конечно, лишь в том случае, если х0
принадлежит областям определения всех операторов Ап
(и = 1,2, ...).

Если последовательность хп сходится к некоторому эле-
менту х* и если оператор А непрерывен в точке %*, то из (2.2)
вытекает, что х* является решением уравнения (2.1). Поэтому
условия, обеспечивающие сходимость последовательности хп,
являются условиями существования решения уравнения (2.1).
Однако для нас последовательность хп представляет интерес
с других позиций — ее можно рассматривать как источник все
более точных приближений к решению уравнения (2.1). В связи
с этим нужно знать, для каких уравнений (2.1) последователь-
ные приближения (2.2) сходятся.

2.2.	Уравнения со сжимающим оператором. Последователь-
ные приближения (2.2) сходятся, например, в условиях тео-
ремы 1.1,
Теорема 2.1. Пусть оператор А преобразует в себя зам-
кнутое множество czE и является оператором сжатия:

||Ах —Л г/1|	<71| х -r/Ц (х, #<= 2»; <?< 1).	(2.3)

Тогда последовательные приближения (2.2) при любом на-
чальном элементе х0 Зй сходятся к единственному (в силу
теоремы 1.1) решению х* уравнения (2.1).

Доказательство. Из (2.2), (2.3) и из равенства х*=Лх*
вытекает неравенство

II Хп - х‘ II = II Лх„ч - Ах* IK q II х„-1 - X* ||,

откуда

II хп - х* || < qn || х0 - х* ||	(п=1,2, ...),	(2.4)

и, следовательно,
lim ||х„-х‘||= 0.

П->оо

Теорема доказана.

Неравенство (2.4) характеризует быстроту сходимости. Сле-
дует отметить, что неравенством (2.4) удобно пользоваться
лишь тогда, когда известна априорная оценка разности х0 — х*.
Для получения ‘такой оценки может быть использовано нера-
венство

IIХО - х* IK || х0 - Ах0 II + II Лх0 - Ах* II < || х0 - Ах01| + q || х0 - х* ||,

из которого следует, что

II - X* IK II х0 - Ах0 II.	(2.5)

А л

Из (2.4) и (2.5) вытекает неравенство

Неравенства (2.4) и (2.6) позволяют определить, сколько
нужно найти последовательных приближений, чтобы решить
уравнение (2.1) с заданной точностью. Например, неравенство
II— х*||<5 заведомо будет выполнено, если

1

In q

In -

II х0- Ахо II ‘

(2.7)

Подчеркнем, что условие (2.3) не является необходимым для
сходимости последовательных приближений (2.2).

Упражнение 2.1. Пусть некоторая степень Ak оператора Л, преоб-
разующего замкнутое множество ЭЛ полного пространства Е в себя, яв-
ляется оператором сжатия. Доказать, что последовательные приближения
(2.2) сходятся к единственной на ЭЛ неподвижной точке оператора Л.
Упражнение 2.2. Пусть оператор А преобразует в себя компактное
множество ЗЯ cz Е и удовлетворяет условию

|| Ах - Ау || < || х - у ||	(х, у е= ЗЯ; х у).

Показать, что последовательные приближения (2.2) сходятся к решению ура-
внения (2.1).

Упражнение 2.3. Пусть непрерывная на [0, 1] функция f(x) удовле-
творяет условию 0=С/(х)^1 для хе[0, 1]. Определим последовательные при-
ближения хп формулой

Хп= хп-1+-^-If (хп-1) - Хп-1].	(2.8)

! г

Показать, что при любом xQ е [0, 1] последовательность (2.8) сходится к од-
ному из решений уравнения x=f(x).

Формулы (2.8) имеют смысл и в том случае, когда f(x)—отображение
шара || х || г некоторого банахова пространства Е в себя. Показать, что
приближения (2.8) могут не сходиться уже в случае, когда Е двумерно.

2.3.	Линейные уравнения. Оценки (2.4) и (2.6) в общем слу-
чае не могут быть улучшены, как показывает пример уравне-
ния (2.1) с оператором Ax = qx. Однако при дополнительных
предположениях можно гарантировать более быструю сходи-
мость.

Начнем с линейного уравнения

f	x = Bx+f.	(2.9)

Если ||В||<1, то из теоремы 2.1 вытекает сходимость последова-
тельных приближений

BXfi-\ 4“ f (ft 1, 2, .. •)

(2.Ю)

к решению х* уравнения (2.9). Докажем более точное утвер-
ждение.

Теорема 2.2. Пусть спектральный радиус р(В) оператора
В удовлетворяет неравенству р(В) <1.

Тогда последовательные приближения (2.10) сходятся к ре-
шению х* уравнения (2.9) и для каждого е, 0<е< 1—р(В),
справедлива оценка

l|xn-x*||<^(8)[p(B) + eri|xo-Bxo-ni. (2.11)

Доказательство. Введем (см. п.
11-11., ЧТО

tn (е) IIX IK II х II, < М (в) || х ||

II Вх II, < [р (В) + е] || х ||*

1.4) в Е такую норму

(хе£)	(2.12)

(хе£).	(2.13)

Из (2.13) вытекает, что уравнение (2.9) можно рассматривать
как уравнение (2.1) со сжимающим оператором. Поэтому при-
ближения (2.10) сходятся к я*. Из (2.13) и (2.6) вытекает
оценка

11 х- -** ||* < 1 У;-" в || хо - Вх« - f II*-

Из этой оценки и из (2.12) следует (2.11).

Теорема доказана.

Упражнение 2.4. Пусть спектральный радиус р(В) линейного опера-
тора В меньше чем 1. Показать, что решение х* уравнения (2.9) предста-
вимо сходящимся по норме рядом (рядом, Неймана)

x* = f+Bf+B2f+...

Упражнение 2.5. Из доказательства теоремы 2.2 видно, что оценка
(2.11) может быть заменена более точной оценкой

II Хп - х* II < с р" (В) II х0 - Вх0 - f II,	(2.14)

если при переходе к некоторой эквивалентной норме спектральный радиус
р(В) совпадает с нормой оператора В. Такая эквивалентная норма не всегда
может быть построена (см. упражнение 1.9). Показать, что оценка (2.14)
справедлива, если оператор В вполне непрерывен и р(В)>0. Верно ли это
утверждение в общем случае, если оператор В не вполне непрерывен?

Если справедливо неравенство

|]х„ — х*||< cqn (п=1, 2, ...),

то говорят, что приближения хп сходятся к я* со скоростью гео-
метрической прогрессии со знаменателем q. Теорема 2.2 озна-
чает, что последовательные приближения (2.10) сходятся к ре-
шению со скоростью геометрической прогрессии, знаменатель
которой сколь угодно близок к р(В). В частности, если р(В)=0
(такие линейные операторы называют квазинильпотентными
или вольтерровыми), то приближения (2.10) сходятся со ско-
ростью прогрессии со сколь угодно малым знаменателем.

2.4.	Факториальная сходимость. Рассмотрим интегральное
уравнение

t

я (/)= j K(t, s)x(s)ds + f(f)	(2.15)

а

с непрерывным ядром 7<(/, s) (a^.t, s^b). Так как спектраль-
ный радиус оператора

t

В х (/) = | К (^ 5) х (s) ds
а

равен нулю, то уравнение (2.15) имеет единственное непрерыв-
ное решение х* (t) при любой непрерывной функции /(/). Это
решение является пределом последовательных приближений

t

хп (0 = | К (t, s) х„_1 (s) ds + f (/).
a

(2.16)

Пусть d„ (/) = | x„ (0 - x* (01. Тогда
t

bn(/)<К [ 6n-i(s)ds (K = max |7C(/, s)|\
£	\ a^t,s^b	J

откуда
я /л Kn(t — a)n *

— „! max 6o(O,

и, следовательно,

||x„-x,||= max 6n(t)<cKn{b~a)n (n = l, 2, ...). (2.17)

Из полученной оценки вытекает, в частности, что последова-
тельные приближения (2.16) сходятся к решению х*(/) быстрее
любой геометрической прогрессии. Этот факт был установлен
выше при помощи других рассуждений. Однако неравенство
(2.17) доставляет более полную информацию о быстроте схо-
димости последовательных приближений. Если имеет место не-
равенство (2.17), то принято говорить, что имеет место факто-
риальная сходимость.

Подчеркнем, что факториальная сходимость установлена
нами для уравнений специального вида.

Упражнение 2.6. Построить пример такого вольтеррова линейного
оператора В, чтобы не имела места факториальная сходимость последова-
тельных приближений (2.10).

Упражнение 2.7. Пусть сп (nsl, 2, ...) — такая числовая последо-
вательность, что
п ________________________________

lim у сп =0.

Построить линейный интегральный оператор Вольтерра так, чтобы последо-
вательные приближения (2.10) удовлетворяли условию

II Хп-х*||
lim -------- = оо.

П~> оо Сп

2.5.	Нелинейные уравнения. Перейдем к нелинейному урав-
нению

х=Ах.	(2.18)

Теорема 2.3. Пусть оператор А дифференцируем по Фре-
ше в точке х*, являющейся решением уравнения (2.18). Обозна-
чим через р0 спектральный радиус линейного оператора Л'(х*).

Пусть ро < 1.

Тогда последовательные приближения

хп—Лхп_1	(п— 1, 2, ...)

(2.19)

сходятся к х*, если начальное приближение х0 достаточно близ-
ко к х*. При этом справедлива оценка

II Хп - х* IX с (х0; е) (р0 + е)",

(2.20)

где 8 — любое положительное число.

Доказательство. Введем в Е такую эквивалентную
норму II . IL-,

"i(e)||x||<||x||,<M (е)||х||	(хе£),

что

II 4'Ж<(ро +	|| Л ||,

\ £ /

(йе£).

Из определения производной Фреше вытекает существование
такого 6>0, что из || х — х* Ц* <6 следует неравенство

|| Ах - Ах* - А' (х*) (х - х*) ||, < 11| х - х-1|,.

Поэтому из || х — х*||, <6 вытекает неравенство

|| Ах - х* И, < || Ах - Ах* - А' (х‘) (х - х*) ||, +1| А' (х*) (х - х*) ||. <

<(Ро + е)||х-х*||,.

(2.21)

Если ро + е< 1, то последнее неравенство означает, в част-
ности, что оператор А преобразует шар ||х — х*||*<6 в себя.
Допустим, что некоторое приближение хПо попадает в указан-
ный шар. Тогда из (2.21) вытекает, что при п > nQ выполнено
неравенство

II хп - х* IL < (р0 + II х„0 - х* IL,

откуда после перехода к старой норме вытекает (2.20).

Теорема доказана.

Более точная оценка, чем (2.20), без дополнительных пред-
положений получена быть не может.

Из (2.20) вытекает, что последовательные приближения
(2.19) сходятся к х* быстрее геометрической прогрессии со
сколь угодно малым знаменателем, если производная Л'(х*)
равна нулю. Это замечание может быть усилено, если не только

|| Лх —Лх*|| = о(||х —х* ||),
но

||Лх-Лх*||<А||х-х*||2.	(2.22)
Последнее условие выполнено, например, если оператор А диф-
ференцируем по Фреше в окрестности точки х* и производная
А'(х) удовлетворяет условию Липшица

ЦД'(х) - А'(у) || < Ц\х - у\\.	(2.23)

Действительно, обозначим через I такой нормированный линей-
ный функционал на £, что

1(Ах — Ах*) = \\Ах — Ах* ||.

Тогда из обычной формулы конечных приращений для скаляр-
ных функций вытекает неравенство

|| Ах - Дх* || = I {Д' [(1 - 0) х* + 0х] (х - х*)} <

<1|Д'[(1 - 0)х* + 0х]||-||х-х*||	(0е(О, 1)).

Так как А' (х*) = 0, то

|| Д' [(1 - 0) х* + 0х] || = || Д' [(1 - 0) х* + 0х] - Д' (х*) || < L || х - х* ||.

Поэтому справедливо неравенство (2.22) *). Обозначим через U
такую окрестность ||х — х*|| -О, £г<1, точки х*, в которой вы-
полнено неравенство (2.22). Предположим, что xn^U. Тогда
последовательные приближения (2.19) при п > nQ также принад-
лежат U. При этом из (2.22) вытекает цепочка неравенств

|| хп - х* II<LII х„_, - х II2 < L • Г2II х„_2 - х* ||4 < ...

...<А1+2+-+2ге’"“’1||х„-х’|Гп',
т. е.

II Хп - х* II < ± (LII хПо - х’ ||)2П-По.	(2.24)

Последовательные приближения (2.19) б рассматриваемых
условиях сходятся к х*, если начальное приближение достаточ-
но близко к х*. Поэтому число

6 = L||xrto-x*||

можно считать сколь угодно малым. Следовательно, быстроту
сходимости последовательных приближений (2.19) можно ха-
рактеризовать неравенством

II х„ - х* II < с (6, х0) д2"'"’(6),	(2.25)

где б — сколь угодно малое положительное число.

*) Из (2.23) вытекает более сильное, чем (2.22), неравенство

Mx-Ax*||<y||x-x*IP.
Неравенство (2.25) характеризует существенно более бы-
струю сходимость и чем сходимость геометрической прогрессии
со сколь угодно малым знаменателем, и чем факториальная
сходимость.

Упражнение 2.8. Проверить, вытекает ли из (2.25) оценка

Упражнение 2.9. Как изменится оценка (2.25), если условие (2.22)
заменить менее ограничительным предположением

|| Ах - Лх* || < L || х - х*||1+а,
где а <= (0, 1)?

2.6.	Влияние нулевого приближения на оценку быстроты схо-
димости. Выше мы указали различные оценки погрешности
хп — х*. Эти оценки при некоторых начальных приближениях
завышены. Например, для линейного уравнения

х=Лх,

где А — симметрическая матрица, спектр которой состоит из
двух чисел 71,^2^ (.0, 1), последовательные приближения хп =
=Лхп-1 сходятся к нулевому решению со скоростью при ну-
левом приближении Хо, для которого Лх0 = 91Х0 и со скоростью
q2, если Ах0 = q2x0.

Таким образом, при «удачном» выборе начального прибли-
жения в некоторых случаях может получиться более быстрая
сходимость последовательных приближений, чем та, которая га-
рантируется общими оценками. Если бы оказалось, что в абсо-
лютном большинстве случаев (здесь, конечно, нужны точные
формулировки в вероятностных терминах) сходимость более
быстрая, то при приближенном решении большого числа задач,
быстроту сходимости нужно было бы характеризовать оценка-
ми, отличными от (2.11). К сожалению, подобная ситуация, как
правило, места не имеет. В качестве первого примера мы рас-
смотрим уравнение

х = Вх	(2.26)

с самосопряженным линейным оператором В, действующим
в вещественном гильбертовом пространстве Н. Будем считать,
что В имеет вид

Вх = biPiX + В2Р2х,	(2.27)

где Pi — оператор ортогонального проектирования на некото-
рое подпространство Р2=1— Pi — оператор проектирования
на ортогональное дополнение Н2 к &i=||B||, В2— самосопря-
женный оператор, действующий в Н2, для которого ||В2||^
= Ь2 < Ь{,
Последовательные приближения хп = Вхп^ к нулевому ре-
шению уравнения х = Вх определяются равенством

хп = b^PiXo 4- B2P2XQ

(п=1, 2, ...).

Пусть || Р1Х0Н> 0. Тогда

bi\\ P1X0IKII хп 1К&ГЦ х0||.

Значит, практически при всех начальных приближениях (слу-
чай Р1Хо = О является исключительным) сходимость не медлен-
нее геометрической прогрессии со знаменателем blt но и не бы-
стрее прогрессии с тем же знаменателем.

Подобный результат имеет место и для нелинейных уравне-
ний х=Ах, если

Ax = Bx + Dx,	(2.28)

где В определен равенством (2.27), а оператор D удовлетворяет
условию

||Dx||<y(p)IIx|| (HxIKp),	(2.29)

причем у(р) — монотонно убывающая при р—>4-0 непрерывная
неотрицательная функция, у(0)=0. Последовательные прибли-
жения



+ Dxn-\

в силу (2.27) и (2.29) удовлетворяют неравенству

II	+ Y (llXn-dl)] llx^ll.

(2.30)

(2.31)

Поэтому при достаточно малом х0 справедливы неравенства

II хп !!<(&! 4-уп)||хп_1||	(п=1, 2, ...),	(2.32)

где уп—>0. Эти неравенства означают, что последовательные
приближения сходятся быстрее геометрической прогрессии с лю-
бым знаменателем, большим чем Ь^ Покажем, что «почти при
всех» достаточно малых х0 приближения (2.30) сходятся мед-
леннее геометрической прогрессии с любым фиксированным
знаменателем &i — 8 (е>0).

Пусть а(р) —такая монотонно убывающая при р—>4-0 не-
прерывная функция, что а(0) =0 и

lim^44 = O	(2.33)

(например, можно положить а (р) = ]/ у (р)). Тогда можно вы-
брать такое р0>0, что при р^р0 выполнено неравенство

*1- Y (Р) + 4т1

L______а <Р) -I > 1	(2 34)

*>2 + Y (р) + <* (р) Y (р)	'
В силу (2.29) можно считать одновременно, что

11x11

(11х|Кр0).

(2.35)

Обозначим через ЭД(р0) множество таких точек хе//, что

II Pix ||> а (|| х ||) || Р2х |(,	|| х || < р0.	(2.36)

Легко видеть, что при малых р0 множество (р0) составляет
«основную часть» шара ||х||^р0. Оператор А преобразует ЭД (р0)
в себя. Действительно, при х^ЭД(р0)

|| Р.Ах ||>|| Р^х ||-1| Р^х ||> Ьх || Рхх ||- у(|| х ||)|| х ||>

>6il|Pix||-V(llx||)[l + а(|[1х||)] II Рхх ||	(2.37)

И

II РгАх II < II Р,Вх || + II P2Dx II < Ь, || Р,х || + -у (|| х ||) II х || <

<	II + V (UII) [1 + ^у] II Р,х II; (2.38)

поэтому из (2.34) вытекает соотношение

\\P\Ax ||>а(||х ||)|| Р2Ах ||,
откуда в силу (2.35)

\\PiAx || > а (|| Лх||)|| Р2Ах\\.

Это неравенство означает, что точка Ах удовлетворяет первому
из неравенств (2.36). Второе неравенство вытекает непосред-
ственно из (2.35).

Таким образом, если х0 е ЭД (р0), то все приближения (2.30)
принадлежат ЭД(ро). Из неравенства (2.37) вытекает, что при
любом ненулевом х0<=ЭД(р0) для всех приближений (2.30)
проекции PiXn отличны от нуля, причем

II РЛ.1Х&1 - YJII РхХп-Х II (п=1, 2, ...),	(2.39)

где уп—>0. В частности, по любому е>0 можно определить
такое м0> что ПРИ п > по

II Лх„||> (&, - е)||Р1хп_1||,
откуда

ЦхЛ^НР^ЦХ^-еГ-11/'^	(п=1, 2, ...). (2.40)

(bi — е)По

Предоставляем читателю доказать следующее используемое
в дальнейшем равенство: если xQ е ЭД(р0), то

lim

п -> оо

II PjXn ||

II Р 1хп II

= 0.

(2.41)
Отметим, что аналогичные проведенным выше соображе-
ния можно провести и в случае уравнений в банаховом про-
странстве.

2.7.	Убыстрение сходимости. Продолжим изучение уравнения
х=Ах с оператором (2.28) в гильбертовом пространстве Н. Бу-
дем считать, что D (00 = 0) удовлетворяет более жесткому, чем
(2.29), ограничению

\\Dx-Dy\\^(p)\\x-y\\	(|| х ||, UlKp). (2.42)

Равенство (2.41) имеет простой геометрический смысл: по-
следовательность хп «касательна» к подпространству Hi. Ока-
зывается, что угол между векторами xn+i — хп и подпростран-
ством //1 также стремится к нулю.

Для простоты будем считать подпространство fit одномер-
ным; через е обозначим единичный вектор из Hi. Тогда угол (р
между вектором х и подпространством Hi определится из ра-
венства

cos<p = -^-.	(2.43)

II -4- II

Пусть хеЛ(ро) (см. п. 2.6) и (х, е) > 0. Тогда

(Ах, e) = b{ (х, е) + (£>х, е) > bx || Ptx || - у (|| х ||) || х || > 0.

Следовательно, при хое 9i(p0) и (х0, е) > 0 все приближения (2.30)
удовлетворяют неравенству (хп, е0) > 0.

Очевидно,

(Хд Хц+1, ё) (1	Ь\) (Р\ХП, ё) (Dxn, ё)

(1-&1)||Р1х„||-у(||х„||)||х„||

и

II Хп - xn+1 II < || Р,х„ - Рххп+1 II + II Р2хп II + II P2xn+1 II <

(1 - Ьд || Рххп || +1| Р2хп || + Ь21| Р2хп || + у (II х„ ||) || х„ И,

откуда

(Ха-Хп+Ь е)

II Хп Хл+1 II

Правая часть последнего неравенства стремится к 1; поэтому

Нт

п -> ОО

(2.44)

Это равенство означает, что угол между хп — xn+i и подпро-
странством Hi стремится к нулю.
Покажем, что имеет место равенство
। jm (%п+1 хп 1

(2.45)

Очевидно (здесь мы первый раз используем условие (2.42)),
II ^п+1 %п ^1 (%п	%п-1) II

II В (%п ^п-1)	(%п %п-1) II 4" II Dxn Dxn^i ||

II ^2^	%п-1)	^1^2 (%п %п-1) II 4” Y (II %п-1 II) II %п %п-1 II

(^1 4“ ^2) II ^2 (*п *п-1) II 4“ Y (II % п-l II) II %п %п—1 II»
откуда

(*п+1 — Хп, Хп —• Хп-1)   1 ll-Ert+i ~~~ Хгг — Ь\ (хп — Xn-i) II

II *тг *“ *тг-1 II2	1	|| Хп —- Х/г-i II

< (&! + b2) 1P^Xn_~Xni" + Y (lk„_t у).

Правая часть последнего неравенства в силу (2.44) стре-
мится к нулю при п —юо, откуда и следует (2.45).

В силу (2.44) и (2.45) при больших п справедливы прибли-
женные равенства

А^п+1 %п ~	(%п	-^п-1)»	^п+2	%п+1	(%п+1	%п)> • • •

Но тогда точное решение х* уравнения х=Ах приближенно
можно представить в виде

Хп+1 ~~ Хп

1-bi

откуда

или

(2.46)

х* хп +

(Xn+1 ~ Хп)
l-6f

Из последнего равенства вытекает, что

хп+2 — Хп
1-6? ’

(2.47)

гак как bi(xn+i — хп) ^хп+2 — xn+i.

Число bi в (2.46) может быть заменено в силу (2.45) его
приближенным значением II

(хП+1 — Хп, Хп ~ Xn-l)

II хп- Хп-l II2

(2.48)
Тогда для определения х* мы получим приближенную формулу

х* « хп -	_ у	(2Л9)

^Лп+1	Г Afi-1, Хп — Хп-1)

Эта формула дает лучшее приближение к решению, чем xn+ll
не только в тех предположениях, в которых мы проводили рас-
суждения. В частности, число (2.48) может оказаться отрица-
тельным, производная В оператора А может не быть самосо-
пряженным оператором и т. д. Формулу (2.49) можно рекомен-
довать для самых общих случаев. Более того, формула (2.49)
дает хорошие приближения к х* и в некоторых случаях, когда
обычные последовательные приближения расходятся, например,
когда оператор А «слабо нелинеен», а весь спектр производной
Д'(х*), кроме одной точки, лежит внутри единичного круга.

Проведенные рассуждения можно перенести и на уравнения
в банаховых пространствах. Некоторые осложнения вызывает
отсутствие скалярного произведения. Поэтому в случае бана-
ховых пространств иногда удобно приближенно вычислять не
61, а |&1|. Очевидно,

| г I _ II Хп+2 ~~ Xfl+\ II

1 II Хп+1 ~~ Хп II

Тогда из (2.47) вытекает приближенная формула

Хп+2— Хп+\ )

II Хп+1 ~ Хп || /

Хп+2— Хп

(2.50)

Для определения 6А можно применить к приближенному ра-
венству bi(xn+i — хп) ~хп+2 — Хп+1 какой-либо линейный функ-
ционал /(х). Тогда

/ (Хп+2 ~ Хп+1)

1 I (Хп+1 — Хп)

и из (2.46) вытекает приближенная формула

(Хп+1 Хп)

I (Хп+2 — 2Хп+1 + хп)

(xn+i -Х/г)«

(2.51)

«Качество» этой формулы существенно зависит от того, на-
сколько удачно выбран функционал /(х).

Формулы типа (2.49), (2.50) и (2.51) называют формулами
ускорения сходимости *). Если ими пользуются один раз, то их
естественнее называть формулами уточнения последнего най-
денного приближения. Однако их можно применять и по такой
схеме: ищется несколько обычных приближений (2.2), затем по

*) Такие формулы для линейных уравнений были впервые предложены,
по-видимому, Л. А. Люстерником [2].
формуле (2.49) или (2.50) последнее приближение уточняется,
затем это уточненное приближение принимается за новое на-
чальное приближение и т. д.

2.8.	О распределении ошибок*). При применении итерацион-
ного метода (2.2) вычисления проводят обычно до тех пор, пока
поправка xn+i — хп превышает некоторую заданную величину.
Ошибка хп — х* может при этом быть различной по величине.
Возникает естественный вопрос о вероятном распределении
норм ошибок.

Не будут ли наиболее вероятные ошибки значительно мень-
ше максимальных? Оказывается, что нет.

Мы в этом пункте рассмотрим систему линейных алгебраиче-
ских уравнений

х=Ах-}-Ь,	(2.52)

где А — положительно определенная матрица, все собственные
значения (/=1, ..., т) которой меньше единицы, b — задан-
ный и х — искомый векторы m-мерного пространства. Будет по-
казано, что наиболее вероятными ошибками являются макси-
мальные, если последовательные приближения хп находятся по
рекуррентной формуле

xn+i=Axn + b.	(2.53)

Будем пользоваться обозначениями

= Ахп -Т Ь хп, 8^ х хп.

Очевидно,

еп = (1-А)~'ъп	(п = 1, 2, ...).	(2.54)

Вычитая (2.53) из (2.52), получим

е„+1 = Де„ (п=1, 2, ...),	(2.55)

откуда следуют равенства

= xn+i - хп = (1 - А)еп = (1 - Л) Дяе0. (2.56)

Пусть итерационный процесс заканчивается на р-м шаге,
если вектор-невязка Sp = xp+i— хр попадает в некоторую задан-
ную окрестность G нуля (шар, куб и т. д.). В силу (2.56) это
означает, что ошибка ер попадает в множество Go= (/— Л)-1О.
Г'сли матрица А имеет собственные числа X, близкие к 1, то со-
ответствующие собственные числа (1—X)"1 матрицы (/ — Л)-1
будут велики и область Go будет «сильно растянута» по напра-
влениям соответствующих собственных векторов матрицы А.
Таким образом, может оказаться, что ошибка 8Р будет боль-
шой, несмотря на то что диаметр области G был мал. Вероят-

*) М. А. Красносельский и С. Г. Крейн [2].
ность таких больших ошибок, как мы покажем ниже, при есте-
ственных предположениях больше вероятности малых ошибок.

Будем пользоваться обозначением Gn=4"nG0 (п=1, 2, ...).
Если итерационный процесс закончился на р-м шаге, то (в силу
(2.56)) начальная ошибка е0 находилась в области Gp, причем
е0 ge Gp_i, так как в противном случае процесс закончился бы
раньше.

Ограничимся рассмотрением простейшего случая, когда об-
ласть G — шар радиуса а (качественные выводы будут, ко-
нечно, справедливы и в общем случае), т. е. предположим, что
процесс считается законченным, когда длина вектора 6Р —
=хр+1 — хр( корень квадратный из суммы квадратов невязок)
меньше а. В этом случае область Go является эллипсоидом, со-

держащим шар G, с полуосями длины  -г- (/=1, ..., т), рас-
1 Л/

положенными по направлениям соответствующих собственных
векторов матрицы А.

Обозначим через G_i эллипсоид ЛО0. Его полуоси будут
иметь длину - (/= 1,	т). Как указывалось выше, про-

цесс заканчивается на р-м шаге, если е0 е GP и ео е Gp_i, т. е.
когда вектор 80 находится в слое Gp\Gp_i. При этом оконча-
тельная ошибка будет находиться в слое /1^(GP\GP_1) =
= G0\G-i. Таким образом, окончательная ошибка ер принадле-
жит G-i только в том случае, когда е0 принадлежит Go.

Вероятность нахождения окончательной ошибки в элементе
До объема слоя G0\G-i равна сумме вероятностей нахождения
начальной ошибки в элементах ДП=Л"ПДО (n = 0, 1, 2, ...).

Предположим (также для простоты), что начальная ошибка
80 равномерно распределена в шаре Т достаточно большого ра-
диуса R. В этом случае вероятность Р(ДП) нахождения началь-
ной ошибки в элементе Дпс:Т пропорциональна объему этого
элемента. Очевидно,

объем Дп =

объем Ао
а п а п *

Л1 • • •

Таким образом, вероятность Р(Д0) попадания окончательной
ошибки в элемент До определяется формулой

объем До
объем Т

Р (До) =

П0

A ~k А — k	А — k

Л2 • • •	>

Л=0

где п0—наименьшее натуральное число, обладающее тем свой-
ством, что ДПо+1 Т. Из последней формулы следует, что плот-
ность вероятности попадания окончательной ошибки в точку
слоя G0\G-i для данной точки будет тем больше, чем позже
выйдет эта точка из шара Т при последовательном применении
к ней операции А~1.

Слой G0\G-i разбивается на части Fi, Р2, ... (первые из
этих множеств могут оказаться пустыми), каждая из которых
состоит из точек, выходящих из шара Т после применения опе-
рации А~1 ровно &+1 раз. При этом множество Fh является пе-
ресечением слоя G0\G-i со слоем Ah~lT\AhT. Плотность рас-
пределения вероятности окончательной ошибки будет на ка-
ждом множестве Fk постоянной и будет возрастать с ростом
номера k.

Теорема 2.4. Пусть по условию итерационный процесс
(2.53) заканчивается тогда, когда длина вектора-невязки стано-
вится меньше а. Пусть начальная ошибка равномерно распре-
делена в шаре Т радиуса R. Тогда вероятность Р того, что дли-
на окончательной ошибки е заключена в пределах

(2.57)

где Кт — наибольшее собственное число матрицы А, стремится
к единице, когда >оо, при произвольном т]<1.

Доказательство. Обозначим через е^ (г=1, ..., т)
собственные векторы матрицы Л, соответствующие собственным
числам (/=1, ..., т), занумерованным в порядке возраста-
ния.

Оценим вероятность того, что окончательная ошибка

е - 2 5,е,

1 = 1

не удовлетворяет условию (2.57), т. е.

m

Х = 1

ohm V
1 ^т /

(2.58)

Предположим вначале, что эта ошибка лежит в слое G0\G_i,
т. е.

m

Sn >«2.	(2.59)

Л;

f = l	1

I1усть

Т] < тр < 1,	(2.60)

и обозначим через Хь ..., Xs такие собственные числа матри-
цы Л, которые удовлетворяют неравенству

0 = 1. .... 5).	(2.61)

A/и	Aj
Для собственных чисел Xs+i, ..., при этом будут справед-
ливы неравенства

(i = s+l, т).	(2.62)

В силу (2.59) и (2.62)

(1 -Л/)2
%

т

tn

t=s+l

откуда в силу

и так как

то

i=s+l

(2.63)

(2.64)

Из (2.64) следует, что вектор A~he не принадлежит шару Т при

(2.65)

Действительно, если k удовлетворяет неравенству (2.65), то в
силу (2.64)

Таким образом, окончательная ошибка может удовлетворять
условиям (2.58) и (2.59) только тогда, когда начальная ошибка
находится в эллипсоиде 6^=Л_/гОо, где k = k(R)—некоторое
фиксированное натуральное число, удовлетворяющее условию
(2.65). Из (2.65) при этом следует равенство

lim k (R) = оо.

R оо

(2.66)

Легко видеть, что k(R) можно выбирать так, чтобы выполня-
лось также неравенство

%ksR >	1/ 1 — (—Г •	(2-67)

1 — Al F \ Л1 /
Если окончательная ошибка лежит в G_i, то начальная
ошибка лежит в Go и, следовательно, тоже в G^. В силу этого
вероятность нахождения начальной ошибки в эллипсоиде Од
больше вероятности того, что окончательная ошибка удовлетво-
ряет условию (2.57).

С другой стороны, начальная ошибка может находиться
только в шаре Т. В силу этого отношение объема пересечения
GfeD? к объему шара Т больше вероятности того, что оконча-
тельная ошибка не удовлетворяет условию (2.57).

Обозначим через Е\ линейное подпространство, натянутое на
собственные векторы е\, ..., es, и через Е2— подпространство,
натянутое на собственные векторы es+i, ..., em. Очевидно, объем
пересечения СдАТ меньше произведения объема s-мерного
шара Г1 = ГПЕ1 на объем (п — $)-мерного эллипсоида Gk =
= Gk А £2. Так как

объем ?! = csRs,

*

объем Gk=

As+1 • • •

ТО

С. г МЯ5	MRS

объем Gk А Т <----------------------

л k yk л (m-s) k
л$+1 • • •	Л5+1

MRm

где

' “ (1-К5+1) ... (1-XW) ’

и в силу (2.67)

объем Gk П Т < MRm f-----.........

I aWsy

С другой стороны,
объем Т = cmRm\

при четном /,

при нечетном /;

у \ (т-s') k

-Т^-1	. (2.68)

следовательно, в силу (2.68)

(2.69)

Переходя в (2.69) к пределу при R —> оо, получим, что ве-
роятность невыполнения условия (2.57) стремится к нулю при
R —► оо.

Теорема доказана.
Теорема 2.4 отражает то же свойство последовательных
ошибок хп — х*, которое было установлено в п. 2.6, — эти
ошибки при больших п близки по направлению к собствен-
ному вектору, соответствующему наибольшему собственному
значению.

В работе Д. Г. Перадзе «О распределении ошибок при решении системы
линейных алгебраических уравнений методом итераций» (Сообщения АН Гру-
зинской ССР, 50, № 2, 1968) подробно изучено распределение ошибок для
случая, когда матрица А в уравнении (2.52) не обладает свойством сим-
метричности.

2.9.	Влияние ошибок округления. Вернемся к рассмотрению
уравнения

х=Ах	(2.70)

в произвольном банаховом пространстве Е. Будем предпола-
гать, что оператор А преобразует замкнутое множество ЗИс:£
в себя и является на ЭИ оператором сжатия:

|| Ах-At/||<<7l|x-z/||	(х, «/«=$£; q< 1).	(2.71)

При фактическом вычислении последовательных приближений
xn = Axn—i (п=1, 2, ...),

как правило, точное отыскание хп по ранее найденному xw_i не-
возможно, так как при вычислении значений оператора А при-
ходится применять приближенные формулы (например, опре-
деленные интегралы приходится заменять формулами механи-
ческих квадратур и т. п.), так как при численном счете неиз-
бежны ошибки округления. Обычно можно лишь утверждать, что
суммарная ошибка при применении оператора А по норме про-
странства Е не превосходит некоторого числа д.

Таким образом, при фактическом построении последователь-
ных приближений справедливы равенства

хп = Xxn-i + hn (/2=1,2,...),	(2.72)

где случайный элемент hn^E неизвестен, но известна оценка

||/in||<6	(п=1, 2, ...).	(2.73)

Последовательные приближения (2.72) уже могут не схо-
диться к решению х* уравнения (2.70). Однако для этих после-
довательных приближений, вообще говоря,

ПЫ II х„ - х* II < -f4-.	(2.74)

п -> оо	1 ч

Эта формула позволяет найти приближенно решение, если нам
.	.	б

не требуется более высокая точность, чем -.
Будем считать, что все последовательные приближения
(2.72) принадлежат множеству ЭК, на котором А является опе-
ратором сжатия. Из (2.71) и (2.72) вытекает оценка

II Xn+l - х* IK q II хп - х* II + д.

Отсюда

и, следовательно,

II Xn+l - х’ || < r+1 II х0 - х* II +	,	(2.75)

откуда и следует (2.74).

§ 3.	Уравнения с монотонными операторами

3.1.	Постановка задачи. В предыдущих параграфах сходи-
мость последовательных приближений

к решению х* уравнения

(3.1)

(3.2)

являлась следствием того факта, что А был оператором сжа-
тия. Однако последовательные приближения (3.1) могут схо-
диться и в других случаях. В частности, могут быть описаны

некоторые классы операторов Д,
заданных на множестве ЭК бана-
хова пространства Е и обладаю-
щих тем свойством, что при
х0 е ЭК последовательные при-
ближения (3.1) при достаточно
больших п принадлежат друго-
му множеству ЗК0с=ЗК, на кото-
ром А является оператором сжа-
тия.

Рассмотрим простой пример.
Пусть f(x)—непрерывная, во-

гнутая и монотонно возрастаю-	Рис. 3.1.

щая на отрезке [а, Ь] неотрица-

тельная функция, a <f(x)< b. Пусть х*— решение уравнения
x=f(x) (рис. 3.1). Из вогнутости f(x) вытекает, что последова-
тельные приближения xn=f(xn_i) сходятся к %* при любом
Хо е [а, Ь]. При этом функция f(x) может не удовлетворять на
всем отрезке [а, Ь] условию Липшица с постоянной, которая
меньше единицы. Однако в некоторой окрестности точки х*
функция f(x) уже удовлетворяет такому условию Липшица»
Предположим теперь, что неотрицательная непрерывная при
O^a-^x^fe функция f(x) монотонно возрастает, а отноше-
f (х)

ние - монотонно убывает. Последнее условие имеет простой
ЭС

геометрический смысл: луч y = kx, проходящий через начало
координат, пересекает график функции y = f(x) не более чем в
одной точке х(й), причем график этой функции при x>x(fe)
расположен под лучом (рис. 3.2). В описанный класс функций
(мы их будем называть квазивогнутыми) входят, в частности,
вогнутые функции. Как нетрудно видеть, для квазивогнутых
функций f(x) последовательные приближения xn=f(xn-i) также
сходятся к решению х* уравнения х=/(х), если это решение
существует (см. рис. 3.2). Если при этом fz(x*) = l, то ни в ка-
кой окрестности точки х* функция f(x) не является оператором

сжатия, а последовательные при-
ближения хп сходятся медлен-
нее любой сходящейся геометри-
ческой прогрессии.

Ниже будет показано, как по-
нятия вогнутости и квазивогнуто-
сти обобщаются на операторы.

Допустим, что оператор Л,
оставляющий инвариантным мно-
жество ЭИ, имеет на ЭК единствен-
ную неподвижную точку х*. До-
пустим, что для оператора В=АЬ
последовательные приближения

xn = Bxn-i сходятся к х* при любом начальном приближении
Хо^ЗЙ. Тогда, как легко видеть, приближения xn=Axn_i также

сходятся к х*. Поэтому условия сходимости последовательных
приближений можно формулировать в терминах принадлеж-
ности оператора Ah при некотором k классу вогнутых или ква-

зивогнутых операторов.

3.2.	Конус в банаховом пространстве *). Отрезком [х, у], соеди-
няющим точки хиг/ банахова пространства Е, называется со-
вокупность элементов вида /х+(1 — t)y (0 <0-^1). Множе-
ство называется выпуклым, если вместе с каждыми двумя точ-
ками оно полностью содержит отрезок, соединяющий эти две

*) Здесь приводятся элементарные понятия, относящиеся к простран-
ствам, полуупорядоченным при помощи некоторого конуса (см. Л. В. Канто-
рович, Б. 3. Вулих и А. Г. Пинскер [1], М. Г. Крейн и М. А. Рутман [1],
Б. 3. Вулих [1], М. А. Красносельский [8, 11]). Все используемые в этой
книге понятия и утверждения теории конусов и теории положительных опе-
раторов детально обсуждаются в монографии М. А. Красносельского [11].
точки. Лучом, проходящим через точку	назовем со-
вокупность точек tx (/	0).

Замкнутое выпуклое множество KczE называется конусом,
если вместе с каждой точкой х оно содержит луч, проходящий
через х, и если из х, —х е К вытекает, что х = 9. Для нас основ-
ными примерами конусов будут служить совокупности неотри-
цательных функций в различных пространствах функций (C,LP
и др.) и конусы векторов с неотрицательными координатами.

При помощи конуса К в пространстве Е вводят полу упоря-
доченность. Пишут х<^у, если у — х К. Знак < обладает
обычными свойствами знака : неравенства можно умножать
на положительные числа; из х у и у вытекает неравен-
ство из х у и у<^х вытекает равенство х=у, в нера-
венствах можно переходить к пределу.

Множество элементов х, удовлетворяющих неравенствам
называется конусным отрезком и обозначается че-
рез (а0, а»о).

Последовательность хп называется монотонно возрастающей,
если х2 "С • • • хп • • • Последовательность хп назы-
вается ограниченной (сверху), если xn-^z (и =1,2, ...), где
z — фиксированный элемент. Последовательность хп называется
ограниченной по норме, если ||xn|| М (п = 1, 2, ...). Конус К
правильный, если каждая ограниченная монотонная последова-
тельность сходится по норме. Конус К вполне правильный, если
каждая ограниченная по норме монотонная последователь-
ность сходится по норме. Как оказывается, каждый вполне пра-
вильный конус — правильный. В конечномерном пространстве
каждый конус вполне правильный. Конус неотрицательных
функций в пространстве Lp (1^р<оо) вполне правильный;
конус неотрицательных функций в пространстве С не обладает
даже свойством правильности. Вполне правильным в простран-
стве С будет каждый конус Ка (0 < а < 1) таких функций x(t),
для которых

атах| х (т) | х (/)
т

(докажите!).

Оператор А, оставляющий инвариантным конус К (А К ст. К),
называется положительным. Если из х <^у вытекает, что
Ау, то оператор А называется монотонным. В п. 3.3 будет
выделен класс таких положительных операторов А, что реше-
ние уравнения х=Ах может быть получено методом последова-
тельных приближений.

Пусть Е — n-мерное пространство с конусом К векторов
с неотрицательными координатами. В этом случае матрица
А = (ац) определяет положительный оператор тогда и только
тогда, когда все ее элементы неотрицательны *).

Упражнение 3.1. Пусть матрица А с неотрицательными элементами
невырождена, и пусть элементы обратной матрицы также неотрицательны.
Показать, что в каждой строке и в каждом столбце матрицы А есть один и
только один ненулевой элемент.

В качестве второго примера рассмотрим линейный инте-
гральный оператор

Ax(t) = f G(/, s)x(s)ds	(3.3)

e
Q

с неотрицательным ядром G(/, s). Этот оператор, очевидно, по-
ложителен на конусе неотрицательных функций в том простран-
стве, в котором он действует.

Упражнение 3.2. Показать, что для линейных операторов понятия
положительности и монотонности равносильны.

В качестве примера нелинейного положительного оператора
рассмотрим интегральный оператор Гаммерштейна

А х (0 = G (/, s) f [s, х ($)] ds,	(3.4)

где Q — ограниченное замкнутое множество конечномерного
пространства. Пусть ядро G(/, s) неотрицательно на QxQ и
f(t, х)>0 при х 0. В этом случае оператор А положителен
на конусе /< неотрицательных функций того пространства, в ко-
тором он действует**). При этом А монотонен, если f(/, х) не
убывает по х.

У п р а ж н е н и е 3.3. Пусть ядро G(t, s) оператора (3.4) непрерывно и
удовлетворяет условию

0 < т G (t, s) М (/, s е Q).	(3.5)

Пусть функция f (t, х) неотрицательна и непрерывна по совокупности пере-
менных t е Q, х 0.

*) Матрицы с неотрицательными элементами детально изучены в книге
Ф. Р. Гантмахера [1].

♦*) Условия, при которых разные нелинейные интегральные операторы
действуют в различных функциональных пространствах и обладают хоро-
шими свойствами (непрерывность, полная непрерывность и др.), изучались
многими авторами (простейшие теоремы приведены у Л. В. Канторовича и
Г. П. Акилова [1]; более общие результаты изложены в монографиях
М. А. Красносельского, П. П. Забрейко, Е. И. Пустыльника, П. Е. Соболев-
ского [1], М. А. Красносельского и Я. Б. Рутицкого [1], А. Цаанена [1],
П. П. Забрейко [2]; исследование положительных интегральных операторов
см. у М. А. Красносельского [8, 11]).
Показать, что оператор (3.4) положителен на каждом конусе Ка про-
странства С непрерывных на Q функций, если	Показать, что этот

оператор монотонен на Ка, если функция f (t, х) не убывает по х.

Упражнение 3.4. Рассмотрим систему обыкновенных дифференциаль-
ных уравнений

= Ах,	(3.6)

где Д = (flij) — постоянная
щее начальному условию

определяется формулой

матрица. Решение уравнения (3.6), удовлетворяю-

х (0) = х0,

х (t) = еА*х0.

(3.7)

(3.8)

Показать, что линейные операторы eAt(t>0) положительны на конусе
векторов с неотрицательными координатами, если внедиагональные элементы
матрицы А неотрицательны: ац 0 при i =/= /.

Упражнение 3.5. Рассмотрим нелинейную систему дифференциаль-
ных уравнений
dxf

=	G=l> •••, п)	(3.9)

с непрерывными правыми частями. Пусть решения этой системы однозначно
определяются каждым начальным условием (3.7) и определены при всех
t > 0. Решения можно записать в виде

x(t) = U(t)x0.

(3.10)

Оператор U(/) называют оператором сдвига по траекториям дифференциаль-
ного уравнения.

Показать, что операторы U (/) (t > 0) положительна на конусе векторов
с неотрицательными координатами, если при каждом 1 = 1, 2, ..., п

fi(t, Х1, ..., Xi-1, 0, Xi+1, ..., хя) > 0	(xj>0; Z>0). (3.11)

Упражнение 3.6. Показать, что операторы U(/) (/>0) монотонны
на конусе векторов с неотрицательными координатами, если правые части
системы (3.9) обладают свойствам внедиагональной монотонности, т. е. при
каждом Z=l, 2, ...» п и при каждом фиксированном z^0 из неравенств

0<Х1<//1, ..., 0<Хг-1< г/г-1, 0< Хг + 1 < Г/г+1, ..., 0<Хп<Г/п

следуют неравенства

/г(/, Х1, ..., Xi —1, Z, Хг + 1, •	*n) < f i (t,	..., Г/j-i, Z, yW, . .., yn).

3.3.	Разрешимость уравнений с монотонными операторами.

Начнем с простого замечания.

Пусть для положительного монотонного оператора А могут
быть указаны такие элементы и ау0, что и0 и

> ^о,	(3.12)

Тогда оператор А оставляет инвариантным конусный отрезок
(уо, Wo}. Образуем последовательности

vn=Avn-t, wn=Awn_i (n=l, 2, ...).	(3.13)
Первая из них в силу (3.12) монотонно возрастает и ограничена
сверху, а вторая монотонно убывает и ограничена снизу. По-
этому указанные последовательности сходятся, если конус К
правильный.

Если оператор А непрерывен, то в равенствах (3.13) можно
перейти к пределу. Значит,

w*=Aw*,	(3.14)

где у* — предел последовательности vn, aw* — предел после-
довательности wn. При этом элементы v* и w* могут быть раз-
личными.

Приведенные рассуждения показывают, что для доказатель-
ства существования решений уравнения (3.2) с непрерывным
монотонным оператором А и для построения сходящихся по-
следовательных приближений достаточно установить существо-
вание элементов о0 и t0o, удовлетворяющих соотношениям (3.12),
и уметь построить один из этих элементов.

Иначе говоря, доказана

Теорема 3.1. Пусть конус К правильный. Пусть непрерыв-
ный и монотонный на конусном отрезке wQ} оператор А
преобразует этот отрезок в себя.

Тогда оператор А имеет на wq) по крайней мере одну
неподвижную точку. При этом последовательности (3.13) схо-
дятся к неподвижным точкам оператора А.

Правильность конуса К в теореме 3.1 была использована
лишь при доказательстве сходимости последовательностей
(3.13). Поэтому от предположения о правильности конуса К
можно отказаться, если сходимость последовательностей (3.13)
вытекает из каких-либо других соображений. Например, легко
видеть, что ограниченные монотонные последовательности схо-
дятся, если они компактны. Поэтому справедлива

Теорема 3.2. Пусть непрерывный и монотонный на конус-
ном отрезке (у0, wQ) оператор А преобразует этот отрезок в
свою компактную часть.

Тогда А имеет на (vQ, w0) по крайней мере одну неподвиж-
ную точку. При этом последовательности (3.13) сходятся к не-
подвижным точкам оператора А.

В условиях этой теоремы предположение о компактности
множества Л(и0, Wq) можно заменить менее ограничительным
предположением о компактности одного из множеств

Другим признаком сходимости последовательностей (3.13)
может служить существование определенного на (d0, wq) опе-
ратора F, удовлетворяющего условию

F{x + y)> Fx 4- а (|| у ||)г0	(х, x + t/G=(u0, u>0); у^К). (3.15)
где а(г)—неубывающая и положительная при г > 0 функция,
z0 — отличный от нуля элемент конуса К.

Действительно, предположим, что первая последователь-
ность (3.13) не сходится. Тогда для некоторой подпоследова-
тельности

w

о

и некоторого г>0 будут выполнены неравенства

|%+,~%11>8	(6=1,2,...).

Поэтому

Fv ^>Fv4-a(s)z0> ... > Fvn + ka(e)z (6 = 1,2,...),
nk + l	bk	4	u

откуда

fea(e) (f шо ~ ^o) > 2o (6=1,2,...).

Переходя в этом неравенстве к пределу при k —> оо, получим
соотношение z0 0. Мы пришли к противоречию.

Аналогично рассматривается случай, когда расходится вто-
рая из последовательностей (3.13).

Обращаем внимание читателя, что конусные отрезки (и0, ^о)
могут быть неограниченными (по норме) множествами. Если
эти отрезки ограничены по норме при любых ц0, то конус К
называют нормальным *). Конус неотрицательных функций в
пространствах С, Lp нормален. Наиболее простой признак нор-
мальности дает следующее утверждение**): если из &<^х<^у
вытекает неравенство ||х|| ^Af||z/|| (где М — постоянная), то ко-
нус К нормальный. Справедливо и обратное утверждение.

В качестве элемента v0 в конусном отрезке (и0, w0) часто
можно выбрать нулевой элемент пространства. Чтобы построить
элемент Wo (или убедиться в его существовании), можно поль-
зоваться мажорантами оператора А, т. е. такими операторами В,
что

Ах^Вх (хсК).	(3.16)

Если для мажоранты В можно построить такой элемент wQ, что

Bwq Wq, то тем более будет выполнено неравенство

В качестве мажоранты удобно рассматривать операторы
вида

Bx = Dx+f,	(3.17)

*) М. Г. Крейн называет конус К нормальным, если существует такое
6 > 0, что ||х + у\\ ^6 при х, у К и llrll = llz/ll = 1. Мы привели эквива-
лентное определение.

**) И. А. Бахтин [2].
где D — линейный положительный оператор, a f — некоторый
элемент из К. Допустим, что спектральный радиус оператора D
меньше чем 1. Тогда решение г* уравнения

z = Dz+f

представимо, как мы знаем, сходящимся по норме рядом

= f +	... +D"f+ ...	(3.18)

Очевидно, z*^K. При этом из (3.16) вытекает соотношение
Az* <. z*.

Сделаем еще одно замечание. Для применения теоремы 3.1
или теоремы 3.2 достаточно, чтобы оператор (3.17) был мажо-
рантой оператора А на конусном отрезке (0, г*).

В качестве примера рассмотрим интегральное уравнение

х (0 = j G (t, s') f [s, x (s)] ds

Q

(3.19)

с непрерывным неотрицательным ядром G(t, s) и непрерывной
неубывающей по х при х > 0 функцией f(t, х). Допустим, что
функция f (/, х) допускает оценку

0 f(t, х) ах + &

причем

яро< 1,

(3.20)

(3.21)

где ро — спектральный радиус линейного интегрального опера-
тора с ядром G(t, s). Определим оператор В равенством

Вх (/) = а

G(t, s)x(s)ds + Af&mesQ,

Q

где M^G(t, s) при всех /, seQ. Очевидно, В является мажо-
рантой оператора Л, определенного правой частью уравнения
(3.19) на конусе К неотрицательных функций пространства С.
Из проведенных выше рассуждений вытекает, что оператор А
оставляет инвариантным конусный отрезок, состоящий из функ-
ций, удовлетворяющих неравенству

0<х(0<г*(0	(/ей),

где z* — неподвижная точка оператора В.

Очевидны монотонность и полная непрерывность опера-
тора А. Поэтому из теоремы 3.2 вытекает, что уравнение (3.19)
имеет по крайней мере одно неотрицательное решение и что
последовательные приближения

хп (0 = f G (t, s) f [s, xn-t ($)] ds

Q

(n = l, 2, xoffl = O)

равномерно сходятся к одному из таких решений.

Упражнение 3.7. Рассмотрим краевую задачу

Lx=f(t, х),	(3.22)

где L — эллиптический дифференциальный оператор в ограниченной области
с граничными условиями, обеспечивающими неотрицательность функции
Грина. Пусть f (/, х) непрерывна и не убывает по х(х'^О). Пусть выпол-
нены условия

f(t, 0)>0, lim -Н^- = 0.	(3.23)

X -> ОО X

Показать, что краевая задача (3.22) имеет по крайней мере одно не-
отрицательное решение, причем к одному из таких решений сходятся после-
довательные приближения Xn(t), определяемые из линейных уравнений

L хп (/) = f [/, хп-1 (/)] (n = 1, 2, ...; xQ (0 = 0).

3.4.	Ненулевые положительные решения. Предположим те-
перь, что уравнение (3.2) с положительным оператором А имеет
нулевое решение (Л0 = 0), и поставим вопрос о существовании
у этого уравнения ненулевых решений в конусе и о сходимо-
сти к этим ненулевым решениям последовательных приближе-
ний (3.1). Чтобы применить рассуждения, изложенные в п. 3.3,
нужно найти ненулевой элемент и0, который удовлетворяет не-
равенству	Если искать элементы и0, имеющие доста-

точно малую норму, то естественно ожидать, что значения Avq
в существенном определяются элементами Л'(0)^о, если Л'(0)
существует. На этом пути могут быть получены различные ре-
зультаты. Можно воспользоваться также минорантами опера-
тора.

Оператор F называется минорантой оператора А на множе-
стве ЭИ, если

Fx<,Ax (хе ЗИ).	(3.24)

Если у0 то тем более ио Следовательно, элемент
можно искать для миноранты F.

В качестве примера рассмотрим снова уравнение (3.19),
причем будем считать выполненными условия (3.20) и (3.21).
Дополнительно будем считать, что f(t,O) = O. Тогда уравнение
имеет нулевое решение.

Пусть

f (^» х) ах	(0 < х < 6; а, д > 0).	(3.25)
Из (3.25) вытекает, что линейный оператор

F х (/) = a G (/, s) х (s) ds
с
Q

является минорантой оператора Л, определенного правой ча-
стью уравнения (3.19), на пересечении конуса К неотрицатель-
ных функций пространства С с шаром ||х|| 4^ 6. Из общей тео-
рии интегральных операторов с положительными ядрами выте-
кает существование такой ненулевой неотрицательной функ-
ции h(t), что

F h (/) = р (F) h (/).

Допустим, что p(F)>l. Тогда миноранта F на всех элементах
= удовлетворяет соотношению Fv v0. Поэтому для до-
казательства существования у уравнения (3.19) ненулевого не-
отрицательного решения и для доказательства сходимости к од-
ному из таких решений последовательных приближений

х„ (/) = j G (t, s) f [s, xn-i (s)] ds (n = 1, 2, ...) (3.26)
£

при xQ(t) = kh(t) (А —малое положительное число) достаточно
найти функцию	которая удовлетворяет двум условиям:

w0(/) х0 (t) и	В качестве такой функции можно

выбрать решение уравнения

z (/) = a J G (t, s) z (s) ds + Mb mes Q + x0 (/).

Упражнение 3.8. Пусть A — монотонный на конусе К непрерывный
оператор. Пусть выполнены условия

Ах < Вх + f (хе К),

Ax^BiX (х g= К, || х || < д),

где операторы В и В\ линейны, а их спектральные радиусы удовлетво-
ряют неравенствам

р(В)<1<р(В1).

Пусть у оператора В\ в К есть собственный вектор h, соответствующий соб-
ственному значению p(Bi).

Пусть, наконец, выполнено одно из условий: конус К нормален и А
вполне непрерывен, или К правилен и А непрерывен.

Доказать, что уравнение х = Ах имеет в К по крайней мере одно ненуле-
вое решение, к которому сходятся последовательные приближения хп=Дхп-1
при соответствующих начальных приближениях. Как строить начальные при-
ближения при помощи операторов В и Bi?
§ 31

3.5.	Уравнения с вогнутыми операторами. Пусть uQ—некото-
рый фиксированный элемент из конуса К. Положительный мо-
нотонный оператор А называется щ-вогнутым, если он удовле-
творяет двум условиям:

1.	Для любого ненулевого хе К справедливы неравенства

сш0 < Ах < 0ио,	(3.27)

где а = а(х) >0, Р = ₽(х) > 0.

2.	Каждому такому х, что auo<x<j pu0 (а, р > 0), и каж-
дому /е(0, 1) соответствует такое положительное y] = t)(x, /),при
котором справедливо неравенство

Д(/х)>(1 + ц)Мх.	(3.28)

Примером ^о-вогнутого (t/o(O = 0 на конусе К неотрицатель-
ных функций в пространстве С может служить оператор

Лх (/) = J G (/, 5) f [х ($)] ds,	(3.29)

Q

если функция f(x) квазивогнута (см. п. 3.1), а ядро G(t, s) не-
прерывно и положительно.

Уравнения с и0-вогнутыми операторами обладают рядом ин-
тересных свойств. В частности, такие уравнения имеют в конусе К
не более одного ненулевого решения. Приведем без доказатель-
ства теорему о сходимости последовательных приближений.

Теорема 3.3*). Пусть оператор А непрерывен и во гнут.
Пусть конус К правильный. Пусть уравнение (3.2) имеет в ко-
нусе К ненулевое решение х*.

Тогда последовательные приближения (3.1) сходятся к х*
при любом ненулевом начальном приближении хое К.'

Если А вполне непрерывен**), то достаточно предполагать,
что конус К нормальный. Рассмотрим уравнение

х (/) = f G(/, s)f[x(s)]ds	(3.30)

V
Q

с непрерывной вогнутой неотрицательной на [0, оо) функцией
f(x) и непрерывным положительным ядром G (/,$). Пусть
выполнены приведенные в п. 3.4 условия существования у

*)	См. М. А. Красносельский [11]. Более общие результаты см. в статье
И. А. Бахтина и М. А. Красносельского [3]. Теорема 3.3 имеет своим источ-
ником построения П. С. Урысона [1], который рассматривал, впрочем, началь-
ные приближения специального вида при решении интегральных уравнений.

**	) Нелинейный оператор А называют вполне непрерывным, если он не-
прерывен и если компактно множество его значений на каждом ограничен-
ном множестве.
уравнения (3.30) ненулевого неотрицательного решения х*(/).
Это решение будет единственным, так как оператор (3.29) и0-во-
гнут.

Из теоремы 3.3 вытекает, что %*(/) может быть получено
как предел равномерно сходящейся последовательности

%п (0 G (^> $) f [%n-l (•$)]
с
Q

где начальное приближение х0(/)—произвольная не равная
тождественно нулю неотрицательная функция.

В условиях теоремы 3.3 предполагается, что уравнение (3.2)
имеет в К ненулевое решение. Для доказательства существова-
ния такого решения удобно применять теоремы 3.1 и 3.2. В этих
теоремах нужно уметь конструировать конусный отрезок
который инвариантен для монотонного оператора А.
Здесь полезно иметь в виду следующее простое замечание.

Пусть оператор А ^0-вогнут, и пусть

Av^v, Aw^w,	(3.31)

где v, w — некоторые ненулевые элементы из К. Тогда из не-
равенств

Av < р (и) u0, a (w) uQ < Aw
вытекает соотношение

Значит, существует положительное максимальное t, при кото-
ром выполнено неравенство w tv\ обозначим его через tQ, До-
пустим, что /о<1- Тогда из свойств и0-вогнутого оператора вы-
текает неравенство A (tQv) ^>toAv. Поэтому

w Aw > X(/Ot>) > ^о(1 +

что противоречит максимальности /0- Следовательно, /0	1- Мы

показали, что из (3.31) вытекает соотношение

Таким образом, при отыскании инвариантного для и0-вогну-
того оператора конусного отрезка достаточно найти такой эле-
мент v, который при применении оператора А «идет вперед»
{Av у), и такой элемент w, который «идет назад» (Лww) *).

Упражнение 3.9. Пусть в определении «о-вогнутого оператора А
условие (3.28) заменено менее ограничительным условием A(tx) tAx

Пусть	Aw (v, ше/\; и=#0). Указать инвариантный

для А конусный отрезок.

*) Приемы отыскания таких элементов приведены в книге ДА. А. Красно-
сельского [11]. См. также Ю. В. Покорный [1, 3].
§ 3]

3.6.	Использование степеней операторов. Изложенные в п. 1.5
соображения об использовании степеней операторов относятся
и к операторам, оставляющим инвариантным некоторый конус.

Пусть некоторая степень Ар непрерывного оператора А
обладает свойством и0-вогнутости. Из теоремы 3.3 вытекает
тогда, что последовательности Арп(А*х0) (/ = 0, 1, ..., р — 1)
сходятся при п->оо к неподвижной точке х* оператора Ар. Отсюда
вытекает, что и последовательность хп = Апх0 (п=1, 2,...)
сходится к х*. Переходя в равенстве хп = Ахп^ (п=1, 2, ...)
к пределу, получаем равенство х* = Ах*. Таким образом,
х* является решением уравнения (3.2) и это решение может
быть получено методом последовательных приближений.

Можно описать различные классы операторов, некоторые
степени которых ^о-вогнуты *). Обратим внимание на то обстоя-
тельство, что степень Ар оператора А может быть монотонной
и в том случае, когда А не обладает свойством монотонности.
Например, если из х<^у вытекает, что Ах^Ау, то опера-
торы Ар при четных р будут монотонными.

В качестве примера рассмотрим интегральное уравнение**)

х (0 = G (f, s) xv (s) ds,	(3.32)

где G(t, s)—непрерывное положительное ядро. Пусть ve(—1,0).
Покажем, что уравнение (3.32) имеет положительное решение,
что это положительное решение единственно и является преде-
лом последовательных приближений

xn+i(t)= / G(t, s)xvn(s)ds	(3.33)

при любом положительном начальном приближении х0(/).

Для доказательства рассмотрим оператор

А х (0 = J G (t, s) xv (s) ds.	(3.34)

Пусть

0 < m G (t, s) M (t,	Q).

Оператор А преобразует каждую положительную непрерывную
функцию в функцию из Km/м (см. п. 3.2). В частности, опера-
тор А преобразует все ненулевые элементы конуса Кткж
в ненулевые элементы конуса Кт!м-

*) См. И. А. Бахтин [4], М. А. Красносельский [11].

**) Такие уравнения изучались Н. В. Марченко [1] другими методами.
Каждая ненулевая функция z(f) из Кт/м является внутрен-
ней точкой конуса Кт/(2М)- Отсюда вытекает, что

z (/)<

где а, р — положительные числа, uQ (/) = 1, а полуупорядочен-
ность определяется конусом Кт/(2му- В частности, для каждой
ненулевой функции х (/) е Ктюму выполнены неравенства

а (х) < А2х < р (х) и0,	(3.35)

где а(х), р(х)>0.

Пусть х —ненулевой элемент из Кт/(2М), a fe(0, 1). Так как
A (tx) = tvAx,

то

Л2 (tx) = tv2A2x = t (1 + я) А\	(3.36)

где ц > 0. Оператор А2 монотонен, так как из x(t)<^,y(t) выте-
кает, что A x(ty^> A y(t).

Таким образом, оператор А2 и0-вогнут.

Конус КтК2м) правилен. Мы покажем, что конусные отрезки
<ew0, — Uq) при достаточно малых положительных е инвариантны
для оператора А2. Этим доказательство нашего утверждения
будет завершено, так как при любом ненулевом положительном
начальном приближении x0(t) функция А х0(/) принадлежит од-
ному из таких конусных отрезков.

Введем обозначения

ф-(/) = A2uq = j G (/, s) G (s, Si) dsi ds.

2 Q

Очевидно,	Поэтому

«0«0 < Ф (0 < ₽0«0>

где a0, 0O > 0, а полуупорядоченность определяется конусом
КтКМ- ПуСТЬ

e’-v2 < min ] а0, -ЬД.

При таких е выполняются неравенства

A2 (eu0) = 8v2i|) (/) > a08v!M0 > еи0

и

А2 — ы0

\ в °

= e~v\|) (t) < 0oe-v2uo < у «о-
С

Следовательно, оператор А2 преобразует конусный отрезок
(еа0, ~и0) в себя. Остается сослаться на теоремы 3.1 и 3.3,
3.7.	Принцип сжатых отображений в метрических простран-
ствах*). В предыдущих параграфах рассматривались сжимаю-
щие операторы на банаховых пространствах (или на множе-
ствах в банаховых пространствах). Все доказанные теоремы
(кроме тех, которые были связаны с линейными операторами)
без труда переносятся на метрические пространства. Докажем
более общее утверждение.

Пусть — метрическое пространство с метрикой р(х, у). На-
зовем оператор А обобщенным сжатием, если

р (Ах, Ay) < q (а, р) р (х, у) (а < р (х, у) < р),	(3.37)

причем при р^а>0

<7 (а, р)<1.	(3.38)

Оператор А будет обобщенным сжатием, если, например,
р(Ах, Ау)^р(х, у)-у[р(х, z/)],	(3.39)

где у(и)— непрерывная положительная при и > 0 функция.

Упражнение 3.10. Построить пример оператора А, который удовле-
творяет условию (3.37) и не удовлетворяет условию (3.39).

Теорема 3.4. Пусть оператор А преобразует в себя пол-
ное метрическое пространство R и является обобщенным сжа-
тием.

Тогда уравнение

х = Ах	(3.40)

имеет в R единственное решение х*. К этому решению сходятся
последовательные приближения

хп=Ахп_1 (и=1, 2, ...)	(3.41)

при любом начальном приближении x0^R.

Доказательство. Рассмотрим числовую последователь-
ность

ОСя =р(Хп, xn—i) (д=1, 2, ...).

В силу (3.37) она не возрастает; пусть а* — ее предел. Если
а* > 0, то при достаточно большом N и всех m= 1, 2, f,, в силу
(3.37) выполнено неравенство

а*+1)Г(а*+1),

и мы пришли к противоречию. Итак, ап —>0.

Пусть задано 8 > 0. Выберем такое N, что

*) Теорема 3.4 указана М. А. Красносельским.
и покажем, что оператор А преобразует в себя шар р(х, xN)
^8, — отсюда будет вытекать фундаментальность последова-
тельности (3.41). Действительно, если р(х, х^)^е/2, то

р (Ах, xN) < р (Дх, Axn) +	< р (х, xN) + aN < е.

Если же е/2^р(х, Х/у)^е, то снова

р (Дх, х N) < р (Дх, Axn) + «/V < (4 » е) 8 + ау < 8.
\ /

Предел х* последовательности (3.41) является неподвижной
точкой оператора Д. Единственность этой неподвижной точки
очевидна.

Теорема доказана.

Упражнение 3.11. Показать, что для уравнений с оператором обоб-
щенного сжатия справедливо утверждение о ненакопляемости ошибок, ана-
логичное утверждению п. 2.7.

Теорема 3.4 дает более общие условия существования един-
ственного решения и сходимости к этому решению последова-
тельных приближений, чем обычный принцип сжатых отобра-
жений. Легко показать, в частности, что теорема 3.4 содержит
утверждение теоремы 1.4.

ниже используем теорему 3.4 для построения теории
уравнений с вогнутыми операторами.

Отметим, что приближения (3.41) сходятся равномерно отно-
сительно начальных приближений из каждого шара

р(х, х*)<г.

Приведем без доказательства теорему, содержащую обра-
щение принципа сжатых отображений.

Две метрики р(х, у) и рДх, у) в пространстве R называются
эквивалентными, если каждая фундаментальная по одной из
этих метрик последовательность фундаментальна и по второй
метрике.

Теорема 3.5. Пусть непрерывный оператор А преобразует
в себя полное метрическое пространство R конечного диаметра
с метрикой ро(х, у). Пусть А имеет в R единственную неподвиж-
ную точку, к которой равномерно относительно начальных при-
ближений Xq R сходятся последовательные приближения
(3.41).

Тогда в R можно ввести такую эквивалентную метрику
р(х,у), при переходе к которой А является сжимающим опера-
тором:

p(Ax,Ay)<q р(х,у) (0<<7<1).	(3.42)
§ 3]

В частности, операторы обобщенного сжатия в некоторых
эквивалентных метриках являются сжимающими операторами.

Теорема 3.5 носит принципиальный характер — если при ис-
следовании какого-либо уравнения можно ожидать, что решение
этого уравнения может быть получено методом последователь-
ных приближений, то можно пытаться искать такую эквивалент-
ную метрику, использование которой позволяет применить прин-
цип сжатых отображений. Конечно, теорема 3.5 не дает рецепта
построения нужной эквивалентной метрики — это нисколько не
умаляет ее роли!

Утверждение теоремы 3.5 в ослабленной форме было полу-
чено вначале А. Ю. Левиным и Е. А. Лифшицем [1]; они пока-
зали, что в условиях теоремы 3.5 оператор А в некоторой экви-
валентной метрике является обобщенным сжатием. В полной
форме теорема 3.5 получена В. М. Герштейном и Б. Н. Садов-
ским, которые существенно использовали конструкцию упомя-
нутой работы А. Ю. Левина и Е. А. Лифшица.

Теорема 3.5 в определенном смысле аналогична известным
утверждениям о существовании функции Ляпунова в теории
устойчивости решений дифференциальных уравнений (см., на-
пример, Н. Н. Красовский [1]).

Допустим, что непрерывный оператор А преобразует в себя
ограниченное полное метрическое пространство /? и имеет в /?
единственную неподвижную точку х*. Допустим, что последова-
тельные приближения хп=Апх0 сходятся к х* при любом на-
чальном приближении х0 е R. В связи с построениями настоя-
щего пункта возникает естественный вопрос о том, всегда ли эти
приближения сходятся к х* равномерно относительно х0 е R.
Ответ отрицателен даже для случая, когда R компактно. В ка-
честве примера можно рассмотреть единичную окружность /?,
на которой координатой является полярный угол ср (0<^ф<^2л),
с оператором А, ставящим в соответствие каждой точке ф0 зна-
чение при /=1 решения дифференциального уравнения

^ = (2л - <р) ф,

удовлетворяющего начальному условию ср(0) = фо-

3.8.	Об одной специальной метрике*). Вернемся к исследо-
ванию нелинейных положительных операторов, действующих в
банаховом пространстве Е с выделенным конусом К.

Пусть х0 — некоторый фиксированный ненулевой элемент из
К. Составляющей или компонентой К(х0) конуса К, порожден-

*) Рассматриваемая здесь метрика впервые введена, по-видимому.
Г. Биркгофом.
ной элементом х0, назовем совокупность таких элементов у е К,
что при некотором а > 0 выполнены неравенства

х0 ау, у olXq,

(3.43)

Очевидно, из z/^K(x) следует xe/<(z/). Поэтому конус К рас-
падается на непересекающиеся составляющие, каждая из кото-
рых порождается любым ее элементом.

Упражнение 3.12. Какое минимальное число составляющих может
быть у телесного (содержащего внутренние точки) конуса в n-мерном про-
странстве? Построить в n-мерном пространстве конус со счетным числом со-
ставляющих, с континуумом составляющих.

Обозначим через а(х, у) минимальное а, при котором вы-
полнены неравенства (3.43). Очевидно, а(х, у)>1. Положим

р(х, z/)=lna(x, у) (х, z/(=7C(x0)).	(3.44)

Очевидно, р(х, у)> 0, причем р(х, у) =0 лишь при х=у. Из сим-
метрии неравенств (3.43) вытекает равенство p(z/, х) =р(х, у).
Наконец, из

х < а (х, у) у, у < а (х, у) х,

У <«(*/, z)z, ?<а(у, z)y

вытекают неравенства

х < а (х, у) a (z/, z) z, z < a (у, z) a (x, y) x,
откуда

a(x, z)<a(x, y)a(y, z).

Поэтому

p (x, z)< p (x, y) + P (г/, z) (x, y, ze=K (x0)).

Таким образом, p(x, у) удовлетворяет всем аксиомам метрики,
и, следовательно, каждую составляющую можно рассматривать
как метрическое пространство.

Рассмотрим в качестве примера пространство С непрерыв-
ных на [а, Ь] функций с конусом К неотрицательных функций.
Пусть компонента /С(х0) выделена некоторой строго положи-
тельной функцией хо(О- Тогда К(х0) состоит из всех строго по-
ложительных функций. Метрика (3.44) в этом случае опреде-
ляется равенством

Р (х, у} = max | In х (/) — In у (/) |.
b

Вернемся к абстрактному банахову пространству Е. Пусть
снова х0 — фиксированный ненулевой элемент из К. Через ЕХо
обозначим множество таких элементов у^Е, для которых при
некотором a=a(y) ^0 выполняются неравенства

—ах0	axg.	(3.45)
Минимальное а, при котором выполняется (3.45), называется
х^-нормой элемента у и обозначается через || у || Легко видеть,
что ЕХо является линейным пространством, а ||#|| удовлетво-
ряет всем аксиомам нормы. Важным свойством л:0-нормы
является ее монотонность: из —х^у^х (х, у^Ех^ вытекает
неравенство || у ||Хо || х ||v

Компонента Д'(х0) очевидным образом содержится в ЕХо.

Лемма 3.1. Пусть последовательность zn фундаментальна
в К (х0) по метрике (3.44).

Тогда она фундаментальна по х0-норме.

Доказательство. Из фундаментальности последователь-
ности zn вытекает ее ограниченность: существует такое р, > О,
что

p(z„, ХоХн (п=1, 2, ...).

Это значит, что

£ х0 zn е Xq (п 1, 2, ...),
т. е.

(п=1, 2, ...).	(3.46)

Для любых двух элементов
х<ер(х’у)у,

х, у^К(х0) из неравенств

<р (х, у)
е х

вытекают соотношения

[е-Р(х. у) _ 1] у х _ у [еР(х. у) _ у,
- [ер(х’у}- 1] х < х - у < - [e'p(X1 у} - 1] X.

Поэтому

II*- У1к <[еРОсг/)- 1] min (||х|1 , ||y||J.	(3.47)

л<о	к	•A'OJ

Из (3.46) и (3.47) вытекает неравенство

Ilz„-Zm|| Сеи[ер(гл’гл,)-1] (n, т = 1, 2, ...).
•*0

Так как lim(ep—1) = 0, то из последнего неравенства вытекает
р->0

утверждение леммы.

Лемма доказана.

Упражнение 3.13. Пусть ху у еК(х0). Доказать неравенство
р (х, r/Х In [1 + || х - у ||Хо max { || х0 ||х, II х0 Ц].	(3.48)

Упражнение 3.14. Построить в /С(%о) последовательность, которая
фундаментальна по Хо-норме, но не фундаментальна по метрике (3.44).
Пространство ЕХо может не обладать свойством полноты,
т. е. не каждая фундаментальная последовательность в этом
пространстве имеет предел. Однако *) оно полно, если конус К
нормален.

Упражнение 3.15. Пусть Е — пространство непрерывно дифференци-
руемых на [0,1] функций с нормой

II х || = max {| X (/) | + ] х' (/) |}.
1

Показать, что EXq неполно, если К — конус неотрицательных функций,
a x0(t) = 1.

Теорема 3.6. Пусть конус К нормален.

Тогда каждая его компонента K(xQ) является полным про-
странством в метрике (3.44).

Доказательство. Пусть zn (п=1, 2, ...) — фундамен-
тальная последовательность в /С(х0)- В силу леммы 3.1 эта по-
следовательность фундаментальна по х0-норме. Из нормаль-
ности конуса К вытекает полнота EXq. Следовательно, найдется
такой элемент z*eEXo, что

lim	=°.	(3.49)

П->оо	Х°

Нормальность конуса означает по определению, что каждый
конусный отрезок ограничен по норме. В частности, из нера-
венств

—Xq	X Xq

вытекает, что ||х||<^а, где а — некоторое постоянное число. Но
тогда из

- II х ||Хох0 < X < II X ||X0 х0
вытекает неравенство

II х ||< а|| х ||	(хе£4	(3.50)

•*0

Поэтому из (3.49) следует, что

lim || zn - z || = 0.	(3.51)

п -> оо

Пусть задано е > 0. Выберем такое Af(e), что при n, п + т>
>AZ(e) выполнено неравенство p(zn, zn+zn)<e, т. е.

Zn £е^п+/п> ^п+т

В силу (3.51) в этих неравенствах можно перейти к пределу
при т —>оо. Предельные неравенства имеют вид

&z , z < ezzn.

♦) См. М. А. Красносельский [11], стр. 22.
Следовательно, z* е Л'(*о) и p(zn, z*)<8 при /г>Л/(е). Значит,
последовательность zn сходится к г* по метрике (3.44).

Теорема доказана.

3.9.	Уравнения со степенными нелинейностями. Метрика
(3.44) может быть использована при исследовании уравнений
с вогнутыми операторами.

В качестве простейшего примера рассмотрим уравнение
х=Ах	(3.52)

с монотонным оператором Д, удовлетворяющим условию *)

A(U)>tfAx (хе=/<;	1),	(3.53)

где ve (0, 1). Будем считать, что конус К нормален и А оста-
вляет инвариантной некоторую компоненту K(xQ), Пусть
х, y^K(xQ). Применяя к неравенствам

х е~р (х* у,	у в~р у^х

оператор Д, получим в силу монотонности Див силу (3.53)
неравенства

Ах > e~v р <х> у)Ау,	Ay > e~v р <х> ^Дх.

Поэтому

р(Лх, Ay)^vp(x, у) (х, z/<= Д'(х0) ).

Таким образом, выполнены условия принципа сжатых отобра-
жений; уравнение (3.52) имеет в 7((х0) единственное решение;
это решение можно получить методом последовательных при-
ближений, причем последовательные приближения сходятся и
по метрике (3.44) и по основной норме пространства Е (в силу
леммы 3.1).

Частные классы операторов, обладающих свойством (3.53),
мы уже рассматривали в п. 3.6. Здесь будут приведены более
общие примеры.

Ядро K.(t, s)	Q — ограниченное замкнутое множе-

ство евклидова пространства) назовем равномерным, если оно
неотрицательно и если для каждого множества QiczQ, имею-
щего ненулевую меру,

J К (Л s) ds < р (Qi) J к (Л s) ds (/ЕЙ).	(3.54)

Очевидна равномерность ядра, если оно удовлетворяет нера-
венствам

0</п<7<(/, $)<Л4<оо	(/, sgQ), (3.55)

*) Такие уравнения рассмотрены в статье В. Я. Стеценко и Б. Имом-
пазарова [1].
так как в этом случае

*	I*

K(t, s)ds<MmesQ<— те5ГГ K(t, s)ds.

J x 7	tn mesQj J 4 v ’ 7

й	o(

Другие примеры равномерных ядер приведены в книге
М. А. Красносельского [11] (отметим, что функция Грина пер-
вой краевой задачи для эллиптических операторов второго по-
рядка является равномерным ядром; см. М. А. Красносельский
и П. Е. Соболевский [1]).

Пусть равномерное ядро /<(/, $) определяет непрерывный
интегральный оператор, действующий в пространстве С непре-
рывных на Q функций (например, К(/, $) непрерывно по сово-
купности переменных). Тогда неотрицательная функция

и0(/) = \ К s)ds

(3.56)

й

непрерывна. Будем считать, что uQ(t) отлична от тождествен-
ного нуля.

Рассмотрим теперь нелинейный интегральный оператор

Ах(/) =

с

й

К(/, s)f [s, X (s)] ds,

(3.57)

где функция f(s. х) непрерывна по. совокупности переменных,
неотрицательна при и строго положительна при х>0 и
почти при всех $. Относительно ядра /((/, s) будем считать, что
оно равномерно и определяет непрерывный линейный оператор,
действующий в С.

Выделим в С конус К неотрицательных функций и его ком-
поненту К(и0), где u0(t) — функция (3.56). Пусть х(/)еХ и
х(/)=£0. Тогда функция f [s, x(s)] положительна на множестве
положительной меры. Поэтому найдется такое 6 > 0 и такое
множество Qi с= Q, что mes Qi > 0 и

х ($)] > 6 (seQi),

Из (3.54) следует тогда неравенство

(/€=<)).

С другой стороны, очевидно неравенство

А х (/)< max f [s, х ($)] u0 (/)

(Z €= Q).
Следовательно, А х(/)е К(и0). Мы показали, что оператор А
преобразует все ненулевые функции из К в элементы компо-
ненты /<(и0). В частности, A K(u0)cz К(и0).

Неотрицательную функцию f(s, х) (seQ; х > 0) назовем
у-квазивогнутой (0 < у < 1), если она не убывает по х и если
функция

h (s, х) =	(« е й'> х > 0)	(3.58)

X

не возрастает по х. Если f(s, х) v-квазивогнута, то оператор
(3.57) очевидным образом монотонен на Д’. Он удовлетворяет
условию (3.53). Действительно, пусть х(/)^Л’,	Через

Qo обозначим носитель функции А х($). Тогда

Л[Лх(0]= Г K(t, 5)-\[5Дх(Х)][Лх«^+ [ K(t,S)f(S,Q)ds^
£	[Xx(s)1	а\Ч

К (t, s) f [s, x (s)] ds + J К (t, s) f(s, 0)ds^ XvAx(t).

Qo	Q \ Qq

Из проведенных выше рассуждений вытекает, что уравнение

х (/) = К (t, s)f[s, x(s)]ds	(3.59)

Q

с равномерным ядром и v-квазивогнутой нелинейностью f(s,x)
имеет единственное ненулевое неотрицательное решение, кото-
рое является равномерным пределом приближений

xn(t) — J K(t, s)f[s, Xn-t(s)]ds

Q

(3.60)

при любом ненулевом неотрицательном начальном приближе-
нии х0(О-

У п р а ж н е н и е 3.16. Пусть ядро /<(/,$) оператора (3.57) непрерывно
и положительно. Пусть функция f(s,x) (s е Q; 0<х< оо) непрерывна по
совокупности переменных, положительна и не возрастает при возрастании х.
Пусть, наконец, функция xvf(s, х), где v — некоторое число из (0,1), воз-
растает при возрастании х. Показать, что оператор Д2 преобразует в себя
компоненту Л(ио) (u0(t)=l) конуса К неотрицательных функций простран-
ства С, монотонен и удовлетворяет условию (3.53).

Упражнение 3.17 Пусть K(t,s) и f(s, х) удовлетворяют условиям
упражнения 3.16. Показать, что уравнение (3.59) имеет единственное поло-
жительное решение, к которому равномерно сходятся последовательные при-
ближения (3.60) при любом положительном начальном приближении/

Упражнение 3.18. Пусть uo(/)— почти всюду отличная от нуля огра-
ниченная неотрицательная функция. Пусть почти при всех t е Q

а «о (0 < К (/, s) f [s, uQ (s)] ds C b uQ (/),

□
где а, b > 0. Пусть, наконец, непрерывное ядро /<(/,$) неотрицательно,
функция f(s,x) (s eQ, х > 0) непрерывна по совокупности переменных, неот-
цательна и не возрастает при возрастании х, а функция xvf(stx) (ve(0, 1)
возрастает. Показать, что уравнение (3.59) имеет единственное решение в
компоненте /((«о) конуса неотрицательных функций и что это решение можно
получить как равномерный предел последовательных приближений (3.60).

3.10.	Уравнения с равномерно вогнутыми операторами. Пусть
А — положительный монотонный оператор, действующий в ба-
наховом пространстве Е с конусом К. Пусть и0—фиксирован-
ный ненулевой элемент из К. Оператор А назовем равномерно
Uo-вогнутым, если каждому конусному отрезку (рл0, vu0)
(ц, v > 0) и каждому промежутку [а, 6]с=(0, 1) соответствует
такое г] =т] (р, v, а, Ь) > 0, что

A(tx) > (1+п)Мх	(3.61)

при всех х е (pu0, vuQ), t е [а, Ь]. Без ограничения общности
можно считать, что т](р, v, а, Ь) не возрастает при возраста-
нии Ь,

Через р(х, у) будем обозначать метрику (3.44).

Лемма 3.2. Пусть оператор А равномерно вогнут на

VUO).

Тогда

Р (Ах, Ау) < р (х, у) - Д [р (х, «/)]	(х, у <= (цм0, vw0)), (3.62)

где

A (u) = In 1 + т) (р, v,	.	(3.63)

Доказательство. Из
ри0 < х < vu0, ри0 < у < vu0

вытекают неравенства
V	V

— У> У %— *•

Поэтому

p./v <	(х, у <= (ци0. VM0)).

Применим к неравенствам
е~р (х, у)х <^у, е~р У^у ^х

оператор А. В силу монотонности Див силу (3.61) будут спра-
ведливы соотношения

Ay	{1 + Л [р, v> h/v> e"p(x’ y}Ax,

Ax	{1 + л [и,	£"p(x’ ^]} e-p(x’ у^Ау,

откуда

p (Ax, Ay) < p (x, y) - In {1 + n [p, v, v/ц, e_p(x' p)]}.
§ 4]

Лемма доказана.

Из леммы 3.2 и теоремы 3.4 вытекает

Теорема 3.7 *). Пусть оператор А равномерно вогнут
и преобразует некоторый конусный отрезок {iiu0,vu0) (pi, v > 0)
в себя.

Тогда уравнение х=Ах имеет на (jiuo, vu0) единственное
решение х*, к которому сходятся по норме последовательные
приближения xn=Axn_i при любом начальном приближении
Го (рШо, VUq).

§ 4.	Уравнения с нерастягивающими операторами

4.1.	Нерастягивающие операторы. Говорят, что оператор А —
нерастягивающий на множестве ЭЙ, если

II Ах - Лг/||<||х - у\\
Уравнение

х = Ах

(х, у €= ЗИ).

(4.1)

(4.2)

с нерастягивающим оператором А может не иметь решений,
может иметь несколько или бесконечное число решений. Если
уравнение (4.2) имеет решение, то возникает вопрос о прибли-
женном построении этого решения. Ниже будет показано, что
во многих случаях решение уравнения (4.2) может быть полу-
чено как предел последовательных приближений

xn+t = 4(Лхп + х„) (га = 0, 1, 2, ...).	(4.3)

При этом последовательные приближения могут сходиться
к разным решениям уравнения (4.2) в зависимости от выбора
начального приближения.

Приближения (4.3) — это обычные последовательные при-
ближения

x„+1 = Fx„ (га = 0, 1, 2, ...),	(4.4)

где

Рх = 4-(Лх + х).	(4.5)

Очевидно, F также нерастягивающий оператор.

Банахово пространство Е называется строго выпуклым,
сели ||х + у\\ < ||х|| + ||г/|| при х =# ау, а>0. Легко проверить, что
гильбертово пространство строго выпукло: действительно, если

*) Существенно другим методом эта теорема была доказана И. А. Бах-
II1IH.IM [7].

11оследине пункты § 3 написаны в основном в плане статьи М. А. Красно-
i mi.ckok) и В. Я. Стеценко [2]; в этой статье описаны некоторые классы рав-
номерно вогнутых интегральных операторов.
х =# ау, то

Их + г/1|2 = II х ||2 + 2(х, г/)+ 11 г/II2<(IIх || +1| г/1|)2.

Строго выпуклы пространства Lp (1 <р< оо) (это вытекает из
так называемых неравенств Кларксона; см., например, С. Л. Со-
болев [1]).

Упражнение 4.1. Доказать, что пространство С непрерывных на
[а. Ь] функций и пространство L\ суммируемых функций не обладают свой-
ством строгой выпуклости.

Упражнение 4.2. Пусть Е — сепарабельное банахово пространство с
нормой ||х||. Доказать, что по произвольному е>0 можно ввести такую норму
||х||*, что 11х|| < ||х||*<(1+е)||х|| (х(=£), в которой пространство £ будет
строго выпуклым.

Теорема 4.1. Пусть не растягивающий оператор А преоб-
разует замкнутое выпуклое множество Т строго выпуклого ба-
нахова пространства Е в свою компактную часть.

Тогда при любом xQ Т последовательные приближения
(4.3) сходятся к некоторому решению уравнения (4.2).

Доказательство. Существование решений уравнения
(4.2) вытекает из принципа Шаудера.

Обозначим через То замыкание выпуклой оболочки множе-
ства, полученного присоединением к АТ точки х0. Из известной
леммы Мазура (см., например, Н. Данфорд и Дж. Т. Шварц [1],
стр. 451) вытекает, что То компактно. Очевидно, приближения
(4.3) принадлежат То.

Обозначим через xnk подпоследовательность последователь-
ности (4.3), сходящуюся к некоторой точке z. Допустим, что z
не является решением уравнения (4.2). Пусть х*— некоторое
решение этого уравнения. Из строгой выпуклости пространства
Е и из (4.1) вытекает тогда, что

|| х* - Fz II = III (х* - 2) + (Дх* - Az) || < || х’ - г ||.

Пусть II х‘- 2II- ||х’- Fz|| = 2d>0. Пусть

г — х„

Ч

Тогда

при всех m > О

♦

X Хп +т

Kq

<||х‘ —F2||+ Fz — Fxn <

X -хп +1

«о

<11 X* -zII- 6.

Из этих неравенств вытекает, что подпоследовательность хП/,
не может сходиться к z. Полученное противоречие доказывает,
что z является решением уравнения (4.2). Из (4.1) вытекает,
что и вся последовательность хп сходится к этому решению.

Теорема доказана.
Упражнение 4.3. Пусть пространство Е равномерно выпукло (каж-
дому е>0 соответствует такое д>0, что из ||х|| = | #|| = 1, ||х — у\\ вытекает
неравенство ||х + #||	2 — б). Пусть множество ЭЯ решений уравнения (4.2)

непусто. Пусть, наконец, нерастягивающий оператор А удовлетворяет усло-
вию: при любом г] > 0 из р (х, ЭЛ) = inf || х — у || г] вытекает || к — Ах ||

£, где £ = £ (п) > 0. Доказать, что справедливо утверждение теоремы 4.1.

Упражнение 4.4. Доказать, что множество ЭЛ решений уравнения
(4.2) с нерастягивающим оператором А выпукло, если пространство Е строго
выпукло.

Упражнение 4.5. Доказать, что утверждения теоремы 4.1 и упраж-
нения 4.3 сохраняют силу, если последовательные приближения хп опреде-
лить отличной от (4.3) формулой

*п+\ = 0х^ + (1 -0) Ахп

(п = 0, 1, 2, ...),

(4.6)

где 0 — некоторое фиксированное число из (0, 1).

Упражнение 4.6. Построить пример оператора А, удовлетворяющего
условию теоремы 4.1 и такого, что последовательные приближения xn+i = Axn
сходятся лишь в том случае, когда начальное приближение х0 является реше-
нием уравнения (4.2).

Теорема 4.1 для случая равномерно выпуклых пространств
доказана М. А. Красносельским [5], для строго выпуклых про-
странств— М. Эдельштейном [1]. Теории нерастягивающих
операторов посвящена многочисленная литература (см., напри-
мер, Ф. Браудер [1], Ф. Браудер и В. Петришин [1, 2], В Кирк [1];
особо отметим интересный обзор 3. Опяла [2]).

4.2.	Пример. Рассмотрим уравнение

*(0 =

/?[/, s, x(s)]ds.

(4.7)



Будем считать, что /?(/, s, х) непрерывна по х и

| R (/, s, х) | К (Л s) (а + Ъ | х |)	(/, s е Q; — оо < х < оо), (4.8)

где ядро К(/, s) определяет вполне непрерывный линейный опе-
ратор К, действующий в пространстве L2. Тогда (см., напри-
мер, М. А. Красносельский, П. П. Забрейко, Е. И. Пустыльник
и П. Е. Соболевский [1]) оператор А, определенный правой
частью уравнения (4.7), действует в L2 и вполне непрерывен.
Предположим, что

&Р(К)<1,	(4.9)

где р(К) —спектральный радиус линейного оператора К. По
каждому е > 0 в пространстве Ь2 можно (см. п. 1.4) ввести та-
кую эквивалентную норму ||х||6, что

II КХ ||е < [р (К) + 8] || X ||е	(XGL2).

11оложим

_ 1-др(К)
где

Тогда из (4.8) вытекает неравенство

= а

(4.10)

J К (/, s) ds

Q

8

Пусть TR — шар || х 1|е R радиуса

D______2oi__

1-&р(К)’

В силу (4.10) оператор А преобразует шар TR в себя.

Предположим теперь, что функция /?(/, s, х) удовлетворяет
условию Липшица

\R(t, s, u)-R(t, s, (ОКШ 5)| и— v |

(/, seQ; — oo<u, у<оо),

где	определяет линейный интегральный оператор JG,

непрерывный в L2. Если p(Ki) <1, то в некоторой эквивалент-
ной норме оператор А является сжимающим оператором; в этом
случае уравнение (4.7) имеет в L2 единственное решение, к ко-
торому сходятся (по метрике L2) последовательные прибли-
жения

^n+i (0 ~ J* 1^, 5, хп (s)] ds.

Если же p(Ki)= 1, то можно пытаться строить эквивалент-
ные нормы, в которых оператор А нерастягивающий (см. уп-
ражнение 1.8). Ограничимся случаем, когда Ц/Cill = 1 (напри-
мер, когда ядро /<i(/, s) симметрично и p(Ki) = l). В этом слу-
чае решение уравнения (4.7) может быть не единственным. Из
теоремы 4.1 вытекает, что при любом начальном приближении
Xo^TR последовательные приближения

%п + 1 (0 ~2~	4" J R i 5, Хп (<$) ] б/<$]

сходятся к одному из решений уравнения (4.7).

4.3.	Самосопряженные нерастягивающие операторы. В этом
пункте рассматривается уравнение

x=Ax+f	(4.11)

с линейным самосопряженным оператором Л, действующим в
гильбертовом пространстве Н. Будем предполагать, что ||Д|| = 1.
Тогда уравнение (4.11) не при всех f^H имеет решение.
Теорема 4.2*). Пусть —1 не является собственным зна-
чением оператора А. Пусть уравнение (4.11) при данном f имеет
решение (возможно, не единственное).

Тогда при любом х$^Н последовательные приближения

%п+1 Ахп 4- f (п 0, 1,2,..,)

(4.12)

сходятся к одному из решений уравнения (4.11).

Доказательство. Обозначим через Hi подпростран-
ство собственных векторов оператора А, отвечающих собствен-
ному значению 1, а через Р\— оператор ортогонального проек-
тирования на Я\. Если уравнение (4.11) разрешимо, то суще-
ствует решение х*, ортогональное /Л (если х— какое-нибудь
решение этого уравнения, то х* = х— Р\х — решение, ортого-
нальное Н^.

Пусть х0 — произвольное начальное приближение. Покажем,
что последовательные приближения (4.12) сходятся к решению
х* + P\Xq уравнения (4.11). Для этого достаточно доказать, что
при заданном е>0 можно указать такое N = N(e), что

II Хп ~ U* + PiX0) II < е

Пусть Е^— разложение единицы, соответствующее самосо-
пряженному оператору А:

А= f KdEK.

Пусть т] — произвольное положительное число. Тогда простран-
ство Н можно разложить в ортогональную сумму трех подпро-
странств Н\, Н2 и Н3, где Н2 и Н3— множества значений опе-
раторов проектирования

1-Т]

dEKx

(4.13)

-14-Л

-14-Л

dEKx +

dEKx.

l-л

Гак как

-14-Л

II Рлх II2 = | d(EKx, х)+ J d(EKx, х)

и I пс является точкой разрыва функции (Е\х, х), то при
♦) М. А. Красносельский [10].
каждом фиксированном х е Н

lim || Р3х || = 0.
Т] -> 0

Выберем q > 0 так, чтобы выполнялось неравенство

\\РЛх.-х) II<8/2.	(4.14)

Проекторы Р2 и Р3 коммутируют с А. Поэтому равенства
(4.12) можно записать в виде трех равенств:

PiX^APiXn-i + Pj	(и=1, 2,	...),	(4.15)

Р2хп = AP2xn-i + P2f	(п = 1, 2,	...),	(4.16)

Р3хп = ЛР3х„_| + P3f	(п=1,2,	...).	(4.17)

Из разрешимости уравнения (4.11) вытекает, что f ортого-
нален Поэтому равенства (4.15) имеют вид

PiXn = P{xQ (п=1,2, ...).	(4.18)

Из (4.13) вытекает, что в подпространстве Н2 норма опера-
тора А не превышает 1 — q. Поэтому последовательные при-
ближения (4.16) сходятся к решению Р2х* уравнения =
=Ay + P2f. Следовательно, можно указать такое N, что

II РгХп - Р2х К < е/2
при n>N.

Наконец, в силу (4.17) и (4.14) при всех п

(4.19)

II Рз (хп - х*) II = II А (Р3хп^ - Р3х) II <

<||	IK

< II P3U0-**)!!< е/2. (4.20)

В силу (4.18), (4.20) и (4.19)

II хп-(х* + Р1%0) IK

<11 Pl (хп ~Х* - Хо) || + II Р2 (хп - X*) II + II Р3 (хп - X*) |] <8
при n>N.

Теорема доказана.

К уравнению вида (4.11) с оператором 4, удовлетворяю-
щим условиям теоремы 4.2, можно привести любое имеющее
решение уравнение с линейным ограниченным оператором
в гильбертовом пространстве. Действительно, рассмотрим
уравнение

Bx=f	(4.21)

с ограниченным оператором В. Оно эквивалентно уравнению

В\х = fi,

(4.22)

где S]=B*S, fi = B*f, S* — оператор, сопряженный В. В про-
верке нуждается лишь тот факт, что каждое решение уравне-
ния (4.22) является одновременно решением уравнения (4.21);
но это очевидно, так как, с одной стороны, равенство Bix*=fi
означает, что элемент Вх* — f принадлежит множеству нулей
оператора В*, которое ортогонально множеству значений опе-
ратора В, а с другой стороны, Вх* —f принадлежит множеству
значений оператора В, так как по предположению уравнение
(4.21) разрешимо.

Уравнение (4.22) эквивалентно уравнению

х= (/ — kBi)x + kfi

(4.23)

при любом ненулевом k. При

(4.24)

уравнение (4.23) является уравнением вида (4.11) с оператором

A=I — kBlt	(4.25)

удовлетворяющим условиям теоремы 4.2, так как оператор ВА,
самосопряжен и неотрицателен.

Если в уравнении (4.21) оператор В самосопряжен и неот-
рицателен, то промежуточный переход к уравнению (4.22), ко-
нечно, не нужен.

Из приведенных рассуждений и теоремы 4.2 вытекает

Теорема 4.3. Для любого имеющего решение уравнения
(4-21) с линейным ограниченным оператором В в гильбертовом
пространстве можно построить последовательные приближения
вида (4.12), сходящиеся к решению.

Если оператор Bi в уравнении (4.22) положительно опреде-
лен, a m и М — границы его спектра, то уравнение (4.23) будет
уравнением с оператором, норма которого меньше 1 (эта норма
равна тах{|1—йт|, |1—ЙЛ1|}). Для доказательства сходи-
мости последовательных приближений теорема 4.2 тогда не
нужна — достаточно сослаться на принцип сжатых отобра-
жений.

Переход к уравнению (4.23) указывался для некоторых слу-
чаев И. П. Натансоном [1]. Для интегральных уравнений Фред-
гольма второго рода он применялся еще Г. Виарда [1]. Для ин-
тегральных уравнений Фредгольма первого рода он использо-
ван по существу в работе В. М. Фридмана [1].
Глава 2

Линейные уравнения

§ 5.	Оценки спектрального радиуса линейного оператора

5.1.	Спектральный радиус*). Понятие спектрального радиуса
было уже использовано в главе 1 при оценках быстроты схо-
димости метода последовательных приближений, при оценке
постоянных в условиях Липшица для нелинейных операторов
и т. д.

Напомним, что спектральный радиус р(Л) линейного опе-
ратора Л (как в случае вещественного, так и в случае комп-
лексного пространства) определяется формулой

п ____

р(4)= lim /тг.
п ->оо

(5.1)

Упражнение 5.1. Пусть А действует в вещественном простран-
стве Е. Через А обозначим естественное расширение оператора А на ком-
плексное расширение Е пространства Е (A (x+iy) =Ax + iAy). Доказать, что
р(А)=р(Л).

Упражнение 5.2. Пусть Еь Е2 — два банаховых пространства, Е\<^Е2
и IIх Ие2 < Ох Ид, (х е £]). Пусть линейный оператор А действует (и непре-
рывен) из Е2 в Показать, что спектральный радиус А, как оператора
в Е2, совпадает со спектральным радиусом А, как оператора в

Для широких классов операторов (например, вполне непре-
рывных и, в частности, конечномерных) спектральный радиус
совпадает с наибольшей абсолютной величиной собственных
значений.

Из формулы (5.1) непосредственно вытекает, что р(аЛ) =
= |а|р(Л); если операторы А и В коммутируют, то справед-
ливо неравенство

р(А+В) <р(Д)+р(В).	(5.2)

*) Подробное изложение см., например, у Н. Данфорда и Дж. Т. Швар-
ца [1].
§ 5]

Следует	иметь	в	виду,	что для	некоммутирующих	операторов

формула	(5.2)	неверна*); простейший	пример	дают	матрицы

/О 1\	/О	0\

Д =	Я =

л	\0 О/’	к1	0/‘

Ниже будут использованы формулы

р(Л*)=р(Л),	(5.3)

где Д*—сопряженный А (действующий в сопряженном про-
странстве £*) оператор, и

р(Дп) =[р(Д)]п (П = 2, 3, ...)•.	(5.4)

С точки зрения теории линейных уравнений

kx=Ax + f	(5.5)

роль спектрального радиуса в основном определяется следую-
щими утверждениями:

Теорема 5.1. Если

|Х|>р(Л),	(5.6)

то уравнение (5.5) имеет единственное решение

x*=(V-4)-V,	(5.7)

которое является пределом последовательных приближений
kXn+i=Axn+f (л = 0, 1, 2, ...)	(5.8)

при любом xQ е Е.

Сходимость приближений (5.8) равносильна тому, что ре-
шение (5.7) может быть представлено сходящимся по норме
рядом Неймана

X* = з Г(П+1)Л7.	(5.9)

п=0

Теорема 5.2. Если ряд (5.9) при любом f^E сходится
при |Х| > а, то р(А)^Са.

5.2.	Положительные линейные операторы. Для применения
теоремы 5.1 либо нужно знать р(Д), либо иметь достаточно хо-
рошие оценки р(Д). Ниже излагаются приемы получения та-
ких оценок для положительных операторов, действующих в ба-
наховых пространствах с полуупорядоченностью, порожденной

*) В работах В. Я. Стеценко и А. Р. Есаяна [1], А. Р. Есаяна [2],
В. Я. Стеценко [5] описаны классы операторов, для которых формула (5.2)
нерпа, если предположение о коммутируемости заменено менее ограничитель-
ным предположением полукоммутируемости: АВх ВАх при элементах х из
некоторого конуса К.
некоторым конусом К, Основные понятия были приведены
в § 3.

В этой главе будут использованы следующие классы кону-
сов: телесные (имеющие внутренние точки), воспроизводящие
(линейная оболочка которых совпадает со всем простран-
ством), нормальные (для которых из 0 х у вытекает не-
равенство ||х||<А%||, где W— постоянная). Напомним, что
конусы неотрицательных функций и неотрицательных век-
тор-функций в обычных пространствах (С, Lp и т. д.) воспро-
изводящие и нормальные. В конечномерном пространстве
каждый конус нормален.

Будут изучаться различные классы положительных (оста-
вляющих инвариантным конус) линейных операторов.

Ниже мы используем следующее важное утверждение
(С. Карлин [1], Ф. Бонсалл [1]):

Лемма 5.1. Спектральный радиус р(Л) положительного
относительно воспроизводящего и нормального конуса К опе-
ратора А является точкой спектра оператора А.

Ограничимся кратким доказательством. Сохраним обозна-
чение А за естественным расширением оператора А на ком-
плексное расширение Е пространства Е. Если р(Л) не принад-

лежит спектру,
(см. Э. Хилле и

/>(А)

Рис. 5.1.

то оператор-функция (V — Л)-1 аналитична
Р. Филлипс [1]) в области G, содержащей все
X, для которых |А|>р(Л), и некото-
рый круг S радиуса г0 с центром в
точке р (А) (рис. 5.1). При фикси-
рованных f е К, I е К* (К* — конус
неотрицательных функционалов)
скалярная функция

ф(л)=/[(л/-Л)->л

также аналитична в G и коэффици-
енты ее разложения в ряд Лорана
оо

ф W = 2 I (Anf) Г(п+1) (5.10)
п=0

неотрицательны. Из известной теоремы Принсгейма (см.
А. И. Маркушевич [1]) вытекает, что ряд Лорана сходится при
|%|>р(Д)—г0- Так как К воспроизводящий, то при |Л|>
>р(Л)— Го сходятся ряды Лорана при всех f^E. Из нормаль-
ности К вытекает (М. Г. Крейн и М. А. Рутман [1]) представи-
мость каждого функционала I е Ё* в виде разности двух функ-
ционалов из К*. Поэтому ряды (5.10) сходятся при всех f^E
и всех I е Е* в области |Х|>р(А)— г0. Иначе говоря, оператор-
функция (V — Л)”1 слабо аналитична при |Х|>р(Л)—г0. От-
§ S]

сюда вытекает (Э. Хилле и Р. Филлипс [1]) ее сильная ана-
литичность при |%|> р(Л)—г0. Значит, ряды (5.9) сходятся
по норме при |Х|>р(Л)—г0. Это противоречит определе-
нию р(Л).

Лемма доказана.

Линейный оператор А называют квазивполне непрерывным,
если некоторую его итерацию АПй можно представить в виде
ДП° = В + С, где В вполне непрерывен, а II С ||< [р (Л)Г°. Для
нас важно следующее дополнение (Н. Данфорд и Дж. Т. Шварц
[1], С. Карлин [1]) к лемме 5.1.

Лемма 5.2. Пусть А квазивполне непрерывен и положите-
лен относительно воспроизводящего и нормального конуса К.
Тогда р(Л) является собственным значением как оператора А,
так и оператора А*; собственному значению р(Л) отвечает по
крайней мере один собственный элемент хое/( (для операто-
ра А) и собственный функционал 10^К* (для оператора Л*).

Оператор А называется сильно положительным, если К те-
лесен и А переводит каждую ненулевую точку конуса К в его
внутреннюю точку. В случае, когда К — конус векторов

% = (^1> • • • » ^7l)

с неотрицательными координатами в /г-мерном вещественном
пространстве Rn, матрица

А=(ац) (/, /=1, ..., п)	(5.11)

определяет сильно положительный оператор в том и только том
случае, когда все ее элементы положительны. Если А — инте-
гральный оператор

Ax(t) = j R(t, s)x(s)ds	(5.12)

в пространстве С непрерывных на Q вещественных функций
с конусом К неотрицательных функций, сильная положитель-
ность вытекает, например, из положительности ядра K(t, s).

Оператор А называется неположительным, если найдется
такой ненулевой элемент uQ е К, что для любого ненулевого
х^К можно указать числа а(х), р(х)>0, при которых

а (х) Uq < Ах < р (х) uQ.	(5.13)

Ограничимся одним примером. Пусть ядро оператора (5.12)
удовлетворяет неравенствам

uQ(t)bl(s)^K(t, s)^uQ(t)b2(s)	(t, seQ), (5.14)

где uQ(t), bi(t), b2(t)—неотрицательные (отличные от тожде-
ственного нуля) непрерывные функции; тогда выполнено
(5.13) при

а (х) = J bi (t) х (0 dt, р (х) = Ь2 (О х (Z) dt.

Оператор А называется неограниченным сверху, если ка-
ждому ненулевому хеК соответствует такое р(х)^0, что

4х<р(х)и0.	(5.15)

В книге М. А: Красносельского [11] (см. также М. Г. Крейн
и М. А. Рутман [1], М. А. Красносельский и Л. А. Ладыжен-
ский [1]) выделены и изучены более общие классы сильно по-
ложительных, г/о-положительных и и0-ограниченных операторов.

Упражнение 5.3. Пусть неотрицательное непрерывное ядро К(/,s)
(а /, s Ь) положительно при 11 — s | < е0 (во > 0)- Показать, что неко-
торая степень оператора (5.12) является сильно положительным оператором
в пространстве С функций с конусом К неотрицательных функций.

Упражнение 5.4. Доказать и0-положительность оператора (5.12) с яд-
ром, которое является функцией Грина задачи — х=Лх, х(а)=х(Ь)=0.

5.3.	Неразложимые операторы. Более подробно остановимся
на понятии неразложимого оператора, являющегося прямым
обобщением понятия неразложимой матрицы. Полное изложе-
ние теории неразложимых матриц дано Ф. Р. Гантмахером [1]
(см. также М. А. Красносельский [11]). Понятие неразложимых
операторов независимо было введено Г. Г. Шеффером [1],
Ф. Нииро [1, 2] и В. Я. Стеценко [4]. Мы следуем схеме
В. Я. Стеценко.

Элемент х называется квазивнутренним элементом кону-
са К, если /(х)>0 при любом ненулевом функционале I s К*.
Напомним, что К* — это множество линейных функционалов,
принимающих неотрицательные значения на К. В дальнейшем
будем писать хй>*0, если х — квазивнутренний элемент ко-
нуса К.

В случае телесного конуса понятие квазивнутреннего эле-
мента совпадает с понятием внутреннего элемента.

Упражнение 5.5. Пусть К — воспроизводящий конус в сепарабельном
банаховом пространстве. Показать, что К имеет квазивнутренние элементы.

Упражнение 5.6. Построить банахово пространство с воспроизводя-
щим конусом, не имеющим ни одного квазивнутреннего элемента.

Упражнение 5.7. Показать, что неотрицательные функции из про-
странства LPi принимающие нулевые значения лишь на множестве нулевой
меры, являются квазивнутренними элементами конуса неотрицательных функ-
ций пространства Lp (1 ^р < оо).

Линейный положительный оператор А называется неразло-
жимым, если из

х аАх,	(5Л6)
§ 5]

где а>0, хеК, х=#0, вытекает, что х— квазивнутренний эле-
мент К.

Легко видеть, что каждый сильно положительный оператор
неразложим.

Упражнение 5.8. а) Показать, что неотрицательная матрица А не-
разложима в том и только том случае, когда оператор А неразложим по от-
ношению к конусу векторов с неотрицательными компонентами.

б)	Последовательность элементов а,- f , а, . , а; f матрицы (5.11)
4 2	1213	1т1\

называется дорожкой невырожденности, если все эти элементы отличны от
нуля, если среди индексов й, ..., im есть все числа 1, 2, ..., п и если

•••» im ¥= й. Доказать, что матрица из неотрицательных эле-
ментов, имеющая по крайней мере одну дорожку невырожденности, нераз-
ложима.

Упражнение 5.9. Пусть банахово пространство Е рефлексивно. По-
казать, что положительный относительно конуса К оператор А неразложим
в том и только том случае, если неразложим сопряженный оператор 4*.

Рассмотрим в качестве примера интегральный оператор
(5.12), где £2 — ограниченное замкнутое множество конечно-
мерного евклидова пространства с некоторой непрерывной (на-
пример, лебеговой) мерой. Будем считать, что ядро s)
неотрицательно, и интересоваться условиями, при которых опе-
ратор (5.12) неразложим по отношению к конусу К неотрица-
тельных функций в соответствующем банаховом пространстве.

Пусть вначале ядро K(t,s) непрерывно по совокупности
переменных s е Q, где Q — ограниченное, замкнутое и связ-
ное множество из Rn. Оператор (5.12) в этом случае действует
(и даже вполне непрерывен) в пространстве С. Можно пока-
зать, что он неразложим в том и только том случае, если по
каждому непустому замкнутому подмножеству QoczQ (Qo=#&)
можно построить такие точки to е Qo, $о <= Q\Qo, что K(to, So) > 0.

Перейдем к случаю, когда оператор (5.12) действует и не-
прерывен в пространстве Lp (см. М. А. Красносельский,
П. П. Забрейко, Е. И. Пустыльник, П. Е. Соболевский [1]). Опе-
ратор (5.12) неразложим в том и только том случае, если для
каждого измеримого множества Qi cz Q (0 < mes Qi < mes Q)
можно указать такие два замкнутых множества F\ и F2 (Л cz Qi,
F2czQXQi, mes Fi > 0, mesF2>0), что K(t,s)>0 при t^Fb
s e F2. Доказательство обоих сформулированных критериев не-
разложимости предоставляем читателю.

5.4.	Сравнение спектральных радиусов различных операторов.

Теорема 5.3*). Пусть линейный оператор А положителен
по отношению к нормальному воспроизводящему конусу К.
Пусть линейный оператор В удовлетворяет условию

—Ах^Вх^Ах	(х^К).	(5.17)
Тогда

р(5) <р(/1).

(5.18)

Доказательство. Покажем вначале по индукции, что

—Апх < Впх < Апх (х<=К; п=\, 2, ...).	(5.19)

Действительно, это неравенство верно при п=1. Пусть оно
справедливо при n = k\

—Akx < Bhx < Akx	(x e K).

Применяя к последним неравенствам положительные (а следо-
вательно, и монотонные) операторы А — Ви А+В, получим не-
равенства

-	Амх + BAkx < АВкх - Вмх < Ak+'x—BAkx,

-	Амх - BAkx < ABkx + Bk+'x < Амх + BAkx,

из которых вытекает справедливость (5.19) при n = k+i (так как
в силу (5.17) —Ak+1x BAhx Ak+lx).

Из (5.19) и нормальности конуса следует неравенство

|| Впх || -1| Апх || < || Впх + Апх || < 2W || Апх || (х е= К),
откуда

\\Bnx\\^(2N+l)\\Anx\\ (xg=K; п = 1, 2, ...).	(5.20)

Так как конус К воспроизводящий, то он обладает свойством
несплющенноста (М. А. Красносельский [11], стр. 102): каждый
элемент f е Е можно представить в виде f =Xj — х2, где хь х2 е К
и llxill, IIX2II ||f||, где М— постоянная. Поэтому из (5.20)
вытекает неравенство

||В71К(2^+1)2М||АП||.Ц/ll (/еЕ; п = 1, 2, ...),
т. е.

||B”||<2(2W4H)M|mi (п = 1, 2, ..,).

Для завершения доказательства остается применить формулу
(5.1).

Теорема доказана.

Теорема 5.3 позволяет во многих случаях сводить оценку
спектрального радиуса произвольного линейного оператора к
оценке спектрального радиуса положительного оператора. Как
оказывается, в весьма общих условиях оценка спектрального
радиуса положительного оператора А может быть получена по
его значению на одном фиксированном элементе конуса. Такие
оценки для матриц были получены О. Перроном и Л. Коллат-
цем; для интегральных операторов — П. С. Урысоном. Для
вполне непрерывных и других операторов оценки (иногда в не-
явном виде) указаны М. Г. Крейном и М. А. Рутманом [1],
М. А. Красносельским [И], В. Я. Стеценко [1—3, 5], П. П. За-
брейко, М. А. Красносельским, В. Я. Стеценко [1], А. Р. Есая-
ном [1,2] и др. Для некоторых классов операторов оценки
спектра содержатся в так называемых теоремах о несовмест-
ных неравенствах (М. А. Красносельский [11], А. Р. Есаян и
Т. Сабиров [1], В. Я. Стеценко [6]).

5.5.	Оценки спектрального радиуса снизу.

Теорема 5.4*). Пусть выполнено неравенство

Ахо>Тхо,	(5.21)

где А — линейный положительный оператор, —х0 <= А, К — вос-
производящий конус.

Тогда

р(А)>у.	(5.22)

Доказательство. Обозначим через f такой элемент из
А, что Из теоремы 5.1 вытекает, что уравнение

[р(А) +е] x=Ax+f

при любом 8 > 0 имеет решение хЕ, которое можно представить
рядом (5.9). Так как все элементы Anf (п=1, 2, .. .) положи-
тельны, то е А. Решения х8, очевидно, удовлетворяют нера-
венствам

[р (Л) + е] хЕ > Ахе, [р (Л) + е] х£ > f > х0.

Из этих неравенств вытекает в свою очередь, что

хе > [р (Д) + 8]-" х0 (п = 1, 2, ...).	(5.23)

Для доказательства (5.23) достаточно провести шаг индукции.
Из (5.23) вытекает ограниченность при каждом фиксирован-
ном 8 > 0 последовательности

у-1[р(А) + еГ (п=1, 2, ...).

Отсюда следует неравенство (5.22).

Теорема доказана.

Предположение о том, что конус А воспроизводящий, можно
заменить, как видно из доказательства, условием принадлеж-
ности Xq линейной оболочке конуса.

Сделаем еще одно замечание. Условие (5.21) можно заме-
нить неравенством

AkxQ^>ykXQ	(5.24)

— это вытекает из (5.4).
В качестве примера рассмотрим интегральный оператор
(5.12) с непрерывным положительным ядром K(t,s). Тогда, по-
лагая х0(^)=1, получим

p(X)>min f/<(/, s) ds.	(5.25)

a

Если же положить

Ч (0 = J к (t, s) ds,
о

то из (5.22) вытекает оценка

Упражнение 5.10. Показать, что спектральный радиус оператора

(5.12) удовлетворяет неравенству

Р М)

К (/, s) К ($, т) ds dr

Упражнение 5.11. Оценить снизу спектральный радиус оператора
(5.12) с ядром — функцией Грина задачи из упражнения 5.4, выбрав в каче-
стве %о(О функцию хо(О = (t—a} (b — t).

5.6.	Оценки спектрального радиуса сверху. Основной целью
настоящего пункта является описание различных достаточных
условий, при которых из неравенства

Axq < 6х0	(х0 е /(, х0 =И= 0)	(5.26)

вытекает следующая оценка спектрального радиуса р(Д) ли-
нейного положительного оператора А:

р(Л) <б.	(5.27)

Отметим сразу же, что без дополнительных предположений
из (5.26) неравенство (5.27) не вытекает. Например, для диа-
гональной матрицы

выполнено неравенство (5.26) при х0 = {1, 0}, 6 = а р(Д) = 1.
§ 5]

Допустим вначале, что конус К воспроизводящий (напри-
мер, телесный) и нормальный, а оператор А х0-ограничен
сверху. Из (5.26) вытекает, что оператор

Вх = У Ах	(5.28)

преобразует в себя конусный отрезок (—х0,	(множество эле-

ментов х, для которых —х0<х^х0). Поэтому при любом

—х0, х0) нормы элементов Bnf ограничены в совокупности,
откуда вытекает сходимость рядов Неймана (5.9) при |%| >6.
Так как оператор А х0-ограничен сверху, то ограниченными по
норме будут элементы Bnf при любом f Е. Следовательно,
ряды (5.9) при |%|>б сходятся при всех f е Е и неравенство
(5.27) вытекает из теоремы 5.2.

Если оператор А вполне непрерывен, то доказательство не-
равенства (5.27) удается провести лишь при одном предполо-
жении о том, что Хо является квазивнутренним элементом
конуса. Нужно рассмотреть лишь случай, когда р(Л)>0. Из
общей теории линейных вполне непрерывных операторов выте-
кает, что р(Л) является наибольшей абсолютной величиной как
собственных значений оператора Л, так и собственных значе-
ний сопряженного оператора Л*. В силу леммы 5.2 для положи-
тельных операторов Л справедливо более точное утверждение:
р(Л) является собственным значением операторов Л и Л*, кото-
рым отвечают собственные векторы соответственно в К и /<*.
Поэтому для доказательства (5.27) можно воспользоваться сле-
дующей леммой.

Лемма 5.3. Пусть выполнено неравенство (5.26), и пусть
существует такой функционал /0 е /<*, /о 0, что

Л*/о = р(Л)/о,	(5.29)

причем Iq(xq) =# 0.

Тогда справедливо неравенство (5.27).

Доказательство вытекает из цепочки соотношений

- / д \   А ^0 (Хр)   ^р (ЛХр) /р (бХр)  д
/о(Хо) ~ /о(хо) /о(хо)

Перейдем к более сложному случаю, когда К воспроизводя-
щий и нормальный, х0—квазивнутренний элемент К, а об опе-
раторе Л известно, что он и0-ограничен сверху, где uQ е К и uQ
может отличаться от х0.

Снова будем считать, что р(Л)> 0. Обозначим через мно-
жество таких х^Е, для которых конечна и0-норма

|| х II = inf t.

° -tu^x^iu»

(5.30)
Из нормальности конуса К вытекает (М. А. Красносель-
ский [11], стр. 22) полнота EUq по «0-норме. Конус Ки0 = К 0 EUo
телесен и нормален в EUo- Легко проверить, что спектральные
радиусы оператора А, рассматриваемого в £ и £Ыо, одинаковы
(для доказательства можно воспользоваться подчиненностью
обычной нормы норме (5.30) и теоремой 5.2).

Обозначим через G совокупность элементов у^Е вида
у = Ах — р(А)х, x^EUo- Из ^-ограниченности сверху опера-
тора А вытекает, что G cz EUo. Покажем, что линейное множе-
ство G не содержит внутренних элементов конуса КМо. В пред-
положении противного найдется такая точка xo^EUo, что

v0 = Ах0 - р (Л) х0 » 0,

и, следовательно, при достаточно малом е>0 выполнены не-
равенства

Ах0 > [р (Л) + е] х0, Ах0 > [р (Л) - е] х0.	(5.31)

Если —хо^К.и<>, то первое соотношение (5.31) противоречит
теореме 5.4. Если — Хо^Дио, то Л(—Хо)^Дио, и поэтому

~ х°= ТТ4У + А ~ Ж V° 0'

Второе соотношение (5.31) можно переписать в виде
Л (—х0) < [р (Л) — е] (—х0),

а это соотношение противоречиво, так как из него по уже рас-
смотренному в начале пункта случаю вытекает неравенство
рИ) <р(Л) —е.

По теореме М. Г. Крейна о продолжении линейного поло-
жительного функционала (см. М. Г. Крейн, М. А. Рутман [1])
можно определить на Еио такой линейный положительный на
Кио функционал /ь который удовлетворяет условию /1(у) =0
при у е G. Положим

/0 W = w Z1 VW V е V- (5-32)
Очевидно,

Л‘/0(х) = /0(Лх) = ?^у/1(Л2х) =

= 77ТГ Zi М2* - Р (Л) Лх] + /, (Лх) = р (Л) /0 (х) (х <= Е).

Поэтому неравенство (5.27) вытекает из леммы 5.3.

Предположим теперь, что положительный оператор А мож-
но представить в виде

А=В + С,	(5.33)
где В вполне непрерывен, ||С||<у, а у — такое число, что для
некоторого zQ (—zQ ё= Л) выполнено неравенство

YZq.

(5.34)

Из теоремы 5.4 вытекает тогда, что р(А)^у, и поэтому ||С||<
<р(Л). Следовательно, оператор А квазивполне непрерывен
(см. п. 5.2). Из леммы 5.2 вытекает применимость к оператору
(5.33) леммы 5.3. Значит, для операторов (5.33) из (5.26) вы-
текает (5.27).

Сведем полученные в этом пункте результаты в одно утвер-
ждение.

Теорема 5.5 *). Пусть А — положительный линейный опе-
ратор, для которого справедливо соотношение (5.26). Пусть
выполнено одно из условий:

а)	А вполне непрерывен, х0 — квазивнутренний элемент

б)	конус К телесный и нормальный, х0 — внутренний эле-
мент К;

в)	оператор А х^-ограничен сверху, конус К воспроизводя-
щий и нормальный',

г)	оператор А неограничен сверху, конус К воспроизводя-
щий и нормальный, х0 — квазивнутренний элемент К\

д)	оператор А допускает представление

А=В + С,

где В вполне непрерывен, ||С|| < у, конус К воспроизводящий и
нормальный, х0— квазивнутренний элемент существует такой
элемент z0 (—z0 ё= К), что AzQ yz0.

Тогда справедливо неравенство р(Д) 6.

Равенство (5.4) расширяет возможности получения оценок
спектрального радиуса: если некоторая степень /1По удовлетво-
ряет условиям теоремы 5.5, то из неравенства

А °Xq Р*0

вытекает оценка

«о

р (А) < Ж

(5.35)

(5.36)

В завершение пункта отметим существенность предположе-
ния о нормальности конуса К в случае, когда выполнено усло-
вие б) теоремы 5.5. Приведем соответствующий пример. Пусть
Е — пространство аналитических в круге |г|<1 и непрерыв-
ных в круге |z|	1 функций f(z), принимающих веществен-

ные значения при вещественных г. Пространство Е можно

*) П. П. Забрейко, М. А. Красносельский, В. Я. Стеценко [1].
рассматривать как вещественное банахово пространство с нормой

||f || = max | f(z)

|z|< 1

Через К обозначим множество тех функций f(z)eE, которые
принимают неотрицательные значения при вещественных
1, — 1/2]. Легко видеть, что К— телесный конус, не об-
ладающий свойством нормальности. Определим на Е линей-
ный положительный оператор

Д/(г)=-(2 + 72)И^

Простой подсчет показывает, что спектр этого оператора сов-
падает с кругом IX + V21	1 и поэтому р(Л)=3/2. С другой сто-

роны, на внутреннем элементе а0(г)^1 конуса К выполняется
неравенство Av0 Таким образом, для рассматриваемого
оператора из (5.26) не вытекает (5.27),

Упражнение 5.12. Показать, что теорема 5.5 сохраняет силу, если не-
равенство (5.26) заменить менее ограничительным условием

2k—1

2 (-1)лб-п4пхо>0.

п=0

5.7.	Строгие неравенства.

Теорема 5.6. Пусть выполнены условия теоремы 5.5, и
пусть точка 6х0 — Лхо является квазивнутренним элементом ко-
нуса К.

Тогда справедливо строгое неравенство

р(А)<6.	(5.37)

Доказательство. В условиях теоремы 5.5 существует
такой ненулевой функционал	что Л*/0 = р(Л)/0. Приме-

няя этот функционал к элементу 6%о — Ах0, получим неравенство

/0 (6х0 - Ах0) = 6/0 (х0) - р (Л) /0 (х0) > О,

откуда вытекает (5.37).

Теорема доказана.

Как видно из проведенного доказательства, предположение
о квазивнутренности элемента Sx0— Axq можно заменить усло-
вием отличия его от нуля и условием его положительности, если
из каких-либо дополнительных соображений известно, что соб-
ственный функционал /0 принимает на 6х0 — Лх0 (или на всех
ненулевых элементах из К) положительные значения.

Пусть выполнено (5.26), и пусть 6х0 =# Axq. Уравнение

[р(4) +1] x=Ax + bxQ — Ах0
имеет в силу теоремы 5.1 решение

X = 2 [р (А) + 1 Г(п+1) Ап (дх0 - Ах0).	(5.38)

Очевидно, это решение удовлетворяет неравенству

р (А) +1 Ах'	(5.39)

Предположим, что А неразложим (см. п. 5.3). Тогда из (5.39)
вытекает, что х — квазивнутренний элемент /(. Поэтому при
любом ненулевом /0 Л* выполнено неравенство

оо

/о (*) = 2 [р (А) + 1 ]-<n+I) /о [А" (дх0 - Лх0)] > 0.	(5.40)

п=0

Пусть /о—собственный элемент оператора А*, отвечающий соб-
ственному значению р(А)>0. Тогда

/0 [Ап (6х0 - Ах0)] = (А*Г /о (6*о - А*о) = [р М)Г /0 (6*о “ Ах0)

и из (5.40) вытекает, что

[д-р (А)] /0 (х0) = /0 (Ъх0 - Ах0) > 0.

Следовательно, р(А)<б. Нами доказана

Теорема 5.7. Пусть выполнены условия теоремы 5.5. Пусть

А неразложим. Пусть Ах0 4= дх0.

Тогда справедливо строгое неравенство (5.37).

Упражнение 5.13. Доказать, что положительный
тор А неразложим в том и только том случае, когда
вому хеК и каждому ненулевому I К* соответствует
что 1(Апх) > 0.

линейный опера-
каждому ненуле-
такое п = п(х, /),

Приведем еще одно утверждение о строгой оценке спек-
трального радиуса.

Теорема 5.8. Пусть конус К воспроизводящий и нормаль-
ный', пусть линейный оператор А ^-положителен', пусть, нако-
нец, выполнены соотношения

Ауй < д//0, Ау0 У= dz/0,

(5.41)

где уо — ненулевой элемент К.

Тогда

р(А)<д.

(5.42)

Доказательство. Из и0-положительности оператора А
вытекает существование таких положительных чисел а, р, что

A (fy/o - АУь) > аи0, Аг/0 < р«0.
Поэтому

А (Ау0) = ЪАу0 - А (ду0 - Ау0) < Му0 - аи0
и, далее,

А (Ау0) < (б -Ау0.	(5.43)

Из Uo-положительности оператора А очевидным образом вы-
текает его Xo-положительность, где х0=Ау0. Соотношение (5.43)
можно рассматривать как условие (5.26) теоремы 5.5. Приме-
няя эту теорему (выполнено условие в)), приходим к нера-
венству

рМ)<б-|.

Теорема доказана.

5.8.	Примеры. В качестве первого примера рассмотрим ли-
нейный интегральный оператор

А х (/) = J К (t, s) х (<$) ds,
Q

(5.44)

где Q — ограниченное замкнутое множество конечномерного
евклидова пространства. Будем считать, что этот оператор дей-
ствует и непрерывен в пространстве С = С(Й). Из теоремы 5.3
вытекает, что спектральный радиус оператора (5.44) мажори-
руется спектральным радиусом интегрального оператора с не-
отрицательным ядром |/С(/, s)| (если этот оператор, конечно,
действует в С). Мы ограничимся случаем неотрицательных
ядер.

Пусть К — конус неотрицательных функций. Этот конус
телесен и нормален. Из теоремы 5.5 (случай б)) вытекает
оценка

р(Л)<тах —4т- K(t, s)x0(s)ds,	(5.45)

/ей хо\ч J

где xQ(t)—произвольная положительная на Q функция. Точ-
ность оценки (5.45), конечно, зависит от того, насколько
«удачно» подобрана функция xQ(t). Если, в частности, поло-
жить хо(О —1, то мы придем к заведомо грубой оценке

р(Д)^тах j 7<(/, s)ds

— правая часть этого неравенства совпадает с нормой ||Л|| опе-
ратора А в пространстве С. Нетрудно проверить, что оператор
(5.44) Uo-ограничен сверху, где

(0 = / ^ ds,	(5.46)

а
Поэтому из теоремы 5.5 (случай в)) вытекает оценка

К (t> s) К (s, т) ds d%

Р(Л)

(5.47)

Упражнение 5.14. Доказать справедливость оценки

р (X) max .
/ей

XQ (0 €

Q

\ 1/лп

Кт (t, s) х0 (s) ds I

где

Кт s) =

с

J к (t, Tj) К (Tb т2) ... К (Тт-1, s) dxt dr2...

Q

(5.48)

a x0(t) — произвольная положительная непрерывная функция.
Упражнение 5.15. Доказать справедливость оценки

1

(5.49)

Более подробно остановимся на случае, когда /<(/, s)
является функцией Грина задачи —х=Хх, х(0) =х(1) =0:

если

если

(5.50)

Этот оператор «o-положителен, где &о(/)=/(1— t). Простой
подсчет показывает, что

A uQ (/)< 0,104 luQ (/), А2 uQ (ОС 0,1016Д uQ (/).

Поэтому из теоремы 5.5 вытекает серия оценок спектрального
радиуса

р(Д)С0,1041; р(Д)<0,1016.

Точное значение спектрального радиуса в данном случае равно
1/л2~0,10132.

Если ядро оператора (5.44) содержит существенные осо-
бенности, то его приходится рассматривать в отличных от С
пространствах.

В качестве второго примера рассмотрим теперь бесконеч-
ную матрицу

А = (ац)	(5.51)
с неотрицательными элементами, удовлетворяющую условию
ОО / ОО Р \Р~1

2	<°°>	(5.52)

7 = 1 \7=1 11	/

где р > 1. Как известно (см., например, Л. В. Канторович и
Г. П. Акилов [1]), матрица А порождает линейный вполне не-
прерывный оператор в пространстве 1Р. Этот оператор положи-
телен относительно конуса К элементов х с неотрицательными
координатами и uo-ограничен сверху, где

В силу теоремы 5.6 в последнем соотношении имеет место знак
строгого неравенства, если supremum в правой части не дости-
гается ни при одном Л Можно утверждать (в силу теоре-
мы 5.7), что имеет место знак строгого неравенства и в том
случае, когда матрица А неразложима и при некоторых i=h, 4
выполнено неравенство
р-i	р-i

ОО / ОО Р \ р	оо / оо Р \ р

2 aij[ 2 afk1)	2 ai2i\ 2 afk1)

7=1 \fe=l_______/_____<x- 7=1 \fe=i	/

p-1	p-1

(OO P \ p	/ OO P \ p

j	2	1 /

/=1	/	\7=1	/

Упражнение 5.16. Показать, что определенный матрицей (5.51) опе-
ратор А неразложим тогда и только тогда, если при любом разбиении на-
турального ряда на две подпоследовательности пг-, kj (без общих элементов)
найдутся такие и что ап k >0.

§ 6.	Блочный метод оценки спектрального радиуса

6.1.	Основная теорема. Пусть £*1 и Е2 — банаховы простран-
ства с конусами Ki и К2 соответственно. Во всем параграфе
будем предполагать, что конус Ki воспроизводящий, а К2 нор-
мальный.
Будем считать, что определено отображение Т конуса К\
в конус К2, удовлетворяющее неравенству

(6.1)

где с — положительная постоянная. Ни линейность, ни непре-
рывность отображения Т не предполагаются.

Теорема 6.1*). Пусть А и В — линейные положительные
операторы, действующие в пространствах Ei и Е2 соответствен-
но. Пусть

ТАх<^ВТх (хе ЛО.	(6.2)

Тогда справедлива оценка

р(А)<р(В).	(6.3)

Доказательство. Пусть В силу (6.2)

TAnf < BnTf (n = 1, 2, ...),	(6.4)

и так как конус /С2 нормален, то справедливы неравенства

||TA7U£s^N\\BnTf\\E2 (n=l, 2, ...).

Из (6.1) вытекают неравенства

с II А711£1 < II TAnf ||£г (и = 1,2,...).

Поэтому

ПЖII Anf ||"" < ns || вп II1'" {4 и 77 Ik Г" = iiS II в" II"".

rt->OO	П->оо	t 6	J	n->oo

Отсюда и из (5.1) вытекает неравенство

ПЖ II Anf ||"" < р (В)	(f е= к,).	(6.5)

П->оо	£1

Произвольный элемент g е Ei можно представить в виде
g = Л - к гДе fb h е Ki- Очевидно,

Йт || Ап - f2) ||"" < lim (|| A7i ll£1 + II Anf2 \\Efn <
П->оо	n->oo

< lim {21/n max [|| А"Л ||^", || Anf2 ||g«]J .

Поэтому из (6.5) вытекает неравенство

Hm || A"g И"" < p (B)	(gef.),

П->оо
в силу которого линейное уравнение
______________ Xx=Ax+g

*) П. П. Забрейко, М. А Красносельский и В. Я. Стеценко [1]; близкие
утверждения для пространств с миниэдральными конусами указаны в книге
Л. В. Канторовича, Б. 3. Вулиха и А. Г. Пинскера [1].
при |%|>р(В) и при любом свободном члене g^E\ имеет ре-
шение, представимое рядом Неймана. Остается сослаться на
теорему 5.2.

Теорема доказана.

6.2.	Примеры. В приложениях удобно применять операторы
Т со значениями в конечномерных пространствах, так как в
этом случае операторы В являются матрицами, спектральный
радиус которых совпадает с наибольшим неотрицательным соб-
ственным значением.

Пусть Ei — пространство С непрерывных на ограниченном
замкнутом множестве й функций. Пусть оц, со2, ...» com — зам-
кнутое покрытие й. Определим отображение Т пространства С
в m-мерное пространство Rm равенством

ТХ = {g, (х)Л2 W, • . •	(X)},	(6.6)

где

gt-(х) = тах| х (/) I (i=l,..., tri).	(6.7)

fe®.

I»

Условие (6.1) выполняется очевидным образом. Рассмотрим ин-
тегральный оператор

А х (/) = 7< (/, s) х (s) ds	(6.8)

Q

с непрерывным неотрицательным ядром. Легко проверить, что
оператор (6.8) удовлетворяет условиям теоремы 6.1, если эле-
менты матрицы В определить формулой

btj = шах

К (/, s)ds
с

(i, / = 1...............т).

(6.9)

Упражнение 6.1. Пусть А—положительный оператор в C(Q), Т опре-
делен формулой (6.6). Показать, что матрица В удовлетворяет условию
(6.2) в том и только том случае, если ее элементы Ьц удовлетворяют нера-
венствам

bij^ lim sup	max Ax (f),

6-*°

где — множество непрерывных функций, носители которых лежат в
6-окрестности множества coj.

Перейдем теперь к £2(й). Как и раньше, будем предпола-
гать, что Й покрыто множествами ссц, <о2, - - -, «т; будем считать,
что элементы покрытия имеют ненулевую меру. Оператор Т
можно определить равенством (6.6), если положить

х2 (/) dt

(/= 1, ...» пг .	(6.10)
Тогда при оценке спектрального радиуса оператора (6.8), дей-
ствующего в L2, можно применить теорему 6.1, если элементы
матрицы В задать формулой

Ь2ц = J К2 (Z, s) ds dt.

“у

В качестве последнего примера отметим наиболее простой
случай, когда А является оператором в n-мерном пространстве
Ei. Построение пространства Е2 проводится в этом случае по
следующей схеме. Ei рассматривают как прямую сумму т под-
пространств Fi. Тогда каждый элемент х^Ех однозначно пред-
ставим в виде

X Р[X Р2%	• + РщХ)

где Р{ — линейный оператор проектирования на Ft, аннулирую-
щийся на всех F j при / =# i. В каждом подпространстве Fi рас-
сматривается некоторая норма || • II/. После этого оператор Т
определяют равенством

Тх = {\\Р.х\\ь \\Р2х\\2, ..., ||Pwx||J.	(6.11)

Матрица В удовлетворяет тогда условию (6.2), если ее элемен-
ты определить формулой

Ьи= шах \\PiAPjXWi.

Если базис в пространстве Е\ выбрать так, что из его элементов
можно составить базисы во всех подпространствах Ег-, то матри-
цы операторов PiAPj определяются как блоки, на которые раз-
бивается матрица А.

Описанной схемой объясняется название этого параграфа.

Мы не останавливаемся здесь на конкретных примерах.
Отметим лишь, что ряд таких примеров рассмотрен в книге
Л. В. Канторовича, Б. 3. Вулиха и А. Г. Пинскера [1]. См. так-
же статью В. Я. Стеценко [2].

6.3.	Конусная норма. Теорему 6.1 можно рассматривать как
теорему об использовании специальных обобщенных метрик*).

*) Обобщенные метрики изучались и применялись различными авторами.
По-видимому, первые результаты получил Г. Курепа [1]; важные резуль-
таты были получены Л. В. Канторовичем (Л. В. Канторович, Б. 3. Вулих и
А. Г. Пинскер [1]); такие метрики при исследовании итерационных процессов
систематически применяет Л. Коллатц [1]; отметим особо работы А. И. Пе-
рова [1], А. И. Перова и А. В. Кибенко [1], Э. Мухамедиева и В. Я. Сте-
ценко [1], некоторые построения которых используются ниже.

Новое направление в теории обобщенных нормированных пространств
создано М. Я. Антоновским, В. Г. Болтянским и Т. А. Сарымсаковым (см.,
например, их монографии [1—4]).
Этим обобщенным метрикам посвящены этот и следующий
пункты этого параграфа.

Пусть К — нормальный конус банахова пространства Е.

Говорят, что R является обобщенным метрическим про-
странством, если каждой паре х,у R сопоставлен элемент
р(х, i/JeK, причем выполнены обычные аксиомы: р(х, у)=0 то-
гда и только тогда, когда х = г/; р(г/, х)=р(х, у)\ справедливо
неравенство треугольника р(х, у) < р(х, z) + p(z, у).

Пусть R — вещественная линейная система; она называется
обобщенным нормированным пространством, если на ней за-
дана функция р(х) со значениями в К, удовлетворяющая сле-
дующим требованиям: р(0) = О и р(х)=#0 при х =f= 0; р(ах) =
= |а|р(х); р(х+у) <p(x)+p(p).

Обобщенное нормированное пространство превращается в
обобщенное метрическое пространство, если положить

p(x,i/)=p(x — у).	(6.12)

Примерами обобщенной нормы могут служить значения опе-
раторов (6.6) и (6.11), рассмотренных в п. 6.2.

Предположим, что на конусе К задан неотрицательный и
сублинейный функционал 1(и) (из и, v J>0 следует 0 4 l(u + v)^C
1{и) +l(v)). Допустим, кроме того, что /(и) принимает нену-
левые значения на ненулевых значениях р(х, у) или р(х). Тогда
формулы

Р* (х, у) = I [р (х, у) ]	(6.13)

и (если l(tu)~t 1(и) при

IWL = /[p(x)]	(6.14)

превращают обобщенное метрическое и обобщенное нормиро-
ванное пространства соответственно в обычное метрическое и
обычное нормированное пространства.

В качестве 1(и) может быть рассмотрена, например, норма
элемента и или линейный функционал, принимающий положи-
тельные значения на ненулевых элементах конуса К (если та-
кой функционал существует).

6.4.	Обобщенный принцип сжатых отображений. Рассмотрим
оператор А, действующий в обобщенном метрическом простран-
стве R. Будем говорить, что А удовлетворяет обобщенному ус-
ловию Липшица, если

р(Ах, Ау)<.Вр(х, у) (х, y^R),	(6.15)

где В — линейный положительный оператор в пространстве Е.

Теорема 6.2. Пусть пространство R полно по метрике
(6.13), где /(u) = ||u||. Пусть А преобразует R в себя и удовле-
творяет условию (6.15) с оператором В, спектральный радиус
которого меньше единицы.

Тогда уравнение

х=Ах	(6.16)

имеет в В единственное решение, которое является пределом
последовательных приближений

хп+1=Ахп (п=0, 1, 2, ...)	(6.17)

при любом начальном приближении х0 /?.

Доказательство. В силу теоремы 5.1 уравнение

и = Ви + р(Дх0, х0)	(6.18)

имеет в Е решение uQi представимое рядом

«о = 2 Вт р (Дх0, х0).	(6.19)

/и=0

В силу (6.15) при любых п,т^0

р(Ап+тх0, Апхй)<р(Ап+тха, Ап+т~'х,) + ... +p(Xn+,xa) Дпх0) <
< Bn+m*’p (Дх0> х0) + ... + Вгар (Дх0> х0)

и из (6.19) вытекает неравенство

р(Ди+тх0, Дгех0) < Впи0.	(6.20)

Отсюда, так как К нормален,

Цр(Д"+тх0, ДЧЖ^ЦвЧ

Правая часть стремится к нулю при п->оо; поэтому после-
довательность Апх$ фундаментальна. Предел х* последователь-
ности АпХь удовлетворяет неравенству

р(Д*х*, х*)<р(Лх*, Апх^ + р(Лпх0, х*) <

В р (х*, /Г^Хо) + р (тГх0, х*)>
откуда

11р(Дх*, х*) ||<2V(|| В || • ||р(х*, Д"-1х0)|1 + II р(Д"х0, х*) ||,

и так как правая часть стремится к нулю, то Дх* = х*.
Теорема доказана.

Упражнение 6.2. Показать, что в условиях теоремы 6.2 в Е может
быть введена эквивалентная первоначальной норма II • lh так, что по отно-
шению к метрике pi(x, у) = II р(х, у) |h оператор А удовлетворяет условиям
обычного принципа сжатых отображений.

Пусть 1(и)—сублинейный функционал, принимающий на
ненулевых элементах конуса К положительные значения
Линейный положительный оператор В назовем 1-нерастягиваю-
щим, если

Z(Bx)</(x) (хе К).	(6.21)

Теорема 6.3. Пусть R полно по метрике (6.13). Пусть опе-
ратор А преобразует R в свою компактную по метрике (6.13)
часть и удовлетворяет условию (6.15) с l-нерастягивающим опе-
ратором В, причем в соотношении (6.15) равенство имеет ме-
сто лишь при х=у.

Тогда справедливы утверждения теоремы 6.2.

Для доказательства достаточно заметить, что в метрике
(6.13) оператор А удовлетворяет условию р*(Лх, Л//)<р.х.(х, у)
при %=#*/, а затем сослаться на теорему 1.4.

Упражнение 6.3. Показать, что теорема 6.3 сохраняет силу, если
предположение о компактности AR заменить предположением о компактности
каждой последовательности Апх0 при х0 е R.

Упражнение 6.4. Построить пример полного метрического простран-
ства R и действующего в нем непрерывного оператора А таких, что AR не-
компактно, последовательность АпУо плотна в R при некотором уо\ каждая
последовательность Апх0 (x0^R) содержит сходящуюся подпоследователь-
ность.

Самостоятельный интерес представляют признаки существо-
вания функционала Z, при которых выполнено условие (6.21).
Пусть, например, у сопряженного оператора В* собственному
значению р(В) соответствует функционал /0, принимающий по-
ложительные значения на ненулевых элементах из К. Это усло-
вие очевидным образом выполнено, если К — конус неотрица-
тельных векторов в конечномерном пространстве, а В — нераз-
ложимая матрица; оно выполнено, если В — интегральный опе-
ратор с непрерывным положительным ядром, рассматриваемый
в пространстве С с конусом неотрицательных функций. О дру-
гих случаях мы упоминали при доказательстве теоремы 5.5; см.
также М. Г. Крейн и М. А. Рутман [1], М. А. Красносельский
[И], А. И. Перов [1], Э. Мухамедиев и В. Я. Стеценко [1]. Если
при этом р(В)-^ 1, то В будет /0-нерастягивающим по отноше-
нию к функционалу /0-

§ 7.	Преобразование линейных уравнений

,7.1. Общая схема. В настоящем параграфе рассматриваются
некоторые методы преобразования линейного уравнения

Вх = Ь	(7.1)

к эквивалентному уравнению

x = Sx+f	(7.2)
с линейным оператором В, спектральный радиус которого удо-
влетворяет неравенству

р(5)<1.	(7.3)

После перехода к уравнению (7.2) решение уравнения (7.1)
можно искать методом последовательных приближений.

Будем считать, что оператор В имеет непрерывный обрат-
ный В”1.

Уравнение (7.1) очевидным образом эквивалентно уравнению
Bx-f-BiX = S1x + 6,	(7.4)

где Вх — произвольный линейный оператор. Предположим, что
В + В{ имеет ограниченный обратный; тогда уравнение (7.4)
(а значит, и уравнение (7.1)) эквивалентно уравнению

х= (B + Bi)-'BiX+ (B + Bi)-^.	(7.5)

Уравнение (7.5) — это уравнение вида (7.2). Если оператор
Bi удастся подобрать так, чтобы выполнялось условие

р[(В + В1)’1В1]< 1,	(7.6)

то поставленная задача будет решена.

Описанная выше схема перехода от уравнения (7.1) к урав-
нению (7.2), несмотря на свою очевидность и тривиальность, но-
сит общий характер. Действительно, допустим, что уравне-
ние (7.2) эквивалентно уравнению (7.1) и что существует не-
прерывный оператор (/ — В)-1. Положим тогда

В, = В8(1 — S)’1.

Тогда уравнение (7.5) запишется в виде

x = [B + BS(/ — S)-1]-^/ — S)’1x+[B + BS(/ — S)-1]-^
или, так как B + BS(1 —	=	— В)-1, в виде

х = Вх+ (/ — S)B~'b.	(7.7)

Уравнение (7.7) эквивалентно уравнению (7.2), поэтому у них
должны быть одинаковые решения. Следовательно, элемент f
определяется формулой

f=(J— S)B-[b=(B + Bi)-'b.

Выбор оператора Bj является, конечно, сложной задачей.
Основные требования к Bi заключаются в том, чтобы доста-
точно просто вычислялся оператор (S + Bi)"1.

7.2.	Полиномы Чебышева*). Ниже нам понадобятся полино-
мы Чебышева

Тп (О = cos (n arccos t) (n = 0, 1, 2, ...).	(7.8)

*) См. В. Л. Гончаров [1].
В частности,

Го(О=1, Л(0 = Л Г2(О = 2^2— 1, Г3(/) = 4/3 —3/, ... (7.9)

Полином Чебышева 7\(/) имеет степень п; все его корни ве-
щественны и лежат на отрезке [—1, 1]; справедливы соотно-
шения

и

\Tn(t)\>l	(/<=[—1, 1])

(7.Ю)

max Tn(t)= 1,

min Тп (/) = - 1.



(7.11)

Важным свойством полинома Чебышева является тот факт,
что для любого многочлена Pn(t) степени п, принимающего
при некотором f0G=[—1, 1] значение 7\(/0), выполнено не-
равенство

max |Pn(/)|> max \Tn(t)\.

-к/ci

(7.12)

Равенство здесь достигается лишь при Рп(/) = 7^(/). Из (7.12)
после замены

A M + tn . М — m ,	\

к = —п 1 о— t (0 < m < /И < оо)

£	ы

вытекает

Лемма 7.1. Из всех таких многочленов Рп(к)

что Рп (0) = 1, многочлен

у, / 2Л — М — m \

гь /*1	\ М-т /

Rn (Л; т, М) = ——ту——--
" 4 ’	7	/ М + пг\

1п\ М-т)

наименее отклоняется от нуля на отрезке [т, Л4]:
max |РП(Л)|> max | Rn(Л; т, М) |.

Из (7.10) и (7.11) вытекает, что

max | Rn (Л; т, М) | = —-—L . -т < 1.
т I _ М + т\

п\ М-т)

степени п,

(7.13)

(7.14)

(7.15)

7.3.	Уравнение в гильбертовом пространстве с самосопряжен-
ным оператором*). Вернемся к изучению уравнения (7.1).
Будем считать, что В — положительно определенный

*) А. А. Абрамов [1], М. Ш. Бирман [1, 2], М. К. Гавурин [1], Г. Виар-
да [1], И. П. Натансон [1], М. А. Красносельский [10].
самосопряженный оператор:
м

В= f kdEK.	(7,16)

m

Пусть Qn(ty — многочлен вида

Qn (^) = 1 + # А + ... + С1п^п.

Тогда через Qtt(B) обозначают оператор

Qn(B) = I + ахВ + ... + апВп.

Очевидно,
м

Qn(B)= J QnW dEK.

т

Если р [Qrt(В)] < 1, то уравнение (7.1) эквивалентно уравнению
x = Qrt(B)x + f,	(7.17)

где

f= - аф-а2ВЬ- ... —anBn~'b	(7.18)

(для доказательства достаточно заметить, что каждое решение
уравнения (7.1) является решением уравнения (7.17) и что
у уравнения (7.17) решение единственно).

Упражнение 7.1. Выписать оператор Bi, при выборе которого урав-
нение (7.5) совпадает с уравнением (7.17).

Спектральный радиус самосопряженного оператора совпа-
дает с его нормой и определяется (см. Н. И. Ахиезер и
И. М. Глазман [1]) равенством

p[Q„(B)] = IIQn(B)ll = max|Q„(A)|,

где о —спектр оператора В. Поэтому
p[Qn(B)]< max |Q„(A)|.

Из полученного неравенства и леммы 7.1 вытекает, что в каче-
стве Qn(M наиболее выгодно выбирать многочлен (7.13).

В частности, нами доказана

Теорема 7.1. Решение уравнения (7.1) с положительно
определенным оператором (7.16) можно получить как предел
последовательных приближений

xh+i^Rn(B; tn, M)xh+f (k=l, 2, ...),	(7.19)

где f определен формулой (7.18) (а, — коэффициенты много-
члена (7.13)). Последовательные приближения сходятся как
геометрическая прогрессия со знаменателем

ИЯ„(В; т, М) ||

(7.20)

Из (7.9) вытекают равенства

2

М + m

/?i(B) = Z-

В,

Ъ(В) = 1-

8(М + ш)

М2 + ЪМпг 4- т2

_____2_____р2

М2 4- 6Мт 4- т2

в +

Таким образом, для решения уравнения (7.1) последователь-
ные приближения можно определять равенствами

ju+i = xk ——Bxk + пгт——f	(7.21)

«+1 лМ4-/п к М + т 1	4	'

или равенствами

г — у_______8 (М 4- т) г> I _____§______p2v __

*k+l	М2 6Mfn + т2	• М2 + §Мпг + т2 Xk

_____& (М	f I_____§_____г (7 nn\

М2 4- ЪМт 4- т2 ' М2 + QMtn + т2 '' * * '

Упражнение 7.2. Показать, что метод (7.22) в общем случае схо-
дится быстрее, чем метод (7.21).

Упражнение 7.3. Показать, что метод (7.22) сходится в общем слу-
чае быстрее, чем метод, каждый шаг которого заключается в отыскании двух
последовательных приближений по формулам (7.21).

В заключение отметим, что описанная схема может быть
применена при решении некоторых классов уравнений в бана-
ховых пространствах (например, уравнений с осцилляционными
в смысле М. Г. Крейна операторами, у которых все собствен-
ные значения вещественны, — см. Ф. Р. Гантмахер и М. Г. Крейн
[1]) и некоторых уравнений с несамосопряженными операторами
в гильбертовом пространстве. В некоторых случаях известна
более полная информация о расположении спектра оператора В,
чем та, которая была использована выше. Если спектр локали-
зован на некотором множестве F, отличном от промежутка
[т, М], то от уравнения (7.1) целесообразно переходить к урав-
нению (7.2) с оператором S, который является таким полино-
мом Рп(В), что Рп(0) = 1 и Рп(^) наименее отклоняется от нуля
на F. К сожалению, теория многочленов, наименее отклоняю-
щихся от нуля на отличных от отрезка множествах, существенно
сложнее теории полиномов Чебышева.

7.4.	Уравнения с вполне непрерывными операторами. Допу-
стим, что уравнение (7,1) имеет вид

x=Ax_+fq<	(7,23)
Если существует непрерывный оператор (/ — Ai)”1, то (7.23)
эквивалентно уравнению (7.2), где

S=(I — Ai)-l(A— Ai)	(7.24)

и

f == (/_	(7.25)

Упражнение 7.4. Построить такой оператор В\, чтобы переход от
(7.23) к (7.24) совпадал с переходом от уравнения (7.1) к уравнению (7.5).

Если оператор А{ удается подобрать так, что p(S)<l, то
уравнение (7.23) имеет единственное решение, которое может
быть получено методом последовательных приближений.

Мы будем рассматривать операторы А[ вида

АХ = РА,

(7.26)

где Р — оператор проектирования на некоторое подпростран-
ство E^czE. В этом случае отыскание значений оператора
(/ — Ai)-1 требует решения уравнений в подпространстве Ео.
Действительно, элемент

u=(/-A1)-V=(/-PA)’1f

(7.27)

является решением уравнения

u = PAu+f,

откуда следуют равенства

(l — P)u=(l — P)f, Ри = РАРи+РА(1 — P)f + Pf. (7.28)

Сделанное замечание особенно полезно, если Р проектирует на
конечномерное подпространство: в этом случае построение опе-
ратора (/ — РА)~1 требует решения конечных систем линейных
алгебраических уравнений (или, что то же, обращения матрицы
оператора / — РА в пространстве Ео).

Если Ai определен формулой (7.26), то уравнение (7.2) за-
пишется в виде

х = (I — РА)~' (/ — Р)Ах+ (/ — PA)-'f.	(7.29)

Если А{ определить формулой Ai = AP, то уравнение (7.2) бу-
дет иметь вид

х= (/ — АР)-'А (/ — Р)х+ (/ — AP)~'f.	(7.30)

Упражнение 7.5. Показать, что построение оператора (/ — ДР)-1 при-
водится к обращению матрицы, если Р — оператор проектирования на конеч-
номерное подпространство.

Если А вполне непрерывен, то в пространствах с базисом его
с любой точностью (по норме) можно аппроксимировать опе-
раторами РА, где Р проектируют на конечномерные подпро-
странства. Если 1 не является собственным значением опера-
тора Д, то операторы (/ — РА)~[ будут существовать и будут
близки к оператору (У — Д)"1. Поэтому из близости РА к А вы-
текает, что оператор (/ — РД)“1(Д — РА) имеет малую норму.

В многочисленных работах Ю. Д. Соколова и его сотрудни-
ков (см. монографии Ю. Д. Соколова [1]> А. Ю. Лучки [1],
Н. С. Курпеля [1] и библиографию в них) детально изучается
приближенный метод, который является, по существу, построе-
нием обычных итераций по одному из уравнений (7.29) или (7.30):

хп+1= (/ — РА)-^(А —РА) хп+(/ — PA)~'f (7.31)
или

xn+i = (/ - АР) -1 (Д - А Р) хп + (/ - АР) -7	(7.32)

при специальном выборе (как правило, одномерного) опера-
тора Р.

Упражнение 7.6. Пусть Р — оператор проектирования в банаховом
пространстве Е. Пусть А — ограниченный линейный оператор. Показать, что
операторы РА, АР и РАР имеют равные спектральные радиусы.

Упражнение 7.7. Показать, что спектральный радиус оператора
(/— АР)~'А(1 — Р) из (7.30) равен спектральному радиусу оператора
(I—P) (/-ЛР)-М(/-Р).

Упражнение 7.8. Пусть А — самосопряженный оператор, действую-
щий в гильбертовом пространстве Н. Пусть Р — оператор ортогонального
проектирования. Показать, что оператор

£= (I—P) (I-AP)-'A (I-P)

также самосопряженный.

Упражнение 7.9. Показать, что обратимость одного из операторов
I—AP, I—PA, I—PAP влечет обратимость двух других. Вывести формулы,
выражающие каждый из операторов (/—ДР)"1, (/—РД)"1, (/—РДР)-1 через
любой другой из них.

Упражнение 7.10. Показать, что отыскание последовательных прибли-
жений (7.32) эквивалентно отысканию Рхп и Qxn = xn — Рхп из рекуррент-
ных уравнений

Рхп = РАРхп + Р A Qxn_ 1 + Pf, j

Qxn = QAPxn + QAQxn-i + Qf- J

Изложенные выше соображения о возможности перехода от
уравнения (7.2) к уравнению (7.29) или (7.30) не содержат
фактических рекомендаций для выбора проекционного опера-
тора Р.

Допустим, что Хо — наибольшее по абсолютной величине соб-
ственное значение оператора Д, которому соответствует соб-
ственный вектор е0. Пусть /0 — собственный элемент сопряжен-
ного оператора А*, отвечающий тому же собственному значе-
нию Через ро обозначим радиус круга, в котором лежит весь
спектр оператора А, за исключением точки Хо. Простой
подсчет показывает, что спектральный радиус операторов
(/ — РА)^(А — РА) и (I — АР)’1 (А — АР) не превышает ро»
если

Px = lQ (х)е0

(хе=Е)

(7.34)

(в этом случае оба выписанных оператора совпадают). Поэтому,
если ро < 1, то можно использовать в качестве проекционного
оператора либо оператор (7.34), либо любой достаточно близ-
кий к нему.

Аналогичное рассуждение можно провести и в том случае,
когда вне круга радиуса ро < 1 лежит несколько собственных
значений, — в этом случае приходится применять операторы
проектирования на подпространства, размерность которых не
меньше суммы кратностей собственных значений оператора А,
лежащих вне круга | X |	р0.

Упражнение 7.11. Пусть сумма кратностей собственных значений опе-
ратора А, лежащих вне круга I X |	р0, больше п. Пусть Р — оператор

проектирования на n-мерное пространство. Показать, что р(4 — РА) > р0-

Изложенные выше в этом параграфе соображения могут
быть применены и в тех случаях, когда рассматриваемое урав-
нение можно решать методом последовательных приближений
без всяких предварительных его преобразований, — они позво-
ляют конструировать более быстро сходящиеся последователь-
ные приближения.

7.5.	Метод Зейделя. Для приближенного решения систем ли-
нейных уравнений

^ik^>k Ь[ G* !,«••» Т/l)
fe=l

часто применяется метод Зейделя *), который заключается
в следующем. Система переписывается в виде

bu&k =	2	4“ (I = 1, ..., ш),

k—l	k—i + \

и последовательные приближения х„={£(">.........нах°Дят

по формулам

i	tn

2 Ь1к^ = - 2 &Х-1) +	=

Ы	£=ч + 1

Известно, что эти последовательные приближения сходятся, если
матрица (bik) симметрическая и положительно определенная.

*) См., например, Д. К. Фаддеев и В. Н. Фаддеева [1].
Метод Зейделя допускает обобщение на операторные урав-
нения *). Пусть рассматривается уравнение

Вх=Ь,

(7.35)

где В — самосопряженный ограниченный оператор, действую-
щий в гильбертовом пространстве Н. Пусть

в = в1 + в2 + в:.	(7.36)

1	м	&

Тогда уравнение (7.35) можно переписать в виде

(Bi + Вг) х = — В2Х + b

или, если существует (Bi + В2) \ в виде

х = - (Bi + В2) 1 В\х + (Bi + В2Г1 Ь.	(7.37)

Уравнение (7.37) эквивалентно уравнению (7.35).
тральный радиус оператора

С = (В1 + В2Г1 В2

Если спек-

(7.38)

меньше чем 1, то к уравнению (7.37) применим метод после-

довательных

Положим

приближений.

Рис. 7.1.

Yo= inf {|((В1 + В2)х, х)|-

11x11 = 1

- (В2Х, х)|} (7.39)

и покажем, что это число
положительно, если опера-
торы В и Bi положительно
определены, т. е.

(Вх, %) т (х, х), |

(BiX, x)^mj(x, х) 1 (7.40)
(хе //; m,m!>0). I

Вначале заметим, что очевидное неравенство

(Bix, x)((Bi +В2 + В2)х, x)>/nm1(x, х)2

можно переписать в виде

((Bi 4- В2)х, х) ((Bi + В2) х, х) (В2х, х) (В2х, х) + mmi (х, х)2

или, что то же, в виде

| ((В! + В2) х/х) |2 — | (В2х, х) |2 > mmi (х, х)2.

(7.41)

*) С. Г. Крейн и О. И. Прозоровская [1].
Пусть

Тогда

sup |((В1 + В2)х, х)| = ₽0.
11*11-1

Y0>inf{p- а: р2-а2>т/пь ₽< Pol-

Поэтому (см. рис. 7.1)

Vo>Ро“	.

Теорема 7.2*). Пусть В и Bi положительно определены.

Тогда спектральный радиус р(С) оператора (7.38) удовле-
творяет неравенству

Р (С) р0 = 1 ~ \\Bi + B21| ’	(7-42)

где уо—число (7.39).

Доказательство. Так как

Сх — Кх = (Bi + В2)”1 [В*2Х — A(Bi + Й2)х],

то при || х || =/= 0

|| Сх - А.х ||> .. д * В2х - A(Bi + В2) х|| >

II -О1 "Г ^2 II

|| Bj + В2II • Цх|| I ~	+ 62) X, х) | >

> цВ1 + д2|| ,||Х|| {|%Ь|((В1 + В2)х, х) |- |(В2Х, х)|)

и при |Z|^1 в силу (7.39)

. || Сх - Ах || > „ Д| „ || х ||.	(7.43)

Это неравенство означает, что все числа |Л|^1 являются
точками регулярного типа для оператора С.

Пусть теперь р0 < | Л |^ 1. Тогда из (7.43) вытекает неравенство

•1|х||>

- (1 -I М)}|| * II >о.

Следовательно, и все К из кольца р0 < | Л (1 также имеют
регулярный тип. Таким образом, множества значений опера-
торов С — V при |Х| > ро замкнуты и на определен обрат-
ный оператор (С — %/)’1. Для завершения доказательства оста-

*) М. А. Красносельский и В. Я. Стеценко [1]. В упоминавшейся работе
С. Г. Крейна и О. И. Прозоровской показано другим методом, что в усло-
виях теоремы 7.2 р(С) <1.
лось показать, что совпадает с Н при j X | > р0. Обозначим
размерность ортогонального дополнения к через d^. Эту
размерность называют дефектным числом оператора С. Основ-
ной факт теории дефектных чисел заключается в теореме о его
инвариантности: если G — связная область (комплексной пло-
скости), состоящая из точек регулярного типа для оператора С,
то при всех дефектные числа d^ одинаковы (М. А. Крас-
носельский [1], см. также Н. И. Ахиезер и И. М. Глазман [1]).
Поэтому для завершения доказательства теоремы достаточно
показать, что dx = 0 при больших значениях X. А это очевидно,
так как при больших значениях X оператор С — X/ имеет опре-
деленный на всем Н непрерывный обратный

оо

(С - V)"1 = - 4 2 v"crt-

п=0

Теорема доказана.

7.6. Замечание о сходимости по другим нормам. Пусть опера-
тор А действует в пространстве Е и р(А)<1. Пусть, кроме того,
известно, что некоторая степень Ah оператора А действует как
непрерывный оператор из пространства Е в более узкое про-
странство Е^ Оказывается, что в этом случае последовательные
приближения

xn+l = Ахп + f (f, х0^Е)	(7.44)

сходятся к решению х* е Е уравнения

х = Ах + f

(7.45)

не только по норме пространства Е, но и по норме прост-
ранства Е{ (при больших п разности хп — х* принадлежат Е\
и норма ||хп — x*||£i->0). Для доказательства достаточно заме-
тить, что х* — хп можно представить в виде

оо

х* - Хп = 2 Akf - Апхй = Ап (х' - х0),
k = n

откуда

II х* - х„ |L < || Аь 11^II An~k (х - х0) II = О [рп (Л)].

Сделанное замечание полезно, если уравнение (7.45) ре-
шается в пространстве С или некотором пространстве Lp и если
известно, что Ah действует в какое-либо пространство диффе-
ренцируемых функций (например, А является интегральным опе-
ратором типа потенциала): в этом случае можно сделать вы-
вод о равномерной сходимости последовательных приближений
умеете с производными до определенного порядка,
Упражнение 7.12. Пусть линейный оператор В коммутирует в Е
с оператором А и является непрерывным оператором из Е в Е\. Пусть
р(Л)<1. Показать, что последовательные приближения yn±i=Ayn + Bf схо-
дятся по норме пространства Ei к решению уравнения y=Ay + Bf, если на-
чальное приближение имеет вид г/о=Вхо, xq^E.

Упражнение 7.13. Пусть Р— линейный оператор проектирования ба-
нахова пространства Е на подпространство Ео; А и Ло — линейные операторы,
действующие соответственно в Е и Ео; /-АЛ имеет обратный /?(А). Пусть
||РЛхо~Лхо1| ^e||xoll (хо е£0) и для каждого хе£ может быть указан такой
элемент хо е Ео, что ||Л к — xoll Bi||x[|. Показать, что уравнение х—КАох=Ру
имеет при любом у Е единственное решение х е Ео, если

q = I А | • || R (А) || (|| Р || • || I - А Л || е t 4- 8 + | А | e8l) < 1.	(7.46)

При этом решение удовлетворяет неравенству

II х II < -j4- (1 + |Л1 в,) ||Л (Л) II • IIРII • ||Р0 II

(JI. В. Канторович [2]).

Упражнение 7.14. Показать, что утверждение упражнения 7.13 со-
храняет силу, если (7.46) заменить условием

г=1 А | • || Р (А) ||	(|| Р || 8, + 61 + е) < 1.

При этом уравнение х —АЛох = Рг/ имеет единственное решение х при
любом у и

11 X II <-уу II R (Л)II • IIP//II

М. А. Красносельский и В. А. Чечик [1] ).

§ 8.	Метод минимальных невязок*).

8.1.	Постановка задачи. Основная часть параграфа посвя-
щена приближенным методам решения уравнения

Вх = Ь

(8.1)

с положительно определенным ограниченным оператором

м

Вх = К dEKx

V

т

(0 < т < М. < оо)

(8.2)

в вещественном гильбертовом пространстве Н. Решение этого
уравнения обозначается через х*. Если х0— некоторое прибли-
женное решение, то невязка Вх0— f обозначается через До,
а ошибка х0 — х* — через 60; очевидно,

До=Вбо.	(8.3)

*) Этот параграф написан в основном по части статьи ЛА. А. Красносель-
ского и С. Г. Крейна [1]. Идеи метода минимальных невязок нашли суще-
ственные приложения и развитие в недавних работах Г, И. Марчука,
А. Л. Самарского и их учеников.
Будем искать по приближению х0 новое приближение Xi по
формуле

*1=*о—CiAo,	(8.4)

где — некоторый коэффициент. Этот коэффициент будем оп-
ределять в дальнейшем из некоторых экстремальных соображе-
ний (например, из условий минимума нормы невязки Ai = Bxi—b
или минимума нормы ошибки 6i=Xi— х* и т. п.). Затем ана-
логичным способом по Xi определим х2 и т. д. В результате бу-
дет построен итерационный процесс

(8.5)

где

An = Вхп — b = B6ni дп = хп — х*.

(8.6)

Если в формулах (8.5) положить cn+i = &, где k — некоторое
отличное от нуля число, то их можно переписать в виде

хп+1=(/ — kB)xn + kb	(п = 0, 1, 2,...).	(8.7)

Число k, естественно, нужно выбрать так, чтобы норма опера-
тора / — kB была возможно меньше. Нетрудно видеть (см.
2

П. 7.3) , ЧТО ПРИ k = ту-—

’ 1 r М + т

Из этой оценки вытекает, что при отыскании последовательных
2	\

приближений по формулам (8.7) (при k = I последователь-
ные ошибки и последовательные невязки связаны неравенствами

1|Дл+111<^+^11Д„11 (п = 0, 1, 2, ...)	(8.9)

(n = 0, 1, 2, ...).	(8.10)

Для доказательства последних неравенств нужно лишь заме-
тить, что

бп+1 = (/ - kB) дл, Дп+1 = (/ - kB) Ап.	(8.11)

8.2.	Сходимость метода минимальных невязок. Приближение
X] будем искать в виде (8.4), причем коэффициент Ci будем
выбирать из условия минимума нормы невязки Ai = Bxi — b.
Очевидно,

откуда

Aj = Bxq — b — схВ^ = Ao — CiBAo,

Ai 2 — (Ap Aj Ao 2 2Cj (BA0, A0) + £2(BA0,

BA0). (8.12)

Этот квадратный трехчлен принимает наименьшее значение

при

__ (ВД0, Др)

1 (ВДр, ВДр) •

(8.13)

Из положительной определенности оператора В вытекает поло-
жительность и числителя и знаменателя правой части (8.13)
(если, конечно, До #= 0, т. е. х0 =#**).

По первому приближению тем же путем находим второе
приближение х2 и т. д. Приходим к итерационному процессу

х„+1 = Хп —Дп (« = °> !. 2. •••).	(8-14)

где Ап = Вхп — Ь. Этот процесс будем называть методом мини-
мальных невязок.

Теорема 8.1. Последовательные приближения (8.14) ме-
тода минимальных невязок сходятся к решению х* уравне-
ния (8.1). Скорость сходимости характеризуется неравенством

II Xfl х * II m

М — tn

М + m

(8.15)

Доказательство. Непосредственно из определения ме-
тода минимальных невязок вытекает, что

1|Дп+1 II <11 Д„-сВА„||

2

при любом с. Полагая с =	, в силу (8.8) приходим к не-

равенству

11Дпы11<4п^11Д„11 (га = 0, 1, 2, ...).	(8.16)

111 I /ft'

Поэтому

II А« II < II А° II-	<8Л7>

Из (8.17) вытекает (8.15), так как ||хп — х*Н 4^- IIAJI.

Теорема доказана.

Положим

ЬУ = У--&Ш)Ву (У^Н.у^Ъ).	(8.18)

Из (8.6) и (8.14) вытекает, что

Д„+1 = АД„ (71 = 0,1,2,...).	(8.19)
Простой подсчет показывает, что

L(/A4em± Ут ем) =	(|Ли ет + Утем),

где ет, ем— нормированные собственные векторы оператора В,
отвечающие соответственно собственным значениям т и М. По-
этому при

До = Ум ет+ Утем

невязка будет иметь вид

Д„ = А"Д0 = [УМет + (-l)n+1 Утем],

откуда

Полученное равенство показывает, что оценка (8.17) не может
быть улучшена, если т и М являются собственными значе-
ниями оператора В.

Упражнение 8.1. Доказать, что оценка (8.17) неулучшаема и в том
случае, когда т и М не являются собственными значениями оператора В,
но являются границами его спектра.

8.3.	Неравенство моментов*). Выражения
м

bs = (В5х, х) = J О (EKxt х)
т

называют моментами оператора (8.2).

Лемма 8.1. Пусть s — произвольное, а р и q — положи-
тельные числа.

Тогда имеет место неравенство

ь™

hp hq

Us+qUs-р»

(8.20)

Доказательство. Пусть р{>1, р\ =	* тогда для

любых функций а (Л) и (3(А,) справедливо неравенство Гельдера

м

а (Л) р (A) d (£\х, х)

m

I a (Л) f d (Екх, х)

м ,

|р(Л)ГЧ(£хх, х)
V

пг

*) Неравенства этого пункта были установлены вначале в связи с не-
которыми задачами теории нелинейных интегральных уравнений (см.
М. А. Красносельский [8]).
Положим в этом неравенстве

Р (s+q)	q (S-P)

а(А,) = Л р+я , р(Х) = Л

Так как

p(s + q) , q(s — p) =
p + q p+.q

то

i

м

J № d (Екх, х)

т

получим

Полагая теперь pi = J—^

Р	q

1Р+Я ( У	Ь+<7

Ks+qd (Екх, х) [ J d (Екх, х)

J I т	I

Возводя обе части последнего неравенства в степень р + q,
получим (8.20).

Лемма доказана.

Введем обозначения

=	... Л,

Sk	Sj S2	Sk

(8.21)

где Si, Sk — произвольные, a a1( .... ak — положительные
числа. Пару чисел {со, т), где

co = a!+ ... +аъ

т = 0,5] + ... + aksk,

<а., ..ah

назовем размерностью bsv sk.

1 z?

Неравенство (8.20) можно записать в виде

ftP+<7 Ch”'4

us us+q, s-p*

Из соображений однородности ясно, что общие неравенства мо-
гут существовать только между выражениями (8.21) одинако-
вой размерности.

Лемма 8.2. Пусть Si < s < s2.

Тогда для любого р > 0 найдутся такие положительные 01 и
р2, что

£ <	(8.22)

причем Pi + = Р» Pi5i + ₽2S2 = Ps’

о
Для доказательства достаточно сослаться на лемму 8.1,
положив

₽2 = Р

S2 51

Теорема 8.2. Справедливо неравенство

Ьа„1' ’><	!2 = &М2,	(8.23)

Рр • • •> Р&	S2 S1 s2

если размерности обеих частей одинаковы и если

Р1> • • • , Pk < *$2*

Доказательство. В силу леммы 8.2 каждый

тель 6^, входящий в левую часть (8.23), оценивается

множи-
следую-

щим образом:

(01Р ₽2Z>0).

Перемножая эти неравенства, получим

Аар ..., кРи+ ••• +3i£A^2i+ ••• +02fe

Рр...,РЛ^ Sj	S2

(8.24)

Так как размерность правой части совпадает с размерностью
левой, то

(Р11 + ... + Plfc) + (Р21 + • •• + Рг/г) = Pi + Рг>

$1 (Ри + .. . + Pifc) + s2 (Р21 + • • • + Ргй) = 51Р1 + ^гРг»

откуда следует, что

Рп + ... + Pia» = Pi, Р21 + • • • + Р2& = Рг»

и поэтому (8.24) совпадает с (8.23).

Теорема доказана.

8.4.	a-процессы. Пусть а — некоторое фиксированное веще-
ственное число. Определим последовательность х^а) при помощи
рекуррентной формулы

х(а) = х(а)-(В%ь_А^_ Д	(Q 95)

Хп+1 Хп (Ва+1ДП, Д„)

где х^а) — любой элемент из Н и

Ал = Вх^-6.	(8.26)

Построение последовательности (8.25) будем называть а-про-
цессом.
При а=1 мы приходим к методу минимальных невязок
(8.15). При а = 0 процесс (8.25) переходит в известный метод

у(0) = х(0) _ _ An) А	/о 27)

xn+l Хп (ВЬп, Ап)

наискорейшего спуска (см., например, Л. В. Канторович и

Г. П. Акилов [1]).

Особо отметим (—1)-процесс

(.В Ап, Ап) д
(Ап, Ап)

(8.28)

который мы будем называть методом минимальных ошибок. Из
формул (8.28) ясно, что метод минимальных ошибок в общем
случае неэффективен, — осуществление вычислений по форму-
лам (8.28) связано с применением оператора В’1. Однако, как
будет показано в п. 8.6, для некоторых специальных классов
уравнений метод минимальных ошибок становится (как это ни
странно) вполне эффективным. Укажем некоторые общие свой-
ства а-процессов.

Теорема 8.3. Все a-процессы (ос^>—1) монотонны в том
смысле, что

K+i"x*ll<ll4a)”zll-	(8.29)

Доказательство. Из

А = в%(«) - b = Вх^ -Вх* = В (х™ - х*)
п п	п	\ п /

вытекает, что

Отсюда следует равенство

*2__

/г+1

2 _ 2 (ВаАп, Ап)
(Ва+1Дп, д„)

(а) _ х* Д \	Д 1|2 =

п Х > пП(Ва+1Ди)Д„)2И «И

В силу теоремы 8.2

(ВаД„, Д„)(Д„, Д„Х(в“+|Д„, д„)(в-1дп, д„)
п тем более

Поэтому из (8.30) вытекает (8.29).

Теорема доказана.
Пусть у— некоторое вещественное число. Введем в Н новые
скалярное произведение и норму равенствами

(х, у\ = (Bvx, у),	|| х ||v = ]/"(х, x)v. (8.31)

Норма ||x||Y эквивалентна первоначальной норме в Н; при у!>0
/nv/2||x||<||x||v<Alv,2||x|| (хе Я)

и при у < О

м~у12IIX||<IIX||v<m'v/2IIXII (хе Я).

Легко видеть, что каждый a-процесс является p-процессом в
пространстве Н со скалярным произведением (8.31) при у=
= а — р, — это вытекает из равенства

(ВаД, д) (Ва-рВРД, д) (5РД> д)а-з

д) (ва-рвр+|д, д) (вр+|д, д)а_р‘

В частности, каждый a-процесс является методом минимальных

невязок при скалярном произведении (%, Отсюда
теоремы 8.1 вытекает

Теорема 8.4. Все a-процессы сходятся с быстротой
v	М — tn

метрической прогрессии со знаменателем .

И из

гео-

Упражнение 8.2. Показать, что коэффициент са =

в фор-

мулах (8. 25) является невозрастающей функцией аргумента а (при фиксиро-
ванном А).

Упражнение 8.3. Пусть х^ — х®\ где — 1 a < fk Доказать нера-
венство

(а) _ *

п+1 х

(fl) *
п+1 х

8.5.	Вычислительная схема. Из (8.25) и (8.26) вытекает, что
при любом а-процессе

Дп+1 = ВаД„ (« = 0,1,2,...),	(8.33)

где

= 4 - (^й)	(8-34)

Свойства операторов La детально изучены в цитированной
статье М. А. Красносельского и С. Г. Крейна [1] (стр. 321—328).

Формула (8.33) позволяет находить последовательно эле-
менты Ai, не вычисляя на каждом шаге элементы хг-. Поэтому
для вычисления приближения хп можно воспользоваться фор-
мулой

^n= Xq qA0 — ... cnA^-i,	(8.35)
где

(В%_,, Д<-,)

1 (ва+%_,. дг_,) •

Эта схема вычислений обладает существенным недостатком, так
как при вычислениях по формуле (8.35) ошибки в определении
элементов сгДг-1 складываются, а при осуществлении итерацион-
ного процесса (8.25) они не накапливаются.

8.6.	Применение к уравнениям с несамосопряженными опе-
раторами. Рассмотрим уравнение

Ах = а;

(8.36)

будем считать, что А и А’1 непрерывны. Уравнение (8.36) экви-
валентно уравнению

А*Ах = А*а.	(8.37)

Оператор В=А*А самосопряженный и положительно опреде-
ленный:

(А* Ах, у) = (Ах, Ау) = (х, А*Ау)
и

(А* Ах, х) = (Ах, Ах) = || Ах ||2 > ..	(х, х).

Л II

Поэтому для приближенного решения уравнения (8.37) можно
применить метод минимальных невязок и другие а-процессы,
Как уже упоминалось, реально применимы к решению урав-
нения (8.1) a-процессы при целых неотрицательных а. Оказы-
вается, что для решения уравнения (8.37) может быть применен
и (—1)-процесс (метод минимальных ошибок). Действительно,
в случае уравнения (8.37) формулы (8.28) будут иметь вид

V _ V _ ((ЛМ)-1 Д* (Ахп - а), Д* (Ахп - а)) .., .	_ ,

хл+1 х„ (Д* (ДХ„ - а), Д* (Лхп - а))	71 V n '

или, так как

((ЛМ)"1 Az, A*z) = (z, z) (z&H),

вид *)

=__________(Axn ~ a, Axn - a)

*n+1	(A*(Axn-a), A*(Axn-a))

Л* (Axn - a).

(8.38)

§ 9.	Приближенное вычисление спектрального радиуса

9.1.	Использование итераций оператора. В § 5 и § 6 были
указаны некоторые приемы получения оценок спектрального ра-
диуса р(Д) линейного оператора А, действующего в банаховом

*) В. М. Фридман [3—5].
пространстве Е. Эти оценки часто оказываются завышенными.
Для приложений важно уметь находить р(Д) с высокой точ-
ностью.

Формула И. М. Гельфанда

р (Л) = Пт р„ (Л),	(9.1)

оо

где

р„(Л) = ||Лл||'/п	(п=1, 2, ...),	(9.2)

означает, что числа рп(Л) при фиксированных достаточно боль-
ших п можно рассматривать как приближенные значения р(Л).
Однако фактическое вычисление чисел (9.2) возможно лишь в
редких случаях, и поэтому для отыскания р(Л) приходится
пользоваться другими приемами.

Во многих случаях приближенные значения р(Л) можно оп-
ределять по более простой, чем (9.1), формуле

р (Л) = lim IIЛ7 Ц1/п,	(9.3)

П-»оо

где f — «выбранный наугад» элемент из Е, Формула (9.3) верна,
конечно, не при любых f^E. Действительно, если f принадле-
жит инвариантному для А подпространству Ео, то в силу фор-
мулы И. М. Гельфанда

ШН II Anf ||1/rt < ро (Л),
ОО

где ро(Х)—спектральный радиус сужения Ао оператора А на
подпространство Ео; конечно, р0(/4) может быть меньше, чем
р (Л). Поэтому слова «выбранный наугад» существенны.

Пусть, вначале, А — самосопряженный оператор

ь

А = j kdEK,
а

причем а, b — точные нижняя и верхняя границы спектра. Пусть
для простоты 6 = 1И|| и |а|<6. Тогда равенство (9.3) имеет ме-
сто, если f — Еъ-zf =#0 при любом 8 > 0, так как для таких эле-
ментов f

ъ

Ь2ПII f ||2 = II Л" II2 II f II2 > IIЛ nf II2 = J K2n d (EKf, f) >

а

b	b

> f V"d (E J, f) >(t> - e)2" J d (EKf, f) = (b — 8)2” || f - Eb.ef II2,
Ь-e	b-e,
откуда следует, что

b - е < lim II Anf ||'/n < lim || A"f ||1/n < b,
n -> оо	П -> °o

после чего остается воспользоваться произвольностью е. Эле-
менты f, для которых при малых е разность f — Eb-^f равна
нулю, образуют линейное множество, которое не плотно во всем
пространстве, — лишь для этих элементов формула (9.3) не-
верна.

В качестве второго важного класса операторов рассмотрим
вполне непрерывные операторы. Если А вполне непрерывен и
если его спектральный радиус р(Л) отличен от нуля, то р(Л)
совпадает с наибольшей абсолютной величиной собственных зна-
чений. Пусть Xi, Аг, ..Хь — собственные значения оператора Л,
абсолютные величины которых совпадают с р(Л) и которым от-
вечают корневые подпространства Е2, ..., Eh соответственно.
Тогда Е можно представить в виде прямой суммы

Е = Е1®£2© ... ®Ek®E0,	(9.4)

где Ео—инвариантное для Л подпространство, сужение на ко-
торое оператора Л имеет спектральный радиус р меньший, чем
р(Л). Расщеплению (9.4) пространства Е в прямую сумму под-
пространств соответствует представление каждого f^E в виде
суммы

f = Pif + P2f + ... +Pkf + Pof (Pif^Ei), (9.5)

где Pi — операторы проектирования на соответствующие под-
пространства. Введем в Е новую норму

11Ж= IIPJII+ ... +\\Pkf\\ + lOI (f^E),	(9.6)

которая эквивалентна первоначальной:

ОС||f || < Ilf ILX Р||f || (f e= E' a, p > 0).	(9.7)

Покажем, что верна формула (9.3), если f =# PQf или, что то же,
одна из проекций Pif, ..., Pkf отлична от нуля. Для простоты
будем считать, что Pif=#O.

Пусть е1у е2,..., es — базис в Eit в котором сужение ЛА опе-
ратора Л на Ei записывается матрицей в жордановой форме.
Тогда в представлении

Рif = ?1в1+’... +£s£s	(9.8)

вектора PJ найдется такая ненулевая компонента что пред-
ставления всех векторов P[AnPif = A\Pif имеют вид

A1PJ = iW +

+ CAo-i +	+ +	(9-9)
(доказательство предоставляем читателю). Каждый коэффи-
циент в представлении (9.8) является непрерывным линейным
функционалом на Е^ поэтому

lulpnM) = IUtf	(п=1, 2,	(9.10)

Перейдем к доказательству (9.3). Из (9.6) и (9.10) вытекает
цепочка соотношений

IIA"f ||* > || PtAnf || = || A"PJ || > j- | g,. I [p (Л)]" = С1 [p (Л)]",

откуда в силу (9.7)

II л 7II > «С1[р (Ж
и поэтому

lim || Anf ||1/n > р (Л).
п -> оо

С другой стороны, из формулы И. М. Гельфанда вытекает
неравенство

Нт || ЛлЛ|1/п <РИ)-
п -> ОО

Поэтому верно (9.3).

Упражнение 9.1. Пусть оператор А квазивполне непрерывен. Пока-
зать, что формула (9.3) верна при всех f, не лежащих в некотором под-
пространстве.

Легко описать другие классы операторов, для которых фор-
мула (9.3) верна при «почти всех» f.

9.2.	Положительные операторы*). Для положительных опе-
раторов А (в пространстве Е с конусом К) легко описать класс
элементов f, для которых верна формула (9.3).

Пусть конус К телесен и f — некоторый его ненулевой эле-
мент. Напомним, что f-норма || • ||/ в Е определяется формулой

|| х ||f = min {t: — tf <x <//}.	(9.11)

Для положительных x норма ||x||y— это минимум тех /, при ко-
торых х < //.

Теорема 9.1. Пусть конус К телесен и нормален. Пусть
j — внутренний элемент К.

Тогда верно равенство (9.3).

Доказательство. В силу теоремы 5.5 из

Anf <|| Anf ||f. f
вытекает неравенство

[р(Л)]л<|| Л 7 Ilf,	(9.12)

*) В. Я. Стеценко [3]; ниже излагаются простейшие теоремы.
откуда

Hm II Anf ||/">р (А).

П -> ОО

С другой стороны, в силу формулы И. М. Гельфанда

ns II а7И!/п<р(А).

п -> ОО

Поэтому

lim || А"Л1/” = Р (А).	(9.13)

П -> ОО	'

Из (9.13) вытекает (9.3), так как нормы ||х|| и ||х||/ эквива-
лентны.

Теорема доказана.

Из неравенства (9.12) вытекает важное дополнение к тео-
реме 9.1.

Теорема 9.2. Пусть выполнены условия теоремы 9,1.

Тогда числа\\Ап1\^п сходятся к р (Л) сверху.

IIА7||}/">р(А) (га =1,2, ...).

Упражнение 9.2. Показать, что последовательность ||А

моно-



тонна.

Упражнение 9.3. Показать, что последовательность {|| Azkf ||f}2
монотонна.

Теорема 9.2 сохраняет силу и в случае нетелесных кону-
сов К, если оператор Л удовлетворяет дополнительным усло-
виям.

Теорема 9.2 дает рецепт приближенного вычисления р(Л) по
избытку. Для достаточно широких классов операторов можно
близкими соображениями получить приближения р(Л) по не-
достатку.

Теорема 9.3. Пусть конус К телесен и нормален. Пусть
оператор А имеет собственный вектор uQl который является вну-
тренней точкой К и которому отвечает собственное значение
р(Л). Пусть f — внутренний элемент конуса.

Тогда справедливо равенство

п __

р(А)= lim У а„,
П оо

(9.14)

(9.15)

где

a„ = sup{a: Anf^>af}.

п ___

При этом числа сходятся к р(Л) по недостатку.
Доказательство. Так как f — внутренний элемент К, то
найдутся такие положительные и с2> что

CfWo f ^2^0-

Поэтому

С1 [р (Л)]" н0 < Anf < [р (Л)]" н0

Из этого соотношения вытекают неравенства

а„ > 71 [р (Л)Г,
^2

откуда

limр(Л).	(9.16)

П -> ОО

С другой стороны, в силу теоремы 5 4

/%<р(Л)	(п=1,2, ...).	(9.17)

Из неравенств (9.16) и (9.17) вытекает (9.14). Второе дока-
зываемое утверждение вытекает из (9.17).

Теорема доказана.

Условиям теоремы 9.3 удовлетворяют, например, вполне не-
прерывные сильно положительные и, более общо, квазивполне
непрерывные неразложимые операторы.

9.3.	Вычисление наибольшего собственного значения. Как мы
уже неоднократно указывали, спектральный радиус для многих
операторов (например, вполне непрерывных) — это наибольшая
абсолютная величина собственных значений. Поэтому каждый
приближенный метод вычисления собственных значений яв-
ляется одновременно приближенным методом вычисления спек-
трального радиуса.

Часто удобны для применения метод Галеркина, метод Га-
леркина — Петрова, их различные дополнения и модификации.
Эти методы детально изучены, например, в монографиях
С. Г. Михлина [3, 8]. Ряд аспектов теории этих методов в их об-
щей постановке рассматривается ниже в гл. 4.

Мы здесь не останавливаемся и на исследовании разработан-
ного Л. В. Канторовичем метода наискорейшего спуска в про-
блеме собственных значений самосопряженных операторов. Ос-
новные относящиеся сюда результаты изложены у Л. В. Канто-
ровича и Г. П. Акилова [1].

Наконец, укажем фундаментальную монографию Д. К. Фад-
деева и В. Н. Фаддеевой [1], посвященную вычислительным ме-
тодам линейной алгебры. Многие изложенные в этой книге ме-
тоды непосредственно переносятся на случаи операторов в гиль-
бертовом пространстве и банаховом пространстве.

9.4.	Приближенное вычисление собственных значений само-
сопряженных операторов. В этом и последующих пунктах на-
стоящего параграфа предполагается, что А — положительно
определенный самосопряженный оператор в вещественном гиль-
бертовом пространстве Н. Мы опишем ряд приближенных ме-
тодов отыскания границ m, М спектра оператора А.

Для вывода соответствующих приближенных формул *)
предположим вначале, что Н n-мерно и что все собственные
значения матрицы А простые и различные. Пусть для удобства

M=Ai>A2> ... >Кп = т.	(9.18)

Через eit..., еп будем обозначать единичные собственные век-
торы матрицы 4, отвечающие соответственным значениям

Рис. 9.1.

Простейшие методы построения по &-му приближению xh
следующего приближения Xk+i основаны на представлении век-
тора Xfe+i в виде линейной комбинации двух векторов xk и Axk и
на выборе числовых коэффициентов в этой линейной комбина-
ции. Иначе говоря, очередное приближение ищется как не-
которая точка плоскости П, проходящей через векторы Хь и Axh.
На рис. 9.1 нарисован эллипсоид (Ах, х)=1; его наименьшей

*) Здесь мы следуем М. А. Красносельскому [7].
даст приближенное значение 7И).

полуосью является ех1У М, наибольшей полуосью — вектор
еп/У т\ пунктиром обозначены полуоси эллипса — сечения эл-
липсоида плоскостью П.

Будем вначале искать приближенно вектор ех (если x~ei,
(Ах, х)
то число ----Г-

(х, X)

Через у обозначим точку пересечения прямой, проходящей
через Xk в направлении Axk, с продолжением малой полуоси
эллипса-сечения (или с самой полуосью). Приближение xk+i по-
лучим, пронормировав у так, чтобы точка Xk+i лежала на эллип-
соиде (Ах, х) = 1; для этого достаточно положить

-------- у.
К(Ау, у)

(9.19)

Представим точку у в виде

у = xk - zAxk.	(9.20)

Для определения 8 можно воспользоваться тем фактом, что у
является собственным вектором оператора РА, где Р — опера-
тор ортогонального проектирования на плоскость П. Поэтому
РАу = к*у, откуда

(Ау — к*у, xk) =0, (Ау — Г*у, Axh) =0.

Исключая из последних равенств X*, получаем для определения
числа 8 квадратное уравнение

— е (а{а2 — а0а3) + (а2 — а0а2) = 0,	(9.21)

где

6Z/	(«Д Xk, Xk).

Из геометрических соображений (см. рис. 9.1) ясно, что оба
корня 81 и 82 квадратного уравнения вещественны и положи-
тельны. Легко показать это и аналитически. Для определенно-
сти будем считать, что 8i<82. Тогда для определения у нужно
положить 8 = 82 в формуле (9.20). Последовательность xk в этом
случае сходится к ei/]AW. Описанный прием совпадает с мето-
дом наискорейшего спуска Л. В. Канторовича [1, 2] (здесь он
получен из других соображений).

Если вместо точки у выбрать точку г пересечения рассмо-
тренной выше прямой с большой полуосью эллипса-сечения, то
для определения точки z придем к аналогичной (9.20) формуле

z = — eAxk,

(9.22)

причем в качестве 8 нужно выбрать меньший корень 81 ква-
дратного уравнения (9.21). Приближение определится тогда
равенством

(9.23)

У (Лг, г)

Последовательность (9.23) будет сходиться к еп/]/~т. Поэтому
последовательность чисел

xk)
(xk> xk)

(6=1, 2, ...)

(9.24)

будет сходиться к т.

Упражнение 9.4. Показать, что дискриминант уравнения (9.21) не-
отрицателен.

Упражнение 9.5. Показать, что последовательность чисел (9.24) схо-
дится к т и в том случае, когда А — произвольный положительно опреде-
ленный самосопряженный оператор в гильбертовом пространстве, если началь-
ное приближение хо не принадлежит некоторому фиксированному подпро-
странству Яо- Описать подпространство //о-

Дальнейшие рассуждения будут относиться к итерационным
процессам, каждый шаг которых не требует решения квадрат-
ных уравнений. Вернемся вначале к задаче приближенного
отыскания вектора eh Из геометрических соображений ясно
(см. рис. 9.1), что точку у можно с «малой ошибкой» заменить
точкой и пересечения прямой, проходящей через хк в направле-
нии Ахь, с эллипсом-сечением. В этом случае xk+i=xk — &Axk и
е определяется из равенства

(4Xfe+i, Xfe+i) = 1

или, что то же, из уравнения

(Axh — eA2xh, xk — sAxk) = (Axh, Axh).

У этого уравнения один ненулевой корень. Отыскав его, полу-
чаем рекуррентный процесс

= хк — 2 ((^’ Ахк (k = 0, 1, 2, ...).	(9.25)

Этот метод был предложен В. Н. Костарчуком [1], который на-
звал его методом нормальных хорд.

Если в пространстве рассматривать вспомогательное скаляр-
ное произведение

(х, t/)Y=(4vx, у)

и выводить формулы метода нормальных хорд при этом ска-
лярном произведении, то мы придем к рекуррентным формулам

— %k 2

(X2+Vxfe, xfe)

(X3+vxA, xft)

Ахк

(k = 0, 1, 2, ...),

(9.26)
Наиболее удобен метод (9.26) при у= —2; он имеет вид
xft+1 = xft-2^^-Xxft (6 = 0, 1, 2, ...).	(9.27)

Обозначим через hk проекцию вектора Axk на прямую в пло-
скости П, перпендикулярную к х* (см. рис. 9.1). Очевидно,
=	(* = 0,1,2,...).	(9.28)

\ k k f

Обозначим через w точку пересечения прямой, проходящей че-
рез Хй в направлении с эллипсом-сечением. Эта точка w =
=Xk — zhk может быть найдена из условия (Aw, w) = 1. Точку w
можно рассматривать как последующее приближение Х/ц-i, если
мы хотим приближенно найти собственный вектор еп. Соответ-
ствующая рекуррентная формула имеет вид

хк+1 = хк - 2 g hk (6 = 0, 1, 2, ...),	(9.29)

где hk определяется формулой (9.28). Сходимость процесса
(9.29) к еп геометрически ясна.

Последний процесс, который мы опишем в этом пункте, ос-
нован на переходе от точки к середине v отрезка, соединяю-
щего Хь и w. Такой процесс приближенного отыскания еп осу-
ществляется по формулам

хк+1 ~ хк — hk (6 = 0, 1, 2, ...).	(9.30)

Отметим, что приближения (9.30) уже не лежат на одном эл-
липсоиде (Ах, х) = с. Норма этих приближений не убывает, так
как переход от xk к последующему приближению осуществляет-
ся добавлением ортогонального вектора.

9.5.	Метод нормальных хорд. Метод нормальных хорд де-
тально изучен В. Н. Костарчуком [2] и Б. П. Пугачевым [3].

Формулы (9.25), (9.26) и (9.27), описывающие различные
варианты метода нормальных хорд, имеют смысл для произ-
вольных положительно определенных самосопряженных опера-
торов, а не только для положительно определенных матриц.
Ясно, что в случае произвольного положительно определенного
оператора А по этим формулам находить собственные векторы
нельзя — собственных векторов у оператора А, вообще говоря,
может не быть. Однако в случае произвольных операторов А
можно ожидать, что числа

(k = 0? 1, 2, ...)

(9,31)
сходятся при «почти всех» х0 к 1/М Этот факт действительно
имеет место. Приведем доказательство.

Лемма 9.1. При любом х0 и при любом к последователь-
ность чисел

где Хи определены по рекуррентным формулам (9.26), имеет ко-
нечный предел.

Доказательство. Простой подсчет показывает, что

(Лхх>+[,

Xft+i) (Л Xft,

4 (42+% xk)

( лх+1 \ ,
Хь) 4"

4 (42+vx., xk)2 , х+2 х
,LV V (Л +2хк, xft). (9.33)

И Ч xk)

Из (9.33) вытекает, что при х = у+1 последовательность (9.32)
стационарна:

(Лххй, хй) = (Лхх0, х0)	(6=1,2,...).

Пусть и>у + 1. Тогда из теоремы 8.2 вытекает неравенство

(Лх+’хй, хА)(Л3+Ч, Xft)<U2+YXft, х*)(Л2+хХй, Xft).

Поэтому из (9.33) вытекает, что последовательность (9.32) не-
убывающая. Очевидно, она ограничена сверху.

Наконец, пусть х<у+1. В силу той же теоремы 8.2

(Л2+Ч, х*)(Лх+Ч, Xft)<Ux+1Xft, х*)(Л3+Ч, Xft),

и поэтому последовательность (9.32) не возрастает.

Лемма доказана.

Из этой леммы немедленно вытекает, что последователь-
ность (9.31) имеет предел, который мы обозначим через с*.

При использовании формул (9.31) для приближенного вы-
числения с* полезна

Лемма 9.2. Последовательность (9.31) не возрастает.

Доказательство. В силу (9.33) разность ch — ch+l мо-
жет быть записана в виде

4#2+у / g	\

^2+у	2	\^3+у	^2+Y^4+y/

__ «2+Y	a3+Y

— Ck+\ ~ ~	77	~»

#3+Y	q“2+Y

0?+Y	2	(a4+Y6Z3+Y'“a2+Ya5+y)

a3+Y
где аг=(А1хк, хА). Знак разности совпадает со знаком числи-
теля:

sign (ck - С£+1) = sign I a2+Ya5+Y - a4+Ya3+Y +

^2+y^4+V

Так как в силу теоремы 8.2

^3+Y	^2+y^4+Y’

ТО

a3+Y / 2

^2+Y^5+Y	^4+y^3+Y "г a2+Y \ 3+Y	^2+y^4+y)

, ^4+y /9	\	a4+Y^2+Y

a2+Ya5+Y a4+Ya3+Y	' 3+Y	^y^+y) ~ а2+у^5+у а3+у

Правая часть (снова в силу теоремы 8.2) неотрицательна.
Поэтому

^2+y^5+y	^4+Y^3+y

^2+y^4+y) О’

и, следовательно, q Ck+t-
Лемма доказана.

Перейдем к основному утверждению.

Теорема 9.4. Пусть
м

А = hdEK.

m

Пусть начальное приближение х0 удовлетворяет условию х0 4=
Ф Екх0 при % < М.

Тогда с* = \/М, где с* — предел последовательности (9.31).

Доказательство. В предположении противного найдет-
ся такое Хо, что 1/с*<Хо<Л4. В силу леммы 9.2 при всех п вы-
полнено неравенство

| 1 _ 2спХ | = 2спк - 1 > 2с*Х0 -1 = 1+8 (Хо < X < М),	(9.34)

где е>0. Применим к равенству (9.26) оператор / —£х0.
Этот оператор коммутирует с 4, поэтому

м

(I Efa) %k+i ~ ~ 2cfc4) (/ Е^) х^ = J (1 “ 2с^Х) dE^x^.

^0

Из (9.34) вытекает тогда неравенство

||(/-£м)^+1||>(1 + е)

м

Хо

dE^Xh

= (1+е)||(/-£м)М.
Следовательно,

|| хк II > II (Z - EJ хк II > (1 + e)ft II x0 - Euxq II

(6=1, 2, ...).

По условию x0 =# £\oxo; поэтому ||x^||-» оо. Последнее соотно-
шение противоречит равенству (Axkl х^)=1.

Теорема доказана.

Упражнение 9.6. Показать, что в случае вполне непрерывных опера-
торов элементы с четными (или только с нечетными) номерами последова-
тельности (9.26) сходятся к одному из собственных векторов оператора А.
Показать, что этому собственному вектору соответствует наибольшее соб-
ственное значение сужения оператора А на минимальное инвариантное его
подпространство, содержащее начальное приближение хо.

9.6.	Методы ортогональных хорд. Вернемся к итерационным
процессам (9.29) и (9.30). Первый из них будем называть мето-
дом ортогональных хорд. Напомним, что в этом методе после-
довательные приближения находятся по формулам

xM = xk-2-$^hk	(6 = 0, 1, 2, ...),	(9.35)

где

hk = Ахк- (Л\хк (6 = 0, 1, 2, ...).	(9.36)

\xk> xk)

Второй метод, в котором последовательные приближения опре-
деляются из равенств

Хк+1 = хк- hk,	(9.37)

назовем методом ортогональных полухорд.

Методы ортогональных хорд и полухорд*) детально иссле-
дованы Б. П. Пугачевым [1,2] и Г. А. Безсмертных [1—3]. Основ-
ной факт заключается в том, что при «почти всех» начальных
приближениях х0 числовая последовательность

dk = i?!	(6 = 0, 1, 2, ...)	(9.38)

R (Ahky hk)	x	v

сходится к числу 1/m. На доказательстве соответствующих тео-
рем мы не останавливаемся.

В. М. Фридман применил методы (9.35) и (9.37) для вычис-
ления так называемой отстройки от резонанса.

Г. А. Безсмертных провел тонкий анализ расположения в Н
нормированных векторов (9.36). Оказалось, что при достаточно
общих условиях эти нормированные векторы сходятся к соб-
ственному вектору, отвечающему либо собственному значе-
нию /И, либо второму по величине собственному значению Хг.

*) Предложенные М. А. Красносельским [7].
9.7.	Одновременное использование нескольких итераций.
Вернемся снова к тому случаю, когда А — положительно опре-
деленная матрица (сразу отметим, что описываемые приемы не
связаны с конечномерностью пространства Н и выводимые фор-
мулы пригодны в общем случае). Для построения приближе-
ния Xk+i по предыдущему приближению Xk постараемся исполь-
зовать одновременно несколько итераций

Asxk.

Axfe) ..



(9.39)

Через Пл обозначим линейную оболочку векторов (9.39),
а через Рь— оператор ортогонального проектирования на Щ.
В качестве приближения xk+l будем искать нормированный соб-
ственный вектор оператора РьА, соответствующий наибольшему
собственному значению v этого оператора (см. К. Ланцош [1],
Л. А. Люстерник [2], М. Ш. Бирман [2], Ю. В. Воробьев [1—3]).
Пусть

хм =	+ ... +asAsxk.	(9.40)

Очевидно, должно иметь место равенство
Pk (Лх4+1 - vxft+1) = 0,

откуда вытекает, что

(Axfe+i vx/j+i , А ' х^ О (Z 0, 1, ..., s)

или, что то же,

(Xfe+1, AMxk- vA‘Xfe) = 0 (Z = 0, 1,	s).

Последние равенства можно записать в виде

a0(ai- va0) + di (а2- vaj)+ ... + (aJ+i - vas) = 0,
«о (^2 - ™i) + а1 («з “	+ ... + а5 (а5+2 - wz5+1) = 0,

ao(^+i- vas) + ai (а5+2 - vaJ+1) + ... + а5 (a2s+i - va2s) = 0.

Число v определяется как наибольший корень характеристи-
ческого уравнения

ах - vaQ	a2-va{	... а5+1 - vas

а2 — vai	а3 — va2 ... as+2 — vas+x

«•••••••••••••••I
^5+1	^s+2	^^5+1 • • • ^2s+l	V6Z25

Найдя v, из уравнений (9.41) можно найти числа а0, ai,...,
с точностью до числового множителя, который определяется из
нормирующего условия,

= 0-	(9.42)
Без изменения вычислительной схемы можно строить после-
довательные приближения к вектору еп. Для этого снова нужно
пользоваться формулой (9.40), в которой числа аг- определены
из системы (9.41), но число v нужно определять из характери-
стического уравнения (9.42) как наименьший корень. Геометри-
чески ясно, что подпространство Пл достаточно «быстро подхо-
дит» к искомому собственному вектору.

Решение характеристического уравнения является неприят-
ным этапом при переходе от одного приближения к последую-
щему. Поэтому естественно
попытаться так огрубить	—-'Д

описанную схему, чтобы ос-	Г* \

вободиться от необходимо-	\	\

сти решать характеристиче-	\	\

ское уравнение.	—27 Г\

Проведем через точку Хд	VMGf	/

гиперплоскость П*, перпен- (	—/^6п

дикулярную вектору xh. Че-	/	\ \

рез Rk обозначим пересече- ----------/_______\

ние П* с (s+l)-мерной ли-	\	\

нейной оболочкой векторов
(9.39). Оператор ортого-
нального проектирования	Рис. 9.2.

на П* обозначим через Р*;

векторы Р*Ахь, ...» P*Asxk обозначим соответственно через
/ii, ..., hs. Очевидно,

hi=A‘xk-^.4'xkl. (/=1,.... S).
(xk'xk)

(9.43)

В качестве последующего приближения xh+l будем брать
центр s-мерного эллипсоида — пересечения Rk и эллипсоида
(Ах, х) = 1 (рис. 9.2). Формулы для определения вектора

Р1А1 • • • Ps/^s

(9.44)

получим из следующих соображений. Вектор Axh+l должен быть
ортогонален Rk. Поэтому числа рь ..., ps определятся из системы

(Axh+i, hi) =0	(/=1,... , s),

которую удобно переписать в	виде

Pi (/ij, h\) + Р2 (/^2»	^1) "Г	• • •	4“ Рз (^5>	^1)	^i)>

Pi (/^ь ^2) 4" Р2 (^2»	^2)	• • •	4~ Рз (^з>	^2)	/^2)? (g	4$)

Pi (/^1,	4~ P2 (/^2>	hs) 4~	...	“Г P^ (hs>	hs) (x^, h^).
Описанный процесс является прямым обобщением метода
ортогональных полухорд. Аналогом метода ортогональных хорд
является итерационный процесс

xh+i=xh — 201/ii — ... — 2 рЛ,	(9.46)

где числа pi,..., р3 снова определяются из системы (9.45).

Итерационные процессы (9.44) и (9.46), по существу, не
изучены.

§ 10.	Монотонные итерационные процессы*)

10.1.	Постановка задачи. В § 3 были описаны некоторые
классы уравнений с положительными (линейными и нелинейны-
ми) операторами, итерационный процесс решения которых при-
водит к монотонным последовательностям приближений.

Здесь мы более детально изучим линейное уравнение

x = Ax+f,	(10.1)

где А — линейный положительный оператор относительно телес-
ного нормального конуса К в банаховом пространстве Е, f^E,
Ниже предполагается, что р(Л) <1; поэтому уравнение (10.1)
имеет единственное решение х*, которое является пределом по-
следовательных приближений

xn+i=Axn + f (n = 0, 1, 2,...)	(10.2)

при любом начальном приближении х0 Е- Допустим, что на-
чальное приближение xQ=uQ выбрано так, что

Uq	Ли0 + Д	(10.3)

Тогда последовательные приближения (10.3) (мы их для удоб-
ства обозначим через ип) будут удовлетворять соотношениям

Uq < Щ < . . . < ип . . . <Х*.	(10.4)

Аналогично, если начальное приближение х0=и0 удовлетворяет
соотношению

VQ^AvQ+f,	(10.5)

то последовательные приближения vn удовлетворяют соотно-
шениям

и0> th > ... > vn > ... > х*.	(10.6)

Таким образом, если удается найти элементы uQ и t>0, удо-
влетворяющие соответственно соотношениям (10.3) и (10.5), то
мы получаем монотонные приближения к х*. Наличие двусто-

*) В. Я. Стеценко [7].
ронних монотонных приближений дает одновременно оценку по-
грешности: если приближенным значением решения х* считать
элемент ~ («П + ^Ь то из (10.4) и (10.6) вытекает оценка
&

~2	~2 ^п,	^п)	%	2~(^п	^п)*	(Ю.7)

Основную трудность составляет отыскание начальных при-
ближений uQ и Vq. Ниже будут указаны приемы отыскания этих
элементов.

В этом параграфе будет изучена также возможность по-
строения монотонных приближений к х*, которые сходятся
быстрее, чем последовательности (10.4) и (10.6). Наконец, мы
рассмотрим вопрос о построении монотонных приближений для
некоторых случаев, когда оператор А не обладает свойством
положительности.

10.2.	Выбор начальных приближений. Пусть г0 — внутрен-
няя точка конуса К. Из теоремы 9.2 вытекает, что при некото-
ром г будет выполнено неравенство

ArZo<xzo,	(10.8)

где х < 1. Тогда элемент

2|=xH1/rz0 + xl'2/rAz0 + ... +Ar-,z0	(10.9)

удовлетворяет неравенству

Az^x^Zj.	(10.10)

Элемент (10.9) —внутренняя точка конуса К. Поэтому найдет-
ся такое b > 0, что

- b (1 - х1/')	< f < b (1 - х1^) zb	(10.11)

Положим тогда

Uq = —bzit	v0 = bZi.	(10.12)

Эти элементы удовлетворяют соотношениям (10.3) и (10.5).
Действительно, в силу (10.10)

Аи^ 4- f = — bAz} 4f > — bnVrZi 4- f,

и (10.3) вытекает из левой части неравенств (10.11). Анало-
гично

Av0 + f = bAz{ 4- f < bni/rZi 4- f < bn{/rZi 4- b (1 — x1/r) zt = v0.

Конечно, в различных частных случаях элементы и0 и
можно выбирать более простым способом. Например, если
f^K, то в качестве Uq, конечно, нужно выбирать элемент
Упражнение 10.1. Пусть А=(ац) (i,/=l, п)—матрица с не-
отрицательными элементами. Пусть выполнены неравенства

аи + аа+.. .+ain С аг<1 (i=l, ...» п).

Пусть f — вектор с неотрицательными координатами fi, .Показать, что
соотношениям (10.3), (10.5) удовлетворяют элементы

uQ = Wq • min-p-, и0 = Wq • max ———,
i 1 —• а/	/ 1 — а/

где w0 = {l, ..1}.

Упражнение 10.2. Пусть

А х (/) = К (t, s) х (s) ds	(10.13)

с неотрицательным непрерывным ядром /<(/, s). Пусть функция

а (/) = J К (Л s) ds

Q

удовлетворяет неравенству а(Z) <1 (/eQ). Пусть, наконец, f(t) ^0. Показать,
что при полуупорядоченности по конусу неотрицательных функций соотно-
шениям (10.3) и (10.5) удовлетворяют функции-константы

«0 (0 - min —, Оо (0 s max .

seQ 1 — Cl ($)	5 (= Q 1 — Cl (s)

10.3.	Ускорение сходимости. Пусть и0 и и0 удовлетворяют
соответственно соотношениям (10.3) и (10.5). Будем считать
дополнительно, что выполнены неравенства

Л«о + f - «о > Pi (^о ~ Avo ~
v0- Av0-f^> ql (Au0 + f - u0),

(10.14)

(10.15)

где одно из чисел pi и qi положительно (при pi = <7i = 0 эти не-
равенства совпадают с (10.3) и (10.5)). Определим тогда эле-

менты

Лцо + ^ + р! (Ло0 +Л
1 + Pi

Av0 + f + gi (Лм0 +Л

1 +<71

Теорема 10.1. Справедливы соотношения

AuQ + f < и* < Z < v\ < Avq + f.

(10.16)

(10.17)

(10.18)

Доказательство. Крайние неравенства в (10.18) выте-
кают непосредственно из (10.16), (10.17) и из неравенства
Ащ + f <CAv0 + f. Очевидно,

Au* + f - «* = [Л (Au0 + f - u0) + PiA (Л + f - t»0)J
и в силу (10.14)

Ли, + f — и* > 9.
Это значит, что элемент и* удовлетворяет условию (10.3). Как
нам уже известно, из этого условия вытекает, что
Аналогично

v* - (Лv* + f) =	[Л (у0 - Avq - f) + q{ (и0 - Аи0 - f)] > 0.

Значит, у* удовлетворяет (10.5), и поэтому х\

Теорема доказана.

Формулы (10.16) и (10.17) можно рассматривать как рекур-
рентный процесс построения последовательностей ип> а*. Тео-
рема 10.1 означает, что этот рекуррентный процесс сходится не
медленнее последовательностей (10.4) и (10.6) и сохраняет мо-
нотонность последовательных приближений.

Примеры показывают, что в достаточно общих условиях про-
цесс (10.16) и (10.17) сходится существенно быстрее обычного
метода последовательных приближений.

Рассмотрим, например, систему

g = 0,68g + 0,40r| + 1, т| = 0,30g + 0,60ц + 1,5.

Неточное решение g = 125, ц = 97,5; спектральный радиус
/0,68 0,40\

матрицы л лравен 0,9887. Будем искать вначале по-
\0,30 0,60/

следовательные приближения по формулам (10.2) при ^о = т1о==10-
Оказывается, что

g307 = 121,20,

Пзо7 = 94,59,

g616= 124,88,
|993 = 124,99,

Леш -97,41,
П998 = 97,49.

Если же искать приближения по формулам (10.16), (10.17), по-
ложив uq={10, 10}, u0={260, 200}, то после шести шагов для ре-
шения §*, т|* получим оценки

124,99 < V < 125,01,	97,499 < if < 97,506.

Для системы (10.1) с матрицей

0,40

0,16

0,12

0,07

0,03

0,16 0,12

0,26 0,31

0,31 0,34

0,19 0,31

0,07 0,12

0,07 0,03

0,19 0,07

0,31 0,12

0,26 0,16

0,16 0,04

и свободным членом /={1; 0,1; 0,1; 0,1; 1} при u0 = f и Vo =
= {10; 14; 17; 14; 10} пятая итерация по формулам (10.16) дала
такой же результат, как итерация с номером 167 по форму-
лам (10.2).

Заметим в заключение, что телесность конуса К была ис-
пользована лишь при построении элементов и0 и v0> удовлетво-
ряющих условиям (10.3) и (10.5). Все проведенные выше рас-
суждения сохраняют силу и в случае нетелесного конуса К, если
удалось найти и0 и и0- Нормальность конуса будет использо-
вана лишь в п. 10.4.

10.4.	Уравнения с неположительными операторами. Рассмот-
рим уравнение вида

x=AiX — A2x + f,	(10.19)

где Ai и Л2— положительные операторы. Будем предполагать,
что

р(Л+Д2)<1.	(10.20)

Примером может служить интегральное уравнение

х (/) = К (^ •$) х (s) ds 4- f (0

с таким непрерывным ядром /((/, s), что спектральный радиус
интегрального оператора с ядром \K(t, s) | меньше чем 1.
В этом случае достаточно в качестве Ai рассмотреть интеграль-
ный оператор с ядром

Д1(/, s)= max {/((/, s), 0},

а в качестве Л2 оператор с ядром

К2(Л 5) = |Ш s)\-Ki(tt s).

Покажем, что для приближенного решения уравнения
(10.19) можно построить монотонные приближения по недо-
статку и избытку

wд-1-1 = Л[Un A2vn 4“ f	(п — 0, 1, 2, ...),	(10.21)

vn+1 = AiVn-A2un + f	(n = 0, 1,2,...),	(10.22)

если соответствующим образом выбрать и0 и и0.

Повторяя рассуждения п. 10.2, можно построить такой эле-
мент Zi, который является внутренней точкой конуса К и кото-
рый удовлетворяет неравенству

(Л> 4- Л2)21 < qzb	(10.23)

где q<\. Далее можно выбрать такое 6>0, что

— & (1 —	& (1 —	(Ю.24)

Определим элементы и vQ равенствами (10.12);

u0= —&Z|, VQ = bzh
Простой подсчет показывает, что в этом случае последователь-
ности (10.21) и (10.22) удовлетворяют неравенствам

Щ Щ < •. • < ип < • • •	< ... < < у0- (Ю.25)

Так как

Уп+1 ^П+1	(^1 “Ь ^2) (®П ^n)f

то в силу (10.20)

lim || vn-un || = 0.

rt->oo

(10.26)

Из (10.25) вытекает, что при любом т>0
0 Un+ni Un	Un,

и, в силу нормальности конуса К,

II Un+m Un ||	N || Vn Un ||.

Следовательно, из (10.26) вытекает, что последовательность ип
фундаментальна. Ее предел х* (снова в силу (10.26)) будет
одновременно пределом последовательности vn. Это позволяет
дополнить соотношения (10.25) неравенствами ^п^х*^иЛ.

Переходя в (10.21) к пределу, убеждаемся в том, что х*—
это решение уравнения (10.19). Таким образом, верна

Теорема 10.2. Последовательные приближения (10.21) и
(10.22) монотонно сходятся к решению х* уравнения (10.19).

Упражнение 10.3. Показать, что утверждения теоремы 10.2 сохра-
няют силу, если «о и ио (uo^uo)—произвольные элементы, для которых

Но^Л^о— Л2^о ft	(10.27)

и0 > Л 1^0 — ^2«0 + /•	(10.28)

Упражнение 10.4. Пусть элементы wo, Uu удовлетворяют условиям
(10.27) и (10.28). Пусть, более того,

у0 - Aivo 4- Л2ц0 — f > tn (Л iUQ — A2vQ + f - w0),

ЛjWq — A2v0 + f — w0 > m (o0 — Ajuo + A2u0 + f),

где m = m (w0, t>o) > 0. Определим элементы

* 1

ui = 1 . ~	- A2vq + f + tn(AlvQ- A2uq + f)],	(10.29)

1	~г ПТ

* 1

fli =-T-r—[Л^о — A2u0 + f + m (A^Uq — A2vQ + f)].	(10.30)

1	T m

Показать, что

Wj^Wj^x	(10.31)

где wi и vi определены по формулам (10.21) и (10.22).

Упражнение 10.5. Формулы (10.29) и (10.30) можно рассматривать
* *

как рекуррентный процесс построения последовательностей ип и vn. Пока-
зать, что получаемые приближения монотонно (по недостатку и избытку)
сходятся к х*.
Глава 3

Уравнения с гладкими операторами

§ 11.	Метод Ньютона — Канторовича

11.1.	Линеаризация уравнений. Рассмотрим уравнение

Fx = 0,	(11.1)

где F— дифференцируемый по Фреше нелинейный оператор,
действующий из некоторого множества банахова простран-
ства Ei в банахово пространство Е2. В дальнейшем удобно счи-
тать, что — это некоторый шар. Основной метод построения
последовательных приближений хп к решению х* (если оно
существует) уравнения (11.1) основан на последовательной ли-
неаризации уравнения.

Допустим, что приближение хп найдено. Тогда для отыска-
ния последующего приближения xn+i уравнение (11.1) заме-
няют линеаризованным в точке хп уравнением

Fxn + F'(xn) (х — хп) =0.	(11.2)

Если определен действующий из Е2 в Ei линейный оператор
[F'(хл)]-1, то мы приходим к следующему выражению для хп+1:

xn+i = xn — [F/(xn)]-1Fxn (л = 0, 1, 2, ...).	(11.3)

Определяемый формулой (11.3) метод последовательных
приближений называют методом Ньютона — Канторовича. Ис-
следованию этого метода посвящена многочисленная литерату-
ра; укажем здесь статью Л. В. Канторовича [2], книгу Л. В. Кан-
торовича и Г. П. Акилова [1], статьи Л. В. Канторовича [3—7],
И. П. Мысовских [1, 2], Б. А. Вертгейма [1—3], М. К. Гавури-
на [3], Л. А. Кивистика [1—3], Б. Т. Поляка [1].

Исследование метода Ньютона — Канторовича содержит не-
сколько аспектов. Во-первых, интересны эффективно проверяе-
мые условия применимости этого метода. Во-вторых, важны как
оценки быстроты сходимости, так и априорные оценки погреш-
ности. В-третьих, важно уметь находить такие начальные при-
ближения Хо, начиная с которых метод Ньютона — Канто-
ровича сходится. Наконец, важно знать, насколько «устойчив»
метод Ньютона — Канторовича по отношению как к случай-
ным ошибкам в вычислениях, так и к приемам, заключающимся
в замене формулы (11.3) каким-либо приближенным методом
решения уравнения (11.2).

11.2.	Сходимость- Введем в рассмотрение оператор

Ах =я х — Г (х) Fx,	(11.4)

где

Г(х)-[£'(х)Г'.	(И.5)

Тогда метод Ньютона — Канторовича можно рассматривать как
обычный итерационный метод

xn+i = Axn (n = 0, 1, 2, ...)	(11.6)

приближенного решения уравнения

х = Ах.	(117)

Поэтому для исследования сходимости и быстроты сходимости
метода Ньютона — Канторовича могут быть применены резуль-
таты главы 1. Как мы ниже покажем, производная Л'(х*) в ре-
шении х* уравнения (117) в естественных предположениях рав-
на нулю. Поэтому можно воспользоваться оценками п. 2.5.

Допустим, что линейный оператор Fz(x*) имеет ограниченный
обратный и

lim ||F(x)-F,(x*)|| = 0.	(11.8)

||х-х*|| ->0

Тогда, как легко видеть, линейные операторы F'(х) в близких
к х* точках х также имеют ограниченные обратные Г(х) и

lim || Г (х) — Г (х*) || = 0.	(11.9)

||х-х*|| ->0

Из тождества

Ах — Дх* = Г (х) [F' (х*) (х — х*) — Fx -h Fx*] 4-

+ Г (х) [F' (х) - F' (х*)] (х - х*)	(11.10)

вытекает, что

НЛх — Лх*|| н ,, f l|Fx — Fx* — F'(х*) (х — х*)|| , |1Р,/.Л
нх-х*ц	---------+I|F (х)||Ь

Поэтому

lim

||х-х*|| -> 0

\\Ax- Лх*||
Цх-х*||

= 0,

т. е. Д'(х*) = 0. Из теоремы 2.3 вытекает

Теорема 11.1. Пусть х*— решение уравнения (11.1).
Пусть линейный оператор F'(x*) имеет ограниченный обратный,
причем выполнено условие (11.8).
Тогда последовательные приближения (11.3) сходятся к х*,
если начальное приближение х0 достаточно близко к х*. При
этом быстрота сходимости характеризуется неравенством

|| хп — х* || < с (х0; е) еп,

(11-И)

где е — любое положительное число.

Утверждение этой теоремы в общем случае нельзя усилить
в том смысле, что для каждой последовательности положитель-
ных чисел ап, удовлетворяющей условию

нт^±£ = о,

П->оо

(Н.12)

может быть указано такое уравнение, для которого метод Нью-
тона — Канторовича сходится медленнее последовательности ап.
Приводимый ниже пример мы заимствуем из статьи А. Ю. Ле-
вина и В. В. Стригина [1].

Положим

ап, если п четно,
,--------

I ,/ an_j art+1 , если п нечетно.

I V ~ ~

Очевидно, tn-> 0,	-> 0 и

*п

lim—— = 0

П>оо

(fe=l, 2, ...).

(11.13)

Определим скалярную фукцию F(t) равенством

0.

f/1+l	^п+2

если t = 0,

tn ~~ ln+i /

п+1 ~ ^п+2	~ ^П+1

----Z-------Sin 2л —----------

ZJl	\ In tn+i

если tn+\

если /<0.

Нетрудно проверить, что функция F(t) непрерывна и непре-
рывнодифференцируема на промежутке [—/J, причем F'(0)= 1.
Построим последовательные приближения хп по формулам
(11.3) при начальном приближении х0 = 4, где k фиксировано.
Прямой подсчет показывает, что хп = /г?+/г (нужно использовать
тот факт, что F'(/n)=l). Из (11.13) вытекает, что при лю-
бом m

lim-f'Lt™

П 09
Следовательно, приближения хп сходятся к нулевому решению
уравнения F(/)=0 медленнее последовательности ап-

11.3. Дальнейшее исследование быстроты сходимости. Теоре-
ма 11.1 может быть существенно усилена, если известна какая-
либо характеристика гладкости F'(x) как функции (со значе-
ниями в пространстве линейных операторов) от х. Ограничимся
простейшим случаем.

Пусть в некоторой окрестности решения х* уравнения (11.1)
выполнено условие Липшица

\\F'(x)-F'^<L\\x-y\\.	(11.14)

Тогда из тождества

1

Fx — Fy — F' (у) (х - у) = J {F' [у + t (х - z/)] - F' (г/)} (х - у) dt
О

вытекает неравенство

|| Fx - Fy - F'(y)(х - у) ||< IIх ~ УII2•

(11.15)

Упражнение 11.1. Пусть на некотором выпуклом множестве опера-
тор F удовлетворяет условию Гельдера

\\F'(x)-F'(y) \\^L\\x-y\\a,	(11.16)

где 0 < а < 1. Показать, что при любых х, у из этого множества справед-
ливо неравенство

|| Fх - Fy - F' (у) (х - у) || < -г4- II х - у ||1+“	(11.17)

1	"г Ot

Если положить у = хп, х=х*, то неравенство (11.15) можно
переписать в виде

IIF' М (х„+1 - х*) || < 4И“ х* И2-	(11.18)

Поэтому (см. (2.25)) верна

Теорема 11.2. Пусть выполнены условия теоремы 11.1,
и пусть в некоторой окрестности решения х* уравнения (11.1)
выполнено условие (11.14).

Тогда справедлива оценка

Цх„-х*||Кс(б; х0)д2" ”0<5),	(11.19)

где й — сколь угодно малое положительное число.

Ясно, что при фиксированном й число /г0(б) можно считать
равным нулю, если х0 достаточно близко к х*.

Упражнение 11.2. Пусть выполнены условия теоремы 11.1, и пусть
в окрестности точки х* выполнено условие (11.16). Показать, что верна
оценка

II	хп - х* II < с (6; х0) d(1+a,n’n"(&)	(11.20)
Из формулы Стирлинга и (11.19) вытекает справедливость
при больших п неравенства

пП -2

II Хп - х II < (и!)-2 п .	(11.21)

Упражнение 11.3. Показать, что в условиях упражнения 11.2 при
больших п верна оценка

|| Х/z — х* || < (п !)-(1+а),“-2.	(11.22)

11.4. Нелокальное условие сходимости. Через S(x, г) будем
обозначать шар с центром в точке х радиуса г. Будем считать,
что оператор F задан на некотором шаре S(x0, R), где х0—на-
чальное приближение для последовательности (11.3).

Будем считать, что оператор F дифференцируем на S(x0, R)
и его производная F'(x) удовлетворяет на этом шаре условию
(11.14). Всюду в дальнейшем предполагается, что существует
оператор Го = Г(хо) (где Г(х) —оператор (11.5)).

Теорема 11.3. Пусть верны оценки

II Го II С Ьо, || r0Fx0 || < По, й0 =	•	0 1 -23)

Пусть

—^о~2/г° По-	(И.24)

Тогда последовательные приближения (11.3) сходятся к ре-
шению х* уравнения (11.1), лежащему в шаре S(x0, rQ).

Доказательство этой теоремы изложено в ряде курсов. Не-
смотря на это, приведем доказательство, принадлежащее
Л. В. Канторовичу.

Определим числовые последовательности

bn+i j _	> 4/2+1	2(1— hn)^n' hn+l ^/г+1^Я/г+1»

1 - К1 - 2Л„+1’

Гп+1 =---------Т------— П/г+1

лл+1

и покажем, что в условиях (11.23), (11.24) последовательные
приближения (11.3) существуют, причем

IIГ (х„) || < Ьп, || Г (х„) Fxn || < Tin.	Ш.25)

И

S (х„, r„) cz S (х„-1, г„-1).	(11.26)

Для доказательства достаточно провести шаг индукции.
Пусть (11.25) и (11.26) верны при п = т. Так как ||хш+1 — xtn|| =
= 11Г(хт)Гхт|| rim, то из определения числа гт вытекает, что
хт+1 S(xw, гт) и тем более хт-н е S (х0, R). Поэтому существует
производная F'(xm+t). В силу (11.14)

поэтому существует оператор Г (xm+i), его можно представить
в виде

г (xm+1) = {I + Г (Хп) [F' (xm+1) - F' (xj]}’1 г (Хт) =

оо

= 2 (- 1)' {Г (xm) [F' (xffl+I) - F' (хт)]}1 Г (хт).

i = 0

Отсюда

оо

z=o

(11.27)

Перейдем к доказательству второго из неравенств (11.25)
(при п = пг + i). Из тождества

и из (11.15) вытекает неравенство

FХт+\ II	2 II II 2	’

(11.28)

и в силу (11.27)

II г (Xm+1) Fxm+i II <

2(1- hm) ~ 2(1 —hm)

Лш *Пт+1*

Третье из неравенств (11.25) доказывается совсем просто:
по определению

к ___hl _______	Т	1

^m+1 - ^m+lbTlm+1 “ \ - hm L 2 (1 - hm) “ 2 (1 - hm)2 2 ‘

Для доказательства включения (11.26) достаточно заметить,
что из ||х — xh+i|| Гк+i вытекает неравенство

1|Х — Xh\\ <||Х — Xft+i|| + ||xft+1— Xh\\ Ofe+i + tpi,
так как правая часть тождественно равна (несложную вы-
кладку предоставляем читателю).

Итак, все последовательные приближения (11.3) могут быть
определены.

Из третьего неравенства (11.25) вытекает, что т]т+1
поэтому гп->0 при /?->оо. Значит, последовательные при-
ближения сходятся к некоторой точке x*^S(xo, Го). Для
завершения доказательства достаточно перейти к пределу в не-
равенстве (11.28).

Теорема доказана.

Из доказательства видно, что в условиях теоремы 11.3 вер-
на оценка

Цх„-х* ||^r„	(n= 1, 2, ...).

Упражнение 11.4. Пусть выполнено условие теоремы 11.3, Дока-
зать, что

1	9Л-1

II хп - х* II <	(2ЙО)2 1 По.

Упражнение 11.5. Пусть производная F'(х) на шаре S (х0, 7?) удо-
влетворяет условию Гельдера (11.16). Пусть hQ == С Ро> где 0О —корень
уравнения

(-rLT^1-^0	(Н.29)

\ 1 т и /

и пусть /?>г0=-г!!2—> где у0=	, А0,-т—. Доказать, что последо-

1 — Yo	(На) (1 - hQ)

вательные приближения (11.3) сходятся к решению х* уравнения (11.1),
лежащему в шаре S(%o, го).

11.5.	Простые нули. Решение х* уравнения (11.1) естествен-
но назвать простым нулем оператора F, если существует не-
прерывный оператор Г(х*).

Теорема 11.4. Пусть выполнены условия теоремы 11.3
и пусть Ло < 7г-

Тогда нуль х* оператора F, к которому сходятся последова-
тельные приближения (11.3), простой.

Для доказательства достаточно заметить, что г0<(^Л0)"1
при Ло<72, а из ||х — хо||<(£6о)"1 вытекает, что IIToF'W —Ц\<
<1, и поэтому оператор Го F'(x) вместе с F'(x) имеет обратный.

Отметим, что при Н^{12 последовательные приближения
могут сходиться к «кратному» нулю, — примером может слу-
жить скалярное уравнение х2 = 0 при любом х0 =# 0.

§ 12.	Модифицированный метод Ньютона — Канторовича

12.1.	Модифицированный метод. Основное неудобство мето-
да (11.3) заключается в том, что его применение требует на
каждом шаге решения линейного уравнения со своим линей-
ным оператором F'(xn). Поэтому для построения последова-
тельных приближений часто используют близкие к (11.2), но
отличные от них линейные уравнения.

Наиболее часто вместо (11.2) применяют уравнение

Fxn+F'(x0) (х — Хд) =0,	(12.1)
§ 12] МОДИФИЦИРОВАННЫЙ МЕТОД НЬЮТОНА — КАНТОРОВИЧА 143 ,
где х0—начальное приближение. Тогда последовательные при-
ближения определяются рекуррентной формулой

xn-}-i=xn —Го Fxn (n = 0, 1, 2, ...).	(12.2)

Напомним, что Го=[/?,(хо)]"1.

Метод, описываемый формулой (12.2), называют модифи-
цированным методом Ньютона — Канторовича приближенного
решения уравнения

Fx = Q.	(12.3)

Метод (12.2) — это метод обычных итераций

хп^ = Ахп	(n = 0, 1, 2, ...)	(12.4)

приближенного решения уравнения

х = Ах,	(12.5)

где

Ах = х— Го Fx.	(12.6)

12.2.	Основная теорема. Будем считать, что оператор F опре-
делен и дифференцируем по Фреше на шаре S(x0, R) =
= {х: ||х— х0|| < R} и что его производная F'(x) удовлетворяет
на этом шаре условию Липшица

|| F(x)-F'(//) \\<Ц\х-у\\.

Далее, пусть существует ro = [F'(xo)] \ и пусть
II Го || < 60, II Го Fxo |К Пэ

Теорема 12.1. Пусть

=	< V2

и

Г°- Ао

(12.7)

(12.8)

(12.9)

(12.10)

Тогда последовательные приближения (12.2) сходятся к ре-
шению x*eS (х0, Го) уравнения (12.3).

Доказательство. Отметим в первую очередь, что урав-
нение (12.3) имеет в шаре S(x0, Го) решение, — это вытекает из
теоремы 11.3. Мы ниже покажем, что оператор (12.6) на шаре
S(x0, г0) удовлетворяет условиям принципа сжатых отображе-
ний. Отсюда будет вытекать единственность решения х* в шаре
5(хо, Го) и сходимость приближений (12.2),
Очевидно, при любых х, у S (х0, г) (г <^7?) справедливо
тождество

Ах - А у = х - у - Го (Fx - Fy) -

-Го f {F' Uo) - F' [y + t(x -^)]} (x- y) di. (12.11)
0

Из этого тождества и из (12.7) вытекает оценка

II Дх - Ау || < b^Lr || х - у ||.	(12.12)

Следовательно, А является оператором сжатия на шаре
S(x0, Го). Для завершения доказательства остается показать,
что

Д$(х0, r0) с: S (х0, г0).

Пусть || х — х0||<Я. Тогда в силу (12.11)

|| Ах - х0 |К|| Ах - Ах01| +1| Дх0 - х0 НС
1

< II Го J {F' (х0) - F' [х0 + t (х - х0)]} (х - х0) dt || + ц0
О

и, снова в силу (12.7}
1

о

Поэтому при ||х —х0||^г0

II Ах - х01|<	+ По = г0.

Теорема доказана.

Заметим, что на шаре S(x0, г0) оператор А в силу (12.12)
удовлетворяет условию Липшица с константой q = 1 — ]/1 — 2/z0.
Поэтому модифицированный метод сходится с быстротой гео-
метрической прогрессии со знаменателем 1 — У1 — 2Л0.

Мы провели анализ модифицированного метода Ньютона —
Канторовича в самом простом предположении. Несколько бо-
лее тонкие рассуждения (см., например, Л. В. Канторович и
Г. П. Акилов [1]) показывают, что теорема 12.1 сохраняет силу,
если в условии (12.9) заменить знак < на знак

12.3.	Шар единственности. Пусть оператор А определен ра-
венством (12.6). Пусть выполнены условия теормы 12.1. По-
ложим

a(r)= sup || Ах — х0|(.	(12.13)

Н Х-Хо II < Г
Функция а (г), очевидно, непрерывна и не убывает. Как было
доказано при доказательстве теоремы 12,1,

II Лх-х0||< W*2 *о1|? +По (lk-ЛоКЯ), (12.14)

Поэтому верна

Лемма 12.1. Функция а (г) удовлетворяет неравенству

\ boLr2 ,

а (г)<+ По

(г0 < г < R).

(12.15)

Теорема 12.2. Пусть выполнены условия теоремы 11.1.
Пусть

1-/1-2AO	1 + И1-2й0	......

Го =----------Пэ < я <----------По. (12.16)

Тогда уравнение (12.3) имеет в шаре S(x0, J?) единствен-
ное решение.

Для доказательства достаточно заметить, что при г <
<||х — х0||</? в силу леммы 12.1 выполняется неравенство

|| Ах - х01|<а(||х - х0 IIX

+ no < II х - х01|, (12.17)

(	1 + И1 - 2/г0 \

так как на промежутке г0, ---------?-----rjo квадратный трех-

b^Lr2

член —------г + т]о принимает отрицательные значения.

Упражнение 12.1. Показать, что в условиях теоремы 12.2 последова-
тельные приближения Хп + 1 = Ахп сходятся к решению уравнения (12.3) при
любом начальном приближении xo^S(xo, R).

12.4.	Модифицированный метод с возмущениями. Рассмот-

рим уравнение

x=Ax+AiX,

(12.18)

где А— оператор (12.6), a At — произвольный нелинейный опе-
ратор, определенный на шаре S(x0, /?) (7?>Го) и удовлетворяю-
щий условиям

|| Л|Х|Ка0 (xeS(x0, /?))	(12.19)

И

|| Atx - А,у || < <70|| х - у ||	(х, у 6= S (х0, 7?)),	(12.20)

где О<*7о< 1- Если а0 и qQ достаточно малы, то уравнение (12.18)
близко к уравнению (12.5).

Теорема 12.3. Пусть числа а0 и q0 удовлетворяют нера-
венству

2b0La0 + q^<l-2b0L^.	(12.21)
Пусть

г * * = 1 ~	~ 2boL (Яо + Оо) £	(12.22)

OqL

Тогда уравнение (12.18) имеет решение х** в шаре
S(x0, г**), которое можно получить как предел последователь-
ных приближений

xn+1 = Axn+AiXn (n = 0, 1, 2, ...).	(12.23)

Приближения (12.23) сходятся как геометрическая прогрессия
со знаменателем

q = qQ + b^Lr**.	(12.24)

Доказательство. В силу (12.21) число г** является
меньшим вещественным корнем квадратного уравнения

bpLr2

2

- г + (Т)О + а0) = 0.

Поэтому при ||х— х0||<Сг** из леммы 12.1 вытекает оценка

||(Л + Л1)х-х0||<|| Лх-ХоИ + ИЛ.х ||< 6оУ)2 + По + а0 = г”.

Это значит, что оператор £) = А+Д1 преобразует шар 5(х0, /***)
в себя.

Из (12.12) и (12.20) вытекает неравенство

|| Dx -Dy\\^ (bQLr** + qQ)\\x — y ||	(x, у S (x0, r**) ).

Это неравенство означает, что D на шаре S(x0, г**) является
оператором сжатия, так как в силу (12.21)

&0Lr** + qQ = 1 - /1 - 2bQL (т]0 + aQ) + qQ< 1.

Таким образом, оператор D на шаре 5(х0, г**) удовлетво-
ряет условиям принципа сжатых отображений.

Теорема доказана.

Упражнение 12.2. Пусть выполнены условия теоремы 12.3. Показать,
что решение х** уравнения (12.8) единственно в каждом шаре S(x,r), где

R и г

Упражнение 12.3. Показать, что к решению х** уравнения (12.8)
сходятся последовательные приближения xn+i= (Л-Mi)xn при любом на-
чальном приближении х0 S(%o, г), где г удовлетворяет условиям упражне-
ния 12.2.
* < : • . ' *
12.5.	Уравнения с вполне непрерывными операторами. Пусть
уравнение (12.3) имеет вид

х = Вх,	(12.25)

где В — вполне непрерывный оператор в банаховом пространстве
Е. Формулы (12.2) в случае уравнения (12.25) принимают вид
хп+1 = Хп - [/ - В' (Хо)Г1 (х„ - Вхп) (« = 0,1,2....).	(12.26)

Иногда их удобно записывать в виде

х„+1 = [/ - В' (хо)Г’ [Вх„ - В' (х0) х„]	(« = 0,1,2,...). (12.27)

Так как оператор В вполне непрерывен, то вполне непреры-
вен и линейный оператор В'(х0) (см. М. А. Красносельский [8]).
В «хороших» банаховых пространствах линейный вполне не-
прерывный оператор можно с любой точностью аппроксимиро-
вать конечномерным линейным оператором. Это значит, что по
любому б > 0 можно найти такой конечномерный линейный опе-
ратор С6, что

(12.28)

Пусть в пространстве Е существует базис . . . , е„, .. .
Тогда каждый элемент представим в виде

х = 2 (х) et.

Положим

Ртх = 2 & W е{ (х е= £).

(12.2J)

Хорошо известно (см., например, Л. А. Люстерник и В. И. Со
болев [1]), что

lim || В' (х0) - РтВ' (х0) || = 0;

т-^оо

поэтому оператор С6 можно определить равенством Сй =
= РтВ'(х0), если т достаточно велико.

Заменяя в (12.26) и (12.27) оператор [/—В'(х0)Г' оператором
(7 — С6)”, приходим к итерационным процессам

хп+1 = хп - (/ - Сб)-1 (х„ - Вх„) (« = 0,1,2,...) (12.30)

х„+1 = (/ - С6)“' [Вхп - В' (х0) х„]	(« = 0,1,2,...). (12.31)

Естественно ожидать, что при малых б процессы (12.30) и
(12.31) сходятся к решению х* уравнения (12.25), Мы ниже
исследуем процесс (12,30),
Отметим в первую очередь, что вычисления по формулам
(12.30) существенно проще вычислений по формулам (12.26)
модифицированного метода Ньютона — Канторовича. Это свя-
зано с тем, что отыскание оператора (/—Сб)-1 эквивалентно
обращению некоторой матрицы конечного порядка или, что то
же, отыскание значений оператора (/ — Сб)-1 эквивалентно ре-
шению конечной системы линейных алгебраических уравнений.

Действительно, пусть оператор Q имеет вид

т

CfiX = 2 Л/ W ер

Z = 1

(12.32)

где ...,	—базис в множестве значений оператора а Л1 W, •••

...» ч\т (х) — соответствующие линейные функционалы. Выберем в Е такие
элементы	g , что	GeL •••> w)* Положим

т

Рх = V Л/ W ёп Qx = x — Px.	(12.33)

i = l

Очевидно,

С&Рх = Съх (х е Е),	(12.34)

и поэтому

C6Qx = 0	(хе£).	(12.35)

Пусть 1 не является собственным значением оператора С&. Тогда при
каждом f ^Е определен элемент

2 = (/-с6)-,л

который является решением уравнения

z = C6z + f	(12.36)

или, что то же (в силу (12.34)), уравнения
z = C^Pz + f.

(12.37)

Из этого уравнения вытекает, что Pz может быть определено из уравнения

Pz = PCbPz + Pf.

(12.38)

Уравнение (12.38) —это конечная система линейных алгебраических уравне-
ний: если

••• + £тёт,

(12.39)

то коэффициенты	определятся	из	уравнении

£1 = Л1 (е1) £1 + Л1	(ег) С2 +	• • •	+ Л1 (ет) + Л1	(f),

С2 = Лг (^1) Ci + Л2	(^2) С2 +	• • •	+ Л2 (^т) Ст + Лг	(/),

Ст = Лт (^1) С1 + Лт (^2) Сг +	•••	+ Лт (^т) Ст + Лт (/)•

Система (12.39) имеет единственное решение, так как она разрешима при
любых свободных частях Л< = Л<(/)- После отыскания Pz элемент z опреде-
ляется из (12.37).

В ряде случаев оператор С& определяют, как мы уже писали, формулой
где Рт — оператор проектирования на некоторое конечномерное подпростран-
ство Ет cz Е. В этом случае (/ — Рт)С^0, и поэтому из (12.36) вытекает,
что z — Pmz = f — Pmf- Элемент же Pmz определяется из уравнения

Рm2 = С6РmZ + СЬ (f — Рmf) + Рmf,
которое удобно переписать в виде

(Рт - СъРт) (Р m2 - Pmf) = С6f.	(12.41)

Последнее уравнение — это уравнение в конечномерном пространстве; оты-
скание его решения заключается в решении системы линейных алгебраиче-
ских уравнений или в отыскании обратного к / — £& = 1т — РтС^Рт опера-
тора (Ли ~ РтСъРтУр в подпространстве Ет. В силу (12.41)
лт

Рm2 — (Im	РтС^Рт)^	4~ Рmf,

ст

и поэтому элемент (/ — С^)~г/ = z = Pmz + f — Pmf определяется простой фор-
мулой

2Ч + (1т-РтСьРт)Е Cbf.	(12.42)

^т

Итерационный процесс (12.30)—это процесс обычных ите-
раций для уравнения x = Dx с оператором

Dx = х — (I — С6) 1 (х — Вх).

(12.43)

Для исследования процесса (12.30) мы будем рассматри-
вать уравнение x = Dx как уравнение (12.18). Сразу же отме-
тим, что решения уравнения x = Dx совпадают с решениями
уравнения (12.25).

Если x = Dx — это уравнение (12.18), то

А,х = {[/ - В' (х0)Г* - (7 - С6Г'} (х - Вх).

Пусть, как обычно,
вытекает, что при bQ6<,

1 определен оператор (/•—С6) 1

(12.28)
и

!<' - с«)" 1 < тД» 	<12-44)

Из тождества

AlX = (1- СЬГ' [В' (х0) - С6] [7 - В' (хо)Г' (х - Вх)

вытекает оценка

II Aix ||

М

1-М

[7 - В' (хо)]’1 (х - Вх)

(х €= S (х0, 7?)),

и так как

II [7 - В' (Хо)]"' (X - Вх) II < --°L 11 х~ х° ||2 + II х - х01| + По,

II AlX || < aQ =	+ Я + no) •	(12.45)
Легко проверить, что

II AiX- А{у || < qQ || х - у II,
где

bo + b^LR
1-М 6'

Поэтому при достаточно малых 6 числа а0 и q0 удовлетворяют
неравенству (12.21) (если 2&о£т]о<1)- Из теоремы 12.3 вы-
текает

Теорема 12.4. Пусть б настолько мало, что выполнено
условие (12.21) теоремы 12.3.

Тогда последовательные приближения (12.30) сходятся к
решению х* уравнения (12.25).

Упражнение 12.4. Показать, что в условиях теоремы 12.4 последо-
вательные приближения сходятся со скоростью геометрической прогрессии.

Упражнение 12.5. Исследовать сходимость метода (12.31).

Упражнение 12.6. Пусть Р — оператор проектирования на конечно-
мерное подпространство, и — Рх, v = x — Px(x^E). Тогда уравнение (12.25)
можно переписать в виде системы

u=PB(u + v), v = B(w + u) —PB(u + v).

Показать, что в случае, когда оператор РВ «хорошо» приближает опера-
тор В, к решению х* уравнения (12.25) сходятся последовательные прибли-
жения хп+1 = ип+1 + Vn +1, где Un+i и t>n+i определены рекуррентными фор-
мулами

un+i = un-[I-PB' (хо)]'1 [ип — РВ (мл + ол)1	(n = 0, 1, 2, ...), |	Ц246)

»л+1 = в (un + vn)-PB (ип + vn)	(n = 0, 1, 2, ...). J

Сформулировать для метода (12.46) аналог теоремы 12.4.

12.6.	Уравнения с недифференцируемыми операторами. Рас-
смотрим уравнение

Gx = 0	(12.47)

с недифференцируемым оператором G. Для приближенного ре-
шения этого уравнения в ряде случаев удается воспользоваться
итерационным процессом

хп+1 = х„-[Г'(х0)Г'Схл	(« = 0,1,2,...),	(12.48)

где F— дифференцируемый оператор, достаточно хорошо ап-
проксимирующий оператор G по равномерной метрике.

Теорема 12.5. Пусть оператор F дифференцируем на шаре
5(х0, R) и его производная F'(x) удовлетворяет условию Лип-
шица (12.7). Пусть G = F + Fb где Fi удовлетворяет на S(xo,R)
условию Липшица

IIFiX-F^IKLHIx-z/II.	(12.49)
Пусть существует Го = [Л(хп)] 1 и ||Го ||< b0, || roGxo||<т)0. Пусть,

наконец, выполнено неравенство

1 - УЪоЬ]о

К

(12.50)

и

1 - Ь0Ц - К(1 - b0Ltf - 2Ь^0
b0L

(12.51)

Тогда уравнение (12.47) имеет в шаре S(x0, г**) единствен-
ное решение х**, к которому сходятся последовательные при-
ближения (12.48).

Доказываемое утверждение вытекает из теоремы 12.3, если
положить

AiX = Г0(бх — Fx).

Так как в формулу (12.48) входит лишь производная F'(x0)
оператора F, то без ограничения общности можно считать, что
Fxq=Gxq. Простая проверка показывает, что выполнены усло-
вия (12.19) и (12.20) с постоянными

a0=60Ljr**,	?0 = ^i-

Поэтому нужно лишь проверить неравенство (12.21)—соот-
ветствующую выкладку предоставляем читателю.

Прием построения последовательных приближений (12.48)
был указан М. А. Красносельским. Метод (12.48) изучался
А. И. Зинченко и И. А. Кусакиным.

Отметим, что теорема 12.5 сохраняет силу, если в условии
(12.50) знак < заменить знаком

12.7.	Замечание о методе Ньютона—Канторовича. При по-
строении итерационных процессов (12.30), (12.31), (12.46),
(12.48) мы отправлялись от модифицированного метода Нью-
тона — Канторовича. Аналогичные процессы можно построить,
отправляясь от основного метода Ньютона — Канторовича
(11.3). Рассмотрим один пример.

Пусть Р — такой проекционный оператор в Е, что PF'(x)
достаточно хорошо аппроксимируют F'(x) при всех xeS(x0,/?).
Тогда для приближенного решения уравнения х = Вх может
быть применен итерационный процесс

хп+1 = xn-[I - Р В'(хп)]~' (х„- Вхп) (п = 0, 1, 2,	(12.52)

Удобство этого метода по сравнению с обычным методом Нью-
тона — Канторовича заключается в том, что обращение опера-
торов I — РВ'(хп) сводится к обращению матриц.
§ 13.	Приближенное решение линеаризованных уравнений

13.1.	Постановка задачи. Продолжим изучение метода Нью-
тона-Канторовича (см. § 11) приближенного решения урав-
нения

Fx^Q	(13.1)

с дифференцируемым оператором F. Напомним, что этот метод
заключается в построении последовательных приближений хп>
каждое из которых является точным решением линеаризован-
ного уравнения

Fxn-1 + F'(xn_i) (х — xn—i) = 0.	(13.2)

Точно решить уравнение (13.2) обычно не удается и прихо-
дится его решать приближенно. Это значит, что фактически
приходится применять методы последовательных приближений,
отличные от метода Ньютона — Канторовича.

Допустим, что мы ищем приближенное решение линейного
уравнения

Вх = Ь	(13.3)

некоторым фиксированным способом. Этим способом могут быть
один или несколько шагов метода минимальных невязок, ме-
тода обычных итераций, метода наискорейшего спуска, метода
Зейделя и т. д. (см. §§ 7, 8). Во всех таких способах переход
от приближения xQ к «лучшему» приближению Xj определяет
некоторый нелинейный оператор

Xi=V(x0; В, Ь).

(13.4)

Если способ (13.4) последовательно применять для прибли-
женного решения линеаризованного уравнения (13.2), то мы
получим итерационный процесс, описываемый формулой

(13.5)

Аналогично, если в модифицированном методе Ньютона —
Канторовича уравнение

Fхп~\ 4“ F (хд) (х х^_1) 0

(13.6)

приближенно решать способом (13.4), то мы получим итера-
ционный процесс

xn+i = V[xn; F'(x0)-, F'(x0)xn — Fxn].	(13.7)

Пусть x —точное решение уравнения (13.3). Во всех даль-
нейших построениях предполагается, что

II V (х; В, 6)-х||<^||х-х||,	(13.8)
где 0 < q < 1. Более точно, предполагается, что оценка (13.8)
верна для всех В из некоторого класса линейных операторов,
содержащего операторы F'{x). Как это ясно из построений
предыдущей главы, способ (13.4) всегда можно построить так,
чтобы число q в (13.8) было достаточно малым.

Мы ограничимся одной теоремой о сходимости метода (13.5).
Ряд других теорем о методе (13.5), теорем о сходимости метода
(13.7) и о влиянии на сходимость ошибок округлений указан
в статьях М. А. Красносельского и Я. Б. Рутицкого [2—4].

13.2.	Теорема о сходимости. Напомним основные обозначения
двух предыдущих параграфов.

Оператор F предполагается определенным и дифференци-
руемым на шаре S(xq,R). Предполагается, что существует
оператор Г(х0), где Г(х) = [ГДх)]”1, причем || Г (х0) || < &0,
|| Г (х0) Fxq ||	т]0. Наконец, предполагается, что на шаре S(x0, R)

выполнено условие

\\F'M-F'(y)\\^L\\x-y\\.	(13.9)

В дальнейших построениях используется меньший корень

Р (?) = 5 + ? -/9 +26? + <72	(13.10)

квадратного уравнения

^+-^4—=(i -р)2-	(i3.li)

Теорема 13.1. Пусть выполнены условия

Fq — FqL^q
1 Су

Р(<?) Т1о^7?-

(13.12)

(13.13)

Тогда последовательные приближения (13.5) сходятся к ре-
шению х* уравнения (13.1).

Доказательство. Положим

= 1 -м?) ’	(« = о. ь 2- •••>• <13-14)

Покажем, что в условиях теоремы последовательные прибли-
жения (13.5) определены (все операторы F'(хп) имеют непре-
рывные обратные Гп) и что

ЦГ„1Ю„, II ||< л». йп = ^Пп<т^-. (13.15)

Последнее из неравенств (13.15) очевидно, так как hn = hQ
при всех п. Первые два неравенства (13.15) докажем по ин-
дукции. Пусть при п m все эти неравенства выполнены.
Из неравенства (13.8) вытекает, что

II %т II II %т+\ %т+1 II “Ь II ^m+l II (1 “Ь	II %т+1 %т II»

где xm+i = хт - FmFxm. Поэтому

II xm+i - хт || < (1 + q) т]т = (1 + q) [1 - Р (?)]%.	(13.16)

Следовательно,

II %т+1 %0 II И %т+\ Хт II “Ь II Xm-l II “Ь • • • II %1 «^о II

<(1 + ?){[!-ШГ + 11 -₽(<7)Г' + ••• +1}П9^4Й-По = <

Н \Ч /

Отсюда вытекает, что определен оператор F'(xm+1).

Из тождества

F' (xm+1) = F' (хт) {I - Гт [F' (xm) - F' (хт+1)]}

вытекает существование Гт+1 и неравенство

и р и __________Ьт______ Ьщ ____________________________________ 1

H1m+lll^1_^L||Xm+i_Xw||^ l-bmLnm(l+q) 1 - 0 (?) ~ °т^

(13.17)

Первое из неравенств (13.15) доказано.

Перейдем к доказательству второго из этих неравенств.
Очевидно,

Tm+1Fxm+I = {/ - Гт [F' (xm) - F' (xm+1)]}-' rmFxm+1.

Поэтому

II	1 Fxm+ jII	1—0 (?) " ^rnFxm+\ II*

Но

Следовательно,

II	II [1 Р (?)] Лт = Лт+1*

Из (13.16) вытекает, что последовательность хп фундамен-
тальна. Пусть она сходится к точке %*. Из цепочки неравенств
II ^71+1 II II ^П+1 ^П+1 II “1" II ^П+1 II Q II ^Д+1 II +

+ II *л+1 - х* IK q ||xrt+1 - x* II + q\\ xn - x* || +1| xn+[ - x* ||
вытекает, что

IIXn+l-x* IK-A-IIХп~Х* 11 +-Ду IIхп^ -х* II.
1 су	А су

Поэтому последовательность хп также сходится к х*. Переходя
к пределу в тождестве

F' (хп) (хп+. - х„) + Fxn = О,

приходим к равенству Fx* = 0.

Теорема доказана.

При q = 0 из теоремы 13.1 вытекает теорема 11.3 о сходимо-
сти метода Ньютона — Канторовича.

Упражнение 13.1. Пусть выполнены условия теоремы 13.1, причем
в условии (13.12) имеет место строгое неравенство. Показать, что

II ХП - х* II < (q + ея) ||хл_1 - х* ||,	(13.18)

где 6П -> 0.

Упражнение 13.2. Пусть производная F'(x) удовлетворяет на шаре
S(xo, R) условию Гельдера

|| F' (х) - F' (у) || < L || х - у ||а,

где 0<а< 1. Пусть определен оператор Го = [F' (х0)]-1, причем || Го || < Ьо,
II r0Fx0IKi]0)

<-уДу ,	(13.19)

(1 + я)

где Р(<?; а) —меньший положительный корень уравнения

Пусть, наконец,

г* _________1 + Я_______

1 - [1 -₽(<?; а)1|/а

Показать, что последовательные приближения (13.5) сходятся к решению х*
уравнения (13.1).

Упражнение 13.3. Пусть выполнены условия упражнения 13.2, при-
чем в (13.19) имеет место строгое неравенство. Показать, что тогда спра-
ведлива оценка (13.18).

13.3.	Применение метода минимальных невязок. В этом
пункте мы опишем несколько итерационных процессов (13.5)
для уравнений в гильбертовом пространстве Н. Если опера-
тор F потенциален (является градиентом некоторого функцио-
нала), то в силу известной теоремы Л. А. Люстерника его
производные F'(x) являются самосопряженными операторами.
При этом, если F(х) является градиентом строго выпуклого
функционала Ф(х), то операторы F'(x) положительно опреде-
лены. В описанной ситуации для приближенного решения
уравнения (13.2) может быть применен один из а-процессоз,
изученных в § 8:
Пусть, например, оператор (13.4) получен в результате при-
менения одного шага метода минимальных невязок. Тогда ите-
рационный процесс (13.5) будет определяться формулой

(n = 0, 1, 2, ...). (13.20)

В общем случае (если F не потенциален) для приближен-
ного решения уравнения (13.2) может быть применен метод,
изученный в п. 8.6 (см. формулу (8.38)). Если применить один
шаг этого метода для построения оператора (13.4), то мы полу-
чим итерационный процесс

x„+i = ХП-	||2 [fz(х„)]* Fxn,	(13.21)

где [F'(xn)]*— сопряженный F'(xn) линейный оператор. Про-
цесс (13.20) также можно рассматривать для несамосопряжен-
ных F'(xn). Эти и другие аналогичные им процессы изучались
рядом авторов (М. Альтман, Л. А. Кивистик, Б. П. Пугачев,
Б. Т. Поляк, И. А. Кусакин и др.), которые при их построении
исходили, как правило, из вариационных соображений.

Применения теоремы 13.1 к указанным выше процессам не
приводят к достаточно хорошим результатам. Такие методы
удобнее исследовать непосредственно. Мы приведем в качестве
примера такого исследования одну теорему, принадлежащую
Л. А. Кивистику.

Как и раньше, будем предполагать, что на некотором шаре
5(х0, R) производная F'(x) оператора F удовлетворяет усло-
вию Липшица (13.9).

Теорема 13.2. Пусть

\\Fxq\\ < So;	(13.22)

пусть при всех x^S(xq,R) выполняются неравенства

| (F (х) h, h) | > i || h ||2	c>0),	||F'(x)||<a; (13.23)

С

пусть

(13.24)

u

=	(13.25)

1	4

Тогда уравнение (13.1) имеет в шаре S(x0, r0) решение, к ко-
торому сходятся последовательные приближения (13.20).

Доказательство. Докажем прежде всего по индукции,
что все приближения (13.20) определены (лежат в шаре
S(x0, Го)) и справедливы неравенства

II Fxn II < qn^ (^ = 0, 1, 2, ...).

(13.26)

При /г = 0 это утверждение очевидно. Пусть оно справедливо
при п т. Покажем, что оно справедливо и при п = т+\.

В силу первого из неравенств (13.23)

II F'(xm) Fxm ||> |1| Fxm\\.

Поэтому из формулы (13.20) (при n = m) вытекает, что

•„ X < с II Fxm II < cq”%. (13.27)

Отсюда

Из тождества

- Fxm - F' (хт) (х

т+1

и из неравенств (11.15) и (13.27) вытекает, что

II Fxm ||2 +1| Fxm + F' (хт) (xm+l - хт) ||.	(13.28)

Оценим второе слагаемое в правой части (13.28). Так как

то в силу неравенств (13.23)

Отсюда и из (13.28) вытекает неравенство (13.26):
Из (13.27) следует, что последовательность хп фундаментальна.
В силу (13.26) предел х* этой последовательности является ре-
шением уравнения (13.1).

Теорема доказана.

Упражнение 13.4. Доказать, что в условиях теоремы 13.2 реше-
ние х* единственно в шаре S(xo, Го).

Упражнение 13.5. Доказать, что в условиях теоремы 13.2 быстрота
сходимости последовательных приближений хп характеризуется неравен-
ством

II - X* II <<?"•

Упражнение 13.6. Пусть выполнены условия (13.22), (13.23) и
(13.25) теоремы 13.2. Пусть

q = Vc2 (а2 + Щ)-\ < 1.

(13.29)

Показать, что к решению уравнения (13.1) сходятся последовательные при-
ближения (13.21).

Упражнение 13.7. Пусть выполнены условия упражнения 13.6. Пока-
зать, что к решению уравнения (13.1) сходятся последовательные прибли-
жения

Y — Y___________II II2_____ рх	(13 30)

n+1 хп (F’(xn)Fxn,Fxn) п'	(И,30)

13.4.	О выборе начальных приближений. Одной из наиболее
сложных задач при приближенном решении уравнения (13.1)
одним из описанных выше методов является выбор достаточно
близкого к решению уравнения начального приближения х0.
Часто удается применить метод случайного выбора. Во многих
случаях уравнение (13.1) заменяют «близким» и точное реше-
ние этого близкого уравнения рассматривают как начальное
приближение х0. Общие рецепты построения приемлемых на-
чальных приближений, конечно, не могут быть даны. Однако
могут быть описаны приемы, применимые при решении широ-
ких классов уравнений (см. по этому поводу, например, книгу
Л. В. Канторовича и Г. П. Акилова [1]).

Пусть £, как обычно, действует из пространства Е\ в
пространство Е2\ для простоты рассуждений будем считать,
что F определен на всем Е\. Допустим, что G(x; X)
(x^£i; 0^Х<И)—такой оператор со значениями в Е2, что

G(x\l) = Fx (xe£i)	(13.31)

и что уравнение

G(x; 0) = 0	(13.32)

имеет очевидное решение х°. Оператор G(x; Z) может быть оп-
ределен, например, равенством

G(x; А)=£х —(1—Л)£х°,	(13.33)
Рассмотрим уравнение

G(x; А)=0.

(13.34)

Допустим, что уравнение (13.34) имеет непрерывное решение
х=х(А), определенное при O^CA^Cl и удовлетворяющее усло-
вию

х(0)=х°.	(13.35)

Если бы решение х(А) было известно, то формула

(13.36)

дала бы решение уравнения (13.1). Поэтому для отыскания
точки Хо, близкой к х*, достаточно приближенно найти х(А).

Мы пришли к задаче о приближенном построении неявной
функции, определенной уравнением (13.34) и начальным усло-
вием (13.35). При этом важны нелокальные утверждения — тео-
ремы о неявной функции, определенной на всем промежутке
[О, 1]. Теория таких неявных функций развита в настоящее время
недостаточно.

Отметим, что метод продолжения решений по параметру вос-
ходит к С. Н. Бернштейну; этот метод широко применяется в
различных теоретических и прикладных вопросах.

Допустим, что оператор G(x; Л) дифференцируем по х и по А
в том смысле, что существуют действующие из Ei в Е2 линей-
ные операторы Gx(x; Л) и элементы Gx(x; X) <= Е2, при которых

lim

ПМ + 1 АМ->0

| G (х + Л; А + ДА) — G (х; Л) — G'x (х; Л) h — G^ (х, Л) ДА

= 0.

II h || + | ДА |

В этом случае неявную функцию х(А)
ренциального уравнения

Gx(x; Л)-^- + С1(х;

можно искать из диффе-

Л) = 0,	(13.37)

которое нужно решать при начальном условии (13.35). Условия
существования определенного на [0, 1] решения указанной за-
дачи Коши — это условия существования неявной функции.
Уравнение (13.37), если существует непрерывный оператор

Г(х; X)==[G'(x; Я)]"1,	(13.38)

можно переписать в виде

= - Г (х; A)Gl(x; Л).	(13.39)

Следует иметь в виду, что для обыкновенных дифференци-
альных уравнений в банаховых пространствах неверна теорема
Пеано (см. Н. Бурбаки [1]). Поэтому даже для локальной тео-
ремы существования решения уравнения (13.39) при условии
(13.35) приходится предполагать, что правая часть уравнения
обладает некоторой гладкостью. Однако никакая гладкость не
обеспечивает нелокальную продолжимость решения на весь про-
межуток	1. Мы не имеем возможности останавливаться

здесь даже на формулировках различных нелокальных теорем
существования для дифференциальных уравнений в банаховых
пространствах (см., например, М. А. Красносельский [12]). От-
метим лишь одно тривиальное утверждение: если для уравнения

dK f U; л)

(13.40)

в банаховом пространстве справедлива локальная теорема су-
ществования при любом начальном условии и если

II/(х; Ц\\<а + Ь\\х\\	(0<Л<1; х £,),	(13.41)

то каждое решение уравнения (13.40) может быть продолжено
на весь промежуток 0 X 1. Таким образом, если

Г (%; Л) Gk (х; Л)

+ Ь\\ х ||,

(13.42)

то уравнение (13.34) определяет неявную функцию, удовлетво-
ряющую условию (13.35) и определенную при О^л-^1. Сле-
довательно, условие (13.42) гарантирует разрешимость урав-
нения (13.1) и возможность построения его решения интегриро-
ванием дифференциального уравнения (13.39).

Для приближенного построения х(Х) уравнения (13.39)
можно воспользоваться, например, методом ломаных Эйлера.
Для этого нужно разбить промежуток [0, 1] на т частей точ-
ками

Ло = О<Л1< ... <Лт=1.	(13.43)

Приближенные значения х(Хг) неявной функции х(Х) опреде-
лятся тогда равенствами х (Ло) = х° и

x(^+1) = x(^)~r[x(Az); Az]Gf[x(Az); Wz+1-Xz). (13.44)

Элемент x(%m) в общем случае близок к решению х* уравнения
(13.1), и поэтому можно ожидать, что он будет удовлетворять
требованиям, предъявляемым к начальным приближениям в
итерационных процессах решения уравнения (13.1). Подчерк-
нем, что формулы (13.44) не описывают итерационный про-
цесс— они дают лишь конечную последовательность операций,
приводящую к элементу, который может (?!) оказаться удоб-
ним начальным приближением для итерационного процесса при-
ближенного решения уравнения (13.1).

Для приближенного построения значений неявной функ-
ции х(А) можно воспользоваться и другими конструкциями.
Снова разобьем промежуток [0, 1] точками (13.43). Точка x(Ai)
является решением уравнения G(x; АД =0. При этом х(А0)=х°
удобно рассматривать как начальное приближение к x(Xi). Бу-
дем искать х(А/) при помощи некоторого фиксированного числа
шагов какого-либо итерационного метода. В результате мы по-
лучим некоторый элемент х4, достаточно близкий к х(^). Пе-
реход от х° к Xi определит некоторый оператор

x^W0; G(x; ML

Точку Xi можно считать начальным значением при прибли-
женном отыскании тем же способом решения х(Аг) уравнения
G(x; Аг) =0. Тогда х2 определится равенством

x2 = W[xl; G(x\ А2)].

Аналогично мы получаем конечный набор точек

*i+i = W[x£; G(x; АД] (/ = 0,1,..., m-1),	(13.45)

приводящий к элементу xm, который можно рассматривать как
начальное приближение при решении каким-либо итерационным
процессом уравнения (13.1).

Если оператор W был получен в результате применения од-
ного шага метода (11.3), то формула (13.45) примет вид
хм = Xi-[G'x(xi\ Л1+1)] ' G (хе, Л/+1)	(1=1,	/п-1). (13.46)

Если оператор W— это некоторый оператор (13.4), то (13.45)
можно записать в следующей форме:

*z+i = V [x/j Gx(xz; Az+i); Gx(xz’, Az+Jxz G (xz‘, Az+i)]. (13.47)

Включение в уравнение параметра и использование его ва-
риации для построения приближенных методов применялись ря-
дом авторов. Пионером здесь был, по-видимому, Д. Ф. Дави-
денко.

§ 14. Апостериорная оценка погрешности*)

14.1.	Оценка погрешности и теоремы существования. Рас-
смотрим уравнение	Gx = 0	(14 1)

с достаточно гладким оператором G, действующим из одного
банахова пространства Е в другое пространство F. Допустим,

*) М. А. Красносельский [13].

П М. А. Красносельский и др.
что каким-либо способом найдена точка х0, которую мы считаем
приближенным решением уравнения (14.1). Точка х0 может
быть получена в результате вычислений при помощи одного из
изложенных в этой главе итерационных процессов, может быть
получена одним из проекционных методов (см. гл. 4) и т. д.
Часто при решении уравнения (14.1) задаются некоторым
семейством точек, вычисляют на этих точках значения опе-
ратора G и ту точку %о, в которой значение оператора G
«минимально» (например, по норме), считают приближенным
решением. Иногда для поиска точки Хо, в которой значение
оператора G «минимально», организуют случайный процесс (как
ненаучно говорят, применяют метод «научного тыка»). Во всех
этих случаях представляют интерес возможно более точные апо-
стериорные оценки погрешности. В некоторых случаях оценки
погрешности можно получить линеаризацией уравнений — эти
случаи совсем просты; в других случаях получение оценок по-
грешности является сложной задачей.

Так как речь идет о нелинейных уравнениях, у которых (как
правило) есть несколько решений, то понятие оценки погреш-
ности нуждается в определении.

Оценкой погрешности приближенного решения х0 уравнения
(14.1) будем называть произвольную область Q cz £, в которой
лежит х0 и в которой уравнение (14.1) имеет по крайней мере
одно решение х*. Пусть ЭИ—множество всех решений уравне-
ния (14.1). Тогда ошибкой в норме || • ||0 приближенного реше-
ния х0 будем называть число

д (х0) = inf || х0 — х || 0>	(14.2)

х е ЭД

где II • По—некоторая норма в пространстве Е, эквивалентная
первоначальной норме | • ||. Конечно, ошибка существенно за-
висит от выбора нормы | • ||0. Если уравнение (14.1) не имеет в
£ решений, то естественно считать, что д(х0)=оо при любом
хоеЕ и любой норме || • ||0.

Точное значение ошибки можно найти лишь в том случае,
если известны точные решения уравнения (14.1). Поэтому при-
ходится ограничиваться оценками ошибок. Из самого опреде-
ления вытекает, что б(хо)^6о, если шар ||х — ХоПо^бо является
оценкой погрешности или, что то же, если в шаре ||х — хо||о^ бо
есть по крайней мере одно решение х* уравнения (14.1). Таким
образом, получение оценки б(х0)^б0 ошибки б(х0) приближен-
ного решения х0 равносильно доказательству существования по
крайней мере одного решения х* уравнения (14.1) в шаре
||х — Xollo-Сбо. Сформулированный принцип превращает каждый
метод доказательства теорем существования (см., например,
Л. В. Канторович и Г. П. Акилов [1], М. А. Красносельский
[8, 11]) в метод получения оценок погрешности.

Оценить погрешность решения х0 уравнения (14.1) —это то
же, что оценить погрешность нулевого решения 0 уравнения
G(xo + x)=O. Поэтому в дальнейшем мы будем для простоты
считать, что хо = 0, и искать оценки для 6(0).

14.2.	Линеаризация уравнения. Вначале рассмотрим урав-
нение (14.1) специального вида

х=Ах	(14.3)

с вполне непрерывным оператором А, действующим в простран-
стве Е. Будем считать, что А дифференцируем в точке 9; произ-
водная А'(0) = А] будет также вполне непрерывным оператором.
Уравнение (14.3) можно записать в виде

x=Atx + Tx-i-A6;	(14.4)

здесь А0— невязка нулевого приближенного решения, а вполне
непрерывный оператор Т удовлетворяет неравенству

II ExlKaJHxH) (||х||<г0)>	(И.5)

где Го—некоторое положительное число, функция fli(r)
(О О г0) непрерывна, 0i(r)=o(r). Если оператор А в окрест-
ности точки 0 дважды дифференцируем, то всегда верна оценка
(14.5), в которой 01 (г) =аг2.

Основным случаем является тот, когда 1 не является соб-
ственным значением оператора Alf т. е. когда определен опера-
тор Г = (/ — Ai)-1. В этом случае уравнение (14.4) эквивалентно
уравнению х = Пх, где

Пх = ГГх4-ГА0.

Вполне непрерывный оператор П удовлетворяет очевидному не-
равенству

linxiKiirn^dixiD+ii^eii.

Поэтому, если бо — такое число из промежутка [0, г0], что
1|Г||а1(до) + 1|ГА0||<6о,

то оператор П преобразует границу ||х|| = бо шара ||х|| бо
внутрь этого шара и из принципа Шаудера вытекает существо-
вание у оператора П по крайней мере одной неподвижной точки.
Нами доказана

Теорема 14.1. Пусть вполне непрерывный оператор А
допускает представление (14.4), причем 1 не является соб-
ственным значением оператора Ai==Az(0) и Т удовлетворяет
условию (14.5). Пусть невязка А0 удовлетворяет неравенству

II где II < So-IIГII а, (д0),	(14.6)

где б0 €= [0, г0].

Тогда б(0)^бо.

Упражнение 14.1. Пусть вместо (14.5) выполнено неравенство

|| ГТх || < а\ (|| х || )	(0 < || х || <го).

Показать, что утверждение теоремы 14.1 сохраняет силу, если (14.6) заме-
нить неравенством

II где II < д0 - а\ (д0).

Для доказательства утверждений типа теоремы 14.1 часто
удобно пользоваться принципами неподвижной точки, отлич-
ными от принципа Шаудера. Приведем для примера одно ут-
верждение, использующее вместо оценок норм менее ограничи-
тельные односторонние оценки.

Допустим, что Е— это гильбертово пространство Н. Для
вполне непрерывных операторов в гильбертовом пространстве
справедлив (М. А. Красносельский [8], стр. 314) следующий
принцип неподвижной точки.

Лемма 14.1. Если А вполне непрерывен на шаре ||х|| г и

(Ах, Х)<г2	(||х||=г),	(14.7)

то А имеет в шаре ||х|| О по крайней мере одну неподвижную
точку.

Из этой леммы немедленно вытекает

Теорема 14.2. Пусть действующий в гильбертовом про-
странстве Н вполне непрерывный на шаре ||х|| г0 оператор А
допускает представление (14.4), причем А1=А,(0) удовлетво-
ряет оценке

(AiX, х)^&(х, х) (х ^//),

где &<1, Т удовлетворяет оценке

(Тх, х)<а2(1М)	(Цх||<г0).

Пусть невязка А0 удовлетворяет неравенству

|| Д01|<(1 - 6)60- 6o1a2(So),
где б0 е [0, г0].

Тогда 6(0)^6О.

Доказательство заключается в проверке условия (14.7) при
г = 60.

Упражнение 14.2. Найти в явном виде значения 6о в теоремах 14.1
и 14.2 для случаев, когда го= °°> а функции а\(г) и 02 О') имеют соответ-
ственно вид ar2, arl+v.
Вернемся к общему уравнению (14.1). Пусть G представим
в виде

Gx = G0 + Gix + T1x,	(14.8)

где Gi = G'(9), а удовлетворяет условиям

(11хц<г0)	(14.9)

и

II Лх - Л г/II < ? (г) Цх-г/П (||х|[, WyW^r- 0<г<г0). (14.10)

Так как 7\0 = 0, то из (14.10) вытекает неравенство ||7\х\\

?(11х||) ||х||, но эта оценка может оказаться более грубой, чем
неравенство (14.9).

Теорема 14.3. Пусть G допускает представление (14.8).
Пусть оператор Gi имеет непрерывный обратный Г. Пусть до—
такое число, что 0 б0 Го и

|| TG0 || < б0 -1| Г || а3 (д0),	|| Г || q (б0) < 1.	(14.11)

Тогда 6(0) до.

Доказательство. Заменим уравнение (14.1) эквивалент-
ным х = Пх, где

Пх = — Гт^лг — TG0.

Из (14.9) и из первого условия (14.11) вытекает, что П преоб-
разует шар ||х|| до в себя:

1|Пх||<||Г||. || ^хН + НГОО ||<||Г||^(||х ||) + HTG0 || <дс

(Цх||<д0).

Из второго условия (14.11) вытекает, что П — сжимающий опе-
ратор па шаре ||х|| << до, так как в силу (14.10)

II Их - Пу || < || Г ||. || Тхх - Тху || < IIГ || q (д0) || х - у ||.

Поэтому из принципе] сжатых отображений вытекает, что П на
шаре ||х|| до имеет единственную неподвижную точку.

Теорема доказана.

Упражнение 14.3. Выписать оценки ошибок, вытекающие из теорем
о модш нщнроваппом методе Ньютона — Канторовича, приведенных в § 12.

Приведенные в этом пункте теоремы хорошо известны; они
дают, как правило, вполне удовлетворительные оценки погреш-
ностей, если невязки (Л0 в случае уравнения (14.3) и G0 в слу-
чае уравнения (14.1)) малы и если норма оператора Г (обрат-
ного к I — Д'(0) в случае уравнения (14.3) и обратного к G'(0)
в случае уравнения (14.1)) не слишком велика. Если оператор Г
не существует или его норма велика, нужны новые соображения,
которым посвящена остальная часть параграфа.
14.3.	Вращение конечномерного векторного поля. Враще-
ние — это целочисленная топологическая характеристика век-
торных полей на границах ограниченных областей. Для полноты
изложения приведем полные формулировки используемых ниже
утверждений, связанных с вращением. Полное изложение со-
держится, например, в курсах П. С. Александрова [1], Л. С. Пон-
трягина [1]. Детальному изучению вращения плоских векторных
полей посвящена монография М. А. Красносельского, А. И. Пе-
рова, А. И. Поволоцкого и П. П. Забрейко [1]. Большое внима-
ние вращению конечномерных полей уделено в монографии
М. А. Красносельского [8].

Пусть Q — ограниченная область в n-мерном пространстве
/?п; S — граница области Q. Пусть на S задано непрерывное
векторное поле Фх без нулевых векторов. Тогда определено не-
прерывное отображение ||Фх|НФх границы 5 области Q на еди-
ничную сферу |х|| = 1 пространства Rn. Степень этого отобра-
жения называют вращением поля Ф на S и обозначают его че-
рез у(Ф; S).

Вращение может быть любым целым числом 0, ±1, ±2,...
Для нас важны два свойства вращения.

Лемма 14.2. Пусть непрерывное векторное поле Ф задано
на замкнутой области Q = QUS, и пусть у(Ф; S)=£0.

Тогда по крайней мере в одной точке области Q поле Ф об-
ращается в нуль.

Два векторных поля Фо и Ф1 называются гомотопными на S,
если существует такая непрерывная по совокупности перемен-
ных вектор-функция Ф(/; х)	х S) со значениями

в Rn, что

ф(0; х) = Фох, Ф(1; х) = Ф^ (xgS)
и

Ф (/; х)#=0	xeS).

Например, поля Фо и Ф1 гомотопны на S, если векторы Фох
и Ф1Х при x^S отличны от нуля и направлены не противо-
положно.

Лемма 14.3. Гомотопные векторные поля имеют одинако-
вое вращение'.Y(Oo;S)=v(Oi;S).

Лемма 14.3 дает основной метод вычисления вращения —
она позволяет сводить вычисление вращения сложных полей
к вычислению вращения небольшого числа простых (эталонных)
полей. Вращение же простых полей вычисляется без труда.

Начнем с одномерных пространств. Нам придется рассма-
тривать лишь области, являющиеся промежутками. Вращение
одномерного поля Ф определяется направлениями векторов на
концах промежутка. Прямую f?1 будем рассматривать как мно-
жество точек te (—оо</<оо), где e^R1 и е =/= 0. Пусть
поле Ф рассматривается на отрезке а t Ь. Пусть Ф(ае) =ае,
ф(Ье) = $е.

Лемма 14.4. Если оф>0, то у(Ф; 3)=0. Если а<0 и р>0,
то у(Ф; 3) = 1. Если а>0 и р<0, то у (Ф; 3) = —1.

Утверждение этой леммы легко изобразить графически (см.
рис. 14.1).

Рис. 14.1.

Перейдем к двумерным векторным полям. Ограничимся
только однородными полями.

Будем считать, что в R2 задана векторная система коорди-
нат {t Т|}.

Допустим, что поле Ф линейно:

Ф{£> n) = {а£ + РП» +

(14.12)

и что аб— Ру =# 0. В этом случае Фх обращается в нуль лишь в
нулевой точке. Вращение поля (14.12) на границе 3 любой
ограниченной области, содержащей нулевую точку, определяется
равенством

у(Ф; 3) = sign (аб — ру).

(14.13)

Таким образом, вращение линейного поля (14.12) на окружнос-
тях £2 + т]2 = г2 равно или 1, или —1.

Пусть поле ф квадратично:

Ф{|, п) = {Я1£2 + 2a2£n + W, ft,&2 + 2ft2^ + WI- (14.14)
Составим три определителя:

ci 1 а ч

«1 а3

^2 ^3

ft, ft2 ’

ft, ft3

(14.15)

Будем считать, что

D = 4£>iD2 - D23 =/= 0.

(14.16)

Упражнение 14.4. Показать, что неравенство (14.16) равносильно
тому, что поле (14.14) аннулируется лишь в нулевой точке {0,0}.

Лемма 14.5. Вращение у(Ф; 3) поля (14.14) на окружно-
стях £2 + 1]2 = г2 вычисляется по следующему правилу:

а)	если D<0, то у(Ф; S) = 0;

б)	если D>0 и Di>6, то у(Ф; S) = 2;

в)	если D>0 и Z>i<0, то у(Ф; 3)= — 2.
Пусть плоское поле Ф имеет более общий вид:

ФG. п) = № + аЛ + ... +ад\ *><£* ++ ... +&Л
(14.17)
где k 3. Для простоты будем считать, что ао =!=- 0 (этого всегда
можно добиться подходящим выбором системы координат). Вве-
дем обозначения

7о(ц) = <2о + «1Н+ ... +

7’1(н) = ^о+^1Н+ ••• +*W*.

Построим далее при помощи алгоритма Евклида такие много-
члены

Го(н)> Л (и), ...» ЗД),	(14.18)

что

70(ц) = е! (ц) Tt (ц)- Т2(н),

Л (н) = е2(н) Г2(н)- Г3(|*),

7;-i (н) = е.1 (н) Л (И) ~ Тм (ц),

Т i-i (ц) =ег(ц) Г;(ц).

Многочлены (14.18) образуют так называемый обобщенный ряд
Штурма. Через $(оо) и s(—оо) обозначим количества перемен
знака в ряде чисел (14.18) соответственно при больших поло-
жительных р и при больших по абсолютной величине отрица-
тельных значениях р.

Лемма 14.6. Векторное поле (14.17) не обращается в нуль
в ненулевых точках плоскости в том и только том случае, если
уравнение

(14.19)
не имеет вещественных корней.

Лемма 14.7. Пусть уравнение (14.19) не имеет веществен-
ных корней.

Тогда вращение у(Ф; S) поля (14.17) на окружностях
£2 + т]2=г2 определяется формулой

у(Ф; S)=s(oo)—s(—оо).

Перейдем к векторным полям в пространстве Rn, где п > 3.
Здесь мы ограничимся более простыми полями.

Пусть поле Ф имеет вид

Фх = Вх,	(14.20)

где В — матрица. Поле (14.20) не обращается в нуль на сферах
||х|1=г, если матрица В не вырождена. Вращение у(Ф; S) поля
(14.20)	на указанных сферах совпадает со знаком det В
(detB — определитель матрицы В). Знак det В совпадает в свою
очередь с числом (—1)0, где р — сумма кратностей веществен-
ных отрицательных собственных значений матрицы В. Поэтому
в случае поля (14.20)

у(Ф; 5) = (—!)₽.	(14.21)

Формула (14.21) удобна тем, что она просто обобщается на
вполне непрерывные векторные поля (см. п. 14.4).

Отметим еще, что вращение у(Ф; S) нечетного (Ф(—х) =
= —Фх) векторного поля Ф без нулевых, векторов на сфере S —
нечетное число.

Вращение у(Ф; 3) четного на сфере S поля Ф четно, причем
у(Ф; 5) =о, если пространство нечетномерно (п = 2&+1).

14.4.	Вращение вполне непрерывного векторного поля. Век-
торное поле

Фх = х — Ах	(14.22)

называется вполне непрерывным, если А — вполне непрерыв-
ный оператор в банаховом пространстве Е.

Пусть Q — ограниченная область в Е, S — граница Q. Пусть
вполне непрерывное векторное поле (14.22) задано на 3 и не
имеет на 3 нулевых векторов; тогда говорят, что поле (14.22)
невырождено на 3.

Упражнение 14.5. Пусть вполне непрерывное векторное поле (14.22)
невырождено на S. Показать, что

inf || х — Лх || = а > 0=	(14.23)

хе S

Обозначим через Ее конечномерное подпространство про-
странства Е, содержащее некоторую 8-сеть yi, ..., у^ компакт-
ного множества ЛЗ. Положим, следуя Шаудеру,

k

2 (w) yi

p.y=—k----------

5 и/ (у)
i=l

{у e ЛЗ),

гл*

если || у - уi |К е,

если || у- yt ||>8.

Нелинейный оператор Ре определен на ЛЗ и проектирует это
компактное множество на £6. Легко видеть, что

|| Ах — РеАх IK 8 U *= 5),
Через Se обозначим границу пересечения QClEg, а через
уе — вращение конечномерного (в пространстве Е£) поля
х— РгАх на Sg. Если Ее не имеет общих точек с Q, то поло-
жим Ye = 0.

Оказывается, что при достаточно малых 8 (при 8<а, где а
определено равенством (14.23)) числа Ye одинаковы — они не
зависят ни от 8, ни от выбора 8-сети, ни от выбора содержащего
эту сеть подпространства. Общее значение чисел называют
вращением*) вполне непрерывного поля (14.22) на S и обо-
значают (как и в конечномерном случае) через у(Ф; $)•

Вращение вполне непрерывного векторного поля обладает
теми же свойствами, что и вращение непрерывных полей в ко-
нечномерных пространствах. Приведем основные формулировки.

Лемма 14.8. Пусть вполне непрерывное векторное поле
(14.22) определено на QUS, причем у(Ф; S)=£0.

Тогда оператор А имеет в области Q по крайней мере одну
неподвижную точку.

Оператор Л(/, х) от двух переменных	x^S со

значениями в Е называется вполне непрерывным, если множе-
ство его значений компактно в Е и если он непрерывен по
совокупности переменных. Вполне непрерывные векторные
поля х — Аох и х— Aix называются гомотопными на S, если
существует такой вполне непрерывный оператор Л(/, х)
(0	1, хе S), что

и

А (0, х)=Лох,

Л(1,х)~гЛ1Х (xgS)

Л (/, х) =# х

(0</<1, xeS).

Лемма 14.9. Гомотопные на S поля имеют одинаковое вра-
щение на S.

Лемма 14.9 позволяет при вычислении вращения переходить
к более простым полям.

Из леммы 14.9 непосредственно вытекает так называемая
теорема Руше: если вполне непрерывное векторное поле
(14.22) не вырождено на S и если вполне непрерывный опера-
тор Ло удовлетворяет условию

IIЛох — ЛхП < ||х — Лх||	(х е S),

то поле Фох = х — Лох также не вырождено на S и
у(Ф0; S) =у(ф; 5)-

(14.24)

*) М. А. Красносельский [8]. Понятие вращения вполне непрерывного
векторного поля эквивалентно понятию Лере — Шаудера [1] степени отобра-
жения относительно нуля.
Часто полезно более общее утверждение: вполне непрерывные
поля Фо и Ф1 гомотопны на S, если в каждой точке xeS век-
торы Фох и Ф1% не направлены противоположно.

Поле (14.22) называется линейным, если линеен вполне не-
прерывный оператор А. Пусть 1 не является собственным значе-
нием оператора А, тогда поле Ф обращается в нуль лишь в ну-
левой точке и

\\х-Ах\\ > || (/ — Л)-1||-Ч|х||	(х^Е).	(14.25)

Вращение у(/ — A; S) линейного невырожденного поля на сфере
||х|| = г определяется аналогичной (14.21) формулой

у(7 — A; S) = (—!)₽,	(14.26)

где р — сумма кратностей вещественных и больших чем 1 соб-
ственных значений оператора А.

Отметим еще, что вращение на сфере любого нечет-
ного вполне непрерывного векторного поля является нечетным
числом.

Упражнение 14.6. Показать, что в бесконечномерных банаховых про-
странствах нет четных вполне непрерывных векторных полей.

14.5.	Индекс неподвижной точки. Пусть вполне непрерыв-
ный оператор А определен в некоторой окрестности точки х0^Е.
Допустим, что х0 является изолированной неподвижной точкой
оператора А. Тогда поле (14.22) не вырождено на всех сферах
||х— х0|| = г достаточно малого радиуса г. Оказывается, что вра-
щение поля (14.22) на всех этих сферах одинаково. Это общее
вращение называют индексом неподвижной точки х0 оператора Л
и обозначают через у(х0; Л). Индекс у(х0; Л) совпадает с вра-
щением поля (14.22) на границе S любой ограниченной обла-
сти, в которой х0 является единственной неподвижной точкой
оператора А.

Второй (после индекса) важной характеристикой изолиро-
ванной неподвижной точки х0 является скалярная функция

а (г; х0)= inf ||х0 + х — А (х0 + х) ||.	(14.27)

II X II =г

Так как найти фактически а (г; х0) можно лишь в редких слу-
чаях, то часто мы будем применять миноранты функции (14.27),
т. е. такие функции ао(г; х0), что

||х-Ах||>а0(||х-х0||, х0)	(IIх - х0|| < г0).	(14.28)

В этом параграфе всюду предполагается, что хо=0. Поэтому
в обозначениях функции (14.27) и ее минорант ссо(г; х0) второй
аргумент мы будем опускать — будем писать соответственно
а (г) и а0(г).
Теорема 14.4. Пусть вполне непрерывный в окрестности
точки 0 оператор А допускает представление

Ах = AiX + Тх

(1Ы1<г0),

(14.29)

где Л1=Л'(0), Т0 = 0 и Т удовлетворяет неравенству

\\Тх\\ СаЛЦхН) (|| х\\ <г0),

(14.30)

причем ai(r)=o(r). Пусть 1 не является собственным значе-
нием оператора Ai.

Тогда 0 является изолированной неподвижной точкой опера-
тора А; ее индекс определяется формулой (14.26), где 0 — сумма
кратностей вещественных собственных значений оператора Alf
больших чем 1; функция (14.27) имеет миноранту



(0<r<r0).

(14.31)

Д о к а з а т ел ь ст в о. Оценка (14.31) вытекает из (14.30)
непосредственно:

|| х — Ах ||	|| х — А[Х || —1| Тх ||	7|—Их 'I- -fij- — «1 (|| х ||).

н и^п	||.(/_Л1)-1ц 1КН

Так как аДг) =о(г), то из (14.31) вытекает при малых нену-
левых ||х|| неравенство ||х— Лх||>0. Поэтому точка 0 является
изолированной неподвижной точкой оператора Л.

Так как вращение линейного поля Фо = /— Л4 на сферах
||х|| =г равно (—1)Р (см. формулу (14.26)), то для доказатель-
ства равенства

Y(6; Л) = (-1)₽

достаточно показать, что при малых ненулевых х выполнено не-
равенство ||Лх — Л1х||<||х — Л1Х|| или, что то же, неравенство
|Тх|<||х — Л1Х||. Последнее неравенство очевидно, так как
\\Тх |=о(||х||), а ||х-AiXi^H (/-Л1)-Т1И<

Теорема доказана.

Как правило, функция at(r) в (14.30) имеет вид аДг)=аг2.

Когда 1 является собственным значением оператора Ль вы-
числение индекса и отыскание функций схо(г) становится гро-
моздкой задачей.

Пусть 1 — собственное значение оператора Ль которому со-
ответствует корневое подпространство состоящее только из
собственных векторов. Последнее предположение не является
ограничением — см. П. П. Забрейко и А4. А. Красносельский
[1, 2]. Из полной непрерывности Л] вытекает, что Е{ конечно-
мерно; размерность m подпространства совпадает с крат-
ностью m собственного значения 1.
Как это следует из общей теории Рисса — Шаудера линей-
ных вполне непрерывных операторов (см., например, Ф. Рисе и
Б. Секефальви-Надь [1] или Л. В. Канторович и Г. П. Акилов
[1]), пространство Е представимо в виде прямой суммы

Е = Е1®Е1

инвариантных для At подпространств. Каждый элемент х^Е
представим тогда единственным способом в виде

x = u + v (u^Elt v е Е1).

Это представление определяет коммутирующие с Ai линейные
операторы

Р1Х = и, P1x = v	(14.32)

проектирования соответственно на подпространства Ei и Е1;
при этом Р[ = 1 — Pi, PiPl = PiPi = 0.

Сужение оператора Ai на подпространство Е1 обозначим
через А?. Так как 1 не является собственным значением опе-
ратора А?, то существует определенный на Е1 оператор

Г° = (/- А?)'1.

(14.33)

В дальнейшем через (30 будем обозначать сумму кратностей ве-
щественных собственных значений оператора А?, больших чем 1
(Ро совпадает с суммой кратностей вещественных собственных
значений оператора Аь больших чем 1).

Пусть А в окрестности точки 9 представим в виде

Ax=AiX + Ahx+Tx,	(14.34)

где A^A^O), Ак— однородная форма*) порядка k:
Ak(tx) ^thAhx,

TQ = B и

\\Tx\\ < а2(\\х\\)	(||х|| Сг0),

где a2(r) =o(rk).

Введем в рассмотрение векторное поле
Фои = — PiAku

(14.35)

(14.36)

в пространстве Е^ Если в Ei выбрать некоторую систему коор-
динат, то компоненты поля (14.36) будут однородными много-
членами степени k от координат точки. Общим нужно считать
тот случай, когда однородное поле (14.36) обращается в нуль
лишь в нулевой точке. Именно этот случай мы и рассмотрим.

*) См. Л. А. Люстерник и В. И. Соболев [1]; основные факты теории
полилинейных и однородных операторов излагаются ниже в главе 5.
Приведем вначале без доказательства теорему об индексе
(М. А. Красносельский [8], стр. 219).

Теорема 14.5. Пусть вполне непрерывный оператор А до-
пускает представление (14.34). Пусть 1 — собственное значение
оператора Ait которому соответствует корневое подпростран-
ство Ei только из собственных векторов; (30 — сумма кратностей
вещественных собственных значений, больших чем 1. Пусть, на-
конец, конечномерное однородное поле (14.36) обращается в
нуль лишь в нулевой точке.

Тогда точка 0 является изолированной неподвижной точкой
оператора А и ее индекс определяется формулой

Y(0; Л) = (-!)%.	(14.37)

где уо — вращение поля (14.36) на любой сфере ||u|| = r конечно-
мерного пространства Eit

Эта теорема эффективна лишь в случаях, если удается найти
или оценить уо- В случаях одномерного или двумерного Е{ вра-
щение уо вычисляется по простым формулам (см. п. 14.3). Если
dim Ei 3, то пока приходится ограничиваться частными слу-
чаями (в основном удается применять лишь соображения, свя-
занные с четностью или нечетностью поля (14.36)).

Перейдем к отысканию функции ао(г) в условиях теоремы
14.5.

Введем некоторые обозначения.

Так как поле (14.36) предполагается невырожденным на
сферах ||х||=г, то найдется такая постоянная &i>0, что

(«££.);	(14.38)

например, можно положить

&!= min HPjA^II.

II w 11 = 1

Далее, так как однородный оператор Ak непрерывен (он даже
вполне непрерывен), то

|| P'Akx ||< М х ||ft (хе£),	(14.39)

где &2 — некоторая постоянная; например, можно положить

&2= SUp ||PMftx||.

||xll = l

Наконец, оператор Ah удовлетворяет на каждом шаре ||х|| г
условию Липшица с постоянной порядка rh~x. Нам здесь пона-
добится лишь оценка

\\PiAkx — PH.PjxlK^II *|Г‘ РЧ1 (хе£) (14.40)

(напомним, что Р1 = I —
Положим

= х — (Л1Х + Akx) (х^Е).	(14.41)

По предположению Р{Ахх = А{Р\Х = Р{х. Поэтому

Р1Ф1Х = - Р\Акх -- - P[AkPiX - (P\Akx - PiAkPix)
и из (14.38) и (14.40) вытекает оценка

IIP^xll^MPixlf-'ZolWI*"' ИРМ (хе£). (14.42)

Очевидно,

II Р’х - Р'А1Х II = II (/ - Л,) P'x II > -t IIР'хII,

А-0
где

«о = 11 Г011= sup II (/ - ЛО-1 v	(14.43)

Hull = 1; veE1
поэтому из (14.39) вытекает оценка

||Р1Ф1х||>-^-||Р1х||-М*11*	(Х<=Е).	(14.44)

Пусть ф (г) — произвольная функция, удовлетворяющая не-
равенствам

0<<р(r)< 1	(0<г <г0).	(14.45)

Тогда из (14.42) и (14.44) (и из очевидного неравенства || Р{х ||
|| х || —1| Ргх ||) вытекают оценки

l|P^ix||>&i[r-r<p(r)]ft-<7orft<p(r)	(ЦР1х||<гф(г);	||x|| = r)

(14.46)
И

||Р1Ф|х||>4'г<Р(г)_&2г* (1|Р’а:||>гф(г), ||х|| = г). (14.47)
ло

Поэтому

max{||Р^рс||; ||Р1Ф1х||}>

> min { bi [г - г <p(r)]* - ?or*<p(r); 4" г ф(г) - b2rk\ (||х|| = г)

при любой функции ф(г), удовлетворяющей (14.45). Следова-
тельно,

maxdlP^xH, UPWID^^dlxll) U^£), (14.48)
где

ф(г)= max mini&! (г — гф)* — gor\p; — гф — &2Г г* (14.49)

0<ф<1 I	Хо	J

Исследование функции (14.49) (и других встречающихся
ниже аналогичных функций) можно провести совсем просто,
если заметить, что первое выражение в фигурных скобках убы-
вает при возрастании ср, а второе растет. Поэтому значение ср,
при котором достигается max, определяется как корень урав-
нения

&i (г — гф)* — gor\p = — rep — b2rkt	(14.50)

если, конечно, этот корень принадлежит промежутку [0, 1]. Если
найти корень ф и подставить его в одно из выражений в фигур-
ных скобках, то мы получим явную формулу для ф(г).

Упражнение 14.7. Найти явную формулу для ф(г) в случае k=2.

Уравнение (14.50) в общем случае в явном виде не решается.

В связи с этим мы огрубим оценку (14.48).

Элементарно доказывается, что

(г — Гф)*>г* —&г\р (0 < ф < 1; г>0).

Поэтому

ф (г) фо (r) = max rninl b{rk — kbxrkq — <70r\p; — гф — b2rkl.
0<ф<1 l	J

(14.51)

Для отыскания ф0 (г) решим относительно ф уравнение

btrk - (kb! + <70) г*ф = ^- Гф - Ь2гк.

Его решение ф0 имеет вид

-7- + (kbi+q0) г*-*
лд

Мы будем рассматривать лишь те значения г, при которых
Фо< 1, т. е.

(bi +• b2) rk~' С + (kbi + <70) г*’1
л>0

или, что то же,

[b2 — (k — 1) bf-q^r*-1^-^-.
ЛО

Если b2>(k — l)&i + %, то будем считать, что

1

\ 1 1 1

I х0[&2-(6- 1)61-<7о] J ~Г '

в противном случае будем рассматривать г из промежутка
[0, оо). Очевидно,

^(r) = min\blrk-kbirkq>o-qorkq>Q; -±- r<p0 - b2rk 1,

I	**0	J
откуда вытекает, формула

Фо (г) =

&!>*-х0 (kbi + q0) b2r2k 1

1 +х0 (kbi + <?о) rk~'

(14.52)

Из (14.48), (14.51) и (14.52) вытекает основная оценка

max {|| Р1Ф1Х ||, ||Р1Ф1х||}

bi ||х||- х0 (fe&i + д0) &2 ||x||2fe~l

1 + х0 (kbi + q0) || х ||*~‘

(14.53)

(1|х||<г*).

При некоторых конкретных нормах в Е оценка (14.53) мо-
жет быть улучшена и упрощена. Если, например,

IIXII = II х II, = max {II Ptx ||, || Р’х ||},

то из (14.42) вытекает более точная, чем (14.46), оценка

Ц/ЛФ1Х \\>birk-qorkcp(r) (HP1* ||<r<p(r); ||х || = г).

Из этой оценки и из (14.47) вытекает неравенство

IIФ1* II.max min { b\rk — q3r*<p; —- rqp — &2r* >
0<(p<!	*	x0

(l|x|| = r),

откуда следует, что

Urn II M*ll*-Xo<7oM*C~’

II . >-----------4-------ьТГ4---

1 + хо<7о II X ||* 1

при

1

r _ 1_______1______U-1

• I xo(Z>i + Z>2-<7o) J

(llxlI.Cr?

Из (14.53) и (14.35) вытекает

Теорема 14.6. Пусть выполнены условия теоремы 14.5.
Тогда выполнено неравенство

Пх-Ах ||,

г», ||x||fe — х0 (kbt + q^b^ II XII2*'1
1 + х0 (kbi + q0) II х ||fe-'

— «г (II я ID

(14.54)

(x0(61 + &2-fe6I-90)||x||ft 1 <1; ||x||<r0),

где || x ||, = max {|| P{x ||, ||P’x||}.

Обычно для a2(r) удается найти оценку а2 (г) b3rk+i. Тогда
оценка (14.54) переписывается в виде

II х - Ах ||

611| х ||* - х0 (kbi + <?о) Ь21| х II2*"1

1 +х0 (kbi + <7о) II X II*"1

-Elixir1.

(14.55)

Основное ограничение в условиях теорем 14.5 и 14.6 — это
предположение о невырожденности поля (14.36) в ненулевых
точках подпространства Е^ Если это однородное поле на неко-
торых прямых или конусах обращается в нуль, исследование
неподвижной точки требует дополнительных построений. Здесь
следует предостеречь от одной возможной ошибки.

Допустим, что

Ax=AjX +Л&х +Ak+iX-f- ... +Aix + Tx,

где Ai — однородные операторы порядков /, а Т содержит члены
высшего порядка малости. Пусть 1 — собственное значение опе-
ратора Ai; Pi и Р1 — операторы (14.32). Если поле (14.36) об-
ращается в нуль на некоторых прямых, то по аналогии с теоре-
мой 14.5 можно предполагать, что индекс у(0; Л) с точностью
до знака определится вращением у0 на сферах ||u||=r малых
радиусов г конечномерного поля

Фои = —P(Aku + Ah+\ti + ... +Л^)

(если это поле на сферах малого радиуса не вырождено). Это
предположение ошибочно. Более того, может оказаться, что
поле Фо обращается в нуль лишь при ц = 0, а точка 0 является
неизолированной неподвижной точкой оператора Л!

Для случаев, когда поле (14.36) обращается в нуль на не-
которых прямых или конусах, общий алгоритм исследования
неподвижных точек и вычисления их индекса разработан в
статье П. П. Забрейко и М. А. Красносельского [2]. Проведен-
ные там построения позволяют во многих случаях определить
функции ао (г).

14.6.	Индекс неподвижной точки и апостериорная оценка
погрешности. Перейдем к уравнению

х = Вх	(14.56)

с вполне непрерывным оператором В. Пусть 0 — приближенное
решение уравнения (14.56). Очевидно, 0 является неподвижной
точкой оператора

Ах = Вх — В0.	(14.57)

Пусть

II Ах - х |h = || Вх - х - В0 |h > а0 (|| х ||2)	(|| х ||2 < г0)> (14.58)

где II • Hi, II • Нг — некоторые нормы в Е, которые могут совпа-
дать с обычной нормой || • ||. Пусть невязка В0 удовлетворяет
неравенству

II Вб Hi <«о(6о),	(14.59)

где бо^Го. Тогда векторное поле х — Вх на сфере И2=б0 го-
мотопно (если оно не вырождено) полю х — Ах — для доказа-
тельства достаточно заметить, что в силу (14.58) и (14,59) век’
торы х— Ах и х — Вх при ||х||2 = 6о направлены не противо-
положно. Из леммы 14.9 вытекает тогда, что вращение поля
х— Вх на сфере ||х||2=бо совпадает с вращением на этой сфере
поля х — Ах или, что то же, с индексом у(0; Л) неподвижной
точки 0 оператора А. Следовательно, если у(в; А)=£ 0, то опе-
ратор В имеет на шаре ||х||2 So по крайней мере одну непо-
движную точку. Нами доказана

Теорема 14.7. Пусть выполнены неравенства (14.58) и
(14.59). Пусть у(0; А)=#0.

Тогда 6(0)	60.

Из этого общего принципа и теоремы 14.6 вытекает удобная
для приложений

Теорема 14.8. Пусть оператор (14.57) удовлетворяет усло-
виям теоремы 14.6, причем уо т 0- Пусть невязка BQ удовлетво-
ряет неравенству

ЦВО||,< '	-"П-°	----°2(бо).	(14.60)

1+ х0 (kbx + q0) 6J

где 60€= [0, г0].

Тогда 6(0)^бо.

В основных случаях интерес представляют такие приближен-
ные решения х0, ошибка 6(%о) которых мала. Поэтому в каче-
стве первого приближения для оценки можно определять 60 из
уравнения

II ВО II. = Мо,

или, что то же, при малых невязках можно считать, что

6 (6) < {	}1/6 .	(14.61)

Конечно, оценкой (14.61) можно пользоваться лишь в случае,
когда у0 =А 0.

Упражнение 14.8. Показать, что утверждения теорем 14.1 и 14.2
являются следствиями теоремы 14.7.

Аналогично теореме 14.7 доказывается

Теорема 14.9. Пусть 0 — приближенное решение уравне-
ния (14.56) с вполне непрерывным оператором В, допускающим
в окрестности точки 0 представление

Вх = В0 + Ах 4- Dx,

причем 0 является изолированной неподвижной точкой вполне
непрерывного оператора А, у(0; А)=#0 и

|| Ах - х lb > а0 (|| х ||2)	(|| х ||2 < г0),
где || • Hi, II • П2 — некоторые нормы в Е. Пусть при некотором
бо^ [0, Го] выполнено неравенство

|| ВО + Dx Ih < а0 (б0)	(||х||2 = б0).

Тогда 6(0)	б0.

В ряде случаев теорема 14.9 приводит к лучшим оценкам,
чем теорема 14.7.

14.7.	Специальный случай. Утверждения теорем 14.7 и 14.9
теряют силу, если у(0; Л)=0. Однако и в этом случае при не-
которых дополнительных предположениях можно получить
оценки величины 6(0). При этом основное отличие от теорем
14.7 и 14.9 заключается в том, что должно быть учтено напра-
вление невязки В0, а не только ее норма.

Ограничимся случаем, когда рассматривается приближенное
решение %о = 0 уравнения

х = В0 + Дх,	(14.62)

где А представим в виде (14.34). Будем считать, что операторы
Ai, Ak, Т удовлетворяют всем условиям теорем 14.5 и 14.6; бу-
дем пользоваться обозначениями, введенными при доказатель-
стве этих теорем; условие (14.35) будем считать имеющим вид

II Тх || < Ь31| х |Г*	(||х1|<г0),

(14.63)

где Го — некоторое число.

Дополнительно будем предполагать, что одномерно и k
четно. В этом случае из теоремы 14.5 и леммы 14.4 вытекает ра-
венство у(0; Л) =0. Поэтому теоремы 14.7 и 14.9 нельзя приме-
нить для получения оценок ошибки 6(0).

При доказательстве теоремы этого пункта мы воспользуемся
вытекающими из (14.42), (14.44) и (14.63) оценками

II ?! (х - Ах) II> II ?,х IIs - q0 Их 1Г1 II ?!х II - II ?! II &з II х ||ft+1 (14.64)

И

II?1 (х- Ах) ||>-J-||?1x||- b2\\x\? - и?1 ||&з11х ||*+1 , (14.65)

а также очевидным неравенством

И ?! (х - Ах) II < <7oll X ||ft + II ?! || м X ||*+1	(14.66)

(?1Х = 0, II х IK r0).

Выберем в одномерном пространстве Ei единичный век-
тор е. Тогда оператор ?i имеет вид

?1Х = /(х)е	(хе£)
где I — некоторый линейный функционал, причем 1(e) = 1, ||/|| =
= ||Р11|. Невырожденность поля (14.36) означает, что l(Ake)^=0,
В рассматриваемом нами случае числа Ь\ и Ь2 из неравенств
(14.38) и (14.39) одинаковы:

bi = b2=\l(Ake)\.

Теорема 14.10. Пусть положительные числа р0
влетворяют четырем неравенствам:

Ро + 60 г0,

и

Мо - Чо (ро + бо)*"‘ Ро - И1 II Ьз (Ро + 6оГ‘ > II ll>

4- Ро - Ь2 (Ро + 6o)ft - IIР1 IIЬ3 (Ро + 60)fe+1 > II Р'ве II,
Л0

бо удо-

(14.67)

?оРо Ы+1< Р^Вб

и пусть

I (Ake) I (В0) < 0.

(14.68)

Тогда б (0) р0 + б0.

Доказательство. Обозначим через Qb й2 области

Qi = {х: || Р'х || < р0; 0 < I (х)< б0},
Й2 = {х- II Р'х || р0; — б0 / (х) 0}

и через Sb S2 — hx границы. В силу леммы 14.8 теорема будет
доказана, если мы покажем, что вращения вполне непрерыв-
ного векторного поля Фх = х — Ах — Вб на Si и на S2 отличны
от нуля.

Для определенности рассмотрим поле Ф на Si (поле на S2
изучается аналогично).

Определим вспомогательное поле

Ч'х = х — А1Ргх — 1(х)е

/ (х) - т 60

I {Ake) е.

Это поле обращается в нуль в тех точках х0, в которых Р1Чгхо = О
и Р1Чгхо = О; первое из этих уравнений можно записать в виде
I (*о) - 4 6° 1	= откУДа следует, что PiX0 = у бое; вто-

рое — в виде PxXq — Л^Хо = 0, откуда следует равенство Р1хо = О.
Следовательно, поле Ч? обращается в нуль лишь в точке
хо = убоеейь Вращение у(Чг; SJ совпадает с индексом у0 не-

подвижной точки х0 оператора х —Тх; так как поле линейно,
то |Уо1=1- Значит, у(Т; sjI У= 0.

В силу леммы 14.9 теорема будет доказана, если будет уста-
новлено, что поля Ф и гомотопны на Si.
Для доказательства гомотопности полей Ф и V на Si пока-
жем, что векторы Фх и Тх направлены не противоположно при
каждом xeSj. Предположим противное. Тогда найдется такая
точка х* Si и такое t > 0, что

Фх* = — /4%.

(14.69)

Если х* е Si, то х* принадлежит одному из трех множеств
Г] = {х: UP’xIHpo; 0</(х)<60},

Г2 = (х: IIP’xlKpo; /(х) = 0), Г3 = {х: || Р'х || < р0; Z(x) = S0).

Пусть сначала х.еГ,. Применим тогда к равенству (14.69.)
оператор Р1 и перепишем его в виде

Р’х. ~	- P'Akx, - Р'Тх. - Р'Вв = - t (Р«х. - Д^х.).

откуда

Р*х. - AJ>'xt = у^-Р’Лх. + у^у Р'Тх. + у^ pipe
и, далее,

II (/ - ДО Р’х. II < II р1 Akx. II + IIР1 Гх, И+11 р’ве ||.

Поэтому

7-	IIРЧII < Ь21| х. IIs +1| Р11| • Ь31| х. |f+1 + || Р’В01|,

А-0

а это неравенство противоречит третьему неравенству (14.67)
(так как | х,||<р0 + б0> IIР1*.II = Ро)-

Пусть теперь х, еГ2. Применим к (14.69) функционал I и
получим равенство

-1 (Akx.) -1 (Тх.) -1 (SO) = - 4-1CV).

Из этого равенства в силу (14.68) вытекает, что

||Р,В0|| = |/(В0)|

/(В0)--^/(Л^)

I (Дл) I +11 (Тх.) |.

Отсюда в силу (14.40) и (14.63)

HPiB0||<9o||xJ|ft + ||PI||- &3-UII*+1

и, далее,

||PIB0||<<7opofc + ||P1p3p^1.

Мы пришли к противоречию с четвертым неравенством (14.67).

Пусть, наконец, ^еГ3. Снова применим к (14.69) функ-
ционал I. Получившееся равенство

-1 (Акх,) -1 (Тх,) -1 (ВО) = 411 <Ake)

&
можно переписать в виде

(бо + -ф-) I (Ake) = I (АкР{х, - Akxt) -1 (Txt) -1 (BO),
\ /

откуда

b& = 16oZ (Л*е) | < | (doft + ^-) / (Л4е) | <

< 11 {AkP\Xt - Akx,) | +11 (Tx,) | +11 (BQ) | <

<|| PiA^x. — P{Akx, || +1| Pr || • || Tx, || +1| PrBQ ||.
Следовательно,

&1бо < <7o IIX, Г1 II P'x* || + II Pi || • ьз || x, Г1 +1| P{BQ || <

. < q0(Po + So)*’’ Ро + II Pi II • ^3(Po + 60)ft+1 + II PiBQ II-

Мы пришли к противоречию со вторым неравенством (14.67).

Первое неравенство (14.67) было использовано нами на всех
трех этапах доказательства противоречивости равенства (14.69),
так как мы пользовались оценкой (14.63).

Теорема доказана.

Выбор чисел ро и до, удовлетворяющих неравенствам (14.67),
является несложной задачей, если невязка BQ мала и если
нормы ЦР1В0Ц, ||РЗД невязки имеют одинаковый порядок ве-
личины.

Предположим, что все коэффициенты q0, HP1II63, 1/хо, Ь2,
II?11|&3 в неравенствах (14.67) имеют одинаковый порядок и что
все они существенно больше невязки ||В0||. Подбирать числа до,
ро будем так, чтобы р0 было существенно меньше до и суще-
ственно больше д* в том смысле, что

Wk0-v < Ро < ь5ЦГ,

где v > 0, а 64, Ь$ имеют порядок коэффициентов неравенств
(14.67). Тогда для приближенного отыскания д0 и р0 неравен-
ства (14.67) можно заменить более простыми:

^>||р,вец,

Ро > II р’ве II, 9х<И1ве11>

т. е. можно положить

Ро = Xoll Р'ве II, д0 = (1^1

\	01

и считать, что

IIР1В91|

14.8. Отказ от полной непрерывности. Теоремы предыдущих
пунктов можно распространить на случай, когда оператор А не
обладает свойством подной непрерывности. В этом случае при-
ходится предполагать, что оператор Т удовлетворяет на шаре
||х||<г0 не только неравенству типа (14.35), но и условиям
Липшица с постоянной, зависящей определенным образом от г0-
Мы ограничимся обобщением теоремы 14.8. Применяемый ниже
метод фактически основан на исследовании уравнения развет-
вления Ляпунова — Шмидта (см. § 22) топологическими мето-
дами.

Вернемся к рассмотрению общего уравнения

Gx = 0	(14.70)

с оператором G, действующим из банахова пространства Е в
пространство F. Будем считать, что исследуется нулевое при-
ближенное решение хо=0 этого уравнения.

Пусть оператор G представим в виде

Gx = G0 + GiX + Gkx + Тху	(14.71)

где Gi = G'(Q), Gk — однородный оператор порядка k, Т — члены
высшего порядка малости.

Линейный оператор Gt будем считать нормально разреши-
мым (это значит, что GiE является замкнутым подпростран-
ством F0 в пространстве F). Обозначим через Ео подпростран-
ство нулей оператора Gi. Будем предполагать, что размер-
ность m подпространства Ео конечна и совпадает с дефектом
подпространства F0 в пространстве F. Пространство Е предста-
вим как прямую сумму подпространства Ео и некоторого под-
пространства Е°; тогда каждый элемент х е Е можно, единствен-
ным способом записать в виде

х = и + v (и Ео, v е Е°);

последнее равенство определяет проекционные операторы

PiX = и, Рхх = v (х^Е);

верны равенства Р1Р' = Р'Р1 = 0, GiPi = 0, GiPl = Gi. Простран-
ство F представим как прямую сумму подпространства Е° и не-
которого подпространства Fo (размерность Ео совпадает с раз-
мерностью Ео); тогда каждый элемент f е F единственным об-
разом записывается в виде

f=z+w (z^Fq, w^Fq)\

это равенство определяет проекционные операторы

Qif=z, Q'f=w (fe=F)

в пространстве F; верны равенства QiQleQ!Qi=0, QiG^O,
QiGi=G|. На построении операторов Р1? Р1, Qb Q1 мы здесь не
останавливаемся (см. ниже § 22); будем считать, что они нам
известны.

Сужение линейного оператора Gi на Е° обозначим через G?»
и через Г° обозначим обратный к G? оператор, действующий
из F0 в £°; пусть

цг°||=|(g?)-i||=xo.

Уравнение (14.70) равносильно системе двух уравнений

Q1G0 + Q\Gkx + Q\Tx — 0,
Q1X = - rVGO - r°QJGkx - VQQ'Tx.

(14.72)

(14.73)

Поэтому нам удобно характеристики операторов Gk и Т
выписать как неравенства, которым удовлетворяют операторы
QiGfe> Q.T, rVGfe, r°Q'T.

Выпишем вначале ограничения на операторы roQ’Gj. и PQ1?4:

||r°Qi(GftP1x + 7’P1x)||<&1||P1x||ft	(|| PiX ||< и) (14.74)

И

|| r»Q>Gt(« + vJ-roQ^ (и + v2) + (u + o1)-PQi7'(w+ v2) ||<
< qi (6 + p)*’11| v, - v21| (14.75)
(ие£0> ||и||<б^П;	v2<=E^ ИМ, || v21|< p < r2).

Эти ограничения позволят нам в дальнейшем разрешить урав-
нение (14.73) относительно Р'х, т. е. выразить Р'х через PiX.
После этого вопрос о разрешимости уравнения (14.70) сведется
к исследованию конечномерного уравнения (14.72), из которого
нужно будет найти Р\Х.

Относительно QiG^ и QiT будем предполагать, что

и

|| Q^x - II < <72 (6 + р)*-'|| Р1х ||
(ЦР1Х||<д< г1: || Р'х ||<Р < г2)

II QiTx IKM6 + P)*+1

(IIPix|K6<ri; IIP’xlKp^^).

(14.76)

(14.77)

В конкретных случаях коэффициенты &i, qif b2, qz могут быть
достаточно просто вычислены или оценены.

Рассмотрим действующий из Ео в оператор QiGh. Ниже
предполагается, что этот оператор не вырожден: QiG^u^O при
«е£ои и=/=0- Тогда справедлива оценка

где Ьо

0.

IIQiG^OMwIll

(u €= Eq)'

(14.78)
Пространства Ео и Fo имеют одинаковую размерность. По-
этому можно построить линейный непрерывно обратимый опе-
ратор Do, отображающий FQ на £0- Определим на £0 однород-
ное векторное поле

Фои = DaQxGku (ut=E0).

(14.79)

Оно обращается в нуль лишь в нулевой точке. Через у0 обозна-
чим вращение поля (14.79) на единичной сфере ||и|| = 1 подпро-
странства ко-

оператор Do определяется, конечно, неоднозначно. Допустим,
что мы выбрали другой оператор Di и рассмотрели на Ео поле

Ф1^ = DiQ[Gku (и е £0).

Пусть yi — вращение поля Ф1 на сфере ||и|| = 1 подпростран-
ства Eq. Поле Ф1 можно записать в виде

Ф1& = (DiDo1) Фо^ (и е Ео).

Из общих теорем о векторных полях (см. М. А. Красносель-
ский [8], стр. 100) вытекает тогда, что у1 = уо£, где е — знак де-
терминанта матрицы оператора DiDo' в каком-либо базисе
пространства Ео или, что то же, е = (—1)р, где 0 — сумма крат-
ностей вещественных отрицательных собственных значений опе-
ратора D\Do'. Нас ниже будет интересовать лишь отличие у0 от
нуля. Поэтому мы будем считать, что оператор DQ выбран и за-
фиксирован. Введем в EQ эквивалентную первоначальной норме
I • Не новую норму

|| и || = || Do Mfo	(и^Ео).	(14.80)

Теорема 14.11. Пусть выполнены условия (14.74) — (14.78).
Пусть вращение у0 поля (14.79) на сфере ||и|| = 1 простран-
ства Eq отлично от нуля. Пусть, наконец, невязка G0 удовлетво-
ряет неравенствам

|| r°Q]G0 || < р0 -	- q, (60 + ро)*’1 р0,	(14.81)

|| Q1Gе || <	- q2 (60 + р0)*-' Ро - b2 (d0 + p0)*+1,	(14.82)

где б0 < П, ро г2.

Тогда б (0) бо + ро-

Доказательство. Мы покажем, что уравнение (14.70)
имеет по крайней мере одно такое решение х*, что ||Р1Х*|| бо
и <^р0. Этим теорема будет доказана.

Пусть и — фиксированная точка подпространства £0, И^П^бо.
Рассмотрим в пространстве EQ уравнение
где

A (v; и) = —r°QlG9 — rQQ'Gh(u + v) — r°Q1T(w +и).

В силу (14.75) этот оператор на шаре llvll^po удовлетворяет
условию Липшица

|| A (vn и) —А (о2; и) || < </! (60 + p0)ft~'|| и, - v21|,

причем в силу (14.81)

(A + Ро)*'* < 1 •

Оператор А (и; и) преобразует шар Ildl^Cpo в себя, так как в
силу (14.75) при |М| ро

||Л(»; и)||<||Л(9; «)|| + ||Л(»; «)-Л(0; м)||<
< || Л (9; и) || + <71 (д0 + р0Л’ р0,

откуда в силу (14.74)

II л (v; и) II < IIPQ1G91| + Ь ,6* + <?, (60 + р/’1 р0,

и из (14.81) вытекает неравенство ||Л (и; и) || ро. Следова-
тельно, уравнение (14.83) имеет в шаре ||и|| <1 р0 единственное
решение v = W(и) (u^Ec; IWI^So). Легко видеть, что это ре-
шение непрерывно зависит от и.

Уравнение (14.83) превращается в уравнение (14.73), если
положить и = Р\Х, v = Pxx. Значит, уравнение (14.73) можно ре-
шить относительно Р1х. Решение

pix=W(PlX)

определено при ||Pix||	60.

Таким образом, уравнение (14.70) равносильно уравнению
(14.72), в котором вместо Р{х подставлено I^(Pix). Следова-
тельно, теорема будет доказана, если мы покажем, что уравне-
ние

Q1G0 + Q1G/l[PiX+r(P1x)] + Q1T[P1x + r(P1x)]=0 (14.84)

имеет по крайней мере одно решение в шаре l|Pix||<d0- Рас-
смотрим на шаре \\и	60 пространства Ео непрерывное век-

торное поле

Wu = DQ{QiGd + QlGk[u+W(u)] + QiT[u + W(u)]}. (14.85)

Если мы покажем, что это поле обращается в нуль по крайней
мере в одной точке шара ||г/||^6о, то это будет означать, что
уравнение (14.84) имеет в шаре ||Pix||	60 решение.

Для завершения доказательства теоремы нужно показать,
что поле (14.85) имеет в шаре ||и||	60 нули. Для этого в силу

леммы 14.2 достаточно показать, что вращение у(Чг; S) поля
(14.85) на сфере ||и||=б0 отлично от нуля. Из леммы 14.3 выте-
кает, что достаточно установить гомотопность на сфере ||и||=б0
поля (14.85) полю (14.79), так как вращение второго поля от-
лично от нуля по условию теоремы.

Для доказательства гомотопности полей (14.85) и (14.79)
покажем, что векторы Wu и Фои при ||u||=d0 направлены не про-
тивоположно.

Допустим, действительно, что при некоторых t > 0 и Uq е Ео,
II Woll = бо

Wo= - /Фоио,
т. е.

Dq {QiG0 + QiGk [uq + W (u0)] + QiT [u0 + W (^o)] + /QiGfciz0} = 0.

Перепишем это равенство в виде

^oQiGfcUo ~ Г+Т	{Q1 Gk [uQ + W (w0)] —

-Q1G^0+QiG6 + QiT[uq+ Г (u0)]}.

Вычисляя нормы (14.80) левой и правой части, в силу (14.76)
и (14.77) придем к цепочке неравенств

II QiG.Uo ||F < || Q{Gk [u0 + W (u0)] - Q{GkuQ || +1| QiG0 || +

+1| QtT [u0 + W (Mo)] || < q2 [ II «о II + II W (u0) || ]ft~' || W (u0) || + II Q,G01|+
+ MII «о II + II V («о) II Г' < Чг (So + Po/’1 Po+b2 (6o+po)fe+1 + II Q^e II-

Из (14.78) вытекает тогда неравенство

Mo* < q2 (So + Po)ft_I Po + b2 (So + РоГ1 + II Q i G 91|,

которое противоречит (14.82).

Теорема доказана.

В заключение сделаем одно общее замечание об уравнении
х = Вх с вполне непрерывным оператором В (хотя замечание
относится и к общему уравнению Gx = 0). Мы выше считали, что
нуль 0 — приближенное решение, и предполагали, что у опера-
тора В7(0) есть собственное значение 1. Чаще приходится встре-
чаться с ситуацией, когда В'(0) = Л1 + £>, причем у линейного
оператора А[ есть собственное значение 1, и для оператора Ai
число (14.43) не слишком велико, a D имеет малую норму (при
этом D может быть в явном виде неизвестен — достаточно знать
оценку его нормы). При переходе к такой ситуации нормы не-
вязки В0 должны быть заменены во всех оценках величинами
||B0 + Dx|| (как в теореме 14.9).,
Глава 4

Проекционные методы

§ 15.	Некоторые общие теоремы сходимости
проекционных методов

15.1.	Описание проекционных методов. В предыдущих гла-
вах был изучен ряд итерационных методов приближенного ре-
шения операторных уравнений. В этой главе будут рассмотрены
приближенные методы, основанные на принципиально новой
идее. Эта идея заключается в предварительной «аппроксима-
ции» уравнения и последующем точном решении «аппроксими-
рующего» уравнения. Аппроксимирующее уравнение, как пра-
вило, конструируется так, что его решение сводится к рассмо-
трению конечной системы скалярных уравнений.

В этой главе излагается общая теория так называемых про-
екционных методов и показывается, как в эту теорию уклады-
ваются различные конкретные численные методы решения опе-
раторных, дифференциальных, интегральных и т. д. уравнений.

Пусть Е и F — банаховы пространства (комплексные или
вещественные). Рассмотрим уравнение

Lu=f,	(15.1)

где L — линейный (вообще говоря, неограниченный) оператор
с областью определения D(L)aE и областью значений R(L)czF.
Проекционный метод решения этого уравнения заключается в
следующем. Задаются две последовательности подпространств
{Еп} и {Fn};

EnczD(L)czE9 FnczF (n=l, 2, ...),

а также линейные проекционные операторы (проекторы) Рп,
проектирующие F на Fn, т. е. операторы, удовлетворяющие
условиям

PnF = Fn

(n=l, 2, ...).

Уравнение (15.1) затем заменяется приближенным

Рп f) 0 (ип Еп);

(15.2)

последние скобки означают, что решение ищется в Еп.
В случае Е = F, Еп = Fn (п = 1, 2, ...) проекционный метод
(15.2) будем называть методом Галеркина.

Опишем наиболее распространенные приемы построения под-
пространств Еп и Fn и операторов Рп.

Пусть пространства Е и F гильбертовы. Задаются две пол-
ные последовательности {cpj} и {ф;},

(pyeD(L)cz£',	(/=1,2,...)

(это так называемые координатные последовательности). При-
ближенное решение ищется в виде линейной комбинации

(15.3)
/=1

и определяется из условия ортогональности невязки Lun — f
первым п элементам второй координатной последовательности:

(Lun-f, ф^) = 0	(/= 1, ..., п).

Это приводит к линейной системе уравнений для отыскания ко-
эффициентов g/

п

5 фг) = (f, ф()	(i=l,...,n).	(15.3')

l=i

Нетрудно видеть, что условия (15.3), (15.3х) равносильны усло-
виям (15.2), в которых Еп и Fn — линейные оболочки эле-
ментов фь .. ., фп и фь ..., фп соответственно, а Рп — оператор
ортогонального проектирования на подпространство Fn (ор-
топроектор). Ортогональность проектирования Рп и является
наиболее существенным требованием. Описанный метод при-
нято называть методом Галеркина— Петрова. Заметим, что в
методе Галеркина — Петрова подпространства Еп й Fn конечно-
мерны и

£ncz£n+i, Fnc:Fn+.i (n=l,2, ...).

Иногда’под методом Галеркина — Петрова понимают проек-
ционный метод (15.2) с ортопроекторами Рп и в том случае,
когда соответствующие подпространства бесконечномерны и
когда нет указанных вложений.

При приближенном решении методом Галеркина — Петрова
конкретных уравнений координатные последовательности {фг}
и {фг} можно выбирать различными способами. Например, часто
элементы фг выбирают по элементам фг- при помощи равенств

фг = £фг (f=l, 2, . . .).

В этом случае говорят о методе наименьших квадратов.
Если гильбертовы пространства Е и F совпадают и если обе
координатные последовательности одинаковы (фг = фг), то метод
Галеркина — Петрова принято называть методом Бубнова — Га-
леркина.

Упражнение 15.1. Доказать, что элемент ип минимизирует функцио-
нал ||Lwn— f\\2 на подпространстве элементов вида (15.3) тогда и только
тогда, когда ип определен по методу наименьших квадратов.

Упражнение 15.2. Допустим, что L — самосопряженный положительно
определенный оператор в гильбертовом пространстве Я, а {ср7} — полная
ортонормированная система его собственных элементов. Показать, что в этом
случае методы Бубнова — Галеркина и наименьших квадратов совпадают
с отысканием частичных сумм разложения решения уравнения (15.1) в ряд
Фурье по системе {ср;}.

Последовательность элементов {ег} называют базисом в ба-
наховом пространстве Г, если каждый элемент х е F единствен-
ным образом представим в виде

оо

х = 2 (х)

Z = 1

Как известно (см., например,
лев [1]), коэффициенты цДх)
ными функционалами, нормы
чены. Более того, ограничены
проекционных операторов

Л. А. Люстерник и В. И. Собо-
являются линейными непрерыв-
которых в совокупности ограни-
в совокупности нормы линейных

п

РпХ = 2 (х)

1 = 1

(х е= F).

(15.4)

Каждый оператор Рп проектирует при этом на конечномерное
подпространство Fn с базисом .., еп. Описанный способ вве-
дения последовательности конечномерных подпространств Fn и
проекторов Рп может быть положен в основу построения проек-
ционного метода.

Упражнение 15.3. Пусть Fn—некоторое подпространство размер-
ности п банахова пространства F. Показать, что существует проектор Рп
(PnF=Fn), норма которого не превышает п. Говорят, что подпростран-
ство Fn банахова пространства F имеет конечный дефект и, если подпро-
странство линейных функционалов, аннулирующихся на Fn, имеет размер-
ность п. Показать, что существует проектор Рп проектирования на любое
подпространство дефекта п, норма которого не превышает п+1.

15.2.	Основная теорема сходимости. Будем говорить, что
последовательность подпространств {Еп} предельно плотна в
(банаховом) пространстве Е, если для каждого z^E выпол-
няется соотношение

р (г, Е„)О при п->оо,
где
р (г, £rt) = inf || z - zn ||.

zn^En

Теорема 15.1. Пусть область определения D(L) опера-
тора L плотна в Е, а область значений R(L) —в F, и пусть L
переводит D(L) на R(L) взаимно однозначно. Пусть подпро-
странства LEn и Fn замкнуты в F. Пусть, наконец, проекторы Рп
ограничены равномерно относительно п:

II PJK с (п=1, 2, ...).

(15.5)

Тогда для того, чтобы при любом f^F, начиная с некото-
рого п = п0, существовало единственное решение ип уравнения
(15.2) и чтобы при п~* оо невязка Lun — f по норме стремилась
к нулю, необходимо и достаточно, чтобы соблюдались следую-
щие условия'.

1)	последовательность подпространств LEn предельно плот-
на в F-,

2)	при п > По оператор Рп переводит LEn взаимно одно-
значно на Fn;

3)	х = lim хп > 0, где

П~>оо

т„ = inf || Pnzn ||.

гпе££п- II 11-1

Быстрота сходимости при соблюдении условий 1)—3) ха-
рактеризуется неравенством

р(Л L£rt)<||Aurt-/||<(l+c/Tn)p(f, LEn). (15.6)

В случае, когда подпространства Еп и Fn конечномерны и
dim£n = dimFn, условие 2) является следствием условия 3).

Доказательство теоремы 15.1. Произведя замену

*

Eu^i== Хп,

перепишем (15.2) в виде

(15.7)

Достаточность. Обозначим через Рп сужение проектора
Рп на подпространство LEn. Согласно условию 2) при /г > и0
оператор Рп переводит банахово пространство LEn взаимно од-
нозначно на банахово пространство Fn и, значит, существует
ограниченный обратный оператор Р„', переводящий Fn на LEn.
Таким образом, существует единственный элемент хп, удовле-
творяющий условиям (15.7),

Хд = Р п Pnf.
Но тогда un = L~xxn— единственный элемент, удовлетворяющий

условиям (15.2).

Далее, из условия 3) вытекает, что
из (15.5) следует, что нормы ЦРй’Рп!

P^IH 1/тЛ; отсюда и

ограничены в совокуп-

ности:

lim с/хп = с)х < оо.

П->оо

Для f <=LEn имеем Р~'Р fп = fп, поэтому

Lun-f = xn-f = p-nipnf-f = p-n'pn(f-fn)-(f-fn) (15.8)

II Ам„ - f || < (с/т„ + l)||f-f„||.

Отсюда (в силу произвольности элемента fn LEn) вытекают
сходимость к нулю невязки Lun — f и оценка (15.6).

Необходимость. Дано, что при любом f^F при и > п0
приближение хп однозначно определяется из условий (15.7) и
что ||хп — f||->0 при п->оо. Нужно показать, что имеют место
утверждения 1) — 3). Справедливость утверждений 1) и 2)
очевидна. Для установления 3) достаточно показать, что нормы
Рп = 1/тЛ (п>и0) ограничены в совокупности (оператор Рп
введен при доказательстве достаточности; ограниченность Р„1
вытекает из 2)). При имеем хп = Pn'Pnf- Таким образом,
дано, что для любого f е F справедливо соотношение

PnPnf-^f При П->ОО.

По теореме Банаха — Штейнгауза *) нормы
чены в совокупности:

ограни-

(п > По).

В частности, для fn^Fn имеем

(и

по)»

И поэтому || Рп11|^ с
Теорема доказана.

по).

В приведенной форме теорема 15.1 установлена Г. М. Вайникко. В близ-
кой ситуации она была доказана Н. И. Польским. Ранее для более частного
случая необходимость условий теоремы была отмечена М. А. Красносель-
ским.

*) Эта теорема (см. Л. А. Люстерник и В И. Соболев [1]) гласит, что
нормы сходящейся на каждом элементе банахова пространства F последо-
вательности непрерывных линейных операторов (действующих в F или в
другое банахово пространство F') ограничены в совокупности.
Подчеркнем, что в условиях теоремы 15.1 нет предположения
о разрешимости уравнения (15.1). Поэтому в общем случае не-
естественно даже ставить вопрос о сходимости приближений ип.
Однако если	и существует ограниченный обратный

оператор L-1, то из сходимости невязки Lun — f к нулю немед-
ленно вытекает сходимость приближений ип к решению уравне-
ния (15.1). Это вытекает из очевидного неравенства

Отметим, что предположение (15.5) существенно ограничи-
вает область применимости теоремы 15.1. Дело в том, что во
многих случаях даже для конечномерных подпространств Fn не
существует проекторов Рп с равномерно ограниченными нор-
мами. Например, если F — пространство С непрерывных на [0, 1]
функций, a Fn — множество алгебраических многочленов сте-
пени п, то любой проектор Рп, проектирующий С на указан-
ное подпространство, имеет норму (см. И. П. Натансон [2])

||РП|| > с In п	(c = const>0).

В связи с этим возникает необходимость рассматривать проек-
ционные методы и в случае, когда ||РП|| —* оо при п—>оо. Более
того, как это видно из дальнейшего, некоторые задачи есте-
ственным образом приводят к проекционным методам с неогра-
ниченными проекторами.

Упражнение 15.4. Пусть выполнено условие 2) теоремы 15.1, и
пусть при данном f е F

" ?п" р (f, ЬЕп) -> 0 при п -> оо
Т/г

(не исключаются случаи ||PnII ->оо, тп->0). Показать, что тогда при дан-
ном f невязка Lun — f стремится к нулю.

Упражнение 15.5. Пусть PnF=Fn, а условие Р2п*=Рп может нару-
шаться (тогда Рп не будет проектором). Показать, что теорема 15.1 остается
в силе, если условие 3) заменить следующим условием:

3') P~lPn\<c' (с, = const; п /г0).

Убедиться, что — проектор, проектирующий F на LEn.

В заключение приведем одно разочаровывающее замечание.
Проекционный метод не является итерационным в том смысле,
что отыскание каждого последующего приближения ип не ис-
пользует предыдущих приближений ult ..., ип-\. Поэтому при
практическом счете обычно отыскивается лишь одно какое-ни-
будь приближение ип<г С этой точки зрения каждая теорема
о сходимости проекционных методов может рассматриваться
лишь как некоторое «утешительное» соображение. Следует,
правда, подчеркнуть, что роль подобных утешительных сообра-
жений чрезвычайно велика: они придают вычислителю убежден-
ность в возможности проведения расчетов по той или иной
схеме. Результаты же конкретных вычислений всегда должны
подвергаться апостериорному анализу.

Были бы важны и интересны различные априорные оценки
погрешности каждого приближения. К сожалению, получение
таких оценок упирается пока в непреодолимые трудности. Мы
не будем касаться этих оценок. Отметим лишь, что первые
результаты в этой области были получены в известных иссле-
дованиях Н. Н. Боголюбова и Н. М. Крылова (см. Н. М. Кры-
лов [1]). Ряд дальнейших результатов см. в работах Н. Леман
[1], А. В. Джишкариани [2] и Г. М. Вайникко [1—3].

15.3.	Раствор подпространств гильбертова пространства.
В этом пункте будет дана другая формулировка теоремы 15.1
для метода Галеркина — Петрова, использующая понятие рас-
твора подпространств.

Пусть Н — гильбертово пространство, Hi и Н2— замкнутые
подпространства в нем, Pi и Р2— соответствующие им орто-
проекторы, Р<1) = /— Pi, Р® = 1— Р2 (I — единичный оператор).
Раствором подпространств Hi и Н2 называется (М. Г. Крейн
и М. А. Красносельский [1]) число

0(//1, Я2) = тах1 sup ||Р(2)х||, sup ||Р(1)х||1. (15.9)

I х е Яь || х Ц = 1	х е= я2, II X 11 = 1	1

Очевидно, O^0(//i, #2)^1, причем &(Н{, Н2)=0 тогда и
только тогда, когда Hi = H2. По-другому раствор можно (Б. Се-
кефальви-Надь [1]) определить так:

0(ЯЬ Я2) = ||Р1-Р2||.

(15.10)

Докажем равносильность этих двух определений. Прежде всего
определение (15.9) запишем в виде

0(ЯЬ Я2) = тах{|| Р<2>Р, ||, IIР(1)Р2||};

(15.11)

поэтому достаточно показать равносильность (15.10) и (15.11).
Поскольку

?! (?! - Р2) X = Р.Р^Х, Р^ (?! - Р2) X = - Р^Р2Х
И Pl = Р2, (Р^ = Р*\ ТО

(Р1 - Р2) X = (Р, + Р»>) (Pi - Р2) X = PiP^P^X - PWP2P2X,

откуда

|| (Pl — Р2) XII2<11 PtP™ II2II Pmx II2 + II Р^Р2 II2II Р2х II2 <

< шах {II Р,Р™ II2, II Р^Р2 II2}IIXII2	(х <= Я).
Но || PjP(2) || = || (PiP(2))* || = || P(2)Pi || (/>! и Р(2) самосопряжены,
как ортопроекторы!), и мы приходим к неравенству

IIP1 -P2||<max{||PW11|, ||Р(1)Р2||}.

Обратное неравенство проверяется проще: имеем

IIР(1)Р2 II = II (/ - Рi) Р2II = II (Р2 ~ Pi) Р2II < IIР2 - Pi II

и аналогично

IIP(2)P1 IKIIP1 - Р2Ц.

Равносильность двух определений раствора доказана.

Лемма 15.1. Пусть Gn и Нп — замкнутые подпространства
гильбертова пространства Н, a Qn и Рп — соответствующие им
ортопроекторы. Оператор Рп переводит Gn на Нп взаимно одно-
значно тогда и только тогда, когда ®(Нп, Gn)<l. При этом
числа дп = &(Нп, Gn) и хп = inf ||Pnz|| связаны соотно-
z^Gn, || г || = 1

шением

(15.12)

Доказательство. Пусть 0П<1. Покажем, что Рп пере-
водит Gn на Нп взаимно однозначно. Согласно (15.10) имеем
IIQn — Рп11 = 0п<1, поэтому оператор 1+ (0,п — Рп) переводит
пространство Н на все Н:

(I + Qn- Рп)Н = Н.

Применив к обеим частям равенства оператор Рп, получаем
PnQnH = PnH, или PnGn = Hn, т. е. Рп переводит Gn на все Нп.
Нетрудно установить и взаимную однозначность этого отобра-
жения. Действительно, если PnxQ = 0 и х0 е Оп, %о¥=О,, то прихо-
дим к противоречивой цепочке неравенств

II *0 II = II Р(Л)ХО II < 0ПII xQ II < II х0 II (Р{п} = 1-Рп)-

Итак, в одну сторону утверждение леммы доказано.

Пусть теперь, наоборот, проектор Рп переводит Gn взаимно
однозначно на Нп. Покажем, что тогда 0П<1. Сужение Рп
оператора Рп на Gn обратимо, Р~' переводит Нп на Gn, ограни-
чен и ЦРп1 II = 1/Тл (ср. с доказательством достаточности теоре-
мы 15.1). Имеем

ЦРпх|| Хп IWI (%G=Gn),

причем для любого е > 0 найдется такой элемент хг е Gn, для

которого

1|РпХ611 <(тп + е)||хе||.
Значит,

\\р(п)Х ||2 = ||х||2_

II P<n)xJI>[l - (т„ + е)]2||х£||2,

(х е Gn),

т. е.

sup ||Р(п)х||2= 1 -т2
хе<3„, || х ||=1

(15.13)

Сопряженным к действующему из гильбертова простран-
ства Gn в гильбертово пространство Нп оператору Рп является
Qn — сужение проектора Qn на Нп. Действительно, для любых
х е Gn, у Нп имеем

(Pnx,	у) Рп.у) (^> //) у)

п

(х, Qny) ~ (я> Qny}G •

Следовательно, вместе с Рп обратим и сопряженный к нему опе-
ратор Qn И

Последнее равенство можно записать так:
inf ||Q„z|| = rn.
||z|| = l
I V

Рассуждая точно так же (поменяв лишь местами 0п и Нп).
приходим к аналогичному (15.13) равенству

sup II Q(ZI)2||2= 1 -т2

II г || = 1

(QW=/-QJ

Совместно с (15.13) это дает

Одновременно установлено равенство (15.12).

Лемма доказана.

Упражнение 15.6. Пусть 0(Gn,7fn) = 1. Показать, что тогда либо
PnGn Нпу либо Qn//n =И= Gn-

Упражнение 15.7. Пусть в одном из подпространств Gn и Нп най-
дется ненулевой элемент, ортогональный второму подпространству. Показать,
что тогда 0(6П, Нп) = 1. Обратное утверждение неверно. Построить соответ-
ствующий пример.

Вернемся к уравнению (15.1) и проекционному методу (15.2)
его решения. Будем теперь считать, что пространство F=H
(куда действует оператор L) гильбертово и что Рп (п=1, 2,...)
проектируют в подпространства Fn = Hn ортогонально. Учиты-
вая лемму 15.1, можем следующим образом переформулировать
теорему 15.1.
Теорема 15.2. Пусть область определения D(L) опера-
тора L плотна в банаховом пространстве Е, а область значений
R(L)-e гильбертовом пространстве Н. Пусть подпростран-
ства LEn и Нп замкнуты в Н, a Qn и Рп — соответствующие им
ортопроекторы.

Тогда для того, чтобы при любом f^H, начиная с некото-
рого п = п0, существовал единственный удовлетворяющий усло-
виям (15.2) элемент ип и чтобы при п—*оо невязка Lun — f по
норме стремилась к нулю, необходимо и достаточно, чтобы вы-
полнялись следующие условия'.

1)	Qnf->f по норме при п->оо для любого

2)	ЙЫ ®(LEn, Нп)<1.

П->оо

Быстрота сходимости при соблюдении этих условий харак-
теризуется неравенствами

II Q	II < II Lun - f II <	|| Q II. (15.14)

Vi-e„2

где Qw = I-Qn, Qn = &(LEn, Hn).

В доказательстве нуждается лишь оценка (15.14), не являю-
щаяся следствием более грубой оценки (15.6). Возьмем в ос-
нову равенство (15.8), в котором положим fn = Qnf-

Lun — f = P~nPnQMf - QMf.

Элементы PnPnQ^f e LEn и Q(n>f e H QLEn ортогональны,

поэтому

HLm„- f||2 =

P nPnQMf F + II Q<n)f f < fЦ- II PnQw II2 + 11II Q(n)f Г,

I T„	/

\ n	/

а так как ||PnQp) 11 = 11 Q(n)Pn||(cp. (15.11)) и ^=1—02
(см. (15.12)), to отсюда вытекает оценка (15.14).

Отметим, что условие 2) теоремы 15.2 выполняется тривиаль-
но в случае метода наименьших квадратов, ибо тогда Hn = LEn
и 0(L£n, Нп) =0 (и=1,2,...).

Упражнение 15.8. Пусть пространства Е и Н оба гильбертовы, а
оператор L непрерывен и непрерывно обратим (L переводит Е на Н). Пусть
последовательность подпространств {Еп} предельно плотна в Е. Показать,
что тогда следующие два условия эквивалентны:

а) ШЙ 0 (LEn, Нп) < 1; б) ЙЫ 0 (Еп, L*Hn) < 1.

П-»оо

Упражнение 15.9. Из условий 1) и 2) теоремы 15,2 не следует, что
Pnf->f при п-> оодля любого f^H. Убедиться в этом на примере: LEn и
Нп — линейные оболочки элементов фь фг, ...» Фп и ф1 + фп-м, фг, ..., фп
соответственно, где {фг} — полная ортонормальная система в Н.

В этом примере существенна невложенность подпространств Нц.
Упражнение 15.10. Пусть {%/} и {ф^}— две системы элементов в Н,
a LEn и Нп — линейные оболочки элементов %i, ..., и фь .... фп соот-
ветственно. Показать, что в этом случае из условий 1) и 2) теоремы 15.2
следует Рnf -> f (f^H).

Упражнение 15.11. Пусть {х/} и {yi} — полные биортогональные си-
стемы в Н. Показать, что они образуют базисы Н тогда и только тогда,
когда lim 0(ОП, Ял)<1, где Gn и Нп—линейные оболочки элементов

Xi, ..., хп и уъ ..., уп соответственно.

Из леммы 15.1 вытекает, в частности, что размерности подпространств
Н\ и Н^ гильбертова пространства Н одинаковы, если 0(Яь Яг)<1. Понятие
раствора обобщается (М. Г. Крейн, М. А. Красносельский, Д. П. Мильман
[1]) на подпространства Е\ и Е2 банахова пространства Е. При этом фор-
мула (15.9) заменяется аналогичным равенством

0 (£b £2) = max [ sup р (х, Е2), sup р (х, £1)],
Et, || х || = 1	х е Е2, II х || = 1	-1

где, как обычно,

р(х,£,) = inf || х- z||	(/=1,2).

z^E,

►

Известно, что в случае банахова пространства Е размерности Е\ и В2 совпа-
дают, если 0(£ь Е2) <V2. Неизвестно, сохраняет ли это утверждение силу,
если 0(£"i, Е2) <1.

15.4.	Метод Галеркина для уравнений второго рода. Иссле-
дование проекционных методов приближенного решения линей-
ного уравнения удается, как правило, свести к изучению неко-
торого другого проекционного метода приближенного решения
уравнения второго рода

x = Tx + f,	(15.15)

где Т — линейный непрерывный оператор в некотором банахо-
вом пространстве Е.

Специальная форма уравнения (15.15) позволяет формули-
ровать простые признаки сходимости проекционных методов
даже для тех случаев, когда проекторы Рп не ограничены.

Пусть {£п} — последовательность замкнутых подпространств
пространства Е, и пусть при каждом п задан линейный (вообще
говоря, неограниченный) проектор Рп, проектирующий свою об-
ласть определения D (Рп)<^ Е на Еп (Еп <= D (Рп))- Всюду в даль-
нейшем будем считать, что f^D(Pn) и ТЕ cz D(Pn) ; тогда
решения уравнения (15.15), если они существуют, также при-
надлежат D(Pn). Предполагается, что каждый оператор РпТ
ограничен в Е.

Так как РпХп=хп для хп^Еп, то метод Галеркина

Рп (Хп — Txn—f) =0

приводит к следующему уравнению в Е:

(15Д6)
условие хп е Еп в (15.16) становится лишним, ибо решения урав-
нения (15.16), если они существуют, непременно принадле-
жат Еп.

Ниже используется, как обычно, обозначение I — Рп,
где I — единичный оператор.

Теорема 15.3. Пусть оператор I — Т непрерывно обратим,
и пусть |P^TW —>0 при п~* оо.

Тогда при достаточно больших п уравнение (15.16) имеет
единственное решение хп. Последовательность хп тогда и только
тогда стремится к решению х0 уравнения (15.15), когда P<ntf —> 0
при п оо. Справедлива оценка

Cil|P(n)XolKI|x„-XolKc2||P(n)Xoll (сь с2 = const>0), (15.17)
а при условии ограниченности проекторов Рп — оценка

II Хп - х0 IK с II Рп II р (х0, £„) (c = const), (15.18)
где

р(г, Еп)= inf ||z-zn||.

zn^En

При доказательстве этой теоремы, а также неоднократно в
дальнейшем будем пользоваться следующим простым утвержде-
нием, доказательство которого предоставляем читателю.

Лемма 15.2. Пусть А и В — линейные ограниченные опера-
торы в банаховом пространстве F, причем оператор А обратим
и ||В|| • ПЛ’1!! < 1. Тогда оператор А+В тоже обратим и

||(л + в) 1_Д.||||Л-1Г

Доказательство теоремы 15.3. При достаточно боль-
ших п (пусть это будет при п > п0) имеем || Р(Л)Т || • ||(/— Г)"1 II
^7<1, поэтому операторы I — РпТ обратимы при и > и0 и

(Z-P„T)-I||<^r^- = c2 (n>n0).	(15.19)

ч

Нами доказано, что при п nQ уравнение (15.16) однознач-
но разрешимо. Решение xQ уравнения (15.15) и решение хп урав-
нения (15.16) связаны очевидным равенством

(I — PnT)(xQ —хп) = P(n}xQ.

Отсюда вытекают оценки (15.17), если принять во внимание
(15.19) и аналогичные неравенства для самих операторов
I__р т-

Н/ — Р„Т||< l/ci (ci = const; n^nQ).
§ 15]

Поскольку P^Xo—P^Txo+P^f, а по условию теоремы
\\P{n)TxQ\\^\\P^T\\-\\xQ\\^0 при п->оо,

то P^Xq —> 0 тогда и только тогда, когда P^f —► 0. Отсюда и из
оценки (15.17) вытекает утверждение теоремы о стремлении
Хп К Xq,

Наконец, оценка (15.18) является следствием оценки (15.17).
Действительно, P^zn = 0 для zn^En, и для любого z<=E имеем

II P^z II = II(Z - 2„) II < (14- II Р„ II) IIZ - zn II,
откуда (ввиду произвольности zn s£„)

|| P^z II < (1 + II Рп II) Р (г, £rt) < 2IIР JI р (г, £„).	(15.20)

Оценив согласно (15.20) норму ||P(n)Xoll, получаем из (15.17) не-
равенство (15.18).

Теорема доказана.

Упражнение 15.12. Доказать, что оценки (15.17) и (15.18) остаются
в силе и в случае, когда нормы операторов Р^Т не стремятся к нулю, но
при п по

||Р(я)7'11-II (/—Г)-1||<?<1.

(Сходимость xn->xQ теперь уже не будет равносильной сходимости P<n>f->0.)

Упражнение 15.13. Пусть выполнены условия теоремы 15.3, и пусть,
кроме того, ||ГР(П>||-> 0 при п->оо. Доказать, что тогда справедлива более
точная, чем (15.17), оценка

(1 - 8„) II Р^х0 II < II хп - х0|| < (1 4- ея) || р(”'хо II,
где еп ->0 при n->oo. (Н. Н. Боголюбов, Н. И. Польский).

Упражнение 15.14. Пусть выполнены условия теоремы 15.3, подпро-
странства Еп конечномерны. Пусть В — линейный неограниченный оператор
из Е в некоторое банахово пространство Е' такой, что xo^D(B), En^D(B)
(n=l, 2, ...). Показать, что для сходимости \\В (хп — *о) II -> 0 достаточно,
чтобы выполнялось любое из следующих условий:

а)	II ВРпТ II • II pmXo II + II BPWx0 II -> 0;

б)	II Р(л) хо II + II ВР^ха || -> 0,

где Р„= sup || Вх ||;

х^Еп, II х || = 1

В) I BQn II • 1|Р(л)Хо || + II BQ^xq II ->0,
где Q(n) = /-Qn, Qn — любой проектор, проектирующий на Еп.

Какова быстрота сходимости в каждом из этих трех случаев?

15.5.	Некоторые дополнения к теореме 15.3. Чтобы облегчить
пользование теоремой 15.3, укажем несколько достаточных ус-
ловий для выполнения соотношения ||ЯП)7|| —► 0.

Лемма 15.3. Пусть для любого х Е выполняются нера-
венства

р(Тх, Ея)<ть1И1 (п=1, 2,	(15.21)

(т]п — постоянная, зависящая от п),
Тогда, если операторы Рп ограничены в Е и
HPnlhn-^0 при П-+ОО,

то |||| -> 0 при п-> оо.

Действительно, в силу неравенств (15.20) и (15.21)

|| Р^Тх || < 21| Рп || р (Тх, Еп) < 21| Рп || || х || (хе £).

Лемма 15.4. Пусть оператор Т вполне непрерывен в Е, а
проекторы Рп ограничены в Е и Рп —> I сильно, т. е. для лю-
бого х е Е

II Рпх — X ||-> 0 при п->оо.

Тогда ||ЯП>Г|| —> 0 при п —► оо.

Для доказательства достаточно заметить, что любая сильно
сходящаяся последовательность непрерывных операторов на ка-
ждом компакте сходится равномерно. Детали предоставляются
читателю.

Упражнение 15.15. В условиях леммы 15.4 не обязательно ||ГР(П)||-> 0
при м —> оо. Обсудить пример: Е — пространство суммируемых на [0,1]
функций,

I

II х || = | | х (s) | ds,

о

Еп — подпространство функций, обращающихся в нуль при 0^/^1/и,

( 0
Pnx(t)=\

I х (/)
1

Тх = f (х) Хо, где f (х) = J х (s) ds,
о

при
при

1/п,

1/п <	1,

а х0 (0 ~ фиксированная функция из Е.

Аналогично лемме 15.4 доказывается более общее утвер-
ждение.

Лемма 15.5. Пусть банахово пространство Е' непрерывно
вложено в Е, т. е,

Е'аЕ, ||<<с||х||£,	(х<=Е').

Пусть Т вполне непрерывен, как оператор из Е в Е', а проек-
торы Рп ограничены, как операторы из Е' в Е, причем Рп-+ Р
сильно, где Р — оператор вложения пространства Е' в простран-
ство Е.

Тогда ||Р<7г>Т||	0 при п~* оо.

Пусть последовательность ограниченных проекторов Рп схо-
дится к единичному оператору / сильно. В упражнении 15.15
было замечено, что для вполне непрерывных операторов Т со-
отношение ||ТР(П>|| -> 0 не всегда справедливо. Однако если
проекторы построены по базису {е&} по формулам, аналогичным
(15.4), и если пространство Е рефлексивно, то соотношение
||ТР(П)|| —> 0 верно. Действительно, в этом случае сопряженные
операторы Рп сильно сходятся к единичному в пространстве £*,
в котором вполне непрерывен оператор Г*; в силу леммы 15.4

0 при оо,

и наше утверждение вытекает из равенства

РпТ* - / II = II ТРп - Т ||.

Упражнение 15.16. Пусть Рп — последовательность проекторов (15.4)
в пространстве Е, сопряженное к которому несепарабельно. Построить такой
линейный вполне непрерывный оператор 7, что ||ТР(n)|| > 1 (л=1, 2, ...).

Сделаем еще одно важное замечание о приближенном реше-
нии уравнения (15.15) с вполне непрерывным оператором Т,

Оценка (15.17) означает, что метод Галеркина сходится тем
«лучше», чем быстрее стремится к нулю числовая последова-
тельность ||Р<”)х011 • В связи с этим возникает естественное жела-
ние преобразовать до применения метода Галеркина изучаемое
уравнение (15.15) к виду

y = Tiy+fi

(15.22)

так, чтобы для решения yQ нового уравнения числовая последо-
вательность ||P(n)r/oll стремилась к нулю существенно быстрее,
чем последовательность ||Р<п)х0|| • Во многих случаях это удается
сделать следующим простым способом. Решение уравнения
(15.15) ищут в виде

x = y + f + Tf+ ... + Г'"-1/

Тогда у определяется из уравнения
У = Ту + Tmf,

(15.23)

(15.24)

решение уо которого связано с решением х0 уравнения (15.15)
соотношением

Уо = Ттх0.

(15.25)

Переход к уравнению (15.24) целесообразен, если из каких-ни-
будь соображений известно, что последовательность IIP^T^Xoll
стремится к нулю быстрее, чем последовательность ||Р(п)х0||.

Упражнение 15.17. Пусть ||Р(Л)Г|| = о(||Р(п711). Показать, что тогда
при любом т (/и > 1)

\\р(^Ттх0 1Но(||Р<я)х0 || ).

15.6.	Переход к уравнению второго рода. Проекционный ме-
тод (15.2) можно применить к уравнению (15.1) и в том слу-
чае, когда проекторы Рп не ограничены (естественно, при условии,
что LEncz D(Pn) и f eD(Pn)). Рассмотрим здесь случай, когда
уравнение (15.1) имеет вид

Lu = Au — Кщ = f.	(15.26)

Уравнение (15.2) проекционного метода тогда запишется в
форме

Рп (Аип - Кип -f) = 0 (ипс= Еп). (15.27)

Будем считать, что оператор А имеет на всем F непрерывный
обратный и что D(A)cz D (K). Тогда в уравнении (15.26) можно
произвести замену

х = Аи.	(15.28)

Для определения х мы получим уравнение в F:

x = KA~'x + f.	(15.29)

Уравнения (15.27) примут вид

Рп (хп - КА-'хп - f) = 0	(хпе<).	(15.30)

Предположим теперь, что подпространства Еп и Fn связаны
соотношением

Fn = AEn (n= 1, 2, ...).	(15.31)

Тогда уравнения (15.30) упростятся и примут вид

хп = Р„КА~'хп + Р nf.	(15.32)

К этому уравнению уже можно применить теорему 15.3. Из нее
немедленно вытекает

Теорема 15.4. Пусть оператор К Л"1 непрерывен, оператор
L=A—К непрерывно обратим и ||Р(п)/СЛ”1||->0 при п-+оо.
Пусть подпространства Еп и Fn связаны равенствами (15.31).

Тогда при достаточно больших п существует единственное
решение ип уравнения (15.27). Последовательность Аип сходится
к Ащ (и0 — решение уравнения (15.26)) тогда и только тогда,
когда PWf —*0 при п-+ оо. Справедлива оценка

С11| Р(п)Аи01| < || А (ип - и0) || < с21| P^Auq ||.	(15.33)

Напомним, что условие || P{n}RA 11|->0 теоремы 15.4 авто-

матически выполнено, если Рп-+1 сильно и оператор КА~Х
вполне непрерывен в F.

Отметим, что в приложении к конкретным методам обычно
удобнее пользоваться не теоремой 15.4, а теоремой 15.3, про-
водя каждый раз замену переменных по указанной выше схеме.
Из (15.33) вытекает, что || ип — uQ ||^с2М ' II • 1|Р(п)Ли0||. Эта
оценка может оказаться весьма грубой.

Упражнение 15.18. Пусть проекторы Рп ограничены, и пусть выпол-
нены условия теоремы 15.4. Пусть В — линейный оператор из Е в банахово
пространство Е', причем En^D(B) (н=1, 2, ...) и ВА~1 ограничен. Пока-
зать, что для решений uq и ип уравнений (15.26) и (15.27) справедлива
оценка

II в (ип - и0) II < || ВГ'Р(п)Аи01| + e„ II BL~гР(п) || • || Р<n)AuQ || <

< (1 + е„) || BL~*PM || • || РмАи01|.	(15.34)

где

ert = с2 II Р^КА"1 ||-> 0 при п -> оо.	(15.35)

Упражнение 15.19. Пусть А"1 непрерывен на F. Пусть D(B)zdD(A)
и сужение оператора В на D(А) допускает замыкание (например, В замкнут).
Показать, что оператор ВА-1 непрерывен.

15.7.	Метод коллокации*). Приведем пример применения
теоремы 15.3 к анализу одного конкретного приближенного ме-
тода решения краевых задач для обыкновенных дифференци-
альных уравнений. Рассмотрим линейное дифференциальное
уравнение

т—1

Lu =	- 2 Pk(t) и(к) = f(t)	(15.36)

&=0

при линейных однородных краевых условиях

т— 1

2	(а) + Pu «(й) W] = 0

Л=0

(4=1,

tn). (15.37)

Пусть однородное уравнение = 0 имеет при краевых ус-
ловиях (15.37) только тривиальное решение и(/)=0. Тогда, как
легко видеть, существует последовательность многочленов

т— 1

(0 = 2 cJktk+tm+i (/ = 0,1,2,...)
k=Q

степени m, m+1, m + 2, ..., удовлетворяющих краевым условиям
(15.37). Приближенное решение краевой задачи (15.36) — (15.37)
будем искать в виде

п



(0=2^фу(/).

/=0

(15.38)

*) Метод коллокации (или метод совпадения) был предложен Л. В. Кан-
торовичем для приближенного решения интегральных и дифференциальных
уравнений. Им же проводилось исследование случая, когда координатная
последовательность состоит из тригонометрических функций. Случай алге-
браических многочленов исследован в работах Э. Б. Карпиловской [1, 2] (см.
также Л. В. Канторович и Г. П Акилов [1]), О. Киша [1, 2], Г. М. Вай-
никко [6, 9]). И. Петерсен [1] рассмотрел различные видоизменения метода
коллокации.
Метод коллокации заключается в том, что коэффициенты gj оп-
ределяются из условия обращения в нуль невязки Lun — f в
фиксированных п+1 точках tQn, t\n, .. ., tnn (которые называют
узлами интерполяции), т. е. из уравнений

/72 — 1

(tln) - 2 Pk (tin) - f (tin) = 0 (г = 0, ...» n). (15.39)
я = 0

Иначе говоря, для нахождения коэффициентов gj нужно решить
систему уравнений

П Г	/72 — 1

2(<₽;•'('<«)- 2 р.Ш’ЦИШ <г-°........................»)• (15-4°)

Для того чтобы найти решение u(t) задачи (15.36) — (15.37),
можно вначале искать его производную x(t)=u^(t). После
этого u(t) определится формулой
ь

u(t)= J G (f, s)x(s)ds,	(15.41)

а

где G(/, s)—функция Грина дифференциального оператора
Аи = и^ при краевых условиях (15.37). Для определения функ-
ции x(t) мы получим, очевидно, уравнение

x = Tx + f	(15.42)

с интегральным оператором
ь
Тх= Kit, s)xis)ds,
а
где
/72—1

жа s>= S pi ® д1°э!г- •

Легко видеть, что уравнение (15.42) полностью эквивалентно
краевой задаче (15.36) — (15.37).

Отыскание приближенного решения un{t) задачи (15.36) —
(15.37) в виде (15.38) равносильно отысканию приближенного
решения xn(t) уравнения (15.42) в виде
п

хп (0 = 2 ф/"> (t).

Уравнения (15.39) метода коллокации для определения коэффи-
циентов gj можно записать в виде

РпТхп + Pnf,	(15.43)
где Рп — проектор, ставящий каждой непрерывной функции в
соответствие ее интерполяционный многочлен степени п по уз-
лам /on, Лп» •••, tnn. Действительно, Pnz = 0 для любой такой
функции z(7), что z(tin) = O (i = 0, ..., п); поэтому условия
(15.39) означают, что Рп(хп — Тхп — f) = 0. Но хп =	— мно-

гочлен степени п, значит, Рпхп=хп, и мы приходим к уравне-
нию (15.43).

Сходимость или расходимость метода коллокации суще-
ственно зависит от выбора узлов интерполяции. В дальнейшем
будем считать, что узлы интерполяции — корни некоторых орто-
гональных многочленов. Более точно, пусть на отрезке [а, Ь] за-
дана такая неотрицательная суммируемая функция р(/), что

ь

а

и пусть (Dn(0 (n=0, 1, 2, ...) —система многочленов, получен-
ная ортогонализацией по скалярному произведению

ь
I*
(х, у) = р (з) х (з) у (s) ds

а

последовательности 1, /, /2, ... В качестве узлов интерполяции
tOn, t\n, .tnn выберем корни многочлена (on+i (/); известно
(см. Г. Сеге [1], стр. 57), что все эти корни простые и принад-
лежат [а, Ь].

В практических вычислениях обычно пользуются чебышев-
скими узлами. В случае, когда а= — 1, 6=1, чебышевские узлы
даются формулой

tin COS

(/ 0, 1, . . ., /1),

они соответствуют весовой функции р (/) = —. (Ниже, при
У 1 — I2

теоретическом исследовании сходимости метода коллокации, бу-
дем р(/) считать произвольной).

В нашем распоряжении выбор основного пространства £, в
котором будем рассматривать уравнения (15.42) и (15.43).
Сформулируем результат, который получается, если выбрать в
качестве Е пространство £2, р квадратично-суммируемых с ве-
сом р(/) функций x(t) с нормой

2

L

2» р

р (s) I X (s) I2 ds,
Теорема 15.5. Пусть коэффициенты pj(t) (/ = 0,	m—1)

и свободный член f(t) уравнения (15.36) непрерывны на [а, 6], и
пусть краевая задача (15.36) — (15.37) имеет единственное ре-
шение uQ(t). Тогда при достаточно больших п система уравнений
(15.40) однозначно разрешима, и последовательности приближе-
ний un(t) и их производных до порядка m — 1 включительно
стремятся при п—*оо равномерно к решению u0(t) и его произ-
водным соответствующего порядка, а последовательность и{™} (/)
стремится к и^ (t) среднеквадратичное весом р(/). Справед-

ливы оценки

< cen («Г)’

(15.44)

max | ««> (/) -	(/) | < cen (u(om>)

a C t b

(k = 0, ...» tn- 1), (15.45)

где

en (z) = min max
Vo,

n

/=0

— наилучшее равномерное приближение функции z(t) много-
членами степени и.

Доказательство. Нетрудно видеть, что Т вполне непре-
рывен как оператор из £2, в С, а тем более как оператор
в £2, р. С другой стороны, по теореме Эрдеша — Турана (см.
И. П. Натансон [2]) интерполяционный многочлен Лагранжа лю-
бой непрерывной функции, построенный по рассматриваемым
нами узлам, среднеквадратично с весом р(/) стремится к при-
ближаемой функции. Другими словами, Рп—>Р сильно, где
Р — оператор вложения С в £2, р. По лемме 15.5 (£ = £2, р, Е' = С)
имеем || Р{п}Т ||, ->0при и->оо. Далее, оператор /—Т непре-

Ь2, р

рывно обратим в £2, р, ибо однородное уравнение х = Тх имеет
лишь нулевое решение по условию теоремы об однозначной раз-
решимости краевой задачи (15.36) — (15.37).

Согласно теореме 15.3 уравнение (15.43) имеет при доста-
точно больших п единственное решение хп, а это равносильно
однозначной разрешимости системы уравнений (15.40) метода
коллокации. Преобразуем оценку (15.17). Для любого много-
члена zn степени п имеем

II Р(п}хй ||£ = || (х0 - гп) - Рп (х0 ~ 2п) ||д <||х0-zn\\L +

Ь2, р	2,р	ь2, р
Поскольку Рп~^Р сильно, то нормы ||Pn|L г ограничены
в совокупности. Ввиду произвольности многочлена zn имеем

II Рмх0 II, < С еп (х0) (с = const).

2, р

Теперь, приняв во внимание, что xn = ujp), xQ = u^\ полу-
чаем из (15.17) оценку (15.44); оценки (15.45) являются след-
ствием из (15.44). Наконец, утверждение теоремы о сходимости
приближений un(t) и их производных вытекает из оценок (15.44)
и (15.45), ибо en(z) —>0 для любой непрерывной функции z(t).

Теорема доказана.

Отметим, что проекторы Рп неограничены в L2, р.

Упражнение 15.20. Показать, что проекторы Рп незамкнуты в Ег, р
и не допускают замыкания.

Если рассматривать уравнения (15.42) и (15.43) в С, то
проекторы Рп будут ограниченными, однако ЦРпНс-x» при
м-> оо не медленнее, чем Inn (см. п. 15.2). В случае чебышев-
ских узлов этот наиболее медленный рост норм ||Рп||с дости-
гается (см. И. П. Натансон [2]):

l|PJIc<Ci + c2lnn (п = 1, 2, ...).	(15.46)

Упражнение 15.21. Пусть

/1 А ( 1 \	/1	\	( 1 \	,, п

° "“’>/ = ° Н--Ь ° ~; Рь = ° 1—	(« = о, ..т — 1

\п }	\1п/г/ \п	\1пп/

где

®(/г;г)=	sup	| z (^) — г (/2) I

Л, t2 е [-1, 1]. |Л-/2|</1

— модуль непрерывности функции z(t). Доказать равномерную сходимость
M(w) (/) к и(т) (?)

в случае чебышевских узлов.

Указание. Воспользоваться леммой 15.3 (Е=С), оценкой (15.46) и
неравенством (см. И. П. Натансон [2})

^п(^Хссо(1/п; z) (n=l,2, ...),
где постоянная с не зависит от функции z(t).

15.8.	О факторметоде. Проекционные методы приближенного
решения уравнений основываются, как нам уже известно, на
переходе от данного уравнения к уравнению в подпространстве.
Факторметоды основываются на аналогичной идее — от данного
уравнения переходят к уравнению в факторпространстве.

Напомним некоторые понятия, связанные с факторпростран-
ствами. Пусть F'— замкнутое подпространство банахова про-
странства F. Элементами факторпространства F/F' являются
классы смежности x=x + F' (xeF). Оператор рх = х называется
каноническим отображением F в FIF'. Если введем норму

II % ll/’/f' inf II % 11/7 >

X е X

то F/F' будет банаховым пространством (причем ||р|| = 1).
В дальнейшем будем всюду считать,. что факторпространства
нормируются указанным образом.

Рассмотрим снова уравнение (15.1). Напомним, что опера-
тор L в уравнении (15.1) действует из банахова пространства Е
в банахово пространство F\ будем предполагать, что он обратим
на R(L). Факторметод решения уравнения (15.1) заключается в
следующем. Задаются две последовательности замкнутых под-
пространств

£Wc£, F^czF (п = 1,2, ...),

и (15.1) заменяется уравнениями в факторпространствах:

Lnun = pnf.	(15.47)

Здесь Ln — некоторый линейный оператор из факторпростран-
ства Е/Е^ в факторпространство F/F(n\ а рп — каноническое
отображение F в FIF^n\ Каноническое отображение Е в Е/Е^
обозначим через гп.	_

Близость операторов L и Ln естественно характеризовать ма-
лостью норм || pnLu — LnT^u ||F/F(n) (и е D (Л)). Говорят, что опера-
торы Ln (и=1,2, . . .) аппроксимируют оператор L на £)(L),
если для каждого фиксированного u^D(L) выполнено условие
аппроксимации

\\pnLu-Lnrnu\\FIF(n)^G при п->оо.	(А)

Второй важной характеристикой факторметода (15.47) является
его устойчивость или неустойчивость. Факторметод (15.47) назы-
вается устойчивым, если при достаточно больших п (при п^ nQ}
операторы Ln непрерывно обратимы и нормы обратных операто-
ров ограничены в совокупности:

(В)

Наконец, говорят, что факторметод сходится при данном
f е R(E), если

II un-rnuQ\\E/E(n)->0 при n->oo,	(Q

где йп и Uq — решения уравнений (15.47) и (15.1) соответственно.

Факторметод является абстрактным аналогом конечноразно-
стных методов. Аналогично теории конечноразностных методов
имеет место
Теорема 15.6. Пусть f^R(L) и для	выполнено

условие (А).

Тогда (В) влечет за собой (С).

Доказательство тривиально и основывается на очевидном
равенстве

п п U п \~ п 0 П П V/

Теорема 15.6 допускает обращение в следующей форме.

Теорема 15.7. Пусть R(L)=F. Пусть операторы Ln (п —
= 1,2, ...) ограничены, и пусть (С) имеет место при любом
f^F.

Тогда выполнено условие (В).

Доказательство см. в работе Н. Н. Гудовича [1] или в моно-
графии С. Г.’Крейна [1]. В последней монографии приводится
также приложение теорем 15.6 и 15.7 к исследованию прибли-
женного решения эволюционных уравнений в банаховых про-
странствах.

Н. Н. Гудович заметил, что проекционные методы естествен-
ным образом вкладываются в схему факторметода. Поясним это
на примере проекционного метода (15.2) приближенного реше-
ния уравнения (15.1). Будем считать, что подпространства

£пс=£(£)с=£л FnczF (п=1, 2,...)

конечномерны. Наряду с проекторами Рп (PnF = Fn) введем в
рассмотрение некоторые проекторы /?п, проектирующие Е на Еп.
По ограниченным проекторам Rn и Рп построим факторпро-
странства Е/Е^ и F/F(n\ где

£(n) =	рЫ) = р^р = I-Rnf Р^ = I - Рп).

Нетрудно видеть, что проекционный метод (15.2) равносилен
факторметоду (15.47), в котором рп— каноническое отображе-
ние F в F/F(n\ a

Еп = РпЕФп,

где оператор Фп: £/£<п)-> Еп ставит каждому классу х = х + £(п)
в соответствие элемент Rnx. Решения уравнения (15.2) и (15.47)
связаны равенством

= Фи ип.

Упражнение 15.22. Пусть гп — каноническое отображение Е в E/EW
(£(«) = RWE), а Фп — определенный только что оператор. Показать, что

и ммм-

ф;' II < ь
§ 16.	Методы Бубнова—Галеркина и Галеркина — Петрова

16.1.	Сходимость метода Бубнова—Галеркина для уравне-
ний второго рода. Рассмотрим уравнение

x=Tx + f,	(16.1)

где Т — линейный вполне непрерывный оператор в гильбертовом
пространстве Н. Пусть {/7П} — предельно плотная в Н (см.
п. 15.2) последовательность замкнутых подпространств, а Рп —
соответствующие Нп ортопроекторы (предельная плотность {Нп}
в Н означает в данном случае, что Рп->1 сильно). Метод Буб-
нова — Галеркина

приводит к уравнению

xn = PnTxn + Pnf.	(16.2)

По лемме 15.4 ||Р<П>Г||—>0 при п->оо, где Р<п>> = 1— Рп. Пусть
однородное уравнение х = Тх имеет только нулевое решение.
Тогда оператор /—Т непрерывно обратим, и в силу теоре-
мы 15.3 уравнение (16.2) имеет при достаточно больших п един-
ственное решение хп, хп->х0 при п^оо, где х0 — решение урав-
нения (16.1). Предоставляем читателю установить оценку

II Р(п)*о II < II Хп - х0 II < (1 + е„) || Р^х0 II,

где = ||PW* 11-11(7-РпТ) ||->0 при п->оо.

Так же, как и в п. 15.6, можно этот результат с помощью за-
мены искомого элемента перенести на более общие уравнения.

В п. 16.3 указан другой путь обобщений, основанный на вве-
дении новых функциональных пространств.

16.2.	Необходимые и достаточные условия сходимости мето-
да Галеркина—Петрова для уравнений второго рода. Будем
теперь решать уравнение (16.1) методом Галеркина — Петрова.
Пусть {Gn} и {Нп} — две последовательности замкнутых подпро-
странств Н, a Qn и Рп — соответствующие им ортопроекторы
(Qn// = Gn, РпН=Нп). Приближенное решение ищется из
условий

Рп (хп - Тхп -f)=0	(xnc=Gn).	(16.3)

Теорема 15.2 дает необходимые и достаточные условия сходи-
мости метода Галеркина — Петрова (16.3), выраженные в свой-
ствах подпространств (/ — T)Gn и Нп. Ниже будут указаны бо-
лее удобные для приложений условия, выраженные в свойствах
подпространств Gn и Нп.
Теорема 16.1. Пусть оператор Т вполне непрерывен и одно-
родное уравнение х=Тх имеет лишь нулевое решение.

Тогда для того, чтобы при любом существовал, начиная
с некоторого п = по, единственный удовлетворяющий уравнению
Галеркина — Петрова (16.3) элемент хп и чтобы при п-^оо по-
следовательность хп по норме стремилась к решению х0 уравне-
ния (16.1), необходимо и достаточно, чтобы соблюдались сле-
дующие условия:

1)	О.п-^1 сильно;

2)	iiS 0(G„, Я„)<1,
ft -> оо

где @(Gn,Hn)— раствор подпространств Gn и Нп.

Быстрота сходимости при соблюдении этих условий характе-
ризуется неравенством

II Q(^0||<||xn-XoIKdl Q(rt)*oll (c = const; Q<") = Z-Qn). (16.4)

Доказательство достаточности. Пусть выполнены
условия 1) и 2). В силу условия 2) при достаточно больших п
имеем 0(Gn, Hn)^q, O^q < 1. При тех же п, согласно лем-
ме 15.1, оператор Рп переводит Gn взаимно однозначно на Нп и

|р"11| =_	*	<____ *_

1 " 11 /1-[©(о„,ад	Ki-?2 ’

где Рп — сужение оператора Рп на подпространство Gn.

Метод Галеркина — Петрова (16.3) равносилен методу Га-
леркина

Рп (%п Т%п f) = 0 (хп g= Gn),
где Рл = РпРп — проектор, проектирующий Н на Gn (Рп проек-
тирует неортогонально, если Gn^=Hn). Последние условия в свою
очередь можно записать в виде уравнения

Для метода Галеркина (16.5) выполнены условия_теоремы 15.3.
Действительно, нужно проверить лишь, что \\Р^Т | -> 0 при
п->оо (р(п) = / — рп). Для любого z^H имеем

IP{n}zII = II(/ -Р~М (Z - Qnz)||<(1 + у=)II Qw? II. (16.6)

откуда на основе условия 1) заключаем, что Рп~^1 сильно. Но
тогда по лемме 15.4 и получаем нужное соотношение ||р(п>Т|| ->0.

Согласно теореме 15.3 уравнение (16.5) однозначно разре-
шимо при достаточно больших п. Оценка (15.17), которая в дан-
ном случае имеет вид

II Хп - Хй II < С2II Р^Хо II,
преобразуется с помощью неравенства (16.6) к виду (16.4). Схо-
димость хпх$ следует из оценки (16.4).

Доказательство достаточности завершено.

Упражнение 16.1. Доказать более точное, чем (16.6), неравенство

II Р^г II

1

II Q(n)z ||.

Доказательству необходимости условий теоремы 16.1 пред-
пошлем следующее важное утверждение.

Лемма 16.1. Пусть Т — вполне непрерывный оператор в Н
такой, что I — Т обратим. Пусть {Gn} w {/7n} — две последова-
тельности замкнутых подпространств Н, причем последователь-
ность {Gn} предельно плотна в Н и

1йН 0(G„, Я„)<1.

П -> оо

Тогда последовательность подпространств {(/ — T)Gn} тоже
предельно плотна в Н и

ЙЫ©((/ -T)Gn, Нп)<1.

П-> 00

Действительно, выполнены условия 1) и 2) теоремы 16.1 и,
по доказанному, определенные из условий (16.3) приближения
хп стремятся при любом f е Н к точному решению xQ уравне-
ния (16.1). Это равносильно тому, что невязка (/ — Т)хп — f стре-
мится к нулю при любом f е Н. Теперь остается сослаться на
теорему 15.2.

Доказательство необходимости. Пусть при каж-
дом f^H имеет место сходимость хп->х0, что, как уже отмеча-
лось, равносильно сходимости невязок (/ — Т)хп — f к нулю.
В силу теоремы 15.2 последовательность {(/ — T)Gn] будет тогда
предельно плотной в Н и

ПЖ 0((/-r)G„, Я„)<1.
гг-> оо

Пусть S — такой вполне непрерывный оператор, что I — S обра-
тим. В силу леммы 16.1 (в роли Т теперь выступает S, а в роли
Gn выступает (/ — T)Gn) последовательность {(I — S) (I — T)Gп}
предельно плотна в Н и

ШН — S)(I — Т) Gn, Н„)<1.
п->оо

Выбрав S так, что (/ — S) (/ — Т) = /, т. е. положив S =
= — Т{1—Г)-1, получаем, что условия 1) и 2) выполнены.

Теорема 16.1 полностью доказана.
Упражнение 16.2. Пусть Т и S — такие вполне непрерывные опера-
торы, что / — Т и I — S обратимы. Пусть {Gn} и {Нп}— последовательности
замкнутых подпространств в Н, {Оп} предельно плотна в Н и

Пгп 0 (Gn, Нп) < 1.

П -> оо

Показать, что тогда

lim 0((/-T)G„,

П-> оо

16.3.	Сходимость метода Бубнова—Галеркина для уравне-
ний с положительно определенной главной частью. Рассмотрим
в гильбертовом пространстве И линейное уравнение

Au = Ku + f,

(16.7)

где А — положительно определенный самосопряженный опера-
тор, т. е. А*=А, и

(Au, &)J>y2HM2 (у = const>0; u^D(A)).

Относительно оператора К предположим пока только, что
D(A)czD(K). Приближенное решение уравнения (16.7) ищет-
ся методом Бубнова — Галеркина

Рп (Аип - Кип — f) = 0	(ип<= Нп),

(16.8)

где Рп — ортопроекторы, проектирующие Н на подпространства
Hn^D(A)^H (п = 1,2, ...).

Введем на D(A) новое скалярное произведение

(u, v)a=(Au1 v).

Пополнив D (Л) по этому скалярному произведению, получим
новое гильбертово пространство, которое обозначим через НА
(это так называемое пространство Фридрихса). Известно, что
указанное пополнение можно произвести за счет элементов из Н\
множество элементов, составляющих Ил, будет совпадать с
/)(Л’/2), где А— тот единственный положительно определенный
самосопряженный оператор, который удовлетворяет условию
Л1/2Л1/2 = Л. При этом для любых и, v НА имеем

(г/,и)А=(Л1Ч Л'М, \\и\\А= \\АЫ\.

Подпространства HnczD(A) (п=1, 2, ...) входят в НА, мы
будем предполагать, что они замкнуты в НА. Обозначим через
Рп оператор, проектирующий НА ортогонально в смысле метри-
ки НА на подпространство Нп. Заметим, что условие Рпи = 0
равносильно условию Р^Л_,у = 0. Действительно, Рпи = 0 тогда
и только тогда, когда (v, wn) = 0 для любого wn е Нп. Но

(V,	= ауп) = (д-1о, и^)л,
и поэтому Pnv = 0 означает, что (л1??, шп)л = 0 для любого
Wn^Hn, т. е. РпА-1у = 0.

Сделанное замечание позволяет переписать (16.8) в виде

Рп (ип - A~lKun - A~'f) = 0 К е Нп)

или, введя предположение о непрерывности оператора А~'К в
НА, в виде

Un = РАпТип + PAA~'f,	(16.9)

где Т=А~1К — замыкание*) оператора А~Ч\ в НА. Таким обра-
зом, метод Бубнова — Галеркина (16.8) для уравнения (16.7)
сведен к методу Бубнова — Галеркина (16.9) для уравнения

и=Ти+А~Ч,	(16.10)

рассматриваемого в НА.

Прежде чем сформулировать вытекающий из проведенных
рассуждений результат, примем во внимание следующие два за-
мечания.

Во-первых, можно отказаться от условия Hncz.D(A) (п =
= 1,2, ...), заменив его условием Нп cz НА (п=1, 2, ...). В ка-
честве приближенных решений уравнения (16.7) принимаются
тогда элементы ип^Нп, определенные из уравнения (16.9).

Во-вторых, уравнение (16.10) может оказаться неравносиль-
ным уравнению (16.7). Очевидно, решения уравнения (16.7) яв-
ляются решениями уравнения (16.10). Обратное верно только в
том случае, когда решения уравнения (16.10) принадлежат
£)(Д). В общем случае они принадлежат лишь НА\ будем тогда
считать их обобщенными решениями уравнения (16.7).

Упражнение 16.3. Пусть D(/С) zd На. Показать, что тогда решения
уравнения (16.10) принадлежат D(A).

Упражнение 16.4. Пусть оператор КА~1 вполне непрерывен в про-
странстве Н, а оператор А~[К — в Н А, причем однородное уравнение и=Ти
имеет лишь нулевое решение. Показать, что тогда решения уравнения (16.10)
принадлежат D(A).

Из проведенных рассуждений и результатов п. 16.1 вытекает
следующее утверждение.

Теорема 16.2 **). Пусть оператор А~}К вполне непрерывен
в пространстве НА, и пусть однородное уравнение и = Ти имеет
в НА только нулевое решение. Пусть последовательность под-
пространств {Нп} предельно плотна в НА.

*) Замыкание непрерывного линейного оператора — это его продолже
цие по непрерывности на замыкание первоначальной области определения-

♦*) Эта теорема установлена С. Г. Михлиным,
§ 16]

Тогда при достаточно больших п метод Бубнова — Галеркина
(16.8) дает единственное приближение ип. Последовательность
ип сходится по норме НА к (истинному или обобщенному) реше-
нию uQ уравнения (16.7) с быстротой



ип и0 ||д	1 + 8n) II ?А}и0 ||д»

где еп->0 при п->оо, Рл}и = и — PnU.

Широкое распространение имеет вариационный метод Ритца
приближенного решения уравнения

Au=f

(16.11)

с положительно определенным самосопряженным оператором Л.
Этот метод основан на том факте, что решение уравнения (16.11)
совпадает с точкой минимума на НА квадратичного функцио-
нала

Ф(и) = (и, и)д— (и, f) — (f, и).	(16.12)

В случае вещественного пространства функционал Ф(и) можно
записать в виде

Ф (и) = {щ и)А — 2 (и, f).

Обозначим через и0 решение уравнения (16.11). Тогда

Ф(^) = || U — U0||2 —|| U0||2.

(16.13)

Метод Ритца заключается в отыскании точки минимума ип
функционала (16.12) на замкнутом подпространстве HnczHA.
Ввиду (16.13) имеем

ип = Р>0-

Таким образом, приближение, найденное по методу Ритца, сов-
падает с приближением, найденным по методу Бубнова — Га-
леркина (16.9) (в данном случае Т=0). Следовательно, все тео-
ремы о применении метода Бубнова — Галеркина к уравнению
(16.11) можно рассматривать как теоремы о применении метода
Ритца.

Непосредственный анализ метода Ритца, основанный на ис-
следовании квадратичного функционала (16.12), проведен в мо-
нографиях С. Г. Михлина [2, 3, 5]. Там же указано большое число
приложений методов Ритца и Бубнова — Галеркина к различ-
ным краевым задачам.

16.4.	Лемма о сходных операторах. Положительно опреде-
ленные и самосопряженные в гильбертовом пространстве Н опе-
раторы А и В называются сходными, если

D(A) = D(B).
Допустим, что обратный оператор В-1 вполне непрерывен. Пусть
...	... — собственные значения оператора В

(Хп > О и Хп -> сю при п->оо), а фь ф2, ...» Фп, ... — соответ-
ствующая полная ортонормированная система собственных эле-
ментов (Вфп = Хпфп).

Пусть а — вещественное число. Напомним, что дробная сте-
пень Ва оператора В определяется формулой

оо

ваи = 2 («. Ф;) ^“фр

причем Ва определен на всех таких элементах Н, для ко-

торых

оо

21(«, фЛ|2^“<о°.

i = 1	7

При а^>0 оператор Ва самосопряжен и положительно опреде-
лен, а при а-^0 самосопряжен и ограничен. Ясно, что

В1 = В, В° = I, ВаВ? cz в“+3, (в“)1 = В’“.

Упражнение 16.5. Пусть операторы А и В сходны, и пусть В'1 впол-
не непрерывен. Показать, что тогда и Д'1 вполне непрерывен.

Э. Гайнцу [1] принадлежат (см. также М. А. Красносельский,
П. П. Забрейко, Е. И. Пустыльник и П. Е. Соболевский [1]) фун-
даментальные теоремы о сходных операторах. Основная из них
гласит, что из сходности операторов А и В вытекает сходность
операторов Аа и Ва при всех ае[0, 1]. Отсюда следует, что при
04а41 операторы АаВ~а и ВаА~а ограничены в Н.

Упражнение 16.6. Пусть А и В сходны. Тогда D(A'f2) =D(B^2), и
поэтому пространства НА и Нв совпадают по составу элементов. Доказать
эквивалентность норм в этих пространствах.

Упражнение 16.7. Пусть А и В сходны, и пусть {фг}— полная орто-
нормальная система собственных элементов оператора В. Показать, что при
любом ае[0, 1] элементы {Да qpi} образуют базис в Н.

Лемма 16.2. Пусть А и В — сходные операторы, причем S"1
вполне непрерывен. Пусть {ф<} — полная ортонормальная систе-
ма собственных элементов оператора В, а Нп — линейная обо-
лочка элементов фь ..., фп. Тогда при любых а и 0, 0 4 а, 04 1,
имеет место соотношение

lim 0(ЛаЯ„, ЛРЯ„)<1,
П-> ОО

где @(АаНп, А^Нп) — раствор подпространств АаНп и А$Нп.
Доказательство. Обозначим через Р„а) ортопроектор,
проектирующий Н на АаНп (0 4^а^1). В частности, =
проектирует Н на Нп. Пусть Р(а} = / — Рп \ Р{п} = I — Рп- Очевид-
но, Р{а}АаРп = 0; поэтому

Р^А* = Р{а}АаР{П}

(16.14)

Далее, так как подпространство Нп инвариантно относительно
Ва, то

РпВа с= Р„ВаР„ = ВаРп, Р(п)Ва = р(п)Вар(гг) = Вар(Г1).

Легко также видеть, что

р(п)в

-6

при 6^0.

(16.15)

Поскольку 0(ЛаЯп, А$Нп) = 0(ЛР//п, Ла/7П), то лемму до-
статочно доказать при дополнительном условии, что а |3.

Рассмотрим в Н уравнение

Aav = f

и метод Галеркина — Петрова его решения:

Рп (Aavn — f) = О (vn е Нп).

(16.16)

Мы докажем, что при любом имеет место сходимость не-
вязки Aavn — f к нулю, и отсюда в силу теоремы 15.2 сразу бу-
дет следовать утверждение доказываемой леммы.

Нетрудно заметить, что равенство Рп}г = 0 равносильно
равенству Pn}A®~yz = 0 (p^y^l). Используя этот факт, пере-
пишем условия (16.16) в виде

РЧУ (Ayvn - Ay-af) = 0 (vn е Нп),

(16.17)

где у = у (а+ р). Равенства (16.17)—это уравнения метода Га-
леркина — Петрова (метода наименьших квадратов) для урав-
нения Ayv=Ay~af. Так как последовательность подпространств
{АуНп} предельно плотна в Н (см. упражнение 16.7) и при ка^
ж дом п

®(АуНп, АуНп)=Ъ,

то в силу теоремы 15.2 невязка Ayvn— Ay~af стремится к нулю.

Оценка (15.14) в данном случае имеет вид
Оценим правую часть. Согласно (16.14) имеем

P(fAy~af

Р™ АуР{п)А~а11| < || AyPwA~af В <

< || АУВ~У1] • ||вvP(re)A~af || = I 4VB"V I • || p^By-aPMBaA'af I-

Поэтому из второго равенства (16.15) вытекает, что

Отсюда

Ayvn - Ay~af Й < ХГЛII АУВ~У Ц • J P{n)BaA-af ||. ?



л\в-?|]

(16.18)

Покажем, что

будет показано, что

нашей конечной целью. Имеем

Ba(vn — A af)||->0 при п->оо. Тем самым
|| Aavn — /||~> 0 при п->оо, а это и является

откуда в силу (16.18) и первого из равенств (16.15)

Правая часть полученной оценки стремится при /?->оо к нулю.

Лемма доказана.

16.5.	О быстроте сходимости метода Бубнова —- Галеркина.
Продолжим изучение метода Бубнова — Галеркина (16.8) для
уравнения (16.7). Пусть оператор В сходен с А и оператор В-1
вполне непрерывен. Пусть {фг}— полная система собственных
элементов В, расположенная в порядке возрастания собственных
значений

Вфг=Хгфг, 0<Х1	. . . (Хг->ОО при t->oo).

Будем теперь считать, что оператор Рп в галеркинском уравне-
нии (16.8) проектирует (ортогонально) на линейную оболочку
Нп элементов <pi,..., фп.

Пусть при некотором а0, О^ао^1, оператор Дао-17<Л~ао
вполне непрерывен в Я, а 7^ — замыкание этого оператора.
Пусть однородное уравнение х=Гаох имеет лишь нулевое ре-
шение. Тогда уравнение

х = Та,х +	(16.19)

имеет единственное решение х0. Элемент и0 = Л~а°Хо будем назы-
вать обобщенным решением уравнения (16.7); если moeD(4), то
Uq — настоящее решение.
При сделанных ограничениях имеет место следующая тео-
рема.

Теорема 16.3. Метод Бубнова — Галеркина (16.8) дает при
достаточно больших п единственное приближение ип. Если, кроме
того, и0^ D(Bai), то справедливы оценки

|р(ге)В“и0||<||5“(м„- и0)||<c||P(n)B“u0||	(а0<а<<*!).	(16.20)

Доказательство во многом аналогично доказательству леммы
16.1. Введя обозначение хп = А^ип, перепишем уравнения (16.8)
в виде

рГ“о) (х„ - Гаох„ -	= 0	(х„ е Ла°Я„);	(16.21)

напомним, что ортопроектор, проектирующий Н на АаНп.
Равенства (16.21)—это уравнения метода Галеркина — Петрова
для уравнения (16.19). Выполнены условия сходимости (см. тео-
рему 16.1): последовательность подпространств {Аа° Нп} предель-
но плотна в Я, и в силу леммы 16.2

Пт 0(д“°В„, Д1-аоЯ„)<1.

П-> оо

Оценка (16.4) в данном случае имеет вид

Используя равенства (16.14) и (16.15), находим

Так как || Ва“ (мп — w0) || <J| В^Я~“° || • || хп — х01|, то установлена
оценка

II (Цп - и0) || < rf+'“ || Р'п)В“м01

(a0<a^ai), (16.22)

где ci = е0|| ВаМ’а“I • || Д“°В"“01|. Далее,

Ва («„ - и0) = Ва (р„ + Р(п)) («„ - ц0) = Ва’“»Р„Ва» («„ - и0) - РмВаи0,
откуда в силу (16.15) и (16.22)

Мы пришли к оценке (16.20) нормы || Ва (ип — и0) | сверху.
Оценка снизу тривиальна:
Теорема доказана.

В дополнение к оценкам (16.20) отметим вытекающее из
(16.15) соотношение

(п) ра

£5 Uq

Ла-аД
= 0(Лп+1 )

(a0<a<ai).

Отметим также одно важное следствие из оценок (16.20).
Если оператор КА~Х вполне непрерывен в Я и оператор / — КА~Х
обратим, то невязка Аип — Кип — f стремится к нулю при п-+оо.
Действительно, оценки (16.20) применимы при а=1 (ao = ai = l)
и поэтому

II Аип -Кип- f || < || (7 - КА~'} АВ~1

||В(н„-«0) И—► 0.

В случае произвольной координатной последовательности
можно лишь утверждать, что приближения ип стремятся к точ-
ному решению в метрике НА (теорема 16.2); невязка может не
стремиться к нулю. Факт сходимости невязки к нулю в случае
рассмотренной выше координатной последовательности был впер-
вые отмечен С. Г. Михлиным.

Упражнение 16.8. Доказать, что оператор А~^2КА~^2 вполне непре-
рывен в Н тогда и только тогда, когда оператор вполне непрерывен
в НА.

Упражнение 16.9. Пусть а0 и а^ —два значения параметра a
(O^a^l), при которых Ла-1/<А“а вполне непрерывен в Н. Показать, что
оператор 1—Та обратим тогда и только тогда, когда обратим оператор
1-Т

ао

Упражнение 16.10. Пусть оператор КА~} вполне непрерывен в Н и
1 — КА~Х обратим. Показать, что тогда все обобщенные решения уравнения
(16.7) являются истинными, т. е. принадлежат D(A) и удовлетворяют урав-
нению (16.7).

Упражнение 16.11. Пусть К=0. Показать, что в этом случае имеют
место оценки

II ва (ип - и0) || < (1 + II в'1*А-'1* || • II а'’*В-'1* II) II P(n)Ba«0 II	('А < a < 1),

II «я" «о II^"'И • 1Ь

II “„-“о||д<^111 В’/2Л‘,/2Ц • II-

Упражнение 16.12. Краевая задача

- (р (/) иУ + q(t)u' + r(t)u = f (/),
и (0) = и (1) = 0

решается методом Бубнова — Галеркина с функциями qpz (t) = sin int
(i=l, 2, ...) в качестве координатной последовательности. Пусть р (/) > 0,
р (0 е q (t), г (0, f (0 Е 4°, где £</> (1=1, 2)— множество /—1 раз
абсолютно непрерывно дифференцируемых функций х (/) таких, что
(0 е L2 [0, 1]. Пусть, наконец, поставленная задача имеет единственное
решение uQ (/). Установить оценки

ип “о



Показать, что эти оценки имеют точный порядок, если и" (0) =/= 0 или
< (1) °-

Указание. Положить //=Л2[0>1], Ли — — (р (/) ц')', Ru = q (/) и' +
„	°(2}	%

+ г (/) и, Ви=—и и D (Л) = D (В) = Ц', где L\} — множество удовлетво-
ряющих условиям н(0) = и(1) = 0 функций из L^\ Доказать полную непре-
рывность операторов /СЛ”1 и А~ХК в Ь2 [0, 1], воспользоваться оценками
(16.20) при а = 0, а = 72 и а = 1 и оценить при этих значениях а норму
|| P^B^Uq || сверху и снизу.

Оценки (16.20), а также лемма 16.2 установлены Г. М. Вай-
никко [2, 15].

16.6.	Правильные операторы. Назовем действующий в сепа-
рабельном гильбертовом пространстве Н линейный непрерыв-
ный оператор L правильным, если для любой предельно плотной
в Н последовательности конечномерных подпространств {Нп} вы-
полняется соотношение

lim	Нп)<1.

П->сс

(16.23)

Оказывается (см. упражнения 16.13—16.16), что правильный
оператор непрерывно обратим.

Упражнение 16.13. Пусть L — правильный оператор. Показать, что
тогда R(L) плотно в Н и L~l существует на R(L).

Упражнение 16.14. Пусть L — линейный непрерывный оператор.
Пусть L~l существует на R(L) и неограничен. Показать, что тогда

inf

и^н, и 1Н„

I4»

I (Lu, и) |

II Lu || • || и ||

(16.24)

где Нп — любое конечномерное подпространство Н.

Упражнение 16.15. Пусть (16.24) имеет место в случае любого ко-
нечномерного подпространства Нп- Показать, что тогда в Н найдется после-
довательность {fn}, обладающая следующими свойствами:

1)	оп->0слабо, llfnll = l;

2)	и ~>0 слабо;

II Lvn II

ox I (Lvn, fn) I ч A

' II Lvn ||

Упражнение 16.16. Пусть в И найдется последовательность {ип},
обладающая свойствами 1)—3) упражнения 16.15. Показать, что тогда L
не является правильным оператором.

Очевидно, правильный оператор переводит предельно плот-
ные в Н последовательности подпространств в предельно
плотные. Поэтому, приняв во внимание теорему 15.2, можно
охарактеризовать класс правильных операторов L тем, что не-
вязка Lun — f (а значит, и погрешность ип — L~xf) в методе
Бубнова — Галеркина

Pn(Lun — f) =0 (unt=Hn~PnH) (16.25)

для уравнения Lu = f стремится при д—>оо к нулю при любом
f Н и любом выборе предельно плотной в Н последователь-
ности конечномерных подпространств {/7П}. (Напомним, что в
случае метода Бубнова — Галеркина Рп — ортопроектор.)

Теорема 16.4. Непрерывный оператор L правилен в том и
только в том случае, когда он представим в виде

L = у/ + S + Т,

(16.26)

где y = const¥=0, S — линейный непрерывный оператор, |]S||< |у |,
а Т — линейный вполне непрерывный оператор.

Доказательство достаточности. Пусть имеет ме-
сто представление (16.26). Покажем, что для любой предельно
плотной в Н последовательности подпространств {Нп} выпол-
няется условие (16.23). Покажем сначала, что

lim ®((yI + S)Hn, Нп)<1.
П->°°

(16.27)

Для этого достаточно в силу теоремы 15.2, чтобы при любом
f^H невязка yun + Sun — f в методе Бубнова — Галеркина

Рп (уип "i~Sun f)—0
для уравнения

yu + Su = f

(ип<=Нп)

(16.28)

(16.29)

стремилась к нулю при д->оо. Условия (16.28) равносильны
уравнению

удп Р nSun = Р nfc

Так как ||PnS ||<|| S ||<| у |, то операторы у/ + PnS и у/ + S
обратимы в Н, причем

II (у/ + P„S)-* II <	.	(16.30)

Таким образом, уравнения (16.28) и (16.29) имеют единствен-
ные решения ип и д0 соответственно. Очевидно,

(у/ + PnS) (и0 - ип) = Р<«)Ыо (Р<«> = I - Рп'),
откуда ввиду (16.30) и предельной плотности {Нп} получаем

1|Цд-«о1К jv|-||S|| IIпри п->оо.
Вместе с тем

yun + Sun — f =	+ S)(un — u0)->0 при n->oo.

Соотношение (16.27) доказано. Ясно также, что {(у/ + S)Hn} —
предельно плотная в Н последовательность подпространств
(этот факт тоже может быть получен как следствие из тео-
ремы 15.2). Но

LHn= (yI + S + T)Hn= +	(yI + S)Hn,

где 7'1 = Г(у/ + 5)"1 — вполне непрерывный оператор; легко также
видеть, что обратимость правильного оператора L влечет за со-
бой обратимость оператора 1 + Т\. Поэтому из (16.27) в силу
леммы 16.1 вытекает

lim © (LHn, Нп) = lim 0 ((Z + (yl + S) Hn, Hn) < 1.

П oo

П -> oo

Достаточность теоремы 16.4 доказана. За доказательством
необходимости отсылаем читателя к работе Г. М. Вайникко [8]
или предлагаем решить задачи, содержащиеся в упражнениях
16.17—16.18, из которых необходимость условий теоремы 16.4
вытекает очевидным образом.

Упражнение 16.17. Пусть для линейного непрерывного и непрерывно
обратимого оператора А не существует представления а/1 = / + 5, где а =
= const У=0, || S || < 1. Показать, что тогда ' inf J ^.1 = о.

и е= Н II и II

Указание. По условию для любого ненулевого а найдется такой эле-
мент v = v(а) е Н, что || аАv — v ||	1 — | а |21| Av ||2 или, что то же самое,

Im a Im (Av, v) — Re а Ие(Ду, v) +| а |2|| Av ||2	0.

Используя это неравенство и выпуклость множества

Q = {X : к = (Av, v), v<=	|| v || = 1}

(см. М. X. Стоун [1]), доказать, что на любой прямой, проходящей черу
нуль комплексной плоскости, находится хотя бы одна точка замыкания Q,
и сделать отсюда вывод, что OeQ.

Упражнение 16.18. Пусть непрерывный и непрерывно обратимый
оператор L не допускает представления (16.26). Показать, что тогда в Н
найдется последовательность {уп}, обладающая свойствами 1)—3) из упраж-
нения 16.15.

Указание. Пусть {Нп} — любая предельно плотная в Н последова-
тельность конечномерных подпространств, а Р(п)— соответствующий ортого-
нальному дополнению H^=HQHn ортопроектор. При любых а и п имеем
\\Р(пЦаЬ— /)||>1 (почему?), т. е. для оператора ДП = Р(П)А, рассматривае-
мого в Н(п\ выполнены условия упражнения 16.17. Поэтому можно подо-
брать vn^HW так, что ||УП|1 = 1 и \(Anvn,vn)\<Hn. Показать, что последо-
вательность {vn} обладает нужными свойствами.

Упражнение 16.19. Построить пример унитарного оператора, кото-
рый не является правильным.
Упражнение 16.20. Пусть L — правильный оператор. Показать, что
тогда для метода Бубнова — Галеркина (16.25) справедлива оценка

II Р^и01| <|| un-uQ || < с || II,
где с = const, = / — Рп.

Упражнение 16.21. Пусть L — неограниченный непрерывно обрати-
мый оператор в Н (R(L) =Н). Показать, что тогда найдется такая последо-
вательность конечномерных подпространств Hn^DfJA, что {Нп} и {LHn}
предельно плотны в Н, но невязка Lun — f в методе Бубнова — Галеркина
(16.25) для уравнения Lu = f при некотором f е Н не стремится к нулю при
п ->оо.

Понятие правильного оператора (в несколько иной формули-
ровке) введено Н. И. Польским. Им же указаны некоторые про-
стейшие достаточные условия правильности операторов. Полное
описание класса правильных операторов, составляющее тео-
рему 16.4, предложено Г. М. Вайникко [8]. Ограниченность об-
ратного оператора к правильному оператору была доказана
Г. М. Вайникко и Ю. Б. Уманским [1].

16.7.	О быстроте сходимости метода Галеркина—Петрова.
Рассмотрим уравнение

Lu==Au — Ku = f,	(16.31)

где А и К — линейные операторы из банахова пространства Е в
гильбертово пространство Н, с плотными в Е областями опреде-
ления £) (Л )cz £)(/<). Будем предполагать, что А обратим, Л-1
ограничен и определен на всем Я, оператор КА~Х вполне непре-
рывен в Н и 1 не является его собственным значением. Отсюда
следует обратимость L; оператор L~X=A~X(J — КА~[)~Х ограничен
и определен на всем Н.

Уравнение (16.31) решим ‘методом Галеркина — Петрова.
Пусть {Еп} и {Нп} — две последовательности конечномерных под-
пространств, Еп cz D (Л)cz Е, HnczH (п=\,с2, ...), а Рп — орто-
проектор, проектирующий Н на Нп. Приближенное решение
ищется из условий

Pn(Lun — f) = 0	(ип<=Еп).	(16.32)

Теорема 16.5*). Пусть последовательности подпространств
{Еп} и {Нп} связаны соотношением

Hn=(I-S)AEn (п=1, 2, ...),	(16.33)

где S — вполне непрерывный оператор в Н, для которого 1 не
является собственным значением. Пусть последовательность под-
пространств {ЛЕП} предельно плотна в Н.

Тогда при достаточно больших п существует единствен-
ное удовлетворяющее условиям (16.32) приближение ип и

*) Пункты 16.7 и 16.8 написаны по статье Г. М. Вайникко [14].
справедлива оценка

II в (ип - и0) II < СII Я(п) (/ - S)”1 (5£~1П • II /?<п'Ли0 II, (16.34)

где uQ — точное решение уравнения (16.31), R^ = I— Rn, Rn —
ортопроектор, проектирующий Н на АЕп, а В — любой линейный
оператор с областью определения D(B)tjD^A) в Е и областью
значений в некотором банаховом пространстве Е' и такой, что
BL~l — ограниченный оператор.

Доказательство. Нетрудно видеть, что для метода Га-
леркина — Петрова (16.32) выполнены условия теоремы 15.2: по-
следовательность подпространств {LEn} предельно плотна в Н,
и (см. упражнение 16.2)

lim 0(LE„, Я„)= Нш0((/-КЛ-1)Л£„, (7 - S) Л£„) < 1.
П-> оо	n-> ОО

Возьмем за основу оценку (15.14) из теоремы 15.2:
\\Lun-f\\<c{\\Q^f\\.

Здесь Q^ = I—Qn, Qn — ортопроектор, соответствующий LEn.
Преобразуем эту оценку. Из определения операторов и Rn
следует, что Q(n)(/ — KA~[)Rn = 0; поэтому

и

с("711=к(п)(/-№)ли0|

Q(n) (l - КЛЧ) RMAu01| <

Я(п>Ли0||

\\Lun-f\\^c2\\R(n}Au0

(с2 —

I — КА 41).

(16.35)

Далее, так как Pn(Lun — f) = 0 по условиям (16.32), то

В (и„ - и0) = BL~! (Lun - f) = BL~'P(n) (Lun - f),
где P^ = I — Pn. Совместно c (16.35) это дает оценку

II в (ип - и0) II < с2 II ВГ'Р(п) Ц • II RMAu0 II.	(16.36)

Из определения операторов Р(га> и Rn и соотношения (16.33)
вытекает, что P(zt) (7 — S) Rn = 0. Отсюда заключаем, что

р(п) = р(п) ц _ р(п) ц _ Syi
или, перейдя к сопряженным операторам,
рм =	5*)-! рм у _ рм

(р(п) и рм самосопряжены как ортопроекторы). Стало быть,
BL~'p(n) = BL~' (I - S*)"1 Xм У - S') Р(п\
или, если перейти вновь к сопряженным операторам,
(BL’’P,n))* = Р(п> (/ - 5) RM (I - S)~l

Таким образом,

BL-1P(n) || = || (5P-'P(n))* || < III ~ 5 II • || P(n) (/ - S)"1 (BL4)*

и, подставив это в (16.36), придем к оценке (16.34).
Теорема доказана.

Упражнение 16.22. Показать, что в условиях теоремы 16.5 норма
||B(un — «о) II стремится к нулю не медленнее, чем норма !|Д(ип — «о) I-

16.8.	Метод моментов. В этом пункте приведем одно прило-
жение теоремы 16.5 для краевых задач.

Рассмотрим, как и в п. 15.7, дифференциальное уравнение

Lu э -2л (0	= f (О	(16.37)

fc=0

при линейных однородных краевых условиях
m—1

S (а) +	(&)] = 0	(i=l,.

/г=0

т). (16.38)

Как и раньше, будем предполагать, что уравнение u<m> = 0 имеет
при краевых условиях (16.38) лишь нулевое решение.

Метод моментов заключается в следующем. Приближенное
решение краевой задачи (16.37) — (16.38) ищется в виде

п
un(f) = 5 £/ф;(0,
/-о

(16.39)

где ф>(/)—многочлен степени ги+/, удовлетворяющий краевым
условиям (16.38). Пусть кроме Lu задано еще второе диффе-
ренциальное выражение

Ми^и^— 2 9,(0 ^(/)-
/=0

Постоянные определяются из условий
ь

j (Lun — f) Mqpj dt = 0 (i = 0, ..., . n),	(16.40)

a

равносильных системе линейных уравнений

f J	d/j g; = J fMcpi dt (Z = 0, .. •, n). (16.41)

/=0 \a	J a
Для практических вычислений особенно интересны случаи
qj(t) =pj(t) и qj(t)=O ...» т—1). В первом случае ме-
тод моментов переходит в метод наименьших квадратов, а вто-
рой случай интересен тем, что упрощает составление системы
(16.41), ибо тогда можно считать, что Мфг = Л* (f = 0, 1, ...) *).

Через (Z^O) будем обозначать множество /—1 раз
абсолютно непрерывно дифференцируемых на [а, &] функций
u(t) таких, что uV (/) Ь2 [а, 6]. Норма ||и(/)|| ниже означает
норму в Z,2°) = L2[a, &].

Теорема 16.6**). Пусть каждый коэффициент не-
прерывно дифференцируем / раз, f (t) е Z,20) и

q. (f) ez L^} (j = 0, .. ., m — 1; 0 < h < m).

Пусть каждое из однородных уравнений Lu-=0 и Ми = 0 имеет
при краевых условиях (16.38) лишь нулевое решение.

Тогда при достаточно больших п система уравнений (16.41)
однозначно разрешима и справедливы оценки

| и^> (/) — и^ (/) || cni~m ln (и™) (j = m — h, ..., т), (16.42)
max \и(^ (t) — и{р (t)\^cn^m+l/2ln(u^ (j = tn — h, .. ., т— 1),
t ъ

(16.43)

где u0(t)—точное решение краевой задачи (16.37) — (16.38), а

ln (z) = min
v0. • • ' v,

п

г (0 - 2 NjtJ
i=o

— наилучшее среднеквадратичное приближение функции z(t)
многочленами степени п.

Ниже используется следующая простая оценка средне-
квадратичного приближения функций:

/п(г)<^|| z^ (ОН (2(/)е^)	(16.44)

Доказательство теоремы 16.6. Краевую задачу
(16.37) — (16.38) рассмотрим как уравнение (16.31) в простран-
стве Е = Н = Ь2\а, &], положив

Au = u{m\ Ки= ^pk{t)^
_____________ k=>0

*) Более справедливо называть (16.39) — (16.41) методом обобщенных
моментов, сохранив название «метод моментов» для случая qj(t) =0
(/ = 0, ..., т — 1).

**) Близкий результат был ранее получен И, К- Даугаветом [3] в слу-
чае ?j(0^0 (/ = 0, ..., /п — 1).
и взяв в качестве области определения D(A)=D(K) множество
функций из удовлетворяющих краевым условиям (16.38).

Как известно,

а

где G(/, s)—функция Грина дифференциального выражения
при краевых условиях (16.38). Операторы

ь

*

ЛТГ'х = T(t,s)x(s)ds

а

т—\

Т (t, s) = J] pk (t)

fe=0

и

m—1

S(i, s)=

k=0

вполне непрерывны в jL2 [«, &] как интегральные операторы с
квадратично-суммируемыми ядрами. Число 1 не является соб-
ственным значением операторов КД-1 и S. Действительно, если
бы, например, уравнение x=Sx имело ненулевое решение х, то
функция и = А~{х оказалась бы нетривиальным решением урав-
нения Ми = 0 при краевых условиях (16.38), что по условию тео-
ремы невозможно.

Метод моментов (16.39) — (16.40)—это метод Галеркина —
Петрова (16.32), в котором Еп— линейная оболочка многочле-
нов фо(О> •••» фп(0» а ип— линейная оболочка функций
Afcpo, ..., А4фп. Эти подпространства связаны соотношением
(16.33), в котором S — определенный только что интегральный
оператор. Подпространство АЕп состоит из многочленов степени
п, и последовательность {ДЕП}, очевидно, предельно плотна
в Ь2 [а, Ь]. Таким образом, применима теорема 16.5.

Определенный в теореме 16.5 проектор Rn в данном случае
проектирует ортогонально в подпространство многочленов сте-
пени т. е. ||/?<Чг|| =ln(z). Оценки (16.42) выведем из оценки
(16.34), показав, что для действующих в L2 [а, Ь] операторов

справедливы неравенства

||	(/ - 5)'1 (В/’Т II < сп^~т

(j = т — h, ..., tn).

Ввиду (16.44) для этого достаточно, чтобы операторы

{I ~ S)~l	(j = tn - h, .... tn) Q6,45)
были определены на всем L2[a,b] и ограничены. Наметим дока-
зательство этого факта.

Пусть K(t, s) —функция Грина дифференциального выраже-
ния Lu при краевых условиях (16.38). Поскольку коэффициенты
рД/) (/ = 0, ..., tn—1) непрерывно дифференцируемы j раз,
то*) К(/, s) имеет в квадрате a^t.s^b непрерывные сме-
шанные производные порядков ^tn —2, а производные порядка
т—1 и т терпят при t = s конечный разрыв. Отсюда без труда
выводится, что	при i + j^tn является ограниченным

и определенным на всем Ь2[а, Ь] оператором. Это означает, в
частности, что (BjL-1)* переводит L2 [а, Ь] в (j = 0, ..m).

С другой стороны, нетрудно проверить, что в силу условия
qi (/) е (j = 0, ..., tn —1) оператор (/ — S)"1 переводит каждое
из множеств (j = tn — Л, ..., tn) в себя, причем имеют
место неравенства

т-1

SlIB/zll (zeL^'); j = m-h, .... т\

Из сказанного вытекает ограниченность операторов (16.45)
в L2[a,b] и тем самым оценки (16.42) установлены.

Оценки (16.43) являются следствием оценок (16.42) и легко
устанавливаемого неравенства

max |z(f)
аС t < b

Г II Z (/) IP
L Ь — а

+ 2 II 2 (/) II . II Z' (0 ||Т/2



Доказательство теоремы 16.6 завершено.

Упражнение 16.23. Сформулировать аналог теоремы 16.6 примени-
тельно к методу наименьших квадратов.

§ 17.	Метод Галеркина с возмущениями
и общая теория приближенных методов

17.1.	Постановка задачи. В этом параграфе наше внимание
будет сосредоточено на исследовании приближенных методов в
применении к уравнению

x=Tx+f,	(17.1)

где Т — линейный непрерывный оператор в банаховом простран-
стве Е. Пусть {Еп} — последовательность замкнутых подпро-
странств Е. В качестве приближенных решений уравнения (17.1)

*) Отметим здесь, что детальный анализ дифференциальных свойств
функции Грина дифференциального оператора L при более общих, чем
(16.38), краевых условиях проведен в диссертации А. Ю. Левина [1] и в
статье Ю. В. Покорного [4].
принимаются решения уравнении

71,

(17.2)

где Тп — линейный непрерывный оператор в En, fn^En.

Характеристикой близости уравнений (17.1) и (17.2) не мо-
жет служить разность операторов Т и Гп, ибо эти операторы
действуют в различных пространствах. Пусть Рп — проектор
(вообще говоря, неограниченный), проектирующий в подпро-
странство Еп:

Pnz<=En для геД(Рп), Pnzn = zn для zn е Еп с О(Рп)<

Всюду в дальнейшем будем предполагать, не оговаривая этого
особо, что ft=D(Pn)y TEczD(Pn) и что РпТ — ограниченный в£
(а значит, и в Еп) оператор. Каждый из операторов Т и Тп
можно сравнивать с РпТ, рассматривая его соответственно как
оператор в Е или Еп. Таким образом, характеристиками бли-
зости уравнений (17.1) и (17.2) естественно брать норму опера-

а также нормы \\fn— Pnf\\ и \f— Pnf\. Другими словами, каж-
дое из уравнений (17.1) и (17.2) сравнивается с галеркинским
уравнением

xn = PnTxn + Pnf.	(17.3)

Последнее уравнение, в отличие от уравнений (17.1) и (17.2),
может рассматриваться как в исходном пространстве Е, так и
в подпространстве Еп.

Уравнение (17.2) иногда удобнее записывать в форме

Л'П — * пл	I П^П I л П1 г б п,	V' 'Ч

где Sn — Tn— РпТ и gn=fn — Pnf характеризуют отклонение
уравнения (17.2) от галеркинского уравнения (17.3). Все даль-
нейшие рассмотрения относятся к случаю, когда эти отклонения
малы (||3„|| -> 0, Hg-nll ->0). Соответствующие приближенные
методы естественно объединить под названием метода Галер-
кина с возмущениями. Примером метода Галеркина с возмуще-
ниями (не укладывающегося в рамки проекционных методов
без возмущений) является метод механических квадратур, под-
робно изучаемый в п. 17.10.

Заметим, что в уравнении (17.2) никак не участвует проектор
Рп, и тем самым имеется возможность от (17.2) переходить к
уравнениям (17.4) с различными проекторами Рп. Отметим все
же, что при исследовании конкретных приближенных методов,
как правило, нетрудно указать проектор Рп, наиболее естест-
венно соответствующий данному методу. При этом обычно ока-
зывается, что Pnf = fn, т. е. gn = 0. В дальнейшем при изучении
абстрактного уравнения (17.2) будем считать, что проектор Рп
выбран.

С возмущенным методом Галеркина мы, по существу, стал*
киваемся уже при численной реализации самих проекционных
методов (невозмущенных). Объясним это положение на при-
мере метода Бубнова — Галеркина. Допустим временно, что про-
странство Е гильбертово, Еп — линейная оболочка элементов
cpi, ...? а Рп — ортопроектор. Тогда решение уравнения
п

(17.3) нужно искать в виде линейной комбинации ип = 2
/=1
коэффициенты gj которой нужно найти из системы

2(ф/~ У’ф/. Ф/Ц/ = (А Ф<)	(г= 1. •••. «)•

Однако при составлении этой системы ее матрица и столбец
свободных членов всегда вычисляются с некоторыми погрешно-
стями, и соответствующая система равносильна не уравнению
(17.3), а уравнению (17.4) с некоторыми возмущениями Sn и gn.

К вопросам, связанным с численной реализацией проекцион-
ных методов, мы вернемся в. п. 17.8.

Отметим, наконец, что весьма заманчивым является сведе-
ние уравнения (17.2) к виду

ХП = ТпР п%"\~Р nf,
если рассматривать последнее уравнение в Е. Если проектор Рп
ограничен и \Т—ТпРп\\->0 при оо,’то отсюда совсем легко
получить теоремы о сходимости приближенных решений. К со-
жалению, в приложениях условие \\Т—ТпРп\\-+0 обычно не
выполняется; гораздо проще доказать, что ||Г — РпТ\\->0,
||ТП — РпТ\\ ->0 при П->ОО.

17.2.	Леммы об обратимости операторов I—усТ и /—ц7*л.
В этом пункте укажем достаточные условия для того, чтобы из
обратимости оператора I — цГ следовала обратимость опера-
тора 1 — \хТп и наоборот. Числовой параметр ц введен с учетом
нужд § (8; при ц=1 получаем условия однозначной разреши-
мости уравнений (17.1) и (17.2). Будем пользоваться введен-
ными в п. 17.1 обозначениями:

Sn = Tn-PnT (оператор в Ел\

Uп = Т — РпТ (оператор в Е),
Лемма 17.1. Пусть оператор I — цТ непрерывно обратим
в Е

||(7-цТ)-Ч|<х,
и пусть

<7„s|n|x(||Sn|| + ||i/„||)< 1.	(17.5)

Тогда оператор I — р,Тп непрерывно обратим в Еп и

1(7-нГп)-'||

X

1 ~Яп ‘

Доказательство получается двукратным применением
леммы 15.2. Положив сперва F-—E, А=1 — рТ, В = ц{/П, имеем



поэтому оператор Д + В = /— [iPnT обратим в Е и

(/ р.РпТ) 1|1< 1 _ |и | к ||	.

(17.6)

Нетрудно видеть, что (/—|iPJ)xeEn тогда и только тогда,
когда х^Еп. Отсюда следует обратимость оператора /—^РпТ
в Еп\ для обратного в £п, разумеется, остается в силе оцен-
ка (17.6).

Положим теперь F=En, A — I— \ьРпТ, В = —(операторы
в Еп); тогда А + В = 1— цТп. Из (17.5) и (17.6) вытекает, что
IIBII-II^IKl, и, вновь применив лемму 15.2, придем к доказы-
ваемому утверждению.

Лемма доказана.

Лемма 17.2. Пусть оператор I — \ь,Тп непрерывно обратим
в Еп>

||(/-рТп)-1||<Хп,
и пусть

Яп ~ I Н I (Тп II Vn + нп II \	1 >

• п	1 г 1 \ п II п пип/ *

где

т„ = 1 + | ц |х„|| РпТ ||.

Тогда оператор I — цТ непрерывно обратим в Е и

II (7 - НП"'



Доказательство аналогично доказательству леммы 17.1.
Сперва убеждаемся, что оператор / — \kPnT обратим в Еп и

11(7-уРпТ) 1-1(1 |x„||S„|| •

Дальнейшие рассуждения подсказываются тождеством

(7 - цРпТ)-' х = [7 + н (7 - цР„Т)-' РПТ] х (хе Еп).
Оператор в правой части тождества определен не только на
Еп, но и на Е, ибо перед выражением (/ — р,РпГ)-1 стоит проек-
тор Рп. Читателю предоставляется непосредственной проверкой
доказать, что этот оператор /+ц(/— р,РпТ)~'РпТ является дву-
сторонним обратным к /—усРпТ в Е. Поэтому

(/ - лп-' к < 1+1 н ।	I I <	.

Снова применив лемму 15.2, приходим к доказываемому утвер-
ждению.

Лемма доказана.

Упражнение 17.1. Пусть оператор / — рТ непрерывно обратим в £,
11 (Z — рТ)"1 || < х. Пусть | р |хдп < 1, где

6/1= sup \\Тх-Тпх\\.

х^Еп, ||х|| = 1

Показать, что оператор 1 — цТп имеет в Еп левый обратный (/ —и

*

(/ - нг„);'

X_____

1 - I р, I хбп •

Упражнение 17.2. Условия упражнения 17.1 не гарантируют суще-
ствования двустороннего обратного (/— Р-Тп)-1. Построить соответствующий
пример.

Упражнение 17.3. Пусть проектор Рп ограничен. Доказать, что лем-
ма 17.2 остается в силе, если в ее формулировке тп всюду заменить на

< = 1+ Ип(1 + I ц |. || РпТР(п> ||) , где Р<п) = /-Р„.

17.3.	Теорема сходимости.

Теорема 17.1* *). Пусть оператор I — Т непрерывно обра-
тим в Е,и пусть

IISJI ->0, ||t/J|->0, llfn-PJII->0, \\f-Pnf\\->0 при n->oo,

(17.7)
где Sn = Tn — РпТ и Un = T— РпТ — операторы в Еп и Е соот-
ветственно.

Тогда при достаточно больших п уравнение (17.2) имеет
единственное решение хП1 и последовательность {хп} стремится
по норме к решению х0 уравнения (17.1). Справедливы оценки

II Хп - х0 II < с (II gn II + II Sn II. II Рпх0 II + IIPW0 ID, (17.8)

II Хп РnXg II	(17.9)

где с, clf с% — не зависящие от п и f положительные постоянные,
gn=fn Pnf, Р(п) = 1 Рп,

 еп = II ёп + (Тп?п “ РпТ) Xq II.

*) В статье Г. М. Вайникко [11] аналог этой теоремы получен для не-
линейных уравнений (ср. п. 19.3).
Доказательство. В силу первых двух из соотношений
(17.7) при достаточно больших п (пусть это будет при /г >п0)
выполнены условия леммы 17.1 (р=1). Из этой леммы следует,
что оператор / — Тп при п nQ обратим в £л, причем нормы
обратных операторов ограничены в совокупности:

II(/ - II <с2 (п>п0).	(17.10)

Ввиду тех же соотношений (17.7) ограничены в совокупности
и нормы самих операторов / — Тп:

IIZ-rjKl/^ (п>1).	(17.11)

Пусть Xq и хп — решения уравнений (17.1) и (17.2) соответ-
ственно (существование и единственность их вытекает из непре-
рывной обратимости операторов /—Т и I — Тп). Имеем

Т n) (%п Р n^o) fп Рп^О + ТпРцХ^

или, так как Рпх^ = PJxq + Pnf,

(1-Тп) (хп - Рпх0) = gn + (ТпРп - РпГ) Xq.

Отсюда на основе неравенств (17.10) и (17.11) получаем оценку
(17.9).

Оценка (17.8) является следствием оценки (17.9). Нужно
лишь заметить, что

^<\\gn\\+\\(TnPn-PnT)XQ\\^

= Un II+ 11 SnPnxQ-PnTP^xQW^

< II gn II + II Sn I) • || PnxQ || +1| PnT || • || P^xQ ||.

Наконец, сходимость xn-+xQ вытекает из соотношений (17.7)
и (17.8), так как

II Р(п)*о II <II P^TxQ 11+II P^f ||<II Un II. II Xq II+11 P^f ||->0 при n-> OO.

Теорема доказана.

Упражнение 17.4. Показать, что в условиях теоремы 17.1 справед-
лива оценка (с', с" = const > 0)

с II gn + $пХп “ Р{п}х01| < || %п ~ хо II < с" || gn + Snxn - P(n)xQ ||.

Упражнение 17.5. Заменим первое из соотношений (17.7) условием
11^11-11(7— Г)-1|1^<7<1 (я>По). Показать, что оценки (17.8) и (17.9)
остаются в силе.

Упражнение 17.6. Пусть при |1=1 выполнены условия леммы 17.2.
Установить оценку

II Хп - Хо IK —|| Хп - Тхп - / II •.
17.4.	Связь с общей теорией приближенных методов
Л. В. Канторовича. Из теоремы 17.1 легко получить известную
теорему Л. В. Канторовича о сходимости приближенных мето-
дов. Будем считать, что в уравнении (17.2) fn = Pnf, т. е. в ка-
честве приближенных решений уравнения (17.1) принимаются

решения уравнения

%п = ТП%П 4" Рnf 1

(17.12)

где Тп, как и прежде, — линейный непрерывный оператор в под-
пространстве Еп. Проектор Рп (РпЕ = Еп) предполагается огра-
ниченным. Пространства Е и Еп и операторы Т и Тп связы-
ваются следующими условиями.

I.	Для любого zn^En

II.	Для всякого х^Е найдется zn<=En такой, что

|| Тх — zn||<Tb IWI-

III.	Существует элемент zn<=En такой, что

ll/-*nll<U

Теорема 17.2.*) Пусть оператор I — Т непрерывно обра-
тим в Е, и пусть выполнены условия I, II, III, причем

|я->0, II Рп 0, ||Р„||£„->0 при. П-+ОО. (17.13)

Тогда при достаточно больших п уравнение (17.12) имеет
единственное решение хп и последовательность хп по норме
стремится к решению х0 уравнения (17.1). Справедливы оценки

(17-14)

где

II %n ^0 II + II II Р (*0>

р (г, Еп) = inf || z - zn ||.
zn^En

(17.15)

Доказательство. Условие I означает, что l|Sn||-<gn. Из
условий II и III и из (15.20) вытекают неравенства

II Uп || = || Р^Т || < (1 +1| Рп (|) ть < 2 ть || Рп ||, || P^f || < 2 U Рп ||.

*) Л. В. Канторович [2] (см. также Л. В. Канторович и Г. П. Акилов
[1]); в этой статье теорема доказана при дополнительном условии: из разре-
шимости уравнения (17.12) при любой правой части следует непрерывная
обратимость оператора /—Гп; пространство Е не предполагается полным.
Из этих неравенств и соотношений (17.13) следует, что выпол-
нены условия теоремы 17.1.

Оценка (17.15) вытекает из (17.8) и (15.20). Оценка (17.14)
вытекает из (17.8) и неравенства

II P{n)xQ || < И Р^Т || • || х0 II + II P{n)f II < 2nJ| Рп || • |] х01| + 2^ || Рп ||.

Теорема доказана.

Упражнение 17.7. Показать, что утверждение, содержащееся в
упражнении 7.14 (стр. 107), вытекает из леммы 17.1.

Упражнение 17.8. Доказать аналог теоремы 17.2 в случае, когда
Е — неполное линейное нормированное пространство; подпространства Еп
по-прежнему предполагаются полными.

17.5.	Возмущение галеркинского приближения. Здесь мы
изучим вопрос о том, насколько решение галеркинского уравне-
ния (17.3) отличается от решения возмущенного уравнения
(17.4). Мы рассмотрим уравнение

(17.4')

где Sn — произвольный оператор, a gn — произвольный элемент.

Теорема 17.3. Пусть оператор I—Т непрерывно обратим
в Е, и пусть

||t/n||->0 при П-+ОО (Un = T — РпТ).

Тогда найдутся не зависящие от п и f положительные по-
стоянные сг, с2, Ср с2 и натуральное число nQ такие, что
имеют место следующие утверждения:

1)	если l|Sn||^o, то уравнение (17.4') однозначно разрешимо и

II хп - х„ II < С! || Sn II • IIРnf II + с2 II gл	(и > и0), (17.16)

где хп и хп — решения уравнений (17.3) и (17.4х) соответственно;

2)	если gn = 0, то при любом Sn (||SJ|<^o) и некотором
f (f зависит от Sn, а вместе с тем и от п)



(17.17)

3)	если Sn = 0, то при любом gn^En и любом f

^п-Хп{\>С2\\ёп

(17.18)

Доказательство. Возьмем
ную о > 0, чтобы при || || ^ о и
венство

«(II t/JI + ll S„||)<<7<1

такое и0 и такую постоян-
п nQ выполнялось нера-

(х = II (7 - ту11|).

Тогда из леммы 17.1 следует обратимость операторов / — РпТ и
I — РпТ — Sn, причем

||(/ - РпТ)-' |1<-Лт, II(; - РпТ - S„)-1 II <(n^nQ- IISJKa).

(17.19)

Тем самым доказана разрешимость уравнений (17.3) и (17.4х).
Имеем

(J РпТ Sn) *п = Р nf + ёп> U РпТ Sn) хп = Pnf Sn%n>
откуда

%п %п = (J РпТ Sn) (ёп 4	(17.20)

Принимая во внимание (17.19), получаем неравенство (17.16),
/	\2

в котором =	» C2=7Z7^-

Положим Srt = 0. Тогда из (17.20) следует, что

откуда вытекает неравенство (17.18) с постоянной

Пусть теперь, наоборот, grt = 0, a Sn (|| Sn ||^<т) произвольно.
Из (17.20) заключаем, что

Возьмем элемент хп е Еп так, что

II Snxn ||> /|| Sn || • || хп ||	(/ = const, 0 < / < 1).

Заметим, что выбранный элемент хп является решением урав-
нения (17.3) при f = хп — РпТхп\ при этом

Будем считать, что хп — решение уравнения (17.4х) при том же/.
Из трех последних неравенств получаем оценку (17.17), в ко-
торой

с' = q' inf

0.

Теорема доказана.

У п р ажнение 17.9. Пусть выполнены условия теоремы 17.3. Пусть
(/= 1, 2) — решения уравнения (17.4') при возмущениях gn = g^\	=
с(0

o’; i = 1, 2; п п0). Установить аналог неравенства (17.16):

(1)

(2)

(* = 1, 2).

Перенести на рассматриваемый случай остальную часть теоремы 17.3.

Результаты этого упражнения могут быть использованы при
исследовании устойчивости при численной реализации прибли-
женных методов типа (17.2).

17.6.	О базисах в подпространствах гильбертова простран-
ства.

Лемма 17.3*). Пусть Gn и Нп — п-мерные подпространства
гильбертова пространства Н с раствором

Q(Gn, Нп)< 1.

Тогда в Gn найдется ортонормальный базис ..., ип, а
в Нп — ортонормальный базис , vn такие, что

=	(i, / = 1, ..., п),	(17.21)

где bij — символ Кронекера (6^ = 0 при i=f=j> 6u=l), и постоян-
ные Рг удовлетворяют неравенствам

{1 —[0(G„, О2}7’< < 1	(4 = 1...., л). (17.22)

Доказательство. Обозначим через Qn и Рп ортопроек-
торы, соответствующие Gn и Нп. Оператор

Рп = Р nQnPn
самосопряжен и положительно определен в пространстве Нп.
Действительно, для любых х,у Нп имеем

(Ру) (РnQn,PпХ'» у) (Qn%> у) Qn^/)	РпУ)*

(Pnx, х) = (Qnx, х) = II Qnx II2 =

= \\х ||2 -1| х - Qnx II2 > {1 - [0 (Gn, Нп)]2} II х II2.

Очевидно также, что

ЦРпН < 1.

Обозначим через р2, ...» р2 собственные значения оператора Рп.

Из последних двух неравенств вытекают неравенства (17.22).

Пусть Vi,..., vn {Vi е Нп) — ортонормированная система соб-
ственных элементов оператора Рп, соответствующих Р2, ..., р$.
Ясно, что ..., vn — ортонормальный базис Нп. Положим

Ui — □ . QnVi 0*	1> • • • > П).

*) М. Г. Крейн? М. А. Красносельский, Д. П. Мильман [1].
Поскольку	ТО PnVi = Vi и

(i/f, Uj) =	QnVj) = 0/0/ (QnPnVi> P' nPj) =

1	02

= W^nUz’	^=б^’

т. e. Ui,..., un — ортонормальный базис Gn. Точно так же уста-
навливается (17.21). Лемма доказана.

17.7.	Лемма о матрицах Грама. Пусть epi,..., фп и фь..., фп—
два набора линейно независимых элементов гильбертова про-
странства Н. Обозначим через Хп и наименьшие собственные
значения матриц Грама

/(ф1> Ф1) (ф2, Ф1) ••• (фп, Ф1)\

А-п = I..........................I»

Мфь Фп) (ф2, Фп) ••• (фп, Фп)у	(17 241

/ (Ф1, Ф1) (Ф2, Ф1) • • • (Фп> Ф1) \

М„= .............................

\ (Ф1, Фп) (Ф2, Фп) • • • (Фп, Фп) ' .

соответственно. Через Gn и Нп обозначим линейные оболочки
элементов фь..., фп и фь ..., фп соответственно.

Упражнение 17.10. Доказать, что матрицы (17.23) положительно
определены и поэтому Хп>0, цп>0.

Наряду с матрицами Грама (17.23) введем «смешанную»
матрицу

/ (фь Ф1) (ф2, Ф1) ••• (Фп, Ф1)

Л„= ............................

\ (фь Фп) (ф2, Фп) • • • (фп, Фп)

и рассмотрим ее как оператор в п-мерном евклидовом простран-
стве Rn с обычной нормой

Введем, далее, оператор Тп, переводящий Gn в Rn по фор-
муле
(п	\

2 £ уФ у G п j •
/=1	/

Из определения операторов Ап и вытекает соотношение

(п	\

= 2ЧуФу; =	. (17.24)

/=1	1
Лемма 17.4. Пусть раствор Q(Gn, Нп)< 1. Тогда операторы
Ап Тп обратимы и

и	II=-pU,	(17.25)

----------;-------ТГ- (17.26)

{1 - [0 (Gn, Нп)]г}'*

Доказательство. Пусть ui,..., ип и Vi,..., vn — такие
базисы подпространств Gn и Нп соответственно, что (см. лем-
му 17.3)

(иг*, Uj) = d$j, (^г, ==бг’Д (^г,	= PiSij (G /= I, • • • > ^), (17.27)

где постоянные рг- удовлетворяют неравенствам (17.22). По-
скольку ф1,..., фп — тоже базис Gn, то элементы щ выражают-
ся в виде некоторых линейных комбинаций

Ui jZj Clktyk	1> • • • > ^)>

/г=1

причем матрица Crt = (c^)^=1 неособенная. Аналогично

Z=1

и матрица Dn = (dji)^l^i неособенная. Условия (17.27) запишутся
в виде
п п

5 сik 2 (фь ф/)	— ^ij>

fe=l Z=1
п п.

djk (ip&, ipz) djt	61 j,

Ы Z=1
n n
2 cik 2 (фь ^z)^z = Pz6z;
k=\	Z=1

(z, j 1, * • •) tl)f

или, в матричной записи,

где штрих означает переход к транспонированной, а звездочка —
к эрмитово-сопряженной матрицам, 1п — единичная матрица,
Вп — диагональная матрица с Pi2..., рп на главной диагонали.
Из (17.28) делаются следующие заключения:

(17.29)

(17.30)

где ап — определенное в (17.26) число, а черта над матрицей
означает переход к матрице с комплексно-сопряженными эле-
ментами.

В самом деле, из (17.28) находим
(л'Г1 = с* с

Вспомнив, что Хп — наименьшее собственное значение матрицы
Лп, а значит и матрицы Л'П) получаем

Аналогично доказывается второе из равенств (17.29). Заметив,
что (CnAnDnY = DnAnC'n и что в силу (17.22)

II BnIKi,

получаем из (17.28) неравенства (17.30). Подчеркнем, что обра-
тимость Вп влечет за собой обратимость матрицы Ап. Ввиду
(17.24) обратим также оператор Yn.

Убедимся, что

llzn||= (Сл) £(n) k= 2Cm; С<п) = (Сь .... U • (17.31)

\	Л=1	/

Действительно, положив £(п) = С'т](п), имеем

п	п / п \	п п	п

z„ = 2 Cm = 22 с{ку\{ <pft = 2 п/ 2 cik<pk = 2 им,
Л=1	= 1	/	1 = 1 k=l	i = l

откуда

(17.29) и (17.31)

Докажем равенство (17.25). В силу (17.24),
имеем



т. е. ||л;'Т„||с 1//Л„. Чтобы вместо неравенства получить
равенство (17.25), достаточно указать вектор такой, что
||^)||=^L,
Таковым является собственный вектор матрицы Ап, соответ-
ствующий Кп. Действительно, для этого вектора имеем

п 2 п

2 ^Ф/ = 3 (Фь фО Ui = (АЛ U>) = КII £(п> II2.

i = 1	i, k=\

Докажем оценки (17.26). В силу (17.24), (17.29), (17.30) и
(17.31) имеем

откуда вытекает второе из неравенств (17.26).

Используя вновь (17.24), (17.30) и (17.31), находим



т. е.

1|5ЛпП<1.

С другой стороны, согласно (17.29) имеем

Сопоставляя последние два неравенства, приходим к первому
из неравенств (17.26).

Лемма доказана.

Упражнение 17.11. Пусть выполнены условия леммы 17.3. Показать,

что

17.8. Устойчивость метода Галеркина — Петрова. Пусть {ср^}
и {гр/г} — две координатные последовательности в сепарабельном
гильбертовом пространстве Е = Н. Пусть приближенное решение
уравнения (17.1) ищется в виде
п

(17.32)
/-1

и определяется по методу Галеркина — Петрова из условий

(х„- Txn — f, ф() = 0 (i = l..........п).	(17.33)

Это приводит к системе уравнений

п

2 (ф/- Т’фу, Фг) £;• = (/> Ф»)
/=1

(г- = 1.....п).	(17.34)
Из-за погрешностей, допускаемых при вычислении скалярных
произведений, в действительности приходится решать не систему
(17.34), а некоторую возмущенную систему

п

S [(ф;-Гф7,	= ф<) + 'У< (i = l,...,n),	(17.35)

/=1

в результате чего вместо «точного» приближения (17.32) нахо-
дят возмущенное приближение

п

%п = 2 уф у*

/ = 1

(17.36)

В этом пункте исследуется вопрос об устойчивости приближе-
ния хп относительно малых возмущений уг?- и уг*).

Введем обозначения для матрицы и столбца возмущений:

= (Yz у)

п

/=Р

Y(n) = (Yi.

Yn)-

Матрицы и векторы будем рассматривать как операторы и эле-
менты евклидова пространства 7?п; соответствующий смысл при-
дается их нормам. Примем из п. 17.7 также следующие обо-
значения: Gn и Нп —линейные оболочки элементов фь ...,фл
и г|)1, ..., г|)п соответственно, и — наименьшие собственные
значения матриц Грама (17.23).

Нетрудно видеть, что последовательности Хп и	(п =

= 1,2,...) не возрастают, поэтому существуют неотрицательные
пределы

Хо = lim
п> оо

Но = lim [л„.

П-> ОО

Если Хо > 0, то последовательность {фд} называется сильно ми-
нимальной. Сильно минимальной будет, в частности, каждая
ортонормированная последовательность.

Упражнение 17.12. Система элементов называется минимальной, если
ни один элемент системы не принадлежит замкнутой линейной оболочке
остальных. Показать, что сильно минимальная последовательность мини-
мальна.

Упражнение 17.13 **). Пусть последовательность {%j) минимальна
в Н, но не сильно минимальна. Показать, что существует последовательность
чисел Cj такая, что — сильно минимальная последовательность.

*) Устойчивость проекционных методов исследовалась рядом авторов;
основные достижения подытожены в монографии С. Г. Михлина [8], инициа-
тора этих исследований. Описание поведения возмущенного приближения,
приводимое в виде теоремы 17.4, принадлежит Г. М. Вайникко и публикуется
здесь впервые; см. также близкие по результатам работы Г. Н. Исковой и
М. Н. Яковлева [1], Г. М. Вайникко [7, 12, 6] и Л. Н. Довбыш [Ц.

**) Л. И. Довбыш [2J.
Как видно из следующей теоремы, последовательности чи-
сел Кп и достаточно полно характеризуют «меру устойчи-
вости» приближения (17.36) относительно малых возмущений
системы уравнений Галеркина — Петрова.

Теорема 17.4 Пусть оператор Т вполне непрерывен в Н,
оператор I — Т обратим, координатные последовательности {<Рг}
и {г|)2} полны в Н, и

lim0(Gn, Нп)<1.

(17.37)

Тогда найдутся не зависящие от п и f положительные посто-
янные а, ср с2, с', с' и натуральное число nQ такие, что имеют
место следующие утверждения'.

1)	если ||Гп||^а У Урп, то система уравнений (17.35)
однозначно разрешима и

М f П_
V Кг

(п>п0), (17.38)

где хп и хп — приближения (17.32) и (17.36), соответствующие
невозмущенной и возмущенной системам (17.34) и (17.35);

2)	если у^ = 0, то при некотором Г„ (||Гл||^сг ]/Лд У\ьп )
и некотором (f зависит от Гп, а вместе с тем от п)

(17.39)

(п^п^У,

3)	если Гп = 0, то при некотором у<п> (сколь угодно малом по
норме) и любом f е Н

г

II хп - хп II > -II у(п> II (n>n0).	(17.40)

т Нп

Доказательство. Обозначим через Рп ортопроектор, со-
ответствующий Нп. При доказательстве теоремы 16.1 мы устано-
вили, что равенства (17.34) или, что то же, равенство

можно записать в виде галеркинского уравнения

хп = РпТхп +Pnf,	(17.41)

где рп = р~„рп — проектор, проектирующий Н на Gn, ^--суже-
ние ортопроектора Рп на Нп. Там же показано, что \\Т—РпТ\\->0
при м—> оо, т. е. для галеркинских уравнений (17.41) выполнены
условия теоремы 17.3.
Таким образом, невозмущенной системе уравнений (17.34)
соответствует галеркинское уравнение (17.41). Мы покажем, что
возмущенной системе уравнений (17.35) соответствует возму-
щенное галеркинское уравнение _

%п — РпТ %п + Snxn Р nf	(17.42)

в котором

s„ =	g„ = ^Vn);	(17.43)

операторы Ап и Тп определены в п. 17.7.

Обозначим через Тп оператор, действующий из Н в Rn, опре-
деленный формулой

Tnz= ((z, ф1),..., (z, фп))	(z(=H).

Очевидно, Тп — сужение Тп на подпространство Gn. Убедимся,
что	_

Рп =	(17.44)

Действительно,

п = т;1	(р„ + р(п)) = рп + ^пр(п\

где р(п> = 1^—рп. Мы воспользовались тем, что Рп переводит Н
на Gn и Тп = Тп на Gn. Для вывода формулы (17.44) остается
заметить, что

(p(n)z, 1|)Z) = (г - P~nPnz, Рп^ = (P„z - Pnz, фг) = О (i = I, ..., n),

и поэтому Ч^Р^ = 0.

Запишем возмущенную систему (17.35) в матричном виде:

Anin = Bnln + r„i„ + ^nf + Vм-	(17.45)

Здесь

/(Т'Фь Ф1) (Т<р2, Ф1) ••• (Тфп. Ф1)
в„= .................................

ЧТфь Фп) (Др2» Фп) ••• (Гфп. Фп)

из определения операторов Ф'п и Вп вытекает, что

(17.46)

Опираясь на равенства (17.24) и (17.46), перепишем уравнение
(17.45) в виде

w г =йг т? I Г д-'ш г  пт f .
ПЛП — 1 П1 лп * 1 п^п * плп г П1 I \

Применив к обеим частям оператор Тй и воспользовавшись со-
отношением (17.44), окончательно придем к уравнению (17.42).
Решения возмущенной системы (17.35) и уравнения (17.42) свя-
заны соотношением (17.36).

Для возмущений Sn и gn, заданных формулами (17.43),
имеем на основе леммы 17.4

II Sn II < II т;' II. II г„ II • II А~п‘ wn II < II Г„ II,
V	V цп

шкк1

причем lim ап < оо в силу условия (17.37). Нетрудно построить
П -> оо

специальные возмущения Гп и так, чтобы для соответствую^
щих Sn и gn имели место равенства

II Sn II = IIЧД II • у Г„ II. II Ап"¥п II, II gn II = II II • II Y(n) I

Согласно лемме 17.4 имеем для этих возмущений

|| gn || >	|| у<«> ||.

V Цп

Теперь все утверждения доказываемой теоремы непосред-
ственно вытекают из теоремы 17.3, которую можно применить к
уравнениям (17.1), (17.41) и (17.42). Отметим лишь, что при
доказательстве неравенства (17.38) нужно учесть, что нормы
HPnll (п=1,2,...) ограничены в совокупности (см. доказатель-
ство теоремы 16.1), и поэтому



Теорема доказана.

Упражнение 17.14. Доказать неравенство

II хп-хп ||,

где £(п) и — решения систем (17.34) и (17.35) соответственно, а хп и
хп—соответствующие им приближения (17.32) и (17.36).

17.9. О сходящихся квадратурных процессах. Здесь мы дока-
жем один вспомогательный результат, используемый ниже в
п. 17.10 при исследовании сходимости метода механических ква-
дратур для интегральных уравнений.

Рассмотрим квадратурную формулу

Ь	п

J z (s) ds = 2i ajn z (sJn) + Rn (z)
в	/-l

(17.47)
с остаточным членом /?п(г), положительными коэффициентами
ocjn и узлами интерполяции в [а, 6]:

а *

s2n

$пп

Нас будет интересовать одна специальная характеристика схо-
димости квадратурного процесса (17.47).

Обозначим
r -
Р/л п

2 ам

/=1
п

Ясно, что В;п>0 и 2₽/п = b — а. Разделим отрезок [а,Ь] на п
/=1

непересекающихся интервалов

J 1п [^> 4” Р1п)> 2tl 4" Pl/Z> 4~ Pin 4” Р2п)> • • • > пп Рпп> ^]*

Введем затем подмножества

О jn	I Jn \ U ] U {S/nJ

\ / = 1 /

(/=1,

п),

где {sjn} означает одноэлементное множество, состоящее из чис-
ла Sjn. Другими словами, мы перестраиваем множества пе-
ренося точку Sin К /щ, точку «2п К Jzn И Т. Д. ЯСНО, ЧТО

sJn^DJn, (j£)yn = [a, &], Dlnf\Djn=0 при i^=j,	(17.48)

/=1

mes = mes 7?„ = P;n (/=!,...,n).

Лемма 17.5. Пусть квадратурный процесс (17.47) сходится,
т. е.	при п-+оо для любой непрерывной на [а, 6] функ-

ции z(s).

Тогда диаметры подмножеств Djn стремятся к нулю*.

max sup |s'— s" |->0

1</<п s',s"^Din

Доказательство. Обозначим

Узп — OCjn Pjn*

при п->оо.

(17.49)

(17.50)

Применим квадратурную формулу (17.47) для функции гД^) — !;

п

b-a=^ajn -1- Rn(zi).

i=i
п

Так как ft —а=2Рм и все числа (/=1, •••, я) одного
/=1

знака, то

п

SlY;»l = |/?n(zi)|->0 при п—>оо.	(17.51)

/=1

Соотношение (17.49) может быть нарушено по двум причи-
нам: либо длины интервалов Jjn не стремятся к нулю при п-> оо,
либо некоторые из точек sjn далеко расположены от соответ-
ствующих Jjn> Покажем, что в обоих случаях квадратурный про-
цесс (17.47) расходится.

Длина интервала Jjn равна pjn, и в первом случае найдется
такая подпоследовательность Р/ п > что

(6 = 1,2,...),	(17.52)

где т] — некоторая положительная постоянная. Перейдя, если
нужно, еще раз к подпоследовательности, будем считать,
что соответствующая последовательность узлов интерполяции
сходится:

sibfib So [<2, ft] при fe->oo.

Допустим, что s0^(a, ft); уменьшив, если нужно, число т), будем
считать, что s0 входит в (a, ft) вместе с окрестностью ($0 — т|/2,
$о + ц/2). Для непрерывной на [a, ft] функции z(s), равной 1 при
|s— So|^r)/4, 0 шри |s — Sq|^>y]/2 и линейной при ц/4
<|s —$о|<ц/2,

z(s)ds = ^i\.	(17.53)

J	4

a

С другой стороны, при достаточно больших k точка s/^ попа-
дает в отрезок |s — So|<^t]/4, в котором z(s)=l; поэтому

2 ам*г > <Hk4;

пользуясь условиями (17.51) и (17.52), получаем при больших k

nk

/=i

Сравнив это с (17.53), приходим к заключению, что квадратур-
ный процесс (17.47) для построенной функции z(s) расходится.
Мы допустили, что sQ^(a,b). Если sQ = a или So = b, то функция
z(s), для которой квадратурный процесс (17.47) расходится,
строится аналогично. Предоставим это сделать читателю.

Перейдем к рассмотрению второго основного случая: некото-
рые из точек Sjn далеко расположены от соответствующих /7П-
Более точно, найдется такая последовательность узлов п
расстояние которых до соответствующих Jjknk превышает неко-
торое положительное число т). Перейдя, если нужно, к подпо-
следовательности, будем считать, что каждая точка sjknk рас-
положена от соответствующего Jjknk по одну и ту же сторону,
для определенности — справа, и что правые концы интервалов
7/ стремятся при >оо к некоторому пределу	&].

к к

Правым концом интервала 7/.п. является число а+ 5 ₽м*» п0'
ti tv	я _ । JR

этому

ik

при й->оо,

J = 1 R

а ввиду (17.51) также

5 ainh-* s. — а при k —>оо.	(17.54)

/=1 й

Ясно, что S[<b (в противном случае точки Sjknk при больших k
вышли бы из [а, &]). Будем считать и настолько малым, что

+ Для непрерывной функции z(s), равной 1 при
а s $!, О при + Ti/2 s b и линейной при s $1 + ц/2,

ъ

J z(s)ds = (sj — а) + у •	(17.55)

а

С другой стороны, при достаточно больших k

(17.56)

Действительно, так как точка sjknk расположена от Jjknk справа

на расстоянии

а правые концы Jj п стремятся к то

sjbnb >$i + т|/2 при больших k, а тем более sjn > si + т)/2 для
К К

j> ik, т. е. Sjnb попадает для ]>jk в область, где z(s) = 0.

*	*	AV

Из (17.54), (17.56) и (17.55) следует, что квадратурный прсь
цесс (17.47) для построенной функции z(s) расходится,

Деима доказана.
Упражнение 17.15. Показать, что (17,49) является необходимым и
достаточным условием сходимости квадратурного процесса (17.47), если
п

2 о/п -> b — а при п -> оо.

7=1

17.10. Метод механических квадратур для интегральных урав-
нений*). Рассмотрим линейное интегральное уравнение

ь

х(0 = f /<(/, s)x(s)ds + f(t).	(17.57)

ь

а

Будем предполагать, что ядро /<(/,$) непрерывно в квадрате
a^t, а свободный член f(t)—на отрезке [а, Ь].

Исходя из квадратурной формулы (17.47), будем вместо ре-
.шения xQ(t) уравнения (17.57) искать его значения x0(sjn) в
узлах интерполяции sjn (j = l,...,n). Приближенные значения
|jn~^o(5jn) определим из системы уравнений

п

^>in~	($1п> $ jn) ijn f	(^* = 1, •••> 71). (17.58)

Эта система получается из уравнения (17.57), если интеграл от
7((/, s)x(s) заменить квадратурой согласно формуле (17.47), в
которой отбрасывается остаточный член, и придать затем пере-
менной t последовательно значения Sin,...,snn.

Теорема 17.5. Пусть уравнение (17.57) имеет единственное
непрерывное решение хо(О- Пусть квадратурный процесс (17.47)
сходится.

Тогда при достаточно больших п система уравнений (17.58)
имеет единственное решение (gm,..., gnn) и

max | Zjn-x^Sjn) |->0 при п->оо. (17.59)
1

Быстрота сходимости характеризуется неравенствами

c{rn < max | l]n - х0 (sJn) | < с2гп,	(17.60)

К

где ch c2 = const>0,

Гп = max I /?„ (z,„) I,	ztn (s) = К (sln, s) x0 (s),

T?n(2) — остаточный член квадратурной формулы (17.47).

Д о к а з а т е л ь с т в о. Интегральное уравнение (17.57) будем
рассматривать как операторное уравнение (17.1) в банаховом

*) Библиографию работ по методу механических квадратур см. в книге
Л. В. Канторовича и В. И. Крылова [1]. В этом пункте воспроизводим дока-
зательство сходимости метода, построенное Г. М. Вайникко [И] для слу-
чая нелинейных интегральных уравнений.
пространстве Е ограниченных и измеримых на [а, Ь] функций х(/),
\\х\\= sup I X (0 |.

Непрерывность ядра /<(/,$) влечет за собой полную непрерыв-
ность оператора

ь

Тх= К {t, s) х (s) ds

a

как оператора из £ в пространство С непрерывных на [а, Ь]
функций. Тем более Т вполне непрерывен как оператор в Е. Опе-
ратор / — Т обратим в Е. Действительно, из Xj е £, Х\ = Тх\ сле-
дует Xi С, ибо Т переводит Е в С. Но так как уравнение
(17.57) имеет единственное непрерывное решение, то Xi = 0, в
чем и нужно было убедиться.

Обозначим через %jn(s) характеристическую функцию по-
строенного в п. 17.9 множества Djn:

(1 при se Djn,
Xjn (5) — | Q ПрИ s £=

(/	!>•••> ft)»

Пусть En — линейная оболочка функций (/=l,...,ft). Оче-
видно, Еп — замкнутое подпространство в Е. Из линейной неза-
висимости функций fan (/=1, • • •, п) следует, что система урав-
нений (17.58) равносильна уравнению (17.2), в котором

(17.61)

п

ftl = 2 f ($1п)
i = l

i=i

.62)

Равносильность понимается в следующем смысле: вектор
(£1П, • • •»Inn) будет решением системы (17.58) тогда и только
п

тогда, когда хп = S Zjnljn будет решением уравнения (17.2).

Имея целью применить теорему 17.1, введем проектор Рп,
проектирующий Е на Еп. Зададим Рп формулой

п

Из (17.48) вытекает, что РпЕ — Еп и Pnzn = zn для zn^En, т. е.
что Рп действительно является проектором. Проектор Рп ограни-
чен, ||РП|| — 1. Далее, в силу леммы 17.5 для любой непрерывной
(а значит, и равномерно непрерывной) на [а, Ь] функции z(s)
имеем

шах

п

z(s)-s z(syn)xy„(s) = max sup | z(s) - z(sjn) |-> 0

/=1	l<j<ns^Dln

при гг->оо. Другими словами, последовательность проекторов
Рп, как операторов из С в £, сильно стремится к оператору вло-
жения С в Е. Вспомнив, что Т вполне непрерывен как оператор
из £ в С, получаем на основе леммы 15.5

llt/nll->0 при n->oo (Un = T — РпТ).

Далее, имеем fn = Pnf (см. (17.61)), \\f — Pnf\\~^O при п-+оо.
Для применения теоремы 17.1 остается еще установить, что

1|3„||-*0 при n-*oo (S„= Тп-РпТ).

п

Для zn= 2	имеем

/=1

С другой стороны, с помощью (17.48) и (17.50) можно (17.62)
записать так:

п^п

Xin

1 — \

Таким образом,

t=i /=1

Отсюда

max

1 < i
где М = max | К. (t, s)|. Ввиду равномерной непрерывности
функции /<(/,$) и соотношений (17.49) и (17.51) получаем, что
|Sn||->0 при п->оо.

Итак, теорема 17.1 применима. При п>по уравнение (17.2)
п

имеет единственное решение хп = S что, как уже отме-
/=1

чалось, равносильно однозначной разрешимости системы (17.58).

Из сходимости ||хп — %о1|->О (см. теорему 17.1) и неравенства

max | lJn - xQ (sjn) | = || xn - Pnx01| < || xn - x01|	(17.63)

вытекает (17.59). Оценка (17.60) вытекает из (17.9) и равенства
(17.63). Нужно лишь заметить, что в данном случае £п = 0 и
\\(РпТ—ТпРп)хъ\\=гп, где гп — определенное в формулировке
теоремы число.

Теорема доказана.

По решению (£in,..., gnn) системы (17.58) можно различ-
ными способами строить аналитические приближения xn(t) к
хо(О- Наиболее естественно положить

п

*п (0 = 2 (if sjn) £ jn + f (/).

7 = 1

Составление этой функции не требует дополнительных вычис-
лений.

Упражнение 17.16. Пусть выполнены условия теоремы 17.5. Пока-
зать, что ||Хп —х0|| —> 0 при	оо. Установить оценку

max I хп (/) - х0 (/) К с max | Rn (z/) I, Z/(s) = /<(/, s) х0 (s).

Упражнение 17.17. Пусть s) и f(t) имеют tn непрерывных про-
изводных no t. Пусть выполнены условия теоремы 17.5. Показать, что тогда
шах | х^ (/) — х^ (/) | -> 0 при и~>оо (/ = 0, 1, ...» /и). Установить оценки
1 1

сходимости.

§ 18.	Проекционные методы в проблеме собственных
значений

18.1.	Проблема собственных значений. Рассмотрим в ком-
плексном (ср. п. 18.9) банаховом пространстве Е уравнение

* = 1x7*.	(18.1)

Оператор Т будем на протяжении всего параграфа считать
линейным и вполне непрерывным. Нас будут интересовать
собственные значения и собственные и корневые элементы урав-
нения (18.1). Напомним основные понятия.

Собственные значения уравнения (18.1) — это те значения
числового (комплексного) параметра р, при которых уравнение
(18.1) имеет ненулевые решения; последние называются собствен-
ными элементами. Множество собственных значений уравнения
(18.1) не более чем счетно и не имеет конечных точек сгущения.

Подчеркнем, что выше мы пользовались понятием собствен-
ных значений оператора Т; эти собственныезначения оператора
связаны с соответствующими собственными значениями р урав-
нения (18.1) равенством Хр = 1.

Упражнение 18.1. Пусть в замкнутом ограниченном множестве Q
комплексной плоскости нет собственных значений уравнения (18.1). Показать,
что норма ||(7 — р7")-1|| ограничена не зависящей от peQ постоянной.

Упражнение 18.2. Пусть уравнение (18.1) не имеет собственных зна-
чений в круге Ip — pil^6. Показать, что sup || (7 — рГ)”1 || достигается
px-Hd <6
в некоторой точке окружности |р — щ| = 6.

Пусть ро — собственное значение уравнения (18.1). Собствен-
ные элементы, соответствующие ро, образуют подпространство

Х^ = {х0<=Е: (/-ц0Пхо = 0}.

Построим расширяющуюся последовательность подпространств
Х^=(хое=Е; (/- (х0Пг %о = 0}	(»=1, 2, ...).

Для вполне непрерывных операторов все подпространства Хо
(7=1, 2, ...) конечномерны и среди них есть лишь конечное
число различных, т. е. найдется такое натуральное число /,
что ХоЧ) =^= Хо1) и Хо) = Хо) при iZ^l. Число I называется рангом
собственного значения р0, а число dim Xq1) — кратностью р0;
если Z = 1 и dimXo)= 1, то собственное значение рэ называется
простым, а в противном случае — кратным. Элементы Хо Хо'
(хо¥=О) называются корневыми элементами уравнения (18.1).
Наконец, Хо1} носит название собственного, a XoZ) — корневого
подпространств уравнения (18.1).

Существует ограниченный проектор Qo такой, что Qo и
Q(O) = Z—Qo проектируют Е соответственно на Хо° и на замк-
нутое подпространство

Хо = (/ - ИоПг Е.

Другими словами, пространство Е разлагается в прямую сумму:
Е = Х$ + Хо.
Каждое из подпространств Хо1) и Хо инвариантно относительно
оператора Г, т. е. TXol)czXo\ TXoglXo- В подпространстве Хо
оператор / —р0Г непрерывно обратим, ибо из xQ = ц0Гх0, х0 У= О,
следует, что хо^Хо\ и тем самым хое=Хо.

Упражнение 18.3. Доказать, что QqT = TQq, Т = TQ(®.

При решении проблемы собственных значений является
естественным переход от уравнения (18.1) к (близким в опреде-
ленном смысле) уравнениям в конечномерных пространствах, ко-
торый сводит тем самым первоначальную задачу к проблеме соб-
ственных значений для матриц. О практических методах вычис-
ления собственных значений и собственных и корневых векторов
матриц см., например, И. С. Березин и Н. П. Жидков [1] или, в
более полном изложении, Д. К. Фаддеев и В. Н. Фаддеева [1].

В п. 18.2 дано обоснование перехода от уравнения (18.1) к
уравнениям в конечномерных или бесконечномерных подпро-
странствах пространства Е.

18.2.	Сходимость метода Галеркина с возмущениями*). Пусть
{Еп}— последовательность замкнутых подпространств в Е. За-
меним уравнение (18.1) последовательностью «приближенных»
уравнений



(18.2)

где Тп — линейные вполне непрерывные операторы в Еп
(п= 1,2,...).Чтобы охарактеризовать близость уравнений (18.1)
и (18.2), введем проекторы Рп (возможно, неограниченные),
проектирующие на соответствующие подпространства Еп:

Предполагается, что ТЕ cz D(Pn) (п= 1,2, ...) и что РпТ — огра-
ниченный в Е (а значит, и в Еп) оператор. Все основные факты
будут доказаны в предположении, что**)

Ш|->0, ||t/n||->0 при n->oo (Sn = Tn —РпТ, Un=T — PnT).

(18.3)

Подчеркнем, что операторы Sn действуют в En, a Un — в Е.

*) Результаты этого пункта были (в несколько иных ситуациях) уста-
новлены Н. И. Польским [1,2] и Е. А. Троицкой [1]. См. также Л. В. Канто-
рович и Г. П. Акилов [1], откуда мы, в частности, заимствуем идею доказа-
тельства теоремы 18.1.

**) Напомним, что в случае ограниченных проекторов Рп для соблюде-
ния соотношений (18.3) достаточно, чтобы gn->0, НРпНЛп->0 при п-> оо
где Zn и Tin —числа, фигурирующие в условиях I и II Л. В. Канторовича
(см. стр. 237).
Теорема 18.1. Пусть выполнены условия (18.3).

Тогда для каждого собственного значения ц0 уравнения
(18.1) найдется последовательность цп собственных значений
уравнений (18.2) такая, что цп->цо при п-+оо.

Обратно, каждая предельная точка любой последователь-
ности Цл собственных значений уравнений (18.2) является соб-
ственным значением уравнения (18.1).

Доказательство. Пусть ц0— собственное значение урав-
нения (18.1), а б > О — такое число, что в круге | ц — ц01б нет
других собственных значений уравнения (18.1), кроме р0. Возь-
мем произвольное е, 0<е-<6. Норма ||(/—цГ)-1|| на окруж-
ности — Цо| = е ограничена не зависящей от ц постоянной:

||(7 —НП"*

% (х = const; | — ц01 = е).

Из условий (18.3) на основе леммы 17.1 заключаем, что при
|ц— Цо|=е и при достаточно больших п операторы I—\ьТп
обратимы в Еп, причем нормы обратных операторов ограничены
равномерно по ц и п\

[(/-pTnE'll^x' (х'= const; |ц-ц01 = е; га>п0)- О8-4)

Допустим, что уравнения (18.2) при п = Пг (£=1,2,...) не имеют
собственных значений в круге |ц — ц01	8. Для указанных п не-

равенство (18.4) распространяется на весь круг |ц— ц0|< е (см.
упражнение 18.2). В частности,

Беря здесь п^ достаточно большим, получаем на основе леммы
17.2, что оператор I — [IqT обратим в Е, т. е. ц0 не является
собственным значением уравнения (18.1), вопреки условию. Сле-
довательно, начиная с некоторого и = п(е), уравнение (18.2)
имеет в круге |ц — цо|^8 хотя бы одно собственное значение цп.
Ввиду произвольности е это равносильно первому утверждению
теоремы.

Докажем второе утверждение^ теоремы. Пусть R — сколь
угодно большое, а 8>0 — сколь угодно малое число. В круг
попадает конечное число собственных значений урав-
нения (18.1), пусть это будут ц<1), ...» Обозначим через
йд>е замкнутое множество комплексной плоскости, получаемое
из круга	удалением е-окрестностей точек

В е оператор (/ —цГ)-1 ограничен равномерно по ц:

(/ — цТ) 1 ^х (х = const; цей^>е).

На основе леммы 17.1 заключаем отсюда, что при достаточно
больших п (пусть это будет при n>zii) и любом ц^йл> 8 опера-
торы /—рТп обратимы в Еп, Значит, при П\ те собственные
значения уравнения (18.2), которые по модулю не превосходят
число 7?, попадают в 8-окрестности точек g<!), ..., g^4 Ввиду
произвольности R и 8 это равносильно второму утверждению
теоремы.

Теорема доказана.

Кратному собственному значению g0 уравнения (18.1) обычно
соответствует несколько различных собственных значений
Hn°> • • •• уравнения (18.2),	при n->oo (1

Используя формулируемую ниже теорему 18.3, легко показать,
что при достаточно больших п кратность g0 равна сумме крат-
ностей ....

Упражнение 18.4. Пусть go— собственное значение уравнения (18.1),
и пусть

II (/-цГ)-1||<х	(| ц - Цо I = е),

[ I ц01 (1 + I ц0 I х II РпТ II) + (| Но I + 8) х] || Un II + (2 I ц0 I + е) || S„ || < 1.
Показать, что уравнение (18.2) имеет в круге [g— go I е собственное зна-
чение.

Упражнение 18.5. Пусть gn— собственное значение уравнения (18.2).
и пусть

II (/-цТп)’1 11<*п	(|ц-Н«1 = е)>

(21 цл | + е) тп ||	|| + [ I ц„ | тга + (| цп | + е) х„] || Sn II < 1,

где тп = 1 + (I gn I + е)хп|| РпТ ||. Показать, что уравнение (18.1) имеет в
круге |g — gnl^s собственное значение.

Теорема 18.2. Пусть выполнены условия (18.3).

Тогда из всякой последовательности хп нормированных соб-
ственных элементов уравнений (18.2), соответствующих соб-
ственным значениям gn -> g0, можно извлечь сходящуюся под-
последовательность, и каждая сходящаяся подпоследователь-
ность Xnk имеет своим пределом собственный элемент уравнения
(18.1), соответствующий собственному значению g0.

Доказательство. В силу полной непрерывности опера-
тора Т из последовательности Тхп можно извлечь сходящуюся
подпоследовательность

ТхПъ -> z/o Е при &->оо.

Ввиду (18.3) имеем также

TnkXnk = TXnk~ UnkXnk + SnkXnk~*yv ПРИ k -> °°’

a Так KaK gn go И	TO

^->^0 При
т. e. подпоследовательность хПь тоже сходится.
к
Пусть Хп1г — любая сходящаяся -подпоследовательность,
Xnk-> Xq При fe->oo.

Тогда Txnk->y$ = TxQl и, повторяя проведенные рассуждения,
получим

Xnk HoZ/o = Но^о при k -> оо.

Итак, имеем хп/г—>хо и хПк -> откуда х0 = р,07'х0.

Теорема доказана.

Следует иметь в виду, что не всегда все собственные элемен-
ты уравнения (18.1) можно получить как пределы собственных
элементов уравнений (18.2). Чтобы в этом убедиться, достаточ-
но рассмотреть простейший пример:

Теорема 18.3. Пусть выполнены условия (18.3).

Тогда все корневые элементы уравнения (18.1), соответствую-
щие собственному значению jjlq, только корневые элементы
можно получить как пределы линейных комбинаций корневых
элементов уравнений (18.2), соответствующих тем собственным
значениям, которые стремятся к ро при п-^ оо.

В дальнейшем теоремой 18.3 мы пользоваться не будем. Ее
доказательство можно построить, несколько видоизменив рассу-
ждения, проведенные Н. И. Польским [2] при доказательстве
аналогичного утверждения для метода Галеркина (см. также
Е. А. Троицкая [1]).

Упражнение 18.6. Перенести теоремы 18.1 —18.3 на случай, когда
вместо (18.2) рассматривается уравнение

хп $пхп = №Tnxiv

где S'—некоторый линейный ограниченный оператор в Еп,

удовлетво-

ряющий условию

при П-» оо.

18.3.	Быстрота сходимости. Пусть ц0 и — собственные
значения уравнений (18.1) и (18.2) соответственно. Будем при-
держиваться обозначений: Р(п^ = 1 — Рп,

Х'Р = {хое=Е: (/-hoD4 = O},

= [(/-nonTfo = O}.

M0 = {xn <= En: (I - [inTnY xn = 0),

p(x, Xo ’)= inf || x - x01|.'

*0 e X0 *
Отметим, что если X® — корневое подпространство уравнения
(18.1), то Fo0 — корневое подпространство сопряженного к (18.1)
уравнения f = и *) ПРИ этом dim ХоП = dim Fq\ Оператор Т*
действует и вполне непрерывен в сопряженном к Е простран-
стве £*.

Теорема 18,4. Пусть выполнены условия (18.3). Пусть
где ц0 и Цп— собственные значения уравнений (18.1)
и (18.2) соответственно, причем ц0 имеет ранг I.

Тогда справедливы оценки

I Нп — Цо с(115п|| +еп)1/г

(18.5У

и, в случае ограниченных проекторов Рп,

где

(18.6)

е„= sup ||Р(пЧ||’

*ое4'ЧМ=1

<= sup ||(Р(«’)70||. (18.7)
IIM=1

Далее, для любого х'п^Х^п (||хп)||= 1> ^^1) справедливы
оценки

р(х^. O<c(||S„||4-e„)	(18.8)

и, при k

р (?*>, О < с (|	- ц0 |bft+1 + II S„ II + в„).	(18.9)

Упражнение 18.7. Показать, что 8n с || Un || (с = const).

Доказательство теоремы 18.4 проведем лишь для
случая 1= 1, k= 1.

Для хп^Еп имеем

(/ HqT) хп (/	Р'пТп) Хл “Ь (Нп Но) ТцХп Цо (Т Тп) хп.

Положив здесь хп = х„ е

= 1), получаем

rd) = Iх» ~ Но
п Р-п

(т - т.) «г>.

(18.10)

(/ - НоП

*) Имеется некоторое расхождение между свойствами сопряжения в
банаховых и гильбертовых пространствах: в случае банаховых пространств
(р,Т)* = |лТ*, а в случае гильбертовых пространств (рТ)*==йТ*, где ц— ком-
плексно-сопряженное к Ц число. В наших рассмотрениях подпространства
Fq) соответствуют собственному значению Цо уравнения	В случае

же, когда пространство Е гильбертово, F^ будут соответствовать собствен-
ному значению Цо.
Применим к обеим частям равенств^ (18.10) функционал fQ^F{Q}
(llfoll = l). Так как

fo(/-ktoD = (/-!XoT)Vo = O,
то

/ЧМЧ-иЛР'-Л.И’

и

I ?»(^’>) М - I Н„ |  >„| 	(18-11)

Функционал /Fq1 (||fol = 0 в нашем распоряжении. Выберем

его при каждом п^п0 так, чтобы выполнялось неравенство

I fo (Ч'О I > со > 0 (со = const)-

(18.12)

Такой выбор возможен. Действительно, в противном случае для
некоторой подпоследовательности {х^}

—> 0 При /—>оо.

В силу теоремы 18.2 можем считать, что эта подпоследователь-
ность сходится:

Хп^Хо^Х^ при j->oo (||х0||=1).

Предельный элемент х0 обладает тем свойством, что fo(xo)=O
для каждого	Таким образом, свободный член уравне-

ния х = цо7х + Хо ортогонален собственному подпространству F§>
сопряженного однородного уравнения и по теореме Фредгольма
это уравнение разрешимо. Для решения хг имеем

(/ — (10Т)л/ = х0=£0,	(/ — ц0Т)2х' = (/— роТ)хо = О.

Это означает, что ранг собственного значения цо больше еди-
ницы, вопреки условию.

Из (18.11) и (18.12) получаем

|и„-Но|<с1 SUP | А) (Г ~ ЛМ0 I (С, = const). (18.13)

Н^оГ1

Найдем аналогичную оценку для р(хФ, Х^). Пусть Qo —проек-
тор такой, что Qo и Q(0) = / — Qo проектируют Е соответственно
на подпространства Хоп и Xo = (I — ii0T)E (см. п. 18.1). Приме-
ним Q(0) к обеим частям равенства (18.10):

(I-^T)Q^x^ =

Q^-^(T-Tn)x<-"
(напомним, что Т перестановочен с Qo и Q(0))* Так как оператор
I — ц0Т непрерывно обратим в a цп->Но¥=О при п->оо, то
мы приходим к оценке



Совместно с (18.13) это дает

const).

Очевидно, р(%п1}, Хо°)^

Оценим || (Г — Тп) хп1)

«Ч1.

Имеем

(Т - Тп) х™ = ипх(" - Snx(" = UnQ0X(" + UnQV - snx("

И, ПОСКОЛЬКУ QoXn’ Xo ,

UnQox(" = PMT (Qox^) = 4-	(Qo4>).

Цо

Стало быть,

(Г - Тп) х™ = 4- РМ (Qo4°) + Un (Q<O)X®) - SnX(". (18.15)
Цо

Отсюда

I (т - Тп) х? II <	ert + II Un || • || Q^x'n II + II Sn II,

I Ho I

где en —величина, определенная в (18.7). В правой части нера-
венства заменим ||Q(0)Xn)|| оценкой (18.14). Приняв во внимание,
что || Un\\->0 при п—>оо, получим после приведения

II (Т - Тп) Х(п | < С4 (ьп + II Sn II)	(с4 = const). (18.16)

Из (18.13), (18.14) и (18.16) вытекают оценки (18.5) и (18.8).
Оценка (18.9) в рассматриваемом случае (/=1, &=1) не дает ни-
чего нового по сравнению с оценкой (18.8) и является следст-
вием из нее.

Пусть проекторы Рп ограничены. Оценим \fQ(T— T^x{v\.
Очевидно, Uп = P^Uп, и согласно (18.15) имеем

или, если оценить || Q(0)xW|| с помощью (18.14) и (18.16)

дир ifor-7’n)4i)i<^(e?n+e:ii t/„iHi5„n+iis„n).

(18.17)
Для тех /г, при которых е* ^1, оценка (18.6) следует из (18.5),
а для тех п, при которых е* 1 —из (18.13) и (18.17).

Теорема 18.4 для случая /=1, k=l доказана.

Полное доказательство теоремы 18.4 технически сложнее,
однако строится по той же схеме.

Упражнение 18.8. Пусть соблюдаются условия I и II Л. В. Канто-
ровича (см. стр. 237), причем £п->0, || Рп || т]п ->0 при п-»оо, Пусть цп -> Цо
при я-»оо, где Цо и ц„ — собственные значения уравнений (18.1) и (18.2)
соответственно, причем ц0 имеет ранг I. Установить оценки

I Цп - Ио I < с (1п + || />„|| £„)1/z,



Р	' {1п + II рп IIW s В <А) I = 1)'

где

= S,UP Р (Хо> Еп)’
хоеХо ’ llxoll=1

с*	/- гч* „*\

= sup р (f0> РпЕ ).
^^^IPoll-1

Показать, что t>n ст]п.

Упражнение 18.9. Пусть Тп — последовательность вполне непрерыв-
ных в Е операторов, || Тп—Т || -> 0 при и->оо. Пусть уравнение х = цТх
имеет собственное значение Цо ранга /. Показать, что тогда при достаточно
больших п уравнение х = \хТпх имеет собственное значение цп, I Цп — Цо I
^с\\Т-Тп\\Ч1.

Упражнение 18.10. Показатель V/ в оценках (18.5) и (18.6), вообще
говоря, нельзя заменить большим. Обсудить простейший пример:

( 0 1

Быстрота сходимости проекционных методов в проблеме соб-
ственных значений изучалась для случая простых собственных
значений в работах М. А. Красносельского [2, 4, 8] и в общем
случае Г. М. Вайникко [4, 5, 10, 13]. В последней из этих работ
приведено полное доказательство теоремы 18.4. Оценки другого
типа получены Г. М. Вайникко и А. М. Дементьевой [1]. Резуль-
таты п. 18.4—18.8 принадлежат Г. М. Вайникко.

18.4.	Метод Бубнова—Галеркина. Оценки собственных зна-
чений. Имеются в виду оценки, по которым можно оценить
погрешность n-го приближения.

Пусть Т — линейный вполне непрерывный самосопряженный
оператор в гильбертовом пространстве Н. Тогда собственные
значения уравнения

х = ц7х	(18.18)

вещественны и имеют ранг /=1. Будем их обозначать через ца
(£=±1, ±2,...), записав каждое собственное значение столько
раз, какова его кратность:

... < р_3 < р,_2 < и., < о < pj с р2 < ц3 < ...

Написанная последовательность может в одном или обоих на-
правлениях обрываться. Например, если (Гх, х)>0 для любого
хеЯ, то все собственные значения уравнения (18.18) положи-
тельны.

Соответствующий цд собственный элемент будем обозначать
через xk (k= ± 1, ±2,...). Если p=#pj (/= ± 1, ±2,...), то опе-
ратор / — р,Т обратим и

II (/ - нП-1

|И/| 1

I Иу — и | г

(18.19)

Пусть {Нп} — предельно плотная в Н последовательность
замкнутых подпространств, а Рп — соответствующий Нп орто-
проектор. Метод Бубнова — Галеркина в проблеме собственных
значений заключается в том, что приближенные собственные
значения p = p^>n й приближенные собственные элементы x = xk, п
определяются из условий

Рп(х— [iTx) = 0	(хе//п).

Это приводит к уравнению

х = рРп7х,

(18.20)

которое можно равным образом рассматривать как в /7, так и
в Нп. Оператор РпТ самосопряжен и вполне непрерывен в Нп,
поэтому собственные значения р^>п уравнения (18.20) веще-
ственны; занумеруем их так, что

... <Н-2.„<Н_1,п<0<Н|,„<Н2,„< ...

Написанная последовательность обрывается в обоих направле-
ниях, если подпространство Нп конечномерно.

Упражнение 18.11. Показать, что |рл1 |рл, п|.

У п р а ж н е н и е 18.12. Пусть Нп Нп+\. Показать, что | р&, n+i 1^1 Ий, п I.

Упражнение 18.13. Допустим, что Нп — линейная оболочка элемен-
тов epi, ..., фп. Показать, что тогда Ра, п является решением алгебраиче-
ского уравнения

det (Ап —- рВп) =0,

где Ап и Вп — матрицы с элементами а^=(фЬ ф,«) и Ьц = (Т’фь ф0
(t, / = 1, ..., п) соответственно. Показать, что коэффициенты gj в приближен-
ном собственном элементе

п

/=1

нужно определить как нетривиальное решение системы
Теорема 18.5. Справедлива оценка погрешности

1щ.„-Hfe К /2"|Hd • I Vk.n I • II wII, (18.21)
причем

||PW||->0 при n-+oo (p(«) = /_pj.	(18.22)

Доказательство. Имеем

Txk =

1
и*

,П »k,n

%k, IV



Оператор PnTPni так же как оператор Т, вполне непрерывен
и самосопряжен в пространстве Н. По теореме Вейля (см., на-
пример, Ф. Рисе и Б. Секефальви-Надь [1]) £-е по абсолютной
величине собственные значения заданного знака двух вполне
непрерывных самосопряженных операторов отличаются друг от
друга не больше чем на норму разности этих операторов:

_1_____1_

*4 п

^\\Т-РпТРп\\-

(18.23)

Оценим норму \\Т — РпТРп\\. Положив для любого х^Н

z= (Т— РпТРп)х,

имеем

Pnz==PnTP^x,

P^z = Р^Тх.

Отсюда, принимая во внимание, что ТР<п> — сопряженный к Р^Т
оператор, получаем оценки

IIPn^lKII WIMIxll,

||P^z||<||PW II -IIXII,

II г II2 = II Pnz II2 + II P^z II2 < 2II P^T ||2|| XII2.

Последнее неравенство означает, что ЦТ — РпТРп\\ ЦР(п)Г||.
Теперь оценка (18.21) следует из (18.23).

Соотношение (18.22) устанавливается применением лем-
мы 15.4.

Теорема доказана.

Упражнение 18.14. Пусть (Тх,х) >0 для любого хеН. Показать,
что тогда в оценке (18.21) можно множитель отбросить:

0 < 4 „ - Hfe <	„ II P(rt)r||.

Неизвестно, будет ли это уточнение верным и в общем случае.

Указание. Пусть Нт — пополнение Н по скалярному произведению
(х, у}т = (Тх,у). Убедиться, что Т и РпТ вполне непрерывны и симметрич-
ны в Нт и переводят Нт в Н. Воспользоваться теоремой Вейля и пока-
зать, что	II р(п)г||.
Упражнение 18.15. Показать, что для каждого pik, п найдется та-
кое (не обязательно I = fe), что

Указание. Рассмотреть уравнение x=ii(PnTPn+P(n)TP^)x.

' 18.5. Оценки собственных элементов. Продолжим изучение
метода Бубнова — Галеркина (18.20) для уравнения (18.18).
В дальнейшем будем предполагать, что рассматриваемое соб-
ственное значение р^ уравнения (18.18) г-кратно:

(Llfe-l < Pfe = Pfe+l= . . . =Ц/г+г-1 < Ц/?+г-

Обозначим через Xk и Xh,n(Xk, Xk>n^H, dimXft =	= г)

соответствующие р& точное и приближенное собственные под-
пространства уравнения (18.18) с базисами хк,..., Xk+r-i и
xk, п, •. •, x^+r-i, п соответственно, а через Qh и Qk, п — соответ-
ствующие Хк и Xk, п ортопроекторы. Нас интересуют оценки для
погрешностей

II %1, п	Q k%i, п 11 Р п» Хь)

II %k Qk, nXk II = P (%k> Xk, n)

(i = k, . . ., k + r— 1),
(x& Xk).

Теорема 18.6. Справедливы следующие оценки погреш-
ности (х^. — любой элемент из Хк, i = k, ..., k + r — 1):

II %i, n Qk%i, n О ci, n II Р{П}ТXit n ||,

(18.24)

II %k	Qk, nXk II Ci, n

(18.25)

Здесь

r . H*fe |-|	|(1 +Yfe l-ll^ll)

где

при *)

n-^ оо,
(18.26)

Yft = maxJ 1,

sup

IИ/1
|иу-ий|
k+r-1

(18.27)

, lHd-1 Hz.n 1(1 +Yf,n|Hfe 1-llP^II)
l-n

где

при

OO,

(18.28)

Y/i„=max

sup

**/. n

i^k, ..., k+r-i

I Н/, n I

I Р/, n ~~ n I

при

гг-> оо.

(18.29)

|P("TxJ|.

*) Рассматриваются только достаточно большие и, при которых уже
I И/, п I - Yft I И<( „ -	| > о и | ц J-YZ1 п |	ге-и J > 0.

Величину | p-j, п —	| можно заменить оценкой (18.21) или более точ-

ными оценками (18.35), (18.37).
Доказательство. Докажем оценку (18.24), Имеем

(/ HfeT") %1, п =	Н/, пРпТ) %1, п 4“ (P-Z, п Н&) РпТ%l, п V'kP^T%1, п

или, так как xit п = Ц/, nPnTxit п,

(7 - тЛ х(, „ = •<цп—~ xz, „ - iLkPMTXl, п.	(18.30)

Нт, п

Операторы Qk и Г, а значит и операторы Q(k) = I — Qk и Г,
перестановочны, поэтому Q<®T = Q^Q^T = Q^TQ{k\ Применим
к обеим частям равенства (18.30) оператор Q(k):

(I - pkQ®T) Q^xt, „ =	~ И  Q^xi, п - PkQ^P^Txt, п. (18.31)

Hz, п

Оператор Q{kyT самосопряжен в Н; собственными значениями
уравнения x = iiQ(k}Tx являются числа Ц; (/=±1, ±2,...;
/=#/?, ...» fe-hr—1), поэтому оператор I~iikQ(k}T обратим и

|| (/ - mQ(*>D-11| = Уь

где Yfc — постоянная, определенная соотношением (18.27). Далее,
(/ -	= 1 + m (7 - н^’П'1 Q<*>7\

а так как

TQ® = Q^T, || ТР^Тх || = || ТРЫР^Тх || < || Р^Т || • || РмТх ||,

| (7-nftQW7’)-1Q(ft)P(n)7’xz,„||<

< || РЫТхц „ || +1 ml • Vs II Р<п>Т || • || PMTxi, „ ||.
Поэтому из (18.31) вытекают неравенства

II Qwxz. „ || < Y*" Q{k)Xl’п"+

+1 m I (1 + I m I • II pmt II) II PMrXi, n ||.

Приведя подобные члены, придем к оценке (18.24).

Оценка (18.25) доказывается аналогично. Имеем

(7 - н/, пРпт рп) xk = (i- тЛ хк + (m - т, п) т’хй + нг, „ (г - рптрп) хк,
или, так как хк = 11кТхк и Т — РпТРп = РМТ + РпТРЫ,

(7 - Hz. пРпТРп) хк =	п хк + Hz, nPwTxk+Hz, пРпТРЫХк. (18.32)

К обеим частям равенства (18.32) применим оператор
п)= I Qk п Учитывая перестановочность Q(ft> п) с РпТРп,
получаем равенство

= ^~Н,П Q(k' п)х* + Н/. nQ<k' n>P(n>Txk +1*/( nQ^ >*PnTPW>xk. (18.33)

Аналогично, как выше, имеем

II (/ - к nQ(k- п}РпТР„)' || = у{, п,
где уг, п — постоянная, определенная соотношением (18.29).
Далее,

а - Н/. nQ{k-n)PnTPnT] = I + н/. п (I - Н/. nQ(k' П}РПТРПТХ Q^PnTPn.
Помножив обе части равенства справа на п^Р^Т и приняв во
внимание, что PnTPnQ^h> n^P^T==Q(h>n^PnTPnP^T = 0, получаем

(/ - Hi. nQ{k' ^PnTPnY1 Q(k' п)Р(п)Т = Q». »)р(">Т.

Следовательно, из (18.33) вытекает неравенство

II<?<*• п)хА|| <ylt п 1	[’п 1 || ">xk || +1 к„ |. || Р^Тхк || +

"Ь У/, п I Hz, d ’ ИР™Хк II*
Приведя подобные члены и заметив, что

II TP^xk || = | nd * || TP^Txk || < | nd • || P^T || * || P^Txk ||,

придем к оценке (18.25).

Теорема доказана.

Упражнение 18.16. Доказать, что оценки (18.24) и (18.25) асимпто-
тически точны, т. е. частное погрешности и ее оценки стремится при п->оо
к единице:

II xi,n-QkXi,n\\ > j II xk~Qk, rM II у j

18.6	. Уточненные оценки собственных значений. В этом
пункте закончим изучение метода Бубнова — Галеркина (18.20)
для уравнения (18.18). Примем вновь предположения и обозна-
чения п. 18.5. Мы установим здесь более точные, чем в п. 18.4,
оценки для |цл, п— Иа I • Применение этих оценок предполагает,
что уже оценена погрешность приближенных собственных эле-
ментов (например, на основе теоремы 18.6).

Теорема 18.7. Если при некотором i (k^i^k + r—1)

II*/.»- Q^z,n||<6z,„||xz,„||	(dZ1„<l),	(18.34)
то при этом же i справедлива оценка

(18.35)

Если для любого xk е Xk

II %k	Qk, n+k II II xk II (®n < О»

то при всех i = k, ..., k + r— 1 справедливы оценки

(18.36)

(18.37)

где х$ — такой элемент из Xk, что Qk n^ = xt п(в силу(18.36)
такой элемент существует).

Доказательство. Установим оценку (18.35). Помножим
обе части равенства (18.30) скалярно на QkXitn и преобразуем
отдельно каждый член:

(V	Qk%i, n) = п> Нй^) Qk%i, п) = С^х*» п> 0) = 0,

(xZ, n> Qk%i, п) II Qk%i, п II >

(Р{п}ТХц n, Qk%i, п) = (Р^ТХц п, №k? Qk%i, n) =

= pk(P^Txitni P^TQkxltn).

В результате получим

„	_о, (P(n}TXl,nt P^TQkxltn)

Pk-PkPi,n \\Qkxl>n\\2

Чтобы отсюда вывести оценку (18.35), нужно лишь заметить,
что в силу (18.34)

II QkXi, п II = [|| Xlt п II2 - II Q(%, „ II2]1/2 > [ 1 - 6?, „]1/2II Xi, „ ||.

Оценка (18.37) устанавливается аналогично. Положив в (18.32)
xk==xk} и помножив затем обе части равенства скалярно на
xt n = Qk ttx{k> после простых преобразований получим

(р^т^\рМтХ1^

Hz, „-	= H>z, „-------------------•

Чтобы отсюда вывести оценку (18.37), нужно лишь заметить, что
в силу (18.36)

II v и_________________________ I	[i __________ I

II X i n II — | 4 k,	k L1	1 I xk

Теорема доказана.
У п р а ж н е н и е 18.17. Пусть 6i, п-> О, дп->0 при п -> оо . Показать,
что тогда оценки (18.35) и (18.37) асимптотически точны, т. е. частное по-
грешности | Цг, п — Ца I и ее оценки стремится к 1 при п ->оо.

Упражнение 18.18. Установить соотношения

и,-, „ - = Hz, „ (1 + ez, „)

IIРМ (Qkxi, п) ||2

II Qkxi, nil2



где ez „->0, e'z „->0, e£„->0 при n->oo.

Упражнение 18.19. Показать, что в случае простого собственного
значения справедливы равенства

—= Л(1+eftr„)||P(">xJfe||2 (||М=1;	ч»4,0 ПРИ п^°°)>

II Xk, п Xk || О "Р »)

Р(п)х,

(II Xk 11 = 11 xk, п 11= И еА,ге-*° При П->оо).

Упражнение 18.20. Установить следующие апостериорные оценки по-
грешности (i=k, ..., &+г — 1):

I _ I <*	। n । n

|P<.„	1_/ ||р(п)Г||’

Ir , tb

Il n — QkXi, n II Ci, rfti, n II Xi, n IL
где

_ II xi, ti ~ Iх/, nTxi, n II

1,П~ IH/.J-IK n|| '

a rt и c'i n определены соотношениями (18.26) и (18.28). Доказать асим-
птотическую точность указанных оценок.

18.7	. Метод Галеркина — Петрова. Пусть Т — линейный впол-
не непрерывный оператор в гильбертовом пространстве Н (само-
сопряженность Т теперь не предполагается). Проблему собствен-
ных значений уравнения

x = ixTx	(18.38)

будем решать методом Галеркина — Петрова.

Пусть {Gn} и {Нп} — две последовательности замкнутых под^
пространств Н такие, что

Hm0(Grt, ЯпХЬ	(18.39)

П-> оо

a Qn и Рп — соответствующие Gn и Нп ортопроекторы, =
= 1 — Qn, P(n) = I — Рп. Приближенные собственные значения
р = Цп уравнения (18.38) и приближенные собственные элементы
хп определяются в методе Галеркина — Петрова из уравнения

(18.40)

Ввиду условия (18.39) найдутся такие натуральное число п0
и постоянная q, 0^q<\, что при п>п0 имеем 0(Qn, Hn)^q.
При условия (18.40) равносильны уравнению (ср. п. 16.2)
хп = рРТхп,	(18.41)

где Рп = РпХРп — ограниченный проектор, проектирующий Н на
Gn, Рп — сужение Рп на Gn. Пусть последовательность {Gn} пре-
дельно плотна в Н. Тогда из условия (18.39) следует (см. п. 16.2),
что ||Р<П)Т|| ->0 при п->оо (р(™) = /— рп). Таким образом, для
операторов Т и Тп = РпТ выполнены условия (18.3):

||{7„||->0 при n—>оо	(Un = Т - РпТ), Sn = 0.

Тем самым доказана применимость теорем 18.1 —18.4 к уравне-
нию (18.41) или, что то же самое, к методу Галеркина — Петро-
ва (18.40). В оценках (18.6), (18.8) и (18.9) нужно положить
е„= sup || Рмх01|,	&п= sup || (P(n))7o II-

*ое4г)'11М=1	foe/f-|IM=1

Приведем эти величины к более удобному виду. Из определения
оператора Р^ вытекает, что P^Qn = 0 и РпР^ = 0, т. е.
(р(п))*Рп = 0. Значит,

р(п) = "p(n)Q(n)f (р(п)у = (p(n))* р(п\

Но так как || Р(а) || = || P(n))* II	o- = Cq (см. (16.6)), то

V 1 -q2

Резюмируя, получаем следующий результат.

Теорема 18.8. Пусть последовательности замкнутых под-
пространств {Gn} и {Нп} удовлетворяют условию (18.39), причем
последовательность {Gn} предельно плотна в Н. Тогда метод Г а-
леркина — Петрова (18.40) сходится в смысле, указанном в тео-
ремах 18.1 —18.3.

Пусть ро — точное и цп— определенные методом Галерки-
на— Петрова (18.40) приближенные собственные значения урав-
нения (18.38), причем ц0 имеет ранг I и цп->Цо при п->оо.
Справедливы оценки

sup (|| QWxoll- l|P(n)M)1/z,
II хо ||= 1
foeFon’ II fo 1Г1

p (x(„ , Хо< c sup	IIQмх0 II,

хое4г)’1ГоИ=|

P Un1, x(oi}) ^с(\рп-ц0 |Z’*+I + sup II Q<rt)x01|

k jW4im-1
(1
где х^п — любой нормированный элемент из Хп,
Хо> = {х0 е= Н: (I - ц0П' х0 = О) (i=l,
F«> = (fQ(=H-. (/-йоП7о = О),
X™ = {хп е Gn: (7 - PnPnrfxn = 0}	1).

Упражнение 18.21. Пусть {<Ра} и {хрл} — две полные координатные
последовательности в сепарабельном гильбертовом пространстве И, и пусть
Gn и Нп—линейные оболочки элементов cpi, (рп и ipi, ...» i|)n соответ-
ственно. Доказать, что численная реализация метода Галеркина — Петрова
(18.40) заключается в следующем.

1)	Приближенные собственные значения |л=Нп определяются как реше-
ния алгебраического уравнения

detHn —|хВп)=0,

где Ап и Вп —матрицы с элементами

=	btJ=(TVjt ф.)

(*, / = 1............«)

соответственно.
п

2)	Собственные элементы хп — 2 S/Ф/ е определяются из условия

/=1

= o U(rt) = (ti,g«)).

п

3)	Элементы хп = 2 £/Ф/ *= ПРИ определяются из условия

7=1

(^ -	=о,

где 1п — единичная матрица.

Упражнение 18.22. Пусть выполнены условия упражнения 18.21 и
условие (18.39). Допустим, что матрицы Ап и Вп вычислены с погрешно-
стями Гп=(уо) и An=(6fj) соответственно, в результате чего вместо цп
и хп найдены возмущенные приближения и хп. Доказать, что сильная
минимальность координатных последовательностей {срл} и {ярл} обеспечивает
устойчивость р-п и хп относительно возмущений Гп и Дп в следующем
смысле: если II Гп ||^ —> 0, ||ДпИ^ ->0 при п->оо, то для возмущенных при-
ближений рп и хп остаются в силе теоремы 18.1 — 18.3 о сходимости.

18.8	. Случай неограниченных операторов. С помощью замены
искомых элементов или выбора новых функциональных про-
странств установленные выше результаты можно перенести на
проблему собственных значений уравнений с неограниченными
операторами. Остановимся на методе Галеркина — Петрова.

Рассмотрим проблему собственных значений уравнения

Ьи = [кМи,	(18.42)

где L и М — линейные, вообще говоря, неограниченные опера-
торы, действующие из банахова пространства Е в гильбертово
пространство Н. Будем предполагать, что: области определения
операторов L и М плотны в Е, причем D(L) ciD(M); оператор L
непрерывно обратим (D(L~1)=H); оператор ML~} вполне не-
прерывен в Н.

Зададим такие две последовательности подпространств {Еп}
и {//„},

Еп cz D (L) с= Е, Нп<=.Н (п=1, 2, ...),

что подпространства LEn и Нп (п = 1,2, ...) замкнуты в Н, по-
следовательность подпространств {LEn} предельно плотна в Н и

lim 0(ЕЕп, Еп)<1.

П -> ОО

(18.43)

Приближенные собственные значения р = рп уравнения (18.42)
и приближенные собственные элементы ип будем определять из
уравнения

Рп	pAlzzn.) — 0 (^7i Еп),

(18.44)

где Рп — ортопроектор, соответствующий подпространству Нп.
Замена x — Lu сводит уравнение (18.42) к виду

х = [iML~lx,

(18.45)

а уравнение (18.44) к виду

Р п (хп цЛ4Е хп) О

(18.46)



где Gn = LEn. Условия (18.46) — это метод Галеркина — Петрова,
примененный к уравнению (18.45) с вполне непрерывным опера-
тором ML~\ Так как выполнены условия теоремы 18.8, то ме-
тод Галеркина — Петрова сходится и справедливы оценки схо-
димости, указанные в теореме 18.8 (с той лишь разницей, что
в определении подпространств Ло , го и Хп нужно положить
T = ML~l). Напомним, что в этих оценках Q(n) = /—Qni Р(п)=
= I — РПу a Qn и Рп — ортопроекторы, соответствующие подпро-
странствам Gn — LEn и Нп.

Упражнение 18.23. Пусть оператор L~XM вполне непрерывен в Е.
Показать, что тогда F^ cz D (L ).

Упражнение 18.24. Показать, что оператор L~'M вполне непрерывен
в Е тогда и только тогда, когда D(L*) <^D (М*) и оператор Л4*(£*)"1 вполне
непрерывен в Е*.

Если L — оператор сложной структуры, то могут возникнуть
трудности при непосредственной оценке нормы Q(n)xo|| (xo<s Ло).
В таком случае желательно в L выделить простую главную
часть А, т. е. представить L в виде L = A + K, где А —непрерывно
обратимый оператор такой, что оператор КА~[ вполне непреры-
вен в Н. Оператор А нужно выбрать так, чтобы легко оценива-
лась норма вида ||/?<п)х||, где R^ = I— Rn, Rn — ортопроектор,
соответствующий подпространству АЕп.

Упражнение 18.25. Доказать следующие утверждения:

1)	подпространство LEn замкнуто в Н тогда и только тогда, когда в Н
замкнуто подпространство АЕп\

2)	последовательность [LEn} предельно плотна в Н тогда и только
тогда, когда предельно плотной в Н является последовательность {Л^п};

3)	условие (18.43) равносильно условию

Й^0(Л£п, Яп)<1;
П->оо

4)	для любого х Е справедливы неравенства

Ci || R^AL~x х || < || Q(n)x || < с2 II R^AL~X х || (cb с2 = ®onst > 0).

Как видно из утверждений 1)—3) упражнения 18.25, выделе-
ние простой главной части в L облегчает не только оценку нор-
мы || Q(n)*o I (хо ХоО, но и проверку условий, гарантирующих
сходимость метода Галеркина — Петрова (18.44).

Упражнение 18.26. Пусть проблема собственных значений для диф-
ференциального уравнения

Lu ss 4- Pi (0	= И Я (0 w

/=о

с краевыми условиями (16.38) решается методом Галеркина — Петрова (ме-
тодом моментов). Пусть в качестве первой координатной последовательности
выбраны многочлены <pj (/) (см. пп. 15.7 и 16.8), а в качестве второй —
функции V 1, 2, ...). Пусть Pj (/) е L^\ q (t) е L^Q\ причем rj^j
(j=0, ..., m—1). Пусть поставленная задача имеет простое собственное
значение |Хо- Доказать, что тогда

Iл - Но I= 0	(т+г+и),	Р (*„> 4'’) = 0	)>

где хп = Lun (НхпНд, = 1)> р (х, у) — расстояние в L2 [а, 6],
г = min г/, г' = min (г/ — /).

Указать оценки быстроты сходимости в случае кратного ц0-

18.9	. Операторы в вещественных пространствах. Предыдущие
рассуждения относились к операторам в комплексных простран-
ствах. Все доказанные теоремы можно, однако, переформулиро-
вать на тот случай, когда изучается линейньш вполне непрерыв-
ный оператор Т в вещественном банаховом пространстве Е. От-
метим здесь некоторые возникающие особенности.

Уравнение (18.1) естественно рассматривать лишь при веще-
ственных р. Если вещественное собственное значение р0 простое,
то все доказанные в этом параграфе теоремы сохраняют силу
при переходе к вещественному пространству. В случае кратных
собственных значений ц0 ситуация осложняется: если, например,
цо имеет четную кратность, то можно построить сколь угодно
близкие к Т операторы Те, у которых нет вещественных соб-
ственных значений, близких к ц0 (поэтому неестественно
ожидать существования близких к цо вещественных значений ц,
при которых уравнение (18.2) имеет ненулевые решения).

В связи с изложенными выше соображениями для полного
решения проблемы собственных значений и собственных эле-
ментов нужно предварительно распространить оператор Т на
комплексное расширение пространства Е (см. Л. В. Канторович
и Г. П. Акилов [1]). Если Т — самосопряженный оператор в гиль-
бертовом пространстве Н и Тп (операторы из уравнений (18.2))
самосопряжены в соответствующих подпространствах Нп, то пе-
реходить к комплексному расширению пространства Я, конечно,
не нужно.

§ 19.	Проекционные методы решения
нелинейных уравнений*)

19.1.	Постановка задачи. В этом параграфе мы изучим
проекционные методы в применении к уравнению

х = Тх,	(19.1)

где Т — нелинейный оператор в банаховом пространстве £, опре-
деленный и непрерывный на некотором непустом открытом мно-
жестве QczE.

Пусть {Еп} — последовательность замкнутых подпространств
Е; Qn = Q АЕП.

Будем считать, что на каждом задан непрерывный опе-
ратор Тп со значениями в Еп, в некотором смысле (который
будет уточнен ниже) близкий к Т. Тогда решения уравнений

объявляются приближенными решениями уравнения (19.1).

*) Проекционные методы применялись для решения конкретных нелиней-
ных задач рядом авторов. Одними из первых были А. И. Лурье и А. И. Чек-
марев, Д. Ю. Панов. Обоснование метода Галеркина для уравнений
с нелинейными вполне непрерывными операторами дано М. А. Красносель-
ским [2, 4, 8]. Более полные результаты для уравнений с вполне непрерыв-
ными операторами получил Г. М. Вайникко [11]; им исследованы и урав-
нения с непрерывными операторами, не обладающими свойством полной
непрерывности.
Пусть на Е задана последовательность линейных проекцион-
ных операторов Рп, каждый из которых проектирует на соответ-
ствующее Еп. Операторы Рп могут быть и неограничены; в эТО'м
случае будем предполагать, что T(Q)czZ)(Pn) и что операторы
РпТ непрерывны на Q.

Близость уравнений (19.1) и (19.2), как и в предыдущих
параграфах этой главы, будем характеризовать «малостью» опе-
раторов

Sn = Tn — РпТ, ип = т — рпт

(первый из них является оператором, действующим в Еп, вто-
рой — в Е).

Уравнение

называют уравнением Галеркина. Уравнение (19.2) естественно
назвать возмущенным уравнением Галеркина-, приближенный
метод, использующий уравнение (19.2), — методом Галеркина с
возмущениями.

Ниже будут даны два доказательства сходимости метода Га-
леркина с возмущениями. Первое из этих доказательств опи-
рается на принцип сжатых отображений, который применяется
к некоторому равносильному с (19.2) уравнению. Второе дока-
зательство сходимости использует понятие вращения вполне не-
прерывных векторных полей.

19.2.	О разрешимости нелинейных уравнений. Первое дока-
зательство сходимости метода Галеркина с возмущениями опи-
рается на следующую лемму.

Лемма 19.1. Пусть А—оператор в банаховом простран-
стве F, дифференцируемый по Фреше при ||х— х*||<Сб*, где
х*— некоторая фиксированная точка F, б*>0. Пусть линейный
оператор /Г(х*) непрерывно обратим в F, причем при некоторых
бо и q (0 < бо б.*; О q < 1) соблюдаются неравенства

sup II [Д' (х.)]’1 [А' (х) - А' (хф)] II < q, (19.3)
||Х-**1К$0

а II [Л' (х,)]’1 Ах, || <д0(1 ~ ?)•	(19.4)

Тогда уравнение Ах = 0 имеет в шаре ||х— xj| >^бо единствен-
ное решение х0 и справедливы оценки

(19.5)

Доказательство. Если оператор Т дифференцируем в ка-
ждой точке отрезка [хь Xi+й], то

II Т (X! + h) - Тх{ ||< II h II sup II Г (х1 + ей) ||.

о < е < 1
Пусть T=V(A — №), где V и W — любые линейные непрерывные
операторы в F; тогда предыдущее неравенство примет вид

||7[Л(х1 + /г)-Дх1-ГЛ]||<||/г|| sup || V [X'te + Ы) - W\ ||. (19.6)
o<e<i

Уравнение Лх = 0 равносильно, как легко видеть, уравнению
х = Вху где

Вх = х, - [А' (х.)Г' {Ах, + [Ах - Ах, - А' (х,) (х - х.)]}.

Покажем, что В — оператор сжатия на шаре ||х— х*|| 4^бо. Дей-
ствительно, при ||х—х*|| бо в силу (19.3), (19.4) и (19.6) имеем

II Вх — х* || < б0(1 -?) +

+ 11 х- х, || sup

О<0< 1

[А' (х.)]’1 [А' (х, + 0 (х - х.)) - А' (х.)]

<д0(1 - <?) + д0<7 = $о>

(19.7)

т. е. В переводит шар ||х— х#||<^до в себя. Пусть Xi и х2— две
точки шара ||х — х*|| Имеем

Bxi - Вх2 = [А' (х.)]"1 [Ах2 - Axi - А! (х.) (х2 - хО],

откуда на основе (19.3) и (19.6) находим

|| Bxi - Вх21| <

<II х2 - X! II sup II [А' (х,)]' [А' (х 1 + 0 (х2 - х 1)) - А' (х,)] || < q|| Xi - х21|,
О<0< 1

т. е. В сжимает шар ||х— хЛ^бо.

По принципу сжатых отображений оператор В имеет в шаре
||х— *Л <бо единственную неподвижную точку х0. Очевидно,
Хо — единственное решение уравнения Лх = 0 в указанном шаре.
Из определения оператора В вытекают следующие неравенства
для нормы ||х0 — х*|| = ||Вх0 — *Л (ср. (19.7)):

II Хо - хJK а +1| хо - хД| q,	|| х0 - xj| > а -1| х0 - х* || q.

Эти неравенства равносильны оценкам (19.5).

Лемма доказана.

Упражнение 19.1. Показать, что оценки (19.5) неулучшаемы.

19.3.	Сходимость метода Галеркина с возмущениями. Вер-
немся к уравнениям (19.1) и (19.2). Обозначим Р^ = 1— Рп и
заметим, что если / е й и Р(пЪс -> 0 при п -> оо, то Рпх е при
достаточно больших п.
Теорема 19.1. Пусть операторы Т и РпТ дифференцируе-
мы*) по Фреше в Q, а Тп — в Qn. Пусть уравнение (19.1) имеет
решение причем линейный оператор I — T'(xQ) непрерыв-
но обратим в Е. Пусть при п-> оо имеют место соотношения

II Р(п)х0||->0,

(19.8)

||Р„77>„Хо-7хо||->О, ||РпГ(РпХо)-Г(хо)||->О,	(19.9)

II SnPnx01|-> 0,	|| S'n(Рпхо)|| — 0	(Sn = Tn-PnT). (19.10)

Пусть, наконец, для любого е>0 существуют щ и де>0 такие,
что

| Т'п (х) - Т'п (Рпх0) | < е

(п>пе; ||х-Р„х01|<бе, хейя). (19.11)

Тогда найдутся по и б0 > 0 такие, что при п^по уравнение
(19.2) имеет в шаре ||х —х0П б0 единственное решение хп.
Имеет место соотношение

IIХ„- XollCIIPWXO11 + 11 х„-Рпх0||-»О при п^-оо, (19.12)

причем для ||хп — РгаХо11 справедлива двусторонняя оценка
(сь с2>0)

с! || РпТхй - ТпРп*о II < II хп - Р„х01| <

с2 II РпТХ0-ТпРпХо II-

(19.13)

Доказательство. Применим лемму 19.1 при F = En,
А = 1—Тп, х% = Рпх0.

Точка х0 входит в открытое множество Q вместе с некоторой
окрестностью. Так как Рпхо-^Хо при /г->оо? то при достаточно
больших п (при п^ п*) РпХо входит в Q вместе с некоторым
шаром ||х — Рпх0II 6* пространства Е, а в Qn — с таким же ша-
ром пространства Еп. Итак, при п^п% оператор / — Тп диффе-
ренцируем в шаре ||х — Рп*о11^ б^-

Из обратимости / — T'(Xq) и из (19.9) вытекает, что при до-
статочно больших п операторы / — РпТ'(РпХо) обратимы в Е,
причем нормы обратных операторов ограничены в совокупности.
Отсюда вытекает, что операторы / — PnT'(PnxQ) обратимы на Еп
и нормы обратных операторов ограничены в совокупности. От-
сюда, в свою очередь, заключаем (на основе (19.10)), что при
достаточно больших п в Еп обратимы также операторы
/ —Тп(РпХо) и нормы обратных операторов ограничены в сово-
купности:

| [l - т'п (РпХо)]	(»>».)•	(19.14)

*) Предполагается, что (РпТ)'(х) = РпТ'(х). В случае ограниченного про-,
ектора Рп дифференцируемость РпТ вытекает из дифференцируемости Г, и’
указанное равенство выполнено.
Из (19.9) и (19.10) следует ограниченность в совокупности норм
и самих операторов:

/-/«(МКх

(ft > «.)•

Таким образом, для чисел

ап = 117 - т'п. (Р„хо)] 1 (/ - Тп) Рпх0

получаем двустороннюю оценку

~г || РпТх0 — ТпРпх0 IK а„ < х II Рптх0 - ТпРпх0 II
Л

(п>пД (19.15)

Так как Тх0=х0 и

РпТх0 - ТпРпХо = (РпТХь-Тх0) + (7х0 - РпТPnxQ) - SnPnx0,

то в силу (19.8), (19.9), (19.10)

\\PnTxQ-TnPnXQ\\-+0 при п->оо.

(19.16)

Зафиксируем какое-нибудь 9(0<9<1), положим 80 = ?/х и
определим по этому е0 числа и0 и бо (п0^ О<бо"Сб*) такие,
чтобы при Ио и |х — Рп*о11 бо соблюдалось неравенство
(19.11) с е = 8о. Тогда выполнено условие (19.3) леммы 19.1; за
счет увеличения nQ можно добиться (см. (19.15) и (19.16)), чтобы
при По выполнялось и второе требование (19.4) леммы 19.1.
Из этой леммы следует, что при nQ уравнение (19.2) имеет
в шаре ||х — Pn*oll^6o единственное решение хп.

С учетом (19.15) оценка (19.5) перепишется в виде (19.13),
причем с1 =	> с2= ~jz~- • Неравенство (19.12) очевидно,

а сходимость правой части неравенства к нулю уже установлена
(см. (19.8) и (19.16)). Итак, хп->х0 при п->оо. За счет умень-
шения бо можно добиться, чтобы хп было единственным реше-
нием уравнения (19.2) в шаре ||х — ХоН^Сбо пространства Е.

Теорема доказана.

Как видно из проведенного доказательства, достаточно, что-
бы условие (19.11) выполнялось лишь при некотором достаточ-
но малом ео, а не при любом е>0. Нетрудно также видеть, что
вторые из соотношений (19.9) и (19.10) можно заменить усло-
вием достаточной малости соответствующих норм:



llSn(PnXo)||<82 ПРИ

числа ei и ег должны быть такими, что Xo(ei + e2) < 1, где хо=
= ||[/—Наконец, области дифференцируемости опера-
торов можно сузить. Достаточно, чтобы Т был дифференцируем
в точке хв, РпТ и
Их PjiXq|| до-

Sn — в точке РпХо,

а Тп — в шаре

Упражнение 19.2. Показать, что из условий теоремы 19.1 следует
изолированность решения Хр уравнения (19.1) (что в некоторой окрестности
точки хр нет других решений этого уравнения)

Ряд простейших случаев, когда выполняются условия теоре-
мы 19.1, указан в упражнениях 19.3—19.5. Для решения этих
задач рекомендуем читателю снова просмотреть п. 15.5. Полезно
также помнить, что производная Фреше вполне непрерывного
оператора — линейный вполне непрерывный оператор.

Упражнение 19.3. Пусть оператор Т вполне непрерывен на Q (как
оператор в Е) и непрерывно дифференцируем в точке Хо (х0 = 7,х0). Пусть
проекторы Рп (п = 1, 2, ...) ограничены в Е и Рп~>1 сильно. Показать, что
тогда выполнены условия (19.8) и (19.9).

Пусть, кроме того, для любого е > 0 найдутся такие пе и 6е> 0, что

||S„x||<e, ||s'(x)||<e (n>ne; ||x-P„x0||<Se> х е й„). (19.17)

Показать, что тогда выполнены также условия (19.10) и (19.11).

Упражнение 19.4. Пусть банахово пространство Е' непрерывно вло-
жено в Е. Пусть Т вполне непрерывен на Q и. непрерывно дифференцируем
в точке Хо (х0=7х0) как оператор из Е в Е'. Пусть проекторы Рп (п=1,2,...)
ограничены как операторы из Е' в Е и Рп Р сильно, где Р — оператор
вложения Е' в Е. Показать, что тогда выполнены условия (19.8) и (19.9).
Показать, что если, кроме того, соблюдаются условия (19.17), то выполнены
также условия (19.10) и (19.11).

Упражнение 19.5. Пусть Т непрерывно дифференцируем в точке х0
(х0=Тх0) как оператор в Е. Пусть при ||х — х0||^б0 и любом z^E вы-
полнено неравенство

р(Г'(х)г, Еп)^М

Пусть проекторы Рп ограничены в Е, причем

II Pti II Т)п -> о, II Рп II р (х0, Еп) -> о при п -> ОО.

Пусть, наконец, соблюдаются условия (19.17). Показать, что тогда условия
(19.8) — (19.11) теоремы 19.1 выполнены.

19.4.	Апостериорная оценка погрешности. Допустим, что
найдено точное или приближенное решение хп^Еп уравнения
(19.2). Требуется установить, существует ли у уравнения (19.1)
решение х0, и найти оценку для погрешности \\хп—х0|| (см. § 14).

Теорема 19.2. Пусть операторы Т, РпТ и Тп дифференци-
руемы по Фреше в некоторой окрестности *) точки xneQn, при-
чем I — Т'п (хп) непрерывно обратим в Епг

II/ Тп (Яп)]

(19.18)

—

*) Достаточно, чтобы РпТ и Тп. были дифференцируемы лишь в точке хл,
РпТ — как оператор в Е. Предполагается, что (РпТ)'(хп) = РпТ'(хп).
Пусть *)

У =fl+x р ТЧх } ) U' (х ) 4-х S'(x ) <1,	(19.19)

«л \	‘ п п \ nJ ) п\п) п п\ nJ	г

(19.21)

(19.22)

IIх— хп|1 <6П един-
погрешности

и пусть при некоторых бп и qn (6Л > 0; 0 qn < 1) соблюдаются
неравенства

sup ||Г'(х)-7'(х„)||<-22.,	(19.20)

||X Яп||^$п

и х„ - гх„ ц<6п °

где

, _ 1+х„ ||Р„Г(х„)||

1-Vn

Тогда уравнение (19.1) имеет в шаре
ственное решение х0 и справедлива оценка

где

Un

1 4- qn

<*п

1-qn'

(19.23)

ап = \t-T'(x\Vx(x-Tx\	х „—Тх.	(19.24)

п L	\ п/1	\ п п/ п п п х 7

Доказательство. Из (19.18) и (19.19) на основе лем-
мы 17.2 заключаем, что оператор /—Т'(хп) обратим в Е, причем

(19.25)

где х'—определенное соотношением (19.22) число. После этого
замечания остается применить лемму 19.1 при F = E, А=1—Т,
х*=хп. Условия (19.20) и (19.21) очевидным образом гаранти-
руют выполнение условий (19.3) и (19.4) леммы, а оценка (19.5)
леммы запишется в виде (19.23); оценка (19.24) для ап выте-
кает из (19.25).

Теорема доказана.

Упражнение 19.6. Пусть хп ->х0 при оо, оператор / —Т'(^о)
непрерывно обратим в Е и выполнены условия любого из упражнений
19.3—19.5. Показать, что тогда удовлетворяющие поставленным требованиям
числа qn удается выбрать так, что ^п->0 при п-»оо. Оценка (19.23) тем
самым становится асимптотически точной.

19.5.	Вращение вполне непрерывного векторного поля. Пусть
Q — непустое открытое ограниченное множество в вещественном
банаховом пространстве Е, Г — его граница. Пусть А — вполне
непрерывный на Q = QUr оператор в F, не имеющий на Г не-
подвижных точек. Вращение у(/— А; Г) вполне непрерывного

*) Напомним, ЧТО Зп = Тп — РпТ, U п = Т — РпТ.
векторного поля (/ — А)х на границе Г — это некоторая цело-
численная топологическая характеристика оператора А на мно-
жестве Q, описанная выше в § 14. Читателю, изучающему лишь
проекционные методы, для понимания дальнейшего содержания
параграфа достаточно знать лишь приводимые ниже утвержде-
ния Г—6°, которые при первом чтении можно принять как
аксиомы.

1°. Если у(/ — А; Г) =# 0, то уравнение х = Ах имеет в Q хотя
бы одно решение.

2°. Пусть В — другой вполне непрерывный на Q оператор в
F такой, что

sup || Вх || < inf || х — Ах ||.	(19.26)

Тогда у(1 — А; Г)=у(1 — А — В; Г).

В качестве пояснения отметим, что inf ||х —Ах||>0. Дейст-
№ Г

вительно, в противном случае найдется такая последователь-
ность хпеГ, что хп — Ахп-+0 при п-^оо. Ввиду полной непре-
рывности А можно считать, что последовательность Ахп сходит-
ся к некоторому пределу z. Но тогда к тому же пределу сходится
последовательность хп, и мы получаем, что zgF, z— Az = 0, т. е.
А имеет на Г неподвижную точку, вопреки условию.

Предложение 2° является следствием более общего утвержде-
ния о равенстве вращений гомотопных векторных полей.

3°. Пусть AQ cz F, где F — замкнутое подпространство F. Тог-
да у(1 — А; Г) = у(/ — А; Г), где А — сужение А на подпро-
странство F, а Г — граница множества Q A F в F. (Может слу-
читься, что Q[\F = 0. В этом случае у(/ — А; Г) =0 и утвержде-
ние остается в силе, если по определению положить
у(/-А; 0)=О.)

4°. Пусть Хо е Q —решение уравнения х = Ах, единственное в
шаре ||х — х0|| бо, полностью содержащемся в Q. Обозначим
через Гб сферу ||х — х0|| = б. Тогда у(1 — А; Гб)=у(/ — А; Г6о)
при любом б, 0<б бо.

Это общее значение вращений у(/ — А; Г6) называется ин-
дексом изолированного решения Хо.

5°. Пусть xoeQ — решение уравнения х = Ах. Пусть опера-
тор А дифференцируем по Фреше в точке х0 и линейный опера-
тор / — А'(х0) обратим. Тогда xQ — изолированное решение не-
нулевого индекса; более того, |у(/ — А; Гб) | = 1.

6°. Пусть_ область Q выпукла. Пусть А преобразует в себя
замыкание Q области Q. Тогда из принципа Шаудера вытекает,
что уравнение х = Ах имеет Q по крайней мере одно решение.
Если А не имеет на Г неподвижных точек, то у(/ — А; Г) = 1.
Напомним еще одну теорему, относящуюся к вещественным
гильбертовым пространствам: если (Ах, х)<(х, х) при ||х|| = г,
то у(/ — А; Гг) = 1, где Гг = {х : ||х|| =г}.

Мы привели лишь простейшие утверждения об отличии от
нуля вращения (индекса). Расширению запаса таких утвержде-
ний (см. § 14) соответствует увеличение содержательности дока-
зываемых ниже теорем 19.3 и 19.4.

Упражнение 19.7. Пусть х0 е Q — изолированное решение уравнения
х — Ах ненулевого индекса, единственное в шаре || х — х0 ||	б0. Пусть В —

вполне непрерывный оператор такой, что

sup ||Вх||< inf || х — Лх||.	(19.27)

II х-х0 II = 6	II х-х011-6

Показать, что тогда уравнение х=Ах+Вх имеет в шаре ||х — х0||<дхотябы
одно решение. (Утверждение о единственности решения было бы неверным.)

19.6.	Второе доказательство сходимости. Вернемся вновь
к уравнениям (19.1) и (19.2); пространство Е будем считать ве-
щественным. Будем также считать, что операторы Т и РпТ опре-
делены не только на открытом ограниченном множестве Q cz Е,
но и на его замыкании Q = QUT, где Г — граница Q. Оператор Тп
пусть будет определен на ЙП = ЙП11ГГ2, где Qn = QC|£n, а Гп —
граница Qn в Еп.

Упражнение 19.8. Показать, что ГпГ П Еп- Построить пример
строгого включения.

Теорема 19.3. Пусть Т и РпТ вполне непрерывны на Q как
операторы в Е, а Тп — на Qn как оператор в Еп, причем

sup || С7пх ||—> О при п-+оо	(Un=T — PnT),	(19.28)

X €= Q

sup ||Sftx||->0 при п->оо (Sn = Tn —РпТ).	(19.29)

x^Qn

Пусть уравнение (19.1) не имеет на границе Г множества Q ре-
шений и

у(1 — Т;Г)¥=0.	(19.30)

Тогда при достаточно больших п множество Хп решений хп
уравнения (19.2) в йп непусто и

sup p(xrt, Х0)->0 при п~*оо,
хп^Хп

(19.31)

где XQ — множество решений уравнения (19.1) в Q.

Множество Хо непусто в силу предположения (19.30).

Доказательство. Обозначим а= inf ||х — 7х||. Так как
х^Г

оператор Т не имеет на Г неподвижных точек, то а > 0; доказа-
тельство этого факта проведено в п. 19.5. При достаточно боль-
ших л (пусть это будет при п > п0) имеем в силу (19.28)
sup II Unx ||	а/2 и на основе предложения 2° заключаем, что

у(/-Т;Г)=у(7-РпТ;Г).

В силу 3° имеем

у(/-РпГ; Г)=у(/-РпГ;Гп)

(в левой части последнего равенства РпТ рассматривается как
оператор в Е, а в правой — как оператор в Еп). Так как Гпс=Г,
то

inf || х - РпТх ||> inf || х - РпТх || > inf || х - Тх || - sup || Unx ||>
X е Г	X Е г	% G г	X е Г

а —а/2 = а/2	(ге^п0).

Увеличив, если нужно, п0. будем считать, что sup || Snx || < а/2
X е= Q

I 4»

при nQ (см. (19.29)). Вновь применив утверждение 2°, полу-
чаем

у(/-РпГ; Гп) = у(7-7\; Г„).

В итоге при м > и0

у(/-Гп;Гп) = у(/-Т;Г) =# 0.

Из 1° теперь следует, что при nQ уравнение (19.2) имеет
хотя бы одно решение хп е йп, т. е. множество Хп решений в йп
непусто.

Докажем соотношение (19.31). Зададим е>0и окружим каж-
дую точку Хо е Хо открытым шаром радиуса 8, полностью со-
держащимся в Q. Полученное таким образом открытое покры-
тие множества Хо обозначим через Хо. Ясно, что в замкнутом
множестве Й\Х$ нет неподвижных точек оператора Г, и по-
этому

ae = inf || х — Тх || > 0.

Для хе£„П(й\^) имеем

|| х - Тпх || > ас -1| Unx || -1| Snx || > 0,

если п достаточно велико (пусть это будет при п^пс). Но так
как хп — Тпхп = 0 для хп е Хп, то при и пе множество Хп cz Q
не пересекается с й\Хо, т. е. Xr/czXo. Ввиду произвольности е
это включение равносильно (19.31).

Теорема доказана.
Непосредственным следствием теоремы 19.3 является

Теорема 19.4. Пусть операторы Т и РпТ вполне непрерыв-
ны на шаре ||х— х0||^б, а Тп — на пересечении этого шара с
Еп. Пусть xQ — изолированное решение уравнения (19.1) ненуле-
вого индекса, единственное в указанном шаре. Пусть выполнены
условия (19.28) и (19.29), в которых Q и Qn— указанные выше
шар и его пересечение с Еп.

Тогда найдется такое п0, что при п^п0 уравнение (19.2)
имеет в шаре ||х— х0|| <6 хотя бы одно решение хп и любая по-
следовательность таких решений хп стремится при п-^оо по
норме к х0.

Упражнение 19.9. Пусть оператор Т переводит Q в компактное в Е
подмножество, а проекторы Рп ограничены в Е и Рп-+1 сильно. Показать,
что тогда выполнено условие (19.28).

Упражнение 19.10. Пусть банахово пространство Е' непрерывно вло-
жено в £ (т. е. Е' cz Е и || х с || х ||Е, при х е Е'). Пусть оператор Т пе-
реводит Q в компактное в Е' подмножество, а проекторы Рп ограничены как
операторы из Е' в £, причем Рп-> Р сильно, где Р — оператор вложения
Е' в Е. Показать, что тогда выполнено условие (19.28).

Упражнение 19.11. Пусть проекторы Рп ограничены в £, причем
|| Рп II sup р (Тх, Еп) -> 0 при п->оо.

Показать, что тогда выполнено условие (19.28).

Упражнение 19.12. Пусть выполнены условия теоремы 19.4, опера-
тор Т дифференцируем по Фреше в точке х0 и оператор / — Т'(хо) обратим.
Пусть, далее, оператор Т и проекторы Рп удовлетворяют условиям одного из
упражнений 19.9 и 19.10. Показать, что тогда справедлива оценка

Cj ||£(”)х0 — Sn^n II	IIХп	-Xoll С2||Р^п^Хо — SnXn II,

где ci, с2 = const >0, P<«) = / — Рп.

Одним из наиболее распространенных методов доказатель-
ства теорем существования является применение разнообразных
принципов неподвижной точки. Основные принципы неподвиж-
ной точки вытекают из отличия от нуля вращения соответствую-
щего векторного поля (см. М. А. Красносельский [8]). Теорема
19.3 означает, что условия применимости таких принципов не-
подвижной точки одновременно обеспечивают возможность фак-
тического приближенного отыскания решений проекционными
методами. В частности, проекционные методы применимы, во-
обще говоря, если существование решения вытекает из принци-
па Шаудера или из односторонней оценки (Ах, х) < (х, х) для
уравнений в гильбертовых пространствах.

19.7.	Метод механических квадратур для нелинейных интег-
ральных уравнений. Рассмотрим интегральное уравнение

ь

х (/) = К (Л 5, х (s)) ds -h f (t)	(19.32)

c

a
с непрерывным ядром /((/, s, х) и непрерывным свободным чле-
ном /(/). Приближенные значения	(/ = 1,...,п) ис-

комого решения хо(О определяем из системы уравнений

п

Ьп= 1iajnK(sin, sjn, ljn) + f(s{n) (i=l, ...» и). (19.33)
/=1

Эта система выведена (ср. п. 17.10) на основе квадратурной
формулы

Ь	п

j z (s) ds = ajnz (sJn) + Rn (г).	(19.34)

a	/ = 1

Предполагаем, что a?rt>0 (/=1, n) и

$ПП b.

Теорема 19.5. Пусть квадратурный процесс (19.34) сходит-
ся, т. е. /?n(z)-> 0 при п-^оо для любой непрерывной на [а, Ь]
функции z(t). Пусть уравнение (19.32) имеет решение x0(t), и
пусть ядро K(t,s,x) непрерывно по совокупности переменных
при

a^.ty s b, | х — xQ (s) I б (б = const > 0),	(19.35)

а свободный член f(t) непрерывен на [а, &].

Тогда справедливы следующие два утверждения-.

а)	Если решение xQ(t) изолировано и ненулевого индекса
{в пространстве С), то при достаточно больших п система урав-
нений (19.33) разрешима и*)

max I	— х0(syn) | —>0 при п->оо. (19.36)

К / < п

б)	Если ядро K(tySyX) имеет частную производную по х, не-
прерывную по совокупности переменных в области (19.35), и
если линейное однородное интегральное уравнение

ь

h(t) = J Ко (Л s) h (s) ds (к0 (/, s) = дК^х<> (*)))
а

имеет лишь нулевое решение, то решение системы (19.33) при
достаточно больших п существует и единственно**), имеет место

*) Если хо(О не единственное решение уравнения (19.32), то (19.36)
будет иметь место, разумеется, только для тех решений системы (19.33), ко-
торые «близки» к Хо(О-

**) То есть найдутся такие по и б0, что при п п0 существует един-
ственное решение системы (19.33), удовлетворяющее условию

max I Ijn- Хо (Sjn) К do-

1 j п
сходимость (19.36) и справедлива двусторонняя оценка

max | lJn- x0(sJn) |<c2r„,	(19.37)

i i < n

где c2 = const>0,

rn= max |/?„(zz„)|, zln (s) = К(sin, s, x0 (s)),

1 i C n

Rn(z) — остаточный член квадратурной формулы (19.34).

Доказательство. Пространства Е и Еп и проектор Рп
построим так же, как в п. 17.10 при доказательстве аналогичной
теоремы для линейных интегральных уравнений. Уравнение
(19.32) будем рассматривать как операторное уравнение (19.1).
Непрерывность ядра K(t,s, х) в области (19.35) влечет за собой
полную непрерывность оператора

ь

к (/, $, х (s)) ds + f (/)

а

на шаре й (||х — х0|| ^б) как оператора из £ в пространство С,
а значит, и как оператора в Е. В п. 17.10 доказано, что проек-
торы Рп как операторы из С в Е сильно стремятся к оператору
вложения С в Е. Отсюда следует (см. упражнение 19.10), что в
рассматриваемом нами случае выполнено условие (19.28).

Система уравнений (19.33) равносильна уравнению (19.2),
п

в котором оператор Тп определен на элементах zn= 2 £/Х/п
_ _ /=’

из множества Йп = й Г1 Еп формулой

п п

^п^п = 2	($/П>

t=l /=1

Xin*

Аналогично тому, как это сделано в п. 7.10, приводим разность
Tnzn — PnTzn = Snzn к виду

п п

гт-'п

= У У f [х



«•=1 и=1

Xin»

откуда, используя (17.48), (17.49) и (17.51), а также равномер-
ную непрерывность и ограниченность K(t,s,x) в замкнутой об-
ласти (19.35), выводим соотношение (19.29).

В силу утверждения 3° п. 19.5 индекс решения x0(t) уравне-
ния (19.32) одинаков в пространствах Е и С; по предположе-
нию он отличен от нуля. Утверждение а) следует из теоремы 19.4.
Нужно лишь заметить, что решение хп уравнения (19.2) и реше-
ние (£1П,..., £пп) системы (19.33) связаны очевидным соотно-
п

шением Хп = S ZinKjn и что
/=1

шах | ^jn Xq (syn) I ~ II xn P nx§ ||	|| xn Xq (|.	(19.38)

к / < n

Перейдем к утверждению б). Существование непрерывной в
области (19.35) частной производной -% х> влечет непре-
рывную дифференцируемость Т в Q как оператора из Е в С, а
тем более как оператора в Е. Так как операторы Рп сильно схо-
дятся к оператору вложения С в Е, то отсюда вытекает, что
соблюдаются условия (19.8) и (19.9) теоремы 19.1. Поскольку
оператор

Г' (х0) h = j Ко (Л s) h (s) ds
a

вполне непрерывен в £ и уравнение h = T'(xo)h имеет по усло-
вию лишь нулевое решение, то оператор / — T'(xQ) непрерывно
обратим.

Операторы Тп и Sn непрерывно дифференцируемы в Qn, при-
п	п

чем для любых гп = 2 е Q„ и уп = 2 т]Дм е Еп имеем

п [ п

?п (?п) Уп = I Zj
Z = 1 l/ = 1

дк (sin, sjn, £/)
dx



n

n

д К (sm, Sjn, Zj) - К (sin, s, g/)]

dx

U=1 Din

n

n

dK (sln, sjn, £f)	I

dx	I

i = l

Пользуясь равномерной непрерывностью и ограниченностью
^dx' *' в замкнУт°й области (19.35), нетрудно проверить, что
выполнены также условия (19.10) и (19.11) теоремы 19.1.

Теперь утверждение б) следует из теоремы 19.1. В частности,
оценка (19.37) вытекает из (19.13) и равенства (19.38); нужно
лишь заметить, что \\РпТхо — ТпРпХо\\=Гп*.

Теорема доказана.
По решению (gin,..., gnn) системы (19.33) можно строить
аналитическое приближение n(Z) к решению Xo(t) уравнения
(19.32), положив
п

Хп (0 = 2 ау„ к (t, sjn, + f (0.

7=1

Упражнение 19.13. Пусть выполнены условия теоремы 19.5. Пока-
зать, что тогда

max |хп(О-хо(/)|<с max | Rn (zt) |, zt (s) = К (tt st x0 (s)).
a < t < b

19.8.	Метод конечных разностей. В качестве очередного при-
мера приложения общих теорем рассмотрим задачу С. Н. Берн-
штейна об отыскании решений уравнения

=	и),

(19.39)

удовлетворяющих краевым условиям
«(0) = «(1) = 0.	(19.40)

Задача (19.39)—(19.40) равносильна интегральному уравнению

1

u(0= J G(/, s)f(s, u(s))ds,
о

где

-/(1-s)

-S(l-O

(19.41)

(19.42)

при
при

— функция Грина оператора и" при краевых условиях (19.40).

Пусть tin = iln (i = 0, l,...,n), ftn=l/n. Заменим краевую за-
дачу (19.39) — (19.40) конечноразностной задачей

(. = j....п _

hn

UQn = ипп = 0,	(19.44)

где uin — приближенные значения искомого решения в точках
tin (i = 0, 1,..., п). Покажем, что метод конечных разностей
(19.43) равносилен методу механических квадратур решения ин-
тегрального уравнения (19.41) с использованием квадратурной

формулы

(19.45)

Будем опираться на следующий простой результат.
Лемма 19.2. Система линейных уравнений

Uj-ъ П ~ %и1п + ц/+ь п _ <.	/7—1	w 1V	П

,2	bin, v • • •» П 1), Uq^ ^nn, U

hn
имеет при любых g!n, gn-i,n единственное решение
п — 1

Щп = Т" G (tin, tjn) ^jn, = 0, !»•••> ft)*
/»!

Доказательство предоставляем читателю.

В силу леммы 19.2 система уравнений (19.43) — (19.44) равно-
сильна системе

п— 1

utn = G (ttn, tjn)f(t}n, и}п) (i=l, ...» п-1).	(19.46)

/=1

Но к той же системе (19.46) приводит и метод механических ква-
дратур решения интегрального уравнения (19.41), если пользо-
ваться квадратурной формулой (19.45). Квадратурный процесс
(19.45) сходится, и из теоремы 19.5 вытекает

Теорема 19.6. Пусть краевая задача (19.39) —(19.40) имеет
изолированное решение u*(t) ненулевого индекса (как решение
интегрального уравнения (19.41)). Пусть функция f(t,u) непре-
рывна в области

0 < t < 1, | и - (/) | < б (б = const > 0).	(19.47)

Тогда найдутся такие nQ и б0, что при п^ п0 система (19.43) —
(19.44) имеет хотя бы одно решение, удовлетворяющее неравен-
ствам
\uin-u.(t^ (/=1,	п-1).	(10.48)

Имеет место сходимость

max | и1п - щ (tin) [ -> 0 при п-*<х>.
0<i<n

Если функция f(t,u) имеет в области (19.47) непрерывную
частную производную по и и если линеаризованная задача
u" = q(t)u	(q(j)	u*(t)))

имеет при краевых условиях (19.40) лишь нулевое решение, то
удовлетворяющее неравенствам (19.48) решение системы (19.43)
единственно. Быстрота сходимости характеризуется соотноше-
нием

max | и1п - и, (tln) | = cnrn,
где

О < с' <	< c,z < оо (и = и0, п0 + 1, ...),

г п = шах 1Rn |) Zin (<s) = G s) f (s, и* (s)),

К i < n-1

7?n(z) — остаточный член квадратурной формулы (19.45).

Упражнение 19.14. Пусть функция /(/,«* (0) дважды непрерывно
дифференцируема. Показать, что тогда

max | щп — и* (tin) 1 < с/n2 (с = const).
0 < i < п

Упражнение 19.15. Показать, что в условиях теоремы 19.6 имеет
место также сходимость

rvov и/+1, n~ И/-1,	/ ч

. ™ах . -------2*:-------w ->0>

- < ы

max

К i < п-1

Mi-i» п ~	+ И/+1, п

-»0.

h

2
п

Указание. Сделав замену и"=х, перейти от краевой задачи (19.39) —
(19.40) к интегральному уравнению

(1	X

/, J G (/, s) х (s) ds j .

о	/

Используя лемму 19.2, перейти от задачи (19.43) — (19.44) к системе

(П~ 1	х

^/п,	$ (tin, tin) £>jn J (t = 1, ..., n — 1).

/=1	/

В работе Г. M. Вайникко [16] установлен аналог теоремы 19.6 для урав-
нения и" = f (tf и, и') при краевых условиях

1 1

J и (0 dg/o (0 + / “' (0 dlHi (0 = Yi	(i = 1> 2)>

о	0

где Hio(O и — функции ограниченной вариации.

19.9.	Метод Галеркина. Рассмотрим вновь уравнение (19.1),
а вместо (19.2)—галеркинское уравнение

Хп = РпТХп>	(19.49)

где Рп — проектор, проектирующий Е на замкнутое подпростран-
ство En(z:E. Последнее уравнение является частным случаем
уравнения (19.2), из которого оно получается при Тп = РпТ.
Основные утверждения формулируемой ниже теоремы непо-
средственно следуют из теорем 19.1, 19.4.

Теорема 19.7. Пусть Т вполне непрерывен на Q {как опе-
ратор в Е), и пусть уравнение (19.1) имеет изолированное ре-
шение хоей ненулевого индекса. Пусть проекторы Рп ограниче-
ны в Е иРп-^1 сильно при п->оо.

Тогда найдутся такие nQ и б0, что при п^ п0 уравнение
(19.49) имеет в шаре ||х— х0|| So хотя бы одно решение хп и
все такие решения хп стремятся при п-^ оо по норме к х0.

Если оператор Т дифференцируем по Фреше в точке х0 и
однородное уравнение h = T7 {x0)h имеет только нулевое реше-
ние*), то справедлива оценка сходимости

CiIIPWqII < ||хп —х0|| < с2||Яп)х0||.	(19.50)

Если, более того, оператор Т дифференцируем по Фреше в
точке xQ непрерывно, то при достаточно больших п решение хп
уравнения (19.49) единственно в шаре ||х— х01Кб достаточно
малого радиуса 6.

В доказательстве нуждается лишь оценка (19.50). Ввиду
полной непрерывности линейного оператора T7{xQ) и сильной
сходимости Рп-^I имеем на основе леммы 15.4

IIТ'(х0) —	(х0) || —> 0 при п->оо.

Значит, вместе с I — Т'(хо) обратимы в Е (при достаточно боль-
ших п) и операторы / — РпТ7{хъ), причем нормы этих операто-
ров и обратных к ним ограничены в совокупности:

|| I - РпТ' (х0) II < 1/с', II [Z - РпТ' (хо)Г’ I < С"

(п п0).

Пусть хо и хп — решения уравнений (19.1) и (19.49) соответ-
ственно, хп->Хо при п-+оо. Так как

[/ - РпТ' (х0)] (х0 - х„) = {Р<">х0 - Рп [Тхп - Тх0 - Г (х0) (х„ - х0)]},

то

С' (II Р^Х. II - II Рп II о < || хп - Хо || < с77 (II Р^х. II4-Ц Рп || тД

где тп=\\Тхп — TxQ—T7{xQ){xn— х0)||. Теперь для вывода оцен-
ки (19.50) остается заметить, что нормы ||Pn|| (n= 1, 2,...) огра-
ничены в совокупности и что

Тп

II Хп - Хо II

—>0 При /2—> оо

ввиду дифференцируемости Т в точке х0.

*) Напомним, что отсюда уже следует изолированность Хо и отличие от
нуля индекса.
Упражнение 19.16. Пусть ||7v(x0)P(n)|| -> 0 при п->оо. Показать, что
тогда оценка (19.50) уточняется:

(1 - ел) || Р(п)х0 II < II хп - х01| < (1 + ея) || P(rt)x01| (еп -> 0 при п -> оо).

Упражнение 19.17. Пусть банахово пространство Е' непрерывно вло-
жено в Е. Показать, что теорема 19.7 остается в силе, если от Т требовать
полной непрерывности и дифференцируемости, как оператора из Е в Е', а
от проекторов Рп требовать ограниченности как операторов из Е' в Е и
сильной сходимости к оператору вложения Е' в Е.

Упражнение 19.18. Перенести результаты п. 15.7 о сходимости ме-
тода коллокации на нелинейное уравнение

w(/n) _ I и, и, ..., t/m“!))

с краевыми условиями (15.37).

Рассмотрим теперь наряду с (19.49) возмущенное уравнение

%П * П* %п ^n%n*

(19.51)

где Sn—нелинейный, вообще говоря, оператор в Еп, непрерыв-
ный на йп = йПЕп. Изучим вопрос о близости решений уравне-
ний (19.49) и (19.51).

Теорема 19.8. Пусть уравнение (19.1) имеет решение хоеЙ
и Т непрерывно дифференцируем по Фреше в точке х0 (клк опе-
ратор в Е), причем однородное уравнение h = T' (xQ)h имеет лишь
нулевое решение. Пусть проекторы Рп ограничены в Е и Рп-+1
при п-+оо сильно. Пусть оператор Sn (п=1,2,...) дифферен-
цируем по Фреше в шаре ||х— хп|| ^б пространства Еп, где хп —
решение уравнения (19.49). Пусть хп ->х0 при п-^ оо.

Тогда найдутся не зависящие от п положительные постоян-
ные So (бо^б), а, а' и натуральное число п0 такие, что если
п^ nQ и если

l|Srtxn|Ka, sup || Sn (х) || < o',
Х S Etl‘ II х~хп II $0

(19.52)

то уравнение (19.51) имеет в шаре ||х— хп|| -Сбо единственное
решение хп и справедлива оценка

Е1II §пХп II II Хя Хп II ^2 || SnXn ||.

(19.53)

Доказательство. Применим лемму 19.1 при F = En, А =
РпТ	Еп-, х# =хп.

Поскольку Т непрерывно дифференцируем в точке х0 и
xn—>Xq при п->оо, то

|| РпТ' (хп) - Г (х0) || < || Рп || • || Т' (х„) - Г (х0) || +1| Р W Г (х0) || 0,

и из обратимости оператора /—Т'(х0) вытекает обратимость
(при достаточно больших п) операторов / — РпТ'(хп) в £ (а зна-
чит, и в £п); при этом нормы обратных операторов ограничены
в совокупности. Выберем достаточно малое число о'>0 так, что-
бы из ||Sn(xn) ||<С о' вытекала (при достаточно больших п) обра-
тимость операторов I — РпТ' (xn) — S^(xJ и ограниченность в со-
вокупности норм обратных операторов:

Ясно, что нормы самих операторов тоже ограничены в совокуп-

ности:

Очевидно,

III - PT' (х) - S' (х J

II п \ п/ п \ п/

|| РпГ (х) - РпТ' (хп) II < II Рп II (|| Г (х) - Г (х0) II + II Г (х„) - Г СХО) ||).

Правая часть неравенства сколь угодно мала, если норма
||х — хп|| достаточно мала, а п достаточно большое (тогда и нор-
ма ||хп — х0|| будет малой). Зададим любое q (0<д<1) и выбе-
рем 6о>О и /г0 так, чтобы при ||х — хп||	имело место

неравенство

Уменьшив, если нужно, выбранное выше число с', будем считать,
что о'Тогда условие (19.3) леммы 19.1 будет выполнено:
при П > По и ||х — ХпII 6о

ф /1	\

Если положить в (19.52) а — —------— ,то будет выполнено и

условие (19.4) леммы 19.1. Все утверждения теоремы

ственно следуют из этой леммы. В частности, из (19.5)

непосред-
вытекает

оценка (19.53), g которой Cj =
Теорема доказана.

к
1~<7

Упражнение 19.19. Пусть выполнены условия теоремы 19.7. Пусть
операторы Sn вполне непрерывны на Йп (не обязательно дифференцируемы).
Показать, что для любого б, 0<б	б0, найдутся такие и о, что при

п и

sup II Sax II < а

|| х-х01| <д0

уравнение (19.51) имеет в шаре ||х— х0|| б хотя бы одно решение хп и не
имеет решений в шаровом слое б ^ || х —хо II бо-

Упражнение 19.20. Сформулировать и доказать аналог теоремы 19.8
о возмущении уравнения (19.2).
19.10.	Метод Галеркина—Петрова. Устойчивость. Рассмот-
рим снова уравнение (19.1). Предполагая, что пространство
Е = Н гильбертово, будем решать это уравнение методом Галер-
кина—Петрова. Пусть {Gn} и {Нп}— две последовательности
замкнутых подпространств Н. Приближенные решения хп урав-
нения (19.1) ищутся из уравнений

(19.54)

где Рп — ортопроектор, соответствующий Нп.
Если раствор

0n = 0(Gn, Нп) < 1,

то (ср. п. 16.2) уравнения (19.54) равносильны галеркинскому
уравнению

(19.55)

где Рп = Р„Рп— непрерывный проектор, проектирующий Н на
Gn, Рп — сужение Рп на Gn. При этом

|р(п)х||< . 1 , IIQ(n>x||	(хе//),	(19.56)

И-0»

где PM = I — Pn, Qw = 1 — Qn> Qn ~ ортопроектор, соответству-
ющий Gn. Очевидно, Рп~^1 сильно, если последовательность
подпространств {Gn} предельно плотна в Н и

п->оо

(0„ = 0(Gn, Нп)).

(19.57)

Применив к методу Галеркина (19.55) теорему 19.7, придем к
следующему утверждению.

Теорема 19.9. Пусть Т вполне непрерывен на Q (как опе-
ратор в гильбертовом пространстве Н), и пусть уравнение (19.1)
имеет изолированное решение ненулевого индекса. Пусть
последовательность подпространств {Gn} предельно плотна в Н
и выполнено условие (19.57).

Тогда найдутся такие п0 и бо, что при п^ nQ уравнение
(19.54) имеет в шаре ||х — Xoll^So хотя бы одно решение хп и
все такие решения стремятся при п-+оо по норме к xQ.

Если оператор Т дифференцируем по Фреше в точке х0 и
однородное уравнение h = T'(xQ)h имеет лишь нулевое решение,
то справедлива оценка

где Q(n^=I — Qn, Qn — ортопроектор, соответствующий Gn.

Если, более того, Т дифференцируем по Фреше непрерывно в
точке х^, то при достаточно больших п решение хп уравнения
(19.54) единственно в шаре ||х— х0||^д достаточно малого ра-
диуса 6.

Допустим, что пространство Н сепарабельно. Пусть Gn и
Нп — это линейные оболочки элементов фь...,фп и фь ..., фп
соответственно, где {сръ} и {ф/J — две полные координатные по-
следовательности в Н. Тогда условия (19.54) означают, что

(xn ТXni ф/) 0	1, . . . , А2, Хп	|уфj €==	,

они равносильны некоторой нелинейной системе скалярных урав-
нений

п

2(<Р/.	=	• • •, U (z = l,...,n).	(19.58)

/=i

Здесь fin(£i, • • •, £п) — непрерывные функции п переменных та-
га

кие, что при любом zn = 2 S/Ру S Й
/=1

f in (Cl> • • • > Ira) = (^*^ra> Ф/)	(^ = 1 > • • • » ri).

Из-за погрешностей, допускаемых при составлении системы
(19.58), в действительности приходится решать некоторую воз-
мущенную систему
га

[(фу> Ф/) "t” Yi;] I/ = fin (|b • • • > Ira) $in (lb • • •, Ira) (19.59)
(f 1, •. •, ri),
в результате чего вместо «точного» приближения хп находится
возмущенное приближение

%п = 2 1/фу*
/ = 1

Исследуем зависимость погрешности ||хп — хп|| от погреш-
ностей Yij и din (Z, / = 1,.. ., п). Этот же вопрос для линейных
уравнений рассматривался в п. 17.8. Запишем систему уравнений
(19.59) в виде операторного уравнения

(Ап + Г„) Iм = F Д(п) + АД(П)	(19.60)

в пространстве Rn. Здесь Ап и Гп— матрицы с элементами
(ф;, фг) и Yij (/, j = 1,..., п) соответственно, a Fn и Дп — не-
линейные операторы, переводящие (gi,..., £п) соответственно в
векторы

(flra(^b •••> €/|)> /rjra(|b In))
И

($1п(£1>	£п)> •••> $nn(£b •••» £п)\

Легко видеть (ср. п. 17.8), что система (19.60) равносильна

возмущенному галеркинскому уравнению

в котором

(19.61)

— оператор в Gn\ оператор Тп действует из Gn в Rn и опреде-
лен формулой

^п-^ (	Ф1), • • • » (*^> Фп) )	GJ-

Оператор Sn дифференцируем по Фреше, если дифференцируе-
мы функции бгп(?1, • • • , £п) G= 1, . . • , и). При ЭТОМ

с' \ = ш-i д' (д-his ~ л-1Т — W’r /ПТ
^п\^п)— 1 п \^*п х п^п) 1 п х п 1 п^п т п«

Применяя теорему 19.8 к уравнениям (19.55) и (19.61) и учи-
тывая (17.24), (17.25) и (17.26), приходим к следующему утвер-
ждению.

Теорема 19.10. Пусть уравнение (19.1) имеет решение
Xq^Q и Т непрерывно дифференцируем по Фреше в точке х0
(как оператор в гильбертовом пространстве Н), причем одно-
родное уравнение h = T'(x0)h имеет лишь нулевое решение. Пусть
для линейных оболочек Gn и Нп первых п элементов полных ко-
ординатных последовательностей {ф/J и {ф/J выполнено условие
(19.57). Пусть Кп и Цп — наименьшие собственные значения ма-
триц Грама (фу, ф/)” /в1 и (фу, ф/)" /=1 соответственно, а — ре-
шение системы уравнений (19.58) (существующее и локально
единственное при достаточно больших п в силу теоремы 19.9).
Пусть, наконец, оператор \п дифференцируем по Фреше в шаре
||g(n) __ |(п)||^б/]/глл (п=\, 2, ...), где 6 — некоторое (сколь
угодно малое) фиксированное положительное число.

Тогда найдутся не зависящие от п положительные постоян-
ные д0 (до^д), а, Р и р' и натуральное число п0 такие, что если
п^ п0 и

№ 1 £Ы-.Ж vr14"(У 1Р''
то система уравнений (19.59) имеет в шаре II £(rt) — II $о/
единственное решение Для приближений

п	п

%n = 2 5/‘ф/> %п =	£/Ф/

/ = 1	/=1

справедлива оценка

II - х,г II < с (ап + pj (с = const).

Упражнение 19.21. Сформулировать
чая, когда о решении х0 известно лишь, что

аналог теоремы 19.10 для слу-
оно имеет ненулевой индекс.

19.11.	Проекционные методы в условиях односторонних оце-
нок. Пусть Е— вещественное сепарабельное банахово простран-
ство, Е*— сопряженное к Е пространство. Допустим, что дей-
ствующий из £ в Е* непрерывный оператор F ограничен на шаре
||х|| г и удовлетворяет неравенству

(Fx, х)>0

(Их 11 = г)

(19.62)

(через (х*, х) здесь обозначено значение функционала х* е Е*
на элементе хеЕ). Рассмотрим уравнение

Fx = 0.

(19.63)

Для отыскания приближенного решения уравнения (19.63) есте-
ственно применить следующий проекционный метод.

Зададим предельно плотную в Е последовательность конеч-
номерных подпространств {Еп}. Пусть Рп (п=1, 2, ...) —линей-
ные непрерывные проекторы, проектирующие Е на соответствую-
щее Еп. Уравнение (19.63) заменим приближенным уравнением

(19.64)

где Р* — сопряженный к Рп оператор (Р*, очевидно, тоже яв-
ляется проектором).

Из односторонней оценки (19.62) следует, что

(Р* Fx, х) = (Fx, Pnx) = (Fx, х) > 0	(|| х || = г; х <= Еп).

Поэтому уравнение (19.64) всегда имеет решение хп е ЕП1 удо-
влетворяющее условию ||хп|| г. Рассмотрим вопрос о сходи-
мости приближений хп. Как уже говорилось, факт сходимости
можно рассматривать как обоснование (в утешительном смысле)
перехода к уравнениям в конечномерных подпространствах.
Ниже будет установлена лишь слабая сходимость приближе-
ний хп. Это, естественно, является более слабым утешением, чем
факт сильной сходимости.
Покажем, что последовательность Fxn (где хп — решение
уравнения (19.64)) слабо сходится к нулю. Действительно, ввиду
предельной плотности {£п} любой у Е представим в виде
у = ип + vn, где ип Еп, a ||vn|| -> 0 при п -> оо. Но тогда в силу
(19.64)

(F Хп, y) — (Fxn> ип + vn) = (РnFXfit u^) + (Fxn, vn) = (Fxn, Un)
и

l(Pxrt, #)l<l|PxJ|-||t>n||->0 при n->oo (ye=E).

Теорема 19.11 (Ф. Браудер — P. Минти). Пусть простран-
ство Е рефлексивно, а оператор F удовлетворяет условию

(Fx — Fy, х — у)^0	(х,у^Е).	(19.65)

Тогда каждая слабо предельная точка последовательности
решений хп уравнений (19.64) является решением уравнения
(19.63). В частности, если решение х0 уравнения (19.63) един-
ственно, то последовательность хп слабо сходится к х0.

Напомним, что в рефлексивных банаховых пространствах
каждое ограниченное множество слабо компактно. Поэтому по-
следовательность хп действительно имеет слабо сходящиеся под-
последовательности.

Доказательство теоремы 19.11. При любых х е Е и
п= 1,2,... справедливо неравенство

(Рх, х Xfj) (FxFхп, х х^} ”Ь (Fхп, х) (Fхп, х^)	(Fхп, х),

(19.66)
мы воспользовались здесь неравенством (19.65) и тем, что для
решения хп уравнения (19.64) имеем

(Fx„, x„} = (Fx„, Р„x\ = (P\Fxn, х„) = 0.
\ п1 п/ \ п7 П П/ \ п п tl/

Пусть подпоследовательность xnk слабо сходится к х0. Тогда из
(19.66) в силу слабой сходимости Fxn к нулю следует, что

(Рх, х — Хо)>О.

Полагая x=x0 + e/i, получим, что (Р(х0 + ей), ft)^> 0 при любом
8 > 0 и h^E, откуда в силу непрерывности Р следует неравен*
ство

(Pxo,/i)>O (hf=E).

Так как h^E любое, то Рх0 = 0. Теорема доказана.

Упражнение 19.22. Пусть пространство Е рефлексивно, а оператор F
слабо непрерывен. Показать, что тогда каждая слабо предельная точка по-
следовательности решений хп уравнений (19.64) является решением уравне-
ния (19.63) (Р. И. Качуровский).
Упражнение 19.23. Пусть Рп и Qn — два проектора, проектирую-
щих Е на Еп- Показать, что решения уравнения (19.64) и уравнения

совпадают.

19.12.	Задачи на минимум функционала. Допустим, что на
вещественном сепарабельном банаховом пространстве Е задан
непрерывный функционал Ф, растущий на бесконечности
(Ф(х)—>оо при ||х|| -> оо) и имеющий на Е минимум

т = min Ф(х).

х е Е

Пусть {Еп} — предельно плотная в Е последовательность конеч-
номерных подпространств,

тп = min Ф(х),
х^Еп

а хп — точка в Еп, в которой минимум тп достигается. Возни-
кает вопрос о том, сходится ли в каком-либо смысле последова-
тельность хп к точке минимума Ф на £. Отметим, что из предель-
ной плотности {Еп} в Е следует равенство

lim Ф(хп) = lim пгп = т.

П~> ОО	п -> оо

Сходимость последовательности хп к точке минимума Ф на
Е легко обосновывается, если значения Ф при «отходе» от точек
минимума строго возрастают, т. е. если

|Ф(х)-т|>а[р(х, ХО)Ь	(19.67)

где Xq — множество всех точек минимума Ф на £, а а(р) —не-
которая монотонно возрастающая функция, положительная при
р>0. Действительно, из (19.67) следует, что

р (хп, Хо) < о"1 [ Iф М - т |],
и поэтому

lim р(хп, Х0) = О.
п -> оо

В частности, если Хо состоит только из одной точки х0, то усло-
вие (19.67) переписывается в виде

I Ф(*)-Ф(х0) 1>а(11 х-х0||);	(19.68)

при выполнении этого условия последовательность хп сильно
сходится к х0.

Рассмотрим в качестве примера определенный в гильберто-
вом пространстве // квадратичный функционал

ф (х) = 4 Их, х) - (А х),	(19.69)

Хи
где А—ограниченный положительно определенный самосопря-
женный оператор ((Ах, х)> у2||х||2, у>0), a f^H. Пусть х0— ре-
шение уравнения Ax = f. Тогда

I ф (х) - ф (х0) | = у IIА'1г (х - х0) ||2> 4-11 х - *0II2-

Из этого неравенства следует, что Хо является единственной точ-
кой минимума функционала Ф, а также следует неравенство
(19.68) са(р) = ур. Таким образом, для приближенного по-
строения точки минимума функционала (19.69) достаточно найти
его точку минимума на некотором конечномерном подпростран-
стве (ср. п. 16.3).

В качестве второго примера рассмотрим функционал

ф (х) = || х - Ах ||,	(19.70)

где А — вполне непрерывный оператор в £; будем считать, что
lim Цх — Ах ||=оо.

II х II -> оо

Пусть уравнение

х=Ах	(19.71)

имеет решения, множество которых обозначим через Хо; очевид-
но, XQ совпадает с множеством точек минимума (19.70). Для
функционала (19.70) неравенство (19.67) всегда выполняется.
Поэтому для приближенного отыскания минимума (19.70) (а
тем самым решений уравнения (19.71)) достаточно найти его
точки минимума на некотором конечномерном подпространстве.

Предположение (19.67) является жестким ограничением и
выполняется сравнительно редко. В предположении, что про-
странство Е рефлексивно и функционал Ф слабо полунепрерывен
снизу, можно показать, что приближения хп слабо «сходятся»
к множеству точек минимума функционала Ф, точнее, что предел
%о каждой слабо сходящейся последовательности xnk является
точкой минимума Ф. Действительно, пусть х0 — слабый предел
последовательности xrtfe и Ф(х0)> т + е. Выберем До так, чтобы
при п>п0 выполнялось неравенство mn<m + e. Но тогда при
nk>nQ выполняется неравенство Ф(хПл)<т + е, и, следователь-
но, в силу полунепрерывности Ф снизу Ф(х0)</п + е, что невоз-
можно.

Изложенная в этом пункте схема приближенного построения
точек минимума широко известна. Она часто применяется при
решении различных линейных и нелинейных уравнений.
Упражнение 19.24. Пусть функционал Ф дифференцируем по Фреше:
Ф (х + h) — Ф (х) = (Fx, h) + со (х; /г),

где F — оператор, действующий из £ в Е*, а

I ° (*; ^)1 л и г н л

-|Гн—>0 при °-

Показать, что:

а)	точки минимума Ф на Е являются решениями уравнения 77х=0;

б)	точки минимума Ф на Еп являются решениями уравнения

PnFX = О (х G Еп),
где Рп—любой линейный непрерывный проектор, соответствующий Еп
(РпЕ—Еп).

19.13.	О факторметоде для нелинейных уравнений. Многие
доказанные в этой главе теоремы можно перенести на фактор-
метод, пользуясь понятием компактной аппроксимации операто-
ров (Г. М. Вайникко [17—19]). Сформулируем здесь один ре-
зультат.

Пусть Е — банахово пространство; Е<п> (п=1,2,...)—зам-
кнутые подпространства Е; рп (п = 1,2, ...)—канонические ото-
бражения Е в факторпространства Е1Е^пХ Скажем, что последо-
вательность действующих в Е/Е<п> вполне непрерывных опера-
торов Тп компактно аппроксимирует действующий в Е вполне
непрерывный оператор Т\ если а) \\рпТх— Тпрпх\\ ->0 при п->оо
для каждого хеЕиб) для любых E/£<n\ II = const
(и = 1,2,...) существуют уп е Тп^п такие, что последователь-
ность {уп} компактна в Е.

Теорема 19.12. Пусть х0 — изолированное решение уравне-
ния х=Тх ненулевого индекса. Пусть из ||£п—pnx||->0(gn^E/E<n\
xgE) вытекает, что \\Тп^п— Тпрпх\\->0 при п-^оо, и пусть
последовательность операторов Тп компактно аппроксимирует Т.
Пусть, наконец, ||pnx|| -> М при п->оо для каждого х^ Е.

Тогда найдутся такие по и бо > 0, что при п^ по уравнение
%п = Тп%п имеет в шаре ||gn — pn*oll "Сб0 хотя бы одно решение
Ki U ll^_PnXoll -*° ПРи
Малые решения операторных уравнений

§ 20.	Приближенное построение неявной функции *)

20.1.	Основная теорема о неявной функции. Пусть Е, F, Л —
банаховы пространства, f(X, х)— определенный при ||Х— Хо11л=^а,
||х— XqWe^-Ь оператор со значениями в F. Рассмотрим урав-
нение

f(X,x)=0.	(20.1)

Допустим, что

f(Xo,xo)=O,	(20.2)

и будем искать решения х.х.(Х) уравнения (20.1), близкие к х0
при значениях X, близких к Хо.

Как показывают простые примеры, уравнение (20.1) в одних
случаях имеет единственное близкое к хо решение х.»(Х),— то-
гда говорят, что уравнение (20.1) определяет однозначную неяв-
ную функцию; в других случаях х.х.(Х) определяется неоднознач-
но— тогда говорят о ветвлении решений; наконец, может ока-
заться, что уравнение (20.1) при одних близких к Хо значениях X
имеет решение (одно или несколько), а при других не имеет,
и т. д. Достаточные условия существования однозначной неяв-
ной функции были приведены в главе 1; в этом параграфе неяв-
ные функции подвергаются более детальному изучению; иссле-
дуются методы приближенного построения неявной функции.

Во всех дальнейших построениях предполагается, что суще-
ствует производная /'(Хо, х0). Свойства линейного оператора
f'x(X0, х0) в существенном определяют характер функции x.z.(X).
В этом параграфе рассматривается случай, когда существует

*) Первые теоремы о неявных функциях для уравнений в банаховых
пространствах установлены, по-видимому, К. Ламсоном [1], а затем Т. Гиль-
дебрандтом и Л. Грейвсом [1]. Различные теоремы о неявных функциях из-
ложены Л. А. Люстерником и В. И. Соболевым [1], Л. В. Канторовичем и
Г. П. Акиловым [1], Н. Данфордом и Дж. Т. Шварцем [1], Э. Хилле и
Р. Филлипсом [1] и другими авторами. Для уравнений с аналитическими опе-
раторами теоремы о неявных функциях установлены А. Майкалом и А. Клиф-
фордом [1], А. Е. Гельманом [2, 3], Э. 3- Тамме [1].
действующий из F в Е непрерывный линейный оператор

r=[fx(4’ *о)Г-	<20-3)

Этот случай обычно называют невырожденным.

Ниже через 8(х0, г) обозначается, как обычно, шар
||х—	аналогичный смысл имеет обозначение 8(Хо, г)

и т. д.

Основной прием доказательства существования однозначной
неявной функции заключается в переходе от уравнения (20.1)
к эквивалентному уравнению

х = Т (Л, х),	(20.4)

где

Г (Л, х) = х.-Г/(Л, х),	(20.5)

и отыскании условий, при которых оператор Т(Х, х) (при фик-
сированном X) удовлетворяет условиям принципа сжатых ото-
бражений. Поэтому для доказательства теоремы существования
неявной функции достаточно установить неравенства

II*1 - х2 - г f (Л, Х1)4-Г/(Л, х2) ||е < пг (р, г)|| X! - х21|£

(ле S(Ло, р); хьх26= S(х0, г)),

|| х - х0 - Г f (Л, х) It < п (р, г)

(Ле S(Ло, р); х <= S (х0, г))

и показать, что при некоторых
неравенства

/п(а0, Но)< 1,

(0, a], bQ^ (0, &] выполняются

п(а0, ft0)< Не-

указанные неравенства легко проверяются (детали предоста-
вляем читателю) в условиях следующего общего утверждения.

Теорема 20.1. Пусть выполнены условия'.

I f (^о» *1)	(^о» *2) f х(^о» *o)(*i *^2)^2? Р (И | %1 %2	(20.6)

II [f (К *1) - f *2)] - [f (\ь *1) - f (Ч *2)] IIf < Pi (р, г) II *! - *2 Не

(20.7)

(А» s 8 (A/q, р), Xi, Х2 8 (х0, г)),
причем

с0= lim IIГ ||[р (г)-4-pj (р, г)] < 1.	(20.8)

р, г->0

Пусть f(h,x0) непрерывен в точке Ло.

Тогда существуют такие а0^(0, а] и Ьо^(О,Ь], что при
Ле5(Ло, а0) уравнение (20.1) имеет в шаре S(xo, b0) единствен-
ное решение х*(Л), причем

lim || х, (Л) - х0 ||г = 0.

I

(20.9)
Доказательство последнего утверждения этой теоремы тре-
бует простого дополнительного замечания: при любом доста-
точно малом положительном е оператор (20.5) удовлетворяет
на шаре S(x0, е) условиям принципа сжатых отображений при
всех достаточно близких к Хо значениях X.

Условия теоремы 20.1 выполнены, конечно, если оператор
f(X, х) непрерывно дифференцируем по х. Следует, однако, отме-
тить, что предположение о дифференцируемости в случае многих
важных пространств функций (пространств L2, Орлича и др.)
весьма ограничительно. Например, нелинейные интегральные
операторы, действующие в таких пространствах, как правило,
дифференцируемы лишь в отдельных точках (см. М. А. Красно-
сельский, П. П. Забрейко; Е. И. Пустыльник, П. Е. Соболев-
ский [1]).

Из теоремы 20.1 вытекает

Теорема 20.2. Пусть выполнены условия теоремы 20.1,
и пусть f (X, х) непрерывен по X.

Тогда существующая в силу теоремы 20.1 неявная функция
х*(Х) непрерывна на шаре S(fa,a^.

Упражнение 20.1. Пусть функция /<(/,$, и) (0^7,	— оо <ц< оо)

измерима по t и s и непрерывно дифференцируема по и, причем

| К'и (/, s, и) | < KQ (t, s) [a (s) + b | и |]

и

a (s)	X2,

1

I KQ (t, s)\dtG= L2r
о

i

*

/С (/, s, 0) ds e L2.

«

0

Показать, что при малых X уравнение

х (0 = X

К [/, s, х ($)] ds

имеет единственное малое решение х^ (/)е L2.

У п р а ж н е н и е 20.2. Построить пример функции s, ц), удовлетво-
ряющей условиям упражнения 20.1 и такой, что оператор

1

А х (t) = | К [/, s, х (s)] ds

о

не является ни вполне непрерывным, ни дифференцируемым на L2.

Упражнение 20.3. Показать, как из теоремы 20.1 вытекает асимпто-
тическая устойчивость по Ляпунову нулевого решения системы обыкновен-
ных дифференциальных уравнений

dx
ш

=	+ W (/, х),
где В — матрица со спектром в левой полуплоскости, со(/,0)=0 и

|| со (Z,	- (0 (/, х2) II < <1 О') II *1 “ *2 II (II *1 II, II *2 II < г),

причем q (+0) =0.

Известны многие обобщения и модификации приведенных
выше теорем о неявных функциях. В частности, в работе
П. П. Забрейко и М. А. Красносельского [3] рассмотрен случай,
когда уравнение (20.1) имеет вид х = А (X, л*), где А обладает раз-
личными «улучшающими» свойствами.

20.2.	Полилинейные операторы и формула Тейлора *). Опера-
тор D(x\, ...,хъ) от k переменных хь ..., деЕ называют
полилинейным или k-линейным, если он линеен по каждой пере-
менной в отдельности. Примерами могут служить операторы

। ।

D(xb ..., хА)= J ... J K(t, slt ..., st)xi(s,) ... xk(sk)dsi .... dsk
°	°	(20.10)

И

1

D (x{, ..xk) = f К (/, s)xi (s) ... xk(s)ds (20.11)

0

в пространстве непрерывных на промежутке [0, 1] функций, если
ядра /((/, Si, ..., $&), K(t,s) непрерывны. Число

||О ||= sup ||Z>(Xb	х*)||	(20.12)

Pi II—• II К1

называют нормой полилинейного оператора D.

У п р а ж н е н и е 20.4. Вычислить или оценить нормы операторов (20.10)
и (20.11) в пространстве непрерывных функций.

Оператор C = Ch называют однородной формой порядка k или
k-формой, если он имеет вид

Cx = D(x, ..., х),	(20.13)

где D(x\, ..., xh)—полилинейный оператор. Ясно, что различ-
ные й-линейные операторы D могут приводить к одной и той же
однородной форме порядка k. Оператор-константу иногда удоб-
но считать формой нулевого порядка.

Полилинейный оператор называется симметричным, если его
значения не меняются при перестановке аргументов. Оператор

♦) Детальное изложение см. у Л. А. Люстерника и В. И. Соболева [1],
Э. Хилле и Р. Филлипса [1]. Основополагающие результаты в этой области
принадлежат С. Мазуру и В. Орличу [1] и С. Банаху. См. также М. К. Га-
вурин [2], А. Алексевич и В. Орлич [1], А. Е. Тейлор [1, 2].
(20.11) симметричен; оператор (20.10) симметричен, если ядро
K(t, ..., Sk) симметрично по переменным , Sk- Легко ви-
деть, что каждая однородная форма С порядка k определяется
некоторым симметричным ^-линейным оператором D\ этот опе-
ратор D единствен, он восстанавливается по оператору С, на-
пример, посредством формулы

D (хь ..., хк) = -Л—	81 ... ekC (EjXi + ... + ekxk). (20.14)

er±l

В дальнейшем оператор (20.14) будем обозначать через С,
а через Сх^х22 ... х/ — значения симметричного оператора
(20.14), когда ои аргументов принимают одинаковое значение
Xi, следующие аг аргументов принимают значение х2 и т. д.; ко-
нечно, ai + a2 + ... +ai = k. Введенные обозначения позволяют
совсем просто формулировать так называемую теорему сложения.
Так называют формулу

С(х,+ ... +хг)=	*' Схаг ...x't.	(20.15)

0^+ ... +az = fc

Каждой fe-форме С будем относить две нормы: обычную
норму

|| С ||= sup || Сх ||	(20.16)

11х|| = 1

и *-норму ||С||*, которая определяется формулой (20.12), где
D — оператор (20.14) (т. е. ||С||*= ЦС||). Из (20.14) вытекает,
что для однородных форм порядка k

II с II <11 С II. <-£|| С ||.	(20.17)

Многочленами называют операторы вида B0 + Bi+...+Вт,
где Bi — однородная форма порядка i\ высший порядок ненуле-
вых слагаемых называют степенью многочлена.

Упражнение 20.5. Показать, что суперпозиция двух многочленов
степени m и п соответственно является многочленом степени не выше пгп.

Пусть теперь А — произвольный оператор, действующий из
некоторой окрестности точки х0 е Е в пространство F. Допустим,
что в этой окрестности

Дх = Лх0 + В1(х — х0)+ ... +Bm(x — xo) + (o(x —х0),	(20.18)

где Bk — однородные формы порядка k, а

lim II «>(х-хо) || = 0
Тогда говорят, что оператор А имеет в точке хо производные до
порядка т (в смысле формулы Тейлора); эти производные опре-
деляются равенством

А™ (х0) = k! Bk\

они являются операторами, действующими из Е в F.

Представление (20.18) называют формулой Тейлора и запи-
сывают его в виде

Ах = Ах0 + А' (х0) (х - хо) + ••• +тл"Л('п)(х0)(х-х0) + со(х-х0).
fib I

(20.19)

У п р а ж н е н и е 20.6. Показать, что оператор В\ в формуле (20.18)
совпадает с обычной производной оператора по Фреше.

Упражнение 20.7. Показать, что из полной непрерывности опера-
тора А вытекает полная непрерывность операторов Л'(Хо), ..., A(zn)(xo)
(В. Б. Меламед и А. И. Перов [1]).

Упражнение 20.8. Построить пример нелинейного оператора, кото-
рый в каждой точке пространства имеет вполне непрерывную производную,
но сам не обладает свойством полной непрерывности.

У п р а ж н е н и е 20.9. Пусть A = FG, где F и G имеют производные до
порядка т соответственно в точках Gx0 и х0. Показать, что оператор А
в точке Хо имеет производные до порядка т, причем при А = 1, т

A(k) (хо) h =	2	—--------------—----X

а.+2а + ... +kak=k ПО «1!...(/г!) а&1;
1	A

X F(О‘+	+“а) (Gx0) [ G' (х0) Л]а*... [G(w (Хо) л]в*.

Оператор А называется аналитическим в точке Хо, если в не-
которой окрестности этой точки он представим равномерно схо-
дящимся (по норме) рядом

Лх = Аг0 + В1(х — х0) + ... + Вп(х — х0) + ...» (20.20)

где Вп — однородная форма порядка п. В этом случае

Tim V|| В„|| = а<оо.	(20.21)

П-> оо

Ряд (20.20) сходится равномерно в каждом шаре 5(х0, г), ^<1.
Простые оценки показывают, что из аналитичности А в точке xQ
вытекает его аналитичность в каждой внутренней точке шара
S(x0, 1/а).

Упражнение 20.10. Пусть пространства Е и F комплексные. Пока-
зать, что из дифференцируемости оператора А в некоторой области про-
странства Е вытекает аналитичность А во всех точках этой области.

Перейдем к операторам f(X, х) от двух переменных Хе Л,
х е Е (см. п. 20.1).

Понятие полилинейного оператора естественным образом рас-
пространяется на случай, когда часть переменных принадлежит
одному пространству А, а вторая — пространству £. Опера-
тор U (Хь... Да; Xi, ...,хт), линейный по каждой переменной,
будем называть (k, т) -линейным оператором. Оператор

V (к, х) = U (X, ..., X; х, ..., х)	(20.22)

называют однородной (k, т)-формой, а сумму конечного числа
таких операторов — многочленом от двух переменных.

При фиксированном X каждая (k,m) -форма И(Х;х) является
m-формой по переменной х; через Г(Х; хь ... ,хп1) будем обозна-
чать такой симметричный (по переменным хь ...,xw) m-линей-
ный оператор, что V(X; х)=Р(Х; х,..., х) (см. формулу (20.14)).
При фиксированных хь ..., хт оператор 7(Х;хь ..., хт) будет
fe-формой по переменной X.

Представление оператора f(X, х) в виде

п

f (Л, х) = 7(Ло, х0) + 5 V*, m (Л —Ло; х — х0) + со(Л —Ло; х — х0),

A+m=I

(20.23)
где Vk, т ~ однородные (fe, /и)-формы, а

lim	II о (Л - Ло; х - х0) ||	g	,рп ОД)

llx-M+U-x.i^o IIЛ — Ло||л + || х — хр||”	и-

называется разложением по Тейлору. Если ввести обозначения
fГГ1 (^о. *о) = k! Ш! Vk, т,	(20.25)

то мы получим привычную запись формулы Тейлора:

f (Л, х) = f (Ло, х0) +

п

А-1

xk-i (^о, хо) (Л - Ло; х - х0)

+ © (X — Хо; х — х0).	(20.26)

Операторы (20.25) называют смешанными производными опера-
тора f. Если имеет место представление (20.23), то говорят, что
f(X, х) имеет производные до порядка п.

Упражнение 20.11. Пусть операторы f(X, х) и х(Х) имеют производ-
ные до порядка п соответственно в точках {Хо, х0} (хо=х(Хо)) и Хо. Пока-
зать, что оператор i/(X) = f[X, х(Х)] имеет в точке Хо производные до по-
рядка п, причем при Л=1, ..., п

yW (Ло) V -	У -------------------———----------X

f+a.+2d2+ ... +kak^k *•••	«а!

1	Л

х7(Г'а ;\'.Х (Ло, Хо) v‘ [х' (Ло) v]a' ... [х<‘> (Лр) v]°*-

К , X 1 л
Понятие аналитичности на операторы f(X, х) переносится без
труда: аналитичность в точке {Хо, х0} означает, что в некоторой
окрестности этой точки оператор /(Z,, х) представим равномерно

сходящимся рядом

ОО  п

f X) = f (Ао, х0) + 2 2 Vk, n-k (А - Ао; X - x0) ,
n=iL&=o

(20.27)

где Vkjn-k — однородная (k, n — k) -форма.

20.3.	Дифференцирование неявной функции.

Теорема 20.3. Пусть выполнены условия теоремы 20.1.
Пусть оператор f имеет в точке (Хо, х0) производные до поряд-
ка т.

Тогда неявная функция х*(Х), существование которой выте-
кает из теоремы 20.1, имеет в точке производные до порядка ш.
Эти производные хЯ(Хо) (k = 1,... , m) можно последовательно
определить из равенств

**k) (A-о) V =

= _1ТГ^г/ A0 + ev; x0 + 8xJ(A0)v+...+—-— xj‘-»(A0)v .

К I C4c L	1 / *	J

(20.28)

Доказательство теоремы проведем по индукции. Ее утвержде-
ние при k == 0 тривиально. Допустим, что оно верно при всех
k<kQ^m, и покажем, что оно справедливо при k = kQ.

Рассмотрим вспомогательное уравнение

g (Л, и) = 0,
где

g (К и) =

= f	Xq + х* (\))(Л ^о) + • • • +	_ j) j я*50 (М \)) и •

Очевидно, это уравнение имеет решение

х* (X) х^ х*(Л0)(Л Ло) ...	1)!	^о)’

которое (по предположению индукции) удовлетворяет условию

lim

ll«, (А) II

= 0.

(20.29)

Как нетрудно видеть, оператор g(K, и) в точке {Ао, 0} имеет
производные до порядка k0^,n, т. е.

g (А, и) = go (А, и) + «> (А - Aq, и).

(20.3Q)
где goth, и) — некоторый многочлен, а

со(X — Хо, и) = о[||Х — ХоIIft°+ IIw||k°].

Так как каждый многочлен на любом шаре удовлетворяй усло-
вию Липшица, то из (20.29) и (20.30) следует оценка

llg (Я, 0) 11 = о (IIX — Л0|М.

Она означает, что производные &ЦХ0, 0), ...,	0) равны

нулю.

Покажем теперь, что функция и (X) имеет производную

ы**о)(ло)= -	0)-	<20-31)

Очевидно,

g&> u)-g(^, 0) = -^г^(Хо,О)(Л-%) + ^(Л0,хо)и + 6(Л-%о,м)>

где ш(у, и) — оператор, удовлетворяющий условию

lim JI6(v,?)|l.

IIVII +11 и и->0 II v II ° + II и II

Пусть е — произвольное число из (0, 1); а^ое(О, а], &^g(0, Ь] —
такие числа, что

||Г|| • II й (v, и) ||< в [IIV ||*» + II и ||]	(||v||<afto) ||«||<М

и

II« (Я)II< bk„ (IIЛ- Яо||< ак,).

Тогда



<|| ГII -II й [X- Яо; «.(Я)]||<

<е[||X-Яо||*» +1|и,(Я)||] <г «.(Я) +

^Г^)(А0, О)(Я-Яо)

+ е [ 1+	|| Г g<M (Яо> 0) ||] || Л - Ло и*»,

откуда вытекает оценка

«. (я) + ^- г g<M (Ао, 0) (я - МI <

<—[1 + —

1-е L kol

Г g<$ (Яо, 0) || Л - Яо ||\

Так как 8 произвольно, то

II X - л01Г*»
о

«.	+ 771	°) ~	= °-

Последнее равенство эквивалентно (20.31).
Остается заметить, что х^о) (Хо) = rz^o) (Хо) и что равенство
(20.28) с точностью до обозначений совпадает с (20.31).

Теорема доказана.

Предположим теперь, что А — вещественная ось. В этом слу-
чае теорема 20.3 означает, что неявная функция х.х.(Х) предста-
вима в виде

x#(X) = x0 + x1(X-X0) + ... + хт(Х-ЛоГ + о(|Л-Х0Г), (20.32)
где xh — некоторые элементы Е, Обозначим через кривую

х = х0(Х) = Хо + Xi Хо) + ••• + хт (X — Хс)™ (20.33)

в пространстве Л + £, а через — множество точек {X, х}е
еЛ+£, для которых ||х— х0(Х) II е||Х— Х01Гт (рис. 20.1); это

Рис. 20.1.

множество будем называть рогом *) раствора е. Геометрический
смысл теоремы 20.3 заключается в том, что при любом е>0 при
достаточно близких к Хо значениях X кривая х = х(Х) лежит в
роге

Упражнение 20.12. Показать, что действующий в Л+Е оператор
Г(М)={Х; Г(Х,х)},

где Г(Х, х) —оператор (20.4), преобразует в себя пересечение рога „2% (б>0)
с каждой полосой I X | б при достаточно малых б.

20.4.	Метод неопределенных коэффициентов. Формула (20.28)
удобна в различных теоретических построениях. Для фактиче-
ского построения разложений неявных функций по формуле Тей-
лора, как правило, используется метод неопределенных коэффи-
циентов.

*) См. И. Ильф и Е. Петров [1]; роль понятия «копыто» будет изложена
авторами в другом месте.
Допустим, что выполнены условия теоремы 20.3. Тогда неяв-
ная функция х*(А) имеет вид

хф(А) = х0 + х1(А-А0) + ... + хт(А-А0) + о(||А-А0|Г)	(20.34)

и вопрос о вычислении производных (20.28) равносилен задаче
об отыскании однородных операторов xlf..., хт. Мы будем поль-
зоваться представлением (20.23) оператора f(A, х):

f(X, х) = f(Хо> х0) + s Е*.г(Х-Х0, х-х0) + со(Л, х). (20.35)

Положим

хо(А) = Хо + Х1(А-Ао) + ••• + xm(A-A0),	(20.36)

МК х)= 2 Vft(Z(X-Xo, х-х0).	(20.37)

k+l=l

При доказательстве теоремы 20.3 фактически было показано, что
все производные до порядка т многочлена fo[A, х0(А)] (в точ-
ке Ао) равны нулю.

Пусть

fo [А, *о (А.)] = (А — Ао) 4- ... + ут (А — Ао) + о (|| А — Ао ||т).

Из (20.35) и (20.36) вытекает, что при / = 1, ..., т

Л+<Х| +2а2+ ...

и так как

то

^0,1 xc)» Г—[f'(A0, х0)] ,

= xzv +

Л4~С1|+ ... +(/ —1)

+ Д/-1)

«/-11

X гр\а + ...+а, v*(xiv)°’ ... (xi-iv)ai-i-
1	V 1

Приравнивая правые части нулю, получаем рекуррентные фор-
мулы, из которых последовательно определяются операторы
Хь... ,хт. Подчеркнем, что эти рекуррентные формулы имеют
вид

Х/ = Л/(хь ..., хи).	(20.38)

Здесь

△/ (Х/, . • •, xz-i) V = - 2 "Vt" tffi- х

Af+dj-F ... +(/ — 1)

X rizft>ai+... +a/_y (x(v)a* ... (xz_1v)“«-«. (20.39)
Очевидно,

X1V= - гйь ov,

x2v = - rV2i0v2 - Гр h iv • Xi (v) - Гр0> 2 [x, (v)]2.

Упражнение 20.13. Выписать формулы для х3 и х4.

У п р а ж н е н и е 20.14. Пусть f(X,x)=f(x)—К. В этом важном частном
случае отыскание неявной функции — это локальное обращение оператора
f(x). Вывести формулы (формулы Лагранжа) для производных обратного
к f(x) оператора через производные оператора f(x).

Упражнение 20.15. Пусть f (X, х) =х — Мх, где А имеет производные
до порядка т в точке Хо=О. Вывести формулы для производных неявной
функции х*(Х) в точке %о=О.

20.5.	Последовательные приближения. Приближенное по-
строение неявной функции — это приближенное решение уравне-
ния (20.1). Поэтому для приближенного построения неявной
функции могут быть применены все изложенные в предыдущих
главах приемы приближенного решения нелинейных оператор-
ных уравнений.

Доказательство теоремы 20.1 основано на том, что при до-
статочно малых аОу bQ (а0 выбирается по &о) оператор (20.4) при
X(=S(Z0, а0) на шаре S(x0, 60) удовлетворяет условиям принципа
сжатых отображений с постоянной сжатия

q = m[p(b0)+p^a0yb0)]<\.	(20.40)

Поэтому верна

Теорема 20.4. Пусть выполнены условия теоремы 20.1.
Тогда последовательные приближения

хп+1 (X) = xn (X) - Г f [X, х„(Х)] (AsS(A0, а0); п = 0, 1, 2, ...)

(20.41)

определены и сходятся к неявной функции х«.(Х), если х0(Х)е
е S (х0, Ьо). При этом

II хп (X) - х. (X) || < qn1| хо (X) - х. (X) ||	(20.42)

и

|| х„ (X) - х. (X) II <	II х, (X) - Хо (X) II <	IIГII • II f [X, Хо (X)] ||.

(20.43)

Рассмотрим теперь итерационные процессы

*n+1W = xft(A)-^(X, xo)]-7[X,x„(X)] 4« = O, 1. 2, ...) (20.44)

И

=	х„(Х)]	(п-0, 1,2,...).

(20.45)
Они возникают, если для отыскания неявных функций пользо-
ваться соответственно модифицированным и обычным методами
Ньютона — Канторовича (§ И и § 12). Нам будет удобно при
исследовании процессов (20.44) и (20.45) не ссылаться на дока-
занные в главе 3 общие теоремы, а провести анализ сходимости
независимо.

Отметим в первую очередь, что для осуществления процессов
(20.44) и (20.45) условий теоремы 20.1 недостаточно.

Допустим, что существуют производные fx (X, х0) (XeS(X0, а)),
и пусть при X е S (Хо, р), х\, x2^S (х0, г)

(20.46)

где

с0= lim || г ||р (р, г) < 1,
р, г->0

(20.47)

и допустим, далее, что х0) и fx(k, х0) непрерывны в точке Хо.
В этом случае для достаточно малых а$, Ьо и 8 (aQ выбирается
по Ьо и е) при XeS(Xo, aQ) оператор

Т (А, X) = х - [f; (Л, х0)]•* f (А, х)	(20.48)

удовлетворяет условиям принципа сжатых отображений с посто-
янной

? =Р («о. *о)<1.	(20.49)

Действительно, пусть для чисел aOi е выполнены неравенства
е||Г||<1,	. ."J11 .. р (а0, &о) < 1,

1 е II 1 II

и пусть при А е 5 (Ао, а0)

Тогда при AeS(A0, а0) и x1,x2eS(x0, &о)

II (^’ Л:1)— О'» хг) ||= xi~ х2~ [f* (^> хо)] U (^’ А:1) ~ f (^» *2)]

! _ е и г у Р (а0, Ьо) || X] - х21| = q II Xi - х21|

IIТ (А, х) - х01| < qh + ! J’^i'rii И f II < b0.

Из проведенных рассуждений немедленно вытекает
Теорема 20.5. Пусть выполнено условие (20.46), и пусть
х0), fx (Л, х0) непрерывны в точке Хо.
Тогда последовательные приближения (20.44) при К <= S(Xo, ^о)
определены и сходятся к неявной функции x*(Z), если х0(Х)^
eS(x0, bQ). При этом

и

II хп (А) - х. (A) II < qn II х0 (X) - х. (А) II (20.50)

II хп (А) - х. (А) || <	|| Х1 (А) - х0 (А) || <

1-АГ||Г|| Хо™- (20’51)

Приведем одну теорему об итерационном процессе (20.45).

Теорема 20.6. Пусть в окрестности точки {Zo, х0} существует
производная х), которая удовлетворяет условию Гелъдера

(20.52)

где 0<6<И. Пусть х0) и х0) непрерывны по К
в точке Ло.

Тогда существуют такие ао и Ьо, что при X е S(Xo, aQ) последо-
вательные приближения (20.45) определены и сходятся к неявной
функции хДХ), если х0(М S(x0, Ьо). Быстрота сходимости ха-
рактеризуется неравенствами

II W ~ х. (А) || <	|| х0 (А) - х, (А) ||]<1+6)",

rV

(20.53)

где k — некоторая постоянная, которую можно считать сколь
угодно близкой к [||Г||с(1 + д)-1]1/б.

Остановимся лишь на доказательстве оценки (20.53). Во-пер-
вых, будем считать, что ао и Ьо выбраны так, что при X е S(Ao, я0),
/ g S (%о, Ьо) операторы f'x (Л, х) имеют непрерывные обратные,
нормы которых не превышают (1 + е)||Г||, где е сколь угодно
мало. Тогда из (20.52) вытекает оценка

Хп II =

=II xn-i w - X» (А) -	[А, х„_, (А)] )-* {f [А, х„_, (А)] - f [А, х. (А)]} || <

<(1 +в) || Г ||

1

/ (fx [Л> хп-1 W] -f'x [Л, (I -0)x.(A)+6xrt4 (A)]} de IX
о

1

X||x„_i(A) —х,(А)||^(1+е)||Г||с ’
г
о

(i-e)6d0x

X || х„ч (А) - х. (А) ||1+6 =	у Хп_{ (Л) _ Xf (А) ||1+в,
которую мы перепишем в виде

k II Хп (X) - X. (X) II < [6 II х„ч (Я) - х, (X) II ]|+в,
где

(20.54)

Из (20.54) вытекает (20.53).

В дополнение к теореме 20.6 отметим, что при х0(М =хо и до-
статочно малом а0 произведение А||х#(1) —х0|| можно считать
сколь угодно малым. Поэтому оценка (20.53) обеспечивает,
как говорят, «сверхсходимость» итерационного процесса (20.45).

Упражнение 20.16. Исследовать следующий итерационный процесс
построения неявных функций:

хп+1(Х)-х„(Х)-г[/ + Д„ + ... +A™<">p[X, х„(Х)],

где линейный оператор Дп определяется формулой

= {/% хп *“ fx (Ч *о)} Г,

а т(п)—возрастающая последовательность.

Упражнение 20.17. Пусть E=F — гильбертово пространство. Исследо-
вать следующие итерационные процессы приближенного построения неявных
функций:

а)

х Ш = х ______________________II f 1^, Хп II2____________f [х х

|| |/х (*0> *о)1 f хп W]

б)

Хп+1 (X) — Хп (А.) —

II f[X. х„(Х)) и2

Ж(Ь-*о)]‘ф. *nW]||2

f [X, ХП (X)].

в)

Хп+1 (X) — хп (X)

II f [X, хп (X)] ||2
x„(A,)]}*f [А. х„(Х)]

f [X. хп (X)].

Сделаем в заключение пункта несколько замечаний. Отметим,
что для приближенного построения неявных функций может
применяться метод предварительного перехода к дифференциаль-
ным уравнениям, решением которых являются искомые функции.
Такой прием (в случае скалярного X) бегло обсуждался в п. 13.4.

В случае, когда уравнение (20.1) имеет специальный вид

х = А (А,, х),

где А (X, х)— вполне непрерывный оператор, для приближенного
построения неявной функции х(Х) часто удобно применять про-
екционные методы (см. § 19) или модификации метода Ньюто-
на— Канторовича, описанные в п. 12.5. Особо подчеркнем, что
рассмотренные в п. 12.5 методы требуют обращения лишь опе-
раторов в конечномерных подпространствах (т. е. обращения
матриц),
20.6. Асимптотические приближения к неявным функциям *).
Обозначим через со(Х) неотрицательный функционал, непрерыв-
ный в нулевой точке 0 и принимающий лишь в этой точке нуле-
вое значение. Примерами могут служить функционалы | Х||“
(а>0), ||X||a|ln||X 11 (а>0), являющиеся функциями от ||Х||, и не-
сколько более сложные функционалы типа ||РХ ||а‘ +1| Л — РХ ||а2
(cxi,a2>0; Р —линейный проектор в пространстве Л) и т. д.

Будем говорить, что функция у (X) является асимптотическим
приближением порядка со к функции х(Х) в точке Хо, если

х (X) = у (X) + о [© (Л - Хо)],

Т‘	lim 11х(Х)-у(Х)|| . „

цх~х^о <о(Х-Х0)

Ясно, что функция х(Х) является при этом асимптотическим при-
ближением порядка со функции у(Х) в точке Хо. Если

х (X) = у (X) + О [© (X - Хо)],

ИЖ AW-H.X)ll,,<0o

ИХ-!™^ <о(Х —Хо)	’

то будем говорить, что //(X) является асимптотическим прибли-
жением предпорядка со к х (X) в точке Хо.

Если функция х(Х) представима в окрестности точки Хо фор-
мулой Тейлора (20.34), то функция (20.33) будет ее асимптоти-
ческим приближением порядка со(Х) = ||Х||т, или, как часто гово-
рят в этих случаях, порядка пг. Поэтому изложенный в п. 20.4
метод можно рассматривать как способ построения асимптоти-
ческих приближений порядка пг в точке Хо к неявной функции
х(Х), если эта неявная функция в точке Хо имеет производные
до порядка пг (например, если выполнены условия теоремы 20.3).
Ясно, что любое асимптотическое приближение порядка пг функ-
ции х(Х), имеющей в точке Хо производные до порядка /и, само
является функцией, имеющей в точке Хо производные до поряд-
ка пг, совпадающие с соответствующими производными функ-
ции х(Х).

В этом пункте будет выяснено, что итерационные процессы
типа изученных в п. 20.5 приводят к различным просто получае-
мым асимптотическим приближениям неявной функции.

Упражнение 20.18. Пусть выполнены условия теоремы 20.1. Показать,
что функция х(Х) является асимптотическим приближением порядка (пред-
порядка) со в точке Хо к неявной функции х#(Х) в том и только том слу-
чае, когда нулевая функция является асимптотическим приближением порядка
(предпорядка) со в точке Хо к функции /[X, х(Х)].

*) П. П. Забрейко и М. А. Красносельский [5, 6].
Рассмотрим вспомогательное уравнение

х = П(Л, Д	(20.55)

где П (%, х) (X S (Хо, а), x^S (х0, Ь)) — оператор со значениями
в Е, П(Хо, *о) =*o- Будем считать, что уравнение (20.55) при
X^S(Zo, а) имеет единственное решение x^(Z)gS(x0, 6). Пред-
положим, далее, что при ^eS(i0, aQ), xsS(x0, bQ)

ЦП (А, х)-ЩА, X, (A)] ||< q || x - x, (A) ||,	(20.56)

где q< 1, и

IIП (A, x) - x0 IK bQ-,	(20.57)

здесь ao и &o — некоторые числа соответственно из промежутков
(0, а] и (0, Ь]. Тогда, очевидно, последовательные приближения
xrt+i О')= П [А, хп (А)] (А е= S (Aq, Uq)', п — 0, 1,2,...)
сходятся к х„(А), если x0(A)sS(x0, Ьо), причем

II х„ (А) - х. (А) || < qn || х0 (А) - х. (А) ||.

Нас будет интересовать поведение при А—>Ао функций

МА) = || х„ (А) - х. (А) II, Щ (А) = II х„ (А) - х0 II, И. (А) = || х. (А) - х01|.

Лемма 20.1. Пусть П (А, х) удовлетворяет условию

IIП (А, х)-х0|Кл(А-Ао, ||х- х01|) (A<=S(A0, a); xeS(x0, &)),

(20.58)
где n(v, 0 не убывает no t. Пусть начальное приближение
xo(A)eS(xo, b) удовлетворяет неравенству

Рю О) ~ II *о О) х0 IK О Ч) (A s S (Aq, а)). (20.59)
Пусть, наконец,

n[v, с® (v)K& (с) о(v)	(||v|Ka. 0<с<оо).	(20.60)

Тогда

(А) < сп а> (А - Aq) (п = 1, 2, ...), н. О) < с.® (А - Ао). (20.61)

Доказательство. Первое из неравенств (20.61) доказы-
вается по индукции: если Ц/(А) с(<о (А — Ад), то в силу (20.58)
Pi+i (А) = IIП [А; хДА)] - х0 |К л [А - Aq, рДА)]<л [A-Aq, ^©(А-АД]
и из (20.60) вытекает оценка (А)	с(+1(о (А — Aq).

Очевидно,

И. (А) = ЦП [А, х.(А)]-х0|К

<11 П[А, х.(А)]-П[А, х0 (А)] || +1| П [А, х0(А)]-х0||
и в силу (20.56) и (20.58)

И. W (X) - *0 W 11 + л [X - Хо, II х0 (X) - *0 111 <

< 9 Н. W + 9 Но (X) + л [X - Хо, ц0 (X)],

откуда в силу (20.59)

Из последнего неравенства и из (20.60) вытекает вторая оценка
(20.61).

Лемма доказана.

Вернемся к исследованию неявной функции x*(X), опреде-
ляемой уравнением (20.1) при условии (20.2). Для простоты бу-
дем считать, что оператор f(X, х) дифференцируем по х в окре-
стности точки (Zo, х0}.

Теорема 20.7. Пусть f'x(k, х) удовлетворяет условию

f'x(K x)-f'x(^0, х0)||<ф(Х- хо, ||х- х0||)

(20.62)

(X е S (Хо, а); х f= S (х0, Ь)),

где q?(v, t) не убывает по /, непрерывна в точке {0, 0} и

qp[v, с со(v)]	(с) соо(v) (II v||^ а; 0<с<оо). (20.63)

Пусть

|| f (Л, х0) || < ™ (Л - Хо) (Л S (Хо, а)).	(20.64)

Наконец, пусть функция х0(Х) удовлетворяет условию (20.59)
(например, х0(Х) = х0).

Тогда найденная по рекуррентным формулам (20.41) функ-
ция хп(%) является асимптотическим приближением в точке %0
к неявной функции х.х. (Л) предпорядка со"(о:

7TZZ ____ll^n (AQ %* (МII_ -х	/ОП

[й>о (X — Х0)]я со (X — Хо) <0°-	<20-65)

Доказательство. Положим

П (X, х) = х — Г f (Л, х)

и покажем, что этот оператор удовлетворяет условиям лем-
мы 20.1 при

ji(v, t) = qQt 4- cog) (v),	(20.66)

где qQ, Cq—некоторые постоянные. Из (20.62) и (20.64) вытекает,
что f (X, х) удовлетворяет условиям теоремы 20.1. Поэтому опера-
тор П(%;х) при л«=5(Хо, aQ) является оператором сжатия с по-
стоянной сжатия q0 на шаре S(x0, b0) (aQ и bQ достаточно малы;
aQ выбирается по &0), откуда следует, что выполнены неравен-
ства (20.56) и (20.57). Условие (20.58) вытекает из цепочки
неравенств

1|П(Л, х)-х01К11П(Л, х)-1Ж х0) II + II П (Л, х0)-х0||<
< 9о11 х - х0 II + с0со (Л - Ло) = л (Л — Zo, II X - х0 II).

Неравенство (20.59) содержится в условии теоремы, а неравен-
ство (20.60) для функции (20.66) очевидно. В силу леммы 20.1
верны оценки (20.61).

Для доказательства (20.65) мы по индукции установим
оценку

(А) = || хп (Л) - х* * (Л) || < dn [со0 (Л - Ло)]" со (Л — Ло) (20.67)
(n = 0, 1, 2, ...).

При п = 0 оценка (20.67) вытекает из (20.59) и из второго
неравенства (20.61):

6о (Л) = II х0 (Л) - X, (Л) II < II х0 (Л) - х01| + р, (X) < (с0 + с.) со (Л — \).

Пусть неравенство (20.67) выполнено при п = 1. Из тож-
дества

Xz+1 (Л) - х. (Л) = Г (f'x (Ло, х0) [xz (Л) - х, (Л)] - f [Л, xz (X)] + f [Л, х. (Л)]}
вытекает, что *)

6z+iW<liri sup j x0)-f;[%, (i - e) xz w + о хдл)] (X),
и в силу (20.62) и (20.61)

6Z+1 (А) < IIГ || <р [Л - Ло, pz (Л,) + И. (Л)] 6Z (Л) <
< II г II <р [Л - Л.о, (cz + с,) со (Л)] dz (Л).

Из предположения индукции и из (20.63) тогда вытекает не-
равенство

6Z+i (А) < IIг IIMQ + с.) ®о ~ Ч) di 1®о - \))Г ® (Л - %) =
= dz+1 [со0 (Л Хц)] +l со (Л Xq).

Теорема доказана.

Упражнение 20.19. Показать, что теорема 20.7 сохраняет силу, если
условие (20.62) заменить неравенствами

I f (^о’ х1) “ f (^о’ *2) ~ (%> хо) (Х1 х2$	(г) II Х1"" х2 II

(xb х2^ S (х0, г)),
ш (Л,	- f (Л, х2)] - [f (Ло, Xi) - f (Ло, Х2)]|| < pl (Л - Ло, г) IIХ1 - х2||

(Л е S (Ло, р); X], х2 е S (х0, г)),

 p(t) + pl (V, 0 < <Р (V, О-

*) Здесь используется следующий элементарный факт. Если нелинейный
непрерывный оператор А дифференцируем во всех внутренних точках отрезка
(1 — 0)хо + 0X1 (О<0<1), то найдется такое 0* е (0,1), что

МХ! - Дхо1| < II А' [(1 - 6*) Хо + е*х!]|| • ||Xi - Х0II.
Пусть, в частности, условие (20.62) имеет вид
x0)||<M(||X-Xj + ||x-х0||),

и пусть

||/ (Л, х0)|| < М1II Л - Ло II,	II х0 (Л) - х0 II < М2II Л - Ло ||.

Тогда можно положить

ф (v, t) = МIIVII + Mt, со (v) = G>0 (v) = II VII,

и из теоремы 20.7 вытекает, что каждое фиксированное прибли-
жение хп(Л), найденное по формулам (20.41), является асимпто-
тическим приближением предпорядка п + 1 (и, конечно, асимпто-
тическим приближением любого порядка п+1—е) к неявной
функции х.;.:-(Х). Подчеркнем, что изложенный метод получения
асимптотических приближений любого порядка не требует су-
ществования производных высоких порядков ни у неявной функ-
ции х.х.(Л), ни у оператора /(Л, х). Если функция х.:ДЛ) имеет в
точке Ло производные до порядка п, то эти же производные будут
и у всех асимптотических приближений порядка п. Поэтому про-
цедура построения приближений (20.41) и их дифференцирова-
ния может быть применена для вычисления производных не-
явной функции в точке Ло. Последние замечания относятся и к
другим рассматриваемым в этом пункте методам построения
асимптотических приближений к неявным функциям.

Упражнение 20.20. Оценить предпорядки асимптотических приближе-
ний (20.41) к неявной функции х*(Л), если

|| f' (Л, х) - f'x (Ло, х0) J < М (|| Л - Ло |Р +1| х - х0 |Р),
||f (Л, хо)II < М JIX - Ло (р,	||х0 (Л) - х0|| < М2 ||Л - Ло |р,

где 0 < аь а2, а3, а4 < 1.

Аналогично теореме 20.7 доказывается

Теорема 20.8. Пусть £'(Л, х) удовлетворяет условию

f'x&, x)-f'x(X, х0)

ф(Л —Ло, || х — х01|)	(20.68)

(Ze S (Ло, а); х s S (х0, Ь)),

где ф(¥, /) не убывает по непрерывна в точке {0,0} и удовле-
творяет условию (20.63). Пусть выполнено условие (20.64), и
пусть функция х0(Л) удовлетворяет условию (20.59). Наконец,
пусть f'x(h, х0) непрерывна в точке Ло.

Тогда найденная по рекуррентным формулам (20.44) функция
хп (Л) является асимптотическим приближением в точке Ло к не-
явной функции х* (Л) предпорядка со.
Упражнение 20.21. Показать, что теорема 20.8 сохраняет силу, если
условие (20.68) заменить неравенством

^eS (Ло, р); xeS (х0, г) ).

Теорема 20.9. Пусть выполнены условия теоремы 20.6.
Пусть выполнено условие (20.64), и пусть начальная функция
%о(М удовлетворяет условию (20.59).

Тогда найденная по рекуррентным формулам (20.45) функ-
ция хп(К) является асимптотическим приближением в точке Ло к
неявной функции х.»(Л) предпорядка со(1+б) :

н- \\хп (Л)-** (Л)||
г м а и(1+6^
[со (Л — Ло)]

оо.

(20.69)

Доказательство. В силу теоремы 20.6 приближения
хп (Л) (n = 1,2, ...; Л S (Ло, а0), aQ достаточно мало) определе-
ны и удовлетворяют неравенствам (20.53). Поэтому для дока-
зательства теоремы достаточно установить неравенство

II х0 (Л) - xt (Л) II < doa> (X - Ло).

Для этого, в силу (20.59), достаточно доказать более простое
неравенство

IIх, (Л)-х01|< с„(£> (Л-Ло).

Это неравенство устанавливается просто рассуждениями, прове-
денными при доказательстве леммы 20.1 (детали предоставляем
читателю).

Теорема доказана.

Оценка (20.69) показывает, что метод (20.45) приводит к
асимптотическим приближениям неявной функции «сверх-
быстро» растущих порядков. Если, например, co(v) =7H||v||, то
функция хп(%) является асимптотическим приближением поряд-
ка (1+б)п.

Упражнение 20.22. Оценить порядок асимптотического приближения
неявной функции х*(Л) функцией хп(Л), полученной по формулам (20.45), для
случая, когда условие Гельдера (20.52) заменено условием

(A g S (Ло, р); xlf х2 е S (х0, г)).

20.7.	Формальные ряды и формальные неявные функции*).
Пусть Л, Е — вещественные или комплексные банаховы

*) Для случая конечномерных пространств см. С. Бохнер и У. Т. Мар-

тин [1].
пространства. Выражение вида

оо

х (V) = 2 Akv,	(20.70)

где Ak — однородная &-форма (действующая из Л в Е однород-
ная форма порядка Л), называется формальным степенным ря-
дом, «действующим» из Л в Е. Подчеркнем, что в определении
формального степенного ряда нет предположения о его сходи-
мости.

Множество формальных рядов, действующих из Л в £, обра-
зует линейное пространство при естественных (почленных) опе-
рациях умножения на скаляр и сложения; нулем этого простран-
ства является формальный степенной ряд из нулевых Л-форм.

Порядком а(х) формального степенного ряда называется
наименьший порядок ненулевых форм, входящих в определение
ряда. Порядок о(0) нулевого ряда считается равным оо. Оче-
видны соотношения

о(ах) = о(х) (а =# 0), о (%! + х2) min {Q Ui), <*(*2)}-

Многочлены (см. п. 20.2) можно рассматривать как частный
класс формальных степенных рядов; не нужно путать степень
многочлена с его порядком (как ряда).

В некоторых случаях удобно рассматривать суммы бесконеч-
ного числа формальных рядов %z(v)(/= 1,2, ...j. Такую сумму
определяют в случае, когда аг = о(х/)-> оо; при этом для каждого
фиксированного k лишь в конечном числе рядов

X;(V)=2^(V)	(/ = 1.2,...)

/г=1

операторы Д/г отличны от нуля; их сумму обозначим через ВЛ.
Сумму %i(v) + ... +xz(v) + ... определяют как формальный ряд

оо

.*i(v)+ ... +xz(v)+ ...

k=\

Если v — скалярный параметр, то формальный степенной ряд
имеет вид

х (v) = ар? + a2v2 + ... + akvk + ...,

где а2,..., ah,... — произвольные элементы из Е.

Нам понадобятся формальные степенные ряды от двух пере-
менных

оо

g(v, Л)= 2 Vk,m(v, /г),	(20.71)
где Vk, т — однородные (й, т)-формы. Действия с такими ря-
дами определяются так же, как и для рядов с одной перемен-
ной. Порядком a(g’) ряда от двух переменных называют наи-
меньшее из таких чисел /г + m, что Vk,m не есть тождественный
нуль.

Важную роль играет понятие суперпозиции двух степенных
рядов или, что то же, подстановка формального ряда в формаль-
ный ряд. Опишем ряд, который получается при подстановке
(20.70) вместо h в (20.71). Этот ряд g[v, x(v)] определяется как
бесконечная сумма

g [V, х (v)] = f Vk,m [v, x (v)]	(20.72)

fe+m=l

формальных степенных рядов 14, m [v, x(v)]. Каждый из этих по-
следних рядов по аналогии с (20.15) определяется равенством

оо

vk,m(y) = Vk,m[V, х (v)] = 2 Vk, nv, j (v),	(20.73)

/=1

где

Vk,	2j ---------a[i aj!-----VA.mV^XjV) ' . . . (Л/v) >.

a.+2a + ... +/a.=/

(20.74)

Сумма (20.72) имеет смысл, так как о(^, m)> & + m-> оо. Гро-
моздкие формулы (20.74) не должны пугать читателя — коэф-
фициенты формального ряда g[v, x(v)] получены по обычным
алгебраическим правилам подстановки ряда в ряд.

Вернемся к исследованию неявных функций. В этом пункте
мы будем искать решение вида (20.70) уравнения

g(v, й)=0,

(20.75)

где g(v, h) —формальный ряд (20.71). Естественно, что решение
определяется как такой формальный ряд h* (у), который при
подстановке в левую часть (20.75) дает нулевой формаль-
ный ряд.

Если ряд (20.71) сходится при малых v, /г, то линейный опе-
ратор Vo, 1 совпадает с производной по h суммы в точке {0, 0}.
В связи с этим мы будем часто пользоваться обозначением

vo>1=g;(o. о).

Теорема 20.10. Пусть оператор g'(0, 0) имеет непрерыв-
ный обратный Г.

Тогда уравнение (20.75) имеет единственное решение h*(v) в
классе формальных степенных рядов.
Для доказательства подставим ряд (20.70) с неопределенными
^-формами Ak в ряд (20.71) и приравняем нулю его коэффи-
циенты. В результате мы получим уравнения вида

170,Ил = ^Иь...Мл-1)	(Ь1, 2,...),

из которых последовательно однозначно определяются опера-
торы А\, А2, ...

20.8.	Аналитичность неявной функции. В этом пункте мы
рассмотрим неявную функцию х.;;.(А,), определяемую уравнением
(20.1) при условии (20.2), для случая, когда оператор х) ана-
литичен в точке {Хо, Хо}. Если при этом определен оператор
(20.3), то легко видеть, что выполнены все условия теоремы
20.3, и поэтому неявная функция х*(Х) существует в некоторой
окрестности S(X0, а0) точки Хо и дифференцируема в этой окре-
стности. Оказывается (см., например/ Э. Хилле и Р. Филлипс
[1]), что х.::.(Х) аналитична в точке Хо. В случае комплексных про-
странств А, Е аналитичность является простым следствием диф-
ференцируемости. В случае же вещественных пространств мо-
жно, например, предварительно расширить по аналитичности
оператор /(X, х) на комплексные расширения A + ZA и E+iE про-
странств Л и Е, а затем воспользоваться последним соображе-
нием. Для удобства сформулируем утверждение об аналитич-
ности неявной функции в виде теоремы.

Теорема 20.11. Пусть оператор f(k,x) аналитичен в точке
{Хо, *о}, и пусть существует оператор (20.3).

Тогда неявная функция х.х.(Х) существует, единственна и
аналитична в точке Хо.

Упражнение 20.23. Показать, что каждая 6-форма Ak, действующая
из вещественного пространства Л в вещественное пространство Е, равенством

k

Ak (х, + ixt) = У n (^_Z)| i^A^x^
1=0

может быть продолжена в 6-форму, действующую из Л-Н’Л в E+iE. Оценить,
во сколько раз может вырасти при этом норма Ak. (А. Е. Тейлор [2], А. Алек-
севич и В. Орлич [1]).

Пусть выполнены условия теоремы 20.11. Тогда у неявной
функции есть производные всех порядков. Для их определения
или, что то же, для определения Л-форм Ah в представлении

оо

•V. W = Хо + s Ak (Л - Ло)
fc=l

(20.76)

может быть применен метод неопределенных коэффициентов,
описанный в п. 20.4.
Если ряд
оо

h (v) = 2 Akv	(20.77)

fe=l

рассматривать как формальный степенной ряд, то он будет ре-
шением уравнения (20.75), где g(v, h) — рассматриваемое как
формальный степенной ряд двух переменных v и h разложение
оператора f(Xo + v, х0 + Л).

Поэтому из теоремы 20.10 вытекает, что формы Ац будут при
применении метода неопределенных коэффициентов определяться
единственным образом. Из проведенных рассуждений вытекает
следующая очевидная, но важная

Теорема 20.12. Пусть выполнены условия теоремы 20.11.
Пусть формальный ряд (20.77) является решением уравнения
(20.75), где g(v, h)— разложение оператора f(Xo + v, х0 + /г),рас-
сматриваемое как формальный ряд.

Тогда ряд (20.77) сходится при малых v и формула (20.76)
определяет единственную неявную функцию.

Для многих приложений теоремы 20.11 и 20.12 недостаточны.
Важны оценки областей в пространстве А, на которых опреде-
лена и аналитична неявная функция х*(М- Мы будем искать
шар S(Xo, г*), который лежит в этой области. Основной способ
получения оценок радиуса г* этого шара основан на использо-
вании широко применяемого в различных главах математики
метода мажорантных рядов*).

Пусть скалярный ряд

оо

1) = 2	(20.78)

fe=l

с неотрицательными коэффициентами (g — скалярная пере-
менная) мажорантен для разложения (20.76) неявной функции
в том смысле, что

(£=1, 2, ...).	(20.79)

Если Го — радиус сходимости ряда (20.78), то из (20.79) выте-
кает, что ряд (20.76) сходится по норме при ||Х — %oll Оо- Ко-
нечно, еще нельзя утверждать, что неявная функция х*(А,) опре-
делена во всех внутренних точках шара 3(Х0, г0).

Упражнение 20.24. Построить пример аналитической в бицилиндре
|£|<1, 1л1<1 скалярной аналитической функции f (£, л) (f (0, 0) = 0,
/т) (0, 0) = 1), которая не продолжается аналитически за этот цилиндр, но не-
явная функция т|*(£), определяемая уравнением	разлагается в ряд,

сходящийся по всей комплексной плоскости (5).

•♦) Наше изложение использует ряд соображений А. Е. Гельмана.
Если, как обычно, оператор х) определен при X^S(X0, а),
x^S(xQ,b), то при определении радиуса г* нужно помнить, что
он должен удовлетворять оценке г* -% а.

Наконец, радиус г* должен быть выбран так, чтобы сумма
ряда (20.76) при %eS(Ao, г*) принадлежала шару S(x0, b), Для
оценки значений сумм ряда (20.76) достаточно заметить, что

оо

2 Л (А - Ао)
fe=l

оо

< 2 М А - Ао II* = П(|| А —Ао II),
fe=l

где

W = 2 №к

Л=1

(0 С £ < Го).

Функция ц(£) возрастает. Пусть на отрезке [0, J функция
т](£) определена и принимает значения, не превышающие Ь.
Тогда сумма ряда (20.76) определяет неявную функцию х*(^)
в шаре S(Zo, г*), если

а,

С < ''о-

(20.80)

Опишем общую схему построения мажорантных рядов (20.78).
Положим

П(Л, х) = х-Г(Л; х)/(Л, х),	(20.81)

где
оо

г (А; х)= 2 1\/(А-А0, х-х0),

Z + /-1
причем

Г0,1 = [/ЛЛ0’ Хо)]

(например, можно Г(Х; х) определить как один из операторов
Kft, ««)]'. К(*. *»)]"• К<1> <’) Тог«

оо

П(А; х)= 2 П, /(A-Aq, х — х0).

/+/=1

причем По>! = 0.

Допустим, что нам известны оценки

II nZj; IL < /,

(20.82)

(20.83)

при этом можно считать выполненным равенство Лэ, 1=0. Опре-
делим скалярную функцию /(£, т]) равенством

оо

П)= 2 OW	(20.84)

i+/ = l

и рассмотрим уравнение

п = '(|. п).	(20.85)
Это уравнение называют мажорантным для уравнения

х = П (Z; х).

В дальнейших рассуждениях не играет роли область сходимости
рядов (20.84); более того, можно конструировать мажорантное
уравнение в классе уравнений в формальных степенных рядах.

Из теоремы 20.10 (или теоремы 20.11) вытекает существова-
ние единственной неявной функции

оо

п. (&) = 2 P.V,	(20.86)

1 = 1

определяемой уравнением (20.85) (при условии т]* (0) = 0). Ока-
зывается, что ряд (20.86) мажорантный для неявной функции —
доказательство вытекает из формул А\ = 0, pi=0,

л _	V	(ai + ••• +afe)!

U1! ...	!

i+a1+2a0+ ... + fe(ijL = fe+l

X nt- a + ... +a. vl (Av)a> ... (W\	(20.87)

1	rV

д —	V	(ai +	+ ttfe)! .	fta fta.

Pfe+1	£	‘<.ai+ ••• +“*P1 • • • Pfe •

i4-a।4-Sctg4" ••• +zjct^ = fe+l

(20.88)

Пусть, например,
II

Тогда

оо

t (£, n) = У Mи1и}^ - M - M ОТ) =	j- - M - M От).

i, /=o

Мажорантное уравнение

имеет два решения. Одно из них —решение ru-(£) —обращается
в нуль при £ = 0. Выпишем его:

_ 1-(1-»|)-'/Ч1-и(1+2ЛМ2|]'/»

*1* '	2v (1 + Aft»)

Очевидно, радиус rQ разложения (20.86) этой функции в ряд
определяется ее особыми точками; поэтому

и (1 + 2Мо)г •
Так как функция т].»(£) на [0, Го] растет, то rn, ь = Го, если

2v (1 + Afy)

Если же выполнено противоположное неравенство, то ь<Го и
гл, ъ определяется из уравнения трх-(г) = Ь\ решая это уравнение,
получим

_ b — b2v — Mb2v2

~ и (Д - bv) (М + b~+Mbv)'

Упражнение 20.25. Оценить г* для случая, когда неравенства (20.83)
имеют вид

II nz, / II, с м	.

J! JI

§ 21.	Конечные системы уравнений

21.1.	Некоторые понятия теории колец. В этом параграфе
будет использован ряд общих теорем теории коммутативных
колец (см., например, Б. Л. Ван дер Варден [1], Д. А. Граве [2],
О. Зарисский и П. Самюэль [1], Р. Уокер [1], В. Ходж и Д. Пидо [1]).

Пусть А — коммутативное кольцо с единицей 1. Всюду в
дальнейшем предполагается, что элементы а е К не имеют ха-
рактеристики, т. е. при любом ненулевом а из К и при любом
целом m

m • а = а + а + ... а 4= 0.

Множество Ко обратимых элементов ае К образует группу по
умножению. Очевидно, из ab е Ко следует, что а, b е Ко-

Два элемента а и b из К называют эквивалентными, если
а = ей, где 8 Ко- Если а = be, то говорят, что b является дели-
телем а или что b делит а. Элементы из Ко являются делите-
лями любого а^ К', делители из Ко называют тривиальными.

Кольцо К называется областью целостности, если из-а& = 0
следует, что либо а = 0, либо Ь = 0. Элемент а области целост-
ности К называется неразложимым, если он необратим и если
из а = Ьс следует, что либо Ь е Ко, либо с е Ко-

Говорят, что область целостности К является областью с
однозначным разложением, если каждый элемент а из К допу-
скает разложение

а = eai ... аг,	(21.1)

где 8 е Ко', at, ---, а?— неразложимые элементы; причем если
а = е'а' ... а',

— второе такое разложение, то г = г' и множители а', ...» а',
можно считать занумерованными в таком порядке, что «1
эквивалентен a'v а2 эквивалентен а2, ..аг эквивалентен а'. Не-
трудно видеть, что область целостности К, в которой каждый
элемент а представим в виде (21.1), является областью с одно-
значным разложением в том и только том случае, когда К обла-
дает следующим свойством: если неразложимый элемент р е К
является делителем ab, то р является либо делителем а, либо
делителем Ь. В каждой области К с однозначным разложением
для любых элементов а^ ..., аг^К определен (с точностью
до эквивалентности) общий наибольший делитель d = (tzb ..., ar).

Пусть К— область целостности. Через К [х] обозначают коль-
цо многочленов

f (х) = а^хт + аххт~х + ... + ат	(21.2)

с коэффициентами а0,	. ,ат из /С Если f (х) — многочлен

(21.2)	и ав=£=0, то число т называют степенью многочлена f(x).
Очевидно, степень произведения многочленов из /С[х] равна сум-
ме их степеней. Отсюда немедленно следует, что К[х] также яв-
ляется областью целостности. Через K[xi, ..., хп] обозначают
кольцо многочленов от п переменных хь ..., хп.

В дальнейшем важную роль играет следующее утверждение,
которое легко доказывается по индукции.

Лемма 21.1. Пусть f(x) и g(x)— два многочлена из К[х]
степеней тип соответственно:

f (х) = aQxm + а^1 + ... +amt g (х) = bQxn + Ьххп~х + ... + bn\

(21.3)

пусть k = max{m— п + 1, 0}.

Тогда в /<[х] существуют такие многочлены q(x) и г(х), что
bo f (х) = q (х) g (х) + г (х);	(21.4)

причем либо степень г(х) меньше п, либо г(х)==0. Многочлены
q(x) и г(х) определяются однозначно.

Пусть теперь К — область с однозначным разложением и
f(x)—многочлен (21.2). Общий наибольший делитель %(/) =
= (а0,..., ат) коэффициентов aQ,..., ат называется содержа-
нием многочлена Д Если х(/)^К0, то многочлен f(x) называется
примитивным. Каждый многочлен /(х) из К[х] представим в виде
fW = x(f) J(x),	(21.5)

где f примитивен; многочлен f называют приведением f. Спра-
ведливы равенства

и(fg) = 6[Х (f) И (g),	(21.6)

(fg)~^g,	(21.7)

где 8i, е2 Ко. Оба эти равенства являются следствиями леммы
Г аусса, которая утверждает, что произведение fg примитивных
многочленов fug является примитивным многочленом.

Упражнение 21.1. Доказать лемму Гаусса.

Лемма 21.2. Пусть К — область с однозначным разложе-
нием.

Тогда кольцо многочленов Л [%] также является областью с
однозначным разложением.

Доказательство. Покажем сначала (по индукции), что
каждый многочлен f с коэффициентами из Д' представим в виде

f = ^...fT,	(21.8)

где ееК0, a	— неприводимые многочлены (т. е нераз-

ложимые элементы кольца Д[х]).

Для многочленов нулевой степени (т. е. элементов из К) это
верно, так как К — область с однозначным разложением. Допу-
стим, что каждый многочлен f(x) степени меньше m допускает
представление (21.8), и покажем, что любой многочлен f(x) сте-
пени m также допускает представление (21.8).

Пусть x(f) =С1... Ci — разложение на неразложимые множи-
тели содержания многочлена f. Если f неприводим, то

/(%) = сх ... Ci f(x)

— разложение (21.8) многочлена f. Если же f приводим: f=g\gz,
то оба многочлена g\, g% примитивны, а их степени положитель-
ны и поэтому меньше in. По предположению индукции много-
члены gx и g2 раскладываются в произведение неприводимых
множителей. Тем самым на неприводимые множители расклады-
вается многочлен f: f (х) = f\(x)... fr(x). Но тогда

f(x)= Cl ... Cl fi(x)...fr(x)

— разложение (21.8) многочлена f.

Пусть теперь неприводимый многочлен р(х) является дели-»
телем произведения f(x)g(x) многочленов f(x) и§(х) (р(х)Х(х)=*;
= f(x)g(x))> но р(х) не делит f(x). Обозначим через ЭД множе-
ство всех ненулевых многочленов d(x) вида

d(x) =a(x)f (x) + b(x)p(x)	(и(х), b(x)<=K[x]).	(21.9)

Пусть do(x) — многочлен минимальной степени из ЭД. Если бы
степень d0(x) была положительной, то в силу леммы 21.1

бр(х) =q(x)do(x) + г(х),	(21.10)

где ^(х), г(х)е/([х] и либо степень г(х) меньше степени
do(x), либо г(х)еее0. Но из (21.9) — (21.10) следует, что г(х)е
еЭД, если г(х)^0; поэтому г(х) = 0 и б р (х) == <? (х) (*)_. Из
последнего равенства в силу (21.7) следует, что dQ(x) является
делителем р(х). Аналогично показывается, что do(x) делит f(x).
Так как р(х) неприводим и не является делителем f(x), то
do(x)— многочлен нулевой степени, т. е. do(x) = do ее К.

Пусть

d0 = Яо (х) f (х) = Ьо (х)р (х).

Умножая это равенство на g(x), получим

dQg(x) = [а0(х)Цх) + bQ(x)g(x)] р(х),

откуда в силу (21.7) следует, чтор(х) является делителем g(x).

Лемма доказана.

Упражнение 21.2. Пусть К — область с однозначным разложением.
Доказать, что Кри, ...» хп] также является областью с однозначным разло-
жением.

Так как кольцо многочленов /С[х] с коэффициентами из неко-
торой области К с однозначным разложением само является
областью с однозначным разложением, то для любых много-
членов fi(x), ..., fr(х) определено (конечно, с точностью до
множителя из Ко) понятие общего наибольшего делителя
d= (fi, ..., fr). Очевидно,

(fi, fr) = e(x(f1),	x(fr))(A, fr) (^Ko)- (21.П)

Непосредственно из леммы 21.2 вытекает

Лемма 21.3. Пусть f(x) и g(x) — два многочлена из К [х]
степеней тип соответственно.

Тогда степень общего наибольшего делителя d(x) много-
членов f(x) и g(x) положительна в том и только том случае,
когда существуют такие многочлены fi (х) и gi (х), степени кото-
рых меньше m и п соответственно, что

gi(x)f(x) = f1(x)g(x).	(21.12)

Упражнение 21.3. Показать, что общий наибольший делитель d(x)
многочленов f(x) и g(x} соответственно степеней m и п, имеет степень k в
том и только том случае, когда существуют такие многочлены fi(x) и gi(x)
степеней m— k и п — k, что справедливо равенство (21.12).

Пусть f(x) и g(x) — многочлены (21.3). Определитель

aQ а{ ...

ат 0 ... О

О aQ ai ...

^tn • • • О

. п строк

0	0	0	ао	а\	... ат	
Ьо	bl	• • •	Ьп 0 .	• •	0	•>
0	Ьо	bl ...	bn	0	... 0	У т строк |
0	0	0 ...	Ьо	Ь\	• •• Ьп	1  1

(21.13)
называют результантом (в форме Сильвестра) многочленов /(х)
и g(x).

Теорема 21.1. Пусть f(x) и g(x)— два многочлена из /С[х]
степеней тип соответственно, d(x)—их общий наибольший
делитель.

Тогда степень d(x) больше нуля в том и только том случае,
когда R = 0.

Доказательство. Пусть

fi(x)= - UQXm~l — UiXm~2 — ...

g\ (х) = UoX"’1 + Vtxn 2+ ... + vn4.

Тогда равенство (21.12), очевидно, эквивалентно системе

aQvQ

4- bQUQ

aiVQ+ aQVi

4- b\UQ 4- b$U\

a2vQ 4~	4- a0y2

4- &2^o + bxu{ 4“ М2

T* ЬnUm-\ 0.

(21.14)

Утверждение леммы 21.3 равносильно тому, что эта линейная от-
носительно Уо, Уь . .., vn-i, и0, uh ..., итЧ система имеет нену-
левое решение. Система (21.14) имеет ненулевые решения в том
и только том случае, когда равен нулю ее определитель R.

Теорема доказана.

Упражнение 21.4. Пусть f(x) и g(x) — два многочлена. Показать, чтэ
существуют такие многочлены а(х) и Ь(х), что

Rd(x) = a(x)f(x) 4- b(x)g(x).

Упражнение 21.5. В.ывести в терминах коэффициентов многочленов
f(x) и g(x) необходимые и достаточные условия того, что общий наибольший
делитель d(x) многочленов f(x) и g(x) имеет степень k.

Пусть	. пгг — целые положительные числа. Систему

из многочленов Ri,...,Rs от всех коэффициентов многочленов
/1 (х), ..., fr(x) степеней .. ., mr соответственно’

(х) = а^х”1' 4- а^х™1"1 4- ... 4-

fr (х) = a"xmr + a?xmr-' + ... -f a^,
называют (mi, ..., т^-системой результантов, если равенства
Ri=Q,...,Rs = 0

являются необходимым и достаточным условием того, что у мно-
гочленов fi(x),..., fr(x) есть общий делитель ненулевой степени,
Теорема 21.2. Для любого набора целых чисел т\,...,тг
существует (mi, ..., пу)-система результантов R\, ...» Rs.

Приведем доказательство этой теоремы, восходящее к Кроне-
керу. Пусть Л* = К [wi,..., wr~i] — кольцо многочленов от г — 1
переменных Wi,..., wr~i с коэффициентами из К, и пусть
fi (*), • • •, fr(x) — многочлены степеней mb...,mr. Положим

f(x) = Wifi(x)+ ... + ayr-ifr-i W, g(x)=fr(x); (21.15)

f(x) и g(x) рассматриваются как многочлены с коэффициента-
ми из К*. Нетрудно видеть, что общий наибольший делитель
d*(x) многочленов f(x) и g(x) является многочленом с коэффи-
циентами из К и совпадает (с точностью до множителя из Ло)
с общим наибольшим делителем многочленов fi (х),..., fr(x).
Поэтому верно следующее утверждение: чтобы степень общего
наибольшего делителя многочленов fi (х),..., fr(x) была поло-
жительной, необходимо и достаточно, чтобы результант Л* много-
членов (21.15) был равен нулю в Л*.

Результант R* является, очевидно, однородным многочленом
от W\, ..., wT-\ (с коэффициентами из Л) некоторой степени /:

R* =	2 Ra „ te»“‘ ... war-i.

Равенство его нулю в Л* равносильно тому, что Ra а =0
при всех ан ...,аг-ь Поэтому многочлены Ra _ а образуют
(ть .. ., mr) -систему результантов.

Теорема доказана.

Рассмотрим теперь вопрос о вычислении общего наибольшего
делителя многочленов Л (х), f2(x),...,/г(х). В силу (21.11) до-
статочно уметь находить общий наибольший делитель много-
членов fi(x), /2 (*), • • •, fr(^). Д«ля отыскания общего наиболь-
шего делителя этих многочленов можно воспользоваться лем-
мой 21.1; при этом можно ограничиться случаем двух много-
членов.

Пусть fi(x) и /2(*)— два заданных многочлена. Используя
лемму 21.1, можно построить многочлены g’o(x), gi(x),..., gk+i(x)
такие, что gQ (х) = f 1 (х), g{ (х) = f2 (х) и

61 go (х) = ?i (х) gi (х) + g2 (х),

gk-1 (х) = qk (х) gk (х) + gk+i (х);

(21.16)

при этом степени многочленов gi(x),..., gh(x) строго убывают,
а многочлен gh+i (х) либо имеет степень 0, либо равен нулю:
gh+i (х) =gh+i е К,
Теорема 21.3. Общий наибольший делитель d(x) приведе-
ний fi(x) и многочленов fi(x) и f2(x) имеет положитель-
ную степень в том и только том случае, когда gk+i = 0. Если
£м-1=0, то d(x) = gk(x).

Доказательство. Пусть d(x)—общий делитель fi(x) и
/Дх). Тогда из (21.16) вытекает, что d(x) является делителем
всех многочленов go(x), g'i(x), ..., ^+i(x). Если степень много-
члена d(x) положительна, то g\+i(x)=0, так как d(x) делит
(х) =£&+!. Так как многочлен d(x) примитивен, то в этом
случае он является делителем 0&(х) (в силу (21.7)).

Пусть теперь gk+l = 0. Тогда ^(х) —делитель д^^-Дх) и,
в силу (21.7), делитель gft_i(x). Но тогда из (21.16) следует, что
gft(x) — делитель 6/l_ig'ft_2(x), откуда, снова в силу (21.7), выте-
кает, что ^л(х) — делитель 0^-2(х). Поступая аналогичным обра-
зом, после конечного числа шагов мы получим, что дь(х) яв-
ляется общим делителем дп(х) и 0i(x). Так как каждый дели-
тель #0 (*) и 01 (х) является и делителем 0/Дх), то 0/?(х) — общий
наибольший делитель.

Теорема доказана.

Пусть f(x)— многочлен (21.2). Его производной f'(x) назы-
вают многочлен

f' (х) = пгавх”1"1 + (rn — I) а{хт~2 + ... + ат_{.	(21.17)

Справедливы равенства

If (х) + g (х)]' = f' (х) + g' (х),	[f (х) g (х)]' = f' (х) g(x)+f (х) g' (х).

(21.18)

Допустим, что

Нх) = хШЛ(х)...Л(х),	(21.19)

где fi(x),..., fi(x) — неприводимые многочлены. Среди много-
членов fi (х),..., fi(x) могут быть одинаковые. Поэтому разло-
жение (21.19) удобно писать в виде

fW = K(f)f^(x) ...f/(x),	(21.20)

где yi, ...,уг — целые числа, а Л (х),..., fr(x) — неприводимые
многочлены, среди которых нет одинаковых. Если yi = ... =уг=
= 1, то говорят, что многочлен f(x) не имеет кратных множи-
телей.

Из равенства (21.20) и из (21.18) следует, что

f'U) = x(f) i ур^(х) ... fV'(x) ...	(21.21)

p® 1	r

22 M. А. Красносельский и др,
Из (21.20) и (21.21) следует, что общий наибольший делитель
многочленов f(x) и /Х(х) определяется равенством

(Цх), f'(x)) = x(f)fi‘~'(x) ... Ггг-'(х).	(21.22)

Из этого равенства вытекает, что общий наибольший делитель
имеет положительную степень в том и только том случае, когда
хотя бы одно из чисел yi,..., уг больше чем 1, т. е. когда много-
член (21.20) имеет кратные множители.

Дискриминантом D многочлена f(x) называется результант
многочленов f(x) и /'(%). Из теоремы 21.1 и из (21.22) следует

Теорема 21.4. Многочлен f(x) не имеет кратных множите-
лей в том и только том случае, когда D 4= 0.

21.2.	Кольца степенных рядов. Кроме колец вещественных
и комплексных чисел мы систематически будем пользоваться
различными кольцами степенных рядов и кольцами многочленов
с коэффициентами из колец степенных рядов.

В п. 20.7 были рассмотрены формальные степенные ряды в
банаховых пространствах. В этом и следующем параграфах бу-
дут использованы несколько более общие классы формальных
степенных рядов от нескольких скалярных переменных.

Формальным степенным рядом от п переменных z = {£i,..., £п}
называют выражение
оо

f(z)=	2 ак1.......(21-23)

ftp-.-.V0

с числовыми коэффициентами akv..., kn- В отличие от п. 20.7 ко-
эффициент «о,...,о может быть отличен от нуля. Ряд (21.23) ча-
сто удобно 'записывать в виде

оо

(21.24)
fe=0

где fk — однородный многочлен степени kt

Ъ =	2	алр..,^1 ...	(21.25)

kt+... +k=k 1 n 1	n

Наименьшее k, при котором fk не равно тождественно нулю, на-
зывают порядком формального степенного ряда f и обозначают
через o(f).

В дальнейшем существенно будет использован тот факт, что
ряд (21.23) сходится в некоторой окрестности нуля в том и толь-
ко том случае, когда его коэффициенты удовлетворяют неравен-
ствам

Н........ ?-	(21.26)

здесь М, ci,..., сп — некоторые постоянные.
Упражнение 21.6. Доказать, что из (21.26) вытекает сходимость
ряда (21.23) в полицилиндре I £i I < 1/сь I ?n I < 1/сп. Верно ли обрат-
ное утверждение?

Множество формальных степенных рядов образует кольцо
K{z} = K{t>i,. .., £п} относительно естественных операций сложе-
ния и умножения. Отметим соотношения

a (f 4-g)< min (a (f), a(g)}; a(fg) = a(f) + о (g).

Как обычно, через f~{ обозначается такой формальный степенной
ряд, что Я-1 = /"7=1, где 1 рассматривается как формальный
степенной ряд. Предоставляем читателю показать, что ряд
(21.23) имеет обратный f-1 в том и только том случае, когда
Яо, ...,о=#О; ряд f-1 можно найти методом неопределенных коэф-
фициентов или делением по возрастающим степеням.

Ряды (21.23), сходящиеся в некоторой окрестности нуля, об-
разуют подкольцо Л{г)а кольца K{z}. Нетрудно видеть, что ряд f
из K{z}a обратим в K{z} в том и только том случае, когда он об-
ратим в K{z]a.

Кольца K{z} и K{z}a являются областями целостности. Более
того, они образуют области с однозначным разложением. По-
следнее утверждение нетривиально.

Упражнение 21.7. Доказать, что кольца К {£} и К {£}а рядов от
одной переменной — области с однозначным разложением.

При введении понятия формального степенного ряда (21.23)
не играл роли тот факт, что коэффициенты a,k ...,k являются
числами. Основные изложенные выше факты относятся и к слу-
чаю, когда рассматриваются коэффициенты а* ...» * из произ-
вольной области целостности К. Мы используем эту более об-
щую точку зрения для случая, когда коэффициенты берутся из
некоторого фиксированного кольца формальных степенных
рядов.

Ряд (21.23) иногда удобно истолковывать как формальный
степенной ряд относительно одной из переменных с коэффи-
циентами из кольца формальных степенных рядов по остальным
переменным. Пусть для определенности выделена переменная
= w\ тогда ряд (21.23) можно переписать в виде

оо

(21.27)
fe=0

где

оо

ак= 2 ак..............к ...	(21.28)

к1- •••
Будем рассматривать степенные ряды вида

оо

f(z, w) = s fk(z)wk,	(21.29)

fe=0

оо

коэффициенты которых fk(z) = 2 fk являются степенными
т=0

рядами с комплексными коэффициентами от п переменных г =
= {£ь •••>?*}. Ряд (21.29) называется правильным, если отличен
от нуля ряд

оо

f(o, а>) = 2 МО)иЛ	(21.30)

6=0

Наименьшее k, при котором fk(O) = fk, о=£О, называется порядком
правильности ряда (21.29). Если ряд (21.29) является разложе-
нием аналитической функции f(z, w), то его правильность равно-
сильна тому, что функция f (0, w) не равна тождественно нулю;
порядок его правильности совпадает с номером первой отлич-
ной от нуля производной (0, 0).

Рассмотрим степенные ряды

оо	оо

f(z, w)= Zfk(z)w\ g(z, w)= % gk(z)wk, (21.31)
k=0	6=0

где
oo	oo

fk (2) = 2	(2), gk (2) = 2 gk. m (2).	(21.32)

m=0	m=0

Нас будет интересовать возможность деления (с остатком) ряда
g(z, w) на ряд f(z,w). Сразу же отметим, что такая задача
представляет интерес лишь в случае, когда не существует
ряд f-1(z, w) (т. е. когда /о,о = О).

Лемма 21.4*). Пусть ряд (21.29) правильный и s — его по-
рядок правильности.

Тогда существует такой многочлен

S— 1

г (2, w) = 5 rk (z) wk,
б=о

(21.33)

коэффициенты которого являются формальными степенными ря-
дами от z, что

g(z, w) = q(z, w)f(z, w) + r(z, w),

(21.34)

♦) См. С. Бохнер и У. T, Мартин [1}
где q{z,w)— некоторый формальный степенной ряд. Многочлен
r(z, to) и ряд q(z, w) определяются однозначно.

Если ряды (21.31) сходятся в некоторой окрестности нуля, то
коэффициенты rk (z) (k = 0, 1, ..., s—1) и ряд q(z,w) также
сходятся в некоторой окрестности нуля.

Доказательство. Первое утверждение леммы доказы-
вается прямым построением рядов rk(z) и ряда

оо

q{z, w) — 3 qk(z)wk,
fe=0

где

oo

Qk (^) = 2 Qk, m(^)*

tn=0

(21.35)

(21.36)

Определение рядов qk(z) не требует знания рядов rk(z)
(& = 0, 1,..., s — 1). Из (21.34) вытекает, что ряды qh(z) должны
удовлетворять бесконечной системе

п

gn (z) = 2 qv (z) f n-v (z>)	(n = s, s+1, s + 2, ...).	(21.37)

v=0

Эта система, как нетрудно видеть, равносильна системе

п пг

gn, m (^) = S 2 qv, ц (^) f n-v, m-\i (^)

v«=0 |i=»0

(m = 0, 1, 2, n = s, s+1, s + 2, ...)

или, в силу цепочки равенств

п m

2 2 qv.id^f
v=0 ц=0

n-v, m-ц

(z) =

n m—\

-S 3

v=0 ц=0

Qv, H (%)fn-v, m-ц

n

(z) + 2 Qv, m {z) fn-v, 0 (^) =

v=0

m—1

Qv, ц (^) f n-v, m-\i

n—s—\

(z) + 2 Qv,m (^) fn-v, 0

v=0

(^) + q^-s, m

(z) fs, 0,

системе

Qn-s, m ^z)

n m—1

gn, m

(«)-2 S'Zv.uC2)/

n-v, m-ц

(z)-

n—s—1

Qv, rri (z) fn-v, 0

v—0

v-0 ц~0

(21.38)

(n = s, s+1, s + 2, ...; m = 0, 1, 2, ...).
Из этих равенств при n = s, m = 0 получаем,

<7о, о = -р- gs, о-	(21.39)

IS, о

Далее, заменяя в них n — s на п, получим

Qn, т (^)

n+s-y, т-ц

n+s-v, О

n+s т—\	п— 1

1

fs, о

L	V = 0 ц=0	v = 0

(21.40)
(n = 0, 1, 2, ...; т = 0, 1, 2, ...).

Равенства (21.40) можно рассматривать как рекуррентные соот-
ношения для определения многочленов qn, m(z). Чтобы в этом
убедиться, нужно ввести указатель x(v, ji) =v+ (s+ 1) ц много-
члена qVf u(z) и заметить, что указатель многочлена qn, m(z)
строго больше указателей всех многочленов qv,u.(z), входящих
в правую часть формулы (21.40). Из проведенных рассуждений
следует, что ряд q(z, w) определяется однозначно.

Для доказательства первого утверждения леммы остается за-
метить, что многочлен r(z,w) определяется теперь равенством
(21.34).

Перейдем ко второму утверждению.

Пусть

I fn,т(г) I, I gn,т(г) I < Матьп| z Г	(n, m = 0, 1, 2, ...), (21.41)

и допустим, что числа L, g и т] удовлетворяют неравенствам

s > 1 n > 1 М-  [ 1 4---------------1---—1	L (21 42)

’ П> ’ Ib.ol L1 + (T)-D(g-l)	Л-1 1^=	(	}

Покажем по индукции, что
\q^m(z)\^L(lar^b)n\z\m т = 0, 1, 2, ...).	(21.43)

Этим доказательство леммы будет завершено.

Очевидно, неравенства (21.43) выполнены при n, т = 0. Допу-
стим, что неравенства (21.43) установлены для всех /г, т, для ко-
торых х(и, т) <п0 + ($+ 1)ап0. Тогда из (21.40) следует, что

| то |

na+s

Ma^b^ + LM 2 £ U# (t]6)v am^lbnt+s-v +
v e 0 |И"=0

По—1

+ LM (&)т° (t]£>)v ft"o+s-v

|гГ

v=o
По+5 1тпТ]По

1-1

М

I fs, о I

(S-D(n-i)

(£аГ° (П6)по I z Г°



< L &а)т° (пЬ)По I z Г°.

Лемма доказана.

Важную роль играет следствие из леммы 21.4, которое обыч-
но называют подготовительной теоремой Вейерштрасса.

Теорема 21.5. Пусть ряд (21.29) — правильный и s — его
порядок правильности.

Тогда существует единственный многочлен

*f(z, w) = ws + ai (z) ws 1 + ... +a5(z),

(21.44)

коэффициенты которого являются рядами от переменной г, удо-
влетворяющий условиям

и такой, что

ах (0) = а2 (0) = ... = as (0) = 0
f(z, w) = e.(z, w)*f(z, w),

(21.45)

(21.46)

где e(z, w)—формальный степенной ряд, имеющий обратный.

Если ряд (21.29) сходится в некоторой окрестности нуля, то
коэффициенты многочлена (21.46) и ряд &(z,w) также сходят-
ся в некоторой окрестности нуля.

Для доказательства теоремы нужно положить в лемме 21.4

g(z, w) = ws.

(21.47)

Тогда найдутся такие многочлен r(z,w) степени s — 1 и ряд
q(z, w), что

ws = q(z, w)f(z, w) + r(z, w)
или

q(z, w)f(z, w) = *f(z, w),	(21.48)

где

7(z, w) = ws — r(z, w).

Остается заметить, что ряд q(z, w) имеет обратный, и положить
8(z, w) =q~'(z, w).

Теорема доказана.

Обратим внимание на тот важный для приложений факт, что
°°

числовые коэффициенты рядов = 2anm(z)(n=l, ..., s)
могут быть фактически вычислены. Здесь может быть применен
метод неопределенных коэффициентов. Можно воспользоваться
равенствами

п т

Яп, т (*) = 2 2 ?v, р, (^) f n-v, т-у, (^)	(21 • 49)

v=0 ц-0

(n = 1, s; т = 0, 1,2, ...),

в которых многочлены qn,m(z) определяются по рекуррентным
формулам

9o,oU)=h	(21.50)

n—1

qn, о(^)=““ S Qv, о (^) fn+s-v, о (я = 1, 2, ...),	(21.51)

v=0

n+s m—1	п— 1

Qn, т (^) ~ S	Qv, ц. (^) fn+s-v, т-у, (z)	2 Qv, т (z) fn+s-v,‘0

v=0 |i=0	v=0

(21.52)

(n = 0, 1, 2, ...; m=l, 2, ...).

Эти формулы вытекают из (21.40) в частном случае, когда
g(z, w) — ws.

Будем рассматривать ряды f(x) = f(xi, ..., хп) из кольца
Л{хь ..., хп}, т. е. ряды вида

оо

/(*) =	2 ak kxk^...xk- (21.53)

k ... k =0 p *“* « 1	n

KV •••’ Kn u

с коэффициентами из области целостности К. Ряд (21.53) назы-
вается правильным по переменной хп, если отличен от нуля ряд

оо

f(0, .... 0, х„)= 2«о	0 kxn'	(21.54)

/г=0	’	’

полученный из ряда (21.53) при Xi = ... =хг?_1 = 0. Порядок пра-
вильности ряда (21.54) называется порядком правильности ряда
(21.53) по переменной хп. Не каждый ряд (21.53) правилен от-
носительно какой-либо переменной (примером может служить
ряд, состоящий из одного члена Х]Х2... хп).

При переходе от переменных х= (хь ..., хп) к новым пере-
менным х'= (%р	х') посредством линейного преобразования

x = qx'	(21.55)

или, более подробно,

(21.56)

каждый степенной ряд^х) переходит в степенной ряд Qf(x') —
=f(qx') от новых переменных х'. Если матрица q неособенная,
то этот переход является изоморфизмом между кольцами К{х}
и К{х^ (и, конечно, между кольцами К{х}а и

Лемма 21.5. Для любого конечного набора степенных рядов
fi (*), fz(x), • •., fr(х) порядков $i, s2,. .., sr соответственно можно
построить такую неособенную матрицу q, что все степенные ряды
Qfi(x'), ..., Qfr(x') правильны по переменной х'п, причем их
порядки правильности по этой переменной равны соответственно
Sl, , sr.

Доказательство. Обозначим через g(x) произведение
рядов Л(*),...,/г(х); порядок ряда g(x) равен s = si+...+sr.
Мы построим матрицу q так, чтобы ряд Qg’(x') был правильным
по переменной х'п порядка s. Этим лемма будет доказана.

Пусть

00

g(х) = gs(x) + 5 gk(x),

k «=54-1
где gh{x) — однородный многочлен степени k. Очевидно,
оо

g(qx') = gs(qx') + 5 gk(qx').

k=s+l

Поэтому матрицу q достаточно выбрать таким образом, чтобы
многочлен gs(qx') имел отличный от нуля коэффициент л при
Нетрудно видеть, что

•ГС = g.s(?ln> •••> Яап)*

Так как gs(x)^Q, то неособенную матрицу q можно выбрать
так, чтобы выполнялось неравенство л=#0.

Лемма доказана.

У п р а ж н ё н и е 21.8. Доказать, что кольца формальных и сходящихся
степенных рядов от п переменных являются областями с однозначным разло-
жением.

21.3.	Диаграмма Ньютона*). Пусть К — некоторое кольцо
Обозначим через множество всех формальных степенных
рядов вида

х(Х)=2<Л	(21.57)

где ck^K, O = 8o<ei<e2< . •. При естественных алгебраических
операциях является кольцом. Кольцо /<*{%} является об-
ластью целостности, если К — область целостности, и, аналогично,

♦) Метод диаграммы Ньютона играет важную роль во многих разделах
алгебры и анализа (см., например, Р. Уокер [1], Н. Г. Чеботарев [1, 2],
Б. А. Фукс и Б. В. Шабат [1], В. А. Треногин [3]).
областью с однозначным разложением, если Л — область с
однозначным разложением. В частности, если К — поле, то
К*{Х}— область с однозначным разложением.

Нам понадобятся некоторые важные подкольца кольца К*{Х}.
Через Кг{к}, где г — некоторое целое положительное число, обо-
значим подкольцо рядов вида

оо

х(Л)=2^/г.	(21.58)

k=0

Все эти подкольца изоморфны друг другу и, в частности, изо-
морфны кольцу К{Х} = /<1{Х} обычных формальных степенных ря-
дов. Объединение /С°°{Х} всех колец Кг{к} также является под-
кольцом кольца Л’*{Х}.

Если ряд (21.57) принадлежит Х°°{Х}, то существует наи-
меньшее г, при котором этот ряд принадлежит Кг{к}. Число г
будем называть радиксом (мы заимствуем этот термин у
С. В. Боброва [1], который применял его по другому поводу)
ряда (21.57). Если ряд (21.57) имеет радикс г>1, а е — некото-
рый первообразный корень степени г из 1, то ряды

оо

х(Л)=

fc=0
оо

Xj (Л) = S ekckMlr,

Л=0

(21.59)

оо

Xr-tW= ^^kCk^,
k=0

как легко видеть, различны. Ряды (21.59) будем называть со-
пряженными.

В дальнейших построениях этого пункта предполагается, что
К — поле комплексных чисел. Поэтому все описанные кольца
являются областями с однозначным разложением.

Рассмотрим уравнение

/(Л, х) = 0,	(21.60)

где f(%, х)— формальный степенной ряд

f(X, х)= 2 ат,пКтхп	(21.61)

т, п=0

с комплексными коэффициентами. Ниже предполагается, что
/(0,0) =0.
т. е. а0, о = О. Решениями уравнения (21.60) будем называть фор-
мальные ряды (21.57), в которых Со = О и которые при подста-
новке в ряд (21.61) обращают его в нулевой ряд от %. Возмож-
ность подстановки ряда (21.57) (при Со = О!) очевидна.

В предыдущем определении решения предположение о равен-
стве Со = О соответствует тому, что мы ищем решения уравнения
(21.60), обращающиеся в нуль при Х = 0.

Упражнение 21.9. Показать, что уравнение (21.60) имеет в К*{Х)
единственное решение х*(Х), если aOt i =/= 0. Показать, что х*(Л) е ЛДА}.

Ряд (21.61) можно переписать в виде

оо

! (X, х) = 2 ап (X) хп,	(21.62)

п=0

где

оо

а„(Х) =

/п=0

Допустим, что ряд (21.62) не есть тождественный нуль. Каждый
ненулевой коэффициент ап(к) ряда (21.62) можно переписать в
виде

оо

(^) = ^ ЬПг тК (Ьп, т ~

т=0	х	Л

где рп — целые неотрицательные числа (ро > 0!) и &п,о=#О.
Наименьшее из чисел рп назовем высотой ряда (21.62) и обо-
значим через h = наименьшее п, при котором рп = Л, обо-
значим через s = $(/); число s(f) будем называть степенью ряда
(21.62).

Без ограничения общности можно считать, что высота h(f)
ряда (21.62) равна нулю (хотя этот факт в дальнейшем и не ис-
пользуется). Действительно, в противном случае можно уравне-
ние (21.60) сократить на V; полученное после такого сокраще-
ния уравнение, очевидно, имеет в К*{к} те же решения, что и
уравнение (21.60). Если Л(/) = 0, то ряд (21.62) является пра-
вильным (см. п. 21.2), а его степень совпадает с порядком пра-
вильности.

Целью этого пункта является описание процедуры Ньютона
построения всех решений уравнения (21.60) и доказательство
следующего фундаментального утверждения.

Теорема 21.6. Пусть степень ряда (21.62) равна s.

Тогда уравнение (21.60) имеет в К* (К) решения в том и толь-
ко том случае, когда s>0. Если $>0, то уравнение (21.60) имеет
в К*{Х} не более чем s решений, каждое из которых лежит в
Решения уравнения (21.60) распадаются на группы

%i, 1 (^)> • • • > %i, rj (^)>

1 (^), • • • , Хг, Гх (^)

сопряженных решений, радиксы гь гт
ряют неравенству

п +г2+ • . • +гт<5.

(21.63)

которых удовлетво-

(21.64)

Если естественным образом ввести понятие кратности реше-
ний уравнения (21.60) и каждую группу в таблице (21.63) вы-
писать столько раз, какова кратность входящих в эту группу
решений, то неравенство
(21.64) обратится в равенство.
Ниже нам придется рас-
сматривать более общее, чем
(21.60), уравнение

Рис. 21.1.

g(^ х) = 0,	(21.65)

где g(X, х) —формальный сте-
пенной ряд

x)=ignWxn (21.66)
n=0

с коэффициентами из КГ{Х},

часть из которых, возможно,
обращается в нуль. Ненулевые коэффициенты gn(X) ряда (21.66)

можно записать в виде

оо

gn W =	2 bn, mKm,r,

m=0

(21.67)

где pn = dnr-\ dn — целые неотрицательные числа, Ьп, о=АО. Как
и выше, будем предполагать, что

£(0, 0) =0,

т. е. ро>О, и рассматривать решения уравнения (21.65) из К*{Х},
«обращающиеся в нуль при А, = 0». Как и в рассмотренном выше
частном случае (г=1), высотой h = h(g) ряда (21.66) будем на-
зывать наименьшее из чисел рп, степенью s = s(g] ряда (21.66) —
наименьший номер п, при котором рп = Л.

Пусть g(X, х)—ряд (21.66) степени s. Рассмотрим в плоско-
сти {/г, р} (рис. 21.1) множество точек {п, рп}. Ломаная «2s7, огра-
ничивающая снизу выпуклую оболочку множества W точек
{п, рп} (fi^n-^s) (на рис. 21.1 она заштрихована), назы-
вается ломаной Ньютона, отвечающей ряду (21.66). Ломаная
Ньютона состоит из нескольких отрезков J?!, ..., которые
называют ее звеньями.

Длиной 1(3) ломаной Ньютона 3 называется величина ее
проекции на ось абсцисс; аналогично определяются длины 1(3^
ее звеньев. Очевидно, длина 1(3) ломаной Ньютона является
целым числом и удовлетворяет неравенству

О

</(^)<s.

Число /0(oS2) = s — I (3) называется порядком вырождения 3.
Справедливо равенство

1(3{) + ... + 1(3Х) = 1(3).	(21.68)

Пусть

р + nz{i} = h{i} (/=1, т)	(21.69)

— уравнения прямых, проходящих через звенья 3{, ..., Зх
ломаной Ньютона 3. Число е(/) называется показателем, а
число h(t} — высотой, отвечающими звену 3{. При каждом
Z=l, ..., т можно определить многочлен

ф/ (С) = s ьп, осп,
p/2 + ne =

(21.70)

который будем называть опорным к 3 многочленом, отвечаю-
щим звену 3t (или показателю е(г)).

Лемма 21.6. Пусть длина I (3) ломаной 3 положительна.

Тогда каждый показатель е(1) и каждая высота являются
рациональными числами, причем

h{i}-h(f)^b{i\	(21.71)

Если	где р и q — взаимно простые числа, то q —дели-

тель l(3i) и

Ф/ (с) =	(cq),	(21.72)

где а — некоторое целое число, а 'V Дс) — некоторый многочлен
I (3/)
степени —-  .

q

Доказательство. Пусть {а, ра) и (р, рр} — крайние точки
звена Зь а<0. Тогда

ра + сс8(/) = Рр 4-	= Л(/),

откуда следует, что

(Z) = Ра ~~ Рр = ^а~~^
ь р - а г (р - а)
Следовательно, е(/) — рациональное число. Пусть

где р и q — взаимно простые числа. Тогда q, очевидно, является
делителем 0 — а = I

Неравенство (21.71) очевидно.

Если {п, рп} —точка на то

Р __$(/) __ Ра Р/г __
rq	п — а г (п — а)

и, следовательно, р (п — а) = q(da — dn). Отсюда следует, что
q является делителем п — а, т. е. что

п = а + /</,	(21.73)

где j— целое число.

Рассмотрим теперь опорный к многочлен. Очевидно,

Ф/(с)=	3 Дп,оС'1 = Са 3	&n,oCn’“.

р	р +n&№=hd)

ll	ll

В силу (21.73) все числа п,— а имеют делителем q. Поэтому
последнее равенство можно переписать в виде (21.72), где
многочлен (с) определяется равенством

(0—00 7"1

^/(с)=	5	. bn,QCn-a= s bjC},

Рп+ =hd)	i=®

где

если

если

Pa+J<? + (а + М е<П = hU)’
Ра+ja + (а + j<7)

Степень этого многочлена очевидным образом равна (|3 — a)g-1.

Лемма доказана.

Перейдем к исследованию решений уравнения (21.65),

Лемма 21.7. Если >0, то уравнение (21.65) имеет ну-
левое решение, и, наоборот, если уравнение (21.65) имеет нуле-
вое решение, то /o(J?)>O.

Если уравнение (21.65) имеет ненулевое решение, то /(J?)>0.
Каждое ненулевое решение х(К) из К* *{Х} уравнения (21.65)
имеет вид *)

х (X) = с Ае’ + о (ле‘),	(21.74)

оо

*) Через о(Xй) обозначается формальный степенной ряд 2 ci^ в к0'
i=»l

тором все 8$ больше k.
где в] совпадает с одним из показателей е(1),..., ломаной
Ньютона <2?и с} является ненулевым корнем соответствующего
этому показателю опорного многочлена (21.70).

Доказательство. Первое утверждение леммы очевидно.
Пусть х(^)—ненулевое решение уравнения (21.65). Тогда

х(Л) = сх№ 4- о (А/*1),

где ej > 0, Ci =# 0. Так как

[х (Л)Г = сЧ Vе' + о (Г£‘),

то, подставляя х(Х) в ряд (21.66), получим

g [X, х (X)] = i gn (К) [с4км' + о (Vе-)] =
n=0

= i[w^p"+nEi+oUpn+nei)].

n=0

Пусть

hi = min{pn + nej.

n

Тогда из (21.75) следует, что

g [Л, х (Л)] = Ф (с.) V' + о (V'),
где

Ф (с) =	2 Ьп, йсп.

рл+ле1=Л1

(21.75)

(21.76)

(21.77)

(21.78)

Так как х(А,) — решение уравнения (21.65), то х(Л)]^0.
В частности, число сх должно быть корнем многочлена (21.78).
Этот многочлен имеет ненулевые корни лишь в том случае, если
он содержит хотя бы два ненулевых слагаемых, т. е. если урав-
нение

рп + flei = h\	(21.79)

имеет по крайней мере два решения. В силу (21.76) при осталь-
ных п должны выполняться неравенства

pn + ^ei hi.	(21.80)

Таким образом, числа ei и hi не могут быть произвольными—
для них должны выполняться неравенства (21.80), причем эти
неравенства хотя бы при двух значениях п должны обращаться
в равенство. Отсюда и из определения ломаной Ньютона сле-
дует, что /(J?)>0 и что прямая (21.79) должна совпадать с
одной из прямых (21.69). Но тогда ei = 8(i>, и многочлен (21.78)
совпадает с опорным многочленом Фг(с), отвечающим ег-.

Лемма доказана.
Лемма 21.7 позволяет определить, имеет ли уравнение (21.65)
нулевое решение, и найти первые члены всех его ненулевых ре-
шений. Для отыскания последующих членов в разложениях нену-
левых решений естественно сделать в уравнении (21.65) замену

х = (fi 4- Х1)ДЛ

и искать Xi как решение в /<*{Х} уравнения
gl(A, XjHO,
где

£1(^, X!) = g[^, (ci + Xj) Ае‘].

(21.81)

(21.82)

(21.83)

Лемма 21.8. Пусть 8i = 8(i) (i — фиксированное число); щ —
корень кратности Si опорного многочлена ФДс), соответствую-
щего 8^; hx — соответствующая № высота.

Тогда формальный степенной ряд (21.83) имеет высоту hi и
степень sb

Доказательство. Отметим сначала, что многочлен ФДс)
представим в виде

(с) = (с - Ф (с),	(21.84)

где Ф(с)— некоторый многочлен, Ф(С1)¥=0.

Подставим ( 21.81) в ряд (21.66). В результате получим

оо

g [л, (С1 + Х1) Ле‘] = 2 gn W + Xl)n =

п=0

=	2. gnWVе'(С1+ %,)"+	2 gnW^(Cl + Xi)n =

рл+пе1=л1	рл+пе1>л1

= Xft‘ 2 Ьп, о (ci + Xi)"+	2 [gnW-bn, оА₽я]	(ci + Xi)n +

Рл+»е1=^1	Ря+пе1=Л1

+	2 gn W (q + хУ = ЛА‘Ф/ (q + х,) + о (Лй‘),

Рл+пе1 > h'

откуда следует, что
оо

п=0

где коэффициенты gn(ty, очевидно, принадлежат и удо
влетворяют, в силу (21.84), условиям

g0 (0) = • • • = gSl^ (0) = о, gSi (0) = Ф (с.) ф 0.

Из последней формулы следуют утверждения леммы.
Лемма доказана.
Для исследования уравнения (21.82) можно снова применить
лемму 21.7. Если порядок вырождения /о(^1) ломаной Нью-
тона ряда (21.83) положителен, то уравнение (21.82) имеет
нулевое решение; тем самым уравнение (21.65) будет иметь
решение х(>с) = г1А,е1. Если длина /(=2*1) ломаной Ньютона
положительна, то уравнение (21.82) имеет, возможно, и ненуле-
вые решения вида xt (Л) = с2кег + o(V2), где ё2 —один из пока-
зателей «>2*!, а с2 — корень соответствующего опорного много-
члена; тем самым уравнение (21.65) будет иметь решения вида

х (Л) = с^81 + с2№ + о (Л82),

где 62 = 61 +ё2- Этот процесс можно продолжить неограниченно.
В результате мы получим множество ЭД формальных степен-
ных рядов

х (Л) = сА81 + с2Ле2 + ... +сп№+ ....	(21.85)

в котором содержатся все решения уравнения (21.65). Отметим,
что показатели ei, ..., еп, ... и коэффициенты ..., сп, ...
рядов (21.85) определяются последовательно вместе с последо-
вательностью формальных степенных рядов

х), g-i(X, х), ..., £П(Л, х), ...	(21.86)

(последовательность (21.86) для каждого ряда (21.85) из ЭД
строится своя). Если показатели ei, ..., 8& и коэффициенты
q,...,Cft определены, то ряд £ь(Х, х^) определяется равенством

Sk (К хк) = ёк.х [Л, (ск + хк) Л,®*],	(21.87)

где ё^ = б^ — бь-ь В случае, когда порядок вырожденности /о(«2%)
ломаной Ньютона «2*а ряда (21.87) больше нуля, ряд

х (^) = с 1V1 + ... + ck№

входит в ЭД. Если длина /(»2%) ломаной Ньютона больше нуля,
то (при любом /0(»2*^)) в ЭД входят ряды

х (Л) =	+ ... + ck№ + ck+1№+' + о (V*+i);

здесь 6fc+i = ё/i+i + 6а, Бл+i — один из показателей ломаной Нью-
тона а с/н-1 — ненулевой корень отвечающего этому показа
телю опорного могочлена.

Описанная процедура построения множества ЭД формальных
степенных рядов (21.85) носит название процедуры Ньютона.
Оказывается, что множество ЭД состоит не более чем из 5 рядов
и что каждый ряд (21.85) является решением уравнения (21.65).

Для каждого ряда (21.85) из множества ЭД естественным об-
разом можно ввести понятие кратности.

23 М» А. Красносельский и др,
Допустим, что ряд (21.85) из 91 имеет только конечное число
членов, т. е.

показатели ei, ..., е* и коэффициенты , Сь этого ряда опре-
делены последовательно вместе с конечной последовательностью
формальных степенных рядов (21.86)

ё (К х), gi (А, хО, ..., gk (К, xk),

причем ломаная Ньютона последнего из этих рядов имеет не-
нулевой порядок вырожденности ^(-^а). Кратностью х (%) ряда
(21.85) назовем этот порядок вырожденности.

Допустим, что ряд (21.85) из 9? имеет бесконечное число
членов; показатели еь ..., 8а, ... и коэффициенты этого ряда
определяются последовательно вместе с бесконечной последова-
тельностью рядов (21.86)

ё(К х), gi(X, Xi), gk{K, xk), ...

Степени s, sb ...,	... этих рядов, очевидно, положительны и

удовлетворяют неравенству

Кратностью х(х) ряда (21.85) назовем наименьшую из этих сте-
пеней.

Справедливо следующее простое утверждение, доказатель-
ство которого предоставляем читателю.

Лемма 21.9. Пусть степень s(g) ряда (21.66) положительна.

Тогда сумма кратностей всех рядов из множества 91 равна s.

Из леммы 21.9 следует, что процедура Ньютона, примененная
к уравнению (21.67), приводит к конечному числу рядов. Если
каждый ряд считать столько раз, какова его кратность, то мно-
жество 91 состоит ровно из s элементов.

Лемма 21.10. Каждый формальный степенной ряд (21.85)
из 91 входит в кольцо К°°{к} и является решением уравнения
(21.65).

Доказательство. Если ряд (21.85) имеет лишь конечное
число членов, то утверждение леммы очевидно.

Пусть ряд (21.85) из 91 содержит бесконечное число членов
их — его кратность. Обозначим через kG такое число, что при
степень ряда g\(X, xk) равна х. Тогда при каждая
ломаная Ньютона J?a содержит лишь одно звено, которому от-
вечает опорный многочлен Фа (с) вида

Ф(А) (с) = с^ (с - СаГ;	(21.88)
здесь Далее, в силу леммы 21.6 этот многочлен допускает
представление (21.72):

Ф(» (с) =	(с**);	(21.89)

здесь целые числа qh определяются последовательно из равенств

-----------

• • • Qk

и из условия, что pk и qk — взаимно простые целые числа. Срав-
нивая (21.88) и (21.89), получаем, что при k^k0 все числа qk
равны 1. Но тогда ё&, а следовательно, и показатели ей = 8] +
+ ё2 + • • • + имеют вид

= tk/f',

где r* = rq{ ... qk a th — целые числа. Это и означает, что ряд
(21.85) является элементом Х°°{Х}.

Покажем теперь, что ряд (21.87) является решением. Из
(21.87) следует, что справедливы тождества

g [х. х (X)] = а, [X, х, (X)] = ... = gk [X, xk (X)],	(21.90)

где

xk (А.) = Х“е* [х (X) - с^' - ... - ск№].

Из (21.90) следует, что при любом k

g [X, х (X)] = о (Х**),

где hk— высота ряда gk(K Xk). Поэтому для доказательства
того, что (21.85) является решением (21.65), достаточно пока-
зать, что	при fe—>оо.

В силу леммы 21.6 справедливы неравенства

h\ - h (g) > eb h2 - hx > e2 - 8b ..., hk - hk^ e^;

из этих неравенств следует, что hk^ е&, и так как 8&->оо при
k -> оо, то и hk оо при k -> оо.

Лемма доказана.

Вернемся к уравнению (21.60). Из проведенных рассуждений
вытекает, что это уравнение в 7<*{Х} имеет не более s (а с уче-
том кратности точно $) решений, каждое из которых принадле-
жит X°°{Z}. Для доказательства теоремы 21.6 остается показать,
что эти решения разбиваются на группы сопряженных решений,
и установить неравенство (21.64). Последние утверждения вы-
текают из следующего очевидного факта.

Лемма 21.11. Пусть формальный степенной ряд (21.58) ра-
дикса г является решением уравнения (21.60).
Тогда все сопряженные с (21.58) ряды также являются реше-
ниями уравнения (21.60).

Упражнение 21.10. Показать, что решение х(Х) уравнения (21.60)
имеет кратность 1 в том и только том случае, когда ряд fx [Л, х (Л)] не яв-
ляется нулевым.

Упражнение 21.11. Показать, что кратность решения х(Х) уравне-
ния (21.60) совпадает с наименьшим порядком не равной нулю производной
f'x [А, х (Л)], .... /'*> [Л, х (Л)], ...

Упражнение 21.12. Показать, что уравнение (21.60) с рядом (21.61)
степени s эквивалентно алгебраическому уравнению

Xs + ах (Л) Xs"1 + ... + as (Л) = 0

степени s с коэффициентами из 7С{Х}. Показать, что кратность каждого реше-
ния уравнения (21.60) совпадает с кратностью соответствующего корня этого
алгебраического уравнения.

Упражнение 21.13 Показать, что формальный степенной ряд х = х(Х)
является решением кратности уравнения (21.60) в том и только том слу-
чае, когда ряд [х— х(Х)]х является делителем ряда (21.61).

Описанная в этом пункте процедура Ньютона обладает одной
существенной особенностью, играющей решающую роль при
практическом ее использовании. Эта особенность состоит в том,
что определение первых членов решений-рядов требует знания
лишь конечного числа коэффициентов ряда (21.61).

21.4.	Ветвление решений скалярных аналитических уравне-
ний. В этом пункте рассматривается скалярное уравнение

НК х) = 0,	(21.91)

где f(X, х)—аналитическая в некоторой окрестности точки
{Хо, х0} функция, удовлетворяющая условию

хо) = О.	(21.92)

Нас будут интересовать решения х = х(Х), близкие к х0 при зна-
чениях параметра X, близких к Хо. Случай, когда

№’хо)*°>	(21.93)

подробно изучен в § 20. Здесь мы рассмотрим общий случай.

Если условие (21.93) не выполнено, то уравнение (21.91) мо-
жет не иметь решений, обращающихся в Хо при Х = Хо. Простым
примером служит уравнение

X + Хх = 0 (Хо = Хо = 0).

Если у уравнения (21.91) есть решения, обращающиеся в х0
при Х = Хо, то они, как правило, не являются аналитическими в
точке Хо. Простым примером служит уравнение —X + х2 = 0
(Хо = х0 = 0); решением этого уравнения является функция
х(Х) = ]Лх. Оказывается, что в весьма общих случаях решения
уравнения (21.91) являются аналитическими функциями пере-
менной ц = (X — Х0)1/г, где г — некоторое целое число.

Через еТ{Х} ниже обозначается множество однозначных и
многозначных аналитических функцийх(Х) (х(0) = 0), каждая из
которых определена в некоторой окрестности нулевой точки,
причем эта нулевая точка является либо регулярной, либо
точкой ветвления конечного порядка. Множество е^{Х} с есте-
ственными алгебраическими операциями является кольцом.

Пусть х(Х) — функция изе/Г{Х}, имеющая г значений при не-
нулевых X. Тогда функция z(p) = х(рг) также r-значна в окре-
стности нулевой точки, причем можно выбрать ее г различных
однозначных ветвей Zi(p),..., zr(p,) так, что будут выполняться
равенства

г7-+1 (р) = zy-(e2TtZ/rp) (/= 1» ...» г — 1).	(21.94)

Каждая из аналитических функций zjp,),..., zr(p) расклады-
вается в сходящийся степенной ряд. Из (21.94) следует, что эти
ряды имеют вид
оо

Zj (ц) = 2 ckeinik>lr ц*	(/ = 1, ..., г).

ЬО

Поэтому многозначные функции

fe=0

оо

(г-1)/Гл k/r

k=Q

совпадают с х(Х). Значит, каждой r-значной функции х(Х) из
е2Г{Х} можно поставить в соответствие г сопряженных рядов (ра-
дикса г) из КГ{Х}.

Обратно, если некоторый ряд

X (%) = S ckKklr

k=0

(21.95)

из К°°{Х} радикса г сходится в некоторой окрестности нулевой
точки, то его сумма является функцией изе/?Г{Х}; все сопряжен-
ные с (21.95) ряды определяют ту же функцию.

Пусть

оо

f(%, х)= 2 ат, „ (Л. - (X - ХоГ (21.96)
tn, п=®

— разложение в степенной ряд левой части уравнения (21.91)'.
Степень $ = s (f) этого ряда будем называть степенью функции
(21.96) (в точке {Ло, х0}). Если

Ж х) = (Л - Л0)а g (Л, х),	(21.97)

где £(Л, х)—аналитическая в точке {Ло, х0} функция (я (Ло, х)
не равна тождественно нулю), то степень функции (21.96)
совпадает с номером первой отличной от нуля производной
ёх (^0, Яо), ...» ёхЬ (\)> ^о)’ • • •

Теорема 21.7*). Пусть функция /(Л,х) удовлетворяет
условию (21.92) и имеет степень s в точке {Ло, х0}.

Тогда уравнение (21.91) имеет обращающиеся в х0 при Л = Ло
решения в том и только том случае, когда s>0. Если $>0, то
уравнение (21.91) имеет не более s решений, обращающихся в
Хо при Л = Ло. Каждое из этих решений Xi (Л),..., хт (Л) принад-
лежит е^Г{Л — Ло}:

ОО’

Xj(X) = г0 + 2 Ck. j(К-	G=1.......т),	(21.98)

где f\,.. ., гх — целые положительные числа, причем

Г1+ ... +гт<$.

(21.99)

Перед тем как переходить к доказательству этой теоремы,
отметим, что формула (21.98) определяет не более чем /узнач-
ную функцию. Поэтому неравенство (21.99) означает, что число
однозначных решений уравнения (21.91) не превышает $. Если
бы мы рассматривали решения с учетом их кратности, то нера-
венство (21.99) нужно было бы заменить равенством.

Перейдем к доказательству теоремы. Первое утверждение
теоремы очевидно. Для доказательства второго утверждения
вместо уравнения (21.91) будем рассматривать уравнение

£(Л,х) = 0,	(21.100)

где §(Л, х) — функция, определенная равенством (21.97). Урав-
нения (21.91) и (21.100) имеют одни и те же решения, обращаю-
щиеся в х0 при Л = Ло.

В силу теоремы 21.5 уравнение (21.100) эквивалентно урав-
нению

*ё(Ъ я) =0,	(21.101)

где *£(Л, х)— многочлен от переменной х — х0 степени $:
*£(Л, я) = (х —x0)s + Hi (Л—Л0)(х —Xq)5"1 + ... +аДЛ-Л0), (21.102)

*) См., например, Э. Гурса [1], А. И. Маркушевич [1], Б. А. Фукс и
Б. В. Шабат [1].
§ 21]
коэффициенты aj(v), as(v) которого являются аналитиче-
скими в нуле функциями, удовлетворяющими условию

а1(0)=... = аД0)=0,	(21.103)

По теореме Руше существуют такие положительные числа е и б,
что при [X — Zo|<6 уравнение (21.101) в круге |х— х0|<е
имеет s (с учетом кратности) решений: X] (X),..., х5(Х).

Допустим сначала, что при 0<|h — Хо|<б все эти решения
являются простыми В силу теоремы 20.11 в каждой фиксирован-
ной точке %, удовлетворяющей неравенствам 0<|Х — Хо|<б,
функции %1(Х),..., xs(X) являются аналитическими. Поэтому не-
трудно показать, что решения Xi (Z),..., xs(X) могут быть раз-
биты на т групп

%1, 1 (^), • • •> Xi, (Л),

Хх, 1 (А), . . Xx,rr W
W

таким образом, что при обходе точкой Л против часовой стрелки
точки Хо решение i(X) перейдет в решение 2(М» решение
Xj( 2(Х) — в решение xj,з(М» • • •, решение Х;>г/(Л) — в решение
ХЛ1(М (/= 1> • • ♦, т). При этом справедливо равенство

г{+ ... +rx = s.

Рассмотрим группу решений X/, ДА), Х/,Г/(Х). Очевидно,
функции X/, 1 (X), ...» х/, Г/(Л) являются ветвями многозначной
аналитической функции хДХ), определенной в круге — Х0|<б
с выколотой точкой X = Z0. Так как все значения этой функции
при стремятся к х0, то можно считать, что хДЛ) анали-
тична во всем круге — Хо|<б и точка Х = Хо является точкой
разветвления порядка Г;—1. Следовательно хДЛ) е — Zo}-

Утверждение теоремы в случае, когда уравнение (21.101) не
имеет кратных корней при малых X — Хо, доказано.

Перейдем теперь к случаю, когда уравнение (21.101) имеет
при сколь угодно малых X—Хо кратные корни. Пусть D(k) —
дискриминант многочлена (21.102); очевидно, D(k) является
аналитической функцией X. Если при каком-либо значении к
уравнение (21.101) имеет кратные корни, то при этом значении
к дискриминант D(k) обращается в нуль. Так как многочлен
(21.102) имеет кратные корни при сколь угодно малых к — ко,
то D(k) обращается в нуль на некоторой последовательности
чисел кп, сходящейся к ко. По теореме единственности D(k) то-
ждественно равен нулю.

Рассмотрим многочлен (21.102) как многочлен с коэффи-
циентами из кольца К{к— Хо}а сходящихся степенных рядов от
переменной X — Хо. Дискриминант D этого многочлена как эле-
мент К{% — Хо}а совпадает cD(X) и поэтому равен нулю. В силу
теоремы 21.4 многочлен (21.102) имеет кратные множители. Пусть

*g X) = [Л] (X, х)Г‘ ... [л, (Л, х)р

— разложение многочлена (21.102) на неприводимые множители
(в кольце многочленов от переменной х — х0 с коэффициентами
из кольца /<{Х— Хо}а сходящихся степенных рядов переменной
X — Хо). Уравнение

л(Х,х)=0,	(21.104)

где

л (X, х) = Л1 (X, х),.. л/ (X, х),

имеет, очевидно, те же решения, что и уравнение (21.101). Одна-
ко, в отличие от уравнения (21.101), уравнение (21.104) при ма-
лых X — Хо не имеет кратных корней; поэтому для его решений
справедливо утверждение теоремы 21.7. Тем самым утверждение
теоремы верно и для уравнения (21.101) с кратными корнями.

Теорема доказана.

В дальнейшем удобно пользоваться понятием кратности реше-
ния уравнения (21.91). Если х(Х)— решение уравнения (21.91),
обращающееся в х0 при X = Хо, то при малых X — Хо число х(Х)
является корнем многочлена (21.102); кратность этого корня
при малых X — Хо одинакова; эту общую кратность и будем на-
зывать кратностью решения х = х(Х) уравнения (21.91).

Упражнение 21.14. Показать, что кратность решения х=х(Х) урав-
нения (21.91) совпадает с кратностью корня х(Х) многочлена (21.102), рас-
сматриваемого как многочлен с коэффициентами из К {X — Хо}.

Упражнение 21.15. Показать, что решение х = х(Х) уравнения (21.91)
имеет кратность х в том и только том случае, когда

f [Л, X (Л)] = ...	^--'1 [Ь. X (Л)]	0

и [%, х (Л)]	0.

Вернемся к изучению уравнения (21.91). Вместе с этим урав-
нением рассмотрим уравнение

f(v, А) = 0,	(21.105)

где формальный степенной ряд

оо
f (V, h) = s am. nvmhn
m, n=0

определен по разложению функции

оо

x)= s am< n (Л - A0)m {X - xoy

m, n^Q

(21.106)
в степенной ряд по степеням X — Хо, х— xq. Каждое решение
х = х(Х) уравнения (21.91) представимо в виде

х(Х) = х0 + Л(Х-Х0),	(21.107)

где h = h(y) — некоторый степенной ряд

(21.108)

/г=1

из K°°{v}a, являющийся решением уравнения (21.105). Естествен-
но возникает вопрос, какие из формальных решений уравнения
(21.105) определяют решения уравнения (21.91). Ответ на этот
вопрос дает

Теорема 21.8*). Пусть выполнены условия теоремы 21.7.
Пусть формальный степенной ряд (21.108) является решением
уравнения (21.105).

Тогда ряд (21.108) сходится при малых v и формула (21.107)
определяет решение уравнения (21.91), обращающееся в х0 при
Х = Хо.

Доказательство. Достаточно заметить, что каждое
решение (21.107) кратности х уравнения (21.91) определяет
формальное решение (21.108) уравнения (21.105) той же крат-
ности х. Сумма кратностей всех решений уравнения (21.91) сов-
падает со степенью s функции f(X, х) в точке {Хо, х0}; сумма крат-
ностей всех решений уравнения (21.105) совпадает со степенью
ряда (21.106) или что то же, со степенью ряда (21.96), которая
также равна s.

Теорема доказана.

21.5.	Метод исключения. Через Кп будем обозначать ком-
плексное n-мерное пространство, через Кп {X} — множество всех
формальных степенных рядов вида

х(Л) = S ск&,	(21.109)

fe=0

где Ck Кп> 0 = ео < ei < ... Как обычно, будем говорить, что
ряд (21.109) обращается в нуль при X = 0, если с0 = 0.

Множество Кп{Х} является линейным пространством, если
алгебраические операции в нем определить естественным обра-
зом. Через Кп{Х} будем обозначать пространство рядов

х(А)=2с/'г,	(21.110)

6=0

♦) В. В. Покорный [1, 3], В. Б. Меламед [3].
где г — некоторое целое число, а через Кп {М — объединение
всех пространств Kn{ty (г=1, 2, ...). Если х (X) е {Л}, то
существует наименьшее г, для которого х (Л) е Кп {Л}; это наи-
меньшее г будем называть радиксом ряда х(Л). Если ряд
(21.110) имеет радикс г, то все ряды

X (X) = 3 ckKklr,
k=G

xi w = з ck^k,r,
k=Q

(21.111)

oo
xf-,(4=ScZ':,V'\
fe=0

где e— некоторый первообразный корень из 1 степени г, раз-
личны. Эти ряды, как и в скалярном случае, будем называть
сопряженными.

Если в Кп выбран некоторый базис, то каждый вектор с из
Кп задается некоторым набором п комплексных чисел. Поэтому
каждый ряд х(Х) из Кп{Ц порождает п рядов-компонент хДА,)
из При этом х(А)с/(ПМ в том и только том случае,
когда Xi(Z),..., xn (Z) е К°°{Х} и радикс ряда х(л) равен об-
щему наименьшему кратному радиксов рядов %i(Z), ..., хп(К).

В этом пункте изучаются системы

/Ц(Л; хь ..., xrt) = 0	(ц= 1, ..., т),	(21.112)

где /Ц(Х; Xi,..., хп) — формальные степенные ряды с комплекс-
ными коэффициентами от переменных X, ..., хп\

ОО

/ДА; х„ .... хп)= 3 a* k k . xknn. (21.113)

И	kQt kx.kn=o

Во всем пункте предполагается, что

М°> 0, ..., 0) = 0,	(21.114)

т. е- ао о,... о==®- Коротко систему (21.112) можно записать в
виде

х) = 0.	(21.115)

Решением х = х(Х) системы (21.112) будем называть обра-
щающийся в нуль при Х = 0 ряд x(X) = {xj(X), ..., хп(Л)} из
Кп {М» который при подстановке в ряды (21.113) обращает их в
нулевые. Наряду с отдельными решениями системы (21.112) нам
придется рассматривать и их семейства

х(Л) = Х(Л;	az).

(21.116)

Здесь ..., щ — обращающиеся в нуль при Х=0 произвольные
формальные степенные ряды из К00^}, играющие роль параме-
тров. Семейство решений (21.116) будем называть 1-мерным,
если оператор Х(Х; ..., щ) существенно зависит от всех пара-
метров и\,. .., щ. В нашем определении не предполагается, что
оператор Х(Х; и\,. .., щ) является формальным степенным рядом
от переменных ..., требуется лишь, чтобы для любых об-
ращающихся в нуль при Х=0 формальных степенных рядов
Ui, ..., щ формула (21.116) определяла формальный степенной
ряд х = х(Х), который является решением системы (21.112).

Без ограничения общности можно считать, что все ряды
(21.113) ненулевые. Пусть

хь ...,	=	xh .... х„),	(21.117)

где осц — целые неотрицательные числа, а формальные степен-

ные ряды

,/Х1 • • • xkn

Хп)
ь
«О»

(21.118)

таковы, что ряды
оо

ГДО; хь .... х„)=	2	kxt'...x^, (21.119)

kx..kn=0 ’	’ л	п

получающихся из рядов (21.118) при Х = 0, ненулевые. Через
s* и (ц=1, w) обозначим порядки рядов (21.118) и
(21.119) соответственно. Очевидно, $* причем s* =0 в том
и только том случае, когда $ц = 0. Число s = min {$i,... ’, sm} бу-
дем называть рангом системы (21.112).

Система (21.112) в силу (21.117) эквивалентна системе

*1,	*п) = 0	(н=1,	т).	(21.120)

Эта система не имеет решений в Кп {А}, если хотя бы одно из
чисел s* равно нулю. Поэтому ниже предполагается, что числа
$*, ..., s*m, а следовательно, и все числа ..., sm положитель-
ны. Это предположение равносильно тому, что ранг s системы
(21.112) положителен.

Можно считать, что каждый из рядов (21.119) правильный
по переменной хп и что порядок его правильности по этой
переменной равен в противном случае достаточно сделать
лийейную замену переменных хь ... хп (см. лемму 21.5). Тогда
каждый из рядов (21.118) также правильный по переменной хп
порядка Применяя подготовительную теорему Вейерштрасса
(теорему 21.5), получим

О, (21.121)

где eu(Z;%i, ..., хп)— формальный степенной ряд, который яв-
ляется обратимым элементом (ец(0;0 ..., 0)=#0) кольца
/<{Х; %], ..., хп}, а */ц(^; Xi, ..., хп)—формальный степенной
ряд, являющийся многочленом степени по переменной хп с
коэффициентами из кольца /С{Х; хь ..., xn_i} и со старшим
коэффициентом 1:

Х1» • • • » хп) = Хп а1	• • •» Хп-1) Хп' + • • •

•••	xi> •••’ ^n-i)e (21.122)

Из (21.121) и из обратимости рядов eu(X; Xi, ...» хп) следует,
что система (21.120), а следовательно и система (21.112), экви-
валентна системе алгебраических уравнений

7ц(^; хь ..., хп) = 0	(ц= 1, ..т).	(21.123)

Рассмотрим (см. п. 21.1) систему результантов ..., Rm{
многочленов (21.122). Очевидно, каждый результант Ri является
формальным степенным рядом от переменных X, хь ..., хп_\
из кольца Xi, ..., xn_

=	...»	(21.124)

Систему

xi> •••» ^ч) = ° (н=1,	(21.125)

будем называть первой системой исключения.

Лемма 21.12. Система уравнений (21.112) имеет решения
в том и только том случае, когда имеет решения система (21.125).
Если х(А)= (х^(Л), ..., х°п (Л)} — решение системы (21.112), то
х(Х) = {x°(Z), ..., х^-ДЛ)} является решением системы (21.125).
Если х(Л)=[ху(Л), ..., х°ч (Л)] — решение системы (21.125), то
существует конечное (не равное нулю) число таких степенных
рядов х^(Х) из /С°°{Л}, что х^ (Л) = (xj (Л), ..., хД (Л), х'(Л)}
является решением системы (21.112).

Доказательство. Первые два утверждения этой леммы
вытекают непосредственно из определения системы результан-
тов. Докажем последнее утверждение.
Пусть x(Z) = [xJ(Z), ...,	(Z)} — решение системы (21.125),

и пусть

ДДЛ, ^)=7ц[^	•••> 4-1 w> *п] (н=1, •••. т). (21.126)

Очевидно, набор (%о(Л), xQn_{ (X), x°(X)} является решением
системы (21.123) в том и только том случае, когда ряд %о(А)
является решением системы скалярных уравнений

Аи(^ *„) = 0	(н=1,	т).	(21.127)

Из определения системы результантов многочленов (21.126)
следует, что все результанты многочленов (21.126) равны нулю.
Поэтому эти многочлены имеют общие делители положительной
степени; каждый из них, очевидно, будет многочленом от хп со
старшим коэффициентом 1. Система (21.127) равносильна од-
ному уравнению

А (Л, х„) = 0,	(21.128)

где А(Х, хп)—наибольший общий делитель многочленов
(21.126). Применяя к этому уравнению теорему 21.6, мы полу-
чим некоторое конечное (и не равное нулю) число его решений
х^(Л) в К*{Х}, каждое из которых лежит в Тем самым ко-
нечное и не равное нулю число решений

х (Л) =	(Л), .... х0_, (X), xln (Л)}

имеет и система (21.123), а вместе с ней и система (21.112).

Лемма доказана.

Эта лемма играет основную роль в работе В. Б. Мела-
меда [5].

Таким образом, задача об отыскании решений системы (21.112)
сведена к задаче об отыскании решений системы (21.125). Эта
новая система имеет тот же вид, что и система (21.112), но со-
держит на одну переменную меньше.

Допустим, что многочлены (21.122) не имеют общих множи-
телей положительной степени; в этом случае систему (21.123)
будем называть невырожденной. В силу определения системы
результантов среди рядов (21.124) есть ненулевые. Поэтому без
ограничения общности можно считать, что все ряды (21.124)
ненулевые, и применить для исследования системы (21.125) тот
же прием, который выше применялся для исследования системы
(21.112). Может оказаться, что порядок системы (21.125) равен
нулю; тогда система (21.125), а следовательно, и система
(21.122) не имеют решений. В случае же положительного по-
рядка система (21.125) равносильна системе алгебраических
относительно некоторой переменной xn_i уравнении

70)(Х; хр х„н) = 0	(И=1, mt). (21.129)

В невырожденном случае исследование этой системы можно
свести к исследованию второй системы исключения:

7^(Х; х,, .... х„_2) = 0	(И=1, .... т2).	(21.130)

Этот процесс можно продолжить далее.

Описанный процесс, конечно, не решает полностью задачу об
отыскании решений системы (21.112).

В благоприятных случаях мы либо установим, что исходная
система (21.112) не имеет решений из-за того, что степень од-
ной из систем исключения окажется равной нулю, либо получим
цепочку систем алгебраических уравнений

fji (^» Xj, • • •,	, Хп) 0 (р 1, . . ., /71),

7^; xi.........x«-i)=0 (н=1- •••> m0>

• (21.131)

7Г1,(Л;х1) = 0 (ц= 1,	J

В этом последнем случае для решения системы (21.112) нужно
сначала найти решения Xi = Xi(k) последней из систем (21.131),
а затем, подставляя найденные решения в предыдущую систему,
найти решения предпоследней системы и т. д. до тех пор, пока
не будут найдены решения первой из систем (21.131), а тем са-
мым и решения исходной системы (21.112). Если последняя из
систем (21.131) не имеет решений, то и система (21.112) не
имеет решений.

Системы (21.112), решения которых могут быть найдены по
описанной выше схеме, будем называть грубыми. Из проведен-
ных рассуждений следует, что грубые системы всегда имеют ко-
нечное число решений.

Рассмотрим теперь случай, когда получающаяся на й-м шаге
система

7<№ хр .... *„_*) = 0	(ц=1, ...,mft)	(21.132)

алгебраических уравнений вырождена, т. е. левые части имеют
общие множители, являющиеся многочленами положительной
степени. В этом случае система (21.132) распадается, очевидно,
на одно алгебраическое уравнение

(X, X], • • •, Xrt_&) 0,

(21.133)

где dk(K\ Xi, ..., xn_k) — наибольший общий делитель много-
членов 7ц}(М хр ..., xn_J, и на систему алгебраических
уравнений

•••> xn-k) = ® (и== 1» •••> и^),	(21.134)

где хр ..., хп_^ — многочлены, определенные из равенств

(21.135)

Нетрудно показать, что наибольший общий делитель
db(Z;xi, ..., xn-k) является многочленом по переменной хп_к со
старшим коэффициентом 1. Поэтому уравнение (21.133) опреде-
ляет одно или несколько (п — k—1)-мерных семейств решений,
которые являются решениями и системы (21.132). Тем самым
мы получили цепочку систем

7И(^;	..., хп) = 0	(н=1, •••» ап),

7Г°(^ xv •••’ xn-m) = 0	<>=I- •••’	’ (2U36)

«^1» • • • > ^n~k)	0,

которая определяет одно или несколько (п — k—1)-мерных се-
мейств решений системы (21.112).

Рассмотрим теперь систему (21.134). Может оказаться, что
один из многочленов 7^(А/, хр хп_^ имеет нулевую сте-
пень (если один из многочленов 7($(V, хр	является

делителем остальных). Тогда система (21.134) не имеет решений
и решения системы (21.112) определяются только из (21.136).
Если степени всех уравнений (21.134) положительны, то эта си-
стема имеет решения; для их определения нужно составить си-
стему исключения

хп_^) = 0	(И=1,	(21.137)

Так как левые части уравнений (21.134) не имеют общих мно-
жителей положительной степени, то среди рядов f^+1) есть не-
нулевые. Поэтому и систему (21.137), если она имеет положи-
тельную степень, можно снова свести к системе алгебраических
относительно переменной хп_к__\ уравнений

xv .... xn_k_^ = Q (н=1, .... mA+1) (21.138)

и для ее исследования снова составить систему исключения.

Отметим, что в случае, когда одна из систем исключения вы-
рождена, исходная система (21.112) имеет бесконечное число
решений. Тем самым приходим к следующему утверждению
(В. Б. Меламед [4, 5]).
Теорема 21.9. Система (21.112) является грубой в том и
только том случае, когда она имеет конечное число решений.

Представляют интерес достаточные условия грубости систем
(21.112). Такие условия можно формулировать в терминах
«изолированности» нулевого решения. Будем говорить, что нуле-
вое решение системы (21.112) изолировано при Х = 0, если си-
стема

<ри(Х; хь хп) = О (ц= 1, ..т),	(21.139)

где

фц, • • •» %п)	* • • >	(21.140)

не имеет ненулевых решений в Кп {М- Подчеркнем, что параметр
X в левые части системы (21.139) фактически не входит.

Теорема 21.10. Пусть нулевое решение системы (21.112)
изолировано при Х=0.

Тогда система (21.112) грубая и, в частности, имеет конечное
число решений в Х°°{Х}.

Доказательство этой теоремы легко получить, анализируя
изложенный выше метод исключения. Мы опускаем подробное
изложение.

Отметим, что условия теоремы 21.10 лишь достаточны для
грубости системы (21.112). Например, система

(*! + х2) (X — xj = 0, X (X + х2) = 0

является грубой — она имеет единственное решение в КТ {А}, но
ее нулевое решение при X = 0 не изолировано — система

— (xi + x2)xi = 0,	0 = 0

имеет решение Х\—\, х2 = —X.

Упражнение 21.16 (теорема Гильберта). Пусть формальный
степенной ряд g(X;xi, ..., хп) обращается в нуль на всех решениях из
{М системы (21.112). Показать, что существуют такое число р и такие
ряды фь ... , фт ИЗ К {X; Х1, ...» Хп}, что

gP= W1+ ••• + Wm-

Упражнение 21.17. Систему

хг xl’ xl+i) °

будем называть регулярной системой порядка I, если каждый из формальных
степенных рядов Фп_; является многочленом от переменной xj+i некоторой
положительной степени sn-j с коэффициентами из К {X; хь ..., Xj}, причем
коэффициент при старшей степени Xj+i равен 1, и если идеал N кольца
К {X; Xi, ..., хп}, порожденный рядами Фь ..., Фп-ь является простым (т. е
из е N следует либо Ч^ е N, либо ^2еЛ?). Показать, что регулярная
система нулевого порядка имеет ровно $ = $1 ... sn различных решений,
каждое из которых принадлежит Ksn {Л}; эти решения сопряжены друг другу
и имеют радикс s. Показать, что решения регулярной системы ненулевого
порядка I образуют конечное число /-мерных семейств.

Упражнение 21.18. Каждая ли система (21.112) после подходящей
линейной замены неизвестных распадается на конечное множество регуляр-
ных систем (С. Лефшец)?

Упражнение 21.19. Показать, используя лемму 21.5, что произвольная
грубая система (21.112) равносильна некоторой системе алгебраических от-
носительно всех переменных хь ..., хп уравнений с коэффициентами из К {X}

21.6.	Грубый случай. Обычно встречающиеся (см. § 22) си-
стемы (21.112) задаются таким способом, который позволяет
находить лишь конечное число коэффициентов рядов (21.113).
В связи с этим практическое применение метода исключения
оказывается возможным не всегда. Даже в тех случаях, когда
метод исключения может быть применен, он нуждается в су-
щественной модификации.

Укажем в первую очередь две основные «неприятности»,
с которыми приходится сталкиваться при применении метода
исключения. Первая из них заключается в том, что по конеч-
ному числу коэффициентов степенных рядов (21.113) можно
определить лишь конечное число членов разложения в ряды ко-
эффициентов многочленов (21.123). Имея лишь эту информа-
цию о многочленах (21.123), невозможно установить наличие
у них общего множителя положительной степени. Аналогичные
трудности возникают на каждом шаге исключения. Следова-
тельно, можно надеяться на проведение детального анализа
лишь в случае грубых систем.

Вторая «неприятность» связана с тем, что нет (и не может
быть!) алгоритма, позволяющего по конечному числу коэффи-
циентов разложения в ряды левых частей скалярных уравнений,
составляющих последнюю систему в (21.131), определить, ^есть
ли у этой системы общее решение. Отметим, что этой «неприят-
ности» нет, если основная система состоит из двух уравнений:
у такой системы один результант.

В связи с вышеизложенным для исследования системы
(21.112) и для фактического построения решений приходится
применять другие методы. Здесь мы остановимся на описании
одной вычислительной схемы применения метода исключения,
которая приводит к цели часто, но не всегда (даже в случае гру-
бых систем). Опишем эту схему для случая системы из трех
уравнений с тремя неизвестными; переход к системам большего
числа уравнений очевиден.
Пусть даны уравнения

fi (A; хь х2, х3) = 0, f2(h; xlt х2, х3) = 0, /3(Л; хъ х2, х3) = 0.

(21.141)

Будем считать, что от системы (21.141) мы смогли (использо-
вав подходящую линейную замену переменных и подготови-
тельную теорему Вейерштрасса) перейти к эквивалентной си-
стеме с левыми частями — многочленами соответственно степе-
ней s2, S3 относительно переменной Хз с коэффициентами 1
при старших степенях, Это значит, что система (21.141) равно-
сильна системе

fi — ^з1 “I" j (М хъ) 1 Н ... + Si (X, хр х2) 0,

72 = Х32 + «2, 1	Х2>	+ ••• + а2, S2(K’ Х1’ Х2) = °.	(21.142)

A s + аз, 1 (^’ Xi’ Х2) X3J 1 + • • • + аз, s3(^’ Xi’ Хз) = O'

Формальные ряды j(X; Xi, x<fi нам могут быть известны не
полностью; в дальнейших построениях будет использовано лишь
конечное число их коэффициентов. Если известны все коэффи-
циенты рядов /ДХ; Xi, Х2,Хз), то можно найти любое конечное
число коэффициентов рядов ait ДХ; Xi, Хг).

Обозначим через /], 2 результант многочленов *fi и */2, а че-
рез /1,з — результант многочленов */i и */3. Эти результанты
будут формальными степенными рядами по переменным X, Xi,
х2. Нам известно конечное число коэффициентов этих рядов. До-
пустим (это первое из основных предположений), что эти ряды
правильные по переменной х2 и что мы смогли обнаружить эту
правильность по известным нам коэффициентам (иногда здесь
приходится предварительно от переменных Xi, ,Xz перейти при
помощи линейного преобразования к новым переменным). То-
гда в силу подготовительной теоремы Вейерштрасса система

Zi,2(X;	л:2) — 0, /ЬЗ(Х; хь х2) —-0	(21.143)

эквивалентна системе алгебраических уравнений

Х21	^1, 1	Х1) Х21 1	•••	Х1)	0»

Х22 + ^2, 1	Х1)Х221"^	+ ^2,	^i) = 0.

(21.144)

Первые коэффициенты формальных рядов ДХ; Xi) находятся
по первым коэффициентам рядов ДХ; хь х2).

Через /1,2, з(Х; Xi) обозначим результант левых частей урав-
нений (21.144). Без труда можно найти конечное число коэффи-
циентов формального ряда /1,2, з(Х; *1).
Рассмотрим скалярное уравнение
fi,2,з(А/, Xi) =0.

(21.145)

Для его исследования естественно применить метод диаграммы
Ньютона. Допустим, что известные нам коэффициенты ряда
fi, 2,з позволяют определить число решений уравнения (21.145)
и первые коэффициенты их разложений в ряды по целым или
дробным степеням параметра X. Дальнейшее построение прово-
дится для каждого из найденных решений в отдельности.

Пусть

Xj =	(Л-)

(21.146)

— одно из найденных решений. В силу теоремы 21.1 система

Х2‘ + Ь\. 1 [Х; Х1 ft)] Х2'~‘ + ••• + Ь1, р, [Х’> *lft)]=0’
х2 + ь2,1 х? ft)]х?2-1 + • • • + ь2, Р2 [Л;х? ft)] = °>

(21.147)

полученная из (21.144) подстановкой вместо Х\ ряда (21.146),
имеет совместные решения (следует помнить, что система
(21.144) равносильна системе (21.143)). Каждое из уравнений
системы (21.147) можно решать методом диаграммы Ньютона.
Пусть по известным нам коэффициентам разложений в ряды
левых частей уравнений (21.147) определены первые члены раз-
ложений в ряды решений (j = 1, ...» pj первого уравне-
ния (21.147) и, аналогично, определены первые члены разложе-
ний в ряды решений х|-ЦА,) (/=1,	р2) второго уравнения;

пусть по найденным коэффициентам можно увидеть, что среди
решений х^(Л) все, кроме одного, не являются решениями вто-
рого уравнения (21.147) (это вторая группа предположений).
Тогда оставшееся решение х^(Х) будет одновременно решением
второго уравнения (21.147). Если по известным коэффициентам
рядов не удалось определить, что решение x°(Z) простое для од-
ного или для обоих уравнений (21.147), то на это не нужно
обращать внимания.

Подставим теперь ряды х^(Л) и х°(Л) в левые части уравне-
ний (21.142). Полученная система имеет вид

*з‘ + а\, 1 Xl W’	Х2 W] Хз‘'' +	• • •	+ ai, S, Р-5	х°1 ft)’	X2 ft)]	= °’

X32 + a2, 1 X1 ft)’	X2 ft)] ХГ' +	• • •	+ a2, s2	X1 ft)’	X2 ft)]	= °-

Х3‘ + й3. 1 [X: X1 ft)’	X2 ft)] ХГ' +	• • •	+ a3, s2 P4	X1 ft)’	X2 ft)]	= °'

(21.148)

В силу теоремы 21.1 первые два уравнения этой системы имеют
по крайней мере одно общее решение. Это общее решение можно
искать методом диаграммы Ньютона процедурой, описанной
в предыдущем абзаце. Допустим, что такое общее решение х°(Х)
единственно и что оно является простым решением для первого
уравнения (очередное существенное предположение, что про-
стота этого решения обнаружена по известным нам коэффициен-
там рядов). Аналогично можно найти общее решение первого и
третьего уравнений (21.148). Если это общее решение х^°(Л)
снова окажется единственным, то задача исследована до конца.
Если %з(Л/) (по известным нам коэффициентам разложений) со-
впадает СХ°°(Ч то система (21.148) имеет решение х^(Л), а на-
бор {х°(Л), х®(Л), х°(А,)} является решением системы (21.141).
Если же х£(Л) отлично от x^°(Z), то система (21.141) не имеет
решений, у которых первая компонента хДХ) совпадает с х°(Х).

Если окажется, что известный нам набор коэффициентов
рядов (21.148) не позволяет довести описанную процедуру до
конца, то можно пытаться определить каким-либо способом до-
полнительные коэффициенты этих рядов. К сожалению, по ко-
нечному числу коэффициентов нельзя выяснить, приведет ли
описанная процедура к полному решению задачи по некоторому
большему числу коэффициентов.

21.7.	Системы аналитических уравнений. Рассмотрим систему

£Ц(М хь ..., хп) = О (р= 1, ..., т),	(21.149)

где

^(Ло; 4 ..., х°) = 0	(21.150)

и функции £ц(Х; хь ..., хп) аналитичны в окрестности точки
{Ло, 4 ..., 4). Систему (21.149) можно записать в виде

fg(v; Ai, ..., An) = 0	(|i=l,	m),	(21.151)

где

^(v; Лр .... hn) = g)l(K0 + v, x° + /zp .... x°n + hn).

Нас будут интересовать близкие к х°р ..., х® при близких к А,о
значениях А решения хДХ), ..., хп(Х) системы (21.149) или,
что то же, малые решения (при малых v) AJv), ..., An(v) си-
стемы (21.151).

Если левые части системы (21.151) разложить в степенные
ряды, то ее можно рассматривать как систему (21.144) в фор-
мальных степенных рядах. Простые примеры показывают, что
у системы (21.151) могут быть решения-функции, не расклады-
вающиеся в ряд по целым или дробным степеням v. В то же
время можно указать примеры систем (21.144), левые части ко-
торых являются сходящимися рядами (т. е. суммы их являются
аналитическими функциями), у которых есть решения — фор-
мальные ряды, сходящиеся лишь при v==0. Метод исключения
сразу же дает ответ на вопрос о том, в каких ситуациях воз-
можны указанные случаи.

Все построения п. 21.4 без каких-либо изменений перено-
сятся на системы уравнений в аналитических функциях. При
этом нужно лишь вместо подготовительной теоремы Вейер-
штрасса для формальных степенных рядов пользоваться утвер-
ждением этой теоремы для аналитических функций и нужно
вместо общих множителей в формальных рядах рассматривать
общие множители-функции. Конечно, при этом решением яв-
ляется система функций (а не рядов), удовлетворяющих урав-
нению.

Если система (21.151) оказывается грубой, то каждая ком-
понента hi(v) любого решения определяется из скалярного ана-
литического уравнения. Поэтому ее можно разложить в ряд не-
которого радикса по степеням v. Если же на некотором шаге
метода исключения у уравнений системы исключения есть общий
множитель (или, что то же, если у системы (21.151) есть беско-
нечное множество решений), то, очевидно, среди решений си-
стемы (21.151) есть такие решения, которые нельзя разложить
в степенные ряды. Эти замечания, возможно впервые, были сде-
ланы в статьях М. М. Вайнберга и В. А. Треногина [1, 2]. Ана-
логичные соображения приводят к важному утверждению, впер-
вые отмеченному, по-видимому, В. Б. Меламедом.

Теорема 21.11. Пусть система (21.151), рассматриваемая
как система в формальных рядах, имеет конечное число фор-
мальных решений. Тогда каждое из этих формальных решений
сходится в некоторой окрестности нуля и его сумма является
решением-функцией системы.

Пусть система (21.151), рассматриваемая как система в фор-
мальных рядах, имеет бесконечное множество решений. Тогда
некоторые из этих формальных решений сходятся лишь при
v = 0.

Из этой теоремы вытекает, что описанная в п. 21.6 процедура
отыскания решений в грубом случае всегда приводит к настоя-
щим решениям аналитических систем уравнений.

Теорему 21.11 естественно дополнить следующим утвержде-
нием (В. Б. Меламед [4, 5]).

Теорема 21.12. Пусть при v = 0 нулевое решение системы
(21.151) изолировано.

Тогда система (21.151), рассматриваемая как система в фор-
мальных рядах (и, конечно, как система аналитических уравне-
ний), имеет конечное число решений.

Доказательство предоставляем читателю.
Допустим, что каким-либо способом найдено формальное
решение й° (у) = [ft? (у), ...,	(у)} аналитической системы

(21.151), рассматриваемой как система в формальных рядах.
Если эти формальные ряды в некоторой окрестности нуля схо-
дятся, то их суммы, очевидно, дадут решение системы. Поэтому
важно уметь исследовать индивидуальное формальное решение
без информации о том, сколько других формальных решений
имеет система. Наиболее часто для доказательства сходимости
формальных решений применяют метод мажорантных рядов.
Из теорем 21.11 и 21.12 вытекает следующее утверждение.

Пусть й? (v) = Мг) (у) + о (уг\ где

h{t} (у) = 2 Ck^k.
л=1

Составим тогда новую систему

/и [v,	(v) +	, h(„ (v) +	= 0 (p = 1, ..., tn).

Если она имеет конечное число решений, то формальное реше-
ние й°(у) сходится при малых у. Подчеркнем, что у исходной
системы (21.151) число формальных решений может быть бес-
конечным.

В рассуждениях последних трех пунктов этого параграфа
формально не играло роли соотношение между числом п неиз-
вестных и количеством т уравнений в рассматриваемых систе-
мах. Наиболее часто приходится сталкиваться со случаем, ко-
гда п = т.

§ 22.	Ветвление решений операторных уравнений

22.1.	Постановка задачи. Пусть Е, F,A— банаховы простран-
ства, f = f (X, х) — определенный при X^S (Хо, а), х е S (х0, Ь) опе-
ратор со значениями в F (напомним, что через S(Xo, а) обозна-
чается шар || X— Х0||Л<а в пространстве Л, через S(x0, b) —
шар ||х —в пространстве Бит. д.).

В этом параграфе мы продолжим изучение уравнения (20.1):

f(X, х) = 0.	(22.1)

Будем, как и в § 20, считать, что

НЧ *о) = О,	(22.2)

и искать близкие к х0 при близких к Хо значениях X решения
х = х*(Х) уравнения (22.1).
Случай, когда существует линейный оператор х0) и ко-
гда он имеет непрерывный обратный Г, подробно проанализи-
рован в § 20. Напомним лишь тот факт, что при несущественных
предположениях о гладкости оператора f уравнение (22.1) при
малых X — Хо имеет единственное близкое к х0 решение — урав-
нение (22.1) определяет однозначную непрерывную неявную
функцию, обращающуюся в xq при Х=Хо.

Здесь нас будет интересовать тот существенно более слож-
ный случай, когда f'(X0, х0) не имеет непрерывного обратного.
Даже в скалярном варианте уравнения (22.1) при этом воз-
можны (см. § 21) новые явления — решения, как правило, раз-
ветвляются.

Основные известные в настоящее время результаты по тео-
рии ветвления решений уравнения (22.1) восходят к А. М. Ля-
пунову [1], Э. Шмидту [1] и А. И. Некрасову [1, 2]. Отметим здесь
важные работы Л. Лихтенштейна [1], Р. Иглиша [1, 2], Н. Н. На-
зарова [1—4], А. Е. Гельмана [1—6], Р. Бертла [1], Дж. Кронин
[1, 2], В. В. Покорного [1—4], В. Б. Меламеда [3—5], В. А. Тре-
ногина [1—3], К. Т. Ахмедова [1]. Ряд авторов исследовал раз-
нообразные частные классы уравнений. В этом параграфе ис-
пользованы некоторые соображения из статей П. П. Забрейко
и М. А. Красносельского [4—6].

Методы исследования близких к х0 решений операторного
уравнения (22.1) разбиваются на две существенно различные
группы. Первая из них содержит способы перехода от уравне-
ния (22.1) к эквивалентному конечномерному уравнению

<p(v, u) = 0	(22.3)

или, что то же, к системе из т скалярных уравнений с п скаляр-
ными неизвестными

Ф1 (v;	wn) = 0, 1

...................|	(22.4)

Фт (^,	• • •, ^п) = 0» J

Уравнение (22.3) или систему (22.4) называют уравнением раз-
ветвления. Решения уравнения (22.1) выписываются при по-
мощи простых формул по решениям скалярной системы (22.4).
Поэтому уравнение разветвления аккумулирует в себе все осо-
бенности решений уравнения (22.1): характер зависимости ре-
шений от параметров, число решений и. т. д. Для исследования
уравнений разветвления может быть применена изложенная в
§ 21 теория.

Вторая группа методов исследования уравнения (22.1) осно-
вана на прямом построении решений, на непосредственном
исследовании свойств оператора х). Конечно, разделение
методов на группы весьма условно, между ними существует тес-
ная связь.

22.2.	Расщепляемые операторы. Напомним некоторые опре-
деления.

Линейный непрерывный оператор Р, действующий в банахо-
вом пространстве Е, называется проектором или проекционным
оператором, если Р2 = Р. Каждый проектор порождает расщеп-
ление пространства Е в прямую сумму Ео ф Е° подпространства
Eq = PE, на которое проектирует Р, и подпространства Е° нулей
оператора Р, по направлению которого проектирует Р. Оператор
I — Р также является проектором.

Если пространство Е представлено в виде прямой суммы
подпространств Ео и Е°, т. е. каждый элемент хеЕ единствен-
ным образом представим в виде х = и + v (и<=Е0, v^EQ), то
оператор PqX = и проектирует на Eq по направлению £°, а опе-
ратор Р° = I — Ро проектирует на Е° по направлению Ео.

Как известно (см. Н. Данфорд и Дж. Т. Шварц [1]), не каж-
дое подпространство банахова пространства является множе-
ством значений некоторого проекционного оператора. В гиль-
бертовом пространстве на каждое подпространство можно про-
ектировать.

Упражнение 22.1. Показать, что в пространстве Loo нет проектора,
множеством значений которого является пространство С непрерывных
функций.

Упражнение 22.2. Пусть LM — пространство Орлича, определенное
А-функцией М(и), не удовлетворяющей Дг-условию (см. М. А. Красно-
сельский и Я. Б. Рутицкий [1]). Показать, что подпространство Ем (замыка-
ние множества ограниченных функций) не является множеством значений не-
которого проектора.

Пусть Ео — конечномерное подпространство. Выберем в Ео
базис ei, ..., ет и определим на Eq линейные функционалы
А, .1т равенствами

Ц (£1^1 4” • • • 4" ^т^т) = %>i	0* = 1 > • • • > ^0*	(22.5)

Затем продолжим функционалы /ь ..., 1т на все Е с сохра-
нением нормы (достаточно сохранить их непрерывность) и со-
храним за продолженными функционалами то же обозначение.
Тогда формула

PoX='Sllt(x)et (хе£)	(22.6)

/=1

определит оператор проектирования на Eq. Оператор Р^ = 1 — PQ
проектирует на пересечение Е° подпространств нулей функцио-
налов /), . . . , /щ.
Упражнение 22.3. Пусть Ео конечномерно и вь ...,	— базис в Ео.

Пусть (рь ..., фтп — такой набор линейных функционалов, что определитель

ф/тг (^1) • • • фт

Показать, что оператор Ро проектирования на EQ можно определить форму-
лой (22.6), где каждый функционал /,• является линейной комбинацией функ-
ционалов фь ..., фт. ’

Говорят, что подпространство EQ cz Е имеет дефект т
(defE° = m), если оно является пересечением подпространств
нулей т линейно независимых функционалов <рь срш. Линей-
ная независимость означает, что найдутся такие элементы е\,...
..., ет, при которых выполнено условие (22.7). Тогда при ка-
ждом фиксированном i = 1, ..., т резрешима система

^/1Ф1 (^1) 4* •••	= О,

«/1Ф1	4"	• • • 4" ^i/пФт (^t-1) = О,

$лФ1 (^г) 4" . . . 4~	(^t-) = 1,

1Ф1 (^Z+l) 4“ ... 4~ ^f/пФгп (^/+1) = 0»

«/1Ф1 (^m) 4“ ••• 4" ^im^m (^т)

Если по решениям этой системы построить функционалы

li (х) = аиф! (х) + . . . 4- аггпфгп (х) (X G Е),

то они будут удовлетворять равенствам (22.5). Поэтому фор-
мула (22.6) определит оператор проектирования на линейную
оболочку Ео точек ..., ет по направлению подпространства
£°. Оператор PQ = I— Pq будет проектором на Е°.

Пусть линейный оператор В действует из пространства Е в
пространство F. Оператор В называется нормально разреши-
мым, если множество его значений BE = F° замкнуто. Через Eq
будем обозначать ядро оператора В, т. е. подпространство его
нулей. Оператор В назовем расщепляемым, если существуют
операторы проектирования на Ео (в пространстве Е) и на FQ
(в пространстве F). Если размерность dim Eq подпространства
Eq и дефект def Е° подпространства Е° конечны, то разность

ind В = def Е° — dim Ео	(22.8)

называется индексом (или нетеровским индексом) нормально
разрешимого оператора В. Операторы В, для которых опреде-
лен индекс (22.8), конечно, расщепляемы. В гильбертовом
пространстве каждый нормально разрешимый оператор расщеп-
ляем.

Важным примером расщепляемых операторов являются опе-
раторы вида B = C + D, где С непрерывно обратим, a D вполне
непрерывен.

Упражнение 22.4. Показать, что indB = 0, если В является суммой
непрерывно обратимого и вполне непрерывного операторов (С. М. Николь-
ский).

22.3.	Матричные представления расщепляемых операторов.
Пусть Рх = 1— Р\, Qi, QX = I—Qi — проекторы соответствен-
но в пространствах Е и F\ В — линейный оператор, действую-
щий из Е в F. Очевидно,

Bx=Q1BPlx + Q[BPxx + QxBPlx + Q'BP'x.	(22.9)

Это разложение оператора В записывают обычно, как его ма-
тричное представление:

(22.10)

где Ви—сужение оператора Q\BP{ на Е{ = РУЕ; ВХ2— сужение
оператора Q\BPX на ЕХ = РХЕ и т. д.; оператор Вп действует из
£i в FX = QXF, В12— из Ех в B2i— из Е} в FX = QXF, В22— из
Ех в В1. Представление (22.9) оператора назовем невырожден-
ным, если оператор В22 имеет непрерывный обратный В22 (дей-
ствующий из Fx в Ех). Наконец, представление (22.10) назовем
правильным, если оно невырождено и если

Вп = В12В22В21.

(22.11)

Теорема 22.1. Оператор В допускает правильное представ-
ление в том и только том случае, если он расщепляем.

Если (22.10)—правильное представление оператора В, то
подпространство Ео его нулей состоит из тех элементов хе Е,
для которых

P'x = —BvB2iPix;	(22.12)

на подпространство Ео проектирует оператор

PqX = Р1Х — В22 В21Р1Х

(х 6= В);

(22.13)

подпространство F° значений оператора В состоит из таких эле-
ментов f е В, для которых

Qif = Bl2B22Q*f;	(22.14)
на подпространство FQ проектирует оператор

Q°f = Q'f - B12B22Q7 (feF).	(22.15)

Доказательство. Пусть В расщепляем, Во— проектор в
Е на множество EQ нулей оператора В, Q0 — проектор в F на
множество F° значений оператора В, В0 — I — Во, Qo = I—Q°.
Тогда разложение (22.9) имеет вид Bx=Q^BPQx, т. е.

/О 0 \

в = (о в" '	<22Л6)

\ и £>22 !

где В22 —сужение В на Е°= (/— В0)Е. Оператор В22 устанав-
ливает взаимно однозначное соответствие между Е° и FQ = BE;
в силу теоремы Банаха на Е° определен непрерывный обратный
к В22 оператор (В22) ; поэтому (22.16)—невырожденное пред-
ставление оператора В. Равенство (22.11) очевидно.

Пусть (22.10)—правильное представление оператора В, по-
строенное по четверке проекторов Вь В1, Qb Q1. Нули х опера-
тора В определяются из системы

ВцВ1Х + В^В1* = 0, В2[Р{х + В22В!х = 0.	(22.17)

Решая второе уравнение, получим равенство (22.12); первое из
уравнений (22.17) обращается тогда в силу (22.11) в тождество.

Для доказательства того, что формула (22.13) определяет
проектор на Ео, достаточно показать, что Вох s Ео при % е Е, т. е.

P'PqX = — В22В21В1В0Х,

и ЧТО PqX = х при х е Ео, т. е.

Во (В1% — В22В21В1Х) = Р\Х — В22В2\Р\Х.

Оба выписанных тождества непосредственно вытекают из
определения оператора (22.13).

Элемент f является значением оператора В, если разрешима
система

BiiBiX-j-Bi2B1x=QJ, В21В1х + В22В1х = QV-

Из второго уравнения можно определить ВЧ:
Р'х = -В22В21Р1Х + B22Q'f.

Подставляя В1* в первое уравнение и используя (22.11), полу-
чим (22.14).

Наконец, формула (22.15) определяет проектор на Е°, так
как QQQQf=QQf (f^F)-, значения оператора Q0 удовлетворяют
(22.14), а из (22.11) вытекает, что Q°f = f при f^FQ (выкладку
предоставляем читателю).

Теорема доказана.
Упражнение 22.5. Пусть оператор В нормально разрешим, имеет ко-
нечный индекс и расщепляем. Пусть подпространство Ех дополнительно к под-
пространству Ео нулей оператора В, а Р1 — некоторый оператор в Е проекти-
рования на В1. Пусть Qi — проектор в F на некоторое подпространство Flt
дополнительное к подпространству FQ значений оператора В. Показать, что
представление (22.16) оператора В, определенное разложением (22.9), пра-
вильное.

22.4.	Уравнения разветвления. Вернемся к уравнению (22.1).
Введем обозначения

В = fх (\р *o)’ h = х — Xq, v = Л —- А-о.

Тогда уравнение (22.1) (при условии (22.2)) можно переписать
в виде

Bft = Q(v, Л),	(22.18)

где £2(0, 0) = 0 и £2'(0, 0) = 0.

Пусть матричное представление

_ / ^11 В12

\ В21 В22

(22.19)

оператора В порождено проекторами Ро, PQ (в Е) и Qo, Q°
(в Е). Тогда уравнение (22.18) можно записать в виде системы

B{iu + B12w = Qo£2 (v,

B2\U + B22v = Q°Q (v,

(22.20)

где

и = PQh €= Eo, v = P°h ge E° (h g= £).

(22.21)

Если оператор B22 имеет непрерывный обратный, a Q(v, h) до-
статочно гладкий, то второе из уравнений (22.20) определяет
(в силу теоремы 20.1) единственную неявную функцию

v = R(v, и),	(22.22)

определенную при малых v и и. Следовательно, задача о малых
решениях системы (22.20) (или, что то же, уравнения (22.18))
приводится к решению уравнения в пространстве Ео, получен-
ного из первого уравнения (22.20) подстановкой вместо v его
значения (22.22). Получающееся уравнение можно записать в
виде

<p(v, и) = 0,	(22.23)

где

Ф(v, и) = Впи + Bi2/?(v, и)— Q0Q[v, u + R(y, и)]. (22.24)

Если удается найти решение (однозначное или многозначное)
u(v) уравнения (22.23), то решение h(v) уравнения (22.18)
§ 22]

определится равенством

h (v) = и (v). + R [v, u(-v)].	(22.25)

Описанная схема сводит уравнение (22.18) в пространстве
Е к уравнению (22.23) в подпространстве £0- Если Ео и Fq ко-
нечномерны, то уравнение (22.23)—это конечная система ска-
лярных уравнений.

Наиболее часто рассматривают случай, когда В расщепляем,
а (22.19) —правильное представление оператора В. В этом слу-
чае уравнение (22.23) называют уравнением разветвления. Чи-
татель без труда покажет, что при любом правильном представ-
лении (22.19) оператора В производная ф'(0, 0) оператора
(22.24) равна нулю.

Исследование уравнения разветвления, точное или прибли-
женное его решение, а затем применение формулы (22.25) —
один из основных способов изучения малых решений уравнения
(22.18). На первый взгляд может даже показаться, что выводом
уравнения разветвления (если Ео и Fo конечномерны) задача
исследования полностью завершена, так как остается лишь при-
менить (изложенные, например, в § 21) методы изучения конеч-
ных систем*). Однако следует помнить, что уравнение развет-
вления в явном виде не может быть выписано, как не может
быть выписан в явном виде и оператор /?(v, и) из (22.22). По-
этому уравнение разветвления фактически изучить удается не
всегда. Именно в связи с этим большую роль играют другие ме-
тоды, не использующие уравнения (22.23); они часто приводят
к цели, когда уравнение (22.23) совершенно необозримо. Все эти
рассуждения относятся и к другим конечным системам, к кото-
рым теоретически сводится задача о малых решениях.

Упражнение 22.6. Пусть В расщепляем, Fo — некоторое подпро-
странство в F, дополнительное к подпространству £° значений оператора В.
Через П(v) обозначим поверхность, составленную из тех h^E, в которых
вектор Bh — Q(v,/1) параллелен подпространству Го. Показать, что Е можно
представить в виде прямой суммы £ = £оф£° так, чтобы при малых v каж-
дому малому и е Eq соответствовало такое единственное v £°, при котором
u+v II(v).

Упражнение 22.7. Пусть выполнены условия упражнения 22.6. Пусть
поверхности II(v) (при малых v и в окрестности нуля пространства Е) пара-
метризованы проекцией и (точки х П (v)) на подпространство £0. Тогда век-
торы Вх — Q(v, х) при xell(v) можно рассматривать как векторы
ф(у, и) е £0. Построить такое правильное представление (22.19) оператора В,
чтобы определенное по нему уравнение разветвления (22.23) совпадало с
уравнением Ф (v, u)=0.

*) Роль метода исключения в теории ветвления решений впервые отме-
тил, по-видимому, С. Лефшец [1]; применениям этого метода посвящены ра-
боты многих авторов (П. Г. Айзенгендлер, М. М. Вайнберг, В. Б. Меламед,
В. А. Треногин и др.).
Уравнение (22.23) при исследовании нелинейных инте-
гральных уравнений было впервые выведено, по-видимому,
А. М. Ляпуновым. Построения А. М. Ляпунова соответствовали
правильным представлениям (22.16) оператора В. Более общие
представления (22.19) оператора В удобно применять в случаях,
когда за счет выбора оператора Q0 можно существенно упро-
стить второе уравнение (22.20) (например, если уравнение
(22.18) имеет конечномерные нелинейности).

Перейдем теперь к так называемым уравнениям разветвле-
ния Шмидта (Э. Шмидт построил их также для интегральных
уравнений; переход к общим операторным уравнениям, как и
в случае уравнений разветвления Ляпунова, не потребовал ни-
каких дополнительных соображений).

Рассмотрим уравнение (22.18). Пусть С — такой линейный
оператор, действующий из Е в некоторое подпространство F$
пространства В, что В + С имеет непрерывный обратный. Заме-
ним уравнение (22.18) эквивалентной системой

(B + C)/z = Q(v, ft) + f,
CA = f,

(22.26)

где f е Fq. Если Q(v, h) — достаточно гладкий оператор, то пер-
вое из уравнений (22.26) можно разрешить относительно h (при
малых v и f). Подставляя полученное решение

h = T(y, f)

(22.27)

во второе уравнение (22.26), получим уравнение разветвления
Шмидта

Ш f) = 0,	(22.28)

где
Ш f) = CB(v, f)-f.	(22.29)

Для полного решения уравнения (22.18) нужно теперь решить
уравнение (22.29), а затем подставить полученное решение (од-
нозначное или многозначное) f = f(v) в правую часть (22.27).

Допустим, что В нормально разрешим и имеет конечный
индекс (22.8). Пусть, как обычно, Ео— множество нулей опера-
тора В\ F° = BE; EQ и Fo— дополнительные подпространства;
Во, В0, Qo, Q° — соответствующие проекторы. Правильное пред-
ставление оператора В при этом имеет вид (22.16).

Пусть indB = 0, т. е. Ео и Во имеют одинаковую конечную
размерность tn. В этом случае для построения оператора С
можно поступить следующим образом: выбрать в EQ и Во ба-
зисы в1, ... , ет и fi, .. ., fm соответственно, затем положить

Со + ... + Uem) = Ы + ... +	(22.30)
наконец, распространить Со на все Е формулой

(х е= £).

(22.31)

Представление (22.19) оператора В 4-С будет иметь вид

(22.32)

Поэтому для обращения оператора В + С нужно знать обратные
операторы к В22 (на F0) и к Со (на Fo).

Выпишем уравнение разветвления Шмидта для случая, ко-
гда С определен равенствами (22.30) и (22.31). Воспользуемся
обозначениями (22.21). Тогда первое уравнение системы
(22.26) запишется как система

Сои = QqQ (v, и + v) + f, '

►

B22u = Q°Q (*v, и + v),

а второе — как уравнение
Cou = f.

(22.33)

(22.34)

Второе уравнение системы (22.33) совпадает со вторым урав-
нением системы (22.20) (построенной, конечно, по представле-
нию (22.16) оператора В). Поэтому решение второго уравнения
(22.33) совпадает с функцией (22.22). Подставляя это решение
в первое уравнение (22.33), получим

Cou + qp(v, u) = f,

(22.35)

где cp(v, и)—левая часть уравнения разветвления Ляпунова
(22.23). Чтобы построить уравнение разветвления Шмидта,
нужно из уравнения (22.35) или, что то же, из уравнения

и + C^qptv, и) = w (w = Co[f e £0)	(22.36)

найти u = x(v, w), затем составить равенство

X(v, w) = w\	(22.37)

это равенство и будет уравнением разветвления Шмидта (22.28).

Для дальнейших рассуждений нам удобно уравнение развет-
вления Ляпунова (22.23) записать в виде системы

и + Со'ф^, u) = w, 1	(22 38)

и = w, J

а уравнение разветвления Шмидта (22.37)—в виде системы

X(v,

(22.39)
Определим в пространстве пар {и, ку} (u, w е £0) операторы
Ti{ut ку} = {ку, u + Co^v, и)}, T2{ut w} = {%(v, ку), и}. (22.40)
Очевидно, решения системы (22.38)—это неподвижные точки
оператора Л, а решения системы (22.39) —неподвижные точки
оператора Т2. Но операторы и Т2 взаимно обратны (при ма-
лых u, w). Поэтому у них одинаковые неподвижные точки.

Таким образом, нами доказано простое и несколько неожи-
данное утверждение; уравнение разветвления Шмидта (22.37)
имеет те же решения, что и уравнение разветвления Ляпунова
(22.23) (построенные при помощи одинаковых проекторов Pq, PQ,
Qo, Q°).

При доказательстве был описан и процесс перехода от од-
ного из уравнений разветвления ко второму.

На случае, когда ind B=J=O, мы не будем останавливаться, так
как этот случай тривиально сводится к уже рассмотренному.
Пусть, действительно, ind В = —k < 0; тогда нужно рассматривать
В и Q(v, h) как операторы со значениями в таком пространстве
F, в котором F образует подпространство дефекта k (т. е. F
является прямой суммой F и ^-мерного пространства); после та-
кого расширения оператор В имеет нулевой индекс. Если же
ind В = k > 0, то нужно рассмотреть пространство Ё, в котором
Е имеет дефект k, уравнение (22.18) заменить эквивалентным

B/?x = Q(v, Rx),	(22.41)

где R— произвольный проектор на Е в Ё, индекс оператора
BR, действующего из Ё в F, равен нулю. Если indB = —й<0,
то малые решения уравнения (22.18) существуют и образуют,
как правило, ^-параметрические семейства; если indB>0, то
уравнение (22.18) в общем случае не имеет решений при ненуле-
вых V. Непосредственный анализ уравнений разветвления в слу-
чае, когда ind В 0, был проведен впервые, по-видимому,
В. А. Треногиным.

Приемы исследований линейных операторов В с ненулевым
индексом, основанные на расширении пространств Е и F на ко-
нечное число измерений, были развиты и применены в другой
ситуации М. Г. Крейном и М. А. Красносельским [2].

Переход от уравнения (22.18) к уравнениям разветвления
(конечномерным, если множество нулей оператора В конечно-
мерно и если ind В конечен) возможен и многими способами,
отличными от изложенных выше. Общая идея получения урав-
нений разветвления для уравнения (22.18) может быть описана,
например, так.

Пусть кроме пространств Е, F, Л заданы еще простран-
ства U и Z. Пусть построены такие операторы S0(v, и, z, х, [) и
S°(y, и, z, х, f), определенные при малых ve A, и е С/, z&Z,
хе E, j е F и со значениями в некоторых пространствах, кото-
рые не играют в дальнейшем роли, что из

So (v, и, z, х, f)=^=0,	S°(y, и\ z, х, f) = 0

вытекает равенство f = 0, Далее, пусть построен такой оператор
/?(у, и, z) со значениями в Е и определенный при малых у е Л,
и е U, z^Z, что уравнение

S°{y, и, z, R(y, и, z), BR(y, u, z)-Q[y, 7?(y, u, z)]} = 0
имеет единственное малое решение

z = T(v, и).

Тогда, очевидно, функция

х = /?{у, и (у), Г [у, и (у)]}

будет решением уравнения (22.18), если w = и (у) — решение
уравнения

% (у, rz) = O,	(22.42)

где

% (у, w) = S0{y, и, Г (у, и), R [у, и, Т(у, и)],

BR [у, и, Г (у, w)]-Q[y, /?[у, и, Г (у, ц)]]}.

Допустим, далее, что из равенств z = T(v, и) и

30(у, и, z, х, 0) = 0,	S°(y, и, z, х, 0) = 0, х = /?(у, u, z)

вытекает, что w = L(v,х), где Е(у, х) (Л(0, 0) = 0) — оператор со
значениями в (/, определенный при малых у и х. Если х = х(у) —
близкое к 0 решение уравнения (22.18) при близких к 0 значе-
ниях у, то, как нетрудно видеть, и — Л[у, х(у)] — решение урав-
нения (22.42). Тём самым все решения уравнения (22.18) могут
быть построены по решениям уравнения (22.42). Уравнение
(22.42) — это уравнение разветвления.

Упражнение 22.8. Показать, что уравнения разветвления (22.23) и
(22.28) являются частными случаями уравнения (22.42).

22.5.	Асимптотические приближения уравнений разветвления.
Точное построение уравнений разветвления возможно лишь в ис-
ключительных случаях. В связи с этим важны способы построе-
ния таких приближенных уравнений разветвления, решения ко-
торых дают достаточно полную информацию о решениях точного
уравнения разветвления. Желательно, чтобы такая информация
содержала по крайней мере оценку числа решений, асимптоти-
ческие приближения к решениям и т. д.
Рассмотрим два уравнения:

%(v, ы) = 0,

X(v, u) = 0,

(22.43)

(22.44)

где vgA, ug£0; %(v, и) и %(v, и) — определенные при доста«
точно малых v и и операторы со значениями в Fo, удовлетворяю*
щие условиям

х(0, 0) = 0,	х(0, 0) = 0.

Допустим, что оператор х (v, и) является асимптотическим при-
ближением (см. п. 20.6) порядка (или предпорядка) ©(v, и) опе-
ратора x(v, и):

IIX (v, и) - х (у, и) || = о [со (v, и)] (|| х (v, и) - х (v, и) || = О [со (v, и)]).

Здесь co(v, и) — неотрицательный функционал, непрерывный в ну-
левой точке и лишь в нулевой точке принимающий нулевое зна-
чение. Будем говорить тогда, что уравнение (22.44) является
асимптотическим приближением (порядка или предпорядка со)
уравнения (22.43).

Применение многих методов точного и приближенного иссле-
дования скалярных уравнений и систем (22.43) требует лишь
знания какого-либо асимптотического приближения достаточно
высокого порядка к каждому из этих уравнений. Поэтому при
исследовании уравнения разветвления часто можно обойтись его
асимптотическим приближением. В этом пункте описывается не-
сколько способов построения асимптотических приближений
уравнений разветвления. Эти способы в различных частных ва-
риантах (часто в других терминах) применялись многими авто-
рами. В общей форме они изложены в работах П. П. Забрейко
и М. А. Красносельского [5, 6].

Рассмотрим в первую очередь приемы построения асимпто-
тических приближений

ф (v, и) = 0	(22.45)

уравнения разветвления (22.23)

Ф (v, и) = 0	(22.46)

для уравнения (22.18)

BA = Q(v, Л),	(22.47)

построенного по матричному представлению (22.16) оператора В.
х Запишем уравнение (22.47) в виде системы

O=QoQ(v, u + v),	(22.48)

В22^ = Q°Q (v, и + v),	(22.49)
где и е Eq, v е £°. Для построения уравнения разветвления
(22.46) нужно найти решение

и)	(22.50)

уравнения (22.49); тогда левая часть cp(v, и) уравнения развет-
вления определяется равенством

<p(v, u) = Q0Q[v, u + R(y, w)].

(22.51)

Для построения асимптотических приближений к уравнению
разветвления (22.46) достаточно найти асимптотические при-
ближения

v = R (v, и)

(22.52)

к оператору (22.50); тогда левую часть асимптотического при-
ближения (22.45) к уравнению разветвления можно определить
равенством

ф(у, u) = Q0Q[v, u + R(v, u)].

(22.53)

По решениям u = u(v) уравнения (22.45), левая часть которого
определена равенством (22.53), можно построить асимптотиче-
ские приближения /i = %(v) к решениям h = h(v) уравнения
(22.47) по формуле

h (v) = й (v) + R [v, S(v)],

где R(y, и) — оператор (22.50), или по формуле

h (v) = й (v) + 7?0 [v, u(v)J,

<22.54)

(22.55)

где /?o(v, и) — некоторое асимптотическое приближение опера-
тора (22.50). В качестве такого приближения Ro(y, и) удобно
взять оператор (22.52); тогда асимптотическое приближение %(v) к
решению h(v) уравнения (22.47) будет определяться равенством

h (у) = й (v) + R [v, й(у)].	(22.56)

Для оценки порядка (или предпорядка) асимптотических при-
ближений нужно знать лишь порядок (предпорядок) асимптоти-
ческого приближения решения и = й(у) уравнения (22.45) к со-
ответствующему решению уравнения (22.46) и свойства гладко-
сти оператора (22.50). Для оценки порядка (предпорядка)
асимптотического приближения (22.56) нужно еще знать поря-
док асимптотического приближения оператора (22.52) к опера-
тору (22.50).


г В дальнейшем: на оператор Q (у, Л) будут накладываться

ограничения вида	-

[|	(v, и + щ)- Q0Q (v, и + v2) II < q0 (v, и, f) || Uj - v2 Ц (22.57)

(ve S(0, a)\ u^Eg, || и ||^&; vb v2^EQ, || vJI, || v2||C0,

||Q°Q(v, u + yt)~ Q°Q(v, и 4- у2)1К <7°(v, и, t) || — v2||	(22.58)

(veS (0, a); и e f0, || u\\ < &; vb v2 e £°; || Vj ||, || u2||^ 0-

Здесь <70(v> t) и qQ(v, u, /) (q0 (0, 0, 0) = <?°(0, 0, 0) = 0) —
непрерывные в нуле функции, не убывающие по t и удовле^
творяющие условиям

qQ[v, ut cco(v, u)] kQ (с) 6 (v, и)	(0<с<оо),	(22.59)

q°[v, и, с & (у, и)] <1kQ(с) соо(у, и) (0<с<оо), (22.60)
где функции со (v, u), coq(v, и), S(v, и) неотрицательны, непрерыв-
ны в нулевой точке и лишь в нулевой точке принимают нулевое
значение.

.Лемма 22.1. Пусть оператор Q°Q(v, u + v) удовлетворяет
условию (22.58) и неравенству

|| Q°Q (v, и) || с со (v, и).	(22.61)

Тогда оператор (22.50) удовлетворяет неравенству

IIR(v, w)||<c*0(v, u),	(22.62)

где с* — постоянная.

Доказательство. Из тождества

B22T?(v, u) = {QqQ[v, u+R(v, u)]-Q°Q(v, u)}+Q°Q(y, и)

в силу (22.58) и (22.61) следует, что

|| 7? (v, и) ||< || В^Ц qQ [v, и, || R (v, u)||]||/?(v, u) || +1| В221| с co(v, и). .

(22.63)
Оператор 7?(v, и), очевидно, удовлетворяет условию

lim || R (v, и) || = 0,

v, и -> 0
откуда

lim и, || R (v, «)||] = 0.

V, и ->0

Из (22.63) следует (22.62).

Лемма доказана.

Упражнение 22.9. Пусть оператор Q°Q (v, u + v) удовлетворяет
условиям (22.58) и (22.61) и, кроме того, условию

|| Q°Q (v, щ + v)- Q°Q (v, u2 + v) ||<p (v, p, || v ||) ||«i - u21|	(22.64)

(v e S (0, a); ulf u2 e= EQ; || ||, || u21|< p; v E°f II v JI < ^),
где р (у, р, /) —непрерывная в нуле неотрицательная функция, причем
р [у, р, с со (у, ц)]	£ (с) л (у, р) (|| « II < р, 0 < с < оо). (22.65)

Доказать, что оператор (22.50) удовлетворяет неравенству

IIR (у, «1)-7?(у, н2)1К^л(у, р) || «1- и2 II ( II «1 II, II «2II < р),	(22.66)

где d — постоянная.

Построение асимптотических приближений (22.45) уравнения
разветвления (22.46) сводится в силу равенства (22.53) к по-
строению асимптотических приближений (22.52) оператора
(22.50). При этом через порядок приближения оператора (22.52)
к оператору (22.50) легко оценивается порядок приближения
(22.53) к оператору (22.51).

Лемма 22.2. Пусть операторы С?ой(у, u + v) и Q°Q(y, u + v)
удовлетворяют условиям (22.Ъ1)— (22.59), (22.61). Пусть опера-
тор (22.52) удовлетворяет условию

|| Я (у, и)||<с (о(у, и)	(22.67)

и является асимптотическим приближением оператора (22.50)
предпорядка б:

И (у, u) — R (у, и) || = О [б (у, и)].	(22.68)

Тогда оператор (22.53) является асимптотическим приближе-
нием к оператору (22.51) предпорядка бб:

II ф (у, и) —ф(у, и) || = О [б (у, и) б (у, и)].	(22.69)

Доказательство леммы следует из цепочки (справедливых
в силу (22.51), (22.53), (22.57), (22.61), (22.62), (22.67), (22.68))
соотношений

|| ф (у, и)-<р(у, и) || = [I Q0Q [у, u + R(v, u)]-Q0Q[y, u + R(y, u)]||<
HflCv» «)ll + ll#(v, w)||]||/?(y, u)-R(y, u)||<

<<7olv> (с + с*)ю(у, u)]|| R (y, u)-7?(y, w)||=O[6(y, ы)б(у, u)].

Для построения асимптотических приближений (22.52) к опе-
ратору (22.50) естественно использовать итерационные методы,
изложенные в п. 20.6. Рассмотрим подробнее метод построения
асимптотических приближений, основанный на последователь-
ных приближениях (20.41).

Теорема 22.2 Пусть оператор Q (у, h) удовлетворяет усло-
виям (22.57) — (22.61). Пусть функция Rq(v,u) удовлетворяет не-
равенству

II Ro(v, w)IK^oc»(v, и)	(22.70)

(например, равна нулю).
Тогда оператор Rn(y,u), найденный
мулам

Rk(y, и) = B22Q°Q[v, u + Rk-i(y, u)]

по рекуррентным фор-

(fe = l, 2, ...), (22.71)

является асимптотическим приближением к оператору (22.50)
предпорядка coco":

II Rn(v, u) — R(y, u) IK (v, u)[co0(v, u)]ny (22.72)

а оператор

<Pn+i(v, u) = QqQ[v, u + Rn(y, u)]	(22.73)

— асимптотическим приближением к оператору (22.51) предпо-
рядка бсош":

II <Pn+i (v, и) - qp(v, u)||<drt6(v, u)co(v, u)[coo(v, u)]n. (22.74)

Доказательство. Отметим сначала, что утверждение тео-
ремы 20.7 остается справедливым, если неравенство (20.62) за-
менить менее ограничительным неравенством

I f (^» *1) f (^» *2) fx (^0> ^о) (*1 ^2) ф ^0, ^) |	’ Х2

(22.75)
(Z S (Ао, а); || - х01|, || х2 - х01|< 0

(см. также упражнение 20.19). Применим это более общее, чем
теорема 20.7, утверждение к уравнению (22.49), считая v и и
одним векторным параметром %. Неравенство (20.58) будет при
этом совпадать с неравенством (22.75), в котором

<р(Л, t) = q°(v, и, t),

неравенство (20.63) совпадает с неравенством (22.60). В силу
(22.61) выполняется условие (20.64). Наконец, выберем в каче-
стве начального приближения %о(М оператор Ro(y, и)\ условие
(20.59) для этого оператора выполняется в силу (22.70). В ре-
зультате мы получаем неравенство (22.72). Кроме того, в силу
леммы 20.1 оператор Rn(y, и) будет удовлетворять условию

ll#n(v, u)||<c„®(v, и).	(22.76)

Положим теперь

R (v, и) = Rn (v, и), б (v, и) = to (v, и) [®0 (v, «)]"

и применим лемму 22.2. Условия (22.67) — (22.68) этой леммы
выполнены в силу (22.76) и (22.72). Поэтому

II Фп+1 (v, и)-ф(^, и) IK Ci 6 (v, u)o(v, u) =

= dnd(v, u)co(v, u) [coo (v, u)]n.

Неравенство (22.74) установлено.

Теорема доказана.
Из теоремы 22.2 вытекает следующий способ последователь-
ного построения асимптотических приближений все более высо-
ких порядков к решениям уравнений (22.47)..На n-м шаге эти
асимптотические приближения hn(v) определяются равенствами

hn (v) = ип (у) + R п [v> ип (v)J,

(22.77)

где ип(у) определяется из асимптотического приближения

Q0Q [v, и + Rn (v, w)] = 0	(22.78)

уравнения разветвления. Здесь оператор /?n(v, н) определен по
рекуррентным соотношениям

Rk (V, и) = В221 Q°Q [V, и + Rk-1 (V, и)] (k = 1, 2, ...; /?0 (v, и) = 0).

(22.79)

Этот метод последовательных приближений применялся Дуф-
фингом для исследования периодических решений дифферен-
циальных уравнений.

Рассмотрим теперь способы построения асимптотических
приближений

Ш f) = 0	(f<=F0)	(22.80)

к уравнению разветвления (22.28)
f) = 0

(f

(22.81)

уравнения (22.47), построенного при помощи оператора Со, опре-
деленного равенством (22.30) (конечно, предполагается, что опе-
ратор В имеет нулевой индекс). Для построения уравнения раз-
ветвления нужно найти решение

h = T(y, f)

уравнения

(B + C)/z = Q(v, h) + f-,

(22.82)

(22.83)

тогда левая часть ^(v, f) уравнения разветвления (22.81) опре-
делится равенством

Ш f) = CT(v, f)-f,	(22.84)

где С — оператор (22.31). Для построения асимптотического при-
ближения (22.80) к уравнению разветвления нужно найти асим-
птотическое приближение

h = T(v, f)	(22.85)

к оператору (22.82); тогда левая часть (v, f) уравнения (22.80)
определится равенством

<p(v, f) = Cf (v, f)-f.	(22.86)

По решениям f=/(v) уравнения (22.80), левая часть которого
определена равенством (22.86), могут быть построены асимпто-
тические приближения к решениям h(v) уравнения (22.47). Эти
приближения могут быть определены, например, равенством

ft(v) = f[v, /(v)],

(22.87)

где T(v,f)— оператор (22.85). Для оценки порядка асимптоти-
ческого приближения (22.87) к точному решению нужно знать
порядок асимптотического приближения решений уравнения
(22.80) к соответствующим решениям уравнения (22.81), поря-
док асимптотического приближения оператора (22.85) к опера-
тору (22.82) и свойства гладкости оператора (22.82).

Упражнение 22.10. Пусть оператор Q (v, h) удовлетворяет условию
Липшица

|| Q (v, АО - Q (v, А2) || < q (v, t) || h. - h21|	(|| hx ||, || h2 || < /), (22.88)

где q(v, t) (q(0,0)=0)—непрерывная в нуле и не убывающая по t функ-
ция. Показать, что оператор (22.82) удовлетворяет условию Липшица

II Т (v, fl) - Т (V, f2) II < <7! || Л - f2 ||.	(22.89)

где qi — постоянная.

Для построения асимптотических приближений (22.85) к опе-
ратору (22.82) удобно использовать итерационные методы, изло-
женные в п. 20.6. Приведем одно утверждение.

Теорема 22.3. Пусть оператор Q (v, h) удовлетворяет усло-
вию (22.88), причем

q\y, C(o(v, f) +IICoVH ©o(v, f) (0<c<oo), (22.90)

где и — неотрицательные функции, непрерывные
в нулевой точке и лишь в нулевой точке принимающие нулевое
значение, и условию

||q(v, Со 1 f) | < с со (v, f).

(22.91)

Пусть, наконец, оператор T0(v,f) удовлетворяет неравенству

Т0(у, f)-Co7ll<cocD(v, f).

(22.92)

Тогда оператор Tn(v,f), определенный по рекуррентным фор-
мулам

Tk (v, f) = (В + С)"1 О [V, Tk-i (у, О] + Со 7 (k = 1, 2, ...), (22.93)

является асимптотическим приближением к оператору (22.82)
предпорядка (осо£:

II Тп (v, f) - Т (v, f) II <	(V, f) [<оо (V, f)]n,	(22.94)

а оператор

A|)n(v, f) = CTn(y, f)-f	(22.95)
— асимптотическим приближением к оператору (22.86) того же
предпорядка coco":

II (v, f) - ф (V, /) II < dnv> (v, f) [со0 (v, f)]".	(22.96)

В заключение сделаем два замечания.

При построении асимптотических приближений к уравнениям
разветвления мы искали асимптотические приближения опера-
торов (22.50) и (22.82) при помощи обычного процесса последо-
вательных приближений (20.41), применяемого соответственно
к уравнениям (22.49) и (22.83). Ясно, что можно было бы асим-
птотические приближения к операторам (22.50) и (22.82)
строить и при помощи итерационных процессов (20.44), (20.45).
Итерационные процессы (20.44), (20.45) менее удобны в приме-
нениях, так как они требуют обращения на каждом шаге про-
цесса разных операторов. По-видимому, это обстоятельство дает
достаточные основания для того, чтобы предпочитать итерацион-
ный процесс (20.41) (несмотря на то, что использование процес-
сов (20.44), (20.45) приводит к асимптотическим приближениям
существенно более высоких порядков).

Мы ограничились в этом пункте построением асимптотиче-
ских приближений к уравнениям разветвления двух частных
типов. Аналогичными построениями могут быть получены асим-
птотические приближения и к уравнениям разветвления других
типов (см. п. 22.4).

22.6.	Уравнения в формальных степенных рядах. В п. 20.7
изучено уравнение (20.75):

g(v, Л) = 0,	(22.97)

в котором g(v, h) — формальный степенной ряд (20.71):

оо

g(v,h) = s Vk.m(v, h).	(22.98)

fc+m=l

В п. 20.7 предполагалось, что оператор Vo ^^(О, 0) имеет
непрерывный обратный Г. В этом предположении уравнение
(22.97) имеет единственное решение

h(y) = hxv + h2v + ... +hkv+ ...	(22.99)

(hi — однородная форма) в классе формальных степенных рядов.

Если Vo, 1 не имеет непрерывного обратного, то у уравнения
(22.97) может не быть решений вида (22.99); простым примером
является скалярное уравнение v — Л2 = 0. Поэтому нам ниже при-
дется расширить понятие решения уравнения (22.97) аналогич-
но тому, как это было сделано в § 21 для скалярных уравнений
в формальных рядах.
Пусть Vo.i расщепляем, и пусть его матричное представление
в системе проекторов Ро, PQ, Qo, Q° имеет вид

/О ° \
v°’1 = \о в22)'

Тогда уравнение (22.97) можно заменить эквивалентной системой

оо

B22o + Q%,0v + Q° S vk,т(v, и + v) = О, (22.100)
k+m=2

оо

QoVi.oV+Qo S Vk, rn (V, и + v) = 0,	(22.101)

fe+m=2

где и = Р0йе£0 = Р0Е, и =	g= £° = Р°£.

Если пару H = {v, и} (veA, i/e£0) рассматривать как
параметр, то к уравнению (22.100) можно применить теорему
20.10. В силу этой теоремы уравнение (22.100) имеет единствен-
ное решение в классе формальных степенных рядов по перемен-
ной р, или, что то же, решение

у = 5 j(v, и)	(22.102)

f+/=i

в классе формальных степенных рядов по переменным v и и.
Однородные (/,/)-формы j могут быть определены при этом
по рекуррентным формулам в явном виде, например, методом
неопределенных коэффициентов, изложенным в п. 20.4.

Если подставить ряд (22.102) в (22.101), то мы получим урав-
нение разветвления

<p(v, и) = 0	(22.103)

для определения и. Левая часть уравнения (22.103) является
формальным степенным рядом

qp(v, и) = Фо (v) + 2 Ф/./(у, и),	(22.104)

i+/=2

причем любое число коэффициентов — форм срг, j — можно факти-
чески найти. Уравнения (22.103) для случая, когда Eq конечно-
мерно, рассмотрены в § 21. Как правило, они не имеют решений
в классе формальных степенных рядов по переменной v. Поэтому
и уравнение (22.97) не имеет, как правило, решений в классе
формальных рядов, если lzo, i необратим.

Для простоты дальнейшие рассуждения проведем лишь для
случая скалярного параметра v.
§ 22]

Решения уравнения (22.97) будем искать в виде

ft =	+ ... +hkv*+ ...»	(22.105)

где 0<£1<б2< . •. <е^< ... и hi—элементы пространства Е.
Тогда проекции u = PqIi и v = PQh также должны быть формаль-
ными степенными рядами вида (22.105) с коэффициентами соот-
ветственно из Ео и £°. Простой подсчет показывает, что коэффи-
циенты ряда v = PQh однозначно определяются по коэффициен-
там ряда u = PQh путем подстановки этого второго ряда в правую
часть (22.102). Поэтому нужно лишь найти ряд u = PQh. Этот ряд
определяется из уравнения разветвления (22.103).

Таким образом, как и в случае уравнения (22.1), все особен-
ности решений уравнения (22.97) в формальных степенных ря-
дах полностью определяются уравнением разветвления (22.103)—
переход от решений и(у) уравнения разветвления к решениям
/i(v) уравнения (22.97) осуществляется по простой формуле
00

Л(?) = 2	u(v)] + u(v).	(22.106)

i+/=l

Допустим, что индекс оператора Vo, i равен нулю. Пусть Eq
одномерно. Тогда уравнение (22.103) —это скалярное уравнение
в формальных степенных рядах. Если левая часть уравнения
(22.103) не есть тождественный нуль, то (как показано в п. 21.3)
уравнение (22.103) имеет конечное число решений; каждое из
этих решений является формальным степенным рядом некото-
рого радикса р. Следовательно, и уравнение (22.97) имеет в
этом случае конечное число решений вида (22.105). Более того,
каждое из этих решений имеет вид

h = h°v'lp + Zi2V2/p + ... + /&/'р + ...,	(22.107)

где коэффициенты ряда (22.107) в общем виде выписать, ко-
нечно, невозможно; но любое фиксированное число коэффициен-
тов можно найти просто (если не считать сложностью громозд-
кие вычисления). Для этого сначала нужно найти достаточное
число коэффициентов фг, j ряда (22.104) (можно, например,
найти первые члены разложения в степенной ряд левой части
асимптотического приближения высокого порядка уравнения
разветвления — см. п. 22.5). Затем методом диаграммы Ньютона
(см. п. 21.3) определить первые члены разложений решения u(v)
в ряд по дробным степеням v. Наконец, по формуле (22.106)
определить первые члены разложений h(v) по дробным степе-
ням V.

Если левая часть уравнения (22.103) (в случае одномерного
Eq) окажется тождественным нулем, то формула (22.106)
определяет решение уравнения (22.97) при любом

и (у) = щу'1 4- и2у&2 + ... + ukv^k + ...	(22.108)

В случае многомерного Ео фактическое построение решений
h(v) возможно лишь в той мере, в какой может быть исследова-
на система (22.103) скалярных уравнений по конечному числу
известных однородных форм >. В конкретных случаях следует
рекомендовать применять метод исключения. Если «повезет» и
окажется, что система (22.103) грубая (см. стр. 366), то все
решения являются рядами по дробным степеням у; описанная в
§ 21 процедура позволяет определить любое конечное число
членов разложений решений и (у) по дробным степеням у. По
решениям и(у) системы (22.103) определяются решения й(у)
уравнения (22.97).

Отметим в заключение, что все рассуждения этого пункта
можно провести, когда рассматриваются отличные от (22.103)
уравнения разветвления. По существу, все изложенные в п. 22.4
схемы перехода к уравнениям разветвления применимы для
уравнений в формальных степенных рядах.

По-видимому, первые построения уравнений разветвления
для уравнений в формальных степенных рядах проведены
В. Б. Меламедом.

22.7.	Уравнения с аналитическими операторами. В этом
пункте мы рассмотрим уравнение (22.18) с аналитическим опе-
ратором Q(y, А). В силу теоремы 20.11 оператор /?(у, и) из
формулы (22.22) аналитичен. Поэтому и левая часть ф(у, и)
уравнения разветвления (22.23) является аналитическим опера-
тором.

Если Q(y, h) —аналитический оператор, то его можно пред-
ставить степенным рядом. Поэтому уравнение (22.18) можно
одновременно считать уравнением в формальных степенных ря-
дах (тот факт, что в данном конкретном случае ряд сходится,
можно игнорировать). Для отыскания формальных решений
уравнения (22.18) можно перейти к уравнению разветвления
(22.103). Как нетрудно видеть, левая часть уравнения (22.103)
будет разложением в степенной ряд левой части уравнения
(22.23). Именно поэтому мы сохраняем за левыми частями
обоих уравнений одинаковое обозначение ф(у, и).

Процедура отыскания формальных решений уравнения в
формальных рядах описана выше. Ясно, что эта процедура охва-
тывает построение разложений всех аналитических решений
уравнения (22.18) с аналитическим оператором Q. Возникают
два естественных вопроса. Каждое ли настоящее решение (ре-
шение-функция) уравнения (22.18) с аналитическим оператором
§ 22]

Q будет раскладываться в ряд по дробным степеням v и будет
поэтому решением уравнения (22.18), рассматриваемого как
уравнение в формальных рядах? Каждое ли формальное реше-
ние уравнения (22.18) в формальных рядах будет сходящимся
рядом, сумма которого является настоящим решением уравне-
ния (22.18)?

К сожалению, в общем случае ответ на оба вопроса отри-
цателен. Простейшим (но далеко не единственным) примером
может служить уравнение (22.18), левая часть уравнения раз-
ветвления которого — тождественный нуль. Для такого уравне-
ния формула (22.106) определяет формальное решение при лю-
бом (расходящемся!) ряде и (у) с коэффициентами из EQ\ эта
же формула определяет настоящее решение h(v) уравнения
(22.18) с аналитическим оператором Q по любой функции u(v)
(не только не разлагающейся в степенной ряд, но даже не обя-
зательно непрерывной!).

Приведенные соображения ни в коем случае не отвергают
метод построения решений уравнения разветвления (а следова-
тельно, и метод построения решений (22.106) уравнения (22.18))
в виде степенных рядов. Более того, приближенный метод, осно-
ванный на отыскании нескольких членов разложений решений
уравнения разветвления, остается основным и наиболее часто
применяемым. Нужно лишь помнить, что этот метод может не
привести к цели. Опыт показывает, что «плохие» случаи встре-
чаются редко; поэтому следует искать решения уравнения раз-
ветвления в виде рядов, ограничиваясь вычислением лишь не-
скольких первых коэффициентов; затем нужно стараться пока-
зать, что соответствующие ряды в некоторой окрестности нуля
сходятся, их суммы будут решениями уравнения разветвления;
наконец, можно пытаться доказывать, что уравнение разветвле-
ния не имеет решений, отличных от найденных. Вся эта
программа часто реализуема полностью или частично.

Теорема 22.4. Пусть Vo, i имеет индекс 0, и пусть £0 одно-
мерно. Пусть левая часть уравнения разветвления не есть тож-
дественный нуль. Пусть Q(v, h) —аналитический оператор.

Справедливы следующие утверждения.

1°. Каждое обращающееся в нуль при v = 0 решение h(v)
уравнения (22.18) (если такие решения существуют) имеет не-
который радикс р, раскладывается в окрестности нуля в ряд

h (v) = h^P + h2v*P + ... + hkvk/p + ...	(22.109)

и является поэтому формальным решением (22.18), рассматри-
ваемого как уравнение в формальных рядах.

2°. Каждое формальное решение (22.105) уравнения (22.18J,
рассматриваемого как уравнение в формальных рядах, сходится
в некоторой окрестности нуля и является настоящим решением
уравнения (22.18).

3°. Каждое решение и (у) уравнения разветвления имеет ра-
дикс р и разлагается в окрестности нуля в сходящийся ряд

и(у) = щуур + и2у2/р + ... +ukvkfp+ ...	(22.110)

4°. Каждое формальное решение и (у) уравнения разветвле-
ния, рассматриваемого как уравнение в формальных ря-
дах, имеет вид (22.110) и сходится в некоторой окрестно-
сти нуля.

Теорема 22.5. Пусть Vo, i имеет индекс 0, и пусть Ео одно-
мерно. Пусть оператор Q(v, h) аналитичен. Пусть степень урав-
нения разветвления равна s.

Тогда число решений уравнения (22.18) (с учетом кратности)
равно s. Радиксы р решений (22.109) уравнения (22.18) и ре-
шений (22.110) уравнения разветвления удовлетворяют нера-
венству

p'<s.	(22.111)

Если есть хотя бы одно решение радикса р, то таких решений
не меньше чем р.

Теорема 22.5 является очевидным следствием теоремы 21.6.

Утверждения 3° и 4° теоремы 22.4 вытекают из утверждений
1° и 2°. Эти последние два утверждения доказываются совсем
просто. Если вектор-функция h(y) —решение уравнения (22.18),
то функция u(v)=PoMv) будет решением уравнения разветвле-
ния с аналитической левой частью <p(v, и) некоторой степени s
по переменной и. Из теоремы 21.6 вытекает, что u(v) раскла-
дывается в степенной ряд по дробным степеням у. Решение h(y)
можно восстановить по ряду u(v) при помощи формулы (22.109).
Следовательно, /i(v) имеет вид (22.11)—утверждение 1° дока-
зано. Пусть теперь формальный степенной ряд (22.109) является
решением уравнения (22.18), рассматриваемого как уравнение
в формальных степенных рядах. Тогда проекция

u(y) = PQh1 у'/р + PQh2v2fp + ... + PQhkyklp + ...	(22.112)

будет решением уравнения разветвления. Из теоремы 21.8 сле-
дует, что ряд (22.112) сходится в некоторой окрестности нуля.
Из равенства (22.106) вытекает, что ряд (22.107) сходится в не-
которой окрестности нуля, — утверждение 2° доказано.

Опишем схему применения теорем 22.4 и 22.5.

Пусть задано уравнение (22.18) с аналитической правой
частью и с одномерным вырождением (Ео одномерно). Тогда
(используя, например, метод п. 22.5) можно построить асимпто-
тические приближения любого конечного порядка к левой части

00

Ф (v, u) = aUov+ 2 at	(22.113)

f + /=2

уравнения разветвления. Это значит, что может быть найдено
любое конечное число коэффициентов Лг,

Случай А. Допустим, что один из найденных коэффициен-
тов aQ,j окажется отличным от нуля. Наименьшее /, при кото-
ром	обозначим через s. Число s является степенью ряда

(22.113). Для отыскания нужного числа первых членов разло-
жения решений и (у) уравнения (22.103) в степенной ряд по
дробным степеням у применяем диаграмму Ньютона. Напомним,
что определение конечного числа коэффициентов разложения
решений уравнения разветвления по методу диаграммы Нью-
тона требует знания лишь конечного числа коэффициентов ряда
(22.113). После определения первых членов разложения u(v)
определяем первые члены разложений решений /i(v).

Задача будет полностью решена, если в результате приме-
нения диаграммы Ньютона мы найдем s различных начальных
отрезков (некоторой фиксированной длины) разложений реше-
ний уравнения разветвления.

Случай Б. Пусть вычислены все коэффициенты аг-, j при
i+j^n. Пусть все коэффициенты а0, j (/ = 0, 1, ...» х) оказа-
лись равными нулю, но некоторые из других найденных коэф-
фициентов отличны от нуля. Обозначим через Iq такой наимень-
ший индекс, при котором одно из чисел (j = 0,1, ...,х) от-
лично от нуля. Если окажется, чтоа/0,о =0, то уравнение раз-
ветвления имеет решения, однако даже об их точном числе мы
не можем судить, так как порядок s ряда (22.113) нам остается
неизвестным. Мы не знаем (и не можем определить по конеч-
ному числу коэффициентов ?!), можно ли правую часть со-
кратить на yio или на vil, где O<q<fo-

Однако если /о^х и /0 — такой наименьший индекс, что
aiQt /0 У= О, то s>io- Поэтому число решений (с учетом кратно-
сти) не меньше /0. Первые члены разложений этих /о решений
по дробным степеням у могут быть найдены методом диаграммы
Ньютона.

Случай В. Пусть в условиях случая Б коэффициент о
отличен от нуля. Тогда неизвестно, есть ли у уравнения развет-
вления малые решения, — порядок ряда (22.113) может ока-
заться равным нулю.

Случай Г. Все найденные коэффициенты ait (/ + /^х)
равны нулю. О решениях уравнения (22.18) ничего нельзя сказать
Упражнение 22.11. Рассмотрим уравнение

х(0 = (1 + v)

Ь

К (/, s) [х (s) + а? ($)] ds + v f (/),

(22.114)

а

где K(t, s) —непрерывное симметрическое ядро

оо

K(t. s) = £

1 = 1

е,(/) et (s)

%; = 1, Xi < X2 <....< A,n < ...,	-> °°> f (/) — заданная функция. Исследо-

вать уравнение разветвления (в зависимости от знака числа а и от k). По-
строить первые два члена разложения решения уравнения (22.114) по методу
диаграммы Ньютона.

Перейдем к многомерным вырождениям.

Теорема 22.6. Пусть Vo, i имеет индекс 0, и пусть Ео имеет
размерность	Пусть Q(v, h)—аналитический оператор.

Тогда справедливы следующие утверждения.

1°. Если уравнение (22.18) имеет конечное число решений,
то каждое из них имеет вид (22.109).

2°. Если уравнение (22.18) имеет бесконечное число решений,
то среди них есть решения, которые нельзя разложить в ряд по
целым или дробным степеням v.

3°. Если уравнение (22.18) рассматривать как уравнение в
формальных степенных рядах и если оно имеет лишь конечное
число решений (в формальных рядах), то каждое такое решение
является сходящимся в некоторой окрестности нуля рядом,
сумма которого удовлетворяет уравнению (22.18).

4°. Если уравнение (22.18) рассматривать как уравнение в
формальных степенных рядах и если оно имеет бесконечное
число решений (в формальных рядах), то существуют формаль-
ные решения, которые сходятся лишь при v = 0.

Доказательство этой теоремы проводится аналогично дока-
зательству утверждений 1° и 2° теоремы 22.4: каждое из дока-
зываемых утверждений редуцируется к аналогичному утвержде-
нию для конечномерных уравнений, после чего остается со-
слаться на теоремы из § 21.

При фактическом исследовании уравнения (22.18) нужно
иметь в виду, что (как и в рассмотренном выше случае одно-
мерного вырождения) фактически известно всегда лишь конеч-
ное число первых однородных операторов в разложении (22.104)
левой части уравнения разветвления (22.103). Поэтому анализ
уравнения разветвления может быть фактически проведен без
всяких затруднений лишь тогда, когда к уравнениям разветвле-
§ 22]

ния может быть применена грубая схема исключения, изложен-
ная в § 21, или другие «грубые» приемы (см., например, § 23).
В результате применения грубой схемы одновременно опреде-
ляются и возможные радиксы искомых решений.

В связи с теоремой 22.6 большой интерес представляет сле-
дующее утверждение.

Теорема 22.7. Пусть Eq имеет конечную размерность.
Пусть Q аналитичен, и пусть нуль является изолированным ре-
шением уравнения

Bh = £i(0, h).	(22.115)

Тогда уравнение (22.18) имеет конечное число решений.

Для доказательства достаточно заметить, что нуль является
изолированным решением уравнения (22.115) в том и только
том случае, когда нуль — изолированное решение уравнения

ф(0, /г)=0,	(22.116)

где cp(v, h)—левая часть уравнения разветвления (22.103).
После этого остается только сослаться на соответствующую тео-
рему из § 21.

Приведенное доказательство указывает одновременно путь
установления изолированности нулевого решения уравнения
(22.115). Для этого нужно показать, что изолировано нулевое
решение уравнения (22.116). Изолированность нулевого решения
конечной системы (22.116) скалярных уравнений можно прове-
рить, например, методом исключения.

Изолированность нулевого решения уравнения (22.115)
можно проверить и непосредственно. Пусть

Q (0, Л) = Qkh + Qft+i/i + ...,	(22.117)

где fif — однородная форма. Из рассуждений, приведенных при
доказательстве теоремы 14.5, легко вытекает следующее утвер-
ждение: нуль является изолированным решением уравнения
(22.115), если

Qq^u =# 0 (и е Ео, и =# 0).	(22.118)

Некоторые более общие признаки изолированности решения
указаны в работе П. П. Забрейко и М. А. Красносельского [2].

Первые общие теоремы о сходимости формальных решений
указал (в случае интегральных уравнений и для одномерного
вырождения) В. В. Покорный [1]. Значительная часть утвержде-
ний этого пункта принадлежит В. Б. Меламеду; часть утвержде-
ний— М. М. Вайнбергу и В. А. Треногину. Отметим еще, что
одним из первых, применявших диаграмму Ньютона для иссле-
дования ветвления решений операторных уравнений, был
А. Э. Стапан.
§ 23.	Простые решения и метод неопределенных коэффициентов

23.1.	Простые решения. Пусть Е, F, Л — банаховы простран-
ства. В этом параграфе мы продолжим изучение уравнения

f(K х)=0,	(23.1)

где f(K х) — определенный на произведении шаров S(X0, а) и
S(x0, b) пространств Л и Е оператор со значениями в простран-
стве F, удовлетворяющий условию

f(X0, хо)=О.	(23.2)

Как и во всей главе, нас будет интересовать вопрос о близких
к .%о при близких к Хо значениях X решениях х = х(Х) уравнения
(23.1), удовлетворяющих условию х(Х0)=х0.

Предположим, что оператор f(X, х) имеет непрерывную в
точке {Хо, Хо} производную f'(X, х). Решение х=х*(Х) уравне-
ния (23.1) назовем простым*), если при всех близких к Хо и
отличных от Хо значениях X оператор

D,(M = f'x[M М*)]	(23.3)

имеет непрерывный обратный

Г. (Л) = {f'x [X, х, (Л)]}-'.	(23.4)

Если определен оператор

r-K(V ОГ'-

то (см. § 20) однозначная неявная функция х = х.;:.(Х) (опреде-
ляемая уравнением (23.1)) является простым решением урав-
нения (23.1). В вырожденных случаях уравнение (23.1) может
иметь одно или несколько простых решений, может не иметь
простых решений и т. д. Например, скалярное уравнение

X3 — Х2х — Хх2+х3 = 0

имеет одно простое решение (х=—X) и одно непростое (х=Х).

Важной характеристикой простого решения х = х*(Х) яв-
ляется поведение функции (23.4) в окрестности точки Хо. В не-
вырожденном случае функция (23.4) определена и непрерывна

*) Простота изучаемых решений фактически играла определяющую роль
в большинстве работ по теории ветвления решений (начиная с работ
А. И. Некрасова и Н. Н. Назарова). Однако, лишь в работах А. Е. Гель-
мана [4, 5] для некоторых классов уравнений с аналитическими операторами
вводится и изучается понятие простого решения. Важные работы А. Е. Гель-
мана были отправными для ряда построений этого параграфа. В параграфе
приведены теоремы из статьи П. П. Забрейко и М. А. Красносельского [7].
в точке Zo; в вырожденных случаях норма функции (23.4) при
приближении к к точке Хо неограниченно возрастает. Доста-
точно полно поведение функции (23.4) в окрестности точки Хо
можно описать при помощи оценок вида

11Г.ДМ ||< а(Х -

(23.5)

где ст(у) положительна при у=#0. В качестве о(у) удобно брать
функции вида

o(v) =М ||v||-s,	(23.6)

где М и s — положительные постоянные. Более точно поведение
функции (23.4) можно оценивать при помощи семейства оценок

11Г,.(МСЛ	(fe=l, Z),	(23.7)

где Qi, Q2, .Qi— проекторы, удовлетворяющие условию
Q1 + Q2 + .. . + Qz=/, или даже семейства оценок

11Г,.(МЗь(М11<	^о)	(й=1, ...» Z).	(23.8)

Решение х=х.х.(Х) уравнения (23.1) называется изолирован-
ным, если существует такая положительная при ненулевых v
и непрерывная в нулевой точке функция со(у) (со(0) =0), что
уравнение (23.1) при достаточно близких к Хо значениях X в
шаре S[x* (X), со(Х— Хо)] имеет единственное решение х*(Х).
Несложные примеры показывают, что изолированное решение
не обязательно простое. Наоборот, каждое простое решение
уравнения (23.1) изолировано.

Пусть, действительно, х = х*(Х)—простое решение уравне-
ния (23.1), и пусть справедливо неравенство (23.5)- Так как
производная /' (Л, х) левой части уравнения (23.1) непрерывна
в точке {Хо, х0}, то справедливо неравенство

f'x (^. X)~f'x (\, х0) ||	х-х0),	(23.9)

где % (у, А) (х(0, 0) = 0) — некоторая непрерывная в нуле функ-
ция. Пусть функция (01 (у) удовлетворяет условию

ст(v)х[v, со,(v)J<q< 1 (H-vIKa).

(23.10)

Из очевидного неравенства

||f (Л., x)-f[A,, х, (Л)] - f'x [Л, х.(Х)][х-хФ(Л)]||<

<|(№ (1-е)х + 0хДХ)] -ЛДЛ, хД%)])[х-х, (Л)]||,
где О<0< 1, при x€=S[x#(X), со(Х —Хо)] следует оценка

IIx)||>||f'[X, хДХ)] [х - хДХ)] || -

-1| {f'x [X, (1 - 0) х + е х, (Л)] - f'x [Л, х. (%)]} [х - xt (Л)] || >

> { Р (Л - Ло) - X [^- %> ©! (Л- VI }ll Х~Х, (Ч \\>

Из этой оценки вытекает, что при %gS[x.v.(X), coi (А, — Хо)] и
х=/=х*(Х) векторы f(X, х) отличны от нуля. Это и значит, что
решение х*(Х) изолированное.

Упражнение 23.1. Пусть x;i:(X)—простое решение уравнения (23.1).
Показать, что существует такая положительная при ненулевых v функ-
ция (о(у), что оператор

х) = х - Г, (X) f(K, х)
удовлетворяет при || X— Хо II г на шаре S [х* (X), со (X — Хо)] условию Лип-
шица с постоянной q(r), причем q(r) -> 0 при г -> 0.

Приведем теперь общую теорему существования простых ре-
шений. Будем предполагать, что нам задана некоторая непре-
рывная в точке Хо функция х0(Х) (хо(Хо)=хо), обладающая тем
свойством, что при всех близких к Хо и отличных от Хо значе-
ниях X линейный оператор

D0W = f'x[K x0W]

(23.11)

имеет непрерывный обратный

го(ч=0’ хоМ]Г-	(23.12)

Теорема 23.1. Пусть функция х0(Х) и оператор f(X, х)
удовлетворяют условию

1|Г0(Х)/[Х, х0 (X)] || < р (X - Хо),	(23.13)

где p(v) (р(0)=0) — непрерывная в нуле функция, и условию
||го (А) (£ [Л, х0 (Л) + h]-f'x [X, х0 (Л)]} || < ф (Л - Ло, II h II), (23.14)
где ср (v, t) (ср (v, 0) = 0) — возрастающая по t функция. Пусть
для некоторой непрерывной в нуле функции co(v) (со(0)=0)
справедливы соотношения

lim •Р < оо,	(23.15)

lim ср [v, с со (v)l = 0	(0<с<оо).	(23.16)

v->Q
Тогда существует такое ао^(О, а], что при AeS(X0, aQ) урав-
нение (23.1) имеет решение х*(Х), удовлетворяющее условию

Il ** W ~ Хо W || = О [о (Л — Хо)].	(23.17)

Функция x.}:.(Z) является простым решением уравнения (23.1),
причем

МтЖ-1- <23-18>

Доказательство. Пусть q — некоторое число из (0,1)
а с и aQ— такие положительные числа, что

p(v)<(l-q)cto(v), ср [v, с o(v)]<9 (II v||<a0).

Рассмотрим оператор

Г0(Х, х) = х-Г0(Х)/ДЛ, х).	(23.19)

Нетрудно видеть, что этот оператор дифференцируем по х,
причем

Т'ох(к х) = 1-Г0(К)f'x(K, х).

Из (23.14) следует, что

[^(Л, х)||<ф [А,-А,о, ||х — х0(Л)||].	(23.20)

При ?.е$ (А.о, а0) оператор (23.19) на шаре S [х0 (Л), с со (А,— А,о)]
удовлетворяет условию Липшица с постоянной q. Действительно,
при xb х2 е S [х0(Х), с о (А — А,о)] справедливо неравенство

где О<0< 1, из которого в силу (23.20) следует

II То(К, Х[) — Го (А,, х2)||<

<<р [Л -Ло, ||(1 - 6) Xj + 0х2-х0(%) ||]|| Xj -х2||<
< Ф [А, - А,о, с со (А, - А,о)] ||Xi - х21| < <?|| Xi - х21|.

Далее, из (23.13) вытекает оценка

II Го [А,, х0 (А,)] - х0 (А.) || = || Го (A,) f [А,, х0 (А,)] || < а (А, - Хо).

Поэтому при х е S [х0 (А,), с о (А, — Ло)]

||Г0(А., х) - х0 (А,) || <

< || Го (А,, х) - Го [X, х0 (А,)] || +1| Го [А,, х0 (А,)] - х0 (А.) Ц
< <71| х — х0 (А,) || + (1 — q) с <д (А, - А.о) с (о (А. - А,о),
Из проведенных рассуждений следует, что оператор (23.19)
при AeS(A0, я0) удовлетворяет на шаре S[x0(A,), с со (А— Ао)]
условиям принципа сжатых отображений. Следовательно, опе-
ратор (23.19) на каждом шаре S[x0(A,),	— Ао)] имеет един-

ственную неподвижную точку х*(А). Очевидно, функция х*(А)
является решением уравнения (23.1).

Из (23.20) следует, что

lim sup

X -> Хо х S [xq (X), с (о (X—X0)J

(23.21)



Так как

f'(A, х) = Г-1 (A) [z - Т'Ох (X, х)],

то операторы f'(A, х)(х €S[x0(X), ссо(А—Ао)]) имеют в силу (23.21)
непрерывные обратные, причем

х)]’’|| = (1+8)||ГО(Л)|| (xeS[x0U), с<о(А-Ло)]), (23.22)

где 8 -> 0 при А->А0. Из (23.22) следует, что решение х* (А)
является простым и что справедливо равенство (23.18).

Теорема доказана.

Упражнение 23.2. Показать, что утверждение теоремы 23.1 (исклю-
чая равенство (23.18)) останется верным, если соотношение (23.15) заменить
менее ограничительным соотношением

1	р__।

lim ф [у, со (у)] <---.

V-> 0	с

Упражнение 23.3. Пусть в условиях теоремы 23.1 выполнено более
сильное, чем (23.15), условие

lim Р# = 0.

v->0 ©(у)

Показать, что простое решение %* (X) в этом случае удовлетворяет более
сильному, чем (23.17), условию

II X* (А)-Хо (А) || = о [© (А — Ао)].

Условия теоремы 23.1 малообозримы. Приведем более част-
ное, но зато и более удобное для применений утверждение.

Теорема 23.2. Пусть выполнены условия

Ilf [A, XoW]||<Po(%-U	*23.23)

где ро (v) (р0 (0) = 0) непрерывна в нуле,



23.24)

и

f'x [ к х0 (А) + h] - f' [А, х0 (Л)] I < ф0 (X - НМ), (23.25)
где cp(v, t) (cp(v, 0)=0)—непрерывная в нулевой точке функ-
ция, возрастающая по I. Пусть для. некоторой непрерывной в ну-
левой точке функции co(v) (со(0)=0) выполняются условия

“ (2;1М>
v->0 сосу;

U

lim a (v) ф0 [v, с ©(v)] = 0	(0<с<оо).	(23.27)

v->0

Тогда справедливо утверждение теоремы 23.1.

Доказательство. Из (23.23) и (23.24) следует, что

II Го (X) f [X, х0 (Л)] || < а (X - Хо) р0 (X - Л^).

Поэтому выполнено условие (23.13), если положить
р (v) = а (v) Ро (v).

Далее, из (23.23) и (23.25) следует

I! Го W {/х *о W + h] - f'x [Л, х0 (X)]) || < о (Л - Хо) Фо (Л - Хо, || h ||).

Поэтому выполнено и условие (23.14), в котором

<p(v, /) = а (v) фо (v, /)•

Остается заметить, что из (23.26) следует (23.15), а из (23.27)
следует (23.16).

Таким образом, в условиях теоремы 23’2 выполнены условия
теоремы 23.1. Следовательно, справедливо и ее утверждение.

Теорема доказана.

Чаще всего правые части неравенств (23.23) — (23.25) имеют
вид

P(v) = Л7|| v ||г, о (v) = М П v Г, T(v, t) = c\\v\\nt.

В этом случае функцию co(v) можно определить равенством
© (v) = II V IIft.

Условие (23.26) при этом эквивалентно неравенству г — k,
а условие (23.27)—неравенству n + k—s>0. Эти неравенства
совместны, если

г + п > 2s, r>s;	(23.28)

при этом k можно определить равенством k = г— $.

Несмотря на чрезвычайно грубый характер теоремы 23.2,
ее удается в некотором смысле обратить. Именно, если х.»(Х) —
простое решение уравнения (23.1), то для асимптотических при-
ближений *о(М к х*(М достаточно высокого порядка выпол-
нены условия теоремы 23.2. Точнее, верна
Теорема 23.3. Пусть левая часть f(X, х) уравнения (23.1)
удовлетворяет неравенству

(23.29)
где ф(/) (ф(0)=0) непрерывна в нуле. Пусть х*(Х)—простое
решение уравнения (23.1).

Тогда существуют такие непрерывные в нулевой точке и по-
ложительные при ненулевых v функции co(v), coo(v), что для
любого асимптотического приближения Xo(Z) предпорядка (по
выполняются условия (23.23) — (23.25) теоремы 23.2, причем
правые части в неравенствах (23.23) — (23.25) удовлетворяют
условиям (23.26), (23.27).

Доказательство. Так как х.х. (Л)— простое решение, то
существует такая функция o*(v), что

№ хДА)])-'

Выберем функцию (o0(v) так, чтобы выполнялось условие

Ит о, (v) ©о (v) = 0

v->0

и чтобы при любом с>0 было справедливо равенство

lim a, (v) г|> [с о, (v) ©0 0)1 = 0.	(23.30)

v->0

Пусть %о(М—асимптотическое приближение к простому ре-
шению х.х.(£) предпорядка соо. Тогда

II f [X, х0 (Л)] || = || f [Л, х0 (X)] - f [Л, х# (Л)] || =

= О [ || х0 W - хДЛ) || ] = О [(о0 (% - Ml,
и, таким образом, условие (23.23) выполнено, если положить
po(v) =Cl(D0(v),

где С\ — некоторая постоянная. Далее, при любом h^E спра-
ведливо неравенство

II f'x [%, х0 (%)] h || > || Гх [*, W] Л || -1| (f'x [X, х* (X)] -f'x [Л, х0 (Л)]} h || >
> а ) - ЯПX. (Л) - Хо (Л) ||] II h II >

1 - а» (Х-Хр) г|) [cjCDp (Л,-Ар)] ц д ||

из которого в силу (23.30) вытекает, что
Таким образом, выполнено и условие (23.24), если положить
a (v) = с2а, (у),

где с2 — постоянная. Наконец, из (23.29) следует (23.25), в ко-
тором

<Po(v,

Положим теперь

<о (v) = a. (v) ©о (*)•

Тогда (23.26) выполнено очевидным образом, а (23.27) следует
из (23.30).

Теорема доказана.

Упражнение 23.4. Пусть Qi, ..., Qi — операторы проектирования,
удовлетворяющие условию Qi+...+Qz=/ (I — единичный оператор). Пусть

выполнены условия

II Qlf[K х0 (%)] II < pz (Л —Ло)

{£ [%, х0(Л)]}"* Qi I < (Л - Ло)

Qi (fx [*- *0 W + h]-f'x [X. ХО (X)]} || < <fi (X - Хо, IIЛII)

и для некоторой непрерывной в нулевой точке функции со (v)

отношения

lim
v-> о

Oj (у) f>i (v)

<0 (v)

00 0= 1...........0,

0=1.../),

0=1..... о,
0=1,...,/)

(со(0) =0) — со-

lim a (v) <р, [v, с со (v)] = 0

v->0	1

(f~l,	/).

Показать, что справедливо утверждение теоремы 23.1.

Упражнение 23.5. Определить все удовлетворяющие условию
х(/, 0) =0 простые решения х(/;Х) уравнения

2л

х (/) = (!+ X)

G (/, s) [х (s) + (3 х8 (s)] ds;

о

здесь G(t, s) —функция Грина задачи

х 4- 2х = 0, х (0) = х (2л) = 0.

Упражнение 23.6. Пусть выполнены условия теоремы 23.1 и, кроме
того, более сильное, чем (23.15), условие p(v) =o[co(v)]. Показать, что для
уравнения

Ф (X, и) = 0 (Ф (Хо, 0) = 0),
где

Ф (Х> = а(Л-Х0)	I*’ *о W]}’1 f [*. *о W + со (X - Хо) и],

выполнены условия классической теоремы о неявной функции (теоремы 20.1
или теоремы 1.7). Показать, что единственное решение и = и*(Х), удовлетво-
ряющее условию и(Хо)=О, этого уравнения определяет простое решение х* (Л)
уравнения (23.1) по формуле

х* (Л) = xQ (Л) + со (Л — Хо) и* (Л).

23.2.	Асимптотические приближения к простым решениям.
Теорема 23.3 указывает общий путь построения простых ре-
шений.

Если функция Хо(Х) является асимптотическим приближе-
нием некоторого порядка k к некоторому простому решению
х*(Х), то> очевидно, функция f [X, %о(Х)] будет асимптотическим
приближением к нулю того же порядка k. Обратное утвержде-
ние, конечно, неверно. Однако искать асимптотические прибли-
жения %о(М к простым решениям х.*(Х) (которые, может быть,
и не существуют!) нужно среди таких функций х0(М, что

f[X, х0 (X)] = о (|| X - Ло ||*)-	(23.31)

Такие функции можно искать, например, методом неопределен-
ных коэффициентов, которому посвящен п. 23.5.

Допустим, что нам повезло и мы нашли х0(Х), удовлетворяю-
щую условиям теоремы 23.1. Тогда в силу этой теоремы .г0(Х)
является асимптотическим приближением некоторого порядка
к неизвестному нам простому решению %*(Л).

Доказательство теоремы 23.1 основано на том, что это неиз-
вестное нам простое решение х*(Х) является неподвижной точ-
кой оператора (23.17), который удовлетворяет условиям прин-
ципа сжатых отображений на некотором переменном (завися-
щем от X) шаре, в котором лежит точка %о(Х). Из принципа
сжатых отображений вытекает, что простое решение х.х.(Х) яв-
ляется пределом последовательных приближений

Хп (X) =	(X) - Го (Л) f [Л, х„_! (X)] (п = 1, 2, ...). (23.32)

Упражнение 23.7. Оценить быстроту сходимости к простому реше-
нию последовательных приближений (23.32).

Формулы (23.32) можно (ср. п. 20.6 и п. 22.5) рассматривать
и как источник асимптотических приближений все более высо-
ких порядков к простому решению х*(Х).

Теорема 23.4. Пусть выполнены условия (23.13) — (23.16),
причем

<р [v, с со(v)] k (с) о0(v) (IMKJa, 0<с<оо). (23.33)

Тогда найденная по рекуррентным формулам (23.32) функ-
ция хп(Х) является асимптотическим приближением в точке Хо
к простому решению х*(Х) предпорядка со:

II (X) - х* (X) || = О {[(о0 - *о)Г со (X - Хо)}.	(23.34)
Доказательство. При доказательстве теоремы 23.1
было показано, что при X<=S(X0, а) оператор (23.19) на каждом
из шаров S [х0(Х), с со (Л, — Хо)] удовлетворяет условиям принципа
сжатых отображений. Поэтому последовательные приближения
(23.32) определены и справедливы оценки

МЛ)Н!хла)-х0(Л)11<*со(Л —Ло) (п= 1, 2, ...). (23.35)

Аналогично для простого решения х*(Х), к которому сходятся
последовательные приближения (23.32), справедливо неравен'
ство

14 (М = II ** W - *о W IK с со (X - Хо). (23.36)

Докажем теперь соотношения (23.34) по индукции. Допу-
стим, что они доказаны для приближений х0(Х), ..., xn_i(X).
Тогда из равенства

%п (^) %* (^) ~ Тq [X,	(X)] Tq [X, х* (X)]

и из оценки (23.20) следует

II *п (X) - х* (X) || <

< ср [X - Хо, || (1 - 0) хп (X) + 0 х* (X) - х0 (X) || ] || хпЧ (X) - х, (X) ||.

В силу (23.35) — (23.36) из последнего неравенства следует

|| х JX) - хДХ) || < ср [X - Хо, с со(X - Хо)]|| хпЧ (X) - хДХ) ||. (23.37)

По предположению

II xn-i (Л.) - х. (Л) II = О {[©о (X - МГ' ® (% - Ло)};

поэтому из (23.37) и (23.33) вытекает (23.34).

Теорема доказана.

Формулы (23.32) описывают модифицированный метод Нью-
тона — Канторовича приближенного построения простого реше-
ния х*(Х) уравнения (23.1). Для построения этого решения
х.ДХ) при начальном приближении х0(Х) может быть применен
и обычный метод Ньютона — Канторовича. Этот метод приво-
дит к последовательным приближениям

Хп = Xn-1 W “ {fx Xn-\ W]} f Xn-1 W]*	(23.38)

Сформулируем без доказательства утверждение о порядках
асимптотической близости приближений (23.38) к простому ре-
шению х*(Х).

Теорема 23.5. Пусть выполнены условие (23.13) и условия

Ю’ *о W]Г11<а- %о)’	(23.39)
где 0<б<1. Пусть со(Х) (ш(0)=0) —непрерывная в нуле функ-
ция , для которой выполнены условие (23.15) и условие

lim a(v)[co(v)]6 = 0.	(23.41)

v->0

Тогда найденная по рекуррентным формулам (23.38) функ-
ция хп(К) является асимптотическим приближением в точке Ло
(1+6)”—1

к простому решению х*(Х) предпорядка о 6	. со(1+6) :

Г	(i+d)”-i	Д

|| х„ (X) - х. (X) II = ОI [<Т (X - Хо)] 6	I® (X - ло)](1+ Ч • (23.42)

В частности, если

p(v) = A^||v||r, a (v) = М || v ||Л

причем гб > s, то в качестве co(v) можно взять функцию co(v) =
= ||v||r. Из теоремы 23.5 вытекает, что в этом случае функция
хп(Х) будет асимптотическим приближением к простому реше-
нию хДА,) предпорядка (1 + б)пг— [(1 + б)п— l]s6-1:

(1+6)”—1
||х^)-хД^)||=О U-M 6 J.

23.3.	Простые решения и уравнения разветвления. При оты-
скании простых решений иногда удобно переходить от уравне-
ния (23.1) к какому-либо эквивалентному. Если, в частности,
для уравнения (23.1) построено уравнение разветвления Ляпу-
нова (22.23) или уравнение разветвления Шмидта (22.28), то
можно искать простые решения этих уравнений разветвления.
Основанием для этого является теорема, которую мы приведем
без доказательства.

Теорема 23.6. Для того чтобы решение х = хДХ) уравне-
ния (23.1) было простым, необходимо и достаточно, чтобы соот-
ветствующее ему решение уравнения разветвления Ляпунова
или уравнения разветвления Шмидта было простым.

Как мы уже упоминали выше, для частного класса уравне-
ний (в других терминах) близкое понятие простого решения
было введено в интересных работах А. Е. Гельмана. Для рас-
сматриваемых им простых решений А. Е. Гельман доказал и
теорему 23.6. Доказательство теоремы 23.6 громоздкое, но по
идее совсем простое. Оно основано на вычислении по стандарт-
ным правилам дифференциального исчисления производных со-
ответствующих операторов на простых решениях.

Переход к уравнениям разветвления особенно удобен, если
уравнение разветвления скалярное или является системой п
уравнений с п неизвестными; в первом из этих случаев оценки
(23.15)	сводятся к оценке одной скалярной функции, а во вто-
ром — к оценкам определителей.

Упражнение 23.8. Пусть уравнение (23.1) имеет вид (22.18), при-
чем В нормально разрешим и имеет конечный ненулевой нетеровский индекс.
Показать, что уравнение (22.18) не имеет простых малых решений.

В заключение пункта отметим, что при проверке условий
теоремы 23.2 (при доказательстве неравенств (23.14) — (23.15))
вместо операторов / (Л, х) и /'(Л, х) достаточно знать их асимп-
тотические приближения соответствующих порядков. Это оче-
видное замечание особенно важно в том случае, если мы хотим
проверять простоту решений по уравнениям разветвления; мы
неоднократно подчеркивали, что при построении уравнения раз-
ветвления фактически могут быть выписаны лишь асимптоти-
ческие приближения левых частей этих уравнений.

23.4.	Почти-решения операторных уравнений. Продолжим
изучение уравнения (23.1). Функцию х(Л) назовем почти-реше-
нием уравнения (23.1) порядка со (предпорядка со), если

f [Л, х (Л)] = о [со (Л - Ло)] (f [Л, х (Л)] = О [со (Л - Ло)]). (23.43)

Здесь (o(v) —непрерывная в нуле функция, удовлетворяющая
условию (о(0)=0. Если co(v)=|v||\ где 0<й<оо, то говорят,
что х(Л) является почти-решением й-го порядка (или й-го пред-
порядка). Каждое решение х*(Л) уравнения (23.1) является,
очевидно, почти-решением любого порядка или предпорядка.
Асимптотическое приближение х(Л) к решению х*(Л) порядка
со является почти-решением уравнения (23.1) по крайней мере
того же порядка. Обратное, разумеется, неверно. Однако асимп-
тотические приближения к настоящим решениям естественно
искать среди почти-решений различных порядков. Основным
критерием того, что данное почти-решение Хо(Л) является
асимптотическим приближением к точному решению, является
теорема 23.1.

Следует отметить важный в приложениях факт: для построе-
ния почти-решений уравнения (23.1) не нужно знать сам опера-
тор f(k,x); достаточно знать асимптотическое приближение к
нему достаточно высокого порядка.

Для отыскания почти-решений уравнения (23.1) можно при-
менять различные методы. Общим методом построения почти-
решений конечных систем аналитических уравнений является
метод исключения (см. § 21). Напомним, что в случае, если си-
стема

fg(v, /?1.....Лл) = 0	(н= 1, ..... т)

(23.44)
грубая, то для построения ее решений нужно сначала решить
систему скалярных уравнений

Г ° (V, hr) = 0	(н = 1....mn-i)	(23.45)

т. е. (п—1)-ю систему исключения; затем, подставляя каждое
из найденных решений в (п — 2)-ю систему исключения, найти
вторые компоненты решений и т. д. до тех пор, пока не будут
найдены решения системы (23.44). Как уже отмечалось, основ-
ная трудность состоит в решении системы (23.45): ее решения
не могут быть найдены по конечному числу коэффициентов раз-
ложения в ряды левых частей. Тем не менее, применяя к уравне-
ниям этой системы диаграмму Ньютона, можно найти конечное
число ее почти-решений сколь угодно высокого порядка, затем
снова при помощи диаграммы Ньютона найти почти-решения
предыдущей системы исключения и т. д. до тех пор, пока не
определятся почти-решения системы (23.44).

Применяя изложенный выше метод построения почти-реше-
ний к какому-либо уравнению разветвления, можно определить
почти-решения уравнения (23.1). Следует иметь в виду, что
основанный на исключении метод построения почти-решений
требует громоздких вычислений. Существуют другие методы по-
строения почти-решений: метод неопределенных коэффициен-
тов, метод диаграммы Ньютона — Грейвса (см. Л. Грейвс [1]).
Мы остановимся лишь на методе неопределенных коэффициен-
тов, причем ограничимся уравнениями со скалярным парамет-
ром X.

23.5.	Метод неопределенных коэффициентов. В этом пункте
мы будем предполагать, что левая часть уравнения (23.1) имеет
в точке {Хо, х0} производные до порядка W. Это означает, что
оператор f (X, х) можно представить в виде

N

f ft, х) = 2 [V{, j (х - Хо)] (X - K0)J + <о ft, х),	(23.46)

i+/ = l

где	/)-формы, а ш(Х, x) —оператор, содержащий члены

более высокого, чем N, порядка малости:

<о(Х, х) = о(|Х-Х0Г + ||х-х0|Г).

Нас будут интересовать почти-решения Af-го порядка уравне-
ния (23.1).

Рассмотрим сначала вопрос об аналитических почти-реше-
ниях TV-го порядка уравнения (23.1). Если аналитическая в точ-
ке {Хо, х0} функция

xft) = 3czft-V

1=1
является почти-решением Af-ro порядка уравнения (23.1) то,
очевидно, функция

(^) = 2 Q (^ ~'

1 = 1

также будет почти-решением того же порядка. Поэтому анали-
тические почти-решения х(А,) уравнения (23.1) можно искать
в виде

N

Хо (А) = 2 W1,	(23.47)

1 = 1

где ц = К — Xq.

Для определения коэффициентов ..., cN подставим
(23.47) в оператор (23.46). В результате получим равенство

/ ЛГ \

f л. 2qhz =2 яш.

\	1=1	/	1=1

сг) р/+ о (|xz),

(23.48)

где

rz(c„ ..
очевидно,

где

(23.49)

&п + £. +2&„+ ... +lki = l 0 1	I

U 1 л»	ь

ЯШ, , с/) = У о, ici + Wi {сь ..., с^),	(23.50)



>,	V	с*\ c i-1

kQ+kx+2k2+ ... +(l-l)kl_l=l feo’fc]+ 4-1 1	Z1‘

(23.51)

Из этого равенства вытекает, что функция (23.47) является
почти-решением ?/-го порядка в том и только в том случае, ко-
гда выполняются Af равенств

..., cz) = 0	(/=1, ..., N).	(23.52)

Систему (23.52) будем называть системой Некрасова — На-
зарова порядка N. Таким образом, для определения коэффи-
циентов Ci, ..., cN почти-решения (23.47) мы имеем систему
(23.52) из Af уравнений. Формально система (23.52) носит ре-
куррентный характер: в первое уравнение системы (23.52) вхо-
дит лишь одно неизвестное во второе — неизвестные С\ и с2
и т. д. Поэтому может показаться, что неизвестные С\, с2, ...
могут быть определены последовательно одно за другим. Од-
нако это верно лишь в том случае, когда оператор Vo, j имеет
непрерывный обратный (см. § 20).

Упражнение 23.9. Пусть f (X, %) — скалярная аналитическая функция,
удовлетворяющая условию f(0, 0) =0. Пусть

f (0,0) = ...	(0,0) = о, №(0,0) 0.

XXX
Показать, что уравнение f(X, х) =0 имеет аналитические почти-решения по-
рядка 1 в том и только том случае, когда (0, 0) = 0. Показать, что урав-
нение f(l, х) =0 имеет аналитическое почти-решение порядка 2 лишь в одном
из следующих случаев:

a)	s =2, f'(0, 0) = 0;

б)	s > 2, /'(0, 0) = 0, /^(0, 0) Ф 0;

в)	s > 2,	(0, 0) =	(0, 0) =	(0, 0) = 0.

Найти необходимые и достаточные условия существования аналитических
почти-решений &-го порядка, где k — фиксированное целое число.

Рассмотрим систему (23.52) подробнее для случая, когда
оператор B = V0, i расщепляем (см. п. 22.2) и его нетеровский
индекс равен нулю. Отметим сразу же, что в этом случае си-
стема (23.52) может иметь континуумы решений. Тем самым
уравнение (23.1) будет иметь континуумы почти-решений /V-ro
порядка. Будем считать, что нам известно правильное матрич-
ное представление оператора В вида (22.16):

/ ° 0 \

в \0 В22/’

и пусть Ро, Р°, Qo, Q° — соответствующие операторы проектиро-
вания (Ро — проектор на подпространство нулей В, Р° = 1 — Ро,
Q° — проектор на область значений В, Qo = I — Q°). Рассмотрим
первое из уравнений системы (23.52); оно имеет вид

Vo,iC1 + V1,o = O.	(23.53)

Это уравнение имеет решение лишь в случае, если

QoV i,o = 0.

Если это условие выполнено, то уравнение (23.53) имеет беско-
нечное множество решений

й=-BaQVi.o + ai,	(23.54)

где а\ — произвольный элемент из подпространства Во нулей
оператора Vo, ь Таким образом, в рассматриваемом случае из
первого уравнения системы (23.52) первый коэффициент одно-
значно не определяется. Рассмотрим теперь второе из уравне-
ний системы (23.52), которое имеет вид

Vo, 1^2 + V 2, о + 2У1,1С1 + Vo, 2С1 = 0.	(23.55)

Чтобы это уравнение было разрешимо относительно сг, необхо-
димо, чтобы элемент Ci удовлетворял дополнительному условию

QoV2, о + 2QoV 1, ici + QoVo, 2^1 = 0
или, в силу (23.55), условию

{Qol/2,o-2QoVi,1B2,12Q(Vl,o+ QoPo,2 [B^QVi.o]2} +

4- {2QoVri, i^i — 2QqVq, 2 [^22 Q°Vi, o, fli]} + Qoi^o, 2(4 = 0. (23.56)

Элемент аь вообще говоря, из этого уравнения определяется.
Отметим, что уравнение (23.56) может и не иметь решений;
очевидно, в этом случае уравнение (23.1) не имеет аналитиче-
ских почти-решений порядка 2. Если уравнение (23.56) имеет
несколько решений, то тем самым несколько аналитических
почти-решений имеет и уравнение (23.1); подставляя каждое
из этих решений в (23.55), можно определить элемент С2’

с2 = — В22 (У 2, о + 2У1,1С1 + Уо, 2^1) + ^2,	(23.57)

где а2— произвольный элемент Ео.

Для определения а2 (и если оно не определилось одно-
значно из уравнения (23.56)) нужно подставить найденное вы-
ражение (23.57) для с2 в третье уравнение системы (23.52); из
условий разрешимости определяем а2, а затем находим и с3
(точнее, проекцию Р°с3) и т. д.

Описанная схема исследования уравнений (23.52) принадле-
жит А. И. Некрасову и Н. Н. Назарову, которые рассматри-
вали интегральные уравнения. Эта схема детально изучалась
многими авторами (ограничимся ссылкой на статьи К. Т. Ахме-
дова [1] и В. А. Треногина [1]).

Рассмотрим схему Некрасова — Назарова подробнее. С этой
целью введем обозначения

at = PQcb bt = PQct (Z=l, .... АГ).

Тогда каждое из уравнений

Wt(cj, .... cz) = 0

(23.58)

системы (23.52) можно записать в виде системы двух уравнений

+ &1»

^22^/ + QQWI (#1 + bb

..., ai-i + &/-i) — 0,

►

. . ., «/_! + &/-i) = 0. .

(23.59)

Второе из этих уравнений можно переписать в виде

bt = - B22Q°r( (ai + bh ..., ai-x + bt-x). (23.60)

Процедура Некрасова — Назарова исследования системы
(23.52) фактически заключается в том, что сначала, считая эле-
менты аь а2, ... известными, при помощи равенств (23.60) опре-
деляют элементы Ьь Ь2, ...:

&1 = SRi, &2 = ^2(^i)> •••>	=	..., tz/-i), ..., (23.61)
а затем определяют элементы а2, ... из последовательности
уравнений

Qo^/ki + ^i, •••> cli-\ + (ai, ...» а 7-2)] = О	(Z = 1, ...» AQ.

(23.62)

Систему (23.62) будем называть системой уравнений разветвле-
ния Некрасова — Назарова.

Переход от исследования уравнения (23.1) к исследованию
системы уравнений разветвления Некрасова — Назарова (23.62)
является существенным упрощением задачи об исследовании
аналитических почти-решений; во-первых, эта система является
конечномерной (а в случае одномерного вырождения — про-
сто скалярной); во-вторых, уравнения (23.62) при каждом
/= 1,2, ..., как нетрудно видеть, являются системой алгебраи-
ческих уравнений; в-третьих, левые части уравнений выписаны
в явном виде.

Представляет интерес вопрос о связи между уравнениями
разветвления, рассматривавшимися в п. 22.3, и уравнениями
разветвления Некрасова — Назарова. Здесь имеет место сле-
дующее утверждение, для интегральных уравнений установлен-
ное В. В. Покорным [2].

Теорема 23.7. Пусть <p(v, и) —левая часть уравнения раз-
ветвления Ляпунова (22.23), выведенного по правильному мат-
ричному представлению (22.16) оператора В=1/о, ь Пусть опера-
торы Дь Д2(й1),..., Дг(аь ..., tz;-i),... определены из равенства

/ АГ-1	\	W

ф V, 2 a;vz = 3 А/ («ь • • • > Oz-1) + Д. (v, аь ...» aN-i) vN,

\ 1=1	/ /=1

(23.63)
где

Д* (0,	• • • > &N-1) 0.

Тогда

ai-i) =

= Qoirz [й] +	.... zzZ-i + (fli, zzZ-2)]. (23.64)

Доказательство предоставляем читателю.

Теорема 23.7 означает, что уравнения разветвления Некрасо-
ва— Назарова совпадают с уравнениями Некрасова — Назарова
для уравнения разветвления Ляпунова.

Переход от (23.52) к конечномерным системам можно произ-
вести и иначе. Пусть С — оператор (22.31). Тогда каждое из
уравнений (23.58) системы (23.52) равносильно системе

о

(В + С) ct + Wt (cb .... с^) = ft, Cct = fb (23.65)
где fi — новое неизвестное из Fq. Из (23.65) вытекает равенство

1 0	1

c^tB + cy'w^,..., cH)+c04fz.

(23.66)

Поэтому элементы clf С2,... можно выразить последовательно
через элементы ... , т. е.

Q = ^(A, .... Л) (Z = l, ...,JV),	(23.67)

причем
о	.

(fp ..., fz) = Мр ..., f^) + С'Х (23.68)

Для определения элементов /ь/г, ••• нужно воспользоваться
уравнениями (23.65), в которые вместо q подставлены функции
(23.67). В результате мы приходим к системе

о

СЗД, Л-1) = 0	(/ = 1, 2, ..., N).	(23.69)

Эту систему также естественно называть уравнениями развет-
вления.

Справедливо аналогичное теореме 23.7 утверждение:

Теорема 23.8. Пусть ф (v, f) — левая часть уравнения раз-
ветвления Шмидта (22.28), выведенного по оператору (22.30).
Пусть операторы Vb V2(/i)> • • •» ^v(/i, • • •, Azv-i) определены из
равенства

/ JV-1	\	N

•ф V, =2vz(fb ..., /ahi)+ v.(v, h, ....	(23.70)

\ / = 1	/	Z=1

где

V.(O, А.....fJV-I) = 0.

Тогда

...» Л-1) = СВД, ...» Лч) (Z=l, 2,	N). (23.71)

Теорема 23.8 означает, что уравнения разветвления (23.69)
совпадают с уравнениями Некрасова — Назарова для уравнения
разветвления Шмидта.

Упражнение 23.10. Показать, что решения ..., системы
(23.62) и решения ..., fy-i системы (23.69) связаны равенствами

$0_ р 0	$0	__ р 0

/1 — Go“l’ • • •> lN-\ ~ и0аЛМ-

Переход от уравнений Некрасова — Назарова (23.52) к урав-
нениям разветвления приводит нас к необходимости исследова-
ния конечных систем (23.62) или (23.69). Такое исследование
сравнительно просто, если подпространство нулей оператора В =
= Vo,i одномерно: в этом случае каждое из уравнений (23.62)
(или уравнений (23.69)) скалярное. Приведем здесь одно ча-
стное утверждение о системах Некрасова — Назарова конечно-
мерных уравнений, которое позволяет исследовать системы
(23.62) и (23.69) в основных случаях.

Итак, рассмотрим конечную систему

g(v, ft) = 0,

(23.72)

где оператор g(y,h) дифференцируем в точке {0, 0} до по-
рядка N:

g(v, h)= 2 Zit j (ft) v‘ + <o (v, ft),	(23.73)

i+/=1

где Zi, ДА) есть /-форма, a co(v, A)—оператор, содержащий чле-
ны порядка малости выше N:

co(v, Zz) = о (| v ^4-IIA ID.

Будем предполагать, что Zo, i=0. Уравнения Некрасова — На-
зарова для системы (23.72) в этом случае будут иметь вид

Г/(йь ..., dM) = 0	(Z=l, 2, ..., AZ); (23.74)

операторы Г/(^ь ..., di-i) определяются из разложения

/ м-i	\	N

g V, 2<МИ = 2rz(di, .... dt-i) vl + Г. (v, di, .... djv-i)vw,

\ z=i	1 1=1

(23.75)
где ГД0, .... dw_1) = 0.

Систему (23.74) назовем нормальной, если существуют такие
числа Nq и k	A<AQ, что каждый из операторов

(ZJ>AZ0) не зависит от переменных d^k+ъ •••, d/-i и зависит
от переменной d^k. Число k назовем сдвигом системы (23.74).
Пусть система (23.74) нормальная; ее решение d?, ...» d^-k назо-
вем невырожденным, если производная оператора ГN (db ..., dN_k)
по du-k в точке (d?, ..., djv-4 является невырожденным опе-
ратором (т. е. если отличен от нуля определитель матрицы
частных производных операторов Fjv(di, .,,, dn-k) по перемен-
ным dN-h в точке (d?, ..., d^-fc}).

Пусть система (23.74) нормальная и d?, ..., d^-k — ее невы-
рожденное решение. Рассмотрим уравнение

.... d'h-k-i, х) + Г*(у, d°i, ..., d-N-ii-i, z, 0.0) = 0.

(23.76)
Пусть z'~ z(v)-—решение этого уравнения, удовлетворяющее уо
ловию г(0) =с/д._&. Тогда из (23.75) следует; что	.......

h(y)~tfiv +	. + d^ivN~k'1 + z (v)V‘* ‘  (23,77)

— решение уравнения (23,72).

Допустим, что оператор Г* (у, dh ..., d^-л-ь dN_h, 0, .. м 0)
гладкий по переменной в том смысле, что

||Г*(у, d?, ..., d^-i, zi, 0, ..., О)-

-rjv.d?, ..., 4-W.Z2, О, .... 0)|<<7(v)||zi-z2||, (23.78)

где q(v) (*7(0) =0)—непрерывная в нуле функция (предоста*
вляем читателю показать, что это условие следует из неравенства

II <o(v, Л,)-<d(v, /12)||<^(у /Ж-М (|| II, ШКО,

где q(v, /) = o(|v|ft + th)). Тогда к уравнению (23.76) применима
классическая теорема о неявной функции (теорема 20.1), в силу
которой это уравнение определяет единственное решение z=z(v),
удовлетворяющее условию z(0) = d^k* ^ем самым невырожден-
ное решение di, ...» d^-k. нормальной системы (23.74) опреде-
ляет асмиптотическое приближение

ho (?) = d?v + ... + d°N-kvN~k	(23.79)

(N — k)-vo порядка к решению

A. (v) = Ао (v) + [z (v) - d°N-k] vN~k . (23.80)

уравнения (23.72). Решение (23.80) оказывается простым. Дей-
ствительно, из (23.75) следует

Sh [v> \ (v)]= vkfi + 0 (vfe)»

где Н— производная оператора r^(db..., dN-k) по dN-k в точ-
ке {d?, ..., dw-/J.TaK как оператор Н обратим то при малых v
оператор g'h [v, Л (v)] обратим.

Таким образом, мы пришли к следующему утверждению.

Теорема 23.9. Пусть система уравнений Некрасова — Наза-
рова N-го порядка для уравнения (23.72) является нормальной
системой сдвига k. Пусть di, d^-k— невырожденное реше-
ние системы Некрасова—Назарова, причем выполнено условие
(23.78).

Тогда уравнение (23.72) обладает единственным простым ре-
шением удовлетворяющим условию

II К (v) - hQ (v) II = о (V" ^),	(23.81)

где ho (v) = d?v + ... + du-kVN~k.
Упражнение 23.11. Пусть выполнены условия теоремы 23.9. Пусть
оператор g(v, h)—левая часть уравнения (23.72)—дифференцируем в нуле-
вой точке до порядка М>М. Показать, что операторы Гг (1>N) системы
Некрасова — Назарова Лй-го порядка удовлетворяют тождествам

Г/ (^1> • •• >	dN-k+\> • • • > di-k) = Hd-i-k + Y; (dN-k+l* • • •’

Выше мы рассматривали аналитические почти-решения урав-
нений. Как показывают результаты § 21, естественно ожидать,
что уравнения (23.1) обладают почти-решениями, являющимися
аналитической функцией от параметра ц=(Х — ?to)1/p, где р —
некоторое целое число. Отыскание таких почти-решений легко
можно свести к отысканию аналитических почти-решений. Для
этого достаточно в исходном уравнении перейти по формуле

Л = Л0 + нР	(23.82)

к новому параметру. В результате такой замены мы придем к
исследованию нового уравнения

ftp) (н> х) = 0,	(23.83)

где

f(P) (Н> х) = f(K0 +	х).

Недостатком этого метода является тот факт, что число р за-
ранее неизвестно.

23.6.	Уравнения с аналитическими операторами. В этом пунк-
те мы рассмотрим уравнение (23.1), левая часть которого
является аналитическим в точке {Хо, %о} оператором. Пусть

оо

ЦЛ, х) = 3 [Vm, „ (х - Хо)] (А - Ао)".	(23.84)

m+n= 1

Изложенный в п. 23.5 метод неопределенных коэффициентов
может быть применен для отыскания аналитических почти-реше-
ний любых порядков уравнения (23.1) с оператором (23.84).
Более того, этим методом можно искать все коэффициенты фор-
мальных решений

X (А) = х0 + 2 ct (А - A0)z	(23.85)

•	Z = 1

указанного уравнения. Для определения конечного числа коэф-
фициентов ряда (23.85) нужно пользоваться системой (23.52).
Количество уравнений в этой системе, конечно, зависит от того,
сколько коэффициентов ряда (23.85) нам нужно найти. Опреде-
ление всех коэффициентов решения (23.85) приводит к счетной
системе уравнений. Для получения этой системы нужно подста-
вить ряд (23.85) в оператор (23.84); далее нужно получившееся
разложение переразложить в ряд по целым степеням X — Хо:

/(*, X)»2F|(C!....

l-l

(23.86)

где

+ +2^пЧ* ...4-/^;=^/	0’ 1

V	л	ш	V

..., ckA (23.87)

(Z=l, 2, ...).

Наконец, нужно функции (23.87) приравнять нулю. Таким обра-
зом, коэффициенты Ci, С2,• решений (23.85) уравнения (23.1)
с оператором (23.84) должны удовлетворять системе

№z(cb cz) = 0	(/= 1, 2, ...),	(23.88)

которую естественно называть системой Некрасова — Назарова.

Система (23.88) нами уже изучалась в п. 20.8 для того слу-
чая, когда оператор Vo, i непрерывно обратим. Здесь (как и во
всех последних параграфах) рассматривается вырожденный слу-
чай. Для исследования системы Некрасова — Назарова в выро-
жденном случае можно перейти по описанной в п. 23.5 схеме к
уравнениям разветвления

Д/(аь ам) = 0 (Z = l, 2, ...)	(23.89)

или

VAh, .... Fm) = 0	(1=1,2,...),	(23.90)

которые в силу теорем 23.7 и 23.8 будут системами Некрасова —
Назарова для уравнений разветвления Ляпунова и Шмидта.

Допустим, что найдено некоторое решение системы (23.88).
Оно определяет формальный степенной ряд (23.85), который
является формальным решением уравнения (23.1). Возникает
естественный вопрос о том, сходится ли при малых X — Хо ряд
(23.85) к настоящему решению х(Х) уравнения (23.1). Этот во-
прос, по-видимому, нельзя еще считать исследованным до конца.

Ситуация совершенно проста, если вырождение одномерно.
Если бесконечная система (23.88) имеет конечное число реше-
ний, то определенные по этим решениям ряды (23.85) сходятся
при малых X — Хо к решениям уравнения (23.1). Если же (23.88)
имеет бесконечное число решений, то среди них есть и такие,
которые определяют ряды (23.85), сходящиеся лишь при Х = Хо.
Недавно П. П. Забрейко и Б. П. Кац выяснили, что все эти
факты верны и в случае двумерного вырождения; менее полные
результаты получены ими для случая многомерных вырождений.

В многомерном случае для исследования формального решения
(23.85), полученного методом неопределенных коэффициентов,
.можно рекомендовать два основных приема. Первый из них
основан на теоремах 23.1 и 23.2 о простых решениях. Если ис»
следование конечного отрезка

Ко

х0(Х) = ХО + 2 а (X - Х0)г	(23.91)

Z = 1

ряда (23.85) позволяет убедиться в том, что этот отрезок яв-
ляется асимптотическим . приближением соответствующего по-
рядка к некоторому простому решению х.х.(Л), то можно утвер-
ждать, что ряд (23.85) сходится к этому простому решению при
малых X — Ло- Второй прием основан на построении для (23.85)
мажорантных числовых рядов. За недостатком места мы не
останавливаемся здесь на описании этих мажорантных рядов.
Мажорантные ряды конструировались многими авторами, начи-
ная с Ляпунова и Шмидта. Отметим здесь также статью
К- Т. Ахмедова [1] (в ней, по-видимому впервые, рассматри-
ваются проблемы мажорантных рядов для операторных уравне-
-ний). Наиболее тонкие и точные из известных авторам резуль-
татов принадлежат А. Е. Гельману [1—3]. Подчеркнем, что ме-
тод мажорантных рядов не только позволяет доказать сходи-
мость формальных решений (23.85) при малых Л — Ло; он одно-
временно дает оценку области, в которой ряд сходится. Иначе
говоря, метод мажорантных рядов дает оценку области, в которой
определено одно из решений уравнения (23.1)*).

Как было выяснено в §§ 21, 22, уравнения (23.1) с аналити-
ческой левой частью в вырожденных случаях имеют, как пра-
вило, решения вида

X (х) = ХО + 2 ct (X - Х0)'/р	(23.92)

/=1

(напомним, что Л — скалярный параметр). Отыскание решений
(23.92) легко свести к отысканию решений, разлагающихся в
ряд по целым степеням, если положить

% —Л0 = рА	(23.93)

Поэтому все изложенные выше соображения об отыскании реше-
ний (23.85) методом неопределенных коэффициентов относятся
и к случаю, когда ищутся решения вида (23.92).

*) Отметим, что и другие изложенные в этой главе методы исследова-
ния малых решений легко дополнить оценками областей определения этих
малых решений. Проблема получения возможно более точных (а может быть,
и неулучшаемых) оценок областей определения малых решений почти не
изучена.
Радиксы р решений (23.92) наиболее часто ищутся методом
последовательных проб: сначала пытаются найти решения, раз-
лагающиеся в ряды по целым степеням X — Хо, затем разлагаю-
щиеся по степеням (X — Хо),/2 и т. д. Вопрос об оценке возмож-
ных радиксов р нами уже обсуждался. Отметим лишь, что в слу-
чае комплексных пространств оценкой радикса р может служить
индекс особой точки xQ векторного поля f (Хо, %), если эта особая
точка изолирована; получение таких оценок выходит за рамки
настоящей книги.

§ 24.	Задача о точках бифуркации

24.1.	Постановка задачи. В этом параграфе рассматривается
одна специальная задача о малых решениях, играющая важную
роль во многих приложениях.

Пусть действующий в вещественном банаховом простран-
стве Е оператор Л (Л, х) (X— вещественный параметр) удовле-
творяет условию

Д(Х, 0)==0,	(24.1)

где 0—нуль пространства Е. Тогда уравнение

х=Л(Х, х)	(24.2)

при всех X имеет нулевое решение 0. Для простоты мы считаем,
что X может принимать все вещественные значения (приводимые
ниже рассуждения относятся и к случаю, когда X может прини-
мать значения лишь из некоторого конечного промежутка). От-
метим также, что в приводимых ниже рассуждениях используют-
ся значения оператора Л (X, х) лишь на некотором шаре ||х||-Ср.

Число Хо называется бифуркационным значением пара-
метра X или точкой бифуркации*) уравнения (24.2), если ка-
ждому е > 0 соответствует по крайней мере одно такое значе-
ние X из промежутка [Хо — е, Хо + е], при котором уравнение
(24.2) имеет по крайней мере одно ненулевое решение в шаре
Ы <8.

К уравнениям вида (24.2) приводятся различные задачи о
формах потери устойчивости упругих систем — в этих задачах
точки бифуркации определяют так называемые критические на-
грузки. К уравнениям (24.2) сводятся и многие проблемы тео-
рии волн — здесь точки бифуркации определяют характеристики

*) Термин «точка бифуркации» применяется различными авторами в раз-
личных смыслах. В используемом здесь смысле этот термин введен
М. А. Красносельским. Ряд теорем о точках бифуркации и о различных
связанных с точками бифуркации задачах доказан в монографиях
М. А. Красносельского [8, 11].
потока, при которых происходит рождение волн. Число примеров
легко умножить.

Во всем параграфе будем считать, что оператор 4 (Л, х) имеет
вид

А (Л, х) = В (Л) х + Т (Л, х),	(24.3)

где В (к)—линейные непрерывные операторы, причем В (Л) по
норме операторов непрерывно зависит от Л, а оператор Г (Л, х)
содержит члены более высокого, чем первый, порядка малости
по переменной х, т. е.

II Г (Л, х) ||<©(|| х И; Ль Л2)	< Л < Л2)	(24.4)

и при фиксированных Ль Лг

lim а(|1 *||; Ла) = 0.	(24.5)

||х||->0	II

Теорема 24.1. Пусть 1 не принадлежит спектру линейного
оператора В(Л0).

Тогда Ло не является точкой бифуркации уравнения (24.2).

Доказательство тривиально. В предположении против-
ного существуют такие последовательности чисел Лп и ненуле-
вых элементов хпеЕ, что Лп->Ло, ||хп||-> 0 и

хп = В (Х„)хп + Т(Х„, хп) (п=1, 2, ...).

Последние равенства можно переписать в виде

хп = [/ - В (Хо)]’1 [В (Х„) - в (Хо)] хп + [I - В (Хо)]’1 Т (Л„, х„),

откуда

Мы пришли к противоречию, так как правая часть неравенства
при больших п сколь угодно мала.

Теорема доказана.

В силу теоремы 24.1 точки бифуркации нужно искать лишь
среди тех значений Ло, при которых 1 принадлежит спектру опе-
ратора В (Ло). Вопрос о том, как находить такие значения Ло,
здесь не обсуждается, это специальная и в общем случае очень
трудная проблема теории линейных операторов. Если В (Л)
имеет вид

В (Л) = ЛВ0	(24.6)

и если линейный оператор Во вполне непрерывен, то 1 является
точкой спектра (собственным значением) оператора В (Ло), если
Л"1—собственное значение оператора Во.
Упражнение 24.1. Построить вполне непрерывный оператор А (X, х) —
= КАх так, что 49 = 0, ненулевое вещественное число Цо— собственное зна-
чение линейного оператора Во=4'(0), но X0 = ]Aq1 не является точкой би-
фуркации уравнения (24.2).

.Если каким-либо способом найдено такое Хо, что 1 принадле-
жит спектру оператора В(Хо), то необходим дополнительный
анализ, чтобы выяснить, будет ли Хо точкой бифуркации. Этот
анализ в ряде случаев может быть проведен методами, изложен-
ными в § 22 и в § 23. Однако наличие дополнительной информа-
ции о существовании у уравнения (24.2) известного нам при всех
X решения существенно упрощает задачу и часто позволяет по-
лучить простой ответ и в тех случаях, когда изложенные в пре-
дыдущих параграфах методы становятся малообозримыми и
практически неприменимыми.

24.2.	Уравнения с вполне непрерывным оператором. Напом-
ним, что оператор А (X, х) называется вполне непрерывным, если
он непрерывен по совокупности переменных и если компактно
множество его значений на каждом ограниченном множестве
Хе[Х1,Хг], Цх||<Ср. Нулевая точка 0 в наших предположениях
является нулем вполне непрерывного векторного поля

Фхх = х — А (X, х).	(24.7)

Если эта точка является изолированным нулем поля (24.7) при
некотором фиксированном X, то определен ее индекс у(Х;0) (см.
§ И).

Лемма 24.1. Если число Хо не является точкой бифуркации,
то индекс у(Х; 0) постоянен при значениях X из некоторой окре-
стности числа Хо.

Доказательство. Так как Хо не является точкой бифур-
кации, то найдется такое 8, что в шаре ||х|| 4^8 нет нулевых ре-
шений уравнения (24.2) при Хе[Х0—8, Хо + е]. Отсюда вытекает,
что поля (24.7) при Хо — 8-С Х^ Хо+е гомотопны на сфере
||х|| = 8 друг другу. В силу леммы 14.3 (стр. 166) вращение полей
(24.7) на этой сфере.будет одинаково при Хо — 8^Х<До + е.
Остается заметить, что вращение на границе шара совпадает с
индексом нулевой точки, так как в остальных точках шара поле
не обращается в нуль.

Лемма доказана.

Из леммы 24.1 вытекает

Теорема 24.2. Пусть в каждой окрестности числа Хо можно
найти два таких значения Xi и Хг, что

у(Хь 0)	у(Х2, 0).	(24.8)

Тогда Хо — точка бифуркации уравнения (24.2).

Отметим два удобных в приложениях следствия теоремы 24.2.
Пусть 1—собственное значение оператора В(А0) кратности т.
Из общей теории возмущений линейных операторов (см., напри-
мер, Ф. Рисе и Б. Секефальви-Надь [1], Т. Като [1]) вытекает
тогда, что при близких к Хо значениях А оператор В (А) имеет
близкие к 1 собственные значения pi, us, сумма кратностей
которых равна т. Через л (А) обозначим сумму кратностей
близких к 1 вещественных и больших чем 1 собственных значе-
ний оператора В (А). Допустим, что при близких кА0, но отличных
от Ао значениях А число 1 не является собственным значением
оператора В (А). Тогда число (—1)Л(М будет одинаково при всех
близких к Ао и больших чем Ао значениях А; обозначим его че-
рез х+(Ао). Аналогично определяется число х_(Ао), как общее
значение (—1)я<х) при близких к Ао, но меньших чем Ао значе-
ниях А. Числа х+(Ао) и х”(Ао) могут быть найдены методами тео-
рии возмущений (отысканием собственных значений р,ь ..., ps и
определением их кратности). В частном важном случае, когда
оператор В (А) имеет вид (24.6) (например, если А (А, х) =АЛх),
очевидна формула

х+(Ао)х-(Ао) = (—1)т.	(24.9)

Теорема 24.3. Пусть 1—собственное значение оператора
В (Ко). Пусть определены числа х+(Ао), х"(Ао) и пусть

х+(А0) -х-(А0)= —1	(24.10)

(например, В (А) имеет вид (24.6) и собственное значение 1 опе-
ратора В (Ко) имеет нечетную кратность).

Тогда Ко—точка бифуркации уравнения (24.2).

Доказательство. Если 1 не является собственным зна-
чением оператора В(А), то индекс у(А, 0) нуля 0 определяется
(см. § 14) формулой

у(А, 0) = (-im	(24.11)

где р(А) — сумма кратностей вещественных собственных значе-
ний оператора В (А), больших чем 1.

Обозначим через Ро сумму кратностей собственных значе-
ний оператора В (Ко), больших чем 1. Тогда очевидно равенство

Р(А)=р0 + л(А) (mod 2).

Из этого равенства и из (24.11) вытекает, что
у(Аь 0)у(А2, 0) = х+(А0)‘ х"(А0),
если Ai и А2 близки к Ао, Ai < Ао и А2 > Ао. Поэтому из (24.10)
вытекает (24.8) и остается сослаться на теорему 24.2.

Теорема доказана.
Подчеркнем, что применения теоремы 24.3 требуют анализа
лишь линеаризованного уравнения, — в этом ее большое преиму-
щество.

Допустим, что равенство (24.10) не удалось доказать или что
х+(Хо) (Хо), но известно, что существуют такие сколь угодно
близкие к Хо значения X, при которых 1 не является собственным
значением оператора В(Х). Из (24.11) тогда вытекает, что в
любой окрестности Хо есть такие х значения X, при которых
|у(Х)| = 1. Поэтому условие (24.8) выполнено, если |у(Хо)|=#1.
Простейшие теоремы о вычислении индекса у(Хо) приведены в
§ 14; алгоритм сведения задачи о вычислении в общем случае
индекса у(Хо) к анализу конечномерных полей разработан в
статье П. П. Забрейко и М. А. Красносельского [2].

Упражнение 24.2. Пусть индекс у(Х, 0) равен у+ при всех близких
к Хо и больших чем Хо значениях X (пусть у(Х, 9) =у“ при всех близких
к Хо и меньших чем Хо значениях X). Показать, что уравнение (24.2) имеет
ненулевые малые решения при всех близких к Хо и больших (меньших) чем
Хо значениях X, если у(Хо) =/= Y+ (y(Xo) =/= Y”)-

24.3.	Использование уравнения разветвления. Теоремы из
п. 24.2 обобщаются на случай, когда представимый в виде (24.3)
оператор А (X, х) не обладает свойством полной непрерывности,
но непрерывный оператор Т(Х, х) удовлетворяет не только оцен-
ке (24.4), но и обладает естественной гладкостью:

||Т(Л, х)-Г(Л, z/)||< <7(р)||х-Z/II	||х||, llz/IKp),

где <?(р) = о(1), т. е.

lim q(p) = 0.

р->0

Отметим лишь один факт.

Пусть 1—изолированное собственное значение оператора
В(Хо) конечной кратности т. Допустим, что определены числа
х+(Хо) и х“(Хо) (так же, как в п. 24.2). Тогда сохраняет силу
утверждение теоремы 24.3. Для доказательства нужно перейти к
уравнению разветвления (после этого можно воспользоваться
теоремой 24.3, так как уравнение разветвления — это оператор-
ное уравнение в конечномерном пространстве).

Ряд более общих утверждений о точках бифуркации для
уравнений с достаточно гладкими операторами (без предполо-
жения об их полной непрерывности) доказан в статье П. П. За-
брейко, М. А. Красносельского и А. В. Покровского [1].

24.4.	Амплитудные кривые. При составлении операторного
уравнения, описывающего то или иное физическое явление, ка-
кой-либо реальный процесс и т. д., всегда приходится пренебре-
гать некоторыми сторонами явления, не учитывать несуществен-
ные, по мнению исследователя, связи, не обращать внимания на
«малые» силы... В связи с этим всегда важно знать, как ме-
няются решения операторных уравнений, если эти уравнения
слабо возмутить.

Упражнение 24.3. Пусть вполне непрерывный оператор А преобра-
зует шар ||х||^р в себя, и пусть А имеет в этом шаре единственную не-
подвижную точку х*, причем ||х*|| < р. Показать, что каждому е > 0 соот-
ветствует такое б > 0, что каждый вполне непрерывный оператор В, удо-
влетворяющий условию

\\Вх — Ах\\ <д (||х||<р),

имеет в шаре ||х|| ^р по крайней мере одну неподвижную точку, причем все

неподвижные точки х** оператора
||х* — х**|| < е.

удовлетворяют неравенству

В этом пункте мы попытаемся выяснить, что происходит с
точкой бифуркации при малом возмущении уравнения. Мы огра-
ничимся простейшим уравнением

x=KAx + eft	(24.12)

где Д0 = 0, f — фиксированный элемент, е — малый скалярный
параметр. Будем считать, что

Ах = Вх + Сь.х+ Тх,	(24.13)

где В — линейный непрерывный оператор, — однородная фор-
ма порядка k, Тх состоит из членов более высокого чем k по-
рядка малости.

< Пусть Xq1 —изолированное простое собственное значение опе-
ратора В, е0 — соответствующий этому собственному значению
нормированный собственный вектор:

ХоВ^о—-£о»	ll^oll—l’

(24.14)

Через I обозначим нормированный условием Z(e0) = l собствен-
ный функционал сопряженного оператора В*, отвечающий этому
же собственному значению Xg1: КоВ*1 = 1 или, что то же, М(Вх)=
= /(х) при х^Е. Линейный оператор

Р^х = I (х) е0	(х Е)	(24.15)

проектирует на одномерное подпространство Ео элементов teQ
(—оо < t < оо); оператор Р° = 1—Ро проектирует на подпростран-
ство Е°, инвариантное для В и такое, что сужение на Е° опера-
тора I — В имеет обратный Г°.

Введем, как и в предыдущих параграфах, обозначения Х =
= Xo + v, u — PqX, v = Pqx. Тогда уравнение (24.12) можно записать
в виде системы

0 = vu + (X0 + v)PQ[Ck(u A- v) + T (и + у)] + ePof,	(24.16)

v = Uo + v) Bv + (Xo + v) P° [Cfe (u + v) + T (и + и)] + sP7- (24.17)
Ниже предполагается, что элемент Pof отличен от нуля, — это
общий случай. Без ограничения общности тогда можно считать
выполненным равенство

Pof = eo,	(24.18)

так как в противном случае мы вместо параметра 8 ввели бы
новый скалярный параметр ei = e 1(f), Из (24.16) и (24.18) выте-
кает, что

8 = — v I (и) — (Ло + v) I [С* (и + v) + Т (и + и)].

Поэтому уравнение (24.12) эквивалентно системе, полученной
присоединением к (24.16) уравнения

v = (Ло + v) Bv — v I (и) PQf + (Ло + v) Р° [Cfc (и + v) + T (и + у)] —

-	(Ло + v) I [Ck (и + v) + Т (и + v)] PQf. (24.19)

Во всем пункте будем считать, что операторы С\ и Т обла-
дают естественной гладкостью:

|| Ckx + Тх - Cky -Ту\\^ qQrk~' || х - у ||	(|| х ||, || у ||<г <rQ).

(24.20)

Уравнение (24.19) можно записать в виде

y = r°(v)Q(v; u, v),	(24.21)

где r°(v) — обратный к сужению /— (Xo + v)5 на оператор и

Q (v; u, v) = - vZ (и) PQf + (Ло + v) Р° [С^ (u + v) + T(u + у)] —

-	(Ло + v) Z [Ck (и + v) + Т (и + и)] P°f. (24.22)

Из (24.20) вытекает неравенство

|| Q(v; и, th) - Q(v; и, у2)1К

< II Г° (v) || • | Ло + v | (|| Р° || +1| IН • || Р7 II)	|| - v21| (24.23)

(II u IK г; || ^! ||, || v2 ||=^г; г<г0)«

Так как при малых v

II Г° (v) II = || (7 - М ~ vB)’1 II = II ГО (7 - vfiro)-1|| <

II Г° || • || 1 + уВГ° + v2 (ВГ°)2 + ...||

II Г° ||

1 - | v | • || ВГ° || ’

то из (24.23) вытекает, что оператор r°(v)Q(v; и, у) на шаре
||у|Кг малого радиуса (при малых и и v) сжимающий — он
удовлетворяет условию Липшица со сколь угодно малой кон-
стантой. Из (24.20) вытекает оценка

l|r°(v) Q (v; и, e)|KI|ro(v)||.|v|.||Poni-l|/||-ll«ll +

+ 1 Ло + v|(||P°|l + ll/11-11P7II) <7oll« II*.
т. е. при малых v и малых и

II r°(v) Q (v; и, 6) || < а | v | • || и || + b \\и ||\	(24.24)

где а и b — постоянные. Поэтому при малых v и и оператор
F°(v)Q(v; и, у) оставляет инвариантным шар ||v||-О некоторого
фиксированного малого радиуса г. Из принципа сжатых отобра-
жений вытекает, что уравнение (24.21) (или, что то же, уравне-
ние (24.19)) можно разрешить относительно v. Решение

v = R (v, и)	(24.25)

однозначно при малых v и и. Из (24.24) вытекает справедли-
вость при малых v и и оценки

IIR (V, «)||< aol v I • II «11 + boll«IIs.	(24.26)

Так как уравнение (24.19) равносильно равенству (24.25), то
уравнение (24.12) эквивалентно системе, полученной присоеди-
нением к (24.16) равенства (24.25).

Подставляя (24.25) в правую часть (24.16), получим урав-
нение

0 = vu + (Z0-f- v)PQ{Ck[u +	и)] + Т [и +	ц)]} + ее0, (24.27)

из которого нужно определить проекцию u = PQx решения х урав-
нения (24.12), если, конечно, решение существует. Затем по фор-
муле (24.25) можно найти вторую проекцию v = P°x решения.

По существу, мы повторили вывод уравнения разветвления
для специального уравнения (24.12) с двумя параметрами К и е.

Из оценки (24.26) вытекает, что при малых v проекция и =
= PqX ненулевого решения х составляет основную часть этого
решения. Следовательно, общее описание всех малых решений
уравнения (24.12) можно получить по анализу одного уравнения
(24.27).

Если положить u = %eQ (или, что то же, £ = /(и)), то уравнение
(24.27) можно записать как скалярное уравнение:

0 = vg + (Ао + v) I {Ck [|е0+Я (v, ge0)] + Т [^0 + /? (v, ^0)]} + 8. (24.28)

Основную роль в дальнейших рассуждениях играет число

Xq I (С^о).

(24.29)

Мы будем считать, что оно отлично от нуля,— это общий случай.
Перепишем уравнение (24.28) в виде

0 =	+ AoXol* + е + <р (v, %),

(24.30)
где

ф (v, I) = xovgfe 4-

+ (A0+v)/{Cft[|e0+fl(v, geo)]-Cfc(^o)4-T[ge04-/?(v,geo)]}. (24.31)

Так как С\ —это однородная форма порядка k, то

II Скх - Ску || < <?! (|| х || + II у II )*'' II х - у ||.

II Ск [^о 4- R (V, ge0)] - Ск (ge0) || < qx [ | g | +1| R (v, ge0) Ilf"' II х - у ||

и, в силу (24.26),

II Ск [ge0 + R (v, ge0)l - Ск (ge0) || <

<<7. [(1 + aol v|)| g 14- М g |*Г‘ («ol v| • | g 14- Z>ol I Iй);

отсюда вытекает, что при малых v и g

II ск [ge0 4- R (V, ge0)] - Ск (ge0) II < <?2 (I v I • I g Iй 4-1 g |2Й-1). (24.32)

Оператор Т состоит из членов более высокого чем k порядка
малости. Пусть при малых х

II Гх1К<72и|Г'.

Тогда из (24.26) вытекает оценка

|| Т [ge0 + R (v, ge0)] II < <7г [ I & 14- а01 v | • | g | + b01 g |*]ft и

и, далее,

II т [ge0 4- R (v, ge0)] || < <7з (£) 1I Iй.

(24.33)

где ?з(£)->0 при g-> 0.

Из (24.32) и (24.33) вытекает, что при малых v и g функция
(24.31) допускает оценку

I ф(V. g) KI v |. |хо I • 11 Iй 4- <?2(l v I • | g |й + | g Г~')4- <7з(§) • I £ Iй.

Следовательно, уравнение (24.30) можно переписать в более
простой форме:

0 = vg4-МоВй[1+^(v, |)] + е,	(24.34)

где tp(v, е) удовлетворяет условию

lim ф (v, g) = 0.

v,£->0

(24.35)

При 8 = 0 уравнение (24.34) имеет очевидное нулевое реше-
ние £ = 0; при каждом малом % это уравнение имеет и ненулевое
решение	Поэтому Хо является точкой бифуркации.

Решения g = £(v; е) уравнения (24.34), рассматриваемые
как функции переменной v при различных фиксированных е,
называют амплитудными функциями, а их графики — амплитуд-
ными кривыми, так как их построению в теории нелинейных

колебаний уделяется большое внимание. Амплитудные функции,
конечно, неоднозначны.

Вид графиков амплитудных кривых g = g(v; е) показан на
рис. 24.1. Все эти графики для близкого случая (А вполне не-
прерывен, но нет предположений о гладкости оператора Т) ука-
заны в статье М. А. Красносельского [6].

Построение амплитудных кривых проводится по общему ре-
цепту, основная идея которого заключается в том, что ищется v
как функция от переменной %.

Из (24.34) вытекает равенство

О = v + у + U + Ш £)]•	(24.36)

В силу (24.35) при любом фиксированном и сколь угодно ма-*
лом б в некоторой фиксированной окрестности нулевой точки

-6<i|)(v, £)<6.

Построим две кривые

V,(|)= -f- Чхо(1 - 6Н4-',

S

которые при малых б «почти совпадают». Пусть

v+ (£) = max {V! (g), v2 (£)}, |
v_ (g) = min {v, (g), v2 (£)}. J

Графики этих функций также «почти совпадают» — они близки
к графику функции

Vo(g)=-f-W’1.	(24.38)

Очевидно, при v>v+(£) правая часть уравнения (24.36) поло-
жительна, а при	— отрицательна. Поэтому при каждом

малом | существует решение v(£) уравнения (24.36).

Упражнение 24.4. Показать, что в фиксированной малой окрестности
нуля функция v(g) (при малых однозначна.

График функции v(g) расположен между графиками функ-
ций (24.37). Поэтому он близок к графику функции (24.38). Со-
ответствующие графики изображены на рис. 24.1. Помнить эти
графики, конечно, не следует. Нужно лишь знать окончательное
правило: если число (24.29) отлично от нуля, то для построения
(с точностью до членов высших порядков малости) амплитуд-
ных кривых £ — £(v) нужно строить графики обратных функций
v = vo(£), определяемых формулой (24.38).

В заключение отметим, что уравнение (24.38) получается из
уравнения (24.12) совсем просто. Нужно искать малые (при
малых v и е) решения уравнения (24.12) в виде х = ^е0 из
уравнения

ё = (х0 + v) I [Д м + 81 (Г)

или, что то же, из уравнения

О = vg + М [С, (ge0)] + vl[Ck (|е0)] + (Хо + v) I [Т (ge0)l + 81 (f),
причем в этом уравнении нужно отбросить все члены высших
порядков малости. Получающееся после отбрасывания указан-
ных членов уравнение

О = + W (Cfee0) lk + 81 (f)

совпадает c (24.38).

Этот пункт написан в соответствии со статьей П. П. Забрей-
ко, М. А. Красносельского и А. В. Покровского [1].
Литература

Абрамов А. А.

1. Об одном способе ускорения итерационных процессов, ДАН СССР
74, № 6 (1950).

Айзенгендлер П. Г.

1. Некоторые вопросы теории ветвления решений нелинейных уравнений,
УМН 21, вып. 1 (1966).

Айзенгендлер П. Г., Вайнберг М. М.

1. Теория ветвления решений нелинейных уравнений в многомерном слу-
чае, ДАН СССР 163, № 3 (1965).

Александров П. С.

1. Комбинаторная топология, Гостехиздат, М., 1947.

Алексевич А., О р л и ч В. (А 1 е х i е w i с z А., О г 1 i с z W.)

1.	Analytic operations in real Banach spaces, Stud. Math. 14 (1953).
Альтман M. (Altman M.)

1.	On the approximate solution of non-linear functional equations, Bull.
Acad, polon. sci. 5, № 5 (1957).

2.	Concerning approximate solutions of non-linear functional equations,
Bull. Acad, polon. sci. 5, № 5 (1957).

3.	On the approximate solutions of operator equations in Hilbert space,
Bull. Acad, polon. sci. 5, № 6 (1957).

4.	Concerning the approximate solutions of operator equations in Hilbert
space, Bull. Acad, polon sci. 5, № 7 (1957).

5.	On the generalisation of Newton’s method, Bull. Acad, polon sci. 5,
№ 8 (1957).

Антоновский M. Я., Болтянский В. Г., Сарымсаков Т. А.

1.	Топологические полуполя, Ташкент, 1960.

2.	Метрические пространства над полуполями, Научн. тр. Таш. ГУ,
вып. 191 (1961).

3.	Конечномерные модули над полуполями, Научн. тр. Таш. ГУ, вып. 208
(1962).

4.	Топологические алгебры Буля, Ташкент, Изд-во АН УзССР, 1963.

А х и е з е р Н. И., Г л а з м а н И. М.

1. Теория линейных операторов в гильбертовом пространстве, «Наука»,
М., 1966.

Ахмедов К. Т.

1. Аналитический метод Некрасова — Назарова в нелинейном анализе,
УМН 12, вып. 4 (1957).

Банах С. (Banach S.)

1.	Uber homogene Polynome in L2, Studia Math. 7 (1938).

2.	Курс функщонального анал!зу, перев. с франц., Ки1в, 1948.

Бахтин И. А.

1.	Об одном классе уравнений с положительными операторами, ДАН
СССР 117, № 1 (1957).

2.	Об одном критерии нормальности конуса, Тр. семинара по функц.
анализу, вып. 6, Воронеж, 1958.
3.	Об одном классе положительных операторов, Тр. семинара по функц.
анализу, вып. 6, Воронеж, 1958.

4.	О нелинейных уравнениях с вогнутыми и равномерно вогнутыми опе-
раторами, ДАН СССР 126, № 1 (1959).

5.	Об одном классе нелинейных интегральных уравнений, Тр. семинара по
функц. анализу, вып. 3—4, Ростовск. н/Д. ун-т, Воронежск. ун-т, 1960.

6.	Об уравнениях с равномерно вогнутыми операторами, сб. «Функцио-
нальный анализ его применения», Изд-во АН АзербССР, Баку, 1961.

7.	Исследование уравнений с положительными операторами, Диссерта-
ция, ЛГУ, 1966.

Бахтин И. А., Красносельский М. А.

1.	К задаче о продольном изгибе стержня переменной жесткости, ДАН
СССР 105, № 4 (1955).

2.	К теории уравнений с вогнутыми операторами, ДАН СССР 123, № 1
(1956).

3.	Метод последовательных приближений в теории уравнений с вогну-
тыми операторами, СМЖ 2, № 3 (1961).

Безсмертных Г. А.

1.	Об одновременном отыскании двух собственных чисел самосопряжен-
ного оператора, ДАН СССР 128, № 6 (1959).

2.	О двух приближенных методах решения операторных уравнений в
гильбертовом пространстве, ДАН СССР 131, № 2 (1960).

3.	О поведении поправок в некоторых методах приближенного вычисле-
ния границ спектра самосопряженного оператора, ДАН СССР 136,
№ 6 (1961).

Березин И. С., Жидков Н. П.

1. Методы вычислений, тт. 1, 2, М., Физматгиз, 1959—1960.

Бертл Р. (В ar tie R. G.)

1. Singular points of functional equations, Trans. Amer. Math. Soc. 75,
№ 2 (1953).

Бирман M. UI.

1. Некоторые оценки для метода наискорейшего спуска, УМН 5, вып. 3
(1950).

2. О вычислении собственных чисел методом наискорейшего спуска, Уч.
зап. Ленингр. горного ин-та 27, вып. 1 (1952).

Бобров С. В.

1. Волшебный двурог, М., Детгиз, 1949.

Богорян О. К.

1. О сходимости невязки методов Бубнова — Галеркина и Ритца, ДАН
СССР 141, № 2 (1961).

Бонсалл Ф. (В о n s а 11 F.)

1. Linear operators in complete positive cones, Proc. London Math. Soc.
3, № 8 (1958).

Бохнер С., Мартин У. T.

1. Функции многих комплексных переменных, перев. с англ., ИЛ, 1951.
Б р а у д е р Ф. (В г о w d е г F. Е.)

1. Nonexpansive nonlinear operators in Banach space, Proc. Nat. Acad.
Sei. U.S.A. 54 (1965).

Браудер Ф., Петр и шин В. (Browder F. Е., Petryshyn W. V.)

1. The solution by iteration of nonlinear functional equations in Banach
spaces, Bull. Amer. Math. Soc. 72, № 3 (1966).

2. The solution by iteration of linear functional equations in Banach spa-
ces, Bull. Amer. Math. Soc. 72, № 3 (1966).

Бугаев H. B.

1. Различные применения начала наибольших и наименьших показате-
лей в теории алгебраических функций, Матем. сб. 14 (1888).
Бурбаки Н.

1.	Элементы математики. Функции действительного переменного, перев.
с франц., Физматгиз, 1965.

Вайнберг М. М.

1.	О сходимости процесса наискорейшего спуска для нелинейных урав-
нений, СМЖ 2, № 2 (1961).

Вайнберг М. М., Треногин В. А.

1.	Методы Ляпунова и Шмидта в теории нелинейных уравнений и их
дальнейшее развитие, УМН, 17, № 2 (1962).

2.	К теории неявных функций, УМН 17, № 5 (1962).

3.	К теории ветвления решений нелинейных уравнений, УМН 18, № 5
(1963).

Вайникко Г. М.

1.	Оценки погрешности метода Галеркина для линейного дифференци-
ального уравнения, Уч. зап. Тартуск. ун-та, 129 (1962).

2.	Некоторые оценки погрешности метода Бубнова—Галеркина. I.
Асимптотические оценки, Уч. зап. Тартуск. ун-та, 150 (1964).

3.	Некоторые оценки погрешности метода Бубнова—Галеркина. II.
Оценки и-го приближения, Уч. зап. Тартуск. ун-та, 150 (1964).

4.	Асимптотические оценки погрешности проекционных методов в про-
блеме собственных значений, Ж. вычисл. матем. и матем. физ. 4f
№ 3 (1964).

5.	Оценки погрешности метода Бубнова — Галеркина в проблеме соб-
ственных значений, Ж. вычисл. матем. и матем. физ. 5, № 4 (1965).

6.	О сходимости и устойчивости метода коллокации, Дифференц.
уравнения 1, № 2 (1965.)

7.	Необходимые и достаточные условия устойчивости метода Галерки-
на— Петрова, Уч. зап. Тартуск. ун-та, 177 (1965).

8.	К вопросу о сходимости метода Галеркина, Уч. зап. Тартуск. ун-та,
177 (1965).

9.	О сходимости метода коллокации для нелинейных дифференциаль-
ных уравнений, Ж. вычисл. матем. и матем. физ. 6, № 1 (1966).

10.	О быстроте сходимости некоторых приближенных методов типа Га-
леркина в проблеме собственных значений, Изв. вузов, Математика.
№ 2 (1966).

11.	Возмущенный метод Галеркина и общая теория приближенных ме-
тодов для нелинейных уравнений, Ж вычисл. матем. и матем. физ.
7, № 4 (1967).

12.	Об устойчивости метода Галеркина — Петрова для нелинейных урав-
нений, Проблемы матем. анализа сложных систем, вып. 1, Воронеж
(1967).

13.	О быстроте сходимости приближенных методов в проблеме соб-
ственных значений, Ж- вычисл. матем. и матем. физ. 7, № 5 (1967).

14.	О быстроте сходимости метода моментов для обыкновенных диффе-
ренциальных уравнений, СМЖ 9, № 1 (1968).

15.	О сходных операторах, ДАН СССР, 179, № 5 (1968).

16.	О связи между методами механических квадратур и конечных раз-
ностей, Ж- вычисл. матем. и матем. физ. 9, № 2 (1969).

17.	Компактная аппроксимация линейных вполне непрерывных операто-
ров операторами в факторпространствах, Уч. зап. Тартуск. ун-та, 220
(1968).

18.	Принцип компактной аппроксимации в теории приближенных мето-
дов, Ж. вычисл. матем. и матем. физ. 9, № 4 (1969).

19.	Об аппроксимации линейных и нелинейных операторов и приближен-
ном решении операторных уравнений, Докт. диссертация, Воронеж,
1969,
Вайникко Г. М, Дементьева А. М.

1. О быстроте сходимости метода механических квадратур в проблеме
собственных значений, Ж. вычисл. матем. и матем. физ. 8, № 5
(1968).

Вайникко Г. М., Уманский Ю. Б.

1. Правильные операторы. Функц. анализ и его приложения 2, № 2
(1968).

Ван дер Варден Б. Л. (Van der WaerdenB. L.)

1.	Einfuhrung in die algebraische Geometric, Berlin, 1938.

2.	Современная алгебра, тт. 1, 2, перев. с нем., Гостехиздат, 1947.

В е й л ь A. (W е i 1 А.)

1.	Foundations of algebraic geometry, New York, 1948.

Вертгейм Б. A.

1.	Об условиях применения метода Ньютона, ДАН СССР 110, № 5
(1956).

2.	О некоторых условиях сходимости метода Ньютона и о применении
метода к решению систем уравнений, Научн. тр. Пермск. горного
ин-та, сб. № 1 (1956).

3.	О некоторых методах приближенного решения нелинейных функцио-
нальных уравнений в пространствах Банаха, УМН 12, № 1 (1967).

В и а р д а Г.

1. Интегральные уравнения, ГТТИ, М., 1933.

Вишик М. И., Люстерник Л. А.

1.	Решение некоторых задач о возмущении в случае матриц и самосо-
пряженных и несамосопряженных дифференциальных уравнений, УМН
15, вып. 3 (1960).

Воробьев Ю. В.

1.	Операторные ортогональные многочлены и приближенные методы
определения спектра линейных ограниченных операторов, УМН 9,
вып. 1 (1954).

2.	Применение операторных ортогональных многочленов к решению не-
однородных линейных уравнений, УМН 10, вып. 1 (1955).

3.	Метод моментов в прикладной математике, Физматгиз, 1958.

В у л и х Б. 3.

1.	Введение в теорию полуупорядоченных пространств, Физматгиз, 1961.
Гавурин М. К.

1.	Применение полиномов наилучшего приближения для улучшения схо-
димости итерационных процессов, УМН 5, вып. 3 (1950).

2.	Аналитические методы исследования нелинейных функциональных пре-
образований, Уч. зап. ЛГУ, серия матем., 19 (1950).

3.	Нелинейные функциональные уравнения и непрерывные аналоги ите-
ративных методов. Изв. вузов, Математика, № 5 (1958).

ГаммерштейнА. (Hammerstein А.)

1. Nichtlineare Integralgleichungen nebst Anwendungen, Acta Math. 54
(1930).

Г а й н ц Э. (H e i n z E.)

1. Beitrage zur storungen Theorie der Spektralzerlegung, Math. Ann. 123
(1951).

Г а н т м a x e p Ф. P.

1. Теория матриц, «Наука», 1966.

ГантмахерФ. Р., Крейн М. Г.

1.	Осцилляционные матрицы и ядра и малые колебания механических
систем, Гостехиздат, 1950.

Гельман А. Е.

1.	Метод малого параметра для операторных уравнений, ДАН СССР
123, Ко 5 (1958).
2.	Теоремы о неявных абстрактных функциях и вопросы устойчивости
для операторных уравнений, ДАН СССР 127, № 5 (1959)

3.	Теоремы о неявной абстрактной функции, ДАН СССР 132, № 3
(1960).

4.	Об аналитических решениях существенно нелинейных уравнений,
ДАН СССР 144, № 1 (1962).

5.	О простых решениях операторных уравнений в случае ветвления,
ДАН СССР 152, № 5 (1963).

6.	Об аналитических решениях одного класса операторных уравнений,
ДАН СССР 153, № 6 (1963).

Гильдебрандт Т., Грейвс Л. (Hildebrandt Т. Н., Gra-
ve s L. М.)

1. Implicit functions and their differentials in general analysis, Trans.
Amer. Math. Soc. 29 (1927).

Гончаров В. Л.

1. Теория интерполирования и приближения функций, Гостехиздат,
1954.

Гох б ер г И. Ц., Крейн М. Г.

1. Основные положения о дефектных числах, корневых числах и ин-
дексах линейных операторов, УМН 12, вып. 2 (1957).

Г р а в е Д. А.

1.	Элементы высшей алгебры, Киев, 1911.

2.	Трактат по алгебраическому анализу, ч. II, Киев, 1939.

Грейвс Л. (Graves L. М.)

1.	Remarks on singular points of functional equations, Trans. Amer.
Math. Soc. 79, № 1 (1955).

Гудович H. H.

1.	Об абстрактной схеме разностного метода, Ж- вычисл. матем. и ма-
тем. физ. 6, № 5 (1966).

2.	О сходимости двойственных методов, Тр. семинара по функц. ана-
лизу, вып. 10, Воронеж, 1968.

Г у р с а Э.

1. Курс математического анализа, тт. I—III, ГТТИ, 1933.
Давиденко Д. Ф.

1.	О применении метода вариации параметра к обращению матриц,
ДАН СССР 131, № 3 (1960).

2.	О применении метода вариации параметра к вычислению определи-
телей, ДАН СССР 131, № 4 (1960).

3.	Об одном методе численного решения систем нелинейных уравнений,
ДАН СССР 88, № 4 (1953).

4.	О приближенном решении систем нелинейных уравнений, Укр. матем.
ж. 5, № 2 (1953).

5.	О приложении метода вариации параметра к теории нелинейных
функциональных уравнений, Укр. матем. ж. 7, № 1 (1955).

6.	О применении метода вариации параметра к построению итерацион-
ных формул повышенной точности для определения численных реше-
ний нелинейных интегральных уравнений, ДАН СССР 162, № 3 (1965).

7.	О применении метода вариации параметра к построению итерацион-
ных формул повышенной точности для определения элементов обрат-
ной матрицы, ДАН СССР 162, № 4 (1965).

Данфорд Н., Шварц Дж. Т.

1.	Линейные операторы. Общая теория, перев. с англ., ИЛ, 1962.
Даугавет И. К-

1.	Применение общей теории приближенных методов к исследованию
сходимости метода Галеркина для некоторых граничных задач мате-
матической физики, ДАН СССР 98, № 6 (1954).
2.	О быстроте сходимости метода Галеркина для обыкновенных диф-
ференциальных уравнений, Изв. вузов, Математика, № 5 (1958).

3.	О методе моментов для обыкновенного дифференциального уравне-
ния, СМЖ 6, № 1 (1965).

Джишкариани А. В.

1.	Оценки погрешности метода Ритца для собственных значений и соб-
ственных функций дифференциального уравнения, Сообщ. АН
ГрузССР 25, № 1 (1960).

2.	Оценки погрешности метода Ритца для неоднородного дифференци-
ального уравнения, Сообщ. АН ГрузССР 25, № 3 (1960).

3.	О быстроте сходимости метода Бубнова — Галеркина, Ж. вычисл. ма-
тем. и матем. физ. 4, № 2 (1964).

Довбыш Л. Н.

1.	Устойчивость метода Ритца для задач спектральной теории операто-
ров, Тр. Матем. ин-та АН СССР 84 (1965).

2.	Устойчивость метода. Ритца для задач спектральной теории операто-
ров, Диссертация, Ленинград, 1965.

Е р у г и и Н. П.

1. Неявные функции, Изд-во ЛГУ, 1956.

Есаян А. Р.

1.	Об оценке спектра одного класса линейных операторов. Тр. семинара
по функц. анализу, вып. 7, Воронеж, 1963.

2.	Применение теории конусов к оценке спектра неположительных опе-
раторов, Диссертация, Воронеж, 1964.

3.	Об оценке спектра суммы положительных полукоммутирующих опе-
раторов, СМЖ 7, № 2 (1966).

Есаян А. Р., Сабиров Т.

1. О несовместности некоторых соотношений полуупорядоченности,
Докл. АН ТаджССР 6, № 4 (1963).

Есаян А. Р., С т е ц е н к о В. Я.

1.	Оценки спектра интегральных операторов и бесконечных матриц, ДАН
СССР 157, № 2 (1964).

2.	О сходимости последовательных приближений для уравнений второго
рода, Докл. АН ТаджССР 7, № 2 (1964).

3.	Оценки спектрального радиуса линейных операторов снизу, УМН 20,
вып. 5 (1965).

Забрейко П. П.

1.	О вычислении индекса Пуанкаре, ДАН СССР 145, № 5 (1962).

2.	Нелинейные интегральные операторы, Тр. семинара по функц. ана-
лизу, вып. 8, Воронеж, 1966.

Забрейко П. П., Красносельский М. А.

1.	О вычислении индекса изолированной неподвижной точки вполне не-
прерывного векторного поля, ДАН СССР 141, № 2 (1961).

2.	Вычисление индекса неподвижной точки векторного поля, СМЖ 5,
№3(1964).

3.	К теории неявных функций в банаховых пространствах, УМН 21,
вып. 3 (1966).

4.	Об уравнениях разветвления, Тр. семинара по функц. анализу, вып. 11
(Проблемы математического анализа сложных систем), Воронеж, 1968.

5.	Асимптотические приближения в теории неявных функций, Тр. семи-
нара по функц. анализу, вып. И (Проблемы математического анализа
сложных систем), Воронеж, 1968.

6	Об асимптотических приближениях в теории неявных функций, Тези-
сы докл. Конф, по применению функц. анализа, Баку, 1965.

7.	Простые решения операторных уравнений, Проблемы математического
анализа сложных систем, вып. 2, Воронеж, 1968.
Забрейко П. П., Красносельский М. А., Покровский А. В.

1. К задаче о точках бифуркации, Проблемы математического анализа
сложных систем, вып. 2, Воронеж, 1968.

Забрейко П. П., Красносельский М. А., Стецспко В. Я.

1. Об оценках спектрального радиуса линейных положительных опера-
торов, Матем. заметки 1, вып. 4 (1967).

Зарисский О., Самюэль П.

1. Коммутативная алгебра, тт. I, II, ИЛ, 1963.

Зинченко А. И.

1.	Про деяк! методи паближепого розв’язання р!впяпь з недифферен-
щйовними операторами, Докл. АН УССР, № 2 (1963).

2.	Об устойчивости одного метода приближенного решения уравнений
с недифференцируемыми операторами, Тр. семинара по функц. ана-
лизу, вып. 7, Воронеж, 1963.

Зубов В. И.

1.	К вопросу существования и приближенного представления неявных
функций, Вестник ЛГУ 19, № 4, серия матем., мех. и астр. (1956).

И г л и ш Р. (I g 1 i s с h R.)

1.	Zur Theorie der reellen Verzweigungen von Losungen nichtlinearer ln-
tegralgleichungen, Journ. rein, und angew. Math. 164, № 3 (1931).

2.	Zur Theorie der Schwingungen, Monatshefte fiir Math, und Phys. 37
(1930), 39 (1932), 42 (1935).

И л ь ф И. А., Петров E. П.

1. Собр. соч., Гослитиздат, т. 2, 1961.

ИмомназаровБ.

1. Об априорной оценке погрешности округления в методе последова-
тельных приближений, Докл. АН ТаджССР 8, № 11 (1965).

Имо м Назаров Б., Стеценко В. Я.

1.	О разрешимости уравнений второго рода и априорной оценке ошибок
округления в методе последовательных приближений, Тезисы докл.
Конф, по применению функц. анализа, Баку, 1965.

Канторович Л. В.

1.	О методе наискорейшего спуска, ДАН СССР 56, № 3 (1947).

2.	Функциональный анализ и прикладная математика, УМН 3, вып. 6
(1948).

3.	О методе Ньютона, Тр. Матем. ин-та им. Стеклова, 28 (1949).

4.	Принцип мажорант и метод Ньютона, ДАН СССР 76, № 1 (1951).

5.	Некоторые дальнейшие применения метода мажорант, ДАН СССР
80, № 6 (1951).

6.	Приближенное решение функциональных уравнений, УМН 11, вып. 6
(1956).

7.	Некоторые дальнейшие применения метода Ньютона, Вестник ЛГУ,
7, сер. матем., мех. и астр. вып. 2 (1957).

Канторович Л. В., Акилов Г. П.

1. Функциональный анализ в нормированных пространствах, Физматгиз,
1959.

Канторович Л. В., Вулих Б. 3., Пинскер А. Г.

1. Функциональный анализ в полуупорядоченных пространствах, Гос-
техиздат, 1950.

Канторович Л. В., Крылов В. И.

1. Приближенные методы высшего анализа, Физматгиз, 1962.

К а р л и н С. (К а г 1 i n S.)

1. Positive operators, J. Math. Meeh. 8 (1955).

Карпиловская Э. Б.

1.	О сходимости интерполяционного метода для обыкновенных диффе-
ренциальных уравнений, УМН 8, вып. 3 (1953).
2.	О сходимости метода коллокации, ДАН СССР 151, № 4 (1963).

3.	О сходимости метода коллокации для некоторых граничных задач
математической физики, СМЖ 4, № 3 (1963).

К а р т а н А.

1. Элементарная теория аналитических функций одного и нескольких
комплексных переменных, ИЛ, 1963.

Като Т.

1. On the perturbation theory of closed linear operators, J. Math. Soc.
Japan 4 (1952).

Качуровский P. И.

1. Нелинейные уравнения с монотонными и другими операторами, ДАН
СССР 173, № 3 (1967).

2. Нелинейные монотонные операторы в банаховых пространствах, УМН
23, вып. 2 (1968).

Келдыш М. В.

1.	О методе Б. Г. Галеркина для решения краевых задач, Изв. АН
СССР, сер. матем., 6 (1942).

Кивистик Л. А.

1.	О методе наискорейшего спуска для решения нелинейных уравнений,
Изв. АН ЭстССР, сер. физ.-матем. и техн, н., 9, № 2 (1960).

2	О некоторых итерационных методах для решения операторных урав-
нений в пространстве Гильберта, Изв. АН ЭстССР, сер. физ.-матем.
и техн, н., 9, № 3 (1960).

3.	Об одной модификации итерационного метода с минимальными не-
вязками для решения нелинейных операторных уравнений, ДАН
СССР 136, № 1 (1961).

К и р к В. (К i г k W. А.)

1.	A fixed point theorem for mappings which do not increase distance,
Amer. Math. Monthly 72 (1965).

Киш О. (Kis О.)

1.	О сходимости интерполяционного метода для дифференциальных и
интегральных уравнений, Magyar tud. acad. Mat. kutato int kozL 3,
№ 1—2 (1958).

2.	О сходимости метода совпадения, Acta Math., Acad, scient. Hung.,
17, № 3—4 (1966).

К о л л а т ц Л. (С о 11 a t z L.)

1.	Функциональный анализ и вычислительная математика, перев. с нем.,
«Мир», 1969.

Костарчук В. Н.

1.	Об одном методе решения систем линейных уравнений и отыскания
собственных векторов матриц, ДАН СССР 98, № 4 (1954).

2.	Метод нормальных хорд решения линейных операторных уравнений,
Тр. семинара по функц. анализу, вып. 3—4, Ростовск. н/Д. ун-т, Во-
ронежск. ун-т, 1960.

Костарчук В. Н., Пугачев Б. П.

1.	Точная оценка уменьшения погрешности на одном шаге метода наи-
скорейшего спуска, Тр. семинара по функц. анализу, вып. 2, Воронеж,
1956.

Кошелев А. И.

1.	Метод Ньютона и обобщенные решения нелинейных уравнений эллип-
тического типа, ДАН СССР 91, № 6 (1953).

Красносельский М. А.

1.	О дефектных числах замкнутых операторов, ДАН СССР 56
(1947).

2.	Сходимость метода Галеркина для нелинейных уравнений, ДАН
СССР 73, № 6 (1950),
3.	К задаче о точках бифуркации, ДАН СССР 79, № 3 (1951).

4.	Некоторые задачи нелинейного анализа, УМН 9, вып. 3 (1954).

5.	Два замечания о методе последовательных приближений, УМН 10,
вып. 1 (1955).

6	Об уравнении Некрасова из теории волн па поверхности тяжелой
жидкости, ДАН СССР 109, № 3 (1956).

7.	О некоторых приемах приближенного вычисления собственных значе-
ний и собственных векторов положительно определенной матрицы,
УМН 11, вып. 3 (1956).

8.	Топологические методы в теории нелинейных интегральных уравнений,
Гостехиздат, 1956.

9.	О применении методов функционального анализа к задачам о нели-
нейных колебаниях, Тр. 3-го Всесоюзн. матем. съезда, т. 3 (1958).

10.	О решении методом последовательных приближений уравнений с са-
мосопряженными операторами, УМН 15, вып. 3 (1961).

11.	Положительные решения операторных уравнений, Физматгиз, 1962.

12.	Оператор сдвига по траекториям дифференциальных уравнений,
«Наука», 1966.

13.	Об апостериорных оценках погрешности, ДАН СССР 178, №5 (1968).
Красносельский М. А., Забрейко П. П., П у с т ы л ь н и к Е. И.,
Соболевский П. Е.

1. Интегральные операторы в пространствах суммируемых функций,
«Наука», 1966.

Красносельский М. А., Крейн С. Г.

1.	Итерационный процесс с минимальными невязками, Матем. сб. 31(73)
(1952).

2.	Замечание о распределении ошибок при решении системы линейных
уравнений при помощи итерационного процесса, УМН 7, вып. 4 (1952).
Красносельский М. А., Ладыженский Л. А.

1. Структура спектра положительных неоднородных операторов, Тр.
Моск, матем. о-ва, 3 (1954).

Красносельский М. А., Перов А. И., Поволоцкий А. И.,
Забрейко П. П.

1. Векторные поля на плоскости, Физматгиз, 1963.

Красносельский М. А., Рутицкий Я. Б.

1.	Выпуклые функции и пространства Орлича, Физматгиз, 1958.

2.	О некоторых приближенных методах решения нелинейных оператор-
ных уравнений, основанных на линеаризации, ДАН СССР 141, № 4
(1961).

3.	О некоторых приближенных методах решения нелинейных оператор-
ных уравнений, Тр. 4-го Всесоюзн. матем. съезда, т. 2 (1964).

4.	О некоторых методах приближенного решения нелинейных оператор-
ных уравнений, Тр. семинара по функц. анализу, вып. 11 (Проблемы
математического анализа сложных систем), Воронеж, 1968.

Красносельский М. А., Соболевский П. Е.

1.	О неотрицательной собственной функции первой краевой задачи для
эллиптического уравнения, УМН 16, вып. 1 (1961).

Красносельский М. А., Стеценко В. Я.

1.	Замечания о методе Зейделя, Ж. вычисл. матем. и матем. физ. 9,
№ 1 (1969).

2.	К теории уравнений с вогнутыми операторами, СМЖ 10, № 3 (1969).
Красносельский М. А., Чечик В. А.

1. Об одной теореме Л. В. Канторовича, Тр. семинара по функц. ана-
лизу, вып. 3—4, Ростовск. н/Д. ун-т, Воронежск. ун-т, 1960.

Красовский П. Н.

1. Некоторые задачи теории устойчивости движения, Физматгиз, 1959.
Крейн М. Г., Красносельский М. А.

1.	Основные теоремы о расширении эрмитовых операторов и некоторые
их применения к теории ортогональных полиномов и проблеме мо-
ментов, УМН 2, вып. 3 (1947).

2.	Устойчивость индекса неограниченного оператора, Матем сб. 30, № 1
(1952).

Крейн М. Г., Красносельский М. А., Мильман Д. П.

1. О дефектных числах линейных операторов в банаховом пространстве
и о некоторых геометрических вопросах, Сб. трудов Ин-та матема-
тики АН УССР, № 11 (1948).

Крейн М. Г., Р у т м а н М. А.

1. Линейные операторы, оставляющие инвариантным конус в простран-
стве Банаха, УМН 3, вып. 1 (1948).

Крейн С. Г.

1. Линейные дифференциальные уравнения в банаховом пространстве,
«Наука», 1968.

Крейн С. Г., Прозоровская О. И.

1. Аналог метода Зейделя для операторных уравнений, Тр. семинара по
функц. анализу, вып. 5, Воронеж, 1957.

Кронин Дж. (Cronin J.)

1. Branch points of solutions of equations in Banach space, Trans. Amer.
Math. Soc. I, 69 (1950); II, 76 (1954).

2. Fixed points and topological degree in nonlinear analysis, Providence
Amer. Math. Soc., 1964.

Крылов H. M.

1. Избранные труды, тт. I—III, Киев, 1961.

Ку реп а Г. (Kure р a G.)

1. Tableaux ramifies d’ensembles, Espaces pseudodistancies, C. R. 198 (1934).
Курпель H. C.

1.	Проекционно-итеративные методы решения операторных уравнений,
«Наукова думка», Киев, 1968.

К у с а к и н И. А.

1.	О сходимости некоторых итерационных методов, Уч. зап. Азерб.
ун-та, сер. физ.-матем. н., № 6 (1965).

2.	Про зб!жшсть деяких метод!в наближенного розв’язання оператор-
них р!внянь, Докл. АН УССР, № 7 (1965).

Л а мео н К. (Lam son К.)

1. A general implicit function theorem with an application to problems
of relative minima, Amer. Journ. of Math. 42 (1920).

Ланцош К. (Lanczos C.)

1. An iteration method for the solution of the eigenvalue problem of li-
near differential and integral operators, J. Res. Nat. Bur. Standards
45, № 4 (1950).

Левин А. Ю.

1. О многоточечной краевой задаче, Канд, диссертация, Ленинград, 1962.
Левин А. Ю., Лифшиц Е. А.

1. К принципу обобщенного сжатия М. А. Красносельского, Проблемы
матем. анализа сложных систем, вып. 1, Воронежск. ГУ, 1967.

Левин А. Ю., С т р ы г и н В. В.

1. О быстроте сходимости метода Ньютона — Канторовича, УМН 17,
вып. 3 (1962).

ЛеманН. (L е h m а и п N. J.)

1. Eine Fehlerabschatzung zum Ritzschen Verfahren fiir inhomogene
Randwertaufgaben, Numer. Math. 2, № 2 (1960).

Лере Ж., Ш а у д e p Ю.

1. Топологи» и функциональные уравнения, УМН 1, вып. 3—4 (1946).
Л е ф ш е и С.

1. Геометрическая теория дифференциальных уравнений, ИЛ, 1961.
Лихтенштейн Л. (Lichtenstein L.)

1. Vorlesungen iiber einige Klassen nichtlinearer Integralgleichungen und
Integro-Differentialgleichungen nebst Anwendungen, Berlin, 1931.

Лозинский С. M.

1. Обратные функции, неявные функции и решения уравнений, Вестник
ЛГУ, № 7 (1957).

Лурье А. И., Чекмарев А. И.

1. Вынужденные колебания в нелинейной системе с характеристикой,
составленной из двух прямолинейных отрезков, Прикл. матем. и мех.
1, № 3 (1938).

Лучка А. Ю.

1. Теория и применение метода осреднения функциональных поправок,
Изд-во АН УССР, Киев, 1963.

Люстерник Л. А.

1. О сходимости при случайных начальных данных и накоплении оши-
бок итерационного процесса решения системы алгебраических урав-
нений, Вычисл. матем. и вычисл. техн. 1 (1953).

2. Замечания к численному решению краевых задач уравнения Лапласа
и вычислению собственных значений методом сеток, Тр. Матем. ин-та
АН СССР 20 (1947).

Люстерник Л. А., Соболев В. И.

1. Элементы функционального анализа, «Наука», 1965.

Ляпунов А. М.

1. Собр. соч., т. IV, Изд-во АН СССР, 1959.

Мазур С., О р л и ч В. (Mazur S., О г 1 i с z W.)

1. Grundlegende Eigenschaften der polynomischen Operationen. I, II,
Stud. Math. 5 (1934).

Mайкал А., Клиффорд A. (Michal A. D., Clifford A. H.)

1. Fonctions analytiques implicites dans les espaces vectoriels abstraits,
C. R. Acad. Sci., Paris, 197 (1933).

Маркушевич А. И.

1. Теория аналитических функций, Гостехиздат, 1950.

Марченко Н. В.

1.	Существование решений у некоторого класса нелинейных интеграль-
ных уравнений, ДАН СССР 137, № 3 (1961).

Меламед В. Б.

1.	О вычислении индекса неподвижной точки вполне непрерывного век-
торного поля, ДАН СССР 126, № 3 (1959).

2.	О вычислении вращения вполне непрерывного векторного поля в кри-
тическом случае, СМЖ 2, № 3 (1961).

3.	Об аналитических решениях некоторых нелинейных интегральных
уравнений, ДАН СССР 140, № 4 (1961).

4.	К задаче о ветвлении решений нелинейного аналитического уравне-
ния, ДАН СССР 145, № 3 (1962).

5.	О формальных решениях некоторых нелинейных уравнений, СМЖ 6,
№ 1 (1965).

Меламед В. Б., Перов А. И.

1.	Обобщение теоремы М. А. Красносельского о полной непрерывности
производной Фреше вполне непрерывного оператора, СМЖ 4, № 3
(1963).

Михлин С. Г.

1.	Некоторые достаточные условия сходимости метода Галеркина, Уч.
зап. ЛГУ, сер. матем. н., 135, вып. 21 (1950).

2.	Прямые методы в математической физике, Гостехиздат, 1950.
3.	Проблема минимума квадратичного функционала, Гостехиздат, 1952.

4.	По поводу метода Ритца, ДАН СССР 106, № 3 (1956).

5.	Вариационные методы в математической физике, Гостехиздат, 1957.

6.	Об устойчивости метода Ритца, ДАН СССР 135, № 1 (1960).

7.	Некоторые условия устойчивости метода Ритца, Вестник ЛГУ, № 13
(1961).

8.	Численная реализация вариационных методов, «Наука», 1966.
Мухамадиев Э.

1. К теории периодических вполне непрерывных векторных полей, УМН
22, вып. 2 (1967).

Мухамадиев Э., Покорный Ю. В.

1. О монотонных операторах с несколькими неподвижными точками,
Докл. АН ТаджССР 10, № 4 (1967).

Мухамадиев Э., Стеценко В. Я.

1. Принцип неподвижной точки в обобщенном метрическом простран-
стве, Изв. АН ТаджССР 10, № 4 (1969).

Мухтаров С. Н.

1. Об уравнениях с неразложимыми вогнутыми операторами, Докл. АН
ТаджССР 9, № 10 (1966).

М ы с о в с к и х И. П.

1. К вопросу о сходимости метода Ньютона, Тр. Матем. ин-та им. Стек-
лова, 28 (1949).

2. О сходимости метода Л. В. Канторовича для решения нелинейных
функциональных уравнений и его применениях, Вестник ЛГУ, № 11
(1953).

Назаров Н. Н.

1

1.	Исследование решения уравнения ф(х) =% f Г(х, у, q(y) )dy в окрест-
о

ности точки разветвления, Тр. Узб. филиала АН СССР 4, № 2 (1941).

2.	Нелинейные интегральные уравнения типа Гаммерштейна, Тр. САГУ
5, вып. 33, Ташкент (1941).

3.	Точки разветвления периодических решений нелинейных уравнений
теории колебаний, Тр. Узб. филиала АН СССР 4, № 2 (1941).

4.	Точки ветвления решений нелинейных интегральных уравнений, Тр.
ИМАН УзССР, вып. 4 (1948).

Натансон И. П.

1.	К теории приближенного решения уравнений, Уч. зап. Ленингр. гос.
пед. ин-та им. А. И. Герцена, 64 (1948).

2.	Конструктивная теория функций, Гостехиздат, 1951.

Некрасов А. И.

1.	О волнах установившегося вида, Изв. Ивановск. политехи ин-та 6
(1922).

2.	Точная теория волн установившегося вида на поверхности тяжелой
жидкости, Изд-во АН СССР, 1951.

Н и и р о Ф. (N i i г о F.)

1.	On indecomposable	operators in lp	(l<p<oo)	and	a	problem of

H. Schaefer, Scienc. Papers Coll. Gen. Educ. Univ. Tokyo 14, № 2 (1964).

2.	On indecomposable	operators in Lp	(1 <£<<*>)	and	a	problem of

H.	H. Schaefer, Scienc. Papers Coll. Gen. Educ. Univ. Tokyo 16, № 1
(1966).

О п я л 3. (О p i a 1 Z.)

1.	Weak convergence of the sequence of successive approximations for
nonexpansive mappings, Bull. Amer. Math. Soc. 73, № 4 (1967).

2.	Nonexpansive and monotone mappings in Banach spaces, Center for
dynamical systems, Brown University, 1967.
Панов Д. Ю.

1. О применении метода Б. Г. Галеркина для решения некоторых задач
теории упругости, Прикл. матем. и мех. 3, № 2 (1939).

Перов А. И.

1. О задаче Коши для системы обыкновенных дифференциальных урав-
нений, сб. «Приближенные методы решения дифференциальных урав-
нений», Киев, 1964.

Перов А. И., К и б е н к о А. В.

1. Об одном общем методе исследования краевых задач, Изв. АН СССР
30, № 2 (1966).

Петерсен И.

1.	О сходимости приближенных методов интерполяционного типа для
обыкновенных дифференциальных уравнений, Изв. АН ЭстССР, 1
(1961).

Покорный В. В.

1.	О сходимости формальных решений нелинейных интегральных урав-
нений, ДАН СССР 120, № 4 (1958).

2.	О двух аналитических методах в теории малых решений нелинейных
интегральных уравнений, ДАН СССР 133, № 5 (1960).

3.	Об аналитичности решений некоторых нелинейных уравнений, Тр. се-
минара по функц. анализу, вып. 2, Воронеж, 1956.

4.	О построении уравнения разветвления, Тр. семинара по функц. ана-
лизу, вып. 5, Воронеж, 1957.

Покорный В. В., Рыбин П. П.

1.	О стабилизации процесса отыскания формальных неявных функций,
УМН 15, вып. 4 (1960).

Покорный Ю. В.

1.	Про деяк1’ ознаки стиснення i розтягнення конуса, Докл. АН УССР,
№ 6 (1963).

2.	О В-положительных и В-монотонных операторах, Проблемы матем.
анализа сложных систем, вып. 1, ВГУ, 1967.

3.	О некоторых условиях существования решений у нелинейных опера-
торных уравнений в пространстве с конусом, Диссертация, Воронеж,
1957.

4.	О некоторых оценках функции Грина многоточечной краевой задачи,
Матем. заметки 3, вып. 5 (1968).

Польский Н. И.

1.	Про зб!жн1сть методу Б. Г. Гальоркша, Докл. АН УССР, № 6
(1949).

2.	О сходимости некоторых приближенных методов анализа, УМЖ 7,
№ 1 (1955).

3.	Метод Галеркина и его обоснование, Тр. 3-го Всесоюзн. матем. съез-
да, т. 1 (1956).

4.	Об одной общей схеме применения приближенных методов, ДАН
СССР 111, № 6 (1956).

5.	Про необх!дш i достатш умови зб1жносп одного узагальнення ме-
тоду Гальоркша, Научи, зап. Житомирск. пед. ин-та (1957).

6.	Проекционные методы в прикладной математике, ДАН СССР 143,
№ 4 (1962).

7.	Проекционные методы решения линейных задач, УМН 18, вып. 2
(1963).

Поляк Б. Т.

1. Градиентные методы решения уравнений и неравенств, Ж. вычисл.
матем. и матем. физ. 4, № 6 (1964).

Понтрягин Л. С.

1. Основы комбинаторной топологии, Гостехиздат, 1947.
Пугачев Б. П.

1.	О двух приемах приближенного вычисления собственных значений и
собственных векторов, ДАН СССР НО, № 3 (1956).

2.	Об одном способе одновременного вычисления двух границ спектра,
Тр. семинара по функц. анализу, вып. 5, Воронеж, 1957.

3.	К вопросу о быстроте сходимости метода нормальных хорд, Тр. се-
минара по функц. анализу, вып. 3—4, Ростовск. н/Д. ун-т, Воронежск.
ун-т, 1960.

4.	Исследование одного метода приближенного вычисления собственных
чисел и векторов, Тр. семинара по функц. анализу, вып. 3—4, Ро-
стовск. н/Д. ун-т, Воронежск. ун-т, 1960.

5.	Об ускорении сходимости итеративных процессов второй степени, Ж-
вычисл. матем. и матем. физ. 2, № 4 (1962).

6.	Замечания по обоснованию некоторых итерационных процессов, Ж.
вычисл. матем. и матем. физ. 2, № 5 (1962).

7.	О сходимости методов, локально близких к методу Ньютона —
Канторовича, Тр. семинара по функц. анализу, вып. 7, Воронеж,
1963.

П ю и з е В. (Р u i s е и х V.)

1. Recherches sur les fonctions algebraiques, J. math, pures et appl. 15
(1950).

Рисе Ф , Секефальви-Надь Б.

1. Лекции по функциональному анализу, перев. с франц., ИЛ, 1954.

Р ы б и н П. П.

1. О сходимости рядов, получаемых при решении нелинейных инте-
гральных уравнений, ДАН СССР 115, № 3 (1957).

2. Особые решения возмущенного линейного интегрального уравнения,
Вестник ЛГУ, 19 (1957).

Сабиров Т.

1. К вопросу о возмущении собственных значений и собственных век-
торов линейных операторов, Докл. АН ТаджССР 9, № 3 (1966).
Самадов К., Стеценко В. Я.

1. К оценке решений линейных операторных уравнений, ДАН Тадж.
ССР 11, № 3 (1968).

Сеге Г.

1. Ортогональные многочлены, перев. с англ., Физматгиз, 1962.
Секефальви-Надь Б. (S z. - N a g у В.)

1. Perturbations des transformations autoadjontes dans 1’espace de Hil-
bert, Comment. Math. Helv. 19 (1946—1947).

Смирнов В. И.

1.	Курс высшей математики, т. III, Гостехиздат, 1957.

2.	Курс высшей математики, т. V, Гостехиздат, 1959.

Смирнов Н. В.

1. Введение в теорию нелинейных интегральных уравнений, ОНТИ, 1936.
Соболев С. Л.

1. Некоторые применения функционального анализа в математической
физике, ЛГУ, 1950.

Соколов Ю. Д.

1. Метод осреднения функциональных поправок, «Наукова думка», Киев,
1967.

С т а п а н А. Э.

1. Разветвление решений нелинейных интегральных уравнений, Уч. зап.
Рижск. пед. ин-та, 4 (1957).

С т е й н М. (Stein М.)

1. Sufficient conditions for the convergence of Newton’s method in com-
plex Banach space, Proc. Amer. Math. Soc. 3 (1952).
Стеценко В. Я.

1.	Об оценке спектра некоторых классов линейных операторов, ДАН
СССР 157, № 5 (1964).

2.	Об одном способе оценки спектра линейного оператора, УМН 19,
вып. 2 (1964).

3.	Об одном итерационном методе отыскания спектрального радиуса
линейных положительных операторов, Матем. сб. 67, № 2 (1965).

4.	Критерии неразложимости линейных операторов, УМН 21, вып. 5 (1966).

5.	Об одном спектральном свойстве неразложимого оператора, УМН 22,
вып. 3 (1967).

6.	О спектральных свойствах неразложимых операторов, ДАН СССР 178,
№ 3 (1968).

7.	Об одном методе ускорения сходимости итерационных процессов, ДАН
СССР 178, № 5 (1968).

Стеценко В. Я-, Есаян А. Р.

1. К вопросу о приведении нормы оператора к спектральному радиусу,
Докл. АН ТаджССР 6, № 9 (1963).

Стеценко В. Я., ИмомназаровБ.

1. О существовании собственных векторов у нелинейных не вполне не-
прерывных операторов, СМЖ 8, № 1 (1967).

Стоун М. X. (Stone М. Н.)

1. Linear transformations in Hilbert space and their applications to ana-
lysis, New York, 1932.

Тамме Э. Э.

1. О неявных операторах, ДАН СССР 120, № 2 (1958).

Тейлор А. Е. (Taylor А. Е.)

1.	Analytic functions in general analysis, Ann. Rend. Scuola Norm. Sup.
Pisa 2, № 6 (1936).

2.	Analysis in complex Banach spaces, Bull. Amer. Math. Soc. 49
(1943).

Томпсон A. (Thompson A. C.)

1. On certain contraction mappings in a partially ordered vector spaces,
Proc. Amer. Math. Soc. 14, № 3 (1963).

Треногин В. A.

1.	Разветвление решений нелинейных уравнений в банаховом простран-
стве, УМН 13, вып. 4 (1958).

2.	О разветвлении решений нелинейных уравнений в аналитическом слу-
чае, Тр. Моск. физ.-тех. ин-та, вып. 3 (1959).

3.	Уравнение разветвления и диаграмма Ньютона, ДАН СССР 131, №5
(1960).

4.	Возмущение линейного уравнения малым нелинейным слагаемым,
ДАН СССР 140, № 2 (1961).

5.	Возмущение собственных значений и собственных элементов линей-
ных операторов, ДАН СССР 167, № 3 (1966).

Троицкая Е. А.

1. О собственных числах и собственных векторах вполне непрерывных
операторов, Изв. вузов, Математика, № 3 (1961).

Уокер Р.

1. Алгебраические кривые, перев. с англ., ИЛ, 1947.

У р ы с о н П. С.

1. Труды по топологии и другим областям математики, т. I, Гостехиз-
дат, 1951.

Фаддеева В. 11.

1. Вычислительные методы линейной алгебры, Гостехиздат, 1950.
Фаддеев Д. К-, Фаддеева В. Н.

}. Вычислительные методы линейной алгебры, Физматгиз, 1963.
Феньо И. (F е п у о I.)

1.	Ueber die Losung der im Banachschen Raume definierten nichtlinearen
Gleichungen, Acta math. Acad. Sci. Hung., № 1—2 (1954).

Фридман В. M.

1 Метод последовательных приближений для интегрального уравнения
Фредгольма 1-го рода, УМН 11, вып. 1 (1956).

2.	Об одном приближенном методе определения частот колебаний, сб.
«Колебания в турбомашинах», Изд-во АН СССР, 1956.

3.	Новые методы решения линейного операторного уравнения, ДАН
СССР 128, № 3 (1959).

4.	Итеративный процесс с минимальными ошибками для нелинейного
операторного уравнения, ДАН СССР 139, № 5 (1961).

5.	Метод минимальных итераций с минимальными ошибками для систе-
мы линейных алгебраических уравнений с симметрической матрицей,
Ж. вычисл. матем. и матем. физ. 2, № 2 (1962).

6.	О сходимости методов типа наискорейшего спуска, УМН 17, вып. 3
(1962).

Фукс Б. А.

1. Теория аналитических функций многих комплексных переменных,
Гостехиздат, 1948.

Фукс Б. А., Ш а б а т Б. В.

1. Функции комплексного переменного и некоторые их приложения, Физ-
матгиз, 1959.

Хилле Э., Филлипс Р.

1. Функциональный анализ и полугруппы, перев. с англ., ИЛ, 1963.
Ходж В., П и д о Д.

1. Методы алгебраической геометрии, тт. I—III, перев. с англ., ИЛ,
1952—1953.

Ц а а н е н A. (Z a a n е n А. С.)

1. Linear analysis, New York—Amsterdam, 1953.

Чеботарев H. Г.

1.	Многоугольник Ньютона и его роль в современном развитии матема-
тики, Сб. статей к 300-летию со дня рождения И. Ньютона, Изд-во
АН СССР, 1943.

2.	Теория алгебраических функций, Гостехиздат, 1948.

Шеффер Г. Г. (S с h а е f е г Н. Н.)

1. Spektraleigenschaften positiver linearer Operatoren, Math. Zeitschr. 82,
№ 4 (1963).

Ш м и д т Э. (Schmidt E.)

1. Zur Theorie linearen und nichtlinearen Integralgleichungen, 3. Theil,
Uber die Auflosung der nichtlinearen Integralgleichungen und Verz-
weigung ihrer Losungen, Math. Ann. 65 (1908).

Эдельштейн M. (Edelstein M.)

1. A remark on a theorem of M. A. Krasnoselski, Amer. Math. Monthly
73, № 5 (1966).

Я с к о в а Г. H., Яковлев М. Н.

1. Некоторые условия устойчивости метода Петрова — Галеркина, Тр.
Матем. ин-та им. Стеклова 66 (1962).
Предметный указатель

Амплитудные кривые 434
а-процесс 112
Асимптотическое приближение 319
----- уравнения 386

Базис 191

Вектор присоединенный 16

Векторное поле вполне непрерывное
169
----- линейное 170
-----невырожденное 169

Векторные поля гомотопные 166, 170

Вращение векторного поля 166

-------вполне непрерывного 170,
282

Высота звена ломаной Ньютона 342

— ряда 347

Гаусса лемма 332

Грама матрица 241

Грубые системы 366

Делитель 331

Дефектное число оператора 106

Диаграмма Ньютона 345

Дискриминант 338

Длина звена ломаной Ньютона 349

— ломаной Ньютона 349

Дорожка невырожденности 79

Дробная степень оператора 218

Звено ломаной Ньютона 349

Индекс изолированного решения 283

— неподвижной точки оператора 171
— нетеровский 377

Каноническое отображение (про-
странства в факторпространство)
210

Квазивнутренний элемент конуса 78

Кольца многочленов 332

— степенных рядов 339, 345, 346

Компактная аппроксимация 303

Конус (в банаховом пространстве)
45

—	воспроизводящий 76

—	вполне правильный 45

—	несплющенный 80

—	нормальный 49, 76

—	правильный 45

—	телесный 76

Конусный отрезок 45

Копыто 313

Корневой элемент 256

Кратность решения 353

—	ряда 354

—	собственного значения 256

Кратные множители 337

Ломаная Ньютона 348

Мажоранта оператора 49

Матричное представление оператора
378

Метод Бубнова — Галеркина 191

—	Галеркина 190

----с возмущениями 232, 277

—	Галеркина — Петрова 190

—	Зейделя 103

—	исключения 361

—	коллокации 205

—	конечных разностей 290

— механических квадратур 252

—	минимальных невязок 109

----ошибок 113

—	моментов 228

— наименьших квадратов 190

— наискорейшего спуска 113

— неопределенных коэффициентов 313

— нормальных хорд 123

— Ньютона — Канторовича 136

-------модифицированный 143

— ортогональных полухорд 127

---- хорд 127

— проекционный 189

Метрики эквивалентные 58

Минимальная последовательность
элементов 245
Минимизирующая последователь-
ность 9

Миноранта оператора 51

—	функции 171

Многочлен 308

—	неприводимый 333

—	от двух переменных 310

—	примитивный 332

Множество выпуклое 44

Моментов неравенство ПО, 112

Моменты линейного оператора ПО

Невырожденная система 365

Неравенство моментов НО, 112

Неразложимый элемент кольца 331

Несплющенность конуса 307

Норма полилинейного оператора 307
— эквивалентная 11

Область с однозначным разложением
331

—	целостности 331

Обратимые элементы кольца 331

Однородная форма (порядка k) 307

Оператор аналитический 309

—	вольтерров 27

— дифференцируемый (по Фреше)
19

—,— слабо (по Гато) 20

— квазивполне непрерывный 77

—	квазинильпотентный 27

—	/-нерастягивающий 96

—	монотонный 45

— нелинейный вполне непрерывный
53

—	неразложимый 78

—	нерастягивающий 67

— нормально разрешимый 377

— обобщенного сжатия 57

— полилинейный (^-линейный) 307

—	— симметричный 307

—	положительный 45

—	правильный 223

—	равномерно «о-вогнутый 66

—	равномерного сжатия 21

—	расщепляемый 377

— сдвига (по траекториям диффе-
ренциального уравнения) 47

—	сжатия 9

—	сжимающий 9

—	сильно положительный 77

—	слабо непрерывный 22

—	суперпозиции 21

—	Uo-вогнутый 53

—	«о-ограниченный сверху 78

—	ио-положительный 77

Операторы полукоммутирующие 75
— сходные 217

Опорный многочлен звена ломаной

Ньютона 349

Ортопроектор 190

Отрезок (в банаховом пространстве)
44

—	конусный 45

Оценка погрешности 162

Ошибка (в норме || ||0) 162

Подпространство корневое 256

—	собственное 256

Показатель звена ломаной Ньютона
349

Полуупорядоченность 45

Порядок вырождения ломаной Нью-
тона 349

— правильности ряда 340

------- по переменной 344

— формального степенного ряда 338

Последовательности координатные

190

Последовательность минимальная 245
— минимизирующая 9

—, монотонно возрастающая 45

—, ограниченная по норме 45

----- (сверху) 45

— подпространств предельно плот-
ная 191

— сильно минимальная 245

Почти-решение 413

Приведение многочлена 332

Принцип сжатых отображений 9

------- в метрических пространст-
вах 57

-------обобщенный 94

Проектор 189

Производная многочлена 337

— оператора 19

----- слабая (по Гато) 20

-----смешанная 310

Простой нуль оператора 142

Пространство обобщенное метриче-
ское 94

-----нормированное 94

—	равномерно выпуклое 69

—	строго выпуклое 69

—	Фридрихса 215

Радикс ряда 346, 362

Ранг системы 363

Раствор подпространств банахова
пространства 199

-----гильбертова пространства 195
Резольвента нелинейного оператора
24

Результант 335

Решение уравнения изолированное
403

----обобщенное 220

---- простое 403

Рог 313

Ряд Неймана 27

— правильный 340, 344

— сопряженный 346, 362

— степенной (формальный) 338.

— Штурма (обобщенный) 168

Система Некрасова — Назарова 418

—	результантов 335

Собственное значение линейного опе-

ратора 15, 256

—	подпространство 256

Собственный элемент 256

Содержание многочлена 332, 517

Составляющая конуса 60

Спектральный радиус линейного опе-
ратора 14

Степень многочлена 308

—	ряда 347

—	функции 358

Сублинейный функционал 94

Сходимость факториальная 28

Точка бифуркации 425

Указатель многочлена 342

Уравнение разветвления 375

-----Ляпунова 381

-----Шмидта 382

Условие аппроксимации 210

—	Гёльдера 139

—	Липшица 9

-----обобщенное 94

Устойчивость (метода Галсркиня

Петрова) 244

—	(факторметода) 210

Факторметод 210

Форма (k, т) -линейная 310

Формальный степенной ряд 338

Формула Тейлора 309

Формулы ускорения сходимости 36

Функционал сублинейный 94

Функция квазивогнутая 44

—	v-квазивогнутая 65

—	ослабленно непрерывная 22

—	усиленно непрерывная 22

Ядро оператора 377

—	равномерное 63
Красносельский Марк Александрович
Вайникко Геннадий Михайлович
Забрейко Петр Петрович
Рутицкий Яков Брониславович
Стеценко Владислав Яковлевич

ПРИБЛИЖЕННОЕ РЕШЕНИЕ
ОПЕРАТОРНЫХ УРАВНЕНИИ

М., 1969, 456 стр. с илл.

Редактор Г. А. Безсмертных

Техн, редактор С. Я. Шкляр
Корректор Т. С. Вайсберг

Сдано в набор 27/ХП 1968 г. Подписано к печати 2/VII 1969 г.

Бумага бОХЭО/*^. Физ. печ. л. 28,5. Условн. печ. л. 28,5.

Уч.-изд. л. 26,14. Тираж 12000 экз. Т-08960.

Цена книги 1 р. 85 к. Заказ № 1677.

Издательство «Наука»

Главная редакция
физико-математической литературы.
Москва В-71, Ленинский проспект, 15.

Ленинградская типография № 2 имени Евгении Соколовой
Главполиграфпрома Комитета по печати при Совете Министров СССР,
Измайловский проспект, 29.