А. ЗОММЕРФЕЛЬД
ОПТИКА
Перевод с немецкого
Н. В. РОДНИКОВОЙ
Под редакцией
М. А. ЕЛЬЯШЕВИЧА
И * Л
ИЗДАТЕЛЬСТВО
ИНОСТРАННОЙ ЛИТЕРАТУРЫ
Москва 1953

vorlesungen
uber
theoretisghe physik
BAND IV
OPTIК
von
ARNOLD SOMMERFELD
Wiesbaden 1950

ПРЕДИСЛОВИЕ
РЕДАКТОРА ПЕРЕВОДА
Предлагаемая советскому читателю в русском
переводе книга «Оптика» А. Зоммерфельда является
четвертым томом его «Лекций по теоретической физике»^).
Содержание этих лекций составляют основные разделы
классической физики, однако их особенность состоит
в том, что самые вопросы классической физики
рассматриваются не в отрыве от современной физики, а с учетом
ее достижений.
Будучи специалистом в области математической физики,
Зоммерфельд ряд задач решает по-новому, многие вопросы
излагает в более общем виде, чем это обычно принято.
Применяя строгие математические методы и детально
рассматривая ход решения отдельных задач,
Зоммерфельд вместе с тем везде подробно останавливается на
физической сущности явлений, иллюстрирует свое
изложение большим количеством конкретных примеров,
затрагивает смежные вопросы. Все это делает его книги
весьма содержательными.
С большой полнотой разбирая те вопросы, которые
он сам разрабатывал, давая оригинальную трактовку
хорошо известных фактов, затрагивая часто такие
проблемы, которым обычно уделяется мало внимания,
Зоммерфельд не стремится к полноте охвата данной области
физики; многие важные разделы он лишь бегло затра-
^) В русском переводе изданы: том I—Механика (ИЛ, 1947)
и том VI—Дифференциальные уравнения в частных производных
физики (ИЛ, 1949); том II—Механика сплошных
сред—готовится к печати; том V, который должен был содержать
термодинамику и статистическую физику, Зоммерфельд, скончавшийся в начале
1951 г., не успел выпустить.—Прим. авт.

Предисловие редактора перевода
гивает или даже совсем опускает. Поэтому «Лекции по
теоретической физике» не являются полным курсом
теоретической физики и отдельные тома не могут
рассматриваться как учебники по соответствующим частям курса.
По существу дела каждый том представляет весьма
интересное, оригинально и живо написанное изложение
избранных вопросов данного раздела теоретической
физики, которое может служить ценным пособием как для
изучающих и преподающих теоретическую физику, так
и для ведущих исследовательскую работу в
соответствующей области и в смежных с ней областях.
Указанные особенности нашли свое отражение и в
данной книге, посвященной оптике. Она охватывает ряд
вопросов классической физической оптики, в первую
очередь электромагнитной оптики. В книге оригинально
и достаточно подробно изложено отражение и
преломление света (гл. I), дисперсия света (гл. III), основы
кристаллооптики (гл. IV). Отметим, что в главе об
отражении и преломлении света задачу о многократном
отражении и преломлении света Зоммерфельд решает по
общему методу краевых значений и сравнивает его с
обычным методом суммирования амплитуд световых
пучков. При разборе вопроса о полном внутреннем
отражении в случае тонкого воздушного слоя проводится
аналогия с туннельным эффектом квантовой механики.
Специально рассматривается вопрос о методах
уменьшения отражения от поверхности, включая вопрос о
просветлении оптики.
В главе III о дисперсии света следует отметить
рассмотрение волнового процесса в диспергирующей среде,
проведенное на основе собственной работы Зоммерфельда.
Последний параграф этой главы содержит краткое
изложение квантовомеханической теории дисперсии.
В главе IV о кристаллооптике, помимо отчетливого
изложения теории распространения света в кристаллах,
рассмотрено естественное вращение плоскости
поляризации, интерференционные явления в кристаллических
пластинках, а также простейшие поляризационные
приборы.
Кратко, но содержательно и интересно изложена
в книге оптика движущихся сред (гл. II). Последний

Предисловие редактора перевода
параграф этой главы (§ 16) посвящен квантовой теорий
света. Она рассмотрена лишь очень бегло. При этом Зом-
мерфельд, пытаясь сделать выводы
теоретико-познавательного характера, высказывается в пользу
идеалистических взглядов Бора и Гейзенберга, подчеркивает
«дополнительность» частицы и волны. Эти высказывания
[и аналогичные им в гл. IV (конец § 49)], как не имеющие
научного значения и, кроме того, совершенно не
связанные с ее основным содержанием, были опущены при
переводе.
Особенно подробно рассмотрена Зоммерфельдом диф-
фракция света, которой посвящена самая большая глава
(V) и значительная часть последней главы (VI), что
составляет почти половину книги. Этим разделом
физической оптики Зоммерфельд много занимался. Подробно
изложена разработанная автором точная теория диффрак-
ционных явлений (§ 38). Разобраны, на основе новых
работ ряда авторов, такие вопросы, как диффракция от
очень тонкой щели, диффракция в фокусе и другие.
Специальные параграфы последней главы книги
посвящены излучению Черепкова (§ 47) и природе белого
света (§ 49).
Рассмотрением перечисленных вопросов исчерпывается
основное содержание книги. Молекулярная оптика
затрагивается лишь отчасти, а спектроскопия почти совсем
не затрагивается. Вопросы геометрической оптики
изложены очень кратко. О физиологической оптике
Зоммерфельд говорит лишь в введении, с тем чтобы больше к ней
не возвращаться.
С общим характером книги, как изложения
избранных вопросов физической оптики, с преимущественным
вниманием к тем вопросам, разработкой которых автор
занимался, связано и часто одностороннее отражение
в книге исторических вопросов, неправильная оценка
заслуг различных ученых. Например в исторической
справке важнейших открытий в оптике, приведенной
во введении, включены в основном имена тех ученых,
работы которых рассматриваются или упоминаются в
тексте. В ней отсутствует имя М. В. Ломоносова,
оптические работы которого явились крупным вкладом в науку.
Нет в ней имен ученых, работы которых сыграли основ-

Предисловие редактора перевода
ную роль в развитии спектроскопии, теории теплового
излучения и квантовой теории света.
В ряде мест книги Зоммерфельд, приводя
определенные исторические сведения, не упоминает имен ряда
отечественных ученых, которым принадлежат крупнейшие
заслуги в разработке соответствующих вопросов. Так,
говоря об открытии фотоэффекта и установлении его
основных законов, Зоммерфельд ничего не говорит об
А. Г. Столетове. При рассмотрении полного внутреннего
отражения отсутствует ссылка на А. А. Эйхенвальда,
впервые до конца разработавшего вопрос о потоке
энергии во второй среде. В параграфе об аномальной
дисперсии нет имени Д. С. Рождественского, которому
принадлежат классические исследования) по этому вопросу.
Подробно разбирая излучение Черепкова, Зоммерфельд не
приводит имени С. И. Вавилова, с работами которого
непосредственно связано само открытие П. А. Черенковым
нового вида излучения.
С целью дать читателю правильное представление
о действительной роли различных ученых в развитии
оптики текст перевода снабжен рядом примечаний. В
других примечаниях разъяснены некоторые недостаточно
ясные места текста. Ссылки на литературу, приводимые
в немецком оригинале в подстрочных примечаниях и
притом довольно бессистемно, вынесены в конец книги. При
переводе особое внимание было обращено на правильность
терминологии.
Ноябрь 1952 г. Проф. М. Ельяшевич.

из ПРЕДИСЛОВИЯ АВТОРА
Настоящий том непосредственно примыкает к третьему
тому моих лекций, посвященному электродинамике.
Поэтому считается известной и применяется не только схема
уравнений Максвелла, но и их внутренняя сущность—
инвариантность относительно группы преобразований Ло-
рентца.
Заглавие гл. I—«Отражение и преломление». Здесь
речь идет об идеальном (никогда не осуществимом)
случае плоской волны, которая с необходимостью является
также и полностью поляризованной (в общем случае
эллиптически). Отражение и преломление при этом
всегда трактуются как задача о краевых значениях для одной
или (в случае пластинки) для двух граничных
поверхностей. Поразительно, как много охватывается этим
заглавием: от классических формул Френеля до
актуальных вопросов туннельного эффекта, просветления линз,
эталона Перо и Фабри и до (теперь уже более
неактуальной) проблемы «черной подводной лодки».
Фундаментальный вопрос о «когерентности или некогерентности света»
в этой главе затронут лишь слегка (см. фиг. 2). Этот
вопрос снова рассматривается только в последней главе,
§ 49, в связи с характеристикой свойств белого света.
В гл. II рассматривается оптика движущихся сред.
Мне кажется, что эти вопросы, в сущности, проще и
принципиальнее, чем содержание последующих глав, так как
здесь речь идет об универсальном характере скорости
света и о вытекающих отсюда физических и
астрономических следствиях. В конце этой главы, при изложении
эффекта Допплера и фотоэффекта, впервые высказывается
сомнение в принятой нами волновой природе света и
появляется его равноправная корпускулярная сторона.

8 Из предисловия автора
В ГЛ. III излагается теория дисперсии с
полуфеноменологической точки зрения Друде, которая основывается
на классическом представлении о собственных
колебаниях электронов в атоме. Мне казалось, однако,
необходимым включить в эту главу параграф, в котором теория
дисперси излагается с точки зрения волновой механики
и, следовательно, собственные колебания заменяются
переходами между двумя различными уровнями энергии.
Гл. IV посвящена кристаллооптике—любимому
предмету физики прошлого столетия. Также и здесь трактовка
феноменологическая, даже при рассмотрении вращения
плоскости поляризации в кристаллах, не обладающих
центром симметрии. Это рассмотрение особенно просто
удается произвести при надлежащей форме нашего
способа представления, с самого начала комплексного.
Гл. V и в основном также гл. VI посвящены проблеме
диффракции. Прежде всего здесь описывается диффрак-
ция от решеток (в том числе и от трехмерных). Затем
следует принцип Гюйгенса для скалярной диффракцион-
ной задачи. Оказалось целесообразным также рассмотреть
проблему «свет и тень» с ее разнообразными
парадоксальными с точки зрения геометрической оптики
противоречиями. Заканчивается гл. V краевой задачей, для
которой существует точное решение,—задачей о
полностью отражающей полуплоскости.
Гл. VI начинается с задачи об узкой щели, которая
в первом приближении была мастерски решена Релеем
более пятидесяти лет назад. Эта задача приводит к
интегральному уравнению, из которого можно получить
более высокие приближения, если должным образом
учесть выводы о поведении разветвленных решений на
краю экрана, полученные при рассмотрении задачи о
полуплоскости. В последующих параграфах рассматривается
с некоторых более или менее новых точек зрения вопрос
о разрешающей способности спектральных приборов
(включая рассмотрение опыта Майкельсона по измерению
диаметра неподвижных звезд) при помощи зеркал. Теория
диффракции Юнга дается в форме, приданной ей Руби-
новичем; вопрос о диффракции в фокусе дается в
изложении Дебая. В заключение подчеркивается разница
между скалярной и векторной диффракционными зада-

Из предисловия автора
чами и обсуждается векторное обобщение принципа
Гюйгенса. Мы следуем при этом новейшей, особенно ясной
трактовке этой проблемы, принадлежащей Францу.
Представление об электроне Черепкова, изложенное
в § 47, выходит из круга обычных оптических понятий
и захватывает область, так сказать, сверхсветовых
скоростей. Параграф 48 посвящен геометрической оптике
(которой мы до этого почти полностью пренебрегали).
Введение эйконала (и соответственно сопоставленного
ему единичного вектора) позволило очень сжато
изложить основные вопросы геометрической оптики.
Напротив, большая область физиологической оптики могла быть
лишь слегка затронута в введении, несмотря на то, что
она играет основную роль в нашей жизни.
В последнем параграфе рассматривается
принципиальный вопрос о природе белого света. Последний не
носит и следов периодичности; волновой характер он
приобретает лишь после прохождения через
спектральный прибор. И если здесь волновое представление
отступает на задний план и проявляется только как
вторичное свойство света, то оно полностью отсутствует
в геометрической оптике, где оно уже в принципе Ферма
заменяется корпускулярным представлением. Это
представление приводит к новейшей фотонной теории. Здесь
внимание читателя обращается на то обстоятельство,
что наше изложение, в основном ограниченное
классическими волновыми представлениями, охватывает только
часть всей оптики.
В основу настоящего тома положена тщательная
обработка моих лекций по оптике, относящихся к 1934 г.,
осуществленная Л. Вальдманом.
Конечно, содержание настоящего тома, особенно в
отношении перечисленных в конце тем, значительно
превышает объем упомянутых лекций.
Мюнхен, конец 1949 г. Арнольд Зоммерфельд.

§ 1. ВВЕДЕНИЕ
ГЕОМЕТРИЧЕСКАЯ, ФИЗИЧЕСКАЯ
И ФИЗИОЛОГИЧЕСКАЯ ОПТИКА
Глаз является нашим важнейшим органом чувств.
Поэтому учение о свете занимало уже натурфилософов
древности. Леонардо да Винчи называл оптику «раем
для математиков». При этом он, конечно, имел в виду
только геометрическую, или лучевую, оптику, учение о
перспективе, о распределении света и тени. Насколько
более оправданным было бы его изречение, если бы он
был знаком с волновой оптикой, с ее изумительными
цветовыми явлениями в диффрагированном свете или в
поляризованном свете в кристаллах. Именно ее имеют в
первую очередь в виду, когда говорят о физической оптике.
Соотношение волновой оптики и лучевой такое же, как
волновой механики и классической, что было выяснено
Шредингером, следовавшим фундаментальным работам
Гамильтона.
Существует, однако, еще и третья область оптики,
которую мы в соответствии с заглавием главного труда
Гельмгольца назовем физиологической оптикой^). Также
и здесь царят глубокие законы, которые, однако, не
охватываются нашей физической теорией. Трагедией жизни
Гете было то, что он не хотел понять разницы между
физической и физиологической оптикой; отсюда его
бесплодная борьба против Ньютона. Нам очевидно, что ощущение
желтого, которое вызывают у нас 1)-линии натрия, есть
нечто иное, чем длины волн ).=5890 и Х=5896 А,
которыми мы с физической стороны описываем эти линии, и что
вообще физиологическое явление есть нечто совсем
другое, чем ему соответствующее физическое явление; оба эти
явления по существу чужды друг другу и несоизмеримы.
^) Более подробно о физиологической оптике см. С. В. Крав-
ков, Глаз и его работа. Изд. АН СССР, 1950.—Прим, ред.

12 § 1. Введение
В ЭТОМ курсе лекций мы очень мало места уделим
лучевой оптике и, к сожалению, совсем не будем заниматься
физиологической оптикой. Основное внимание мы
уделим волновой оптике, которую мы будем излагать как
непосредственное продолжение третьего тома и
которая, вместе с тем, в области спектроскопии открывает
подход к современной атомной физике. Поэтому мы не
будем углубляться, например, в интересную область
учения о цветах, обоснованного с классической точки
зрения Томасом Юнгом и Гельмгольцем и развитого дальше
в основном Грассманом, Максвеллом и Шредингером,
но не являющегося законченным и в настоящее время.
Мы только совсем коротко покажем, что, независимо
от свойств цветов и их контрастного действия, уже в
количественной бценке интенсивностей существует
глубокое различие между субъективным впечатлением и
объективным положением вещей. Речь идет о так называемых
«явлениях полутени».
Эти явления играли определенную роль при первых
попытках определения длины волны рентгеновских
лучей. На рентгеновских снимках между областями
основной тени и полного освещения появляются области
полутеней, которые обусловливаются вторичными
рентгеновскими лучами, возникающими, например, на краях
щели. При этом глаз видит светлые и темные полосы,
которые были истолкованы как интерференционные линии.
Однако Гага и Винд сумели показать, что
происхождение полос чисто субъективное и может быть отнесено за
счет эффекта, исследованного Махом [1], эффекта, с
которым встретился также Зеелигер при изучении затмения
Луны. Опишем здесь его демонстрацию в качестве
единственного примера эффектов физиологической оптики.
Диск из белого картона в отдельных частях зачернен,
ка1« это показано на фиг. 1,а. Граница между черным и
белым имеет форму архимедовых спиралей, концы которых
соединены отрезками радиуса круга. Рассмотрим среднюю
яркость (или почернение), концентрических
относительно центра круга окружностей; при достаточно большой
скорости вращения она определяется законом
чувствительности к свету Тальбота. В центре диска наблюдается
полная темнота, так же как и на его краю. В промежутке

§ 1. Введение
13
существует зона с наибольшей яркостью. Переход от
темноты к свету происходит в области полутени. Так
как радиус-вектор архимедовой спирали линейно воз-^
растает (или убывает) с изменением центрального угла,
Cepedi
Фиг. 1. Демонстрация физиологического
обмана чувств,
а—схема диска; б-видимое глазом
субъективное (сплошная кривая) и объективное
(штрихованная кривая) распределение интенсивности
при вращении диска.
то И освегценность области полутени линейно увеличивается
(или уменьшается) с изменением расстояния от центра
диска. Если укрепленный на валу мотора диск привести

14 § 1, Введение
в быстрое вращение, то перед глазом предстанет
распределение интенсивности, представленное пунктирной
линией на фиг. 1,6. Но что же увидит глаз? В области
полутени—равномерное среднее освещение, на границе с
полностью зачерненной областью—темные полосы, которые
гораздо темнее самой области полного зачернения,
на границе с полностью освещенной
областью—светлые полосы, которые кажутся значительно более
яркими, чем сама область полного освещения. Глаз в
известной мере «пугается» перехода от полутени к полному
освещению и переоценивает разницу; то же происходит
при переходе к полной темноте. Глаз «судит» по
контрастам, а не по объективным значениям интенсивностей,
«судит» больше по дифференциальным соотношениям
кривой интенсивности, чем по абсолютным значениям ее
ординат. При этом светлые и темные полосы (на
вращающемся диске, конечно, концентрические окружности)
так ясно выражены, что наивный наблюдатель поклялся
бы в их подлинности.
Эти же полосы видны во всех случаях, когда
источники света имеют конечные размеры, что приводит,
согласно геометрическому ходу лучей, к появлению полутени.
Они видны, например, за карандашом, освещаемым ауэров-
ской горелкой. Также и светлое обрамление, которое мы
видим на собственной тени, если Солнце находится у нас
за спиной, и которое образует своего рода сияние вокруг
головы и конечностей, по крайней мере частично
объясняется этим оптическим обманом. Подобные полосы
играли определенную роль в известной дискуссии с
кружком мюнхенских художников, благодаря чему автор
случайно оказался втянутым в старый спор «Goethe contra
Newton». С противной стороны эти субъективные
эффекты оценивались как объективные и приводились как
доказательство порочности физических теорий.
Можно возразить, что это явление не может быть
сфотографировано и что таким образом можно установить
его субъективность. Но это заблуждение. Хотя число
почерневших зерен соответствует правильному
распределению интенсивности, однако глаз оценит фотографию
так же, как и оригинал, и будет обманут из-за
субъективного контрастного восприятия. Это показывает следующий

§ 1. Введение 15
опыт [2]. На фотографической пластинке создается
изображение щели микрометра, освещенной сзади
параллельным пучком света. Ширину щели, равную в начале
освещения 26, медленно и равномерно увеличивают до
значения 2а, после чего освещение выключается.
Фотографическая пластинка при этом длительно освещается
в своей средней части щелью шириной 26; примыкающие
с обеих сторон части а—b освещаются более короткое,
уменьшающееся до нуля время. На фотографии снова
видны светлые и темные полосы на обеих границах
полутеней (при неравномерном увеличении ширины щели
появляются еще вторичные полосы внутри области
полутени b—а в соответствии с непостоянством наклона кривой
освещение—время).
Вот и все (очень немного) по физиологической оптике.
Чтобы дать представление о богатстве всего
подлежащего изложению материала, приведем историческую
справку важнейших оптических открытий^).
Закон преломления Снеллиуса (ставший известным
благодаря Гюйгенсу) и Диоптрика Декарта (Decartes, Dioptrices,
1637). Декарту принадлежит также первая теория радуги.
Гримальди, первый учебник по оптике (Grimaldi, Phisico-
mathesis de Iqmine, coloribus et iride, Bologna, 1665);
отклонение от прямолинейного хода лучей, диффракция.
Ремер, 1675; определение скорости света по затмениям
лун Юпитера.
Гюйгенс (Huygens, Traite de la Lumiere, Leiden, Трактат
о свете, Лейден, 1690); учение о волнах без дальнейшего
анализа колебательного процесса (вопроса о продольности или
поперечности колебаний); принцип Гюйгенса, волновые
поверхности, двойное лучепреломление в полевом шпате.
Ньютон (Newton, Optice, 1706); цвета тонких пластинок;
спектральные цвета и их смешение в белый цвет; эмиссионная
теория.
Брадлей, 1728; аберрация света.
Юнг (Young, Lectures on natural phylosophy, 1807);
интерференция света, диффракция, учение о цветах, цветовой
треугольник; одновременно расшифровка иероглифов.
^) В своем перечислении важнейших оптических открытий
автор не упоминает о замечательных работах в области оптики,
принадлежащих М. В. Ломоносову, П. Н. Лебедеву, А. П.
Столетову, Д. С. Рождественскому, СИ. Вавилову и др. Более
подробные данные об этих работах приведены в примечаниях редактора
в соответствующих местах настоящей книги.—Прим. ред.

g 1. Введение
Малюс (Mains, Sur une propriete des forses repulsives qui
agissent sur la lumiere, 1809), поляризация при отражении.
Био, Брюстер, Араго; кристаллофизика. Араго, 1811;
вращающая способность кварца.
Фраунгофер, 1787—1826, Френель, 1788—1827. Оба—
классики волновой оптики. Оба, прожив жизнь, полную
работы, успеха и славы, умерли в молодых годах. Фраунгофер,
наилучший специалист по стеклу и конструктор телескопов
своего времени, изготовил первую диффракционную решетку;
может считаться отцом спектроскопии и астрофизики
благодаря своему открытию фраунгоферовых линий в спектрах
Солнца и планет. Френель интуитивно построил волновую
теорию; был неистощим в изобретении кристаллооптических
устройств. Диффракция Фраунгофера и Френеля.
Бессель в 1838 г. впервые измеряет параллакс
неподвижных звезд в созвездии Лебедя при помощи телескопа
Фраунгофера. Допплер (Doppler, ttber das farbige Licht der
Doppelsterne und einiger anderer Gestime des Hinimels, 1842).
Наземное определение скорости света: Физо, 1849,—при
помощи зубчатого колеса; Фуко, 1850,—при помощи
вращающегося зеркала; Майкельсон, до 1926,—тем же способом.
Фарадей, 1845; «Намагничивание светового луча и
освещение магнитных силовых линий».
Максвелл, 1861; набросок электромагнитной теории света,
его трактат, 1873.
Задуманный Максвеллом опыт по интерферометрическому
определению возможной зависимости скорости света от
азимута при движении Земли вокруг Солнца был осуществлен
Майкельсоном в 1881 г. Этот опыт был усовершенствован Май-
кельсоном и Морлеем в 1887 г. и с наибольшей точностью был
повторен Иосом в 1930 г.
Теория дисперсии. К созданию теории дисперсии Кеттелер
и Селлмейер приступили на основе упругой теории света,
Гельмгольц—на основе электромагнитной теории света. Друде
развил теорию дисперсии на основе электронной теории.
В 1900 г. вышел его учебник по оптике. Волномеханическая
теория дисперсии была создана в 1926 г. Шредингером.
Аббе, 1840—1905; диффракционная теория оптического
изображения (одновременно с работами Гельш^ольца и Релея).
Стоячие световые волны, О. Винер, 1890; их применение
Липпманом в цветной фотографии.
Релей, 1842—1919; объяснение голубого цвета неба,
введение в оптику понятия групповой скорости, разрешающая
способность призмы, представление о белом свете как о
совершенно нерегулярном и непериодическом процессе.
Эффект Зеемана, 1896; объяснение нормального эффекта
Зеемана Г. А. Лорентцом.
Эйнштейн вводит в 1905 г. на основании теории квантов
представление о фотонах (световых квантах).

Глава I
ОТРАЖЕНИЕ И ПРЕЛОМЛЕНИЕ СВЕТА
§ 2. ИДЕАЛЬНЫЙ И ЕСТЕСТВЕННЫЙ СВЕТ
В т. II, § 45, нами было показано, что упругая теория
света ставит больше граничных условий при переходе
между двумя оптически разными средами, чем это
совместимо с фактом поляризуемости света, с его
поперечным характером. Перейдем теперь к электромагнитной
теории света. В противоположность упругой теории света
электромагнитная теория накладывает только два
граничных условия на напряженность электрического поля Е
и два на связанную с ним напряженность магнитного
поля («магнитного возбуждения») Н, а именно: она
требует равенства тангенциальных по отношению к
пограничной поверхности состав л яюш;их этих полей.
Мы предполагаем, что свет монохроматичен, т. е.
характеризуем его, сильно идеализируя действительное
положение вещей, только одной единственной часто-
той О). Это означает, что мы, представляя себе свет
разложенным в спектр, используем в качестве источника
света только бесконечно малую область этого спектра.
Применяемый при этом спектральный аппарат мы
назовем монохроматором. Далее, мы рассматриваем не
любой пучок световых лучей, а ограничиваемся, снова
идеализируя действительное положение веш;ей,
рассмотрением математически значительно более простого случая
плоской волны с определенным направлением
распространения. Это означает, что мы применяем коллиматор
(труба с собирающей линзой и щелью, расположенной в
фокальной плоскости линзы), при помощи которого мы из
светового пучка, в общем случае расходящегося,
выделяем параллельную систему лучей известной ширины.
Естественный свет не обладает ни одним из этих двух
свойств. То же можно сказать о солнечном свете, который

18 Гл. I. OmpaotccHue и преломление света
В отношении частоты совершенно нерегулярен и не
обладает достаточной параллельностью вследствие конечных
размеров солнечного диска.
Сначала мы рассмотрим идеальный свет, который, стало
быть, прошел через идеальные монохроматор и
коллиматор. К свойствам естественного света мы вскоре еш;е
вернемся. Мы примем направление распространения нашей
плоской волны за ось х. Электромагнитное поле мы будем
характеризовать двумя векторами Е и Н, которые
представим в виде веш;ественных частей следующих
выражений ^):
Е = Ае^('^^-^0, H-AVC^^-^O. B.1)
Величина к называется «волновым числом>;
А—независимая от о; и ^ постоянная, которая для различных
составляющих Е имеет различные, в общем случае
комплексные значения; А' определяется через А. Для
представления волны вместо Н можно было бы использовать, конечно,
и В. Мы отдали предпочтение Н главным образом
вследствие того, что условия на границе двух оптических
разных сред одновременно с непрерывностью Е требуют
непрерывности Н, отчасти же и потому, что
фундаментальный для оптики лучевой вектор S дается в этом случае
непосредственно в виде
S = [EH] B.1а)
(без дополнительных множителей благодаря нашей
системе единиц MKSQ, которую мы ввели в т. III и которую
мы кладем в основу и в этом томе). Кроме того, такой
выбор находится в лучшем согласии с обычной
литературой, в которой почти всегда Н стоит рядом с Е.
В электромагнитной теории поперечность света в
свободной от объемных зарядов и изотропной среде
вытекает из условия divE = 0, которое (ср. т. III, § 6) в
случае нашей плоской волны A) приводит к Ех =0. Таким
образом, остаются только две составляющие Еу ж Е^.
^) Мы покажем в задаче 1 к гл. I на простейшем примере,
насколько выгоднее пользоваться при решении задач о колебаниях
комплексными экспоненциальными функциями вместо их
действительных частей.—Прим, авт.

§ 2. Идеальный и естественный свет 19
Это же справедливо и для Н. Величина к связана сш
равенством
/- Г S — диэлектрическая постоянная (д. п.),
к = Л/ г\х{л{ B.2)
^ (. (А —магнитная проницаемость. ^
Величина |/ е|х имеет размерность, обратную скорости.
Обозначим ее через 1/м, где и—скорость распространения
фазы в рассматриваемой среде. Это можно показать,
продифференцировав по t экспоненту в выражениях B.1)
и приравняв ее нулю:
at
В вакууме ? = ?о> Р'^Р'о ^^
и = с, c = 1/|,/sq[Xjj~3 • 10^ ле/се«. B.3)
Связь между Н и Е, или, что то же самое, между
стоящими в B.1) постоянными А' п А вытекает из уравнений
Максвелла для диэлектриков
!^^=-rotE, e|5 = rotH, B.4)
примененных для частного случая плоской волны. Тогда,
вследствие того, что Ех=0 и Язс=0, первое из этих
уравнений дает
— ш[х^4у = ikA^y — m\iAz = — ikAy.
Следовательно,
To же следует, конечно, из второго уравнения B.4).
В соответствии с выбором постоянных Ау,А;^ получается,
как необходимое следствие уравнений Максвелла, вполне
определенное состояние колебаний, или вполне
определенная поляризация нашей монохроматической плоской
волны.
В задаче 2 к гл. I мы расчетным путем покажем, что
в идеальном случае, соответствуюш;ем уравнению B.1),
свет, вообще говоря, эллиптически поляризован, а
именно: электрический вектор Е с началом в точке 2/=0,

20 Гл. 1. Onipa^tcenue и преломление света
2=0 за время 1=2т.1(л описывает в плоскости yz эллипс
с определенными главными осями. То же будет
справедливо и для вектора Н. В соответствии с нашей трактовкой
теории Максвелла едва ли требуется говорить о том, что
при этом не имеют места никакие колебания среды,
никакое движение «светового эфира». Мы потом увидим,
что идеальный случай эллиптической поляризации с
хорошим приближением осуществляется на практике
(полное внутреннее отражение, отражение от металлов,
кристаллооптика).
Важным частным случаем эллиптической
поляризации является круговая поляризация, когда
М„ 1 = 141, AiA^=±i. B.6)
Линейная поляризация будет иметь место в том случае,
когда отношение AJAy является вещественной величиной,
положительной или отрицательной; в частности, конечно,
и при -4^=0 или Ау=0,
В дальнейшем мы будем часто говорить не только о мо-
нохроматоре и коллиматоре, но также и о поляризаторе
(призме Николя, пластинке в четверть волны и т. д.).
Согласно сказанному, он служит, собственно говоря, не
для получения поляризованного света, а для
преобразования одной формы поляризации в другую, так как
монохроматор и коллиматор уже сами, вследствие
выполнения уравнений Максвелла, обеспечивают наличие общего
случая эллиптической поляризации, как парадоксально
это ни звучит для занимающихся практической оптикой.
Теоретически правильно было бы сказать: и при
идеальных монохроматоре и коллиматоре остаются еще не
определенными четыре параметра, входящие в две могущие
быть произвольно выбранными постоянные Ау и А^ (две
амплитуды \Ау\ и |^J и две фазовые постоянные а^ и а^);
при применении поляризатора на них накладывается
ограничение.
Конечно, реальные монохроматор и коллиматор
никогда не функционируют идеально. Поэтому в
действительности мы имеем дело не с идеальным светом, а с
непрерывным множеством наложенных друг на друга
идеальных картин, в котором отчетливо выражены лишь
известные интервалы частот или направлений распростра-

§ 2. Идеальный и естественный свет, 21
нения. Прошедший через монохроматор свет, даже
сведенный к одной единственной спектральной линии, не
является, таким образом, строго монохроматичным, а имеет
известную спектральную ширину. Также и свет,
прошедший через коллиматор, в действительности представляет
co6oii: интеграл по области пространственных
направлений, одно из которых наиболее резко выражено. Поэтому
и различные поляризационные устройства страдают
известной размытостью создаваемого ими эффекта.
Для естественного света область интегрирования во
всех отношениях неограниченна; она охватывает все
частоты О < A) < оо и, в случае диффузного света, все
возможные направления падения. Кроме того, в
естественном свете ни одно из направлепи11 поляризации не
имеет преимуществ перед другим. Логический анализ
этого положения вещей явился для Планка
предварительным условием установления его термодинамического
закона излучения, а следовательно, п предварительным
условием открытия теории квантов. Вместо того чтобы
световое излучение полости выразить в форме B.1),
Планк представил его для каждого очень малого
интервала частот ДA) в виде бесконечной суммы членов вида
B.1), в которых постоянные А даже для соседних
значений О), беспорядочно изменяются по величине и по фазе.
Это основано на том, что элементарные акты излучения
полости относятся к единичным атомам, которые
излучают независимо друг от друга. Только величина Y^y + ^z
имеет определенное значение, заданное средней энергией
всех элементарных актов; однако А^^ п А, в отдельности
остаются совершенно неопределенными, в особенности
в отношении своих фаз. Все это справедливо также и для
того, что мы называем «естественным светом». Конечно,
уже невооруженный глаз осуществляет некоторый отбор
в бесконечном разнообразии естественного света.
Фиксируя определенную точку, глаз представляет собой
коллиматор, так как он, как и последний, снабжен линзой.
Далее, вследствие своей избирательной спектральной
чувствительности и чувству цвета, глаз ограничивает
также и область частот.
Чем отчетливей выделяются в конкретном случае
определенные частота и направление, тем больше времен-

22 Гл. I. Отралсслие и преломление света
пой интервал и пространственная область, в которых
плоская волна с достаточным прибли:нсением представляет
естественное световое поле. Вне этого интервала и этой
области фазы подвержены статистически распределенным
пространственным и временным колебаниям. Попытаемся
объяснить это наглядно на примере.
На фиг. 2 представлен результат наложения шести
плоских, монохроматических волн, точнее, результат
суперпозиции шести вещественных частей
экспоненциальных функций вида B.1); их частоты ю относятся друг
к другу, как
95 : 97 : 99 :101 :103 : 105.
Направления распространения к отклоняются попарно
на i ^/20 в угловой мере от направления средней пары;
последовательные значения этих отклонений будут:
"Ь /го» + /го» О, О, — /go, — /го-
Система сплошных, в основном прямых линий
показывает мгновенное положение нулевых значений
результирующего колебательного процесса. Между этими
нулевыми значениями, чередуясь, лежат гребни и впадины
волн, амплитуды которых характеризуются
штрихованными линиями, подобными горизонталям на
географической карте. Следующие друг за другом горизонтали
отличаются друг от друга по амплитуде на единицу, причем
помимо нуля приведены лишь значения максимумов
амплитуды. Мы видим, что регулярный ход волн нарушается
только в местах с нулевой амплитудой; здесь как бы
появляется новый волновой период. Поэтому позади этих мест
волновые фронты обгоняют волновые фронты на
невозмущенных участках, а перед ними—отстают от
последних, что соответствует на время более тесной
последовательности волн, как бы увеличению частоты на 1. Нужно
представить себе, что вся волновая картина перемещается
со скоростью света в направлении, указанном стрелками,
причем ее вид постепенно меняется.
Рассмотрение фиг. 2 показывает, что существуют
конечные области размером во много длин волн, которые
по характеру достаточно близки к однородной плоской
волне и сохраняют этот характер при распространении

Фиг. 2. Мгновенное изображение «волнового пакета», составленного из шести отдельных волн.
Сплошные ЛИНИИ—линии равной фазы, пунктирные линии—линии равной амплитуды.

24 Гл. I. Отражение и преломление света
волны, т. е. существуют области, в которых действительно
осуществляются поставленные выше требования для
«областей хорошего приближения>. Исключением являются
места с нулевой амплитудой, однако именно вследствие
нулевого значения амплитуды их влияние сказывается
не сильнее, чем влияние других мест переменной
интенсивности.
Если нужно экспериментально подтвердить какие-
либо выводы, полученные из теории плоских
монохроматических волн, то необходимо позаботиться о том, чтобы
весь объект наблюдения был окружен такой областью
хорошего приближения на протяжении всего времени
наблюдения. В этом случае говорят о лопучетш
когерентного света. Точнее здесь нужно говорить о получении
достаточно большой пространственно-временной когерентной
области, так как небольшие когерентные области всегда
имеются и в естественном свете.
Необходимые размеры области, а значит и требования
к степени монохроматичности и к параллельности
направлений лучей, зависят в каждом конкретном случае от
соотношения между величиной объекта и длиной волны. Мы
приведем, предвосхищая дальнейшее, несколько
примеров.
Для того чтобы видеть игру цветов в коллоидальных
частицах или в ореоле вокруг Луны, не нужно никакой
оптики.
Для наблюдения цветов тонких пластинок
параллельность падающего света не имеет почти никакого значения.
Для ограничения частоты здесь достаточно уже
спектральной избирательности глаза.
Напротив, в толстых пластинках
интерференционные полосы можно получить, только работая с узкими
спектральными линиями и с упорядоченным ходом лучей,
и для разрешения полос необходимо применять
зрительную трубу.
Диффракцию от щели нельзя наблюдать в солнечном
свете, так как для этого случая щель слишком узка.
Необходимо применять коллиматор или вспомогательную
щель. Только излучения, которые исходят из одной и той же
когерентной области, могут интерферировать друг с
другом. При этом складываются их световые векторы. Если

§ 2. Идеальный и естественный свет 25
излучения ИСХОДЯТ из удаленных друг от друга
областей, то складываются их усредненные по времени
энергии. В этом случае суммируются их интенсивности.
Прежде чем перейти к непосредственной теме настоящей
главы—к отражению и преломлению, составим,
воспользовавшись данными т. III, общую сводку размерностей
величин, с которыми мы встречались выше, и некоторых
величин, с которыми мы встретимся в дальнейшем.
В системе четырех единице): М (метр), К (килограмм-
масса), S (секунда), Q (количество электричества, или
электрический заряд)^), получим следующее:
Единица силы: 1 Дина («большая дина») = MKS"^ =
= м * кг - сек^=\0^ дин.
Единица энергии: 1 е9/?г («большой эрг»)=1 д:н€оуль =
= 10' эрг.
Единица мощности: 1 Эрг • S'^=10' эрг • сек'^=1 вт.
Напряженность электрического поля: сила/заряд =
Дина/(^=в1М--=в1м\ 1 в=1 5/?2/Q=10' эрг - кулон''^ =
= 10^ дин • кулон'^.
Сила тока ()?Г'^=кулон - секГ^=-а,
Плотность тока /; а/М^ = aJM^ = QM'^S'^ =
^ кулон • м~^ • сек"'^.
Эту же размерность имеет «ток смещения» D.
Следовательно, размерностью максвелловского «электрического
смещения» D, а нашей «электрической индукции» будет
(Щ~^=кулон - м'^. Так как D = 8E, то размерность
диэлектрической постоянной будет
Aт''^1Дина = кулон'^ . м^ • 10'^ . dunar^^^Mr^SQ'^ =
= лС^ • сек • ом'^, 1й == 1 оле =
= 1 Эрг S/Q2 = 10' эрг - сек • кулон'^.
^) Зоммерфельд применяет так называемую абсолютную систему
практических единиц (MKS), в которой за четвертую единицу
(наряду с метром, килограммом и секундой) выбирается одна из
электрических единиц; в качестве четвертой единицы он выбирает единицу
количества электричества (кулон). В подобной системе единиц
уравнения Максвелла и формула S=[EH] не содержат скорости света
с («электродинамического коэффициента»). См., например,
Электричество, № 1, 1948.—Прим. ред.
2) Для численных расчетов в качестве единицы Q выбирают
1 кулон, т. е. величину, равную 1 а • сек.—Прим. авт.

26 Гл. I, Ompa^fceuue и преломление света
Магнитный момент = магнитный заряд X плечо = PI,
согласно Веберу, определяется произведением силы тока
на поверхность. Поэтому магнитный заряд jP=QMS"^ =
= кулон • м • св^г'^ = «свободному заряду» в смысле Ампера.
Магнитная индукция (собственно «напряженность
поля») В имеет размерность: Дина/Р = Дина SQ'^M^^ =
= 10^ дин • сек • кулон"'^ • ле"^ = в - сек ^ м~^.
Магнитная напряженность Н имеет размерность:
P|M^=^qШ-^S'^=кyлoн ' м-^ . сек-^=а • мг^.
Магнитная проницаемость ]х = В1Н имеет
размерность: Дина S2Q-2==105 дина ' сек^ ' кулон ^ = ^11-^^9^ =
=ж~^ . сек • ом\
е[1 = M'^S^ = (скорость)'^,
[x/s = 2, ^/[jlq/sq = волновое сопротивление вакуума.
С целью получения формул, свободных от коэффициента
4тс, полагаем ^):
и как следствие отсюда
47:с% = 10' MS-^2-1 = 10' . .le . сек^ • ом'К
Величина лучевого вектора S=[EH] имеет
размерность: 5/?гМ3-^=10'^ эрг • м'^ • сек"'^. От введения
магнитного заряда Р в качестве пятой единицы (см. т^ III, § 8)
мы здесь воздержимся.
§ 3. ФОРМУЛЫ ФРЕНЕЛЯ, ПЕРЕХОД ИЗ МЕНЕЕ
ПЛОТНОЙ СРЕДЫ В БОЛЕЕ ПЛОТНУЮ
Границу между двумя оптически различными средами
можно считать плоской, если ограничиться ее участком
(например, величиной в несколько сот длин волн).
Выберем эту границу за плоскость г/=0 правой
прямоугольной системы координат. Пусть из полупространства г/ > О
падает плоская, линейно поляризованная волна. Ее пло-
^) Таким образом, для вакуума ес1^о=с-2 или {^о\*'оУ^'^='с-^
показатель преломления будет равен 7г=с(?[х)^2 вместо обычной
формулы л =:(sfjL)*^2^ —Прим, ред.

§ 3. Формулы Френеля 27
скость падения лежит в плоскости фиг. 3 и совпадает
с плоскостью г/а:; направление распространения составляет
угол а с отрицательной осью у. Для решения стоящей
перед нами «задачи о краевых значениях» мы введем, наряду
с преломленной волной во второй среде (образующей
угол р по отношению к отрицательному направлению оси
г/), отраженную плоскую волну, образующую с
положительным направлением оси у угол, который мы пока
обозначим через а'. Электрические амплитуды трех волн мы
обозначим через А, В и С\ А относится к падающему
лучу S^, В—к преломленному, или «проходящему», лучу
S^, С — к отраженному лучу S^., Мы рассмотрим
различные случаи.
1. Электрический вектор перпендикулярен к
плоскости падения. Опустим в выражении B.1), кроме
обозначения вещественной части, также и временной фактор
ехр (—mt)j который для всех трех волн один и тот же.
Пусть направление вектора Е везде совпадает с
направлением оси Z. Введем на время полярные координаты г,
9 в плоскости ху и положим для входящего в B.1)
направления распространения (обозначенного там через х)
a; = rcoscp или, в более общем виде, с учетом различия
трех направлений распространения: х = rcos(cp — -j').
Тогда, согласно фиг. 3,а, значениями if будут:
1 ,
для падающей волны:—у тс-[-а,
/•cos (? — т) ~ ^ s^^ ^ — У cos а,
для преломленной волны: — ^ ^ + Р>
г cos (ср — 7) = ^ sin р — г/ cos р,
, 1
для отраженной волны: Н- у тс — а ,
г cos (ср — -f) = а; sin cl' — у cos а',
причем X ж у в противоположность обозначениям,
принятым в выражении B.1), соответствуют указанным на
фигуре координатам. Тогда в среде 1 получаем
суперпозицию падающей и отраженной волн:
Е -= ^e^'^i (^'^^" *—^^°^ *^ Ч-Се^'^! ^^ ^^^ *'+^^°^ *') C.1)

28 Гл. 1. Отра;>юение и преломление света
В среде 2—преломленную волну:
Е. = Ве'^^ (л: sin Р-1/cos Р)^ C.1а)
Граничные условия при у=0 требуют, чтобы
^gifei X sin а I Се^^^ л: sin а' __ Jg^iki х sin Р C.2)
Вследствие того, что в последнее равенство входит х,
оно может быть удовлетворено соответствующим
подбором констант А : В : С только в том случае, если
экспоненциальный множитель сокращается, i. е. если
а=а', A:iSina = A:2sinp. C.3)
Первое соотношение представляет собой закон отра;нсения,
второе—закон преломления, который, приняв во внимание
B.2), можно записать в виде
5iil| = jL = l/0S:. (З.За)
Правая часть этого двойного равенства определяет
показатель преломления сред 1 и 2\
у\
^^. (З.Зб)
Выберем в качестве среды 1 воздух, для которого
значения постоянных Si и |ii мало отличаются от значений
этих постоянных для вакуума, и обозначим для краткости
постоянные среды 2 через s и [л. Тогда получим
определение показателя преломления по отношению к воздуху:
г • C-4)
Здесь, как и в B.3), и означает фазовую скорость в
среде 2. Положив, как это обычно делается, (х = [х^ и е/бд = Srei
(диэлектрическая постоянная относительно вакуума),
напишем соотношение Максвелла
п ="|/srei. C.4а)
Как показал Больцман, это соотношение довольно
хорошо выполняется для гомеополярных газов и паров, но
совсем не оправдывается для твердых и жидких сред,
особенно для таких, которые обладают собствен-

§ 3. Формулы Френеля
29
ными инфракрасными частотами. Например, для воды
V^srei "^ 9 при п -^ */з. Дисперсию (зависимость от
частоты) формула C.4а) вообще не учитывает.
Вследствие C.3) формула C.2) сводится просто к равенству
А + С==В. C.5)
Второе уравнение для постоянных А, В, С мы
получим, написав граничное условие для тангенциальной
составляющей Я^. Согласно B.5), амплитудный множитель
'шшшт.
г
у
шшшт.
Фиг. 3. К выводу формул Френеля для перехода из менее
плотной в более плотную среду,
а—электрический вектор перпендикулярен к плоскости чертежа;
б—электрический вектор лежит в плоскости чертежа.
в выражении ДЛЯ Н получается из соответствующего ам-
плитудного множителя для Е умножением на ±|/ е/[л ,
причем знак определяется по правилу правого винта.
Векторы Е, Н и S для всех трех волн образуют право-
винтовую систему. Примем что в данный момент
компонента Е^ положительна, следовательно, на фиг. 3, а
Е^ направлено от рисунка к нам. Тогда Л получается
из S вращением последнего по часовой стрелке, если
смотреть спереди. При указанных на фигуре
направлениях лучей векторы Н в падающей и преломленной волне
будут направлены влево, а в отраженной—вправо. В
соответствии с этим при вычислении Я^ необходимо ввести
множители cos а и — cos р для первых двух волн и мно-

30 Гл. I. OmpaotceHue и преломление света
житель cos а' или, что по закону отражения одно и то же,
cos а для последней. Таким образом, вместо C.1)
получаем
Я^ = Т/ Ь. cos ae^'^i * sin а f Ае-^^^ i/ cos а ^ Q^iki v cos а 1 ;
C.6)
a вместо C.1a)
Я^= — j/^cospe^'^sxsin&^e-^ftaiycosp, C.6a)
Следовательно, граничное условие при г/=Ов упрощенной
благодаря применению закона преломления форме имеет
вид
l/!lcosa{-^ + Cj== -l/!lcosp5, C.7)
ЧТО можно записать иначе
А-С = т,^^-^В, m,^^Y^^. C.8)
^^ COS а ' f V-2 Ч
Множитель т в общем случае (для [Xg Ф [Xj) отличен от п:
в то время как п обозначает отношение двух скоростей
волн, т, в согласии с нашей таблицей размерностей,
следует рассматривать как отношение двух волновых
сопротивлений.
Складывая равенства C.5) и C.8) и вычитая их одно
из другого, получаем
Чтобы привести это выражение к обычной форме записи
формул Френеля, мы положим, согласно C.8) и (З.Зб),
тогда получим вместо C.9)
2С / - П ± й^ sinpeosctj ^' ^"^'^^^
В обычно встречающемся случае р-г '^ [Jbi = V'o выражение
C.11) упрощается, и мы можем в качестве первой формулы

§ 3. Формулы Френеля 31
Френеля написать
Л: J9:C = sin(P + a):(sin(p + a) + sin(p —a)):sin(?-a).
C.12)
2. Магнитный вектор перпендикулярен к плоскости
падения. Будем исходить теперь из магнитного вектора
Н, направленного по оси z. Обозначим, как и в B.1),
амплитудный множитель падающей волны через А\
амплитудные множители преломленной и отраженной волн
соответственно через В' т С\ Тогда мы непосредственно
получим как следствие непрерывности Н^ вместо C.2)
следующее граничное условие при у = 0:
^'gifei л sin а _|_ C'^iki х sin а' _. 5'gift2 л: sin р^ C.13)
Законы отражения и преломления получаются отсюда
таким же путем, как и в C.3) и C.3а), и соотношение
C.13) сводится к равенству
А'+С=^В\ C.14)
Это выражение, будучи преобразовано для векторов Е
(множитель Y^lv-i Щ^ ^' и С" и множитель V^eg/jXgnpH
В'), дает
А + С = т^2Ву C.14а)
где mi2 имеет то же значение, что и в C.8).
Второе условие получается из непрерывности Е^ при
г/=0. Чтобы установить знак, обратимся к фиг. 3, б, на
которой Н в положительной фазе можно представить
в виде стрелки с мгновенным направлением от плоскости
рисунка к нам. Так как последовательность Е, Н, S
должна образовывать правовинтовую систему координат, то
получаются направления стрелок для Е, указанные на
фиг. 3, б. Проектируя их на ось х^ получим вместо C.8)
в качестве второго граничного условия
cos (х{А — С)== cos рБ;
комбинируя его с A4а), находим
2Л
2В
I = (щ^ ± 22^Л в=^(^'^± ?251^ в. C.15)

32 Гл. I. Отра^юение и преломление света
В обычно встречающемся случае \ii ^^ {Xg получаются
более простые выражения:
Ы sin 2а + sin23 _ 2 sin (а+f;) cos (а —Э)
В sin ^ cos а sin fJ cos о
4С _ sin 2а — sin 23 _ 2 cos (а + i^) sin (а —^)
C.15а)
C.156)
в sin fi cos а sin E cos a
Из этих выражений непосредственно следует:
^:C = tg(a + p): tg(a-^^).
С другой сторфны, из C.15а) легко вычисляется отношение
А п i. / I о\ 2 sin 8 cos а
^:g = tg(a + P):^^3(a+^)cos(a-i.)^
bgt.'^-t-p;- cos(a + P)cos(a-p)
Объединяя оба отношения, мы получаем вторую формулу
Френеля:
В дополнение к проведенным вычислениям в задаче 3
к гл. I мы убедимся в том, что на поверхности г/=Оне
индуцируются электрические заряды, и, следовательно, нет
никакого скачка электрической индукции 7)^ = sE^ (в
первом случае это было очевидно в силу Еу = 0).
3. Искусственное гашение отражения при
перпендикулярном падении. Однако и более полные решения
C.9) и C.15) нашей задачи, в которых fi-i ^ [Xg, имеют,
по крайней мере, исторический интерес. Во время войны
при поисках контрмеры против радарных устройств
союзников возник вопрос о поверхностных слоях малой
толщины, не отражающих заметным образом («черных»),
в особенности при нормальном или близком к нормальному

§ 3. Формулы Френеля 33
падении радарной волны. В этом случае а, а
следовательно, по закону преломления, и Р примерно равны нулю.
Согласно C.9) и C.15), для решения этого вопроса
необходимо, чтобы просто
т,2-1. C.17)
Таким образом, здесь приходится иметь дело не с
показателем преломления л, а с отношением волновых
сопротивлений т. Чтобы «замаскировать» какое-либо тело от
радарных волн, необходимо его окрулшть слоем, для
которого в области сантиметровых волн это отношение
сопротивлений равно единице. Если обозначить
постоянные искомого материала через ги [х, а постоянные воздуха
через Sq и р^, то, согласно C.8), это означает, что
— = ^. C.18)
Таким образом, речь идет не о самой диэлектрической
постоянной, а о соотношении между диэлектрической
постоянной и магнитной проницае^юстыо. Необходимо
получить вещество, у которого относительная магнитная
проницаемость [а/{Хо такой же величины, как и его
относительная диэлектрическая постоянная г/г^.
Однако этим задача еще не решается, так как слой
с задней стороны граничит с маскируемым телом (с
металлом), только от которого и происходило бы сильное
отражение. Поэтому необходимо поставить добавочное
условие, согласно которому слой должен достаточно
сильно поглощать. Для этого диэлектрическая
постоянная должна быть не действительной, а комплексной^ и,
в соответствии с условием C.18), должна быть комплексной
и магнитная проницаемость. Таким образом, материал
должен быть ферромагнитным и дол:нсен обладать
сильным гистерезисом или соответствующим образом
действующей структурной релаксацией. Эти требования
определяют технологическую задачу, которая хотя и не является
неразрешимой, но требует длительной подготовки.
Ввиду того, что военное положение не позволяло долго
ждать^ пришлось ограничиться другим решением, к
которому приводит следующее paccJ'Ждeниe. По нашим
представлениям отражение возникает как следствце пре-

34 Гл. /. OmpaoiceHue и преломление света
рывности материальных постоянных на границе между
средами 1 и 2 Вопрос о том, будет ли получаться
отражение при совершенно непрерывном переходе, возник
давно и был долгое время спорным. Этот вопрос был решен,
и притом для всех случаев в положительном смысле,
только в последнее время в связи с тем особым интересом,
который он представляет для волновой механики^) и для
исследования ионосферы. Однако оказалось, что
отражение становится исключительно малым, если возрастание
материальных констант происходит на протяжении
участка, который равен или больше длины волны, в то время
как возрастание на участке, меньшем ^/4 длины волны,
действует почти как скачкообразное возрастание. Под
материальными константами следует здесь подразумевать
комплексную диэлектрическую постоянную (последняя
должна быть комплексной вследствие требуемого здесь
поглощения; магнитную проницаемость можно при этом
не учитывать).
На практике пришлось требуемую непрерывную
кривую возрастания заменить ступенчатой кривой, т. е.
нанести ряд слоев, у которых диэлектрическая
постоянная (в частности, ее мнимая часть, играющая главную роль)
возрастала вглубь при переходе от ступеньки к ступеньке.
Таким путем можно было уменьшить отражаемую
интенсивность до 1 % ее френелевской величины для всех длин
волн, больших некоторого нижнего предела, зависящего
от толщины слоя, без того, чтобы вес нанесенных слоев
превзошел допустимый добавочный вес.
Другой метод уменьшения отражения (гашение при
помощи интерференции) мы рассмотрим в §7.
') в волновой механике речь идет о проникновении электрона
в такую область возрастающего противодействующего потенциала,
в которую, согласно закону сохранения энергии классической
механики, он не мог бы попасть при заданной кинетической энергии.
См. также наши дальнейшие замечания о туннельном эффекте в
§ 5, п. 3. В частности, Эпштейн нашел частный вид закона
возрастания, для которого отражение может быть строго вычислено (при
помощи гипергеометрических функций). Более подробно об этом
см., например, А. Sommerfeld, Atombau und Spektrallinien,
Bd. II (Braunschweig, 1951); общее обсуждение различных
методов вычисления см. в работах Кофинка и Менцера [31 и Кофин-
ка [4].—Прим, авт.

§ 4. Графическое рассмотрение формул Френеля
33
§ 4. ГРАФИЧЕСКОЕ РАССМОТРЕНИЕ ФОРМУЛ ФРЕНЕЛЯ.
ЗАКОН БРЮСТЕРА
Пусть среда 1 будет оптически менее плотной, чем
среда 2; например, среда 1—воздух, среда 2—вода или
стекло. Так как эти среды немагнитны (jx = p-^j), то т имеет
то же значение, что и п. Слова «более плотная» и «менее
Фиг. 4. Относительные амплитуды
отраженного луча R и проходящего
луча D как функции угла падения а.
плотная» обязаны своим происхождением упругой (или
скорее, квазиупругой) теории Френеля.
На фиг. 4 по оси абсцисс отложен угол падения а,
причем О < а < 71/2. По оси ординат нанесены относительные
значения амплитуд для проходящего {D) и отраженного
G?) лучей
D = l,R=-'L. D.1)
Отрицательный знак в выражении для R объясняется тем,
что для большей части нашей фигуры отраженная
амплитуда С имеет знак, обратный знаку пада10ш;ей амплитуды
А. Перемена знака при отражении означает, очевидно,
изменение фазы на тс, т. е. появление фазового множителя
е^'^ = — 1.
Для того чтобы различать случаи 1 и 2 предыдуш;его
параграфа, введем индексы pus. Они означают: «плоскость

36 Гл. I, Отрамсение и преломление света
поляризации параллельна или перпендикулярна к
плоскости падения»; они соответствуют некоторому
произвольному определению термина «плоскость поляризации»,
который понятен только с исторической точки зрения (ср.
с началом § 8).
1. Плоскость поляризации параллельна плоскости
падения. Мы начнем с Rp\ согласно D.1) и C.12Х
^Р~ sin{a + W • ^ ^
По закону преломления, для малых значений а
И^ D.3)
и, следовательно,
R
Р п+1'
Для л=*/з (вода) и для п = ^j^ (средаее.по спектру значение
для легкого кронгласа) найдем соответственно:
Этим величинам соответствуют следующие значения
отношений отраженной интенсивности к падающей:
Ни вода, ни стекло не могут при нормальном падении
служить зеркалом. Если мы посмотрим на воду в отвесном
направлении, то увидим, что наше изображение будет
менее ясным, чем дно или (при большой глубине) чем
собственный цвет воды. Наши обычные зеркала представляют
собой не стеклянные, а металлические зеркала. Стекло
служит только для защиты их задней посеребренной
стороны ^).
^) Даже слабое отражение от передней стороны стекла делает
такие посеребренные с задней стороны зеркала непригодными
для оптических целей. Для этих целей необходимо покрывать
металлом (лучше всего родием) переднюю сторону стекла.—Прим, авт.

§ 4. Графическое рассмотрение формул Френеля 37
Найдем следующее приближение при малых а. Мы
положим соответственно
sin(aq:p) = (aTP){l-|(aTP)^}.
Тогда вместо D.3) получим (см. задачу 4 к гл. I)
Вследствие этого кривая, изображающая R^ на фиг. 4,
начинается на расстоянии {п — 1)/{п + 1) он оси абсцисс,
имея в этой точке горизонтальную касательную, и
медленно возрастает по закону параболы второго порядка.
Перейдем теперь от нормального падения к
скользящему, а = 7:/2. По закону преломления, в этом случае
имеем
sinp = i-, sin(aq=p) = cos^=J^^4^> (^-5)
п
следовательно,
/?, = !.
При скользящем падении отражение будет полным. Этому
обязаны своим происхождением красивые изображения
противоположных берегов, которые мы видим в водах
горных озер; этим же объясняется то, что изображение
заходящего солнца в спокойном море по интенсивности не
уступает самому Солнцу.
Определим угол наклона нашей кривой R^ в
конечной точке Лр=1, а='1с/2. Для этой цели вычислим б?Лр/с?а
в этой точке. Заметим (снова согласно закону преломления)
cos а rfa = /г cos р d^ D.6)
и, следовательно,
вследствие того, что cosa = 0. Таким образом, необходимо
взять только частную производную от D.2) по а. В
результате для а = 7u/2 получим

38 Гл. I. Отрамсение и преломление света
так как
sin В = — .
' п.
Отсюда для угла, обозначенного на фиг. 4 через ^р, имеем
tgTp = ^^. D.7)
Теперь очень просто построить кривую,
представляющую D.^. В принятых нами ^) обозначениях формула D.1)
принимает вид [согласно C.5)]
^р = 1-Лр. D.7а)
Ординаты обеих кривых дополняют друг друга до
единицы. Мы получим кривую i)p, если отразим кривую R^
относительно средней линии фигуры (ордината ^г)-
Таким образом, кривая D^ начинается как парабола
второго порядка в точке с ординатой, на величину
\п—l)/(w+l) меньшей, чем 1, и кончается в точке cL=izj2y
Z)p=0; в начадьной точке касательная к этой кривой
горизонтальна. При скользящем падении свет из менее
плотной среды в более плотную не проходит. Спадание
кривой D^ в конечной точке определяется тем же углом
Тр [формула D.7)].
2. Плоскость поляризации перпендикулярна к
плоскости падения. Согласно C.16), CIА для не слишком
больших углов падения поло:нсительно] поэтому по нашему
определению D.1) R^ отрицательно:
Пусть а—»0; тогда п в этом случае, если отвлечься от
знака, имеют место соотношения D.3) и полученное в
результате его уточнения соотношение D.4) (см. задачу 4 к гл. I).
Следовательно,
^.=-"Ж'-'^)- (*¦"
^) Наши величины Я и D не следует смешивать с величинами
г и с?, которые будут определены в п. 5 из энергетических соображе-
ппй.—Прим. авт.

§ 4. Графическое рассмотрение формул Френеля 39
Кривая R. начинается на расстоянии (л—1)/(/г+1) под
осью абсцисс как парабола второго порядка; в начальной
точке касательная горизонтальна. Она кончается,
согласно D.8), в точке с абсциссой а = 7г/2 и с полоэ(€ителъной
ординатой, равной
Подъем здесь круче, чем для Rp] угол -fs который
вычисляется аналогично углу 7р> дается выражением
tgL=-^^^^^<tgTp. D.11)
В промежутке между началом с отрицательной
ординатой D.9) и концом с положительной ординатой D.10)
кривая R^ пересекает ось абсцисс. Мы назовем это место
углом полной поляризации:
а = аполяр.- ("^-12)
Из формулы D.8) мы заключаем, что в этом месте
знаменатель претерпевает скачок от + оо до — оо, так что
аполяр.+ Р = у, Р^у —Лполяр., 8Шр = С08аполяр.. D.13)
с другой стороны, по закону преломления,
I
8Шр = -^8шаполяр.. D.13а)
Из сравнения D.13) и D.13а) следует
tga„oляp. =^. D.14)
Для стекла ( '*^^=у ) " Д«^я воды ( п ^-i j имеем
соответственно:
^поляр. ^'^^ J ^поляр. = «^ • •
Так как R^ для этого угла обращается в нуль, то отра-
:нсенный свет будет полностью поляризован в плоскости
падения. Это открытие принадлежит Малюсу. Формула
D.13) содержит одновременно «закон Брюстера» (см.
фиг. 5): отра:н€енный луч S^ перпендикулярен к
преломленному лучу S^,

40 Гл. I. OmpaoiccHue и преломление света
На фиг. 4 нанесена еще кривая jxtlrD^ . Она получается
из соотношения C.14а), которое в принятых нами
обозначениях гласит
l-R^ = nD,, D.15)
Проделаем то же построение, что и для D^^^ произведя
отражение кривой R^ по отношению к средней линии
фигуры. Полученная кривая в своей начальной части
лежит выше ординаты 1 (см. пунктирную кривую,
обозначенную через nZ)J. Ее начальная точка имеет ординату
п—1 2п
1
п-\- i л + 1 *
Эту кривую необходимо уменьшить в п раз, чтобы получить
кривую />,. Тогда мы получим то же значение начальной
координаты 2/(/г+1)» что и для кривой, изображающей Dp,
для которой начальная координата также составляла
n—i 2
1
/г+1 У1 + 1
3. Получение поляризованного света на практике.
При угле полной поляризации отра:нсенный свет, хотя
и полностью поляризован, но имеет небольшую
интенсивность, а преломленный свет, хотя и поляризован
неполностью, но обладает большей интенсивностью.
Действительно, согласно D.13) и D.14), при а = аполяр. имеем
sm(a + ?) = l,
sin (а — В) = sin^ а — cos^ а = Vr-r ;
о
следовательно, согласно D.2), для w = --(стекло) получим
р "" ^4^1" 13 •
Коэффициент полезного действия этого «поляризатора»
(отношение интенсивности /^-составляющей отраженного
света к общей интенсивности р- и ^-составляющих
падающего света) составляет поэтому только
i/?^ = 7,4%.

§ 4. Графическое рассмотрение формул Френеля 41
Для других углов падения а Ф ацоляр. отраженный свет
частично также поляризован в плоскости падения, но
только частично.
С другой стороны, из фиг. 4 видно, что jDg > /)р для
всех а. Преломленный свет всегда частично поляризован
перпендикулярно к плоскости падения. Например, в
случае а = аполяр.1 согласно D,15) и D.7а),
Если свет проходит сквозь пластинку, на задней стороне
которой имеет место второй переход с показателем
преломления 1/л, то соотношение D.16) будет справедливо и для
этого перехода^), так как
i+'
1+_п2
2п
Для стеклянной пластинки отношение амплитуд
прошедшего света />з • ^р будет равно
(
^У = 117
а отношение интенсивностеи равно
A,17J = 1,37.
Поэтому в наборе стеклянных пластинок поляризация
будет последовательно возрастать от пластинки к
пластинке без ослабления интенсивности (при полной
прозрачности материала и чистых поверхностях). При этом
половина интенсивности падающего естественного света
(именно, его ^-составляющая) будет полностью
использована. Коэффициент полезного действия идеального набора
стеклянных пластинок был бы, таким образом, равен
50%, причем полная поляризация могла бы быть
достигнута только асимптотически (при бесконечно большом
числе стеклянных пластинок).
^) Относительно общей применимости этого соотношения см.
задачу 2 к гл. I.—Прим. авт.

42
Гл. I. Отра:>и:ение и преломмние света
В то время как поляризация света кристаллами может
быть легко понята, поляризация изотропными телами,
в которых отсутствуют какие-либо элементы структуры,
представляется неско^лько парадоксальной. Мы объясним
ее ниже.
4. Закон Брюстера с точки зрения электронной теории.
Оставим на время феноменологическую точку зрения
теории Максвелла и будем рассматривать процесс прелом-
^^ ления, как рассеяние света ато-
^^ ^г мами второй среды (можно
принять, что первой средой будет
вакуум). Согласно этой
физически гораздо более глубокой
точке зрения, преломление
является следствием только того, что
действующее во второй среде
электрическое поле заставляет
атомные электроны совершать
колебания, направления
которых параллельны полю. Таким
образом, здесь речь идет о
действительных колебаниях
вещества, а не об одних только
направлениях переменных
полей, как до сих пор.
На фиг. 5 представлен случай, когда «плоскость
поляризации перпендикулярна к плоскости падения)^,
электрический вектор колеблется в плоскости падения. Его
направление колебаний во второй среде, конечно,
перпендикулярно к преломленному лучу. Так же
колеблются и электроны. Они ведут себя как осцилляторы Герца
и, как и последние, не излучают света в направлении своих
колебаний (то же самое имеет место, как хорошо известно,
и для антенн, применяемых в радиотехнике). Правильное
отражение в первой среде возможно только в том случае,
если электроны второй среды излучают энергию в
направлении отражения, которое определяется законом
отражения. Этого не будет в случае, если направление отражения
параллельно электронным колебаниям и, следовательно,
перпендикулярно к преломленному лучу, в соответствии
Ф и г. 5. Закон Брюстера
с точки зрения
электронной теории.
При угле полной полпризацпи
отраженны!! и проходящий
лучи взаимно перпендикулярны.

g 4. Графическое рассмотрение формул Френеля 43
С законом Брюстера, В других направлениях электроны
отдают некоторую долю излучаемой ими энергии, чем
и объясняется изменение интенсивности отражения с углом
падения.
Непосредственно видно также, что приведенные
соображения не относятся к другому случаю, когда «плоскость
поляризации ла/?алледь7^а плоскости падения». Здесь
электрический вектор, а потому и направление электронных
колебаний перпендикулярны к плоскости падения, а
следовательно, перпендикулярны и к любому положению
отраженного луча. Любое из этих положений является
направлением максимального излучения электронов.
Поэтому здесь нет никаких оснований для брюстеровского
запрета отражения.
Мы не утверждаем, что таким способом можно просто
вычислить отражающую способность; для этого наши
рассуждения слишком примитивны. Кроме того,
необходимо отметить, что учитывать нужно только слои, близкие
к поверхности, так как на большей глубине излучения
отдельных атомов в результате интерференции взаимно
погашаются. Однако, несмотря на это, таким путем можно
наглядно пояснить нулевой эффект, соответствуюш;ий
закону Брюстера.
Наше рассмотрение показывает также, что и в
изотропных телах явление поляризации основано на
структурных свойствах этих тел, причем здесь речь идет не о
кристаллографической структуре, а о вызванной
световым полем дипольной структуре беспорядочно
распределенных атомов.
5. Энергетические соотношения. Отражательная
способность г и пропускание d. В рассмотренном процессе
энергия, разумеется, сохраняется в любом случае. Чтобы
убедиться в этом, рассмотрим поток энергии через
произвольное поперечное сечение q падающей волны. Ему
соответствует то же поперечное сечение q в отраженной
волне, но большая площадка q/cosa на преломляющей
поверхности, и поперечное сечение в проходящем свете,
и равное
f cos 8 / / л п\

Гл. I. Ompackicenue и преломление света
Для усредненных по времени потоков энергии через эти три
поперечных сечения мы можем написать
Мы определим отражательную способность г и
пропускание d следующим образом:
г = ^ =
Se ^ ^2 ^1 Я
2 COS В
= т ^
COS а
^|2
л '
D.18)
где т имеет значение C.8). Мы убедимся на примере
задачи 5 к гл. I, что, в соответствии с законом сохранения
энергии, в каждом случае
r-\-d=:i D.19)
и что г и d для обоих переходов—от более плотной среды
к менее плотной и обратно—имеют одно и то же значение.
Следует различать энергетическое уравнение D.19)
и уравнения для амплитуд D.7а) и D.15):
§ 5. ПОЛНОЕ ВНУТРЕННЕЕ ОТРАЖЕНИЕ
Формулы § 3 и 4 остаются в принципе пригодными и для
случая, когда падающая волна распространяется в более
плотной среде; нас будет интересовать, как после
отражения в этой же среде она будет преломляться в менее
плотной среде. В частности, остается без изменения вывод
закона преломления C.3); только для того чтобы
сохранить наше прежнее значение /г > 1, мы заменим w на 1/п.
Тогда мы должны написать
'4^!=-. E.1)
sin fi л ^ ^
Отсюда следует, что для малых а р>а. С другой стороны,
р становится мнимым при nsincL > 1. В последнем случае
коэффициенты А, В^ С в формулах Френеля становятся
комплексными,
В более старой литературе комплексные решения
отбрасывались, как не имеющие физического смысла, но с

§ 5. Полное внутреннее ompaowenue
45
нашей точкой зрения они вполне совместимы, поскольку
мы рассматриваем задачу об отражении и преломлении
как задачу о граничных значениях. Любой прием,
который приводит к решениям этой задачи, свободным от
противоречий, является оправданным; вычисления при по-
мош;и комплексных величин так же допустимы и могут быть
рекомендованы в оптике^ как и, например, в двухмерных
задачах теории потенциала.
1. Обсуждение формул Френеля. Мы сразу же выберем
тот же графический способ рассмотрения, что и в § 4,
причем, как и там, мы можем отвлечься от принципиальной
Фиг. 6. Относительные амплитуды Rp и i?s
при отражении до и после наступления
полного внутреннего отражения.
разницы между пшт. Будем опять откладывать по оси
абсцисс (фиг. 6) значения угла падения а (О < а < 'к/2). На
этой оси мы отметим точку/г 5in а=1, для которой ^
достигает своего наибольшего вещественного значения, Р — ir/2.
Значение а, соответствующее этой точке, мы назовем
предельным углом полного внутреннего отражения:
E.2)
а = а
пред.»
Для стекла относительно воздуха имеем
2
Sin а,
пред.
'^-тг , а
пред.
4Г.

Гл. I. Ompaofceuue и преломление света
Нанесем по оси ординат значения
ограничиваясь пока только рассмотрением отраженного
света. Таким образом, теперь мы выбираем знак перед Л,
обратный знаку, принятому в D.1). Этим мы достигаем
того, что, несмотря на противоположные обстоятельства
(^ < а на фиг. 4 и р > а на фиг. 6), кривые для R^nR^ при
малых а идут аналогично соответствующим кривым на
фиг. 4. В начальных точках они имеют горизонтальные
касательные и тс же ординаты ± {п—1)/(м+1). Однако
ординаты кривых достигают значения, равного единице,
не при а=7с/2, а уже при а=апред.. Действительно, при
этом, вследствие того, что ^=7:/2,
sin(-|—а) tgC-|—а")
я,-—)^ ( = 1, R,= V^ (-=i. E.4)
Кривая i?3 уже до этого пересекает ось абсцисс при угле
полной поляризации
I Q ^ л. ^
^полгср. + Р ^^ * > t§ ^поляр. ^= ~ »
в соответствии с уравнениями D.12) и D.14).
Найдем наклоны кривых R^n R^ в точке с ординатой,
равной единице, и абсциссой ацред.. Заметим, прежде всего,
что теперь в противоположность D.6)
так как sinp=l, cos^ = 0. Следовательно, для того чтобы
определить интересующую нас крутизну подъема кривой,
выражение E.3) необходимо продифференцировать только
по р. Подставив в результат дифференцирования сразу
же р = тг /2, составим сначала
dRp л sin а ,
б/3 cos а '

§ 5. Полное внутреннее ompa^icenue 47
тогда, принимая во внимание D.6), мы получим в
окрестности критической точки
dRp о 8Ш а d\ In sin а 2 / с: •" \
fin РП« rt firi рп« .4 сс\<. Ч * \ ' /
При р—>7:/2 это выражение стремится к бесконечности.
Кривая /?р в интересующей нас точке имеет вертикальную
касательную.
Соответственно получаем
dRs_ 2 d} __ In _ In^
do. sin a cos a drk sin a cos .1
E.5a)
Кривая R^ вблизи критической точки идет еще немного
круче, чем кривая R^. В критической точке она тоже имеет
вертикальную касательную.
Это обстоятельство особенно важно для
экспериментальной методики; оно привело к созданию рефлектометра (или
рефрактометра) Аббе и Кольрауша, в котором
используется явление полного внутреннего отражения. Нарастание
интенсивности отраженного света (так же как и
исчезновение преломленного) кажется мгновенным, благодаря
чему граница полного внутреннего отражения наблюдается
с исключительной резкостью; отсюда, по формуле
дг = 1 /sinanpcA.,
с очень большой точностью вычисляется показатель
преломления.
Наконец, на фиг. 6 через критическую точку jR=l
проведена прямая, параллельная оси абсцисс. Она
означает, что для обеих компонент R^ и R^ отра:нсенная
интенсивность равна падающей^ т. е. что в действитещ>-
ности имеет место полное внутреннее отра:нсение. Чтобы
обосновать это, проследим на комплексной ^-плоскости
точку р, соответствующую закону преломления. Она
перемещается вдоль действительной оси от О до т: /2, в то
время как а изменяется от О до адред.. При этом значении
траектория 7 очки ^ распадается на две математически
равноправные ветви р = тс/2 ± г8', параллельные мнимой
оси. Для обеих ветвей
sinp = sin(^~ ± ip'^ = cos(± rp')c=chp' = nsma> 1, E.6)

г л, I. Отра^нсение и преломление света
как того И требует закон преломления, sinp=nsina > 1.
Применяя E.6), преобразуем E.3) следующим образом:
tgp^i^^ ^^ ^^^ E.7а)
Так как в числителе и в знаменателе выражений для Др
и /?з стоят сопряженные величины, то абсолютное
значение отношений этих величин будет равно 1; f и 8
представляют собой вещественные фазовые углы; их значение для
эксперимента мы рассмотрим в п. 4. Для подготовки к этому
мы нанесем их ход в правой части фиг. 6. | Д | = 1 также
сразу объясняет превосходное действие полевых
биноклей, в которых внутренний ход лучей основан на полном
внутреннем отражении.
2. Свет, проникающий в менее плотную среду. Общие
формулы для преломленной волны, полученные в § 3,
пригодны для вычисления поля в менее плотной среде
не только в случае а < адред., но и в случае а > адред..
Будем исходить прир-поляризации из уравнения C.1а),
в котором мы положим
Р = у ± Ф', sin Р = ch ?', cos р = q:: i sh р'.
Тогда при А:2 = А (вакуум) получим
Мы видим, что только нижний знак, стоящий перед i,
допустим по физическим соображениям {Е^ должно
оставаться конечным при у—> — схэ), и, следовательно,
необходимо положить, что
Е^ = Ве^У sb Р' . e^feA: ch ^\ E.8)
Эта волна имеет совсем другую структуру, чем обычная
«однородная» плоская волна. Ее называют «неоднородной».
Хотя она распространяется в направлении, параллельном

§ б. Полное внутреннее отра^жение 49
граничной поверхности, без ослабления интенсивности,
она ослабляется в направлении, перпендикулярном к этой
поверхности. Так как к=2т: Д, то эта волна заметна только
на расстоянии нескольких длин волн от граничной
поверхности.
Вычислим соответствующую E.8) магнитную
напряженность Н, применяя уравнение Максвелла (XQH = rotE,
причем мы будем считать, что в правой части E.8) стоит
временной множитель ехр(—ico^), и учтем соотношение
A) Д = c=i(?o|Xo)~*^^. Мы получим, таким образом,
помимо Я, = 0,
^« ^ 5e^I/shP'gift^:ch?\ E.9)
1^0
Обе составляюш.ие вектора Н имеют ту же неоднородную
структуру, что и вектора Е в формуле E.8).
Отсюда мы перейдем к лучевому вектору S=[EH].
Конечно, при этом нельзя просто умножить одно на другое
комплексные выражения E.8) и E.9), а необходимо
перемножить их вещественные части с учетом временного
множителя и комплексных свойств составляющих,
выраженных формулами E.8) и E.9). Напишем
^х=^-ЕМЛ гг. fchp'cos^T, ,^ ,^,
Sy= + Ez^x) ^ г^о ' ' I sh3'sinтcosт,
где т—линейное относительно х и t выражение t=(i)^—
— kxGh^\ Мы видим, что ^.-составляющая вектора S
направлена всегда в сторону положительного направления
оси Ху т. е. параллельно граничной поверхности.
Напротив, поток энергии в перпендикулярном к граничной
поверхности направлении периодически меняет свой знак.
При усреднении по времени он обращается в нуль, в то
время как в направлении, параллельном граничной
поверхности, имеет место действительный перенос энергии ^).
^) Полный поток энергии поэтому все время меняет свое
направление. Изложение Зоммерфельда в этом месте недостаточно ясное.
Исчерпывающий анализ вопроса о движении энергии при полном
внутреннем отражении был впервые дан выдающимся русским уче-

50 Гл. I. Отрасисение и преломление света
Последнее обстоятельство находится в кажущемся
противоречии с названием «полное внутреннее отражение»
и с нашим неоднократно высказываемым утверждением,
что при таком отражении не происходит никакой потери
энергии. Мы должны, однако, помнить, что мы все время
рассматривали идеальный случай бесконечно широкого
фронта волны. На существующих в действительности
границах ^) волны энергия вполне может проходить из более
плотной среды в менее плотную или обратно. Это и есть та
энергия, которая переносится в направлении,
параллельном границе, или колеблется оаносительно этой границы.
Для пояснения этого явления приведем пример из
военной жизни. Сомкнутая армия наталкивается при своем
движении на непроходимую местность, которая
принуждает ее изменить направление марша. Фланг армии
выделяет немногочисленный патруль с заданием проникнуть
в непроходимую местность и двигаться параллельно ее
границе с целью защиты фланга. Этот патруль может
занимать в глубину расстояние, необходимое всего для
нескольких рядом идущих людей. После того как он
выполнит свою задачу, он возвращается обратно к армии.
Так же как отсутствие такого охранения было бы
противно всем правилам военного искусства, так и резкий
обрыв нашей волны, претерпевающей полное отражение,
нарушал бы все законы электродинамики.
3. Туннельный эффект волновой механики.
Экспериментальное доказательство существования неоднородной
волны в менее плотной среде было трудной задачей.
Квинке много десятков лет тому назад проводил опыты в этом
направлении. Он располагал параллельно на расстоянии
ным А. А. Эйхенвальдом. До этого Друде неправильно предполагал,
что в случае полного внутреннего отражения нарушается попереч-
ность световых колебаний к лучу. Как показал А. А. Эйхенвальд,
в действительности поперечность световых колебаний все время
имеет место. См. подробнее, например, в книге А. А. Эйхенвальд,
Теоретическая физика, ч. 6, Электромагнитное поле, М.—Л., 1931,
стр. 340.—Прим. ред.
^) К этим границам относится также «боковое рассеяние» луча,
претерпевшего полное внутреннее отражение, которое недавно было
исследовано экспериментально Госом и Генхеном [5] и теоретически
Артманом [6]; см. также работу Фрагштейна [7].—Прим, авт.

§ б. Полное внутреннее отраокение
51
нескольких длин волн друг от друга две хорошо
отшлифованные стеклянные пластинки и производил полное
внутреннее отражение от первой пластинки в надежде
заметить во второй пластинке хотя бы следы проходящего
света, как свидетельство о том, что световое поле может
преодолевать воздушный
промежуток между пластинками.
Фогт повторил подобные
опыты, улучшив методику.
Очень просто удается опыт
с волнами Герца. В институте
Бозе ^) в Калькутте было uipv-
менено следующее устройство.
Две асфальтовые призмы 1 и 2
(фиг. 7) были расположены на
расстоянии нескольких
сантиметров друг от друга. Волны,
падающие на призму 1
перпендикулярно к ее передней
поверхности, претерпевают на ее
задней стороне полное внутреннее отражение. Несмотря
на это, в расположенном за призмой 2 приемнике
получаются четкие сигналы, которые тем отчетливее, чем
меньше расстояние между призмами.
В волновой механике имеет место совершенно
аналогичное явление—«туннельный эффект» (Кондон и Герни,
1928 г.). Сопоставив, согласно де Бройлю, частице
(электрону, иону) волну и считая, что последняя подчиняется
уравнению Шредингера, можно показать, что частица
может преодолеть с конечной вероятностью такой
потенциальный барьер, который, согласно классической
механике, она не могла бы пройти при ее кинетической
энергии. Эта вероятность зависит от толщины потенциального
барьера и от первоначальпой энергии частицы. В волно-
механической формулировке потенциальный барьер играет
совершенно ту же роль, что и воздушный зазор в опытах
с полным внутренним отражением. Это бросает яркий
Фиг. 7. Опыт для
доказательства проникновения
волн Герца в менее плотную
среду.
Расстояние между обеими
призмами составляет долю длины
волны.
^) Ботаник Бозе в молодости повторил с короткими волнами
Герца (например, Х=20 см) опыты классической оптики [8].—
Прим. авт.

52 Гл, I. Отрасисение и преломление света
свет на вопрос о параллелизме между классической
механикой и волновой механикой, с одной стороны, и между
волновой оптикой и лучевой оптикой—с другой. Волно-
механический туннельный эффект имеет фундаментальное
значение для проблемы химической связи, для так
называемой «холодной» эмиссии металлов, для
радиоактивности, а также для процесса деления урана.
4, Получение света с эллиптической и круговой
поляризацией. Исходя из уравнений E.7) и E.7а), мы
предположим, что падающий свет линейно поляризован под
углом 45"^ по отношению к плоскости падения, что можно
достичь при помощи призмы Николя. Тогда амплитудный
множитель А будет один и тот же для падающих /?-и 5-волн;
согласно названным уравнениям, амплитуды обеих
претерпевших полное внутреннее отражение составляющих
будут так же равны, а фазы их ^ и 8 будут различны.
Деление E.7) на E.7а) дает
ei(r-«) = iM^T|0. E.11)
Правая часть этого уравнения становится равной
единице и, следовательно, разность фаз становится равной
нулю при а = апред., в силу Р'= О, и при а = 11/2, в силу
sin{Tz 12 — i^') = Б1п{'к12 + i^')=ch^\ Следовательно, между
этими границами лежит максимум разности фаз. Величины
этого максимума и соответствующего ему угла падения
^гаах даются равенствами
Доказательство этих равенств мы приведем в задаче 6
к гл. 1; здесь мы применим их к стеклу с показателем
преломления /г=1,51. Мы получим
tg-^ = 0,424, 8--f=45^36', sinan,ax-0,781, a,nax-=51^20'.
Частный случай круговой поляризации не может быть
достигнут при помощи однократного полного внутреннего
отражения, так как для всех углов падения, f—8<45° 36'.
Однако круговую поляризацию можно получить
двухкратным применением полного внутреннего отражения.
Для этой цели Френель сконструировал стеклянную приз-

g б. OmpaofceHue от металлов 53
му с основанием в форме параллелограмма. Если на
меньшую грань призмы падает перпендикулярно к этой грани
линейно поляризованный свет, то после двухкратного
отражения от двух больших граней он выйдет из
противоположной меньшей грани, будучи поляризованным
по кругу.
§ 6. ОТРАЖЕНИЕ ОТ МЕТАЛЛОВ
Теория Максвелла характеризует металлы их
удельной проводимостью а. Однако действительную
электропроводность металлов следует представлять себе как
результат усреднения (по многим электронным процессам)
взаимодействия свободных электронов с закрепленными на
местах ионами металла. Только в стационарных или
медленно меняюш;ихся полях это усреднение приводит к
независимой от частоты постоянной а. Нельзя ожидать, что
фе'номенологическая теория Максвелла будет справедлива
также и для видимой части спектра. С такого рода
недостаточностью этой теории мы уже столкнулись в оптике
прозрачных сред (невыполнение соотношения Максвелла
/г2 = еге1, например, для воды). Феноменологическое
описание отражения от металлов также оказывается
недостаточным в видимой области и, наоборот, хорошо
согласуется с опытом (см. п. 2) в инфракрасной области. Таким
образом, максвелловская теория отражения от металлов
имеет, вообще говоря, смысл лишь как предельная теория.
Максвелловские уравнения для проводников, как
известно, отличаются от уравнений B.4) для изоляторов только
тем, что к току смещения еЕ добавляется омический ток
оЕ. В периодическом случае это означает, что —eio)
необходимо заменить через —гш-\-о, и, следовательно, е —
через «комплексную диэлектрическую постоянную>
s' = s + -J. F.1)
Мы применим это выражение в оптике, так как при
заданной со оно одновременно представляет наиболее
общую линейную зависимость между D и Е, но при этом,
согласно сказанному выше, не следует ожидать, что е и о
будут сохранять свои электродинамические значения,
не зависящие от о).

54 Гл. I, OmpaotceHue и преломление света
Одновременно с е станет комплексным и показатель
преломления п в уравнении C.4):
Возводя F.2) в квадрат,получаем равенства, которые
определяют введенные здесь вещественные величины п и х:
-1-А = /г2A->х2), 1-^==2пЧ. F.2а)
Определенные таким образом показатель преломления
металла п и коэффициент поглощения х являются
оптическими постоянными металла. В отношении
общепринятого термина «коэффициент поглощения» мы сразу же
отметим, что «совершенный» с точки зрения
электродинамики проводник с а—>оо характеризуется не х-~>оо, а
х->1, Д-^ОО. F.26)
Действительно, разделив одно из равенств F.2а) на
другое, получим
?0) 1—х2
2х.
И, следовательно, х^—»! при а--->оо, откуда возвращаясь
к F.2а), видим, что также и /г—»оо.
Одновременно с п становятся комплексными также
отношение сопротивлений т и волновое число к.
Положим, в соответствии с C.8) и B.2),
!А/
m'^n^{Y + U\ k' = kn(l + iy.), к = -. F.3)
с
Определим сначала характер монохроматической ^чиней-
но поляризованной плоской волны, которая
распространяется в металле, например в направлении оси х. Эта волна
уже не будет однородной, как в изоляторах, а будет
неоднородной, но только совсем в другом смысле, чем при
полном внутреннем отражении. Мы напишем, как в B.1),
опустив временной множитель,
Еу = Ae'^'"" = ^e-^fe^^rgifenx^
F.4)

S б, Отраоюение от металлов ЬЬ
Отсюда
получаем
и длины волны
значения
dx
It ~
Х =
фазовой
@
_27Г
~ кп '
с
п
скорости
Далее, из F.4) видно, что волна при распространении
вдоль оси X затухает в продольном направлении, а не в
поперечном, как при полном внутреннем отражении.
Относительное уменьшение амплитуды на протяжении одной
длины волны определяется множителем ехр (—2т.у.), Кроме
того, комплексный характер Л' говорит о том, что между
электрической и магнитной составляющими существует
постоянная разность фаз: узлы и пучности обеих
составных частей волны не совпадают между собой, как в
изоляторах, а смещены относительно друг друга на величину,
зависящую от х.
1. Формулы Френеля. Формулы Френеля можно без
изменений переписать из § 3 и 4, так же как и формулы
C.3), выражающие законы отражения и преломления.
Первый из этих законов утверждает, что угол отражения
равен углу падения и является вещественной величиной.
Второй гласит в силу F.2), что
-?у=«A+^ч F.5)
откуда видно, что угол преломления ^ комплексен для
всех а, а не только, как в случае полного внутреннего
отражения, для а > апред..
Так как преломленная волна, проходящая во внутрь
металла, вследствие сильного поглощения полностью
ускользает от наблюдения, необходимо определять
оптические свойства металла исключительно по отраженному
свету. Поэтому нам нужно рассмотреть только формулы
D,2) и D.8) для Яр и R,:
Р Sin(a + fi) 1 Р1 »
^ tg(a-l-p) ' *'

56 Гл. 1, Отра:и<:ение и преломление света
В силу того, что р комплексно, ^ и 8 не равны нулю и
отличны друг от друга.
Рассмотрим сначала отражение при падении,
близком к нормальному. Тогда а и | р | малы и, согласно F.5),
4--лA+и),
откуда, согласно F.6), имеем
ГУ п—1 + тх г>
/ir, == —, . . .— = — li,.
Отсюда получаем выражение для отра^нсающей
способности для обеих составляющих
Предполагая, что речь идет о хорошем проводнике [л-~>оо,
согласно F.26)], получим г'^l. Металлическое зеркало,
в отличие от стеклянного зеркала или от поверхности воды,
полностью отра:тает падающий на него свет.
Переходя к косому падению, предположим, как и в
уравнении E.11), что р- и ^-составляющие падающего света
имеют одинаковые амплитуды и фазы. Тогда отношение
амплитуд IRJR^ \ и разность фаз f—8, которые могут быть
найдены из уравнения F.6), непосредственно определяют
природу отраженного света. Последний будет в общем
случае эллиптически поляризован; он будет поляризован
по кругу только тогда, когда 7—8=тс/2, что может иметь
место при определенном угле падения а = а^, называемом
«главным углом падения». Его можно определить,
например, при помощи пластинки в четверть волны, которая
превращает круговую поляризацию в линейную (см. § 30).
Соответствующий азимут плоскости поляризации а^
носит название «азимута восстановленной поляризации».
Зная ар и а.^, можно вычислить постоянные металла лих.
Последние следует рассматривать как
феноменологическую замену действительных свойств металла в
спектральной области видимого света.
2. Опыты Хагена ц Рубенса [9]. Перейдем теперь
к опытам, которые дока.^ывают применимость выведенного

§ б. Отра:и€ени€ от металлов
57
из теории Максвелла уравнения F.7) для инфракрасных
лучей.
В своих опытах Хаген и Рубенс использовали так
называемые остаточные лучи, которые остаются от пучка
света с большим интервалом длин волн после его
многократного отражения от кристаллов галоидных солей
щелочноземельных металлов (СаГг, CaGl2). Эти кристаллы
обладают резко выраженными собственными колебаниями
в области от X = 10 до X = 25,5 [х и поэтому имеют для этих
длин волн высокую избирательную отражающую
способность. Тогда по F.26) X'^l и, согласно F.7),
1-г:
An
¦—— пропорционально Х~^/2. F.8)
2/г2 +
Отмеченная здесь пропорциональность величине Х~^/2
следует из второго соотношения F.2а) {п^
пропорционально 0)'^). Величина 1—г дает потери при отражении,
100 A—г)—потери при отражении, выраженные в
процентах. Хаген и Рубенс определяли г и вычисляли отсюда
величину 100 A—г), значения которой приведены в еле-
дующей таблице.
Металлы
Xi = 12 (X
Xg = 25 {JL
Отношение
Ag
9,05
7,07
1,2
Au
13,8
8,10
1,7
Си
12,1
6,67
1,8
Pt
10,6 !
6,88
1,5
Последняя строчка дает отношения двух выше стоящих
чиаел. Это отношение должно, согласно F.8), оставаться
постоянным и должно быть равно
/v=/i=*'^6-
Последнее число почти точно равно средним
арифметическим четырех чисел, стоящих в последней строке нашей

58 Гл. I» Отражение и преломление света
таблицы. Хаген и Рубенс своими опытами смогли
подтвердить и температурную зависимость, которая должна
иметь место, согласно F.2), в силу того что о
пропорционально i/T {Т—абсолютная температура). Они также
установили совпадение полученного таким способом
значения электропроводности а с ее электромагнитным
значением. Однако для очень низких температур эти
простые законы перестают быть справедливыми даже для
инфракрасного света [10, И ], так как в этом случае
среднее время между двумя столкновениями электрона с
ионами металла будет сравнимо с периодом колебания света,
и поэтому упомянутое в начале настоящего параграфа
усреднение теряет смысл.
3. Несколько слов о цвете металлов, стекол и
пигментов. Содержащаяся в уравнениях F.7) и F.8) зависимость
от длины волны уже вызывала бы появление некоторого
рода окрашивания отраженного света. Однако истинный
цвет металлов обусловливается собственными колебаниями
электронов или ионов, как мы это рассмотрим в гл. Ill
для прозрачных тел. Золото желтое на вид пропускает
в тончайших слоях зеленый свет. Помимо металлов
истинные поверхностные цвета появляются только в тех случаях,
когда оптические постоянные п и у. отличаются по порядку
величины от соответствующих постоянных граничащего
воздуха и сильно зависят от длины волны. Высохшие красные
чернила (раствор фуксина) при освещении обладают
(нселто-зеленым блеском; их красный цвет на белой
бумаге объясняется проходящим светом.
Все другие вещества практически не обладают
избирательным отражением; падающий белый свет остается
при отражении почти белым. Вследствие этого возникает
хорошо известный художникам «блеск». Его можно видеть,
например, на красивом голубом кристалле медного
купороса или на рубиновом стекле. При этом, однако, надо
позаботиться о том, чтобы вместе со светом блеска в глаз
не попал бы отраженный от задней стороны и окрашенный
вследствие прохождения через вещество свет, так как в этом
случае интересующий нас свет из-за эффекта
контрастности, обусловленного чисто физиологическими причинами,
будет казаться окрашенным е дополнительный цвет.

§ в, Отрамсение от металлов 5Q
Цветное стекло обязано своим цветом только
проходящему свету. Так как при этом мы всегда имеем дело с
длиной пути света во много сотен длин волн, то здесь для
интенсивного окрашивания достаточно уже очень слабой
избирательной поглощающей способности. То, что стекло
имеет тот же цвет как при прямом наблюденпи, так и при
наблюдении на просвет, объясняется тем, что в первом
случае воспринимаемый свет в действительности проходит
к нам от задней стороны через всю толщину стекла. Если
покрыть заднюю сторону стекла черным лаком, то цвет
стекла пропадает и остается только бесцветный блеск
передней поверхности. Если же положить стекло на белую
поверхность, то мы видим его окрашенным, так как
отраженный от белой поверхности и выходящий спереди свет
два раза проходит через стекло.
Если пропитать белую ткань раствором красящего
вещества, то прозрачное, как стекло, вещество волокна
станет избирательно поглощать. Отраженный от задней
стороны волокна или от находящихся сзади
поверхностей других волокон свет многократно проходит через
волокна. Однако, если пропитать окрашенную ткань
водой или, еще лучше, смесью спирта с бензолом, то она
будет казаться темной и бесцветной: уничтожается
отражение на поверхности внутренних волокон вследствие
уравнивания показателя преломления.
Многие неорганические «пигменты» представляют
собой растертые в порошок плавкие флюсы. В компактном
состоянии они темны; после растирания в порошок и
смешивания со связывающим материалом внутри возникают
отражающие поверхности и появляется окраска.
Хлорофилл состоит из зеленых прозрачных зерен.
Для того чтобы листья были светлозелеными, они должны
иметь внутри достаточное количество неоднородностей,
от которых будет отражаться свет. Если этих
неоднородностей нет (хвойные деревья, самшит), то листва
будет казаться темнозеленой. Несмотря на это,
хлорофилл у хвойных такой же, как и у других деревьев и
растений.
Пигменты при смешивании ведут себя субстрактивно,
как расположенные о5гг« за йругиле цветные фильтры.
Каждая составная часть смеси гасит поглощением свойствен-

60 Гл. I, Отправление и преломление света
дни KIU'-- .1 . ¦¦¦¦
ную ей часть спектра. Наоборот, цвета рл^ож
расположенных пигментов складываются при смешивании, как,
например, в цветном волчке. Также и освещение от окна
из разноцветных стекол составляется аддитивно из
отдельных цветоз.
Очень красивые цвета возникают при диффракции
света на больших атомных агрегатах, на так называемых
коллоидальных частицах. Например, лазуревый камень
(Lapis Lazuli) обязан своим глубоким голубым цветом
коллоидальным частичкам серы. Голубой цвет неба
объясняется, согласно Эйнштейну, статистическими
колебаниями плотности молекул воздуха; Релей первоначально
объяснил это более частным образом, как диффракцией
на самих (неравномерно распределенных) молекулах
воздуха.
Наиболее красивые расцветки в природе обязаны своим
происхождением интерференционным цветам (ср. § 7 и 8).
Достаточно вспомнить о крыльях бабочек, об оперении
колибри, об опале или перламутре. Какие горизонты
открылись бы перед художниками, если бы удалось
создать удобную для употребления технику
интерференционных красок!
§ 7. ЦВЕТА ТОНКИХ ПЛЕНОК PI ТОЛСТЫХ
ПЛАСТПНОК
Мы рассмотрим здесь самые старые наблюдения
Ньютона, которые привели его к предложению о своего рода
пространственной структуре света и могли бы его почти
привести к интерференции и волновой теории, а также
и самые новые установки, которые служат для точнейшего
анализа спектров. В основе всего этого лежит одна общая
математическая задача—задача о прозрачной
плоскопараллельной пластинке, т. е. задача об отра^нсении и
преломлении на двух граничных поверхностях. До сих же пор
мы все время рассматривали отражение и преломление
только на одной граничной поверхности. Обычно задача
о двух граничных поверхностях сводится, путем учета
повторных отражений и преломлений, к задаче об одной
граничной поверхности; в противоположность этому мы
будем рассматривать проблему пластинки непосредственно

§ 7. Цвета тонких пленок и толстых пластинок 61
как задачу о краевых значениях^). Мы ставим, таким
образом, вопрос о разумном обобщении формул Френеля
на случай задачи с более общими краевыми условиями;
этим мы избегаем суммирования по бесконечно большому
числу единичных процессов, которое является
необходимым, если мы будем следовать другим путем. Ясно, что оба
пути ведут к одной цели; это будет показано в п. 5.
Однако мы уже здесь подчеркиваем, что единичный
процесс на пластинке больше не является основным
процессом и что он входит в нашу обобщенную задачу о краевых
значениях.
1. Общий случай. В то время как при одной границе
мы обходились двумя отношениями амплитуд А : В : С,
теперь нам нужно их четыре:
A:B:C:D:E. G.1)
Смысл пяти амплитудных множителей Л, ..., Е виден
из фиг. 8. В том случае, если нижняя сторона пластинки
граничит с тем же материалом (воздухом), что и верхняя,
а—угол падения, являющийся одновременно углом
отражения,—будет также углом выхода прошедшего через
пластинку света Z). Но мы будем считать, что граничащая с
задней стороной пластинки среда остается произвольной,
и поэтому обозначим угол выхода через f. Пусть показатель
преломления пластинки по отношению к этой среде будет aIj,
по отношению к воздуху —дг; 2Л —толщина пластинки; на
верхней и нижней сторонах пластинки у будет равно -\- h
и —А соответственно. Ось z направлена от фигуры к нам.
То, что мы представили отраженную кверху волну двумя
соединенными скобкой стрелками, объясняется только
условностями чертежа. В действительности, все стрелки
на фигуре обозначают, как и раньше, не лучи, а
неограниченные плоские волны.
Рассмотрим, например, случай /^-поляризации, когда
\Е\ = Е^, Тогда, согласно C.1), над пластинкой
(I) Е =: Ае^^^^^^^^^''^ ^^^ ^^-\-Се^^^^^^^^^'^^^ ^^^ ^К
^) Конечно, этот метод иногда применялся и раньше, но
только в отдельных случаях (ср., например, у Борна [12]).—
Прим, авт.

62
Гл. I. Отра^нсение и преломление света
Внутри пластинки справедливо уравнение C.1а), правую
часть которого необходимо, однако, дополнить другим
частным решением для этой области {+iy вместо —iy) пока
еще с произвольным множителем Е:
(II) Е =j|?e^ft2(aCSln P-VCOS P)^?'gi/e2(xsln P+VCOS р)
Только ПОД пластинкой поле состоит из одной
единственной волны, так как в условия задачи следует включить
Фиг. 8. Отражение и преломление
в плоскопараллельной пластинке как
задача о краевых значениях.
условие отсутствия облучения пластинки снизу:
(П1) Е^ = De^^^ <^ sin Y-1/ cos т).
Закон преломления, написанный для двух поверхностей
У== ± Л,
дает нам возможность выделить общий для всех членов
и зависящий от х множитель. Тогда, написав А; вместо к^,
мы получим вместо C.5) для у = -{-h
J^Q—ihh cos л _i_ (Je+ikh cos a __. JgQ—iknh cos p i ^Q-\-ihnh cos ^ G.3)
И для y=^ --h
^QthnS cos 9 JL ^^—ihw^ cos p -- D^ik(nlni)h cos Y^ G.4)

§ 7. Цвета тонких пленок и толстых пластинок 63
Далее, нам необходимо по аналогии с C.6) написать
выражение для //^, соответствующее областям (I), (II),
(III), и потребовать непрерывности Н^ для y=±h. Тогда,
приняв, что пластинка немагнитная, и положив поэтому
т=Пу получим вместо C.8) для у= -{-h
j[Q—ikh cos л Се'^^^^^ ^^^ * =
= ri ^ Eе-*^^^ cos ^ — ?'е+'^^'^ cos е\ /7.5)
cosa^ / \ /
И для 2/ =-- — Л,
B^ikrih cos р __ E^—iknh cos Р = ^^^ ^ J)e^Hn!ni)h С09 т G 6)
л^ COS Э • V • /
Мы имеем, таким образом, четыре линейных однородных
уравнения для пяти неизвестных А, ...,?', которые мы
можем привести к форме
a,A + b,B + c,C + d,D + e,E=^0, 1 = 1,2,3,4. G.7)
Отсюда можно вычислить А : В : ...: Екак отношение пяти
соответствующих определителей четвертого порядка,
составленных из коэффициентов a,bjC,d,e, Таким образом,
формулы Френеля для нашей задачи о пластинке принимают
ту же форму, что и раньше при одной поверхности раздела,
только теперь мы имеем дело с пятичленной пропорцией,
вместо трехчленной.
Так как все же вычисление этих определителей в общем
случае слишком сложно, мы будем исходить в
последующих частных примерах из уравнений G.3) —G.6).
2. Масляное пятно на мокром асфальте. Каждый
видел на дороге красивые интерференционные цвета,
которые возникают в тонком слое масла. В этом случае: среда
I —воздух, среда II —слой масла, который мы считаем
плоскопараллельным. Если масло лежало бы на сухом
асфальте, то его нижняя граница не могла бы считаться
плоской, а была бы с оптической точки зрения
шероховатой. Поэтому необходимо принять, что средой III
является слой воды, покрывающий асфальт. Тогда асфальт
служит лишь для того, чтобы в качестве черного тела
поглощать проходящую волну 2), предотвращая этим ее
дальнейшее отражение.

Гл, /. Ompaofcenue и преломление света
Будем наблюдать масляное пятно сверху в
перпендикулярном направлении и примем, удобства ради, что
освещение (в действительности диффузное) сверху также
производится в перпендикулярном направлении. Тогда
а = р = Y = 0. Далее, положим для сокращения
-^=^6'^^. G.8)
Исключение D из G.4) и G.6) дает
ВгС + Ет]-^ = Ml Eт]^ ~ Erf'')
и, следовательно,
п^—1
?; = ^iz^j57|2n.
На основании этого результата формулы G.3) и G.5)
переходят в следующие:
ЛТ)-! - СТ) = nBrf- (l - ^J ^4») .
Исключение из этих формул величины В дает соотношение
между А и Су которое мы можем написать в виде
С _ -2«-1 l-V,Yl4n
А ^ л + 1 1 —va^l*"* '
' л -f-1 «1 — 1
^1"" ;г=1 ^7+1'
/1—1л,—i
G.9)
Нас интересует только отраженная интенсивность (взятая
по отношению к падающей), поэтому мы можем упростить
формулу G.9):
^p=f':LzlY|l=:M!ip. G.10)
Для обсуждения результатов мы вычислим
вспомогательное выражение (v:=Vi, Vg вещественно, у\ по абсолютной
величине равно единице)
A —vV^)(l —vYj-4^) =
= 1 _ V G]4^ + 7]-*^) -Ь V2 = 1 — 2V COS Ср + V2. G.11)

§ 7. Цвета тонких пленок и толстых пластинок 65
Введенный здесь угол ср определяется, согласно G.8),
следующим образом:
^n^gi?^ ^ = Ankh. G Л 2)
На физическом значении этой «разности фаз» ср, как
оптической длины пути, мы остановимся в п. 5.
На основании G.11) уравнение G.10) преобразуется
к виду
а\ \n+ij l+v| —2v2COScp* \''^^)
Разности фаз, соответствующие экстремальным значениям
интенсивности, могут быть найдены
дифференцированием G.13) по (f и, следовательно, определяются из
уравнения
О = {2vi A + v^ — 2v2 cos ср) — 2v2 A + vj — 2\ cos cp)j sin cp =
= 2(vi-.V2)(l-ViV2)sincp.
Из него следует, что
<?-^z^, G.14)
где z —целое число. Подставив это в G.13), получим после
элементарных вычислений
ср = и, Зи, 5и ... |^р= (^У (максимумы); ^^^^^
ср -= 2ir, 4тс, 6х ... — = Г "]7^^ ) (минимумы).
Указания «максимумы» и «минимумы» относятся к случаю,
когда All < ^у который имеет место при плавающем на
поверхности воды масле. В обратном случае указания
меняются на противоположные.
Слой масла очень тонок; хотя он и не мономолекуля-
рен, но все же его толщина, вероятно, порядка длины
волны Xv фиолетового конца спектра. Если мы это
примем, т. е. положим, что 2к = Ку, и оценим показатель
преломления масла в 1,5, то, согласно определению <р,
данному в G.12), получим, положив А: = 2тг/Х^,
ср = 6 • 2тс у- = 6ir.

G6 Гл. I. Отрююение и преломление света
Это соответствует, согласно G.14) и G.15), минимуму
отраженного фиолетового света с z=6. С другой стороны,
для красного конца спектра получается в силу \^^2Х^
ср = 6 • 27г^г- = Зтс,
что соответствует, согласно G.14) и G.15), максимуму
отраженного красного света с z = 3. Отсюда следует, что
в средней части спектра возникают еще один минимум
и один максимум, соответствующие z = 4 и z = 5. Таким
образом, отраженный от масляного пятна свет представляет
собой смесь цветов с преобладающим, при наших
предположениях, сине-зеленым оттенком. При меняющейся
толщине слоя меняется также и цвет.
3. Просветление линз (уменьшение отражения от
линз). Проходящий через систему линз свет ослабляется
из-за отражений. Хотя для центральных лучей
(нормальное падение света) это ослабление при однократном
отражении невелико D%, согласно данным § 4, п. 1), для
системы линз оно становится значительным. Устранение
такого ослабления, желательное для многих оптических
изделий, является особо благодарной задачей для
фотографических аппаратов. Она решается путем покрытия
тонкими слоями всех граничащих с воздухом
поверхностей системы линз. Первоначально такие слои создавались
при помощи структурного изменения поверхности стекла
(травление или растворение составных частей флюса
стекла); теперь, однако, отдается предпочтение напылению
слоя возможно более однородного по толщине какого-
либо вещества с показателем преломления меньшим, чем
у стекла.
Рассматривая только граничный слой и отвлекаясь,
вследствие малой толщины этого слоя, от его кривизны,
мы снова приходим к задаче о трех средах:
I —воздух, показатель преломления 1;
II —поверхностный слой, показатель преломления п\
III—линза, показатель преломления ni = njng (Пд —
показатель преломления стекла линзы относительно
воздуха).

§ 7. Цвета тонких пленок и толстых пластинок 67
Так как в формулах G.15) наше п^ соответствует
переходу II—>III, то, в соответствии с уравнением (З.Зб),
переход I—>III определяется показателем преломления
Пд = nlrii. Если на основании этого подставить в первое
из уравнений G.15) п^ = п1п^, то мы получим Отсутствие
отраэ^сения при
п
^=1. «=1/1-^. G.16)
Таким образом, показатель преломления п напыленного
слоя II должен составлять среднее геометрическое
показателей преломления 1 и щ сред I и III (выраженных
относительно воздуха). Для выполнения этого
требования и первого из условий G.15), согласно которому ср = 7:,
в технике подбирают подходяш;ий материал (например,
фтористый литий) и напыляют слой надлежащей толщины.
Но так как л, п^, а потому и ср зависят от длины волны,
то условие ср = 7с, в частности, не может быть
выполнено для всех длин волн. Поэтому отдают
предпочтение наиболее яркой части спектра (Х = 0,55[х, желто-
зеленая область) и для нее по возможности полно
устраняют отражение. Тогда для пурпурного цвета,
дополнительно к желто-зеленому, отражение, конечно, не будет
равно нулю, но все же будет малым. Действительно, так
обработанная линза имеет слабый пурпурный оттенок.
Мы предполагали, что слой однороден, т. е. л при
заданной длине волны остается постоянным. Относительно
литературы по отражению от неоднородных слоев мы
сошлемся на примечание на стр. 34. Следует, однако, еще
отметить, что необходимо устранять отражение не только
от передних, но и от задних поверхностей линз и от всех
других граничащих с воздухом элементов оптической
системы. Вследствие взаимозамещаемости сред I и III в
условии п = ^ 1 - Пд этого удается достичь при помощи того
же процесса просветления, т. е. путем напыления пленки
из того же материала и той же толщины, что и на
передней стороне. Наши выводы справедливы не только для
центрального луча (а = р = f = 0), но могут быть
применены с достаточным приближением и для соседних с ним
лучей. Так как в исходные формулы G.3) —G.6) входят
только косинусы углов а, р и -f, то для соседних лучей

<^8 Гл. I. Ompa^tcenue и преломление света
при отражении возникает только «погрешность косинуса»
(отклонение второго порядка от нулевого отражения).
4. Мыльные пузыри и кольца Ньютона. Игра цветов
в тонких мыльных пузырях объясняется так же, как и в
случае масляного пятна. Отличие состоит только в том, что
среда III (внутренность мыльного пузыря) теперь та же,
что и среда I, а именно, воздух. Таким образом, п^^п.
Согласно G.15), это приводит к тому, что интенсивность
в минимуме будет равна нулю и, следовательно, при
выполнении условия минимума для какой-нибудь длины
волны Xi дополнительный цвет Xg будет восприниматься
как особенно чистый. В обшем случае, однако, и теперь
отраженные цвета будут смешанными.
Мы оценим по порядку величины толш,ину стенок
мыльного пузыря, как равную длине волны видимого света
или меньшую, чем эта длина. Такая оценка толщины
сделана на основании того, что при дальнейшем раздувании
пузыря на его верхушке появляется темное пятно, которое
позволяет сделать заключение об очень малой по
сравнению с длиной волны толщине. Действительно, вследствие
стока мыльного раствора вниз толщина мыльной пленки
в этом месте будет исчезающе мала.
Совершенно аналогично обстоит дело для колец
Ньютона. Плосковыпуклую линзу с небольшой кривизной
кладут выпуклой стороной на плоскую стеклянную
пластинку так, что между ней д^ пластинкой получается
зазор, увеличивающийся по направлению от середины
к краям. Здесь снова среды I и III имеют одинаковый
показатель преломления по отношению к среде II,
которой здесь является воздух. При монохроматическом
освещении видны многочисленные темные окружности
между светлыми кольцами. В белом свете возникает
небольшое число окрашенных колец. Эти кольца
обнаруживают не чистые спектральные цвета, а смешанные цвета.
Проходящий свет окрашен дополнительным образом по
отношению к отраженному свету.
5. Методический вопрос: метод суммирования или
метод краевых значений? Рассмотрим
плоскопараллельную пластинку толщиной 2/г, граничащую спереди и сзади

§ 7. Цвета тонких пленок и толстых пластинок
69
с воздухом и освещаемую косо падающим параллельным
монохроматическим светом. Обычно рассуждают так:
в точке О (фиг. 9) передней поверхности, кроме
непосредственно отраженного от этого места света, выходит
наружу свет, который вступил в пластинку в точке 1
и отразился в точке i', далее, свет, который вступил
в пластинку в точке 2 и отразился в точках 2', i и i' и т. д.
Вообще говоря, свет, выходящий из любого места
передней стороны пластинки, представляет собой ряд лучей.
Фиг. 9. Метод суммирования многократных
отражений для плоскопараллельной пластинки.
которые были два:нсды преломлены и нечетное число раз
отражены. Соответственно этому свет, выходящий из
любого места задней стороны пластинки, состоит из ряда
отдельных волн, которые были два^исды преломлены и
четное число раз отражены. Необходимо вычислить разницу
в фазе и амплитуде при этих различных путях лучей.
Путь луча 1Г0, измеренный в длинах волн \^ света,
в стекле составляет
Ah I cos Э Anh I cos Э
где X —длина волны в воздухе. Умножив это выражение
на 27Г, получим прирост фазы ср^, соответствующий
прохождению светом пути 1V0:
27С 4лЛ Aknh A М\

70 Гл. I. Отрплсение и преломление света
Однако, сверх того, этот свет смещен по фазе
относительно света, падающего в точке О, на
^^^2т.^ = к'0Ь, G.18)
где L—основание перпендикуляра, опущенного из точки 1
на 0L
0L = [01) . sin а = sin а . 2 tg ? . 2/г.
Таким образом, полная разность фаз по отношению
к свету, падающему прямо в точку О, имеет величину
4пАЛ / л sin а sin S\
^^ • ^ cos р V п J
= ^(l-sin2p) = 4Ai/t^cosp. G.18а)
Входящий в G.18а) угол ср при перпендикулярном падении
(Р = 0) оказывается идентичным с введенным в G.12)
вспомогательным углом ср, что объясняет физический смысл
последнего. Очевидно, что для светового пути 22'IVО
эта разность фаз достигает 2ср, для следующего светового
пути Зср и т. д.
С другой стороны, чтобы определить/?азкость алепли-
туд, мы применим энергетические коэффициенты г и d
из D.18), которые, как мы там подчеркивали, имеют одно
и то же значение для передней и задней сторон пластинки.
Выраженный через них множитель, который необходимо
поставить перед амплитудой, составляет при одно-, трех-,
пяти-... кратном отражении и двухкратном прохождении
передней поверхности
Y?d, y'rrd, УггЧ, ... G.19)
Из G.18а) и G.19) следует общее выражение для р первых
лучей
/ге^* . d-f-1^гге2^^ ' d+ ... +|/7гр-^^? • d. G.20)
(лода необходимо добавить еще величину, соответствую-
П1,ую прямому отражению в точке 0. Она составляет при

§ 7. Цвета тонких пленок и толстых пластинок 71
правильном фазовом множителе ^) С/А= —^т, В целом,
получается:
?- = —|/г {1 -с/е^^A + ге^?+ ... +7'Р-^е<Р-1)^^)} =
--/^"{'-*"'-1^Т с-^')
В силу того, что г<1 и r4-d = l, последнее выражение
при р -= 00 сводится к виду
Совершенно аналогичным образом определяется
амплитудный множитель для света, проходящего через пластинку
и покидающего ее в точке 0'\ мы обозначим его через DIA,
Вследствие того, что свет дважды пересекает граничную
поверхность (один раз переднюю и один раз заднюю) и
претерпевает нулевое, двух-, четырех-... кратное отражение,
мы получаем вместо G.19) и G.20)
d,rd, гЧ, ..., G.19а)
giV2(j4-re^^d + /'2e2i?d-f ... +/•^-^^(P-Oi^rf) G.20а)
и вместо G.21) или G.22)
^ = e^^i/2 d{i+ re^^ + .. . + rP-iei(p-Of) =
^,^V2^1z:?V!! G.21a)
или для p= OO
i=:^r ('-22.)
Отметим, что выражения G.21) и G.21а) будут в
основном равны друг другу, если мы в G.21) опустим первый
^) При отражении от более плотной среды знак перед С/А был
обратный знаку при отражении от менее плотной среды, ср.,
например, замечание в связи с формулой E. 3).—Прим. авт.

72 Гл. /. OmpoiHceHue и преломление света
СТОЯЩИЙ справа член, соответствующий непосредственному
отражению. Тогда мы получим
^_-|/-gi(9-V2)^ G.23)
и отсюда
2
Интенсивность отра^нсенного света становится равной^
с точностью до множителя, интенсивности света^
проходящего через пластинку.
Использование символов г и d в G.21), G.22) уже само
по себе говорит о том, что полученные результаты
справедливы для обоих возможных направлений поляризации
(параллельного и перпендикулярного к плоскости
падения), причем в обоих случаях выражения для г и d имеют
несколько отличный вид.
Рассмотрим, в частности, случай перпендикулярного
падения, при котором это различие в формулах отпадает
и становится возможным сравнение G.22) с формулой G.9),
если мы положим в последней ni = n (воздух также и с
задней стороны пластинки). Тогда нужно подставить в G.9)
^^ = 1' ^^ = -ew-'-- G.24)
Кроме того, необходимо учесть следующее. В формуле
G.9), так же как и в нашем общем выражении (I) (стр. 61),
С 11 А относятся к середине пластинки, а именно: при
выбранных там координатах — к у = О, а не к верхней стороне
пластинки у= h. Поэтому, если мы хотим сравнить
формулу G.9) с отношением амплитуд G.22), относящемся к
верхней стороне пластинки, то необходимо к А добавить
множитель ехр {ikh)^ а к С —множитель ехр { — ikh). Это
значит, что мы должны в G.9) опустить множитель
7j-2_,exp ( —2iA:i/i). В результате при учете G.24)
отношение G.9) принимает вид
^=_/Я1=4. G-25)
ЧТО, действительно, совпадает с G.22).

§ 7. Цвета тонких пленок и толстых пластинок 73
Наши оба метода приводят, таким образом, к
одинаковым результатам, и не только в приведенном здесь частном
случае перпендикулярного падения, но и в общем случае.
Оба метода имеют свои достоинства и недостатки. Метод
краевых значений освобождает нас от несколько
утомительного рассмотрения фаз по фиг. 9; метод суммирования
ка:н€ется более наглядным и он не ограничен условием
/? = оо. Поэтому метод суммирования пригоден также
в случае пластинки конечной длины и светового пучка
конечной ширины ^), в котором метод краевых значений
не может быть применен уже вследствие самой
постановки краевой задачи только в плоскости х, у. Отсюда
следует, что метод суммирования предпочтительней для
вопросов разрешающей способности, изложенных в гл. VI,
тем более что он лучше соответствует обычной теории
решеток. Для двух же интерференционных приборов
с высокой разрешающей способностью, которые будут
рассмотрены уже в этом параграфе, оба метода, как
мы увидим, действительно, равноценны.
6. Пластинка Люммера—Герке A902 г.). При
изложении в § 5 полного внутреннего отражения мы принимали,
что волна падает на более плотную среду и выходит из нее
в воздух. Углу падения а^^апред. соответствовали угол
выхода р, близкий к 7г/2, и отражательная способность г,
близкая к единице. Первоначальная идея Люммера
состояла в том, чтобы пустить свет, идущий извне, на поверхность
пластинки под скользящим углом так, чтобы получить
многократное отражение под углом, близким к апред., и тем
самым использовать высокую отражательную
способность г, близкую к единице. Герке облегчил получение
требуемого эффекта, поместив на пластинке призму с углом
между гранями, равным алред. (фиг. 10). Свет, падающий
перпендикулярно на гипотенузную грань призмы, встречает
сначала нижнюю поверхность пластинки, а потом
попеременно верхнюю и нижнюю поверхности под углом Лпред.,
отражаясь от обеих скользящим образом. При этом одно-
^) То, что метод суммирования является приближенным
методом, при котором не принимается во внимание явление диффракции
на углах пластинки конечных размеров и на границах светового
пучка, не имеет практического значения.—Прим. авт.

74 Гл. I. Отра^сение и преломление света
временно подавляется первое отражение падающего света,
как мы и предположили в формуле G.23).
Число р для пластинки Люммера будет не очень велико,
так как едва ли можно сделать безупречно однородную
и плоскопараллельпую пластинку толщиной, например,
в 1 см длиннее, чем 20 см. Несмотря на это, не вызывает
сомнения, что и здесь можно произвести предельный
переход р-->оо, и, следовательно, принять за исходное
уравнение G.22а), которое мы напишем в виде
1 —г
,. - G.26)
Это можно сделать потому, что к пределу а-->апред. нельзя
подойти сколь угодно близко уже вследствие того, что мы
Ф II г. 10. Иптерферепцпя лучей в пластинке Люммера.
никогда не имеем дела с одной строго параллельной
плоской падающей волной, а всегда работаем с пучком волн,
обладающим известным углом раствора. Поэтому
равенство г = 1 никогда не будет выполняться точно, а будет
всегда приближенным. В результате значение г^ будет,
например, для /? = 20 уже исчсзающе малым, и не будет
никакой разницы, положим ли мы р равным его
наибольшему значению, получающемуся в пластинке Люммера,
пли будем считать р равным оо. Уже отсюда видно, что
не может быть никакой разницы, несмотря на
ограниченное значение /?, между результатами метода суммирования
и метода краевых значений.
Из формулы G.26) мы сразу заключаем:
1 для 9 = 27:2; (z —целое число), G.27)
-т'^0 для всех ср, заметно отличающихся от 2irz.

§ 7. Цвета тонких пленок и толстых пластинок 75
Последнее получается в силу того, что числитель 1 — г ^> О,
первое — в силу того, что при ср = Sttz знаменатель и
числитель в G.26) точно равны друг другу.
Чтобы понять, что означают слова «заметно
отличающихся», мы перепишем знаменатель G.26) в виде
Y{l^re^^){l-re-'^) = Yl + r^-2rcosc^ . G.27а)
Мы положим ср = 2tzz'^ А9 и, следовательно, cos <р = cos Аср =
~1—(АсрJ/2. В частности, мы будем искать те значения
Аср, которые соответствуют так называемой «полуширине»
возникающего при cp = 27rz максимума интенсивности,
равного единице, т. е. те значения, которые отвечают
условию
А
1 A^^ ^^28)
2 ~A —гJ + г(ДсрJ •
Вычисление сразу дает
A-гJ + г(АсрJ = 2A-гJ, Дср=±1^^±A^;.).
у г
Полуширина равна удвоенному значению | Аср |, т. е.
2|Аср|~2A-г). G.28а)
Как и следовало ожидать, она тем меньше, чем больше г
приближается к своему предельному значению, равному
единице. Это малое значение полуширины будет являться
определяющим для решения вопроса о разрешающей
способности пластинки Люммера. Мы на этом подробнее
остановимся в гл. VI.
7. Интерферометр Перо и Фабри A900 г.), В то время
как Люммер достиг высокой отражательной способности г
тем, что близко подошел к предельному углу полного
внутреннего отражения. Перо и Фабри посеребрили
поверхности стеклянной пластинки, сделав их полупрозрачными у
и выбрали угол падения приблизительно
перпендикулярным к поверхности. Их прием особенно важен тем, что
стеклянную пластинку можно заменить «воздушной
пластинкой» между двумя полупрозрачными слоями серебра,
нанесенными на стеклянные пластинки, причем
расстояние между стеклянными пластинками регулируется при

76 Гл. I. OmpaoiceHue и преломление света
помощи прокладок из инвара. В результате получается
нормальный масштаб (эталон) для точных измерений длин
волн, который совершенно не зависит от температуры,
показателя преломления и от неоднородностей стекла.
Мы с успехом применим здесь опять наш метод краевых
значений] при этом, однако, необходимо изменить
прежние граничные условия. Предположив, что мы имеем дело
с Jo-поляризацией и что, следовательно, |Е| = ?'2> мы
рассмотрим составляющую по оси z второго уравнения
Максвелла B.4), заменив в нем ток смещения D удельным
током проводимости в слое серебра оЕ^. Проинтегрируем
это уравнение по прямоугольнику, лежащему в плоскости
ху, у которого длина сторон, параллельных оси х, равна
единице, а длина сторон, параллельных оси у, очень
мала и равна толщине серебряного слоя. Тогда левая часть
проинтегрированного уравнения будет равна полному
току, приходящемуся на единицу длины серебряного слоя,
правая же часть дает, согласно теореме Стокса, интеграл
по контуру от Н, который равен скачку Н при
прохождении через слой серебра. Таким образом, вместо
прежней непрерывности Я^., теперь возникает скачок Я^,
пропорциональный Е^. Мы напишем:
Скачок B,^-g|/i^ ?,; G.29)
здесь g — множитель пропорциональности, который зависит
от проводимости и толщины слоя серебра и сделан
безразмерным путем добавления множителя (so/p-o)^^^-
Вследствие инертности электронов этот множитель в области
видимого света будет не вещественным, а комплексным
числом.
Непрерывность Е^ при серебрении сохраняется, а
поэтому являющиеся ее следствием прежние граничные
условия G.3) и G.4), так же как и закон
преломления G.2), остаются неизменными. Они только несколько
упрощаются в связи с тем, что теперь мы должны
положить щ^п и Y = а (одинаковые условия на верхней
и нижней сторонах пластинки). Напротив, граничные
условия G.5) и G.6) необходимо видоизменить в соответ-

§ 7. Цвета тонких пленок и толстых пластинок 77
ствии с G.29) следующим образом:
^^g-ift/lCOSa_^g+ift/lCO а) COS а —
— {Ве-''^^^ cos ^ _ jE;e+inft/i cos ?) ;j COS р =
= s lAe~^^^ ^^^ * Ce'^^^^ ^^^ *) =
= g {Be-'"^^^' cos p _|_ E^i-inhh cos p)^ G.30)
Eg+i^feh cos p _ jg;e-infeh cos p) ^ cos p — De+^^^ ^os a cos a =
=i ^ (J5g+infth cos p i_ ?'g—mft/i cos p\ __ ^/)e+ifth cos a^ G.31)
Две формы правой части каждого из этих уравнений
соответствуют двум возможностям представления Е^ в G.29),
которое может быть выражено либо через левую, либо
через правую сторону уравнения G.3) или G.4). Четыре
уравнения, заключаюй|;иеся в G.30) и G.31), представляют
собой полную систему граничных условий для
рассматриваемой задачи.
С точки зрения применений нас интересует только
проходящий свет, определяемый отношением D/A. При
помощи элементарных, хотя и несколько громоздких
вычцслений, мы находим, исходя из G.30) и G.31):
7л ^—2ikh cos а
(l-hg'/cosa)cos-^—771 -^^—-Чг, —-^ )sin^
^ ^ ' ' 2 2 V '^ cos fJ / cos а ' cos а у 2
G.32)
здесь ср означает разность фаз, возникающую при
однократном прохождении луча туда и обратно через
пластинку. Таким образом, так же как и в G.18а),
cp = 4nMcosp, G.32а)
причем п = 1 в случае воздушной пластинки.
Вычисление абсолютного значения G.32) приводит
к представленной на фиг. И зависимости этого значения
от <р, причем можно себе представить, что изменение ср
достигается либо за счет изменения волнового числа А,
либо за счет изменения угла падения а, с которым
посредством закона преломления связано р. При этом аир,
входящие явно в G.32), мы можем рассматривать как
постоянные. Только то обстоятельство, что cosp в G.32а)

78
Гл. I. OmpaoiceHue и преломление света
умножается на чрезвычайно большую величину А/г,
обусловливает сильное изменение <р уже при незначительном
изменении р, в силу чего ср может быть взято на фиг. 11
в качестве переменной, несмотря на видимое постоянство р.
Фиг. 11. Отношение амплитуд | DiA \ в зависимости от разности
хода 9 для пластинки Люммера (|-0М1тах=1) и для эталона
Перо и Фабри (| DiAl \ ^ах < 1).
Мы проверим приведенную фигуру на частном случае
воздушного эталона {п = 1) при приближенно
перпендикулярном падении (а = р = 0) и при приближенно
вещественном g. Уравнение G.32) тогда дает просто
Дифференцируя по ср, получим отсюда условие экстремума:
siny cos-|- = 0.
При sincp/2 = 0
1
1 + ^'
9 = 2ztc;
G.33а)
при coscp/2 = О
А
min'"(l-rg'J + l^
cp = Bz-blOr. G.336)
В обоих случаях z—очень большое целое число.
Мы предположили в G.33а) и G.336), что g велико. Это
соответствует, согласно определению g G.29), сильному
посеребрению (большому току проводимости). Падающий
свет будет поэтому сильно ослаблен также и в
максимумах. Минимумы же со своей стороны будут в 1+g раз
слабее, чем максимумы. Максимумы лежат на равных

§ 7, Цвета тонких пленок и толстых пластинок 79
расстояниях друг от друга, так же как и минимумы,
которые делят расстояния между максимумами пополам.
Максимумы остры, минимумы очень пологи. Это следует
из G.33). Только тогда, когда условие максимума sincp/2 = О
выполняется точно, получается максимальное значение
G.33а), имеющее порядок величины A+g)"^. Для всех
других ср в G.33) преобладает второй член правой стороны,
и так как он содержит четвертую степень g, то для | Z) / Л |
получается в общем случае порядок величины
[(l + gJsincp/2ri,
с минимальным значением G.336). Таким образом, для
случая больших g мы имеем достаточное подтверждение
фиг. 11.
Вычислим и здесь «полуширину» максимумов
интенсивности. Так как последние, согласно G.33а), равны
A+?)"^, необходимо в левую часть G.33) подставить
2(l+g)^. В правой части мы полагаем
-|- = ZTC - Аср, sin21- = (ДсрJ, cos2 у = 1 - (А^)^^
После деления на A + gY получаем
Отсюда находим значение полуширины:
2|A?|=4i. G.34)
В задаче 7 к гл. I мы представим эти результаты,
касающиеся положения и полуширины интерференщюнных
максимумов, в наглядной форме с точки зрения
электромагнитных собственных колебаний.
В главе VI мы увидим, что превосходная разрешающая
способность эталона Перо и Фабри целиком связана с
большим значением g. Только при больших g, т. е. при сильном
посеребрении пластинок, «полуширина» максимумов будет
достаточно мала и будет достигнута конечная цель —
разрешение тонкой структуры спектральных линий.
Необходимо, таким образом, мириться с идущей рука об руку
с сильным посеребрением потерей в интенсивности. Пла-

80 Га. ]. Отралсение и преломление света
стинка Люммера в силу г ^ \ является более подходящей
в отношении интенсивностей. Однако ее разрешающая
способность меньше, чему эталона Перо и Фабри, и, кроме
того, она не так удобна в обращении.
Мы укажем еще на то обстоятельство, что наша общая
формула G.32) пригодна также для пластинки Люммера,
т. е. для противоположного предельного случая g = 0
(серебрение отсутствует). Тогда для cp = 2zz она в
соответствии с первым из уравнений G.27) непосредственно дает
А
= 1. G.35)
С другой стороны, для всех прочих значений ср
а\ [^^^2^4 (^/icos;^^ cosa J ^^^ 2 J
•1/2
Если здесь, следуя Люммеру, перейти к скользящему
падению, т. е. положить приближенно, что cos а = О, то
множитель, стоящий перед sincp, бесконечно возрастает, и мы
получим, в соответствии со вторым из уравнений G.27):
0. G.35а)
Формулы G.35) и G.35а) подкрепляют наше прежнее
утверждение о том, что и пластинка Люммера может быть также
рассчитана методом краевых значений.
§ 8. СТОЯЧИЕ СВЕТОВЫЕ ВОЛНЫ
В упругой теории света вопрос о положении «светового
вектора» по отношению к плоскости поляризации
оставался неразрешенным. Френель придерживался мнения,
что световой вектор перпендикулярен к плоскости
поляризации; Нейман считал, «что он направлен параллельно
последней». Однако само выражение «световой вектор» не
могло быть ясно определено с точки зрения упругой
теории. С точки зрения электромагнитной теории мы имеем
два световых вектора: Е и Н (в кристаллах даже четыре:
Е, D и Н, В). В § 4 мы видели, что при получении
поляризованного света при помощи отражения электрический
вектор Е был перпендикулярен к плоскости падения, маг-

§ 8. Стоячие световые волны 81
нитный же колебался параллельно этой плоскости. Так
как в этом случае, согласно традиции, плоскость
поляризации отождествляется с плоскостью падения, то Е будет
перпендикулярно также и к плоскости поляризации, а Н
будет параллельно ей. В зависимости от того, будем ли
мы говорить о Е или же о Н как о «световом векторе»,
мы выскажемся в пользу Френеля или Неймана. Однако
мы не вышли бы за пределы вопроса об обозначениях,
о формальном определении слов «световой вектор», если
бы у нас не было полного основания придать этому слову,
с точки зрения электромагнитной теории, действительное
физическое содержание.
При воздействии света на фотографический слой из
молекул хлористого или бромистого серебра вырываются
электроны, что делает атомы серебра способными вызывать
почернение в соответствующем месте. Это в состоянии
сделать только электрическое поле Е световой волны. Так
как, кроме того, на нашей сетчатке происходит совершенно
аналогичный процесс (оба процесса, без сомнения,
представляют собой «фотоэлектрические эффекты»), то мы имеем
достаточные основания для того, чтобы обозначение
«световой вектор» присвоить электрическому вектору Е,
а не магнитному вектору Н.
Изящные опыты Винера [13], подробно изучавшего
фотографический процесс, подвели под эти общие
соображения прочную экспериментальную основу.
1. Монохроматический линейно поляризованный свет
падает перпендикулярно на поверхность металла. В
качестве отражающей поверхности металла служит
полированное серебряное зеркало. Как и прежде, нормаль
к нему выберем за ось у. Пусть направление падающего
луча совпадает с отрицательным, а направление
отраженного—с положительным направлением оси у. Вследствие
поперечности колебаний во всех случаях j&y = 0. Между
Е^ и Ez не будет никакой разницы, так как при
перпендикулярном падении оба направления равноценны.
Очевидно, мы можем написать:
Е^ = ^e-iftw-mf, Е^ = Се+^^у-^^К (8.1)
Так как серебряное зеркало—хороший проводник
(а—>оо), то на его поверхности не может быть никакого

82 Гл. I. OmpaotceHue и преломление света
тангенциального электрического поля; оно уничтожилось
бы проводимостью. Таким образом, имеем
^танг.--=^, + ^г = 0 для г/ = 0. (8.2)
Отсюда следует, согласно (8.1),
С=-.^ (8.3)
(обращение фазы при отражении). Для г/> О можно
написать, полагая, что А—вещественная величина,
? = Re {Е^ + Е,) = 2А sin ку cos Ы i). (8.4)
Это—типичная форма стоячей волны. Узлы лежат при
7 пк
ку=пт., y = Y'
пучности—при
Следует ожидать, что в пучностях колебаний
фотографическое почернение будет наибольшим, в то время как в узлах
почернения не произойдет. Тогда расстояние первого
почернения от поверхности металла должно быть равно
половине расстояния от этого почернения до следующего
и половине каждого последующего расстояния между
двумя соседними почернениями.
Для того чтобы это доказать, Винер воспользовался
старинным способом, применяемым гидротехниками для
измерения уровня воды. Очувствленная к свету пленка
коллодия, нанесенная на нижнюю сторону стеклянной
пластинки, была положена под крайне малым углом 8
на серебряное зеркало (фиг. 12). Расстояния на нем
увеличены в 1 / 8 раз по сравнению с соответствующими
расстояниями от пластинки в перпендикулярном
направлении. Поэтому расстояния Х/4, Х/2, которые прежде,
в лучшем случае, могли быть измерены
микроскопически, теперь становятся макроскопическими.
Результаты опытов полностью подтвердили как
наличие ожидаемого периодического ряда почернений, так
^) Символ Re означает, что от величины, стоящей справа от
него берется только вещественная часть.—Прим. ред.

§ 8. Стоячие световые волны
83
И половинное расстояние первого почернения от металла.
Таким образом^ электрический вектор Е действительно
фотографически активен и может рассматриваться как
световой вектор'^). С магнитным вектором дело обстоит
иначе. Его пучности лежат попеременно с пучностями
электрического вектора, причем его первая пучность
лежит непосредственно на поверхности металла. В самом
Ф и г. 12. Устройство Випера для
доказательства существования стоячих
световых воли.
Поставленная наклонно под углом 5
фотографическая пластинка чернеет в местах
пучностей электрического вектора
(заштрихованные места).
деле, применяя соотношение Максвелла для Н, D и Е,
легко получим из (8.4):
Н = 2Л 1/ -^ cos ку sin Ы.
(8.5)
2. Косое падение света. Также показателен
следующий опыт Винера, в котором фотографический слой
устанавливался как и в предыдущем опыте, но свет падал
на серебряное зеркало под углом в 45° к его нормали.
Если при этом свет был поляризован в плоскости падения,
т. е. вектор Е был перпендикулярен к последней, то на
^) Вместо фотографического доказательства можно привести
непосредственное фотоэлектрическое доказательство Егера [14],
что находится в соответствии со сделанным выше замечанием об
идентичности фотографического и фотоэлектрического действия.—
Прим. авт.

84 Гл. I. Отражение и преломление света
пленке были бы видны темные полосы, расположенные
так же, как и при перпендикулярном падении света.
Если же, напротив, плоскость поляризации была
перпендикулярна к плоскости падения, то при точной
установке угла падения в 45"" не наблюдалось бы никаких
полос, а наблюдалось бы лишь равномерное почернение
всего слоя.
В задаче 8 к гл. I будет дан расчет для этого опыта
при любом угле падения.
3. Цветная фотография Липпмана. Следуя методу
Винера, Липпман освещал очень мелкозернистый
фотографический слой, лежащий на поверхности ртути, падаюнцш
перпендикулярно спектром, В пучностях полученных
таким образом стоячих волн образуется система винеров-
ских параллельных прослоек серебра на расстоянии X / 2
друг от друга, где X—длина волны, соответствующая
спектральной области, попадающей в данное место.
Если после проявления экспонированного таким
образом слоя осветить его в перпендикулярном направлении
белым светом, то каждое место этого слоя будет излучать
свет той же длины волны X, какой оно освещалось. Только
эта длина волны (или эта длина, деленная на целое число)
будет подходить к растру, образованному системой вине-
ровских плоскостей, все другие X будут погашаться путем
интерференции. Следовательно, при наблюдении в
перпендикулярном направлении будет виден весь спектр в
светящихся интерференционных цветах. Если подышать на
пленку, то она разбухает и спектр смещается в красную
сторону, так как увеличенной постоянной растра
соответствуют большие длины волн. При наблюдении под углом
спектр смещается в фиолетовую сторону. Это является
следствием соотношения
2c/cosa = Xa, (8.6)
в котором Ха —длина волны, наблюдаемая под углом
отражения а, а d—расстояние плоскостей растра друг от друга.
Формула (8.6) является условием того, что все плоскости
растра отражают падающую под углом а плоскую волну
с одинаковыми (или отличающимися на целое кратное 2tz)

§ 8. Стоячие световые волны 85
фазами. В гл. V, § 32, мы снова встретим это уравнение
в несколько более общей форме и с несколько измененными
обозначениями, под названием формулы Брэгга. Теперь же
достаточно установить два положения:
1) Для d = \j2 иа = 0 (перпендикулярное падение
и наблюдение) получаем Ха = Х, т. е. неизменный цвет,
2) Для A = \ 12 и а#0 (косое падение и наблюдение)
имеем Х» — X cos а < X, т. е. смещение в фиолетовую сторону.
Известно, что для практического решения проблемы
цветной фотографии были найдены совсем другие пути.
Несмотря на это, метод Липпмана представляет большой
исторический интерес, как первое предложение
«фотографирования в естественных цветах».

Глава II
ОПТИКА ДВИЖУЩИХСЯ СРЕД И ИСТОЧНИКОВ.
АСТРОНОМИЧЕСКИЕ ВОПРОСЫ
Основной постоянной оптики является скорость света
Б вакууме. Как учит теория относительности, она
определяет меру времени и пространства. Целесообразно
заняться ею до того, как мы будем рассматривать в
последующих главах оптические явления в веществе; эти
явления, хотя и кажутся сравнительно элементарными, но по
существу принадлежат к более запутанным вопросам.
Наиболее важные сведения о скорости света с мы
получим на основании астрономических, а не земных
измерений.
§ 9. ИЗМЕРЕНИЕ СКОРОСТИ СВЕТА
Луны Юпитера были открыты Галилеем в 1610 г. Он
назвал их звездами Медичи в честь своего покровителя—
герцога Косимо из Флоренции. Это были четыре светлых,
близких к Юпитеру спутника. Их времена обращения
составляют несколько дней, т. е. очень малы по сравнению
с временем обращения Юпитера вокруг Солнца A2 лет).
В настоящее время известны девять спутников Юпитера^).
Времена обращения спутников могут быть точно
определены из наблюдения их затмений (вступление в тень
Юпитера, загораживающего солнечный свет). Регистрируя
затмения, датчанин Ремер нашел странную зависимость
для времен обращения: они возрастают, когда Земля
удаляется от Юпитера, и уменьпхаются, когда она к нему
приближается. Ремер заключил отсюда, что свету
необходимо конечное время, для того чтобы пересечь земную
орбиту, и по известной тогда величине радиуса земной
орбиты вычислил уже довольно точное значение скорости
света с.
^) В настоящее время известно 11 спутников Юпитера.
Последние два были открыты в 1938 г.—Прим. ред.

§ 9. Измерение скорости света 87
Наиболее кратко этот вопрос может быть рассмотрен
путем сравнения с эффектом Допплера. Последний будет
основательно разобран только в § И, но сейчас для нашей
цели достаточно привести его элементарное выражение:
'' '^ = ±4. (9.1)
X
с
где X —длина волны, т —период колебания, г; —скорость
наблюдателя относительно источника, знаки плюс и минус
соответствуют увеличению и уменьшению расстояния;
при этом принимается, что направление наблюдения
совпадает с направлением v или противоположно ему. Так
как эффект Допплера представляет собой чисто
кинематическое явление (имеющее место как для звука, так и для
света), то мы можем принять его во внимание при
рассмотрении периодического изменения освещенности
спутников Юпитера; отраженный от самого Юпитера
солнечный свет при этом не играет никакой роли.
В нашем случае (фиг. 13,а) т означает измеренное с
подвижной Земли время обращения какой-либо из лун
Юпитера, Tq —ее истинное время обращения. Буквами
А у В, С, D отмечены четыре положения Земли на ее
орбите. В точке В Земля удаляется от луны Юпитера,
и время обращения последней кажется увеличенным на
Дт==г?То/с, в точке D Земля приближается к ней, и т
уменьшается на vzq/c. В точках А и С, где скорость Земли
перпендикулярна к направлению света от Юпитера, Ах = О
и, следовательно, будет наблюдаться истинное время
обращения т^. Экстремальные значения х будут
зарегистрированы в точках 5 и /), а именно, согласно (9.1):
'^тах ='^0 "Г "^'^0» "^min ='^0 '^'^о* {^•^)
Отсюда следует
'^В —'^D ='Стах —'^min ^ ^ — Xq (9.3)
ИЛИ, если подставить вместо v его значение 2т.Н/Ту
TB~Ti> = 47u|.^, (9.4)

88
Гл. II. Оптика дви^кущихся сред и источников
где Г — продолжительность года, а Д —радиус земной
орбиты. Таким образом, для вычисления с должна быть
известна величина R.
Этот результат можно также представить в наглядной
форме (фиг. 13,6). Когда Земля движется от А до С, она
Фиг. 13. Определение скорости света по Ремеру.
а—схема- J—Юпитер, М—луна Юпитера, ABCD—
траентория Земли; б—колебания периода светового
сигнала, обусловленные движением Земли.
уходит от идущих с Юпитера сигналов о затмениях,
вследствие чего запаздывание времен регистрации все более
и более увеличивается. Обратное положение будет в том
случае, когда Земля движется от С до Л навстречу сиг-

§ 9. Измерение скорости света 89
налам о затмениях. Общая разница во времени в обоих
случаях будет равна времени, которое необходимо свету
для прохождения диаметра земной орбиты, т. е. будет
равно
2Ах = ^. (9.5)
Эта величина с достаточной степенью точности равна
площади ^) синусоиды ABC, Ступенчатообразное нарастание
(или убывание) этой площади, взятое из таблицы времен
затмений, показано отдельно в нижней части фиг. 13,6.
Лишь спустя почти 200 лет удались опыты по
определению скорости света непосредственно на Земле. Их
произвели: Физо—^с вращающимся зубчатым колесом (свет,
пропущенный через зазор между зубцами, проходит
длинный световой путь и, если колесо достаточно быстро
вращается, то при своем возвращении назад он будет
задержан ближайшим зубцом) и Фуко—с вращающимся
зеркалом (которое позже применял также Майкельсон в своих
значительно более точных опытах).
Важнейшей особенностью распространения света
является то, что оно не зависит от состояния движения
источника света, т. е. что оно не сохраняет «никаких
воспоминаний» об этом источнике. Только длина волны и
период колебаний, согласно (9.1), зависят от движения
источника. Это обстоятельство, казалось, соответствует идее
неподвижного эфира как носителя света. Однако, как
известно, эта идея была опровергнута экспериментами,
которые мы изложим в § 12 и 14, и теорией
относительности.
^) Эта площадь равна произведению интеграла
т/2
Г t т
О
и ординаты синусоиды в В, величина которой, согласно (9. 2), равна
^'^тах- с '^ сТ '
Действительно, произведение указанных реличнн дает правую часть
формулы (9.5).—Прим. авт.

90
Гл. II. Оптика двш>и:ущихся сред и источников
В дальнейшем изложении мы предполагаем, что
читатель несколько знаком со специальной теорией относитель-
постп. Она излагалась, в частности, в т. III, § 27. В
противном случае ему пришлось бы пропустить некоторые
количественные доказательства, встреча10ш;иеся в
последующих рассуждениях.
§ 10. АБЕРРАЦИЯ И ПАРАЛЛАКС
Под параллаксом звезды мы будем подразумевать так
называемый «годичный параллакс», т. е. раствор конуса,
Ф и г. 14. Кажущаяся траектория звезды
(частный случай Полярной звезды).
а—параллактическая из-за конечного
расстояния звезды от Солнца, б—из-за аберрации
света. Кажущиеся положения звезды ABCD
сопоставлены соответствующим точкам
траектории Земли.
образованного линиями визирования, направленными
с различных точек земной орбиты на звезду. Проекция
этого конуса на небесный свод дает параллактическую
траекторию—кажущуюся траекторию, которую описывает
звезда в течение года. В общем случае эта траектория
представляет собой маленький эллипс (фиг. 14,а), в
частных случаях—окружность, если неподвижная звезда
находится в полюсе эклиптики, как это показано на
фиг. 14,6, или отрезок прямой, если звезда расположена

§ 10. Аберрация и параллакс
91
в эклиптике. Доказательство существования такой
траектории, как окончательное подтверждение системы
Коперника, долгое время было актуальной проблемой. При
поисках такой траектории Брадлей в 1728 г. открыл
аберрацию света.
Также и вследствие аберрации звезда описывает на
небесном своде маленький эллипс, который тоже
вырождается в полюсе в окружность, а в эклиптике в прямую.
\
\
|У
"'
\л
ч
"у
\
\
X
Фиг. 15. К расчету аберрации.
а—гелиоцентрическая система отсчета;
б—геоцентрическая система отсчета.
Направление X указывает направление
движения Земли.
Однако направление и величина углового отклонения
будут совершенно другими, чем при параллаксе.
Направления угловых отклонений в этих двух случаях взаимно
перпендикулярны (см. фиг. 14); величина отклонения,
обусловленного аберрацией, не зависит от расстояния
до звезды и даже для ближайших к Солнцу неподвижных
звезд значительно больше параллактического смещения.
Впервые сутцествование параллакса неподвижной звезды
было твердо установлено лишь 100 лет спустя Бесселем.
То, что Ленард указал на аберрацию, как на
противоречие принципу относительности движения, было
непонятным недоразумением, так как Эйнштейн уже в 1905 г.
вывел ее из теории относительности наиболее
непосредственным образом. Аберрация не показывает
«абсолютного движения» Земли в пространстве, а связана с ее

92 Гл. II. Оптика двтнсущихся сред и источников
относительным deuofcenueM в течение годичного обращения
с различием направлений скорости Земли в различные
времена года. Обсерватории строят, между прочим, также
и для того, чтобы устанавливать и измерять эти
различия. Если бы не существовало различия в
направлениях движения, т. е. если бы движение Земли
происходило по прямой линии, то оно ускользало бы от
наблюдения.
Представим себе, что на фиг. 14,6 звезда находится
не в полюсе эклиптики, а в любом месте, и проведем
плоскость, проходящую через звезду и направление скорости
Земли (фиг. 15,а). Обозначим через а угол между
падающим лучом и скоростью Земли, которую мы будем
считать направленной по оси х. Представленная на
фиг. 15,а координатная система х, г/, t является
гелиоцентрической, так как здесь мы принимаем, что
неподвижные звезды и Солнце покоятся. Если, напротив, мы
перейдем на движущуюся со скоростью v Землю, то это
будет связано с введением геоцентрической системы
координат х'у у\ t' (фиг. 15, б). То, что при этом, кроме
пространственных координат, преобразовывается также
и время, является особой идеей теории относительности,
обусловленной постоянством с. Эти две системы
координат связаны преобразованием Лорентца
Дифференцирование последних дает
Поэтому геоцентрические составляющие скорости
, _Aх' , __ dy'
выражаются через гелиоцентрические
^ dx dy
следующим образом:

§ 10. Аберрация и параллакс 93
Под и, и' мы будем в дальнейшем подразумевать не
скорость какого-либо тела, а, что тоже допустимо, скорость
света, излученного звездой по направлению к
наблюдателю. Эта скорость и в гелиоцентрической системе будет
равна с, и ее составляющими будут (ср. фиг. 15, а):
11^ = с cos а, u^j= —г sin а. A0.3а)
Соответствующие геоцентрические составляющие и' мы
представим в виде (ср. фиг. 15, б)
Mi = w/cosa', Uy— —и's\n(x\ A0.36)
оставляя пока что вопрос о величине и' открытым.
Разделив одно из равенств A0.3) на другое и приняв во
внимание A0.3а), получим
и'а; С COS a — v ^ '
что также может быть записано^ согласно A0.36), в форме
^ COSa—р ^ '
Таким образом, определенный геоцентрически угол
падения а' света неподвижной звезды будет отличен от
наблюдаемого гелиоцентрически угла а. Геоцентрическая
скорость распространения и' будет равна
гелиоцентрической, что можно показать, возведя выражения A0.3)
в квадрат. А именно, принимая во внимание A0.3а),
,0 с2 cos2 а —2сг; cos a-\-v^-\- с^ sin2 а A — t'Vc^)
(l~[iC0SaJ
-2cycosa-i-t?2cos2a о
A —^cosaJ
Этот результат можно было бы написать непосредственно
без вычислений на основании теоремы сложения скоростей
Эйнштейна, согласно которой (выражаясь коротко, хотя
и парадоксально) будем иметь (ср. т. III, § 27):
Возвращаясь к зависимости A0.4) между углами, мы
напишем в первом приближении, пренебрегая р^,
, sin а /" л . 3 л А I ?sina ,.^ г\
^ cos OL \ cos CL J » ' C0S2 a "^ '

94 Гл. II. Оптика двио1сущихся сред и источников
Если сюда подставить а'=а + Аа, то формула A0.5)
примет вид
. / . д V . Psina
tg(a-t-Aa)-tga = -^3i^
ИЛИ при разложении левой части по небольшой величине
Аа, в результате чего знаменатель cos^a в обеих частях
сократится,
Aa-psina. A0.6)
Величина р носит название «константы аберрации».
Случайно она почти что в точности равна 10'"* при
измерении в радианах. В градусах она равна
р = 10-41^ = 20",5.
Если неподвижная звезда находится в полюсе
эклиптики, то на протяжении всей земной орбиты а = 90°;
следовательно, аберрационная траектория представляет собой
круг радиуса Аа = р с цен1'ром в полюсе эклиптики. Если
неподвижная звезда находится в плоскости эклиптики,
с которой тогда совпадает и плоскость ху (см. фиг. 15, а),
то а изменяется между ± 90"" и 0. Аберрационное смещение
тогда также лежит в плоскости эклиптики и колеблется
между ± р, дважды проходя через 0. В общем случае
аберрационная траектория звезды представляет собой
эллипс с большой осью р и малой осью psinS, где S —
расстояние звезды от полюса (дополнение к ее склонению).
Как это видно из предыдущих формул, в частности
из формулы A0.2), аберрация есть прямое следствие
релятивистского масштаба времени f и его отличия от мас-
ппаба времени t, В то время как с точки зрения
классической кинематики явление аберрации трудно совместимо
с универсальностью с, мы видим теперь, что оно является
необходимым следствием независимости распространения
света от системы отсчета. В следующем параграфе мы
1] более общей связи встретимся еще раз с аберрацией.
§11. ЭФФЕКТ ДОППЛЕРА
Элементарное объяснение эффекта Допплера
общеизвестно. Если покоящийся источник света излучает
монохроматические волны с периодом колебания т, то за
время t покоящийся наблюдатель встретит iV = ^/т колебаний.

§ 11. Эффект Допплера 95
Если наблюдатель движется со скоростью v навстречу
волне, т. е. проходит за время t отрезок пути vt, то, кроме
этого, он встретит еще vtl\ колебаний. Поэтому в целом
за время t он встретит
колебаний. С другой стороны, если источник света
движется по направлению к покоящемуся наблюдателю со
скоростью V, то расстояние между двумя
последовательными гребнями или впадинами волн будет не X, а
Х' = Х-г;х = хГ1--^\ A1.1а)
так как световая волна за время т перемещается на vt.
Соответствующий интервал времени будет
x' = x(l-|). A1.16)
Тогда покоящийся наблюдатель за время t встретит
^^-7=41^-4A+7+^+-) ("-2)
колебаний. N' и N" отличаются друг от друга членами,
содержащими 6 = г;/с во второй и более высокой степени.
Они совпадают только в первом порядке.
Против этого следует возразить: природа не знает
абсолютного движения ни источника света, ни наблюдателя.
Она поступает проще и красивей, объединяя случаи A1.1)
и A1.2). Как она это делает, мы узнаем из следующего
рассуждения ^).
1) Этот вывод Зоммерфельда связан с его механистическим
пониманием абсолютного движения. Многие последователи учения
Эйнштейна пространственно-временные измерения существенно
связывают с воображаемыми координатно-временными сетками. Таким
образом, фактически пространство и время они относят к
воображаемым категориям. Исходя из этого, они приходят к выводу, что
абсолютного движения в понимании механики Ньютона не
существует, так как движения относительно любой инерцпальной
системы должны быть равноправными. Мы должны помнить, что
понятие движения одного тела вне зависимости от других тел теряет
свой смысл. А механическое движение, которое мы наблюдаем
(относительное движение), есть отражение
объективно-существующего абсолютного движения.—Прим. ред.

96 Гл. II. Оптика дви:>юущихся сред и источников
Каждое физическое соотношение должно быть
инвариантно по отношению к группе преобразований, которые
господствуют в соответствующей области. Если
соотношение выражено в виде аналитической функции, то
аргумент этой функции должен быть безразмерной скалярной
величиной. Рассмотрим с этой точки зрения
экспоненциальную функцию, входящую в В1э1ражение для плоской
волны. Ее аргумент представляет собой, если отвлечься
от множителя i, фазу волны. Последняя с различной
степенью общности может быть представлена в следующих
формах:
кх-Ы, (к.г)-оз^ {Ж^). A1.3)
В последнем способе записи 5i есть четырехмерный
радиус-вектор
(РГ — четырехмерный волновой вектор, имеющий
размерность обратной длины
2%^^=ki, k^j Аз, /^4, ^^ ~ Т "^"тс^^Т" * A1-5)
При этом пространственные составляющие к равны
А:1,А:2,А'з = Y(cosai, cosag, cosag); A1.5а)
^1, «2, аз —углы, которые вектор к составляет с осями
Tj, х^у х^. Между ними существует зависимость cos^ai +
-{-cos^ «2 + cos2 аз = 1. Mjj заключаем отсюда, что
абсолютное значение Ж равно нулю. Действительно,
согласно A1.5),
\^\' = k\ + kl + kl + kl^
47i2
= -yj (cos^ ai + cos2 ag + cos^ ag — 1) = 0.
Если, с другой стороны, мы будем рассматривать волну
в штрихованной системе координат движущейся
относительно первоначальной системы со скоростью г; = рс в
направлении х^у то мы должны будем применить к (Ж*
преобразование Лорентца A0.1), заменив там предварительно
t на xjic или теперь на kjic. Составляющими преобразо-

§ 11. Эффект Допплера 97
ванного такпм образом четырехмерного вектора ^" будут
^'1+^4 k:==k,, k[^hz^- A1.6)
Эти формулы несколько специализированы: мы положили,
что cos ад = О, т. е. приняли, что волна распространяется
в плоскости х^х^у и опустили равенство А:з = 0. Так как
cos ад = О, то соз^ ag = 1 —- cos^ а^ = sin^ aj. Аналогичным
образом имеем: если а( и а^ обозначают соответствующие
углы в плоскости х[х[, то cos^ ag = 1 — cos^ а^ = sin^ а^.
В дальнейшем мы будем писать а, а' вместо ai, а^.
Если воспользоваться формулами A1.5а) и значением
к^ по A1.5), то формулы A1.6) примут вид
(И.7)
COS а' COS а —Р sin а' sin а 1 1 — р COS а
Разделив второе равенство на первое, получим
. , sin а l/1 — В*-^ i А А п \
tga'= ?^—^, A1.7а)
^ cosa —fi ' ^ ^
ЧТО идентично с пашей формулой A0.4) для аберрации.
Одновременно третья формула A1.7) представляет собой
точную релятивистскую формулировку принципа
Допплера.
Мы могли бы вывести эти формулы даже несколько
более элементарно из среднего выражения A1.3) для фазы
плоской волны, а именно, из требования
(kV)-a)'^' = (kr)-a)^
выразив х[, х'^у V при помощи преобразования Лорентца
через iCi, X2, t и сравнив множители при х^, х^, t в обеих
частях равенства. Мы предпочли изложенный выше вывод
(основанный на ковариантности волнового вектора, а не
на инвариантности фазы) потому, что он еще более четко
выявляет четырехмерное релятивистское происхождение
уравнения Допплера.
При произвольном направлении относительной
скорости источника света и наблюдателя мы положим v cos а
равным 1?^ — составляющей этой скорости по направлению

98 Гл. II. Оптика движущихся сред и источников
волновой нормали. Тогда из A1.7) получим
A1.8)
1- '^
С
Отсюда следует
^ = ^, A1.9)
с
где ДХ = Х' —X. Это дает в первом приближении известное
элементарное выражение принципа Допплера:
х=-т- A1-10)
Отметим, что формула A0.9) не только выражает при
v^=^ ± V продольный эффект Допплера, который является
эффектом первого порядка, но также дает при г;^ = 0
поперечный эффект Допплера, представляющий собой эффект
второго порядка:
4^=/гт^-1=-^+...,
который был в последнее время точно измерен по
красному смещению спектральных линий (ср. т. III, § 27).
§ 12. КОЭФФИЦИЕНТ УВЛЕЧЕНИЯ ФРЕНЕЛЯ
И ОПЫТ ФИЗО
При рассмотрении распространения света в движущейся
прозрачной среде с точки зрения классической теории
эфира естественнее всего было бы принять, что скорость
света с/п {п—показатель преломления среды) складывается
со скоростью поступательного движения среды v. Однако
Френель нашел благодаря гениальной индукции
следующее выражение для результирующей скорости:
» = Т+<1-^)- A2-1)
Множитель A — 1/^2) носит название коэффициента
увлечения Френеля. Правильность этой формулы была
полностью подтверждена опытом Физо с текущей водой.

§ 12. Коэффициент увлечения Френеля и опыт Физо
99
Свет от источника L проходит, разделяясь на два пучка
лучей, через обе изображенные на фиг. 16 трубы. При
этом его скорость на одном из этих путей увеличивается,
на другом—уменьшается, так что разница хода в месте
расположения глаза А может быть измерена интерферо-
метрическим методом.
L
Фиг. 16. Опыт Физо по определению коэффициента
увлечения Френеля.
На основании теоремы сложения скоростей
14- ViV2/c^
A2.2;
формулу A2.1) можно, как показал Лауэ [15], понять
чисто феноменологически, без каких-либо предположени!!
о природе распространения света в движуш;ейся среде.
Положим в формуле A2.2), что Vi есть фазовая скорость
в воде с показателем преломления п, равная с/Пу а V2—
скорость движения воды в неподвижной, по отношению
к лаборатории, системе отсчета, равная +г? для Bepxneii
и. —v для нижней трубы. Тогда, по теореме сложения,
результирующая скорость и равна
•±г;
ПС
A2.3)

100 Гл. II. Оптика дви;нсущихся сред и источников
Отсюда в первом приближении при v <g cjn имеем
п\ с у \ ПС J л V с ПС J *
Т. е., действительно, получаем тот же результат, что A2.1),
Согласно Лорентцу [16], эта формула может быть
уточнена, если учесть эффект Допплера. При этом
получается
«--±e;(l-^--^J. A2.0)
Формула A2.5) выводится следующим образом.
Величина п не является постоянной, а зависит от наблюдаемого
участка спектра. Рассмотрим определенную спектральную
линию X, излученную источником света L. Благодаря
эффекту Допплера длина волны по отношению к
движущейся воде будет равна Х'=:=^Х + АХ. Поэтому
л(Х') = /г(Х-|-ДХ) = п + ^ДХ. A2.5а)
В верхней трубе вода течет в направлении от источника
света, а в нижней—к нему. Величину АХ можно вычислить
из A1.10), если вместо с подставить скорость
распространения в воде с/п:
Х" ^с,п'
откуда, согласно A2.5а),
' dX с
с/п с /'.—,. dn V
/г /ч , у. dn V
dX С
К'тх||).
Вследствие этого числитель выражения A2.3)
преобразуется к виду
тО^^Т^±«т)- A2.6)

§ 12, Коэффициент увлечения Френеля и опыт Физо 101
В знаменателе исправление дало бы только член второго
порядка относительно v/Cy которым можно пренебречь.
Таким образом, знаменатель, как и раньше, будет
соответствовать множителю
1Т^. A2.6а)
Перемножение A2.6) и A2.6а) дает
"=1гС^^'лт±"тТ;^> A2.7)
что совпадает с A2.5). Зееману [17], благодаря его
высокому спектральному мастерству, удалось
экспериментально подтвердить и эту уточненную формулу.
Общий вывод, который мы должны сделать из факта
увлечения света движущимися (весомыми и изотропными)
телами, заключается в следующем. Для наблюдателя,
движущегося (или покоящегося) вместе с телом, свет
распространяется во все стороны равномерно со скоростью
с In [первый член формулы A2.1)], независимо от того,
находится ли это тело в покое или в состоянии
равномерного движения. Для наблюдателя, находящегося в
лаборатории, относительно которой тело движется со
скоростью г;, в направлении движения добавляется эффект
первого порядка (соответствующий второму члену в A2.1)
или A2.5), который является малой величиной порядка vie
по сравнению с первым членом). В перпендикулярном
направлении имеет место, как и при поперечном эффекте
Допплера, эффект второго порядка, который не
учитывается формулой Френеля A2.1), но может быть легко
вычислен по теореме сложения.
При n=i эффект первого порядка пропадает; даже
быстро движущаяся среда с показателем преломления 1
(например, так называемый «эфирный ветер») вообще не
оказывает никакого влияния на распространение света.
Раньше в этом видели доказательство существования
неподвижного эфира, сквозь который движется весомая
материя. В соответствии с этим на распространение света
должны оказывать влияние только заключенные в
веществе заряды, которые определяют показатель
преломления /г. Теперь мы видим, что нет необходимости делать

102 Г л, II. Оптика двииисущихся сред и источников
какие-либо специальные предположения о механизме
излучения света. Понятия электронной теории, хотя и полезны
для наглядного представления члена формулы,
соответствующего явлению увлечения, но совсем не нужны для
его вывода.
§ 13. ОТРАЖЕНИЕ ОТ ДВИЖУЩЕГОСЯ ЗЕРКАЛА
Задача, которую мы здесь рассмотрим, представляет
собой подготовку к опытам, которые будут изложены
в § 15; кроме того, она будет полезной при изучении в т. V
термодинамики излучения (закон смещения Вина). Мы
будем различать два случая: а) зеркало движется
тангенциально по отношению к самому себе и б) оно
перемещается нормально к своей поверхности. В обоих случаях
предполагается, что зеркало полностью отражает свет
и что его скорость постоянна.
а) Мы воспользуемся четырехмерным волновым
вектором, определение которого было дано в A1.5), и отнесем
его сначала к движущейся вместе с зеркалом
«штрихованной» системе^) (фиг. 17, а). Обозначим его в этой системе
через (уГ'; его составляющими будут
к[^ к^ в плоскости падения, Н^ 1\
А:; = 0, к1 = ш'1с, ^ ^^
Соответствующие величины для отраженного луча
обозначим через G^" и А'. Так как зеркало покоится относительно
штрихованной системы отсчета, то остается справедливым
обычный закон отражения
к[ = к[у ^2=—Ag, Лз = 0, к^ = к^. A3.1*)
С другой стороны, мы рассмотрим зеркало с точки
зрения исходной системы отсчета, относительно которой
^) Связывать штрихованную систему с «подвижным» телом, а
нештрихованную—с «неподвижной» лабораторией, хотя и
общепринято, но столь же произвольно, как и сами названия «подвижный»
и «покоящийся». Так как в соответствии с этим мы будем обозначать
угол падения в штрихованной системе через а', то нам необходимо
отказаться от нашего прежнего обозначения угла отражения,
которое мы ввели в гл. I; для того чтобы отличить последний от угла
падения, мы будем ставить над ним черточку,—Прим. авт.

§ 13, Ompaofceuue от двион:угцегося зеркала
103
оно движется со скоростью г? = рс в направлении оси Ху
и обозначим четырехмерные векторы падающего и
отраженного лучей через <^ и с^', а их составляющие через
Фиг. 17. Отражение от движущегося зеркала.
а—направление движения параллельно плоскости зеркала; б—направление
движения перпендикулярно к плоскости зеркала.
^1, •••> ^4» f^ii •••, ^^4. Напишем формулы
преобразования A1.6) для падающей волны, обратив их и заменив
в соответствии с этим р на — Р:
Приняв во внимание A3.1), получим аналогичные
формулы для отраженной волны:
'^^-/Т^' Лз-'-'^з, k,^y==. A3.2a)
Если обозначить измеренный в исходной системе угол
падения через а, а угол отражения через а, то в
соответствии с определением
tga:
^1
A-t
А.' ^S^-'-k,
Отсюда следует, согласно A3.2) и A3.2а),
а = а.
A3.3)
A3.4)

104 Гл, II. Оптика двиэюущихся сред и источников
Из зависимости A3.1) между со' и й;^ и из
соответствующих соотношений ш и /1:4, о) и А4 следует
CO=:U). A3.5)
Равенство углов, согласно закону отра^исения,
справедливое для покоящегося зеркала, сохраняется; частота
таксисе не изменяется {с точки зрения исходной системы)
при ompatHccHuu от двиэрсущегося в тангенциальном на-
правлении зеркала. Напротив, угол а отличается от угла
падения а' в штрихованной системе на небольшую
величину первого порядка (мы можем ее назвать углом
аберрации); частота о), в силу эффекта Допплера, также будет
несколько отличаться от со'.
б) Зеркало перемещается перпендикулярно к своей
поверхности, например, вперед. Расположим ось х снова
в направлении скорости v (фиг. 17,6), так что ось у будет
лежать теперь на поверхности зеркала. Тогда в
движущейся с зеркалом штрихованной системе отсчета получим
вместо A3.1)
Ц=^к[, Ц^-к'^, А; = 0, Щ=к'^ = ш'1с, A3.6)
так как индексы 1 и 2 меняются местами. При помощи
преобразований Лорентца находим вместо уравнений
A3.2) и A3.2а) [сразу учитывая A3.6) для последнего
соотношения ]
^rZrp' '^2 -2» -4 у-^
k,= '~^/lZl^\ h^K, /С4 = ^^Я^- A3.7')
Углы падения и отражения будут теперь определяться
соотношениями
отличными от A3.3). Угол отрао^сения, с точки зрения
исходной системы, отличается от угла падения. То же
будет справедливо и для частот о) и (о.
В случае, изображенном на фи?. 17, б, со > со; при
обратном направлении v было бы со < со. Это сразу можно

§ 14. Опыт Майкельсона 105
ПОНЯТЬ, если на время представить себе, что плоская волна
заменена лежащей на конечном расстоянии покоящейся
светящейся точкой, и построить ее точечное изображение
в движущемся зеркале. Такое изображение приближается
к наблюдателю со скоростью 2v, вследствие чего длина
волны отраженного света из-за эффекта Допплера кажется
укороченной, а его частота—повышенной. При обратном
направлении движения зеркала все будет наоборот.
Таким образом, а < а в случае, представленном на фиг. 17, б,
и а > а при обратном движении зеркала (точнее говоря,
при обратном относительном движении зеркала и
наблюдателя).
Предвосхищая корпускулярную трактовку, которая
будет изложена в § 16, мы укажем здесь на следующую
механическую аналогию. Теннисный мяч, падающий под
косым углом на ракетку, отражается под углом, меньшим,
чем тот, под которым он падает, так как нормальная
составляющая его скорости увеличивается вследствие
встречного движения ракетки.
§ 14. ОПЫТ МАЙКЕЛЬСОНА
Самым известным опытом в оптике подвижных сред
является опыт Майкельсона. После повторения этого опыта
Иосом его отрицательный результат можно считать твердо
установленным. О степени точности, к которой при этом
стремились, говорит следующее. Обслуживание установки
было полностью автоматизировано. Чтобы исключить
всякое температурное воздействие, она была помещена в
погребе и доступ к ней для наблюдателя был закрыт. Это, по
справедливости, казалось Иосу более важным, чем
осуществленное другим последователем Майкельсона —
Миллером размещение аппаратуры в деревянном сарае на
высокой горе с целью обеспечения по возможности свободного
«пронизывания» ее «эфирным ветром». Использованная
Иосом аппаратура выставлена теперь в мюнхенском
«Немецком музее».
Установка Майкельсона схематически представлена
на фиг. 18, а. Так же как и при других опытах Майкельсона
п при опытах Перо—Фабри, главную роль играет
полупрозрачная пластинка Я, Она предоставляет свету,

шт.
Фиг. 18. Опыт Маикельсона для доказательства независимости скорости света от движения Земли.
а—общая схема- Zi—монохроматический источник света, Я—полупрозрачная пластинка, S1S2—зеркала,
В—зрительная труба, при помощи которой производитсп наблюдение; б—луч параллелен движению Земли;в—луч
перпендикулярен к движению Земли.

§ 14. Опыт Майкельсона 107
идущему от лампы L, два пути от L к 5 (к зрительной
трубе наблюдателя):
LHSiHB и LHS^HB.
Так как на каждом из этих двух путей свет один раз
проходит через Н и один раз отражается от Н, то ослабление
света вдоль своих путей будет одинаковым и будет
определяться произведением rd. Таким образом, нет
необходимости в том, чтобы пропускание пластинки точно
равнялось половине {d = r). Также не требуется строгой
перпендикулярности зеркал Si, S2 к соответствующим световым
путям, чего в действительности никогда нельзя было бы
достичь. Таким образом, мы имеем дело не с
интерференцией в плоскопараллельной воздушной пластинке, а с
системой полос, которые следует ожидать при несколько
клинообразном воздушном пространстве. Не требуется
также и точного равенства расстояний li = HSi и /g = -^г^
(см. примечание на стр. 109), которого, хотя к этому и
стремятся, никогда нельзя достичь. Мы будем считать /^^ =. Zg = /.
В опыте Майкельсона и Морлея световые пути
увеличивались при помощи многократных отражений до 11 м.
Вся аппаратура плавала на ртути ^). Она устанавливалась
таким образом, что направление LHSi совпадало
с направлением движения Земли вокруг Солнца. После
этого аппаратура поворачивалась на 90° и наблюдалось
возможное смещение полос. Согласно теории
относительности, при этом не может возникнуть никакого смещения
полос, так как Земля представляет собой вполне
равноправную систему отсчета, двигающуюся практически без
ускорения, и изменением ее направления движения за время
опыта можно пренебречь (в противоположность
наблюдениям аберрации).
По-иному будет обстоять дело, если мы станем на точку
зрения системы отсчета, неподвижной относительно
Солнца, и будем производить вычисления нерелятивистски.
Тогда мы вынуждены будем утверждать, что свет относи-
^) У Иоса [18] она, вместо этого, была подвешена на упругих
подвесах. Плечи 1^ и .'г состояли из кварцевого стекла Шотта,
величина световых пзпгей составляла 21 ж, в качестве источника света
служила линия ртути X 5461 А.—Прим, авт.

108 Гл, II, Оптика движущихся сред и источников
тельно этой системы везде распространяется со скоростью с,
и должны будем вычислить несколько громоздким
способом его скорость распространения относительно
движущейся аппаратуры. Для этой цели мы начертили (фиг. 18,6)
положения полупрозрачной пластинки и зеркала для
первой части нашего опыта {LS параллельно v): Н —
положение полупрозрачной пластинки, когда через нее
проходит определенная фаза, например максимум
монохроматической волны, идущего от L света, /^i — положение
зеркала в этот момент; 6'i —его положение, когда, скажем,
через время ^i, эта фазабудет отражаться; Я'
—положение полупрозрачной пластинки в соответствующий момент;
Н^ — ее положение в момент, когда эта же фаза через
время ^2 возвращается к ней обратно. В соответствии с
надписанными на рисунке путями SiS[ = vti, Н'Н" = Ы<^
и в силу равенства расстояний HSi = H'S[ = l должно
было бы иметь место, согласно обычной нерелятивистской
кинематике,
/ Д- г;^1 = cti, 1л = ,
/ — vt^ — ct^, t% — ^-q7^ ;
отсюда общее время пробега световых лучей равно
^i + ^2 = ^ir^ + ^qr^ = ^2ir^ = Tz:f2 • A^-2)
То, что свет точно попадает в переместившуюся
зрительную трубу наблюдателя В, обеспечивается изменением
закона отражения при отражении от движущегося
зеркала Н в его положении Н" ^).
Для расчета другого пути LESJiB служит фиг. 18,в.
Я —положение полупрозрачной пластинки при отражении
той же фазы света, что и прежде; 6*2 — положение второго
^) Здесь, конечно, речь идет не о зеркале, которое перемещается
в своей плоскости, как в § 13 (случаи а), или перпендикулярно
к своей плоскости, как в § 13 (случай б), а о зеркале Я, которое
наклонено под углом 45"^ к направлению движения. Однако ясно, что
также и в этом случае наблюдаемое с Земли явление (приход
отраженного света в В) при помещении системы отсчета на Солнце
должно, согласно теории относительности, остаться неизменным.—
Прим. авт.

§ 14. Опыт Майкельсона 109
зеркала при падении на него этой фазы, что может
произойти через время t'\ Я' —положение полупрозрачной
пластинки в соответствующий момент; Я" —ее положение
при последнем прохождении через нее световой фазы.
Так как в этом случае отражение происходит от
перемещающегося в своей плоскости зеркала S^y то здесь будет
справедлив обычный закон отражения, и, следовательно,
и A4.3)
С другой стороны, для неподвижной системы, связанной
с Солнцем, должно быть справедливым соотношение
HS^^S^H'' = ct\ A4.3а)
Из A4.3) и A4.3а) следует сЧ'^ = 1^-^ъЧ'^, откуда
2^,_ 2Z/^^ A4.4)
Это время пробега светового луча отличается от
найденного раньше [формула A4.2)]. Правда, отличие только
второго порядка по отношению к р (Р равно
аберрационной постоянной, т. е. 10"*; ср. § 10), а именно:
или выраженное
д« =
как
h'rh-
-It
световой :
сМ =
= /р2.
' = 1
с
путь
A4.5)
A4.5а)
Все же оно означает, что рассматриваемая нами фаза по
пути через S^ доходит до наблюдателя в В заметно позже,
чем по пути через ^Sg.
Если повернуть аппарат на 90°, то S<i станет на место S-^
и наоборот; времена пробега ^i + ^2 и 2V обмениваются
местами ^), так что знаки перед A4.5) и A4.5а) меняются
на обратный. Поэтому разница между временами прихода
света в В удваивается. Наблюдатель в В должен был бы
^) Так же обмениваются местами плечи 1^ и /г» если они
отличны одно от другого (/i=/, /2=^+^0' Хотя в- этом случае к
A4.5а) добавляется член 2b;(l+pV2), однако в A4.56) сок-

110 Гл. II. Оптика дви:жущихся сред и источников
наблюдать смещение, равное удвоенному значению A4.5а),
а именно (выражая в долях расстояния между полосами):
Д2 = 2^ = 2~р2. A4.56)
При указанных выше значениях
(/ = 21 ж, Х = 54б1 . 10-10 м)
это смещение равнялось бы
AZ = 0,4. A4.6)
В противоположность этому Иос резюмирует следующим
образом результаты опытов в Иене: «На основании этих
опытов мы можем с уверенностью оценить в ^/юоо полосы
верхнюю границу еще возможно существующего эфирного
ветра».
Чтобы устранить противоречие с наблюдениями,
Лорентц и независимо от него Фитцджеральд были
вынуждены выдвинуть смелую гипотезу: каждое движущееся
тело испытывает сокращение в направлении движения,
которое определяется множителем )/1 — fJ^. Мы знаем
(см. т. III, § 27), что это «сокращение Лорентца» является
общим следствием принципа относительности и что оно
имеет место, независимо от рассматриваемой установки,
для любого относительного движения и для каждого
параллельного этому движению измерения пространства.
Таким образом, сокращение Лорентца не является гипотезой
ad hoc. Нам не пришлось бы даже говорить о нем, если
мы в A4.1) сразу же произвели бы расчеты,
основываясь на правильной релятивистской кинематике и,
следовательно, заменили бы I на Zj/l —р^; в формуле C),
в которой I означает длину плеча, перпендикулярного
к направлению движения, при этом, конечно, ничего не
надо было бы менять.
ращается независящая от ^^ часть и в результате получается
-=тЧ'-т).
что практически совпадает с A4. 56), если только ^Z</.—
Прим, авт.

§ 15» Опыты Гарресса, Саньяка и Майкельсона
111
§ 15. ОПЫТЫ ГАРРЕССА [19], САНЬЯКА [20]
И МАЙКЕЛЬСОНА-ГЕЙЛЯ [21]
Отрицательный результат опыта Майкельсона ничего
не говорит, конечно, о распространении света во
вращающихся средах. В этом случае нужно было бы привлечь
не частную, а общую теорию относительности с ее
добавочными членами, соответствующими механическим
центробежным силам. Если, однако,
принять во внимание, что в
последующих опытах речь идет
только о скоростях V <t с и
только об эффектах первого
порядка относительно vie, то
можно будет вообще обойтись без
теории относительности и вести
расчеты просто классически.
Короче всего может быть
описан опыт Саньяка. На диске
(фиг. 19) по углам квадрата
расположены полупрозрачная
пластинка Н и три металлических
зеркала S, первая—радиально,
последние—тангенциально. На
пластинке укреплены источник
монохроматического света L и
фотографическая пластинка Ph, На пластинке
происходит интерференция двух идущих от L и разделенных при
помощи Н лучей. Если диск привести во вращение с
угловой скоростью О), то луч, для которого направление обхода
совпадает с направлением вращения, должен пройти более
длинный путь, чем луч, для которого эти направления
противоположны. Возникнут интерференционные полосы,
положение которых изменяется при изменении
направления вращения. Измеряют взаимное смещение полос AZ,
которое может быть выражено теоретической формулой
AZ=.4p^, A5.1)
где F —площадь, охваченная световым путем, т. е. в
опыте Саньяка площадь квадрата, г —радиус диска, v
—скорость точек его окружности, р — i?/c.
Фиг.
19. Схема
Саньяка.
опыта

112 Гл. II, Оптика двшнсущихся сред и источников
Для доказательства формулы A5.1) примем во
внимание, что в силу закона отражения от тангенцально
движущихся зеркал четыре стороны (при вращающемся диске уже
не замкнутого) «квадрата» принадлежат равным
центральным углам: ^о °Р^ ^ = 0; ср^, если направление обхода
луча совпадает с (о, ср_—в обратном случае;
тс тс , 1
где х± — промежуток времени, необходимый для того,
чтобы рассматриваемый луч прошел свой путь L—>Ph. Этот
путь, если не учитывать равных для обоих лучей участков
LH и HPh, равен, с одной стороны, сх±, с другой
—учетверенной стороне квадрата, удлиненной или укороченной
вследствие вращения. Таким образом, имеем
сх± = 4 . 2rsiny9± = 8rsin(^^±~T±J .
Отсюда вычисляем разность времен:
Пренебрегая малыми величинами, можно справа
положить:
sin ^ (т^ + tJ ~sin ^т^~-^ То
где х^ —время обхода света при покоящемся диске,
Sr . тс
То = sin-7- .
"с 4
cos( т + Та^^ )~cos~.
4
Тогда получаем из A5.2)
Дх = ^\ A5.3)
С»
Так как а) = г?/г и F = (r)/2J, можно написать
Дх = 4р-^. A5.3а)

§ 15. Опыты Гарресса, Саньяка и Майкельсона ИГ)
Это совпадает с A5.1), если перейти от разности времен Д':
к смещению полос AZ.
Мы могли бы сократить приведенный выше расчет,
если бы исходили из эффекта Допплера, который имеет
здесь место вследствие того, что полупрозрачная
пластинка Н действует как движуш;ийся источник, излучаюш;ий
вперед и назад различные длины волн (в то время как
при движущихся тангенциально зеркалах
дополнительный эффект Допплера не возникает). Смещение полос AZ
получается тогда вследствие различия в длине волны для
лучей, идущих в прямом и противоположном
направлениях.
В опыте Гарресса, в котором на окружности диска
устанавливался ряд стеклянных призм, остается
справедливой та же формула A5.1), причем в этом случае F
обозначает площадь многоугольника, образованного
проходящим через призмы лучом. На обеих установках формула
A5.1) была полностью подтверждена экспериментально.
В опыте Майкельсона и Гейля роль вращающегося
диска играет Земля, Вместо со входит составляющая
угловой скорости вращения Земли в направлении отвеса в
месте наблюдения. Предварительные опыты на Маунт
Вильсон показали, что на открытом воздухе при необходимой
длине светового пути даже при наилучших атмосферных
условиях интерференционные полосы были столь
неустойчивы, что произвести измерения было невозможно.
Поэтому пришлось трубу «в общей сложности в одну
милю длиной и в один фут диаметром уложить в землю
и откачать». Поверхность F представляла собой
прямоугольник со сторонами 340 и 610 ж с зеркалами S и
полупрозрачной пластинкой Н по углам. Для того чтобы
зафиксировать нулевую точку для смещения полос,
создавался для сравнения другой путь, охватывавший
небольшую площадь. Из общего числа 269 наблюдений было
выведено среднее смещение AZ = 0,230±0,005 полосы, что
опять находится в полном согласии с формулой A5.1).
Этот опыт является прекрасной аналогией опыта
Фуко с маятником. В то время как поступательное
движение Земли не может быть доказано ни механически, ни
оптически, вращение Земли может быть измерено как
механически по Фуко, так и оптически по Майкельсону—Гейлю.

114 Гл. II. Оптика двиснсущихся сред и источников
§ 16. КВАНТОВАЯ ТЕОРИЯ СВЕТА
В конце XVII в. стали конкурировать между собой
волновая теория Гюйгенса и корпускулярная теория
Ньютона. В XVIII в. господствовала корпускулярная
теория. Начало XIX в., благодаря опытам по
интерференции Томаса Юнга, принесло победу волновой
теории. Но в начале XX в. корпускулярная теория
возродилась вновь, благодаря работе Эйнштейна «Современный
взгляд на получение и превращение света» [22].
Эта работа гораздо радикальней, чем появившаяся
в этом же году теория относительности. В то время как
последняя венчала классическую физику, первая ее
революционизировала.
В 1887 г. Герц открыл фотоэлектрический эффект,
который вскоре после этого Гальвакс измерил
электростатическим методом^). Объяснение этого эффекта с точки
зрения электронной теории, данное Ленардом и Дж. Дж. Том-
соном, привело к следующим результатам. Число
вырываемых светом электронов определяется
интенсивностью падающего света, а их кинетическая энергия—
только его частотой. Используя открытие Планком кванта
действия /г и кванта энергии Av, Эйнштейн интерпретировал
эти результаты следующим образом. Верхняя граница v
в спектре скоростей фотоэлектронов дается энергетическим
соотношением
b^I^v^ + A, A6.1)
где А означает «работу выхода» свободного электрона из
металла. Только тогда, когда h^ > А, возникает
фотоэффект. Ультрафиолетовый свет во всех случаях
фотоэлектрически активен, красный—только для щелочных
металлов, для которых А особенно мало. Существование
1) Зоммерфельд неправильно излагает историю изучения
фотоэффекта. Основные заслуги в установлении законов фотоэффекта
принадлежат знаменитому русскому физику А. Г. Столетову. Его
«актино-электрические» исследования, выполненные в 1888 г.,
не только послужили базой для всего дальнейшего изз^чения
фотоэлектрического эффекта, но и явились началом развития новой
области физики—учения о прохождении электрического тока через
разреженные газы. См. А. Г. Столетов, Избранные сочинения,
М.—Л., 1950.—Прим, ред.

§ 16. Квантовая теория света 115
такой верхней границы в спектре скоростей было строго
доказано Милликеном в 1916 г., использовавшим ее для
вычисления h.
Этим была введена в физику новая элементарная
частица—«фотон». Его энергия равна
Е = Ь, A6.1а)
Так как он должен всегда двигаться со скоростью с, то мы
должны приписать ему массу покоя [Aq^^» ^ противном
случае его масса при движении [а = ixqI/I — P^ будет
бесконечна. Из соотношения между энергией и массой
следует, что |л = ftv/c^ и что импульс равен
p = fxc = ^. A6.2)
Эйнштейн в своей первоначальной работе, кроме
фотоэффекта, особо отметил правило флуоресценции Стокса:
свет флуоресценции всегда более «красный», чем свет,
возбуждающий флуоресценцию. Это правило оправдывается
в широких пределах и для полос фосфоресценции
(запаздывающая во времени флуоресценция), так же как для
характеристического излучения в области рентгеновых
лучей: для того чтобц возбудить, например, ]5Г-излучение
атома, необходимо, чтобы возбуждающее излучение было
более жестким, чем наиболее жесткая линия К-сиект^а,
Своего рода обращение фотоэффекта представляет
собой получение непрерывного рентгеновского спектра. В то
время как при фотоэффекте из первичных фотонов
возникают вторичные электроны, здесь первичные электроны,
облучающие антикатод (катодные лучи с энергией Е),
возбуждают вторичные фотоны непрерывного
рентгеновского спектра. При этом в качестве правила Стокса имеем
Ь<Е, Ьтах = ^. A6.3)
Таким образом, непрерывный рентгеновский спектр имеет
коротковолновую границу ^min = c/vmax» которая, со CBoeii
стороны, согласно равенству A6.3), может служить для
определения величины h. В противоположность этому
классический расчет излучения заторможенного элек-

116 Гл. II. Оптика двшнсущихся сред и источников
трона, подобный произведенному нами в т. III, всегда
приводил бы к необрывающемуся, простирающемуся до
V = с» спектру.
Сюда добавляется еще следующее обстоятельство.
«Время аккумуляций», которое было бы необходимо для
того, чтобы из приносимых электронами катодных лучей
отдельных порций энергии «набрать» энергию
рентгеновского луча величиною в Av, должно было бы быть
чрезвычайно велико—порядка нескольких часов! В
действительности же вторичное рентгеновское излучение сразу
возникает при облучении первичными катодными лучами,
так же как и фотоэффект сразу появляется при первичном
освещении. Последняя отчаянная попытка спасти
классическую теорию излучения была предпринята Дебаем
и автором в 1913 г., когда они пытались, введя особую
гипотезу об интеграле действия, сделать фотоэффект
понятным с классической точки зрения [23]^).
С тех пор, как известно, удалось непосредственно
регистрировать квантовую прерывную структуру пучка
слабого рентгеновского излучения или ультрафиолетового
света при помощи усилительного механизма-с^ет^кка;
ее даже можно сделать слышимой, благодаря щелчкам,
связанным с отдельными разрядами в счетчике^). Мы не
будем здесь останавливаться на эффекте Комптона,
который с особенной наглядностью показывает
корпускулярную природу рентгеновского света, и ограничимся
эффектами, которые в этой главе были рассмотрены
с точки зрения волновой теории. В случае движущегося
зеркала мы уже в конце § 13 на примере с теннисным
мячом указали возможность корпускулярной трактовки.
Также и факты аберрации и увлечения света, которые мы
в своей основе свели к теореме сложения скоростей, могут
быть без труда истолкованы корпускулярно. Но как
^) Эти усилия, естественно, должны были потерпеть неудачу
из-за чрезвычайно большого времени, необходимого для
аккумуляции энергии.—Прим, авт.
2) Прерывистая квантовая структура светового пучка
чрезвычайно отчетливо проявляется в квантовых флуктуациях в видимой
области спектра, классические исследования которых принадлежат
С. И. Вавилову. См. С. И. Вавилов, Микроструктура света,
М., 1950.—Прим. ред.

§ 16. Квантовая теория света
117
обстоит дело с эффектом Допил ера, который, вследствие
того, что он обусловлен взаимным сближением или
удалением волновых поверхностей, казалось бы, со всей
необходимостью требует объяснения, основанного на
волновой теории? Шредингер [24] показал, что также и этот
эффект может быть понят с фотонной точки зрения.
Мы принимаем, что атом О не испускает сферическую
волну, а выбрасывает в произвольную сторону,
следовательно, случайно и в направлении наблюдателя Р,
фотон с энергией /iv и
импульсом Av/c. Атом
испытывает тогда отдачу в
направлении РО. Мы будем
считать в дальнейшем, что
наблюдатель находится в
покое, а испускающий атом
в движении, но могли бы
с тем же успехом
предположить и обратное.
Отдача Av/c, добавляясь к
первоначальному количеству
движения атома, скажем,
Mvi дает Mv2] пусть Vi
образует с направлением наблюдения угол а, г^з —угол а + Да.
Построим (фиг. 20) треугольник импульсов ОАВ, у
которого OA=^Mvi, 0B = Mv2t AB = h^lc, и спроектируем
OB на О А. Из полученного таким образом бесконечно
малого треугольника ABC найдем
Фиг. 20. К корпускулярному
толкованию эффекта Допплера.
ЛГДу = —cosa.
с
A6.4)
Это есть закон сохранения импульса. Закон сохранения
энергии гласит:
f^«? + ?^ = ^«| + ^2 + Л(v + Дv);
A6.5)
здесь ft (v + Av) —энергия, излученная движущимся
атомом. Согласно квантовой теории, энергия, излученная
неподвижным или равномерно движущимся атомом {d^^ = V2)
при изменении конфигурации (jBi—>?^2)» равна
Е^^Е2==Ь. A6.5а)

118 Г л, II, Оптика дви:нсущихся сред и источников
Если ЭТО подставить в A6.5), то получим
Mv = ^{vl- vl) = M^v "^ . A6.6)
Здесь можно, пренебрегая (Аг?)^, положить (г^х + г;2)/2 = t\
Тогда, принимая во внимание A6.4), получим
Mv = /ivcosa~. A6.7)
Характерно, что h сокращается и получается идентичная
с A1.10) формула Допплера:
— = cosa^, A6.8)
причем можно убедиться в том, что и указанные там знаки
находятся в соответствии с фиг. 20.
Может показаться, что мы были непоследовательны,
положив отдачу равной Av/c вместо ft(v + Av)/c. Если бы
мы подставили последнее выражение, то результат
изменился бы только на величину членов второго порядка,
содержащих {v> / с)^. Если бы мы хотели учесть эти члены,
то мы должны были бы с самого начала производить
расчеты релятивистски: в частности, необходимо было бы
iro-иному ввести кинетическую энергию атома. Как
подчеркивает Шредингер, мы получили бы тогда строгую
релятивистскую формулу Допплера, т. е. нашу
формулу A1.9).
Мы пришли, таким образом, к в высшей степени
замечательному положению: рассмотренные в этой главе
явления могут быть объяснены как с точки зрения волновой
теории, так и с точки зрения корпускулярной. Это же
справедливо для светового давления, которое было
рассмотрено в т. III, § 31, при помощи потока энергии Пой-
тинга с точки зрения волновой теории, но может быть
особенно наглядно описано корну скул ярно, как
«фотонный град». Однако волновая теория оказывается
несостоятельной при рассмотрении фотоэффекта и важнейших
явлений рентгеноспектроскопии. С другой стороны,
фотонная теория, по крайней мере при ее современном
})азвитии, не в состоянии дать строгое объяснение явлений
поляризации и интерференции. Мы дол:нснЫу таким
образом, решиться на дуалистическое понимание света: не

§ 16. Квантовая теория света 119
Гюйгенс или Ньютон^ а Гюйгенс и Ньютон; Ньютон—при
грубых, но фундаментальных энергетических вопросах;
Гюйгенс—при более тонких вопросах интерференции.
Свет имеет двойственную природу] он обращается к нам,
в зависимости от вопроса, который мы ставим природе,
то своей корпускулярной, то волновой стороной. Вопрос
о том, какая из этих сторон истинная, поставлен
неправильно. Обе стороны, поскольку мы можем судить
в настоящее время, равноправны и только вместе они
полностью представляют природу света ^).
В последующих главах мы только в редких случаях
будем иметь возможность возвращаться к этим основным
вопросам и должны будем ограничиться построением
волновой теории. Мы должны при этом иметь в виду, что хотя
волновая теория и представляет собой практически
наиболее важную часть учения о свете, она не раскрывает его
полного содержания.
^) Здесь опущено место, где Зоммерфельд рекомендует говорить
не о двойственной природе света, а о дополнительности по Бору,
ставит вопрос «что такое истина?» и выражает надежду, что
разрешение этого вопроса в духе «дополнительности» даст «более глубокое
понимание физического и психического мира». Таким образом, здесь
он явно становится на идеалистическую точку зрения. Критику
«принципа дополнительности» Бора см. в сборнике «Философские
проблемы современной физики», М., 1952.—Прим. ред.

Глава III
ТЕОРИЯ ДИСПЕРСИИ
В то время как до сих пор речь шла только о природе
света, теперь следует ближе рассмотреть природу
светопреломляющих сред. При рассмотрении формулы C.4а)
мы уже отмечали, что электромагнитное объяснение
показателя преломления недостаточно, так как оно
оказывается несостоятельным уже при разложении белого света
призмой. Последнее станет понятным лишь после более
подробного рассмотрения оптических свойств вещества.
Электрическое строение вещества известно: каждый
атом состоит из положительного ядра и оболочки из более
или менее подвижных электронов. Однако здесь нам нет
необходимости развивать электронную теорию в
собственном смысле слова. Вместо того чтобы учитывать
индивидуальные электроны, мы можем рассматривать
электронную жидкость^), равномерно заполняющую все тело,
подобно тому как в гидродинамике рассматривают не
индивидуальные молекулы, а непрерывную плотность.
Таким образом электроны «размазываются»^) в
пространстве, образуя континуум.
Так же поступим и с зарядами положительных ионов.
Они нам нужны для того, чтобы нейтрализовать громад-
1) Применяя гораздо более употребительное в настоящее время
слово, можно было бы говорить об электронной «плазме».
2) Я боюсь, что это некрасивое слово перешло во всеобщее
употребление из моих лекщш 1912 г. В то время я поставил перед
П. Эвальдом, в качестве телшг его диссертации, задачу: объяснить
двойное лучепреломление и дисперсию в кристаллах, исходя из
структуры их решетки, и, следовательно, не размазывать электроны,
а связывать их с отдельными структурными единицами кристалла.
С этой диссертацией существенно связана гениальная идея Лауэ,
состоящая в том, чтобы при помощи интерференции рентгеновских
лучей изучить структуру решетки кристаллов (см. гл. V, § 32).—
Прим. авт.

$ 17. Собственные колебания электронов 121
ные СИЛЫ электростатического отталкивания, которые
в противном случае будут действовать в электронной
жидкости; в то же время и наоборот, эта жидкость
нейтрализует электростатическое отталкивание ионов. Это
обычная точка зрения теории дисперсии. Она полностью
оправдывается в области оптического спектра, где на каждый
куб с ребром, равным длине волны, приходится
чрезвычайно большое число атомов; в области рентгеновского
спектра она несостоятельна.
В гидродинамике для того, чтобы дать определение
смещения и скорости, исходят из элемента объема; как
определяется смещение для электронной жидкости, будет
показано при обсуждении формулы A7.2);
соответствующее определение для ионов будет дано в начале § 18.
§ 17. СОБСТВЕННЫЕ КОЛЕБАНИЯ ЭЛЕКТРОНОВ
В УЛЬТРАФИОЛЕТОВОЙ ОБЛАСТИ
Рассмотрим прозрачный изотропный изолятор.
Оптическое поле мы снова будем сначала описывать двумя
световыми векторами Е и Н. Относительно двух
сопоставленных им электромагнитных векторов D и В
предположим следующее. Исключая вначале намагничивающиеся
материалы, мы положим В = [х^Н. Однако теперь мы не
будем считать, что D = eE, как при медленно
изменяющихся полях, а введем более общее предположение,
согласно которому
D = SoE + P; A7.1)
здесь Р —введенный в т. III, § И, вектор поляризации.
Смысл формулы A7. 1) состоит в том, что поле Е смещает
электроны относительно их положения равновесия.
Обозначим вектор, характеризующий это смещение, через s.
Положим
Р= -TVes; A7.2)
здесь е —заряд электрона, iV—число дисперсионных
электронов в единице объема. При таком определении Риз
мы, конечно, рассматриваем электроны как индивидуумы,
а не как континуум. Таким образом, формула A7.2)
относится к состоянию, предшествующему «размазыванию».

122 Гл. Ill, Теория дисперсии
Отметим сначала, что определенный таким образом Р
имеет правильную размерность, а именно (см. конец § 2),
такую же, как1>и 8^,Е (равную кулон-м''^). Действительно,
размерность величины Л^ равна м'^, и, следовательно,
Ns имеет размерность ж"^. Далее заметим, что знак в A7.2)
выбран правильно. На фиг. 21 представлено воздействие
поля Е на электронный заряд —е. Последний будет
отделен от заряда иона +е, с которым он первоначально
совпадал, причем его смещение, вызванное полем Е, будет
обратным смещению положительного иона. При этом мы
можем принять, что заряд иона + е, отягощенный своей
,Q ^Q ионной массой М, неподвижен. Таким
^^ щ-ф ^g образом, возникает совпадающий по
^ 1^ направлению с Е электрический
момент ( + е, — е) с плечом Isl, как
?ар^„ов'- ""элГрон! ^^« « «ьгражено формулой A7.2).
(масса т) и иона (мае- 1^РИ предполагаемом, согласно
са М) в электриче- фиг. 21, поведении электрона гово-
ском поле Е. рят, что электроны «квазиупруго»
связаны со своим положением покоя.
Поэтому если они будут выведены из этого положения
полем Е, то они будут стремиться к нему обратно. Этому
соответствует следующее дифференциальное уравнение
для s:
ms + fs= —еЕ. A7.3)
Возвращающую силу —/s мы поместили с обратным
знаком в левую часть уравнения; справа стоит
действующая на — е сила поля. Напишем вместо A7.3)
s + a)^s=—^Е, A7.3а)
где ^\ — Цтп\ (л^^собственная частота электрона (а
следовательно, также и электронной жидкости),
относительно которой мы предполагаем, как видно из' заглавия, что
она лежит в далекой ультрафиолетовой области. Это,
в частности, имеет место для идеальных газов Hg, Ng, Og
и т. д. Уравнение A7.3а), выраженное через поляризацию,
имеет вид

§ 17, Собственные колебания электронов 123
Мы имеем, таким образом, не два, а три световых век-^
тора Е, Н и Р, которые связаны тремя векторными
дифференциальными уравнениями, а именно, уравнением A7.4)
и двумя уравнениями Максвелла:
|XoH=-rotE и Sj,E + P = rotH. A7.5)
Второе из этих уравнений дает нам ток смещения
Максвелла D, уже выраженный, согласно A7.1), через Е
и Р. Исключая Н из обоих уравнений A7.5), получим
SoP'oE + И-оР = — rot rot Е = ДЕ A7.6)
[ср. т. III, уравнение F.2) при divE = 0 (незаряженный
диэлектрик)]. Теперь необходимо исключить еще Р из
уравнений A7.4) и A7.6) для того, чтобы получить
дифференциальное уравнение только для Е. С этой целью
к A7.6) и A7.4) применим соответственно операторы
d^/dt^ + ^l и ^^d^ldt^. Тогда получим следующее
дифференциальное уравнение четвертого порядка:
-^ + «>0D-Ё-ДЕ) + !^Ё = 0. A7.7)
Преобразуем сразу же это уравнение для частного
случая плоской, линейно поляризованной волны с частотой
(О и с волновым числом к, которая распространяется
в положительном направлении оси х, полагая
\Щ^Еу=--Ае^^^^-^^). A7.8)
При этом из A7.7) получается алгебраическое
соотношение между О) и Л:
(-«J + и.?)(--5- + А^) =
M[f!^2
ИЗ которого находим
к^-^(}Л-'-^^)- A7.9)
Величина и = (а I к есть фазовая скорость нашей плоской
волны A7.8) в диспергирующей среде; поэтому показатель

124 Г л. III, Теория дисперсии
преломления этой среды относительно вакуума, по
определению C.4), равен
На основании этого соотношения и приравняв [XqC^ к
величине 1/sq вместо A7.9), получим
n^=-i+ ^J_J' A7.10)
Показатель преломления стал зависящим от частоты.
Мы получили дисперсию. Вследствие того, что
">красн. < W < (Офиол. < ">о»
знаменатель со^ — ш^ для всего видимого спектра
положителен и для красной области имеет большую величину,
чем для фиолетовой. Синий цвет преломляется сильнее,
чем красный. Дисперсия является нормальной.
Предполагая, что со^ очень велико, разложим A7.10)
в ряд по степеням (o/cdq и ограничимся первым членом:
;,2^H.JVfLA+4y A7.11)
Подставим сюда еш;е и) = 2тсс/Х, где X означает длину
волны в вакууме. Тогда мы придем к формуле, которая
соответствует старой молекулярной упругой теории Коши
A830 г.). Запишем ее сокраш;енно:
д^^^Ц-^а + Б/П А=^^, В = ^- A7-12)
Величину А называют коэффициентом рефракции, В —
коэффициентом дисперсии. Отметим при этом, что в
отношении В/А собственная частота со^ выпадает, так что
это отношение принимает универсальное значение
Л '" Ne^/m'
A7.12а)
Его размерность равна м^, как это непосредственно видно
из A7.12).

§ 17. Собственные колебания электронов 125
Сравним A7.12) и A7.12а) с очень точными
измерениями в водороде [25] ^), которые дают
/г2= 1 + 2,721 . 10'* + ^10-1^ A7.13)
Отсюда находим
^~ТД2Г^^ -^'Т- B,721J^^ -U,Zy.lU Л«.
Подставим эти значения в левую часть A7.12а). В правую
часть, согласно приведенным в конце § 2 данным, подставим
4т:с% = 10' м • секГ^ • ом"^. Тогда получим
^^^ 1017 = 1,1 . 1018 j^-i . сек^ , ом-\ A7.14)
т 0,29 ^ ^
Величину N находим из плотности Н2, точное значение
которой при 0° С и 760 мм рт. ст. составляет
9,00 • Ю'^ кг • м^^. Отсюда масса единицы объема равна
9,00 • 10^ кг. С другой стороны, она равна 2с)\Г wh, где
тц—- масса атома водорода, аоЛГ —число молекул в
единице объема. Поэтому
9,00 . 10-2
оГ=-
2т jr
Далее, так как каждая молекула Hg имеет два электрона,
N=^2c^, iVe = 9,00. lO"» -1-
Величина е/тпп означает электрохимический эквивалент
Фарадея (заряд, переносимый при электролизе одним
грамм-атомом) и, следовательно, является очень точно
известной величиной, которая в единицах CGS равно
9649, и поэтому в наших единицах равна 10* • 9649 =
= 9,65 • 10^ кулон • «г. На основании этого уравнение
A7.14) переходит в
Ne . — = 9,00 . 10-2. 9,65 • 10' • -^=1,1 • Ю^»,
1) Они относятся к 0° С и 760 мм рт. ст. Так как A7.13)
записано в соответствии с нашей системой единиц, то X необходимо
измерять в метрах.—Я/?мл*. авт.

126 Гл. Ill, Теория дисперсии
откуда
— ~ 1,4 . 1011 кулон . «г-1. A7.15)
т
Эта величина совпадает, по крайней мере по порядку,
с «удельным зарядом электрона» е/т=1,76-Ю^^ кулон-кг^^.
Также и собственная частота ш^, которую легко
можно вычислить из сравнения A7.12) и A7.13), соответствует
положенному нами в основу предположению об
электронном колебании, лежащем в далекой ультрафиолетовой
области колебаний. При этом мы должны, однако, ясно
понимать, что наша теория еще очень груба по сравнению
с атомной физикой, дающей нам детальные сведения
о строении молекул и испускании света.
Мы отказываемся от обоснования правила, в свое
время много обсуждавпхегося (Друде, Натансон),
согласно которому в идеальных газах число «дисперсионных
электронов» совпадает с «валентным числом» ^)
рассматриваемых молекул (а именно, 2 • 2 для Og, 2-3 для Ng).
С точки зрения представлений современной атомной
физики это правило должно быть менее очевидно, чем
число 2 • 1 в случае Hg, по причине того, что валентность
О и N обусловлена не числом имеющихся электронов, как
в случае Н, а числом электронов, не достающих до
замкнутой восьмиэлектронной оболочки. Однако, это
правило с хорошим приближением оправдывается на опыте
и понятно также и с точки зрения атомной физики, так
как недостающие и имеющиеся электроны во многих
отношениях (например, в принципе Паули) играют одну
и ту же роль.
Мы упомянем, также очень коротко, уточненную
формулу дисперсии, известную под названием формулы
Лоренца—Лорентца, которая для газов дает зависимость
показателя преломления от давления. Она связана с более
точным расчетом поляризации Р, которая определяется
не только внешним полем Е, как мы это предполагали
^) Под «валентным числом» Зоммерфельд здесь понимает
полное число электронов, участвующих в образовании валентных
связей в молекуле. Это число не совпадает с валентностью отдельного
атома, а равно сумме валентностей всех атомов, образующих
молекулу.—Прим, ред.

§ 18. Инфракрасные собственные колебания ионов 127
в A7.2) и A7.3), а зависит также от электрических
моментов соседних молекул. Мы это более подробно исследова-
ли ВТ. III, §11, и пришли там же к формуле Клаузиуса—
Мосотти (srei — l)/(erei+2) = о)\Га/3 ДЛЯ диэлектрической
постоянной, в которой мы должны теперь заменить Srei
на п^. Также необходимо заменить определенную там
молекулярную постоянную
Jfa на -2"^—^.
(Og 0)^
Тогда мы получим
л2—1 1 Ne^/mso
П^-\-2 3 а>2_аJ
A7.16)
Если п^ незначительно отличается от единицы, что,
в частности, имеет место для идеальных газов, то A7.16)
переходит в приведенное выше уравнение A7.10).
§ 18. ИНФРАКРАСНЫЕ СОБСТВЕННЫЕ КОЛЕБАНИЯ ИОНОВ
НАРЯДУ С УЛЬТРАФИОЛЕТОВЫМИ КОЛЕБАНИЯМИ
ЭЛЕКТРОНОВ
Наличие заметной разницы между показателями
преломления для видимого света и для волн Герца заставляет
ожидать, что играют роль не только ультрафиолетовые
собственные колебания; в случае, когда тело прозрачно
и, следовательно, не имеет собственных колебаний в
видимой части спектра; на величину показателя преломления
должны оказывать влияние инфракрасные собственные
колебания (возможно, вращательные колебания).
Естественно приписать их не весьма подвижным электронам,
а значительно более инертным ионам. Также и последние
мы будем представлять себе «размазанными» и,
следовательно, будем иметь дело не с индивидуальными ионами,
а с непрерывной ионной жидкостью.
Поляризация Р составляется аддитивно из двух
частей Pi (электроны) и Рг (ионы):
P = Pi + P2. A8.1)
При этом для Pg, так же как и для Pi в формуле A7.2),
необходимо дать определение, относящееся к состоянию
до «размазывания», а именно, основываясь на дипольных

128 Гл. III. Теория дисперсии
моментах, образованных противоположно заряженными
ионами.
Собственную частоту электронов, которую мы в § 17
обозначили через со^, теперь назовем (о^; число
электронов в единице объема обозначим, как и там, через N,
Дифференциальное уравнение вынужденных колебаний
электронов в переменном поле Е, по аналогии с формулой
A7.4), будет иметь следующ;ий вид (если сразу перейти
от смещений к электрическому моменту Pj):
При собственных колебаниях ионов, частоту которых
мы обозначим через (Og, речь идет о взаимных колебаниях
их противоположно заряженных составных частей. Если
мы имеем дело только с двумя партнерами—случай,
которым мы здесь ограничимся,—то вместо абсолютного
входит взаимное смещение обоих партнеров, а вместо их
отдельных масс М^ и М^ — так называемая «приведенная
масса» М. Она дается, как это будет показано в задаче 1
к гл. III, равенством
Массу М необходимо подставить вместо массы т в
дифференциальное уравнение выну:нсденных ионных
колебаний A8.2). Обозначим через р валентность иона,
найденную из электролиза, например: p=i для Na^Cl', р=2
для Ca^'^Fa" и т. д. Вследствие электрической
нейтральности оптического материала необходимо положить, что
число ионов в единице объема равно числу электронов N,
деленному на /?, в то время как заряд отдельного иона
равен заряду электрона е, умно^нсенному на р. Тогда
вместо Ne^/m имеем
N(pef Npe^
рМ "^ М '
Таким образом, мы получаем дифференциальное
уравнение для Pg:

§ 18. Инфракрасные собственные колебания ионов 129
Максвелловская связь между Р и Е остается такой же,
как и в A7.6), причем Р теперь заменим, согласно A8.1),
через Pi + Pji
^o!^oE + [^o(Pi + P2) = AE. A8.5)
Исключение Pi и Pg из A8.2), A8.4) и A8.5) дало бы для Е
вместо A7.7) несколько более сложное дифференциальное
уравнение шестого порядка. Нам нет необходимости его
записывать, так как мы можем немедленно перейти к чисто
периодическому состоянию линейно поляризованной
волны с частотой О) типа A7.8), причем мы, таким образом,
принимаем, что как электроны, так и ионы полностью
вовлечены в этот колебательный процесс. Тогда,
согласно A8.2) и A8.4), величина JPi пропорциональна
— 0J/@)^ — 0J); JPg пропорциональна — ш^/(o)^ — о)^), а Л^,
согласно A8.5), выражается алгебраически через ш^:
'^ C^-t^O^ 'v. О) 2 —0,2 ^ 0J-0J у'-
Согласно определению показателя преломления A7.9а),
слева стоит {п^—1)оJ/с2. Отсюда получаем в качестве
непосредственного обобщения A7.10)
-^=l+^S^+^S^*- A8-6)
(/J — w- 0J — 0J
Очевидно, что при наличии нескольких собственных
колебаний, лежат ли они в ультрафиолетовом, инфракрасном
или даже в видимом спектре, получится формула такого же
типа, только в ее правой части необходимо будет
суммировать по всей совокупности собственных колебаний.
Для того чтобы сделать формулу A8.6) удобной для
сравнения с наблюдениями, о) выразим через длину волны
в вакууме X, а o)i, wg — соответственно через Xi, \^:
2тсс 2тх 2пс
Вводя для сокращения

130 Гл. Ill. Теория дисперсии
получим сначала
ИЛИ, избавляясь в числителе от множителя Х^,
„^ = 1 + Х?С, + А^С, + Й1 + х?!|- A8-8)
Рассмотрим сначала предельный случай X —> оо . Тогда
два последних члена исчезают и мы получаем
п1,^\+ЦС^^\1С^. A8.9)
Только в этом предельном случае, когда собственно
резонансные члены отпадают, соотношение Максвелла C.4а)
выполняется точно. То, что оно не выполняется в видимой
области, мы мо:нсем, следовательно, объяснить
существованием инфракрасных собственных колебаний [вследствие
того, что \\ < Хз, решающим в A8.9) является,
конечно, член с Xg]. Таким образом, соотношение Максвелла
необходимо исправить и записать вместо п = уТ
Поо = У'^ A8.9а)
(под ? мы в обоих случаях подразумеваем
диэлектрическую постоянную по отношению к вакууму).
Перейдем к видимой части спектра. Здесь в нашем
распоряжении имеются очень точные измерения на некоторых
галогенидах, кристаллизующихся в кубической системе.
(Как мы увидим в гл. IV, кубические кристаллы, как это
ни странно, являются оптически изотропными, в то время
как в отношении упругих, термических и других свойств
они анизотропны.) Выберем из них плавиковый шпат
CaFg (флуорит). Согласно измерениям Пашена [26], для
него имеем
^2_fi0n I 6,12.10-15 5,10. 10-»^ ,,^ .^.
Сравнивая это с A8.8), получим
С^__^ 5,10» 10-» __/8,8Я. 10-15N2 5,10- Ю"» ^/ .г ,^-5
С, "" Х| * 6,12 . 10-15 V 1,26 . 10-V ' 6,12 . 10-15 —^,-1^-1^

§ 18. Инфракрасные собственные колебания ионов 131
с другой стороны, из A8.7) получается
cl = P-M-
Так как /? = 2 (йон Са* * отдал два электрона двум ионам F),
получаем
^ = ^. A8.11)
т 4,15 ^ '
Для ТОГО чтобы вычислить приведенную массу Л/,
подставим в A8.3) Л/1 = 40 тпц (атомный вес Са равен 40,
/пн —масса атома Н), Д/2 = 2 • 19 тн (атомный вес F
равен 19, следовательно, молекулярный вес отрицательного
партнера F2 равен 2 • 19). Тогда мы получим
1 /1 1 \ 1
д^ = ( 40 + 38J '^^' следовательно, Л/= 19,5 т^.
^ ^ н
Подставив это значение в A8.11), найдем
^ = 2450. A8.12)
Это по порядку величины совпадает со значением,
полеченным из использованных в § 17 величин elm й в/тц.
Таким образом, наше первоначальное предположение,
что ультрафиолетовые собственные колебания являются
электронными колебаниями, инфракрасные — ионным и
колебаниями, подтвердилось.
Также и вытекающая из формулы A8.9) зависимость
между Лда и постоянными дисперсии Cj, С2, Х^, Xg
выполняется довольно удовлетворительно. А именно, согласно
A8.9), имеем
«^ = 6,09, Х?С, = |§ = 0,7, X^G, = |i§=4,06,
а следовательно,
1+XJC, + X^C^.^5,76.
Определение диэлектрической постоянной
электрическими методами дает
6 = 6,7-^6,9.

132 Гл. Ill. Теория дисперсии
Когда Друде в 1900 г. получил эти результаты и
многие другие, аналогичные им, он как-то сказал автору:
«Мы живем в величественное время, мы начинаем
заглядывать в электрическое строение вещества». Однако
развитие, достигнутое в последующие десятилетия, превзошло
его самые смелые ожидания.
С практической точки зрения форма кривой дисперсии
стекла является, конечно, решающей для важного
вопроса об ахроматичности линз и других оптических приборов.
В задаче 3 к гл. III мы рассмотрим ахроматическую
призму и, в связи с этим, призму прямого зрения;
подготовительной задачей к этому служит задача 2 к гл. III.
§ 19. АНОМАЛЬНАЯ ДИСПЕРСИЯ
Исследуем теперь ход дисперсии в непосредственной
близости от собственного колебания а) = а)о. Примем,
что последнее принадлежит видимому спектру, так как
только здесь возможны измерения, достаточно точные
для проверки теории. Тогда рассматриваемое тело уже
не будет прозрачным, как мы это принимали прежде,
а будет, как мы это увидим, окрашено, в соответствии
с положением а)^ в спектре.
Так как уравнение вынужденных колебаний A7.3)
при О) = (Oq привело бы к бесконечной амплитуде, то
необходимо, как и во всех других резонансных проблемах
механики и электродинамики, добавить член,
характеризующий затухание. Мы придадим ему форму g^oS,
предположив для большего удобства, что он пропорционален
скорости S, и добавив множитель ш^, благодаря которому
постоянная затухания g становится безразмерной
величиной. Последняя должна быть намного меньше
единицы, если необходимо, чтобы резонанс был острым.
Тогда уравнение A7.4) преобразуется к виду
Так как в видимой области можно ожидать, что мы будем
иметь дело с колеблющимся ионом, то т здесь, как и
в A8.4), обозначает приведенную массу, при введении

§ 19. Аномальная дисперсия 133
которой необходимо также учесть валентность р иона^).
Из A9.1) следует, что в поле Е частоты о) при
периодическом раскачивании иона будем иметь
Ne^ Е
Р==-
(AJ —aJ~/gra)^ja))
И для показателя преломления п получается в
соответствии с A7.10) и A8.6):
п^=п1+...''::'тл • A9.2)
"
ig^Qia
п^—ЭТО ДОЛЯ всех других собственных колебаний,
добавляющихся к колебанию в видимой области, усредненная
ДЛЯ области около о) = со^ (в которую входит также доля
чистого тока смещения, выделенная ранее отдельно и
равная 1). Показатель преломления п теперь стал
комплексным, как при отражении от металлов. Заменим его через
n{i+iY.) и тогда, отделив вещественную и мнимую части,
получим из A9.2)
пЦ1-Х^) = п'га + ^ ^ ^огсо' A9.3)
Для сокращения положим
а^ — 2 (безразмерная величина) A9.5)
и введем переменные
. = ^, , = "-!li^. г-^'-^. A9.6)
Тогда формулы A9.3) и A9.4) примут вид
^) В действительности аномальная дисперсия в видимой
области обусловливается, как правило, электронами. Лишь в
исключительных случаях, когда в видимой области лежат колебательные
спектры (как в случае молекулы воды, для которой колебательные
переходы, соответствующие возбуждению обертонов основных
колебаний, обусловливают слабое поглощение в видпмой области),
аномальная дисперсия может вызываться колебаниями ядер.—Прим.
ред.

134
Гл. III. Теория дисперсии
Вычислим экстремальные значения у:
dy _ __
dx
Следовательно,
4gr2(l + ^) V
1
2^:2 -I- g4
a:2 + g2(i+^)
)=0.
•^ == + ^^ y = 2/min =
1
^= —g^» У'-=Ушах-
2g + g'
1
2^-^2
Содержание этих формул мы поясним при помощи
таблицы и графика, причем ради наглядности будем
рассматривать g как малую величину и, следовательно, будем
пренебрегать g^ по сравнению с g {в данном случае, g
jro сравнению с 1). В первой строке таблицы в качестве
масштаба спектра дано х, в последней—величина (о.
1
X
2
@
-1
+1
0
0
-S
1
1
2^
<*>о/1^
0
0
1
g
(Oq
+g
1
2g
^oV^+g
oo
0 i
0 '
oo
в соответствии с этим, как это видно на фиг. 22, кривая
для у достигает экстремальных значений при x=±g и
пересекается с прямой у=п^/а^ при х=0\ кривая для z
пмеет крутую колоколообразную форму с максимумом при
c;t''^ О (точнее при л:=—g^/A + ,..) и с полушириной,
равной 2g. Масштабы кривых у ж z разные; масштаб кривой
для Z нанесен с правой стороны фигуры.
Фиг. 22 служит не только для изображения у и z, по
одновременно и для качественного наглядного
представления хода величин дг^ и х, которое только вблизи х = 0
несколько отличается от точного представления этих
величин формулами (Ю.З) и A9.4).

§ 19. Аномальная дисперсия
135
На фиг. 22 нас в первую очередь интересует ветвь AD
кривой показателя преломления. В то время как эта
кривая до Л и после D с возрастанием со (здесь х) wo5-
нмжается (нормальная дисперсия), между А и D она с
возрастанием X спадает. Это явление носит название
аномальной дисперсии: более короткие волны преломляются
-SfOg
^х
Фиг. 22. Аномальная дисперсия.
Кривая у (масштаб дан слева) воспроизводит в
основном ход показателя преломления, кривая z (масштаб
дан справа)—ход коэффициента поглощения.
слабее чем более длинные. Его впервые наблюдал в
фуксине датчанин Христиансен в 1870 г. Независимо от него
и почти одновременно оно было установлено Кундтом
для различных красящих веществ^).
Мы заштриховали участок ВС спадающей ветви AD^
чтобы указать, что здесь спектр гасится поглощением.
Поэтому аномальную дисперсию можно наблюдать только
вдоль коротких ветвей АВ и CD. В фуксине полоса
поглощения лежит в желтозеленой части. Поэтому проходя-
^) Классические исследования ано1мальной дисперсии в парах
металлов принадлежат выдающемуся русскому оптику акад.
Д. С. Рождественскому, создавшему совершенно новый и
оригинальный метод точного количественного изучения аномальной
дисперсии—«метод крюков». Этот метод является лучшим методом
определения числа дисперсионных электронов и, следовательно,
вероятностей квантовых переходов. См. Д. С.
Рождественский, Работы по аномальной дисперсии в парах металлов, М.,
1951 (в серии «Классики пауки»).—Я/?мле. ред^

136
Гл. Ill. Теория дисперсии
щии непоглощенныи свет окрашен в дополнительный
насыщенный красный цвет.
Все то, что здесь было сказано о красящих веществах,
относится в еще большей степени к окрестности каждой
спектральной линии в газах. Поэтому первоначальный
«метод скрещенных призм» Кундта развился в богатый
возможностями
спектроскопический метод.
Для того чтобы
выразить математически
своеобразную форму кривой
для у (фиг. 22), напомним
об устранении особой
точки гиперболы у=—Их при
х=0 путем ее замены
непрерывной кривой
^х
У =
0:2 + 62»
Фиг. 23. Ход кривой у при
возрастающем затухании (затухание
выражено параметром Ъ).
которая в пределе Ь—»0
переходит в
равностороннюю гиперболу у=—ijx
(фиг. 23). Последняя
соответствует ходу показателя
преломления при
отсутствии в резонансном
знаменателе члена, характеризующего затухание, первая
соответствует резонансному знаменателю при наличии
затухания [формула A9.7)].
Во вторую очередь нас интересует на фиг. 22 подъем
уровня кривой г/, который происходит при прохождении
резонансного участка в направлении от коротковолновой
к длинноволновой области; это видно из сравнения
второго и последнего столбцов предыдущей таблицы.
Соответствующий подъем получается для каждого
резонансного участка; каждый раз п^ возрастает на
соответствующее а^.
Отсюда сразу понятно, почему для сложных молекул
твердого тела, например стекла, получается разница
между показателями преломления в оптической области
и в области волн Герца.

§ 20. Магнитное врагцение плоскости поляризации 137
Особенно бросающийся в глаза случай воды (л = 4/3
в видимом спектре, Лоо = У^е = 1/80 в электростатическом
предельном случае при Х = оо) сюда не относится; он
объясняется полярной природой молекул HgO. Молекула
воды, благодаря ее изогнутой структуре, обладает
постоянным электрическим моментом, который только при
длинных волнах в состоянии следовать за вынуждающими
колебаниями поля; при коротких волнах этому
препятствует своего рода молекулярная вязкость. Переход
между этими двумя участками лежит в области Х=1,7 см,
на которую также приходится большая часть скачка
между оптическим значением п^ и электростатическим
значением диэлектрической постоянной.
§ 20. МАГНИТНОЕ ВРАЩЕНИЕ ПЛОСКОСТИ ПОЛЯРИЗАЦИИ
Связь, которую в 1845 г. открыл Фарадой между
совершенно чуждыми в то время областями оптики и
магнетизма, существенно помогла возникновению
электромагнитной теории света. Хотя она и не охватывает процессы
в свободном от вещества пространстве, а ограничивается
весомыми телами и обусловливается движением
находящихся в них дисперсионных электронов, все же она ясно
указывала на электромагнитную природу света.
Будем исходить из уравнения A7.3), в котором
влияние поля световой волны на электрон мы описывали
только членом—еЕ. Однако мы знаем из т. III, что
воздействие поля на двиэФсугцийся заряд (который мы снова
будем обозначать через —е) в общем случае дается силой
Лорентца
К= -e(E-b[vB]). B0.1)
Подставим сюда B = [iH и примем во внимание, что для
поля световой волны имеет место, согласно B.5),
соотношение
|H| = /flE|;
в B0.1) член, со;
тогда получим, что в B0.1) член, содержащей В, только
на множитель

138 Гл. III. Теория дисперсии
отличается от члена, содержащего Е. Таким образом,
магнитное воздействие представляет собой поправку
первого порядка относительно р, и им можно пренебречь
по сравнению с влиянием электрического поля—еЕ.
Иначе будет обстоять дело, если мы приложим внешнее
поле Ввн., которое может быть взято значительно
превосходящим оптическое поле В. Тогда в уравнение движения
A7.3) необходимо будет ввести поправочный член,
который может быть заметным по величине, и оно перейдет в
ms + /s= -е(Е + [8Взн.]), B0.2)
Мы выберем направление Ввн. в качестве положительного
направления оси z и примем, что световая волна
распространяется в этом же направлении. При этом допущении
векторы Ens лежат в плоскости ху"^). Если уравнение B0.2)
разделить на /гг и выразить его в составляющих, то мы
получим систему двух уравнений:
S^-\ jBbh.^,, + <J^n ^v = E^
^11 -Sbii ^v + ^n ^ii = E,.,
У m X i 0 у m У
1
B0.3)
где ^l = flm. Умножение на стоящие справа множители
и сложение дает
^±-^iB^n.se + o^l^=-^t^, B0.4)
где для сокращения мы положили
^ = s^±isy, n = E^±iEy. B0.4а)
Отметим, однако, что этот способ с использованием
уравнения B0.3) является излишним окольным путем,
которым пользуются только по привычке. Ведь B0.4)
есть не что иное, как исходное уравнение B0.2), если его
^) Е и S, как и все наши величины, относящиеся к
монохроматической волне, следует, разумеется, улгаожатьна всегда одинаковый
множитель ехр (—icot), в то время как раньше в большинстве
случаев мы могли его опускать. Мы будем его выписывать, начиная
с формулы B0. 5), так как это будет способствовать ясности
изложения. Переход к вещественной части мы и здесь опустим; этот
переход должен быть произведен только в конечной формуле B0. 14).—
Прим. авт.

§ 20. Магнитное врагцение плоскости поляризации 139
правильно понимать, а именно, следующим образом:
двумерные векторы являются комплексными числами
формы a+ib] поэтому наши векторы s и Е в B0.2)
представляют не что иное, как комплексные величины ^ и ^,
определенные при помощи B0.4а). Так как, кроме того,
умножение на i означает правовинтовой поворот вокруг
Z от X к у, SL векторное произведение тоже определяется
правилом правого винта, то [^ ^вн.] в B0.2) обозначает не
что иное, как комплексное число Я-^^вн. с5^» которое,
будучи умножено на —е/т и перенесено в левую часть,
входит в уравнение B0.4).
Согласно этой общей точке зрения, собственными
переменными поля следует считать сами комплексные
величины g, а не их составляющие Е^ и -Б^. С физической
точки зрения это означает переход от линейной к
круговой поляризации. Таким образом, если мы
первоначально (т. е. в отсутствие магнитного поля) имели линейно
поляризованную волну Е^=Асо8Ы, Еу=0, то теперь
мы разложим ее на две волны с правой и левой круговой
поляризацией, скажем, на ^+ и ^ , т. е. положим, в
согласии с B0.4а),
^. = |(^-ь + ^-), ^, = ^(g+-g-). B0.46)
Для расчетов мы будем применять ^л., как простейшие
элементы поля, и найдем простые выражения для их
(несколько различных) скоростей распространения и
показателей преломления. После прохождения магнитного
поля мы вновь приведем j^^ к одному линейному
колебанию Е, которое будет повернуто в плоскости ху на
определенный угол -/^ относительно первоначального
колебания Е^. Получающаяся при этом зависимость для х
более сложна и становится ясной только после нашего
более простого рассмотрения величин ё.
Предположим, что имеется монохроматический, т. е.
чисто периодический относительно ^, процесс
g^=Ae'^^±'''''\ B0.5)
где под А подразумевается вещественная величина. Этим
мы и удовлетворим нашему начальному условию для

140 Гл. III. Теория дисперсии
z=0 (свет до попадания в магнитное поле представляет
собой линейно поляризованную волну)
?:^ = Лсо8а)^ Еу=^0 B0.5а)
и, вместе с тем, учтем круговую природу ^± в магнитном
поле
|^^| = Л|е^^^±'"^'>[ = Л, B0.56)
поскольку, как мы сейчас покажем, к± оказываются
вещественными.
Принимая во внимание выражение B0.5) и
соответствующее ехму выражение для ^, мы получим из B0.4) при чисто
вынужденных колебаниях и, следовательно, при чисто
периодическом состоянии электронной жидкости^)
^.^ = ZZllH g^. B0.6)
Следует отметить, что здесь знаменатель вещественен,
а не комплексен, как при аномальной дисперсии [см. A9.2)].
Это происходит от того, что действие магнитного поля jBbh.
безваттно (магнитное поле действует в направлении,
перпендикулярном к направлению движения). Поглощение,
которое имеет место при а) = со^, можно не учитывать,
так как оно связано с В^^,,
Так же как и s, ведет себя пропорциональный ему
вектор Р. Положим
тогда, согласно A7.2),
^^ = ^l^lH g;^. B0.6а)
На основании этого, дифференциальное уравнение B0.6)
для периодического состояния дает вместо B0.9)
ki = ^(ii—^^^f^^^ V B0.7)
^) Речь идет о тех колебаниях, которые устанавливаются, когда
свободные колебания затухнут, и которые обладают частотой ш
вынуждающей силы B0. 5а), т. е. об установившихся вынужденных
колебаниях.—Црим. ред.

§ 20. Магнитное вращение плоскости поляризации 141
Этим двум волновым числам А:± соответствуют два
различных показателя преломления
«i-^, B0.7а)
а именно [ср. A7.10I:
ni = i + ^^fUl^ . B0.8)
Формула B0.8) есть результат нашего расчета
дисперсии в его простейшей форме. Как видно, п^ и п^
отличаются друг от друга; п^ несколько больше, чем /г_. Разница
между ними, однако, невелика, так как второй член
в знаменателе, как уже отмечалось в связи с B0.2),
представляет собой только поправочный член.
Пренебрегая квадратом этого члена, получим из B0.8)
пХ-п^ = ^.2^^^^, B0.9)
или, вводя ещ;е средний показатель преломления
* /im^eQ (о)* — 0JJ \ /
Мы пришли теперь собственно к методу измерений,
и только здесь оправдывается заглавие настояо^его
параграфа «Вращение плоскости поляризации». Пусть свет
проходит в магнитном поле путь от z=0 до z=l. Выпишем
значения ё± для z=l. При этом величины к± выгодно
разложить на симметричную и антисимметричную, по
отношению к их перестановке, части, а именно, положить
Л± = 4 (*+ + *-) ± у (** - *-) B0.10)
и ввести для сокращения
?-4-(A. + A.)-u.f, X = 4 (**-*-)• B0.11)

142 Гл. III. Теория дисперсии
Как мы увидим, ср означает разность фаз, ^—угол пово-
рота. Тогда получим
gi=^expi'|у(/с, + А.)± 1(А:^-/^_)-а)Л , B0.12)
и, следовательно, принимая во внимание B0.11),
Ш, = Ае^^ еЧ g^ = Ае^'^ е-п. B0.13)
Отсюда следует, согласно B0.46):
?^ = Ле*9со8х, ^Бу = ^е^?8шх. B0.14)
Так как Е^ и Еу колеблются с одинаковыми фазал^и, они
складываются в одно линейное колебание, которое
повернуто по отношению к падающему колебанию B0.5а) на
угол 1^ в положительном направлении {в правовинтовом
направлении по отношению к магнитному полю Ввн.)-
Одновременно с этим фаза (р изменяется, по
сравнению со своим первоначальным значением при z=0 в
B0.56), на
~ ^•
Угол поворота х может быть очень точно измерен.
Положим
X = W^B„.. B0.15)
Множитель V называют постоянной Верде. Согласно
B0.11) и зависимости B0.7а) между А± и /г±, она равна
XT О) П^ П_
2^ ^вн.
Отсюда получаем в силу B0.9а)
2птЧ So @J — 0JJ •
B0.16)
Могло бы показаться, что наличие множителя [х в B0.16)
позволяет обосновать сильную вращающую способность
ферромагнитных тел. В действительности это не так.
Напротив того, |х в B0.16) играет только формальную

§ 20. Магнитное вращение плоскости поляризации 143
роль и появляется лишь вследствие общепринятого
определения X B0.15) (пропорциональность величине Яви.,
вместо пропорциональности величине i?BH., что было бы
существенно лучше). В действительности наша теория
не охватывает ферромагнитных тел, так как она не
учитывает спина ^) электронов.
Как видим, выражение B0.16) зависит от частоты.
Следовательно, магнитное вращение, как и преломление света,
связано с дисперсией. Так же как лг в § 17, можно было бы
и V разложить по степеням (о^/ш^ и из двух первых
коэффициентов получить, путем исключения ш^,
универсальную зависимость между e.mnN, Однако для этого едва ли
хватило бы точности измерения дисперсионного члена
в B0.16). Лучше использовать только главные члены
выражений для вращения и для преломления. Полученная
подобным способом зависимость удовлетворительно
выполняется для газов Hg, О2, N2^).
Еще более важным и интересным, чем магнитное
вращение, является естественное вращение плоскости
поляризации в кристаллах с винтообразной структурой (кварц,
хлорат натрия,...) или в жидкостях с асимметрично
связанным атомом углерода (раствор сахара). Мы на этом
остановимся в гл. IV. Это свойство широко используется
в сахарной промышленности.
Здесь подчеркнем лишь принципиальную разницу
между естественным и магнитным вращением: если световой
луч в конце своего пути / отражается, то естественное
вращение на обратном пути будет скомпенсировано, в то
время как магнитное вращение удвоится. Последнее
объясняется тем, что не только в формуле B0.11) к^ необходимо
заменить на к_, но и в формулах B0.12) и B0.13) +i
необходимо заменить на — i, так как положительное
направление вращения гауссовской плоскости после
отражения обратно направлению магнитного поля. Этим путем
Фарадей смог увеличить свой первоначально очень
маленький эффект вращения при помощи многократного
отражения.
^) О роли спинов электронов в объяснении вращательной
способности ферромагнитных тел см. [271.—Прим. авт.
2) По наблюдениям Сиртсема (см. работу Зоммерфельда [2S]),—
Прим. авт.

144 Гл. Ill. Теория дисперсии
§ 21. НОРМАЛЬНЫЙ ЭФФЕКТ ЗЕЕМАНА И НЕКОТОРЫЕ
ДАННЫЕ ОБ АНОМАЛЬНОМ ЭФФЕКТЕ ЗЕЕМАНА
Предыдущее рассмотрение открывает нам очень
простой подход к эффекту Зеемана, конечно, только к
нормальному эффекту Зеемана, который не зависит от спина
электрона. Собственно говоря, уже для атома водорода с
его единственным электроном эффект Зеемана аномален.
Нормальный эффект Зеемана совершенно строго имеет
место только для сингулетных линий (простых линий),
для которых спины участвующих при этом электронов
компенсируют друг друга, давая результирующий спин,
равный нулю. Наиболее простой пример дает парагелий
(два электрона с противоположными спинами).
Напротив, линии водорода, так же как и линии щелочных
металлов, представляют собой дублеты. Правда, уже при
слабых магнитных полях эффект Зеемана в водороде
становится близок к нормальному. В щелочных металлах,
которые обладают таким же аномальным эффектом
Зеемана, как и водород, переход к нормальному эффекту
(так называемый эффект Пашена—Бака) происходит только
при гораздо более сильных полях. Ниже мы укажем меру
для величины напряженности поля, которая в каждом
случае требуется для такого перехода. Теория
нормального эффекта Зеемана была дана Лорентцом на основе
классических представлений. Спин электрона может быть
понят, собственно говоря, только с точки зрения
квантовой теории, то же относится и к аномальному эффекту
Зеемана.
Если бы мы рассматривали эффект Зеемана в поглоще-
HuUy т. е. исследовали взаимодействие между падающим
полем световой волны и магнитным полем, мы бы
полностью исходили из основ теории дисперсии. Фогт с
большим успехом следовал этим путем при изучении 1>-ли-
ний натрия. Он назвал свой способ «методом обращенного
эффекта Зеемана». В экспериментах мы обычно имеем дело
с эффектом Зеемана в испускании (с «прямым эффектом
Зеемана»), которому и мы отдадим предпочтение, так как
его теория математически более проста.
Будем исходить из уравнения движения электрона
B0.2), в котором положим Е=0, так как нас интересует

§ 21. Нормальный эффект Зеемана 145
ТОЛЬКО магнитное воздействие излучения. В этом случае
уравнение принимает следующий вид:
s + ^Js--^[*sB„„.], B1.1)
где (Oq—частота излучения атома при отсутствии
магнитного поля. Член (i)^s обусловлен возвращающей
«квазиупругой силой» [ср. фиг. 21 и уравнение A7.3)].
Выберем направление магнитного поля Ввн., как и
в § 20, в качестве направления оси z; составляющая в этом
направлении векторного произведения [sBbh.] равна нулю;
следовательно:
^; + ш„'*, = 0. B1.2)
Таким образом, колебание электрона по оси z происходит
с первоначальной частотой (о^; магнитное поле на него
не действует.
Для плоскости ху мы будем расчеты производить, как
и прежде, в комплексной форме, и поэтому, как и в B0.4а),
положим
&' = s,±is^. B1.3)
Тогда мы получим, в соответствии с B0.4),
'^+i^ 5вн.с^ + 0J E^ = 0. B1.4)
Это уравнение интегрируется путем подстановки решения
вида
E^==ае^^', B1.5)
в котором множитель а зависит от первоначального
возбуждения колебаний и поэтому остается неопределенным.
Выражение B1.5) отвечает круговому колебанию.
Подстановка B1.5) в B1.4) дает
-о)^±-^5вн.«) + со;-0. B1.6)
Второй член мал по сравнению с первым и последним.
Поэтому положим, считая Асо малым,
(О = 0)^ -{- ^^» 0J = 0)^ + 2%Ао), 5вн. ^ = ^вы. %

146
Гл. Ill. Теория дисперсии
И найдем из B1.6)
— 2a)j^A(D ± -- 5вн. % = о,
откуда
Д«>=±~5в„..
B1.7)
Подтвердим этот результат следующим элементарным
способом. При круговом колебании должно сохраняться
ь^ащ
•U'ffO)
Фиг. 24. Направление силы Лорентца [vB].
а—движение против часовой стрелни; б—движение по
часовой стрелке.
Вектор В направлен к наблюдателю.
равновесие между центробежной силой инерции, с одной
стороны, и суммой центростремительной квазиупругой
силы и магнитного действия —с другой.
На фиг. 24,а представлено колебание <^^ = s^-\-iSy.
При радиусе г=а и скорости г;=аа) (о) равно круговой
частоте и одновременно угловой скорости) центробежная
сила равна
т ^ =тааJг=/паГ 0)^ +у—Бвн. J =таAJ+аа)^е5вн.. B1.8)
Первый член последнего из этих выражений
уравновешивается квазиупругой силой, второй—магнитной силой
— e[vB]; вектор [vB], как показывает фигура, направлен
от центра, поэтому вектор —e[vB], так же как и
квазиупругая сила, направлен к центру.
Фиг. 24,6 показывает то же самое для колебания
<if^ = s^ — iSyy для которого мы, согласно B1.5), изменив

§ 21. Нормальный эффект Зеемана
147
знак перед i, можем также написать
Таким образом, здесь речь идет о вращении в
противоположном направлении при том же радиусе а и при Доз,
заданном согласно B0.7) и взятом с нижним знаком.
Центробежная сила теперь равна
т^==/паа)^=та(^а)^--у~Бвн.)^ = тасо2-.аа)^,е5вн..
B1.8а)
Здесь вектор [vB] направлен к центру, а — e[vB]—от
центра. Магнитное действие уменьшает квазиупругую
центростремительную силу
Av I Av
Av
Av
6
Нормальный эффект
Зеемана.
-продольное наблюдение;
б—поперечное наблюдение.
а
Ф и г. 25.
и восстанавливает равно- '^ ^ an
весне при уменьшенном
теперь действии инерции.
Как должны выглядеть
теоретически ожидаемые
спектрограммы?
1. Продольное наблюде-
ние, т. е. наблюдение в на-
правлейии оси z.
Линейное колебание B1.2)
происходит в направлении оси
Z с частотой (Oq, не
измененной магнитным воздействием, и не дает никакого
излучения в этом направлении, подобно тому как антенна
радиостанции не излучает в своем собственном направлении.
Наоборот, оба круговых колебания с частотами,
измененными под действием магнитного поля, согласно B1.7),
создают две поляризованные по кругу электромагнитные
световые волны у из которых одна поляризована правовинтовым,
а другая—левовинтовым образом по отношению к
наблюдателю, смотрящему в направлении В (на фиг. 24 от
рисунка к читателю). Мы получим, таким образом, картину,
изображенную на фиг. 25, а, на которой показана
спектрограмма, какой ее увидел бы наблюдатель, смотрящий вдоль
магнитного поля В в положительном направлении. На
месте первоначальной спектральной линии света не будет,

148 Гл. III. Теория дисперсии
справа и слева от этого места располагаются смещенные
магнитным полем линии одинаковой интенсивности.
Заметим по этому поводу, что принятая здесь
количественная связь между первичным колебанием электрона
и идущей от него световой волной была дана в т. III, § 19.
Отметим еще, что в надписях на фиг. 25 мы перешли
от круговой частоты о) к общепринятой в спектроскопии
частоте колебаний v-(i)/27:. Переходя одновременно от
Ввн. также к общепринятому Явн. = 5вн./Р'о> получим
из значения B1.7) для Ао)
^^ = &^^в„.. B1.9)
2. Поперечное наблюдение, т. е. наблюдение в
перпендикулярном к магнитному полю направлении, например
в направлении оси г/. Здесь составляющая Sy круговых
колебаний отпадает, как неизлучающая. Составляющая s,
излучает с полной мощностью; для нее, так же как и
для антенны или диполя Герца, излучение в поперечном
направлении максимально. Таким образом, теперь в
спектрограмме будет представлена принадлежащая s^ частота
колебаний v^. Также будут представлены частоты
колебаний \ ± Av обеих круговых составляющих, однако
только с половинной интенсивностью ^), так как действует
только s^. Так как s^ колеблется перпендикулярно к
магнитному полю, то поле Е, излученное s^, в поперечном
направлении, направлено перпендикулярно к Н, в то время
как поле Е, излученное s^, было направлено параллельно
Н. Это отмечено в надписях на фиг. 25,6 при помощи
общепринятых обозначений, тг (параллельно) и о
(перпендикулярно); одновременно при помощи разной толщины
линий указано отношение интенсивностей 2:1.
Полученная таким образом картина носит название
«нормального триплета Лорентца». Действительно, Лорентц, сразу
после открытия Зеемапом в 1896 г. магнитного
расщепления, развил теорию, изложенную здесь схематически.
^) При статистическом характере возбуждения интенсивность
линейного колебания Sz такая же, как и интенсивность каждого из
обоих круговых колебаний ««±1*?^, которая в B1. 5) была
обозначена через а^. Так как в среднем s%=^sy, то 8х=а^/2, как и указано
в тексте.—Прим. авт.

§ 21. Нормальный Э(/)фект Зеемана 149
Конечно, первоначальные наблюдения Зеемана были
далеки от того, чтобы дать столь точные спектрограммы,
какие были здесь изображены. Он использовал не свет
сингулетной линии, а (неразрешенный) дублет /)-линий
натрия и получил, вместо отдельных составляющих,
только общее расширение спектроскопической картины.
Однако этого уже было достаточно для того, чтобы
показать, что здесь имеет место новый фундаментальный эффект,
который, хотя и безуспешно, искал еще Фарадей. Далее,
этого было достаточно для того, чтобы доказать
качественное совпадение с теорией Лорентца. А именно: внешние
края светового пятна при поперечном наблюдении были
линейно поляризованы и для них направление колебания
вектора Е было перпендикулярно к Н; с другой стороны,
при продольном наблюдении они были поляризованы по
кругу с направлением вращения^ указанным на фиг. 25,а.
Последнее имело особенное значение для находящейся
тогда в процессе возникновения электронной теории, так
как отсюда можно было сделать заключение о том, что
колеблющаяся частица имеет отрицательный заряд.
Действительно, при положительном заряде этой частицы знак
перед Av, а потому и направление вращения для
кругового колебания во всех предыдущих формулах и
фигурах были бы обратные.
При таком сравнении эксперимента и теории
существенным является следующее обстоятельство, которое в то
время еще не могли знать. Так :нсе и при аномальном
эффекте Зеемана а-составляюгцие ле;нсат снару^ти, как
на фиг, 25,6, а 'к-составляюгцие ближнее к середине
картины расщепления. В этих случаях так э^се, как и на фиг,2Ъ,а,
коротковолновые составляющие поляризованы по кругу
правовинтовым образом относительно магнитных
силовых линий, длинноволновые—левовинтовым образом.
Мы подтвердим это сразу же на примере схемы
расщепления, уточненной Зееманом и другими, при поперечном
наблюдении обеих2)-линий: линии D^, Х=5896 А (фиг. 26,а),
и (в два раза менее интенсивной) линии Dj, Х = 5890 А
(фиг. 26,6). На обеих картинах расстояния отдельных
составляющих от места v = Vq составляют целое кратное
одной трети нормального значения Av. Середина на обеих
картинах не занята и потому на чертеже показана пунк-

150
Гл. Ill. Теория дисперсии
тиром. На расстоянии Av на фиг. 26,а находится сильная
о-составляющая, на фиг. 26,6 на этом расстоянии ничего
нет. Первые ^-составляющие лежат на расстоянии Av/3
от середины на фиг. 26,а и на расстоянии 2Av/3 от
середины на фиг. 26,6. Вместо нормального триплета Лорентца,
представленного на фиг. 25,6, мы имеем, таким образом,
на фиг. 26,а секстет и на фиг. 26,6—квартет.
Правило Рунге гласит: при аномальном эффекте Зее-
мана расстояния составляющих от первоначального
положения линий, измеренные в частотах колебаний, всегда
о а п п а а (f п па
I
Av Av
Av L\
а б
Фиг. 26. Схемы расщепления D-ли-
ний натрия при поперечном наблю*
дении.
а—линия D2, А»=5896 А; б—линия JDi,
А-5890А.
равны Av Лорентца, умноженному на рациональные
числа] появляющийся при этом знаменатель называют
знаменателем Рунге. Для главной серии натрия и
остальных щелочных металлов он равен 3. По общей формуле
Ланде можно вычислить расщепление, включая и этот
знаменатель, для каждого рода серии. Правило Престона
гласит; спектральные линии серий одного рода имеют
одинаковый характер расщепления.
Однако мы должны эти правила дополнить
ограничением: «при не очень сильных магнитных полях». Что
означает: «не очень сильные»? Найденный Пашеном и Баком
ответ гласит:
Av< Avq. B1.10)
Здесь Av —магнитное расщепление при нормальном
эффекте Зеемана, даваемое формулой B1.9); Avq для
дублетных линий, например ^-линий, обозначает paccToiFinne

§ 21. Нормальный эффект Зеемана 151
между обеими линиями, для «мультиплета» —наименьшее
из расстояний между двумя отдельными линиями. Если,
однако, при возрастании Явн. А^ будет приближаться
к величине Avq, то Av уже не будет увеличиваться
пропорционально ^вн.- При Av > Avq мультиплет под
действием сильного магнитного поля, так сказать, стягивается
в сингулетную линию и эффект Зеемана становится все
более и более нормальным. Это явление вырожденпя носит
название эффекта Пагиена — Бака. В силу этого линии
водорода, обладающие крайне малым дублетным
расщеплением Avq, уже при слабых магнитных полях дают
нормальный эффект Зеемана; поэтому они и линия гелия
(не только сингулетные линии парагелия, но и узкие
триплетные линии ортогелия) долгое время считались
типичными представителями нормального эффекта
Зеемана.
Вычислим критическую величину Явн., при которой
для водорода Av = Avq. Величина Avq дублетного
расщепления для водорода дается формулой Да2/2*, где R —
«частота Ридберга» в см-^, а а'>^т:г=—«постоянная тонкой
структуры». В согласии с спектроскопическими данными
эта формула дает Avo = l,08 • 10^® се«-^. Мы положим,
согласно B1.9),
-?-^ Яви. = 1,08 . 101« сек-\ B1.11)
Значения множителей, стоящих слева, следующие (см.
в конце § 2):
^ = 10^' м'^ - сек • ом, — = 1,76 • 10^^ кулон • кг-^,
B1.11а)
Их произведение имеет размерность
м~^ • сек • ом - кулон • кг"^ = м'^ • сек - в • а~^ - кулон • кг~^ =
— м'^ • сек • кг~^ • эрг - а'^==м - сек'^ • а"^. B1.116)
Поэтому соотношение B1.11) требует, чтобы
1,76 . Ю^Явн. м . сек-^ . а-1 = 1,08 • Ю^^ сек-\

152 Гл. III. Теория дисперсии
Так как [см. т. III, § 8, уравнение Eа)]
а . Л1~^ = 47г . 10 эрстед, B1.Ив)
то искомое значение получится равным
Язн. = 47Г 5,8 . 102=7200 эрстед. B1.12)
Это находится в хорошем согласии с очень точными
опытами Ферстерлинга и Ганзена [29]^) с пластинкой Люм-
мера, которые нашли, что эффект Пашена - Бака
наступает при 4000 эрстед, а слияние тг-составляющих
водородного дублета —при 10000 эрстед. Для 1)-линий,
у которых Avq в 50 раз больше, чем у водородного
дублета, вместо B1.12) получается
Явн. = 50 . 7200-360 000 эрстед, B1.12а)
которое еще и в настоящее время не является легко
осуществимым.
Прежде чем оставить в высшей степени
привлекательную область аномального эффекта Зеемана, которой мы
здесь лишь коснулись, мы приведем, для того чтобы
показать, как далеко в этой области шагнула вперед техника,
фотометрическую кривую снимка, полученного Зеема-
ном. Речь идет о линии хрома Х = 4254А из септетной
системы этого элемента. Картина расщепления здесь
состоит, в согласии с теорией Ланде, из семи тг-составляю-
щих (Av < Avhopm.) и удвоенного числа а-составляющих
(Av> Avhopm.). Знаменатель Рунге здесь равен 4. Все 21
составляющие прекрасно видны на фотометрической
кривой, представляющей собой автоматически увеличенное
в 36 раз изображение оригинальной картины почернения.
Возвращаясь еще раз к нормальному эффекту Зеемана
и его расщеплению Avhopm., произведем численную оценку
выражения B1.9), для чего мы можем использовать
данные, приведенные в B1.11а) —B1.Ив). Мы получим:
AVhopm. = 1,76 . 104Яа.л.-1-1,76 . Ю^^Яэрстед. B1.13)
1) Точное сравнение этих наблюдений с теорией эффекта
Пашена—Бака см. в работе Зоммерфельда и Унзольда [30].—Прим.

§ 21. Нормальный эффект Зеемана
153
Здесь Av имеет размерность секГ^, что соответствует
значению V, как частоты колебаний. Однако если мы хотим
перейти к общепринятой в спектроскопии размерности
слС^ (обратная длина волны, вместо обратного периода
колебаний), то необходимо будет величину B1.13)
разделить на с = 3 • 10^^ см/сек. Тогда получим
Av„
:4,67. 10-5/7.
^норм.--,-/ . XV ... B1.13а)
Поскольку единицы гаусс и эрстед определены как
единицы абсолютной системы CGS, то Яви. в B1.13а)
обозначает как Яэрстед» так и Яабс-
Фиг. 27. Фотометрическая кривая аномального
эффекта Зеемана для линии хрома Х=4254 А.
Все изложение этого параграфа велось на основе
классической механики и электродинамики. То, что сделанные
выводы остаются справедливыми в квантовой теории,
определяется тем обстоятельством, что в квантовых условиях
для спектральных линий в магнитном поле постоянная
Планка А, характеризующая квантовую теорию,
сокращается, так сказать, случайно. Нечто подобное имеет место
и для аномального эффекта Зеемана. Этот эффект также
оказалось возможным теоретически сформулировать в фор-

154 Гл. III. Теория дисперсии
ме, достаточной для объяснения правила Рунге, эффекта
Пашена —Бака и т. п., еще до появления окончательной
квантовой теории. Конечно, для этого пришлось привлечь
спин электрона и построенную при помощи спина и
орбитального момента электрона «векторную модель».
Полная теория спина и аномального эффекта Зеемана могла
быть построена только на основе релятивистской теории
Дирака. На интересное истолкование нашего выражения
B1.7) для Да) как ларморовской частоты мы здесь только
укажем. Согласно этому истолкованию добавочная
частота, определяемая по формуле B1.7), рассматривается как
угловая скорость дополнительного вращения излучающего
атома в магнитном поле при бесконечно медленном
(адиабатическом) включении последнего (ср. задачу 4 к гл. III).
§ 22. ФАЗОВАЯ СКОРОСТЬ, СИГНАЛЬНАЯ СКОРОСТЬ,
ГРУППОВАЯ СКОРОСТЬ
Наше рассмотрение дисперсии относилось
исключительно к вынужденному, чисто периодическому
колебательному состоянию электронов и ионов. Это рассмотрение
со всей очевидностью показывает, что без подобных
вынужденных колебаний дисперсия и преломление не могут
существовать, т. е. л не может быть отличным от 1.
Поэтому и фазовая скорость u = cjn относится к этим чисто
периодическим состояниям света и вещества, к состояниям,
которые продолжаются вечно и возникли бесконечно давно.
1. Представление ограниченного ряда волн по Фурье.
При такой постановке вопроса мы можем сразу встретиться
с возражением против теории относительности,
относительно которого около 1910 г. происходили
многочисленные дискуссии [31]^). При аномальной дисперсии может
получиться, что Ai< 1, а следовательно, и> с. В случае
фиг. 22 необходимо только предположить, что среда не
обладает собственными инфракрасными колебаниями. Тогда
значение /г, обозначенное там через п^, будет равно
единице, а приведенная там кривая для у, которая (кроме
непосредственной окрестности места поглощения) совпа-
^) Дальнейшее см. у Зоммерфельда [32] и Бриллюэна [33].—
Прим. авт.

§ 22. Фазовая^ сигнальная и групповая скорости 155
дает с кривой для п, проходит с правой стороны от D
ниже прямых п = т^ = \. Таким образом, и представляло
бы собой сверхсветовую скорость, которой, однако, в
теории относительности не должно быть.
Отметим, что этот запрет касается лишь процессов,
которые служат сигналами и могут вызвать физические
явления. Монохроматическая световая волна без начала
и конца не может служить таким сигналом. Сигналы
Морзе в радиотелеграфии представляют собой конечные
цуги волн. До сих пор при наших рассуждениях мы
вовсе не утверждали, что фронт такого сигнала
распространяется с фазовой скоростью и. Напротив, для того
чтобы эти рассуждения можно было использовать,
необходимо разложить оборванный с обоих концов сигнал на
сумму отдельных, чисто периодических «частичных» волн,
не имеюш;их ни начала, ни конца. Это можно сделать при
иомош;и интеграла Фурье.
В т. VI (задача 4 к гл. I) вычислен полученный таким
образом спектр частичных волн. Он может быть описан
как «желобчатый спектр», который при а) = 27г/х имеет
резко выраженный максимум с тем меньшей полушириной,
чем длиннее цуг волн сигнала. При этом предполагается,
что сигнал состоит из конечной последовательности
одинаковых синусоидальных колебаний с периодом т. Там
также отмечается, что такой ограниченный с двух сторон
цуг волн может быть представлен как разность двух цугов
волн, ограниченных только с передней стороны.
При односторонне ограниченном сигнале, заданном
посредством
{О, при ^ < О,
^(^^ = lsin27r^/x при i>0, ^^^-^^
обычная форма интеграла Фурье неприменима, так как
она, очевидно, будет расходиться, поскольку f{t) не обра-
ш;ается в нуль при ^ —> оо. Однако в т. VI (в упомянутом
выше месте) в качестве замены этой формы дан сходяш;ийся
интеграл, правда вычисляемый по комплексному пути.
Мы повторим ^) этот вывод здесь; пусть в качестве пер-
^) В несколько измененной форме, написав exp(~(a)«) вместо
exp(-b<a)t). В соответствии о этим на рассматриваемом здесь чер-

156
Гл. III. Теория дисперсии
воначального пути интегрирования служит верхняя
кривая на фиг. 28, а:
f{t)=~\e
—Wi .
rfo)
@2_BЛ:/ТJ* B2.2)
Сразу видно, что при отрицательном t величина —mt
имеет, в положительной мнимой полуплоскости (о,
отрицательную вещественную часть, которая с увеличением
<^о) р^"--'--Щ (^
-^ \J
Фиг. 28. а—к рассмотрению
ограниченного с одной стороны цуга волн;
б—распространение цуга волн в диспергирующей
среде.
расстояния от вещественной оси стремится к — оо. Таким
образом, здесь ехр( —гсо^) будет исчезающе малым. Так
как ничто не мешает перенести на положительной
мнимой полуплоскости A) путь интегрирования в
бесконечность (на фиг. 28, а обозначено посредством стрелок,
обращенных вверх), то j {t) становится равным нулю, как этого
и требует первая строка B2.1). Если, однако, ^^0, то
теже положительная и отрицательная мнимые полуплоскости
обменялись местами по сравнению с приведенной в т. VI фиг. 34, б.—
Прим. авт.

§ 22. Фазовая, сигнальная и групповая скорости 157
ехр( —jW) обращается в нуль в бесконечности на
отрицательной мнимой полуплоскости О). Перенести здесь
весь путь интегрирования (как это обозначено посредством
стрелок, обращенных вниз) нельзя, вследствие
существования полюсов (d = ±27i:/t. Обход их дает —-2ir/ (обход
комплексной плоскости в отрицательном направлении).
Так как относящиеся сюда прямой и обратный пути
компенсируют друг друга, то из B2.2) следует
/@ = ^ ^ =sin2uf/x, B2.2а)
как этого и требует вторая строка B2.1).
2. Распространение головы волны в диспергирующей
среде. Рассмотрим отдельное частичное колебание из B2.2)
с временной зависимостью ехр (— mi) и дополним его до
плоской волны ех^1(кх — Ы), распространяющейся в
сторону положительных х. Пусть голова полученного таким
образом цуга волны падает в момент ^ = О на граничную
поверхность х = 0 диспергирующей среды, простирающейся
от х = 0 до л; =00. Этот цуг волн, так сказать, ничего
не знает о своем происхождении из ограниченного с одной
стороны цуга волн и ведет себя в точности, как,
например, рассмотренная в § 17 плоская волна в
диспергирующей среде. Поэтому мы можем для к подставить
вычисленное там значение
А = ^, n^=.i^4^^, а^ = -^. B2.3)
Примененное здесь сокращенное обозначение а^
соответствует обозначениям, принятым на фиг. 22.
Преобразовав таким же образом все частичные волны,
входящие в B2.2), и составив из них комплексный инте^
грал, мы получим некоторый возможный в
диспергирующей среде процесс, который при ж = 0 переходит в B2.2)
и поэтому представляет собой полное репкение нашей
задачи, а именно:
/(.,0=-fS«*<^—'^^:.4ад1. B2.4)
Таким образом, необходимо только исследовать это
выражение при х>0. Для этого необходимо знать его

158 Гл. Ill. Теория дисперсии
особенности в плоскости (о. Таковыми будут, кроме
полюсов 0)= ± 27i:/t, еще особые точки для А. Согласно B2,3),
имеем
j,^j^Y<(^ + a^)-'^'^^Y'^^^V''-^> B2.5)
с f tog — О)-^ с f ii> — а)оГ<«>Н-<«)о
a)i=^o)o")/l + a2.
Таким образом, к имеет две пары точек разветвления. При
малом а (o)i '^ coq, л '^ 1) лучпю всего свести со^ и ш^ в одну
пару, а — («о и — (Oi в другую. Каждой паре соответствует
пересечение разветвлений, которое мы не должны
переступать при интегрировании. Так как в B2.3) мы
пренебрегли затуханием и в соответствии с этим в B2.5)
(Oq и o)i вещественны, то мы представим себе, что на
фиг. 28, б пересечения разветвлений расположены вдоль
вещественной оси. Во всяком случае положительная
мнимая полуплоскость свободна от всяких особенностей. На
бесконечности в этой полуплоскости величина к,
согласно B2.3), асимптотически приближается к со/с; поэтому
там можно произвести замену
ехр {i(Aa; —0)^)}—>ехр {^"^Г~"~0 f • B1.6)
Отсюда следует, что при t < xfc аргумент
экспоненциальной функции в положительной мнимой полуплоскости со
имеет отрицательную вещественную часть. Мы можем,
таким образом, перенести интегрирование B2.4) в
положительную мнимую полуплоскость и тогда получим
f{x,t) = 0 для ^<~. B2.7)
Голова волны проникает в среду на глубину х лишь ко
времени t :^х1с. Достоверно то, что она распространяется
не со сверхсветовой скоростью. Если вообще ко времени
1 = х/с заметно какое-либо воздействие света, то оно
распространилось со скоростью света в вакууме с.
Это поддается непосредственному объяснению.
Дисперсионные электроны вначале находятся в покое (мы можем,
конечно, при этом не учитывать теплового движения,
которое ни в какой степени не связано с ритмом световой
волны). Однако, согласно нашей теории, преломление

§ 22. Фазовая, сигнальная и групповая скорости 159
и дисперсия всегда основываются на ритмическом
совместном колебании электронов или ионов. Таким образом,
среда вначале оптически пуста, как вакуум. Скорость
распространения равна с и показатель преломления, если
о нем еще можно говорить, равен единице.
Мы принимали до сих пор, что наш цуг волн падает
перпендикуярно на граничную поверхность ж = 0. Если
он падает наклонно, то вначале он не будет ни прелом-
леНу ни отра:нсен. Закон преломления лишь тогда
становится действителен, когда в колебание вовлекаются
электроны. Поэтому соответствующее правильному
преломлению световое пятно на поставленной за
диспергирующей средой фотографической пластинке должно быть
связано в высшей степени слабым световым мостиком
с местом пересечения прямолинейного продолжения
падающего луча с плоскостью фотопластинки.
Мы принимали до сих пор, что наша среда изотропна.
Если речь идет о кристалле, например об известковом
шпате, то он в начале встречи с цугом волн не дол:исен
был бы давать двойного лучепреломления. Также и он
должен был бы пронизоваться началом цуга волн
прямолинейно и без разложения.
Однако само собой разумеется, что названные здесь
парадоксы связаны с практически недостижимой степенью
монохроматизации, прямолинейности распространения и
регулярности цуга волн.
3, Предвестники. Этим, заимствованным из
сейсмологии названием мы обозначим процесы, ощутимые на
глубине непосредственно после прихода головы волны.
Введем (положительную, согласно предыдущему) разность
времен
I -I ^ ,
которую мы будем считать очень малой. Преобразуем
первоначальный путь, изображенный на фиг. 28, б, в
полуокружность с очень большим радиусом R в положительной
мнимой полуплоскости О) (рис. 29) вместе с указанными
здесь участками вещественной оси. На последних подин-
тегральнов' выражение, порядок которого l/w^, вслед-

160 Гл. Ill. Теория дисперсии
ствие ТОГО, ЧТО знаменатель равен ш^ —B7г/тJ, обращается
в нуль. Далее добавим обозначенный на фиг. 29
пунктиром путь в отрицательной мнимой полуплоскости о),
который в этой полуплоскости может быть перенесен на
бесконечность; при этом подинтегральное выражение будет
Фиг. 29. Преобразование пути
интегрирования фиг. 28, б в полуокружность очень
большого радиуса в положительной
мнимой полуплоскости (к расчету
предвестников).
обращаться в нуль (в силу того, что t' > 0) по
экспоненциальному закону. Мы можем, таким образом, наш
первоначальный путь интегрирования заменить полным
кругом, и тогда, если только выразим t через t\ мы получим
вместо B1.4)
/(х,0=-|§ехр.{(Л-^)х-«.г}^-,-^,. B2.8)
Согласно B2.3), теперь при большом |о)| будет
^-^ = (n-l)-f = (Vl^-l)^=-«5. B2.8а)
Обозначая для сокращения
^=-^х B2.9)
и логично пренебрегая 2тг/т по сравнению с о),
получим из B2.8)
/(X, 0-/,(S. <')-=l|expi { -1_»('} 5 =

§ 22. Фазовая, сигнальная и зрупповая скорости 161
Этот интеграл может быть приведен к известному виду
подстановкой
^yiL = e'w^ '^=^idw, J = i]/Ze-i-d(v. B2.11)
Тогда B2.10) дает
Д(|, r) = ^y^^^expl-2t]/^cosw^}e-i^c/cv. B2.12)
Если мы примем, что наш радиус Я—j/^/^' (вследствие
того,что^' < 1,он, действительно, очень велик), то,
согласно B2.11), W будет равно центральному углу этого круга
и, следовательно, при интегрировании будет пробегать
значения от О до 2тс. Сравним теперь B2.12) с известным
интегральным представлением функции Бесселя
2%
Л(р) = ^ \ ехр(грсо81(у)еИ^-^/2)йш. B2.12а)
о
Так как функция 1^ при вещественном р вещественна, то
мы можем изменить знак перед i. Мы видим, что B2.12)
можно записать просто в виде
fЛ^,n=¦.'^^Y^Jh{'^VW). B2.13)
Из хода /i (р) при малых р (функция Д здесь равна р/2)
вытекает следующий характер поведения naniero сигнала
сразу после его проникновения па глубину х. Начальная
амплитуда очень мала по сравнению с 1, т. е. по
сравнению с амплитудой падающего колебания; начальный
период колебания крайне мал по сравнению с периодом
колебания т падающей волны. Амплитуда и период
колебания возрастают при увеличении t\ первая—из-за
множителя |/^', второй—вследствие положения корней
выражения 1^ (р) = 0, которые следуют друг за другом
примерно па расстоянии тг, откуда для т-й полудуги
предвестника получается промежуток времени
Это значение, согласно B2.9), не зависит от периода
колебаний т падающей волны, а зависит только, кроме глу-

162
Гл. ttt. Теория дисперсии
бины Ж, ОТ дисперсионной способности среды. Первые
предвестники при не слишком малых х относятся примерно
к рентгеновскому спектру. Фиг. 30 наглядно представляет
в увеличенном масштабе качественное развитие процесса.
\m.t')
Фиг. 30. Схематичный набросок
светового возбуждения непосредственно после
прихода предвестника.
4. Окончательно установившееся колебательное
состояние сигнала. Пусть, в отличие от предыдуш;его
рассмотрения, t' теперь так велико, что электроны достигли
своего окончательного колебательного состояния с ритмом т.
Очевидно, что процесс раскачивания представляется на
нижней части фиг. 28, б посредством обхода обеих пар
точек разветвления, которые зависят от типа связи
электронов и от их собственных колебаний. Однако для того
чтобы собственные колебания могли затухнуть, мы должны
ввести затухание, которым до сих пор пренебрегали.
Вследствие этого точки разветвления, нанесенные на
вещественной оси фиг. 28, б, будут несколько смеп^ены вниз
в отрицательную мнимую полуплоскость о). Для очень
большого V величина стоящего в B2.8) множителя
exp(t(oi') будет очень мала, так что доля обоих
названных обходов в интеграле будет обраш;аться в нуль. Тогда
остается совершить только два обхода вокруг лежащих
на вещественной оси фиг. 28, б полюсов ± 27г/х, что
непосредственно можно сделать методом вычетов.
В обоих полюсах, согласно B2.8),
где пни обозначают показатель преломления и фазовую
скорость, соответствующие периоду колебания т. Тогда

^ 22. Фазовая, сигнальная и групповая скорости
163
из D) получается
"'^.«р{?Й-)Ь«-{^'(т-0}
f{x,t) =
4jt
Однако это в точности тот же волновой процесс, который
происходит в падающей волне B2.2а), если последнюю
аЛААЛМАЛЛА;'
Ф'и Г. 31. Схема волнового процесса на глубине х
диспергирующей среды. Переход от предвестников к
нормальному колебательному состоянию.
перемеп1;ать с фазовой скоростью и в сторону
возрастающих X.
На фиг. 31 мы нанесли t в горизонтальном
направлении вправо, а деленную на с глубину слоя нашей среды х
вниз. Тогда прямая t = х/с будет наклонена под углом 45°
по отношению к горизонтали. Она отмечает глубину
проникновения предвестника. Прямая t = xlu идет более
полого, вследствие того, что м < с. Она показывает, как
переносятся амплитуда и фаза на глубину х:
нарисованный при х = 0 цуг волн, вступающий в среду в момент
времени ^ = О, тождественно воспроизводится на глубине х,
причем только фаза смещается на величину xju.
Противоположное положение вещей было бы катастрофой для
теории интерференционных явлений, в которой мы всегда

1б4 Гл. III. Теория дисперсии
считаем, что фаза точно передается сквозь
диспергирующую среду.
Правда, для того чтобы формула B2.14) выполнялась,
необходимо достаточно большое время V = t — xjc. Нигде
не говорится, что это условие выполняется уже при
t = x/u. Поэтому мы начертили начинаюш.ийся при t^xju
цуг волн сначала пунктиром и лишь начиная с более
позднего времени ^ = а;/g'—сплошной кривой. Положения
точек t=:x/g (так же как и положения точек t — xju)
нанесены на фигуре штрихованной прямой. Если g < и^
то она идет более полого, чем прямая t = xlu.
5. Групповая скорость и перенос энергии. Понятие
групповой скорости известно из гидродинамики. Оно
касается распространения энергии (или амплитуды),
а не фазы. Мы обозначим групповую скорость через g
и сопоставим ее формальное определение с определением
фазовой скорости:
S=-lk' « = Т- B2.15)
Из соотношений (o = mA:, dm = udk-{-kdu вытекает прежде
всего, что
, 7 du
Если мы еще примем во внимание, что А: = 27г/Х, dk/k =
= — dX/X, то сможем также написать
g==«-xg^. B2.16)
При нормальной дисперсии зт < О, следовательно, зт->0,
так как и=^с/п. Поэтому, согласно B2.16),
g<u. B2.16а)
Этому соответствует более пологий ход прямой t = x/g
на фиг. 31. При аномальной дисперсии она шла бы круче,
чем прямая t = х/и.
Мы ожидаем, что, так же как и в гидродинамике,
падающая волна достигнет своей полной амплитуды,
равной единице, при t = x/g, а не при t = x/u. Это
подтверждает работа Бриллюэна [33]. В ней подробно рассма-

§ 22. Фазовая, сигнальная и групповая скорости 165
триваются по методу седловидной точки (т. VI, § 19 и 21)
начерченные на фиг. 28, б обходы вокруг точек
разветвления, которыми мы до сих пор пренебрегали и которые
теперь играют существенную роль. Их вычисление,
однако, не совсем просто и здесь опущено. Оно показывает,
что за предвестниками следует некоторое переходное
состояние, которое соответствует постепенному
раскачиванию электронов до состояния, отвечающего падающей
частоте и амплитуде, и что конечное стационарное
состояние с амплитудой 1 достигается не ко времени t = xlu,
а (при нормальной дисперсии) лишь ко времени t = x/g.
В этом конечном состоянии свободные колебания
электронов уже затухли и остается только вынужденное
колебание с периодом т. Таким образом, нанесенный на фиг. 31
пунктиром цуг волн необходимо заменить упомянутым
выше переходным состоянием^), в то время как
следующий за ним цуг волн, нанесенный сплошной чертой,
правильно представляет по амплитуде и фазе конечное
состояние. Формула t'—x/g дает вместе с тем время,
необходимое для переноса энергии на расстояние х в
диспергирующей среде.
Последнее может быть определено также
непосредственно по методу стационарной фазы^), А именно,
стоящая под знаком интеграла в B2.4) фаза
экспоненциальной функции
ср (о)) =/са; — 0)^
будет при продвижении вдоль действительной оси со
«стационарна», если
5 = S = -^ = 0- B2.17)
В то время как при интегрировании по со соседние
колебания, вследствие изменения знака экспоненциальной
функции, в общем случае взаимно сокращаются, этого
не будет для «стационарного» со, определяемого из B2.17).
^) Согласно фиг. 20, в работе Бриллюэна [33] переход от t=xlu
к t=x/g происходит далеко не так просто, как это схематически
показано на фиг. 31.—Прим. авт,
2) Ср. т. II, § 27, где этот метод используется в качестве замены
математически точного метода седловидной точки.—Прим. авт.

166 Гл. III. Теория дисперсии
В окрестности этого со доли, из которых складывается
интеграл, имеют одинаковые знаки. Поэтому перенос
энергии в основном определяется стационарным о). Тогда
из B2.17) с учетом B2.15) имеем
Сделаем здесь еще одно замечание, которое
принадлежит Релею и касается измерения скорости света с. Как
при зубчатом колесе Физо, так и при зеркале Фуко
используются оборванные цуги волн рассмотренного здесь
вида. Поэтому промежуток времени, необходимый для
того, чтобы эти цуги волн пробежали предписанный им
путь в воздухе туда и обратно, определяется групповой,
а не фазовой скоростью. Таким образом, при этих опытах
определяют, собственно говоря, g, а не w или с. Только
благодаря малой дисперсии и преломляющей способности
воздуха g^'^M, и из м, введя небольшую поправку,
можно получить с.
§ 23. ТЕОРИЯ ДИСПЕРСИИ В ВОЛНОВОЙ МЕХАНИКЕ
В то время как до сих пор мы отказывались от всякой
модели атома, теперь мы покажем, как, следуя Шредин-
геру [341, можно прийти к более углубленному пониманию
теории дисперсии, если заменить грубое предположение
о «квазиупругих связях», которым мы до сих пор
пользовались, строго определенными волномеханическими
энергиями связи. Конечно, мы даже приблизительно не
сможем здесь развить весь формализм квантовой механики,
а должны будем ограничиться лишь изложением
преимущества волномеханического рассмотрения по сравнению
с предыдущим. Это будет сделано в п. 1; в п. 2 будет
коротко показано, как можно прийти к применяемой в п. 1
дисперсионной формуле.
Мы остановимся на особенно простом случае спектра
Na (для других щелочных металлов качественно
справедливо то же самое). Итак, мы рассмотрим пар,
состоящий из атомов Na, к которому может быть примешан
(в дальнейшем нами не учитываемый) благородный газ.
Если мы будем его освещать сплошным спектром
горячего пламени, прошедшим через призму, то в проходящем

§ 23. Теория дисперсии в волновой механике 167
свете появится в виде спектра поглощения главная серия
атома Na. Первой линией этого спектра будет желтая
В-линяя^). Спектр имеет в близкой ультрафиолетовой
области границу серии, у которой концентрируются линии
более высоких частот. Путем предельного
усовершенствования разрешающего аппарата спектроскопистам
удалось доказать существование свыше 50 линий главной
серии и измерить их.
Обозначим круговые частоты линий этой серии через
аIA)-ЛИНИЯ), 0J, (Од, . . ., Шоо.
Волновая механика сопоставляет им уровни энергии атома
Wq—энергия атома в основном состоянии, Wi W2,, ...—
энергии возбужденных состояний, при которых
валентный электрон атома Na с его первоначальной орбиты
поднимается на более высокие, более удаленные от атома
орбиты^); Woo = Wj представляет собой энергию
ионизации, при которой электрон вырывается из атома, так
что остается ион Na*. К границе серии примыкает
непрерывный спектр значений со или уровней энергии W,
которым, однако, нам нет нужды здесь заниматься.
Зависимость между A)^ и Wj имеет вид
0). = ^—, B3.1)
где % обозначает деленный на 27г квант действия Планка.
1. Сравнение старой формулы дисперсии с волномеха-
нической. Наша формула дисперсии A7.10) при учете не
только одной собственной частоты щ, а ряда собственных
частот (Oj, ..., (Ojj ... имеет вид
л'-1=—S-At; B3.2)
7
Здесь Nj—число электронов в единице объема, способных
колебаться с собственной частотой соу. Величины Nj
^) Дублетную природу D-линии мы можем здесь не принимать
во внимание.—Прим. авт.
2) Сокращенное обозначение «собственной функции».—Прим,
автп.

168 Гл. III. Теория дисперсии
порознь неизвестны, но связаны между собой условием
YiN^ = N, B3.2а)
где JV—число атомов Na, а поэтому также (при
одновалентном Na) и общее число валентных электронов в
единице объема. Волновая механика вместо этого дает
„2_i = jL3-i5^: B3.3)
j ^
fj есть число, называющееся «вероятностью перехода»
или «силой осциллятора», которое может быть однозначно
вычислено методами волновой механики на основании
модели атома. Оно подчиняется «правилу суммы»,
соответствующему требованию B3.2а):
2/^=1. B3.3а)
Однако разница между B3.2) и B3.3) заключается не
столько в большей определенности, которой отличается
B3.3) по сравнению с B3.2), благодаря возможности
вычисления /у, сколько главным образом в значении Wy.
В формуле B3.2), взятом из § 17, Шу представляют собой
частоты колебаний различных, в разной степени
связанных электронов; в B3.3) они обозначают ^астотьг перехода
одного и того же валентного электрона из возбужденного
состояния Wj в основное состояние Wq, В B3.2)
колебания о)у происходят одновременно и независимо друг от
друга; в B3.3) переходы всегда следуют один за другим
в зависимости от предшествующего возбуждения, так
что один переход исключает другой. Таким образом, при
всем формальном сходстве смысл условий B3.2) и B3.3)
весьма различен. Это новое понимание о)^ как разности
энергий равносильно комбинационному принципу Ритца,
который со времени теории Бора образует фундамент
нашей современной теории спектральных линий.
Представления, лежащие в основе условия B3.3), мы
иллюстрируем схемой (фиг. 32, а); над основным уровнем Wq по
вертикали нанесены уровни энергии Wj вместе с их
границей—энергией ионизации Wj; наряду с этим указаны
частоты переходов (Оу вместе с граничной частотой сода.

§ 23. Теория дисперсии в волновой механике
169
Волномеханическая схема может быть еще значительно
расширена. Вместо того чтобы исходить из основного
состояния Wq, мы можем применить формулу дисперсии
для любого возбужденного состояния с энергией W^^,
В этом случае стрелки, исходящие из уровней, лежащих
%
Ч
W
kW
Wf Ш2 о/, w^
а
Шсс
-^ш
щ
W,
W,
V/.
шП
'@„
¦*-ш
Фиг. 32. а—соответствие частот излучения wj, шо,...
уровням энергии Wi, W2,... и основному уровню Wq;
б—к вопросу о дисперсии света на возбужденном атоме
(кроме положительных появляются также отрицательные
дисперсионные члены, соответствующие переходам с более
глубоких уровней).
выше Wf^y следует проводить только до Wf^, Однако
необходимо также учесть стрелки, указывающие вверх,
которые начинаются на уровнях, лежащих ниже Ж^, и
которые приводят к отрицательным дисперсионным членам
(см. фиг. 32, б, где А = 2). Отдельные частоты переходов
необходимо теперь отмечать двумя индексами как iOjf^;
также было бы логично обозначить оо^ на фиг. 32 через Шу^.
2. Указания^) к выводу условия B3.3). Уравнение
Шредингера имеет вид
D)
2т
где V—обозначает потенциал силового поля, учитывающий
не только притяжение ядра, но также и среднее противо-
1) Подробнее об этом сказано в любом учебнике по волновой
механике.—Прим. авт.

170 Гл. III. Теория дисперсии
действие остальных электронов атома. Уравнение B3.4)
имеет непрерывные решения, которые могут быть
нормированы на 1 («собственные функции» атома) только при
дискретных значениях W — Wq,W^, ..., W^, Решение,
дополненное множителем, зависящим от времени, имеет вид
и^ = ф,ехр(-г1^^«/Й). B3.5)
Пусть атом возмущается падающей световой волной
с круговой частотой о), которая распространяется в
направлении X и поляризована в направлении у. Ее
пространственно-временная зависимость представляется
выражением
е ^ с^ + е ^ ^,
Для возмущенного состояния и валентного электрона будет
справедливо уравнение Шредингера, зависящее от
времени,
^" + ^^-р-^" = ''\" +^ ]д-у- B3.6)
Здесь а—постоянный множитель, пропорциональный
амплитуде падающей волны. Можно убедиться, что уравнение
B3.6) в случае отсутствия возмущения (а = 0, u = Uf^)
сводится к уравнению B3.4). Множитель ди/ду справа
соответствует члену (А grad и) в общем уравнении
Шредингера, зависящем от времени, и тому обстоятельству,
что «вектор-потенциал» А совпадает по направлению
со световым вектором Е и, следовательно, по
предположению, направлен по у.
Состояние B3.5) переходит при наличии возмущения в
u = Uf^ + a {w^ exp ( — iW^tjb — mt) +
-f ш_ exp (- iW^t/fi + mt)]\ B3.7)
где члены возмущения w^ должны удовлетворять
вытекающему из B3.6) дифференциальному уравнению, не
зависящему от времени,
А^± 'V^{W^-tiii^-V)w^=^ е± W^ B3.7а)
Это уравнение может быть проинтегрировано по
общему методу теории возмущений. Необходимо только

§ 23. Теория дисперсии в волновой механике 171
правую часть уравнения B3.7а), которую следует
рассматривать как известную функцию координат х, у, ъ,
разложить в ряд по полной системе собственных функций
фу, т. е. написать в форме ^)
2ЛФ;. B3.8)
у
Соответственно в левую часть B3.7а) мы подставим
ш^ = 25;^фу B3.8а)
и тогда получим
25* {Д^, + ^(И^^±Й")-П<1';} =2^Л- B3.9)
; У
Если подставить значение Аф^ из B3.4), то в левой части
сократится зависящая от координат величина V и
выражение B3.9) упростится:
% 2 ^f С^». - ^У ± Л"*) Ь = S ЛФу; B3.9а)
У У
отсюда, приравняв коэффициенты, найдем
Принимая во внимание соотношение B3.1) и замечание
к фиг. 32, а, можно также написать:
5f = -^ -^ . B3.10)
¦' Zm (ОД ^ О) ^ ^
Частоты переходов ооу^^ [определенные в B3.1)
специально для основного состояния] получаются здесь
автоматически из расчета возмущения и занимают место колеба-
^) Собственно говоря, необходимо было бы коэффициенты Aj
ряда B3. 8) обозначить через Лу в соответствии со знаком ± в
правой части уравнения B3.7а). Однако так как длина волны Х=
=2tzc/o> падающего света очень велика по сравнению с размерами
атома, то ехр (±i ш х/с) будет очень мал для всех рассматриваемых
значений х; таким образом, знак ± при Aj может быть поэтому
опущен.—Прим, авт.

172 Гл. III. Теория дисперсии
тельных частот т. в формуле дисперсии B3.2). Этим
доказательством цель нашего волномеханического
рассмотрения, собственно говоря, достигнута. Дальнейшие
указания должны только еще показать, как отсюда
получается формула B3.3), аналогичная классической
формуле дисперсии B3.2).
Согласно B3.6), одновременно с ш±определяется также
в виде развернутого по фу ряда и функция к,
описывающая возмущенное состояние. Мы не будем вдаваться
в расчет входящих туда коэффициентов Лу, который
производится методом Фурье и предполагает, что система
собственных функций фу известна. При помощи и
составляют распределение плотности р^ии* и ее электрический
момент Ру в направлении поляризации г/падающей волны.
Из усредненного по всем возможным ориентациям атома
значения Ру обозначенного через Ру найдем, наконец,
значение n^ — i; при этом получается в точности формула
B3.3) с определенным выражением для /, которое
представляет собой пространственный интеграл от
собственных функций.

Глава IV
КРИСТАЛЛООПТИКА
До сих пор мы считали оптические среды изотропными.
Однако все богатство тончайших явлений оптики
раскрывается лишь в анизотропных средах. Интерференционные
фигуры в кристаллических пластинках в поляризованном
свете принадлежат к самым красивым и красочным
картинам, какие нам в состоянии показать природа. Они
указывают еш:е более определенно, чем внешняя форма
кристаллов, на закономерную структуру последних.
Кроме того, известковый шпат, слюда, кварц являются
главными составными частями важнейших оптических
приборов.
Мы будем, однако, рассматривать анизотропные среды,
так же как и изотропные, не с точки зрения их атомной
структуры, а в общем только феноменологически.
Простейшие предположения о зависимости от направления
и о симметрии процессов уже достаточны для весьма
полного описания явлений. Необходимое для этого условие—
«длина волны света велика по сравнению с расстояниями
между атомами»—в видимом спектре выполняется.
§ 24. ЭЛЛИПСОИД ФРЕНЕЛЯ, ЭЛЛИПСОИД ИНДЕКСОВ,
ГЛАВНЫЕ ДИЭЛЕКТРИЧЕСКИЕ ОСИ
В электрически анизотропной среде соотношение между
индукцией D и напряженностью поля Е определяется не
простой пропорциональностью D — sE, как в изотропном
случае, а «линейной векторной функцией»
Z)i = Sji^'i + В12Е2 + Slav's»
D2 = ^21^1 ^ ?22^2 + ?23^3, B4.1)
jDg = ?31^1 + ^32^2 + ?33^3'

174 Рл. tV. Кристаллооптика
здесь индексы 1, 2, 3 соответствуют трем взаимно
перпендикулярным координатным осям, каким-то образом
расположенным в кристалле. Таким образом, диэлектрическая
постоянная теперь не скаляр, а симметричный тензор
второго ранга. Условие симметрии
4k = 4i B4.1а)
следует из того, что работа (ErfD), затраченная на
создание поля в. единице объема, должна быть полным
дифференциалом. Только в этом случае получится
независимая от предистории функция состояния
«электрическая энергия единицы объема»
РУ, = 4 (ED) = 4 2 S ^-ft ^i^fe- B4-2).
i k
В силу B4.1) векторы Е и D уже не направлены
одинаково, а имеют, в общем случае, различные направления.
С линейными векторными- функциями мы уже
неоднократно встречались panbnie, например в т. I, в случае
соотношения, связывающего угловую скорость вращения
твердого тела с его моментом количества движения. Они
привели там к построению Пуансо: для того чтобы при
заданной угловой скорости (О найти соответствующий ей момент
количества движения N, небходимо провести через
конечную точку (I) плоскость, касательную к проходящему
через эту точку эллипсоиду инерции (/ = const), и
опустить перпендикуляр из центра эллипсоида на эту
плоскость; последний определяет по величине и направлению
искомый момент количества движения. Это выражается
следующими формулами^):
i k
^) ^'ift связаны с обычными моментами инерции 9ik из т. I
следующим образом: eii=0ii, Gift = — Gift. Такой измененный
способ записи удобен для сравнения с Si^ в формулах B4.1) и
B4.2).—Прим. авт.

§ 24. дллипсоид Френеля, эллипсоид индексов 175
где a^i, ^2, Xq обозначают измеренные в нашей системе
осей 1, 2, 3 прямоугольные координаты конечной точки
вектора со. Мы можем также сказать: «N есть нормаль
к сопоставленной направлению вектора (о полярной
плоскости эллипсоида инерции».
Там же было уже отмечено, что то же построение
пригодно для каждой линейной векторной функции,
происходящей от симметричного тензора. Действительно, можно
получить формулу B4.1), содержащую D вместо iV, если
заменить тензор (в/^) на (s.^^) и вектор ш на Е.
Характеристическая «тензорная поверхность»
2 2 ^{к^Л = const, const = 2И^е> B4.4)
которую необходимо при этом использовать, носит
название «эллипсоида Френеля», То, что здесь речь идет
действительно об эллипсоиде, а не об общей поверхности второго
порядка, следует, так же как и для эллипсоида инерции,
из энергетического смысла левой стороны B4.4); она
должна быть определенно положительной квадратичной
формой.
Полярные плоскости, соответствующие трем главным
осям эллипсоида, расположены перпендикулярно к главным
осям. Поэтому для этих осей и только для них D совпадает
по направлению с Е. Мы назовем эти оси «главными
диэлектрическими осями» (в отличие от «оптических осей»,
которые будут введены позже). Если их выбрать в
качестве координатных осей, то вместо B4.1) получится
Z)i=--SiEi, D^^z^E^, А =-?3^3. B4.5)
Величины S. называются «главными диэлектрическими
постоянными»] смешанные е^.^^ исчезают, так же как и
произведения инерции 9.^^ в системе главных осей
инерции в механике, и эллипсоид Френеля принимает форму
Ч^\ + чА + ^3^3 == const, const = 2VFg. B4.6)
Используя здесь соотношение Максвелла для
немагнитных сред л = |/е/8о, мы можем также написать вместо
B4.6)
п\х\ + п\х1 + п1х\ = const, const = —-. B4.6а)

176 Рл. IV. Кристаллооптики
Введенные здесь п^ называются «главными показателями
преломления». Формула B4.6а) показывает, что главные
оси эллипсоида Френеля представляют собой обратные
величины по отношению к трем главным показателям
преломления. Мы сразу же определим здесь и три «главные
скорости света»:
«1=^ = (^ЛГ'% B4.66)
которые нам понадобятся в дальнейшем ^).
Примем теперь противоположную точку зрения: будем
считать, что D задано, и выразим Е как линейную
функцию от D. Это можно сделать посредством решения
системы уравнений B4.1), которое можно записать в виде
El = fiiiDi + iTjisA + -nuDsy
E2 = ^21A + '^22^>2 + 1^23^3, B4.7)
E3 = T]3li)i + ТГ]з2^2 + Т^ЗЗ^З-
1] представляют собой миноры прежних е, деленные на
определитель последних:
^ж„ = -^у^; B4.7а)
симметрия этого тензора т] следует из симметрии тензора s.
Принимая во внимание B4.7), можно переписать B4.2)
следуюпцим образом:
W, = l (DE) = 4-22 ^mn^А- B4.8)
т п
Соответствуюш;ая тензорная поверхность имеет вид
22^mn^m^n = C0nSt.
Это выражение отлично от B4.4), однако, в силу его связи
с электрической энергией, оно также представляет
эллипсоид. После его преобразования к главным осям оно
принимает форму
'4x^1 + ^2^2 + ^3^3 — const. B4.9а)
1) Благодаря применяемой системе единиц правая часть
формулы B4. 66) не содержит скорости света с. См. примечания на
vCTp. 25 и 26.—Прим. ред.

§ 24. Эллипсоид Френеля^ эллипсоид индексов
ill
Естественно, что главные оси тензора т] B4.9а) имеют то
же направление, что и главные оси тензора s B4.6), так
как и те и другие определяются посредством условия
параллельности D и Е.
Далее, легко убедиться в том, что
Действительно, из B4.7а) при подстановке для s.^
значений, соответствующих главным осям, получим
'^1 =
О
О
61 О О
О 62 О
О О бя
1
=г— и т. д.
^1
Если мы, как и в B4.6а), выразим е. через главные
показатели преломления п-, то из B4,9) и B4.10) получим
х\
-5 + -| + -| = const, const = 2WлQ^
B4.11)
Таким образом, полуоси полученного эллипсоида
непосредственно равны главным показателям преломления, а не
обратным величинам от этих показателей, как в случае
эллипсоида Френеля. Поэтому выражение B4.11)
называется эллипсоидом индексов (а также эллипсоидом Флет-
чера или «обратным эллипсоидом») ^).
Положение главных диэлектрических осей в кристалле
немного меняется с температурой и несколько различно
для различных частот; поэтому говорят о «дисперсии
главных осей». Только главенствующая над всеми
физическими процессами симметрия кристаллической решетки,
если таковая имеется, определяет главные оси абсолютно.
Мы рассмотрим это подробнее в § 28.
Все это рассмотрение относится к электрически
анизотропным телам. Существуют, однако, и магнитные
кристаллы; важнейшие из них—ферромагнитные. Однако они
не представляют для оптики никакого интереса, так как
^) Этот эллипсоид обычно называют оптической индикатриссой.
См. подробнее А.В. Шубников, Оптическая кристаллография,
М., 1950, где, в частности, на стр. 76 дана полная классификация
оптических попорхностой н ixpiicTa. 1ла\.—Прим. ред.

17S Гл. IV. Кристаллооптики
намагничивание не может следовать за быстрыми
оптическими колебаниями и не играет роли не только в видимой
области, но даже в далекой инфракрасной области
спектра. На основании этого мы в дальнейшем везде положим
{1. = [х^, т. е. будем считать, что материал магнитно
изотропен. В соответствии с этим также и предыдущее
рассмотрение в § 3, где речь шла о разнице между [х и jiq,
относилось не к оптическим, а к сантиметровым волнам.
§ 25. СТРУКТУРА ПЛОСКОЙ ВОЛНЫ И ЕЕ ПОЛЯРИЗАЦИЯ
Как мы знаем (т. III, § 4), уравнения Максвелла
справедливы для кристалла так же, как и для изотропной
среды. Так как мы можем положить [a = [Xq, то в эти
уравнения войдут три величины Е, D и Н, причем D и Е
связаны между собой формулами B4.1). Таким образом,
мы имеем, предполагая, что кристалл является непрово-
дяш;им ^),
lXo|5 = ^rotE, ^ = rotH. B5.1)
Из условия divrot = 0 следует постоянство во времени
divH и divD. Обе постоянные следует положить
равными нулю, первую—потому, что магнитные силовые
линии не имеют источников, вторую—в силу того, что мы
можем предположить отсутствие заряда в кристалле и что
плотность заряда р вообп1;е определяется через divD. Итак,
divH = 0, divD = 0. B5.2)
Условие
^¦^-^-Tf + '^ + '^-O B5.2а)
справедливо в любой прямоугольной системе координат, а
не только в главных диэлектрических осях. Однако если бы
мы в нем заменили, согласно B4.1), D на Е, то получилась
бы очень сложная формула; только в координатной системе
^) Благодаря применяемой системе единиц в уравнения
Максвелла и последующие формулы [в частности, в B5.5)] не входит
скорость света. См. примечание на стр. 25.—Прим. ред.

§ 26. Структура плоской волны и ее поляризация 179
главных
форму
осей
она
дЕт,
принимает сравнительно
Мы привели это главным образом для того.
что
di\
dxi дх2 дх^
чтобы
простую
B5.26)
показать,
B5.2в)
не может обращаться в нуль одновременно с divD = 0
ни в системе главных осей, яи в какой-либо другой
прямоугольной системе координат.
Ограничиваясь случаем плоской волны, напишем для D
и Е связанные друг.с другом выражения, справедливые
для любой прямоугольной системы координат
D = Aexpi{(kr)-a)^}, Е = Вехр i{(kr)-a)^}. B5.3)
Этим мы выявляем то обстоятельство, что пространственно-
временная зависимость обоих векторов обязательно
одинакова, но что их амплитуды различны и по-разному
направлены. Наши выражения относятся, так же как в
изотропном случае в § 2, к идеальному состоянию, строго
монохроматическому (единственная частота со) и строго
направленному (единственный волновой вектор к). Как
можно приближенно получить это состояние, применяя моно-
хроматор и коллиматор, из естественного света, было уже
рассмотрено в § 2.
Волна D поперечна, вектор D перпендикулярен к
волновому вектору к. Это следует из B5.2а). А именно,
согласно B5.3),
div D — i {A-Ji^ + ^2^2 + ^з^з) ^^р i {(кг) — Ы} = i (kD) =^ 0.
B5.4)
Таким образом. Вне имеет составляющей в направлении к.
Это не остается справедливым для вектора Е, что вытекает
из замечаний к формулам B5.26) и B5.2в).
Найдем теперь зависимость между о), к и фазовой
скоростью и для рассматриваемой плоской волны, которая
в изотропном случае давалась соотношениями

180 Гл. tV. Кристаллооптики
Первая часть этих соотношений сохраняется и для
кристалла. Чтобы убедиться в этом, достаточно
продифференцировать по i фазу ср = (кг) —0)^ и, рассматривая
распространение определенного значения фазы, положить d^jdt
равным нулю:
^= (кг)-@ = 0. B5.5а)
Здесь г не что иное, как вектор и; так как последний
имеет то же направление, что и волновой вектор к, то
(кг) = ]k|w = A:M, и отсюда, в самом деле, получаем
u) = A;w, гг = у. B5.56)
Что касается второй части соотношений B5.5), то она
в изотропном случае основывалась на волновом
уравнении, которое, если Е заменить через D и положить |jl = jjlq,
имеет вид
^нШ=^^- B5.6)
Мы должны, таким образом, выяснить, что получается
вместо этого в случае анизотропии. Для этого мы
исключим Н из обоих уравнений B5.1), применив к первому
из них операцию rot, а ко второму операцию {i^od/dt.
В результате получим
|Xo^=-rotrotE B5.6а)
или при использовании известной, собственно говоря,
символической векторной формулы
|Xo^ = AE-graddivE. B5.66)
Таким образом, волновое уравнение теперь существенно
сложнее, чем уравнение B5.6). Последний член справа,
как было замечено в связи с B5.2в), не обрапцается в нуль,
и АЕ не может быть выражено в виде записанной в
векторной форме суммы производных от D. Поэтому мы
откажемся от дальнейшего рассмотрения B5.66) и возвратимся

§ 25. Структура плоской волны и ее поляризация 181
К уравнению B5.6а). Выполнив при помощи выражений
B5.3) дифференцирование, мы сможем написать
-^г= -aJD, rotE = i[kE], rotrotE= ~[к[кЕ]].
Тогда уравнение B5.6а) дает
- (XoaJD = [к [кЕ]] = к (кЕ) - кЩ, B5.7)
Если выразим, согласно B5.56), ш через и и разделим на А:^,
то получим
_М 7,2П—
А2
-|^o^^2D = 4-(kE)~E. B5.8)
Разложим это векторное уравнение по составляющим в
направлении трех главных осей и напишем, принимая во
внимание B5.3) и зависимость B4.5) между D и Е,
fi, = A, /=1,2,3.
При введении определенных, согласно B4.66), главных
скоростей света Му уравнение B5.8), после сокращения на
общий экспоненциальный множитель, может быть
преобразовано к виду
(гг2-гг5)^У = Ау/Г, B5.9)
где для сокращения положено
К^-^^и\к,А,. B5.9а)
i
Уравнение B5.9) представляет собой линейно однородную
относительно А систему уравнений, которая имеет
решение только тогда, когда ее определитель равен нулю.
Вместо того чтобы составлять последний, мы поступим для
простоты так: умножим B5.9) на k^j{и^^и)) и
просуммируем по /. Тогда получим
SM;=^SiA-- B5.96)
Здесь левая часть обращается в нуль, так как,
согласно B5.4),
(кА) = 2Му = ^'

182 Гл. IV. Кристаллооптика
В правой части B5.96) множитель К в общем случае не
равен нулю (главные диэлектрические оси с их частными
значениями Aj и Ау являются исключением). Поэтому на
основании B5.96) мы заключаем, что
Д-2 ^^2 Д.2
f/2—7/2 ' 7/2—1/2 ' 1/2 —1/2 * \ * /
и^—и
I м» 1*2 •* **з
Избавляясь от знаменателей, мы видим, что это выражение
представляет собой квадратное уравнение относительно и^.
Таким образом, каждому направлению к в общем случае
соответствуют два различных значения и^. То, что каждое
из этих двух значений и расщепляется еще на ± и,
говорит, естественно, только о том, что обоим направлениям
вектора ±t соответствует одинаковое значение |гг|.
Обозначим эту пару корней через и'^ и и''^\
соответствующие им индукции через D' и D" и их амплитудные
коэффициенты через А) и А]'. Мы утверждаем, что D' и D"
перпендикулярны друг к другу, так что
(D'D'0 = O. B5.11)
Это следует из обоих содержащихся в B5.9) уравнений
которые после перемножения друг на друга и
выполнения суммирования дают
^А]АГ^К'К"^-
1^
^ {и'^^и)){и"^-и])
= и"^-и'^ \^и'^-и^.'^^^^^Л • B5.11а)
В силу B5.10) здесь будут обращаться в нуль
последние две суммы и, следовательно, будут обращаться в нуль
также 2 A'jA'j' и (D'D").
У
Проведенное вычисление и' и и" и наши сведения о
D' и D" мы можем наглядно объяснить и одновременно
углубить при помощи геометрического построения (фиг. 33);

§ 25. Структура плоской волны и ее поляризация
183
для этой цели мы будем исходить из эллипсоида индексов.
Его уравнение гласит, что если п. заменить через
обратные им по величине главные скорости света w., то
ulxl + ulxl + ulxl-=C,
го
B5.12)
Через центр эллипсоида проведем нормальную к вектору к
плоскость
kiXi + ^2^2 + ^3^:3 = О B5.13)
и рассмотрим эллипс, образующийся при сечении. Мы
утверждаем, что его обе главные оси (с точностью до
Ф и г. 33. Эллипсоид индексов и
построение векторов D,
соответствующих волновому вектору к.
общего множителя) будут равны обратным значениям и\
и" и что их направления совпадают с направлениями
D', D'.
Эти главные оси мы получим расчетом как
экстремальные значения квадрата длины xl + xl + xl при
соблюдении обоих дополнительных условий B5.12) и B5.13).
Таким образом, применяя множители Лагранжа, соста-

184 Гл. /V. Кристаллооптика
вляем вариацию
8 {х1 + х\ + х\ + \ (и\х\ + и\х\ 4- иу^ +
+ \ (Ml + ^2 + Мз)} = 0. B5.14)
После введения \ и Xg вариации 8л:у координат
вершины х^ могут рассматриваться как не зависимые друг
от друга. Поэтому множители при Ъх^, получающиеся
из B5.14), должны быть порознь равны нулю. В
результате мы получаем три условия для х^\
2xj A + l^u)) + X^kj = 0. B5.14а)
Определим Х^^). Для этого умножим B5.14а) на ху и
просуммируем по 7, применяя условия B5.12) и B5.13).
В результате получим
2:^1+^1^ = 0.
Сумма 2 ^у равна а^ или Ь^ {а и b—большая и малая
главные оси эллипса). Вводя общее для обоих случаев
сокращенное обозначение Cju^, получим
^ B5.15)
Формула
или
B5.14а)
\-.:
теперь
h
и^ — и^
U2*
гласит:
Uj) = — Xg^y,
2xj
Xgu^
Если умножить последнее соотношение на Ау и снова
просуммировать по /, то правая часть обращается в нуль
в силу B5.13) и получается, как в B5.10),
S7?^ = 0. B5.16)
Таким образом, и имеет тот же смысл, что и в B5.10):
наши обе скорости распространения и' и и", если отвлечься
от множителя С, определенного согласно B3.12), равны
^) Значение Xg нам не понадобится; мы могли бы его определить
также из B5.14а) умножением на Лу и суммироваппсхМ по /.^-Прим,
ает.

§ 25. Структура плоской волны и ее поляризация 185
обратным величинам обеих главных осей а is. Ъ, как мы
и утверждали.
Для того чтобы определить направления обеих
главных осей, образуем при помощи B5.15а) пропорцию:
х^:х^: ^3= ^2_!^2 • u'1-ui • u^-^ul ' B5.17)
Согласно B5.9), эта же пропорция имеет место для
коэффициентов Ai: А2: Aq векторов D. Следовательно,
направления колебаний обеих волн D совпадают с направлениями
главных осей нашего эллиптического сечения.
Этим также будут заданы направления колебаний
вектора Н. Вектор Н колеблется, как это следует из первого
уравнения B5.1), в поперечном направлении, т. е.
перпендикулярно к волновому вектору к. Кроме того, как легко
доказать, исходя из второго уравнения B5.1), Н
перпендикулярен к D. Поэтому будут справедливы общие
соотношения
(Нк) = 0, (HD) = 0. B5.18)
Однако если нам известно положение D, то отсюда можно
сделать более частный вывод: Н колеблется в направлении
6, если направление D совпадает с направлением а,
и наоборот.
Мы это наглядно изобразим в виде двух следующих
схем, вторые строчки которых дают направления
колебаний, а третьи— общую для векторной пары D, Н
скорость распространения:
.е_Л_ Lj^_ B5.19)
,.' Vc „, л^с
В связи с B5.19) мы должны еще выяснить физический
смысл главных скоростей света щ, Wg, Щу до сих пор
лишь формально введенных, согласно B4.66).
Рассмотрим, например, волновой вектор к, совпадающий по
направлению с первой главной осью. Ему соответствуют две
пары D, Н, скорости которых и', и", согласно B5.19),
обратны главным осям эллиптического сечения в перпен-

186 Гл. IV. Кристаллооптика
дикулярной к к плоскости и, следовательно,
непосредственно равны ^2, Ид.
Поэтому главные скорости света ^2 и щ означают
скорости обеих волНу которые распространяются в
направлении первой главной оси эллипсоида индексов. Для
остальных двух главных осей получается, при помощи
циклической перестановки, аналогичный результат.
Важнейшим выводом настоящего параграфа нужно
считать следующее: все распространяющиеся в кристалле
плоские монохроматические волны полностью линейно
поляризованы в направлениях^ которые определяются
структурой кристалла.
В каком соотношении находится этот вывод с
оптическим поведением изотропных сред? Для сравнения мы
должны, очевидно, рассматривать не полностью неполя-
ризованный естественный свет, а свет
монохроматический и направленный параллельно при помощи
идеального коллиматора. В § 2 мы видели, что подобного рода
свет обязательно поляризован эллиптически. Таким
образом, не сам факт поляризации, как таковой, является
отличительной чертой, а вид поляризации, который
определяется кристаллической структурой, разлагающей свет
на две волны с различными скоростями распространения.
В изотропном теле, в котором все волны имеют одну
и ту же скорость и все направления равноправны,
упорядоченный вид анизотропной поляризации сглаживается ^)
и сводится, понятным образом, к неопределенным по
положению и величине осей эллиптическим колебаниям,
которые мы можем рассматривать как наложение двух
взаимно перпендикулярных колебаний с различными
фазами; однако в противоположность случаю кристалла
в случае изотропной среды эти два колебания
неразличимы, вследствие равенства их скоростей
распространения. Напротив, их различимость в кристалле делает
последний главной составной частью важнейших
поляризационных приборов (известковый шпат, слюда и т. д.;
см. § 29).
^) Применяя обычное в квантовой механике выражение, мы
можем сказать: два колебания, поляризованные в кристалле
линейно, в изотропной среде вырождаются в эллиптическое колебание.—
Прим. авт.

§ 26. Дуализм 187
Мы здесь судили о поляризации световой волны
по поведению индукции D, в то время как прежде мы
рассматривали как собственно световой вектор напряженность
поля. Однако ясно, что одновременно с D линейно
поляризовано также и Е, так как между D и Е существует
однозначная полярная зависимость, рассмотренная в § 24.
Вопрос о направлениях колебаний вектора Е,
обусловленных кристаллической структурой, будет рассмотрен
в следующем параграфе.
§ 26. ДУАЛИЗМ!), ПОВЕРХНОСТЬ ЛУЧЕЙ
И ПОВЕРХНОСТЬ НОРМАЛЕЙ, ОПТИЧЕСКИЕ ОСИ
Вычисления § 25 могут быть непосредственно
перенесены с эллипсоида индексов на эллипсоид Френеля.
Они приводят тогда к определенным выражениям для
вектора Е и для распространения луча
S = [EH].
На фиг. 34 s( = 5i, ^2, 5з) обозначает единичный вектор
в направлении S, F—сечение эллипсоида Френеля
плоскостью чертежа. Плоскость чертежа расположена
перпендикулярно к Н, поэтому Н проектируется в центр О нашего
эллипса F, Вектор Е лежит в плоскости чертежа,
вектор S, согласно его определению, также лежит в этой
плоскости. Но D и к тоже лежат в плоскости чертежа
в силу условий B5.18). Перпендикулярный к к
диаметр WW представляет собой след волновой плоскости,
в которой лежал рассмотренный в § 25 эллипс, диаметр
SS является следом перпендикулярной к S плоскости,
проходящей через О, Проведенные в точках S касатель-
1) В отношении более полного рассмотрения этих
дуалистических соотношений \n»i сошлемся на превосходный учебник Либиша
[35]. Речь идет о тоы же дуализме, который существует в
аналитической геометрии в пространстве между точечными и плоскостными
координатами. Если Е обозначают точечные координаты, то D
являются плоскостными координатами. Тогда эллипсоид Френеля и
эллипсоид индексов представляют собой одну и ту же поверхность,
выраженную в первом случае в точечных координатах, во втором—
в плоскостных. Элементарные геометрические методы, примененные
в задачах 1 и 2 к гл. IV, соответствуют учебнику Либиша.—Прим,
авт»

188 Гл. IV. Кристаллооптика
ные (следы плоскостей, касательных к эллипсоиду
Френеля) идут, согласно полярному построению § 24,
перпендикулярно к D и, следовательно, параллельно к к.
На фиг. 34 сверху справа двойной линией отмечена
перпендикулярная к волновому вектору к волновая
плоскость WW (плоскость постоянной фазы). Если волна
Фиг. 34. Сечение эллипсоида
Френеля плоскостью чертежа (±Н).
Построение скоростей волны и луча.
перемещается в направлении к со скоростью и на
величину отрезка ОРу то луч S должен пройти, для того
чтобы остаться с ней в фазе, более длинный путь 0Q
с большей скоростью v. Тогда из прямоугольного
треугольника OPQ следует
cosa = -^, B6.1)
Тот же самый угол а образуют, как показано на фиг. 34,
направления D и Е. Поэтому мы имеем также
Компланарное расположение векторов D, Е и к уже
нашло свое выражение в соотношении B5.8). Введя
единичный вектор «волновой нормали»
n = j, B6.2)

^ 26. Дуализм 189
противостоящий единичному вектору s луча, напишем
уравнение B5.8) еще раз:
|Xott2D = E-(nE)n. B6.3)
Выведем уравнение, дуальное к этому, которое выражает
компланарное расположение Е, D и s. Сначала напишем
с двумя неизвестными коэффициентами р и q:
/?E = D-gs. B6.4)
В силу (sE) = 0 и (ss) = l, отсюда следует, что g=:(sD),
а следовательно,
pE = D-(sD)s. B6.4а)
Умножим теперь B6.3) скалярно на s, а B6.4а) на п.
Так как (sE) = 0 и (nD)=-0, получим
|Xow2(sD)=-(nE)(sn),
/?(пЕ)= --(sD)(sn).
Перемножение правых и левых частей дает, поскольку
(sD) и (пЕ) не равны нулю,
jXow2/? = (snJ. B6.5)
Согласно фиг. 34 и формуле B5.1), имеем
(sn) = cos о = — .
Поэтому, согласно B6.5),
Р=-^. B6.6)
Следовательно, уравнение B6.4а) принимает вид
^E = D-(sD)s. B6.7)
Это уравнение имеет ту же форму, что и уравнение B6.13);
оно к нему «дуально».
Вспомним о выражении B5.3) с коэффициентами Aj
и Bj. Отнеся его к главным диэлектрическим осям и
положив В J = Aj I ?у, мы могли получить линейную систему
уравнений B5.9) для коэффициентов Aj. Теперь из B6.7)
мы совершенно аналогичным образом вычислим коэф-

190 Гл. iv. Кристаллооптика
фициенты 5у, положив Aj = BjBj. Прежде всего, из B6.7)
следует
—^5у = S;5; - sj 2 s^,B,; B6.8)
i
отсюда посредством умножения на (Xq и соответствующего
преобразования получим
i
подставляя главные скорости света Uj = (еу(Ао)""^^2^ найдем
(^-^'^iyj = 'j^'> B6.9)
iir' = Yli4^. B6.9а)
. Ui
г
Эти уравнения точно соответствуют написанным в таких
же обозначениях уравнениям § 25. То же будет
справедливо для получаемого из них, таким же образом, как и там,
уравнения
2 5Л = л:'2^Ч-- B6.96)
Левая часть равна нулю, вследствие того, что s
перпендикулярен к Е. Так как К' Ф О, то, как и в B5.10),
0. B6.10)
^2
^^1
1 1
Ф и\
1
' 1
с2
*2
1
I ^ —
1 1 1
г;2 ul
Уравнение B6.10) квадратично относительно г;^
точно так же, как уравнение B5.10) квадратично
относительно ц^. Следовательно, каждому направлению луча
S соответствуют два значения f' и ь" (если отвлечься
от знака ±). В том, что относящиеся к ним векторы
поля Е' и Е" перпендикулярны друг к другу, можно
убедиться путем построения, аналогичного построению
на фиг. 33, но перенесенного на эллипсоид Френеля.

§ 26. Дуализм 191
Рассмотренный здесь переход от D, п, гг к Е, s, v
мы представим в виде весьма полезного «правила
переноса»:.
D, Е, п,^, -ilsoE, —, S, —, -. B6.11)
Можно убедиться, руководствуясь этим правилом, что
оно, действительно, переводит уравнения B6.3) и B6.7)
друг в друга не только по форме, но и в отношении их
коэффициентов. Это же, понятно, будет справедливо и для
выражений B6.10) и B5.10). Мы отклонились от
формулировки этого правила, принятой в литературе, лишь
постольку, поскольку мы повсюду связывали между
собой только величины, приведенные к одинаковой
размерности.
1. Поверхности лучей. Построим теперь обш;ую
картину распределения скоростей лучей ь' и ь" по всем
возможным пространственным направлениям s. Для этого
в каждом направлении s отложим обе скорости от начала
прямоугольной системы координат \^, Eg» ^з как радиус-
векторы. Мы получим, таким образом, в пространстве
^1» ?2» ^3 поверхность с двумя оболочками, из которых
одна соответствует ь\ а вторая —г:". Точки этой
поверхности имеют координаты
\,=^s,b. B4.12)
В этих координатах уравнение B4.10) запишется следую-
ш;им образом:
\iUx
Ui—V^
:0. B4.13)
Вследствие того, что v^ = ^lu кажется, что это
уравнение шестого порядка относительно $.. Однако если
умножением избавиться от знаменателей, то видно, что оно
сводится к уравнению четвертой степени. В подробной
записи оно имеет вид
+ IX (ul - V') (ul - V') + IX {ul - V') {ul -v')^0 B4.13a)

1&2 Гл. IV, Кристаллооптика
или, после перемножения,
- V^ {$Х {< + о + %< {< + «П + ^>\ {< +I +
^u\u\u\{\\-V%\ + %l) = Q. B4.136)
Так как здесь последний член содержит множитель
г?^ = 2 ^1» то можно сократить на ь'^, так что мы, в самом
деле, имеем только поверхность четвертого порядка.
Назовем ее поверхностью лучей. Прежде для нее
употребляли название «поверхность волны Френеля»;
нашим названием мы подчеркиваем ее происхождение от
скоростей лучей v. Существуют прекрасные разъемные
гипсовые модели поверхности лучей, которые позволяют
видеть связь между обеими оболочками. На фиг. 35
представлена внешняя оболочка одной (верхней) половины
и внутренняя оболочка другой (нижней) половины;
обрезанные здесь вторые половины являются зеркальными
изображениями представленных. Мы должны здесь
ограничиться более подробным изучением только главных
сечений поверхности лучей, т.е. изучением ее следа в
плоскостях $1 = 0, ^2 = 0 и ?з = О- При этом мы можем
положить и положим
щ>и^> щ, B6.14)
При ?1 = 0 из B6.13) получим, освободившись при
помощи умножения от двух остающихся знаменателей
и сократив на множитель 1\ -\- %\:
|-4-i|=l. B6.15)
Это — уравнение эллипса с главными осями Мд и iZg.
Существует, однако, еще и другое решение B6.13), которое
получается, если при приравнивании нулю числителя
?1 положить равным нулю также и знаменатель а^ —г;^.
Действительно, тогда благодаря тому, что появляется
неопределенное выражение О/О, также становится
возможным выполнение B6.13). Это второе решение,
принимая во внимание, что $i = 0, имеет вид
^\т11=-К B6.15а)

§ 26. Дуалиам
193
И означает круг с радиусом и^. В силу B6.14) этот круг
охватывает эллипс B6.15) (фиг. 36,а).
Фиг. 35. Поверхность лучей.
а—верхняя половина внешней оболочки;
б—нижняя половина внутренней оболочки. Стрелками
указаны направления обеих оптических осей.
Разумеется, оба решения B6.15), B6.15а) получаются
и из полного выражения B6.13а) для поверхности лучей.
А именно, если в нем положить 5i = 0, то каждый из
оставшихся членов будет содержать множитель uj —г?*; если

If .
% м
Фиг. 36. а—сечение поверхности
лучей плоскостью Si =0;
б—сечение поверхности лучей
плоскостью «3 =0; в—сечение
поверхности лучей плоскостью ^г =0;
г—построение оптических осей
как перпендикуляров,
проходящих через центр круговых
сечений эллипсоида Френеля;
д—поверхность нормалей как
поверхность оснований
перпендикуляров к поверхности лучей и
поверхность лучей как огибающая
поверхность поверхности
нормалей.

§ 26. Дуалиам 195
последний вынести за знак скобки, то в скобках останется
выражение, эквивалентное B6.15).
Во вторую очередь рассмотрим главное сечение 5з = 0,
которое необходимо проводить перпендикулярно к
наименьшей оси эллипсоида Френеля. Также и здесь
образованная при пересечении фигура состоит из круга и
эллипса. Но теперь круг лежит внутри эллипса. А именно,
из B6.13) имеем (см. фиг. 36,6)
f+ f = 1. ^\ + ^\ = < B6.16)
Более интересно главное сечение Ег = О, для которого
имеем (см. фиг. 36,в)
^ + |- = 1, ?J + ?| = и^ B6.17)
Круг пересекает эллипс, так как его радиус и^ меньше,
чем большая ось эллипса и^, и больше, чем малая ось
эллипса Kg. В точках пересечения обе оболочки
поверхности лучей проникают одна в другую. Что же
обозначают обе оси, соединяющие диаметрально
противоположные точки пересечения?
2. Оптические оси. В направлении этих осей обе
скорости по лучу v>' и ь" совпадают, как в изотропном теле.
Поэтому они называются осями изотропии или
оптическими осями. Последнее название указывает на то, что
для оптики кристаллов они имеют еще большее значение,
чем главные оси эллипсоида Френеля или эллипсоида
индексов, которые мы для отличия называли «главными
диэлектрическими осями».
Так как скорости по лучу v' и г;" в. общем случае
могут быть определены при помощи главных осей эллипса,
получающегося при сечении эллипсоида Френеля, и так
как этот эллипс в рассматриваемом частном случае v' = v"
переходит в круг, то мы видим, что наши оптические оси
перпендикулярны к круговым сечениям эллипсоида.
Существуют известные картонные модели трехосного
эллипсоида, которые состоят из двух рядов вложенных друг
в 1фуга параллельных друг к другу кружков, обладающих

196 Гл. IV. Кристаллооптика
дополнительно некоторой подвижностью. Они создают
интересную и полную картину трехосного эллипсоида.
Точки пересечения поверхности эллипсоида с
перпендикулярными к кружкам осями называются, как известно,
омбилическими точками {NN на фиг. 36,в). На фиг. 36,г
показано положение обеих пар омбилических точек на
эллипсоиде Френеля и положение соединяющих их
линий—оптических осей, по отношению к главным осям
1 и 3. Если мы обозначим длины главных осей
эллипсоида Френеля, как и до сих пор, через и^, Kg и щ, а
угол между оптическими осями через 2Ь^, то для них
будет справедливо соотношение
tg^ = t/i^i- B6.18)
Это соотношение находится в согласии со значением Sg/Ei,
которое следует из обоих уравнений B6.17) для точек
пересечения круга и эллипса.
Если мы будем определять поляризацию луча заданием
направления вектора Е (в § 25 мы определяли
соответственно поляризацию волны заданием направления
вектора D), то мы можем сказать: поляризация для всех
направлений лучей линейна, плоскости поляризации обоих
распространяющихся в одном направлении лучей взаимно
перпендикулярны. Исключение представляют только
оптические оси, для которых ни одно из направлений не
имеет преимущества перед остальными, в силу
круговой формы соответствующего эллиптического сечения.
Название «оси изотропии» получает здесь дальнейшее
обоснование.
3. Поверхность нормалей. Она образуется, если мы
в каждом направлении волнового вектора к отложим обе
фазовые скорости к', и" распространяющихся в этом
направлении волн. Если мы снова будем описывать
получающуюся совокупность точек при помощи
прямоугольных координат $1, $21 ?з» то нам необходимо будет вместо
B6.12) положить
?i = X"' 2Й = «' B6.19)

§ 26, Дуалиам 197
и вместо B6.13), вследствие уравнения B5.10),
2^. = 0. B6.19а)
Избавляясь от знаменателя, получим вместо B6.136)
и' - и^ [^1 {ul + ul) + II {al + ul) + il {ul + ul)] +
+ ^УА + iluX + IXul = 0. B6.196)
Это уравнение представляет собой поверхность шестого
порядка (так как последний член не делится на и^).
Главное сечение $i = 0 распадается по B6.19а) на
окружность
и на «овал»
— кривую четвертого порядка (с центром $2 = $з = О,
являющимся изолированной точкой кривой). Аналогичное
положение имеет место для двух других главных сечений.
Для наглядного изображения могут служить фиг. 36 а, б, в,
если на них эллипсы заменить схожими с ними по форме
овалами.
В главном сечении ^2=0 появляются, как и на фиг. 36, в,
две пары точек пересечения, которые соответствуют
омбилическим точкам эллипсоида индексов; соединяющие их
линии определяют «оптические оси нормалей»^). Их
взаимный наклон, который мы обозначим через 28^, лишь
немного больше, чем определенный согласно B6.18)
наклон 28., и вычисляется из соотношения
tSK-V^y B6.20)
В соответствии с их связью с круговыми сечениями
эллипсоида индексов, они являются «осями изотропии» век-
*) Обычно именно эти оси («бинормали») называют просто
оптическими осями, а не оптические оси лучей («бирадиали»),
рассмотренные в п. 2. Это обусловлено тем, что именно с ними, как правило,
имеют дело при исследовании оптических свойств кристаллов.-
Прим. ред.

198 Гл. IV, Кристаллооптика
тора D: этот вектор не поляризован только вдоль
указанных осей.
Между поверхностью нормалей и поверхностью лучей
существует простая геометрическая связь: поверхность
нормалей является геометрическим местом оснований
перпендикуляров, опущенных из центра на плоскости,
касательные к поверхности лучей. Для сечения, лежащего,
например, в плоскости 13, получается картина,
изображенная на фиг. 36,9, которая, кроме того, показывает,
что овал, образуемый сечением поверхности нормалей
^штрихованная линия), лишь немного отличается от
эллипса (сплошная линия), образуемого сечением
поверхности лучей. То, что поверхность лучей является
огибающей поверхностью волновых плоскостей (плоскостей
равной фазы), уже было наглядно показано на фиг. 34,
§ 27. ЗАДАЧА О ДВОЙНОМ ЛУЧЕПРЕЛОМЛЕНИИ
Если мы смотрим через ромбоэдр из исландского
известкового шпата на лежащую под ним надпись, то надпись
кажется двойной, причем одно изображение параллельно
смещено относительно другого. Говоря, чтобы выражаться
более кратко, о негативе рассматриваемой картины, т. е.
о белой надписи на черном фоне, мы можем сказать:
исходящие из надписи волны доходят до глаза двумя
путями, которые в известковом шпате и после преломления
в воздух имеют разные направления. Наш глаз
неправильно экстраполирует воспринимаемые им направления,
прямолинейно проектируя их на основание ромбоэдра
из известкового шпата, и, таким образом, делает
неправильное заключение о двойной надписи.
Известно изящное построение преломленной волны по
принципу Гюйгенса для изотропного случая (фиг. 37, а).
Когда волновой фронт W^ падающей плоской волны,
распространяющейся в направлении Se, доходит до точки О
на граничной плоскости второй среды, из всех прежних
положений О' испускаются волны (изображенные на
фиг. 37, а полусферами), распространяющиеся в этой среде
со свойственной им скоростью. Если провести из О
огибающую поверхность к этой системе полусфер, то эта
огибающая дает фронт волны W^, а нормаль к ней S —

§ 27, Задача о двойном лучепреломлении
199
проникающий во вторую среду луч и одновременно
направление распространения проникающего света.
Фиг. 37. Построение преломленной
волны (или волн) по принципу Гюйгенса.
а—изотропный случай; б—анизотропный случай.
1. Рассмотрение двойного лучепреломления по
принципу Гюйгенса. Уже сам Гюйгенс^) с гениальной
прозорливостью распространил это построение на случай
(оптически одноосного) известкового шпата, приняв, что
поверхность распространения света в кристалле пред-
^) Полное заглавие книги Гюйгенса: «Трактат о свете, в
котором изложены причины того, что происходит при отражении и при
преломлении, и в частности при необыкновенном преломлении п
кристаллах из Исландии» (Лейден, 1690 г.).—Прим. авт.

200 Гл. IV. Кристаллооптика
^тавляет собой не сферу, а известную комбинацию из
сферы и сплющенного эллипсоида вращения (ср. с
помещенной ниже фиг. 39, б). Таким образом, он получил две
огибающие: одну—для системы сфер, другую —для системы
эллипсоидов, а следовательно, и два фронта волны. Мы
представим на фиг. 37, б общий (оптически двухосный)
случай, заменив комбинацию сфера + эллипсоид нашей
поверхностью лучей B6.13), состоящей из двух оболочек.
Огибающие, проведенные из О к каждой из оболочек,
дают тогда также два фронта волны Wa и Wa
преломленного света, а линии, соединяющие центр О поверхности
лучей с точками касания огибающих, —два направления
лучей Sd и 82; опущенные из О' на огибающие (или,
как на фигуре, восстановленные к ним в О)
перпендикуляры дают волновые векторы к^ и кЗ («волновые нормали»).
Это построение дает наглядную картину
возникновения двойного лучепреломления и повсеместно перешло
в литературу. Однако оно во многих отношениях требует
дополнений.
1. При построении предполагалось, что расходящийся
пучок, который исходит из светящейся точки, ведет себя
точно как же, как система не зависимых друг от друга
плоских волн, которые мы рассмотрели в § 26 и скорости
распространения которых мы чисто геометрически
символизировали при помощи поверхности лучей. На то,
что здесь предстоит разрешить (отнюдь не простую)
математическую задачу, впервые указал Ламэ A852 г.).
Он поставил перед собой задачу представить
математически точно волновой комплекс, исходящий в упругой
анизотропной среде из колеблющегося центра (аналог
сферической волны в изотропной среде), посредством
вычисления трех составляющих смещения. При этом он,
действительно (при исключении продольных волн),
пришел к форме поверхности лучей. Его выводы были
критически развиты Вольтерра [36].
2. Фиг. 37, а непосредственно ничего не говорит ни
о поляризации волн D, ни о поляризации волн Е; она
должна быть дополнена относящимися сюда выводами
из § 25 и 26.
3. Построение оставляет открытым вопрос о
соотношении амплитуд различных волн.

S 27. Задача о двойном лучепреломлении 201
2. Закон преломления как задача о краевых
значениях. Предыдущие замечания уже указывают на то, что
полная количественная теория двойного лучепреломления
может быть получена только по методу краевых значений
гл. I. Ход рассуждений остается тот же, что и там; так же,
как и там, мы будем всегда рассматривать бесконечно
протяженные плоские волны — единственные нам до сих
пор известные строгие репхения оптических
дифференциальных уравнений,— а не узко ограниченные пучки,
которые, как правило, являются объектами наблюдений.
Дополнительные допущения (принцип Гюйгенса или
построение огибающих) являются здесь излишними.
Однако сложность этого метода не позволяет его здесь
привести для общего случая ^). Поэтому мы должны
ограничиться его иллюстрацией на частном примере.
Пусть плоскость падения света будет одной из трех
плоскостей, проходящих через главные оси, и
одновременно поверхностью кристалла^). Пусть свет будет
линейно поляризован, и пусть его плоскость поляризации
совпадает с плоскостью падения; следовательно, его
электрический вектор перпендикулярен к последней и к
плоскости чертежа на фиг. 38. В соответствии с приведенной
ранее фиг. 3,а мы обозначим координаты в воздухе через
X, у ж Zy но выберем оси координат совпадающими по
направлению с главными осями х-^у х^ и х^ кристалла.
Пусть а, а' и Р будут, как и прежде, углами падения,
отражения и преломления.
Положим, как в C.1), что в среде I (воздух, у>0)
J5 --^gifto («Slna—ycosa) I ^giftoCCSina'+vcoStt')
^) Ср., например, учебник по кристаллооптике Покельса. Здесь
совершенно правильно проводится различие между физической и
геометрической проблемами отра:тения и преломления. Первая
рассматривается в гл. VII как краевая задача, вторая—в гл. IV по принципу
Гюйгенса.—Прим. авт.
*) К сожалению, типичное двойное преломление в известковом
шпате не охватывается нашим частным случаем, так как плоскости
ромбоэдра известкового шпата не являются плоскостями главных
осей.—Прим. авт.

202
Гл. IV, Кристаллооптика
ДЛЯ кристалла напишем, аналогично B5.3),
B7.2)
причем мы оба раза опускаем временной множитель
ехр( —iW). Вследствие предположения об особом
положении плоскости падения преломленная волна (или
преломленные волны) будет,
во всяком случае, лежать в
плоскости падения, так как
симметрия эллипсоида
Френеля не дает никаких
преимуществ передней стороне
плоскости чертежа по отношению
к задней. Таким образом, из
трех составляющих Aj, Ag и к^
вектора к составляющая Ад
равна нулю. Для того чтобы задача
могла быть решена посредством
плоской волны, фазы обоих
членов в выражении B6.1) при
у = 0 должны быть равны друг
другу и равны фазе в
выражении B6.2) при х^ — О. Отсюда
сразу следует закон отражения
а' = а. Согласно сказанному
относительно Аз, фаза в
выражении B7.2) равна Aja;!-f ^2^2 и для х^^О она будет равна
kiXi = kiX. Мы должны, таким образом, потребовать,
далее, чтобы
коХ sin а = kiX B7.3)
и, следовательно,
A:oSina = A;i.
Теперь Ai, как проекция вектора к на ось Ху равна
Фиг. 38. К выводу закона
преломления для частного
случая: плоскость падения
ху—плоскость главных
осей 1, 2; поверхность
кристалла XZ—плоскость
главных осей i, 3; нормали
преломленных волн к' и к''
лежат в плоскости падения.
|k|cos(^^-p) = |k|sinp.
Однако, согласно B5.56), |к| = а)/гг; поэтому, в силу
зависимости между ко и io в среде I а) = А:оС, имеем
|к| = А:ос/и и, согласно B7.3),
Аго sin а = I к I sin р = Ло ~ sin р. B7.4)
и

g 27, Задача о двойном лучепреломлении 203
Таким образом, после сокращения на ко снова придем
к закону преломления
sin а с
sinp'
B7.5)
Однако скорость и зависит от направления р и притом
двузначно соответственно двум оболочкам поверхности
нормалей B6.19а); соответствующие значения скоростей
мы обозначим^) через к' и и". Отсюда следует, что
зависимость между р и а также будет двузначной. Чтобы это
выразить, напишем вместо B7.5)
sin а с sin а с ,л„ лч
B7.6)
sin^'
Стоящие здесь с правой стороны отношения скоростей
мы можем, очевидно, рассматривать как показатели
преломления кристалла по отношению к воздуху для обоих
направлений распространения.
Этим явление двойного лучепреломления объяснено
методом краевых значений, без привлечения принципа
Гюйгенса, так как вычисление обеих скоростей и' и и"
в § 25 основывалось только на дифференциальных
уравнениях оптики и волновая поверхность в § 26
использовалась только как геометрическая картина возможного
распространения плоских волн в кристалле, а не как
геометрическое место расходящегося пучка, излучаемого
светящейся точкой. Отметим при этом, что закон
преломления B7.6) не представляет собой явного
элементарного выражения для sin р, как в изотропном случае, а
является неявным, алгебраическим, так как и' и w", в свою
очередь, зависят от р' и Р".
2, Вычисление амплитуд. После того как мы п^)ивели
в соответствие фазы в выражениях B7.1) и B7.2), мы не-
^) Необходимо принять во внимание, что обозначения и* и и"
по сравнению с предыдущим изменены: прежде и' и и" относились
к одинаковым направлениям распространения, но к двум разным
(друг к другу перпендикулярным) направлениям колебаний,
теперь они принадлежат двум различным направлениям
распространения Р' и Р" при одинаковом направлении колебаний.—Прим.
авт.

204 Гл. /Г. Кристаллооптика
посредственно получаем из граничного условия для
электрического поля E^ = Eq при у = 0
А + С = В. B7.7)
Сюда добавляется граничное условие для магнитного
поля H^^Hi. Величины Н^ и Hi мы берем из уравнений
Максвелла
-5, = г(о(.оЯ, = го1,Е = ^,
Сравнение этих выражений дает, согласно B7.1) и B7.2),
- cos а^о (Л - С) = к^В. B7.8)
Проекцией на ось Х2 будет, подобно тому как в B7.3)
и B7.4),
^2 = — Л COS р = ^^ COS р = — Ао — COS р.
Поэтому из B7.8) следует:
cosaD~C) = ~cospfi. B7.9)
Из B7.7) и B7.9) получаем
2Л=Г1 + ^^5, 2С=('1-^^Б.
V ' и cos а у ' V^ ^ cos а у
В связи с возможностью наблюдения нас интересует
прежде всего отношение в воздухе отраженной амплитуды
к падаюш;ей:
- с cosp
1 ^ !!.
и COS а
Вследствие двузначности и{==и\ и'') и Р( = Р', Р"")
величина С/А будет также двузначной. Хотя обе волны С" и С""
будут отражены под одним и тем же углом (а' = а), они
будут иметь различные амплитуды. Если подставить для
с/и' и с/ц" их значения из закона преломления B7,6),

§ 28. Оптическая симметрия кристаллов 205
ТО МОЖНО В соответствии с формулами Френеля C.12)
также написать
С _ sin(p^ —а) C^^sin(P^—ct)
Л "" sin(fi'+ о) ' ^~'sin(fJ" + a) •
Отсюда можно заключить, что С = С" только тогда,
когда Р' = Р", и поэтому по B7.6) также и 1г'=и", т. е.
когда преломленный луч имеет направление одной из
двух оптических осей.
С этим связано интересное явление «конической
рефракции», которое было предсказано Гамильтоном и при
его доказательстве Ллойдом A833 г.) считалось особенно
убедительным доводом в пользу волновой теории света.
Совсем поверхностно этот эксперимент может быть
описан следующим образом. Тонкий световой пучок падает
примерно в направлении оптической оси нормалей на
кристалл, поверхность которого отшлифована
перпендикулярно к этой оси. Тогда луч внутри кристалла
расходится конусом (внутренняя коническая рефракция). Если
кристалл отшлифован перпендикулярно к оптической оси
лучейу а луч распространяется внутри кристалла по этой
оси, то при выходе из кристалла волна распространяется
по боковой поверхности конуса (внешняя коническая
рефракция).
§ 28. ОПТИЧЕСКАЯ СИММЕТРИЯ КРИСТАЛЛОВ
До сих пор мы занимались только общим
диэлектрическим тензором (sj^j). Он зависит (поскольку Qik~4i)
от шести параметров. Мы можем их сосчитать не только
по самой тензорной схеме, но и при помощи ее
геометрической аналогии, эллипсоида Френеля. Последний
определяется длинами его трех главных осей и их положением
в пространстве, которое задается тремя угловыми
параметрами. Кристалл без свойств симметрии носит
название триклинного. Ему соответствует общий тензор (е./^).
Если кристалл имеет одну плоскость симметрии^), то
он называется моноклинным. С этой плоскостью симметрии
^) Нам здесь достаточно говорить только о плоскостях
симметрии. На более тонком различии, которое связано с рассмотрением
осей симметрии, зеркально-поворотных осей и центра симметрии
мы можем вначале не останавливаться.—Я/>ил«. авт.

206 Гл, IV, Кристаллооптика
должна совпадать одна из главных плоскостей
эллипсоида Френеля. Этим будут определены два угловых
параметра из трех. Остаются еще произвольными только
поворот координатных осей в этой плоскости и длины трех
главных осей. Число 6 уменьшается при этом до 1+3=4.
Это можно сосчитать также и по схеме s.^^. Если мы для
удобства вместо Е^ и -D. напишем х^ и г/р то эта схема
будет иметь следующий вид:
у2 = 612^:1 4- ?22^2 + ^23^3, B8.1)
Уг ^^ ^13^1 "Г ^23^2 "f" ^33^3*
Пусть, например, плоскости симметрии соответствует
индекс 2. Тогда схема должна остаться без изменения, если
заменить Xg на —Х2 и одновременно у2 на —у2»
Получается (при перемене всех знаков во второй строке)
Уг = ^11^1 — ^12^2 "г ^13*^3»
2/2 = — ^12^1 + ^22^2 — ^23^3» B8.1а)
у г ^^ ^13*^1 — ^23^2 — ^33*^3*
Это только тогда совместно с B8.1), если e^g = О и 823 = 0.
Тогда тензорная схема сводится к виду
<4i О ei3\
О 622 О . B8.2)
-13 о взз/
Если кристалл обладает двумя плоскостями
симметрии, то они должны быть перпендикулярны друг к другу
и, следовательно, должна существовать третья плоскость
симметрии, перпендикулярная к ним обеим. Кристалл
называется тогда ромбическим (точнее, орторомбиче-
ским). Три главные оси эллипсоида Френеля определяются
симметрией кристалла; в предыдущей схеме еще 813 = 0.
Схема сама собой свелась к диагональной форме,
соответствующей главным осям е^, ?2, г^.
Во всех трех рассмотренных до сих пор случаях эллип-^
соид Френеля остается трехосным. Тогда, как 1^ы видели
в § 26, существуют две оптические оси (оси изотропии),
положение которых мы вычислили через три главные ско-

§ 28. Оптическая симметрия кристаллов 207
рости света (три главные диэлектрические постоянные).
Мы констатируем: триклинные, моноклинные и
ромбические кристаллы оптически двуосны.
Когда из трех главных осей ромбической системы
две осп кристаллографически равны друг другу, возникает
тетрагональная система. Тогда эллипсоид Френеля
становится эллипсоидом вращения, так же как, разумеется,
и эллипсоид индексов. Мы имеем одну выделенную ось —
ось вращения; все перпендикулярные к ней оси
равноценны. Омбилические точки эллипсоида сливаются с осью
вращения; обе оптические оси совпадают. Но это же будет
иметь место также и тогда, когда кристалл имеет ось
симметрии шестого или третьего порядка (пятый порядок
исключается по основному закону «рациональных
индексов», так же как и все порядки выше шестого). Это
будет в случаях гексагональной и ромбоэдрической (три-
гональной) систем. И тогда эллипсоид Френеля будет
эллипсоидом вращения и оптические оси совпадают с его
осью вращения. Тетрагональные, гексагональные и ромбо-
эдрические кристаллы оптически одноосны.
Что же произойдет, если длины всех трех осей,
различные в ромбической системе, станут кристаллографически
равными? Тогда эллипсоид станет шаром, вследствие того,
что ei = 82 = e3~s» все направления осей ведут себя
в отношении диэлектрических свойств одинаково. Такой
кубический кристалл диэлектрически изотропен.
Поваренная соль NaCl, сильвин КС1, плавиковый
шпат Сар2 и т. п. с оптической точки зрения не являются
кристаллами; они не обладают двойным
лучепреломлением.
Таким образом, семь систем кристаллов распадаются
в отношении оптических свойств только на три группы:
на двуосную, одноосную и на оптически изотропную.
Основание для столь значительного упрощения следует
видеть в том, что уравнения B8.1) связывают друг с
другом две векторные величины (напряженность поля и
индукцию). В теории упругости, где связаны друг с другом
две тензорные величины (напряжение и деформация),
соотношения значительно более дифференцированы (ср.,
например, т. II, § 40), так же как и в теории электро-
стрикции, пьезоэлектричества и т. п.

208 Гл. IV. Кристаллооптика
Этим обстоятельством объясняется также и то, что
мы здесь могли исходить из кристаллографических систем,
которые отличаются только гомоэдрическими формами
(полногранники), и что мы могли совсем не учитывать
подразделение по гемиэдрическим формам (полугран-
ники). Последнее приобретает значение лишь в
систематике 32 кристаллографических классов, которая, кроме
плоскостей симметрии, привлекает к рассмотрению также
и другие, здесь не учтенные элементы симметрии (см.
предыдущее примечание), и этим полностью описывает
возможные соотношения симметрии пространственных
направлений. Однако, /в соответствии с нашим
современным пониманием кристаллической структуры, полная
симметрия пространственного расположения элементов
кристалла охватывается лишь 230 пространственными
группами (Федоров, Шенфлис^)). Кристаллооптика ничего
не может сказать по этому поводу; это в состоянии
сделать только рентгеновский анализ (ср. § 32).
В одноосном случае построения, знакомые нам для
двуосного случая, значительно упрощаются. Принимая
во внимание, что 81 = 82=7^63, введем обозначения
а, = Ио = Wa — обыкновенная волновая скорость,
\ B8.3)
Из = ^е ~" необыкновенная волновая скорость; ^ ^
соответственно v^—обыкновенная, v^—необыкновенная
лучевая скорость. Тогда на фиг. 33 одна из главных осей
(а или Ь) эллиптического сечения будет лежать в
экваториальной плоскости эллипсоида индексов, другая —
в его меридиональной плоскости, проходящей через
оптическую ось; плоскостями поляризации
соответствующих волн являются меридиональная плоскость или к ней
^) Зоммерфельд неправильно ставит в оцав ряд с знаменитым
русским кристаллографом Федоровым немецкого математика Шен-
флиса, по существу, сыгравшего лишь роль популяризатора идей
Федорова. 230 пространственных групп симметрии были впервые
установлены Е. С. Федоровым. Иностранные ученые знакомились
с Федоровскими группами главным образом по более поздней книге
Шенфлиса, в которой эти группы были выведены иным способом,
В своей книге Шенфлис подчеркивает приоритет Б. С. Федорова
и его исключительный авторитет. См. подробнее Е. С. Федоров,
Симметрия и структура кристаллов, М., 1949 (в серии «Классики
науки»).—Ярил#. ред.

S 28. Оптическая симметрия кристаллов
209
перпендикулярная (проходящая через направление
распространения, но не через оптическую ось) плоскость.
То же будет справедливо для построения направлений
луча в эллипсоиде Френеля.
Особенно упрощается форма поверхности лучей. В ее
уравнении B6.136) теперь может быть вынесен за скобки
(в силу того, что Ui=-U2 = Uq) не только множитель v^,
Фиг. 39. Поверхность лучей оптически одноосного
кристалла.
а—одноосный положительный кристалл tto > Щ* пример—
кварц; б—одноосный отрицательный кристалл щКщ,
пример—известковый пшат.
НО также и множитель uj—г;^. Уравнение B6.136)
преобразуется к виду
{^1+^1 + Ч - о {(«? + ^1) <+^1 < - «} = о
и, следовательно, распадается на шар с радиусом щ и на
эллипсоид вращения
55 + Si , 51
= 1,
B8.4)
которые касаются в концах диаметра $з= ± ^о- Этим
доказывается предсказанная Гюйгенсом форма поверхности
излучения в известковом шпате.
В зависимости от вида касания шара и эллипсоида
различают положительные и отрицательные оптически
одноосные кристаллы (фиг. 39).
Несколько менее просто выглядит волновая
поверхность (поверхность нормалей). Она распадается на шар

210 Гл. IV. Кристаллооптика
с радиусом и^ и на поверхность вращения четвертого
порядка, которая носит название «овалоида»,
iS\ + ^\ + П) {^\ + SH ?| - <) = \\ {ul - ul): B8.5)
В изотропном предельном случае и^ = Uq уравнение
B8.4) переходит в шар с радиусом м^, и поэтому
поверхностью лучей будут две одинаковые соприкасающиеся
сферы. Одновременно, уравнение B8.5) вырождается в
произведение шара с радиусом нуль (изолированная двойная
точка) и шара с радиусом Wq.
§ 29. ОПТИЧЕСКИ АКТИВНЫЕ КРИСТАЛЛЫ
И ЖИДКОСТИ
При помощи структурной теории кристаллов можно
было бы физически обосновать чисто
феноменологические рассуждения этой главы, начиная с выражения
B4.1), так как при суммировании по структурным
элементам, расцоложенным в виде решетки, различные
направления в кристалле оценивались бы по-разному в
отношении диэлектрических свойств. Точно так же и теория
дисперсии, изложенная в гл. III, могла бы быть
распространена на кристаллическое состояние. «Оптическая
активность», т. е. вращательная способность известных
классов кристаллов, казалось бы даже непосредственно
требует некоторого углубления в структурную теорию,
примерно в том объеме, как это было сделано в книге Борна
«Оптика» (§ 75 и 84). В противоположность этому в п. 1
и 2 мы покажем, что также и здесь можно обойтись
значительно более кратким феноменологическим изложением;
структурные представления нам будут нужны только
в отдельных случаях для наглядного объяснения
результатов.
Об оптической активности жидкостей и оптически
изотропных кристаллов мы расскажем в п. 3, правда,
очень кратко, несмотря на очень большое теоретическое
значение этого вопроса для стереохимии и его
практическую важность для промышленности. Более подробное
рассмотрение принудило бы нас углубиться в структуру
молекул больше, чем это совместимо с характером
настоящих лекций. По этому вопросу мы отсылаем к § 84 и 99

f 29. Оптически активные кристаллы и окидкости 211
упомянутой книги Борна и к цитированным там
работам Борна, Осена и Куна.
1. Вектор гирации винтообразных кристаллических
структур. Мы можем сокращенно записать нашу
линейную векторную функцию B4.1) в форме
/),. = (е,,.)^д, B9.1)
где Sy^j образуют вещественный симметричный тензор.
Отказываясь от вещественного е, мы заменим Sy^ через
^у/1 + ^Тул- Добавленные члены -], которые
предполагаются малыми, не должны, однако, иметь омического
диссипативного характера, как в комплексной
диэлектрической постоянной металлооптики, а должны
быть консервативного характера, как гироскопические
члены механики (ср. т. I, § 30), и следовательно, как
и последние, должны составлять антисимметричный
тензор. Это значит: если мы вычислим из уравнений
Максвелла, форму которых мы сохраняем в силе, плотность
электрической энергии Жв=^ A/2) (DE), то fy/i не должны
ничего к ней добавлять.
Чтобы выяснить подробнее этот вопрос, вместо B9.1)
напишем
А=Ы^/. + 1Ы^/. B9.2)
И получим
J л i h
Здесь доля, вносимая f» обращается в нуль при
произвольном значении составляющих Е не только тогда, когда
все т равны нулю, но уже при выполнении условий
Но это и есть условия антисимметрии тензора f- Отсюда
мы также заключаем о необходимости существования
множителя i при тензоре f ^)- Если i{'\) не было чисто
1) Физически множитель i происходит оттого, что D зависит
не только от напряженности поля Е в рассматриваемой точке, но
также и от поведения Е в окрестности этой точки и, следовательно,
зависит, кроме Е, также и от его пространственных производных.
Однако дти производные при волновом характере Е вносят с собой

212 /"л. IV. Кристаллооптика
мнимым а имело бы вещественную часть, то последняя
вошла бы в тензор е и исказила бы его симметрию,
которая, как мы знаем, необходима по общим энергетическим
соображениям.
Как известно, антисимметричный тензор (fy^j) всегда
можно заменить вектором у с составляющими
Ti = Тгз = "~ Тз2» Тг "= Тз1 = "" Ti3> T3==Ti2= ""T2i*
Если мы это сделаем, то получим
2ti/i^/i = T3^2-T2^3=-[yE]i и т. д.
i
При ЭТОМ уравнение B9.2) принимает вид
/г
Мы назовем у вектором гирации. Он представляет
собой не полярный, а аксиальный вектор, как и вектор
угловой скорости (D в т. I, § 22. Напомним их главные
свойства. Аксиальные векторы изображаются при помощи
соответствующей оси с указанием направления и величины
вращения. При инверсии системы координат (замена
X, г/, Z на —X, —г/, — z) они не изменяют своих знаков.
Векторное произведение аксиального и полярного
векторов будет полярным вектором. Правая система
координат переходит при инверсии в левую систему координат.
Однако при этом изменяется так:те и направление
вращения +1 комплексной плоскости на — i.
Рассмотрим кристалл, обладающий центром
симметрии. Уравнение B9.3) тогда должно быть инвариантно
по отношению к инверсии. При инверсии составляющие
полярных векторов D и Е меняют свои знаки так же,
как и составляющие [уЕ]. Но так как и i меняет свой
знак, то знак последнего члена в B9.3) остается без
изменения. Поэтому уравнение B9.3) после инверсии имеет вид
-А=~22^7г^л-^*[ТЕ];- B9.3а)
множитель I. С атомной точки зрения это сводится к влиянию
соседних ионов, которые находятся в другом поле, чем рассматриваемая
точка. Для того чтобы эти влияния не уничтожались взаимно,
кристаллическая решетка должна обладать известной степенью
асимметрии.—Я/?ал1. авт.

§ 29, Оптически активные кристаллы и о*сидкости 213
Это совместимо с уравнением B9.3) только в том случае,
если [уЕ] = 0. Таким образом, наше условие
инвариантности для кристаллов, обладающих центром симметрии,
требует, чтобы у = 0. Вектор гирации мо:н€ет быть только
у кристаллов без центра симметрии. В каждой из шести
кристаллографических систем находятся примеры
таких кристаллов без центра симметрии. Их важнейшим
представителем является кварц (кремневая кислота SiOg).
Отнесем уравнение B9.3) к главным диэлектрическим
осям i, 2, 3; тогда мы получим
D^ = г^Е^ - if3^1 + ifi^3, B9.4)
Этим уже оговорено, что направление у> вообш;е говоря
(например, в случае триклинного кристалла без центра
симметрии), отнюдь не определяется главными
диэлектрическими осями ^). По-другому обстоит дело в случае кварца
с его главной осью третьего порядка. Вектор гирации
должен подчиниться этой симметрии, совпав с главной
осью. Таким образом, должно быть Ti —Т2~0, Тз = Т»
причем из B9.4) получается
В^^г^Е^ + щЕ^,
D^^^E^^i^E^, B9.4а)
В^ = е^Е^,
2. Вращение плоскости поляризации в кварце. Здесь
мы поступим точно так же, как и в § 26, только вместо
соотношения Dj = SjEj используем предыдущие уравнения
B9.4а). При этом к прежним уравнениям B6.8) добавятся
^) Для кристаллов, обладающих осью симметрии, эта ось будет
одной из главных осей сильметричного тензора е. Если через ось
симметрии проходит плоскость симметрии или перпендикулярные
оси симметрии, то все главные оси тензора е будут закрепленными
в кристалле. Таким образолг, для кристаллов с достаточно высокой
симхметрией главные оси тензора s являются фиксированными.
Наоборот, при низкой сихмметрпп их направление не является
полностью заданным или даже остается совсем произвольным (в случае
триклинных кристаллов) и может изменяться в зависимости от
разных факторов. То же относится и к вектору -{.—Прим. ред.

214 Гл. IV, Кристаллооптика
поправочные члены, которые будут различны для
направлений /=1, 2, 3. Так, для /=1 мы получим вместо
B6.8)
B9.5)
Введем сокращение
ii: = S SjZ.B^ + i^{s,B^-s^B^). B9.5a)
Тогда вместо B6.9) после умножения на [Aq и введения
обыкновенной и необыкновенной главных скоростей
света Мо = (siP-o)"'''= B2Р'о)~'^'> «в = BзР'о)""'^^ получим
A-1) B, + ii.,^B,^i.,s,K; B9.6)
и соответственно для / = 2 и / = 3
D-^)^2-ФоТ51 = М2^; B9.7)
(^-1)Бз = (.о.з/«:. B9.8)
Умножим выражения B9.6)—B9.8) на
\ul х>^ ) \ul v'J \ul V^J
соответственно и составим их сумму
Utt v^ I w
Здесь первый член слева обращается в нуль, так как s
перпендикулярен к Е. Однако и второй член равен нулю
с точностью до членов выше первого порядка. А именно,
мы можем здесь в силу наличия стоящего впереди
множителя 7 в качестве приближенных значений для Bi и В2
взять значения из B6.9). Так как, согласно B6.9), Bi и fig
пропорциональны Si и ^2, то S1B2 — S2B1 будет, по
крайней мере, цервого порядка относительно f. Поэтому

§ 29, Оптически активные кристаллы и мсидкости 215
правая часть B9.9) будет обращаться в нуль, по крайней
мере, с точностью до членов второго порядка. Так как
К Ф О, то с той же самой точностью будет также
5?+si
1 1
U2 V^
<:2
1 *з
1 1 1
в
B9.9а)
Это есть наше прежнее уравнение B6.10), но только для
частного случая одноосного кристалла. Следовательно^
поверхность лучей оптически активного кристалла сов-
падает с точностью до членов второго порядка
относительно f с поверхностью- лучей неактивного кристалла.
Однако это справедливо только «в общем случае»,
а именно, только тогда, когда в левой части уравнения
B9.9) знаменатель во втором члене сам не будет мал и
поэтому не скомпенсирует малости ^ в числителе.
Соотношение v^'^ul соответствует лучу с направлением,
близким к направлению оптической оси. Для такого луча
^1 и 52 —величины первого порядка малости; согласно
B9.5а), того же порядка будет и К, так как вследствие
выполнения условий поперечности колебаний также и В^
будет величиной первого порядка малости. Следовательно,
правые части уравнений B9.6) и B9.7) являются
величинами второго порядка малости по отношению Si и ^2
и поэтому могут быть вычеркнуты. В то время как
уравнение B9.8) в первом порядке выполняется само собой,
указанные уравнения принимают вид
1
B9.10)
±i.
*о о- у I
Умножение на написанные справа множители и
комбинирование дают два уравнения:
B9.11)
*0
которые должны выполняться одновременно. Если ми
удовлетворим первое уравнение, сделав равным нул1в

216 Гл, IV. Кристаллооптика
посредством выбора t^ множитель слева, то второе
уравнение мы должны удовлетворить, положив равным нулю
второй множитель, и наоборот. Это дает два решения для
г;2, соответственно двум оболочкам поверхности лучей,
которые мы раньше различали посредством г;' и ь"\
соответствующие им значения В мы будем также
обозначать посредством одного и двух штрихов. Наши оба
решения тогда имеют вид
^з-^ + М=0, В\-1В'г = 0, B9.11а)
4-1^-М = 0, .BI + tB5 = 0. B9.116)
Они означают две противоположно поляризованные по
кругу волны, которые распространяются со скоростями
^]j=tto(lT|). g-^HV^l, B9.12)
и направление обхода которых представляется отличными
от нуля комплексными величинами В\-\-1В2 и Bi — iBl
соответственно.
Для наглядного пояснения сказанного служит фиг. 40>
которая, однако, в отличие от фиг. 39, а, относится не
к линейно поляризованным, а к поляризованным по кругу
волнам. Обе оболочки поверхности лучей в местах их
пересечения с оптической осью, где они раньше, имея
форму шара и эллипсоида, соприкасались, теперь удалены
друг от друга на расстояние
v'-v'^Uog. B9.13)
При всех остальных направлениях лучей, в которых
оболочки уже на фиг. 39, а лежали раздельно, такое
добавочное разделение может не учитываться как поправка
второго порядка; в этих направлениях, в частности также
в направлениях, перпендикулярных к оптической оси,
мы имеем дело с обыкновенным двойным
лучепреломлением линейно поляризованных волн.
Так же как и в § 20, из различия v' и v" можно сделать
заключение о вращении плоскости поляризации. Пусть
линейно поляризованная волна падает на кларцевую
цластинку, вырезанную перпендикулярно к оцтачосцоц

§ 29. Оптически активные кристаллы и (жидкости 217
V'V"
оси. Представим себе, что волна разложена на две
одинаковые круговые волны, противоположные только по
направлению обхода. При прохождении толщины
пластинки / фаза одной волны отстает от фазы другой. При
выходе обе круговые волны соединяются снова в одну
линейно поляризованную волну. Однако ее плоскость
поляризации отличается от
первоначальной, а именно, она будет
повернута на угол Ху который по
B0.11) пропорционален толщине/
и разности к^^к^; поэтому он
также пропорционален разности
v" — v'y которая на оптической оси
совпадает с разностью волновых
скоростей гг" —- и'. Подчеркнутое в
конце § 20 различие между
магнитным и «естественным»
вращением плоскости поляризации
происходит от того, что при обратном
направлении луча фигурирующий
у нас здесь вектор гирации,
связанный со структурой кварца,
остается неизменным по знаку, в
то время как входившая там
напряженность поля меняла свой
знак.
Отсутствие центра симметрии
как необходимое условие выражено в кварце в крайне
резкой форме. Существуют «правые и левые кварцы»,
характеризующиеся появлением несовместимых «тра-
пецоидальных поверхностей», которые справа или слева
отсекают гексагональный столбик кристалла «горного
хрусталя». Вращательная способность у киновари HgS
во много раз сильнее, чем у кварца. Также и у
оптически двуосных кристаллов (тростниковый сахар, сегне-
това соль) найдена оптическая активность в
направлениях осей (Фохт, Поклингтон). В кубических
кристаллах, где каждое направление является главной осью
и одновременно оптической осью, оптическая
активность, если она вообще имеется, проявляется в каждом
раправлении; примером является хлорат натрия NaClOa;
Фиг. 40. Поверхность
лучей оптически
активного одноосного
кристалла (в
противоположность фиг. 39, а, фиг. 40
относится к волнам
с круговой
поляризацией).

^18
Гл. IV, Кристаллооптика
отсюда можно заключить, что в таких кристаллах
оптическая активность зависит не от пространственного
расположения структурных элементов кристалла, а от
структуры самих этих элементов, и поэтому она должна
сохраняться в растворе или в расплавленном состоянии.
Поэтому активность кубических кристаллов, так же как
и активность некубических кристаллов, возможно,
остающаяся при превращении в жидкость, принадлежит к той
категории явлений, которую мы рассмотрим в п. 3.
3. Оптически активные жидкости. Здесь речь идет
не об определенной пространственной структуре, как
Фиг. 41, Две несовместимые формы оптически
активной молекулы.
в случае кристалла, а о молекулах ^исидкости,
статистически произвольно ориентированных в пространстве. При
усреднении по всем возможным положениям последних
введенный при помощи выражения B9.3) вектор гира-
ции Y сводится к «постоянной гирации» т- Однако
необходимая для активности степень несимметрии теперь
больше, чем в кристалле: молекула не должна обладать не
только центром симметриПу но также и плоскостью
симметрии. Это будет иметь место в случае несимметрично
связанного атома углерода, четыре валентности которого
связывают четыре различных атома пли радикала.
Существуют два взаимно несовместимых расположения его
четырех замещающих, которые относятся друг к другу,
кеш^ предмет и его зеркальное изображение, как винты
с правой и левой нерезкой. На фиг. 41, а последователь-

§ 29. Оптически активные кристаллы и жидкости 219
г ¦ III. , ш
ность i?i /?2 /?з--»7?4 образует винт с правой нарезкой, на
фиг. 41, б —винт с левой нарезкой. Они не могут быть
совмещены движением в трехмерном пространстве.
Примером этого являются два вида сахара: виноградный
сахар (декстроза) и плодовый сахар (левулоза);
вращательную способность их растворов, так же как и их
смесей, можно легко определить с большой точностью. При
смеси с одинаковым количеством право- и левовращающих
молекул говорят о «рацемическом» состоянии. На важное
значение измерений активности для сахарной
промышленности мы уже указывали в конце § 20.
Для макроскопического наглядного объяснения
молекулярных процессов этой оптической активности Линдман
[37] предложил свой опыт с моделями, который может
быть воспроизведен следующим образом. Картонная
коробка содержит несколько сот насыпанных в полном
беспорядке проволочных спиралей, диаметром около
2 см, содержащих от одного до двух витков с одинаковым
направлением намотки, которые завернуты в папиросную
бумагу и этим изолированы друг от друга. На коробку
падает электромагнитное линейно поляризованное ди-
польное излучение с длиной волны около 10 см у которое
можно представить себе разложенным на право- и
лево-поляризованные по кругу волны. Благодаря
наличию металлических спиралей одна из этих двух волн
будет ускорена в своем движении, другая—замедлена. За
коробкой они снова соединяются в линейно
поляризованную волну, направление колебаний которой будет
повернуто по отношению к падающей волне. Это может
быть показано при помощи вращения связанной с
детектором линейной антенны, служащей анализатором,
которая настроена на первичное излучение. Вращение
может быть скомпенсировано при помощи второй такой
же коробки, которая содержит столько же спиралей с
противоположным направлением намотки. Совместное
действие обеих коробок соответствует рацемической
смеси.
Этот красивый модельный опыт должен послужить
в качестве замены собственно молекулярной теории
оптического процесса, от изложения которой мы здесь, к
сожалению, до-^жны отказаться.

220 Гл. IV. Кристаллооптика
§ 30. ПРИЗМА НИКОЛЯ, ПЛАСТИНКА В ЧЕТВЕРТЬ
ВОЛНЫ, ТУРМАЛИНОВЫЕ ЩИПЦЫ И ДИХРОИЗМ
1. Призма Николя. При рассмотрении структурной
модели известкового шпата СаСОд получается
впечатление, что его структурные элементы Са"^* и СОг"
расположились бы кубически, как структурные элементы Na*
и СГ каменной соли, если бы протяженный в плоскости
треугольный радикал СОд (в противоположность шаровому
иону С1) не выдвигал особых пространственных
требований. Суш;ествование последних приводит к тому, что из
кубической структуры каменной соли посредством
растяжения в стороны или, что то же самое, при помощи
сплющивания кубической модели по одной из его
пространственных диагоналей возникает ромбоэдрическая
структура. При этом указанная диагональ, которая уже в
кубическом случае представляет собой ось третьего порядка,
переходит в главную ось третьего порядка,
являющуюся одновременно оптической осью ромбоэдрического
кристалла.
Основной формой такой ромбоэдрической
кристаллографической структуры является состоящий из 3 -f- 3
ромбов рол1боэдр, который легко можно изготовить
вследствие того, что кристалл превосходно раскалывается по
ограничивающим его поверхностям. Известен
прозрачный, как стекло, «двоящий» исландский шпат, на котором
двойное лучепреломление впервые было открыто Барто-
линусом и изучено Гюйгенсом.
Призма Николя (собственно, не призма, а косоугольный
параллелепипед) изготовляется из полученного
раскалыванием ромбоэдра, который в длину примерно в 3 раза
больше, чем в толщину. Торцевые поверхности ромбоэдра
АВ и CD (фиг. 42, а) сшлифовывают под углом в 68° к его
длинным ребрам (вместо естественного угла « 70^^52')
в конечных точках В' и С" первоначальных торцевых
поверхностей АВ' и CD, нанесенных на фиг. 42, а
пунктиром. Изготовленный таким образом параллелепипед
разрезается по плоскости, перпендикулярной к торцевым
поверхностям АВ и CD, Обе половинки I и II снова
склеиваются посредством канадского бальзама. Показатель
цррломдения канадского бальзама составляет 1,55, обд

§ 30. Приама Николя^ пластинка в четверть волны
221
главных показателя преломления известкового шпата
составляют
/1о = 1,66, n, = l,49. C0.1)
Для обыкновенного луча канадский бальзам представляет
собой менее плотнуюу лляяеобыкяовеияого —более
плотную среду. Обыкновенный
луч может вступить в
бальзам только тогда, когда
его угол падения меньше
угла полного внутреннего
отражения, который,
согласно § 5, дается
выражением
_1,55
81папред.-7бб»
апред. = 69^10'. C0.2)
Если бы угол падения
совпадал с углом,
образованным шлифованной
поверхностью, равным 68"^ (в чем,
собственно, и заключалась
цель выбора этого угла),
то это означало бы, что
луч, идуш;ий внутри
кристалла параллельно его
длинным ребрам,
претерпевал полное внутреннее
ompa^fcenue от граничного
слоя. В еще большей
степени это будет
справедливо для луча, который в
воздухе падает на
граничную поверхность АВ в
направлении, параллельном
длинным ребрам
кристалла, так как этот луч при
преломлении отклонится в сторону параллельной к AD
нормали N и, следовательно, внутри кристалла образует
более острый угол с плоскостью разреза, чем только что
в
Фиг. 42. Призма Николя.
а—разрез, параллельный ее длинным
ребрам; б—ход лучей (прохождение
сквозь призму необыкновенного
луча е, полное внутреннее отражение
обыкновенного луча о); в—вид
сверху на базисную поверхность призмы;
положение плоскости поляризации
обозначено через РР, направление
электрических колебаний — через Е.

222 Гл. IV, Кристаллооптика
упомянутый предельный луч полного внутреннего
отражения. Таким образом, этот луч и лучи, падающие с ним
рядом в определенной области, не проникают во вторую
половину (//) кристалла, а отбрасываются на длинную
поверхность BD, Последняя зачернена, и поэтому все
обыкновенные лучи поглощаются.
По-иному обстоит дело для необыкновенного луча,
для которого бальзам является более плотной средой;
для него полное внутреннее отражение исключено
(фиг. 42, б). Кроме того, поскольку п^ < Mq, он при
вступлении в известковый шпат будет менее сильно отклонен
преломлением к нормали N, После прохождения
бальзама луч проходит в известковом шпате // параллельно
своему направлению в / и выходит из кристалла
параллельно своему направлению входа, т. е. на фиг. 42,6
параллельно длинным ребрам призмы. Его плоскость
поляризации совпадает с плоскостью поляризации
необыкновенного луча в известковом шпате, а именно (см. § 28),
она параллельна оптической оси и ее положение задается
более длинной диагональю торцевой поверхности призмы,
представленной на фиг. 42, е.
Таким образом, призма Николя создает линейно
поляризованный свет с известным направлением колебаний]
так как колеблющийся в перпендикулярном направлении
свет при помощи полного внутреннего отражения
погашается, то поляризация будет полной.
Из двух НИКОЛ ей, помещаемых на пути лучей и
могущих вращаться вокруг своих продольных осей, первый
называется поляризатором, второй—анализатором. Если
анализатор расположен перпендикулярно к поляризатору
и между ними нет никакой среды с двойным
лучепреломлением или с оптической активностью, то получается
темнота; при вращении анализатора поле наблюдения будет
просветляться до достижения максимальной яркости при
параллельной установке.
Интересные различия в интенсивности и в цвете,
которые получаются при внесении между николями дву-
преломляющей кристаллической пластинки в
параллельном свете, и еще значительно более интересные картины,
которые возникают в сходящемся свете, будут
рассмотрены , в § 31.

§ 30. призма Николя, пластинка в четверть волны 223
2. Пластинка в четверть волны и компенсатор Бабине.
Слюда (щелочной силикат глинозема) представляет собой
моноклинный кристалл, превосходно раскалывающийся
по базисной поверхности. Специально для оптических
целей представляет интерес прозрачная калиевая слюда
KHgAlg (8104K, называемая мусковитом.
Кристаллографическая ось второго порядка идентична с нашей главной
диэлектрической осью 2, базисная поверхность — с
плоскостью главных осей i, 2
(фиг. 43). Перпендикулярная
к оси 2 плоскость является
• кристаллографической
плоскостью симметрии; в ней
лежит, кроме главной
диэлектрической оси 3 и обеих
оптических осей, еще
кристаллографическая ^) ось 3'
(начерченная на фигуре штрих-
пунктиром); две другие
кристаллографические оси 1 и
2 тождественны
соответственно с i и 2. Структурная
модель слюды наглядно
поясняет слоистую структуру слюды и ее исключительную
раскалываемость по базисной поверхности.
Это свойство используют для получения очень тонкой
слюдяной пластинки. Пусть на тонкую пластинку
перпендикулярно падает линейно поляризованный николем луч
света, направление которого на фиг. 43 совпадает с
направлением 3. Николь установлен так, что проекция
плоскости поляризации делит угол между осями 1 и 2
пополам (на фигуре обозначено штрих-пунктиром); для
удобства направления этих осей отмечены* на боковой грани
пластинки. Луч света разлагается на две линейные волны
с одинаковой амплитудой и направлением
распространения, которые не преломляются (ср. § 27, п. 2) и которые
Фиг. 43.
Кристаллографическая модель слюды.
^) Угол Э между двумя кристаллографическими осями 1' и 3'
составляет 95', т. е. мало отличается от 7i/2. Благодаря этому
слюду раньше считали ромбической или гексагональной, в
соответствии с часто встречающимся шестиугольным ограничением ее ба-
висной поверхности, которое представлено на фиг. ^Ъ.--Прим, авт.

224 Гл. /Г. Кристаллооптика
колеблются соответственно в направлениях осей 2 и 2.
Они распространяются с главными скоростями света
»1 и Wg. Соответствующие им показатели преломления
в желтом свете (/)-линия) составляют
wi = 1,5941, 712 = 1,5997. C0.3)
Таким образом, одна волна обгоняет другую. После
прохождения толш;ины X разность фаз составляет
(Ag '—ki)x = k (Л2 — Til) x = Y (^2 ~ ^i) ^9 C0.4)
где к и X—волновое число и длина волны в воздухе. Обе
волны выходят через заднюю сторону пластинки при x = d
не преломившись; следовательно, они распространяются
в одинаковом направлении и поляризованы в
перпендикулярных друг к другу плоскостях. В то же время их
фазы, бывшие первоначально одинаковыми, теперь стали
различными. При соединении возникает эллиптически
поляризованный свет.
Если разность фаз C0.4) для x = d точно равна ^/2,
т. е.
| = ^(„,-„0d, d = ^^^y C0.5)
ТО будет круговая поляризация. Из C0.3) и C0.5)
получается для X = 5,9 • 10 * мм:
d = ^тъ~Ш ^^ ~ ^'^^^ ^^' (^^-^^^
Название «пластинка в четверть волны» может ввести
в заблуждение (особенно экзаменуюш;егося!): ее толщина
равна не Х/4, а, к счастью, Х/4, умноженному на
величину, обратную малой величине Wg —Wi. Вместо 'к/2 мы
могли бы, конечно, подставить в C0.5) любое нечетное
кратное от 7с/2, тогда d получилось бы в 3, 5,... раз
боЛьше, чем по C0.5а). Однако эти более толстые
пластинки оптически менее удобны вследствие их более
сильной дисперсии, чем, собственно, пластинка в
четверть волны.
Слюда отличается от любого другого кристалла,
обладающего двойным лучепреломлением, только своей
крайне высокой способностью раскалываться. Формула

S 30, Призма Николл, пластинка $ четверть волны
225
C0.4) для разности фаз может быть применена при
любой толщине такого кристалла. Если мы, кроме того,
отшлифуем кристалл, например кварц, в форме клина и
будем наблюдать свет, проходящий через его различные
толщины, то на верхней стороне клина будет представлена
вся шкала разностей фаз. Так как здесь речь идет о
двойном лучепреломлении, а не о вращении плоскости
поляризации, то это устройство необходимо изготовить так,
чтобы свет проходил через
кварцевый клин перпендикулярно
к оптической оси.
Пусть штриховка нижней
половины передней поверхности
на фиг. 44 указывает
положение оптической оси: последняя
лежит, таким образом,
перпендикулярно к проходящему
через О ребру клина. Изготовим
второй подобный по внешности
первому кварцевый клин, у
которого, однако, оптическая ось
параллельна ребру клина О'О',
и положим его гипотенузнои поверхностью на первый
клин, так, чтобы они вместе образовали
плоскопараллельную пластинку. Положение оптической оси на верхнем
клине указано точками на его передней поверхности. Пусть
в рассматриваемом месте его толщина равна а^г» ^ '^^•^'*
щина первого клина равна х^. Соответствующие разности
фаз, согласно C0.4), равны
Фиг. 44. Компенсатор
Бабина из кварцевых клиньев.
2к,
2ic.
Здесь мы должны (как в одноосном кварце) писать п^
и По, вместо «1 и Wg (какв двуоснойслюде). Отрицательный
знак появляется в связи с тем, что положение клина
перевернуто по отношению к направлению
распространения света. Поэтому полная разность фаз равна
Д = х(^в-Ло)(л:1-а^2)- C0.6)
Пластинка вместе со скрещенными николями (поляриза*
тор находится под пластинкой, анализатор — над нга,

226 Гл. IV. Кристаллооптика
плоскости поляризации установлены под углом в 45° по
отношению к ребрам клина) составляет компенсатор Бабине.
При монохроматическом освещении в месте rc2"~^i видна
темная полоса (а именно, в середине пластинки,
вследствие того, что А=0, будет наблюдаться гашение, как
если бы между скрещенными николями не было бы
никакой среды, обладающей двойным лучепреломлением).
Это же справедливо для всех мест, для которых А= ±2тс,
± 47U, ...; таким образом получается система
равноотстоящих темных полос. При микрометрическом
перемещении одного клина по отношению к другому
перемещается и система полос. Такой же эффект вызывает любая
исследуемая пластинка, обладающая двойным
лучепреломлением, помещаемая на пути лучей между николями
при соответствующей 45-градусной установке последних.
Наблюдаемое при этом смещение полос может быть
сведено к нулю при помощи смещения клина (отсюда
название «компенсатор»). Отсчитанное по микрометру
смещение клина является, согласно C0.6), мерой двойного
преломления внесенной пластинки, т. е. мерой для ее
Wg — Uq или щ — щ^
При освещении белым светом в компенсаторе тоже
наблюдается темная средняя полоса a:2=^i> но справа
и слева от нее видны ньютоновские цвета тонких
пластинок.
На многочисленных видоизменениях этой конструкции
мы не будем останавливаться.
3. Турмалин и поляризационные фильтры. Турмалины
представляют собой силикаты бора различного
химического состава. Они кристаллизуются согласно одному из
подтипов гексагональной системы, не обладающему
центром симметрии, и имеют «полярную главную ось», что
обусловливает их пироэлектрические свойства^). При
соответствующем выборе материала пластинка, вырезанная
параллельно главной оси, просвечивает зеленым, пластинка
же, вырезанная в перпендикулярном направлении, выгля-
^) Постояппый электрический момент турмалина, который
обычно скомненсирован поверхностными зарядами,
обнаруживается при изменениях температуры.—Прим. шет.

§ ЗФ, Прылмл Hu/HfAAf плйстинкй в четверть $длни Ht
дит почти что черной. Турмалин обладает дихроизмом.
В общем случае говорят о плеохроизме (многоцветной
окраске).
Поглощение в турмалине зависит, таким образом, от
направления, но, естественно, обладает той же
симметрией, что и структура кристалла. Это же будет
справедливо для всех поглощающих кристаллов. В турмалине
обыкновенный луч почти полностью поглощается,
необыкновенный же— только слабо. Из параллельной к главной
оси пластинки практически выходит только один
необыкновенный луч; свет почти полностью линейно поляризован.
На этом основаны издавна известные «турмалиновые
щипцы».
Технически эффективные «поляризационные фильтры»
в настоящее время получают из пропитанных каучуко-
образных веществ, которые подвергаются сильному
натяжению. Поглощающий пигмент при этом располагается
анизотропно и осуществляет полную поляризацию
проходящего света. Также действуют обладающие сильным
дихроизмом красящие вещества (метиленовый голубой
краситель), которые, как ледяные узоры, тонким слоем
выкристаллизовываются на стекле.
В § 6, предполагая, что металлы изотропны, мы учли
их поглощение, добавив к диэлектрической постоянной
член проводимости ifo/o). Таким путем мы пришли к
комплексной диэлектрической постоянной е' F.1). Если это
перенести на кристалл, то придем к комплексному тензору
(s') = (e,^ + i^). C0.7)
состоящему из диэлектрической постоянной и
проводимости.
Разница, по сравнению с выражением B9.2),
заключается в следующем. Там тензор f^vi должен был
действовать безваттно и поэтому должен был быть
антисимметричным. Теперь же он действует диссипативно, как при
отражении от металлов, и поэтому его можно считать
симметричным. Его главные оси не обязаны совпадать
с главными осями тензора е ^); действительным будет
только правило симметрии, уже использованное в § 29:
^) Си. примечание на стр. 213.—Прим, ред.

228 Гл. IV. Кристаллооптика
если главные оси одного тензора полностью определяются
кристаллографически, то полностью определяются и
совпадают с ними также и главные оси другого тензора. При
этом предположении, которое для турмалина выполняется
в силу его гексагональности, вычисления § 24 и
следующих могут быть без изменений формально перенесены
на поглощающие кристаллы. Тогда получим комплексные
главные диэлектрические постоянные, вследствие чего
будут также комплексными главные скорости света,
определяемые выражением B4.66). Волновые скорости,
соответствующие заданному направлению волнового вектора,
снова будут определяться квадратным уравнением B5.10).
Так как корни и' и и" комплексны, то такими же будут
соответствующие составляющие электрических векторов
D' и D". Поэтому последние представляют теперь не
линейно, а эллиптически поляризованные колебания.
Отсюда видно, что количественная теория анизотропного
поглощения, в частности для достаточно симметричных
кристаллов, не требует, собственно говоря, никаких
новых математических методов. Так как поглощение,
так же как и двойное лучепреломление, в общем случае
зависит от длины волны, то отсюда получается общая
схема для объяснения плеохроизма кристаллов.
§ 31. ИНТЕРФЕРЕНЦИОННЫЕ ЯВЛЕНИЯ
В КРИСТАЛЛИЧЕСКИХ ПЛАСТИНКАХ В ПАРАЛЛЕЛЬНОМ
И СХОДЯЩЕМСЯ ПОЛЯРИЗОВАННОМ СВЕТЕ
Пусть кристаллическая пластинка представляет собой
тонкий шлиф, какой обычно применяется в петрографии.
Представим себе, что он помещен между двумя в общем
случае скрещенными призмами Николя. Свет мы
предполагаем монохроматическим, если только мы не будем
определенно говорить о белом свете. При наблюдении в
параллельном свете лучи падают на пластинку
перпендикулярно. Под «сходящимся» светом мы понимаем
устройство из собирающих линз, расположенных перед
пластинкой и за ней (см. ниже), которое делает возможным
одновременное наблюдение всех параллельных пучков лучей,
проходящих через пластинку в произвольных, но но
очень сильно отличающихся от нормальных направлениях.

§31. Интерференционн. явления в кристаллических пластинках 229
В кристаллической пластинке выделяются два
«главных напраплспия колебаний», а именно, главные оси того
эллипса, который вырезается поверхностью пластинки
(одновременно являющейся плоскостью волны) из эллипсоида
Френеля (или из эллипсоида индексов). Пусть пластинка
находится между нпколями в «диагональном положении»;
это значит, что угол между ее двумя главными
направлениями колебаний делится пополам плоскостью
поляризации поляризатора (следовательно, и перпендикулярной
к ней плоскостью поляризации анализатора). Тогда амг
плитуды разложенного по обоим главным направлениям
падающего сцета будут равны, так же как и фазы, так
как они возникли в поляризаторе из линейного
колебания. Амплитуды выходящего из пластинки света также
равны, так как мы предполагаем, что кристалл
прозрачен (не обладает дихроизмом); но обе фазы^ как мы ниже
подсчитаем, будут различны. Поэтому при соединении
рыходящих составляющих получается интенсивность,
отличная от падающей. Эта интенсивность меняется от
максимальной яркости до полной темноты, если, вращая
кристалл, выводить его из диагонального положения. Мы
можем в дальнейшем не учитывать малые разности в
интенсивности, возникающие при входе и выходе света.
1. Параллельный свет. Волновым скоростям и' и и"
обоих главных колебаний (фиг. 45) соответствуют два
показателя преломления rii^cfu' и П2 = с/и''. Как и в
C0.4), они определяют разность фаз между обеими
волнами, после прохождения кристаллической пластинки
толщиною d следующим образом:
Д = ^(п2~пОй. C1.1)
Если обозначить амплитуду волны, падающей из
поляризатора (положение РР на фиг. 45) на пластинку, через а,
то при диагональном положении пластинки начальные
амплитуды обоих колебаний, возникших из а, будут
а/У 2. После того как колебания прошли пластинку,
их можно представить в форме
V2
{2пг , 2«i .1
-r-md -T-n2dl
е ^ или е ^ } (
»-iu>f

290
Г л, IT, Криеталлбоптипл
что мы запишем в виде
-^= {1 или е«^} ехрГ^n^d^mt^. C1.2)
Будем проектировать их на плоскох^ть колебаний
анализатора (АА на фиг. 45), причем в отношении их знака ука^
жем на соответствующие сплошные линии на фигуре;
Фиг. 45. Кристаллическая пластинка в
перпендикулярно падающем параллельном
свете при различном положении главных
направлений колебаний Я^ Ь^ Js. Н[, Яд.
тогда для амплитуды результирующего колебания в
анализаторе получим
-|-|1-е"|. C1.3)
Теперь
|l-eiA|2^(l-eU)(l.-.6-iA) = 2-2cosA = 4sin2|..
Поэтому из C1.3) получим
asm
Л '
C1.4)
Если мы повернем пластинку из диагонального
положения на угол 9 V установим в положении Щ^ Н'^

§31. Интерференционн, явления $ кристаллических пластинках 231
СМ. пунктирные линии на фиг. 45), то для начальной
амплитуды вместо а/у 2 получим
aj = acosr ~ —ср J , a2 = acosr~ + cp } • C1.5)
Величина «i проектируется на плоскость анализатора
с множителем cosT^ + cp j, величина а2 — с множителем
cos Г "Т""? ) • Поэтому эти величины с точностью до знака
равны друг другу и равны
а cos Г— — (f) cos Г~ + ср j = Y (cos^ ср — sin^ <f) = у ^^^ ^'^'
Отсюда для амплитуды результирующего колебания в
анализаторе вместо C1.3) и C1.4) следует
а' = а I cos 2ср | sin у C1.6)
и для наблюдаемой интенсивности
/ = /oCos2 2cpsin2A, C1.7)
где /о""интенсивность падающего на пластинку света.
Наблюдаемая в анализаторе интенсивность, согласно
C1.7), 4 раза изменяется при одном полном повороте
пластинки от максимальной яркости при диагональных
положениях
? = 0, |, ^, Y C1.8)
до полной темноты при совпадении Я^, Н!^ с Р или с А
7t on DK /71 /rjj о \
"f^T' T' T' T- (^^^-^^^
При монохроматическом освещении пластинка кажется
(исключая случай затемнения) на всем своем протяжении
одинаково яркой.
При освещении белым светом в положениях C1.8а)
снова царит темнота; но в промежуточных полонсениях
пластинка окрашена в составной цвет (снова одинаковый
для всей пластинки).

232 Гл. IV. Кристаллооптика
Только при очень тонких или очень толстых
пластинках цоет остается белым: при очень тонких пластинках
потому, что не существует такой длины волны, для
которой Д/2 достигло бы значения тг; для очень толстых
пластинок потому, что тогда имеется очень много
распределенных по всему спектру мест, в которых Д/2 равно
целому кратному от 1г. В последнем случае спектр (не
смешивать с видом пластинки!), хотя и содержит большое
число темных полос, все же сохраняет характер спектра
белого света. При умеренно тонких или умеренно толстых
пластинках получается одна или несколько таких полос.
Отсутствие соответствующих длин волн и различие в ин-
тенсивностях прочих действующих длин волн
обусловливает отличие цвета от белого и определяет характер
смешанного цвета, который воспринимает наш глаз, когда
мы смотрим на пластинку. Если вести наблюдение не
через скрещенные николи, а через николи,
установленные параллельно, то наблюдается точно дополнительный
смешанный цвет и полная освещенность вместо
темноты.
Значительно более интересной будет картина, если
речь идет не об однородном кристалле, а о мозаике из
кристаллических блоков, например о граните, состоящем
из полевого шпата, кварца, слюды, роговой обманки и т. д.
Тогда при прохождении белого света каждая составная
часть появляется в своем цвете, который, кроме материала,
зависит от ее ориентации по отношению к плоскости
пластинки. При вращении тонкого шлифа различные
кристаллические блоки гасятся под различными углами
поворота, так как их главные направления Hi, Н2
расположены в пластинке беспорядочно; соответственно и их
яркость будет различной при различных положениях
пластинки. На наблюдениях такого рода основана
значительная часть петрографических методов исследования.
Мы здесь не будем рассматривать соотношений,
получающихся при косом расположении поляризатора и
анализатора.
2. Сходящийся свет. Как уже было сказано вначале,
и при этом способе наблюдения речь также идет о парал^
лельных пучках лучей, которые, однако, проходят чер98

§31, Пнтерференционн, явления в кристаллических пластинках 233
пластинку по всевозможным
направлениям, близким к ее
нормали, и одновременно
направляются посредством
собирающей линзы и (фиг. 46) в
помещенной вОглаз./"'
является фокальной плоскостью
линзы L', на которую (при помощи
лупы или микроскопа)
аккомодирован глаз. F представляет
собой фокальную плоскость
собирающей линзы L.
Источником света служит протя:нсен-
ная светящаяся поверхность,
которую следует себе
представить расположенной под F\
однако за ходом лучей нам
необходимо следить лишь начиная
с их прохождения через F.
Линза L превращает первоначально
расходящиеся лучи, например,
исходящие из -Р, в
параллельный свет; L' превращает
параллельные лучи, выходящие из
кристаллической пластинки, в
сходящиеся, например, в
собирающийся в Р' свет.
Поляризатор следует представлять
расположенным под Fy а
анализатор—между F' и О.
Нарисованные на фиг. 46
лучи, идущие в К параллельно, ^ ^ г. 46. Кристалличе-
X екая пластинка при осве-
не могут интерферировать, так щ,^^^ ,сходящимся)> све-
как они приходят из различ- том, т. е. пучками парал-
ных точек светящейся поверх- лельных лучей светового
ности; поэтому они складыва- конуса, имеющего конеч-
m выи раствор относительно
ются по интенсивностям. То, нормали к пластинке,
что мы, как это показано на
фиг. 46, имеем дело с параллельными пучками
значительной ширины, делает возможным количественное
наблюдение явления в Р\

234
Гл. IV, Кристаллооптика
Р'
Естественно, что интерферировать будут только такие
два луча, возникшие в результате двойного
лучепреломления в К, которые выходят из К параллельно друг другу
и происходят от одного и того же приходящего из Р луча,
падающего на iiT в том же направлении (фиг. 47). Фиг. 47
показывает, как вычисляются разности фаз из световых
путей АС, АВ и BD, причем каждый путь необходимо еще
умножить на соответствующее волновое число к. Фиг. 47
указывает также на то, что оба интерферирующих луча,
которые в пластинке образуют
углы преломления р^ и рз»
могут быть приближенно
заменены (при не слишком больших
Pi» Р2) начерченным пунктирно
лучом со средним
направлением р. Нетрудно вычислить (см.
задачу 3 к гл. IV), что обе
распространяющиеся в этом
направлении волны имеют
разность фаз А, которая, как и в
формуле C1.1), дается
выражением
Фиг. 47. К расчету
разности фаз лучей ABD (угол
Pi) и АС (угол р2)»
возникающих при двойном луче
преломления.
X
cos р
-^d.
C1.9)
Этот луч р, как и лучи, принадлежащие к Pi, Pg»
направлен к той точке Р' фокальной плоскости F (см. фиг. 45),
в которой Д имеет значение C1.9). Тогда для
интенсивности в этой точке, которая будет наблюдаться из О,
можно написать по аналогии с C1.7):
/ = /oCos2 2cpsin2-^,
C1.10)
где J о обозначает интенсивность волны, падающей в
точке -4, а угол ср зависит от положения николя по отношению
к главным направлениям колебаний пластинки и, кроме
того, от направления луча р.
Согласно C1.10), имеем
/ = О (погасание),
C1.11)

/ 31. Интерференционна явления в кристаллических пластинках 28Ь
если Д / 2 = §7г {g — целое число). По C1.9) отсюда следует
d_
Теперь
cosp = 5^(Ai2-ni). C1.12)
с с
где й', «" — две волновые скорости, соответству10ш;ие
направлению р. Поэтому мы получим
d /" с с \ cd и* — и*
, с с \ cd и' — и* /о^ ^о\
^°^P = i7lir^-T^; = i7^7ir-- C1.13)
Согласно этой формуле, мы должны определить для
волновой поверхности Френеля такие направления* p = Pj^, для
которых выполняется предыдущее уравнение. В одноосном
случае, в котором одна оболочка волновой поверхности
представляет собой шар и^ и^, а другая —овалоид B8.5),
обладающий симметрией врап1ения, осью симметрии
которого является оптическая ось, это будет сравнительно
простой алгебраической задачей, которой, однако, мы
здесь не можем заниматься.
Мы сразу же перейдем к полностью симметричному
случаю, когда пластинка кристалла перпендикулярна
к оптической оси. Угол преломления р лежит тогда в
меридиональном сечении овалоида, и каждый конус р=const
вырезает из овалоида окрг1:н€ность. Поэтому также
и в фокальной плоскости F, согласно условию C1.13),
получается семейство концентрических окружностей
Р = р1. Р2. ..-.Рр C1.14)
на которых интенсивность обращается в нуль. Их
радиусы зависят по C1.13) от отношения rf/X; разность между
двумя следующими друг за другом радиусами все более
уменьшается при увеличении g.
Однако по формуле C1.10) погасание будет иметь место
не только в случае sin (Л/2)=0, который приводит к C1.14),
но и в случае cos2'.p=0, который указывает на два
взаимно перпендикулярных направления погасания:
<Р=±Т. C1.45)

236 Гл. IV. Кристаллооптика
На фиг. 48 представлен известковый шпат (толщиною
^/з мм) в натрпепом cticre между скрещенными ппколямп.
Система коппентрцческпх окружностей соответствует
значениям р C1.14), темный крест, который совпадает с
положением плоскостей поляризации в обоих николях,
соответствует значениям ср C1.15). Картина, снятая в белом
свете, была бы цветной и содержала бы гораздо меньше
интерференционных окружностей. Кривые Д = const
называют изохроматами, так как каждая из них окрашена
в свой собственный составной цвет.
На фиг. 49 показана кварцевая пластинка (толщиной
7 мм, вследствие меньшего, по сравнению с известковым
шпатом, двойного лучепреломления), снятая таким же
образом. Э,та фигура отличается от фиг. 48 тем, что
середина картины освещена, что указывает на вращение
плоскости поляризации в кварце вдоль его оптической
оси. Освещенный участок представляет собой
непосредственную копию представленного на фиг. 40 зазора
между обеими оболочками лучевой поверхности.
На фиг. 50 снова представлен известковый шпат,
только вырезанный параллельно оптической оси и в
диагональном положении между николями. Темный крест
отсутствует, изохроматы представляют собой равносторонние
гиперболы. Вообще можно показать, что при
произвольном направлении разреза одноосного кристалла из
окружностей, изображенных на фиг. 48, возникают конические
сечения; действительно, они будут вырезаться плоскостью
пластинки из кругового конуса р = const.
Фиг. 51 дает пример пластинки ромбического двуосного
кристалла церуссита PbCOg, вырезанной перпендикулярно
к средней линии обеих оптических осей и установленной
в диагональном положении. Крест погасания, изображен*-
ный на фиг. 48 и 49, распределяется здесь по обеим
оптическим осям. Изохроматы теперь уже не являются
коническими сечениями, как в случае одноосных кристаллов,
а представляют собой кривые четвертого порядка
(лемнискаты). Чудесно наблюдать в поляризационном
микроскопе, как великая художница — природа геометрически
точно рисует это многообразие картин и расцвечивает
их светящимися красками!

Глава V
ТЕОРИЯ Д11ФФРАКЦИИ
Под диффракцией мы понимаем любое отклонение
света от прямолинейного хода лучей, если только оно
не может быть истолковано как отражение или как
преломление; последнее, очевидно, имеет место только тогда,
когда радиусы кривизны поверхностей тел, вносящих
искажение в прямолинейный ход лучей, везде велики по
сравнению с длиной волны света.
Явление тени, которое представляло трудности для
элементарной волновой теории, впервые было объяснено
при помощи теории диффракции. Вместе с этим,
вследствие диффракции, граница тени становится размытой
и распадается на диффракционные полосы. Благодаря
теории диффракции была преодолена противоположность
между геометрической оптикой и волновой оптикой.
Геометрическая оптика представляет собой
предельный случай (X—^0) волновой оптики. В этом предельном
случае нет диффракции. Поэтому, в противоположность
обычному преломлению, лучи с большей длиной волны
претерпевают более сильное отклонение, чем лучи с
меньшей длиной волны. Вообще говоря, при диффракции
красный конец спектра сильнее отклоняется от
геометрического хода лучей, чем фиолетовый, обратно тому, что имеет
место при преломлении в призмах. Венцы ^) вокруг Солнца
или Луны представляют собой диффракционные явления,
обусловленные неравномерно распределенными
капельками воды в слое тумана, которые особенно отчетливо-
выражены, если капельки примерно одинаковой величины.
^) Венцы—цветные кольца вокруг Солнца, Луны или ярких
звезд, возникающие при наличии в воздухе водяных капелек или
ледяных частичек. Радиус этих колец зависит от размеров частиц
(см. ниже, стр. 258).^Прим. ред.

238 Гл, F. Теория диффракции,
Их внешний край окрашен в красный цвет. Гало^) вокруг
Солнца или Луны возникают из-за преломления в
кристаллах льда в тонких перистых облаках; последовательность
цветов, если она вообще видна, обратная: красный цвет
внутри, фиолетовый снаружи. Радуга, как известно,
в основных чертах была объяснена уже Декартом как
преломление и отражение внутри дождевых капель;
однако полное объяснение этого явления представляет
собой трудную диффракционную проблему.
В обыденной жизни невооруженному глазу явления
диффракции, вообще говоря, недоступны из-за слишком
малой интенсивности и слишком малого масштаба. Однако
существуют исключения. Когда мы смотрим сквозь
тонкую ткань (например, через раскрытый зонтик) на
далекий источник света, то мы имеем перед собой красивую
цветную картину, как и в двухмерной решетке Фраунго-
фера. Когда мы, сильно прищуриваясь, смотрим на
далекую свечу, то наши ресницы представляют собой (сильно
искаженную) решетку и раскладывают свет свечи в
естественный спектр.
В § 32 и 33 мы рассмотрим такие явления, при которых
трудности, связанные с малой интенсивностью,
устраняются увеличением числа элементов, на которых
происходит диффракция: диффракцию от правильной решетки,
при которой амплитуды колебаний увеличиваются
вследствие интерференции, и диффракцию от нерегулярно
распределенных центров, при которой складываются
только интенсивности, Диффракция, соответствующая
отдельному элементу решетки или отдельной частице, при
этом не играет существенной роли. Последняя будет
рассмотрена с различной степенью приближения в § 34
и в последующих параграфах. Для ее визуального наблю-
^) Гало—оптические явления, возпикаюшие вследствие прело*
мления света в ледяных кристаллах облаков и туманов, а также
вследствие отражения света от их граней. Наиболее часто
наблюдаются гало в виде светлых KpyioB вокруг Солнца или Луны с
радиусом в 22 и 46°, упоминаемые ниже (см. стр. 258); кроме того, могут
наблюдаться и более сложные формы.—Прим. авт.
Перистые облака являются самыми высокими (средняя высота
7—10 км, максимальная до 20 км) и состоят из ледяных
кристаллов.—Прим, ред.

§ 32, Теория диффракции 239
--¦•--¦--- I ¦"——ИГ" г
дения или фотографической регистрации служат, смотря
по обстоятельствам, зрительная труба или лупа.
В то время как до сих пор мы обходились плоскими
волнами, теперь вступит в свои права сферическая волна.
Только в следующих двух параграфах и позже при фра-
унгоферовской диффракции мы еще будем иметь дело
с плоскими волнами. Классическая теория диффракции,
основанная на принципе Гюйгенса, оперирует в
основном со скалярной сферической волной.
§ 32. ТЕОРИЯ ДИФФРАКЦИИ
1. Линейная решетка. Первая диффракционная
решетка была изготовлена Фраунгофером. Она состояла
из параллельно натянутых тонких проволок. Позже он
применял покрытые копотью стеклянные пластинки, на
которых он делал нарезки делительной машиной так,
что на стекле получалась система равноотстоящих
прозрачных штрихов. Оригинальные изделия Фраунгофера
выставлены в «Немецком музее» в Мюнхене.
Широко известны и лишь не намного превзойдены
и в настоящее время отраэн:ательные решетки Роулэнда,
Они содержат до 1800 отдельных штрихов на 1 мм
отражающей металлической поверхности, в целом несколько
сотен тысяч штрихов, причем является существенным
безошибочное равенство расстояний между штрихами^)
по всей длине решетки.
Направление штрихов решетки примем за
направление оси г/; штрихи следуют на расстоянии d друг от друга
в направлении оси х] их общее число равно Л^. Плоскость
падения соинадает с плоскостью xz\ z = О —плоскость,
в которой лежат штрихи решетки. Падающий свет
является белым, но направлен параллельно идеальным
коллиматором. Волновые векторы к монохроматических
составляющих белого света образуют с осью х направляющий
косинус а^ (а^ —теперь косинус не угла падения, а так
называемого «угла блеска», дополнительного к углу
падения).
^) Периодически повторяющиеся нерегулярности делительной
машины вызывают цоявление «духов», т. е. ложных линий в диф-
фракционном спектре.—Прим* авт.

240
Гл. V. Теория диффракции
Представим себе, что из каждого штриха решетки
исходит цилиндрическая волна. Мы называем это, как
обычно «диффракцией», но могли бы вместо этого использовать
более общее слово «рассеяние». Волны, исходящие из
различных штрихов решетки, способны друг с другом
интерферировать, так как все они происходят от одной
и той же волны.
Рассмотрим фиг. 52 и вспомним аналогичные фиг. 9
и 47, на которых также разбирался вопрос о разности фаз
между соседними лучами. Луч, исходящий из штриха
решетки О, с направляющим
косинусом а по отношению
к оси X обгоняет луч,
исходящий из Р, на отрезок
0B-i?P = arf~aorf,
где d = OP — «постоянная
решетки». Поэтому разность
фаз между обоими лучами
равна
L^kd{a^aL^), А=у. C2.1)
Фиг. 52. К определению
разности фаз в случае
отражающей решетки.
Для того чтобы обе волны максимально усиливались
интерференцией на достаточно большом расстоянии от
решетки в направлении, заданном лучами, разность фаз
должна быть равна тс, умноженному на четное число.
Условием для этого является
а —ао = А-г,
C2.2)
где А — положительное или отрицательное целое число.
Случай А = О дает правильное отражение а = ао; /г — ± 1
соответствует спектру первого порядка, справа или слева
от правильно отраженного света; /г = ±2 соответствует
спектру второго порядка и т. д.
Если мы соединим вместе цилиндрические волны с
одинаковой разностью фаз, исходящие из различных
штрихов решетки, то на расстоянии, большем, по сравнению
с постоянной решетки, возникает плоская волна. В
случае C2.2) она имеет максимальную амплитуду; если же

/ 32. Теория диффракцих* 241
nmi 11 iTi 111 II III ¦ I »¦ II rn I ¦¦ I* ¦¦III I til I ,
A равно тс, умноженному на нечетное число, то ее
амплитуда будет равна нулю. Зависимость от А при заданном X
видна из вычисленной ниже кривой интенсивности,
приведенной на фиг. 53. Для наблюдения плоской волны
служит, по Фраунгоферу, зрительная труба,
установленная на бесконечность.
Тот факт, что в случае решеток мы, действительно,
имеем дело со спектрами, т. е. с разложением цветов,
следует из того, что, согласно C2.2), а —а^ зависит от длины
волны: различные цвета отклоняются по различным
направлениям. Разность а —UQ тем больше, чем больше X;
красный цвет будет отклонен сильнее, чем фиолетовый.
Дисперсия, т. е. разделение различных цветов, прямо
пропорциональна X; решетка дает в шкале длин волн
нормальный, количественно правильный спектр пада-
юш;его белого света. Далее, дисперсия прямо
пропорциональна порядковому номеру h (она во втором порядке
вдвое больше, чем в первом). Поэтому точные
измерения длин волн предпочтительно производят в спектрах
второго или третьего порядка. Наконец, согласно C2.2),
дисперсия обратно пропорциональна.^. Этим объясняется
большая плотность штрихов в решетках Роулэнда.
Исключением является порядок h =• О, при котором
а —a^j не зависит от цвета. Спектр нулевого порядка
дает белый свет.
Суп^ествует некоторая критическая граница h = йкр.»
которая соответствует а ^ 1. В этом случае диффракцион-
ный свет направлен параллельно плоскости решетки,
подобно отраженной волне в предельном случав полного
внутреннего отражения [38, 39, 40]. И при h > йкр. диф-
фракционная волна движется вдоль плоскости решетки,
но она представляет собой не обычную плоскую волну
а неоднородную волну, точно так же, как в случае
полного внутреннего отражения.
Мы покажем, что практически решетка дает чистые
спектральные цвета. С этой целью мы должны оценить
остроту вычисленного в C2.2) максимума, для чего мы
перейдем от рассматриваемого до сих пор белого света
к одноцветному свету с заданным X.
Мы будем определять излучение, исходяш;ее из
произвольного штриха решетки в направлении а, при помощи

242 Fs. V. Теория диффракции
амплитудного множителя /(а), который будет одинаков
для всех штрихов и который может рассматриваться как
функция, медленно изменяющаяся в пределах а—±1
(положительная и ^отрицательная оси). Пусть следующие
друг за другом борозды решетки имеют абсциссы
^о> • • •» ^п> • • м ^лг-1, а:„ = Хо + nd.
Для колебательного состояния, исходящего из п-й
борозды решетки в направлении а, мы можем написать
(опуская временной множитель), независимо от того,
идет ли речь о векторах Е, D или Н,
u^-f (а) ехр [ik {ах + ^z) + шД], C2.3)
причем мы сошлемся на § 36, где будет указан смысл
/(а) и дано последовательное обоснование этого
выражения; А —разность фаз, определенная согласно C2.1). В
результате совместного действия всех штрихов имеем
» = S ^п = / (а) ехр [ik {ах + Tz)] S, C2.4)
5-V,inA_l-^^^^ ^^^^^^ siniVA/2 32 4а)
n«iO
Переходя от амплитуд к интенсивностям, получим
/=|«1'' = /^(аI'5Г = /'(«)^|У^. C2.5)
Интенсивность слагается из двух частей. Первая часть,
соответствующая отдельной борозде, плавно меняется
с изменением а, вторая часть, возникающая при наличии
последовательного ряда борозд, очень быстро меняется
с а —а^.
Первоначальная интенсивность падающего света
входит в первую часть. На фиг. 53 представлена зависимость
второй части от а —а^^. Ее главные максимумы лежат,
согласно C2.1) и C2.2), в местах, где
| = uA. C2.6)

^ 32. Теория диффращии
243
Они входят в C2.5) в форме О/О; предельное значение,
вычисленное известным способом (по Лопиталю), одно
и то же для всех h и равно N^.
Кроме этого, существуют еще побочные максимумы,
которые соответствуют быстрым колебаниям числителя.
Так как знаменатель меняется медленно, то их положение
шк^
vAL
А
d
аДуЛуу/
w^aAI
А(\Л/ч^^аА^".^^
2Х
d
Фиг. 53. Зависимость функции ..." от а —ао=--7г-.
достаточно точно определяется максимумами числителя
и, следовательно, вблизи А-го главного максимума
дается выражением
4 = ^0'+2]v)' ' = (!)> 3, 5. C2.6а)
Значение v = 1 мы взяли в скобки, так как
соответствующий ему подъем перекрывается краем главного
максимума. Высота этих побочных максимумов равна
sin2v7i/2iV ^ ^2^2 •
Первый из рассматриваемых побочных максимумов
составляет, таким образом, 4/97:2 . 1/22 величины главного
максимума, высота которого равна iV^, для второго имеем
4/25ir2 ^ 1/62 и т. д. Они следуют друг за другом на очень

244 Гл. V. Теория даффракции
малых расстояниях XjNd. Между ними интенсивность
падает до нуля.
Вычислим полуширину 2Дн главного максимума,
которая наглядно изображена у левого края фиг. 53, Она
определяется из уравнения
Sin2iVArT/2 Л72
-iE^ = T' C2.66)
В котором правая сторона представляет собой половину
максимальной интенсивности. Так как Ан наверняка
очень мала, то можно в левой части синус в знаменателе
заменить его аргументом. Тогда получим
X'
.2
ъш^х^^, C2.6в)
где x=:N^hI2>. Решение уравнения sinx = xlY2
находим из таблицы синусов: х ^ 80"^, что соответствует 1,38
и, следовательно, Ан = 2 • 1,38/iV. Полуширина равна
удвоенному значению этого Дя и, следовательно,
равна 5y5/N. Она чрезвычайно мала в силу большой
величины N. Отсюда можно заключить, что главные
максимумы, принадлежащие соседним цветам, в каждом спектре
располагаются рядом друг с другом без заметного
перекрытия и что, следовательно, не происходит смешения
цветов. Это, конечно, не исключает возможности
перекрытия концов спектров различных порядков, вследствие
возрастающей с h дисперсии спектров, что может явиться
причиной появления смешанных цветов. Действительно,
сразу видно, что, например, красный конец спектра
второго порядка перекрывает фиолетовый конец спектра
третьего порядка, так как 2Хк. > ЗХф. вследствие того, что
Хк, j^ 2Хф..
Наконец, нам необходимо еще умножить на
множитель /^ вторую часть нашего выражения для интенсивности
C2.5), представленную на фиг. 53. Величина /^, вообще
говоря, непрерывно уменьшается с увеличением |а|
и поэтому снижает интенсивность спектров с большими h
сильнее, чем спектров с меньшими /г. Однако это будет
справедливо только «вообще говоря». В конкретных
случаях ход / целиком зависит от формы борозды (от формы
алмаза делительной машины). Функция / может и не

§ 32. Теория диффращии 245
быть четной функцией от а; например, спектры h > Смогут
иметь преимущество па сравнению со спектрами А < 0.
Может даже случиться, что основная часть интенсивности
будет сосредоточена в одном единственном спектре, что
при известных обстоятельствах может быть особенно
желательным. Подробнее об этом будет сказано в § 36.
2. Двухмерная решетка. Если решетка состоит из
двух систем штрихов, которые пересекают друг друга под
прямым (или же под косым) углом, то говорят о
двухмерной решетке. В этом случае мы получим на освещенной
поверхности решетки двухмерное множество темных
прямоугольников (или параллелограммов). Вместо этого можно
также рассматривать двухмерную систему светлых
прямоугольников (ср. приведенный выше пример раскрытого
зонтика) или светлых пятен какой-либо другой формы
(например, окружностей) на темном фоне. Также и в этом
случае мы будем говорить о двухмерной решетке.
Примем, как и в случае линейной решетки, что
плоскость решетки совпадает с плоскостью ху. Для
удобства изложения представим себе, что наша двухмерная
система расположена вдоль осей ж и г/, т. е. является
прямоугольной. Тогда суммирование по пв формуле C2.4)
необходимо заменить двойной суммой по п^ и п^.
iVi-liV2-l
5= 2 S ехр[ш1А1 + Ш2Д2]; C2.7)
27trf, (а -ар) . _ 27;(/г(р-ро)
^1 = 1 , ^2 ^ .
Выполнив суммирование и перейдя к интенсивностям
вместо C2.5), полупим
J=P{<^,^) з1ц2д^/2 8Ш^Д,/2 • C2.8)
Главные максимумы интенсивности получаются теперь,
согласно C2.1) и C2.2), в том случае, когда
^i-lTzhi п одновременно A2 = 2ir/z2, C2.8а)
где hi и Ло —любые положительные плн отрицательные
целые числа. Соответстпующгто им цаправленпя а и -i

246 Гл. V, Теория диффракции
диффрагированных лучей определяются, согласно C2.7),
условиями
^-S = ^i^^, Р-Ро = Л2^. C2.9)
Соответствующая интенсивность пропорциональна
N\Nl, Если выполнено только одно из условий C2.8а),
то интенсивность будет пропорциональна N\ или Щу
и, следовательно, будет исчезающе мала по сравнению
с интенсивностью главных максимумов. Побочными
максимумами, рассмотренными в C2.6), можно также
пренебречь по сравнению с главным максимумом. Так как,
согласно C2.9), каждому X соответствует определенная
пара-значений а, р, то в каждом случае,
характеризуемом соотношением C2.9), получается полный спектр
цветов. Спектры расположены в направлении оси х, если
/?2 = О, и в направлении оси у, если /г^ == 0. В общем случае
{III ^ Оу h^ ф 0) они расположены радиально, т. е.
направлены к средней точке а^, р^. Только в этом месте свет не
разложен в спектр, а остается белым. Разумеется, снова,
из-за множителя /^(а, р) в C2.8), наружные спектры
весьма многообразной полихроматической картины,
возникающие подобным образом, будут, вообще говоря,
сильно ослаблены.
3. Трехмерная решетка. Поставим сначала вопрос о
том, как можно осуществить трехмерную решетку. Ни
делительная машина, ни наслоение тончайшей ткани,
сложенной во много раз, не дает нам решетки, пригодной для
оптических целей. Лауэ пришла гениальная мысль о том,
что природа сама предоставляет нал! идеальную
пространственную решетку в виде свободного от искажений непо-
1 лощающего кристалла, однако пригодную не для
оптической области, а для гораздо более интересной
спектральной области рентгеновских лучей. При этом, разумеется,
необходимо заметить, что последние в 1912 г. еще совсем
не были изучены и только благодаря открытию Лауэ они
смогли быть исследованы количественно. Для оптических
целей кристаллические решетки слишком мелки, для
анализа же рентгеновских лучей они как раз обладают
нужным по порядку величины размером ячеек. Действп-

§ 32. Теория диффракции 247
тельно, расстояние между атомами в кристалле примерно
той же величины (несколько ангстрем, 1 А = 10'® еж),
что и длина волны мягких рентгеновских лучей, точно
так же как расстояние между штрихами роулендовской
решетки приближенно совпадает с длиной волны красного
света (V2t*> 1[х = 10'* сл«).
Для того чтобы получить по возможности более
наглядные формулы, мы здесь ограничимся частным случаем
ромбических кристаллов. Вместе с тем мы подчеркиваем,
что и общий случай триклинных кристаллов также не
представляет при применении косоугольной системы
координат никаких трудностей.
Пусть длины ребер ромбической элементарной
ячейки будут а, 6, с (при нашем прежнем способе записи этому
соответствовали бы обозначения d^, d^, d^). Тогда,
перенося формулу C2.19) на случай трехмерного пространства,
мы непосредственно получим основные уравнения Лауэ:
a-a„ = Ail; ^-^,=^h,^, ^-^„^Лз^. C2.10)
Здесь, конечно, содержатся частные случаи
тетрагональной и кубической систем {Ь = а или с = Ь = а).
В методе Лауэ дело идет о просвечивании тонких
кристаллических пластинок. В частности, Фридрих и Книп-
пинг в первых своих снимках весной 1912 г. применяли
такие пластинки из цинковой обманки ZnS, которые были
вырезаны вдоль оси симметрии третьего или четвертого
порядков. Кристалл здесь действует не как
отражательная, а как пропускающая решетка. Выходящие из
кристалла лучи дают на поставленной сзади фотографической
пластинке поразительно красивую «диаграмму Лауэ».
Для вычисления интенсивности служит
соответственным образом обобщенная формула C2.8). Число N
элементов решетки, принимающих участие в процессе, здесь
определяется толщиной пластинки кристалла и поперечным
сечением первичного рентгеновского луча. Вместо
/(а, Р) в формуле C2.8) появляется «атомный фактор»,
вызвавший много дискуссий в теории анализа кристаллов.
Отличие от теории двухмерной решетки заключается
в том, что теперь три уравнения C2.10) при произвольном
наперед заданном X между собой не совместны в силу

248 Гл. V. Теория диффракции
наличия условия а^ + р^ _|_ ^2 _^ j ^ В то время как
двухмерная решетка создает полные спектры по всем X,
пространственная решетка действует избирательно.
Каждому пятну Лауэ соответствует свое собственное X; при этом
одному X могут соответствовать в силу симметрии
несколько пятен (например, 8 для снимков кристаллов цинковой
обманки, вырезанных вдоль оси симметрии четвертого
порядка). Полихроматизм спектра двухмерной решетки
в известной мере переносится и на диаграмму Лауэ, так
как каждое пятно Лауэ выделяет из падающего
«рентгеновского света» определенный «цвет».
Мы подтвердим это аналитически, сложив найденные
из C2.10) и возведенные в квадрат выражения для а, р, f
и приняв во внимание условие aj -f- PJ + То = 1 • ^
результате получим, после сокращения на общий множитель X
X=-2(«„^ + Po'f + To^)/(|-+# + -!l-). C2.11)
После того как мы установим для каждого пятна Лауэ
порядковые числа интерференции h^ Ag, Ag, будет также
известна (при известной кристаллической структуре)
и соответствующая каждому пятну длина волны. Отсюда
также видно, что в методе Лауэ применяется сплошной
рентгеновский спектр (так называемый «белый
рентгеновский свет» или «спектр торможения»), в
противоположность методу Брэгга.
Прежде чем перейти к последнему, сделаем на
основании уравнений C2.10) еще одно заключение. Составим
сумму квадратов левых частей C2.10)
(а-0Со)' + (Р~Р«)' + (Т-То)'=1-2(аа, + рр, + ТТо) + 1 =
= 2-2cos2a = 4sin2&. C2.12)
Здесь 2Ь означает угол между падающим лучом а^, р^, у^
и диффрагированным лучом а, р, ^ (фиг. 54). Поэтому Ь
есть угол, который образует падающий (а также и
отраженный) луч с плоскостью Е, делящей пополам угол
между обоими лучами. Рассмотрим теперь сумму
квадратов правых частей C2.10), а именно:

§ 32, Теория диффракции
249
где /) —длина порядка длины ребер а, 6, с. Мы уточним
ее определение, содержащееся в A0.13), если освободим
целые числа h от общего делителя, который они могут
содержать, написав
hx^nh\, k2 = nhl, /гз = п/г*, C2.14)
«-4. ^-[(^)'4^)'+(v)']""'- р2-"«)
Приравнивая A3.12) и A3.13) и приняв во внимание A3.14)
и A3.14а), получим уравнение
Брэгга ^)
2rfsin& = 7iX. C2.15)
Мы уже встречались с ним
раньше в виде уравнения (8.6)
при рассмотрении винеровских
стоячих световых волн. Там
длина d обозначала расстояние
между двумя соседними
слоями растра, образованного
стоячими световыми волнами, который
используется в цветной
фотографии Липпмана. Нам необходимо
исследовать, какой смысл имеет
d для кристаллической решетки.
С этой целью найдем уравнение
плоскости Е (фиг. 54). Мы
применим при этом прямоугольную
систему координат xyz с
направлениями осей, параллельными
кристаллографическим осям а, 6, с, и с началом, лежащим
на Е в узле решетки О, который на фиг. 54 рассматривается
как исходная точка для диффрагированного луча. От
точки О отложим на проходящем через О продолжении
падающего луча отрезок OPj а на диффрагированном луче
^с^фУр
Фиг. 54. Диффракция
рентгеновских лучей от
пространственной
решетки.
^) Данное уравнение было выведено независимо от Брэгга и на
полгода ранее одним из крупнейших русских кристаллографов
Ю. В. Вульфом. Поэтому его правильно называть, как это
общепринято в советской научной литературе, уравнением Вульфа—
Брэгга. См. книгу Ю. В. В у л ь ф, Избранные работы по
кристаллофизике и кристаллографии, Д!.—Л., 1952 —Прум ред^ '

250 Гл, V. Теория диффракции
отрезок 0Q и положим
Координатами этих точек будут тогда а^, р^,, ^о Для Р
и а, р, If для Q, Плоскость Е мы можем определить теперь
как геометрическое место точек, равноудаленных от Р и ^^
Это дает, после соответствующего упрощения,
(a-a„)a; + (p-po)y + (ir-To)z = 0.
Подстдвляя сюда C2.10) и C2.14), получим
^x + ^y+^z = 0. C2.16)
Эта плоскость Е является узловой плоскостью кристалла,
т. е. плоскостью, в которой в неограниченном кристалле
лежит бесконечно много узлов решетки. (Если в плоскости
лежат 3 узла решетки, то вследствие периодичности
решетки в ней всегда будет лежать также бесконечное число
узлов.) Величины А* называются индексами узловой
плоскости (от их величины зависит плотность заполнения этой
плоскости узлами решетки; малые /г* означают большую
плотность, большие А*—малую плотность; только
плоскости с малым А* представляют собой естественные грани
кристалла). Плоскость, параллельная рассматриваемой
узловой плоскости, отрезает от кристаллографических
осей а, Ь, с отрезки, которые относятся, как
Это есть первоначальное определение индексов в
макроскопической кристаллографии, в которой, конечно,
говорят не об узловых плоскостях, а об естественных гранях
кристалла. При этом сами а, Ъ, с были определены только
как относительные длины (например, при предположении,
что 6 = 1). Так как здесь мы развиваем микроскопическую
структурную теорию, мы смогли ввести а, 6, с как
абсолютные значения длин ребер ромбической элементарной
ячейки. Тогда и величины, входяш;ие в C2.17),
приобретают смысл абсолютных длин отрезков осей, и для ближай-

§32. Теория диффракции 251
шей к C2.16) соседней узловой плоскости, обозначенной
на фиг. 54 через Е^, получится уравнение
-?-a; + ^y + -9-z = l. C2.18)
Если здесь 1 заменить целым числом w, то мы получим
тоже параллельную Е узловую плоскость, а именно,
л-ю плоскость Е^ с отрезками осей najh\, nbjh*, /гс/А*.
Дробные числа п не дают узловых плоскостей, так как они
находятся в противоречии с периодичностью кристалла.
Уравнение C2.18), приведенное к так называемой
нормальной форме, имеет вид
cos ар ж -]- cos рру + cos fp ^ == Р>
h\p о fi%p hfp
cosap = —^, cospp = -p, cosTfp = -^,
^ ^ ^ C2.19)
"ЧС^УЧ^У+С^У]
2 1 -1/2
Здесь /?, как известно, обозначает длину перпендикуляра,
опущенного из О на j^i, или, как тоже можно сказать,
расстояние между плоскостями Е и Ei\ ар, рр, Yp —
направляющие косинусы р (см. фиг. 54). Согласно C2.19),
р теперь идентично с введенной в C2.14а) длиной d. Наше
npeofcnee d означает, таким образом, расстояние ме;нсду
теми плоскостями параллельной системы узловых плоско-
стейу индексы которых равны нашим (освобожденным от
возможно имеющегося у них общего делителя)
интерференционным числам h.
Уравнение Брэгга C2.15) может быть наглядно
истолковано как «отражение от узловых плоскостей», именно,
не от одной единственной плоскости, а от системы
параллельных плоскостей. Это видно непосредственно,
независимо от теории Лауэ, из фиг. 55. Для того чтобы
отраженная от Eq волна была бы усилена волной, отраженной
от j^i, а именно, чтобы ее амплитуда удвоилась,
необходимо, чтобы разность хода обоих лучей была равна
целому кратному от X. Эта разность хода равна A0i-\-0xB.
Из заштрихованного на фигуре прямоугольного
треугольника с гипотенузой OOi^d следует
AO^ = dsin^ = OiB,

252 Гл. V. Теория диффракции
Таким образом, необходимое условие, в согласии с C2.15),
имеет вид
2dsinb = nk.
Оно обеспечивает одновременно и усиление отражения от
узловых плоскостей Е^, -Сд, ..., ^ i, Е ^ и приводит при
рассмотрении интенсивности к коэффициенту усиления
ЛауэЛГ2.
Этот вывод показывает, что в рассматриваемом случае
важна только правильная последовательность узловых
Фиг. 55. К непосредственному
выводу соотношения Брэгга.
Отражение от плоскостей решетки fc.
плоскостей, а не решетчатое расположение атомов
кристалла в самих плоскостях Е, Последние могли бы быть, как
зерна серебра в винеровских слоях, распределены
полностью нерегулярно, без того чтобы этим была нарушена
интерференция. Тогда мы имели бы дело, так сказать,
с одномерным кристаллом. В противоположность этому
трехмерная кристаллическая структура приводит к тому,
что эффект может наблюдаться одновременно на сколь
угодно большом числе систем узловых плоскостей.
В. Брэгг и его сын Л. Брэгг (преемник Резерфорда
в кэвендишской лаборатории) впервые, непосредственно
вслед за Лауэ, определили большую часть известных в
настоящее время простейших кристаллических структур
(каменная соль, алмаз, плавиковый шпат, пирит и др.)-
Позже они исследовали сложные органические и
неорганические кристаллы^). Они наблюдали «угол блеска» Ь для
^) Слехгует подчеркнуть, что успешная расшифровка
кристаллических структур была достигнута не прямыми способами, а в
результате проверки моделей, созчапиых на оспот^е классичсскпх работ

§ 33. Диффракция на большом числе неупорядоченных частиц 253
различных граней кристалла и отсюда, пользуясь
уравнением C2.15), делали заключение о расстояниях d между
узловыми плоскостями. Для этого они работали не со
сплошным рентгеновским спектром, а с известным
характеристическим излучением, например с линией Си К а,
Х=:1537А. Существенными при этом являлись, конечно,
кроме положений отражений, также и их интенсивности,
в частности погашения возможных отражений в четном и
нечетном порядке в зависимости от структуры кристалла.
Дебай смог объяснить, с обш;ей точки зрения, насколько
интенсивность подвержена влиянию теплового движения
в кристаллах. Дарвин изучил влияние обладаюш;их
некоторой закономерностью искривлений кристалла (так
называемая мозаичная структура кристалла). Эвальд углубил
первоначальное предложение Лауэ, развив свою
«динамическую теорию» интерференции рентгеновских лучей,
в которой учитывается ослабление первичного пучка при
прохождении сквозь решетку и взаимное подсвечивание
элементов решетки. Эвальду же мы обязаны плодотворным
понятием «обратной решетки».
§ 33. ДИФФРАКЦИЯ НА БОЛЬШОМ ЧИСЛЕ
НЕУПОРЯДОЧЕННЫХ ЧАСТИЦ
Представим себе стеклянную пластинку, покрытую
капельками тумана, или посыпем, следуя Фраунгоферу,
эту пластинку ликоподием (спорами плауна). Пусть
источник света удален на большое расстояние и по возможности
имеет форму точки. Мы смотрим на него через стеклянную
пластинку, перпендикулярно к последней, причем глаз
установлен на бесконечность. Предположим, что капельки
или споры плауна все одинаковой величины и имеют,
например, форму кружков; выделим из света, идуш;его
от источника, узкую спектральную область с волновым
числом к.
Е. С. Федорова о строении кристаллического вещества. Быстрое
развитие рентгеноструктурного анализа, вообще, оказалось
возможным только благодаря наличию этой основы. В изложении Зоммер*
фельда совершенно затушевана связь развития методов
рентгеноструктурного анализа с предшествующим развитием учения о
строении кристаллического вещества.—Прим. ред.

254 Гл. V. Теория диффракции
Стеклянную пластинку примем за плоскость ху, а
начало д:=0, г/=0 поместим на линию, соединяющую глаз
с источником. Пусть центрами кружочков будут х^, у^.
Положим, что излучение, приходящее в глаз от отдельных
частичек в направлении а, р, у> имеет форму
»п = /(«. P»T)exp{iA[a(a:-a:J+P(y-2/J + fz]J, C3.1)
причем в отношении более полного обоснование
множителя /(а, р, т) мы сошлемся на § 36. Переходя, как
в C2.4), к результирующей амплитуде, получим,
обозначив число частиц через iV,
12»п|=/К р. т)«У; C3.2)
5 = I 2 ехр {- lA; (аж„+ Ю) I- C3-3)
Здесь мы вынесли за знак суммы как общий множитель
члены, содержащие гс, у, z, и приняли во внимание, что
при вычислении абсолютного значения они отпадают.
Вследствие того, что нам неизвестны положения частиц
^п» Уп* суммирование здесь, конечно, нельзя выполнить
алгебраически, как в § 32. Мы должны здесь действовать
статистически. В выражении C3.3) к задано; для а, р
необходимо выбрать любые, но вполне определенные
значения, в то время как х^, у^ при суммировании меняют
свои значения совершенно беспорядочно. В соответствии
с C3.3) мы должны нанести на комплексную плоскость
один за другим N единичных векторов с произвольными
направлениями и определить длину результирующего
отрезка. Теория вероятностей дает закон: если все
направления рассматривать как равновероятные, то
результирующий отрезок будет равен [/ N, Этот закон, например,
применяется при броуновском движении, в котором, как
и в нашей диффракционной проблеме, речь идет о
сложении очень большого числа в среднем одинаковых толчков,
испытываемых наблюдаемой коллоидальной частицей со
стороны молекул окружающей ее жидкости.
Для доказательства положим, что показатель в
выражении C3.3) (с сокращенным на 2тс модулем) равен icp^.

§ 33, Диффракция на большом числе неупорядоченных частиц 255
Тогда получим
N
п«=1 п m
Нас интересует статистическое среднее значение *S,
которое мы определим как квадратный корень от
среднего значения Sh
5г^/^2, ;s.^ JL ^ rfcp^^l С rf?,.. 1 ^ rf<piv5^ C3.4)
0 0 О
Мы усредняем, таким образом, каждое ср^ по всей области
значений от О до 2тс. Предполагаемая при этом
одинаковая вероятность внутри каждой из этих областей и их
независимость друг от друга основывается на нашем
полном незнании значений х^ж у^^ уравнении C3.3), опре-
деляюш;ем 9п*
Выполняя из операций, указанных в C3.4), сначала
лишь операции, относяпциеся к cpi, вычислим выражение
2-к N N
~ ^ d<fi(^e^i + 2 е^^п^ (e-i?i + 2 в"*^) • C3.4а)
о п=2 т=2
При перемножении обеих скобок получается
1+... + ...+5^ Sl^^'Z^^-l] е-^гп,
п=»2 т=2
Оба не выписанных средних члена содержат множители
exp(icpj) и ехр( —icpi); поэтому при интегрировании по
cpi они отпадают. Два других члена от cpi не зависят;
поэтому при интегрировании они дают l+^S^.
Затем вычисление, согласно C3.4), дает
~ [ d<P2 {i +SI) ^1 + 1+ SI 5^ = 2 e-i^« 2 е'^пг. C3.46)
Повторение этих математических операций приводит к
:S2 = l + l + l+...=iV, J^\/'N. C3.5)

256 Гл. V. Теория диффракции
¦ Mill I ¦ ¦ I ¦ I . II III ,111 , I ,1 („„^„aiaMfc.^——¦ia^iiWbjaia.—i»
Этим доказан закон теории вероятностей.
Значение S стало независимым от а и р, как этого и спело-
вал о ожидать в силу симметрии системы.
Возвращаясь к формуле C3.2), получаем для
интенсивности диффракционной картины
/-iv/o, /о=/'К Р, т); C3.6)
Здесь /q — интенсивность, обусловленная отдельными
кружочками, на которых происходят диффракции. При
беспорядочном располомсении суммируются не
амплитуды, как в теории решетки, а интенсивности.
Множителю iV в C3.6) в теории решетки противостоит
коэффициент усиления N^ (см. фиг. 53).
При выбранной круглой форме частичек, от
которых происходит диффракции, /q, естественно, зависит не
от а, р. If в отдельности, а только от радиального
углового расстояния 5 = (а^ + p2)i/2 — A — f 2I/2. Как мы увидим
в § 36, /q имеет пологий максимум в центре
диффракционной картины, а затем следует первый резко
выраженный минимум при s = Si\ за этим следует
существенно более слабый максимум, затем менее резко
выраженный минимум и т. д. Согласно § 36, 5^ имеет величину
51 = 0,б4, C3.7)
где а означает радиус кружочка, дающего диффракцию.
Таким образом, радиальные размеры диффракционной
картины тем больше, чем меньше а по сравнению с X.
Если мы имеем дело не с монохроматическим, ас белым
светом, то центральная часть диффракционной картины
имеет беловатый оттенок, так как здесь все цвета
представлены в наибольшей степени. Внешний край этого
центрального круга окрашен в красный цвет, так как
на расстоянии
51 = 0,61?^ C3.7а)
синяя составляющая света отсутствует. Приблизительно
на двойном расстоянии мы должны ожидать голубоватый
оттенок, так как здесь гасится красная составляющая.
Окраска и интенсивность света к наружному краю все

§ 33. Диффращия на большом числе неупорядоченных частиц 257
более и более слабеют. При не круглой форме частичек,
от которых происходит диффракция, интенсивность /q
от отдельной частички зависит, конечно, как от а, так
и от р. Напротив, интенсивность / совокупности всех N
частичек сохраняет кольцеобразную симметрию, если
только позаботиться о том, чтобы частицы были
беспорядочно распределены не только по положению, но и по
их ориентации. Тогда в приведенном в C3.3) расчете S
к суммированию по средним точкам добавляется
суммирование по ориентациям.
Если частички не одинаковой величины, а имеют, как,
например, капельки воды, различные радиусы, то при
монохроматическом освещении кольца гашения не будут
резкими, как это вытекает из C3.7). При освещении белым
светом цветовых явлений не будет; беловатый оттенок
средней части диффракционной картины останется.
Положение ее внешнего края можно оценить по C3.7а),
если заменить здесь а через средний радиус а.
Наше утверждение о статистическом среднем от S лишь
приближенно справедливо. При монохроматическом
освещении и тщательном ограничении размеров источника
диффракционные картины показывают известную
«грануляцию», а именно, радиальную волокнистую структуру.
Она объясняется тем, что здесь существуют колебания
около статистического среднего значения, которые больше
в радиальном направлении, чем в перпендикулярном к
нему направлении. Эти колебания были тщательно
экспериментально и теоретически изучены Лауэ [41].
Очевидно, что для метеорологического применения
теории, к которому мы, наконец, обратимся, эти колебания
не играют роли, в силу протяженности источника света
(Солнца или Луны) и в силу того, что свет является белым.
При собственно венцах вокруг Солнца или Луны
диффракция происходит на элементах облаков, в первую
очередь на капельках воды. Цветовые явления при этом
отсутствуют, вследствие, вообще говоря, различной
величины капелек. Солнце или Луна кажутся находящимися
в середине белого или голубовато-белого поля. Зачастую
наблюдаемый красноватый край указывает, как уже
отмечалось в введении, на диффракционный характер этого
явления. По угловому радиусу этого края, меняющемуся

258 Гл. V, Теория диффракции
ОТ случая к случаю, можно заключить, пользуясь C3.7а),
что средний диаметр капельки 2а составляет от 0,01 до
0,03 мм. Кольцо вокруг Солнца значительно больших
размеров, окрашенное в краснобурый цвет, наблюдалось
после ¦ извержения Кракатау; оно было вызвано
выброшенными из вулкана частичками пыли, занесенными в
наши широты. Оно имело угловой радиус от 20 до 25°;
этому соответствует значительно меньший диаметр частиц
в 0,002 мм.
По-другому обстоит дело для кристаллов льда в
перистых облаках. Они также приводят, как это легко понять,
к диффракционному явлению венца. Однако
характерным для них является гало, которое получается в
результате преломления, а не диффракции. Доказательством
этого является последовательность цветов: фиолетовый
снаружи, красный внутри. Кроме того, гало имеют
определенные радиусы, которые, следовательно, зависят не
от (разумеется, меняющейся) величины частичек, а от их
кристаллической структуры. Чаще всего встречающийся
угловой радиус составляет 22° и соответствует
преломлению света на гексагональном столбике кристалла льда
(угол между гранями равен 60°). Если кристаллы льда
в большинстве своем расположены вертикально (под
действием силы тяжести), то свет от гало концентрируется
в двух лежащих на высоте Солнца точках; появляются оба
ложных Солнца. Кроме того, встречается гало с угловым
радиусом около 45°.
§ 34. ПРИНЦИП ГЮЙГЕНСА
Образно говоря, принцип Гюйгенса гласит: можно
определить последуюи1ую форму любой заданной волновой
поверхности, представив себе, что из каждой ее точки
исходит сферическая волна, и построив огибающую всех этих
сферических волн. При этом в однородной среде возникает
поверхность, параллельная первоначальной волновой
поверхности (возможные границы исходной поверхности
составляют исключение). То, что таким образом можно
получить обычное преломление на плоской граничной
поверхности, мы уже видели (см. фиг. 37). Таким же
образом получается и обычное отражение.

§ 34. Принцип Гюйгенса 259
Как показал Кирхгофф, принцип Гюйгенса является
строгим следствием дифференциальных уравнений оптики.
Он составляет основу классической теории диффракцпи,
которая доказала свою плодотворность во множестве
задач. Тем не менее, эта теория представляет собой только
прибли^нсениву годное для достаточно малых длин волн,
так как краевые условия, которые необходимо ввести в
принцип Гюйгенса, точно не известны. Кроме того, она не
учитывает векторный характер оптического поля. Мы его
учтем только в § 38 п последующих параграфах.
1. Сферическая волна. Скалярная акустическая
сферическая волна получается из волнового уравнения
Ди ¦ А% = 0, так же как и выражение для плоской волны.
Если принять, что и зависит только от одной координаты х,
то получим (опуская комплексную постоянную)
и = е^^^. C4.1)
Если принять, с другой стороны, что и есть функция
только расстояния г от начала координат, то
и, следовательно,
lг = yeift^ C4.2)
в предположении, что зависимость от времени имеет
форму ехр( —ш^) [при ехр (-Ь10)^) получатся не
расходящиеся, а сходящиеся волны].
Не столь проста векторная сферическая волна
электродинамики. Наиболее удобную форму она принимает, если
в качестве характеристической функции и ввести вектор
Герца, в особенности в частном случае линейно
колеблющегося диполя (ср. т. III, § 19). Тогда аналитическое
выражение этого вектора снова будет вида C4.2) и,
следовательно, будет соответствовать центральной
симметрии. Но выведенное из него поле не будет таким.
Магнитное поле представляет собой окружности, расположенные
вокруг направления колебаний; электрическое поле лежит
в меридиональных плоскостях. Только фаза поля обладает

260
Гл. V. Теория диффракции
центральной симметрией, амплитуда же зависит от
направления. Например, электрическая амплитуда обращается
в нуль в направлении колебаний диполя для всех точек
«дальней зоны».
В реальном источнике света (точечная лампа
накаливания или свеча) представлены все возможные
направления колебаний. Он создает усредненное поле, которое не
имеет никакого преимущественного направления, и,
следовательно, в отношении интенсивности представляется
обладающим сферической симметрией. Однако если мы
представляем это поле при помощи выражения C4.2),
нам необходимо иметь в виду, что при этом мы упускаем
более тонкие детали, например поляризацию света.
2. Теорема Грина и формулировка Кирхгоффа
принципа Гюйгенса. Для интегрирования скалярного
волнового уравнения достаточно теоремы Грина:
^{u^v-v^u)dг = \{u'?-v^?^dc. C4.3)
Пусть и—функция C4.2) сферической волны, v—искомое
решение уравнения ^v -\- li^c^O. Поверхность о
разделяет пространство на две
части, из которых одну можно
назвать внутренней, другую —
внешней. Если а простирается
до бесконечности, что будет, как
правило, иметь место, то
бесконечность относится как к
внутренней, так и внешней части.
Мы проведем интегрирование в
левой части C4.3) по внешней
частно. Точечный источник
волны и J который находится во
внешней части и который
можно обозначить через Р,
необходимо исключить из области
интегрирования, например,
посредством сферы К с
произвольно малым радиусом (фиг. 56). Тогда в силу обоих
дифференциальных уравнений для и и для v левая часть
Внутренняя
часть
Фиг. 56. К теореме Грина.
Участь*!! поверхности » !i о
образуют замкнутую
поверхность.

§ 34. Принцип Гюйгенса 261
C4.3) обращается в нуль. Правую часть необходимо
распространить на обе ограничивающие поверхности о
и К^); dn есть нормаль к о и К, направленная к
внутренней части. Те же рассуждения, что и в т. II, § 20, дают для
части интеграла, распространенной по К, значение —^tzvp,
где Vp означает значение v в центре К, Поэтому из C4.3)
следует
Мы специально подчеркиваем, что при этом рассмотрении
так же, как и в теории потенциала, сферическая волна и
играет только роль вспомогательной математической
величины, своего рода «зонда», которым мы исследуем
оптическое поле г;. Эта «виртуальная» сферическая волна
не имеет ничего общего с реальной сферической волной,
которую мы введем в C4.66) как источник оптического
поля. В формуле C4.4) мы как бы вынули зонд из
исследуемого поля у, подставив вместо и и ди!дп их значения из
C4.2). Забудем теперь пропсхождение этих значений и
будем, наоборот, рассматривать их как соответствующие
сферическим волнам, излученным поверхностными
элементами c?j и встречающим рассматриваемую точку Р
на расстоянии г. Только при таком понимании формулы
C4.4) мы становимся на почву принципа Гюйгенса.
Из C4.4) можно вычислить г; для каждой точки Р
наружной части, если известны краевые значения v и dvldn
на о. Допустим, что о состоит из непрозрачной части о
^) Собственно говоря, необходимо еще добавить в качестве
третьей ограничивающей поверхности сферическую поверхность с
очень большим радиусОхМ и с центром в Р, исключающую
бесконечность. Интеграл, который необходимо распространить по ней,
принимает вид
\[^{%-^'^)+-У'"'^
если обозначить элемент ее поверхности через с? j = гЫ со и
соответствующим образом соединить подинтегральные члены. Здесь
выражение, стоящее в квадратных скобках, обращается в нуль в силу
условия излучения [ср. § 38, формула C8.1г)] и так как v
обращается в нуль при г -^ со. Поэтому обращается в нуль и
вышестоящий интеграл.—Прим. авт.

262 Гл. V. Теория диффращии
п ИЗ свободного отверстия, изображенного на фиг. 56
пунктиром, которое мы в дальнейшем будет обозначать
через а. Естественно предположить, что, приближаясь
с внешней стороны, найдем на а значения
у = 0, g = 0. C4.4а)
Тогда формула C4.4) остается справедливой также и при
новой трактовке о. Далее, естественно предположить,
что V в отверстии имеет ту же величину, что и при
отсутствии а; если бы, например, ь вызывалось светящейся
точкой Р* с силой Л, то мы имели бы следующие величины:
причем смысл г' ясен из фиг. 56.
Однако предположения C4.4а) и C4.46), строго говоря,
математически недопустимы. Из теории функций Римана
известна теорема: если двухмерный потенциал v вдоль
конечного отрезка кривой s обращается в нуль вместе со
своей производной в направлении нормали, то v
тождественно обращается в нуль во всей плоскости. Эта
теорема распространяется на решения двухмерного волнового
уравнения [42]. Она будет справедлива также для
трехмерного уравнения потенциала или трехмерного волнового
уравнения во всем пространстве, если условие C4.4а)
выполняется для какого-либо конечного участка
поверхности а. Тогда повсюду должно быть v=0.
Если, с другой стороны, применить эту теорему к
разности w=v — v', где V и v' представляют собой любые два
аналитические решения трехмерного волнового уравнения,
то далее следует, что v' во всем пространстве тождественно
с Vy поскольку условия v=V)' и dv/dn=dv4dn
выполняются для какого-либо конечного участка поверхности а.
Таким образом, предположения C4.4а) п C4.46)
противоречат физической сущности и находятся в противоречии
друг с другом.
При вычислении C4.4) мы также вовсе не получили бы
краевых значений C4.4а) или C4.46), если бы переместили
Р на о или а. Формула C4.4) тоже дала бы правильные

§ 34. Принцип Гюйгенса 263
значения Vp только в том случае, если бы мы знали
правильные краевые значения v и дс/дп.
3. Функция Грина, упрощенная формулировка
принципа Гюйгенса. Математическое противоречие можно
устранить, если в исходной формуле C4.3) функцию и
сферической волны заменить функцией Грина,
относящейся к нашей поверхности. Ее следует определить посредством
условий ^):
ДС + А2С=^0 в X, C4.5а)
G = 0 на а, C4.56)
G-»» при г->0, C4.5в)
^ CS " ^'*^) -> О при г -> оо; C4.5г)
здесь г обозначает, как и раньше, расстояние от точки Р.
Условие C4.5г) представляет собой так называемое
«условие излучения». Условие C4.5в) говорит о том, что (?,
так же как и гг, имеет особенность только в одной точке Р,
во всей же остальной внешней области оно непрерывно.
G отличается, однако, от сферической волны и
добавлением условия C4.56). В силу последнего, в выражении
C4.4) отпадает член, умножаемый на до/дп, и эта
формула переходит 2) в следующую:
Ar.Vi
•=-5^1?^«- C^-6)
Таким образом, теперь необходимо написать только
краевые значения для одного v. В соответствии с C4.4а) и
^) По этому поводу ср. т. VI, § 10. Сферическую волну и следует
поэтому называть не функцией Грина, а «главным решением»
дифференциального уравнения Ди+ кЫ = 0.—Прим. авт.
*) Сферическая поверхность, исключающая бесконечность (см.
примечание на стр. 261), вносит, согласно C4.3) и C4.5г), свою
долю
которая здесь также исчезает.—Прим. авт.

264
Гл. V, Теория диффракции
C4.46) естественно принять, что
г; = О на а.
Лехр(//1г'
на о.
C4.6а)
C4.66)
Эти предположения математически свободны от
противоречий. Кроме того, вычисленная по C4.6) функция Vp,
действительно, принимает, согласно теории функции
Грина, краевые значения C4.36а) и C4.366), если точку Р
перенести на экран или в его
отверстие.
Однако оправданы ли эти
предположения физически? 0«гг,
несомненно, maK^we представляют собой
только прибли^исенияу
справедливые при достаточно малых
длинах волн ^). Световое возбуждение
не исчезает полностью
непосредственно за экраном и не будет в
отверстии полностью независимым
от присутствия экрана, по
крайней мере на расстояниях порядка
длины волны.
Выигрыш, который связан с
введением функции Грина, не
является, таким образом, принципиальным, а представляет
скорее практический интерес, состоящий в более
простой форме интеграла C4.6) по сравнению с C4.4).
Кроме того, он ограничивается частным случаем плоского
экрана, единственным случаем, когда функция Грина
может быть легко получена, а именно, по элементарному
методу отра^нсения.
Построим зеркальное изображение S точки Р по
отношению к плоскости экрана z=0 (фиг. 57) и составим для
P^x,y,z
Фиг. 57. К
составлению функции Грпна при
плоском экране.
1) Мы применяем здесь и в дальнейшем термин «длина волны»
и обозначение X, хотя они, собственно, определены только для
плоских волн и при сложных типах волн диффракции теряю1<хвой
наглядный смысл. Мы можем, однако, под X всегда понимать
определенную для всех монохроматических процессов излучения длину
2кс/о), которая для плоских волн совпадает с собственно длиной
волны.—Прим. авт.

§ 34. Принцип Гюйгенса 265
(сперва произвольной) точки ^=?, г^, С при С > 0:
Лкгх гкГ2
ri=ik-xY + {ri-yf + {t:-zr,
х,у, z и $, Y], с отсчитываются от одной и той же
начальной точки О, которую следует себе представить лежащей
в плоскости экрана. Эта функцрш от ?, т|, С
удовлетворяет всем условиям C4.5а)—C4.5г); при этом следует
учесть, что особенность G в точке зеркального
изображения S не мешает, так как S лежит по другую сторону экрана
Вычислим из C4.7)
d^-drX п )Ж 17Х г, )Ж' K^'^'i^)
Если Q переместить на экран, то получим (см. фиг. 57)
дгл дго , V
ri = r^ = r, ^= -•^ = COS («,/•)
и, следовательно,
д;Г=-^ = 2 5;( —;cos(n,r). C4.8)
Это выражение может быть еще упрощено при всех
положениях Р, не слишком мало удаленных от экрана. А
именно, кг=Ъкг 1\у \, поэтому
^С—;-=^* —О-щг;-—— . C4.8а)
д_
Подставив это в C4.8), а C4.8) в C4.6), найдем
iKi:ip r= \ cos (/г, г) v do. C4.9)
C
Здесь мы получили выражение, которое полностью
соответствует представлениям Гюйгенса и их точно
формулирует. Падающая на отверстие о световая волна
распространяется далее так, как если бы из Kaoicdoeo элемента do
выходила бы сферическая волна, амплитуда и фаза которой

266 Гл. V. Теория диффракции
задаются падающей волной D, Интересен при этом также
добавившийся к rfa множитель cos (л, г), который
соответствует закону Ламберта для поверхностной яркости и
который привлекался уже при наглядных рассуждениях
Френеля. Присутствие множителя X в левой части C4.9)
понятно из рассмотрения размерности правой части
(do 1г имеет размерность длины).
Если в C4.9) подставить для ь значение C4.46),
которое соответствует освещению точечным источником, то
вместо C4.9) получится
ikvp = Л ^ е^^^^^П ^^^-f^ da. C4.10)
4. Диффракция Фраунгофера и Френеля. Пусть
размеры диффракционного отверстия малы по сравнению с его
расстояниями г и г' от наблюдателя и источника света.
Тогда внутри отверстия множитель cos (л, г) /гг' мало
меняется; мы можем его вынести за знак интеграла и
положить хотя бы равным тому из его значений, которое он
принимает в нулевой точке О наших переменных
интегрирования Е, 7]. Обозначив значения г, г',
соответствующие точке О у через /?, /?', получим вместо C4.10)
i\vp = ^ cos {п, R) J e^^(r+r')dldyi. C4.11)
Для упрощения функции, которую теперь необходимо
еще проинтегрировать и которая в силу большой величины
к быстро меняется, мы разложим сначала г в ряд по
степеням S и iq:
^{В2^2{х1 + уу1) + {г^ + г1У,У2=.
здесь а и р—направляющие косинусы диффрагированного
луча О—^Р по отношению к осям S и tj. Если обозначить
направляющие косинусы, соответствующие падающему
лучу Р'-^^О, через а^, р^ и, следовательно, через —а^,

g 34, Принцип Гюйгенса 267
—Ро обозначить косинусы, соответствующие 0--^Р\ то
аналогично получим
Отсюда следует
gtft(r+r') = gife(H+K')e-ift*, C4.12)
где для сокращения положено
+ —25 + 2R' • К^"^'^^)
Тогда C4.11) принимает вид
ikvp - -^ cos (тг, R) е^мн+я') С е-^^* dS dt\. C4.14)
Очевидно, что в разложении C4.13) предполагается, что
линейные размеры диффракционного отверстия малы по
сравнению с Я и R\
Вычисление оставшегося в C4.14) интеграла может быть
проще всего выполнено при диффракции Фраунгофера:
Л->оо, Л'->оо, C4.14а)
которая, в частности, имеет место при метеорологических
явлениях; она и в других случаях легче всего может быть
получена экспериментально. Величина Ф сводится тогда
к линейному члену; в этом случае имеют дело только с
суперпозицией плоских волн.
Если одно из условий C4.14а) или оба вместе не
выполняются, то говорят о диффракции Френеля. В этом случае
можно так выбрать нулевую точку О (подробнее об этом
см. § 37), что будет а^а^, Р = Ро и, следовательно,
линейные члены в Ф пропадут. Выполнение интегрирования
квадратичных членов (интегралы Френеля) дает нам
полную картину всего возникающего за экраном
диффракционного поля, в то время как в случае Фраунгофера мы
должны удовлетвориться предельным диффракционным полем
на большом расстоянии от экрана.

268
Гл. V, Теория диффракции
Вместо диффракции Френеля и Фраунгофера говорят
также о микроскопической и телескопической диффракции.
А именно, в случае Френеля, для того чтобы зафиксировать
отдельную точку поля Р и определить в ней интенсивность,
прибегают к помощи лупы. В случае Фраунгофера на очень
большом расстоянии в глаз будет попадать
недостаточная интенсивность (во всяком случае при одном
единственном малом диффракционном отверстирх). Поэтому
посредством линзы ^) L собирают весь исходящий из диф-
фракционного отверстия пучок
параллельных лучей в точку Р
фокальной плоскости Е линзы L, подобно
тому как все лучи, исходящие из
точечного источника света Р',
превращаются линзой и (коллиматорная
линза) в параллельный пучок,
проходящий через диффракционное
отверстие, для чего Р' должно лежать
в фокальной плоскости Е' линзы U
(фиг. 58). Если О представляет собой
изображение Р\ полученное в
соответствии с законами геометрической
оптики, то координаты Р,
измеренные в плоскости Е от О, как от
начала координат, пропорциональны
величинам а — а^ и ^ — Ро, от которых,
согласно C4.13) и C4.14), только и
зависит интенсивность в Р,
(Множитель перед знаком интеграла в C4.14) постоянен, так как
I ехр ik {R -h R')} I = 1, а ^ при приближении к
бесконечности необходимо представить себе возрастающим в той же
мере, что и R • /?'). На фиг. 58 L—объектив зрительной
трубы, которую необходимо применить при этом
«телескопическом» наблюдении; окулярная линза, посредством
которой рассматривают диффракционную картину,
возникающую в Е, на фиг. 58 не указана. Диффрагпрующпе
лучи, которые собираются в Р, показаны на фиг. 58
штрихованными линиями и именно так, как если бы они,
Р О
Фиг. 58.
Наблюдение диффракции по
Фраунгоферу.
1) Диффракционнымп явлениями от краев линз L и L' при этом
можно пренебречь.—Прим. авт.

§ 34. Принцип Гюйгенса 269
В соответствии с принципом Гюйгенса, возникали в
отверстии ^), от которого происходит дпффракция.
Если, как в § 32 и 33, речь идет о большом числе N
отверстий, вызывающих дпффракцию, то можно обойтись
без телескопического устройства. Благодаря
коэффициенту усиления Л^^ в § 32 или iV в § 33 эти диффракцион-
ные явления можно рассматривать также невооруженным
глазом.
5. Принцип Бабине. Два дпффракционных устройства
1 и 2 называются «дополнительными», если отверстие
устройства 1 совпадает с экраном устройства 2, и
наоборот. Вычислим Vi и 6*2 Д-^я одинакового первичного
освещения и составим их сумму. Мы утверждаем, что «в рамках
принципа Гюйгенса»
г;14г;2 = г^, C4.15)
где под V подразумевается неискаженное первичное
освещение в отсутствие вызывающих диффракцию экранов.
При доказательстве, для того чтобы охватить и общий
случай любого (также и искривленного) экрана, будем
исходить из формулы C4.4). При составлешш суммы
необходимо в левой части C4.4) заменить vp на {vi + V2)p.
В правой части C4.4) v означает в обоих слагаемых одно
и то же, а именно, интенсивность неискаженного
первоначального освещения. В отличие от прежнего,
интегрирование теперь необходимо распространить на всю
поверхность а, так как каждый участок а принадлежит к
отверстию, относящемуся либо к v^y либо к 6*2- Однако мы
получим точно такой же интеграл, если применим формулу
C4.4) к первоначальному освещению v в отсутствие экрана.
Тогда в левой части C4.4) будет стоять то же v, а правую
часть необходимо будет снова распространить на всю
поверхность о при том же значении стоящих там символов v
и do /dn, как и прежде. Соотношение C4.15) этим доказано:
^) Также и диффракционные явления Френеля можно
наблюдать посредством зрительной трубы, если установить окуляр не на
Локальную плоскость Е, а на любую другую, не проходящую через
фокус, плоскость. Вместо того чтобы наблюдать эти плоскости
глазом, можно, конечно, возникающую на них картину (в фокусе
или вне фокуса) зафиксировать на фотографической пластинке.—
Прим. авт.

270 Гл. V. Теория диффракции
ti + V2 И V равны между собой, так как они порознь
равны одному тому же интегралу \ ,., do.
Соотношение C4.15) справедливо для всех точек Р
внешнего пространства; следовательно, оно охватывает
как френелевскую, так и фраунгоферову диффракцию. Мы
назовем его «принципом Бабине», В приведенном выше
выводе мы основывались на принципе Гюйгенса. В § 38,
п. 6, мы обсудим вопрос о том, как необходимо
видоизменить принцип Бабине с точки зрения более строгой
задачи о краевых значениях.
В более старой литературе [43] принцип Бабине был
представлен только в значительно более узкой форме,
распространяющейся лишь на случай диффракции Фраун-
гофера. Это объясняется тем, что наблюдению недоступна
полная функциональная зависимость величин Vi^ V2
(включая и их фазы), а в нашем распоряжении имеются лишь
амплитуды \vi\y [t^l или, что то же, интенсивности. Для
последних, конечно, не будет справедливым равенство
/1 + Л = /; C4.15а)
при составлении абсолютной величины C4.15) в левой
части добавляется еще член
^^1^*4-^2^;*. C4.156)
Только при диффракции Фраунгофера для
интенсивности получается простое правило: оба дополнительных
экрана создают интерференционные картины с
одинаковой интенсивностью
J, = J,. C4.16)
Для доказательства рассмотрим фокальную поверхность Е
на фиг. 58. При идеальном оптическом изображении
первичный свет концентрируется линзой в точке О; во
всех же других точках интенсивность равна нулю. Тогда
при исключении точки О, в которой, вследствие того, что
она является особой точкой диффракционной картины,
наблюдение и без того становится иллюзорным, из C4.15)
следует, что Vi= —1*2> |^i| ^ |^2|и, следовательно,
действительно, /i==/2-
В § 35, п. 3 и 4, мы обсудим простейший случай
диффракции Френеля, для которого отнюдь не существует простого

§ 34, Принцип Гюйгенса 271
соотношения между /i и /2, и, тем не менее, мы убедимся,
что наша формулировка C4.15) принципа Бабине будет
справедлива и там.
6. Черный или белый экран? Обычно в теории диффрак-
ции говорят о черном экране. Однако из практики диф-
фракционных экспериментов известно, что физическая
природа экрана, вообще говоря, не сказывается заметным
образом: станиолевый листочек, в котором вырезана узкая
щель, создает ту же самую диффракционную картину,
независимо от того будет ли он блестящим или зачерненным.
В соответствии с этим мы в предыдущем изложении
говорили только в общем о непрозрачном экранву чтобы
подчеркнуть, что он, несмотря на свою произвольно малую
толщину, не должен пропускать свет. Такой экран в теории
Максвелла определялся бы тем, что он обладал бы
бесконечной проводимостью. Но в этом случае он был бы не
черным, а белым, т. е. полностью отра^нсающим; его
отражающая способность была быг=1. Напротив, черное, т. е.
полностью не отра^жающее, тело вообще не может быть
определено по теории Максвелла: зачернение является
свойством не материала, а поверхности. Мы это примем
во внимание,' когда в § 38 попытаемся математически
описать свойство «черное». Из нашего изложения принципа
Гюйгенса следует, что для теории диффракции это свойство
несущественно. Только очень тонкие опыты могут дать
сведения о материале экрана, от которого происходит
диффракция.
Дело, разумеется, в том, что влияние материала и
обработка экрана сказываются только в непосредственной
близости от края, т. е. простираются лишь на несколько
длин волн. При больших отверстиях эта краевая зона
по сравнению с остальной частью отверстия может не
учитываться. Этим объясняется то, что грубые допущения
C4.4а), C4.46) и C6.6а), C6.66), которые, конечно,
справедливы только за пределами краевой зоны, оказались
чрезвычайно плодотворными и что отклонений от
результатов, даваемых принципам Гюйгенса, следует ожидать,
при обычных условиях наблюдения, только при самых
малых отверстиях величиною порядка длины волны (или в
устройствах, которые им соответствуют по закону подобия).

272 Гл. V. Теория диффракции
7. Два обобщения. В предыдущем мы ограничивались
только теми следствиями из принципа Гюйгенса, которые
найдут свое непосредственное применение в этой главе.
Здесь мы сделаем еще два естественных дополнения,
которые нам понадобятся позже.
1. Вместо функции Грина C4.7), которая удовлетворяет
краевому условию G=0 при z=0, мы образуем функцию
ihri ЛкГ2
которая при 2=0 удовлетворяет краевому условию
3G/5z = 0. Если подставить эту функцию вместо'й C4.3),
то вместо C4.6) получится
4wp= + ^|^Gda. C4.18)
Но это Vp только тогда тождественно с Vp из C4.6), когда
интегрирование в C4.18) распространяется не только на а,
но и на экран, в котором проделано отверстие а [в
выражении C4.6) этого не требовалось, так как на
непрозрачном, по предположению, экране можно было принять г;=0].
При этом уточнении интегрирования в C4.18), если нам
известны точные краевые значения v и дь1дп в отверстии
и краевые значения dvldn на экране, будет справедливо
соотношение
$1-:^+'^'=-^'^^^; C4.19)
здесь G4- обозначает функцию Грина C4.17); G.
—функцию Грина C4.7). Если подставить их значения на
плоскости 2=0, то можно также написать
2. Если речь идет не о плоском экране, а об экране
с изогнутой поверхностью (например, о шаре), в котором
проделано отверстие о, то, вне сомнения, и здесь суш;е-
ствуют в общем случае две функции G^ и G^., для которых
на о выполняются условия G. = 0 и dGJdn = 0. При
помощи этих функций каждое непрерывное решение v
волнового уравнения может быть выражено двояким
образом. Поэтому замечательное тождество C4.19) в указан-

§ 35. Проблема тени в геометрической и в волновой оптике 273
НОМ смысле будет справедливо без изменений и для
кривых поверхностей о.
Однако аналитическое выражение G± приводит уже
в простейшем случае шара к сложным разложениям по
собственным функциям шара. Упрош;ение, которого мы
достигли в случае плоского экрана введением функции
Грина, при изогнутом экране становится, таким образом,
иллюзорным, совершенно независимо от того, что
предположение о знании точных краевых значений здесь, как
и там, не выполняется.
§ 35. ПРОБЛЕМА ТЕНИ В ГЕОМЕТРИЧЕСКОЙ ОПТИКЕ
И В ВОЛНОВОЙ ОПТИКЕ
Геометрическая оптика является нашим повседневным
путеводителем во внешнем мире; она лежит в основе
конструкций всех приборов, дающих изображение (очки,
зрительная труба, фотографический объектив). Здесь мы
представим ее как предельный случай волновой оптики
при Х = 0 (см. введение к § 34).
1. Эйконал. Будем исходить, как в § 34, из скалярного
волнового уравнения
Аи + кЧ^О, A==/iiI(o = y. C5.1)
Мы положили, что е не постоянная, а (непрерывно или
скачкообразно меняющаяся) функция координат. При
Х = 0, следовательно, при к—>^у дифференциальное
уравнение вырождается. Для того чтобы, несмотря на это,
из него можно было бы сделать количественные выводы,
выполним подстановку ^)
u = Ae^^oS^ Ao = l/i;ii;a) = |^, C5.2)
где А—амплитудный множитель; S мы назовем, следуя
Брунсу, эйконалом, В то время как и в силу того, что
Aq —> оо, представляет собой быстро меняющуюся
функцию координат, мы видим, что А nS являются постепенно
1) По Дебаю, согласно работе Зоммерфельда и Рунге [44].-
Прим. asm.

274 Гл. V: Теория диффракции
изменяющимися функциями координат х, у, z, которые
не стремятся в бесконечности вместе с к^. Путем
дифференцирования C5.2) получим
ди ., dS , д\пА
-^ --= ik(U -г-4-и —^— ,
дх о дх ' дх '
л„+..„=.-Ч„[(-)Ч(-)Ч(§у-^] +
+ 2^A:oii[-jA»S' + (gradln^grad*S')] + ...
Здесь не выписанные члены при А:^ —> оо не становятся
бесконечными.
Поэтому можно приближенно удовлетворить
уравнение C5.1), если определить S и А посредством
дифференциальных уравнений
/)E>п2, п = ^, C5.3)
(gradln^grad5)= ^\lS. C5.4)
*=(|)'Ч0+(^:'-
Символом D обозначен «первый дифференциальный
параметр»
О"
Символ п обозначает обычный показатель преломления.
Уравнение C5.3) есть дифференциальное уравнение эйко-
нала; оно является неоднородным уравнением первого
порядка второй степени. Если его проинтегрировать, то
C5.4) даст градиент от In Л в направлении градиента хУ.
О градиенте А в перпендикулярном направлении уравне-
нение C5.4) ничего не говорит; оно допускает, таким
образом, в этом направлении возможность прерывного
изменения А,
Согласно выражению C4.2), поверхности /5'=const
являются поверхностями равной фазы и и, следовательно,
представляют собой волновые поверхности. Их нормали
задаются градиентом S и представляют собой
направления лучей. В общем случае, при л, меняющемся от точки

§ 35. Проблема тени в геометрической и в волновой оптике 275
К точке, лучи будут искривлены, В оптически неоднородной
среде интегрирование C5.3) является простейшим путем
для определения волновых поверхностей и направлений
лучей.
В оптически однородной среде л = const, простейшим
решением C5.3) будет линейная функция
S = n{ax+^y + ^z), C5.5)
где а^ + ^^ + ^^ = i. Она содержит две произвольные
постоянные, например аир. Волновые поверхности
тогда плоские, лучи представляют собой параллельные
прямые линии, идущие в направлении а : р : ^, в соответствии
с соотношением
grad^ = w(a, р, -f). C5.5а)
Простейшим решением с одной особой точкой при
постоянном п является сферическая волна
S = nr, r = Yx^~{-y^ + z\ grad^= ^{х, у, z); C5.6)
простейшему решению с одной особой прямой линией
соответствует цилиндрическая волна
8=.щ, р=^/:г2 + 2/^ grad5=-^(:r, у). C5.7)
В этих случаях так же, как и вообще в однородной среде,
лучи распространяются прямолинейно.
Общее решение получается, если, исходя из
произвольной поверхности, построить семейство параллельных
поверхностей (поверхностей с бесконечно малыми
постоянными расстояниями друг от друга).
Этим дается простейшая математическая схема для
понимания образования тени. Представим себе источник
света, из которого исходят прямолинейные лучи. Пусть
экран называется непрозрачным, если он поглощает все
падающие на него лучи и сам не излучает никаких лучей.
Тогда тень за экраном будет прямолинейно ограничена
направлениями лучей, исходящих из источника света.
Перпендикулярно к границе тени А падает скачком до
нуля, что, как мы видели, совместимо с уравнением C5.4).
В предельном случае Х = 0 диффракция отсутствует.

276 Гл. V. Теория диффракции
Не попадающие на экран лучи распространяются
беспрепятственно и прямолинейно дальше. Если имеется
несколько источников света, то, конечно будут существовать
области полутеней.
Геометрическая оптика так сильно вошла в нашу плоть
и кровь, что мы верим ей даже тогда, когда нам известно,
что речь идет о криволинейном ходе лучей. Так, как
известно, мы видим Солнце еще примерно в течение пяти
минут над горизонтом, когда в действительности оно уже
зашло. Мы проектируем криволинейные, вследствие
неоднородности земной атмосферы, солнечные лучи по их
касательной, попадающей в наш глаз, прямолинейно на
небесный свод. Аналогичная вещь получается при некоторых
диффракционных явлениях (см. § 38, п. 4): край экрана
представляется нам светящейся линией, так как мы
прямолинейно экстраполируем попадающую в наш глаз
цилиндрическую волну в направлении, обратном ее
волновой нормали, хотя в действительности на краю экрана
мы имеем дело с непрерывно меняющимся полем ^).
В уравнениях C4.1)—C4.7) мы совершили переход от
волновой оптики к геометрической. Шредингер шел
обратным путем, когда он, руководствуясь обобщающими
идеями Гамильтона, совершил переход от классической
механики к волновой. Гамильтон исходил из теории
оптических приборов, а на общую динамику перенес ее лишь
несколько лет спустя. Дифференциальное уравнение
эйконала C5.3) является простейшим случаем гамильто-
новского дифференциального уравнения в частных
производных из динамики, так же как наше уравнение C5.5)
представляет собой простейший частный случай уравнения
импульсов Гамильтона Pf^ = dSldq^. Естественно, что путь
Шредингера стал возможен лишь после открытия План-
ком кванта действия. Отметим также, что весьма
полезный в квантовой механике метод В. К. Б. (приближение
Вентцеля—Крамерса—Бриллюэна), в котором делают
такую же подстановку, как C5.2), соответствует переходу
от волновой оптики к геометрической.
^) Светящаяся линия соответствует полю, стремящемуся к
бесконечности при приближении к краю экрана, т. е. наличию особой
линии.—Прим. ред.

§ 35. Проблема тени в геометрической и в волновой оптике 277
2. Возникновение тени по волновой оптике. Мы
должны теперь найти решение проблемы тени, исходя
из обычной волновой оптики, а не из полученной в
результате ее асимптотического вырождения лучевой оптики,
Фиг. 59. Построение поверхностей равной
фазы.
как было сделано перед этим. Для этого служит принцип
Гюйгенса.
Рассмотрим выражение, стоящее в C4.10) под знаком
интеграла. Построим поверхности равной фазы
r-f-r' = const. C5.8)
Они представляют собой эллипсоиды вращения с общими
фокусами Р (точка наблюдения) и Р' (источник света).
Пусть расстояние между фокусами будет р + р' (фиг. 59),
причем

278 Гл. V. Теория диффракции
где D—точка пересечения линии, соединяющей фокусы,
с плоскостью экрана. Пусть проходящее через D круговое
сечение рассматриваемого эллипсоида вращения имеет
радиус X, точка, лежащая на окружности этого сечения,
находится на расстояниях Гд. и г^ от Р ш от Р\ Тогда,
согласно фиг. 59, при достаточном расстоянии от Р и Р'
/•I = P^ + ^^ г'^ = 9'^ + х\ C5.9)
r. = p(l+|^+ ...), /•; = p'(l+4-f,+ ...). C5.9а)
Отсюда и из C5.8) следует
г + г'=г^ +/•,' = ? + ?' + ?, C5.10)
где
/' = G + 7)-Т+---' dp-{\^{:)xdx; C5.10а)
здесь р—параметр системы эллипсов, которые наша
система эллипсоидов вращения вырезает из плоскости экрана.
Круговым кольцам
do^=2T:xdx C5.106)
в плоскости экрана соответствуют эллиптические кольца
dOg, площадь которых пропорциональна dp. Напишем
da.^-fdp. C5.11)
Ясно, что эти do^ являются вполне подходящими
элементами поверхности для выполнения интегрирования по
do в C4.10).
Обозначим через ср {р) ту часть эллиптического кольца
dag, которая лежит в отверстии, и будем различать два
случая:
а) точка пересечения D лежит на экране (фиг. 60,а);
б) точка пересечения D лежит в отверстии (фиг. 60, б),
В случае «а» интегрирование по р распространяется от
Pi ДО Р2' Для pi и /?2 имеем ср (/?) = 0.
В случае «б» интегрирование начинается при р = 0.
Между р=0 и p=Pi имеем ср (/?) = !; от pi до /?2 функция ср
уменьшается от 1 до 0.
Объединим множитель ср, множитель / в C5.11) и
множитель cos(ai, r)/rr' в C4.10) в одну функцию/^(/?).

§ 35. Проблема тени в геометрической и в волновой оптике 279
Тогда В случае «а», согласно C5.10) и C5.11), из C4.10)
следует
Р2
iktp = Ае^^ (Р+Р') ^ F {р) е^^Р dp. C5.12)
pi
Посредством интегрирования по частям^) получим
V2
Р2
Р2
[ F{p)eihr>dp=:-^F{p)e^^p 1 "~i 5 F'(p)e^^Pdp. C5.12а)
Pi pi Pi
При указанных на фиг. 60, а условиях первый
член справа в C5.12а) обращается в нуль, так как
/^содержит множитель ср, а
ср (jDj) = ср (jOg) = 0. Интеграл
во втором члене, при
неограниченном возрастании А,
тоже стремится к нулю.
Поэтому, в силу наличия
знаменателя ik, второй член также
обращается в нуль, даже
после деления на стоящий
слева в C5.12) малый
множитель 1к = 2ш/к. Поэтому
имеем
Vp-^O (тень). C5.13)
Тень получается в
результате интерференции волн,
исходящих из элементов
поверхности do^.
В случае «б» вместо C5.12)
имеем
Р2
ilvp -= Ае'^ (Р+Р') \ F (р) е'^Р dp.
Фиг. 60. Сечение
поверхностей равной фазы плоскостью
экрана.
C5.14)
1) Появляющаяся при этой в C5.12а) производная F'(/?) прп
известных условиях становится бесконечной на границах
интегрирования; однако, несмотря на это, как покажет более подробное
исследование в § 36, п. 4, сходимость интеграла сохраняется.—Ярил*, авт.

280 Гл. V. Теория диффракции
Посредством интегрирования по частям получим теперь
вместо C5.12а)
Р2 Р2 V2
^ F{p)e^vdp=^-^F(р)е^р I ~-1-С F'(/?)ei'^Pd/?.C5.14а)
о 0 0
Так же как и в случае «а», второй член справа при
указанных на фиг. 60, б условиях обращается в нуль при:
А—> сю; первый член также обращается в нуль на верхней
границе, вследствие того, что ср(/?2) = 0- На нижней
границе мы имеем, согласно фиг. 59,
^ COS (л, р)
и, согласно C5.10а) и C5.106),
^ ЧР Р у 271 р^' ft'
Поэтому
J dak/dp ^2тс РР'^^Р"^^'^
^ COS (яр) COS (л, р)
в результате нижняя граница дает следующее значение
для первой части C5.14а):
2к 1 _ а
i/t р4-р' ~"р + р' '
Поэтому после сокращения на множитель ik из C5,14)
следует
vp^A- —. C5.15)
Это есть падающая сферическая волна на расстоянии р + р'
от источника света.
Уравнения C5.15 ) и C5.13) содержат френелевскую
теорию явления «света и тени»; они делают понятным
с точки зрения волновой оптики то, что свет «в общем»
распространяется прямолинейно.

§ 36. Проблема тени в геометрической и в волновой оптике 281
Употребление оговорки «в общем» означает: кроме
исключений, которые мы сразу же исследуем в п. 3 и 4
и, в особенности, в § 36, п. 4, при рассмотрении диффрак-
ции Фраунгофера на прямолинейных краях экрана.
3. Диффракция позади круглого экрана. Полученный
в C5.13) результат будет иметь исключение, если конечная
часть края экрана совпадает с одним из двух граничных
эллипсов /?1 = const или /?2 = const. А именно, тогда
ср (pi) или ср (jPg) не равно нулю и первый член справа
в C5.12а) не обращается в нуль. Поэтому соотношение
C5.13) не будет справедливо. Тени не возникает; мы
можем говорить о диффракции от эллиптически
искривленной части края экрана.
Это будет иметь место, в частности, тогда, когда экран
представляет собой круг и точки Р, Р' лежат на
перпендикуляре к его плоскости, проходящем через центр. Точка
D совпадает тогда с центром круга, а эллипсы /?=const
превращаются в окружность х = const (обозначения как
на фиг. 59); диффракционное отверстие состоит из всего
лежащего за пределами круга пространства а < re < оо
(а—радиус круга). При этом формула C4.10) принимает
вид
iX»p = ^^e"'(r+r')i?i^2ita;rfa;. C5.16)
а
Имея в виду применение, которое будет сразу же сделано,
мы положим р' = р и, следовательно, г' —г, благодаря
чему одновременно облегчается вычисление C5.16).
Однако мы подчеркнем, что это ограничение общности не
существенно для результата. Также удобно было бы выбрать
р' = оо, т. е. вместо падающей сферической волны взять
плоскую (см. примечание к стр. 282).
При р' = р получим (фиг. 61):
г2 = р24-ж^ = ^'^ xdx^rdr, cos(n,/•) = — ;
поэтому, согласно C5.16),
со
i\ip = 2T.A? ^ 62*"^ 4-- C5.16а)

282
Гл. V. Теория диффракции
Посредством интегрирования по частям получим
ikVp •
2ik
gZtsr
~7^
V72
+ 2 \ e^''"-^3
Ta2 Kp2-| a2
C5.166)
Второй член в фигурных скобках при повторном
интегрировании по частям приобретает множитель l/2lkr; это
показывает, что он будет почти
полностью уничтожен благодаря
интерференции. Если мы бго вычеркнем, то из
C5.16а) получим
^""^Р ' C5.16в)
Экран
\
\
(П,Г)
\—х-
iktp =
2ik
p2 + fl2
-.J^_ —
/
/Г
Если еще ввести первичное
возбуждение на краю круга
Jftr' ik Кр +а2
Vp' = A-
= А
Vf + a^
Фиг. 61. Диф-
фракция позади
круглого экрана.
то можно после сокращения на
множитель ik упростить C5.16в), в
результате чего получится
1 Р
vp-
. QikV р2+а2 Dp,
2 /р2 + а2
или, выразив через интенсивности / = |г?р|2, /^ = |г;р'|2,
/ =
1
4 р2 4-а2
C5.17)
На фиг. 62 представлен графически этот парадоксальный
результат. За непрозрачным кругом, на его средней линии,
темноты нигде не будет (за исключением области в
непосредственной близости от круга). Относительная
интенсивность возрастает с расстоянием между экраном и
точкой наблюдения; при очень большом расстоянии
интенсивность в точке наблюдения составляет ^4
интенсивности волны, падающей на край^). Первичные световые
1) Если облучать круг плоской волной [р' -* оо в C5.16)], а не
сферической, то множитель ^/^ в C5.17) выпадает; таким образом,
/ будет непосредственно равно /о при р -> оо. На достаточно большом
расстоянии круга больше не видно; первичная световая волна
наблюдается неискаженной,—Яр^^. авт.

§ 35. Проблема тени в геометрической и в волновой оптике 283
ВОЛНЫ огибают круг по всему его краю и вновь
встречаются в силу симметрии установки на средней линии
с одинаковыми фазами. Здесь имеется самое резкое
противоречие с утверждением геометрической оптики о
прямолинейном ходе лучей и с ожидаемым отсюда ограничением
тени, причем, конечно, необходимо отметить, что даваемое
формулой C5.17) просветление имеет место только в
непосредственной близости от средней
линии, так как только здесь линии
/? = const совпадают с краем круга.
На некотором расстоянии от средней
линии мы сразу попадаем в
отбрасываемую кругом тень, которую
следует ожидать по C5.13).
Пуассон предсказал это
просветление средней линии как следствие
френелевской теории тени- и
выдвинул его в качестве eo3pa:>i€eHUH
против последней^). Это явление
называется (поэтому или несмотря на
это) диффракциейПуассона. Оно
имеет место не только за кругом, но и
за непрозрачным шаром. Также и в
радио можно обнаружить усиление
сигнала в точке, являющейся
антиподом излучающей антенны.
«Можно заменить
фотографический объектив стальным шаром». Этот
вывод был сделан Полем в его
лекциях по оптике. Мы приводим фотографию (фиг. 63),
сделанную Ангерером. «Линзой» служил диск из жести, диаметром
в 50 мм. Его расстояние от оригинала и от изображения
составляло по 35 м. Оригинал здесь существенно сложнее
и богаче деталями, чем примененная Полем простая
монограмма. Несмотря на малую контрастность изображения,
оно может быть удивительно хорошо опознано. Как
установил Ангерер, для резкости изображения весьма суще-
^) Решающий опыт был выполнен Араго и Френелем. Поэтому
часто говорят о пятне Араго вместо пятна Пуассона. Ср. также
более светоспльную и ИхМеющую более глубокий смысл установку
Косселя [45].—Прим. авт.
Фиг. 62.
Относительная интенсивность
///о на оси позади
круглого экрана.

284 Гл. V. Теория диффракции
ственно, чтобы край диска представлял собой точную
окружность (теоретически даже с точностью до разностей
порядка длины волны!). То, что круг действует примерно
так же хорошо, как и шар Поля, является неожиданным,
так как круг может давать резкое изображение только
Фиг. 63. Получение изображения
при помощи жестяного круга.
для центрального луча, в то время как очертания шара
будут иметь форму окружности для всех лучей.
4. Круглая диафрагма и зоны Френеля. Перейдем
теперь к дополнительному случаю круглого отверстия.
Сохраняя все предыдущие допущения и обозначения, но
принимая во внимание измененные границы
интегрирования, х = 0 и х~а вместо х = а и # = оо в C5.16),
получаем вместо C5.16а)
Hvp = 2t:Ap ^ e2ife'-J-; C5.18)
р
отсюда, путем интегрирования по частям и ограничиваясь
членами первого порядка, найдем
- ~ще2{к9 {i-^^v^a^)} • C5-18*)
Чтобы сделать это выражение более наглядным, мы
пренебрежем в множителе р2 / (р2 + а2) величиною а2 по
сравнению с р2; однако в показателе, содержащем
множитель к, необходимо, конечно, производить вычисление

§ 36. Проблема теки в геометрической и в волновой onthuke 285
более точно. Соответственно этому мы положим в
показателе
И раньше, на множитель й,
После сокращения, как
из C5.18а) получим
Zp
gifea2/2p
2i sin ka^
f 2i sin ha^ \
I 2p /
C5.186)
Если перейти к интенсивности
/ — I г;р |2 и ввести снова
вычисленную для края диафрагмы
первичную интенсивность
ТО окончательно следует:
Ла2
/=/п
sin^
2р
C5.19)
Фиг. 64.
Относительная интенсивность
позади круглого отверстия.
На фиг. 64 представлена
относительная интенсивность///q. Она
имеет бесконечно больпюе число
максимумов и минимумов,
которые вблизи диафрагмы
сгущаются; величина всех максимумов одна
и та же и равна единице,
величина всех минимумов равна 0. Этим
представленный на фиг. 62
парадокс еще более усугубился. В то
время, как на средней линии круглого экрана нигде не
будет темноты у на средней линии круглой диафрагмы будет
бесконечное число темных мест.
Наше последнее утверждение относится, конечно,
к монохроматическому освещению. Соответственно этому
в белом свете средняя линия должна казаться попеременно
окрашенной в различные цвета.
Принципиальное различие в формулах C5.17) и C5.19)
непосредственно показывает, что не существует простой

286 Гл. V. Теория диффракции
зависимости между интенсивностями обоих
дополнительных случаев: /i [круг, формула C5.17)], J^ [диафрагма,
формула C5.19)] и первичной интенсивностью J^. Однако
даже на такой особенной линии, как средняя линия фре-
нелевской проблемы диффракции, хорошо оправдывается
обш;ая зависимость C4.15) между амплитудами Vi, v^
и Vq, которой мы там дали название «принципа Бабине».
А именно, если мы образуем при помощи C5.16а) для v^
и C5.18) для ^2 сумму, то получим
ik (i^i + V2) = 2т.Ар { е^'
2ikr ^^
С другой стороны, при нашем специальном положении
(р' = р') первичное возбуждение в точке Р дается
выражением
Поэтому, согласно C4.15), мы должны иметь
е
,2ikr
P
Мы можем подтвердить это дифференцированием по р,
в результате чего получим
,2
р'-^ Ак р'
множитель в первом члене справа равен единице; второй
член не выписан, так как по сравнению с первым членом
его порядок 1/к. Мы бы получили требуемое соотношением
C4.15) точное равенство, если бы мы уже в C5.16а) и
C5.18) для Vi и г?2не пренебрегли соответствующилп!
величинами.
Очень наглядное, хотя и только качественное
объяснение этого результата дает построение зон Френеля.
Вокруг источника света Р' строится система сфер,
которую пересекает плоскость диафрагмы, образуя систему
окружносте!! i^i, К2, ..., К^, ... Радиусы сфер выбираются
таким образом, чтобы пути света от Р' через К^ к точке

§ 36. проблема тени в геометрической и в волновой оптике 2б?
наблюдения Р отличались друг от друга на Х/2. Пусть
а и b (до сих пор обозначавшиеся через р' и р)
обозначают расстояния от Р' или Р до плоскости диафрагмы,
Гп и г^ —световые пути Р'К^ или К^Р. Прямолинейный
отрезок а + 6, соединяющий Р' и Р, пересекает плоскость
диафрагмы в точке К^ (окружность с радиусом 0), которая
одновременно является центром системы окружностей К^,
Согласно построению Френеля для Ki, iiTg» ••• будем иметь
Для iiT^ получим посредством сложения п первых равенств
г; + /-,,-а-& = у. C5.20)
Радиус х^ этой п-и окружности вычисляется, как в C5.9)
и C5.9а), следующим образом:
Следовательно, согласно C5.20),
а;„=/йХД C5.21)
111
где -т = —1--Г-. Примененное здесь обозначение/
[которое, впрочем, с точностью до множителя 2?: совпадаете /
в формуле C5.146)] напоминает известную формулу для
фокусного расстояния / линзы, но вначале может
рассматриваться только как удобное обозначение, введенное для
сокращения записи.
На фиг. 65 показана картина зон Френеля, состоящая
из следующих друг за другом круговых колец К^, Kn+i.
Они попеременно отмечены знаками плюс и минус. Если
мы будем считать фазу в центральной зоне
положительной, то во второй зоне, вследствие разности хода Х/2,
она будет отрицательной и т. д. Все волны, попадающие
в центральную зону, взаимно усиливаются, они будут

288
Гл, V. Теория диффракции
ослабляться волнами второй зоны, снова усиливаться
волнами третьей зоны и т. д.
Сравним это с нашей формулой C5.19), в которой
заменим а на х^. Она дает максимум для B7u/X) {хп / 2р) = л ('^^/2)
при нечетном п\ следовательно,
C5.21а)
Это совпадает с C5.21), так как в предполагаемом в C5.19)
случае было р = р'; следовательно, в наших теперешних
обозначениях будет а=Ь = р
и / = р/2. Аналогичное
совпадение получается для
минимумов при четном л. То, что
все максимумы между собой
равны, а минимумы равны
нулю, можно, хотя и не без
некоторого произвола,
получить посредством
суммирования долей, вносимых следую-
ш;ими друг за другом зонами.
Особенно неожиданным во
времена Френеля казалось
следствие, что диафрагма,
которая пропускает только
центральную зону, дает ту же
интенсивность, что и очень большая диафрагма, а именно,
полную интенсивность падающего света. Если диафрагма
не совпадает ни с одной окружностью К^ или если ее
форма отличается от круговой, необходимо еще,
естественно, учесть действие неполных зон.
Фиг. 65 одновременно показывает, что «зонная
пластинка» (Соре, 1875 г.) действует как линза. Для того
чтобы сделать это наглядным, мы заштриховали
отрицательные зоны. Если они покрыты непрозрачной краской
или зачернены, то все незаштрихованные зоны действуют
в одном направлении и усиливаются до четырехкратного
значения от падающей интенсивности. Полученный таким
образом растр, состоящий из зон, имеет фокусное
расстояние /. Так как последнее, так же как и само разделение
на зоны, зависит от длины волны X, то наша «линза» обла-
Ф и г. 65. Зоны Френеля.

§ 35. Проблема тени в геометрической и в волновой оптике 289
дает сильной «хроматической аберрацией». Кроме /,
фокусными расстояними будут также значения f/n.
5. Закон подобия диффракции. Сравним два объекта
(диафрагмы или экраны), которые могут быть переведены
один в другой посредством преобразования подобия. Мы
так поставим наблюдение, что обоим объектам будет
соответствовать одинаковое число п зон и, при нецелом числе
зон, одинаковые дробные части зон. Тогда и диффракцион-
ные картины в обоих случаях будут геометрически
подобны. Согласно C5.21), для этого необходимо и
достаточно, чтобы безразмерная величина
-^ C5.22)
/X/
{х—произвольный линейный размер объекта) в обоих
сравниваемых случаях имела одно и тоже численное значение.
Мы назовем это законом подобия диффракции.
Обычно говорят, что диффракционные явления заметны
только при очень малых объектах. В противоположность
этому закон подобия учит: те же диффракционные
явления, что и для малого объекта, будут наблюдаться и для
макроскопически увеличенного, при помощи
преобразования подобия, объекта, если только перейти к
соответственно увеличенным расстояниям. А именно,
коэффициенту увеличения q линейных размеров объекта
соответствует коэффициент увеличения q^ для расстояний. И
наоборот: если желательно наблюдать диффракционные
явления, которые возникли бы от большого объекта лишь на
очень больших расстояниях, в условиях небольших, в q
раз уменьшенных расстояний в лаборатории, то
необходимо уменьшить размеры объекта лишь в Yq раз. На
этом основаны интересные модельные опыты
Аркадьева [46]. Рассмотрим в качестве примера
макроскопический объект: тарелку обычной величины, которую держит
рука. В московской лаборатории была возможность
расположить источник света на расстоянии а + Ь = 40 м
от фотографической пластинки. Тогда на картине тени
(изображение которой было соответствующим образом
уменьшено до размеров фотографической пластинки) не
было заметно, конечно, никаких диффракционных
явлений и она соответствовала геометрической оптике.

290 Гл. V. Теория диффращии
Нас интересует вид тени при а -\- Ь = 7 км. Чтобы
получить на это ответ в лаборатории, нам необходимо ввести
уменьшение
40 ,/- 1
? = 7000' К«*18-
Величина q относится к расстояниям а, Ь, а потому и к /,
\f q — ко всем линейным размерам объекта. Аркадьев
поступил следующим образом: он вырезал из тонкой жести
модель макроскопического объекта в 1/13 величины его
Фиг. 66. К закону подобия диффракции. Снимки Аркадьева.
линейных размеров. На фотографической пластинке была
видна картина, представленная на фиг. 66, а: тарелка
получилась с дыркой (пятно Пуассона) и с белым краем;
по запястью проходят светлые полосы; рукав под
запястьем имеет вид бахромы.
Картины тени для a -j- Ъ = 29 км (фиг. 66, б) и а + Ъ =
= 235 км (фиг. 66, в) получены при помощи моделей,
уменьшенных в отношении
/-_,/"~~4(Г j_ /-_ / 40 ^ 1
У q ~" V 29000 ^ 27 И У q ~~ V 235000 ~ 77 *
На фиг. 66, б диффракционные полосы проходят по всей
руке. Фиг. 66, в едва ли подобна оригиналу: пятно
Пуассона в середине тарелки увеличилось и появилось второе
светлое пятно на рукаве.

§ 36. Диффракция Фраунгофера от прямоугольника и круга 2&1
§ 36. ДПФФРАКЦПЯ ФРАУНГОФЕРА
ОТ ПРЯМОУГОЛЬНИКА И КРУГА
В устройстве Фраунгофера (см. фиг. 58) установлей-
ная на бесконечность зрительная труба направляется
через диффракционное отверстие на бесконечно далекий
источник света, который, со своей стороны, как это
показано на фиг. 58, может быть осуществлен посредством
светящейся точки или освещенной щели, находящейся
в фокальной плоскости коллиматорной линзы. Положение
диффракционного отверстия в проходящем через него
параллельном пучке лучей само по себе не играет роли;
практически оно помещается вплотную к объективу
зрительной трубы, с тем чтобы в зрительную трубу попадали
также диффрагирующие под большими углами волны.
Окуляр установлен на фокальную плоскость объектива
{Е на фиг. 58). Каждая точка Р последней соответствует
плоской волне, выходящей из диффракционного
отверстия. В глаз через окуляр попадает тоже плоская волна
(как уже было отмечено при рассмотрении фиг. 58,
наблюдение при помощи окуляра может быть заменено
фотографической пластинкой, помещенной в Е),
В силу параллельности пучка лучей, входящего в
диффракционное отверстие и выходящего из него, в
уравнении C4.13) необходимо положить R = R' = ос; как уже
отмечалось при обсуждении C4.14а), фаза сводится к
линейному члену
Ф = а$+Ч а = а-а„ Ь=р-ро, C6Л)
и вычисление интегралов C4.14) становится
элементарным. Здесь S, У] представляют собой прямоугольные
координаты произвольной точки диффракционного отверстия
(которое мы до сих пор считали плоским), а, р, ^
—направляющие косинусы диффрагированного параллельного
пучка, а^, Ру, -уо ~~ направляющие косинусы падающего
света, направленного параллельно посредством
коллиматорной линзы.
В частном случае, когда источник света лежит на
перпендикуляре к диффракционному отверстию, а^=1р^^ = 0,
То = 1-

2Й2 tA. V. Теория диффращий
1. Диффракция от прямоугольника. Пусть стороны
прямоугольника равны 2А и 25, координаты его центра
$ = 0, -ц—О. Тогда вместо C4.14) мы можем написать
+А +в
г) = СА: С е-^^«^^с/$ \ е-^^^-^ d% C6.2)
-А -В
С — комплексная постоянная, пропорциональная
амплитуде падающего света и зависящая от угла между
центральным лучом и направлением наблюдения.
Множитель к при С соответствует множителю X, стоящему
в C4.14) в левой части, который мы теперь перенесли
вправо. Вычисление C4.2) дает
^ = СЫ'^'^^; C6.3)
X у
А = 445 = Площадь прямоугольника, х ~ каАу у = кЬВ.
Отсюда следует для интенсивности / = | г? |2
jQ==(Ck^Y представляет собой, как это следует из C6.3),
интенсивность в центре а = 0, Ь = 0 диффракционной
картины, где также х = у = 0.
Ход величины
X = Q^y C6.4)
известен: главный максимум лежит при х = 0 и имеет
высоту, равную единице. Минимумы величиной Х = 0
следуют на равных расстояниях друг от друга и
находятся в точках а: = ± тг, i 2ir, ^t Зтс, . .. Побочные
максимумы образуются во всех точках, где tgx=:x, т. е. в
точках, которые все более и более приближаются к ± Зтг/2,
±5к I 2; их высоты в этой последовательности составляют
Х = 0,047, 0,017, 0,008, ... C6.4а)
Выразим в угловой шкале а = а — а^ расстояние
главного максимума от первого минимума, которое в шкале х
равно 1Z, Для этого служит вытекающее из C6.3)
соотношение
г. = каА, б!——. C6.5)

§ 36. Диффракция Фраунгофера от прямоугольника и круга 293
Чем меньше величина стороны прямоугольника 2А,
тем больше угловое расстояние а. Естественно, что то же
самое будет справедливо для b и В,
На фиг. 67 слева в виде заштрихованного, вертикально
расположенного прямоугольника 2А < 2В изображено
Фиг. 67. Распределение света при диффрак-
цни от прямоугольника.
«Световые горы», лежащие между прямыми
минимумов, изображены в виде черных кружков. Их
действительная форма, естественно, ближе к
прямоугольной. Форма и положение
вызывающего диффракцию отверстия указана на чертеже
слева (масштаб не выдержан, так как размеры
диффракционной картины и оригинала не
сравнимы).
диффракционное отверстие. На диффракционной картине,
изображенной справа, получится геометрически
подобный, но лежащий горизонтально, прямоугольник, кото-
1
рыи составляет -^ центрального поля, окружающего
главный максимум. Такой же прямоугольник появляется,
например, слева сверху между двумя системами
равностоящих линий минимумов, расстояние между которыми
в шкале х, у тоже равно х, и повторяется вновь в виде
половинок полей, разрезанных (нанесенными пунктирно)
осями а IS. Ъ, Соответствующий каждому полю побочный,
максимум лежит, согласно уравнению igx=x, примерно
в центре данного поля.
Главный максимум значительно превосходит по
интенсивности все побочные максимумы. Он образует, какобыч-

294 Гл. V. Теория диффракции
но говорят, обширную «световую гору» в центре диффрак-
ционной картины. Интенсивности побочных максимумов
на осях а и 6 относятся к интенсивности главного
максимума, как числа ряда C6.4а). Остальные побочные
максимумы в большинстве своем едва заметны, так как их
интенсивности равны произведениям уже самих по себе
малых чисел C6.4а).
2, Диффракция от щели. Щель получится из нашего
четырехугольника 2Л, 25, если В будет становиться
значительно большим, чем А\ при этом вся диффракццон-
наякартина все более и более стягивается коси 6. Примем,
что источник света представляет собой далекую
светящуюся линию, отдельные элементы длины которой испускают
некогерентный свет. Тогда нам необходимо суммировать
приходящие от этих элементов интенсивности. Так как
падающие лучи задаются посредством а^, Pq, то это
означает интегрирование по 6 = р — р^ между
определенными границами ± Ь^, которые соответствуют длине щели
коллиматора. Таким образом, согласно C6.3), нам
необходимо составить
Ч-bi +1/1
—bi —1/1
Границы интегрирования 4: Ух могут теперь
рассматриваться, даже при ограниченных на опыте значениях В и Ъ,
как очень большие числа, вследствие большого
множителя к. Поэтому предыдущий интеграл (с точностью до членов,
обращающихся в нуль как 1/г/^) может быть заменен через^)
—со
При этом интенсивность диффракционной картины будет,
конечно, функцией только от х=каА, а именно, с точностью
до множителя она будет равна выражению для X C6.4).
^) Это значение проще всего получить по методу комплексного
интегрирования [см. т. VI, задача 5 к гл. I, где этим методом вычис-
дяется прерывный множитель Дирихле Г (sin yly) dy].—Прим, авт.

§ 36. Диффракция Фраунгофера от прямоугольника и круга 295
Таким образом, и в случае ш;ели мы имеем главный
максимум в точке X = О и ряд побочных максимумов,
приближенно расположенных на равных расстояниях друг от
друга, интенсивностями которых, однако, можно
пренебречь по сравнению с интенсивностью главного максимума.
Мы используем этот результат, чтобы заполнить
пробел в § 32. Мы в уравнении C6.5) разделили интенсивность
спектра решетки на два множителя, из которых второй
вычислялся из рассмотрения последовательности
штрихов решетки, в то время как первый множитель /^(а),
оставшийся тогда неопределенным, зависел от ширины
и свойств отдельных штрихов решетки. Он будет теперь,
по крайней мере в некоторых простейших случаях,
определяться полученным здесь выражением C6.4) для X,
которое, в соответствии со значением х, является
функцией от а=а—а^. Мы исследуем его влияние на
распределение интенсивности в случае решетки (при этом
интенсивность падаюш;его света мы можем положить равной 1).
С этой целью мы еш;е раз напишем теперь уже
дополненное уравнение C2.5):
2каА А lizad
Величина 2А в предыдущем изложении была шириной
щели, а теперь обозначает ширину штриха решетки, d—
расстоянием между штрихами решетки. У решеток,
которые первоначально изготовлял Фраунгофер, d было велико
по сравнению с 2А, Тогда по C6.6), при изменении Д
на 1 величина х возрастает лишь на малую величину Aid,
Следовательно, первый множитель справа в C6.6) медленно
изменяется по сравнению со вторым множителем. Как
отмечалось в конце § 32, п. 1, он вызывает ослабление спектров
решетки высшего порядка по сравнению со спектром
первого порядка, причем, однако, представленная на фиг. 53
картина распределения интенсивности, обусловленная
вторым множителем в C6.6), качественно сохраняется.
Подобно тому как диффракция от щели служит
дополнением к изложенной ранее теории решетки, состоящей
из штрихов, так и диффракция от прямоугольника допол-

296 Гл. V. Теория диффракции
няет теорию двухмерной решетки, определяя посредством
выражения C6.3) функцию /(а, Р), которая раньше
[см. формулу C2.8I оставалась неопределенной.
3. Круглое отверстие. Очевидно, что круглое отверстие
имеет большое значение для телескопа, микроскопа,
фотографического объектива, так же как и для процесса
видения.
Ясно, что здесь вместо прямоугольных координат Е, у\
и а, 6, как в C6.1), необходимо ввести полярные
координаты. Положим
| = rcoscp, а = 5С08ф,
7j = /*sincp, fe = 5sin^.
Здесь г—расстояние от центра диафрагмы, s—синус угла
наклона диффракционного луча по отношению к
перпендикулярно падаюш;ему лучу. В результате мы получим
вместо C6.2), если будем обозначать в дальнейшем
освободившейся буквой а радиус диафрагмы,
v = Ck\rdr ^ е-^'^^^со5(;-ф)^^^ C6.7)
о —т.
Хотя появившийся здесь интеграл по ср и не может быть
элементарно вычислен, но он хорошо известен как функция
Бесселя Z^.Подробно об этом изложено в т. VI, гл. IV.
Напомним о представлении этой функции в виде
'.м='-А@-^^(О'-з-;.AУ+--
^^\ «^'¦""^'^doi, C6.8)
'.(Р)=|['-Г^AУ+яШ'---] = -5'.(*
C6.8а)
далее, функция подчиняется дифференциальному
уравнению

§ 36. Диффракция Фраунгофера от прямоугольника и круга 297
И отсюда следует соотношение
^p'/o(p')rfp' = p/i(p); C6.8b)
о
асимптотическое представление функций для больших р:
/o(p) = '|/|cos(p—J), /,(p) = ]/Tsin(p-f),
C6.8г)
В силу этого C6.7) может быть просто записано в виде
а hsa
V = 2^Ск ^ I, {krs) rdr = ^* 5 ^0 (рО Р' ^р' = ^ л (Ьа).
о о
C6.9)
Для 5=0 (центр диффракционной картины, а = ао,
P = Pq) из C6.8а) получается
^ = шЮк. C6.10)
Корни V определяются корнями /i(p). Первым из них
будет
р, = 3,95 = 0,61 . 2ir, 5i = 0,61 -^ . C6.11)
Этот корень, и тем более следующие корни pg, Рз, ...,
получаются с достаточной степенью точности из
асимптотической формулы C6.8г);
sin(p-~) = 0, р„=(^,г+|O:, <?^=(гг+1)~.
C6.11а)
Этому соответствует графическое изображение v на фиг. 68.
Если его пересчитать на интенсивность | v \^, то оно снова
даст высокую «световую гору» в центре диффракционной
картины, окруженную почти равноотстоящими темными
кольцами, между которыми лежат более слабые
максимумы с быстро уменьшающейся интенсивностью.
Построенная таким образом центральная световая
гора, вместе с ограничивающим ее первым нулевым коль-

298
Гл. V. Теория диффракции
цом, определяет также центральное поле диффракцион-
ной картины от слоя капелек (§ 33). Действительно, мы
определяли там размеры венцов вокруг Солнца и Луны
именно при помощи выражения C6.11). Наружные
максимумы интенсивности, вследствие слабости света, могут
вообще не учитываться.
В гл. VI мы остановимся на фундаментальном значении
формулы C6.11) для теории микроскопа.
В принципе нетрудно рассчитать диффракционные
явления от других, в частности, прямолинейно
ограниченных диафрагм. Безукориз-
\ Амплитуда ненно это впервые было
выполнено Швердом [47].
4. Фазовая решетка. В
выражении C2.3) мы
рассматривали штрихи решетки как
линейные источники света,
которые при возбуждении
падающей волной излучают
во все стороны.
Распределение этого излучения по
различным направлениям а, в
27^ общем случае неравномер-
Р' X ^ ное, должно было
учитываться функцией / (а), вопрос о
которой сначала оставался
Фиг. 68. Зависимость ампли- открытым. Затем принцип
Гюйгенса сделал возможным
вычисление этой функции
для щелевидных отверстий
любой ширины при помощи формулы C6.6), причем
возникающее в отверстии световое возбуждение
принималось равным световому возбуждению неискаженной
падающей волны. Благодаря этому стало возхможным
определять диффракционное поле проволочных
решеток или решеток, полученных нарезанием штрихов
на слое серебра, покрывающем стеклянную пластинку.
Такие решетки изготовлял Фраунгофер. Мы их будем
называть «амплитудными решетками», А именно, при
перпендикулярном падении, в плоскости решетки, по кото-
туды V позади круглого от
верстия от ksa.

§36, Диффракция Фраунгофера от прямоугольника и круга 299
рой при применении принципа Гюйгенса производится
интегрирование, фаза остается постоянной; только
амплитуда колеблется от нуля до постоянного значения в
зависимости от того, находимся ли мы при интегрировании
на металле или на стекле.
По-иному обстоит дело в современных решетках с очень
тесным расположением делений, когда штрих следует
непосредственно за штрихом, так что нельзя говорить о
плоской поверхности. Хотя такие решетки на всем своем
протяжении просвечивают до некоторой степени
равномерно и, следовательно, в основном с постоянной
амплитудой, фаза будет меняться, так как точки поверхности
погружаются на разную глубину в волновое поле среды
с другим показателем преломления. Они достигаются
волновой поверхностью, падающей в направлении,
перпендикулярном к плоскости решетки, в различные моменты
времени и поэтому излучают свои гюйгенсовские
элементарные волны с различной степенью запаздывания по фазе.
Подобного рода устройства называются фазовыми
решетками. Общие свойства решеток, рассмотренные в § 32,
остаются при этом неизменными, только распределение
по направлениям излучения элемента решетки, т. е.
функция /(а), может быть изменено самыми различными
способами. Так, например, удается большую часть
падающей энергии отбросить в одну сторону в виде спектра
определенного порядка и почти погасить все остальные
спектры, в том числе и спектр нулевого порядка.
Нашей задачей теперь является вычисление функции
/(а) для некоторых форм поверхности решетки. При
этом мы вынуждены, конечно, применять принцип Гюйгенса
в его старой кирхгофской форме (§ 34), так как теперь
поверхность у:н€е не является плоской и поэтому ее функция
Грина нам неизвестна.
Применение предположения Кирхгофа о том, что
падающая волна проникает без иска:нсений вплоть до
поверхности решетки, ограничивает применимость нашего
расчета; он будет справедлив только для больших постоянных
решетки с? > X, так же как и для не слишком глубокой
насечки элементов решетки и умеренных углов падения
и отклонения. В противном случае взаимная подсветка
различных частей элемента решетки со стороны выходд

300
Гл. V. Теория диффракции
-4 '3 -2. -/ Л4
3 4 S
\ \
лучей будет мешать
вычислению. Для того чтобы
можно было
воспользоваться прежними
результатами, мы ограничимся также
элементами решеток,
поверхность которых состоит
из плоских участков.
Выберем сначала
ступенчатый профиль РР,
нарезанный на нижней
стороне плоской стеклянной
пластинки (фиг. 69, а).
Пусть 00—верхняя
сторона стеклянной
пластинки, -EJS^ — рассматриваемый
элемент решетки. Мы осве-
ш;аем пластинку сверху
и наблюдаем выходящий
вниз свет. Подобно тому
как Кирхгоф ввел
неискаженную
неограниченную волну в качестве
приближения для
ограниченного пространства диф-
фракционного отверстия,
так же и мы, желая быть
последовательными,
должны принять в качестве
приближения для нашего
узко ограниченного
участка плоскости ЕЕ
(ширина с?') неискаженную
плоскую волну,
выходящую из неограниченной
стеклянной плоскости. Это
приводит к тому, что в
выражении Кирхгофа C4.4)
необходимо для v и dvfdn подставить их значения,
взятые для выходящей преломленной волны. Прелом-
при падении на верхнюю сторону 00 стек-
L:CbJ
j^:^
.^L^
a=cos^
Фиг. 69. Ступенчатая решетка,
нанесенная на нижней стороне
плоской стеклянной пластинки.
а—общий вид и схема лучей (луч,
падающий на верхнюю сторону 00,
и луч, преломленный в стеклянной
пластинке, так же как и волна, диф-
фрагирующая под углом <р по
отношению к ЕЕ)\ б—распределение
интенсивности при ступенчатой решетке
фиг. 69. Кривая представляет дпф-
франционную картину в случае одной
единственной ступеньки. Ее
ордината при Л ¦« 1, начерченная жирной
сплошной линией, одновременно дает
интенсивность единственного и
односторонне излучаемого crxevmi'pa
решетки первого порядка,
возникающего от совокупности ступенек.
ленный

S 36. Диффракция Фраунгофера от прямоугольника и круга 301
лянной пластинки луч определяет угол падения ^) ср^ на
ступеньку ЕЕ\ пусть 9 будет углом диффракции,
измеренным от плоскости этой ступеньки. Обозначим
направляющие косинусы падающей и диффрагированнои волн через
aQ = coscpQ, а = cos ср.
Кроме того, обозначим через cpi (не показанный на фигуре)
угол, под которым вышел бы преломленный луч при
бесконечной протяженности плоскости ЕЕ, т. е. cos(fi^naQ.
Вспомним наше самое первое рассмотрение задачи
о преломлении в § 3 и перепишем C.1а) в наших
теперешних обозначениях f^?^(fi вместо прежних ^^^Р; к в
соответствии с выходом луча в воздух вместо прежнего Ag*,
ось X лежит теперь в плоскости ЕЕ\ на ЕЕ у = 0):
Е = J5eift(^cos<Pi-l/sin?i)^
Отождествляя v и dv)ldn с Е и дЕ/ду, мы получим при j/ = О
v^^Be'^'^^ox и ^ = —sincpi^to.
Проявляющаяся в формуле Грина в качестве «зонда»
вторая волновая функция и при методе наблюдения
Фраунгофера [предел г—> оо в C4.1)] может быть написана в виде
и = е-^'^^*; ^ = +sin 9 iku.
Если это подставить в C4.4), то получится относительное
распределение амплитуд на бесконечности:
+d'/2
/{а) = ^wp = — ikB (sin cpi + sin cp) { eife(nao-a)x ^x ==
~d72
^ ^^ ' T/ > к {naQ —a) d'/2
Множитель, стоящий перед Sy изменяется медленно и
поэтому обусловливает лишь умеренное ослабление при боль-
^) Здесь речь идет об угле, дополнительном к згглу падения
(слг. фиг. 09). Обычный угол падения равен -^ — ср„.—Прим. ред.

о02 Гл. V, Теория диффракции
ших углах диффракции; мы можем его не учитывать.
Таким образом, функция /(а) в основном определяется б*.
Ее ход напоминает явление диффракции C6.6) от щели. Она
имеет главный максимум при а=па^ или, что то же самое,
при 9 —То следовательно, в точности в направлении
луча, преломленного по законам геометрической оптики.
Симметрично к этому направлению располагаются
нулевые точки при
а = nUQ ± V ~ ...; V — целое.
Рассмотрим теперь, с другой стороны, спектр решетки,
который возникает, согласно C2.4), благодаря
правильному расположению элементов решетки, на расстояниях d
друг от друга. Теперь в C2.1) необходимо подставить (при
dy имеюш;ем смысл, очевидный из фиг. 69, а)
а = cos ф - cos (ср — 8),
а^ = cos % = п cos (сро — 8)-
Спектры решетки (очень резкие, вследствие большого
числа элементов N) получаются при A/2 = 0±/iir, и,
следовательно, a — aQ + hXfd] их амплитуды
определяются функцией /(а), которая отличается от f (а) только
сдвинутым на 8 началом отсчета углов ср» 9о- ^Р^^^У
видно, что при d ^ d\ т. е. при малых углах ф, ф^ и 8
взаимные расстояния этих спектров совпадают с
взаимными расстояниями нулевых точек/(а). Таким образом,
Ьсли посредством надлежащего выбора 8 (или, при
заданном 8, посредством надлежащего выбора ф^) достичь
того, что, например, первый порядок A=-fl совпадает
с главным максимумом /(а), то все другие спектры будут
соответствовать нулевым точкам /(а) и будут полностью
погашены, включая спектр нулевого порядка. Это
наглядно изображено на фиг. 69, б, на которой нанесена
интенсивность спектра, т. е. квадрат /(а).
По предыдущей формуле может быть рассчитана также
нарезанная на металле отражающая решетка, если
формально положить п = — 1. Главный максимум лежит тогда
в направлении геометрически отраженного луча,
независимо от длины волны. Подобного рода решетки
изготовляются для спектроскопии в длинноволновой инфракрас-

§ Зб. Диффракция Фраунеофера от прямоугольника и круга 305
НОЙ области, где не существует подходящего материала
для призм. Постоянная решетки составляет у них доли
миллиметра. При этих размерах желательная форма
ступенчатого профиля уже может быть достаточно хорошо
выдержана; это так называемые эшелетты, или
«ступенчатые решетки». Даже для видимого света можно
посредством соответствующего выбора формы нарезающего алмаза
получить определенный порядок значительно более
выраженным, чем все остальные.
В качестве второго примера выберем прямоугольный
извилистый профиль (фиг. 70, а). Он получается
нанесением на плоскую пластинку путем испарения слоя
прозрачного вещества и нарезанием в последнем одинаковых
щелей, благодаря чему материал вновь убирается на
равноотстоящих промежуточных участках. Пусть толщина
нанесенного слоя будет g, его показатель преломления равен
п. Благодаря этому половина элемента решетки d при
малом угле падения задерживает волну на 2в = (л — 1) gA:.
Распределение амплитуды /(а) для элемента решетки
от — d/2 до н- с?/2 на большом расстоянии и при
опущенных несущественных множителях будет иметь вид
о 4-d/2
f{a) = ^ [ ei(^^-^)dx + -^ \ е^(*^+в)^д,^
-d/2 О
_8ш(Фб?/2 + в) —sine
где Ф = А;(ла^ —а). Это — диффракционная картина от
одной ступеньки. Вследствие параллельности ступеньки
верхней граничной плоскости решетки, различие между
а, Gq и а, а^ пропадает. Поэтому впредь мы будем писать
/(а) вместо /(л). Несимметрия /(а) по отношению к
направлению Ф = 0 исчезает в спектре всей решетки, так как
направления Фd/2 == ± h%, соответствующие двум
спектрам одинаковых порядков (± h), при перпендикулярном
падении всегда вносят одинаковые доли в соответствующее
этому h значение
/(«ih)=A[(-i)''-iisine.

304
Гл. V. Теория диффращии
[При /г = 0 необходимо произвести предельный переход
Ф-->0; он дает /(а) = со8в.] Ход /^(а) и определяемая
Фиг. 70. «Извилистый профиль».
а—общий вид; б—распределение
интенсивности.
Кривая представляет диффракционную
картину от одного единственного
элемента решетки. Ее ординаты,
начерченные жирными сплошными линиями,
одновременно дают интенсивность
спектра решетки, соответствующего h от
совокупности элементов решетки.
ИМ интенсивность спектров решетки различных порядков
представлены на фиг. 70, б.

§ 36. Диффракция Фраунгофера от прямоугольника и круга 305
Нас еще интересует, с точки зрения применений в
теории микроскопа, сравнение со спектром аналогичной
амплитудной решетки. Мы получим такую решетку,
если нанесем на плоскую подложку вместо прозрачного
материала поглощающий металлический слой.
Аналитически это означает, что мы положим в = гв'(9'
вещественно). Отношение пропускающих способностей обеих
половин элемента решетки будет тогда для интенсивности
равно е^^\ Величина 9' прямо пропорциональна
толщине поглощающего слоя. В результате мы получим для
спектра нулевого порядка /(a) —ch в', для спектров
более высоких порядков / (а^п) = [(— 1)'^ — 1] ^' sh Q'/Tzh.
Множитель i в этом выражении показывает, что световое
возбуждение в спектрах более высоких порядков
сдвинуто по фазе на тс/2 по отношению к спектру нулевого
порядка. Поэтому Moofcno превратить диффракционную
картину от фазовой решетки в диффракционную картину
амплитудной решетки, просто увеличив или уменьшив на
тс/2 разность фаз ме^нсду спектром нулевого порядка и
спектрами высших порядков.
Этот способ может заменить прежде столь важное
в микроскопии окрашивание первоначально прозрачных
тканей, составные части которых лишь незначительно
отличаются по показателю преломления, но химически
способны вбирать различные количества красящего
вещества. Отсюда сразу понятно, что метод окрашивания
сводится к тому, что фазовая решетка превращается в
амплитудную.
5. Дополнение к § 35, п. 2. Происхождение
световых вееров при многоугольной форме отверстия,
вызывающего диффракцию. Как относятся полученные
в п. 1 и 2 частные результаты к нашей общей теории
образования тени, изложенной в § 35, п. 2? Для того чтобы
это ясно увидеть, необходимо сначала преобразовать
формулу C5.12) для данного частного случая диффракции
Фраунгофера при перпендикулярном падении. Тогда точка
пересечения D на фиг. 60, а будет лежать (если отвлечься
от центральной точки а = р = 0) бесконечно далеко.
Прежние поверхности равной фазы станут плоскостями, а
прежние эллипсы сечения перейдут в систему параллельных

306 Гл. V. Теория диффракции
прямых. Прежний параметр р системы эллипсов будет
теперь пропорционален расстоянию в системе этих
прямых, отсчитанному от одной из них, например от
проходящей через центр диффракционного отверстия.
Рассмотрим сначала прямоугольное отверстие и будем
интересоваться тенью, отбрасываемой в направлении,
перпендикулярном к одной из двух сторон прямоугольника.
Прямые /? = const идут параллельно этой стороне; они все
вырезают из прямоугольника одинаковые отрезки.
Вследствие этого указанная на фиг. 60, а часть ср {р) не будет
зависеть от р. Это же будет справедливо для входящей в
C5.12) функции F{p), Поэтому будет F'{p) = Q, так что
второй член в C5.12а) обращается в нуль. Первый член
даст, если мы для удобства будем так нормировать /?,
что /?2 = — J^i = (скажем) /?,
^ (eifep -_ е-^'^?) = ^sin кр. C6.12)
Формула C5.12) поэтому показывает (стоящий* в обеих
частях множитель X сокращается), что в рассматриваемом
направлении будет излучаться световой веер конечной
интенсивности и, следовательно, we воз«ггк«е/?г никакой тени.
Мы подчеркиваем при этом, что колебания,
обусловленные синусоидальным членом в предыдущей формуле, при
протяженном источнике света и не монохроматическом
освещении расплываются, о чем говорит уже наше
название «световой веер». Очевидно, что это же будет
справедливо для светового веера, перпендикулярного к другой
стороне прямоугольника; наоборот, это не будет
справедливо для направления, наклонного по отношению к
сторонам прямоугольника. Значения /?i, р^ в C5.12а)
соответствуют здесь углам прямоугольника, в которых часть
ср(/?) уменьшается непрерывным образом до нуля. Тогда
в C5.12а) первый член в правой части обращается в нуль,
а второй член, хотя и конечен, но мал. Это наглядно
представлено на нашей (очень схематизированной) фиг. 71, а
в виде незаштрихованных квадрантов, которые
обозначают тень. В заштрихованных полосах, подобно тому как
это было при круглой диафрагме на фиг. 68, конечный
участок края диффракционного отверстия совпадает с
действующей волновой зоной, вследствие чего получается

§ 36. Диффракцил Фраунгофера от прямоугольника и круга 30?
заметная интенсивность диффрагированного света.
Сравним это с фиг. 67, которая выражает те же данные в
количественно уточненной форме для монохроматического
света.
Эти результаты, в частности интенсивности,
рассчитанные для осей а, Ъ фиг. 71, не зависят от длины волны.
Фиг. 71. Световые вееры при диафрагмах, контуры которых
представляют собой многоугольники (изображены в виде дважды
заштрихованных областей); соответствующие им диафрагмы
начерчены снизу.
а—прямоугольник; б—треугольник; е—треугольник с криволинейным
сторонами.
Последнее находится в кажущемся противоречии с
геометрической оптикой — предельным случаем X —->0, при
котором должна быть освещена только центральная часть
картины. Противоречие разъясняется тем, что в этом
предельном случае наши оба световых веера становятся
бесконечно узкими, на что указывают написанные на
фиг. 71 значения их ширин \\А и \/В, взятые по C6.5).
В соответствии с этим излученная в этих направлениях
энергия, отнятая от центральной части картины, будет
бесконечно мала. Положение дел здесь такое же, как для
пятна Пауссона, которое тоже сохраняется в предельном

308 Г л, V. Теория диффракции
случае геометрической оптики, но сводится к
геометрической точке.
От прямоугольника мы перейдем к параллелограмму.
Обе светлые полосы теперь не будут перпендикулярны
друг к другу, а будут перпендикулярны к сторонам
параллелограмма. При треугольнике будут три
перпендикулярные к сторонам полосы и, следовательно, в целом,
шесть излучаемых вееров, как это показано на фиг. 71, б\
при прямолинейном многоугольнике с п сторонами в
общем случае будет 2п таких направлений излучения.
Таким образом, если смотреть через маленькое
отверстие, имеющее форму параллелограмма, то при не резком
изображении (или при недостаточной малости источника
света) источник света кажется звездой с четырьмя лучами.
Треугольное отверстие дает звезду с шестью лучами.
Через отверстие неправильной формы в большинстве
случаев видно многолучевую звезду, причем следует
заметить, что диффракционная фигура очень чувствительна по
отношению к небольшим нерегулярностям диафрагмы.
Поэтому и получается, что вследствие небольших нерегу-
лярностей радужной или роговой оболочек глаза
изображение звезды в ночном небе не кажется нам окруженным
круговыми кольцами, как это должно бы быть при
идеальной круглой диафрагме, а что оно, как при
непосредственном наблюдении, так и в изобразительном искусстве
всех времен неразрывно связано с образом венца из лучей.
Попутно заметим, что пятиконечная звезда, согласно
волновой оптике, не может быть осуществлена, так как
световые вееры должны обязательно появляться парами.
До сих пор мы ограничивались прямолинейно
ограниченными диффракционными отверстиями. Как обстоит
дело при криволинейном ограничении? Тогда входит в силу
фиг. 60, а, причем, однако, в случае диффракции Фраун-
гофера дуги эллипсов, естественно, нужно снова заменить
системой параллельных прямых. Каждому положению
(бесконечно далекой) точки пересечения D соответствуют
две прямые /?i, р^ этой системы, которые касаются края
диффракционного отверстия. Следовательно, при
криволинейном ограничении не будет совмещения граничной
кривой с волновым фронтом вдоль конечного отрезка, как
в случае прямолинейного ограничения, а это совмещение

§ 36. Диффракция Фраунгофера от прямоугольника и круга 309
будет только на бесконечно малом участке, т. е. будет иметь
место касание. Поэтому интенсивность световых вееров
будет по порядку величины меньше, чем в случае края,
состоящего из отрезков прямых. Оценим этот порядок
величины.
Как уже отмечалось при формуле C5.12а), в точках
касания будет ср (/?i) = ср (/^г) = О- Поэтому в C5.12а)
первый член справа обраш;ается в нуль. Для того чтобы
оценить второй член, мы заменим кривую края в точке
касания ее кругом кривизны (радиус р) и обозначим через 2ф
центральный угол, соответствующий хорде, вырезаемой
из круга кривизны системой прямых р. В качестве
параметра р мы можем выбрать расстояние от центральной
точки и, следовательно, положить /? = рсо8Ф. Тогда длина
хорды равна
ср (р) = 2р sin ф = 2 Vp^^\ (ЗбЛЗ)
и получится
ср'(/?)= ~2/?(p2~p2)-V2. C6.13а)
Таким образом, в точке касания р = р величина ср'(/?),
а потому и F' (р) будут стремиться к бесконечности,
порядок которой, однако, будет таков, что рассматриваемый
интеграл остается конечным. Приближенное вычисление
последнего показывает, что интенсивность будет
пропорциональна Хр и, следовательно, в предельном случае
геометрической оптики она обращается в нуль, в то время
как при прямолинейном ограничении излученная
интенсивность, найденная по C6.12), по порядку величины
была равна интенсивности падающего света.
Криволинейное отверстие хотя и излучает диффрагированный свет
в направлении, перпендикулярном к каждой
рассматриваемой касательной к краю, но по порядку величины
меньше, чем отверстие с прямолинейными краями, причем
тем меньше, чем больше кривизна 1/р в рассматриваемой
точке касания. Если речь идет о криволинейном
многоугольнике^) (фиг. 71, в), то к каждому углу многоуголь-
^) В качестве диффракционного отверстия на фиг. 71, ^ выбран
треугольник со сторонами в виде ziyr окружности. Обозначены три
центральные точки (в общем случае центры кривизны). Начерченные
касательные в трех углах служат для построения границ световых
Эсеров нэ цомещенноц сверху фигуре.~Я;>м^. авт.

310
Гл. V. Теория диффракции
ника Е примыкает область тени. Интенсивность, излучае»
мая в направлениях этой области тени, того же порядка,
что и соответствующая интенсивность в случае
прямолинейного многоугольника; она уменьшается до нуля
с уменьшением длины волны.
Резюмируя и количественно дополняя, мы можем
сказать: каждое диффракционное отверстие создает диф-
фракционную картину, окружающую центральное
изображение и состоящую из световых вееров и из включенных
между ними областей тени. Если а обозначает угловое
расстояние от центральной картины (безразмерную
величину), Л —сторону диффракционного отверстия (при
прямолинейном ограничении) или его радиус кривизны
(при криволинейном ограничении), перед этим
обозначенный через р, то интенсивность диффрагированного света
дается выражениями, представленными в
нижеследующей таблице.
В световых веерах при
прямоли]^ейном
ограничении Л'/а' Х*/аМ*
В световых веерах при
криволинейнОхМ
ограничении Akja^ \^/а^А^
В областях тени при
прямолинейном или
криволинейном
ограничении Х2/л* Х^/а^А*"
Стоящие в первом столбце таблицы выражения дают
интенсивности, измеренные в долях падающего на единицу
поверхности диффракционного отверстия света; поэтому
они имеют размерность квадрата длины. Стоящие справа
от них выражения дают интенсивности, отнесенные к
интенсивности в середине центральной картины, и являются
поэтому отвлеченными величинами.
Мы не рассматриваем при этом интерференционные
полосы, проходящие через диффракционную картину;
как уже было отмечено выше при рассмотрении
прямоугольника, они расплываются при не точечном или не
монохроматическом источнике.

g 37. Диффращия Френеля от щели
311
§ 37. ДИФФРАКЦИЯ ФРЕНЕЛЯ ОТ ЩЕЛИ
Путь к теории чистой диффракции Френеля был
намечен уже в § 34, п. 4. Он несколько сложен и не всегда
ведет к цели. Точку пересечения D (фиг. 72) линии,
соединяющей источник света Р' и точку наблюдения Р
с плоскостью диафрагмы S, берут за начало координат $, т],
Фиг, 72. К диффракции Френеля от щели.
которые характеризуют точки отверстия диафрагмы. Тогда
будем иметь а^а^, Р = Ро» Т = То К> К То характеризуют
направление P'D\ а, р, f — направление DP), и в
выражении C4.13) для фазы Ф выпадают линейные члены. Здесь
есть, конечно, трудность, которая заключается в том, что
при сильно эксцентричном положении точки Р
[обозначенном на фиг. 72 посредством {Р)] точка пересечения будет
лежать вне отверстия, которое следует считать малым
[точка {D) на фиг. 72], и что тогда координаты 5, т]
теряют свою малость, необходимую для разложения Ф в ряд.
Мы должны поэтому ограничить положение Р областью
(указанной на фигуре фигурной скобкой), которая не
слишком далеко заходит в геометрическую тень. Вне этой
области представление Ф посредством только
квадратичных членов невозможно, и на обусловленную ими диффрак-
дцю накладывается диффракционная картина, рассчитывав-

312 Гл. F. Теория диффракции
мая методом Фраунгофера. Следующее неудобство
заключается в том, что также и при этом ограничении Р
положение D меняется с положением Р, так что каждое
положение Р требует своих особенных координат S, т].
Здесь будет идти речь о диффракции от узкого
прямоугольника (названного в заглавии щелью). Плоскость
чертежа фиг. 72 проходит через центр прямоугольника,
параллельно его коротким сторонам 2rf; длинные
стороны 2/г перпендикулярны к плоскости чертежа.
Параллельно им измеряются координаты ? и т). Экран для
наблюдения В, который улавливает диффракционную
картину, расположен параллельно диффракционному
экрану iS, причем оба перпендикулярны к плоскости чертежа.
Мы ограничимся точками наблюдения Р, лежащими
в плоскости чертежа. Пусть источник света Р' лежит,
например, точно против центра прямоугольника. Так как
тогда соединяющая линия Р'Р попадает в плоскость
чертежа, а ось у, так же как и ось т], перпендикулярна
к этой плоскости, то
р-Р„ = 0, aa = aj = l-f; C7.1)
величина f» ^^^ ^"^^ обозначено на фиг. 72, равна
со8Gг, Л), что мы используем в C7.4). Согласно C7.1),
выражение C4.13) приводится к виду
= -тD- + ж)(^'^' + ^')- C7.2)
Положим для сокращения
АФ=-Ф5$2-0,7J; C7.3)
Тогда уравнение C4.14) может быть записано в виде
^'>^^Р = Ш^'^^^^^'^ \ e**''V$ Je'Vd/). C7.4)

§ 37, Диффращия Френеля от хцели 313
Напомним смысл Д, R': мы имели i? — расстояние DP,
Д'— расстояние DP', причем точка -D, как точка
пересечения Р'Р с плоскостью Sy еще сама зависит от положения
точки наблюдения Р\ такая зависимость имеется также
в формулах C7.3), введенных для сокращения величин
Ф^, Фт,. С этим связаны также указанные в C7.4) пределы
интегрирования: так как S необходимо измерять не от
середины щели, а от точки D, которая находится на
расстоянии %j) от середины, то эти границы будут не ± с?,
а id —?D- В интеграле по т] в C7.4) данное
обстоятельство в силу симметрии может не учитываться.
1. Интегралы Френеля. Придерживаясь исторически
укоренившихся обозначений, мы рассмотрим интеграл
F{w)=\
«
to
e'^^^dx. C7.5)
б
Назовем его интегралом Френеля. Обычно это обозначение
применяется для двух вещественных интегралов
C((v)=^cos(^yT2^rfx, *5(w)=^sin(^yT2)dT, C7.5а)
о о
которые, очевидно, составляют вещественную и мнимую
части F:
F=:C + iS. C7.56)
Однако мы подчеркиваем, что разделение F на
действительную и мнимую части совсем не дает никаких
преимуществ (ведь мы и плоскую волну exp{ikx) не
раскладывали на косинус и синус!). Оба интеграла в C7.4) морут
бы^ь простыми подстановками приведены к форме
интеграла F. Получаем
5 e^*^^Ve = /^[F(cv,)^F(cv,)],

314 Гл, F. Теория диффракции
В случае щели й > d и, следовательно, также W > м^2, i»
Убедимся, что W можно положить непосредственно
равным бесконечности ^). Для этого удобно ввести величину /,
определенную нами при изложении закона подобия в § 35,
п. 5, и играющую роль фокусного расстояния;
следовательно, в нашем случае можно положить:
| = 4- + Ж. Ф^ = -^. ^ = /?^»/^^- C7.6)
Если d имеет величину, которая, согласно закону подобия,
как раз подходит для опытов по диффракции, то величина
W будет такова, что ее влияние на диффракцию мо:нсет
не учитываться. Поэтому можно, как в геометрической
оптике, перейти к пределу X—>0, W—>оо и, используя
одновременно значение Ф,,, согласно C7.6), положить
+л
С е^*^^' dyi = Y2kfF {оо). C7.6а)
Л
Соответственно получается
Таким образом, по C7.4), C7.66)
Этр выражение упрощается, если мы, забегая вперед,
возьмем значение jP(оо) = A + i)\2 и вернемся к
первоначальному значению /, согласно C7.6). Тогда получим
''^=-T-^-R+w- (^('*'2)-^(«'i)}- C7.7)
Здесь
^) К соображениям относительно допустимости подобного
предельного перехода мы вернемся в цачале ц. З.—Прим, авт.

§ 37, Диффракция Френеля от щели 315
есть световое возбуждение, которое при удалении обеих
щек щели выступало бы как первичное возбуждение в
точке Р. Поэтому вместо C7.7) можно также написать
o = *-^i^o(^(«'2)-^(«'i)). C7.7а)
Если отвлечься от первого множителя в правой части,
не интересующего нас в данный момент, то можно сказать,
что разность интегралов Френеля F {w^ и F {w^ является
тем мно:н€ителеМу на который возникающая на диффрак-
ционном экране В картина отличается от первичного
недиффрагированного светового возбу^нсдения.
На аналитической природе функции F{w) можно
остановиться лишь кратко. Она полностью соответствует
аналитической природе интеграла ошибок Гаусса
X
F{x)==\e-''4'z.
о
а) F{iv) представляет собой целую трансцедентную
функцию от w; она может быть выражена, согласно ее
определению C7.5), в виде ряда, повсюду сходящегося
в конечной области и непосредственно получающегося из
ряда для показательной функции:
C7.8)
Из этого ряда получаются соответствующие ряды для
C{iv) и S{iv).
б) Более важным является расходящийся (так
называемый полусходящийся) ряд, который при ограниченном
числе членов для больших ф дает практически достаточно
точное приближение. Мы поступим следующим образом.
Положим
оо со
F(^) = F(cxd)-C eitcT2/2rf^^/r(cxD)-^^(e^^^2/2)^

316 Гл. V. Теория диффращии
Отсюда получаем, при помощи интегрирования по частям,
оо
го
и, продолжая интегрирование по частям, находим
C7.8а)
Отсюда следуют соответствующие полусходящиеся ряды
для C{w) и S{w).
в) Для того чтобы вычислить F{oo), вспомним об
известном интеграле Лапласа
о
На его месте здесь стоит, так сказать, выражение для
а = — iv:/2:
Более строго это можно доказать рассмотрением в
комплексной плоскости переменных х, которое мы, однако,
здесь опустим.
2. Диффракционная картина. Будем искать на диф-
фракционной картине экстремальные значения
(максимумы и минимумы) интенсивности, т. е. такие места,
которые на экране для наблюдения соответствуют, при
монохроматическом освещении, светлым и темным полосам.
Они определяются условием с? | г? l^/do; = О, где гс
—расстояние от центра, измеренное на экране для наблюдений,
которое, согласно фиг. 72, тесно связано с тоже
измеренным от центра расстоянием Id на диффракционном экране
S. Следовательно, мы можем рместо d \ v \^/dx = 0 составить
также rf|i?p/Q?$?)==0, Так как $р входит только в границы

§ 37, Диффракция Френеля от щели 317
интегрирования w^ и Wx в формуле C7.66) и так как
dwJd\D = dwildii)='^^IV У!"^ то в качестве условия
экстремума получается ^)
-^ [F ((v,) - F {щ)} = _ -i= {F' ((v,) - F' {w,)) = 0.
C7.9)
Следовательно,
ехр(^-^и'^) =exp(^-j-<),
~K-(vJ)=-2irg, («.2_«.,)(tv2 + «'i)=-4?, C7.10)
где g —целое (положительное или отрицательное) число.
Теперь по C3.66) имеем
Из C7.10) и C7.10а) следует
и в качестве расстояния между двумя следующими друг
за другом экстремумами получаем
ДЬ = ^. C7.106)
С увеличением d это расстояние уменьшается, с
возрастанием X и / — увеличивается. То же самое будет
справедливо для расстояния между полосами Аж на экране
для наблюдения.
^) Если мы временно применим сокращенное обозначение / (х) =
='F(w^) — F{wi), то получим
где под /* подразумевается величина, комплексно сопряженная с /.
Посредством C7.9) мы удовлетворили условию df/dx = 0. Но
одновременно с этим удовлетворяется также условие df*/dx = О (замена
¦+• I на —I и —g на 4-g), а следовательно, и условие d\v\^/dx = 0.
Уравнение C7.9) является, таким образом, условием экстремума
не только для амплитуды v, но и для интенсивности |г?р.—
Прим. авт.

318 Гл. V, Теория диффракции
Очень наглядным является обсуждение диффракцион-
ной картины при помощи спирали Корню. При этом речь
идет о следующем методе отображения.
Будем рассматривать F =:C + iS, как точку в
комплексной плоскости F, именно, как точку с прямоугольными
координатами С hS. Наряду с этим, рассмотрим
комплексную плоскость (V, в которой нас, однако, будет
интересовать только вещественная ось. Уравнение F=zF{w)
означает конформное (с сохранением углов) отображение
плоскости W на плоскость F, Вещественная ось
плоскости W, которая только нас и интересует, преобразуется
в определенную кривую на плоскости F, Мы утверждаем,
что при этом отображении длины будут сохраняться.
А именно, будет справедливо соотнопхение
следовательно.
dF
dw
^ _. giTCiy2/2
= 1, \dF\ = \dw\, C7.11)
Таким образом, соответствие между осью ф и кривой F
представляет собой простую развертку без растяжения.
Мы знаем уже три точки этого отображения, а именно
[см. C7.8) и C7.8в)]:
ф=0, Ф=оо, ф=— оо,
F@) = 0, F(aD) = l±i, F(«co)=-i+i.
Длина кривой F между обеими предельными точками
F{±сс) бесконечна, так же как и длина оси w. Ход
кривой зеркально симметричен относительно нулевой точки
плоскости F\ а именно [см., например, C7.8)]:
F(-w)=-F(^),
Касательная в нулевой точке горизонтальна, кривая
имеет здесь точку перегиба; а именно, согласно C7.8),
для iv = 0

§ 37, Диффракцил Френеля от гцели
319
Согласно C7.8а), направление касательной для (v=±oo
становится неопределенным; асимптотический ход в этих
обеих точках имеет вид спирали. Общая картина показана
на фиг. 73.
Фиг. 73. Спираль Корню.
Однако эта фигура наглядно представляет не только
весь набор значений F (при вещественном (v), но
одновременно также и совокупность амплитуд | v j диффрак-
ционной картины по отношению к первичной амплитуде
ы-
А именно, согласно C7.7а), имеем
It^ol
\F^-F{ii^,)l
C7.12)
т. е. это равно длине хорды, соединяющей две относящиеся
к Фх и ^2 точки спирали Корню. Разность между обоими
значениями ф, согласно C7.10а), равна
' /Х//2

320 Г л, V. Теория диффракции
и, следовательно, не зависит от $d, а поэтому также и от
координаты X точки наблюдения. Величина w^--wi
означает определенный отрезок вещественной оси ф. Эту же
постоянную длину имеет дуга спирали Корню между
конечными точками нашей хорды.
На фиг. 73 начерчена хорда, которая соответствует
точке а; = 0 диффракционной картины. Она проходит
через нулевую точку плоскости F и оканчивается в двух
диаметральных точках, которые соответствуют
аргументам ^2 = /¦ > ^1 == —г • Сдвинем на определенный
отрезок начальную точку хорды: ее конечную точку мы
должны сместить настолько, чтобы дуга спирали имела
ту же длину, что и раньше. При этом длина хорды меняется.
Это означает, что в точке наблюдения Ху соответствующей
этой хорде, будет измененная амплитуда |i?|. Если мы
будем начальную точку хорды приближать к верхней
предельной точке, то и конечная точка хорды будет
приближаться к этой предельной точке; хорда становится все
короче и короче, так же как и амплитуда \v\, которая
при этом пробегает бесконечное число уменьшающихся
по величине экстремальных значений.
3. Диффракция от полуплоскости. Если мы будем
бесконечно увеличивать ширину щели (d—»оо), причем,
однако, оставим на месте, например, правую щеку щели
и будем отодвигать в бесконечность лишь левую щеку,
то получится более простая задача о полуплоскости.
Заметим прежде всего, что при этом сгущаются
предельные переходы, которые, по видимости исключают друг
друга. В разложении C4.13) мы предполагали, что
отверстие «мало». Однако при переходе к щели мы приняли
размеры й > d и положили Л = оо. Теперь мы также
стремим ^ —> с». Для того чтобы это было математически
строго, необходима тщательная оценка предельных
переходов. Однако мы можем ее здесь не делать, потому что
как раз проблема полуплоскости будет еще раз
рассмотрена в § 38 со всей желательной точностью.
Мы еще упростим задачу, если будем рассматривать
плоскую падающую волну вместо сферической, и,
следовательно, отодвинем Р' в бесконечность. При этом мы

§ 37. Диффракция Френеля от щели 321
останемся в рамках диффракции Френеля (см. стр. 267),
если будем улавливать картину на экран для
наблюдения В, находящийся на конечном расстоянии а от диф-
фракционного экрана S, Отметим также сразу, что тогда
будет f — а {в силу того, что 6= оо и 1//= 1/а + 1/6). При
перпендикулярном падении расстояния $ на *? равны
расстояниям х на В\ кроме того, тогда 7 = 1- Если мы
будем отсчитывать S от оставшегося на месте края экрана
и ic —от границы геометрической тени, то будем иметь
d-eo = S = a:, ^2 = 77=» cVi=-cx). C7.13)
Положив w^ = w, мы вместо C7.7а) получим
^|=:i=|FH-F(-c»)|. C7.13а)
При построении на спирали Корню начальная точка
хорды теперь будет неподвижна, а именно, будет
совпадать с нижней предельной точкой; только конечная точка
хорды меняется с ж. Длина хорды в области
геометрической тени ( — оо < а; < 0) непрерывно возрастает (ср.
последовательный ряд дуг, соответствуюп];их точкам а, 6, с,
d, е на фиг. 74). Точка d соответствует границе тени;
здесь w = Q, следовательно, и F{w) = Q и, по C7.86),
^0
1 . г., V. 1
1
= :^|F(~cx.)| = ^|-i±i| = ^. C7.136)
Начиная с этой точки, дуга возрастает далее до своего
первого максимума, которого^ она достигает в точке /
на фиг. 74, затем убывает до своего первого минимума
в точке g и колеблется между экстремумами с
уменьшающимся размахом. Асимптотическое значение |г^/^о1 °Р^
(v=oo в два раза больше значения C7.1 Зв) на границе
тени, а именно:
_^|ir( + «,)-i?(-co)| = l. C7.13b)
Это соответствует полной интенсивности падающего света;
1
интенсивность на границе тени составляет — интенсив-

Фиг. 74. Определение диффракции от полуплоскости при
помощи спирали Корню.
-H^\F(whF(-oo)\
-3 '2 -/ 0\ / 2 3
Геом. тень граница тени
Фиг. 75. Амплитуда | v \ позади полуплоскости.

§ 38. Диффракционные задачи^ допускающие строгое решение 323
ности падающего света. Полученный таким образом общий
ход амплитуды | г: | представлен на фиг. 75.
Мы исходили из предположения о бесконечно тонком
экране; так как он одновременно должен быть
непрозрачен, то его нельзя осуществить экспериментально.
Даже лезвие бритвы под микроскопом более похоже на
параболический цилиндр, чем на острую полуплоскость.
Поэтому замечательно, что точные диффракционные снимки
(см., например, снимки Аркадьева [46]) не обнаруживают
почти никакой зависимости от материала и формы края
диффракционного экрана. Даже изогнутая стеклянная
пластинка с радиусом кривизны в несколько метров,
изогнутого края которой касается световая волна, создает
интерференционные полосы того же вида, как на фиг. 75
и как даваемые бритвой, независимо от того, будет
ли эта пластинка зачерненной или прозрачной.
§ 38. ДИФФРАКЦИОННЫЕ ЗАДАЧИ, ДОПУСКАЮЩИЕ
СТРОГОЕ РЕШЕНИЕ
Точным решением диффракционной задачи мы сможем
назвать только такое решение, которое удовлетворяет
уравнениям Максвелла снаружи и внутри вызывающего
диффракцию тела, вместе с требуемыми граничными
условиями на его поверхности, и которое соответствует
заданному возбуждению (плоская волна или светящаяся
точка). Такого рода решение возможно только при
некоторой специальной форме этого тела и, во всяком
случае, только тогда, когда волновое уравнение, выраженное
в надлежащих координатах, соответствующих форме,
допускает разделение переменных.
Простейшим примером этого является шар, для
которого поле может быть представлено в виде рядов по
шаровым функциям и бесселевым функциям с полуцелым
индексом. Ми [48] исследовал эти ряды для случая
коллоидальных частиц произвольного материала. Однако здесь уже
сказывается математическая трудность, присущая вообще
этому «методу разложения в ряд»: для больших частиц
{ка > \\ а —радиус, к = 2т.1\) ряды так плохо сходятся,
что ими практически нельзя пользоваться. В противном
случае мы имели бы полное решение при помощи рядов

324 Гл. V. Теория диффракции
задачи о радуге ^), на трудность которой мы уже
указывали на стр. 238.
Сказанное для шара справедливо и для проволоки,
имеющей форму кругового цилиндра, для которой поле
может быть представлено в виде разложения по
тригонометрическим функциям и бесселевым функциям с целым
индексом. Эти ряды вполне подходят для области
акустических волн или волн Герца [52] 2), но оказываются
непригодными в оптической области.
Дебай преодолел эту трудность посредством своего
известного асимптотического представления функций
Бесселя. Задача параболического цилиндра была сведена
Эпштейном [55] к функциям Эрмита.
Задачей, охватывающей все эти случаи, которая в
принципе еще допускает разделение переменных, является
диффракция от трехосного эллипсоида. Она приводит,
вообще говоря, к функциям Ламе; при эллипсоиде
вращения она приводит к произведениям одной
тригонометрической функции циклического угла и двух «функций
сфероида», которые можно себе представить как частный
случай функций Ламе или как обобщенные шаровые или
бесселевы функции.
Вырождением сплющенного эллипсоида вращения
является круглый и дополнительный к нему плоский экран
с круглым отверстием. При этом необходимо предполо>кить,
что материал круга или экрана является непрозрачным
(обладающим бесконечной проводимостью), с тем чтобы
он при исчезающе малой толщине мог вообще
воздействовать на прохождение света. Тогда общие максвеллов-
ские граничные условия сводятся к требованию ?^танг. — 0>
которое для магнитного поля имеет следствием условие
-Внорм. = 0. При этих обстоятельствах рассмотрение, хотя
и остается строгим в математическом смысле, но не будет
строгим в указанном вначале физическом смысле, так
1) Ближе всего подошли к этому решению в своих прекрасных
работах Ван-дер-Поль и Бреммер [49] и Букериус [50]. Двухмерную
радугу (диффракция от стеклянного прута) Дебай рассматривал уже
ранее [51].—Прим. авт.
2) Экспериментальную проверку для незатухающих волн см.
в работах Шеффера и Мерщшриса [53] и Шеффера и Вильмина
[54].—Прим. авт.

§ 38. Диффракционные задачи^ допускающие строгое решение 325
как такой диффрагирующий материал для оптической
области не может быть получен. Только в случае
акустических волн [56] или волн Герца [57] (длина волны велика
по сравнению с толщиной объекта, от которого
происходит диффракция) такое решение может быть также и
физически строгим.
К этому нужно добавить, что получающиеся при этом
ряды по сфероидальным функциям опять-таки достаточно
хорошо сходятся только при условии, если радиус а
круга или отверстия не слишком велик по сравнению
с длиной волны. Уже случай ка ^ \ может быть решен
только численно, при помощи таблиц; также и здесь
для оценки были бы необходимы асимптотические формулы
типа формул Дебая для бесселевых функций.
Задача о щели и о дополнительной к ней полосе
приводит к функциям Матье и может быть численно решена при
помощи таблиц этих функций, данных Морзе и Рубенштей-
ном [58]. Мы не можем здесь рассматривать эти детали,
относящиеся к теории функций (подробности см. т. VI, гл. V).
1. Задача о полуплоскости. Эта задача также
относится к физически не строгим задачам, так как мы будем
предполагать, что экранирующая полуплоскость
бесконечно тонка, но, несмотря на это, непрозрачна. С
математической точки зрения мы решим эту задачу строго,
даже в замкнутой, удобной для всех областей волн форме.
То, что при диффракции Френеля мы действительно имеем
дело с хорошо известной математической задачей,
являющейся по своему характеру задачей о краевых значениях,
впервые было выяснено на этом примере [59] ^). (С этой
точки зрения диффракция Фраунгофера не может быть
рассмотрена непосредственно, а только как предельный
случай диффракции Френеля.) Мы не остановимся перед
тем, что математический аппарат, который будет
применяться в дальнейшем, несколько выходит за пределы
обычных методов, которые применяют физики-теоретики.
Мы выберем край экрана за ось z цилиндрической
системы координат г, ср, z; передняя и задняя поверхности
^) В методически упрощенной форме изложено в обработанной
Зоммерфельдом гл, XX книги Франка и Мизеса [60].—Прим. авт.

326
Гл. V. Теория диффракции
(p+a^n^Q^ I
экрана можно обозначить через ср = 0 и cp = 2'ir. Пусть
плоская монохроматическая волна падает в плоскости
г, ср на переднюю поверхность экрана под углом а (угол
падения по отношению к нормали к экрану будет тогда
равен -tr — d). Пусть она будет линейно поляризована
и притом так, что электрическое поле направлено
параллельно оси Z. Тогда это же будет справедливо для
электрического поля диффрагированного света, так что задача
становится двумерной и все
явления происходят в
плоскости г, ср. Таким образом, мы
можем производить расчеты при
помощи скалярной функции и:
ее составная часть,
обусловленная падающей волной,
имеет вид
Wo = ^e-^^^cos(9-a)^ C8.1)
Отрицательный знак перед i
объясняется тем, что мы
опущенную в C7.1) временную
зависимость представляем себе,
как обычно, выраженной
через ехр( —гш?) и что волна
распространяется в направлении полулуча ср = тс + а
(фиг. 76, относительно нарисованных здесь стрелок,
исходящих из О, будет сказано ниже, в п. 4).
Измененное присутствием экрана поле должно удовлетворять
следующим условиям:
волновому уравнению
д , ^ д^ /QQ 4 \
--L ' C8.1а)
9
'OL-n
Фиг. 76. Диффракцион-
ный экран S с границами
тени падающего луча Gq и
отраженного луча G^.
Д« + А^» = 0, д = ^ + 1^^
^Ср2
краевым условиям
м = 0 для <р — I , соответственно условию ^танг. = 0;
• -"" C8.16)
функция и везде конечна и непрерывна,
включая край экрана. C8.1в)

§ 38. Диффракционные задачи, допускающие строгое решение 327
Сюда добавляется условие излучения на бесконечности ^).
Если его преобразовать для нашего частного случая,
то оно выглядит для «освещенной» (в смысле
геометрической оптики) части I-\-II плоскости г, ср по-иному, чем
для «затененной» части ///, а именно:
г Г^^ -ьЛ п /гг-1гоДЛяО<ср<7г + а;
hmr[-^'-ikv)-^0]v = { , ^ C8.1г)
г^оо \^^ J I гг для 1г + а < cp<2ir. ^ '
Выразим это словами: излучение, приходящее в
освещенную часть, точно определяется при помощи Mq, разница
u — Uq (отраженная -f преломленная волна) имеет здесь
такой характер, который требуется выражением C8.1г);
тот же характер в затемненной части имеет само w.
В заключение необходимо еще дополнить условие
C8.1в) условием, определяющим поведение rgrada на
краю экрана, а именно, условием
limrgradtt—> О для г-^0, C8.1д)
Вследствие этого grad и, хотя и может стремиться к
бесконечности при г = 0, но только «слабо», а именно, только
так, что rgradtt при предельном переходе обращается
в нуль. В п. 3 мы увидим, что в этом случае край экрана
не излучает и не поглощает энергии. Мы можем, таким
образом, рассматривать требования C8.1г) и C8.1д) как
энергетические дополнительные условия, которых
достаточно для того, чтобы сделать проблему физически
однозначной 2).
Задача, очевидно, не может быть решена обычным
методом отражения. А именно, если бы мы к падающей волне
^) Это условие подробно рассмотрено в т. VI, § 28, на который
мы здесь должны сослаться. Оно утверждает, что, если все
источники света лежат на конечном расстоянии, то поле на бесконечности
должно вести себя как излученная сферическая волна е^^^/г. Для
такой волны условие C8.1г), разумеется, везде выполняется при
v=uo. Наше различное для обеих областей изложение текста
учитывает плоскую падающую волну.—Прим. авт.
*) Более общее условие, эквивалентное в нашем случае условию
C8.1д) (плотность энергии на краю экрана пространственно
интегрируема), обосновал Мейкснер [57]. В трехмерном случае, где
нельзя требовать выполнения нашего условия конечности C8.1 в),
это «краевое условие» Мейкснера является не только достаточным,
но и необходимым.—Прим. авт.

328 Гл. V. Теория диффракции
C8.1) добавили отраженную волну
(направление падения ф = 2ir — а), то этим мы бы нарушили
условие C8.1г); полученное решение обращалось бы в нуль
не только на полулуче ср = < ^^^» ^^ ^ '^^ полном луче
? = («'
ЧТО противоречит здравому смыслу.
Однако можно сохранить метод отражения, если
исходить не из обычной плоской волны щ (г, ф) с периодом 27г,
где ф означает ср —а, а из функции U {г, ф), которая по
отношению к ф имеет период 4тс и, кроме того,
удовлетворяет условиям C8.1а) и C8.1 в) для всех значений
— 2тг < ф < 2ir и условию C8.1г) при v = U — Uq для
I ф I < тс и, наоборот, V — U для | ф | > 'i^. При введенном
Риманом для алгебраических функций способе
выражения это значит: f/ —это решение нашего волнового
уравнения на двулистной поверхности Риманйу которая имеет
по простой точке разветвления при г = О и г = оо.
Функция и однозначно определена ее поведением на
бесконечности (падающая волна находится только в листке
I ф I < 1U и полностью отсутствует в листке | ф | > тс) и
требованием непрерывности во всем пространстве без
исключения.
Как известно, обычная модель этой поверхности Римана
состоит из двух лежащих друг на друге плоских листков,
например, связных в полулучах ф= ±тс. Вместо этого
мы ту же связность отметим в простой плоскости угла а/2
(фиг. 77). Естественно, что каждый квадрант этой
плоскости, выраженный в переменной f, означает
полуплоскость. Начерченная из направления +^/2 стрелка^)
1) К фиг. 77 необходимо добавить, что обе начерченные
прямолинейные стрелки правильно представляют только лучи,
нацеленные на нулевую точку; параллельные им лучи при изображении на
нашей фигуре (координаты г, ф/2 вместо г, ср) были бы искривлены
по гиперболам. Далее, необходимо отметить, что стрелки относятся
только к падающим волнам бесконечности; наша совершенно
схематическая фигура, конечно, не учитывает вызванной экраном диф»
фракции.—Прим. авт*

38. Диффракционные задачи, допускающие строгое решение 329
соответствует падающей плоской волне U{r, ср —а), в то
время как отраженная волна U {г, ср-|-а) представлена
полулучом — а/2 в четвертом квадранте. Обе волны
взаимно компенсируются, так как они симметричны
относительно а, на линии симметрии ср/2 = О и ср/2 = ± ^, т. е. на
обеих сторонах нашего экрана, от которого происходит
диффр акция, ср = 0 и ср = 27с.
Таким образом, формула
u = U{r, ср —а) —[/'(г, cp-f а)
C8.2)
представляет собой решение
диффракционной задачи.
Перейдем к диффракционной
задаче с обратной поляризацией,
при которой электрическое поле,
при прочих равных
геометрических условиях, колеблется не
параллельно, а
перпендикулярно к краю вызывающего диф-
фракцию экрана. Тогда
магнитный вектор Н направлен
параллельно краю экрана, причем не
только в падающей, но и в
отраженной и диффрагированной
частях волны. Обозначим теперь магнитный вектор через и
и будем искать получающееся при этом краевое условие.
Естественно, что оно и теперь вытекает из требования
^танг. = 0. Если мы на время введем прямоугольные
координаты X, у вместо наших г, 9, то нам необходимо
потребовать, чтобы при переходе воздух --» экран было
В то время как последнее из этих условий в силу
предположения о поляризации составляющей Е выполняется
само собой, первое из них требует, согласно уравнениям
Максвелла, чтобы с обеих сторон экрана выполнялось
равенство
дН: ^ _ п.
Фиг. 77. Символическое
представление принципа
отражения от полуплоскости.
rot, Н =
ди
dz

330 Гл. V. Теория диффращии
и, следовательно, в силу /Г^ = О, Н^=^и
ди ^ f О
^ = 0 для ср=|2.>
что мы также можем записать в виде
ди
дп
= 0, C8.3)
понимая под п двустороннюю нормаль к экрану. Этому
условию мы непосредственно удовлетворим при помощи
выражения, аналогичного C8.2),
u = U{r, <f-a) + U{r, ср + а). C8.4)
Укажем на обе функции Грина G_ и Gj^ в § 34, п. 7,
которые были получены посредством метода отражения,
аналогичного C8.2) и C8.4).
В принципе наш метод выходит за пределы частного
случая полуплоскости. Он может быть непосредственно
применен к щели, причем простая изогнутая поверхность
должна быть заменена поверхностью Римана с двумя
лежащими на конечном расстоянии точками разветвления
(следами обоих краев щели), а обычные полярные
координаты должны быть заменены биполярными
координатами. Он может быть, по крайней мере в скалярном
(акустическом) случае, обобщен для плоского экрана с любым
ограничением или для дополнительного к нему отверстия,
причем, конечно, необходимо перейти от двулистной
поверхности Римана к «двойному пространству Римана»,
обе части которого имеют общую «линию разветвления»,
совпадающую с граничной кривой экрана или отверстия.
Однако трудность такого обобщения заключается в
математическом построении соответствующих разветвленных
решений. Оно удается только в простейшем случае
полуплоскости и, как мы увидим, требует, даже здесь,
своеобразных математических приемов.
2. Получение разветвленных решений. В выражении
C8.1) мы можем рассматривать А как произвольную
функцию угла падения а и, заменив а через переменную
интегрирования р, проинтегрировать по последней. Таким

§ 38. Диффракционные задачи, допускающие строгое решение 331
образом, мы получим «волновой пучок»
и =
\ Л(Р)е-^^^соз(ср-р)^р^
C8.5)
Выражение C8.5) есть решение дифференциального
уравнения C8.1а) при произвольном (также и комплексном)
выборе пути интегрирования. В последнем случае мы
будем иметь дело с «неоднородными» волнами, с которыми
мы познакомились, например, при полном внутреннем
{Плоскость
Фиг. 78. Путь интегрирования в
плоскости р для представления uq,
отражении. Мы используем сначала замкнутый путь
в комплексной плоскости р, который охватывает точку
Р = а. Если мы позаботимся о том, чтобы А{^) в этой
точке имело бы полюс первого порядка с вычетом l/2irt,
то, согласно правилу вычетов Коши, выражение C8.5)
перейдет, как известно, в нормированное к Л = 1 решение
Uq C8.1) (в дальнейшем гг^ будет обозначать это
нормированное решение). Выберем, в частности, в качестве А(^)
периодическую функцию от р с периодом 2тс, а именно:
C8.6)
1
Мы получим тогда представление
C8.7)

332 Гл. V. Теория диффракции
где ф, как обычно, обозначает интеграл по контуру.
Путь обхода вокруг полюса р = а мы можем как
угодно деформировать, если только при этом мы не
переходим через какие-либо другие особенности подинтеграль-
ного выражения (через места р = а J^ 2^, а ± 4т:, ...). Если
этот путь будет проходить через бесконечность на
плоскости р, то мы должны позаботиться о том, чтобы
интегрируемая функция там обращалась в нуль. На фиг. 78
заштрихованы те поля, в которых cos(cp —Р) имеет
отрицательную мнимую составную часть. Они ограничены
прямыми линиями. На заштрихованных полях в
бесконечности вещественная часть от — ikr cos (9 — а) при
положительном кг становится отрицательной бесконечно
большой величиной и, следовательно, подинтегральное
выражение в C8.7) становится исчезающе малым. В углах
Ai В и М полученного таким образом узора имеем
р=
-|-1С .
— ¦ГС .
? •
. . А,
. . в,
. М.
C8.7а)
Начерченный на фиг. 78 путь интегрирования состоит
из двух петель С и из двух соединительных путей Dj, Dg-
Оба пути мы выбрали так, что они переходят один в
другой при смещении на 2т. и поэтому, ввиду их
противоположных направлений обхода, они взаимно сокращаются.
Таким образом, если мы будем интегрировать C8.7)
только по обеим петлям С, то этот путь интегрирования
все еще будет эквивалентен первоначальному обходу
вокруг (^=^а и интеграл C8.7) все еще будет тождествен
плоской волне и^.
Теперь можно совершить непосредственный переход
к искомой функции и римановой поверхности. Дадим
имеющейся в нашем распоряжении функции А период 4ir
(вместо 2тс), но сохраним ее свойство, согласно которому
она обладает в точке ^ = а полюсом с вычетом, равным
единице. А именно, вместо C8.6) положим
Аф) = к J. .Ш2- C8.8)

§ 38. Диффракционные задачи, допускающие строгое решение 333
Тогда, вместо C8.7) получим
и = ^\ ^гт^ ei^r2 е-''"-'=°^ <Р-*> d^, C8.9)
С
причем интегрирование должно производиться по петлям С
(как было отмечено, без связывающих путей D).
Очевидно, что эта функция, так же как и C8.7), является
решением волнового уравнения, так как она, так же как и та,
состоит из совокупности обыкновенных плоских волн.
Узор на фиг. 78 зависит от значения угла ср, как это
непосредственно видно из C8.7а); а именно, если изменить
ср, он смещается вместе с путями интегрирования, что
неудобно для последующих вычислений. Мы избежим этого,
заменяя переменную интегрирования ^ на
Т = ?-?. C8.10)
ЧТО можно рекомендовать еще потому, что тогда углы ср и
а могут быть сведены к одному углу
6 = ср-а, C8.10а)
уже введенному выше для сокращенного обозначения.
А именно, введя ^ и ф, мы получим из C8.9)
и
= 1 \ —г—^ г-г e-^'^^^^^^rfr. C8.11)
Из этого представления непосредственно видно, что
функция и имеет по отношению к ф период 4тс, а
следовательно, двухзначна в простой плоскости координат г, ф
и однозначно лишь на нашей римановой поверхности. То,
что она, помимо этого, удовлетворяет волновому
уравнению, следует из того, что она представляет собой только
другой способ записи функции в C8.9).
Объясним теперь фиг. 79. Отмеченные здесь точки
Y=+TC, —IT, О
соответствуют, согласно C8.10) и C8.7а), точкам А, В и М
на фиг. 78. Начерченные на фиг. 79 ветви Di, D2 пути
интегрирования необходимо сначала представить себе
отсутствующими. Полюс р = а на фиг. 78 лежит теперь в точке

334
Гл. V. Теория Ьиффракции
f = a —ср=—ф. Мы его не нанесли на фш'. 79, так как
мы сначала займемся случаем | ф | > тг, в котором этот
полюс лежит вне представленного на фиг. 79 участка
— 7г<'[< -\-т.. Так как петли С в бесконечности идут
по заштрихованным областям, то U наверняка конечно
и непрерывно для всех /• > 0. Только точка г = 0 требует
особого рассмотрения, так
как здесь множитель
ехр( —i'Arcosf),
обеспечивающий сходимость,
становится равным единице.
Тем не менее, интеграл не
расходится, потому что он
при г = 0 переходит в
dz
22 —с
С2
= In
2i-C
C8.12)
Фиг. 79. Путь
интегрирования в плоскости 7 для
представления и.
где для сокращения введено
Z = е^тг/2^ (; ^ е-^'^/2. Символы
Ci и Сг обозначают конечные
точки (верхней и нижней)
петли С на бесконечности, Zj^ и
Zg — значения zв этих точках.
Теперь, в силу значения z = e^^/2, на верхней петле
Ziz= Z2 = О, на нижней | Zj| = ос, | Zg| = оо, так что мы здесь
можем пренебречь С по сравнению с z. Поэтому
получается
In 1 = О на верхней петле.
In
н
¦ п: на нижней петле.
C8.12а)
Последнее значение следует из того, что значения ^ в Ci
и Сг отличаются, согласно фиг. 79, на 2::. Формулы
C8.12) и C8.12а) доказывают сходимость интеграла C8.11)
для г = 0.
Мы должны теперь заняться поведением U при /•—> сх>.
При г—>оо подинтегральное выражение в C8.11) в
заштрихованной области обращается в нуль везде, а не

§ 38. Диффракционные задачи^ допускающие строгое решение 335
ТОЛЬКО в ее бесконечно удаленных частях. В
представленном на фиг. 79 случае | ф | > тг обе петли С теперь
могут быть перетянуты в заштрихованную область;
например, верхняя петля может быть расположена вдOv^ь
верхних половин ранее использованных связывающих
путей Di и D^ и вдоль участка вещественной оси от
— тс до +ТС, нижняя —вдоль нижних половин Z)i,/J и
вдоль отрезка с противоположным направлением обхода
от +ТС до —тс. Их сумма сводится к обоим связывающим
путям Dg и i)i с направлениями, указанными на фигуре
стрелками; эти пути теперь, конечно, имеют обратные
направления обхода, чем на фиг. 78, и взаимно не
компенсируются, как это было там, так как период по
отношению к f равен 4тс, а не 2тс. Однако каждый из обоих
путей проходит целиком в заштрихованной области;
поэтому в отдельности при интегрировании они дают
значение 0. Отсюда следует
и = 0 для r-^cxD и |ф|>^. C8.13)
По-другому будет в случае |ф| < тс. В этом случае
полюс подинтегрального выражения из C8.11), как там
уже отмечалось, лежит при f=—ф, следовательно, на
участке между — тс и Н-^ (фиг. 79). Поэтому при
перетягивании петель С в заштрихованную область добавляется
положительный обход вокруг полюса. Он дает вместо
C8.13) с учетом вычета, равного единице в полюсе,
[7 = е-^^^со8ф для г-^оо и |ф|<1г. C8.13а)
В изображении двулистной римановой поверхности мы
имеем освещенный плоской волной и^ «верхний листок»
I ф I < тс и лежащий в тени «нижний листок» | ф | > тс. Они
граничат друг с другом по «границе тени» ф = ± тс. В силу
этого контраст «свет и тень» получает свою простейшую
математическую формулировку. При конечном г переход
от одного листка к другому происходит непрерывным
образом и обусловливается явлениями диффракции. Это будет
справедливо также и при г —^ оо, несмотря на выраженную
при помощи C8.13) и C8.13а) кажущуюся прерывность
(только будучи измерена в угловом масштабе ф,
переходная область сокращается до нуля).

ЗЗб Гл. V. Теория диффракции
Этим, однако, наше исследование бесконечно
далеких областей еще не закончено. Мы должны сделать еще
один шаг и показать, что выполняются не только условия
C8.13) и C8.13а), но и более жесткое условие C8.1г);
в освещеннол^ листке — для г? = Z7-- Mq, в затемненном —для
V = и. Только тогда мы будем уверены, что полученная
функция и является однозначным решением задачи
диффракции, требуемым природой.
Таким образом, нам необходимо найти
асимптотическое приближение для интеграла C8.11) при больших г.
Для затененного листка из разности Z^g и Di получим
AtzU =-. { е-'^^ cos т ф (^) d^^ C8.14)
eiY/2 iT/2
^(T) = ^i,;2_,-i./.-,n/2;,-i./2- C8.14a)
Здесь во второй дроби, происходящей от Di, знак перед
exp(q/2), вследствие смещения ^ на 27г, обратный
знаку перед этим членом в первом знаменателе, что
выражается в изменении знака перед ехр( —1ф/2).
Отрицательный знак перед второй дробью соответствует
противоположным направлениям стрелок на Di и />2 на фиг. 79.
Общим методом для вычисления C8.14) был бы метод
седловидной точки, или перевала (ср. т. VI, § 19). Однако
нам нет нужды его здесь рассматривать ближе, так как мы
сейчас ознакомимся с более удобным и даже более точным
способом вычисления. Мы ограничимся поэтому
следующим замечанием. Из фиг. 79 видно, что критическая
седловидная точка в нашем случае лежит при 7 = ^> "^^^
как здесь путь ?>2 проходит в непосредственной близости
от двух незаштрихованных областей. Для ^ = г.
первый множитель под знаком интеграла в C8.14) равен
exf{ikr); этот множитель выносится из-под знака
интеграла, который распространяется только на ближайшую
окрестность седловидной точки и с точностью до не
интересующей нас сначала постоянной дает множитель l/l/Zcr.
Таким образом, в целом получается
f/^^giftr. C8.15)
у кг

§ 38. Диффракционные задачи, допускающие строзое решение 337
Данное выражение действительно отвечает нашему
условию излучения C8.1г), так как
а это выражение обращается в нуль в предельном случае
г —> оо также и после умножения на г. Таким же образом
ведет себя для освещенного листка разница U — Uq,
Наконец, что касается проверки выполнения условия
C8.1д), то мы эту проверку, так же как и полное
доказательство формулы C8.15) ради удобства проведем в
конце п. 3.
3. Представление U через интеграл Френеля.
Последующий, к сожалению, несколько длинный и достаточно
формальный расчет нам будет полезен для того, чтобы
наши теперешние формулы сделать сравнимыми с
формулами из § 37 п. 3.
Вычисление C8.14а) дает
Введем новую' переменную интегрирования т], положив для
верхней и для нижней половины D2 соответственно f=1? + т]
и ^ = 7: —7]. Сумма, относящаяся к двум точкам с
одинаковым I Т| |, дает после простого приведения
— 4г cos -у cos -^
ФGГ+7]) + ФGС-'п) = ^ -,
^ ' ''^ ^ ^^ COS ф +COSY)
При подстановке в C8.14) это дает
izU^ -icos^ \ e'hrcosr, ^ , C8.16)
2 J cos 4^-f COS тг] ^ ^
Интегрирование теперь простирается от т] = О до
значения ioo—7]', где Tj' (см. фиг. 79) может быть любым
вещественным числом < тс.
Выражение C8.16) наводит на мысль о том, что
следует вместо и рассматривать величину
V = - C8.16а)
Un

338 Гл. V. Теория диффракции
И ввести под знак интеграла C8.16) множитель i/uQ =
= ехр{ +ikrcos^], так как тогда при
дифференцировании по г знаменатель в C8.16) сокращается. Таким
способом получается
ir|^ = A:cos-| { e^ftr(cosv+cosT,)cos-|dt]. C8.17)
Теперь может быть выполнено интегрирование по т]. При
этом, в силу того, что cos 7] = 1 — 2 sin27]/2, речь идет об
интеграле
\ e-2iftrsin2T)/2 cos -^dTj, C8.17a)
который, учитывая, что со8ф = 2со8^ф/2 —1, еще
необходимо умножить на независимый от tq множитель
exp('2iArcos|-^ . C8.176)
Посредством подстановки
^'""i-Vu
выражение C8.17а) переводится в интеграл типа
Френеля, а именно, с учетом названных выше пределов
интегрирования для т] получаем [см. C7.86)]
оо
j/iL/r* (со), F* (оо) = \ e-i^-2/2 dx^
1 —t
2
О
Отсюда при добавлении множителя C8.176) в качестве
значения C8.17) получается
Здесь правая часть может быть записана в виде частной
производной по г от выражения, которое мы вновь сможем
представить в форме интеграла Френеля ^), а именно,.
^) Если бы мы выбирали нижний предел интегрирования
в C8.186) равным нулю, то получили бы интеграл Френеля F (р)
в обычной нормировке. Однако тогда в C8.186) с правой стороны
добавилась бы (легко определяемая) постоянная интегрирования;
при нашем выборе —оо в качестве нижней границы постоянная
интегрирования равна нулю,—Прим. авт.

§ 38. Диффракционные задачи, допускающие строгое решение 339
с C8.18) равносильно
g: = l^|5,b..2,.,p=.2/^^osi. C8.18а)
— СО
Отсюда следует после интегрирования по г\
V=^-^\ e^^'^^y^dz C8.186)
—оо
и, в силу C8.16а),
Г'
U = Uo^ \ e^^-^'l^dx. C8.19)
— 00
Это представление функции U является, вследствие
значения р C8.18а), аналитической функцией от ^
с периодом Atz, Поэтому оно справедливо не только для
затененного листка, для которого мы вывели C8.19),
но также и для освещенного листка нашей двулистной
поверхности Римана. На последнем мы имеем для г—>с»,
как и должно быть,
-foo оо
—ОО
Наши предыдущие приближенные формулы § 37 для
интеграла Френеля позволяют нам теперь с удобством
обсудить представление C8.19) как при больших, так
и при малых I р|.
а) Для больших |р| в области тени (р < 0) напишем
о о
= F(cx.)-F(|p|);
Гр1
поэтому, согласно C7.8а),
Р и и
—оо —00 —1р|

340 Гл. V, Теория диффракции
Принимая во внимание значение Uq и р, имеем
Uq е*^р^/2 _= gxp \ — ikr cos ф + 2ikr cos^ у [ = exp {ikr)
и получаем
Если пренебречь поправочными членами в скобках, то
это есть та же форма асимптотического поведения,
которую мы уже предвидели в C8.15); оставшийся там
неопределенным множитель С оказался зависящим от ф.
б) При больших р в освещенной области (р > 0)
произведем в C8.19) замену
р о р
\ = \ +5=F(cx.) + F(p) = 2F(cx.)-[/^(a))-F(p)]
и примем во внимание, что
Применяя преобразование, выполненное в случае «а»,
получим из C8.19)
и==щ ^Ш е^^гЛ^4^4-... У C8.206)
^ 4 i/tt^z cos ф/2 V i7ip2 . у \ /
Также и эта форма асимптотического поведения
соответствует нашим замечаниям к C8.15).
в) Для малых р (освещенный или затененный листок)
положим
р о р
\ = \ +5=F(c«) + F(p)
—СО —00 о
и, согласно C7.8), получим из C8.19)
C^ = ^{l+(l-»)p(H-^P*+...)}. C8.20b)
В самой точке разветвления, вследствие того, что там
р = 0 и «0 = 1, имеем
^ = Т- 3F = ^-Fr=-T"Fi^«'ST- ^38.20г)

§ 38. Диффракционные aadanuj допускающие строгое решение 341
Поэтому, хотя dUjdr и будет стремиться к бесконечноЛи
при г—>0, но так слабо, что, как мы потребовали
в C8.1д), умноженный на г градиент остается конечным:
limrgradtZ-^O при г->0. C8.20д)
Этим окончательно показано, что наше разветвленное
решение и удовлетворяет всем поставленным в п. 1 условиям.
4. Диффракционное поле полуплоскости. Вернемся
к фиг. 76 и к представлениям C8.2) и C8.4) и
рассмотрим теперь соотношения, имеющие место в пространстве
наблюдения О < ср < 2тс. Экран S и границы тени
отраженной G^ и падающей G^ волн, разбивают плоскость на
три сектора I, II и III с центральными углами тс —а, 2а,
7г + а. Сектор I освещается падающей волной t/"(r, ср —а)
и приходящей от экрана отраженной волной С/'(г, ср-{-а).
Сектор II относится к освещенному листу падающей
или к затененному листу отраженной волны. Сектор III
лежит в тени как для падающей, так и для отраженной
волн. Направление падения отраженной волны, которое
не лежит в пространстве наблюдения, мы должны
представить себе лежащим в связанном с ним посредством S
листе поверхности Римана.
Рассмотрим сначала сектор III. Так как нас интересуют
только расстояния г > X, то речь идет о больших кг
и также о больших значениях р (за исключением
непосредственной близости от границы тени Ge, где со8ф/2 = 0).
Мы можем поэтому применить приближенную формулу
C8.20а) и получим, согласно C8.2) или C8.4),
и = -i±L e'h' I ^ ^—А C8.21)
Верхний знак соответствует слз^чаю, когда Е колеблется
параллельно краю экрана, нижний — случаю, когда Е
колеблется перпендикулярно к краю экрана, Н —
параллельно ему (в последнем случае и представляет неЕ, а Н).
Впрочем, вторым членом в скобках можно пренебречь *)
^) Сохранение этого члена вызвало бы небольшую разницу
между ?", и Ej^ и, следовательно, слабый эффект поляризации.—
Прим. авт,

342 Гл. V. Теория диффракции
по сравнению с первым, так как он только на границе
тени Gr принимает большие значения.
Вследствие медленного уменьшения выражения в
скобках с возрастанием ср можно заключить, что благодаря
диффракции свет далеко проникает в область
геометрической тени. Бесконечно большое значение на самой
границе тени, естественно, только кажущееся и обусловлено
недопустимостью нашего асимптотического приближения.
Здесь необходимо применять не приближенное выражение
C8.21), а точное представление C8.19) (см. ниже).
Более интересной, чем зависимость выражения C8.21)
от ср, является его зависимость от г, выраженная
множителем e^^^JYr. Она имеет характер излученной краем
экрана цилиндрической волны. На фиг. 76 мы это отметили
стрелками, исходящими из О, Калашников [61] показал,
что эти направления лучей можно фотографировать. Он
укрепил на помещенной косо к ходу лучей
фотографической пластинке булавки, которые при достаточно долгой
экспозиции давали радиально направленную тень.
Глазу, смотрящему на край и аккомодированному на
него, этот край кажется тонкой светящейся линией,
которая была описана еще Гримальди. При этом глаз
производит недозволенную экстраполяцию, заключая на
основании асимптотического поля, правильно
представляемого формулой C8.21), о его бесконечной величине
при г = О, что в действительности не имеет места. В самом
деле энергия, излученная единицей длины края экрана
в единицу времени и в интервале угла 8ср, определяется
выражениями
в зависимости от того, направлено ли Е параллельно или
перпендикулярно к краю. В верхней строке (| Е | — Е^)
мы применили уравнение В =5«г— rot Е, в нижней (| Н | =
= //2) —уравнение D = rot Н. Стоящие в обеих строках
множители д/дг, хотя и стремятся к бесконечности при

§ 38. Диффракционные вадачи, допускающие строеое решение 343
г = 0, но так слабо, что bS = 0 [см. C8.20д)]. Таким
образом, «светящийся край» нереален.
Одновременно наше вычисление bS в C8.22)
подтверждает энергетический смысл нашего требования C8.1д).
Также и множитель в C8.21)
l + i = l/2e^'^M C8.23)
представляет определенный интерес. Он показывает, что
фазы диффрагированной и падающей волн, из которых
первая экстраполирована на г = 0, не совпадают между
собой. А именно, фаза г/д, т. е. — гЛгсозф —iW, равна
— iW для г = 0\ фаза C8.21), т. е. -r + ikr — mty равна
^ —iW для г = 0.
Однако подобный «скачок фазы», всегда имеющий место
при переходе через фокус (в случае цилиндрической волны
через фокальную линию; см. § 45), не является реальным,
а представляет собой, как и светящийся край экрана,
следствие экстраполяции. В действительности в нулевой
точке остается непрерывной не только амплитуда, но и
фаза, поскольку вообгце еще можно говорить об
определенной фазе при рассматриваемом сложном типе колебаний.
Займемся сектором II. Здесь можно на некотором
расстоянии от границ тени Ge и G^. положить
f/G-,cp —а) ^ Мо, С^(/-, ? + а) ^ 0;
таким образом, мы можем отвлечься от диффракции и
имеем здесь чистое поле u = Uq падающей волны.
По иному будет вблизи границы тени G^. Положим здесь
ср —a = ir--8, cos 2^^ = sin  C8.24)
и назовем S «углом диффракции», который будем считать
положительным в направлении II и отрицательным в
направлении III. Тогда
.-2/|,
sin j- C8.24а)
будет конечной величиной также и при большом кг, если
только 8 соответственно мало, Поэтому и (/(г, ср —а) будет

344 Гл. V. Теория диффракции
конечной величиной, по сравнению с которой можно
пренебречь U {r.tf + a). Применяя для ?/(/', ср —а) точное
представление C8.19), мы получим выражение
«7 = «„!=!-'{/? @0)+ F(p)}, C8.25)
причем одинаковое в обоих случаях: C8.2) и C8.4). Если
мы перейдем к относительной величине Щи^, то ползучим
ф^\Р{^^) + РЩ. C8.25а)
Это формально точно совпадает с C7.13), так как jF(oo) =
=± — ^(—оо), в силу того, что спираль Корню обладает
формой симметричной относительно нулевой точки.
Разница состоит лишь в значении нашей теперешней
переменной р и определенной раньше в C7.11) переменной
ш---4=; C8.26)
X было расстоянием точки наблюдения от границы тени,
которое теперь мы должны обозначить через г sin 8; а
было расстоянием экрана, на котором производилось
наблюдение, от экрана, вызывающего диффракцию, при
перпендикулярном падении, которое мы теперь можем
обозначить через г. Поэтому из C8.26) получаем
:^ = J^||i = |/^sin8. C8.26а)
По сравнению с C8.24а) здесь стоит sin 8 там, еде
стояло 2 sin 8/2. При малых значениях 8, с которыми
мы только и имеем дело вблизи границы тени, эта разница
лишь третьего порядка. Поэтому мы можем также
применить фиг. 75 для наглядного пояснения нашей
теперешней более строгой теории, как в отношении положения
и величины дпффракционных максимумов и минимумов
на освещенной стороне границы тени, так и в отношении
монотонного падения интенсивности со стороны
геометрической тени и 3 отношении значения интенсивности ^/4
на самой границе тени. Мы хотим, однако, отказываясь
от вс^з^ чиелецрых расчетов, w оотатеть без упоминания то.

§ 38, Диффракционные задачи, допускающие строгое решение 345
что стоящее в C8.24а) sin 8/2 еще раз указывает на
настоящую характеристику нашей теории, а именно, на период
Atz угла диффракции.
Сделаем здесь критическое замечание, которое
относится к применению принципа Гюйгенса. Рассмотрим
особо полуплоскость cp = iu, свободную от нашего экрана,
которая в принципе Гюйгенса играет роль «диффракцион-
ного отверстия». Согласно нашему рецепту (§ 34, п. 3),
здесь применяется в качестве «краевого значения»
значение UQy относящееся к неискаженной падающей волне;
если принять для простоты, что падение происходит
перпендикулярно (a = iu/2), то ttQ = l. Наоборот, формулы
C8.19) и C8.18а) для ср = 7: и (х — 'к/2 дают
—00
Это выражение между г = 0 и г ^ оо меняется, непрерывно
осциллируя, от значения 17 = ^/г до значения С? = 1, что
находится в самом резком противоречии с использованным
при применении принципа Гюйгенса краевым значением
Uq=1. То же происходит и для отраженной волны U,
в которой только а нужно заменить через — ir/2 и р —
через — ]/А:г, а поэтому и для суперпозиции обеих волн.
Таким образом, использованные в принципе Гюйгенса
краевые значения отличны от точных (в нашем смысле)
значений не только вблизи края экрана, но и на
больших расстояниях 1/Аг. Достойно удивления, что, несмотря
на это, классическая теории диффракции дает практически
столь удовлетворительные результаты.
Наконец, что касается сектора I, то он, как мы знаем,
относится к освещенной области как падающей, так и
отраженной волн. На границе G^ последней, разумеется, имеют
место явления диффракции, которые следует
рассчитывать так же, как и на границе Gg. Но они тонут в полном
освещении падающей волны; экспериментально их
исследовали только в случае «зеркала Френеля» (две
наклоненные под очень малым углом друг к другу
полуплоскости) и ввели в расчет как малое возмущение,
присоединяющееся к обычцой ццтерференций обедх отраженных волн.

346 Гл, V. Теория диффракции
5. Обобщение. Можно легко перейти от двулистной
поверхности Римана к /г-листной. Для этого необходимо
только обобщить формулу C8.8), положив
Отсюда, по аналогии с C8.9), получится функция U с
периодом 2кп, при помощи которой можно решать задачи
об отражении в области пространства с углом раствора
2т:п/т (т —целое число). Сюда относится, например,
внешнее пространство прямоугольного клина (случай
/г = 3, т = 4). Рассмотренный в п. 3 переход к интегралу
Френеля ограничивается только случаем п==2. Паули [62]
показал, что при произвольном (также и не целом) п
вместо этого интеграла получается конфлуэнтная гипер-
геометрическая функция.
Особый интерес представляет предельный случай /г = оо.
Ему соответствует при записи с помощью переменной
интегрирования If из C8.11) бесконечно многозначная
функция
U = ^il'-'''""'''^,' C8.27а)
Мы видим в этом наилучшую возможность для
осуществления «черного экрант, фигурирующего с давних пор
в теории диффракции. Плоская волна, падающая на
сторону экрана 9=^0 под углом ср=га, вступает в экран
и теряется в бесконечно большом числе листов ср < О,
без того чтобы световая энергия вернулась -в физическое
пространство через обратную сторону ср = 2тс экрана из
бесконечно большого числа листов ср > 2?:. Вспомним при
этом об экспериментальном осуществлении черного тела
при измерениях температурного излучения, т. е. о
снабженной отверстием полости, которая поддерживается
при постоянной температуре. Всякое излучение,
попадающее снаружи в отверстие, будет внутри непрерывно
отражаться и поэтому больше не выйдет наружу.
Отверстие полностью поглощает, а потому действует как черная
поверхность. Однако свойство «черное» не может быть
определено посредством краевых условий в духе теории
Максвелла. Поэтому диффракция от черного экрана не

§ 38, Диффракционные аадачи, допускающие строгое решение 347
может быть сформулирована как задача о краевых
значениях. То, что мы приняли вместо этого в C8.27а), ни
в коем случае не является однозначным и свободным от
произвола.
Мы только коротко укажем на другие возможности
обобщения нашего метода, прежде всего на случай
цилиндрической волны (светяш.аяся линия на конечном
расстоянии, параллельная краю экрана); также и здесь наш метод
дает возможность получить точное решение задачи о диф-
фракции в замкнутой форме^). Непосредственный переход
к трехмерному случаю возможен лишь для скалярных
(акустических) задач. Здесь, пользуясь нашим методом,
можно рассмотреть дпффракцию сферической волны или
плоской волны, которая падает на край полуплоскости
не перпендикулярно, а косо.
6. Принципиальные вопросы. В электродинамике мы
различали задачи суммирования и задачи о краевых
значениях (ср. т. III, § 7 и 9). Если во всем пространстве
были заданы заряды, то для того, чтобы получить полное
электростатическое поле, достаточно было по ним
соответствующим образом просуммировать. Так же обстояло
дело и в магнптостатическом случае, если намагничение
повсюду было известно. Однако в присутствии
посторонних тел (проводников, диэлектриков, магнетиков) с
возникающими в них неизвестными зарядами и
намагничиванием добавляются граничные условия; мы стояли перед
математически значительно более сложной задачей о
краевых значениях. Само собой разумеющимся требованием
к правильной постановке задачи о краевых значениях
была ее однозначность.
Принцип Гюйгенса пытается решить проблему диффрак-
ции, как задачу суммирования. Так как при этом краевые
значения, которые необходимо приписать диффракцион-
ному отверстию по существу не известны и могут быть
выбраны лишь с известным правдоподобным произволом, то
правильность и однозначная определенность
полученных таким образом решений с полным основанием могут
быть поставлены под сомнение. При задачах диффракции,
^) Подробней об этом см, у Франка и Мизеса F0].—
Прим. авт.

348 Гл. V. Теория диффракции
допускающих точное решение, как мы их сформулировали
в начале этого параграфа, краевые условия были с точки
зрения теории Максвелла ясны. Если их дополнить
условием излучения на бесконечности, то однозначность
постановки задачи гарантирована. При обычных для
теории диффракции бесконечно тонких экранах необходимо
перейти к определенному случаю бесконечно хорошего
проводника и к соответствующим ему вырожденным
граничным условиям. Мы знаем уже, что черный экран,
которому отдается предпочтение в теории и практике, не может
быть описан посредством граничных значений, а похрму
и задача о нем не может описываться как однозначно
определенная задача о краевых значениях.
Метод отражения приводит при плоском и полностью
отражающем экране с любым ограничением к задаче
нахождения разветвленных решений волнового
уравнения, для которых край экрана является линией
разветвления. Их значения в двухмерном случае (щель,
параллельные полосы, полуплоскость) представляются
двулистной поверхностью Римана, в трехмерном случае —
двойным пространством Римана. Математическое получение
разветвленных решений удается только в случае
полуплоскости. Несмотря на это, также и при любом плоском
экране наш метод двойного пространства Римана
приводит к количественным выводам; для того чтобы это
обосновать, мы пойдем несколько дальше.
Как известно с времен Эйлера, в каждом
алгебраическом уравнении тг-й степени симметричные функции от п
корней могут быть рационально представлены через
коэффициенты уравнения. Это же справедливо для ветгей
алгебраической функции, т. е. для корней уравнения л-й
степени, коэффициенты которого являются целыми
функциями комплексной переменной z\ их связь может быть
полностью и наглядно представлена посредством г^-листной
поверхности Римана. Если мы обозначим алгебраическую
функцию через w{z), ее п ветвей через Wi, щ.., tv^, то все
симметричные функции от Wj ..., cv^ могут быть однозначно
и рационально выражены по отношению к z, через
коэффициенты определяющего уравнения.
Это правило нашло эффективное применение в
двухмерной теории потенци?^да, например в задачах отобра-

§ 38, Диффракционные задачи^ допускающие строгое решение 349
жения гидродинамики. Если здесь объединитд> потенциал
скоростей и{Ху у) и функцию потока г; (ж, г/), то получится
w=u+iv, т. е. функция комплексной переменной z=x+iy,
вещественная и мнимая части которой удовлетворяют
уравнению Лапласа А | ^ \—0. Если w многозначно, то
симметричные функции ее ветвей cvj, ..., w^ будут, как при
алгебраических функциях, однозначны по отношению
к Z. Из этих однозначных функций можно алгебраически
вычислить Wy а отсюда также и или v,
В нашем случае, где речь идет о двузначных решениях
волнового уравнения, не существует, как в случае уравнения
Лапласа, сопряженной с U функции, и из симметричных
функций принимается во внимание только линейная
функция С/'х + С^г- Она является однозначным решением
того же дифференциального уравнения и поэтому может
рассматриваться как известная. (Симметричное
произведение UJJ^ не является решением волнового уравнения;
в противном случае можно было бы алгебраически
вычислить обе ветви Ui ж U2 в отдельности и легко получить
разветвленное решение.) Ограничиваясь задачами
скалярного характера, мы рассмотрихМ, в частности, плоскую
волну в определенном краями экрана двойном
пространстве Римана и рассмотрим оба экземпляра 1 и 2 этого
двойного пространства, связанные в плоскости экрана.
Пусть Ui (Р) относится к одному, U2 (Р) — к другому из
этих двух экземпляров. Составим
U,{P) + UAP) = Uo{P). C8.28)
Тогда Uo{P) будет решением волнового уравнения,
однозначным в простом пространстве. Оно тождественно с
функцией плоской волны в отсутствие экрана, которую мы
прежде также обозначали. Это заключение вполне строго,
так как решения волнового уравнения однозначно
определяются их поведением на бесконечности и
существующими, смотря по обстоятельствам, условиями
непрерывности. [Это же выражение C8.28) справедливо, конечно,
для падающей сферической или цилиндрической волны,
так же как и для плоской волны.]
Подтвердим это выражение прежде всего на явных
формулах для нашего двойного пространства с прямой

350 Г л, V, Теория диффракции
линией разветвления. Удобнее всего исходить из C8.19).
Обозначая через р положительную на освещенном листке
величину C8.18а) и, следовательно, через —р
соответствующую величину на затененном листке, получим
р —р
и,{Р)Л-и^{Р) = щ^ \ 5 + J }e«''^V2dx. C8.29)
—СО —00
Сразу видно, что посредством изменения знака перед х
во втором интеграле оба интеграла сводятся к
+0О 00
с еЬт2/2 с/х = 2 \ е^'^'^2/2 dt = 2F(оо) = 1 + г,
—00 о
причем C8.29) переходит в C8.28). Подчеркнем еще явным
образом, что это доказательство не ограничивается только
случаем преобразованной формы C8.19), но может с
таким же успехом быть применено для первоначальной
формы C8.9). В последнем случае путь интегрирования для
и2 получается смещением на 2?: пути интегрирования для
и^. Оба пути сводятся тогда (см. фиг. 78) к двум
петлям С с размахом 4::, вместо 2тс, и могут быть приведены,
вследствие периодичности подинтегрального выражения,
к обходу вокруг полюса ср = °^» причем снова получается
«0. Таким образом, также сразу видно, что при
предпринятом в C8.27) обобщении {п произвольно, вместо д = 2)
обобщением выражения C8.28) будет
и,{Р)^-и,{Р)+ ...+илР)=щ{РУ
Сравним теперь выражение C8.28) с нашим прежним
принципом Бабине в форме C4.15). Их формальное
совпадение наводит на мысль приписать наши теперешние
и^, и^ диффракционным картинам от двух
дополнительных экранов I и IP). Однако это имеет смысл только
в случае черных экранов, которые, как и линия
разветвления нашего риманового пространства, хотя и
поглощают свет, но не могут его отражать. Кроме того, это
сопоставление страдает той же неопределенностью, которая
1 См. изложение этого вопроса, принадлежащее автору, в книге
Франка и Мизеса [60].—Я/>иле. авт.

§ 38. Диффракционные задачи, допускающие строгое решение 351
свойственна самому определению черного тела. Поэтому
мы ищем такое выражение принципа Бабине, которое
является справедливым для точно определенного белого
экрана и может считаться уточненной формой этого
принципа. В качестве подготовки мы снова рассмотрим
простейший случай полуплоскости.
Сравним диффракцию на первоначальной
полуплоскости
Ui = U{r, (p-a)=Ff^(^ cp + a)@<cp<2u) C8.30)
с соответствующим образом записанной диффракцией на
дополнительной полуплоскости
«11 = г/(г, ср'~а')Ч=С/(г, 9' +а')
(О < ср' < 27г). C8.31)
При пространственно неизмененном
направлении падения плоской волны
здесь необходимо принять
а' = 7г-а. C8.31а)
Связь между ср' и ср видна из фиг. 80,
которая приводит к следующему
сопоставлению:
Передняя сторона дополнительного
экрана ср' = О, ср = т:
Передняя сторона первоначального
экрана ср' = 1г, ср = 0
Фиг. 80. К
принципу Бабине. Отсчет
углов ср и ср' при
первоначальном экране
01 и дополнительном
экране ОН,
•ср, C8.316)
Задняя сторона первоначального
экрана ср' = т:, ср = 27U
Задняя сторона дополнительного
экрана 9' = 2ir, ср = тс
cp' = 3ir~cp, C8.31в)
Формула C8.316) содержит искомую связь для передней
стороны обоих экранов, формулы C8.31в) —для их
задних сторон.
Если мы подставим C8.31а) и C8.316) в C8.31),
то получим для передней стороны
Uu = U{r, -cp-fa):Ff^(/-, 2тс-(р-а). C8.32)

352 Гл. V. Теория диффращии
Теперь, в силу свойства C8.28) нашего разветвленного
решения,
U{r, 2т:-ср-а) = 1го(-ср-а)-С/(г,-ср-а) C8.32а)
и, вследствие нраво-левосторонне!! симметрии как
разветвленных, так и неразветвленных решений,
U{r, -(р-а) = С/(г, ср + а), U{r, -? + a) = C/(r, ср-а),
^0 (— ? — ^) = ^0 (? + ^)' C8.326)
С учетом C8.32а) и C8.326) из C8.32) следует
u„ = C/(r, ср-а)±С/(г, ср + а):ргго(ср + а). C8.33)
Заметим, что здесь, по сравнению с C8.30), изменился
знак перед f/(г, ср + о^)- К^к мы знаем, этот знак
определяется поляризацией падающей волны (^ означает, что Е
параллельно или соответственно перпендикулярно к краю
экрана), поэтому из C8.33) видно, что мы доджны
сравнивать диффракционпую картину дополнительного экрана
при параллельной поляризации падающего света (?'j|)
с диффракционной картиной первоначального экрана при
перпендикулярной поляризации {Е_[). Кроме того, член
Тг^о(? + °^) показывает, что при дополнительном экране
необходимо опустить отраженный (в смысле
геометрической оптики) свет там, где он появляется при
первоначальном экране, и добавить его там, где он при
первоначальном экране отсутствует; это ясно с точки зрения
геометрической оптики.
На задней стороне из C8.31а), C8.316) и C8.31)
посредством совершенно аналогичного вычисления
получается
1гц = С/ (г, 2и - ср + а) q= i7 (/•, 4:: 4- ср + а)
и, с учетом соответствующим образом преобразованных
выражений C8.32а) и C8.326)
-K„ = f/(r, ср-а)±С^G-, cp + a)-Wo(cp-a). C8.34)
Таким образом, мы имеем такое же обращение
направления поляризации, как при C8.33). Кроме того, теперь при
дополнительном экране необходимо опустить падающую
волну за этим экраном там, где она появляется при пер-

S 38. Диффракционные задачи^ допускающие строгое решение 353
воначальном экране, и добавить ее там, где она отсутствует
при первоначальном экране, а именно, в его области тени,
которая с точки зрения геометрической оптики для
дополнительного экрана является освещенной областью.
Задача о полуплоскости имеет то общее с другими
двухмерными проблемами (щель, решетка,...), что допускает
скалярное рассмотрение. Этого не будет при трехмерных
задачах в оптике (например, круглый экран или круглое
отверстие). При их решении необходимо вычислять
векторно (или применять соответствующим образом
определенные потенциалы). По иному будет в акустике^ где
мы имеем дело со скалярным давлением (или с потенциалом
скорости). Для этого случая Боувкамп [56] в своей
диссертации установил точную форму принципа Бабцне для
трехмерной задачи о произвольно ограниченном плоском
и жестком экране и о компланарном к нему
дополнительном экране. Она выглядит здесь так же, как и в наших
двухмерных задачах и снова основывается в нашем
изложении на соотношении C8.28) для разветвленных
функций. При переносе предыдущих вычислений на
трехмерный случай можно наш прямой край экрана и окружающие
его цилиндрические поверхности деформировать по методу
analysis situs^) в произвольную наперед заданную
граничную кривую и в соответствующие окружающие ее
тороидальные поверхности; последним можно сопоставить
характеризующий их параметр ср, который при переходе
от одного экземпляра пространства к другому
увеличивается на 2ir. Тогда формулы C8.30)—C8.34) могут быть*
непосредственно интерпретированы так же, как
выражение принципа Бабине в скалярном трехмерном случае.
Общую строгую формулировку этого принципа для
трехмерного случая дал Мейкснер [63]. Так как в
падающей волне Е^ означает то же самое, что Яц, и в силу-
справедливости правила правого винта ^'ц означает то же
самое, что Н^, то мы можем изменение знаков ^ —> ± при
переходе к дополнительному экрану заменить правилом
перестановки
(Е, Н)->(Н, -Е),
^) По методам топологии.—Прим. ред.

354 Г л, V. Теория диффракции
В соответствии с этим по Мейкснеру диффракционное поле
Е, Н в точках дополнительного экрана получается из диф-
фракционного поля Н, —Е первоначального экрана (при
точно соответствующем предписанию погашении или
добавлении падаюп^ей или отраженной волны на передней
или задней стороне экрана). Доказательство справедливо
для произвольно распределенных источников света, а не
только для нашей приходяш;ей из бесконечностц волны;
оно основано только на свойствах симметрии уравнений
Максвелла, по поводу чего мы заметим, что наша форма
представления разветвленных решений по существу тоже
означает свойство симметрии уравнений Максвелла.
Наконец, снова ограничиваясь скалярной проблемой,
свяжем еще наше энергетическое условие C8.1д) с
теорией функций комплексного переменного z, а именно,
с разложением Пуазо в точке разветвления, которое здесь
заменяет обычное разложение Тейлора. Оно гласит, если п
означает число связанных в точке разветвления z=0
листков и если точка разветвления не является одновременно
точкой бесконечности функции w{z), то
со со
В решении и волнового уравнения этому соответствует
разложение по функциям Бесселя с дробным индексом
оо
м(г, 9)= 2 C^Jrnin{kr)eirn9lr>. C8.35)
rn«0
Так как J mini?) Для малых р пропорционально р^^^, то
в точке разветвления г=0 это разложение дает
u---Cq = конечной величине, но
п-1
^ = А 2 С,пЛп:ЛИе'"^^'". C8.36)
т= I
Величина ди/дг хотя и стремится к бесконечности при
г—>0, но так слабо, что при этом будет справедливо
limrgrad»—>0 для г-^0. C8.36а)

§ 38. Диффракционные задачи, допускающие строгое решение 355
Это условие было подтверждено явным образом в формуле
C8.20д) для п=2. Это наводит на мысль постулировать его
также для случая пространственной линии разветвления^);
тогда г будет обозначать кратчайшее расстояние от линии
разветвления. Отсюда наше условие C8.1д) получается как
математическое следствие повсеместной (без исключения)
непрерывности и (включая края экрана); как отдельное
требование оно становится излишним.
^) См. работу Зоммерфельда [64], в частности, стр. 405. Здесь речь
идет о «разветвленных потенциалах в пространстве».--Я/?мл«. авт.

Глава VI
ДОПОЛНЕНИЯ, В ЧАСТНОСТИ К ТЕОРИИ
ДИФФРАКЦИИ
§ 39. ДИФФРАКЦИЯ ОТ ОЧЕНЬ УЗКОЙ ЩЕЛИ
Когда размеры диффракционного отверстия малы по
сравнению с длиной волны или только порядка
нескольких длин волн, принцип Гюйгенса теряет смысл (при его
применении в § 34 мы проводили вычисления, не учитывая
краевых зон и принимая, что в отверстие падает
неискаженная волна). Hania настоящая задача, при которой
отверстие, так сказать, целиком состоит из краевых зон,
полностью принадлежит к категории задач о краевых
значениях: она заключается в определении состояния в
отверстии, исходя из условий непрерывности для всей задачи
в целом, причем становится ненужным проводить различие
между падающей и диффрагированной волной.
Впервые эту задачу рассмотрел Релей [65, 66]. Он
свел эту задачу к известным решениям гидродинамических
или электростатических проблем, в частности, для случая
круглого отверстия с радиусом а < X или для достаточно
узкой щели.
Независимо от Релея Бете [67] рассмотрел задачу
о маленьком круглом отверстии с точки зрения
электромагнитной теории, получив по существу тот же результат.
Дальнейшая цель поставлена в работе Левине и Швин-
гера [68], которые исследовали с помощью вариационного
принципа промежуточную область между предельными
случаями а < X (Релей) и а > X (Гюйгенс, Кирхгофф);
однако они ограничились скалярным акустическим
случаем.
Мы рассмотрим особенно важную в экспериментальном
отношении задачу о щели, при которой мы также можем
производить вычисления скалярно (см. стр. 353),
рассматривая отдельно оба случая, когда Е или Н параллельны
краям щели.

§ 39. Дифф^акция от очень узкой щели 357
1. Задача о краевых значениях для щели. Пусть щель
лежит в плоское гил:г/, края щели параллельны оси у, щеки
щели бесконечно тонки и обладают бесконечно большой
проводимостью. Пусть ширина щели равна 2а, края щели
определяются посредством а;= ± а, z=0. Перпендикулярно
к плоскости щели со стороны отрицательного направления
оси Z падает плоская волна. Тогда задача будет независима
от у и, следовательно, двухмерна.
Падающую волну мы представим в виде AQx^{ikz).
Примем сначала, что Е колеблется параллельно краям
щели, т. е. | Е | = Еу. Если бы щели не было, то состояние
определялось бы посредством
v = A (е^'^^ — е-^^^) для z < О,
i; = 0 для 2>0. C9.1)
В силу наличия щели выражения C9.1) необходимо
изменить следующим образом:
1==А (е^^^ ~ е-^^^) + и, для z < О,
г; = й^ для z> 0. C9.2)
Значение v в отверстии щели обозначим через и.
Вследствие непрерывности поля v должно быть
и^ = и,=^и для z = 0. C9.3)
Обозначим координату х точки щели через $ и напишем
поэтому гг=гг(?). Если бы и{^) было известно, то можно
было бы по общей теории функции Грина, изложенной
в § 34, строго вычислить щ и и^ для всех точек z ^ 0.
При этом следует в функции Грина C4.7)
Лкг лиг
0=^-^ V' C9.4)
r'2 = ($_д;K^.A^_yJ + (!; + 2)^
заменить сферическую волну e'^^^jr цилиндрической волной
Н {кг), где Н=Н\ обозначает первую функцию Ганкеля
с индексом нуль; одновременно мы должны изменить
значение г применительно к двухмерному случаю (в
соответствии с природой нашего источника света по коорди-

358 Гл. VI. Дополнения^ в частности к теории диффракции
нате у уже, так сказать, неявно в Н проинтегрировано).
Таким образом, мы получим вместо C9.4)
G = H{kr)'-H(kr')] C9.4а)
r'^ = (t^xf + {r^ + zf/
При этом из C4.6) следует:
27.^^ = -^ u{^)^dl C9.5)
—а
Множитель 2к вместо Ат: в C4.6) стоит потому, что в
двухмерной теореме Грина левая часть C9.5) получается
посредством интегрирования по окружности с исчезающе
малым радиусом, а не по шаровой поверхности, как в
трехмерном случае. Как и прежде, dGjdn обозначает
производную по внешней нормали, следовательно, в
нашем случае 9л равно —д\ для и^ и +5Сдля m_, согласно
C9.4а),
-^ = Ч=^[Я(И-Я(Аг')] = ±^[^(И + Я(АО].
Для интегрирования по щели необходимо положить С=0,
т. е. г=г', и
^^±2^Н{кг,), rl^iX-xf + z^; C9.5а)
Поэтому C9.5) принимает вид
^^±=^^\n{l)Il{kr,)dl. C9.6)
—а
В действительности и{1) неизвестно, и формула C9.6)
поэтому бессодержательна. Она должна быть дополнена
требованием непрерывного перехода dvldz через отверстие
щели; о непрерывном переходе для самого v мы
позаботились уже посредством C9.3). Это требование
непрерывности для dvldz в дальнейшем заменяет нашу
первоначальную задачу о краевых значениях, до сих пор
решенную неполностью.

§ 39. Диффракция от очень узкой щели 359
Согласно C9.2), имеем
^ = 2ikA + -^ для Z —> О со стороны z < О,
^ = -^ для 2—^0 со стороны Z > о.
Поэтому нужно потребовать
^^-^ = 2гЫ для z^O, C9.7)
Прихменяя C9.6), отсюда находим
^1i{i)H{kr^)d^==lkA. C9.8)
1 д^ '
тс dz^
—а
Это требование должно выполняться для 2=0 и для всех
значений — а < л: < +«• Заметим по поводу C9.8), что,
согласно C9.5а), г^ зависит от 2 и что к предельному
значению
7-0 = И-^1 C9.8а)
можно перейти лишь после выполнения указанного
в C9.8) двухкратного дифференцирования.
Мы упростим создавшуюся аналитическую ситуацию,
если примем во внимание (см. [68]), что
цилиндрическая волна Н{кг^) удовлетворяет двухмерному волновому
уравнению Д/Г н- к^Н = 0; тогда то же будет справедливо
и для интеграла в C9.8). Поэтому имеем
где мы теперь можем осуществить предельный переход
C9.8а), а также написать d^/dx^ вместо д^/дх^. Таким
путем мы получим из C9.8)
(^ + А2)Х = /1:Ы, C9.9)
где для сокращения введено обозначение
Х= \ u{^)H{k\^--x\)dl C9.9а)

360 Гл. VI. Дополнения, в частности к теории диффракции
Будем интегрировать уравнение C9.9) по правилам для
неоднородных дифференциальных уравнений. Частным
интегралом уравнения C9.9) является X^iTzAjk, В
качестве общего интеграла однородного уравнения,
соответствующего уравнению C9.9), мы возьмем в силу
симметрии задачи только четную по отношению к х часть
интеграла, т. е. В coskx. Таким образом, получим
X^i^ + Bcoskx. C9.96)
Для того чтобы определить введенную вдесь постоянную
интегрирования 5, положим а; = 0, в результате чего,
учитывая C9.9а) и C9.96), найдем
4*
5=.-i^+^ u{i)H{k\l\)dl
-а
Подставляя это в правую часть C9.96), а C9.9а) в левую
часть C9.96), получим
^ u{l){H{k\^.-x\)-co8kxH{km)}dV-=^
= I^{l^coskx). C9.10)
Это eupaofccHue представляет собой линейное интегральное
уравнение для неизвестной функции и E), которое должно
выполняться для всех значений — а<д:< +а. «Ядро»
этого интегрального уравнения дано в фигурных скобках.
Таким образом, подтверждается общее правило: решение
задачи о краевых значениях сводится к решению
интегрального уравнения. Хотя численно решение всегда возможно,
но, естественно, только для определенных значений
стоящего в уравнении параметра (здесь для определенных
численных значений ка и Аж), что нас, конечно, не
устраивает. Для того чтобы прийти к общему решению, необходимо
в каждом конкретном случае изыскивать подходящие
приближенные методы, которые в нашем случае будут
основываться на предположении А:а<1. Впрочем, заметим,
что ядро в C9.10) несимметрично по отношению к о; и ^,

§ 39. Диффракция от очень узкой щели 361
вопреки обычному предпочтению, оказываемому
математиками симметричным ядрам.
Прежде чем приступить к решению интегрального
уравнения, рассмотрим еще коротко случай
противоположной поляризации. Под v мы теперь подразумеваем
магнитный вектор Н, который на щеках щели, в силу
Е^ = 0, должен удовлетворять условию dv/dz^O.
Обозначая через -4' магнитную амплитуду падающей волны ^),
положим вместо C9.2)
i- = ^'(e^ft^-f е-^^*) + и^ для z < О,
V — и^ для Z > 0.
Тогда вместо C9.3) получим
ди+ ди^ _
dz dz "
Теперь U) •=(!) E) — неизвестная функция, которую
необходимо найти. В качестве функции Грина возьмем
G = H{kr) + H{kr')\ C9.11)
из нее вычислим
+а 4 а
2zMi=q: ^ a)($)Gd$=:F2 ^ a)(S) Я (Лго)й$; C9.11а)
-а —а
В частности, для отверстия щели получим
4а
27:tti = :f 2^ i^{l)H{k\l-x\)dl C9.116)
-а
В силу непрерывности v при прохождении через щель
должно быть справедливо равенство
^) Обозначение такое же, как в § 2; А и А* имеют
различные размерности и отличаются множителем -«волновым
сопротивлением».—Я/>ил«. авт.

362 Гл. VI. Дополнения, в частности к теории диффракции
отсюда И ИЗ C9.116) следует
-fa
^ i^{l)H{k\^-x\)d\^^-izA'. C9.12)
—а
Форма И вывод этого интегрального уравнения несколько
проще, чем в предыдущем случае; «ядро» Н{к\^^х\)
здесь симметрично.
2. Решение интегральных уравнений C9.10) н C9.12).
Здесь следует поступить следующим образом. Составим
для функции и{\) в C9.10) выражение с бесконечным
количеством коэффициентов, которыми мы сможем
распоряжаться, и постараемся их определить из C9.10). Выбор
этого выражения ограничивается следующими
рассуждениями:
1) и{1) должно обращаться в нуль при S— ± а в силу
непрерывного перехода к значению г; = О, которое должно
быть всюду на щеках щели.
2) и{1) должно быть четной функцией от S в силу
симметрии задачи.
3) В соответствии с нашим рассмотрением
разветвленных волновых функций и их представления (§ 38) и (а;, z)
должно менять знак при каждом обходе вокруг точки
разветвления а;= ± а. Вместе с требованиями 1 и 2 это
приводит к выражению
00
йE) = 2<^"A-&)"'''': C9-13)
Т1=1
Сп — бесконечно большое число комплексных
коэффициентов, которыми мы можем распоряжаться.
В одной более ранней акустической работе автора ^),
которая послужила отправной точкой для Левине и Швин-
гера (см. [68]), выражение, аналогичное C9.13),
получилось в результате более длинного вычисления, которое
одновременно дало значения Сп в виде численно
определенных степенных рядов относительно одного только опреде-
1) О свободно колеблющейся поршневой мембране [69].—
Прим, авт.

§ 39, Диффракция от очень узкой щели 363
ляющего параметра ак, причем ряд Cn+i начинался со
степени ак на единицу более высокой, чем ряд Сп> Здесь
мы смогли выражение C9.13) написать непосредственно
при помощи теории функций, так что оно справедливо для
щели любой ширины. Для очень узкой щели ак ^\ мы
используем полученный там результат, согласно
которому С^ по порядку величины превосходит все остальные С„.
Поэтому выражение C9.13) сведем к виду
«E) = C,(l-ii)*'\ C9.13а)
Тогда наше интегральное уравнение C9.10)^ запишется
в форме
c^^(^i_.^y'^/j:(^,$)rf5=i^{i-cosM*ii^. C9.136)
О
Здесь, в противоположность форме записи в C9.10),
интегрирование ограничивается интервалом О < S < а;
интервал интегрирования — а < Е < О мы должны учесть
посредством следующего изменения ядра, причем х мы
также можем считать положительным:
K{x,\)^H{k\l^x\) + H[k{% + x)]---2(^oskxH{kX).
C9.13в)
Разложим это выражение на две части
Ki^H[k(l + x)] + HiJi\l-x\)^2H[k\), C9.13г)
Ки = 2A- cos кх) Н (ЛЕ) ^ кЧ'' Н (к%). C9.13д)
Так как в силу А:а < 1 все аргументы функций Н
во всем интервале интегрирования малы, мы можем
повсюду применить приближенную формулу [см. т. III,
формула B2.5)]
Н^ (р) = — In -^, In Y = 0,5772=Постоянной Эйлера—Маше-
рони. C9.13е)
Тогда получается
/i:j=iiinii!z^, ii:„=^A%4n^. (зэлзж)

U2-$2
364 Гл. VI. Дополнения, в частности к теории диффракции
Логарифм в Ki должен быть разложен в ряд
по-разному в зависимости от того, будет ли $ < а; или ^> х:
'""F"~V^ +  1^+* J при $<а:,
""Cf + t "!^+'*' ; "Р** '>^-
В соответствии с этим интеграл C9.13в) должен быть
разложен на две части
а X а
^ ... = ^ ... + ^ ...=7, + /з. C9.14)
о о *
О
л:
Если мы выберем х достаточно малым по сравнению с а,
то в /i мы будем иметь право заменить множитель
{i—l^ja^yi^ на 1; это допустимо при вычислении Cj,
так как Ci не зависит от х.
Посредством элементарного интегрирования получаем
А = 2а:-х(^ + ^д+3^^+...), C9.15)
т. е. получаем пропорциональность относительно х, в то
время как правая часть нашего интегрального уравнения
C9.136) была пропорциональна х^. Мы покажем в
приложении 1, что /j взаимно сокращается с долей
интеграла /g» соответствующей нижнему пределу, и что
верхняя граница J^ с точностью до более высоких степеней
xja дает
ТТ- C9.15а)
Теперь, согласно C9.13ж) и C9.14), общая доля от Kib
левой части C9.13в) может быть представлена просто в виде
^xT-|v = ^-^>-?- C9-16)

§ 39. Диффракция от очень узкой щели 365
Доля ОТ Кц в C9.136) следует из C9.13ж); она равна
а
С^^&2^2 ^ (^i_^y/2in]g-rft C9.Ida)
о
Если хмы сделаем здесь подстановку C9.25) н положим
д = — \ cos^cp Insincpdcp, C9.166)
о
то вместо C9.16а) получим
\c^ik4x^ ЛпЫ-1п i.+ g V C9.17)
В качестве суммы C9.16) и C9.17) получится
Второй член в скобках здесь можно вычеркнуть в силу
того, что й:а<1. Поэтому паше интегральное уравнение
C9.10) окончательно дает
iC^^i-Ak"^, Ci = ^^^. C9.18)
Обратимся к интегральному уравнению C9.12) и буде^м,
таким образом, подразумевать, как и в конце п. 1, под г;
и к± магнитные векторные составляющие, параллельные
оси у у под (О —величину da^Jdz внутри щели при z = 0.
Будем искать сначала выражение для со, аналогичное
C9.13). Мы утверждаем, что оно снова дается формулой
C9.13), если только ни:нснюю границу суммирования
заменить через w = 0; следовательно, в первом приближении
искомое выражение будет иметь вид
-(^) = 7--3fv^* C9.19)
Для обоснования достаточно заметить, что теперь Н
в точках разветвления а: = -j;- а изменяется как
половинная степень расстояния от последних, и, следовательно,
градиент от Н меняется как минус половинная степень.

366 Гл. VI. Дополнения у в частности к теории диффракции
Действительно, мы увидим, что выражение C9.19)
приводит к решению нашей задачи, вследствие чего оно
является правильным и к тому же единственно правильным
решением. Знаменатель а в C9.19) мы добавили из
соображений размерности, с тем, чтобы С^ (так же, как
прежде Cj) имело бы ту же размерность, что и наше
теперешнее и. Величина а)($), как прежде и (Е), является четной
функцией от $.
На основании этого преобразуем интегральное
уравнение C9.12) к виду
J
i^{^){H{k\\-^x\) + H[k(S'\-x)]]dl= -тгЛ'. C9.20)
о
Фигурные скобки снова содержат ядро интегрального
уравнения. Для аналогии с предыдущими вычислениями,
разложим это ядро на две части
Ki^H[k{^ + x)] + H{k\\''x\)^2H(Щ, C9.20а)
Ки = 2Н{к1). C9.206)
Первая часть совпадает с Kj C9.13г). Поэтому и теперь
будут справедливы, с соответствующими изменениями,
формулы C9.14а) и C9.146); они дают теперь (см.
приложение 2) только члены с х, которые, однако, взаимно
компенсируются. Таким образом, уравнение C9.20)
упрощается и сводится к виду
\i.(i)Kudl==^^l(^l^^y'^'H(kl)di=^-^
о о
Мы получаем (см. приложение 2)
С^ = '^^, ;,==1п2^ = 1пЛа-0,81-^. C9.22)
3. Обсуждение. На фиг. 81 представлены
распределения и (а:) и О) (х), отнесенные к амплитудам падающей волны
А и А' соответственно. Согласно C9.13а) и C9.18), а также
C9.19) и C9.22), при 5 = 0 имеем
ц@) _gi__^ I ^@) _ ^0 _ ^^
~Г"^ А~~ 2 ^^' Л' "~ Л' "" 2/> •

§ 39. Дглффращия от очень узкой щели
367
Функция I tt (л:) I представлена очень вытянутым эллипсом,
лежащим горизонтально, | о) (ж) | — соответствующей
обратной фигурой с значительно большей стрелой прогиба
в середине щели и с бесконечно крутым подъемом на ее
краях.
\й(х)
а
А
\
1
*а
\
\@(Х)
Vj
-а
. il
1 1
+а
Фиг. 81. а—электрический вектор Б
параллелен краям щели; поведение амплитуды ?'»w (а;)
в щели; ка = Vio»
й (ж) = I Ла Л /1 — х^1а^\
б—магнитный вектор Н параллелен краям щели;
поведение амплитуды dHldz = | ш (ж) | в щели;
О) (х) =
in
А'/а
2р |/ 1 — х^/а^ *
Из ц и О) ПО формулам C9.6) и C9.11а) вычисляется
и^ {Ху z) и, следовательно, одновременно диффракционное
поле V за щелью; получаем
И, соответственно,
+о
5* Л-^2
•''-'-T[(^^-^y"^('''o)di.
где
rl = {x-iy + z\

368 Гл. VI. Дополнения^ в частности к теории диффракции
Так как рассматриваемая точка х, z лежит на
расстоянии очень многих длин волн от щели, то мы можем для Н
применить асимптотическую формулу [ср., например,
т. III, формула B2.7)] и имеем право при интегрировании
рассматривать г^ =/• = У^а:^-f z^ как не зависимое от 5.
Таким путем получим
—а
С помощью подстановки 5=-asincp, выполненной в
приложении, для значений обоих вышестоящих интегралов
получим атс/2 и атс. Таким образом, если мы
выполним дифференцирование по z только в показателе, то
будем иметь
г; = - iakC^ ^ ^J_ е^ (^^-^1^) C9.23)
и
1 = --С^ Y^ e^(ftr-n/4)^ C9.23а)
Следовательно, мы имеем две исходящие из щели
(собственно, из ее средней линии) цилиндрические волны с
разными амплитудами, из которых первая еще содержит
множителем
cos о — —
г
E —угол диффракции). Для того чтобы сделать
выражение C9.23а), которое представляет не Ё^, как C9.23),
а Hyf сравнимым по размерности с C9.23), вычислим из
Нуу согласно уравнению Максвелла D = rotH,
соответствующие электрические составляющие Е^, Е^:

§ 30. Диффращия от очень узкой щели 369
отсюда
Е^ = УЕ1^Е1 = У'^^Ну.
Только посредством этого множителя — волнового
сопротивления ((Ао/ео)^/2—входящая в С^ амплитуда Л' приводится
к той же размерности, что и входящая в Ci амплитуда А,
Таким образом, равные интенсивности освещения в обоих
случаях означают не Л' = Л, а А' ({J-q/O^^^ = ^^
На основании этого мы можем вычислить поляризацию
при диффракции света от нашей щели, ожидаемую в
случае равной интенсивности обоих видов освещения. Она
получается как частное от деления C9.23) на C9.23а)
при одновременном учете C9.18) и C9.22):
^ак
^11 cos 8 = 1 {akf I /? I cos 8 j/-^. C9.24)
Таким образом, при малом ка через щель проходит
значительно меньше света с ^'ц, чем с Е^. Колебания Е\\
будут, так сказать, гаситься щелью в силу граничного
условия Еу = 0; колебания Е_[_ вызывают на щеках щели
заряды, которые, аналогично тому, как это происходит
при волнах Герца в проволоках, бегут вдоль щек щелей,
благодаря чему становится возможным преодоление
поворота на краю. Этот характер поляризации известен,
начиная с опытов Герца с решеткалш.
Интенсивности в обоих случаях, рассмотренные в
отдельности, обнаруживают заслуживающее внимание
различие в зависимостях от длины волны. А именно, по
C9.23) и C9.18),
/ц пропорционально (--:= =1-^) у;
наоборот, согласно C9.23а) и C9.22),
/j. пропорционально (t^J'^^Ti 1пХ/а+¦¦¦ Г
В обоих случаях зависимость отлична от закона Релея
Х'^для голубого цвета неба, который предполагает
всестороннюю малость отверстия (или соответственно кружка).
Кроме того, наша толыхо односторонне узкая тцоль ]юдст

370 Гл. VI. Дополнения^ в частности к теории диффракции
себя совершенно по-разному при различной поляризации
падающего света.
Наши выражения C9.23) и C9.23а) для диффракцион-
ного поля полностью совпадают с соответствующими
уравнениями Релея [65.66]. Релей также заметил, что при
переходе от щели к дополнительному случаю
металлической полосы его уравнения E3) и D7) меняются ролями.
Мы знаем (см. § 38), что это есть точное выражение
принципа Бабине.
В пользу нашего изложения, несмотря на его
громоздкость, мы можем привести следующее:
1) оно не требует предварительных знаний по
гидродинамике или электростатике, как вывод Релея;
2) оно допускает обобщение.
Нам нужно только расширить наши одночленные
выражения C9.13) и C9.19) добавлением членов Cg, Сз,...
или Си Сг» ••• для того, чтобы шаг за шагом распространить
наше решение на более широкие щели. Это будет показано
в приложении .3.
ПРИЛОЖЕНИЕ 1
Для вычисления интеграла J^ в C9.146) рекомендуется
подстановка
C = asincp, f 1 jj =cos9, c?? = a coscp rfcp. C9.
25)
Если мы одновременно в нижнем пределе этого интеграла
произведем подстановку
a; = asin^, ф-~<1, C9.25а)
то дело сведется к определению следующей вспомогательной
величины:
^-=-Т^^ для п= 1,2.3.... C9.26)
Ф
Легко убедиться путем дифференцирования, что для соответствуй
юп^их неопределенных интегралов, которые мы обозначим через
/2п» будут иметь место равенства
- 1 - 1 1
/2--? + ctgcp, /4 = -3-ctg3cp, /6---5-ctg5cp+ yctg^?, ... C9.26a)

§ 39. Диффракция от очень узкой щели 371
Отсюда и из рекурентной формулы для /зп можно сделать
заключение, что все /2/1 на верхнем пределе интеграла C9.26)
обращаются в нуль, за исключением /г, которое при этом будет равно
Tzi2, и что на нижнем пределе они с точностью до более высоких
степеней величины ^у которую мы предполагаем сколь угодно
малой, дают
1 1
ctg--^^-^r-- = -2;^(|-y" '•
2л—1
Таким образом, имеем
. па. 1 / а \2n-l
^2"У~?' ^2^-"^=т1,Т; ' ''^^•
Если мы перепишем C9.146), вводя величины /гп, и
подставим их значения, то получится
со сх>
. «2 ^ 1 . а?^ _ TZ х^ ^ 1
«/2-/2-+ 2j и:/2n^2fPi—2-7""^ 2j n{2n^i) •
n:=2 n—1
Первый член совпадает с C9.15а), второй объединяется с C9.15)
и дает
n=l
Выражение в фигурных скобках может быть преобразовано
следующим образом:
п=1
C9.266)
(см., например, т. VI, указание к задаче 3 к гл. I). Этим
доказываются наши утверждения, относящиеся к выражению C9.15).
ПРИЛОЖЕНИЕ 2
Во втором (магнитном) случае выражения C9.14а) и C9.15)
для /] остаются без изменения, так как остается без изменения
ядро К J и так как для интервала О <^ < х разница между
выражениями для О) и W не имеет значения. Выражения для 7*2
упрощаются, так как при подстановках C9.25) и C9.25а) будем
иметь

372 Гл. Vt. Дополнения^ в частности к теории диффращии
Выражение C9.146), написанное через <р» теперь имеет вид
Т.12
J _ Г / 1 а;2 1 х^ 1 х^ \
^- J Vsin2cp а "^ 2sin4cp аз"^ Звш^ср а^'^ '" J '^'
Учитывая, что
J sin^cp ^^' jsin*<p 3 ^^vsin^cp^ y*
r rfcp _ 1 / 1 4 1 2 Л
i sinecp""' 5 ^^"^ Vsin^cp"^ 3 sin^cp"'" 3 J' '"'
заключаем, что J^ обращается в нуль на верхнем пределе
ср = 7г/2 во всех членах. Доля, вносимая нижней границей, в
приближении ^К1, а:<а, получается равной
/111 \
-Ч^^2:з+з:5+4:7+--->
что снова, будучи объединено с /i в C9.15), приводится к нулю,
[см. C9.266)].
Таким образом, здесь все сводится только к части
интегрального уравнения, образованной при помощи Zjj. Эта часть,
согласно C9.20), если мы применим для Н приближение C9.13е),
имеет вид
41/2 т.12
^Со I ^ In^t^cp-b \ ln(sin<p)rfcp 1=—71^'. C9.27)
О 6
Вычп1:ление второго из этих двух интегралов дает
-fin 2.
Объединяя это с первым интегралом, получаем, как и в C9.22),
Tzp _ ^ка
Поэтому по C9.27) имеем
2гСоР=-тсЛ'. C9.27а)
Численно получается
р-\п ка = 1п 1~ у-0,577-1,386 -^ |-- -0,81-i -|. C9.276)
Формулы C9.27а) и C9.276) подтверждают наш результат

§ 39. Диффракция от очень узкой щели 373
ПРИЛОЖЕНИЕ 3
Для того чтобы показать возможность обобщения нашего
метода, рассмотрим сначала простейший случай, приведенный
в приложении 2. Дополним выражение C9.12) следующим образом:
"<^L"('-&Г"+т('-&)"'- <--'
Тогда мы также должны более точно апроксимировать ядро
K=Kj + Kjj_ из C9.20а) и C9.206), сохраняя члены с кЧ^ и кЧ^.
Интегрирование может быть элементарно выполнено, так же как
и в приложении 2. Путем приравнивания коэффициентов при х^ и х^
в правой и в левой частях C9.20) получаются два условия:
-^.^¦[.4]+«.['-.^]=о.
Решая их [во второе условие можно для Cq подставить его
приближенное значение C9.27а)], получим
^ ^ ^ C9.29)
ЧТО при пренебрежении величиною к^а^ явно совпадает с
результатом из приложения 2.
В случае, приведенном в приложении 1, мы должны C9.13а)
расширить следующим образом:
В C9.136) мы должны теперь сохранить, кроме кЧ^^ также и
к^х^] то же необходимо при разложении ядра в C9.13в). Путем
приравнивая полученных такИхМ образом коэффициентов при х^ и
х^ в правой и в левой частях C9.136) получаются два условия:
Во втором из этих условий можно снова Ci заменить его первым
приближением C9.18), и тогда из первого условия вычислить

374 Гл. VI. Дополнения^ в частности к теории диффракции
второе приближение для С^. Таким путем получаем
С<,= -^^АкЧ\
С^^Ака |l+:^'C-2/>)},
C9.31)
что является уточнением нашего прежнего результата C9.18).
Фиг. 82 наглядно представляет так называемый фактор
пропускания Т в первом и во втором приближениях при состоянии
поляризации |Н| = Яу. Под фактором
пропускания понимается отношение
действительно пропущенной сквозь
щель энергии при конечной длине
волны к энергии, которая была бы
пропущена в граничном случае
геометрической оптики (к -». 0). В обоих
случаях Т измеряется на описанном
вокруг середины щели полуцилиндре с
бесконечно большим радиусом. В
первом приближении [в соответствии с
C9.22) для CqI и во втором
приближении [в соответствии с C9.29) для Ci
и Cq] получается
^-^Иа
Фиг. 82. Фактор
пропускания Т как функция
отношения ширины
щели к длине волны в
первом и втором
приближениях.
Т^ =
Ака I р
' Ака\р\^'
Кривая 1 на фиг. 82 справедлива
только в случае очень узких щелей {ка<}1^).
Кривая 2 отклоняется от первой при
больших ка и уже обнаруживает
тенденцию приближаться к соответствующей кривой в случае
геометрической оптики (Г -> 1). Кривая 2 может быть проверена
сравнением с работой Морза и Рубенгатейна [70]^), которые решали
задачу о щели, согласно теории функций Матье, численно и
графически при помощи таблиц этих функций. Наша кривая 2
достаточно точно совпадает с соответствующей кривой в их работе
для значений ка < 2. Примерно того же, что и они, достиг Майлс
[71] посредством вариационного метода. Приближенное решение,
путем подхода с противоположной стороны, а именно, исходя из
нашего решения для полуплоскости, получил Шварцшильд [72]
посредством метода чередования. Непосредственно перенести
метод § 38 на задачу о щелиавтору не удалось, несмотря на неодно-
^) См., в частности, верхнюю кривую с отметкой 90° на
фиг. 4 цитированной работы.—Прим. авт,

§ 40. Разрешающая способность оптических инструментов Ъ1Ъ
кратные попытки. Однако отметим еще раз, что выражение C9.13)
для краевых значений (перенятое также Левине и Швингером)
было получено указанным методом.
§ 40. РАЗРЕШАЮЩАЯ СПОСОБНОСТЬ ОПТИЧЕСКИХ
ИНСТРУМЕНТОВ
Целью всех спектроскопических приборов является
повышение разрешающей, способности. Как известно,
в спектроскопии под «разрешением» понимают разделение
двух близлежащих спектральных линий. Для этой же
цели предназначены микроскоп и телескоп, при помощи
которых различают тонкие структуры тканей или
разделяют двойные звезды, звездные скопления, открывают
новые спутники и т. д.
1. Разрешающая способность одномерной решетки.
По Релею две спектральные линии 1 и 2 могут считаться
разрешенными, если главный максимум диффракционной
картины от 2 (длина волны X + Ь\) попадает на место
первой нулевой точки диффракционной картины от 1 (длина
волны X). Почернение фотографической пластинки
соответствует наложению контуров интенсивности линий 1
и 2, На получающейся кривой между обоими главными
максимумами лежит небольшой провал, который при
чувствительности глаза к расположенным рядом разницам
в интенсивности достаточен для разделения линий 1 и 2
(фиг. 83, а). Мы покажем, что измеренное таким образом
отношение SX/X имеет значение, обусловливаемое
природой и способом применения решетки, и определим
обратную этому отношению величину, как разрешающую
способность. Таким образом, разрешимой будет такая
пара линий, для которой Х/оХ лежит ниже указанной
границы.
Обратимся к формуле C2.5). Числитель,
приравненный нулю, дает положения нулевых интенсивностей
диффракционной картины. Вследствие этого, для первой
нулевой точки величина iVA/2 на и больше,.чем для
главного максимума. Так как для последнего справедливо
соотношение Д=27:/г и, следовательно, NM2=N'Kh, где
под h понимается порядок спектра решетки, в котором
ведется наблюдение, то в качестве значения iVA^2 для

376 Гл. VI. Дополнения, в частности к теории диффракции
первого нулевого положения получается
Nr.h + 7г = iVTC ^ (а — ао).
D0.1)
Правая часть этого соотношения следует из C2.1) и
определяет угловое отклонение а—-ао расслштриваемого
участка спектра, а именно, первое нулевое положение диф-
фракционной картины линии 1. На этом же месте а —ао
Фиг. 83. а—критерий Редея для разрешения двух спектральных
линий; б—практически эквивалентный критерий.
должен лежать главный максимум линии 2. Для него
получается соответственно
7V«^ = 7Vz^(a-ao). D0.2)
Посредством деления левых и правых частей D0.1) и D0.2)
получаем
Nh ~" X ' ^'^ Nh " '^ К '
Таким образом,
-^ = Л7г.
D0.3)

§ 40. Разрешающая способность оптических инструментов ?>11
Разреша10ш;ая способность во втором порядке, А = 2,
в два раза больше, чем в первом порядке—результат, часто
используемый спектроскопистами. Она зависит только
от всей совокупности N штрихов решетки, а не от
расстояния d между ними. Тесное размещение штрихов в решетке
Роулэнда необходимо для того, чтобы удалось поместить
достаточное число N штрихов в падающем световом пучке
ограниченной ширины. Кроме того, это благоприятствует
дисперсии, т. е. большему разложению спектров решетки;
оно, однако, не имеет никакого отношения к резкости
линий, т. е. к разрешающей способности.
Это есть обычная формулировка теории разрешающей
способности решетки. Однако она справедлива только
в том случае, если мы имеем дело, как в решетке Роулэнда,
со спектрами низких порядков. Наивысшие разрешения
мы получим, если будем наблюдать в наивысшем
возможном порядке Атах» Т. е. будем использовать почти что
скользящие по поверхности решетки пучки. Этот порядок
обозначен на стр. 241 через Акр. В нем а ^ 1 и при
перпендикулярном падении по C2.2) Лтах'^^А- Тогда из
D0.3) следует
^ = AmaxiV^4^. D0.4)
Предельная разрешающая способность решетки зависит,
таким образом, от общей ширины решетки Ndy а не от
числа ее штрихов N или, говоря точнее, от разности хода
Nd/X между лучами от первого и последнего штрихов
решетки. Позже мы познакомимся с наиболее общей
формулировкой разрешающей способности, пригодной для всех
спектральных приборов.
Решетка с 10 штрихами на расстоянии 1 см друг от
друга разрешает при скользящем наблюдении точно так,
как решетка Роулэнда с 100 000 штрихов при расстояниях
между ними в 1 [X. Но если в последнем случае мы ведем
наблюдение, например во втором порядке, то в первом мы
должны были бы наблюдать в двацатитысячном порядке.
Однако наблюдение в высоких порядках имеет большой
недостаток, который заключается в том, что спектры
соседних порядков все более и более перекрываются. Для
того чтобы это показать, выразим наблюдаемую без пере-

378 Гл. VI, Дополнения^ в частности к теории диффракции
крытия область волн, скажем Z)X, через длину волны,
порядковое число h и угол отклонения или его косинус а:
(а-ао)й = ХА = (Х + т)(/г~1).
Отсюда следует
D\ _ 1 1
X ~ Д-! ^ h •
Это D\ одновременно является разностью длин волн 8Х
двух соседних линий, которая может быть измерена без
перекрытия. Следовательно, в двадцатитысячном
порядке мы можем наблюдать только структуру узкого мульти-
плета и должны устранить всякий другой свет посредством
предварительного разло:н€ения при помощи призменного
спектрального аппарата.
Однако решетка с малым числом штрихов имеет еще
один значительно больший недостаток; амплитуды света
для решеток с 10 штрихами и с 100 000 штрихов относятся
как 1 : 10^; следовательно, интенсивности в случае первой
решетки в 10^ раз меньше, чем в случае второй. Кроме
того, первая решетка должна была бы по точности
расположения штрихов не уступать второй, а потому ее
изготовление не было бы проще.
2, Ступенчатая решетка и интерференционная
спектроскопия. При нашем способе рассмотрения штрихи
решетки играют роль вторичных источников света, которые
возбуждаются падающей волной и, вследствие их
разного положения в пространстве, имеют постоянное
смещение фазы во времени относительно друг друга. Если
мы хотим обойтись небольшим числом источников света,
то нам необходимо позаботиться о том, чтобы они, излучая
направленно, отбрасывали энергию преимущественно в
наблюдаемый спектр высокого порядка. Выражаясь по
иному, функция /(а) изC2.3) должна иметь в этом
направлении резко выраженный максимум. Этого нельзя сделать
при помощи очень тонкой щели или тонко нарезанного
штриха, однако этого можно достичь при помощи ряда
узких параллельных зеркал или узких призм,
установленных так, что по законам геометрической оптики свет
отражается или преломляется в желательном направле-

§ 40. Разрешающая способность оптических инструментов 379
НИИ. Непреодолимые трудности, изготовления такой
решетки были изящно разрешены Майкельсоном. Он
расположил стеклянные пластинки ступенчатообразно друг над
другом. Эти пластинки были вырезаны из одного и
того же плоскопараллельного стеклянного листа,
который повсюду с точностью до долей длины волны имел
постоянную толщину. Ступеньки лестницы были около
2 мм ширины и, например, 1 см высоты; они представляют
собой элементы «фазовой решетки». Освещение
производится при помощи щели и коллиматорной линзы в
направлении, перпендикулярном к поверхности пластинок, т. е.
под очень острым углом к поверхности, касательной
к лестнице; наблюдение ведется при помощи зрительной
трубы в том же направлении. Если закрыть все элементы
решетки за исключением одного, то вследствие диффрак-
ции от этого элемента видно расширенное, очень яркое
изображение щели, аналогичное диффракционной фигуре
от щели 2 мм шириной. Однако, если открыть все
остальные элементы решетки, то изображение щели стягивается
в изображение спектральной линии в одном или двух
порядках. Разрешающая способность этой «ступенчатой
решетки», как и всякой другой решетки, определяется
разностью хода между первым и последним лучом; здесь она
составляет
(«-1L^, D0.5)
где п—показатель преломления стекла, N—число ступенек.
При ступенчатой решетке взаимодействуют полосы
волновой поверхности, лежащие рядом друг с другом.
Волновая поверхность на всем протяжении решетки
должна быть сделана когерентной посредством коллиматора.
Так же как и для решетки, состоящей из штрихов,
положение спектральных линий зависит от направления
падения. Если его менять, то будут меняться разности хода
наших вторичных источников света; вследствие этого
смещается положение резких интерференционных полос.
Следовательно, широкая щель коллиматора, которая
действует так же, как сумма многих расположенных рядом
узких щелей, размывает спектральную линию на ширину
изображения щели» Это является геометрически нагляд-

380 Гл. VI. Дополнения, в частности к теории диффракции
ным толкованием нерезкости интерференционных линий,
вызванной недостаточной когерентностью (см., например,
фиг. 2).
По иному обстоит дело в «интерференционной
спектроскопии»; под этим названием мы объединим эталон Перо
и Фабри и пластинку Люммера. Здесь положение
интерференционных полос зависит только от длины волны
и толщины пластинки. Разность хода интерферируюп];их
лучей (если и не их интенсивность) не зависит от положения
источника света; последний может быть широким, без
уш;ерба для интерференционной способности, если только
он обладает достаточной силой света.
Так же как и в решетке, в интерференционных
спектроскопах разность хода меняется при изменении угла
наблюдения. Определенному наклону волновой нормали
по отношению к пластинке соответствует определенная
разность хода и, следовательно, определенная длина
волны. Поэтому в интерферометре Перо и Фабри волновые
нормали для спектральной линии лежат на одном узком
конусе вокруг нормали к пластинке, который в фотокамере
или на сетчатке дает изображение в виде окружности.
Различные порядки дают концентрические окружности,
которые видны, однако, только на изображении плоского
источника света (ведь все остальные волновые нормали
не будут возбуждены). Для необходимого
предварительного разложения применяют призменный спектральный
прибор, и интерференционный спектроскоп ставится
между призмой и зрительной трубой. В поле зрения
появляется система колец, ограниченная изображением щели,
которую следует настолько увеличить, насколько это позволят
помехи от соседних спектральных линий (см. фиг. 84,
на которой схематически изображен снимок, полученный
при помощи эталона Перо и Фабри). В пластинке Люммера
волновые нормали для 'спектральных линий лежат на
семействе очень тупых конусов, расположенных вокруг
нормали к пластинке, и поэтому они изображаются в виде
коротких отрезков семейства гипербол с малой
кривизной, почти что прямых линий.
В противоположность решеткам, в интерференционных
спектроскопах амплитуда в последовательности
интерферирующих лучей экспоненциально уменьшается. Поэтому

§ do. Разрешающая способность оптических инструментов 381
для распределения интенсивности в интерференционных
полосах будет справедлива уже не формула C2.5), а
формула G.33). Короткий период, соответствующий iVA в
C2.5), исчезает и остается только длинный период,
определяемый А в C2.1), так как число iV интерферирующих
Фиг. 84. Участок поля зрения
воздушной пластинки Перо-Фабри.
лучей по существу бесконечно. Однако, вследствие
уменьшения амплитуды, «действенным» будет только конечное
число лучей, остальные так слабы, что разрешающая
способность остается конечной.
Так как теперь в системе полос отсутствуют нулевые
точки (см. фиг. 11), то мы определим разрешающую
способность через полуширину 2Ая как такой интервал длин
волн, внутри которого интенсивность составляет более
половины максимальной. Сравнение фиг. 83, а и 83, б
показывает, что это определение практически
равносильно определению, применяемому для решеток со времен
Релея.
Для пластинки Люммера мы вычислили полуширину
в G.28а). Для того чтобы примененную там шкалу ср
перевести в шкалу длин волн X, мы учтем, что ср, по
определению G.18а), пропорционально А: и, следовательно, обратно

382 Гл. VI. Дополнения^ в частности к теории Ьиффракции
пропорционально X. Поэтому будет справедливо
соотношение
¦^=-4. D0.6)
Если мы подставим сюда для ей разность длин волн обеих
спектральных линий 2 и 2, то мы должны будем, согласно
фиг. 83, б, для rfcp взять полуширину 2| Аср| = 2A — г) из
G.28а), а для ср подставить приведенное там же значение
фазы в максимуме интенсивности 2irz. В результате мы
получим из D0.6) (отрицательный знак здесь не имеет
физического смысла)
здесь Z означает очень высокий порядок
интерференционной полосы и соответствует порядковому числу /г = 1, 2, 3,...
для решеток. Сравнение D0.6а) с D0.3) показывает, что
число штрихов решетки N нужно сравнивать с выражением
тс/A—г). Таким образом, порядки величин обоих
множителей, из которых складывается разрешающая
способность, обратны:
для решетки N очень велико, h умеренно;
для пластинки тс / A — г) умеренно, z очень велико.
Для того чтобы произвести численное сравнение,
вспомним о значении z в G.28) и G.18а). Если мы там не будем
учитывать все несущественные множители, то z будет
равно удвоенной толщине пластинки, деленной на длину
волны, следовательно, при толщине 1 см получим 4 • 10*.
С другой стороны, при г j^ 0,9 будем иметь тс / A—г) ^^ 30.
TJ'aKHM образом, разрешающая способность пластинки
Люммера, согласно D0.6), равна 30 • 4 • 10* j=^ 10^. Согласно
D0.3), это было бы одновременно числом штрихов N
решетки, которая в первом порядке (/г = 1) обладала бы
равной разрешающей способностью. При числе штрихов
на 1 мм, равном 1000, она должна была бы иметь
ширину 1 м\
В эталоне Перо и Фабри совершенно так же из
полуширины G.34) получается разрешающая способность
i=i±l.; D0.7)

§ 41. Призма 38S
здесь Z —снова порядковое число интерференционной
полосы, следовательно, очень большое число, в то время
как первый множитель умеренной величины, так как
мы не можем серебрить слишком сильно, вследствие
требования светосилы. Если мы оценим значение g в 9, то
первый множитель будет равен 5. Напротив, z, как удвоенное
расстояние между пластинками, деленное на длину волны,
будет равно 2 • 10^, если принять, что расстояние между
пластинками равно 5 см. Произведение обоих множителей
дает 10^, как и перед этим для пластинки Люммера.
Разрешающая способность обоих интерференционных
спектроскопов превосходит разрешающую способность решетки
Роулэнда. Эталон Перо и Фабри следует еще предпочесть
пластинке Люммера, вследствие большой простоты обра-
ш;ения с ним.
§ 41. ПРИЗМА; ПРИНЦИПИАЛЬНЫЕ ВОПРОСЫ
ТЕОРИИ РАЗРЕШАЮЩЕЙ СПОСОБНОСТИ
Мы примем, что из коллиматорной линзы выходит
полностью параллельный и монохроматический свет. Размеры
линзы зрительной трубы и коллиматора должны быть
больше, чем проекции призмы в направлениях входящего
и выходящего лучей. Тогда грань призмы ограничивает
пучок лучей со стороны выхода (фиг. 85). Эта грань
представляет собой перпендикулярный к плоскости чертежа
прямоугольник, который под известным наклоном
просвечивается в направлении выходящего луча. Применяя
обозначения § 36, обозначим его высоту через 25, его ширину
через 2А. Последняя равна стороне нашего поперечного
сечения призмы 23 и поэтому также равна стороне 13.
Высота 2В на фигуре не представлена и для дальнейшего
не имеет значения. В фокальной плоскости зрительной
трубы наблюдается явление диффракции Фраунгофера
от указанного прямоугольника. При применении/
осветительной щели, параллельной преломляющему ребру,
интенсивности изображений ее элементов, расположенных
в направлении высоты прямоугольника 25,
складываются. Распределение интенсивности в направлении ширины
прямоугольника 2А мы заимствуем из § 36 [формулы
C6.1), C6.2), C6.3)] и устанавливаем, что оно почти

384 Гл. VI. ДополнениА, в частности к теории диффракции
совпадает с распределением интенсивности решетки с
шириной Nd = 2A, так как в формуле решетки C2.5) в
области главного максимума можно заменить sin А/2 на А/2.
Дальнейшее вычисление производится так же, как для
решетки в § 40. Положение первых нулевых точек справа
и слева от главного максимума определяется равенством
21гЛ(а1,2-ао)/Х=±7и; D1.1)
здесь а^ — направляющий косинус выходяш;его луча по
отношению к выходной грани призмы, ai^ 2 —соответству-
юш;ие косинусы первых нуле-
р=Я;Я вых направлений справа и
х^х слева от луча а^.
^^/'^^^xv^ г Рассмотрим теперь дру-
]*уу^^ ^^^^^^^^ г^^ •'^У^ ^ измененной на 8Х
^ /"^^Щ^^^к^ /^^ длиной волны, в силу ди-
^^ \^^^^^^^^^^^>/ "^^^ сперсии он будет иметь дру-
^^^^уУ^^^^^^^^^^^ д^ гой показатель преломления
^^ »*-----^-^-ч v^^ ^/ JJ другое направление вы-
^ хода а^. Мы хотим узнать,
Фиг. 85. Сечение равнобед- как велико должно быть из-
репной призмы, параллельное менение 8Х для того, чтобы
ее основанию, при симметрич- главный максимум этого лу-
ном ходе лучей. / '^ ,^ ?
^ ча (направление а^) совпал бы
с одной из двух нулевых
точек (направления ai, fx^. Направления а^ и а^ заданы
законом преломления в призме. Из задачи 2 к гл. III известно,
что при симметричном ходе лучей в призме с преломля-
юш;им углом 2ф имеет место ^)
ао=:7г81пф. (^1-2)
Это справедливо для обеих преломляющих граней 15 и 2-3.
Ход относящегося к X + 8Х луча при том же направлении
падения уже не будет вполне симметричным. Он
образует с линией симметрии малый угол е, так что при
^) Необходимо принять во внимание изменение обозначений:
преломляющий угол прежде обозначался через ср, теперь через 2Ф;
через а, Э, «', V прежде обозначались углы падения и
преломления, а теперь «о, ^о» ^—направляющие косинусы выходящего
и диффрагировапного луча.—/А/нм*. авт.

§ 41, Призма 38J
падении на грань 13
ао = п'8ш(ф + е) D1.2а)
и при выходе из грани 23
a; = Ai'sin(^-s). D1.26)
Из D1.2а) и D1.26) находим
ао + а^ = л'2 sin ф cos е;
если мы отсюда вычтем удвоенное выражение D1.2) для
а^ и одновременно учтем изменение показателя
преломления л'—/г = (dn/cu) 8Х вследствие дисперсии, то,
пренебрегая 8^, получим
aj —ао= 2(п' cose —л)sin ф ~ 2 -^SXsin^.
Эта разница должна совпадать, согласно определению
разрешающей способности по Релею, с даваемым по D1.1)
значением ai^2 —а^. Отсюда следует
^ = 2-g-8Xsin^,
или
л , J, dn . , /^ dn
Величина G = 4^sin^ (см. фиг. 85) является основанием
нашего поперечного сечения призмы. Только оно и
дисперсия стекла dnjdk имеют значение. Чем больше
преломляющий угол 2ф, тем меньше мы можем выбрать высоту
треугольника и диаметр линз без того, чтобы уменьшить
разрешающую способность. Если мы близко подойдем к
предельному углу полного внутреннего отражения
sin^==l//i, то разрешающая способность будет равна:
Ширина грани призмы 2А играет здесь роль, аналогичную
ширине решетки Nd, Длина ^ = у -^^ становится на место
длины волны X в формуле D0.4) для решетки. Для зеленого

386 Гл. VI. Дополнения^ в частности к теории диффракции
света (X = 0,5 |л) и тяжелого флинтгласа мы имеем: п,— 1,77,
rfAi/c?X=rO,23[x"^, / = 3,84|х. Таким образом, / примерно
в 8 раз больше, чем сравниваемая с ним длина
волны Х = 0,5|х. Поэтому при одинаковых поверхностях
выхода призма дает примерно ^/g разрешающей
способности сравниваемой с ней решетки; зато она свободна от
наложения спектров более высоких порядков. Эти
спектры, так же как и спектр нулевого порядка, обусловливают
значительную потерю света в решетке. Поэтому призмен-
ный спектрограф более светосилен, чем сравниваемая
с ним решетка. В принципе призма могла бы превзойти
решетку в разрешении, если бы можно было достаточно
близко подойти к собственному колебанию материала
призмы, где dnidk становится очень велико. К сожалению,
этому препятствует сильное поглощение вблизи
собственного колебания. Однако увеличение разрешающей
способности намечается уже в фиолетовой области (>ч = 0,41|х),
где'названное выше стекло обладает / = 1,8 р. ; таким
образом, разрешение здесь почти в 2 раза лучше, чем в зеленой
области. Если, помимо этого, перейти от стекла к кварцу
или каменной соли, то / еще больше уменьшится: призма
из каменной соли в далекой ультрафиолетовой области
уже равноценна решетке.
1. Общие соображения о разрешающей способности.
Сравним два внешних световых луча, которые идут от щели
осветителя к кресту нитей спектрометра с одной стороны
через вершину треугольника 3, с другой—вдоль основания
треугольника 12, Вместо этого также достаточно сосчитать
длины световых путей от волновой поверхности 1Г'у
которая проходит через переднее ребро призмы, до волновой
поверхности 22\ проходящей через заднее ребро,
обозначенные на фиг. 85 через F и G\ действительно, все лучи
от щели до волновой поверхности IV имеют равные между
собой длины путей, так же как и все лучи от 22' до креста
нитей, и поэтому выпадают из составляемой разности хода.
Обозначим эти оба световые пути, измеренные в длинах
волн, через Hi и Н^у их разность через Я. При указанном
на фиг. 85 ходе лучей, который относится к длине волны X,
величина Я, естественно, равна нулю, так как все лучи
между двумя волновыми поверхностями всегда имеют

§ 41. Приама 387
ту же оптическую длину пути:
^ = "Т-Т = 0. D1.4)
Это же будет справедливо и при не указанном на фиг. 85
ходе лучей, который относится к длине волны Х + 8Х и к
волновой поверхности, наюлоненной в плоскости чертежа
по отношению к 22\ Однако если мы будем рассматривать
разность хода Н при измененной длине волны не вдоль
измененного, а вдоль первоначального хода лучей
(геометрические пути F и G остаются без изменений), то
посредством варьирования по X из D1.4) получим
Таким образом, наше приведенное выше значение D1.3)
разрешаюш;ей способности Х/8Х равносильно
утверждению
5// = 1. D1.5)
Это рассуждение делает понятным на первый взгляд
неожиданное появление множителя G в D1.3). Чем больше
G, тем легче будет дисперсионной способности стекла
создать требуемую для разрешения разность хода между
соседними длинами волн. Однако тогда наше рассуждение,
приводящее к критерию D1.5), сразу становится
наглядным и мо:тет быть обобщено: Ш=1 означает, что оба
внешних луча F ж G, которые при длине волны X
приходят в 2 и 2' с одинаковыми фазами, при длине волны Х + 8Х
имеют разность хода точно в одну длину волны, причем
разность хода в параллельном пучке линейно нарастает
вдоль первоначальной волновой плоскости 22\
Собранный зрительной трубой пучок лучей с длиной волны
X-j-SX гасится в том направлении, в котором излучение X,
имеющее одинаковые с ним фазы вдоль той же самой
волновой плоскости, образует диффракционный максимум,
и наоборот. Другими словами, критерий D1.5)
эквивалентен критерию Релея.
2. Применение приведенного рассуждения к решетке
и интерференционным спектроскопа]»!^ Проверим на фиг. 86

388 Гл. VI. Дополнения, в частности к теории диффракции
применимость нашего критерия для решетки из штрихов.
Линия 12 представляет собой проекцию решетки; точка 1—
это крайний левый (для падающей слева плоской волны)
штрих решетки, точка 2—крайний правый штрих. Линия
ii'*—снова плоскость постоянной фазы для падающей
волны, линия 22' —такая же плоскость
рассматриваемой дцффрагированной
волны, [ао] и [а] —их наклоны
по отношению к плоскости
решетки. Зная эти наклоны
и ширину Nd решетки, можно
вычислить разности хода Kpaii-
него левого и крайнего
правого световых путей между
обеими плоскостями фаз:
F = 12' = a/Vrf, G = 1'2 = аоЛ^.
Фиг. 86. К обсуждению
решетки и интерференционного
спектроскопа.
Отсюда следует
= /2 2 —^1 — —5;—
-а)
5. гт dH 5.Л Nd .
и (направления а, а^ остаются без изменений!)
Согласно основной формуле решетки C2.2), имеем
а — ао = /гХ/а (А — порядковый номер спектра);
следовательно,
8Я = 7У/гу .
Отсюда по нашему критерию D1.5), действительно, как
в D0.3), следует для разрешающей способности решетки
соотношение
^=^л-
D1.6)
В отношении интерференционных спектроскопов
достаточно сказать несколько слов об эталоне Перо и Фабри.
В качестве «первого луча» мы будем рассматривать луч,
который только один раз проходит через воздушную

S 42. Телескоп и елаш 389
шластинку» и затем выходит. Это наш ход лучей F, Как
«последний луч», мы обозначим луч, который пересекает
эту «пластинку» 2р раз, а именно, р раз в прямом
направлении и столько же раз в обратном, причем число р,
которое еще необходимо выбрать, зависит от плотности по-
серебрения и от обусловленного этим ослабления света.
Этим определяется наш световой путь G. Мы получаем,
применяя наше прежнее обозначение zk для длины пути
однократного прямого или обратного прохождения:
F^^zk, G==pzK H-^-^(^p^j^z.
При фиксированных F и G находим
1=--.18Я|-(,-1)|5.1=(,-1L.
bz
Отсюда, согласно D1.5), получаем для разрешающей
способности
Этот результат следует сравнить с D0.7), в котором
g + 1 стоит на месте нашего теперешнего 2/? —1. Тогда,
согласно объяснению, приведенному в связи с формулой
G.29), g было мерой проводимости и толщины слоя
серебра, а следовательно, одновременно и мерой его
отражательной способности. С другой стороны, 2р обозначает
число отражений еще наблюдаемых без слишком большого
ослабления [обозначение то же, что и в G.20) и G.21)].
Таким образом, g и 2р имеют то же самое значение,
установленное только качественно. Поэтому наше
теперешнее выражение D1.7) качественно совпадает с
выражением D0.7).
§ 42. ТЕЛЕСКОП И ГЛАЗ. ИЗМЕРЕНИЕ МАЙКЕЛЬСОНОМ
ВЕЛИЧИН НЕПОДВИЖНЫХ ЗВЕЗД
Пусть телескоп будет направлен на тесную пару звезд
i, 2, причем так, что ось телескопа указывает на звезду 1,
Звезда 1 создает в фокальной плоскости
интерференционную картину, похожую на картину, представленную на

390 Гл. VI. Дополнения, в частности к теории диффракции
фиг. 68. Согласно C6.11), положение первого диффрак-
ционного минимума определяется равенством
^i-0,6ll; D2.1)
здесь а—радиус объектива, X —средняя длина волны света
звезды; s, как и в C6.7), определяется как угловое
расстояние рассматриваемого луча по отношению к
направлению на главный максимум. Численное значение
0,61 соответствует первому корню функции Бесселя /i
и приблизительно равно % [ср. C6.11а)].
Если мы согласны с тем, что звезду 2 только тогда можно
ясно отличить визуально или на фотографической
пластинке от звезды 1у когда на диффракционной картине ее
главный максимум отстоит от главного максимума звезды 1
на большее расстояние, чем первый минимум звезды i, то,
как мы видим, формула D2.1) одновременно дает меру
разрешающей способности телескопа: эта способность
тем больше, чем меньше s^^ Поэтому мы определим как
разрешаюш;ую способность величину, обратную
найденной посредством D2.1) нижней границе ]^азрешимого
углового расстояния, т. е. безразмерную величину
На основании D2.2) заключаем: разрешающая способность
пропорциональна величине объектива. Отсюда гигантский
телескоп обсерватории Маунт-Вильсон и зеркало паломар-
ской обсерваторий; в последнем 2а = 200 дюймов ;^5метров1
Заметим также, что разрешение на коротковолновом
конце спектра несколько лучше, чем на длинноволновом.
В глазу зрачок играет роль оправы объектива; его
диаметр, в зависимости от яркости, меняется от 1 до 8 мм.
Отсюда следует для среднего X в 5 • 10~* мм
10-3 > 1 > 1,2 . 10-*,
следовательно,
6 . 10-* > ^1 > 0,7 . 10-*
или, переходя от радианных мер к градусным,
2' > ^1 > 15^

§ 42. Телескоп и 9лаш
3fl-
Таким образом, диффракция, совершенно независимо
от клеточной структуры сетчатки, ограничивает
разрешающую способность глаза; при сильном освещении
(маленький зрачок) мы можем воспринимать разницы в
направлениях только когда они составляют несколько минут.
Фиг. 87. Диффракция света от двойной
звезды 12 при выполнении критерия Релея.
Построение для вычисления разности F—G
краевых лучей.
Формула D2.2) понятна также с общей точки зрения
оптической разности хода, которую мы сформулировали
в D1.5). Рассмотрим, чтобы снова вернуться к телескопу,
оба «граничных луча», которые проходят через
диаметрально противоположные точки края объектива (на фиг. 87
они показаны сплошными линиями для звезды 1 и
пунктирными—для звезды 2; Р — изображение звезды 1 в
фокальной плоскости, Р'—изображение звезды 2). Для света

392 Гл. VI. Дополнения, в частности л теории диффракции
звезды 1 должны быть приняты во внимание граничные
лучи
причем, конечно, F^G, потому что Р, как изображение
звезды J, является такой точкой, в которую весь свет
от этой звезды приходит с одинаковой фазой.
Следовательно, будет справедливо
YX + XP-'WP^O. D2.3)
Нас интересуют, однако, световые пути от звезды 2
к точке Р, Для них имеем
G^WP, F=^ZX + XP
и, следовательно, принимая во внимание D2.3),
==ZX^YX + (УХ + ХР^ WP) = ZX - УХ. D2.3а)
Теперь из прямоугольных треугольников WZX и WYX
видно, что
ZX =г- 2а sin а, УХ = 2а sin uq.
Поэтому, согласно D2.3а), имеем
F - G = 2а (sin а - sin ао), D2.36)
ff = —Z— = -- (sin а — sin ао). D2.Зв)
Однако это значение Н необходимо варьировать не по X,
как в спектральных приборах, а по положению объекта,
т. е. по ttQ. Вследствие этого получается
|8^| = y8sinao. D2.3г)
Поэтому, согласно нашему условию [8/Г| = 1, два объекта
могут быть разрешены или не могут быть разрешены в
зависимости от того, будет ли
5sinao$~.

§ 42. Темскоп и глаз 393
Таким образом, как границу разрешающей способности
необходимо рассматривать
,-4- = ^. D2.4)
Отличие от нашего определения D2.2) разрешающей
способности несущественно, так как оно заключается
только в числовом множителе 2-0,61 = 1,22. (Также и при
рассмотрении разрешающей способности спектральных
приборов: решетки, призмы и т. п., мы должны были бы при
круглом, а не четырехугольном ограничении диффракцион-
ного отверстия ввести тот же несущественный множитель,
или должны были бы, что тоже было бы допустимо,
заменить условие 8Я = 1 условием 8Я = 1,22.) Начерченная
в нижней части фиг. 87 кривая интенсивности света звезды
1 говорит о том, что наше построение граничных лучей
равносильно условию Релея: изображение звезды 2
совпадает с первым минимумом диффракционнои картины от
звезды 1,
По другому обстоит дело, если под «разрешением»
понимать не получение (почти) раздельного изображения
обеих звезд, а только установление того факта, что мы
вообще имеем дело с двойной звездой. В этом случае
становится возможным достичь значительно большей
разности хода граничных лучей, без того, чтобы, как при
объективе, необходимо было бы требовать изготовления
всей поверхности с точностью до длин волн. Это приводит
к зеркальному устройству (фиг. 88), предложенному уже
Физо, но с успехом осуществленному лишь Майкельсоном.
Расстояние между двумя внешними зеркалами SS',
равное Ь-\- Ь\ составляет много метров; расстояние между
обоими внутренними зеркалами ss' равно только диаметру
объектива обычного телескопа 2а в несколько дюймов.
Рассмотрим сначала компоненту 1 двойной звезды и
попадающий от нее в телескоп свет, проходящий по пути
через iS, S. Возникающая при этом диффракционная
картина определяется поперечным сечением светового
пучка (обусловленным величиной зеркал 6*, s и диаметром
объектива 2а). Диффракционная картина состоит из
системы колец, описанной в § 36, п. 3. То же будет
справедливо для света компоненты 1, падающего в телескоп цо

394 Гл. yi. Дополнения, в частности к теории диффракции
пути S\ s\ Так как он исходит из того же источника i,
что и ранее рассмотренный свет, то при условии полной
симметрии зеркального устройства амплитуды как
центрального пятна, так и системы колец, удваиваются.
Однако сюда добавляется еще система прямолинейных
равноотстоящих интерференционных полос того же рода, что
и система, известная нам из опыта Майкельсона (§ 14;
Ф и г. 88. Опыт Майкельсона с зеркалами.
полосы равной разности хода). Она возникает вследствие
того, что оба зеркала S, S' никогда не будут расположены
строго симметрично по отношению к оси телескопа и их
наклоны по отношению к этой оси никогда не будут точно
равны 45°. Поэтому мы на фигуре обозначили расстояние
S's через 6' в отличие от Ss=^ Ь, Тогда, коротко говоря,
положение системы полос зависит от величины
В зависимости от того, будет ли это отношение (для
заданного X и для определенного положения параллельного пуч-

§ 42. Телескоп и елав 395
ка лучей между S, s и S' s') целым или полуцелым, мы
получим светлую или темную полосу.
Рассмотрим теперь компоненту 2 двойной звезды.
Также и она вызывает на обоих путях света диффракционные
картины того же рода, что и компонента i, состоящие из
центрального пятна, диффракционных колец и
интерференционных полос. Первые имеют то же положение, что и при
компоненте i, так как поперечное сечение пучка лучей
или диаметр 2а объектива не должны быть достаточны
для разрешения двойной звезды. Центральные пятна
и диффракционные кольца от обеих звезд накладываются
друг на друга (естественно, что при этом складываются
интенсивности, вследствие различия источников света).
Но положение системы полос от компоненты 2 другое, чем
от компоненты 7. Разность хода зависит теперь не только
от положения зеркал, но и от другого направления
падения света звезды 2. Благодаря этому возникает разность
хода, имеющая величину
^Ssinao. D2.5)
Таким образом, обе системы полос в общем случае не
совпадают. Они смещены друг относительно друга на величину,
заданную посредством D2.5).
Зеркала <У, S' смонтированы на жестком штативе и
могут на нем смещаться относительно друг друга,
параллельно самим себе, причем сумма расстояний В = 6-f й',
а поэтому и расстояние между полосами будет изменяться.
Пусть при определенном значении В = Вп обе системы
полос перекрываются, и это будет соответствовать
разности хода в п длин волн. Тогда получим
^8sinao = w. D2.5а)
Если дальше смещать зеркала, топриБ = Бп+1 наступит
следующее совпадение полос; тогда будет
-p8sinao = n-bl. D2.56)
Составив разность обоих соотношений и введя ^B =
==i5„+i —^„, получим

396 Гл. VI. Дополненил, в частности к теории диффракции
откуда
^ 01Гк п —
^81П0Го=др. D2.6)
Величина AJ5 может быть точно измерена; для л
необходимо, конечно, подставить среднюю длину волны.
Благодаря увеличенному масштабу В интерференционного
явления существование двойной звезды мо:нсет быть
установлено таксисе при недостаточной разрешающей способности
телескопа у при помощи которого ведется наблюдение, и
MOiHcem быть измерено угловое расстояние ее обеих
компонент друг от друга.
Этот же способ может быть перенесен также и на одну
единственную неподвион^ную звезду необыкновенно большой
величины, которая в зеркальном приборе уже ведет себя
не как точка, а как маленький кружочек. Такими звездами
являются так называемые красные гиганты (низкая
температура, поэтому красный цвет, и, несмотря на это,
большая яркость, вследствие неимоверно большой светящейся
поверхности). Ведь мы можем себе представить такой
кружочек разделенным на трети: правую, левую и средшою,
и можем обе внешние трети сравнить с нашей двойной
звездой; свет средней трети хотя и будет ослаблять
контрасты принадлежащих к правой и левой третям
интерференционных полос, но не будет их гасить.
Изучение совпадения полос в соответствии с D2.6) приводит к
оценке углового расстояния обеих внешнех частей.
Майкельсон нашел для него в градусной мере для
ряда звезд:
Бетельгейзе 0,047"
Антарес 0,040"
Лрктур 0,022,
Так как расстояние этих звезд от солнечной системы (их
параллакс) известно, то отсюда можно вычислить их
диаметр в единицах длины. Он получается порядка 10® км,
т. е. примерно в 100 раз больше, чем диаметр нашего
Солнца, и приблизительно равен диаметру земной
орбиты!

§ 43. Микроскоп
397
¦ М| ¦ С-^-^
§ 43. МИКРОСКОП
Таким же способом, как и в случае телескопа, Гельм-
гольц [73] ^) рассмотрел разрешение микроскопа. В
качестве объекта мы возьмем две светящиеся точки на нижней
фокальной плоскости Fi объектива (фиг. 89), расположен-
ные на расстоянии d друг от друга. Объектив создает
их изображение на бесконечности, причем сферические
волны, исходящие из обеих точек,
покидают объектив в виде плоских
волн и образуют два «пучка
параллельных лучей», которые друг с
другом образуют угол а. Если с
обеих сторон объектива находится
воздух, то этот угол совпадает с
углом, образованным
центральными лучами, направленными от
объектов к оптической средней
точке объектива; тогда он равен
ri//, где /—нижнее фокусное
расстояние объектива. Если между
объектом и объективом находится
сильнее преломляющая среда п> i
(масляная иммерсия), то вследствие закона преломления
для малых углов падения будет справедливо соотношение
f '
Фиг. 89. Ход лучей в
микроскопе.
hi и Р2~верхняя н
нижняя фоиальные плоскости.
а =
D3.1)
Предположим, что объектив представляет собой
полностью отрегулированную с точки зреьшя геометрической
оптики систему линз. При помощи последующих линз
получается геометрическое (действительное или мнимое)
изображение оправы объектива и всех прочих диафрагм.
Наименьшее из этих изобра^кений называется «выходным
зрачком» системы линз. Оно ограничивает наш пучок
лучей; пусть его радиус будет а. В общем случае выходной
зрачок представлят собой мнимое изображение края
1) Фраунгофер [74] уже значительно раньше высказал мысль,
что предел видимости посредством микроскопа обусловлен диффрак-
цией.—Прим. аит.

398 Гл. VI. Дополнения^ в частности к теории диффракции
передней линзы Амичи. Величина
Л = -у^ D3.2)
называется «числовой апертурой»; из элементарной
геометрической оптики системы линз (закон синусов, см. § 48)
следует, что a = /sinM, где 2м— угол при вершине конуса
лучей, исходящего из объекта. Поэтому определение D3.2)
для А принимает вид
A = ns\iiu. D3.2а)
Каждый из двух наших пучков лучей создает на
бесконечности картину диффракции Фраунгофера от
выходного зрачка, согласно формуле C6.9). Таким образом,
каждая из двух наших светящихся точек будет
микроскопически воспроизведена посредством такой диффракцион-
ной картины (центральное поле + диффракционные
кольца). Для того чтобы сделать возможным ее наблюдение
на конечном расстоянии, в систему окуляра введена
«собирающая линза», в фокальной плоскости которой
воспроизводится диффракционная картина. Последняя
рассматривается через окуляр как через лупу.
Однако для теоретического исследования нет
необходимости прибегать к этой проекции на конечном
расстоянии, а можно непосредственно исходить из
первоначальной диффракционной картины на бесконечности.
Она приводит тогда, как и в случае телескопа [формула
D2,1I, к результату: wrf//=0,61 Х/а, который, согласно
определению D3.2) для Л, может быть также записан в виде
d = 0,61 А. D3.3)
Разрешение возможно^ если расстояние ме^нсду обеими
светящимися точками больше, чем длина, определяемая
формулой D3.3).
Принимая во внимание значение А D2.2а), видно, что
разрешающая способность микроскопа зависит не от
величины объектива у как в случае телескопа, а от угла
раствора и светового конуса, улавливаемого объективом.

§ 43. Микроскоп 399
1. Теория микроскопа Аббе^). Теория Гельмгольца
в основном решила вопрос о разрешающей способности
микроскопа. Осталось, однако, необъясненным резкое
влияние, которое оказывает на опыте способ освещения
(светлое поле, темное поле), если не на разделение двух
точечных объектов, то на разрешение различных структур
тканей. Здесь помогает теория Аббе. Аббе рассматривает
объект как диффракционную решетку (амплитудную или
фазовую). Ввиду тонкости препаратов и очень малой
глубине резкости сильных объективов, мы можем
рассматривать эту решетку как плоскую и не принимать во
внимание ее протяженности в глубину. Если производить
освещение когерентным светом в направлении,
параллельном оси микроскопа, то из объекта в направлении
спектров решетки различных порядков будут исходить плоские
волны. Поскольку они остаются внутри угла раствора гг,
они будут собраны в верхней фокальной плоскости
объектива р2, причем совсем близко от него, и создадут картину
диффракции Фраунгофера, которую можно легко видеть
при вынутом окуляре. Лучи идут, однако, далее и на
бесконечности или в фокальной плоскости собирающей
линзы соберутся в более или менее верное изображение
объектной решетки.
Если теперь при помощи диафрагмы ограничивать
спектры в верхней фокальной плоскости объектива еще
сильнее, чем их ограничивает выходной зрачок, или если
применить объектив с меньшей апертурой, то
изображение становится все более и более нечетким. Если,
например, при косом падении имеются по крайней мере два
спектра, то еще видна синусоидальная структура без каких-
либо других деталей. Если пропускать только один спектр,
то изображение исчезает, расплываясь в равномерно
освещенной поверхности. Однако можно также увидеть
ложные структуры. Если, например, заслонить спектры
первого порядка, но оставить спектры второго порядка,
то решетка будет представляться с двойным числом
штрихов. Для того чтобы еще можно было узнать правильный
период решетки, по крайней мере оба спектра первого
^) Автор рассматривает здесь лишь один частный случай
освещения объекта. Полная теория развита в классических работах
акад. Д. С. Рождественского [см. ЖЭТФ, 10, 305 A940)).—Я/)ил«. ред.

400 Гл. VI. Дополнения, в частности к теории диффракции
порядка должны появиться на краю выходного зрачка;
следовательно, они должны выходить из объекта не больше
чем под углом ±«. С учетом формулы для спектра решетки
C2.2) мы имеем в воздухе при перпендикулярном
падении ^)
sintt>a = A.. D3.4)
Если с другой стороны объект и фронтальная линза
объектива помещены в среду с показателем преломления п
(иммерсия), то вместо X входит меньшая длина волны
У = Х/дг; спектры решетки сдвигаются ближе друг к другу,
что делает ясным значение иммерсии также и для теории
Аббе. Условие D3.4) преобразуется тогда к виду
sintt>a = —= —. D3.4а)
Это означает, согласно D3.2а),
A — nsmu^-j, D3.5)
Мы подходим теперь к преимуществу, которое можно
извлечь из косого оEвещения. Примем, например, что
спектр нулевого порядка падает на один край, а спектр
первого порядка—на другой край выходного зрачка;
этого все еще достаточно для того, чтобы показать наличие
структуры и установить для нее правильную
постоянную решетку, конечно, без всяких других деталей. Тогда
угол между обоими спектрами может быть в 2 раза больше,
или расстояние между штрихами в 2 раза меньше. Вместо
формул D3.4а) и D3.5) получим
2sina=:a-ao = -^ = -^, D3.6)
Л = nsinM = y-j , d = 0,5-j-, D3.6а)
что по сравнению с D3.3) означает только небольшое
улучшение в отношении 0,5 : 0,61. Если вместо спектров
нулевого и первого порядков использовать спектры
первого и второго порядков или двух еще более высоких
^) а и oq обозначают в дальнейшем направляющие косинусы;
см. цримечание 1 на стр. 384.—Прим, авт.

§ 43. Микроскоп 401
порядков, то мы придем к раооте с «темнопольным
освещением». Прямое освещение (спектр нулевого порядка)
не поступает в объектив, поле зрения без объекта остается
темным. Численная оценка, согласно D3.6а), при п ^ 1,6,
sinw^l, Af^ljG дает
, л X
2-1,6 3 •
Еще меньшие расстояния могут быть разрешены
посредством применения более коротких волн:
ультрафиолетового микроскопа с оптикой из кварца и плавикового
Н1пата до X —0,2|i, или электронного микроскопа. В
последнем случае при применении жестких катодных луче!!
разрешающая способность была бы теоретически почти
неограниченно велика.
Сказанное выше справедливо, однако, не только для
одномерной решетки, о которой здесь шла речь, но также
для любых плоских структур, которые, согласно теоремы
Фурье для двух измерений, всегда можно рассматривать
как наложение двухмерных решеток. Структура объекта
и структура диффракциопной картины в фокальной
плоскости объекта «обратны» по отношению друг к другу;
одна получается из другой «преобразованием Фурье»
j(cp. т. VI). «Обратность» говорит о том, что диффракцион-
ная картина второй структуры вновь воспрорхзведет
структуру первоначального объекта. Также и при двухмерных
структурах каждая вызванная введением диафрагм потеря
в диффракционных спектрах уменьшает подобие со
структурой объекта.
2. Значение фазовой решетки для микроскопии.
Рассмотрим в качестве примера «извилистый профиль»
на фиг. 70. Он, как и всякая чисто фазовая решетка, при
совершенном изображении полностью невидим, так как
ни сетчатка, ни фотографическая пластинка не
воспринимают разностей фаз. Мы желали бы его видеть в виде
белых и черных полос, т. е. как амплитудную решетку.
Для этого достаточно, согласно заключительному
замечанию в § 36, п. 4, сдвинуть фазу спектра нулевого порядка
по отношению к спектрам более высоких порядков на
7г/2. Цернике [75] достиг этого, поместив в фокальную

402 Гл. VI. Дополнения, в частности к теории диффракции
ПЛОСКОСТЬ объектива стеклянную пластинку, на которую
в середине, где при параллельном оси направлении
освещения возникает спектр нулевого порядка, он нанес
тонкий слой прозрачного материала. В то время, как этот
слой оставляет без изменения спектры более высоких
порядков, он изменяет фазу спектра нулевого порядка на
величину, которая соответствует его толщине и разнице
между его показателем преломления и показателем
преломления окружающей среды. Для того чтобы изменение
фазы было точно равно ir/2 и, следовательно, разность
хода была равна Х/4, толщина должна быть равной
л—1
Мы имеем здесь дело с настоящей «пластинкой в четверть
волны», т. е. со слоем с толщиной меньшей чем 1 |х, в
противоположность «пластинке в четверть волны» в
кристаллооптике (см. § 30, п. 2, где толщина определяется малой
разницей в преломлении щ — Пх обоих направлений
главных колебаний, а не значительно большей разностью
л—1 между показателями преломления пластинки и
окружения).
Этот метод фазовых контрастов Цернике является,
пожалуй, наиболее чувствительным методом для того,
чтобы делать видимыми совсем слабые фазовые структуры.
Прежде микроскописты были вынуждены использовать
более или менее косое освещение, при котором всегда
некоторые спектры попадали за край объектива и объект
искажался. Напротив, метод Цернике полностью
использует структуру тканей и делает ее видимой глазу.
3. Светящиеся и освещенные объекты. Вследствие
большого успеха теории Аббе долгое время думали, что
теория Гельмгольца применима только к самосветящимся
объектам, для несамосветящихся же объектов справедлива
только теория Аббе ^). В противоположность этому Лауэ
[77] при помощи простого мысленного эксперимента
доказал, что изображения одного и того те малого тела,
например раскаленной волластоновой проволоки, как
^) Так в обзоре Люммера и Рейхе [76].—Яриле. авт.

§ 44. К объяснению явлений диффракции Юнеом 403
самосветящегося объекта и в постороннем свете должны
быть полностью дoпoлнитew^ьными. Если проволока
находится в полости с постоянной температурой, то она по
законам излучения полностью невидима. Ее собственное
излучение и отбрасываемое ею излучение, исходящее от
стенок полости, дополняют друг друга и создают
плотность свечения, равную фону. Это же будет справедливо
для наблюдений при помощи микроскопа: изображения,
которые возникают от самосветящихся объектов, и
изображения, которые получаются при всестороннем
освещении той же яркости, должны полностью совпадать в
отношении структуры. В обоих случаях возможность
разрешения соседних объектов должна быть одна и та же.
Конечно, освещение в микроскопе не всестороннее,
а, в соответствии с обычным устройством нижнего зеркала
осветителя, по возможности равномерное только внутри
апертуры. Отсутствует освещение сверху. Однако при
не отражающем (или незначительно отражающем) объекте
это ничего не может изменить. Мы можем его мысленно
прибавить или отвлечься от него. Также малую роль
играют лучи, не попадающие в апертуру. Поэтому Лауэ
имел право применить закон излучения в полости также
и к микроскопу.
Только при односторонне направленном освещении,
которое используется при темнопольном освещении,
скажется преимущество теории Аббе, так как теория Гельмго-
льца принимает, что точки объекта излучают равномерно во
все стороны, что в общем случае не соответствует
излучению элементов структуры ткани.
§ 44. К ОБЪЯСНЕНИЮ ЯВЛЕНИЙ ДИФФРАКЦИИ ЮН1Ч)М
Уже до Френеля Юнг [78] попробовал объяснить с
точки зрения волновой теории явления диффракции,
впервые обнаруженные Гримальди. Он представлял себе,
что падающий свет испытывает на краях диффракционного
отверстия «своего рода отражение» и объяснил диффрак-
ционные полосы, в соответствии с открытым им принципом
интерференции, посредством взаимодействия этих краевых
лучей друг с другом и падающими световыми лучами.
Этим он достртг, в частности для щели, качественного

404 Гл. VL Дополнения, в частности к теории диффракции
понимания диффракционной картины. Но Френель в его
премированной в 1818 г. конкурсной работе показал,
что представления Юнга недостаточны для
количественного объяснения явления. Поэтому они в течение долгого
времени пребывали в забвении.
Вспомним, однако, в этой связи наше рассмотрение
полуплоскости в § 38. Попадающий в область
геометрической тени свет представлял собой цилиндрическую волну,
которая казалась исходящей из края экрана;
возникающие в освещенной области диффракционные полосы мы
рассчитывали, исходя из интерференции этой
цилиндрической волны с падающим светом. Правда,
цилиндрическая волна не излучалась равномерно во все стороны,
а ее интенсивность определенным образом зависела от угла
диффракции. Также и край экрана собственно не являлся
источником света с бесконечной амплитудой, а казался
таким только достаточно удаленному наблюдателю в силу
представления о световом поле, справедливого
исключительно в асимптотическом случае. Мы видим отсюда, что
если мы здесь, следуя Юнгу, желаем говорить об
отражении падающего света от края экрана, то «род отражения»
является очень специальным и должен быть точно
определен.
Возникает вопрос, могут ли (и каким образом)
представления Юнга быть распространены на произвольные
диффракционные экраны. На этот вопрос Рубинович [79]
дал полный ответ,
1. Преобразование решения диффракционной задачи,
данного Кирхгофом. Сперва отметим следующее.
1. Экран произвольно ограничен. Мы применяем к
нему формулу Кирхгофа C4.4); мы не можем здесь
применить упрощенное представление C4.6), содержащее
функцию Грина, так как мы (также и при плоском экране)
в дальнейшем должны будем интегрировать не только
по диффракционному отверстию, но и по поверхности
конуса.
2. Пусть источником света будет светящаяся точка,
находящаяся на конечном расстоянии, как в C4.4в),
причем мы заменим на р введенное там обозначение г'
(для расстояния точки интегрирования от источника света).

§ 44. К объяснению явлений диффракции Юнгом 405
Мы не будем здесь преобразовывать это равенство для
частного случая падаюп^ей плоской волны (р—>оо), так-
как это скорее усложнило бы, чем облегчило изложение.
3. Будем рассматривать световое поле как скаляр, как
это делал и Кирхгоф, т. е., собственно говоря, будем
обсуждать только акустическую диффракционную задачу, а не
векторную оптическую задачу. Однако этого достаточно
для того, чтобы выявить существенное в представлении
Юнга.
4. Подинтегральное выражение в формуле Кирхгофа
C4.4) после подстановки выражений C4.46), в которых
мы можем положить Л = 1, напишется в виде
/ = ^ -^ ; D4.1)
г дп ^ ^ дп г ^ '
здесь г обозначает расстояние точки интегрирования от
рассматриваемой точки Р, Мы проведем сначала, как
Кирхгоф, интегрирование по поверхности а, каким-либо
образом обтягивающей диффракционное отверстие,
которая вместе с диффракционным экраном 6" отделяет ту часть
пространства, где лежит источник света Р\ от той, где
должна лежать точка Р, Тогда формула C4,4) имеет вид
47ггр=^/^а. D4.2)
В последующем мы не будем уточнять или изменять эту
формулу Кирхгофа; нашей целью будет только ее
преобразование.
При этом мы исходим из следующей точки зрения.
Поверхность а, по которой в D4.2) производится
интегрирование, совершенно произвольна; ее выбор
ограничивается только тем, что она должна проходить через кривую 5",
образованную краем диффракционного отверстия.
Поэтому выражение D4.2) зависит не от а, а только от S.
Таким образом, должна существовать возможность
преобразования интеграла по поверхности \ cfa в интеграл по
контуру \ ds. Для того чтобы это выполнить, построим
конус лучей, исходящих из Р' и проходящих через край
диффракционного отверстия (фиг. 90); обозначим его

406 Гл, VI. Дополнения, в частности к теории диффракции
поверхность через /, а его элемент поверхности через df.
Рассмотрим ограниченную посредством а и / часть
пространства и применим к ней формулу Кирхгофа C4.4).
При этом следует использовать следующие краевые
значения на /:
= и,
ду
дп
дп
последнее потому, что dn перпендикулярно к rfp и e^^^j'^
зависит только от р. При этом подинтегральное выраже-
, ипе D4.1) упрощается:
/'=-^
J-ho
Jkr
дп г
D4.3)
Ф п Г. 90. К теории диффракции
Юнга. Преобразование интеграла
по поверхности в интеграл по
контуру по Рубиновичу.
Для этой ограниченной
посредством а и / области мы
получаем вместо D4.2)
отличное от Vp выражение
Azt''p= ^Jdo+ \rd/.
D4.4)
Однако полученное таким
образом значение Vp нам
точно известно. ЕслиР
лежит внутри усеченной
части нашего конуса, то
vp = '—; D4.4а)
если оно лежит вне этой
части и одновременно вне
области, непосредственно освещаемой из Р\ то
v'p = 0. D4.46)
В самом деле, мы ведь в D4.4) как на а, так и на /
использовали точные краевые значения решения и == е^^^/р
волнового уравнения Aw -f к^и = 0. Так как в силу теоремы Грина
формула Кирхгофа при точно известных краевых зна-

f 44. К объяснению явлений диффракции Юнеом 407
ченпях является точным следствием этого
дифференциального уравнения, то tp внутри нашего усеченного конуса
точно совпадает с и = е^^^/ру а вне его становится равным
нулю. Если подставим D4.4а), D4.46) и D4.2) в D4.4),
то для внутренних точек получится
а для внешних точек
vp^-^^[j^df, D4.56)
Этим сделан первый шаг к преобразованию интеграла
Кирхгофа D4.2).
2. Сведение интеграла по поверхности конуса к
линейному интегралу по краю диффракционного
отверстия. Уточнение представлений Юнга. На фиг. 90 мы
начертили две соседние образующие конической
поверхности /, которые составляют между собой угол d-p. Далее,
в нижней части фигуры мы нанесли линии пересечения сфер
р = const и р + rfp = const с поверхностью конуса. Тогда
заштрихованный на фигуре элемент поверхности df равен
df = pdpd^.
Заменим rfcp элементом дуги ds\ которую вырезает
шаровая поверхность р = р^ в точке Q' диффракционного края,
и перейдем от ds' к линейному элементу ds граничной
кривой:
ds' = p^d(f~ ds cos {ds\ ds) = ds sin (p^, ds).
При этом получим
df:=^ — sin (p,, ds) dp ds. D4.6)
Вычислим затем стоящую в D4.3) производную в точке
Q элемента df:
ll^-^^ = S^^cos(n,.)=-(^-^)e«^cosKr),D4.7)

408 Гл. VI. Дополнения, в частности к теории диффракции
где п означает направление, перпендикулярное к df в
точке Q, а г —как и выше, расстояние элемента
интегрирования от рассматриваемой точки Р, Кроме этого
расстояния г мы начертили на фигуре также и расстояние г^
рассматриваемой точки от точки Q\ т. е. от точки конуса в
окрестности элемента края ds. Тогда будет справедливо
соотношение
г cos (п, г) = г. cos (п, rj. D4.8)
В самом деле, правая и левая части этого соотношения
означают одно и то же, а именно, кратчайшее расстояние
рассматриваемой точки от поверхности конуса, причем
необходимо учесть, что нормаль п к поверхности конуса
в месте Q параллельна нормали в месте Q\
Наконец, из D4.3), D4.6), D4.7) и D4.8) получим
й^-^'^/=
An
1
сх>
D4.9)
Под знаком первого интеграла справа стоят множители,
которые зависят исключительно от граничной кривой s.
Второй интеграл содержит все величины, зависящие от
положения элемента df, следовательно от р; к последним
принадлежит также г в силу равенства, вытекаюш;его
из треугольника QPQ':
г' = rt + (Р - pj'' + 2гЛр - рз) cos (Гз, pj. D4.10)
Отсюда получаем посредством дифференцирования по р
при постоянных р, и Гз (смещение Q при неизменном
положении Р и Q')
Таким образом, также справедливо уравнение
dr
0+1
dp у -- '^ + Р - Р8 + '•s COS (г„ р,). D4.10а)

§ 44, К объяснению явлений диффракции Юн^ом 409
Мы утверждаем теперь, что подинтегральное
выражение нашего интеграла по р в D4.9) представляет собой
полную производную, т. е.
е*МР+г) (^ij -;^) = ^ {ei"<p+r)/,[ ]}, D4.11)
где под символом [ ] подразумевается правая часть
D4.10а). А именно, при выполнении дифференцирования
по р из правой части D4.11) получаются по очереди
следующие три члена, которые мы сразу же упростим при
помощи D4.10а):
_ eiMP.. г- A+1) / [ ]^ = - ^ е«(Р.. _i_ ;
легко проверить, что сумма этих трех членов в самом деле
будет равна левой части D4.11). Таким образом, в
качестве значения интеграла по р в D4.9) получается
(,.(К..-1[ r}^=-.n,;eosKp3)]- (^^-12)
В силу этого правая часть D4.9) переходит в интеграл,
который необходимо распространить только по краю
диффракционного отверстия,
8
Первый множитель под знаком интеграла дает фазу и
амплитуду падающей на край волны, второй множитель
соответствует фазе отраженной от края сферической волны
в рассматриваемой точке Р, третий множитель определяет
довольно сложную угловую зависимость амплитуды этой
отраженной волны; (г^, pj—-угол отражения на краю,
(п, г^) — так сказать, угол отражения на поверхности
конуса, (рз, rf^) —угол падения на элементе края.
Возвращаясь к формулам D4.5а) и D4.56), мы можем,
следуя Юнгу, сказать: в освещенной области диффрак-

410 Гл, VI. Дополнения, в частности к теории диффракции
ционные полосы возникают вследствие интерференции
падающего света с отраженной от края волной,
соответственно D4.5а); в области тени существует только эта
краевая волна, соответственно D4.56). Род отражения от края
мы так уточнили количественно, выйдя за пределы лишь
качественных высказываний Юнга, что в обоих случаях
получилось в точности то же возбуждение Vp, что и в
теории Кирхгофа. Напротив того, мы не вышли за пределы
применимости теории Кирхгофа, так что также и наши
формулы, приведенные в соответствие с точкой зрения
Юнга, справедливы только тогда, когда длина волны
мала по сравнению с диффракционным отверстием и когда
векторный характер электромагнитной задачи не имеет
значения (см. § 46).
3. К обсуждению краевого интеграла. Рубинович
апроксимировал краевой интеграл по методу стационар-
ной фазы (упрощенный, перенесенный в вещественную
область метод седловидной точки): только те точки края
дают существенные доли в интеграле, в которых фаза при
перемещении вдоль края остается постоянной; доли всех
других точек уничтожаются из-за интерференции
соседних элементов в более высоких порядках. Согласно D4.13),
фаза нашей подинтегральнои величины на граничной
кривой равна
i**(Ps-H/-3);
она остается постоянной при перемещении вдоль
граничной кривой, если
^^=:-^ D4.14)
dS dS ' \^±^±^l^±)
ИЛИ, иными словами, если выполняется «условие
отражения»
cos (ро ds) = — cos (г,, ds). D4.14а)
В общем случае существует конечное число краевых точек
s = Siy ^2, ..., которые удовлетворяют этому условию.
Каждая из этих точек излучает заметную интенсивность
в направлении точки Р, и краевой интеграл может быть
достаточно точно вычислен как сумма этих излучений.

S 46. Диффракция в фокусе 411
Совокупность точек Р, которые облучаются одной из точек
края 5v, лежит на круговом полуконусе, для которого s^
является вершиной, r ds — осью. Это было
экспериментально доказано Е. Меем [80] для простого случая
полуплоскости, в котором имеется только одна такая точка Si.
Следовательно, представление Юнга, углубленное
описанным образом аналитически, приводит также и к
количественному пониманию явления диффракции, конечно,
в тех пределах точности, которые с самого начала
заключаются в методе Кирхгофа.
Отметим еще, что прерывность диффракционного поля
на границе тени, которая, как кажется, следует из
сравнения D4.5а) и D4.56), в действительности не имеет места,
а как раз компенсируется скачком нашего краевого
интеграла, который происходит вследствие того, что
знаменатель выражения D4.13), т. е. 1 + cos (г^, р^) обращается
в нуль при переходе границы тени.
Наконец, вспомним еще о нашем рассмотрении
«световых вееров» в § 36, п. 5. Мы их объяснили там с точки
зрения зон Френеля; однако теперь мы видим, что они могут
быть особенно наглядно поняты с точки зрения
отражения Юнга —Рубиновича. Каждая точка края s^ излучает
конусообразный световой веер; если существуют не
только дискретные точки 5^, но и их связанные
последовательности, то световые вееры будут особенно сильны.
Это будет при прямоугольном, или, более обще, при
многозтольном ограничении диффракционного отверстия.
Тогда наша коническая поверхность / состоит из плоских
кусков, которые удовлетворяют условию отражения,
D4.14а) вдоль непрерывных линий. Удельная
интенсивность в соответствующих световых веерах того же порядка
величины, что и удельная интенсивность падающего света;
вследствие этого явление образования тени не имеет места.
§ 45. ДИФФРАКЦИЯ В ФОКУСЕ
Многообразные каустики (фокальные линии,
каустические линии), которые выделяются на выпуклой чашке
при точечном освещении, известны нам из повседневной
жизни. С точки зрения геометрической оптики они могут
быть построены как обертывающие поверхности пучков

412 Гл. VI. Дополнения, в частности к теории диффракции
лучей. Более подробное исследование их окрестности
приводит к дпффракционной проблеме, специально
рассмотренной Эри.
Согласно геометрической оптике, фокус представляет
собой бесконечную концентрацию лучей. Волновая оптика
заменяет эту (физически явно недопустимую) особенность
«световой горой» с конечной амплитудой и протяженностью.
При переходе через фокус возникает скачок фазы
величиной 7г, который экспериментально изучался Гун, Санья-
ком и др. При фокальной линии, которая, например,
образуется схоя^дением лучей цилиндрической волны, вместо
1г будет скачок фазы iu/2. Теоретическое объяснение этих
скачков фазы дал Рубинович [81] ^) при помощи краевого
интеграла, рассмотренного в § 44, для чего он из
сходящейся сферической или цилиндрической волны выделял
при помощи диафрагмы пучок лучей и рассматривал его
дальнейший ход как диффракционную задачу.
Мы выберем более простой путь, намеченный Дебаем
[83]. Он перенес диафрагму в бесконечность и благодаря
этому пришел к справедливому во всем пространстве
решению оптических дифференциальных уравнений,
которое точно описывает не только скачок фазы, но и диф-
фракцпонные картины в окрестности фокуса (или
фокальной линии). Таким образом, представление Дебая не
ограничивается приближением Кирхгофа, а исходит из
основ волновой оптики. Оно обусловливает
математически ту же степень точности, что и, например, наше
рассмотрение задачи о полуплоскости в § 38. Там мы задавали
падающий свет на бесконечности в одном
полупространстве (как плоскую волну) и требовали выполнения
условия излучения во втором полупространстве
(следовательно, отсутствия падающего света). Соответственно Дебай
приписывает одной части бесконечности падающий свет
(в виде сходящейся сферической волны) и достигает
этим одновременно того, что в остальной части
бесконечности нет падающего света, а есть только выходящий.
1. Исходное выражение Дебая. Выражение
jj^ g-iftrcose^ cos 0 = cos & COS i\ + sin Ь sin Ь^ cos (9 — cp^) D5.1)
*) Cm. также [82].—Прим. авт.

§ 46. Диффракция в фокусе 413
представляет плоскую волну, которая падает из
бесконечности с направления & = &о> ? = ?о и после прохождения
через точку г = О, распространяясь в направлении Ь =
=^ ^0 + "^^ ? " ?о> излучается в бесконечность. Как обычно,
следует мысленно добавить временной множитель
ехр(-—ш^). В самом деле, г cos б является линейной
функцией координат
^: = rsin&coscp, ?/=г г sin&sincf, z = rcos^
с коэффициентами
а — sin Ь^ cos cfjj, ^ = sin i\ sin cp^, 7 — cos Ь^,
сумма квадратов которых равна 1. Поэтому и
удовлетворяет волновому уравнению Ай + к^и = О во всем
пространстве X, у, Z, включая точку г = 0, которая не является
особенной точкой.
Это же будет справедливо для волнового пучка
и-=\\ e-^fe^cose^Q^ rf2--sin^o^^o^?u^ (^5.2)
который представляет входящие волны только в области
(произвольно ограниченного) пространственного угла 2.
Напротив, это же выражение D5.2) дает излучаемые волны
для всех &, ср вне области 2 (следовательно, не только
в диаметрально противоположной к 2 области), в силу
способа его получения путем суперпозиции волн D5.1).
Как точное решение волнового уравнения, U содержит
ответ на все вопросы, которые относятся к поведению
пучка в окрестности «фокуса» г = 0.
Отметим, что в рассматриваемом случае нет
необходимости удовлетворять какого-либо рода краевым уело-
вияМу которые сделали бы невозможным получение
решения в замкнутой форме. Такил! образом, в
противоположность другим дпффракцпонным задачам,
диффракция в фокусе, по Дебаю, представляет собой простую задачу
суммирования, что становится ясным из формулы D5.2).
Конечно, суммирование в D5.2) производится скалярно,
а не векторно, как это соответствовало бы направленному
характеру электромагнитного светового поля. Однако
Дебай показал, что его метод может быть без изменения
перенесен на составляющие вектора Герца в прямоуголь-

414 Гл. VI, Дополнения, в частности к теории диффракции
НЫХ координатах, из которых можно вывести векторное
оптическое поле.
2. Диффракционное поле вблизи фокуса. Мы покажем
прежде всего, что утверждение геометрической оптики
о наличии особенной точки светового возбуждения в
фокусе нереально, а именно, что с волновой точки зрения
его поведение в фокусе совершенно регулярно. Для
простоты мы прп этом будем исходить из некоторых формул,
приведенных в т. VI. При р = Лг имеем
оо
е-{рсозв^ 2 Bn + l)(-i)'''l'„(p)/'„(cosO), D5.3^
п=0
где /*„ —шаровые функции Лежандра
Ро(л;)=1, Рх{х) = х, Pi{x)=\(bx'-i), ...; a:-cos6;
D5.4)
ф„ —модифицированные функции Бесселя
~1-3 ... Bn+l)V. 2Bn + 3)^"V'
1 / \ sinp , , , smp—pcosp
%{?) = -—, 1'i(p) = —^ -.
D5.5)
Если мы в D5.3) пренебрежем всеми степенями р выше
второй и произведем указанное в D5.2) интегрирование
по 2, то получим, принимая во внимание D5.4) и D5.5),
C7 = ri-^^^rf2~ip\cosed2-.f ^/>2 (cos 6)^2. D5.6)
Для удобства мы ограничим область 2 посредством
кругового конуса с вершиной в фокусе, т. е.
распространим интегрирование по области
Тогда
\ d2 = 27c \ в1п^о^Оо = 27гA —cosa)=:=2.

§ 4&, Диффракция в фокусе 415
Принимая во внимание значение cos 6 из D5.1) [член
с cos (<р — сро) при интегрировании по ср отпадает), получим
а
\ cos 6 dS = 2ic cos Ь \ cos ft^ sin Ь^ d\ = lu cos ft A — cos* a) =
b
= у cos & A 4- cos a) 2;
далее, при помощи теоремы сложения шаровых функций
имеем
а
\ Рг (cos 6) dQ = 2it/>2 (cos Ь) \ P^ (cos b^) sin &o db^ =
0
a
= izP^ (cos b) \ C cos2 &0 - i) sin &o rf»^ =
0
— 1ГР2 (cos b) cos a A — cos^ a) = -^ /^2 (cos &) cos a A + cos a) Q.
Подстановка в D5.6) дает
= 1 — -J — i -J cos ft A + cos a) — -^ ^2 (cos &) cos a A + cos a),
D5.7)
Для.р = 0 получается конечное значение
г/=2 D5.8)
(при нашей специальной нормировке падающей
амплитуды), т. е. не получается никакой особенности, в противопо-
лоо1сность геометрической оптике. Для малых р, при
переходе от С/" к (С/|^ и последовательном пренебрежении
высшими степеняАог р, находим
ф-' =- 1 ~ а,р^+а2р2 cos»», D5.9)
11 1
aii=y — -g-cosa(l -г cos а), a^^-^ii —cos'а),
ai — а^=-^[\ ^Q,os(if.

416 Гл. VI. Дополнения, в частности к теории диффращии
Мы интересуемся окружающей нулевую точку
«световой горой», которая представляет расширение фокуса,
соответствующего точке зрения геометрической оптики,
при переходе к волновой оптике. В качестве ее внешней
границы мы рассматриваем первую поверхность погасания
и =-0 волнового поля. Вычисляя последнюю из
приближения D5.9) и подставляя в него
р2 = А:2 (^2 4- 2/2 + z^), р COS » = kz,
в результате получаем
А^а, (а;2 -f. г/2) + к^ {а^ ~ flg) 2^ = 1 • D5.10)
Это — уравнение эллипсоида вращения, вытянутого в
направлении падения. Его главные оси l/Aj/ai,
1 / А: |/а^ — аз тем длиннее, чем меньше а. Это означает, что
световая гора тем протяженнее, чем уже падающий пучок
волн. При уменьшающейся длине волны
(увеличивающемся к) ее протяженность, конечно, уменьшается.
3. Амплитуда и фаза вдоль оси светового пучка и в ее
окрестности. На оси светового пучка & = 0 и
соответственно по ту сторону фокуса ^ = тс. Поэтому здесь будет
cos 9= ± cos&Q. Тогда интегрирование в D5.2) может быть
элементарно выполнено; оно дает для & = 0
тт /» ^-iftr _—iftr cos а
iL= V e-ift»-coseosin&orf&o=-^ -^ГЦГг ,D4.11a)
о
и соответственно для & = тс
ij_= V e^^'^^cosoosin&^rf^^^f -f-^^- .D4.116)
Оба выражения при г = О совпадают со значением U D5.8).
Они напоминают об элементарных выражениях, которые
мы вывели в § 35, п. 3 и 4, для явлений диффракции на
средней линии круглого экрана или отверстия. Так же
как и последние, наши выражения D5.11а) и D5.116)
справедливы исключительно на оси симметрии светового
пучка. Так, мы знаем из § 35, п. 3, что «пятно Пуассона»

§ 45. Диффракция в фокусе 417
исчезает уже в непосредственной близости от этой оси.
Это же справедливо и для интерференционных явлений,
на которые указывают формулы D5.11а) и D5.116).
Мы покажем это здесь несколько косвенным путем,
дифференцируя D5.2) по углу а, который в
рассматриваемом случае пучка, имеющего вид кругового конуса,
является верхним пределом интегрирования в D5.2).
Тогда интегрирование по i\ отпадает, а интегрирование
по Ф может быть записано в форме функции Бесселя /:
\ g—i/nsin8sinacos((p—cpo)sinat/cpQ =
^ л—ifercosdcosa
= 2tz sin ae-^^^cos dcos a j^ ^^^ ^^^ ^ gin ^y
Аргумент Jq для всех существенных с физической точки
зрения расстояний г представляет собой очень большое
число, за исключением случаев Ь=0 или & = и (или же
а = Оили а = 7:). Однако известно, что Jq при больших
вещественных аргументах становится равным нулю.
Поэтому
^ = 0 для всех 1>, за исключением i> = 0 и г^^тг.
Помимо этих двух полулучей, U на бесконечности не
зависит от а. Мы заключаем отсюда, что в числителях правых
частей D5.11а) и D5.116) необходимо вычеркнуть вторые
члены. Таким путем мы получим
для О<0<~; D5.12а)
и
2.- +аг Д^« у<»<^. (^5.126)
В обоих случаях интерференция отсутствует; на большом
расстоянии от фокуса, перед фокусом и за ним, свет
распространяется в виде сферической волны, как в
геометрической оптике.
В формулах D5.12а) и D5.126) нас существенно
интересуют фазовые множители
— -1 = е+^^/2 4- — = е-''^/2
i * i

418 Гл. VI. Дополнения, в частности к теории диффракции
В фокусе имеет место скачок фазы на т: (см. начало
настоящего параграфа). Так как он не имеет ничего общего
со световой горой в фокусе, а относится к поведению
сферических волн на большом расстоянии от фокуса, мы
можем, согласно Рубпновпчу [81], рассматривать его как
атрибут геометрической оптики.
4. Цилиндрическая волна и ее скачок фазы.
Двухмерным аналогом предыдущего случая является
распространяющийся в плоскости г, ср пучок лучей
и^{ e-i^^^c«^(^~^o)c/cp^„ D5.13)
который, падая из бесконечности между — а<9о<4-а,
направлен на нулевую точку. Эта нулевая точка, говоря
трехмерно, представляет собой, в смысле геометрической
оптики, фокальную линию, перпендикулярную к
плоскости г, ср. Мы увидим, что здесь с точки зрения волновой оптики
снова не будет никакой особенной точки. Доказательство
этого приведено в т. VI, § 21:
во
,-грсо8ф_/^(р) + 22 (-0"^п(р)созпф; D5.14)
йдесь/ —обычные функции Бесселя с целым индексом.
Мы упростим их, пренебрегая высшими степенями р:
Тогда получим из D5.13) п D5.14)
и л р* . Sina р« о sin 2а /fr- Аг-.
2jp = l-^-ipcoscp-^ ^cos2'f-2^. D5.15)
Для р = 0 функция и имеет (в противоположность гео-
иетрической оптике) конечное значение
Z7=.2a. D5.15а)

§ 45. Диффракция в фокусе 41^
Для ТОГО чтобы получить картину распределения
светового поля при малых р, вычислим | U\^, последовательно
ограничиваясь членами, квадратичными относительно р;
при A:a: = pcoscf), A'z/ = psincp находим
Igl! =. 1 _ A2^irr2 - кЧ.,у^, D5.16)
1 / . , sin 2а ^ sin2 а Л 1 Z' ^ sin 2а Л
Если мы положим \и \ = 0, то получим меру
протяженности фокусного пятна в плоскости ху, а именно,
согласно D5.16), получим эллипс, у которого большая ось
1 jk\/ах лежит в направлении падения.
Так же как и в трехмерном случае, где мы для больших
расстояний от фокуса, перед или за ним, получили
выражения D5.12а) и D5.126), соответствующие падающей
или выходящей чисто сферической волне, так и теперь
получается, при Ат >1 в области светового пучка,
направленного на фокус или удаляюпцегося от него, неискаженная
падающая или излученная цилиндрическая волна,
выраженная второй или первой функциями Ганкеля:
Щ {кг) = Yvirr е-^^^'-'^^^К D5.17а)
2
Hi {кг) = У ^ e+i(^.r-7./4). D5.176)
Мы ограничились здесь асимптотическим представлением,
которое для нас только и имеет значение. Мы заключаем
отсюда, что при переходе через фокус фаза скачком
меняется от ехр(-|-1т:/4) до ехр( —г:7:/4). Скачок фазы
в цилиндрической волне составляет тг /2.
В действительности фаза, так же как амплитуда, при
переходе через фокус все время остается непрерывной;
«скачок фазы» появляется только потому, что мыв D5.17а)
и D5.176), так же как и перед этим в D5.12а) и D5.126),
сравнили друг с другом две точки, лежащие на больших
расстояниях перед фокусом и за ним.

420 Гл, VI. Дополнения^ в частности к теории диффракции
§ 46. ПРИНЦИП ГЮЙГЕНСА В ЭЛЕКТРОМАГНИТНОЙ
ВЕКТОРНОЙ ЗАДАЧЕ
Мы в ряде мест указывали на разницу между
скалярной акустической и векторной оптической задачами.
Ограничиваясь при точном решении, приведенном в § 38
и 39, двухмерным случаем, мы могли векторную задачу
свести к решению двух скалярных задач в соответствии
с поляризацией падающего света. Принцип Гюйгенса с
самого начала мыслился целиком скалярным] это же
справедливо для его применений Френелем и Кирхгофом. Мы
хотим здесь, хотя и очень кратк'о, обсудить ето векторную
формулировку.
Речь идет о том, чтобы вычислить векторные поля Е, Н
за диффрагирующпм отверстием о, которое проделано
в непроницаемом экране, если тангенциальные
составляющие Е и Н в отверстии заданы. Обозначим последние через
Eq и Hq. Если бы их точные значения были бы известны,
то точное вычисление Е и Н было бы тоже возможно.
Однако если вместо них использовать невозмущенные
значения Е, Н падающей волны, то получится точно так
же, как у Френеля и Кирхгофа, только первое
приближение для малых длин волн.
Воспроизведем здесь сначала наглядную формулировку
этого векторного принципа Гюйгенса, данную
Францем [84] 1):
а 3
4,:H^rot J[daH„]-^x_Lrotrot5[daEo]-4^. D6.2)
а а
Для пояснения этой записи сначала отметим следую-
niee.
а) dcr означает элемент поверхности, снабженный
указывающей направление стрелкой, перпендикулярной к
поверхности о; поэтому векторное произведение da и Е^
^) Мы не можем здесь останавливаться на относящемся сюда
исправлении расчета диффракции Кирхгофа методом
последовательных прпближений (см. также [85, 86]).—Прим. авт.

ff 46. Принцип Гюйгенса в влектромагн. векторной вадаче 421
представляет собой вектор, лежащий в касательной
плоскости к о. При его вычислении нормальная
составляющая Е не принимается во внимание. То же будет
справедливо для векторного произведения dcr и Н^.
б) R—расстояние рассматриваемой точки х, у, z от
точки интегрирования ?, т], С. Векторы Е, Н следует
рассматривать как функции X, 2/, Z, а векторы Eq, Hq—как
функции S, TTj, С
в) Формулы D6.1) и D6.2) обозначают суперпозицию
сферических волн, которые излучаются точками $, т], С,
как и в элементарном принципе Гюйгенса; они
взаимодействуют в точке X, у, Z, однако теперь векторно.
г) Операция rot повсюду относится к координатам
рассматриваемой точки X, у, Z. Если выбрать прямоугольную
систему координат, то можно применить преобразование
rot rot = grad div — Д; D6.3)
мы сразу же воспользуемся этой формулой.
д) Стрелка da указывает, согласно Францу, в
направлении задней стороны о, следовательно, на область, в
которой необходимо определить Е, Н.
е) е, |х повсюду постоянны и могут быть отождествлены
с их значениями для вакуума.
Покажем, что Е и Н, определенные посредством D6.1)
и D6.2), удовлетворяют уравнениям Максвелла. Напишем
последние для периодического состояния с частотой ш:
rot Е =^ щхИ, rot Н = — шеЕ. D6.4)
Составим теперь rotE, согласно D6.1). Тогда первый
член справа будет тождествен второму члену в правой
части D6.2), после того как мы это выражение умножим
на га)|х. Если мы временно будем производить
вычисления, пользуясь прямоугольной системой координат, и
применим D6.3), то второй член в выражении для rotE
будет равен
-4j rot (grad div-Л) J [daHo]-^.
9
Здесь rot grad, однако, обращается в нуль; остается
^rot 5 [dcrHJAi^= -i^rot \ [dcxHo]^, D6.5)

422 Гл: VI. Дополнения, б частности к теории диффращии
' ^' Г— - ' ¦ ¦ ¦¦ ....
так как и = е^^^ jR удовлетворяет волновому уравнению
^и-\-к^и = 0. Кроме того,
А2 = ^ = 6^x0J, -^j^^^m^.
Поэтому выражение D6.5) есть не что иное, как первый
член правой части D6.2), умноженной на ш^. Этим
доказано, что наши выражения D6.1) и D6.2) удовлетворяют
первому из уравнений Максвелла D6.4). Аналогичным
образом можно проверить, что они удовлетворяют
второму уравнению D6.4).
Однако, как отмечает Франц, эти выражения только
приближенно удовлетворяют граничным условиям
Е^Ео, Н->Но, D6.6)
когда точка х, у, z перемещается к а.
В противоположность этому мы покажем, что
выражения
27uE = rot \^ [dc Ео] -^, D6.7)
2uH = rot ^ [da Но] -^ , D6.8)
хотя и удовлетворяют граничным условиям D6.6), но не
удовлетворяют дифференциальным уравнениям D6.4).
Мы удовлетворимся правдоподобным рассмотрением,
при котором предполагается, что Ец и Н^ будут повсюду
внутри отверстия (включая и его края!)
дифференцируемыми функциями точки, и ограничимся случаем плоского
экрана, а потому и плоского отверстия а. Выберем точку О
отверстия а, к которой должна приближаться
рассматриваемая точка Р, за начало прямоугольной системы
координат S, Y|, С, причем ось С перпендикулярна к dj
и направлена вдоль стрелки, соответствующей da. Пусть
система х, у, z, к которой относится рассматриваемая
точка Ру будет параллельна системе ?, т], С. При таком
выборе нашей координатной системы три составляющие
векторного произведения [daEo] имеют значения
{-Е,^, Е,,, 0)dUri. D6.9)

§ 46. Принцип Гюйгенса в электромагн векторной задаче 423
Образуем теперь
ikR / й й \ p^hR
Это, согласно D6.9), равно выражению
причем мы в последнем выражении для окрестности
точки О положили е^^^ ^ 1. Вычислим, на основании этого,
проекцию на ось х правой части D6.7); получим
-'\['i^d,E,4A-S]Eo.-^'^- D6.10)
в последнем выражении z jR означает косинус угла
между направлениями z и i?; поэтому d^dr^zIR является
проекцией dldri на сферическую поверхность с
радиусом R и с центром в Р, Если ее разделить на Л^, то
получим телесный угол, под которым dldfi видно из Р.
Этот угол возрастает при Р~->0 и для окрестности О
становится равным 2::; для удаленных частей
плоскости $7] он уменьшается до нуля. Поэтому выражение
D6.10) будет равно 2т:Е^^, Также можно проверить
формулу D6.7) в отношении его проекции на ось г/.
Такой же расчет, примененный к D6.8), показывает,
что граничное условие D6.6) выполняется также и для Н.
Однако если подставить выражения D6.7) и D6.8) в
дифференциальные уравнения D6.4), то хотя получающиеся
в правой и в левой частях поверхностные интегралы будут,
при соответствующем интегрировании по частям и при
учете C4.20), равны друг другу, но добавляются линейные
интегралы по краю а («магнитные токи» в обозначении
Стрэттона [86]), которые взаимно не компенсируются.
Приведенными замечаниями поставленная в этом
параграфе задача, разумеется, не решена, а только описана
в своих общих чертах. Помимо этого, точное решение дрхф-
фракционной задачи получилось бы только в том случае,
если были бы известны точные краевые значения Eq и Hq
(точнее говоря, Eq или Н^). Этого, естественно, в данном
случае нет. Напротив того, их нахождение идет рука об
руку с решением диффракционной задачи. Уже в случае
круглой диафрагмы получаются достаточно сложные

424 Гл. VI. Дополнения, в частности к теории диффракции
зависимости между двумя вспомогательными функциями
(потенциалами), которые необходимо ввести для решения
задачи [57], Таксисе и векторный принцип Гюйгенса не
является волшебной палочкой для решения задачи о
краевых значениях. Однако он имеет самостоятельный интерес,
как обобщение исторически важной идеи Гюйгенса.
§ 47. ИЗЛУЧЕНИЕ ЧЕРЕПКОВА
Теория относительности учит, что движение вещества
со сверхсветовой скоростью v> с невозможно. С другой
стороны, мы знаем, что в среде с показателем преломления
/I свет распространяется с фазовой скоростью и^с1п<с
(см. § 2). Интервал скоростей
и <v <с
доступен для жестких катодных лучей или для компто-
новских электронов от очень жестких ^-лучей. Что же
происходит в этой промежуточной области?
Мы должны ожидать явлений, подобных явлениям,
известным из баллистики. Снаряд обгоняет созданную
им волну давления, оставляя позади себя конус Маха
с характерпстическим згглом раствора, заданным
равенством sin^=c/i; {с—скорость звука). Однако в то время,
как эти явления, вследствие нелинейности
аэродинамических уравнений могут быть из них выведены лишь
с трудом, соответствующие электрооптические процессы
следуют из уравнений Максвелла непосредственно и строго.
Излагая последующий материал, мы ссылаемся на
раннюю работу автора [87 ] ^), которая была представлена
амстердамской академии Лорентцом. Необходимо только
в этой работе (написанной до появления теории
относительности!) в тех местах, где речь идет о скорости,
меньшей или большей скорости света(у < с или г; > с), теперь
понимать V <и или м < г; < с. Тогда при скорости,
меньшей скорости света, будет справедливо утверждение, что
электрон увлекает свое поле с собой; он не излучает
энергии. Наоборот, при скорости больше скорости света
электрон оставляет свое поле позади себя в форме конуса
^) См. там, в частности, стр. 359, где даются ссылки на более
старые работы Хивисайда и Де Кудра; см. также [88].—Прим. авт.

§ 47. Излучение Черепкова 425
Маха; он излучает в направлении, перпендикулярном
к образующей этого конуса, и притом, вследствие
дисперсионных соотношений, преимущественно видимый свет.
Так как он при этом теряет энергию, то его скорость
быстро спадает до скорости света {v=u). Излученный свет
поляризован; его электрический вектор лежит в плоскости,
проходящей через направление движения электрона.
Это необыкновенное, с точки зрения обычной оптики,
излучение было действительно наблюдено П. А.
Черенковым^) [89, 90] в 1934 г., сначала на комптоновских
электронах от ^-лучей, затем в многочисленных вариациях
также и на катодных лучах. Его наблюдения были вскоре
объяснены Франком и Таммом [91, 92] указанным здесь
способом и количественно сравнены с теорией.
1. Поле электрона Черенкова. Пусть электрон летит
со скоростью V (которую мы будем считать постоянной)
в среде с показателем преломления л>1. Пусть при
этом будет
u<:v<Cy 1г = —. (^7.1)
Пусть О будет точкой, в которой электрон находится в
момент времени ^ = 0, Q—его положением в более ранний
момент времени х < 0. Ищется поле электрона в
произвольной точке Р в момент времени ^ = 0. Обозначим (фиг. 91):
г — расстояние ОР, Ь'-угол QOP, D7.2)
Принимая направление движения электрона за ось х,
обозначим пространственно-временные координаты Р через
Xi= — г cos &, Х2 = г sin О cos ср,
a;3 = /*sin&sincp, x^^ict = Oy D7.3)
пространственно-временные координаты Q через
?i = ^;t<0, $2 = ^3 = о, $4 = icT. D7.3а)
1) См. обзор И. М. Франка, УФН, 30, 149 A946). Следует
подчеркнуть, что открытие П. А. Черенковым нового эффекта явилось
результатом широких исследований люминесценции, проводящихся
под руководством С. И. Вавилова. Многие основные черты
излучения Черенкова могут быть поняты на основе элементарных
интерференционных соображений. См. СИ. Вавилов,
Микроструктура света, М., 1950, стр. 120,—Прим. ред.

426 Гл. VI. Дополнения, в частности к теории диффракции
Как мы уже видели в § 2, при переходе из вакуума в
среду с показателем преломления п в уравнениях колебаний
для Е и Н необходимо заменить скорость света с на
фазовую скорость u — cjn. Это же будет справедливо и для
дифференциальных уравнений запаздывающих потенциалов,
приведенных в т. III, § 19. Так как здесь речь идет о
скоростях V), близких к с, то, естественно, перейти от
запаздывающих потенциалов к более общему четырехмерному
Ф и г. 91. Конус Маха для электрона
Черенкова и его излучение S.
потенциалу Q, описанному в т. III, §29. Введенный там
символ П необходимо теперь изменить следующим
образом:
^2 fi2 pa fJ
О-Щ + Щ + Щ + п^Щ- D7.4)
Действительно, четвертый член этого выражения равен
^ дх1" с^ di^ ^ w2 дС'^ '
как это и должно быть для преобразованных для нашего
случая дифференциальных уравнений запаздывающих
потенциалов.
В соответствии с этим мы и в дальнейшем должны
заменять с на и = с /п. Поэтому введенная в т. III «четырех-

g 47, Излучение Черепкова 427
мерная плотность тока Г» принимает теперь следующий
вид:
Г = (pv, шр) = {pv, О, О, шр), D7.4а)
где р—плотность заряда электрона. Зависимость между
2 и запаздывающими потенциалами А и ф, которая в
вакууме имеет вид 2 = (^4, i^ /с), теперь необходимо
изменить следующим образом:
2
= (а,^). D7.46)
Тогда дифференциальное уравнение нашей задачи
запишется точно так же, как в т. III, § 29:
П2=-|х,Г. D7.4в)
Для того чтобы проинтегрировать D7.4в)^ необходимо
знать решение ?/^ дифференциального уравнения Си = 0,
которое становилось бы бесконечным при P=Q. Его
следует теперь определить в виде
D7.5)
Можно убедиться в том, что эта функция для обеих
четверок переменных удовлетворяет дифференциальному
уравнению C}U=Oy за исключением случая P=Q.
Применяя теоремы Грина, подучаем
4rc2Q
Если предположить электрон точечным и произвести
интегрирование по ?1, So» ?з» то отсюда следует
''^'^'=?^§' ^. = ^з=6, D7.6)
Г р c?Ci d^2 Q^i.'^ Д^^4
47:2.Q4
t^o
ieu С dl^
Интегрирование по 1^ необходимо выполнить при помощи
обхода вокруг отрицательной мнимой оси 1^, так как
положение электрона задано только для х < 0. Оно дает
только тогда отличный от нуля результат, когда на этой

428 Г л, VI. Дополнения, в частности к теории диффр акции
полуоси есть точки, в которых знаменатель Ю обращается
в нуль. Согласно D7.3), D7.3а) и D7.5), условием для
этого будет
Д2 = (у2 _ j^2) ^2 ^ 2vrX COS & + г^ = 0. D7.7)
Корнями Tj. этого квадратного уравнения являются
(f2-ll2)Tj^^ -г;г(^С08{>± |/^'-sin2&Y
Мы видим отсюда, что если Ь > &м, где ^м — угол Маха,
sin»M = ~, D7.8)
то вещественных корней D7.7) нет. Тогда интеграл в D7.6)
обращается в нуль и не только будет 22 = 2з = 0, но
и 2j = 24 = 0. Все пространство вне конуса Маха свободно
от поля.
Напротив, для всех точек Р внутри конуса Маха
уравнение D7.7а) дает два вещественных отрицательных
значения (также и х„ отрицательно в силу того, что г; > к);
обе точки Я = О лежат на отрицательной мнимой оси $4>
и поэтому увеличивают значение интеграла, причем обе
в одинаковой мере, если они обходятся в противополоэн:ных
направлениях ^). Внутренняя часть конуса Маха
заполнена электромагнитным полем.
Прежде чем определять это поле, сообразим, в какой
связи находятся наши вычисленные в D7.7а) времена
Tj. с так 'йазываемым временем релаксации
запаздывающих потенциалов (с временем «запаздывания», см. т. III,
§19)
''PQ
т=^. C7.8а)
С
Здесь мы написали rpQ с индексами для того, чтобы
подчеркнуть, что речь идет о расстоянии между положением
Q электрона в момент времени /=т и точкой наблюдения -Р,
^) При одинаковых направлениях обхода сумма вносимых ими
долей была бы равна нулю. Следовательно, мы не получили бы
действительного решения дифференциального уравнения D7.1). Таким
образом, обход должен быть определен как лемнпскатоподобная
петля вокруг обеих точек т^, что нам дозволено.—Прим. авт.

§ 47. Излучение Черепкова 429
В которой поле наблюдается в момент времени ^=0.
Применяя приведенные на фиг. 91 обозначения (г означает здесь
расстояние РО), найдем по теореме Пифагора, что это
расстояние равно
rpQ = y^vH^ + r^ + 2vrx cos ».
Если это подставить в D7.8а), то действительно
получится уравнение D7.7), в котором лишь, естественно,
вместо и написано с. Мы констатируем по этому поводу, что
обе световые точки L и L', изображенные на фиг. 41 в т. III,
даются одним и тем же квадратным уравнением,
а именно, как раз нашим уравнением D7.7), только они
на фиг. 41 имели различные знаки, в то время как теперь
они обе отрицательны. Одновременно заметим, что угол
Маха для и = с становится мнимым, вследствие чего в
задачах, изложенных в т. III, конуса Маха не было.
Вернемся к выражению D7.6) для четырехмерного
потенциала. Для того чтобы взять стояпцие здесь
интегралы, перепишем содержащееся в D7.7) выражение R в виде
При обходе вокруг т = т+ можно в этом выражении
множитель т —т^ заменить на х^ —т_. Написав одновременно
dl^ = icdxy получим
$7Г* "" (t?2_u2)(x,-T^) ^ Т^Т:: ^ (V2-U2)(^^_^_) • (^7.9)
Знаменатель этой дроби равен, согласно D7.7а),
-2.r(|-sin^»У^
Поэтому из D7.9) получим
Если мы произведем такое же вычисление для нулевой
точки х = х_, то в знаменателе D7.9) место х^ —х^ займет
X, —х^.. При противоположных направлениях обхода обе
вносимые доли будут равны друг другу, как мы уже

430 Гл. VI. Дополнения, в частности к теории диффракции
отметили в предыдущем примечании. Поэтому из D7.6)
получается
[iQeuv \i.Qieu^ vr V ^ у
= (M2/.2 - t^2^2 sin2 a)-l/2. D7.10)
ИЛИ, преобразуя к координатам Xi, х^, х^ точки, в которой
ведется наблюдение,
,^ = ,7^^ -[иЪ1-{ь^~и^){.1 + х\)]-Ч.. D7.10а)
Поверхности равного потенциала представляют собой
гиперболоиды; они заменяют эллипсоиды Хивисайда.
Внутри конуса Маха поле везде конечно и непрерывно;
то что оно, согласно D7.10), становится бесконечным на
боковой поверхности этого конуса (sin & = w/^;) объясняется
тем, что мы производили вычисления, считая электрон
точечным; при конечном радиусе электрона а поле
возрастало бы только до максимального значения порядк \ 1/а ^).
Мы здесь вывели появление конуса Маха из теории
непрерывности поля. Физически он основывается, так же
как и существование показателя преломления,
естественно, на молекулярной структуре вещества. Нам
необходимо только представить себе, что летящий со
скоростью v>^u электрон встречает лежащие на его пути
молекулы раньше, чем к ним может прийти излучение,
испускаемое возбужденными перед этим молекулами. Впрочем,
интересно, что при учете дисперсии (см. ниже) разница
между фазовой и групповой скоростями сказывается на
величине угла Маха: скорость фронта излучения,
испускаемого остающимися позади молекулами, не равна
фазовой скорости к, а равна (см. § 22) групповой скорости
g <и. Поэтому угол Маха будет несколько меньше, чем
это следует из формулы D7.8), так как в последней
необходимо заменить и на g. Точное измерение угла излучения
волн Черепкова (см. ниже фиг. 92) осветило бы этот вопрос.
^) См. [87]. Там также дается обоснование того, что конус
Маха окружен краевой зоной шириной 2а, в которой поле от
упомянутого максимального значения непрерывно спадает до его
наружного нулевого значения.—Прим. авт.

i1. Излучение Черепкова 431
2. Излучение электрона Черепкова. Мы рассматривали
до сих пор мгновенную картину поля электрона и могли
для него произвольно положить ^ = 0. Благодаря этому
казалось, что поле не зависит от t. Однако для
наблюдателя, находящегося в лаборатории, оно, естественно, от i
зависит. Пусть наблюдатель находится в точке Р' (фиг. 91).
Он ничего не видит, пока его не коснется боковая
поверхность конуса Маха. На фиг. 91 мы, ради удобства
черчения, это представили так, как если бы наблюдатель,
двигаясь вдоль пунктирной прямой Р'Р с противоположно
направленной скоростью t>, вторгался во внутреннюю часть
конуса. В точке Р^ боковой поверхности он воспринимает
максимальное (по нашему приближенному расчету даже
бесконечное) поле. Равным образом во всех внутренних
точках Р заметно действие поля, которое, однако, с
увеличением расстояния от Р^ становится все слабее.
Численно мы получим эту зависимость от времени
просто тем, что в предыдущих формулах заменима:! на x — ti,
т. е. будем рассматривать точку О на фиг. 91 не как
неподвижную, а как движущуюся поступательно. Кроме
того, мы будем писать г/, z, вместо х^^^ Хз, и выразим 2,
согласно D7.46), через вещественные потенциалы А, ф.
Тогда D7.10а) примет вид
Отсюда легко заключить о справедливости соотношения
Мы применим его при вычислении электрического
поля Е из общего выражения Е = — А — grad ф,
приведенного в т. III, § 19, и получим при том же значении
фигурной скобки, что и в D7.11):
Е,^ -|i = !lfl(e,2_u^)y ( }-•/., D7.13)

432 Гл, VI. Дополнения^ в частности к теории диффракции
Таким образом, электрическое поле совпадает по
направлению с вектором, имеющим составляющие х—vty у, z\
он направлен от мгновенного положения электрона к
точке, в которой производится наблюдение. Если последняя
располо^нсена, в частности, в Pq (фиг. 91), то это
направление совпадает с образующей конуса Маха,
Для вычисления Н служит уравнение В = rot А.
Согласно D7.11), оно дает, помимо Ну.=гО.
1 дАг
Н^,
н-^
PUV
\-3/2
euv
D7.14)
= _^(г,2_„2)у { }-
В силу этого магнитные силовые линии имеют вид
окружностей, проведенных вокруг траектории электрона. При
поло:>юении Pq точки
наблюдения направление!! касается
кругового сечения конуса Маха.
Отсюда и из направления Е
получается направление луча
S=[EH]. В точке наблюдения
Pq он перпендикулярен к конусу
Маха, Излучаемый свет
поляризован; электрический вектор
лежит в плоскости, определенной
направлением движения
электрона. Этим мы доказали
сделанные вначале указания о
характере излучения Черепкова;
еще нехватает доказательства
того, что его спектр лежит
преимущественно в видимой
области. Заметим еще, что излучение
имеет почти импульсный
характер, так как усиливающий
множитель { }, появляющийся в
произведении Е на Н,
сказывается только в непосредственной близости от конуса Маха.
Для получения излучения Черепкова лучше всего
применять тонкую смоляную пластинку, на которую
перпендикулярно падают электроны. При этом действует
Фиг. 92. Наблюдение
излучения Черенкова позади
пластинки с большим
значением диэлектрической
постоянной.

§ 47. Излучение Черепкова 433
только короткий участок конуса Маха. Его излучение
образует узкую стенку пустотелого конуса,
перпендикулярную к образующей этого участка (фиг. 92). На
поставленном за пластинкой фотографическом экране выделяется
почернение, соответствующее следу пустотелого конуса.
3. Учет дисперсии. До сих пор мы производили
вычисления так, как если бы показатель преломления был
неизменной величиной. В действительности он зависит
от частоты, причем, как известно, в далекой
ультрафиолетовой области он быстро приближается к единице.
Тогда, однако, интервал и < г? < с, в котором эффект
Черепкова вообще возможен, сокращается до пуля.
Поэтому наше предыдущее рассмотрение еще не
достаточно для количественного анализа наблюдений. Мы
должны были бы временную зависимость поля и
излучения разложить в ряд Фурье по со ^ и каждую составляющую
этого ряда снабдить соответствующим ей п(а^). Мы
увидели бы тогда, что только составляющие Фурье,
соответствующие видимому спектру, обусловливают заметные
доли эффекта Черепкова, в то время как
ультрафиолетовый спектр не в состоянии возбудить излучение
Черепкова. Таким образом, как уже указывалось в введении, мы
можем утверждать, что эффект Черепкова делает
электроны видимыми.
Однако анализ Фурье представляет формальные
трудности, вследствие особенности поля на боковой поверхности
конуса Маха. Ее можно избегнуть, если производить
вычисления, считая электрон н^ точечным, а обладающим
конечными размерами (радиусом а), причем особенность
превращается в краевую зону с конечной напряженностью
поля. Мы не можем, однако, здесь привести эти несколько
громоздкие вычисления. Тамм [92] достигает этой же
цели также при помощи несколько громоздких вычислений
с использованием так называемых 8-функций ^).
Интересно отметить, что квантовая механика, которая
вынуждена с самого начала разлагать электромагнитное
поле на составляющие Фурье, при приложении к эффекту
^) Аналогичным образом поступает Бек [93].—Прим. авт.
[Подробнее см. книгу А. А. Соколова и Д. Д. Иваненко
«Классическая теория поля», М., 1950.—Прим. ред.]

434 Гл. VI. Дополнения, в частности к теории диффракции
Черепкова [94] непосредственно приводит к выражению,
пригодному для применения теории дисперсии и поэтому
прямо указывает на видимый характер света Черепкова.
В заключение упомянем, что в старой работе 1904 г.
было выведено также простое выражение для силы F,
которая, как эквивалент излучения, тормозит движение
электрона. Оно дает для излучения Черепкова, если
заменить там с на фазовую скорость м, снова считать
показатель преломления постоянным и рассматривать электрон
как жесткий шар с равномерной пространственной
плотностью заряда:
^-^=4;S^0-F-)- (^7.15)
Эквивалентную этому уравнению формулу вывел Тамм
[92]. Относительно интересного применения формулы
D7.15) в баллистике см. у Клейна и Зоммерфельда [95].
4. Критическое заключительное замечание. Мы
использовали формальный аппарат специальной теории
относительности, для того чтобы наиболее простым способом
проинтегрировать волновое уравнение электрона
Черепкова, причем мы везде заменили скорость света с на
фазовую скорость и. То же справедливо и для уравнения
div 2 =^ О, которое вследствие этого принимает вид
divA + J^^^=divAi-4 = 0 D7.16)
^ lu dt и ' а^ ^ '
и в ЭТОЙ форме неявно лежит в основе предшествующих
вычислений.
Однако мы должны принять во внимание, что
использованные нами четырехкомпонентные величины 2, Г
не являются собственно четырехмерными векторами, не
являются релятивистскими ковариантами. Наоборот, они
относятся специально к системе неподвижного диэлектрика,
относительно которой электрон движется. Если, напротив,
желательно перейти от этой системы отсчета к движущейся
системе (например, к системе, в которой электрон
покоится), то необходимо было бы применить не обычное
преобразование Лорентца, а электродинамику движущихся
сред Минковского (см. т. III, гл. IV).

§ 48. Добавление к геометрической оптике 435
§ 48. ДОБАВЛЕНИЕ К ГЕОМЕТРИЧЕСКОЙ ОПТИКЕ*
КРИВОЛИНЕЙНЫЕ СВЕТОВЫЕ ЛУЧИ, УСЛОВИЕ
СИНУСОВ, ФОРМУЛА ЛИНЗЫ, РАДУГА
В § 35, П. 1 МЫ основывали геометрическую оптику
на существовании эйконала, т. е. системы поверхностей
S{Xy у, z) = const,
ортогональными траекториями к которым являются лучи.
Дифференциальное уравнение эйконала, согласно C5.3),
имеет вид
D E) = (grad S grad S) = /г^,
где п—показатель преломления. Единичный вектор в
направлении луча, т. е. нормаль к поверхности эйконала,
проходящая через рассматриваемую точку, дается
формулой ^)
V D{S) ri^ ^ f
Отсюда следует
rot(ws) = 0. D8.2)
Это условие равносильно существованию эйконала. Все
осуществимые в геометрической оптике пучки лучей
{прямолинейные или криволинейные) нормальны к поверхностям
и благодаря условию D8.2) отличны от более общих систем
прямых или кривых линий.
Обычно рассматриваемые параллельные лучи или
лучи, расходящиеся из светящейся точки, очевидно,
обладают свойством быть нормальными к поверхностям. Закон,
найденный уже Малюсом, гласит, что это свойство
сохраняется при любых отражениях и преломлениях в любых
системах линз. Этот закон для нас очевиден вследствие
существования эйконала до и после каждого отражения
и преломления и выражен уже посредством D8.2).
^) Изложенный здесь метод лежит в основе цитированной выше
работы Зоммерфельда и Рунге [44]; отметим, что использование
единичного вектора сильно упрощает и делает более наглядным
изложение.—Я/>ил«, авт.

^^36 Гл. VI. Дополнения^ в частности к теории диффракции
Дифференциальному условию D8.2) эквивалентно
интегральное требование
f
I п {sJLx + s^dy + sjdz) = О, {48.2а)
которое мы можем также записать сокращенно в виде
lw(srfs) = 0, D8.26)
f
и как следствие отсюда
2
\ n{sds)=^S^—S^' D8.2в)
1
Последнее означает, что линейный интеграл от точки 1
лучевого поля до точки 2 пе зависит от пути и равен
разности эйконалов в обеих точках. Начальную точку 1
линейного интеграла мы будем в дальнейшем называть
«объектом», конечную точку 2—«изображением».
1. Кривизна световых лучей. Проведем в
рассматриваемой точке Р соприкасающуюся плоскость к
криволинейному световому лучу и построим в Р и в соседней
точке Р' касательные единичные вектора s и s'. Угол
между ними, деленный на расстояние PP'-ds, служит для
определения кривизны. В силу того, что | s | = 1, этот угол
равен векторной разности s' —s, которую мы обозначим
через rfs. Поэтому мы определяем кривизну посредством
K=:g. D8.3)
Беря абсолютное значение правой части, мы получим
величину кривизны; помимо этого, направление rfs в D8.3)
одновременно дает положение радиуса кривизны в сопри-
к^асающейся плоскости.
Преобразуем правую часть D8.3), причем яснее всего
будет, если мы будем производить расчет, временно
пользуясь прямоугольной системой координат ^):
rfs <9s dx ^^ ds dy ds dz
ds dx ds~^ dy ds dz ds '
^) В противном случае нам пришлось бы воспользоваться
тензорным исчислением, чего мы хотели бы избегнуть.—Я/)мл«, ает.

§ 48. Добавление к геометрической оптике 437
Множители dx/ds, ... являются составляющими
единичного вектора s. Следовательно, мы также имеем
ds ds . ds , ds //о о \
Ts-^^di'^ + d-y'v + a.'^- (^-З»)
Кроме того, из | s [^ = 1 для каждого направления
градиента следует
О = у grad IS |2 = 5^ grad s^ -f Sy grad Sy + s^ grad s,, D8.36)
Если мы вычтем это из D8.3а), то получим
i = *x (Й -grad s^) + 5„(g -grad s„) +
+ s,(|-grads,). D8.3b)
Для составляющей по x этого векторного уравнения имеем
ds У\Оу дх J"^^ \ dz дх J
= — 5у rot^s + s^ roty s = [rot s s]^.
Соответствующие выражения получаются для
составляющих D8.Зв) по у 11 Z. В результате, объединяя их век-
торно, получим (причем для каждого единичного вектора s,
а не только для единичного вектора нормали к
поверхностям в оптике):
| = [rotss]. D8.4)
Теперь мы используем фундаментальное условие D8.2),
выделяющее световой вектор s, которое можно написать
в виде
л rot S — [s grad п] = О,
или также в виде
rots = --[s grad л]. D8.4а)
Подставим это в D8.4) и перейдем к абсолютным
значениям, причем примем во внимание, что, согласно D8.4а),
rot S перпендикулярен к s и что поэтому величина вектор-

438 Гл. VI. Дополнения, в частности к теории диффракции
ного произведения в D8.4) равна произведению обоих
множителей |rots| и |s|. Таким путем мы получим
1
= -^|[s gradn]|. D8.5)
Согласно D8.3), это одновременно является величиной
кривизны
К-=^\[^ grad п] I - iKI^-^sin а, а=^ (s grad п), D8.6)
Одновременно, из D8.4) и D8.4а) получаем положение
радиуса кривизны
^ = — [[^gvdi&n]s\
или, при использовании известного векторного
соотношения,
nK^gradAi —s(s grad л). D8.6а)
Отсюда мы видим, что главная нормаль К, касательная s
и градиент от п лежат в одной (соприкасающейся)
плоскости. Или, лучше сказать, если мы будем считать сперва
заданными не соприкасающуюся плоскость, как до сих
пор, а градиент от п и направление s светового луча, то мы
строим соприкасающуюся плоскость, как плоскость,
проходящую через S и градиент от дг. В ней лежит главная
нормаль К. Бинормалью является, согласно D8.4а), ось
(аксиального) вектора rots.
Формула D8.6) дает точное выражение уже
использованной в § 35 теоремы, гласящей, что в однородной среде
(w= const) лучи света представляют собой прямые линии
(К^О).
в качестве примера оптичесь'и неоднородной среды
рассмотрим земную атмосферу при заходе Солнца.
Показатель преломления п уменьшается с уменьшением
плотности воздуха при увеличении высоты, следовательно,
градиент от п направлен к центру Земли. Плоскость
рисунка фиг. 93 совпадает с соприкасающейся плоскостью
искривленного светового луча; она перпендикулярна к
поверхности Земли. Направление К в основном дается первым
членом правой части D8.6а), так как второй член в
основном направлен горизонтально. Таким образом, световой

§ 48. Добавление к геометрической оптике
439
луч так искривлен, что его вогнутая сторона обращена
к Земле. Это говорит, рассуждая элементарно, ни о чСхМ
другом, как о том, что световой луч будет «преломлен»
в сторону увеличивающейся плотности воздуха. Отсюда
следует, что Солнце при заходе будет казаться
«приподнятым», как это показывает штрих-пунктирная касательная
в точке Р на фиг. 93.
CoJ^^i-
Фиг. 93. Искривление солнечных лучей в
земной атмосфере.
В рассматриваемом случае среды, состоящей из
параллельных слоев, можно по закону преломления даже
непосредственно написать уравнение криволинейного хода
лучей в форме
п sina = const. D8.66)
Можно легко убедиться (посредством логарифмичестсого
дифференцирования и вычисления K=doL/ds)y что это
уравнение совпадает с общим уравнением D8.6).
2. Условие синусов Аббе. Мы предполагаем наличие
симметричной относительно оси РР' системы линз, в
которой точки плоскости РР^ пространства объектов при
помощи пучков с конечным раствором изображаются
(почти) без погрешностей точками плоскости Р'Р[
пространства изображений. Пусть и и гг'—углы раствора
пучков, п и /г'— показатели преломления перед и за системой
линз; п > п' означает иммерсию.

440 Гл. VI. Дополнения, в частности к теории диффракции
Пусть (i) на фиг. 94 будет осевым лучом исходящего
из Р пучка лучей, проходящим через Р\ B) —крайним
лучом этого пучка (в силу симметрии вращения достаточно
рассмотреть только одну меридиональную плоскость).
Расстояние точки объекта Р^ от Р пусть будет равно /;
обозначим исходящие из Р^ лучи, параллельные (i) и B),
через C) и {4)\ обозначим расстояние точки изображения
Р[ от Р' через 1\ Ход лучей (возможно искривленный)
Фиг. 94. К условию синусов.
внутри системы линз нас не интересует; снаружи лучи
прямые.
Согласно D8.2в), два линейных интеграла \ n(sc?s)
с одинаковыми начальными и конечными точками равны
между собой и равны разности соответствующих значений
эйконала:
A) = B) = ^(х', Q)-S{x, 0),
C) = D) = 5'(а;', l')-S{x,l);
здесь X и ж' —абсциссы объекта и изображения,
измеренные вдоль центральной оси. Мы ищем разность C)—{1)
и равную ей разность {4)—B).
Из D8.7) следует при достаточно малых Г и /:
Ci)--{\)^S{x\ n-S{x\ 0)^{S{x, l)--S{x, 0)} =
Обе стоящие выше производные получились при
разложении в ряд Тейлора, в силу чего их следует вычислять
для пути (i), первую в пространстве изображений для
точки Р\ вторую в пространстве объектов для точки Р.

§ 48, Добавление к геометрической оптике 441
G другой стороны, согласно значению *?, как линейного
интеграла от лз, они равны
n'Sy в Р' и nsy в р. D8.8а)
Так как рассматривается путь (Jf), 5^=^ О, то обе эти
производные равны нулю. Следовательно, будет также
C)-B) = 0. D8.86)
Если мы вычислим этим же методом разность D) —B),
то получим, при помощи разложения в ряд Тейлора, снова
правую часть формулы D8.8), причем, однако,
производные по у теперь необходимо брать для пути B) в
пространстве изображений или объектов; с другой стороны,
согласно значению S как линейного интеграла, они снова
равны значениям D8.8а), теперь, однако, взятым для
пути B), а именно (см. фиг. 94),
n'Sy==^n' sin и' и nSy = n sin и.
Итак, получается
{4)^{2) = rn'smu'^lnsinu. D8.9)
Однако, согласно D8.7), D)-—B) = C) —B), а так как
C) — A) = О, то также D) — B)=0. Это есть условие синусов
Аббе
пЧ' sin и' = п1 sin и. D8.10)
Как показал Штраубель [96] оно содержится уже
в общей теореме обратимости геометрической оптики.
Можно установить похожее условие, если
рассматривать две точки Р, /^1, смещенные относительно друг друга
в аксиальном направлении, вместо обеих рассматриваемых
до сих пор точек, смещенных в поперечном направлении,
и потребовать, чтобы они изображались при помощи
световых пучков с кш1ечным раствором точками Р\ Р\у
смещенными относительно друг друга также в аксиальном
направлении. Единственное отличие состоит в том, что
в предыдущих формулах место произ'водных эйконала по
у и у' займут производные по л: и а;'. Тогда получится
C)-(i)= -п/ + /г7',
D) — {2)= — п1 cos и -f- пЧ' cos и\

442 Гл. VI. Дополнения, в частности к теории диффракции
а отсюда
пЧ' A - cos и') = п1{1- cos и). D8.11)
Из несовместимости этого условия с условием синусов
D8.10) следует, что не существует такой оптической
системы, при помощи которой одновременно резко
изображались бы соседние точки, смещенные в поперечном и
продольном направлениях.
3. О структуре пучка прямолинейных лучей.
Естественно, что особый интерес представляют пучки лучей
в однородных средах, состоящие из прямых линий.
Наиболее общие, не нормальные к поверхностям пучки
прямых линий были исследованы Куммером. Мы ограничимся
пучками, единственно рассматриваемыми в оптике,
которые удовлетворяют условию, вытекающему из D8.2) при
п = const:
rots-0. D8.12)
Выделим один луч пучка как «центральный луч»
и будем рассматривать только соседние с ним по
направлению лучи, т. е. «бесконечно тонкий пучок». Проведем
перпендикулярную к центральному лучу плоскость Е
и будем отмечать точки, в которых она пересекается
лучами нашего бесконечно тонкого пучка; так же будем
поступать в параллельной плоскости Е' находящейся на
(небольшом) расстоянии 8 от Е, Сопоставленные таким
образом точки плоскостей Е я Е' связаны афинным
преобразованием. Последнее состоит, согласно основной
теореме кинематики сплошных сред (см. т. II, § 1,
специализированный для двухмерной сплошной среды) из
деформации в двух взаимно перпендикулярных направлениях
(преобразование с четным характером коэффициентов)
и из вращения вокруг перпендикулярной к ним оси
(преобразование с нечетным характером). Если мы в
плоскости Е начертим маленькую окружность с центром
в точке пересечения этой плоскости с центральным лучом,
то вследствие деформации она перейдет в эллипс.
Благодаря вращению, эллипс будет повернут на угол, который,
подобно угловой скорости из гидродинамики, дается выра-
жением-^rots. Наше условие D8.12), отнесенное к цен-

§ 48. Добавление к геометрической оптике
тральному лучу, говорит теперь о том, что вращательная
часть деформации отсутствует и что главные оси эллипсов
деформации во всех плоскостях Е и Е' параллельны друг
другу. Они лежат в двух закрепленных, перпендикулярных
друг к другу плоскостях. Эти плоскости являются
плоскостями симметрии для структуры пучка лучей.
Как таковые они должны включать в себя обе
вырожденные формы эллипса деформации, при которых последний
стягивается в одну из своих двух главных осей. Эти
вырожденные эллипсы называются фокальными линиями пучка
лучей. Они перпендикулярны друг к другу и к
центральному лучу (теорема Штурма). Точки центрального луча,
через которые проходят фокальные линии, называются
фокусами пучка лучей. Расстояние между ними
представляет собой астигматическую разность d, (При общих
пучках лучей Куммера фокальные линии в плоскостях
Е ж Е' повернуты относительно друг друга;
неоптические пучки лучей не имеют плоскостей симметрии, а
обладают, в соответствии с rots ^^ О, винтообразным
характером.)
Нам известно (см. стр. 274), что каждому оптическому
пучку лучей соответствует система параллельных
поверхностей, а именно, поверхностей <5'=const. В
простейшем случае сферической волны (и ее частного случая
плоской волны) параллельные поверхности представляют
собой кон1^ентрические шаровые поверхности
(соответственно параллельные плоскости). Положения плоскостей
симметрии и направления перпендикулярных к ним
фокальных линий в этом случае будут неопределенными.
Оба только что определенные фокуса сливаются в один]
расстояние d между ними будет равно нулю. Мы имеем
пучок, сходящийся в эту точку. В данном случае говорят
об анастигматизме.
4. К формуле линзы. В школе изучают формулу линзы
i+i = T' (^8.13)
где а —расстояние между объектом и линзой, 6
—расстояние между линзой и изображением, / — главное фокусное
расстояние линзы; i/f={n—l)(l/fli + l/i?2)-

444 Гл. VI. Дополнения, в частности к теории диффракции
Мы покажем, что, придерживаясь нашего пути
исследования, эту формулу можно доказать без тригонометрии,
закона преломления и специальных геометрических
построений.
Из точки объекта Р исходят сферические волны.
Согласно C5.6), при п=1 (воздух) и при центре в Р их
эйконал равен
S^Yx^ + y^ + z^.
Рассмотрим анастигматический пучок, исходящий из Р
в направлении, перпендикулярном к линзе, и совместим
ось Z с центральным лучом этого пучка. Вблизи линзы
(z=a + C) мы получим, пренебрегая более высокими
степенями X, у и С,
5-,(.+1-^).а+С + ^'. D8.14)
Продолжим пучок во внутрь линзы. Пусть передняя
поверхность линзы будет сферой с радиусом i?i и с центром
в точке ж=у=0, z=a-b/?i. Поэтому ее уравнением
является
^' + 2/' + B-a-/?iJ = /?J. D8.14а)
Обозначим через Т^ точку, в которой центральный луч
встречает эту сферу.
Допустим, что перпендикулярно падающий пучок при
преломлении остается анастигматическим (этого не будет
в случае косого падения). Доказательство этого
заключается в том, что при данном допущении мы можем
удовлетворить граничному условию (непрерывный переход
S через сферическую поверхность R^j. Представим себе,
что преломленный пучок прямолинейно продолжен в^
обратном направлении за граничную поверхность до точки
^1, в которой он сходится. Обозначим расстояние ^i^i
через pi. Эйконал исходящего из Q пучка лучей мы
напишем по аналогии с D8.14), причем заменим а на pi,
Множитель п объясняется тем, что этот пучок лучей
необходимо представить себе распространяющимся в стекле

§ 48. Добавление к геометрической оптике 445
не только внутри линзы, но и по ту сторону граничной
поверхности, так как мы его прямолинейно продолжили
за эту поверхность. Аддитивный член Sq означает в
уравнении эйконала произвольную постоянную
интегрирования.
Потребуем, чтобы выражения D8.14) и D8.146) на
сфере D8.14а) переходили бы непрерывно друг в друга
не только в точке встречи Ti центрального луча (С=0,
а; = г/==0), но и в его окрестности. Для последней из
D8.14а), если мы, как раньше, сделаем подстановку
z = a + C, следует
Если мы это подставим в D8.14) и D8.146), то получим
а;2 + г/2 а;2 + г/2
^ 2i?i ^ 2а
ж2 + у2 а-2 4.1/2 D8.15)
Сравнение постоянных членов в обеих строках служит
для определения пока еще произвольного неизвестного
Sq; сравнение переменных членов дает
a;2-ft,2 яг2 + ^2^^а:2 + 2/2 ^ ^х^ + у^
откуда
2i?i ' 2а 2i?i ' 2р,
п—1 1 п
р - . D8.16)
Включим теперь процесс, при котором точка
изображения jP' является источником сферических волн и
преломление происходит на задней поверхности линзы с
радиусом jRg. Пусть 7^2 будет точкой встречи центрального луча
с этой сферической поверхностью. Тогда снова справедлива
формула D8.15), только надо заменить jR^, а, pi на i?2»
6, р2. Здесь рз означает расстояние точки ^2» в которой
сходится преломленный на задней стороне линзы пучок,
от точки встречи Г2- Тогда из D8.16) получается
^ = -1--- D8.16а)
^2 b Р2 ^ ^

446 Гл. VI. Дополнения^ в частности к теории диффракции
Однако так как Р' должно быть изображением Р, то
исходящие из Р' лучи совпадут внутри линзы с
рассмотренными ранее лучами, исходящими из точки Р. Поэтому
совпадут между собой также ^2 и ^i, и мы получим, если
в дальнейшем будем писать Qi=Q2=Qy
QT2 = QTi + Tj2. D8.166)
Отсюда следует, что когда Г^Гг равно толщине линзы d и
при прежних значениях pi и pg
-P2 = h + d. D8.17)
Отрицательный знак слева получается потому, что точка
Q, в которой сходятся лучи, имеет по отношению к задней
стороне линзы положение, обратное ее положению по
отношению к передней стороне.
При «тонкой» линзе (rf< pi,2) имеем 02= — Pi-
Сло:нсение выра:нсений D8.16) и D8.16а) непосредственно
дает формулу линзы D8.13), которую и требовалось
доказать. Для того чтобы эта формула была справедливой, нет
необходимости брать очень малые по абсолютной
величине значения с?, так как наш вывод требует только малости
d по отношению к радиусам кривизны /?i, R^ (или, что
примерно сводится к тому же, по отношению к pj, ро).
Однако для того чтобы несколько выйти за пределы
школьной программы, напишем также обобщенное
выражение для линзы с конечной толщиной.
Для этого вычислим из D8.16)
Pi ^ 1
и из D8.16а) и D8.17)
^rf-pT_ 1
\b в, J
Если мы сло:нсим эти два соотношения"] как перед этим
сло:нсили D8.16) и D8.16а), то получим, как обобщение
формулы D8.13),
' ' +.„-/ 14- (^8.18)
V Я, а J У Rt Ь )

§ 48. Добавление к геометрической оптике 447
Мы ограничились здесь случаем одиночной линзы
(одинаковое п для передней и задней сторон). При системе
линз результат будет, естественно, менее нагляден, чем
D8.18). Далее, мы рассмотрели только перпендикулярно
падающий пучок. При косом падении, как уже отмечалось
выше, пучок не остается анастигматичным; возникающая
при этом астигматическая структура луча имеет две
фокальные линии, из которых одна лежит в плоскости
падения, а другая — в перпендикулярной к ней плоскости.
Отметим при этом, что астигматический пучок
представляет собой вполне нормальный случай: только при
особенно точной осевой симметрии устройства
анастигматический характер первоначально плоской или сферической
волны сохраняется при преломлении.
Как уже отмечалось выйхе, здесь нам не было
необходимости явно пользоваться законом преломления. Это
происходит от того, что закон преломления должен
гарантировать совпадения фаз падающей и преломленной волн
(см. начало § 3). С другой стороны, эйконал означает не
что иное, как фазу волны (см. § 35, п. 1); осуществленный
нами непрерывный переход эйконала на граничных
поверхностях линзы является, таким образом, полноценной
заменой закона преломления. Впрочем, форму последнего
можно также непосредственно увидеть в формуле D8.26),
если применить последнюю к узкому прямоугольнику,
который соприкасается с поверхностью преломляющей
среды. Тогда формула имеет вид
ПхЗх^щз^, D8.18а)
где ^1 и ^2 — тангенциальные составляющие единичного
вектора, т. е. 5i=sina, 52=sinp. Таким образом,
формула D8.18а) действительно является законом
преломления Снеллиуса.
5. Криволинейные световые лучи (опыт по диффузии);
замечание о теории радуги. Оптически неоднородная
среда, показатель преломления которой простым и легко
обозримым способом меняется с положением, может быть
получена посредством опыта по диффузии. Наполним
кювету (стеклянный сосуд с параллельными стенками,
с небольшим расстоянием между ними и некоторой высо-

448 Гл. VI. Дополнения, в частности к теории диффракции
ТОЙ) В ее нижней половине (х < 0) глицерином, в верхней
{х > 0) водой. В то время как вначале (^ = 0) поверхность
раздала между ними {х — 0) резка, в дальнейшем,
вследствие диффузии, она будет все более и более размываться.
При этом концентрация и в точке х = 0 все время
сохраняет значение гг=1/2,
соответствующее полному пере-
|Ц| I мешиванию. Кривая концен-
III * 1 трации и{х) (фиг. 95) имеет в
этом месте точку перегиба,
касательная к которой,
вначале расположенная
горизонтально, образует
постепенно увеличивающийся угол
с поверхностью раздела
(кривые 2и2 на фиг. 95). Для
больших положительных
значений X величина и{х)
приближается к нулю, для
больших отрицательных
значений — к единице. При ^ —> оо
(полное перемешивание при
пренебрежении очень малым
г})авитационным поздействи-
ем) будет гг = 1/2 (линия оо на
фиг. 95).
Мы можем принять, что
показатель преломления п
качественно ведет себя так
же, как и, так что фиг. 95
одновременно представляет п. Мы должны только
снабдить ее другими обозначениями и принять
гг = 0 за п =^ п^от^-= п^
V(X)=f
П(Х) = П2
Фиг. 95. Ход концентрации
и и показателя преломления п
при диффузии.
прямую
прямую
прямую
«вода
глнц.
1»
гг = 1 га п = п
\
г/= 1/2 за n = Y{^i+^2)'
Характеристической точкой этой диаграммы гг (л:) является
точка перегиба
х=^0, ^1@) = "-^-^, причем д'@) максимум п'(^^)-1^8.19)

§ 48, Добавление к геометрической оптике 449
Здесь оптическая неоднородность, выраженная через
градиент от п, наибольшая. Она обращается в нуль только
для ^=оо.
Сделаем переднюю стенку сосуда непрозрачной,
обклеив ее станиолем; оставим только узкую щель,
наклоненную под углом 45° к горизонтали и будем освещать
заднюю сторону перпендикулярно падающим светом
(дуговая лампа с коллиматором). Можно было бы думать, что
на экране для наблюдения, расположенном перед щелью,
наклоненной на 45°, эта щель изобразится прямой линией^
так как каждый падающий световой луч в
соответствующем ему месте х мог бы проходить горизонтальный слой
с постоянным п—п{х). Однако это не так. Вследствие того,
что п' (х) Ф О световой луч будет искривлен; центр
кривизны, в соответствии с градиентом от л, лежит в нижней
части сосуда, а именно, тем выше, чем больше этот
градиент. Так как вследствие небольшого расстояния между
стенками сосуда мы будем иметь дело лишь с очень
коротким криволинейным световым путем, мы можем его
рассматривать как окружность с горизонтальной начальной
касательной у задней стенки сосуда и с наклоненной вниз
конечной касательной у передней стенки. Если
d—расстояние между стенками сосуда, а R—радиус окружности,
то наклон будет ^='dlR, Согласно D8.6), имеем
D8.19а)
R ~' п \dx
с учетом того, что угол а в D8.6) равен ir/2 (градиент
ат п йерпендикулярен к приблизительно горизонтальному
пути света). При выходе из сосуда наклон ^ еще
увеличится в п раз (преломление при переходе в менее плотную
среду—воздух). Поэтому для угла наклона при выходе
получается
T' = «T = d|g|. D8.196)
Точка изображения на экране для наблюдения будет
отклонена книзу на расстояние, соответствующее этому
углу. Наиболее сильное отклонение будет на уровне х=0\
для больших положительных и отрицательных х оно
стремится к нулю, так что кривая изображения вверх и вниз
идет прямолинейно под углом 45°.

450 Гл. VI. Дополнения^ в частности к теории диффракции
На фиг. 96 показана схема изменения во времени
кривой изображения; цифры сверху указывают время,
прошедшее с начала диффузионного процесса. Этот опыт был
-описан Винером [97] и предложен Кольраушем в его
«Практической физике», как метод для измерения
коэффициента диффузии к. Для того чтобы обосновать
последнее, нам необходимо воспользоваться теорией диффузии.
/ о минуты
Фиг. 96. Отклонение света при
диффузии.
Места маисимального отклонения света,
отмеченные штрихами, следует представить
себе расцвеченными цветами радуги.
В одномерном случае дифференциальное уравнение
диффузии имеет вид
J = .g. D8.20)
Если положить
«=/($), S = ^, D8.20а)
что естественно из соображений размерности, то
ди
и, согласно D8.20),
Отсюда следует
dt 2t^ ^^^' дх^ ktf ^^^
rW= -у/'E).
/Ш = Лехр(-1$2^

§ 48. Добавление к геометрической оптике 451
где А—постоянная интегрирования. Таким образом,
согласно D8.20а),
Для самого и из D8.206) получается выражение в виде
интеграла ошибок Гаусса
X
D8.20г)
где /У —вторая постоянная интегрирования.
Заменив в вышестоящих формулах и на показатель
преломления л, мы заключаем из начальных условий
для п:
п = П1 для ^ = О и о; > О,
п = П2 для ^ = О и ж < О,
согласно D0.20г), что
rii-^l/'^A + B, П2= —Y^A + B,
D8.21)
Отсюда, согласно D8.20г), следует для х = 0 и
произвольного t:
n{0) = lh:^^ D8.21а)
в соответствии с нашим утверждением D8.19). Далее мы
находим также для ж=0, согласно D8.206) и D8.21),
дпщ-п^^ D8.216)

452 Гл. VI. Дополнения^ в частности к теории диффракции
Отсюда определяется, на основании D8.196),
максимальный угол выхода светового луча
г (^2—щ) d
2Ут:к1
D8.21в)
и этим одновременно определяется максимальное
отклонение светового луча нашей кривой изображения на
фиг. 96. Это отклонение уменьшается со временем как
1/|/7. Из D8.20в) мы еш;е заключаем, что для х=0 и
всех t
П2'-П, g,^2^4fe,^Q D8.21г)
д^п
^^^ 4 {ktf^ /тс
Кривая показателя преломления, нанесенная как функция
от X, при л: = О все время имеет постоянную точку
перегиба,
Винер использовал формулу D8.21в) для того, чтобы
вычислить коэффициент диффузии к из измеренных
отклонений -jf'- Он проводил наблюдения в возможно лучше
монохроматизованном свете, чтобы получить четко
выраженную кривую отклонения с хорошо измеримыми
максимальными отклонениями. Нас же как раз, интересует
явление, которое имеет место при освеш;ении белым
светом. Нижняя точка, особенно принадлежащая кривой
отклонения 1 на фиг. 96, разложена в узкий, но далеко
выступающий спектр, который мы там обозначили семью
горизонтальными штрихами («семь» цветов радуги,
сверху—красный, снизу—фиолетовый). Ширина этого спектра
в ходе дисперсионного процесса очень быстро уменьшается
и он еще виден только в состоянии 2 на фиг. 96. На
некотором расстоянии от максимального отклонения он слабо
выражен, даже на кривой 1. Все другие точки кривых
1,2 тт. д. появляются в белом свете. Объясним это сточки
зрения волновой теории.
Согласно D8.21в), угол 7' зависит от длины волны,
вследствие дисперсии для Wg и Wi. Таким образом,
различные цвета будут излучаться в различных направлениях
и появятся на экране для наблюдения друг над другом
в последовательности от красного цвета до фиолетового.
Мы не можем, однако, при этом ограничиться
рассмотрением слоя а;==0, как до сих пор, а должны учесть также

§ 48. Добавление к геометрической оптике 453
и соседние слои, для того чтобы получить конечную
интенсивность цветов на экране для наблюдения. Если мы
обозначим через п{х,Х) дисперсию луча, проходящего
через слой х, то необходимо принять во внимание не только
/г@, X), но и поведение п{х, \) вблизи х=0. Последнее
стационарно в точке х=0, и притом только в этой точке.
Согласно D8.21г), кривая п{х, X) имеет здесь точку
перегиба. Угол отклонения 7' 1см. D8.196)] в окрестности
х=0 такой же, как для самого х=0. Цвета усиливаются
в то время, как для точек х ФО они благодаря взаимному
наложению погашаются. Однако возникающий спектр шгг-
рокий только в начале диффузионного процесса. Из-за
знаменателя )/А^ в D8.21 в) быстро уменьшается не только
отклонение, но и дисперсия. Уже в состоянии 2 на фиг. 96
дисперсия сильно уменьшена по сравнению с состоянием 1,
Мы подробно рассмотрели этот пример для того, чтобы
наглядно объяснить суть теории радуги. Для того чтобы
лучи, отраженные, преломленные и одновременно
разложенные в спектр на капельках воды, с достаточной
интенсивностью попадали в глаз как параллельные лучи, фронт
волны (т. е. его след в плоскости падения) должен иметь
точку перегиба, (Вместо «фронта волны» мы должны были
бы здесь, где речь идет о геометрической оптике, скорее
говорить о «поверхности эйконала».) Радиус радуги,
определенный при помощи этого необходимого и достаточного
условия, получается для главной радуги (однократное
отражение в середине капельки) округленно равным
41°, для побочной радуги (двухкратное отражение)
округленно равным 51°20'. Отсюда сразу понятно, что
образующие радугу лучи имеют экстремальный наклон по
сравнению со всеми другими выходящими из капельки
расходящимися лучами; ведь, действительно,
перпендикулярная к ним касательная в точке перегиба имеет
экстремальное положение по сравнению со всеми другими
касательными. (В нашем диффузионном опыте это проявлялось
в том, что спектр цветов окаймлял только нижнюю точку
кривой отклонения). Из этого экстремального положения
образующих радугу лучей следует, что в главной радуге
расходящиеся лучи составляют меньший угол с
падающим солнечным излучением, чем параллельные лучи, так
что они приходят из внутренней части дуги; далее, в побоч-

454 Гл, VI. Дополнениям в частности к теории диффракции
НОЙ радуге они образуют большие углы с падающим
излучением, чем параллельные лучи, и потому приходят с
внешней части дуги; наконец, зона, лежащая между
обеими дугами, кажется более темной, чем внутренняя
часть главной радуги или внешняя часть побочной радуги.
Ранее (стр. 238) мы подчеркивали, что радуга,
рассматриваемая строго, представляет собой трудную диффрак-
ционную задачу, которая меняет свой характер от случая
к случаю, в зависимости от величины капелек. В отношении
рассмотрения этой задачи с точки зрения волновой
теории мы ограничимся одним следствием, которое
непосредственно связано с существованием рассмотренной здесь
точки перегиба. Если мы будем рассчитывать излучение
цилиндрической волновой поверхности, например по
методу седловидной точки, и представим след волновой
поверхности посредством y=S{x)f то нам необходимо найти
точку x = Xq, в которой /5" (xq) = о, и разложить здесь S {х)
в ряд Тейлора:
Тогда в общем случае излучение определяется заданной
посредством S" {Xq) кривизной этого следа волновых
поверхностей. Так как мы имеем дело с апроксимацией
интеграла формы
\ ехр {iky) dXy
то мы прийдем к интегралу Френеля
\ exp{ikaz^)dz, т= х — х^у a^-^S" (Xq),
Однако если след имеет точку перегиба S" (Xq) = О и,
следовательно, его кривизна обращается в нуль, то эта апрок-
симация будет недействительной; интеграл Френеля
переходит в интеграл Эри вида
\ exi^{ikax^)dx, t - x — Xq, cl^-^ S'^' (xq).
Его можно было бы также назвать «интегралом радуги».
Действительно, он характерен для количественного иссле-

§ 49. о природе белого света. Фотонная теория 455
дования распределения цветов в радуге и во всех
соответствующим образом вырожденных волновых задачах.
Соответствующее вырождение подробно рассмотрено в
т. VI, § 21 при асимптотическом представлении функций
Ганкеля. Здесь же мы хотели только показать, что в
основных чертах явление радуги может быть, по крайней мере
качественно, понято с точки зрения геометрической
оптики и что, сверх того, геометрическая оптика в состоянии
дать указание для количественного рассмотрения этой
задачи.
§ 49. О ПРИРОДЕ БЕЛОГО СВЕТА.
ФОТОННАЯ ТЕОРИЯ
В историческом обзоре в § 1, среди основных
достижений Релея в области оптики, мы привели представление
о белом свете, как о совершенно нерегулярном процессе.
Мы процитируем сначала отдельное высказывание Релея
[98] ^), которое касается противоположности белого света,
а именно, правильных монохроматических волн.
«Предполагать (как это иногда делается при оптических
исследованиях), что монохроматический цуг волн может
начаться в заданный момент, длиться определенное время,
быть может охватывающее большое число периодов, и,
наконец, прекратиться, само по себе противоречиво. В
подобное противоречие мы вступаем, говоря о неполяри-
зованном свете, как о монохроматическом свете, тогда,
когда в действительности монохроматический свет с
необходимостью поляризован».
На последнее обстоятельство мы указывали в § 2, где
эллиптическая поляризация идеальной монохроматической
и плоской волны была получена как математическое
следствие уравнений Максвелла. Первое обстоятельство мы
учли в § 22, когда разложили в спектр Фурье цуг волн
такого рода, о котором говорил Релей, и, следовательно,
рассматривали его не как монохроматический, а как
полихроматический волновой процесс.
1) Выдержки из работ Релея даны здесь в переводе с
английского оригинала, причем вторая выдержка [99], воспроизведенная
в немецком переводе Зо1^шерфельда с сокращениями, приведена
полностью.—Прим. ред.

456 Гл, VI. Дополнения^ в частности к теории диффракции
По вопросу о природе белого света мы приведем еще
высказывание Релея [99], которое относится к тогда еще
новому открытию Рентгена:
«Заключение Стокса и Томсона о том, что лучи
Рентгена представляют собой не волны с очень малой длиной
волны, а электромагнитные импульсы, удивляет меня.
Из предположения, что они являются быстро следующими
друг за другом импульсами, я бы, наоборот, заключил,
что они являются волнами с малой длиной волны. Если
короткие волны недопустимы, то длинные волны еще более
недопустимы. Что иначе было бы с теоремой Фурье и ее
утверждением, что любое возмущение может быть
разложено на регулярные последовательности волн?
Разве можно утверждать, что колебания обычного (т. е.
белого) света перед его разложением (все равно будет ли
оно лишь мысленным или последует при помощи
спектроскопа) являются регулярными и отличаются этим от
возмущений, состоящих из отдельных импульсов. Эта точка
зрения, конечно, поддерживалась в прошлом
высокоавторитетными учеными, однако ее неосновательность
была показана Гун, Шустером и автором. Кривая,
представляющая белый свет, если бы ее нарисовать на бумаге,
не показала бы никаких следов таких последовательностей
волн».
Добавим, что независимо от Стокса также Вихерт
отстаивал ту же гипотезу о природе рентгеновских лучей и что
автор этой книги присоединился к нему в своих
нескольких работах в начале настоящего столетия. Напротив,
Планк, как уже отмечалось на стр. 21, при открытии им
кванта действия принял как необходимую предпосылку
полную независимость фаз «естественного» света.
Открытие Лауэ непосредственно наглядно представило
отдельные компоненты Фурье непрерывного рентгеновского
спектра и, совсем в духе Релея, показало беспредметность
различия между импульсным и волновым излучениями.
Мы применяем слова «белый свет» и «естественный
свет» как синонимы. Естественный свет солнца мы
ощущаем как белый, т. е. без всякой спектральной окраски,
так как наш глаз «солнечный»; этим мы хотим сказать,
что наш глаз и относящиеся к нему^|)изиологический и
психологический аппараты зрения на протяжении своей исто-

§ 49. о природе белого света. Фотонная теория 457
рии развития приспособились к спектру солнца. Если бы
мы жили вблизи красного гиганта, то мы бы, вероятно,
воспринимали его красный цвет как нормальный белый.
Как известно, Гете не признавал учение, согласно
которому белый свет представляет собой смесь семи цветов
радуги (в чем, по отношению к ощущению белого, о
котором он при этом главным образом думал, он был
безусловно прав). Однако уже радуга должна была бы его убедить
в том, что белый свет посредством спектрального аппарата
(здесь капелек воды) разлагается на цвета, причем в этом
случае периодичность обусловливается не первичным
солнечным светом, а чувствительным к частоте спектральным
аппаратом.
Гун A886 г.), пожалуй, первый установил, что диффрак-
ция одного единственного «плоского» импульса^) от
решетки, состояш;ей из штрихов, происходит точно так
же, как диффракция плоской волны. Первичный импульс
(или нерегулярная последовательность таких
независимых друг от друга импульсов) встречает при косом
падении (направля10ш;ий косинус а^ по отношению к плоскости
решетки) штрихи решетки через ритмически равные
промежутки времени. Вследствие этого, штрихи решетки
излучают эшелонированную последовательность
вторичных импульсов^) (см. фиг. 37, но только там речь идет
о непрерывной, здесь—о дискретной последовательности
вторичных цилиндрических возбуждений). На
достаточном удалении от решетки они имеют в заданном
направлении (направляющий косинус а по отношению к решетке)
постоянное расстояние друг от друга, равное
X = d(a-ao).
^) Под «плоским импульсом», в противоположность «плоской
волне», мы будем подразумевать электромагнитное возбуждение,
имеющее заметную интенсивность только между двумя
параллельными бесконечными плоскостями, расстояние между которыми
невелико и на каждой параллельной к ним плоскости обладает
постоянным мгновенным значением.—Прим, авт.
2) Соответственно под «вторичным импульсом» мы
подразумеваем возбуждение, которое имеет заметную интенсивность только
между двумя цилиндрическими поверхностями, коаксиальными по
отношению к штриху решетки, и в этой цилиндрической форме
распространяется в наружном направлении со скоростью света.—
Прим, авт.

458 Гл, VI. Дополнения, в частности к теории диффракции
Это выражение есть формула C2.2) при А=1. Только X
теперь обозначает не длину волны монохроматической
синусоидальной линии, а расстояние между импульсами.
Белый характер света при этом не полностью потерян.
От монохроматичности наша последовательность
импульсов еще очень далека. Их периодичность происходит от
решетки, а не от первичного импульса, и будет различна
для различных направлений наблюдения, К спектрам более
высоких порядков (/г > 1) можно прпйти, если разложить
наш вторичный импульс по Фурье на чистые
синусоидальные волны, а именно, на основное колебание с длиной
волны X и на гармоники высшего порядка с длиной
волны Х/А.
Как, однако, обстоит дело с призмой, которая все же
образует из белого света монохроматические волны, без
того чтобы в ней была представлена какая-либо
периодическая структура, как в решетке? Гун отвечает на это сле-
дуюш;им образом. Широкая спектральная линия, т. е.
известный участок непрерывного белого спектра, с точки
зрения волновой оптики представляет собой
модулированный цуг волн (с биениями между соседними частотами).
Эти биения скользят с групповой скоростью по
распространяющемуся с фазовой скоростью цугу волн. Отсюда
следует периодическое изменение формы цуга волн: та
же форма цуга волн всегда устанавливается тогда, когда
группа отстает от фазы на полную длину волны. Вдоль
поверхности выхода призмы пройденный в призме световой
путь непрерывно увеличивается от вершины к
основанию. Те световые пути, которые удовлетворяют только
что названному условию для заданной длины волны,
определяют на поверхности выхода регулярную
последовательность, которая сравнима со структурой решетки.
Таким образом, возникающая благодаря этому регулярность
выходящих волн обусловливается разницей между
групповой и фазовой скоростями, или, как мы тоже можем
сказать, дисперсией. Следовательно, она обусловливается
также и здесь призмой, а не падающим (более или менее
белым или окрашенным) светом.
При помощи представлений об импульсах мы уже так
расширили более старое, без сомнения слишком узкое
понимание волновой теории, что оно приблизилось к гипотезе

§ 49. о природе белого света. Фотонная теория 459
Эйнштейна о световых квантах. Уже при зарождении
оптики идеи механики световых квантов носились в воздухе.
Что такое принцип наименьшего времени
распространения Ферма, как не принцип кратчайшей (геодезической)
линии в механике точки, свободной от воздействия сил?
Оба сводятся к одному и тому же, так как время пробега
и длина волны в случае отсутствия сил пропорциональны
друг другу. То же относится и к принципу наименьшего
действия, вследствие постоянства кинетической энергии
(ср. т. I, § 37). Принцип Ферма приводит к задаче, которая
по праву является излюбленным упражнением по методу
максимума и минимума: при заданных начальной и
конечной точках и заданных скоростях распространения
в первой и второй средах падающая световая частичка
избирает тот путь, по которому она достигнет конечной
точки, лежаш;ей во второй среде, за кратчайшее время.
То же будет, если конечная точка лежит в первой среде,
но добавлено «побочное условие», что наша частичка
должна коснуться поверхности раздела сред 1 ii2. Мы
используем здесь этот принцип для того, чтобы вычислить
кривизну траектории в неоднородной среде, которую мы
в предыдущем параграфе получили из теории эйконала.
Исходим из вариации
р
b\dt = 0\ D9.1)
здесь Pq и Р—заданные начальная и конечная точки
траектории. Рассмотрим слоистую среду, стало быть, среду,
в которой скорость и световой частички (фазовая
скорость света) является заданной функцией одной
единственной координаты X, Вместо и мы введем отношение
скоростей п{х)=с/и{х), где с—скорость, с которой сравнивается
скорость световой частички; величина ее здесь для нас
несущественна. Тогда, согласно D9.1),
р
^8 \n{x)ds = 0, D9.2)
Ро
b^F{x,y')dxr=0, F{x,y')==n{x)Vr+y\
Ро
Напишем это так

460 Гл. VI. Дополнения^ в частности к теории диффранции
Эта вариационная проблема приводит к уравнению Ла-
гранжа
d dF ^^ _ Q
dor ду' ду
И, следовательно, так как F не зависит от у, к
уравнению
d OF _ / \ ^ у' ! ^^ у' _ о (/Q ч\
dx ду' ~~ ^ ' dx у r+Y^ ~^ dx у \-\-у'^ ~^ * ^^ ' '
Пусть а будет углом, который образует касательная
к кривой у = у{х) с осью X] тогда
f ' у' da d v' //гк /\
tga = y, sina = -p^==, cosa^ = ^-^^,^=. D9.4)
Поэтому последний член уравнения D9.3) будет равен
sinoidnldx, предпоследний будет равен n{x)cosoLdoi/dx.
Таким образом, получим
п {х) cos а -^ -f sin а -^ = 0. D9.5)
Однако теперь имеем
dx = cos dds, cosoL-^ — -^ — K, D9.0)
где К—кривизна кривой у{х). Объединив D9.5) и D9.6),
получим
|7Г| = —|gradw| sin а. (^9.7)
Это и есть наша формула D8.6). Геометрическая оптика,
как у^нсе установил Гамильтон, то:нсдественна с обычной
механикой материальной точки, не только в однородной,
но и в неоднородной среде.
Однако для того чтобы от этой примитивной
корпускулярной теории света перейти к современной «фотонной
теории», понадобился смелый шаг в теории квантов, на
который решился Эйнштейн в 1905 г.; необходимо было
положить энергию фотона равной Av, а его импульс
равным /iv/c ^). Только таким путем получаются энергетиче-
^) Наличие у кванта импу^тьса, равного отношению энергии
кванта ^v к скорости света с, непосредственно вытекает из
классических опытов П. Н. Лебедева по световому давлению. См.
Лебедев П. Н., Избранные сочинения, М., 1949 (серия «Классики
естествознания»).—Я/?мл«. ред.

§ 49. О природе белого света. Фотонная теория 461
ские соотношения, которые так ясно проявляются в
фотоэлектрическом эффекте, в эффекте Комптона, в
коротковолновой границе рентгеновского спектра. Только так
классическая физика приводится в согласие с атомной
физикой.
Знаменательно, что Эйнштейн сделал этот шаг в теории
квантов в тот самый год, когда возникла теория
относительности. Де Бройль [100] подчеркивает, что только
релятивистская механика согласуется с требованием фотонной
теории. Согласно классической механике, было бы (если
обозначить энергию фотона через W, его импульс через g,
его скорость, как прежде, через и):
Если сюда подставить для массы т ее значение из общего
отношения W = mc^y то получится
с
а не
W Av
У2^-,/2.
^' С с
как этого требует фотонная теория. Аналогичное
расхождение на множитель 2 получается при вычислении
светового давления, в зависимости от того, будем ли мы
исходить из классической механики или из релятивистской
электродинамики^).
^) В заключение книги Зоммерфельд снова возвращается к
вопросу о «дополнительности волны и частицы», как к результату,
«наиболее замечательному и наиболее важному с точки зрения
теории познания». Таким образом, он, как и в конце гл. 2 (см.
примечание на стр. 119), поддерживает идеалистическую точку зрения
Бора, согласно которой дополнительность связана с
ограниченностью измерительных возможностей наблюдателя.
Соответствующее место в переводе опущено.—Прим, ред.

ЗАДАЧ М
К ГЛАВЕ I
1.1. Сло:>Рсение двух совпадающих по направлению
линейных колебаний с одинаковой частотой. Пусть
колебания, написанные в вещественном виде, имеют форму
а;^ = а^cos(о)^ + ai), х^ — а^о^о^^Ы-^-а^, A)
Вычислить- амплитуду а и фазу а результирующего
колебания
о; = д;^ + ^2 = ^ cos (о)^ + а), B)
образовав их векторную (комплексную) сумму.
1.2. Диаграмма электрического и магнитного векторов
в плоской волне в течение одного периода колебаний. В
идеальном случае (совершенно плоская и полностью
монохроматическая волна) кривая на диаграмме имеет вид
эллипса. Найти условия, при которых она выродится
в круг или прямую.
1.3. К вопросу о поверхностных зарядах на границе
Meoicdy средами I гг II. Показать, что в § 3, п. 2, так же как
и в § 3, п. 1, поверхность должна быть свободна от зарядов.
1.4. Проверка фиг, 4, Вычислить уравнения парабол
jRp и /?з в зависимости от а.
1.5. Е вычислению отра:нсательной способности г
и пропускания d. Подтвердить закон сохранения энергии
r-|-rf=l для произвольных постоянных е, |1.
1.6. Эллиптически поляризованный свет при полном
внутреннем отражении. Доказать формулы E.12) для
максимума разности фаз 7—"^ и для соответствующего
угла падения атах, исходя из формулы E.11).
1.7. Острота максимума эталона Перо и Фабри как
резонансный^ эффект. Следуя указанию Косселя [101],
исследовать электромагнитные собственные колебания
воздушного пространства между посеребренными пластин-

Задачи 463
нами эталона Перо и Фабри, ограничившись случаем, при
котором состояние зависит только от координаты у
(перпендикулярной к пластинкам), пластинки сильно
посеребрены; электрический вектор Е везде колеблется
параллельно пластинкам. Определить частоту этих свободных
колебаний и показать, что они совпадают с частотой
максимумов выну^нсденного колебания, вызванного
перпендикулярно падающей /^-поляризованной волной.
1.8. Опыт Винера при косо падающем свете. Доказать,
что интерференционные полосы появляются при
произвольном угле падения а для обоих случаев поляризаций.
К ГЛАВЕ П1
III. 1. Приведенная масса при внутримолекулярной
проблеме колебаний. Пусть молекула состоит из
положительного иона с массой М^ и отрицательного иона с
массой il/g. Доказать примененное в A8.3) выражение
М~~ М^^ М^'
считая ионы идеальными точечными массами, которые
притягиваются друг к другу центральной силой. Это
же выражение получается при неупругом соударении
двух точечных масс.
111.2. Угол отклонения 8 у призмы. Доказать закон
минимума угла отклонения при симметричном ходе
лучей.
111.3. Призма прямого зрения и ахроматическая призма.
Ограничившись малым углом призмы и малым углом
падения, вычислить отклонение 5 двойной призмы,
составленной из двух различных стекол (показатели
преломления Wi, п^] углы призм cpi, срз); призма 1 стоит
прямо, преломляющее ребро призмы 2 примыкает снизу
к основанию призмы 1, Определить отношение ?2/?i
для 8-= О (призма прямого зрения) и для dbldk = 0
(ахроматическая призма).
111.4. Эффект Зеемана и ларморовская прецессия.
Рассмотреть движение электрона в произвольном атомном
поле, описываемом посредством потенциала V(r): а) при
добавочном однородном магнитном поле В, б) если, вместо

464 Задачи
ЭТОГО, движение относится к координатной системе,
которая вращается вокруг оси В с угловой скоростью ш.
Показать, что движение в случаях «а» и «б» будет одним и тем
же, если выбрать
j е
(О—у—В (формула ларморовской прецессии).
При этом предполагается, что можно пренебречь обычной
центробежной силой по сравнению с силой Кориолиса.
К ГЛАВЕ IV
IV. 1. Прило^нсение элементарной геометрии к выводу
поверхности волновых нормалей. Из инвариантов
тензорной поверхности, представленной посредством эллипсоида
с главными осями а, в, с, в т. II (указание к задаче 1.6)
были выведены следующие две теоремы:
а) Сумма обратных квадратов трех взаимно
перпендикулярных полуосей не зависит от положения
образованного ими трехгранника; следовательно, она равна
111
б) Объем описанного вокруг эллипсоида
параллелепипеда не зависит от его положения и формы; следовательно,
он равен
2а . 26 . 2с.
Применить эти теоремы к эллипсоиду индексов и к
построению последнего, выведенному в §25 [формулы B5.12)—
—B5.19)], и получить отсюда уравнение поверхности
нормалей.
IV.2. Прило^исение элементарной геометрии к
пониманию поверхности лучей. Применить теоремы «а» и «б»
предыдущей задачи к эллипсоиду Френеля и дополнить
построение в § 25 соответствующим построением для
вектора Е. Это приведет к уравнению поверхности
лучей.
IV.3. Доказательство прибли:нсенной формулы {31.9)
для разности фаз при освещении кристаллической
пластинки сходящимся светом. Из точной формулы для разности

Задачи
465
фаз между обоими лучами ABD и АС на фиг. 47
получается достаточное приближение, если заменить р^ и р2
соответствующим средним углом р и рассматривать р^, р2
как малые величины.
УКАЗАНИЯ К РЕШЕНИЮ ЗАДАЧ
1.1. Согласно обычному приему, необходимо было бы
положить
Xi = a^Q,osx, а;2 = ^2cos(т + о), T = u)^+ai, о = а2 —а^;
^1 + ^2 = (^1 + ^2 cos 8) cos т — а2 sin 8 sin т.
Сравнение с формулой B) задачи тогда дает
«1 + а^ cos 8 = а cos (а — aj), а^ sin 8 = а sin (а ¦— ai);
следовательно,
а2 = (а^ + «2 cos 8J + al sin^ 8 = а^ + а^ + га^Дз cos 8, A)
Лг sin 5
tg(a-ai) =
«1 +«2 cos 5
B)
Значительно проще поступить следующим образом.
Напишем, опуская общий множитель ё^"^^ :xi = ai e^*i,
Х2=а2е^^^у а;=ае^*. Тогда o^i, Х2
означают векторы C^Pi, ОР2 в
комплексной плоскости, длины
которых будут «1, ag. Их сумма будет,
согласно фиг. 97,
представляться диагональю 0Q
параллелограмма, построенного на Xi и ^2»
Длина а диагонали, по Пифагору,
дается выражением
а2 = al + <^2 + 2aia2 cos 8,
О Вещественная ось
C)
Фиг. 97. Сложение
двух колебаний с
одинаковыми направлениями
колебаний, но с
различными фазами в
комплексной плоскости.
как в формуле A). Наклон a — ai
диагонали 0Q по отношению к ОР
следует из прямоугольного треугольника OQR
tg(a-ai):
как в формуле B).
a2sin 5
«1 + ^2^08 5 *
(^0

466 Задачи
Для a2=ai и 8= тс—Д из C) следует
a2 = 2ai A —cosA), a = 2aiSin-2-* E)
С этими формулами мы снова встретимся при одной
интерференционной задаче в § 31.
1.2. Если в B.1) положить
то
7] = л COS (т —а), C = -Bcos(t —Р), 1 = кх—Ы,
Отсюда, исключая sin т или cos т, находим
cos X sin (Р — а) = -J sin р — -~ sin а,
sin X sin (Р — а) = — "х ^^^ Р +";»" ^^^ ^
и получаем путем возведения в квадрат и сложения
(•iy+(i-y-2:JF'^«n=sin^-r, Т=Р— A)
Это есть уравнение эллипса по отношению к его центру.
Обе главные оси в общем случае повернуты относительно
осей у у Z] они совпадают с ними только тогда, когда -[ =
= ± х/2.
Если, кроме того, А=В, то эллипс превращается
в круг, в соответствии с критерием B.6) для круговой
поляризации.
Линейная поляризация имеет место, если ^ = 0 или
f = тс. А именно, тогда из A) получается
в соответствии с критерием B.6а).
Такое же вычисление дает для магнитного вектора
(Я,= т|, Я =д в силу B.5)
т] = — Я I/ — cos (х — Р), с = л 1/ — COS (х — а)
и отсюда вместо A)
(i)^ + D-y + 2^^''«T = fsin^. B)

Задачи 467
Поэтому магнитная диаграмма переходит в круг или в
прямую при тех же условиях, что и электрическая.
1.3. Общее доказательство отсутствия поверхностных
зарядов основано на следующем. Из уравнений Максвелла
для непроводников следует, что div D = р не зависит от t.
Однако так как поле должно быть чисто периодическим,
то р = /(а:, у, z) исключается и остается только р = 0. Это
же переносится на поверхностный дивергенс o) = Dn — Dn'.
Формально это проверяется в случае, изложенном
в § 3, п. 2 следующим образом. Согласно фиг. 3, б, для
г/=0 имеем
( {А + С) sin а e^fti* ^^^ * в среде I,
У^\ J5 sin р е^'^гл:sin? 3 среде II.
В силу закона преломления и соотношения D=8E,
отсюда следует
JA + C) sin а .
^ ^ ^ \ pikix sin а
,5sinp ^^
То, что эти два значения равны друг другу, можно легко
показать, если в формуле C.14а) принять во внимание
закон преломления и учесть значения /Wi2 и ^ig.
1.4. Из закона преломления при малом а во втором
приближении следует
таким образом, при последовательном пренебрежении
более высокими степенями а имеем
.±p-«{i±Ki-^"')}- ">
Отсюда получим в том же приближении
а
2
:^[l+?,B„ + 4.)]=l^(l + ^), B)

468
Задачи
как В формуле D.4) для R^, В том же приближении
из A) получим
cos(g + ^)
COS (а —fi)
п
C)
и, В качестве взятого с отрицательным знаком
произведения B) и C), имеем
так и в D.9).
1,5. Для того чтобы провести общее доказательство
(не только для частного случая (Xg — [х^, рассмотренного
в § 4), мы будем исходить из C.9) и C.15). Согласно
D.18), доказываемая формула D.19) имеет вид
+ т
cos^
cos а
= 1.
Путем деления на | BjA \^ она может быть преобразована
к виду
i COS?
' cos а
Тогда, согласно C.9), при р-поляризации
V COS а у cos а V COS а у
И, согласно C.15), при s-поляризации
\ COS а у ' COS а V COS а/
Очевидно, что обе формулы выполняются тождественно.
1.6. Если положить равной нулю производную по а,
то из E.11) получается [при использовании верхнего
знака в числителе и знаменателе E.11)]
^ cos(a-ir)/<i ,'dy\
^"'sin(a + i?')V da J
Sin2(a + ^fi') ^ • t- /^ da ^ ^ ^
Выражение для d^'jcIt. получается путем
дифференцирования закона преломления wsina = cos/p':
c?fl' _ in cos a
la" sin г?' *

Задачи 469
Подстановка в A) дает A)
п • о'о/ I sin 2а COS а
О = Sin 2ф + П : ГГ7 .
При повторном использовании закона преломления
получается
0 = 2w4i^{2-(w2+l)sin2a},
sin l^ ^ \ I / J>
что дает вторую формулу E.12) для sin^amax» которую
требовалось доказать. Для того чтобы переписать E.11)
в вев^ественном виде, составляем
е
'^^—1 cos а sin г В'
е^^-\-1 sin а cos 1^' *
где А = ^ — Ь, или, что то же самое,
д ...
?tgy= -ctgatg^p .
Оба множителя справа могут быть вычислены из
найденного значения для sinamax и из закона преломления:
Этим доказана также первая формула E.12) для tgA/2.
1.7. Если в общем выражении для задачи о пластинке
в § 7, п. 1 положить Л = О, т. е. исключить непрерывное
возбуждение падающей волной, то мы перейдем от
рассмотренных там вынужденных колебаний пластинки к
свободным колебаниям. Волна с амплитудой С, прежде
названная отраженной волной, обозначает теперь так же, как
и волна Dy излучение свободного колебания во внешнее
пространство, которое, очевидно, всегда должно иметь
место, если посеребрение не является полным. Пусть
толщина воздушной пластинки, как и прежде, равна 2/г.
Указанная в задании поляризация лежала также в основе
формул § 7. Согласно предположениям, сделанным в
задании относительно геометрического характера
собственного колебания (независимость от х), необходимо
положить а = р = Y = 0. Далее гг = % == 1, так как все три
среды I, II и III состоят из воздуха.

470 Задачи
Благодаря этому четыре уравнения G.30) и G.31)
упрощаются и дают
^g{Be-^^^ + Ee^^^^), A)
= g(?e-ift'4-fie+i^^). B)
Записанные в таком порядке, они показывают, что задача
стала симметричной как по отношению к С, Z), так и по
отношению к 5, Е, что обусловлено тем, что отпала
падающая волна А, Поэтому можно положить (симметричный
тип)
/) = С, Е^В, C)
из-за чего выражение B) становится тождественным A)
и остается только одно двойное уравнение
- Се'^^ + 2iB sin kh = gCe^^^ = 2gB cos kh. D)
Отсюда следует, при исключении В или С,
tg kh = ^. E)
Или же можно положить (антисимметричный тип)
D= -С, Е= -В. (За)
Оба выражения A) и B) также становятся, благодаря
этому, тождественными, вплоть до знака. Вместо D) и E)
получается
- Се'^^ - 2В cos kh = gCe'^^ = - 2^g В sin А/г, Da)
6--e-^^
Если положить
TO из Ea) получается
«"''=I^-'l + 2P, S = y,Bp + 2mw) G)

Задачи 471
и из E)
«'*'=-{з| (l + 2fi), l = j.[2H{2m+l)^i].{7&)
Из G) и Gа) с учетом выражений F) для Е и р получаем
/с/г = mir , (8)
Л/г = (^т+~^7:-~. (8а)
Таким образом, симметричные и антисимметричные
собственные значения kh располагаются в ряд, состоящий
из равноотстоящих по величине членов; расстояние между
двумя соседними членами равно 71/2. Это полностью
соответствует указанному на фиг. И типу выну^нсденпых
колебаний в эталоне.
Согласно (8) и (8а), постоянная затухания для всех
свободных колебаний одна и та же, а именно, она равна ijg.
Отсюда можно сделать вывод, что также и полуширина
для всех выпу^нсденных колебаний будет одинакова, что
уже было показано на фиг. 11. Для доказательства
достаточно сравнить выводы в т. I, § 19, для простейшего
механического типа свободных затухающих колебаний и
вынужденных затухающих колебаний.
1.8. При произвольном угле падения а падающая
и отраженная волны будут представлены, согласно
общему выражению C.1), формулами
^ le^^^K (I)
Е = Се^^ (* ^^^ *+^ cos а) J ' ^ ^
При р'поляризации (| Е | = iSJ и в силу граничного
условия, имеющего место при г/ = 0, С =—-4, как в (8.3).
Отсюда следует
Re {Eq -|- Е^) = 2А cos {Ы^кх sin а) sin {ку cos а).
Существует система параллельных полос с максимальной
напряженностью электрического поля (максимальным
фотографическим действием) в точках
ку cosa= (m + Yj'^> B)

472 Задачи
Расстояние между полосами больше, чем при
перпендикулярном падении (а = 0), где оно составляло Х/2.
В частности, при а = 7г/4 оно будет равно Х/^/2.
При s-поляризации (| Н | = Н^) вектор Е лежит в
плоскости X, у. Из граничного условия
^ех + ^,х = 0 для у = 0
и согласно фиг. 36, следует С= — ^; согласно A), для
У>0
Не (?'g + Е^)у = 2А sin а sin {Ы — кх sin а) sin {ку cos а),
Re {Ее + Ej)^ = 2А cos а cos (со^ — кх sin а) cos {ку cos а).
Усреднение квадрата по времени дает
/ = 2А^ [sin^a sin^ {ку cos а) + cos^a cos^ {ку cos а)] ^
= 2А^ [cos^a — cos 2а sin^ {ку cos а)].
Для угла падения а = 7u/4, при котором производил
наблюдения Винер, отсюда получается / = ^2^ -г з получается
не система полос, а только равномерное освещение. При
других углах падения появляются, помимо равномерного
освещения, более слабые полосы.
П1.1. Если / означает центральную силу, деленную на
расстояние между обеими точечными массами, то
уравнения движения, записанные в прямоугольных
координатах Ху у я iCi, у1, имеют вид
^l^l = /(^2-^l), Л11У1^/{У2-У1), .JV
•• •• * '
il/2^2 = /(^l-^2), ЛГз 2/2 =/B/1-2/2)-
Отсюда при сложении стоящих друг под другом
уравнений получается уравнение движения центра тяжести, при
их вычитании—уравнение относительного движения:
i = Xi^X2, TQ = 2/1--2/2-
При указанном в задании значении М эти уравнения
представляют движение точечной массы М с координатами ?,

Задачи 473
-Г]. При квазиупругой связи / = const, и поэтому из B)
следует
v+o)§6-o, •7;+<о^о^=о, («§=^. C)
Таким образом, движение является чисто периодическим
с частотой o)q. Это же имеет место при кулоновском
притяжении (/ пропорционально /—^), но не при любой
центральной силе.
1П.2. Закон преломления для передней и задней
граней призмы требует, чтобы
sin а sin а' , ...
sin р ' sin Р' ^ ^
где п' = 1/w, если как передняя, так и задняя грани
граничат с воздухом. Из суммы углов треугольника,
отрезанного лучом от верхней части призмы, следует
ср = р + а'. B)
На передней грани призмы падающий луч будет
отклонен на 8i = a —р, на задней грани выходящий луч—
на 82 = Р'—а'. Общее отклонение составляет
8 = 8, + 82 = а-р + Р'-а',
и, следовательно, в силу B)
8 = а + р'-ср. C)
Подстановка в A) дает
sin а sin а' 1 ,,.
sin(cp —а') "~ ' sinE + ? —а)~ « * ^ ^
Этим самым 8, при исключении а', будет представлена
как функция а.
Дифференцирование D) по а (перед исключением а')
дает для минимума отклонения с?8 = О уравнения
cos adoi + n cos (<р — а') с?а' = О,
п cos а' da' + cos (8 + ср — а) rfa = 0.
Условие их совместимости следующее:
Icosa cos(cp —а')
|cos(8 + ? —а) cos а'
= 0. E)

47.4 Задачи
Путем приравнивания членов в первом и во втором
вертикальном ряду получается а = (8 + ср)/2, а' = ср/2 и,
принимая во внимание B) и C), Р = а', ^' = а. Отсюда можно
сделать заключение о том, что ход лучей симметричен
по отношению к плоскости, делящей пополам угол
призмы, и можно после подстановки в одно из двух
уравнений A) получить формулу
1
sin-2-E + <p)
^ = 1 , F)
часто используемую для экспериментального
определения п,
Ш.З. При малых углах а, ср, а' из обоих уравнений D)
указания III.2 путем исключения а + па' получается
8 = (/г-1)ср.
Для того чтобы это можно было непосредственно
применить к двойной призме, представим себе, что между
призмами 1 я 2 включен узкий воздушный зазор. Тогда в
качестве результирующего отклонения получается (с
учетом противоположного положения преломляющих ребер
обеих призм):
S-81-S2, 8i-K-l)cfi, 82 = К-1)?2. A)
а) Для призмы прямого зрения необходимо потребовать
8 = 0, К-1)ср,-(«2-1)?2 = 0, У, = ^- B)
Так как rii и /ig зависит от длины волны, то это условие
необходимо выполнить только для средней длины волны,
например, для X = 0,590 |х.
б) Для ахроматической призмы требуется
db ^ с1пл drio А Ф2 drill dX zov
5х = 0. ж^1-ж?2 = о, ^-^-ji^. C)
Также и это условие пусть будет выполнено для частного
случая >s = 0,590 [X. Приведенная ниже таблица
показывает ход показателей преломления Пх для легкого борного
кронгласа и П2 для тяжелого флинтгласа. Из B) и C) полу-

Задачи
475
чается для Х = 0,590 |х
ср2 ^ 0,5103
cpi ^ 0,7562'
Dа)
Т2_4Л8
cpi~ 13,84*
D)
Остающееся в случае «а» значение 8 по абсолютной
величине очень мало, но сильно зависит от цвета. Отклонение,
остающееся в случае «б» (конечно также при X —0,590 [л)
не зависит от цвета (только для фиолетового конца
спектра оно немного уменьшается). После того, как мы
произвольно выбрали cpi (как малый угол), срз определяется
посредством формул Dа) и D6).
я
0,761
0,656
0,590
0,486
0,397
Пх
1,5050
1,5076
1,5103
1,5156
1,5245
П2
1,7390
1,7473
1,7562
1,7792
1,8403
Значительно важнее вопрос об ахроматических линзах.
Также и здесь необходимо выполнить условие,
подобное C).
ШЛ. В случае «а» сила инерции электрона при его
движении по траектории должна уравновешиваться
силой — dVjdr, обусловленной атомным полем, и силой Ло-
рентца K = e[vB]. При этом нам нет необходимости
рассматривать форму траектории и изменение скорости
движения по ней. В случае «б», согласно т. I, § 29, место К
занимает обыкновенная центробежная сила Z — тро)'^
(р—расстояние от оси вращения) и сила Кориолиса
Gr = 2m[v(rt] (v—относительная скорость, по отношению
к вращающейся системе), в то время как атомная сила
— дУ/дг такая же, как в случае «а». Примем (см. задание),
что Z можно пренебречь по сравнению с G. Тогда также
и в случае «б» получается равновесие, если положить
G = K. Это дает
2m[va>] = e[vB], со = 1^5.
Этим теорема Лармора доказана.

476 Задачи
Пренебрежение силой Z допустимо при
mp(iJ <g 2w I VI О),
что сводится к тому, что скорость ро), которую
приобретает электрон при включении магнитного поля, должна
быть мала по сравнению со скоростью | v |, которую бы
он имел в отсутствие магнитного поля. При практически
достижимых полях В это условие всегда выполняется.
Мы отсюда делаем вывод, что наша теория эффекта
Зеемана, изложенная в § 21, остается справедливой и в том
случае, если принятая там квазиупругая связь заменяется
кулоновским полем (атом водорода) или любым атомным
полем V (г). В частности, сохраняются правила для
нормального эффекта Зеемана (A(i) = 0 при продольном
наблюдении, 2A(D=±(e/m)S при поперечном), в силу
справедливости теоремы Лармора во всех этих случаях.
IV.1. Нормированный, согласно B5.12), эллипсоид
индексов
u\xl + uixl + ulxl = C, С = ?2^ A)
пересекается плоскостью Е, перпендикулярной к
волновому вектору к
ki Xi + й:2 ^2 + ^3 ^3 = О, B)
и в сечении образуется эллипс. Обозначим величины,
обратные значениям его главных осей, через u'lYC,
u"IYC, как в схеме B5.19), но не предполагая, что буквы
и\ м" обозначают, как прежде, скорости волн.
Перпендикулярный к этим осям радиус обозначим через OP=^L
Координатами Р будут x^ = lkjk. Если их подставить в A),
то получится
^=iS»fe C)
Тогда теорема «а» для построенного на радиусах
трехгранника дает /с/а', ус/а", I
следовательно, в силу C),
u'^ + u"^=^ul(i-^. D)

Задачи All
Для того чтобы можно было применить теорему «б»,
проведем касательную к эллипсоиду A) плоскость Е',
параллельную Е, При произвольной точке касания $i ?2 ^з
уравнение касательной плоскости имеет вид
2«f?i(^i-$i) = 0. E)
Если плоскость должна быть перпендикулярна к А:, то
должно выполняться условие
u!i,=pk, Eа)
(р—множитель пропорциональности). Здесь, так как
точка с должна лежать на эллипсоиде A),
Р'1ц-С. F)
В силу Eа) и A) уравнение E) принимает вид
p2^i^i-C = 0. G)
По правилам аналитической геометрии расстояние
этой плоскости Е от центра равно
следовательно, с учетом F)
Плоскость Е' и параллельная ей противоположная
плоскость Е'\ вместе с плоскостями, которые касаются
эллипсоида в конечных точках главных осей нашего
эллипса сечения, образуют описанный вокруг эллипсоида
параллелепипед. Его объем равен
Согласно теореме «б», этот объем будет равен объему
прямоугольного параллелепипеда, построенного на трех
главных осях эллипсоида \/^С/и^у т. е. равен ЪС'^ j щи<^и^.

478 Задачи
Отсюда следует
^'^^''¦^ = -^^^^^^2 ^2- (9)
7/2 „f'2 _ ^1 ^2 ^3 \1 ^
Из обепх симметричных функций и'^ + и''^
[уравнение D)] и и'^ и"^ [уравнение (9)] для гг^ получается
квадратное уравнение, корнями которого являются и'^ и гг"^-
Можно легко убедиться, что оно совпадает с уравнением
B6.19в) поверхности нормалей, если в посл'еднее
подставить ^. из B6.19).
IV.2. Напишем уравнение B4.6а) эллипсоида Френеля
в форме, аналогичной уравнению A) предыдущей задачи:
Ц + % + %=-(^' C = 2,,W., A)
где х^ теперь обозначают составляющие Е. Так как вектор
Е перпендикулярен к лучевому вектору S и
соответственно к совпадающему с ним единичному вектору s' (^i, ^2, s^),
то теперь следует пересечь эллипсоид плоскостью
s^Xi + S2X2 + s^x^ = О B)
и найти главные оси эллипса сечения. Задача на
экстремум, которую при этом необходимо решить, та же, что
и в § 25, если отвлечься от измененной формы
дополнительных условий A) и B).
Пусть длины главных осей эллипса сечения будут
ус v\ Y Cv"\ I—перпендикулярный к ним радиус
эллипсоида Френеля. Так как координаты его конечной точки
$^ = /5-, то уравнение A) дает
Тогда теорема «а» дает для построенного на радиусах
трехгранника |/"Сб', Y~Cv\ С
следовательно, в силу C),
V' V ^^ их

Задачи 479
При применении теоремы «б» речь идет о касательных
к эллипсоиду Френеля плоскостях Е\ Е'\ параллельных
теперешнему эллипсу сечения. Их уравнением является
2^4(^i-5i) = 0, E)
или (ср. предыдущею задачу),
9^s,x,-C^0, F)
^^^ f^uUl=^C. G)
Отсюда для расстояния от центра получается
P-^-^=^VC^^< (8)
а объем рассматриваемого теперь параллелепипеда равен
2р . 2YCv' . 2 yCv" = 8С'^2 V' v" / ^ si ul
По теореме «б» отсюда получается
Из D) и (9) следует, что г;'^, v"^ являются корнями
квадратного относительно г;^ уравнения, которое мы
можем написать в виде
Vt;2 v'7 \^^ ^ У ^ ^ ^ ^^ ' u\ulul ^
Можно легко показать, что оно тождественно уравнению
поверхности лучей в B6.136).
IV«З. Из фиг. 47 видно, что
АС = ^, АВ^-^, BD^BCsina, A)
cos ^2 COS fii ' ' ^ ^
BC^^EC'-EB^itg ?2- tg Pi) d. (la)
Однако из закона преломления следует
sin а = sin pi -^ = sin ^2 у B)
и поэтому
sinatg3i = р--г, sinatgB2 = 77ri^-r»
° '^^ cos pi /i ' ° ^"^ cos P2 к

480 Задачи
причем волновое число к относится к окружающему
воздуху, ki—к сильнее преломляющемуся лучу, к^—к
слабее преломляющемуся лучу. Поэтому, согласно A) и Aа),
будем иметь
ft Vcos^2 cospi ^ J
Вычисление полной разности фаз Д дает
Д = МС - kiAB - kBD =
VC0SP2 cos^i cosp2 cos^i у ^ ^
= (^2 COS P2 — ^1 COS Pi) d.
Нужно преобразовать для малых углов падения а,
а следовательно, и для малых Pi, Р2 и ввести средний
угол преломления р посредством выражения
sin р = V"sin pi sin Р2;
тогда из обоих законов преломления B) получается
sin^a = sin^p -^~
COS ? V fti ft2 / ' 2 fti fta
С другой стороны, для i = i, 2 имеем
cos Pi = 1 - A sin2p, ... = 1 -i sin2a^+ • • •
^' 2 '^^ 2 ft?
A2 COS p2 — Ai COS Pi = ^2 — ^1--у sin^ a Г j—f) "^ *' * ^
= (A:.-AO{l + |^sin''a+...}.
Если это подставить в C), то, учитывая D), получим
что совпадает с уравнеиием C1.9), которое и
требовалось доказать.

ЛИТЕРАТУРА
1. Mach е., Buch Prinzipien der physikalischen Optik, S. 158,
Journ. Ambr. Barth, 1921.
2. Drecker J., Phys. Zs., 2, 145 A900).
3. Kofink und Menzer, Ann. d. Phys., 39,388 A941).
4. Kofink, Ann. d. Phys., 1, 119 A947).
5. Artman K., Ann. d. Phys., 1, 333 A948).
6. Artman K., Ann. d. Phys., 2, 87 A948).
7. Fragstein, Ann. d. Phys., 4, 271 A948).
8. Воse, Collected Physical Papers, No VI, 1897.
9. Hagen und Rubens, Ann. d. Phys., 1903.
10. Weiss K., Ann. d. Phys., 2, 1 A948).
11. Vogt E., Ann. d. Phys., 3, 82 A948).
12. Born M., Optik, Berlin, 1933, S. 125. (Русский перевод
М. Боpн. Оптика, ОНТИ, 1936.)
13. Wiener О., Ann. d. Phys., 1890.
14. Jager, Ann. d. Phys., 34, 280 A939).
15. Laue M., Ann. d. Phys., 23, 989 A907).
16. Lorentz, Versuch einer Theorie der elektrische und op-
tische Erscheinungen von bewegten Korpern, Leiden 1895,
S. 101.
17. Zeeman, Amst. Akad. Versl., 1914, p. 245; 1915, p. 18.
18. Jооs, Ann. d. Phys., 7, 385 A930).
19. Harres. Dissertation, Jena, 1912.
20. Sagnac, Comt. Rend., 1913.
21. Miсhelsоn and Gale, Astrophys. Journ., 1925.
22. Einstein A., Ann. d. Phys., 17, 1905.
23. Debye und Sоmmerfeld, Ann. d. Phys., 41 A913);
Erster Solvay-Congress, «Theorie du rayonneraent et des
quanta», S. 344.
24. Schrodinger E., Phys. Zs., 23, 301 A922).
25. Koch J., Nova Acta Upsal, 2 <1909).
26. Pasсhen, Ann. d. Phys., 54, 672 A895).
27. Hulme H. R., Proc. Roy. Soc. London 135, 237 A935).
28. Sommerfeld A., Ann. d. Phys., 57, 513 A917).
29. Forsterling und Hansen, Zs. f. Phys., 18, 26 A923).
30. Sommerfeld A. und Unsold, Zs. f. Phys., 36, 268
A926).
31. Teubner, Ges. d. Naturforscher, 1907; Phys. Zs., 8,
841 A912).

482
Литература
32. Sommerfеld A., Ann. d. Phys., 44, 177 A914).
33. Вrillоuin L., Ann. d. Phys., 44, 203 A914).
34. Schrodinger E., Ann. d. Phys., 81 A927).
35. Liebisch Th., Phys. Kristallographie, Leipzig, 1891.
36. Vоlterra, Acta Mathematica, 16, 153 A892).
37. Lindman K. F., Ann. d. Phys., 63, 621 A920); Ann.
d. Phys., 69, 270 A922).
38. Rayleigh, Phil. Mag., 14, 60 A907); Proc. Roy. Soc,
79, 399 A907).
39. Voigt W., Gott. Nachr., 40 A911).
40. Fanо U., Ann. d. Phys., 32, 393 A938); Phys. Rev., 38,
921 A948).
41. Laue M., Preus. Akad., 1914, S. 1144.
42. Weber H., Mathem. Ann., 1, 1 A869).
43. Kirchhoff В., Vorlesung uber Optik, S. 96.
44. Sommerfeld A. und Runge I., Ann. d. Phys.,
35 A911).
45. Кossel W., Zs. f. Naturforschung, 3a, S. 496.
46. Аркадьев В. К., Phys. Zs. Jahrg., 1913, S. 832.
47. Sсhwerd F. M., Die Beugungserscheinungen aus den Fun-
damentalgesetzen der Undulationstheorie analytisch ent-
wickelt, Mannheim, 1835.
48. Mie G., Ann. d. Phys., 25, 377 A908).
49. Van der Pol B. und Bremmer H., Phil. Mag.,
24, 191, 825 A937).
50. Bucerius H., Zs. f. Optik, 1, 188 A946).
51. Debye P., Phys. Zs., 9, 775 A908).
52. Schaefer und Grossman, Ann. d. Phys., 31, 454
A910).
53. Schaefer und Merzkirсh, Zs. f. Phys., 13, 166 A922).
54. Sсhaefer und Wilmsen, Zs. f. Phys., 24, 345 A924).
55. Epstein P. S., Dissertation, Mtinchen, 1914.
56. Воuwkamp O. J., Proefschrift, Groningen, 1941.
57. Meixner J., Zs. f. Naturforschung, 3a, 506 A948).
58. Mоrse und Rubenstein, Phys. Rev., 54, 895 A938).
59. Sommerfeld A., Mathem. Ann., 47, 317 A896).
60. Frank F. und Mises R., Differentialgleichungen der
Physik, первое издание 1927 г., второе—1934 г. (Русский
перевод Ф. Франк и Р. Мизес, Дифференциальные
и интегральные уравнения математической физики, М.,
1937).
61. Калашников А., Журнал русского физического
общества, 44, 133 A912).
62. Pauli W., Phys. Rev., 54, 924 A938).
63. Меiхnеr J., Zs. f. Naturforschung, За, 508 A948).
64. Sommerfel d A., Proc. London Math. Soc, 28 A897).
65. Rayleigh, Phil Mag., 43, 259 A897).
66. Rayleigh, Scientific Papers, vol. IV, p. 283.
67. Bethe H. A., Phys. Rev., 66, 163 A944).
68. Levine H. and Schwinger J., Phys. Rev., 74,
958 A948); 75, 1423 A949).

Литература
483
69. Sommerfеld A., Ann. d. Phys., 42, 389 A943).
70. Mоrse P. M. und Rubenstein J., Phys. Rev., 54,
895 A938).
71. Miles J. W., Phys. Rev., 75, 695 A949).
72. Schwarzschild K., Mathem. Ann., 55, 177 A902).
73. H e 1 m h о 1 t z, Ann. d. Phys., 1874.
74. Fraunhofer, Bayr. Akad., 14 Juni, 1823.
75. Zerniсke F., Zs. f. techn. Phys., No 11, 1935 (краткое
сообщение).
76. Lummer О. und Reiсke F., Die Lehre von der Bil-
dentstehung im Mikroskop von Ernst Abbe, Vieweg, 1910.
77. Laue M., Ann. d. Phys., 43 A914).
78. Young Th., Phil. Trans. Roy. Soc, 20 A802).
79. Rubinоwiсz A., Ann. d. Phys., 53 A917); 73 A924).
80. Maey E., Ann. d. Phys., 49, 93 A893).
81. Rubinоwiсz A., Phys. Rev., 54, 931 A938).
82. Bouwkamp C. J., Physica, 7, 485 A940).
83. Debуe P., Ann. d. Phys., 30, 755 A909).
84. Franz W., Zs. f. Naturforschung, 3a, 500 A948).
85. Stratton and Сhu, Phys. Rev., 56, 99 A939).
86. Strattоn J. A., Electromagnetic Theory, Internat,
Series in Pure and Appl. Physics, New York, 1941.
87. Sоmmerfeld A., Proc. Amst. Acad., 26, 1904.
88. Sommerfeld A., Gott. Nachr., 1905, S. 201.
89. Чepeнков П. А., ДАН СССР, 2, 451 A934).
90. Черенков П. A., Phys. Rev., 52, 378 A937).
91. Франк И. М. и Тамм И. Е., ДАН СССР, 14, 109
A937).
92. Тамм И. Е., Journ. of Phys., 1, 409 A939).
93. Beck G., Phys. Rev., 74, 795 A948).
94. Watson K. M. and Jauch J. M., Phys. Rev., 75,
1249 A949).
95. Кlein F. und Sommerfeld A., Theorie des Krei-
sels, IV, Leipzig, 1910, S. 925.
96. Straubel R., Phys. Zs., 4, 114 A902).
97. Wiener O., Ann. d. Phys., 49, 105 A893).
98. Rауleigh, Phil. Mag., 50, 135 A900); Sci. Papers, vol. IV,
S. 486.
99. Rауleigh, Nature, 57, 607 A898); Sci. Papers, vol. IV,
p. 353.
100. de Вrоglie L., Rev. Mod. Phys., 21, 345 A949).
101. Kossel W., Ann. d. Phys., 36 A939).

ОГЛАВЛЕНИЕ
Предисловие редактора перевода 3
Из предисловия автора 7
§ 1. Введение. Геометрическая, физическая и
физиологическая оптика 11
Глава I. Отражение и преломление света
S 2. Идеальный и естественный свет . . • 17
§ 3. Формулы Френеля, переход из менее плотной
среды в более плотную 26
§ 4. Графическое рассмотрение формул Френеля. Закон
Брюстера 35
§ 5. Полное внутреннее отражение 44
§ 6. Отражение от металлов 53
§ 7. Цвета тонких пленок и толстых пластинок ... 60
§ 8. Стоячие световые волны 80
Глава II. Оптика движущихся сред и источников.
Астрономические вопросы
§ 9. Измерение скорости света 86
§ 10. Аберрация и параллакс 90
§11. Эффект Допплера 94
§ 12. Коэффициент увлечения Френеля и опыт Физо . . 98
§ 13. Отражение от движущегося зеркала 102
§ 14. Опыт Майкельсона 105
§ 15. Опыты Гарресса [19], Саньяка [20] и
Майкельсона—Гейля [21] . 111
§ 16. Квантовая теория света 114
Глава III. Теория дисперсии
§ 17. Собственные колебания электронов в
ультрафиолетовой области 121

Оглавление 485
§ 18. Инфракрасные собственные колебания ионов
наряду с ультрафиолетовыми колебаниями
электронов 127
§ 19. Аномальная дисперсия 132
§ 20. Магнитное вращение плоскости поляризации . . . 137
§ 21. Нормальный эффект Зеемана и некоторые данные
об аномальном эффекте Зеемана 144
§ 22. Фазовая скорость, сигнальная скорость,
групповая скорость 154
§ 23. Теория дисперсии в волноввй механике 166
Глава IV. Кристаллооптика
§ 24. Эллипсоид Френеля, эллипсоид индексов, главные
диэлектрические оси 173
§ 25. Структура плоской волны и ее поляризация ... 178
§ 26. Дуализм, поверхность лучей и поверхность
нормалей, оптические оси 187
§ 27. Задача о двойном лучепреломлении 198
§ 28. Оптическая симметрия кристаллов 205
§ 29. Оптически активные кристаллы и жидкости . . . 210
§ 30. Призма Николя, пластинка в четверть волны,
турмалиновые щипцы и дихроизм 220
§ 31. Интерференционные явления в кристаллических
пластинках в параллельном и сходящемся
поляризованном свете 228
Глава V. Теория диффракции
§ 32. Теория диффракции 239
§ 33. Диффракция на большом числе неупорядоченных
частиц 253
§ 34. Принцип Гюйгенса 258
§ 35. Проблема тени в геометрической оптике и в
волновой оптике 273
§ 36. Диффракция Фраунгофера от прямоугольника
и круга 291
§ 37. Диффракция Френеля от щели 311
§ 38. Диффракционные задачи, допускающие строгое
решение: 323
Глава VI. Дополнения, в частности к теории диффракции
§ 39. Диффракция от очень узкой щели 356
§ 40. Разрешающая способность оптических
инструментов 375

486
Оглавление
§ 41. Призма; принципиальные вопросы теории
разрешающей способности 383
§ 42. Телескоп и глаз. Измерение Майксльсоном величин
неподвижных звезд 389
§ 43. Микроскоп 397
§ 44. К объяснению явлений диффракции Юнгом . . . 403
§ 45. Диффракция в фокусе 411
§ 46. Принцип Гюйгенса в электромагнитной векторной
задаче 420
§ 47. Излучение Черенкова 424
§ 48. Добавление к геометрической оптике.
Криволинейные световые лучи, условие синусов, формула
линзы, радуга 435
§ 49. О природе белого света. Фотонная теория .... 455
Задачи 462
Литература 481

Редактор К. П. ГУРОВ
Технический редактор В. Я. Шаповалов
Корректор А. Н. Окорокова
Сдано в производство 16/XII 1952 г.
Подписано к печати 14/Ш 1953 г.
А 02083. Бумага 84Х1081/32=7,7 бум. л.
25,2 печ. л. в т/ч 1 вкл.
Уч.-издат. л. 25,6. Издат. М 2/1676
Цена 19 р. 45 к. Зак. 677.
16-я типография Союзполиграфпрома
Главиздата Министерства культуры СССР.
Москва, Трехпрудный пер., 9.

Фиг. 48. Пластинка известкового
шпата, вырезанная перпендикулярно к
оптической оси, в натриевом свете между
скрещенными николями.
Фиг. 49. Кварцевая пластинка,
вырезанная перпендикулярно к
оптической оси, в натриевом свете между
скрещенными николями. Просветление в
центре!

Фиг. 50. Пластинка известкового
шпата, вырезанная параллельно оптической
оси, в белом свете. Диагональное
положение.
Фиг. 51. Церуссит двуосный; вырезан
перпендикулярно к средней линии
оптических осей. Диагональное положение.

ОПЕЧАТКИ
Стр.
3
27
31
98
206
369
Ст,рока
1 сн.
6 СН.
1 сн.
формула A1.9)
18 св.
7 сн.
Напечатано
Прим. авт.
X sin а' — ?/ cos а'
IB
+~
Sl3^l ~ ?23^2~-РЗЗ^З
а
"
Следует, читать
Прим. pt'd.
X sin a'+?/cos а'
2С
+^
5,зх,-е2з^2+езз^з

А. ЗОММЕРФЕЛЬД
ОПТИKA
,W"