Динамика подводной лодки. Часть 1 - Рождественский В.В.

Author: Рождественский В.В.
Tags: техника военно-морского флота военное кораблестроение военно-морские базы боевые корабли и прочие суда погруженные и плавающие тела транспорт гидромашины судостроение подводные лодки
Year: 1970
Similar
История отечественного судостроений Т.5. Судостроение в послевоенный период 1946-1991 гг
Яркий след крылатого метеорита
Гидродинамика баллистических ракет подводных лодок
Кавитация
Text
                    В.-В. РОЖДЕСТВЕНСКИЙ
и I
Экз. v4 3 S-.
ДИНАМИКА
ПОДВОДНОЙ лодки
Часть первая
Допущено Министерством высшего и среднего
специального образования СССР в качестве учебника для студентов
кораблестроительных вузов и факультетов
ИЗДАТЕЛЬСТВО «СУДОСТРОЕНИЕ»
Ленинград
1970
Всеволод Валериевич Рождественский
Р62 Динамика подводной лодки, Л., «Судостроение»,
970.
352 с.
Для студентов специальностей «Гидроаэродииамика» н «Судострое-
ние н судоремонт» кораблестроительных вузов и факультетов, аспи-
рантов, инженерно-технических работников конструкторских бюро и
институтов судостроительной промышленности.
Вопросы динамики ПЛ при ручном и автоматическом управлении
в погруженном положении. Силы, действующие на ПЛ, уравнения дви-
жения, методы их решения, критерии устойчивости и маневренности.
Автоматическая стабилизация кинематических параметров ПЛ, прин-
ципы действия автоматических систем управления движением,
УДК 623.827:532.3
1 «ft
Рецензенты Я. Я- Балицкий, Я. Т. Пугачев
Научный редактор Е. Б. Юдин Редакторы Н. П. Саяпина, И. А. Шайкевич
Технический редактор Ю. Н. Коровенке
Корректор А. Ф. Андрианова
Сдано в набор 25/ХП 1969 г. Подписано к печати 20/VII 1970 г. Формат бумаги бОхОО1/^.
Печ, л. 22,0, Уч.-нзд. л, 19,5. Изд, № 2244-68, Цена*’88 коп. Зак, № 018.
Бумага для глубокой печати
Издательство «Судостроение», Ленинград, Д-65, ул, Гоголя, 8,
“ ЛКИ МВОСО СССР 1
Прия. к ВХОД-
ОГЛАВЛЕНИЕ
Стр.
Предисловие......................................................... 5
Введение ........................................................... 7
Глава I. Силы, действующие на ПЛ при ее движении в погруженном
положении........................................................ 18
§ 1.	Классификация сил и моментов, системы координат, ки-
нематические параметры, определяющие движение ПЛ	—
§ 2.	Массовые силы....................................... 29
§ 3.	Реактивные силы	.	.	  36
§ 4.	Силы инерционной природы............................ 42
§ 5.	Гидродинамические силы вязкой природы при малых
углах атаки и дрейфа..................................... 55
§ 6.	Гидродинамические силы при движении ПЛ вблизи сво-
бодной поверхности и ледового поля....................... 89
§ 7.	Гидродинамические силы при больших углах атаки . .	109
§ 8.	Гидродинамические силы, обусловленные влиянием не-
стационариости и криволинейности траектории движе-
ния ПЛ.................................................. 131
§ 9.	Гидродинамические силы ПЛ, имеющей специальные
режимы движения ........................................ 140
Глава II. Уравнения неустановившегося движения ПЛ в погруженном
положении ........................................................ 149
§ 1.	Уравнения пространственного движения ПЛ в погру-
женном положении ....................................... —
§ 2.	Разделение системы дифференциальных уравнений про-
странственного движения прн малых углах дрейфа и
крена..................................................... 159
§ 3.	Уравнения движения ПЛ в продольной (вертикальной)
плоскости ................................................ 164
§ 4.	Уравнения движения ПЛ в горизонтальной плоскости 173
§ 5.	Боковое движение ПЛ.................................. 176
§ 6.	Уравнения погружения................................. 179
Глава III. Установившееся движение ПЛ............................. 187
§ 1.	Установившееся движение статически уравновешенной
подводной лодки в продольной (вертикальной) плоскости —
§ 2. Установившееся движение статически неуравновешенной
ПЛ в вертикальной плоскости .......................... 207
§ 3.	Установившееся движение ПЛ в горизонтальной пло-
скости .............................................. ...	220
§ 4.	Установившееся пространственное движение ПЛ , .	231
Г
3
Стр.
Глава IV. Неустановившиеся режимы движения ПЛ. Линеаризация
уравнений и их решение.............................................. 247
§ 1.	Движение в продольной (вертикальной) плоскости под
воздействием начальных импульсов. Параметры движения —
§ 2. Вынужденное движение ПЛ в продольной (вертикаль-
ной) плоскости. Параметры движения при различных за-
конах перекладки горизонтальных рулей и изменения
плавучести................................................. 258
§ 3.	Определение параметров движения в продольной (верти-
кальной) плоскости с пЪмощью табличных значений
функций.................................................... 268
§ 4.	Движение ПЛ вблизи свободной поверхности, ледовой
поверхности или дна........................................ 277
§ 5.	Движение в горизонтальной плоскости под воздействием
начальных импульсов и вертикального руля................... 292
' §	6 Передаточные функции. Амплитудно-частотные харак-
теристики. Параметры неустановившегося движения при
гармонической перекладке рулей . ........................... 298
§ 7.	Влияние волнения на параметры движения ПЛ вблизи
свободной поверхности...................................... 317
§ 8.	Понятие об устойчивости движения. Методы исследова-
ния	устойчивости ..................................... 324
§ 9.	Критерии устойчивости ПЛ с закрепленными рулями
для	различных случаев	ее движения.................... 333
Литература......................................................... 348
ПРЕДИСЛОВИЕ
Возросшие требования к динамическим качествам подводных
лодок явились толчком для разработки способов определения
в стадии проектирования характеристик управляемости. Ввиду
сложности математического аппарата, а также' многообразия
задач динамики подводного плавания к практическому решению
этих задач привлекаются высококвалифицированные инженеры,
имеющие кораблестроительное образование. Для подготовки та-
ких специалистов в течение последних десяти лет На корабле-
строительном факультете читается курс динамики подводных
лодок, в котором излагаются основные методы решения задач,
встречающихся в практике проектирования и эксплуатации под-
водных лодок, и формулируются требования, предъявляемые к их
динамическим качествам.
Начиная с 1963 г., курс динамики подводных лодок был рас-
ширен и дополнен результатами большого числа новых исследо-
ваний в этой области. Одним из таких дополнений является вве-
дение раздела автоматического управления движением, в котором
рассматривается поведение подводных лодок, оборудованных
автоматическими системами управления.
В последние годы появилось большое число исследований
в области динамики подводных лодок как при ручном, так и при
автоматическом управлении движением, опубликованных в от-
дельных ведомственных изданиях. Однако систематического опи-
сания вопросов динамики подводной лодки с учетом результатов
указанных исследований в данное время не имеется.
Сказанное выше обусловило необходимость создания учеб-
ника по динамике подводных лодок для кораблестроительных
вузов.
В основу настоящего учебника положены курсы лекций, чи-
таемые автором на протяжении ряда лет для студентов корабле-
строительного факультета специальностей «Гидроаэродинамика»
и «Судостроение и судоремонт» (специализация — Проектирова-
ние и постройка подводных лодок).
При составлении учебника были использованы исследования
в области динамики подводных лодок, выполненные различными
5
авторами в ЦНИИ им. А. Н. Крылова, ЦАГИ, ЛКИ и Централь-
ных конструкторских бюро подводного судостроения.
Автором сделана попытка систематизировать данные по ди-
намике подводных лодок при автоматическом управлении дви-
жением и разобраны примеры их поведения при использовании
автоматических систем управления.
Учебник содержит 9 глав и по производственным причинам
разбит на две части.
В первой части — введение, главы I, И, III, IV; во второй —
главы V; VI, VII, VIII, IX. В главах I—V и § 1 гл. VII рассмот-
рены вопросы динамики ПЛ при ручном управлении. В гла-
вах VI, VII (кроме § 1), VIII излагаются законы автоматиче-
ского управления движением и исследуются кинематические па-
раметры подводной лодки при наличии автомата, а также основ-
ные принципы работы автоматических систем управления в том
объеме, в каком они необходимы инженеру-кораблестроителю
при составлении требований к автоматическим системам и оценке
поведения подводной лодки при их работе. При этом предпола-
гается, что читатель знаком с общим курсом «Основы автома-
тики», излагаемым на кораблестроительном факультете.
В главе IX кратко изложены методы определения гидродинами-
ческих сил и моментов, действующих на ПЛ в натурных усло-
виях.
Для студентов специальности «Судостроение и судоремонт»
§§ 8, 9 гл. I; §§ 1, 2, 5 гл. II; § 4 гл. III; § 3 гл. IV при изучении
курса необязательны.
Автор выражает признательность научному редактору к, т. н.
Е. Б. Юдину, рецензентам—к.т.н. Я. Т. Пугачеву и к.т.н.
Я. Я. Балицкому за большую работу, проделанную ими при на-
учном редактировании и рецензировании книги.
ВВЕДЕНИЕ
В течение последних двух десятилетий коренным образом из-
менились тактические требования, предъявляемые к подводным
лодкам. Тактико-технические данные современных атомных под-
водных лодок (ПЛ) таковы, что они могут находиться в погру-
женном положении непрерывно в течение двух-трех месяцев,
дальность их плавания в погруженном положении составляет
25—30 тысяч миль, глубина погружения достигает 400 м.
Благодаря ряду новых качеств ПЛ широко используются
в арктических районах и. могут длительное время находиться
в подледном плавании.
В соответствии с новыми тактико-техническими требованиями
изменились маневренные качества ПЛ. Если ПЛ ранней по-
стройки способны были совершать только так называемые пло-
ские маневры (в вертикальной и горизонтальной плоскостях),
то современные ПЛ могут выполнять сложные пространственные
маневры, которые используются для уменьшения вероятности
обнаружения ПЛ противолодочными средствами противника.
Отрабатываются такие пространственные маневры, как цирку-
ляция с изменением глубины, движение по спиральной траекто-
рии с горизонтальной осью и т. д.
Появились новые требования к непотопляемости ПЛ. К под-
водным лодкам старой постройки предъявлялось требование
обеспечения надводной непотопляемости (ПЛ должна была
оставаться на плаву при затоплении одного отсека прочного
корпуса и двух цистерн главного балласта, прилегающих к от-
секу прочного корпуса с одного борта) и требование обеспече-
ния возможности всплытия с грунта на поверхность при затопле-
нии одного отсека прочного корпуса в погруженном положении.
Последнее было вызвано тем, что отсутствовали средства спа-
сения ПЛ при авариях на больших глубинах.
Маневрирование ПЛ в океанах потребовало нового подхода
к задаче о подводной непотопляемости, а развитие противоава-
рийиых средств способствовало решению этой задачи. Было вы-
двинуто и реализовано требование одержания по глубине и диф-
ференту аварийной ПЛ на всех глубинах, вплоть до предельной,
7
с целью предотвращения ее гибели и вывода на новый баланси-
ровочный режим в погруженном положении (обычно на сравни-
тельно небольшой глубине). Естественно, что в условиях боевого
маневрирования ПЛ в погруженном положении по новому оце-
нивается фактор времени. Ставится задача об оптимальном ма-
неврировании с точки зрения быстродействия. Не менее важен
фактор времени и при аварийном маневрировании, когда воз-
можность спасения ПЛ оценивается секундами.
Положение ПЛ определяется в каждый момент времени ки-
нематическими параметрами. Динамика подводного плавания
подразумевает исследование этих параметров при различных ви-
дах движения ПЛ. Во всех случаях для упрощения задачи кине-
матические параметры относятся к центру тяжести. Их опреде-
ление позволяет построить траекторию движения и положение
на ней подводной лодки.
Кинематические параметры ПЛ зависят от ряда факторов,
таких как внешние импульсные воздействия, перекладка гори-
зонтальных и вертикальных рулей, действие остаточной плаву-
чести и т. д. Гидродинамическая реакция ПЛ на эти возмущения
различна, она в значительной степени определяется формой и
размерами корпуса и оперения ПЛ. Способность подводной
лодки сохранять движение по заданной траектории или изменять
его под воздействием органов управления называется управляе-
мостью.
Управляемость представляет собой сочетание двух противо-
положных свойств: маневренности и устойчивости. Маневрен-
ностью называется способность ПЛ изменять направление своего
движения под воздействием рулей или какого-либо другого ор-
гана управления, Устойчивостью называется способность ПЛ со-
хранять направление своего движения. Их разумное сочетание
создает благоприятные условия для нормальной эксплуатации
подводной лодки.
Кинематические параметры, определяющие положение ПЛ,
в значительной степени зависят от режима ее движения. При
Нормальных эксплуатационных режимах движения в вертикаль-
ной плоскости ПЛ имеет небольшие углы атаки (0—3°), в то же
время аварийные режимы характеризуются большими углами
атаки, величины которых находятся в диапазоне значений от 0
до 360°.
Исследование кинематических параметров необходимо для
выяснения возможности безаварийного выполнения того или
иного маневра. Особенно это касается глубины погружения,
углов креиа и дифферента, так как максимальные значения их
обусловливаются требованиями безопасности плавания ПЛ в по-
груженном положении. Изменение глубины при маневрах ПЛ
ограничивается предельной глубиной погружения; при углах
крена, больших 45°, дифферента свыше 30° нарушается нормаль-
8
ная работа механизмов, систем и устройств подйодной лодки.
В стадии проектирования такие элементы движения ПЛ, как ра-
диус циркуляции, углы крена и дифферента, изменение глубины
при маневрировании в различных условиях могут быть опреде-
лены по результатам решений дифференциальных уравнений
движения ПЛ.
В большинстве случаев представляет интерес рассмотрение
траектории неустановившегося движения, так как часто из-за
кратковременности того или иного режима установившееся дви-
жение не достигается. Кроме того, нз-за проявления инерцион-
ных свойств ПЛ параметры неустановившегося движения в на-
чальные моменты времени значительно отличаются от соответ-
ствующих параметров установившегося движения. Следует также
отметить, что установившееся движение, как правило, имеет
место при длительных режимах, оцениваемых минутами и ча-
сами. Такими, например, являются горизонтальное установив-
шееся движение (балансировочный режим), установившаяся
циркуляция ПЛ в горизонтальной плоскости и циркуляция с из-
менением глубины.
Большое значение для характеристики динамических качеств
ПЛ имеет оценка устойчивости ее движения. Очевидно, что уве-
личение степени устойчивости при неизменной эффективности
органов управления ухудшает маневренные качества ПЛ, и нао-
борот, уменьшение степени устойчивости улучшает маневрен-
ность. Движение ПЛ характеризуется несколькими кинематиче-
скими параметрами, поэтому следует рассматривать устойчи-
вость каждого параметра в отдельности.
Необходимо отметить, что без применения специальных
средств управления ПЛ всегда неасимптотически устойчива по
глубине и курсу, неустойчива относительно бокового смещения.
Неасимптотическая устойчивость означает, что после прекраще-
ния действия внешних импульсов ПЛ получает некоторые по-
стоянные изменения глубины и курса. Это приводит к необходи-
мости стабилизации этих параметров с помощью специальных
средств управления.
При маневрировании в погруженном положении подводная
лодка обычно находится на такой глубине, что можно рассма-
тривать ее движение в безграничной жидкости. При проектиро-
вании управляемость обеспечивается именно для этого случая
Движения.
При движении ПЛ вблизи свободной поверхности (режимы
РДП, РКП) или вблизи ледовой поверхности силовая картйна
существенно изменяется, что сильно сказывается на кинематиче-
ских параметрах и степени их устойчивости.
Возросшие требования к скорости маневрирования, а также
ограничение возможности ручного управления подводной лодкбй
привели к необходимости применения автоматических систем,
9
внедрение которых в настоящее время происходит весьма интен-
сивно. Автоматические системы управления ПЛ используются
как для решения эксплуатационных задач, так и для аварийных
случаев движения.
Автоматические системы применяются с целью стабилизации
того или иного кинематического параметра, а также для выпол-
нения ПЛ маневров в погруженном положении. Стабилизация
производится в вертикальной, в горизонтальной и в поперечной
плоскостях. В первом случае выполняется автоматическое под-
держание постоянной глубины погружения подводной лодки
либо дифферента, во втором и третьем случаях — стабилизация
курсового угла и угла крена соответственно. Стабилизация глу-
бины необходима как при ходе ПЛ, так и при отсутствии хода.
В практике эксплуатации ПЛ существуют длительные режимы
движения на постоянной глубине. Во время такого движения,
как правило, появляются различные внешние возмущения им-
пульсного характера, которые вызывают конечные изменения
глубины погружения. При помощи горизонтальных рулей под-
держивается постоянная глубина погружения.
Большое значение имеет поддержание постоянной глубины
погружения без хода, это особенно важно в случае выхода из
строя движителей.
Следует, однако, отметить, что автоматическая стабилизация
глубины и курса одновременно с увеличением степени динами-
ческой устойчивости вызывает изменение характера движения
подводной лодки. В частности, это приводит к появлению авто-
колебаний, т. е. колебаний, независящих от внешних возмуще-
ний. Автоколебания характеризуются определенными амплиту-
дами и частотами, которые имеют заданные ограничения. Есте-
ственно, что большое влияние на эти параметры оказывает
форма и размеры корпуса ПЛ и ее оперение.
Применение автоматических систем управления имеет боль-
шое значение и для маневрирования ПЛ, в частности для пере-
ходов ПЛ по глубине, изменения курса ПЛ и т. д. Автоматиче-
ские системы дают возможность не только решать задачи упра-
вления вообще, но и получать оптимальные режимы движения
с различных точек зрения (например, режимы оптимальные по
времени). Пространственное маневрирование ПЛ немыслимо без
применения автоматических систем управления, которые позво-
ляют осуществить движение по заданной траектории.
В задачу курса динамики подводного плавания входит: изу-
чение сил и моментов, действующих на подводную лодку в раз-
личных условиях ее плавания; составление дифференциальных
уравнений движения ПЛ и разработка математического аппа-
рата для их решения; рассмотрение точных и приближенных ме-
тодов определения кинематических параметров, исследование их
устойчивости для различных случаев движения; оценка мане-
10
вренных качеств ПЛ; исследование кинематических параметров
движения ПЛ в случае применения автоматических систем уп-
равления.
Первой работой, в которой были составлены дифференциаль-
ные уравнения движения подводной лодки, было исследование
Б. М. Малинина И В. В. Новожилова, выполненное ими в 1940 г.
Однако особое развитие динамика подводного плавания полу-
чила в послевоенное время, в связи с существенным изменением
требований, предъявляемых к подводным лодкам.
В ранних исследованиях рассматривались в основном уста-
новившиеся движения подводной лодки. Большая заслуга в вы-
полнении этих исследований принадлежит К- К- Федяевскому,
который применил результаты, полученные им для дирижаблей,
к случаю движения подводных лодок. В частности, К. К. Федяев-
скнм было рассмотрено явление потери управляемости ПЛ в ли-
нейной постановке при управлении горизонтальными рулями,
введено понятие об инверсионной скорости для кормовых и носо-
вых горизонтальных рулей, предложен графо-аналитический спо-
соб определения радиуса установившейся циркуляции, введены
понятия об интенсивности управляемости и скороподъемности
при установившемся движении ПЛ в вертикальной плоскости
и др.
При проектировании скоростных подводных лодок в после-
военное время появилась необходимость в разработке методики
выбора размеров горизонтального оперения, обеспечивающих
заданную степень динамической устойчивости. В этом направле-
нии заслуживает внимания работа С. С. Золотова (1948 г.), в ко-
торой установлены зависимости между площадью оперения, ги-
дродинамическими характеристиками и критериями управляе-
мости ПЛ в вертикальной плоскости. Первые фундаментальные
исследования, подробно освещающие вопросы неустановивше-
гося движения ПЛ в вертикальной плоскости были выполнены
Д. П. Скобовым в ЦКБ-18, М. Д. Хаскиндом и В. А. Соколо-
вым в ЦАГИ в 1946—1950 гг. Они вывели уравнения движения
ПЛ (в различных координатных системах), получили их реше-
ние и развили математический аппарат для дальнейших иссле-
дований. Авторами этих работ были введены фундаментальные
функции характеристических чисел, определяющие кинематиче-
ские параметры движения подводной лодки. Введение фунда-
ментальных функций для расчета движения значительно упро-
стило расчет кинематических параметров. В дальнейшем авто-
ром данного учебника эти функции были преобразованы и в за-
висимости от одного комбинированного аргумента представлены
в табличной форме.
Д. П. Скобовым была подробно исследована статическая и
Динамическая устойчивость подводной лодки, исследованы ха-
рактеристические числа и получены критерии статической и
11
динамической устойчивости. Им также были введены понятия
о критической и характеристической скоростях движения ПЛ и
даны формулы для их определения. Естественно, что для опре-
деления кинематических параметров ПЛ необходимо знание ги-
дродинамических сил и моментов, действующих на подводную
лодку. В связи с известными трудностями получения точного ре-
шения задачи об обтекании тела в вязкой жидкости, в большин-
стве случаев гидродинамические реакции определяются экспери-
ментальным путем в лабораторных условиях. Большое число экс-
периментальных исследований гидродинамических характеристик
отечественных подводных лодок было выполнено в 1950—1960 гг.
в аэродинамических трудах филиала ЦАГИ им. Н. Е. Жуков-
ского под руководством К- К- Федяевского. Материалы этих ис-
следований были систематизированы в виде атласа гидродина-
мических характеристик Е. К- Бучинский и Д. В. Якушевичем.
К. К. Федяевский в 1947 г. предложил приближенную теоре- '
тическую схему определения гидродинамических характеристик
осесимметричного тела. По этой схеме гидродинамическая подъ-
емная сила вызывается П-образным вихрем, расположенным под
углом атаки к оси тела. С помощью законов гидромеханики
определяются скорости, индуцируемые присоединенными и сво-
бодными вихрями, и на основании условия Жуковского—Чаплы-
гина в кормовой точке контура составляется уравнение, позво-
ляющее найти коэффициент подъемной силы. Положение при-
соединенного вихря находится по обработанным данным
эксперимента. На основании этой схемы В. Н. Квасниковым для
трехосных эллипсоидов с различными удлинениями и отношением
высоты к ширине были получены графики, позволяющие Найти
расчетным путем позиционные и демпфирующие характеристики
(производные) трехосного эллипсоида, эквивалентного подвод-
ной лодке [45].
Вопросы движения ПЛ в вертикальной плоскости при «бес-
конечной» скорости, при которой восстанавливающий момент не
оказывает влияния на параметры движения, были впервые рас-
смотрены в 1949 г. Л. В. Калачевой. Ею были составлен^ диф-
ференциальные уравнения движения, предложен математиче-
ский аппарат и получены решения уравнений. Фундаментальные
функции, определяющие движение ПЛ на «бесконечной» ско-
рости, были затабулированы в зависимости от одного аргу-
мента [43].
Большинство перечисленных выше задач было решено в ли-
нейной постановке, при этом рассматривались линейные диффе-
ренциальные уравнения с постоянными коэффициентами. Что же
касается нелинейных задач, то их исследование долгое время
тормозилось в связи с необходимостью выполнения большого
объема вычислений и недостаточным развитием вычислительной
техники. Для уточнения влияния нелинейных членов, входящих
12
в дифференциальные уравнения движения ПЛ, отдельными ав-
торами был выполнен ряд исследований. В частности, в 1956 г.
А. М. Басин и Ю. Ф. Иванюта учли в уравнениях движения ПЛ
в вертикальной плоскости нелинейность продольного гидродина-
мического момента, представив его в виде полинома третьей сте-
пени. Это позволило уточнить формулы для определения пара-
метров движения и инверсионной скорости, а также уточнить ус-
ловия устойчивости движения.
В 1951 г. К. К. Федяевский и М. В. Савельев предложили
приближенный теоретический метод определения параметров
движения при наличии нелинейности позиционного продольного
гидродинамического момента. Суть этого метода состоит в том,
что отклонения гидродинамических коэффициентов от линейных
зависимостей принимаются за коэффициенты возмущающих сил,
под действием которых изменение координатных параметров во
времени отличается от изменения этих же параметров, получен-
ных по линейной теории. С помощью линейной теории нахо-
дятся параметры, вызванные этими возмущающими силами.
Одним из эксплуатационных режимов ПЛ является ее дви-
жение вблизи свободной поверхности, а именно: РДП для ди-
зельных подводных лодок и РКП для атомных подводных лодок.
Исследование этих режимов представляет более сложную задачу
по сравнению со случаем движения в безграничной жидкости.
Движение вблизи свободной поверхности приводит к измене-
нию гидродинамических реакций в зависимости от глубины по-
гружения и чисел Фруда, что объясняется появлением волновых
составляющих и обусловлено влиянием стенки.
Теоретическое решение задачи о влиянии свободной поверх-
ности на позиционные гидродинамические характеристики было
получено Я. Т. Пугачевым в 1958 г. и Б. Е. Тощевым в 1961 г.
Экспериментальные результаты впервые были получены
В. П. Боровиковым в 1958 г. для схематизированной модели ПЛ
XXI серии. На основании экспериментальных исследований ги-
дродинамических сил вблизи свободной поверхности установлена
их зависимость от глубины погружения ПЛ.
В дальнейшем В. П. Боровиковым были составлены диффе-
ренциальные уравнения движения ПЛ вблизи свободной поверх-
ности (в линейной постановке), получены их решения, исследо-
вана устойчивость движения и рассмотрены установившиеся ре-
жимы.
Начиная с 1958 г., большое развитие получили вопросы ди-
намики аварийной подводной лодки. Требование одержания под-
водной лодки по глубине и дифференту и вывода ее на баланси-
ровочный режим в погруженном положении привели к необхо-
димости исследования движения при больших углах атаки.
Решение этой задачи потребовало определения гидродинамиче-
ских сил и моментов при изменении угла атаки от 0 до 360°.
13
Лаборатории ЦАРИ и ЛПИ начали выполнять круговые про-
дувки моделей ПЛ. Эти эксперименты в дальнейшем были про-
должены в аэродинамической трубе Сибниа.
Результаты исследований гидродинамических характеристик
при больших углах атаки позволили установить ряд новых ка-
чественных зависимостей, а также получить аппроксимирующие
формулы. В ЛКИ, например, были получены приближенныё'фор-
мулы, для определения позиционных гидродинамических коэф-
фициентов Сх и Cyi, при круговом изменении угла атаки, в даль-
нейшем М. Е. Мазором была дана аппроксимация не только
коэффициентов позиционных сил, но также позиционного про-
дольного момента и демпфирующих сил.
В ЦНИИ им. А. Н. Крылова и ЛКИ в 1958—1962 гг. было
выполнено исследование, связанное с решением задачи об обес-
печении подводной непотопляемости. В частности, были соста'
влены уравнения движения аварийной ПЛ как с учетом бере-
менности массы, так и без учета, подробно исследованы все
силы, действующие на аварийную ПЛ, рассмотрены балансиро-
вочные режимы, исследована устойчивость движения с воздуш-
ной подушкой и перегрузкой, произведены численные расчеты
кинематических параметров условной аварийной ПЛ и устано-
влены глубины и весовые расходы воздуха, при которых воз-
можно одержание подводной лодки.
Исследование пространственного движения ПЛ было начато
в 1958 г. С. И. ДевниНый и М. И. Зуевым в ЦНИИ им. А. Н. Кры-
лова. Ими впервые получены позиционные и демпфирующие гид-
родинамические характеристики при пространственном обтека-
нии подводной лодки. Ими же были рассмотрены некоторые част-
ные случаи пространственного движения (циркуляция с измене-
нием глубины). Была предложена схема определения параметров
установившегося пространственного движения.
Одной из задач динамики подводной лодки является иссле-
дование ее погружения с поверхности и определение времени
погружения. Этому вопросу было посвящено большое число ра-
бот. Система уравнений погружения ПЛ без хода при нулевом
дифференте была получена В. В. Перловским в 1940 г. Для ее
решения в конечном виде необходима зависимость количества
влившейся в ЦГБ воды цистерны главного балласта от оёадки
подводной лодки, которая определяется формой и размерами ци-
стерны и не поддается в общем случае точному математическому
представлению. Поэтому решение этой системы производится
численными методами.
Однако результаты расчетов времени срочного -Погружения,
как правило, значительно расходились с данными натурных ис-
пытаний в опасную сторону.
Я. Я. Балицкий в 1961 г. учел ряд дополнительных факторов,
в частности связь уравнения расхода воды, поступающей в ци-
14
стерну, с расходом воздуха, истекающего из цистерны через
клапан вентиляции. Численные интегрирования системы уравне-
ний, описывающих погружение ПЛ, для различных случаев по-
зволили Я. Я. Балицкому значительно упростить систему урав-
нений и составить весьма простую схему определения времени
срочного погружения.
В дальнейшем на ЭЦВМ были выполнены расчеты для более
общего случая: погружение с ходом и с заполненной цистерной
быстрого погружения. Постановка этой задачи весьма актуальна,
так как она отражает современные режимы погружения.
В связи с применением автоматических систем для управле-
ния подводными лодками появилась необходимость исследова-
ния динамики замкнутой системы ПЛ — автомат. Эти работы
проводятся для двух основных режимов движения: эксплуатаци-
онного и аварийного. В каждом из этих режимов рассматри-
ваются вопросы стабилизации и маневрирования. Одним из пер-
вых исследований стабилизации ПЛ на ходу была работа
В. А. Ивановой (1954 г.), в которой составлены дифференциаль-
ные уравнения движения, выведены формулы для амплитуд и
частот автоколебаний, получены зоны устойчивости для линей-
ного и нелинейного законов управления. Амплитуды и частоты
автоколебаний в значительной степени определяются размерами
оперения подводной лодки. Е. Б. Юдиным в 1961 г. на основании
расчетов на вычислительных моделирующих машинах парамет-
ров движения ПЛ, оборудованных автоматическими системами
управления, были установлены зависимости параметров автоко-
лебаний от относительной площади и элементов кормового гори-
зонтального оперения.
Для оценки возможности применения автоматических систем
управления для пространственного маневрирования ПЛ А. Ш. Аф-
ремовым и М. И. Зуевым на моделирующих машинах были ис-
следованы кинематические параметры и выбраны коэффициенты
регулирования для двух схем движения: неустановившейся цир-
куляции подводной лодки с одновременным изменением глубины
погружения и движения по спирали с горизонтальной осью.
В результате исследования были определены законы управления
и показана возможность осуществления реальных пространст-
венных маневров.
При маневрировании подводной лодки большое внимание
уделяется оптимальным процессам особенно с точки зрения бы-
стродействия. Для получения указанного процесса соответ-
ствующим образом должен быть составлен управляющий си-
гнал.
В 1962 г. М. Е. Мазором были предложены весьма простые
формулы для определения оптимального управляющего сигнала
при управлении дифферентом. В дальнейшем Мазором и Кня-
зевым с помощью метода фазового пространства были получены
15
оптимальные законы управления для всех кинематических пара-
метров.
В связи с острой необходимостью применения автоматиче-
ских устройств для обеспечения подводной непотопляемости
подводных лодок в 1960—1962 гг. была выполнена большая ра-
бота по исследованию параметров движения при одержании под-
водной лодки после аварии. М. Е. Мазором в 1961 г. были рас-
смотрены основные принципы работы автоматических устройств,
предотвращающих аварийные провалы и дифференты для двух
типов аварий; вызванных случайными причинами и затоплением
отсека прочного корпуса. Были выбраны законы управления м
исследованы кинематические параметры при одержании ПЛ и
выводе ее на новый балансировочный режим. Одной из возмож-
ных аварий является заклинка больших кормовых горизонталь-
ных рулей. Это особенно опасно, если заклинка произошла прн
погружении подводной лодки. Динамика ПЛ при такой аварии
была исследована Е. Б. Юдиным в 1961 г. В работе рассмотрена
возможность применения наравне с другими противоаварийнымн
средствами раздельного управления горизонтальными рулями
левого и правого бортов (разрезной баллер горизонтальных ру-
лей) и показано, что при правильно выбранном законе управле-
ния креном подводной лодки перекладки неповрежденного руля
одного борта позволяют получить значительный эффект с точки
зрения одержания подводной лодки.	>.
Дальнейшее развитие динамики подводного плавания потре-
бует от теории управляемости решения целого ряда новых задач.
Необходимо дальнейшее исследование вопросов; связанных
с пространственным маневрированием подводных лодок  . 1
В связи с появлением подводных лодок различных форм' не-
обходимо накопление экспериментального материала по пози-
ционным и демпфирующим характеристикам корпуса и оперения
при пространственном обтекании.
Большой практический интерес представляет нормирование
устойчивости, которая тесно связана с изучением возмущений,
действующих на корпус подводной лодки. В настоящее время
делаются попытки нормировать запас динамической устойчиво-
сти подводной лодки при ее движении в вертикальной и горизон-
тальной плоскостях. Существующие нормы установлены вл ос-
новании ряда условных расчетов и подтверждены некоторым
опытом эксплуатации современных подводных лодок в мирных
условиях. Необходимо дальнейшее уточнение этих норм* А также
разработка специальных норм устойчивости при пространствен-
ном маневрировании.
В дальнейшем должны быть проведены исследования в обла-
сти подводной непотопляемости подводной лодки как в свете
ее пространственного аварийного маневрирования, так и всплы-
тия с пересечением свободной поверхности. Особый интерес при-
16
обретает задача о всплытии на поверхность аварийной подвод-
ной лодки при наличии волнения. Применение пороховых газов
для продувания аварийных цистерн главного балласта может
вызвать резкое изменение кинематических параметров лодки
при всплытии на поверхность и вызвать вторичную аварию.
Новые тактические требования’ к маневренным качествам
подводной лодки вызывают необходимость разработки и про-
ведения нового комплекса натурных испытаний с целью коррек-
тировки результатов экспериментов в лабораторных условиях и
теоретических расчетов параметров движения.
Тенденция повышения скорости хода вызвала появление раз-
личных предложений (средств), направленных на снижение со-
противления движению подводной лодки в погруженном поло-
жении. В частности, к таким средствам относятся: образование
на корпусе подводной, лодки воздушной каверны, ламинариза-
ция с помощью отсоса пограничного слоя, использование спе-
циальных покрытий и т. д. Естественно, что в случае примене-
ния этих средств изменяется не только сопротивление, но и
гидродинамическая реакция в целом —все позиционные и демп-
фирующие силы и моменты.
Наиболее существенное изменение гидродинамических сил
происходит при образовании на корпусе модели воздушной ка-
верны. При этом появляется зависимость гидродинамических ко-
эффициентов от числа Фруда, расходов воздуха, что приводит
к качественным изменениям гидродинамических сил и моментов.
Вследствие весомости каверны гидродинамические силы в вер-
тикальной и горизонтальной плоскостях не разделяются. По-
этому задача о движении кавитирующей подводной лодки яв-
ляется чисто простраиствеиной.
В настоящее время имеются только некоторые эксперимен-
тальные результаты по Гидродинамическим силам моделей кави-
тирующей подводной лодки и сделаны некоторые выводы по
оценке ее динамических качеств в вертикальной плоскости. Все
эти задачи требуют всестороннего исследования.
Дальнейшее развитие вопросов автоматического управления
движением подводной лодки должно проходить по линии опти-
мизации всех процессов изменения кинематических параметров
и их увязки с другими автоматическими системами в плане ком-
плексной автоматизации.
2 Заказ Xs 018
ГЛАВА I
СИЛЫ, ДЕЙСТВУЮЩИЕ
НА ПОДВОДНУЮ ЛОДКУ
ПРИ ЕЕ ДВИЖЕНИИ
В ПОГРУЖЕННОМ ПОЛОЖЕНИИ
§ 1.	КЛАССИФИКАЦИЯ СИЛ И МОМЕНТОВ, СИСТЕМЫ КООРДИНАТ,
КИНЕМАТИЧЕСКИЕ ПАРАМЕТРЫ, ОПРЕДЕЛЯЮЩИЕ ДВИЖЕНИЕ ПЛ
В самом общем случае движение центра тяжести ПЛ проис-
ходит по пространственной траектории с некоторой мгновенной
поступательной скоростью V. Одновременно с этим корпус ПЛ
вращается около центра тяжести с мгновенной угловой скоро-
стью <в.
Силы и моменты могут быть разделены иа три категории:
массовые — силы веса и плавучести, реактивные — силы тяги
гребных винтов и других видов движителей, гидродинамиче-
ские — силы воздействия жидкости на корпус ПЛ при ее посту-
пательном и вращательном движении. Комплекс этих сил- обу-
словливает движение ПЛ с определенными кинематическими па-
раметрами.	‘
Сила веса и плавучести существенно зависит от ряда факто-
ров. Для подводного положения при обычном эксплуатационном
режиме движения сила веса равва силе плавучести, в этоййглу-
чае ПЛ называется статически уравновешенной. ОднакоЧасто
равновесие между силами веса и плавучести нарушается, их
разность, называемая остаточной плавучестью, может бВИЧЬ по-
ложительной или отрицательной величиной. Подводная лодка,
имеющая остаточную плавучесть, называется статически неурав-
новешенной.
Причинами нарушения равенства сил веса и плавучести могут
служить: изменение плотности воды, вызванное гидрологиче-
скими факторами, обжатие корпуса с изменением глубины по-
гружения, расходование переменных грузов, торпедный залп,
ракетный старт и др.
18
Остаточная плавучесть появляется также при аварийном за-
топлении отсека ПЛ после его повреждения (отрицательная ос-
статочная плавучесть — топящая сила). При необходимости
всплытия аварийной ПЛ продуваются цистерны главного бал-
ласта, в результате появляется положительная остаточная пла-
вучесть.
Погружение ПЛ с поверхности на перископную глубину про-
исходит за счет разности сил веса и сил поддержания, т. е. за
счет некоторой топящей силы, изменяющейся с течением вре-
мени. Эта топящая сила создается поступлением воды в ци-
стерны главного балласта и быстрого погружения, а также про-
ницаемые части.
Во всех рассмотренных случаях в той или иной степени оста-
точная плавучесть переменна во времени, однако ее изменение
ограничивается предельно возможным объемом, подлежащим
заполнению водой или продуванию воздухом.
Гидродинамические силы могут быть разделены на три основ-
ные группы:
1)	инерционные силы, обусловленные инерцией жидкости, ок-
ружающей подводную лодку;
2)	гидродинамические силы волновой природы, вызванные
движением ПЛ вблизи свободной поверхности, находящейся под
действием силы тяжести;
3)	гидродинамические силы вязкой природы, которые могут
быть представлены в виде двух составляющих: сил трения и сил,
нормальных к поверхности корпуса ПЛ.
Первая и вторая группы сил относятся к движению подвод-
ной лодки в невязкой жидкости, вторая — характеризует движе-
ние в вязкой жидкости. При существующих в настоящее время
способах экспериментального определения гидродинамических
сил последние включают в себя не только силы вязкой природы,
но также и силы инерционной природы. Поэтому при составле-
нии дифференциальных уравнений движения во избежание двой-
ного учета сил инерционной природы это обстоятельство должно
приниматься во внимание.
Природа гидродинамических сил существенно меняется при
движении ПЛ вблизи свободной поверхности, поверхности льда
(при подледном плавании) и дна акватории.
Если при движении ПЛ в безграничной жидкости (на глу-
бине) гидродинамические реакции определяются главным обра-
зом трением и вихревыми составляющими, то при движении
вблизи свободной поверхности появляются силы и моменты, обу-
словленные весомостью жидкости, — волновые составляющие,
роль которых по мере приближения к свободной поверхности за-
метно возрастает. При движении вблизи ледовой поверхности
или дна между корпусом ПЛ и твердой стенкой происходит су-
жение потока и увеличение скорости жидкости, что в свою
2*	19
8
- Рис. 1.1. Координатные оси, знаки параметров а, 0, в.
очередь приводит к изменению силового воздействия жидкости.
Поэтому удобнее рассматривать раздельно гидродинамические
силы при плавании ПЛ на большой глубине, вблизи свободной
поверхности и вблизи ледовой поверхности или дна.
Реактивной силой на большинстве современных ПЛ является
тяга гребных винтов. Однако в настоящее время имеются неко-
торые предложения по применению для ПЛ двух роторных дви-
жителей, расположенных в кормовой и носовой частях корпуса.
Их совместная работа, при движении ПЛ позволяет создавать
необходимые тягу и гидродина-
мические силы для маневриро-
вания ПЛ.
При исследовании движе-
ния ПЛ обычно рассматривают
три прямоугольных системы ко-
ординат: неподвижную, связан-
ную и поточную (скоростную).*
Начало неподвижной системы
А£т]£ может быть расположено
в любой точке пространства.
В исследованиях по динамике
подводной лодки неподвижная
прямоугольная система коор-
динат располагается, как пра-
вило, так, чтобы плоскость
совпадала со свободной по-
верхностью моря. Положитель-
ные направления координат-
ных осей даны на рис. 1.1.
Начало связанной системы
Рис. 1.2. Связанная (oXii/iZi), поточ-
ная (oxyz) н полусвязанная (ox'yz)
системы координат.
координат oxit/iZi принимается
в центре тяжести ПЛ (рис. 1.2), при этом плоскость XiOt/i совпа-
дает с диаметральной плоскостью, a xiozi параллельна основной
плоскости ПЛ. Положительными приняты направления осей:
oxi — в нос, oyi — вверх, ozi — на правый борт от центра тяже-
сти (начала координат) соответственно. Указанная система яв-
ляется правой.
Начало поточной системы координат (рис. 1.2) принимается
в центре тяжести или центре величины ПЛ так, что направление
оси ох совпадает с направлением вектора скорости и, оси оу
и oz направлены вверх и на правый борт от начала координат
соответственно. Иногда применяется полусвязанная прямоуголь-
ная система координат ox'yzi, которая имеет со скоростной
* Скоростная система координат отличается от поточной направлением
осей ох. В скоростной системе направление оси ох совпадает с направлением
скорости; в поточной — направление осн ох н скорости противоположны.
21
общую ось оу. Связанные Же оси имеют с полусвязанными
осями общую Ось ОИ1 и повернуты вокруг нее на угол а.
В большинстве случаев для построения траектории движе-
ния ПЛ используются две системы координат: неподвижная и
связанная. Неподвижная система координат определяет положе-
ние центра тяжести ПЛ в пространстве, связанная система —
положение лодки относительно центра тяжести.
Положение ПЛ в пространстве относительно начала непо-
движной системы координат определяется тремя углами: диффе-
рента ф, курса <р и крена 6 и тремя координатами ц. т. подводной
лодки S; последние, в свою очередь, зависят от углов атаки
и дрейфа.
Таким образом, для характеристики движения ПЛ доста-
точно рассматривать пять угловых координат: угол атаки а,
угол дрейфа р, угол дифферента ф, угол курса <р, угол крена 0.
Дадим определение указанных углов для пространственного
движения ПЛ. Углом атаки называется угол между проекцией
вектора скорости на диаметральную плоскость и основной пло-
скостью. Углом дрейфа — угол между вектором скорости и диа-
метральной плоскостью. Углом дифферента — угол между осью
oxi и ее проекцией на горизонтальную плоскость. Углом курса
называется угол между проекцией оси oxi на горизонтальную
плоскость и направлением оси Ag неподвижной системы коор-
динат на Север. Углом крена называется угол между диамет-
ральной плоскостью и вертикальной плоскостью, содержащей oxi.
Направление вектора скорости определяется двумя угловыми
параметрами: углом атаки и углом дрейфа.
Появление угла крена ПЛ вызывает изменение направления
вектора скорости, т. е. углов атаки и дрейфа. Из геометрического
построения (рис. 1.3) легко установить связь между углами
атаки а и дрейфа р при 0=0 и соответствующими параметрами
ав и рв при 0=#О.
При неизменном положении вектора скорости v повернем
связанную с ПЛ систему координат oxiyiZt, около оси oxi — на
некоторый угол крена 0.
Тогда на основании рис. 1.3 можно написать, что
В'С	BD
ос	ос	>
,	о	ВВ'	DC
Sln?a	QB	v	*
Из треугольников AD В и ЛЕС имеем:
BD = BAcos& = {BE — АД) cos 0; AF = £Ctg0;
DC = FC cos 0 = (ДД + EC) cos 0; FE = BEtg&
22
или
BD= BE cos 0 — EC sin 0;
DC — BE sin 0 4- EC cos 0.
Отрезки BE, EC представляют собой проекции вектора ско-
рости v на координатные оси oyi и ozt (после поворота на угол
6). Из рис. 1.3 следует
ОС = vXt -= v cos a cos ₽;
BE =	w sin (—a) cos ₽;
EC = Vx,=V sin ₽.
С учетом этих выражений получим
V sin а cos 3 cos 0 — csinfislnO	„	. - sin0
tg а ------------c--------5---C----= tg a cos 0 — tg 8 —— ;
e	V COS a. COS 3	r CoS а
Sin8, =	+	= sin a cos ₽ sin 0 + sin fJcos 0.
(1.1.1)
23
Рассмотрим два частных случая.
Если при отсутствии крена угол атаки а равен нулю, т. е.
вектор скорости расположен в горизонтальной-плоскости, то на-
личие крена равносильно появлению некоторого угла атаки, ве-
личина которого может быть получена из (1.1.1) при а=0
tg®0=— tg₽sin0;
sin ₽e = sin р cos 0.
В случае же, когда р=0, т. ё. вектор скорости расположен
в продольной плоскости, формулы (1.1.1) имеют вид:
tgoce =tgacos 0;
sin₽e = sinasin0.
Для рассмотренных выше двух частных случаев движения
ПЛ ориентация вектора скорости определяется либо углами
атаки и дрейфа (а©, Ре), либо углами дрейфа и крена (0 и 0)
в первом случае, либо углами атаки и крена (а и 0) во втором
случае.
Формулы (1.1.1) позволяют перестроить кривые гидродина-
мических коэффициентов с учетом угла крена. В частности, на-
пример, при а=0 кривые гидродинамических коэффициентов
в функции ае и рв могут быть перестроены в осях р и 0.
В тех случаях, когда рассматриваются плоские движения
в продольной (xioyi), горизонтальной (xioft) и поперечной
(yiOZi) плоскостях угловым параметром даются следующие оп-
ределения. Угол атаки — угол между вектором скорости (проек-
ция скорости на диаметральную плоскость} и продольной осью
oxi. Угол дрейфа—угол между вектором скорости (проекцией
скорости на горизонтальную плоскость, проходящую через ц. т.
подводной лодки параллельно основной плоскости) и продоль-
ной ОСЬЮ 0X1.
Угол дифферента — угол между продольной осью oxt и ли-
нией, проходящей через начало Координат параллельно линии
горизонта.
Угол курса — угол между продольной осью oxi и линией, про-
ходящей через начало координат и имеющей направление на
Север.
Угол крена — угол между следом продольной (вертикальной)
плоскости, проходящей через начало координат и осью oyi.
Угловые параметры считаются положительными при их от-
счете против часовой стрелки от положительной оси.
Параметры, характеризующие движение и определяющие по-
ложение ПЛ в пространстве, называются ее кинематическими
параметрами. Независимых кинематических параметров шесть:
v—скорость движения ц. т. и пять угловых координат — а, 0, ф,
<р и 0.
24
При плоских движениях число кинематических параметров
уменьшается до 3 в каждом случае: в продольной плоскости
движение ПЛ определяется параметрами v, а и ф. В горизон-
тальной плоскости — движение характеризуется кинематиче-
скими параметрами v, р и <р.
Если все кинематические параметры являются функциями
времени, то такое движение' называется неустановившимся. То-
гда a=a(Z), Р = Р(О> Ф=Ф(О>	Ф=ф(0> v = v(f). Если
же скорость v и все угловые координаты ПЛ от времени не за-
висят, то такое движение называется установившимся. В этом
случае u=constx a=const, p=const, ij>=const, <p=const, 0=
= const.
Для построения траектории движения необходимо знать ли-
нейные координаты ц.т. ПЛ в неподвижной системе координат;
£—продольное смещение;
т] — глубина погружения относительно свободной поверх-
ности;
£ — боковое смещение.
Между угловыми и линейными координатами легко устана-
вливается связь, которая видна из рис. (1-4). Наиболее простые
зависимости между угловыми и линейными координатами полу-
чаются для плоских движений ПЛ.
Для продольного движения ПЛ в соответствии с рисУ'1.4, а
можно составить зависимость между' вертикальной й горизон-
тальной v$ составляющими скоростей, с одной стороны, и угло-
выми координатами а и ф, с другой стороны.вследующем виде:
= ® sin (ф — a);
T>E = ,ncos(<]> — a).
Принимая во внимание очевидное соотношение между про-
изводными по времени линейных координат и соответствую-
щими проекциями скоростей, получим
sin (ф-a);
-^- =-05 =-о cos (ф-a).	(1.1.3}
Интегрируя (1.1.3), найдем зависимость между координатами
т], g и параметрами а, ф:
' t
‘ 	>] = J v sin (ф — a) dt
t
£ — J v cos (ф — a) di
о
25
Если ввести безразмерное время т, связанное с размерным
временем формулой
v',s
* =	(1.1.4)
Рис. 1.4. Угловые и линейные координаты, определяющие по-
ложение ПЛ при продольном (а) и поперечном (б) движении.
где V — полное подводное водоизмещение ПЛ;
Оо — скорость установившегося движения ц. т. ПЛ,
то получим выражения для безразмерных координат:
т
п =	= J V sin(ф — a)dt;
v о
26
£=VTT = Jfcos(<p- a)dt,	(1.1.5)
v о
„ — v.
где безразмерная скорость v=------, a v — текущее значение ско-
Oo
рости.
Аналогично могут быть установлены связи между боковой v$
и продольной V;. составляющими скорости и угловыми коорди-
натами р и <р, характеризующими движение ПЛ (рис. 1.4, б)
в горизонтальной плоскости
 I ОЧ Л
»,; = » Sin (¥-₽) = -йг;
.	(1.1.6)
Интегрирование выражений (1.1.6) дает нам возможность по-
лучить зависимости
t
Ju sin (<? — P) dt\
о
t
£ = J u cos (<? — p) dt	(1.1.7)
о
нли в безразмерном виде
f=-p7T = J®sin(<?-0)<fc; t = -^7r = Jwcos(<p-₽)dt. (1.1.8)
Как видно из формул (1.1.5) — (1.1.8), для определения коор-
динат £, т], £ необходимо предварительно найти безразмерную
скорость и. В связи с этим для практических целей построения
траекторий движения вместо размерного времени t вводят без-
размерный путь s; связь между ними устанавливается по фор-
муле:
ds=~^>j7 dt,	(1.1.9)
где v — текущая скорость.
Тогда в формулах (1.1.5), (1.1.8) скорость v исключается
S	S
т] = J sin (ф — a) ds; I = J cos (ф — а) ds-,
о	о
С = | sin (ф — ₽) ds-, j = J cos (<p — p) ds. (1.1.10)
о	о
27
Рис. 1.5. Связь между проекциями вектора скорости для
вертикальной (а) и горизонтальной (б) плоскости.
28
Координаты I, л- £ могут быть также выражены через про-
екции скоростей vXl, vVl и uZ1. С помощью рис. 1.5, а, б получим
формулы, связывающие эти величины
для вертикальной плоскости
== £ = vx, cos ф + Vy, sin ф;
7| — Vx, sin Ф — Пу, cos ф	(1.1.11)
для горизонтальной плоскости
= j = Vx, COS <f> + WZ1 Sin ср;
•0^= С = vx, sin<p — vx, cosep.	(Г.1.12)
§ 2. МАССОВЫЕ СИЛЫ
К массовым силам, действующим на ПЛ, относятся силы
веса и силы плавучести. Равнодействующая сил веса приложена
в центре тяжести ПЛ, равнодействующая сил плавучести —
в центре величины. В случае статической уравновешенности
лодки эти силы равны по величине и противоположны по напра-
влению, что и выражается уравнением плавучести D=yV. Если
ПЛ статически неуравновешена, то уравнение плавучести
где р — остаточная плавучесть,
у — удельный вес воды.
В ряде случаев, особенно когда это касается аварийного ма-
неврирования, связанного с заполнением и продуванием отсеков
и цистерн ПЛ, плавучесть р и ее координаты переменны во вре-
мени.
Рассматривая статически неуравновешенную ПЛ будем пола-
гать, что остаточная плавучесть приложена в некоторой точке
с координатами (в связанной системе координат) хР, уР, zp
Силы веса и плавучести статически уравновешенной ПЛ всегда
равны и приложены неизменно в центре тяжести й центре ве-
личины соответственно.
Примечание. Более правильно в формуле для плавучести использо-
вать понятие плотности, Так как удельный вес воды зависит от широты места
и не является физической константой (v=pg). Однако ввиду сравнительно
малого изменения g указанное обстоятельство в дальнейшем учитывать ие
будем.
Остаточная плавучесть, вызванная гидрологическими факто-
рами, включает в себя следующие составляющие:' положитель-
ная плавучесть, связанная с увеличением плЬтйдсти воды по
глубине; отрицательная плавучесть (топящая сила), вызванная
обжатием прочного корпуса; плавучесть, обусловленная влия-
нием температуры на плотность жидкости; плавучесть, вызванная
29
изменением солености воды. Эти три составляющие плавучести
определяются по формулам, имеющим опытные коэффициенты.
Рассмотрим их.
Увеличение плавучести с возрастанием глубины погружения
ПЛ. Известно, что с увеличением глубины возрастает удельный
вес воды: на 10 м Ду составляет примерно 0,005% или 5-Ю-5.
Обозначая глубину погружения через Н, запишем формулу для
остаточной плавучести, обусловленной изменением глубины,
А=Д7 • 10-Wl/=5 • 10~«/7V.	(1.2.1)
Обжатие прочного корпуса ПЛ, вызванное гидростатическим
давлением, приводит к уменьшению объема корпуса. Считается,
что на 10 м глубины погружения объем корпуса уменьшается на
0,025% или 25-10-5. Возникающая при этом топящая сила
А = -25- 10-®7Яипр.к,	(1.2.2)
где Упр.к — объем прочного корпуса, прочной рубки и прочных
цистерн вне прочного корпуса.
Влияние температуры воды на ее удельный вес проявляется
также с изменением глубины. Однако в связи с существованием
ряда дополнительных факторов оценка изменения плавучести
в зонах температурного скачка производится на основании дан-
ных о разности температур смежных слоев воды. Обозначая че-
рез х изменение удельного веса воды, приходящееся на 1°С,
составим формулу изменения остаточной плавучести
^=ч=х(^2 — /ЗтК	(1.2.3)
где t2~it~ разность j^*J(l₽P(Wp;
х—коэффициент, равный 0,014% при изменении темпе-
ратуры от 209 до, 10°; 0,003% при изменении темпе-
ратуры от 10° до. 4°.,
При изменении солености воды изменяется ее плотность.
При переходе ПЛ из пресной воды в соленую имеет место
увеличение удельного веса, а из, соленой в пресную наоборот
уменьшение. В первом случае на ПЛ появляется положительная
остаточная плавучесть, во втором — топящая сила.
Остаточная плавучесть, вызйанндя расходованием перемен-
ных грузов, и координаты ее приложения зависят от веса н коор-
динат этого груза, которые могут быть определены по конструк-
тивным чертежам подводной лодки.
Плавучесть, обусловленная гидрологическими факторами и
расходованием грузов, как правило, компенсируется приемом
воды в цистерны вспомогательного балласта, после чего ПЛ ста-
новится статически уравновешенной. Так как замещение пере-
менных грузов производится через некоторый, хотя и малый
промежуток времени, то вполне естественно, что- остаточная пла-
30
вучесть оказывает существенное влияние на параметры движе-
ния ПЛ. Некоторые грузы расходуются в процессе плавания не-
прерывно, что, естественно, вызывает необходимость компенса-
ции влияния расхода динамическими силами. Это достигается
применением автоматических устройств для стабилизации кине-
матических параметров.
Наиболее значительное изменение веса и плавучести ПЛ про-
исходит при погружении и всплытии ее. Эти маневры имеют
место как в эксплуатационных, так и в аварийных режимах.
Они обычно связаны либо с заполнением отсеков, балластных
цистерн и проницаемых частей ПЛ, либо с продуванием цистерн
главного балласта; получающаяся при этом остаточная плаву-
честь и ее координаты сильно зависят от формы и объемов от-
секов прочного корпуса или цистерн. Так как продувание и за-
полнение каких-либо объемов корпуса ПЛ связано с изменением
характеристик поступающего или выходящего воздуха, то вели-
чина плавучести в той или иной степени определяется законом
Бойля-Мариотта.
Силы веса и плавучести, возникающие при погружении и
всплытии ПЛ, удобнее рассматривать для двух основных слу-
чаев: погружение или всплытие в полностью погруженном поло-
жении, погружение или всплытие с пересечением свободной по-
верхности. Такое разделение сделано потому, что при пересече-
нии свободной поверхности изменяется плавучесть ПЛ. Вторая
задача является более сложной.
Рассмотрим первый случай. Предположим, что погружение
ПЛ происходит в результате симметричного затопления какого-
либо поврежденного отсека или преднамеренного заполнения ци-
стерн. Если обозначить через F — площадь пробоины или шпи-
гата, р. — коэффициент расхода, то изменение топящей силы во
времени в предположении отсутствия крена
=	^2^(7; — Хрзтф) ,	(1.2.4)
где ф— угол дифферента; т] — глубина погружения; хР— абс-
цисса точки приложения топящей силы.
Интегрированием этого выражения до момента времени, со-
ответствующего полному заполнению отсека или цистерны, мо-
жно получить значение максимальной топящей силы. Для ка-
кого-либо промежуточного положения топящая сила
t	t
F = p(i)di = wF У 2g (-rj — Xp sin ф) di. (1.2.5)
Сила плавучести появляется при продувании цистерн глав-
лого балласта или отсека. Продувание, как правило, произво-
дится воздухом, а в аварийных случаях для продувания иногда
31
используются пороховые газы. Применение пороховых газов по-
зволяет значительно увеличить весовой расход газа и уменьшить
время продувания. Продувание ЦГБ происходит при закрытых
клапанах вентиляции, так что появляющаяся при этом плаву-
честь определяется количеством удаляемой из цистерны воды.
Определение плавучести в этом случае представляет значитель-
ные трудности, так как в процессе продувания изменяется глу-
бина погружения (следовательно изменяется и напор). Весовой
расход воздуха, поступающего в цистерну зависит от давления
в цистерне (напора) и давления в баллонах сжатого воздуха.
Часто для упрощения эта задача разделяется на две: определе-
ние весового расхода воздуха ж определение продутого объема
цистерн при заданном весовом расходе. Строго говоря, такое
разделение возможно лишь при закритическом истечении воз-
духа, когда скорость и плотность воздуха не зависят от давле-
ния в цистерне. Рассмотрим сначала первую задачу, которая
была подробно исследована М. Е. Мазором, а затем В. Н. Квас-
никовым [52]. Предположим, что истечение воздуха происходит
из одного баллона объемом нетто ив- Тогда весовой расход воз-
духа
(1-2.6)
где yd — удельный вес воздуха в баллоне.
Допуская, что справедлива гипотеза стационарности с дру-
гой стороны можно записать
O=r„V..	(1.2.7)
где уа, wa — удельный вес и скорость воздуха на выходе из кла-
пана системы воздуха высокого давления в цистерну;
Fa—площадь сечения клапана.
Сравнивая (1.2.6), (1.2.7), получим
(1.2.8)
Предполагая истечение закритическим, можно положить
а>а^=Ши1»- Кроме того, известно, что при закритическом истечении
газа из сосуда давление выходящего из сосуда газа пропорцио-
нально давлению в сосуде, а коэффициент пропорциональности
определяется гидравлическим сопротивлением системы. В общем
случае эта зависимость может быть представлена в виде (без
вывода)
=	(1.2.9)
где 6 — коэффициент пропорциональности.
32
Предполагая, что истечение происходит по изотермическому
закону, т. е. показатель политропы л=1, можно написать
=—М’	(1.2.10)
Интегрируя выражение (1.2.10), получим
(1.2.11)
где уа(|—буб0 определяется начальным давлением в баллоне.
После подстановки (1.2.11) в (1.2.7) получим выражение для
весового расхода газа
G =	(1.2.12)
где	О-2-13)
Весовой расход Go в начальный момент продувания предпо-
лагаем известным. Для более общего случая истечения газа
1 + п
G=Go(l + ^O1-'1 ,	(1.2.14)
где п — показатель политропы.
Интегрируя выражение (1.2.13), найдем весовое количество
воздуха, выходящего из баллона в цистерну за время t,
t
Q = Г Q dt =	(1 - e-^).	(1.2.15)
S	л
Очевидно, что —г— равно начальному весовому количеству
к
(jQ
воздуха в баллонах Qc0 =уб0Пб, т. е. k= --- -, тогда можно на-
Уб0
писать, что
Q = Q6o(l-e-n	(1.2.16)
Если воздух из одного баллона поступает в несколько ци-
стерн, в которых условия истечения одинаковы, тогда расход
воздуха в каждую цистерну находится по формуле (1.2.12),
а суммарный расход равен
G=Goe-^,	(1.2.17)
где Gq= V. Goy;
г-1
п — число цистерн;
индекс «I» определяется номером цистерны.
3 Заказ № 018	33-
Вес воздуха Gai, подаваемого в каждую цистерну, по-пре-
жнему определяется формулой (1.2.13), а его разделение по ци-
Fm 6 г	с
стернам — отношением	—-—, Fai—площадь проходного се-
чения выходного клапана i-й цистерны; 8{—коэффициент, оп-
ределяемый гидравлическим сопротивлением системы.
Решив первую часть задачи, перейдем теперь к рассмотре-
нию второй ее части и получим формулу для определения про-
дутого объема цистерны главного балласта. Остановимся на при-
мере продувания одной цистерны. Весовой расход воздуха мо-
жет быть представлен в виде
G(Z)=-^p-,	(1.2.18)
где Vz—продуваемый объем ЦГБ;
Уг — удельный вес воздуха в цистерне, соответствующий не-
которому забортному давлению р>.
Интегрируя (1.2.18), получим связь между весовым количест-
вом воздуха и продутым объемом
t
Q(t)=bV^G(t)dt.	(1.2.19)
о
С другой стороны, может быть определен объемный расход
воздуха, равный объему продуваемой воды V' в единицу вре-
мени t, который зависит от давления воздуха в цистерне рг, за-
бортного давления pi и площади шпигатов или кингстонов Fmn.
Таким образом, уравнение скорости продувания воды имеет вид
=	(1-2.20)
где V' = Vo—— объем цистерны главного балласта.
„ dVz dVz
i  Так как —— =------— , а закон расширения воздуха в ци-
at	at
стерне приближенно считается изотермическим, т. е. pz=RTyz
то, используя (1.2.19), (1.2.20), можно написать
	(I-2-21)
где R— газовая постоянная; Т — абсолютная температура.
dVa
Так как  конечная величина, то из (1.2.21) следует, что
при Fm-+°° подкоренное выражение ртремится к нулю.
84
Полагая, что р -> рг, имеем
V(1.2.22)
Pl	12	'
Известно, что для принятых в настоящее время кингстонов и
шпигатов на больших глубинах избыточное давление в цистер-
нах главного балласта невелико и составляет 0,1—0,2 ат. Это
позволяет воспользоваться формулой (1.2.22). При изотермиче-
ском расширении воздуха в цистерне на основании закона
Бойля-Мариотта
72 = 10 1шИ10 10 ’	(1-2.23)
где уо — удельный вес воздуха при нормальных усло-
виях, а
’1шп= ’ll - *шп sin <|> - ушп COS	(1.2.24)
Лшп — отстояние ц. т. площади шпигата от свободной
поверхности;
*)i — погружение центра тяжести ПЛ;
Хшп, Уша—координаты центра шпигата или кингстона.
Подставляя (1.2.23) в формулу (1.2.22) и используя (1.2.24),
получим выражение для продутого объема
I/, _	Qfr/1 е )________	и n 25i
2	То *11 — *шп sin Ф — Ушп cos ф + 10 •	I • • /
При продувании нескольких цистерн одной группрй балло-
нов объем
о-2-26)
Переходя к силе плавучесТн, получим при продувании одной
цистерны
Р2 = Т^2,	(1-2.27^
а при продувании нескольких цистерн главного балласта
Р2 = т 2 V2i.	(1.2.28)
i = i
Полученные выше формулы не учитывают возможности стра-
вливания воздуха через шпигат или кингстон в случае появле^
ния больших дифферентов. Это происходит главным образом
в аварийных ситуациях.
В случае пересечения свободной поверхности изменяется не
только вес, но и плавучесть подводной лодки. Плавучесть кор-
пуса ПЛ в каждый момент погружения или всплытия зависит
3*	35
от кинематических параметров; глубины погружения, углов
крена и дифферента и может быть определена по теоретическому
чертежу,
§ 3.	РЕАКТИВНЫЕ СИЛЫ
Одной из основных сил, действующих иа корпус ПЛ при ее
движении, является реактивная сила движителя. В качестве ос-
новного движителя современные ПЛ имеют гребной винт, при
работе~Которого возникают реактивные силы (упор винта) и мо-
мент (в плоскости диска винта). Из-за засасывания в кормовой
части корпуса ПЛ появляется дополнительная сила, проекция
которой на линию вала увеличивает упор, Суммарная сила, на-
правленная по оси вала, называется тягой гребного вннта.
Рис. 1.6. Силы, действующие иа гребной винт.
В общем случае движения ПЛ поток жидкости натекает на
гребной винт под некоторым углом скоса ср. Скос потока обу-
словлен тремя факторами:
а)	влиянием обводов корпуса в кормовой части;
б)	наличием угла атаки корпуса;
в)	наклоном линии вала к основной н диаметральной пло-
скостям.
Однако последний фактор влияет весьма слабо, так как
обычно линия вала ПЛ параллельна диаметральной плоскости,
а максимальный наклон его составляет 1—2°.
Таким образом, реактивную силу, возникающую при работе
гребного винта, можно представить в виде двух составляющих:
упора (тяги)—проекция на линию вала и нормальной соста-
вляющей, совпадающей со следом плоскости диска винта. По-
мимо этого при косом обтекании возникает реактивный момент
в продольной плоскости относительно центра тяжести ПЛ
(рис. 1.6). Угол скоса потока принципиально может быть любым.
При обычных эксплуатационных режимах движения этот угол
невелик и составляет несколько градусов. При сильных манев-
рах, характеризуемых большими- углами атаки, скосы потока
могут принимать большие значения, вплоть до ±90°.
36
При горизонтальном установившемся движении с перегрузкой
угол скоса не превышает 15—20°.
Из теории судовых движителей известны структурные фор-
мулы, связывающие силы и моменты, возникающие при работе
винта, с числом оборотов и диаметром винта. С учетом угла
скоса напишем формулы для упора, момента и нормальной силы
р?= £1?р/г2О^: Л!кр ? = £2?р/г2О®;	= £ур/г2Ов, (1.3.1)
где	р — плотность воды;
п — число оборотов гребного виита;
DB— диаметр винта;
kllt, ki<f, ky — безразмерные коэффициенты упора, момента и
нормальной силы, находятся по формулам:
\	£>в
— k,2 Ц- Xpa tg ? p2 4- 2Xpe—
\	*sr
Ъ   1 tff rn ( Ь I	\
S — ~	2	
(1.3.2)
cp — угол скоса потока;
ki, fe — безразмерные коэффициенты упора и момента
при отсутствии скоса потока;
£io, £20 — значение коэффициентов уцора и момента при
швартовном режиме;
Кр0 — значение Хр при Р=0;
Хро —относительная поступь, вычисляемая по акси-
альной скорости в диске винта.
Формулы (1.3.2) приводятся без вывода. Он может быть за-
имствован из работы [100].
Входящий в соотношение (1.3.2) коэффициент At опреде-
ляется либо по формуле
_2 < >2
^ра
A,=
Хро .	Г-2 +
(1.3.3)
ЛНбо ПО Кривой Ai=f(Xpa) [100].
В частном случае, когда <р=0,
k । у == £ ।,	£2<р — £2 ’ £у — В,
37
Полагая, что при наличии скоса потока и угла атаки коэффи-
циент засасывания не изменяется, связь между тягой и упором
представим в виде
= - /).
Проекция тяги на направление движения центра тяжести ПЛ
(при угле атаки а=#0)
Тч =	— /)cbsa — K9sina.
При движении ПЛ в погруженном положении принципиально
возможны различные режимы работы двигателя: режим работы
по внешней характеристике, режим постоянного числа оборотов,
режим постоянной мощности. Если тот или иной режим работы
двигателя поддерживается постоянным, то при изменении углов
атаки а и перекладки горизонтальных рулей 6 происходит изме-
нение скорости движения ПЛ и относительной поступи гребных
винтов. В работе [83] показано, что тяга винтов в направлении
оси вала уйеличивается при уменьшении скорости и уменьшается
при увеличении скорости при условии поддержания постоянного
режима работы двигателя.
Кроме указанных выше режимов, относящихся к движению
ПЛ на переднем ходу, в некоторых случаях возможно изменение
направления движения — реверсирование.
В общем случае движения тяга является функцией скорости
хода ПЛ и числа оборотов.
Для решения ряда задач, связанных с определением пара-
метров движения ПЛ, часто полагают п = const, и Т считают
только функцией скорости T=T(v). Построение этой кривой
можно производить по способу К. К. Федяевского, предложен-
ному им в работе [92] для определения предельных скоростей
при полете дирижаблей с перегрузкой. Этот графо-аналитиче-
ский способ состоит в следующем.
Для определенного режима работы двигателя задаются не-
сколькими значениями относительной поступи %, и после вычи-
слений строят кривые мощности, потребляемой гребным винтом
(рис. 1.7). Затем по точкам пересечения кривых на рис. 1.7
строят зависимости (о), N (и), п (о).
Далее записывается уравнение мощности
RJlv=^T'v = 75Nerlv,	(1.3.4)
где	Rx (a) — сила сопротивления при постоянном
угле перекладки рулей 6;
Ne — мощность двигателя по кривой Nc(v)\
Т' (и) — проекция тяги винта на направление дви-
жения ц. т. подводной лодки;
38
Пф='ПрЛк'Пкф — пропульсивный коэффициент при косом
обтекании корпуса ПЛ;
т]р — к. п. д. свободного винта в осевом потоке;
1 — t
т]к= —J---—---коэффициент влияния корпуса;
1 —
т]кф=—।05 а — коэффициент влияния косого потока;
v — скорость движения.
N
Рис. 1.8. Зависимости %р(и), У (и),
Рис. 1.7. Кривые мощности, потребляе-
мые гребным винтом.
л-const — режим постоянного числа оборотов;
?/•= const— режим постоянной мощности.
В выражении (1.3.4) Rx-v = T'v представляет собой потреб-
ную, а правая часть—располагаемую мощность на винте. Зада-
ваясь рядом значений углов атаки а, построим два семейства
кривых при a=const: зависимости потребной и располагаемых
мощностей от скорости движения ПЛ, соответствующие левой и
правой частям (1.3.4). Точки пересечения соответственных кри-
вых первого и второго семейств позволяют найти функцию T'v =
=f(v). Указанное построение выполнено на рис. 1.8. Для по-
строения кривой T' = T'(v) необходимо все ординаты кривой
T'v=f(v) разделить на соответствующую скорость. Зависимость
Т' (и) дана на этом же рисунке.
Тяга в направлении оси вала при движении ПЛ с углом
атаки
Т('П)=—
k ' COS 1
39
Функция T(v) может быть также определена по паспортной
диаграмме винта. Для этой цели йа паспортной диаграмме
мощности изображается характеристика работы двигателя.
Точки пересечения этой кривой с кривыми %=const и n=const
переносятся на диаграмму тяги.
В ряде случаев, когда рассматриваются малые углы атаки
порядка нескольких градусов, тяга принимается постоянной.
Однако уже при а=±10° пренебрежение изменением тяги при-
водит к уменьшению значения скорости до 10%.
Несколько усложняется определение тяги гребного винта
в случае реверса, когда производится маневр остановки ПЛ и из-
меняется направление вектора скорости прямолинейного устано-
вившегося движения на 180°. Изменение направления движения
ПЛ является следствием изменения направления вращения вин-
тов и соответственно упора.
Характеристиками маневрирования корабля в этом случае
являются: время остановки гребных винтов, время развития за-
данных оборотов и скорости при заднем ходе. При реверсирова-
нии винта окружная скорость винта уменьшается, затем винт
находится в режиме свободного вращения и окружная скорость
обращается в нуль (застопоренный винт), далее изменяется на-
правление его вращения. Следует, однако, отметить, что сразу
же после изменения направления вращения винта из-за большой
инерции ПЛ изменение направления движения не происходит.
Под действием отрицательного упора инерция ПЛ гасится, а за-
тем изменяется направление ее движения. При контрреверсе
с заднего хода на передний наблюдается обратная последова-
тельность режимов обтекания лопасти винта. Естественно, что
во всех этих случаях существенно изменяются гидродинамиче-
ские характеристики гребного винта.
Не останавливаясь на методах определения гидродинамиче-
ских, характеристик гребного винта при реверсе, которые доста-
точно водно изложены в работе [67], отметим, что задача рас-
чета винта при любом режиме его работы состоит в определении
скорости набегающего на гребной винт потока с учетом вызван-
ных скоростей, гидродинамического шагового угла, коэффициен-
тов Сх nCt профилей винта при круговом изменении угла атаки.
Вызванные скорости в режиме обратной струи были теорети-
чески определены И. Я. Миниовичем [67], им же предложен полу-
эмпирический метод расчета гидродинамических характеристик
гребного винта при реверсе.
Кривые действия гребного винта при заднем Ходе опреде-
ляются на основании серии испытаний моделей в лабораторных
условиях. При обычных представлениях коэффициентов упора и
момента последние обращаются в оо при п=0. Поэтому для зад-
него хода
40
коэффициент упора
kp=
коэффициент момента
Гр В
где №— обратная относительная поступь. Для того чтобы охва-
тить все режимы движения при реверсе, необходимо пользоваться
кривыми действия винта &i(%p), й2(Хр), Лр(Х^), йт(А? ), качест-
венное представление о которых можно получить из работы [67].
Все эти зависимости существенно нелинейны.
Так как тяга гребного винта зависит от скорости и числа
оборотов, то решение задачи о движении ПЛ при реверсе воз-
можно лишь при совместном решении уравнений движения ПЛ
и уравнения вращения гребиых винтов. Последнее имеет вид
21С/-§-==уИдв+7Ит₽ + Л1гмр,	(1.3.5)
где J — эффективный момент инерции вращающихся масс,
равный сумме приведенных к оси гребного вала мо-
мента инерции всех вращающихся масс, относя-
щихся к гребному винту и присоединенного момента
инерции гребного винта;
Л1ДВ — крутящий момент двигателя на валу, зависящий от
числа оборотов вала;
.Мтр — момент сил трения в валопроводе;
Мгидр — гидродинамический момент гребного винта, завися-
щий от угловой скорости и скорости движения ПЛ.
Ввиду сложности построения кривой Т(п, v) в ряде случаев
при решении задачи используют аппроксимирующие зависимо-
сти. Получим их для двух случаев поступательного движения:
установившегося и неустановившегося. Рассмотрим сначала
установившееся движение. Тяга может быть представлена изве-
стной формулой
Г= Р(1	Q.p),
где относительная поступь
v (1 — и>)
р пРв •
Из рассмотрения большого числа функций fei(%P) известно,
что они хорошо аппроксимируются линейной зависимостью, т. е.
*,=*?-*;хр.	(1.3.6)
41
Так как Xf линейно зависит от скорости, после подстановки
(1.3.6) в выражение для тяги получим
Т = arn2 — bTnv,	(1.3.7)
где ат и 6Т — постоянные коэффициенты, определяемые форму-
лами:
ат=Р(1 -/)ОХ &т=р(1 - /)(1 - w) Dlk\,
в которых и k't — коэффициенты, полученные в результате
аппроксимации.
В случае неустановившегося движения число оборотов, вхо-
дящее в выражение (1.3.7), зависит от времени; точное его опре-
деление требует совместного решения уравнения изменения чи-
сла оборотов и уравнений движения. В первом приближении
можно принять линейную зависимость числа оборотов от вре-
мени
где п—постоянная скорость изменения числа оборотов
П1 и П2 — числа оборотов, соответствующие начальной и конечной
скоростям хода;
А/— время изменения числа оборотов.
Приведенные выше приближенные формулы для тяги Т отно-
сятся к случаю отсутствия скоса потока. При косом обтекании
корпуса ПЛ, как уже указывалось, изменяется коэффициент
упора (вместо ki следует брать При этом условии формулы
(1.3.6) и (1.3.7) справедливы.
В последнее время ведутся работы по исследованию возмож-
ности применения на ПЛ гидрореактивных, а также роторных
движителей. Не останавливаясь здесь на принципах их работы,
которые изложены в специальной литературе, отметим, что пер-
вые йз-за сравнительно невысокого к. п. д. пока еще не находят
применения на ПЛ, а вторые недостаточно изучены. Некоторые
результаты исследований роторных движителей показывают, что
нх эффективность зависит от скорости движения ПЛ. На малых
скоростях можно получить необходимую тягу и характеристики
управляемости, на больших скоростях эти требования в боль-
шинстве случаев несовместимы.
§ 4. СИЛЫ ИНЕРЦИОННОЙ ПРИРОДЫ
Силы инерционной природы обусловлены инерцией подвод-
ной лодки и окружающей ее жидкости. Гидродинамические силы
инерционной природы являются составляющей гидродинамиче-
42
ской реакции воды при иеустановившемся движении подводной
лодки и могут быть определены на основании известных теорем
динамики идеальной жидкости.
Известно, что в выражения для гидродинамических сил вхо-
дят присоединенные массы, которые в общем случае зависят от
времени. Однако, если при составлении их выражений принять
систему координат, связанную с подводной лодкой, то присоеди-
ненные массы в этой системе записываются в наиболее простой
форме и не зависят от времени.
Для определения сил инерционной природы воспользуемся
энергетическим методом. Составим выражение для кинетической
энергии подводной лодки и присоединенной жидкости, а при по-
мощи уравнений Лагранжа установим связь между проекциями
угловых и линейных скоростей движения ПЛ и проекциями глав-
ного вектора и главного момента всех сил инерционной при-
роды.
Предположим, что кинетическая энергия твердого тела (ПЛ)
Ti, а энергия присоединенной жидкости Тг. Кинетическая энер-
гия твердого тела, движущегося с поступательной скоростью v
и угловой скоростью со в связанной системе координат, записы-
вается в виде:
Т,	+	+	+	+	(1.4.1)
где	т—масса ПЛ;
Ухр vv , vZi — проекции вектора поступательной скорости
ц. т. ПЛ v на оси координат;
соХр соур coZ1—проекции вектора угловой скорости со на оси
координат;
/хр /цр Jzt — моменты инерции массы ПЛ относительно
осей координат oxi, ot/i, ozi соответственно.
Выражение для кинетической энергии составлено в предпо-
ложении, что оси координат являются главными осями инерции.
Кинетическая энергия жидкости на основании известных по-
ложений гидромеханики
6	6
/,2=-2-2	(1.4.2)
; = 1 а = 1
где Ui и Uk — проекции скоростей движения;
— присоединенная масса в обобщенном смысле (инер-
ционная константа).
В формулу для кинетической энергии жидкости входит
36 инерционных констант. Двойную сумму, входящую в выра-
43
жение (1.4.2), можно представить в виде матрицы
хп,	Х]2 >	Х]з>	Х14,	Х]5>	Х-16
Х21 >	Х22,	Хгз>	Xj4>	Ха5>	Х26
Х31 >	Х32,	Хзз>	Хз4’	Хз5>	Х36
Х41,	Х42>	Х43 >	^44’	Х45’	Х4в
Х51,	Х-52’	Х53’,	х34.	Х55’	Х.56
Х-si >	Хб2>	Xgg,	Х-64 >	Xq5’	Хее
Известно также, что на основании теоремы взаимности ktk —
= ^м\ тогда число инерционных констант уменьшится до 21.
Исходя из размерности членов, входящих в формулу (1.4.2), не-
трудно установить, что: Хц, Х12, Х13, Х22, Хгз, Х33 имеют размерность
массы; Х44, Хи, Xie, Х24, Х25, Аге, Х34, Х35, Х3в— имеют размерность
статического момента присоединенной массы; Х44, Х45, Х46, Х5з,
Х56, Хее — имеют размерность момента инерции присоединенной
массы.
Рассмотренные выше инерционные константы имеют назва-
ние: присоединенная масса ПЛ, статический момент присоеди-
ненной массы, момент инерции присоединенной массы; индекс
ik обозначает пару координатных осей, относительно которых
вычисляется присоединенная масса.
Раскрывая формулу (1.4.2.), получим
2Г2 =	+ Х44<»* _ + Х53ш2_	+
+ 2X12wx,t>y, +	+ гх^сог, + 2Х15т>Ж1о>у, +
+ SXjgWx.o»», 4~ 2/4ST'yi'Oz, 2X24‘Oy1a>Jfl -|- 2Х25'0У1<иУ1 -|-
+	+ 2Хз4^,<о.Г1 + 2X35'0Zlu)y1	2'^Vz^ Ц-
4- 2X45<or,<i>y1 -j- 2X46<oj[.1o>Zi	2X5€<»ylu>z1.	(1.4.3)
Выражение для кинетической энергии Т2 написано для глад-
кого тела произвольной формы. Симметрия тела относительно
какой-либо из координатных плоскостей уменьшает число при-
соединенных масс, т. е. число членов в выражении (1.4.3). Так
как ПЛ симметрична относительно диаметральной плоско-
сти, то изменение направления движения вдоль оси ozi (из-
менение знака на противоположный), изменение направления
вращения вокруг осей oxi и oyi (изменение знаков <вХ1 и на
противоположные) не должно повлиять на величину кинетиче-
ской энергии жидкости Тг, т. е. члены, содержащие в первой сте-
пени либо uZp либо (Oxj или Шцр должны исчезнуть, а это воз-
можно лишь в случае равенства нулю соответствующих при-
соединенных масс. Таким образом, можно записать
Xi3 = X]4 = Х15= Х24 = Х25 = Xa6=X46 = X56=X23 = 0.	(1.4.4)
44
Число членов, входящих в (1.4.3), уменьшается до двенад-
цати. Для ПЛ, имеющих форму корпуса симметричную относи-
тельно поперечной плоскости (плоскости XiOZi) число присоеди-
ненных масс уменьшается до восьми. Тогда, кроме выполнения
условия (1.4.4), должны также быть равны нулю присоединен-
ные массы %i2, Xie.
Если учесть симметрию корпуса относительно плоскости Xioyi
(диаметральной плоскости), то кинетическая энергия жидкости
представляется в виде:
2Г2 = Х,^, Ц- Хщ'Ог, + Х12,пх,'0 У1Ц- X44<i>2 , Ц-
+ ^55<ЙУ1 + ^66<UZi + 2X45COJfl<Oy,	2Х34'О21и>Х1
Ч- 2X35‘t>z,<Oy1 -|- 2X[6’Oj.,u>Z1 2X2et>y1(oZ1.	(1.4.5)
Введем понятие о коэффициентах обобщенной присоединен-
ной массы, под которыми будем понимать отношение присоеди-
ненной массы к массе ПЛ, моменту инерции и статическому мо-
менту массы подводной лодки. Соответственно обозначим:
, Хи	Х22	, X»
kn=-----: £22=---; R33---коэффициенты при-
т	тт
соединенных масс при движении вдоль осей
0X1, oyt, OZi,
ki2= — коэффициент присоединенной массы при
одновременном движении вдоль осей oxi и
оуь
. Х1в ,	Х34	,	Х35
file =--7Ц7-; «34 = ——5-; «за = —jyz—;
mV'3	mV'3	mVia
Хм	, ,
=-----— коэффициенты статических
тов присоединенных масс;
. Xu	Хм , Хее .
«44——,—; «55=^-—?—; «в«=—j—; «45 = 
Jx,	Jyt	А|
&2в —
момен-
Х45
(1.4.5a)
коэффициенты моментов инерции присоединен-
ных масс.
С учетом принятых обозначений кинетическая энергия при-
соединенной жидкости
2Г2 = тклч?л + mk^ + mk^v2, + JXlk^2Xt + 4,^5. +
+ Л. + 2mkvtvXtvyi + 2JXiy,kKu>Xla>yi4- 2mV'lak^2twx, +
+ 2«zу,/зЛй®г,<»у, + 2mV‘l,kwvtyi1, + 2mV'1‘k.xvya>z,.	(1.4.6)
В случае симметрии корпуса ПЛ относительно двух плоско-
стей— Xioyt — и XiOZi выражение (1.4.6) упрощается:
274 = mk^jVjc, mk^Vy. tnk-,:>vz,	JХ1к^лХ1	Jy,kc,y^yt -|-
+ Л^вб“г> + 2/71 V’/’^e®y,<Oz, + 2от	.	(1.4.7)
45
Для получения выражений, сил и моментов инерционной при-
роды воспользуемся уравнениями Лагранжа. Для общего случая
	движения ПЛ с поступательной скоростью v и угловой скоро-
стью ш уравнения Лагранжа имеют вид:
^XK=-R;
+	(1.4.8)
Здесь К — главный вектор количества движения тела (жид-
кости) ;
I	У— главный момент количества движения тела (жид-
ll	кости);
со — вектор угловой скорости;
'l	v — вектор поступательной скорости центра тяжести
fl	_ _ ПЛ;
I	R и М—главный вектор и главный момент инерционных
[I	сил.
f11	Уравнения Лагранжа могут быть представлены в проекциях
.и	на оси связанной системы ординат:
j	—I- “уА*	*°г,Ку, = X1;
J	^Г- + ‘»гЛ..-^Лг. = -Г1;
(l	df<z, ,	„	ГХ
(lj	—h wxtKу, — “у Ax, — A >
l|	dN
।I- <йу,-У г,	«>г,ЛГ у, ~t~ ®y,Az;	^г, Ay, = Mx,:
У	+ fz. Ax, — •Ox.Kz, = —My,-,
5	^ + '»хЛу,-«>уЛх, + ^,Ау.-®у1Ах1 = -Л1г,.	(1.4.9)
где Axp KVl, Kzt — проекции главного вектора количества дви-
жения К тела (жидкости) на координатные
оси oxi, oyi, oze,
Wxj, “vp Wzj—проекции вектора угловой скорости ПЛ;
Xi, Уь Zi — проекции главного вектора R сил инерцион-
1	ной природы;
46
( ।
’I I'.
I '
Mxt, AfV1, Alz, — проекции главного момента M сил инерци-
онной природы;
(V	NУ1, WZ1—проекции главного момента количества дви-
жения N тела (жидкости);
о vyi' vz,—пРоекЦии вектора скорости v, ПЛ.
Проекции главного вектора и главного момента количества
движения тела (жидкости) зависят от кинетической энергии си-
стемы и определяются формулами:
.Vx, = 4^; Ny=-^\ Nll=-gL. (1.4.10)
Подстановка (1.4.10) в уравнения (1.4.9) приводит их к виду:
d дТ . дТ „ дТ __ у .
dt	dv	'	у’	dv	г’	dvv	1'
Xl	Zi
d	дТ	I	дТ	дГ	V	
dt	dvv	'	0)21	dv	<0-г’	dv,	1'
d	дТ	,	дТ	дТ	7
dt	dv,	'	’	dvv	У1	dvr	11
Zi	У1	Xi
d дТ . дТ	дТ . дТ . дТ ..
,.	С --- I	л	^Zi л	~1	^Vi Л	^Z,	з	~’•’•Хи
dt 1	У1 да* * d<av 1 yi dv, Zl	Х1’
Xi	Zi	У1	Zi	У1
d дТ । дТ	дТ . дТ	дТ Л/Г
"TZ—5----’ 4“	' л ““	' л' + ^Zi “л--------S----------==  J
dt 1 Z1 д(»у л дел, 1 Z1 dv„ 1 dv,	У1
y5	ЦГ1	Zi	Xi	Zj
d dT . dT	dT . ЭТ	dT
dt ди> + <0'ri dia a>y' du> V*1 dvv Vy’ dv
Zj	У1	Xi	у,	X1
мг,. (1.4.11)
Применим формулы (1.4.11) для составления выражений
инерционных сил и моментов подводной лодки и присоединенной
жидкости. Все промежуточные преобразования опустим.
Силы инерции подводной лодки
Хии, =	+ m (Шу.'Пг, — ^,-Оу,);
Гии, = mi у, -J- m (юг.'Пх, —
Zmt = mig, + m(is>x,Vyt — Шу.'Пх.);
44x1 ИН1 Xt^Xi Ц-	/у.)	:
Л4у, ии, = /у,<0 У, + (Л, — А);
44г, ин, ^Zi^z, 4“ (^у,	•Лг1)®х1®У1-
(1.4.12)
47
Силы инерции присоединенной жидкости
-^ИН, -4“ ^16<UZ: + “у, (^ЗЗ^а 4“ ^34ЮХ1 + \>5<ЙУ.) ----------
— “а (^и^у, 4~	4“ W°a):
ни, =^22,°У1 ‘Ь 4“ ^2б,йа 4~	^12®^ "И ^1б,йа) —
ШХ1 (hePzi 4~ ^34® JT, 4~ ^‘35<ЙУ1):
^и, = ^33»z, + ^34® J3 + \к*йУ: + ®х, (^22®yi + \zVx, + ^26®z, ) —
— шУ1 (ХпФл, 4~ Х12-оу,+).|6<«г,);
мХ1 HHj = х44шХ1 -|- x^z, -]- х48шу, 4- Шу, (XjgWz, 4- х 16®Х14- х^у,) —
<йа (4й’йу, 4- X35®z, 4- Х45шХ1) 4- 'Оу, (Х33®г, 4“ Wua 4“ ^35<ЙУ1) —
®»i (4а4~ \z°xt 4~ ^se^a);
М*, ин2 = х55шУ14- х35®214- х45шХ14- шг, (Х44<о,, 4- x,4®Z1 4- ^“yJ —
“а (^вб<йг. 4“	+ Чб°У1) 4“ (Мх. 4“ ^laA, 4“ ^ie“a) —
— (^зз®а 4“ ^34ша 4“ Wb-j!
Mzt HHJ = XggOlz, + X.jgWjr. 4- X^tly, 4- ”>x, (XgjWy, 4“ ^35®г; 4- 4sMJ,) —
— ®У. (^44®x, 4“ X34®Z, 4“ ^45®У1) 4“ (X^Py, 4“\z°x, 4“ ^26®z ) —
- ®y.(*H®a 4- xi2®y. 4-Xie“a)-	(1.4.13)
В выражения для сил инерционной природы входят инерци-
j	онные константы жидкости — присоединенные массы, их стати-
ческие моменты и моменты инерции.
Присоединенная масса представляет собой фиктивную массу,
।	которая, двигаясь со скоростью тела, обладает количеством дви-
।	жения окружающей тело жидкости. Для ее определения суще-
I	ствуют экспериментальные и теоретические методы. В лабора-
торных условиях присоединенные массы могут быть определены
в бассейне при помощи разгонных и тормозных испытаний мо-
дели или при помощи метода малых колебаний.
Из гидромеханики известно, что для того чтобы найти при-
соединенные массы тела произвольной формы теоретическим
I	путем, необходимо вычислить поверхностный интеграл, подынте-
гральное выражение которого представляет собой произведение
потенциала и его частной производной по нормали к поверхно-
।	сти тела. Таким образом, вычисление присоединенных масс тре-
бует предварительного решения задачи о нахождении потен-
циала скорости.
Для упрощения задачи коэффициенты присоединенной массы
вычисляются отдельно для корпуса ПЛ, ограждения рубки, го-
ризонтального и вертикального оперений. Прн этом корпус ПЛ
I
I,	48
II,
может быть заменен эквивалентным трехосным эллипсоидом,
а ограждение рубки и оперение — эквивалентными пластинами
конечного размаха.
Присоединенные массы и моменты инерции присоединенных
масс трехосных эллипсоидов были получены теоретическим пу-
тем в работе [77], в которой имеются графики, позволяющие
найти коэффициенты присоединенных масс ku, k&, kss, ku, k^.
Для приближенного определения коэффициентов присоединен-
ной массы корпуса ПЛ можно пользоваться этими графиками.
Для пластины конечного размаха присоединенная масса
д/и = р(Х)-^-й27,	(1.4.14)
где b — ширина пластины;
I — размах пластины;
к—удлинение пластины;
X /	X \
р,(%) =---------( 1 — 0,425—-----I — поправка, учитываю-
fl + %2 '	1 + %2 '
щая конечность размаха.
Поправка р(Х) была получена экспериментальным путем
Пабстом. К. К- Федяевский [96], используя вихревой метод, по-
лучил приближенную теоретическую формулу для определения
коэффициента р. (X). Результаты, полученные К. К. Федяевским
и Пабстом, практически совпадают.
Для учета влияния корпуса на присоединенную массу опере-
ния корпус заменяется твердой плоской стенкой. На основании
известных выводов гидромеханики влияние стенки приводит
к увеличению эффективного размаха примерно в два раза. При
поперечном или косом обтекании корпуса ПЛ часто используют
метод плоских сечений, который заключается в том, что находят
присоединенные массы при плоском обтекании каждого шпан-
гоута, а затем интегрированием по длине находят присоединен-
ную массу корпуса.
В работе [77] приведены данные по присоединенным массам
простых плоских контуров. Для вычисления присоединенных
масс при плоских режимах движения этих данных вполне доста-
точно. В случае рассмотрения пространственных маневров при
определении присоединенных масс каждого шпангоута необхо-
димо учитывать ограждение рубки и стабилизаторы, доля кото-
рых в некоторых случаях (Х34, Х44, Х45) составляет 85—100%.
В этом смысле большой интерес представляет работа [54],
в которой при помощи метода Л. И, Седова теоретически опре-
делены присоединенные массы плоских контуров, имеющих
форму эллипсов с различным расположением стабилизаторов,
как симметричных, так и несимметричных. В работе представлены
4 Заказ Кв 018	49
графики вспомогательных функций, позволяющие рассчитать
присоединенные массы плоских контуров:
|iy = irpa2;
Рг =	;
!хуг=°;
для шпангоута с несимметричными стабилизаторами
!1й= *sP^4.
для шпангоута с симметричными стабилизаторами
|ХЙ= ДР(Д+г1-)2 [(a + 6)2(ztt4_1) + (6_a)2|.	(1.4.15)
+ »
В приведенных формулах kT, ka, k2a — коэффициенты, зависящие
от соотношения полуосей эллипса (а — малая полуось, b — боль-
шая полуось) и высоты стабилизатора в рассматриваемом сече-
нии h.
Для определения присоединенных масс вычисляются безраз-
мерные параметры:
т, =------
’-4
а
b
==- (1.4.16)
1+24
h
~b
а затем по графикам работы [54] снимаются коэффициенты kx,
ka и kza.
В работе [54] приведены также формулы для частного слу-
чая, когда 6=0, что соответствует сечениям по стабилизаторам
вне эллиптического шпангоута. Коэффициенты u.z, и.2Я, и.я вычи-
сляются по формулам
, (т+ 1)2 — 4
= 1гра2-5—X-J----;
|1ге= — лра3
(m2 —l)(m+ 1)
8
us =	(9т4 4zn3 — 10/л2 -+- 4т — 7) — для несимметрич-
ного стабилизатора;
|is= ^-т4а4—для симметричного стабилизатора. (1.4.17)
Значения присоединенных масс и.о и шпангоутов с сим-
метричными стабилизаторами приведены в работе [54].
50
Если известны присоединенные массы для теоретических
шпангоутов ПЛ, то присоединенные массы всего корпуса опре-
деляются путем интегрирования по длине лодки
L	L
^22 = j	dx-, J р-г dx-,
О	О
4	4
^‘44= J Р*е dx‘, Х.ц = J pzg dx.	(1.4.18)
о	о
При расчете присоединенных масс корпуса методом плоских
сечений необходимо вводить поправки, учитывающие простран-
ственность обтекания. Рассмотренная выше экспериментальная
поправка Пабста, полученная для прямоугольных пластин, в рас-
четах присоединенных масс корпусов ПЛ не может быть йсполь-
зована.
Для корпусов ПЛ можно использовать приближенные по-
правки А. И. Короткина, полученные им для трехосных эллип-
соидов [54]. Для получения поправок присоединенные массы
вычислялись точно на основании [77] и с помощью метода пло-
ских сечений. Из сравнения результатов получена поправка на
пространственность обтекания для масс и моментов инерции
масс:
д) = -^п(к, q)q = ^--
“	кпл
&,(Х. q) = m(K q)q^ + ±^-^-,	(1.4.19)
а
где Х= —-----удлинение тела;
с
Я=~Ь — относительная толщина тела.
Функции k и ki даны на рис. 1.9, а, б.
При движении ПЛ вблизи поверхности льда или дна, свобод-
ной поверхности жидкости присоединенные массы (инерционные
константы) изменяются. Для простых тел (шар, цилиндр) име-
ются формулы и графики, позволяющие найти присоединенную
массу Хн при их движении вблизи твердой стенки.
В 1957 г. В. С. Сабанеевым решена задача об определении
присоединенных масс при движении эллипсоида вращения около
твердой стенки. Задача решалась методом зеркального отобра-
жения. На суммарный потенциал накладывалось условие равен-
ства нулю нормальных составляющих скоростей на поверхности
тела. Коэффициенты присоединенных масс kn, kz>, k33 и fees, вычи-
сленные по схеме В. С. Сабанеева, приведены на рис. 1.10, а, б, в, г
в зависимости от отношения полуосей эллипсоида и расстояния
4*	51
a)
Рис. 1.9. Поправка на пространственность обтекания: а — для присоединенной массы; б — для присоеди-
ненного момента инерции.
--------поправка Пабста; •
f)
Рис. 1.10. Влияние отстояния от
стенки на коэффициенты присоеди-
ненных масс эллипсоида вращения:
д —б — k22; в—-А33; г — Лб6,
26 — максимальный диаметр эллипсоида;
й расстояние между осью эллипсоида и
стенкой; ~~-отношение полуосей эллип-
S)
соида
f)
Рис. 1.11. Влияние волнистой поверхности льда на
коэффициенты присоединенных масс: а----------jfc - и g____
t	(*22)00
*66
(*6в)оо
Я—диаметр корпуса; с —расстояние от оси корпуса ПЛ до
плоской стенки (подошва неровности); т*=-^— безразмерное
время, характеризующее положение корпуса относительно иерон«
яости.
54
его от стенки, Цифры над кривыми показывают соотношение
осей эллипсоида.
Если рассматривается твердая стенка, имеющая неровности,
то в общем случае задача усложняется. Некоторое упрощение
может быть получено, если профиль неровности заменить сину-
соидой. В этом случае с помощью метода зеркального отобра-
жения можно получить формулу для определения присоединен-
ной массы Л22 для круглого цилиндра. Разбивая затем корпус
ПЛ на элементарные цилиндры по длине и используя метод пло-
ских сечений, находят присоединенную массу А22 и момент А«
при движении вблизи неровности.

Рис. 1.12, Влияние свободной поверхности на коэф-
фициенты присоединенных масс.
На рис. 1.11, а, б приведены графики, показывающие измене-
ние kzi и fees в зависимости от расстояния ПЛ от ледовой поверх-
ности. Во всех случаях по мере приближения ПЛ к твердой по-
верхности коэффициенты присоединенных масс возрастают.
Влияние свободной поверхности на присоединенные массы
ПЛ может быть определено по формулам, полученным в ра-
боте [11].
На рис. 1.12 показано влияние относительной глубины погру-
жения ПЛ на поправочные коэффициенты к присоединенным
массам и моментам инерции.
§ 5. ГИДРОДИНАМИЧЕСКИЕ СИЛЫ ВЯЗКОЙ ПРИРОДЫ
ПРИ МАЛЫХ УГЛАХ АТАКИ И ДРЕЙФА
Обычные эксплуатационные режимы плавания ПЛ в погру-
женном положении характеризуются малыми углами атаки а
и дрейфа р. Угол атаки, как правило, изменяется в диапазоне
55
О—3°, угол дрейфа — 0—8°. При таком режиме и достижимых
в настоящее время скоростях движения отрыва жидкости не
происходит, так что гидродинамические силы практически опре-
деляются составляющей, аналогичной по смыслу силе Жуков-
ского, и могут быть выделены в отдельную группу.
Гидродинамические силы, действующие на ПЛ, определяются
геометрическими и кинематическими параметрами. При неуста-
новившемся движении этн параметры зависят от времени. Сло-
жная связь между кинематическими параметрами и силами со-
здает трудности в определении последних. Возникшая проблема
может быть решена введением некоторых упрощающих предпо-
ложений. Одним из таких предположений, существенно облег-
чающим решение задачи, является гипотеза стационарности. Она
формулируется так: гидродинамические силы и моменты вихре-
вой природы, действующие на ПЛ при неустановившемся ее
движении, в данный момент времени полностью определяются
кинематическими параметрами в этот момент времени: углами
атаки а, дрейфа р, поступательной скоростью v и угловой ско-
ростью ш и не зависят от производных по времени этих пара-
метров.
Гидродинамические реакции, возникающие при движении ПЛ,
в общем случае являются нелинейными функциями кинематиче-
ских параметров а, р, со и углов перекладки рулей 6.
Разложение этих функций в ряд Тейлора позволяет пред-
ставить их в виде двух частей: линейной и нелинейной. Если
ограничиваться только линейной частью разложения, то компо-
ненты, содержащие угловую скорость, отделяются от осталь-
ных компонент. В нелинейной же части такого разделения сде-
лать нельзя, так как в нее войдут смешанные производные
гидродинамических реакций. Часто при решении задачи ограни-
чиваются линейными компонентами гидродинамических сил и
моментов. Тогда их можно разделить на две группы: силы и мо-
менты при поступательном движении, силы и моменты при вра-
щении. Первые из них называются позиционными силами, вто-
рые— вращательными силами. Как поступательные, так и вра-
щательные силы могут быть приведены к главному вектору,
приложенному в центре тяжести ПЛ (в начале связанной  си-
стемы координат), и главному моменту, проекции которых на
координатные оси связанной и поточной систем координат имеют
определенные обозначения и названия.
Компоненты позиционных сил и моментов в связанной си-
стеме координат:
Xi — продольная сила;
Yi — нормальная сила;
Zi — боковая сила;
Mxt — момент крена;
Му,— момент рыскания;
56
,1
Mz±— продольный гидродинамический момент (в авиации
момент тангажа).
В поточной системе координат:
X — сила лобового сопротивления;
Y—подъемная сила.
Демпфирующие силы и моменты и их проекции на оси коор-
динат зависят от соответствующей проекции вектора угловой
скорости шХ1, q>V1, В общем случае вращения для каждой
проекции угловой скорости получим шесть составляющих сил и
моментов, а для трех угловых скоростей — восемнадцать соста-
вляющих
to V
Mr",
(Or
мУ1",
М“Х',
Мх?, Мх?
Му,5”, Му?
<”, м:?
(1.5.1)
Аналогичную запись можно сделать для проекций демпфи-
рующих сил в поточной системе координат. В самом общем слу-
чае гидродинамические силы и моменты зависят от поступатель-
ной скорости (позиционные силы), от угловой скорости (демп-
фирующие силы) и расстояния ПЛ от свободной поверхности,
поверхности льда (при подледном плавании) или дна.
В большинстве случаев маневрирование ПЛ происходит на
значительном удалении от свободной поверхности и дна. По-
этому рассмотрим сначала гидродинамические силы и моменты
при движении ПЛ в безграничной жидкости.
Позиционные гидродинамические силы и моменты, возникаю-
щие при движении твердого тела в безграничной жидкости, про-
порциональны квадрату поступательной скорости, плотности
жидкости и величине, имеющей размерность площади для сил и
размерность объема для моментов. Структура формул для опре-
деления гидродинамических сил имеет вид
Связанная система координат Поточная система координат
Xt = Сх, (а, ₽, 8)	V'1*; Х= Сх (а, ₽, 8)	V*'3;
F, = Су, (а, ₽, 8)	: Y = Су (а, р, 8)
Mx,=mx,(ti, р, 8)^- V; Мх = тх(а, р, 8)-^V;
Му,=ОТу,(а, ₽, 8)^ V, М,=ту(*, ₽, 8)^-V;
-М.=/пг,(а, ₽, 8)^1Z; Мг = тг(*, р, 8)-^ К (1.5.2)
57
Связь между силами в различных системах координат осу-
ществляется по формулам перехода. Наиболее простые выра-
жения получаются для плоских движений.
Как следует из рис. 1.13, переход от связанной системы коор-
динатных осей к поточным осуществляется по формулам:
при движении в продольной плоскости
CXt = Сх cos а — Су sin а;
Су, =	sin а + Су cos а.	-	(1.5.2a)
Рис. 1.13. Переход от поточной
к связанной системе координат.
при движении в горизонтальной
плоскости
Сх, = Сх cos р — Cz sin ?;
Сг, = Сх sin р 4- С, cos р. (1.5.26)
Входящие в выражение (1.5.2)
безразмерные гидродинамические
коэффициенты сил и моментов
являются функциями углов атаки
а, дрейфа р, перекладки горизон-
тальных и вертикальных рулей
6к,н,в- Они называются позицион-
ными гидродинамическими коэф-
фициентами.
Зависимость коэффициентов
Ci и mi от двух угловых парамет-
ров аир объясняется тем, что
последние определяют ориента-
цию вектора скорости о относи-
тельно координатных осей, свя-
занных с ПЛ. При равенстве нулю
одного из этих параметров гидро-
динамические коэффициенты зависят от угла атаки (движение
в продольной плоскости) или угла дрейфа (движение в горизон-
тальной плоскости). Для плоских движений функциональные за-
висимости позиционных гидродинамических коэффициентов
имеют вид:
движение в продольной плоскости
— cxt (а, 8К,И); Су, — Су, (а, 8К>И); тг, (а, SK>H);
движение в горизонтальной плоскости
Сх, = СЛ1(₽, 8В); сг, = сг, (р, 8В); OTy, = OTy,(₽, 8В).	(1.5.3)
Позиционные гидродинамические коэффициенты опреде-
ляются на моделях в аэродинамических трубах, в гидроканалах
(бассейнах) и в натурных условиях. Не останавливаясь подробно
на методике их определения, отметим лишь, что при испытаниях
58
с малыми углами атаки и дрейфа последние выбираются в диа-
пазоне значений от 0 до ±20°. Испытания проводятся при ней-
тральных положениях всех рулей, а также при перекладке одной
пары рулей (одного руля) при нейтральном положении всех
остальных рулей.
Углы перекладки рулей изменяются в диапазоне значений от
0 до ±бПред. Предельный угол перекладки зависит от значения
местного угла атаки, при котором начинается срыв потока и
падение подъемной силы пера руля. Значения этого угла лежат
в диапазоне бпред=±(25—30°) и они зависят также от относи-
тельных размеров профиля и формы крыла в плане.
На рис. 1.14, а—д и 1.15, а—е приведены зависимости позици-
онных гидродинамических коэффициентов двух моделей ПЛ,
имеющих штевневую форму и форму тела вращения, от углов
а и р. Из этих графиков видно, что зависимости коэффициентов
сил СХ1(а, 0), CV1(tz, 0), Сц(а, 0) и моментов ШхДа, 0), mVl (а,
0), mZi (а, 0) имеют нелинейный характер. Коэффициент СХ1
в диапазоне углов атаки и дрейфа 0—3° практически меняется
мало.
Коэффициент Су резко возрастает с увеличением угла атаки
а. Наличие положительного угла дрейфа приводит к некоторому
уменьшению коэффициента СУ). Коэффициент момента mZi
с возрастанием угла атаки а изменяется по закону, близкому
к параболическому, а увеличение угла дрейфа вызывает уве-
личение этого коэффициента.
Коэффициент CZi с увеличением угла дрейфа 0 по абсолют-
ной величине возрастает. Изменения угла атаки при этом про-
являются менее существенно. Коэффициент момента тх± сильно
зависит от угла дрейфа 0; в диапазоне углов атаки а=±10° он
имеет в большинстве случаев отрицательные значения.
Коэффициент момента mVl при малых углах 0>О имеет
всегда положительное значение. Вариация угла атаки приводит
к некоторому изменению этого коэффициента.
На позиционные гидродинамические коэффициенты большое
влияние оказывает форма корпуса и соотношение его главных
размерений. Это обстоятельство было исследовано Е. Б. Юдиным
на серии моделей со штевневыми оконечностями и В. П. Боро-
виковым [12] на большой серии моделей ПЛ, имеющих дири-
жабельную форму с различным отношением
L
У'!г
Н
— и различ-
ным положением горизонтального оперения по длине. Было по-
казано, что основное влияние на гидродинамические характери-
н
стики оказывает отношение —. На рис. 1.16, а—з для сравнения
59
60
Рис. 1.14. Зависимость позиционных гидродина-
мических коэффициентов от углов атаки и дрейфа
ПЛ, имеющей нос дирижабельной формы, корму —
штевневой формы (-^- = 1,17^: а — СУ1 (a, fl);
б — С2) (a, fi); в — m2i (а, fl); г (а, 0);
g	д — m2l (а, Р) .
62
Рис. 1.15. Зависимость позиционных гидродинамических
коэффициентов от углов атаки и дрейфа для ПЛ дири-
(н	\
-—=1,0): а — С. («, Р); б —
D	/
в — Сг1(«Л);г—	Р); <?—ту1(а, 0);
е —	(а, 0).
63

Заказ № 018
—) на позиционные
В'
гидродинамические коэффициенты ПЛ дирижабельной
формы: at д — Cyj («, ₽); 6, е— CXi (а, р); в, ж— /иу1
(а, ₽); г, з — тг< (а,' 0).
приведены графики позиционных гидродинамических коэффи-
циентов двух моделей ПЛ дирижабельной формы одинакового
L	Н
удлинения -- =9, имеющих отношение — =0,70; 1,4.
в	в
Из рассмотрения этих графиков следует, что уменьшение от-
ношения —- усиливает взаимное влияние гидродинамических ха-
D
рактеристик в вертикальной и горизонтальной плоскостях.
В случае если рассматриваете? движение в одной плоскости,
должнБГбыть использованы кривые СХ1(а, 0), CVj (а, 0), mZl (а,
0) для движения в вертикальной плоскости и кривые CXj (0, р),
С21(0, р) и /nV1(0, Р) для движения в горизонтальной плоскости.
Иногда испытания для определения позиционных гидродинами-
ческих коэффициентов проводят отдельно для вертикальной и
горизонтальной плоскостей. На рис. 1.17 и 1.18 приведены дан-
ные таких испытаний моделей двух лодок: «Альбакор» и штевне-
вой формы.
Для возможности оценки влияния перекладки рулей иа ги-
дродинамические характеристики оперенной ПЛ производятся
испытания при перекладках горизонтальных и вертикальных
рулей.
Многочисленными экспериментами было доказано слабое
влияние угла дрейфа на изменение характеристик СХ(, CVl, m2l
в функции от угла перекладки 6К и угла атаки на изменение ха-
рактеристик Сх,, Cz,, mVl в функции угла перекладки 6В. По-
этому влияние угла перекладки горизонтальных рулей на СХ),
Св рассматривается только при изменении угла атаки,
а угла перекладки вертикального руля только при изменении
угла дрейфа (рис. 1.19—1.20).
Современные ПЛ в зависимости от предъявляемых требова-
ний к управляемости могут иметь горизонтальные рули: кормо-
вые, носовые или рубочные. Горизонтальное оперение обеспечи-
вает маневрирование в вертикальной плоскости.
Кормовые горизонтальные рули могут быть использованы на
всем диапазоне скоростей хода ПЛ, носовые — при малых ско-
ростях. Для управления при больших скоростях движения с не-
обходимой степенью точности на некоторых ПЛ применяются
помимо БКГР малые МКГР. Очевидно, что точность перекладки
МКГР на большой скорости движения будет выше, чем БКГР,
так как для получения в первом случае одной и той же силы при
прочих равных условиях угол перекладки их будет значительно
больше.
На рис. 1.21 и 1.22 для иллюстрации даны кривые CV1(a, 6К)
и mz (a, бк) при нейтральных носовых рулях для малых и
66
Рис. 1.17. Зависимости С, (а), С„ (а)
•*1 ' z У» ' '
и tnZi (ч) для ПЛ типа «Альбакор».
Рис. 1.18. Зависимости CXt (а), Су, (*) и тг (а) ПЛ штевне-
вой формы.
Рис. 1.19. Влияние угла дрейфа на позиционные гидроди-
намические характеристики С (8к) и mZ: (8r).
Рнс. 1.20. Влияние угла атаки на позиционные гидроди-
намические характеристики CZi (ов) и тиу] (8в).
Рис. 1.21. Влияние угла перекладки малых и больших кормо-
вых горизонтальных рулей на коэффициент Cyi.
68
больших кормовых горизонтальных рулей. Характер этих зависи-
мостей близок к линейным. Коэффициент нормальной силы С
при положительных значениях угла атаки и перекладки горизон-
тальных рулей всегда положителен, коэффициент момента тг1
имеет в большинстве случаев отрицательное значение. Знаки
коэффициента объясняются просто. При положительных а, как
Рис. 1.22. Влияние угла перекладки малых и больших кормо-
вых горизонтальных рулей на коэффициент mZi.
0,f№
Рис. 1.23. Влияние угла перекладки 6И на коэффициент Су1.
Рис. 1.24. Влияние угла перекладки бн на коэффициент тгс
правило, возникает подъемная сила, при этом в случае положи-
тельной перекладки КГР (перекладка против часовой стрелки)
появляется гидродинамический момент дифферентующий ПЛ на
нос, т. е. по принятому правилу знаков отрицательный. С уве-
личением угла перекладки абсолютное значение этого момента
возрастает.
На рис. 1.23—1.24 приведены гидродинамические коэффи-
циенты С(а, 6Н) и mz(cx, 6Н) при нейтральных кормовых
69
горизонтальных рулях. При положительных углах атаки и пере-
кладки носовых горизонтальных рулей коэффициенты CV1 и mZl
положительны.
Анализируя кривые позиционных гидродинамических коэф-
фициентов CVi н mZl, отметим, что их значения при а=($=6 =0,
как правило, не равны нулю. Это объясняется имеющейся у всех
ПЛ несимметрией оперенного корпуса с ограждением рубки от-
носительно горизонтальной плоскости, проходящей через ось oxi.
Указанная несимметрия вызывает появление вертикальных пере-
теканий воды (скосы потока), а следовательно, н некоторые
приращения угла атаки Аа. Большое влияние на Аа и, следова-
тельно, на СУ1(0) и т21(0) оказывают размеры ограждения
прочной рубки и горизонтальное оперение ПЛ.
Как будет показано в дальнейшем, наличие при a=f$=6=0
некоторых значений коэффициентов СуДО) и mZ1(0) приводит
к необходимости балансировки горизонтальными рулями. Неко-
торые данные по Cv t(0) и т21(0) приведены в таблице.
ПЛ	сп (0)	(0)	СХ1 (0)
611	0,01	0	0,04
641	0,008	0,008	0,039
.Альбакор'	0	0,004	0,041
Позиционные гидродинамические коэффициенты Сг± (0) и
и Шт/ДО.), соответствующие движению в горизонтальной плоско-
сти, равны нулю вследствие симметрии корпуса ПЛ относительно
диаметральной плоскости.
Для оценки доли каждой составляющей того или иного коэф-
фициента (корпуса, кормового или носового оперения, ог-
раждения рубки) проводят испытание расчлененных моделей.
На рис. 1.25, а, б приведены данные гидродинамических харак-
теристик расчлененной модели дирижабельной формы.
Рассмотрим теперь гидродинамические силы и моменты, воз-
никающие при вращении ПЛ вокруг некоторой оси, проходящей
через центр тяжести ПЛ, с угловой скоростью ш, предполагая
при этом, что ц. т. имеет поступательную скорость и. Гидродина-
мические реакции, возникающие при вращении в каждом сече-
нии ПЛ, определяются местными поступательными скоростями.
Ввиду сложности вопроса изучим вращательные силы н мо-
менты, разделяя движение на вращения вокруг трех координат-
ных осей с угловыми скоростями <вХ1, Шу, ив,,.
На основании известных соображений гидромеханики проек-
ции линейных составляющих вращательных сил и моментов на
70
координатные оси могут быть представлены в следующем виде:


(1.5.4)
Для получения выражений для отдельных проекций враща-
тельных сил и моментов необходимо в формуле (1.5.4) положить
i=xi, yi, 2i и Pi=Xi, Yi, Zi.
расчлененной модели на позиционные гидродина-
мические характерисгики: а — Cyj (a); б — mZi (а).
------- полная модель;-----------модель без носовых
рулей н ограждения рубки;--------изолированный
корпус.
Формулы для вращательных сил н моментов (1.5.4) по-
строены так, что во всех случаях они пропорциональны соответ-
ствующей проекции угловой скорости. Входящие в них безраз-
мерные коэффициенты С“< и называются вращательными
производными сил
-	_С0 г	— <0 к
Xi
...» by, . . . , bZ]
и вращательными производными моментов
to-.	to-
mXl . . ., myi . . ., mZl .
71
Иначе эти коэффициенты могут быть записаны в виде:
—		У1			
		<-'*1			<4. ’
	.	ГтУ.	<^У. .	с“21 	<Х?У,
			Л,У. ’		d<o_ ’ Zi
Л*	ас, Z1 ,	r>wyi	ЙС21	„(О, р Z|	дС, Z1
^Zj	д<л ’			*?у, ’		<4.
(О у Шх, ' =	дт*	«у. Шх^ =	д/и*.	to, mXl‘ =	
	ди> ’ Xt				<4,
т ./* -—	дту	O)v тУ1 =	бту, .	тг' —	dmy.
	дшх ’		д<лу ’		<4.
о> г	дт?	“у	дт2		дтг
=	д&х *	=		от2 =	’ даг
Если известны зависимости СДшг) и тДш;), то вращательные
производные определяются угловым коэффициентом касатель-
ной, проведенной к кривым в точке, относительно которой про-
изводится разложение гидродинамических коэффициентов в ряд.
В общем случае пространственного движения вращательные
производные являются функциями углов атаки и дрейфа.
Ввиду сложности теоретического решения задачи об опреде-
лении вращательных сил, действующих на ПЛ, последние, как
правило, находятся экспериментальным путем в лабораторных и
натурных условиях.
Известно, что при испытаниях моделей в аэродинамических
трубах вращательные силы, как правило, находятся методами
малых свободных или вынужденных колебаний. Иногда в аэро-
динамических трубах используется метод Криволинейных моде-
лей, при котором для каждого значения угловой скорости ш,
изготовляется модель определенной кривизны, а затем обду-
вается потоком. Метод криволинейных моделей может быть так-
же применен в буксировочном бассейне.
В последнее время все большее применение находят цирку-
ляционные бассейны (круглые бассейны), в которых модель бук-
сируется на специальной вращающейся стреле с различными
угловыми скоростями.
Во всех рассмотренных случаях измерение вращательных
сил и моментов производится при помощи динамометров различ-
ных систем. Наибольшее применение находят динамометры
с тензометрическими и индуктивными датчиками.
На рис. 1.26, а—е и 1.27, а—и приведены зависимости враща-
тельных производных сил и моментов от углов атаки а и дрейфа р
для модели ПЛ, имеющей носовую часть корпуса дирижабель-
ной формы и стабилизирующую корму. Отношение высоты кор-
72
пуса модели к ее ширине — составляло 1,18. Анализ этих кри-
вых, а также результаты ряда подобных испытаний позволяют
сделать вывод о значительном влиянии углов атаки и дрейфа на
вращательные производные. Из-за симметрии корпуса ПЛ отно-
сительно диаметральной плоскости вращательные производные
С“21, m“Zi при р = 0 должны быть равны нулю. Это под-
тверждается приведенными графиками. При увеличении угла
дрейфа эти коэффициенты несколько возрастают, что обусловли-
вается главным образом наличием ограждения рубки. Однако
это влияние ощутимо только при значительном удалении огра-
ждения от центра тяжести ПЛ.
Из-за удлиненной формы корпуса ПЛ изменение лобового
сопротивления за счет вращения весьма мало, поэтому коэффи-
циентами C“x>, С“У’, С“21 можно пренебречь.
Для сравнения величин вращательных производных при а=
= fj = O по данным графиков составлена таблица.
	2,6		—2,0	СО „ т Xl Xi	—0,26	_ О) - т У1	0	т Xi	—0,75
СШУ1 У1	0,50	21	1,8	„«>v, т у*	0,22	wv, т У1 У1	—3,0	CD,. т У1 Zi	—0,40
с*1* У1	—0,20	с“г‘ Z,	0	CD— т	0	CD - т Zl У1	0	со , т 21 Zi	—2,5
Данные таблицы позволяют оценить роль каждой составляю-
щей.
Необходимо отметить, что на вращательные силы и моменты
оперенного корпуса большое влияние оказывает горизонтальное
и вертикальное оперение ПЛ. Наиболее четко это можно пока-
зать на примере движения ПЛ в продольной и горизонтальной
плоскостях. Ниже приведены значения вращательной производ-
ной продольного момента для расчлененной модели ПЛ
штевневого типа.
Характеристика модели
со-
m 21
21
Полная оперенная ..................—5,00
Без носовых рулей и ограждения рубки —4,10
Без оперения и ограждения рубки . . . —0,25
Площадь кормового оперения (стабилизаторы и горизонталь-
ные рули) значительно больше площади носовых рулей. Оно
максимально смещено в корму ПЛ, поэтому вполне естественно,
73
a
Рис. 1.26. Зависимость вращательных производных
гидродинамических сил от углов атаки и дрейфа:
а - с"х’ (а, 3); б -	(я, ?); в - с“21 (а, ?);
г -С(а, 3); д -	(а, 3); е - С™2’	3).
75
76
Рис. 1.27. Зависимость вращательных производных гидродинамических моментов от углов атаки и дрейфа:
а — >***' (а, Р); б — т”* (а, р); в —	(а, р); г — т* (а, р); д —	(а, Р); е — ш"г’ (а, р); ж —
я1Г1лг‘ (я> ₽> з— т*?' (я- ?);»—"»Z* ₽>•
ч
что оно главным образом и определяет величину вращательной
производной. На основании этих же рассуждений вращательная
производная силы С“г> для оперенной ПЛ всегда больше нуля,
а вращательная производная момента т“г> < 0. Подобные же
выводы можно сделать и для коэффициентов момента т“У1 и
силы С“У1.
*1
Для, оценки позиционных и вращательных производных под-
воднойГЙодки может быть использована приближенная схема,
которая состоит в том, что оперенный корпус расчленяется на
части: собственно корпус, ограждение рубки, горизонтальные
стабилизаторы, вертикальные стабилизаторы, горизонтальные
рули, вертикальные рули. Корпус ПЛ заменяется эквивалентным
эллипсоидом, производные гидродинамических сил которого на-
ходятся по графикам работы [45] в зависимости от относитель-
ной длины и отношения высоты корпуса к ширине. Ограждение
рубки и оперенйе рассматриваются каждое в отдельности как
крыло малого удлинения, позиционные характеристики которого
определяются по формуле Г. Ф. Бураго. Взаимное влияние кор-
пуса и оперение учитывается коэффициентами, полученными из
опыта.
Гидродинамические коэффициенты для модели ПЛ, опреде-
ленные в лабораторных условиях, в ряде случаев отличаются от
аналогичных коэффициентов ПЛ в натурных условиях. Разность
между соответствующими коэффициентами определяет поправку,
которую необходимо учитывать при переходе от модели к натуре.
Эти поправки обусловим следующими основными факторами:
а)	влиянием работающих гребных винтов на характеристики
КГР, расположенных за винтами;
б)	уменьшением относительной толщины пограничного слоя
на корпусе ПЛ по сравнению с ее моделью;
в)	уменьшением скорости вследствие попутного потока.
Наибольшее значение имеет первая поправка.
При расположении кормовых горизонтальных рулей в потоке
за гребным винтом из-за увеличения скорости их обтекания по-
являются дополнительные подъемная сила и момент.
Не останавливаясь подробно на выводе формул для опреде-
ления указанных поправок, которые изложены в работе [81],
отметим, что они существенно зависят от коэффициента нагрузки
по упору гребного винта, размеров площади горизонтального
руля, омываемой струей гребного винта, а также от характери-
стик изолированного руля. При отсутствии скоса потока можно
пользоваться формулой В. С. Ведрова и Н. В. Остославского
ДС’1К=С^а/ Д/п:,к=ДС5,к^г,
где — коэффициент подъемной силы изолированного руля;
78
AC* ; А/п*к — поправки к коэффициентам подъемной силы
и момента изолированного руля;
SB — часть площади руля, омываемая гребным
винтом;
S — площадь руля;
4Л1
ор=—--------коэффициент нагрузки по упору;
ЛА>
р
1К—абсцисса оси баллера КГР.
Для более общего случая движения в косом потоке может
быть рекомендована схема определения поправок, предложенная
А. А. Русецким.
Рис. 1.28. Влияние работающего
винта на производную гидродина-
мического коэффициента руля,
/—аппроксимирующая прямая а9 +
Ч-бдОр; 2 — по формуле РТМ; 3 — по
формуле А. А. Русецкого.
Поправка к гидродинамическому коэффициенту подъемной
силы находится как разность двух величин:	для случаев об-
дувки и без обдувки, т. е.
ДСу,к = Cj, к - Су, = С®, [/ (0/;) - 1 ].	(1.5.5)
На рис. 1.28 построены поправки по формулам (1.5.5). Как
ДС®
^у, к
се
видно, зависимость
=f(°p) — 1 близка к линейной, ее ап-
проксимация
ДС!
*д>у1 к
С®
(1.5.6)
а,+
где аа и Ьа — числовые коэффициенты.
В практике эксплуатации ПЛ, особенно в аварийных случаях,
возможно движение на заднем ходу, что соответствует значе-
ниям углов атаки а=180° и дрейфа (5=180° и вблизи них. При
таком движении изменяются (по сравнению с прямым ходом)
позиционные гидродинамические силы и моменты, действующие
на корпус и оперение ПЛ.
Коэффициент сопротивления при заднем ходе возрастает не-
значительно, так как изменение направления движения вы-
зывает, главным образом, изменение сопротивления формы,
79
а последнее, как известно, составляет йе более 10% от полного
подводного сопротивления. Изменение направления движения
приводит к перераспределению давлений на корпусе и оперении
ПЛ и перемещению центра приложения опрокидывающей силы
в сторону движения (рис. 1.29).
При заднем ходе из-за изменения углов скоса потока, выз-
ванных несимметрией корпуса ПЛ, изменяются зависимости
подъемной силы от углов атаки и боковой силы от углов дрейфа.
Перемещение центра давления в сторону движения при зад-
нем-ходе вызывает существенное изменение продольного гидро-
динамического момента и момента рыскания.
Рис. 1.29. Схема действия гидродинамических сил
на корпус и оперение ПЛ при переднем и заднем
ходе.
На рис. 1.30 и 1.31 приведены позиционные гидродинамиче-
ские характеристики модели ПЛ XXI серии при ее движении на
переднем и заднем ходу в продольной плоскости при различных
углах перекладки носовых и кормовых горизонтальных рулей.
Сравнение кривых указывает на значительное возрастание про-
изводных гидродинамических коэффициентов момента тг по
сравнению с их значениями на переднем ходу. В рассмотренном
случае, например, производная от® для движения на заднем ходу
в 4,8 раза больше от® для движения на переднем Ходу, что, как
будет показано ниже, означает весьма существенное увеличение
степени статической неустойчивости подводной лодки.
При решении ряда задач динамики ПЛ с целью упрощения
производится аппроксимация гидродинамических коэффициен-
80
тов. При малых углах атаки и дрейфа наиболее распространен-
ной аппроксимацией является разложение в ряд Маклорена по-
зиционных гидродинамических коэффициентов при нулевых зна-
чениях параметров а, [3 и 6. В этом разложении в зависимости
от необходимой степени точности ограничиваются тем или иным
числом членов. В общем виде разложение коэффициентов можно
записать следующим образом:
С;(а, ₽, 8)=Сг(0)+^а+-^-₽ + ^- • 8 +
I а2 да dtC.1.82 4_________.. аз 4-
+ да а Г да P t ДО dad? ‘ ' • • •
щ;(а, р, 8) = /п((0)+^-а + ^-₽4-^8 +
а = р = 8=0	г
да а + да ? + да + «з ' ' ' ’ ’	О-5-7)
Полагая в (1.5.7) последовательно i=Xi, yi, Zi, получим
разложение в ряд соответствующих коэффициентов. Входящие
в выражение (1.5.7) производные часто называют поступатель-
ными или позиционными. Они имеют следующие обозначения:
„а dCi	dCi	a dmi r
Cl~ di ’	“ ЙЗ ’	di ’
.2а d2C; , z>2p d2C; ______________ d^Ci
1 — да •	— да ’ °' — dad? ’
2a (Pm, 2₽ dlmi ap____________
m‘ ~ dii > m‘ — да - m‘ did? 
Наиболее простые аппроксимации позиционных гидродина-
мических коэффициентов получаются для случаев движения ПЛ
в продольной и горизонтальной плоскостях.
Весьма распространенной является линейная аппроксимация.
В этом случае считают, что гидродинамические коэффициенты
линейно зависят от а и от 6К.Н или от р и от 6В:
для движения в продольной плоскости
Сх,(а, 8) = С„(О) + С^|а|+С:,|8|:
а=5=0
СУ1(а, 8) = Су. (0) + Гу а + С’,8;
а=8=0
mZt (а, 8) = от* (0) +	+ Отг,8;
а = «=0
6 Заказ № 018
81
82
Рис. 1.30. Сравнительный график зависимости
позиционных гидродинамических коэффициентов
от углов атаки на переднем и заднем ходах при
бн=0: а — С*(а); б—Су(а)‘, в — mz(a).
— • — • —	передний ход, —О--О----О— задний ход.
для движения в горизонтальной плоскости
CV1(₽, 8)=СХ1(О)+С^|₽| + СМ8|;
8 = 8=0
Сй(₽, 8) = Сг,(0) + ф + С’В;
₽=8 = 0
/ггу, (₽, 8) = Оту, (0) Ц- ;п|,₽ 4- от’,8,	(1.5.8)
р=г=о
Входящие в разложение (1.5.8) первые члены определяют
силы и моменты при движении с нулевыми углами атаки и
Дрейфа: Сж(0)—коэффициент сопротивления; коэффициенты
Су(0) и mz(0) вследствие симметрии корпуса ПЛ равны 0. Вто-
рые члены учитывают изменение сил и моментов, вызванное ма-
лыми изменениями углов атаки и дрейфа. И, наконец, третьи
члены разложения учитывают влияние перекладки горизонталь-
ных и вертикальных рулей.
6*	83
84
Рис. 1.31. Зависимость позиционных
гидродинамических коэффициентов от
углов атаки на заднем ходу при бн=0:
а— Сх(а); б — С„(а); в — тг(а).
Производные С“ С®, /п® находятся расчетным или
графическим путем по кривым соответствующих гидродинамиче-
ских коэффициентов на основании известного свойства, что про-
изводная в данной точке кривой равна тангенсу угла наклона
между касательной, проведенной в данной точке, и осью абсцисс
(ось а, 6 и т. д.). Для малых углов атаки или дрейфа эта про-
изводная вычисляется при нулевых значениях а и 6, (5 и 6, как
это следует из разложения в ряд (1.5.8). Ввиду того, что гра-
фическое построение касательной является неточным, производ-
ные гидродинамических коэффициентов в последнее время вычи-
сляют на специальных электронно-вычислительных машинах,
связанных с аэродинамическими весами.
Приведем здесь некоторые данные по позиционным производ-
ным гидродинамических коэффициентов двух типов моделей под-
водных ЛОДОК:
85
Тип ПЛ	Производные гидродинамических коэффициентов									
	са	—.а Z1		Ч	С8* У>	5К т к Z1	Ч*	т5и Zi	с8»	ту‘
Штевневая Дирижа- бельная	0,71 0,72	0,77 0,38	0,80 1,00	1,00 1,26	0,12 0,20	—0,34 -0,43	0,034 0,11	0,19 0,14	-0,08 —0,12	-0,24 —0,30
Лилейная аппроксимация гидродинамических характеристик
часто дает ошибку в сторону увеличения их значений. Особенно
эта ошибка существенна для коэффициентов момента и тК
Для получения более точных результатов различные авторы
предлагают аппроксимировать гидродинамические характери-
стики полиномами второй и третьей степени. Например,
Ю. Ф. Иванюта представляет зависимости С (а) и mz (а) поли-
номами третьей степени:
Су, (а) = л0-{-	4- Л3а3;
(®) = 60 + 61а—63а3,	(1.5.9)
где постоянные коэффициенты аг и Ьг находятся на основании
обработки экспериментальных данных ряда моделей ПЛ.
Анализ результатов испытаний моделей ПЛ при пространст-
венном их движении показывает, что влияние углов перекладки
кормовых горизонтальных рулей (6К) на коэффициенты С и
mz практически не зависит от углов дрейфа, а влияние углов
перекладки вертикального руля 6В на коэффициенты Cz и
практически не зависит от углов атаки. Это обстоятельство по-
зволяет представить гидродинамические коэффициенты в виде:
Су, (а, ?, Вк) = Су,(а, ₽) + Су,(8к);
тг, (а. ?, 8К) = nz, (а, ?) + т2, (8К);
Сг,(а, ₽, 8н) = Сг,(а, ?) + Сг, (В,,);
ОТУ,(а> ?> 5в) = ^у>(а> ₽) + П1У, (5н)-	(1.5.10)
В свою очередь, зависимости коэффициентов нормальной силы
С (а, р), боковой силы Cz (а, Р), продольного момента /пг(а, Р)
и момента рыскания ту(а, р) могут быть аппроксимированы
практически с одинаковой степенью точности квадратичной или
кубичной параболами. В. П. Боровиков предлагает для анали-
тического представления С (а, Р) или т_ (а, р) принимать трех-
членную квадратичную параболу вида
Су, (а, ?) = Су, (0) + а, (?) а + а2 (?) а | а |;
тг,(а, ?) = тпг,(0)-4-61(?)а —62(?)а|а|,	(1.5.11)
86
где	С^О) и /пг(0)—гидродинамические харак-
теристики при а=р=0;
щ(Р)=С“(Р); &i(P)=m“(P)—производные первого по-
рядка;
аг(Р) и МР)—производные второго по-
рядка.
Коэффициенты а, и bi зависят от геометрических параметров
корпуса и угла дрейфа.
Зависимости коэффициента поперечной силы Cz (а, Р) и мо-
мента рыскания myj (а, Р) по данным В. П. Боровикова хорошо
аппроксимируются двухчленной квадратичной параболой
С2,(а, ₽) = С1(а)₽ + С2(а)₽|₽|;
/иу,(а, Р)=7П,(а)р —от2(а)р|^|,	(1.5.12)
где Ci и т,— коэффициенты, зависящие от геометрических пара-
метров корпуса и угла атаки (первые и вторые производные ги-
дродинамических коэффициентов). Второе слагаемое, входящее
в формулы (1.5.10), может быть с достаточной степенью точно-
сти заменено линейной зависимостью от углов перекладки ру-
лей, а именно
С у, (®к) =	mz, (М —	’
Cz, (8В) —	OTyi(8B) = туВ,^я-
При обычном маневрировании статически уравновешенной
ПЛ углы атаки не превосходят 5—6° и поэтому в (1.5.11) второй
степенью а можно пренебречь, т. е. принять линейные зависимо-
сти. Тогда формулы (1.5.11) принимают вид:
CV1 (а, ₽)=Су,(0)+С;|(₽)а;
Шг, (а, ₽) = zn2, (0) +?»“,(₽) а.	(1.5.13)
Эксперименты [10] показывают, что на производные гидро-
динамических коэффициентов С“(Р) и (Р) основное влияние
оказывает овальность корпуса ПЛ (отношение высоты корпуса
к ширине). В табл. 1 приведены значения функции С“ (Р) и
zn“ (р) при вариации р в диапазоне 0—9° для четырех моделей
и
ПЛ, имеющих отношения — в пределах 0,70—1,40.
В
Как видно из таблицы, с увеличением овальности корпуса ПЛ
функции та (Р) Са (Р) уменьшаются. Влияние угла дрейфа на
„ Н
производные также связано с овальностью. При — < 1 увеличе-
о
ние угла дрейфа приводит к возрастанию функций С“ (Р) и
87
Таблица 1
№ модели	Н В	?=0		3 = з°		3 = 6°		3 = 9°	
		с;,(?)				с;,(Р)	<(3)	с“,(3)	«?,(?)
1	0,70	0,38	1,06	0,45	1,00	0,53	0,96	0,73	0,90
2	1,0	0,22	1,45	0,22	1-,45	0,20	1,43	0,19	1,40
3-	*4,16	0,14	1,83	0,12	1,29	0,086	1,27	0,04	1,24
4	1,40	0,07	1,72	0,04	1,62	—0,03	1,56	-0,12	1,47
уменьшению m“(p), при -^->1 наблюдается обратная зависи-
мость.
Производные С“(Р) и (jJ) могут быть выражены через
функции влияния, характеризующие степень гидродинамической
несимметрии корпуса ПЛ относительно горизонтальной оси, т. е.
(₽) = с“, (0) + дс;, (₽) = С“, (0)11+4;
т\ (р) = т\ (0) + Д< (₽) = < (0) (1 + х],	(1.5.14)
где С“(0), П1“ (0)—значения производных при нулевом угле
дрейфа, соответствующие движению
в вертикальной плоскости;
ДС“(Р), Лт“ (р)—изменения производных, обусловленные
влиянием угла дрейфа.
Определяем функции влияния
ДС°У, (?)	_
с;, (0) ’ z Я“(о)
(1.5.15)
Их значения могут быть легко получены на основании фор-
мул (1.5.14), по данным табл. 1.
При рассмотрении гидродинамических реакций, возникаю-
щих при движении ПЛ, особое внимание уделяется силе лобо-
вого сопротивления при нулевых углах атаки и дрейфа, так как
она определяет одно из важнейших мореходных качеств—ход-
кость ПЛ. Приведенные выше данные по коэффициентам сопро-
тивления относятся главным образом к моделям ПЛ. Эти дан-
ные не учитывают целый ряд конструктивных факторов, которые
влияют на сопротивление натурной подводной Лодки, и поэтому
этот вопрос требует специального изучения. В соответствии со
88
структурными формулами позиционных гидродинамических ре-
акций сила лобового сопротивления
X = Cx(Q)^- v*'2’	’	(1.5. W)
где Сх(0) —полный коэффициент сопротивления оперенной ПЛ.
Для более точного пересчета отдельных составляющих со-
противления с модели на натуру коэффициент сопротивления
относят к смоченной поверхности Q корпуса ПЛ. Тогда сопро-
тивление
R = ^Q.	(1.5.17)
Приравнивая правые части выражений (1.5.16), (1.5.17), по-
лучим связь между коэффициентами Сх и
Сх = &,	(1.5.18)
— Я
где й= —относительная смоченная поверхность корпуса
ПЛ;
V — полное подводное водоизмещение ПЛ.
Величина коэффициента сопротивления Сх имеет порядок
0,03—0,04; относительная смоченная поверхность Q современных
ПЛ изменяется в диапазоне значений 8—10. Тогда в соответ-
ствии с формулой (1.5.18) коэффициент сопротивления £ имеет
порядок 0,003—0,004 (3.1()-з-г-4 • 10“3).
§ в. ГИДРОДИНАМИЧЕСКИЕ СИЛЫ ПРИ ДВИЖЕНИИ ПЛ
ВБЛИЗИ СВОБОДНОЙ ПОВЕРХНОСТИ И ЛЕДОВОГО ПОЛЯ
Рассмотрим влияние свободной поверхности на гидродинами-
ческие силы и моменты. Ввиду сложности явления остановимся
лишь на движении в вертикальной плоскости вблизи свободной
поверхности, так как случай пространственного движения иссле-
дован недостаточно. Будем также предполагать, что движение
ПЛ происходит с малыми углами атаки.
Как и в случае движения в безграничной жидкости, линей-
ные компоненты гидродинамических сил и моментов, действую-
щих на ПЛ, могут быть разбиты на две категории: позиционные,
зависящие от угла атаки, глубины погружения и скорости хода;
вращательные, пропорциональные угловым скоростям. Влияние
свободной поверхности проявляется прежде всего в том, что из-
меняется характер гидродинамических сил — появляются соста-
вляющие, обусловленные волнообразованием движущейся ПЛ и
зависящие от числа Fr. Эксперименты по определению гидро-
динамических сил вблизи свободной поверхности проводятся
89
в опытных бассейнах, где имеется возможность изменять глу-
бину погружения модели.
Впервые эксперименты вблизи свободной поверхности были
поставлены В. П. Боровиковым и М. Е. Мазором на серии схема-
Рис. 1.32. Влияние свободной поверхности на Сх при
a=ip=0.
1 — п*-0.065; 2 — Т|*=0,190; 3 — п«-0,340; 4 — П*-0.4О0.
тизированных моделей, разработанных на основе теоретического
чертежа ПЛ XXI серии. На рис. 1.32—1.34 приведены позицион-
ные гидродинамические характеристики Сх, Сч и mz, построенные
в зависимости от числа Fr и относительной глубины погружения
палубы надстройки ПЛ на миделе от свободной поверхности т]*,
90
V
. Графики построены для диапазона
значений чисел Fr—0,15-^0,60 и относительной глубины т]* =
=0,0654-0,400.
Из рисунков видно, что влияние свободной поверхности на
гидродинамические коэффициенты сильно зависит от числа Fr.
Это влияние становится заметным, начиная с Fr=0,154-0,20.
В диапазоне чисел Fr=0,404-0,45 коэффициенты Су и mz имеют
максимум, по мере приближения к свободной поверхности ее
влияние на гидродинамические силы проявляется в большей сте-
пени. Если при относительной глубине, равной 0,40 длины ПЛ,
Рис. 1.34. Влияние свободной поверхности на mz при а=Я> = 0.
влияния свободной поверхности практически нет, то при глубине
Л* =0,065 максимальное значение коэффициента Су возрастает
в несколько раз. Существенная зависимость гидродинамических
коэффициентов от чисел Fr и наличие экстремумов связаны
с определенной картиной волнообразования при движении
вблизи поверхности. Можно предположить наличие интерферен-
ции волн, которая и определяет максимумы и минимумы на
кривых.
Зависимости Cx(Fr, т]*), Cy(Fr, т]*) и zn2(Fr, т]*) построены
в предположении бездифферентного поступательного движения
(a=i|)—0). В общем случае движения эти характеристики опре-
деляются также и углами атаки. На рис. 1.35, а, б, в, пока-
заны функции Cx(a, Fr, q*), Су(а, Fr, т]*) и /пг(а, Fr, т]*) при
91
92
8)
Рис. 1.35. Зависимость позиционных гидродинами-
ческих коэффициентов от углов атаки при
т]*=0,065 н 0,400: а—Сх(а, Fr, t]); б —
Cs(a, Fr, г]); в — тг(а,Рг,т]).
----------------безграничная жидкость.
относительном погружении т]* = 0,065 в сравнении с аналогичными
характеристиками при движении в безграничной жидкости (т]* =
=0,400). Анализ этих графиков показывает, что характер изме-
нения гидродинамических сил и моментов остается таким же,
как и для безграничной жидкости.
Графики гидродинамических коэффициентов Сх, Cv, тг могут
быть перестроены в зависимости от относительного погружения
Л* при постоянных значениях скорости движения (рнс. 1.36-5-
-5-1.38), а затем могут быть аппроксимированы.
93
94
Кривые Су(т]) и тг(т]) в линейном приближении заменяются
прямыми линиями. Тогда разложение гидродинамических коэф-
фициентов в ряд Тейлора можно представить в виде:
Су, (а, 8, >;) = Су, (0, 0, т)о)+ Су,аСу,8-L С^;
а=«=0
mZt (а, 8,	=	0, ^о) + mZta. + mz$	(1.6.1)
а=8=0
4 = 1)0
- дС., - дтг
где Су, = —; mZl = —;=т-------производные гидродинамиче-
ски	Or]
ских коэффициентов по изме-
нению безразмерной глубины.
Рис. 1.39, а, б, в, г характеризует влияние свободной поверх-
ности на производные гидродинамических характеристик по
углам перекладки горизонтальных рулей. Для практических рас-
четов могут быть использованы соответствующие зависимости
для безграничной жидкости. Что касается горизонтальных ста-
билизаторов, то силы и моменты, возникающие на них, заметно
зависят от числа Fr и глубины погружения. Это можно объяс-
нить изменением углов скоса потока в районе оперения при дви-
жении модели вблизи свободной поверхности, что подтвержда-
ется результатами замеров углов скоса при эксперименте.
Продольный демпфирующий гидродинамический момент
определяется в бассейне при различных погружениях модели от-
носительно свободной поверхности. Эксперименты ЦНИИ
им. А. Н. Крылова показали, что по мере приближения к свобод-
ной поверхности происходит увеличение демпфирующего момента
по сравнению со случаем движения в безграничной жидкости.
При относительном погружении модели порядка 0,1 это возра-
стание составляет 13—18%. Можно представить вращательную
производную продольного момента вблизи свободной поверхности
в виде:
т“г = х1от“«.	(1.6.2)
где индекс «ос» — относится к безграничной жидкости;
%, — поправочный коэффициент, зависящий от отно-
сительного погружения модели и определяе-
мый экспериментально.
Зависимость хЦт]*) дана на рис. 1.40.
Ввиду недостаточности данных о влиянии свободной поверх-
ности на вращательную производную подъемной силы, эта про-
изводная в первом приближении
Су^х,^.	(1.6.3)
95
96
характеристики оперенного корпуса при перекладке горизонтальных
рулей; о,“Су(дк)1 б —— /Их(бк); в —	в—'/и2(бн).
1 — безграничная жидкость; 2, 3, 4, 5 — на перископной глубине при v»6; 8;
10; [2 узлов соответственно.
7 Заказ № 018

В настоящее время существуют различные приближенные
теоретические методы определения гидродинамических характе-
ристик погруженных тел вблизи свободной поверхности. Часть
этих исследований относится к тонким телам типа «Митчелла».
В ряде работ предлагается теоретическая схема расчета влияния
свободной поверхности на сопротивление, подъемную силу и мо-
мент, возникающие на эллипсоиде вращения при постоянной
скорости его движения и нулевом угле атаки.
Б. Е. Тощев предложил приближенную теоретическую схему
расчеха~--волновых составляющих- сопротивления, подъемной
силы, продольного гидродинамического момента удлиненных тел
вращения при их движении вблизи свободной поверхности с по-
стоянной скоростью и различными углами атаки. Этот метод мо-
Рис. 1.40. Влияние свободной поверхности на вращательную производную
продольного гидродинамического момента.
свободной, поверхности на позиционные гидродинамические ха-
рактеристики ПЛ. Не останавливаясь подробно на всех теоре-
тических выкладках схемы Б. Е. Тощева, рассмотрим лишь ее
основные положения’и результаты.
В основу схемы положен метод особенностей, а также реше-
ние Н. Е. Кочина о волновом потенциале источника единичной
мощности. Для упрощения задачи тело вращения, движущееся
под углом атаки в безграничной жидкости, заменяется распре-
деленными по его оси особенностями. Методом последователь-
ных приближений с использованием решения Н. Е.' Кочина на-
ходится потенциал вызванных скоростей .при движении тела
вблизи свободной поверхности. Силы, возникающие на теле при
таком движении, определяются либо путем интегрирования дав-
лений по его поверхности, либо как равнодействующая сил, дей-
ствующих на заменяющие тело особенности. Не приводя выкла-
док, которые подробно изложены в [89], напишем формулы для
волновых составляющих позиционных сил и моментов при дви-
жении тела с углом атаки а, полученные Б. Е. Тощевым.
Сила сопротивления
2^2 СО» а
^ = -1^- J	(1.6.4)
—СОЗ а
йй
Подъемная сила
9 9 cos а
.=-4^ f S
—cos а
4	+ 2z2 Fr2 d dx +
+	<1.6.5)
Продольный гидродинамический момент
2 с2 С08 а
^в=-Т- J Ь>х + 3*1 + 2*2рг2(21г + 1М]х
—СОВ а
2 с2
Ь7W	I A,	I СОВ а
х d (х) dx +	Fr2 Z, |-g- xd (x) | _cos а.	(1.6.6)
При нулевом угле атаки эти формулы значительно упро-
щаются:
Хв= 4^?- J mWda(x)dx-
-1
-/С2 с 2 А
Гв ——-------J ^^-af0(x)6/x;
в -r.L J дх uv/
о
7S2 Fr2 г» /	\	
^в=---------Sr— J (^?-X + 4“)af(X)6ZX- (L6'7)
Здесь
<в(х)
Fr= ——— число Фруда;
igL
S (х)
= Х--------отношение площадей поперечных сечении
тела; ' >
L —длина тела;
xi=l + sin2 а;
1 . _
Х2=----— sin 2а;
а — угол атаки;
do=d;
а — О
rf(x)= ^-л£г;
дг
Ф— потенциал скорости потока.
7*	99
На основании выражений для волновых составляющих пози-
ционных сил и моментов легко определяются безразмерные ги-
дродинамические коэффициенты:
р  	__ Ун	,_________мгв
ХВ	,/з ’	р1)2	2/з .	pV2 •
2	2	2 v 
На рис. 1.41—1.43 приведены результаты расчетов безразмер-
ных коэффициентов Схв, Сув, mzs для эллипсоида вращения для
случая движения его в диапазоне чисел Fr=0,25-r-l,0 при отно-
сительных погружениях т)*=0,10-^0,35 и сделаны сравнения
с данными эксперимента.
Формулами (1.6.4) — (1.6.7) можно пользоваться только в том
Рис. 1.41. Коэффициенты волнового сопротивления эллипсоида
вращения (расчет по схеме Тощева).
мере, близка к ней. Для подводных лодок, шпангоуты которых
вытянуты по высоте (это относится главным образом к штевне-
вой форме) при рассмотрении задачи волновой потенциал опре-
деляется для источников и стоков, распределенных по диамет-
ральной плоскости. Влиянием рулей и стабилизаторов пренебре-
гают, а волновой потенциал ПЛ с рубкой рассматривают как
сумму двух потенциалов: голого корпуса и ограждения рубки.
Волновые составляющие сил определяются в этом случае по
формулам работы [89]. Ввиду громоздкости выражений мы их
здесь не приводим.
Для иллюстрации на рис. 1.44—1.45 даны сравнительные гра-
фики коэффициентов подъемной силы и продольного момента
для подводной лодки штевневой формы. Зависимости Cv(Fr, т]*)
и mz(Fr, т]*) определялись по данным эксперимента в опытовом
бассейне и расчетов по приведенным выше формулам. На гра-
фиках нанесены экспериментальные кривые, а также кривые,
100
Рис. 1.42. Коэффициент подъемной силы эллипсоида вращения (рас-
чет по схеме Тощева)
эксперимент;----------расчет.
101
Рис. 1.44. Коэффициент подъемной силы ПЛ штевне-
вого типа. Сравнение эксперимента н расчета по схеме
Тощева.
--------- эксперимент для модели без выступающих ча-
стей; ---- - расчет для модели без выступающих частей,
— — — эксперимент для модели с ограждением рубки,
ОООО расчет для модели с ограждением рубки
Рис. 1.45. Коэффициент продольного момента ПЛ штевне-
вого типа. Сравнение эксперимента и расчета по схеме То-
щева.
О О ~ =0,25 — эксперимент; ••	=0,35 — эксперимент за-'йлчетом
поправок на влияние свободной поверхности.
102
ординаты которых получены путем исключения из эксперимен-
тальных данных расчетных поправок (по схеме Б. Е. Тощева) на
влияние свободной поверхности. Так как последние кривые для
различных относительных погружений практически совпадают,
то можно считать расчетную схему приемлемой.
Рассмотренные выше графики и формулы дают представле-
ние о влиянии невзволнованной свободной поверхности на ги-
дродинамические характеристики ПЛ, причем это влияние ка-
салось только движения в продольной плоскости.
Однако наиболее часто встречающимся режимом является
движение вблизи взволнованной поверхности. Волнение оказы-
вает на ПЛ, плавающую вблизи свободной поверхности, значи-
тельное силовое воздействие, что приводит к качке и рысканию,
затрудняя управление, использование оружия и различных тех-
нических средств.
Предположим, что на свободной поверхности распростра-
няются регулярные волны. Вызванные этими волнами силы
можно разделить на две составляющие: первая — определяемая
потенциалом регулярных волн, вторая—потенциалом волн, от-
раженных корпусом ПЛ. М. Е. Мазором были составлены общие
выражения для суммы потенциалов [64] и на основании урав-
нений Коши—Лагранжа определено распределение давления,
действующего на поверхность ПЛ. Путем интегрирования дав-
лений по замкнутой поверхности, которая считалась неколеблю-
щейся, и ряда допущений были получены выражения для сил
и моментов, действующих на ПЛ в вертикальной и горизонталь-
ной плоскостях. Опуская все выкладки, которые подробно изло-
жены в [64], напишем приближенные выражения для составляю-
щих гидродинамических сил и моментов, вызванных правильным
волнением:
Ув = -«/"Чт (1 + Л22^Осо8юк/;
ZB = — а?е'”|’х]Т + &зз~^-^ Dsin<oK/;
( 1 +	-----SiH
\	2	4? ? /
Мук =	(1 + k№	) gJ cos ^t, (1.6.8)
где	® — частота волны;
со2 2л	,
v= —— = —--------частота формы;
А,— длина волны;
103
шк=ш 4- v cos q>o— кажущаяся частота;
Фо — курсовой угол бега волн по отношению
к ПЛ;
k(k — коэффициенты присоединенных масс и
моментов инерции;
х1ф, 5<4ф — редукционные коэффициенты;
j=jv=jt — момент инерции объема ПЛ;
D — вес подводной лодки;
Н	2л cos фо
_ -	ао=л—; Оф=ао81Пфо; v<p=-------------=^созфо;
Л	Л
Н—высота волны.
Принимая обычную структуру для позиционных сил и мо-
ментов, напишем составляющие гидродинамических характери-
стик, вызванных регулярным волнением. При составлении фор-
мул введем безразмерные время т и кажущуюся частоту в>к:
С,,в =  Г-5---= ~А0 (1+^22 —) C0S	;
Ув pv2 IZ®/	и I 1	**	/ к
~ V 3
С,в = ---г2---=	(1+^33 —)sm v;
2В р^2	VI I ai (й	к
Т" v 3
znZB= =Z?of 1 + ^66—------------z^sinwKt;
2	7
М„в „ / . | . шк pV V Х1Ф \ —2	—
mvB — —= -Sf 1 +^55—------------7-------— lyCOSU) “С,
?t>2 у	“	А “ ’t /
2	t	(i.6.9)
Здесь A0 = 2a.ger^xiv-^^-; Af = До sin <p0;.
orl/’/3	—	IZ’/з
Во = 2«ое 4’xw~^s—V B4 = Bo sin <p0; <«k = <«k—- (1.6.10)
Кривые редукционных коэффициентов Х1Ф
даны на рис. 1.46.
Одним из возможных режимов движения ПЛ в вертикальной
плоскости является ее движение вблизи ледовой поверхности.
Известно, что в случае движения тела вблизи плоской стенки
нормальная сила и продольный гидродинамический момент зна-
чительно изменяются. Поверхность льда имеет весьма разнооб-
разную конфигурацию, что также оказывает влияние На гидро-
динамические силы, действующие на ПЛ. В настоящее время
имеется лишь незначительное число исследований формы под-
водной ледовой поверхности. Однако эти данные показывают,
что длины неровностей ледовой поверхности находятся в преде-
лах 20—100 м при высоте 10—20 м. Наиболее часто встречаются
горбы длиной 50—60 м с вершиной до 10 м.
104
Из-за отсутствия данных экспериментов, проведенных с мо-
делями ПЛ различных форм вблизи ледовой поверхности, при-
ведем позиционные характеристики модели ПЛ типа «Альба-
кор», испытанной в аэродинамической трубе ЛКИ вблизи эк-
рана, имеющего форму полуволны синусоиды, длина которой
равна длине модели, а стрелка прогиба ее—высоте. На
рис. 1.47—1.48 приведены зависимости приращения коэффициен-
тов нормальной силы ДСУ1 и продольного гидродинамического
момента А/и от углов атаки а для
г"	ю
статически устойчивой ПЛ, вызван-а J
ные наличием ледовой поверхно- * 4
сти (экрана). Приведенные дан-
ные соответствуют трем случаям
расположения вершины неровности:
у миделя модели, у носового пер-
пендикуляра и у кормового пер-
пендикуляра. Эти графики позво-
ляют сделать некоторые качествен-
ные выводы и могут быть использо-
ваны для оценки влияния ледовой
Рис. 1.46. Зависимость редукци-
онных коэффициентов от отно-
сительной длины волны
поверхности на гидродинамические
характеристики ПЛ.
На рис. I.49 даны кривые АСУ(О)
и Дпг2(0) для той же модели,
построенные в зависимости от относительного погружения
.	с	1
ее оси от ледовой поверхности — и положений неровности по
Н
длине. Максимальное изменение коэффициента подъемной силы
при нулевом угле атаки происходит при расположении неровно-
сти в средней части, при нахождении неровности в носу (т* =
=—0,5) и в корме (т* = 4-0,5) изменение ACv(0) и Дтг(0)
менее интенсивно; т*=-^-----абсцисса (относительная) носо-
вого перпендикуляра относительно неровности.
Знак изменения гидродинамических коэффициентов зависит
от взаимного положения центра давления и центра тяжести мо-
дели ПЛ и от места расположения неровности. В рассматривае-
мом примере при расположении неровности на миделе модели и
появившемся при этом разрежении в средней части корпуса
произойдет возрастание подъемной силы АСг/(0)>0 и уменьше-
ние продольного гидродинамического момента А/пг(0)<0, что
объясняется расположением центра давления за центр тяжести
в корму.
При изменении взаимного расположения центра давления и
центра тяжести подводной лодки при том же положении неров-
ности знак приращения момента изменится на обратный.
105
жении вершины экрана у кормового перпендикуляра г*=0,5.
106
Рис. 1.48. Приращение коэффициента продольного гидроди-
намического момента Дтг1: а — при положении вершины
экрана у носового перпендикуляра т’г=—0,5; б—при поло-
жении вершины экрана на миделе т*=0; в — при положении
вершниы экрана у кормового перпендикуляра т*=0,5.
107
Рис. I 49 Изменение коэффициентов ДСу1 и Дяг21 в зависимости от расположения неровности ледовой
поверхности по длине ПЛ.
Расположение неровности вблизи носового перпендикуляра
вызовет меньшее изменение подъемной силы и продольного ги-
дродинамического момента, причем знак ДСУ(О) сохранится,
а знак момента Д/тг2(О) изменится на обратный, так как в этом
случае произойдет перемещение центра давления в нос.
Аналогичная картина изменения продольного гидродинамиче-
ского момента Дтг(0) наблюдается при расположении неров-
ности в кормовой части корпуса модели, что же касается подъ-
емной силы, то ее изменение в этом случае приобретает обрат-
ный знак.
§ 7. ГИДРОДИНАМИЧЕСКИЕ СИЛЫ ПРИ БОЛЬШИХ УГЛАХ АТАКИ
В практике эксплуатации ПЛ возможны режимы плавания,
при которых углы атаки изменяются в диапазоне от 0 до 360°.
Эти режимы движения, как правило, обусловливаются положи-
тельной или отрицательной остаточной плавучестью, которая
может появляться как при специальных маневрах (например,
реверсирование хода), так и в аварийных случаях. Наиболее
характерными примерами движения ПЛ с большими углами
атаки являются бездифферентное погружение и всплытие ПЛ
под действием остаточной плавучести без хода.
Полезно напомнить, что увеличение углов атаки сильно
влияет на характер изменения гидродинамических сил и момен-
тов. Значительно возрастает роль составляющей, обусловленной
поперечным обтеканием шпангоутов, по сравнению с вихревой
составляющей от продольного обтекания, что естественно при-
водит к необходимости специального исследования и постановки
эксперимента по определению сил при больших углах атаки.
Как известно, при поперечном обтекании цилиндра и шара на-
блюдаются кризисные явления, которые заключаются в том, что
при критическом числе Re порядка 105 происходит резкое паде-
ние коэффициента Сх. При дальнейшем увеличении числа Re
коэффициент сопротивления постепенно возрастает, достигая
при 3,5 • 106 постоянного значения. Аналогичные явления на-
блюдаются как при косом, так и при поперечном обтекании кор-
пуса подводной лодки (а=±90°).
Эксперименты в аэродинамических трубах показывают, что
кризисные явления для Сх, например, наступают уже при углах
атаки аЗ>30°. С увеличением угла атаки эффект кризиса воз-
растает, достигая максимума при а=90—100°. Исчезновение
этого эффекта происходит при аэН40°. При дальнейшем увели-
чении угла атаки до 360° наблюдается качественное повторение
эффекта. Для иллюстрации сказанного на рис. 1.50 приведены
экспериментальные зависимости Cx(tz, Re), полученные в аэро-
динамической трубе Т-1 ЦАГИ для модели ПЛ XXI серии при
109

круговой ее продувке. Как видно, критические явления наблю-
дались при
ReKp = ^ = 3- 10®.
Это обстоятельство приводит к необходимости установлений
определенных требований к эксперименту в части выбора ско-
рости потока.
Необходимо также отметить, что при проведении экспери-
ментов по определению гидродинамических сил Су и тг при
больших углах атаки возникают значшельные трудности с из-
мерениями, которые связаны главным образом с сильной вибра-
цией модели (при значениях а, равных ±30-4-70° и ±110± 130°),
Для получения представления о качественном и количествен-
ном изменении позиционных характеристик Сх, Су, mz на
рис. 1.51—1.52 для четырех моделей ПЛ приведены результаты
их круговых продувок в аэродинамических трубах в диапазоне
значений а=0—360°. Модели имели различную форму. Их ос-
новные характеристики приведены в табл. 2. С помощью фор-
мул перехода от поточных к связанным осям были рассчитаны
зависимости СХ1(а) и СуДа) и построены графики (рис. 1.53).
Таблица 2
Тип мо- ! дели	! Масштаб	Данные моделей							Примечание
		пГ к =t^	Ширина, мм	Высота, мм	L В	L V'/з	Н В	vH при ис- пытании	
XXI „к- ,М“ 611	1:42 1 -.60 1:40 1:43	1820 1630 1240 2100	155 123 110 175	182 110 106 172	11,6 13,2 11,2 12	6,0 7,2 6,7 6,5	1,17 0,89 0,96 0,98	6  105 3,7  105 3,6  105 6,6 • 105	Стабилизирую- щая корма, ста- билизаторы Корма сплюс- нута в вертикаль- ном направлении Модель с килем, с булями, крейсер- ская корма Стабилизирую- щая корма, стаби- лизаторы
Ввиду того, что рассматриваемые модели значительно отли-
чаются одна от другой сделаем лишь некоторые общие качест-
венные заключения относительно характера изменения гидроди-
намических характеристик в зависимости от углов атаки.
Характер изменения коэффициента лобового сопротивления
(рис. 1.51) одинаков для всех рассматриваемых моделей. Кри-
вые Сх(а) имеют максимумы при а=±(90±100°) и минимумы
111
№
Рис. 1.51. Зависимость Сх и Су от угла атаки при закритических числах Re.
--------- модель 1; — —------модель 2: — — • — модель 3.
при а=0 и 180°; первые соответствуют бездифферентному по-
гружению и всплытию, вторые — движению при переднем и зад-
нем ходе. Однако численные значения коэффициентов Сх сильно
Рис. 1.52. Зависимость от угла атаки при закритических чис-
лах Re.
--------- модель 1;----------модель 2; — • — • — модель 3.
Рис. 1.53. Зависимость CXt и Су, от а.
- модель 1;---------модель 2;------- — модель 3.
поперечного сечения моделей. Максимальные значения Сх в де-
сятки раз превышают минимальное значение этого коэффици-
С (90°1
ента. Для ПЛ 611 проекта и XXI серии —*—=30. Для всех
С*х(0)
моделей ПЛ Сх(90°) =#Сх(270°), что объясняется наличием
8 Заказ №018	113
ограждения рубки, горизонтального оперения и различным их
влиянием при натекании потока со стороны киля (а=90°) и со сто-
роны ограждения рубки (а=270°). Характер .изменения коэф-
фициента подъемной силы (рис. 1.51) по углам атаки идентичен
для всех четырех моделей. Кривые Cv(a) имеют вид синусоид
с периодом примерно л. Углы а, соответствующие экстремаль-
ным значениям Су, у рассмотренных моделей практически со-
впадают и находятся в диапазоне значений ±40—50° и ±130—
140°. Нулевые значения этого коэффициента находятся при зна-
чениях угла а=0; 180; 90°.
Кривые коэффициента нормальной силы CVi (а) также имеют
характер синусоид, однако их период равен 360°. Эксперимен-
тальные значения коэффициента СУ[ практически совпадают по
абсолютной величине с соответствующими максимальными зна-
чениями коэффициента Сх (90—100°), что вытекает из формулы
пересчета коэффициента Cv .
Кривые коэффициента продольной силы СХ1(а) для разных
моделей значительно отличаются друг от друга. Однако во всех
случаях существует два нулевых значения: одно соответствует
погружению, другое—всплытию. Для ПЛ XXI серии и 611 про-
екта эти значения а равны 75—80° и 210—235°. Кривые коэффи-
циента продольного гидродинамического момента сильно зави-
сят от формы корпуса, размеров и площади горизонтального
оперения. Это влияние особенно проявляется при углах атаки
вблизи 0 и 180°, так как наклон кривых к оси а зависит от за-
данной степени статической неустойчивости, которая в свою оче-
редь определяется характеристиками корпуса и горизонтального
оперения ПЛ.
Представляет большой интерес вопрос о влиянии каждой со-
ставляющей оперенного корпуса на круговые позиционные ха-
рактеристики. На рис. 1.54, а, 6,0 даны сравнительные графики
Сх(а), Су(а) и т2(а) для полной и расчлененной моделей ПЛ
611 проекта. Очевидно, что наибольшее влияние оказывает на
величины коэффициентов кормовое горизонтальное оперение.
Особенно это существенно для экстремальных значений коэф-
фициентов. Например, анализируя кривые Сх(а), замечаем, что
опер (±90°) _______________ Су опер (±50°) _
СХ ПОЛИ (±90°)	Су ПОЛИ (±50°)
Горизонтальное оперение сильно влияет на величину коэф-
фициента момента mz. Отсутствие горизонтального оперения при-
водит к качественным изменениям зависимостей mZ}'(a) и CVl(a).
Особенно это проявляется при малых углах атаки. Рис. 1.54, в
подтверждает это обстоятельство: угол наклона 1срИвой mz к оси
а при а=0 для модели без оперения и ограждения рубки при-
мерно в два раза больше того же угла для полной модели.
114
Вращательные производные гидродинамических коэффициен-
тов при больших углах атаки определяются экспериментально
методом малых свободных или вынужденных колебаний в аэро-
динамических трубах так же, как это делается при малых углах
атаки. Однако получаемые таким путем данные имеют большие
расхождения по сравнению с другими оценками этих величин
(например, на ротативной установке). На рис. 1.55 для примера
даны кривые вращательной производной продольного момента
та2‘ (а), полученные в аэродинамической трубе СибНИА при
круговом изменении угла атаки а. Для сравнения приведены за-
висимости (а) для голого корпуса и оперенной модели. Ре-
зультаты этих экспериментов расходятся с данными теоретиче-
ских расчетов, особенно это касается изолированных корпусов.
Можно предполагать, что расхождения связаны с явлением от-
рыва пограничного слоя, который происходит при быстрых коле-
баниях модели, вызванных условиями эксперимента.
Определение позиционных гидродинамических коэффициен-
тов при больших углах атаки экспериментальным путем требует
большой затраты времени и средств. Поэтому большой практиче-
ский интерес имеет приближенное определение гидродинамиче-
ских коэффициентов. Один из таких методов заключается в ис-
пользовании приближенных формул, основанных на аппрокси-
мации. Как видно из рис. 1.51, наиболее просто произвести
аппроксимацию коэффициентов гидродинамических сил; аппрок-
симацию коэффициента момента выполнить весьма трудно из-за
существенного влияния формы модели на характер кривых.
Для позиционных гидродинамических коэффициентов Сх, Са,
С С достаточно получить приближенные формулы для лю-
бых двух из них, так как два других могут быть определены по
формулам перехода от связанных осей координат к поточным
(1.5.2а). Как видно, наиболее просто аппроксимировать кривые
Сх(а.) и С^Да). Тогда коэффициенты Сх (а) и Са(а) прибли-
женно могут быть найдены по формулам перехода.
Для аппроксимации кривые Сх и С перестраиваются, как
будет показано ниже, и при этом вводится ряд допущений. По-
лагая, что Сх(0) «Сх(180°), обозначим
Сх(а)-СДО) = СДа).	(1.7.1)
Приведем (1.7.1) к относительному виду:
—	С' (а)
С (а) = —,----- в диапазоне а = 0—180°;
v ’ Сх (90°)
Сх(а) = —5х (-— в диапазоне а = 180 — 360°.
' 7 сх (270°)
8*
115
116
Рис. 1.54. Кривые позиционных гидродинамических коэффициентов для полной н рас-
члененной модели пр. 611: а — Ся(а); б — Су(а); в — /п2(а).
— -----модель изолированного корпуса лодки;--------модель корпуса с кормовым оперением
(без НГР н ограждения рубки); -------модель корпуса с кормовым оперением н ограждением
рубки (без НГР);--------- полная модель корпуса с кормовым оперением, ограждением рубки
и носовыми рулями.
------модель без носовых рулей и ограждения рубки; — — изолированный корпус
полная модель,
Аналогично преобразуем ординаты кривой С (а):
Су, (а) = С*У’(9о°) в диапазоне a = O-s- 180°;
Cy, = (<x)-v/'y' — в диапазоне а = 180 -ь 360°.
У ' ’ Су, (270°)
Кривые Сж(а) и С (а) даны на рис. 1.56 и 1.57. Близкое их
совпадение дает основание для подбора аппроксимирующей
функции как осредненной кривой для данных трех моделей. Пе-
риодичность кривых Сж(а) и С^ (а) позволяет принять для ап-
проксимации тригонометрические функции. Кривая Сж(а) может
быть заменена аппроксимирующей функцией
Cx(a) = kt sins/i(a — (J,),	(1.7.2)
где	k, = 1	и	₽)=0	при	0<а<180°;
й,= 1	"и	^ = 180°	при	270° < a <360°;
*t = l,15	и	р, = 180°	при	180°<а<260°;
при 260<а< 270° Сх(а)=1.
Кривая С (а) заменяется функцией
СУ1(а)=Л2 sin" (*-₽,)>	О-7-3)
где	&2=1	и	^ = 0	при	0<а<180°;
Л2 = —1,12	и	р,= 180°	прн	180°<а<260°;
Л2=-1	и	₽t = 180°	при	260°<а<270°.
Формулы (1.7.2), (L7.3) позволяют найти позиционные гидро-
динамические коэффициентов сил по их относительным значе-
ниям.
Cx(a) = Cx(a)C'r(90°) + Cc(0) при
Сл.(а)=Сл.(ос)Сх(270°)-|-Су(0) при
Су, (а) = Су, (а) Су, (90°)	при
Су, (а) = Су, (а) СУ1 (270°)	при
0<а<180°;
180°<а<360°;
0<а< 180°;
180° < а <360°. (1.7.4)
При использовании формул (1.7.4) в первом приближении
можно полагать Сж(90°) « Сж(270°). При отсутствии эксперимен-
тальных данных по обдувке модели корпуса ПЛ при а=90°этот
коэффициент можно приближенно считать равным коэффици-
енту сопротивления цилиндра. Коэффициент Сж(0) находится по
Данным экспериментов при малых углах атаки.
119
— •—модель !; —О — О— модель 2; — X —X — модель 3;-------------------аппроксимация.
Рис. 1.57. К выводу приближенной формулы. Кривые С;,(а).
модель I; -О-О- модель 2; -Х-Х- модель 3;---------------аппроксимация.
На основании обработки результатов круговых продувок се-
рии моделей в аэродинамической трубе СибНИА М. Е. Мазором
предложена формула для позиционного гидродинамического ко-
эффициента
Cx(a) = Cx(90°)+[Cx(0)-Cx(90°)]cos2a при 0<а<90°;
(1.7.5)
при 90°^а^180° вместо Сж(0) нужно принять &Сх(0), где k
определяется по таблице [59].
связи с тем, что экспериментальные методы определения
вращательных гидродинамических характеристик при больших
углах атаки вызывают сомнения из-за весьма существенного раз-
броса точек, представляют интерес приближенные теоретические
методы. Они основаны на циркуляционно-отрывной теории крыла
предельно малого удлинения, разработанной К- К. Федяевским.
Под крылом предельно малого удлинения понимается крыло
столь малого удлинения, что его характеристики согласно линей-
ной теории можно считать линейными не только по координат-
ным параметрам — углу атаки и безразмерной угловой скоро-
сти,— но и по удлинению крыла.
Гидродинамические силы воздействия вязкой жидкости на
корпус ПЛ по этой теории представляются в виде двух соста-
вляющих— отрывной, нормальной к поперечным сечениям ПЛ,
и циркуляционной, обусловленной течением жидкости в продоль-
ном направлении относительно корпуса ПЛ. При малых углах
атаки, когда практически отрывного обтекания поперечных се-
чений не происходит, гидродинамические силы полностью опре-
деляются циркуляционной составляющей. При больших углах
атаки, когда при обтекании поперечных сечеиий наблюдается
вихреобразование, роль отрывной составляющей возрастает, и при
углах атаки, равных ±90°, гидродинамическая сила полностью
определяется отрывной составляющей (циркуляционная соста-
вляющая равна нулю). Рассмотрим этот метод сначала на при-
мере определения вращательной производной продольного мо-
мента /n“Zl корпуса ПЛ. Полагая, что корпус ПЛ представляет
собой крыло малого удлинения, можно считать
1 ==- Шг пнрк 4“ Л1г отр,	, (1.7.6)
где тУ'„ — составляющая, определяемая циркуляцией ско-
Zi цирк
рости;
mz,Zoip — составляющая, определяемая отрывным обтека-
нием поперечных сечений.
Очевидно, что при углах атаки а=0 и а=180° имеем цирку-
ляционное обтекание.
122
Для определения отрывной составляющей вращательной про-
изводной можно в первом приближении использовать гипотезу
плоских сечений. Если предположить, что поступательная ско-
рость центра тяжести подводной лодки v, а скорость ее враще-
ния вокруг оси ozi, проходящей через центр тяжести, ®г, то про-
екция суммарной скорости сечения на ось oyt равна usintx + WzX
Рис. 1.58. Распределение поперечной скорости по длине
ПЛ при наличии вращения.
(рис. 1.58), где х—абсцисса рассматриваемого поперечного се-
чения. Задачу решаем в предположении, что <£>zX<^.v sin а. Тогда
получим приближенное выражение для квадрата относительной
скорости, вызванной вращением;
(ц sin а — ю^х)2 — v2 sin2 а = —2w»zx sin а. (1-7.7)
Элементарный момент относительно центра тяжести, вызван-
ный отрывом потока и вращением имеет вид
— Су (х) рт»>гх2 sin a.b (х) dx,
(1-7-8)
123
где Су (%)—переменный коэффициент лобового сопротивления
сечения корпуса при его движении лагом;
Ь (%) — ширина корпуса ПЛ в сечении х.
Тогда на основании гипотезы плоских сечений, интегрируя
(1.7.8) по длине ПЛ,
it
Afzoip=----pwz sin a.L3B jj Cy(x)x2b (x) dx, (1.7.9)
— 2x b — 2xK -r 2xH
где	x=—r-; b=-—;h~~
D	Lt	Lt
L и В — наибольшие длина и ширина ПЛ.
Если предположить, что
Су (90°) Va/s
СV(X) =-----X-----= const,-
у	о
где V — полное подводное водоизмещение ПЛ;
S — площадь горизонтальной проекции корпуса,
то момент Маг может быть легко подсчитан. В общем случае
Z отр
отрывная составляющая вращательной производной момента
с помощью формулы (1.7.9) записывается так:
от“отр =	г~Р.~ •= — sIn а ( Су (х) х2 £ (х) dx. (1.7.10)
_L_ /з о
z	li
Циркуляционная составляющая вращательной производной
продольного гидродинамического момента находится на основа-
нии предположения, что при изменении угла атаки плечо силы
почти не меняется и справедливо отношение
__ I Су L^fcp
т“^рка = 0	1^1 = 0
Откуда
“г  l^yl-^O мг	Л71П
lGy|« = 0
Суммируя (1.7.10), (1.7.11), получим общее выражение для
вращательной производной при круговом изменении угла атаки
—^^-sina Ccy(x)x2&(x)dx+
к
(1.7.12)
124
На рис. 1.59 проведено сравнение результатов экспериментов
по определению тр с данными расчета по формуле (1.7.12), ко-
торое показало, что экспериментальные данные согласуются
с расчетом.
Дальнейшее развитие циркуляционно-отрывная теория полу-
чила в работах М. Е. Мазора, предложившего использовать ее
не только для определения демпфирующих сил, но и для опре-
деления позиционных гидродинамических сил оперенного кор-
пуса ПЛ при больших углах атаки.
Ввиду различного соотношения между отрывными и цирку-
ляционными составляющими гидродинамических сил, возникаю-
щих на корпусе и оперении, они рассматриваются отдельно.
Остановимся сначала на позиционных гидродинамических ха-
рактеристиках. Нормальную гидродинамическую силу и про-
дольный гидродинамический момент Alzi можно представить
в виде
И, = ^4-^;
Мг,=Мгх + Мгт,	(1.7.13)
где индексы «к» и «оп» соответствуют голому корпусу и гори-
зонтальному оперению.
С другой стороны, каждую из составляющих формул на ос-
новании циркуляционно-отрывной теории запишем так:
Гк= К1 к + К2 к;
К0П = Г10П+К20П,	(1.7.14)
где индексами <1» обозначена циркуляционная составляющая,
«2» — отрывная составляющая.
Силы отрывной природы действуют в плоскости шпангоута и
пропорциональны квадрату нормальной составляющей скорости
»2=u2sin2a. Тогда отрывные составляющие гидродинамических
сил изолированного корпуса и оперения
K2K=CyK(90o)sin2alfV'°;
Г20П= Суоп(90°) sin2a^- У*'*.	(1.7.15)
Момент изолированного корпуса ПЛ имеет три соста-
вляющие:
ТИ2 & =- 2Иг к,-|-Afz к, Ч-7И.г к, >	(1.7.16)
где индексы «1» и «2» соответствуют циркуляционной и отрыв-
ной составляющим момента, «3» — моменту, возникающему при
125
к
(1.7.12)
• • — экспериментальные точки.
обтекании идеальной жидкостью. Входящие в (1.7.16) соста-
вляющие моментов определяются формулами
МгКг=тгК1 (90°) sin2a-^-y;
Mzк3 — (^22 — ^п) sin  V.	(1.7.17)
В частном случае, для корпуса ПЛ, симметричного относи-
тельно миделя, при угле атаки а=90° точка приложения нор-
мальной силы находится вблизи начала координат и можно при-
нять т2к(90°)~0.
Анализ результатов экспериментов с расчлененными моде-
лями показал, что циркуляционные составляющие коэффициента
нормальной силы корпуса и оперения хорошо аппроксимируются
формулами
Су, к = 0,65Су“ к sin 2а cos а;
СУ1 оп = 0,65Су”оп sin 2а cos а.	(1.7.18)
Входящие в (1.7.18) С^“к и С^“оп вычисляются по эксперимен-
тальным кривым
Су к 2 (Су, к)гпах а; Су on = 2 (Су, оп)тах а.
М. Е. Мазор на основании ряда экспериментов предлагает
аппроксимировать суммарный коэффициент момента
/и2К = 0f5/nl’K sin2a.	(1.7.19)
Тогда коэффициент циркуляционной составляющей момента
Д12 к, — zn2 к ; иг2 к3 — 0,5ггг2 к, sin 2a,
где	zn’A, =	— 2 (ki2 — &„).	(1.7.20)
Суммируя далее циркуляционные и отрывные составляющие
на основании (1.7.16, 1.7.18, 1.7.19, 1.7.20), получим приближен-
ные формулы для позиционных коэффициентов нормальной силы
и продольного гидродинамического момента изолированных кор-
пуса и оперения
Су к = Су к (90°) sin2 а Ц- 0,65Су“к sin 2a cos a;
Су on = Су on, (90°) sin2 a 0,65Cy“on sin 2a cos a;
тг к = 0,5zn2“K1 sin 2a -f-	— &,,) sin 2a;
znZ0n =тгт (90°) sin2a -|~O,65zn2“on sln2acosa. (1.7.21)
Выражения (1.7.21) позволяют также получить приближен-
ные зависимости для позиционных коэффициентов Cv и тг опе-
ренного корпуса.
127
На основании циркуляционио-отрывной теории М. Е. Мазо-
ром были получены приближенные формулы для определения
гидродинамических сил при одновременном вращательном и по-
ступательном движениях ПЛ, с использованием отдельных дан-
ных экспериментов с расчлененными моделями. В этом случае
также раздельно вычисляются силы иа корпусе и оперении под-
водной лодки. Рассмотрим движение в вертикальной плоскости.
Получим сначала силы и моменты для корпуса подводной лодки.
Представим себе, что проекция поступательной скорости движе-
ния ц.-ч. подводной лодки v , а-скорость ее вращения вокруг
ц. т. o>z . Тогда в произвольном поперечном сечении корпуса х
местная поступательная скорость равна о +<ог х. Для упроще-
ния задачи положим, что силы определяются только отрывными
составляющими, т. е. а=+90°. Тогда для участка корпуса dx
напишем элементарные нормальную силу и продольный момент:
аГГ2к = —	Су (х) b (х) (wyi + ю21 х) | v,, + <>>2, х | dx-,-
dM2K= - -L Су(х) Ь (х)(wy, + ю21х)| ^у, + <>>21х | хdx, (1.7.22)
где С (х) — коэффициент лобового сопротивления шпангоута;
Ь(х) —ширина сечения корпуса.
Предположим, что площадь горизонтальной проекции ПЛ за-
дана уравнением 6(x)=Bf(x). Введем безразмерные коорди-
2х у 2li -г 2lz	.
наты: х= ——; ц= —; lz— —— и вспомогательную функцию
р(х) = Су(х)/(х).
(1.7.23)
Интегрируя уравнения (1.7.22) с учетом формул (1.7.23), по-
лучим нормальную силу и продольный гидродинамический мо-
мент:
Л
J F (х) (^ + ш21х) I Vy, н- <»Z1x| dx -,
-~l2
К
Л12к =—J x/7(x)('Oy14-<o^x)|'OyI + (»21x|afx. (1.7.24)
—ъ
Отметим, что из выражения для местной поступательной ско-
рости можно найти координату ха, в которой эта скорость обра-
щается в нуль, т. е. центр вращения.
12$
Действительно, полагая
оу, + <ог1х = 0(
в безразмерном виде получим
Возможны два случая расположения центра вращения:
а) вне подводной лодки (| х01 > h, |xol>Zz); б) в пределах
ее длины (—lz < Хо < h).
Учитывая это, выражения (1.7.24) представим в двух формах:
а)	Г2к = - 4- ?BL [/, (1)	+ 2Z/2(1) т>у,«>2, + Л73 (!)<4),
Л42к = - 4- pBZ2 [/2 (1) < + 2Л/3 (1) vy,v>Z1 + Z74 (1) «£];
б)	^2к  ----2~ P&L [/, (хо) 4- 27.Л, (хо) оУ1<о2, Ц- L2!3 (х3) 4] >
Л42к =----2~ pBL [/2 (хо) ify, 4- 2LL (хо) T>y,<D21	L /4 (х<>)а»21].
Входящие в формулы (1.7.24) интегралы Л(1) и Ц (х0) полу-
чены путем преобразований, которые здесь опущены. Интегралы
имеют вид:
7	Ь
/,(1)=4'	72(1) = -L JxF(x)d£;
—h	—h
£	*
Л(1)=4~ J x2B(x)dx; /4(1)=-A- J x3B(x)ofx;
—is	~*2,
—is	Ji
x0	Хо	.
/2(xo) = 4~ j* x В (x) dx 4-)xF(x)dx-,
-Ц	r,
X9	x9 = f ^(х)^+4)х2Л'(х)^;
-Г2	Tt
Xq	Xq
/4 (x0) = *4- x3F (x) dx 4-	(.x) dx. (1.71.25) -rs	h
12»
9 Заказ № 0L8
Формулы (1.7.25) значительно упрощаются, если корпус ПЛ
симметричен относительно плоскости yiozit так как в этом случае
F(x) = F(—х); /1=/2=1.
Таким образом, задача об определении сил и моментов, дей-
ствующих на корпус ПЛ, сводится к вычислению интегралов
(1.7.25), при этом должна быть известна функция F (х).
Функция F (х) приближенно может быть представлена в виде
F (х) = Cv (х) / (х) = С° /?(х),
где C°v—значение Су(х) для цилиндра, основанием которого яв-
ляется мидельное сечение ПЛ; 7?(х)— некоторая неизвестная
функция.
М. Е. Мазором была получена формула для этой функции,
а затем вычислены интегралы Л(хо), (1),
Не производя эти выкладки, которые подробно изложены
в работе [59], приводим окончательные формулы для сил и мо-
ментов
^2к = -^2кЛк ( I *0 I ) 4v. I '«У. | !
Л12к= — A1JkF2k( |х0| )t0Zi	|,	(1.7.26)
где
^ik( l^o-|) =
Л ( I хо| ) +.т=~т 4 ( 1хо| )	( I Хо I )
I Л01	Х0 	Су
Лгк(1хо[)— -^-Хо/2 (|Хо| ) + |Хо| 73 (|хо | )-|-/4 (|хо|) -Х-;
. < . 1	'	I	J
К*2к = 4" С°у • Л12К = 4- CrfBL4.
Графики функций Е1к(хо) й Егк(х0) имеются в [59].
Рассмотрим теперь силы и моменты, действующие на гори-
зонтальное оперение.
Предположим, что местный угол атаки также равен 90°, тогда
местная скорость иоп=иу1+<»г /оп и
Уоп = Суоя(90°)	^/’(^, + шг1/0П)|7„, + ^,/0П|;
^оп=^оп(90°)-^- V(^1 + <Oz,Q|'Oy1 + o>zJoiI|- (1.7.27)
Суммируя нормальные силы и йродольные моменты на кор‘-
пусе и оперении (1.7.26), (1.7.27), получим полные значения сил
130
и моментов, действующих на ПЛ в продольной плоскости при ее
движении с а=90°:
К, = - [K&F1K ( | Х0 | ) ^у, | Vy, | + on (у?, + <o^on) | vy, + <oZ|Zon | ];
Mz, = —	I Xo I ) <1>Z, I ”>z, | + Afaon (Vy, + <uz,^on) | ®y, + u)z,^to I ] ,
(1.7.28)
ol/Va	py
we = Cyon (90°)	Qn = mzon (90°)	.
§ 8. ГИДРОДИНАМИЧЕСКИЕ СИЛЫ, ОБУСЛОВЛЕННЫЕ ВЛИЯНИЕМ
НЕСТАЦИОНАРНОСТИ И КРИВОЛИНЕЙНОСТИ ТРАЕКТОРИИ
ДВИЖЕНИЯ ПЛ
В § 5, 6, 7 были рассмотрены гидродинамические силы вязкой
природы на базе гипотезы стационарности, которая не делает
различия между .установившимся и неустановившимся движе-
ниями. В большинстве случаев маневры, совершаемые ПЛ,
имеют неустановившийся характер или, по крайней мере, огра-
ничены временем их выполнения.
Гидродинамические силы и моменты при неустановившемся
пространственном движении ПЛ являются функциями проекций
поступательной и угловой скорости, а также их первых произ-
водных по времени, т. е.
/? = 7?(wX1, Vy,, VZl, Vx,, Vy,, V2„ is>x,, U)y,, <OZ1, U)x,, <ОУ1, <»z,);
M=M(vx,, Vy,, Vz,, VXt, Vy,, vz„ wx,, wy,, <oZ1> <oX1, <Oy,, <OZ1).
(1.8.1)
В случае плоских движений ПЛ функциональные зависимо-
сти (1.8.1) значительно упрощаются.
При движении в продольной плоскости	<
R = R(t>x„ Vy,, vx,, Vy,, <oZ1, wz,);	l! -'-ь,
M = M(VX,, Vy,, VXt, Vy,, <»г,, 0>z,).
При движении в горизонтальной плоскости
R~R(vx,, Vz,, VX1, Vz,, Ю.у, I <%,);
M = M(vx,, Vz,, Vx„ Vz,, <%,, Ю,,).	(1.8.2)
Так как проекции скорости связаны с угловыми параметрами,
их первыми и вторыми производными, то нестационарные гидро-
динамические силы и моменты могут быть выражены через углы
атаки, дрейфа, крена и их первые и вторые производные. Тогда
9*	131
для плоских движений ПЛ нестационарные гидродинамические
коэффициенты можно представить в виде:
при движении	при движении
в продольной плоскости в горизонтальной плоскости
Cx=Cx(w, а, а);	cx=cx,(v,		
Cy=Cy(w, а, а, а):	С г ~ Cz, (&>		₽. ₽)
т,г=т,г{ъ, а, а, а);	. my = my(v,		ё)
В общем случае задача экспериментального определения не-
стационарных гидродинамических характеристик весьма сложна,
так как необходима экспериментальная установка, позволяющая
задавать любой произвольный закон изменения кинематических
параметров (а или р) в функции времени.
Вообще говоря, нестационарные гидродинамические силы мо-
гут быть определены при помощи трех известных методов: ме-
тода малых колебаний, на ротативной установке и метода кри-
волинейных моделей. Однако в настоящее время определяются
лишь осредненные значения нестационарных гидродинамических
сил при колебательном движении.
При методе малых колебаний задается закон изменения угла
атаки (для определения сил в продольной плоскости) и угла
дрейфа (при определении сил в горизонтальной плоскости)
в виде:
а = аое-'1' cos pf -,
₽ = %е~"'созрЛ	(1.8.3)
где р— частота колебаний модели; t — время;
п—коэффициент затухания; ао, ₽о — амплитуды.
При испытаниях модели в аэродинамических трубах или ги-
дроканалах и Р=<р, поэтому угловые скорости вращения
модели
<ог = а и юу=р,
а гидродинамические коэффициенты можно записать в виде
сх = С’а + с а +	;
Су = С“а Ц- а Ц- Cyzu>z;
лгг = тга -\-mz а -[-mz mz-[-
СХ=С% + d ₽ + С>юу + C?<iy;
132
Сг = Cf ₽ + ch + с>юу + C?»y;
zny = zziyB + Оту p + zny^<oy4-	(1.8.4)
В разложениях нет членов, содержащих скорость v, так как
при проведении испытаний она обычно принимается постоянной.
Для представления гидродинамических коэффициентов
в функции времени необходимо подставить законы изменения
параметров в формулы (1.8.4). Выполним эту подстановку для
одного из коэффициентов, например mz. Найдем сначала а и а,
составив производные по времени от выражения 1.8.3
а = — чйрё~"‘ sin pt — аоле“’л/ cos pt-,
а = — a0p2e~’“ cos pt 2чорпе~а1 sin pt Ц- a.l/i2e~nl cos pt. (1.8.5)
С помощью первого из выражений (1.8.5) второе можно пре-
образовать так
а= -2пч- (р2 + п2)а.	(1.8.6)
После подстановки а, а, а в формулу коэффициента гидро-
динамического момента тг имеем
тгч -	+ тг <»г =
= [zn“ — (р2 -|- /г2) ч + (z«zz + тг — intnfy ч. , (1.8.7)
Формула получена для свободных (затухающих) колебаний.
В случае вынужденных колебаний, т. е. при «=0, выражение
(1.8.7) несколько упрощается:
= \fnz ~ р a-j- \mz Ц- тг ) а. (1.8.8)
Круговая частота р, входящая в формулы (1.8.7), (1.8.8), мо-
ру'1з
жет быть заменена безразмерной частотой р*=—— (число
Струхаля).
Таким образом, применяя закон изменения параметров
(1.8.3), мы получим сложные производные. Напишем их для наи-
более простого случая, когда л=0.
Продольная плоскость
Гу,-р2С< С“г+С<
т° — р2тУ; mzz -ф zn“.	(1.8.9)
133
Горизонтальная плоскость
C>+Cf;
z«y —/Лпуу; т"у- mf..	(1.8.10)
При использовании ротативной установки, а также букси-
ровки криволинейных моделей, испытания проводятся при а=
= const и o>z=const или f$=const и o>;/=const, поэтому
Су=Суа-|- Су^юг; тх =	-j-mxzioz;
Сг = С^+С%у; ту = т^+т“уюу. (1.8.11)
В случае бокового движения, т. е. движения с углами дрейфа
и крена, гидродинамический коэффициент момента при крене
тх = т?х$ +	zn“yiy. (1.8.12)
Принимая изменение угла дрейфа по гармоническому закону
(I-.8.3), после преобразований получим
тх=\т9х — (p24-n2)zn“y] 8-|-(m“y	— 2/m“y)[3.	(1.8.13)
В частном случае, когда п=0
тх = \тх - /Лп“у] ₽ -I- (zn“y + тх) р.
Таким образом, при наличии угла крена дополнительно опре-
деляются сложные производные (при п=0)
т?х — /Лп“у; тху + т?х.	(Г.8..14)
Экспериментальное исследование показывает, что при числах
Sh, изменяющихся в диапазоне 0—1,5, указанные выше сложные
производные практически постоянны.
Известно, что при рассмотрении неустановившегося движе-
ния плохообтекаемых тел использование гипотезы стационарно-
сти приводит к существенному различию между данными опыта
и расчета. Результаты работ К. К. Федяевского и Гиневского (97],
Е. П. Николаева [69] по определению сопротивления плохоббте-
каемых тел (крылового профиля, круговых и эллиптических ци-
линдров) при неустановившемся движении указывают на значи-
тельное изменение сопротивления. Подводные лодки из-за нали-
чия ограждения рубки оперения и других выступающих частей
нельзя считать хорошо обтекаемыми телами и вполне естественно,
что их гидродинамические характеристики при неустановив-
шемся поступательном движении зависят также и от времени.
134
Изменение сопротивления тела при нестационарном обтека-
нии, может быть найдено на основании данных работ [97], [69].
В работе [97] предлагается метод решения задачи о нестацио-
нарном турбулентном пограничном слое на крыловом профиле и
теле вращения, который базируется на полуэмпирической теории
турбулентности. В результате применения этого метода нахо-
дятся характеристики нестационарного пограничного слоя, ко-
торые позволяют вычислить коэффициент сопротивления. При
этом параметр, определяющий эти характеристики, пропорцио-
нален
Q = _^T_^L + ^JpLl	(18л5)
u2 Re [ ds и di J	'
где и — Отношение мгновенной скорости движения к скорости
в начальный момент времени;
ди
—- — безразмерное ускорение:
dt
ди J	
———^безразмерное изменение скорости вдоль профиля.
ds	*
Анализ формулы (1.8.15) показывает, что знак ускорения
влияет на величину Q. При замедленном движении < oj
точка отрыва при прочих равных условиях перемещается к пе-
редней кромке тела, при ускоренном	, наоборот, спо-
собствует затягиванию отрыва пограничного слоя. Влияние уско-
рения ощутимо при сравнительно небольших значениях и. При
больших его значениях роль второго члена в выражении (Г.8.15)
невелика, так как уменьшается влияние нестационарности. Ввиду
того, что величина дополнительного сопротивления зависит от
положения точки отрыва пограничного слоя, приведенные выше
рассуждения позволяют сделать качественные выводы о сопро-
тивлении.
Для иллюстрации этого эффекта на рис. 1.60 приведены зави-
симости мгновенного сопротивления от угла, определяющего
точку отрыва пограничного слоя и ширину спутной струи. Эти
зависимости получены на основании расчета нестационарного
пограничного слоя при ускоренном и замедленном движении
круглого цилиндра. Картину обтекания корпуса ПЛ при а=
= ±90° можно считать аналогичной картине обтекания круглого
цилиндра.
В настоящее время по нестационарным гидродинамическим
характеристикам ПЛ накоплено мало экспериментального
135
материала. Однако отдельные эксперименты позволяют сделать
определенные выводы.
Рассмотрим результаты экспериментов по нестационарному
сопротивлению ПЛ при малых и больших углах атаки (а=0
и а=±90°). На рис. 1.61, а, б представлены результаты разгон-
ных и тормозных буксировочных испытаний моделей ПЛ штев-
невого типа и «Альбакор» при нулевом угле атаки. Испытания
проводились в бассейне гравитационного типа Ленинградского
кораблестроительного института. При этих испытаниях коэффи-
циент сопротивления представлялся как сумма двух слагаемых:
коэффициента сопротивления при установившемся движении и
Рис. 1.60. Зависимость мгновенного профильного со-
противления от угла, определяющего точку отрыва
пограничного слоя.
I—-” = о,3; й.= 1,3; 4 = 1; г-4^-=-0,з; йо=о,7: 7„ =1.
it	а‘
коэффициента дополнительного сопротивления, вызванного не-
стационарностью
Сх(0 = Сж(Ке) + АСж{-^-),	(1.8.16)
где	—-——------безразмерное ускорение;
Re   v3
Nw	dv
V--7~
комбинированный параметр, характеризую-
щий отношение дополнительных сил тре-
ния, обусловленных нестационарностью к
инерционным силам.
Эти графики позволяют сделать вывод о том, что влияние не-
стационарное™ проявляется главным образом при ускоренном
движении, торможение модели в рассмотренном диапазоне зна-
136
Рис. 1.61. Влияние нестациоиарности движения (разгон и торможение)
на изменение сопротивления ПЛ при а=0: а — ПЛ штевневого типа,
б — типа «Альбакор».
нию значительно отличаются, однако дополнительное их сопро-
тивление, обусловленное нестационарностью, практически оди-
наково.
На рис. 1.62 приведена аппроксимирующая кривая зависи-
137

Рис. 1.62. Аппроксимирующая зависимость, учитывающая влияние нестационарное™.
/— модель № I: 2— модель № 2. 3 — осредненное значение
ДСх	./ Re \
мости —„—=Н—— I, построенная по данным испытании двух
Сх	' Jvw '
моделей; она может быть рекомендована для расчетов.
Для выяснения влияния нестационарности на сопротивление
ПЛ были также проведены эксперименты при больших углах
атаки а=90°, что представляет практический интерес при рас-
смотрении аварийных задач. На рис. 1.63, а, б приведены данные
по разгонным и тормозным испытаниям модели штевневого типа
в бассейне ЦНИИ им. А. Н. Крылова. Ускоренное погружение
создавалось за счет свободного падения модели под действием
топящей силы. Замедленное движение появлялось при погруже-
нии статически уравновешенной модели с некоторой начальной
Рис. 1.63. Влияние нестационарности на сопротивление при
отрывном обтекании а=90°: а — разгон; б — торможение.
скоростью. Ускоренное и замедленное движения модели осуще-
ствлялись с малыми углами дифферента (0—4°). При обработке
данных эксперимента коэффициент сопротивления модели при
неустановившемся движении Схн, зависящий от скорости и уско-
рения, относился к сопротивлению модели при установившемся
движении Сх.
Относительное сопротивление Сх= —определялось в за-
_ Сх
л dll TJ п
висимости от параметра Л = —-Н :и2 — для ускоренного дви-
at
жения и в функции от и2—при замедленном движении. Здесь
и — мгновенная скорость в неустановившемся движении; ио —
и
скорость при установившемся движении; и=-------; п—высота
ио
корпуса модели.
Как следует из рис. 1.63, с нарастанием ускорения относи-
тельное сопротивление резко падает. При замедленном движе-
нии коэффициент Сх также резко уменьшается. Однако эффект
139
нестационарности проявляется здесь по разному. В случае уско-
ренного движения при возникновении ускорения сопротивление
уменьшается по сравнению с установившимся движением, при
замедленном движении при появлении отрицательного ускоре-
ния сопротивление возрастает.
Для сравнения на рис. 1.63 а, б пунктиром даны эксперимен-
тальные кривые СХ(А) и СДц2) для тел цилиндрической формы.
Эти кривые качественно подтверждают результаты, полученные
для модели подводной лодки.
Анализ экспериментальных данных показывает, что нестацио-
нарность по-разиому влияет на коэффициент сопротивления при
больших и малых углах атаки. Это объясняется прежде, всего
различным соотношением между составляющими вязкого сопро-
тивления — сопротивлением формы (вихревым) и сопротивле-
нием трения — при малых и больших углах атаки. При больших
углах атаки (а=±90°) основной составляющей вязкого сопро-
тивления является вихревое, прн малых углах атаки — трение.
Ускорение по-разному влияет на составляющие сопротивле-
ния. Рассмотрим сначала отрывное обтекание модели (а=
= ±90°). Здесь основное влияние ускорения проявляется в пере-
мещении точки отрыва турбулентного пограничного слоя и из-
менении ширины спутной струн. Поэтому при положительном
ускорении, как уже указывалось, точка отрыва на корпусе мо-
дели перемещается назад, уменьшается ширина спутной струи
и, следовательно, коэффициент сопротивления. При замедленном
движении наблюдается обратная картина.
При малых углах атаки основное влияние ускорение оказы-
вает на сопротивление трения. При положительном ускорении
возрастает сопротивление трения, а сопротивление формы па-
дает, однако в целом вязкое сопротивление возрастает.
При отрицательном ускорении сопротивление трения умень-
шается. Таким образом, при малых углах атаки получаем обрат-
ный эффект по сравнению с движением на больших углах.
§ 9. ГИДРОДИНАМИЧЕСКИЕ СИЛЫ ПЛ, ИМЕЮЩЕЙ СПЕЦИАЛЬНЫЕ
РЕЖИМЫ ДВИЖЕНИЯ
В настоящее время существует требование резкого увеличе-
ния скоростей подводного хода, которое может быть достигнуто
путем увеличения мощности главной энергетической установки,
а также путем уменьшения сопротивления воды. Не останавли-
ваясь на возможностях увеличения мощности энергетической
установки ПЛ, которые, вообще говоря, ограничиваются весами
и габаритами турбин и реакторов, рассмотрим лишь пути умень-
шения сопротивления за счет применения специальных средств.
Можно назвать несколько направлений, по которым проводятся
140
работы, связанные с резким уменьшением сопротивления ПЛ
в погруженном положении:
а)	образование на корпусе ПЛ искусственной, обычно воз-
душной каверны;
б)	ламинаризация пограничного слоя путем отсоса жидкости
из него;
в)	применение упругих демпфирующих покрытий на корпусе
ПЛ;
г)	использование «неньютоновских жидкостей» в погранич-
ном слое (синтетических длинномолекулярных присадок).
Все перечисленные выше средства известны из отечественной
и иностранной литературы. Здесь остановимся главным обра-
зом иа гидродинамических силах и моментах, возникающих на
Рис. 1.64. Схема расположения кавитатора
на теле вращения.
1 — тело вращения; 2 — кавнтатор (кольцевой вы-
ступ); 3 — каверна.
модели ПЛ, имеющей искусственную воздушную каверну, так
как ее влияние весьма существенно. При наличии на корпусе мо-
дели острой кромки или выступа (кавитатора) за ними при ее
движении (рис. 1.64) образуется зона разрежения, которая
с увеличением скорости возрастает. Если скорость движения ПЛ
настолько высока, что давление за выступом становится равным
давлению упругости паров воды, то наступает паровая кавита-
ция. Часть корпуса оказывается покрытой парами воды, и по-
этому сопротивлением трения этой части практически можно
пренебречь. Скорости движения, при которых могла бы насту-
пить паровая кавитация корпуса ПЛ, составили бы 200—300 уз-
лов и в настоящее время недостижимы.
Многочисленные эксперименты показали, что если при неко-
торой скорости движения за выступ вдувать воздух, то обра-
зуется искусственная каверна. Скорость, при которой она обра-
зуется, в несколько раз меньше скорости движения, соответст-
вующей естественной кавитации.
На рис. 1.65 показано образование воздушной каверны на
теле вращения (модель ПЛ без рубки и оперения). Для оценки
возможности использования воздушной каверны на корпусе ПЛ
следует одновременно разрешить и ряд других вопросов, в ча-
стности, уменьшение расходов газа, необходимого для образо-
вания и поддержания воздушной каверны, компенсацию неурав-
новешенных гидродинамических сил и моментов в продольной
141
плоскости, получение благоприятных кавитационных режимов
при малых числах Fr. Ввиду того, что при образовании на теле
вращения воздушной каверны нарушается осевая симметрия те-
чения, задача о теоретическом определении гидродинамических
сил существенно усложняется. Пока что единственным методом
их определения является эксперимент.
Прежде чем приводить результаты экспериментов, рассмот-
рим основные параметры, характеризующие комплекс тело—ка-
верна.^Расход газа, подаваемого в каверну, характеризуется
Рис. 1.65. Воздушная кавериа на теле вращения.
безразмерным коэффициентом расхода Cq, отнесенным к квад-
рату линейного размера и скорости движения
С Q
G<?	- vd2 >
где Q — объемный расход газа;
v — скорость движения;
d — диаметр корпуса ПЛ.
Воздушная каверна из-за весомости воздуха всплывает.
Всплытие кормоцой части каверны зависит от ркорости потока:
при малых скоростях всплытие больше, при больших скоростях
оно практически отсутствует. В качестве безразмерной скорости
142
выбирают число Fr=—------ по диаметру (корпуса или кави-
Vgd
татора). Эти два параметра в значительной степени определяют
гидродинамические силы и моменты, действующие на кавитирую-
щую модель. Ввиду недостатка экспериментальных данных рас-
смотрим лишь позиционные характеристики, соответствующие
движению в вертикальной плоскости. Позиционные гидродина-
мические коэффициенты при нулевом угле атаки являются функ-
циями только двух параметров Числа Fr и коэффициента рас-
хода: Cx=Cx(Cq, Fr); Cy = Cy(Cq, Fr); mz=mz(CQ, Fr).
Рис. 1.66. Зависимость коэффициента Cx тела вращения
с каверной от расхода газа Cq.
Рассмотрим эти зависимости для случая образования каверны
на теле вращения, воспользовавшись экспериментами, проведен-
ными в ЛКИ.
Как видно из рис. 1.66, коэффициент сопротивления в силь-
ной степени зависит от расхода газа Cq. При постепенном уве-
личении подачи газа в каверну (увеличение ее длины) сопроти-
вление тела уменьшается, достигая при некотором коэффициенте
расхода Cgmin минимального значения. Для тела вращения типа
«Альбакор» длина каверны, соответствующая минимуму сопро-
тивления, составляет примерно (0,404-0,50) L. Дальнейшее уве-
личение расхода газа приводит к повышению сопротивления, что
объясняется интенсивным ростом вихреобразования. Потери газа
происходят при любом его расходе, однако соответствующие
143
вихревые системы сильно отличаются друг от друга. Следует
отметить, что зависимость коэффициента сопротивления от рас-
хода газа будет изменяться при установке на модели кавитато-
ров другой формы. Значительное влияние на сопротивление ока-
зывает и форма модели. Однако, как показывают эксперименты,
независимо от формы модели во всех случаях кривая Сх=
= Cx(C<j, Fr) имеет минимум, но расход газа, соответствующий
точке минимума кривой, различен и зависит от формы моделИ|
Всплытие каверны является одним из факторов, препятствую-
щих её~использованию на подводных лодках. Оно в значитель-
ной степени определяется числами Fr, изменение которых влияет
на структуру потока.
Рис. 1.67. Зависимость коэффициента сопротивления Сх тела вращения
с каверной от коэффициента расхода газа CQ при различных числах Fr.
В кормовой части каверны образуется вихревая система.
При больших расходах газа, соответствующих развитой кавита-
ции, в хвостовой части тела возникают две вихревые трубки.
С увеличением чисел Fr при постоянном расходе воздуха насту-
пает момент, когда вихревые трубки исчезают. Каверна замы-
кается на корпусе модели с образованием обратной струйки. Все
это, естественно, сказывается на гидродинамических силах и,
в частности, на сиде сопротивления. Вихревые системы увеличи-
вают сопротивление, поэтому зависимость коэффициента сопро-
тивления Сх от коэффициента Cq, построенная для постоянного
числа Fr, физически вполне объяснима (рис. 1.67). При некото-
ром числе Cq наблюдается минимум сопротивления, а увеличе-
ние Fr приводит к падению сопротивления, так как уменьшается
всплытие каверны (весомость проявляется меньше).
Всплытие каверны по-разному проявляется при изменении
угла атаки. При положительных углах атаки каверна откло-
няется от корпуса модели, что вызывает рост сопротивления;
144
отрицательные углы атаки вызывают в отдельных случаях бо-
лее плавное замыкание каверны на теле и благоприятные усло-
вия обтекания комплекса тело—каверна, сопровождающегося
снижением сопротивления. Кривые, характеризующие изменение
сопротивления в функции от углов атаки, даны на рис. 1.68. Как
видно, для рассматриваемой формы корпуса углы атаки а=
=—(34-5°) благоприятно сказываются на сопротивлении кави-
тирующей модели.
При образовании каверны на корпусе модели происходит пе-
рераспределение давлений, что приводит не только к изменению
силы сопротивления, но также к изменению подъемной силы и
Рис. 1.68. Влияние угла атаки на коэффициент сопро-
тивления тела вращения с каверной.
&СХ — уменьшение коэффициента сопротивления по сравне-
нию с Сх тела вращения хорошо обтекаемой формы; —
коэффициент расхода газа, подаваемого н каверну.
продольного гидродинамического момента. Это наблюдается
прежде всего при нулевом угле атаки. На некавитирующей под-
водной лодке из-за несимметрии ее корпуса относительно гори-
зонтальной плоскости при а=0 имеются подъемная сила и про-
дольный момент, значения которых малы. Одиако при образо-
вании на корпусе воздушной каверны эта несимметрия из-за
весомости каверны значительно возрастает как в геометриче-
ском, так и в гидродинамическом смысле. Весомость каверны
приводит также и к тому, что ее замыкание на корпусе в общем
случае происходит не по шпангоуту. Это вызывает косое обте-
кание корпуса, которое влияет на распределение давлений на
комплексе и вместе с другими факторами обусловливает появле-
ние дополнительных гидродинамических сил. Так как всплытие
каверны тесно связано с числами Fr, то и гидродинамические
коэффициенты также зависят от скорости. Таким образом, мо-
жно представить дополнительные гидродинамические силы и мо-
менты в функции трех параметров: расхода воздуха, скорости
10 Заказ № 018	145
движения и угла атаки, а соответствующие им коэффициенты
ACV и Amz в виде:
bCy = &Cy(CQ, Fr, а);
&nz = kmz(CQ, Fr, а).
MylS1______________________________________ ,___________
oi=</M
0.5	1,0	1.5	С,-10г
Рнс. 1.69. Изменение коэффициента подъемной- силы ACV от расхода
газа при образовании воздушной каверны на теле вращения.
Рис. 1.70. Изменение коэффициента продольного момента Ллгц от расхода
газа при образовании воздушной каверны на теле вращения.
На рис. 1.69, 1.70 для иллюстрации приведены эксперимен-
тальные кривые \СУ и Amz для, случая образования каверны на
теле вращения (без оперения и ограждения рубки) при нулевом
угле атаки. Как видно, в определенном диапазоне расходов воз-
духа каверна вызывает на теле вращения подъемную силу, ко-
торая с увеличением расхода уменьшается, а при некотором его
146
значении меняет знак (топящая сила). Уже указывалось,
что дополнительная подъемная сила на кавитирующем теле воз-
никает главным образом вследствие изменения распределения
давлений на корпусе из-за наличия каверны и косого обтекания
корпуса. Вполне естественно, что подъемная сила возрастает
с уменьшением чисел Fr (увеличивается скос потока), что под-
тверждается графиком AC„(Cq, Fr, 0) на рис. 1.69.
Зависимость коэффициента продольного гидродинамического
момента Amz=Amz(Cq, Fr, 0) для тела вращения представлена
на рис. 1.70 семейством кривых при Fr=const.
Рис. 1.71. Характеристики мо-
дели без стабилизаторов.
А—без отсоса пограничного слоя;	А —без отсоса пограничного слоя;
О — с отсосом пограничного слоя.	О — с отсосом пограничного слоя:
-------- расчетная кривая.
Рис. 1.72. Характеристики модели
со стабилизаторами.
При малых расходах газа, соответствующих коротким кавер-
нам, Amz>0 (момент на корму); с увеличением длины каверны
коэффициент момента уменьшается и при некотором значении
меняет знак на обратный.
Отсос пограничного слоя оказывает несколько меньшее влия-
ние (чем образование каверны) на позиционные гидродинамиче-
ские характеристики модели тела вращения. Основное влияние
отсоса проявляется в том, что часть стабилизаторов при отсосе
выходит из пограничного слоя и начинает работать более эф-
фективно, в результате чего несколько возрастает подъемная
сила на стабилизаторе, а суммарный опрокидывающий момент
уменьшается. Эта гипотеза была проверена в работе [2] расчет-
ным и экспериментальным путями. При определении подъемной
10*	147
силы на стабилизаторе использовалась гипотеза плоских сече-
ний, а закон распределения скоростей в пограничном слое по
размаху стабилизатора принимался степенным.
Результаты экспериментов с модели тела вращения в аэроди-
намической трубе ЛКИ даны на рис. 1.71—1.72. Эксперименты
проводились при числе Re=2- 10е и коэффициентах расхода воз-
духа при отсосе C<j==2,7* 10-2. Как видно из рис. 1.71—1.72, от-
сос пограничного слоя практически не влияет на гидродинамиче-
ские характеристики С^, т* модели без стабилизаторов.
Влияние отсоса пограничного слоя заключается в увеличении
коэффициента С и уменьшении коэффициента оперенной
модели, что обусловливается перераспределением нагрузки по
размаху стабилизатора за счет уменьшения толщины погранич-
ного слоя.
148
ГЛАВА II
УРАВНЕНИЯ НЕУСТАНОВИВШЕГОСЯ ДВИЖЕНИЯ ПЛ
В ПОГРУЖЕННОМ ПОЛОЖЕНИИ
§ 1. УРАВНЕНИЯ ПРОСТРАНСТВЕННОГО ДВИЖЕНИЯ ПЛ
В ПОГРУЖЕННОМ ПОЛОЖЕНИИ
Уравнения, описывающие неустановившееся движение ПЛ
в пространстве, могут быть составлены в любой системе коор-
динат. Однако обычно выбирается такая система, в которой урав-
нения движения оказываются наиболее простыми. В связи с этим
примем систему координат, связанную с ПЛ, так как в этой си-
стеме присоединенные массы записываются в наиболее простой
форме и не зависят от времени.
При составлении уравнений движения воспользуемся прин-
ципом Даламбера, согласно которому сумма всех сил, включая
и силы инерции, должна быть равна нулю. На основании изло-
женного выше к этим силам относятся массовые силы — силы
веса и плавучести, силы инерционного происхождения — соб-
ственная инерция подводной лодки и присоединенная инерция
жидкости, силы вязкого происхождения, реактивные силы. Урав-
нения равновесия сил в проекциях на координатные оси связан-
ной системы координат имеют вид:
*1ин. 4“ А'1Вн!=	4~ ^1₽ 4~
У1ИН, 4“ У1ии,= К1В 4“ 14 р 4" К1т!
Z)HH14_^1ин!=Z1B4- -Zip 4-Дт;
Х1х, ни, + XlXt ин2= АД1В 4~ А1Х1Р 4- ЛД|Т;
XI у, ИИ, 4- XIУ, ИН, = Л4у|В 4“ XIу,р 4-
Х1г, ин, 4~ XI г, нн,= 4-	4- Х1г,т,	(П.1.1)
где А*1НН1>	К1ИН],	1
м м м I — проекции инерционных сил и
/Их1НН1* /ИУ1НН1>	j	моментов подводной лодки на
оси координат;
149
^)нн2,	К1ИИ2 5	^1инг |	
м	М	Л4-	1	— проекции инерционных сил и
<К1ЛГ1ИИг»	JVlyi нн3>	JViZi нна f	моментов присоединенной жид-
			кости на оси координат;
^1в,	к1в,	zl3 |	
Л4	ум	44 I	— проекции сил и моментов вяз-
4 F-lXj в J	в,		кого происхождения на оси ко-
			ординат;
Х1Р,	К1р,	^lp )	
‘'лГ		Л4 1	— проекции массовых сил и мо-
р ,	/Ну, р,	^ViZi p )	ментов на оси координат;
Л1Т,	г1т>	Zn |	
м	тм	Л4 1	— проекции реактивных сил и мо-
^VIX1 т»	т,		ментов на оси координат;
ДМх ин,	ДАГу ИН(	ДЛ'Ту ин	— поправки, исключающие двой-
			ной учет моментов инерцион-
кого происхождения.
Как уже было отмечено, вязкие составляющие гидродинами-
1еских сил и моментов определяются экспериментальным путем.
При их определении неизбежно замеряются и инерционные со-
ставляющие.
При определении позиционных гидродинамических характери-
стик в аэродинамических трубах величина моментов замеряется
в сумме с позиционными моментами присоединенных масс. Так
как эти составляющие были уже учтены прн определении сил
инерционного происхождения, то в вязкие составляющие момента
необходимо ввести поправки. Таким образом, формулы для опре-
деления позиционных моментов вязкого происхождения можно
представить в виде:
Мх, в — T'i.t, Ч~ Д Мх ин ,
Л1у, в = -'Иу, “Ь ДЛ4у ин ,
Мг.в-Л^+Д'Игнн,
где ДЛТх ни = (/-за	^22) ^у,^, i
ДЛ1у ни — (\|3	^-ц) i
Д^Игин=== (^22	^11)®Х1®У-- (П.1.2)
С учетом указанных выше соображений на основании формул
(II. 1.2) правые части уравнений (II. 1.1) имеют вид
-Vie + Х1р + Х1Т = Т cos Тв - Сх, Vth + С**' -f- и,, V +
+ С?1 -f- Юу, V + с2 -f- Шг, V + Р Sin ф;
К1В + К1р + KiT= Тsin Тв + Су,V’ + С^^ЮхУ +
Су/’-^-ЮуУ У С,2‘ -у- <огу + р COS ф COS 9;
150
zlB+zIp +ZtI=G, -^l/'3 +	с:?^-«>уу+
+ Сг/'-у <»г V — pcos<^sin0,
Mx, в -|- MXl p 4- Mx, T = mx, V -|- mx*' -y u>21 V/a 4-
+ mxy' <оУ1 V‘/s+ zn“f -y V‘h- —
— Dh sin 0 cos ф + (X33 — X22) vy,vz, — p (z^cos ё Ур sin 0) cos <|>;
Му,в + My,p + My1T = mV1	V + m°,* -y u>x, v‘/s+
+ zn“2 -^- ю2 И/з — (X33 — Xn) vx,vyj — p (xp cos ф sin 0 + zp sin <|>);
Мг,в 4- ^г,р 4“ M2iT = zn2, -у- V mZt ’ -у <оХ1 V 3 -|-
+ m”? у “у, V*' 3 4~ /»“г‘ -у	V‘,a + (Хгг - Хн) vx,vy, —
— Dh 51пф + Те 4- /7(хрсозфсо8 8 — ypsin <|>).	(П.1,3)
В уравнениях (II.1.3) h — метацентрическая высота ПЛвпод-
водном положении, отнесенная к полному подводному водоизме-
щению; е — плечо силы тяги Т.
Входящая в правые части системы дифференциальных урав-
нений остаточная плавучесть р и ее координаты хр, ур, гр посто-
янны. В случае переменного значения остаточной плавучести р
необходимо рассматривать систему дифференциальных уравне-
ний с переменной массой.
Подставим в уравнения динамического равновесия (П.1.1)
развернутые выражения всех сил и моментов в соответствии
с (1.4.5а), (1.4.12), (1.4.13), (П.1.3). После приведения однород-
ных членов получим систему шести обыкновенных нелинейных
Дифференциальных уравнений первого порядка, описывающих
пространственное движение ПЛ в погруженном положении:
m (1 + Йц) vx, 4- mk12vy, 4- mV"3 k^Zt 4-<o,, [m (1 4- k^) vZl 4-
-YmV'3k^Xi	— шг, [zra(l 4- k22) vyt + mkxi-oXt 4-
+	= Tcos Tb - CXl^- И3 4- C“x’-^ IZ4-
4- C“v- -f <»vVz 4- С”г’ шг, V + p sin ф;
151
zn (1 + vy, + mki2vx, -\-mV>lsk^, _j_	[zn(1	Лп)+
+ zn^12wy,+ znl/'^16<eZ1] -<0X1 [zn(l +*33)^. +
= TsinT„+Cy,-^ i//s4-
+ Сy/’	шхУ + C“*' -^- юу, V 4- Cy	<oz, V + p co s ф co s 0;
m (1	+отИ,'3Л34^1 + от1//’й35йУ1 + юХ1 [tn (1 + k22) Vy, 4-
— <oy, [zn(l + £„)vXt + mkl2-vyt4-
4- mV'ky = C*t V*'5 + C?1-^ шх,У4-
4- C“Iy’-^-<oyiVr4-C”z’-y-U)z, V- pcos^sin©;
Zr,(l + £44) ”>x, + A,y1^45<»y1 +	” ^34®Z, + 01У, (1 + ^6б)<Й2, +
4- mV,skiet>Xt 4- mV/a^26^11 <u2i [•Лч (1 H- ^55)01 у 1 И- •^Х1У1^45(Ох1 +
4-zny’/3A35^,] 4- vyt [niV'^k^^^ mV'^k^y] -
— vXl [mknvXt 4- m Vr,/3^2eU) J =mx,-^- V+
+ т^а>хУ^+тх-^УУ^ +
4- m<xx' -у-шг, V‘,z — Dh sin 0 cos ф — p (zp cos 0 4- ypsin 0) cos <|>;
•^yi ( 1 H- ^55) “yi H- •^х,уЛ45и)л, 4“ m ^ ’^35^z, 4“ “Z! [-^x, (1 "h ^44) <U-Z1 "h
+ Л.у.^у. + m. V',sk^vz] — Юх, [Л, (1 4- k№) Юг, 4-
4- mV'lakx6vx, 4- m V^k^-Vy] + wZ1 [mkx2-oyt + mVhk^z] —
— vx,[mV'1’^,, 4-=my,^-V +
+ m^^iaxiv^+m^^iayiv^+
+ rrh,' -у-“г, V'1 s 4-p(xpcos <|>sin 0 4-zpsin<|>);
152
/г, (1 ^^6б)<Й21 Н- m	ОТИ ;*A26Wy, U)jc, [/у, (1	Й55) Юу, -f-
H“ J х1у,^45О)-Г1 -\-^n,V	<йу, [Лх, ( 1 —J— ^44 ) 01X, 4“ JX. у.^З^У, "И
+ nV'"^] + mV'l‘k2eVx,«>x, — mV'hk^Vytiatt =
= тг,^- V+m^'^^V‘/s + zn?-f <«уУ/1 +
-r m<z*' -у- <uzV*/8 — Dh sin <|>4-Ге +
+ p(xpcosipcose — ypsint[>).	(II. 1.4)
Входящие в уравнения гидродинамические коэффициенты яв-
ляются функциями неизвестных углов атаки, дрейфа. Кроме
этого, неизвестны скорость v, углы дифферента ф и крена 9, про-
екции векторов поступательной и угловой скоростей vXl, оу,,
Oz„ шх,, шУ1, шг,. Таким образом, уравнения (II.1.4) имеют
11 неизвестных. Для получения дополнительных уравнений уста-
новим связи между угловыми, линейными скоростями и угло-
выми параметрами.
Напишем уравнения связи между проекциями vх, v , vz и
скоростью v, углами атаки а и дрейфа р. В соответствии с рис. 1.2
имеем:
Dx, —wcos pcosa;
Пу, = — w cos ₽ sin a;
^z, =t»sin₽.	(II. 1.5)
Для установления зависимостей между проекциями вектора
угловой скорости ®xi, о>г1 и углами <р, ф, 0 произведем три
последовательных наклонения лодки вокруг координатных осей
на углы <р, ф, О относительно некоторого начального Прямого по-
ложения (<р=ф=0=О). Обозначим систему координат для пря-
мого положения oxoyoZo (рис. II.1). Повернем ее вокруг оси оуо
на угол курса <р так, чтобы оси охо и оуо заняли новое положение
ох' и оу'. По оси оу0 отложим вектор угловой скорости <р. Повер-
нем теперь систему координат ох' у^г' вокруг оси oz' на угол
дифферента ф с угловой скоростью ф. Отложим эту угловую ско-
рость по оси oz'. При этом повороте системы координат ось ох'
занимает положение oxi, совпадающее с осью абсцисс в связан-
ной системе координат, а ось оуа занимает промежуточное поло-
жение оу'. И, наконец, при повороте координатных осей системы
около оси oxi на угол крена 0 с угловой скоростью 0 они займут
положение осей связанной с ПЛ системой координат. Суммируя
153
все составляющие угловых скоростей на координатных осях, по-
лучим
Их, = э + <р sin ф;
<оУ1 = <р cos фсоз 0 4-ф sin 0;
<«г, = ф COS 0 — Ф sin 0 COS ф.	(И. 1.6)
Если подставить затем проекции скоростей, определяемые по
формулам (И.1.5), (П.1.6) в (II.1-4), то получим систему шести
нелинейных дифференциальных уравнений с переменными коэф-
фициентами, в которых неизвестны: скорость о, углы атаки а,
дрейфа р, курса <р, дифферента ф и крена 0. Решение этой си-

Рис. II.1. К выводу уравнений связи
между проекциями угловых скоро-
стей <o Vi,	и	Координатами 0,
Ф, <Р-
стемы возможно при помощи
электронного моделирования
или методов численного инте-
грирования, применение кото-
рых прн расчетах вручную
вызывает известные трудно-
сти, связанные с большой за-
тратой времени. Поэтому чис-
ленное интегрирование полной
системы уравнений произво-
дится на ЭЦВМ.
В уравнениях (П.1.4) учи-
тывались лишь линейные ком-
поненты демпфирующих сил
и моментов. Однако, строго
говоря, это допущение не
всегда справедливо, так как
гидродинамические силы и мо-
менты обладают в ряде слу-
чаев 'Существенной нелинейно-
стью и по угловым скоростям.
Это обстоятельство затрудняет
определение параметров дви-
жения.
В некоторых частных слу-
чаях и при ряде допущений
уравнения пространстйённого
движения решаются с учетом
нелинейных составляющих
гидродинамических коэффици-
ентов.
Одним из таких случаев яв-
ляется пространственное дви-
жение статически уравнове-
шенной ПЛ на неустановив-
154
шейся циркуляции, при котором кинематика ПЛ характеризуется
шестью параметрами — а, р, ф, <р, 0, v, численные значения кото-
рых имеют различный порядок. Для упрощения задачи положим,
что в рассматриваемом маневре неустановившейся циркуляции
угол дрейфа р, угол дифферента ф, угол крена 0 и угловая ско-
рость a>yt— величины первого порядка малости, а угол атаки а,
угловые скорости сох, и <о2,— величины второго порядка малости.
Принятые допущения позволяют считать, что sin а = а, cosa =
= 1, 31Пф=ф, сойф=1, sin0 = 0, cos0=1, sinр=р, cosp=l,
а произведения а>х,соУ1, mVt(Oz,, со| , ар, аф и а0— вели-
чины третьего порядка малости, так что членами, содержащими
эти произведения, можно пренебречь. Тогда с точностью до ма-
лых второго порядка систему уравнений (П.1.4) можно упро-
стить:
т (1 + £ц)	+ т (1 + Азз) <яу,^ +zn V'izk№ а>У1 =
= Сх,^-Vj/s + r,
т(\ + й„) вд*>г1 = СУ1V’/s;
т( 1++ т V'’3 k34	+ т V‘%s -
— zn(l + £и) вдоу, = Cz, у2'1;
mix,(1 + fc44)	+ mV'%1) ~3j~~mx,-^V — Dfl^
mi2, (1 + ki5) + mV',3k35v-^ - mV'h k^w>Xt =
pV2 ,z
= my,^-V-,
mi2(\ + k№)	— mV',3k26v	+ mV',',k26m>z, =
= mz,^V-Dhif-Te.	(II. 1.7)
Если систему (11.1.7) привести к безразмерному виду, то ре-
зультат ее решения при равных начальных условиях и законах
перекладки рулей будет один и тот же для динамически подоб-
ных ПЛ. Поэтому введем безразмерные величины: относитель-
155
ную поступательную скорость v, относительную угловую
скорость и безразмерный путь з, которые определяются по
формулам:
v = — ; 2г = ^р-; ds = dt-^r, (П.1.8)
V0 ’	1	V 9	у'/з	'	'
где оо — скорость иа прямом ходу, м/сек;
о—скорость на неустановившейся циркуляции, м/сек-,
V — полное подводное водоизмещение, м3;
a>t — проекция размерной угловой скорости на оси координат
в 1/сек, индекс «» определяет координатную ось;
з —безразмерный путь;
t — время, сек.
После подстановки (П.1.8) в систему (И.1.7) и (П.1.6) иряда
промежуточных преобразований получим:
+ щ3^у, + 2^, = Сх, 4- С ;
v ds	ds
m da I aГ IO 1 dv
— m2	h 2kgg I —2Z,	“=
ds	ds	v ds
+	— Су,;
m3 + 2^34
as
' d£x
ds
^ + а,Д4
ds	v ds

-mxQ.y, = Cz,\
п,	+2^34-^
’ds 1 v ds	ds
2gh e .
q ~2 ’
t'o J
n2
1 Q
="“7=“ ““Ух
v as
as
2Аз4ах, = оту,;
Пз [^+2г‘
I” 2^26^21
as
7.2
2L_7c •
~v3 e Tt
ds	ds ds	ds
+-^e.
' r ds
ds
(П.1.9)
153
Полагая произведение ф© малым второго порядка, последние
три уравнения системы, приведем к виду
—— =	— Му,ф’
Постоянные коэффициенты mi, тг, тз, ni, пг, пз, а также коэф-
фициент Ст, входящие в уравнения (II.1.10), зависят от массы
и момента инерции массы ПЛ, присоединенных масс н находятся
по формулам:
т\ =2(1 +^ц); rti = 2Й, (1 + ^44);
тг = 2 (1 + ^22);	== 2iy> (1 + ^55);
отз = 2 (1 + йзз); пз = 2Й. (1 + М:
Ст=-Сх(т>0)^-.
Гидродинамические коэффициенты СХ1, CVl, Сг,, тх,, mVl,
тг , стоящие в правых частях уравнений (II.1.9) разложим в ряд
Тейлора. Для упрощения решении нелинейные составляющие гид-
родинамических характеристик разложим в ряд по углу дрейфа р
и угловой скорости рыскания Q . Остальные нелинейные члены
отбросим, считая их величинами третьего порядка малости. Тогда
разложение в ряд представляется в виде:
Сх, — Сх, (у)-, Су, = Су, (0) -)- Су, а -ф- Су,' 2Z, 4- Су, (р, 2У1) 4-
I	н а
"Г °к, и,
CZ1 = CZ1(₽, 2у) + Сг,в®в;
тх, = nix, р т% р2 -|- т.х*' Qx, +	2у, + рв;
/иУ1 = тУ1 (р,2У1) 4-znyB8„;
mz, = тг, (0) 4~^z,« 4~-ф-тг, (Р12У1) -ф-т^' 8к,и. (И.1.11)
Нелинейные члены разложения в ряд
Ct (Р,2У,) = С?р + С** 2У1 4- С??р2 4- C^tfy, + СГУ,Р2У1;
(₽Я,) =ОТ;Р 4- m^'Qy, + m^f 4- m^'Q2y, 4-лгГу,р2у, (II. 1.12)
где индекс i соответствует осям oyi, ozi.
157
Как видно из формул (II.1.12), в разложении мы ограничива-
лись квадратичными членами и ввели также смешанные произ-
водные второго порядка по углу дрейфа и угловой скорости Й .
При решении системы дифференциальных уравнений (II.1.9) со-
вместно с выражениями (II.1.11), (II.1.12) определяются кинема-
тические параметры движения ПЛ на иеустановившейся цирку-
ляции а, р, 0, ф, <р, fi , v.
Рис. П.2. Изменение кинематических параметров ПЛ на неустановив-
шейся циркуляции: а — о, р, <р, в, £2у1, бв; б — а, ф, ц, вк.
Решение этой системы производится методами численного ин-
тегрирования на ЭЦВМ при заданных начальных условиях и за-
коне перекладки рулей. В качестве начальных условий могут
быть приняты: при т=0, v = 1, а=ф=ае, где «б балансировоч-
ный угол атаки.
Для иллюстрации на рис. П.2, а, б показано изменение во вре-
мени кинематических параметров ПЛ при движении ее на неуста-
158
новившейся циркуляции. Графики построены на основании рас-
четов кинематических параметров ПЛ на ЭЦВМ по уравнениям
(П.1.9) в предположении постоянной глубины погружения на
циркуляции.
§ 2. РАЗДЕЛЕНИЕ СИСТЕМЫ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИИ
ПРОСТРАНСТВЕННОГО ДВИЖЕНИЯ ПРИ МАЛЫХ УГЛАХ ДРЕЙФА
И КРЕНА
Система дифференциальных уравнений пространственного
движения ПЛ при определенных условиях может быть разделена
на две системы, соответствующие боковому и продольному дви-
жениям. Для упрощения системы (П.1.4) воспользуемся методом
малых возмущений (малого параметра). Предположим, что дви-
жение ПЛ определяется кинематическими параметрами	,
vz , шх ,	, e>zo, которые соответствуют некоторому простран-
ственному установившемуся движению. Пусть при движении
лодки эти параметры получили малые возмущения их, о , v г,
«х , ш^, o>z , изменяющиеся с течением времени. Тогда суммар-
ные параметры находятся по формулам:
рL= v Ц- v ; ш1, = u> -J-со :
X	Xio	1	Xj	X	JCjg	।	Jfj	’
V1 = V -l-V :	U)‘=U)	0) ;
У	У1П	1	У<’	У	У»	1	У1’
=	4-®,;	(П.2.1)
Z	Zi0	1	Zi ’	*	Zi0	*	Zi	\	'
Так как первые слагаемые в формулах (II.2.1) постоянны, то
dv==dvr\
•	X	Х,г X	Х|’
dvy = dvy-, du>y=d^yt;
dv=dv; dv>=dto.	(II.2.2)
Подставим выражения (II.2.1), (П.2.2) в левую часть урав-
нений (II.1.4). При этих преобразованиях в уравнениях появятся
члены, содержащие квадраты скоростей установившегося движе-
ния v2° , ша , квадраты,их возмущений v2. и ша, а также произ-
ведения и vh со;. Так как мы предполагаем, что прираще-
ния параметров величины малые, то их квадраты имеют второй
порядок малости и ими можно пренебречь. Члены, содержащие
квадраты параметров установившегося движения, в сумме с чле-
нами, определяющими внешние силы, в каждом уравнении равны
нулю (уравнение установившегося движения).. В результате по-
сле преобразований получим систему дифференциальных уравне-
ний относительно приращений Кинематических параметров оХ1,
aVi> сг|. ЫХ|, ш , Q)Z1. Эта система уравнений разделяется на две
1 Для упрощения обозначений индекс «I», характеризующий связанную
систему координат, у этих величин опущен
159
системы (по три уравнения каждая),. При рассмотрении устано-
вившегося движения без крена и дрейфа выполняется условие
а=«б, рв=0о~ог,„=О и а»х10=®»10=0. В этом случае 1, 2 и 6-е
уравнения определяют продольное движение ПЛ в вертикаль-
ной плоскости, а 3, 4 и 5-е уравнения описывают боковое движе-
ние подводной лодки. Опуская все промежуточные преобразова-
ния, получим для продольного движения ПЛ
от (1 Jr Ai) + mkjoyx 4- т У'л А6 A, — ®2, [от (1 + k22)	+
+ mkx2vXn+	[m(1 + Aa) + отАз^, +
+ mVJ/3&26«>z,] =ДХ1;
от (1 -)- ki^) т>у,	zraAjjWr, -|-даV /зАб0У ~Ь “г, [от (1 -|- ^n) H-
+ OT&)2t>y,J + ®2l0 [от (1 + £„) vx, + откупу, +	= ДК,; ]
А, (1 + As)A,.+ mVr‘/’^16^, + отУ'^АвА, + отУ’/’Ав'»г.пЧ +
+ mV,'k2fivx.®z, — mV'11 k№vy,<oz,t — mV'!1k№vyVj<s>Xt = ДИ21. (И.2.3)
Уравнения (11.2.3) написаны для ПЛ симметричной относи-
тельно плоскости jfiOj/i (диаметральная плоскость). В случае
симметрии относительно трех координатных плоскостей коэффи-
циенты присоединенных масс fe12 = ,%1G—,%2G=0 и уравнения
(II.2.3) значительно упрощаются:
от(1	- от(1 + k^) [ю21т>уи+ «>21Лу.1 = ^Г,
m(l + Аз) А, + от(1 +*„) Кл +®х1®гв]=ДК1;
А, (1 ~h Ав) ~	•	(П.2.4)
Для бокового движения ПЛ
ОТ(1 Аз) 'Ог, +отУ	+ tn.V,zk^Wyt <ПХ, [от (1 -j-fe22) Vy,a -|-
+ mkavx„ + от V'!‘k^,] - а>у, [от (1 + Лп) ъХк + от&12т>у10 +
+ отУ‘/’й16а>2м] = Д2,;
А, (1 -j- ^44) V’x, -|- JJhyiAlS®?! Ч~ отУД|’^м®21 -ф- *°у, [/«,(14“ ^6б) “а,» 4"
“Ь ОТУЛ/,£1в'УГ10-|- ОТУ^Йзб^Уад] [А, (1 “Ь As) <ЙУ1 А А,у,А.5<й^1 +
-)- mV ~Ь [от V	А от V* ’Аз^у,]
Jу., (1 + As) <ЙУ1 “Ь А^Аз™*! A mV	<oz„ [A.(l + ^44) “а. +
+ А.у,А5»у. + отУ‘'',А4,»а,] -«Да,(1 + Ав)10^4-отУ‘/,Аб^и +
+ mV‘l,k2iVy,] +vz, [отЛ12'»у10-|-отУ1'’А^гю] —
— vXla [mV'l3kMi»x, + отУ^АзШу,] = ДМу,. (И.2.5)
160
Для ПЛ, симметричной относительно трех координатных пло-
скостей, коэффициенты .%12 = Л16=Л26=/гм=.%ж=0 и уравнения
принимают вид:
т (1 + ^зз) v'z, + т (1 + £22) “х,®у10- т(1 + kx,)>t>y,vx,0 — &Zp,
Jх, (1 + ^44) 01-Г 1	[Jz, (1 + ^бб) А1(1 + ^55)1 <йУ1<йг,, = ДМг,;
/у, (1 + ^5s)(oy> +^1 (1 + ^44) А, (1 + &вв)] “.r.'Oji» — ДЖ,- (П.2.6)
Рассмотрим приращения сил и моментов AXi, A/j, AZ(, AM*,,
АЛ4 , AMz при возмущенном движении. При малых углах [3
можно считать, что силы и моменты, действующие на ПЛ в диа-
метральной плоскости Х1Оу1у не зависят от параметров бокового
движения (р, 0, <р, о>х,, Шу,), а силы и моменты, действующие
в двух других плоскостях, — от параметров продольного движе-
ния (а, ф, v, <DZ1). С учетом этого предположения можно записать
следующие выражения для сил и моментов:
ДАТ, = Т - Сх, (а, 8) Р-ц0Ж’ - Сх*' У + рк-, 
ДГ, = С“у, а -ф- У*'’1 + С^’-Вк, и У‘ + ф у=
= q, 4^	+	Су"1 %, „	У^ 4- ф	шг у+р-
У = с!, в	Уг/’ + с’"8в	у2'3 + с“у'	Шу, У=
= Cl, vovx, + с’в8в У2 3 + С“у* Шу, У - р^
ДЖ, = пг9хЗ	У+	^хУ/г + П1^'	«>уУ'3 +
+	y-DAe-p(zpH-yp0)=?ft5,-^-®o%, +
+	^<«х.У"= +тшг	+
+ ^8В V - ОЙ0 - р (zp + У/,0);
ДМу, = т?у, vovx, -Ь ту,х' шх, У3 + У}?' -ф- шу, У*/з +
+"ч* 5в 41 v+р +грУ
+ тУ шг, У3 + и в 2^1 V _
- Dh^ + р (хр - ур<|>).	(П.2.7)
11 Заказ № 018
161
В выражения для гидродинамических сил и моментов вошли
угловые параметры 0 и ф; на основании формул (II.1.6) с уче-
том линеаризации кинематических параметров получим связи
между этими угловыми параметрами и проекциями угловой ско-
рости. Представим первые две формулы (II.1.6) в виде:
<П-2-7а)
Входящие в уравнения (П.2.6), (II.2.7) кинематические пара-
метры могут быть представлены как сумма двух составляющих
4=4o + 4i;
где фо, фо, ©о —Параметры установившегося движения;
фц ф1, 01 — малые возмущения параметров.
Принимая во внимание эти допущения, получим
©! = <оЛ - tg(ct°se1'1'1) [“у. - Ф1sin
и, учитывая, что sin 0 — 0, cos6==l и ф1<Сфо, будем иметь
© = “х, - tg ф0 [<%, — <oZlo0]; <р =8есфо1<оУ1-шги0]; •
ф = юг = юг1|1 + ю2,.	(П.2.8)
Здесь и в дальнейшем у 0i, <pi, ф1 индекс «1» опущен.
Объединяя (П.2.3) — (П.2.8), напишем системы уравнений для
наиболее простого случая, предположив, что ПЛ имеет три пло-
скости симметрии.
Для продольного движения
zn(l + £„)»«•, - Л1(1 4- fc22) [<«г.'Цу,0+ <«г,Лу,] =
= Г —Сх(а, 8)рт;0т;1//5+/>ф;
771 (1 + '^й)'г,у1 +ОТ(1 + ^11)	] =
2
. = с;,	И^У1+ cvy v^+ (%'^v+p-,
mil (1 + *бв) “z, = ml -ф- Ипу, +	И'5 +
+ тг*' “ 8К> и	V — Ойф р (хр — урф);
4=^,, + <«г-	(П.2.9)
162
Для бокового движения
яг(1 + &33)Wz, Ц-/я(1 Ц-Л22)т(1 Ц-&„)«у,'»/,;--
2
= cf, -ф- V2/l ъ, + с’в8в -ф- Vs'’ + c“v’ ЛИъИ- р0;
mix, (1 + ^44) “х. + [mix, (1 + ^«0 — miy, (1 + ^55)] “у,0**,, =
= ф- Vvlt + ф- V*'X. + zn“y> <0„ +
miy, (1 + ^55) “у» + [w/xr(l + £44) m.i2l (1 + £66)] “x,“z10 =
= 4W, + «хУ‘ + <yi ф- <»yV/s +
+ оту’8в ф- V%+ pxpQ;
6 = <0x,-tg<|>0[<Oy,-<0z„©]; ? = 5есфо[юУ1-юг,„01. (П.2.10)
В формулах (П.2.9), (П.2.10) ix,, iy,, i2l — радиусы инерций
массы ПЛ.
При заданных кйнематических параметрах установившегося
движения ПЛ уравнения продольного и бокового движений ре-
шаются раздельно. Неизвестными в первой системе являются
проекции скоростей цЖ|, vy„ иг,, фо, во второй системе vz,, ыУ1,
<oyiqj, 0. Приведенные выше уравнения представляют собой ли-
нейные дифференциальные уравнения с постоянными коэффици-
ентами. Их решение не вызывает затруднений.
Разделение системы уравнений можно распространить и на
более общий случай, когда кинематические параметры движения,
относительно которых рассматриваются малые возмущения, по-
стоянны в каждый данный момент времени, т. е. считаются «за-
мороженными». Тогда при принятых ранее допущениях о симмет-
рии для прямолинейного движения можно произвести разделение
системы уравнений (II.1.4) иа продольное и боковое движения.
При этом позиционные и вращательные производные гидродина-
мических коэффициентов станут функциями углов атаки. Такое
преобразование применительно к ПЛ выполнено В. Н. Зай-
цевым.
Параметры продольного движения находятся независимо
от параметров бокового движения по формулам (П.2.9), в то же
время параметры бокового движения находятся в зависимости
от значения «замороженных» параметров продольного движения.
При их определении проекции скоростей ихга, ц , а также
11*	153
углы атаки и дифферента, входящие в систему уравнений
(II.2.10), описывающих боковое движение, равны соответствую-
щим параметрам продольного движения в каждый момент вре-
мени. Тогда уравнения бокового движения имеют вид
т (1 4“ ^зз) 4~ (1 Vy^x, —	(1 4“ Л„) 4- Сг,У' vj X
X 'Z'x, <ЙУ, — di, (а) “2"	— С“х>	VЪ'х,Ч>х, — р cos	=
mix, (1 + Л44)	4- [miz, (1 -J- ^ее) ~
- т^у, (1 4- Л55)] юу,юг, - т?х, (а) У-ох,ъг, -
— т*х' (а) -у- У>1гъхРх, — т“у' (а)	1/‘/з X
X 4- Р cos <?	4- УР) 6 = mxfi -~Vvx,;
mi^l) 4- k5s) “у. + lmix,(l 4- i4i) - т£(Г+ й66)] X
X «>х,<ог, — my,(a)-£-Vvx,Vz, —	(а) p X
X	— m.y* (a)	]/!‘vx,<»y, —
— pxp cos ф0 = zn’,8 Vv\ ;
“x, = в + tg*]» (<%, — ф0).	(П.2.11)
В результате получаем систему линейных дифференциальных
уравнений с постоянными коэффициентами, разрешенную относи-
тельно неизвестных »г', а>х , ш и 0. Если рассматривается ПЛ,
имеющая форму тела вращения, то вследствие симметрии Jyy=
=1г1 уравнения несколько упрощаются.
S 3. УРАВНЕНИЯ ДВИЖЕНИЯ ПЛ В ПРОДОЛЬНОЙ
(ВЕРТИКАЛЬНОЙ) ПЛОСКОСТИ
Уравнения, описывающие пространственное движение ПЛ,
весьма сложны, часто решение их даже при помощи численных
методов вызывает затруднения. Поскольку в практике эксплуа-
тации подводных лодок значительная часть режимов движения
164
относится к «плоским», обычно рассматривают плоские уравне-
ния движения в продольной (вертикальной) и горизонтальной
плоскостях, считая их независимыми друг от друга.
Дифференциальные уравнения движения ПЛ в продольной
(вертикальной) плоскости могут быть получены, если положить
в формуле (П.1.4) ш^ = шХ1=иг =0. Выполняя это условие, на-
пишем:
zn(l + £„)»„ + ttkl2Vy, + mV',’kieo>2l — zn(l + A22)®y,<oZ1 —
— mkvivx^2, — mV'hk^, =
= T cos 7в - Cx, (a, 8) if V!/s + -f V + p sin ф;
m (1 + vy, + mk,2vXt +	+ m (1 + A„) vx^2, +
+ mk^Vy^ Ц-	= T sin + Cy, (a, 8) if -f-
+ Cy^' -f <»2, У-|- pcos ф;
zn4,(l + м «>* + mV,skVivx,+	—
- mV'!ik^Vyfi>2i = m2, (a, 8) if у + zn“,*’-f <ог, V'’2 —
— DA sin фГе/z (лр cos ф — yp sin ф).	(IL3.1)
Уравнения несколько упрощаются, если считать коэффици-
енты присоединенных масс Aw, Аи, Аге малыми. В этом случае
имеем:
zn (1 + А„)	— zn (1 + Ак)=
= Т cos у, — Сх, (а, 8) if V!/s -ф- р sin ф;
m (1 + k^) Vy, + m (1 -ф- A„) vx,w2, =
= Гsin7„+ Cy,(a, 8)lf V!/,+ Cy*‘-f-u>z, ИЦ-рсозф;
X	A
zn«l (1 + A66) йг, = zziZ1 (a, 8) -f - V"+	-f <ог, V*'a —
— Dh. sin ф + Те + p (xp cos ф — yp sin ф).	(П.3.2)
165
Выразим проекции скоростей vXi и v через параметр а и ско-
рость движения V. На основании рис. 1.5 можно написать
 dv	. di
t)x, = wcos a; »x,=-^-COsa—osina
; r ‘	,	•	dv ,	di
Vy, = ~v sin a; Wy, -----sin a — wcos a.
Принимая также во внимание, что a>Z| =ф, перепишем уравне-
нения (II.3.2) в виде:
т(\ 4- &„) |j4rcosa "* wsin a'^‘] + /7г(-' ' ^22) Й*sina~
= Г cos 7в ~ С,, (а, 8)	V111 + С“г’	W + Р sin ф;
— т (1	Л22) Sin а 4- wcos а 4-/п(1 4- &11)т4>соза =
= Т sin К + Су, (а,8)	V'!i + СХ21-^- ф V + pcos ф;
"“1(1 +	(«. 8) ДГ v +	ф0'' -
— 7ЭЛ sin ф 4~	4~ .₽ (-Кр cos ф — урз!пф). (II.3.3)
В дифференциальных уравнениях (II.3.3) неизвестными яв-
ляются скорость движения и, угол атаки а и угол дифферента ф.
Система уравнений (II.3.3) нелинейна относительно а, ф, v.
Для ее решения необходимо,использовать один из методов чис-
ленного интегрирования.
На рис. II.3 даны результаты численного интегрирования си-
стемы (II.3.3), описывающей неустановившееся движение стати-
чески уравновешенной ПЛ большого водоизмещения, вызванное
начальной угловой скоростью <вг, = \°/сек.
Для упрощения решения системы уравнений скорость движе-
ния v в расчетах была принята постоянной (первое уравнение ис-
ключено). Глубина погружения т] и продольное смещение g оп-
ределялись по формулам (1,1.5).
Во многих случаях, особенно когда необходима качественная
оценка изменения кинематических параметров, дифференциаль-
ные уравнения, описывающие движения, приводятся к линейным
путем введения ряда допущений. Остановимся сначала на линеа-
ризации уравнений, описывающих движение ПЛ в вертикальной
плоскости, и рассмотрим первое уравнение системы (II.3.3).
Ввиду малости углов атаки, с которыми происходит движение
ПЛ, предположим, что тяга гребных винтов равна по модулю со-
166
противлению, проекция демпфирующей силы на ось oxi и произ-
ведение рф малые величины, которые опускаем. Поэтому правая
часть первого уравнения системы (П.3.3) обращается в нуль.
Кроме того, допустим, что sina«tz, cosa—l, а произведения аф
и аа — величины второго порядка малости, которыми можно пре-
небречь. Тогда из первого уравнения системы (П.3.3) следует, что
-^- = 0 и v = v0 = const.	(П.3.4)
Рассматривая второе и третье уравнения системы (II.3.3),
предположим, что кинематические параметры движения ПЛ
Рис. П.З. Изменение параметров неустаиовившегося движе-
ния ПЛ (результаты численного интегрирования), вызван-
ное начальной угловой скоростью <а2, = 1°/сек при o=const.
------X------«; ---------Ф;-------Е;-------------ц.
в вертикальной плоскости состоят из двух слагаемых, определяю-
щих установившееся движение ПЛ и возмущенное движение от-
носительно установившегося, а именно:
® = ®o + ai: Ф==Фо + Фт; o^'Z’o + 'o..	(П.3.5)
где индекс «О» соответствует установившемуся движению, а «1»
(в дальнейшем опустим) определяет возмущенное движение.
Тогда
da = d&u dty = dty,, dv==Q.
Движение статически уравновешенной ПЛ (или при малых р)
в вертикальной плоскости происходит обычно при малых углах
167
атаки (а=0-4-3°), поэтому разложим гидродинамические коэф-
фициенты. CXl, СИ1 и тг,, входящие в правую .пасть уравнения
(II.3.3), в ряд Маклорена при а=-0 и 6=0 и ограничимся ли-
нейными членами.
С учетом всех принятых допущений н формул (II.3.5), а также
в результате исключения членов, соответствующих установивше-
муся движению, второе и третье уравнения системы приводятся
к виду
~	+^22)'По-^-+/га(1 +*n)'Oo-^L=
2	2
= с;,а 41 X, н 41 v’lt + С“г‘ -f- V+р-
2	2
mil (1 + *66)^- = < « 4^ V + т-' "5- и V -
- ml? 414^- И' ‘ - Dh^ + Рхр.	(II. 3.6)
Индексы «к», «н» определяют кормовые или носовые горизон-
тальные рули.
Система (II.3.6) представлена в размерном виде. Для приве-
дения ее к безразмерному виду введем безразмерное Время т,
связанное с размерным временем t формулой (1.1.4),
где По — постоянная скорость движения;
V — полное подводное водоизмещение.
На основании формулы (1.1.4) можно написать (
v"1	V2.'3
dt = d-.—и di2 = d’t1—=.
vo	V2
Произведем в уравнениях, (II.3,6) замену согласно (1Д.4)
Тогда система станет безразмерной:
2	2	2
- * (1 + *22)	+т 0 + *») 4г - Y -
_	V5'3 — CSk’h8 Р’/3 + во
иУ1	v — ьУ] °к,н—
2	22
-ni. (1 +	-Й7	- К •	V +	л и + О4ф _
₽1»2
1	, '=m^K,a-^-V+pxp.	(П.3.7)
168
Разделим все члены (11.3.7) иа постоянные миожители при
первом члене уравнений и введем обозначения:
• ___£L_. г 2(1+*,,. r KN
20~ 2(1 ;-*22) ’	2>	2(1 ^*22)	’	61-2(1+*66)Z21 :
с —	”*	. г — Sh .	iz
°60 Q/1IA \ 72	’	' 60 —	., . . ч 272 ’	— ТЛГ,
2(1+Wz21	( 1 + ^6б)	У
а _ с>н . ь - 4й'" 
2d + л22) ’	2(1+ ад/2 ’
а„=-----г~^-------; &„=—5—рХр	 (П.з.8)
”	Р^(1+*22)	” PV2V (1 + *бб) tl V ’
После подстановки формул (II.3.8) в уравнения (II.3.7) по-
лучим
а + S20a — r2i Ф = Як, н ак, и +	;
9 + 'в1Ф + 'sot - 560а= &к,„&к,н + Ь,р, (П.3.9)
Написанные выше уравнения характеризуют возмущенное
движение ПЛ относительно некоторого установившегося режима
движения.
Таким образом, получена система двух неоднородных линей-
ных дифференциальных уравнений, неизвестными в которых яв-
ляются угол атаки а и угол дифферента ф. Решение этой системы
при заданных начальных условиях, законах перекладки горизон-
тальных рулей и известном изменении плавучести р трудностей
не вызывает.
Можно рассмотреть более общий случай, когда скорость дви-
жения центра тяжести ПЛ не постоянна. Тогда необходимо ре-
шение системы трех уравнений. Решение' этой системы значи-
тельно упрощается для движения статически уравновешенной
ПЛ. Предположим, что тяга является функцией скорости и при
рассмотрении возмущенного движения представим ее прибли-
женно в виде линейной зависимости от скорости Т=То-\- Av.
Принимая во внимание сделанные ранее,.допущения (кроме
допущения о постоянстве скорости), первое уравнение (П.3.3)
преобразуем
zn(l + ^11)-^- = Xw-C^(O)pwo®0\	(П.3.10)
169
Для представления уравнения (11.3.10) в безразмерном виде
-	• V
введем относительную скорость о =------. Тогда, принимая во
0о
внимание выражение для безразмерного времени т, получим
v—av = 0,	(П.3.11)
Л-СХ1(О)Р^’
где _	а -------jr-----:----.
1 (1 + *11)
Разделяя в уравнении (II.3.11) переменные
(II.3.12)
V
и интегрируя правую и левую части (П.3.12), имеем
1п чз — at
или
v — ea\	(П.3.13)
Проведенные выше выкладки Показывают, что первое уравне-
ние системы (II.3.3) решается независимо от остальных уравне-
ний системы.
Преобразуем теперь второе и третье уравнения системы. По-
сле введения в них относительной скорости v и безразмерного
времени т имеем:
- (1 + Р^Иа ® а + (1 +	= С’У1а Ич? +
+	Ч, „	Ш2, И?;
(1 + Ч) P®oV«t 4>= zn2,a	V 4>2 + ОТ®, 8	v 4? +
+	Dh±.	(П.3.14)
Разделив все члены первого уравнения на множитель при а,
а все члены второго уравнения — на множитель при ф, после пре-
образования получим
а + wSso® — Гиф = vaK, в 8В, „;
Ф + 'от'б1Ф + гбоФ — Л60а = Лк, Л, н •	(П.3.15)
170
Выражения (II.3.14) представляют собой обыкновенные диф-
ференциальные уравнения с переменными коэффициентами и ре-
шаются численными методами, причем текущее значение скоро-
сти вычисляется по формуле (И.3.13). В частном случае, когда
1>=1, уравнения (И.3.15) преобразуются в (П.3.9). Для опреде-
ления относительной глубины т] необходимо воспользоваться
первым выражением (1.1.5), которое преобразуем к виду
7]='0(ф—а) и '/; = ф — а при 0=1.	(П.3.16)
В некоторых случаях, особенно при рассмотрении задач авто-
матического управления исследуется система дифференциальных
уравнений, в которых неизвестны угол дифферента и относитель-
ная глубина. Необходимость исключения угла атаки из уравне-
ний (II.3.9), (II.3.15) обусловливается отсутствием в настоящее
время надежных приборов для измерения угла атаки при дви-
жении ПЛ.
Для преобразования уравнений (II.3.9), (II.3.15) представим
выражение (И.3.16) в виде:
а = ф------=, или а = ф — т] (при о=1).
и	I	..	(П.3.17)
а = ф------=— ,	а = ф — т]
v
Подставим (II.3.17) в (II.3.9). После преобразования получим
Т) "Ф" *^20 V (^21	1) Ф 2оФ ®к, н ^к, н :
ф -ф- г61 ф “Ь ГвоФ ^боФ “Ф" ^60 "Ч = ^к, н ®к,и .	(П.з. 18)
В случае переменной скорости движения центра тяжести
уравнение имеет вид:
7) +52о^’1 — (Г21— 1) ф —520'оф = г>а|(,н8|(,н;
Ф + ф + г60Ф ~ АоФх5бо^=А<,Л.и. (П.3.19)
Для исследования движения вблизи свободной поверхности
формально можно пользоваться уравнениями (П.3.3), получен-
ными для безграничной жидкости. Однако при этом следует
учесть, что гидродинамические силы и присоединенные массы,
входящие в уравнение (П.3.3), зависят от чисел Fr и относитель-
ной глубины погружения подводной лодки. Эти зависимости были
рассмотрены в § 6 гл. 1. Там же были показаны некоторые воз-
можности аппроксимации позиционных гидродинамических коэф-
171
фициентов при движении вблизи свободной поверхности. Рас-
смотрим здесь случай движения в вертикальной плоскости, так
как пространственное движение ПЛ вблизи свободной поверхно-
сти практически не исследовано. С учетом сказанного выше пере-
пишем уравнения (П.З.З) в виде:
т (1 -|-^i)|^-cosa— sin а4-zn (1 + Й22) ®^sin а =
" ~ =rcos7a — Сх,(а, т], v,
— zra (1 -J- kw) sin а + v cos а -|-zzi(l + ^п) »фсоза =
= T'sinTH-|- Су, (а, т), v, 8)Jy- V*1, -ф- Cv“z’ -у-	-ф- pcos ф;
mil, (1 4- £и) ф = т*г,(а, т1, v, 8) -^у- V -ф- тг,“г’	фУ‘/г —
— Ой sin ф ф- Те -ф ^(XpCos ф — ур sin ф).	(П.3.20)
Входящие в (П.3.20) позиционные гидродинамические коэф-
фициенты С*, С*, т* для определенной ПЛ зависят от числа
Fr (скорости движения) и относительной глубины погружения т],
а вращательные производные СУ1 г’ , тг“г' и коэффициенты при-
соединенных масс h*n k*^, k*№ определяются глубиной погруже-
ния. Так как система уравнении (II.3.20) имеет четыре неизвест-
ных а, ф, v, Т|, то для ее решения необходимо дополнительное
условие, которым может служить уравнение (1.1.5).
При линеаризации системы (II.3.20) оставим в силе все допу-
щения, сделанные при выводе линейных уравнений для случая
движения в безграничной жидкости, и в разложении гидродина-
мических коэффициентов дополнительно учтем член, пропорцио-
нальный глубине. Тогда для написания уравнений движения
вблизи свободной поверхности достаточно в левые части (П.3.20)
добавить по одному члену, учитывающему влияние глубины:
а -ф- S20a — Г21ф ф- <7207) А, и ф- О-рР
Ф Ф“ Г61ФФ“ Геоф	5607 <7б071~ Н&К, в -f- Ьрр\
7]	— а,	(II.3.21)
CJ, ~
где ?20— 2(1 + А22) ; ^0— 2(1+^)^ 
172
Входящие в уравнения (П.3.21) коэффициенты S2o, Seo, Гц, г во,
ак н, &к,н находятся по формулам (П.3.8), однако для их вычис-
ления необходимы гидродинамические коэффициенты ПЛ при ее
движении вблизи свободной поверхности.
§ 4. УРАВНЕНИЯ ДВИЖЕНИЯ ПЛ В ГОРИЗОНТАЛЬНОЙ ПЛОСКОСТИ
Полагая в (II.1.4) q>X|=q>Z| =vv, = a>Xt = a>21=vVt =6 + ф=0,
получим систему уравнений движения ПЛ в горизонтальной пло-
скости:
от(1 + Л,1)'пх, + <яУ1 [от(1 + &зз)^ + mV,,sV“y.] =
= Г cos Тв - Сх, (₽, Вв)4- V + С“У1 ;
т (1 + ^зз) + mV,/3ft35iy, - от (1 + kn) nr,»,, =
= Т sin 7а + Сг. (р, 8„)	И 3 + С“у'	ЮуУ;
отг'у, (1 + й55) Шу. + mV'/sk3SvXt — mV'/ak33vXtu>i,t =
= оту,(₽, М^^ + от“*-^шуу‘/з.	(„Al)
Входящие в уравнении (П.4.1) проекции поступательной ско-
рости vx„ vZi зависят от скорости движения центра тяжести ПЛ
v и угла дрейфа 0. Согласно рис. 1.5
vx, = v cos 0 ; »*=» sin р,
а их производные по углу дрейфа соответственно равны:
vx, = wcosp — wpsinp; vz, = wsinp-|-'npcosp. (II.4.2)
Кроме того, угловая скорость
<%, = ?.
После подстановок формул (П.4,2) в уравнения (11,4,1) по-
лучим:
от(1 +&„) [wcosP —- wfisinp] +от(1 -]-&зз) тер8Ш₽-(-отИ'/з&35<р2 =
= Тcos т„ - Сх, (0, Вв)-£у- 0s + С“у’ <fV;
от(1 &зз) [» sin 0 гф cos 0] + отУ'^Лддср —
-OT(l + ft„)^cos₽ = Cz, (р, 8а)-^ V2/3+С^’’
OTiy, (1	£55)? + от1/’'’&35 [» sin р wpcos р] — от1/’/зЛ35'па cos р =
= оту,(р, 8а)^И + от“У1^-?И/з.	(П.4.3)
173
В системе дифференциальных уравнений движения ПЛ в го-
ризонтальной плоскости неизвестны угол дрейфа р, угол курса ср
и поступательная скорость v,
Для решения системы (И.4.3) можно использовать один из
методов численного интегрирования либо прибегнуть к помощи
моделирующих вычислительных машин.
Линеаризация уравнений движения ПЛ в горизонтальной пло-
скости производится также иа основании рассмотренных выше
допущений. Допущения о равенстве модулей тяги и сопротивле-
ния и малости членов, содержащих произведения <рР, рр и ср2, по-
зволяют сделать вывод о постоянстве скорости движения.
Углы дрейфа р и курса ср определяются из рассмотрения вто-
рого и третьего уравнений системы (11,4,3).
Представим каждый кинематический параметр формулы
(П.4.3) в виде двух слагаемых:
₽=% + ?>;
<? = ?о + .	(П.4.4)
где Ро, сро — параметры установившегося движения ПЛ;
Pi, cpi—возмущения параметров относительно установивше-
гося движения.
. Тогда дифференциалы выражений (II,4.4)
= с/<р = о1<р1.
Позиционные гидродинамические коэффициенты Сг и m ,
зависящие от угла дрейфа и угла перекладки вертикального
руля, раскладываются в ряд Маклорена по формулам (1,5.8), при
нулевых значениях углов р и бв, в котором учитываются только
линейные члены.
После подстановки выражений (1.5.8), (П.4,4) во второе и
третье уравнения системы (11.4.3), пренебрегая членами второго
порядка малости, получим систему двух дифференциальных урав-
нений с двумя неизвестными:
т (1 + kJ v0-J- + mV'1' kx	- т (1 + Л„) -о0	=
2	2
=	V"- + с# -7- v^ + с?- ^4 V,
тг2у, (1 + kJ	-
- Ш	v+„;;#1 V+
+	(11.4.5)
174
Для приведения системы (II.4.5) к безразмерному виду вве-
дем безразмерное время т по формуле (1.1.4) и разделим все
члены первого и второго уравнений (11,4.5) на множители при
dp	• dcp
В = —77- и ® = —j- соответственно.
к dt dt
Опуская алгебраические преобразования, получим систему
двух неоднородных линейных уравнений с двумя неизвестными
Р и ср:
? +	+ Г12 ? + Г41? == С&а
? + Г51'?~1~,$51₽+,$50₽=а^1Г.!	(П.4.6)
где
„ _	Cz.	2^35--'Яу,У1
40 ~	2(1 + Ай) :	Г*~ 2(1 + М?У1 :
„ _ k№	г _	2(1+*„) + (?“* .
51 “ (1 + М(2у, ’ 41	2(1 + *33)	’
-	I"	Ьле
q  _________У1_____. ;_________У» , -   *35 4
50	2 (1 + М?У, ’ У| V1'3 ’	42	1+ *зз ’
С®»	т"
с = on v ; d=---------------У1 ч - •	(П.4.7)
2(1+*зз)	2(1 + М^У|
В более общем случае необходимо рассматривать движение
ПЛ в горизонтальной плоскости с переменной скоростью. Вводя
— v
безразмерную скорость v=.-----во второе и третье уравнения си-
оо
стемы (П.4.5) и сохраняя остальные принятые допущения, по-
лучим
V? . —	Vn	2— •
МЧ-^зз)-^	+ YTT'f’+*11)^? =
2	2	2
с* + сХ JJ. V1'3 + c“yi
V2	—	—
отг‘у.(1 + &й)	? + mk^oV Р - mk^ov ? =
= ЧР-^^И + ^8в-^-1/+/пУ1у,-^-®?1/‘/з. (П.4.8)
175
Разделим теперь все члены первого уравнения на множитель
при 0а, а все члены второго уравнения на множитель при <р. По-
сле преобразований получим
v 0 + T?S40p + rj? + vr„ I? =
+	(И.4.9)
Здесь, так же как и в случае движения в вертикальной пло-
скостйГпеременная скорость движения'определяется из первого
уравнения (II.3.13), полученный результат используется при ре-
шении системы (II.4.9). ' ' 
Если скорость движения ц. т. в горизонтальной плоскости по-
— V
стоянная, т. е. и =---= 1, то система уравнений (П.4.9) легко
00
преобразуется к виду уравнений (II.4.6).
§ 5. БОКОВОЕ ДВИЖЕНИЕ ПЛ
При наклонении ПЛ нанекоторый угол 0 с угловой скоростью
<nxi возникает боковая сила, приложенная в’центре давления, не
совпадающем по длине с ц. т. ПЛ. В результате этого происходит
вращение ЙЛ около осиог/i с угловой скоростью a>g. и появляется
угол 0. Таким образом, боковое движение является простран-
ственным и характеризуемся углами р и 0 или ае и pe (1.1.1).
.Если угол дрейфа Р=0, то вектор скорости ц. т. подводной лодки
находится в диаметральной цлоскости и изменение его по вели-
чине и направлению возможно лишь в этой плоскости.
Дифференциальные уравнения бокового движения ПЛ были
обставлены й § 2 Настоящей главы. Рассмотрим наиболее про-
стые уравнения, полученные в предположении симметрии ПЛ
относительно трех координатных плоскостей ,
т (1 + *зз) + т (1 + М - т (1 + *и)	=
= С„(«, 0)4	8В 4 V' +	(*, 0)	<0.1/ - PC0S фО
лДг, (1 4“ *44) “х, + [^4, (1 4“ *6б) — miy< (1 4" *5s)]	“у, =
; =лг.(а, Р)4У + /га^'(а’ ₽)-^-“^У4/з +
+ ^“,У’ (а, ?) 4 “у У*'3 + т£ 8а 4 V - р cos '(1 ^4 + УРе) 
miy, (1	*55)01 у 1У [wiG, (14~ Л44) mih (1 4" *вб)1 “хЛ —
1	. ' = zny, (а, 0) 4 V 4- tn™*' (а, 0) 4 “хУ*'3 +
176
4-т^л(а, Р)-^-<оуУ*/з 4-"'уЧ V'/’XpCos ф0;
б =ШХ1 — tg Ф [<ОУ1 — шг,0];
<? = sec ф [<»v, — <«z, 0],	(11,5,1)
' Как уже указывалось, параметры бокового движения зависят
от параметров движения ПЛ в вертикальной плоскости. Полагая,
$то параметры движения а, ф, ц>2 найдены в каждый момент вре-
мени,' приведем систему (II.5.1) к линейному виду. Для этойцели
предположим, что позиционные гидродинамические коэффици-
енты, входящие в (II.5.1), линейно зависят от угла дрейфа, а вра-
щательные производные от угла дрейфа зависят слабо, т. е.
'	(а, р) Cg, (а)Р; /Пу, (а, ₽) mJ, (а) Р;
С%' (а, ₽) s С?> (*). тг? (а, р) s ту* (а);
 /НуУ1 (а, р)э< т“у,(а); т“,Х1 (а, р)^/п“,Х‘(в);
т’у*' (а> ₽) = тУ*' (а)-	(П.5.2)
(
Подставляя принятые аппроксимации (II.5.2) в (II.5.1) с уче-
том (II.2.8), получим:
т (1 + 4)	+ т (1 + 4) Оу.оу, — т (1 + k.,) wx,<oy, =
1	2	'
;= Cj, (a) -£ V^vXlvz, + c’r l/Ч -
— С(а)	V®x,0)y, — р cos ф0;
mix, (1 + Ч) °Ъ-, 4“ (mi?, (1 4~ k№) — tniy, (1 Ц- 4)1 <>>z,”>у, =
= «!, (a)y-	+ nix^' (а)-^-	4- /й“,у’(а) J-V*/aWx,<Oy1 4-
2
+ nix, 14 - p cos Ф py-+yj 9;
me'y, (if- k№) <«v, 4~ [mix, (1 4~ ^«)— miit (1 4~ 4)1	=
= «г|,(а)-|- Vvx,Vz, (a)-5-0','Ох,<Огя4-
4- "iy? (a)	4-	44- pxp COS Ф©;
9 =<»^, — 1§ф [<0y, — U)z,0|; <p = sec ф [<Oy, — <ог,0].	(II.5.3)
12 Заказ № 018	17?
Для приведения системы (II.5.3) к безразмерному виду при-
мем:
—	—	— v
vXl = vXiv; vZl = vZi v; шХ1 = шХ1 ;
®у.= ®у.-р7Г;	-j77T : ®y. = ®y,®,	(II.5.4)
где черта над буквой означает безразмерное значение скорости.
Полная, что при боковом движении перекладываются КГР
с разрезным баллером, подставим (П.5.4) в (II.5.3) и разделим
все члены уравнений на постоянные множители первых слагае-
мых. Опуская все промежуточные преобразования, получим
систему безразмерных дифференциальных уравнений бокового
движения подводной лодки:
®*, +	+	а12«>у,	+	а13%, + а140 = 0;
®*. + «21®*; + «22®У. + «23®*. + «24^ = «258 *!
ШУ. + «31®*. + «32®У. + «33®*. + «34 в = Qi
0 + a4i«>x, + а42®у. + «440 = 0-	(П.5.5)
Производные, входящие в (П.5.5), взяты по безразмерному
времени, а коэффициенты находятся по формулам:
«и
1 + Й22_	[2(1+ *!,)-<*(«)] _
1 + Азз Vx'' “12 ~	2(1+*зз)	’
<-z, (а)	р cos
«13—- 2(1 + ^Г; а,4— 1 + Азз :
<х,(а)	.	(1 + Авб)-^(1 + А55) -
«21-- о ,, . ь , -.2	’	«22	,, . . , .2	®*.
2(1 + «44) lXt	( 1 + Я44) 1Х1
(О..
тхУ О)
2(1 + й44)/21 '
pcosd. ( D -г . — \
Лпд  ------------=5— : - Л94	-? I 4“ Ур ) ♦
23	, 2(1 + ад^,	(1+*44)СЛр '
“25— 2(1+А44)'1
(1 + *44) —/2,(1 +&6В) -	т,х‘ («)
31	i2x, (1 + А55)	гу, (1 + А55)
178
„	т^' (я)	 а	<(Ю	.
32	2 (1 + а55)12, ’	33	2 (1 +Й55);2, ’
~р Хр cos
34	(1 + *55)'у,
а41 = —1; «42=<еФ; л44 = —tg<p<oz,;
- =	Р .	— _____ ХР .	— =	Ур .	т___ h
"	pv2Va/* ’ р	v'!a ’	"₽	V‘^a ’	V'^3	’
У,/з — полное подводное водоизмещение ПЛ;
6В=6* — разность углов перекладки КГР правого и левого бор-
тов.
vy, = — Sin a; vx, = cos а.	(II.5.6)
Таким образом получена система линейных дифференциаль-
ных уравнений с переменными коэффициентами. При интегриро-
вании (11.5.5) должны быть заданы изменения во иремени пара-
метров движения ПЛ в вертикальной плоскости, начальные усло-
вия и закон перекладки рулей.
Уравнения (II.5.5) значительно упрощаются, если предполо-
жить, что углы атаки, дифферента и скорость изменения диффе-
рента малы.
§ 6.	УРАВНЕНИЯ ПОГРУЖЕНИЯ
Одним из маневров ПЛ является ее погружение из надвод-
ного положения в подводное. Различают следующие случаи по-
гружения:
1.	Погружение в два приема. В этом случае топящая сила
создается приемом воды сначала в среднюю группу цистерн глав-
ного балласта, а затем в остальные ЦГБ.
2.	Быстрое погружение, при котором вода принимается одно-
временно во все ЦГБ. Часто при быстром погружении также при-
нимается вода и в цистерну быстрого погружения, которая за-
тем продувается на перископной глубине во избежание провала
ПЛ за предельную глубину погружения.
3.	Срочное погружение, которое осуществляется при наличии
хода за счет использования гидродинамических сил на корпусе
и оперении ПЛ при одновременном затоплении цистерн главного
балласта и быстрого погружения.
При составлении уравнения погружения, строго говоря, сле-
дует учесть ряд дополнительных факторов, которые отличают его
от движения в полностью погруженном состоянии. Перечислим
эти факторы. Погружение с поверхности может происходить на
спокойном и на взволнованном море. Прием воды в цистерны при
погружении вызывает изменение массы ПЛ в течение всего пе-
12*	179
риода погружения. Присоединенные массы из-за непрерывного
изменения формы погруженного объема ПЛ также изменяются
во времени. Учет указанных факторов приводит к значительному
усложнению уравнений движения.
В самом общем случае система уравнений, описывающих по-
гружение ПЛ с поверхности, состоит из девяти уравнений. В этих
уравнениях масса ПЛ, присоединенные массы и возмущающие
силы, вызванные волнением, зависят от времени.
Ввида сложности полной системы уравнений часто рассматри-
вается погружение ПЛ, имеющей неизменные положения центра
инерции, в вертикальной плоскости в предположении отсутствия
волнения. При этом система, описывающая движение ПЛ, сво-
дится к пяти дифференциальным уравнениям, в которых, кроме
кинематических параметров vXl, vVl, <вг,, ф, неизвестна также
отрицательная плавучесть pj.
Уравнения быстрого погружения ПЛ с учетом (П.3.2) запи-
сываются так:
т (1 + £ц)	— т (1 +	®y,u>Z1 =
= Г-СХ1(а, ^И'Ч-ЙПфД РЛ
т (1 + Л22) ®у, + т (1 + Л„)	=
т
= СУ1(а, 8)~H/s+Cy,2‘ -^-шгУ + созф
;=i
mil (1 + k№) шг, = mZ1 (а, 8) у	V'1’ —
т
— Dh sin ф	Pj (xj cos ф — уj sin ф) -f- Ter
;=i
»»*=ф; ^ = '0 8ш(ф —а),	(II.6.1)
где т — число объемов, заполняемых водой; х}, у, — координаты
ц. т. объемов.
Входящая в уравнения остаточная плавучесть опреде-
ляется разностью сил веса и поддержания, действующих иа ПЛ
во время погружения. Рассмотрим эту разность. Сила веса
п
Л = А, + 2 + <7„р + 7цбп •	(П.6.2)
i = 1
где	Ds — нормальное весовое водоизмещение;
180
n
У1 qi—суммарный вес воды, принятой в цистерны главного
2 = 1
балласта; п — число ЦГБ;
«/пр — вес воды, принятой в проницаемые части;
</цБП — вес воды, принятой в цистерну быстрого погруже-
ния.
Сила плавучести
п
Л=+т2	+ iKip - т®.	(П.6,3)
г=1
где	Vo— постоянный плавучий объем;
22^01 — суммарный объем цистерн ГБ;
Vnp — объем проницаемых частей (надстройки, огражде-
ния рубки);
w — выходящий плавучий объем ПЛ.
Тогда с учетом формул (II.6.2), (II.6.3) и Цн=уКо, остаточ-
ная плавучесть
п
л-л=т2 ®o> -
i = 1
п
- 2	+ Т^пр - 9„р -	- <7цбп 	(П.6.4)
г = 1
Как видно из выражения (П.6.4), остаточная плавучесть зави-
сит от времени, так как вес воды, поступающей в ЦГБ и в прони-
цаемые части, непрерывно изменяется. Количество воды q-t и </Пр
определяется гидростатическим напором, представляющим со-
бой разность осадки и высоты уровня воды в цистерне (над-
стройке) в каждый момент времени, и зависит от характеристик
кингстонов (шпигатов) и клапанов вентиляций (вентиляционных
отверстий). Связь между расходами вода, принятой в цистерну,
и вышедшего из нее воздуха была получена Я. Я- Балицким.
Пусть ПЛ имеет п цистерн главного балласта, тогда весовой рас-
ход воды, влившейся в i-ю цистерну определяется дифференци-
альным уравнением, полученным на основании закона Бернулли,
=	(П.6.5)
где р.к — коэффициент расхода, учитывающий гидравлическое
сопротивление кингстона и цистерны;
— площадь кингстона или шпигата;
у — удельный вес воды;
Заполнение цистерны водой происходит одновременно с про-
цессом истечения воздуха из цистерны. В зависимости от соотно-
шения площадей кингстонов и клапанов вентиляции давление
181
воздуха в цистерне в процессе погружения будет различным и
практически больше атмосферного. Поэтому напор воды
H=T—z— 10(р- 1),	(II.6.6)
где Т — текущая осадка;
z — высота уровня (в статике ПЛ ось oz направлена вверх);
р — давление воздуха в цистерне.
В том случае, когда давление воздуха в цистерне равно атмо-
сфернодху, напор воды определяется по обычной формуле Н=
—Т-z. В уравнения движения (II.6.1) в качестве переменной
входит ордината ЦТ ц (/), которая при погружении ПЛ с поверх-
ности связана с осадкой. На основании рис. II.4 прн допущении,
что cosip=»l, можно записать, что т] = Т — zg. Тогда выражение
для напора представляется в виде:
H = ^-ze-z- 10 (р — 1).	(II.6.7)
Весовой расход воздуха, выходящего из цистерны через кла-
пан вентиляции, в предположении адиабатического процесса ис-
течения находится по формуле, полученной на основании урав-
нения Бернулли с учетом сжимаемости газа
= Т У 2gT°JC 1-(—)' z
dt *a~aJ а 1 й р	\ р /
(II.6.8)
Рис. П.4. Связь между осадкой Т
и глубиной погружения ц. т. ПЛ.
где qai — вес выходящего из ци-
стерны воздуха;
J — механический эквива-
лент тепла;
СР — теплоемкость при посто-
янном давлении;
Т° — абсолютная темпера-
тура;
X — показатель адиабаты.
Формула соответствует докри-
тическим режимам истечения воз-
духа. Для установления связи
между объемами влившейся воды
v н вышедшего воздуха va вос-
пользуемся условием равенства
объемных расходов воздуха через клапан вентиляции и воды че-
рез кингстоны:
Р ~ V) = Р0^ -Va’	(IL6-9)
где ро — начальное давление воздуха в цистерне;
Voi — начальный объем цистерны;
v, р — объем и давление воздуха в части цистерны свобод-
ной от воды.
182
В левую часть (11.6.9) входит объемный расход воды, посту-
пающей в ЦГБ, а в правую часть—объемный расход воздуха,
выходящего из цистерны.
Дифференцируя выражение (П.6.9) по времени t, получим
или
Таким образом, процесс заполнения i-й ЦГБ водой описы-
вается системой уравнений:
da.	,_____________._________
= V.У2£Ь + гг-г-10(/7-1)] ; (II.6.11)
1 dqa 1 dq.
dp	dt	Р t dt
dt ~	q	’
*’<м-T~
^r = Vafa	T] .	(II.6.12)
Повышение давления воздуха при заполнении проницаемых
частей — надстройки и ограждения рубки — практически не про-
исходит из-за сравнительно больших площадей вентиляционных
отверстий. Поэтому расход воды, поступающей в эти проницае-
мые части,
da	г_______________
^=Т!\Л V^h + Zfr-2] •	(и.6.13)
Для того чтобы окончательно представить себе систему урав-
нений, описывающих процесс срочного погружения в вертикаль-
ной плоскости, выразим проекции скоростей оЖ1, и <о21 через
кинематические параметры а, ф и ц на основании связей, полу-
ченных ранее:
о,, = в cos а; «у, = в sin ot; »X1 = ‘ocosa — г» sin а а;
t>y,= V sin а 4-ticos аа; т; =® sin (ф — а); а>г, = ф.
Делая допущения о малости углов аи фи пренебрегая чле-
нами второго порядка малости, уравнения (П.6.1) преобразуем
к виду:
п
™ (1-Mu) i = Г - СХ1 (а, В)	+ ф 2
/ = 1
183
от(1+ *22)^® + »г(1+^н)^Ф =
= Су, (а, 8) lA + Су,2’ -%-	Р,-.
Z = 1
9	v -	ev Р^2	®, PV •	4
т<»,(1+Лв6)ф = тг, (а, 8) — V + mz, ’ — фИ 3-
п
-£>Лф+ ^Pjlx'j-y^ + Te-,	(П.6.14)
<'	.	i = i
-Q = г»(ф — а).
Объединив (П.6.11)— (П.6.13), (П.6.14), получим систему
Зп + 5 уравнений, решая которую одним из методов численного
'интегрирования, найдем в каждый момент погружения характе-
ристики воды и воздуха в цистернах и надстройке qt, qa, р, qBf,
а также кинематические параметры движения при погружении
а, ф и V.
Так как угол атаки а неявно характеризует погружение, вы-
разим а через глубину погружения т]. Полагая ускорения движе-
ния центра тяжести при погружении малыми, а произведения
,о(ф— а) малыми второго порядка, можно написать, что
т| = ®(ф—а) или ®а = ®ф —(II.6.15)
После подстановки (И.6.15) во второе уравнение системы
(П.6.14) получим
- т (1 + Л22) + [(1 + £22) + (1 + Л,i)] »г®ф =
= Су,(а, 8)Т^-И’+с;,г1^-ф1/+ 2 Pi- (П.6.15а)
г-1
Учитывая замену при решении системы уравнений, вместо а,
в число неизвестных входит глубина т], которая легко может быть
выражена через осадку Т.
В случае быстрого погружения система уравнений несколько
упрощается в том смысле, что тяга Т, зависящая от скорости,
в уравнение не входит.
Еще большее упрощение системы уравнений быстрого погру-
жения (П.6.14) можно получить, если предположить, что погру-
жение происходит без дифферента ф=0 при угле атаки а=90°.
Считая, что ф=ф — ф=0, в этом случае получим одно диф-
ференциальное уравнение, характеризующее движение ПЛ,
2! Л
т(1+у} + С,,м4^2 + 2^ = °- (IL6-16)
I = 1
184
Объединяя это уравнение с (II.6.11) — (II.6.13), получим си-
стему (Зп + 2) уравнений; решая их совместно, найдем харак-
теристики воды и воздуха в цистернах и надстройке, а также
Рис. П.5. Зависимость осадки от времени погружения ПЛ из
крейсерского в положение под топ перископа.
положение координаты центра тяжести ПЛ в каждый момент
времени т] (/) при быстром погружении.
Так как осадка ПЛ связана с координатой ц. т. формулой
J’='n+2g, то, полагая, что zg=const, уравнение погружения
ПЛ в вертикальной плоскости можно представить в виде
ч "
от(1 + ^2)^ + СУ1-^	=	(П.6.17)
185
Уравнение погружения может быть представлено в несколько
иной форме, если принять силу сопротивления воды при погру-
жении пропорциональной максимальной площади ватерлинии
•Smax:
п
m(\ + k^f + CT^- t2-2а = 0-	(П.6.18)
i = i
Иногда в формулу для сопротивления дополнительно вводят
член, учитывающий ускорение кцТ1.
Разность сил плавучести и веса удобно представлять в виде:
п
-у = 2'аг + 'ак + 'а₽_^_ V«~ Vp>
где	V — объем непроницаемого корпуса с балластными
цистернами;
Ун — объем надстройки;
Ур — объем ограждения рубки;
V=V-V0;
Vo — постоянный плавучий объем;
v, он и tip — объемы воды, влившейся в ЦГБ, надстройку и
ограждение рубки соответственно.
На рис. II.5 приведена зависимость осадки ПЛ от времени,
построенная на основании численного интегрирования системы
уравнений (II.6.18), (II.6.11), (II.6.12), (II.6.13) для ПЛ сред-
него водоизмещения.
При решении задачи о пространственном погружении или
всплытии ПЛ появляется необходимость определения всех ее ки-
нематических параметров, а также времени погружения. Реше-
ние этой задачи возможно лишь на ЭЦВМ. Так как построение
и задание кривых теоретических элементов корпуса и цистерн
главного балласта с учетом угла крена, дифферента и курса
весьма затруднительно, то для расчета на ЭЦВМ статических
элементов величин, ПЛ задаются ординаты теоретического чер-
тежа голого корпуса, цистерн главного балласта, надстройки и
ограждения рубки.
Для заданных ватерлиний по ординатам теоретического кор-
пуса ПЛ находят объемы и координаты их центра тяжести. Эти
вычисления выполняются одновременно с интегрированием урав-
нений движения. В результате расчетов определяют кинематиче-
ские параметры при погружении ПЛ.
Указанный подход к решению задачи о пространственном по-
гружении является, по-видимому, единственным. Из него выте-
кают все частные случаи погружения.
186
ГЛАВА III
УСТАНОВИВШЕЕСЯ ДВИЖЕНИЕ ПЛ
§ 1. УСТАНОВИВШЕЕСЯ ДВИЖЕНИЕ СТАТИЧЕСКИ
уравновешенной подводной лодки
В ПРОДОЛЬНОЙ (ВЕРТИКАЛЬНОЙ) плоскости
В большинстве случаев маневрирование ПЛ в погруженном
положении представляет собой переходный процесс (неустано-
вившееся движение). Однако наряду с этим существуют такие
эксплуатационные режимы, при которых имеет место установив-
шееся движение ПЛ. Его параметры определяются системой ал-
гебраических уравнений, которые могут быть получены из усло-
вия равенства нулю главного вектора и главного момента всех
сил, действующих на ПЛ. При установившемся движении в вер-
тикальной плоскости эти же уравнения легко можно получить
из системы (II.3.3), описывающей неустановнвшееся движение,
если в ней положить угловые скорости, угловые и линейные ус-
корения равными нулю (а=ф=ф=и=0).
Рассмотрим сначала движение ПЛ в безграничной жидкости,
т. е. случай, когда нет влияния свободной поверхности, грунта и
ледовой поверхности. Наиболее простые решения получаются,
если подводная лодка статически уравновешена. Тогда уравне-
ния движения в проекциях на координатные оси xtoyi имеют вид:
Г cos Тв-(?„(«, 8)-^И/3 = 0;
Г sin	8)-^V2/3 = 0;
/»»>(«, S)-^-И-DA sin <|>+Ге = 0.	(III.l.l)
Эта алгебраическая система является нелинейной относи-
тельно а, ф, б и ее решение может быть получено • графическим
путем.
Эксплуатационные установившиеся режимы движения иеава-
рийной ПЛ характеризуются малыми углами атаки и малыми
187
углами дифферента. Это позволяет ввести ряд допущений, зна-
чительно упрощающих решение системы. Прежде чем проводить
эти упрощения, преобразуем систему (III.1.1) к двум уравнениям,
определив из первого уравнения тягу винта Т и подставив ее
в третье уравнение. При этом ввиду малости угла наклона греб-
ного нала положим ув=0. Тогда после ряда очевидных преоб-
разований систему уравнений (III.1.1) представим так:
СУ1(«, 8) = О,
Отг,(3, 8)- ^.ф.г'сх,(а, о)7=0,	(Ш.1.2)
— е
где е= ——— относительное среднее плечо тяги;
g=9,81 м!секг.
Для дальнейшего упрощения системы (JII.1.2) воспользуемся
разложением позиционных гидродинамических коэффициентов
в ряд Маклорена при нулевых значениях углов атаки и пере-
кладки горизонтальных рулей.
При решении этой задачи в ряде случаев ограничиваются ли-
нейными членами ряда, часто при этом получается ошибка в сто-
рону увеличения параметров. В результате уравнения (Ш.1.2)
приводятся к линейному виду:
С,,(0)+	+	+ с‘“8н=0,
(0) +	+ m^8K 4- /Иг“8н — ф +	(0)ё= 0. (III.1.3)
vo
При заданных углах перекладки горизонтальных рулей бк
и 60 постоянной скорости движения ПЛ по уравнения (III.1.3)
должны быть решены относительно неизвестных а и ф. Угол
атаки определяется из первого уравнения системы
я = (Н1Л4)
Су>
Угол дифферента находится из второго уравнения системы
после подстановки в него (III. 1.4)

тг, (0) + Сх, (0) е — tnZt
+ (m*: - т\	8r -Um’?- nl\	8н
(III.1.5)
Углы атаки, дифферента и перекладки горизонтальных ру-
лей, выражены в радианах. Как следует из выражения (III.1.4),
(III.1.5), при нейтральном положении горизонтальных рулей
188
6к=6н=0 углы аифне равны нулю. Они определяются коэф-
фициентами СХ1(0), тг (0) и Cv (0). Последние два коэффи-
циента характеризуют асимметрию корпуса ПЛ относительно
горизонтальной плоскости.
На рис. III.1 показаны зависимости координат а и ф от углов
перекладки горизонтальных рулей.
Глубина погружения г, и продольное смещение g находятся
в зависимости от углов атаки и дифферента по формулам (1.1.3):
i
4 = J %(ф-а)Л = ®о(ф-а)<;;
О
t
; = j vadt = vt.
Если рассматривается изменение координат в безразмерном
времени, то формулы приобретают вид:
Представляет интерес случай, когда подводная лодка перехо-
дит из одного режима установившегося движения в другой.
Не рассматривая здесь переходный процесс, найдем параметры
нового установившегося режима. Представим в формулах
(III.1.4), (III.1.5) параметры а, ф и 6 в виде двух составляющих:
=	Ф=Фо + Фр 8 = 8o+8i.	(Ш.1.6)
где индексы «0» и «1» относятся
движения.
После подстановки (Ш.1.6) в
к первому и второму режимам
(III.1.4) — (III.1.5) получим:
(Ш.1.7)
Большой практический интерес представляет также частный
случай установившегося движения ПЛ в вертикальной плоско-
сти, когда вектор скорости направлен по горизонту. Такое дви-
жение называется горизонтальным установившимся движением.
Условием существования этого режима является равенство уг-
лов атаки и дифферента. Для получения горизонтального уста-
новившегося движения необходима определенная перекладка
189

Рис. Ш.1 Зависимость изменения коор-
динат а и ip в установившемся движе-
нии от угла перекладки кормовых рулей.
(балансировка) горизонтальных рулей; такой режим движения
часто называют балансировочным, а углы атаки «б и перекладки
горизонтальных рулей бе балансировочными углами.
Составим уравнения балансировочного режима движения.
Положим в уравнениях (III.1.3) а=ф=аб. После промежуточ-
ных преобразований получим систему двух линейных алгебраи-
ческих уравнений с двумя неизвестными аб и бд:
(ml,----V +	8в = — тг, (0) — Сх, (0)ё;
\	^0 /
C;,a + Cj186 = -Cy1(0).	(III. 1.8)
Решая систему (III. 1.8), относительно ад и бд, получим
Д . Л,
4=^-'.	=	(Ш.1.9)
где А — главный определитель системы;
Аа, А« — частные определители:
_2£* • гп
2	>
С а '
ml, —
2gh \
—тг,(0) — Сх,(0)е; тх,
-СУ1(0); С’У1
— Су. (0) ffiz, — [<wZ1 (0) -|- Сх, (0) е] Су,;
-тг,(0)-Сх,(0)е
v0
Cl,; -С„(0)
= с;, [тг, (0) + Сх, (0) ё] - СУ1 (0) (ml, -
\ vo
(III.1.10)
Как следует из формул (III.1.10), балансировочные углы осе
н бд для конкретной подводной лодки зависят от скорости ее
движения. Поэтому для полного представления о характере го-
ризонтального движения подводной лодки балансировочные углы
определяются для всего диапазона скоростей поднодного хода.
Для создания горйзонтального движения ПЛ балансировка
может проводиться кормовыми, носовыми или рубочными гори-
зонтальными рулями. При определении соответствующих балан-
сировочных углов в выражениях (Ш.1.9), (III.1.10) должны быть
учтены индексы «к», «н» или «р». На рис. III.2, III.3 для иллю-
страции построены зависимости балансировочных углов атаки
и перекладки горизонтальных рулей от скорости подводного
191
хода для двух случаев: балансировки кормовыми рулями
При 6л=0 и балансировки носовыми рулями при <5К—0. Из гра-
фиков видно, что при управлении кормовыми рулями в районе
Рис. Ш.2. Балансировочные углы аб и бк6 при перекладке
кормовых горизонтальных рулей.
малых скоростей происходит разрыв функций а<гк (п) и бдк(о),
что означает потерю управляемости.
Для выяснения этого обстоятельства из уравнений (III.1.9)
найдем условия, при которых а6к=6бк=оа. Очевидно, это про-
192
исходит в случае если главный определитель Д системы равен
нулю:
(да*-- с;Х=о.	(in.1.Н)
\	vl '
Из выражения (III.1.11) найдем скорость v(, при которой про-
исходит потеря управляемости
Скорость Vi называется инверсионной. Это название связано
с тем, что при переходе через эту скорость знаки балансировоч-
ных углов изменяются на обратные, т. е. происходит инверсия.
Эта формула может быть использована при любом располо-
жении горизонтальных рулей по длине ПЛ: для малых и боль-
ших кормовых, рубочных и носовых рулей. При движении ПЛ
с инверсионной скоростью перекладка горизонтальных рулей не
вызывает изменения угла траектории х=Ф — “•
Как следует из формулы (III.1.12), инверсионная скорость не
зависит от углов перекладки горизонтальных рулей и является
функцией комплекса поступательных производных гидродинами-
ческих коэффициентов оперенного корпуса и метацентрической
высоты. Формула (III.1.12) может быть представлена в ином
виде. Обозначим через b абсциссу точки приложения позицион-
ной гидродинамической силы, действующей на корпус ПЛ в про-
дольной плоскости. Тогда продольный гидродинамический мо-
мент
Mz =тг ^V=C -?£-У21аЬ.	(III.1.13)
Откуда абсцисса точки приложения гидродинамической силы
или в безразмерном виде
— А	Я.
6=-V7T = <-
Разложив затем и С в ряд Маклорена по углу а и ограни-
чиваясь линейными членами, получим
6 = ^.	(111.1.15)
Если сделать предположение о том, что центр давления пера
горизонтального руля находится вблизи оси баллера, то можно
13 Заказ № 018	jgjj,
тг,	» я
показать, что отношение —— равно относительной абсциссе
Су. _
оси баллера горизонтальных рулей /р. Тогда инверсионная ско-
рость записывается так:
]/ '
v =-1/—-2^=—(in.i.i6)
'р-р У	р)
где ViK, via,Viv —• инверсионная скорость при перекладке кор-
мовых, носовых и рубочных рулей;
/к. р, /н. р, 1р. р.— относительные абсциссы оси баллера со-
ответствующих рулей.
При определении и, по формулам (III.1.16) должен быть уч-
тен знак 1р.
Простой анализ формул (III.1.16) показывает, что инверсион-
ная скорость может иметь конечные значения, быть равной бес-
конечности или иметь мнимое значение. То или иное значение
инверсионной скорости определяется разностью относительных
плеч b — 1р.
Рассмотрим сначала различные случаи для кормовых, а за-
тем для носовых горизонтальных рулей.
Для кормовых горизонтальных рулей /к. р отрицательно
(/к. р < 0), так как они расположены в корму от центра тяжести.
Это означает, что разность I — lK.v всегда больше нуля, а инвер-
сионная скорость имеет действительное значение.
Для носовых и рубочных горизонтальных рулей картина об-
ратная. Плечо р положительно (/н. р > 0), так как рули распо-
ложены в нос от центра тяжести лодки. Если b > 1В. р, т. е. центр
давления расположен в нос от оси баллера рулей, то b — /н. р > 0
и инверсионная скорость имеет действительное значение
(рис. III.4, а).
В случае, когда b < /н. р, центр давления расположен в корму
от оси баллера рулей, т. е. b — 1п. р < 0, инверсионная скорость
имеет мнимое значение (рис. II 1.4, б). Если же 6 =/н.р, т. е. ось бал-
лера горизонтальных рулей совпадает с центром давления, то ин-
версионная скорость равна бесконечности. Второй и третий слу-
чаи означают отсутствие инверсионной скорости, т. е. на всем
194
диапазоне скоростей при перекладке носовых горизонтальных ру-
лей потери управляемости не происходит (рис. III.4, б, в).
Располагая ось баллера носовых горизонтальных рулей в нос
от центра давления, можно избежать инверсионной скорости. Это
условие обычно всегда выполняется, и все современные подвод-
ные лодки отечественной постройки не имеют инверсионной, ско-
рости при перекладке носовых горизонтальных рулей.
С точки зрения эксплуатации ПЛ необходимо, чтобы значение
инверсионной скорости находилось вне диапазона скоростей дви-
жения ПЛ в погруженном положении. Это означает, что инвер-
сионная скорость должна быть меньше экономической скорости
Рис. Ш.4. Влияние положения оси баллера НГР на инвер-
сионную скорость.
подводного хода. Обычно инверсионная скорость при перекладке
кормовых рулей имеет порядок 2 узлов. При выбранной форме
корпуса ПЛ и ее оперения инверсионная скорость существенно
зависит от начальной метацентрической высоты h, поэтому ве-
личина последней должна быть ограничена.
Таблица 3
Тип ПЛ и полное подводное водо- измещение	Метацент- рическая высота h, м	Г®	Относитель- ное плечо кормовых горизон- тальных рулей Z-.p	Относитель- ное плечо оп- рокидываю- щей силы b	Инверсион- ная ско- рость vlK, мсек
Штевневый V=2760 м3 Штевневый V=2930 м3 Дирижабельный V=6100 -и3	0,165 0,133 0,175	0,646 0,58 0,538	—2,80 —2,87 —2,56	1,44 1,39 1,33	1,09 1,03 1,28
В табл. 3 даны значения инверсионных скоростей для некото-
рых современных подводных лодок. Приведенные выше рассуж-
дения показывают, что балансировка подводной лодки возможна
не на всем диапазоне скоростей. В районе инверсионной скорости
13*	195
балансировка подводной лодки кормовыми рулями не дает эф-
фекта. Таким образом, скорость движения ПЛ сильно влияет на
балансировочные углы. Для того чтобы исключить влияние ско-
рости на балансировку, применяется совместная перекладка двух
пар горизонтальных рулей или одной пары рулей с одновремен-
ной перекачкой воды из одной дифферентной цистерны в другую
(дифферентовкой). Такая балансировка называется абсолют-
ной, так как она не зависит от скорости движения ПЛ и может
быть применена на любой скорости, включая инверсионную.
Найдем балансировочные углы при абсолютной балансировке.
Рассмотрим два случая.
1. Балансировка кормовыми и носовыми горизонтальными ру-
лями— бездифферентное горизонтальное движение (а=ф=0).
Предположим, что путем балансировки горизонтальными рулями
ПЛ выводится на ровный киль так, что а=ф=0. Тогда уравне-
ния балансировочного режима движения имеют вид:
 су,(О) + фк + фн-о,
т„(0) + 48к + А + Сх, (0)ё=0	(III. 1.17)
или, перенося в правую часть слагаемые, не зависящие от бк и
бн, имеем:
еХ + Фк=-Су,(0);
48к + /Иг“йн= — mZl (0) — С,,(0) е. (III. 1.18)
Решим эту систему относительно бн и бк. Опуская проме-
жуточные выкладки, получим выражения для балансировочных
углов перекладки носовых и кормовых горизонтальных рулей
4 = 4: 4=4-	(Ш.1.19)
где А, Ак, Ан — определители системы:
-сУ,(0),	Су“
—тг, (0) — Сх, (0) е, тх'
= - С„ (0) тг» + \mz, (0) + Сх, (0) ё] с'« ;
196
д = ct -су,(0)	=
т£, -тг1(О)~Сх,(О)ё
= Су, (0) ni£ [niz, (0) -|- Сх, (0) е] Су*.	(III.1.20)
После подстановки выражений (III.1.20) в (III.1.19) получим
Су, (О)7. р- К. (°) +сх, К» *]
§ —-------------g——------------------ ;
^(Z«.p-ZK.p)
я Су, (°)Гк. Р - М> + Сх, (М
2. Балансировка кормовыми горизонтальными рулями и диф-
ферентовка при помощи дифферентных цистерн (а=ф=сопз1).
Уравнения балансировочного движения в этом случае пред-
ставляется так:
Су.^ + С’у.а + Су’^О;
тг, (0)+ mJ,а + т**8к 4- Сх,(0)е = 0.	(III.1.22)
Во второе уравнение не входит член, характеризующий вос-
станавливающий момент, так как он компенсируется моментом
М°, вызванным перекачкой воды в дифферентных цистернах, т. е.
выполняется условие
M° = Dha.	(ШЛ.23)
Решая систему уравнений (III.1.22) относительно «б и 6бк ,
получим после промежуточных преобразований:
Су.(°)7к.р-К (0)+Сх,(0)?]
“б—	С*„(Ь-Г )
У1 \ к. р)
Су,(0)»-[т„(0)+СХ1(0)ё]
—------------\---------------
— I Л
Уа \ к. р/
_ Так как относительное плечо рулей /к. р < 0, то разности
(1п. р—/к.р) и (& — /к. Р) также всегда положительны, а выра-
жения (III.1.24) для балансировочных углов не могут обратиться
в бесконечность.
Для оценки эффективности перекладки горизонтальных рулей
и скорости установившегося вертикального перемещения центра
(III. 1.24)
197
тяжести ПЛ вводятся понятия интенсивности управляемости и
скороподъемности. Наклон касательной к траектории центра тя-
жести ПЛ в какой-либо ее точке к линии горизонта определяется
углом х=Ф— который мы назвали углом траектории. Если
перекладка горизонтальных рулей вызывает изменение угла тра-
ектории х. то происходит вертикальное перемещение ПЛ. Чув-
ствительность ПЛ к перекладке горизонтальных рулей можно
оценивать приращением угла траектории, вызванного единичной
перекладкой.
В -качестве критерия интенсивности управляемости прини-
мается частная производная угла траектории по углу перекладки
Интенсивность управляемости зависит от положения рулей
по длине ПЛ и гидродинамических характеристик ПЛ. Для кор-
мовых, носовых и рубочных горизонтальных рулей она будет раз-
dx
личной. Выражение для может быть получено путем диффе-
ренцирования разности (ф— а) по углу перекладки рулей б.
Напишем сначала формулу для угла траектории. Вычитая
(III.1.4) из (III.1.5), имеем
„2	-	„	(0)
/- = ч* - я (°) ~ С* (°)е ~	+
J J СУ1	СУ.
Дифференцируя (Ш.1.25) по бк, н, получим выражение для
критерия интенсивности управляемости (при перекладке рулей
на 1 рад.)
,	„	/	,	z>5K. К \	z>°K, Н
=	+	. (П1.1.26)
к, н	у	у
Часто рассматривают интенсивность управляемости при пе-
рекладке рулей на 1°, тогда формула для ее определения имеет
вид
- w
В соответствии с принятым ранее правилом знаков (б^>0
при перекладке кормовых рулей на погружение, бн > 0 при пере-
кладке носовых рулей на всплытие) получим, что при погруже-
ду
нии подводной лодки -77— < 0, а -	> 0. В то время как при
дбк	обн
ду	ду
всплытии ПЛ д. > 0. а _. < 0
до к	до и
198
Интенсивность управляемости при постоянных параметрах
ПЛ зависит от скорости ее движения и метацентрической высоты.
Интересно отметить, что при движении на инверсионной скоро-
сти интенсивность управляемости равна нулю. Это можно легко
dr
проверить, если приравнять нулю На рис. III.5, в качестве
примера приведены зависимости интенсивности управляемости
от скорости движения ПЛ среднего водоизмещения при пере-
кладке кормовых и носовых горизонтальных рулей. Как видно,
dv	_
при п = ог'к кривая —пересекает ось. При дальнейшем
оок
уменьшении скорости возникает обратная управляемость. Это
обстоятельство вытекает непосредственно из формулы (III.1.27).
При значениях < 0 и —> 0 подводная лодка имеет
дбк <?бн
ду	ду
нормальную управляемость. При значениях	—> 0 и	-<0
обк	обн
управляемость подводной лодки обратная.
199
Рассмотрим теперь понятие о скороподъемности.
Скороподъемностью называется скорость, вертикального пе-
ремещения ПЛ, вызванная единичной перекладкой горизонталь-
ных рулей (на один радиан или иа один градус). Она опреде-
ляется производной вертикальной скорости установившегося дви-
дщ-
жения по углу перекладки, т. е. выражением ---.
С, и Kt н
Ввиду ТОГО, ЧТО = V%, ТО
дЪ •
(III.1.28)
После подстановки (III.1.27)
ности (III.1.28) получим
в выражение для скороподъем-
diL
Скороподъемность, имеет размерность м/сек - радиан.
В некоторых случаях рассматривается изменение вертикаль-
ной скорости, вызванное перекладкой горизонтальных рулей на
1°, тогда скороподъемность
_ V
дЪ ~ 57,3
К. н	’
V2 I 5к, н а
2JT ~т^
х>5к, н
°у,
Z-8K, н
° У,
(in. 1.30)
Cv
Скороподъемность, так же как и интенсивность управляемо-
сти, зависит от скорости движения.
Для конкретной ПЛ она вычисляется во всем диапазоне ско-
ростей и представляется в виде графиков.
На рис. Ш.6 представлены зависимости	для уп-
равления кормовыми и носовыми горизонтальными рулями. При
оценке величин интенсивности управляемости и скороподъемно-
сти проектируемой ПЛ их обычно сравнивают с соответствую-
щими значениями уже построенных кораблей.
Интенсивность управляемости прн перекладке кормовых го-
ризонтальных рулей по сравнению с интенсивностью управляе-
мости носовыми рулями возрастает с увеличением скорости более
существенно.
Такой вывод следует из рассмотрения формулы (III.1.26).
Действительно, выражение (III.1.26) можно переписать в виде

200
Значение разности относительных плеч b — 1Р для кормовых
рулей всегда больше, чем для носовых. Поэтому при малых зна-
чениях скорости, когда первый член выражения (III.1.31)
меньше второго, интенсивность управляемости носовыми рулями
больше интенсивности управляемости кормовыми рулями, т. е.
носовые рули эффективнее кормовых. По мере увеличения ско-
рости в (III. 1.31) превалирующее значение имеет первый член,
т. е. начиная с некоторой скорости интенсивность управляемости
Рис. Ш.6. Скороподъемность при управ-
лении КГР и НГР.
1 — при управлении КГР; 2 — при управлении
при перекладке кормовых горизонтальных рулей становится зна-
чительно больше, чем при перекладке носовых.
Из уравнения (III.1.26) можно найти скорость, при которой
интенсивности управляемости при перекладке носовых и кормо-
вых горизонтальных рулей одинаковы. Для этого достаточно вы-
полнить условие
d8K	сйн
или

Г к
° у,
Gyi
V2 I 5Н а
с5»
° у.
(III.1.32)
201
Опуская промежуточные преобразования
(III. 1.32), получим:	’
выражения
(П1.1.33)
При скоростях движения ПЛ выше и* кормовые рули эффек-
тивнее носовых, при v < v* наблюдается обратное явление.
Изложенная выше линейная теория установившегося движе-
ния применима лишь для углов атаки, близких к нулю. Уже на-
чиная с углов а=3-ь4°, для большинства современных ПЛ про-
является нелинейность коэффициента гидродинамического мо-
мента по углу атаки, и при разложении его в ряд необходимо учи-
тывать также и нелинейные члены. Нелинейность нормальной
силы в рассматриваемом диапазоне углов атаки относительно не-
велика и ею моэйно пренебречь. Что же касается зависимостей
С^(б) и	то в существующем диапазоне углов пере-
кладки горизонтальных рулей они могут считаться линей-
ными.
Рассмотрим учет нелинейности гидродинамического момента
по углу атаки, который был сделан Ю. Ф. Иванютой. В главе I
было показано, что функция т (а) хорошо аппроксимируется
полиномами второго или третьего порядка.
Представим (а, б) в виде
(а, 8) =	(0)-ф-а?tnzb. (III.1.34)
Тогда система уравнений установившегося движения ПЛ ста-
новится нелинейной. После подстановки (III.1.34) в уравнения
(III. 1.3) и их решения относительно а и ф. получим
^.(О)-^СУ1(О) + Сл(О)ё +
. г6к- н
н	а
ГПг.---~г- тг,
, Q 3,	(0) ( c^’«Y s2
+	-%- 8К1 „ -
СУ> \ СУ. /
2gh
8,
н\3
у' а3
с:, J Ki
(III.1.35)
202
Для случая установившегося движения ПЛ относительно ба-
лансировочного режима уравнения (III.1.35) упрощаются:
Так же как и для линейной задачи, составим выражения Для
интенсивности управляемости и скороподъемности:
интенсивность управляемости
К, н
mSK, к _
г' С*
. \ I н \3
с;'"Ьз( cH
Z>SK, н
ЬУ, .
СУ.
(III.1.37)
скороподъемность
л’ч _. I 1,2
н	2g*
/ с»к, н
О I °У1
\ С"
«к, к
Шг.
< Г’к
%
н )
° У, I
(III. 1.38)
dx
В частном случае, когда
равляемости. Это условие позволяет получить формулу для ин-
версионной скорости. Опуская промежуточные преобразования,
имеем
Kt н
О, происходит
потеря уп-
дх ____ у2
3
I 8’
2№	---V  (и" зэ>
-3 -5-’...
\ /
Формула (III.1.39) показывает, что при учете нелинейности
гидродинамического момента инверсионная скорость зависит не
Только от позиционных гидродинамических коэффициентов, но
также и от угла перекладки горизонтальных рулей.
Интенсивность управляемости и скороподъемность интересны
главным образом с теоретической точки зрения. Далее будет по-
казано, что для современных скоростных ПЛ маневренные каче-
ства характеризуются другими критериями.
Все полученные выше уравнения относятся к случаю движе-
ния ПЛ в безграничной жидкости. При движении ПЛ вблизи сво-
бодной поверхности и вблизи поверхности ледового покрова
203
изменяется характер гидродинамических сил' и моментов, дей-
ствующих на ПЛ, что оказывает влияние на параметры ее дви-
жения. В главе I было показано, что при движении ПЛ вблизи
свободной поверхности и поверхности льда (твердая стенка) воз-
растает подъемная сила и изменяется продольный гидродинами-
ческий момент. При движении вблизи свободной поверхности
этот эффект усугубляется появлением волновых составляющих.
Все это, естественно, оказывает влияние на параметры устано-
вившегося, движения ПЛ.
Рассмотрим сначала балансировочный • режим движения
вблизи свободной поверхности. Позиционные гидродинамические
коэффициенты в этом случае являются функциями углов атаки,
перекладки рулей, глубины погружения и скорости движения
ПЛ, т. е.
Сх, = Сх,(а, т), 8К, н, Fr); СУ1 =-СУ1 (а, у, 8К, к, Fr);
тг =тг,(а, т|, 8К, Fr).
Ввиду того, что зависимости этих коэффициентов от углов
перекладки горизонтальных рулей при различных скоростях
хода эквидистантны друг Другу и кривым, полученным для без-
граничной жидкости (см. рис. 1.35), позиционные коэффициенты
можно представить в виде:
CXl(a, т), 8k, к, Fr) = Cx, (а, т), Fr)+ С/,' “8К, к:
СУ1(а, т), 8К, „, Fr) = C’y,(ot, т), Fr)4-Cy“’ H8KiH;
«гг,(а, т), 8К,К, Fr) = m3, (а, Fr) + Н8К, н. (III.1.40)
Движение вблизи свободной поверхности описывается систе-
мой (III.1.1), а входящие в нее гидродинамические коэффици-
енты находятся по (II 1.1.40). Для приближенного определения
параметров движения проводится аппроксимация (III.1.40), ко-
торая заключается в том, что зависимость позиционных коэффи-
циентов от углов атаки и перекладки горизонтальных рулей при
постоянной скорости и глубине погружения считается линейной.
Принимая также во внимание, что С® величина малая, систему
уравнений описывающих установившееся движение вблизи сво-
бодной поверхности после линеаризации представим в виде:
Ст-Сх,(0,	Fr) = O,
Су, (о, Fr) + С“у,а + С% Н8К, н = 0;
^,(0, Fr) + <a + OT^H8K,H--^-«+C^=0. (III.1.41)
204
Подставляя первое уравнение в третье и перенося постоян-
ные члены в правую часть, получим:
+	Fr);
- -^г)«+ ч. н= (О, ч, Fr) - СХ1 (0, ч Fr)e.
(III. 1.42)
После очевидных преобразований система уравнений примет
вид:
а _ СУ< (0. Fr)	а — [г”г, (о, 7, Fr) + Сх, (°) g] Су*’ 11 ,
“б	(т* _2£^)с’к. _С‘Л“
^"*21 V2 ) G УI	СУ1 Z1
Су, [mti (О, ч, Fr) + СХ1 (0,ч, Fr)?] -Су, (О, V, Fr)
8бк,н-	(<—¥-)с’*’“-с;Хгв
(III.1.43)
Для определения балансировочных углов атаки и перекладки
рулей необходимо иметь данные по позиционным характеристи-
кам вблизи свободной поверхности. Производные С®, m® нахо-
дятся по кривым Cv,(a. r]o, Fr), тг,(а, г]о, Fr) в точках при а=0,
т)=г|0. Это означает, что балансировочные углы атаки и пере-
кладки горизонтальных рулей зависят не только от скорости дви-
жения ПЛ, но также и от ее глубины погружения. Коэффициенты
к и т5г*’н практически не зависят от глубины погружения и
находятся как для случая движения в безграничной жидкости.
Расчеты по формулам (III.1.43) показывают, что при малых
скоростях хода (при Fr < 0,15) параметры балансировочного ре-
жима при движении вблизи свободной поверхности мало отлича-
ются от параметров в безграничной жидкости. Прн увеличении
скорости хода ПЛ, особенно в диапазоне чисел Fr=0,30—0,50,
балансировочные углы существенно изменяются. Весьма сильно
возрастают балансировочные углы перекладки горизонтальных
рулей. На рис. III.7 показано изменение балансировочных углов
атаки и перекладки горизонтальных рулей ПЛ среднего водоиз-
мещения в зависимости от числа Fr для двух случаев движения:
на перископной глубине и иа глубине, где нет влияния свободной
поверхности. Как видно, при движении вблизи свободной по-
верхности балансировочный угол перекладки возрастает в два-три
раза при числах Fr=0,45—0,50. Аналогичным образом можно
205
получить выражения для балансировочных углов при движении
вблизи гладкой поверхности льда. Тогда позиционные гидроди-
намические коэффициенты являются функциями а, 6, q и не за-
висят от скорости движения.
на перископной глубине,---------— на большой
глубине.
Уравнения балансировочных режимов движения принимает
вид
Су, (0, ^)а+с’? -Су, (0, ч);
р»,, (0, т]) - а+ нак, н= —mz, (0, т;) - СХ1 (0, т))е,
(III. 1.44)
балансировочные углы ад и бдк
Су, (°'	н— [m2t (0, 7])	Сх,(0, 7i)g]	11
[< (о, Л) -	“-с; (о, н
8бк, н
Су, к (0.1) + сХ1 (О, т]) g ] - СУ1 (о,,)
[<, (°,	С> н - С”У1 (О, ч) «
(III.1.45)
Как указывалось ранее, позиционные гидродинамические силы
и моменты при движении ПЛ вблизи поверхности льда зависят
не только от глубины погружения, но и в значительной степени
от формы поверхности.
206
§ 2. УСТАНОВИВШЕЕСЯ ДВИЖЕНИЕ СТАТИЧЕСКИ
НЕУРАВНОВЕШЕННОЙ ПЛ В ВЕРТИКАЛЬНОЙ ПЛОСКОСТИ
Действие остаточной плавучести может проявляться как при
обычных эксплуатационных, так и при аварийных режимах дви-
жения ПЛ. В первом случае она возникает при заполнении ци-
стерны быстрого погружения, шахт для ракет или контейнеров
для самолетов-снарядов, во втором случае—при затоплении
аварийных отсеков и цистерн, продувания цистерн главного бал-
ласта и т. д. В главе I, § 7 было показано, что позиционные гид-
родинамические коэффициенты Сх,, Cv,, т2, являются нелиней-
ными функциями угла атаки. Это и определяет, главным образом,
нелинейность уравнений установившегося движения.
Наиболее простым с точки зрения решения задачи является
движение ПЛ под действием остаточной плавучести без хода.
Этот случай возможен при повреждении гребного винта ПЛ, он
также может быть распространен на движение различных под-
водных снарядов.
Уравнения установившегося движения могут быть написаны
в связанной системе координат, исходя нз условий динамиче-
ского равновесия следующим образом
р sin ф — Сх, (а, 8)1/2/а = 0;
рсо8ф+СУ1(а, 8)-^И/з = 0;
шг,(а, 8) V— Dh sin ф + рх^созф — рурз1пф = 0, (Ш.2.1)
где р — остаточная плавучесть;
Хр, Ур — координаты точки приложения остаточной плаву-
чести.
В предположении, что движение ПЛ происходит под дей-
ствием плавучести р при заданном угле перекладки ГР, можно
считать, что гидродинамические коэффициенты являются функ-
циями лишь углов атаки.
Система алгебраических уравнений (III.2.1) имеем три неиз-
вестных а, ф и V. Для их определения из первого и второго урав-
нений найдем
sin ф=А- с,, (Я, 8)1^ И'*;
р	*
cosф = —- — CV1(a, 8)-^- V*'*.	(III.2.2)
р ’	£
207
После подстановки" (Ш.2.2) в (III.2.1) и приведения уравне-
ний к безразмерному виду получим уравнение моментов с одним
неизвестным а
f	Ур') Сх,(а) — XpCV1(a) = 0;	(III.2.3)
\ Р ]
— it
где п= —— — безразмерная
сота;
— р
р=-^ — относительная
начальная метацентрическая вы-
остаточная плавучесть;
Ху
Хр = т/ч
у /з
Ур
__ Ур
~ V'k
— безразмерные координаты точки
остаточной плавучести.
приложения
Для решения нелинейного алгебраического уравнения (IIL2.3)
используется известный графический прием. Обозначая левую
часть уравнения через Л4(а), задаемся диапазоном значений а.
По кривым круговых продувок определяем Сх (а), Су(а),
(а) и для всех выбранных значений а находим функции ЛГ (а).
Далее в плоскости двух параметров а и М (а) строят кривую, пе-
ресечение которой с осью абсцисс (рис. Ш.8, в) определяет иско-
мое значение угла атаки. Если найден угол атаки а, то угол диф-
ферента
=	(Ш.2.4)
Третье неизвестное системы (Ш.2.1) —скорость движения
центра тяжести подводной лодки — может быть найдена на ос-
новании формул (III.2.2). Действительно, возводя первое и вто-
рое уравнения в квадрат и складывая их почленно после ряда
промежуточных преобразований, получим безразмерную ско-
рость	•
Тогда размерная скорость
а = ® |/'2g,| р | V'11 .
Вертикальная и горизонтальные составляющие скорости вы-
числяются по формулам
® sin (ф — а); ’Ос = ®со8(ф — а).
При выполнении большого объема расчетов можно рекомен-
довать построить заранее кривые угла дифферента i|’> безраз-
208
мерной скорости v, ее составляющих и, и 05 в функции от углов
атаки (рис. III.8, а, б) [47].
На рис. III.8, в дано графическое определение а для подвод-
ной лодки XXI серии. Как следует из рис. III.8, кривая Л4(а) об-
ращается в нуль по крайней мере два раза, т. е. получается два
решения, что означает два положения равновесия, одно из иих
в области углов дифферентов <90°, а другой при ф > 90°.
Оценка устойчивости каждого из указанных положений равнове-
*	, дМ
сия может быть произведена по знаку производной 
При исследовании движения ПЛ под действием остаточной
плавучести без хода представляют значительный интерес частные
случаи движения: бездифферентное погружение и всплытие, вер-
тикальное движение ПЛ. Рассмотрим эти два частных случая и
выведем условия их существования. Условием безднфферентного
движения является равенство нулю угла дифферента, что в соот-
ветствии с формулами (Ш.2.4) наступает тогда, когда Сх,(а) =
=0. Как следует из кривых круговых продувок, это равенство
имеет место при ai=70—100° и аа= ~300°.
Первый угол атаки соответствует бездифферентному погруже-
нию, второй — всплытию. Полагая В уравнении (Ш.2.3) Сх, (а) =
=0, найдем абсциссу точки приложения остаточной
прн которой имеет место бездифферентное движение
где индексы «1» и «2» обозначают бездифферентное
плавучести,
(III .2.6)
погружение
и всплытие соответственно.
Формула (Ш.2.6) позволяет сделать вывод о том, что абс-
цисса Хр12 не зависит от безразмерной величины остаточной
плавучести, а определяется исключительно позиционными гидро-
динамическими коэффициентами. Так как последние зависят от
площади горизонтального оперения ПЛ, то, естественно, что
с увеличением относительной площади кормового горизонталь-
ного оперения происходит смещение абсциссы Х?12 в корму.
Указанное обстоятельство позволяет сделать некоторые вы-
воды о рациональном расположении цистерны быстрого погру-
жения. При сильно развитом кормовом оперении размещение
ЦБП в нос от центра тяжести, как это обычно принято, может
привести при движении ПЛ без хода с заполненной цистерной
к большим дифферентам [83].
При бездифферентном движении угол траектории не зависит
от р и равен %=—а. В общем случае бездифферентное движе-
ние происходит не по вертикали, а имеет место планирова-
ние ПЛ.
14 Заказ № 018
209
Рис. Ш.8. Графическое определение угла атаки при по-
гружении ПЛ без хода под действием остаточной плаву-
чести.
210
Вертикальным погружением нли всплытием под действием
остаточной плавучести будем называть такое движение ПЛ, при
котором угол траектории %=±90°. Для получения условия вер-
тикального движения представим уравнения установившегося
движения в поточной системе координат, принимая ее начало
так же в центре тяжести ПЛ. Ввиду того, что уравнение момен-
тов в поточной и связанной системах одинаковы, напишем лишь
уравнения сил
р sin (ф — а) — Сх~- уг/з= 0:
pcos(<|>-a) + Cy-^-lZ2/l = 0.	(III.2.7)
Из системы (III.2.7) следует
tg(<p-a)=--£'g-.	(П1.2.8)
Это означает, что для того, чтобы движение ПЛ было вер-
тикальным, т. е. %=ф— а=±90°, необходимо условие Су(а) =
=0. Чтобы найти углы атаки, соответствующие этому условию,
необходимо рассмотреть изменение коэффициента подъемной
силы при круговом изменении угла атаки. На рис. 1.54, б показана
функция Су (а.) для ПЛ 611 проекта. В диапазоне углов а=0—
360° коэффициент Су обращается в нуль при четырех значениях
угла атаки, два из них соответствуют вертикальному движению.
Принимая во внимание, что относительное плечо опрокиды-
вающей силы Ь = -^-, уравнение (Ш.2.3) можно представить
в виде:
5,--^ + 5.	(111.2.9)
Эта формула пригодна для общего случая движения, в том
числе и для вертикального. Для вычисления хР при вертикаль-
ном движении необходимо найти по кривым значения CXt и Cv,
для углов атаки, определяющих вертикальное движение. Экспе-
рименты показывают, что для большинства подводных лодок
коэффициенты С н Су одновременно в нуль не обращаются.
Это означает, что вертикального бездифферентного движения
быть не может. Иначе говоря, вертикальное установившееся дви-
жение ПЛ не является бездифферентным, а бездифферентное
движение не является вертикальным. На рис. Ш.9—III.11 при-
ведены а(р, хр), ф(р, хр), Ог|(р, хР) ПЛ среднего водоизмещения.
Рассмотрим теперь установившееся движение статически ве-
уравновешенной ПЛ с ходом. Составим уравнения динамиче-
!4*	211
ского равновесия в проекциях на оси связанной системы коор-
динат, которые будут отличаться от (Ш.2.1) наличием членов,
учитывающих поправки к гидродинамическим коэффициентам
кормовых горизонтальных рулей, вызнанные влиянием потока
воды от работающих винтов.
Рис. IIIA Зависимость угла атаки от величины остаточной плаву-
чести р и координаты хр при погружении и всплытии без хода.
Объединим эти поправки с основными гидродинамическими
силами:
Г (в) — Сх,(а, 8)-ф-	+ р sin ф= 0;
Су, («. 8)И'/з + ДС’,К8	V2'3 + рcos ф = 0;
тг, (“> V — Dh sin ф 4*	И-|-Г('о)е +
-ЬрХрСозф — pypsin ф=0.	(Ш.2.10)
Нелинейная система уравнений (Ш.2.10) должна быть раз-
решена относительно трех неизвестных а, ф и и. Ее решение мо-
жет быть получено графическим путем. Для приближенного
решения системы сделаем ряд допущений. Ввиду слабой зави-
симости коэффициентов С^, С* , т* от угла атаки положим, что
Ох,(а, 8) = СХ1(а, 0)4-01,8,-
Оу, (а, 8)=СЛ(а, 0)4-ОУ18;
»гг, (а, 8) = тг, (а, 0)4* от’,8.	(Ш.2.11)
212
Рис. П1.10._3ависимость угла дифферента от величины остаточной плаву-
чести р и координаты хр при погружении и всплытии без хода.
Рис. III.11. Зависимость вертикальной скорости погружения от
величины остаточной плавучести р и координаты хр при погру-
жении и всплытии без хода.
213
Полагая, что углы дифферента не превосходят 10—15°, при-
мем, что sinip—ф; созф=1. С учетом сделанных допущений,
а также принимая уР=0, уравнения установившегося движения
приводятся к безразмерному виду:
Т- Сх,(а, 0)-С’, 8 + ^ = 0;
Су, (а, 0) + [(1 + а,) + b'-J ] Су,8 + ~р = 0;
ffizi (°t, 0) -)- [(1 -|~аа) + Ьат\ тг, 8 —
--^-ф + 7ё+^хр = 0.	(Ш.2.12)
Здесь 7=—^.— - р =___________•
pv2V/з " pv2V“z> ’
С «.
°’	°’ Se (1 - ®)2 (1 -1) •
SB — площадь диска винта; аг„ — числовые коэффициенты
в формуле (1.5.8).
Система (III.2.12) решается графически при заданных значе-
ниях гидродинамических характеристик, остаточной плавучести
и координат точки ее приложения. Для этого из второго уравне-
ния системы (III.2.12) определим угол перекладки б и подста-
вим его в третье уравнение. В это же уравнение подставим зна-
чение тяги Т из первого, полагая для упрощения С6х 6=0. Тогда
третье уравнение системы представляется в виде
тг, (а, 0) + р (хр - 7р) - ~1рСу, (а, 0) -	+ ре ) <|> +
4-СХ1(а)ё=0.	(III.2.13)
Решение уравнения (III.2.13) значительно облегчается для
балансировочного режима движения ПЛ. Полагая а=ф, пере-
пишем уравнение моментов:
тг, (а, 0) - 7рСу, (а, 0) + р (хр — 7р) + Сх, (а) е —
_	+ рё) а = 0.	(1П.2,14)
Первые два члена (III.2.14) можно представить как уравне-
ние некоторой кривой ср1(я) = т2 (а, 0) — 1РСУ (а, 0), а три по-
следних — прямой:	ф2 (а)=р (хР —7Р) + Сх, (а)е — (	+
+ ре)а. Пересечение <pi(a) и <рг(а) на графике III.12 н определит
балансировочный угол атаки ав, зная который по остальным
уравнениям системы находим бв и Гв-
214
Если балансировочные параметры определяются при таком
режиме работы двигателей, который не обеспечивает постоян-
ства скорости с изменением нагрузки на винт (например, при по-
стоянных числах оборотов или при постоянном расходе пара), то
для вычисления балансировочных параметров должна быть до-
полнительно задана кривая T(v). Тогда система уравнений
(Ш.2.12) решается при нескольких значениях скорости о. По ре-
зультатам решения строится кривая
Г(®)=СХ1(а)+С1,8 -ря,	(111.2.15)
пересечение которой с заданной кривой Г(и) определяет балан-
сировочную скорость va, для которой затем находятся баланси-
ровочные значения ав и б б при заданном режиме работы двига-
телей.
В практике эксплуатации ПЛ
возможны случаи движения с пе-
регрузкой при малых углах ата-
ки, например, с заполненной
контейнером, заполненным
Рис. 111.12. Графическое определе-
ние балансировочного угла атаки
при движении статически неурав-
новешенной ПЛ с ходом.
О
цистерной быстрого погружения, с
водой после старта ракеты и т. д. Углы атаки при таком движе-
нии лежат в пределах линейной части графиков Су (а, б) и
т2| (а, б) или во всяком случае таковы, что допускают линеари-
зацию позиционных гидродинамических коэффициентов.
Полагая тягу, сопротивление и скорость постоянными величи-
нами, уравнения установившегося движения ПЛ с остаточной
плавучестью представим в безразмерном виде:
Су, (0) + Су,а. 4- С*,' 8К, я4_/’ = 0;
тг, (0) + ffiz.a 4- /и**’ Н8К, н — ф 4- Сх, (0) е 4~
+Р [х„- (ё + у;) ф]=0.	(Ш.2.16)
Ввиду малости величин р, е, уР и ф выражение в квадратной
скобке второго уравнения можно упростить. Тогда система
(Ш.2.16) преобразуется:
Су, (0) + С“У1 а + С^ “ ак, „ + р = 0д
mz, (0) + <а 4-	“ 8К, н - ф + Сх,(0)74- ~Р*Р = 0.
(Ш.2.17)
215
При заданных значениях гидродинамических коэффициентов,
скорости и остаточной плавучести из первого уравнения (III.2.17)
находим угол атаки
Су,(0) + С^н\,н + ^
После подстановки выражения для угла атаки во второе
уравнение получим угол дифферента
Ф =	(0) - су, (0) + (С*£ “ ук, н +
+ CX1(0)F + pt--^Y	(Ш.2.19)
(Ш.2.18)
С помощью формул (III.2.18), (III.2.19) легко найтн угол
дд
траектории %, интенсивность управляемости -уу и скороподъем-
ность . Выражения (Ш.2.18), (Ш.2.19) позволяют также
исследовать частный случай движения при нейтральных горизон-
тальных рулях, т. е. 6к,н=0. Для характеристики интенсивности
установившегося движения под воздействием остаточной плаву-
чести М. В. Савельев ввел критерии —— и ——. Первый из них
др др
представляет интенсивность изменения угла траектории, а вто-
рой — скороподъемность при наличии остаточной плавучести.
Формулы для определения указанных критериев получим после
дифференцирования выражений (III.2.18), (Ш.2.19) по р. В ре-
зультате имеем
Эд  tty   di
др	др	др
v2 I — m) \	1
+ ( 0)
По аналогии с формулами, полученными для горизонтальных
рулей, напишем выражение для скороподъемности
дд
—=г- — V —=
др	др
& -	т1\ , _1_
I ₽	С°,
(Ш.2.21)
r-r	<Jy
Производная —= может принимать различные значения,
дР
в том числе и нулевые.
216
Положив в (Ш.2.20) —— =0, напишем выражение для ско-
др
рости, при которой изменение плавучести не вызывает изменения
угла траектории %,
(П1.2.22)
Откуда
или
(III.2.23)
Скорость Vip называется инверсионной при действии оста-
точной плавучести. Она зависит от метацентрической высоты,
относительного плеча точки приложения гидродинамической
силы Ь, абсциссы точки приложения остаточной плавучести и не
зависит от величины и знака последней. Инверсионная скорость
vip, так же как и скорость о,-н, может быть действительной,
мнимой н равной бесконечности. Это зависит от разности плеч
b Хр,
Если остаточная плавучесть р приложена в корму от точки
приложения гидродинамической силы, т. е. Хр <_ Ь, то инверси-
онная скорость имеет действительное значение ot p > 0. В случае,
когда р приложена в нос от точки Ь, т. е. хР > Ь, инверсионная
скорость имеет мнимое значение.
При хР~Ь инверсионная скорость v{p=oo. Представляют
значительный интерес балансировочные режимы движения прн
малых значениях р. Полагая в (IIL2.17) а—т|), получим уравне-
ния горизонтального установившегося движения ПЛ
с;,а + с>нак, н=-Су,(0)-р;
~ —Г') “ +	« 8К, н = -тг, (0) - СХ! (0) ё - рхр. (III.2.24)
217
Решим систему (Ш.2.24) относительно балансировочных
углов:
ав= С^’Н['”г,(°) + Ся-,(0)^ + рхр]- [СУ1(0)+р] т^'л .
г»а м8к, н z>8K, н /„а	\
СУгтг. ~Суг
[Су, (0) + р] (< -	- с;, [т^ (0) + СХ1 (0)ё + Ухр\
(III.2.25)
Как следует из формул (III.2.25), балансировочные углы при
движении с перегрузкой зависят от скорости, остаточной плаву-
чести р н координаты ее хр. Задаваясь несколькими значениями
р и хр, можно оценить несущую способность ПЛ при баланси-
ровке горизонтальными рулями, т. е. ее способность двигаться
в горизонтальной плоскости при наличии силы и момента оста-
точной плавучести. В частности, при перекладке двух пар гори-
зонтальных рулей (кормовых и носовых) при бездифферентном
горизонтальном движении (а=ф=0) система уравнений балан-
сировочного режима движения ПЛ имеет вид:
Фк+Фн= -СУ1(0) - Р-,
-тг, (0) — Сх, (0) е — рхр .	(1П.2.26)
В этом случае балансировочные углы перекладки горизон-
тальных рулей
„	— [Су, (°) +лК. р ~ [тг, (°) +Сх1(°Н+ Рх^
б“	£8х	_у )
(в. р к. р/
[су, (0) + г. р -fc, (0)+CXi(0)g + -рхр]
®н	л»’» Cl	)
Су, Сн. р к. р/
Для практических целей Я. Я. Балицкий предложил постро-
ить на основании (III.2.26) график несущей способности подвод-
ной лодки. Для выяснения характера графика сложим почленно
левые и правые части уравнений (III.2.26)
СуА +	— р —
— ffiZ1(0) — СХ1(0)ё — рхр.	(I1I.2.28)
218

После преобразования выражения (II 1.2.28) получим уравне-
ние прямой
Р = А + рхр,
где
А = С„ (0) + тг, (0) + Сх, (0) ё + СХ + 8Н +
+ тХ+^8н-	(III.2.29)
Задаваясь диапазонами углов перекладки горизонтальных ру-
лей бк и бв, значениями момента остаточной рхР по (III.2.27),
находим соответствующие значения плавучести р, а затем в пря-
моугольной системе координат (рорхр) строим прямые бк=
=const и 6H=const.
На рис. III.13 приведен график несущей способности ПЛ
среднего водоизмещения, который позволяет при известных без-
размерных величинах остаточной плавучести и момента найти
балансировочные углы перекладки горизонтальных рулей, необ-
ходимые для получения бездифферентного горизонтального дви-
жения.
Этот график можно построить и для размерных величин оста-
точной плавучести и момента. В таком случае
р = А{А~ BjtXp,	(III.2.30)
где А, = А-4-^*: 5.= -^.
Из рассмотрения (Ш.2.30) следует, что угол наклона прямых
(угловой коэффициент) определяется только водоизмещением
ПЛ, а отрезок оси ординат, отсекаемый прямой (ось Р), зависит
от скорости ПЛ. Если привести выражение (III.2.27) к размер-
ному виду, при постоянных значениях и гидродинамических ко-
эффициентах определенному значению скорости движения ПЛ
соответствует одно значение бн и одно значение бк, т. е. прямые
6K=const и 6H=const на графике несущей способности пред-
ставляют собой линии постоянных скоростей.
§ 3. УСТАНОВИВШЕЕСЯ ДВИЖЕНИЕ ПЛ
В ГОРИЗОНТАЛЬНОЙ ПЛОСКОСТИ
В горизонтальной плоскости возможны два вида установив-
шегося движения: прямолинейное движение по заданному курсу
и криволинейное — установившаяся циркуляция.
Под циркуляцией понимается движение ц. т. корабля по кри-
волинейной траектории в горизонтальной плоскости при пере-
кладке вертикального руля. Траектория центра тяжести в этом
220
случае также называется циркуляцией. Циркуляцию можно раз-
бить на три периода (рис. III.14); маневренный период, в течение
которого производится перекладка вертикального руля, эволю-
ционный период или период неустановившегося движения, когда
кинематические параметры, угол дрейфа р, скорость движения
центра тяжести о, угловая скорость ш , угол крена 0 изменяются
с течением времени, достигая постоянных значений в конце пе-
риода. Период установившейся циркуляции характеризуется по-
стоянными во времени значениями параметров р, v, <0^, 0. Здесь
и в дальнейшем будем рассматривать только период установив-
шейся циркуляции. Ввиду несимметричной формы корпуса ПЛ
относительно горизонтальной плоскости при движении на цир-
куляции появляются вертикальные силы, Которые вызывают
перемещение ПЛ по глубине. Иначе говоря, движение ПЛ
221
с переложенным вертикальным рулем является пространст-
венным. Для обеспечения «плоской» циркуляции используются
горизонтальные рули. Не останавливаясь на балансировочных
режимах движения ПЛ в горизонтальной плоскости, предполо-
жим, что имеет место плоское движение.
Уравнения установившегося движения могут быть получены
из системы (II.4.3), соответствующей установившемуся движе-
нию ПЛ, если положить в ней при поступательном движении
P=g>== v=а>у =0, прикриволинейнрм движении р = и=шУ| =0 и
ср=<в =const; u=const; 6B = const.
В результате для прямолинейного движения получим
Т + СхЛ?: 8В)-^-^/з=0;
' Сг1(Мв)^И/з = 0;
8в)-?"И=0.	(Ш.3.1)
Вследствие симметрии обводов корпуса ПЛ относительно
диаметральной плоскости последним двум уравнениям удовлет-
воряют решения бв=Р=О; из первого уравнения определяется
тяга Т.
Для криволинейного установившегося движения на циркуля-
ции уравнения записываются следующим образом:
sin р	sin р 4*	=
= Т - CXt (р, 8В) Vth + С?1 шУ1 V;
—mwy, cos р —	cos р = Сг, (р, 8В)	V*/s +
mV'l'k^D4>y,cos р= my,-^ V^m^'	(Ш.3.2)
Система уравнений (II 1.3.2) позволяет определить три пара-
метра, характеризующих установившуюся циркуляцию: ско-
рость о, угловую скорость a>v, угол дрейфа (J.
222
Заменив в уравнениях (III.3.2) угловую скорость на ли-
нейную о=/?ц<в ? где 7?ц — радиус циркуляции, получим:
- т -^-sin р + Т + --р^У3'3 Г С г, (₽, 8в)-|.-С"1>”ЛД-
/\Ц	г\\\
у'/з	у/Ч з
2«3j—sin р — 2^35	2
ц	-и
= 0;
ffi -S-cos р +	p®V/a [Сг, (₽, 8„) 4- С^'	+
ЦЦ	L	/\ц
4~2fcn cos ₽| =0;
Kix J
-J-pWU.Gi, 8B) + ^-^l - 2^5^cos?] = 0. (П1.3.3)
L	f<n	^<u J
Рис. 111,15. Падение скорости на циркуляции.
Уравнения (Ш.З.З) обычно решаются приближенно. Для этой
цели задаются законом изменения скорости на циркуляции, ко-
торый принимается по данным эксперимента. По результатам на-
турных испытаний отечественных ПЛ закон изменения скорости
на циркуляции хорошо аппроксимируется зависимостью
(рис. III.15).
Ц = Ц0\1
(Ш.3.4)
223
где v — скорость на установившейся циркуляции;
ио — скорость установившегося движения на прямом курсе.
При использовании зависимости (Ш.3.4) можно не рассматри-
вать первое уравнение системы (III.3.3) и радиус циркуляции
находить путем совместного решения второго и третьего урав-
нения.
Как правило, представляет большой интерес определение ра-
диуса циркуляции при углах перекладки, близких к предельным,
т. е. когда влияние поправок на работу винта незначительно. По-
этому f Дальнейшем поправки Q и Ив учитывать не будем. Тогда
уравнения (Ш.З.З) приводятся к виду
„ %- ™ р +	/'•[ С. №. у+с-’-	+
/\ц	*	L	/\ц
+ 2А'11 ^rcos^] = 0;
-^-и[/гау,(р, 8В) + /и™;’" -2й35соч pl =0. (III.3.5)
L	Ац	Ац	J
Определим из первого н второго уравнений величину, обрат-
у?»
ную относительному радиусу циркуляции ——. После промежу-
Ац
точных преобразований, которые здесь опускаем, получим;
V'h _ _	сг,|(3- \)
2(1+й11)со8?+Сг7’
221 =____________2 \)
Ли	225cos°
(III.3.6)
уЧ>
Формулы (III.3.6) показывают, что величина --— не зависит
Ац
от скорости движения подводной лодки.
Гидродинамические коэффициенты, входящие в уравнения
(Ш.3.6), являются функциями углов дрейфа и перекладки вер-
V’/з
тикального руля и поэтому выражение —— можно представить
АЦ
в виде:
^2 = /=,2(₽. 8J-	(Ш.3.7)
Из-за нелинейного характера систему (Ш.3.7) решают с по-
мощью графо-аналитического метода, который был разработан
К. К- Федяевским для оценки поворотливости дирижаблей. Ме-
224
тод состоит в том, что по заданным значениям углов р и бв
в осях р и F строятся два семейства кривых Fi(P, бв) и Fa(p, бв)
при постоянных значениях углов перекладки вертикального руля.
Точки пересечения двух кривых прн 6B=const определяют реше-
ние системы и позволяют построить зависимость
Т7г/з
/Гф)=4г-	(Пк3-8)
У'/з
На рис. III.16 дана кривая ——=F($) для подводной лодки
АЦ
среднего водоизмещения.
= F(?).
Обычно в качестве меры поворотливости принимается отно-
шение радиуса или диаметра циркуляции к длине корабля. Зная
относительную длину ПЛ 1=—^, можно определить меру по-
воротливости в горизонтальной плоскости
________________________________ ffiu
L у'/‘
(Ш.3.9)
Формула (Ш.3.9) дает нам возможность получить кривую
-£-=М).
Выше отмечалось, что каждому значению угла р на кривой
F(p) соответствует вполне определенная величина угла пере-
кладки вертикального руля бв. Это обстоятельство позволяет
15 Заказ № 018	225
ft
построить зависимости меры поворотливости и угла дрейфа р
в функции углов перекладки вертикального руля бв. На рис. III.17
уч,
приведена зависимость —g— =f (бв), которая позволяет сделать
Ац
некоторые качественные выводы. С увеличением угла перекладки
и <	*
отношение —— уменьшается, а угол дрейфа возрастает. Эти из-
менение особенно чувствительны в диапазоне углов перекладки
вв=0Т20°, при дальнейшем возрастании бв до предельной ин-
тенсивности рост кривых значительно меньше.
Рис. III.17. Зависимость -g— от угла перекладки вер-
Ац
тикального руля.
Ранее уже указывалось, что при движении ПЛ вблизи сво-
бодной поверхности воды, поверхности льда или дна изменяются
гидродинамические силы и моменты, действующие на подвод-
ную лодку. Однако это влияние сказывается, главным образом,
на силах и моментах в вертикальной плоскости.
Позиционные и вращательные характеристики, присоединен-
ные массы в формуле для определения радиуса циркуляции прак-
тически не зависят от расстояния до свободной поверхности воды
или дна. Поэтому можно считать параметры установившейся
циркуляции fl, v и 4>Vi, не зависящими от, глубины погружения.
Это подтверждают также результаты натурных испытаний оте-
чествеиных ПЛ. На рис. III. 18 приведены зависимости —^- =
= Ц6В) для подводной лодки среднего водоизмещения, получен-
ные ЦНИИ им. А. Н. Крылова при испытаниях ее на циркуляции
й подводном положении. Натурные испытания проводились на
глубине 30 -и и на перископной глубине погружения.
При движении ПЛ на циркуляции возникает крен, вследствие
чего.повышается опасность опрокидывания подводной лодки при
воздействии других кренящих факторов. В связи с этим пара-
метры, определяющие циркуляцию, должны, быть таковыми,
226
чтобы угол крена не превосходил допустимых значений. Строго
говоря, задача о движении ПЛ на циркуляции является про-
странственной, и угол крена должен определяться совместно
с другими кинематическими параметрами при решении сйОтемы
уравнений.
В настоящем параграфе остановимся лишь на приближенном
определении угла крена на установившейся циркуляции, рассмат-
ривая движение ПЛ в поперечной плоскости. Угол крена будем
определять из условия дина-
мического равновесия отно-
сительно ПРОДОЛЬНОЙ ОСИ ОХ[.
При движении ПЛ по криво-
линейной траектории в по-
перечной плоскости действу-
ют силы: центробежная сила
инерции К; приложенная
в центре тяжести ПЛ, боко-
вая реактивная сила воздей-
ствия жидкости на лодку
R = K, расположенная в цент-
ре бокового давления; бо-
ковая реактивная сила Q,
возникающая при косом на-
текании потока на винт; бо-
ковая сила, возникающая на
вертикальном руле Zis, при
его перекладке на некоторый
угол бв. Составим уравнение
моментов .относительно оси
oxi (условие динамического
равновесия):
Мх, — Dh sin 0 — QI +
Рис. III.18. Влияние глубины погру-
жения ПЛ на радиус циркуляции по
данным натурных испытаний.
О ОО 0-7.6 узла | глубина погружения
XXX 0-5,3 узла I 30 м
• • • и=7,6 узла |
} перископная глубина
ДДД и—5,1 узла J
+ ZBof=0. (III.3.11)
Входящий в уравнение (III.3.11) момент Мх обусловлен гид-
родинамической реакцией жидкости при движении ПЛ по криво-
линейной траектории. В § 1 главы I было показано, что для рас-
сматриваемого случая движения ориентация вектора скорости
может быть определена либо а и р, либо р и 0. Так как угол
крена уже входит в уравнение (III.3.11), то для упрощения ре-
шения задачи гидродинамический момент MXi целесообразно
представить в функции а и 0, пересчитав коэффициент момента
тпХ| по формуле (1.1.1). Графики тх (р, 0) строятся следующим
образом. Задаются диапазоном значений р и 0. При постоян-
ном р и ряде значений 0 по (1.1.1) находят соответствующие им
15*	227
ae, рв и по кривым тх (ае, рв) определяют т*, а затем зависи-
мости тх (в) при 0=const. Структурная формула для его опре-
деления MXt записывается в виде
Mx=mXi-^-V,	(Ш.З. 12)
где т (Р, 0) —коэффициент гидродинамического момента, за-
висящий от углов крена и дрейфа (рис. III. 19).
С учётом (III.3.12) уравнение моментов записывается так:
отХ1(₽, 0)-Ц£- V-Dhsme-Ql + Z„d = O. (III.3.13)
В большинстве случаев плечи Ind малы, в связи с чем по-
следними двумя членами в уравиенни (Ш.3.13) -можно прене-
бречь. Тогда имеем
гпх,($, 0) -у- V=DAsin0
или
^.(₽> 0)=-^r-sin0.
(Ш.З.14)
Входящая в выражение
(III.3.14) скорость ПЛ v на
Рис. III.19. Зависимость
окончательно получим
с неизвестными р и 0
циркуляции определяется по
формуле (Ш.3.4), после ее
подстановки в (III.3.14)
нелинейное алгебраическое уравнение

(Ш.З 15)
Уравнение (Ш.З.15) решается графическим путем. Для
этого необходимо иметь кривые гидродинамического коэффици-
ента тХ[ (Р, 0), а также зависимость =f (Р).
Решение выполняется в такой последовательности. Обозна-
чим левую и правую части выражения (III.3.15) через (р, 0)
и Fz(P, 0) соответственно. Для ряда значений углов перекладки
вертикального руля на основании расчетов определяют углы
дрейфа р и относительный радиус циркуляции. Задаваясь
228
Рис. Ш.20. Зависимость /^(Р, в).
।	о—4 м/сек;-----— v—7 м/сек.
229
диапазоном значений углов крена 0, при постоянной скорости
на прямом курсе v0 вычисляется функция'F2(fJ, 0) (рис. III.20).
Далее в плоскости координат 0 и F строят два семейства кривых
Fi(P, 0) и F2(P, 0) при постоянных значениях угла дрейфа.
Точки пересечения одноименных кривых позволяют найти зави-
симость р=р(0).
Такой метод нахождения угла крена принципиально приме-
ним для подводного и для надводного положений ПЛ. Следует,
однако, отметить, что угол крена в этих случаях имеет разные
знаки.^Это обусловливается различным направлением кренящего
гидродинамического момента. В надводном положении центр бо-
кового давления расположен, как правило, ниже центра тяже-
сти— точки приложения центробежной силы, — поэтому гидро-
динамический момент вызывает крен во внешнюю сторону по от-
ношению к кругу циркуляции.
В подводном положении центр бокового давления находится
всегда выше центра тяжести, и поэтому гидродинамический мо-
мент вызывает крен противоположного направления, т. е.
во внутреннюю сторону по отношению к кругу циркуляции.
Следует отметить, что угол крена существенно зависит
от формы корпуса подводной лодки. Особенно это проявляется
для подводного положения, в котором угол крена в значительной
степени определяется высотой ограждения прочной рубки. С уве-
личением высоты ограждения центр бокового давления повы-
шается, возрастает плечо кренящего момента, что, в свою оче-
редь, приводит к увеличению крена.
На рис. III.21 построены функции Л(р, 0) и F2(P, 0) для ПЛ
среднего водоизмещения и графическим путем определена зави-
симость угла дрейфа от угла крена на циркуляции (рис. III.22).
230
§ 4. УСТАНОВИВШЕЕСЯ ПРОСТРАНСТВЕННОЕ ДВИЖЕНИЕ ПЛ
В настоящее время в связи с новыми тактическими задачами
пространственное маневрирование ПЛ приобретает большое зна-
чение, особенно в связи с необходимостью уклонения ПЛ от ата-
кующей лодки. До последнего времени маневрирование про-
водилось, как правило, в вертикальной и горизонтальной пло-
скостях, а пространственное маневрирование выполнялось весьма
редко. Трудно предвидеть все маневры, которые может совер-
шить ПЛ в пространстве, однако некоторые из них, имеющие
практическое значение, следует отметить. Наиболее распростра-
ненным является маневр установившейся циркуляции с изме-
нением глубины (шага). Разновидностью этого случая движения
ПЛ является балансировочный режим движения на установив-
шейся циркуляции.
Рассмотрим сначала установившееся движение подводной
лодки по винтовой линии постоянного шага с вертикальной осью
(циркуляция с изменением глубины). Уравнения такого движе-
ния могут быть получены из системы уравнений неустановивше-
гося движения (II.1.4), если положить в них производные всех
линейных и угловых скоростей по времени равными нулю, а также
принять, что <оХ| =0 и (о2, =0. В целях упрощения рассмотрим
движение статически уравновешенной ПЛ (р=0), имеющей сим-
метрию относительно трех координатных плоскостей. С учетом
сказанного систему уравнений получим в виде:
>' '• ’ Сх, (а, ₽, 8К, в) + С?'	- Т cos Тв = 0;
СУ1(а, ₽, 8к,н)-^-//з+С7-(а, ?) -^-<оу, И+ Т sin Тв = 0;
Сг,(а, ₽, 8а)-^у-И/з+С7>(а, ₽)-^и>у,И4-ототоу,=--0;
»ix,(°t, ₽, 8»)И-)-₽)	— £>ftcos<|>sin0=O;
/Яу,(«,	8в)-^-И+от;?(а, р)-^-<оу,//>=0;
"М®. ₽- 8к,к) V + m”/1(st, Р)-^-®У1И/’—£>ftsin<|>4-re=0.
(III.4.1)
Для упрощения задачи приведем систему уравнений (Ш.4.1)
к безразмерному виду. С этой целью все члены уравнений сил
рц2
разделим на —— V2\ а члены уравнений моментов разделим
231
на —V и, кроме того, будем считать произведение sin ip sin 0
малой величиной.
После промежуточных преобразований перепишем систему
уравнений:
Сх,(«, Р, 8к,н,в)-”созТа = 0;
СУ1(а, Р, 8К,Н)+£?,>, {3)121 + rsinTB = O;
Сг1(а, Р, ^Ч-С^а, Р)-^- + 2-^ = 0;
от,, (а, Р, 8в) + т^\л, р)-^--sin 0 cos ф = 0;
тУ1(а, р, 8„) + ту; ‘ (а, Р)—- = 0;
тг, р. 8к, к) + да?' («, Р)	sin ф + Те = 0. (Ш.4.2)
Как и при рассмотрении задачи о плоской циркуляции, пер-
вое уравнение системы может быть заменено эксперименталь-
ной формулой (III.3.4), учитывающей потерю скорости ПЛ на
циркуляции. Кроме того, -предположим, что упор винта в про-
цессе маневрирования меняется мало, так что Т S£CX (0). Тогда
система (Ш.4.2) принимает вид:
®= т>0\1 — е L /;
СУ1 (а, Р, 8к, н) + С?’ («. Р)+ Сх. (0) sin 1в = 0;
С г, (а, Р, U + С,?’ (а, Р) + 2= 0;
тх, (я, Р, 8„) + пСГ (а, Р) --sin 0 COS Ф = 0;
»гу,(а. р. 8в) +	(а>	=
(а, р, 8К1Н) + лС' («, Р)-^- - -^-зтф + СХ1(0)ё=0.
(Ш.4.3)
232
Система алгебраических уравнений (Ш.4.3) имеет шесть не-
известных а, р, ф, 0, v, Кц. Она является нелинейной и для ее ре-
шения можно рекомендовать графо-аналитический метод
последовательных приближений. В каждом из приближений ис-
пользуется способ К. К- Федяевского, рассмотренный в § 3 на-
стоящей главы. Указанный путь решения системы (Ш.4.3) был
предложен М. И. Зуевым.
В первом приближении положим угол крена 0 = 0 и зада-
димся диапазоном значений углов атаки a=ai, ..., an. Далее
из 3 и 5-го уравнений системы с помощью графо-аналитического
способа К- К. Федяевского находим зависимости безразмерного
у'А
радиуса циркуляции —— в функции углов дрейфа и атаки.
АЦ
Для иллюстрации на рис. Ш.23, а, б, в приведено графическое
у'к
определение функций —j—=fi(P, бв) для нескольких выбранных
АЦ
уЧь
значений углов атаки при угле крена 0=0. Все функции ——-
Ац
сначала строятся на одном графике при постоянных значениях a
в зависимости от (J (рис. III.23), а затем — при постоянных зна-
чениях угла перекладки вертикального руля — в зависимости
от а:
Ra —-/iw
Отметим, что при 6B = const определенному значению а со-
ответствует только один угол дрейфа. Как видно из системы
(III.4.3), во второе уравнение также входят функции от углов
атаки, дрейфа, перекладки горизонтальных рулей и относитель-
ный радиус циркуляции. Полагая 0=0 при заданной вариации
углов перекладки горизонтальных рулей 6К=	• • • бая, подста-
вим во второе уравнение системы (Ш.4.3) значения углов дрейфа
V'h
и соответствующих им углов атаки. Полученные функции -=— =
/\ц
=/г(а) нанесем на график (рис. III.24). Точки пересечения двух
кривых на графике позволяют для заданных значений углов пе-
рекладки вертикального и горизонтальных рулей найти значения
—5—, аир, удовлетворяющее 2, 3 и 5-му уравнениям системы
Ац
(Ш.4.3).
Таким образом, совместное решение 2, 3 и 5-го уравнений
дает возможность определить три неизвестных: относительный
радиус циркуляции при изменении глубины погружения, углы
атаки и дрейфа. Далее из первого уравнения находится скорость
движения ПЛ на циркуляции. Углы крена и дифферента опреде-
ляются с помощью уже найденных параметров из 4 и 6-го
233
CO
уравнений системы (рис. III.25, а, б). На этом заканчивается пер-
вое приближение. Если полученный в результате первого прибли-
жения угол крена 0 отличается от исходного, то переходят
ко второму приближению в той же последовательности и т. д.
Рис. Ш.24. Графическое определение a, f н .
“ц
При исследовании пространственной циркуляции (с измене-
нием глубины), естественно, возникает вопрос о сравнении ма-
невренности подводных лодок. Критериями в этом случае могут
служить относительный радиус циркуляции и скороподъемность,
представляющая собой отношение вертикальной составляющей
скорости хода подводной лодки к горизонтальной составляющей
235
tO
8
Рис. П1.25. Изменение кинематических параметров на установившейся циркуляции с из-
менением глубины: а — 0(бк); б~ а(бк); -ф(бк).
при движении лодки на циркуляции. Второй критерий легко на- .
ходится по формуле
=	(1П.4.4)
где vB и Ог — вертикальная и горизонтальная составляющие ско-
рости движения центра тяжести ПЛ.
Результаты расчетов, а также данные натурных испытаний
показывают, что элементы пространственной циркуляции отли-
чаются от элементов плоской циркуляции. Однако это не создает
опасности маневрирования в пространстве. На рис. Ш.26 приве-
дены сравнительные зависимости относительного радиуса устано-
Рис. Ш.26. Зависимость от-
носительного радиуса цир-
куляции с изменением глу-
бины от углов перекладки
вертикального и горизон-
тальных рулей при v=
=2,73 я.) сек.
1 — плоская подводная циркуля -
цня; 2 — перекладка кормовых
горизонтальных рулей на погру-
жение: 3. 4— перекладка кор-
мовых горизонтальных рулей на
всплытие.
вившейся циркуляции от углов перекладки вертикального руля
6 в при нескольких значениях бк- Графики построены в ЦНИИ
им. А. Н. Крылова по данным натурных испытаний для двух слу-
чаев установившегося движения: плоской циркуляции и про-
странственной циркуляции. Сравнение кривых на рис. III.26
показывает, что во втором случае наблюдается существенное
увеличение радиуса циркуляции, т. е. поворотливость ПЛ ухуд-
шается.
Остановимся теперь на более простом случае пространствен-
ной циркуляции ПЛ — балансировочном режиме движения на ус-
тановившейся циркуляции, при котором вектор скорости движе-
ния ц. т. направлен по горизонту.
Движение подводной лодкн в этом случае сопровождается
появлением гидродинамических сил и моментов, дейстиующих
в вертикальной плоскости. Для их компенсации и сохранения на-
правления вектора скорости в горизонтальней плоскости произ-
водится балансировка горизонтальными рулями. Для упрощения
задача рассматривается без учета влияния угла крена.
237
Уравнения балансировочного режима движения на циркуля-
ции могут быть получены из 1, 2 и 6-го уравнений системы
(Ш.4.1), определяющей установившееся движение ПЛ, полагая
в ней 0 = 0, ф=а. Кроме того, для упрощения решения примем
угол наклона вала ув=0. В результате получим:
т с / о я \ pv2 I Г’”»'' _ЕЕ_ и I/ — Q.
Т~ Сх,(а, р, 8К>К) 2 и	2 (оу,И—и,
* СУ1(«, р, 8к>к)_^1//’-+с;,у’-^ШуУ = 0;
тг,(я, р, 8к)-^-У+д1?'-^-®Х/з-ОАа + 7’е = 0. (III.4.5)
Ввиду малости производной С"^1 третьим членом в первом
уравнении системы можно пренебречь. Тогда, подставляя тягу
из первого уравнения в третье, получим систему двух уравне-
ний:
Су,(«, Р, 8„,J--C“yXL-0:
отг,(а, Р, 8к, „) +	~	Р> 8к,н)ё=0, (III.4.6)
% v',a *
где шУ1 = ——------безразмерная угловая скорость.
Ранее указывалось, что изменение угла перекладки горизон-
тальных рулей мало влияет на характер изменения коэффициен-
тов С (а, р, 6К) и mz (а, р, бк), и поэтому их можно предста-
вить в виде:
Сх.(а, Р, 8к, н)= СХ1(а, Р) + С>Н8К,Н;
СуЛ01. Р> 8к,н) — Сyi(я> Р) + Су,’.8К>Н;
р, SK>H)--=ffiZ1(a, P) + ffi’“'“8к,н.	(III.4.7)
После подстановки выражений (Ш.4.7) в (Ш.4.6), найдем
из первого и второго уравнений балансировочные углы пере-
кладки горизонтальных рулей:
о)—-	Z.S П	—
(я, 3) + ™г,У,%---^2-“ + СХ1(а, ?)«
238
При заданном угле перекладки вертикального руля бв с по-
мощью приведенных в § 3 настоящей главы методов определя-
ются угол дрейфа Ро, скорости в н в на установившейся цир-
куляции. В результате правые части уравнений (III.4.8) стано-
вятся функциями только угла атаки, т. е.
ч.н=л(!х> №
Ч,и=^(!Х’	(III.4.9)
Решение этих двух уравнений производится графическим пу-
тем; пересечение кривых fi и fz позволяет найти балансировочные
углы атаки ад и перекладки рулей бдк н при заданных р0, v,
Для иллюстрации на рис. III.27 выполнено графическое оп-
ределение ад и бдк для ПЛ большого водоизмещения.
ПРИЛОЖЕНИЕ
Пример 1.
Расчет параметров установившегося движения статически уравновешенной ПЛ
в вертикальной плоскости
Определим балансировочные углы атаки и перекладки горизонтальных
Рулей, скороподъемюсть и интенсивность управляемости, инверсионную ско-
рость для ПЛ, имеющей следующие исходные данные:
1^ = 6000 .и3; 7=0; c’“ = 0,16; mZi (0) = 0,005; h = 0,175 м;
С*, = 0,54; m^=—0,40; v0= 2, 4, 6, 8, 12 л/с«?к; Сх(0) = 0,03;
m“i = 0,72; Cyi(0)=0,01; Су“ = 0,06; т’н = 0,150.
239
Таблица I
to
о
Vo, м/сек	Vo	2gh	— 3 *1	4	B —5	C 6	fr'(0) 'Ъ	& — D	) II чэи to	a6 = 57,3-7	8° =57,3-10 •
1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11 .	12
0,5	0,25	13,7	—13,0	—2,08	1,86	0,0029	—0,13	—0,133	—0,072	0,16	—4,1
1,0	1,00	3,43	-2,71	—0,43	0,21	0,0224	—0,027	—0,030	—0,142	1,28	—8,1
1,5	2,25	1,52	-0,80	—0,13	—0,09	—0,0532	—0,008	—0,0107	0,118	—3,50	—6,8
2,0	4,0	0,857	—0,14	—0,022	—0,20	—0,0240	—0,0014	—0,0041	0,020	—1,37	1,15
2,5	6^25	0,548	0,17	0,027	- 0,25	—0,0192	0,0017	—0,0010	0,004	-1,10	0,23
з.о	9,0	0,382	0,34	0,054	—0,27	—0,0177	0,0034	0,0007	—0,003	-1,01	—0,15
4,0	16,0	0,215	0,51	0,081	—0,30	—0,0160	0,0051	0,0024	—0,008	—0,92	—0,46
8,0	64,0	0,054	0,67	0,108	—0,32	—0,0150	0,0067	0,0040	—0,012	—0,86	—0,72
12	144,0	0,024	0,70	0,112	—0,33	-0,0145	0,0070	0,0033	—0,010	—0,83	—0,57
16	256,0	0,013	0,71	0,113	—0,33	—0,0145	0,0071	0,0033	—0,010	-0,83	—0,57
Балансировочные углы на основании (Ш.1.9) находятся по формулам:
л C^K,(°)+^,(0)g] -СУ|(О)^
С\ т* — с’к ( m“ — -^L\
У1 *1 У1 I Si	9 I
V * v0 J
СУ, (°) (< -	~Су“, [тг, (0) + Сх, (0) П
\ vo /
Расчет скорости ас и бк. s в зависимости от скорости хода произведен
в табл. I.
Подсчитываем вспомогательные величины:
А — тг1 (0) + СХ1(0) е = 0,005;
В = С* т* = —0,54 • 0,41 = —0,221;
С =СуМ — С?1 (0)	= 0,16  0,005 + 0,01 • 0,41 = 0,0048;
D = АС у, = 0,005 • 0,54 = 0,0027;
2gh __ 3,43
vo *>о
Инверсионная скорость при перекладке кормовых горизонтальных рулей
находится по формуле (Ш.1.16)
/ 2gh	Г 2  9,8 • 0,175
V‘K~V С’уЛ-'к.р) И О^О'З+^З)
1,28 м)сек — 2,5 узла.
Вычислим теперь балансировочные углы атаки для той же ПЛ при пере-
кладке носовых горизонтальных рулей. Они также определяются по формулам
(Ш.1.16).
Подсчитываем вспомогательные величины:
А = тг. (0) + СХ1 (0) 7 = 0,005;
В = Суг  т’“= 0,081;
С = Су“ 4 - Cyt (0)	= -0,0012;
£> = 4(^ = 0,0027.
Все расчеты выполнены в табл. II.
Рассчитаем теперь балансировочные углы в случае абсолютной балан-
сировки.
16 Заказ № 018	241
!>?	Таблица II
vq, м[сек		2gh vo	<-3	c’r4	B — 5	C «6 = -g-	СУ1(0)-4	8 — D	8	9 ч=*-б-	CO Й II 0 «	О CO II > II
t	2	3	4	5	Б	7	8	9	10	11	12
1,0	1,0	3,43	—2,41	—0,145	0,226	—0,0053	—0,0241	—0,0268	-0,118	—0,30	-6,76
2,0	4,0	0,858	-0,138	—0,0083	0,089	—0,0131	- 0,00138	—0,0041	—0,046	—0,75	-2,64
4,0	16,0	0,214	0,514	0,0308	0,051	—0,0236	0,00514	0,00244	0,048	—1,35	2,74
6,0	36,0	0,0954	0,624	0,0375	0,0435	—0,0276	0,00625	0,00355	0,082	—1,58	4,69
8,0	64,0	0,0536	0,646	0,0388	0,0422	—0,0285	0,00646	0,00376	0,089	—1,63	5,10
12,0	144,0	0,0238	0,697	0,0418	0,0392	—0,0306	0,00697	0,00427	0,109	-1,75	6,25
Таблица III
t>o, м/сек	vo	2gk г’о	1 3		ts + 1Л II	V 57,3	6v dSH м/сек-град	£K-4	^ + 6=^-	= Ю-7, м/сек-град 1
1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11
1,0	l.o	3,43	0,292	0,0204	0,132	0,0174	0,002	—0,173	0,12	0,002
2,0	4,0	0,858	1,16	0,0812	0,192	0,0349	0,007	—0,713	—0,42	—0,014
4,0	16,0	0,214	4,67	0,327	0,438	0,0696	0,031	—2,86	—2,56	—0,179
6,0	36,0	0,0954	10,45	0,731	0,842	0,105	0,088	—6,41	-6,11	—0,664
8,0	64,0	0,0536	18,65	1,305	1,416	0,140	0,205	-11,41	—11,12	- 1,563
12,0	144,0	0,0238	12,00	2,940	3,050	0,209	0,637	—25,80	—25,52	—5,327
н. р
&б —
ии
При одновременной перекладке носовых и кормовых рулей (при а=ф=0)
8^ и &бн определим по формуле (III.1.21):
Су,(0)7н. р~ К (0) + Ct,(0)7]
8бк	CS*(T	— I )
У: \ Н. р К. р/
0,01  2,5 - ода
0,16(2,5 + 2,55) =—0,025;
Су.(°)Гк.р- К(°) + Сх1(0)^]
<'(Г„.р-7к.р)
0,01  2,55 + 0,005
~	0,06 ( 2,5 + 2,55) — 0,1
При балансировке кормовыми горизонтальными рулями и компенсации
восстанавливающего момента за счет перекачки диффереитовочной воды на-
хоДйм балансировочные углы по выражению (III.1.24):
Cy.WLp-Hw + Cx/M
Чб =
с“у.(*-'«,₽)
0,01-2,55 + 0,005	....
- 0,54(1,3 + 2,55)
Cy,(0)i-[mZi(0) + CXi(0)7]
Z>5K, К
-I——
С
58
0,01-1,3 — 0,005 ПЛ19
—	0,16(1,3+2,55)
Найдем теперь для той же ПЛ ннтеисивиость управляемости и скоро-
подъемность для установившегося движения в вертикальной плоскости. Со-
гласно (III.1.26 и III.1.28) эти величины определяются по формулам
(	cs"
-%
2gh \ Z1	*	C°
dX
d\ к	dS^
к	к.
Вычислим вспомогательные величины
£ -mSK_C5K m“
H—	Gyi
= 0Д70;
п
£к=тгК“С1К —
к zi У1 Qti
с5«	cSit
F = -+1=0,11; F = —^-==0,30.
°У1
Расчеты по формулам выполнены 8 табл. III. Результаты расчетов пред-
ставлены на рис. III.5.
16*	243
Пример 2
Расчет балансировочных углов атаки и перекладки кормовых горизонтальных
рулей на установившейся циркуляции
Определим ав и 6вк необходимые для поддержания постоянной глу-
бины погружения ПЛ на установившейся циркуляции.
Исходные данные:
СУ1(“, ?о).	('’ ₽0)-даны в табл‘ ,V:	= °’50’ Су“ = 0’16;
й=0,175ж; Я =6°; т“у, = —0,40; т’к = —0,40; 7 = 0;
шу] = 0,08; v — 4, 6, 8 м/сек.
Для вычисления ао и 6ок используем графический метод, изложенный
в § 4 гл. III. По формулам (1П.4.8) находим функции 6oK“fi(a, ₽о) ибок =
=fs(a, ₽о), а затем в прямоугольной системе координат б<ц. и а находим <хв
и бок как координаты точки пересечения функций fa и fs.
Функции fi и fi определяются выражениями;
Вычисление функций fi и ft выполнена в табл. IV. Кривые fi и fa пост-
роены на рис. III.27.
Балансировочные углы:
при о=4 м/сек ae=—2,1°, 6ок =0,115=6,6°; при о = 6 м/сек а б=2,2°,
6бк =6,9°; при о=8 м/сек ав=—2,3°, 6вк =0,125=7,2°.
Пример 3
Расчет относительного радиуса установившейся циркуляции
Определим относительный радиус установившейся циркуляции ПЛ в го-
ризонтальной плоскости и его зависимость от угла перекладки вертикального
руля. В соответствии с формулами (III.3.6) можно написать, что
F, =	____ (Р. \)	.
2(1+К11)соз₽+С“У1 ’
F2 =	= _ тУ^’ 5.)
— 2^ cos ₽
Исходные данные и результаты расчета по формулам (III.3.6) представ-
лены в табл. V, VI, VII и на рис. III.15—III.16.
244
Таблица IV
Угол атаки а, град	(а* Ро)		1 + 2	3 fl ==	"М". fo)	(Ou — mz?' *®У1
	1	2	3	4	5	6
0	—0,025	0,040	0,015	—0,094	0,008	—0,032
—1 (0,0174)	—0,040	0,040	0	0	—0,006	—0,032
—2 (0,0348)	—0,055	0,040	—0,015	0,094	—0,020	-0,032
—3 (0,0522)	—0,075	0,040	—0,035	0,219	—0,032	—0,032
—4 ( 0,0696)	—0,090	0,040	—0,050	0,313	—0,044	—0,032
Продолжение табл. IV
245
Угол атаки а, град	v2			5+6 — 7			m к <?1		
	Скорость движения ПЛ v								
	4 м/сек	6 м/сек	8 м/сек	4 м/сек	6 м/сек	8 м/сек	4 м/сек	6 м/сек	8 м/сек
	7			8			9		
0 —1 (0,0174) —2 ( 0,0348) —3 (0,0522) —4 (0,0696)	0 —0,004 —0,007 —0,011 —0,015	0 —0,002 —0,003 —0,009 —0,007	0 —0,001 —0,002 —0,003 —0,004	—0,024 —0,034 —0,045 —0,053 —0,067	—0,024 —0,036 —0,049 —0,055 —0,075	—0,024 —0,087 —0,050 —0,061 —0,078	—0,060 —0,083 0,110 0,130 0,163	—0,060 0,088 0,120 0,134 0,183	—0,060 0,090 0,122 0,149 0,196
Таблица V
град	С*1								ту.			
	Угол перекладки вертикального руля В0,								град	j			
	—5	— 10	—15	- 20	—25	-30	-5	-10	—15	—20	—25	—30
2	—0,0105	0	—0,0105	0,021	0,0314	0,0420	0,056	0,082	0,108	0,134	0,161	0,186
4	—0,0315	-0,021	—0,0105	0	0,0105	0,021	0,085	0,112	0,137	0,164	0,190	0,216
6	-0,0525	—0,042	—0,0315	—0,021	—0,0105	0	0,115	0,141	0,167	0,193	0,219	0,245
8	-0,0735	—0,063	—0,0525	—0,042	—0,0315	—0,0210	0,144	0,171	0,197	0,223	0,249	0,275
10	- 0,0945	-0,084	—0,0735	—0,063	—0,0525	—0,042	0,173	0,199	0,226	0,252	0,278	0,304
Таблица VI
₽, град	0	2	4	6	8	10	12
myt‘	—2,30	—2,38	—2,61	—3,06	—3,68	—4,18	—4,72
Таблица VII
	F\		
град	Угол перекладки вертикального руля 8В, град		
	—5	—10 | —15	—20	—25	—30	-5	| -10 | -15	—20	—25	—30
2	0,0075	0	—0,0075 —0,015 —0,0224 —0,0299	0,0242	0,0356 0,047	0,0584 0,070	0,081
4	0,0225	0,015	0,0075	0	—0,0075 —0,0149	0,0325	0,0430	0,0525 0,0629 0,0728	0,0824
6	0,0375	0,030	0,0225	0,015	0,0075	0	0,0376	0,0461	0,0546 0,0631 0,0715	0,0801
8	0,0525	0,045	0,0375	0,030	0,0225	0,0150	0,0391	0,0464 0,0545 0,0606 0,0675	0,0746
10	0,0675	0,060	0,0525	0,045	0,0375	0,030	0,0412	0,0475	0,0540 0,0600 0,0664	0,0725
ГЛАВА IV
НЕУСТАНОВИВШИЕСЯ РЕЖИМЫ ДВИЖЕНИЯ ПЛ.
ЛИНЕАРИЗАЦИЯ УРАВНЕНИИ И ИХ РЕШЕНИЕ
§ 1.	ДВИЖЕНИЕ В ПРОДОЛЬНОЙ (ВЕРТИКАЛЬНОЙ) ПЛОСКОСТИ
ПОД ВОЗДЕЙСТВИЕМ НАЧАЛЬНЫХ ИМПУЛЬСОВ.
ПАРАМЕТРЫ ДВИЖЕНИЯ
Система уравнений (II.3.6), описывающая движение ПЛ
в вертикальной плоскости, может быть решена только числен-
ными методами (на ЭВМ или вручную). Для качественной
оценки течения параметров движения а((), ф(0> Л (0 система
(II.3.6) приводится к линейной.
Указанные в § 3 главы II допущения приводят к системе двух
линейных дифференциальных уравнений, неизвестными в кото-
рых является угол атаки а(() и угол дифферента ф((). Введя
безразмерное время т=г-р^-,
получим систему двух линейных
неоднородных уравнений в безразмерном виде:
« + S20a - г21ф = аД + а Д + арр;
Ф + М + ГвоФ -	=- & Д + Ми + ЬрР,
где S2o, S«o, Г21, Гбо, гм, ак, н, &к, н, аР и Ьр — безразмерные посто-
янные коэффициенты, зависящие от производных гидродинами-
ческих коэффициентов, коэффициентов присоединенных масс, ме-
тацентрической высоты и скорости движения ПЛ. Эти коэффи-
циенты определяются по формулам (II.3.8).
Систему (П.3.9) можно решить для Двух случаев движения.
а)	Если угол перекладки горизонтальных рулей ПЛ имеет
балансировочное значение, т. е. правые части уравнений равны
нулю, получим систему двух линейных однородных уравнений,
которые решаются при заданных начальных условиях. Физиче-
ски этот случай соответствует свободному возмущенному движе-
нию, вызванному начальными импульсами.
247
б)	Если угол перекладки горизонтальных рулей и плавучесть
р изменяются во времени по некоторому закону, то при нулевых
начальных условиях мы получим вынужденное движение ПЛ.
В этом случае необходимо решать систему двух линейных неод-
нородных уравнений при заданных законах перекладки горизон-
тальных рулей и изменения плавучести.
Рассмотрим случай свободного возмущенного движения ПЛ
относительно равновесного (балансировочного) положения. Си-
стема .уравнений, описывающая это движение,
аS20°t — г21ф = 0; ф + г61ф + гюФ -	= 0.	(IV.1.1)
При иыборе начальных условий -воспользуемся известным
из теории линейных дифференциальных уравнений положением
о том, что число независимых параметров, входящих в началь-
ные условия, равно порядку уравнения.
Система (VI.1.1) приводится к одному уравнению третьего
порядка относительно а или-ф. Таким образом, в рассматривае-
мом случае начальные условия определяются тремя независи-
мыми параметрами. При назначении начальных условий необхо-
димо оценить возможность ИХ практической реализации.
При мгновенном действии силы в начальный момент отсчета
времени возможно появление линейной и угловой скоростей и
угла атаки.
Мгновенное изменение линейной и угловой координат потре-
бовало бы приложения К корпусу ПЛ бесконечно большого им-
пульса. В связи с этим примем начальные условия, вызывающие
изменение параметров а(т) и ф(т)
при т = 0, а = а0, ф = фо = 0, ф = фо.	(IV.1.2)
Практически начальные импульсы при движении ПЛ могут
быть вызваны резким изменением плотности воды, различными
течениями. Возникающие при этом начальные угол атаки и угло-
вая скорость связаны между собой. Решение системы (IV. 1.1)
возможно различными методами. Для определения параметров
а и ф воспользуемся методами операционного исчисления, кото-
рые весьма просты и,как правило, используются при решении
задач динамики. Операционное исчисление основывается на ис-
пользовании преобразования Лапласа. Напомним основные по-
ложения. Преобразовавшем Лапласа называется линейное пре-
образование некоторой-функции f (t) вещественного переменного
t в другую функцию F{p) комплексного переменного р. Удобнее
использовать его видоизменение, предложенное Карсоном:
СО
F(/>) = pJ	(IV. 1.3)
О
248
где f(t)—первоначальная функция или оригинал;
F (i) — изображение функции.
Выражение (IV. 1.3) устанавливает связь между оригиналом
и его изображением. Для различного вида функций f (t) интеграл
Лапласа позволяет установить формулы перехода от оригиналов
к изображениям и обратно. При этом дифференцирование в об-
ласти оригиналов соответствует умножению на оператор р в об-
ласти изображений, а интегрирование — делению на оператор р.
Итак, система дифференциальных уравнений в области ори-
гиналов соответствует системе алгебраических (изображающих)
уравнений в области изображений. Решение системы (IV. 1.1)
сводится в случае применения операционного метода сначала
к переходу к изображающим алгебраическим уравнениям, их ре-
шению относительно изображений неизвестных функций, а за-
тем — к обратному переходу к оригиналам решений в соответст-
вии с правилами операционного исчисления.
Для решения системы (IV. 1.1) установим связи между пара-
метрами а(т), а(т), ф(т), ф(т), ф(т) и их изображениями, ис-
пользуя при этом известные формулы операционного исчисле-
ния:
«(’НФ); Ф 0е) Р [Ф (р) — Фо1;
« (') 4- р [« (/») - «»]; Ф (f) р2 [ф (?) - Фо - -7-];
Ф(*)НФ(?)-	(IV. 1.4)
Подставляя в (IV. 1.1) вместо оригиналов их изображения,
по формулам (IV.1.4) с учетом (IV.1.2) получим систему алгеб-
раических уравнений:
($20 + Р) а (Р) — Г21Р^ (Р)=<^ОР-,
-$во« (Р) + (р2+ г&1Р + гео) Ф (Р) = ФоР-	(IV. 1.5)
Изображения параметров движения <х(р), ф(р) могут быть
представлены через соответствующие определители:
. . ДЛ(Р> ... Мр)
=	(IV.1.6)
где А (р) — главный определители: Д(р) =		определитель; Ал(р) н L $20 + р; -r2iP -$бо; Р+Чхр+гъ			Ув(р) — частные	
дл (Р)=Р	“о!	г2хР Фо: р2+г61Р + Гво		; дв(?)=?		>20 + Р'< а0 —$60’	Фо	
249
После раскрытия определителей (IV. 1.6) изображения пара-
метров свободного движения ПЛ записываются так:
аоР3 + (Уб! +	21) Р2 + УбоР .
Я(/')	/I8 + (S2o + Гб1) Р2 т (-$20гв1—•$60г21 + Сео) Р + ^УбО
ф / „) = __________________W + (ЗгоФо + SecgJp________________________ (IV. 1.7)
^3 _|_ (520 -|- /-61) р2 4. (S20r61 —Sa/si + гео) Р + $20'"®)
Предположим теперь, что pi, рз, рз являются корнями харак-
теристического многочлена, стоящего в знаменателе выражений
(IV.1.7). Представим этот многочлен в виде трех сомножителей
(Р — pt) (р — рг) (Р — Рз) 
Известно, что дробь вида -------—-——-----------:— легко
(Р —Pi) (Р —Рг) (р —рз)
приводится к сумме простейших дробей. Тогда после преобразо-
ваний
Р=_______________________ Р______________।
(р — Pi) (Р— Р2) (Р Рз)	(Р —Pi)(Pi —Рг)(Р1—Рз)
' (Р — Рг) (Р2 — Pi) (Рг —Рз)	(Р —Рз) (Рз —Pi) (Рз —Рг)
(IV. 1.8)
Из теории операционного исчисления следует, что
Эта формула легко может быть получена из интеграла Лап-
ласа (IV.1.3), если в подынтегральном выражении принять
f(/)=ep.\
На основании (IV.1.9) установим связь между изображе-
ниями и оригиналами
__________________[__________I_______________ePit_____
(Pi — Р2НР1 —Рз) "г (д2 pi)(p2 — Рз) (Рз—Р1)(Рз—Рг)
____________Р__________- J_____________Р____________L
(Р —Pi)(Pi —Рг)(Р1 —Рз) 1 (Р — Рг) (Рг — Pi)(P2 — Рз)
+  <lv-110>
Функцию в левой части (IV.1.10) обозначим через tpi(t). Диф-
ференцируя и интегрируя ее по независимой переменной т, полу-
250
чим функции низшего и высшего порядков, а именно:
=	________.___________рУ*1 .
(Pl ~ А)(Р1 — Рз) "Г" (А— А) (Р2 — Рз) ”Г
р^
"Г (Рз —Р1)(Рз~Рг)
, _ рЪР" ,	р1*™
(А —А)(А~Рз) "Г (А—Р1)(А — Рз) ’
I РзеРз'' .
(a — Р1)(Рз — А)
, ч =_______Р\«р'х______।_______А£^_________!
т°(	(А—А)(А—А) (А—А)(А —А) ~
।________A£f2______-
Г (А —А) (А —А) ’
еР^	еР2^
<Р1^	(А—Рг)(Р1 —Рз) (Р2 —Pi) (Ра —Ра)
f,PF
_1__________________;
1 (Рз —Pi) (Рз—Рг)
еР&	ер!Г
Р1(Р1—Р2)(Р1 —Рз) Рз(Р2 —Р1)(Р2—Рз) '
-]------------------г .	(IV. 1.11)
Рз(Рз—Pi) (а —Рг)	v
Функции срг-(т) были введены Д. П. Скобовым и названы фун-
даментальными функциями. Они изменяются с течением вре-
мени т и определяются только корнями характеристического
уравнения.
Приравнивая нулю характеристический многочлен, получим
характеристическое уравнение
Z’3 + №о + Г61) Р2 4* №оГ61 —	! + Гбо) Р + ^2ОГ6О = О (IV.1.12)
или
р3 + ахр2 + а2р + а3 = 0.
Корни этого уравнения могут быть либо все вещественными,
либо два корня могут быть комплексно-сопряженными и один ве-
щественный. В первом случае для определения функции движе-
ния срДт) используются формулы (IV.1.11), во втором "Случае
окончательное их выражение получается в результате подста-
новки в (IV.1.11) комплексных корней pi, г=а±&1, освобождения
251
от мнимости в знаменателе выражения функции и приве-
дения ее к тригонометрическому виду с помощью формулы Эй-
лера. Формулы для определения функции для комплексных кор-
ней приведены в работе [85].
Как видно из формул (IV-l.il), функции ср,-(т) обладают ря-
дом интересных свойств.
Функция низшего порядка может быть получена путем диф-
ференцирования по времени функции высшего порядка:
(IV.1.13)
отсюда
ее движения. Функция срс(т) является частным решением системы
дифференциальных уравнений (IV.1.1), последняя путем ряда
преобразований может быть приведена к одному уравнению от-
носительно угла атаки или угла дифферента:
а + №о + Г61) 3 + (^jc/el "$60Г21 + Гбо) 3 + $20Г60Я = 0- (IV. 1.15)
Частное решение ср, (т) должно удовлетворять этому уравне-
нию. После подстановки
(’с) +1^20 + Г61) (’с) 4" ($юг61 ~	21 + гво) (х) +
+ 52/6о?г (t) = 0.
252
Рис. IV.3. График функции ф2(т)—ф2(0) = ф2(т).
Учитывая свойство дифференцирования функции, получим
fl-З О') + (-$20 + г61) фг _2 (г) + (-$20^61 - -$вЛ1 + Пю) <?(-! (f) +
+ -$20Гб1Фг (т)= О-	(IV. 1.16)
Формула (IV.1.16) устанавливает связь между четырьмя по-
следовательными функциями и называется реккурентной.
253
Принимая во внимание формулу (IV.1.8), преобразуем выра-
жения для изображений параметров (IV. 1.7):
01 (Р) = [3оР2 + («оГб1 + ФУ21) Р + яогоо] X
у Г---------------Р---------------1_______________Р---------------1_
(Р —Pi) (Pi — Р2) (Pi — Рз) 1	<Р — Р2НР2 — Р1)(Рг — Рз) 
I ______________Р_____________1 .
(р — Рз) (.Рз — Р1) (Рз~ Pi) J ’
Ф (р) = (ФоР + "$2оФо "^бо^о) X
у Г_______________Е_______________1_______________-_______________L
[ (Р— Pl)(Pl — Pi)(P\— Рз) ~ (Р — Pi) (Р2— Pl) (Р2~ Рз) '
+ (Р~ Рз) (Рз~ Р1) (Рз~ Pi) ] '	(IV‘1 
Для того чтобы получить оригиналы решений уравнений
(IV.1.1), воспользуемся условием (IV.1.9), а также свойством
дифференцируемости фундаментальных функций срДт), тогда:
угол атаки
“св(’с) = “о?- 1 СО + (Vei + Ф0Г21) TotO + Veo'FiCO; (IV.1.18)
угол дифферента
Фев О') = Фо?о (^ + (-Мо + Зел) <?! W •	(IV. 1.19)
Выражения (IV. 1.18), (IV. 1.19) значительно упрощаются
в частном случае, когда начальные условия заданы: ао=фо=О,
ф=фо=шо.
Относительный угол атаки
«сВ(т) = -ас-(Т--=Г21?1)(^).	(IV. 1.20)
“о
а относительный угол дифферента
фсв(т)=^О- = <?0(.)+52О?1^)..,	. (IV. 1.21)
“о
254
Изменение глубины т]св при известных начальных условиях
может быть определено по формуле (1.1.5)
Пев = J (Фев ~ “св)	(IV. 1.22)
О
Если выражения (IV.1.18), (IV.1.19) подставить в (IV.1.22) и
проинтегрировать, то получим формулу для определения измене-
ния т]св. Эту формулу здесь не приводим, так как значительно
проще найти т]Св путем численного интегрирования (IV.1.22),
применяя, например, правило трапеции.
На рис. IV.4, IV.5 показано изменение параметров свободного
возмущенного движения динамически устойчивой ПЛ для двух
случаев задания начальных условий:
при т = 0 а0=% = 0, ф0 = ю0;
при т = 0 а = а0, фо = О; ф = о>0=— 1,7а0.
Установим последовательность расчета параметров свобод-
ного движения ПЛ с помощью формул (IV. 1.18)— (IV.1.22).
а)	по заданным значениям поступательных и вращательных
производных, присоединенных масс, водоизмещения, метацент-
рической высоты и скорости хода подсчитываются коэффициенты
характеристического уравнения (IV.1.12);
б)	в зависимости от скорости хода определяются корни ха-
рактеристического уравнения pi, рг, рз, их расчет производится
с точностью до 4 значащих цифр;
в)	для рыбранных скоростей хода по формулам (IV.1.11) на-
ходятся функции ср, (т) ;
г)	при данных начальных условиях по формулам (IV. 1.18) —
(IV.1.22) вычисляются параметры свободного движения асв(т),
Фев (т), Лсв(т). Это решение является приближенным, так как
в нем учтены только линейные составляющие гидродинамических
характеристик, входящих в уравнения. Для получения более точ-
ных решений в уравнениях оставляют квадратичные члены раз-
ложения в ряд Маклорена позиционных гидродинамических ко-
эффициентов. Тогда при сохранении всех остальных допущений
система уравнений (П.3.9) становится нелинейной:
« + 5гоа + S21 а | а | - г21ф = аД Д аД + арр^
Ф + г61ф + Гиф -	+ S61a | tt | = 6Д 4- 6H8H + bpp, (IV. 1.23)
ГДе	/'За	„2а
с	т*-
21	2(1 4-*22) ’	61	2(1 Ч-Л: )7J
__ d2Cy,	2a _
—	’ тг‘ ~ ~d^~ ’’
I a I— модуль угла атаки.
265
a> v
Рис. IV.4. Изменение ки-
нематических параметров
ПЛ после действия на-
чальной угловой скоро-
сти Шо: о — угол атаки
a(t); б — угол диффе-
рента ф(<); в — глубина
4W-
256
Рис. IV.5. Изменение кинематических параметров ПЛ при
начальных возмущениях угла атаки а0 и угловой скорости:
а~ ^-(0; е>-4-(0;
G)0	<*>0	“О
17 Заказ № 018
257
Решение системы (IV.1.22) проводится численными мето-
дами. При рассмотрении свободного движения правая часть ура-
внений обращается в нуль:
« 4- S20a S21a | а | — г21ф = 0;
Ф + М +	- S60a -4 S61a ] а | = 0.
-5 2. ВЫНУЖДЕННОЕ движение ПЛ В ПРОДОЛЬНОЙ
(ВЕРТИКАЛЬНОЙ) ПЛОСКОСТИ. ПАРАМЕТРЫ ДВИЖЕНИЯ
ПРИ РАЗЛИЧНЫХ ЗАКОНАХ ПЕРЕКЛАДКИ
ГОРИЗОНТАЛЬНЫХ РУЛЕЙ И ИЗМЕНЕНИЯ ПЛАВУЧЕСТИ
В практике эксплуатации ПЛ часто выполняют слабые ма-
невры, характеризующиеся малыми углами атаки: изменение
глубины, вызванное перекладкой горизонтальных рулей, измене-
ние глубины и Дифферента от действия плавучести при торпед-
ном и ограниченном ракетном залпе и др.
Для определения параметров вынужденного движения ПЛ
рассмотрим сначала линейную задачу и уравнения (II.3.9) пере-
пишем в виде:
a + S20a — Г21ф=	(т);
Ф + Г61Ф 4" ^боФ 5®я — (т)>	(IV.2.1)
где &1(т) и fe(t) —силы и моменты на рулях, изменение силы
и момента плавучести.
Воспользуемся операционным методом и.установим связь
между параметрами вынужденного движения и их изображе-
ниями. Пусть
«(О *?-«(?); Ж’гА(Р);

Ф(’с)4-Ф(р);

ФСс)Ч- p'KpY
(IV.2.2)
Подставим далее в уравнения (IV.2.1) вместо неизвестных их
изображения по формулам (IV.2.2). После преобразований по-
лучим систему изображающих алгебраических уравнений:
(Р + £20)01 (Р) -	(/>) = kx (р)-,
(/>) + (Р2 + rslp 4- Гвд) ф(р) = k2 (р).
(IV.2.3)
258
Входящие в уравнения (IV.2.3) неизвестные величины явля-
ются изображениями параметров вынужденного движения и оп-
ределяются формулами:
где
Да (р) =
^1 (р);
Мр):
-ГцР
Р1 + гыР + Г60
дв(Р) =
Р + ^20’
s60;
k^p)
ki(p)
(IV.2.4)
А(р) находится по формуле (IV. 1.6).
После раскрытия определителей неизвестные а(р) и ф(р) за-
писываются в виде:
_ /„V ki (Р)Р24- 1*1 (/>) Г61 + MP)r211 P+kj (p)r№
рз (520	/-6i) р^ + (•Зго/'бг — Set/si 4- f®) Р + $20гво
Л (п\ _________*2 (Р) Р 4~ *2 (Р) Д*20 4- *1 (р) S®_ (|у 9 г,
' Р3 + (52о + Г61) р'2 +	— 5боГ21 + г®) р + Хо<® ’	'
Представив далее знаменатель выражений (IV.2.5) через про-
изведения сомножителей, содержащих корни характеристиче-
ского уравнения pi, рг, рз, получим:
_ /„ч	*1 (р)р2+ 1*1 (P) г61 + k2(p) г21] р+ kx (р)Г№
'	(Р~Р1) (Р~Ps) (Р~Рз)
л (п\__ *2 (р) Р 4- *2 (р) Sao 4- *i (р)	.... „
ЛР) (Р-Р1^Р~Р2)(Р-РЗ)	'	( j
После разложения дробей вида —------------—-----------------
(Р —Pi) (Р —Рг) (Р—Рз)
на простейшие дроби изображения параметров движения прини-
мают вид:
а (р) = -7- {kt (р) Р2 + [k, (р)г614- k2 (р)Г21] Р + kr (р)rM) X
X _____________Р____________I____________р___________
L (р —Р1)(Р1 —Р2)(Р1—Рз) ' (Р —Р2)(Р2—Pl) (Р2 —Рз)
-I____________Р__________1.
(Р—Рз)(Рз — Р1)(Рз —Рг) J’
17*
259
Ф (Р)--1^2 (Р) Р + ^2 (Р) ^>20 + ^1 (Р) ^eo] X
у Г___________Р______________I____________Р_____________I
L (Р—Р1)(Р1—Р2)(Р1—Рз) 1 (Р —Р2)(Р2 —Р1)(Р2—Рз) ~
+ (р—Рз) (Рз —Р1) (РЗ —Рг) ] '	(IV.2.7)
В формулах (IV.2.7) содержатся произведения двух изобра-
жений. Для получения решений в области первоначальных функ-
ций -применим теорему свертывания, которая устанавливает ин-
тегральную зависимость между произведением двух изображе-
ний и произведением двух оригиналов. Теорема свертывания или
складка двух функций записывается следующим образом:
j /> (5) /2 (’ - В) 4- 7- (р) Л (р).	(IV.2.8)
где f4 и fz—первоначальные функции;
Fi и Fz—их изображения;
g — текущее время.
В выражениях (IV.2.7) имеется по три произведения двух
изображений. Для решения применим теорему свертывания для
каждого из этих произведений. Тогда учитывая свойства фунда-
ментальных функций ф<(т), получим:
ав(’с)= J (В) ?—1	У [M)rsi + ^г(£)г21] <Fo(T +
о	о
о
фв(х)= J М)?о(х~£)^+	- еи +
и	о
+ У (0 ^боТ 1 (т В)
о
или
ав(х)=-	(^ — £)<аГ(т — £)— У [£1 Ж1 +
о	о
+ ^2 (0 >21 ] ?о (* - 5) d (-С - s) - ГбО J К (£) ф! (т: — Е) Z/ (т — е);
о
Фв (х) = — J k2 © <?0 (х — ?) d (х — 0 —
б
~	+	(1V.2.9)
260
При вычислении параметров вынужденного движения необхо-
димо задать закон изменения суммы сил &i(g) и суммы момен-
тов Закон перекладки горизонтальных рулей зависит от
предполагаемых маневров ПЛ в вертикальной плоскости, основ-
ными из которых являются два:
а)	изменение глубины (переход с одной глубины погружения
на другую);
б)	поддержание (стабилизация) постоянной глубины.
При ручном управлении закон управления определить трудно.
Для выполнения расчетов можно использовать следующие за-
коны перекладки рулей или их комбинации: мгновенная пере-
Рис. IV.6. Законы перекладки горизонтальных рулей.
кладка, перекладка рулей по линейному закону, перекладка по
экспоненциальному закону, перекладка по гармоническому
закону. Изменения углов перекладки во времени для указанных
выше законов даны на рис. IV.6.
Законы изменения плавучести при торпедном или ракетном
залпе зависят от веса торпед (ракет), объемов торпедных аппа-
ратов (ракетных шахт), места их расположения на ПЛ, после-
довательности выстрелов и паузы между ними, способа залпа
(мокрый или сухой). В большинстве случаев для изменения пла-
вучести применяются линейные законы с ограничениями или раз-
личные их комбинации.
Мгновенный закон изменения возмущающих сил ki и kz осу-
ществить трудно, однако применение этого закона существенно
упрощает решение уравнений (IV.2.9) и позволяет получить ка-
чественную картину изменения параметрон движения ПЛ, что
особенно важно для целей исследования. Во всех рассматри-
ваемых ниже случаях будем предполагать, что отсутствует
261
постоянная связь между параметрами движения и законами из-
менения &i(g) и A2(g), т. е. система является незамкнутой.
Выведем формулы для определения параметров вынужден-
ного движения для двух наиболее простых законов изменения
А, (§) и &2(g)—мгновенного и лине.йного. В периом случае
&i(g) =&i=const, fe(g)=fe=const и уравнения (IV.2.9) запи-
сываются следующим образом:
' - -	%('') = — kx —	— О —
-	— k2r2l) ( cp0 (t - 0 d(t - 5) -	J cp, (t - E) d (t - B);
о	о
'W=-£2j ToC'-O^C'-e)-
0
[^2^20 4“ ^l^eo] J (’’ 6)^ (' ?)•	(IV.2.10)
0
Воспользовавшись свойствами функций ср,(т—5), после ин-
тегрирования получим:
«в С1) =- kl [?0 О') - 'Ро(О)] + (*|'в1 + ^21) [<Р1 (*) - <Р, (0)] +
+ ^1 taOc) - ?2(0)];
Ф» (О = k2 [<?, (т) - ср, (0)] + (^20 + Мб») 1?2 (*) - ?2 (0)] . (IV.2.1 1 )
Входящие в формулы (IV.2.11) функции <р;(0) находятся по
формулам (IV. 1.11) при условии т=0. Можно показать, что
<Ро(О) = <Р,(О) = О; <?2(0) = -^^-.
Последнее выражение получено с учетом свойств корней ха-
рактеристического уравнения третьей степени.
Формулы (IV.2.11) могут быть использованы для определе-
ния параметров вынужденного движения,' вызванного как пере-
кладкой горизонтальных рулей, так и изменением остаточной
плавучести. Рассмотрим случай движения при р—0.
Если принять во внимание, что &i = aK, нб^.н, &2=6к,н, то на
основании (IV.2.11) получим выражения для относительных па-
раметров вынужденного движения:
“в (’с) =	= <Ро (х) + (г61 + Г2Л (т) +
К, н к. н	\	к, н /
+ Г в: [<Р2 (т) - ср2 (0)];
Фв (4 = тН— = =? 1 W + ( S20 4 4^-	(") - (°) । •
К» н к, н	\	к. н /
(IV.2.12)
262
После вычисления по формулам (IV.2.11) или (IV.2.12) зна-
чений углов атаки и дифферента легко определить изменение
относительной глубины ПЛ, вызванное перекладкой горизонталь-
ных рулей,
т
’9в = ^(Фв—а.)^.
На рис. IV.7—IV.8 приведены изменения относительных па-
раметров вынужденного движения ПЛ при мгновенной пере-
кладке кормовых и носовых горизонтальных рулей на угол бк, н-
Рис. IV.7. Изменение угла атаки при вынужденном движении
ПЛ, вызванном мгновенной перекладкой горизонтальных рулей.
------- прн перекладке КГР;-при перекладке НГР.
В случае одновременной перекладки кормовых и носовых го-
ризонтальных рулей в линейной задаче используется метод су-
перпозиции, н параметры движения определяются по формулам:
°'в(’с) = °'в,к(’с) + !Хв,к('');
W = Kk(*)+K«(’).	(IV.2.13)
Рассмотрим линейный закон перекладки горизонтальных ру-
лей. В этом случае силы и моменты на рулях, входящие в правые
части уравнений (IV.2.I), пропорциональны текущему времени
Й, (?) = /«; М) = я*>	(IV.2.14)
коэффициенты пит зависят от скорости перекладки горизон-
тальных рулей бт и их гидродинамических характеристик:
—	- (Л
от=Ми>н; 8т=—
263
2
t. сек
Рис. IV.8. Изменение угла дифферента при вынужденном
движении ПЛ, вызванном мгновенной перекладкой гори-
зонтальных рулей.
--------• при перекладке КГР;-----при перекладке НГР.
Рнс IV.9. Изменение глубины погружения ПЛ,
вызванное мгновенной перекладкой горизон-
тальных рулей.
--------- при перекладке КГР,--------при пере-
кладке НГР.
Подставив (IV.2.14) в общие интегралы дифференциальных
уравнений движения, будем иметь:
«в (т) --= -п J _ 1 (* - В)d (t - ?) -
О
— («Г61 + отг21) J ВТо (t - 5) of (t - 0 - rson р<Р1 (т - е) d (t - Е):
Фв (')=- т. J Е<?0 (т - ?) d (t - 5) -
О
- (mS№ + nS№) J &<p, (<-()</(<- ?).	(IV.2.15)
0
Для получения решений в конечном виде необходимо взять ин-
теграл типа Дфг(т — £)^(т — &)• Используя формулу интегриро-
о
вания по частям, после подстановки пределов получим:
f — l)d(v — J) = cp;+2(i:) — <?i+2(0)— t:<p(J.1(O). (IV.2.16)
6
На основании формулы (IV.2.16) перепишем выражения для ки-
нематических параметров
ав (t) = П [<Р 1 (т) - ? 1 (0) - тсро (0)] + (яг61 + /пг21) [<р2 (т) -
- <?2 (0) -	! (0)] + г№п [<р3 (t) - <р3 (0) - т<р2 (0)];
Фв (^) = т [<р2 (т) - <р2 (0) - тер, (0)] + (mSm -f- nS№) X
X |<РзН - ?з(0)- ^2(0)].	(IV.2.17)
В § 1 указывалось, что tpi(0)=tpo(0)==0. Учитывая это ус-
ловие, а также раскрывая выражения для пит, формулы для
параметров вынужденного движения при неограниченной пере-
кладке горизонтальных рулей по линейному закону окончательно
преобразуются:
“в (t) = Vk, н | <?1 О') + f г61 +	Г2,Ъ<р2 (t) - <?2 (0)] +
+ Гео [<Рз (t) — <Рз (0) - T<p3 (0)] ] ;
265
Фв (’t)-8т^к, н I [?2 (’t)	?2 (0)] + f fcK’ - Seo -f- X
X [?.з(’с) — ?з(0) — ^2(0)]
J	(IV.2.18)
0
Известно, что углы перекладки рулей имеют предельные зна-
чения, соответствующие наибольшей подъемной силе. Дальней-
шее увеличение, углов перекладки не имеет смысла и в закон уп-
равления вводится ограничение
Рис. IV. 10. Перекладка горизонтальных рулей по закону ло-
маной линии.
fti(T), Мт) — законы изменения сил н моментов на рулях.
Предположим, что б о — ограниченное значение угла пере-
т
кладки. Тогда скорость перекладки равна -----, а закон управ-
ления
=	(IV.2.19>
Действительно, до значения т=то угол перекладки изме-
няется по линейному закону, а при т > т0 его величина остается
постоянной, равной б0.
В более общем случае угол перекладки может изменяться
во времени по закону ломаной линии (рис. IV.10). Если обозна-
чить угловые коэффициенты отрезков прямых через dt, то за-
кон управления можно записать так:
°к,н Сс) = dot (d0 dt) (t1 to) |	(d0 dl dz)^ ’ti) | •
(IV.2.20)
Подстановка выражений (IV.2.20) в (IV.2.18) дает возмож-
ность получить формулы для определения кинематических пара-
266
метров подводной лодки. Остановимся только на наиболее про-
стом законе перекладки, представленном формулой (IV.2.19).
Опуская промежуточные выкладки, имеем:
ав(х) = 8Л.к Iе?!(’=)— «Pi- хо)] +
I	t т0
+ гво [?з(х)	;
’ >	J
Фв (х) = Ук, н I [<?2 (Х) ~ ?2 (х - 'о)] +
I	t TQ
+ f JK’K S«> 4- Sgo) [ерз (т)	<р3 (т То)]
Чв(^)=/(Фв-“в)^	-(IV.2.21)
о
где ср2 (т) =<f2 (т) —срг(О);
Фз (т) =фз (т) — фз (0) — Тф2 (0).
Из построения формул ясно, что они могут быть заменены вы-
ражениями:
ав(х) = ав(х)-ав(х-хо) |;
Т >• т0
Фв (х) = Фв О') - Фв (х - %) I 
то
(IV.2.22)
Формулы (IV.2.22) позволяют наметить последовательность
вычислений ав или фв при перекладке рулей по линейному закону
с ограничениями. Вычисления выполняются в табличной форме.
В первом столбце в зависимости от безразмерного времени за-
писываются значения осн или фв для выбранного отрезка времени.
Во втором столбце записываются те же значения ав или фв, сме-
щенные относительно строчек первого столбца на То. Сум-
мируя значения первого и второго столбцов, найдем ав (или фв).
267
§ 3. ОПРЕДЕЛЕНИЕ ПАРАМЕТРОВ ДВИЖЕНИЯ
В ПРОДОЛЬНОЙ (ВЕРТИКАЛЬНОЙ) ПЛОСКОСТИ С ПОМОЩЬЮ
ТАБЛИЧНЫХ ЗНАЧЕНИИ ФУНКЦИИ
Кинематические параметры движения ПЛ (линейная задача)
определяются фундаментальными функциями, которые, в свою
очередь, зависят от корней характеристического уравнения
(IV.1.12). В него входят три коэффициента, сиязаниых с гидро-
динамическими характеристиками, скоростью и другими пара-
метрами'ПЛ. Поэтому кории характеристического уравнения,
а следовательно, и функции диижения трудно представить в про-
стой форме, удобной для табулирования.
Известно, что полное кубическое уравнение легко приводится
к неполному, корни которого зависят от одного комбинирован-
ного аргумента. Это позволяет путем некоторых преобразований
выделить из функции ср, (т) часть ее, которая может быть легко
затабулирована в зависимости от одного комбинированного ар-
гумента. Рассмотрим эти преобразования. В соответствии с фор-
мулами (IV.1.12) характеристическое уравнение системы диффе-
ренциальных уравнений движения имеет вид:
р3 -1- а tp? -1- а2р -J- а3 = 0.	(IV.3.1)
Введем новый корень по формуле р=а\(р'а—1/.з).
Тогда уравнение (IV.3.1) легко приводится к неполному ку-
бическому
Ро3+яр; + /га = О,	(IV.3.2)
где
п = д + ^_1/з. от=2/	+	.
1+т
Ь _ SjjQTei — ^60г21 .	__ S20 _
.,^20 + Гв1)2 ’	Г61 ’
А_____	Г6°
(•^20 + Г61 )2
(IV.3.3)
Однако полученная форма характеристического уравнения
с точки зрения поставленной задачи неудобна, так как уравнение
выражает зависимость корней характеристического уравнения
от двух параметров пиши его использование привело бы к со-
ставлению таблиц фундаментальных функций в зависимости
от двух переменных,
268
Приведем уравнение к такому виду, при котором корни его
будут находиться в функции лишь одного аргумента. Рассмот-
рим две формы такого уравнения после подстановки в (IV.3.1)
Ро=Ро
и
P’a-P0(j-)'12-	(IV.3.4)
В результате получим:
первая форма
ро*з + ЗИ1Ро*± 2 = 0;	(IV.3.5)
вторая форма
Рз±3ро + 2«2 = О.	(IV.3.6)
Аргументы Mi и иг, входящие в выражения (IV.3.5), (IV.3.6),
могут иметь положительные и отрицательные значения:
3\ 2 / \ 3 )
В общем случае аргументы wi и и? изменяются в пределах от
—со до Н-оо, что естественно затрудняет табулирование. Однако
следует отметить, что при значениях Mi=±l и И2=±1 обе
формы уравнения совпадают. Это дает возможность значительно
ограничить область значений аргументов, используя обе формы
уравнений.
Из рассмотрения формул (IV.3.7) следует, что нулевые зна-
чения аргумента wi для первой формы уравнения соответствуют
бесконечному значению аргумента иг для второй зоны. Это озна-
чает, что все значения корней укладываются в две зоны: либо
При —1 < Ui < 1, ЛИбО При —1 < U2 < 1.
На рис. IV.11, IV.12 приведены графики корней, соответствую-
щие первой и второй формам преобразованного характеристиче-
ского уравнения и нанесены зоны их использования при табули-
ровании функции движения. Для выяснения характера движения
ПЛ, соответствующего той или иной форме уравнений (IV.3.5),
(IV.3.6), рассмотрим их дискриминанты D(ui) и Щмг), знаки
которых определяют характер движения.»Еслн дискриминант от-
рицательная величина, т. е. корни вещественные, то движение
апериодическое. В случае положительного дискриминанта дви-
жение периодическое (два комплексных сопряженных корня).
269
симости от аргумента uj.
*3	*
— ----корив уравнения Pq 4-3UjPq—2=0;
•— ----корни уравнения Pq 4- axqpp-J 2 =0.

Рис. IV.12. График корней двух форм харак-
теристического уравнения в зависимости от
аргумента Иг.
о
—------корни уравнения Pq — 3po+2u2^O;
о
------- корни уравнения pfi +3ро+2и2—О
Условие 0=0 соответствует кратным корням. В первой форме
уравнений
£>(»,) = »?+ 1;	(IV.3.8)
во второй форме уравнений
D(B2) = Bhl.	(IV.3.9)
Из анализа формул (IV.3.8), (IV.3.9) следует, что D(ui) > О,
если —1 < Ui < оо, что соответствует уравнению р3* + 3uip* ±
±2=0; О(ы2) >0 всегда, независимо от знака аргумента и2,
если уравнение р3 + Зр0 + 2ы2=0; О(и2)>0 при условии, что
и2 <—1 или u2 > 1, что соответствует уравнению р3—Зр0 -|-
-|-2u2=0.
Все перечисленные случаи соответствуют периодическому ре-
жиму движения. Остановимся на условиях отрицательного зна-
чения дискриминанта, т. е. апериодического движения. D(mi)< О,
если —оо < mi <—1, что соответствует уравнению р*3+ЗИ1р* ±
±2=0. D (и2) < 0, если —1<и2<1, когда уравнение
р3а— Зро + 2и2=0.
Приведенные выше рассуждения позволяют наметить две
зоны характеристических чисел. В-первой зоне аргумент изме-
няется в пределах —1 Mi 1, нижняя граница соответствует
кратным корням иг-— 1, верхняя — переходу во вторую зону
корней. Во второй зоне аргумент изменяется в пределах
— 1 =Cw2=C 1.
Обе зоны корней используются в случае периодического дви-
жения, для апериодического движения целесообразно рассмат-
ривать корни второй формы кубического уравнения, так как ар-
гумент и2 находится в пределах от —1 до -j-1.
Расположение корней в узких зонах значений аргументов об-
легчает задачу табулирования функций.
Преобразуем функции <р;(т) к виду, удобному для табулиро-
вания. В соответствии с выводами § 1 общее выражение функций
представляется так:
MV (Pi — p2)(pi — p3)	' (p2 — Pi)(P2 — Рз) '
n~l +
+ 7----------------Г-,	(IV.3.10)
(Рз — Pl) (Рз — Pz)	K
где i — порядок функций.
Корни полного характеристического уравнения, входящие
в (IV.3.10), выразим через корни неполного уравнения:
для первой формы уравнений
Г * / т V/з	1 1
Р I ( 2 )	Г | ’
271
для второй формы уравнений
(IV.3.11)
Подставим теперь формулы (IV.3.11) в выражения (IV.3.10).
После преобразования и введения нового безразмерного времени
/ да \‘/> v0 ,	[ п V/» v0 ,
соответствующего первой и второй зонам корней, получим вы-
ражения, связывающие фундаментальные функции ф,(т) и новые
функции /,(т). Опуская промежуточные выкладки, имеем:
для первой зоны корней:
при т > О
, . е ' Г/ т \2/з f , .
?	/да_у/з Цт)	—
2
При т < 0 формулы остаются теми же, за исключением вы-
ражения для функции <р2(т), где во втором и третьем членах
числителя и знаменателя (в квадратной скобке) изменяется знак
на обратный.
Аналогично получим выражения для функции второй зоны
корней. Не приводя промежуточных выкладок, имеем:
272
при m>0
В случае т < 0 первые три выражения (IV.3.12) останутся
неизменными, в четвертом необходимо изменить знаки во втором
и третьем членах числителя и знаменателя (в квадратных
скобках).
Функции 2), входящие в выражения, определяются кор-
нями неполного кубического уравнения (IV.3.5), (IV.3.6) и за-
висят от одного комбинированного аргумента: wi— В первой
зоне корней, иг — во второй зоне. Это позволяет их затабули-
ровать. Функции /\(т1,2) называются основами фундаментальных
функций. Общий вид этих функций:
~1 1 еРоЛ, 2	п~‘ + 1г₽02Т1, 2
уг ,	. _	Р01______________।_____^02____________।
• Н Ь27 (Poi — рог) (/’01 — /’ОЗ) ' (Р02 — PoiUPOi— /’ОЗ)
—£4-1 р^. п
Роз g 03 ' 2
(Роз—Р01)(Р03—Рю)
(IV.3.13)
где poi, рог, роз—корни неполного характеристического уравне-
ния;
i—	порядок функции;
Ti, 2 — безразмерное время, соответствующее первой
и второй зонам преобразованных характерис-
тических уравнений.
Основы фундаментальных функций £<(т), так же как и функ-
ции <р<(т), обладают свойствами дифференцирования и интегри-
18 Заказ № 018	273
рования. Три соседние функции связаны между собой рекку-
рентной формулой. Действительно, для неполного характеристи-
ческого уравнения (IV.3.5), (IV.3.6) соответствующие диффе-
ренциальные имеют вид:
а3kj<z + 2а = 0 — для первой зоны корней,
а + За 4~ 2и2а = 0 — для второй зоны корней. (IV.3.14)
Подставляя в (IV.3.14) частное решение после проме-
жуточных преобразований получим реккурентные формулы:
ft—з('-1) + ЗИ]/г_! (tJ + 2/г (т,) = 0;
Л-з(^) ± 3/г_1(^) + 2«2/г(т2) = 0.	(IV.3.15)
Для удобства табулирования в таблицах [73] представлены
несколько видоизмененные основы функций, получаемые по
формуле:
•	“Т1 2
Л(^2) = Л(Ч2)е .	(IV.3.16)
где fi(Ti, г) —табличные значения функций.
Параметры движения ПЛ в вертикальной плоскости могут
быть выражены непосредственно через основы фундаменталь-
ных функций. Для этого необходимо в формулы (IV. 1.18),
(IV.1.19), (IV.2.9), определяющие углы атаки и дифферента при
свободном и вынужденном движении, подставить <р,- (т) в соответ-
ствии с выражениями (IV.3.12), (IV.3.12, а). Опуская ряд проме-
жуточных преобразований, получим для свободного движения:
“C3^1)=^V1”	(^1) +O2(d,	(IV.3.17)
L(s)=^v”' (Ш)+	+ w2(d. (IV.3.18)
где
Qi_____1___I у
-----^Ji 9 —- 3«i« -1:	= + 2a„,.
“2"
274
al____1 "о 1
= -----------------9-^------
\"2"j
/?Ф2^	.
Коэффициенты at и at*, входящие в формулы, зависят от на-
чальных условий:
Я—1^а0’	1	Фо I
=Гб1“о 4~ г21Фо; ао —ф0;
а 1 = Г60а0 ’	Я1= 5воаО 4“ ^2оФо •
Ввиду громоздкости выражений для определения параметров
вынужденного движения ПЛ приводим формулы только для
мгновенной перекладки горизонтальных рулей. Более сложные
законы управления — линейная перекладка, гармоническая пе-
рекладка, перекладка по экспоненте — рассмотрены в ра-
боте [79]. После подстановки в формулы (IV.2.11) основ фун-
даментальных функций и некоторых промежуточных пре-
образований получим выражения для параметров вынужденного
движения: .
для первой зоны корней (т > 0)
«в	+ 1 Ь
18*
275
Вторая зона корней (т > 0)
% (^2) =	{е-ЛГл [-7-1	+ ^7о + ^*71 (^2)] +1} ;
Фв ы v°cy'^ 1р}- {е~^ [-/-1 ы+
+ 7?фь/о('С2)-|-7?ф1/1(т2)]	1 },	(IV.3.20)
где
2g—1
А_____1_
_Ь_	9
—7777;;.^=--------~Р------3-
3(~г)	-г
Изменение относительной глубины г] при известных значе-
ниях углов атаки и дифферента
-	т1,2
7в= j (Фв-“в)^1,2
0
определяется с помощью правил приближенного интегрирования.
Основы функций Д (т) представлены-в виде таблиц и графи-
ков в работах [78], [79].
Аналогичные формулы могут быть получены для параметров
вынужденного движения, вызванного действием плавучести.
При мгновенном изменении плавучести возмущающие силы и
моменты следует определять по формулам
kx = a^p и k2 = bpp,
а затем подставить в исходные уравнения.
Изложенная выше схема определения параметров движения
в вертикальной плоскости с помощью табличных значений основ
276
фундаментальных функций значительно облегчает расчет, так
как при этом отпадает необходимость вычисления корней харак-
теристического уравнения и функций срДт). В этом случае наме-
чается довольно простая схема расчета кинематических пара-
метров:
а)	по заданным гидродинамическим характеристикам кор-
пуса и оперения ПЛ, скорости ее движения и начальной остой-
чивости по формулам (IV.3.3) находятся коэффициенты k, q, А;
б)	по параметрам k, q, А определяются аргументы ил и и.2\
среди них выбирается такой, который лежит в пределах от +1
до —1;
в)	определяются табличные значения основ функции ^(т)
в зависимости от значений аргументов ил и wa;
г)	по формулам (IV.3.17) — (IV.3.20) и найденным значениям
основ фундаментальных функций вычисляются параметры дви-
жения ПЛ.
§ 4. ДВИЖЕНИЕ ПЛ ВБЛИЗИ СВОБОДНОЙ ПОВЕРХНОСТИ,
ЛЕДОВОЙ поверхности или дна
Рассмотренные выше уравнения и их решения справедливы
лишь для случая движения ПЛ в безграничной жидкости, т. е.
когда нет влияния свободной поверхности, ледового поля или
дна. В практике эксплуатации ПЛ режимы движения вблизи сво-
бодной поверхности, ледового поля встречаются довольно часто
(движение под РКП или РДП, под перископом, подледное пла-
вание в арктических районах). В главе I было показано, что ука-
занные режимы движения сопровождаются качественным изме-
нением сил и моментов, действующих на ПЛ, что существенно
влияет на кинематические параметры. Рассмотрим движение ПЛ
вблизи невзволнованной свободной поверхности.
Система уравнений, характеризующая такое движение, была
получена в § 3 главы II:
а 4- S20a — г21ф 4-	= ак\ 4- а,Д, 4- арр = k, (т);
Ф + г61Ф + 'W? -5юа- qwv= &Д + йД4-bpp = k2(т);
V] = ф — a.	(IV.4.1)
Система линейных уравнений (IV.4.1) должна быть решена
Для двух случаев: свободного возмущенного движения, вызван-
ного начальными импульсами, к вынужденного движения, обус-
ловленного перекладкой горизонтальных рулей или изменением
плавучести.
277
Рассмотрим сначала первый случай движения и предполо-
жим, что оно происходит при следующих начальных условиях:
при т=0 <х=а0, ф=т]о=0, ф=фо.
Перепишем систему (IV.4.1) для случая свободного дви-
жения:
а 4~ ^20а — г21Ф 4“ '/го7!=
Ф 4“ гв1Ф + гвоФ 560а tJeoV = О’
= ф — а.	(IV.4.2)
Для решения системы (IV.4.2) воспользуемся операционным
методом. Установим связь между неизвестными и их изображе-
ниями в виде:
а(т)^-а(р);	[а(р) — а0|;
Ф	Ф (/?); Ф(^) Ч-р [Ф(р) — ФоЬ
Ф (ч:) Ч-рй [ф (р) — Фо — -^г];
’i N v "ч (р); р h(p) — ^о] •	(iv.4.3)
Подставим нзображеция неизвестных и их производных в си-
стему дифференциальных уравнений (IV.4.2) в соответствии
с формулами (IV.4.3). В результате получим систему алгебраи-
ческих уравнений:
(Р + S20) «(/>) - г21/ф (р) + q^q(/>) = аор,
-$во“ (/>) + (Р2 + r6ip + г№) ф(р) - q^ (р) = фор;
а(Р) - Ф(Р)Н-Р^Т(Р) =0-	(IV.4.4)
Решение системы (IV.4.4) записывается через определители
следующим образом:
=	ф^) = ’м7Г; ^ = ^г- (IV’4-5)
где главный определитель
	р + 52о ;	~Г2хр\	^20
Д(р) =	^бо:	Р2 + г&р 4- г60;	$60
	1;	-1;	Р
278
частные определители:
аоР ~ГцР'.	Я'я
&а(р) = %р: Р2 + г^Р + Гео: -<7во
Дд(Р) =
р + ^2о;
Seo
Я20
Яво ;
р
аоР
^с(р)— —$во- р +гб1 + гео; Фор
(IV .4.6)
После раскрытия определителей по минорам третьей строки
и подстановки их в выражения (IV.4.5) получим
, \ = «ОР4 + (ДрГб1 + Фо<21) / + «О^бОР2 — (ар^ео + ф0?20) р .
Р4 + (S20 + Г61) Р3 + (520^61 —^60г21 +^60 — ?2б) Р2 +
+ (Sai/eo — Яво + ^‘219'во — Я2<Уei) Р + Зво'/го— Ssota — ?20r60
ф / \ ___________ ФоР3 + feofo + •Seo'^o) р2 + (ao?6i) + Фо?2о) Р___
‘ ' Р4 + (S20 + г61) Р3 +	61 — Г2]5б0 + ГбО— ?20) Р2 + ($2Or60 — •
— Яво + г21?бо + Я2ог61) Р + ^60920 — •S'ao.'Zeo — Я2ОГво
(IV.4.7)
Для перехода от изображений а(р) и ф(р) к функциям а(т)
и ф(т) представим характеристический многочлен (знаменатель
выражений (IV.4.7) в виде произведения, членов, содержащих
корни pi, р2, рз, pi, и разложим дробь
_________________Р_______________
(P-Pi) (Р —Рг) (Р—Рз) (Р — Ра)
на простейшие дроби. После преобразований, которые здесь не
приводятся, имеем
_________________Р_______________ =
(Р— Pi) (Р—Р2) (Р —Рз) (Р — Ра)
= __________________Р____________________Ь
(Р —Pi) (Pi —Рг) (Pi — Рз) (Pi —Pi)
-I__________________Р____________________1_
(Р — Рг) (Рг — Р1) (Рг— Рз) (Рг — Ра) '
J___________________Р____________________I—
(р — Рз) (Рз— Pi) (Рз— Рг) (рз— Ра)
+ <IV-4-8>
279
Выражение (IV.4.8)‘no своей структуре аналогично (IV.1.8).
Наличие четвертого корня характеристического многочлена при-
водит к появлению четвертого члена в формуле для V(p). Да-
лее в соответствии с формулой (IV. 1.9) находим связь между
N (р) (IV.4.8) и ее оригиналом:
„"I'
.--------------------------I 1-
(Л — Р2)(Р1— /’з)(Р1~ Pi) ' (Pi — Р1)(Р2~ Рз)(Рз~ Рл) 1
- “ 
_J________________________________________L
1 (Рз — А)(й-Р2)(Рз— Ра)
aPt"
+ -7------тг-------Г7------г N (р).	(IV.4.9)
Левую часть соотношения (IV.4.9) по аналогии со случаем
движения в безграничной жидкости назовем фундаментальной
функцией fi (т), дифференцируя и интегрируя которую можно по-
лучить функцию любого порядка. Не рассматривая выражений
функций всех интересующих нас порядков, составим общее вы-
ражение для i-й функции
~ (Р1 — Р2)(Р\ — Рз)(Р\~ Ра)
Р2^^	Рз‘-^
' (Р2 — Рг) (Р2 — Рз) (Р2~ Pi) ' (Рз — Р1)(Рз~ Р2)(Рз — Pi) -Г"
I	+ ,еР'~	„ т t ,
(Р4—Pl) (Р4 —Рг)(Р4 —Рз) 	(IV.4.10)
Полагая в (IV.4.10) 1=—2, —1, 0, 1, 2 получим выражения
для функций Дг(т), f-i(r), fo(r), Ь(т), которые необхо-
димы для нахождения решения системы дифференциальных
уравнений (IV.4.2).
Для суждения о характере изменения функций /Дт) при дви-
жении вблизи свободной поверхности необходимо их расчетное
определение. На рис. IV.13 показано изменение функции fi (т)
для случая движения вблизи свободной поверхности при числах
Fr=0,25-т-0,40. Обращает на себя внимание периодический ха-
рактер изменения функции. Амплитуды и частоты колебаний
увеличиваются с уменьшением чисел Fr. Для сравнения харак-
тера изменения <рг(т) со случаем движения в безграничной жид-
кости следует вернуться к рис. IV.3.
Воспользовавшись полученными соотношениями, напишем
формулы для определения углов атаки асв(т) и дифферента фсв(т)
280
при свободном возмущенном движении ПЛ вблизи свободной по-
верхности воды. Опуская все промежуточные выкладки, имеем:
“св N = “о/- 2 N + (“<61 + Ф<21) /- 1 (^) + “<6оЛ W -
- (ао<7во + Фо?2о) Л
Фсв(т) = Фо/- 1 ('') + (^2оФо 4~ >^60%) f о (т)	(“о7бО + Фо^2о) /1 (т)-
(IV.4.11)
В частном случае, при т=0 <хо=Ф»=т]о=О, фо=<ао, получим:
“св W = а"0(Т) = W- 1 (т) - <7м/1 (’)
Фсв(^) = ^“ = / -! W + Wo W + W1 (0- (IV.4.12)
Изменение относительной глубины может быть получено по
формуле (1.1.5) при подстановке в нее известных значений раз-
ности (фев — Ясв).
В случае вынужденного движения ПЛ вблизи свободной по-
верхности решение системы уравнений (IV-4.1) производится
при нулевых начальных условиях и заданном законе изменения
возмущающих сил и моментов (перекладка горизонтальных ру-
лей, изменение плавучести). Для получения решений составим
связи между параметрами вынужденного движения и их изо-
бражениями:
“а(^)'г“(р)> ф.(’')<г/4(/’);
“з(^)/-Р“(р); Фв(^)*/‘А(р); М'О’гМр);
ФвС')4-Ф(/’);	*2('’)*-М/’)- (iv.4.13)
281
После подстановки в уравнения движения вместо неизвест-
ных их изображений а(р), ф(р), т](р) будем иметь:
(р + s20)«(/>) - w? (/») + Якл (/»)=К (/»);
-S^ (р) + (р2 + гв1р + Гвд) ф(р) - q<xn(P) = ^2(р);
а(р) —Ф(Р)+рЧ(р)=О.	(IV.4.14)
Неизвестные а(р), ф(р) и т](р) представим через определи-
тели. Главный определитель системы (IV.4.14) остается преж-
ним и находится по формуле (IV.4.6). Частные определители
имеют вид:
дл (/») =
(/»); -r21p;
Мр); Р2 4-W + reo:
О -1;
Ячо
—Яво ’
Р
Р 4“ ^20> ^1(р)> Я->п
дв(р) =
^2(Р)>	^60
0;	р
После раскрытия определителей, опустив промежуточные
выкладки, напишем формулы для изображений
/ ч А (Р) Р3 + [rSi^!(/>) + Г21^2 (р)1 Р2 + ki (р) гвоР — kj (р) два — к2 (р) д20 .
(Р —Pi)(P —Рг)(Р —Рз)(Р —Р4)
л/„х____ ^2 (р) Р2 + [&2 (Р) ^го +	(Р) Sap] Р — &i (Р) ?ео— ^2 (Р) ?го .
Т'Р,~	(Р — Р1)(Р — Р2>(Р— Рз)(Р — Pi)
—kx (р) pi~ [r6i*i (Р) + (1 4- r2[) *2 (р)] р +
(„) = ________ + .5^2 (Р)+ (^60-'•60)^1________________ /Iv 4 16х
(Р —Pi) (р —Рг) (р —Рз) (р —Р4)
Переход от изображений а(р), ф(р), т](р) к оригиналам
Яв(т), фв(т), т]в (т) осуществляется при помощи теоремы сверты-
вания (IV.2.8). Так же как и в случае свободного движения, ре-
шения системы (IV.4.1) представляем через фундаментальные
функции Л(т), формулы которых были написаны ранее (IV.4.10).
282
Не останавливаясь на промежуточных преобразованиях, по-
лучим:
= J М)/- 2(^ - О Я + J кбЛ (5) + г2Л (6)1	, (т - 5) +
о	о
+ r60 f (?) /о (Т 0 J [ #60^1 ft) 4“ #20^2 (5)1 /1 (т — 5)
О	о
Фв N = J ft) f-d'~ 9 + J 1 &2 & 520 + kr (9 Seo] /о ~ 9 “
о	о
т
j [^1 ft) #60 + ^2 ft) #201 /1(Т	9^Ь
О
'ЛвС1)= f ft)/-1 (т 9^ - f [r6i^i ft) + G +r6i) ^2ft)] X
о	о
т
х /о (^ - Ю + J [$2Л (5) + (Seo - Гео) *, (01 Л (^ - 0 ft. (IV.4.17)
о
Для наиболее простых законов изменения возмущающих сил
и моментов интегрирование правых частей выражений (IV.4.17)
может быть выполнено в конечном виде. Сравнительно простые
формулы получаются для мгновенного изменения сил. Пара-
метры вынужденного движения, вызванного мгновенной пере-
кладкой рулей, находятся по формулам:
(	/ ь \
“в О') = ак. Л, н [/-1W - /-1 (0)] + г61 + Г21	[/о (^) -
(	\	к> н /
/ ь \	)
- /о (0)] + г® [/, W - /> (0)1 - ко+?20^Ч (Л(") - /2 (0)] ;
{/	а \
[/oW-/o(O)]+ Sao + Seo-^ [/.(т)-
\	к>в /
- Л (0)] - ^20 +	4^ W (") - -^ (°)!;
\	к, и /
-	(	Г	ь 1
71в(т) = -аК1Н5К1Н [/о(т)-/о(О)|+ г6, + (1 +r6l)-^- X
I	L	к,и
X [Л (Т) - /, (0)] + [(Seo -	+ S20	[/2 (^) - л (0)].
к»а J
(IV .4.18)
283
При одновременном действии импульсов и перекладке гори-
зонтальных рулей кинематические параметры свободного и вы-
нужденного движения суммируются.
Характер изменения параметров движения подводной лодки
вблизи свободной поверхности может быть установлен из рас-
смотрения рис. IV.14, IV.15, на которых приведены резуль-
таты расчетов свободного движения подводной лодки.
Предполагалось, что движение вызвано импульсом угловой ско-
<ь
Рис. IV.14. Изменение относительного угла дифферента =—•
“О
при свободном возмущенном движении на перископной глу-
бине и при большом погружении.
------- вблнзк поверхности;------прн большом нагружении.
фов(т)	Т]св(т)
раметры —_	и —_	для двух случаев движения: вблизи
<оо	too
свободной поверхности и на глубине, где отсутствует влияние
свободной поверхности. Расчеты проводились для двух чисел
Fr=0,25 и 0,30. Рассмотренный пример показывает, что вблизи
свободной поверхности происходят периодические изменения
кинематических параметров, в отдельных случаях с нарастающей
амплитудой.
Рассмотрим движение ПЛ вблизи ледовой поверхности. Если
ледоваи поверхность гладкая (не имеет волнистости), то реше-
ние задачи о движении ПЛ в вертикальной плоскости принци-
пиально не отличается от решения для случая движения вблизи
твердой стенки. В этом случае изменяются позиционные гидро-
динамические характеристики, которые зависят не только от уг-
лов а и б, но и от глубины погружения ПЛ, т. е. расстояния ее
центра тяжести от ледовой поверхности. Количественные изме-
284
нения претерпевают также вращательные производные и при-
соединенные массы.
ОднаКо замена ледовой поверхности плоской является опре-
деленной идеализацией. В большинстве случаев поверхность
имеет волнистость, в результате чего гидродинамические харак-
теристики ПЛ при ее движении вблизи ледовой поверхности за-
висят от времени. Это несколько усложняет решение задачи, так
как система дифференциальных уравнений, описывающая дви-
жение, имеет переменные коэффициенты, зависящие от времени.
Рис. IV. 15. Изменение относительной глубины rj/cuo-
------ при большом погружении;------вблизи поверхности.
В § 6 гл. I были рассмотрены результаты испытаний моде-
лей ПЛ вблизи плоского экрана, а также экрана, имеющего
синусоидальную волнистость, причем расположение его было
различным относительно модели ПЛ. Из-за отсутствия система-
тических испытаний моделей вблизи ледовой поверхности,
а также данных натурных испытаний ПЛ будем ориентиро-
ваться на результаты испытаний в аэродинамической трубе ЛКИ
(рис. 1.474-1.49), на основании которых установлено, что большое
влияние на гидродинамические характеристики оказывает рас-
стояние до поверхности льда и положение! волнистости относи-
тельно подводной лодки. Поэтому гидродинамические характе-
ристики в общем случае могут быть представлены в виде:
Су. = СУ1 (а, 7), < 8К,Н);
—	* &	\	* vt
«, Т], т , 0к,я), где Т
285
Если рассматривать движение вблизи плоской поверхности,
а влияние волнистости ледовой поверхности заменить действием
некоторого импульса в определенные промежутки времени, то
позиционные гидродинамические характеристики будут функ-
циями а, т], бк,н, а импульсы k± и йг будут пропорциональны
изменению гидродинамических коэффициентов АС^т) и
AmZ1(r). При решении задачи в первом случае (влияние плос-
кой поверхности) могут быть использованы система уравнений
(IV.4.1) и способы ее решения в случае действия внешних им-
пульсов или перекладки горизонтальных рулей. При этом пара-
метры движения находятся по формулам (IV.4.11)—(IV.4.18),
в которых используются гидродинамические характеристики
(включая присоединенные массы), определенные для случая
движения вблизи плоской стенки.
Остановимся на движении вблизи волнистой стенки. В ли-
нейной постановке с учетом высказанных соображений система
дифференциальных уравнений, описывающих движение вблизи
ледовой поверхности, имеет вид:
а S20a Г2[Ф	^20V ' ^1 (т) Ч~ ак, А, к '
9 + Г61Ф Ч- ГпоФ ^60а ^бО7! = ^2 (Т) " ^к, А. н :
(IV.4.18 а)
В уравнениях (IV.4.18, а) условный знак «—» означает необ-
ходимость учета характеристик при движении вблизи твердой
стенки.
Импульс Й1(т) и его момент fe(r) определяются по фор-
мулам:
ДС„ (т)	Дт, (т)
2(1;J.2  dv.4.19)
Изменения гидродинамических коэффициентов АСй1(т) и
А^ (т), вызванные неровностью ледовой поверхности, в общем
виде представить математически весьма трудно. Можно, однако,
ввести допущения, позволяющие решить задачу в некоторых
частных случаях действия импульса.
Предположим, что' Влияние неровности эквивалентно некото-
рой импульсной нагрузке, величина которой остается постоянной
по мере прохождения неровности, а ее знак меняется при про-
хождении миделя через вершину неровности.
Будем считать движение ПЛ установившимся до попадания
ее в зону неровной ледовой поверхности. Рассмотрим возмуще-
ния, соответствующие трем различным типам неровностей
(рис. IV.16).
286
Схема на рис. IV.16, а соответствует единичной волне, схема
на рис. IV.16, б соответствует более общему случаю; она может
быть применена, если ледовая поверхность имеет ряд последо-
вательно расположенных неровностей одинаковой высоты и раз-
личных расстояний между ними. Схема рис. IV. 16, в предпола-
гает наличие некоторого остаточного возмущения, что эквива-
лентно влиянию момента входа ПЛ под ледовый массив или
резкому изменению толщины льда.
Система уравнений (IV.4.18) может быть решена для пере-
численных выше случаев движений: действия возмущающих сил
Рис. IV.16. Возмущения, соответствующие некоторым типам не-
ровностей ледовой поверхности.
вблизи неровной ледовой поверхности и нейтральном положе-
нии горизонтальных рулей, а также при движении с переклад-
кой горизонтальных рулей. В общем случае решение проводится
для двух видов начальных условий: а) при т=0, ао=фо=фо=0;
б) при т=0 а=ао; ф=0; фо=шо.
Во всех этих случаях могут быть использованы формулы
(IV.4.18), полученные для мгновенного действия возмущающих
сил. Если рассматривается движение при нейтральном положе-
нии горизонтальных рулей, то импульсная нагрузка ki и fo на-
ходится по формулам (IV.4.19). Тогда параметры движения за-
пишутся так:
аимп (^) = ki [/j (т) — /i(0)] -f- (г6/, -f-r2A) [/о (т) — /о(0)] +
Н~ r60^i [/1 ('-) — /1 (0)] — (?вЛ -f- ^20^2) [/2('-)	/г(0) h
Фима ('-) = ^2 [/о (т) /о (0)] "I- [^20^2 Ч- ^60^1] 1/1 ('')	/1 (0)1
(#60^1 + ^20^2) [/2 (т) fi (0)J-	(IV.4.20)
287
Считая, что абсолютное значение воздействий ki и йг оста-
ется постоянным при перемене знака, параметры движения
для указанных выше возмущений представляются в виде:
возмущение, вызванное единичной неровностью,
а (т) = а (т) — 2а (т — т0) 14- а (т — -с,) | ;
ф(т) = ф(т) -2ф(т —т0)|+ф(т — т1)| ;	(VI.4.21)
т, > т J> t0	т > х,
возмущение, вызванное рядом последовательно расположен-
ных неровностей,
а(т) = а(':) — 2а(т — т0)| + 2а(т — т,)]—2а(т — т2) |-|-а (т — т3)|;
Я > Х Т0	т2 Т 11	^3 Т	Т > Т3
ф (,) = ф (т) _ 2ф (т — т0) | -f- 2ф (т — т,)|-2ф(т — т2)| 4-ф(т — -сз| ;
tj т Tq	tj 1 tj	тз^т^та
(IV.4.22)
возмущение, эквивалентное влиянию входа ПЛ под ледовый
массив,
а(т) = а(т) — 2а (т —-s0) |
z то
ф (т)= ф(-и) — 2ф (т — т0)|.	(IV.4.23)
Т>г„
Перечисленные примеры не исчерпывают всего многообра-
зия возмущений, которые могут встретиться при движении ПЛ
вблизи реальной ледовой поверхности. Однако они позволяют
сделать оценку кинематических параметров для некоторых ти-
повых случаев.
Замена неровности ледовой поверхности импульсными воз-
мущениями является весьма приближенной. Более точные ре-
зультаты получаются ири использовании линейного Закона из-
менения возмущения во времени с ограничениями.
Если at и bi — угловые коэффициенты наклона прямых ki и
fe, то последние можно представить в виде:
=	— (аа — а,)(т — т0) | — (а0	— т,) |.
Ч > ’ >	’г > t > xt
(IV .4.24)
Аналогично может быть записано выражение для возмущаю-
щего момента
А,(т)=	— (*о- £i)("- — ^о)| — (*о — bx — Z»2)(t — т,)|.
Ч > t > Ч	х, > х > т,
Не приводя вновь формулы для определения параметров
движения при линейном законе изменения возмущения (см. § 2
288
19 Заказ Хе 018
i
Рис. IV.18. Изменение глубины погружения ПЛ при прохождении вблизи неровности
ледовой поверхности.
(
)
Рис. IV.19. Изменение угла дифферента при наличии остаточного возмущения.
CO
Г/ м
г
Рис. 1V.20- Изменение
глубины погружения при
наличии остаточного воз-
мущения.
g Рис. 1V.21. Изменение глубины погружения при единичной перекладке руля и прохож
~	дении ПЛ вблизи неровности ледовой поверхности.
гл. IV), отметим, что в случае действия возмущений ki и fe по
линейному закону, представленному на рис. IV.6, с ограниче-
ниями применяются формулы (IV.2.21).
Более общим является случай возмущенного движения с од-
новременной перекладкой горизонтальных рулей. Тогда возму-
щающие сила и момент находятся следующим образом:
2(1 + й22) +ак,нк,н(т),
=	+»к,к8к,к(4	(IV.4.25)
При определении кинематических параметров используется
метод суперпозиции, т. е. раздельно находятся параметры, обус-
ловленные влиянием неровности ледовой поверхности при нейт-
ральных горизонтальных рулях, и параметры, вызванные перек-
ладкой рулей вблизи плоской стенки.
Суммарные значения этих параметров определят движение
ПЛ вблизи волнистой ледовой поверхности, вызванное переклад-
кой горизонтальных рулей. Влияние ледовой поверхности на ки-
нематические параметры ПЛ видно из рис. IV.17—IV,21, на ко-
торых приведены результаты .расчетов для ПЛ среднего водоиз-
мещения.
Решение задачи о движении ПЛ вблизи поверхности дна
принципиально не отличается от задачи, рассмотренной выше.
В зависимости от профиля дна могут быть выбраны различные
схемы внешних возмущений if с помощью уравнений найдены ки-
нематические параметры. Следует однако при вычислении коэф-
фициентов уравнений использовать гидродинамические характе-
ристики моделей, определенные для случая расположения экрана
под ее днищем.
§ 5. ДВИЖЕНИЕ В ГОРИЗОНТАЛЬНОЙ ПЛОСКОСТИ ПОД ВОЗДЕЙ-
СТВИЕМ НАЧАЛЬНЫХ ^ПУЛЬСОВ И ВЕРТИКАЛЬНОГО РУЛЯ-
Система уравнений (II.4.1) движения ПЛ в горизонтальной
плоскости, так же как и система уравнений движения в верти-
кальной плоскости, решается численными методами. При введе-
нии ряда допущений (см. гл. II, § 4) получим систему неоднород-
ных линейных уравнений, где неизвестными являются угол
дрейфа р (т), угол курса ср(т) и боковое смещение С(т):
? +	+ Г42? + Г41? = Л (t) = kx (т);
Ф “Ь Г51?	^51Р “Ь ^50? = ^в ('') = ^2 (т); С = <Р —р, (IV.5.1)
где Sw, Sso, Г42, Г41, гм, Sm, с и d — постоянные безразмерные ко-
эффициенты, определяемые формулами (II.4.7).
292
В случае симметрии корпуса ПЛ относительно миделя, т. е.
когда коэффициент присоединенного статического момента k^ =
=0, система уравнений (IV.5.1) упрощается
Р4-540р4-г41<р = с8в(т);
ф + Г51Ф 4~ ^50?=	(IV.5.2)
Системы дифференциальных уравнений (IV.5.1)—(IV.5.2)
решаются для двух случаев движения: свободного возмущен-
ного, вызванного начальными импульсами (начальными усло-
виями), и вынужденного, обусловленного перекладкой верти-
кального руля. Рассмотрим сначала свободное движение, т. е.
систему однородных линейных уравнений:
Р 4~ ^4оР + Г42? 4~ Г41? = 0:
ф 4“ Г51ф + >^51? 4“ ^50? =0.	(IV.5.3)
Положим, что движение вызвано следующими начальными
условиями при т=0 Р=₽о, ф=фо=сой1, <р=сро=О.
Для решения системы установим связь между величинами ($,
Р, ф, ф, ф и их изображениями, т. е.
Р^)’гР(р)' Р(44~/ИР(р) —Ро] =
ф О') 4-?(/’); ?(')4-Р'р(р)'.
'?(т)*гР2['?(Р) - -у-]-	(IV.5.4)
Для составления уравнений относительно изображений р(р)
и ф(р) подставим (IV.5.4) в (IV.5.3). После промежуточных
преобразований имеем:
(Р 4- $«) Р (/>) 4- Р (гпр 4- г») <? (р) = (Ро 4- г42ф0) р;
(Ssxp + Si50) р (р) 4- р (р 4- г51) ср (р)	(p0S51 4- <р0) р. (IV.5.5)
Для получения решений ($(р) и ф(/>1 составим определители
системы (IV.5.5):
Д(р) = р	^40 + Р' ^50 4~ Р$Ы:		^ + г42р Г51 4- р	
		Ро 4“ Г42фо '•	r4i 4- гi2P	
Д4 (Р) = <		$51Р4-Фо;	Г51 4- Р	»
^в(р) =	Р	$10 4- р;	ро 4-Г42?0	(IV.5.6)
		^50 4“ Р$51	^51Ро 4- ?С	
293
После раскрытия определителей и ряда преобразований
можно написать выражения для изображений углов дрейфа и
курса:
О /	_ Р2 Ifo (1 — г42^51 ) Р + (rgi — r4iSgi ) Ро 4- (г51Г42	Г41 ) <f0] .
°Р [( 1	<851г4г) Р2 + (Psi + S40 SgoT42 — S5)Г41) р +
+ (S40r5I — ‘SsO^l )]
г __ Р [	( 1 — Г42S51 )	4- Ро (S40.S51 — S50) + ?о (S40	<$5Ог42)]	.
'	Р [( 1 — 551Г42) р2 4- (г51 4- S40 — S50r42 — •55|Г41 ) р 4"
-	4" (‘^’40г51 —
(IV.5.7)
Знаменатели формул (IV.5.7) представляют собой полином
третьей степени. Если pt, р2, рз—корни этого полинома, то он
может быть представлен в виде произведения трех сомножи-
телей
(Р-Р1)(Р —й) (.Р- Рз)-
По аналогии с решением задачи о движении ПЛ в вертикаль-
ной плоскости разложим дробь ----------——-——----------- на
(р~ pi) (р — рг) (р — рз)
простейшие дроби, а затем найдем соответствующую им перво-
начальную функцию фг(т). В § 1 настоящей главы были приве-
дены формулы для фундаментальных функций t-ro порядка;
воспользуемся ими. Однакф при написании выражений фунда-
ментальных функций для случая движения в горизонтальной
плоскости необходимо учесть наличие одного нулевого корня.
Положим, что pi=/=0, р2=/=0, а рз=0, тогда после ряда алгебраи-
ческих преобразований
(т)==Л^Т ~Р^
>	Р1—Р2
p2gP‘T ~ PlgPit
Pi —Рг
" ' Р\Рг
(IV.5.8)
Принимая во внимание написанные ранее зависимости
между фундаментальными функциями и их изображениями, пе-
рейдем от изображений р(р), ср(р) к первоначальным функ-
циям, т. е. получим параметры свободного движения
Рев (т) =	1	Г42>551) ?-1 (т) + [Po(r51	r41^51)J~
+ (Г51Г42 - Гц)?!)] <Ft>(4
?св (т) = (1	$ИГ42) сРосРо (т) + [%	1 ^Во)
+ ?о(54о —	<Р!(т).	(IV.5.9)
294
В частном случае, когда ПЛ симметрична относительно ми-
деля, т. е. /"42=551=0, выражения (IV.5.9) упрощаются;
Зев (') = РоФ — 1 (т) + (ft/si - 'Ро'41) <?0 (Т):
<?cb(t) = Wo(^)+ (?о$4о- РЛоЬД’')- (IV.5.10)
Примем начальные условия:
прн т = 0
Ро = Фо = °> ?О = “у1о-
Тогда
?c.W=-Vy,f0 (т);
Фев СО = MoW + ^40‘°у.0Ф1 (’')•	(IV.5.11)
Разделив выражения (IV.5.11) на получим относитель-
ное изменение параметров:
Кв(т) = Ж^- = -г41<р0(т):
G)
У10
<?св W = ?-(Т) = ?о W + 540?1 (т).	(VI.5.12)
“ую
Анализируя фундаментальные функции (IV.5.8), можно по-
казать, что при отрицательных корнях характеристического мно-
гочлена pi<0, р2<0 при т-> ОО
'P-iC') — °,
И
(IV .5.13)
На основании этого в соответствии с формулами (IV.5.11)
можно заключить, что с течением времени при постоянных зна-
чениях корней угол дрейфа рСв(т)->0, а угол курса срСв(т)
стремится к некоторой постоянной величине.
Изменение бокового смещения, вызванного начальными им-
пульсами,
Сев = J(Фев- ₽св)dx,	(IV.5.14)
о
где <рсв и рсв определяются по выражению (IV.5.11).
После подстановки (IV.5.11) в (IV.5.14) и последующего ин-
тегрирования функций фг(т) получим формулы для пара-
метра L В общем случае эти формулы весьма громоздки,
295
поэтому приведем их здесь только для наиболее простого случая
задания начальных условий (IV.5.11)
=“у.0(1 + Г») <Р1 (т) + ЗадИуЛ’г СО (IV.5.15)
или в относительном виде
^- = (14-r41)?1W+S4o¥2(^).	(IV.5.16)
При известных значениях углов_дрейфа и курса относитель-
ное изменение бокового смещения £Св можной найти численным
Рис. IV.22. Изменение параметров свободного движения ПЛ в гори-
зонтальной плоскости, вызванное начальной угловой скоростью.
интегрированием выражения (IV.5.14), используя, например,
правило трапеции. На рис. IV.22 приведены графики парамет-
ров свободного возмущецрого движения ПЛ среднего водоизме-
щения при начальных условиях Ро=<ро=0' и <Ро=<в1/1о = 1 °!сек.
Рассмотрим второй, случай—вынужденное движение, выз-
ванное перекладкой вертикального руля. Обозначим ($в, фв —
углы дрейфа и курса вынужденного движения и установим со-
ответствие между ними и их изображениями:
МО ~ ₽(/»);	?в(04-р?(р);
₽. (О 4-/»₽(?);	?,(')тЛ(р);
?в(’Н ?(р):	(О v (/»);
MOvMp)- (IV.5.17)
296
Подставим (IV.5.17) в (IV.5.1) вместо параметров движения
Р (т) и ср (т) их изображения. В результате получим систему ал-
гебраических уравнений с неизвестными Р(р) и ср(р):
Для лители:	(р + S40) ₽ (р) + р (^гР + Г41) <р (р)=(р); (pS51 + Sgo) р (р) 4- Р (Р + г51) <Р (р) = k2(p).	(IV.5.18) получения решения системы составим частные опреде- . . .	^i(P); (Г41+Г42Р) л(Р)—Р k^. (гъх+р) Дв(р)	pSs.+Sso; k2(p) •	(IV-5’19)
С помощью формулы (IV.5.6) и (IV.5.19) получим решение
системы в области изображений:
О / =	1МР)~ ЫР)^] Р2 + [fel (Р)С51 —^2(Р)г41] Р .
Р [( 1 5jlr42) Р2 + (г51 + 5 40	42 — S51Г41) р + ’
+ (S40P51 — SkAi)!
,, i	[&2 (Р) — £1 (Р) 5.511 Р + Sjpfea (Р) — ^50^1 (р)_ (j\j с осп
W’ p[(l-S51r42)/12 + (r51+S40-S50r42-S5ir41)P+ •	'
+ (5юг51 ~ 55оГ41)
Для нахождения оригиналов выражений (IV.5.20) восполь-
зуемся теоремой свертывания. Умножим числители и знаме-
натели формул (IV.5.20) на оператор р. Дробь вида
Р	. т
-------—---------;--------- разложим на простейшие. Тогда
(Р— Р1)(Р — Р2)(р — р3)
(IV.5.20) можно переписать:
₽(Р) = у- I[£1(P)- k2(р)г421 р2 + [Л, (р)r5i - Л2(р)г41| р] X
X Г_________р + р + 1 1 •
L (р Р1)(Р1 — Рг)Р1 ' (Р- Р2НР2 — Р1)Р2	P1P2J’
? (Р) =	I [^2 (р)	^1 (р) >^51] Р 4“ ^10^2 (р)	(р)} X
^[(Р — Р1)(Р1— Pi)P\ (Р—Рз) (Р2—Р1)Р2 + Р1Р2 ] ' (1V-5-21)
297
Выражения (IV.5.21) составлены так, что представляют со-
бой суммы произведений двух изображений. Применяя к ним
теорему свертывания, получим:
N = J I (?) - k2 (?) г42] ?, (т - 0 & +
О
О
?.(’')= j	(0 S51 ] <Ро (т - 5) d4 +
о
+ J	(IV.5.22)
§ 6. ПЕРЕДАТОЧНЫЕ ФУНКЦИИ. АМПЛИТУДНО-ЧАСТОТНЫЕ ХАРАК-
ТЕРИСТИКИ. ПАРАМЕТРЫ НЕУСТАНОВИВШЕГОСЯ ДВИЖЕНИЯ ПРИ
гармонической перекладке рулей
Изменение параметров движения ПЛ при гармоническом
изменении возмущающей силы (перекладка рулей, влияние вол-
нения) в линейной постановке можно находить по амплитудно-
частотным характеристикам: амплитуде, частоте и фазовому
углу, не производя вычислений по формулам, полученным пу-
тем решения системы дифференциальных уравнений. Рассмот-
рим движения ПЛ в вертикальной и горизонтальных плоскос-
тях. Каждое из этих движений в случаях применимости линей-
ной схемы описывается системой линейных уравнений, которая
приводится к одному линейному неоднородному уравнению
п-го порядка:
а„х<я» + ап _	~1 4- ... 4- а,х' + аах = bmf™ 4-
+*ш-1Лп-,, + • • • + bj' + b.f, (IV.6.1)
где f — закон изменения возмущения во времени т;
х — искомый параметр движения в функции т;
Индексы пит определяют порядок производной по вре-
мени т. Пусть закон изменения возмущения
/(T) = /oCOS (Йт 4- <р0),
где to — частота изменения возмущений;
сро—начальная фаза;
fo— амплитуда.
298
Рассмотрим случай, когда tpo=O, т. е. f (t) = fo cos <вт и пред-
ставим гармоническую функцию как сумму двух экспоненциаль-
ных функций
Таким образом, гармоническое воздействие заменяется
двумя воздействиями по экспоненциальному закону. Найдем ре-
шение уравнения (IV.6.1) раздельно для каждого воздействия,
а для получения окончательного результата воспользуемся прин-
ципом суперпозиции.
Предположим, что искомый параметр движения от первого
воздействия
xI(x)=-l-U7 (to) е1^ ,
где W(to)—некоторая неизвестная функция от частоты, кото-
рая может быть найдена из условия удовлетворения уравнению
(IV.6.1). Произведя подстановку решения и его производных
в уравнение (IV.6.1), получим формулу для определения функ-
ций
IF (to) =
^от(г'“)т + ^т — 1 О"')” 1 + • • • + ^1 г'ш + Ьо
ап "Ь ап — 1 (г'“)Я 1 + • • • + а1г“ +
(IV.6.2)
При заданных значениях п и т выражение (IV.6.2) может
быть представлено следующим образом:
U7 (to) = a(g + ^ (“)	(IV.6.3)
с (и) -|- id (<*>)
Выражение (IV.6.2) называется передаточной функцией.
Легко показать, что она представляет собой отношение изображе-
ний искомого параметра движения к изображению параметра,
характеризующего возмущение. Передаточная функция характе-
ризует реакцию ПЛ на гармоническом возмущении.
На основании приведенного выше определения найдем пере-
даточную функцию. Сначала устанавливаем связи между ориги-
налами и их изображениями:
х(^)*гх(р): х(т)-’ рл(р)... х(я)(т)^- рп х(р\
После подстановки в уравнение (IV.6.1) вместо оригиналов
их изображений получим алгебраическое уравнение
(a„P(n) + an-iP'1-I+ • •. +ai/>4-a0)x(p) =
= +bm_ipm~} + ... + blp + b0)f (р),
откуда передаточная функция W(p) определяется формулой
(IV.6.2), если p=ia>.
299
Функция W(t®) зависит от постоянных коэффициентов а (со),
&(<»), с(®) и d(a>) и представляет собой комплексное число.
Если W (iw) известна, то при заданном воздействии по формуле
(IV.6.2) легко находится искомый параметр. После умно-
жения числителя и знаменателя (IV.6.3) на комплексное число
сопряженное знаменателю получим
— =?(“)+ IQ (®) - (IV.6.4)
где
Представим далее комплексное число (IV.6.4) в показатель-
ной форме и найдем его модуль и аргумент, т. е.
Ц7(/й) =
где
А (ш) =	;
? (й) = arctg = arctg + Й' •	(IV .6.5)
Подставляя далее (IV.6.5) в (IV.6.2), получим выражение
для искомого параметра движения от первого воздействия
*1О)=4-/оА(®)е'(“т+т).	(IV.6.6)
Аналогично представляется выражение для искомого пара-
метра от второго воздействия
х2 &=4 w е~‘&+т) •	<IV-6-7)
Суммируя (IV.6.6) и (IV.6.7), найдем полное решение диф-
ференциального уравнения
xb) = ±f0A^) (”t+T) +	e-‘("t+¥)
ИЛИ
х(т) = /0А fo>)cos («' 4- <р),	(IV.6.8)
300
Функции Л (со) и ср(со) называются амплитудно-частотными
характеристиками. Амплитудная Л (со) и фазовая ср(со) харак-
теристики при постоянной частоте определяются коэффициен-
тами at и bi уравнения (IV.6.1).
Применим полученные выше формулы для определения па-
раметров движения ПЛ. Рабсмотрим амплитудно-частотные
характеристики для случая движения ПЛ в вертикальной плос-
кости, вызванного гармонической перекладкой горизонтальных
рулей. Для вывода формул на основании (IV.6.8) составим вы-
ражение для передаточных функций, определяющих угол атаки,
угол дифферента и изменение относительной глубины.
В соответствии с ранее изложенным систему линейных урав-
нений необходимо привести к одному дифференциальному урав-
нению относительно угла атаки или угла дифферента, а исполь-
зуя формулу (1.1.5), легко получить дифференциальное урав-
нение относительно изменения глубины. В результате получим
три независимых неоднородных линейных дифференциальных
уравнения, которые решаются относительно угла атаки (первое
уравнение), Относительно угла дифферента (второе уравнение)
и относительно изменения глубины (третье уравнение):
а 4“ (^20 4“ Г61) а 4“ (^20Г61 — Sgf21 4“ Гбо) а 4“ Г60^20а =
= дк, А, н + 8 и 4“ ГбО^к, н 8К, н '
Ф 4“ (^20 + Г61) Ф 4" (^20Г61 ~	21 4“ Гбо) Ф + Г6О^2оФ =
^к, н^к, н 4“ 88к. н ;
Ч 4“ (^20 4“ r61) Ч 4“ (^20Г61	Sgf21 4“ Гбо) Ч 4“ Г6<Ао'Ч ~
= -дк, А, н + (6к, н - 8) 8'к. к + (S - '•60дк, н) 8К, „ ,	(IV.6.9)
где
8 == дк. нг61 + ^к, «Гй1 >
8 = ак, нАо 4“ ^К, я*?»-
В частном случае, при Гео=О, что соответствует условию
v=oo или h=0, уравнения (IV.6.9) упрощаются:
а Ч- (Sgo 4- Г61) а 4- (^а/si 560Г21) а = дк. А, Н 4- 8 йк, н;
Ф 4- (^20 + Г61) Ф 4- (^Bl^SO — Г21^6(0 Ф ~ ^к. А, н 4~ s8K. н ;
Ч + (^20 4~ Г61) Т] 4~ (^а/"е1	5бОГ21) 1) ~ А, н 4-
+ (^н-8Ж,н + 88к,к.	(IV.6.10)
Передаточные функции, соответствующие	уравнениям
(IV.6.9), согласно (IV.6.2) записываются следующим образом:
301
при гео =#О
(to)
_______________________^.к^ + ^ + Ук,.,
(io)3 * + (S2o + /"6i)(i“)2 + (^гоГб! — ^6ОГ21 + гбо) г'“ + ^гоГбо
(io)3 + (S20 + r6i) (i“)2 + (Зго^б! — Seo^2i + <бб) г’“ + ЗгоГво
,	(s — г^пй. ) I (Ь —s) io — a (i<^P
(*°) = -г/-^з	' н Д2-----------о~и ~ : (IV.6.11)
/о [(io) + (S20 + r6i) G'“) + (Sat/ei —
—5бОГ21 + Гбо) г“ + ^гоЛю
при г60=0
.	a (io)2 4- sia
1Га (to) =v=t5------------к’ Hz „ ---------------=
(io) 4- (S2o + r61) (io) 4- (S20r6i — Seo^ipo
z —.	’	b io 4- s
1Гф (M = T=b------------- о-------------------
'(io) + (S20 + r61) (io) +(^20г61 — ^60^21) io
1 VH(to)2-(\,H-S)t‘“-Sfl.c,H
<1VA'2)
Передаточные функции (IV.6.11), (IV.6.12) могут быть также
получены из формул (IV. 1.6). Для этого необходимо изображе-
ние сил и моментов заменить формулами ki(p) =ак,н6к,н(р) и
k?(p) =^к,нбк,н(р), где 6к,н(р) изображение угла перекладки
рулей.
Тогда передаточные функции представятся как отношение
изображений углов атаки и дифферента к изображению угла
перекладки рулей, т. е.
к« н '	к, н
После подстановки в эти выражения условия p=i(t> получим
формулы (IV.6.11), (IV.6.12).
Произведя промежуточные преобразования и приведение по-
добных членов в числителях и знаменателях выражений
(IV.6.11) и (IV.6.12), получим:
при Гво^О
1*$20г60	(*$20 + г61) “2| + £й> [(*$20г61	*^60г21 + г60) — “2|
, — ч	s + lb и
1ГЛ (to)=.-----------------------=g,	-Л"----------о----------------21 ;
[S20r60 — (^20 + r61) м 1 4-1“ l(S20r61	‘-’6ОГ21 + г6о) — “ ]
, —,	(Ь — s) и 4- i (s —	4- “2а )
(/ш) ___ _____________\ к, н /	~ \	60 к. н 1 к, к/____________ .
“ I [^гогво — (S20 + Г61) в2] + г'“ [(S2or6i — 5бо/"21 + гео) — “2]}
Ж
s + ia
При <60 = 0
V, (/») = --------------------- —---------------=-,
1(^20<60 — Seo<2i) — “ I 4- ‘ (S20 + <6i) “
,	s + ib ш
U7 (й>) =---------------=5—---------------------=rr ;
— (<$20 + <61) “ + г'“ 1(<$20<61—<$6О<21 ) — “1
,—(b —s}oi-t-‘(s—ш2а }
Г- M =-=i---------------к,н о	--------—-------=5П- • (IV.6.13)
11	<0 {—(S20 + <61)“ + г<0 l(S20<6i — Seo<2i)—“II
Умножая числитель и знаменатель (IV.6113) на комплексное
число, сопряженное знаменателю, получим выражения для веще-
ственной части и коэффициента при мнимой части передаточной
функции W (ш)
Ю + Г61) s] “ + [s (^20r61	^6ОГ21 + r6o)
ак, н (2^20Г60 + Г61Г6о)] Ю + ^20Г60
“6 + [(<520 + <61 )2 — 2 ($20<61 — 560<21 + <60)] “4 +
X [(^20Г61	‘~’бОГ21 + Гбо) 2^2ОГ6О (^20 + Г61)] “ X ~<’2О<60
“ак, н“5 + к, н (^20Г61 “ ^60Г21 + Гбо) ~ S (^20 — Г61)] “ X
X [s ^20Г60 ак, нГ60 (^20Г61	^6ОГ21 X <бо)] “
“6 + [(-Sbo + <6i)2 — 2 (*^20<6i — 5бо<21 4 <60)] “4 +
[(^20Г61	‘"’бОГ21 X Г6о) ^20Г60 (^20 + Г61)] “ X <<’20<60
*K, нм X к, н (^20r61 ~ ^60f21 + r№>) S (^20 + r61)] “ X <
+ [(S20 + <61)2 — 2 (^20<61 —5б0<21 + <60)1 “4 +
+ [(520Г61 ~ 560Г21_+ Гбо)2 — 2520Г60 (S20 + Г61)]	+ S20r60
5 ~ ^к, н (^20 + <6i)|	+ [*к,	60 ~ S (^20Г61	^6ОГ21 + Г6о)1
“6 + 1(^20 + <61)2 — 2 (<$20<61 — <$6О<21 + <60)1 “4 +
+ [(^20r6i ~ ^6ОГ21 Гео) ^гУво (‘"’го X Г61)] “ X ^20г«>
а к, н“6 + If ~ ГбА, н) 7 йк, н (Vel ~ r21S60 + Гбо)I “4 -
“ (*к. н — S) (^20 + Г61) “ — (S ~ Г60ак, н) (^20Г61 “ Г21^60 +
— S ) Г60^20т____________________ .
Q* (io)
K> H
“2 I “6 + [(<$20 + <6i)2 — 2 (5го<61 — <21^60 + <60)] “4 +
+ [(^20Г61 ~ Г21^60 + Г6о) “ 2$20Гв0 (^20 + Г61)] “ + ,'<’20Г60
[(\, н - ?) + ак, н (S20 + г61)] “5 - К\, н ~ 7) X
X (^20Г61	Г21^60 + Гво) + ак, нГ60^20 +
+ (^~Г60ак,К) (520 + Г61)| (S ~ Г60ак.Н)Г60520“
“21“6 + [(<$20 + <61 )2 — 2 (5го<б1 — <2i<Seo + <60 )1 “4 +
+ [(^20Гв1 Г2Г<’бО X Гбо) ^20Г60 (^20 + Г61)] “ X
+ 520Г60
303
Формулы (IV.6.14) существенно упрощаются, когда v = co
или /г=0, т. е. когда коэффициент гм=0:
р С _______________[ак, н (Ао + Г61) — s] а2 + Д 61 — Sgt/-,,,)	_
“4 + 1(^20 + г61)2 — 2 (S20r61 — •^во,"21)] “2 + (S2or6i — Ao^i)2
Q =	—ак, КМ + l/'к, н (АоГ61 ~ ^60Г21) ~ 5 (^20 + Г61)] м .
“4 + [(*^20 + г61)2 — 2 (S20r61 — At^l)! + (А1/61 — Аог21)2
р (щ)______________—*к- к10 + R к (^20Г61 — АоГ21 — S 20 + Г61)] Ш____________ ;
0)4 + 1С$20 + Г61)2 — 2 (Аог61 — Aor211 “2 + (•S'20r61 — SeoTzi)2
Q* R = 4-Г +-TF '520561 ~r-21i5j M . (IV.6.15)
{“ + [C$20 + r61) —2 (^20r61—$60r21)]“ +
+ (5гог61 —S60r2i)} “2
Амплитудные и фазовые частотные характеристики легко могут
быть получены на основании формул (IV.6.4). Все промежуточ-
ные выкладки опустим и напишем окончательные выражения:
для амплитудных характеристик
А* («>) =
= ,Л_________________4„(^-^)г+^г______________________.
V [АЛо— (Ао + ^61) “И2 + “2 [(S2C/61 — $бог21 + Гбо) — ^l2
Аф (га) =
__ -1 / _____________ s + *к, н">2>_____________________
F и2 ([S2or6O — (^20 + Г61) “2]2 + “2 [С$2С>Гб1 — •5бОГ21 + Г6о) — щ2|2|
А,(®) =
= -1 Л________(А, н —з)2^2 + (з —'боДц, „ 4’дК| HZ?)2_______
г и {go — (S20 _|_ Гв1) ш ] 4- [(S20r61 — S6()r21 4- Fgo) — “ ] и }
(IV.6.16)
для фазовых характеристик
„ (.7) лгГ.г ~ак. нщ3 4-	н (У61 - ЗбОГ21) ~~S (*S20 + r61)] “ .
Л	Кв(Ао-Г61)-»]“2^2Л1-^21)2
<рф (®) = arctg [SrS H(s_2o+r6i)] a3~s (V6|-r21S6o)_m	.
н“ < [*к, н(АоГ61 _ Sgor21) S (Al) + r61)J “
304
arctg f(*K'H s)+ ак. H(‘S2o + r6i)] ш [(*к. н (^at/'ei
ак, h“ + [(s ГкРк, н) ак. н (^20r61	r21^6O
Г21^60 + Гбо) + ак, Hr6O^2O (S r60aK. к) (^20 + Г61)] M
+ Гбо) J “ — (*«. H- 3) (S20 + r61) “2 — (S — в) X
— (s — r„a,_ „) r„S„„
\60 к< н/ 60 20 fl\7 6 17)
X (^20Г61 — Г21^60 + Гбо) “ + (Йк, H s) r60^20
Полагая затем в (IV.6.16), (IV.6.17) reo=O, для случая «бес-
конечной» скорости получим:
амплитудные характеристики
Фазовые характеристики
~ак, / + [ак. к9 ~ з (^20 + r6i )j m
Кн(5» + ,гяН“2+’’
<?« (“) = arctg
<Рф(о>)= arctg
Нк, к“2 + fr, K?‘~S (S20 + Г61)] ! “ ’
<Р, 0 = arctg
[(\, н з) + аК1 н(^20 +'*«)] “ К^к, « s) X
_____________g-_S(52o + r61)]J______________
«к, н“4 + [3 - V Н?| “2 - Я- з) ($20 + r61) “ “
(IV.6.19)
Как следует из формул (IV.6.18), (lV.6.19), характеристики
Ла,$, п и <р<х, -ф, п данной ПЛ при постоянной скорости ее движения
зависят от частоты перекладки горизонтальных рулей <в. Анало-
гично могут быть получены передаточные функции по скорости
изменения дифферента и относительной глубины.
Амплитудно-частотные характеристики позволяют составить
выражение для параметров движения ПЛ при гармонической
перекладке рулей. Для вынужденного движения в вертикальной
плоскости при амплитуде угла перекладки горизонтальных
Рулей Sk0 (гармоническая перекладка по закону косинуса)
20 Заказ № 018
305
кинематические параметры на основании формулы (IV.6.8)
имеют вид:
угол атаки
aB С1) =АоА, (<•>) cos (шт-]-<?„);	(IV.6.19а)
угол дифферента
Фв(1:)=йкО^Ф (ш) COS (шт(IV.6.20)
изменение глубины
'/1в('с)= ^^(ш) cos (шт 4- ?ч),	(IV.6.20а)
где Аа, Лф, Лп и сра, фф, фп находятся по формулам (IV.6.16),
(IV.6.17)
Кинематические параметры ПЛ при гармоническом измене-
нии возмущающих сил могут быть также найдены с помощью
фундаментальных функций, рассмотренных в § 1 настоящей
главы. Сравнение результатов решений позволяет установить
между ними связь.
Полагая в выражениях (IV.6.16), (IV.6.17) ш=ф=0, най-
дем для параметров ф, а статические отклонения, под кото-
рыми будем понимать весьма медленный переход ПЛ в новый
установившийся режим движения:
А	А
“ст ак, н	Фет	S	/IV А пц
= = (IV-6-21)
Для оценки чувствительности ПЛ к угловым отклонениям
вводят понятие о коэффициенте динамичности С, под которым
понимают отношение амплитуды вынужденных колебаний с ко-
нечной частотой при единичной перекладке рулей к величине
статического отклонения. Коэффициенты динамичности для уг-
лов атаки и дифферента соответственно
=	=	(IV.6.22)
’СТ	'Рст
В качестве характеристики чувствительности ПЛ по верти-
кальным перемещениям принимают отношение амплитуды вы-
нужденных колебаний к амплитуде угла перекладки рулей, т. е.
=	(IV.6.23)
Таким образом, реакция ПЛ'На гармоническую перекладку
горизонтальных рулей характеризуется амплитудой А, фазовым
углом ф, коэффициентами динамичности £.
Иногда сдвиг по фазе рассматривают как запаздывание по
времени.
306
Обозначим А/а, ЛА», Д/п запаздывание по времени. Если из-
вестны фазовые углы, то АЛ; определяются по формулам:
^=^^=^0 Г°;
'Рф	Ф?
Д^Ф = 2и Т’о = geo- То ;
<РЧ	9?
Д^ = ^г7’о= З^Т’о:	(IV.6.24)
где То—период колебания ПЛ.
Для иллюстрации на рис. IV.23, а, б, в и IV.24 приве-
дены кривые Р(в>), Q (to), A (to) и <р (to), рассчитанные по форму-
лам (IV.6.18), (IV.6.19) для условной подводной лодки. Диапа-
зон безразмерных частот перекладки горизонтальных рулей
выбран из условия надежности работы рулевого устройства
(8—10 перекладок в минуту). Кривые показывают, что с увеличе-
нием частоты to амплитуда колебаний и фазовые углы парамет-
ров а и i|’ резко уменьшается.
На р ис. IV.25 для той же ПЛ даны зависимости коэффи-
циентов динамичности для угловых отклонений и в функ-
ции от частоты перекладки горизонтальных рулей to.
Эти графики позволяют сделать качественный вывод о том,
что с увеличением частоты коэффициент динамичности резко
уменьшается. На рис. IV.26 даны для той же ПЛ зависимости
запаздывания по времени между углами перекладки рулей и из-
менениями углов атаки, дифферента и глубины.
Ввиду сложности формул для определения амплитудно-час-
тотных характеристик в ряде случаев их упрощают.
Из рис. IV.23, IV.24 видно, что зависимости этих характеристик'
от частоты имеют нелинейный характер, затрудняющий их ап-
проксимацию.
Расчеты амплитудно-частотных характеристик для ряда ПЛ
показывают, что целесообразно аппроксимировать не квадрат
амплитуды, а функцию, обратную ей.1
k2 —
На рис. IV.27, а, б построены зависимости —— (со2) и
/Iй
а
k2 —
-----(и2), из которых видно, что в значительном диапазоне час-
и2Л2
ф
k2 —
тот они легко аппроксимируются. В частности, кривая —- (to)
/1
1 Указанная аппроксимация была предложена Е. Б. Юдиным.
20*
307
(Li
при значениях со >0,3 может быть заменена прямой вида
k2
А2
а
=А + Всо2, где А и В — численные коэффициенты, определяе-
мые по гоафику.
Рис. 1V.24. Фазовые характе-
ристики.
Рис. 1V.26. Запаздывание по вре-
мени между перекладкой горизон-
тальных рулей и изменениями ки-
нематических параметров.
Рис. 1V.25. Коэффициенты динамич-
ности в функции от частоты пере-
кладки.
Аппроксимация амплитудной характеристики означает упро-
щение передаточной функции Wa и исходного дифференциаль-
ного уравнения (IV.6.9).
k2	--
В рассмотренном случае, когда -тт—=А + Вв>2 приближен-
ии
а
ное дифференциальное уравнение движения
7> + a = V(T),	(IV.6.25)
309
Рис. IV.27. Аппроксимация амплитудных характеристик:
точное значение.------аппроксимирующая прямая.
где Та и ka — находятся на основании данных аппроксимации.
С целью проверки уравнения (IV.6.25) составим для него пе-
редаточную функцию
G®) =	~-----k-2—T	(IV-6.26)
7>+l	<7>+l	'
и найдем амплитудную характеристику Аа. Умножив числитель
и знаменатель формулы (IV.6.26) на комплексное число, сопря-
310
женное знаменателю, получим
Ц7а (й) = ря (со) iQa (») =
1 + Г> 1 + Таа
Откуда имеем квадрат амплитудной характеристики
ь2
А2(т) = р2(ш) + (2*(<о) = —(IV.6.26а)
1 + / а<0
kz	—
Сравнивая выражения (IV.6.26, а) и —~=А 4- В®2 найдем
/1
а
коэффициенты
(lv-6-27)
После подстановки (IV.6.27) в (IV.6.25) приближенное диф-
ференциальное уравнение для угла атаки записывается так:
]/|[; + a = -L8(4	(IV.6.28)
Аналогично можно произвести аппроксимацию кривой
k2 —
—----- (со2). Как следует из рис. IV.27, б, линейная аппроксима-
соМ2
ция функции оправдана при со>О,2. В этом случае запишем
приближенное равенство
^- = A + Bi2,	(IV.6.29)
<0 А ф
где значения А и В также определяются по графику.
На основании формулы (IV.6.29) получим
Аф (ш) =-----------у- .	(IV.6.30)
^А (1 + 4 4
Приближенное выражение для амплитудной характеристики
соответствует приближенному дифференциальному уравнению
движения
7\,ф4-ф=М(')-	(IV.6.31)
Для проверки уравнения (IV.6.31) составим соответствую-
щую ему передаточную функцию
	—	
-	+ /и	«р2 “4 , ~~2 Т ш	т2~4 । ~2 ГфСО +
311
Откуда получим квадрат амплитудной характеристики
k2
4=/Ш + <2ф(«>) =	(IV.6.32)
(1 + Т)"'
Сравнивая формулы (IV.6.30) и (IV.6.32), найдем коэффи-
циенты приближенного дифференциального уравнения
А _	.т 1/ &
У А ' /ф_ г л •
Тогда (IV.6.31) перепишем окончательно в виде:
(IV-6-33)
Дифференциальное уравнение (IV.6.33) может быть исполь-
зовано для приближенного определения параметров движе-
ния ПЛ.
Передаточные функции часто представляются через опера-
тор p = ia>. Тогда в рассматриваемом случае движения ПЛ
в вертикальной плоскости они записываются так:
a ..р2 -4- sp -4- r.,,a
пу /	______________ к» у . г ' 60 к. н________________ .
®' ' Р3 + (^20 + Г61 ) р2 + (S20r61—•'<’б0/"21 + г6о) Р + $20гв0
W,(p)
________________________ bKtKp + s______________________________
Р' + (Sso + r61 ) Р2 + (‘^20г61 — <’б0/"21 + г6о) Р + <’20г60 ’
изд
(* - Г60ак. к) + (\, к ~ ) Р - "к. У
Р [р3 + (^20 + Гб]) Р2 + (S20r61 —
— SfeoTzi + r6t>) Р + <’2огбо
(IV.6.34)
Представим числители и знаменатели выражений в виде
сомножителей. После промежуточных преобразований, которые
здесь опущены, получим:
w - кЛ^ + т^ + т2лр) .
(l+7\aP)(l+7V)(l + 75a/>) •
W7 _______________М1+2дф£)___________ .
(1 + ^)(1 + тзфр)(1 + т-4фр) ’
IV// \	М1 +Г1Ч/’)(1 + ГМР)
Wr'(р)“ р(1 + гзЛ(1 +^(^^р) ’	(!V-6-35)
Коэффициенты ka, kq, и Tia, Tiq, ТгЪ формул (IV.6.35)
находятся путем сравнения с Коэффициентами полиномов чис-
лителей и знаменателей выражения (IV.6.34).
312
В теории автоматического регулирования сомножители, вхо-
дящие в выражение для передаточной функции, называются
звеньями системы. В рассматриваемом случае это звенья не-
замкнутой системы, характеризующие только объект регулиро-
вания. Звено вида k называется усилительным, звено (l-f-Tip)—
ХЛ.	1
дифференцирующим, звено------------интегрирующим, звено
1
,	-----инерционным.
I -г Tip
Каждое из этих звеньев характеризует определенный пере-
ходной процесс. Таким образом, ПЛ как объект регулирования
можно представить н виде ряда звеньев, характеризующих ее
реакции на отклонение рулей. Предстаиим передаточные функ-
ции в виде схем:
изменение угла атаки
изменение угла дифферента
изменение относительной глубины
Число звеньев уменьшается, если рассматривается движение
при весьма большой скорости (r«o-*O). Тогда для угла атаки и
дифферента получим четыре звена.
В отдельных случаях аппроксимация амплитудных характе-
ристик приводит к понижению порядка дифференциального
уравнения, описывающего движение ПЛ‘? и соответственно
313
к уменьшению числа звеньев. Ранее было показано, что в слу-
чае линейной аппроксимации величины, обратной квадрату ам-
плитудно-частотной характеристики, упрощенное дифференци-
альное уравнение относительно угла атаки имеет первый поря-
док, а передаточная функция представляется в виде двух
звеньев. Упрощенное дифференциальное уравнение относительно
угла дифферента имеет второй порядок, а соответствующая
ему передаточная функция — три звена.
Передаточные функции при движении ПЛ в вертикальной
плоскости вблизи свободной поверхности могут быть легко по-
лучены из выражений (IV.4.5), если вместо изображений сил и
моментов на рулях подставить выражения: Мр) =ак,н6 (р);
й2(р) =&к,п6 (р), где 6 (р)—изображение угла перекладки.
Опуская промежуточные преобразования, получим:
ак, ЯР3 + (''бА, н + Г21А н) Р2 + ак. ,V -
Ц7 (nS— л	~ ^'К1 "?6°	*к’ ||1?2°)______ 
8к,в(/,)	Р4 + а'Р^ + а2Р2 + аЬР + а4
Ьк. н*’3 + A, hS20 + ак, HS6o) Р “
П7 ( п\__	(Р) _____ ______н^60 + А н^2о)___________.
\.н(р) Р4 + агрЬ + а2р- + а3р + <z4
117 in\ ^(Р) ________	аК.н/’2+[ак,н^+(1+^1)Ав]/’ /Т\Т с ос\
1(Р)_ \,н(Р)	P4 + aip3 + a2p2 + «3P + a4  (1V-b-3b)
где
Д1 = ^20 4~ Г61 ’ а2 =	61	21 + Г60	^20 :
аз= 82йгgo	(1 r2i) ^бо	• a4==('S60	г№)	82йд^.
Здесь аъ соответственно равны коэффициентам А{ в (IV.7.7, а).
Представим многочлены, входящие в выражения (IV.6.36),
в виде произведения нескольких сомножителей. Тогда переда-
точные функции могут быть записаны следующим образом:
А (I + Г1дР)(1 + ^2аР)(1 + ^ЗаР)
(1 + T4ap)(l + Р5ар)(1 + Г6ар) (1 + Т7,р)
Йф (1 + 7 14>р) (1 + Т2фР)
0 +7’зф/’)0 +Г4фР)(1 +Г5ф)(1 +ТЫ/Р)
________^(1 + Тц/ОО + ^р)______________
(1+т^р) (1+ед о+ед о+ед
(IV.6.37)
Подставляя в (IV.6.37) условие p=i<s>, после освобождения
от мнимости в знаменателе и ряда преобразований можно полу-
314
чить формулы для амплитудных и фазовых характеристик ПЛ
при движении ее вблизи свободной поверхности.
Рассмотрим передаточные функции и амплитудно-частотные
характеристики, определяющие движение ПЛ в горизонтальной
плоскости, вызванное перекладкой вертикального руля. По ана-
логии с выводами, выполненными для вертикальной плоскости,
систему уравнений (II.4.6) приведем к двум независимым диф-
ференциальным уравнениям с неизвестными углом дрейфа (пер-
вое уравнение) и углом курса (второе уравнение). После ряда
промежуточных преобразований, которые опускаем, имеем:
Р (1	S51T42) 4- Р (S40 —Н Г51	•^50Г42	Г41^51) 4~
4“ Р (S-кГ51 Г41^5о) = (СГ51	^г41) “в (С	dr42) ®в I
ф (1	S51r42) ср (г514- S40 — S50r42 — Г41S51) 4~
4~ ? ('^40Г51	Г41^6о) = (^Aod ~~ ^50С) ®в 4~ (^ ^51С) • (IV.6.38)
Эти уравнения несколько упрощаются, если предположить,
что ПЛ симметрична относительно плоскости г/iozi и коэффици-
ент присоединенного статического момента й35 равен нулю. Тогда,
полагая S51=r42=0; перепишем выражения (IV.6.38):
Р 4 Р (>^40 4~ Г51) 4* Р (^и/"51	Г41^5о) = (сг51	°1г41) ®в ’
ср 4~ ? (S40 + Г51) 4- <? (S40T51 — г41S6O) =
= (S40d-Ssoc)bB + dia.	(IV.6.39)
Введем новые обозначения и составим выражения для пере-
даточных функций по углам дрейфа и курса:
«4 (й>)
rt — /г2Ю
(гы)2 4- и,» + ?|
Г¥(г<о) =
г3 + Zr4u>
i(a [(/<л)2+ injio
(IV.6.40)
где
r1 = cr51-rfr41; r4=d — S51<?;
r2 = c dr^- n< =S40 4~ r5i!
r3 = ^40^	S50C;	= r51S40 —- r41S50.
После умножения числителя и знаменателя второго выраже-
ния (IV.6.40) на i и ряда преобразований получим:
W9 (й) =	_2Г1~^М.	;
(—ы2 4- ?,) -4- гщш

—г4ю 4- tr3
“ [(—“2 + ?1) + ?”!"]
(IV.6.41)
315
Учитывая, что p = i®, передаточные функции (IV.6.40) можно
представить так:
W9(p) =------
'	Р2 + п\Р + Я1
U7T(p) = -—.	(IV.6.42)
' Р(Р2 + «,/» + ?i)	'
После простых алгебраических преобразований передаточ-
ные функции можно представить, как уже указывалось, в виде
произведения нескольких сомножителей:
(1+Т2^)(1+Т3^) ’
’ Р(1 +k,pj’ 	(IV.6.43)
Как видно из формул (IV.j6.43), передаточные функции имеют
в первом случае четыре, во втором — пять сомножителей. Для
случая движения ПЛ в горизонтальной плоскости передаточные
функции незамкнутой системы характеризуются четырьмя и пя-
тью звеньями.
С помощью выражений для передаточных функций найдем:
амплитудные характеристики
у/. г? + ^<02
V ^ + (п2_291)и2+92 .
 4+гР
V 52 р+(п?-291р2 + <
(IV.6.44)
фазовые характеристики
arctg	= arctg ~ ^э) +	.
—г4<» (—Л н- qx) + Г3П1Ш	+ (гзЛ! — r4?i)
= arctg	= afCtg ^-(r^. + nn,)^ _
r, (—<0 4. 91) — r2B n,	— (r 1 + Г2П] ) о/ + Г1?|
(IV.6.45)
Формулы (IV.6.44), (IV.6.45) позволяют составить выраже-
ния для параметров; .движения ПЛ в горизонтальной плоскости
при гармонической Перекладке вертикального руля. После пре-
образований имеем:
₽. ('0=	(“) cos (Йт + <рэ);
Т.С1) =	(“) cos (<от + <₽,»),	(IV.6.46)
где бВо—амплитуда угла перекладки вертикального руля.
316
Для оценки реакции ПЛ на перекладку вертикального руля
можно ввести понятие о коэффициенте динамичности. Полагая
в (IV.6.44) частоту а>=0, найдем статическое отклонение ампли-
туды угла дрейфа
Разделив амплитуду Яр ст на статическое отклонение, полу-
Др
чим коэффициент динамичности	.
Др ст
Реакцию ПЛ по курсовому углу можно характеризовать от-
ношением
(IV .6.47)
во
Сказанное выше справедливо в рамках линейной теории, ко-
торая для горизонтальной плоскости имеет ограниченйое приме-
нение.
§ 7.	ВЛИЯНИЕ ВОЛНЕНИЯ НА ПАРАМЕТРЫ ДВИЖЕНИЯ ПЛ
ВБЛИЗИ СВОБОДНОЙ ПОВЕРХНОСТИ
В большинстве случаев движение ПЛ вблизи свободной по-
верхности происходит при наличии на ней волнения, которое, рас-
пространяясь на определенную глубину, вызывает изменение
кинематических параметров движения ПЛ. Ввиду периодиче-
ского характера волнения возникают периодические изменения
параметров движения ПЛ как в вертикальной, так и в горизон-
тальной плоскостях. Для упрощения зйДачи предположим, что
на свободной поверхности распространяется регулярное вол-
нение, безразмерная кажущаяся частота которого а>к. Возму-
щающие силы и моменты, вызванные этим волнением и Дей-
ствующие на подводную лодку, могут быть определены по форму-
лам § 6 гл. I.
Рассмотрим последовательно влияние волнения на кинемати-
ческие параметры плоских движений — вертикального и гори-
зонтального.
При движении в вертикальной плоскости влияние свободной
поверхности проявляется не только в появлении периодических
возмущающих сил и моментов, вызванных Волнением, но также
и в появлении волновых составляющих гидродинамических сил и
моментов, обусловленных движением ПЛ вблизи невзволнован-
ной свободной поверхности. Эта задача была рассмотрена
М. Е. Мазором и Ю. П. Васильевым.
Используя выводы § 3 гл. II составим безразмерные диффе-
ренциальные уравнения движения ПЛ в вертикальной плоскости,
317
предполагая, что имеет место возмущенное движение отно-
сительно некоторого установившегося. Полагая для общности,
что позиционные гидродинамические силы и моменты являются
квадратичными функциями от угла атаки и используя формулы
(1.6.10), получим:
“ + £20“ + 52]а | а | - г2]ф + qxi) = ак, Д, н 4- а0 cos шкт •
Ф +	+ Гвоф - -	- s6,a I a I - q^ = bK, Д, H + b0 sin	;
^=<|>-a,	(IV .7.1)
.	ш	г	r*	*1 'iT T
где a0 = -Ao	; b0 = Bo	Г+^	.
Ввиду нелинейного характера системы дифференциальных
уравнений (IV.7.1) ее решение может быть получено численными
методами вручную или на ЭВМ. Для исследования качествен-
ной картины явления представим выражения (IV.7.1) в линей-
ной форме, полагая Sai=S«i = 0. Тогда система дифференциаль-
ных уравнений имеет вид:
а 4- S20a - r2fy 4- q^ = aK, Д,„ 4- a0 cos шкт;
Ф + г61ф ГеоФ - M = Д, н 4- b0 sin шкт;
^ = ф-а,	(IV.7.2)
Предположим, что горизонтальные рулн находятся в нейт-
ральном положении, т. е. бк, н=0. Обозначим f (t)=cos «кт, и
найдем производную этого выражения по безразмерному вре-
мени
/(т)=- (0Ksini0KT.
С учетом новых обозначений перепишем уравнения
a 4- S2oa — Г21Ф + М = aof (4;
Ф + ПпФ4-'воФ-$6о‘*~ W =	^1 = ф-а. (IV.7.3)
“к
Для определения амплитуд колебаний кинематических пара-
метров воспользуемся амплитудно-частотным методом. Составим
выражения для передаточных функций, используя операционное
исчисление. Примем обозначения § 1 гл. IV и установим связи
318
между первоначальными функциями
а именно:
а(т)4-а(р); ф (у) -Д- рф (р);
а(т)^-ра(р);	|(’)гА(Р):
ФСО А-ФСр); /(х)4-/(р);
и их изображениями,
/(’')vpZ(p);
'4(х)'г71(Р);
71(т)*^рт;(р).	(IV.7.4)
С помощью формул (IV.7.4) напишем систему алгебраиче-
ских уравнений
(Р + S20)«(Р) ~ Г21РФ (/») + 4^20^1 (/») = до/ (Р):
-Seoa (р) + (р2 + г61р + г№) ф (р) - М(р) ^---b-pf (р);
«(Р)“ Ф(Р) + ЛП(Р)==О-	(1V.7.5)
Главный определитель системы (IV.7.5)
Д(р) =
Р Н~ Sso!
Soo;
1;
~r2ip-,
Р2 + reip + r60;
— 1;
Q20
~Qbo
P
(IV.7.6)
Частные определители
Дф (р) =
Р + S‘2O’ ~rtlP’<
7 20
Qet>
Р
До (р) =
Р2 + reiP + V, -~Ь-р
“к
(IV.7.7)
Раскрывая определители (IV.7.7) по минорам 2-го и 3-го
столбца, соответственно, и используя выражение для главного
определителя составим при p = ia>K передаточные функции по
углу дифферента и изменению глубины
(“« — А®- 
Ш \ ро (+ 56О - гбо) + 0 - G1)	-1 [у«в, + *о52о]
к} + +
(IV.7.7a)
где Д] = S20 r6I; A3 = SMrso	(^~r2i)4so
^s = SjflT6i	S60r2j	r60	Q20 (Sgo reo) #20 — S20<760.
319
Выражение (IV.6.4) позволяет написать формулы
для амплитудной характеристики
„	. т / «? + *?	х , Г al + bl
Л>к)=1/^-4.	(iv.7.8)
Г •'I Т“1	’ Н “Г а[
где Д1 = до7бО ^20^0Шк',	^1 — д0^60Шк	^0 (мк Ч~ <?2о);
С1=юк A2<»r-|-Ai; di = шк (Лшк Н~ ^з):
д2 = а0 (®к + >^60 — гбо) + (1	Г21) ^0fflK> f>2 = df6|<i>K	b0Sw ;
для фазовой характеристики
(»>) = arctg = arctg	;
<р- (ш) = arctg = arctg	. (IV.7.9)
Взволнованная свободная поверхность оказывает также влия-
ние на параметры движения ПЛ в горизонтальной плоскости, вы-
зывая гармонические рыскания и боковое смещение.
Уравнение вынужденных колебаний ПЛ составим в безраз-
мерном виде, используя выражения (IV.5.2), в правые части ко-
торых добавим возмущающие силы и моменты (1.6.10), вызван-
ные регулярным волнением.
Рассматривая возмущенное движение относительно устано-
вившегося и принимая в общем случае квадратичный закон изме-
нения позиционных гидродинамических сил и моментов в функ-
ции от угла дрейфа, подучим:
? + 54о₽ + I ? I + с4] <р = с8в — cos шкт;
? + г-л? +Ло₽ - «51? I ? I = А Т b, sin V;
£ = ?-₽,	(IV.7.10)
где
1+*зз-^-	1+Й55^7-^
а?=А? 1+aJ :	= —
|-9
У10>Х‘4<р''ч> J У1
Следуя предложенной ранее схеме, рассмотрим решение
в линейной постановке и положим 5«=561=0. Кроме того, бу-
дем считать, что вертикальный руль находится в нейтральном
положении. Принимая прежние обозначения для возмущающих
520
сил и моментов, вызванных волнением, систему дифференциаль-
ных уравнений представим в виде:
? + S40P -|-r41?== ~ a<ff
? + г51? 4- М = - f (t);
“к
t= ср-p.	(IV.7.11)
Перепишем уравнения (IV.7.11) в операторной форме
(р + М ₽ (Р) + Г41Л> (р) = ~atf (р);
4-М (р) 4- р (.Р 4- r5i) <? (р) = -	/ (р); (IV.7.12)
<ок
₽(р) — ф(р) 4-pt=o.
Для определения амплитуд и фазовых углов колебаний най-
дем сначала передаточные функции по углу курса <р и боковому
смещению t,.
Передаточные функции
где Д, Дв и Ас — главный и соответствующие частные определи-
тели системы.
По коэффициентам при неизвестных в левых частях уравне-
ний составим определители системы (IV.7.12)
главный определитель
Д(Р) =
Р 4- ^40 '
^50’
1;
W.	0
Р(Р-Ш 0
-1;	Р
dv.7.14)
частные определители
21 Злказ № 018
321
(IV.7.15>
Раскрывая определители (IV.7.14), (IV.7.15) и полагая р=
=icoK, после ряда ' промежуточных преобразований, которые
здесь опущены, получим выражения:
для передаточной функции по углу курса
IFy(wK)= _	_ V5imk + (Vk + *-pmZ4i?--------	, (iVi716)
“к [~“к + (S40r51 - 550Г41) + (S40 + Г51) "V ]
для передаточной функции по боковому смещению
U7- (г'ш \_ [~а<Р^50 + а<рМк ~ О + Г41) %] + (аТГ51Мк ~ *Ао) 1
“к “к + (^40Г51	^50Г41) + (^40 + Г51) “к1']
(IV.7.17)
Обозначим вещественные части и коэффициенты при мни-
мых частях комплексных чисел в числителях и знаменателях пе-
редаточных функций через at, bi, а и di соответственно:
ai = а<рг51“к	b i = оХ +	;
а2= я<р ( 550 4- о>к) 6¥( 1 + г41) шк ; Ь2 =	51<х>к — b^S^,
с~ —“к -|- (*^40^*51	^50r4l);	— (^Чо + ГS1) Шк 
Амплитуды и фазовые углы вынужденных колебаний ПЛ в го-
ризонтальной плоскости, вызванные волнением, представятся
в виде:
Л (шк) =
1 1 / а? +
- V & + d2
c^ + iP 
X)-arctg-gjg-; ^(O^arctg g +	(IV.7.18)
Результаты расчетов амплитуд колебаний углов дифферента
Ац,, вертикальных колебаний Ап, угла курса А„ и бокового сме-
щения А; при движении ПЛ вблизи взволнованной свободной
поверхности приведены иа рис. IV.28, а, б, в. Расчеты выполня-
лись для условной подводной лодки, находящейся на глубине
20 к, при параметрах волнения: угле волнового склона 8°, длине
волн от 40 до 200 м, изменении курсового угла волны от 0 до
180°. Исследование влияния регулярного волнения на кинема-
тические параметры ПЛ было выполнено М. Е. Мазором [60].
322
80	120	160 Л,м
Рис. IV.28. Влияние регу-
лярного волнения на ки-
нематические параметры
ПЛ: а — Лф и Л^; б —
Лт; в— Лс .
'-----без авторулевого;
ООООс авторулевым
21*
§ 8. ПОНЯТИЕ ОБ УСТОЙЧИВОСТИ ДВИЖЕНИЯ.
МЕТОДЫ ИССЛЕДОВАНИЯ УСТОЙЧИВОСТИ
Под динамической устойчивостью движения будем понимать
способность ПЛ после отклонения от исходного движения воз-
вращаться к нему с течением времени или переходить к некото-
рому новому установившемуся движению после прекращения
действия внешних импульсов. В первом случае устойчивость на-
зываемся асимптотической, во втором случае — неасимптотиче-
ской. С практической точки зрения второй случай также следует
считать неустойчивым, так как действие импульса приводит к ко-
нечному изменению параметров дви-
менн угла дифферента устой-
чивой и неустойчивой ПЛ.
----------асвмптотнческн устойчи-
вая ПЛ,---неустойчивая ПЛ.
жения. При рассмотрении устойчи-
вости движения ПЛ производится
оценка всех кинематических пара-
метров: углов атаки а, дифферента
ф, дрейфа р, курса ср, крена 9, глу-
бины т] и бокового смещения £.
Если же с течением времени тот
или иной параметр, характеризую-
щий движение, неограниченно воз-
растает, то такое движение назовем
неустойчивым. На рис. IV.29 даны
графики изменения углов дифферен-
та во времени для устойчивого и- не-
устойчивого движения ПЛ.
Наиболее четко сформулировал
задачу об устойчивости движения и дал строгое определение са-
мого понятия устойчивости с математической точки зрения изве-
стный русский ученый математик А. М. Ляпунов. В соответствии
с его выводами механическая система является асимптотически
устойчивой, если все действительные корни и действительные ча-
сти комплексных корней характеристического уравнения отрица-
тельны. При существовании хотя бы одного положительного
корня система оказывается неустойчивой. При отсутствии нуле-
вых корней или нулевых вещественных частей комплексных кор-
ней это условие является необходимым и достаточным. Наличие
одного нулевого корня или чисто мнимого приводит к необходи-
мости исследовать устойчивость во втором приближении. Во мно-
гих случаях существование одного нулевого корня при всех
остальных корнях отрицательных означает неасимптотическую
устойчивость. А. М. Ляпуновым и значительно позднее Г. В. Ка-
менковым была исследована устойчивость движения при
наличии двойного нулевого корня характеристического урав-
нения.
Устойчивость движения ПЛ можно, вообще говоря, рассмат-
ривать при действии больших и малых возмущений.
324
При исследовании движения ПЛ будем рассматривать устой-
чивость в малом, т. е. ограничимся случаем, когда начальные
отклонения кинематических параметров невелики. Различают ус-
тойчивость динамическую и статическую. Прн оценке динамиче-
ской устойчивости учитываются позиционные, демпфирующие и
инерционные силы и моменты. Статическая устойчивость рас-
сматривается в предположении действия только позиционных
гидродинамических сил и моментов.
Изучим статическую устойчивость ПЛ по угловым отклоне-
ниям (а и р), глубине погружения и боковому смещению ц. т.
Предположим, что при поступательном установившемся дви-
жении в продольной плоскости ПЛ получила положительное при-
ращение угла атаки а, что вызывает изменение гидродинамиче-
ского момента AAfz, и нормальной силы ДУь В линейной поста-
новке эти приращения можно представить так:
^Мг, = №1г,аV;
или в безразмерном виде
ДЛ12, = т^а
Mi = С“,a.	(IV.8.1)
Согласно принятому правилу знаков момент АЛ1г, имеет по-
ложительный знак при направлении против часовой стрелки,
а сила АУ1 — при направлении вверх. Очевидно, что при положи-
тельном а ПЛ вернется в исходное положение, если AAf21< 0 и
AKi < 0. Установим, в каких случаях эти условия выполняются.
Так как а > 0, то для обеспечения статической устойчивости не-
обходимо выполнение условий:
<<0 и С;,<0.	(IV.8.2)
Первое неравенство представляет собой критерий статиче-
ской устойчивости ПЛ по угловым отклонениям, второй—по
глубине. Аналогичными рассуждениями можно показать, что
при отрицательном значении угла атаки а критерии устойчиво-
сти (IV.8.1), (IV.8.2) так же справедливы. Возможно ли выпол-
нение этих критериев?
Величина и знак продольного момента Алг^ зависят от коор-
динаты точки приложения позиционных гидродинамических
325
сил—центра давления. В дальнейшем будем учитывать только
абсциссу этой точки, т. е. считать, что центр давления располо-
жен на оси oxi. В зависимости от формы корпуса и горизон-
тального оперения возможно различное положение центра давле-
ния относительно центра тяжести ПЛ (начала координат).
При расположении центра давления в нос от центра тяжести
в случае а> 0 появляется опрокидывающий момент иа корму —
ПЛ статически неустойчива, при кормовом расположении центра
давления возникает гидродинамический момент на нос, возвра-
щающий ПЛ в исходное положение. В данном случае ПЛ стати-
чески устойчива. Эти выводы следуют из рассмотрения кривой
т (а). Наиболее полное представление об изменении степени
статической устойчивости ПЛ в вертикальной плоскости дает
кривая /пг(а), построенная при круговом изменении угла атаки.
Как видно из рис. 1.52, в зависимости от угла атаки степень ста-
тической устойчивости изменяется. Имеются зоны статической
неустойчивости и статической устойчивости.
При а > 0, как правило, всегда появляется положительное
значение нормальной силы AKi и условие статической устойчи-
вости по глубине не выполняется. Таким образом, по глубине ПЛ
всегда статически неустойчива. Разделив на положительное
значение С“, представим критерий статической устойчивости ПЛ
Ъ
(IV.8.3)
где b—относительное п^ечо (абсцисса) точки приложения по-
зиционных сил в продольной плоскости.
Обычно применяют следующие определения:
если b < 0, то ПЛ (Статически устойчива; если 6=0, то ПЛ
статически нейтральна!; если & О, то ПЛ статически неустой-
чива.
Статическая устойчивость может быть достигнута за счет уве-
личения площади кормового горизонтального оперения (смеще-
ние центра давления в корму). Это, однако, ухудшает маневрен-
ность ПЛ в вертикадвиой плоскости. В связи с этим все совре-
менные ПЛ проектируются статически неустойчивыми. Степень
статической неустойчивости определяется отношением
b
—, вели-
чина которого находится в пределах 0,2-нО,3.
Составим критерии статической устойчивости движения ПЛ
в горизонтальной плоскости. При положительном изменении угла
326
дрейфа Р получим приращения гидродинамического момента и
бовокой силы
Шу, = V; = (?£₽	V‘f‘,
или в безразмерном виде
ДЛ?У1=<Р; AZ, = C!,₽.	(IV.8.4)
Очевидно, что при р > 0 критерии статической устойчивости
движения в горизонтальной плоскости
Му,<0, С?,<0.	(IV .8.5)
Первый критерий определяет статическую устойчивость отно-
сительно угловых отклонений, второй — относительно бокового
смещения.
Значение гидродинамического момента зависит от формы и
размеров диаметральной плоскости ПЛ и вертикального опере-
ния. При неизменной форме корпуса за счет вариации оперения
можно получить различные величины и знаки гидродинамиче-
ского момента , т. е. условие < 0 может быть выпол-
нено. Ввиду того, что при положительном изменении угла дрейфа
Р всегда появляется боковая сила AZi, вызывающая боковое сме-
щение, то в этом смысле ПЛ статически неустойчива. Разделив
левую часть неравенства первого критерия на положительное
значение С& , получим условие статической устойчивости при
движении ПЛ в горизонтальной плоскости
-
Z'1 = W<0'	(IV‘8'6)
Здесь также вводятся понятия о статически устойчивой, нейт-
ральной и неустойчивой ПЛ. Если < 0, то ПЛ статически ус-
тойчива; если bt=O, то ПЛ статически нейтральна; если bi > О,
то ПЛ статически неустойчива.
Современные ПЛ проектируются статически неустойчивыми
в горизонтальной плоскости. Степень их статической неустойчи-
hi	л
вости определяется отношением —, которое для большинства
лодок также имеет значение 0,2—0,3.
Перейдем к критериям динамической устойчивости, для ис-
следования которой обычно используется характеристическое
Уравнение системы.
327
Полученные выше характеристические уравнения для различ-
ных случаев движения имеют различный порядок. Для общего
случая характеристическое уравнение можно записать так:
Рп 4- а1ра~14- а2р"~2 4- ... 4-a„=0,	(IV.8.7)
где	п — порядок характеристического уравнения;
cti, ап—коэффициенты, зависящие от гидродинамиче-
ских характеристик, коэффициентов присоеди-
ненных масс, скорости и метацентрической вы-
соты, инерционных свойств ПЛ.
Вычисление корней характеристического уравнения, особенно
для уравнений выше третьего порядка, требует большой затраты
времени. Это обстоятельство вызвало ряд исследований, в ко-
торых были сформулированы принципы оценки устойчивости по
коэффициентам характеристического уравнения, минуя вычис-
ление корней.
Рассмотрим два критерия —Михайлова и Рауса—Гурвица.
Оба они позволяют произвести оценку устойчивости без вычис-
ления корней.
1. Критерий А. В. Михайлова формулируется так: для того,
чтобы система была устойчива, необходимо и достаточно, чтобы
модуль характеристическоГйЬйектора был отличен от нуля при
любом а> (0 < со < со) и аргумент этого вектора равнялся нулю
при со=О. При монотонном увеличении со от 0 до 4-°° он увели-
, ...	Л
чивался бы монотонно 0 до  где п — степень характери-
стического уравнения. - .
Представим уравнение (IV.8.7) на основании теоремы Безу
в виде произведения
D(р) = (Р — р,) (р - А) .. (р - р„) = 0.	(IV.8.8)
В выражении (IV.8.8) заменим р на tco, тогда
D(/u>) = (iu> —pj^io — р2) ... (Zo> — р„) = 0.	(IV .8.9)
Представим (tco —рк) на плоскости комплексного перемен-
ного c=a-}-ib как разность двух векторов ы и рк, проведенных
из начала координат, полагая при этом, что корень рк находится
слева от мнимой оси (рис. IV.30).
увели-
слева
равно
Областью устойчивости считается такая область, граница ко-
торой начинается при со=О на действительной оси справа от на-
При изменении ш от 0 до оо аргумент вектора tco—р
Л _
чится на —. Если исе остальные корни также Лежат
от мнимой оси, то прйращение аргумента вектора D(ico)
,	л
сумме приращений аргументов всех векторов, т. е. п —.
328
чала координат и с ростом со до +°о проходит через п квадран-
тов, так что радиус-вектор вращается все время против часовой
стрелки. Таким образом, если в левой части любого характери-
Рис. IV.30. К выводу критерия А. В. Михайлова.
стического уравнения D(p) заменить р на tco и представить его
в виде комплексного числа
Z)(Za>)=«(«>)-f-i'O(a>),	(IV.8.10)
то вектор, имеющий модуль ] Vu2+ прочертит на плоскости
кривую (годограф характеристического >ураинения) с монотонно
возрастающим аргументом от 0 до п — .
На рис. IV.31 представлен годо-
граф характеристического уравне-
ния седьмой степени.
Таким образом, для построения
кривой А. В. Михайлова необхо-
димо задаться рядом значений со от
О до оо, подсчитать коэффициенты
и (со) и v (со), подсчитать модуль и
аргумент комплексного числа £)(ico)
и найти соответствующие этим зна-
чениям точки на комплексной пло-
скости.
2. Критерий	Рауса—Гурвица
формулируется так: для того чтобы
все корни характеристического урав-
нения п-го порядка имели отрица-
тельные действительные части, не-
Рис. IV.31. Годограф харак-
герметического уравнения
седьмой степени устойчи-
вой (/) и неустойчивой си-
стем (2, 3).
обходимо, чтобы все диагональ-
ные миноры старшего определи-
теля Гурвица, составленного по'
329
коэффициентам характеристического уравнения IV.8.7, были по-
ложительными.
Старший определитель Гурвица
условие устойчивости
	ai;		д5 =	а-т  •
д =	1;	#2 *	а4;	дб
п	0;	Ян	а3;	д5
	0;	1:	&2;	. • «
(IV .8.11)
>0; Д2 —		СО а а а	>0;
	а1 д3 ’’ д5		
Д3 —	1: а2: я4	>0; .	 Д„>о
	0; а,; аг		
(IV.8.12)
Для случая, когда все коэффициенты характеристического
уравнения положительны, т. е. я, > 0, необходимо, чтобы были
положительны все определители с четными (илн же все опреде-
лители с нечетными) индексами.
При степени характеристического уравнения выше третьей
вычисление диагональных миноров весьма громоздко. Для упро-
щения операции оценки устойчивости в этом случае предпослед-
ний определитель Гурвица приводят к диагональной форме пу-
тем ряда преобразований:
Д =
д1!	я3;	д5;	а7
0;	д‘;	* #4’	д6
0г	0;	аз ;	*♦ д5
0;	0;	0;	
(IV.8.13)
Определитель имеет все элементы, расположенные левее глав-
ной диагонали, равными нулю.
Входящие в определитель коэффициенты
* аз *	а',
а2=а2-~ -f-; а4= ал —	;
/it *	**	а\ *
аз = аг — а4, а5 =а5 - Об и т. д.
Диагональные миноры определителя (IV.8.13)
Д1=а1; A2 = aia2; A3 = ata2^3 и т. д„
условия Гурвица
<24 >0;
*
д2>
0;
а’>0 и т. д.
(IV.8.14)
ззо
При исследовании устойчивости для оценки влияния отдель-
ных параметров на поведение динамической системы производят
построение границ зон устойчивости. Если имеется графическая
зависимость изменения значений наименьшего действительного
корня характеристического уравнения от какого-либо параметра,
то граница зон устойчивости может быть построена по точкам пе-
ресечения кривых с осью абсцисс.
При оценке устойчивости с помощью критериев Гурвица гра-
ница областей устойчивости соответствует равенству нулю од-
ного из диагональных миноров — обычно минора наибольшего
порядка.
При линейной зависимости исследуемых параметров от коэф-
фициентов уравнения построение границ областей устойчивости
легко можно выполнить без вычисления корней или критериев
Гурвица, производя .D-разбиение плоскости двух действительных
параметров.
Представим, что D(/?)==0— характеристическое уравнение
n-го порядка. Приравняем в этом уравнении р чисто мнимому
корню, что соответствует границе зоны устойчивости. Полагая
p=i(s>, где —оо < со < -f-°° имеем
D (йо) =	-f- at (Zw)"-1 4-а2(/<о)я“24- ... -|-a„ = 0. (IV.8.15)
После преобразований левая часть уравнения приводится
к комплексному числу z=x + iy. Здесь
х = (/<о)” -f- а2 2	. -f- ап ;
/у = а, (/«)"“1 + аз (*ш)"_3+. • •	(IV.8.16)
где п — четное число.
Комплексное число обращается в нуль в том случае, если
равны нулю порознь действительная часть и коэффициент при
мнимой части
X^=(z'to) —Cig	—J- . . . —|— CLn = 0;
y = a1(/®)”-24-a3(Z»)”-4 +... + а„_1 = 0.	(IV.8.17)
Предположим, что коэффициенты а, зависят от гп. парамет-
ров ПЛ, однако лишь два из них, например bi и Ьг, мы можем
варьировать при построении зон устойчивости. Пусть bi и Ь2 ли-
нейно зависят от коэффициентов а, характеристического урав-
нения:
а1=к1Ь1-}-г1Ь2-}-11,	(IV.8.18)
где ki, п, U — некоторые постоянные числа.
331
Подставляя (IV.8.18) в (IV.8.17), после преобразований полу-
чим:
Ь\Р 1 (®) + b,2S1 (м) Qi (<«)— 0;
^1^2 (ю) Н~ Q2(“) = 0’
(IV.8.19)
где
- Pj (<о) = fe2 (/<!>)" У —|Р, (z<X>)"	+
р2(о>)=£1(/о>)"~2-|-йз(/(»)''-4+  • • + ^n-i;
S, (a>) = r2(z®)"“2	44-...4-t„;
52(®) = г1(Й)"-2 + г3(Л»)"-4+ . . . +r„_!;
Ql (io).= (z<o)" -f-Z2(w) 2;
Q2W = ^i(z<u)" 2~Ь4(*и))л 4+---+^-i-
Разрешая (IV.8.19) относительно неизвестных &i(“) и М®)>
найдем
h	Qi (*>); Si (ш) с?2 (ш); $2 W	— ' h —	Pi(<®)’, Qi(“) Р2(ш): Qs(“)	1IV 8 20)
	Pi (®); Si (ш) Pi (“); з2 (<»)	t &2	Pi(w): Si(^) ^2 (ш)» *^2	
Таким образом, в плоскости двух действительных параметров
(<а) и &2(<в) Для каждого значения <в по (IV.8.20) может быть
найдена точка, принадлежащая границе зон устойчивости. Варь-
ируя ш в диапазоне от -f-oo Д° —°°> найдем границу. Практиче-
ски при выполнении расчетов диапазон значений ш ограничен.
Построенная указанным образом диаграмма называется диаг-
раммой А. И. Вышнеградского.
Если параметры bi и Z»2 связаны с коэффициентами характе-
ристического уравнения нелинейно, то после разделения действи-
тельных и мнимый частей уравнения (IV.8.15) получим нелиней-
ную систему двух алгебраических уравнений:
/1(^, *2) = 0; f2(bx, М = 0,	(IV.8.21)
решение которой возможно графическим путем. После построе-
ния границы необходимо установить, какая из областей является
устойчивой. Для обозначения области устойчивости используется
332
штриховка внутрь кривой. Для установления направления штри-
ховки вычисляется якобиан
df\	.	dfi
db-L	’	db2
dfa	.	df2
db\	’	db2
(IV.8.^2)
Очевидно, что в случае выполнения условия (IV.8.18) яко-
биан равен главному определителю (IV-8.20).
Ю. И. Неймарком было доказано, что направление штриховки
зависит от знака якобиана (определителя). Пусть bi отложено
по оси абсцисс, &2 — по оси ординат, тогда в случае, если при
движении точки по границе области в сторону возрастания ш (от
—со до -)-оо) якобиан Д > 0, то кривую штрихуют слева, если
при том же направлении движения точки по границе Д < 0, то
кривую штрихуют справа.
§ 9. КРИТЕРИИ УСТОЙЧИВОСТИ ПЛ С ЗАКРЕПЛЕННЫМИ РУЛЯМИ
ДЛЯ РАЗЛИЧНЫХ СЛУЧАЕВ ЕЕ ДВИЖЕНИЯ
При выводе критериев динамической устойчивости будем рас-
сматривать свободное возмущенное движение ПЛ с закреплен-
ными рулями. В общем случае эта задача является нелинейной.
Существующие н настоящее время методы оценки устойчивости
нелинейных систем весьма ограничены и могут быть использо-
ваны лишь для уравнений с небольшим числом нелинейностей.
Поэтому исследование устойчивости движения ПЛ проводится,
как правило, в линейной постановке. Дда упрощения задачи ос-
тановимся на плоских возмущенных движениях, так как иссле-
дование устойчивости пространственней движения приводит
к необходимости рассматривать систёму уравнений высокого
порядка.	'
Рассмотрим критерии устойчивости свободного возмущенного
движения ПЛ в вертикальной плоскости относительно установив-
шегося, т. е. движения, описываемого системой уравнений
(IV.1.1). Характеристическое уравнение, составлёйное для этой
системы, может быть легко получено приравниванием нулю глав-
ного определителя системы алгебраических уравнений (IV.4.4)
р34-а1р2-|-а2р 4-аз = 0;	(IV.9.1)
где
а2 = '^20Г61	21 4“ Г60 ’ а3 =	
Ввиду невысокого порядка характеристического уравнения
(IV.9.1) оценку устойчивости параметров движения системы
производят двумя путями; вычисляют корни и по знаку корней
333
оценивают устойчивость или находят критерии устойчивости По
коэффициентам характеристического уравнения на основании
теоремы Гурвица—Рауса.
Вычисление корней характеристического уравнения позволяет
произвести не только качественную, но и количественную оценку
устойчивости движения при различных скоростях движения,
и поэтому первый метод обладает большей наглядностью.
В заданном диапазоне изменения скоростей движения ПЛ
в уравнении (IV.9.1) переменным является коэффициент аз, об-
ратно-пропорциональный квадрату скорости по. Поэтому корни
характеристического уравнения в этом случае можно предста-
вить в виде:
Pi = Pi^o)'’ Р2 = Р-2^ Рз = Рз(®о)-
Задаваясь рядом значений скоростей движения ПЛ и подсчи-
тав в каждом случае корни характеристического уравнения pi,
рг н р3, можно построить значения корней в функции скорости.
Такой график дает возможность оценить устойчивость движения
ПЛ иа всем диапазоне скоростей, а также найти критические ско-
рости и зоны устойчивости. Для иллюстрации на рис. IV.32 даиы
графики значения корней характеристического уравнения для
динамически устойчивой и неустойчивой ПЛ.
Корни уравнения (IV.9.1) могут быть либо все веществен-
ными, либо два корня комплексно сопряженными и один веще-
ственным. Для динамически устойчивой ПЛ все вещественные
корни и вещественные части комплексных корней находятся
в нижней полуплоскости иа всем диапазоне скоростей движения.
Для неустойчивой ПЛ, Начиная с некоторой критической скоро-
сти икр, два вещественных корня становятся положительными.
В этом случае весь диапазон скоростей разбивается на зоны:
докритическую, уде корни отрицательны и ПЛ устойчива, и за-
критнческую, где ПЛ оказывается неустойчивой. Физически та-
кое разделение вполне объяснимо, ибо при малых скоростях
влияние восстанавливающего момента весьма существенно и он
по сути дела и обусловливает устойчивость. Таким образом,
можно сделать вывод о том, что ПЛ, динамически устойчивая
при больших скоростях, оказывается заведомо устойчивой при
малых скоростях движения. Однако динамическая устойчивость
ПЛ при малых скоростях не всегда сохраняет это качество при
больших скоростях.
Анализируя характер изменения корней динамически неус-
тойчивой ПЛ, можно отметить, что в уравнении (IV.9.1) поло-
жительными всегда являются одновременно два корня pi н рг,
так как произведение трех корней кубического уравнения равно
свободному члену с обратным знаком, т. е.
Р.РзРз — а3'
334
1)
ния для динамически устойчивой (а) н неустойчивой (б)
подводных лодок.
335
Коэффициент аз=5гоГбо всегда положителен, а корень рз для
существующих ПЛ всегда отрицателен, поэтому корни pi и рз
должны быть одинаковых знаков.
Расчеты показывают, что при малых скоростях движения
корни характеристического уравнения комплексные сопряжен-
ные. При некоторой скорости, называемой характеристической,
корни становятся вещественными и среди ннх два кратных. При
скоростях, больших характеристической, корни вещественные
разли>щые. Известно, что комплексные корни определяют перио-
дическое движение, а вещественные — апериодическое движе-
ние. Таким образом, характеристическая скорость делит весь
диапазон скоростей на две зоны: периодическое движение с ча-
стотой, равной мнимому корню, и апериодическое.
Характеристическую скорость легко определить из условия
равенства нулю дискриминанта кубического уравнения. Послед-
ний составляется следующим образом. Если каноническую форму
уравнения (IV.9.1) путем преобразований привести к уравнению,
не содержащему квадрата неизвестной, т. е.
y3 + 3py + 2<r = 0,	(IV.9.2)
где
2?=^t--^ + a3; Зр = ^=^,
то характеристическая скорость находится из условия
D = q2 + р3 = 0.
Перейдем к выводу критерия динамической устойчивости
с помощью теоремы Гурвица—Рауса. Для уравнения (IV.9.1)
старший определитель Гурвица записывается так:
Д =
: О
1;	а2; О
0;	; а3
(IV.9.3)
Составим диагональные миноры определителя (IV.9.3) и
подчиним их условию Гурвица:
<24 >0; ala2—a3>0;	— а,)> 0. (IV.9.4)
Неравенства (IV.9.4) являются критериями устойчивости для
рассматриваемого случая движения. Практически' для ПЛ коэф-
фициенты at и аз всегда положительны, поэтому услония динами-
ческой устойчивости (IV.9.4) преобразуются
а,а2— а3>0.	(IV.9.5)
336
Рассмотрим частный случай, когда движение происходит
с очень большой скоростью, так что йз=0, тогда в силу неравен-
ства а, > 0 критерий устойчивости может быть представлен сле-
дующим образом:
д2 = ^20Г61 ,^60Г24'->0-	(IV.9.6)
После подстановки вместо S20, Seo, Г21 и r6i соответствующих
выражений по формулам (П.3.8) и промежуточных преобразо^
ваний получим критерий динамической устойчивости
.V:
2(1 + M-C? ’
(IV.9.7)
Таким образом, условие динамической устойчивости пред-
ставляет собой определенное соотношение между позиционными
и вращательными производными гидродинамических коэффици-
ентов ПЛ. Левая часть неравенства (IV.9.7) представляет собой
- b
относительное плечо опрокидывающих сил й=^~, правую же
часть можно назвать приведенным относительным членом демп-
--o>-
фирующих сил b ' =	. Тогда критерий устойчивости для
случая большой скорости
b *.
b
(IV.9.8)
Условие (IV.9.8) позволяет сформулировать критерий дина-
мической устойчивости следующим образом: подводная лодка
при движении в вертикальной плоскости динамически устойчива,
если относительное плечо опрокидывающих сил меньше приве-
денного относительного плеча демпфирующих сил. Критерий
(IV.9.8) дает качественную оценку устойчивости, для количест-
венной оценки вводят понятие о коэффициенте устойчивости
Если k > 1, то ПЛ динамически устойчива; й=1, то ПЛ ди-
намически нейтральна; 1, то ПЛ динамически неустойчива.
Коэффициент устойчивости характеризует быстроту затуха-
ния переходного процесса, чем ближе k к единице, тем медлен-
нее затухает процесс.
Из критерия динамической устойчивости может быть полу-
чен критерий статической устойчивости, если положить в нем
демпфирующие характеристики равными нулю.
Сравнение критериев статической и динамической устойчи-
вости позволяет сделать вывод о том, что если ПЛ статически
22 Заказ № 018	337
устойчива, то она заведомо устойчива динамически. Однако не
любая динамически устойчивая ПЛ устойчива статически.
Вполне естественно возникает вопрос о нормировании устой-
чивости, который в настоящее время мало исследован. На осно-
вании опыта эксплуатации отечественных ПЛ был установлен
диапазон значений коэффициента устойчивости # = 2,54-3,0, при
котором время затухания, амплитуды и частоты колебаний удов-
летворительны с точки зрения эксплуатации подводной лодки.
Полученные выше критерии определяют асимптотическую ус-
тойчивость двух параметров движения: угла атаки асв и угла
дифферента фсв.
Для суждения об устойчивости третьего параметра относи-
тельной глубины т), характеризующего движение ПЛ в верти-
кальной плоскости, необходимо систему дифференциальных
уравнений (П.3.9) и первое уравнение (1.1.15) преобразовать
к одному дифференциальному уравнению относительно т), кото-
рое имеет четвертый порядок. Тогда соответствующее ему харак-
теристическое уравнение четвертой степени представляется так:
p44-a1p34-d2p24-a3p=0,	(IV.9.9)
где ai, az, аз находятся по формулам (IV.9.1).
Если известны корни уравнения, то относительная глубина
= Схе^ +	+ C3ew +	(IV.9.10)
где Ct — постоянные интегрирования.
Уравнение (IV.9.9) имеет один нулевой корень.
Когда
Р1=т0; А<0; Р3<0; Р4<0,
<
то при т—>-оо последние три члена обращаются в нуль, а изме-
нение глубины равно постоянной Ci.
Таким образом, при выполнении критерия устойчивости
(IV.9.8), т. е. при отрицательных значениях остальных трех кор-
ней, ПЛ относительно ;глубины г] устойчива неасимптотически.
Практически это означает, что после действия внешнего импульса
ПЛ переходит на новую глубину н не возвращается в исходное
положение.
Получим теперь критерий устойчивости для конечной скоро-
сти. Приведем (IV.9.5) к виду
#2
оз
01 
338
Тогда после подстановки в него значений а, имеем
GV61 - s6or21 + r60)>	.	(IV.9.11)
После замены коэффициентов S2o, Seo, Г21, г» и г61 их выраже-
ниями (II.3.8) получим
mg1 '___________I I__________
Су, 2 (1 + fen) — Су,г‘
4
2,?Л
(IV.9.12)
О + ^бб) <4, т:
Второй член правой части неравенства (IV.9.12) всегда поло-
жительный. Это дает основание сделать вывод о том, что если
ПЛ устойчива по а и ф при аз=0,
то она заведомо устойчива по этим
параметрам и при движении с ко-
нечной скоростью.
Оценку устойчивости движения
ПЛ в вертикальной плоскости мож-
но также производить с помощью
геометрического метода, предложен-
ного В. В. Крамером в работе (98).
Суть этого метода состоит в следу-
ющем. Представим характеристиче-
ское уравнение (IV.9.1) как сумму
двух функций:
Л (Р) = Р3+ а-хР1;
Рис. IV.33. Графическое опреде-
ление вещественных корней ха-
рактеристического уравнения.
Л(Р) — парабола; Г,(Р) — прямая.
прямой, отсекающей на
Р2(Р) = — а2р — а3. (IV.9.13)
Первое из выражений (IV.9.13)
представляет собой уравнение куби-
ческой параболы с нулями в точках
р=—ct-i и р=0, второе — уравнение
оси F отрезок аз. Вещественные корни характеристического
уравнения могут быть найдены из условия Fi(p) — F2(p), т. е. пе-
ресечения параболы с прямой. Функция Fi(p) не зависит от ско-
рости движения ПЛ, поэтому на графике она определяется одной
параболой, функция К2(р) связана со скоростью через коэффи-
циент а3, т. е. ей соответствует семейство прямых.
На рис. IV.33 построены функции Fi(p) и F2(p) для ПЛ сред-
него водоизмещения. При различных значениях скорости
22й
339
(коэффициент аз) прямые F2(p) занимают различные положе-
ния, однако все они должны пересекаться в одной точке f,
координаты которой не зависят от скорости. Так как веществен-
ный корень характеристического уравнения всегда отрицателен,
а коэффициент аз всегда положителен, то из выражений (IV.9.13)
следует, что прямые /’г(р) и точка f расположены в левой полу-
плоскости. Зная вещественный корень уравнения, легко опреде-
лить два других корня. Действительно, если вещественный ко-
рень р=рз найден, то характеристическое уравнение (IV.9.1)
легко-яредставить в виде
(Р-Рз)(Р2 + Ар + А) = 0,	(IV.9.14)
откуда
Сравнивая (IV.9.14) и (IV.9.1), найдем коэффициенты
А=а1 + Р3’’	•
А’З
Тогда
Р,.2= - ^4^- + 4 /(«1 + Рз)2-4-| . (IV.9.15)
На основании (IV.9.15) можно прийти к выводу о том, что
при малых v выражение под радикалом отрицательно, a pi, г —
сопряженные комплексные корни. Знаки вещественной части
комплексных корней определяются положением точки пересече-
k	**|"1 рз
ния кривой Fi(p) и прямой F2(p). Величина--------------- на
рис. IV.33 изображена половиной отрезка на оси абсцисс, огра-
ниченного точками р=—рз и р=—at. Эта величина положи-
тельна, если точка р=—рз лежит слева от точки р=—ai, и от-
рицательна, если точка р——ai расположена справа от точки
р=—Таким образом, оценка устойчивости производится по
Знакам вещественных (вещественных частей комплексных корней)
корней путем графического построения функции Г2(р) и Fi(p).
Геометрический метод оценки динамической устойчивости
позволяет также найти значения корней, соответствующие кри-
тической и характеристической скоростям движения. Рассмотрим
два реальных случая расположения точки ft в нижней и в верх-
ней полуплоскостях слева.
Допустим, что точка f находится в нижней полуплоскости,
слева от вертикальной осн (рис. IV.34), тогда при малой скоро-
сти v (большое значение коэффициента аз) прямая Г2(р) пере-
секает кривую Fi (р) только в одной точке в верхней полуплоско-
340
сти слева. В этом случае характеристическое уравнение имеет
один отрицательный вещественный корень и два комплексных
сопряженных корня с отрицательной вещественной частью. При
увеличении скорости (уменьшении коэффициента Дз) прямая
Fz (р) получает вращение около точки f против часовой стрелки.
При некотором значении аз прямая пересекается с параболой на
оси абсцисс и р3=— ait что соответствует случаю чисто мнимых
корней характеристического уравнения, т. е. критической скоро*
сти. Формула для определения критической скорости может быть
Рис. IV.34. Графическое определение
вещественных корней характеристиче-
ского уравнения. Точка [ находится
в нижней полуплоскости слева
Рис. IV.35. Графическое определение
вещественных корней характеристиче-
ского уравнения. Точка f находится
в верхней полуплоскости слева.
получена, если положить Fi(p)==0 и р ——alt При дальнейшем
увеличении скорости вещественная часть комплексной»». корня
становится отрицательной, а движение неустойчивым.- •
При еще большем возрастании скорости (дальнейшем враще-
нии прямой F2(p) против часовой стрелки) прямая F2(p} станет
касательной к параболе Fi(p), что соответствует случаю двух
положительных кратных корней, которые определяют характери-
стическую скорость движения ПЛ. При скоростях, больших ха-
рактфистичлкой, прямая Fz(p) пересекает параболу Fi(p)
в трех точкаД т. е. уравнение (IV.9.1) имеет три положительных
вещественных корня.
Предположим, что точка f находится в верхней полуплоско-
сти ниже кривой Fi(p) (расположение узла выше кривой при
существующих параметрах ПЛ нереально) (рис. FV.35). В этом
случае прямая^₽»(р) пересекает параболу Ft (р) только в верхней
	341
полуплоскости, так как аз > 0 и точка р=рз расположена
всегда справа от точки р=—а1 (прямая 1).
Таким образом, в этом случае вещественный корень и веще-
ственные части комплексных корней отрицательны, что соответст-
вует устойчивому колебательному движению ПЛ. С возрастанием
скорости изменяется коэффициент аз уравнения прямой, проис-
ходит вращение прямой вокруг точки f против часовой стрелки и
при некоторых (сравнительно малых) значениях коэффициента аз
прямая сначала касается параболы (два кратных отрицательных
корни—прямая 2), что соответствует характеристической ско-
рости, а затем пересекает параболу в трех точках, которые опре-
деляют устойчивое апериодическое движение (прямая 3).
Полученные выше критерии позволяют оценить динамическую
устойчивость ПЛ при ее движении в безграничной жидкости.
При движении вблизи свободной поверхности, как указывалось
в главе I, изменяется характер гидродинамических реакций, дей-
ствующих на ПЛ, появляются дополнительные члены в уравне-
ниях движения, что оказывает влияние на динамическую устой-
чивость.
Система дифференциальных уравнений, описывающая дви-
жение вблизи свободной поверхности, имеет четвертый порядок,
а соответствующее характеристическое уравнение может быть
получено приравниванием нулю главного определителя
p4-j-alp3 4-й2р24-а3р+ fl4 = 0,	(IV.9.16)
где
а1 = ^20	Г61 >
Д2 ~	Г21^60 + Г60 Язй ’
аз= ^2огбо ~ <7во Г21^бо ?2огб1 ’
а4=	$2оЯ&) Язогзо 
Получим критерий устойчивости с помощью теоремы Рауса—
Гурвица. Старший определитель Гурвица, составленный по коэф-
фициентам (IV.9.16):				
	^*11	^3'	0;	0	
	1; а2;	а4;	0	
д4=	0; а4;	а3;	0	(IV.9.17)
	0;	1;	£2*2 •	а4	
Напишем диагональные миноры определителя (IV.9.17) и
подчиним их условию Гурвица. Тогда критерии устойчивости
движения ПЛ вблизи свободной поверхности имеют вид:
Д1=а1>0; l^2~aia2 ~~	0;
Д3 — а3 (й|Й2	аз) а\а4 ~^> 0,
Д4 = а4 [аг(а,а2 — а3) — ata4] > 0.	(IV.9.18)
342
При использовании формул (IV.9.18) необходимо для кон-
кретной ПЛ коэффициенты а{ выразить через характеристики
ПЛ по (II.3.8), (II.3.21) и произвести численные расчеты. При
оценке устойчивости движения здесь также могут быть подсчи-
таны корни характеристического уравнения.
Вычисление корней характеристического уравнения четвертой
степени производится по способу Феррари, изложенному в инже-
нерных справочниках по математике, или графическим путем.
При определении корней по второму способу характеристическое
уравнение представляется в виде двух функций: параболы чет-
вертого порядка (Д±(р)) и прямой (Аз(р)). Их пересечение
в плоскости двух переменных р и ДДр) позволяет найти действи-
тельные корни. При этом Д1(р) = р4 + flip3+flap2 и Л2(р) =
=а3р + Й4.
Расчеты показывают, что в реальных диапазонах характери-
стик ПЛ, характеристическое уравнение, соответствующее дви-
жению вблизи свободной поверхности, имеет всегда два действи-
тельных корня и два корня комплексных сопряженных. Таким
образом, возмущенное движение можно разделить на два — апе-
риодическое и колебательное. Действительные корни превосходят
в несколько раз действительные части комплексных корней. Это
дает основание утверждать, что при выполнении условий устой-
чивости апериодическое движение быстро затухает, в то время
как колебательное движение затухает медленно. Такое движение
называется длиннопериодическим или фугоидным.
Численное исследование устойчивости движения ПЛ вблизи
свободной поверхности показывает, что уменьшение глубины су-
щественно изменяет степень динамической устойчивости. Под-
водные лодки, устойчивые на большой глубине, могут оказаться
неустойчивыми вблизи свободной поверхности. Так как в урав-
нении (IV.9.16) нет нулевых корней, то условие (IV.9.18) соот-
ветствует случаю наличия асимптотической устойчивости ие
только по параметрам а и ф, но также и по глубине т).
Написанные выше критерии для уравнения. 4-го порядка не
дают в общем виде представления об устойчивости. Поэтому це-
лесообразно было бы построить зоны устойчивости в плоскости
двух действительных параметров с помощью О-разбиення. Для
случая движения вблизи свободной поверхности за независимые
параметры следует выбрать глубину и скорость ПЛ.
Однако во всех перечисленных случаях выбранные параметры
связаны с коэффициентами характеристического уравнения нели-
нейными зависимостями, и поэтому решение этих уравнений воз-
можно лишь графическим путем, при этом необходимо выполнять
ряд дополнительных громоздких построений. В связи с этим при
построении зон устойчивости рекомендуется использовать гра-
фики изменения корней характеристического уравнения или рас-
четные значения критериев Гурвица.
343
Перейдем к рассмотрению устойчивости свободного возму-
щенного движения ПЛ в горизонтальной плоскости. Характери-
стическое уравнение может быть получено, если приравнять нулю
главный определитель (IV.5.6)
р(р24-а1р-4-а2) = 0,	(IV.9.19)
где
„   Г51 + ^40 — SspT42 — ^5 1 r41 .
1	1 —Sgir42	'
„	_ S4Or51 — S50r4l
Д2-	1-Х51Г42	•
Как следует из (IV.9.19), характеристическое уравнение
имеет один нулевой корень, поэтому на основании теоремы
А. М. Ляпунова условие отрицательности вещественных корней
является необходимым, но не достаточным для суждения об ус-
тойчивости системы. Наличие одного нулевого корня, как пра-
вило, означает неасимптотическую устойчивость. Для вывода не-
обходимого критерия воспользуемся условиями Рауса—Гурвица.
Для квадратного уравнения онд имеет вид:
а!>0; a1a2>0.	(IV.9.20)
Или после подстановка взамен at и а? соответствующих вы-
ражений, получим:	.о,’, ।
Г51 + ^4(1~^5|)г42 — ^.51г41	Q.
1 —551Г42
> f '
^51г41) (SlOCn —^50г4|)
®31г42 )2
В частном случае симметрии корпуса ПЛ относительно ми-
деля, т. е. когда Статический момент присоединенной массы л®
равен нулю (ra=aiiSsl=Of),
Я1 = r5i54о >0; aia2 = (r5l £40)(S40r5l — Sg(Ai)^0. (IV.9.22)
Из (IV.9.22) видно, что второе условие может быть заменено
выражением
( Г51 + ^40 —
0.	(IV.9.i
д2 — ^4огsi	41	0
(IV.9.23)
или после подстановки значений коэффициентов S40, Sso, гм н гы
по (П.4.7) получим:
ту,
1С11
2(1 + й11)+с>-
(IV.9.24)
344
Умножая левую и правую части неравенства (IV.9.24) на —1,
получим критерий устойчивости, по своей структуре аналогич-
ный критерию устойчивости при движении в вертикальной пло-
скости:
1СИ 2(1 + й11)+с^
(IV.9.25)
Левая часть неравенства (IV.9.25) представляет собой отно-
сительное плечо опрокидывающей силы, возникающей при дви-
жении ПЛ в горизонтальной плоскости с углом дрейфа, правая
часть — относительное приведенное плечо демпфирующих сил,
появляющихся при вращении ПЛ вокруг оси oyi с угловой ско-
ростью <» . Тогда критерий динамической устойчивости

(IV.9.26)
Если ki = - _  > 1, то ПЛ динамически устойчива; если
«1=1, то ПЛ динамически нейтральна; если ki < 1, то ПЛ ди-
намически неустойчива.
Для выбора удовлетворительного с точки зрения эксплуата-
ции режима свободного движения ПЛ в горизонтальной плоско-
сти коэффициент динамической устойчивости kt нормируется.
В настоящее время нет теоретически обоснованных норм для
этого критерия, однако на основании опыта эксплуатации можно
считать, что критерий ki должен быть равен 1,0. Ввиду того,
что характеристическое уравнение (IV.9.19) имеет один нулевой
корень, условие (IV.9.22) свидетельствует о наличии неасимпто-
тической устойчивости. Для выяснения вопроса о том, какой
из кинематических параметров обладает этим свойством, преоб-
разуем систему дифференциальных уравнений (IV.5.2), описы-
вающих свободное движение ПЛ в горизонтальной плоскости,
к одному дифференциальному уравнению сначала относительно
угла дрейфа р, а затем относительно угла курса <р. В результате
простых преобразований, которые здесь опускаем, получим:
? + (^40 + Г51) ? +	51	^50Г41) р — 0;
? + (^40 + Г51) <? + (^40Г5, — Sgof4]) <? = 0.	(IV.9.27)
Уравнениям (IV.9.27) соответствуют характеристические
уравнения второго и третьего порядка:
Р2 + (^40 ~Г Г51) Р + (^40Г51	'^50Г41)= 01
Р3 + ($40 + г51) р2 + (“Vsi - SseAn)Р =0.	(IV.9.28)
345
Как видно из (IV.9.28), уравнение, определяющее угол
дрейфа, не имеет нулевых корней, и поэтому условие (IV.9.23),
определяющее асимптотическую устойчивость по углу ($, яв-
ляется необходимым и достаточным. Что же касается угла курса,
то наличие нулевого корня во втором характеристическом урав-
нении (IV.9.28) при соблюдении условия (IV.9.23) характеризует
неасимптотическую устойчивость по углу курса. Это можно обо-
сновать следующим образом. Угол курса можно представить
в виде
+ С2е^ + С^ ,
где Ci, С2, С3 — постоянные интегрирования;
pi, р2, рз — корни характеристического уравнения.
Положим, что pi=0, р2 < 0, рз <.0, т. е. выполняется необ-
ходимое условие теоремы А. М. Ляпунова. Тогда при т->оо,
имеем: ePiT=l; екс=0; еР’т=0 н ч*=С1, т. е. при бесконечном
возрастании времени т угол курса стремится к некоторой посто-
янной величине.
Система дифференциальных уравнений (IV.5.3) может быть
приведена к одному дифференциальному уравнению относи-
тельно бокового смещения Характеристическое уравнение
в этом случае будет иметь четвертую степень:
р4 + (^40 + Г51) Р3 (^40Г51 — ‘^S0r41)P2==0-	(IV.9.29)
Уравнение (IV.9.29) имеет два нулевых корня; при отрица-
тельных значениях двух других корней ПЛ динамически неус-
тойчива относительно бокового смещения.
Оценка устойчивости Движения ПЛ на прямом курсе по углу
дрейфа может быть произведена графическим путем с помощью
кривых Fi (Р, 0) и F2(₽, 0), рассмотренных в § 3 главы III с це-
лью определения радиуса циркуляции.
Предположим, что при случайном возннкиовении угла
дрейфа Р при нейтральном положении рулей (6в=0) подводная
лодка возвращается к прямолинейному движению с углом р=0,
т. е. при нейтральном положении рулей ПЛ не имеет тенденции
к движению по окружности конечного радиуса. В этом смысле
будем понимать устойчивость прямолинейного движения. Для ус-
тойчивости необходимо, чтобы кривые ГДР, 0) и Гг(р, 0) пере-
секались в точке Р=0; если окажется вторая точка пересечения
при р=И=О, то при нейтральном положении рулей после получе-
ния возмущения ПЛ будет двигаться по кругу определенного
радиуса, прямолинейное движение окажется неустойчивым.
На основании выводов § 3 главы III
Л (Р- 8в) =-------8в)	(₽> 8В) = - -а>7У1(Р’ "в) •
2 (1 4- ftn) cos ₽ + Сг*	ту,' — 2k№ cos р
346
Для упрощения положим, что ($ малая величина, а функции
Fi(P, 6в) и ^(р, 6 в) могут быть разложены в ряд Тейлора при
6в=0. Ограничиваясь линейными слагаемыми ряда, имеем
=_______________________- dF^. =---------(IV.9.30)
С помощью формул (IV.9.30)
dFi	dF2
производными ——— и	г -:
Op	up
легко установить связь между
(& 0) _ ъ <^2(Р, 0)
др	1 д?
где k± — коэффициент динамической устойчивости.
Если > 1 (динамически устойчивая ПЛ), то
^i(₽, 0)	dF2(₽, 0)
др
Если ki < 1 (динамически неустойчивая ПЛ), то
<?Л (?, 0) dF2 (3, 0)
' а? •
(IV .9.31)
(IV.9.32)
(IV.9.33)
Полученные неравенства определяют условия графической
оценки устойчивости по углу ($. На рис. III.16 построены кри-
вые Fi (р, 0) и F2 (р, 0), через точки их пересечения должны быть
проведены касательные к этим кривым. По величине тангенса уг-
лов наклона этих касательных к оси р! в соответствии с форму-
лами (IV.9.32), (IV.9.33) оценивается устойчивость ПЛ по углу р
на прямом курсе.
347
ЛИТЕРАТУРА
1.	Айзерман М. А. Теория автоматического регулирования. Изд-во
«Наука», М., 1966.
2.	Амфилохиев В. Б., Баранцев В. И.,' Золотов С. С., Ив-
лев Ю. П. Динамометрические испытания модели с отсосом пограничного
слоя. Труды НТО Судпрома, 1965, выл. 71.
3.	Афремов А. Ш„ Дроздов Ю. М„ М а лышева Т. М. Приме-
нение автоматических систем управления ПЛ в некоторых случаях ее про-
странственного маневрирования. Труды ЦНИИ им. А. И. Крылова, 1961,
вып. 168.
4.	Б а с и н А. М. Теория устойчивости на курсе и поворотливость судна.
Гос. изд-во технико-теоретической литературы. М.—Л., 1949.
5.	Б а с и н А. М. Ходкость и управляемость судов. Изд-во «Транспорт»,
М., 1968.
6.	Балицкий Я. Я. Новый метод расчета элементов системы погру-
жения ПЛ. Отчет ЦКБ-18, 1961.
7.	Березин С. Я. Автоматическое управление курсом судов. «Судо-
строение», 1965.
8.	Беляков А. А., Дё>нвн С. И. О возможности маневрирования
ПЛ на пространственной траектории. Труды ЦНИИ им. А. Н. Крылова, 1965,
вып. 10.
9.	Боднер В. А. Теорий автоматического управления полетом. Изд-во
«Наука», М., 1964.	,,
10.	Боровиков В. Г1. Атлас гидродинамических характеристик, необ-
ходимых для оценки устойчивости движения и управляемости ПЛ новых форм.
Отчет ЦНИИ им. А. Н. Крылова, 1959.
11.	Боровиков В. П. Атлас гидродинамических характеристик ПЛ.
Отчет ЦНИИ им. А. Н. Крылова, 1959.
12.	Боровиков В. П„ Ершов В. Г. Влияние формы корпуса ПЛ на
гидродинамические характеристики, используемые при оценке ее управляемо-
сти. Труды ЦНИИ им. А. Н. Крылова, 1961, вып. 179.
13.	Боровиков В. П. Некоторые вопросы управляемости ПЛ вблизи
свободной поверхности в вертикальной плоскости. Труды ЦНИИ им. А. Н. Кры-
лова, 1961, вып. 180.
14.	Боровиков В. П., М а з о р М. Е. Исследование устойчивости дви-
жения ПЛ вблизи свободной поверхности. Труды ЦНИИ им. А. Н. Крылова,
1958, вып. 129.
15.	Боровиков В. П. и Девнин С. И. К обоснованию методики
определения гидродинамических характеристик ПЛ по результатам испытаний
моделей. Труды ЦНИИ им. А. Н. Крылова, 1958, вып. 128.
16.	Бородин В. П. Исследование управляемости ПЛ вблизи ледовой
поверхности. Дипломная работа, ЛКИ, 1961
17.	Бреслав Л. Б. Мероприятия по обеспечению управляемости ПЛ
вблизи ледовой поверхности. Отчет ЦНИИ им. А. Н. Крылова, 1959.
18.	Б у т е н и н Н. В. Элементы теории нелинейных колебаний. Судпром-
гнз, 1962.
348
19.	Быков В. С., Лоща ко в А. А., Образцова Г. П., Прудни-
ков Ю. А. Позиционные гидродинамические характеристики и вращательные
производные модели ПЛ при круговой продувке. Отчет Сибирского научно-
исследовательского института авиации, Новосибирск, 1959.
20.	Вакс А. И. Исследование некоторых вопросов всплытия аварийной
ПЛ с неограниченным дифферентом. Труды ЦНИИ им. А. Н. Крылова, 1964,
вып. 4.
21.	Ведров В. С. и Остославский Н. В. Расчет обдувки моно-
планных крыльев с винтами перед крылом. Труды ЦАГИ, 1935, вып. 232.
22.	ВойткунскийЯ. И., Першиц Р. Я., Т и т о в И. А. Справочник
по теории корабля. «Судостроение», 1960.
23.	By л к о н с к и й Б. И., Максимов А. Д. Теория автоматического
регулирования, Военно-Морская академия, Л., 1964.
24.	Д е в н и н С. И. Исследование циркуляции ПЛ в погруженном поло-
жении. Труды ЦНИИ им. А. Н. Крылова, 1953, вып. 72.
25,	Д е в и и н С. И., Ершов В. Р„ 3 у е в М. И. Исследование циркуля-
ции ПЛ в погруженном положении по результатам натурных испытаний. Тру-
ды ЦНИИ им. А. Н. Крылова, 1958, вып. 129.
26.	Д е в н и н С. И., 3 у е в М. И. О возможности выполнения современ-
ными ПЛ пространственного маневра. Труды ЦНИИ им. А. Н. Крылова, 1958,
вып. 129.
27.	Д евнин С. И. Исследование пространственных маневров ПЛ. Труды
ЦНИИ им. А. Н. Крылова, 1960, вып. 156.
28.	Девнин С. И. и Трещевский В. Н. Определение гидродинами-
ческих характеристик подводных лодок в натурных условиях. Труды ЦНИИ
им. А. Н. Крылова, 1958, вып. 128.
29.	Дроздов Ю. М., СалькаевА. 3. Исследование устойчивости
движения буксирной системы ПЛ в вертикальной плоскости. «Кораблестрое-
ние», 1961, № 1.
30.	Дубровин О. В. Методика приближенного определения гидроди-
намических характеристик ПЛ при неустановившихся режимах движения.
(Разгон и торможение). Отчет ЛКИ, 1963.
31.	Зайцев В. Н. Исследование гидродинамических сил, действующих
на ПЛ при ее пространственном движении с произвольными углами атаки
и дрейфа. Отчет ЦНИИ им. А. Н. Крылова, 1966.
32.	Зайцев В. Н. Исследование аварийного всплытия ПЛ и методика
расчета этого маневра. Отчет ЦНИИ им. А. Н. Крылова, 1966,
33.	Записки семинара по теории устойчивости движения. Под редакцией
Н. Д Моисеева. Труды ВВИА им. Жуковского, 1948, вып. 1, 2, 3.
34.	Золотов С. С. Выбор элементов горизонтального оперения, Дисс.,
ЛКИ, 1948.
35.	3 у е в М. И. Исследование установившейся циркуляции ПЛ с одно-
временным изменением глубины ее погружения. Труды ЦНИИ им. А. Н. Кры-
лова, 1960, вып. 156.
36.	Зуев М. И. Теоретическое исследование пространственного движе-
ния ПЛ при скоростях хода до 30—40 узлов. Отчет ЦНИИ им. А. Н. Кры-
лова, 1959.
37.	Зубов В. И. Математические методы исследования систем автома-
тического регулирования. Судпромгиз, 1959.
38.	И в а н ю т а Ю. Ф. Теоретическое исследование устойчивости и управ-
ляемости ПЛ в вертикальной плоскости с учетом нелинейности гидродинами-
ческих характеристик. Отчет ЦНИИ им. А. Н. Крылова, 1956.
39.	Иванова В. А. Исследование качества системы стабилизации курса
ПЛ с учетом дрейфа. Труды ЦНИИ им. А. Н. Крылова, 1966, вып. 15-
40.	И в а н о в а В. А. Стабилизация глубины погружения ПЛ при цирку-
ляции в горизонтальной плоскости. Труды НИИ-49, 1959, № 4.
41,	Иванова В. А. Вопросы стабилизации глубины погружения ПЛ
на ходу. Дисс. НИИ-49, 1954.
349
42.	Ильина С. Г„ О з о л ь с к а я Н. В. Исследование законов управ-
ления горизонтальными рулями ПЛ при решении противоаварийных задач.
Труды ЦНИИ им. А. Н. Крылова, 1966, вып. 15.
43.	Калачева Л. В. Управляемость скоростных ПЛ и метод проекти-
рования горизонтальных рулей и стабилизаторов. Дисс. ЦКБ-18, 1949.
44.	К а м е н к о в Г. В. Об устойчивости движения на конечном интервале
времени. ПММ, 1953, т. XVII, вып. 5.
45.	Квасников В Н Влияние основных геометрических параметров
корпуса на динамические качества ПЛ при подводном ходе. Дисс., ЛКИ, 1950.
46.	Квасников В. Н., Рождественский В. В., Савель-
ев М. В.„Позиционные гидродинамические характеристики ПЛ при круговом
изменении угла атаки. «Кораблестроение», 1958, № 2.
47.	Квасников В. Н., Рождественский В. В„ Савель-
ев М. В. Установившееся движение ПЛ без хода под действием остаточной
плавучести. «Кораблестроение», 1958, № 4.
48.	Квасников В. Н., Рождественский В. В., Савель-
ев М. В. Некоторые вопросы движения ПЛ в вертикальной плоскости с пере-
менной по глубине остаточной плавучестью. Труды ЦНИИ им. А. Н. Крылова,
1959, вып. 143.
49.	Квасников В. Н., Рождественский В. В., Савель-
ев М. В. Исследование горизонтального движения ПЛ с перегрузкой. Отчет
ЛКИ, 1958.
50.	Квасников В. Н., Федорова И. Б. Атлас гидродинамических
характеристик ПЛ. ЦКБ-18, изд. ЦАГИ, 1958.
51.	Квасников В. Н., Мазор М. Е. Экспериментальное исследование
гидродинамических сил, действующих на аварийную ПЛ. Труды ЦНИИ
им. А. Н. Крылова, 1962, вып. 181. •
52.	Квасников В. Н. Изменение сил веса и плавучести аварийной
ПЛ. Труды ЦНИИ им. А. Н. Крылова, 1962, вып. 181.
53.	Князев А. М. Оптимальные процессы управления движением ПЛ
в нормальных и аварийных условиях. Дисс., ЦНИИ им. А. Н. Крылова, 1964.
54.	К о р о т к и н А. И. Определение необходимых для расчета простран-
ственных траекторий присоединенных масс. Труды ЦНИИ им. А. Н. Крылова,
1960, вып. 156.
55.	Короткий А. И. Некоторые вопросы расчета присоединенных масс
методом плоских сечений. ТруЛ‘ЦНИИ им. А. Н. Крылова, 1961, вып. 180.
56.	К у б а т ь я н Г. С. Исследование процесса погружения ПЛ на ходу,
основанное иа применении вычислительных машин непрерывного действия.
Дисс., ВМА, 1959.
57.	Кузнецов М. А. Гидродинамические характеристики модели немец-
кой ПЛ XXI серии при круговом изменении угла атаки. Отчет ЦАГИ, 1955.
58.	М а з о р М. Е„ К у б а т ь я и Г. С., Липунский П. П. Методика
расчета времени быстрого (без хода) и срочного погружения (с ходом) ПЛ.
Отчет ЦНИИ им. А. Н. Крылова, 1957.
59.	М а з о р М. Е. Принцип действия автоматического устройства, пред-
отвращающего аварийные провалы н дифференты ПЛ, обусловленные случай-
ными причинами. Труды ЦНИИ им. А. Н. Крылова, 1961, вып. 168.
60.	М а з о р М. Е. Продольная качка и рыскание ПЛ, движущейся на
перископной глубине, под действием правильного волнения на поверхности
моря. Труды ЦНИИ им. А. Н. Крылова, 1961, вып. 168.
61.	Мазор М. Е. Теория гидродинамических сил вихревой природы
при движении ПЛ с большими углами атаки. Труды ЦНИИ им. А. Н. Кры-
лова, 1962, вып. 181.
62.	Мазор М. Е., Рождественский В. В.. Савельев М. В., Ху-
дяков Б. А. Исследование параметров движения аварийной ПЛ иа элек-
тронных вычислительных машинах. Труды ЦНИИ им. А. Н. Крылова, 1962,
вып. 181.
63.	Мазор М. Е., Савельев М. В. Уравнения движения ПЛ. Труды
ЦНИИ им А. Н. Крылова, 1962. вып. 181.
350
64.	Ма з op M. E. Исследование специальных режимов движения ПЛ,
Дисс., ЦНИИ им. А. И. Крылова, 1962.
65.	Мазор М. Е., Юдин Е. Б., Смирнов А. К. Автоматическое
управление аварийной подводной лодкой при маневрировании по глубине.
Труды ЦНИИ им. акад. А. Н. Крылова, 1964, вып. 4.
66.	М и н и о в и ч И. Я. Действие судового гребного виита в косом по-
токе. Труды ЦНИИ им. А. Н. Крылова, 1946, вып. 14.
67.	М и н и о в и ч И. Я. Исследование гидродинамических характеристик
гребных винтов на режимах реверса н методика расчета реверса корабля.
Труды ЦНИИ им. А. Н. Крылова, 1958, вып. 122.
68.	Николаев Е. П. Влияние нестационарного закона сопротивления
на величину провала аварийной подводной лодки. Труды ЦНИИ им.
А. Н. Крылова, 1964, вып. 4.
69.	Николаев Е. П. О сопротивлении круглого цилиндра при отрыв-
ном обтекании в ускоренном движении. Труды ЦНИИ им. А. Н. Крылова,
1961, вып. 168.
70.	Николаев Е. П. Применение частотного метода для определения
гидродинамических характеристик ПЛ. Труды ЦНИИ им. А. Н. Крылова,
1964, вып. 4.
71.	Н и к о л а е в Е П. Применение системы автоматического управления
горизонтальными рулями ПЛ для обеспечения устойчивости ее движения
вблизи свободной поверхности. Труды ЦНИИ им. А. Н. Крылова, 1959,
вып. 144.
72.	Ос т о с л а в с к и й П. В., Стр аж ев а И. В. Динамика полета,
устойчивость и управляемость летательных аппаратов. «Машиностроение»,
М, 1965.
73.	Основы автоматического регулирования. Теория. Под ред. В. В. Со-
лодовникова. Машгиз, 1954.
74.	П а т р а ш е в А. Н., С к о б о в Д. П., Шаповалов М. И., Д р о б-
ленков В. Ф., Калачева Л. В., Матросов Н. Ф. Теория подводной
лодки. Учебное пособие. Изд, ВВМИУ, Л„ 1962.
75.	Павлов А. А. Синтез релейных систем, оптимальных по быстро-
действию. Изд-во «Наука», М„ 1966.
76.	Р е й н о в М. Н. Судостроительные расчеты на электронных вычисли-
тельных машинах. «Судостроение», 1964.
77.	Риман И. С., Крепе Р. Л. Присоединенные массы тел различной
формы. Труды ЦАГИ, 1947, № 635.
78.	Рождественский В. В. Переходиые процессы движения ПЛ на
инверсионной скорости и вблизи нее. Дисс., ЛКИ, 1952.
79.	Рождественский В. В. Методика определения параметров дви-
жения ПЛ в вертикальной плоскости (линейная задача). Труды ЦНИИ
им А. Н. Крылова, 1957, вып. 109.
80.	Рождественский В. В. Балансировочные режимы движения ава-
рийной ПЛ и исследование их устойчивости. Труды ЦНИИ им. А. Н. Крылова,
1962, вып. 181.
81.	Русецкий А. А. Разработка метода расчета корабельных рулей
с учетом влияния гребного винта и корпуса. Труды ЦНИИ им. А. Н. Крылова,
1953.
82.	С а б а н е е в В. С. Присоединенные массы эллипсоида вращения, дви-
жущегося в жидкости, ограниченной плоской стенкой. Вестник ЛГУ, 1958,
Ns 19.
83.	С а в е л ь е в М. В. Исследование провалов подводной лодки после
срочного погружения и выбор цистерны быстрого погружения. Дисс., ЛКИ,
1951.
84.	С а в е л ь е в М. В. Силы инерционной природы, действующие на ава-
рийную ПЛ. Труды ЦНИИ им. А. Н. Крылова, 1962, вып. 181.
85.	С к о б о в Д. П. Исследование динамической устойчивости ПЛ прн
движении в вертикальной плоскости. Дисс. ЦКБ-18, 1949,
351
86.	СкобовД. П„ Калачева Л. В. Динамика ПЛ. Изд. ЛКИ, 1960. |
87.	С м ольки к os П. П. Синтез квазиоптимальных систем автоматиче-
ского управления. Изд-во «Энергия», Ленинград, 1967.
88.	Соколов В. А. Исследование устойчивости движения ПЛ в про-
дольной плоскости с учетом нелинейности их гидродинамических характерис-
тик. Труды ЦАГИ, 1957.
89.	Тоще в Б. Е. Влияние свободной поверхности воды на гидродинами-
ческие характеристики ПЛ. Труды ЦНИИ им. А, Н. Крылова, 1961, вып. 168.
90.	Т о щ е в Б. Е. О силах, действующих на тело вращения при его
движении под поверхностью взволнованной жидкости. Труды им. А. Н. Кры-
лова, 1961, вып. 168.
_	—_91. Федяевский К- К- Применение теории управляемости воздушных
кораблей для сравнительной оценки управляемости ПЛ кормовыми и носо-
выми рулями. ЦАГИ, Технический отчет № 94.
92.	Ф е д я е в с к и й К- К. Материалы по аэродинамическому расчету
воздушных кораблей Ч. 1, II, III. Труды ЦАГИ, 1935, вып. 151, 178 и 225.
93.	Федяевский К. К-, Савельев М. В. Приближенный метод
определения параметров движения ПЛ и торпед с учетом нелинейности ги-
дродинамических характеристик. Труды ЦАГИ, 1955.
94.	Федяевский К. К., Б л ю м и в а Л. X. Определение вращательной
производной продольного момента ПЛ XXI серии при круговом изменении
угла атаки на. основе циркуляционно отрывной теории крыла предельно ма-
лого удлинения. Отчет филиала ЦАГИ, М., 1957.
95.	Ф ед я е в с к и й К- К- Оценка устойчивости и управляемости ПЛ
при возмущениях различного типа. Труды ЦАГИ, 1958.
96.	Ф е д я е в с к и й К- К- Теоретическое определение присоединенных
масс прямоугольных пластин. ПММ, 1952, т. 16, вып. 3.
97.	Федяевский К- К- и ГиневскийА. С. Нестационарный турбу-
лентный пограничный слой крылового профиля и тела вращения, ЖТФ, 1959,
т. XXIX, вып. 7.
98,	Федяевский К. К-. К р а м е р В. В., Н о в и к о ва Н. С. Продоль-
ная устойчивость ПЛ. Труды.ЦАГИ, 1950.
99.	X а с кинд М. Д. Основные принципы активной стабилизации ПЛ.
Труды ЦАГИ, 1949.
100.	Цапин В. Д .Влияние косого потока на действие гребного винта.
Труды ЦНИИ нм. А. Н. Кры.тБва,1949, вып. 46.
101.	Цейтлин А. Я. ^следование влияния архитектурных элементов
корпуса ПЛ на характеристики ее управляемости. Дисс., в/ч 27177, 1962.
102.	Цыпкин Я. 3. Теория релейных систем автоматического регулиро-
вания, Гос. изд-во техннко-теорет. лит-ры, М„ 1955.
103.	ЧуприковА. А, Й а ка вее в а Е. С. Исследование пространствен-
ного движения ПЛ при автоматическом управлении курсом н глубиной. Тру-
ды НИИ-49, 1962, № 2 (42).
104.	Чуприков А. А- Исследование некоторых нелинейных законов
автоматического уйравлениЯ движением ПЛ в вертикальной плоскости, Труды
ЦНИИ им. А. Н. Крылова, 1964, вып. 4. i
105.	Юдин Е. Б. Принципы действия автоматической системы управле-
ния движением ПЛ при аварии, связанной с Заклиниванием больших кормо-
вых горизонтальных рулей. Труды ЦНИИ им. А. Н. Крылова, 1961, вып. 163.
106.	Юдин Е. Б. Исследование влияния размеров горизонтального опе-
рения на характеристики управляемости ПЛ при автоматическом управлении.
Труды ЦНИИ им. А. Н. Крылова, 1964,-вып. 4.
107.	Якушевич Д. В. Исследование элементов плоской установившейся
циркуляции в полностью погруженном Положении с учетом несимметричного
характера обтекания по данным испытаний моделей в аэродинамических тру-
бах. Труды ЦАГИ, 1953.
108.	Lindgren Allen G., Gretella Daniel В., Bessalcni An-
thony F. Dynamics and control of submerged vehiches. ISA Trans., 1967, 5,
№ 4, 8, p. 335—346.
352
ЗАМЕЧЕННЫЕ ОПЕЧАТКИ
Напечатано
Следует читать
171
1-ая строка
ф-лы 11.3.19
304
2-ая строка
ф-лы IV.6.16
305
1-ая строка
ф-лы 1V.6.18
4 + S20v т] — (r2i — 1) у — S20t4 =
4 +	4 + v (r2i — 1)	—
— tASoni = —v2a 8	;
*UT	Ki H Ki H
= 1/	?’+fcK.K“2
г	I Soar да	... — w212
=	/ S2 +	n<"2	.
V ш2 (ш4 4- u2r* 4- q‘2)
В. В. Рождественский. Динамика подводной лодки, часть 1.