Московский
государственный
университет
им. М. В. Ломоносова
Ниже публикуются   материалы вступительных экзаменов 1978 года.
Математика
Механико-математический факультет Вариант    I 1.  Разность
\ Г | 40 1/2 — 57 |  — jAo 1/2 + 57
является целым числом.   Найдите это целое число.
2.   Найти все решения уравнения
| cos (х ' a2)dx=sinoc, о
принадлежащие  отрезку   [2;  3].
3.	В остроугольном треугольнике ABC из   вершин   А   и   С  опущены   высоты   АР и CQ на стороны ВС и АВ. Известно, чти площадь   треугольника    ABC   равна    18. площадь    треугольника    BPQ    равна    2. а  длина  отрезка   PQ  равна   2 1/2- Вычислить радиус окружности, описанной около треугольника    ABC.
4.	Найти все значения параметра о, при которых система неравенств
 — 2,
имеет решение.
5. Объем тетраэдра ABCD равен 5. Через середины ребер AD и ВС проведена плоскость, пересекающая ребро CD в точке М. При этом отношение длины  отрезка   DM к
2 длине отрезка МС равно ir.    Вычислить
площадь сечения тетраэдра указанной плоскостью, если расстояние от нее до вершины А равно 1.
Факультет вычислительной математики и кибернетики
Вариант 2
1.	Решить неравенство
(х— \)Ухг — х — 2з*0.
2.	Найти точки минимума функции
	        х	х
I 3 cos у + sin у —
 х — 3
3.	Найти   уравнение   прямой,   проходящей через точку с координатами I у;  2 ),
х2
касающейся графика функции у = — у + 2
и пересекающей в двух различных точках график функции у = 1/4 — хг ¦
4.	Совокупность   А  состоит из  различных натуральных чисел.   Количество  чисел в А больше семи. Наименьшее общее кратное   всех   чисел из  А    равно    210.    Для любых двух  чисел  из А   их   наибольший общий делитель больше   единицы.   Произведение   всех    чисел    из    А    делится    на 1920 и не является    квадратом    никакого целого числа. Найти   числа,   из   которых состоит А.
5.	Основанием пирамиды А ВСЕ И служит   выпуклый   четырехугольник   А ВСЕ, который  диагональю  BE  делится   иа  два равновеликих   треугольника.   Длина   ребра   АВ   равна   единице,   длины   ребер   ВС и СЕ равны. Сумма длин ребер АН и ЕЙ
равна 1/2-     Объем пирамиды равен   -«г-.
Найти радиус шара, имеющего наибольший объем среди всех шаров, помещающихся  в   пирамиде  АВСЕН.
Задачи   устного  экзамена
1.	Найти min и max функции [ (х) = a sin х -г   Ь cos x.
2.	Решить в натуральных числах уравнение
3.	Доказать,   что   площадь   треугольника   меньше  единицы,   если   длины   всех биссектрис   меньше  единицы.
4.	Доказать   неравенства  3<jn<di.
5.	Построить    график   функции
 l
6. Вычислить log9 40, если известно, что lg 15       a,   log!0 50 =  Ь.
Физика
(задачи устного экзамена)
Физический факультет
1. Зенитное орудие может производить выстрелы во всевозможных направлениях. Определить границу области, которая   простреливается   из   этого   орудия,
44

если  модуль  начальной  скорости  снаряда равен   и0.
2.	Определить ускорения  грузов массой тх и т2 в системе, изображенной на рисунке    1.    (Массами    блоков   и    нитей, растяжением   нитей   и   трением   в   блоках пренебречь.)
3.	Влажный воздух при температуре Т и давлении р занимает объем V. Относительная влажность воздуха е%, давление насыщенных  паров  при этой температуре ри.   Найти   плотность   влажного   воздуха и массу содержащихся в нем паров воды.
4.	Относительная  влажность водяных паров,   находящихся   в   объеме   V = 20 л при   температуре   t= 100° С, равна   е = = 90%.    Пары   изотермически   сжимают, уменьшая объем в два раза.  Найти массу сконденсировавшейся    воды,   если   давление насыщенных  паров при этой температуре     равно     ри = 1   атм.     Универсальная         газовая	постоянная	R  = = 8,31  Дж/(К-моль).  Объемом воды  пренебречь.
5.	Идеальный  газ  массой  т,  находящийся   при   температуре   Т,   охлаждается изохорически   так,   что  его  давление   падает в k раз. Затем газ расширяется изобарически,   пока  его температура   не  станет   равной   первоначальной.   Определить произведенную   газом   работу.   Молярная масса  газа  равна ц
6.	Какое   количество   теплоты   выделится в цепи при переключении ключа К из положения / в положение 2 (рис. 2)?
7.	Определить   разность   потенциалов иа    конденсаторе   емкостью   Со   в   схеме, изображенной    иа   рисунке   3.    Величины сопротивлений, ЭДС батарей и их  полярность   указаны   на   рисунке.   Внутренним сопротивлением    источников    пренебречь. Какой знак будет иметь заряд на верхней пластине   коидеисатора?
8.	Коитур   АОВ,   имеющий   вид   сектора, образован дугой АВ радиусом L = = 10 см   из оголенного проводника и двумя  радиальными  проводниками  ОА  и  ОБ с   сопротивлениями   F1 = 1 Ом   и   Rz = = 2 Ом (рис. 4). В центре О дуги шарнир- но    закреплена    перемычка    ОС,    другой конец    которой    может   двигаться    вдоль дуги, сохраняя с ней контакт. Сопротивление перемычки  /?3 = 3 Ом.   Контур   находится   в   магнитном   поле  с   индукцией
В (\В\ = 0,2 Т), направленной перпендикулярно к плоскости контура. Найти силу тока / в перемычке при ее вращении с постоянной угловой скоростью (л — 11 рад/с. Сопротивлением дуги пренебречь.
9.	В сферическую чашу с зеркальной внутренней  поверхностью налито  немного воды.   Сверху  на  чашу  падает  пучок  параллельных    лучей    света.    В    результате отражения от сферического зеркала чаши и преломления на поверхности воды пучок фокусируется в   точку.    Радиус    кривизны зеркала равен R, показатель преломления воды равен п. Диаметр пучка много меньше   радиуса   кривизны   зеркала,   поэтому синусы   углов   падения   можно   заменить углами.  На  каком расстоянии от поверхности воды лучи собираются в фокус?
10.	Точечный источник света помещен в фокусе рассеивающей линзы с фокусным расстоянием     F   =    4   см     На     экране, расположенном за линзой  на  расстоянии I = 3 см, получено светлое пятио.  На какое расстояние по оптической оси надо переместить источник,  чтобы диаметр  пятна уменьшился    на    20%?
Механнко-математнческой факультет и факультет вычислительной математики и кибернетики
1.	Шарик   подвешен   на   нити   длиной I — 32 см так. что точка подвеса находится на высоте Н = 50 см над гладким столом.  Шарик вывели  из  положения равновесия, отклонив нить в натянутом состоянии на угол 90°, и отпустили без толчка. Нить оборвалась  в тот  момент,  когда  ее угол   отклонения   от  вертикали   был  а. = = 60°. Найти высоту h, на которую шарик подпрыгнет после удара о стол, если этот удар   абсолютно   упругий.   Нить   нерастяжима.
2.	На   горизонтальной   вращающейся платформе   иа   расстоянии / = 1 м от  оси вращения  лежит груз.   Ксэффициент трения между грузом и платформой \i = 0,1. Через   какое  время   пссле  начала   вращения   платформы   груз   соскользнет   с   нее, если  платформа  начинает вращаться  равноускоренно   и   через t = 2 мин   приобретает угловую скорость о)       1,2 рад/с? Ус-
г
А
2R
Рис.  1.
Рис.   2.
Рис.   3.
45

корение свободного падения принять равным    g = 9,8 м/с2.
3.	Спутник,     масса    которого     т = = 2-103кг,   из-за  торможения  о  верхние слои атмосферы переходит с орбиты, расположенной   иа   высоте   ht = 210 км   над поверхностью  Земли,   на  орбиту  с   высотой   h2 = 200 км.   Какую энергию теряет при этом спутник? В обоих случаях орбиту спутника    считать    круговой.    Ускорение свободного   падения    можно   считать   постоянным   и   равным  g = 10 м/с2.
4.	В запаянной с левого конца U-об- разной   трубке   высота   столбика   воздуха /0 = 300 мм,  а  избыточная  высота столба ртути    в    правом      колене h0 =  110   мм. В   правое   колено   долили   столько    ртути,    что   ее    уровень в левом колене поднялся на / = 10 мм. На сколько поднялся уровень ртути в правом колене? Атмосферное   давление   р = 760   мм рт. ст.   Температура    постоянна.
5.	Два сосуда соединены тонкой трубкой, содержащей капельку ртути, которая исключает   перемешивание  газов,   находящихся в сосудах (рис. 5). В первом сосуде заключено тх = 2 г гелия (молярная мас- са \it = 4 кг'кмоль),   во    втором — т2 = = 4 г     неона     (молярная     масса     ji2 = = 20 кг/кмоль). Температура в обоих сосудах   одинакова   и   равна   7V   Во  сколько раз  увеличится  давление в системе,  если гелий  нагреть до температуры  Тг — 2Tlt ие меняя температуры иеона? Расширения сосудов  не  учитывать.
6.	Найти   разность   потенциалов  между точками Л  и б в схеме, изображенной на   рисунке   6.    Емкости    конденсаторов: С1 = 1 мкФ,  С2 = 2 мкФ.  Электродвижущие   силы    источников:   %х = 4 В,   $2 = = 6 В.
7.	Найти величину сопротивления Rlt при   которой   разность   потенциалов   между точками А и В в схеме, изображенной на  рисунке  7,  равна  нулю (R2 = 60 Ом, /?э=10Ом,    #4 =80 Ом.    #5 = 20 Ом).
8    В однородном магнитном поле с ин-
дукцией |б| = 2Т находится прямоугольная рамка. Плоскость рамки перпендикулярна к магнитным линиям. Сопротивление рамки R = 0,25 Ом. Какая, мощность затрачивается, если рамка выдвигается  из магнитного поля с по
стоянной скоростью \v\ = 6,2 м/с перпендикулярно к направлению магнитных линий? Поле имеет резко очерченную границу, и сторона рамки длиной / =¦ 20 см параллельна   этой   границе.
9.	Съемка чертежа  размером 30 см X X 40 см ведется фотоаппаратом, объектив которого имеет фокусное расстояние F = = 20 см. Расстояние от объектива до чертежа  d = 1,6 м.   Каким должно быть фокусное     расстояние     насадочной     линзы (т. е.   линзы,   приставляемой   вплотную   к к   объективу),   чтобы   изображение   чертежа   точно   уложилось   на   фотопластинку размером   9 см X  12 см?
10.	Точечный    источник    света    находится   на   расстоянии   d = 10 см  от собирающей   линзы,   имеющей   фокусное   расстояние F — 12 см, на ее главной оптической   оси.   Лучи   света,   преломившись   в линзе,   падают  на  выпуклое зеркало,   отражаются от него и вновь проходят через лиизу, в результате чего получается пучок лучей,   параллельный   главной  оптической оси  линзы.  Определить  радиус  кривизны зеркала, если оно находится на расстоянии I = 3 см от   линзы.
Химический факультет
1.	Шарик массы ml движется без трения    по    горизонтальной    поверхности    и сталкивается с покоящимся шариком массы ш2. Удар считать центральным и абсолютно  упругим.   При  каком  соотношении масс  шариков они  разлетятся  в  противоположные стороны с равными по абсолютной  величине  скоростями?
2.	В   теплоизолированном   сосуде   содержится   смесь   воды   массы   т1 = 500 г и   льда   т2 = 55 г   при   температуре   /j = :    0°С.  В сосуд вводится сухой  насыщенный  пар массой  т3 = 6,6 г при  температуре t2 = 100° С. Какой будет температура t содержимого сосуда после установления теплового  равновесия?   Удельная   теплота парообразования  воды к = .2,3- 10е Дж/кг. удельная   теплота    плавления   льда   г = = 0,33-10е Дж/кг, удельная теплоемкость воды   с= 4,2-10» Дж/(кгК).
3.	Расстояние между пластинами плоского воздушного конденсатора  d = 5 см Конденсатор   заряжен   при   помощи   бата-
Рис.  4. 46
Рис.  6.
Рис.  7.