СОВЕТСКИЕ УЧЕБНИКИ ЯКОВ ПЕРЕЛЬМАН БЫСТРЫЙ СЧЕТ ВЫЧИСЛЕНИЯ, ЗАДАЧИ, ГОЛОВОЛОМКИ КЛАССИКА НАУЧПОПА £ МОСКВА
УДК 51 ББК 22.1 П27 В оформлении обложки использована иллюстрация: roughedges_stock / Shutterstock / FOTODOM Используется по лицензии от Shutterstock / FOTODOM Перельман, Яков Исидорович. П27 Быстрый счет : вычисления, задачи, головоломки / Яков Перельман. —Москва : Эксмо, 2025. —192 с. —(Советские учебники. Классика научпопа). ISBN 978-5-04-221102-7 Сборник «Быстрый счет. Вычисления, задачи, головоломки» приглашает вас в увлекательное путешествие в мир чисел и мате¬ матических загадок вместе с Яковом Перельманом. Известный со¬ ветский математик и популяризатор точных наук в книге «Быстрый счет. Тридцать простых приемов устного счета» делится основными способами и правилами выполнения несложных вычислений в уме. Математический отгадчик «Задумай число» научит вас удивитель¬ ным образом отгадывать задуманные числа. Собранные задачи из журналов разных лет, а также коллекция числовых головоломок и арифметических задач помогут закрепить теоретические навыки на практике, разогреть воображение и критическое мышление. Комбинируя теоретические знания с практическими упражне¬ ниями, Я. Перельман создает идеальный баланс между обучением и развлечением. Независимо от возраста и уровня подготовки, чита¬ тели смогут открыть для себя мир чисел с новой стороны. УДК 51 ББК 22.1 ISBN 978-5-04-221102-7 © Оформление. ООО «Издательство «Эксмо», 2025
Оглавление БЫСТРЫЙ СЧЕТ. ТРИДЦАТЬ ПРОСТЫХ ПРИЕМОВ УСТНОГО СЧЕТА 7 От составителя 9 Умножение на однозначное число 11 Умножение на двузначное число 13 Умножение на 4 и на 8 15 Деление на 4 и на 8 16 Умножение на 5 и на 25 17 Умножение на 1 'Л, на 1 ’Л,на 2 ’Л,на 3/, 19 Умножение на 15, на 125, на 75 21 Умножение на 9 и на 11 23 Деление на 5, на 1 72, на 15 24 Возвышение в квадрат 25 Вычисления по формуле (а + Ь) (а - Ь) - а2 - Ь2 Т1 Полезно запомнить 29 АРИФМЕТИЧЕСКИЕ ВЫЧИСЛЕНИЯ (ИЗ СБОРНИКОВ РАЗНЫХ ЛЕТ) 31 Круглые числа 33 Мудрый обычай старины 37 Хорошо ли мы множим? 43 Русский способ умножения 45 3
Яков Перельман. Быстрый счет. Вычисления, задачи, головоломки Недесятичные системы счисления. Загадочная автобиография 49 Простейшая система счисления 53 Приемы ускоренного умножения 59 Мгновенное умножение 62 Простое умножение 67 Цифры 1, 5 и 6 68 Числа 25 и 76 69 Мгновенное деление 71 БЫСТРЫЙ СЧЕТ И ВЕЧНЫЙ КАЛЕНДАРЬ 73 1. Сколько мне недель? 75 2. Сколько мне дней? 75 3. Сколько мне секунд? 76 4. Какой день недели? 77 Решения задач 1-4 82 ЧИСЛОВЫЕ ГОЛОВОЛОМКИ (ИЗ СБОРНИКОВ РАЗНЫХ ЛЕТ) 85 Предсказать сумму ненаписанных чисел 87 5. Вычисление Р. С. Арраго 87 6. Как получить 20? 89 7. Из семи цифр 89 8. Четырьмя способами 90 9. Четырьмя двойками 90 10. Четырьмя тройками 90 11. Четырьмя четверками 91 12. Пятью единицами 91 13. Пятью двойками 91 14. Пятью тройками 91 4
15. Пятью пятерками 92 16. Пятью девятками 92 17. Двумя цифрами 92 18. Единица 92 19. Десятью цифрами 92 20. Сложить и перемножить 92 21. Столько же 92 22. Три числа 93 23. Умножение и деление 93 24. Вдесятеро больше 93 25. Тысяча 93 26. Двадцать четыре 94 27. Тридцать 94 28. Недостающие цифры 94 29. Какие числа? 95 30. Что делили? 95 31. Деление на 11 95 32. Странные случаи умножения 96 Решения задач 5-32 96 Литературная машина 109 История одной игры 118 Хитрое разрешение мудреной задачи 134 ЗАДАЧИ ИЗ ЖУРНАЛОВ РАЗНЫХ ЛЕТ 143 ИЗ ЖУРНАЛА «ПРИРОДА И ЛЮДИ» 145 33. Расположение чисел 145 34. Сколько было яиц? 145 35. Магические таблицы 146 36. Задача о двух кораблях 148 5
Яков Перельман. Быстрый счет. Вычисления, задачи, головоломки 37. Задача о муже и жене 148 38. О Земле и апельсине 149 39. Четырьмя пятерками 150 ИЗ ЖУРНАЛА «НАУКА И ЖИЗНЬ» 151 40. Признаки делимости на 11 151 41. Два пешехода 152 42. Простые числа 152 43. Знаете ли вы арифметику? 152 ИЗ ЖУРНАЛА «ЗНАНИЕ —СИЛА» 154 44. Четырьмя единицами 154 45. Три числа 154 46. Шесть томов 154 47. Сколько в книге страниц? 155 48. Зачеркнуть три цифры 155 49. Разделить число 155 ИЗ ЖУРНАЛА «КОСТЕР» 156 50. Отгадывания чисел 156 51. Два числа 157 Решения задач 33-51 158 ИЗ ЖУРНАЛА «НАУКА И ЖИЗНЬ» 165 ИЗ ЖУРНАЛА «ЗНАНИЕ —СИЛА» 170 ИЗ ЖУРНАЛА «КОСТЕР» 173 ЗАДУМАЙ ЧИСЛО. МАТЕМАТИЧЕСКИЙ ОТГАДЧИК 175 ОБЪЯСНЕНИЯ «ОТГАДЫВАНИЯ» 188
быстрый счет. Тридцать простых приемов устного счета
От составителя В настоящее время в продаже нет руко¬ водств, содержащих наставления к быстро¬ му выполнению счетных операций в уме. Мы сочли поэтому полезным собрать в краткой брошюре наиболее простые и легко усваи¬ ваемые приемы быстрого устного счета, они рассчитаны на средние способности, имеют в виду не публичные выступления на эстраде, а потребности повседневной жизни. Пользу¬ ющиеся книжечкой должны помнить, что ус¬ пешное овладение ее указаниями предпола¬ гает не механическое, а вполне сознательное распоряжение приемами и, кроме того, более или менее продолжительную тренировку. Зато, усвоив рекомендуемые приемы, можно выполнять быстрые расчеты в уме с безоши¬ бочностью письменных вычислений. Составил Я. И. Перельман Ленинград, 1941 9
Умножение на однозначное число §1. Чтобы устно умножить число на од¬ нозначный множитель (например, 27 х 8), выполняют действие, начиная с умножения не единиц, как при письменном умножении, а иначе: умножают сначала десятки множи¬ мого (20 х 8 - 160), затем единицы (7x8 = 56) и оба результата складывают. Еще примеры: 34 х 7 = 30 х 7 + 4 х 7 = 210 + 28 = 238; 17 х 6 = 40 х 6 + 7 х 6 = 240 + 42 = 282. 11
Яков Перельман. Быстрый счет. Вычисления, задачи, головоломки §2. Полезно знать на память таблицу ум¬ ножения до 19 х 9: 2 3 4 5 6 7 8 9 11 22 33 44 55 66 77 88 99 12 24 36 48 60 72 84 96 108 13 26 39 52 65 78 91 104 117 14 28 42 56 70 84 98 112 126 15 30 45 60 75 90 105 120 135 16 32 48 64 80 96 112 128 144 17 34 51 68 85 102 119 136 153 18 36 54 72 90 108 126 144 162 19 38 57 76 95 114 133 152 171 Зная эту таблицу, можно умножение, на¬ пример 147 х 8, выполнить в уме так: 147 х 8 - 140 х 8 + 7 х 8 = 1120 + 56 = 1176. §3. Когда одно из умножаемых чисел раз¬ лагается на однозначные множители, удоб¬ но бывает последовательно умножать на эти множители. Например: 225 х 6 = 225 х 2 х 3 = 450 х 3 = 1350. 12
Умножение на двузначное число §4. Умножение на двузначное число ста¬ раются облегчить для устного выполнения, приводя это действие к более привычному умножению на однозначное число. Когда множимое однозначное, мыслен¬ но переставляют множители и выполняют действие, как указано в §1. Например: 6 х 28 = 28 х 6 = 120 + 48 = 168. 13
Яков Перельман. Быстрый счет. Вычисления, задачи, головоломки §5. Если оба множителя двузначные, мысленно разбивают один из них на десятки и единицы. Например: 29 х 12 = 29 х 10 + 29 х 2 = 290 + 58 = 348; 41 х 16 = 41 х 10 + 41 х 6 = 410 + 246 = 656 или 41 х 16 = 16 х 41 = 16 х 40 + 16 х 1 = = 640 + 16 = 656. Разбивать на десятки и единицы выгод¬ нее тот множитель, в котором они выражены меньшими числами. §6. Если множимое или множитель лег¬ ко разложить в уме на однозначные числа (например, 14 = 2x7), то пользуются этим, чтобы уменьшить один из множителей, уве¬ личив другой во столько же раз (ср. §3). На¬ пример: 45 х 14 = 90 х 7 = 630. 14
Умножение на 4 и на 8 §7. Чтобы устно умножить число на 4, его дважды удваивают. Например: 112 x4 = 224x2 = 448; 335 х 4 = 670 х 2 = 1340. §8. Чтобы устно умножить число на 8, его трижды удваивают. Например: 217 х 8 = 434 х 4 = 868 х 2 = 1736. Еще удобнее: 217x8 = 200 х 8 + 17 х 8 = = 1600 х 13 = 1736. 15
Деление на 4 и на 8 §9. Чтобы устно разделить число на 4, его дважды делят пополам. Например: 76 : 4 = 38 : 2 = 19; 236:4 = 118:2 = 59. §10. Чтобы устно разделить число на 8, его трижды делят пополам. Например: 464:8 = 232:4 = 116:2 = 58; 516 : 8 = 258 : 4 = 129 : 2 = 64 72. 16
Умножение на 5 и на 25 §11. Чтобы устно умножить число на 5, умножают его на у , т. е. приписывают к числу нуль и делят пополам. Например: 74 х 5 = 740 : 2 = 370; 243 х 5 = 2430 : 2 = 1215. При умножении на 5 числа четного удоб¬ нее сначала делить пополам и к полученному приписать нуль. Например: 74 х 5 = —х 10 = 370. 2 §12. Чтобы устно умножить число на 25, умножают его на т. е. если число крат¬ но 4, делят на 4 и к частному приписывают два нуля. Например: 72x25= —х100 = 1800. 4 17
Яков Перельман. Быстрый счет. Вычисления, задачи, головоломки Если же число при делении на 4 дает ос¬ таток, то При остатке Приписывают к частному 1 25 2 50 3 75 Основание приема ясно из того, что 100:4 = 25; 200:4 = 50; 300:4 = 75. 18
Умножение на 1 У,, на 1 У., тх на 2 7., на3/. £* л §13. Чтобы устно умножить число на 1 72, прибавляют к множимому его половину. На¬ пример: 34 х 1 72 = 34 + 17 = 51; 23 х 1 72 = 23 + 11 72 = 34 72 (или 34,5). §14. Чтобы устно умножить число на 1 74, прибавляют к множимому его четверть. На¬ пример: 48 х 174 = 48 + 12 = 60; 58 х 1 7 = 58 + 14 7, = 72 7, или 72,5. 4 2 2 1 §15. Чтобы устно умножить число на 2 72, к удвоенному числу прибавляют половину множимого. Например: 8 х 272 = 36 + 9 = 45; 39 х 2 72 = 78+ 19 72 = 97 72 (или 97,5). 19
Яков Перельман. Быстрый счет. Вычисления, задачи, головоломки Другой способ состоит в умножении на 5 и делении пополам: 18 х 272 = 90 : 2 = 45. §16. Чтобы устно умножить число на 3/4 (т. е. чтобы найти 3/4 этого числа), умножают число на I1/ и делят пополам. Например: 30 х 3/4 = зо±15 = 2272 (или 22,5). Видоизменение способа состоит в том, что от множимого отнимают его четверть или к половине множимого прибавляют по¬ ловину этой половины. 20
Умножение на 15, на 125, на 75 §17. Умножение на 15 заменяют умноже¬ нием на 10 и на I1/ (потому что 10 х I1/ = 15). Например: 18 х 15= 18 х 172х 10 = 270; 45 х 15 = 450 + 225 = 675. §18. Умножение на 125 заменяют ум¬ ножением на 100 и на 17 (потому что 100 х 174 = 125). Например: 26 х 125 = 26 х 100 х 17 = 4 = 2600 + 650 = 3250. 47 х 125 = 47 х 100 х 174 = = 4700 + ™ = 4700 + 1175 = 5875. 4 21
Яков Перельман. Быстрый счет. Вычисления, задачи, головоломки §19. Умножение на 75 заменяют умноже¬ нием на 100 и на 3/4 (потому что 100 х 3/4 = 75). Например: 18x75 = 18 х 100x7 = 4 = 1800 х 3/ = 1800+900 = 1350. 4 2 Примечание. Некоторые из приведенных примеров удобно выполняются также при¬ емом §6. 18 х 15 = 90 х 3 = 270; 26 х 125 = 130 х 25 = 3250. 22
Умножение на 9 и на 11 §20. Чтобы устно умножить число на 9, приписывают к нему нуль и отнимают мно¬ жимое. Например: 62 х 9 = 620 - 62 = 600 - 42 = 558; 73 х 9 = 730 - 73 = 700 - 43 = 657. §21. Чтобы устно умножить число на 11, приписывают к нему нуль и прибавляют множимое. Например: 87 х И =870 + 87 = 957. 23
Деление на 5, на 1 7, на 15 §22. Чтобы устно разделить число на 5, отделяют запятой в удвоенном числе послед¬ нюю цифру. Например: 68 : 5 = 136 : 10 = 13,6; 237:5 = 474 : 10 = 47,4. §23. Чтобы устно разделить число на 172 делят удвоенное число на 3. Например: 36 : 172 = 72 : 3 = 24; 53: 172= 106 : 3 = З573. §24. Чтобы устно разделить число на 15, делят удвоенное число на 30. Например: 240 : 15 = 480 : 30 = 48 : 3 = 16; 462 : 15 = 924 : 30 = ЗО24/зо = 304/5 = 30,8; (или 924 : 30 = 308 : 10 = 30,8). 24
Возвышение в квадрат §25. Чтобы возвысить в квадрат число, оканчивающееся цифрой 5 (например, 85), умножают число десятков (8) на него же плюс единица (8x9 = 72) и приписывают 25 (в нашем примере получается 7225). Еще примеры: 252; 2 х 3 = 6; 625 452; 4 х 5 = 20; 2025 1452; 14 х 15 = 210; 21025. Прием этот вытекает из формулы (Юх + 5)2 = ЮОх2 + ЮОх + 25 = =100 х (х + 1) + 25. §26. Сейчас указанный прием приложим и к десятичным дробям, оканчивающимся цифрой 5: 25
Яков Перельман. Быстрый счет. Вычисления, задачи, головоломки 8,52 = 72,25; 14,52 = 210,25; 0,352 = 0,1225 ит. п. §27. Так как 0,5 = 72, а 0,25 = 74, то при¬ емом §26 можно пользоваться также и для возвышения в квадрат чисел, оканчиваю¬ щихся дробью V. (8 72 )2 = 72 74; (14 72 )2 = 210 74 и т п. §28. При устном возвышении в квадрат часто удобно бывает пользоваться формулой (а ±b)2 = а2 + b2± 2аЬ. Например: 412 = 402 + 1 + 2 х 40 = 1601 + 80 = 1681; 692 = 702 + 1 - 2 х 70 = 4901 - 140 = 4761; 362 = (35 + I)2 = 1225 + 1 + 2 х 35 = 1296. Прием удобен для чисел, оканчивающих¬ ся на 1, 4, 6 и 9. 26
Вычисления по формуле (а + Ь) (а-b) = а2 - Ь2 §29. Пусть требуется выполнить устно умножение 52 х 48. Мысленно представляем эти множители в виде (50 + 2) х (50 - 2) и применяем приве¬ денную в заголовке формулу: (50 + 2) х (50 - 2) = 502 - 22 = 2496. Подобным же образом поступают во всех вообще случаях, когда один множитель удоб¬ но представить в виде суммы двух чисел, другой —в виде разности тех же чисел: 27
Яков Перельман. Быстрый счет. Вычисления, задачи, головоломки 69 х 71 = (70 - 1) х (70 + 1) = 4899; 33 х 27 = (30 + 3) х (30 - 3) = 891; 53 х 57 = (55 - 2) х (55 + 2) = 3021; 84 х 86 = (85 - 1) х (85 + 1) = 7224. §30. Указанным сейчас приемом удобно пользоваться и для вычислений следующего рода: 71/2х61/2 = (7 + */2)х(7 -1/2) = 48 3/4; 113/4х 12 74 = (12 -1/4)х(12 + 1/4) = = 143 15/,й- 1о 28
Полезно запомнить 37 х 3= 111 Запомнив это, легко выполнять устно ум¬ ножение числа 37 на 6, 9, 12 и т. п. 37x6 = 37x3x2 = 222; 37x9 = 37x3x3 = 333; 37 х 12 = 37 х 3 х 4 = 444; 37 х 15 = 37 х 3 х 5 = 555 и т. д. 7 х п х 13 = Ю01 29
Яков Перельман. Быстрый счет. Вычисления, задачи, головоломки Запомнив это, легко выполнять устно ум¬ ножения следующего рода: 77 х 13 = 1001; 91 х 11= 1001; 77 х 26 = 2002; 91 х 22 = 2002; 77 х 39 = 3003 91 х 33 = 3003 ит. д. 143 х 7 = 1001; 143 х 14 = 2002; 143 х 21 =3003 ит. д. и т. д. В нашей книжечке указаны только про¬ стейшие, наиболее удобоприменимые спо¬ собы устного выполнения действий умно¬ жения, деления и возвышения в квадрат. Практикуясь в сознательном пользовании ими, вдумчивый читатель выработает для себя ряд еще и других приемов, облегчающих вычислительную работу.
АРИФМЕТИЧЕСКИЕ ВЫЧИСЛЕНИЯ (из сборников разных лет)
Круглые числа Вероятно, все замечали на себе и на окру¬ жающих, что среди цифр есть излюбленные, к которым мы питаем особенное пристрас¬ тие. Мы, например, очень любим круглые числа, т. е. оканчивающиеся на 0 или 5. При¬ страстие к определенным числам, предпоч¬ тение их другим заложено в человеческой натуре гораздо глубже, чем обыкновенно ду¬ мают. В этом отношении сходятся вкусы не только всех европейцев и их предков, напри¬ мер древних римлян, но даже первобытных народов других частей света. При каждой переписи населения обычно наблюдается чрезмерное обилие людей, воз¬ раст которых оканчивается на 5 или на 0; их гораздо больше, чем должно бы быть. При¬ чина кроется, конечно, в том, что люди не помнят твердо, сколько им лет и, показывая зз
Яков Перельман. Быстрый счет. Вычисления, задачи, головоломки возраст, невольно «округляют» годы. Замеча¬ тельно, что подобное же преобладание «круг¬ лых» возрастов наблюдается и на могильных памятниках древних римлян. Эта одинаковость числовых пристрастий идет еще дальше. Один германский психолог (проф. К. Марбе) подсчитал, как часто встре¬ чается в обозначениях возраста на древ¬ неримских могильных плитах та или иная цифра, и сравнил эти результаты с повторяе¬ мостью цифр в обозначениях возраста по пе¬ реписи в американском штате Алабама, где живут преимущественно негры. Получилось удивительное согласие: древние римляне и современные нам негры до малейших под¬ робностей сходятся в числовых пристрас¬ тиях! Конечные цифры возраста по частоте их повторяемости располагались в обоих случаях в одинаковой последовательности, а именно: О, 5, 8, 2, 3, 7, 6, 4, 9 и 1. Но и это не все. Чтобы выяснить число¬ вые пристрастия современных европейцев, упомянутый ученый производил такого рода опыты: он предлагал множеству лиц опреде¬ лить на глаз, сколько миллиметров заключа¬ ет в себе полоска бумаги, например в палец длиною, и записывал ответы. Подсчитав затем частоту повторения одних и тех же 34
АРИФМЕТИЧЕСКИЕ ВЫЧИСЛЕНИЯ (из сборников разных лет) конечных цифр, ученый получил снова тот же самый ряд: О, 5, 8, 2, 3, 7, 6, 4, 9 и 1. Нельзя считать случайностью, что народы, столь отдаленные друг от друга и антропо¬ логически, и географически, обнаруживают полную одинаковость числовых симпатий, т. е. явное пристрастие к круглым числам, оканчивающимся на 0 или 5, и заметную не¬ приязнь к числам не круглым. Любовь к пятеркам и десяткам находится, без сомнения, в прямой связи с десятичным основанием нашей системы счисления, т. е. в конечном итоге —с числом пальцев на на¬ ших обеих руках. Остается неразгаданной лишь та правильность, с какой слабеет эта симпатия по мере удаления от 5 и 10. Это пристрастие к округленным числам обхо¬ дится нам, надо заметить, довольно дорого. Товарные цены в розничной продаже всегда тяготеют к этим круглым числам: некруглое число, получающееся при исчислении про¬ дажной стоимости товара, дополняется до большего круглого числа. Цена книги редко бывает 57 коп., 63 коп., 84 коп., а чаще 60 коп., 65 коп., 85 коп. Но округленность цены дости¬ гается обычно за счет покупателя, а не про¬ давца. Общая сумма, которую потребители переплачивают за удовольствие приобретать 35
Яков Перельман. Быстрый счет. Вычисления, задачи, головоломки товары по круглым ценам, накапливается весьма внушительная. Кто-то дал себе труд, задолго до последней войны*, приблизитель¬ но подсчитать ее, и оказалось, что население России ежегодно переплачивало в виде раз¬ ницы между круглыми и некруглыми товар¬ ными ценами не менее 30 миллионов рублей. Не слишком ли дорогая дань невинной сла¬ бости к округлениям? Автор имеет в виду Первую мировую войну 1914-1918 гг. (прим. ред.). 36
Мудрый обычай старины Добравшись после утомительных трудов до желанного конца арифметического дейс¬ твия, предки наши считали необходимым непременно проверить этот в поте лица до¬ бытый итог. Громоздкие приемы вызыва¬ ли недоверие к их результатам. На длинном извилистом пути легче заблудиться, чем на прямой дороге современных приемов. От¬ сюда естественно возник старинный обычай проверять каждое выполняемое арифмети¬ ческое действие —похвальное правило, сле¬ довать которому не мешало бы и нам. Любимым приемом поверки был так на¬ зываемый «способ 9». Этот изящный прием, который полезно и теперь знать каждому, нередко описывается в современных ариф¬ метических учебниках, особенно иност¬ ранных. Правда, он почему-то мало теперь 37
Яков Перельман. Быстрый счет. Вычисления, задачи, головоломки употребляется на практике, но это нисколь¬ ко не умаляет его достоинств. Поверка девяткой основана на «прави¬ ле остатков», гласящем: остаток от деления суммы на какое-либо число равен сумме ос¬ татков от деления каждого слагаемого на то же число. Точно так же остаток произведе¬ ния равен произведению остатков множите¬ лей. С другой стороны, известно также, что при делении числа на 9 получается тот же остаток, что и при делении на 9 суммы цифр этого числа; например 758 при делении на 9 дает 2, и то же получается в остатке от деле¬ ния (7 + 5 + 8) на 9. Сопоставив оба указан¬ ных свойства, мы и приходим к приему по¬ верки девяткой, т. е. делением на 9. Покажем на примере, в чем он состоит. Пусть требуется проверить правильность сложения следующего столбца: 38 932 7 1096 7 + 4 710 043 1 589 106 2 5 339 177 8 Составляем в уме сумму цифр каждого слагаемого, причем в получающихся попут¬ но числах также складываем цифры (дела¬ ется это в самом процессе сложения цифр), пока в конечном результате не получим 38
АРИФМЕТИЧЕСКИЕ ВЫЧИСЛЕНИЯ (из сборников разных лет) однозначного числа. Результаты эти (ос¬ татки от деления на 9) записываем, как по¬ казано на примере, рядом с соответствую¬ щим слагаемым. Складываем все остатки (7+ 7+1 + 2= 17; 1 + 7 = 8) —получаем 8. Такова же должна быть сумма цифр итога (5 339 177), если действие выполнено верно: 5 + 3 + 3 + 9 + 1 + 7 + 7 после всех упрощений равно 8. Поверка вычитания выполняется точно так же, если принять уменьшаемое за сумму, а вычитаемое и разность —за слагаемые. На¬ пример: 6913 1 ~2587 х4 4326 6 4 + 6=10; 1+0=1. Не сложна и поверка умножения, как вид¬ но из следующего примера: 8713 1 х 264 х3 34852 3 52278 17426 2300232 3 Если при такой поверке умножения об¬ наружена будет ошибочность результата, то, 39
Яков Перельман. Быстрый счет. Вычисления, задачи, головоломки чтобы определить, где именно ошибка кро¬ ется, можно поверить способом 9 каждое частное произведение отдельно; а если здесь ошибки не окажется, надо поверить еще и сложение частных произведений. Такая поверка сберегает время и труд только при умножении многозначных чисел; при малых числах проще, конечно, выполнить действие заново. Как поверять по этому способу деление? Если у нас случай деления без остатка, то делимое рассматривается как произведение делителя на частное. В случае же деления с остатком пользуются тем, что делимое = де¬ литель х частное + остаток. Например, выпи¬ сываю из «Арифметики» Магницкого пред¬ лагаемое там для поверки девяткой удобное расположение: 16201387 : 4457 = 3635; остаток 192 сумма цифр 12 8 3 2x8 + 3 = 19; 1+9=10; 1+0=1. Для умножения: 365 5 х 24 I «Сие 3 —3 сему согласно, убо добре есть» 1460 | 730 6_ 8760 30 40
АРИФМЕТИЧЕСКИЕ ВЫЧИСЛЕНИЯ (из сборников разных лет) Для деления: Частного 8 «Согласно Делимого ] Делителя 1 добре делил» L 2 1 6 Остатка 3 Всех 1 Подобная поверка, без сомнения, не ос¬ тавляет желать лучшей в смысле быстроты и удобства. Нельзя сказать того же о ее на¬ дежности: ошибка может и ускользнуть от нее. Действительно, ведь одну и ту же сумму цифр могут иметь разные числа; не только пе¬ рестановка цифр, но иной раз даже и замена одних другими остаются при такой поверке необнаруженными. Укрываются от контроля также лишние девятки и нули, потому что не влияют на сумму цифр. Всецело полагаться поэтому на такой прием поверки было бы не¬ осмотрительно. Предки наши сознавали это и не ограничивались одною лишь поверкой с помощью девятки, но производили еще до¬ полнительную поверку —чаще всего с помо¬ щью семерки. Этот прием основан на том же «правиле остатков» (с. 36), но не так удобен, как способ девятки, потому что деление на 7 приходится выполнять полностью, чтобы найти остатки (а при этом легко возможны 41
Яков Перельман. Быстрый счет. Вычисления, задачи, головоломки ошибки в действиях самой поверки). Две по¬ верки —девяткой и семеркой —уже являют¬ ся гораздо более надежным контролем: что ускользнет от одной, будет уловлено другою. Ошибка не обнаружится лишь в том случае, если разность истинного и полученного ре¬ зультатов кратна числу 7 х 9 = 63. Так как подобная случайность все же возможна, то и двойная поверка не дает полной уверен¬ ности в правильности результата. Впрочем, для обычных вычислений, где ошибаются чаще всего на 1 или на 2 едини¬ цы, можно ограничиться только поверкою девяткой. Дополнительная поверка семеркой чересчур обременительна. Только тот конт¬ роль хорош, который не мешает работе. 42
Хорошо ли мы множим? Старинные способы умножения были не¬ уклюжи и неудобны, но так ли хорош наш нынешний способ, чтобы в нем невозможны были уже никакие дальнейшие улучшения? Нет, наш способ, безусловно, не является со¬ вершенным; можно придумать еще более быстрые или еще более надежные. Укажем одно улучшение, увеличивающее не быстроту выполнения действия, а его надежность. Оно состоит в том, что при многозначном множи¬ теле начинают с умножения не на последнюю, а на первую цифру множителя. Умножение 8713 х 264 примет при этом такой вид: 43
Яков Перельман. Быстрый счет. Вычисления, задачи, головоломки 8713 х 264 14426 52278 34852 2300232. Преимущество подобного расположения в том, что цифры частных произведений, от которых зависят первые наиболее ответс¬ твенные цифры результата, получаются в на¬ чале действия, когда внимание еще не утом¬ лено и, следовательно, вероятность сделать ошибку наименьшая. Кроме того, способ этот упрощает применение так называемо¬ го сокращенного умножения, о котором мы здесь распространяться не можем. 44
Русский способ умножения Вы не можете выполнить умножения мно¬ гозначных чисел, хотя бы даже двузначных, если не помните наизусть всех результатов умножения однозначных чисел, т. е. того, что называется таблицей умножения. В старин¬ ной «Арифметике» Магницкого, о которой мы раньше упоминали, необходимость твер¬ дого знания таблицы умножения воспета в таких, надо сознаться, чуждых для совре¬ менного слуха стихах: Аще кто не твердит таблицы и гордит, Не может познати числом что множати И во всей науки, несвобод от муки, Колико не учит, туне ся удручит И в пользу не будет аще ю забудет. 45
Яков Перельман. Быстрый счет. Вычисления, задачи, головоломки Автор этих стихов, очевидно, не знал или упустил из виду, что существует способ пе¬ ремножать числа и без знания таблицы ум¬ ножения. Способ этот, не похожий на наши школьные приемы, употребителен в обиходе великорусских крестьян и унаследован ими от глубокой древности. Сущность его в том, что умножение любых двух чисел сводит¬ ся к ряду последовательных делений одного числа пополам при одновременном удвоении другого числа. Вот пример: 32 х в 16 х 26 8 х 52 4 х Ю4 2 х 208 1 х 416. Деление пополам продолжают до тех пор, пока в частном не получится 1, параллельно удваивая другое число. Последнее удвоенное число и дает искомый результат. Нетрудно понять, на чем этот способ основан: произ¬ ведение не изменяется, если один множитель уменьшить вдвое, а другой вдвое же увели¬ чить. Ясно поэтому, что в результате много¬ кратного повторения этой операции получа¬ ется искомое произведение: 32 х 13 = 1 х 416.
АРИФМЕТИЧЕСКИЕ ВЫЧИСЛЕНИЯ (из сборников разных лет) Задача: однако как поступать, если при этом приходится делить пополам число не¬ четное? Народный способ легко выходит из это¬ го затруднения. Надо —гласит правило —в случае нечетного числа откинуть единицу и делить остаток пополам; но зато к послед¬ нему числу правого столбца нужно будет прибавить все те числа этого столбца, ко¬ торые стоят против нечетных чисел левого столбца: сумма и будет искомым произведе¬ нием. Практически это делают так, что все стро¬ ки с четными левыми числами зачеркивают; остаются только те, которые содержат нале¬ во нечетное число. Приведем пример (звез¬ дочка указывает, что данную строку надо за¬ черкнуть): 19 х 17 9 х 34 4 х 68* 2 х 136* 1 х 272. Сложив незачеркнутые числа, получаем вполне правильный результат: 17 + 34 + 272 = 323. На чем основан этот прием? 47
Яков Перельман. Быстрый счет. Вычисления, задачи, головоломки Решение: Обоснованность этого приема станет яс¬ на, если принять во внимание, что 19 х 17 = (18 + 1) 17 = 18 х 17 + 17; 9x34 = (8 + 1)34= 8x34 + 34 и т. п. Ясно, что числа 17,34 и т. п., утрачиваемые при делении нечетного числа пополам, необ¬ ходимо прибавить к результату последнего умножения, чтобы получить произведение. Нельзя, как видите, отказать в практич¬ ности этому народному приему умножения, который один научный английский журнал (Knowledge —«Знание») окрестил незадолго до мировой войны «русским крестьянским» способом. 48
Недесятичные системы счисления ЗАГАДОЧНАЯ АВТОБИОГРАФИЯ* В бумагах одного чудака-математика най¬ дена была его автобиография. Она начина¬ лась следующими строками: «Я окончил курс университета 44 лет от роду. Спустя год, 100-летним молодым * Задача, которую Я. Перельман придумал когда-то для чи¬ тателей одного распространенного тогда журнала «При¬ рода и люди» в качестве «задачи на премию». Читателям, решившим задачи, предлагались весьма солидные по тем временам призы —собрания сочинений отечественных и зарубежных авторов, фонограф, фотоаппарат, микро¬ скоп, волшебный фонарь, прибор для гимнастических упражнений, астрономическая труба, счеты-арифмометр и даже домашний кинематограф (с лентами!). 49
Яков Перельман. Быстрый счет. Вычисления, задачи, головоломки человеком, я женился на 34-летней девуш¬ ке. Незначительная разница в возрасте —всего 11 лет —способствовала тому, что мы жили общими интересами и мечтами. Спустя немного лет у меня была уже ма¬ ленькая семья из 10 детей. Жалованья я по¬ лучал в месяц около 200 рублей, из которых 110 приходилось отдавать сестре, так что мы с детьми жили на 130 руб. в ме¬ сяц» и т. д. Чем объяснить странные противоречия в числах этого отрывка? Решение задачи подсказывается назва¬ нием этой главы: недесятичная система счисления —вот единственная причина кажущейся противоречивости приведен¬ ных чисел. Напав на эту мысль, нетрудно догадаться, в какой именно системе счисле¬ ния изображены числа чудаком-математи¬ ком. Секрет выдается фразой: «спустя год (после 44-летнего возраста), 100-летним молодым человеком...» Если от прибавле¬ ния одной единицы число 44 преобража¬ ется в 100, то, значит, цифра 4 —наиболь¬ шая в этой системе (как 9 —в десятичной), а следовательно, основанием системы яв¬ ляется 5. Чудаку-математику пришла фан¬ тазия написать все числа своей биографии 50
АРИФМЕТИЧЕСКИЕ ВЫЧИСЛЕНИЯ (из сборников разных лет) по пятеричной системе счисления, т. е. по такой, в которой единица высшего разряда не в 10, а в 5 раз больше единицы низшего; на первом справа месте стоят в ней простые единицы (не свыше четырех), на втором —не десятки, а пятерки; на третьем не сотни, а «двадцатипятерки» и т. д. Поэтому число, изображенное в тексте записки «44», озна¬ чает не 4 х 10 + 4, как в десятичной системе, а 4 х 5 + 4, т. е. двадцать четыре. Точно так же число «100» в автобиографии означает одну единицу третьего разряда в пятерич¬ ной системе, т. е. 25. Остальные числа за¬ писки соответственно означают: «34» = 3 х 5 + 4 = 19 «11» —5 + 1 = 6 «200» = 2 X 25 = 50 «10» = 5 «710» «130» = 25 + 3 X 5 ‘4= 40 Восстановив истинный смысл чисел за¬ писки, мы видим, что в ней никаких проти¬ воречий нет. «Я окончил курс 24 лет от роду. Спустя год, 25-летним молодым человеком, я же¬ нился на 19-летней девушке. Незначитель¬ ная разница в возрасте —всего 6 лет —51
Яков Перельман. Быстрый счет. Вычисления, задачи, головоломки способствовала тому, что мы жили об¬ щими интересами и мечтами. Спустя немного лет у меня была уже и маленькая семья из 5 детей. Жалованья я получал 50 рублей, из которых 1/5 приходилось от¬ дать сестре, так что мы с детьми жили на 40 рублей». 52
Простейшая система счисления Вообще, нетрудно сообразить, что в каж¬ дой системе высшая цифра, какая может по¬ надобиться, равна основанию этой системы без единицы. Например, в десятиричной системе высшая цифра 9, в шестиричной —5, в троичной —2, в пятнадцатиричной —14, и т. д. Самая простая система счисления, конечно, та, для которой требуется меньше всего цифр. В десятичной системе нужны 10 цифр (считая и 0), в пятеричной —5 цифр, в троичной —3 цифры (1, 2 и 0), в двоич¬ ной —только 2 цифры (1 и 0). Существует ли «единичная» система? Конечно: это сис¬ тема, в которой единицы высшего разряда в один раз больше единицы низшего, т. е. равны ей; другими словами, «единичной» 53
Яков Перельман. Быстрый счет. Вычисления, задачи, головоломки можно назвать такую систему, в которой единицы всех разрядов имеют одинаковое значение. Это самая примитивная система; ею пользуется первобытный человек, делая на дереве зарубки по числу сосчитываемых предметов. Но между нею и всеми другими системами счета есть громадная разница: в ней нет главной особенности нашей нуме¬ рации —так называемого поместного зна¬ чения цифр. Действительно: в «единичной» системе знак, стоящий на 3-м или на 5-м месте, имеет то же значение, что и стоящий на первом месте. Между тем даже в двоич¬ ной системе единица на 3-м месте (справа) уже в 4 раза (2 х 2) больше, чем на 1-м, а на 5-м —в 16 раз больше (2 х 2 х 2 х 2). По¬ этому система «единичная» дает нам очень мало выгоды, так как для изображения ка¬ кого-нибудь числа по этой системе нуж¬ но ровно столько же знаков, сколько было сосчитано предметов: чтобы записать сто предметов, нужно сто знаков, в двоичной же —только семь («1100100»), а в пятерич¬ ной —всего три («400»). Вот почему «единичную» систему едва ли можно назвать «системой»; по крайней мере, ее нельзя поставить рядом с остальными, так как она принципиально от них отличается, не давая никакой экономии в изображении чисел. Если же ее откинуть, то простейшей системой счисления нужно признать систему 54
АРИФМЕТИЧЕСКИЕ ВЫЧИСЛЕНИЯ (из сборников разных лет) двоичную, в которой употребляются всего две цифры: 1 и 0. При помощи 1 и 0 можно изобразить все бесконечное множество чи¬ сел! На практике эта система мало удобна —получаются слишком длинные числа; но тео¬ ретически она имеет все права считаться простейшей. Трудно ли изображать числа в других системах счисления? Нисколько. Положим, вы желаете число 119 изобразить в пятерич¬ ной системе. Делите 119 на 5, чтобы узнать, сколько в нем единиц первого разряда: 119 : 5 = 23, остаток 4. Значит, число простых единиц будет 4. Далее, 23 пятерки не могут стоять все во вто¬ ром разряде, так как высшая цифра в пяте¬ ричной системе —4, и больше 4 единиц ни в одном разряде быть не должно. Делим поэ¬ тому 23 на 5: 23 : 5 = 4, остаток 3. Это показывает, что во втором разря¬ де («пятерок») будет цифра 3, а в третьем («двадцатипятерок») —4. Итак, 119 = 4x25 + 3x5 + 4, или в пятеричной системе «434». 55
Яков Перельман. Быстрый счет. Вычисления, задачи, головоломки Сделанные действия для удобства распо¬ лагают так: 119 | 5 4 | 23 5 3 4 Курсивные цифры (при письме можно их подчеркивать) выписывают справа налево и сразу получают искомое изображение чис¬ ла в иной системе. Приведем еще примеры. Задача: изобразить 47 в третичной си¬ стеме. Решение: 47 3 2 15 3 О | 5 | 3 2 1 Ответ: «1202». Поверка: 1x27 + 2x9 + 0x9-1-2 = 47. Задача: число 200 изобразить в семерич¬ ной системе. 56
АРИФМЕТИЧЕСКИЕ ВЫЧИСЛЕНИЯ (из сборников разных лет) Решение: 200 | 7 14 | 28 | 7 60 0 4 4 Ответ: «404». Поверка: 4х 49+ 0x7 + 4 = 200. Задача: число 163 изобразить в двенадца- теричной системе. Решение: 163 12 43 | 13 12 7 1 1 Ответ: «117». Поверка: 1 х 144 + 1 х 12 + 7 = 163. Думаем, что теперь читатель не затруд¬ нится изобразить любое число в какой угод¬ но системе счисления. Единственная помеха может возникнуть лишь вследствие того, что в некоторых случаях не будет доставать изображений цифр. В самом деле: при изоб¬ ражении числа в системах с основанием бо¬ лее десяти (например, в двенадцатеричной) может явиться надобность в цифрах десять 57
Яков Перельман. Быстрый счет. Вычисления, задачи, головоломки и одиннадцать. Из этого затруднения не¬ трудно выйти, избрав для этих новых цифр какие-нибудь условные знаки или буквы, —хотя бы, например, буквы К и Л, стоящие в русском алфавите на 10-м и 11-м месте*. Так, число 1579 в двенадцатеричной сис¬ теме изобразится следующим образом: 1579 |12 12 131 12 «(10)(11)7», или KA7 37 11 10 19 7 Поверка: 10 х 144 + 11 х 12 + 7 = 1579. Задача: выразить число 1926 в двенадца¬ теричной системе**. Задача: выразить число 273 в двадцате- ричной системе***. * В настоящее время двенадцатеричная система практичес¬ ки не используется, но огромное распространение в связи с появлением компьютеров получили двоичная, восьме¬ ричная и шестнадцатеричная системы счисления. В ка¬ честве цифр шестнадцатеричной системы используются цифры от 0 до 9 и латинские буквы от А до F (прим. ред.). ** Ответ: 1146. *** Ответ: НН, где буквою Н обозначена цифра 13. 58
Приемы ускоренного умножения Мы упоминали раньше, что для выполне¬ ния тех отдельных действий умножения, на которые распадается каждый из указанных выше приемов, существуют также удобные способы. Некоторые из них весьма неслож¬ ны и удобоприменимы; они настолько облег¬ чают вычисления, что мы советуем читателю вообще запомнить их, чтобы пользоваться при обычных расчетах. Таков, например, прием перекрестного умножения, весьма удобный при действии с двузначными числа¬ ми. Способ этот не нов; он восходит к грекам и индусам и в старину назывался «способом молнии», или «умножением крестиком». 59
Яков Перельман. Быстрый счет. Вычисления, задачи, головоломки Теперь он хорошо забыт, и о нем не меша¬ ет напомнить*. Пусть дано перемножить 24 х 32. Мыс¬ ленно располагаем числа по следующей схе¬ ме, одно под другим: 2 4 I X I 3 2 Теперь последовательно производим сле¬ дующие действия: 1)4х2 = 8 —это последняя цифра резуль¬ тата; 2) 2 х 2 = 4; 4 х 3 = 12; 4 + 12 = 16; 6 —пред¬ последняя цифра результата; 1 запоминаем; 3) 2 х 3 = 6, да еще удержанная в уме еди¬ ница, имеем 7 —это первая цифра резуль¬ тата. Получаем все цифры произведения: 7, 6, 8 —768. После непродолжительного упражнения прием этот усваивается очень легко. * Впрочем, в последние годы способ этот снова стал входить в употребление —главным образом благодаря деятельной пропаганде замечательного германского счетчика, инже¬ нера Ф. Ферроля. В Америке выдающиеся педагоги вы¬ сказывались за введение его в школе взамен нынешнего, довольно медленного способа (прим, автора). 60
АРИФМЕТИЧЕСКИЕ ВЫЧИСЛЕНИЯ (из сборников разных лет) Другой способ, состоящий в употребле¬ нии так называемых дополнений, удобно применяется в тех случаях, когда перемно¬ жаемые числа близки к 100. Пусть требуется перемножить 92 х 96. «Дополнение» для 92 до 100 будет 8; для 96 —4. Действие производят по следующей схеме: множители: 92 и 96, дополнения: 8 и 4. Первые две цифры результата получают¬ ся простым вычитанием из множителя «до¬ полнения» множимого или наоборот; т. е. из 92 вычитают 4, или из 96 —8. В том и другом случае имеем 88; к этому числу приписывают произведение «дополнений»: 8 х 4 = 32. По¬ лучаем результат 8832. Что полученный результат должен быть верен, наглядно видно из следующих преоб¬ разований: 92x96 = 88x96 = 88 (100-4) = 88x100-88x4 4x96= 4 ( 88 + 8) = 4х 8 + 88x4 92x96 8832 + 0. 61
Мгновенное умножение Замечательный счетчик-виртуоз д-р Фред Браунс, затмивший славу своих предшест¬ венников и побивший все их рекорды, во многих случаях облегчает себе вычислитель¬ ную работу, прибегая к несложным алгебра¬ ическим преобразованиям. Например, 9882 он выполняет так: 988 х 988 = (988 + 12) х (988 - 12) + 122 = = 1000 х 976 + 144 = 976 144. Легко сообразить, что счетчик в этом слу¬ чае пользуется следующим алгебраическим преобразованием: 62
АРИФМЕТИЧЕСКИЕ ВЫЧИСЛЕНИЯ (из сборников разных лет) (а + Ь)(а - Ь) + Ь2 = а2 - Ь2 + Ь2 = а2. Далее, умножение 986 х 997 выполняется Браунсом так: 986 х 997 = (986 - 3) х 1000 + 3 х 14 = = 983 042. На чем основан этот прием? Представим множители в виде: (1000- 14) х (1000-3) и перемножим эти двучлены по правилам алгебры: 1000 х 1000 - 1000 х 14 - - 1000 х 3 + 14 х 3. Делаем преобразования: 1000 (1000 - 14) - 1000 х 3 + 14 х 3 = = 1000 х 986 - 1000 х 3 + 14 х 3 = = 1000 (986 - 3) + 14 х 3. Последняя строка и изображает прием немецкого счетчика. Интересен применяемый им способ пе¬ ремножения двух трехзначных чисел, у ко¬ торых число десятков одинаково, а цифры 63
Яков Перельман. Быстрый счет. Вычисления, задачи, головоломки единиц составляют в сумме 10. Например, умножение 783 х 787 д-р Браунс выполняет так: 78x79 = 6162; 3x7 = 21; Результат: 616 221. Обоснование способа ясно из следующих преобразований: (780 + 3) (780 + 7) = = 780 х 780 + 780 х 3 + 780 х 7 + 3 х 7 = = 780 х 780 + 780 х 10 + 3 х 7 = = 780 (780 + 10) + 3 х 7 = 780 х 790 + 21 = = 616 200 + 21. Другой прием для выполнения подобных умножений, также практикуемый немецким виртуозом, проще: 783 х 787 = (785 - 2) (785 + 2) = 7852 - 4 = = 616225-4 = 616221. На практике мы можем с успехом пользо¬ ваться для устных выкладок формулой а2 = (а + Ь)(а - Ь) + Ь2.
АРИФМЕТИЧЕСКИЕ ВЫЧИСЛЕНИЯ (из сборников разных лет) Например: 272 = (27 + 3) (27 - 3) + З2 = 729; 632 = 66 х 60 + З2 = 3969; 182= 20 х 16 + 22 = 324; 372 = 40 х 34 + 72 = 1369; 482 = 50 х 46 + 22 = 2304; 542 = 58 х 50 + 42 = 2916. Очень удобен также следующий способ быстрого возвышения в квадрат чисел, окан¬ чивающихся на 5: 352; 3 х 4 = 12; Отв. 1225. 652; 6 х 7 = 42; Отв. 4225. 752; 7 х 8 = 56; Отв. 5625. Правило состоит в том, что умножают число десятков на ближайшее высшее число и к произведению приписывают 25. Прием основан на следующем. Если число десятков а, то все число можно изобразить так: 10а + 5. Квадрат этого числа, как квадрат двучле¬ на, равен 100а2 + 100а + 25 = 100а (а + 1) + 25. 65
Яков Перельман. Быстрый счет. Вычисления, задачи, головоломки Выражение а(а + 1) есть произведение числа десятков на ближайшее высшее число. Умножить число на 100 и прибавить 25 —все равно что приписать к числу 25. Прием этот годен лишь для чисел, оканчи¬ вающихся на 5. Но так как большинство лю¬ дей склонно округлять конец числа до 5, то надобность в возвышении в квадрат подоб¬ ных чисел возникает чаще, чем для прочих. Из того же приема вытекает простой способ возвышать в квадрат числа, состоящие из це¬ лого и 1/2. Например: (3 72)2 = 3,52 = 12,25 = 12 74; (7 72)2 = 56 74; (8 72)2 = 7 1 74 и т. п. 66
Простое умножение Если вы нетвердо помните таблицу умно¬ жения и запинаетесь при умножении на де¬ вять, то собственные пальцы могут вас вы¬ ручить. Положите обе руки на стол —десять пальцев послужат для вас счетной машиной. Пусть надо умножить 4 на 9. Четвертый палец дает вам ответ: налево от него 3 пальца, направо —6; читаете: 36; значит, 4 х 9 = 36. Еще примеры: чему равно 7x9? Седьмой палец имеет налево от себя 6 пальцев, направо —3. Ответ: 63. Чему равно 9x9? Девятый палец имеет по левую сторону 8 пальцев, по правую —1. Ответ: 81. Эта живая счетная машина поможет вам твердо помнить, чему равно 6 х 9, не путать, как иные, 54 и 56. 67
Яков Перельман. Быстрый счет. Вычисления, задачи, головоломки Шестой палец имеет налево 5 пальцев, на¬ право —4; значит, 6 х 9 = 54. ЦИФРЫ 1,5 И6 Вероятно, все заметили, что от перемно¬ жения ряда чисел, оканчивающихся едини¬ цей или пятеркой, получается число, окан¬ чивающееся той же цифрой. Менее известно, что сказанное относится и к числу 6. Поэ¬ тому, между прочим, всякая степень числа, оканчивающегося на 6, также оканчивается шестеркой. Например: 462 = 2116; 463 = 97 336. Обосновать эту любопытную особенность цифр 1, 5 и 6 можно только алгебраическим путем. Рассмотрим ее для 6. Числа, оканчи¬ вающиеся 6, изображаются так: 10а + 6,10b + 6 и т. д., где а и b могут быть любые целые числа. Произведение двух таких чисел равно lOOab + 60b + 60а + 36 = = 10 (ЮаЬ + 6b + 6а) + 30 + 6 = = 10 (ЮаЬ + 6b + 6а + 3) + 6. 68
АРИФМЕТИЧЕСКИЕ ВЫЧИСЛЕНИЯ (из сборников разных лет) Как видим, произведение составляется из некоторого числа десятков и из цифры 6, которая, разумеется, должна оказаться на конце. Тот же прием доказательства можно при¬ ложить к 1 и к 5. Сказанное дает нам право утверждать, что, например, 3362567 оканчивается на 6, 815723 » » 5, 4911732 » » 1 и т. п. ЧИСЛА 25 И 76 Есть и двузначные числа, обладающие тем же свойством, как и числа 1, 5 и 6. Это 25 и —что, вероятно, для многих будет неожи¬ данностью, —число 76. Всякие два числа, оканчивающиеся на 76, дают в произведении число, оканчивающееся на 76. Докажем это. Общее выражение для по¬ добных чисел 100а + 76; 100fr + 76 и т. д. Перемножим два таких числа; получим 10 ОООаЬ + 7600b + 7600а + 5776 = = 10 OOOab + + 7600b + 7600а + 5700 + 76 = = 100 (ЮОаЬ + 76b + 76а + 57) + 76. 69
Яков Перельман. Быстрый счет. Вычисления, задачи, головоломки Положение доказано: произведение будет оканчиваться числом 76. Отсюда следует, что всякая степень числа, оканчивающегося на 76, есть подобное же число: 3762 = 141 376; 5763 = 191 102 976 и т. п. Существуют и более длинные группы цифр, которые, находясь на конце чисел, со¬ храняются и в их произведении. Примером могут служить числа: 376; 625; 90 625. Например, 90 6252 = 8 212 890 625. Предоставляем читателю доказать это по¬ ложение самостоятельно. 70
Мгновенное деление Из многочисленных разновидностей фо¬ кусов этого рода опишем один, основанный на знакомом уже нам свойстве множителя, состоящего из ряда одних девяток; когда умножают на него число со столькими же цифрами, получается результат, состоящий из двух половин: первая —это умножаемое число, уменьшенное на единицу; вторая —результат вычитания первой половины из множителя. Например: 247 х 999 = 246 653; 1372 х 9999 = 1 3718 628 и т. п. Причину легко усмотреть из следующей строки: 71
Яков Перельман. Быстрый счет. Вычисления, задачи, головоломки 247 х 999 = 247 х х 1000 - 1 ) = 247 000 - 247 = = 246 999 - 246. Пользуясь этим, вы предлагаете целой группе товарищей произвести деление мно¬ гозначных чисел —одному 68 933 106 : 6894; другому 8 765 112 348 : 9999; третьему 543 456 : 544, четвертому 12 948 705 : 1295 и т. д., —а сами беретесь обогнать их всех, выполняя те же задачи. И прежде чем они успеют приняться за дело, вы уже вручаете каждому бумажку с полученным вами безо¬ шибочным результатом деления: первому —9999, второму 87652, третьему —999, четвер¬ тому —9999. Вы можете сами придумать по указанно¬ му образцу ряд других способов поражать непосвященных мгновенным выполнением деления.
БЫСТРЫЙ СЧЕТ И ВЕЧНЫЙ КАЛЕНДАРЬ
1. Сколько мне недель? «ч Чтобы научиться по числу лет быстро оп¬ ределять число заключающихся в них недель, нужно только уметь ускоренно множить на 52, т. е. на число недель в году. Пусть дано перемножить 36 х 52. «Счет¬ чик» сразу же, без заминки, говорит вам ре¬ зультат: 1872. Как он его получил? 2. Сколько мне дней? Если спрашивают не о числе недель, а о числе дней, то прибегают к такому при¬ ему: половину числа лет множат на 73 и при¬ писывают нуль —результат и будет искомым числом. Эта формула станет понятна, если за¬ метить, что 730 = 365 х 2. Если мне 24 года, то число дней получим, умножив 12 х 73 = 876 и приписав нуль —8760. Само умножение на 73 также производится сокращенным обра¬ зом, о чем речь впереди. 75
Яков Перельман. Быстрый счет. Вычисления, задачи, головоломки Поправка в несколько дней, происходя¬ щая от високосных лет, обыкновенно в рас¬ чет не принимается, хотя ее легко ввести, прибавив к результату четверть числа лет, —в нашем примере 24 : 4 = 6; общий результат, следовательно, 8766*. Прием для вычисления числа минут чи¬ татель, после сказанного в следующей статье, не затруднится найти самостоятельно. 3. Сколько мне секунд? На этот вопрос также можно довольно быстро ответить, пользуясь следующим при¬ емом: половину числа лет умножают на 63; затем ту же половину множат на 72, резуль¬ тат ставят рядом с первым и приписывают три нуля. Если, например, число лет 24, то для опре¬ деления числа секунд поступают так: 63 х 12 = 756; 72 х 12 = 864; результат 756 864 000. * Указанными далее приемами ускоренного умножения эти операции облегчаются до чрезвычайности, и миллионный результат получается очень быстро. Советую читателю попробовать произвести то же вычисление и обыкновен¬ ным путем, чтобы на деле убедиться, какая экономия во времени получается при пользовании указанной форму¬ лой и нижеприведенными приемами (прим, автора). 76
БЫСТРЫЙ СЧЕТ И ВЕЧНЫЙ КАЛЕНДАРЬ Как и в предыдущем примере, здесь не приняты в расчет високосные годы —ошиб¬ ка, которой никто не поставит вычислителю в упрек, когда приходится иметь дело с сот¬ нями миллионов. На чем же основан указан¬ ный здесь прием? 4. Какой день недели? Умение быстро определять день недели, на какой приходится та или иная дата (напри¬ мер, 17 января 1893 г., 4 сентября 1943 г. и т. п.) основано на знании особенностей нашего ка¬ лендаря, которые мы сейчас и изложим. 1 января 1-го года нашей эры приходи¬ лось (это установлено расчетом) на суббо¬ ту. Так как в каждом простом году 365 дней, или 52 полных недели и 1 день, то год дол¬ жен кончаться тем же днем недели, каким начался; поэтому последующий год начина¬ ется одним днем недели позже, чем предыду¬ щий. Если 1 января 1-го года была суббота, то 1 января 2-го года было днем позже, т. е. воскресенье, 3-го года —на 2 дня позже; а 1 января, например 1923 года, было бы на 1922 дня (1923 - 1) после субботы, —если бы не было ни одного високосного года. Число високосных лет мы найдем, разделив 1923 на 4 = 480; но отсюда, для нового стиля, надо 77
Яков Перельман. Быстрый счет. Вычисления, задачи, головоломки исключить календарную разницу в 13 дней*: 480 - 13 = 467. К полученному числу на¬ до прибавить число дней, протекших после 1 января 1923 года до определяемой даты —скажем для примера, до 14 декабря: это со¬ ставит 347 дней. Сложив 1922, 467 и 347, мы делим сумму на 7, и по полученному остатку 6 определяем, что 14 декабря 1923 года при¬ ходилось на 6 дней после субботы, а именно в пятницу. 1922 + 467 347 2736 Такова сущность вычислений недельно¬ го дня любой даты. На практике дело значи¬ тельно упрощается. Прежде всего заметим, что в течение каждого 28-летнего периода бывает, вообще говоря, 7 високосных лет (неделя), —так что каждые 28 лет день не¬ дели любой даты должен повторяться. Кроме того, вспомним, что в предыдущем примере мы вычли из 1923 сначала 1, а затем кален¬ дарную разницу обоих стилей, т. е. 13, все¬ го 1+13=14 дней, или две полных недели. * Разница между юлианским и григорианским календа¬ рями. В России григорианский календарь (новый стиль) вместо юлианского (старый стиль) был введен в 1918 году (прим. ред.). 78
БЫСТРЫЙ СЧЕТ И ВЕЧНЫЙ КАЛЕНДАРЬ Но полное число недель, понятно, не влияет на результат. Поэтому для дат XX века надо принимать во внимание только: 1) число дней, протекших с 1 января дан¬ ного года, —в нашем примере 347; затем 2) прибавить число дней, соответствую¬ щее остатку лет 347 от деления 1923 на 28, и наконец, 3) число високосных лет в этом остатке, т. е. 4. Сумма этих трех чисел (347 + 19 + 4), т. е. 370, дает при делении на 7 тот же оста¬ ток 6 (пятница), который был получен нами раньше. 347 + 19 4 370 Таким же образом мы найдем, что 15 ян¬ варя 1923 г. приходилось на понедель¬ ник (14 + 19 + 4 = 37; 37 : 7 —в остатке 2). Для 9 февраля нов. ст. 1917 г. мы нашли бы 39 + 13 + 3 = 55; при делении 55 на 7 получаем в остатке 6 —пятница. Для 29 февраля нов. ст. 1904 г.: 59 + 0 - 1* = 58; остаток от деле¬ ния на 7 здесь 2 —понедельник. Дальнейшее * Деля 1904 на 28, было учтено, что 1904 год —високосный; беря же в феврале 29 дней, это обстоятельство учитывает¬ ся второй раз. Поэтому надо лишний день откинуть. 79
Яков Перельман. Быстрый счет. Вычисления, задачи, головоломки упрощение состоит в том, что вместо полно- го числа дней месяца (при исчислении числа дней, протекших после 1 января заданного года), принимают в расчет только его оста¬ ток от деления на 7. Далее, разделив 1900 на 28, получаем в остатке 24 года, в которых со¬ держится 5 високосных лет; прибавив их к 24 и найдя, что сумма 24 + 5, т. е. 29, дает при де¬ лении на 7 остаток 1, определяем, что 1 янва¬ ря 1900 года было в 1-й день недели. Отсюда для первых чисел каждого месяца получаем следующие цифры, определяющие соответс¬ твующие им дни недели (мы будем их назы¬ вать остаточными числами). Остаточные числа для: января 1 февраля 1+31 = 32, или 4 марта 4 + 28 = 32, или 4 апреля 4 + 31 =35, или 0 мая 0 + 30 = 30, или 2 июня 2 + 31= 33, или 5 июля 5 + 30 = 35, или 0 августа 0 + 31 =31, или 3 сентября 3 + 31= 34, или 6 октября 6 + 30 = 36, или 1 ноября 1+31= 32, или 4 декабря 4 + 30 = 34, или 6 Запомнить эти числа нетрудно; кроме того, их можно нанести на циферблат карманных 80
БЫСТРЫЙ СЧЕТ И ВЕЧНЫЙ КАЛЕНДАРЬ часов, поставив возле каждой цифры цифер¬ блата соответствующее число точек. Сделаем теперь расчет дня недели, напри¬ мер для 31 марта 1923 г. Число месяца 31 Остаточное число для марта 4 С начала столетия прошло лет 23 В том числе високосных 5 Сумма 63 Остаток от деления на 7 О —суббота. Задача №1:найти день недели 16 апреля 1948 года. Задача №2:найти день недели 29 февраля 1912 г. (нов. ст.). Для дат предшествующих столетий (XIX, XVIII и т. д.) можно пользоваться теми же числами; но надо помнить, что в XIX веке разница между новым и старым стилем была не 13, а 12 дней; кроме того, при делении 1800: 28 получается в остатке 8, что вместе с 2 ви¬ сокосными годами в этом остатке составля¬ ет 10 (или 10 - 7 = 3), т. е. соответствующее характерное число для дат XIX века должно быть увеличено на 3 - 1 = 2. Так что, напри¬ мер, день недели 31 декабря нов. ст. 1864 го¬ да мы определим сначала по предыдущему, 81
Яков Перельман. Быстрый счет. Вычисления, задачи, головоломки а затем внесем соответствующую поправ- ку —прибавим 2 дня: Число месяца 31 Остаточное число для декабря 6 С начала столетия прошло лет 64 В том числе високосных 16 Поправка для XIX века 2 Сумма 119 Решения задач 1-4 1. Сколько мне недель? Довольно просто: 52 состоит из 50 и 2; 36 умножается на 5 через деление пополам; по¬ лучается 18 —это две первые цифры резуль¬ тата: далее умножение 36 на 2 делается как обыкновенно; получают 72, которые и при¬ писывают к прежним 18 : 1872. Легко увидеть, почему это так. Умножить на 52 —значит умножить на 50 и на 2; но вместо того чтобы умножить на 50, можно половину умножить на 100 —отсюда понят¬ но деление пополам; умножение же на 100 достигается припиской 72 (36 х 2), отчего каждая цифра увеличивается в 100 раз (пе¬ редвигается на два разряда влево). Теперь 82
БЫСТРЫЙ СЧЕТ И ВЕЧНЫЙ КАЛЕНДАРЬ понятно, почему «гениальный» счетчик так быстро отвечает на вопрос «мне столько-то лет; сколько мне недель?». Умножив число лет на 52, ему остается только прибавить еще к произведению седьмую часть числа лет, по¬ тому что в году 365 дней, т. е. 52 недели и 1 день: каждые 7 лет из этих избыточных дней накапливается лишняя неделя. 3. Сколько мне секунд? Правильность нашей формулы выясня¬ ется очень просто. Чтобы определить чис¬ ло секунд, заключающихся в данном чис¬ ле лет, нужно лета (в нашем примере 24) умножить на число секунд в году, т. е. на 365 х 24 х 60 х 60 = 31 536 000. Мы делаем то же самое, но только большой множитель 31 536 разбиваем на две части (припис¬ ка нулей сама собой понятна). Вместо то¬ го чтобы умножать 24 х 31 536, умножают 24 на 31 500 и на 36, но и эти действия мы для удобства вычислений заменяем други¬ ми, как видно из следующей схемы: 24x31536 = 24 х 31 500 = 12 х 63 000 = 756 000 24 х 36 = 12x72 = 864 756 864. Остается лишь приписать три нуля —и мы имеем искомый результат: 756 864 000. 83
Яков Перельман. Быстрый счет. Вычисления, задачи, головоломки 4. Какой день недели? Задача №1:найти день недели 16 апреля 1948 года. Решение: Число месяца 16 Остаточное число для апреля О С начала столетия прошло лет 48 В том числе високосных 12 Сумма 76 Остаток от деления на 7 6 —пятница. Задача №2:найти день недели 29 февраля 1912 г. (нов. ст.). Решение; Число месяца 29 Остаточное число для февраля 4 С начала столетия прошло лет 12 В том числе високосных 1 2 Сумма 47 Остаток от деления на 7 5 —четверг.
ЧИСЛОВЫЕ ГОЛОВОЛОМКИ (из сборников разных лет)
Предсказать сумму ненаписанных чисел 5. ВЫЧИСЛЕНИЕ Р. С. АРРАГО* Одним из наиболее поражающих «номе¬ ров», выполняемых феноменальным русским вычислителем Р. С. Арраго, является молние¬ носное —с одного взгляда —складывание целого столбца многозначных чисел. Но что * Роман Семенович Арраго (настоящая фамилия Левитин) (1883-1949) —артист оригинального жанра, один из из¬ вестнейших российских счетчиков. В 1908-1912 гг. гас¬ тролировал по Европе, Южной Америке и Австралии. Выполнял сложные вычисления и номера мнемоники, решал задачи по возведению в степень и извлечению кор¬ ня из десятизначных чисел, отвечал на вопросы зрителей о точных датах рождения знаменитых людей. В 1912 году окончательно вернулся в Россию. Большую часть жизни работал в СССР. В годы Великой Отечественной войны много выступал на заводах, в воинских частях, госпита¬ лях, а после войны —в театрах и цирках (прим. ред). 87
Яков Перельман. Быстрый счет. Вычисления, задачи, головоломки сказать о человеке, который может написать сумму еще раньше, чем ему названы все ела- гаемые? Это, конечно, фокус, и выполняется он в таком виде. Отгадчик предлагает вам на¬ писать какое-нибудь многозначное число по вашему выбору. Бросив взгляд на это первое слагаемое, отгадчик пишет на бу¬ мажке сумму всей будущей колонны сла¬ гаемых и передает вам на хранение. После этого он просит вас (или кого-нибудь из присутствующих) написать еще одно сла¬ гаемое —опять-таки какое угодно. А затем быстро пишет сам третье слагаемое. Вы складываете все три написанных числа —и получаете как раз тот результат, который заранее был написан отгадчиком на спря¬ танной у вас бумажке. Если, например, вы написали в первый раз 83 267, то отгадчик пишет будущую сумму 183 266. Затем вы пишете, допустим, 27 935, а отгадчик приписывает третье слагаемое —72 064: I Вы : 83 267 III Вы : 27 935 IV Отгадчик: 72 064 II Сумма 183 266 Получается в точности предсказанная сумма, хотя отгадчик не мог знать, каково 88
ЧИСЛОВЫЕ ГОЛОВОЛОМКИ (из сборников разных лет) будет второе слагаемое. Отгадчик может предсказать также сумму 5 или 7 слагае¬ мых, но тогда он сам пишет два или три из них. Никакой подмены бумажки с резуль¬ татом здесь заподозрить вы не можете, так как она до последнего момента хранится в вашем собственном кармане. Очевидно, отгадчик пользуется здесь каким-то неиз¬ вестным вам свойством чисел. Каким? б. КАК ПОЛУЧИТЬ 20? Вы видите здесь три числа, подписанные одно под другим: 111 777 999 Надо зачеркнуть шесть цифр так, чтобы оставшиеся числа составляли вместе 20. Мо¬ жете ли вы это сделать? 7. ИЗ СЕМИ ЦИФР Напишите подряд семь цифр от 1 до 7: 1 2 3 4 5 6 7. Легко соединить их знаками + и - так, чтобы получилось 40: 12 + 34 - 5 + 6 - 7 = 40. Попробуйте найти другое сочетание тех же цифр, при котором получилось бы не 40, а 55. 89
Яков Перельман. Быстрый счет. Вычисления, задачи, головоломки 8. ЧЕТЫРЬМЯ СПОСОБАМИ Четырьмя различными способами выра¬ зите 100 пятью одинаковыми цифрами. 9. ЧЕТЫРЬМЯ ДВОЙКАМИ Эта задача замысловатее предыдущих. Надо четырьмя двойками написать число 111. Возможно ли это? 10. ЧЕТЫРЬМЯ ТРОЙКАМИ Очень легко написать четырьмя тройка¬ ми число 12: 12 = 3 + 3 + 3 + 3. Немного хитрее составить подобным же образом из четырех троек числа 15 и 18: 15 = 3 + 3 + 3x3. 18 = 3x3 + 3x3. Но если бы потребовалось написать тем же манером четырьмя тройками число 5, вы, вероятно, не сразу догадались бы, что 5 = (3+3) + 3. Попробуйте же теперь сами отыскать спо¬ собы, как составить из четырех троек: число 1 число 2 90
ЧИСЛОВЫЕ ГОЛОВОЛОМКИ (из сборников разных лет) число 3 число 4 число 6 число 7 число 8 число 9 число 10 Короче говоря —все числа от 1 до 10 (как написать число 5, было уже показано). 11. ЧЕТЫРЬМЯ ЧЕТВЕРКАМИ Если вы справились с предыдущей зада¬ чей и имеете охоту к подобным головолом¬ кам, попробуйте составить все числа от 1 до 10 четырьмя четверками. Это нисколько не сложнее, чем составле¬ ние тех же чисел из троек. 12. ПЯТЬЮ ЕДИНИЦАМИ Напишите число 100 пятью единицами. 13. ПЯТЬЮ ДВОЙКАМИ Можно ли пятью двойками написать чис¬ ло 28? 14. ПЯТЬЮ ТРОЙКАМИ Написать число 100 пятью тройками. 91
Яков Перельман. Быстрый счет. Вычисления, задачи, головоломки 15. ПЯТЬЮ ПЯТЕРКАМИ Как написать число 100 пятью пятерками? 16. ПЯТЬЮ ДЕВЯТКАМИ Выразите 10 пятью девятками. Укажите, по крайней мере, два способа. 17. ДВУМЯ ЦИФРАМИ Какое наименьшее целое число можете вы написать двумя цифрами? 18. ЕДИНИЦА Выразите 1, употребив все десять цифр. 19. ДЕСЯТЬЮ ЦИФРАМИ Выразите 100, употребив все десять цифр. Сколькими способами можете вы это сделать? Существует не меньше четырех способов. 20. СЛОЖИТЬ И ПЕРЕМНОЖИТЬ Какие два целых числа, если их сложить, дают больше, чем если их перемножить? 21. СТОЛЬКО ЖЕ Какие два целых числа, если их перемно¬ жить, дают столько же, сколько получается от их сложения? 92
ЧИСЛОВЫЕ ГОЛОВОЛОМКИ (из сборников разных лет) 22. ТРИ ЧИСЛА Какие три целых числа, если их перемно¬ жить, дают столько же, сколько получается от их сложения? 23. УМНОЖЕНИЕ И ДЕЛЕНИЕ Какие два целых числа, если разделить большее из них на меньшее, дают столько же, сколько получается при их перемно¬ жении? 24. ВДЕСЯТЕРО БОЛЬШЕ Числа 12 и 60 имеют любопытное свойс¬ тво: если их перемножить, получится ровно в 10 раз больше, чем если их сложить: 12 х 60 = 720; 12 + 60 = 72. Попытайтесь найти еще такую пару. А может быть, вам посчастливится разыс¬ кать даже несколько пар чисел с тем же свойством. 25. ТЫСЯЧА Можете ли вы число 1000 выразить девя¬ тью одинаковыми цифрами? Кроме цифр, разрешается пользоваться также знаками действий. 93
Яков Перельман. Быстрый счет. Вычисления, задачи, головоломки 26. ДВАДЦАТЬ ЧЕТЫРЕ Очень легко число 24 выразить тремя восьмерками: 8 + 8 + 8. Но можете ли вы сде¬ лать то же, пользуясь не восьмерками, а дру¬ гими тремя одинаковыми цифрами? Задача имеет не одно решение. 27. ТРИДЦАТЬ Число тридцать легко выразить тремя пя¬ терками: 5x5 + 5. Труднее сделать это тремя другими одина¬ ковыми цифрами. Попробуйте. Может быть, вам удастся отыскать несколько решений? 28. НЕДОСТАЮЩИЕ ЦИФРЫ В этом примере умножения больше поло¬ вины цифр заменено звездочками: Х 3*2 *3* 3*2* *2*5 1*8*30 Можете ли вы восстановить недостающие цифры? 94
ЧИСЛОВЫЕ ГОЛОВОЛОМКИ (из сборников разных лет) 29. КАКИЕ ЧИСЛА? Вот еще задача такого же рода. Требует¬ ся установить, какие числа перемножаются в примере: х>$ х р* 2**5 13*0 X- х- х- 4*77* 30. ЧТО ДЕЛИЛИ? Восстановите недостающие цифры в та¬ ком примере деления: *2*5* 325 х-х-х- | х-х- X-QX-X- X-QX-X- *5* *5* 31. ДЕЛЕНИЕ НА11 Напишите какое-нибудь девятизначное число, в котором нет повторяющихся цифр (все цифры разные) и которое делится без остатка на 11. Напишите наибольшее из таких чисел. Напишите наименьшее из таких чисел. 95
Яков Перельман. Быстрый счет. Вычисления, задачи, головоломки 32. СТРАННЫЕ СЛУЧАИ УМНОЖЕНИЯ Рассмотрите такой случай умножения двух чисел: 48 х 159 = 7632. Он замечателен тем, что в нем участвуют по одному разу все девять значащих цифр. Можете ли вы подобрать еще несколько та¬ ких примеров? Сколько их, если они вообще существуют? Решения задач 5-32 5. ВЫЧИСЛЕНИЕ Р. С. АРРАГО Отгадчик пользуется тем, что от прибав¬ ления, скажем, к 5-значному числу числа из 5 девяток (99 999) это число увеличивается на 1 000 000 - 1, т. е. впереди него появляется единица, а последняя цифра уменьшается на единицу. Например: 83 267 + 99 999 183 266. 96
ЧИСЛОВЫЕ ГОЛОВОЛОМКИ (из сборников разных лет) Эту сумму —т. е. сумму написанного вами числа и 99999 —отгадчик и пишет на бумажке как будущий результат сложения. А чтобы результат оправдался, он, увидев ва¬ ше второе слагаемое, выбирает свое, третье слагаемое так, чтобы вместе со вторым оно составило 99999, т. е. вычитает каждую циф¬ ру второго слагаемого из 9. Эти операции вы легко можете теперь проследить на предыду¬ щем примере, а также и на следующих при¬ мерах: I Вы: 379 264 I Вы: 9935 III Вы: 4873 III Вы: 5669 IV Отгадчик: 995 126 IV Отгадчик: 4330 II Сумма 1379 263 II Сумма 19 934 Легко усмотреть, что вы сильно затруд¬ ните отгадчика, если ваше второе слагаемое будет заключать больше цифр, чем первое: отгадчик не сможет написать слагаемого, которое уменьшит ваше второе число для оправдания предсказанного им слишком малого результата. Поэтому опытный от¬ гадчик предупредительно ограничивает свободу вашего выбора этим условием. Фо¬ кус выходит внушительнее, когда в приду¬ мывании слагаемых участвуют несколько лиц. После первого же слагаемого, напри¬ мер 437 692, отгадчик уже предсказывает сумму всех пяти чисел, именно записыва¬ ет 2 437 690 (здесь будет добавлено дважды 97
Яков Перельман. Быстрый счет. Вычисления, задачи, головоломки 999 999, т. е. 2 000 000 - 2). Дальнейшее ясно из схемы: I Вы написали: 437 692 III Другой написал: 822 541 V Третий написал: 263 009 IV Отгадчик добавил: 177 468 VI » » 736 990 II » предсказал: 2 437 690. 6. Как получить 20? Вот как это надо сделать (зачеркнутые цифры заменены нулями): 011 ООО 009 Действительно: 11 + 9 = 20. 7. Из семи цифр Задача имеет не одно, а три разных реше¬ ния. Вот они: 123 + 4 - 5 - 67 = 55; 1-2-3-4 + 56+ 7 = 55; 12 - 3 + 45 - 6 + 7 = 55. 8. Четырьмя способами Число 100 можно выразить пятью одина¬ ковыми цифрами, употребив в дело едини¬ цы, тройки и —всего проще —пятерки: 98
ЧИСЛОВЫЕ ГОЛОВОЛОМКИ (из сборников разных лет) 111 - 11 = 100; 33 х 3 + 33 = 100; 5х5х5-5х5 = 100; (5 + 5 + 5 + 5)х5 = 100. 9. Четырьмя двойками 222 —=111. 2 10. Четырьмя тройками 33 1 = —(есть и другие способы). _ 3 3 . 3x3+3 2 = —+ —• 4 = • 3 3’ 3 3 = ; 6 = (3 + 3) х |. Мы привели здесь только по одному ре¬ шению, но можно придумать и еще. Напри¬ мер, число 8 можно составить не только так, как здесь показано, но еще и иначе: 33 8 = —-3. 3 11 . Четырьмя четверками 44 4+4 4x4 1 = —ИЛИ —,или —и т. д. 44 4+4 4x4 п 4 4 4x4 2 = или —;4 4 4+4 99
Яков Перельман. Быстрый счет. Вычисления, задачи, головоломки 4+4+4 4x4-4 3 = ——,или ——;4 4 4 = 4 + 4 х (4 - 4); с 4x4+4 5 = —•—;4 7 = 4 + 4--, или —- 4; 4 4 8 = 4 + 4 + 4-4, или 4 х 4 - 4 - 4; 9 = 4 + 4 + -; 4 10 = ^1. 4 12. Пятью единицами Написать число 100 пятью единицами очень просто: 111 - 11 = 100. 13. Пятью двойками 22 + 2 + 2 + 2 = 28. 14. Пятью тройками 33 х 3 + 3 = 100. 15. Пятью пятерками 5 х 5 х 5 - (5 х 5). Это равно 100, потому что 125 - 25 = 100. юо
ЧИСЛОВЫЕ ГОЛОВОЛОМКИ (из сборников разных лет) 16. Пятью девятками Два способа таковы: 99 9ff = 10; 99 99 9 —--=10. 9 9 Кто знает алгебру, тот может прибавить еще несколько решений, например: (99/9)’=10; 9 + 999 9 = 10. 17. Двумя цифрами Наименьшее целое число, какое можно написать двумя цифрами, не 11, как думают, вероятно, иные читатели, а единица, выра¬ женная таким образом: 9 12 3 4 -, - И Т. Д. ДО 1 2 3 4 9 Знакомые с алгеброй прибавят к этим вы¬ ражениям еще и ряд других обозначений: 1°, 2°, 3°, 4° и т. д. до 9°, потому что всякое число в нулевой степени равно единице*. * Но неправильны были бы решения - или 0°: эти выраже¬ ния не обязательно равны единице. 101
Яков Перельман. Быстрый счет. Вычисления, задачи, головоломки 18. Единица Надо представить единицу как сумму двух дробей: 148 + 35 _ J 1296 70 " Знающие алгебру могут дать еще и другие ответы: 123 456 789°; 23 4 5679-8-1 и т. п., так как число в нулевой степени равно единице. 19. Десятью цифрами Вот 4 решения: 70 + 247 +57 = 100; 1о о 80 27С + 19 7Л = 100; 54 6 87 + 9 V + 3 п/ = 100; Э oU 50 7, + 49 38/_. = 100. 2 /о 20. Сложить и перемножить Таких чисел сколько угодно: 3 х 1 = 3, 3 + 1 = 4, Юх 1 = 10, 10 + 1 = 11, 102
ЧИСЛОВЫЕ ГОЛОВОЛОМКИ (из сборников разных лет) и вообще всякая пара целых чисел, из кото¬ рых одно —единица. Это потому, что от прибавления единицы число увеличивается, а от умножения на еди¬ ницу остается без перемены. 21. Столько же Числа эти 2 и 2. Других целых чисел с та¬ кими свойствами нет. 22. Три числа 1,2 и 3 дают при перемножении и при сло¬ жении одно и то же: 1+2 + 3 = 6; 1x2x3 = 6. 23. Умножение и деление Таких чисел очень много. Например: 2 : 7 : 1=2; 1=7; 2 7 1=2; 1=7; 1 =43. X X X 43 : 1 = 43; 43 24. Вдесятеро больше Вот еще четыре пары таких чисел: И и 110; 14 и 35; 15 и 30; 20 и 20. юз
Яков Перельман. Быстрый счет. Вычисления, задачи, головоломки В самом деле: 11x110=1210; 15 x 30 = 450; 11 + 110=121; 15 + 30 = 45; 14 х 35 = 490; 20 х 20 = 400; 14 + 35 = 49; 20 + 20 = 40. Других решений задача не имеет. До¬ вольно хлопотно разыскивать решения вслепую. Знание начатков алгебры значи¬ тельно облегчает дело и дает возможность не только отыскать все решения, но и удос¬ товериться, что больше пяти решений зада¬ ча не имеет. 25. Тысяча 888 + 88 + 8 + 8 + 8 = 1000. 26. Двадцать четыре Вот два решения: 22 + 2 = 24; З3 - 3 = 24. 27. Тридцать 6 х 6 - 6 = 30; З3 + 3 = 30; 33 - 3 = 30. 28. Недостающие цифры Недостающие цифры восстанавливаются постепенно, если применить следующий ход рассуждений. 104
ЧИСЛОВЫЕ ГОЛОВОЛОМКИ (из сборников разных лет) Для удобства пронумеруем строки: *1* I 3*2 II *3* III 3*2* IV *2*5 V 1*8*30 VI Легко сообразить, что последняя звез¬ дочка в III строке цифр есть 0: это ясно из того, что 0 стоит в конце VI строки. Теперь определяется значение последней звездочки I строки: это цифра, которая от умножения на 2 дает число, оканчивающееся нулем, а от умножения на 3 —число, оканчивающееся 5 (V ряд). Цифра такая только одна —5. Нетрудно догадаться, что скрывается под звездочкой II строки: 8, потому что только при умножении на 8 цифра 5 дает результат, оканчивающийся 20 (IV строка). Наконец, становится ясным значение пер¬ вой звездочки строки I: это цифра 4, потому что только 4, умноженное на 8, дает резуль¬ тат, начинающийся на 3 (строка IV). Узнать остальные неизвестные цифры те¬ перь не составляет никакой трудности: до¬ статочно перемножить числа первых двух строк, уже вполне определившиеся. 105
Яков Перельман. Быстрый счет. Вычисления, задачи, головоломки В конечном итоге получаем такой пример умножения: 415 Х 382 830 3320 1245 158530. 29. Какие числа? Подобным сейчас примененному ходом рассуждений раскрываем значение звездо¬ чек и в этом случае. 325 2275 1300 325 47775. 30. Что делили? Вот искомый случай деления: 52650 325 325 162 2015 1950 650 650. 106
ЧИСЛОВЫЕ ГОЛОВОЛОМКИ (из сборников разных лет) 31. Деление на 11 Чтобы решить эту задачу, надо знать при¬ знак делимости на 11. Число делится на 11, ес¬ ли разность между суммою цифр, стоящих на четных местах, и суммою цифр, стоящих на не¬ четных местах, делится на 11 или равна нулю. Испытаем для примера число 23 658 904. Сумма цифр, стоящих на четных местах: 3 + 5 + 9 + 4 = 21, сумма цифр, стоящих на нечетных местах: 2 + 6 + 8 + 0=16. Разность их (надо вычитать из большего меньшее) равна: 21 - 16 = 5. Эта разность (5) не делится на 11; значит, и взятое число не делится без остатка на 11. Испытаем другое число —7 344 535: 3 + 4 + 3= 10; 7 + 4 + 5 + 5 = 21; 21 - 10= 11. Так как 11 делится на 11, то и испытуемое число кратно 11. Теперь легко сообразить, в каком порядке надо писать девять цифр, чтобы получилось 107
Яков Перельман. Быстрый счет. Вычисления, задачи, головоломки число, кратное 11 и удовлетворяющее требо¬ ваниям задачи. Вот пример: 352 049 786. Испытаем: 3 + 2 + 4 + 7 + 6 = 22; 5 + 0 + 9 + 8 = 22. Разность 22 - 22 = 0; значит, написанное нами число кратно И. Наибольшее из всех таких чисел есть: 987 652 413. Наименьшее: 102 347 586. 32. Странные случаи умножения Терпеливый читатель может разыскать девять случаев такого умножения. Вот они: 12 X 483 = 5796; 42 X 138 = 5796; 18 X 297 = 5346; 27 X 198 = 5346; 39 X 186 = 7254; 48 X 159 = 7632; 28 X 157 = 4396; 4 X 1738 = 6952; 4 X 1963 = 7852. 108
В поисках средств для оживления интереса к ма¬ тематике мне пришла мысль собрать ряд про¬ изведений, трактующих математические темы в беллетристической форме, и предложить их читателю с соответствующими комментариями. Яков Перельман. Из предисловия к книге «Занимательная математика» Литературная машина Поучительно рассмотреть проект видоиз¬ менения идеи Лассвица, сущность которого ясна из следующего воображаемого разговора: —В том виде, какой Лассвиц придал сво¬ ей идее универсальной библиотеки, она, ко¬ нечно, неосуществима. Слишком уж велик размах: перебирать все комбинации из мил¬ лиона типографских знаков! Неудивитель¬ но, что получаются сверхастрономические числа. Другое дело, если ограничиться более скромными рамками. —Например? —Например, довольствоваться комбина¬ циями всего лишь из 1000 литер, среди ко¬ торых 100 различных. Вообразим механизм, который систематически составляет все со¬ четания, возможные при наборе отрывка 109
Яков Перельман. Быстрый счет. Вычисления, задачи, головоломки в 1000 литер. С каждого сочетания делаются оттиски. Что же мы получим? —Ясно, что: всевозможные образчики вздора и бессмыслицы. —Да, но в этом море бессмыслицы не¬ избежно должны оказаться и все осмыс¬ ленные сочетания литер. Это тоже ясно. Значит, у нас в руках окажутся все лите¬ ратурные отрывки, какие мыслимо напи¬ сать тысячью литерами. А именно: по от¬ дельным страницам, по полустраницам мы будем иметь все, что когда-либо было и бу¬ дет написано в прозе и стихах на русском языке и на всех существующих и будущих языках (потому что всякое иностранное слово можно ведь передать буквами русс¬ кого алфавита). Все романы и рассказы, все научные сочинения и доклады, все жур¬ нальные и газетные статьи и известия, все стихотворения, все разговоры, когда-либо веденные всеми населяющими земной шар людьми и всеми прежде жившими (в том числе и наш нынешний разговор с вами), все интимные тайны, когда-либо кем-ли¬ бо кому-либо доверенные, и все, что еще предстоит придумать, высказать и напи¬ сать людям будущих поколений по-русски и в переводе на все языки, —все это без исключения будет в наших оттисках. —Бесспорно, так. Не забывайте, од¬ нако, что мы будем иметь разрозненные, 110
ЧИСЛОВЫЕ ГОЛОВОЛОМКИ (из сборников разных лет) беспорядочно перемешанные отрывки. При¬ дется их еще подобрать и сопоставить. —Конечно. Будет немало работы по по¬ иску разрозненных частей, но эта работа сторицей окупится ценностью ее результата. Подумайте только: без гениев искусства и науки, чисто механическим путем мы по¬ лучим величайшие произведения мировой литературы и науки, овладеем всеми буду¬ щими открытиями и изобретениями. —Но как же это осуществить? Как устро¬ ить литературную машину? —Тут-то и сказывается огромное пре¬ имущество моего проекта перед проектом Лассвица. Уменьшив число литер в 1000 раз, заменив толстый том одной страничкой ма¬ лого формата, я достиг технической осущест¬ вимости этой замечательной идеи. То, что немыслимо сделать при миллионе литер, вполне возможно выполнить для ты¬ сячи. —А именно? —Довольно просто. Вообразите шесте¬ ренку, на ободе которой помещаются 100 необходимых нам литер. Высота и ширина литеры, скажем для простоты, 2 мм. Окруж¬ ность шестеренки 2 х 100, то есть 200 мм, имеет диаметр меньше 7 см. Толщина шес¬ теренки может быть немного шире литеры, пусть в 4 мм. Вообразите 1000 таких шесте¬ ренок, насаженных рядом на одну общую ill
Яков Перельман. Быстрый счет. Вычисления, задачи, головоломки ось. Получится вал длиной 4 м и толщиной 7 см. Шестеренки соединены между собой так, как это делается в нумераторах и в счет¬ ных машинах, а именно: при полном поворо¬ те первой шестеренки вторая повертывается на одну литеру, при полном повороте второй третья повертывается на одну литеру, и так до последней 1000-й шестеренки. Валик пок¬ рывается типографской краской и делает оттиски на длинной 4-метровой бумажной полосе. Вот и все устройство литературной машины. Как видите, просто и нисколько не громоздко. —Как же она работает? —Шестеренки приводятся во вращение, как я уже сказал, последовательно. Сначала начинает вращаться первая и дает на бумаге оттиски своих литер —это первые 100 «лите¬ ратурных произведений» категории бессмыс¬ ленных. Когда она обернется один раз, она вовлекает во вращение вторую шестеренку. Та поворачивается на одну литеру и остается в этом положении, пока первая продолжает вращаться. Так получите еще 100 оттисков, теперь уже из двух букв. После 100 таких оборотов вторая шестеренка поворачивает¬ ся еще на одну литеру, опять обе дают 100 но¬ вых оттисков и т. д. Когда же и вторая сделает полный оборот, присоединяется третья шес¬ теренка, и получаются все возможные оттис¬ ки из трех литер. И так далее, пока не дойдет 112
ЧИСЛОВЫЕ ГОЛОВОЛОМКИ (из сборников разных лет) очередь до последней, 1000-й шестеренки. Вы понимаете, что когда эта 1000-я шестеренка сделает полный оборот, все возможные ком¬ бинации в 1000 литер будут исчерпаны, и ос¬ танется лишь работа по разборке оттисков. —Много ли времени потребует вся рабо¬ та вашей машины? —Времени, конечно, порядочно, но про¬ стота конструкции моей машины дает воз¬ можность значительно сократить необходи¬ мое время. Ведь работа машины сводится к вращению небольших шестерен, а ско¬ рость вращения можно технически довести до весьма высокой степени. Турбина Лаваля делает 30 000 оборотов в минуту. Почему бы и литературную машину не пустить таким темпом? Словом, как видите, у меня идея Лас- свица получает конструктивное воплощение и притом в довольно простой форме —длин¬ ного ряда шестеренок, насаженных на одну ось и вращаемых с большой (но технически осуществимой) скоростью. Что мы должны думать об этом проекте литературной маши¬ ны? То, что он так же несбыточен, как и пер¬ воначальный проект Лассвица. Соорудить и пустить в ход эту литературную машину вполне возможно, но дождаться конца ее ра¬ боты человечество не сможет. Солнце погас¬ нет, Вселенная успеет миллионы раз погиб¬ нуть и возродиться, прежде чем последняя шестеренка закончит свое вращение. 113
Яков Перельман. Быстрый счет. Вычисления, задачи, головоломки Действительно, при 30 000 оборотах в се¬ кунду: 2-я шестеренка начнет работать спустя 60 1 „„ „„„ = мин 30 000 500 3-я 60x60 30 000 25 МИН 4-я 60 х 60 х 60 30 000 = 7,2 мин 5-я 604 30 000 = 7,2 ч 6-я 7,2 ч х 60 = 18 суток 7-я 18 сут. х 60 = 3 года* 8-я 3 г. х 60 - 180 лет 9-я 180 л. х 60 = 1080 лет 10-я 1080 л. х 60 = 64 800 лет 11-я 3 888 000 лет 12-я 233 280 000 лет Надо ли продолжать? Если 12-я шестерен¬ ка начнет вращаться только через 200 милли¬ онов лет, то когда дойдет очередь до 1000-й? Это нетрудно вычислить: 6О1000 3000. Для удобства подсчетов принимаем год равным 360 сут¬ кам. 114
ЧИСЛОВЫЕ ГОЛОВОЛОМКИ (из сборников разных лет) Получим число, в котором 1775 цифр. Во всей Вселенной не хватит материи, чтобы дать материал для всех оттисков, число кото¬ рых выражается этой цифрой. Но можно возразить, пожалуй, что неза¬ чем ждать окончания работы литературной машины, ведь шедевры литературы и замеча¬ тельные открытия могут случайно оказаться среди первого миллиона оттисков. При нево¬ образимо огромном числе всех возможных сочетаний эта вероятность еще более нич¬ тожна, чем вероятность случайно наткнуться на один определенный электрон среди всех электронов Вселенной. Число электронов во Вселенной неизмеримо меньше, чем общее число возможных оттисков нашей машины. Но пусть даже осуществилось несбыточное, пусть случилось чудо и в наших руках имеет¬ ся сообщение о научном открытии, появив¬ шееся из-под машины без участия творчес¬ кой мысли. Сможем ли мы этим открытием воспользоваться? Ведь у нас не будет крите¬ рия, который позволил бы нам отличить ис¬ тинное открытие от многих мнимых, столь же авторитетно возвещаемых в процессе ра¬ боты нашей машины. Пусть, в самом деле, машина дала нам от¬ чет о превращении ртути в золото. Наряду с правильным описанием этого открытия будет столько же шансов иметь множество неправильных его описаний, 115
Яков Перельман. Быстрый счет. Вычисления, задачи, головоломки а кроме того, описаний и таких невозмож¬ ных процессов, как превращение меди в зо¬ лото, марганца в золото, кальция в золото ит.д. Оттиск, утверждающий, что превраще¬ ние ртути в золото достигается при высокой температуре, ничем не отличается от оттис¬ ка, предписывающего прибегнуть к низкой температуре, причем могут существовать варианты оттисков с указанием всех темпе¬ ратур от -273° до бесконечности. С равным успехом могут появиться из-под машины указания на необходимость пользоваться высоким давлением (тысячи вариантов), электризацией (опять тысячи вариантов), разными кислотами (снова тысячи и тыся¬ чи вариантов) и т. п. Как при таких услови¬ ях отличить подлинное открытие от мни¬ мого? Пришлось бы тщательно проверять на опыте каждое указание (кроме, конеч¬ но, явно нелепых), то есть проделать такую огромную лабораторную работу, которая совершенно обесценила бы всю экономич¬ ность идеи литературной машины. Точно так же пришлось бы проделать обширные исторические изыскания, чтобы прове¬ рить правильность каждого исторического факта, утверждаемого каким-нибудь про¬ дуктом механического производства от¬ крытий. Словом, ввиду полной невозмож¬ ности отличать истину от лжи подобный 116
ЧИСЛОВЫЕ ГОЛОВОЛОМКИ (из сборников разных лет) «механический» способ двигать науку впе¬ ред был бы совершенно бесполезен, даже если бы каким-нибудь чудом удалось дож¬ даться осмысленного оттиска. Интересно отметить здесь следующий расчет Бореля (из книги «Случай»): вероят¬ ность выпадения орла 1000 раз подряд при игре в орла и решку равна 21 000, то есть числу, содержащему около 300 цифр. Этот шанс приблизительно таков же, как и шанс получить две первые строки определенного стихотворения, вынимая наугад из шапки буквы по следующему принципу: в шапке 25 букв, одна из них вынимается, записыва¬ ется и кладется обратно в шапку, затем после встряхивания достается вторая и т. д. Строго говоря, получить таким образом две первые строки определенного стихотворения вполне возможно. «Однако, —замечает Борель, —это представляется нам до такой степени ма¬ ловероятным, что, если бы подобный опыт удался на наших глазах, мы считали бы это плутовством». 117
История одной игры* I В конце 1870-х гг. в США появилась игра под названием «игра в 15». Она быстро рас¬ пространилась по всему цивилизованному миру и благодаря несчетному числу усерд¬ ных игроков превратилась в настоящее об¬ щественное бедствие. Заглавный рисунок, позаимствованный из одного американского сочинения, изоб¬ ражал эту игру так: коробка с 15 шашками, пронумерованными от 1 до 15, и одним сво¬ бодным полем. Чаще всего перед ней можно было наблюдать одного из многочисленных одержимых игроманов. В разгар полевой ра¬ боты он, поддавшись приступу игорной ли¬ хорадки, бросался на колени перед демоном, Рассказ доктора В. Аренса, известного своими исследо¬ ваниями в области математических игр. 118
ЧИСЛОВЫЕ ГОЛОВОЛОМКИ (из сборников разных лет) которому поклонялся. Растерянность вид¬ нелась во всей его фигуре, во всех чертах. Лицо было искажено отчаянием. Правая рука нервно сжималась в кулак, а левая ру¬ ка и наморщенный лоб были охвачены су¬ дорогой. То же наблюдалось и по эту сторону океана, в Европе. Здесь можно было даже в конках видеть коробочки с 15 шашками. В конторах и торговых помещениях хозя¬ ева приходили в отчаяние от игорного ув¬ лечения своих служащих и вынуждены бы¬ ли строгими угрозами воспретить им игру в часы занятий и торговли. Оборотливые содержатели увеселительных заведений ловко использовали эту манию и устраива¬ ли у себя большие игорные турниры. В Па¬ риже опасная игра нашла себе приют под открытым небом, на бульварах и быстро распространилась из столицы по всей про¬ винции. Вскоре —говорят французские ис¬ точники —не было в провинции ни одного уединенного сельского домика, где не гнез¬ дился бы этот паук, подстерегавший жерт¬ ву, готовую запутаться в его сетях. В 1880 г. игорная лихорадка достигла, по-видимому, своей высшей точки. Вскоре после этого де¬ мон, тиранивший стольких людей, был по¬ вержен и побежден. Математика —вот его победительница, и победа не была для нее особенно трудной. 119
Яков Перельман. Быстрый счет. Вычисления, задачи, головоломки Даже в торжественные залы германского рейхстага сумел проникнуть змий-искуси- тель. Эта вещица поистине околдовывала. «Как сейчас вижу я в рейхстаге седовласых людей, сосредоточенно рассматривающих в своих руках квадратную коробочку», —рассказывал спустя десятилетия известный географ и математик 3. Гюнтер, бывший в годы игорной эпидемии депутатом рейх¬ стага. Когда демон был оружием математики повержен во прах, источник мучений столь многих и многих стал ясен для всех. Мате¬ матическая теория игры обнаружила, что из многочисленных задач, которые могут быть предложены, только половина разрешима, между тем как другая неразрешима никаки¬ ми ухищрениями. Стало ясно, почему иные 120
ЧИСЛОВЫЕ ГОЛОВОЛОМКИ (из сборников разных лет) задачи не поддавались самым упорным уси¬ лиям, почему устроители турниров отва¬ живались назначать огромные премии за разрешение некоторых задач и ни один из многочисленных соревнователей не смог ов¬ ладеть ими. В этом отношении всех превзошел сам изобретатель игры, предложивший издателю нью-йоркской газеты неразрешимую задачу с премией в 1000 долларов за ее разрешение. Так как издатель колебался, то изобретатель выразил полную готовность внести назван¬ ную сумму из собственного кармана. Мы до сих пор не назвали имени изоб¬ ретателя. Им был Сэмуэль (Сэм) Лойд. Он родился в Филадельфии. В шахматных кругах приобрел широкую известность как составитель остроумных задач и дру¬ гих головоломок. Любопытно, что Лойду не удалось получить в Америке патент на придуманную им игру. Хотя автор не мог предусмотреть чудовищного успеха свое¬ го изобретения и совершенно не ожидал его, он подал заявление о патенте. Соглас¬ но инструкции, он должен был предста¬ вить «рабочую модель» для исполнения пробной партии. Лойд предложил чинов¬ нику патентного бюро неразрешимую за¬ дачу, и, когда последний осведомился, разрешима ли она, изобретатель должен был ответить: «Нет, это математически 121
Яков Перельман. Быстрый счет. Вычисления, задачи, головоломки невозможно». —«В таком случае, —после¬ довало возражение, —раз задача неразре¬ шима, то не может быть и рабочей модели, а без модели нет и патента». Странным об¬ разом Лойд удовлетворился этой мнимой логикой и этой удивительной резолюцией, но, вероятно, был бы более настойчив, если бы хоть отчасти предвидел неслыханный успех своего изобретения. II Первую свою математическую теорию иг¬ ра получила на родине, в Америке, в трудах математиков В. Джонсона и В. Сторн. Впро¬ чем, независимо от них и вскоре вслед за ни¬ ми основания этой теории развил также ряд других математиков в различных странах Европы. Сейчас мы набросаем очерк этой теории, по крайней мере, в главных ее чер¬ тах. Задача игры состоит обыкновенно в том, чтобы посредством последовательных пере¬ движений, допускаемых наличием одного свободного поля, перевести любое началь¬ ное расположение 15 шашек в нормальное, то есть в такое, при котором шашки идут в порядке своих чисел: в верхнем левом углу 1, направо —2, затем 3, потом в верхнем пра¬ вом углу 4; в следующем ряду слева направо: 5, 6, 7, 8 и т. д. Вот схема нормального конеч¬ ного расположения шашек: 122
ЧИСЛОВЫЕ ГОЛОВОЛОМКИ (из сборников разных лет) Теперь вообразите любое начальное рас¬ положение шашек, то есть такое, при котором 15 шашек размещены в пестром беспорядке. Нетрудно убедиться, что рядом передвиже¬ ний всегда можно привести шашку 1 на мес¬ то, занимаемое ею на схеме. Точно так же можно, не трогая шашку 1, привести шашку 2 на место рядом с ней. Затем, не трогая ша¬ шек 1 и 2, можно поместить шашки 3 и 4 на свои нормальные места. Если они случайно не находятся в двух последних вертикаль¬ ных рядах, то легко привести их в эту об¬ ласть и затем рядом передвижений достичь желаемого результата. Теперь весь верхний ряд 1, 2, 3,4 приведен в порядок, и при даль¬ нейших манипуляциях с шашками мы тро¬ гать его не будем. Таким же путем стараемся привести в порядок и вторую строку: 5, 6, 7, 123
Яков Перельман. Быстрый счет. Вычисления, задачи, головоломки 8. Легко убедиться, что это всегда достижи¬ мо. Далее на пространстве двух последних рядов необходимо привести в нормальное положение шашки 9 и 13. Это тоже всегда возможно, в чем нетрудно удостовериться. Из всех приведенных в порядок шашек (1,2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 и 13) в дальнейшем ни одну трогать нельзя. Остается небольшой участок в 6 полей, в котором одно свободно, а пять остальных заняты шашками 10, 11, 12, 14, 15 в произвольном порядке. Легко, однако, убедиться, что в пределах этого шестимест¬ ного участка всегда можно привести на нор¬ мальные места шашки 10, И, 12, и когда это достигнуто, то в последнем ряду шашки 14 и 15 окажутся размещенными либо в нор¬ мальном порядке, либо в обратном, как на схеме ниже. 124
ЧИСЛОВЫЕ ГОЛОВОЛОМКИ (из сборников разных лет) Таким путем, который здесь был лишь намечен и который читатели легко могут ис¬ пытать и проверить на деле, мы приходим к следующему результату: любое началь¬ ное положение может быть приведено либо к нормальному (схема I), либо к конечному (схема II). Это значительно упрощает задачу: все необозримое разнообразие положений шашек сведено к двум типичным схемам. Если некоторое расположение, которое для краткости обозначим буквой S, может быть преобразовано в положение схемы I, то, оче¬ видно, возможно и обратное —перевести положение схемы I в положение S, ведь все передвижения шашек (все ходы, как будем говорить кратко), несомненно, обратимы. Если, например, в схеме I мы можем шашку 4 поместить на свободное поле, то ход этот можно тотчас взять обратно противополож¬ ным движением. И если расположение пере¬ водится в расположение не схемы I, а схемы II, то соответственно этому расположение схемы II может быть переведено в располо¬ жение S. Итак, мы имеем две серии таких расположений, что все положения одной серии могут быть переведены в нормальное со схемы I, а другой серии —в положение со схемы II. И наоборот, мы уже видели, что из нормального расположения можно получить любое положение первой серии, а из располо¬ жения схемы II —любое положение второй 125
Яков Перельман. Быстрый счет. Вычисления, задачи, головоломки серии. Наконец, два любых расположения, принадлежащие к одной и той же серии, могут быть взаимно переводимы друг в друга: если оба относятся, например, к первой серии, то это значит, что одно из них может быть пе¬ реведено в положение схемы I, а положение схемы I переводится в другое из данных двух положений. Короче, одно данное положение переводимо в другое и наоборот. Первый ряд шашек в порядке, как и вто¬ рой, за исключением последней шашки (9). Эта шашка занимает место, которое в нор¬ мальном расположении принадлежит шашке 8. Шашка 9 стоит ранее шашки 8. Такое уп¬ реждение нормального порядка будем на¬ зывать «инверсией». О шашке 9 мы скажем: здесь имеет место одна инверсия. Рассмат¬ ривая дальнейшие шашки, обнаруживаем упреждение для шашки 14. Она поставлена на три места (шашек 12, 13, 11) ранее своего нормального положения. Здесь у нас три ин¬ версии (14 ранее 12,14 ранее 13,14 ранее 11). Всего мы насчитали уже 1 + 3 = 4 инверсии. Далее шашка 12 помещена ранее шашки 11, и точно так же шашка 13 —ранее шашки 11. Это дает еще две инверсии. Итого имеем шесть инверсий. Подобным образом для каждого заданного расположения устанав¬ ливают общее число инверсий, освободив предварительно последнее место в правом нижнем углу. Если общее число инверсий, 126
ЧИСЛОВЫЕ ГОЛОВОЛОМКИ (из сборников разных лет) как в рассмотренном случае, четное, то за- данное расположение может быть приведено к нормальному конечному. Проще говоря, оно принадлежит к разрешимым. Если же число инверсий нечетное, то данное распо¬ ложение принадлежит ко второй серии, то есть к неразрешимым. Возникает вопрос, нельзя ли идти дальше и объединить эти два типичных расположе¬ ния, представленные на схемах I и II? Это было бы возможно, если бы одно из них пе¬ реводилось каким-нибудь образом в другое. Тогда обе серии расположений слились бы в одну. Сопоставляя друг с другом располо¬ жения схем I и II, можно строго доказать (не станем входить здесь в подробности), что по¬ ложения эти не могут быть превращены од¬ но в другое никаким числом передвижений. Это огонь и вода. Поэтому все огромное число размеще¬ ний шашек распадается на две разобщенные серии: 1) те, которые могут быть переведе¬ ны в нормальное расположение со схемы I (это положения разрешимые); 2) те, кото¬ рые могут быть переведены в положение со схемы II и, следовательно, ни при каких обстоятельствах не переводятся в нормаль¬ ное конечное расположение (это положе¬ ния неразрешенные, те именно, за разреше¬ ние которых тщетно назначались огромные премии). 127
Яков Перельман. Быстрый счет. Вычисления, задачи, головоломки Но как узнать, принадлежит ли заданное расположение к первой или второй серии? Пример разъяснит это. Рассмотрим пред¬ ставленное здесь расположение. Из-за недостатка места мы должны от¬ казаться от строгого доказательства всего изложенного, но можно кратко наметить главные этапы в ходе этого доказательства. Среди ходов будем различать горизонталь¬ ные и вертикальные (смысл этих слов, ко¬ нечно, ясен). Легко видеть, что всякий вер¬ тикальный ход изменяет число инверсий либо на 1, либо на 3, то есть на нечетное чис¬ ло. Чтобы одно положение шашек перевес¬ ти в какое-либо другое, необходимо сделать h горизонтальных и v вертикальных ходов, причем если в обоих положениях свобод¬ ное поле находится в правом нижнем углу, 128
ЧИСЛОВЫЕ ГОЛОВОЛОМКИ (из сборников разных лет) то числа й и v четные. Горизонтальные ходы не могут изменить количество инверсий, вертикальные же изменяют его каждый раз на нечетное число, то есть в общем итоге —так как v число четное —на четное число. Вот почему для переводимости двух распо¬ ложений (в которых пустое поле находит¬ ся в правом нижнем углу) одного в другое необходимо, чтобы они различались меж¬ ду собою четным числом инверсий. Это условие взаимного перевода является не только необходимым, но, очевидно, также и достаточным. Нормальное расположение имеет 0 инверсий, и, следовательно, ему соответствует серия положений с четным числом инверсий (при условии, что свобод¬ ное поле на одном и том же месте). Распо¬ ложение II имеет одну инверсию, ее серия есть серия нечетных инверсий. Поучитель¬ ной в этой игре является и ее история. При своем появлении игра вызвала всюду, как мы уже рассказали, сильнейшее, прямо ли¬ хорадочное возбуждение. С этой лихорад¬ кой удалось справиться только математи¬ ке. И удалось ей это так полно, что в наши дни подобная страстность в этой игре уже совершенно немыслима. Победа достиг¬ нута была благодаря тому, что математика создала исчерпывающую теорию игры —теорию, не оставляющую в ней ни одного сомнительного пункта и превратившую ее 129
Яков Перельман. Быстрый счет. Вычисления, задачи, головоломки в образчик настоящей математической иг¬ ры. Исход игры зависит здесь не от каких- либо случайностей и даже не от исключи¬ тельной находчивости, как в других играх, а от чисто математических факторов, пре¬ допределяющих исход с безусловной до¬ стоверностью. ПРИМЕЧАНИЯ РЕДАКТОРА В начале 1870-х гг. Сэмуэль Лойд заставил весь мир ломать голову над коробкой с под¬ вижными шашками, получившей извест¬ ность под именем «игра в 15». Пятнадцать шашек были размещены в квадратной коро¬ бочке в правильном порядке, и только шаш¬ ки 14 и 15 были переставлены. Задача состоя¬ ла в том, чтобы, последовательно передвигая шашки, привести их в исходное положение, причем порядок 14-й и 15-й шашек должен быть исправлен. Премия в 1000 долларов, предложенная за первое правильное реше¬ ние этой задачи, никем не была заслужена, хотя тысячи людей уверяли, что выполнили требуемое. Все принялись без устали решать эту задачу. Непостижимой особенностью иг¬ ры было то, что никто не желал отказываться от поисков решения, так как все чувствова¬ ли уверенность в ожидающем их успехе. Вот несколько новых задач, кроме той, которая приведена выше. 130
ЧИСЛОВЫЕ ГОЛОВОЛОМКИ (из сборников разных лет) ЗАДАЧА 1 Исходя из расположения, показанного на схеме I, приведите шашки в правильный по¬ рядок, но со свободным полем в левом верх¬ нем углу. ЗАДАЧА 2 Исходя из расположения, показанного на схеме I, поверните коробку на четверть обо¬ рота и передвигайте шашки до тех пор, пока они не примут расположения чертежа. 131
Яков Перельман. Быстрый счет. Вычисления, задачи, головоломки ЗАДАЧА 3 Передвижением шашек превратите ко¬ робку в магический квадрат, а именно раз¬ местите шашки так, чтобы сумма чисел во всех направлениях была равна 30. РЕШЕНИЯ Задача 1. Расположение задачи 1 может быть получено из начального положения следующими 44 ходами: 1, 2, 6, 10, 14, 13, 9, 8, 4, 5, 8, 4, 12, 9, 13, 15, 11, 14, 4, 8, 10, 4, 8, 12, 9, 13, 15, И, 14, 7, 4, 6, 3, 4, 7, 8, 12, 10, 6, 7, 8, 12, И, 14. Задача 2. Расположение задачи 2 достига¬ ется следующими 39 ходами: 12, 8,4, 3, 2,1, 5, 9,13,14,15,12, 8,4, 3,2,1, 5, 9,13,10,15,12, 8, 4, 3, 2, 1, 5, 9, 13,10,15, 11, 7, 6, 10,15, 14. Задача 3. Магический квадрат с сумой чи¬ сел, равной во всех направлениях 30, получа¬ ется после 50 ходов: 12, 8, 4, 3, 2, 6, 10, 9, 13, 15, 14, 12, 8, 4, 7, 10, 9, 14, 12, 8, 4, 7, 10, 9, 6, 2, 3,10, 9, 6, 5,1, 2, 3, 6, 5, 3, 2,1,13,14, 3, 2, 1,13, 14, 3,12, 15, 3. Приведем замечание немецкого матема¬ тика Ф. И. Шуберта о числе возможных задач при игре в 15: «Чтобы определить, сколько перестановок можно получить с помощью 132
ЧИСЛОВЫЕ ГОЛОВОЛОМКИ (из сборников разных лет) 15 предметов, начнем с двух предметов —а и Ь. Они могут дать лишь две перестанов¬ ки, а именно —ab и Ьа. При трех предметах имеется уже втрое больше перестановок, то есть 6, так как предмет а может быть постав¬ лен перед Ьс и перед cb, и, кроме того, име¬ ются еще две перестановки, начинающиеся с b и две, начинающиеся с с. Отсюда можно заключить, что четыре предмета a, b, с, d мо¬ гут дать вчетверо большее число различных перестановок, то есть 4 х 3 х 2 = 24 переста¬ новки. Продолжая так, можно найти, что 15 ша¬ шек допускают всего 2хЗх4х5х6х7х8х 9 х 10 х 11 х 12 х 13 х 14 х 15 перестановок. Вычислив это произведение, мы найдем для числа задач игры внушительное число: 1 биллион 307 674 миллиона 365 000». Из этого огромного числа задач ровно по¬ ловина принадлежит к разрешимым и столь¬ ко же —к неразрешимым. Заметим еще, что если бы возможно было ежесекундно давать шашкам новое положение, то, чтобы пере¬ пробовать всевозможные расположения, потребовалось бы при работе круглые сутки свыше 40 000 лет. 133
Хитрое разрешение мудреной задачи* Одна баба, имея к продаже 9 десятков яиц, отправила на рынок трех своих дочерей и, вве¬ рив старшей и самой смышленой из них 1 де¬ сяток, поручила другой 3 десятка, а третьей —полсотни. При этом она сказала им: —Условьтесь наперед между собой на¬ счет цены, по которой вы продавать будете, и от этого условия не отступайтесь. Все вы крепко держитесь одной и той же цены, но я надеюсь, что старшая моя дочь по своей смышлености, даже при общем между вами условии, по какой цене продавать, сумеет выручить столько за свой десяток, сколько вторая выручит за 3 десятка, да еще и научит вторую сестру, как выручить за ее 3 десятка Рассказ из неизданной рукописи поэта В. Г. Бенедиктова, относящейся к 1869 г. 134
ЧИСЛОВЫЕ ГОЛОВОЛОМКИ (из сборников разных лет) столько, сколько младшая выручит за пол- сотни яиц. Пусть выручки всех троих да цены будут одинаковы. Также я желала бы, чтобы вы продали все яйца так, чтобы при¬ шлось круглым счетом не меньше 10 копеек за десяток, а за все 9 десятков —не меньше 90 копеек, или 30 алтын. Задача была мудреная. Дочери, идучи на рынок, стали между собой совещаться, при¬ чем вторая и третья обращались к уму и со¬ вету старшей. Та, подумав, сказала: —Будем, сестры, продавать наши яйца не десятками, как это делалось у нас до сих пор, а семерками. Семь яиц —семерик. На каждый семерик и цену положим одну, кото¬ рой все и будут крепко держаться, как мать сказала. Чур, не спускать с положенной цены ни копейки. За первый семерик алтын, со¬ гласны? —Дешевенько, —сказала вторая. —Ну, —возразила старшая, зато мы под¬ нимем цену на те яйца, которые после про¬ дажи круглых семериков в корзинах у нас останутся. Я заранее проверила, что яичных торговок, кроме нас, на рынке не будет. Сби¬ вать цены некому, а на остальное добро, ког¬ да есть спрос, а товар на исходе, известное дело, цена вырастает. Вот мы на остальных яйцах и наверстаем. —А почем будем продавать остальные? —спросила младшая. 135
Яков Перельман. Быстрый счет. Вычисления, задачи, головоломки —По 3 алтына за каждое яичко. Те, кому очень нужно, дадут. —Дорогонько, —заметила опять сред¬ няя. —Что ж, —подхватила старшая, —за¬ то первые яйца по семеркам пойдут дешево. Одно на другое и наведет. На том и согласились. Пришли на рынок. Каждая из сестер села на своем месте отдельно и продает. Обрадо¬ вавшись дешевизне, покупатели бросились к младшей, у которой было полсотни яиц, и все их расхватали. Семерым она продавала по семерику и выручила 7 алтын, а после все¬ го у нее в корзине осталось 1 яйцо. Вторая, имевшая 3 десятка, продала четырем поку¬ пательницам по семерику, и в корзине у нее осталось 2 яйца. Выручила она 4 алтына. У старшей тоже купили семерик, за который она получила 1 алтын. У нее осталось 3 яйца. Вдруг на рынок явилась кухарка, послан¬ ная барыней за тем, чтобы купить десяток яиц во что бы то ни стало. В гости к бары¬ не приехали сыновья, которые страшно лю¬ бят яичницу. Кухарка туда-сюда по рынку мечется —яйца распроданы! Всего у трех торговок, пришедших на рынок, осталось 6 яиц: у одной —1 яйцо, у другой —2, у тре¬ тьей —3. Давайте и те сюда! 136
ЧИСЛОВЫЕ ГОЛОВОЛОМКИ (из сборников разных лет) Разумеется, кухарка прежде кинулась к той, у которой осталось 3, а это была стар¬ шая дочь, продавшая за алтын свой единс¬ твенный семерик. Кухарка спрашивает: —Что хочешь за свои 3 яйца? А та в ответ: —По три алтына за яичко. —Что ты? С ума сошла! —говорит ку¬ харка. А та: —Как угодно, —говорит —ниже не отдам. Это последние. Кухарка бросилась к той, у которой 2 яйца в корзине. —Почем? —По 3 алтына. Такая цена установилась. Все яйца вышли. —А твое яичишко сколько стоит? —спра¬ шивает кухарка у младшей. Та отвечает: —Три алтына. Нечего делать. Пришлось купить по не¬ слыханной цене. —Давайте сюда все остальные яйца. И дала кухарка старшей сестре за ее 3 яйца 9 алтын, что составило с имевшимся у нее ал¬ тыном 10; второй заплатила за пару яиц 6 ал¬ тын, что с вырученными за 4 семерика 4 ал¬ тынами составило также 10 алтын. Младшая 137
Яков Перельман. Быстрый счет. Вычисления, задачи, головоломки получила от кухарки за свое яичко 3 алтына и, приложив их к семи, вырученным за про¬ данные прежде 7 семериков, увидела у себя в выручке тоже 10 алтын. После этого дочери возвратились домой и, отдав матери по 10 алтын каждая, расска¬ зали, как они продавали свой товар, соблю¬ дая поставленное перед ними условие. Мать была очень довольна точным выполнением данного ею поручения и находчивостью сво¬ ей старшей дочери, по совету которой оно выполнилось. ПРИМЕЧАНИЯ РЕДАКТОРА УВЕСЕЛИТЕЛЬНАЯ АРИФМЕТИКА В. Г. БЕНЕДИКТОВА В библиотеке Русского общества люби¬ телей мироведения, что в Санкт-Петербур¬ ге, хранится найденная в 1924 г. неопубли¬ кованная рукопись поэта В. Г. Бенедиктова, посвященная математическим развлечени¬ ям. Рукопись эта представляет собой вполне законченное сочинение небольшого объема и по всем признакам является не переводом, а вполне самостоятельным трудом. На этой рукописи нет даты составления, неизвестно и ее точное заглавие, так как титульный лист не сохранился. О характере труда и его на¬ значении говорится в кратком вступлении. «Арифметический расчет может быть при¬ лагаем к разным увеселительным занятиям, 138
ЧИСЛОВЫЕ ГОЛОВОЛОМКИ (из сборников разных лет) играм, шуткам и т. п. Многие так называемые фокусы основываются на числовых сообра¬ жениях. Некоторые задачи, в решение кото¬ рых должны входить самые громадные чис¬ ла, представляют любопытные факты и дают понятие об этих превосходящих всякое во¬ ображение числах. Мы вводим их в эту до¬ полнительную часть арифметики. Некоторые вопросы для разрешения их требуют особой изворотливости ума и могут быть решаемы, хотя с первого взгляда кажутся совершен¬ но нелепыми и противоречащими здравому смыслу, как, например, приведенная здесь задача под названием «Хитрая продажа яиц». Прикладная практическая часть арифметики требует иногда не только знания теоретичес¬ ких правил, излагаемых в чистой арифмети¬ ке, но и находчивости, приобретаемой через умственное развитие при знакомстве с раз¬ личными сторонами не только дел, но и без¬ делиц, которым поэтому дать здесь место мы сочли не излишним». Сочинение разбито на 20 коротких непро¬ нумерованных глав, каждая из которых име¬ ет особый заголовок в стиле сходного по содержанию старинного труда Б. де Мезири- ака «Занимательные и приятные задачи» —единственного сборника арифметических развлечений, с которым наш поэт мог быть знаком. Первые главы носят следующие заголовки: «Так называемые магические 139
Яков Перельман. Быстрый счет. Вычисления, задачи, головоломки квадраты», «Угадывание задуманного числа от 1 до 30», «Угадывание в тайне распреде¬ ленных сумм», «Задуманная в тайне цифра, сама по себе обнаруживающаяся», «Узнава¬ ние вычеркнутой цифры» и т. п. Затем следу¬ ет ряд карточных фокусов арифметического характера. После них —любопытная глава «Чародействующий полководец и ариф¬ метическая армия» (оригинальный, неза¬ имствованный сюжет), затем —умножение с помощью пальцев, представленное в фор¬ ме анекдота, и перепечатанная нами вы¬ ше задача с продажей яиц. Предпоследняя глава «Недостаток в пшеничных зернах для 64 клеток шахматной доски» рассказывает старинную легенду об изобретателе шахмат¬ ной игры. Наконец, 20-я глава под названием «Громадное число живших на земном шаре его обитателей» заключает очень любопыт¬ ный подсчет. Вот он. Предположим, что первоначально от од¬ ной пары людей произошло две пары, что от каждой из этих пар произошло по две пары и потом каждая пара производит две пары. По этому предположению размножение лю¬ дей шло в геометрической прогрессии: 1, 2, 4, 8, 16, 32... Возьмем столько членов этой прогрессии, сколько могло существовать человеческих поколений в течение 7376 лет, насчитываемых от сотворения мира (по биб¬ лейскому исчислению; отсюда выясняется 140
ЧИСЛОВЫЕ ГОЛОВОЛОМКИ (из сборников разных лет) вероятная дата рукописи —1869 г.). Поло¬ жим на каждое поколение по 50 лет». Насчитав всех поколений, начиная от первой пары человеческих существ, 140 и взяв 140 членов прогрессии, автор при¬ шел к выводу, что число всех живших на Земле людей достигает 4 септиллионов. «Половину из этого числа отбросим, при¬ нимая в соображение, что многие из ро¬ дившихся умирают в младенчестве. Значит, останемся только при двух септиллионах». Септиллионом Бенедиктов называет едини¬ цу с 42 нулями. Далее вес этого количества людей —«160 септиллионов фунтов» —он сопоставляет с весом земного шара, кото¬ рый принимает равным 31/2 квадриллиона фунтов (вместо 14 квадриллионов). Резуль¬ тат получается поистине разительный: об¬ щий вес всех прежде живших людей пре¬ вышает вес земного шара в 45 триллионов раз. Исправленный расчет дал бы 10 трил¬ лионов, что, конечно, мало меняет дело. «Это показывает, —заключает автор, —что один и тот же вещественный материал, из которого формировались телесные составы живших на свете людей, был в обороте по крайней мере 45 триллионов раз, и за каж¬ дую вещественную частицу, перебывавшую в различных живых человеческих телах, могли бы спорить 45 триллионов индиви¬ дуумов». 141
Яков Перельман. Быстрый счет. Вычисления, задачи, головоломки Результат этот станет еще более поразите¬ лен, если принять в расчет, что человечество существует на земном шаре не 7 тысяч лет, а около полумиллиона. Далее надо иметь в виду, что не вся масса земного шара участ¬ вовала в «формировании телесных составов живших на свете людей», а только масса по¬ верхностного слоя нашей планеты, составля¬ ющего незначительную часть всего объема Земли. Наконец, в споре за «каждую вещес¬ твенную частицу, перебывавшую в живых телах» должно было предъявить свои права и бесчисленное множество животных, насе¬ лявших нашу планету, начиная с древней¬ ших геологических эпох.
ЗАДАЧИ ИЗ ЖУРНАЛОВ РАЗНЫХ ЛЕТ
ИЗ ЖУРНАЛА «ПРИРОДА И ЛЮДИ»* 33. РАСПОЛОЖЕНИЕ ЧИСЕЛ Расположить 25 чисел, начиная от 1 до 25, в виде квадрата с 25 клетками так, чтобы в каждом вертикальном, в каждом горизон¬ тальном ряду и в обеих диагоналях получа¬ лась одинаковая сумма. 34. СКОЛЬКО БЫЛО ЯИЦ? Бедная женщина несла для продажи кор¬ зину яиц. Встретившийся прохожий по * «Природа и люди» —еженедельный иллюстрированный журнал, издававшийся в России с ноября 1889 года по апрель 1918 года. Яков Перельман сотрудничал с журна¬ лом в период 1901-1918 гг. (прим. ред.). 145
Яков Перельман. Быстрый счет. Вычисления, задачи, головоломки неосторожности так толкнул ее, что корзина упала на землю и все яйца разбились. Прохожий захотел уплатить женщине стоимость разбитых яиц и спросил, сколько их всего было. «Я не помню этого, —сказала женщина, —знаю только хорошо, что когда я переклады¬ вала яйца по два, то оставалось одно яйцо, точно так же всегда оставалось по одному яйцу, когда я перекладывала их по 3, по 4, по 5 и по 6. Когда же я перекладывала их по 7, то не оставалось ни одного яйца». Спрашивается, сколько было яиц? 35. МАГИЧЕСКИЕ ТАБЛИЦЫ Возьмите 6 чистых карточек или листиков и, пометив их буквами, напишите на них, как показано ниже, числа: А 1, 17, 3, 29, 37, 31, 23, 51, 41, 19, 27, 55, 39, 63, 13,47,21,43, 59, 35, 9,15, 7, 57, 61,45, 5,11, 33, 49, 25, 53. В 2, 31, И, 50, 38, 18, 42, 43, 59, 54, 15, 35, 19, 26, 51, 58, 39, 27, 55, 62, 23, 34, 7, 6, 47, 22, 14, 10, 63, 30, 3, 46. 146
ЗАДАЧИ ИЗ ЖУРНАЛОВ РАЗНЫХ ЛЕТ С 4,22,13,28,12,21, 54, 38,20, 7,44, 31, 30, 6, 45, 37, 39, 29, 5, 15, 36, 61, 52, 55, 14, 63, 46, 53, 60, 47, 62, 23. D 8, 57, 63, 43, 30, 31, 61, 13, 12, 11, 45, 56, 60, 29, 25, 59, 62, 42, 47, 26, 15, 41, 58, 40, 46, 24, 9, 28, 14, Т1У10, 44. £ 16,20,48, 25, 56,63,24, 53, 51, 30,23, 61, 52, 50,62, 59,19, 57,22,29, 54, 31,18,28,26,60, 17, 49, 27, 58, 55, 21. F 32,46,42, 59, 63,47,44, 50, 51, 34, 55, 38, 57, 41, 36,43, 53, 62,60,49, 35, 56, 33, 52,45, 58, 61, 40, 39, 54, 48, 37. Таким образом у вас получится 6 «маги¬ ческих таблиц», обладающих некоторой осо¬ бенностью, основанной на законе чисел. Вы даете кому-либо эти 6 таблиц и про¬ сите отобрать из них те, на которых имеется число, равное числу его лет (если он не стар¬ ше 63 лет). Затем берете на мгновение отобранные им таблицы —и тотчас говорите число его лет. 147
Яков Перельман. Быстрый счет. Вычисления, задачи, головоломки Против каждого числа на таблицах вы мо¬ жете проставить имя (мужское или женское или оба рядом), и тогда будете определять так же быстро загаданное имя. Предлагаем читателям разрешить: во- первых, как по отобранным таблицам можно узнать число лет, и, во-вторых, закон, лежа¬ щий в основе составления этих таблиц. 36. ЗАДАЧА О ДВУХ КОРАБЛЯХ В понедельник в час дня с берегов Кам¬ чатки отправился к берегам Аляски пароход, делающий по 25 верст* в час. В 7 часов вечера того же дня вслед за ним отчалил парусник, шедший со средней скоростью, на 1/5 мень¬ шей скорости парохода. На полпути на паро¬ ходе испортилась машина; простояв два часа без движения, пароход пошел дальше уже вдвое медленнее. В какой день и час парус¬ ник догнал пароход, если весь путь до Аляс¬ ки и обратно неповрежденный пароход мог бы пройти в 32 часа? 37. ЗАДАЧА О МУЖЕ И ЖЕНЕ Когда мужу будет вдвое больше лет, не¬ жели жене теперь, то жене будет столько, сколько будет мужу, когда жена достигнет * 1 верста = 1066,8 м (прим. ред.). 148
ЗАДАЧИ ИЗ ЖУРНАЛОВ РАЗНЫХ ЛЕТ его возраста. Если же их нынешние лета пе¬ ремножить, то получится 588. Сколько лет теперь мужу и жене? 38.0 ЗЕМЛЕ И АПЕЛЬСИНЕ Отец задал сыну следующую задачу: «Вообрази себе, что земной шар обтянут по экватору проволокой, и скажи, насколько будет отстоять от Земли эта проволока, если ее удлинить на одну сажень*». Мальчик для решения этого вопроса взял апельсин и обтянул его проволокой; затем, удлинив эту проволоку на одну сажень, он изогнул ее в виде окружности, поместил в центре апельсин и измерил расстояние между апельсином и проволокой. Это рас¬ стояние и было, по его мнению, искомым. Правильно ли поступил мальчик, и ес¬ ли неправильно, то в чем заключалась его ошибка? * 1 сажень = 3 аршина = 7 футов ~ 213,36 см (прим. ред.). В задачах, предложенных читателям в 1910-1920-е гг., Я. Перельман использует русскую систему мер (мили, са¬ жени и др.), поскольку переход на привычную нам метри¬ ческую систему начался в России только в 1899 г., а окон¬ чательно она была закреплена в качестве официальной только 21 июля 1925 г. Читатель может сам перевести приводимые здесь данные в более удобный вид, пользуясь нашими комментариями (прим. ред.). 149
Яков Перельман. Быстрый счет. Вычисления, задачи, головоломки 39. ЧЕТЫРЬМЯ ПЯТЕРКАМИ Нужно выразить число 16 с помощью 4 пятерок, соединив их знаками действий. Как это сделать? 150
ИЗ ЖУРНАЛА «НАУКА И ЖИЗНЬ»* 40. ПРИЗНАКИ ДЕЛИМОСТИ НА 11 Общеизвестный признак делимости на 11 состоит в следующем: находят разность меж¬ ду суммою цифр, занимающих четные места в числе, и суммою цифр, занимающих не¬ четные места. Если эта разность делится на 11 (или равна нулю), то и испытуемое число кратно 11. Один школьник нашел другой, более удобный признак делимости на И. Надо, ут¬ верждает он, разбить число справа налево на грани по две цифры в каждой: в крайней грани слева может быть и одна цифра. Числа, «Наука и жизнь» —ежемесячный научно-популярный ил¬ люстрированный журнал, основанный в 1890 году. Изда¬ ние возобновлено в октябре 1934 года (прим. ред.). 151
Яков Перельман. Быстрый счет. Вычисления, задачи, головоломки выражаемые гранями, складывают. Если по¬ лученное число делится на 11, то и испытуе¬ мое число кратно 11. Например, число 12 419 кратно 11, потому что сумма его граней 1 + 24 + 19 = 44 кратна 11. Всегда ли верен этот признак делимости? 41. ДВА ПЕШЕХОДА Предлагаемую задачу надо решить ариф¬ метически, т. е. не прибегая к составлению уравнения. Двое рабочих, старик и молодой, вышли из одного дома и направились на за¬ вод. Старик делал 5 километров в час, мо¬ лодой —6 километров в час. Молодой при¬ шел на завод 18 минутами раньше старика. Сколько километров от дома до завода? 42. ПРОСТЫЕ ЧИСЛА 1. Существуют ли три последовательных числа, каждое из которых простое? 2. Может ли от сложения двух простых чисел получиться также простое число? 43. ЗНАЕТЕ ЛИ ВЫ АРИФМЕТИКУ? Испытайте, сильны ли вы в школьной арифметике, попробовав ответить на дюжи¬ ну следующих не вполне обычных вопросов: 152
ЗАДАЧИ ИЗ ЖУРНАЛОВ РАЗНЫХ ЛЕТ 1. Существуют ли два целых числа, сумма которых 13, а произведение 12? 2. Существуют ли два числа, сумма кото¬ рых 1, а произведение 0,25? 3. Может ли произведение трех целых чи¬ сел равняться их сумме? 4. Существуют ли два числа, при перемно¬ жении которых получается 18, и столько же получается при делении большего из них на меньшее? 5. Укажите признак делимости на 33. 6. Укажите признак делимости на 27. 7. Назовите все простые числа первого де¬ сятка. 8. Может ли простое число быть суммой двух составных? 9. Может ли простое число быть суммою двух также простых чисел? 10. Число, написанное по десятичной системе счисления, делится без остатка на 3. Будет ли оно делиться на 3, если выра¬ зить его в восьмеричной системе? А в пяте¬ ричной? 11. Можно ли 50 орехов разложить на 7 кучек так, чтобы в каждой было нечетное число орехов? 12. Можно ли 8 яблок разделить поровну между 15 школьниками, не разрезая ни одно¬ го из яблок больше чем на 5 частей? 153
ИЗ ЖУРНАЛА «ЗНАНИЕ —СИЛА»* 44. ЧЕТЫРЬМЯ ЕДИНИЦАМИ Какое самое большое число можете вы написать четырьмя единицами? 45. ТРИ ЧИСЛА Существуют ли три таких целых числа, которые, будучи сложены, дают столько же, сколько дают, будучи перемножены? 46. ШЕСТЬ ТОМОВ На полке рядом стоят шесть томов од¬ ного обширного сочинения, содержащие по * «Знание —сила» —ежемесячный научно-популярный и научно-художественный иллюстрированный журнал для молодежи, основанный в 1926 г. (прим. ред.). 154
ЗАДАЧИ ИЗ ЖУРНАЛОВ РАЗНЫХ ЛЕТ одинаковому числу страниц. Через все тома проходит общая нумерация страниц. Сумма номеров всех первых и всех последних стра¬ ниц шести томов равна 9222. Сколько страниц в каждом томе? 47. СКОЛЬКО В КНИГЕ СТРАНИЦ? Чтобы перенумеровать страницы книги, потребовалось цифр. Сколько в книге страниц? 48. ЗАЧЕРКНУТЬ ТРИ ЦИФРЫ Перед вами ряд чисел: 4 7 10 13 16. Требуется зачеркнуть три цифры, выбрав их так, чтобы сумма оставшихся чисел со¬ ставляла 23. Сделать это можно несколькими способа¬ ми. Сколькими? 49. РАЗДЕЛИТЬ ЧИСЛО Разделите число 10 на две такие части, разность которых будет равна 5. 155
ИЗ ЖУРНАЛА «КОСТЕР»* 50. ОТГАДЫВАНИЯ ЧИСЕЛ Задумайте число меньше 10 (только не 0). Умножьте его на 37; будьте внимательны при вычислении, чтобы не ошибиться. То, что получилось, умножьте на 3. У вас состави¬ лось число из трех цифр. Последнюю цифру зачеркните; остальное разделите на то число, которое вы первоначально задумали. Если все это проделано вами правильно, деление должно выполниться нацело. Я могу назвать число, которое у вас полу¬ чилось: ЧИСЛО И * «Костер» —ежемесячный иллюстрированный журнал для детей, был основан в 1936 году (прим. ред.). 156
ЗАДАЧИ ИЗ ЖУРНАЛОВ РАЗНЫХ ЛЕТ Откуда я это знаю, если то, что вы сейчас прочли, написано было мною еще месяц на¬ зад? И почему у всех читателей «Костра» по¬ лучается одинаковый итог, хотя задумывали они разные числа? Вторично проделаем фокус отгадывания на иной лад. Задумайте число из двух цифр. Припишите к нему —не прибавьте, а именно припишите —снова то же самое число; у вас составится число из 4 цифр. Разделите его на то, что вы первоначально задумали. Делите осторожно: это такой случай деления, в ко¬ тором легко ошибиться. Остатка не будет, а в частном вы получите число из 3 цифр. Сложите все эти три цифры вместе. У ВАС ПОЛУЧИЛОСЬ 2 Если нет, то проверьте ваши выкладки и убедитесь, что ошиблись вы, а не я. В этих фокусах нет ни чуда, ни обмана. Догадайтесь, на чем они основаны. 51. ДВА ЧИСЛА Если два целых числа сложить, составит¬ ся 7. Если числа эти перемножить, получит¬ ся 6. Что это за числа? 157
Решения задач 33-51 33. Расположение чисел Строим квадрат с 25 клетками, затем уд¬ линяем на всех его сторонах линии деления так, чтобы со всех сторон получились клет¬ ки, подобные тем, которые построены внут¬ ри квадрата, причем число этих клеток на каждой стороне квадрата шло бы, уменьша¬ ясь на 2, до тех пор, пока не получится одна клетка (см. рисунок). 158
ЗАДАЧИ ИЗ ЖУРНАЛОВ РАЗНЫХ ЛЕТ Вслед за тем в полученной фигуре рас¬ полагаем косыми рядами числа в последо¬ вательном порядке, как указано на рисунке выше. Заполняя затем свободные клетки числами, находящимися в клетках вне его, как показано на рисунке снизу, получим требуемое. 11 24 7 20 3 4 12 25 8 16 17 5 13 21 9 10 18 1 14 22 26 6 19 2 15 159
Яков Перельман. Быстрый счет. Вычисления, задачи, головоломки 34. Сколько было яиц? Задача сводится к нахождению числа, ко¬ торое делится без остатка на 7, а при делении на 2, 3, 4, 5 и 6 дает в остатке 1. Наименьшее из чисел, делящихся без остатка на 2, 3, 4, 5 и 6 (т. е. наименьшее кратное этих чисел), есть 60. Нужно, следовательно, найти число, которое делилось бы без остатка на 7 и было бы в то же время на единицу больше числа, кратного 60. Число это отыскиваем после¬ довательными попытками: 60 при делении на 7 дает в остатке 4: следовательно, 60 х 2 даст в остатке единицу (4x2 = 8; 8-7=1). Значит, 60 х 2 = числу, кратному 7, + 1, откуда: (60 х 7 - 60 х 2) + 1= числу, кратному 7, т. е. 60 х 5 + 1 = числу, кратному 7. Это число есть 301, и, следовательно, наименьшее число яиц, которое могло быть в корзине, есть 301. 35. Магические таблицы Отгадывание задуманного числа основа¬ но на том, что из шести чисел 1,2,4,8,16 и 32 можно составить путем группировки слага¬ емых все числа от 1 до 63, и притом только одним способом. Таблицы составлены следующим образом. Каждая таблица соответствует одному из пе¬ речисленных слагаемых; именно, таблица А 160
ЗАДАЧИ ИЗ ЖУРНАЛОВ РАЗНЫХ ЛЕТ соответствует 1, В —2, С —4, D —8, Е —16 nF —32. В каждую таблицу входят лишь те числа, в составлении которых участвует соот¬ ветствующее слагаемое. Так, число 7, равное 1 + 2 + 4, вносится в таблицы А, В и С; чис¬ ло 12, равное 4 + 8, вписывается в таблицы С и D; число 58, равное 2 + 8 + 16 + 32, вносится в таблицы В, D, Е и F, и т. д. Теперь понятно, что и наоборот, зная таблицы, где встречает¬ ся задуманное число, мы можем легко найти его: для этого нужно лишь сложить числа, соответствующие отобранным таблицам. 36. Задача о двух кораблях Известно, что весь путь туда и обратно неповрежденный пароход делает в 32 часа; следовательно, в один час он проходит 716 расстояния между Камчаткой и Аляской. Парусник же делает в час 4/5 этой величины, т. е. 716 х 4/5 = 720. Далее, известно, что паро¬ ход остановился на полпути, т. е. через 8 ча¬ сов с момента отправления, и снова двинул¬ ся после двухчасовой остановки, т. е. через 10 часов с момента выхода из гавани, причем шел вдвое медленнее прежнего. Определим, на каком расстоянии от парохода находился парусник в момент возобновления движе¬ ния. Так как парусник вышел на 6 часов позд¬ нее, то к моменту возобновления движения парохода успел пройти 720 х 4 = 75 часть пу¬ ти до Аляски, и, следовательно, их разделяло 161
Яков Перельман. Быстрый счет. Вычисления, задачи, головоломки расстояние, равное 72 - 75 = 3/10 пути. Раз¬ ность часовых скоростей парусника и паро¬ хода с этого момента равна 720 - 732 = 3/160. Следовательно, парусник догонит пароход через 3/10 : 3/160 =16 часов. В течение этих 16 часов пароход прошел 732 х 16 = 72 пути, т. е. оставшееся расстояние до берега Аляски. Итак, встреча произойдет в гавани Аляс¬ ки через 10 + 16 = 26 часов после отплытия парохода от берегов Камчатки. При этом оба судна пересекли демаркационную линию с запада на восток и считали дважды один и тот же день —понедельник. Следовательно, встреча произошла в понедельник, в 3 часа дня по камчатским часам. Определить пока¬ зания судовых хронометров в момент встре¬ чи по условию задачи нельзя —за отсутстви¬ ем точных географических указаний. Примечание. Часовая скорость парохода 25 верст в час —условие совершенно из¬ лишнее, намеренно введенное для услож¬ нения задачи. Решение не зависит от вели¬ чины этой скорости, которая может быть как угодно мала или велика. Цифра 25 яв¬ но несообразна, так как дает для расстоя¬ ния между Камчаткой и Аляской величину 25 х 16 = 400 верст, что значительно мень¬ ше кратчайшего расстояния между этими полуостровами. 162
ЗАДАЧИ ИЗ ЖУРНАЛОВ РАЗНЫХ ЛЕТ 37. Задача о муже и жене Обозначив нынешние лета мужа через х, а жены через у, имеем, что когда мужу будет 2у лет, то жене будет х + (х - у) лет. Равенство разностей 2у - х и [х + (х - у)] - у дает право написать уравнение 2у - х = х + (х - у) - у, откуда: Зх = 4у, и у = 3/4х. Кроме того, мы знаем, что произведение лет мужа и жены ху = 588. Подставив в урав¬ нение у = 3/4х, имеем 3/4х2 = 588, откуда х = 784 = 28. Ответ: мужу 28 лет, жене 21 год. 38. О Земле и апельсине Мальчик поступил правильно, так как прибавление одной и той же величины к раз¬ ным окружностям вызывает равное удлине¬ ние радиуса. Действительно, пусть радиус апельсина г долей сажени, а радиус земного шара R саженей. Тогда окружности их выра¬ зятся через 2лг и 2лК. Прибавив по единице, получим 2лг + 1 и 2nR + 1. Разделив на 2л, имеем новые радиусы: 163
Яков Перельман. Быстрый счет. Вычисления, задачи, головоломки 2лг +1 1 . = г + —’2л 2л и 2лД+ 1 2л 1 2л Отсюда ясно, что как радиус апельсина, так и радиус Земли удлинились на одну и ту же величину 1/2л. Мы имеем здесь любопытный пример геометрического парадокса. 39. Четырьмя пятерками Четырьмя пятерками написать 16 можно только одним способом: 5 + 55/5 = 16. 164
ИЗ ЖУРНАЛА «НАУКА И ЖИЗНЬ» 40. Признаки делимости на 11 Признак делимости, указанный школь¬ ником, вполне правилен во всех случаях. Он основан на том, что число, состоящее из 1 и четного числа нулей, при делении на 11 да¬ ет в остатке 1. Действительно: 100= Их 9 + 1 10 000 = Их 909 + 1 1 000 000 = 11 х 90 909 + 1 и т. д. Поэтому всякое многозначное число (на¬ пример, 47 293) можно разбить на слагаемые по следующему образцу: 47 293 = 40 000 + 7200 + 93. 165
Яков Перельман. Быстрый счет. Вычисления, задачи, головоломки Далее: 40 000 = 4+ 11 + 909 + 4 7200 = 72 + 11 + 9 + 72 93 = 93 47 293 (4 х 909 + 72 х 9) х И + (4 + 72 + 93). Ясно, что если числа, заключенные во вто¬ рые скобки, в сумме кратны 11, то и перво¬ начальное число кратно 11. Но в указанные скобки заключены как раз грани испытуемо¬ го числа. Этим обосновывается подмеченный школьником признак делимости. Нельзя не отметить, что новый признак практически удобнее старого. 41. Два пешехода Задача решается арифметически следу¬ ющим путем. Старик делал 5 километров в 60 минут, т. е. употреблял на прохождение 1 километра 12 минут. Молодой, делавший в 60 минут 6 километров, употреблял на про¬ хождение 1 километра 10 минут. На каждом километре пути молодой опережает старика на 2 минуты. Так как молодой, придя на за¬ вод, опередил старика на 18 минут, то прой¬ денный путь должен равняться: 18:2 = 9 км. 166
ЗАДАЧИ ИЗ ЖУРНАЛОВ РАЗНЫХ ЛЕТ 42. Простые числа 1. Так как три последовательных числа не¬ пременно должны содержать хотя бы одно четное число, то задача указать три последо¬ вательных простых числа кажется с первого взгляда невозможной. При этом забывают, что существует —правда, только одно —и четное простое число: 2. Имеется поэтому и три последовательных простых числа: 1,2,3. 2. Если, делая ту же ошибку, полагать, что все простые числа —нечетные, то мож¬ но прийти к выводу, будто от сложения двух простых чисел не может составиться также простое число. Между тем существует мно¬ жество пар простых чисел, сумма которых есть также простое число: 1 + 1=2; 2 + 3 = 5; 2+11 = 13; 1+2 = 3; 2 + 5 = 7; и т.п. 43. Знаете ли вы арифметику? 1. Искомые числа 12 и 1, так как 12 + 1 = 13, а 12 х 1 = 12. 2. Искомые числа 0,5 и 0,5, так как 0,5 + 0,5 = 1, а 0,5 х 0,5 = 0,25. 3. 1х2хЗ = 1 + 2 + 3. 4. Искомые числа 18 и 1, так как 18x1 = 18 и 18 : 1 = 18. 167
Яков Перельман. Быстрый счет. Вычисления, задачи, головоломки 5. Наиболее удобный практический при¬ знак делимости на 33 таков: надо разбить испытуемое число справа налево на двузнач¬ ные грани; если сумма этих граней кратна 33, то и испытуемое число кратно 33. Это выте¬ кает из следующих соображении. Пусть ис¬ пытывается число 28 679. Представляем его в виде 20 000 + 8600 + 79 = 200 х (99 + 1) + + 86 х (99 + 1) + 79 = 200 х 99 + 200 + + 86 х 99 + 86 + 79 = 200 х 99 + 2 х 99 + + 2 + 86 х 99 + 86 + 79 = = (200 х 99 + 2 х 99 + 86 х 99) + + (2 + 86 + 79). Сумма, заключенная в первые скобки, состоит из слагаемых, кратных 33; следова¬ тельно, делимость испытуемого числа на 33 зависит от делимости на 33 суммы во вторых скобках, т. е. от того, делится ли на 33 сумма граней 2 + 86 + 79. 6. Зная, что 999 кратно 27 и рассуждая по¬ добно предыдущему, устанавливаем следую¬ щий признак делимости на 27: надо разбить испытуемое число на трехзначные грани; ес¬ ли сумма этих граней кратна 27, то и испыту¬ емое число кратно 27. 7. Простые числа первого десятка тако¬ вы: 2, 3, 5 и 7. «Единицу не следует причис¬ лять к простым числам, ибо многие теоремы 168
ЗАДАЧИ ИЗ ЖУРНАЛОВ РАЗНЫХ ЛЕТ относительно простых чисел не имеют места для единицы» (Лежен-Дирихле, «Лекции по теории чисел»). 8. Таких простых чисел очень много, на¬ пример: 17 = 8+ 9; 23 = 9+ 14 и т. п. 9. Можно привести множество таких при¬ меров: 2 + 3 = 5; 5 + 2 = 7; 17 + 2 = 19; 41 + 2 = 43 и т. п. 10. Делимость числа не зависит от того, по какой системе счисления оно написано. Если некоторое число реальных предметов может быть разбито на группы одинаковой численности, то это свойство не изменится, по какой бы системе счисления данное число ни было написано. 11. Требуемая разбивка невозможна, так как четное число не может быть суммой не¬ четного числа нечетных чисел. 12. Требуемый раздел яблок можно осу¬ ществить, разрезав 5 яблок на 3 равные час¬ ти каждое и 3 яблока —на 5 частей каждое. Каждому школьнику достанется по 7 и по 75, т. е. 8/15 яблока. 169
ИЗ ЖУРНАЛА «ЗНАНИЕ —СИЛА» 44. Четырьмя единицами Часто отвечают: 1111. Однако можно на¬ писать число во много раз большее —имен¬ но 11 в одиннадцатой степени, т. е. написать 11 и поставить при нем в виде показателя И. Если у вас есть терпение довести вычисление до конца, вы убедитесь, что число это больше 280 миллиардов. Следовательно, оно превы¬ шает число 111 в 250 миллионов раз. 45. Три числа Искомые числа —1, 2, 3. Их сумма —6, произведение —тоже 6. 170
ЗАДАЧИ ИЗ ЖУРНАЛОВ РАЗНЫХ ЛЕТ 46. Шесть томов Если в каждом томе х страниц, то номера их первых и последних страниц таковы: I то¬ ма— 1 их, II тома —(х + 1), III тома —(2х+ 1) и Зх, IV тома —(Зх + 1) и 4х, V тома —(4х + 1) и 5х, VI тома —(5х + 1) и 6х. Сумма номеров всех первых и всех последних страниц шести томов равна 36х + 6. Составляем уравнение: 36х + 6 - 9222, откуда х = 256. В каждом томе 256 страниц. 47. Сколько в книге страниц? Чтобы перенумеровать первые 9 страниц, требуется 9 цифр; для следующих 90 стра¬ ниц нужны 180 цифр, для дальнейших 900 страниц потребуется уже 2700 цифр. Сумма 9 + 180 + 2700 больше 2787; это показывает, что в книге меньше 1000 страниц. Вычтя из 2787 сумму 9 + 180, устанавливаем, сколько в книге страниц с трехзначными номерами: 3 Общее же число страниц в книге равно 9 + 90 + 866 = 965. 171
Яков Перельман. Быстрый счет. Вычисления, задачи, головоломки 48. Зачеркнуть три цифры Первое решение: Второе решение: Третье решение: 4 7 10 47 46; 4 7 40 13 46: 4 7 40 47 16: 49. Разделить число Составляем уравнения: 10 = х + у,х-у = 5. Отсюда х = 7,5 и у = 2,5. 172
ИЗ ЖУРНАЛА «КОСТЕР» 50. Отгадывания чисел В первом фокусе вы умножили задуман¬ ную цифру сначала на 37, потом на 3. Это все равно что умножить ее на трижды 37, т. е. на 111. Но при умножении однозначного числа на 111 получается задуманная цифра, напи¬ санная трижды. Если, например, вы задумали 4, то после умножения на 37 и на 3 получает¬ ся 444. Вас просят в полученном числе зачер¬ кнуть последнюю цифру; остается, конечно, число, написанное двумя одинаковыми циф¬ рами (например, 44). Все такие числа при де¬ лении на эту цифру дают в частном 11. Вот почему я заранее знал, что у вас полу¬ чится И, и вот почему у всех читателей со¬ ставилось одно и то же число, хотя они и на¬ чинали свои расчеты с различных цифр. 173
Яков Перельман. Быстрый счет. Вычисления, задачи, головоломки Во втором фокусе вы задумали число из двух цифр и приписали его еще раз. Это все равно что умножить задуманное число на 101. Если, например, вы задумали 29, то от умножения 29 на 101 получается 2929. Разде¬ лив такое число на первоначально задуман¬ ное (т. е. на 29), вы должны получить 101. Раз я это знаю наперед, я могу с уверенностью сказать, что от сложения цифр итога соста¬ вится 1 + 0 + 1 = 2. Итак, первое отгадывание основано было на свойствах числа 111, второе —на особен¬ ности числа 101. Дело обходится, как видите, без обмана. 51. Два числа Задача кажется невозможной: мы при¬ выкли думать, что целые числа при пере¬ множении дают больше, чем при сложении; в задаче же требуется, чтобы было наоборот. Однако требуемые числа существуют: 6 и 1. В самом деле: 6 х 1 = 6, 6 + 1 = 7.
задумай число. Математический отгадчик
Проделайте внимательно над задуман¬ ным числом все выкладки, о которых здесь говорится, —и книжечка отгадает результат ваших вычислений. Если результат иной, проверьте свои вы¬ кладки и удостоверьтесь, что ошиблись вы, а не книжечка. Я. И. Перельман
Яков Перельман. Быстрый счет. Вычисления, задачи, головоломки Задумайте число меньше 10 (кроме нуля) Умножьте его на 3 К результату прибавьте 2 Полученное умножьте на 3 К результату прибавьте задуманное число Первую цифру итога зачеркните К оставшейся прибавьте 2 Полученное разделите на 4 К результату прибавьте 19 У вас теперь 21 178
ЗАДУМАЙ ЧИСЛО. Математический отгадчик Задумайте число меньше 10 (кроме нуля) Умножьте его на 5 Полученное удвойте К результату прибавьте 14 От суммы отнимите 8 Первую цифру результата зачеркните Оставшееся разделите на 3 К результату прибавьте 10 У вас теперь 12 179
Яков Перельман. Быстрый счет. Вычисления, задачи, головоломки Задумайте число меньше 10 (кроме нуля) Прибавьте к нему 29 Последнюю цифру результата отбросьте Оставшееся умножьте на 10 К результату прибавьте 4 Полученное умножьте на 3 От результата отнимите 2 У вас теперь 100 180
ЗАДУМАЙ ЧИСЛО. Математический отгадчик Задумайте число меньше 10 (кроме нуля) Умножьте его на 5 Полученное удвойте От результата отнимите задуманное число В полученной разности сложите цифры К итогу прибавьте 2 Сумму возвысьте в квадрат От полученного числа отнимите 10 Разность разделите на 3 У вас теперь 37 181
Яков Перельман. Быстрый счет. Вычисления, задачи, головоломки Задумайте число меньше 10 (кроме нуля) Умножьте его на 25 Прибавьте 3 Полученное умножьте на 4 Зачеркните первую цифру результата Оставшееся число возвысьте в квадрат Цифры результата сложите Прибавьте 7 У вас теперь 16 182
ЗАДУМАЙ ЧИСЛО. Математический отгадчик Задумайте число из двух цифр Прибавьте к нему 7 Сумму отнимите от 110 К разности прибавьте 15 Прибавьте к итогу задуманное число Полученное число разделите пополам От результата отнимите 9 Разность умножьте на 3 У вас теперь 150 183
Яков Перельман. Быстрый счет. Вычисления, задачи, головоломки Задумайте число меньше 100 Прибавьте к нему 12 Сумму отнимите от 130 К разности прибавьте 5 К итогу прибавьте задуманное число От суммы отнимите 120 Разность умножьте на 7 Отнимите 1 Оставшееся разделите пополам Прибавьте 30 У вас теперь 40 184
ЗАДУМАЙ ЧИСЛО. Математический отгадчик Задумайте любое число (кроме нуля) Удвойте его К полученному прибавьте 1 Вновь полученное умножьте на 5 Отбросьте все цифры, кроме последней Оставшуюся цифру умножьте на нее же Сложите цифры результата У вас теперь 7 185
Яков Перельман. Быстрый счет. Вычисления, задачи, головоломки Задумайте число меньше 100 Прибавьте к нему 20 Полученное число отнимите от 170 От оставшегося отнимите 6 К разности прибавьте задуманное число В полученном числе сложите цифры Сумму умножьте на нее же От итога отнимите 1 Полученное разделите пополам Прибавьте 8 У вас теперь 48 186
ЗАДУМАЙ ЧИСЛО. Математический отгадчик Задумайте число из трех цифр Припишите к нему справа его самого Полученное число разделите на 7 Результат разделите на задуманное число Полученное разделите на 11 Результат удвойте В полученном числе сложите цифры У вас теперь 8 187
ОБЪЯСНЕНИЯ «ОТГАДЫВАНИЯ» С. 178. Если задуманное число а, то про¬ делываемые выкладки сначала таковы: (За + 2) х 3 + я = 10а + 6. Получается двухзначный результат, пер¬ вая цифра которого есть задуманное число, а вторая —6. Зачеркиванием первой цифры задуман¬ ное число исключается. Дальнейшее понятно само собой. Случаи отгадывания на с. 179, 180, 182 и 185 представляют различные видоизмене¬ ния сейчас описанного. Иным способом исключается задуманное число в случаях отгадывания на с. 181, 183, 184 и 186. 188
ЗАДУМАЙ ЧИСЛО. Математический отгадчик Например, на с. 186 проделываемые вы¬ кладки сначала таковы: 170 - (а + 20) - 6 + а = 144. Дальнейшее понятно само собой. Особый прием используется при отга¬ дывании на с. 187. Приписать к трехзнач¬ ному числу справа его самого —это то же, что умножить число на 1001 (например, 356 х 1001 = 356 356). Но 1001 = 7 х 11 х 13. Поэтому, если задумано трехзначное чис¬ ло а, то проделываемые сначала выкладки таковы: а х 1001 _ 7 х а х 11 Дальнейшее понятно. Как видите, во всех случаях отгадывание основано на том, что задуманное число при выкладках исключается. Зная это, попробуйте сами придумать не¬ сколько новых примеров отгадывания. 189
Все права защищены. Книга или любая ее часть не может быть скопирована, воспроизведена в электронной или механической форме, в виде фотокопии, записи в память ЭВМ, репродукции или каким-либо иным способом, а также использована в любой информационной системе без получения разрешения от издателя. Копирование, воспроизведение и иное использование книги или ее части без согласия издателя является незаконным и влечет уголовную, административную и гражданскую ответственность. Научно-популярное издание СОВЕТСКИЕ УЧЕБНИКИ. КЛАССИКА НАУЧПОПА Перельман Яков Исидорович БЫСТРЫЙ СЧЕТ ВЫЧИСЛЕНИЯ, ЗАДАЧИ, ГОЛОВОЛОМКИ Главный редактор Р. Фасхутдинов Руководитель отдела В. Обручев Руководитель группы Ю. Лаврова Ответственный редактор Д. Иванушкина Младший редактор Н. Пластун Художественный редактор К. Доброслов Компьютерная верстка Е. Матусовская Корректор Н. Панова Страна происхождения: Российская Федерация Шыгарушы ел: Ресей Федерациясы ООО «Издательство «Эксмо» 123308, Россия, г. Москва, ул. Зорге, д. 1, стр. 1, эт. 20, каб. 2013. Тел.: 8 (495)411-68-86. Home раде: www.eksmo.ru E-mail: info@eksmo.ru OHflipyuji: «Издательство «Эксмо» ЖШК 123308, Ресей, Маскеу каласы, Зорге кешес!, 1 -уй, 1 -курылыс, 20 кабат, 2013-каб. Тел.: 8 (495)411-68-86. Home раде: www.eksmo.ru E-mail: info@eksmo.ru. Тауар белпсг «Эксмо» Интернет-магазин: www.book24.ru Интернет-магазин: www.book24.kz Интернет-дукен: www.book24.kz Импортёр в Республику Казахстан ТОО «РДЦ-Алматы». Казахстан Республикасына импорттаушы «РДЦ-Алматы» ЖШС. Дистрибьютор и представитель по приему претензий на продукцию в Республике Казахстан: ТОО «РДЦ-Алматы» ТОО РДЦ Алматы, Алматы, ул. Домбровского, 3«а», литер Б, офис 1. Дистрибьютор жане Казахстан Республикасында енмге шагымдар кабылдау женндеп еюл: «РДЦ-Алматы» ЖШС. Алматы к., Домбровский кеш., 3 «а», литер Б, офис 1. Тел.: 8 (727) 251-59-90/91/92. E-mail: RDC-Almaty@eksmo.kz Сведения о подтверждении соответствия издания согласно законодательству РФ о техническом регулировании можно получить на сайте Издательства «Эксмо»: www.eksmo.ru/certification Техникалык реттеу туралы РФ зацнамасына сай басылымныц сайкестНн растау туралы мэл1меттерф мына адрес бойынша алуга болады: http://eksmo.ru/certification/ Произведено в Российской Федерации Ресей Федерациясында енд!р1лген Сертификаттауга жатпайды Дата изготовления / Подписано в печать 06.05.2025. Формат 60х901/16- Печать офсетная. Усл. печ. л. 12,0. Тираж экз. Заказ