/
Text
Il K.aaJJ
T P УДЫ
КРАСНОЗНАМЕННОЙ
ОРДЕНА ЛЕНИНА
ВОЕННО-ВОЗДУШНОЙ
ИНЖЕНЕРНОЙ АКАДЕМИИ
ИМЕНИ ПРОФЕССОРА
не. жановсного
В. Д. КАРЛИН
О кулачковом механизме
с плоским
вращающимся коромыслом
НАУЧНО-ТЕХНИЧЕСКАЯ КОНФЕРЕНЦИЯ 1946 г.
Статья 2
СЕКЦИЯ АВИАЦИОННЫХ ДВИГАТЕЛЕЙ
ВЫПУСК
2 4 9
В. Д. КАРЛИН
Т Р УД ы
КРАСНОЗНАМЕННОЙ
ОРДЕНА ЛЕНИНА
ВОЕННО-ВОЗДУШНОЙ
ИНЖЕНЕРНОЙ АКАДЕМИЯ
ИМЕНИ ПрОСрЕССООА
НЕ. жу новсного
О кулачковом механизме
с плоским
вращающимся коромыслом
НАУЧНО-ТЕХНИЧЕСКАЯ КОНФЕРЕНЦИЯ 1946 г.
Статья 2
СЕКЦИЯ АВИАЦИОННЫХ ДВИГАТЕЛЕЙ
ВЫПУСК
2 4 9
'W- w
ТРУД bl
КРАСНОЗНАМЕННОЙ
ОРДЕНА ЛЕНИНА
0>В03Д!ОДШ
ВЕРНОЙ АНДДЕМК»
|<1мени поофессоол
НЕ. ж в нов ей огр
Инженер-капитан В. Д. КАРЛИН
О кулачковом механизме
с плоским
вращающимся коромыслом
НАУЧНО-ТЕХНИЧЕСКАЯ КОНФЕРЕНЦИЯ 1946 г.
СЕКЦИЯ АВИАЦИОННЫХ ДВИГАТЕЛЕЙ
ВЫПУСК
249
>!
9
ПРЕДИСЛОВИЕ
До настоящего временя <еоряя механизмов и машин синтезу ку-
лачковых механизмов с плоским коромыслом уделяла очень мало вни-
мания. Более того, теория не располагала даже всесторонним анализом
факторов, обусловливающих работу этого типа кулачковых .псханизмог
В современной технической л»iерагуре вопросы синтеза кулачковых
механизмов с плоским то чка толем исключая общеизвестные методы
кинематического профилирования) обвешаются, главным образом, при-
менительно к механизмам, у кон»рых толкатель движется поступатель-
но. Для механизма же с плоским вращающимся коромыслом пег доста-
точного чиста указаний для его проектирования.
Настоящая работа представляет скромную попытку восполнить
этот пробел.
В первом разделе работы автор, исходя из условия получения вы-
пуклого профиля кулачка, предлагает способы определения некоторых
предельных соотношений между отдельными параметрами механизма
Во втором разделе условие выпуклости профиля применяется к де-
тальному исследованию наиболее важного тля практики случая — дви-
жения коромысла по закону достоянных ускорений. В результате этого
исследования выводятся простые аналитические зависимости между от-
дельными параметрами.
В третьем (последнем) разделе производится анализ влияния ха-
рактера профиля кулачка на износ рабочих поверхностей. В качестве
основных факторов, влияющих на износ, рассматриваются удельные
скорости скольжения и удельные давления. На базе этого материала
автор переходит к синтезу, кладя в основу удельные давления.
В заключение автор считает своим приятным долгом принести
глубокую благодарность доктору технических наук, профессору I'. Г. Ба-
ранову, непосредственно руководившему работой, за сделанные нм
многие ценные указания и просмотр рукописи.
ОБОЗНАЧЕНИЯ. ПРИНЯТЫЕ В РАБОТЕ
(по фиг. 1)
Фиг. 1.
Схема кулачкового механизма с. плоским коромыслом и диаграмм?
угловых "перемещений коромысла по углу поворота кулачка (к обо-
значениям, принятым в работе).
t — время;
О), — угловая скорость кулачка:
Ц)— угловая скорость коромысла:
— угловое ускорение коромысла;
— угол поворота кулачка за время t ;
— угол поворота кулачка за время подъёма коромысла;
— угол поворота кулачка за время верхнего останова коро-
мысла;
— угол поворота кулачка за время опускания коромысла;
— угол поворота кулачка за время нижнего останова коро-
мысла;
— угол поворота коромысла за время t, отсчитываемый от
прямой, соединяющей центры вращения кулачка и коромысла;
— угол поворота коромысла за время t, отсчитываемый от
крайнего нижнего положения коромысла;
— угол между прямой, соединяющей центры вращения ку-
лачка и коромысла, и коромыслом в крайнем нижнем поло-
жении;
— угол размаха коромысла;
— расстояние между центрами вращения кулачка и коро-
мысла;
— расстояние от центра вращения коромысла С до нормали
к профилю в точке контакта К ;
— радиус кривизны профиля.
I. ОПРЕДЕЛЕНИЕ СООТНОШЕНИЙ МЕЖДУ ПАРАМЕТРАМИ
МЕХАНИЗМА ДЛЯ СОБЛЮДЕНИЯ УСЛОВИЯ ВЫПУКЛОСТИ
КУЛАЧКА ВО ВСЕХ ТОЧКАХ ЕГО ПРОФИЛЯ
Для кулачкового механизма с плоским коромыслом должно удов-
летворяться условие, чтобы профиль кулачка был всегда выпуклым.
Эю условие можно записать в.виде
J)>0, (I)
что должно быть справедливым для любой точки профиля
РадР.усы кривизны профиля кулачка, построенного в соответствии
с выбранным законом движения коромысла, будут вполне определён-
ными и зависящими от выбранного закона. Найдём эту зависимость.
I. Формула радиуса кривизны профиля кулачка
Рассмотрим для общности вывода случай, когда прямолинейный
участок коромысла не проходит через центр С {фиг. 2). Будем считать
заданными величину смешения h. расстояние X, величину угла Vc ,
а также закон движения коромысла в виде зависимости от </• .
У’глов\ю скорость кулачка будем считать постоянной. Вывод формулы
поведём кинематическим методом.
Заменим наш механизм эквивалентным ему {для рассматривае-
мого положения) кулисным механизмом 'фиг. 3). Пусть точка М будет
центром кривизны профиля в точке К . Совместим с точкой М точку
В коромысла и. согласно уравнению \/е= \/м Э- V , построим при
точке М в масштабе 6J, повёрнутый план скоростей. Скорость у изо-
бразится при этом отрезком МО , а скорость VBM — отрезком OF
(треугольник скоростей на фиг. 3 заштрихован). Абсолютная скорость
точки В . равная
VB=BC-CJ2 , (а)
будет изображаться отрезком BF . Величина этой скорости опреде-
лится как
Vs-BF-cj, . (S)
6
Нецентральный кулачковый механизм с плоским коромыслом.
h —смешение коромысла.
Из сопоставления выражении (СТ i и ( ё) получаем
ВС - сог = BF CJ, ,
откуда следует
BF_ cjz d? dW , .
ВС cd, ~dt-cj, ~d4> ' tC'
Из фиг. 3 имеем
BF НО CT) -CH _ / cosY
ВС СТ) ’ СТ) I 1
откуда, принимая во внимание выражение (С ), находим
(2)
Из фиг. 3 находим также
OF—OH — FH ^tfsinY-SCcosY- tcf
7
Фиг. 3.
Схема заменяющего механизма к выводу формулы радиуса к ревизии
профиля кулачка.
Из выражения (2) имеем
3cas¥~ j
а из чертежа
-h
р ’
(d)
следовательно.
OF = sin Y-- h)(l - . (e)
Построим ((.лее при точке М в масштабе cof план ускорений,
для чего воспользуемся уравнением
/в*г^м'*"/дСм "^/вл* ~~$в + Цв 1
где:
dS = вс-а>2
‘ев, ~ ’& г •
Будем обозначать отрезки, изображающие ускорения, буквой %
с соответствующими индексами. Найдём их величины
= МО ;
~с — Ув<* — Увм 1 2• '--О, • Сс>2 р or- 6Ja _ 9 ~р dV ,
----й?-------------CJ7 VF CO, d'DF d4> ’
1
cJ^ " сцА ос (/Ту? со5ог (d ipj
_ jL SC‘£2 _ 8 . £ d2^
c<\z co* “ cosc^ ' dt2- cof cost'd Ч’^
Спроецируем иаобмженяя ускорений на напран. ic-tint
Сумма Проекций л равна сумме ироек-’ий г*" «
Поэтому
? • со^ + сосъг
или
JAf ccsys + 2 • OF V ^-op F?. )
Но, как следует из чертежа,
ОМ • сеьв = ME = /V/Y- © Н- Е Т) sdi
Подставляя в уравнение (^) значение ОМ-COS ft, а также значения £,
OF из выражений (2), (d) и (е ), получаем
d<i>
откуда
и, окончательно,
Для частного случая h — 0, т. е. когда прямолинейный участок
коромысла проходит через центр С (центральный механизм), будем
иметь
^cosv+^)(t^slnv 4
е№’]3
(4) -
2. Влияние величины смещения h. на характер профиля кулачка
Из формулы (3) следует, что радиусы кривизны профиля а раз-
личных его точках при увеличении или уменьшении размера на
какую-либо величину будут также увеличиваться или уменьшаться на
ту же величину. Иными словами, профили кулачков, построенные для
одного и того же закона движения и при всех прочих одинаковых раз-
мерах механизма, но при различных величинах И , будут эквидистант-
1 Аналогичный вывод этой формулы сделан также доцентом М. М. Тишиным
в работе „Проектирование кулачкового механизма с плоским рычагом". См. Тр*ды
семинара по теории машин и механизмов при Институте Машиноведения АН СССР
за 1947 г.
10
ними кривыми. Отсюда следует, что размер кулачковой шайбы будеч
(при всех прочих равных условиях) тем значительнее, чем больше рас-
стояние h . На фиг. 4 выполнены построения профилей кулачка (точнее
участков профилей, соответствующих фазе подъёма) для случая движе-
ния коромысла с ускорениями, изменяющимися по закону косинуса, при
— 1\20°, 0 — 30° и 20° Профиль J построен при h — 0,8i?,
а профиль 1.1 — при h. — 0. Как видно из чертежа, в первом случае
кулачковая шайба будет иметь значительно больший размер, чем во
втором.
Из чертежа видно также, что в то время как кривая I получилась
выпуклой во всех своих точках, кривая II, представляющая профиль
кулачка центрального механизма ( h = 0), оказалась на некотором
участке вогнутой. Последнее обстоятельство объясняется неудачным
выбором параметра I// . В дальнейшем будет показано, как следует
выбирать параметр Yo с целью получения кулачка выпуклым во всех
точках его профиля. Однако практически возможен случай, когда угол
задан самой конструкцией механизма, а величина И может быть
выбрана произвольно. Покажем, каким образом выбирать в данном, слу-
чае расстояние h , исходя из необходимости иметь кулачок выпуклым
по всему профилю.
Перепишем формулу (3) в впде
, (5)
где
(6)
Очевидно, что наша задача заключается в нахождении такой ве-
личины h , при которой алгебраическая сумма (Ph=o)min'^ h i
представляющая наименьший радиус кривизны будущего профиля, рав-
нялась бы наперёд заданной положительной величине. Аналитическое
решение этой задачи является практически мало удобным, так как ис-
следование на минимум функции (6) приводит к необходимости реше-
ния весьма громоздкого трансцендентного уравнения. Значительно
проще задача решается графоаналитическим способом. Задаваясь ря-
дом значений угла (/>, находим по формуле ;6) соответствующие им
значения J^h=o и стРОим диаграмму [Рь=о,Ч>] . На полученной
кривой (фиг. 5) отмечаем наиболее низко расположенную точку и, от-
ступив от неё вниз на величину (желательная величина наимень-
шего радиуса кривизны будущего профиля), проводим горизонтальную
прямую линию. Расстояние от оси до этой линии представит в мас-
штабе диаграммы искомую величину h .
11
Фиг. 4
Изменение профиля кулачка в зависимости от величины смещения
коромысла.
fy=o[ri"J
На фиг. 5 диаграмма ‘fj построена для фазы подъема
коромысла, движущегося с ускорениями, изменяющимися по закону
косинуса, при 120 е. Q 30е. -20е и 100 мм Как
видно из чертежа, при J^mtn мм смеШсние h должно состав-
лять 32 мм.
В других случаях, однако, может оказаться, что все точки кривой
ГуЭ^_о , 4’] расположатся в области положительных, значений
В этих случаях, очевидно, профиль кулачка буде> выпуклым
при любых значениях h^0. Более того, здесь даже можно пойти на
некоторое уменьшение размера кулачковой шайбы, откладывая расстоя-
ние h от центра с в обратном (сравнительно со схемой, показанной
на фиг. 2) направлении.
13
Величина h , удовлетворяющая условию выпуклости профиля ку-
лачка, может быть найдена ещё следующим, менее точным, но зато
не требмощим дополнительных вычислений способом. Задаёмся заве-
домо чрезмерно большим значением h (допустим h — hj ) и строим
профиль кулачка фиг. 6). Находим попытками, при помощи циркуля,
Фиг. G.
Определение величины смещения коромысла графическим способом.
наименьший радиус кривизны полученной кривой — fomin- Взяв на этой
кривей ряд произвольных точек, проводим дужки радиусом х, несколь-
ко меныиим Р1гпт - Общая огибающая дужек и представит профиль
кулачка. Окончательное значение h найдётся как разность.
h = hj - г .
На фиг. 1 указанным способом получены профили III и IV. Про-
филь III попроси при Х = 0,75 prrri-tn, "и профиль IV — при X— 0,9,
•Pirriw ^ак Р!|Дим, решение задачи в данном случае напоминает по-
строение профиля кулачка при толкателе, снабженном роликом, и за-
данной экви дне г а ш е.
Итак, в случае, когда механизм проектируется как нецентральный,
получение выпуклого профиля .кулачка всегда может быть обеспечено
соответствующим подбором расстояния h . Перейдём теперь к рассмот-
рению центрального механизма.
Н
3. Условие выпуклости профиля кулачка центрального механизма
Подставив в неравенство (I) значение J3 нз формулы (4), получим
Покажем, ч го выражение
знаменателе
левой часта написанного неравенства, не может становиться отрица-
тельным. Действительно, точка Р (фиг. 7), являющаяся полюсом в от-
Центральиый кулачковый механизм с плоским коромыслом.
носнтельном движении, будет в случае подъёма коромысла лежать вне
отрезка СО , ш точкой О. Согласно теореме Виллиса.=
--- , так как дробь —
OPt-iZ r OP+Z
а слс довательно, разность
тельной. При опускании коромысла
7 . то и отношение <7,
Cl у
случае подъёма будет пэложн-
-т~< О , поэтому выражение*
В
также будет положительным. Итак, радиус кривизны про-
филя может стать отрицательным лишь в том случае, когда числитель
левой* части неравенства (8) будет меньше нуля. Условие выпуклости
профиля кулачка центрального механизма может быть написано теперь
в окончательном виде следующим образом:
(9'
15
Из последнего неравенства нетрудно получить аналогичное усло-
вие, выведенное проф. Я. Л. Геронимусом 1 для кулачкового механизма
с плоским поступательно движущимся толкателем. для этого рассмот-
рим какое-либо положение механизма (<Ьнг. 8). Возимом на коромысле
Фиг. 8. <
Схема механизма к выводу условии нргф. Я. Л. Герои и му са
произвольную точку У? и радиусом СД—R. проведём дугу ЛВТ) •
Согласно обозначений чертежа, имеем:
•fa)
IS)
Дважды диференцируя выражение < 6 находим
ofУ7__7 c/s / ,
сУф r 'Uy 1
dz4> _ / dzs
dy* ~R ' d у* '
Подетавляя зкачения
(d) в неравенство (9), получаем
(d)
и t выражений ,a), (с) H
1 dss t/j, 1 Us\/m 2
~R "Udp +( R 0
i Герои и мус Я. Л. Нахождение профиля кулачка по члмчцрму адмжг-
ких> толкателя. Техника Воздушного флота, j9-13 г.: X»
16
или
d'ifz^ ' К Л
О.
(e)
-Механизм с поступательно движущимся толкателей фиг. 9)
можно в лретеле рассматривать как видоизменение механизма, изобра-
И центру С
Фпг. 9.
Кулачковый механизм с плоским поступательно движущимся толкателем.
женного на фиг. 8, при удалении центра С Н бесконечность. При неог
раничеином возрастании величины R. произведение
Л t ctsXf. £_,&)
стремится к I
Дробь
3 В. Д. Керляк
*1»^ Л.'"* «нстнтут, Г .Ф
!* ’ ‘ У
X
Li , _ >Т
при R = oo принимает неопределённую форму « яда — . Применяя
правило лопиталя. находим °
Таким
примет вид
образом, выражение (eh если положить в
нём
что и представляет собой упомянутое условие проф. Я. Л Геронимуса.
f,
4. Выбор соотношения между величинами 6 и
Рассмотрим подобное неравенство (9>, причем остановимся пока
на случае подъёма коромысла. Обратимся ко второму слагаемому
левой части, г. е. рассмотрим произведение
Левый сомножитель этого произведения, как мы показали,
всегда положителен; правый сомножитель очевидно, также по-
ложителен (мы предполагаем, что угол у ни в одном из положений нс
будет превышать 90°). Средний же сомножитель ’ а с НИМ
« dty 1
и все произведение, становится отрицательным при >4- Предста-
, 1
бим себе, что максимальное значение превосходит ; в этом
случае всё рассматриваемое произведение будет отрицательным. Но при
—вторая пвопзводная, равна нулю и, следова-
вательно, вся сумма величин, стоящих в левой части неравенства (9),
будет при этом отрицательной.
Таким образом для удовлетворения условия получения выпуклого
профиля необходимо прежде всего, чтобы наибольшее значение-д^- на
участке подъёма не превышало '/2. Практически установленное нами
Q
ограничение означает, что отношение —— не должно превышать неко-
торой предельно допустимой для заданного закона движения величины
)8
j—, , для определения которой достаточно найти величину Г-7-j
4. ^av4nax
и положить её равной 'и- Для иллюстрации этого положения рассмот-
рим один ил законов движения коромысла, например движение с по-
стоянными ускорениями (фиг. 13).
На счастие положительных ускорений имее*.
dsw г в
"сП? 2 " у,<р' ’
откуда после интегрирования получаем
4а-.ге_и,
dff чу, Ч-
ге
% *
необходимо иметь
(10)
Наибольшее значение будет иметь место при Полагдя
и последнем уравнении у=ф', находим
(с/ /тах
Согласно установленного нами условия.
ге 1
или, иначе,
ч>,4
(Н)
Итак, для этого закона движения
вышать величины
&
отношение-^- не должно пре-
. Интересно отметить, что величина
получилась независящей от соотношения между абсолютными
значениями положительного и отрицательного ускорений.
В помещаемой ниже таблице указаны значения ДЛЯ неко-
' т, /щах
торых наиболее распространенных законов движения. При отношениях
превышающих указанные, получение выпуклого профиля кулачка
на всём участке, соответствующем подъёму, является ц-'возможным.
Очевидно, что аналогичные предельные соотношения между Q н
</f могут быть установлены для фазы подъёма любого иного закона
движения коромысла. Что касается фазы опускания, то здесь (посколь-
ку ti)
ку величины т при опусканий — отрицательны) допущение
1»
ТаЁ/ища от#0Ш£майгдг/,пах для р&злич-
яЬ/х заАеяаЗд&кмс&шя Ао/мм/б/сла.
Закол д&лМселая
А0р0Я7&/0Ла
оРР
3<Я
ДкиОКЯЛЛЯ 770
jafavty /гостов- -
яй/х усЯор&лл*
d.^'P
Д&лмсяя&о 33^
иЗлг&.нянхф&'ЯЛ •
СЯ 770 лсо/еимо-
Я/е/ заАо/л/.
~jf> d?1?
ДбоЖ'е^сле с gifi
ус/юре/шя/уи,
03/70JV^70U^Li/*7i/~ ~
СЯ /70 зсОкат-а/
kOCLWi/CCt
Д&/а&ы/с70
оре/юрем/л/ти,
изменя ’&еф&ш-
ся лозаАму
солм/са
как это видно из неравенства (9), не является опас-
ным с точки зрения возможности получения р<С - Поэтому соотно-
шения между 0 и if могут быть произвольными.
5. Определение наименьшей величины угла У{
Итак, мы имеем
° aV
следующее ограничение для значений :
(12)
При
равенства
соблюдении этого условия второе слагаемое левой части не-
<9) всегда будет оставаться положительным. Легко видеть.
что для участка
положительных значений
с/т’-
условие (12) являен’я
достаточным для удовлетворения неравенства (9), а для участка отри
нагельных ускорений - лишь необходимым Остается еще опасность.
что на участке отрицательных ускорении абсолкиныс значения —7—за-
будут в некоторых положениях превосходить значения второю слагае-
мого левой части неравенства (9). ,
Переписываем эго неравенство следующим образом
откуда, принимая во втшманре, что У/=%-у-$^ находим
Подобрав достаточно большое значение , мы, очевидно обес-
печим тем самым получение выпуклого профиля также и на участке
отрицательных значений .
Итак, наша задача”получения выпуклого профиля кулачка сво-
дится к вопросу о нахождении положения оси абсцисс на диаграмме
Угловых перемещений толкателя по углу, у Аналитическое решение
згой задачи будет рассмотрено ниже применительно к случаю движе-
ния коромысла но закону постоянных ускорений. Остановимся на гра-
фоаналитическом способе решения, применимом при любом заданном
законе движения коромысла.
.П
Перепишем неравенство (14) в виде
(15)
где
Пусть кривая Л (фиг. 10) изображает в каком-то масштабе закон
изменения по д> Означения (/> лтложены от пунктирной оси). От точек
О* Г, 2* . . . . 12'этой кривой будем в том же масштабе откладывать
значения , положительные вниз, отрицательные —- вверх. В результате
мы будем иметь ряд точек — *0", Г', 2" . . . 12", объединив которые,
получим некоторую кривую В , представляющую геометрическое место
для положения оси абсцисс. Проведя горизонтальную прямую линию
несколько ниже самой нижней точки кривой В , мы установим искомое
положение оси абсцисс и тем самым определим величину Уо .
Кривая В на фиг. 10 построена для фазы подъёма коромысла,
движущегося с ускорениями, изменяющимися по закону косинуса, при
if — 120й и 6 — 30°. Из чертежа видно, что самая нижняя точка
этой кривой соответствует величине — ЗЗЛ На фиг. II для этого
случая построен участок профиля кулачка '(кривая I) при величине %,
превышающей на 7° наименьшую допустимую.' Профиль построен по
точкам. Такой способ построения сравнительно с обычным применяю-
щимся, обеспечивает большую точность чертежа. Заключается он в сле-
дующем: проведя окружность радиуса ОС =- , отмечаем на ией,
в соответствии с делением угла , точки С0,С,- • Сг£ ; под углами
V, . . . % к направлениям 0СО, ОС, • - - ОСгг проводим пря-
мые линии и откладываем по ним от точек Со , С, .... С/г найден-
ные по формуле (2) расстояния Е . Получаемые в результате точки
0, 1 ... 12 объединяем плавной кривой, которая и представит искомый
профиль. Как видно из чертежа, профиль получился выпуклым на всём
интервале 0—12 и имеет наибольшую кривизну на участке между точ-
ками 7 и 8. Если бы мы приняли Vo — 33‘, то где-то между точками
7 и 8 профиль имел бы радиус кривизны равный нулю.
Интересно сравнить полученный нами профиль с кривой II, пост-
роенной на фиг. 4 (указанная кривая для сравнения изображена и на
фиг. 11). Эта кривая представляет профиль кулачка (точнее часть про-
филя, соответствующую фазе подъёма), построенный для того же за-
кона движения и при тех же значениях 0 и , что и кривая I, но при
угле % , взятом произвольно равным 20°. Проведём (фиг. 10) линию,
соответствующую положению оси абсцисс при — 20°. Эта линия
пересекает кривую В между точками 6" и 7" и вблизи точки 10". Оче
видно, что профиль, построенный при ~ 20', должен получиться на
соответствующем интервале вогнутым. Этой особенностью как раз и
обладает кривая II.
Сделаем ряд практических замечаний, касающихся определения
величины угла Vo • Построения, аналогичные вышеописанным, необхо-
димо, естественно, производить как для фазы подъёма, так и для фазы
опускания. При этом достаточно ограничиться построением кривой В
для тех участков этих фаз, где ускорения отрицательны. Окончательное
положение оси абсцисс на диаграмме [У. if] определится горизонталью,
проведенной ниже самой нижней точки кривой В, построенной для
обеих фаз.
Предельное положение оси абсцисс мы получим, если проведём
горизонтальную линию касательно к кривой В в её нижней части.
Условимся в дальнейшем обозначать величину Yo , соответствующую
этому предельному положению оси абсцисс, как (V£
23
1 Фиг. 11.
t Изменение профиля кулачка в зависимости от параметра То •
Следует иметь в виду, что величина ( % }mirt зависит от соотно-
шения между величинами Q и (или 6 и У3 )- Рассмотрим фазу
подъёма коромысла. Допустим, что в соответствии с выбранным зако-
ном движения, мы остановились на каких-то значениях 0 и и опре-
делили указанным способом величину (Vo)n»;n- Изменим теперь соот-
ношение между 0 н уг : оставим значение & без изменения, а вели-
чину </f уменьшим, сравнительно с ранее принятой. При этом, очевид-
но, возрастут абсолютные значения угловых скоростей и ускорений ко-
ромысла, а следовательно, и абсолютные значения
dV
dcp
ds qj
“ ПРИ
тех же значениях ф . Значения &, определяемые по формуле (16), будут
теперь получаться большими, нежели ранее, и, как это следует из фор-
мулы (15), текущие значения также увеличатся. Таким образом
в
с увеличением отношения —— увеличивается и величина уо , удовлет-
воряюшая условию выпуклости профиля кулачка на участке, соответ-
ствующем подъёму коромыла.
Что касается фазы опускания, то и в этом случае с изменением
а
отношения-^-величина (V£)„,- также будет изменяться. Однако здесь
наши рассуждения относительно характера изменения величин -О’ при
изменении соотношения между 0 и не дают еще возможности уста-
новить, в какую сторону будет изменяться величина в случае
&
увеличения или уменьшения отношения - 5—. В самом деле, с увеличе-
на
нием отношения возрастут на участке опускания и абсолютные зна-
afy> cfc3 (
чения- -^— и , но мы не знаем, что при этом будет происходить
со значениями дроби, стоящей под знаком арктангенса в выражении
(16), так как с увеличением числителя этой дроби будет увеличиваться
и знаменатель >(на участке опускания значения отрицательны).
Путём аналогичных рассуждений можно показать, что если подъ-
ём и опускание коромысла происходят по одинаковым законам движе-
ния и С/> = ф3 (что часто имеет место на практике), то при определе-
нии величины (%)„,£„ Достаточно ограничиться рассмотрением одной
лишь фазы подъёма.
На фиг. 12 выполнено построение ряда кривых В Д-чя случая, ког-
да подъём и опускание коромысла происходят по закону постоянных
ускорений ( 4*1 = 4*3 120°; абсолютные значения положительного и
£\
отрицательного ускорений одинаковы) при отношении последова-
тельно равном и 4-. Из чертежа видно, что при оп-
8 7 6 5 ч-
25
^делении величины (V' )„,in тждый ра. неоохъдилп ориентироваться
ла фазу подъёма. На этой же ф гуре изображен» диаграмма изменения
величины ( V£ в зависимое, и
но, что с увеличением отношения
в ,,
от отн я*> ния Из последней вид-
~ — растёт и величина
II. АНАЛИТИЧЕСКОЕ ОПРЕДЕЛЕНИЕ ВЕЛИЧИНЫ
ДЛЯ ДВИЖЕНИЯ ПО ЗАКОНУ ПОСТОЯННЫХ УСКОРЕНИЙ
1. Определение на участке подъема
При определении величины (Vo )т-1П нас будет интересовать лишь
тот участок, где ускорения отрицательны (участок ВС на фиг. 13). Зна-
2S
чения
dz<p dp
$4>г ' d<f>
и tp могут быть определены на этом счастие ил
следующих известных увавненон-
dzy _ ге
d<pz %г(1~а) >
(17)
(18)
dp _ 26
dp 4>?(1-а)
>
н
’ °9'
t- Р'
где через а обозначено отношение , характеризующее соотноше
У'
ние между положительными и отрицательными ускорениям!;.
Подставляя значения и р щ неравенство (И) и
заменяя для предельного случая знак знаком равенства, получаем
Л________________2 6 4>f(1-a)_______________
’У i+etSP,
(20)
Из последнего уравнения видно, что с увеличением аргумента ср теку-
щие значения х^г у меньшаются. Наибольшее из текущих значений х/г
будет иметь место при наименьшем на участке ВС значении </*, 1. е.
при p=cf1 (точка В участка ВС ) Следовательно, при определении
наименьшей допустимой условием' выпуклости профиля величины %
мы обязаны ориентироваться на точку В- Полагая в выражении (20)
V = , получаем
2 б
(¥>)min= CLZct^ (f-ajup, -26)(4>r - 46) ~aG ‘ - <21 *
По формуле (21) мы легко можем при заданных значениях Q , р1 и
q найти для участка подъёма величину (Vo)min-
Пример. Подъём коромысла происходит по закону постоянных
ускорений, причем положительные ускорения равны отрицательным.
Полный угол размаха коромысла составляет 30°, а соответствующий
ему угол поворота кулачка равен 130°. Определить наименьшую допу*
ртимую величину угла Уо ,
S9
Имеем 0 — ЗОЛ c/>f -- 130' и а~ 0,5. Подставляя эти значения
в Формул; 1'21), находим
(ъд) -mctoi-___________________________ 180 ^;с ~
1 o/min °\(1—0,5/(130—2-30)(730—9-30) JT
azctg 9,83 — 15° = 69 е .
2. Выбор соотношения между углами 0 ч V, из условия
получения у < .
Из найденного ры-iet выражения (уравнение 2)
р cos У
1 с/у
следует, что при У—-..— мы будем иметь ё - 0. Иными словами, при
^7"
У=-^- точка контакта окажется в центре С. При углах У, Преви-
тт
тающих-——, точка контакта будет находиться ио другую стирону ко-
Z ’!
ромысла (величины I будут отрицательными). На фиг. 14 изображен
кулачок такого рода (коромысло движется по закону постоянных уско-
рений; а 0.5; </>-=300"; <£^=30°; 0 70°; %=- 50с). Здесь
максимальный угол поворота коромысла составляет Vo -/-6 ~
= 120°. Из чертежа видно, что профиль кулачка вписывается в окруж-
ность радиуса ОС — <£, касаясь её в двух точках в моменты, когда
У=-^—- Очевидно, что подобный механизм трудно осуществить прак-
тически, как из-за невозможности обеспечить постоянство прилегания
коромысла к „утачку (при переходе точки контакта по другую сторон;
от центра С сила замыкающей пружины должна менять свой знак), так
и по причин^ неудобства конструктивного оформления подшипника ко-
/7Z"
помысла. Кроме того, как это будет показано дальше, при угле- Уг=-^—
удельное давление в месте соприкосновения кулачка с коромыслом
принимает бесконечно большое значение. Поэтому в качестве верхнего
57"
поедала угла V установим величиях—=—
2
Определяя величину (У )^г по формуле (21), мы обеспечиваем
получение выпуклого профиля, но отнюдь не гарантируем себя от воз-
77*
можиости иметь У >-=- (величина (У У. может оказаться стол!
большой, что сумма 6 превысит-у- ). Так в рассмотренном
30
пьпие примере максимальное значение угле у составляет
^max=(^o)min + 6^b9°99'-l-3Co = 99o^9' (> 90°)..
Укажем, как могут быть выбраны параметры G и (р с тем, чтобы
сумма ( Vo >тсг>+ & ,!V превьнлала-—
Фнг. 1'1.
Перечат точки кчнтакга по другую сторону коромысла при
z?7*
уч лат У , превышающих —— .
2*
В предельном слу чае, при ¥^ах~’~£~ ’ имесм
Полагая в уравнении (21) (Vo )т{.п~^г~~&> находим
Поскольку величина подкоренного выражения больше 1, нас уст-
раивает лишь положительное значение корня, так как для рассматри-
ваемого закона движения необходимо, согласно вышеизложенного,
ИМеТЬ —— т- • ЕСЛИ МЫ ХОТИМ, ЧГОбы «ГОЛ
</> 4
об хоти .мл соблюдать слттуюшсс условие-.
У был меньше , не-
'РМГГ 2
, 7' (22)
Посмотрим, в каких пределах може’т практически изменяться ве-
личина знаменателя правой части неравенства ;(22) При малых углах Q
отношение и знаменатель равен з+т/з = 4,73.
G(l-ct)
С другой стороны, если положить Q ~ 45° ’что допустим для рассмат-
риваемого закона движения лишь при 180-’) if Ct— 0, получим
в знаменателе 4,88. Следовательно (поскольку угол выбирается
обычно не превышающим 180°), для рассматриваемого закона движения
необходн ио иметь
. 1
(23)
что гарантирует получение Ymax—^ % ® ' Так, если
в рассмотренном выше примере принять (/ -- 150е, получим
(Yo\mi„ 53е и (Yo imi„ в - 53°-j- 30°— 83° (<90»),
На фиг. 12 (внизу, справа) представлена диаграмма изменения ве-
личины
S - (VI 4-6 в 13ВИСИМОСТИ от отношения , при
гпах ° rrttn ’ v
Ct — 0.5 и (/>? 120°. Из чертежа видно, что при — =7- сумма
(4£)_• -i-б весьма близка к 90е.
х * v '77>сП ‘
3. Возможность произвольного выбо| -I •’«• участке подъёма
Попытаемся еще установить, могут лн существовать такие соот-
ношения между 0 и V , при которых знаке пая !i Votin’ опР®Яе»1яемь1е
по формуле (21), получались бы отрицательными. Если это окажется
возможным, то. очевидно, в таких случаях определение (Yo)min будет
лишено смысла, так как кулачок будет выпуклым при любом произ-
вольном положительном значении уо.
‘ G уменьшением отношения будут потучагьск меньшие значения для
а зилчи‘ а ,ля lVMMU •
Полагая в предельном случае в уравнении (21) (Vo Утсп^
получаем
аг Q)(g>f -Ьб)~ ati=0’
откуда находим1 ______________—-------------------
= [-3+']/- аСГ^а) Gtg (аб) (21’
Посмотрим, какие значения G и 9^ могут удовлетворять полу-
ченному уравнению при каком либо конкретном значении Ct допустим
при а = 0.5. Положив в уравнении 24) СИ — 0,5, будем иметь
<7 = [з + J/1 т 25 0-^^0^50;] ® '
Б соответствии с последним уравнением на фиг. 15 построена кри-
вая I . В примере, который ми рассмотрели выше (как раз для случая
CL— 0,5), при значениях 9, = 130° и Q— 30° величина (Wo)min
получилась положительной. На фит. \5 этим значениям v. Q соот-
Фпг. 15
Области положительных и отрицательных значений на участке
подъема. Штриховкой выделена область отрицательных значений
при $₽<180.
ветствует некоторая точка 1. Очевидно, что для всех комбинаций 9?
и в , охватываемых областью, в которой расположена и точка 1
(область © на фиг. 15), мы будем получать положительные значе-
ния ( Vo )п717» •
Сочетания 9’, 11 6, соответствующие области £Г, расположенной
гю доугую сторону от кривой I , будут давать отрицательные значения 1 * 3
1 Знак перед корнем взят из тех же сги Сражений. что и н нераяевсгвс
(22).
3 В Д, Карлин 33
Из чертежа видно, что при ct— 0,5 область отрицательных зна-
чений (% >zncn » ПРИ Углах 4i< 180°, практически не имеет места.
Из формулы (24) следует, что при других значениях а величины </>
будут получаться еще большими (см., например, нанесённую на фиг. 15
пунктиром кривую, соответствующую а 0,1). Отсюда следует, что
при углах yj менее 180е (что обычно и имеет на практике место) вели-
чина угла Vo не может быть выбираема произвольно. Это обстоятель-
ство, впрочем, не имеет практически существенного значения, в связи
с простотой определения величины (Vo)min noi Ф°РмУле (21).
4. Определение на участке опускания
Фаза опускания может быть рассматриваема нами, как фаза
подъёма, в случае вращения кулачка в обратном направлении. Мы,
таким образом, можем воспользоваться некоторыми выражениями, по-
лученными при исследовании фазы подъёма, изменив на обратные знаки
при и заменив параметр величиной — Ч>3. Так, вместо уравне-
ния (20) мы для фазы оп\скания будем иметь:
W -_________________________26Ч>* k1~a)________________-I
° [Ф32 (1 ~а)+2 6( Ч>3-4}}[<f*(1-a)+46(4>3-if)] [
1 J (25)
где под величиной CL следует уже подразумевать отношение —У"-
(фиг. 13). ’з
Выражение (25), на первый взгляд, не даёт возможности устано-
вить. при каком значении ср будет иметь место наибольшая текущая
величина уо, так как в этом выражении с увеличением у одновре-
менно растут как уменьшаемое, так и вычитаемое. Для выявления ха-
рактера изменения текущих значений Vq с изменением ф, автор рас-
смотрел свыще тридцати вариантов комбинаций а , 6 и Ч3 ; для всех
этих вариантов были произведены построения кривых «В», аналогичные
выполненным на фиг. 12. Полученные кривые (наиболее- характерные
из них представлены на фиг. 16) разделяются на две группы: одни
кривые имеют самую низкую точку в конце участка отрицательных
ускорений, т. е. при _ <p»«q>3 (как, например, кривая «В» на фиг. 16Я);
другие же, наоборот, — в самом1 начале этого участка, т. е. при
</=с/>'-'(фиг. 16 В). Отсюда следует, что при определении на участке
опускания наименьшей допускаемой условием выпуклости профиля ве-
личины уо ~(Vo}rnin — необходимо в одних случаях ориентиро-
ваться на == ср3 , в других — на ср = Ср". Подставляя в уравне-
ние (25) поочередно указанные значения ср , получаем следующие две
формулы для определения (Х,)^,гл на участке опускания
•34
1) при V-=V3,
(Vo)mi^a.xcT^~ ; (26)
2) при 77 = 9’r/,
C^oJmir, — atctg(i-a)(<j>3 +^е)(% + ‘+&J ~~а® (27)
При проектиоованин механизма необходимо найти по этим форму-
лам оба значения [Wo \irrln и выбрать из них большее.
5. Диаграммы предельных областей для определения ^т1Г1
на участке опускания
Определение величины [Wo>miri ио формулам (26) и (27) не свя
зано с какими-либо трудностями: однако необходимость испробовать
оба решения для получения окончатсл: "oii величины (Уо )rntn пред-
ставляет известное неудобсшо Попытаемся поэтому установить крите-
рии, руководствуясь которыми, можно было бы сразу указать, ио какой
именно из двух этих формул следует вести расчет.
Очевидно, что должны с х шествовать такие соотношения между
0и фэ, для каждого из которых значение (% 'min будет получаться
по обеим формулам одинаковым. Приравнивая значение из
уравнения (27) его значению из уравнения (26), получаем
a’ZC^(1-а)(Ч>3+ге)(У3+4е)~а® 6
или. после некоторых элементарных преобразований,
О ~а)г[ч>3(1-а) +26(1-а)}(1-о)^6(1^)^4бг(1-а)г
Введя обозначения
</3 (1—0.) = eZ (2В)
И
Q(l~a)^ ft (29)
будем иметь
+ гр)(^+4р>(30)
В соответствии с последним уравнением на фиг. 17 построена
кривая Т Нетрудно показать, что область «с», лежащая по одну
сторону этой кривой, заключает такие сочетания о/ и J3 , для каждого
из которых определение следует производить по формуле 26).
Наоборот, для всех комбинаций cZ и J3 . охватываемых областью «с/»,
расположенной по другую сторону от этой кривой, следует пользоваться
формулой (27)
.30
На чертеже построены также графики (fs] и [(i, Э] ; послед-
ние, согласно уравнений (28) и (29), представлены в виде двух пучков
прямых линий, каждая из которых соответствует определённому значе-
нию Gf . Пользуясь ими, мы легко можем при заданном значении d
перейти от величин о/ и J3 к величинам Ч>3 и 6. Для этого из произ-
вольной точки к кривой 1 идём направо и вверх до встречи с соот-
ветствующими прямыми в точках к' и к" • Проведя затем из точки
к1 вертикаль, а из точки к’1 —- горизонталь, отмечаем точку их пере-
сечения К ..Повторив эти действия для ряда точек кривой т,, найдем
ряд точек на диаграмме [б , Ф3] , объединив которые, получим некото-
рую кривую R, разделяющую эту диаграмму на две области — Си
О- Для всех сочетаний 0 и , охватываемых областью С , следует
ориентироваться на формулу (26). Для всех остальных комбинаций G
и Ч'з (область 7) ) величина (Vo )min должна определяться по фор-
муле (27)
На фиг. 17. в качестве примерного, произведено построение кри-
вой R. для случая а — 0,5.
Фиг. 17.
Вспомогательный график Д«я посiроения диаграмм расчетных областей.
Остаётся еще установить, при каких соотношениях между Q и (/>
возможно получение отрицательных значений (</£ )гп- , что укажет на
возможность произвольного выбора угла на участке опускания ко-
ромысла. Рассмотрим каждую из формул Для <у0 в отдельности.
Полагая в предельном случае в уравнении (26) ~ 0. получаем
Вредя обозначение
будем иметь
0 °-
д>3 ]/l-a — д , (31)
-тр— ,
откуда:
. (32)
В соответствии с последним уравнением на фиг. )8 построена кри-
вая Последняя отделяет некоторую область «е», причем легко по-
казать. что для всех сочетаний д и в , охватываемой этой областью,
мы будем получать по формуле (26) лишь отрицательные значения
(^)>тйп' Переход О| Диаграммы f . в] к диаграммам [в , про-
изводим с помощью прямых, изображающих зависимости между вели-
чинами & и при различных значениях О., и вспомогательной пря-
мой t . При заданном значении Л мы получим некоторую кривую Q.
(на фиг. 18 кривая Q построена для случая а — 0,5), отделяющую
область Е отрицательных значений (^o')wiT7.
Обратимся теперь к формуле (27). Полагая здесь также
(Yasmin получаем
(1-а)(ч>3ч-£б)(щ+Чв)~а0 =0 >
откуда:
/ I
= ~ 3 e'h]/'+(r-a) tg(a6) ' (33)
Зависимости между д>3 и 6 (при различных значениях а ), опре-
деляемые уравнением (33), представлены нах фиг. 19 в виде ряда кри-
вых Для всех сочетаний охватываемых областью, распо-
ложенной выше соответствующей кривой £>, величина (%)^in будет
получаться по формуле (27) отрицательной.
Совмещением кривых R , Q и 3 , построенных для одинаковых
значений а, на одном общем чертеже получаем удобные в практиче-
ском применении диаграммы расчетных областей для определения
Фиг. 18.
Вспомогательный график Р, е] для построения диаграмм расчетных областей-
it иг. 19.
Вспомогательные кривые ^"пля построения диаграмм расчетных областей.
на Участке опускания. На фиг. 20 и 21 представлены такие
диаграммы для случаев О'— 0,1 и О.-- 0,5. При определении
смотрим по диаграмме, какой из областей соответствуют заданные зна-
чения Q и Ч3. Для области С величина (Yo )min должна определяться
Фиг. 20.
Диаграмма расчетных обтастей для определения на участке
опускания коромысла, движущегося по закону постоянных ускорений
при Ct =0,1.
по формуле (26), для области 2) — по формуле (27). Что касается обла-
сти Е , то здесь определение (Vo)zr,in вообще является излишним и
угол Уо может быть выбран произвольно
• Фиг. 21.
Диаграмма расчетных областей для определения (Yo)min на участке
опускания коромысла, движущегося по закону ьос-оя’ных ускоре
ним при О. = 0,5.
Аналогичные диаграммы расчетных областей могут быть уки.чан-
ным путём построены для любых других значений Ct, что целесообразно
делать в тех случаях, когда предстоит проектирование большого числа,
АО
механизмов при различных соотношениях между 6 и V*3, но одном
и том же значении ос. В иных случаях (например, когда проектируется
одиночный механизм) проще но строить такой диаграммы, а вычислить
по формулам (26) и (27) оба вероятных значения ( Vo \min и, если оба
онн окажутся положительными, остановиться на большем
6. Выявление возможности получения V > на участке
опускания
Установим, имеется ли на участке опускания опасность получе-
ния по формулам (26) и (27) таких значений ( >mLrt , при которых
сумма ( Vo ) 6 будет превышать -2- . Рассмотрим, сначала фор-
мулу (26). Прибавляя к обеим частям равенства по О и полагая
.получаем
/ 2 0 !Л
(34)
или
ге
что возможно лишь при 6-оо или у3= О или же а-1 . Таким обра-
зом, практически, уравнение (34) никогда не будет удовлетворяться и
мы можем не опасаться (в пределах области С ) получения
<4u„+e-f-
Обратимся к формуле ‘27). Переписываем её в виде
1 9 Ц-а)(Ч> +2в}(4>3 +4ё) +
6 ЭТ
Полагая опять в предельном случае ( Уо 6 , получаем
2 6 1
(1 - a)C<f3+26)(4>3+'+6) = ct316(* ~a)j
или шосле помножения числителя и знаменателя левой части на /—а)
(1-а) +2 6(1 - (f-cf)+^O(f-aj] ~аИ •
Введя вновь обозначения
будем иметь
откуда
e^ = -3j3 + ^3e + 2jS^p . (35)
Посмотрим, может ли уравнение (41) удовлетворяться положи-
тельными значениями Ы. и J3 1
Полагая в этом уравнении °^= О , получаем
что возможно '(в пределах ) лишь при 80°. Нетруд-
но показать, что при J3<80° мы будем получать из уравнения (35) лишь
отрицательные значения о/. Таким образом, возможность получения
R
(V Т . +6 90° существует лишь при 0 = / - > - —•
° min * у— у—
Поскольку сам угол 6 не должен превышать 90°, последнее замечание
следует учитывать только при значениях а, близких к нулю, что прак-
тического значения не имеет (например, при а~ 0,1 получаем:
. __ 80° ggn\
i-a с, 9
Итак, как в пределах области С , так и в пределах области 2),
мы мгжем не опасаться неприятности получения таких углов (% >
.. 77"
при которых максимальный угол поворота коромысла превысит^-.
£•
Что касается области Е , то здесь (поскольку в пределах этой области
угол ¥о выбирается произвольно) всегда можно задаться таким значе-
нием • при котором сумма Yo + ® будет меньше
1 Знак минус г еред корнем мы не учитываем, так как нас интересует возмож-
ность получения положительных значений od при положительных же значениях ft.
III. ОПРЕДЕЛЕНИЕ ПАРАМЕТРОВ МЕХАНИЗМА
ИЗ УСЛОВИЯ НАИМЕНЬШЕГО ИЗНОСА
Величина удовлетворяющая условию получения кулачка
выпуклым во всех точках его профиля, может быть определена, как мы
показали, при помощи сравнительно простого построения или найдена
аналитическим путём. Остаётся, однако, неясным, на какую именно
величину следует отодвигать ось абсцисс диаграммы [у , от пре-
дельного положения.
Подойдём к решению этого вопроса из рассмотрения явления
износа кулачка и коромысла.
Износ профилей зависит, как известно, от целого ряда факторов.
Важнейшие из них — материал‘профилей, совершенство их обработки,
качество смазки, удельное давление, коэфкциент трения, удельная ско-
рость скольжения. Ряд факторов, например, обработка и т. п., остаётся
приблизительно без изменения при любых профилях кулачка. Наоборот,
такие факторы, как удельная скорость скольжения и удельное давле-
ние, зависят от вида профиля.
1. Скорости скольжения
Будем называть:
удельной скоростью скольжения для кулачка ( С, ) — отношение
скорости скольжения к скорости VR< перемещения точки контакта
К по профилю 1 кулачка;
удельной скоростью скольжения для коромысла Сг — отношение
скорости скольжения к скорости VKJ перемещения точки контакта по
профилю 2 коромысла.
Найдём выражение для скорости скольжения.
Скорость точки 2 коромысла, совпадающей с точкой К (фиг. 22),
будет направлена перпендикулярно к прямой СК и равна Vz — СК-СОг-
Разложим эту скорость на две составляющие: едка из них, направлен-
ная перпендикулярно QK , представит*скорость точки 1 кулачка, сов-
падающей с точкой К , и будет равна V, = ОК • ; другая же, па-
раллельная СК , будет искомой скоростью скольжения — VCK. Прове-
дём O1DJ.CK . Вследствие подобия треугольника скоростей треуголь-
43
нику ОТ К (на фиг. 22 рассматриваемые треугольники заштрихованы),
имеем
И О/< ~ОК-СО1 Q^— OT-Q\ .
>
Но. как слепнет из чертежа,
OD SLUVj
следовательно,
V^a).-sinV. (36)
Схема механизма к выводу формул относительной и сдельных скоростей
скольжения.
Перейдём к определению удельных скоростей скольжения. Если
отсчитывать перемещение точки контакта по коромыслу от неподвиж-
ного центра С , обозначая попрежнему расстояние СК через £ , то
можно написать, что
кг
dB
df
Диференцируя функцию (2), получаем
44
После деления уравнения '36) на уравнение (37) находим
с к,
г~v“
(38)
Как следует из фиг. 22,
Ио = \/кг + • (39)
Подставив значения VKg и VCK из уравнений (36) и (37) в уравнение
(39). будем иметь
V«=*-<4
(Ч^)г
(40)
н, наконец, поделив уравнение (36) на уравнение (40), найдём
(41)
Выражения для удельных скоростей скольжения могут быть ни-
сколько упрощены введением величины JD . Помножив числитель и зна-
менатель правой части уравнения (40) на ( / — ), получим
а
v« =*и'--------------------------------
( dtp)
или, принимая во вниманий уравнение (4),
Отсюда
4# Sin у {
'М
(42)
Аналогичным путём найдём
г ____________________
(431
Из формулы (42) следует, что величина удельной скорости сколь-
жения С (а значит и величина износа кулачка) будет бесконечно
большой при уэ =0.
Обратимся к рассмотрению выражения {38). Если в этом выраже-
нии ПОЛОЖИТ!
. Ж=<7
а<р
dz У
, то получим С,= оэ . Одновременное
равенство нулю скорости и ускорения коромысла будет иметь место
для некоторых законов движения (например, когда ускорение изме-
няется по закону синуса) в мо ленты его мгновенных остановок в край-
них положениях. При наличии фаз длительных остановок коромысла
( Vой Ч&0\ это обстоятельство будет иметь место при любом
законе движения. Следовательно, с целью уменьшения износа коро-
мысла, желательно избегать применения даких законов движения, когда
одновременно сГдГг*® н стаРаться обходиться без фазы
верхнего останова” (во время нижнего останова коромысло обычно не
касается кулачка, в связи с наличием зазора). Всё это, однако, не
имеет особо существенного значения, так как из самого определения
величины следует, что последняя всегда должна принимать беско-
нечно большое значение (при любом законе движения коромысла) еще
в тех положениях механизма, в которых точка контакта будет зани-
мать на коромысле крайние положения, т. е.. когда величина £ будет
принимать экстремальные значения. В самом деле, значение С^~
становится бесконечно большим при \/ а——пг~ Следовательно.
л® /уГ
даже при соблюдении указанных выше условий, мы обязательно будем
иметь на профиле коромысла две точки (соответствующие минимально-
му и максимальному значениям £ i, где С2=со.
На фиг. 23 изображены диаграммы [e.v]»fa.v] для движе-
ния с ускорениями, изменяющимися по закону синуса ( 9, = У3 120°;
6 20°). Мы видим, что |C2j=oo при Ф=О ; </>,-h4>г и
еР~Ч>1 + Ч>2 + • а также при тех значениях У, когда величина
£ максимальна и лшнимальна. Аналогичные диаграммы (при тех же
значениях ip . </>3 и 6 ) изображены на фиг. 24 для случая движения
по закону постоянных ускорений. Здесь /С2|=сю в двух точках, соот-
ветствующих экстремальным значениям величины £
Итак, анализ выражений для удельных скоростей скольжения по-
казываст, что при проектировании механизма нельзя исходить из удель-
ных скольжений, вследствие невозможности избежать бесконечно боль-
ших величин их в некоторых положениях. Перейдём теперь к рассмот-
рению удельных давлений.
46
закону синуса.
Фиг. 24.
Диаграммы изменения величин £ н Сг по углу поворота
кулачка для движения с постоянными ускорениями.
2. Удельные давления
Удельное давление в месте соприкосновения кулачка с коро-
мыслом определяется из уравнения Герца-.
££= 0,4/5
ЁЖ
Тр
(44)
Здесь
Е — модуль упругости в [кг см2];
В — длина кулачка «размер параллелен оси вращения) в [см];
0 — попрежнему радиус кривизны профиля в точке контакта
в [см];
Ж — нормальное давление в месте соприкосновения в [кг].
Если обозначить сумму моментов всех сил, действующих на коро-
мысло (исключая Ж) относительно' центра С, как М, то сила у/
определится для какого-либо положения механизма из
(45)
Подставив значение JY" из, уравнения (45) в уравнение (44), получим
д,= 9,415 (46)
Как видно из уравнения (46), удельное давление может стано-
виться бесконечно большим в двух случаях (в предположении, что
^Е.Мс+о& и £>0 ):
1) в случае когда О — 0;
2) при £ — 0.
Первый случай будет иметь место, если величину Vo принять
равной (% )miT> - Второй — при угле поворота коромысла V , равном
-g-. Практически удельное давление будет получаться весьма большим
7Г
при значениях у , близких к —х—. Следовательно, выбирая величину Уо«
мы должны стремиться к тому, чтобы наибольшее значение у , равное
"ГТ
V + G , оыло с известным запасом меньше т. е., чтобы сама вели-
чина Vo бы ла меньше разности Q „
При выполнении ориентировочных расчетов целесообразно выби-
рать параметр Ve , исходя из условия равного удаления от предельных
значений, т. е. принимать
г - ^о) mln + (YJ7ГНЯЭС
° 2 ?
где
fV) -6
i To/mcrx 2“ *
(47)..
(43)
4*
Выбирая величину ^/о в соответствии с формулой {47), мы обес-
печиваем получение выпуклого профиля, гарантируя одновременно не-
возможность получения ^=оо . Покажем теперь, каким образом может
быть установлена окончательная величина угла V4 > исходя из условия,
чтобы удельные давления были наименьшими.
Подставляя в уравнение (46) значения £ н О из уравнений (2) н
>4), получаем '
Введя обозначение
(50)
будем иметь
,5,)
Выделяя в уравнении (51) величины, не зависящие от положения меха-
низма и угла V . т. с. полагая
* о
_OA18 /Ё~^г> (52)
if КТ~ ’
получаем окончательно
Очевидно, что наша задача заключается в отыскании такого
наивыгоднейшею угла Vo , при котором максимальное значение вели-
чины "X (а значит и максимальное значение ) будет получаться
наименьшим.
Укажем графоаналитический путь решения этой задачи. Задаваясь
в интервале между и (¥о )тох рядом значений Уа :
(Ч)2: (Ч)г; wo )ет.......... вычисляем для каждого из них по фор-
муле (30) величины , соответствующие различным значениям угла ср,
и строим диаграммы [Z , У]. На этих диаграммах (фиг. 25а) отмечаем
максимальные значения величины Z: ( (%n,ax)ir> (‘^тах^'И • • •
и строим по ним новую диаграмму, показывающую изменение величины
Жтвхн зависимости от Vo (фиг. 25в). На последней отвечаем, как
4 В. Д. Карлин
49
окончательное то значение , при котором величина будет
наименьшей [так, например, на фиг. 25в наименьшему значению
соответствует величина « Равная (^о шЗ •
Ф,1Г. 25.
Графическое определение угле из условия получении наименьших
удельных живлений.
Установив окончательную) величину угла уо , мы можем перейти
к определению длины кулачка В .
Обозначим найденную окончательную величину угла Vo, как Уо
и соответствующие ей значения fymax' как 'Фнг- 26) и .
Согласно уравнению (51), между величинами Ц и 2 существует сле-
дующая зависимость.
х__ O,^f8 /Е^ (54)
откуда
30
Задаваясь в уравнении (55) желательной величиной 5 мы легки
можем вычислить размер ё.
Из выражения (51) следует, что величина удельного давления за-
висит как от длины кулачка ё , так и от величины расстояния if, при-
Нахождение окончательной величины угла по диаграмме [ ^таж^о
чем о г последней в большей степени, чем от первой. В случае, если
найденный по формуле (55) размер 6 окажется неконструктивным,
следует несколько изменить расстояние или несколько отступить от
найденного значения % , поскольку вблизи наиболее низко располо-
женной на кривой Vo] точки величина значит и
не должна изменяться слишком резко.
ЗАКЛЮЧЕНИЕ
Результаты произведенных в работе исследований сводятся к еле-,
дующему.
1 Установлено, что получение выпуклого профиля кулачка не-
центрального механизма всегда может быть обеспечено соответствую-
щим подбором величины смещения коромысла h Предложены два
удобных в практическом применении способа решения этой задачи.
2 Показано, что получение выпуклого профиля кулачка централь-
ного механизма достигается правильным выбором соотношения между
углами 6 и 4>t , а также соответствующим подбором угла Уд.
4* 51
3. Для наиболее распространенных законов дьижения найдены
а
наибольшие допустимые значения отношения Указан метод опре-
деления величины f—ч для любого иного закона движения.
’ ^'i-'rnax.
4. Предложен сравнительно простой графоаналитический способ
определения наименьшей допустимой условием выпуклости профиля
величины утла . Способ применим при любом заданном законе дви-
жения коромысла.
5. Для наиболее важного для практики случая — движения коро-
мысла по закону постоянных ускорений — выведены простые формулы,
позволяющие определять угол аналитически. Построены
удобные в практическом применении диаграммы расчетных областей,
облегчающие пользование указанными формулами.
6. Для этого же закона движения установлен верхний предел от-
ношения—— , гарантирующий на участке подъёма получение
Л
(% )mizt + 6 <-4- . Показано, что для фазы опускания коромысла,
движущегося по закону постоянных ускорений, опасность получения
(Wo)min+6 >^~ практически исключена.
7. Установлено, что при проектировании механизма нельзя исхо-
шть нз удельных Скольжений, вследствие невозможности избежать
бесконечно больших величин их в некоторых положениях.
8. Указан способ определения параметров механизма из условия
получения наименьших удельных давлений и выведены соответствую-
щие расчетные формулы.
ОГЛАВЛЕНИЕ
Предисловие -.................................. 3
Обозиачеигя. принятые * работе.............. • 4
1. ОПРЕДЕЛЕНИЕ СООТНОШЕНИЙ МЕЖДУ ПАРАМЕТРАМИ МЕХАНИЗМА
ДЛЯ СОБЛЮДЕНИЯ УСЛОВИЯ ВЫПУКЛОСТИ КУЛАЧКА ВО ВСЕХ
ТОЧКАХ ЕГО ПРОФИЛЯ
1. Формула радиуса кривизны профиля кулачка............................. 6
2. Влияние величины смещения h на характер профиля кулачка............ • 10
3. Условие выпуклости профиля кулачка ^антрального механизма........... 15
4. Выбор соотношения между величинами Q и ............................ 1Ж
5. Определенно величины угла ...........................................21
II. АНАЛИТИЧЕСКОЕ ОПРЕДЕЛЕНИЕ ВЕЛИЧИНЫ ДЛЯ
ДВИЖЕНИЯ ПО ЗАКОНУ ПОСТОЯННЫХ УСКОРЕНИЙ
1. Определение на участке подъема..............................
2. Выбор соотношения между углами 0 и if, т условия получения , •
3. Возможность произвольного выбора на участке подъема............
4. Определение {тоХ^на участке опускании.............................• •
5. Диаграммы предельных областей для определения (\Ъ)т1п «а участке опус-
32
34
кания .....................
6. Выявления возможности получения
на участке опускания -
36
41
III. ОПРЕДЕЛЕНИЕ ПАРАМЕТРОВ МЕХАНИЗМА ИЗ УСЛОВИЯ
НАИМЕНЬШЕГО ИЗНОСА
I. Скорости скольжения . . •...-.........•................... 43
2. Удельные давления.............................. •......... 4|
Заключение ....... 51
Разр. к печати 27ДН947 г.____З'!г п. я. 3,ZaBt- л-__Изд. 224. Зак. 234.
Г~П4333 Типо-литографии ВВИА имени профессора И. Е. Жуковского.
ТРУД ы
КРАСНОЗНАМЕННОЙ ОРДЕНА ДЕНИНА
ВОЕННО-ВОЗДУШНО Й ИНЖЕНЕРНОЙ
АКАДЕМИИ им. ироф. И. Е. ЖУКОВСКОГО
1947 и
Курицкес Я. М. Продольный момент упругих крыльев. Вып. 200.
Зенкевич И. И. Выбор приближенных зависимостей при проекти-
ровании бомбардировочных прицелов. Научно-техническая конферен-
ция 1945 г., статья 2. Вып. 201.
Бруевич Н. Г. Современное состояние точности бомбометания.
Научно-техническая конференция 1945 г., статья 1. Вып. 202.
Кобринский. И. Е. Об основах теории ошибок при бомбометании
с иегоризонтального полета. Научно-техническая конференция 1945 г.,
статья 3. Вып. 203.
Бобов К. С. Электропривод турелей непосредственного управле-
ния с амплидином. Научно-техническая конференция 1945 г., статья 4.
Вып 204
Федоров Р. В. Кинетическое исследование процесса дизеля при
высоком наддуве. Научно-техническая конференция 1945 г., статья 5.
Вып. 205.
Баранов Г. Г. О коэфициенге полезного действия некоторых
редукторов электрифицированных самолетных механизмов. Научно-
техническая конференция 1945 г., статья 6. Вып. 206.
Бабичев К. А. Методика исследования точности бомбометания.
Научно-техническая конференция 1945 г., статья 7. Вып. 207.
Юрасов Е. В. К вопросу об амплитудной модуляции при удвое-
нии частоты в авиационных радиопередатчиках. Научно-техническая
конференция 1945 г., статья 8 Вып. 208.
Сенкевич А. М. Методика расчета магнитных систем с постоян-
ными магнитами. Научно-техническая конференция 1945 г., статья 9.
Вып. 209.
Горцев В. П. Выбор параметров четырехмоторных бомбардиров-
щиков* Научно-техническая конференция 1945 г., статья 10. Вып. 210.
Воронов Б. В. О сглаживании эмпирических функций и о вычис-
лении их производных с помощью полиномов С. Н. Бернштейна.
Вып. 21 Г.
ТЗагорский В. Д. Современные электрические стартеры для
запуска авиадвигателей. Научно-техническая конференция 194? г.,
статья 11. Вып. 212
Коншин М. Д. Определение пространственного положения само-
лета фотограмметрическим методом. Научно-техническая конференция
1945 г., статья 12.'Вып. 213.
Тулупов Н. М. Поля статических давлений сверхзвуковой трубы
ЁВИА. Вып. 214.
Вентцеяь Е. С. Некоторые методы вычисления вероятности Ш
Попаданий при п выстрелах. Вып. 215.
Вишневецкий А. С. Исследование боевого разворота самолета.
Вып. 216.
Панов Д. Ю. Упругий гистерезис и последействие и учет их при
исследовании упругих элементов приборов Научно-техническая кон-
ференция I945 г., статья 13. Вып. 218.
Ширков В. В. Асимметрия антенно-фидерной системы пеленгато-
ров типа эдкок. как источник «антенного» и «ночного» эффектов.
Вып. 219.
Чумаков В. В. Нагревание ствола при выстреле. Вып. 220.
Боднер В. А. Анализ основных схем регулирования автоматиче-
ских ВИ! II. Вып. 221.
Сергеев Т. Я. Влияние режима искусственного старения на эффект
возврата в дуралюмине.4 Въуг. 222.
Жвоинский Й. Е. К вопросу об охлаждении воздуха на всасыва-
нии авиадвигателей. Вып. 223.
Чичагов В. В. Коррозионная устойчивость дуралюмина, подверг-
нутого возврату. Вып. 224.
Фридлендер Г. Q\ Автопилот самолета-снаряда
Ш апошников С. П. Современные американские аэрофотоаппараты.
Крылов А. Ц. Американский копировальный прибор типа A-W.
, , Вып 225.
Кордовский ,4. А Иссле дование условий безопасности бомбоме-
тания с пикирования. Вып 227.
Волков Г. К. 11екоторые вопросы организации инженерно-авиаци-
биной службы. Вып 228
Баранов Г. Г. К решению уравнения Рейнольдса для подшипника
конечной длины. Вып. 230.
.iiuti, А. И. Анализ ускорительных механизмов авто*д:*тнче-
£ксчо оружия. Вып. 231.
Нурик Л Б. Им.чу льсныс характеристики электронных ламп.
а- о а Вып-
1>сдпер И. Ч. U динамических погрешностях приборов, ггредназна
«сна ля измерения быстроизмснякицихся величин. Вып. 233*
«’ ' >.нй Я Д. Запуск авиационных двигателей. Вып. 236.
• ут ГС ф