А Я- АЛЕКСАНДРОВ, Ю. И. СОЛОВЬЕВ
ПРОСТРАНСТВЕННЫЕ
ЗАДАЧИ
ТЕОРИИ УПРУГОСТИ
ПРИМЕНЕНИЕ МЕТОДОВ
ТЕОРИИ ФУНКЦИЙ
КОМПЛЕКСНОГО ПЕРЕМЕННОГО
МОСКВА «НАУКА»
ГЛАВНАЯ РЕДАКЦИЯ
ФИЗИКО-МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ЛИТЕРАТУРЫ
1978

531
A 46
УДК 539.30/32
Александров А. Я., Соловьев Ю. И.,
Пространственные задачи теории упругости (при-
менение методов теории функций комплексного
переменного). — М.: Наука. Главная редакция
физико-математической литературы, 1978, 464 стр.
Книга содержит систематическое изложение
методов решения пространстиенных задач тео-
рии упругости при помощи аппарата- аналитиче-
ских и обобщенных аналитических функций.
Описываются методы, позволившие распростра-
нить этот ашарат, ранее широко применяв-
шийся для решения плоских задач, на простран-
ственные задачи.
Излагаются решения ряда осесимметричных
и других пространственных задач. В ряде слу-
чаев решение задач доводится до конца чисто
аналитическим путем. В общем случае решение
на определенном этаие сводится к численному
счету. Приводятся примеры как чисто анали-
тического, так и численного решения таких
задач.
Книга рассчитана на научных работников,
инженеров и студентов, занимающихся меха-
никой твердого деформируемого тела.
Табл. 5, илл. 65, библ. 189.J
.20302 — 184,/n 7Q ©Главная редакция
А ---¦¦.»¦ „„ 14U-7H физико-математической литературы
U53(U<2)-7o издательства «Наука», 1978

ОГЛАВЛЕНИЕ
Предисловие 6
Раздел I
ПРИЛОЖЕНИЕ АНАЛИТИЧЕСКИХ ФУНКЦИЙ
КОМПЛЕКСНОГО ПЕРЕМЕННОГО К РЕШЕНИЮ
ПРОСТРАНСТВЕННЫХ ЗАДАЧ ТЕОРИИ УПРУГОСТИ
Глава I. Зависимости между пространственными в не-
которыми двумерными напряженными состояниями,
получаемые путем интегральных наложений .... 9
§ 1. Основные уравнения теории упругости. Вспомога-
тельные двумерные состояния 10
§ 2. Связь между пространственными и вспомогатель-
ными двумерными состояниями для конечных тел
без цолостей 15
§ 3. Связь между нространственпыми и двумерными состоя-
ниями для упругого пространства с полостями ко-
нечных размеров, а также упругого слоя и полу-
пространства 27
§ 4. Обобщение на случай траисверсально-изотроиной и
неоднородной среды. Действие сосредоточенной си-
лы на полупространство с переменным по глубине
модулем упругости 36
§ 5. О некоторых других формах зависимостей между
пространственными и плоскими задачами 44
Глава II. Решение осесимметричных задач при помощи
аналитических функций комплексного переменного ... 49
§ 6. Выражения перемещений и напряжений конечного
односвязного тела вращения без полостей через
интегралы от аналитических функций 50
§ 7. Выражения перемещений и напряжений в случае
односвязного коночного или бесконечного тела с
внутренними полостями . . . 59
§ 8. Решенпе в рядах осесимметричных задач для сферы
и упругого пространства со сферической полостью. G6
§ 9. Решение осесимметричных задач для сферы в квад-
ратурах 70
§ 10. Действие на сферу и сферическую полость сосре-
доточенных (распределенных по окружности) на-
грузок 77
§ 11. Сферический разрез в упругом пространстве .... 87
§ 12. Периодическая осесимметричная задача для про-
странства с бесконечной системой сферических по-
лостей. Упругое пространство с двумя сферически-
ми полостями 100
1*

4 ОГЛАВЛЕНИЕ
§ 13, Представление напряжений и перемещений контур-
ными интегралами. Приведение осесимметричных
граничных задач к интегральным уравнениях пер-
вого рода 106
Глава III. Неосесимметричные задачи для тел вращения 116
§ 14. Представление перемещений и напряжений неосе-
симметрлчно нагруженного тела вращения через
аналитические функции комплексного переменного 117
§ 15. Первая и вторая основные задачи теории упру-
гости для полупространства 128
§ 16. Основная смешанная задача для полупространства
при круговой линии раздела граничных условий.
Давление на полупространство кругового в плане
штампа. Упругое пространство с плоским круго-
вым разрезом 136
| 17. Неосесимметричные задачи для сферы и простран-
ства со сферической полостью 146
§ 18. Эллипсоид вращения и эллипсоидальная полость
в упругом, изотропном пространстве 154
§ 19. Учет объемных сил и температурных деформаций 162
Глава IV. Трансверсально-изотропная среда. Статические
и стационарные динамические задачи 169
§ 20. Основные представления для трансверсально-изо-
тропных тел 169
§ 21. Внешняя и внутренняя задачи для трансверсально-
изотропных сферы и эллипсоида вращения . . . 179
§ 22. Трансверсально-изотропные параболоид и двупо-
лостный гиперболоид вращения 188
| 23. Некоторые осесимметричные стационарные дина-
мические задачи теории упругости для изотропных
и трансверсально-изотропных тел 195
Г л а в а У. Применение аналитических функций комплекено-
го переменного к решению задач теории упругости для
неосесинметричных тел 202
| 24. Некоторые обобщения метода интегральных на-
ложений в случае неосесимметричных тел .... 203
§ 25. Примеры. Периодическая задача для упругого вин-
та. Трехосный эллипсоид 212
§ 26. Некоторые другие формы использования функций
комплексного переменного и их обобщений для
решения пространственных задач теории упругости 223
Раздел II
РЕШЕНИЕ ОСЕСИММЕТРИЧНЫХ ЗАДАЧ ТЕОРИИ УПРУГОСТИ *
ПРИ ПОМОЩИ ОБОБЩЕННЫХ АНАЛИТИЧЕСКИХ ФУНКЦИЙ
КОМПЛЕКСНОГО ПЕРЕМЕННОГО
Глава VI. Обобщенные аналитические функции, опре-
деляющие осееимметричные поля 234
§ 27. Основные понятия и обозначения 234
§ 28. Одна форма связей между аналитическими и обоб-
щенными аналитическими функциями. Некото-

ОГЛАВЛЕНИЕ 5
рые иолные системы обобщенных аналитических
функций 247
§ 29. Аналоги комплексного логарифма. Их производные
и интегралы 255
§ 30. Обобщенная формула Коши. Обобщенное ядро
Коши 263
§ 31. Обобщенные интегралы тица Коши .¦ 277
Глава VII. Применение обобщенных аналитических функ-
ций к решению осесимметричных задач теории
упругости . , 290
§ 32. Представление общего решения осесимметричной
задачи для изотропных тел при помощи обобщенных
аналитических функций 291
§ 33. Приведение основных задач теории уцругости к гра-
ничным задачам для обобщенных аналитических
функций 301
§ 34. Внешняя и внутренняя задачи для осесимметрично
нагруженного тора 315
§ 35. Осесимметричные задачи для параболоида и гипер-
болоидов вращения 324
§ 36. Приведение цервой я второй основных задач для
односвязных тел вращения без полостей к инте-
гральным уравнениям 333
§ 37. Исследование ядра и решения интегрального урав-
нения 340
§ 38. Интегральные уравнения для решения цервой и
второй основных задач в случае тела с полостями 354
§ 39. Приведение основной смешанной задачи к сингу-
лярному интегральному уравнению 368
§ 40. Осесимметричные задачи для трансверсально-изо-
тропных тел 382
Глава VIII. Использование связей между аналитическими
и обобщенными аналитическими функциями, р-аяа-
литические функции 390
§41. Операторы S и S'1 на кусочно-гладкой кривой ... 391
§ 42. Соответствие между аналитическими и обобщенными
аналитическими функциями 398
§ 43. Представление осесимметричных церемещений через
аналитические функции в случае многосвязных тел 412
§ 44. Выведение функции i|)*(a) из-под знака интеграла
в формулах граничных условий. Осесимметричная
задача для полой сферы 416
§ 45. Действие сил, осесимметрично распределенных по
плоским и цилиндрическим поверхностям внутри
упругого пространства и полупространства. . . . 427
§ 46. Некоторые сведения о р-аналитических функциях
и их применениях к задачам теории упругости . . . 435
Литература 450

ПРЕДИСЛОВИЕ
Методы теории функций комплексного переменного
получили весьма широкое применение для решения пло-
ских задач теории упругости и вадач кручения. Работы
этого направления, связанные с именами Н. И. Мусхели-
швили, Д. И. Шермана и многих других исследователей,
широко известны своей эффективностью и изяществом.
Настоящая книга посвящена применению некоторых
из этих методов к решению пространственных задач теории
упругости. Большая часть книги посвящена задачам для
тел вращения (при наличии и отсутствии осевой симметрии
в граничных условиях), рассматриваются также (хотя и
в меньшей мере) и неосесимметричные тела.
Аналитические функции комплексного переменного
вводятся на основе интегральных наложений, позволив-
ших установить связь между компонентами пространствен-
ного напряженного и деформированного состояния с одной
стороны и компонентами некоторых вспомогательных дву-
мерных состояний — с другой. Для пространствепных осе-
симметричных задач вспомогательным является состояние
плоской деформации. Для пространственных задач без осе-
вой симметрии вспомогательными являются плоская дефор-
мация и состояние, соответствующее депланации попереч-
ных сечений цилиндров при кручении. Рассматриваются
различные виды интегральных наложений, осуществля-
емые путем вращения (для сплошных осесимметричных
тел), путем линейных смещений (для тел с полостями)
или при комбинации вращений и линейных смещений (для
некруглых тел). Связи между пространственными и вспо-
могательными состояниями выражаются интегральными
операторами (или найденными обращениями этих опера-
торов).
В некоторых случаях (полупространство, слой) полу-
ченные зависимости можно записать в виде, непосредствен-
но связывающем граничные вначения компонентов напря-

ПРЕДИСЛОВИЕ 7
женин и смещений для пространственного и вспомогатель-
ных состояний. Это позволяет производить достаточно
простой переход от пространственных задач к двумерным
(с соответствующим трансформированием граничных ус-
ловий) и, решив вспомогательную двумерную задачу,
сделать обратный переход к заданной пространственной.
В общем случае в найденные зависимости входят зна-
чения компонентов напряжений и смещений не только на
границах, но и во внутренних точках тела, и такой про-
стой переход не удается осуществить. В этом случае най-
денные зависимости используются для того, чтобы полу-
чить представления компонентов пространственного со-
стояния через аналитические функции, так как через эти
функции при помощи известных формул выражаются ком-
поненты вспомогательных двумерных состояний. Показы-
вается, что для тел вращения использование различных
наложений приводит к совпадающим выражениям пред-
ставлений, обладающим достаточной общностью.
Сперва представления строятся для пространственных
осесимметричных задач и для тел вращения при неосе-
симметричном нагружении, затем они обобщаются на слу-
чай, когда поверхность тела является огибающей поверх-
ностью семейства цилиндров, ориентированных в про-
странстве произвольным образом. Полученные пред-
ставления используются для решения различных классов
задач методами теории функций комплексного перемен-
ного в рядах, путем сведения задач к интегральным урав-
нениям, в некоторых частных случаях — в квадратурах.
Рассматриваются изотропные и трансзерсально-изо-
тропные тела. Приводится пример решения частного слу-
чая динамической задачи и т. д.
Все зти вопросы рассмотрены в первом разделе книги.
При описанном подходе компоненты гфостранственно-
го напряженного и деформированного состояния выража-
ются интегралами, содержащими аналитические функции
и некоторые ядра. Когда состояние является осесим-
метричным, эти интегралы можно связать с одним из
классов обобщенных аналитических функций в смысле
И. Н. Векуа.
Обобщенные аналитические функции могут быть вве-
дены независимо от представлений в аналитических функ-
циях. При этом они иснользуются для распространения

8 ПРЕДИСЛОВИЕ
ранее полученных результатов на более сложные случаи
(многосвязные тела и др.), для которых метод наложений
непосредственно не всегда является корректным.
Вопросам применения обобщенных аналитических
функций в осесимметричной теории упругости посвящен
второй раздел книги. Там приведены основные сведения
об этих функциях, рассмотрены свойства обобщенных ин-
тегралов типа Коши и аналогов комплексного логарифма.
Далее проводится исследование осесимметричной задачи
аналогично тому, как исследуется плоская задача при
помощи аналитических функций. Найдено решение не-
которых задач путем разложения обобщенных аналитиче-
ских функций в ряды и интегралы.
Получены и исследованы интегральные уравнения для
решения первой, второй и смешанной осесимметричных
задач в общем случае тел вращения. Эти уравнения ана-
логичны соответствующим уравнениям плоской задачи,
предложенным Д. И. Шерманом.
В конце раздела приведены краткие сведения о /ьана-
литических функциях, введенных Г. Н. Положием, и их
применениях к решению осесимметричных задач теории
упругости.
Следует отметить, что часть конкретных задач, рас-
смотренных в книге в качестве примеров, ранее была реше-
на другими методами. Использование методов аналитиче-
ских функций часто приводит к цели более коротким
путем.
Книга в основном написана по результатам авторов.
Авторы выражают благодарность Л. М. Куршину за
советы и помощь в работе, сыгравшие большую роль в по-
явлении этой книги. Авторы благодарны своим коллегам
и сотрудникам кафедр строительной механики и высшей
математики Новосибирского института инженеров желез-
нодорожного транспорта за помощь в разработке изло-.
женных методов, в решении задач и подготовке книги.
А. Я. Александров, '
Ю. И. Соловьев

Р а""з д е л I
ПРИЛОЖЕНИЕ АНАЛИТИЧЕСКИХ ФУНКЦИЙ
КОМПЛЕКСНОГО ПЕРЕМЕННОГО К РЕШЕНИЮ
ПРОСТРАНСТВЕННЫХ ЗАДАЧ
1 ТЕОРИИ УПРУГОСТИ
Г л а в а I
ЗАВИСИМОСТИ МЕЖДУ ПРОСТРАНСТВЕННЫМИ
И НЕКОТОРЫМИ ДВУМЕРНЫМИ НАПРЯЖЕННЫМИ
СОСТОЯНИЯМИ, ПОЛУЧАЕМЫЕ ПУТЕМ|
ИНТЕГРАЛЬНЫХ НАЛОЖЕНИЙ
В настоящей главе на основе метода интегральных на-
ложений устанавливаются зависимости между простран-
ственным напряженным и деформированным состоянием
упругого тела и определенными вспомогательными со-
стояниями, компоненты которых в прямоугольных коор-
динатах зависят лишь от двух переменных. В качестве
таких состояний принимаются плоская деформация и де-
планация *). Установление и использование этих зави-
симостей оказывается весьма полезным при решении про-
странственных задач теории упругости, ибо вспомога-
тельные двумерные состояния хорошо изучены.
Выделяется случай осесимметричной деформации, ко-
торый сравнительно часто встречается на практике.
В этой же главе приводится сводка основных уравне-
ний теории упругости в прямоугольных и цилиндрических
координатах для однородного и изотропного тела.
*) При плоской деформации равно нулю перемещение в направ-
лении одной из координатных осей. Под депланацпей мы будем
понимать такое двумерное состояние, когда отсутствуют перемеще-
ния в двух направлениях. Состояние депланации можно выделить,
например, при кручении некруглого цилиндрического стержяя:
оно вызывает перемещения в направлении оси стержня и искажает
тем самым плоскую форму поперечных сечеяий.

10 ЗАВИСИМОСТИ МЕЖДУ НАПРЯЖЕННЫМИ СОСТОЯНИЯМИ [ГЛ. I
§ 1. Основные уравнения теории упругости.
Вспомогательные двумерные состояния
1. Приведем основные формулы и уравнения теории
упругости для однородной и изотропной среды в прямо-
угольной и цилиндрической системах координат.
Пусть х, у, z — прямоугольные координаты; по пло-
щадкам, перпендикулярным соответствующим осям, дей-
ствуют нормальные напряжения ах, ау, ог и касательные
напряжения хху = хух, t,jz = xzy, rzx = Taz.
Дифференциальные уравнения равиовесия имеют вид
»•«)
где дх, qv, <7t-~ проекции объемной силы на соответству-
ющие координатные оси.
Напряжения связаны с деформациями формулами за-
кона Гука
A.2)
*,«iP, v,« = ?, т2, = ^ (С = 2(П^)- A-3)
^десь е-х, еу, и.~ относительные удлинения, уху, yyz, yzx—
углы сдвига. Наряду с деформациями, зависящими от
напряжений, учтены также температурные деформации,
вызываемые изменением температуры в точке тела на Т°.
Через а обозначен коэффициент линейного температурно-
го расширения, Е — модуль упругости (модуль Юнга),
v — коэффициент Пуассона, G — модуль сдвига.

§ 1J ОСНОВНЫЕ УРАВНЕНИЯ ТЕОРИИ УПРУГОСТИ 11
Зависимости A.2) можно1 записать в иной форме:
ая « Хд + 2Gex~
где
Величина ¦0=ea.-f-8I/-f-ez является относительным объ-
емным расширением.
Между деформациями и перемещениями имеют место
соотношения
* дх ' " Оу ' г dz '
ди„ да ди ди„ ди„ да
где ия, ми, uz — проекции перемещения точек упругого
тела на координатные оси.
При подстановке выражений A.6) в равенства A.3) —
A.4), а полученных выражений — в систему A.1) получа-
ются дифференциальные уравнения равновесия в переме-
щениях (уравнения Ляме):
1 - 2v дх ~ G i Ox'
L?Ei2 ur
ii . il
2. Запишем формулы предыдущего пункта в цилиндри-
ческой системе координат 2, г( 6 (рис. 1.1).

12 ЗАВИСИМОСТИ МЕЖДУ НАПРЯЖЕННЫМИ СОСТОЯНИЯМИ (ГЛ. I
Компоненты напряжения должны удовлетворять урав-
нениям равновесия
г
dz ^ дг
A-8)
Здесь qz, qr, q& — проекции объемной силы на соответ-
ствующие направления.
. a)
Рис. 1.1.
Если w — аксиальное, и — радиальное и v — тан-
генциальное перемещения, то для деформаций в цилин-
дрических координатах будем иметь
дш
1 ди . и
дш . ди
1 ди dv
— Ш + д?
A.9)
В формулах закона Гука A.2)—A.4) достаточно за-
менить индексы х, у на г, 6. При этом:
— GeT, aT = %Q + 2Ger — GeT,
а =
2Gee — GeT,
A.10)

S 1] ОСНОВНЫЕ УРАВНЕНИЯ ТЕОРИИ УПРУГОСТИ 13
хгг = Gyzr, тг0 = #угв> тг0 = Gya, A.11)
. *вв, + ег + е.~? + ? + ±? + Т. A.12)
Вместо системы A.7) можно получить равенства:
V2«' + rn2^a7= ~ "Г + ТЕГ»
2 а> 1 w gr geT
гЗ 36 * 1 — 2v Зг "" G
2 _ _3»_ _3*_ J_ _3_ 1 3»
* dz* дга г дг г2 302
3. В дальнейшем будут использоваться вспомогатель-
ные двумерные состояния плоской деформации и деплана-
ции. Основные уравнения этих состояний запишем в пря-
моугольных координатах х, у, г\, заменяя в формулах п. 1
z через ц.
В случае плоской деформации упругого тела (в пло-
скости хуУъсв компоненты зависят только от х и у, причем
«ч = т*ч = т»ч = ?ч = °»
_
_ 2v зж
II — Зж2 "^ 3i/a> V ~ дх ~*~ ду )'
Для напряжения ст,, имеет место соотношение
<г„ = v (а* + <т„)-ЯаГ0.- A.15)
Другим вспомогательным состоянием является депла-
нация в направлении оси ц, когда их = иу = 0, ич =
= и,, (х, у). При этом искажаются (депланируют) все
плоскости, перпендикулярные оси т], и справедливы
следующие формулы:
аж = cxj, = ач = тяВ =0, 9эс = qv = 0, в = О,
^ = 6^,^ = 6^), у2П«ч=-?- A16)

14 ЗАВИСИМОСТИ МЕЖДУ НЛПРЯЖЕНПЫМИ СОСТОЯНИЯМИ [ГЛ. I
С помощью уравнений Ляме A.7) можно убедиться,
что любое двумерное состояние в прямоугольных коорди-
натах, не зависящее от т], может быть разложено на пло-
скую деформацию и депланацию.
Запишем выражения компонентов вспомогательных
состояний в цилиндрических координатах, предполагая,
что ось х совмещена с осью z, а плоскость ху составляет
z х Рис. 1.2.
угол аГс начальной меридиональной плоскостью zy0 ци-
линдрической системы координат, от которой производит-
ся отсчет угла в (рис. 1.2).
При этом:
¦х — z, у — г cos Р, ц — — г sin р, р = (о — в. A.17)
Используя известные соотношения, имеющие место
при повороте координатных осей, будем иметь:
w = их, и = иу cos p — ы„ sin p,
v — иу sin p + u4 cos p,
ст,= ох, ог— ов = (оу— а„) cos 2p — 2т„„ sin 2p,
от + ое = Оу + а„, т,е =г12(оу — а„) sin 2р + тв„ cos 2p,
т2г= тхв cos Р — т^ sin р, тг6 = тхУ sin р + тя„ cos p,
?г= Ях> 9т=Яу cos P — дц sin p, ge=?j/ sin P + ?„ cos p.
A.18)
[Очевидно, что уравнения A.8)—A.13) при этом удов-
летворяются тождественно.

5 2J
КОНЕЧНЫЕ ТЕЛА БЕЗ ПОЛОСТЕЙ
15
§ 2. Связь между пространственными
и вспомогательными двумерными состояниями
для конечных тел без полостей
1. При установлении связей между, пространственны-
ми трехмерными и вспомогательными двумерными состо-
яниями воспользуемся следующим приемом. Будем пола-
гать, что упругое тело А, напряженное состояние которого
предстоит изучить, можно рассматривать как часть не-
которого бесконечного цилиндра В, в общем случае не-
кругового (рис. 1.3).
Рис. 1.3.
Пусть с телом А связана неподвижная цилиндриче-
ская система координат z, г, 0, ас цилиндром В — прямо-
угольная система координат х, у, т], причем оси х и z
обеих координатных систем совмещены. Ось г\ будем на-
правлять параллельно образующей цилиндра, тогда
плоскость поперечного сечения цилиндра будет парал-
лельной координатной плоскости ху. Угол между плос-
костью ху и начальной меридиональной плоскостью zy0
цилиндрической системы координат (т. е. плоскостью
0 = 0) обозначим через <о.
Очевидно, что проекция тела А на плоскость ху либо
совпадает с областью, занятой поперечным сечением ци-
линдра В, либо составляет ее часть. Подобных цилиндров
можно представить себе сколь угодно много. Они будут

16 ЗАВИСИМОСТИ МЕЖДУ НАПРЯЖЕННЫМИ СОСТОЯНИЯМИ [ГЛ. I
отличаться один от другого ориентацией в пространстве
и формой поперечного сечения (например, цилиндры В и
С на рис. 1.4).
Рис. 1.4.
Предположим, что цилиндр В находится в некотором
двумерном напряженном состоянии, не зависящем от
координаты т]. Компоненты этого состояния сжц, оу$,
Очи, тедн, Чх\\, Щ\\, ?*ц, 9iMi> T\ определяют плоскую
деформацию цилиндра (в плоскости хц), а компоненты
тхч II» xvMi w»i I! » <7ч I! ~ его депланацию в направлении г\
(значком || внизу будем снабжать обозначения компонен-
тов вспомогательных двумерных состояний). Эти же ком-
поненты определяют напряженное состояние и заданного
упругого тела, так как оно является частью цилиндра.
Будем записывать их в цилиндрических координатах,
пользуясь формулами A.18). Если тело вырезать из
цилиндра, сохранив при этом в качестве внешних сил те
напряжения, которые ранее действовали внутри цилиндра
по поверхности тела, то напряженное состояние не изме-

§ 2] КОНЕЧНЫЕ ТЕПА БЕЗ ПОЛОСТЕЙ 17
нится и по-прежнему будет описываться формулами
A.18).
Чтобы получить пространственное трехмерное напря-
женное состояние заданного тела, рассмотрим ряд цилинд-
ров, различающихся направлением образующей, т. е.
величиной угла со, формой поперечного"сечения и напря-
женным состоянием (тоже двумерным, но для каждого
цилиндра своим; его можно считать функцией от со).
Последовательно представляя себе тело вырезанным из
каждого такого цилиндра, будем иметь для одного и того
же тела ряд напряженных состояний, суперпозиция кото-
рых дает суммарное состояние, являющееся трехмерным.
Заметим, что при суммировании состояний можно вводить
тот или иной множитель, зависящий только от со.
Пусть число цилиндров (а следовательно, и число
исходных напряженных состояний) равно т. Угол между
образующими двух последовательно взятых цилиндров
примем равным А со = 2л/т. Вводя множитель 1/то, для
напряжения суммарного состояния будем иметь
Перейдем к пределу, устремляя т к бесконечности.
Тогда в B.1) сумма заменяется интегралом *)
2я
oz(z,r,Q) = ±§ozVl(z,y,(o)do>. B.2)
о
Подобные же представления имеют место и для осталь-
ных компонентов напряжения и перемещения. Оконча-
тельные формулы получим, учитывая выражения A.18).
Например, для перемещений будем иметь
2я 2Я
if if
= -n— I Ux g dft), M = 5— j (uy || COS P — Un g Sin P) C?to,
b b
2Я
у = ^— 1 (wj/u sin P + Mtij cosP) с?со. B.3)
*) Если бы множитель 1/т не был введен, то предел был бы
бесконечным.
2-А. Я. Александров. Ю. И. Соловьев

18 ЗАВИСИМОСТИ МЕЖДУ НАПРЯЖЕННЫМИ СОСТОЯНИЯМИ [ГЛ. I
Формулы для напряжений, объемных сил и температур
трехмерного состояния очевидны, и мы их приводить не
будем.
Компоненты A.18) вспомогательных двумерных со-
стояний удовлетворяют уравнениям теории упругости
A.8)—A.13) (см. п. 2 § 1). Следовательно, этим уравне-
ниям будут удовлетворять и выражения B.3).
В случае тела вращения с осью симметрии z представ-
ления B.3) могут быть получены и другим путем. Здесь
форма поперечного сечения всех вспомогательных цилинд-
ров одинакова. Поэтому можно считать, что все вспомога-
тельные состояния возникают в одном и том же цилиндре
Рис. 1.5.
(рис. 1.5, с). Вырежем из цилиндра заданное упругое
тело, сохранив напряжения на его поверхности в качестве
внешних нагрузок (рис. 1.5, б). Если смещать всю систему

§ 2] КОНЕЧНЫЕ ТЕЛА БЕЗ ПОЛОСТЕЙ 19
нагрузок по поверхности тела, вращая ее вокруг оси z,
то зависящие от нее компоненты напряжения и перемеще-
ния будут переходить на новые точки тела, не меняясь
по величине. Каждое из вспомогательных состояний по-
вернем на свой угол © (рис. 1.5, в). При .наложении всех
полученных состояний в теле возникают напряжения и
перемещения B.3).
Когда компоненты вспомогательных состояний от па-
раметра (о непосредственно не зависят, причем цилиндры
испытывают лишь плоскую деформацию (тхц g = тип ц =
= мЧ( = <7пп =0), то пространственное состояние, полу-
чающееся в результате наложений, будет осесимметрич-
ным, не зависящим от угла в.
Действительно, полагая в равенствах B.3) <о = в +
+ р, для первого из этих равенств получим
2И—О
z,r,G)=2~ J Mj
2л
. B.4)
Если использовать прием смещения нагрузки по по-
верхности тела вращения, вырезанного из цилиндра, то
в данном случае плоское состояние будет только одно,
причем оно при смещении нагрузки остается неизменным,
меняя лишь ориентацию в пространстве.
2. Предположим, что перемещения вспомогательных
состояний, допускают разложение в тригонометрические
ряды по параметру <о:
©о
"х И (X, У, <о) = UQx0 -f 2 ("«n COS /ИВ + U*xn Sin Л<о),
n=i
uu D (*> У,«) = ulo + 2 (Щт cos и© + ujn sin nto),
n=l
u4 j (x, y, (o) = i^o + 2 ( — Щп sin no + м„п cos not), B.5)
n=l
№ = "*n (Ж, У), <4n = "Й? (*. »), n = «5S («, J/)) •
2*

20 ЗАВИСИМОСТИ МЕЖДУ НАПРЯЖЕННЫМИ СОСТОЯНИЯМИ [ГЛ. I
Подставим B.5) в B.3) и примем за переменную ин-
тегрирования величину р = to — G. Допуская, что знаки
суммирования и интегрирования можно поменять места-
ми, для перемещений пространственного состояния по-
лучим
w = wq + 2 [wn cos nQ -\- v>n sin wG],
n=l
[ i], B.6)
n=l
где
2я
w?;* (z, r) = 2j J ['4n (*, У) cos np ± u*? (x, y) sin n
0
n
0
It
u? - ven'' = 4" J № - "UO cos (я + 1) p dp, B.7)
0
(x — z, у =s r cos P; и = 0, 1,2,.. .).
Напряжения, объемные силы и температуры также мо-
гут быть представлены тригонометрическими рядами, при-
чем ряды, выражающие ог, ат, се, тгг, qz, gr, Т°, имеют
такой же вид, как ряды для № и и в B.6), а ряды, выража-
ющие т2е, тГе, <7е аналогичны рядам для v. Для коэффициен-
тов всех получаемых рядов имеют место представления
вида
К (*, r) - -?- J /n (я, у) cos np dp, B.8)
0

§ 2] КОНЕЧНЫЕ ТЕЛА БЕЗ ПОЛОСТЕЙ 21
где под Fn(z, г) следует понимать функции:
c,s c,s . r\ c,s c,s c,s O_c>s
"г.п+г — Oe,n+2 -Г ZTr6,n+2> <*г,п—2 — Oe^—2 — ?Tre,n—2>
c.s , c.s _e»8 _",s c.s с s . c,s
Тгг.п+1 + Тгв.п+Ь T2r>n_i — Тг6,п-1, 9zn , 9+l + (/в
а в качестве fn(x, у) соответственно принимать следующие
комбинации коэффициентов разложения в тригонометри-
ческие ряды вида B.5) компонентов ихц, щу, щц, охц,
°vt, ^чь тад11. T«4ll. тстЬ ?*lli ffi/O.^iii ^И вспомога-
тельных состояний:
C,S C,S | И II С,8 С,8 C,S | C,S
ихп, Щ,п+1 "Г мЧ,п+1> иу,п—\ — Ич,п—1, Ояп, ауп-р-Отщ,
С,8 «тс>8 I OTC|S rrC'S ГТС'8 9тС'8
Uj,,n+2 OT),n-f 2 "Г ^тг/Ч,п+2» Oj,>n_2 a4in_2 ^Tj,,]in_2,
C,S - C.S C,S C,8 C,g
тжг/,п+1 -г та:Т1,п+Ь Txy,n— 1 тжч,п—1, Ужп»
ffS:H-i + ff^»+i. «Un-i-^n-i, П'8. B.10)
Перейдем в формулах B.7)—B.8) к интегрированию по
переменной у, имея в виду, что
cos тф = cos (п arccos ^-) = Тп (-fj, dp = -
B.11)
где ^„(а;) — полиномы Чебышева первого рода. Тогда
§(iHL z, r>0)
B.12)
Для точек оси z легко получить:
Fn(z, 0) - 0 (|П| > 1), F0(z, 0) =/„(?, 0),
B.12а)

22 ЗАВИСИМОСТИ МЕЖДУ НАПРЯЖЕННЫМИ СОСТОЯНИЯМИ (ГЛ. I
В случае осесимметричной деформации тела вращения,
когда точки перемещаются лишь в меридиональных пло-
скостях, компоненты напряжения и перемещения не за-
висят от угла 0. При этом
w — wl, м =* ыЦ, t>—О, «ки -- и*о, «|/| ="^о, иni ~U-
B.13)
Тогда связь между перемещениями осесимметрпчной
деформации тела вращения и плоской деформации соот-
ветствующего цилиндра примет вид
Формулы напряжений, объемных сил и температур мо-
гут быть получены аналогичным путем.
Для точек оси z (где г =э у = 0) из B.12а) вытекает
a, =
B.15)
Все эти формулы можно было бы получить и непосред-
ственно из представлений B.3) (см. конец п. 1).
Отметим, что при вычислении компонентов простран-
ственного состояния в какой-либо точке M(z, г) по форму-
лам вида B.12) используются значения компонентов
вспомогательных двумерных состояний в точках, распо-
ложенных вдоль отрезка прямой, концами которого явля-
ются М'(х = z, у =s г) и М"(х — z, у == —г), так как ин-
тегрирование в B.12) производится вдоль этого отрезка
(см. рис. 1.6, где точки М и М' совмещены).
3. Установленные в предыдущих пунктах зависимости
между пространственным состоянием произвольного упру-
гого тела и вспомогательными двумерными состояниями
соответствующих цилиндров открывают широкие возмож-
ности решения многих пространственных задач путем при-

5 21
КОНЕЧНЫЙ ТЕЛА БЕЗ ПОЛОСТЕЙ
23
ведения их к решению двумерных задач. В последующих
главах мы рассмотрим примеры и методы такого решения.
Однако вопрос о полноте полученных представлений, т. е.
о том, всякое ли пространственное напряженное состо-
яние можно представить в форме B.3), вообще говоря,
остается открытым.
По-видимому, для возможности воспроизведения про-
извольной нагрузки на поверхности тела необходимо,
чтобы в процессе наложений, описанных в п. 1, все ле-
менты поверхности тела поочеред-
но совмещались с боковой повер-
хностью вспомогательных цилинд-
ров. Действительно, если в какой-
либо точке поверхности заданного
тела приложена сосредоточенная
сила, то такая точка не может
быть внутренней точкой всех ци-
линдров, потому что нагружением
поверхности цилиндра невозмож-
но создать сосредоточенную силу
внутри него.
Из этого условия, в частности,
вытекает, что для любого из ци-
линдров контур плоской области,
занимаемой его поперечным сечением, должен, по край-
ней мере частично, совпадать с контуром проекции тела
на соответствующую плоскость, а поверхность тела долж-
на быть огибающей цилиндрических поверхностей.1
В частном случае тела вращения любая прямая, про-
веденная через ось симметрии перпендикулярно к ней,
должна пересекать поверхность тела не более чем в двух
симметричных точках, а поперечное сечение цилиндра
должно совпадать с меридиональным сечением тела.
При выполнении этих условий для тел вращения уда-
ется показать полноту представлений B.3) путем исполь-
зования разложений B.5) и B.6) компонентов простран-
ственного и вспомогательных состоянии.
При доказательстве прежде всего устраним те составля-
ющие вспомогательных состояний, которые не влияют на
напряжения и перемещения тела вращения. Для это-
го в формулах B.7), B.8) перейдем к интегрированию в
пределах от 0 до я 2. Проследим за выкладками на
Рис. 1.6.

24 ЗАВИСИМОСТИ МЕЖДУ НАПРЯЖЕННЫМИ СОСТОЯНИЯМИ [ГЛ. I
примере B.8):
Я/2
Рп (*, /¦)=—-]"/„ (Ж, Г COS
f
Я/2
Jt/2
о
Отсюда видно, что без ущерба для общности можно ввести
условие «четности» вспомогательных состояний
/п(*. У) = (-1)п/п(^, -I/), B.16)
откуда
Щп (j:, У) - (- 1)"+1 м„„ (х, - у), B.16а)
Разложим функцию fn(x, у) в ряд Маклорена по у:
U (*. г/) = 2 ir^ft /п (ж> ^)!^=о vh> BЛ7>
где в силу B.16) значения п -\- к являются четными.
Обозначим через fn0(x, у) сумму первых членов ряда
B.17) до к = \п\ — 2 включительно, полагая/00 =/10 ==
= /-1,о = 0. Подставляя B.17) в B.8), видим, что функ-
ции /п0 (ж, г/) не будут влиять на перемещения простран-
ственного состояния, так как
= 0 (k<\n\). B.18)

§ 2] КОНЕЧНЫЕ ТЕЛА БЕЗ ПОЛОСТЕЙ 25
Получим обращение равенства B.12). Предварительно
представим его в форме
FnB,r) = ^-j [fn(z,y)-fnO{x,y)\Tn\-^)y^L=, B.19)
0
где учтены соотношения B.18) и B.16). Рассмотрим выра-
жение
у
J =
Подставим сюда B.19) и изменим порядок интегрирова-
ния по формуле Дирихле, что возможно, так как функция
{fn — /по) У~Ы непрерывна при у->0, а у < г. Будем
иметь
){fn {х, у) - /п0 (г, у)] dy, B.20)
о
у V »Г
Вводя комплексное переменное
убедимся, что
Vi/V
где у — окружность с центром на вещественной оси, про-
ходящая через точки у1уг и yjy.

26 ЗАВИСИМОСТИ МЕЖДУ НАПРЯЖЕННЫМИ СОСТОЯНИЯМИ |ГЛ, I
Последний интеграл легко вычисляется при помощи
теоремы о вычетах, если учесть, что точка ? = 1 лежит
внутри окружности, а точка Z, = —1 — вне ее. В резуль-
тате получим С = 1. Дифференцируя B.20) по ух, придем
к окончательному выражению (индекс у ук опущен)
При отрицательных значениях у следует пользоваться
соотношениями B.16).
В случае осесимметричной деформации будем иметь
v v
. . д С w (г, г) г dr . . д (' и (г, г) у dr
о о ' а
B.2;5)
(z == х, у> 0).
В соответствии с условиями B.16а) состояние плоской
деформации без ущерба для общности можно считать
симметричным относительно плоскости хц. При этом
B.24)
Интегрирование в B.22), B.23) производится по пер-
пендикуляру к оси симметрии z, проходящему через точку
с координатами х, у, с чем и связано ограничение, нало-
женное в начале этого пункта на контур меридионального
сечения тела.
Таким образом, всякому пространственному напряжен-
ному состоянию рассматриваемого тела вращения соответ-
ствует некоторые вспомогательные двумерные состояния,
компоненты которых даются формулами B.22). Подстав-
ляя B.22) в B.12) и изменяя порядок интегрирования,
можно убедиться, что равенства B.12) и B.22) взаимно
обратны. Отсюда вытекает полнота представлений B.3)

§ SJ УПРУГОЕ ПРОСТРАНСТВО С ПОЛОСТЯМИ 27
для тел вращения, форма которых удовлетворяет требо-
ваниям, изложенным в начале пункта.
В следующих главах представления B.3) будут исполь-
зованы для решения пространственных задач при помощи
функций комплексного переменного. Эти решения приме-
нимы для значительно более широкого класса тел, чем тот,
который был рассмотрен выше.
§ 3. Связь мезкду пространственными и двумерными
состояниями для упругого пространства
с полостями конечных размеров,
а также упругого слоя и полупространства
J. Представления, полученные в § 2, не могут быть не-
посредственно использованы для упругого пространства
с внутренними полостями. Действительно, если считать,
что вспомогательные состояния возникают в пространстве
без полостей, то и соответствующие пространственные со-
стояния будут пригодны лишь для пространства без по-
лостей, так как решение не будет иметь особенностей во
внутренних точках пространства. Если же принять, что
вспомогательные состояния возникают в пространстве,
которое имеет полости (очевидно, цилиндрические в силу
двумерного характера вспомогательных состояний), то
формулами § 2 нельзя будет пользоваться при определе-
нии напряжений и перемещений точек, для которых путь
интегрирования пересекает полость, ибо внутри полости
компоненты вспомогательных состояний не определены.
Поэтому для упругого пространства, имеющего одну или
несколько полостей, мы изложим несколько иной подход.
В этом случае оказывается более простым выразить
компоненты вспомогательных состояний через компоненты
пространственного напряженного состояния, а не наобо-
рот, как это было сделано в п. 1 § 2. Правда, при этом
возникает проблема обращения найденных зависимостей,
однако она может быть разрешена для определенного клас-
са областей.
Начнем со случая, когда упругое пространство имеет
одну внутреннюю полость. Пусть компоненты простран-
ственного состояния заданы в цилиндрических координа-
тах г, г, 0, Перейдем к прямоугольной системе координат

28 ЗАВИСИМОСТИ МЕЖДУ НАПРЯЖЕННЫМИ СОСТОЯНИЯМИ [ГЛ. I
ж> У> ^5 расположенной так же, как на рис. 1.2. Угол «в
зафиксируем произвольно. Выражения компонентов на-
пряжения и перемещения в этих координатах легко полу-
чить при помощи формул, получающихся в результате
обращения равенств A.18).
Проектируя полость на плоскость ху и смещая контур
этой проекции вдоль оси ц, вырежем в упругом простран-
стве бесконечную цилинд-
рическую полость с обра-
зующей, параллельной оси
¦п. Для пояснения мож-
но использовать рис. 1.3,
если считать, что там Л—
первоначальная полость,
а В—вырезанная цилинд-
рическая полость. На
рис. 1.7, а то же самое
изображено для случая осесимметричной полости (пока-
зано в разрезе).
Напряжения, которые действовали на поверхности по-
лученной цилиндрической полости, сохраним в качестве
внешних нагрузок (рис. 1.7, б). Тогда напряженное со-

§ 3] УПРУГОЕ ПРОСТРАНСТВО С ПОЛОСТЯМИ 29
стояние остальной части упругого пространства не изме-
нится и будет описываться прежними формулами.
Сместим полученные нагрузки, не изменяя их величи-
ны и направления, по поверхности цилиндра на величину
К вдоль образующей (на рис. 1.7, б эпюра смещенных на-
грузок показана пунктиром). Напряженное состояние не
изменится, оно лишь перейдет на новые точки, отстоящие
от первоначальных на расстоянии К. Все сведется к па-
раллельному переносу прямоугольной системы координат.
Будем считать полученное состояние новым и наложим
его на старое состояние. Меняя величину Я,, будем полу-
чать все новые состояния, которые также будем добавлять
к предыдущим.
Переходя к пределу, заменим суммирование интегри-
рованием по К в пределах от—с» до +°о. Компоненты
результирующего напряженного состояния пометим знач-
ком И вверху. Например, для перемещения uj будем иметь
-{-оо
и* (х,У,а)= j их(х,у, т] + Я, ю) <ЯЛ =
где t]j = ц + к. Функция wj, очевидно, не будет зависеть
от т], так как под знаком последнего интеграла т] не содер-
жится.
Опустим индекс у т^. Вместо их (х, у, т], к») подставим
равную величину w (z, r, 6). Такие же операции произве-
дем и над остальными компонентами перемещений. В ре-
зультате получим следующие выражения:
00
Их (Ж, У,®)= J W (Z, Г, 6) UX\,
—оо
ОО
и\ = j [ucos@ — со) — i?sin(8 — <o)]dv\,
—оо
оо
и* = J [MsinF — ю) +у cos F— (o)]dr\. C.1)
— оо
{z = x, r = Vy2 + rf, sin (G — га) = tj/r, cosF—©) = »/r).
Здесь предполагается, что все интегралы существуют
хотя бы в смысле главного значения по Коши. Так как

30 ЗАВИСИМОСТИ МЕЖДУ НАПРЯЖЕННЫМИ СОСТОЯНИЯМИ [ГЛ I
напряжения умножались на величину d%, имеющую раз-
мерность длины, то в правой части каждого равенства
C.1) следует предполагать единичный множитель с раз-
мерностью длины в минус первой степени. Формулы для
напряжений могут быть получены аналогичным путем.
Результирующее напряженное состояние является'дву-
мерным. На основании сказанного в п. 3 § 1 это состояние
разлагается на плоскую деформацию с компонентами
?
иц, txy, и?, My', gx\ qy, 21"" и депланацию с ком-
понентами tJ4, TjJijt KiJ, ffif. Изменяя параметр со, мы полу-
чим совокупность двумерных вспомогательных состояний,
соответствующих исходному про-
странственному напряженному сос-
тоянию.
Приведенные выше рассужде-
ния пригодны и в случае несколь-
ких внутренних полостей (рис.
1.8), но нужно учесть, что ци-
линдрических полостей также бу-
дет несколько. При разных углах
со форма поперечного сечения и
даже количество этих полостей
могут быть различными (когда
проекции двух полостей на плос-
кость ху совпадают полностью
или частично).
В случае осесимметричной де-
формации все первоначальные
полости имеют форму тел враще-
ния и их оси совпадают с осью z.
Вспомогательное состояние возникает в упругом прост-
ранстве с цилиндрическими полостями, плоскость сим-
метрии которых совпадает с плоскостью жт)(рис. 1.5, а
и 1.7). Компоненты вспомогательных состояний не бу-.
дут вависеть от параметра со, так как компоненты осесим-
метричного состояния не зависят от 9. Таким образом,
все вспомогательные состояния совпадают между собой,
и достаточно рассматривать единственное вспомогатель-
ное состояние, вычисляемое при произвольном значении
со, например при со = 0.
2. Пусть перемещения точек упругого пространства
представлены тригонометрическими рядами B.6). Подста-
Рис. 1.8.

§ 3] УПРУГОЕ ПРОСТРАНСТВО С ПОЛОСТЯМИ 31
вим B.6) в C.1) и перейдем к интегрированию по перемен-
ной г. Учтем, что
Р = arccos-^-, C.2)
где верхний знак принимается, когда г\ ^ 0, а нижний —
когда т] < 0.
Рассмотрим первое из равенств C.1):
mJ (ж, г/,«) = J [w (z,r, (о + Р) + и> (zx г, (o-f
ll/i
4 + S (жп + J), C.3)
«SJ (*, ») = 2 j «•;•' {z, r) Tn (-f) -^
(z = .r, 11 = 0,1,2, ...). C.4)
Таким образом, функция и?(х, у, ш) разлагается в три-
гонометрический ряд такого же вида, как и мжц (ж, у, га)
в п. 2 § 2. Однако коэффициенты рядов B.5) и C.3) не сов-
ладают друг с другом, так как получены при помощи
разных наложений.
Приведенные рассуждения справедливы и для осталь-
ных компонентов перемещения и напряжения, а также
объемных сил и температур. Все эти функции разлагаются
в ряды, аналогичные рядам п. 2 § 2. Понимая подТ?,, и/„
те же выражения, что и в B.8), получим
оо
/„ (*, у) = 2 J Fn (*, г) Тп (-f) y^=. C.5)
В частном случае осесимметричной деформации будем
иметь
II/Ip " ll/l
и т. д.

32 ЗАВИСИМОСТИ МЕЖДУ НАПРЯЖЕННЫМИ СОСТОЯНИЯМИ [ГЛ. I
3. По вопросу о полноте полученных представлений
можно сказать то же самое, что и в начале п. 3 § 2. Здесь
также представляется необходимым, чтобы в процессе
наложений все элементы поверхности полости рассмат-
риваемого тела поочередно совмещались с поверхностью
цилиндрических полостей. В случае осесимметричной по-
лости это вновь приводит к требованию, чтобы перпенди-
куляры к оси симметрии пересекали поверхность по-
лости не более чем в двух симметричных точках. Попе-
речные сечения цилиндрических полостей должны сов-
падать с меридиональным сечением осесимметричной
полости.
Кроме того, требуется наложить некоторые ограниче-
ния на поведение компонентов перемещения и напряжения
в окрестности бесконечно удаленной точки, чтобы обеспе-
чить существование интегралов в C.1), C.3)—C.6) хотя
бы в смысле главного значения.
(«¦¦а Зависимости между пространственными и двумерными
вспомогательными состояниями более удобно использо-
вать, когда компоненты пространственного состояния вы-
ражены через компоненты вспомогательных состояний,
а не наоборот, как в предыдущих пунктах. Поэтому при
использовании представлений настоящего параграфа воз-
никает проблема обращения полученных равенств. В слу-
чае осесимметричной полости такое обращение может быть
найдено при помощи рассуждений, аналогичных приведен-
ным в п. 3 § 2.
Считая, что Fn(?t г) при г -> с» убывает как
const-г-1"'-1*-01 @ < a <L 1), получим
4
или, после интегрирования по частям и дифференцирова-
ния,
(предполагаем, что интеграл в правой части существует).

§ 3] УПРУГОЕ ПРОСТРАНСТВО С ПОЛОСТЯМИ 33
В случае осесимметричной деформации выражения
перемещений имеют вид
C.9)
Сравнение формул C.8), C.9) с соответствующими фор-
мулами п. 2 § 2 показывает, что их структура аналогична.
Различие заключается в иных пределах интегрирования,-
в изменении знака интеграла и замене перемещения его
производной. Это сходство формул для случая конечных
и бесконечных тел в дальнейшем позволит нам найти
единый подход к решению задач в обоих случаях.
4. Под упругим слоем понимается бесконечное тело,
ограниченное двумя параллельными плоскостями. В слу-
чае полупространства граничная полость одна. Из упру-
гого слоя можно выделить тело конечных размеров —
толстую плиту.
Выше мы установили два типа связей между плоскими
и пространственными состояниями, пригодные соответ-
ственно для конечных и бесконечных тел. Если ось z
проводить перпендикулярно граничным плоскостям, то
для полупространства и упругого слоя могут быть исполь-
зованы оба типа связей, ибо интегрирование здесь воз-
можно как по конечному, так и по бесконечному пути.
Вспомогательные двумерные состояния возникают в тех
же телах: полупространстве или упругом слое, меридио-
нальным сечением которых является соответственно полу-
плоскость и плоскость.
Эти связи позволяют непосредственно сводить про-
странственные задачи для полупространства и слоя к дву-
мерным задачам для полуплоскости и полосы, так как
в этом случае для трансформации граничных условий не
требуется знание напряжений или перемещений внутрен-
них точек тела.
Рассмотрим более подробно частный случай осесиммет-
ричной задачи. Пусть на поверхности полупространства
заданы распределенные нагрузки рг(г) и рг (г),направлен-
3 л, Я, Александров, Ю, И. Соловьев

34 ЗАВИСИМОСТИ МЕЖДУ НАПРЯЖЕННЫМИ СОСТОЯНИЯМИ [ГЛ. I
ные по соответствующим осям. Поскольку эти нагрузки
являются по сути дела напряжениями вг и rzr, то преобра-
зование нагрузок производится по тем же законам, что и
преобразование напряжений. Если использовать первый
тип связей, то при помощи результатов п. 3 § 2 можно
получить
р,„ 0/) = />*„ (-*/) = ?J|
(ЗЛ0)
При использовании второго типа связей будем иметь
Ц/1 * W
Легко видеть, что нагрузки C.10) и C.11) не тождест-
венны, а потому вспомогательные состояния с компонен-
тами w^n, Uj,||, . . ., введенные в § 2, и вспомогательные
состояния с компонентами uj, и§, . . ., рассмотренные
выше в п. 2, различны. Таким образом, использование
первого и второго типов связей приводит к разным пло-
ским задачам, соответствующим одной и той же простран-
ственной задаче. Выбор типа связей определяется сообра-
жениями простоты решения.
Например, при действии нормальной нагрузки, равно-
мерно распределенной по площади круга г = а с интенсив-
ностью р (рис. 1.9, а), по первому типу преобразования
C.10) будем иметь pxi — р при \у\ <; а и рхц =р —
—Р\УVVy* — fl2 ПРИ \у\>а (Рис-1-9, б). По второму типу
преобразования C.11) нагрузки плоского состояния полу-
чаются следующими: pj = 2pYa? —У2ПРИ М<Са и Р* ~ ®
при \у\ > а. Эпюра этих нагрузок имеет форму полу-
эллипса с полуосями 2ра и а и площадью Р = яра?
(рис. 1.9, о). Таким образом, второй тип преобразования
в данном случае приводит к более простому виду нагрузки
плоского состояния.
Если устремить а к нулю при Р = const, то заданная
нагрузка превращается в сосредоточенную силу величи-

§ 3]
УПРУГОЕ ПРОСТРАНСТВО С ПОЛОСТЯМИ
35
ной Р. Следовательно, по второму типу преобразования со-
средоточенной силе осесимметричного состояния в плос-
ком состоянии соответствует сосредоточенная сила той
же величины.
Когда соответствующие плоские задачи будут решены,
обратный переход от компонентов вспомогательных состо-
яний совершается при помощи формул п. 2 § 2 и п. 3 на-
стоящего параграфа.
Отметим, что в работе [5 ] указан несколько иной метод
получения соотношений C.10), C.11).
Ч_ "
, ///, ///
''¦' /"-
\i>i-J~l~.i
Рис. 1.9
б)
Для тел произвольной формы зависимости между гра-
ничными условиями пространственного и вспомогатель-
ных состояний не являются столь простыми и не могут
быть установлены непосредственно из полученных выше
представлений, так как там в формулах B.12), B.14),
C.6) и др. участвуют значения компонентов перемещения
и напряжения внутренних точек тела.
3*

36 ЗАВИСИМОСТИ МЕЖДУ НАПРЯЖЕННЫМИ СОСТОЯНИЯМИ [ГЛ. I
§ 4. Обобщение на случай трансверсально-изотропной
и неоднородной среды. Действие сосредоточенной
силы на полупространство с переменным
по глубине модулем упругости
1. При получении формул, связывающих компоненты
пространственных и плоских состояний, свойства одно-
родности и изотропности среды, вообще говоря, не исполь-
зовались. Это позволяет распространить полученные со-
отношения на анизотропные и неоднородные тела при том
очевидном ограничении, чтобы напряжения и перемеще-
ния вспомогательных цилиндров были двумерными.
Поскольку эти цилиндры ориентированы в простран-
стве произвольным образом при соблюдении перпендику-
лярности образующей цилиндра к оси z, то упругие кон-
станты не могут изменяться в плоскостях, перпендикуляр-
ных оси z, однако их зависимость от z может быть какой
угодно. Следовательно, найденные в предыдущих пара-
графах связи между пространственными и плоскими
состояниями пригодны и для тел из неоднородного мате-
риала, когда v = v(z), Е = E{z).
То же самое относится к частному случаю анизотро-
пии — трансверсальной изотропии, когда упругие свой-
ства в направлении оси z и по перпендикуляру к ней раз-
личны, но не зависят от направления в горизонтальной
плоскости.
Задачи теории упругости для трансверсально-изотроп-
ных тел более подробно будут рассмотрены в дальнейшем
в гл. IV и § 40 гл. VII.
Приведем здесь решение задачи о действии сосредото-
ченной силы Р на упругое неоднородное пространство,
когда модуль упругости меняется с глубиной по степенно-
му закону, а коэффициент Пуассона остается постоянным:
Е = Eozb, v = const @ < к < 1, Ь\ == const). D.1)
Решение соответствующей плоской задачи Фламана
известно [123] и дается формулами:
Op =-¦ — — cosft0 cos qd, a» = Tpa = 0,

§ 4] НЕОДНОРОДНОЕ ПОЛУПРОСТРАНСТВО 37
2Сощ = - «7, fjj^jrtine». D.2)
Здесь:
D.3)
Г(ж) — гамма-функция, р и 0 — полярные координаты.
Как было отмечено в конце § 3, при использовании со-
отношений § 3 сосредоточенной силе плоского состояния
соответствует сосредоточенная сила пространственного
состояния. Записывая компоненты напряжения и переме-
щения плоской задачи в прямоугольных координатах и
подставляя в формулы C.7)—C.9), получим
°* = ~ т2Г = - ?[(* + 3) Фз + Ф!1, т2б = тг6 = О,
oz + стг + ое =
„ ;^[-Ф|], i; = 0, D.4)
где функции
D.5)
,3,5J

38 ЗАВИСИМОСТИ МЕЖДУ НАПРЯЖЕННЫМИ СОСТОЯНИЯМИ [ГЛ. I
зависят только от угла Оо,вчем легко убедиться, перейдя
к интегрированию по О-
Интегралы в D.5) не выражаются в замкнутом виде че-
рез элементарные функции. При вычислениях полезно
пользоваться зависимостями:
(к + 3) Ф5С + Фб = [(* + 2) Фз + Фз] cos2 0„,
(ft + 1) Фз + Фз = (кФЧ + Ф\) cos2 fl0,
(ft + 3) Ф^ + Ч2Ф1 - (к + 2) Ф| =
= [{к +2)Ф1+ дЩ - (к + 1) Ф$] cos2 Цо, D.6)
которые получаются при интегрировании D.5) по частям.
В табл. 1.1 приведены результаты числовых подсчетов
напряжений и перемещений при следующих данных:
Р = 1; v = 0,3; к = 0,5; z = 1. Значения для другой
Таблица 1.1
г/г
0,00
0,25
0,50
0,75
1,00
1,25
1,50
1,75
2,00
"г
—0,5900
—0,4975
—0,3138
—0,1005
—0,0824
—0,0405
—0,0205
-0,0107
—0,0059
аг
0,0149
0,0171
—0,0666
-0,0842
—0,0751
—0,0577
—0,0417
—0,0294
—0,0207

0,0149
0,0123
0,0070-
0,0024
—0,0003
—0,0016
—0,0021
—0,0022
—0,0021
%„
0
-0,1244
—0,1569
-0,1249
—0,0824
—0,0507
—0,0307
—0,0188
—0,0117
2Gow
0,3075
0,2837
0,2298
0,1742
0,1302
0,0987
0,0768
0,0613
0,0502
2GOU
0
0,0321
0,0466
0,0448
0,0361
0,0268
0,0191
0,0133
0,0091
глубины z можно найти, учитывая, что вдоль любого луча
¦Во = const (r/z = const) напряжения изменяются обратно
пропорционально z2, а перемещения — обратно пропор-
ционально zk+1. На рис. 1.10 показаны графики напряже-
ний oz при неременном (сплошная линия) и постоянном
(пунктир) модулях упругости.
2. На оси симметрии выражения для напряжений мо-
гут быть представлены в замкнутом виде. Используя фор-
мулу (см. [61] № 3.6319)
я/2
J (cos Of cos go dQ =
DJ)

(j 4] НЕОДНОРОДНОЕ ПОЛУПРОСТРАНСТВО
получим
(А: + 2) (/с + 3)
D.8)
При вычислении функций Фт@) используем синус-
Рис. 1.10.
преобразование Фурье
J
/ (г/) == (-^-)Ь+т sin #, /* (Я) = -i"
sin
В последнем интеграле сделаем подстановку у =
= г tg ¦§, перейдем к интегрированию по 0:
я/2
/*(Я)=-^- j (cos 0)p~2 sin qQ sin i
о
= k + m)

40 ЗАВИСИМОСТИ МЕЖДУ НАПРЯЖЕННЫМИ СОСТОЯНИЯМИ [ГЛ. t
и учтем равенство
функция Уиттекера), которое получено с использо-
ванием формул [61] №3.7186,9.2321, 9.2221 и заменой
t на t/ 2.
Найденное выражение для /*(Х) подставим в D.9) и
произведем там изменение порядка интегрирования. \
Последовательно применяя формулы [61 ] № 3.3814, >
3.1975 и 9.1311, найдем
где
— гипергеометрическая функция.
Теперь для напряжений и перемещений на оси симмет-
рии будем иметь
Pec P(l + v-v«) о^„.-
а = 2я [(Л + 3) Ф5С @) + Ф§ @)] = К (к, д) + К (к, - д),
К (к л\ У< + 2)(к + Ъ)Гк + 3 fc+4
Л («, ff) - (fe + 3J_s2 [-2- + ? fc-g + 5 X

§ 4] НЕОДНОРОДНОЕ ПОЛУПРОСТРАНСТВО 41
3. Решение задачи может быть представлено и в форме
рядов. Воспользуемся разложениями
cos q 0 = 2 ап [-J-Y1, Я sin Я в = -f- 2 Ra" (тТ
где
p = n — 2 при п четном, ир = в-1 при п нечетном.
Подставляя эти ряды в D.5) и учитывая формулу [61 ]
№ 3.1962, получим:
D.13)
Эти ряды сходятся везде, кроме точек оси симметрии.
Для границы полупространства z = 0 из D.13) при
к > 0 вытекает

42 ЗАВИСИМОСТИ МЕЖДУ НАПРЯЖЕННЫМИ СОСТОЯНИЯМИ [ГЛ. I
и
кТ
cosib
В табл. 1.2 приведены значения д, С0,а#,у для разных к
И V.
Таблица 1.2
*
0
0,2
0,4
0,6
0,8
1,0
v 1
0
0,15
0,30
0,45
0
0,15
0,30
0,45
0
0,15
0,30
0,45
0
0,15
0,30
0,45
0
0,15
0,30
0,45
0
0,15
0,30
0,45
—?_J
1,0000
1,0000
1,0000
1,0000
1,0954
1,0759
1,0474
1,0018
1,1832
1,1407
1,0770
0,9705
1,2649
1,1961
1,0902
0,9025
1,3416
1,2433
1,0876
0,7886
1,4142
1,2834
1,0090
0,6030
0,6366
0,6366
0,6366
0,6366
0,6917
0,6850
0,6756
0,6613
0,7442
0,7288
0,7074
0,6759
0,7945
0,7684
0,7330
0,6821
0,8425
0,8041
0,7530
0,6814
0,8887
0,8364
0,7681
0,6753
¦ '
—^_J
3,0000
3,0000
3,0000
3,0000
3,4428
3,3900
3,3159
3,2042
3,8928
3,7654
3,5899
3,3332
4,3484
4,1240
3,8217
3,3930
4,8083
4,4648
4,0123
3,3915
5,2717
4,7871
4,1633
3,3305
2,0000
1,7000
1,4000
1,1000
1,7322
1,4381
1,1420
0,8425
1,5113
1,2340
0,9476
0,6450
1,3209
1,0698
0,7958
0,4809
1,1521
0,9351
0,6734
0,3313
1,0000
0,8235
0,5714
0,1818
V
1,0000
0,7000
0,4000
0.1000J
1,1698
0,7845
0,3987
0,0117
1,3242
0,8512
0,3747
—0,1080
1,4625
0,9017
0,3300
—0,2606
1,5847
0,9380
0,2659
—0,4496
1,0910
0,9617
0,1828
—0,0813
Когда q является целым числом, ряды D.13) обры-
ваются. В простейших случаях д = 0 (к = 1/v—1) ид =1
(к = 1/v — 2) остается лищь по одному члену ряда, и

§ i] ЙЕОДПОРОДПОЕ ПОЛУПРОСТРАНСТВО 43
решение переходит в решение Г. К. Клейна [76]:
_ z __ Pa za __ Ра тНа-г _п
(a = к + q + 2).
Известное решение Буссинеска для полупространства
с постоянным по глубине модулем упругости получим,
устремляя в D.13) к к нулю (при этом q ->- 1). Тогда
iL — р \ 1~2v Згг§1
р5,« °г ~ 2л [ р0 (р„ + z) р5 J'
_ Р A — 2v) Г z
6" [
2я [рз Ро(Ро + г)]> Т"- 2л
D.16)
При получении последнего равенства к соответствую-
щему выражению из D.13) добавлена сумма
равная нулю, когда к > 0, после чего осуществлен пере-
ход к пределу при к->0.
Рассмотренная здесь задача несколько иным методом
решалась в работе [124]. Для перехода от плоского к осе-
симметричному состоянию там были использованы пред-
ставления § 2, что привело к более громоздким выклад-
кам. Окончательные выражения для напряжений и пере-
мещений получены в форме рядов по обобщенным гипер-
геометрическим функциям, мало удобным для вычислений.

44 ЗАВИСИМОСТИ МЕЖДУ НАПРЯЖЕННЫМИ СОСТОЯНИЯМИ [ГЛ. I
Формулы перемещений на поверхности полупространства
совпадают с D.14). Формула напряжения az на оси сим-
метрии приводится к виду D.12) после преобразований с
использованием формул [61] № 9.1311, 9.1372, 9.1378.
§ 5. О некоторых других формах зависимостей
между пространственными и плоскими задачами
.1. Попытки установить связи между пространствен-
ными, главным образом осесимметричными, и соответст-
вующими им плоскими задачами предпринимались давно.
С одной стороны, были подмечены те или иные аналогии
между формами записи их обших решений (этому вопросу
посвящены работы А. и Л. Феппль [155], Т. Пёшля [182],
К. Маргерра [178], П. Ф. Папковича [97], И. Голец-
кого [174], А. Я. Александрова [10] и других авто-
ров [180, 92]).
С другой стороны, были установлены интегральные
зависимости между решениями указанных задач. Здесь
следует отметить работы К. Вебера [187, 188], где функ-
ция напряжений осесимметричной задачи связывалась с
плоской бигармонической функцией. Такой же характер
имеют предложения М. Я. Беленького [43]. В работах
Г. Н. Положил [105—109, 112] зависимости между плос-
кими и осесимметричными состояниями были установлены
на основе решения осесимметричной задачи при помощи
^-аналитических функций комплексного переменного *).
Весьма удобным приемом получения интегральных
зависимостей является метод наложений. Одна из первых
работ в этом направлении принадлежит В. И. Смирнову и
С. Л. Соболеву [129], которыми рассматривалась одна
частная динамическая задача. Метод наложений в даль-
нейшем был развит А. Я. Александровым в работах [5,
9, 11—16, 19—21, 34], на основе которых написаны пре-
дыдущие параграфы настоящей главы.
Приведем зависимости между осесимметричными и
плоскими состояниями, найденные К. Вебером и М. Я. Бе-
леньким.
*) См. § 46.

§ 5j о Некоторых других формах зависимостей 45
Общее решение осесимметричной задачи в форме, пред-
ложенной К. Вебером [187], имеет вид
E.1)
где
0.3
— осесимметричная бигармоническая, а ф1 и <р2 — осе-
симметричные гармонические функции.
Известно представление осесимметричных гармони-
ческих функций ф(г, г) через плоские гармонические функ-
ции \р(х, у) (формула Даугола [152]):
2л
1 Г ,
ф (г, г) = л— \ \f (г, г cos 8) dv.
о
Аналогично функция F(z, r) может быть выражена
через плоскую бигармоническую функцию U(x, у) [188]:
2я
E.4)
Каждому классу плоских бигармонических функций при
помощи E.4) можно поставить в соответствие определен-
ный класс осесимметричных бигармонических функций.
Функция tp2 определяется из соотношения
Для бесконечных областей К. Вебером [188] была по-
лучена формула
где U* — также плоская бигармоническая функция.

46 ЗАВИСИМОСТИ МЕЖДУ НАПРЯЖЕННЫМИ СОСТОЯНИЯМИ [ГЛ. I
Заметим, что здесь мы не получаем существенно иных
представлений по сравнению с приведенными выше в §§ 2
и 3.
2. М. Я. Беленький [43] для перехода от осесимметрич-
ного к плоскому состоянию использовал операторы
со со
So (ф) = — I da \ ф (х, г) arJ0 (or) cos ay dr,
о о
oo oo
Sx (ip) = — I da I i|) (a;, r) ar/j (or) sin aj/ dr E.6)
о о
и обратные им
причем 55" * (Ф) = ф, ST1 (Y) = ty, если Ф = 50(ф), У =
= 51(iJj) (/0 и /j — функции Бесселя).
Пусть %(z, r) — функция напряжений Лява — Га-
леркина (см. [85, 97, 98, 42]). Тогда осесимметричные
перемещения могут быть представлены в форме
§ ^ E.8)
Применим операторы E.6) к этим выражениям:
-v) V8X-0],
Обозначим ?0(%) = t/(a;, j/)(a; = z) и заметим, что
Нетрудно убедиться, что функция U является плоской
бигармонической функцией, которую можно принять за

§ 5] О НЕКОТОРЫХ ДРУГИХ ФОРМАХ ЗАВИСИМОСТЕЙ 47
функцию, напряжений плоской задачи. Поэтому
= С E.9)
где
о &U 2 д°# о 8*17
— напряжения плоского состояния. Таким образом, фор-
мулы E.9) связывают осесимметричные перемещения с
плоскими напряжениями. Операторы ?jf * и S^1 служат
для обратного преобразования.
Можно показать, что операторы E.6) могут быть пред-
ставлены в виде
у
_ * д [<P(x,r)rdr
v
1 д Cji(x,r)ydr
Это вытекает хотя бы из сравнения обратных операто-
ров E.7) с выражениями B.14). Сопоставляя теперь
E.9) и B.23), видим,что между вспомогательными плоски-
ми состояниями, использованными в § 2, и состояниями,
предложенными М. Я. Беленьким, в случае одного и того
же осесимметричного состояния имеет место простая
связь:
2Guxl ~ я [2A -v) (<т2 + о°у)-о°], 2Guvl == ш%у. E.10)
3. В работе В. И. Моссаковского [91] при решении ос-
новной смешанной задачи теории упругости для полу-
пространства с круговой линией раздела граничных ус-
ловий пространственные гармонические функции были
представлены в форме тригонометрических полиномов по
углу 8, и для функций, являющихся коэффициентами по-
линомов, при помощи формул типа B.23) и C.9) были
найдены соответствующие им плоские гармонические
функции. Граничные условия также преобразовывались,

48 ЗАВИСИМОСТИ МЕЖДУ НАПРЯЖЕННЫМИ СОСТОЯНИЯМИ [ГЛ. I
и пространственная задача сводилась к некоторой плос-
кой задаче. В работе В. Л. Свекло [126] метод наложений
был использован при решении задач типа Буссинеска для
анизотропного полупространства. Для указанных задач
были получены их плоские аналоги.
Г. Я. Поповым [117] указан способ построения мат-
рицы влияния для упругого полупространства при помо-
щи матрицы влияния соответствующей плоской задачи.
Этот способ пригоден при весьма общих предположениях
относительно упругих свойств среды, в частности он ох-
ватывает случай статической и динамической задач для
неоднородных и анизотропных сред, если при осесиммет-
ричной нагрузке перемещения не зависят от угла 6 и
имеет место принцип расчленения: тангенциальная наг-
грузка рв вызывает лишь кручение, a pz и рг — осесим-
метричную деформацию.

Глава II
РЕШЕНИЕ ОСЕСИММЕТРИЧНЫХ ЗАДАЧ
ПРИ ПОМОЩИ АНАЛИТИЧЕСКИХ ФУНКЦИЙ
КОМПЛЕКСНОГО ПЕРЕМЕННОГО
Аппарат теории функций комплексного переменного,
который весьма плодотворно применяется при реше-
нии плоских задач теории упругости, можно эффективно
использовать и для решения пространственных
задач.
В предыдущей главе были установлены связи между
вспомогательными двумерными и пространственными со-
стояниями. В частности, были получены формулы, свя-
зывающие между собой компоненты плоского и осесиммет-
ричного состояний. Поскольку компоненты плоского со-
стояния могут быть выражены через аналитические функ-
ции, то через эти же функции можно выразить и компо-
ненты осесимметричного состояния.
Ниже получены интегральные представления осе-
симметричных напряжений и перемещений при помощи
аналитических функций для конечных и бесконечных
тел.
Найденные представления использованы при решении
внутренней и внешней задач для сферы в рядах и квадра-
турах, а также для упругого пространства, имеющего
сферическую щель или бесконечный ряд сферических
полостей.
Кроме того, получены интегральные уравнения перво-
го рода для решения первой и второй основных осе-
симметричных задач теории упругости.
4 А. Я. Александров, 10. И. Соловьев

50 РЕШЕНИЕ ОСЕСИММЕТРИЧНЫХ ЗАДАЧ [ГЛ. II
§ 6. Выражения перемещений и напряжений
конечного односвязного тела вращения
без полостей через интегралы
от аналитических функций
1. Будем полагать, что объемные силы и изменение
температуры отсутствуют, и воспользуемся комплексным
представлением Колосова — Мусхелишвили
- U0, F.1)
где их ц, иу и — перемещения точек цилиндрического тела,
находящегося в состоянии плоской деформации, х = 3 —
—4v, q>(?) и ipo(S) — аналитические функции комплексного
переменного ? = х -f- iy, голоморфные в области, занятой
сечением тела *).
Введем функцию т|з(?) соотношением
?ч>'Ш F.2)
и разделим в F.1) вещественную и мнимую части:
= Re[x«p(E) - 2iq/@ - *(?)],
- 1т[хф@ + 2^@ + Ф@1 F.3)
(Re и Im означают соответственно вещественную и мнимую
части комплексного выражения).
Как мы уже говорили в п. 3 § 2, без ущерба для общ-
ности можно считать плоское состояние симметричным
относительно оси х, т. е. предполагать выполненными
условия B.24). Отсюда следуют соотношения
Req>(a; + iy) = Re (f(x — iy),
1тф(ж + iy) = — 1шф(ж — iy), F.4)
Ф(?) = фA). F.5)
которые будем называть условиями четности. Этим усло-
*) Термины «аналитическая функция» и «голоморфная функ-
ция» употребляются в том же смысле, что и в монографии [93].
Голоморфная функция всегда однозначна в области определения,
аналитическая функция может быть и неоднозначной.

§ 61 ОДПОСВЯЗНОЕ ТЕЛО ВРАЩЕНИЯ БЕЗ ПОЛОСТЕЙ 51
виям удовлетворяют функции q>(?), 4>(?), 1]>0(?) и их ПР°"
изводные.
Функции ф(?) и я]з(?) при заданных перемещениях оп-
ределены соответственно с точностью до вещественных
слагаемых Yi и у2, которые связаны между собой соотно-
шением
Щг — Ъ = °- F-6)
Если заданы только напряжения, то выполнение усло-
вия F.6) не обязательно *).
Подставим F.3) в формулы B.14), имея в виду, что
х = z и Im ф = Re (<p/i)-
Тогда
+Г
2Gw = i-Re j' [хФ (E) - 22ф' (С) - Ч>E)] =f=
j
2Gu = 1- Re j [хФ (E)
Символы Re теперь могут быть опущены, так как
вследствие условия F.5) интегралы будут вещественными
величинами.
Введем обозначения:
Замечая, что при х = z имеют место равенства
*) В монографии [93] показано, что при заданных напряже-
ниях функция <р(?) определена с точностью до слагаемого
Ci?>~\- Yi> a '•MD, входящая в F.1),— с точностью до слагаемого
V2, где С — вещественная, а у1 и ^2— комплексные постоянные.
При заданных перемещениях следует полагать С = 0, кух — у\ = 0.
В нашем случае постоянная С и мнимая части постоянных
Yi и Тг равны нулю в силу условия F.5).
4*

РЕШЕНИЕ ОСЕСИММЕТРЙЧНЫХ ЗАДАЧ
(ГЛ. Й
придем к окончательным выражениям
t
2Gw (z, r) = ± J [хФ (С) -
F.8)
При фиксированном значении t радикал /?(?, t) яв-
ляется аналитической функцией комплексного перемен-
ного ?. Эта функция двузначна: две ее ветви различаются
знаком. Каждая ветвь голоморфна по всей плоскости с
разрезом вдоль линии tt (линия разветвления). Мы будем
использовать ту ветвь радикала, для которой его значе-
ния на оси симметрии ниже разреза (рис. 2.1) положи-
тельны. Следовательно, полагая
будем иметь
F.9)
На оси симметрии ниже разреза coj =— со2 и R(z, t)=
=|z—1\. На оси симметрии вы-
ше разреза т^ = 2л — со2, или
(Oj = —2л — со, (в зависимо-
сти от того, с какой стороны
точка Z, огибает разрез it),
а значения радикала отрица-
тельны. На разных берегах
разреза it значения радика-
ла отличаются лишь знаком.
Таким образом, подын-
тегральные функции в F.8)
голоморфны относительно пе-
ременной интегрирования, а
потому величина интегралов
не зависит от пути интег-
Рис. 2.1. рирования. Можно интегри-

§61
ОДНОСБЯЗНОЕ ТЕЛО ВРАЩЕНИЯ БЕЗ ПОЛОСТЕЙ
ровать по любой кривой, которая соединяет точки t и t и
целиком лежит в области, где функции <р(?) и я]з(?) опре-
делены и голоморфны. Требуется лишь, чтобы эта кривая
не пересекала разреза U, а при пересечении с осью z
проходила ниже разреза. Если интегрировать по линии,
проходящей выше разреза (пунктирная линия на рис. 2.1),
то знак интеграла будет противоположным. Форма линии,
вдоль которой произведен разрез (на рис. 2.1 разрез по-
казан двойной линией), может быть произвольной.
Возможность интегрирования по произвольному пути
позволяет несколько иначе подойти к вопросу о связях
осесимметричного и плоского состояний для тел вида,
показанного на рис. 2.2, контур меридионального сечения
которых не удовлетворяет требованиям п. 3 § 2.
Рис. 2.2.
Поперечное сечение вспомогательного цилиндра опре-
деляется проекцией тела на координатную плоскость, ко-
торая для таких тел не совпадает с меридиональным се-
чением (на рис. 2.2 контур меридионального сечения тела
показан сплошной линией, контур поперечного сечения
цилиндра — пунктиром).
При вычислении компонентов напряженного состояния
по формулам вида B.14) в точках тела вращения, распо-
ложенных на рис. 2.2 выше точки С, приходится интегри-
ровать по прямой, пересекающей дугу АСВ. При исполь-

54 РЕШЕНИЕ ОСЕСИММЕТРИЧНЫХ ЗАДАЧ 1ГЛ. II
зовании формул F.8) можно считать путь интегрирования
криволинейным и проводить его так, чтобы он не пере-
секал контура меридионального сечения. Тогда значения
ф(?) htJ>(?) в точках, расположенных внутри области ABC,
не используются. Поэтому можно будет зту часть цилинд-
ра отбросить и считать, что сечение вспомогательного
цилиндра и в рассматриваемом случае совпадает с мери-
диональным сечением тела вращения.
Отметим одно важное обстоятельство. Вообще говоря,
в случае осесимметричной задачи можно было бы от-
влечься от соображений, использованных при выводе фор-
мул F.8), и рассматривать эти формулы как первичные
выражения (см. [32]). Основные уравнения теории уп-
ругости A.8) — A.13) при этом были бы удовлетворены
(в предположении отсутствия объемных сил и изменения
температуры). Однако использованный выше способ вы-
вода придает этим формулам определенный физический
смысл.
Полнота представлений F.8) для тел вращения, удов-
летворяющих условиям п. 3 § 2 (рис. 2.1), вытекает из
доказанного там взаимно однозначного соответствия меж-
ду осесимметричной и плоской задачами. Для тел вида,
показанного на рис. 2.2, эти доказательства теряют силу.
Ниже (§ 43 гл. VIII) мы докажем полноту представлений
F.8), опираясь на теорию обобщенных аналитических
функций. Это замечание касается и результатов, получен-
ных в следующих пунктах данного параграфа.
2. Установим связь выражений F.8) с общим решением
осесимметричной задачи, предложенным П. Ф. Папкови-
чем [97]. Введем функции
".м-hSm
Bt(z, 0) - ФB), Br(z, 0) = 0. F.11)

§ 6J 0ДН0СВЯЗН0Е ТЕЛО ВРАЩЕНИЯ БЕЗ ПОЛОСТЕЙ 55
Интегрируя F.10) по частям и дифференцируя по z
и г, получим выражения частных производных:
t
9 р 1 а , р . 1 Г <р' (?) dt,
Й2 z Г ОГ к г/ П1 ,} R (Q, t) '
\ ' F.12)
__и _Р =
9г г Эг г nir.
7
Таким образом, дифференцирование fiz и Br no z
сводится к дифференцированию ф(?) по С под знаком ин-
теграла.
Легко видеть, что
FЛЗ)
т. е. J52(z, r) является осесимметричной гармонической
функцией, a BT(z, г) — сопряженной с ней функцией.
Теперь формулам F.8) можно придать вид
2Gw = %BZ -2z4-B,- B°2,
F-14)
где J5" и Вт определяются формулами F.10), F.11) при
замене там ф(?) на ty(?,).
Введя функцию Во соотношениями
dz " dz z dz т z'
дг " dr z дг r r'
приведем F.13) к виду
2Gw = 4 A - v) Bz - -jj- (zBz + rBT + Bo),
1 F-15)
2Gu = 4 A - v) Бг - ^ (zBz + гБг + Бо).

56
РЕШЕНИЕ ОСЕСИММЕТРИЧНЫХ ЗАДАЧ
[ГЛ. II
Эти выражения совпадают с общим решением осесим-
метричной задачи в форме П. Ф. Папковича [97, 98, 83].
Функции Bz и Вг являются проекциями гармоничес-
кого вектора на ociiz и г (чем объясняется их обозначение),
а Во — гармонический скаляр.
3. Формулы напряжений можно получить, используя
связи между напряжениями осесимметричного и плоского
состояний либо соотношения между перемещениями и
напряжениями. После преобразований будем иметь
-^Bz, се = 4v ± Bz + 2G-f
а ~
—
dz
dz
F.16)
Формула для ов получена при помощи соотношения
о0 = kQ + 2Gefi = ^ (ог + or + cre) + 2G-2-. F.17)
Выражения напряжений через <f(Q и ip(Q вытекают
из F.10) и вполне очевидны.
Для точек оси симметрии (г = 0) легко получить
2Gw = xcp(z) —
oz + аГ + ce = 4A + v)q/(z),
о, = Ф'ОО -
и
= 0,
= 0,
Здесь в силу условия четности значения аналитических
функций вещественны.
Найдем выражения для усилий, действующих на эле-
мент поверхности тела. Проведем в плоскости меридиональ-
ного сечения тела справа от оси симметрии какую-либо
дугу MN (рис. 2.3). Выберем на дуге положительное
напряжение (например, от М к N). При вращении этой
дуги вокруг оси z на угол 2л образуется некоторая щ-

6]
ОДНОСВЯЗНОЕ ТЕЛО ВРАЩЕНИЯ ЕЕЗ ПОЛОСТЕЙ
57
верхность. Обозначим через pz и рг аксиальную и ради-
альную составляющие усилия, действующего на элемент
поверхности. Предполагаем, что в
положении, показанном на рис. 2.3,
они оказываются приложенными к
дуге MN с правой стороны (точнее
говоря, они приложены к части
области, расположенной слева от
MN).
Используя известные формулы
напряжений по наклонным площад-
кам, запишем:
рг = с2 cos a + тгт sin a,
рт = тГ2 cos a + ar sin а,
F.19)
Рис. 2.3.
где а — угол между правой нормалью п и осью z.
Заметим, что
dz dr
since = г-, cos a = —-,
Тогда
F.20)
F.21)
В некоторых случаях бывает удобно рассматривать
интегральные усилия:
Z К) =
s0
, i? (*0) - J \Pr + -i- Z(*) ^1 ds. F.23)

58 РЕШЕНИЕ ОСЕСИММЕТРИЧНЫХ ЗАДАЧ [ГЛ. II
Интегрирование производится по дуге MN; s — дуговая
абсцисса точки t, отсчитываемая от М; z и г рассматри-
ваются как функции от s.
Подставляя в F.23) выражения F.21) и F.22), будем
иметь
JL) C'(l-v), F.24)
F.25)
где С и С — вещественные постоянные.
Выражения для рг, рт, Z, R через аналитические функ-
ции легко получить, подставляя F.20) в F.21) — F.25).
Приведем выражения для интегральных усилий:
t
= - -k J
. F.27)
Если поверхность вращения пересекает ось симметрии,
и точка пересечения принимается за начальную, то в фор-
мулах F.26), F.27) следует полагать С = 0.
Заметим, что по своему механическому смыслу вели-
чина 2nZ является равнодействующей сил, приложенных
к рассматриваемой поверхности. Эта равнодействующая,
очевидно, направлена вдоль оси z.

§ 7| ОДНОСВЯЗНОЕ ТЕЛО С ПОЛОСТЯМИ 59
§ 7. Выражения перемещений и напряжений
в случае односвязного конечного или бесконечного
тела с внутренними полостями
1. Рассмотрим бесконечное упругое пространство с
одной осесимметричной полостью, пересекающей ось сим-
метрии z. Как показано в п. 3 § 3, осесимметричные пере-
мещения в этом случае связаны с плоскими формулами
C.9). Так же, как и в § 6, выразим плоские перемещения
через аналитические функции:
2G (uj + iul) = хф1 (?) - ?Ф', (?) - % (?) (? = х + iy).
Продифференцируем обе части этого равенства по у
и подставим в C.9). Вводя функции ф(?) и \|з(Q соотно-
шениями
; (?) = - 2Ф (Q, Ь (Б) = - 2 [* (?) + Ф (С) + ?ф' (С)],
G.1)
Перейдем в G.2) к интегрированию от —г до +г через
бесконечно удаленную точку, принимая во внимание, что
подынтегральные функции являются нечетными относи-
тельно у в силу условий F.4). При этом
y= j f(y)signydy,
t VW^ sign у = ]Лб-*)(?-*) = Д (?, *)• G-3)
В результате вновь придем к выражениям F.8) с тем,
однако, отличием, что ранее интегрирование производи-
лось по произвольной конечной дуге, а в рассматриваемом

60 РЕШЕНИЕ ОСЕСИММЕТРИЧНЫХ ЗАДАЧ [ГЛ. II
случае интегрировать приходится по прямой х — z =
= Re t = const через бесконечно удаленную точку, не пе-
ресекая оси симметрии.
Все формулы пп. 2 и 3 § 6, за исключением F.18),
остаются справедливыми.
Функции ip^t) и tfi1(Q, через которые выражаются
компоненты плоского состояния, являются аналитиче-
скими в плоскости с отверстием, представляющим собой
меридиональное сечение полости.
Используя известные представления этих функций в
окрестности бесконечно удаленной точки (см. [93],
стр. 124), легко убедиться, что введенные здесь функции
ср( ?) и i|)( ?) голоморфны в плоскости с отверстием и при до-
статочно больших |?| имеют разложения
G.4)
где коэффициенты вещественны в силу F.5).
Обозначим через /ш(?) и /ц(?) подынтегральные функ-
ции соответственно первой и второй из формул в F.8).
Эти функции голоморфны в той же области, но с разрезом
по линии It разветвления радикала. На бесконечности они
имеют представления
иш = (™0-ь0)-~ +
/«(Б) = ш0 +Ь0 + (х1% + h) | + О Щ.
Для существования интегралов необходимо и доста-
точно выполнение условий
ивх + Ьх = 0, G.5)
а0 = Ьо ¦= 0. G.6)
2. Покажем, что при указанных условиях в формулах
F.8) можно перейти к интегрированию по конечному пути.
Обозначим путь интегрирования по прямой х = z =
=const через Яо. Проведем окружность с центром в начале
координат, которая пересекает Яо в некоторых точках tx
и tx и имеет достаточно большой радиус р так, чтобы

§7]
ОДНОСВЯЗНОЕ ТЕЛО С ПОЛОСТЯМИ
61
sin y^> 0 (рис. 2.4). Пусть 7^ — дуга окружности с кон-
цами tx и tx, Я2 = Я2 + ^-2 — часть Хо внутри окружности,
Я3 — остальная (бесконечная) часть Ко, %4 = 7^ + К-
Обозначая интегралы от fw(?,) по пути
2, 4) через Jn, будем иметь
(п = 0, 1,
G.7)
Полагая соответственно ? = г + гг/ при
eie
р 3
^ = peie при ^ е Х1э получим следующие оценки двух
последних интегралов из G.7):
,l< const J ¦^-
pi
-const"
Г
const
psinv
. const
—V
G-8)
Интеграл /4 взят по конечному пути 7.4 и не зависит от
р, так как этот путь может быть преобразован в любой
другой, лежащий в области голоморфности подынтеграль-
ной функции и соединяющий точки t и t. Поэтому разность
/3 — J± также не будет зависеть от р. Вследствие оценок
G.8) эта разность при р -у оо обращается в нуль, следо-
вательно, она равна нулю вообще при любом р. Отсюда

62
РЕШЕНИЕ ОСЕСИММЕТРИЧНЫХ ЗАДАЧ
[ГЛ. II
Рис. 2.5.
вытекает, что в F.8) можно интегрировать по произволь-
ному пути (как бесконечному, так и конечному).
За Кх можно было бы принять дугу, которая дополняет
ранее взятую до полной окружности. Величина интеграла
при этом не изменяется. Поэтому линия интегрирования
в F.8), когда она нринимается
конечной, может пересекать ось
симметрии либо ниже линии раз-
ветвления радикала (разреза tt) и
отверстия, либо выше их обоих.
Если линию интегрирования про-
водить между разрезом и отвер-
стием, то знак интеграла изменит-
ся на противоположный в связи с
переходом на другую ветвь ради-
кала. На рис. 2.5 приведены раз-
личные варианты расположения
линии интегрирования; пунктиром
показана дуга, для которой знак
интеграла изменяется; разрез tt
изображен двойной линией.
Все эти рассуждения при выполнении условий G.5),
G.6) относятся и к функции /ц(?).
Вследствие возможности интегрирования по произ-
вольной кривой ограничение, наложенное на форму
контура меридионального сечения полости в п. 3 § 3,
оказывается несущественным, и его можно снять. Однако
требуется, чтобы полость обязательно пересекалась осью
симметрии.
Подставляя G.4) в F.8) и вычисляя полученные ин-
тегралы (см. п. 1 § 8), можно убедиться, что при выпол-
нении условий G.5) — G.6) напряжения и перемещения
на бесконечности обращаются в нуль. Это, в частности,
имеет место, когда внешние силы приложены к поверх-
ности полости, а от жесткого перемещения закреплена
бесконечно удаленная точка. В других случаях следует
налагать соответствующие дополнительные решения.
3. Найдем значения напряжений и перемещений на оси
симметрии. Когда точка t принадлежит окрестности оси z
ниже полости, за путь интегрирования можно принять
отрезок прямой tt, пересекающей ось z. Тогда данный слу-

§ 7] ОДНОСВЯЗНОЕ ТЕЛО С ПОЛОСТЯМИ СЗ
чай ничем не будет отличаться от рассмотренного в § 6,
и при г -> О опять придем к формулам F.18).
Когда точка t принадлежит окрестности оси z выше
полости, то воспользуемся возможностью интегрировать
по линии, проходящей выше полости, не ниже разреза
(с изменением знака интеграла) и опять примем за путь
итерирования прямую tt. В результате получаются те
же формулы F.18), но с противоположным знаком правых
частей.
Заметим, что если условие G.5) не выполнено, то пе-
ремещение и при г->0 выше полости оказывается беско-
нечным.
Коэффициенты ах и Ъх могут быть выражены через
величину равнодействующей Р внешних сил, приложен-
ных к полости. Проведем в плоскости меридионального
сечения симметричный замкнутый контур Г так, чтобы
поверхность, получающаяся при вращении Г вокруг оси z,
охватывала полость. Тогда величина равнодействующей
сил, приложенных к получаемой поверхности, будет
равна — Р. С другой стороны, ее можно определить при
помощи @.26), принимая там в качестве начальной ниж-
нюю точку а пересечения контура L с осью z, а в ка-
честве конечной — верхнюю точку пересечения о'. Тогда
Р = _ 2nZ (а') = - 2i { [Ф (Б) - 2a'q>' (Q - Ч> (Б)] #. G.9)
г
Подставляя сюда ряды G.4) и учитывая G.5) G.6),
получим
Р = 4п К - bt) - 4п lim I [Ф @ - ф (Б)], G.10)
а, = lim Бф (Б) = — — = — — lim ?ф (Б) =
1 е * * с
G.11)
4. Полученные здесь и в § 6 результаты могут быть рас-
пространены на случай конечного или бесконечного тела
вращения с одной или несколькими полостями, когда
полости пересекают ось симметрии z.
Пусть меридиональное сечение тела занимает
(п -}- 1)-связную плоскую область D. Обозначим через Lo

РЕШЕНИЕ 0С1ЕСИММЕТРИЧНЫХ ЗАДАЧ
(гл. ir;
Lft —
внешний контур области, а через Llt L2, . .
ренние контуры, нумеруя их в порядке расположения
на оси z (рис. 2.6).
Аналитические функции представим в форме
(С) = *о (С) + ^ Фу (С), G-12) t
где функции фо(?) иtyo(i) голоморфны везде внутри конту-\
pa Lo, а каждая из функций ф;(?) иг^(?) (/^1) [голоморфна!
вне соответствующего контура Lj и исчезает на беско-J
вечности. :~
Для непрерывности перемещений на оси симметрии!
необходимо выполнение условий, вытекающих из G.5):|
lim ? [щ} (I) + %(?,)] = 0 (] = 1,2, .. .,п). G.13) 1
Я
Расположение линий интегрирования и разветвления!
радикала должно быть упорядоченным. Обычно мы будем I
проводить линию интегрирования «так, чтобы она пере-1
секала ось симметрии ниже нижней полости (простая;*
линия на рис. 2.6). Линию |
разветвления расположим та- |
ким образом, чтобы точка^ее |
пересечения с осью z нахо-J
дилась выше верхней полости,|
(двойная линия на рис. 2.6). I
Изменим расположение
линии интегрирования, про-
ведя ее так, чтобы она пере-
секала ось z между контура-
ми Lft_x и Lh при 2 ^ к ^ п
(на рис. 2.6 пунктирная ли-
ния соответствует к = 2). В
формулах F.8) интегралы,
зависящие от ф^( Q и %(Q при.
/ = 0 и / ^ к, сохраняют свое*
значение, так как внутри
образовавшегося замкнутого
контура все эти функции
голоморфны. Интегралы от
1
i
РИС. 2.6.
ф;(
A</<Л-1)

§ 7] ОДНОСВЯЗНОЕ ТЕЛО С ПОЛОСТЯМИ 65
в силу сказанного в п. 2 изменяют знак. Чтобы резуль-
тат не изменился, в равенства F.8), а следовательно,
и в F.10) — F.12) вместо ф(?) и ij)(t) достаточно ввести
функции
Ф* (?) = фо (?) + 24 4>j (?) sign (/ - к + 0,5),
Ч>* (?) = Фо (?) + 2 % (?) sign (/ - к + 0,5). G.14)
Эти же формулы пригодны, когда линия интегрирования
проходит выше верхнего контура Ln, но ниже линии раз-
ветвления интеграла (при этом к = п -f- 1). Если в пос-
леднем случае линия интегрирования проходит выше
линии разветвления радикала, то
Ф*(?) = ф(Е) - 2ф0(а ф»(?) = Ш) - 2гМ?). G.14а)
Выражения перемещений и напряжений для точек оси
симметрии имеют вид
n
2Gw = 2 [Щ] (z) — 2zif'j (z) — -ф - (z)] sign (z— zy),
o
Z) — 2Z(J>J- (Z) — if (Z)] Sign (Z — Zj),
J=0
n
Gr = G0 = 2 A + V) ^ ф' B) Sign (Z -Zj) \- Gz,
и = rzi, = 0, G.15)
где z;(/ ^1) — произвольные точки оси z, расположенные
внутри соответствующих контуров Lj; sign (z — z0) = 1.
Для равнодействующей Pft внешних сил, приложенных
к й-й полости, аналогично G.10), G.11) будем иметь
Ph = 4я lim ? [Фк (?) - ^ (Е)] = 4я (х + 1) lim
?i±i). G.16)
Равнодействующая сил, приложенных к внешней по-
п
верхности тела, очевидно, равна — ^ Ръ.
0 А. я. Александров, Ю. И. Соловьев

66 РЕШЕНИЕ ОСЕСИММЕТРИЧНЫХ ЗАДАЧ [ГЛ. I
Все приведенные в настоящем пункте рассужденш
будут пригодны и для случая упругого пространства q
несколькими внутренними полостями, пересекающими ось
симметрии, если положить фо(?)='ФоШ =0.
§ 8. Решение в рядах осесимметричных задач
для сферы и упругого пространства >
со сферической полостью*)
1. Представления осесимметричных перемещений и:
напряжений через аналитические функции могут быть
использованы различными методами.
Одним из возможных путей является разложение ана-
литических функций в ряды по какой-либо системе функ-
ций и вычисление упругих перемещений и напряжений,
соответствующих каждому члену ряда. Дальнейшие вык-
ладки производятся уже в вещественных функциях.
В качестве приложения этого метода рассмотрим реше- *.
ние основных граничных задач для упругой сферы ра-;
диуса р0 с центром в начале координат и для упругого"
пространства со сферической полостью.
В случае внутренней задачи соответствующая пло-:
екая область занимает круг того же радиуса р0 (рис. 2.7). *
Аналитические функции могут быть разложены в ряды,.
ф (С) = 2 «X, v (С) = 2 ъп i\ (8.1),:
П=0 71=0 г
где коэффициенты вещественны в силу условия F.5).-
При решении внешней задачи в соответствии с G.4) —•"
G.6) будем полагать
-1 -1
(8.1a)v
*) Задачи теории упругости для сферы решались неоднократно ^
и различными методами (обзор см., например, в [83, 84, 1, 170]). -
Налагаемое здесь решение приведено как пример применения сте-»
пенных рядов. Некоторые результаты будут использованы в даль-.,
нейшем (§§ 12, 44). }

§8]
РЕШЕНИЕ В РЯДАХ ДЛЯ СФЕРЫ
67
Подставим (8.1), (8.1а) в формулы F.10), предполагая,
что перестановка порядка суммирования и интегрирова-
ния законна. За путь интегрирования примем дугу р =
=|F| = const. При этом
С = peie, R(?,t) = peie/21^2 (cos 6-cos fl),
где р = у г" -\- га, "в = arccos (zip) — полярные коор-
динаты точки t = z + ir в плоскости меридионального
сечения.
it—и/2
Рис. 2.7.
Учтем, что при помощи известных соотношений
(см. [61 ] № 8.823) можно получить
t о
1 Г lndt, _ 2
(|в| > 0),
1-cosd .. 1
(8.4)

68 РЕШЕНИЕ ОСЕСИММЕТРИЧНЫХ ЗАДАЧ [ГЛ. II
где к — 0 при п ^ 0, к = 1 при п < О, Pn(\i) — полиномы
Лежандра; формула (8.3) получена дифференцированием
равенства (8.2) по О при использовании F.12).
В результате будем иметь
оо
Вг *= A - к) а0 + 2 «„р"/3,»,-* (cos«),
m=i
#r - -г- Oir o_! tg -2- - Z TTTi db P™~h<C0S в>-
(8.5)
Здесь и ниже n = (—l)h m; к — 0 в случае внутренней
задачи и Л = 1 в случае внешней задачи.
Перемещения и напряжения определяются формулами
F.14) и F.16). Входящие в эти формулы производные
функций Вг и Вт легко найти, если воспользоваться
соотношениями F.12) и (8.2), (8.3).
2. Пусть на поверхности сферы заданы внешние си-
лы pz и рт в виде рядов
^ (Jnn(), Pr () г
П=0 71=1
(8.6)
Перейдем к интегральным усилиям по формулам
F.26), F.27), принимая за начальную точку М, лежащую
на оси симметрии. Тогда
= Po J pzsi
- cose) - г 2 Вп ^ Рп
о
= (-mCoPo In JnT + 2 Anpn (cos 0I, (8.7)
^ n=0
(8.8)

§ 8] РЕШЕНИЕ В РЯДАХ ДЛЯ СФЕРЫ 69
С другой стороны, подставляя (8.5) в равенства F.24),
F.25), будем иметь
(— l)hZ = к (&_! — а_х) A — cose)
fll ~ bl ~ V р°йз) rp° sin °
X On -rs-Plnl-ft
(l-k) (^« b
-* (COS 0) +
4- const, n = (— l)ftm. (8.9)
Приравняем правые части (8.7) и (8.9), имея в виду,
что величина 2nZ (Q — я) = 4яроС0 является равнодей-
ствующей внешних сил и в случае внутренней задачи
(к == 0) должна быть равна нулю. В результате придем
к системе уравнений, решение которой дает
2п
(8.10)
(8.11)
Коэффициенты а0 и Ьо остаются неопределенными.

70 РЕШЕНИЕ ОСЕСИММЕТРИЧНЫХ ЗАДАЧ [ГЛ. II
3. Если на сферической поверхности р = р0 заданы
перемещения в форме рядов
2Gw = S AnPn (cose), 2Gu =^Bn± Pn (cos©), (8.12)
п0 п=1 а"
то ход рассуждений будет прежним. Формулы (8.10)
остаются справедливыми, если в них положить к = —х.
Вместо (8.11) будем иметь
Ьо = иа0 - -J pjjfl2 — Ло. (8.14)
Коэффициент а0 по-прежнему остается неопределенпым и
может быть зафиксирован произвольно.
§ 9. Решение осесимметричных задач
для сферы в квадратурах
1. Использование рядов зачастую осложняется их
медленной сходимостью, из-sa чего приходится прибегать
к различным приемам усиления сходимости рядов. Ре-
шения в квадратурах (если они известны) в этом отноше-
нии обычно более эффективны.
Приведем здесь решение осесимметричных задач для
сферы, которое может быть получено в квадратурах пу-
тем использования свойств аналитических функций ком-
плексного переменного *).
Пусть на поверхности сферы р = р0 заданы внешние
силы pz и рт. Предполагая функции «р(?), ф'(?) и г]з(?)
непрерывными вместе со своими производными вплоть до
окружности р = р0, подставим выражение Вг из F.10)
в формулу F.21). Текущую точку будем считать лежащей
на той же окружности. При этом .
t = Рое», 5 = ров», -в < G < +е,
R E, t) = j/"?»-2?* + p§= eim /2 (cos 6-cosfl). (9.1)
*) Рассматриваемое ниже решение получено в работе авторов
[32]. Внутренняя задача для сферы решалась в квадратурах иным
методом в статьях [48] (случай нормальной нагрузки) и [49] (об-
щий случай нормальной и касательной нагрузок)

9] РЕШЕНИЕ ДЛЯ СФЕРЫ В КВАДРАТУРАХ
Введем аналитические функции /(?) и /i(?) соотноше-
ниями
Ф(?)=2?/'( ?)-/(?), (9.2)
Ф (Е) = / (Е) - 2 (р§ + Б2) /" (Б) - Л (Б). (9.3)
Формула для pz после преобразований примет вид
t i
Учитывая равенства (9.1) и выполняя дифференциро-
вание по s = poe, получим
/;(oe<*e
"л(БТ- (9'5)
7
В равенстве F.22) предварительно произведем диф-
ференцирование по s:
Подставляя сюда выражения F.10) и учитывая F.12),
после преобразований будем иметь
/а(Б)Д(Б,*)<*Б, (9-6)
где
/г (Б) = W (Б) - ЕЛ (Б) - /', (Б), (9.7)
!/'(Б) = Б2Г(Б) + 2A + г)БГ(Б) + A + v)/'@- (9.8)
Учитывая (9.1) и принимая во внимание, что все вве-
денные выше аналитические функции удовлетворяют ус-
ловию F.5), представим равенства (9.5), (9.6) в виде
я J i
рт (Щ sinO » -2-J Re [/; (Q e3ie/2j |/2(cose-cos^) d6. (9.9)

72 РЕШЕНИЕ ОСЕСИММЕТРИЧНЫХ ЗАДАЧ [ГЛ, II
Получившиеся" интегральные уравнения имеют про-
стое решение. Умножим обе части первого равенства на
множитель
[2(cos 0 — cos Y)]~o>6 sin 0 dft
и проинтегрируем в пределах от 0 до у. В правой части
изменим порядок интегрирования, учитывая, что
1
sin d db n
в /2 (cos6 — cosd)/2(cosО — cos?) 2 "
Дифференцируя результат по у и умножая его на 2poe"~iw2,
будем иметь
^ (9.10)
где
Xi(T) = Zffi = 2Poe-W* [ /.W^^* ,
W V/ ° dV J /2(cos©-cos-y)
t = poe*v @ < у < я). (9.11)
Умножая обе части равенства (9.10) на (т — ?,)~гAт
и интегрируя по окружности р = р0, получим
где замкнутый контур L обходится против часовой
стрелки.
Можно показать, что интеграл обращается в нуль при
? = 0, если внешняя нагрузка является самоуравнове-
шенной. Поэтому функция /'(?) является голоморфной
при %\ < р0.
Разрешая второе равенство из (9.9) относительно
/г(т). будем иметь
2poe-iv/2 Re [f2 (т) eW*] = xf2 (x) + ?/^j = x2 (т), (9.13)
x2 (t) - 7&) = 2poe-iv/2 - ["^i_ JL f ftW*n4»*> 1
2W 2Ч ' M dT Lsm-yd-y J |A2(cos#-cos-y)J
(9.14)

9] РЕШЕНИЕ ДЛЯ СФЕРЫ В КВАДРАТУРАХ 73
Из (9.13) вытекает
Так же, как и в предыдущем случае, можно убедить-
ся, что интеграл обращается в нуль при ? = 0.
2. Когда функция f'2(Z,) будет найдена, то y'(t) опре-
деляется при помощи (9.7). Для нахождения /(?) служит
равенство (9.8), которое можно рассматривать как диф-
ференциальное уравнение. После решения этого уравне-
ния будем иметь
b (9-16)
Здесь &i и /с2 — комплексные корни характеристического
уравнения
Л2 + A + 2v) к + 1 + v = 0, (9.17)
а 1у(?) и /2(?) — голоморфные в круге функции, опреде-
ляемые по формуле
(9.18)
Вычисление перемещений и напряжений производится
при помощи формул F.8) и F.16). Функции ф(?) и ¦§{?)
определяются в нашел случае соотношениями (9.2), (9.3).
При вычислении этих функций и их производных могут
оказаться полезными равенства
/" @ = {kiJ:
Г (С) = - ^ \Щ" @ + /' (С)] Л-^-у' (С),
/ @ = jz^; I» @ - Vf (С) - 2v?f («I. (9.19)

74 РЕШЕНИЕ ОСЕСИММЕТРИЧНЫХ ЗАДАЧ [ГЛ. II
При ? = О получим путем предельного перехода
ф" @) = з/" @) = j-Lj у" @), г @) = ^ у'" (°)>
*@) = /@)-2pgf@)-/i@),
У @) = /' @) - 2р02/"' @) - /i @). (9.20)
3. В том случае, когда на поверхности сферы заданы
перемещения, при помощи рассуждений, аналогичных
приведенным выше, получим
J
г
&\i)R&,t)di. (9.21)
t
Здесь функции f\ (?) и /2 (Q удовлетворяют равенствам
(9-22)
Рассуждения, аналогичные сделанным выше, приво-
дят к формулам
(9.23)

§ 9] РЕШЕНИЕ ДЛЯ СФЕРЫ В КВАДРАТУРАХ 75
Функции х*п(х) (и = 1, 2) определяются теми же фор-
мулами, что и хп(х), но с заменой рг и рт соответственно
через 2Gw и Жи.
4. Изложенный метод может быть применен и в случае
упругого пространства, имеющего сферическую полость.
В соответствии со сказанным в п. 2 § 7 линию интегри-
рования в F.10) будем проводить ниже полости. Ра-
венства (9.1) остаются справедливыми. Углы О и 6 отсчи-
тываются в прежнем порядке. Сохраняются соотношения
(9.2), (9.3), (9.7), (9.8), (9.21), (9.22). В формулах (9.4) -
(9.6), (9.9), (9.11), (9.14) изменится знак правой части, так
как внешняя нагрузка оказывается приложенной с левой
стороны дуги.
Функции /j(?) и /г(?) определяются соответственно
формулами (9.12) и (9.15), где контур обходится по часо-
вой стрелке. Функция /(?) и ее производные выражаются
формулами (9.19). В выражениях (9.18) за нижний пре-
дел следует брать бесконечно удаленную точку. То же
самое относится к формуле для /(?) из (9.23). Остальные
формулы (9.23) сохраняют свой вид.
Все аналитические функции голоморфны вне круга
р = р0. Принимая во внимание G.10), G.11), получим соот-
ношения
С/ @ = - зоГ
lim IU (С) = lim [Щц* (Q - U*i (?)] = 0 (? -*- со),
(9.24)
где Р — равнодействующая внешней нагрузки. /
Пример 1. Упругая сфера единичного радиуса под
действием равномерного давления р. В рассматриваемом
случав
р,=5—pcosO, рр=з — р sin ft,
С р tinbdb I . у в . . у\
J
3 2 15 2/'
cos у) \3 2 15 2

76 РЕШЕНИЕ ОСЕСИММЕТРИЧНЫХ ЗАДАЧ [ГЛ. II
*i (г) = - Р (e-2iv + «*») = - Р (-^ + г),
Отсюда при помощи формул (9.2) и (9.3) имеем с точ-
ностью до вещественного слагаемого
ЙрС- (9'26)
Поле напряжений будет равномерным, в чем легко
убедиться при помощи формул п. 1 § 8.
Пример 2. Сферическая полость под действием
равномерного давления. Полагая pz = p cos 0,
рг = р sin 0, получим для #i(t) и ж2(т) те же выражения,
что и в предыдущем примере. Тогда
/I @ = - -§-, У' (С) = /i.2 (С) - /' @ = ф (С) = О,
Пример 3. Упругое пространство с впаянной аб-
солютно жесткой сферой радиуса р0, которая находится
под действием осевой силы Р. Здесь w = const, и = О,
х\ (т) = 2Gw A + е-гу) = 2G«; (l + ¦**¦), г*2 (т) = О,
Вводя обозначение С = Gwpol(%x + 1), получим

§ 10] ДЕЙСТВИЕ НА СФЕРУ СОСРЕДОТОЧЕННЫХ НАГРУЗОК ?7
Из G.11) вытекает Р = 12л(% + 1)С. При р0 ->- 0
получим решение для сосредоточенной силы Р в начале
координат.
§ 10. Действие на сферу и сферическую полость
сосредоточенных (распределённых
по окружности) нагрузок
1. Полученные выше результаты позволяют получить
в квадратурах решение задачи о действии на сферу сосре-
доточенных нагрузок *).
Пусть упругая сфера единичного радиуса (переход к
произвольному радиусу может быть сделан из соображе-
ний подобия) загружена некоторой самоуравновешенной
системой нагрузок, сосредоточенных в полюсах или рав-
номерно распределенных по окружностям z = const,
г = const. Решение представляется в виде суммы членов,
зависящих от каждой из этих нагрузок порознь.
Рассмотрим члены, соответствующие действию сил Р
и Q, равномерно распределенных по окружности z =
=z0 = cos у0, г = г0 = sin Yo (рис. 2.8),
Временно заменим эти силы распределенными нагруз-
ками, приложенными на участке поверхности малой ши-
рины е, полагая
„ /ал _ р „ /ал _ 6(? (cos Yo — cos ¦») (cos ¦» — cos yt) Mn ,,.
Vz W — e . Pr (V) e3si ^u^
при Yo < 0 < Yi = Yo + e и pz{Q) = pr@) = 0 при О
< 0 < Yo или Yi < -д < л.
*) Настоящий параграф написан по результатам работы
[146]. Отметим, что рассматриваемая задача неоднократно реша-
лась в рядах по сферическим функциям ([83, 183, 189]). Однако
ряды, выражающие напряжения, на поверхности сферы расхо-
дятся, а внутри ее сходятся медленно, вследствие чего необходимо
прибегать к выделению и суммированию медленно сходящейся
части рядов, что приводит к весьма громоздким выкладкам. Поэто-
му обычно рассматривались либо частные случаи нагружения
(сила в полюсе, «опоясанный шар»), либо подсчитывались переме-
щения и напряжения лишь вдоль определенных линий при частном
значении коэффициента Пуассона.
В упоминавшейся работе [48] при помощи решения в квадра-
турах получены в явном виде формулы перемещении для случая
действия сосредоточенной силы в полюсе.

РЕШЕНИЕ ОСЕСИММЕТРИЧНЫХ ЗАДАЧ
[й! II
Вычислим функцию :гх(т) по формуле (9.11). Вводя обо-
значение
(т, т„) = - R- (т, т„)
получим
A0.2)
где т = е*т — произвольная точка контура L (единичной
окружности), тп = е*Тп, множитель й„(т) (n — 0, _1)
равен единице, когда т принадлежит верхней дуге тптп,
и нулю, когда % принадле-
жит соответствующей ниж-
ней дуге.
Заметим, что Л±(т, тп)
являются граничными значе-
ниями функции Е(т, хп), оп-
ределяемой формулой F.7)
при t = xn. Эта функция го-
ломорфна по всей плоскости
комплексного переменного ?,
разрезанной вдоль верхней
дуги тптп. Значки (+) и (—)
относятся соответственно к
верхнему и нижнему бере-
гам разреза.
Подставим полученное значение хг(х) в (9.12). Учтем,
что
'Р
Рис. 2.8.
R+ (т-
т, D
где ^(т, ^) = (t — 1/t)(t — Q-1, Г — любой замкнутый
контур, охватывающий разрез тптп, но не содержащий
внутри себя точки ? и начала координат. Контур Г, как
и L, обходится против часовой стрелки.

§ 10] ДЕЙСТВИЕ НА СФЕРУ СОСРЕДОТОЧЕННЫХ НАГРУЗОК 79
При помощи теоремы "о вычетах'будем иметь
д
2'
Используя этот результат и устремляя е к нулю, по-
лучим
/; (Г) - 1 [*i{T)dT_ Pro(l-t?)
L
Аналогичные рассуждения дают
A0.5)
Функция /i(?) в окрестности центра круга имеет пред-
ставление
f\ {Q — ~2Т^го + голоморфная функция.
Здесь первое слагаемое пропорционально равнодейст-
вующей внешних сил. Когда на сферу действует система
нескольких сил (сосредоточенных или распределенных),
такие слагаемые суммируются, и если система сил са-
моуравновешенная, то эта сумма равна нулю, а функция
/i( ?) является голоморфной.
Проинтегрируем A0.4) и A0.5), опуская члены, обра-
щающиеся в нуль при самоуравновешенной нагрузке:
A0.6)

80 РЕШЕНИЕ ОСЕСИММЕТРИЧНЫХ ЗАДАЧ [ГЛ. II
Линию разветвления радикала -??(?, т0) будем прово-
дить между точками т0 и т0 вне единичного круга так,
чтобы она пересекала ось z выше этого круга. Значения ра-
дикала на оси симметрии (они вещественны) будем счи-
тать положительными, а значения логарифма — вещест-
венными.
Для определения функций ф(?), "ф(?) и их производ-
ных служат формулы (9.2), (9.3), (9.16) — (9.19). Интег-
ралы в (9.18) не выражаются через элементарные функ-
ции, и их придется вычислять приближенно, пользуясь
теми или иными квадратурными формулами. Интегралы в
F.8) и F.10) также придется вычислять приближенно.
Значения напряжений и перемещений в центре сферы
найдем, используя F.18) и (9.20):
ar = °е = \ r0 (Pz0 + Qr0) — у а„ tzt = 0, и = 0,
2Gw = -f Q A + zo) + fj^ (Pz0 + Qr0) A0.7)
(в последнем равенстве опущены некоторые слагаемые,
пропорциональные Рг0). На полученную систему переме-
щений можно наложить любое жесткое смещение. В част-
ности, можно добиться, чтобы перемещения в центре
сферы были равны нулю.
2. Получим асимптотические представления для на-
пряжений в окрестности точек т0 = z0 + ir0 приложения
сил Р и Q. Из формул F.16) и F.10) усматривается, что
интегралы будут ограниченными величинами, если в вы-
ражениях для <р'(?) и 2zo<p"(?)+я|з'(?) устранить сла-
гаемые, которые при ? ->- т0 имеют особенности порядка
0,5 и выше, а в выражении для ф"(?) — особенности по-
рядка 1,5 и выше.
Обращаясь к формулам (9.2), (9.3), (9.16), (9.19), ви-
дим, что особенности функций /г(?) и /2(?) при ? -»- т0 та-
кие же, как у ф'@- Подставим j/'(?) из A0.5) в (9.18) и бу-
дем интегрировать по частям до тех пор, пока особен-
ность подынтегральных функций не снизится до порядка,

§ 101 ДЕЙСТВИЕ НА СФЕРУ СОСРЕДОТОЧЕННЫХ НАГРУЗОК 81
меньшего единицы. После преобразований будем иметь
A0.8)
где О A) обозначает функцию, ограниченную при ? -*- т0.
Заметим, что
-i- = BZo
и представим A0.8) в форме
3) (с - 2zo)]
+ §f [йг +B/с»
Тогда
2ф' (S) - РгоФ; + Сфз + ^г„фв + Ь2фз + О A),
<?Фн + Ь3г0фв + Ь4ф3 + О A),
Ьг + iL2 = е2»° (L, + iLJ = A - 2v) (P + iQ) <Г*\
Подставим A0.10) в F.10). Интегралы, содержащие
функции фе и фз, вычисляются в замкнутом виде и выра-
жаются через полные эллиптические интегралы (см. § 29),
после чего особенности могут быть выделены элементарным
путем. В результате будем иметь
аг = а*-Аг01пр1 + ОA), аг = о* - В In Pl + О A),
о-е = <те - С In Pl + О A), хгт = т*т + Az0 In px + О A),
A0.11)
6 А, я. Александров. Ю. И. Соловьев

82 РЕШЕНИЕ ОСЕСИММЕТРИЧНЫХ ЗАДАЧ [ГЛ. II
где
2vD, D=
r 2~v>
яго
г, * * * *
одесь напряжения gz, <xr, oq, т2г совпадают с со-
ответствующими напряжениями плоской задачи о дей-
ствии сосредоточенных сил на круглый диск ([93], § 80а).
3. Пусть среди сил, действующих на сферу, имеется
сосредоточенная сила Ро, приложенная в каком-либо из
полюсов. Члены, соответствующие этой нагрузке, полу-
чим, полагая в формулах п. 1
Рг0 = Р sin Vo = Ро/Bл) = const
и устремляя 7о к нулю (для нижнего полюса) или к
п (для верхнего полюса). При этом R(t,, 'fo) ~1 ^ ?»
и из A0.4), A0.5) вытекает
(верхний знак принимается при у0 = 0, нижний — при
Yo = л).
Особенности напряжении у полюсов могут быть вы-
делены при помощи того же приема, что и в предыдущем
пункте.
Для случая действия силы в верхнем полюсе (у0 = п)
будем иметь
Ф'@ =Fi + O A), 2Ф"(?) - ТО) = Ра + 0A),
A0.13)

10] ДЕЙСТВИЕ НА СФЕРУ СОСРЕДОТОЧЕННЫХ НАГРУЗОК 83
Представления напряжений имеют вид
-±P0{i-2v)(l + v)—?/>„(* +v) In Pl +0A),
3-2v
A0.14)
где px = |f + 1|; звездочкой обозначены напряжения,
соответствующие действию сосредоточенной силы на упру-
гое полупространство z <I —1.
На рис. 2.9 приведены эпюры напряжений по плоскости
2 = 0 и по оси симметрии в случае действия на сферу
двух равных и противоположно направленных сил в по-
люсах при трех значениях коэффициента Пуассона:
v = 0 (кривые 1), v ~ 0,25 (кривые 2) и v == 0,5 (кривые
3). На рис. 2.10 помещены эпюры для случая сферы,
«опоясанной» нагрузками по экватору. Эпюры на рис. 2.11
показывают распределение напряжений, когда сфера за-
гружена нормальной нагрузкой Р = —l/(it|/3), Q = —1/я
по параллели Yo = я/3; эта нагрузка уравновешена
силой Ро = 1 в верхнем полюсе (на рис. 2.11, а даны
эпюры напряжений по оси симметрии, на рис. 2.11, б —
эпюры главных напряжений о*е и °t[ по поверхности
сферы).
Найденное решение может быть использовано и в слу-
чае действия произвольной осесимметричной нагрузки
Рг(Уо) и РЛУо)- Для зтого в формулах п. 1 следует по-
ложить
Q = РгЫЛУо
6*

84
РЕШЕНИЕ ОСЕСИММЕТРИЧНЫХ ЗАДАЧ
ТТЛ. II
и проинтегрировать по у0 в пределах от 0 до я. При необ-
ходимости такое интегрирование можно производить при
помощи численных квадратур.
4. При решении задач для сферической полости в упру-
гом пространстве ход рассуждений остается прежним.
Не изменятся и выражения A0.4), A0.5). Линия разветвле-

§ 10] ДЕЙСТВИЕ НА СФЕРУ СОСРЕДОТОЧЕННЫХ НАГРУЗОК
85
ния радикала i?( ?, т0) будет проходить между точками т0 и
т0 внутри круга. Значения i?(?, т0) на оси симметрии
ниже полости положительны, а выше полости отрица-
тельны.
Первая из формул A0.6) изменится, ибо там были
опущены члены, пропорциональные Рг0. Она примет вид
.Рг0Г 2
.Рг0Г 2 ,
- ~2 [-R * ln
( '
где принимаются знаки либо все верхние, либо все нижние.
Вторая формула A0.6) остается без изменений.
0,2 0,3 О/f б
0,8
I
W
V
\
I
In
/¦
~v
/ /
//
/
!
ч
V
и
у
Q)
у
/
у
V-/'
1 /
\
/¦
//
/
/
Рис. 2.10.
Б)
Когда на сферическую полость действует сосредото-
ченная сила Ро, приложенная в полюсе у0 = 0 или у0 = я,
радикал R(?,, т0) принимает значения соответственно
С-1 и С-+1.
Тогда
где верхний знак принимается при y0 = 0, а нижний —
при у0 = п.

86
РЕШЕНИЕ ОСЕСИММЕТРИЧНЫХ ЗАДАЧ
[ГЛ. II
Особенности напряжений в точках приложения со-
средоточенных сил при г0 > 0 по-прежнему даются фор-
мулами A0.11).
Когда сосредоточенная сила Ро приложена в нижнем
полюсе, то в формулах A0.14) следует заменить z + 1
на z — 1, положить рг == |* — 1| и изменить на противо-
положные знаки вторых слагаемых правой части.

§ 11]
СФЕРИЧЕСКИЙ РАЗРЕЗ В УПРУГОМ ПРОСТРАНСТВЕ
87
pt
§ 11. Сферический разрез в упругом пространстве
1. Пусть упругое пространство ослаблено щелью, ко-
торая совпадает с частью сферической поверхности ра-
диуса р0 = 1, имеющей центр в начале координат. В ме-
ридиональном сечении щель совпадает с дугой АМВ,
которая пересекает ось z выше начала координат (рис.
2.12). Центральный угол дуги примем равным 2я — 2уо-
Тогда края щели А и В будут иметь аффиксы т0 и т0,
где т0 = z0 + ir0, Zq = cos y0, r0 = sin y0-
На верхнем и нижнем берегах щели заданы усилия
/V и р7, рГ- Напряжения и перемещения на
бесконечности предполага-
ем равными нулю.
Щель можно рассмат-
ривать как предельный
случай осесимметричной
полости и использовать
представления § 7. Функ-
ции ср(?) и !])(?) голоморф-
ны в плоскости, разрезан-
ной вдоль дуги АМВ, а на
бесконечности имеют раз-
ложения G.4) — G.6).
Так же, как и в § 9,
введем функцию /(?) соот-
ношением (9.2). Рассмат- Рис. 2.12.
ривая это соотношение как
дифференциальное уравнение и разрешая его относитель-
но /(?), получим
Если принять за нижний предел интеграла начало
координат, то будем иметь
(И.2)
где С — некоторая постоянная, вещественная в силу
условия четности.

88 РЕШЕНИЕ ОСЕСИММЕТРИЧНЫХ ЗАДАЧ [ГЛ. II
Функция ф(?) при |?| <1 может быть разложена
в степенной ряд
Подставляя его в A1.2) и интегрируя, получим
где ряд сходится в силу сходимости предыдущего ряда
и представляет собой функцию, голоморфную внутри
единичного круга.
Пусть теперь |?( > 1. Представим A1.1) в форме
/ @
= VI) ф' @ ^ - ф (Е) + с vl. (И.З)
Используя разложения G.4), легко убедиться, что
члены, не содержащие постоянной С, голоморфны вне
единичного круга и исчезают на бесконечности.
Аналитическое продолжение выражений A1.2) и A1.3)
на дугу AN В единичной окружности должно приводить
к одной и той же функции. Следовательно, на этой дуге
(а — аффикс точки единичной окружности).
Отсюда вытекает соотношение
A1.4)
где путь интегрирования не должен пересекать разреза
АМВ.

§ 11] СФЕРИЧЕСКИЙ РАЗРЕЗ В УПРУГОМ ПРОСТРАНСТВЕ 89
Таким образом, из двух постоянных С и С лишь
одну можно зафиксировать произвольно. В дальнейшем
будем полагать С" = О, С Ф О, считая /(?) голоморфной
вне единичного круга; внутри круга голоморфной будет
разность /(?) — С]/?. Линию разветвления Yt будем
проводить по оси симметрии от точки О вверх.
Функции /i(?) и /2(?)> определенные равенствами (9.3)
и (9.7) — (9.8) при р0 = 1, будут также голоморфны вне
круга |?| = 1; внутри круга для них справедливо пред-
ставление
/п (?) = -|" (п + *)С FTpF + голоморфная функция
(п = 1,2). A1.5)
Из (9.24) вытекает
lim ?%«) = 0 (и = 1,2). A1.6)
Е-»оо
2. Перейдем к рассмотрению граничных условий.
Полагая, что t в (9.5), (9.6) принадлежит нижнему берегу
разреза АМВ, получим
(И.7)
где линия интегрирования огибает начало координат
снизу.
Выражение для рг представим в виде
р- i l\fUt\
Pz — 7ETJ wJ (ь)

. 90 РЕШЕНИЕ ОСЕСИММЕТРИЧНЫХ ЗАДАЧ [ГЛ. П
Линию интегрирования второго интеграла совместим
с дугой окружности, проходящей через точку N. Вос-
пользовавшись первым равенством из (9.9), заключаем,
что этот интеграл равен нулю, ибо
Re [g (ex) e3ie/2] = -f- Re [(e2ie - l) e~ie] = 0.
Подынтегральная функция первого интеграла из A1.8)
голоморфна всюду внутри круга |?| = 1. Совместим
линию интегрирования с дугой окружности, проходящей
через точку М. Тогда
ех = я — в, & = я — е,
(a, t) == eif>jz 1/2^08 0! —cos 00,
ft—I-
где значком (—) помечены величины, относящиеся к ниж-
нему берегу разреза А МБ.
Таким же путем получим
Г1
= J-jRe {[ft- {a) -ZCg (a)] e-3i6'/2J ]/(cos61-cos01)dei.
о
A1.10)
При удовлетворении граничных условий по верхнему
берегу разреза предварительно в формулах (9.5)—(9.6)
перейдем к интегрированию по кривой, лежащей выше
разреза и линии разветвления радикала. Усилия р+
и р+ должны быть введены в формулах с противополож-
ным знаком. Проводя линию интегрирования также по

§ ii] СФЕРИЧЕСКИЙ РАЗРЕЗ В УПРУГОМ ПРОСТРАНСТВЕ 91
верхнему берегу разреза, будем иметь
"г
p+ sin©! = ~ j Re [/a+ (а) еГзш'/2] ]/2 (cos 6X - cos ft) d^.
A1.11)
Представим функции /^(?) в виде суммы
/» @ = /no E) + (» + !) CXFX (?) + (n -1) C2F2 (C). A1.12)
Здесь Cx = С/(An), C2 — некоторая вещественная по-
стоянная,
F (Г) - 3A-^а> L (t) -3{Z + i) sin 2?
L (t) -sin 2? 4-
A1.13)
Используя разложения логарифма
легко установить, что функция F^t) голоморфна вне
единичного круга, причем произведение ^F^t,) обра-
щается в нуль на бесконечности. Внутри круга голо-
морфна разность FX(Q — 4ng(t). Функции /'по(?) голо-
морфны по всей плоскости, разрезанной вдоль АМВ.
Подставим A1.12) в A1.9)—A1.11), учитывая, что
Im L—(а) = —2л, Im L+(a) =0. Члены, содержащие Сг и

92 РЕШЕНИЕ ОСЕСИММЕТРИЧНЫХ ЗАДАЧ |ГЛ. II
С2, при этом уничтожаются, и внешние силы оказыва-
ются зависящими лишь от fn0 (?). Разрешим полученные
равенства относительно граничных значений функций
f'no (?), используя тот же прием, что и при получении
формул (9.10) и (9.13). В результате будем иметь
т/^(т)-ЗД-(т) = я?-(т) (" = 1,2), A1.14)
где
х± = 2e*v,/2 J_
1 rfVi
J 1/2 (cos ®i — cos Vx) '
x± = - 2eVl/2^- [-1 ?•
2 dv sinTf rfT
]
J >^2 (cos 0f ~ cosy,) '
Q —I
При отрицательных Yi значения ж* (т) будем находить из
условия х? (т) = Хп (г).
Будем искать такое решение поставленной задачи, при
котором перемещения точек А и В (т. е. краев щели)
оказываются ограниченными, а напряжения в этих точках
могут быть бесконечными, но порядок их особенностей
строго меньше единицы.
Из этих условий вытекают, в частности, оценки при
A1.15)
В силу условий четности аналогичные оценки имеют
иесто и при ? -»- т0.

§ 11J СФЕРИЧЕСКИЙ РАЗРЕЗ В УПРУГОМ ПРОСТРАНСТВЕ 93
Введем аналитические функции:
Фпт (С) = [С/пО (С) + (- 1)" ¦? /;0 (-f)] Rn+2n-2 (?, Т0)
Km = 1,2), . A1.16)
которые голоморфны в плоскости с разрезом A MB,
в бесконечно удаленной точке имеют полюс порядка
п + т — 2; порядок их особенностей в точках А и В
менее единицы.
Для граничных значений этих функций на верхнем и
нижнем берегах разреза A MB будем иметь
= [(- 1)пх+ (т.) - х- (T)]J^-(rJj0f+^~2 = Хпт (т),
R- (т, т0) = е~^'2 ]/2 (cos Yi +cos To)- A1-17)
Здесь учтено, что когда ? стремится к точке т, лежа-
щей на нижнем берегу разреза, 1/? стремится к точке т,
лежащей на верхнем берегу; в силу условий четности
имеем f'n0 (т) = f'n0 (т); значения R(r, т0) на разных
берегах различаются лишь знаком.
Из A1.17) и условий на бесконечности вытекает
Го
+ (п + т-2)ВптЪ + (т-1){п- 1)С„т(?г + ?).
A1.18)
Выражения для функций ^ (^ получим из A1.16),
учитывая, что R A/g, т0) = -|-Л(С, т0). Тогда
фщ@ , Фп2(9

94 РЕШЕНИЕ ОСЕСИММЕТРИЧНЫХ ЗАДАЧ 1ГЛ. II
Значения коэффициентов в формуле A1.18) найдем,
подставляя A1.18) в A1.19) и имея в виду, что оба выра-
жения для /'„<>(?) должны приводить к одному и тому же
результату. После преобразований будем иметь
То
То
Т.
— — ^ j Xim (т) -—¦
—¦
¦п
(m = l,2). A1.20)
Из условия голоморфности /'10(?) при ? = 0 вытекает
4U = 2?iS. Коэффициенты Бц, Сц, Cls, C21 входят с ну-
левыми множителями: их значения безразличны. По-
стоянная С22 остается неопределенной. Зависящая от нее
составляющая функции /'20(?) совпадает с Fu(?). По-
следняя функция входит в A1.12) с неопределенным ко-
эффициентом С2, поэтому значение С22 можно задавать
произвольно.
В результате получаются следующие представления:
Дт(?.т0):1 Т(Т~'
т.
Те
T.
3. Рассматривая (9.8) как дифференциальное урав-
нение и разрешая его относительно f'(t), будем иметь
где у'(?) определяется по (9.7), a k± n kz — корни урав-
нения (9.17).

S 11] СФЕРИЧЕСКИЙ РАЗРЕЗ В УПРУГОМ ПРОСТРАНСТВЕ 95
Последовательно принимая за нижний предел инте-
гралов начало координат и бесконечно удаленную точку,
получим
A1.24)
Левые части этих равенств представляют собой функ-
ции, голоморфные соответственно внутри и вне единичного
круга. Используя разложения подынтегральных функ-
ций в ряды, легко убедиться, что интегральные -члены
правых частей также голоморфны в соответствующих об-
ластях. Отсюда вытекает, что Бг = D2 = D\ = D"z — 0.
Устремим ? к произвольной точке а дуги ANB. Зна-
чения f{o), определенные при помощи A1.23) и A1.24),
должны совпадать. Поэтому должно выполняться ра-
венство
J rhl+t J
о ъ о
что возможно лишь в том случае, когда
ГуЧРЛС-О ? iT (Р «g = q
о ь о b
ибо эти интегралы являются постоянными величинами.

96 РЕШЕНИЕ ОСЕСИММЕТРИЧНЫХ ЗАДАЧ [ГЛ, II
Подставим сюда выражение j/'(Q из (9.7). Для функций
/п(?) используем представления A1.12). В результате
придем к системе двух линейных алгебраических урав-
нений относительно Сх и С2, решая которую, получим
г — o12o2j im
> QiAo
Im (бцб12)"
Здесь
,=J[^".(q+/;.(q+/:.(q]
оо
= j [(К +1) /,. (Б) + Л'. @]
о
1 (О + bFx (С)] -^г, бп2 = Г
бп1 = j [2^1 (О + bFx (С)] -^г, бп2 = Г F
п1 = j [2^1 (О + bFx (С)] -^г, бп2 = Г F,
о ь о fc
6im=6;m (in = 0,1,2; n = l, 2).
Коэффициенты 6п1 и бп2 могут быть вычислены в зам-
кнутом виде. Используя квадратуру (см. [61 ], № 3.2231
и № 3.5142);
оо
= —Я-
sin Yo sin knn
после преобразований будем иметь
cos у sin
X
n2. 4 sin3 Yo sin kn
X l(k+ 1) S3 — kSz— (k + 3)Бг + (k + 2) So],

§ ii] СФЕРИЧЕСКИЙ РАЗРЕЗ В УПРУГОМ ПРОСТРАНСТВЕ Q?
Sm = sin W + ™)(П — Yo)l,
к = кп (п = 1, 2; т = 0, 1, 2, 3).
Функции^ (Q л /2(Q теперь определены. Вычисление
напряжений производится согласно указаниям п. 2 § 9.
Напряжения pz и рТ по дуге AN В могут быть найдены
по формулам (9.5) и (9.6) при р0 = 1.
4. Рассмотрим растяжение упругого пространства со
сферической щелью аксиальными силами р и радиаль-
ными силами ^приложенными на бесконечности. На рав-
номерное поле напряжений
az = Pi °> = °"е = д, rZT = О
следует наложить напряжения, вызванные действием на-
грузки
р? = + pcosOi, Pr = ± ffsinOi A1.26)
на поверхности щели.
В этом случае (сравните с (9.25))
« Z2i = О, Х12 = 2р (х - А-) [Л" (т, т0)]2,
/го (О == 2?/0 (С) + [С22 - 2ff/0 @)J F
то)
/о@)= -f (т.-я-'А—fr')- (H.27)
Пользуясь произвольностью С22, положим, что коэф-
фициент при F2(?) равен нулю, т. е.
Q. A1.28)
7 А. Я. Александров, 10. И. Соловьев

98 РЕШЕНИЕ ОСЕСИММЕТРИЧНЫХ ЗАДАЧ [ГЛ. II
Тогда
(fc
— — о— i 1 i ft 1 1 2 i г о *¦
Li Sill /C3T I ft ft ~f~ О
Значения коэффициентов Сх и С2 приведены в табл, 2.1.
Особенности напряжений у краев разреза выделяются
при помощи того же приема, что и в п. 2 § 10. После
выкладок получим следующие представления:
az = #J/S(a) - 8 sin a] + tf2f(a) + 0A),
ar = -#x/s(a) - Нг\Г(a) + 8 cos a] + 0A),
ae = —8vHi sin a — 8#2cos a + 0A),
т2Г = -ВДа) + Я^(о) + 0A), A1.30)
где
н 2а2 (pb —
/s(a) = 2 sin a + sin Ea — 2y0) + sin (a + 2у0),
/' (a) = —2 cos a + cos Ea — 2y0) + cos (a + 2y0),
a = у («i + Yo + ул). PieiWl = * — V
Значения напряжений в произвольных точках, как
и в § 10, через элементарные функции не выражаются,
но напряжения pz и рт по дуге ^iVfi могут быть вычислены
в замкнутом виде:
Рг = |

§ 11] СФЕРИЧЕСКИЙ РАЗРЕЗ В УПРУГОМ ПРОСТРАНСТВЕ 99
И
, R = V2(z-z0), z = cosf). A1.31)
Приведенное выше решение получено в [118 J. В ра-
ботах [47, 74] характер голоморфности функций был
Таблица 2.1
Ve
30°
45°
60°
90°
120°
135°
150°
30°
45°
60°
90°
120°
135°
150°
30°
45°
60"
90°
120°
135°
150°
Р=1
с,
0,04919
0,04634
0,04215
0,02988
0,01430
0,00733
0,00252
0,04406
0,04204
0,03870
0,02796
0,01365
0,00709
0,00248
0,04336
0,04148
0,03827
0,02768
0,01350
0,00703
0,00247
с,
v=0
—0,00861
—0,02436
—0,04309
—0,04088
0,02278
0,03263
0,01886
v=0,3
—0,02181
—0,06412
—0,12188
—0,18818
—0.09991
—0,04276
—0,01051
v=0,5
—0,03243
—0,09545
—0,18226
—0,29349
—0,18218
—0,09258
—0,02989
Р=0,
с,
0,05699
0,04715
0,03658
0,01674
0,00393
0,00116
0,00018
0,03916
0,03234
0,02495
0,01124
0,00263
0,00079
0,00012
0,02956
0,02429
0,01859
0,00819
0,00188
0,00056
0,00009
9=1
с,
0,06980
0,20641
0,40354
0,71904
0,52607
0,29574
0,10598
0,07006
0,20840
0,40640
0,71065
0,51361
0,28970
0,10469
0,07426
0,21984
0,42517
0,72720
0,51573
0,28957
0.10454
установлен неверно: /(?), а следовательно, и /„(?) счи-
тались голоморфными функциями, что возможно лишь
для ограниченного набора нагрузок, когда интеграл A1.4)
обращается в нуль; в [46] было использовано решение
Треффца, но не учтено, что входящие в него гармони-
ческие функции могут оказаться многозначными. В ра-
боте [65] была введена несколько иная система функций,
которые, однако, также не являются однозначными.
7*

100 РЕШЕНИЕ ОСЕСИММЕТРИЧНЫХ ЗАДАЧ [ГЛ. II
§ 12. Периодическая осесимметричная задача
для пространства с бесконечной системой
сферических полостей. Упругое пространство
с двумя сферическими полостями
1. Пусть упругое пространство содержит бесконечную
систему сферических полостей радиуса р0, центры кото-
рых расположены по оси z на равных расстояниях d > 2р0
один от другого (рис. 2.13). Будем считать, что на поверх-
ности полостей заданы идентичные граничные условия.
Тогда задача будет периодической с периодом d по пе-
ременной z. Не уменьшая общности, можно полагать
d = 1; при этом р0 < 0,5.
Аналитические функции ф(?) hi|)(?) представим в форме
оо
оо
' (9 + Ф (С) = х (С) = я 2 ь» ;? cts nС A2.1)
п=0
где ап и Ьп — вещественные коэффициенты.
Функции ф(?) и %(?) являются периодическими с пе-
риодом, равным единице. Они голоморфны везде, кроме
точек I = / (/ = 0, ±1, ±2,...).
Из известного соотношения ([61], № 1.4213)
„ctg«C=-f
вытекает, что ф(^) можно представить в виде ряда по
функциям
каждая из которых голоморфна вне соответствующего
контура L). Для %(?) будет иметь место аналогичное
разложение.
Внешнюю нагрузку, приложенную к каждой из по-
лостей, будем считать самоуравновешенной. Тогда из
G.16) вытекает, что а0 = Ъо = 0.

§ 123
СИСТЕМА СФЕРИЧЕСКИХ ПОЛОСТЕЙ
101
Перемещения и напряжения определяются форму-
лами § 6, где линии интегрирования и разветвления
будем проводить через бесконечно удаленную точку так,
чтобы линия интегрирования^шла по нижнему берегу
Рис. 2.13.
линии разветвления (рис. 2.13). После преобразований
получим
2Gw = 2 l(«an — К) J0n + 2iran/li7l+1],
n=l
2Gu = — i 2 l(Kan + bn) Jln — iran (J2.n+i
az + ar + ae = 4 A + v) 2 «n^o.n+i,
n=l
2
3«n-- K) ^0,

102 РЕШЕНИЕ ОСЕСИММЕТРИЧНЫХ ЗАДАЧ [ГЛ. II
т2Г = —t 2 [фп — ап) /j,n+i — iran (/2,n+2 + J
n=l
A2.4)
где
A2.5)
й() — полиномы Чебышева первого рода. Напряже-
ния ое определяются по формуле F.17).
Легко видеть, что Jkn (z, r), а следовательно, перемеще-
ния и напряжения являются периодическими функциями
по переменной z. При вычислении интеграла A2.5) можно
воспользоваться разложением A2.2) и результатами § 17
и представить JKn в виде ряда по присоединенным сфери-
ческим функциям.
2. Перейдем к рассмотрению граничных условий. По-
скольку все полости загружены одинаково, то достаточно
рассмотреть одну из них. Для простоты будем рассмат-
ривать полость с центром в начале координат.
Примем за t аффикс произвольной точки контура
1?| = Ро- Изменим расположение линии интегрирования,
совместив ее с нижней из дуг tt. Как было показано
в п. 4 § 7, при этом требуется заменить в формулах на-
пряжений и перемещений функции ф(?) и г)?(С) функциями
ф*(?) и 'Ф*@. которые в данном случае определяются
равенс!вами
n=l
%) + Ч>* (О = х* (т) = 2 ь„/(п) @, A2.6)
п=1
где

§ 12] СИСТЕМА СФЕРИЧЕСКИХ ПОЛОСТЕЙ 103
Ряд A2.7) — расходящийся. Однако его формальное
дифференцирование приводит к равномерно сходящемуся
ряду, что делает законными дальнейшие выкладки.
Разложим дроби 1/(? ± j) в степенные ряды по_^?
и изменим порядок суммирования. Тогда
A2.8)
dn = (-1)" (-и - 2)! р№_„_1 (п < -2 )t
c_t= -d_t = 0, _ A2.9)
Здесь
Представления A2.8) позволяют использовать ре-
зультаты § 8. Разлагая внешние силы в ряды вида (8.6) —
(8.7) и соответствующим образом преобразуя (8.9), получим
— р„с_„_i -f- nd-n-i + 2 n^Z.i c-n+i = An + gn+u
anc^.n-i + d-n-i + 2n — l c~n+1 ^ ~Bn~ ^n+i
(« = 1,2,...), A2.11)
gn = p_nCn_, + ndn-i + 2 »b±*LCn+U

104 РЕШЕНИЕ ОСЕСИММЕТРЙЧНЫХ ЗАДАЧ (ГЛ. И
2,п -4- 2
% = 1. A2.12)
При заданных перемещениях достаточно положить Я =
= —и, а под Лп и/?п понимать коэффициенты рядов (8.12).
Разрешая равенства A2.11) относительно c-n-j и
d-n-lt будем иметь
п — gn+1 + nhn+1),
-n-l = — 2я —1 +
'r.+j) «„ - En
A2.13)
Подстановка A2.10) в A2.11), а полученных выражений
в A2.13) приводит к бесконечной системе алгебраических
уравнений относительно с-„ и d-n, которая является
квазирегулярной при любом р0 <С 0,5. Когда р0 доста-
точно мало, то система будет вполне регулярной и может
быть решена методом последовательных приближений.
Как показали практические ресчеты, сходимость про-
цесса итераций наблюдается и при больших р0, например
при р0 = 0,48. Коэффициенты ап и Ъп после решения
системы определяются из A2.9).
Изложенное выше решение приведено в работе [571.
В качестве примера рассматривалось равномерное рас-
тяжение напряжениями az = p пространства с полостями,
свободными от нагрузок, а также пространства с перио-
дической системой жестких включений при v = 0,3.
В табл. 2.2 для первой из рассматриваемых задач
приводятся значения величин <rz в точке р = рОт в = я/2.
Для второй задачи приведены значения наибольших
напряжений <rzmaz, ординаты точек оси симметрии, в ко-
торых они возникают, а также напряжения о2ПОЛ у по-
люсов включения.
3. Аналогичный метод пригоден и для решения за-
дач об упругом пространстве с двумя непересекающимися

12]
СИСТЕМА СФЕРИЧЕСКИХ ПОЛОСТЕЙ
105
Таблица 2.2
Ро
0,1
0.2
0,3
0,35
0,38
0,4
0,42
0,44
0.46
0,48
Задача 1
ozfp
2,030
1,948
1,815
1,702
1,669
1,664
1,646
1,628
Задача 2
OzmaxlP
1,955
2,187
2,835
3,724
4,730
5,802
7,466
10,260
15,880
32,768
Z
0,100
0,218
0,332
0,402
0,435
0,472
0,500
0,500
0,500
0,500
°2ПОЛ/Р
1,955
2,097
2,695
3,511
4,432
5,414
6,958
9,639
15,180
32,077
полостями разных радиусов, центры которых расположе-
ны на оси симметрии.
Совместим | центр нижней сферической полости
с началом координат и примем за единицу расстояние
между центрами обеих полостей. Их радиусы обозна-
чим соответственно через р0 и p^pj < р0 < 1).
Аналитические функции будем разыскивать в форме
рядов
A2Л4)
где (x + 2)oiJ) + bi?)=0 (/ = 0,1).
Пусть t — аффикс точки одного из контуров \ ? j =
= pj. Совместим линию интегрирования в формулах
§ 6 с нижней из дуг Н, вводя функции
4? 2 [(«
J}=_ GO

106 РЕШЕНИЕ ОСЕСИММЕТРИЧНЫХ ЗАДАЧ [ГЛ. II
.0)
С
Остальные формулы A2.9), а также A2.11)—A2.13)
остаются справедливыми, если сп и dn при п < 0 снаб-
дить верхним индексом /, а при м ^s 0 — индексом т.
Величины Ап, Вп, "к также должны быть помечены ин-
дексом / и выбираются в зависимости от вида граничных
условий, которые могут быть различными на поверхно-
стях р = Ро и р == рх.
В результате вновь получается бесконечная система
уравнений того же типа, что и в предыдущем пункте.
§ 13. Представление напряжений и перемещений
контурными интегралами. Приведение
осесимметричных граничных задач
к интегральным уравнениям первого рода
1. Плоские задачи теории упругости эффективно при-
водятся к интегральным уравнениям типа Фредгольма
второго рода при помощи представления аналитических
функций интегралами типа Коши. Аналогичный метод
позволяет получить интегральные уравнения и для ре-
шения осесимметричных задач. Однако интегральные
уравнения в этом случае принадлежат к типу уравнений
первого рода. Приведение осесимметричных задач к ин-
тегральным уравнениям второго рода будет рассмотрено
ниже, в §§ 36—39.
Рассмотрим конечное односвязное тело вращения с внут-
ренними полостями, очевидно, пересекающими ось сим-
метрии. Меридиональное сечение тела занимает (п + 1)-
связную область D, граница которой L состоит из простых
замкнутых гладких контуров Lo, Llt ..., Ln (см. рис. 2.6).

§ 13] ПРЕДСТАВЛЕНИЕ КОНТУРНЫМИ ИНТЕГРАЛАМИ Ю7
Предполагая, что аналитические функции голоморфны
в D и непрерывны вплоть до контура L, представим их
в форме интегралов типа Коши
,п_ 1 Г / (a) do ,m_ 1 С /о (а) do ,.ч..
где а — аффикс контурной точки, плотности /(а) и /0(а) —
некоторые заданные на L дифференцируемые функции.
Положительным направлением на L, как обычно, будем
считать такое, при котором область D остается слева.
Условия четности F.5) удовлетворяются, если положить
Дифференцирование функций A3.1) сводится к диф-
ференцированию плотностей
?№??. 03.3)
где /' (а) = -?. / (а) = U ¦ ^? rfs _ дифференциал дуги.
Функции Ф7-(О и ^(Q, входящие в формулы п. 4 § 7,
имеют представления
J
ч
Из G.13) вытекает
= 1,2,..., л). A3.5)
Для равнодействующей Ph внешних сил, приложен-
ных к к-й полости, в соответствии с G.16) будем иметь
A3.6)
Подставим A3.1) в формулы F.8) и изменим порядок ин-
тегрирования. Внутренние интегралы легко вычисляются

103 РЕШЕНИЕ ОСЕОШМЕТМЙНЫХ ЗАДАЧ
при помощи того же приема, что и в A0.3):
t
1 С dt, i_
я» J R (?, *) (a— Q ~ Л @, ty
i
t
_1_ Г (g— Z)dt, Q—Z .
В результате будем иметь
ira. и
da
'R(o,ty
A3.8)
Сопоставляя эти формулы с F.8), видим, что их можно
получить, формально заменяя <р(?) и я])(?) на/(а) и/0 (а),
выражение (? — z)^-1^, <)
на [(;-*)Д-Ч?, 0- 11-
переменную ^ на а и перехо-
дя к интегрированию по кон-
ТУРУ L с введением множи-
теля 1/2. Аналогичные рас-
суждения применимы и к
остальным формулам §§ 6 и 7.
При вычислении интегра-
лов A3.7) нижний берег ли-
нии разветвления радикала
совмещался с линией интег-
рирования. Поэтому линия
разветвления радикала в
A3.8) расположена так же,
как линия интегрирования
в F.8), т. е. в соответствии
со сказанным в п. 4 § 7 она
пересекает ось симметрии ни-
же нижнего контура Lx
Рис. 2.14.
x
(сплошная двойная линия на рис. 2.14). При необходимо-
сти перевести линию разветвления в иное положение

§ 13] ПРЕДСТАВЛЕНИЕ КОНТУРНЫМИ ИНТЕГРАЛАМИ 109
следует в исходных формулах F.8) изменить положение
линии интегрирования, заменяя ф(?) и я])(?) функциями
Ф^@ и ty*(?) в соответствии с G.14). В результате по-
лучим, что при расположении линии разветвления ради-
кала выше контура Lh-lt но ниже следующего конту-
ра Lh (двойная пунктирная линия на рис. 2.14), каж-
дый интеграл вида
§f(o)K(o,t)da A3.9)
в формулах A3.8) следует заменить на сумму интегралов
J / (а) Я (a, t) da + 2 sign (j - к + 0,5) f / (а) К (a, t) da
A3.10)
(аналогично для /0(сг)).
Для интегральных усилий Z(s) и R(s), которые при-
ложены к поверхности, образованной вращением какой-
либо дуги MN вокруг оси z, исходя из F.26)—F.27)
будем иметь:
A3.11)
Если начальная точка дуги MN лежит на оси сим-
метрии между точками а0 и аг (рис. 2.14), то постоянная
С равна нулю. Когда начальная точка расположена на
оси z между точками а'к-г и akB ^ к <1 п), то равенство
С" = 0 имеет место только тогда, когда линия развет-
вления радикала пересекает ось г между этими же точками.

НО РЕШЕНИЕ ОСЕСИММЕТРИЧНЫХ ЗАДАЧ ГГЛ. II
Для перевода линии разветвления в требуемое положе-
ние достаточно произвести замены вида A3.9)—A3.10).
2. Перейдем к выводу интегральных уравнений. Бу-
дем опираться на предположение о существовании взаим-
но однозначного соответствия между осесимметричным
деформированным состоянием рассматриваемого тела
вращения и плоским деформированным состоянием цилин-
дра, поперечное сечение которого занимает ту же область
D, что и меридиональное сечение тела вращения.
Компоненты плоского состояния определяются фор-
мулами F.3), а компоненты осесимметричного состояния —
формулами F.8). Аналитические функции ф(?) и г|>(?) в
этих формулах одни и те же. В том случае, когда напря-
жения осесимметричного состояния равны нулю, напря-
жения плоского состояния также отсутствуют, и наобо-
рот. То же самое относится и к перемещениям.
Для конечного тела вращения без полостей, контур
меридионального сечения которого пересекается любым
перпендикуляром к оси симметрии не более чем в двух
точках, указанное соответствие установлено в п. 3 § 2.
Для общего случая односвязных тел с полостями сущест-
вование этого соответствия будет показано ниже, в § 43.
Начнем со второй основной задачи, когда на поверх-
ности тела заданы перемещения w0 и и0. Эти перемещения
вполне определяют перемещения внутренних точек тела,
а следовательно, и перемещения внутренних и граничных
точек соответствующего цилиндра.
Как показано Д. И. Шерманом (см. [164], [93], § 102),
аналитические функции, решающие задачу о плоской
деформации цилиндрического тела при заданных пере-
мещениях, могут быть представлены в форме
п
- 55 Г[и/ (ст) + *Г (огI5=? - 2
A3.13)

§ 13] ПРЕДСТАВЛЕНИЕ КОНТУРНЫМИ ИНТЕГРАЛАМИ Щ
где функция /(а) удовлетворяет некоторому интеграль-
ному уравнению.
Плоское состояние в данном случае является симмет-
ричным относительно оси z. Отсюда вытекает, что /(а)
удовлетворяет условию A3.2). Кроме того, из результа-
тов §§ 6 и 7 следует голоморфность функций <р(?) и \|э(?)
в области D. Поэтому At = О (/ = 1, 2, . . ., п). Учиты-
вая еще и условия G.13), будем иметь
а) /' (а)] ^, A3.14)
0=1,2,...,в).
A3.15)
Подставив A3.14) в формулы F.8) и изменив порядок
интегрирования, придем к равенствам A3.8), где под
/0(а) следует понимать плотность второго интеграла из
A3.14).
Переведем линию разветвления радикала в положение,
при котором она пересекает ось симметрии между точ-
ками %_! и aft, и устремим t к произвольной точке кон-
тура Lh. После преобразований будем иметь
A3.16)
(t = z + ire=Lft; Im f > 0; fc = 0, 1, . . ., n),
= sign (/-Л +0,5),

112 РЕШЕНИЕ ОСЕСИММЕТРИЧНЫХ ЗАДАЧ 1ГЛ. II
Здесь
члены, содержащие и + Я, выпадают, они нам потребуют-
ся в дальнейшем. Контуры Lj при / ^ 1 обходятся по
часовой стрелке, контур Lo — против часовой стрелки.
Дифференцирование в A3.16) производится по а в пред-
положении, что а есть функция от а. Функции gj(t) уда-
ется ввести благодаря второму из равенств A3.15). Их вве-
дение обеспечивает непрерывности ядра интеграла при
Im t -v 0 (а Ф t, а ф Т).
Когда а совпадает с t или t при Im t Ф 0, ядро имеет
особенность типа корня квадратного в знаменателе. Если
Im t = О (t = z = ak, a'h), то ядро непрерывно при лю-
бых а, но равенство A3.16) принимает вид
1
\{tK + K)Ch = -RUt) A3.16a)
Равенство A3.16), связывающее /(о) с граничными
значениями осесимметричных перемещений, можно рас-
сматривать как интегральное уравнение, которое следует
решать при условиях A3.2) и A3.15).
Из сказанного в начале настоящего пункта следует,
что хотя бы одно решение этого уравнения существует.
Действительно, в противном случае либо искомое осе-
симметричное состояние не имеет плоского аналога, либо
соответствующее плоско-деформированное состояние не
может быть описано функциями A3.14).
Можно также показать, что указанное решение един-
ственно при условии, что кривизна контура L и произ-
водные от функций w0, и0 удовлетворяют условию Н
(Гёльдера) с показателем, большим 0,5. За недостатком
места мы вынуждены опустить соответствующее доказа-
тельство.

§ 13| ПРЕДСТАВЛЕНИЕ КОНТУРНЫМИ ИНТЕГРАЛАМИ ЦЗ
3. В случае первой основной задачи, когда на поверх-
ности тела заданы внешние силы, аналитические функ-
ции будем разыскивать в форме
W)da (/=»!, 2,..., в), A3.19)
причем из G.13) и G.16) вытекает
/ = 1,2,..., в), A3.20)
где Ру — величина равнодействующей внешних сил, при-
ложенных к /-й полости.
Выражения для интегральных усилий получим, пола-
гая в <13.11)
и принимая за t текущую точку контура Lk. Линию раз-
ветвления переведем в положение, при котором она пере-
секает ось z между точками a'h-i и ah.
После преобразований вновь придем к интегральному
уравнению A3.16), где следует положить
8 А. я. Александров, Ю. И. Соловьев

114 РЕШЕНИЕ ОСЕСИММЕТРИЧНЫХ ЗАДАЧ [ГЛ. И
И
Rl (t) = ± ] Pr (s') ds' +]ZI (t')fi + ^ Zl (t) +2 j^,,
ah ah J-1
с
Zl @ = ± J Pz (s') r'ds' - 2 b, [akJ - 9J (t)]. A3.22)
aft 1-1
Верхние знаки принимаются при к ~ 0, нижние —
в остальных случаях.
Постоянные Ch в A3.16) заранее неизвестны и опре-
деляются в ходе решения задачи. Однако одну из них
можно зафиксировать произвольно. Действительно, как
легко видеть, изменение f(a) на постоянную величину
не отражается на напряжениях ни осесимметричного,
ни плоского состояний, однако изменяет на некоторую
постоянную левую часть равенства A3.16). Назначая
должным образом значение этой постоянной, можно до-
биться, например, чтобы Со = 0.
Решение уравнения A3.16) при условиях A3.2) и A3.20)
в случае первой основной задачи, вообще говоря, не един-
ственно. Устранить произвол удается, полагая
(x + l)Cft = - f f(a)ds (А=1,2,...,и). A3.23)
В случае конечной односвязной области D интеграль-
ное уравнение A3.16) приобретает наиболее простой вид:
. И
= R*(t). A3.24)
После разделения вещественной и мнимой частей нолучим

§ 13] ПРЕДСТАВЛЕНИЕ КОНТУРНЫМИ ИНТЕГРАЛАМИ Ц5
систему интегральных уравнений
—SfJ Re/(о)«Пп[а-
= Im R* (t), A3.25)
t
=L-*'+fl(o,i')- A3-26)
Так же, как и в предыдущем пункте, мы опускаем
подробное исследование полученных интегральных урав-
нений.

Глава III
НЕОСЕСИММЕТРИЧНЫЕ ЗАДАЧИ
ДЛЯ ТЕЛ ВРАЩЕНИЯ
В настоящей главе рассматриваются неосесимметрич-
ные задачи для тел вращения, когда компоненты упругого
перемещения (и напряжения) допускают разложение в
тригонометрические ряды вида B.6) по углу 6.
Как было установлено в § 2, функции от z и г, являющи-
еся коэффициентами рядов, могут быть выражены через
перемещения и напряжения вспомогательных двумерных
состояний плоской деформации и депланации, которые в
свою очередь зависят от аналитических функций комплекс-
ного переменного.
Те же рассуждения, что и в предыдущей главе, позво-
ляют получить представления неосесимметричных переме-
щений и напряжений тела вращения через интегралы
от аналитических функций.
Указанные представления используются при решении
ряда задач для упругого полупространства, сферы, эл-
липсоида вращения, упругого пространства с плоским
круговым разрезом, со сферической или сфероидальной
полостью.
Задачи решаются в предположении, что объемные силы
и изменение температур отсутствуют. В противном случае
достаточно наложить соответствующее частное решение
уравнений A.13).
Вопросу построения этого частного решения простран-
ственной задачи при помощи перехода к соответствую-
щей плоской задаче посвящен § 19.

§ 14] ПРЕДСТАВЛЕНИЕ ЧЕРЕЗ АНАЛИТИЧЕСКИЕ ФУНКЦИЙ Ц?
§ 14. Представление перемещений и напряжений
неосесимметрично нагруженного тела вращения
через аналитические функции
комплексного переменного
1. Компоненты перемещения вспомогательных двумер-
ных состояний iixn (х, У), иСу'п (х, У), Urin (x, У) могут быть вы-
ражены через аналитические функции при помощи формул
Колосова — Мусхелишвили
= Re {хсрГ @ - 2х [<р
2Gucvi = - Re i [щс/ {I) + 2x [ц>Г (t,)]' +
2Guc? = Re ХГ (I) (x - 3 - 4v, ? = x + iy). A4.1)
Здесь cf?s (Q, i]&a (Q, ^>s (?) — аналитические функции
комплексного переменного t, = х + iy, которые голомор-
фны в области, занятой меридиональным сечением тела
вращения.
Условия B.16а) приводят к равенствам
фсп s (о = (- i)n фс/ ш, ^s © = (-1)" цу(?),
ХС/Ш = (-1Г+1ХС/Ш- A4.2)
Подставляя A4.1) в B.7), получим выражения для
перемещений
wCrls (z, г) = Sn [*№ - 2Z (ф^-8)' - tl?s],
^8 + 2z (ф^8)' + ^«s + i%r),
2G (ucn's - !?s) = - iSn+1 [хФ?3 + 2z (ф^8)' + Ч&3 - 1%Г].
A4.3)
Здесь введен оператор
t
A4.4)

118 НЕОСЕСИММЕТРИЧНЫЕ ЗАДАЧИ ДЛЯ ТЕЛ ВРАЩЕНИЯ [ГЛ. ГЦ
и обозначения
) R (%,t)
A4.5)
В этих формулах Тп(х) — полиномы Чебышева первого
рода; t = z + ir; путь интегрирования и значения ради-
кала принимаются такими же, как в § 6. Символ Re опу-
щен, так как вследствие A4.2) правые части равенств
A4.3) являются вещественными величинами.
Функции, стоящие в левой части A4.3), являются
коэффициентами рядов B.6). Имея в виду дальнейшее
упрощение формул, эти ряды представим в виде
A4.6)
1 / с . s\ 1 / с
wn = — \wn — IWn), un = -2- \un —
vn^-2-(v-n — iven) (n< —1),
w0 = «?S, w0 = uq, v0 = i?o. A4.7)
Подставим A4.3) в A4.7) и введем аналитические функ-
ции

§ 14] ПРЕДСТАВЛЕНИЕ ЧЕРЕЗ АНАЛИТИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ 119
Фо = Фо, to = 4>co. Х„ = Хо- _ A4.8)
Тогда перемещения пространственного состояния бу-
дут выражаться формулами:
2G (u+iv) = -i J?^ e^Sn+l (ифп + 1щ'п + Ч>„ - Хп)
(r>0). A4.9)
Значения перемещений на оси симметрии легко полу-
чить, используя равенства B.12а):
2Gw = хф0 — 2гфо — %, 1G (и + iv) =
= — ie-io (яф_? + 22ф1!+ г|5-1 — Х-<) A4.10)
(г = 0; S = z).
Легко видеть, что если все функции Фп(?)- ^п(?)
Х„@ кроме фо(^) и г|70Ш положить равными нулю, то
формулы A4.9) переходят в F.8): соответствующее про-
странственное состояние представляет собой осесиммет-
ричную деформацию.
Из соотношений A4.2) вытекают равенства
= (-D^xI^I), A4.11)
I
которые заменяют условия четности.
Как было показано в п. 3 § 2, перемещения вспомога-
тельных двумерных состояний определены с точностью до
функций, являющихся суммами первых членов рядов
B.17) до к = \п\ — 2 включительно.
Пусть z0 — некоторая точка оси симметрии, находя-
щаяся внутри рассматриваемого тела вращения. Разложим

120 НЕОСЕСИММЕТРИЧНЫЕ ЗАДАЧИ ДЛЯ ТЕЛ ВРАЩЕНИЯ 1ГЛ. III
функции ф„, г|>„, хп в ряды по степеням разности
? — z0. Подставляя эти ряды в формулы A4.8), а затем
в A4.1) и сопоставляя результат с B.17), найдем, что без
ущерба для общности можно полагать
№ (z0) = О (ft = 0,1, 2, ..., | п | - 1; | и | > 1),
Х(пй) (*„) = 0 (ft = 0,1, 2, ..., |п| -2; | п|>2),
= 0. A4.12)
Если начало координат находится внутри тела, то
удобно принимать z0 — 0.
В случае упругого пространства с осесимметричной
полостью исходными будут являться равенства вида C.8).
Дальнейшие рассуждения полностью повторяют соответ-
ствующие рассуждения п. 1 § 7. В конечном итоге мы вновь
придем к формулам вида A4.9), где интегрирование будет
производиться через бесконечно удаленную точку. Для
существования интегралов как несобственных, достаточ-
но выполнение условий
lim ?'n|-V(?) = Urn Б1я|-Чл(О = Um EIB|-1Xn(S) = 0
(\n\>i),
lim l+Ч (C) = 4"lim С'"'*» @ = ffS)lim SWXn @ -
4)
= Cn = const (||)
lim Un+4x<pn(?) + j|Jn(S) - X»(S)J + 2Cnl) = 0 (« > 1),
lim фо(у = lim г|зо(^) = limXo(S) = 0-
lim &[хФв(?) + г|>о(О1 = 0, lim JXo(S) = 0 A4.13).
где ?-*•<», Cn = 0. Когда эти условия выполиепы, путь
интегрирования произволен (см. п. 2 § 7). В частности,
можно интегрировать по той же конечной дуге, что и ранее.
Как будет ясно из результатов §20, условие Сп = О
ограничивает общность решения. В дальнейшем будем
считать, что Сп есть некоторая неопределенная постоян-
ная. Следует лишь иметь в виду, что при Сп фО нельзя
интегрировать через бесконечно удаленную точку, однако
вычет на бесконечности подынтегральных функций в A4.9)
остается равным нулю. Поэтому, как и в § 7, путь интегри-

§ 14] ПРЕДСТАВЛЕНИЕ ЧЕРЕЗ АНАЛИТИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ 121
рования может проходить как ниже полости и липии раз-
ветвления радикала, так и выше их обеих.
Значения перемещений на оси симметрии ниже полости
определяются равенствами A4.10); для точек оси симмет-
рии, расположенных выше полости, знак правой частив
A4.10) меняется на противоположный. _ Перемещения и
углы поворота на бесконечности равны нулю.
Полученные здесь результаты распространяются п на
случай конечного и бесконечного тела вращения с одной
или несколькими осесимметричными полостями, ось кото-
рых совпадает с осью z (см. п. 4. § 7).
2. Отметим, что представления A4.9) можно было бы
получить и из общего решения задачи теории упругости
в форме П. Ф. Папковича, которое в цилиндрических
координатах имеет вид
2Gw = 4A - v) Вг —L (zBz + ГВТ + Во),
2Gu = 4 A - v) ВГ - ± (zBz + гВт + Во),
2G» = 4 A - v) Ге LJL {zB + rBr + Во), A4.14)
причем функции Vk(z, r, в), определенные равенствами
Vi — Ви Fa = (Вг + i#e)ei9, V3 = Во, являются гар-
моническими, удовлетворяя уравнению
/ д 8* 1 д 1 дЛу _а (к _ , 2 оч
A4.15)
Положим
= 2
A4-16)

122 НЕОСЕСИММЕТРИЧНЫЕ ЗАДАЧИ ДЛЯ ТЕЛ ВРАЩЕНИЯ [ГЛ. III
где
ф» (?) = Ф* (?), <' (?) = 4>п (?), х»' (?) = Хп (?)•
Тогда уравнение A4.15) удовлетворяется, а функции Bz,
Вг, Вв, Во при выполнении условий A4.11) являются ве-
щественными. Подстановка этих функций в A4.14) приво-
дит к выражениям A4.9).
3. Формулы напряжений можно получить путем под-
становки A4.9) в A.10)—A.11) или при помощи связей
между напряжениями пространственного и вспомогатель-
ных состояний.
Приведем окончательные выражения:
(r > 0).
A4.17)
При г = 0 будем иметь
az = фо — 2гфо — 4>о, oz + от + ае = 4 A — v) фо,
- сге + 2?тгв = е-2'в (иф12
1'тг9 = — ie~ie (ф-i + 2гф11 + Ч>—1 4
A4.18)
В случае пространства с полостью формулы A4.18)
пригодны для точек оси симметрии, расположенных ниже
полости. Для точек оси z выше полости знак правой части
следует изменить на противоположный.

§ 14] ПРЕДСТАВЛЕНИЕ ЧЕРЕЗ АНАЛИТИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ 123
Усилия pz, pT, pq, которые действуют на элемент по-
верхности S (рис. 3.1), образованный путем вращения
х.
Рис. 3.1.
вокруг оси z какой-либо плоской дуги MN, связаны с на-
пряжениями формулами
pz = az cos a + xZT sin a,
Pr = xzr cos a + ar sin a>
Pe = fze cos a + xr9 sin a, A4.19)
где a — угол между правой нормалью к дуге МТУ и осьюг.
Равенства A4.19) можно преобразовать к виду
рг = Re [az cos a + (тгг + «ze) sin a],
Pr + iPe = г2 °в sin a + -g- (ar — a9 + 2ixr9) sin a +
+ (Tzr+iT29)cosa. A4.20)
Учтем, что cos a = dr/ds, sin a = —dz/ds, где ds —
дифференциал дуги MN.
Подставляя A4.17) в A4.20), после преобразований
получим
2 iS-ii
Pr ~т~ ^Рв ==
oo
=- 2 e

124 НЕОСЕСИММЕТРИЧНЫЕ ЗАДАЧИ ДЛЯ ТЕЛ ВРАЩЕНИЯ [ГЛ. III
Здесь
Фоп = Фоп (*) = -rSn [A + 4v) Фп
Ф2П = Ф2п (*) = 4" ^+2 [(* - 4v) Ф*
A4.22)
4. Найдем составляющие главных вектора и момента
сил, действующих на рассматриваемую поверхность вра-
щения S. Пусть Z — сумма проекций сил на ось z, To и
Т„/г — сумма проекций сил соответственно на оси 8 ==
= 0, z — 0и8 = я/2, 2 = 0. Очевидно,
2я » 2Я s
Z = f d9 f ргг ds, Го + »Гя/2 = J еЩО f (pr + i
0 0. 00
A4.23)
Подставим сюда выражения A4.21)—A4.22). Пред-
полагая, что начальная точка дуги MN лежит на оси
симметрии, будем иметь
Z = - Ъг \ (Фо - 22Фо - %) Qtdl,
{ A4.24)
То + iTm = 2ir j (Ф_, + 22Ф_, + ф_! —L
7
Здесь f = z -f- ir; z, г, 0 — координаты конечной точки
Дуги.
Если Мг — сумма моментов сил относительно оси z,
Mst/2 и Мо — суммы моментов относительно осей 8 = 0,
z = 0 и 0 = я/2, z — 0 (момент Мо действует в плос-
кости 0 =0, а момент Мл/г — в плоскости 0 = я/2), то
Мг=
2Я
г $
о о
2
Мо + Шп1г =- j e»de f [ грг - г (Pr + ipe)] r ds. A4,25)
о о

§ 14] ПРЕДСТАВЛЕНИЕ ЧЕРЕЗ АНАЛИТИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ 125
Используя выражения A4.21), A4.22), после преобра-
зований получим
7
Мо + Шп/2 = - 2izr
i - г^] Q^l. A4.26)
7
Когда упругое тело представляет собой бесконечное
пространство с осесимметричной полостью, то составляю-
щие главных вектора и момента сил, приложенных к
полости с противоположным знаком, можно найти, при-
нимая за S замкнутую поверхность, содержащую полость
внутри себя. Тогда в формулах A4.24) и A4.26) точка t
лежит на оси симметрии, а интегралы могут быть вычис-
лены при помощи теоремы о вычетах. Принимая во вни-
мание A4.13), получим
2° = 2i f [Фо @ - Фо(?I dl = - 4л (х + 1) hm
I Е-00
+ iT°m = 2 J [Ф_! (C) + *-i(C)—|- X-i (C)] d^ =
= 8ni (x + 1) lim ^Ф_! (S) = ^ (x + 1) Hm C*-t (S)
i
Afg + Ш^/2 = 4 J
= 8я( lim r&Vi (E) - S4-i (S) + (x — 1) С Ит Сф-i @1-
A4.27)

126 НЕСОСЕСИММЕТРИЧЕСКИЕ ЗАДАЧИ ДЛЯ ТЕЛ ВРАЩЕНИЯ [ГЛ. III
Здесь L — замкнутый контур, образующийся при пе-
ресечении поверхности S меридиональной плоскостью.
5. Предположим, что, как и в § 13, аналитические
функции выражаются интегралами типа Коши:
где L — кусочно-гладкий контур,/„(ст), #п(ст),йп (о)—
некоторые интегрируемые функции, заданные на L и
удовлетворяющие условиям
„(а). A4.29)
Рассмотрим интеграл:
t
I=\qn{l)Qh{z,r,i)dl. A4.30)
7
Подставим сюда выражение для ф„(?) из A4.28) и изменим
порядок интегрирования. При помощи теоремы о вычетах
легко получить
± R (а, 4 j ft, С г, 0 j§{ - Г, (г^) + Я7.
где Uh{x) = sin (и arccos x) — полиномы Чебышева вто-
рого рода. Тогда
Таким образом, интегралы виды A4.30) по дуге tt
могут быть преобразованы в интегралы вида A4.31) по
контуру L. Для этого достаточно заменить в подынтеграль-

§ 14] ПРЕДСТАВЛЕНИЕ ЧЕРЕЗ АНАЛИТИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ 127
ном выражении ? аффиксом контурной точки ст, функцию
— плотностью /„(сг), полиномы Th (Ц—-) — выра-
жением
Если /„(ст) — дифференцируемая функция, а контур L
замкнутый, то
о-
Эти рассуждения позволяют в формулах перемещений
и напряжений A4.9) и A4.17) перейти к интегралам по
контуру L. Например, первая из формул A4.9) примет вид
1 S
Х Л (а, О
Если функции /п(ст) недифференцируемы, или контур
L разомкнут, то полезно воспользоваться соотношениями
вида
« t
J q>; (Е) Qu B, г, s) ds = ± J Фл о <?fc B, г,
г

128 НЕОСЕСИММЕТРЙЧНЫЕ ЗАДАЧИ ДЛЯ ТЕЛ ВРАЩЕНИЯ (ГЛ. Ш
§ 15. Первая и вторая основные задачи
теории упругости для полупространства
1. Граничные задачи для полупространства относятся
к наиболее изученному классу задач. Однако примене-
ние аналитических функций комплексного переменного
и здесь вносит некоторые упрощения.
Как уже отмечалось в § 8, одним из возможных путей
использования аналитических функций является построе-
ние с их помощью решения в вещественных функциях.
Учтем, что аналитическую функцию голоморфную в
полуплоскости х > 0 и исчезающую на бесконечности,
можно представить в форме преобразования Лапласа не-
которой комплексной функции вещественного аргумента
и положим
00 ОО
Фп (С) = i|n| j ane-Kd\, i|>n (?) = i|n> J Ъпе-*Щ,
0 оо ° A5-1)
где на функции ап = ап(К), Ьп = Ь„(?), сп = сп(\) нало-
жим такие ограничения, чтобы все последующие выкладки
были законны.
Условия A4.11) будут выполнены, если полагать
ап(К) = а.пA), Ьп(Х) = Ъ-п(\), сп(К) - -е-п(К). A5.2)
Подставим A5.1) в A4.9) и A4.17) и изменим порядок
интегрирования. Заметим, что ([61] № 3.9152):
cos p f ( ) k
A5.3)
где Jh — функция Бесселя, ? = z + ir cos P
Формулы перемещений и напряжений принимают вид

15] ОСНОВНЫЕ ЗАДАЧИ ДЛЯ ПОЛУПРОСТРАНСТВА 129
2G(u+iv) = — 2 ensign[n -f -i.)X
n=—00 ^ '
- 2 е'»95;; [(з + 4v
eine sign M n + 11 —-g-J x
П=—оо
X ^+2 [(« - 2Az) я„ + Ь„ - сп],
где
Пусть на поверхности полупространства z ^0 заданы
внешние силы (рис. 3.2) в форме рядов Фурье
Рг= S РЛ0е{п9, Рг + ^в= S ?»(r)elne. A5.5)
Приравнивая pz, pT и рв соответствующим напряжениям
на поверхности полупространства и учитывая A5.4),
° А. я. Александров. Ю, И. Соловьев

130 НЕОСЕСИММЕТРИЧНЫЕ ЗАДАЧИ ДЛЯ ТЕЛ ВРАЩЕНИЯ 1ГЛ. III Т.
Л
с
будем иметь
00
рп (г) = /х_„(г) = f (а„ - 6„) /,„, (Хг) X dX,
6
оо
qa (г) =а - Sign(n + 4") J(«« + fo» - х) ^п
A5.fi) i
Применим к обеим частям этих равенств преобразова-
ние Ханкеля. Тогда
оо
¦ вп —Ь„ =» I Р,ЛГ) J\n\ (Яг) г dr,
(i
«г, + Ьп — 1Г = ~sign(« + -|-j| 9п(г)/|п+ц(Яг)г«/г,
A5.7)
« - -f) J 4-n (') /|«-i| (Яг) г rfr,
где третье равенство является следстивед! гторого, есля
учесть A5.2).
->)
Рис. 3.2.
Решение полученной системы позволяет определить*
функции ап(к), Ьп(к), сп(Ц-
Отметим, что изложенный выте метод можно приме-;
нить и к решению задач для упругого слоя. Представления^.

§ Ibj ОСНОВНЫЕ ЗАДАЧИ ДЛЯ ПОЛУПРОСТРАНСТВА 131
A5.1) заменяются представлениями вида
оо
Фп (О = f ая (Я) (еП ± е-Щ d%. A5.8)
о
При вичислении интеграла A5.3) будем иметь
S'k (е^ ± е~Щ = i* [e*-z ± (— l)h е~К] Jk (Яг).
Таким образом, применение рассматриваемого метода
приводит к решению граничных задач для полупростран-
ства при помощи преобразования Ханкеля. Это преобра-
зование можно было бы ввести и непосредственно, не ис-
пользуя представления в аналитических функциях. Те-
ория вопроса и многочисленные примеры применения
интегральных преобразований рассмотрены, например,
в монографии Я. С. Уфлянда [154].
2. Другой формой использования представлений § 14,
позволяющей в большей степени использовать свойства
аналитических функций, является приведение граничных
задач теории упругости к задаче сопряжения.
Начнем со случая первой основной задачи. Приравня-
ем ряды A5.5), выражающие внешние силы, рядам A4.17),
выражающим соответствующие напряжения. Сравнение
коэффициентов при е«пв в левой и правой частях равенств
дает
Рп (г) = Р-п {г) « — Sn(on (?), qn (r) =
где операторы Sn и Sn+1 определены формулой A4.4)
при z = 0, введены аналитические функции:
О A5.9)
и положено К == 1, ^0 = 1/2.
Перейдем в A4.4) к интегрированию по отрезку U.
При этом
»¦

132 НЕОСЕСИММЕТРИЧНЫЕ ЗАДАЧИ ДЛЯ ТЕЛ ВРАЩЕНИЯ [ГЛ. Ш
Яп (г) = tfn+i.ofan, (о) - (- 1)"ю^ (о)] (а = iy),
A5.10)
Произведя обращение оператора 5п0 (см. п. 3 § 2),
получим
©; и + (-1)я©; (о) = -/;(!/),
«>».(<*)-(-*)" <*».(*) =-**"»(»), A5.12)
В этих равенствах
/»Ы = (- 1)П/Л- г/) = -^ ^шРп (О + Рп (у),
F'n (у) = (- 1Г+1 К (-») = ? 5П+1,1?П (г) + ^п (у),
A5.13)
A5.11а)
Рп(у) и ^п(у) — полиномы с неопределенными коэффици-
ентами
Рп(у) = ап,ы_2
A5.14)
(члены, содержащие у в отрицательной степени, отбрасы-
ваются).
Аналитические функции ф„(?), тЫ?) и зиШ опреде-
лены в нижней полуплоскости (Re ? >¦ 0). Доопределим
их в верхней полуплоскости при помощи соотношений
>»(- Е), Фп (Е) =- (-1)"+1ф„(- С),
Х»(Б) - (-l)"+1Xn(-?) (Re С < 0). A5.15)
Устремим ? к точке о = iy, которая лежит на границе
полуплоскости. Учтем, что когда ? приближается к точке

§ 15] ОСНОВНЫЕ ЗАДАЧИ ДЛЯ ПОЛУПРОСТРАНСТВА 133
о сверху, ?х = —? приближается к точке о = —iy сни-
зу, и наоборот. Снабжая значками (+) и (—) предельные
решения сверху и снизу, будем иметь: Фп(сг) = Фп~" (о),
<р'п(о) = (— l)ni|^+(cr) и т. д. Тогда из A5.12) вытекает:
'+/_\ '— /а\ j'(.л '+ у ч (\'"~(а\ IF' ( }
A5.16)
Будем считать, что j'n (у) и Fn (у) удовлетворяют усло-
вию Гёльдера везде на оси у, включая окрестность беско-
нечно удаленной точки. Исключение может составить ко-
нечное число точек си с2, . . ., где эти функции могут обра-
щаться в бесконечность, но так, чтобы их произведение
на \у — ck\a @ < а < 1) удовлетворяло условию Гёль-
дера. Потребуем, чтобы на бесконечности fn (у) и F'n(y)
стремились к нулю, как const- |г/|~а @ < а < 1). Послед-
нее условие позволяет определить коэффициенты поли-
номов A5.14).
Равенства A5.16) определяют задачу линейного сопря-
жения аналитических функций *). Будем предполагать
функции <й'п (?) и <»п» (?) кусочно-голоморфными по всей
плоскости переменного ?, имеющими линию скачков на
мнимой оси с узлами в упомянутых выше точках гсх,
гс2, ... и исчезающими на бесконечности, как
const- \?\~а @ < а^ 1). Тогда из A5.16) следует:
-1-00 -1-00
Теперь функции фп(?), tn(?). Xn(S) легко определить
при помощи соотношений A5.9), если учесть, что
• (S). A5.18)
Последнее равенство получено на основе свойств A4.11).
Вычисление напряжений и перемещений может про-
изводиться по формулам § 14. Поскольку здесь аналити-
ческие функции представлены интегралами типа Коши,
то полезно воспользоваться указаниями п. 5 § 14.
*) О решении задачи сопряжения си. [93, 94].

134 НЕОСЕСИММЕТРИЧНЫЕ ЗАДАЧИ ДЛЯ ТЕЛ ВРАЩЕНИЯ [ГЛ. III
3. Иногда может оказаться необходимым в формулах
A4.17) интегрировать через бесконечно удаленную точку,
принимая путь интегрирования состоящим из двух полу-
прямых: от точки t = —ir до —if» и от -Н°° до t = ir.
Вместо равенств A5.10) в этом случае будем иметь
т (-Z-
qn (r) = 5;+м, [со',,* (a) + (- I)"»,',, (a)]- A5.19)
Произведя обращение по формулам п. 3 § 3, получим
;й-(-1)псо;(а) = -/;ы,
«;.*(а) + (-1)пш;Ла)=-?К(г/), A5.20)
К (у) = (-1)" *; (- г/) = - ^ '<+iti7n (r) (.v > о).
A5.21)
Операторы Sno я Sni совпадают с 8п^ и Sni, но с из-
менением знака подкоренного выражения и заменой ну-
ля в пределах интегрирования на бесконечность. Соотно-
шения A5.15) заменим следующими:
Xn(C) = (-l)nX»(-0 (ReS<0). A5.22)
Рассуждая так же, как и в предыдущем пункте, при-
дем к прежним формулам A5.17), где no^f'n(y) и F'n{y)
следует понимать функции A5.21).
Интегралы в A5.19) существуют при выполнении
условий:

§ 151 ОСНОВНЫЕ ЗАДАЧИ ДЛЯ ПОЛУПРОСТРАНСТВА 135
limcrl"+1|+e[9;(a) + ч4(а) --J- ТЫ (а)] - О,
lim o|n-1|+a [ф'„ (о) + % (о) + i- Хп (о)] = 0, A5.23)
что налагает определенные ограничения на функции fn(y)
и F'n(y), а следовательно, и на нагрузки рп(г) и qn{r).
4. Когда на поверхности полупространства заданы пе-
ремещения, то при помощи аналогичных рассуждений
можно получить
«„(а) +;(-1)«ю„(а) = -ifn(y),
<*»•(<*)- (~1)"«п*Й - *"»(*), A5.24)
где функции со„(?) и ©„*(?) связаны с cpn(?), iMO» Ъ.@
равенствами A5.9) и A5.18) ари Я, ~ х и Ха —= 1,
/,, (V) = (- 1)" /„ (~ У) = 264 ^- Лв1и»„ + Рп (у),
,l+u (Uft h tvn)
wn = ш„@, r), un = un@, ;¦). ^n = у«@, г) — коэффици-
енты рядов A4.6), Рп(у) и (?пЫ — полиномы вида A5.14).
Коэффициенты полиномов будем определять ли условия
/»(«>) = FnM = 0.
Доопределяя аналитические функции в верх ней полу-
плоскости при помощи соотношений
Х»(Е) =(-l)nX»(-0 (Re ?<0) A5.2ft)
и решая получающуюся при этом задачу сопряжения,
будем иметь
— то м>оо
A5.27)

136 НЕОСЕСИММЕТРИЧНЫЕ ЗАДАЧИ ДЛЯ ТЕЛ ВРАЩЕНИЯ [ГЛ. III
Если, как в п. 3, интегрировать через бесконечно уда-
ленную точку, то в A5.27) следует полагать
/» (У) = (- !)"+' /» (- У) = 2G-^S;,iWn,
Fn (У) = (- 1)" Fn(-y) = 2G± S*n+lii (un + ivn)
(у > 0). A5.28)
§ 16. Основная смешанная задача
для полупространства при круговой линии
раздела граничных условий. Давление
на полупространство кругового в плане штампа.
Упругое пространство с плоским круговым разрезом *)
1. Пусть на поверхности полупространства внутри кру-
га г ^ с заданы перемещения, а вне его — внешние силы.
Воспользуемся результатами § 15. Доопределяя ана-
литические функции в верхней полуплоскости при помо-
щи соотношений A5.22), получим
[<р„(о) -Цп(о)]
[Фп(о) + Цп(о) -
- й,фв(о) + ф» - К%п(о)]- = -Fn(y\ A6-1)
Здесь о = iy; Х(у) и Я0(г/) — кусочно-постоянные функ-
ции такие, что Я = и, Яо = 1 при \у\ <С с и Я = 1, Яо = 1/2
при [г/| > с; функции /„(г/) и Fn(j/) при \у\ < с определя-
ются формулами A5.25), а при [г/1 >- с — формулами
A5.21).
Во втором равенстве из A6.1) заменим п, у, о соответ-
ственно на —п, —г/, —о и перейдем к сопряженным зна-
чениям, учитывая соотношения A4.11).
*) Смешанная задача для полупространства при круговой
линии раздела граничных условий решалась различными методами
(см. [91, 154, 721 и др.). Контактным задачам также посвящена
обширная литература, в том числе монографии И. Я. Штаермана
[1691 и Л, А. Галина [581. Использование результатов предыду-
щего параграфа позволяет добиться ряда упрощений,

§ 16] СМЕШАННАЯ ЗАДАЧА ДЛЯ ПОЛУПРОСТРАНСТВА 137
Теперь граничные условия для функций <рп(о), tyn(?)>
%п@ разделяются:
ф? (о) — hq>n (о) = /ф„ (a), ktyt (о) — i|vT (о) — /ф„ (а),
Xt (о) - in (о) = ±ohn (ay, A6.2)
где
/фп(сг) = — (— i)nfon(o) = -j-/n (г/) — -4~[^п (у)—^-п(г/)].
/»х (а) = *"„ (у) + F-»(»). A6.3)
Решая задачу сопряжения при условиях A6.2), будем
иметь
Здесь L — мнимая ось,
ф (с, С) = (§й)Рг== етх~щ) [cos (р 1п ё)+'sin (p 1п
(ft =1,2),
У —
Решение получено в предположении, что функции/фп(а),
*п()» fxn(e) на каждом из участков |сг| ^ с и |cr| ^ с,
включая окрестность бесконечно удаленной точки, удов-
летворяют условию Гёльдера, причем на бесконечности
обращаются в нуль.
Поскольку равенства A6.1) вытекают из A5.19), то
требуется выполнение условий A5.23), что позволяет

138 НЕОСЕСИММЕТРИЧНЫЕ ЗАДАЧИ ДЛЯ ТЕЛ ВРАЩЕНИЯ 1ГЛ. П1
определить коэффициенты полиномов Рп(у) и Qn(y),
входящих в A5.25).
Перемещения точек упругого полупространства не-
прерывны везде, включая точки ±ic, так как особенно-
сти аналитических функций в этих точках имеют порядок
ниже 0,5.
Если па поверхности полупространства при г > с не
приложены внешние силы, то /tpnfa) = fon(o) — ftn(a) — 0
при |сг| >> с, и путь интегрирования в A6.4) будет состоять
этз отрезка |а| <! с мнимой оси. В этом случае составляю-
щие главных векторов и момента сил, приложенных к
полупространству на участке г ^ с, могут быть определе-
ны из следующих соображений.
Проведем полусферу достаточно большого радиуса
р>сс центром в начале координат. Полагая в формуле
A4.24) z == 0, г = р, ? = Ре*а, будем иметь
Очевидно, эта величина не зависит от р. Устремляя р
к бесконечности, получим
я/2
f
J
. A6.6)
Аналогичные рассуждения дают
„ + iTn/2 = 2ni lim ^Ф_, (С) + Ct-i (О - -f
^Ф () Ct (О -f
= 4я« lim [? Vi (Q - ?4-i (OJ- A6.6а)
5
Как вытекает из A6.4), раэность ?<p_j(?)— ?ф_т(?) стре-
мится к нулю при ? -*¦ оо.
2. Полученные результаты имеют непосредственное
применение к коитактной задаче о вдавливании в"упругое

16J
СМЕШАННАЯ ЗАДАЧА ДЛЯ ПОЛУПРОСТРАНСТВА
139
полупространство жесткого штампа, сцепленного с осно-
ванием, когда область контакта представляет собой круг
радиуса с. Перемещения поверхности полупространства
при г ^ с опред ляются формой штампа и могут считать-
ся известными. Остальная часть поверхности полупро-
странства обычно предполагается незагруженной.
Рассмотрим более подробно случай нлоского кругового
штампа, который получил вертикальное перемещение h,
Рис. 3.3.
горизонтальное перемещение в направлении 6=0, рав-
ное gy а также наклонился на угол у в том же направлении
и повернулся на угол 8 вокруг оси z (рис. 3.3).
Граничные условия принимают вид
w@, г, 6) = h + yr cos 6, и@, г, 8) = g cos 6,
у@, г, 6) = er—g sin 6 (г < с),
Рг = РГ = Рь = О (г>е). A6.7)
Тогда при помощи формул A5.25) и A6.3) получим
f9i (a) = Ui (а) =« /«р,^! (а) = /+t_, (о) =
//.о (о) =
/фп (а) =-
f.tX (а) =
а) =¦ hn (<*) - 0
^ (а) - Gi (- Ag + С),
ф- 1,0,1), A6.8)

140 НЕОСЕСИММЕТРИЧНЫЕ ЗАДАЧИ ДЛЯ ТЕЛ ВРАЩЕНИЯ [ГЛ. Ill
где \а\ <; с, С — неопределенная постоянная — то, что
остается от полинома Qi(y).
Формулы A6.4) позволяют определить аналитические
функции. Интегралы типа Коши здесь могут быть вычисле-
ны в явном виде при помощи известного приема (см. [93],
§ 110). В результате будем иметь
—ie
2Gh
q>i (?) = — $i (— Q = Ф-i (?) = — if-i (— ?)
= _|L {(Co _ 2yl) [1 — Ф
1 ^.
A6.9)
Из A5.23) вытекает, что функция ?2 ] ф'4 (Q -f. ^ (?) _
¦—о" %'1 № обращается в нуль на бесконечности. Отсюда
можно определить постоянную С:
Формулы A6.6)—A6.6а) дают
A6.11)

§ 16] СМЕШАННАЯ ЗАДАЧА ДЛЯ ПОЛУПРОСТРАПСТВА 141
Величины прижимающей и сдвигающей сил, прило-
женных к штампу, соответственно равны Р = —Z, РСцв —
= —То; для крутящего и опрокидывающего моментов
будем иметь: Мкр = — Mz, Мопр = — Мл.
Значения перемещений основания штампа в зависи-
мости от приложенных сил определяются из (I6.il):
A6.12)
Таким образом, при действии опрокидывающего мо-
мента штамп не только наклоняется, но и сдвигается в
горизонтальном направлении, а при действии сдвигающей
силы штамп сдвигается и наклоняется.
Напряжения и перемещения определяются по форму-
лам A4.17) и A4.9) в форме квадратур, содержащих функ-
ции A6.9).
Для точек, лежащих на оси г, выражения могут быть
найдены в явном виде при помощи A4.10) и A4.18).
Нормальные напряжения под основанием штампа мож-
но представить следующим образом:
аг = Л [ - Ml + {С0П - 2 yrll) cos 8], <тг = ae = |
где
А _9Гк + 1 4рс ,с _ ГМ" соврб <1У
Выражение для /*, получается из In путем замены
cos Pi на sin pi.
Значения функций 7^'s (г) при г ->¦ с бесконечное число
раз меняют свой знак, причем амплитуда их неограничен-
но растет. Все нулевые точки расположены в участке
я/2 «С Р? <; оо, что при v = 0,3 соответствует 1—10~7<;
<Z r/c <Z I. Поведение этих функций определяет характер
распределения напряжений.
3. Очень часто при решении контактных задач предпола
гается, что трение между основанием штампа и поверх-

142 НЕОСЕСИММЕТРИЧНЫЕ ЗАДАЧИ ДЛИ ТЕЛ ВРАЩЕНИЯ [ГЛ. Ш
ностью полупространства отсутствует. Тогда рг — Рв — О
по всей поверхности полупространства, рг = 0 при г~> с,
а при г ^ с считают известными перемещениями w@, r, 9),
определяемые формой штампа.
Формулы A5.20) и первая из формул A5.24) с учетом
A5.15) дают
[Ф„ (а) - Ад|>п (<т)]+ - [hfa (а) - Ч>„ (а))- = //„ (у),
[ф« И + 1>п (о) - -j- х» (
- [ф„ (ff) + *„ (а) - 4" Хп (а)]" = 0, A6.13)
где X принимает те же значения, что и в A6.1),
/п (») = (- 1)"/й (- !/) = 2Gi ^- 5п1м;„ @, г) + Р„(»)
(|j/|<),
/„(!/) = О (|0|>«). A6.14)
Под Рп(у) понимаются полиномы вида A5.14).
Если учесть формулы A4.11), то из второго равенства
A6.13) вытекает, что для граничных значений аналитиче-
ских функций выполняются соотношения
Хп(?)=0, Ф„Ш = -Ы?). A6-15)
В силу теоремы единственности эти соотношения вы-
полняются по всей плоскости переменного ?.
Теперь первое из равенств A6.13) позволяет получить
Фй
+
- - 4U0 = -2ш-(х + 1) J -т^Т- {16Л6)
Коэффициенты полинома iPn(l/) найдем из условий
A5.23), что дает
J fn(y)ykdy = O (ft«0,l,2,...,|n|-2;|«|>2).
A6.17)

§ 16)
СМЕШАННАЯ ЗАДАЧА ДЛЯ ПОЛУПРОСТРАНСТВА
143
Для главных вектора и момента сил, приложенных к
основанию штампа, будем иметь
с
"*"
4. Задачи об упругом пространстве с плоским круго-
внм разрезом (рис. 3.4) также могут быть решены при
помощи изложенного выше метода.
Пусть pl~, pf, р? — внешние силы, прило-
жониыв к верхнему берегу разреза, а р7, р7, pF —
силы, приложенные к нижнему берегу. Будем считать их
Рис. 3.5.
разложенными в ряды вида A5.5), снабжая функции
рп(г) и дп(г) значками (+) или (—).
Перемещения и напряжения упругого пространства
представляются формулами A4.9) и A4.17), где путь ин-
тегрирования проходит ниже разреза и ниже линии раз-
ветвления радикала /?(?, t) или выше их обоих.
Устремим t = z + if к точке о-, лежащей на нижнем
берегу разреза. При этом формулы A5.9) — A5.14) ос-
таются справедливыми.
Пусть теперь t стремится к точке <х+, лежащей на
верхнем берегу разреза. Предварительно переведем ли-
нию интегрирования в такое положение, чтобы она

1 44 НЕОСЕСИММЕТРИЧНЫЕ ЗАДАЧИ ДЛЯ ТЕЛ ВРАЩЕНИЯ [ГЛ. III
проходила выше разреза, но ниже линии разветвления ра-
дикала (рис. 3.5). В результате мы вновь придем к форму-
лам A5.9)—A5.14).
Интегрируя равенства A5.12) по у, будем иметь
ю? (а)-(-1)"©? E) = -*/?(!/),
), A6.19)
/п* (У) = (- l)n+1 /+ (- У) = S,,^ (у) - J±
F? (У) = (- 1)" Ft- (-У) = S»+,.i?? (//) + * J (?,t
@<j/<c), A6.20)
где значки принимаются либо все верхние, либо все
нижние.
Введем функции
A6.21)
которые голоморфны в плоскости с разрезом по отрезку
— ic, + ic и исчезают на бесконечности. Их граничные зна-
чения удовлетворяют условиям
Q+! (а) + n^i (а) - -*/? (У) - //^ (»),
О+2(а) - Q72(а) = -if+ {у) + г/^ (j/), A6.22)
являющимся следствием первого из равенств A6.19).
Перемещения точек упругого пространства должны
быть непрерывны везде, включая кромку разреза. Как
можно усмотреть из формул A4.9), для этого необходимо,
чтобы функции <рп(?), ф„(?). Хл(?) в точках ? = ± гс не
имели особенностей норядка 0,5 и выше. То же самое от-
носится и к QnK(?) (А = 1, 2).
Решая задачу сопряжения при этих условиях, будем
иметь:

§ 16] СМЕШАННАЯ ЗАДАЧА ДЛЯ ПОЛУПРОСТРАНСТВА 145
Г
+ + -
= ш J —jy-=i
—в
Разность функций фп(?) и i|5n(?) определяется при по-
мощи A6.21):'
Фп @ - Ъп ш=4- Qni @+4Q«s («• A6-24)
Аналогичные рассуждения позволяют получить
ф, (О + «. (О --J- ь (В - ^
фп(?) + »п(С) + 4-ЗСЛа) = (-1)"^п(;). A6.25)
Неопределенные коэффициенты, входящие в состав
Рп(У) и Qn(y), а также постоянные интегрирования, могут
быть найдены из условий A4.13) при Сп Ф 0.
В частном случае, когда берега разреза подвергнуты
равномерному давлению р, будем иметь
= 25 Bic +l In
Остальные функции равны нулю.
Для напряжений можно получить выражения:
T2r = zr^, A6.27)
где
(z, r) = ^- Im [in (ic - z + Л) - 'Jjfi R - я»],
Д = Д(»с, «), i = з + fc, A6.28)
10 А. Я. Александров, Ю. И. Соловьев

146 НЕОСЕСИММЕТРИЧНЫЕ ЗАДАЧИ ДЛЯ ТЕЛ ВРАЩЕНИЯ [ГЛ. Ш
При z — 0, г > с будем иметь
а* = Чг[у^ ~ arcsin ?} аг - A + 2v) о, - а,,
__ l+2v A. - 2v)
Если на найденные напряжения наложить однородное
иоле напряжений oz = />, to получится решение задачи о
концентрации напряжений в бесконечном толе у кругового
разреза.
§ 17. Неосесимметричные задачи для сферы
и пространства со сферической полостью *)
1. Рассмотрим внутреннюю задачу для упругой сферы
радиуса р0 с центром в начале координат.
Аналитические функции представим в виде степенных
рядов:
о» ов во
Фп(О= SenwC-.tntSH 2 bn»S"\ х„ (S) ~ 2 <?„»?"•.
m=0 m=0 m=0
A7.1)
Из A4.11), A4.12) вытекают следующие соотношения:
аПт — (—l)"e^n,m. bnm = (—l)"b_n,m,
в»,т - (-l)"+^-n,m, A7.2)
anJk = 0 (Ar = O, 1, 2 |n|;- |/»|>0),
bnfe = 0 (Ar = 0, 1, 2,. . ., |n| - 1; |n| > 1),
с„ь = 0 (/с = 0, 1, 2, . . ., \n\ - 2; \n\ > 2),c00 - 0.
A7.3)
Подставим A7.1) в формулы A4.9) и A4.17). Изменим
порядок суммирования и интегрирования и учтем формулу
[61] № 3.6664
я
'¦„ = S.C" - -4" J (« + ir "os (•)"
•) Си. сноску на стр§ G0.

S 17] СФЕРА II СФЕРИЧЕСКАЯ ПОЛОСТЬ 147
Здесь
= 0 (т<к), Р°я(\>) = Рт{1>), A7.5)
р == j/z2 + г?> М1 = C°S19 = z/p, Pm (ц) — присоединенные
функции Лежандра первого рода.
В результате будем иметь
Sk<Pn = 2 «ппЛт» 5йФп = 2 manmh.m-i И Т. Д
Формулы перемещений принимают вид
2 2 [nm
п=—оо m=|n)
оо
2G(u+iv) = - 2 ^
П=—00
+ 2z (m + 1) ««.m+i + b»m - «»J /«4-1.». A7.6)
Вид формул напряжений вполне очевиден, и мы не
будем их приводить.
Пусть па поверхности сферы заданы перемещения,
представленные рядами
f + iv)- 2 «n
Wn = W^n = 2 -
m=|n|
«„= 2 ^„Pl^11^). A7.7)
m=|"+l|
Положим в A7.4) p = po и приравняем коэффициенты
рядов в формулах перемещений A7.6) и A7.7). Примем во
внимание соотношение ([61] №8.7312)
10»

148 НЕОСЕСИММЕТРИЧНЫЕ ЗАДАЧИ ДЛЯ ТЕЛ ВРАЩЕНИЯ [ГЛ. Ш
откуда вытекает, что
/ , л\ т (га + 1J — к2 т . m(m + l) ,,
(m + i)zlhm = 2m+l /ft.™+1 + 2m+ 1 P*7».»-l•
Получим
/ v i о 2 -|n| (m 4 ral)l — m
(ч — anm) anm — b,,m — Pmport»,m+2 == » ^| - Po
(к + an+i,m) anm + Ь„т — cnm +-PmPoa
= - i™ (m + L" + 1|)' Po-^nTO sign („ + 4-) (я. > I » + 11),
/» = 0, ± 1, ± 2, .... A7.9)
где
o (m + 1) (m + 2)
Заменим во втором из равенств A7.9) п на —п, перей-
дем к сопряженным значениям и учтем соотношения
A7.2). Присоединяя полученное равенство к A7.9), полу-
чим для каждого сочетания п на m систему трех уравне-
ний, решение которой дает
''"'Ро-та Г
~ х-1/Bт-1) [
(т
Л"га ~~
2т1
(та+|„+1|I / 1 \
Ш Bnm Slgn Г + ~2~ j +
. (m+ln — ll)! = . / 1 Yl
(m> |b| + 1, |b|>0). A7.10)
Коэффициенты bnm при m ^ |n| (|n| > 0) определяют-
ся при помощи первого из равенств A7.9), а коэффициен-
ты спт при т ^ |и + 11 — при помощи второго равенст-
ва из A7.9). Когда т = п'^1вт = п — ljJsO, то для
определения cnm следует воспользоваться соотношения-
ми A7.2). Значения остальных коэффициентов даются
формулами A7.3).
В случае жесткого смещения сферы на величины hz,
ho, ha/2 соответственно в направлениях оси z и осей
@=0, z = 0), (8 = я/2, z == 0), а также поворота на

§ 17] СФЕРА И СФЕРИЧЕСКАЯ ПОЛОСТЬ 149
углы yz, Yji/2, 7o относительно этих же осей будем иметь
Аоо = 2Ghz, Ап = — GpoGo — г>.2)>
Й01 - -2GiyzPo, В_1>0 = 2G(h0 +-ifen/2),
#-i,i = -2GpoGo + iynl2).
Тогда
Ь00 = -2С/*2)
&ii = — 6-t.t = |-^ii=— x^-i.i = 2Gi (Yo — *F*»)t
c01 = — Щг, c10 = clli0 =
Напряжения при этом равны нулю.
2. Пусть теперь на поверхности сферы заданы внешние
силы
т=|я| т=|п+1|
A7.11)
где Спт = С_.„1т. Из условия самоуравновешенности
нагрузки следует:
С00 = 0, Im Da = 0, D-li0 = 0, 2C_ltl + D-U1 = 0.
A7.12)
Подставляя A7.1) в A4.22) и используя равенства
A7.4) и A7.8), после преобразований будем иметь
00
<J>fenOO = 4 2 dnmhln+h,m (к = О, 1,2),
|+|
anm) anm + bnm + p^
dnm2 = A — 4v + a^i.m) <lnm + Km ~ Cnm + PmPo«n.m+2.

150 НЕОСЕСИММЕТРИЧНЫЕ ЗАДАЧИ ДЛЯ ТЕЛ ВРАЩЕНИЯ [ГЛ. Ш
Заметим, что
П-^'М (»<о). A7ЛЗ)
Тогда
2 т — п) d
A7.14)
Подставляя A7.14) в A4.21) и сравнивая полученные
выражения с A7.11), получим систему уравнений
(т — упт) апт — тЬпт —j- спт — /»PmPo«n
пта пЛ Р° n
[т + 4v (n + 1) + Yn+i.m] anni + тЪпт —
= - />..*w (m + lm"|+ll)l P^1 sign (» + -f) -
где
__ о то(го»-д» —l)-f 2л»
Ynm — ^ 2w — 1 "

5 17J СФЕРА И СФЕРИЧЕСКАЯ ПОЛОСТЬ 151
При m ^ |п| + 1 отсюда вытекает:
nm ~ D'nn + (- l)«DLn,m].
A7.10)
Остальные коэффициенты определяются из A7.15) и
A7.3). Кроме того, можно положить:
&00 = &11 — Ь-1,1 = Сц = Г-1,1 = Со1 = С]о = Г_1>0 = О,
так как значения этих величин не влияют на напряжения.
3. В случае бесконечного упругого пространства, имею-
щего сферическую полость, аналитические функции бу-
дем разыскивать в форме рядов:
Ф„ (С) = S
S »иГж. A7.17)
Коэффициенты рядов по-прежнему удовлетворяют соот-
ношениям A7.2).
Учтем, что
Knm = Snrm-{ = ih^~^llpUti, A7.18)
где к = \п\ при т ^ |п| ^ 0 и & = — |га| при т < |ге|,
а присоединенные функции Лежандра с отрицательным
нерхним индексом определяются соотношением (см. [61],
№ 8.7522)
И • • •
_
Г)'1 )- A7Л9)

152 НЕОСЕСИММЕТРИЧНЫЕ ЗАДАЧИ ДЛЯ ТЕЛ ВРАЩЕНИЯ |ГЛ. III
В справедливости равенства A7.18) можно убедиться,
последовательно понижая при помощи рекуррентных фор-
мул порядок полиномов Чебышева и учитывая соответст-
вующие рекуррентные формулы для присоединенных
функций Лежандра. При п = 0 и п = 1 формула A7.18)
переходит в (8.2)—(8.4).
Путь интегрирования в A7.18) предполагается конеч-
ным и пересекающим ось z ниже начала координат.
Подставим A7.17) в A4.9). Принимая во внимание
A7.18), будем иметь
m=i
оо
m=i Пт
(/ = 1,2,...). A7.20)
Тогда
2Gw= 2 e'"e 2 [*«»„,+
+ 2z(m — 1) «„,,„_! — &nm] Кщп-и
.26(« + iy) = - S iei"9 2 t«anm-2z{m-1)«,,„,_, -f
i
+ 6n™-cnm]^tH.,,m_I. A7.21)
Выражения для напряжений легко получить из A4.17),
используя равенства A7.20).
Избавимся в A7.21) от z, замечая, что вследствие A7.8)
]
()
имеет место соотношение]
После выкладок получим
СО ОО
2 *ш 2 Цх-«„.-«)«»„-
п=—оо п=—оо
~ Ъпт — Р-тр2йп,т-21 Кп,т-1,
2G (и + iv) = - 2 «1пв 2 К* + aB+i.-™) «»m + Ь„т -
п=—оо т=1

§ 17] СФЕРА И СФЕРИЧЕСКАЯ ПОЛОСТЬ 153
Функции Pmk{\i) обращаются в бесконечность при
ц = —1@ = я), если /с :> 1, т <. к. Поэтому для огра-
ниченности перемещений точек оси z, расположенных
выше полости, требуется, чтобы коэффициенты при
Кп,т(т < \п\) обращались в нуль. Отсюда вытекает:
апт = Ьпт = спт = 0 (т= 1, 2, ... , \п\ - 1;|п| > 2),
ивп,]п1+1 + Ьп,Ы|+1 — ?«,м+1 sign n = 0 (|га| > 1),
«aoi + 6» = 0. с« = 0- A7.24)
Эти равенства согласуются с A4.13) при Сп ф 0.
4. Граничные задачи для пространства со сферической
полостью решаются тем же методом, что и в случае упру-
гой сферы.
Сравнивая A7.23) и A7.7), при заданных перемеще-
ниях будем иметь
(И — <Хп,~т) апт — Ьпт — Р_тРоЯп,т-2 =
= (-f)'n'(Bt-|I|!!!1)iPo>^H,m-i (m>\n\ + i),
(х + an+i,_m) апт + Ъпт—спп + р-тро«
i1-i)i р^—sign (n+4)
n + l| + l), « = 0,1,-1,2,-2,... A7.25)
Отсюда
О'"'рУ
(-О'"'рУО"-1I Г 1 ,
+ l) [2 И— |и| — 1)! Л".
sign fn — -yj _ I
— I я — 11 — 1I B-n-m~l J
sign
4 (m
(m>|n| + 2). A7.26)
Остальные коэффициенты определяются из A7.25) с
учетом A7.24) и A7.2).
Когда заданы внешние силы pz, pT, рв, приложен-
ные к поверхности полости, то справедливы следующие

54 НЕОСЕСИММЕТРИЧНЫЕ ЗАДАЧИ ДЛЯ ТЕЛ ВРАЩЕНИЯ ГГЛ. ИГ
равенства:
(т + Yn,-m) «nm —
1),
[m — 4v (re + 1) — Y,l+i,_m] anm + mbnm -
у ( ) «m P
(— »)|T" (m~l)! sign (n+4-)
A7.27)
Здесь Cnfn и Dnm — коэффициенты рядов A7.11). Выпол-
нение условий A7.12) не является обязательным.
Аналогично A7.10) будем иметь
спт -
2m -1-1/
m + 2'
— 2т + ]
-(-1)П^,Ж_,] (т>|л| + 2). A7.28)
Остающиеся неопределенными коэффициенты можно
находить непосредственно из A7.27) с. учетом A7.24) н
A7.2).
§ 18. Эллипсоид вращения и эллипсоидальная полость
в упругом изотропном пространстве *)
1. Пусть упругое тело имеет форму сфероида (эллипсоп-
да вращения) или представляет собой пространство с соот-
ветствующей сфероидальной полостью. Совместим ось z
с осью симметрии сфероида, а начало координат — с его
центром.
*) Отдельные задачи для эллипсоида вращения рассматрива-
лись многими авторамп (см. [102, 148, 53, 84, 170]). Приводимое
.здесь решение для общего случая загружения эллипсоида и эл-
липсоидальной полости принадлежит В. С. Вольперту [М]. Иным
методом эта задача решалась в работе [100].

§ 18] ЭЛЛИПСОИД ВРАЩЕНИЯ 155
Меридиональное сечение тела представляет собой внут-
ренность или внешность эллипса. Как известно, функции
комплексного переменного, голоморфные в указанной
области, могут быть разложены в ряды по функциям Ле-
жандра соответственно первого и второго рода.
Рассмотрим вначале эллипсоид, вытянутый вдоль
оси z. Аналитические функции представим рядами
Ф„ (С) = 2 аптКт, г|)„ @ = 2 (bnmKm-2cXhr,n,K'm+il
A8.1)
An. \ъ) == Zj CnmAm.
Здесь с — нолуфокусное расстояние эллипса, Х| —
некоторая константа, Кт = Km(t,/c), K'm— -щКт, при-
чем Кт(х) — Рт(х) в случае внутренней задачи, Кт(х) =
= Qm(x) B случае внешней задачи, Рт(х) — полиномы Ле-
жандра, Qm(x) — функции Лежандра второго рода:
4-
m
л1
A8.2)
Для коэффициентов рядов A8.1) справедливы соотно-
шения A7.2), вытекающие из A4.11).
В случае внутренней задачи аналитические функции
«•одержат произвольные члены. Подставим в A8.1) явные
выражения полиномов Лежандра через степени ? и сгруп-
пируем члены, содержащие Z™ с одинаковым показателем.
Учтем, что коэффициенты при ?"\ входящие в равенства
A7.3), не влияют на перемещения и могут быть назначены
произвольно. Воспользовавшись этим, положим
соо-О A8.3)
с т
= 0
== 0
= 0
(w<
(го^
:\п\
:\п\
,\п\>
-1, |1
1~2,|
0),
1),

156 НЕОСЕСИММЕТРИЧНЫВ ЗАДАЧИ ДЛЯ ТЕЛ ВРАЩЕНИЯ [ГЛ. Ш
Эти равенства по виду совпадают с A7.3), но содержат
коэффициенты рядов A8.1), а не A7.1).
Разлагая Qm{?,lc) по нисходящим степеням ? и подстав-
ляя в A4.13), для случая внешней задачи получим следую-
щие равенства, соответствующие A7.24):
апт = Ьпт = спт =0 (т =0,1, 2, . . ., |га| — 2;|га|>2),
иап,1п1 + ъп,щ\ — ffn.im sign га = 0 (|га| > 1),
х«оо + Ьоо = 0, с00 = 0. A8.3а)
При определении перемещений и напряжений по фор-
мулам A4.9) и A4.17) требуется вычислять интегралы от
функций Лежандра и их производных. Обозначим:
A8.4)
Как было указано в статье [53], имеют место равенства
M ёй^ р ^ при т > '"'•
дпт=0при/ге< |га|, если Кт = Рт,
Anm = fWWP;InV), при |»<|п|,еслн Km=*Qm.
A8.5)
Здесь к — ch |, ц, = cos r\; g и tj — эллиптические
координаты в плоскости меридионального сечения такие,
что
z — с ch \ cos r|, г = с sh | sin r|. A8.6)
Координатные линии представляют собой семейство
конфокальных эллипсов и гипербол (рис. 3.6).
В формулах A8.5) Рт(ц) — присоединенные функции
Лежандра первого рода, определяемые равенствами A7.5)
и A7.19). Под Кт(Х) понимаются присоединенные функции
Лежандра первого или второго рода, причем

18]
ЭЛЛИПСОИД ВРАЩЕНИЯ
157
Интегралы вида A8.4) от Кт могут быть найдены при
помощи соотношения
A8.8)
Использование последнего равенства в ебщем случае
приводит к довольно громоздким выкладкам. Поэтому
приведем другой метод вы-
числения интегралов, содер-
жащих производные от
Km(Uc).
Избавимся от производ-
ных при помощи соотноше-
ния
d .„ V \
=±Bт+1)Кт.
В результате придем к
выражениям вида
т—0
Рис. 3.6.
A8.9)
где за/п(?) можно принимать любую из функций <р„(?),
Фп(О, фп(О, УпИ), >|>n(?)> Xnil), Xn(Q;, если под 7„жсо-
ответственно понимать апт, a'nJc, <?„/<*, Ь'„„, b"nm/c,
спт, c'nmlc Для определения коэффициентов а'пт и Ъ'пт
служат формулы
а'пт = Bт + 1) [an<m+i + а„,т+3 + ап>т+ь + ... ]
-1) A8.10)
(внутренняя эадача),
а'пт = Bт + 1) [— an,m_i — а„,т_з — ... ]
«n,-i = «по = 0 (внешняя задача),
{т > 1),
A8.11)

158 НЕОСЕСИММЕТРПЧНЫЕ ЗАДАЧИ ДЛЯ ТЕЛ ВРАЩЕНИЯ [ГЛ- IV
. A8.12)
Величины апт, bnm, cnm определяются формулами
A8.10), A8.11), если в правой части заменить anh соот-
ветственно через a'nh, Ь„л, cnh.
Подставляя A8.9) в формулы перемещений и напря-
жений и учитывая A8.4)—A8,5), можно получить доста-
точно простые выражения.
2. Пусть эллипсоид имеет полуоси а = с ch ?0 и
Ь = с sh g0 (с2 = а2 — fra). Тогда границей области, заня-
той меридиональным сечением тела, служит линия
\ = ?„ = const. Положим параметр Х„ в A8.1) рав-
ным ch ?0.
Допустим, что на поверхности эллипсоида (или эллип-
соидальной полости) заданы внешние силы в виде рядов
= 2 Рпеш, Pr + ipe=> 2 qneinB,
Pn == P—n =S ± — ^ СптРт (Ц), Спт = С—n,mi
•в
ro m=|n
21 P. =K«2-(«2-b2)(ia,
m=|n+ll
A8.13)
где верхний знак относится к случаю внутренней задачи,
а нижний к случаю внешней задачи для эллипсоида.
Для внутренней задачи из условия самоуравновешен-
ности нагрузки вытекает:
Со0 = 0, Im DOil = 0, D-li9 = 0,
2ЬС_Ь1 + aD-ltl = 0. A8.14)
Подставим ряды A8.9) в формулы A4.21), A4.22),
учитывая, что там

S IS] ЭЛЛИПСОИД ВРАЩЕНИЯ 159
При помощи таких же рассуждений, как и в § 17, по-
лучим
A Т Sntu) anm "пт jj~ птспт ==s
_
g" dnmCnm ~
(ш>|л+1|), я = 0, ±1,±2, ... A8.15)
Здесь
Inm — \ ^0 ~
| Л0 -
, /--7; / ' »m / '
У ^i — 1 7i"' /n+I,m
1 при n^ —1,
6 l(» « l)(ro + nt2) при n< —2.
Решение системы A8.15) дает при т ^ |п| — 1:
_ /g»m + Д» С'пт + (- 1)" Д'-я.« \
ПШ \h + d hd~ )
nm — 71,m
nm^ u-n,m
,m — gn-i,m — 4v/jn+1,m — 4vftn_i,m) йпт]. A8.16)

160 НЕОСЕСИММЕТРИЧНЫЕ ЗАДАЧИ ДЛЯ ТЕЛ ВРАЩЕНИЯ |ГЛ. III
Остальные коэффициенты нетрудно определить из
A8.15), принимая во внимание соотношения A7.2), A8.3),
A8.3а).
В случае внутренней задачи дополнительно будем
полагать
*оо = &U = coi — сю — сп — О,
устраняя тем самым произвол, связанный с неопределен-
ностью жесткого смещения тела.
Когда заданы перемещения точек граничной поверх-
ности в форме рядов A7.7), то вместо A8.15) будем иметь
(х + Шпт) апт - Ъпт= g±Ji]>{ j^j = А'пт {т >| п|
(И — 4/Гп+1,т) апт + Km ~ спт =
2/f
I» I + D ^ЙГГ
D8.17)
апт == ~ \.2Лпт -f- iJnra +
+(_ 1)"Я=~т)(х - ^п+1,т + 2Кпт - ^„_1§т)-»,
Отсюда
m(^n+,im -^„_j,m)] (m>|n| + l). A8.18)
Коэффициенты Ьпт можно определять при помощи лю-
бого из равенств A8.17). При т ^ |и| наряду с A8.17)
следует рассматривать A8.3) и A8.3а).
3. При решении граничных задач для сплюснутого в
полюсах эллипсоида вращения или пространства, имею-
щего соответствующую полость, целесообразно использо-
вать систему эллипсоидальных координат |, г\, 6, где |

18]
ЭЛЛИПСОИД ВРАЩЕНИЯ
161
я т] вводятся соотношениями
ъ = с sh \ cos л, г
с ch \ sin tj.
A8.19)
В плоскости меридионального сечения координатные
линии % = const, т] = const также образуют систему кон-
фокальных эллипсов и гипербол, но повернутую на угол
я/2 по сравнению с предыдущей (рис. 3.7).
v-*/z
Рис. 3.7.
Поверхность эллипсоида имеет уравнение \ = |0 =
= const; полуоси эллипсоида равны соответственно
а = с sh |0, Ъ = с ch |0 (с2 - Ь2 — а2).
Функции <рп(?), \j)n(Q, Xn(?) представим рядами
(С)
2
m=0
оо
2 flnm4
m=0
m=0
A8-20)
образующимися из A8.1) при замене там с на — ic.
В случае внутренней задачи Кт — полиномы Лежанд-
ра, а коэффициенты рядов A8.20) удовлетворяют соотно-
1 А. н. Александров, Ю, И. Соловьев

162 НЕОСЕСИММЕТРИЧНЫЕ ЗАДАЧИ ДЛЯ ТЕЛ ВРАЩЕНИЯ [ГЛ. Ш
шениям
апт = (-l)"+ma_n>m, Ъпп = -(-l)n+m^»,m,
Спт = -(-1)»+"»С_Я1|к. A8.21)
В случае внешней задачи под Кт понимаются функции
Лежандра второго рода. Для коэффициентов рядов имеют
место равенства
апт = -(-l)"+ma_n,m, Ьп>т = -(-1)П+»Ь_Я,М,
Спт = (-1)»+тс_п,т. A8.21а)
Кроме того, сохраняют силу соотношения A8.3) для
внутренней задачи и соотношения A8.3а) для внешней
задачи.
Формулы A8.4)—A8.12) остаются справедливыми,
если в них заменить с на —ic и положить
-l = ichS, (i=costi. A8.22)
При вычислении функций Лежандра второго рода
аргумента К = i sh | следует иметь в виду равенство
Q0(K) = -f Ь^-J = J
Если на поверхности эллипсоида (эллипсоидальной
полости) заданы перемещения рядами A7.7) или внешние
силы в форме рядов A8.13), то при помощи прежних рас-
суждений можно убедиться, что коэффициенты апт, Ъпт,
спт вновь определяются формулами A8.15)—A8.18) с
учетом указанных выше изменений.
§ 19. Учет объемных сил и температурных деформаций
1. Если упругое тело подвергается действию объемных
сил или неравномерного по объему изменения температу-
ры, то в системах уравнений A.8) и A.13) правые части
не равны нулю. В зтом случае решение может быть пред-
ставлено в виде суммы какого-либо частного решения сис-
темы уравнений с правыми частями и общего решения
однородной системы уравнений (без правых частей).
Таким образом, проблема заключается в построении ка-

§ 19] УЧЕТ ОБЪЕНЫХ СИЛ 163
кого-либо частного решения, соответствующего заданным
объемным силам и температурам, после чего рассматривае-
мая задача сводится к задаче теории упругости для ненагре-
того тела без объемных сил.
При построении частного решения может оказаться
полезным переход к соответствующим двумерным задачам,
которые сравнительно лучше изучены. Такой переход
совершается при помощи формул, полученных в §§ 2, 3.
Пусть объемные силы пространственного состояния
qz{z, г, 0), gr{z, г, 0), ge{z, г, 6) представлены тригономет-
рическими рядами вида B.6), где литеры w, и, v следует
заменить соответственно через qz, дг, qe. Тогда объемные
силы вспомогательных двумерных состояний д%?, qey'n, дщ
определяются по формулам B.22).
Соответствующие перемещения вспомогательных сос-
тояний Uxn, uCyn, и%\п найдем путем решения сис-
тем дифференциальных уравнений A.14) и A.16). Обрат-
ный переход к перемещениям пространственного состоя-
ния совершается при помощи формул B.12).
Рассмотрим более подробно случай, когда объемные
силы пространственного состояния имеют потенциал
U(z, г, 0) такой, что
*.= —5?П, <7г = --|гП, ,9=-4-!п. A9.1)
Пусть имеет место разложение
оо
П(z, г, 0) = nS (z,г) + S [Пп(*,г) cos nQ + Usn(z,r) sinn0].
A9.2)
Переходя от соответствующих объемных сил прост-
ранственного состояния gin, qtn, qbn K объемным
силам вспомогательного состояния по формулам вида
B.22), можно убедиться, что имеют место равенства
^-¦ЗГШ'?, ^=-^Пп,|, Йп8 = 0, A9.3)
Ппif <*, *) = •?] ПГ <*, г) Тп (-f) ^= + РГ {х, у).
A9.4)
11*

164 НЕОСЕСИММЕТРИЧНЫЕ ЗАДАЧИ ДЛЯ ТЕЛ ВРАЩЕНИЯ [ГЛ. III
Функция Рп' (ж, у) является полиномом степени и—2
относительно переменной у с коэффициентами, произволь-
ным образом зависящими от х.
Поскольку объемные силы д^'4 состояния депланации
отсутствуют, то соответствующие перемещения и%{п мож-
но принять равными нулю. Объемные силы плоской
деформации имеют потенциал. Частное решение системы
A.14) можно найти при помощи известного приема
(см., например, [130], стр. 89). Тогда
A9.5)
-г (is ~' 4s)w*' <*• у) = п» i (*>»)- A9-6)
W? (x, у) = (-1)" We/ (x, - у). A9.7)
Перемещения пространственного состояния получим,
подставляя A9.5) в B.12). При выполнении условия A9.7)
символ Re может быть опущен.
Более компактные выражения получим, комбинируя
члены с индексами с и s, как это было сделано в п. 1 § 14.
В результате будем иметь
«+-)= 2 iSj
A9.8)
Комплекснозначные функции Wn удовлетворяют урав-
нению
4- {-k -l It) w» (ж- v = п» i(Ж) у)-

§ 19] УЧЕТ ОБЪЕМНЫХ СИЛ 165
Здесь
, у) - (- 1)п П_„„ (х, -у) =
О
(г = ж; у>0; и = 0, ± 1, ±2, ...), A9.10)
PniXi У) — произвольный полином от у степени \п\ — 2,
П„B, г) — коэффициенты разложения
П(г,г,9)= 2 Hn(z,r)e**. A9.11)
При вычислении напряжений могут быть использова-
ны формулы A.10)—A.11), где деформации определены
равенствами A.9). Для суммы нормальных напряжений и
объемного расширения легко получить
oz + от + о-е = ^ - f±J П (z, г, 9). A9.12)
Интегрирование в A9.8) и A9.10) производится по пря-
мой линии, поэтому на контур области следует налагать
те же ограничения, что и в § 2. Однако полезно иметь в
виду, что функцию II(z, г, 6) можно произвольным обра-
зом доопределить вне пространственной области, занятой
телом. Таким способом в большинстве случаев удается
построить частное решение для тел, не удовлетворяющих
требованиям п. 3 § 2, а также тел с полостями. Достаточ-
но, чтобы потенциал П(г, г, 6) был однозначной и кусоч-
но-непрерывной функцией, а в окрестности оси симметрии
функции Пп(г, г) имели непрерывные производные по г
до |и|-го порядка включительно, причем значения этих
производных порядка ниже \п\, обращались в нуль
при г = 0.
В случае бесконечных тел объемные силы плоского
состояния можно получать интегрированием через беско-
нечно удаленную точку, как в § 3. Тогда формулы A9.8)—

166 НЕОСЕСИММЕТРИЧНЫЕ ЗАДАЧИ ДЛЯ ТЕЛ ВРАЩЕНИЯ [ГЛ. III
A9.10) заменяются следующими:
**- 2 ?!?"'.c»>4-f)#-V».
2G (и + iv) =
. A9.14)
Переменная интегрирования (/ в A9.13) пробегает зна-
чения от —г до —оо и от -f оо до ~\-г.
Как видно из уравнений A.13), действие температуры
аналогично действию объемных сил, имеющих потенциал
A9.15)
Поэтому выражения перемещений частного решения
можно находить изложенным выше методом. В соответст-
вии с A.10) к каждому нормальному напряжению необхо-
димо добавить величину —aET°/(l — 2v).
2. Функция Wn(x, у) определяется равенством A9.9),
которое представляет собой комплексное дифференциаль-
ное уравнение. Частное решение этого уравнения может
быть представлено формулой Д. Помпею (см., например,
[93], стр. 667)
±\\Unllix-y°\dx°dy\ A9.1В)
где ? ¦ = х + iy, а = х0 + ij/o» ^* — плоская область,
в которой определена функция Пп ц (х, у). Формула A9.16)
справедлива при сравнительно слабых ограничениях, на-
лагаемых на Плп (х, у) (подробнее см. [93], стр. 669, а так-
же [51]).

§ 19J УЧЕТ ОБЪЕМНЫХ СИЛ 167
Если Ппц(#, у) представлена аналитическим выраже-
нием, то функция Wn(x, у) (при некоторых оговорках,
[93], стр. 664) может быть найдена более простым путем.
Пользуясь соотношениями
введем функции П°(?,?) и И7"^,^) такие, что
П„ц (х, у) = П„, (Щ Ц^) = П°(С, I),
wn (х, у) = wn E+1, Ц1?) = ^ (с, I).
Аргументы ? и ? этих функций будем формально счи-
тать независимыми переменными. Тогда вместо A9.9)
будем иметь
откуда
¦WHU^In^UK, A9.17)
где интеграл вычисляется при постоянном ^.
Если потенциал Щг, г, 0) и температура T°(z, r, 0)
являются гармоническими функциями (для температуры
это имеет место в случае установившегося потока тепла),
то соответствующие плоские потенциалы Пп ц (х, у) также
будут гармоническими функциями. Введем аналитические
функции Xn(t,) соотношениями
« + Х'-п (С)] = Пя, (х, у) + П_„в (х, у),
Re I [Х'п (С) - XLn (С)] = Шп| (х, у) - Щ_в| (ж, у). A9.18)
Тогда
U(z,r,Q)= S «lne5nx;, A9.19)

168 НЕОСЕСИММЕТРИЧНЫЕ ЗАДАЧИ ДЛЯ ТЕЛ ВРАЩЕНИЯ [ГЛ. III
где операторы Sn определены равенством A4.4) при про-
извольном пути интегрирования.
Этот метод был использован в работе [186] при реше-
нии осесимметричной задачи термоупругости для сферы.
Частное решение осесимметричной задачи в некоторых
случаях бывает удобно находить в помощью соотношений
* + 19Н=«ПA,г), ^=?, A9.20)
dz ¦ г дг 2.G ч ' " or dz' v '
не противоречащих A.13). Если, например, II зависит
лишь от одной из переменных z или г, то
w = -^ \ П (z) dz, и — 0
или
Если -|г(у2Л) = 0, то
Ж (w + iu) = -у BР - Ф, + 2z ^i), A9.21)
где Р — вещественная, а Ф1 — комплексная функции,
определяемые равенствами
(
2 Or'
A9.22)
Иной метод получения частного решения приведен в
§ 32.

Г л а в а IV
ТРАНСВЕРСАЛЬНО-ИЗОТРОПНАЯ СРЕДА. СТАТИЧЕСКИЕ
И СТАЦИОНАРНЫЕ ДИНАМИЧЕСКИЕ ЗАДАЧИ
Как уже было отмечено в § 4, метод наложений может
быть использован не только для изотропных тел, но и для
тел из трансверсально-изотропного материала.
Компоненты напряжения и перемещения вспомогатель-
ных двумерных состояний выражаются через функции
комплексных переменных также и в случае трансверсаль-
но-изотропных тел, что позволяет получить соответствую-
щие представления компонентов пространственного
состояния. Эти представления приведены в § 20 и исполь-
зуются в дальнейшем при решении задач для сферы, эл-
липсоида, параболоида и двухполостного гиперболоида
вращения.
Последний параграф посвящен решению некоторых
стационарных динамических задач для изотропных и
трансверсально-изотропных нагретых тел.
Настоящая глава написана по материалам работ
[26-31, 55, 56].
§ 20. Основные представления
для трансверсально-изотропных тел
1. Трансверсальная изотропия является частным слу-
чаем анизотропии, когда упругие свойства среды различ-
ны в направлении оси z и по перпендикуляру к ней, но не
зависят от направления в плоскостях, перпендикулярных
оси z (плоскостях изотропии).
Формулы обобщенного закона Гука в цилиндрических
координатах имеют вид [82, 151]
в,= J-[cr,-v,(crr + cre)l + -a,7li,
8r = y- (<*т ~ vrcre) -?оя + агТ°,
Г . Z

170
ТРАНСВЕРСАЛЬНО-ИЗОТРОПНАЯ СРЕДА
[ГЛ. IV
89 = ~
B0.1)
1 1 1 ( + \)
Ухт = -д-хгт, Yz9 = g-^9, Yr9 = q~ Ir9 = ? Тг9.
z % г т
B0.2)
Здесь ?z и Ет — модули упругости соответственно в
направлении оси z и в плоскости изотропии, vz — коэф-
фициент Пуассона, характеризующий поперечное сжатие
в радиальном направлении при растяжении вдоль оси
z и наоборот, vr — коэффициент Пуассона, характеризую-
щий поперечное сжатие в плоскости изотропии при растя-
жении в той же плоскости, Gz и Gr — модули сдвига для
плоскостей, которые параллельны или перпендикулярны
оси z, az и аг — коэффициенты температурного расшире-
ния в соответствующих направлениях.
Дифференциальные уравнения равновесия A.8) и соот-
ношения A.9) между деформациями и перемещениями
одинаково пригодны как для изотропных, так и анизот-
ропных тел.
Вспомогательные двумерные состояния плоской де-
формации и депланации будем считать возникающими в
цилиндрах, которые имеют в каждой своей точке плоскость
упругой симметрии, перпендикулярную образующей,
т. е. оси т|.
Считая, что ось х вспомогательных состояний совме-
щается с осью z цилиндрической системы координат, для
состояния плоской деформации анизотропного цилиндра
при отсутствии объемных сил и температур будем
иметь [82]
B0.3)
Щ и = Re
a«l = -R
Сту I, = Re [q>i (?0 + (f'i(li)\,
Е
Е
xxyi=
= Re [A - 80 «pi E0 + A - e2) <p'8 (?,)],
-Re [iyl4>\ E0 + *Y.<P2(?.)]• B0.4)

20]
ОСНОВНЫЕ ПРЕДСТАВЛЕНИЯ
171
Здесь Yi и у2 — корни характеристического уравнения
B0.5)
= 1 _ Vr + vz ^
/ = 1, 2).
B0.6)
Через 9i(Si) и Ф2(?г) обозначены функции двух различ-
ных комплексных переменных ?j=x/yj-\-iy, определенные
A'
1 щ
Рис. 4.1.
н области!), занятой поперечным сечением цилиндра.
Если ввести обозначения
х, = Re?; =
11
y} = Im t,; = -
¦—
Im ys + у,
B0.7)
то 9i(Si) и Ф2(?г) можно рассматривать как функции
обычных комплексных переменных, ?х = хх -f- JJ/i и ?2 =
б
= ж2
р ?х х i
гу2, голоморфные соответственно в областях
D фф
2 + у2, рф г
и Д2, которые получаются из D путем аффинного преобра-
зования B0.7) при / = 1 и / = 2 (рис. 4.1).

172 ТРАНСВЕРСАЛЬНО-ИЗОТРОПНАЯ СРЕДА [ГЛ. IV
Из четырех корней характеристического уравнения
B0.5) в решении B0.3) используются такие два корня Yi
и у2, для которых Re Yi > 0, Re y2 > 0. Другими корня-
ми являются —Yi и —Y2-
При Yi = Y2 = 1 упругая среда является изотропной.
Когда Yi = Y2 Ф 1 решение строится аналогично решению
для изотропной среды и здесь рассматриваться не будет.
Чисто мнимых корней уравнение B0.5) не имеет [82],
а комплексные корни являются взаимно сопряженными.
Таким образом, требуют рассмотрения два случая корней
Yi и Y2 характеристического уравнения: первый случай,
когда эти корни вещественны и различны, и второй слу-
чай, когда они комплексно-сопряженные. При этом имеют
место следующие соотношения:
У] = Ту > °. Pi = Pi* Qj = ?/. eJ = Ч ПРИ Im У] = °>
Y/ = Чз-h Re У} > °. Р) = Ps-ji Ь = й-/.
в, = !3-} при Im Yi ф 0 (/ = 1, 2). B0.8)
Введем обозначение t,*j — x/yj — iy. Очевидно, что
I] = Сз-i при Im у}ф 0 (/ = 1,2). B0.9)
Отметим, что представления B0.1)—B0.6) несколько
отличаются от представлений, полученных в монографии
[82 ]. Для приведения к этим последним достаточно поло-
жить \U = iyj, заменить t,} на yjt,j, а правую часть фор-
мул B0.6) разделить на Yj-
Для вспомогательного состояния депланации при от-
сутствии объемных сил можно получить [82]
Re [iYs?3 (?я)]. тети = — Re фз (t,3),
= 1/JT. ffa = -ff-. B0.10)
При учете температурных деформаций и напряжений
в формулы B0.4) следует ввести члены, зависящие от тем-

§ 20] ОСНОВНЫЕ ПРЕДСТАВЛЕНИЯ 173
пературы Тц(ж, у). Когда температурное поле является
установившимся, источники тепла внутри тела отсутст-
вуют, функция Т\ удовлетворяет уравнению теплопровод-
ности
[ё Щи*,у) = \ B0.Н)
где kz и кт — коэффициенты теплопроводности в направ-
лении оси симметрии и перпендикулярно к ней.
Примем Т\ за вещественную часть некоторой анали-
тической функции:
Т. = ]/¦?
Тогда для перемещений можно получить следующие
формулы [151]:
Мхи = Re [/>офо (?„)], uy| =Re[ig-090(y], ичл=0,
B0.13)
где
B0.14)
Сопоставляя B0.13) с B0.3), видим, что при учете тем-
ператур выражения перемещений пополняются еще одним
слагаемым такого же типа, как и предыдущие.
Легко убедиться, что то же самое будет справедливо и
для напряжений, если положить
Ч = 1 ~ vr + Ы + arg0) J. B0.14а)
Напряжения депланации t^i и тут1у отсутствуют.

174 ТРАНСВЕРСАЛЬНО-ИЗОТРОПНАЯ СРЕДА [Гл. XV
Величины у0 и у3 всегда вещественны, поэтому равен-
ства B0.8)—B0.9) распространяются на случай / = 0
и / = 3.
2. Перейдем к пространственным задачам для тел вра-
щения. При помощи тех же рассуждений, что и в § 14,
можно получить следующие выражения для перемещений:
оо оо
iv — ^ е Sn (pjtynj)i и -\- iv = i ^ егп Sn±i (Qjtyn])*
71 = — ОО " П = — ОО
B0.15)
где
л B0.16)
B0.17)
ti=~+ir, t* = j--ir, /,3 = 0, r>0, Г„(*)-
полиномы Чебышева первого рода.
Функции <Pnj(?j) голоморфны в соответствующих об-
ластях Dj, которые получаются из области D, занятой
меридиональным сечением тела вращения, путем аффин-
ного преобразования B0.7). Путь интегрирования для
каждого номера / лежит в своей области Dj и может выби-
раться произвольно. Взаимное расположение линии ин-
тегрирования и линии разветвления радикала назнача-
ется с учетом соображений п. 1 § 6.
Будем полагать, что эти функции удовлетворяют усло-
виям
= 0, У —0,1,2),
, / = 1,2),
G = 3), B0.18)
соответствующим A4.11). Перемещения при этом будут
вещественными величинами.

§ 20| ОСНОВНЫЕ ПРЕДСТАВЛЕНИЯ 175
Когда тело вращения имеет конечные размеры, анали-
тические функции содержат составляющие, не влияющие
ни на напряжения, ни на перемещения. Для устранения
произвола эти функции следует подчинить некоторым
дополнительным условиям. Как будет показано в § 21,
без ущерба для общности можно положить
ФЙ? @) = 0 (т < \п\ - 2; \га| > 2; / = 1,2, 3),
ФЙ"-1)(О) = О (Н>1, / = 1,2),
4° 0 B0.19)
(здесь предполагается, что начало координат находится
внутри тела). Условия B0.19) устраняют все произволь-
ные составляющие.
Формулы напряжений имеют вид
<*, = - 2 eMSon(hjv'n}),
П=— оо
аг -сте + 2irrB = 2 einBS°n+2(Bj4,'nj), B0.20)
j
П= —ею
(^ = vl при /#3, /г3 = 0, е3 = 2, г > 0).
Для точек оси симметрии легко получить
2 з
и; (г, 0, в) = Ц ^ф0/, (и + i»)|,=o = i 2
io
^ф0/ )|
i=o i=o
2 2
cr2 (z, 0, в) = — Ц yfф0;, (<тГ + oo)|r^o = 2 B — e,) ф^,
j=0 j=0
3
(crr - (T6 + 24тгв)|,=о = e~2i° 2 e;cp-2,i,
3
(тгг + iTz0)Jr=o = - ie~ib 2 Т^Ф-i.j, Ф»; = Ф»; (г'Уз)-
3~° B0.21)

176 ТРАНСВЕРСАЛЬНО-ИЗОТРОПНАЯ СРЕДА [ГЛ. IV
Распределенные силы рг, рг, Рв, действующие на эле-
мент поверхности вращения S, по-прежнему выражаются
формулами A4.21), где в случае трансверсально-изотроп-
ного тела следует полагать
Ф1п (s) - - 4 Sl+i (yfФп,),
B0-22>
Составляющие главных вектора и момента связаны
с аналитическими функциями формулами
Z =- 2nirS4{hj%}), То + iTnl2 = -2nrS\ (у, ф_и^
г = 2r*ya J ф03 (С)
Мг = 2r*ya J ф03 (С) <?аз (С, *. г)
Мо + Шя/з - 2яг [zS^v^-Li) + <г5,(Л/р_и)]. B0.23)
Обозначения в левых частях этих равенств те же, что и
в формулах A4.23)—A4.26).
3. Полученные в предыдущем пункте результаты при-
годны и в случае упругого пространства с осесимметрич-
ной полостью. Будем предполагать, что напряжения и
перемещения исчезают на бесконечности. Функции
Фп^(СЛ также следует считать исчезающими на бесконеч-
ности. Кроме того, как будет показано в § 21, условие
непрерывности перемещений на оси симметрии приводит
к равенствам
; / = о,1,2,3),
2 3
2 pj lim С>„; (?,) - 0, 2 V- lim ^"Фп; (W= 0,
/=о tj-00 j=o ^ Ej-00
2 ^ИтГ^+1ФпЛ^)-^Ит^ФпДЫ-0
2
зФо3(У = 0. B0.24)

§ 20] ОСНОВНЫЕ ПРЕДСТАВЛЕНИЯ 177
При выполнении этих условий путь интегрирования
в B0.16) может проходить как ниже полости (и ниже линии
разветвления радикала), так и выше полости (и выше ли-
нии разветвления радикала, см. § 7). Интегрирование
через бесконечно удаленную точку возможно лишь в слу-
чае, когда lim ?'"' ф„ИУ = ° (?j->«>).4
Формулы B0.21) справедливы для точек, лежащих на
оси симметрии ниже полости. Для точек, расположенных
выше полости, знак правой части меняется на противо-
положный.
Составляющие главных вектора и момента сил, при-
ложенных к полости, связаны с предельными значениями
на бесконечности функций Ф„;(?у) соотношениями, соот-
ветствующими A4.27),
2 т
з
Т°о + 1Т°я/2 = Ш 2 У} Пт Ej<P-i,i (W,
MI = — 8niy3 lim ?зфоз (?з).
2
= - 8nil> lim fC?<p-j.i(E/) - 1} lim С/Ф-и
B0.25)
4. Температуры пространственного состояния будут
выражаться формулами, вытекающими из B0.12),
Т°(*,г,В)=* 2 T°n(*,r)e<»*,
tl——оо
и
Tl - Т\ - jjib- J Ф;о (Q Qno (Со, z, г) с%0. B0.26).
Легко убедиться, что функция T°(z, r, 8) удовлетво-
ряет уравнению теплопроводности
12 а. Я. Александров, Ю. И. Соловьев

178 ТРАНСВЕРСАЛЬНО-ИЗОТРОПНАЯ СРЕДА [ГЛ. IV
Равенства B0.26) могут быть использованы для реше-
ния соответствующей температурной задачи по заданным
на поверхности значениям Т°. В результате решения
функции фпо(Со) будут найдены. Эти же равенства исполь-
зуются для определения Ф„о(?о) и в том случае, когда поле
температур уже получено и может считаться заданным.
Используя формулы обращения типа B.22), будем иметь
,) - (—1)"фп0(Св) = Фпо(?о) - <P-fi.o(W = Fn(x, У),
V
Fn (*, У) = ^ J Т°п (х, г) ТЫ (-f) -^== + /„ (х, у),
2Я „
¦* n\z,i) — 2^ ) ¦* ^z>'' и) е ао> In 1Ж» У) А лпк \х> У •
B0.28)
Коэффициенты А пн(х) Должны быть назначены таким
образом, чтобы вещественные функции i(Fn + F-n) и
(Fn — F-n) были гармоническими функциями перемен-
ных х/у0 и I/. Тогда
Re [Фпо (Со) - Ф-п,о (С,)] = 4"[F» (*' ^ ~" F-n (ж- *М'
Im [Фп0 (С„) + ф_п>0 (С,)] = -^ [/"„ (х, У) + F-n (x, у)],
B0.29)
и аналитические функции фп0 (t,0) ± ф_„>0 (^0) легко опре-
деляются по своей вещественной или мнимой части.
Интегрирование в B0.28) производится по прямой
х = const. Поэтому указанный здесь прием пригоден
лишь для той части DOit. области Do, в которой точки t0 и
t0 соединяются прямыми, целиком лежащими внутри DOil..
В остальной части Do функции ф^0(?0) могут быть опре-
делены путем аналитического продолжения.

§ 21] СФЕРА И ЭЛЛИПСОИД ВРАЩЕНИЙ 179
Когда область включает бесконечно удаленную точку,
iwojkho использовать соотношения § 3. При этом
Re [Ф„„ (У + Ф-п,о (?,)] = -Г [Fn (*• V) ± F— (x> »)!•
1га [Фпо (?„) - ф_„,0 (?„)] = ± 1^» (*, У) - F-n (*, У)],
5. В том случае, когда аналитические функции пред-
ставлены интегралами типа Коши
_ 1 Hnj(aj)
— Sri J a,-
где С; — аффикс текущей точки контура Lj, ограничива-
ющего область Dj, fnj(Oj) — плотности интегралов, удов-
летворяющие условиям
fnj(oj) = (- l)»/-n,j(gj) (ImTy = 0, / = 0,1, 2),
Lj Ш = (- 1)" /-„,3-i(^-i) (Im ?; ^= 0, у - 1, 2),
Ы*/) = (-1)п+1/-п.,-(а/) G = 3), B0.32)
то для перемещений и напряжений можно получить выра-
жения, содержащие интегралы по контурам Lj. Ход рас-
суждений здесь тот же, что и в п. 5 § 14. В формуле B0.16)
интеграл по дуге t*tj заменяется интегралом по контуру
Lj, фуНКЦИИ 4>nj(Z,j) —ПЛОТНОСТЯМИ/пДО;), ПОЛИНОМЫ Ть —
выражениями
§ 21. Внешняя и внутренняя задачи
дли трансверсально-изотропных сферы
и эллипсоида вращения
1. Будем предполагать, что изменение температуры и
объемные силы отсутствуют. Функции q>j(t,j) (/' = 1, 2, 3),
решающие задачу, голоморфны в плоских областях Dj,
12*

180 ТРАНСВЕРСАЛЬНО-ИЗОТРОПНАЯ СРЕДА [ГЛ. IV
которые получаются из области D, занятой меридиональ-
ным сечением тела, при помощи аффинного преобразова-
ния B0.7). В случае эллипсоида область D является эллип-
сом. Области Dj также эллипсы, но имеющие иные разме-
ры и ориентацию на плоскости.
Введем еще одно аффинное преобразование, превраща-
ющее области D) в эллипсы D]it., фокусы которых располо-
жены в точках ±1 на оси х. Пусть центр эллипсоида на-
ходится в начале координат, ось симметрии совпадает
с осью z, соответствующая полуось имеет размер а, радиус
поперечного сечения в плоскости z = 0 равен Ъ. Тогда
требуемое преобразование дается формулами
^-1/'4-*'- B1-1)
Разрешая равенства B1.1) относительно х,у ш подстав-
ляя в уравнение эллипса г7аа + уа/Ь2 = 1, легко убедить-
ся, что Х)ъ и У]ъ будут удовлетворять уравнению
xfJaJ* + yfjbf, = 1, где ajf. и Ь/* — некоторые веще-
ственные величины, причем ajt — bf» = 1.
Руководствуясь теми же соображениями, что и в § 18,
функции фпу(^) будем разлагать в ряды по полиномам
Лежандра Pm(x}^ -j- iy}it.) или по функциям Лежандра
второго рода Qmix}* + ^*)> полагая
«P»j(W= 2>"nmlFm(Zj) (/ = 1,2,3), B1.2)
m=0
где Fw (gy) = cj1^ (C;/o) ПРИ решении внутренней за-
дачи и Fm(Z,j) = cJm~xQmi&jlCj) при решении внешней
задачи.
Выше не было сделано никаких оговорок относительно
значений а и Ъ, так что возможны случаи, когда а > Ъ '
(эллипсоид вытянут вдоль оси z) и а<С.Ь (эллипсоид ,
сплюснут в полюсах). Сфера может рассматриваться как ¦
частный случай эллипсоида при о = Ъ.

§ 21] СФЕРА И ЭЛЛИПСОИД ВРАЩЕНИЯ 181
Параметр cj является комплексной величиной при у)
комплексном и вещественной величиной при у) веществен-
ном. В последнем случае с? > 0, когда эллипс Dj вытянут
вдоль оси X}, и cj < 0, когда от сжат. Может также ока-
заться, что область Dj — круг и с} = 0. ~То.гда в B1.2)
будем полагать Fm (?/)=?™ для внутренней задачи и
^т(^) — ^Г™ Для внешней задачи.
Условия B0.18) приводят к соотношениям
«nm/ = (-l)na-n>m/ (Im Vj = 0; / = 1, 2),
«W = (-1)па-п,т,з-у Aт У} Ф 0; / = 1, 2),
«nmi = (-l^SL..^ (/ = 3). B1.3)
Подставим B1.2) в формулы B0.15). Изменяя порядок
интегрирования и суммирования, получим следующие
формулы для перемещений:
оо оо 3
u+iv= 2 eine 2 S i?A»A+i,«i, B1.4)
где обозначено:
, 2, r) dtj. B1.5)
Этот интеграл может быть вычислен при помощи фор-
мул A7.4), A7.18) и A8.4), A8.5). Результат имеет вид
(m>\n\),
(л»<|я|), B1-6)
Здесь %) и [X/— переменные, вообще, комплексные,
связанные с координатами z, г соотношениями
= 0). B1.7)

182 ТРАНСВЕРСАЛЬНО-ИЗОТРОПНАЯ СРЕДА [ГЛ. IV
Переменная \ij стремится к +1, когда г->0 при
z > 0, и \ij ->¦ — 1, когда г->- 0 при z< 0.
Функции Lnm{kj) имеют разный вид для внешней и
внутренней задач, а также при ch равном или не рав-
ном нулю.
Если рассматривается внутренняя задача, то
g^f ) (', Ф 0, т > | п |),
+ ln\)XW (С} = 0,т>.\п\),
(m<\n\). B1.8)
Для внешней задачи следует полагать:
1 (М (^ # 0, m < | п |),
r1 («,-о, т>|П|),
B1.9)
Формулы напряжений получаются путем подстановки
B1.2) в B0.20) и использования B1.5), B1.6). Эти форму-
лы строятся по типу B1.4), и мы не будем их приводить.
2. Пусть рассматривается внутренняя задача. Легко
видеть, что функции <pn>(?./) обладают некоторым произ-
волом. Действительно, вследствие B1.8) величины ^пт]
равны нулю, когда т < |га|, и коэффициенты при них
в формулах B1.4) не влияют на перемещения. Кроме
того, переменная часть выражений Ann] и An,n+i,y
(п > 0), равная соответственно гп и zrn+1, не зависит от
j и может быть вынесена за знак внутренней суммы
в B1.4). Остающееся под знаком суммы выражение при
определенных соотношениях между коэффициентами так-
же не будет влиять на перемещения.

§ 21] СФЕРА И ЭЛЛИПСОИД ВРАЩЕНИЯ 183
Устраняя указанный произвол, без ущерба для общ-
ности положим:
anmj = О (т < |п| - 2, fnf > 2; / = 1, 2, 3),
e»,,»l-i./ = 0 (|п| > 1; / = 1, 2),
вп.шм = 0 (|п| > 1); Re ат1=а003 = 0. B1.10)
Имеющийся произвол можно использовать и иначе,
потребовав, чтобы производные от <pni(?/) вплоть до не-
которого порядка обращались в нуль при t,j = 0- Этим
путем были получены равенства B0.19), которые, очевид-
но, пригодны не только для эллипсоида, но и для любого
упругого конечного тела без полостей.
В случае внешней задачи необходимо обеспечить не-
прерывность перемещений на оси симметрии выше поло-
сти. Причиной нарушения непрерывности являются функ-
ции Рто'"' (f*j) при т < |га|, п Ф 0, которые обращаются
в бесконечность, когда Ц/->- —1.
Представим Fm (?;) в форме степенного ряда, исполь-
зуя разложение
^ 2 Bm + 3)
Вычислим интеграл B1.5) и учтем, что
п/2[1 + (ш —ге + 1)Х
(л>0; т = п — 1, п — 2).
Тогда
Лп,„-и = (- 20"an-li;r-« + 0A) (п > 1),
Лп>„-2,; = - (- 2?)" ^ а„_2 J zr-" + О A) (и > 2)
и т. д.
Здесь ат,-=1 при Су=0 и ат/ - 2т(т!J[B7п+1)П-1
при Cj ф 0.

184 ТРАНСВЕРСАЛЬНО-ИЗОТРОПНАЯ СРЕДА [ГЛ. IV
Непрерывность перемещений будет обеспечена, если;
положить
апт} = 0 (т = 0, 1, . . . |л| - 2; \п\ > 2; / = 1, 2, 3), ,
2 3 й
i,ian,n-i,j — 0, ^j " a"-i.ian."-i.i ~ 0> ¦
з ;
2 Ч&прпп! = 0 (л > 1), ?!«„„! + ?2aoe2 = 0, aoe3 = 0. •
J — 1 м
B1.11):
Отметим, что отсюда и вытекают соотношения B0.24), Ч
которые пригодны для случая произвольной осесиммет-'
ричной полости. \
3. Перейдем к граничным задачам. Запишем уравне-1
ние поверхности эллипсоида (или сферы) в параметриче-1
ской форме: >
z = a cos tj, [
r = bsinii. B1.12) |
Легко видеть, что в случае эллипсоида (как вытянуто- [
го, так и сплюснутого) переменная т) совпадает с одноимен- ;|.
ной координатой эллиптической системы координат ¦
(см. рис. 3.6, 3.7). В случае сферы т] = fl, где 0 — поляр- ~
ный угол сферической системы координат. !.
Подставляя B1.12) в B1.-7) и разрешая полученные ;
равенства относительно kj и \ij, для граничных точек бу- 'ч
дем иметь •"
= х
/ = 1,2,3. B1.13)
Пусть на поверхности эллипсоида заданы внешние
силы, представленные в форме рядов A8.13). В* случае
сферы нагрузки будем задавать рядами A7.11).
Подставим B1.2) в B0.22), а затем в A4.21). При помо-
щи тех же рассуждений, что и в § 18, после выкладок

, 21] СФЕРА И ЭЛЛИПСОИД ВРАЩЕНИЯ 185
получим
3 _
2 [anmjMn+l,mi — ffl-n,mjAf_n+1,my] = 2iC
2 I
» = 0, ±1,±2, ... B1.14)
Здесь
MnmJ = 8nmy]Lnm(hJO),}
+ п) (п ^ 1),
Равенства B1.14) образуют систему линейных алгебра-
ических уравнений, которая решается совместно с B1.10)
и B1.11) при учете B1.3). В случае внутренней задачи не-
которые коэффициенты, связанные с жестким смещением
тела, остаются неопределенными. Для устранения про-
извола следует полагать с002 = % = а,,^ = вю3 =
= аш = 0.
Когда на поверхности эллипсоида или сферы заданы
перемещения рядами A7.7), система уравнений принимает
вид
2
2 Р^пш^пш (К) =Апт (
3
л = 0,±1,±2,... B1.15)
4. Рассмотрим некоторые задачи о концентрации на-
пряжений около эллипсоидальной полости.
Пусть на бесконечности задано однородное состояние,
соответствующее растяжению в направлении оси z силами
/'ив радиальном направлении силами q. При помощи
формул п. 3 получим

486 ТРАНСВЕРСАЛЬНО-ИЗОТРОПНАЯ СРЕДА [ГЛ. IV
где
(/ = 1,2), Л = 3-/. B1.16)
Когда р = 1, g = 0, максимальное напряжение имеет
место у экваториальных точек полости. Значение oz в этих
точках численно равно коэффициенту концентрации на-
пряжений и выражается формулой
а* = 4 + a4;(^2<?ii - Y2^<?12). B1.17)
Когда р — 0, д = 1, максимальная концентрация на-
пряжений наблюдается в полярной точке полости, где
<хг = <хе = 1 + ^-r (y! - y!) <?ii<?i2- B1-18)
Достаточно просто решается также задача о влиянии
эллипсоидальной полости на поле чистого изгиба в ради-
альном направлении. Максимальное возмущение напря-
женного состояния, как и в предыдущем случае, имеет
место у полярной точки полости. При этом
B1.19)
Распределение напряжений вблизи полости во всех
рассмотренных случаях качественно такое же, как и в изо-
тропном случае, хотя количественная разница может
быть существенной и тем большей, чем больше отноше-
ние Ыа.
Результаты числовых расчетов по формулам B1.17)—
B1.19) для различных значений упругих постоянных
приведены в работе [27]. Там же получены графики на-
пряжений на поверхности эллипсоидальной полости при

СФКРА И ЭЛЛИПСОИД ВРАЩЕНИЯ
187
одноосном растяжении на бесконечности в направлении
0-0.
ч
2,6
2,2
is
@
\
^44v
18
b/a 0
Рис. 4.2.
К..
ч
\
^\
ч
\
ч
??
Ег 1
5
2,6
2,2
.1,8
0 0.2 0,4 0,6 0,8 Ь/а 0 0,2 0А 0,6 0,8 Ь/а
т 6) г
Рис. 4.3.
На рис. 4.2 показаны некоторые из графиков напряже-
ний в наиболее характерных точках поверхности полости:
в полюсе A(z = а, г = 0, 9 = л/2) (рис. 4.2,jz) и в эква-
16
2,2
18
Г.-
ч
\
>
@
\
ч
:>
тг~г
0,25
ч

188 ТРАНСВЕРСАЛЬНО-ИЗОТРОЛНАЯ СРЕДА [ГЛ. Г\ГГ
t
ториальной точке В (z = 0, г = Ъ, 9 = я/2) (рис. 4.2, б):
Сплошной линией изображены кривые для случая EJGZ —
= 5, штрих-пунктиром — для Ez/Gz = 7, штриховой ли-
нией — для изотропного материала. Все коэффициенты
Пуассона приняты одинаковыми vr = vz = v = 0,3.
Рис. 4.3 иллюстрирует влияние на концентрацию на-
пряжений в полюсе А (рис. 4.3, я) и в экваториальной точ-_
ке В (рис. 4.3, б) коэффициентов Пуассона при EJGZ = 5.*
Сплошные кривые относятся к случаю vz = 0,3, vr =.-
= 0,1, штрих-пунктирные — к случаю vz = 0,1, vr = 0,3J
§ 22. Трансверсально-изотропные параболоид
и двуполостный гиперболоид вращения
1. Рассмотрим напряженное состояние трансверсаль-
но-изотропного параболоида вращения, фокус которого/:
находится в начале координат, а фокальный параметр ра-
вен р.
Область D ограничена параболой х — —^ (р — yVp)-i
Границы областей D] при помощи аффинного преобразовав
ния
I)* = *л + У* = УЛ] + -f (Y? - 1) = ¦
==x+iyjy+-E_ (vJ_l)J
приведем к параболам
которые имеют общий фокус в начале координат.
Голоморфные в Dj функции Ф„;(^) будем разыскивать
в виде интегралов
где Jo — функция Бесселя первого рода, т — вещест-"
венная переменная, ап)(х) — подлежащие определении»:

§ 22] ПАРАБОЛОИД И ГИПЕРБОЛОИД ВРАЩЕНИЯ 189
функции, которые в силу B0.18) подчинены условиям
anj =~a-n<} (Im у} = 0; / = 1, 2),
«nj-e-n.H (lmy,^0, / = 1,2), B2.2)
anJ = —*_„,, (/ = 3).
Подставим B2.1) в B0.15) и изменим в полученных вы-
ражениях порядок интегрирования.
Как отмечено в [55], внутренние интегралы вида
] B2.3)
могут быть вычислены при помощи теоремы сложения для
бесселевых функций и равны
Ап1 = /,„,/,„, B2.4)
C|nl = /|т.А), /|n| = /|i.|(^), Л, = T|i( Ц = VT\j),
где переменные |^, т]^, вещественные при Im yj — 0 и комп-
лексные при Im Yi # 0, связаны с z и г соотношениями
* = 4-КЕ?-Я?)-р(т?-1)], г = ^/7,. B2.5)
Будем считать, что когда г = 0, то % = 0 при
z > jo (Re 7у —1)/2 и 1-j = 0 в противном случае.
Выражения для перемещений принимают вид
w
= 21
2 ~
2 р, J ani/|nl/|7l|dx,
и + iv = - 2 е<пв sign(" + Т"J ?П O
П=-оо • Ч * > ,=1 -J
B2.6)

190 ТРАНСВЕРСАЛЫЮ-ИЗОТРОПНАЯ СРЕДА [ГЛ. IV
При вычислении интегралов от производных, входящих
в формулы B0.20), можно воспользоваться соотношениями
V,T /«. * — ШР г — |Я| ) /9Q 7v
Вытекающие отсюда выражения для напряжений оче-;
видны. '-
Перейдем к граничным задачам. Записывая уравнение
параболоида в параметрической форме \
z = -?-(/> — т]2), г = Ург\,
для граничных точек получим
4 = 4, b = bo = yjVl 0" = 1-2,3). B2.8j
Пусть на поверхности параболоида заданы перемеще-
ния в форме
П=-00
7
«»9 \An(x)Jm(xrl)xdr,
= —cx>
и + iv = ^ е« | Я„ (т) /|в+1| (тц) т dx, B2.9;
где функции Ап(х) и fln(x) могут быть определены при
помощи разложения Ханкеля
00 00
1{x)=\jk{xx)xdx\i(y)J1l(xy)ydy @<^<оо)
о о
(на функции/(а:) при этом налагаются определенные огра-
ничения [154]).

§ 22] ПАРАБОЛОИД И ГИПЕРБОЛОИД ВРАЩЕНИЯ 191
Сопоставляя B2.9) и B2.6) и принимая во внимание
B2.8), получим систему уравнений для определения
2
2 Pianj Ь) 1\п\ (ТБ/О) = ГАП (Т),
з / 1 \
2 g,anj (т) /m+ii (т|/о) = - Tfln (т) sign ^в + -g-j,
в=.О, ±1, d=2,... B2.10)
Таким же образом строится решение задачи, когда на
поверхности параболоида заданы внешние силы
==f=i \ cn (т) J\n\ (тгО т dxt
Pr + iPe = 2^ n/—г—г I °" (т) ¦''т+и (Ttl)T dT- B2.11)
После преобразований будем иметь
3
)=1
=« 2Dn (t) sign (« + 4)> « = 0, ± 1, ± 2, ... B2.12)
Эти равенства составляют систему уравнений для опре-
деления функций anj(x).
2. В предыдущем пункте было использовано представ-
ление аналитических функций при помощи некоторого
несобственного интеграла. Аналогичный прием дает воз-
можность решать граничные задачи и для гиперболоида
вращения.

192 ТРАНСВЕРСАЛЬНО-ИЗОТРОПНАЯ СРЕДА (ГЛ,
Пусть тело ограничено поверхностью
^i A < Я, < оо) B2.13)^
и содержит внутри себя ось z при z >- а.
Поверхность B2.13) является одной из полостей дву-
полостного гиперболоида вращения с полуосями а и Ь.
Введя комплексные переменные 4
%
приведем границы областей Dt к софокусным гиперболам Ч
xl/al-yfjbl^l,l l
Следуя [55], аналитические функции будем искать
в виде
i{nlUnJ(x)P,(^)dx, v--4 + ". B2.14)
о
Здесь Pv(?j#) — сферические функции Лежандра с
комплексным значком; функции anj(x) подчинены усло-
виям B2.2).
Воспользуемся равенством (см. [55])
Л^ ^ ^" J Pv (Itlcj) Qnj (С/, z, r) Kj = Ln)MnJ, B2.15)
* ':
где

221 ПАРАБОЛОИД И ГИПЕРБОЛОИД ВРАЩЕНИЯ 193
) я \lj — переменные величины такие, что
Z = CjyjKjPj, r = Cj У%] — 1 ]/l - [if,
причем %.] = 1 при г = 0.
Подставляя B2.14) и B0.15) и учитывая B2.15), полу-
чим выражения для перемещений
и>= 2 «1пв2 P)]an]Ln]Mn}dx,
П=—оо j=l о
оо 3 °°
B2.17)
При вычислении напряжений полезно иметь в виду, что
H
Пусть на поверхности тела заданы перемещения в фор-
ме интегралов
u+iv=- S е'пЧБп(т)^1"+1|(^)^х, B2.18)
n=-oo JJ
]де коэффициенты -4П(Х) и ^п(т) могут быть найдены при
13 а, я. Александров, Ю. И. Соловьев

194 ТРАНСВЕРСАЛЬНО-ИЗОТРОПНАЯ СРЕДА |ГЛ. 1У|
Ш
помощи обобщенного разложения Мелера — Фока 1154]*
/(*) = (-1)"|хthяхР*(.г)dx]rr
Принимая во внимание, что для контурных точек
из сравнения B2.17) и B2.18) получим i
2 з l\
Zi PianjMn) = An, 21 4)aniMn^\,i= Bn sign [re + -I,
и=0,-±1, ±2, ... B2.19).
При ладанных «нешних силах
oo
f Dn (x) P^+u (Я) dx
0
B2.20)
будем иметь
з
3 / \
2| ^- [еуЛ/;,+2.; + B - e,) A/lnil] «ni - 2Dn sign (и + |), ,
n = 0, ±1, ±2, .., B2.21)
),
) {22'22)

;,. 33] СТАЦИОНАРНЫЕ ДИНАМИЧЕСКИЙ ЗАДАЧИ 195
Значения Mnj в B2.19) и B2.22) вычисляются по фор-
мулам B2.16) при \ij = \ij0.
Равенства B2.19) и B2.21) образуют систему уравнений
для определения аП](т) соответственно в случае второй и
первой основных задач для гиперболоида вращения.
По поводу полученных в настоящем параграфе реше-
ний необходимо сделать следующее замечание. Примене-
ние интегральных преобразований возможно лишь в том
случае, когда выполнены необходимые условия существо-
вания этих преобразований, что налагает определенные
ограничения на характер задаваемых перемещений и уси-
лий и их поведение в окрестности бесконечно удаленной
точки. Все эти вопросы адесь не рассматривались, но
должны быть выяснены при решении конкретных задач.
§ 23. Некоторые осесимметричные стационарные
динамические задачи теории упругости
для изотропных и трансверсально-изотропных тел
1. Начнем со случая плоской деформации цилиндриче-
ского тела, имея в виду использовать полученные ре-
зультаты как основу для перехода к пространственным
задачам.
Перемещения и напряжения зависят от координат х, у
п времени t. Напряжения будут удовлетворять уравнени-
ям равновесия A.1), если положить
j до р — плотность материала. Формулы закона Гука
A.2)—A.5) и B0.1)—B0.2) остаются справедливыми со-
ответственно для изотропной и трансверсально-изотроп-
ной среды. То же самое относится к соотношениям A.6).
Будем предполагать, что возмущения распространя-
ются в направлении оси х с постоянной скоростью с. Вве-
дем подвижную координату х0 = х — ct. Тогда время
исключается из уравнений, а напряжения и перемещения
будут функциями лишь двух переменных х0 и у.
Начнем со случая изотропной среды. Подставляя вы-
ражения напряжений в уравнения равновесия A.1),
13»

196 ТРАНСВЕРСАЛЬНО-ИЗОТРОПНАЯ СРЕДА [ГЛ. IV*
после преобразований получим
где
2 _ 2G A — v) 2 _ G_ TJ __ а.Е то
Cl~(l —2v)p' 2 p' A—2v)p "
G — модуль сдвига, с,ис, — скорости волн расширения"
и искажения. Будем предполагать, что с<с!<с1.
Поле температур Т\ (х, у, t) при отсутствии источников
тепла удовлетворяет уравнению теплопроводности
д* Л. д* \ Т° — i д Т°
(а2 — коэффициент температуропроводности). После вве-
дения координаты х0 это уравнение принимает вид
Введем функции F(x0, у) и f(x0, у) равенствами
Тогда уравнения B3.2) приводятся к виду
dF df dF df
Отсюда видно, что F и / являются вещественной и мни-
мой частями некоторой аналитической функции комплекс-
ного переменного ?2 = хо/у2 + iy. Обозначим
if) = c^'2{U- B3.7)

§ 23] СТАЦИОНАРНЫЕ ДИНАМИЧЕСКИЕ ЗАДАЧИ 197
Будем рассматривать B3.5) как систему дифференци-
альных уравнений относительно их^ и иу ц, где F, /, U —
некоторые заданные функции. Частное решение, соответ-
ствующее этим последним функциям, найти нетрудно. При
пх отсутствии выражение —G(ux$ — ijiy^/yj) пред-
ставляет собой аналитическую функцию ц>х комплексного
переменного t,x = xoly1 -\- iy. В результате будем иметь
Guxl] = - Re [ф1 (&) + у\щ (?,)] - 4-^-о ^11,
Gwyl =1т[у1ф1(С1) + У2Ф2(О]-4-4'^11' B3<8)
где функция F$(x0, у) вводится соотношением
+ j^l^ B3-9)
Для ее определения можно воспользоваться приемом,
указанным в п. 2 § 19.
Несколько иной вывод формул B3.8) приведен в рабо-
тах [29-311.
2. Перейдем к осесимметричным задачам для тел вра-
щения.
Пусть T°(z, г, t) — осесимметричное поле температур.
Уравнение теплопроводности имеет вид
Когда возмущение распространяется вдоль оси сим-
метрии z с постоянной скоростью с, перемещения, напря-
жения и температуры зависят лишь от двух переменных
z0 = z — ct иг. Уравнение B3.10) переходит в следующее:
Найдем температуры Т\(х, у) соответствующего пло-
ского состояния, принимая во внимание, что связи между
температурами То и Т\ такие же, как между перемеще-
ниями w и нхц, и используя B.23). Имея эти температуры,

198 ТРАНСВЕРСАЛЬНО-ИЗОТРОПНАЯ СРЕДА ГГЛ. ГУ"
можно найти функцию Р$(х0, у) при помощи B3.9) и полу-а
чить перемещения плоского состояния. :
Представления перемещений осесимметричного со>
стояния получим, подставляя B3.8) в B.14). Аналогичным^
путем получим выражения для напряжений. В результате 'г
будем иметь J
Ух (*, г) =» Vl (*, г) + S ак,Фк, (z, г) (ft =. 0,1, •.., 5), \
B3.12);
где
Fo = Gw, Vt = Gu, V2 » az, *
V, -= <rr + а., У4. = <7r - we, V, = т„, B3.13) «
F*_ ±^2. V* l-9F» V* - '
B3.14)
a6i — — 2i,
«ог = -
~2^ Ь Yi> ^ = ~yl ^' :
B3-16) j?
j?
Ф*/ (zo- r) = 1- J фй>(?пУ (?,, z0) r) d^
<Pk) = b(tj) {к = 0,1), Фк/ = ФН^) (ft>2),
n = 0 (ft = 0, 2, 3), r = 1 (ft = 1, 5), я = 2 (ft = 4), :

§ 231 СТАЦИОНАРНЫЕ ДИНАМИЧЕСКИЕ ЗАДАЧИ 199
Выражение для Qn] дано формулой B0.17). Функции
сру(?/) голоморфны в соответствующих областях D}
(см. и. 1 § 20) и удовлетворяют условиям четности (Г>.5).
Лредыдущие рассуждения распространяются и на слу-
чай бесконечного пространства с осесиммотричной поло-
стью. Для этого достаточно при определении температур
плоского состояния и функции Fo воспользоваться типом
преобразования, указанным в § 3.
Решение может быть построено и в случае конечного
тела с полостью, когда T"(z, r) удается представить в виде
суммы двух функций Г? и Т\, из которых Т\ допускаем
непрерывное продолжение внутрь полости, а Т\ — на
бесконечную часть пространства, содержащего тело вну-
три себя. Непрерывными должны быть также их произ-
водные первого и второго порядков, удовлетворяя при
атом уравнению теплопроводности в соответствующих
областях.
3. Перейдем к трансверсально-изотропным телам. Раз-
решая равенства B0.2) относительно напряжений, по-
лучим
o"*i = А33е, о + Alaeui ~ М-Л\\у
Тзд|=Л4Т*»|- B3.18)
•Чдесь Alh — модули упругости анизотропной среды [821.
Они выражаются через «технические» упругие постоянные
формулами
A'J3 = azA33 + 2arA33, A\3 = azA13 + ar {An -}- .4la).
B3.19)

200
ТРАНСВЕРСАЛЬНО-ИЗОТРОПНАЯ СРЕДА
[ГЛ. 1VJ,
Подставляя B3.18) в A.1) и учитывая A.6), уравнения
равновесия представим в виде
32U
)
+ ^4
. dT\-
13 + Аи)
д*и
х\\
{Аи - рс2)
Ап
п
= А13
—-.^
B3.20)"
Для простоты предположим, что изменения темпера-
туры нет. Обозначим
А1 = ^зз — Рс2 —
Под ^ понимаются корни характеристического урав-
нения
D^^AjBj, B3.22)
или, в «технических» постоянных,
Alt
.?!е
B3.23) rr
При с — 0 это уравнение переходит в B0.5). •":
Введем функции Fk и /й (к = 3 — /) соотношениями
ди„
= /*• B3.24):
Из уравнений B3.20) вытекает
B3.25) ;

§ 23) СТАЦИОНАРНЫЕ ДИНАМИЧЕСКИЕ ЗАДАЧИ 201
Ограничимся рассмотрением того диапазона скоро-
стей с, при котором уравнение B3.22) имеет либо комплекс-
ные, либо вещественные различные корни.
Пусть Vi и ?2 — корни, удовлетворяющие условию
Re Yi > 0, Re y2 >> 0. Легко убедиться непосредственной
проворной, что общее решение системы B3.24)—B3.25)
можно выразить через две аналитические функции cpi(?i)
и Ф2(?2) комплексных переменных ?х = хо/у1 + iy и ?2 ==
-•- 'T</V2 + iy равенствами
B3.26)
где Pj- и qj определяются формулами B0.6).
Компоненты напряжения и перемещения осесимметрич-
ного состояния имеют вид
2 2 Z
и> = It р)фо/« и = * 2 ?*Фк;, огг = — 2 ^;Ф2;г
3=1 3=1 3=1
2
Z г p -l
г + аб = Zi a A + Vr) — V2Wl; ^ Фау,
2
3=1
2 ^
r - ae = 2 \a (*• - v') + v«m* W фФ B3.27)
i — 1 Z
где
m^ = Тз? + (An + ^зз) ^i Sj ~ V;
a = 1
Функции Ф^, (z0, г) (й = 0, 1, . . ., 5), определяются
формулами B3.17).
Изложенные выше решения получены в работах [29—
31 ], где приведены некоторые числовые результаты.

Г л а в а V :
ПРИМЕНЕНИЕ АНАЛИТИЧЕСКИХ ФУНКЦИЙ
КОМПЛЕКСНОГО ПЕРЕМЕННОГО К РЕШЕНИЮ ЗАДАЧ
ТЕОРИИ УПРУГОСТИ ДЛЯ НЕОСЕСИММЕТРИЧНЫХ ТЕЛ i
Описанный в §§ 2, 3 метод интегральных наложений дал|
возможность для случая тел вращения представить ком4
поненты напряжения и перемещения через аналитические
функции комплексного переменного. Связанные с этим',
вопросы были подробно рассмотрены выше в гл. III. '.
Полученные представления будут справедливы и для:
неосесимметричных тел, если неосесимметричное тело;
рассматривать как часть некоторого объемлющего тела^
вращения. Однако такой подход налагает серьезные огра-|
ничения на характер условий на поверхности неосесин-!;
метричного тела, так как не всякое поле перемещений мож-.
но продолжить за пределы тела, удовлетворяя при этом!
дифференциальным уравнениям теории упругости. «
Ниже рассмотрено обобщение наложений §§ 2, 3, поз- *
воляющее вводить аналитические функции для достаточно "
широкого класса неосесимметричных тел. В качестве при- %
мера приведены решения задач для упругого винта и трех- ;*
осного эллипсоида. Следует, однако, тотметить, что если^
для тела вращения решение удается представить разло-
женным по sin ли и cos nQ, причем члены рядов друг от .<_
друга не зависят, то в случае неосесимметричных тел они '..
оказываются связанными между собой. В результате "
задача приводится к системе уравнений с полным набором *
коэффициентов. Это обстоятельство значительно осложня- '
ет решение задач для неосесимметричных тел. -:
В заключение главы приводится обзор работ, посвя-
щенных различным применениям функций комплексного J*
переменного и их обобщений для решения пространствен-
ных задач теории упругости.

§ 24] ОБОБЩЕНИЯ МЕТОДА ИНТЕГРАЛЬНЫХ НАЛОЖЕНИЙ 203
§ 24. Некоторые обобщения метода интегральных
наложений в случае неосесимметричных тел
1. Метод интегральных наложений, рассмотренный
и §§ 2, 3, позволил нам установить связн между простран-
ственным напряженным состоянием упругого тела и вспо-
могательными двумерными состояниями соответствующих
цилиндров. Рассматривалось бесконечное множество этих
цилиндров, по-разному ориентированных в пространстве
с тем, однако, условием, чтобы образующая цилиндра оста-
валась перпендикулярной к неподвижной оси z.
Для однородного и изотропного тела последнее условие
не является необходимым. Метод наложений пригоден и
в том случае, когда поворот цилиндра вокруг оси z сопро-
вождается поворотом вокруг других осей, а также линей-
ным перемещением вдоль какой-либо оси и т. д. Требуется
лишь, чтобы расположение цилиндров в пространстве и
их упругие напряжения зависели от одного параметра (о,
который меняется монотонно в определенных пределах.
Введение такого приема позволяет получить для напря-
женного состояния некоторых тел более простые пред-
ставления.
Рассмотрим процесс наложений в общем виде. Пусть,
как и в § 2, дано упругое тело А, с которым связана не-
подвижная декартова система координат х1, хъ, х3
(рис. 5.1). Это тело рассматриваем как часть цилиндра В,
образующая которого в общем случае наклонена к коор-
динатным осям. Поверхности тел А и В могут соприка-
саться по некоторой линии (или площадке) Lab-
С цилиндром свяжем прямоугольную систему коорди-
нат хи, хи, я3»> считая, что ось x3t параллельна образу-
ющей цилиндра. Положение системы аг1(>, а;2», ?3» отно-
сительно хи хг, ха будем определять координатами начала
первой системы относительно второй (аи аг, а3) и косину-
сами углов между осями Хтп — cos (xmt, хп), где т, п =
= 1, 2, 3. Поперечное сечение цилиндра В может совпа-
дать с проекцией тела А на плоскость xlt, xtlt, нормальную
^образующей цилиндра. В более общем случае, который
мы и будем рассматривать, проекция тела А на плоскость
поперечного сечения цилиндра В располагается внутри
лого сечения, занимая только часть его так, что контуры
обеих фигур частично совпадают.^На рис. 5.1^эта проек-

204
РЕШЕНИЕ ЗАДАЧ ДЛЯ НЕОСЕСИММЕТРИЧНЫХ ТЕЛ [ГЛ. V
ция тела А — назовем ее Fab — выделена из поперечного
сечения цилиндра FB штриховкой.
Очевидно, что таких цилиндров, частью которых явля-
ется тело А, можно представить себе сколь угодно мно-
го — они будут отличаться один от другого ориентацией
в пространстве и формой поперечного сечения. В качестве
Рис. 5.1.
примера на рис. 5.1 кроме цилиндра В показан цилиндр С.
Здесь Lac — линия контакта поверхностей А ж С,
a FAc — проекция тела А на плоскость поперечного сече-
ния цилиндра С.
Предположим, что цилиндр В находится в некотором
двумерном напряженном состоянии, которое не зависит
от координаты x3f и получено наложением состояния
плоской деформации в плоскости хи хи (щ = а*з = о\$ =0)
и депланации поперечных сечений в направлении оси
ха* \ui ~ иг — <*н — ^22 = ^зз = а*2 = 0). Компоненты
этих состояний аи, агг, 0зз = v(au + a22)i <J*2, u*> 
определяют плоскую деформацию цилиндра, а компоненты
^13. а23» "з — его депланацию в направлении xSt. Эти же

§ 24] ОБОБЩЕНИЯ МЕТОДА ИНТЕГРАЛЬНЫХ НАЛОЖЕНИЙ 205
компоненты определяют состояние и заданного упругого
тела А, ибо оно является частью цилиндра В. Запишем их
в координатах хи х2, xs, связанных с телом А:
2 • 3
Отп = 2 O*}KnlK), "m = 2 u^mJ (m, И = 1, 2, 3).
iij=l i=l
B4.1)
Используя известные формулы, перейдем к цилиндри-
ческим координатам z, r, 8:
г — <79 + 2iTr0 = (au — cr22
= (als + iaa)e~ie, и + iv = (щ + iu2)e~ie,
w = м8
(^j = r cos 0, жа = r sin 0, г:а = z). B4.2)
Так же, как и в § 2, рассмотрим ряд цилиндров, отли-
чающихся своим расположением относительно тела А,
формой поперечного сечения и напряженным состоянием.
Последовательно представляя себе тело А вырезанным из
каждого такого цилиндра, получим для одного и того же
тела А ряд напряженных состояний, суперпозиция кото-
рых дает суммарное состояние, являющееся трехмерным.
Величины, определяющие напряженное состояние каж-
дого из цилиндров и его положение относительно тела А,
будем считать функциями одного параметра. В качестве
такого параметра можно принять, например, угол <о,
образованный осью хх и прямой ОК, лежащей в плоскости
2 и параллельной проекции оси x2lt на эту плоскость.
Предполагая, что параметр (о изменяется монотонно
в пределах от 0 до 2л, причем каждому значению (о ставит-
ся в соответствие определенное напряженное состояние
определенного цилиндра, после перехода к пределу будем
иметь для аг и w:
2я 3 2л
а* = W \ °s3dw = ШГ 2 J ff«A»« И К] И А»,
о *.i=lo
2л 3 2л
i=l 0

j
206 РЕШЕНИЕ ЗАДАЧ ДЛЯ НЕОСЕСИММЕТРИЧПЫХ ТЕЛ [ГЛ. Y,
Аналогично получаются представления для остальных5
компонентов напряжений и смещений.
Величины az, о>, ад являются функциями цилиндри-
ческих координат z, г, 0, а сг*, (г, / — 1, 2, 3) — функциями:
координат xlf, х.и и параметра со, причем
*ы = 2^-4) hi- B4-4)
Формула B4.3) и аналогичные ей определяют напряже-
ния и смещения пространственного напряженного и де-
формированного состояния тела А через напряжения и
перемещения вспомогательных двумерных состояний ци-
линдров.
Поверхность тела А является огибающей поверхностью
цилиндров В, С, . . ., для которых формы поперечного се-
чения и расположение в пространстве определяются изме-
нением параметра а от 0 до я.
2. Используя известные представления компонентов
плоской деформации и депланации:
2Gu\ = Re [xq> (С, <о) - I-j~ q> (?, со) — г^ (С, co)j,
2Gu2 = -Re i [xq> (?, ©) + С -^ q> (С, ©) + 1> (С, ©
2Gi*; = Rex(t,©), B4.5)
выразим компоненты вспомогательных двумерных состо-
яний через три функции комплексной переменной ? =
= xlf + ixu. Эти функции зависят также и от пара-
метра (О.
Предполагая, что поперечное сечение всех цилиндров
одно и то же, представим указанные функции тригономет-
рическими рядами
П = — 00 П= — 00
X (?,«>)= S Ф»,(С)е<пв.' B4.6)

« 24) ОБОБЩЕНИЯ МЕТОДА ИНТЕГРАЛЬНЫХ НАЛОЖЕНИЯ 207
.'}десь ф„j (?)(/ — 1» 2, 3) —функции, аналитические в об-
ласти поперечного сечения цилиндра. Тогда для ради-
ального и, тангенциального v и осевого w компонентов
смещения и составляющих тензора напряжения простран-
ственного состояния в цилиндрических координатах по-
лучим
и>1 n=—ooj=
2 2j . B4.7)
Здесь значения к — I, 2, 3 отнесены соответственно
к ы, w, v и обозначено:
сгг = ог, о2 = oz + ог + ав, сг3 = аг — сг0, а4 = 2тге,
^5 = Tzr, <*« = ^гв, Фпо (С) = Ф»1 (С),
| =1,2,3),
?w-Wi.= -C?i, <?н = 2-аЯ|з, <?20 = (?22 =(?„=• 0,
?зо = C<?s2 = -I (|*i - 1*1), <?si =
Css =
<?4i = « Re (iql
Qt3 = 1^1^23 +

208 РЕШЕНИЕ ЗАДАЧ ДЛЯ НЕОСЕСИММЕТРИЧНЫХ ТЕЛ [ГЛ. У
^з = <7s = ^3i + ^зг>
<7l = Kl + ^22 + i (^12 — ^2l). 4i — ^11 — ^22 + i {Ki + ^2l)»
a = 2 - 4v, С = гц! + Zg3 - 2 a, (Ьл + ^2). B4.8)
Аналитические функции можно представить в форме
интегралов типа Коши
оо оо
где L — контур поперечного сечения цилиндра, /ni(cr) —
некоторые функции (плотности), заданные на L. При под-
становке B4.9) в B4.7) после изменения порядка интегри-
рования получим следующие выражения для перемещений
через контурные интегралы:
v =Re ^ 2
Wj n=-<x> j=0 ?
2л
^- ^24.10)
Аналогичные выражения имеют место и для напряжений.
3. Рассмотрим некоторые частные случаи.
Положив в B4.7)—B4.8)
^1 = й2 = Д3 = Ац = Л21= Л32 =! Лзз == и,
^¦12 == ^23 == C0S t*»
Кг = —^13 == sin ©. Яи == 1, B4.11)
получим представления, по существу совпадающие с пред-
ставлениями § 14 для тел вращения.
Если принять аг = коол (к0 = const), сохраняя неиз-
менными остальные условия B4.11), то тело А будет выре-
заться из цилиндра В, образующие которого параллельны
плоскости хи х2 и при изменении угла оо перемещаются по
винтовым поверхностям. Таким образом, цилиндр будет

§ 24] ОБОБЩЕНИЯ МЕТОДА ИНТЕГРАЛЬНЫХ НАЛОЖЕНИЙ 209
вращаться вокруг оси z = x3 с одновременным перемеще-
нием вдоль нее. Этим путем можно получить тело, име-
ющее форму винта (см. рис. 5.2, а). На рис. 5.2 сплошны-
ми линиями и штрих-пунктиром показаны положения
*Z«
4 Ю
Рис. 5.2.
цилиндра при двух значениях (о, на нижней проекции
пунктиром показано вырезаемое тело. В этом случае
Р20 = - \РЛ =~%Рп = ilP13 = 2if<?53 =
р30 = - \ р31 - tyn = ^1о - с<?12 = -
<?ЗО = -|" <?3! = 1^32 = — ^<?43 = С «OS 2P,
О ——О =.ТО — iff) = Т «in 2B
V4u — ^^ V41 — bV42 — 'bV3S — b Ь1Ы "F«
" А. Я. Александров, Ю. И. Соловьев

210 РЕШЕНИЕ ЗАДАЧ ДЛЯ НЕОСЕСИЫМЕТРИЧНЫХ ТЕЛ ГГЛ. V;
Рзз — Qi3 — Ого — Q22 ~ Qia ~ (?м — Qei = 0,
<?п = 2, <?21 = 4A + v), I
? = Z — /с„СО + jr COS Р, Р *= СО — 0. *
B4.12)!
Если а2 и Од считать функциями от со, удовлетворяя;
остальным соотношениям B4.11), то получим случай, по-
казанный на рис. 5.2, б. Здесь цилиндр В, образующие
которого параллельны плоскости хи х2, вращается вокруг
оси х8 с одновременным перемещением в плоскости х}, х2,
связанным с изменением расстояния образующих от оси
х3. Таким путем из цилиндра В можно вырезать такое, на-
пример, тело А, сечения которого в плоскостях, парал-
лельных хг, х2, имеют форму эллипсов, овалов и т. п.
В этом случае значения величин Р10, . . ., с910, . . -
получаются такими же, как и в предыдущем, a t =IZ]+:
+ ir cos (со — 8) — г(аг cos со -f аг sin со). ;
При а2 = Х33 = 0, ^23 = cos со, ft,13 = —sin со, %п =,
= COS у, &з2 = Sin у, %12 = ^23X3!, Я,22 = —^I3^31i ^11 ~i
— —^23^2» ^21 = ^is^32 получим случай, показанный щ
рис. 5.2, в. Здесь образующие цилиндра параллельны
плоскости хи х2. Повороту цилиндра вокруг оси х3 па угол
со сопутствует его поворот вокруг оси Хз на угол vC10)-!
Таким путем из цилиндра можно вырезать, например^
червячный винт.
Возможны различные комбинации описанных случаев»;
Например, накладывая на смещения цилиндра, показан^
ные на рис. 5.2, а и б, смещение в плоско^
сти, параллельной хи хэ, можно вырезать,
конический винт (рис. 5.3) и т. д.
4. Связь между пространственными щ
вспомогательными двумерными состояниями
можно установить и при помощи интеграль-^
Рис. 5.3. ного наложения, соответствующего наложе-
ниям § 3.
Рассмотрим упругое пространство, имеющее внутрен-ч
нюю полость и находящееся в трехмерном напряженном И:
деформированном состоянии. Пусть напряжения и смещ&|
ния этого пространства заданы в цилиндрических коор-»
динатах г, 8, z. Для иллюстрации используем рис. 5.1fi=
но теперь будем считать, что А является полостью в упру-Ч;

^ 24] ОБОБЩЕНИИ МЕТОДА ИНТЕГРАЛЬНЫХ НАЛОЖЕНИЙ 211
гом пространстве. Перейдем к прямоугольной системе ко-
ординат Хц, х2#, х3#, расположенной, как показано на
рис. 5.1. Угол со зафиксируем произвольно и получим
напряжения и перемещения в координатах al!N, $..#, #<j*:
3 3
Grnn— i Oi]XmiXn], Um= 2j UtXmi,
\mt = cos(xm*,Xi). B4.43)
Здесь аи и ut определяются формулами B4.2).
Спроектируем очертания полости А на плоскость Жц,,
х2#. Дополним фигуру FAB, изображающую эту проекцию,
до некоторой фигуры FB , так, чтобы фигура FB содержала
» себе фигуру FAB и чтобы на некотором участке контуры
обеих фигур совпадали. Смещая контур фигуры Fb вдоль
оси ха# от —к» до -f 90, вырся«ем в пространстве бесконеч-
ную цилиндрическую полость В с образующей, параллель-
ной оси х3# (зафиксировав некоторое другое значение
параметра со, можно аналогичным путем вырезать в про-
странстве цилиндрическую полость С).
Напряжения, которые действовали на поверхности по-
лученной цилиндрической полости В, сохраним в качестве
внешних нагрузок. Тогда напряженное состояние осталь-
ной части упругого пространства не изменится и по-преж-
нему будет описываться формулами B4.13).
Сместим эти нагрузки, не изменяя их направления, по
поверхности цилиндрической полости на некоторую ве-
личину у] вдоль образующей. Напряженное состояние не
изменится, оно лишь сместится на ту же величину ч\. Все
сведется к параллельному переносу прямоугольной коор-
динатной системы. При неподвижной цилиндрической си-
стеме координат г, 0, z это напряженное состояние опи-
сывается формулами B4.13), где следует заменить x3t
на х3 = хЬч + т\.
^ Будем считать полученное состояние новым и наложим
ttro на старое состояние. Меняя величину ц, будем полу-
чать все новые состояния, которые также будем добавлять
к предыдущим.
Переходя к пределу, заменим суммирование интегри-
рованием по г] в пределах от —оо до +оо. Сохранив для
суммарного состояния прежние обозначения, получим
14*

212 РЕШЕНИЕ ЗАДАЧ ДЛЯ НЕОСЕСИММЕТРИЧНЫХ ТЕЛ |ГЛ. V
следующие зависимости между компонентами вспомога-
тельного и пространственного состояний:
W J
J »i
B4.14)
Легко видеть, что напряженное и деформированное со-
стояние, полученное путем описанного наложения, явля-
ется двумерным. Это состояние можно разложить на пло-
скую деформацию с компонентами а*ц, a^z, 033. о*3, м*,
и% и депланацию с компонентами а\%, оз> щ.
Изменяя параметр (о, мы получим совокупность дву-'
мерных состояний, соответствующих исходному простран-
ственному напряженному состоянию.
При решении пространственных задач более удобно
иметь равенства B4.14) разрешенными относительно ком-
понентов пространственного состояния. К сожалению,
проблема обращения зависимостей B4.14) для тел общего
вида пока не исследована, за исключением случая тел
вращения (см. п. 3 § 3).
§ 25. Примеры. Периодическая задача
для упругого винта. Трехосный эллипсоид
1. Рассмотрим упругое тело, имеющее форму беско- "
нечного винта с шагом h, которое нагружено таким обра- :
зом, что его перемещения как функции переменной z ']
являются периодическими с периодом h.
Используя представления п. 2 § 24, введем аналити- ;;
ческие функции ф„(?), it>n(C), Хп(С) равные: :.•
Ф„ «I. „ I У ' л „ /О С А \ •
= Фп11 тп :== Фп2 Г~ эфти %п ~== ФпЧ* \""'^/ '^
Эти функции будем считать периодическими с тем же ;
периодом h, так что ф„(? + Щ — фп(С) и т. д.

§ 25] ПРИМЕРЫ. УПРУГИЙ ВИНТ 213
В формулах B4.7) перейдем к интегрированию по пе-
ременной р = (о — 0. Пределы интегрирования останут-
ся прежними, так как подынтегральные функции явля-
ются периодическими по р. Но уменьшая общности, мож-
но ввести условия
Хп (С + 4) = ~ (~ 1>" Х-»(С), B5-2)
что позволяет опустить символы Re в правых частях ра-
венств B4.7).
Учитывая B4.12), получим
2Gw =* 2 ^ [S°n (кф„ - *„) + Sfon],
ее
2G(u+iv) = -i 2 e™e[Son+
n
+ *n - Xn) - Sb+iVn],
crz= 2
az - ar + 2iTr9 -
oo
= 2 е«"в {5»+2 [A _ 4v) Ф; + if; - x«] - 5i+aqv,},
B5.3)
где 2л
5j/ = -^ J / (C) e*»-4dp, Sln = fr EJJ+1 + 5S-i). B5.4)
о

214 РЕШЕНИЕ ЗАДАЧ ДЛЯ НЕОСЕСИММЕТРИЧНЫХ ТЕЛ [ГЛ. V ;
Аналитические функции имеют аргумент t, = Ч —
— к$ + ir cos р, где ге == г — ков, к0 = ±А/Bя) (для;
правого винта Аго> 0, для левого ко<с0). Выражения
п правых частях равенств B5.3) являются функциями.:
7.q и г; от 0 непосредственно они не зависят. При измене-*
нии 0 на 2я, а г на величину h значение zti остается иреж- *
ним. Отсюда вытекает требуемая периодичность иереме- *-
щений и напряжений по переменной г.
Когда р принимает вещественные значения, линией;
интегрирования в B5.4) является дуга синусоиды х — i
— zq —kof>, у = г cos р в плоскости комплексной пере- "г
менной t, = х + iy. Это обстоятельство налагает опре-|
деленные ограничения на форму области, в которой функ-fi
ции ф„(С), if>n(9> Xn(O голоморфны. Если, как и в преды-д
дущих главах, перейти к интегрированию по переменной^
?, пользуясь соотношением ^
2П 'в |
- f , /(Р)'? B5.5I
tj-н
где /(Р) — подынтегральная функция, to — ге + ir, а Р^?
является комплексной величиной, определяемой как ре-;?
шение трансцендентного уравнения: |
—fcop + ir cos p = ? — ге, |
то путь интегрирования (при некоторых ограничениях) 4
может быть принят произвольным. Это позволяет считать.»
область голоморфности совпадающей с дшридиональным,!
сечением цилиндра плоскостью 0=0. Упомянутые ог-зё
раничения состоят в том, чго линия интегрирования дол-|ь
жна принадлежать правому берегу линии разветвления^
радикала в B5.5), проходящей через точки t0 = te, t±! = |
= t0 ± h/2, t±z = t0 ± h,... (зти точки соответствуют ^
значениям sin p = 0).
Перейдем к граничным задачам. Пусть поверхность ;?
винта задана уравнением Д
г - /(зе) = f(z - k0Q). B5.6) |
Отметим, что равенства г = f(z) и г = f(z — кол) пред-
ставляют собой уравнения контура меридионального се-

5 25J ПРИМЕРЫ, УПРУГИЙ ВИНТ 215
чения винта, а г = /(—ков) — уравнение контура попе-
речного сечения в полярных- координатах.
В случае второй основной задачи перемещения поверх-
ностных точек будем считать заданными в форме рядов
00 ОО
и»в 2 u>n(*е.г)е*пв, u+iv= 2 un{zQ,r)e^.
П=«Ч» П=—ОО
B5.7)
Подставляя B5.7) в левые части соответствующих
равенств из B5.3) и приравнивая множители при с'п0,
получим условия для определения функций <pn(?), 'ФпШ»
В случае первой основной задачи заданными являются
внешние силы
n=—oo n=—oo
B5.8)
Эти силы связаны с напряжениями формулами
pz = Re {а^л + (v + 1*тгв)(*а — 1ЛI»
/'г + iPe =^4^-6 d + «а) + 1-К ~ сте + 2»тге) (V-iW +
+ (тгг + jtz9) 1г, B5.9)
где ilt J2, /3 — направляющие косинусы нормали к поверх-
ности
B5.10)
Подставляя B5.8) в B5.9), будем иметь необходимые
уравнения.
2. Применим полученные результаты к практически
важной задаче расчета напряжений в сверле (рис. 5.4),
возникающих под действием продольной силы Р и
крутящего момента МКр. Поверхность сверла считаем

216 РЕШЕНИЕ ЗАДАЧ ДЛЯ НЕОСЕСИММЕТРИЧНЫХ ТЕЛ [ГЛ. V
свободной от нагрузок. Напряжения вдоль винтовых линяй
Ze = const остаются постоянными. Поэтому в решении
B5.3) удержим лишь члены, соответствующие п = 0.
Аналитические функции представим в
форме рядов
= 2 («m.bm,cm)expted B5.11)
т=—оо \ кп '
что обеспечивает их периодичность. Условия
B5.2) будут соблюдены, если положить
ат = (-l)m^-m, 6m=(-l)«Lm,
Cm = (-l)m+^-m. B5.12)
Подставим B5.11) в B5.3) — B5.4) и вы-
числим интегралы, учитывая, что
Sh ехр [То I) = (- 1)-^ exp (j- ZoJ /m_ft (- гj,
Рис. ЪЛ. B5 13)
где /v(fx) — модифицированные функции Бесселя. По-
лучающиеся выражения перемещений и напряжений не
будем приводить ввиду их очевидности. Поскольку при
действии продольной силы и крутящего момента переме-
щения не будут периодическими функциями, дополним
выражения B5.3) составляющими
2Gw* = aoz, 2Gu* = por, 2Gv* = 2yzr,
<** — p0, cr* = ere = g0, тг*е = 70r> T*e = T*r = °. B5.14)
где
a0 - (a, - 2vgo)/(l + v), p0 -[A - v)go~vPo]/(l+ v);
Po> ?o> Vo — неопределенные коэффициенты. Эти коэф-
фициенты, так же как и коэффициенты рядов B5.11),
должны быть определены из условий рг = рг = р$ =0
по винтовой поверхности и
je= -АГщ, B5.15)

§ 25]
ПРИМЕРЫ. УПРУГИЙ ВИНТ
217
по горизонтальному сечению z = const. В результате по-
лучается бесконечная система уравнений, общее иссле-
дование которой затрудни-
тельно.
В работах [24, 38] были
произведены числовые расче-
ты напряжений в сверле,
поперечное сечение которо-
го показано на рис. 5.5.
При приближенном ре-
шении задачи удержива-
лось конечное число членов
ряда B5.11) вплоть до т=
= 18. Ввиду симметрии се-
чения рассматривались лишь
az
k
0
-2
r
-в
-8
г—]
(<^
| N
«?
J
\
у
/
yQwok
г
1
1
А
\
\
\
\
>>
г
JP-100i<r
\
>
У
*т/Яв
1
г/Ц-
Рис. 5.5.
Рис. 5.6.
четные члены. Коэффициенты определялись из условия
минимума средней квадратичной ошибки при удовлет-
ворении равенства! pz = pr = рв = 0 на винтовой по-
верхности.
На рис. 5.6 приведены эпюры напряжений az и tze
вдоль линий, показанных на рис. 5.5 пунктиром — по
направлению наименьшего размера и по перпендикуляру
к нему.
На рис. 5.7 для случая действия одного только кру-
тящего момента показаны линии уровня напряжения

218
РЕШЕНИЕ ЗАДАЧ ДЛЯ НЕОСЕСИММЕТРИЧНЫХ ТЕЛ |ГЛ. V
аг (верхняя часть рисунка) и траектории полных каса-
тельных напряжений в сечении (нижняя часть рисунка).
Точность расчета проверялась путем вычисления на-
пряжений pz, pT,i рв по формулам B5.3), B5.14) в точ-
ках поверхности сверла. Величины этих напряжений не
Рис. 5.7.
превышали 5 % от наибольшего напряжения в сечении.
Исключение составляли лишь угловые точки сечения,
где точное выполнение условий при решении в рядах
затруднительно.
3. В качестве другого примера исследования напря-
женного состояния неосесимметричного тела рассмотрим
решение внутренней задачи для трехосного эллипсоида,
поверхность которого задана уравнением *)
1\ + ll + Ш = 1
= xjan; т = 1, 2, 3), B5.16)
где хл, хг, хъ — прямоугольные координаты.
Следуя рассуждениям п. 1 § 24, будем представлять
себе этот эллипсоид вырезанным из эллиптических ци-
линдров, одна из полуосей которых равна а3, а другая
*) Приводимое ниже решение получено В. С. Вольпертом.

S 25] ПРИМЕРЫ. ТРЕХОСНЫЙ ЭЛЛИПСОИД 219
(а*) зависит от угла со, определяющего положение ци-
линдра в пространстве:
а] =* а&Х, [X? + (Х22 - X?) cos2 a>]~il2
X2 = a2/a3). B5.17)
Будем считать, что а3^> ах, аг; тогда «s> a\\ Xt, Я^ <С 1.
Представляя себе эллипс в сечении цилиндра разре-
занным по отрезку, соединяющему его фокусы, введем
конформное отображение эллипса на круговое кольцо
функцией
? = хя + i (#i cos со — ?2 sin со), а.,/? = у а\ — а*2.
Аналитические функции ф(?, со), i|)(?, га), %(?,, га),
определяющие плоское состояние цилиндра, в указанном
кольце можно разложить в ряд Лорана по переменной т.
Замечая, что
где Th{x) — полиномы Чебышева первого рода, пред-
ставим функцию ф(?, со) в виде ряда
, со) = ао1г(со) + 2 21 аА1 (со) Th {Z*IR). B5.18)
Аналогичные разложения будут иметь и остальные ана-
литические функции при коэффициентах акг и —iah3.
Подставляя эти ряды в формулы B4.5), а полученные
выражения в B4.1), будем иметь после интегрирования
по со:
со 3 2Я
ищ => Ст + 2 Re 2 2 J «fti (щ)цт/ (<я) KkmJtha. B5.19)

220 РЕШЕНИЕ ЗАДАЧ ДЛЯ НЕОСЕСИММЕТРИЧНЫХ ТЕЛ |ГЛ. V
Здесь Ст — некоторые постоянные
Kkn — 2х7\ = — iKhll = — iKhn —
= ^12 = Цгз = cos со, |х13 = —flat = — М<22 = sin со,
= Ци = 1. fe = 0, Гй = Гя(
(a;) — полиномы Чебышева второго рода.
Выражения для напряжений можно найти аналогич-
ным путем.
Пусть на поверхности эллипсоида заданы перемеще-
ния рядами
оо
ит - 4% (Л) + 2 № (Л) cos nb + tf& (Tj) sin пб],
n=i
B5.20)
LU (л) = 5Ж + 2 EЖ cos vt) + 5^ sin
v=i
(g = 0,1), B5.21)
где коэффициенты S^ml (r — 0,1) при v нечетном и
при v четном равны нулю. Под 6и т)@^б^я, 0^
^ т) ^ 2я) понимаются криволинейные координаты на
поверхности эллипсоида, связанные с прямоугольными
координатами соотношениями <
?х = sin б cos Т], |2 = sin б sin Т], ?3 = cos б.
B5.22)
Разложим правую часть B5.19) в тригонометрические
ряды по б, учитывая, что cckj — a&j + JoCftj и для поверх-
ности эллипсоида
С* = cos б + ig sin б, g — ^ cos со cos ц — ft,2 sin со sin tj.
Приравнивая коэффициенты при одинаковых гармо-
никах, для определения функций а*,; (со) получим систему

§ 25] ПРИМЕРЫ. ТРЕХОСНЫЙ ЭЛЛИПСОИД 221
равенств
°° з 2?
D{! (л) = 2 2 а«Ц» А *» (п = 1, 2, 3 ...).
ft=nj=l о
B5.23)
Здесь g = 0 при т — 3 и q = 1 при т — i или те = 2,
U?i = Uf 1 = (- 1)* (xF + G), LL93\ = xF-G,
L№z = -F. B5.24)
Для остальных значений индексов т и j будем иметь
L{hmj — F. В этих формулах
(ft-n)/2
2
8=0
2 ^ )[
8=0
+ 2kg[Bk-(-lLh]},
g_
ft—2s
Индекс суммирования А; при п четном принимает лишь
четные значения, а при п нечетном — лишь нечетные
значения. Коэффициенты ау удовлетворяют равенствам
B5.23) при замене g на 1 — д.
Постоянные Ст определяются из соотношений
Ст = 4Й - у 2 2 f «w ^U%Ao. B5.25)
fc=2j=lо
Рассмотрим более подробно случай, когда коэффици-
енты разложения B5.20), начиная с некоторого номера
п = р + 1, равны нулю. Будем также считать, что раз-
ложения B5.21) обрываются на членах Snm\, где v = р
при р четном и v = р — 1 при р нечетном.

222 РЕШЕНИЕ ЗАДАЧ ДЛЯ НЕОСЕСИММЕТРИЧНЫХ ТЕЛ [ГЛ. Vv
Для определения функций apj имеем систему трех
функциональных уравнений, получающихся из B5.23)
при п = р:
3 2Я \
= 2 I <tl&miL%<te>, B5.26) j
}=i b I
где индекс q имеет те же значения, что и в B5.23). ',
Неизвестные функции «pj (со) будем искать в виде '
тригонометрической суммы
2pj ',
«piH^ 2 (a^cossco + a^sinsco), B5.27) |
s=0,2,... .¦
где Pi — р^~ целая часть числа р/2, р3 — Pi — 1 при ?
р четном и р3 = рх + 1 при /> нечетном.
Подставим B5.27) в B5.26) и проинтегрируем по со.
Разлагая правую часть в тригонометрический ряд по т)
и учитывай B5.21), получим систему линейных алгебра-
ических уравнений: j
«pmv — 2л Zi «pjsOpmsv V"* — i i *' Г — v, L}, .
i=i 8=0,2,...
2 2Pi
«-2 2 а^б^ (г-0,1). B5.28):
5=1 «=0, 2,...
В первом ^з этих равенств v принимает значения 1,3, ...
..., р—1 при р четном и 1, 3, ..., р при р нечетном. Во ;
втором равенстве v = 2г, Ъг + 2, ..., 2/^. Величина ? 1
равна г при / = 1 или / = 2 и f = 1 — г при / = 3. Общее \
число уравнений и соответственно неизвестных составля- ;
ет Зр + 1 при р четном и Зр + 5 при р нечетном. •
Коэффициенты системы определяются по формуле i
1 1 »LSb/ N/ () d d B5.29) j
/so H= c°s «»i /si (®)=
Когда функции ар§ найдены, можно переходить к оп-
ределению ap_2j> cXp—4.J и т. д. при помощи соотношений,

g 26] НЕКОТОРЫЕ ДРУГИЕ ФОРМЫ 223
вытекающих из B5.23):
2 S
ft=n+2 5=1 ft
3 2Я
3
- S J o?j|*,»;?™j*»- B5.30)
На каждом этапе вычислений решается система урав-
нений, аналогичная B5.28).
Перейдем к определению alj (©). Так же, как и в пре-
дыдущем случае, начнем с функции <х*р* (<а), которую будем
разыскивать в форме
';
aHj*N= 2 (^cossto + b^siuso)), B5.31)
|3
где при /) четном следует полагать Zt = Z2 = р1( /3 =
-- /?! — 1, а при /> нечетном I{ ~ h — Р\ — 1, /3 = Pi.
Постоянные b]1,}i являются решением системы
3 21;-И
j=i j = i,3,...
.^ = 2 22* CCv ('' = 0,1). B5.32)
j=i s=i,a,...
1! перпом равенстве v = 0, 2, 4, ... , p, во втором v =
-— 1, 3, . . ., p + 1 при р четноА! и v = 1, 3, ... , p — 2
при р нечетном. Значения t принимаются такими же,
как в B5.28). Остальные функции al*(w) определяются
но формулам, аналогичным B5.30), и решение задачи
доводится до конца.
§ 26. Некоторые другие формы использования
функции комплексного переменного и их обобщении
для решения пространственных задач
теории упругости
1. Весьма плодотворные результаты, которые были
получены в плоской теории упругости при введении функ-
ций комплексного переменного, вызвали К жизни попыт-

224 РЕШЕНИЕ ЗАДАЧ ДЛЯ НЕОСЕСИММЕТРИЧНЫХ ТЕЛ (ГЛ. V&-
ки использовать эти функции и при решении пространств
венных задач. М
Первыми работами в этом направлении, по-видимому,!
являются статьи Н. А. Ростовцева [120—122J, посвящен-'
ные решению задачи о давлении жесткого кругового штам-1
па на упругое полупространство. Перемещения и напр я-j
жения выражаются через единственную гармоническую:!
функцию W(z, г, 6), значения которой при z = 0, г ^ а-\
известны и равны w(r, 6), а при z = 0, г ^ а известно '[
равное нулю значение частной производной от W по z.i
Функция W разлагается в тригонометрический ряд по 8,
коэффициенты которого ?с>8 (z, г) удовлетворяют урав-
нению
1 В »2\,Tfc,s _л (« = 0,1,2,...)
B6.1)
Функции Wn* предлагается разыскивать в форме
УГ (z, г) - Re (г"" j [г2 + (z + is)*\n-il2gn (*) dsl B6.2)
где gn(s) — некоторые неизвестные интегрируемые по
Стилтьесу функции, удовлетворяющие условиям
а
f «**„(«)* = 0 (Л = 0,1,...,л-1).
о
Выражение [1 + (z + isJ/r2]n легко представить в ви-
де суммы полиномов Чебышева первого и второго рода
аргумента (z + is)/(ir). Если теперь положить а = is,
t = z + ir, то представление B6.2) преобразуется в сум-
му интегралов вида A4.31), где за L следует принять от-
резок мнимой оси от —ia до +гя. Варианты представле-
ний гл. III использовались также в работе [177].
В упоминавшейся выше (см. § 5) работе В. И. Мосса-
ковского [91] при решении задач для полупространства
вводились плоские гармонические функции, которые вы-
ражались через аналитические функции комплексного
переменного, и указанные задачи теории упругости при-

§ 26] Некоторые другие формы 225
водились к задаче сопряжения для аналитических
функций.
В работах В. А. Свекло [126—128] при решении за-
дач для анизотропного полупространства использова-
лись наложения вида
Ux (х\ Х\ Z) = f U*(t,Z,X)d\,
о
I = х1 cos X + хг sin A,, B6.3)
где ыт (т = 1, 2, 3) — перемещения пространственного,
а их — вспомогательного двумерного состояний, х1, хг,
z — декартовы координатные оси.
Легко видеть, что представление B6.3) при т = 3
совпадает с первой из формул B.3), если учесть, что там
у ~ г cos (а> — 8), и заменить у, г cos 8, г sin 8, а> соот-
ветственно через |, х1, х2, X. Аналогичные рассуждения
справедливы для т = 1, 2.
В случае ортотропного тела перемещения их удается
выразить через аналитические в полуплоскости функции
аA + vpz> Ц (vp — корни некоторого уравнения). Когда
среда является трансверсально-изотропной, получающие-
ся выражения могут быть приведешь к представлениям
гл. IV.
С. М. Белоносовым [44] для решения задач о кручении
валов переменного сечения использовалось следующее
представление функции напряжений:
л
ф (г, г) = r4j Re х (г cos К + iz) sin4?: dl =
о
= J Re х (Б + iz) (г2 - g«K/2dg, B6.4)
где %(?) — функция, голоморфная в области, занятой ме-
ридиональным сечением вала.
Очевидно, функция B6.4) может быть представлена
суммой интегралов вида A4.4) при прямолинейном пути
интегрирования.
15 л. Я. Александров, Ю. И. Соловьев

226 РЕШЕНИЕ ЗАДАЧ ДЛЯ НЕОСЕСИММЕТРЙЧНЫХ ТЕЛ [ГЛ. V
Преобразование, аналогичное использованному в п.
§ 14, позволило представить Ф(г, z) интегралом по конту-
ру области, занятой меридиональным сечением тела, и
на этой основе привести задачу к интегральному уравне-
нию первого рода. |
В работе [45] аналогичные представления использо-1
вались при решении граничных задач для функций, удов- -
летворяющих уравнению B6.1). ¦
Отметим, что к задаче кручения однородного изотроп- ¦
ного тела вращения, а следовательно, и к указанному §
выше интегральному уравнению сводится широкий класс j
задач кручения неоднородных анизотропных тел враще- \
ния (см. [77]). 1
В работе И. С. Аржаных и Б. А. Бондаренко [41 ]j
общее решение системы уравнений A.7) представлено |
в форме .]
u = G + H- 2Al2v) grad (r, G) - i{i\_v) rot [r , H], \
B6.5) j
где г — радиус-вектор точки, и — вектор перемещения, j
G У! Н — гармонические векторы. '
Используя формулу Уиттекера [152] J
+я
Ф(а;,2/,2) =
где Ф — гармоническая функция, ср — функция класса
С2, й = х cos (о + у sin со + iz, авторы записывают G
и Я в форме
B6.6)
При введении цилиндрических координат х — г cos 8
и у = г sin 8 и замене © на —©, будем иметь й =
= г cos F — ю) + iz = i ?, в результате чего придем к
представлениям, являющимся частными случаями пред-
ставлений § 24.
Использование всех этих представлений требует, что-
бы упругое тело было телом вращения, а контур меридио-
нального сечения тела пересекался любым перпендику-

§ 26] НЕКОТОРЫЕ ДРУГИЕ ФОРМЫ 227
ляром к оси не более чем в двух симметричных точках
(см. п. 3 § 2).
2. Принципиально отличным методам введения комп-
лексных переменных в пространственную теорию упру-
гости посвящены работы [184, 185, 96] и некоторые
другие.
В первой из этих работ перемещения и напряжения
упругого тела выражаются через функции комплексных
аргументов ? = х + iy, ?i = ? = х — г г/ и вещественно-
го аргумента z. Эти функции удовлетворяют некоторым
дифференциальным уравнениям соответственно второго,
четвертого и шестого порядков. В частном случае плоской
задачи полученное решение приводится к формулам
Колосова — Мусхелишвили, однако в общем случае про-
странственной задачи выражения получаются слишком
громоздкими, и дальнейшего развития эта работа не по-
лучила.
В статье [185] предложено два метода построения об-
щего решения пространственной задачи, использующих
комплексные переменные.
В одном из этих методов для представления переме-
щений упругого тела используется решение П. Ф. Пап-
ковича в прямоугольных координатах. Гармоническое урав-
нение, которому удовлетворяют функции Bj(x, у, z) (/ =
= 0, х, у, z), представлено в форме
Интегрируя по ? и ?, получим
7E7^ B6.8)
где функция /(?, z) является аналитической относительно
комплексного переменного ?.
Равенство B6.8) представляет собой функциональное
Уравнение, которое может быть использовано для постро-
ения пространственных гармонических функций В. На-
пример, полагая
/(?.*) = F (*) Sen5n B6-9)
п=0
15*

228 РЕШЕНИЕ ЗАДАЧ ДЛЯ НЕОСЕСИММЕТРИЧНЫХ ТЕЛ [ГЛ. Щ-
и применяя метод последовательных приближений, п
лучим
<PmF (z) I i\m(mmy n\ (агп\-д
B6.10) v
Если n = 0, a F(z) = 1, z, z2, . . ., zh, то В = 1, z, .
z* — -z-r2, . . ., phPh (coso), где о, о, — сферические i
координаты, Ph — полиномы Лежандра. i
Представление B6.8) позволяет также вводить кри- j
волинеиные координаты в плоскости х, у при помощи кон- '
формного отображения ? = ю(?). 5
При втором методе уравнения равновесия пространст- |
венной задачи в форме A.7) приводятся к виду, аналогич- .'
ному уравнениям плоской деформации и депланации .
A.14), A.16): ;;
V n "z = — ж-- B6.11) ;
Здесь
-^-j, B6.12)
X, У, Z — заданные объемные силы, G — модуль сдвига,
v — коэффициент Пуассона.
Уравнения B6.11) решаются при z = const как урав-
нения соответствующих двумерных задач с объемными

§ 26] НЕКОТОРЫЕ ДРУГИЕ ФОРМЫ 229
силами. В результате получим следующие выражения:
2G {их + 1щ) =
ф'-ж- B6-13)
Функции ф(^, z), i|)(?, z), x(?. z) являются аналитическими
относительно переменней ?•
Эти представления удобны при решении задач для
цилиндрических областей методом последовательных при-
ближений.
При задании на поверхности цилиндра внешних сил
Рх, Ру> Рг рассуждения аналогичны, причем
- J p at, +Ф
+ J [(J z,dE) dE - (J Z|d?) ds]+ X (S, 2) -
Z) = Ux + iuj,. B6.14)
Решению пространственных задач для некруговых ци-
линдров посвящена также работа [96]. Образующая ци-
линдра параллельна оси z, направляющая имеет уравне-
ние
х + iy = rJT'a^E) = ?+ е/(Е) = re™
Ц = ре» р = const, |e| < 1), B6.15)
где г0 — масштабный множитель. Функция ©(?) осущест)
вляет конформное отображение внешности (внутренности-
единичной окружности на внешность (внутренность)

230 РЕШЕНИЕ ЗАДАЧ ДЛЯ НЕОСЕСИММЕТРИЧНЫХ ТЕЛ [ГЛ. V
контура Г.Гармонические функции, решающие задачу, раз-
лагаются в ряды по степеням малого параметра е, коэф-
фициентами рядов являются гармонические функции
внутри или вне кругового цилиндра. Они могут быть
разложены в известные ряды по тригонометрическим
функциям и удовлетворяют соответствующим образом
преобразованным граничным условиям.
В качестве примера рассматривалось упругое равно-
весие зпитрохоидального цилиндра
х = cos 0 + е cos kQ, у = sin 0 + е sin kQ @ <! е <!/с-1),
находящегося под действием собственного веса и полино-
миальной нагрузки.
3. Еще одним методом решения пространственных за-
дач теории упругости является использование аналити-
ческих функций двух комплексных переменных, а также
введение различных обобщений комплексных переменных:
кватернионов, гиперпеременных и т. д.
Применение теории функций двух комплексных пе-
ременных ?i = хг + ix2, ?2 = х3 + г^4 к решению про-
странственных задач теории упругости изложено в рабо-
тах А. И. Александровича [39, 40].
Вещественные переменные хъ х2, х3 отождествляются
с прямоугольными декартовыми координатами х, у, z.
Уравнения A.7) при отсутствии объемных сил записыва-
ются в форме
^+^ + ^f° (/ 12)
B6.16)
От переменной х функции Wj предполагаются не завися-
щими. Тогда
^-^ = 0 G = 1,2). B6.16а)
Решение уравнений B6.16) — B6.16а) может быть вы-
ражено через две произвольные голоморфные функции

§ 26] НЕКОТОРЫЕ ДРУГИЕ ФОРМЫ 231
в виде следующих формальных рядов:
(l = 2m + n, ft = 2-/, 7 = 1,2). B6.17)
Здесь
ш
Для определения голоморфных функций ф(?ь ?2) и
|(i ?г) так же> как и в плоской задаче теории упругости,
можно использовать либо интегральные представления
через их граничные значения, либо разложение в ряды
по полной системе голоморфных функций в двумерной
комплексной области.
В работе Пенрода [181 ] для решения пространствен-
ных задач теории упругости были применены гиперфунк-
ции вида
оо
*»= 2 Ф*(*.СС)Я* B6.18)
гиперпеременной и; == —ZJZ-i + хЕ0 -f- t,Elt Здесь Е^ —
базисные элементы алгебры, t, = -^(z -\- iy), t, = -^ (z —
— iy), x, у, z — декартовы координаты, г — мнимая
единица. Функции cpfe удовлетворяют соотношениям
д\ дх д? '
Псякой функции f(x, у, z), гармонической в некоторой
области D, соответствует гиперфункция F(w), моноген-
ная в любой подобласти D, такая, что f(x, у, z) =
= Фо(«. С ?)•
Перемещения их, иу, uz могут быть выражены через
три гармонические функции /, g, h следующим образом:
_ df dh _ dg dh dj
ux-xf~xJx-Tx, uy- ----х-,
u^J-^-xf (X-3-4V). B6Л9)
1 ду dz ду v ;

232 РЕШЕНИЕ ЗАДАЧ ДЛЯ НЕОСЕСИММЕТРИЧНЫХ ТЕЛ 1ГЛ. V.|
Эти формулы можно получить из решения П. Ф. Пап-|
ковича [98], если положить |
Вводя моногенные гиперфункции F(w), G(w), H(w),
получим :
B6.20)
Производные по гиперпеременной определяются из
соотношений
df_ __ _ . df_ , 3/
g ' l ду + 9z'
a/ df_ h
у E
dw ~~ dx1 dw~ +d dx *
П=—00
(аналогично для G и Н).
Дифференцированием B6.20) можно получить выра-
жения напряжений упругого тела через производные
второго порядка от гиперфункций по гиперпеременным.
Для известных решений задач теории упругости легко
получить их представления в гиперфункциях, однако
примеров решения новых задач в литературе не приво-
дилось.
Может оказаться полезной пока еще не исследован-
ная возможность применения в пространственных зада-
чах теории упругости аппарата функций кватернионной
переменной [871.
Рассмотрим аналитическую кватернионную функцию
/(?) = eovo + е^ + е2У2 + с3р3 кватеРНИ0НН°й перемен-
ной ? = е^о + е1х1 + е2х2 + е^с3, где е0 — 1, еи е2, е3 —
базисные элементы кватерниона. Будем считать эту функ-

§ 26] НЕКОТОРЫЕ ДРУГИЕ ФОРМЫ 233
цию левосторонней аналитической, удовлетворяющей
уравнениям
2з!г
ft=0 ft
B6.21)
Понимая под хг, х2, ха прямоугольные координаты
х, у, z, представим /(?) в виде суммы v0 + v, где v0 — ска-
лярная, a v = vxi + v2j + v3k — векторная части, », /, к—
основные орты. Тогда D — -^— + V> r^e V — оператор
Гамильтона; система уравнений B6.21) преобразуется
в эквивалентную:
(Vi>) =0, v^o + V X» - °- B6.22)
От переменной х0 функции vn и v зависеть не будут.
Полагая v0 = (к + 2G)(yw), » = —GyXu, где к =
= иж» + uvj + ujc, % и G — коэффициенты Ляме, по-
лучим векторное уравнение
V(V«)VXvX« O, B6.23)
эквивалентное системе A.7). Следовательно, к может
рассматриваться как вектор упругого смещения.
Применению обобщенных аналитических и р-анали-
тических функций комплексного переменного посвящен
второй раздел настоящей книги,

Раздел II
РЕШЕНИЕ ОСЕСИММЕТРИЧНЫХ ЗАДАЧ
ТЕОРИИ УПРУГОСТИ ПРИ ПОМОЩИ ОБОБЩЕННЫХ
АНАЛИТИЧЕСКИХ ФУНКЦИЙ
КОМПЛЕКСНОГО ПЕРЕМЕННОГО
Глава VI
ОБОБЩЕННЫЕ АНАЛИТИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ,
ОПРЕДЕЛЯЮЩИЕ ОСЕСИММЕТРИЧНЫЕ ПОЛЯ
Как указывалось выше, помимо аналитических функ-
ций комплексного переменного для решения пространст-
венных задач теории упругости возможно применение
некоторых обобщений этих функций. Наиболее полно
разработаны методы решения осесимметричных задач при
помощи обобщенных аналитических и р-аналитических
функций.
Хотя эти функции не обладают многими полезными
свойствами аналитических функций и их теория более
сложна, однако их использование позволяет дать доста-
точно полное исследование осесимметричной задачи тео-
рии упругости. При этом упругие тела могут быть как
односвязными, так и многосвязными, от рассмотрения
которых мы были вынуждены отказаться в предыдущих
главах. Отметим, что между аналитическими и обобщен-
ными аналитическими функциями существуют связи, ко-
торые позволяют распространить методы гл. II и на не-
которые неодносвязные тела.
В настоящей главе приведены основные сведения об
используемом здесь и далее классе обобщенных аналити-
ческих фупкций. Получена обобщенная формула Коши.
Исследованы обобщенные интегралы типа Коши. При-
ведены выражения функций, являющихся аналогами
комплексного логарифма.
§ 27. Основные понятия и обозначения
1. Пусть В — некоторый гармонический вектор, при-
чем скалярные гармонические функции Вх, Ву, Bz яв-
ляются проекциями этого вектора на декартовы коорди-
натные оси.

§ 27] ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ И ОБОЗНАЧЕНИЯ 235
Введем цилиндрические координаты z, г, 0 и обозна-
чим через Bz, Br, В$ проекции В на соответствующие
направления.
Легко видеть, что
Вх + iBy = (В г + Шв)в*вг B7.1)
где i — мнимая единица. Вследствие гармоничности век-
тора В имеем
В случае осесимметричного векторного поля
В2 = Sz(z, г), 5Г == Вг(я, г), 59 = 5e(z, r),
так как вектор В не зависит от угла 0. Из B7.2) вытекает
8--^-)Be=0, B7.3)
, дг . дг , 1 д „
где Vap + ^5 + ~^:~~ гармонический оператор.
Положим Де = 0) а ^г и ^г свяжем между собой со-
отношениями
что не противоречит B7.3). Эти соотношения имеют место
в гидродинамике при потенциальном течении несжимае-
мой жидкости, если под Вг и Вт понимать соответственно
аксиальную и радиальную составляющие скорости или
если истолковать Вг как потенциал скорости, а гВт —
как функцию тока. Те же соотношения используются и
в решении П. Ф. Папковича осесимметричной задачи тео-
рии упругости (см. [97]).
Введем комплекснозначную функцию вещественных
переменных z, r:
Ф = Bz (z, r) + iBr(z, r), B7.5)
которую можно рассматривать и как функцию комплекс-
ного переменного t = z -j- ir. Однако она не относится
к классу аналитических функций, ибо условия Коши —
Римана здесь не выполняются. Чтобы подчеркнуть это

236 ОБОБЩЕННЫЕ АНАЛИТИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ tTO. VI
обстоятельство, в символическую запись функции Ф иног-
да вводят наряду с аргументом t также и 7 = z — ir:
Ф = Ф(*,1). B7.6)
Если Вг и Вт заданы аналитическими выражениями,
содержащими z и г, то к форме B7.6) можно прийти, по-
лагая в этих выражениях z = -ту- (t -(-~t), r = -^-{t — ~t) и
формально рассматривая t и t как независимые аргументы.
Тогда
о JL — Л i д 2 д — д о. у д пи\
L at ~~ dz l~&^ Atf~'dz~+lW (Z7J>
Умножим второе из равенств B7.4) на мнимую едини-
цу и сложим с первым равенством, учитывая B7.7). В ре-
зультате получим
2^-^=0. B7.8)
dt t — t K '
Таким образом, функция Ф(?, t) представляет собой част-
ный случай обобщенных аналитических функций w(t, 7),
являющихся решением уравнения
^r + Aw + Bw = 0, B7.9)
где А и В — некоторые заданные функции аргументов t
и t. Условия B7.4) служат аналогом условий Копти —
Римана.
Общая теория обобщенных аналитических функций
w(t, J) была построена И. Н. Векуа [51] в предположении,
что козффициенты А и В суммируемы со степенью р > 2.
В частности, доказаны изолированность нулей и полюсов,
справедливость теоремы Сохоцкого — Вейерштрасса для
окрестности существенно особой точки, аналог теоремы
Лиувилля и т. д. Были получены обобщенная формула
Копти и обобщенный интеграл типа Копти. Подобные функ-
ции под названием псевдоаналитических изучались Л. Бер-
сом [172] и др.
В нашем случае коэффициенты 2В — —2А = l/(t —t)
суммируемы лишь в областях, не содержащих точек оси z.

§ 27J ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ И ОБОЗНАЧЕНИЯ 23?
Поэтому поведение функций Ф(?, 7) в общем случае об-
ласти определения требует дополнительного исследова-
ния. Такое исследование для функций ?Ф было произве-
дено И. И. Данилюком [62—64], который использовал
их для решения осесимметричных задач теории поля.
Многие вопросы рассматривались в работах [131—135]
и др. Основные из полученных результатов излагают-
ся ниже.
Отметим, что после разделения вещественной и мни-
мой частей уравнение B7.9) приводится к системе двух
дифференциальных уравнений эллиптического типа, ис-
следованию которых посвящена обширная литература
(см., например, работы М. А. Лаврентьева, Б. В. Шаба-
та, Б. В. Боярского, А. В. Бицадзе, Л. Г. Михайлова,
Г. Н. Положил и др.).
В дальнейшем, говоря об обобщенных аналитических
функциях, мы будем иметь в виду функции Ф(?, Г), удов-
летворяющие уравнению B7.8), ибо обобщенные аналити-
ческие функции других классов нам не потребуются.
2. Обозначим через D' область определения функции
Ф(?, t), расположенную по одну сторону от оси z и не со-
держащую точек этой оси.
Хотя производная дФ/dt может существовать и тог-
да, когда частные производные по т> и г не существуют
(см. [51]), но для простоты рассуждений будем предпола-
гать, что Ф имеет непрерывные частные производные по
гиг везде в области D'. Такие функции при условии их
однозначности будем называть регулярными в D' (по
терминологии И. Н. Векуа они считаются вполне регу-
лярными). Тогда на операции dldt и d/dt можно смотреть
как на вторичные, определяемые через d/dz и д/дг соглас-
но B7.7).
Для сокращения записей мы обычно будем опускать
второй аргумент 7 в символическом обозначении функции
Ф, записывая просто Ф = O(t). В тех случаях, когда зто
может вызвать недоразумения, мы будем давать допол-
нительные пояснения.
Отметим, что сумма или разность обобщенных анали-
тических функций и их произведение на вещественную
постоянную также являются обобщенными аналитически-
ми функциями, удовлетворяющими уравнению B7.8).

238 ОБОБЩЕННЫЕ АНАЛИТИЧЕСКИЕ ФУНКЦИЙ [ГЛ. VI
Однако умножение на мнимую постоянную выводит функ-
цию из рассматриваемого здесь класса.
Под производной Ф'(?) обобщенной аналитической
функции в точке t e D' будем понимать предел
Ф (tx) — Re Ф (t) — i — Im Ф (t)
Ф'@ = 11т 7 ч . •, ч . B7.10)
где t = z + ir, t1=z1 + irx.
Предполагая, что tx приближается к t по линии г1 = г,
получим
Если fj приближается к t по линии Zj = z, то
^^+Ф11$. B7.Иа)
Из уравнения B7.8) следует, что правые части в B7.11)
и B7.11а) равны. Легко показать, что производная типа
B7.10) не зависит от направления, по которому ^ при-
ближается к t. Эту производную можно истолковать как
производную в смысле Л. Берса по паре 1, i/r (см. [172]
или [51]).
При наших предположениях относительно дифферен-
цируемости функции ФB) производная Ф'B) является
непрерывной функцией. Если она к тому же и дифферен-
цируема, то является обобщенной аналитической функци-
ей, в чем легко убедиться, дифференцируя по z левую и
правую части равенства B7.8). Ниже в § 30 будет пока-
зано существование у регулярных функций производных
любого порядка.
Пусть ФB) — обобщенная аналитическая функция, ре-
гулярная в односвязной области D', a U(t) и V(t) — не-
которые непрерывные и непрерывно дифференцируемые
в D' функции переменных гиг. Рассмотрим условия,
при которых интеграл
] B7.12)
по кусочно-гладкой кривой Г', целиком лежащей в D',
не будет зависеть от пути интегрирования. Как известно,

§ 27] ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ И ОБОЗНАЧЕНИЯ 239
для этого необходимо и достаточно, чтобы подынтеграль-
ное выражение представляло собой полный дифференциал
некоторой функции, т. е. чтобы везде в D' было равно ну-
лю выражение -4- (ФС/) + jf (Ф^)«
Добавляя и вычитая величину -* ^^^(t/ + V), при-
ведем зто выражение к виду
dt t — t j 2 \ 6« (_ f
Здесь первые два слагаемых равны нулю в силу B7.8),
а для обращения в нуль при любом Ф остальных слагае-
мых нужно положить
2 8U . U-\-V п t\dV U -f- V л /от ло\
—=¦ + ^—— = U. Z -т =- = U. \?1.10)
5* г — * Л (_( v ;
Эти условия совместно с B7.8) обеспечивают независи-
мость интеграла B7.12) от пути интегрирования.
Если под Г' понимать замкнутый контур, лежащий
в односвязной области D', то имеет место обобщенная
интегральная теорема Коши
Jt)di]=0. B7.14)
Г'
Когда функции Ф(?), U(t), V(t) непрерывны вплоть
до границы U области D', то за Г' в B7.14) можно при-
нимать эту границу. Последнее справедливо и в случае
многосвязной области D', если под Г' понимать совокуп-
ность замкнутых контуров, составляющих границу этой
области. Направление обхода контуров должно быть
таким, чтобы область D' оставалась все время с одной
стороны.
3. Полагая последовательно U = —V — 1 и ?/ =
= — V = t —1, видим, что уравнения B7.13) удовлет-
воряются, а потому интегралы
J

240 ОБОБЩЕННЫЕ АНАЛИТИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ [ГЛ. VI
не зависят от пути интегрирования в любой односвязнои
области D''.
Заменим под знаком интегралов t через т, а за Г' при-
мем кривую, соединяющую некоторые точки t0 и t. Счи-
тая точку t0 фиксированной, рассмотрим интеграл
B7.15)
квк функцию верхнего предела. Эта функция непрерыв-
на и однозначна в D'.
Разделяя в B7.15) вещественную и мнимую части,
путем подстановки в B7.4) и B7.10) убедимся, что Ф*^)
является обобщенной аналитической функцией, причем
ее производная типа B7.10) равна Ф(?), т. е.
Интегрирование по формуле B7.15) может рассматри-
ваться как действие, обратное дифференцированию по
B7.10), а функция Ф#(?) — как одна из первообразных
функции Ф(?).
Пусть Ф^г) — какая-либо другая первообразная от
Ф(р. Функция Ф0(г) = Фх(?) — Ф^г) является обобщен-
ной аналитической и удовлетворяет уравнению B7.8).
Ее производная типа B7.10) равна нулю. Следовательно,
ffRe<P0 _ 1 д (г 1тФ„) _ n dRe<P0 __ Э1тФ0 _ п
~~Вг 7 Tr Ul ~Тт Тг U>
Отсюда вытекает, что г 1га Фо = const = A, Re Фо ==
= const = В. Таким образом, любые две первообразные
одной и той же функции могут отличаться одна от другой
лишь на слагаемое вида
Фо@ = В + -Д= = Д-^, B7.17)
играющее роль обобщенной постоянной.
Когда область D' многосвязна, интеграл B7.15) будет
многозначной функцией: при однократном обходе вокруг
какого-либо внутреннего граничного контура L'^ зтот

27] ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ И ОБОЗНАЧЕНИЯ 241
интеграл получает приращение Bk -f Ak/(t — 1), где Ah
и Bk — вещественные постоянные.
Отметим, что справедлив аналог теоремы Морера:
если функция Ф(?) непрерывна в односвязной области D'
и интеграл вида B7.15) по любому замкнутому контуру,
лежащему в D', равен нулю, то Ф(?) является обобщенной
аналитической функцией, регулярной в D'. Доказатель-
ство такое же, как и в случае классических аналитических
функций.
Из общих свойств решения эллиптических систем
уравнений можно получить, что нули регулярной функ-
ции изолированы (см. [50]), и следовательно, справедли-
ва теорема единственности в обычной формулировке.
В частности, если ФB), регулярная в D', обращается
в нуль на некоторой дуге внутри D', то она тождественно
равна нулю везде в D'.
Используя аналог теоремы Морера, можно показать,
что к обобщенным аналитическим функциям применим
принцип аналитического продолжения (см. [51]), т. е.
если границы двух неперекрывающихся односвязных об-
ластей D\ и D'% имеют один общий участок I, и в этих об-
ластях соответственно заданы регулярные в них функции
Ф(?) и ^V{t), которые непрерывно продолжимы на I, при-
чем Ф(т) = Ч'(т) (т е Ц, то обобщенная аналитическая
функция
$>{t) при t<=D\ и (е/,
X (t) =
W(t) при гей2 и (е!
будет регулярной в D' = D\ -j- D'2 + I.
Отсюда и из теоремы единственности следует, чта
если регулярная в D' и непрерывная в D' + L' функция
на некоторой части границы L' обращается в нуль, то
эта функция равна нулю во всей области D.
4. Обобщенные аналитические функции мы будем ис-
пользовать при- решении осесимметричных задач теории
упругости. Плоские области, в которых определены эти
функции, образуются при пересечении тел вращения ме-
ридиональной плоскостью и являются симметричными
относительно оси тела.
Форма тел может быть разнообразной. Они могут пе-
ресекать ось симметрии или не пересекать ее (тороидаль-
16 А. Я. Александров, Ю. И. Соловьев ...... . . ..

242
ОБОБЩЕННЫЕ АНАЛИТИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ
1ГЛ. VI
ные тела). Они могут обладать внутренними полостями,
естественно, осесимметричными, которые также могут
пересекать или не пересекать ось симметрии (см. рис. 6.1,
а и б).
Рис. 6.1.
В плоскости сечения введем прямоугольную систему
координат z, г, совмещая ось z с осью симметрии и пред-
полагая, что гиг могут изменяться от —оо до +°°. При
г ^ 0 введенные координаты совпадают с одноименными
цилиндрическими координатами.
Рис. 6.2.
Симметричную относительно оси z плоскую область,
занимаемую меридиональным сечением тела, будем обо-
значать через D (рис. 6.2, а). Эта область может быть и
несвязной (в случае тороидального тела, рис. 6.3), но она

§27]
ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ И ОЁОЗНАЧЕНЙЯ
243
всегда состоит из двух связных областей D' (при г > 0)
и D" (при г <; 0), которые лежат по разные стороны от
оси z и могут иметь на z общую границу I (рис. 6.2, б).
В этом случае D = D' + D" + I.
Л
/
Рис. 6.3.
Внешняя граница Lo области D представляет собой зам-
кнутый контур, пересекающий ось симметрии (рис.6.2, а),
или два замкнутых контура La (г > 0) и Lo (г < 0),
не имеющих общих точек с этой осью (рис. 6.3).
Обозначим через Lh (к = 1, 2, .,..., т) внутренние
контуры, пересекающие ось z. Мы будем их нумеровать
в порядке расположения на оси z, начиная с самого ниж-
него контура (рис. 6.2, а). Номер самого верхнего конту-
ра будет т. Остальные внутренние контуры Lk и Lk
(к = т + li • • м п) попарно симметричны.
Через L'h и Lh при к = 0, 1, 2, . . ., т будем обозна-
чать дуги контуров Lh, опирающиеся на ось z (рис. 6.2, б),
так что при этом Lh = Lh-{- Lk.
Под L понимаем полную границу области D. Очевидно,
L = L' + L", где
п п
тI Vr' т" Vr"
Lj •— j^ *-*hi *-* — 4Ы ^h*
Границей области D' служит L' (рис. 6.3) или L' + I
(рис. 6.2, б), а границей области D" — соответственно
L" или L" + I, где 1= 2 h'< П°Д h (А = 0, 1, 2, ...
. . ., m — 1) понимается отрезок оси z между контурами
16*

244 ОБОБЩЕННЫЕ АНАЛИТИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ [ГЛ. Vi
Lh и Lh+l, а под 1т — между Lm и Lo. Все контуры будем
считать кусочно-гладкими, не имеющими общих точек.
Порядок связности области D (когда она связная)
равен 2п — т + 1, а областей D' и /)" — п — m + 1
Ранее мы предполагали, что обобщенная аналитиче-
ская функция Q)(t) определена в области/)', лежащей по
одну сторону от реи z. Некоторые из формул примут бо-
лее простой вид, если за область определения Ф(?) при-
нимать полную область D, занимаемую меридиональным
сечением тела. При этом в случае связной области точки
оси симметрии становятся внутренними точками области,
что облегчает изучение поведения функции Ф(?) в окрест-
ности оси симметрии. Для значений обобщенной анали-
тической функции будем вводить условие четности, ана-
логичное F.5):
= Ф@, B7.18)
считая, что вещественная часть Ф(?) является функцией,
четной относительно переменной г, а мнимая — нечетной:
Re $>(t) = Bz(z, r) = Bz{z, —r) = Re ФG), B7.18а)
Im Ф(?) = Br(z, r) = -BT(z, -r) =-Im ФG). B7.186)
Построенная таким образом функция Ф(?) удовлетво-
ряет уравнению B7.8) как в D', так и в D". Функция,
регулярная в области/)', является регулярной и в облас-
ти D". Мы будем говорить о регулярности в полной обла-
сти D, если обобщенная аналитическая функция, регу-
лярная в D' (и в /)"), непрерывна в D. Последнее имеет
значение для областей, пересекающих ось симметрии,
так как участок I оси не входит в D' или D", но входит
в состав D. Таким образом, по определению, для регу-
лярности не требуется существования производной на
оси симметрии. Но, как будет показано в § 30, регуляр-
ная функция обладает непрерывными производными лю-
бого порядка везде в D, в том числе и на оси симметрии.
Из непрерывности в D и условий B7.18а) и B7.186)
следует, что регулярная в D функция может принимать
на участке I оси симметрии лишь вещественные значения.
5. Первообразная Ф#(<) регулярной в D функции
) определяется в области D' выражением B7.15).

,27]
Основные понятия и обозначения
}>45
В D" ее можно доопределить в соответствии с условием
B7.18). Построенная таким образом функция является
первообразной в полной области, она удовлетворяет урав-
нению B7.8) и соотношению B7.16) везде в D при г Ф 0.
В особом рассмотрении нуждается поведение первообраз-
ной в окрестности оси z, когда зта ось пересекает D.
Выберем на каком-либо участке lk оси z произвольную
точку zh. Функция
zh
I Ф(т),
-l^|jЩГ)ch
B7.19)
удовлетворяет условию четности B7.18). Она регулярна
в любой односвязной части как D', так и D" и является
там одной из первообразных функции Ф(?).
Покажем, что Фй(?) непрерывно продолжима на lh,
а потому, в соответствии с нашим определением, является
регулярной функцией в односвязной части
D, содержащей 1к. Действительно, пусть t
стремится к некоторой точке z# e lk по
какой-либо гладкой кривой, не имеющей с
осью z общих точек, кроме z# (рис. 6.4).
Примем за путь интегрирования в B7.19)
дугу z^t этой кривой и участок z^z^ оси z.
Учтем, что при t, достаточно близком к z#,
имеет место неравенство 0 ^ |т — x\/\t —
—7|< 1. Тогда
lim Фк (t) = Фк (г*) = j Ф (х) dx. B7.20) Рис 6.4.
Это равенство справедливо для произвольной точки
z# e lh, причем его правая часть непрерывна на 1&, что
и доказывает наше утверждение.
Поскольку две первообразные одной и той же функции
могут отличаться лишь на обобщенную постоянную, то
Ф*(П = Фпт + Ви + -^, B7.21)
где
и B'k — некоторые вещественные постоянные.

246 ОБОБЩЕННЫЕ АНАЛИТИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ [ГЛ. VI
Таким образом, первообразная регулярной функции
может и не быть регулярной в окрестности оси симметрии,
обращаясь в бесконечность при г = 0, но всегда можно
выделить в ее составе часть, регулярную в окрестности
отрезка lh оси г. При этом первообразная отличается от
своей регулярной части на слагаемое A'hlit — t), где
вещественные постоянные Ah, вообще говоря, различны
при разных к (к = 0, 1, . . ., т).
6. Остановимся на вопросе определения обобщенной
аналитической функции по заданной вещественной части.
Пусть задана функция Bz(z, r), однозначная и непре-
рывная в D вместе со своими частными производными до
второго порядка включительно, которая удовлетворяет
первому из уравнений B7.3). Примем ее за вещественную
часть обобщенной аналитической функции O(t)=Bz(z,r)-[-
-\- iBr(z, r). Учитывая B7.4), будем иметь
дг дг dz
Интегрируя это равенство, получим интегральное пред-
ставление мнимой части Ф(?) в D':
t
М
y^. B7.22)
Здесь t0 — фиксированная, t — текущая точки области
D, М — вещественная постоянная. Величина интеграла
пе зависит от пути интегрирования (в односвязной облас-
ти). В D" функцию ВТ можно определить из B7.186).
Таким образом, функция Ф = Bz + iBT определяет-
ся по своей вещественной части с точностью до чисто мни-
мого слагаемого Мl(t— t). Если область D' односвязна,
то Ф(?) будет регулярна в этой области. В случае много-
связной области D' мнимая часть Ф может оказаться
многозначной: при однократном обходе вокруг какого-
либо внутреннего граничного контура Lh она получает
приращение —Сд/Bг), где
B7.23)
ft— замкнутый контур, охватывающий Lh).

§ 28] ОДНА ФОРМА СВЯЗЕЙ 247
Если ось z пересекает D, примем в B7.22) за нижний
предел точку zk участка lh оси z. Тогда
t
BTh (z, r) = 1J r (- ~z dz + д-Ь dr), B7.24)
Mft — произвольная вещественная постоянная. Функция
Brk удовлетворяет соотношениям B7.4) и условию чет-
ности B7.186). Учитывая непрерывность частных про-
изводных dBJdz и dBJdr вплоть до оси z, легко убедить-
ся в том, что Brh непрерывно продолжима на участок lk
оси z, причем ее значения на этом участке равны нулю
(см. аналогичные рассуждения, относящиеся к B7.19)).
Следовательно, Фй(?) = Bz + iBrh является обобщенной
аналитической функцией, регулярной в той части облас-
ти D, которая односвязна, симметрична относительно оси
z и содержит внутри себя участок lk этой оси.
Обобщенная аналитическая функция Ф(?) = Вх +
+ iBT, имеющая вещественную часть Bz(z, r), непрерывно
дифференцируемую в D, может оказаться не регулярной
в D. В окрестности участка lk оси z она отличается от ре-
гулярной в этой окрестности функции Фй на слагаемое
Mh/(t— t), где постоянная Mh может быть различной
для разных номеров к.
Если область D, пересекающая ось z, односвязна,
а относительно функции Ф известно, что она регулярна
в D, то такая функция вполне определяется своей вещест-
венной частью и не содержит неопределенных или обра-
щающихся в бесконечность слагаемых. В этом случае
Im Ф = Brh, причем величина Втп не зависит от положе-
ния точки zh, так как в B7.24) интеграл при t^lh равен
нулю.
§ 28. Одна форма связей между аналитическими
и обобщенными аналитическими функциями. Некоторые
полные системы обобщенных аналитических функций
' 1. Вещественная и мнимая части обобщенной аналити-
ческой функции Ф(?) удовлетворяют тем же соотношениям
B7.3) — B7.4), что и функции Bz(z, r), Br(z, r), введенные
в п. 2 § 6.

248 ОБОБЩЕННЫЕ АНАЛИТИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ [ГЛ. VI
Пусть область определения функции Ф(?) пересекает
ось z и односвязна. Тогда можно воспользоваться пред-
ставлениями F.10), продолжая их в область отрицатель-
ных г в соответствии с B7.18):
Bt\
Ц4? B8.1)
{t = z + ir, г Ф 0, ? = ж -f- iy, оси жиг/ совпадают с
z и г).
Отсюда
Ф (*) = Вг + iBT = -
1 При г = 0 по условию непрерывности положим
Ф(г) =* Re Ф(г) = Bz(z, 0) = Ф(г),
Im Ф(г) = BT{z, 0) = 0, B8.3)
== *ф'(г) = 1|дг(г,0). B8.4)
г-»0
Представление для производной типа B7.10) легко
получить при помощи F.12):
B8.5)
"to 7 ъ "
В дальнейшем нам потребуется выражение для комп-
лексно-сопряженной с Ф(?) функции
t
Ф(?I /~^ld?. B8.6)
Полученные представления позволяют для всякой
функции ф(?) = ф(?), которая голоморфна в односвязно^

§ 28] одйа Форма Сйязей 249
области D, пересекающей ось симметрии, находить соот-
ветствующую ей функцию Ф(?) = Ф(?), регулярную в
той же области. Указанное соответствие взаимно одно-
значно. Действительно, если выделить в D выпуклую
подобласть Z)%, симметричную относительно оси г, и перей-
ти в формулах B8.1) при t^D^ к интегрированию по пря-
мой х = z — const, то получающиеся равенства будут
иметь обращение, аналогичное B.23). Это обращение од-
нозначно, откуда и вытекает требуемое утверждение-
В соответствии с принципом аналитического продолже-
ния аналитических и обобщенных аналитических функций
взаимно однозначное соответствие имеет место и для осталь-
ной части области D.
2. Формулы B8.1)—B8.2) полезны при построении
полных систем обобщенных аналитических функций, регу-
лярных в односвязных областях, пересекающих ось сим-
метрии.
Пусть D — круг радиуса р0 с центром в начале коор-
динат, а Ф(?) — функция, регулярная в D. Этой функции
соответствует голоморфная в D функция <р(?), которую
можно представить в форме степенного ряда
ф(?)=2«пГ (ап = ап). B8.7)
Подставляя B8.7) в B8.1)—B8.2) и используя (8.2),
получим ряд
ф@ = S«n«U0. К28-8)
где
я
фп (t) = -i- pn j (cosO + i sin0 cos 6)" A -f cos 6) dQ —
0
-;rq-jP;(cosfl)]l B8.9)
p, ¦& — полярные координаты точки t.
Для функций Фп(?) справедливы неравенства
|Фп(*Жр" (р = 1*1).
|Фп @1 > СпРп (Сп = min|PB (cose) -^fipn (cosO) >0^.
B8.10)

250 ОБОБЩЕННЫЕ АНАЛИТИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ [ГЛ. "VI
Первое из этих неравенств легко получить, оценивая
модуль подынтегрального выражения в B8.9) и имея в
виду, что |сos 0- 4- i sin Ф cos 8[ =. |?|/р^ 1. Неравенство
Сл> 0 вытекает из того, что Pn(cos0) и Pn (cos Ф) одно-
временно в нуль не обращаются.
Ряд B8.8) является сходящимся вследствие сходимос-
ти ряда B8.7) и справедливости первого из неравенств
B8.10). Таким образом, всякая регулярная внутри круга
обобщенная аналитическая функция может быть представ-
лена в виде B8.8).
При помощи разложения B8.8) можно показать изоли-
рованность нулей, лежащих на оси z *). Пусть Ф = 0 в
некоторой точке оси симметрии. Примем эту точку за на-
чало координат и разложим функцию Ф(?) в ряд B8.8).
Пусть т — номер младшего отличного от нуля коэффи-
циента ряда. Перепишем B8.8) в форме
Д(Р'О)- а рф (t)
Учитывая B8.10), получим
пп—т—1
a 1С
I ml, m n=m+l
где ряд в правой части сходится. Таким образом, S яв-
ляется величиной, ограниченной в окрестности начала
координат, и при достаточно малом р сумма 1 -\- pS поло-
жительна. Поскольку Фт(?) имеет единственную нулевую
точку р = 0, то существует некоторая окрестность этой
точки, где Ф(?) нулю не равна.
Когда область D представляет собой кольцо, ограни-
ченное окружностями р0 и рх (ро< Pi) с общим центром в
начале координат, то голоморфная в D функция ф(?)
имеет разложение в ряд Лорана
S «п?п. ' B8.11)
*) Об изолированности нулей, не лежащих на оси г, мы гово-
рили выше в п. 3 § 27. Изолированность нулей на оси z иным ме-
тодом доказана в [64].

§ 28] ' ОДНА ФОРМА СВЯЗЕЙ 251
*
Принимая во внимание равенства (8.2) и (8.16), по-
лучим
ОО
Ф@= 2 апфпA). B8.12)
П=—во
Здесь Фп(?) при п Ф—1 определены прежними формула-
ми B8.9) с учетом соотношения Рп = P-n_i при отри-
цательном значке п. Для Ф_х будет иметь место выра-
жение
{ (J) B8.13)
Функции Ф„@ при п Ф —1 являются регулярными в
кольце D. Мнимая часть Ф-iit) обращается в бесконеч-
ность, когда Ф-»-я/2, т. е. когда t стремится к какой-либо
точке оси симметрии, лежащей выше начала координат.
Следовательно, ряд B8.12) выражает регулярную в коль-
це функцию лишь при а_х = 0.
Можно убедиться, что и, наоборот, любая регулярная
в кольце D обобщенная аналитическая функция может
быть представлена рядом B8.12) при а_х = 0. Для дока-
зательства воспользуемся тем, что Bz(z, г) = Re Ф(?)
является осесимметричной гармонической функцией в
полой сфере, построенной на области D, как на своем
меридиональном сечении. Как известно [60], такая функ-
ция может быть разложена по сферическим функциям:
ОО
Вг(*>г)= 2 anpnPn(cosO). B8.14)
П= — оо
Этот ряд совпадает с вещественной частью ряда B8.12).
Замечая, что обобщенная аналитическая функция, регу-
лярная в области, содержащей точки оси симметрии,
вполне определяется своей вещественной частью
(см. конец п. 6 § 27), получим требуемое утверждение.
Пусть внешний радиус рх неограниченно возрастает.
Тогда D обращается в бесконечную область, являющуюся
внешностью круга р = р0. Допустим, что Ф(/) регулярна
в любой конечной части D и исчезает на бесконечности.
Тогда в правой части B8.12) будут равны нулю все коэф-
фициенты ап при п ^5=—1. Легко видеть, что произведе-
ние |?|Ф@ стремится к нулю, когда р = \t\ -*¦ оо.

252
ОБОБЩЕННЫЕ АНАЛИТИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ
[ГЛ. VI
То же самое относится и к — Im Ф, так как выражение
—/>n(cos0) = —cos ft dPn(\x)/dn является ограниченным.
3. Ряды B8.8) и B8.12) удобны при решении осесим-
метричных задач для сплош-
ной или полой сферы, а также
для пространства, имеюще-
го сферическую полость. Тре-
бующиеся выражения произ-
водных от Ф„B) легко най-
ти при помощи B8.5) и со-
отношения (?n)' = nt,™-1.
Тогда
B8.15)
Приведем некоторые дру-
гие полные системы аналити-
ческих функций, позволя-
ющих решать осесимметрич-
ные задачи для тех или иных
тел при помощи разложения
в ряды.
Аналитическим функци-
ям sin п^ cos w?7 sh ra?,
ch ra? по формулам B8.1)—
— B8.2)соответствуют обобщенные аналитические функции
B8.16)
Рис. 6.5.
где /0, Iu /0, /x— функции Бесселя. Поскольку дифферен-
циальные свойства всех функций Бесселя аналогичны,
то в B8.16) можно заменить 1т и Jm (m= 0, 1) соответст-
венно через Кт и Nm. Эти выражения полезны при реше-
нии задач для сплошного и полого цилиндров, толстой пли-
ты (слоя), пространства с цилиндрической полостью.

§ 28] ОДНА ФОРМА СВЯЗЕЙ 253
В случае эллипсоида вращения аналитические функ-
ции допускают разложения по полиномам и функциям
Лежандра Рп(Щ, Qn(Vc), i"Pn(iVc), i^QnWc) (n -
целое, с— вещественное). Обобщенные аналитические
функции представляются в виде рядов по функциям (§ 18)
КпРп (cos т,)--т-1_я;р;(cost,), B8.17)
где Кп соответственно равны Рп( ch ?), Qn (ch ?),
inPn(i sh I), in^Qnii sh ?); через I, t] обозначены эллип-
тические координаты A8.6); K'n — dKnld%, Pn = dPjdr\.
Можно показать, что аналитическим функциям
(»^0) B8.18)
соответствуют обобщенные аналитические функции
Vn (t) = enl V^chg-cosTOJte1'2^ (cos r\) -
- e-8/2Pn_, (cos n)] + { [el/2P'n (cos n) -
B8.19)
причем
Y ±ln- (n + 1)Tn+i]. B8.20)
Здесь 5, п — биполярные координаты, такие что
(рис. 6.5)
__ с sing
В пространстве им соответствуют бисферические коор-
динаты.
Функции B8.19) могут найти применение при реше-
нии эадач для эксцентрической полой сферы, а также
для пространства с двумя сферическими полостями или
полупространства с одной сферической полостью.
Если для аналитических функций принять выражение
B8'22>
= 0,1, « = 1,2,3,...),

254
ОБОБЩЕННЫЕ АНАЛИТИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ
[ГЛ. VI
то при к = 0 обобщенные аналитические функции имеют
вид
феп = У2 (ch g — cos n) {[Р„-о,5 (ch g) cos rt] —
- Pn_1>5 (ch g) cos (n-1) т|] +(-^rf[pn-o,5 (ch g) sinnr, -
-P;_i>5(chg)sin(n-l)Ti]}. B8.23)
При к = 1 в B8.23) следует заменить символы cos на sin
и наоборот; такие функции будем обозначать через Ф^.
Рис. 6.6.
Под g, r\ понимается видоизмененная система биполярных
координат (рис. 6.6)
с sin ч\
cosT)'
r =
chg — cost)'
которой в пространстве соответствуют тороидальные коор-
динаты.
Производные функций B8.23) определяются формулой
- 2 Bп - 1) ФГ + Bп - 3) ф;-1,] B8.25)
(значок с переходит в s, и наоборот).
При использовании криволинейных координат g, т^
соотношения B7.3)—B7.4) полезно выражать через эти же
координаты. Если g, g введены путем конформного пре-

§ 29] АНАЛОГИ КОМПЛЕКСНОГО ЛОГАРИФМА 255
образования, то имеют место равенства
дг дг дг дг ,по ос\
Тогда
дВг_ 1 d(rBr) dBz_ j д(тВт)
Пользуясь этими соотношениями и дифференциальны-
ми свойствами функций Лежандра, можно убедиться,
например, что функция B8.17) остается обобщенной ана-
литической и при дробном п, в B8.23) можно заменить
Pk (ch |) через Qh (ch g) и т. д.
§ 29. Аналоги комплексного логарифма.
Их производные и интегралы
1. Аналогами комплексного логарифма будем называть
многозначные обобщенные аналитические функции, опре-
деляемые формулами
t, g = - jT^Tj J
B9.1)
где t0 = z0 + ir0 —. некоторая фиксированная точка
плоскости,
/<- , v 1 1
B9.2)

256 ОБОБЩЕННЫЕ АНАЛИТИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ 1ГЛ. VI
Будем считать, что г и г0 больше нуля. Рассмотрим вы-
ражение для вещественной части ®(t, t0):
fl
t
= JL Г d$ B9.3)
2i jV(z-ta)(t--t0)V(t-t)H-t)
Введем подстановку:
(i-7.) (с-1)> si
B9-4)
После преобразований будем иметь
я/2
Re 9 = f dx —.=*!. к (к), B9.5)
i /pg-4rr.sin«» P. W' ;
где К(к) — полный эллиптический интеграл первого рода,
к=Чг' ро~\*-"'»'" V(z"z°J + (r+r°J- {29-6)
Разделим во втором равенстве из B9.1) вещественную
и мнимую части. Интегрируя по частям выражение Im 3
и вводя подстановку B9.4), получим
Im
P_ 1 г
я/2
A^sin1^. B9.7)
Выражение для Im 9 можно найти при помощи второ-
го из соотношений B7.4). Дифференцируя B9.5) по г и

§ 29] АНАЛОГИ КОМПЛЕКСНОГО ЛОГАРИФМА 257
интегрируя по z, будем иметь
Я/2
r + ''o — 2ro aiTii x dx
(г + г.)* - 4гг0 sin* х
B9.8)
где
я/2
П — полный эллиптический интеграл третьего рода, Н —
кусочно-постоянная функция, значения которой должны
быть назначены из условия непрерывности правой части
B9.8) при г-+г0.
Разрыв непрерывности возникает из-за того, что
П(— /г2, к) обращается в бесконечность при п -»- 1 (п' -*¦ 0).
Произведение п'П при этом ограничено.
Представим B9.8) в форме
¦ [ n'
S1 "'
? , p \tta\ V@) + @y.
B9.10)
При n' -> 0 первый интеграл в B9.10) также стремит-
ся к нулю, а функция / имеет пределом -п- lim sign n'.
К
17 а. Я. Александров, 10. И. Соловьев

258
ОБОБЩЕННЫЕ АНАЛИТИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ
[ГЛ. VI
Отсюда вытекает представление для Н:
Н=— Entf—\ #^=arcsin ^Я
\п J р
Символ Ent (и) означает целую часть числа и; угол О
будем принимать равным нулю при г > О, z -*• -f oo,
а для остальных точек t вычислять в предположении не-
прерывного изменения арксинуса в полуплоскости Im t >>
> 0. На рис. 6.7 приведена диаграмма значений Н.
Рис. 6.7.
Таким образом, функция Im в является многозначной:
после однократного обхода вокруг точки t0 против хода
часовой стрелки ее значения уменьшаются на величи-
ну я/г. Для устранения многозначности будем проводить
разрез, соединяющий точки t0 и /0. На оси z ниже разреза
Im 6 = 0; выше разреза Im в обращается в бесконеч-
ность, но сумма Im в -f- я/г непрерывна. Для точек ли-
нии> = г0 легко получить
Перейдем к функции Re S, которую проще всего най-
ти, умножая обе части равенства фа = (z — го)фе +
-J- (? — г)фв — 1, вытекающего из B9.2), на множитель

§ 29] АНАЛОГИ КОМПЛЕКСНОГО ЛОГАРИФМА 259
и интегрируя в пределах от t до t. Тогда
Re S = (z - z0) Re 0 - r Im в - я/2 B9.12)
или
ReS = - i^is[»'П(- n\ к)-К{к)] -\К. B9.13)
Эта функция также многозначна и после обхода вок-
руг точки t0 получает приращение, равное п. На оси сим-
метрии Re S ограничена, на бесконечности обращается
в нуль.
Отметим, что функции Im © и Re S являются огра-
ниченными по модулю везде, a Re в и Im В имеют ло-
гарифмические особенности в точках t0 и г0. Принимая во
внимание, что при t -*¦ t0 справедливы соотношения
р-*¦ 0, р0 -»- 2r, k-*l, k'-+0, /г->1, п' -»- О,
Arcsin ^ = Arcsin (^p j^-J = « + о A),
l + o(l), B9.14)
на основании формул B9.5), B9.7), B9.10), B9.12) полу-
чим
, B9.15)
где оA) — бесконечно малая величина.
Из B9.15) вытекает, что функции
F,(*) = 2S (»,«„)+«In ^* B9.16)
непрерывны и однозначны везде при Im t ^ 0 (а также и
при Im t <; 0 в силу условий четности). Точки t0 и г0 не
составляют исключения.
17*

260 ОБОБЩЕННЫЕ АНАЛИТИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ 1ГЛ. VI
2. В дальнейшем нам потребуются обобщенные анали-
тические функции A(t, t0), Y(t, t0), X(t, t0), связанные с
G и Е соотношениями
1 l ^ . B9.17)
Интегральные представления этих функций аналогичны
B9.1), где соответствующие аналитические функции будем
обозначать через фЛ, фг, <рх.
Согласно B8.5) дифференцирование по z обобщенных
аналитических функций сводится к дифференцированию
по t, аналитических функций. Поэтому
Я /) Я
¦^Фл = Фе, -^Фг = Фз, -^-Фх = 2фг —г2фв. B9.18)
Отсюда
Фл (Б, t0) = In
Фг
(Б, *o) = V(Z - hf + rt - (Б - z0). B9.19)
Приведем выражения вещественных и мнимых частей
введенных функций. Они могут быть получены тем же пу-
тем, что и формулы B9.7) и B9.12):
Im Л = (z — z0) Im в + г Re в — Im S,
Re Г = (z - z0) Re S -
ReX=(z-zo)Rer-r Im Г—~r20,
9 Г Л I
ImX = -|- (z —z0)Im Г + rRer — -y-ImЛ . B9.20)
В справедливости этих формул легко убедиться, ис-
пользуя равенства B7.3), B7.4) и B9.17), а также сравни-

§ 29] АНАЛОГИ КОМПЛЕКСНОГО ЛОГАРИФМА 261
вая значения на оси симметрии правых частей B9.19) и
B9.20).
Функцию Re Л найдем при помощи соотношений
^ | — -|-ImA = — 1тв.
oz or oz
Тогда
я/2
Re Л = j In (z — za + ]/р§ — 4rr0 sin2x) dx +
Этот интеграл не выражается через табулированные
функции.
Функции Л, Г, Х,так же как и в, S, являются много-
значными. Их многозначность связана с многозначностью
Im 9 и Re В и легко устанавливается при помощи ра-
венств B9.20) и B9.21).
В точках оси симметрии, лежащих ниже линии раз-
ветвления, значения всех функций вещественны:
я г-1 я /z — г0 тЛ
2р0 2 \ р0 /'
B9.22)
¦ = 0, ro>O, Я=1, р=р0 = У(в-в§)«4-^,
A— 0, й/ = 1, » = 0, п' = — 1, К @) == 2# @) =
= П @,0) = я/2).
Эти же формулы можно использовать и для точек оси
симметрии выше линии разветвления, если в B9.22)
вместо 0, Л, Г соответственно ввести
(„л г ni "I
©Н , hm Л — я1пгЧ—(z — z0) ,
/ r-*o L
liin [
т-*0 \
и положить Я = —1Т

262 ОБОБЩЕННЫЕ АНАЛИТИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ [ГЛ. VI
Когда точка t0 лежит на оси симметрии (г0 = 0, t0 = t0 =
= z0), то
2 u
lim-i-r=4-0- Hm4-X = 4-0'- B9-23)
г„-*0
3. Заметим, что B9.12) и первые три из равенств B9.20)
можно записать в форме
(t — z0) S + гов = Re'T + 2i Im Г.
Дифференцируя эти равенства п раз по z и учитывая
B9.17), будем иметь
if z \Q(n) g(n) —
= —re Re вс-1) — i(re — 1) Im в'"-1» = Лп_т,
(* — zo)H(") + г§в(") = -(re - 1) Re S<»~1) -
—i(n — 2) Im Si»-1) = J9n_i (n > 2),
(f - z0) S' + rg0' = iim S = Bo.
Отсюда получаются рекуррентные формулы для вы-
числения производных ге-ro порядка
(ге>1). B9.24)

§ 30] ОБОБЩЕННАЯ ФОРМУЛА КОНШ 263
Приведем выражения вещественной и мнимой частей
производных первого порядка
р? -E) B9.25)
(К = К(к), Е = Е(к), D = ВД, г > 0, г0 >0).
Некоторые другие представления были приведены в
[132—134, 136, 141]. Ниже, в § 34, указаны выражения
функций в, Н и их производных в биполярных коорди-
натах.
Отметим, что при помощи равенств B9.24)—B9.25)
устанавливается непрерывность и однозначность производ-
ных 9' и 5' по всей плоскости переменного t, за исклю-
чением точек t0 и t0, причем произведение этих функций
на {t — to)(t — t0) при t ->¦ t0 или t ->¦ t0 является величи-
ной ограниченной. Следовательно, в' и В' в точках t0 и t0
имеют простые полюсы. На бесконечности обе функции
обращаются в нуль. Теми же свойствами обладают про-
изводные и-го порядка, причем порядок полюсов в t0 и t0
равен п.
§ 30. Обобщенная формула Коши. Обобщенное
ядро Коши
1. Пусть L' — некоторый замкнутый контур, лежащий
справа от оси симметрии, F(x) — непрерывная функция,
определенная на этом контуре. Рассмотрим функцию
^U^^d-c-T^VJt^)^], C0.1)
где Uo и Fo — функции, непрерывные вместе со своими
частными производными по z, г, х, у (z -f- ir — t, x +
+ iy = т) везде при г^0,у^0иг#т.
Найдем условия, при которых W(t) будет обобщенной
аналитической функцией. Подставляя C0.1) в B7.8) и

264 ОБОБЩЕННЫЕ АНАЛИТИЧЕСКИЕ ФУНКЦИЙ [ГЛ. VI
дифференцируя под знаком интеграла, получим, что для
этого необходимо и достаточно существование равенств
2 dUp _ Ua - Va =
Va = Q 2dVo_
t dt
2 _ = Q 2==Q^ C0.2)
dt t—t dt t — t '
Потребуем, кроме того, чтобы функции Uo и Fo удов-
летворяли уравнениям B7.13) по переменной т, т. е.
C0.3)
т —т 5х х —х
Положим, что F(t) является граничным значением
какой-либо обобщенной аналитической функции Ф(?),
которая регулярна в области D', ограниченной контуром
L', и непрерывно продолжима на L'. Тогда в силу обоб-
щенной теоремы Коши 4?(t) = 0, когда t (при г = Im t ^
^ 0) лежит вне замкнутой области D' + L'.
Пусть теперь t лежит внутри Z)'. Опишем вокруг точ-
ки t окружность у малого радиуса р. Применим обобщен-
ную теорему Коши к совокупности контуров U и у.
Добавим и вычтем интеграл по у от выражения
Ф(т)йт/(т — t). Тогда
- J {ф (т) [u0 {t, т) - ^] dx - Ф(т)У,(«,х) йт} = 0,
где L' и у обходятся против часовой стрелки.
Будем предполагать, что порядок особенностей функ-
ций Vo ж Uo — 1/(т — t) при t — % строго меньше едини-
цы. Тогда при |т — й| —>- 0 последний интеграл обращает-
ся в нуль, а предпоследний интеграл дает в пределе
2ni Ф{1).
В результате получим обобщенную формулу Коши
Ф W = Ш I [ф <т)и» (*> *)^~®?) УЖ*) <?]. C0.4)

§ 30] ОБОБЩЕННАЯ ФОРМУЛА КОШИ 265
Эта формула останется справедливой и тогда, когда
D' многосвязна. В этом случае L' будет представлять со-
бой совокупность простых замкнутых контуров.
Пусть, как и прежде, L" — контур, симметричный
контуру L' относительно оси zvlL~L'-\-L". При интег-
рировании второго слагаемого в C0.4) сделаем подстанов-
ку т = %1. Учтем, что
- j ЩГ) VJJ~T) <fr - f Ф (i,) Vjj^j dTl. C0.5)
V L"
Изменение знака интеграла связано с тем, что когда точ-
ка т проходит контур L' в положительном направлении,
точка тх проходит контур L" в отрицательном напра-
влении.
Опуская индекс у тъ представим C0.4) в форме
Это выражение можно записать в виде одного интегра-
ла, введя обозначение:
f U, (t, т) при h it, т) > 0,
W«,i)-\J1LL ll '^ C0.6)
(V0(t,%) при h(t,x)<0,
h(t, т) = sign (Im Mm т). C0.7)
В результате обобщенная формула Коши примет компакт-
ный вид
Эта формула может быть распространена и на случай
отрицательных значений Im t, причем условия четности
B7.18) будут выполнены, если ввести условие
W{t, т) = W(t, т). C0.9)
2. Выражения обобщенного ядра Коши W(t, т) в явном
виде могут быть найдены различными способами. В работе

266 ОБОБЩЕННЫЕ АНАЛИТИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ [ГЛ. VI
[63] получены интегральные представления обобщенного
ядра Коши, содержащие эллиптические интегралы комп-
лексного модуля. Г. Н. Положием [112] для аналогичной
цели был применен потенциал кольцевого источника.
В статье [131] обобщенная формула Коши получена пу-
тем перестановки некоторых интегралов, содержащих
аналитические функции, в результате чего были найдены
представления обобщенного ядра Коши через интегралы
от аналитических функций и эллиптические интегралы
вещественного модуля.
Приведем эти последние представления и используем
их для исследования обобщенного ядра Коши.
Используя соотношения C0.6), C0.8) и C0.2), получим
дифференциальное уравнение
2-Lw(t,x) 1=[^;(*,х)-^(Г,т)]-0. C0.10)
dt t — t
Сопоставление с B7.8) показывает, что решение этого
уравнения можно искать в форме B8.2). Положим
C0Л1)
где г|)(?, т) — функция, аналитическая по переменной ?
и дифференцируемая по х — Re т и у = Im т.
Из уравнений C0.3) следует
2±=W(t, т) + -L=[w(t, т) + W(t,!)] = 0. C0.12)
дх х — х
Это равенство удовлетворяется, если
2-4i|)(C,t) -[*«.T)-*(S,t)]=»0. C0.13)
ах х— т
Ядро W(t, т) имеет простой полюс при t = т, поэтому
функция i|)(?, т) при ? = т должна иметь особенность по-
рядка 1,5. Простейшей функцией, удовлетворяющей ука-
занным условиям, является
1>(Б,т) = 1 C0.14)
(?)/(?)U)

ОБОБЩЕННАЯ ФОРМУЛА КОПШ
267
Вычислим интеграл C0.11) в явном виде. При помощи
подстановки
a; при h(t,t)<0
и формул [61] № 2.58440 и 2.58442 получим
f, т) =
т — т
т — t
т — т
т— t
В {к) = К (ft) -2? (к),
В (к) при Л. {t, т) > О,
Д(Ло) при h(t,T)'<0,
C0.16)
C0.17)
к*
Ро.
т —i
где К(А;) и ^(А;) — полные эллиптические интегралы.
Вводя дополнительпые модули
Pa v
т —t
т —t
—t
C0.18)
легко убедиться, что значения к, к', к0,к'о заключены меж-
ду нулем и единицей, причем к = 1, к' = 0 лишь при
t = т, а к0 — 1, &о = 0 лишь при ? = т.
Функция В(к) дифференцируема по переменной к',
а для D{k) имеет место представление
C0.19)

268
ОБОБЩЕННЫЕ АНАЛИТИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ
(ГЛ. VI
где d(k') — дифференцируемая функция. Отсюда выте-
кает, что a>(t, т) непрерывна по обоим аргументам везде,
кроме t = т, где при Im т Ф 0 имеет место логарифми-
ческая особенность. Когда t = т (Im х Ф 0), то к = 1^
5A) = 1, со(т, т) = 1.
Непрерывность сохраняется и на оси симметрии.
Пусть имеет место одно из равенств: Im t = 0, Im т = 0,
Im t = Im т = 0 (t Ф т). Тогда
k=ko =
T— T
T —t
C0.20)
В этом случае функция со ограничена при t — т = т.
Таким образом, функция W(t, т), определенная форму-
лами C0.16)—C0.17), удовлетворяет уравнениям C0.10)
и C0.12), имеет особенность типа 1/(т — t) при t = т,
логарифмическую особенность при
( = ти непрерывна в остальных
точках, т. е. обладает всеми теми
свойствами, которые приписыва-
лись обобщенному ядру Коши
в предыдущем пункте.
3. Уточним характер непре-
рывности функции о)(г, т). Будем
считать, что точки (ит принадле-
жат одному и тому же полукругу,
на которые ось z делит круг,
описанный из начала координат
достаточно большим радиусом R. Таким образом,
|*|< Я, |т|< R, Im Mm x > 0. C0.21)
Пусть t, t-j, т2—некоторые точки указанного множест-
ва. Положим для определенности |тх —7| ^ |т2 — t\.
Из свойств треугольников (рис. 6.8) вытекает
! \Ч — t\ — |т2 — t\ К |т2 — т2| = |Ат|,
г2
Рис 6.8.
~t\
~t\ + |т, — t\ > |Ат|, | jx-j. — Тц1 —
- 1Т2 — ^11= 211шт!— 1тт2|< 2|Дт;.
г|<К—«I, |т-*|<|т-г|. C0.22)

ОБОБЩЕННАЯ ФОРМУЛА КОПТИ
Тогда
где за К можно принимать произвольное число в интерва-
ле от нуля до единицы. Все зти неравенства останутся
справедливыми, если литеры ? и т поменять местами.
Напомним, что функция /(т) называется удовлетворяю-
щей условию Гёльдера Н с показателем \i ^ 1 (принадле-
жащей классу H([l)) на заданном ограниченном множестве
значений переменной т, если для любых двух точек тх
и та этого множества имеет место неравенство
\-ff~ \ 4(~ \| <-- 4 |т т 1 tt (ЦП 9й\
где А и [j, — положительные постоянные *). Функция
двух переменных f{t, т) удовлетворяет условию H(\i) по
обеим переменным, если
\f(h, Ti) - f(t,,
C0.24а)
Пусть некоторая функция ц>(к'), где А;' определено фор-
мулой C0.18)," удовлетворяет условию H(\i). Принимая
во внимание C0.23), легко показать, что функции
|т — г|я<р(/с') и |т— ць-1 |т — т|ф(А;') при Я ^ (х удов-
летворяют условию ff(\i) по переменным ( и т.
Вернемся к <о(г, т). Заметим, что В(к) как дифференци-
руемая функция удовлетворяет условию НA) по перемен-
ной к', а произведение (k')*-D(k)— условию Н(К— е),
где е — сколь угодно малое (но отличное от нуля) поло-
жительное число. Тогда на основании полученных резуль-
татов можно утверждать, что функция |т— 7|я(о(г, т)
*) Более подробные сведения о функциях класса Н и призна-
ках принадлежности к этому классу см., например, [94], гл. 1.

270 ОБОБЩЕННЫЕ АНАЛИТИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ [ГЛ. VI
удовлетворяет условию Н(к) по обеим переменным на мно-
жестве C0.21), а |т — l\x(u(t, т) — условию Я (Я — е).
Заменяя в последнем произведении t через t, получим
представление
ш ((, т) = Jj^|L, C0.25)
где (a%(t, т) удовлетворяет условию Н(ц) при любых ко-
нечных значениях <ит. За Я и \i можно принять произволь-
ные числа в интервалах 0 < Я <1 1, 0 < ц < К. Точки t
и т могут лежать как по одну, так и по разные стороны
от оси z. Значения а>#(?, т) при переходе через ось сим-
метрии изменяются непрерывно, и
<!)*(?, т) = 0. C0.26)
Можно также показать, что если F(t, т) удовлетворяет
условию H(\i < 1) по обеим переменным и неравенству
\F(t, т)| ^ const • |т — t\V; то функции
ф1 (t, t)=*F (t, т) со (t, т), Фа (t, t) = F (t, т) ^ ш (г, т),
ф3 (t, t) = F (t, т) fr-^j^;^" «в (*, х),
т — t
ф5;(г, T) = F(t,T) (l^lj о («, т) C0.27)
удовлетворяют условию H(\i) по обеим переменным на
множестве C0.21).
Если условие ограниченности отношения \F(t, т)|/|т —
— ^1^ не выполнено, то функции C0.27) удовлетворяют
условию H(\i), когда точки Тит лежат на конечном рас-
стоянии друг от друга, т. е. когда |т— t\ ^б = const >0.
4. Рассмотрим производные обобщенного ядра Коши.
Переходя в C0.11) к интегрированию по прямой пи пола-
гая ? = z + ir cos 6, будем иметь
я
W(t,r)= —1|т —т| j" г|> (z + ir cos 8,т)A + cos 6) dQ
C0.28)
(t = z + ir, t =• x + iy).

§ 30] ОБОБЩЕННАЯ ФОРМУЛА КОШИ " 271
Отсюда видно, что дифференцирование W по z, г и х
сводится к дифференцированию функции ф(?, т) по ? и т
под знаком интеграла. Легко убедиться в существовании
частных производных любого порядка от W по z, г, х.
Порядок особенностей производных в точках т = t и
х = t при каждом дифференцировании повышается на
единицу. При т Ф t и т Ф t эти производные непрерывны
везде, включая точки оси симметрии. То же самое относит-
ся и к дифференцированию по у. Однако производная по
у будет иметь скачок при переходе т через ось симметрии
вследствие необходимости дифференцировать |т — т|.
Получим формулы для производных первого порядка.
Используя соотношение B8.5), будем иметь
Отсюда
C0.29)
Производную по г найдем при помощи C0.10):
C0.30)
Учитывая, что ^- \|) (?, т) = — -т= \|з (?, т), будем иметь
¦^W(t,r) = —-^W(t,T). C0.31)
Выражение для производной по у получим, используя
равенство C0.12):
C0.32)

272
ОБОБЩЕННЫЕ АНАЛИТИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ [ГЛ. VI
Производные от a(t, т) найдем, имея в виду, что
= (т — t)W. Тогда
¦
da(t,
dz
дг
т)
т)
осо (t
dl
d(O(t,
dz
t T)
s
1
2
1 (t
1
W (
-t)
•-
co(«
(t
\ 1 -„ / -
2
2(t-F)(i
, t) — (t — t) со
— *)(* — !)
r-0
G,t)
*
-gco (t, t) dco (t, t) __ (t — t) со (t, t) + (t — t) со (t, t) ^q 03s
ду ~~ дх (^_г)(т_^)
Обозначим
v,foT) = (T-0 (!+*!
C0-34)
Подставляя C0.17) в C0.33), при1тМшт>0 будем
иметь
т + т —t —
2G-0
D(k),
T+T—t—t
2 (т — i)
т — т
x — t
I B{k),
v2 (i, t) = v2 {t, t) = v2 (t, t) =
т - т 1 f В (к) — л/4 т— tD (ft)-л/4
т— т
т—
- v3 (t, т) = v3 (f, т) = v3 (t, т) =
T — T
t— t
t — t J

§ 30] ОБОБЩЕННАЯ ФОРМУЛА КОШИ 273
Заметим, что В(к) и [В(к) — я/4]/&2 удовлетворяют
условию #A) по переменной к', a (k')kD(k) и (к')ЦО(к) —
— я/4]/А;2 — условию Н(% — е).
Из ограниченности этих функций вытекает ограничен-
ность функций C0.34). Тогда
" C0-36)
где под ш' следует понимать любую из частных производ-
ных первого порядка от (a(t, т); значения т и t произ-
вольны.
Путем таких же рассуждений, как и в п. 3, получим
представление
*м-ь-щ?--.г C0'37)
Если ш' = —, —, д—, то функция a>*(t, т) удовлет-
uZ ОТ ОХ
воряет условию Н(ц) @ < ц < ^) по обеим переменным
при любых конечных значениях гит. Если же ш' = ^—,
то (a*(t, т) по переменной t удовлетворяет H(\i) при любых
(конечных) значениях t и т, а по переменной т — на мно-
жестве C0.21). В качестве "К можно взять произвольное
число в интервале 0< Я <! 1.
5. В том случае, когда точки t и т принадлежат гладкой
дуге, кривизна которой удовлетворяет условию Н(\у0)
и |? — t\ "^ 28 = const > 0, полученные оценки могут
быть несколько усилены.
Пусть Q(t, т) — угол, составляемый вектором tx с
осью z. Тогда
т — t = |т — t\ell>, т + т — t — 1 — 2|т — 11 cos 0,
, lk'D(k) при 1тМтт>0,
\B (rtr.) при Im t • Ini т ^^ 0.
Функция Q(t, т) имеет частные производные по t и т,
удовлетворяющие условию Н(\х0) ([94], § 7). Поскольку
cos 0 = 0 при т = t, то отношение cos #/(т — t) также
будет удовлетворять условию Н(\к0) на рассматриваемой
18 а. я. Александров, Ю. И. Соловьев

274 ОБОБЩЕННЫЕ АНАЛИТИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ [ГЛ. VI
дуге. Функция <p(/t') удовлетворяет условию #A — е)
по переменной к'(/to). Отсюда нетрудно вывести, что про-
/ -\ да / -\ да -
изведения \r~'t)fc~ и \%—''й7 УдУт Удовлетворять
условию H([i0), когда ц0 строго меньше единицы.
Из условия \t — t\ ^ 26 вытекает, что в формулах
C0.35) |т — t\ 2& б > 0. Поэтому две последние функции
из C0.35) удовлетворяют условию НA — е) по обеим пере-
менным. В результате получим представление
о' (t, т) > Ml (i'.T), C0.38)
T—t
где e>i удовлетворяет условию H(\l0 < 1) при тех же зна-
чениях переменных f ит, что и ш* в C0.37).
Рассмотрим функцию
ь
C0.39)
Пусть Im t-lm т ^ 0. Поскольку ш(т, т) = 1, а производ-
ная . по дуге в силу C0.38) удовлетворяет условию
Н(уь0 < 1) по обеим переменным, то (см. [94], §7) функция
K(t, т) будет удовлетворять тому же условию.
Если Im^-Imx^O, то 1/(т — t) не обращается в
бесконечность и является дифференцируемой функцией.
Тогда для K(t, т) будет справедливым представление вида
C0.25).
Объединяя оба случая и учитывая, что предельные
значения K(t, т) при Im т ->- 0 слева и справа одинаковы,
получим
0 = г^. C0.40)
где &*(?, т) удовлетворяет условию H{\i < \i0).
jf.1^ 6. При получении обобщенной формулы Копта C0.4)
или C0.8) предполагалось, что контур L не имеет общих
точек с осью симметрии. Пусть теперь участок I оси z
принадлежит области D (рис. 6.2). Функция Ф(?) ввиду
своей регулярности в D непрерывно продолжима на I.
Обобщенное ядро Копта W, а следовательно, и функции

§ 30J ОБОБЩЕННАЯ ФОРМУЛА КОПШ 275
Uo, Vo непрерывны по переменной т при т Ф t, %Ф1.
Отсюда-вытекает, что формула C0.4) будет справедлива
и в данном случае, если за путь интегрирования принять
замкнутый контур L' + I, являющийся границей обла-
сти D'.
В силу равенств C0.20) функции W, Uo, Vo обращаются
в нуль при Im т = 0. Поэтому интеграл по участку I
исчезает, а формулы C0.4) и C0.8) сохраняют свой преж-
ний вид, причем контур L является замкнутым, а в составе
L' могут быть разомкнутые дуги, опирающиеся на ось z.
Вследствие непрерывности функции W(t, т) в формулах
C0.4) и C0.8) за t можно принимать любую точку обла-
сти D, в том числе и лежащую на оси симметрии.
В п. 4 мы установили существование частных производ-
ных любого порядка от функции W(t, т) по переменным
гиг. Отсюда и из формулы C0.8) вытекает, что регуляр-
ная в D и непрерывная в D -f- I функция Ф(*) обладает
непрерывными частными производными любого порядка
везде в D, включая точки оси симметрии.
До сих пор мы считали область D конечной. Рассмот-
рим случай, когда D — бесконечная область, состоящая
из всей плоскости с конечными вырезами, L — ее граница,
а регулярная в D функция Ф(?) исчезает на бесконечности.
Проведем окружность Г достаточно большого радиуса
R с центром в начале координат так, чтобы все вырезы
оказались внутри окружности. К получившейся конечной
области можно применить обобщенную формулу Коши
ф(*> = ШIфМ WV' т)dT + ш\ ф<Tl>W<*' Tl>iTl'
L Г
C0.41)
Устремим R к бесконечности. При этом |tj.| = R -*¦ с»,
к, к0 -> 0, функция ш остается ограниченной, a W стре-
мится к нулю как const-Д-1. В результате второй интег-
рал в C0.41) исчезает, и обобщенная формула Коши со-
храняет вид C0.8).
Рассмотрим поведение Ф(<), когда \t\-*~ <х>. Учтем, что
при |f|-»-oo и ограниченном |т| вновь ш = Otf-1) ifC =
= O(t~2). Следовательно, если Ф(?) регулярна в бесконеч-
ной области D указанного выше вида и исчезает на беско-
18*

276
ОБОБЩЕННЫЕ АНАЛИТИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ [ГЛ. VI
нечности, то в окрестности бесконечно удаленной точки
имеет место представление
Ф(*)=
C0.42)
т. е. произведение t2O(t) остается ограниченным.
В заключение приведем некоторые формулы, вытекаю-
щие из C0.17), а также из сопоставления C0.11) и B9.1).
т — т
t — t
W(x,t),
C0.43)
a
Ь
C0.44)
Из последних формул, в частности, вытекает:
Uodx — VBdx) =a 2tS (t, b) — 2tS (t, a),
^«^h+F° й)= ш (f'b) ~ m {t'a)
(Ima>0, Imb>0). C0.45)
Если точки а и b совпадают, т. е. интегрирование
производится по замкнутому контуру Z/, то
<30'46»
t — t
0
C0.47)
где Z?+— конечная часть плоскости, ограниченная конту-
рами L' и L", D~— остальная часть плоскости; контур

§ 31] ОБОБЩЕННЫЕ ИНТЕГРАЛЫ ТИПА КОШИ 277
L = U + L" обходится так, чтобы область D+ оставалась
слева.
Формулы C0.46)—C0.47) справедливы и для много-
связных областей, а первая из них и для областей, пере-
секающих ось симметрии.
§ 31. Обобщенные интегралы типа Коши
1. Пусть L — совокупность конечного числа кусочно-
гладких замкнутых контуров и разомкнутых кусочно-
гладких дуг, не имеющих общих точек и точек самопере-
сечения. Подразумеваем, что линия L симметрична отно-
сительно оси z и делится этой осью на две части U (при
г> 0) и L" (при г< 0).
Заменим в обобщенной формуле Коши C0.8) граничное
значение обобщенной аналитической функции Ф(т) неко-
торой произвольной плотностью F(t):
C1.1)
Относительно функции F(x) будем предполагать, что
она абсолютно интегрируема на L и удовлетворяет усло-
вию четности
F(x)=7(T). C1.2)
Выражение C1.1), где W(t, т) — обобщенное ядро Ко-
ши, будем называть обобщенным интегралом типа Коши.
Этот интеграл представляет собой обобщенную аналити-
ческую функцию, регулярную по всей плоскости, за исклю-
чением точек линии L. Если L не имеет бесконечных вет-
вей, то поведение Ф(?) в окрестности бесконечно удаленной
точки определяется представлением C0.42). В C1.1) мож-
но перейти к интегрированию по дуге L', тогда эта форму-
ла принимает вид C0.1). '
Исследуем свойства обобщенного интеграла типа Когаг,
предполагая, что F(t) удовлетворяет условию #(|я< 1),
a L состоит из единственной разомкнутой кусочно-гладкой
дуги bb (Im Ь> 0) без точек возврата и пересекает ось z
в точке а = а.

278 ОБОБЩЕННЫЕ АНАЛИТИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ 1ГЛ. VI
Перейдем в C1.1) к интегрированию по полуконтуру
U = аЪ и представим Ф(*) в форме
Ф(*)= ^(а)Ф0@+ <&i(*, 1)+ЩП), C1,3)
где
Фо (t) = ^-J [Uo (t, x) dx - Vji~x) dx] (Im t > 0),
C1.4)
Разность jF'(t)— F(a) удовлетворяет условию Я((л),
причем
где С и С1! — некоторые положительные константы. Пос-
леднее неравенство вытекает из того, что а не является
точкой возврата и отношение |т — а\1\х — t\ ограничено.
При этих условиях, как показано в п. 3 § 30, функции
tyh(t, x) принадлежат классу Н(ц) по обеим переменным
при Im t ^ 0, Im т^Ои ограниченных |?| и |т|.
Будем пока считать переменные t и t' независимыми.
Когда t' = const, функции Ф&(<, t') представляют собой
обычные интегралы типа Коши и обладают всеми их свой-
ствами. В частности, для любых двух точек tx и t2, принад-
лежащих одной и той же (левой или правой) окрестности
U и находящихся на конечном расстоянии от ее концов,
имеет место неравенство
\Фк{Ь, П- Ok(t2, OK const- \tx - Ь\К C1.5)
Здесь обе точки tx и t2 или одна из них могут принадлежать
соответствующему берегу разреза, проведенного вдоль L'\
постоянная не зависит от t'.

31] ОБОБЩЕННЫЕ ИНТЕГРАЛЫ ТИПА КОШИ 279
Для окрестности конца Ь будем иметь
ФЛмО = ^|^М*-ь) + Фй*(м'). C1.6)
где функция Ф\ (t, t') непрерывна на разрезанной вдоль
U части плоскости и имеет предельное значение Ф& (b, t').
Поскольку 1|>ь(?', а)= О, то точку а можно рассматри-
вать как внутреннюю точку контура L', продлив контур
L' за а отрезком касательной и положив там i]jft = 0.
Тогда для окрестности этой точки будет справедливо нера-
венство C1.5).
Когда i = toeL' (т0фЬ), то интегралы во второй из
формул C1.4) существуют в смысле главного значения.
Между граничными значениями ф? (т0, t') рассматривае-
мых функций и главными значениями соответствующих
интегралов Фй(т0, ?) имеют место известные соотношения,
вытекающие из формул Сохоцкого — Племеля:
Ф? (*., О = т (l - -г ± *) Ь (^'-т.) + ф^ (%' О- C1.7)
Здесь а — угол поворота касательной в точке т0; если
точка т0 не совпадает с угловой точкой, то а = я ([94],
Добавление II).
В том случае, когда изменяется только f, a t остается
неизменным, то, как легко получить из теории интегралов
типа Коши, плотность которых зависит от параметра ([94 ],
п. 3—4 § 18, п. 5$22, п. 2 §25, п. 6 §26), справедливы не-
равенства
| Фк (t, t[) - Фк (t, t2) | < const • \t[ - t2 |д (t Ф b),
\ф1(г, t[) - Ф1 (*, h) | < const -\t\-h Y- C1-8)
Здесь t\ и t'2 — значения t', при которых функции
ipA(?', т) принадлежат классу Н\ функции ФкЦ, t') имеют
тот же смысл, что и в C1.6); во втором из неравенств t
принадлежит окрестности точек Ъ, включая саму эту точ-
ку; постоянные в C1.8) не зависят от t.
Положим теперь t' — t. Вытекающие отсюда следствия
очевидны. Так, неравенство C1.5) остается справедливым

280 ОБОБЩЕННЫЕ АНАЛИТИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ [ГЛ. VI
для разности Фй(^, ^)— Oft(^, t2)> в C1.7) следует учесть,
что
Фх(То, то)= FM~ F(a), Hp2(x0, то) = 0, C1.9)
в правой части C1.6) можно заменить tyh(t', b) через
( )
, )
Перейдем к функции Фо(?). Если точка t не принадле-
жит L', то в соответствии с C0.45) будем иметь Фо(?) =
= — 5 (?, Ь), так как В(?, а)= 0. Линию разветвления
функции S следует проводить по дуге ?,'. Как видно из
представления B9.16), функция O0(t) при t фЪ непрерыв-
на и дифференцируема в разрезанной вдоль L' плоскости.
В окрестности точки Ъ она имеет представление вида
C1.6) с множителем при логарифме, равном 1/Bт).
Пусть теперь в первом интеграле из C1.4) положено
t = т0, где т0 — точка дуги L' — ab, не совпадающая с ее
концами. В этом случае интеграл является особым. Про-
ведем окружность достаточно малого радиуса е с центром
в точке т0. Обозначим через %' и т" точки, в которых эта
окружность пересекает L'. Тогда главное значение особого
интеграла будет равно
Фо (т„) = 1 3* (т0, Ь) + 1 lim [В± (т0, т') - Е± (т0, т")] -
" « е->0
1(^] C1.10)
Значками (+) и (—) помечены граничные значения
функций при t -> т0 соответственно слева и справа от дуги
L'. Предел в C1.10) вычислен с учетом представления
B9.16).
Если t = т0 = а, то интеграл существует как несобст-
венный и равен
= Ф?(т0)т1-1соз|°. C1.10а)
Здесь использованы формулы B9.22) и учтено, что
(z — а)/р(> ~~*" cos(jt — ао/2), где а0 — угол поворота каса-
тельной в точке а.

§ 31] ОБОБЩЕННЫЕ ИНТЕГРАЛЫ ТИПА КОШИ 281
Полученные результаты легко обобщаются на произ-
вольный контур L (см. начало настоящего пункта) при
дополнительном условии отсутствия точек возврата на
оси симметрии. В итоге получим, что обобщенные интегра-
лы типа Коши обладают основными свойствами обычных
интегралов типа Коши. А именно, функция Ф(*), опреде-
ленная равенством C1.1), непрерывна вплоть до контура
L. Для любых двух точек tx и t2, принадлежащих одной и
той же окрестности линии L и находящихся на конечном
расстоянии от ее концов, имеет место неравенство
|Ф(«0 - Ф(У|< const-1^ - tz\v-. C1.11)
Граничные значения Ф±(х0) удовлетворяют условию
H(\i), когда точка т0 отлична от концов L.
Если т0 — точка контура L не совпадающая с концами,
то интеграл
' (т\ W (т т\ Лт С\\ \ 2\
существует в смысле главного значения и удовлетворяет
условию H(\i) на любой гладкой части линии L, не содер-
жащей ее узлов (концов и угловых точек).
Для Ф(?) справедливы формулы Сохоцкого — Племеля.
Если т0 не совпадает с узлами, то из C1.7), C1.9) и C1.10)
вытекает
Ф± (х0) = ± i F (т„) +±^F(r)W (т„, т) dr. C1.13)
Когда т0 = с, где с — угловая точка, не лежащая на оси
симметрии, имеем
Ф* (т„) = 1 (l - ± ± l) F (т0) + 2S J F (т) W (т„, т) dr.
Li
C1.13а)
И наконец, когда т0 совпадает с точкой а, лежащей
на оси симметрии, то, принимая во внимание C1.10а),

282 ОБОБЩЕННЫЕ АНАЛИТИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ [ГЛ. VI !
а также значения ip%{a, a)= г]52(а, а)~ 0, получим
C1.136)
Когда контур L в окрестности а гладкий, то а0 = я и фор-
мула C1.136) переходит в C1.13).
Учитывая C1.6), для окрестности любого конца Ь, по-
лучим представление
®(t)=*^iMt-b) + <i>*(t), C1.14)
где верхний знак принимается, когда b — начальная
точка дуги, а нижний — когда конечная; функция Ф*@
непрерывна в окрестности Ь, разрезанной вдоль L, и име-
ет предельное значение Ф*(Ь).
Хотя наши рассуждения строились для Im t ^ 0, их
легко обобщить на произвольные значения t при помощи
условий четности B7.18).
2. Рассмотрим теперь случай, когда F(x) принадлежит
классу Н*, имея в окрестности любого узла с, не лежащего
на оси z, представление
^ C1-15)
() 7^,
(т—c)v
где 7 = а + Ф> аи р — вещественные постоянные
@< а< 1), а ^*(т) принадлежит классу Яо в окрест-
ности точки с *). Линия L может иметь в узле с угловую
точку или быть гладкой.
*) Функция /(т) принадлежит классу Но на L, если она опре-
делена на каждой закрытой (содержащей свои концы) гладкой
дуге Lk, из которых состоит L, и удовлетворяет на ней условию Н.
Класс Н* составляют функции, которые удовлетворяют усло-
вию Н на любой гладкой части L, не содержащей узлов (или точек,
отнесенных к узлам), а в окрестности каждого уз,ла с могут быть
представлены в виде
/(т) = 1*Щ- @ < «= const < 1),
|т—с\а
где /ф(т) принадлежит классу Но в окрестности с ([94], § 8).

§ 31] ОБОБЩЕННЫЕ ИНТЕГРАЛЫ ТИПА КОШИ 283
Если t не находится вблизи узлов, то все полученные
выше результаты остаются в силе.
Функции ipk в окрестности узла с могут быть пред-
ставлены в виде
где tyh принадлежат классу Но по переменной т и удовлет-
воряют условию Н по t. Используя представления C1.3)—
C1.4), можно получить ([94], п. 6 § 26), что функция
Q(t)~(t — c)yO(t) непрерывна в окрестности с на разре-
занной вдоль L плоскости, причем Щс)~ 0. Функция
й(т0)— (т0 — с)тф(т0) принадлежит классу Но в окрест-
ности с.
3. Пусть в состав L входят только гладкие замкнутые
контуры, ограничивающие конечную связную (вообще
говоря, многосвязную) часть плоскости D+, пересекаю-
щую ось симметрии (D на рис. 6.2, а), или две конечные
связные области D'+ и D"+, лежащие симметрично по обе
стороны оси z и не имеющие общих точек с этой осью (D'
и D" на рис. 6.3). В последнем случае будем полагать
D+ == D'+ + D"+. Обозначим через D- остальную часть
плоскости. Будем предполагать, что контур L обходится
так, что область D+ остается слева.
Если непрерывная функция F(x), удовлетворяющая
условию Н, является граничным значением обобщенной
аналитической функции Y(t), регулярной в D+, то на осно-
вании обобщенной формулы Коши (см. п. 1 § 30) будем иметь
(T)W(t,t)dt = 0 для всех t(=D~. C1.16)
И наоборот, если условие C1.16) выполнено, то F(t)
будет граничным значением некоторой обобщенной ана-
литической функции ^(t), регулярной в D+. Для доказа-
тельства введем обобщенную аналитическую функцию
""" формулой

284 ОБОБЩЕННЫЕ АНАЛИТИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ [ГЛ. VI
Для разности граничных значений этой функции при
помощи C1.13) получим Ф+(т)— Ф-(т)= F(r). Учтем, что
вследствие C1.16) Ф(?) = Опри<^/?-,иположимТ(^)= Ф(г)
при t=D+. Тогда ф-(т) = 0, F(t)= Ф+(т)= ?+(т).
Рассуждения не изменятся, если область D+ представ-
ляет собой бесконечную плоскость с отверстиями. При
этом функция W(t) обращается в нуль на бесконечности.
Условие C1.16) можно заменить на другое:
C1.16а)
которое получается из C1.16) нри t ~->-х0.
Отметим, что если в состав L входят только контуры,
не пересекающие оси симметрии, то
то,т)^_Ц-, C1.17)
причем первая из этих формул справедлива и в случае
контуров, пересекающих ось z.
4. Мы установили, что функция Ф(?), определенная
равенством C1.1), является обобщенной аналитической.
Найдем ее производную типа B7.10). Если t ф. L, то в
C1.1) можно дифференцировать нод знаком интеграла,
в результате чего будем иметь:
)l-zW(t,r)dr. C1.18)
При t -v т0 е L значения интеграла C1.1) в общем
случае не существуют, но может оказаться полезной
оценка
^ ), C1.19)
которая справедлива, когда F(x) удовлетворяет условию
Н(р. < 1), точка t находится на конечном расстоянии от
узлов линии L, t приближается к т0 по некасательному
пути.

31] ОБОБЩЕННЫЕ ИНТЕГРАЛЫ ТИПА КОПТИ 285
Для доказательства рассмотрим случай, когда L = ЪЪ
состоит из единственной разомкнутой гладкой дуги, пере-
секающей ось z в точке а. Учтем, что
Ш1w С т>dT +
2ni ,) " ^' ''"^гш
L L
x. C1.20)
Подставим сюда C0.29) и C0.16), после чего перейдем
к интегрированию по дуге L = аЪ. Интеграл C1.20) пред-
ставим в форме
ф' (t) = ^-F (а) В' (t, Ъ) + Ф3 (t, t) + Ф4(М), C1.21)
где
Фь (t, П = J
Из сказанного в конце п. 3 § 30 вытекает, что функции
|ft( т) (/с = 3,4) удовлетворяют условию Н(\х) по обеим
переменным, когда teL' = ab, а точка t (Im ^ l> 0) на-
ходится в окрестности L'. Каждая из функций Фл(?, ?)
является аналитической по переменной t и равна произ-
водной по t от обычного интеграла типа Коши, плотность
которого удовлетворяет условию Н(\к) по т. Поэтому при
любом t' для нее выполняется неравенство вида C1.19)
([94], § 20). Функция E'(t, Ъ) ограничена при гфЬ. Отсю-
да и следует справедливость неравенства C1.19) для Ф'Щ,

286 ОБОБЩЕННЫЕ АНАЛИТИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ 1ГЛ. VI
Аналогичными рассуждениями можно убедиться, что
неравенство C1.19) справедливо и для дФ/дг.
Пусть плотность F(r) является дифференцируемой
функцией. Преобразуем C1.18), воспользовавшись тем,
что
dxW (t, т) - ? W(t, т) dx + ± W (t, т) йу *=
= -1W (*, т) dr + i [W (t, т) + W («, тI ^fi.
C1.22)
Здесь учтены формулы C0.32) и C0.31). Тогда
•т) +Es
X.
Первый из этих интегралов возьмем по частям, предпо-
ложив для простоты, что L состоит из единственной разом-
кнутой дуги 66. В результате получим
ф' W = -53 fF (ь>W {t'6) -
где обозначено
(ds — дифференциал дуги контура L, 0 — угол, состав-
ленный касательной к L в точке т с осью г). Функция
?*(*) удовлетворяет условию четности C1.2), когда ему
удовлетворяет F(x).

§ 31] ОБОБЩЕННЫЕ ИНТЕГРАЛЫ ТИПА КОШИ 287
Из C1.24) видно, что если Р(х) принадлежит классу
H(\i), то существуют граничные значения производной
Ф'±(т0) на контуре L, кроме его концов, причем эти гранич-
ные значения также принадлежат классу Н(ц).
Пусть Г — некоторая гладкая дуга, целиком принад-
лежащая области регулярности ФA). Тогда на этой дуге
будет иметь место равенство
C1.25)
вытекающее из C1.24) и B7.10).
Можно показать, что это равенство справедливо и для
граничных значений функции Ф(*):
? т„) = Ф± (т0) = ф'± (т,). C1.26)
Для доказательства воспользуемся формулой B7.15),
связывающей обобщенную аналитическую функцию с ее
производной:
C1.27)
Ввиду непрерывности Ф(?) и Ф'(?) это равенство спра-
ведливо и для точек контура L. Дальнейшие рассуждения
ничем не отличаются от аналогичных рассуждений для
аналитических функций ([59], §4.4).
Пусть Ф(т0)— значение обобщенного интеграла типа
Коши на линии интегрирования (см. C1.12)), причем F(x),
F' (г) и F(x) удовлетворяют условию четности и усло-
вию H(\i).Тогда при помощи аналога формулы Сохоцкого —
Племеля C1.13) легко убедиться, что Ф(т0) принадлежит
классу Щр) на любой части L% контура L, не содержащей
его концов 6 и 6.

288 ОБОБЩЕННЫЕ АНАЛИТИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ [ГЛ. VI
Покажем, что производная ^- Ф (т0) также принадле-
жит классу Я((л) на L*. Для зтого рассмотрим равенства,
вытекающие из определения производной типа C1.24):
C1.28)
где а — точка пересечения L с осью z.
Введем функцию
т.
Учитывая неравенства
т — т
const,
Ф (т) — Ф (а)
т — т
const
T-1
при помощи простых оценок можно получить для любых
двух точек хх и т0, отличных от 6 и 6:
|ф(тх)- Ф(х„)|< С\%х - то|Д,
С = const> 0, ф(а)= 0. C1.29)
Из C1.28) и C1.29) видно, что производная 6Ф!йхй
непрерывна везде на Lt. Она принадлежит классу Я(ц.),
если угол 0(т) удовлетворяет условию Л(ц' > fx).
Полученные выше результаты легко обобщаются на
случай, когда L состоит из нескольких дуг и контуров,
a F(x) принадлежит классу Л* с узлами, не лежащими на
оси симметрии.

§ 31] ОБОБЩЕННЫЕ ИНТЕГРАЛЫ ТИПА КОШИ 289
Если в состав L входят только замкнутые контуры, то
будем иметь
C1.30)
. C1.31)
19 а. я. Александров, Ю. И. Соловьев

Глава VII
ПРИМЕНЕНИЕ ОБОБЩЕННЫХ АНАЛИТИЧЕСКИХ ФУНКЦИЙ
К РЕШЕНИЮ ОСЕСИММЕТРИЧНЫХ ЗАДАЧ
ТЕОРИИ УПРУГОСТИ
В настоящей главе показано, что общее решение ос-
новных уравнений теории упругости в осесимметричном
случае может быть выражено через две обобщенные ана-
литические функции подобно тому, как общее решение
плоской задачи имеет представление через две аналитиче-
ские функции по формулам Колосова — Мусхелишвили.
Дано исследование регулярности указанных обобщенных
аналитических функций и степени их определенности при
заданных перемещениях или напряжениях.
Одним из методов решения частных задач является
представление обобщенных аналитических функций в виде
рядов или определенных интегралов. Таким путем найде-
но решение внешней и внутренней задач для тора, парабо-
лоида, однополостного и двуполостного гиперболоидов
вращения.
При помощи обобщенных интегралов типа Коши пер-
вую и вторую основные граничные задачи удается свести
к интегральным уравнениям второго рода, ядро которых
имеет особенность логарифмического типа. Основная сме-
шанная задача приводится к сингулярному интегральному
уравнению. Все эти уравнения являются аналогами соот-
ветствующих уравнений Д. И. Шермана плоской задачи
[164—166].
Последний параграф главы посвящен применению обоб-
щенных аналитических функций к решению осесимметрич-
ых задач для трансверсально-изотропных тел.

§ 32] ОБЩЕЕ РЕШЕНИЕ ДЛЯ ИЗОТРОПНЫХ ТЕЛ 291
§ 32. Представление общего решения
осесимметричной задачи дли изотропных тел
при помощи обобщенных аналитических функций
1. Рассмотрим осесимметричную деформацию тела вра-
щения в цилиндрических координатах z, г, 0. При этом
тангенциальное перемещение v равно нулю, а перемеще-
ния w и и не зависят от угла 0.
Введем функции
„ дт . ди . и 1 (ди ди>\
Тогда дифференциальные уравнения A.13) примут вид
1-уЭ» да о _ Чг . 1 + у д . т„
1 — 2\ dz дг г 2G"! —2v5z^a h
Умножая второе из равенств C2.2) на i и складывая с
первым, перепишем C2.2) в следующей эквивалентной
форме:
d^Z^ *?j), C2.3)
F* (z- r)=*G [^^ Ъ + 2й>], Q (z, r) = qz+ tqr,
t = z + ir. C2.4)
Как и в п. 4 § 27, обозначим через D плоскую область,
занятую меридиональным сечением тела, а через D' —
половину этой области, расположенную справа от оси
симметрии.
Если функция Q(z, r) везде вО' удовлетворяет условию
Н по обеим переменным, то решение уравнения C2.3) мо-
жет быть представлено в виде
F* (z, г) = Ф* @ + U B, г) + j^k Т°B> г)'
o) VJtj;)] dzodro, C2.5)
19*

292 ПРИМЕНЕНИЕ ОБОБЩЕННЫХ ФУНКЦИЙ [ГЛ. VII
где Ф*@— произвольная обобщенная аналитическая
функция, удовлетворяющая уравнению B7.8), t0 = г0 +
+ гго> UQ и Vo — значения обобщенного ядра Коши (§ 30).
Покажем это. Из C2.5) вытекает
Ф»-Ф,
at ¦ г —* at t — t
Ф, ,
_ г*
t
Производная последнего интеграла вычисляется по
формуле Д. Помпею ([51], [93], Добавление IV) и равна
— Q(zQ, r). Первый интеграл допускает дифференцирование
под знаком интеграла. Вследствие C0.2) и B7.8) интеграль-
ные члены и члены, содержащие Ф„., исчезают, и правые
части равенств C2.3) и C2.6) совпадают.
Умножим второе из равенств C2.1) на —i и сложим с
первым. Учитывая, что
2lT^ Im*V C2.7)
будем иметь
C2.8)
Решение уравнения C2.8) также может быть представ-
лено в форме C2.5), где роль Q будут играть Ft и Ft.
Однако в данном случае можно найти более простое выра-
жение:
F ^ 2jG(w - iu) = хЩГ) - 2г~ФЦ) -W (t) + f (
C2.9)

32] ОБЩЕЕ РЕШЕНИЕ ДЛЯ ИЗОТРОПНЫХ ТЕЛ 293
<2<г) = Й7Г=7) 11 fo* B«-r»)r»Re 0 <* •f") -
- igr (z0, r0) Im S (t, to)] rfzodr0 - 4 * f J [<? (z0, r0) X
X C/o (t, t0) + <?(zo,ro) F0(i,i0)] (z - z0)
x = 3 — 4v.
Здесь ?(i)— произвольная обобщенная аналитическая
функция, ФB)— обобщенная аналитическая функция, свя-
занная с Ф„.(?) соотношением
^ф==ф' = ^(ф + ф) = ;щ1_.ф,. C2.10)
При выкладках учтены равенства, вытекающие из со-
поставления C0.11) и B9.1):
44(r0Re6) F0+F0, ^r(rimS) F0F0.
C2.11)
Область D может быть многосвязной; она может быть
бесконечной, если функция Q(z, r) убывает на бесконечнос-
ти как const- \t\2+» (ц > 0).
Когда объемные силы имеют потенциал П(г, г):
то решение несколько упрощается. В этом случае
x[U0 V, У + V0(t,t0)]dzodra. C2.12)

294 ПРИМЕНЕНИЕ ОБОБЩЕННЫХ ФУНКЦИЙ [ГЛ. VII
Используя формулы A.11) и C2.7), получим выраже-
ния для напряжений
-_= 4A + v)
- 4vRe Ф' + з-^- Re/* - J^L T° ^-Im F,
1 1 — -v '* 1 —v r
^
C2.13)
Остальные напряжения равны нулю.
2. Рассмотрим более подробно случай, когда объемные
силы и изменение температур отсутствуют. Общее реше-
ние уравнений Ляме A.13) принимает вид
2G(w + iu) = хФ@- 2*Ф'(*)- ^(f), C2.14)
где Ф(?) и ^(f)— произвольные обобщенные аналитические
функции. Перемещениям C2.14) соответствуют напряже-
ния
(«)- T'(t). C2.15)
Если в C2.14) разделить вещественную и мнимую час-
ти, обозначая
Вг =я Re Ф,* ,ВГ = 1ш Ф, iS^Re^, iS^
C2.16)
то получающиеся выражения для перемещений совпадают
с формулами F.14), которые, по сути дела, являются ва-
риантом решения П. Ф. Папковича F.15).

$ 321 0В1ЦЕЕ РЕШЕНИЕ ДЛЯ ИЗОТРОПНЫХ ТЕЛ 295
Приведем выражения для сил pz и рг, действующих
на элемент какой-либо поверхности вращения:
-Т) + 2С^. C2.17)
Отсюда
Z(*o)= rim (Ф - 2гФ' - Ч?)+ C'(l-v), C2.17а)
R (*0) = - Re (Ф
O + -y-)y + C, C2.176)
где Z и i? — интегральные усилия, определяемые форму-
лами F.23), С и С" — произвольные вещественные постоян-
ные, s0 — дуговая абсцисса точки t.
Вычитая второе равенство из первого, умноженного
на г/г, будем иметь
_ 2 A -v) C,.^_
t—t t—t
2
Точки t0 и t предполагаются расположенными по одну
сторону от оси симметрии.
При использовании представлений вида B8.1)—B8.2)
формулы C2.14)—C2.18) переходят в соответствующие
формулы § 6, однако имеют то существенное отличие, что
при получении C2.14)—C2.18) мы исходили из общего
решения уравнений A.13), не налагая требований одно-
связности тела или наличия у него общих точек с осью
симметрии, что является необходимым в случае представ-
лений § 6.
В некоторых случаях удобны другие варианты записи
основных формул C2.14), C2.15) и C2.18). Мы получим

296 ПРИМЕНЕНИЕ ОБОБЩЕННЫХ ФУНКЦИЙ 1ГЛ. VII
их, учитывая, что выражение 2гФ' + Ф является обоб-
щенной аналитической функцией, в чем легко убедиться
путем непосредственной подстановки в B7.8). Полагая
Г = % — 2*Ф' — Ф, будем иметь
2G(w + iu)= 4A — v)<$> —
az+ ar+ a0 = 4A + v)ReO',
°z + "zr = 2Ф' + 2Ф' - 21гФ" -
+ 1(
t *— t
и
^—R + J-z. C2.19)
Эти формулы удобны при решении задач для цилиндра и
цилиндрической полости, для тора и в некоторых других
случаях. _
Если положить Y = Ч1^ — *Ф' — 0,5Ф, то получим
выражения
2G(w + iu)=(x + 0,5)Ф - *Ф' - Y2,
0,5Ф + 1Ф' + V - A - v) f D Im Ф + т") Т ~ С ~~
to
-2A~_v)C' = -i? + i-Z, C2.20)
близкие к соответствующим формулам плоской задачи.
3. Как видно из C2.4) и C2.5), функция F^t)^ Ф*(*)=
= 4A — v)<$>'(t) является регулярной (следовательно, не-
прерывной и однозначной) в области D, которую будем
предполагать конечной и пересекающей ось z (рис. 6.2).
Однако функция ФB), получающаяся интегрированием
Ф'B), может и не быть регулярной. Из п. 3 § 27 вытекает,

§ 321 ОБЩЕЕ РЕШЕНИЕ ДЛЯ ИЗОТРОПНЫХ ТЕЛ 297
что в случае многосвязной области D она многозначна:
при однократном обходе вокруг какого-либо внутреннего
контура L'h, не пересекающего оси z, O(t) получает при-
ращение Bk -f- Ah/(t— t), где Ah и Bh— некоторые ве-
щественные постоянные. В окрестности оси симметрии
функция Ф(?) может обращаться в бесконечность, отли-
чаясь от регулярной в окрестности отрезка lk оси z функ-
ции на слагаемое A^l{t — t) (см. л. 5 § 27).
Выберем внутри контуров Lh (к — 1, 2, 3, ..., т) TiLh (к =
= т-\- 1, ..., п) произвольно расположенные точки
tu t2, ..., tn. Точки th, которые лежат внутри контуров
Lh {k^l m), пересекающих ось симметрии, можно помес-
тить на самой этой оси; тогда tk = th = zk (к ^.т). Точ-
кам tk (к^ т -f 1) будут соответствовать симметричные
им точки tk, расположенные внутри контуров Lk.
Рассмотрим разность
-1г 2
ft=l
C2.21)
Приращение, получаемое функцией Ф(?) при обходе кон-
тура L'h {к^т + 1), компенсируется соответствующим
приращением функции Q(t, th) и В(^, th), и значения выра-
жения C2.21) на обоих берегах разрезов thth оказываются
одинаковыми. Те составляющие функций Ф(?) и в(?, th)
(к <1 т), которые обращаются в бесконечность на оси z,
взаимно уничтожаются, если положить Ао = A'Q, Ak =
=A'k — -4fc_i при к ^.т. Таким образом, выражение
C2.21) представляет собой некоторую обобщенную анали-
тическую функцию, регулярную в D, и будет иметь место
равенство
C2.22)
(множители 1/Bл) и 1/я включены в состав постоянных

298 ПРИМЕНЕНИЕ ОБОБЩЕННЫХ ФУНКЦИЙ [ГЛ. VII
Как видно из C2.14), разность иФ — W должна быть
однозначной и непрерывной в D, так как перемещения w,
и и функция Ф'(?) однозначны и непрерывны. Отсюда вы-
текает представление для функции 4(t):
2 Л©(МЙ) +и 2 BhE(t,tk)- .
2^ C2.22а);
где ?#A)— функция, регулярная в D.
Отметим, что если область D не имеет общих точек с;
осью симметрии (рис. 6.3), то т — 0, а слагаемые, содер-
жащие Ао, могут быть присоединены к регулярной части,
функций ФиТ.
Если область D односвязна, то Ак — Bh = 0 (кфО) и <
Ф(«)= Ф,(*)+ 2лА01{1 - 1),
Как будет показано в п. 4, без ущерба для общности
можно полагать Ао = 0 и считать функции Ф(?) и Y(t)
регулярными в односвязной области D.
Пусть теперь область D бесконечна и состоит из всей
плоскости, из которой удалены конечные части, ограни-
ченные замкнутыми контурами Lh (&= 1, 2,..., т) Lh и Lk
(к = т + 1,..., га). Полученные выше представления бу-
дут справедливы для любой конечной части D. Рассмот-
рим поведение решения на бесконечности.
Проведем окружность Г достаточно большого радиуса
р0 с центром в начале координат так, чтобы все вырезы
оказались внутри этой окружности. Функции Ф*(г) и
?.,.(?), регулярные вне Г, представим в виде ряда B8.12):
Ф*@= 2 «»Ф»@. ^@= 2 Ь»Ф»(*)> C2-23)
где ап и Ъп— вещественные коэффициенты, функции
Фп(?) определены формулой B8.9).

32]
общее решение для изотропных тел
299
Будем считать, что напряжения на бесконечности
равны нулю. В тех случаях, когда они отличны от нуля
(растяжение упругого пространства с полостью, чистый
изгиб и т. д.), их наличие легко учесть наложением соот-
ветствующих элементарных решений.
Как видно из C2.15), при нулевых напряжениях
Re Ф'A) и и/г должны также обращаться в нуль на беско-
нечности. Заметим, что | Ф^(^)|=|пФ„_1(^)|^|п|рп, афунк-
ции в' и Н' регулярны вне Г и исчезают при р — |?|-»-оо.
Поэтому для обращения в нуль Re Ф'(?) необходимо и доста-
точно, чтобы ап = 0 при n^sl. Используя оценки
-1тФ„
Pn~idPn
1 d\i
const -
мл,
?,„,11
— 1),
const-p™—1
! const-p—2,
получим что для обращения в нуль ulr требуется положить
Ъп = 0 при п ^ 1.
Следовательно, входящие в C2.22)—C2.22а) функции
Фл,(?) и 4f!(.(i) имеют следующие разложения в окрестности
бесконечно удаленной точки (когда последняя принадле-
жит области D):
C2.24)
т. е. эти функции стремятся соответственно к вещественным
пределам а0 и Ьо при р ->- оо .
Подставляя C2.24) в C2.14)—C2.15), можно убедиться,
что все напряжения и перемещение и равны нулю на беско-
нечности, а перемещение w стремится к пределу w^ =
= ка0 — Ьо. Если ввести условие
««о — Ьо =5 О,
C2.25)

300 ПРИМЕНЕНИЕ ОБОБЩЕННЫХ ФУНКЦИЙ [ГЛ. VII ]
то аксиальное перемещение w также будет равно нулю на
бесконечности.
4. Остановимся на вопросе о степени определенности
функций ФB) и ?B) при заданных напряжениях или
перемещениях.
Пусть пока область D не содержит точек оси z, а задан-
ными являются лишь напряжения. Первое из равенств
C2.15) определяет функцию Ф'с точностью до чисто мни-
мого слагаемого Ml(t — t) (см. п. 6 § 27), т. е. этому ра-
венству удовлетворяет также и функция Ф^ такая, что
ф\(Ь)= Q>'(t)+M/(t— 7).
Рассматривая последнее из равенств C2.15), можно
найти функции W и W\, которые соответствуют Ф' и Ф^,
причем Yl(t) = W(t)- Ml{t— T).
Интегрируя Ф[ (t) и Y'i (t) по формуле B7.15), получим
где в правой части добавлены обобщенные постоянные.
Второе из равенств C2.15) вполне определяет переме-
щение и. Поэтому
Im (иФ - 2гФ' - ?) = Im {у.Ф1 -
что возможно лишь при М = 0 и
\ + Y2 = 0. C2.26)
Таким образом, замена Ф на Ф + Yi + Yi/(' — ~1) и ? на
^ + Y2+ YzK'L — 'i) He отражается на величине напря-
жений тела, если соблюдено условие C2.26). Перемещение
и при этом также не меняется, a w изменяется на величину
(хух — y2)/BG), которая соответствует жесткому смещению
тела по вертикали. Чтобы перемещения не изменялись

§ 33] ОСНОВНЫЕ ГРАНИЧНЫЕ ЗАДАЧИ 301
достаточно дополнительно положить
*Yi - V2 = 0. C2.27)
Если заданными являются перемещения, то напряжен-
ное состояние определено вполне, поэтому полученные
результаты остаются в силе и в этом случае, причем вы-
полнение условия C2.27) является обязательным. Когда
область D пересекает ось симметрии, то рассуждения не
изменятся, только с самого начала М == 0 в силу регуляр-
ности <$>'(t).
Отметим, что результаты настоящего пункта дают воз-
можность без ущерба для общности решения задачи поло-
жить в формулах C2.22)—C2.22а) Ао = 0. Если область
D бесконечна и перемещения на бесконечности равны ну-
лю, то в C2.24) можно полагать а0 — Ьо = 0, т. е. считать
функции Фл,(?) и ?*($ исчезающими на бесконечности.
§ 33. Приведение основных задач
теории упругости к граничным задачам
для обобщенных аналитических функций
1. Будем предполагать, что компоненты перемещения
и напряжения непрерывны вплоть до поверхности тела.
Решения для разрывных нагрузок могут быть получены
путем предельного перехода из решений для непрерывных
нагрузок.
Непрерывность перемещений и напряжений обеспечи-
вает непрерывность выражений C2.14)—C2.15), содер-
жащих обобщенные аналитические функции. Поэтому
задачи теории упругости сводятся к отысканию этих
функций по некоторым граничным условиям.
Рассмотрим вначале вторую основную задачу. Устрем-
ляя в C2.14) t к контурной точке т0, получим следующее
граничное условие:
иФ(т0) - (т0 + то)Ф'(то) -
= 2G(w0 + ш0) на Z/, C3.1)
где w0 и щ — заданные перемещения контурных точек.
В силу условия четности B7.18), которому подчинены
значения функций Ф(?) и ^(t), здесь достаточно рассмат-
ривать лишь одну половину контура L, например, правую.

302 ПРИМЕНЕНИЕ ОБОБЩЕННЫХ ФУНКЦИЙ [ГЛ. Vll
Функции Ф(?) и W(t) имеют представления C2/22)
и C2.22а), где постоянные Ah и Bh заранее не известны
и определяются при решении задачи.
Рассмотрим вопрос о единственности решения гранич-
ной задачи C3.1) в предположении, что функции, O(t),
Ф'A),Щ1) непрерывно продолжимы на всеточки контура U.
Введем функцию
V(t) = O'(t) [хФ@ - 2z<D'(t) - V(t)] (t - t), C3.2)
которая однозначна и непрерывна в области D' вплоть
до ее границы L' или L' + I (здесь, как и в п. 4 § 27,
I — отрезок оси симметрии, принадлежащий области D).
Рассмотрим интеграл
/ = - 2GRe Г Ф' (т„) (w0 - ш0) (т0 - т0) йт0. C3.3)
Z.'
Подставляя сюда C2.14), видим, что подынтегральная
функция совпадает с граничным значением V(t). На оси
симметрии V(t) = 0, поэтому путь интегрирования можно
дополнить отрезком I. Получившийся интеграл по замкну-
тому контуру преобразуем в двойной интеграл по об-
ласти D':
/ = -Re f 7(T0)dx0= f [lmF(T0)di/-ReF(T0)d;r]==
(xo = x + iy, t = z+ir). C3.4)
Продифференцируем C3.2) no t и учтем B7.8). Тогда
2 *L = (Иф _ 2zO' -W)\2d-Z-(t-l)- 2Ф'1 +
dt I dt J
^Ф2гЛ
dt d't dt
= - (хФ - 2гФ' - V) (Ф' + Ф') + Ф' [2к (t -1) Ф' -
- к (Ф - Ф)- 2 (t - i) Ф' -(« +7) (Ф' - Ф') -(?-?)].

§j 331 ОСНОВНЫЕ ГРАНИЧНЫЕ ЗАДАЧИ 303
Подставляя мнимую часть полученного выражения
в C3.4), будем иметь
/ = 4 J f [(и - 1) (Re Ф'J + (я + l)(Im Ф'J] г dz dr. C3.5)
D'
Предположим, что решение граничной задачи C3.1)
неединственно, т. е. что одним и тем же перемещениям
контурных точек соответствуют две системы обобщенных
аналитических функций. Обозначим через Ф(?) и W(t)
функции, соответствующие разности предполагаемых ре-
шений. Граничные значения этих функций, очевидно,
удовлетворяют равенству C3.1) при нулевой правой части.
Тогда из C3.3) вытекает, что / = 0.
Правая часть C3.5) при |и| >> 1 обращается в нуль,
лишь когда Ф'(?) = 0. Отсюда следует, что
Ф@ = У + y'l{t -T), C3.6)
где у и у' — произвольные вещественные постоянные.
Поставим C3.6) в C2.14):
2G(w - iu) = хФ - 2гФ' - ? =
Это выражение на контуре равно нулю, поэтому при
t = х будем иметь
W(t) = и? - х?7(* -7). C3.6а)
В соответствии с теоремой единственности для обоб-
щенных аналитических функций равенство C3.6а) спра-
ведливо везде в D, причем всюду w = и = 0.
Таким образом, задание перемещений на поверхности
тела вполне определяет перемещения внутренних точек.
Функции Ф(?) и W(t) определяются с точностью до слагаемых
вида C3.6)—C3.6а). Чтобы они были определены вполне,
достаточно задать значение одной из зтих функций в ка-
кой-либо точке области D. Если ось симметрии пересе-
кает тело и постоянная Ао в C2.22) положена равной
нулю, то указанная точка должна лежать на оси сим-
метрии.

304 ПРИМЕНЕНИЕ ОБОБЩЕННЫХ ФУНКЦИЙ [ГЛ. VII
Приведенные выше рассуждения справедливы для
конечных односвязных и многосвязных тел, а также для
упругого пространства с полостями конечных размеров,
если Ф*(°°) = 1Jf*(o°) — Ф* (°°) = 0 (тогда перемещения
бесконечно удаленной точки равны нулю).
Отметим, что для реальных упругих тел О <I v <C 1/2;
тогда 1 <С и <1 3. Однако в дальнейшем нам придется
рассматривать граничную задачу с условием C3.1) для
обобщенных аналитических функций также и при отри-
цательных и. Доказательство единственности решения
остается корректным и в этом случае, если к<С —1.
Когда х = 1, то из равенства нулю контурных пере-
мещений и правой части C3.5) вытекает
Im Ф' (t) == О, Ф' (t) =е, Ф (t) =4Cг + 1) + у + y'/(t-~t),
Y (t) = - -| Ct + t) + у - y'/(t — t), C3.7)
где е — вещественная постоянная.
2. В случае первой основной задачи на поверхности
тела, а следовательно, и на границе L области D заданы
внешние силыр2 ирг. Выберем на каждом из контуров Lk,
входящих в состав L, фиксированную точку ак (рис. 7.1).
Обозначим
То То
"л ол
где т0 — текущая точка контура L'h, ds — дифференциал
дуги; при интегрировании контур Lh обходится против
часовой стрелки. Тогда из C2.18) вытекает
+ К + г0) фТо +
ak
;ло),(о)
То т0 т0 То
1тто#0; к -0,1 п). C3.9)

S 331
ОСНОВНЫЕ ГРАНИЧНЫЕ ЗАДАЧИ
305
Здесь верхний знак относится к случаю к = 0 (внеш-
ний контур), а нижний — ко всем остальным к (внутрен-
ние контуры). Постоянные Ch и Ch различны на разных
контурах.
а>
Когда контур Lh не пересекает оси z (к !> т + 1),
функции Rh(t0) и Zh(x0) при непрерывных рг и рг непрерыв-
ны везде, кроме точки ak, где они после обхода контура
увеличиваются на некоторые значения R^ и Z\. Выраже-
ния, стоящие в левой части C3.9), также должны быть
непрерывными на Lh. Для этого будем проводить линии
разветвления функций (Э(?, th) и S(t, tk), входящих в сос-
тав Ф(?) и ^(t), так, чтобы они пересекали контуры
Lh и Lft в точках ак и ah и не пересекали других внутрен-
них контуров (на рис. 7.1 линии разветвления показаны
двойной линией).
*0 А. Я. Александров, Ю. И. Соловьев

с
306 ПРИМЕНЕНИЕ ОБОБЩЕННЫХ ФУНКЦИЙ ГГЛ. Vllf
Сравнивая приращения левой и правой частей C3.9)
после обхода замкнутого контура L'k (к ^ т + 1), будем
иметь
— v) ^Ь~ 4я A — v)
z i
zrds, C3.10)
4я A — v)
Таким образом, постоянные Ah могут быть определены
заранее по известной величине равнодействующей на-
грузки 2nZh, приложенной к к-ж полости. Постоянные Bk
должны удовлетворять (га — т) условиям вида C3.11)
и определяются одновременно с решением граничной за-
дачи.
После подстановки C2.22) и C2.22а) в C3.11) получа-
ется система (п — т) линейных алгебраических уравне-
ний:
2d
где
Можно показать,что система C3.12) всегда разрешима. Для
9того преобразуем C3.13) по формуле Остроградского —

§ 33] ОСНОВНЫЕ ГРАНИЧНЫЕ ЗАДАЧИ 307
Грина
где D'h — конечная область, ограниченная замкнутым
контуром Lk-
Пусть D% — та часть полуплоскости г > 0, где
F > 0, D* — остальная часть полуплоскости и Do =
= D^ + D*. Обозначим
__1 Г ri& - 0 5
- 4 J (*i + r?y.5 UH>
—oo V 3 J
= - 0,5 - б* < 0.
Поскольку области Dh взаимно не пересекаются, то
сумма положительных коэффициентов bhj любого столбца
матрицы не может быть больше б#, а сумма отрицательных
коэффициентов не менее б*. Тогда
Составим отношение сумм модулей побочных коэффи-
циентов /-го столбца к главному коэффициенту этого
столбца:
|1+бл| ^ |1+в„| *
<1~'1Й^1 0.5 -26»
20*

308 ПРИМЕНЕНИЕ ОБОБЩЕННЫХ ФУНКЦИЙ [ГЛ. VII
Величина 6* может быть получена численным интегри-
рованием и не превышает 0,2 [135]. Поэтому К строго
меньше единицы.
Отсюда вытекает, что система уравнений, имеющая те
же коэффициенты, что и C3.12), но с заменой строк столб-
цами, является разрешимой (причем решение может быть
найдено методом итераций). Определитель этой системы
совпадает с определителем системы C3.12). Поэтому си-
стема C3.12) также разрешима.
Перейдем к случаю, когда контур Lk пересекает ось z
(к <! т). За начальную точку ак в C3.8)—C3.9) будем
принимать нижнюю точку пересечения контура Lk с осью
симметрии. Верхняя точка пересечения ah совпадает
с концом полуконтура Lh. Линию разветвления каждой
функции ©(?, tj) (/ ^ т) будем проводить от точки tj
(лежащей в этом случае на оси z) вверх по оси симметрии.
Линии разветвления функций S(t, tj) и E(t, tj) при
/ ^ т + 1 будем проводить так, чтобы они пересекали
ось z внутри D на участке, расположенном выше контура
Lm — самого верхнего внутреннего контура из числа
пересекающих ось z (рис. 7.1, а).
Разделим вещественную и мнимую части равенства
C3.9). Мнимая часть, очевидно, будет совпадать с C2.17а)
при t = т0. Подставим C2.22) и C2.22а) в C2.17а) и устре-
мим т0 к ah. Заметим, что все переменные члены, кроме
тех, которые содержат Im ®(t, tj) (/ ^ т), обращаются
в нуль на оси симметрии, значения Im ®(t, tj) обращаются
в нуль при г -*-0 ниже точки tj и стремятся к бесконечно-
сти как —я/г выше этой точки.
Отсюда вытекает, что постоянные Ck(k^m) для кон-
туров, пересекающих ось z, должны иметь вполне опре-
деленные значения
С; = 4л 14 (* = 1,2,...,т). C3.15)
Устремляя т0 к а'к A <; к <! тп) и учитывая знак pz,
придем к ранее полученной формуле C3.10), которая,
таким образом, справедлива для всех к A ^ к ^ п).
Рассмотрим вещественную часть равенства C3.9) на
оси симметрии. При т0 ->- ah для контуров, пересекающих

§ 33] ОСНОВНЫЕ ГРАНИЧНЫЕ ЗАДАЧИ 309
ось z, имеем
Re Ф К) + 2ak Re Ф' К) + Re Щ^) - Ск = 0
(к = 0,1, ... ,те). C3.9а)
Когда г-*- ah для тех же контуров, прибавим к левой
и правой частям равенства интеграл "от Z\ Im в {t, tk):
Re Ф (а;) + 2а'кФ' (a'k) + ReW (a'h) ~Ck-
Здесь интегралы существуют как несобственные. При
& = 0 под величиной 2nZ\ следует понимать равнодей-
ствующую сил, приложенных к внешнему контуру:
zg = -2 z°j. (зз.1б)
За ^0 можно взять любую точку внутри контура Lo.
Когда Lo не пересекает оси z (в случае тороидального
тела), контур Lo является замкнутым ит = 0, Линии раз-
ветвления функций в(?, tj) и S(t, tj) будем проводить так,
чтобы они пересекали Ьй в общей точке а0 (рис. 7.1, б).
После обхода Lq из C3.9) получим
4яA —v) 4лA—v)
, C3.10а)
» »
Lo Lo
4л A — v) 4л A — v)
т1^- C3.11а)
Подставляя C3.10) в C3.10а) и учитывая C3.16),
убедимся, что равенство C3.10а) удовлетворяется тождест-

310 ПРИМЕНЕНИЕ ОБОБЩЕННЫХ ФУНКЦИЙ [ГЛ. VII
венно. Соотношение C3.11а) будет выполнено за счет
надлежащего выбора С'о, так как множитель при С'о
всегда отличен от нуля (Do — конечная часть плоскости,
ограниченная контуром Lo).
3. Единственность решения граничной задачи C3.9)
может быть доказана при тех же предположениях относи-
тельно непрерывности Ф(?), 4(t) и Ф'(?), что и в п. 1
(см. [134]). Однако для простоты мы наложим более жест-
кие требования непрерывности компонент перемещения и
напряжения вплоть до поверхности тела.
Задание усилий Zh(r0) и Rh(r0) эквивалентно заданию
внешних сил рг и рг, и граничное условие C3.9) может
быть заменено равенствами C2.17).
Рассмотрим интеграл
/ = 2л J (pzw + pru) r ds. C3.18)
Заменим интеграл по контуру интегралом по поверхности
тела вращения, принимая во внимание, что тангенциаль-
ные составляющие перемещений и сил v и /?е равны нулю,
и перейдем к интегралу по объему тела
где W — удельная потенциальная энергия, dV — диф-
ференциал объема (см., например, [93]).
В цилиндрической системе координат будем иметь
2W = 2
dV = rdzdrdQ.
Учитывая, что при осесимметричной деформации
— Угв = 0, а остальные компоненты не зависят от Вх

33] ОСНОВНЫЕ ГРАНИЧНЫЕ ЗАДАЧИ 311
после интегрирования по 9 получим
/ = 4яС J J [^ (в, + ег + е9J +
v
J J
v
g ? 4 ?]r. C3.19)
Предположим, что решение граничной задачи при ус-
ловиях C3.9) не единственно, и функции Ф(*) и ?(<) соот-
ветствуют разности двух возможных решений. Граничные
значения этих функций будут удовлетворять равенству
C3.9) с нулевой правой частью. Из C3.8) вытекает, что
при этом pz = рт = 0.
В формуле C3.19) левая часть равна нулю, что воз-
можно лишь в том случае, когда все деформации, стоящие
в правой части, тождественно равны нулю в области D.
Следовательно, все напряжения, а также перемещение
и равны нулю.
Таким образом, разности возможных решений соответ-
ствует вполне определенное, а именно, нулевое, напряжен-
ное состояние. Из п. 4 § 32 можно заключить, что обобщен-
ные аналитические функции имеют представления
=Ъ + У'Of - t), V(t) = V2 - Y'if - г), C3.20)
тде уг, y2, у' — произвольные вещественные постоянные.
Подставляя C3.20) в C3.9), будем иметь
—т0
Л = 0,1 n). C3.21)
Отсюда видно, что можно по произволу зафиксировать
значение одной из функций Ф(?) и W(t) в какой-либо точке
области D и значение вещественной части другой функции.
Тогда постоянные Ch и С^ определяются при решении за-
дачи. Допустимо также задавать значения Ck и Ch на
одном из контуров Lft. Обычно мы будем полагать

312 ПРИМЕНЕНИЕ ОБОБЩЕННЫХ ФУНКЦИЙ 1ГЛ. VII
Со = С'о — 0. Тогда y'=0> Y1+Y2 = 0, и можно еще за-
фиксировать значение вещественной части Ф(?) или W(t)
в какой-либо точке области.
Когда область D не пересекает оси симметрии, то иног-
да будем полагать Со = 0, не определяя С'о. Тогда можно
по произволу задать значения как вещественной, так и
мнимой частей одной из функций Ф(?) или W(t) в какой-
либо точке.
В случае бесконечной области D, представляющей со-
бой плоскость с вырезами, контур Lo считается отсутству-
ющим. Все остальные рассуждения остаются в силе. Функ-
ции Фф(?) и *?#(?) считаем обращающимися в нуль на бес-
конечности. Граничным условием C3.9) они определены
вполне. Ни одну из постоянных Ch или С'ь здесь нельзя
задать заранее.
4. Перейдем к основной смешанной задаче. Пусть ли-
ния ^'разделена на некоторое число дугl'q. Будем понимать
под Лх совокупность тех дуг l'q, на которых заданы внеш-
ние силы/?2 т&рг, а под Л2 — совокупность дуг lq, на кото-
рых заданы перемещения и>0 и и0. Дуги l'q одного и того же
контура L\o принадлежащие соответственно Лх и Л2,
чередуются.
Предполагая непрерывность вплоть до поверхности
тела компонентов напряжения и деформации, граничные
условия запишем в форме
К) + (ч
Я "i Q О,
l
то-то
(т0
(To)
To
"I
dq
) + <¦
U-
dr
-\2
), C3
. C3
.22)
.23)

33]
ОСНОВНЫЕ ГРАНИЧНЫЕ ЗАДАЧИ
313
Когда т0 е/де Л2, то
Если т0
то
C3.24)
C3.25)
Функции Rq(r0) и Zg(t0) определяются по формулам
C3.8), где следует заменить ah через dq — начальную
точку дуги l'q e Лх.
Направление обхода Zg, а следовательно, и выбор на-
чальной точки в C3.8) и C3.22)—C3.23), вообще говоря,
произвольны.
Верхний знак в C3.25) принимается тогда, когда дуга
iq проходится так, что область D остается слева; в про-
тивном случае принимается нижний знак.
Если участок l'q e Лх имеет общую точку с осью z,
то эту точку и будем принимать за начальную для 1'д.
Пусть при этом I'g <= b'k @ ^ к ^ т) и dq — ak, тогда
в соответствии с C3.15)
п—1
C3.26)
Если же dq = a'k, то
C'q = C'k+i = 4я
C3.26а)
Остальные постоянные Cq и Сд заранее не известны.
Если какой-либо из контуров L'k целиком принадлежит
Лх, то для него будут справедливы равенства C3.9),
C3.9а) и C3.96).

314
ПРИМЕНЕНИЕ ОБОБЩЕННЫХ ФУНКЦИЙ
[ГЛ. VM
Линия разветвления функций Q(t, tj) и 3(t, t/) прово-
дится так же, как в п. 2. Точка ак пересечения линии раз-
ветвления с контуром L'k (к ^ т + 1) совмещается с на-
чальной точкой одного из участков 1'а (рис. 7.2).
Рис. 7.2.
Рассмотрим вопрос о единственности решения. Раз-
ности двух возможных решений соответствуют функции
ФA) и W(t), граничные значения которых удовлетворяют
уравнениям C3.22) при v(r0) = 0. Поскольку на Лх равны
нулю силы pz и рг, а на Л2 — перемещения w и и, то
в C3.18) правая часть обращается в нуль везде на L'.
Отсюда вытекает, что правая часть C3.19) также должна
быть равна нулю, а обобщенные аналитические функции
имеют представления C3.20). Подставляя их в C3.22),
получим
To -"
Отсюда видно, что у2 = xYn и можно произвольно за-
фиксировать значение одной из функций Ф(?) или x?(t)
в какой-либо точке области D. Тогда все постоянные Cq и
С'я определяются при решении задачи.

* 34]
ВНЕШНЯЯ И ВНУТРЕННЯЯ ЗАДАЧИ ДЛЯ ТОРА
315
Отметим, что теорема единственности остается справед-
ливой и в том случае, когда напряжения обращаются
в бесконечность на стыках участков l'q, имея там особен-
ности строго меньше единицы при ограниченных значениях
перемещений (подробнее см. [94], стр. 383).
§ 34. Внешняя и внутренняя задачи
для осесимметрично нагруженного тора
1. Начнем с внешней задачи. Рассмотрим упругое
пространство, имеющее круговую тороидальную полость.
Меридиональное сечение занимает всю плоскость с двумя
круговыми отверстиями (рис. 7.3). Введем тороидальные
Рис. 7.3.
координаты ?, т] равенствами B8.24), совмещая коорди-
натную поверхность | = |0 = const с поверхностью по-
лости. Если р2 — радиус сечения полости, а рх — рассто-
яние от центра сечения до оси z, то %, = In [(px -f- с)/рг],
Будем использовать представление компонентов напря-
жения и перемещения в форме C2.19). Обобщенные ана-
литические функции запишем в виде
ФA) = Ф,(<) + A6(t, ic) + BE(t, ic),
ВД = 4W«) - (x + i)AS(t, ic) + (x + i)B3(t, ic).
C4.1)

316 ПРИМЕНЕНИЕ ОБОБЩЕННЫХ ФУНКЦИЙ [ГЛ. ТП
Как следует из C2.22), функция Ф*(?) регулярна. При-
нимая во внимание C2.22а) и учитывая, что функции
20' + Re в и tS.' + i Im 3 непрерывны и однозначны
в рассматриваемой области, убедимся в регулярности
функции Ч^г).
Регулярные слагаемые в C4.1) будем разлагать в ряды
по функциям <t>n's(t), определенным равенством B8.23).
Аналоги логарифма 9B, ic) и E(t, ic) полезно выразить
через координаты g, т). Переходя в B9.5) и B9.7) от модуля
к к модулю q = A — к')/A + к') = th (g/2), получим
Re 0 = ^Ь? К (q) = ? ]/2(ch|-cosT,) P_o,5 (cli g),
Im S - egl±-?i) (g) - - .*-/2 (chg - cosт))Plo,5 (ch g),
C4.2)
где учтено, что — = -=- e^/2]/2 (ch g — cos т^)- Выражения
Po ^
Im 9 и Re S найдем при помощи соотношений B8.27),
используя формулы [61] № 2.5715 и № 2.5754:
Re S = -—~^== Р-0.5 (ch I) - Н (р, ?),
2 У 2(ch? — cost])
Я (р, q)=K(q)[E (Р, ?') - ^ (Р, ?')! + ^ (?) F (Р, ?').
C4.2a)
Здесь К и Е — полные, a F и Е — неполные эллиптиче-
ские интегралы первого и второго рода; величина р равна
нулю при т) = 0; р = 4:jt/2 при т) = ±я.
Выражения для производных от 9 и S имеют вид
9'(МС) = -^ФН*), 8'(*,*с) = --?-Ф?(9- C4.3)
2. Напряженное состояние тела можно представить
в виде суммы двух составляющих, симметричной и анти- .
симметричной относительно плоскости z = 0, которые
могут быть рассмотрены порознь.

§ 341 ВНЕШНЯЯ И ВНУТРЕННЯЯ ЗАДАЧИ ДЛЯ ТОРА 317
Пусть поверхность полости загружена нагрузками
ОО ОО
Рг = Т" 2 Л" sin гатЬ ^'• = 4:2 5ncosrar),
п=1 п=0
А = 4с У1 (ch g0 - cos i)),. C4.4)
симметричными относительно плоскости z == 0. Учитывая,
что при этом Re Ф' и Re W должны быть четными функ-
циями относительно переменной i), а БеФи ReT — не-
четными, представим обобщенные аналитические функ-
ции рядами
во ¦ оо
ф = - -I-«oiS + 2 а«1ф«' Y = - 4" a°2S+2 я^Фп,
n=J ti=1
C4.5)
где anft — вещественные коэффициенты,
аю = 4A - v)Ya(I, y = l. C4.6)
Напряжения и перемещения определяются формулами
C2.19). Производные от Ф и? легко найти при помощи
B8.25) и C4.3), откуда вытекает
П=1 71=1
Здесь
+1) /о ^(„(J) 9Я{])_|Я(]) \
— ^и — 1; \ап— i,ft — л*пй + an+1)ft;
= «oft - B - у) alk + a2k, a[|> = - B + T) a$ + 4У,
«и? = «Si* = 0. C4.8).
Производные функции ^(t) определяются формулами
C4.7) при к = 2,

¦j
318 ПРИМЕНЕНИЕ ОБОБЩЕННЫХ ФУНКЦИЙ [ГЛ. VII з
Из формул C2.19) легко получить
+ 2G^-^-. C4.9)
Подставляя B8.23) и C4.2) в C4.5) и C4.7), после раз-
деления вещественной и мнимой частей будем иметь
Re B*гФ' — 44) = -!" а02 Re S -
n=i j
оо
Im B4гФ' - Yi) =¦• 4" 2 bn2 cos nr\t C4.10)
n=0
где
bnm =• dfuj sh |0 + / (dn2m) — Y«n2m (i = 3 — m),
(я > 0),
ш = Я1й^-о,5, «im = — 2a]ftPl0i5,
= — 2a0fc ch goP_0,5,
K). C4.11)
Выражениям для перемещений придадим вид
2Gw — — -д- 2cmSinWTl. 2Gu = —-д-2 спгc°s"Л.
д2
п=1 п=0
C4.12)

§ 34] ВНЕШНЯЯ И ВНУТРЕННЯЯ ЗАДАЧИ ДЛЯ ТОРА 319
где
Подставим C4.4), C4.10) и C4.12) в выражения C4.9).
Учтем, что
¦1-ReS = Re3' -^-1тЗ' ¦?-,
ds ds ds'
и приравняем коэффициенты при sin щ или cos щ в левой
и правой частях равенств. В результате будем иметь
Bп — 5)anbn_li2 — 4n ch g0bn2 + Bге + 5)bn+li2 = Ап,
sh 6о[Bл - 2)апЬя-1Л - 4n ch|obnl + Bn + 3)bn+lfl] +
+ 4cn2 — 2 ch go(«nCn-i,2 + cn+i,a) = ^nsh^o
(n = 1, 2, 3, . . .),
c02 - 2c12 ch lQ + sh g, C6ц + 2<42 th g0) = Bo sh I,. C4.14)
Здесь an = 1 при « ^ 2; ax = 2, 601 = 2ao22 th ^0.
Остальные коэффициенты определяются формулами
C4.11) и C4.13). В конечном счете равенства C4.14) обра-
зуют бесконечную систему двенадцатичленных уравнений
относительно anh.
Если на поверхности полости заданы перемещения, то
равенства C4.12) с учетом C4.13) и C4.11) дают возмож-
ность получить систему восьмичленных уравнений.
Значения Pn(ch ?0) и /'«(ch |0) при больших ?о весьма
быстро растут с возрастанием п. Поэтому во избежание
потери точности вычислений можно рекомендовать в ка-
честве неизвестных рассматривать произведения Я"апй,
где Я = 2 ch lQ. Величины Ln=K-nPn(ch |0) жЬ'п = АГПХ
X Р'п{сЪ. ^хорошо вычисляются по рекуррентным формулам
2nLn - Bп - l)Ln_x - 2(п - 1)Я-2?„_2,
2 (п - 1) L'n =» Bга - 1) L^i - 2raX~2L;_2 (n > 2),

320 ПРИМЕНЕНИЕ ОБОБЩЕННЫХ ФУНКЦИЙ [ГЛ. VII
3. Рассмотрим загружение полости нагрузками, анти-
симметричными относительно плоскости z = 0. При этом
00 00
Р2 = 4" 2 Ancos/гт|, рг = — 4~2 Bnsianr\. C4.15)
4 42
п=0 п=1
Обобщепные аналитические функции представим в фор-
ме рядов
Ф = Ц. а01в + ^ «„А ^ = Щ-
1
C4.16)
Учтем, что
' = - i 2 «(>п,
П=1
где коэффициенты определяются формулами C4.8) и
C4.6) при у = — 1.
Выражения C4.10) принимают вид
оо
Re B(>Ф' — Ч\) = — -[- 2 bnX cos nr\,
ImBir0'-1F]) =
У \
2с Т й 11* sin т| ^ , . j
я ^ с 1 ёо п=1 у
ОО ОО
1 ^^ 1 ^^
2Gw = —-г- ^, сп1 cos гаги 2Gu = —г- ^ cn2 sin гал>
я=0 п=1
C4.18)
где коэффициенты определяются по прежним формулам
C4.11) и C4.13) при у = —1.
Рассуждая так же, как и в предыдущем пункте, и учи-
тывая, что
— 4- {г Im в) = Re в' ^- + Im в' -J-,

g 31] ВНЕШНЯЯ II ВНУТРЕННЯЯ ЗАДАЧИ ДЛЯ ТОРА 321
придем к прежней системе уравнений C4.14), где придется
заменить лишь последнюю, нулевую строку:
5Ь12 - 4а0, (ch g0P;<5 + 3Pl0>5) = Ао. C4.14а)
Коэффициент h01 теперь надо определять по общей форму-
ле для Ьпт.
Для контроля решения системы может служить ра-
венство
я " . C4Л9)
я01 = - 4 (I v) = 8(l-v)ef .
где 2nZ° — равнодействующая сил, приложенных к по-
лости.
Полученные выше решения пригодны и для внутрен-
ности тора, если везде заменить функции Лежандра пер-
вого рода ?„-о,5 через функции второго рода Qn-0,5,
положить а01 = а02 = 0 и сменить знак правой части
в равенствах C4.14) и C4.14а) на противоположный.
В силу сказанного в п. 4 § 32 один из коэффициентов ank
может быть задан произвольно. При антисимметричной
нагрузке произвольными являются два коэффициента:
один из ап1 и один из ап2.
4. Рассмотрим задачу о концентрации напряжений
в окрестности тороидальной полости при растяжении ак-
сиальными и радиальными силами р и q на бесконечно-
сти. Здесь на однородное поле напряжений о° = р, а" =
= oq = q, т"г = 0 налагаются напряжения, которые
соответствуют действию следующих сил на поверхности
нолости:
dr _ sh g0 sin t] dz eh g0 cos T| ¦— 1
P* ~ ~~ PTs ~ P ch-?0 — cos 1]' Pt ~ qTs~q ch|0 — cost) *
C4.20)
Используя известное представление (см. [80])
o , _,„.?=-cost))
21 а. Я. Александров, Ю. И, Соловьев

322
ПРИМЕНЕНИЕ ОБОБЩЕННЫХ ФУНКЦИЙ
[ГЛ. VBJ
разложим C4.20) в ряды C4.4), где следует положили
Лп =
sh
во=?(ch ^°-5 ~ ^-°-s)' ^"-°-5=^'-°'5 (ch ^ ;
При вычислениях полезно учесть, что
<?_о,5 = 2е-^2К{е-*°), <?0,5 = 2е««/2[К(<ГЕ§)-Я(«~Ь)].
Остальные функции Qn~u,b вычисляются по рекуррентным
формулам.
Таблица 7.1
Pi/Pa |а|б|в|г|д|е
V---U
8,0
5,0
3,U
2,0
1,5
1,2
8,0
5,0
3,0
2,0
\,2
8,0
5,0
3,0
2,0
1,5
1,2
3,107
М,1Ш)
3,288
3,55У
4,241
6,208
2,808
2,7911
2,701
2,615
2,552
2,499
2,122
2,245
2,557
3,147
4,063
5,980
2,809
2,733
2,490
2,266
2,120
2,032
1,013
\ ,033
1,077
1,126
1,102
1,191
v=0,3
3,090
3,140
3,272
3,572
4,300
6,342
2,902
2,854
2,790
2,7:50
2,094
2,652
2,091
2,189
2,442
2,914
3,041
5,202
2,875
2,752
2,544
2,3E5 '
2,201
2,196
1,58:2;
1,5A9
1,555
1,554
1,562
1,575
v=0,5
3,060
3,099
3,145
3,444
4,087
5,874
2,941
2,915
2,883
2,857
2,831
2,796
2,050
2,119
2,305
2,651
3,188
4,376
2,873
2,763
2,580
2,439
2,375
2,347
1,965
1,936
1,898
1,879
1,880
1,889
0,134
0,215
0,336
0,410
0,386
0,273
0,680
0,711
0,724
0,654
0,509
0,343
1,006
0,987
0,908
0,789
0,512
0,345
Плоская деформацпя
8,0
5,0
3,0
2,0
1,5
3,00
3,00
2,99
3,02
3,26
3,00
3,00
3,02
3,07
3,15
2,02
2,05
2,16
2,41
2,89
2,97
2,93
2,83
2,70
2,02
1,59
1,58
1,55
1,51
1,49
0,60
0,60
0,60
0,61
0,68

§341
ВНЕШНЯЯ И ВНУТРЕННЯЯ ЗАДАЧИ ДЛЯ ТОРА
323
В работе [137] были произведены числовые расчеты при
различных значениях коэффициента Пуассона и отноше-
ния Pi/p2 = ch?0. Бесконечная система уравнений реша-
лась методом редукции с удержанием коэффициентов апи
при ге ^ 26. Отметим, что для р^ра — 8 все коэффициенты
апк при п ^ 9 практически не отличались от нуля, а для
Pi/рг = 1» 2 удержанное число членов ряда (п — 26) ока-
залось недостаточным.
Наибольшие нормальные напряжения в меридиональ-
ной плоскости при аксиальном и всестороннем растяже-
нии возникают в точке 1 (рис. 7.3), а при радиальном растя-
жении — в точке 2. Точка максимального ае может за-
нимать различное положение.
В табл. 7.1 приведены значения напряжений для сле-
дующих случаев: a) az в точке 1 при р = 1, q — 0; б) az
в точке 3 при р = 1, q = 0; в) az в точке 1 при р = 1,
q ~ 1; г) ат в точке 2 при р = 0, q = 1; д) а0 в точке 2
при р = 0, q — \', е) а9 в точке 1 при р = 1, g = 0.
Напряжение az в точке 5 при р = 1, g = 1 изменялось
в пределах от 1.92 до 2,07.
ff,.
3
7
L
1
0
-1
-—
m—-
-•
-
\
/
|
/\ -
I
—
—
I
" J
P'1'^
1
- ~
nil л/z
(r.Z)
Рис. 7.4.
п
(г. 1)
1 На рис. 7.4 построены графики ап и а9 вдоль поверх-
ности полости при v = 0,3, pj/pa = 2. Ha рис. 7.5 изобра-
жен график напряжений oz для точек плоскости г = 0
при р = 1, q = 0.

324
ПРИМЕНЕНИЕ ОБОБЩЕННЫХ ФУНКЦИЙ
[ГЛ. VII
Для сравнения в табл. 7.1 приведены значения напря-
жений, возникающие в случае плоской деформации про-
странства с двумя цилиндрическими полостями. Для
t t t t f t t t 1 t t t t
HIIIIIIIHI V1
Рис. 7.5.
сопоставимости результатов o
ле ае = q + v(ar + ar — р
удалении от полостей ае = q.
подсчитывалось по форму-
q), v = 0,3; тогда на
§ 35. Осесимметричные задачи для параболоида
и гиперболоидов вращения
1. Рассмотрим внешнюю и внутреннюю задачи для
упругого тела, ограниченного поверхностью однополост-
ного гиперболоида вращения
A cosa тH
где с и тH — заданные параметры (с > 0, тH > 0).
В плоскости меридионального сечения введем систему
эллиптических координат |, т] такую, что
z = с sh I cos т), г = с ch | sin т).
По сравнению со случаем, рассмотренным в п. 3 § 18
(рис. 3.7), изменим положение разрезов: будем считать,
что —я/2 ^ т) ^ я/2, а | изменяется в пределах от — оо
до -f-°° (рис. 7.6); на оси симметрии везде rj = 0.

§ 35]
ПАРАБОЛОИД И ГИПЕРБОЛОИДЫ ВРАЩЕНИЯ
325
При решении будем использовать функции Лежандра
комплексного значка v = =- + гт, где т — произволь-
ное вещественное число, i — мнимая единица. Для
Рис. 7.6.
вычисления этих функций можно использовать известное
интегральное представление
При вещественном (д. эти функции вещественны; они носьт
название функций конуса.
Воспользуемся тем, что функции
Вг = - V(v + 1)Pv V Sh ® P'v ^ C0S ^
(P'v(isht) = ±Pv(isht), P'v(± cosn)=±Pv(± cost,)
при любом v, в том числе и комплексном, удовлетворяют
условиям B8.27), и введем обобщенные аналитические
функции
= ъз (I
(л) -
)) C5Л)

326 ПРИМЕНЕНИЕ ОБОБЩЕННЫХ ФУНКЦИЙ [ГЛ. VII
где / = 1 или ) = 2, -f
<Pvi (I) = 4 ^v (* «Ь 5) + Pv (- i sh ?)],
При решении внешней задачи положим
ФиСч) == P\(cos Л) ~Ь Р\(—cos л)» '«
^IW1!) = P\{vos Л) ~ Pv(—cos г]). C5.3);!
Тогда будет обеспечена регулярность функций Ф^ (t)
везде .при т)> тH, включая и разрез t] = л/2, на верхнем':
и нижнем берегах которого ? имеет разные знаки. При"
решении внутренней задачи будем отбрасывать в C5.3)-
функции Pv (—cos ti), которые разрывны при ц = 0.
Приведем выражения производных от C5.1) по z:
yj v ' дг VJ v ' с
" Cs 2
где
^ _ ch j cos т] — i sh | sin T] „ sh 2j + i sin 2t]
ch2| + cos2ti '
Кроме того, нам потребуются соотношения
6
j Im Ф,; (t)*5.-_ ^Ь^у [Ф„, (I) - Tv/ @)] qCj (Л)-
0
C5.5)

§ ЗГ>] ПАРАБОЛОИД И ГИПЕРБОЛОИДЫ ВРАЩЕНИЯ 327
Значения функций <&v±u(t) и их производных могут
быть вычислены по тем же формулам C5.1)—C5.3), ко
о заменой v на v ± 1. Функции Лежандра значка v ± 1
выражаются через />у и Р'у.Зшетвм,что функции Фу±1,/0
сами по себе не являются обобщенными аналитическими
функциями, но их ^сумма Фу+и + Фу-i.j принадлежит
атому классу.
Параметр т может принимать любые вещественные зна-
чения. Интегрируя по т, обобщенные аналитические функ-
ции Ф и W, решающие осесимметричную задачу, будем
разыскивать в форме
(т) Ф*/ @ + (-!)' "j (
х[ф;+,,й@ -Ь Фу--i,
где У — 1 или / == 2, aj(x) и bj(x) — неопределенные пе-
ществешгае функции, относительно которых будем пред-
полагать, что они допускают дифференцирование выраже-
ний C5.6) под знаком интеграла. Тогда производные функ-
ций C5.6) могут быть найдены с использованием формул
C5.4).
Пусть на поверхности тела 1) — % иаданы внешние
силы р2(|) и />,.(?), которые мы разложим на составляющие
/'zi(^)' Рг»Ш» четные относительно координаты | (и соответ-
ственно z), и рг2(|), pri(i), нечетные относительно |. Соот-
ветствующие интегральные усилия представим в форма
-|dg = (-ir С;-г]'йу(т)(г^E)(/т ,
1-0 -I
о
I
[I «о -1
CJ -Ь ^ j "I ^ + j ^; (^) Ф*; E) ^ I. C5.7)

328 ПРИМЕНЕНИЕ ОБОБЩЕННЫХ ФУНКЦИЙ [ГЛ. VII
ds -, /7 9г \2 , (йг\2 с т/
Вещественные функции Л^(т) и Bj{%) при соблюдении
некоторых условий могут быть определены путем обраще-
ния интегрального преобразования Н. Н. Лебедева —
И. П. Скальской [81]:
C5.8)
В этих формулах т = 1 для внутренней задачи и m =
= 2 для внешней задачи; Cj = С2 = 0; постоянными
Cjj и С\ следует распорядиться так, чтобы интегралы C5.8)
сходились.
Подставим C5.6)—C5.7) в C5.8), полагая
С = С] + ctg -по j cpw @) %, (тH) а, (т) ^|™, C5.9)
учтем C5.5) и разделим вещественную и мнимую части.
В результате будем иметь
(т) = а} (т) (Я - cos2 тH) - ^±ii [a (т) sin 2t) + 5^ (т)],
l Ь) - К? + v (v + 1) 1>У sin 2т]0 -
- 2 (Я - cos* no) гКЖ- - ^±^j i$ ctg -no C5.10)
(i, = i, tw = tj)v;(Чо); v = - -|- + ix; > = ^ 2)'

5 35] ПАРАБОЛОИД И ГИПЕРБОЛОИДЫ ВРАЩЕНИЯ 329
Если на поверхности тела заданы перемещения
<х> се
2Gw, (t) = f А, (т) cpv, (?) dx, Жи}A) =[В} (т) щ} {\) йт
о о
C5.11)
(Wi и щ — четные функции, w2 и щ — нечетные), тс
ау(т) и 6,-(т) определяются теми же формулами C5.10) при
}. = -и.
2. Решение, найденное в предыдущем пункте, с соот-
ветствующими изменениями может быть применено и
к случаю, когда тело ограничено одной или обеими по-
лостями двуполостного гиперболоида вращения
__?? !
с2 cos2 т]0 с2 sin2 т]0
Систему эллиптических координат примем такой же,
как в п. 1 § 18 (рис. 3.6). Тогда
z = с ch | cos т), г = с sh ^ sin tj
(—я^т]^я, 0^|<оо; на оси симметрии Т] == 0 при
z > с, 5 = 0 пРи \z\ <С с, ц — ±я при z,< —с).
Будем считать вначале, что тело занимает часть про-
странства, включающую в себя отрезок оси симметрии
|г|< с cos т]0, а меридиональное сечение тела ограничено
двумя гиперболами
hi = Чо и Inl = я - Tio @< тH< я/2).
Внешнюю нагрузку, приложенную к обеим полостям
гиперболоида, разложим на две системы сил, одна из кото-
рых симметрична относительно плоскости z = 0, а вто-
рая — антисимметрична. Решение, относящееся к первой
системе сил, пометим индексом у = 2, а ко второй —
/= 1.
В формулах C5.2)—C5.7) произведем следующие из-
менения:
г __ sh I cos т] — i ch 1 sin т] „ _ — sh 2g + i sin 2t)
сЬ2| —cos2t) ' ch2| —cos2t)
1 = 1, in = 2, Cl = C'i = 0 (/ = 1,2). C5.12)

330
ПРИМЕНЕНИЕ ОБОБЩЕННЫХ ФУНКЦИЙ
1ГЛ. VII
Равенства C5.10) останутся справедливыми. Для опре-
деления функций Aj(%) и Bj(%) можно воспользоваться
формулами обращения интегрального преобразования
Мелера — Фока [154]:
Aj(r) = xthntj [(- l)mBj(t)- C]]Pv(chl)shldl,
• C5-13)
Пусть теперь тело ограничено одной из полостей дву-
полостного гиперболоида вращения и занимает область
|ц|< т]0 @< тH< л). Предыдущие рассуждения при-
менимы и здесь, требуется лишь положить т = 1 и опу-
стить в C5.3) функцию Pv (—cos т)). Если же область явля-
ется внешней по отношению к предыдущей (|т)|> г\0),
то должна быть опущена функция Pv(cos r\) и положено
т—2.Остальные формулыизC5.12) остаютсябез изменения.
Разложение внешней нагрузки
на составляющие в этих слу-
чаях не производится; можно
полагать / = 1 или / = 2 по
произволу, рассматривая лишь
одно из решений.
3. При решении задач для
параболоида вращения введем
параболическую систему коор-
динат |, т), связанную с пря-
моугольнымп координатами
формулами
/ f>9 9 \
Рис. 7.7.
Координатные линии g = const и r\ = const образуют си-
стему взаимно ортогональных софокусных парабол
(см. рис. 7.7). Фокусы всех парабол находятся в начале
координат.

§ 351 ПАРАБОЛОИД И ГИПЕРБОЛОИДЫ ВРАЩЕНИЯ 331
Пусть меридиональное сечение параболоида занимает
область |?| ^ 1 (на рис. 7.7 заштрихована). Величина с
является параметром граничной параболы, которая имеет
уравнение |?| = 1, или
4
Рассмотрим произведения функций Бесселя
Вг = /о(т?)/о(тг0, ВГ - /ЛтйЛСп!). C5.14)
Эти выражения удовлетворяют соотношениям B8.27),
ибо для функций Бесселя имеют место равенства
; (ц) - /0 (ц) - -i- h (ц),
C5.15)
Функции /о(М') и Ji(v) ограничены при любых ц,
a /0((i) и /i(n) — при конечных ц; /0@) = /о(О) = 17
Л@) = Л@) - 0.
Учитывая свойства выражений C5.14), функцию ФB)
представим в форме интеграла
оо
Ф (*) - J а (т) [/0 (тБ) /0 (tti) + i/i (тБ)Л(тц)] Л, C5.16)
о
гдо а(т) — некоторая вещественная функция.
Предполагая, что интеграл C5.16) допускает диффе-
ренцирование но параметрам ? и г\, для производных
получим
[00
); 7 = 0,1). C5.17)

332 ПРИМЕНЕНИЕ ОБОБЩЕННЫХ ФУНКЦИЙ [ГЛ. VII "
Вторую обобщенную аналитическую функцию будем
искать в форме
оо
?х @ = - 2сФ' (t)+\b (т) (Vo + UiJi) dT, C5.18)
о
где Ь(т) — вещественная функция. Производную ^(f) лег-
ко найти по аналогии с C5.17).
В случае внешней задачи (? > 1) везде следует заме-
нить функции Бесселя /,-(т|) на функции Макдональда
(-i)iKj(Tt).
При известных Ф(г) и ^(г) напряжения и перемещения
определяются формулами C2.19). Усилия на поверхности
тела | = 1 связаны с граничными значениями Ф(?) и
xVi(t) последним из равенств C2.19). При этом
= 21гФ' - ?2 + 4A - v) f Im Ф^-J di\ + С =
о
+ C C5.19)
(т = 1 в случае внутренней задачи, т = 2 для внешней
задачи).
Усилия R и Z представим в форме интегралов
A(T)J0(xr\)TdT
о
дц) + [дц)
V + rf). C5.20)

§ 36] ПРИВЕДЕНИЕ К ИНТЕГРАЛЬНЫМ УРАВНЕНИЯМ 333
Функции А(т) и В{%) при определенных условиях
могут быть найдены при помощи преобразования Хан-
келя [154]:
оо
А (т) = f [(- 1)«И-1 R (Ц) - С\ /0 (тт|) г, Л,,
В (т) - (-=i^ f Z (п) Л (тт|) drj. C5.21)
о
Постоянную С в C5.19) — C5.21) зафиксируем так,
чтобы первый из интегралов C5.21) сходился.
Подставим C5.20) в C5.19), разделим вещественную
и мнимую части и приравняем подынтегральные выраже-
ния. Придем к системе алгебраических уравнений отно-
сительно функций а(т) и Ъ(%), решая которую, получим
G0 = 70(т), 7Х = 7х(т)). C5.22)
Аналогичным путем функции а(х) и Ь(т) могут быть
найдены и при заданных на поверхности перемещениях.
Отметим, что решения для параболоида вращения
были получены в работах [153] и [101] с использованием
решения в форме Папковича — Нейбера, а в [111] —
при помощи р-аналитических функций.
Внутренняя задача для двуполостного гиперболоида
вращения в общем случае неосесимметричной задачи рас-
сматривалась в [125].
Относительно законности применения здесь интеграль-
ных преобразований см. замечания в конце § 22.
§ 36: Приведение первой и второй основных
задач для односвязных тел вращения
без полостей к интегральным уравнениям
1. Эффективный способ приведения плоских задач
теории упругости к интегральным уравнениям Фредголь-
ма был предложен Д. И. Шерманом ([164, 165], см. также

334 ПРИМЕНЕНИЕ ОБОБЩЕННЫХ ФУНКЦИЙ [ГЛ. VII
[93]). Идея этого способа с соответствующими изменения-
ми может быть использована и при решении осесимметрич-
ных задач.
Пусть меридиональное сечение тела занимает одно-
связную область D, граница которой состоит из единствен-
ного замкнутого контура L, пересекающего ось симметрии.
Этот контур будем считать гладким, а крмиплну его удов-
летворяющей условию Н(\\) (О < [х < 1).
Обобщенные аналитические функции будем разыски-
вать в форме обобщенных интегралов типа Коти:
где F(t) — некоторая неизвестная функция, F(t) — ее
производная типа C1.24); обе эти функции будем считать
принадлежащими классу Н и удовлетворяющими усло-
вию четности C1.2).
Устремим t к контурной точке т„, принимая во внима-
ние формулы C1.13) и C1.30). Подставим полученные
выражения в равенства C3.1) и C3.9), понимая там под
Ф(т„), Ф'(т„), *F(t0) граничные значения соответствующих
обобщенных аналитических функций. В результате бу-
дем иметь
Щт0) + Q(t0) = -v(x0). C6.2)
Здесь
Й(т0) = т,(т0) - Щх~0) - (х + X)Q,(t0), C6.3)
= 4п J
F (т> (W dr ~W ^) lW = W

ПРИВЕДЕНИЕ К ИНТЕГРАЛЬНЫМ УРАВНЕНИЯМ 335
) (т + * - т° - *<>) W d^
J
L
То
о _
(то) = "J" J  (т) - »
C6.4)
« — нижняя точка пересечения контура L с осью z.
Если на поверхности тела заданы внешние силы pz,
рг (первая основная задача), то
2), C6.5)
{o),
т0 —То
где Z(x0) и i?(x0) определяются формулами C3.8) при
ак = я; постоянная С" равна нулю вследствие C3.15),
так как Ао = 0; постоянная С принята равной нулю
в силу ее произвольности (см. конец п. 3 § 33).
При заданных перемещениях w0, щ (вторая основная
задача) следует полагать
X = -и, у(т0) = - 2G[wo(to) + iuo(xo)]. C6.5a)
Займемся преобразованием формул C6.2) — C6.4).
Подставляя C1.24) в выражения для й2, получим
Здесь оба интеграла существуют. Действительно, произ-
ведение (т Ч- т — т0 — ro)W{xQ, т) непрерывно; отноше-
ние (F — F)l{% — т) является интегрируемой функцией,
так как F(x) принадлежит классу Я и Im F{t) = 0 на
оси симметрии; производная dFldx интегрируема как
разность интегрируемых функций, входящих в C1.24).

336 ПРИМЕНЕНИЕ ОБОБЩЕННЫХ ФУНКЦИЙ [ГЛ. VII
Первый из полученных интегралов возьмем по частям.
Тогда
l
J (т„) = \^=1 (т + т - т0 - т0) W (dx - dx). C6.6)
Принимая во внимание C1.22) и учитывая, что вслед-
ствие условий четности справедливо равенство
/= J()( + oo)( + .)
у т —• х
будем иметь
где использовано соотношение C0.29) при t == т0 = аг0 +
Функцию Q4 представим в форме
+ JJx)(W-WiI)dx].

§ 36] ПРИВЕДЕНИЕ К ИНТЕГРАЛЬНЫМ УРАВНЕНИЯМ 337
Подставим это выражение в формулу для й3, заменяя
там т через t,
То
(W - W(t, т), Wm = W(t, r)). .
Изменим здесь порядок интегрирования, что законно
(см. [94], § 28), так как произведение подынтегральной
функции на (т — ^IТ — т!м' @ <i ц <i 1) заведомо удов-
летворяет условию Гёльдера (см. п. 1 § 37 и п. 3 § 30).
Тогда Q3 принимает вид
Q (V г) = f^fj (l + |) + ) [W (t, г) - WGJ)ld-i
C6.9)
Коэффициент Р(т0, т) равен л, когда т принадлежит дугам
ат0 или тоа, и равен нулю в остальных случаях.
Подставляя найденные выражения для Qi, Q2 и ^з
в C6.3) и C6.2), получим интегральное уравнение отно-
сительно функции F(x):
,т), Xo(=Ly C6.Ю)
22 д. я. Апександрсв. Ю. И. Соловьев

338 ПРИМЕНЕНИЕ ОБОБЩЕННЫХ ФУНКЦИЙ 1ГЛ. VII
? Интересно отметить, что первые три слагаемых совпа-
дают с левой частью уравнения Шермана — Лауричеллы
([93], § 101), если в последнем подынтегральные выраже-
ния умножить на со(то, т). Это вытекает из того, что
Wdx-Wd~x =
^(в1),
Т~"Т» Т — То/ Т —Т0
W(dx — 1^? dx\ = со (т„, т) d(l^
\ Х~Ч I \То"Т
В случае упругого полупространства все интегральные
члены C6.10) исчезают и имеет место равенство*F(x) —
2. Используя соотношение C1.2), приведем C6.10)
к стандартному виду интегральных уравнений второго
рода
KF(т„) +\F(x)K(т0, x)dx=*-v(т0) (т0 е L), C6.11)
i,
где
(V = X). C6.12)
Производные по т вычисляются в предположении, что
т0 и т0 постоянны, а т является функцией от т.
Равенство C6.11) будет справедливым как при т0 е L',
так и при т0 е L", если учесть, что F(t) удовлетворяет
условию четности C1.2), и принимать значения v(x0),
Q(x0, х) и К(х0, т) при Im т0 < 0 в соответствии с соотно-
шениями
у(т0) = v(x0), Q(x0, x) = Q{x0, x) = (?(т0, т),
Jf(t0, т) = ~/Г(т0, f). C6.13)

§ .tiij ПРИВЕДЕНИЕ К ИНТЕГРАЛЬНЫМ УРАВНЕНИЯМ 339
Ниже, в § 37, будет показано, что ядро уравнения
C6.11) непрерывно по переменной т0, а также по перемен-
ной т при X == —х везде, где х Ф т0 и т Ф т0; в точках
т0 = т и т0 = т имеют место логарифмические особенно-
сти. Когда К = 1, это ядро имеет, кроме того, разрыв
непрерывности первого рода при т = а.
13 § 38 доказывается разрешимость аналогичного ин-
тегрального уравнепия для более общего случая много-
связных областей.
В уравнении C6.11) можно ограничиться рассмотре-
нием лишь тех точек т0, которые лежат справа от оси сим-
метрии, если перейти к интегрированию по U. При этом
уравнение принимает вид
(toei'). C6.14)
Пусть F(x) = p(x) + гд(т), где р(т) и q(x) — вещест-
венные функции. Разделяя в C6.14) вещественную и мни-
мую части, получим систему двух интегральных урав-
нений:
+ 1 Р (т) Im [К (т0, x)dx-K (т0, т) dx] +
L'
+ J q (т) Re [К (т0, т) dx + К (т0) т) dt] =-Im v(x0).
C6.15)
При численном решении этих уравнений могут ока-
заться полезными следующие равенства, которые можно
получить непосредственно из C6.6) — C6.8) с учетом
22*

340 ПРИМЕНЕНИЕ ОБОБЩЕННЫХ ФУНКЦИЙ [ГЛ. VII
соотношений C0.44):
- ± d[(x - х0) (W - WJ] - *±? d j Im S [t, т) f-,
d[(x х0) (W WJ]
в (т0, t) + ^ 4^4^ +
(W = W(x0, x), W# = W(x0, 1), т = x + iy, t0 = x0 +
+ iy0, t = z + tr). C6.16)
Отсюда, в частности, вытекает полезное равенство
[ К (т0, т) dx = j [AT (т0, т) йт - К (т0, т) dx] = %. C6.17)
В работе [138] приведен пример решения интеграль-
ного уравнения C6.11) для короткого цилиндра, который
находится под действием нагрузки, равномерно распре-
деленной по площади круга поверху и по площади коль-
ца понизу.
§ 37. Исследование ядра
и решения интегрального уравнения
1. Исследуем характер непрерывности ядра К(х0, т),
предполагая, что упругое тело не имеет полостей. Будем
считать, что контур L пересекает ось симметрии, причем
а — нижняя, а а' — верхняя точки пересечения.
Обозначим через 6(т) угол, составляемый с осью z
касательной к контуру L в точке т. Его производная по
дуге dQ/ds, т. е. кривизна контура, предполагается удов-
летворяющей УСЛОВИЮ H(\Iq).

§ 37] ИССЛЕДОВАНИЕ ЯДРА ИНТЕГРАЛЬНОГО УРАВНЕНИЯ 341
Очевидно, cos 6 имеет производную по дуге, удовлет-
воряющую условию #(ц0), и обращается в нуль, когда
х = а или х — а'. Отсюда вытекает ([94], § 7) принад-
лежность классу Я(ц0) отношений ^ и ?
где дуговая абсцисса $t отсчитывается от ближайшей из
точек а или а'.
Учитывая равенства
§ -^ -<-"° 1 + f
убедимся, что функции
a1{x) = a{x) — a (a), a2 (т) = a (т) + -^ a (a) C7.1)
удовлетворяют условию H(\i0) везде на L, причем ах{а) =
= a2(a) = 0.
Рассмотрим функцию Q(r0, x), считая пока Im т0 ^ 0,
Im т ^ 0, т0 ф а'. Используя соотношение C0.43), пред-
ставим C6.9) в форме
Tf
Q (Т0' Т) = <?1 (Т0. Т) + <?2 (ТО1 Т), (?! (То, Т) =
, t) = © (*, т) a, (*) _ 1^4 a» (?, t) a2 («). C7.2)
Функция i|)(J, т), как это вытекает из результатов п. 3
§ 30, удовлетворяет условию Н(ц0) по обеим переменным.
Следовательно ([94], § 26), Qx(t0, t) при т ф т0 также
удовлетворяет этому условию по переменной т, а при

342 ПРИМЕНЕНИЕ ОБОБЩЕННЫХ ФУНКЦИЙ [ГЛ. VII
% = т0 имеет логарифмическую особенность. В точке т =•
= а особенность отсутствует, так как т|)(а, т) = 0. Про-
изведение |т — To!e(?i(To> T) ПРИ любом, даже сколь угодно
малом, е принадлежит классу Н по т.
Пусть т = const. Функция ?\(то. т) дифференцируема
по т„ при тй Ф т, причем ее производная имеет оценку
const/|t — то|. Отсюда ьытекает (см. [94], § 6), что про-
изведение (т — Tt^Qifaoi т) принадлежит классу Н и по
переменной т0.
Интеграл, входящий в (J(т0, т), существует в смысле
главного значения и может быть вычислен в замкнутом
виде. Учитывая C0.45) и производя те же выкладки, что
и в C1.10а), будем иметь
<?гОч» т) = SaiMPfro, т) + a(a)lT ~
—"г|[в-(т, т0) - в-(т, о)]. C7.3)
При помощи представлений § 29 для Q(t, t0) можно
убедиться, что (?2(т, т0) при т Ф т0 удовлетворяет усло-
вию ZT(no) по обеим переменным. Когда т = т0 (Im т0 Ф
Ф 0), имеет место логарифмическая особенность. Можно
также показать, что произведение |т — то|е(?2(то, т) при-
надлежит классу Н по обеим переменным везде на L',
так как производные от |т — т|в(т, т0) имеют ту же оцен-
ку, что и (^(т,,, т).
Для точек оси симметрии легко получить
lim е(то,т) = яа(а)A-1), <?(то,а') = О {гофа%
Q(a, т) => 0 (т ф а). C7.4)
Если т0 = а', то
Q (а', т) = nia (e')+ J [w (t, т) - W(t,r)] d±±S.
При х Ф а' поведение этой функции не отличается от
рассмотренного ранее. Когда т->а', то в формулах
C7.2) — C7.3) следует заменить а(а) на а(а'). В резуль-
тате получим, что Q(a', т) удовлетворяет условшо #(ц0)
и в окрестности точки а', включая саму эту точку. При

§ 371 ИССЛЕДОВАНИЕ ЯДРА ИНТЕГРАЛЬНОГО УРАВНЕНИЯ 343
ЭТОМ
UmQ (а', х) =* яо (а') A + i). "C7.5)
г-»о'
(Imt>0)
В том случае, когда т0 находится в окрестности точки
а', интеграл в C7.2) представим в виде суммы интегралов
но дугам аа' и а'"с0. Интеграл по аа' *= L' уже исследо-
яан; интеграл по дуге а'х0 исследуется тем же методом,
что и по дуге ах0.
Выше мы предполагали, что Im т ^ 0, Im т0 ^ 0.
Остальные случаи расположения т и т0 можно привести
к рассмотренному при помощи соотношений C6.13).
В итоге получим, что функция Q(x0, т) при т Ф т0
и т т? т0 удовлетворяет условию H(\i0) по переменной т0;
но второй переменной т она принадлежит классу Но,
имея скачок в точке а. При совпадении т с т0 и т0 (Im т0 =f=
Ф 0) имеет место особенность логарифмического типа;
если Im т0 = 0, то Q(x0, т) принадлежит классу Но.
Отсюда вытекает представление
C7.6)
|т —
где q(x0, т) везде на L принадлежат классу Н по перемен-
ной т0 и классу #о по т с узлом в точке а; т# = т0
и т# = т0, когда точки т и т0 лежат соответственно по
одну и по разные стороны от оси симметрии; К — про-
извольное число в интервале 0< Я, ^ 1.
Перейдем к остальным членам ядра К(х0, х).
Как известно ([94], § 7), угол Ф(т0, т), составляемый
—>
вектором тот с осью г, при кривизне, удовлетворяющей
условию //(ц0), имеет частные производные д$/дх и д$/дх0,
также удовлетворяющие этому условию по х и т0, а про-
изводные * второго ¦ порядка имеют представление вида
w(T|"T)>t C7.7)
где в качестве %0 можно взять любое число в интервале

344 ПРИМЕНЕНИЕ ОБОБЩЕННЫХ ФУНКЦИЙ [ГЛ. VII
1 — ц0 < К< 1. а га(то> т) принадлежит классу Н по
обеим переменным везде на L.
Учитывая равенства
т-то=|т-то|в» 1^ = в«*, In 1^5 = 2*0,
т — т0 т — to
т+т— т0 — то = 21 т — tJcosO, cosdl _ = О,
|T=Tt
убедимся,
d 1
dx
dr
(t-T»)
что
т -
\t —
¦ t0-
1t —
функции
-to 2l»
ft
d /т-т„
¦~xj dx dT [~x~~ia
-T0 2 cos #
- To 1 T —
to
dx '
C7
входящие в выражение C6.12), удовлетворяют условию
Я(ц0). Функция (»(т0, т) имеет логарифмическую особен-
ность при т = т0 и дифференцируема при т ^= т0, т0.
Везде на L она имеет представление C0.25).
Отсюда вытекает, что К(х0, т) имеет те же особенности
и то же представление C7.6), что и (?(т0, т).
Таким образом, интегральное уравнение C6.11) яв-
ляется уравнением Фредгольма второго рода, ядро ко-
торого имеет слабую особенность при т = т0 и т =т0.
2. Рассмотрим вопрос о характере непрерывности
функции й(т0) в C6.2) при различных предположениях
относительно F(x). Из сравнения C6.2) и C6.11) видно,
что
Q(xo) = j
L
Пусть F(t) — интегрируемая функция, ограниченная
везде на L, кроме конечного числа точек с, где она может
быть неограниченной, удовлетворяя неравенству
@<а<1) C7.9)
в окрестности каждой из этих точек.

§ 37] ИССЛЕДОВАНИЕ ЯДРА ИНТЕГРАЛЬНОГО УРАВНЕНИЯ 345
Тогда, как это показано в [94], § 51, функция ?2(т„)
при ядре К(х0, т), имеющем представление вида C7.6),
будет ограниченной, так как вследствие произвольности
X всегда можно сделать так, чтобы а + X было меньше
единицы. Если же F(x) ограничена везде, то ?2(т0) удов-
летворяет условию Я на L.
Несколько усложняя рассуждения [94], § 51, легко
убедиться, что функция ?2(т0) будет удовлетворять усло-
вию Н и тогда, когда F(x) принадлежит классу Н*.
Если ^(т) принадлежит классу Н(ц0), то Щх0) будет
дифференцируемой функцией. Чтобы показать это, вве-
дем обозначения:
Л1 ^т0, х) - W — W -^ — со dx ш-_-о - аы дх.
^\ лхт[dx 1 то\ d 1х — Л
dx T — т0/ dx \T —-
— — гсое -^-,
W) =
t—т0/
- \2
_ © (т+т — т0 — т0) 0„ cos2»
2 (т— то)|т — то|а т—т0
где W = W(r0, т), со = со(т0, т).
Тогда (см. C6.4) и C6.7))
Q2 <To) = - h J F (T) X2 (т0, т) rfr - jL j ^ Xs (т0, т) «Й.
L L
C7.11)
Заметим, что
f X, (т0, т) йт = 2ni, j [Z2 (toi t) dx + Xa (t0, т) dt] = 0
(для доказательства достаточно положить F(x) = 1 в фор-
мулах для йх и Q2 из C6.4) и учесть C1.17)).

346 ПРИМЕНЕНИЕ ОБОБЩЕННЫХ ФУНКЩ1Й. [ГЛ. VII
Представим Qi(t0) в форме:
где а — произвольная фиксированная точка L.
Составим отношение [Qi(tj) — Q^To)]/^! —т0). Полагая
а = то> устремим т к т0. В результате будем иметь
-^(;?o)]^^(To,T)dT. C7.12)
Принимая во внимание C0.25), C0.37) и C7.7), полу-
чим представление
— X (х чЛ — ж(т<ь т) | хо (тр. т)
C7.13)
где ,г(т0, т) и :г„(т0, т) принадлежат классу // по обеим пе-
ременным, Х„ имеет то же значение, что и в C7.7), а К
можно сделать сколь угодно малым.
Теперь подынтегральную функцию и C7.12) можно
представить в воде
л lx0iTJ /07 I 'Л
Iт 1* |'
где т^. определяется так же, как и в C7.0), функция х*
принадлежит классу Н по переменной т0 и классу //„ по
переменной т с узлами а и а'. Значение показателя Х1
может быть назначено произвольно в интервале 1 —
— ц' < Я-х ^ 1, где ц' — наименьшее из чисел р. и |i0.
Отсюда вытекает (см. [94], § 51), что интеграл в C7.12),
а следовательно и производная dQJdxQl принадлежит
классу Н.
Аналогичные рассуждения справедливы и для функ-
ции Q;i(t0). При этом

§ 37] ИССЛЕДОВАНИЕ ЯДРА ИНТЕГРАЛЬНОГО УРАВНЕНИЯ 347
о
Для х-Х2 справедливо представление C7.13), а для
сп0
производной от Х3 будем иметь
Х==2cosft + <o
т —т0
2@sm0^ .
Легко видеть, что правая часть имеет представление
C7.14), поэтому производная dQ2/dx0 нринадлс?кит клас-
су Я.
Производную от Й3(т„) найдем, дифференцируя ее
выражение в C6.4):
й;О,(тв) = 4-а(х0)О4(т0). C7.15)
Здесь а(г) определяется формулой C7. J).
Эта производная удовлетворяет условию Н, так как
ему удовлетворяют а(т0), F(x0) и обобщенный интеграл
типа Кошн, входящий в состав Й4(то).
Представим интегральное уравнение CG.11) в виде
XF (т.) = - J F (т) К (т0, т) <2т - у, (г) = - О (т.) - i; (т.).
C7.16)
Пусть заданная функция у(т0) имеет производную
w'(To)i удовлетворяющую условию //.
Будем искать решение уравнения в классе интегри-
руемых функций, описанных в начале этого пункта.
Функция Q(x0) при этом будет ограниченной. Следова-
тельно, F(r0) также ограничена как сумма ограниченных
функций —Й(т0) и —у(т0). Отсюда в свою очередь выте-
кает принадлежность О(т0) классу //. Продолжая рассуж-
дения дальше, легко убедиться, что функция F(x) имеет
производную F'(x) класса Н.
Заметим, что Im F(a) == Im F(a') — 0, так как ядра
и правая часть во втором из уравнений C6.15) обраща-
ются в нуль при т0 == а и т0 = а'. Отсюда следует при-
надлежность функции F(x) классу Н. Таким образом,
требования, предъявленные к непрерывности F(x) и F(x)
при выводе 1тнтегральпого уравнения C6.11), выполнены,

348 ПРИМЕНЕНИЕ ОБОБЩЕННЫХ ФУНКЦИЙ [ГЛ. VII
3. Принадлежность производной от F(t) классу Н,
позволяет показать, что существует производная от фукк-
ции ?2(т0), также принадлежащая классу Н.
Начнем с функции 6^ (т0), определяемой первой из фор-
мул C6.4). Учитывая равенство
]g C7.17)
и используя C1.31), получим
1{
Введем обозначения: C7.18)
т — То LU — t0 drl dro Vх ~ To d
У^то, т) = co(to, tJACto, t). C7.19)
Функция /i(t0, t) удовлетворяет условию H(\xQ) no
обеим переменным, обращаясь в нуль при т = т0. Она
имеет частные производные по т и т0, которые могут быть
представлены в форме C7.7). Тогда Y^Xq, t) будет удов-
летворять условию Н(\и0 — г), где е — сколь угодно ма-
лое положительное число. Принимая во внимание C0.25)
и C0.37), для производной — Yt (т0, т) будем иметь пред-
onto
ставление, совпадающее с C7.14) при ц' = \i0.
Придадим C7.18) вид
5? f
° L
где Х1 определено первым из равенств C7.10). Рассуждая
так же, как при выводе формулы C7.12), получим
C7.20)

§ 37] ИССЛЕДОВАНИЕ ЯДРА ИНТЕГРАЛЬНОГО УРАВНЕНИЯ 349
Отсюда видно, что -г- QL принадлежит классу Н. Функ-
ах0
цию Q2 (см. второе из равенств C6.4)) представим в форме
L L -
V(r0, т) = (т + т - т0 - ro)W(ro, т), C7.22)
где ст — произвольная фиксированная точка.
Аналогично C7.12) получим
1
C7.23)
Здесь оба интеграла существуют как несобственные.
Убедимся, что
± J V (т0, т) dx = JJ- V (т0, т) dr, C7.24)
10 ?
где второй интеграл понимается в смысле главного зна-
чения. Действительно,
X J (t + х- т0 - т0)(W - Wj dx,
где x (т) = 2(t_-)^1 - ¦?). С другой стороны,
дх„ -~
C7.25)

350 ПРИМЕНЕНИЕ ОБОБЩЕННЫХ ФУНКЦИЙ [ГЛ VII
Здесь учтено соотношение C0.30) при t = т0 (z = хв,
г = у0). Используя равенство C1.22) для интегрирования
по частям, получим
- X (т0) f Ь + т - т0 - 70) {W - Г») dr. C7.26)
Легко видеть, что предпоследний интеграл равен нулю,
поэтому из C7.26) следует требуемое соотношение C7.24).
Теперь равенство C7.23) дает
(т)^(то, x)dx. C7.27)
Найдем выражение для производной типа C1.24) от Q8:
Ш
C7.28)
Здесь
со(то, т)/г(т0, т),
C7.29)
Функции /2 и У2 аналогичны по своим свойствам функ-
циям fl и Yt. Используя те же рассуждения, как и в слу-
чае с Qly можно убедиться, что производная -j— Q, сущест-
вует и принадлежит классу Я.

§ 37J ИССЛЕДОВАНИЕ ЯД1-А ИНТЕГРАЛЬНОГО УРАВНЕНИЯ 351
Перейдем к ?28(т0). Принимая во внимание, что Q3
вещественная функция, и учитывая C7.15), будем иметь
Q3 (х.) = ± Qa (х.) = 1 а (х.) Q4 (xt). C7.30)
Используя выражение для Й4(то) из "C6.4), получим
C7.31)
Как было показано в п.4§ 31,производная обобщенного
интеграла типа Коши удовлетворяет условию Н(\и),вслп это-
му условию удовлетворяет производная от плотности F(x).
Отсюда вытекает, что -з—Q4 принадлежит классу Н. А по-
скольку Qj(t0) — (.) при Im т0 = 0, то отношение Q(to)/(t0—
— ти) также принадлежит классу П. Теперь нетрудно
видеть, что функция
где
удовлетворяет условию 7А.
Итак, мы показали принадлежность классу II произ-
модной от функции Q(t0) при /A(т0), принадлежащей этому
же классу.
4. Пусть теперь F'(x) принадлежит классу //*, имея
в окрестности каждого узла с представление C1.15).
Такое же представление будет иметь и /\т)-
Когда точка т0 не принадлежит окрестности ни одного
из узлов, то результаты предыдущего пункта остаются
справедливыми, и функция Q(t0) будет иметь производную
класса Н.
Особого рассмотрения требует случай, когда т0 нахо-
дится в окрестности какого-либо узла с, Очевидно, что
при этом 1га т0 заведомо отличается от нуля, и можно
будет воспользоваться представлениями C0.38) для

352 ПРИМЕНЕНИЕ ОБОБЩЕННЫХ ФУНКЦИЙ [ГЛ. VII
производных от <о(т0, т). Тогда выражению C7.20) можно
будет придать вид
rfx0 °> J (т_То) (т_То) ^ о/ J (т_То) (т_То)» v }
где Л^т,,, т) и ^а(то» т) принадлежат классу Но, имея
(возможно) скачки на оси симметрии.
Поскольку точки т0 и т0 здесь не могут совпадать, то
к C7.32) можно применить теорию интегралов типа Коши
([&4], § 26). В результате получим, что -г- Qx принадле-
жит классу Н* и может быть представлена в'виде C1.15).
То же самое относится к j-fi2 и -r~ Q3.
Отсюда следует, что функция Q(t0) имеет производную
по т0, принадлежащую классу Н* и имеющую представ-
ление вида C1.15) в окрестности каждого узла с.
5. Пусть правая часть интегрального уравнения
C6.11) имеет вторую производную d2vldx\, которая при-
надлежит классу Н. Покажем, что в этом случае сущест-
d л сГ л
вуют производные -г- F (т) и -г- F (т), принадлежащие тому
же классу.
Возьмем производную типа C1.24) от обеих частей
равенства C6.2), что можно сделать, так как в силу ска-
занного в п. 2 функции F(x), F'(x) и F(x) удовлетворяют
условию Н. Будем иметь
Щх0) - -Q(t0) -9(т0). C7.33)
Функция v(x0) имеет производную класса Н. Действи-
тельно, .
dv(x0)
d^v I (л &Тл\ d I v — v \ v—v d^x$
d f v—'Z \
гДе W 1 —Zr~ ) Удовлетворяет условию Н, поскольку ему
удовлетворяет —2 (см. [94], § 7).

§ 37] ИССЛЕДОВАНИЕ ЯДРА ИНТЕГРАЛЬНОГО УРАВНЕНИЯ 353
d л
Как показано в п. 3, -s—Q (т0) удовлетворяет условию
Н. Дифференцируя C7.33), получим
kSr/^=-^(*o)-W0»^)- C7-34)
Таким образом, -т—F(t0) принадлежит классу Н.
Учитывая, что F(x0) удовлеторяет условию четности,
при помощи выражений C7.18) и C7.28) получим
Im Q(t0) = 0 при Im т0 = 0.
А так как Im v(x0) тоже равна нулю на оси симметрии,
то этим свойством обладает и Im F(x0). Поэтому отноше-
ние [F(x0) — F(xo)]/(t:o — т0) принадлежит классу Н. Сле-
довательно, тому же классу будет принадлежать — F (т0).
6. Рассмотрим случай, когда L не пересекает оси сим-
метрии, распадаясь на два изолированных замкнутых
контура L' и L".
Функции со(?, т) и (т — t)a>G, т)/(т — 7) удовлетворя-
ют условию Н по обеим переменным везде на L'. Инте-
грал в C6.9) является обычным интегралом типа Коши
по разомкнутой дуге ах0 с плотностью, принадлежащей
классу Н.
Отсюда вытекает, что Q(t0, т) как функция от т удов-
летворяет условию Н на любой замкнутой дуге, не со-
держащей точек т0 и я (т0 и я), и имеет логарифмические
особенности при т = т0 и х — а (т = т0, т = я), если
то Ф а, (т0 ф я).
При изменении т0 контуры L' и L" будем считать раз-
резанными соответственно в точках я и я. В этом случае
под я понимается начальная точка получающейся дуги;
конечную точку этой дуги будем обозначать через а'.
При т0 = а будем иметь Q(a, х) = 0; при т0 = а' интег-
рирование в C6.9) производится по замкнутому контуру,
а функция ф(я', т) принадлежит классу Н везде на замк-
нутых контурах L' и L".
*" А. Я. Александров, Ю. И. Соловьев

354 ПРИМЕНЕНИЕ ОБОБЩЕННЫХ ФУНКЦИЙ {ГЛ. Vlt
При т0 Ф т, т, а, гГфункция Q{r0, т) дифференцируема
По переменной т0; в точках т0 — а и т0 = а она имеет
разрыв непрерывности первого рода. В результате вместо
C7.6) будем иметь представление
<37-35»
где т„. = т0, а^ — а при teL' и т* = т0, а% = а при
т е L"; функция q(r0, т) принадлежит классу Н по пе-
ременной т везде на L и классу Но по переменной т0 с
узлами в точках а и а; за Я можно принимать произволь-
ное (даже сколь угодно малое) число в интервале 0 <
^ 1
Особенности функции К(х0, т) определяются особеннос-
тями Q(r0, т), поэтому представление вида C7.35) спра-
ведливо и для К(г0, т).
Результаты, полученные в пп. 2—5, остаются спра-
ведливыми, за исключением того, что функция Q(t0) бу-
дет иметь разрыв непрерывности первого рода, когда
т0 принимает значения а и а.
§ 38. Интегральные уравнения для решения
первой и второй основных задач
в случае тела с полостями
I. Рассмотрим конечное тело вращения, обладающее
внутренними полостями. Пусть ось симметрии пересе-
кает тело. Его меридиональное сечение представляет со-
бой многосвязную плоскую область D. Граница L этой
области состоит из гладких замкнутых контуров, из ко-
торых Lo охватывает все остальные (см. рис. 6.2, а). Пред-
полагаем, что все контуры имеют кривизну,удовлетворяю-
щую условию H([i0).
Начнем с первой основной задачи, предполагая за-
данными внешние силы pz и рг. Как было показано в § 32,
обобщенные аналитические функции имеют представле-
ние C2.22) — C2.22а). Регулярные части этих функций
будим разыскивать в форме обобщенных интегралов

§ 38] УРАВНЕНИЯ ДЛЯ ТЕЛА С ПОЛОСТЯМИ 355
типа Коши
+ Sb,6'(Mj), C8.1)
3=1
/ = 1,2, ...,n). C8.2)
Здесь ?,- — те же фиксированные точки, что и в C2.22);
контур L обходится так, чтобы область D оставалась
слева; выражения C8.1) отличаются от C6.1) лишь сла-
гаемыми bj©'(t, tj), входящими в состав функции W^t).
Устремляя t к контурной точке т0 и подставляя гра-
ничные значения Ф(?о) и У (to) B C3.9), после таких же
преобразований, как в § 36, будем иметь
F (т0) + f F (т) Kh (т0, т) dx + 2 bjB' (т0) tj) - '
i ^=1
A;fe@) 2 ;ftj@) fc@)
j=m-fl
n
= =F i?ft (т0) =F ^-=-o Zh (т0) - 2 ^^w (т0)
(ToeL;; ft = 0,l, ...,n). C8.3)
Ядро А'А(т0, т) определяется формулой C6.12) при
A- = К' = 1 с заменой @(т0, т) функцией Qh(r0, т), кото-
рую получим, принимая в C6.9) за а фиксированную точ-
ку ah контура L'k (см. рис. 7.1, а) и интегрируя по дуге
ahr0, соответствующей обходу контура L'h (или Lk при
к ^ т) против часовой стрелки. Для вычисления Ph(x0)
служат формулы C3.23) при q = к, dq — ah\ функции
^;Дт0) и Zk(x0) определяются формулами C3.8). Путь
интегрирования в C3.23) и C3.8) тот же, что и выше.
Верхний знак в C8.3) принимается, когда к = 0, а ниж-
23»

356 ПРИМЕНЕНИЕ ОБОБЩЕННЫХ ФУНКЦИЙ [ГЛ. VII"'
ний — в остальных случаях. Для определения Shj и Thj
служат равенства
Sh] (to) = в,- + К + *о) в] - хв, - i^=J ah} -
то — То
-2(l-v)J
Т — Т J Т — Т
°й т т
0, = в(то,О), Sy = S(to,o). C8.4)
Коэффициенты afe;- равны я, если 1 -)- ) ^ /с ^ т,
н нулю в остальных случаях.
Функции vh(j0) непрерывны в окрестностях точек ah
и a'h(k<^m), лежащих на оси симметрии (рис. 7.1, а),
причем
*) = - 2
3=1
Z\(t) = Zk (t) т (x + 1) 2 i4, [r Im 0 (*, ^) + ahj]. C8.5)
Введение коэффициентов akj с учетом C3.15) позво-
ляет положить C'h — 0 для всех контуров Z,fe (к <! т),
пересекающих ось симметрии. Одной из постоянных Cft
можно распорядиться по произволу, примем Со — 0.
Остальные постоянные, как и в случае плоской задачи,

§ 381 УРАВНЕНИЯ ДЛЯ ТЕЛА С ПОЛОСТЯМИ 357
свяжем с искомой функцией F(x):
Cft = Re JF(t) as (k^l), Ck — B.e^F(x){x — x)ds
4 4 .
(k^m + i). C8.6)
Коэффициенты Aj могут быть найдены заранее при
помощи C3.10). Коэффициенты В} заранее не известны.
Рассматривая приращения левой и правой частей равен-
ства C8.3) после обхода каждого из контуров Lh (к ^
> m + 1), получим систему алгебраических уравнений
для определения By.
п
? М J — 4я A — V) ^ vh~T к к)-т
t,т)dx (к = т-\-1, ...,«). C8.7)
Здесь 8hi определяются формулой C3.13); Avk и &Pk —
приращения функций vk(x0) и Pk(x0); a'k — конечная точ-
ка контура Lk (напомним, что контур L'k считается раз-
резанным, ak и а^ являются соответственно его началь-
ной и конечной точками).
Как показано в п. 2 § 33, система C8.7) всегда разре-
шима. Очевидно, ее решение можно представить в форме
Sft= \F(x)Mh(r)dx + Nk (ft = m + l,...,»), C8.8)
где iVft — постоянные числа, а Mh(t)- — функции клас-
са Н.
Подставляя C8.6) и C8.8) в C8.3), получим интеграль-
ное уравнение второго рода, имеющее вид
F (t0) + I F (x) K°k (t0, t) dx = - v°k (x)
(t0eIft;b0,l «), C8.9)
где правая часть является непрерывной при кусочно-не-
прерывных нагрузках pza рг и содержит лишь известные

358 ПРИМЕНЕНИЕ ОБОБЩЕННЫХ ФУНКЦИЙ [ГЛ. VII
величины; свойства ядра К%(х0, т) такие же, как Kh(x0, т),
но Кь(т0, т) не имеет разрыва при т0 = ah или т0 = ah.
Полученные выше результаты справедливы и для уп-
ругого пространства с конечными полостями, при этом
достаточно опустить в C8.3) и C8.9) случай к = 0. Пе-
ремещения и напряжения в бесконечно удаленной точке
предполагаются равными нулю.
В том случае, когда ось симметрии не пересекает об-
ласти D (тороидальное тело; рис. 7.1, б), в формулах на-
стоящего пункта следует полагать m = 0, ahj = 0, Со =
= 0. Постоянную С о будем назначать из условия равен-
ства приращений левой и правой частей равенства C8.3)
после обхода контура L'o:
= дк [ Al'° ~ ^ J
dx
C8.10)
Отметим, что, вообще говоря, нет необходимости от-
дельно решать систему C8.7) и находить выражения C8.8).
Определение постоянных Bk можно совместить с решени-
ем уравнения C8.3), рассматривая точки ah (к ^ m + 1)
дважды — до и после обхода контуров Lh (точки ак и
a'h). To же самое относится к определению постоянной
Со, когда ось z не пересекает D. В этом случае дважды рас-
сматривается точка а0.
2. Пусть функции vh(x0) и и'(т0) принадлежат классу
Н. Тогда при помощи рассуждений, приведенных в кон-
це п. 2 § 37, легко убедиться, что если решение интеграль-
ного уравнения C8.3), или, что то же, уравнения C8.9),
существует, то функции F(r) и F{x) принадлежат классу
//. Таким образом, применение аналога формул Сохоц-
кого —Племеля C1.13) при получении интегрального
уравнения яиляется законным.
Докажем разрешимость интегрального уравнения. По-
скольку особенность ядра слабая, то справедлива аль-
тернатива Фредгольма [90, 150], и достаточно показать,
что соответствующее однородное интегральное уравнение
не имеет иных решений, кроме тривиального F(x) = 0.

§ 381 УРАВНЕНИЯ ДЛЯ ТЕЛА С ПОЛОСТЯМИ 359
Положим в C8.9) и°(х0) = 0. Пусть F0(x) — какое-
либо отличное от нуля решение получившегося однород-
ного уравнения. Принимая во внимание последнее из соот-
ношений C6.13), которое будет справедливым и для
А',"(т0, т), получим, что функция F°(t) = F0(x) также яв-
ляется решением уравнений C8.3) и C8.9). Оба решения
линейно-независимы.^ Вводя обозначения
F(x) = F0(x) +F°(i), F*(x) = iF0(x) - iF\x),
получим решения, удовлетворяющие условию четности
C1.2). В дальнейшем будем рассматривать одно из этих
решений, например, F(x). Для F%(x) рассуждения будут
аналогичными.
Пусть Ф „.(*), 4r*(i), bj, Ch, C'h, Bj — величины, за-
висящие от ^(т).в соответствии с формулами C8.1), C8.2),
C8.6), C8.7). Обозначим
@ .@+ S j(,j)
j=m+i
Т@ = ^.@ + х 2 BjS(t,tj). C8.11)
j=m+l
Нетрудно убедиться, что эти функции удовлетворяют
граничному условию
to —
c; = 0 [%Q^L'h. /c = 0,l,...,n), C8.12)
т. е. решают первую основную задачу при нулевых гра-
ничных условиях.
Как показано в п. 5 § 37, функции F(x), F(x), -^ F (х)
принадлежат в нашем случае к классу Н. Отсюда выте-
кает (см. п. 4 § 31) непрерывность вплоть до контура L

360 ПРИМЕНЕНИЕ ОБОБЩЕННЫХ ФУНКЦИЙ [ГЛ. VII
функций Ф*@, Ф*@. Ф1@. ^(О. ^1@» а следовательно,
и компонентов напряжения и перемещения. При этих
условиях справедлива теорема единственности решения,
первой основной задачи теории упругости, откуда будем
иметь (см. п. 3 § 33)
Ф@ = у + y'/(t - О,
70 C8.13)
G> 7*) У' — произвольные вещественные постоянные).
Подставляя C8.13) в C8.12), получим
то~то
Отсюда, принимая во внимание, что С0=0, будем иметь
* = 0. C; = 2Y' D = 0,1, ...,в). C8.14)
Подставим C8.13) в C8.11) и учтем C8.1). Так как ле-
вая часть равенства оказывается однозначной функцией,
то В] = 0 (/ = I» + 1, . . ., п) и
X JF (г, т) с*т + 2 ^6' {t, t}) (t e ?>). C8.15)
Предположим пока, что область D не имеет общих то-
чек с осью симметрии. Введем обозначения
т —т
— т j=1
C8.16)

§ 38] УРАВНЕНИЯ ДЛЯ ТЕЛА С ПОЛОСТЯМИ 361
Учитывая, что, в соответствии с обобщенной формулой
Коши C0.8), будут справедливы равенства
в' ('• **> = ш Iв' (т' *i)w V>т)dx
г.
из C8.15) получим
f Ф* (т) W («, т) йт = 0,
= 0 (t<=D).
Отсюда вытекает (п. 3 § 31), что W*(x) и Ф*(т) являют-
ся граничными значениями исчезающих на бесконечности
обобщенных аналитических функций Ф*(?) и 4r*(f), кото-
рые регулярны в области D*, дополняющей D до полной
плоскости. Если обозначить через Di, D2, . . ., Dn конеч-
ные области, ограниченные соответственно контурами
Lu I<2, . . ., Ln, а через Do — внешность контура Lo, то
/)*=?>„ + ?>! + ... + Dn.
Исключая из C8.16) функцию F(x), получим
Ф*Щ — (т + т) Ф* (т) - V* (т) =
(теLi; *=- 0,1, ...,»). C8.17)
Умножим обе части этого равенства на (т — x)dr и
проинтегрируем по каждому из контуров L'h(k^i).
Рассмотрим вещественную часть получившегося выра-
жения.

362 ПРИМЕНЕНИЕ ОБОБЩЕННЫХ ФУНКЦИЙ [ГЛ. VII'
Используя C1.24), произведем следующие преобра-1
зования: \
( )
= -L J [(ф*_ Ч"»)(т — т) с?т — (Ф* - ?*) (т —т) dx]. ¦
Lh
Поскольку функции Ф*(^) и 4r*(t) регулярны в об-
ластях D'k, a U(t) =V(t) = t — t удовлетворяют системе
уравнений B7.13), то вследствие B7.14) будем иметь
h = Р.
Вычисляя интеграл от правой части равенства C8.17), ,
учтем, что 0'(т, tj) является граничным значением про-
изводной обобщенной аналитической функции и для нее
будет иметь место равенство в'(т, ij) = -^- 6 (т, /^)(см.
п. 4 §31).
Используя C1.24) и интегрируя по частям, будем иметь
/,-= Re Г Г- 2y'+2Sl^ly' - 2^в'(т,^I (т-т) dx =
= -2 Ь,Ъе[(т-
3=1 Lh
так как после обхода контура L'k функция в(т, th) полу-
чает приращение 2я/(т — т), а остальные функции

§ 38) УРАВНЕНИЯ ДЛЯ ТЕЛА С ПОЛОСТЯМИ 863
0 (r,tj) непрерывны на L'k. Отсюда
-2nbh = I2 = 1г = 0. C8.18)
Теперь равенство C8.17) примет вид
ФЩ - (т + т) Ф*' (т) - У* (т) = - 2v - 2A~JV) у'
т — т
(те!!; /с = 0,1, ...,п). C8.19)
Таким образом, обобщенные аналитические функции
решают вторую основную задачу для областей Dh (к =
--0, 1, . . ., п) при значении упругой постоянной х1=1.
Теорема единственности справедлива и в этом случае
(см. конец п. 1 §33). Решение граничной задачи C8.17)
определено с точностью до слагаемых C3.7) и имеет вид
Ф* @ =-х C*-И) + Y*+
t-V
(t eflk;4 = 0, 1, . . ., n), C8.20)
где efe, 7ft, 7й — вещественные постоянные.
Рассмотрим область Do. Учитывая, что функции Ф*A)
и Чг*(г) регулярны в Do и исчезают на бесконечности,
будем иметь
eo = Yo = Yo = O, у = 7' = 0. C8.21)
Тогда из C8.20) и C8.16) вытекает
4 т — т
(TGii; к = 7П.-)-1, ...,«),
/;1(т) = 0 (Tsti). C8.22)
Если ось симметрии пересекает контур Lo, то равенст-
во у' = 0 устанавливается на основании регулярности
функций Ф(?) и W(t) в Z). Все остальные рассуждения

364 ПРИМЕНЕНИЕ ОБОБЩЕННЫХ ФУНКЦИЙ [ГЛ. VII
остаются в силе.Коэффициенты у'ь (к^тп) равны нулю, так
как функции Ф*(?) и W*(t) регулярны в областях Dh.
В дополнение к C8.22) будем иметь
C8.22а)
Когда область D представляет собой бесконечную плос-
кость с отверстиями, то сразу можно положить у = 7* —
=7'=0 вследствие того, что функции ФB) и W(t) регуляр-
ны в окрестности оси симметрии и исчезают на бесконеч-
ности. Остальные рассуждения не изменяются.
Подставим C8.22) — C8.22а) в C8.2) и учтем C8.18).
Тогда
4
^ J (Зт -f т)(т — т)dx -
4 4
= eft j (уЧх — 2ху dy) — — 4eft j j у dx dy = 0
4 j°ft
(r = x + iy). C8.23)
Отсюда
eft = 0 (k = 1, 2, . . ., «), C8.24)
так как у ^ 0, и двойной интеграл в C8.23) заведомо
больше нуля.
И наконец, при помощи формул C8.6) с учетом C8.14)
и равенства 7' = 0 получаем
7Й = 0 D = 1,2,...,»), 7ft¦=¦ 0 (й = m + 1, ...,»).
C8.24а)
В результате будем иметь F(t) = 0 везде на L. Таким
образом, однородное уравнение не имеет решений, отлич-
ных от тривиального. Решение исходного уравнения
C8.9), а следовательно, и C8.3), существует и единственно.
3. В случае второй основной задачи, когда заданы пе-
ремещения wo(x0) и щ(х0) точек граничной поверхности,

38] УРАВНЕНИЯ ДЛЯ ТЕЛА С ПОЛОСТЯМИ 365
регулярные части обобщенных аналитических функций
Ф() и 4r(i) будем искать в форме
W* М = -Ш 1 txF^) + (r + ~x)F(x)]W(t,T) dr.
C8.25)
Граничное условие C3.1) дает
xF (т0) - f F (t0) К (т0, т) dx - 2 Л;-5* (to) -
i, i=i
- 2 tf;r;(T0) = 2GK(T0) + iM0(T0)] (toeL).
C8.26)
Ядро #(т0) т) определяется формулой C6.12) при К =
5* (т0) = - 2х Re в (т0, t,) + (t0 + t0) в'(т0,^),
Г,- (t0) = - 2к Im S (t0, *,) + (т0 + t0) a'(tO)*y).
Постоянные А} ти В} заранее не известны. Мы свяжем
их с искомой функцией F(x) соотношениями
F(t)de (/ = 1,2, ....п),
F(t)(t—т)йя (j = m + l, ...,п). C8.27)
Существование и единственность решения интеграль-
ного уравнения могут быть доказаны тем же методом, что
и в предыдущем случае.'
Пусть F(r) — какое-либо решение интегрального урав-
нения C8.26) при нулевой правой части, удовлетворяющее
условиям четности.
Ч

366 ПРИМЕНЕНИЕ ОБОБЩЕННЫХ ФУНКЦИЙ (ГЛ. VII
Соответствующие обобщенные аналитические функции
Ф(?) и W(t) решают вторую основную задачу при нулевых
перемещениях на контуре.
Как показано в п. 1 § 33, будем иметь
.(t) = xy--??=, C8.28)
t t
@ Т +
t — t
где у и у' — некоторые вещественные постоянные.
Подставим C8.28) в C2.22) — C2.22а) и C8.25). Из
однозначности выражений C8.28) вытекает
А, = 0 (/ = 1, 2, . . ., л),
Bj = 0 (/ = т + 1, . . ., п). C8.29)
Теперь
2т1
(t<=D). C8.30)
Так же, как и в п. 2, вначале рассмотрим случай, когда
область D не имеет общих точек с осью симметрии. Вве-
дем обозначения:
Ф* (т) = F (т) — у ?¦=,
у* (Т) = _ xF (т) _ (т +- т) р (т) - ху + ^-_. C8.31)
т ~~~ т
Учитывая C8.30), получим
(t e D).
Следовательно, Ф*(т) и Т*^) являются граничными
значениями некоторых исчезающих на бесконечности обоб-
щенных аналитических функций Ф*(?) и x?*{t), регуляр-

§ 38] УРАВНЕНИЯ ДЛЯ ТЕЛА С ПОЛОСТЯМИ 367
ных в области D* = Do+ Dx + ... + Dn, дополняющей D
до полной плоскости.
Исключая из равенств C8.31) функцию F(t), будем
иметь
-хФ* (Т) — (т + т) Ф* (т) - W* (т) = 2xv ~ —-
т — т
(tell; к = 0,1, ...,»)• C8-32)
В данном случае Ф*(т) равно граничному значению
Ф*'A). Равенство C8.32) показывает, что функции Ф*(<)
и 4f*(f) решают вторую основную задачу для областей
Dh (к = 0, 1, . . ., п) при хх = —х. Поскольку xt + 1 =
— —2 +4v < 0, то теорема единственности остается спра-
ведливой (см. п. 1 § 33), и тогда
J р{1)=у +
t ~~~ % % *
C8.33)
где yh и 7й — вещественные постоянные.
Учитывая, что Ф*(<)и 4f*(<) исчезают на бесконечности,
будем иметь
Yo = Yo-O, v-Y'-O- C8.34)
Теперь из C8.31) и C8.33) вытекает
F(j) = O (ieii). C8.35)
Если ось симметрии пересекает контур Lo, то равенство
Y' = 0 устанавливается одновременно с C8.29). В до-
полнение к C8.34) — C8.35) будем иметь у'к = 0 (к =
= 1, 2, . . ., т),
Р^) = Чь (теLi; Л = 1,2, ...,т). C8.35а)

368 ПРИМЕНЕНИЕ ОБОБЩЕННЫХ ФУНКЦИЙ [ГЛ. VII
Полученные результаты будут справедливы и в том
случае, когда область D представляет собой бесконечную
плоскость с отверстиями.
Подставим C8.35) и C8.35а) в C8.27) и учтем C8.29).
Тогда
ч ч
Bh = Re j F(%) (т - r)ds = y'k j ds = 0
4 4
Отсюда видно, что yh — 0 и у^ = 0 при любом &, и
F(r) = 0 всюду на L.
Таким образом, однородное уравнение не имеет ре-
шений, отличных от тривиального, и в силу альтернативы
Фредгольма решение исходного интегрального уравнения
C8.26) существует и единственно.
§ 39. Приведение основной смешанной задачи
к сингулярному интегральному уравнению
1. Сохраним обозначения областей и контуров, приня-
тые в §§ 33 и 38. Область D будем предполагать многосвяз-
ной (рис. 6.2, а и 6.3), а кривизну контура L удовлетво-
ряющей условию Н{1).
Регулярные части обобщенных аналитических функ-
ций будем разыскивать в форме C8.25). Постоянные Aj и
Bj определим формулами C8.27), как в случае второй
основной задачи.
При помощи таких же рассуждений, как в §§ 36 и 38
получим следующее интегральное уравнение:
«(Ч) F (т0) + 6-^ J F (т) W (т0, т) dx +
+IiAjSqi(T0)+ 2 BjTqj(x0) =
L J=l j=m+l
¦=-Mto) + C(to) (T,ei;ei'). C9.1)
В том случае, когда точка т0 лежит на дуге l'q,

§ 39] ОСНОВНАЯ СМЕШАННАЯ ЗАДАЧА 369
принадлежащей Лд (см. п. 4 § 33), следует полагать
<Фо) = ^(*-1), Ь(хо)= -~ (х + 1),
vq(x0)=±Rq(x0)±—^Zq(x0),~ C9.2)
То -^^0
где значения функций Pq(x0), Rq(x0), Zq(x0) принимаются
в соответствии с указаниями п. 4 § 33.
Если какой-либо из концов дуги l'q, принадлежащей
Alt лежит на оси z, то соответствующую постоянную С'д
будем принимать равной нулю. Остальные вещественные
постоянные Cq и Сд заранее не известны.
Когда т0 е l'q e Л2, то
а(т0) = -х, Ь(х0) = С(х0) = О,
vq(x0) = ~2G(w0 + iu0). C9.2a)
Ядро Kq(x0, x) определяется равенством C6.12), где
следует положить к = —х, и + К = 2b(x0), Q — Qq.
Функция ^д(т0, т) вычисляется по формуле C6.9) при
а = dq (dq — начальная точка дуги l'q). Функции Sqj
и Tqj имеют выражения
Sqj = 2b (т„) (в, 2-^L.) _ 2х Re 0; + (т0 + т0) в- -
dq
Tq} - 2b (тв) S, - 2х Im S7- + (т0 + To) S) -
е, = е(то,«,), s7- = s (т0, <;). C9.3)
Пусть т0 принадлежит дуге l'q контура Lk, имеющего
общие точки ah и a'k с осью z (рис. 7.1, а). Тогда aqj = л,
2* А. Я. Александров, Ю. И. Соловьев

370 ПРИМЕНЕНИЕ ОБОБЩЕННЫХ ФУНКЦИЙ [ГЛ. VII
если один из концов дуги l'q совпадает с а0, или с a'k при
/ ^ к ^т, или с ak при 1 + / <! к ^ т. Во всех осталь-
ных случаях aqj = 0.
Подставляя в C9.1) выражения C8.27), получим син-
гулярное интегральное уравнение с обобщенным ядром
Коши
W (V r)dr + §F (т) ## (т0, т)йт =
(t,ei), C9.4)
где
4 5 [
4- 5 [ 2 р^ () ^ к) 11
Aтт0>0). C9.5)
При Im т0 < 0 имеют место соотношения
К*Ы, т) = —ЛГ*(т0, т), w(t0)-^ у(т~),
С(т0) = СИ. C9.6)
Величина р;-(т) равна единице при tei; и нулю в осталь-
ных случаях.
Уравнение C9.4) является аналогом соответствующего
сингулярного уравнения плоской задачи (см. [166, 86],
а также [94],ч § ИЗ]).
2. Исследуем характер непрерывности решения ин-
тегрального уравнения C9.4).
Основой для построения ядра К#(т0, т) послужила
функция К(х0, т), определенная формулой C6.12) и ис-
следованная в § 37. Функции, которые дополнительно
вводятся в C9.5), имеют первую производную по т клас-
са Щ1), а по т0 они дифференцируемы любое число раз на
каждом из участков l'q. Следовательно, ядро А^(т0, т)
так же, как и К(т0, т), имеет логарифмические особенности
при т = т0 и т = т0 (см. п. 1 § 37). При т0 = const оно
принадлежит классу Н по переменной т на любой закры-
той дуге, не содержащей т0 и т0. При т = const это ядро

§ 39] ОСНОВНАЯ СМЕШАННАЯ ЗАДАЧА 371
удовлетворяет условию Нпопеременной т0 на любой зак-
рытой дуге l'q или 1д, за исключением окрестностей точек
тит. Таким образом, К%(т0, т) при т Ф т0 ит^т, при-
надлежит классу Н по переменной т и классу Но по пере-
менной т0. Узлами служат точки раздела дуг l'q и Zg^-t и
симметричные им. Отметим, что точки оси симметрии не
относятся к числу узлов, так как там не изменяется тип
граничных условий (если слева от оси z заданы переме-
щения, то они, по симметрии, будут заданы и справа;
то же самое относится к заданию внешних сил). Функция
К*(х0, т) непрерывна при1тт = 0 или Im то= О, если
Преобразуем C9.4) в интегральное уравнение с обык-
новенным ядром Коши
j
L ° L
+ К* (т0, т) dx] = - v (т0) + С (т0), C9.7)
к, (т„ т) _ ig [W, v T)
C9.8)
Рассмотрим интегралы
Я* (т«) = f *" (т) /Г* (т0, т) dx, Q* (т0) = f /" (т) Z* (т0, x)dx.
L L
C9.9)
Пусть F(x) принадлежит классу Я*. С учетом сказан-
ного в п. 2 § 37 можно утверждать, что функция ^„.(То)
принадлежит классу Но (скачки в узлах связаны с разры-
вом непрерывности по т0 ядра К*(х0, х)).
Для точек т0, не лежащих в окрестности оси симметрии,
ядро К*(х0, х) будет иметь представление C0.40), где
/>"*(то> т) принадлежит классу Но, а К можно сделать сколь
угодно малым. Поэтому ([94], § 51) функция Q*(x0) также
будет принадлежать классу Но при Im х9ф 0. Последнее
условие может быть снято, если Q*(t0) рассматривать как
разность обобщенного и обычного интегралов типа Коши
с плотностью, которая в окрестности точек оси симметрии
удовлетворяет условию Н. Поэтому оба интеграла будут
удовлетворять условию Н.
24*

ПРИМЕНЕНИЕ ОБОБЩЕННЫХ ФУНКЦИЙ [ГЛ. VII
Представим C9.7) в виде
)-i7(t0) + C(t0). C9.10)
Будем считать, что v(i0) является функцией класса Но\
тогда /(т0) также будет принадлежать этому классу.
Введем аналитическую функцию
При помощи рассуждений, приведенных в [86] (см.
также [94], § 115), можно убедиться, что граничные зна-
чения этой функции ф+(т) и ф~(т), а следовательно и
F{%) = ф+(т) — ф~(т), удовлетворяют условию Н везде
на L, включая узлы.
Покажем, что функция F(x) дифференцируема. Из
результатов п. 2 § 37 вытекает, что производная от й#(т0)
принадлежит классу Н, когда F(x) принадлежит этому
классу.
Рассмотрим производную от Q*(x0). Когда т0 е А2,
то К* = Q* = 0. Пусть т0 е /^ е Aj. Введем некоторую
фиксированную точку as /J и представим Й*(т0) в виде
Последний интеграл легко вычисляется и равен нулю.
Составим отношение [Q*(t!) — Q*(xo)]/(x1 — т0), по-
ложим a = т0 и устремим xt к т0. В результате будем иметь
T0)]^/r*(T0,T)dT, C9.12)
т-т0 л"J- (d9-13)

§ 39] ОСНОВНАЯ СМЕШАННАЯ ЗАДАЧА 373
Будем пока предполагать, что Im т0 Ф 0. Если
точки т0 и т лежат по одну сторону от оси симметрии,
то, как показано в п. 5 § 30, выражение, заключенное
в квадратные скобки в C9.13), удовлетворяет усло-
вию Н{1 — е) по обеим переменным. Оно обращается в
нуль при т = т0.
Если точки т0 и т расположены по разные стороны от
оси симметрии, то из C0.25) и C0.38) следует, что произ-
ведение (т — х0)-^ К* (х0, х) принадлежит классу ЯA—е).
В результате получим представление
C9.14)
где и(т0, т) принадлежит классу Н, а к может быть сделано
сколь угодно малым. Следовательно, интеграл C9.12)
существует как несобственный, а функция т~^* (т°)
принадлежит классу Но везде на L, кроме окрестностей
точек пересечения с осью z, принадлежащих Лх (т. е. если
там заданы внешние силы).
Обозначим через L% совокупность достаточно малых
дуг, составляющих указанные окрестности. Пусть v'(x0)
является функцией класса Но везде на L. Тогда производ-
ная от /(т0) в C9.10) будет принадлежать этому классу
на L — L^.
В [86] и [94], § 115 показано, что при этих условиях
существуют граничные значения производной от функ-
ции <р(?), принадлежащие классу Н* на L — L%. To же
самое относится к функции F'(x). В окрестности каждого
узла cq имеют место представления
C9.15)
/ /^\ i ^ const
ф @l<
где ^„.(т) принадлежит классу Н.

374 ПРИМЕНЕНИЕ ОБОБЩЕННЫХ ФУНКЦИЙ [ГЛ. VII
Рассмотрим поведение F'(r) на L*. Запишем уравне-
ние C9.4) в форме
«о F К) + ^SF (T) W (T°' T) d% = /о (То) =
L
= К - а (т0)] F (т0) + 6°~j(To) J F (т) W (т0) т) йт -
-Q.(T0)-y(T0) + C(T0), C9.16)
где
Функция /0(т0) удовлетворяет условию Н везде на L,
так как ему удовлетворяет левая часть равенства. Когда
т0 е Ь%, то /о(т0) имеет производную класса Н, так как
?"(то) = const, а множители а0 — я(т0) и 60 — 6(т0) обра-
щаются в нуль.
Введем обобщенную функцию Фх@ равенствами
/< (т) W (t, т) йт при t e L»,
L C9.17)
--^ F(T)H4«,T)dT при (еД*,
где D* — область, дополняющая D до полной плоскости.
Легко видеть, что ФДО непрерывно продолжима на L
как слева, так и справа.
Пользуясь аналогом формул Сохоцкого — Племеля
C1.13), получим
<t>t (т0) = у F (т0) + -L j> (т) W (т0, т) dx,
ФГ(т„) = у F (т0) -?.^F(t)W (т0, т) йт. C9.18)
Теперь равенству C9.16) можно придать вид
Ф|"(т0) —ФГ(т0)-=/0(т0). C9.19)

39] ОСНОВНАЯ СМЕШАННАЯ ЗАДАЧА 375
Из C9.19) и C9.18) следует
toW^.-OdT, C9.20)
= - «о/о К) + Й J /о (Т) И/ (Т°' т) dT ^ - ао/о (to) +
/оЫ^(то^)йт. C9.21)
Продифференцируем левую и правую части равенства
C9.21). Как мы уже показали, производная первого сла-
гаемого правой части принадлежит классу Н. Из резуль-
татов п. 4 § 31 вытекает, что то же самое относится ко вто-
рому слагаемому. Третье слагаемое имеет производную
класса Н, так как точка т0 не принадлежит L — Ь%.
Итак, функция F'(r0) удовлетворяет условию Н везде
на L, включая точки оси симметрии, но исключая узлы,
в окрестности которых она имеет представление C9.15).
3. Интегральное уравнение C9.1) (как и C6.11))
было получено в предположении, что плотность F(x)
интеграла типа К опт и ее производная F(x) удовлетво-
ряют условию Н.
Как установлено в п. 2, производная F'(r), а следова-
тельно, и F(r) принадлежат классу Н*. Требуется убе-
диться, что способ получения уравнения C9.1) остается
корректным и в данном случае. Для этого достаточно
показать, что функция (t -\-l) Ф[ (t) +4^ (t) непрерывно
продолжила на все точки линии L, включая окрестности
узлов.
Пусть cq — один из узлов. Заметим, что
=--(*+ f — с, — с,) Ф; @ + \{cq + сд) О; {t) + Ч'* @],

376 ПРИМЕНЕНИЕ ОБОБЩЕННЫХ ФУНКЦИЙ [ГЛ. VII
C9.22)
Из представлений C9.15) и результатов п. 4 § 31 вы-
текает, что функция Ф* (t) продолжима на все точки ли-
нии L, за исключением узлов; в окрестности каждого из
узлов сч справедливо неравенство
Произведение (t -\-~t — cq — cq) ф', {t) непрерывно про-
должимо на все точки дуги lq, включающей cq, но не со-
держащей других узлов.
Плотность последнего интеграла в C9.22) удовлетво-
ряет условию Я на дуге l*q, поэтому интеграл является
функцией, непрерывно продолжимой на lq. Таким обра-
зом, функция {t + t) Ф\, (t) -f Y* (t) также непрерывно
продолжима на l*q.
Доказательство существования решения интеграль-
ного уравнения C9.1) опирается на теоремы единствен-
ности для задач теории упругости (см. § 33). При этом тре-
буется, чтобы компоненты перемещения и напряжения
были непрерывны вплоть до контура L или, по крайней
мере, не имели иных особенностей, кроме принадлежащих
к интегрируемому типу.
В выражения напряжений C2.15) входят функции
Ф'(г) и (t -j- tJO"(t) + Wit), непрерывность которых сле-
дует показать при условии v(x0) = 0, так как при дока-
зательстве теорем единственности предполагаются рав-
ными нулю внешние силы на Ai и перемещения на Ла.
Обратимся к равенству C9.10). Рассмотрим вторую
производную от /(т0). Функция С"(хй) принадлежит клас-
су Н. В п. 4 § 37 было показано, что производная^— Q* (т0),
а следовательно, и —^Q* (т0) принадлежат классу Я*,
dt0.
имея в окрестности каждого узла с, представления вида

§ 39J ОСНОВНАЯ СМЕШАННАЯ ЗАДАЧА 377
C9.15). Остается рассмотреть Q*(t0). Найдем выражение
для производной типа C1.24) от этой функции
Продифференцируем обе части этого равенства по т0
р1тто=7^ 0, производя те же преобразования, что и при
выводе C9.12). Учитывая C9.14), результат представим
в форме, аналогичной C7.32). Отсюда вытекает, что про-
изводная-r-Q*(t0), а следовательно, и —~ ^* (то) ПРИ"
надлежат классу Н* и имеют представления вида C9.15).
Этими же свойствами будет обладать f"(x0), когда точка т0
не принадлежит дугам, входящим в состав L^.
Теперь можно использовать рассуждения [86] ([94],
§ 115), из которых вытекает, что произведение (т—с9)Х
XF"(x) принадлежит классу Н* на любой из дуг 1\, и име-
ют место представления
(г$* |7^7Р C9'25)
где у имеет то же значение, что и в C9.15), F*(x) e H.
Эти результаты справедливы и для точек, располо-
женных в окрестности оси симметрии. Для доказательст-
ва продифференцируем левую и правую части равенства
C9.16):
= [а„-а (т,)] F (т.) + Ъ^=Ш J F (x0)W{x0, т) dx-п* (т0).
C9.26)
Тогда по аналогии с C9.21) будем иметь
xF (т0) = - Vo (т0) + ^ j /0 (т) W (т0, т) dx. C9,27)

378 ПРИМЕНЕНИЕ ОБОБЩЕННЫХ ФУНКЦИЙ [ГЛ. VII
Функция /0(т0) принадлежит классу //*. На совокуп-
ности дуг L%, которые пересекают ось z и относятся к Ах,
она имеет производную класса Н. Отсюда следует, что
d л
функции — F (т0) и F"(t0) принадлежат классу Н
OTq
в окрестности оси z.
Из полученных результатов вытекает непрерывная
продолжимость функций Ф^ (t), U\(t) и W[ (t) на все точки
линии L, за исключением окрестностей узлов.
Пусть теперь t принадлежит окрестности узла cq.
Тогда для Ф[(?) будет иметь место оценка C9.23^. Рас-
смотрим выражение
= {t+l-cq-7q)(I0 + I,) - /2 - x/3 - /4, C9.28)
19 Cf'(T)dx_ „ i a [Fh(r)dr
1°~2nidzJ r-t "¦(P^;. Ih~2mdz} x-t
L L
(k =1,2),
= 1 f f (x) l±i=l=l \4LihJtzl + ^fll bT.
2л1 J v ' т — t I x — 1 ' dz I
Легко видеть, что производные функции F^x) и F2(x)
принадлежат классу Н* везде на L, имея в окрестности уз-
лов такое же представление, как F'(x). Поэтому для
окрестности узла cq будем иметь |/л|< const-|т — cq\ ~°'ь
(к = 1, 2, 3). Это неравенство вследствие C9.25) спра-
ведливо И. ДЛЯ (t + t — Cq — Cq)/,,.
Принимая во внимание C0.37) и C0.25), получим, что
произведение подынтегрального выражения в /4 на

§ 39] ОСНОВНАЯ СМЕШАННАЯ ЗАДАЧА 379
[т — сA\ °'5| т — 7| 1 (к < 0,5) является ограниченной ин-
тегрируемой функцией на lq. Отсюда вытекает ограничен-
ность /4.
В результате будем иметь
I (* +~t) ф; у)+у; (т) | < |7=^р- C9-29)
Такая же оценка имеет место для компонентов напря-
жения. Компоненты перемещения непрерывно продол-
жимы на все точки контура вследствие непрерывности
Ф*@ и (t + i) Ф» (t) + Y* (?), показанной в начале данно-
го пункта. Таким образом, теоремы единственной™ ре-
шения, использованные в § 33, будут справедливы и в
нашем случае.
4. Покажем, что интегральное уравнение C9.1) при
v(xo) = 0 и v(t0) — С(т0) = 0 не имеет иных решений,
кроме нулевого.
Положим в C9.1) v(r0) = 0. Пусть F(x) — какое-либо
отличное от нуля решение класса h2p получившегося ин-
тегрального уравнения *), где р — общее число узлов на
полуконтуре L'. Это решение будет удовлетворять усло-
вию четности C1.2) вследствие того, что С(т0) удовлетво-
ряет этому условию, а также ввиду тех рассуждений, ко-
торые были сделаны в начале п. 2 § 38.
Пусть Ф(т) и Ч'(т) — обобщенные аналитические функ-
ции, соответствующие F(i). Граничные значения этих
функций вследствие C9.1) удовлетворяют равенству
C3.22) при v(r0) = 0, т. е. решают- основную смешанную
задачу при нулевых перемещениях w0, щ на дугах l'q e Л2
и нулевых внешних силах pz, рг на дугах lq e Лх.
В предыдущем пункте было показано, что теоремы
единственности, а следовательно, и все результаты п. 4
§ 33 пригодны в данном случае. Поэтому
Ф@ = у + y/(t - Т), W(t) = ху — xy/(t - t), C9.30)
где у и у' — произвольные вещественные постоянные.
*) Относительно классов решения сингулярного уравнения
см. [89, 94].

380 ПРИМЕНЕНИЕ ОБОБЩЕННЫХ ФУНКЦИЯ [ГЛ. VII
Рассуждая так же, как в п. 3 § 38, получим F(x) — 0
везде на L. Из C9.4) видно, что единственным возможным
значением правой части при этом будет С(т0) = 0, т. е.
все Сд и Cq равны нулю.
Рассуждения не изменяются, если в C9.1) с самого
начала полагать у(т0) — С(т0) = 0, т. е. рассматривать
однородное уравнение. Такое уравнение не имеет иных
решений класса Л2Р, кроме F(x) = 0.
Остальные рассуждения настоящего пункта построены
в предположении, что для сингулярного интегрального
уравнения C9.1) с обобщенным ядром Коши сохраняют
силу теоремы Нетера ([94], §§ 53, 102). Отметим, что если
точки оси симметрии не принадлежат участкам границы,
где заданы внешние силы, то справедливость указанного
утверждения очевидна, так как тогда в уравнении C9.4),
эквивалентном C9.1), ядро К* имеет лишь слабую осо-
бенность и к этому уравнению полностью применима тео-
рия сингулярных уравнений с обыкновенным ядром Коши.
Как и в соответствующем случае плоской задачи ([86]
и [94], § ИЗ), индекс класса h2P сингулярного оператора
в C9.1) и C9.4) равен р. Поскольку однородное уравнение
C9.1) не имеет решений класса hiT>, отличных от тривиаль-
ного F(r) = 0 то, как это вытекает из теории сингулярных
интегральных уравнений ([94], § 102), союзное однород-
ное уравнение
«(т0) % (т0) + 1J Ь (т) % (т) W (т, т0) dx +
L
(T)tf*(T,to)dT = O C9.31)
будем иметь р линейно-независимых решений %Дт) (/ =
= 1, 2, . . ., р) союзного класса h0 (т. е. класса Я* с теми же
узлами). В соответствии со сказанным в начале п. 2 § 38,
функции %j(x) можно считать удовлетворяющими усло-
вию четности C1.2).
Уравнение C9.1) будет разрешимо в классе hiP при
выполнении условия
j [С (х) - v (т)] %) (х) dx = 2» Im j [С (т) - v (т)] Х/ (т) dx = 0
L L
(] = 1,2 р). C9.32)

§ 39] ОСНОВНАЯ СМЕШАННАЯ ЗАДАЧА 381
Отсюда получается система р линейных алгебраиче-
ских уравнений для определения постоянных С„ тз. С„ в
C9.2):
Cg + 6jgCg) =^ (/ = 1,2, ...,р), . C9.33)
бгд = Im J X/ (т) dx, 8'iq = Im J Pq (x) x> (t) dx, .
Aj = Im f у (т) %j (x) dx (I'q еЛ,).
Легко убедиться, что общее число постоянных Cq и
С'д равно р, так что система уравнений C9.33) является
полной. Эта система имеет единственное решение. Дейст-
вительно, допустим, что решение не единственно. Тогда
однородная система C9.33) при у(т0) = О (А; = 0) должна
иметь отличные от нуля корни Cq и Cq, а уравнение
C9.1) быть разрешимым при у(т0) = 0, С(т0) Ф 0. Но, как
было показано в начале настоящего пункта, последнее
невозможно, откуда и следует разрешимость системы
C9.33).
5. До сих пор мы предполагали, что ни одна из кривых
Lk не содержится полностью в Л^ Снимем это ограниче-
ние. Пусть, например, контур L'n целиком входит в сос-
тав Ai. Всем выражениям, относящимся к L'n, теперь бу-
дем придавать форму, соответствующую первой основной
задаче (п. 1 § 38), оставляя прочие выражения без изме-
нения.
Во второй из формул C8.25) заменим х через х(т),
полагая х(т) = —1 при те?„и х(т) = х — в остальных
случаях. Кроме того, правую часть этой формулы допол-
ним слагаемым bn&(t, tn) при
-Re J" F(T)(x~x)dx.
Ln

382 ПРИМЕНЕНИЕ ОБОБЩЕННЫХ ФУНКЦИЙ [ГЛ. VII
Из C8.27) следует исключить случай j = п, полагая
взамен в соответствии с C3.10) — C3.11)
, 1
— v)
Постоянные Сп и С'п зададим, как в C8.6):
Сп = Re j F (т) ds, C'n = Re j F(t) (t — t)
(если контур L,j пересекает ось симметрии, то Сп =0).
Мы не будем выписывать интегрального уравнения,
которое получится в результате. Заметим, что его сингу-
лярная часть при т0 е Ln отсутствует. Разрешимость урав-
нения доказывается обычным путем.
Указанный прием может быть распространен и на слу-
чай нескольких контуров L'h^Ai. Если граничные усло-
вия таковы, что на каждом из контуров L'k (к —
= 0, 1, . . ., п) заданы только силы или только перемоще-
ния, то соответствующее интегральное уравнение при-
надлежит типу Фредгольма со слабой особенностью ядра.
§ 40. Осесимметричные задачи
для трансверсально-изотропных тел
1. Основные результаты, полученные в предыдущих
параграфах настоящей главы, могут быть распростра-
нены и на трансверсально-изотропные тела. При этом
потребуется ввести некоторые видоизменения рассмотрен-
ного выше класса обобщенных аналитических функций.
Пусть Uj(z, г) и Vj(z, г) — комплекснозначные
функции, удовлетворяющие системе уравнений
D0.1)

§ 40] ЗАДАЧИ ДЛЯ ТРАНСВЕРСАЛЬНО-ИЗОТРОПНЫХ ТЕЛ 383
где под Yi и Y2 (Yi Ф Уг) понимаются корни характери-
стического уравнения B0.5). Функции ?/,-, Fy, очевидно*
удовлетворяют дифференциальным уравнениям
_ D0.2)
Введем функции
Ф, (*,-) = С/у (z, г) + iVj (z,r), Ф* (*,) = С/; (z, г) - IV, (z, г),
О = Z/Y/ + ir, t* = z/y; — ir. D0.3)
Тогда систему D0.1) можно переписать в виде
= ^-37+^]. D0.4)
На введенные функцпп будем налагать условия
четности
Uj (z, г) = С/; (z, - г), Fj (z, r)=-V, B, - г),
Ф^.) = ФЖ*)- D0.5)
Как отмечалось в § 20, требуют рассмотрения два
случая корней характеристического уравнения. В первом
случае Im y} = 0, и
Uj=U}, Vf = Vj, Ф;(^) = Ф;(^). D0.6)
Во втором случае Im у} =? 0, 7i = ?г- Тогда
и,= иа-}, Vj = V3-}4 Oj(tj) = OS-}(ta-}). D0.7)
В первом случае Ф/fy) являются обобщенными ана-
литическими функциями того же класса, что и ранее, но
в аффинно-преобразованных областях D; (п. 1 § 20)-
Во втором случае эти функции принадлежат к несколько
иному классу, однако основные свойства обобщенных

384 ПРИМЕНЕНИЕ ОБОБЩЕННЫХ ФУНКЦИЙ [ГЛ. VII
аналитических функций, описанные в гл. VI, сохраняют-
ся и для них.
Когда область D односвязна и пересекает ось z, имеют
место представления, аналогичные B8.1) — B8.5):
у и г,
D0.8)
где под q^(?j) понимаются функции, голоморфные в Dj
и удовлетворяющие условиям B0.18) при п = 0, / = 1, 2.
Для функций Ф/?,-) прн тех же предположениях, что
и и § 30, справедлива обобщенная формула Коши
7 я/2
Г
J
D0.10)
— контур области Z)j, т^ — аффикс контурной точки.

S 40] ЗАДАЧИ ДЛЯ ТРАНСВЕРСАЛЬНО-ИЗОТРОПНЫХ ТЕЛ 385
2. Дифференциальные уравнения равновесия осесим-
метричной задачи теории упругости для трансверсально-
цзотропыого тела при отсутствии объемных сил и темпе-
ратур можно записать в форме
D0.11)
Здесь w и и—упругие перемещения, Аи, А\з, А$ъ,
А44 — модули упругости (см. B3.19)).
По аналогии с B3.24) положим
А-г—\-D\-z— \и = F, В,- D^r-=f, D0.12)
1 Oi ' \дг ' г j 1 dz дг ' ' ч '
Oi ' \дг j
где А], В}, D определяются формулами B3.21) при р = 0.
Заметим, что величины ух и у2 удовлетворяют соот-
ношениям, вытекающим из B3.22):
D*yl = AjBj (/=1,2), уЬ1 = Л33/Аи, Вф^В\
D0.13)
Используя первое из этих соотношений, представим
уравнения D0.11) в следующем виде:
A33D Tz = А,АМ [— + Tj U AuBt ^ = - AtiD ?
D0.14)
Положим
где р2 — пока произвольный числовой множитель.
Подставим D0.15) в D0.14) и сравним с D0.1). Учиты-
вая второе из соотношений D0.13), получим, что система
D0.1) удовлетворяется при j = 2.
25 А. Я. Александров, Ю. И. Соловьев

386 ПРИМЕНЕНИЕ ОБОБЩЕННЫХ ФУНКЦИЙ [ГЛ. VII
Принимая во внимание последнее из равенств D0.13),
легко убедиться, что функции w — p2Uz и и = —q%V^
при q2 = pzyzD/B2 являются одним из решений системы
D0.12) с правой частью. Общим решением этой системы
без правой части будут функции w = p1U1 и и = — q^V-i,
где Qi = PiyiD/Bi, а U1 и V1 удовлетворяют уравнениям
D0.1) при / = 1. В итоге будем иметь представление
v> = PiUt + P2U2, и = -qiVx - q,V2. D0.16)
Припишем величинам pt и pt те же значения, что и
в B0.6), тогда д1 и q% будут равны соответствующим вы-
ражениям из B0.6), а формулы D0.16) примут вид
w - Re (р^ + р2Ф2), и = Re (iq1O1 + *д2Ф2), D0.17)
где функции Oj(tj) (j = 1, 2) связаны с Uj и F? соотно-
шениями D0.3).
Выражения для напряжений получим при помощи
соотношений, аналогичных B3.27). После выкладок бу-
дем иметь
az = - Re (yi<D'i + у\Ф'г), rzr = - Re (iy^l + iytO'2)t
o,|= Re (Ф; + Фа) - 2Gr A ae = vrar + v^-oz + Er-y
-ffat (r = 0).
D0.18)
Интегральные усилия F.23) связаны с Ф[ и Ф; ра-
венствами
2"^
j I Re 2 ? BGr?/ + у)) Ф} (t]) + ¦?-1 ^ + C, D0.1
^ .19)
где С ж С — вещественные постоянные.

§r 40] ЗАДАЧИ ДЛЯ ТРАНСББРСАЛЬНО-ИЗОТРОПНЫХ ТЕЛ 387
Когда для функций Ф;(*?) используются представления
D0.8), то формулы перемещений и напряжений совпадают
с теми, которые вытекают из B0.15) и B0.20) для осе-
симметричного случая.
При заданных напряжениях тела функции Ф;(*/)
определены с точностью до выражения п] + ibjlr —
обобщенной постоянной, причем qtbi + q2b2 = 0. Если
заданы перемещения, то дополнительно следует полагать
Piai + Via% — 0. Для постоянных п] и Ъ] справедливы
те же соотношения, что и для pj, q} в B0.8).
Когда область D односвязна, то функции Ф/B/) яв-
ляются регулярными в соответствующих областях Dj.
В случае тел с полостями при помощи таких же рассуж-
дений, как в п. 3 § 32, получим представление
Фу (*,) = Ф/* (</) + S Ak}6 {tj, thj) + 2 BhJE (t}, thJ),
D0.20)
лри
^ «J, h,) ^jjK+i^ (n'U + K) + -|i (Hh - 1),
D0.21)
Здесь Ф;*— регулярная часть функции Ф;-, th — zh +
+ irh — фиксированные точки внутри полостей, Hh —
кусочно-постоянные функции, такие же как в § 29. Для
коэффициентов Ак} и Bhj имеют место соотношения
д1Ак1 + giAk2 = 0, PlBkl + рА,=0. D0.22)
Эти коэффициенты вещественны, если Imjy/ = 0, и
удовлетворяют условиям Ahl = Акг, Bkl = Bh2, если
Im 7; ф 0.
Отметим, что решение
tfigfyJ^ D0.23)

388 ПРИМЕНЕНИЕ ОБОБЩЕННЫХ ФУНКЦИЙ [ГЛ. VII
соответствует действию сил интенсивности Р, равномерно
распределенных по окружности (z = z0, r = г0) внутри
трансверсалыю-изотропного пространства и направлен-
ных параллельно оси z. Это решение может быть получено
методом, который в дальнейшем (§ 45) будет применен-
для случая изотропной среды.
Если положить 2лг0Р = Рп = const и устремить г0 к •
нулю, то из D0.23) и D0.17) вытекает
2
w = 4- Po 2 NJPJ —¦ и = -~Р0У. N,q, (-^- — 1 L
Эти формулы совпадают с известным решением о дей-'
ствии сосредоточенной силы Ро внутри трансверсально-
изотропного пространства.
3. Если в правой части D0.9) заменить Ф;(т^) — про-^
извольной плотностью, то получится обобщенный ин-
теграл типа Коши, который будет представлять собой
некоторую обобщенную аналитическую'функцию.
Использование обобщенных интегралов типа Коши,
как и в случае изотропной среды, позволяет приводить
граничные задачи теории упругости к интегральным-
уравнениям. Ограничимся рассмотрением второй ос-
новной задачи для односвязных тел без полостей.
Исключая из D0.17) Ф2, придем к равенству
аф, (tt) + ЪФЖ) + Ф2 («2) = A (t) = 4" (q,w - ip2u),
D0.24)

§ 40] ЗАДАЧИ ДЛЯ ТРАНСВЕРСАЛЬНО-ИЗОТРОПНЫХ ТЕЛ 389
Следуя идее Д. И. Шермана [167], функции Oj и Ф2
будем искать б виде обобщенных интегралов типа Коши
L
IF W w <*) ^+
ф? ^ = - ы IF W w <**т*) ^+т l7^ w <*»'т») dx>-
D0.25)
Здесь L — граница области D, занятой телом, т =
— х + iy — аффикс контурной точки, т,- = х/у} + iy,
плотность F(t) вследствие D0.5) должна удовлетворять
УСЛОВИЯМ
F(x) = F{x) [при Im у, = 0,
F(x) + aF(x) — bF(x) = 0 при Im y} ф 0. D0.26)
При помощи тех же рассуждений, что и в § 36, получим
L
^ о1,т,) dx, - W (t02, т2) dxt] = 4 4 (т0)
L
(t0 =. a-0 + ?г/0, roi = жо/7;- + iy0). D0.27)
Это уравнение является аналогом соответствующего
уравнения Д. И. Шермана плоской задачи [167]. Ядро
имеет лишь логарифмические особенности. Разрешимость
уравнения может быть показана методом, аналогичным
использованному в § 38.
Изложенные в настоящем параграфе результаты по-
¦1 учены в работах [142, 144].

Глава VIII
ИСПОЛЬЗОВАНИЕ СВЯЗЕЙ МЕЖДУ АНАЛИТИЧЕСКИМИ
И ОБОБЩЕННЫМИ АНАЛИТИЧЕСКИМИ ФУНКЦИЯМИ.
р-АНАЛИТИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ
В § 28 было отмечено, что в случае односвязных об-
ластей, пересекающих ось симметрии, обобщенные ана-
литические функции имеют интегральное представление,-
B8.2) через аналитические функции. В настоящей главег
зти представления распространяются на многосвязны»
области, как пересекающие, так и не пересекающие ост.
симметрии. При этом оказалось весьма полезным ш>
пользование дифференциальных операторов S и S-1, ко-
торые для прямолинейного контура были известны ранее/
([106, 43] и др.) и обобщены для произвольной гладкой;
кривой в работах {131, 140].
Полученные представления позволяют распростра-7
нить выражения компонентов напряжения и перемещения
через аналитические функции на многосвязные тела вра-
щения и таким путем установить зависимости между
осесимметричными и плоскими задачами также и для
этого класса тел.
В § 44 задачи теории упругости приводятся к гранич-
ным задачам для аналитических функций, причем одна"
из этих функций не входит под знак интеграла, что позво-
ляет при решении осесимметричных задач шире исполь-
зовать возможности, представляемые теорией аналити-
ческих функций. В качестве примера приведено решение*
в рядах для концентрической полой сферы.
В §-45 приведено достаточно компактное решение за*
дач о действии сил, распределенных по плоским и ци
линдрическим поверхностям внутри упругого пространств
ва и полупространства.

§ 41] ОПЕРАТОРЫ S И S "I 391
Последний параграф главы посвящен обзору работ до
применениям к задачам теории упругости специального
класса обобщенных аналитических функций, которые
были введены Г. Н. Положием [102] под названием
^-аналитических функций.
§ 41. Операторы S и «S на кусочно-гладкой" кривой
1. Пусть L — некоторая простая гладкая или ку-
сочно-гладкая кривая, симметричная относительно оси z
и пересекающая эту ось в единственной точке а, которая
не является точкой возврата, ?, a, t, т — аффиксы теку-
щих точек этой кривой, /(о*) и F(t) — заданные на L
функции.
Рассмотрим интегральные операторы
D1.1)
D1.2)
где
Будем считать, что функция /(о*) принадлежит классу Н
на любой гладкой части L, не содержащей узлов (угловых
точек), а вблизи любого узла с удовлетворяет неравенству
|/(а)|< —?—? (с = const > 0, 0<а = const < 1).
I о с\
D1.3)
Относительно .F(t) будем предполагать, что она удов-
летворяет условию Н(ц > 0,5) на любой гладкой части L,
не содержащей узлов, а в окрестности узла с имеет пред-
ставление
/7W=f737
где ^(т) еЯ,(|1> 0,5).

392 ИСПОЛЬЗОВАНИЕ СВЯЗЕЙ МЕЖДУ ФУНКЦИЯМИ [ГЛ. VIII
Точку а будем всегда относить к числу узлов, даже
если она принадлежит гладкой части L,
При этих условиях функция Ф(^) будет непрерывной,
принадлежащей классу Н (ц > 0,5) на любой гладкой
части L, не содержащей узлов, и интегрируемой везде
на L. Для доказательства рассмотрим разность Ф(^) —
— Ф(?), полагая, что точки t и t1= t + At принадлежат
одной и той же гладкой дуге.
Учитывая равенство Sp = р (р = const), предвари-
тельно представим Ф(?) в виде суммы ФG, т) + /(т),
где Ф(?, т) получается из Ф(?) путем замены в подынтег-
ральном выражении D1.1) /(а) через /(а) — /(т), а зна-
чение т пока произвольно. Тогда
|Ф (ti) - Ф (t) |< | Ф (к, т) - Ф (t, т) |T=t<
n\t-t\
В этом неравенстве
= Jl/(«0-/@1 j/bri?*''
дг
i
г _ д. Cf(o)-f(t)V a-h
— и da
Здесь через AZ обозначена совокупность дуг tyt и Wj. Если
\Ы\ достаточно мало, то |я|)| ^ const > 0.
Пусть s(a) — дуговая абсцисса точки а и s(t,) > s(t).
Оценки приведенных интегралов нетрудно получить, пере-
ходя к интегрированию по ds и учитывая, что по свойствам

§ il| ОПЕРАТОРЫ S II S-l 393
гладких дуг
K\s(o) - s(t)\ < |ff - t\ <"k(ff) - s(t)\, \da\ < К ds,
где К — некоторая постоянная ([94], § 2).
Опуская выкладки, приведем результаты: -
(С,„ (т — 1, 2, 3, 4) — некоторые постоянные, v > 0 —
показатель Гёльдера функции /(а) на гладкой части L).
Отсюда следует, что ФB) удовлетворяет условию Н (ц =
= 0,5 + v > 0).
Когда t принадлежит окрестности какого-либо из
узлов, аналогичным путем из D1.1) и D1.3) получим
где под с понимается любой из узлов. Таким образом, функ-
ция Ф(?) будет интегрируемой везде на L.
Перейдем к оператору D1.2). Обозначим интеграл
в D1.2) через и(?). Пусть u(?, t) — функция, которая
получается из u(t,) при замене в D1.2) F(t) через F(t) —
— F(t), где t произвольно. Легко видеть, что и(?) =
= и(Е, /) + 2F{t)(t, - а), так как
}.
М (S, т) h (т, I) dx = J [М (?, т) йт + Д/ (S, т) Л] =
-т)(?-т)-2(?-а). D1.5)
Пусть точки t,x и ? принадлежат одной гладкой дуге.
Составим отношение
" (Ь) - и @ = *(&.«)-"(?,«) ] 2F (t).
Положим t = ? и устремим ?г к Z,. В результате будем

394 ИСПОЛЬЗОВАНИЕ СВЯЗЕЙ МЕЖДУ ФУНКЦИЯМИ [ГЛ. VHI
иметь
1 D1.6)
Поскольку F(x)eH(\k > 0,5), то функция и2(?, т) =
= [F (т) — F (?)]/К? — Tj удовлетворяет условию
Н (jx — 0,5 > 0) по обеим переменным на любой гладкой
части L. По теории интегралов типа Коши ([94], § 18)
отсюда следует принадлежность ф(?) классу Н на рас-
сматриваемой части L.
Если точка ? находится вблизи узла с, то, учитывая
D1.4), будем иметь
FM F(t) _*¦«(*)-*¦«(С) , F (тх1С-«1а-)т-С|а
Если с не является точкой возврата, то оценку интег-
рала в D1.6) легко получить из элементарных соображе-
ний, переходя к интегрированию по дуге. В результате
получим
В случае точки возврата (не лежащей на оси сим-
метрии) рассуждения несколько усложняются, но оценка
остается прежней. Таким образом, функция <р(?) является
интегрируемой в окрестности узлов. Функция и(?) диф-
ференцируема на любой гладкой части L, отличной от
узлов, и непрерывна везде на L.
2. Рассмотрим повторные интегралы
1 \и/ ™*^ """ ' 1 " ¦"¦ 1 _ ,' '" С* I
С \
t a
I2(t) = — — \M(e,t)do\F (т) М {a, x)h{r, a) dr. D1.7)

I *i] ОПЕРАТОРЫ S И S-l 395
Легко видеть, что
Ix =-*.J ф(т)М(?,т) h (С,т) йт, /2 = —1- j w(a)M(a, i)da,
где Ф(т) и u(cr) обладают свойствами, установленными
в предыдущем пункте. Отсюда вытекает дифференциру-
емость 1Х и /2 на гладких участках L, не содержащих
узлов.
Вычисляя производные, получим
D1.8)
^\t-l\SS^F. D1.9)
Изменим в D1.7) порядок интегрирования:
/8 = - -I- j F (т) П М (а, т) М (a, t) h (т, a) da dx. D1.10)
Здесь под I — l(a, t,) понимается совокупность дуг в+?,
и o^t,, где о^ = а, если точки а и ? лежат по одну сторону
от оси симметрии, и о"* = а в противном случае; через 10
обозначено l(x, t). На рис. 8.1,а и б дуги I ж 10 выделены
жирным; двойной линией показаны линии разветвления
радикалов.
Найдем внутренний интеграл в первом из равенств
D1.10), что легко сделать, перейдя к интегрированию по
дуге оД:
= - ,^5f| A In ((а~Д(С-~т) Ш (С, т) + М (a, t)
= -^-[1 + Л(а,т)], D1.11)

396 ИСПОЛЬЗОВАНИЕ СВЯЗЕЙ МЕЖДУ ФУНКЦИЯМИ [ГЛ. VIII
где Аф(т) = ф(?) — ф(о"^.). Тогда
{a) da. D1.12)
Внутренний интеграл во втором из равенств D1.10)
легко вычислить, если учесть, что произведение ради-
калов М(а, %)М(о, t) явля-
ется функцией переменной
с, голоморфной в плоско-
сти с двумя разрезами tx%
и x^t (рис. 8.1,6; разрез на
участке т^т^. отсутствует, так
как там радикалы меняют
а; г\ знак одновременно). Эти раз-
резы могут быть совмещены
с 10. Тогда рассматриваемый
интеграл будет равен
/Т~-| J м (°Sт) М (a, t) da,
D1.13)
где Г — произвольный зам-
кнутый контур, который ох-
Рис. 8.1. ватывает 10 (см. рис. 8.1,6)
и обходится против часовой
стрелки. Действительно, контур Г непрерывной дефор-
мацией можно стянуть к дугам Zo, проходимым сначала
по одному, а потом по другому берегам. Значения ради-
калов на разных берегах отличаются лишь знаком. Поэто-
му интеграл по Г равен удвоенному интегралу по ниж-
нему берегу /0.
Интеграл в D1.13) вычисляется при помощи теоремы
о вычетах. В результате будем иметь
/2 (t) = -А- Г F (т) (т — т + t —7) ilnl! dr. D1.14)
Подставляя D1.12) и D1.14) в D1.8) — D1.9), получим
= f, SS^F = F. D1.15)

§ 41] ОПЕРАТОРЫ S И S-l 397
Таким образом, операторы S и S-1 взаимно обратны.
3. Пусть теперь L — прямая, перпендикулярная оси
симметрии. Если интегрирование производится по ко-
нечному пути через точку а = z0, то
+У
-|- -?- Г F (т) ~j== sign r dr D1.16)
—г/
(t — х = z -\- ir, t, = о = х + iy, x = z = 20).
В этом случае Re F будет зависеть только от Re /, a Im F —
только от Im /.
Когда /(?) и F(t) удовлетворяют условиям четности
F.5), то D1.16) можно представить в следующем виде:
Sf = SnB.ef+ iS1lmf =
, D1.17)
= S71 Re F + iSY1 Im F =
v
= sign у -^ j [r Re F (т) + ^ lmF(x)}-^~=, D1.18)
о
причем
= i|) (А = 0,1). D1.19)
Отметил!, что операторы ^о и <?i, а также обратные
им операторы ^о" и S~ совпадают с правыми частями
соответствующих равенств из B.14) и B.23), которые
устанавливают взаимно однозначное соответствие между
осесимметричными и плоскими состояниями. Операторы
б'о и STi отличаются от одноименных обратных операто-
ров E.6) и E.7), которые использовались М. Я. Белень-
ким, лишь постоянными множителями.

398 ИСПОЛЬЗОВАНИЕ СВЯЗЙЙ МЕЖДУ ФУНКЦИЯМИ [ГЛ. VIII
Если интегрировать через бесконечно удаленную точ-
ку, то при г >> 0 будем иметь
(о - t) (a -7) =iVy2- r2 sign у,
Sf = Si* Im / + iS0* Re / =
^, D1.20)
~lF == 5Г»1 Im /" + i^i;1 Re F =
^L. D1.21)
Операторы Skf и 5j^! (A; = 0, 1) также взаимно об-
ратны.
§ 42. Соответствие между аналитическими
и обобщенными аналитическими функциями
1. В § 28 было установлено взаимно однозначное соот-
ветствие между аналитическими и обобщенными анали-
тическими функциями в случае конечной односвязной
области определения D, очевидно, включающей участок
оси симметрии z.
Обобщенные аналитические функции выражаются че-
рез аналитические формулой B8.2). Используя резуль-
таты § 41, легко получить ее обращение.
Пусть точки t vi t принадлежат некоторой симметрич-
ной гладкой дуге L, пересекающей ось z в единственной
точке а. Тогда равенство B8.2) можно записать в форме
Ф = S^q), откуда ф = ^^Ф, или

§ 42] СООТВЕТСТВИЕ МЕЖДУ ФУНКЦИЯМИ 399
Рассмотрим функцию
{^t)h(t,i)dt. D2.2)
|Перейдем к интегрированию по полудуге а?, полагая
для определенности Im ? > 0. Тогда
Ф*
= -i" j (Of/ Л — OF d7), U = M(t,t),
a
D2.3)
Функции U ш V удовлетворяют системе уравнений
B7.13). Поэтому интеграл в D2.3) не зависит от пути
интегрирования, а в D2.2) интегрировать можно по про-
извольной дуге, пересекающей ось z в фиксированной
точке а. Таким образом, равенство D2.2) однозначно
определяет ф*(?) везде в D' независимо от выбора дуги L.
Нетрудно убедиться, что функция ц>*@ непрерывна
и дифференцируема по Re ? и Im ?, причем
4ф»(С) 4
т. е. ср*(?) является аналитической функцией от ?, голо-
морфной в D'. Поскольку ф*(?) удовлетворяет условию
четности F.5) и непрерывно продолжима на ось z, то она
будет голоморфной везде в D.
Из сопоставления D2.1) и D2.2) усматривается, что
ф(?) = ф»@- Следовательно, функция ф(?), определяемая
формулой D2.1) при фиксированной точке а пересечения
линии интегрирования с осью z, является голоморф-
ной в D.
Преобразования B8.2) и D2.1) устанавливают взаимно
однозначное соответствие между аналитическими и обоб-
щенными аналитическими функциями, регулярными в
одной и той же односвязной области, содержащей точки
оси симметрии. Взаимное расположение линии интегри-
рования и линии разветвления радикала в D2.1) должно
быть упорядоченным. Обычно мы их будем проводить

400
ИСПОЛЬЗОВАНИЕ СВЯЗЕЙ МЕЖДУ ФУНКЦИЯМИ [ГЛ. VIII
так, чтобы замкнутый контур, образованный этими ли-
ниями, не содержал внутри себя точек ? и ? (рис. 8.2).
2. Пусть теперь D[— бесконечная область, представ-
ляющая собой плоскость с отверстием, симметричным
относительно оси z, L — контур этого отверстия, Ф(?) —
обобщенная аналитическая функ-
ция, регулярная в D и исчезаю-
щая на бесконечности.
Для любой конечной одно-
связной части области D, сим-
метричной относительно оси z, бу-
дут справедливы рассуждения п. 1,
н функцию Ф(/) в этой части D
можно выразить через соответ-
ствующую аналитическую функ-
цию ф(?) равенством B8.2).
Проведем круг достаточно боль-
шого радиуса р0, чтобы отверстие
находилось целиком внутри кру-
га. Как показано в конце п. 2
§ 28, представление B8.2) пригодно для внешности ука-
занного круга, причем
lim?cp(?) = 0. D2.4)
X — SO
Пользуясь принципом аналитического продолжения
(см. п. 3 § 27), нетрудно убедиться, что это представление
справедливо везде в рассматриваемой области D.
Если условие D2.4) выполнено, то величина интегра-
ла в B8.2) не зависит от того, как проходит линия ин-
тегрирования: ниже отверстия и ниже линии разветвления
радикала или выше их обоих, так как интеграл
х z
Рис. 8.2.
fcp (
Л/
где Г — замкнутый контур, .охватывающий отверстие
и разрез U равен нулю вследствие D2.4). В этом случае
интегрировать можно и через ^бесконечно удаленную
точку.
При интегрировании по линии, пересекающей ось z
между линией разветвления и отверстием (пунктирная

421
СООТВЕТСТВИЕ МЕЖДУ ФУНКЦИЯМИ
401
линия на рис. 2.5), знак интеграла п B8.2) следует изме-
нить па противоположный из-за изменения знака ради-
кала. С учетом этих рассуждений и равенств B8.3) для
точек оси симметрии будем иметь
Ф(з) = ±Ф), D2.5)
где верхний знак относится к точкам, лежащим ниже
отверстия, а нижний знак —
к точкам выше отверстия
(см. также аналогичные рас-
суждения в п. 3 § 7).
Рассмотрим бесконечную
область D, имеющую два
отверстия U и L", которые
расположены симметрично от-
носительно оси z (рис. 8.3).
Проведя купюру (разрез) адад,
соединяющую отверстия, при-
ведем данный случай к пре-
дыдущему. Поэтому функция
ср(?) голоморфна в разрезанной
области, а на бесконечности
удовлетворяет условию D2.4).
Остается рассмотреть условия,
вытекающие из непрерывности функции Ф(/) при пе-
ресечении линии аоао.
Когда точка t принадлежит нижнему берегу купюры
аоад, то, проводя линию интегрирования в B8.2) также по
нижнему берегу купюры (рис. 8.3, а), будем иметь
t
где значком (—) помечены значения функций на нижнем
берегу.
Переведем t на верхний берег купюры, огибая контур
L' против часовой стрелки (точка t при этом обходит
контур L" по часовой стрелке). Перейдем в B8.2) к ин-
тегрированию по пути, проходящему выше купюры и
выше линии разветвления радикала. Совмещая линию
26 а. Я. Александров, Ю. И. Соловьев

402 ИСПОЛЬЗОВАНИЕ СВЯЗЕЙ МЕЖДУ ФУНКЦИЯМИ [ГЛ. VIII
интегрирования с верхним берегом купюры (рис. 8.3, б),
получим
t
Ф+ (t) = р^ f ф+ (С) М + (С, *) dg.
t
Легко впдеть, что Л/+(?, /) = —Л/~(?, *). Тогда
Следовательно, равенство Ф+(?) = Ф~(*) имеет место
лишь при условии
<р+а) == -ф-(й. D2.6)
Таким образом, в заданной области D будет голо-
морфна функция ^(Q = ф(С) i?(S, fi), где Д(?, ^) =
= ]/(^—^i)(S — *i)» a tx—какая-либо фиксированная
внутри L' точка, причем линия разветвления радикала
совмещена с купюрой.
Итак, в случае бесконечной области D с двумя сим-
метричными отверстиями для обобщенной аналитической
функции остается справедливым представление B8.2),
если аналитическая функция ф(?) имеет вид
Ф(С) = Ф1(С)[Л(С, к)]~\ D2.7)
гДе 4>i(?,) голоморфна в D и исчезает на бесконечности.
Интересно сравнить D2.7) с выражением B8.22), кото-
рое получено для случая тороидальной полости в уп-
ругом теле (*! = ic).
3. В общем случае связной области D (рис. 6.2, а) вос-
пользуемся обобщенной формулой Коши C0.8) и пред-
ставим Ф(?) в форме
ф о = ш Iф (т)w ^

§ 42] СООТВЕТСТВИЕ МЕЖДУ ФУНКЦИЯМИ 403
Каждая из функций Ф/2) представляется обобщен-
ным интегралом типа Коши. Функция Ф0(г) регулярна
везде внутри внешнего контура Lo, следовательно, может
быть представлена в форме B8.2), где <р(?) голоморфна
везде внутри Lo. Каждая из функций 0>j(t) при / ^ 1 ре-
гулярна везде вне соответствующего внутреннего контура
L] = L) + Lj и исчезает на бесконечности. Она может
быть выражена формулой B8.2), где <р(?) имеет представ-
ление D2.7).
В результате получим, что в рассматриваемом случае
для обобщенной аналитической функции Ф(г), регуляр-
ной в D, также будет справедливо представление B8.2),
если аналитическая функция имеет структуру
ф (С) = Фо (Б) + 2 Фу (Б) [R (Б, tj)]-*. D2.8)
Здесь функция <ро(?) голоморфна везде внутри внешнего
контура LQ, а каждая из функций cp;(Q (/' ^ 1) голоморф-
на везде вне соответствующего внутреннего контура
Lj = Lj + Lj и исчезает на бесконечности.
Если контуры Lj и Lj не имеют общих точек с осью z
(/ ^s т + 1), то точки tj расположены внутри контуров
L'j\ если же контур 1^ пересекает ось симметрии (/ <! т),
то — внутри Lj. В этом последнем случае их можно поме-
щать на оси симметрии, тогда tj — tj, y(Z, — tj)(t, — tj)=
= t, — tj. Будем принимать, что линии разветвления ра-
дикалов в D2.8) проводятся так же, как линии разветвле-
ния функций в(*, tj), B(t, tj) в C2.22) - C2.22а)
(см. рис. 7.1). Линию интегрирования U будем совмещать
с правым берегом линии разветвления радикала в B8.2)
и проводить ее так, чтобы она пересекала ось симметрии
ниже L1 — нижнего из контуров, пересекающих ось z
и ниже точки Q.
Если изменить положение линии интегрирования сов-
местно с линией разветвления радикала в B8.2), проводя
их между контурами Lft_ x и Lk B^.к^.т) так, чтобы
линия интегрирования по-прежнему проходила по пра-
вому берегу линии разветвления, то, учитывая сказанное
26«

404 ИСПОЛЬЗОВАНИЕ СВЯЗЕЙ МЕЖДУ ФУНКЦИЯМИ [ГЛ. VIII
в п. 2, функцию ф(?) в B8.2) следует заменить на
Ф* @ = ФоЮ + 2 ФЖ) R (С, h) sign(/ - Л + 4") D2.9)
(см. также п. 4 § 7).
Для точек оси симметрии легко получить
Ф (z) = ф0 (z) + S q>, (z) | z - t, |-i. D2.10)
j=i
Представление производной обобщенной аналитиче-
ской функции B8.5) пригодно и в рассматриваемом слу-
чае многосвязной области.
Если область D бесконечна и представляет собой
плоскость с отверстиями, то поведение функции Ф(?) на
бесконечности зависит от фо(С)- Если, например, Ф(?) -> 0
при ?—>-оо, то фо(?) = 0, если же Ф(?) имеет конечный
предел а0, то фо(?о) = а0-
4. Пусть теперь область D несвязная и состоит из
двух односвязных областей D' и D", расположенных по
разные стороны оси z.
Рассмотрим возможность представления обобщенной
аналитической функции Ф(?) в форме B8.2), где анали-
тическую функцию ф(?) по-прежнему будем считать оп-
ределенной в той же области D = D' + D" и удовлет-
воряющей условиям четности F.5). Путь интегрирования
в B8.2) теперь не может быть непрерывным, так как
ф(?) вне D не определена.
Зафиксируем внутри областей D' и D" произвольные
симметричные точки t0 — z0 -f- ir0 и t0 = z0 — ir0
(рис. 8.4). Рассмотрим функцию
Я 1-1
.
D2.11)

42]
СООТВЕТСТВИЕ МЕЖДУ ФУНКЦИЯМИ
405
где t — текущая точка области!)'. Линию tt разветвления
радикала будем проводить через точки t0 и tg. Путь ин-
тегрирования состоит из двух дуг tt0 и tot, которые при-
надлежат правому берегу линии разветвления при движе-
нии от t к t.
Рис 8.4.
Используя условие четности, в D2.11) перейдем к ин-
тегрированию по дуге tot:
D2.12)
Разделяя вещественную и мнимую части, будем иметь
H-^ f
)
f
4. D2.13)
i)
Пусть функция ф(^) голоморфна в любой односвязной
части области Z)', которая не содержит точки t0. Функция

406
ИСПОЛЬЗОВАНИЕ СВЯЗЕЙ МЕЖДУ ФУНКЦИЯМИ [ГЛ. VIII
) будет при этом непрерывной и дифференцируемой
в той же части D'. Непосредственной подстановкой можно
убедиться, что ФA) удовлетворяет уравнению B7.8). Следо-
вательно, выражения D2.11) — D2.13) определяют не-
которую обобщенную анали-
тическую функцию, регуляр-
ную в односвязной части обла-
сти/)', не содержащей t0.
Проведем горизонтальный
разрез отточки t0 по направле-
нию к оси z до границы об-
ласти D', совмещая с ним со-
Рис. 8.5. ответствующий участок линии
разветвления радикала.
Положим для простоты, что интегрирование в D2.12)
производится по прямой линии. Тогда в соответствии с
формулой F.9) будем иметь (рис. 2.1 и 8.5)
_ Когда точка t принадлежит верхнему берегу разреза
t0, U, то
t = z0 + ir, ?,=~zu + iy, a = 0, со, = —-, co2 = -i,
Когда t принадлежит нижнему берегу разреза, то
= 2л, (Oi^ — ^-л, соа = -|-, i?(?, t) =
Для выполнения условия Ф+(?) = Ф~(<) требуется,
чтобы ф+@ = — ф~(?)| т. е. функция O(t) будет регуляр-

§ 42] СООТВЕТСТВИЕ МЕЖДУ ФУНКЦИЯМИ 40?
ной в D' (а следовательно, ивД"), если ф(?) имеет пред-
ставление
о)!-1, D2.14)
где Фо@ — голоморфная в D аналитическая функция,
а линии разветвления радикалов в D2.14) и D2.11)—
D2.13) совпадают на участке t0, t0.
Значения ФB) в точке t0 получим из D2.12) путем пре-
дельного перехода
ФЦ0) = 2-Ш. D2.15)
Для точек t, принадлежащих области D", представле-
ния D2.11)—D2.13) также будут пригодны, но t0 должна
принадлежать D".
Отметим, что t0 в D2.11)—D2.13) можно совместить с
контурной точкой а0, лежащей на границе области D'.
Тогда функция ср(?) будет голоморфной везде в D, и пред-
ставления D2.14) не обязательны. Однако в этом случае
придется наложить определенные ограничения на поведе-
ние ф(?) в окрестности точки а0, чтобы обеспечить сущест-
вование интегралов D2.11)—D2.13).
Вопрос о возможности представления в виде интегра-
ла D2.11) всякой обобщенной аналитической функции,
регулярной в D, решается положительно.
Действительно, пусть ФB) — регулярная в D функ-
ция. При помощи равенства
- Щ [ф V /§
(Сей') D2.16)
введем функцию ср(?), которая, очевидно, голоморфна в
области D', разрезанной вдоль линии toto.
Рассматривая значения ф(?) на разных берегах разре-
за, легко убедиться, что они отличаются лишь знаком,
т. е. произведение ф(?)Я(?, t0) представляет собой голо-
морфную функцию.
Равенство D2.16) запишем в форме ф(?) = <?-1Ф(^),
принимая, что линия интегрирования в D1.2) проходит

408 ИСПОЛЬЗОВАНИЕ СВЯЗЕЙ МЕЖДУ ФУНКЦИЯМИ [ГЛ. VIII
через точки 10 и 10 и значения ФA) на дуге loto равны нулю.
Тогда значения ф(?) на дуге toto также будут равны нулю.
При этих же условиях введем функцию Ф*B) = Stp(Q.
Поскольку операторы S и S-1 взаимно обратны, то Фи.(<)=
= Ф@> Равенство Ф(?) = ?ф(?) совпадает с D2.11), отку-
да и вытекает требуемое утверждение.
Отметим, что соответствие между ФA) и ср(?) будет
взаимно однозначным (при конкретном выборе t0).
5. Получим выражение для производной. Интегрируя в
D2.11) по частям и дифференцируя, будем иметь
= -я[Д-| [ф(*.)м(t0,t)-
+ J Ф'(?)^(Е,*К1 D2.17)
) J
J
G,u;u,t)
Эта формула пригодна, когда точка t0 лежит на гра-
нице области D, а ср'(?) при ? = t0 имеет особенность
порядка ниже 0,5, либо когда t0 — внутренняя точка
области и фB0) = 0.
Если фB0) ф 0, то из D2.14) вытекает, что 2фоBо) =
= (^о ~ 7о)Ф(^о) Ф 0, ф(^0) = оо, тогда правая часть
D2.17) теряет смысл, и необходимо преобразовать эту
формулу.
Введем функции ф(?) и фо(?) равенствами
Фо (С) = ф„ E) - ^f° ф„ (*.) + Р^фЖ). ф„ (t0) = о,
'о го 'о 'о
5@-5.E)[Л(С.*.)], 5(*.) = 0 D2.18)
и представим D2.11) в форме
Ф(д,- 2 f $(С)М(С0^- D2.19)
(

42] СООТВЕТСТВИЕ МЕЖДУ ФУНКЦИЯМИ 409
Дифференцируя D2.19) по z, получим
?. D2.20)
где интеграл существует как несобственный.
Для второй производной аналогичным путем можно
получить
Ф"(*) = г^т \ 4>"&)M(t,t)dt. D2.21)
л 11 — 11 _J
Функция ф(?) определяется из соотношений
Ф° (Б) = ? (Б) R (Б. *„) = Фо (Б) - (Z - *о) Фо (Б) № (Б, О1
и имеет вид
Фо (S) = Фо (S) —
- R E, *0) [Re фо (f0) In (VT1^
+ ^;1т^(*.)ЛE,*о)]. D2-22)
6. Представления обобщенных аналитических функций
оказываются наиболее сложными, когда область D, не
пересекающая ось симметрии, имеет отверстия (рис. 6.3).
Пользуясь обобщенной формулой Коши, функцию Ф(?)
регулярную в D, разложим на сумму функций Фф@ и
Фн.н.(г), где Ф*^) регулярна везде внутри замкнутых кон-
туров L'o и L"o и имеет представление D2.11), а Ф##(г)
регулярна везде вне внутренних контуров Li,L2, ...,
Ьп,Ь\,Ь2,---,Ьп и исчезает на бесконечности. Послед-
няя функция имеет представление B8.2), где аналити-
ческая функция имеет вид D2.8) при Фо(?) = 0-
Будем считать линию интегрирования в B8.2) проходя-
щей через точки ?0 и tq и дополним линию интегрирования

410
ИСПОЛЬЗОВАНИЕ СВЯЗЕЙ МЕЖДУ ФУНКЦИЯМИ 1ГЛ. VIII
в D2.11) отрезком t0 ?„,_ вводя множитель gj(t,), который
равен нулю, когда t,^.totQ при / = 0, и равен единице в
остальных случаях. Тогда
.D2.23)
где
Ф (С) = 21 ft E) Ф; (С) [Л (С, *,)]-». D2.24)
Здесь функция <ро(?) голоморфна внутри контуров
L'o и Lo; каждая из функций ф/?) (/ = 1, 2, . . ., п) голо-
морфна вне ^ соответствующего контура L^ = L] + ^j
и исчезает на бесконечности, tj — фиксированные точки
внутри соответствующих контуров L].
гТ
Рис. 8.6.
Линии разветвления всех радикалов в D2.24) будем
проводить через точки 10 и t0 так, чтобы участок t0t0 был
для них общим (рис. 8.6). Линия интегрирования не долж-
на пересекать ни одной из линий разветвления. * 1
Для первой и второй производных остаются пригод-
ными формулы D2.20) и D2.21), где следует положить
3=0
D2.25)

§ 421 СООТВЕТСТВИЕ МЁЙСДУ ФУНКЦИЯМИ 411
Функции фп(?) и ФоШ определяются формулами D2.18)
и D2.22).
Отметим, что представления настоящего пункта можно
распространить и на случай связной области D, если в
D2.24) и D2.25) полагать
goa) = Д(?, to), ?„(?) = "ФоШ = ФоE). D2.26)
7. Иногда может оказаться полезным представить ин-
теграл B8.2) в форме D2.11).
Запишем ФA) в виде суммы функций P(t) и T(t) та-
ких, что
Ф (С) м (?.
D2'27)
Легко удостовериться, что обе эти функции являются
обобщенными аналитическими: P(t) — в силу сказанного
в п. 4, a T(t) — поскольку она равна разности двух обоб-
щенных аналитических функций Ф(?) и P(t).
Легко видеть также, что T{t) регулярна в области D,
кроме линии t^ и оси симметрии. Следовательно, в любой
односвязной части D, не содержащей точек указанных
линий, ее можно представить в форме D2.11), т. е.
где функция ф*(?) определяется равенством D2.16) при
Ф = T{t).
Подставляя выражение для T{t) таз D2.27) в D2.16)
и изменяя порядок интегрирования, после преобразова-
ний получим
^ D2-28>

412 ИСПОЛЬЗОВАНИЕ СВЯЗЕЙ МЕЖДУ ФУНКЦИЯМИ [ГЛ. V111
В результате получим следующее представление для
обобщенной аналитической функции Ф(?):
*)^' D2-29)
где Ф*() Ф() ф()
Приведенное здесь преобразование применимо для
любого рассмотренного выше типа области D, когда
I 0
Im t0 =f= 0.
§ 43. Представление осесимметричных перемещений
через аналитические функции
в случае многосвязных тел
1. В общем случае многосвязного тела вращения обоб-
щенные аналитические функции Ф(?) и 4я(?) имеют структу-
ру C2.22)—C2.22а). Их регулярные составляющие Ф*(?)
и W%(t) могут быть представлены в виде интеграла B8.2),
где аналитическая функция определена равенствод!
D2.24). Аналогичный вид имеют представления B9.1)
аналогов комплексного логарифма в и S. Все эти пред-
ставления можно объединить в одно выражение. В резуль-
тате будем иметь
t
t
<43-"
где в соответствии с D2.24) положено
Ф (Б) = § Ь E) fc E) 1Д E. Ы)-1- D3.2)

§ 43] ПРЕДСТАВЛЕНИЕ ОСЕСИММЕТРИЧНЫХ ПЕРЕМЕЩЕНИЙ 413
Здесь tj (/ = 0, 1, . . ., п) — фиксированные точки,
расположенные внутри контуров Lj согласно указаниям
§§ 32 и 42. Функции фо(?) и 1|эо(?) голоморфны внутри ко-
нечной части плоскости, ограниченной контуром Lo =
= L'o + Lo; каждая из функций ср^(?) и г|>_,-(?) (]' ф 0)
голоморфна в бесконечной части плоскости, являющейся
внешностью соответствующего контура Lj == Lj + Lj.
Числитель дроби в выражениях B9.2) функций cpe(?, th)
и cps(?> tk) включен в состав ср;-(?) и ij3;(S). вследствие
чего последние функции в окрестности бесконечно удален-
ной точки будут иметь разложения
="^ + -5./?,(?-*,-)+ 2 **
й=1
D3.3)
где ak и bh — вещественные коэффициенты, Zj = Re tf,
Bj = 0, если j <1 m.
Если область D является связной (контур Lo пересе-
кает ось симметрии), то ?0@ = ^(?» *о)> т- е> соответствую-
щий радикал исключается из D3.2). Если область D не-
связная (контур Lo распадается на два изолированных
контура L'o и Lo), to go(?) = 0, когда точка ? принадле-
жит линии ?„?„, и go(t) = 1 в противнод! случае. При
/ ^= 0 всегда gj{Q = 1.
Выражения для производных Ф'(<) и Ч1"'^) будут так-
же иметь вид D3.1), где вместо ф(?) и t|j(?) следует ввести
ф'(?) и 1)з'(?)» причем
j = 0
D3.4)
Если область Z) связная, то фо(?) ='Фо(?); если она
несвязная, то в соответствии с D2.18) будем иметь
Ф. (С) = Ф, @ - р^ Фи (*„) + lfzf Фо (*.)• D3-5)

414 ИСПОЛЬЗОВАНИЕ СВЯЗЕЙ МЕЖДУ ФУНКЦИЯМИ [ГЛ. VIII
Выражения для %(?) аналогичны.
Вторая производная Ф"A) выражается первой иа фор-
мул D3.1), где ф(?) заменяется через ф"(?) при
D3.6)
Если область связная, то фо(?) — фо(Э> в противном
случае фо(?) определяется равенством D2.22).
Линии разветвления радикалов и линии интегрирова-
ния будем проводить в соответствии с указаниями § 42.
Подставим D3.1) в C2.14). Разделяя вещественные и
мнимые части, будем иметь
'(О
Отметим, что зти формулы по внешнему виду совпа-
дают с формулами F.8), которые, таким образом, оказы-
ваются пригодными для значительно более широкого клас-
са областей, чем это предполагалось при их полу-
чении.
2. Равенства D3.7) выражают компоненты перемеще-
ния через аналитические функции комплексного пере-
менного.
Если тело вращения не пересекает оси симметрии,
то при заданных перемещениях обобщенные аналити-
ческие функции ФB) и ?(?) определены с точностью до
обобщенных постоянных Vi + Yi/(* — it) и у2 + yz/(t — 1),
где вещественные постоянные удовлетворяют условиям
(см. п. 4 § 32)

§ 43] ПРЕДСТАВЛЕНИЕ ОСЕСИММЕТРИЧНЫХ ПЕРЕМЕЩЕНИЙ 415
Зависимости D3.1) между аналитическими и обобщен-
ными аналитическими функциями взаимно однозначны:
функциям ФA) и W(t) соответствует вполне определенный
набор функций ф/?) hi|)^), зависящий лишь от выбора
точек tj. Обобщенной постоянной соответствует вполне
определенная аналитическая функция, которую найдем,
применяя оператор S-1 к обобщенной аналитической
функции X(t), равной нулю на отрезке toto и обобщенной
постоянной в остальных точках. В результате получим,
что при заданных перемещениях тела вращения функции
? иг))(?) определены с точностью до слагаемых
o)]-K D3.9)
Можно по произволу зафиксировать значения ф(?) или
?) в какой-либо из точек тела (кроме t0).
Если тело пересекает ось симметрии, то Ф(?) и W(l)
определяются с точностью до вещественных постоянных
Yi и у2, между которыми имеет место первое из соотноше-
ний D3.8). В этом случае аналитические функции ф(?) и
г))(?) определены с точностью до тех же постоянных. Можно
произвольно зафиксировать значение одной из этих функ-
ций в какой-либо точке оси симметрии, либо задать ве-
щественную часть этой функции в произвольной точке тела.
В гл. I из физических соображений было установлено
соответствие между осесимметричной деформацией тела
вращения и плоской деформацией цилиндрического тела,
поперечное сечение которого совпадает с меридиональным
сечением тела вращения. Плоская область, занятая ме-
ридиональным сечением, предполагалась конечной одно-
связной или бесконечной с отверстиями, пересекающими
ось z. На контур области были наложены серьезные огра-
ничения (см. п. 3 § 2).
Формулы D3.7) дают возможность установить анало-
гичное соответствие для тел вращения общего вида, так
как аналитические функции ф(?) и tJ)(Q, определяющие
согласно D3.7) осесимметричные состояния, одновремен-
но могут служить для описания плоских состояний со-
гласно F.3).

416 ИСПОЛЬЗОВАНИЕ СВЯЗЕЙ МЕЖДУ ФУНКЦИЯМИ [ГЛ. VIII
Поскольку функции ср(?) и t|)(?) удовлетворяют усло-
виям F.5) и имеют структуру D3.2)—D3.3), то на класс
плоских состояний, соответствующих осесимметричным,
налагаются определенные ограничения: внешние нагруз-
ки должны быть симметричны относительно плоскости
у = 0, самоуравновешены в пределах каждого замкнуто-
го контура и удовлетворять некоторым дополнительным
условиям, вытекающим из D3.3); симметричные друг дру-
гу внутренние полости соединяются разрезами, усилия
по берегам которых подчиняются определенным соотно-
шениям.
Если эти условия выполнены и тело вращения пере-
секает ось симметрии, то соответствие между осесиммет-
ричным и плоским состояниями является взаимно одно-
значным, ибо аналитические функции в том и другом
случаях определены с точностью до постоянных, удовлет-
воряющих одпому и тому же соотношению F.6).
Когда тело вращения не пересекает оси симметрии, то
его ненапряженному состоянию соответствуют функции
D3.9), которые дают ненулевые напряжения и перемеще-
ния в плоском состоянии.
Наиболее просто формулируются условия однознач-
ного соответствия для односвязных тел без полостей и
упругого пространства с одной односвязной полостью:
в первом случае достаточно выполнения условий симмет-
рии и уравновешенности внешней нагрузки, во втором —
равенства нулю перемещений их\\, Uy^ и произведения
УЩ\\ при у -*¦ оо. При этом очертания контура меридио-
нального сечения могут быть произвольными.
§ 44. Выведение функции ty*(?,) из-под знака
интеграла в формулах граничных условий.
Осесимметричная задача для полой сферы
1. В формулах, выражающих перемещения и внешние
силы через аналитические функции ф(?) и г|;(?), последние
входят под знаком интеграла. Это обстоятельство затруд-
няет применение для решения осесимметричных задач
большей части тех методов, которые обычно используются
при решении плоских задач (конформные отображения,
приведение к интегральным уравнениям Мусхелишвили

§ 44] ВЫВЕДЕНИЕ ФУНКЦИИ ИЗ-ПОД ЗНАКА ИНТЕГРАЛА 417
и Шермана и др.). Выведение функции г|)(?) из-под знака
интеграла открывает, по крайней мере, принципиальную
возможность применения всех этих методов, а для тел,
ограниченных плоскими и сферическими поверхностями,
позволяет получить решения ряда задач более коротким
путем.
Из-за сложности выкладок ограничимся случаем одно-
связных тел, когда все внутренние полости пересекают
ось симметрии.
Пусть на поверхности к-й полости заданы перемещения
wk, uh. Воспользуемся формулами F.8), предварительно
переведя линию интегрирования в такое положение, что-
бы она пересекала ось z между контурами Lh_1 и Lh.
Устремим t к контурной точке x^Lh. Умножая второе из
равенств F.8) на —i и складывая с первым равенством,
будем иметь
2G(wk-iuk) =
X
_ 2 Г, , -ч
i =1 1 {хф* (а) М (а, х) 4-
х
-f[i|?#(cr) + (х + х) ф^ (сг)] М (а, х)} da. D4.1)
В соответствии с указаниями п. 4 § 7 аналитические
функции ф(?) и г|)(?) заменены функциями ф#(?) иг|)#(?),
определяемыми согласно G.14).
Представим D4.1) в форме
X
, 2 _, \ [Ф* + (а + о) ф'1 М (а, х) da -f
я|т —t|J
, М (а, т)—(т +т— а — а) у[М(а, х)
X
X
D4.2)
D4.3)
t
27 д, я. Александров, Ю. И. Соловьев

418 ИСПОЛЬЗОВАНИЕ СВЯЗЕЙ МЕЖДУ ФУНКЦИЯМИ (ГЛ. VIH
(ah—нижняя точка пересечения контура Lk с осью сим-
метрии).
Равенство D4.2) остается справедливым и в том слу-
чае, когда на поверхности к-й полости заданы внешние
силы, если полагать
^ = 1, F(T)==p(i?ft--^Zftj+Cft. D4.3а)
Здесь интегральные усилия Zh и Rk определяются форму-
лами F.23); верхний знак принимается, когда к = О (на-
ружная поверхность тела), нижний знак — при к >• 0;
Ск — неопределенная вещественная постоянная.
Применим оператор S-1 к обеим частям равенства
D4.2), имея в виду, что
D4.5)
а
1V(t) = ±^V (т) [М(а, т)dx + М (а, т)dt]f-
«ft
а а
Г f
— T— xdV
Л(о,т) А№"
«ft «ft
Из D4.4) следует
т _
dV 1 (л i dx\ С ф* (|) B| — т т) dS;
Л = Я1|т-т|2 I + di) J ЛЦГ5 '
Подставляя это выражение в предыдущее п изменяя
порядок интегрирования, получим
S~l W (т)] = J Ф* © Ко (а, 1) dl D4.8) }
— г
(I
К (а Я - 1 f B^-х-т)B6-т-т)(Jt

§ 44] ВЫВЕДЕНИЕ ФУНКЦИИ ИЗ-ПОД ЗНАКА ИНТЕГРАЛА 419
где §„. = |, когда точки ? и а лежат по одну сторону от
осп симметрии, и ?.,, — !• в противном случае.
Первое слагаемое в D4.2) представляет собой выраже-
ние ^[^^(сг) + (а + о0ф1(<*)], а операторы S-1 и S взаим-
но обратны. Во втором слагаемом после применения
оператора S-1 изменим порядок интегрирования. В ре-
зультате будем иметь
а
+ (к + К) J Ф* (S) Ко (о, I) dg = 5-if (x), D4.10)
а
а
^ (о, Ю = М \м (Е, х) М (а, т) р-?^ -
г7], D4.11)
|г — г| j
- M F, т) М (а, х) Щ. D4.12)
Таким образом, граничное значение функции ^(С)
выведено из-под знака интеграла. Равенство D4.10) экви-
валентно равенству D4,2), так как может быть приведено
к нему посредством оператора S.
2. Пусть контур L'h является кусочно-гладким, состоя-
щим из дуг непрерывной кривизны. Формуле D4.11) при-
дадпм вид
а
Л (о, ?. т) dx
Легко убедиться, что функция /х(а, ?, т) непрерывна и
дифференцируема по всем аргументам в пределах каждой
27*

420 ИСПОЛЬЗОВАНИЕ СВЯЗЕЙ МЕЖДУ ФУНКЦИЯМИ [ГЛ. VIII
из гладких дуг, когда точка ? принадлежит дуге оо, а точ-
ка т — дуге ^а. Разрывы непрерывности в угловых точ-
ках связаны лишь с переменной т. Отсюда вытекает не-
прерывность ядра Кх{о, |) по обоим аргументам везде на
L'k, кроме значений | = а, | = а, | == ah, причем
lim Ку (а, |) = яг lim jx (а, |, т) = 0,
lim К1 (а, ?) = ni lim /й (а, ?, т) = — i -^-,
где ds — дифференциал дуги контура. Таким же образом
доказывается непрерывность К0(о, ?).
Производная от К1 по а имеет вид
35*1 С В =
'^'6') 2(а~т) J УН, - т)(а - т)
и непрерывна на любой гладкой части L^.
Правую часть D4.12) преобразуем интегрированием
по частям. Тогда
(a + agi)lnFa)
Iln {(ff7i(S-~T) |M (a'T) + M &
i*
a
K2 (a, a) = A'2 (a, a) = J (a, a) =-- 0, lim ^ K2 (a, I) = 0,
iml A'2 (a, |) ^ - i lim | / (a, |) - —i (l + ?). D4.13)
!.„- - • m'—'ЭБ-^'^ - 2

§ 44] ВЫВЕДЕНИЕ ФУНКЦИИ ИЗ-ПОД ЗНАКА ИНТЕГРАЛА 421
Можно показать непрерывность и дифференцируемость
функций
и -1
Пока предполагалось, что | Ф ah. Если ah является
обыкновенной (не угловой) точкой контура Lh, то функ-
ции J(cr, \) к — К^а, I) непрерывны при | = aft, а их
производные по | и функции 1?0, iSTj, — Кх ограничены в
окрестности этой точки.
Принимая во внимание полученные результаты, ра-
венство D4.10) представим в виде
a
^"'/•(x), D4.14)
(а, §) = (х + ^)л:о (а, |) + К fa Кх (в, %) + -дщ
D4.15)
Ядро К(о, |) непрерывно на любой гладкой части Lh
и интегрируемо везде на Lh.
Приведем выражение этого ядра для случая, когда
контур Lh является окружностью радиуса ph с центром
в точке zk:
-h(cy,m. D4.16)

422 ИСПОЛЬЗОВАНИЕ СВЯЗЕЙ МЕЖДУ ФУНКЦИЯМИ 1ГЛ. "ЧТЯ
Равенство D4.14) примет вид
], D4.17)
где
rfP J 1/2 (cos d — cos P)
D4.18)
т - zft =
Более простые выражения получаются, когда контур г
Lft является прямой линией, перпендикулярной осп z. %
При этом К{а, ?) = 0 и !
г|>* (о) + (о + а) Ф; (о) + ЯЙФ* (а) - / (г/), D4.19) t
D4.20)
Отметим, что равенство D4.19) совпадает с граничным
условием для аналитических функций, решающих соот-
ветствующую плоскую задачу, но при преобразованных
значениях перемещений и усилий в правой части.
3. В качестве примера рассмотрим решение задач для
концентрической полой сферы, ограниченной поверхнос-
тями р = р0 и р = рл с центром в начале координат (z0 =
= 2! =0, ро>р!).
Будем считать заданными либо перемещения точек
граничных поверхностей, либо приложенные к ним внеш-
ние силы. Возможен случай, когда по одной из поверх-
ностей задаются силы, а по другой — перемещения.

§ 44] ВЫВЕДЕНИЕ ФУНКЦИИ ИЗ-ПОД ЗНАКА ИНТЕГРАЛА 423
Эти перемещения и силы представим в форме рядов по
полиномам Лежандра:
2Gwh = S Л{пк)Рп, 2Guh = jj B(nk)P'n,
n=0 n=l
fti <#>/>„, p(rft) = (- i)fti м^р; (л=o, i)
n=0 n=l
D4.21)
При задании внешних сил будем переходить к интег-
ральным усилиям:
tz^ll _ Pft sin0 V д»)^
l
n=l
= (- 1)* — Zb In T т + Z A\:>Pn, D4.22)
^Pft n=0
(»> 1),
(oft) = (- l)fc2pfci,W
S Z(oft) = (- l)fc2pfci,W, D4.23)
n=l
o — равнодействующая внешних сил, приложенных
к /с-й поверхности.
Область D ограничена лишь двумя контурами Lo и
Ьи поэтому ф#(С) = Ф(Р, i|J#@ = ty(Q- Последние функ-
ции будем искать в форме рядов Лорана с вещественными
коэффициентами:
b»tn. D4.24)

424 ИСПОЛЬЗОВАНИЕ СВЯЗЕЙ МЕЖДУ ФУНКЦИЯМИ |ГЛ. VIII
Подставим эти ряды в D4.17), имея в виду, что
а
(пф-1) J (пф-1)
D4.25)
' * т) -
- Ё (Xм?» - 1В!№.) + (к + Ч) С», D4.26)
п=0
D4.27)
Г (» > 1), F(oft) = Ар- (х + bk) Ch,
F™ = (Л(«п_1 + n&X-i) Pkn in < - 1). D4.28)
Последняя сумма в правой части D4.25) является пос-
тоянной величиной и ее можяо включить в состав Ск.
Логарифмические члены исчезнут, если положить
Умножим обе части равенства D4.17) на _g и
проинтегрируем по совокупности L контуров. Lo и Llf
обходя их так, чтобы область D оставалась слева. При

§ 44] ВЫВЕДЕНИЕ ФУНКЦИИ ИЗ-ПОД ЗНАКА ИНТЕГРАЛА 425
ЭТОМ
1 r/(a)rfg_ 1 П(а)<1<, 1 Г / (a) da
STiJ a-l ~2niJ Т=Т + 2Й а-С'
0
X,,
Если /(а) — граничное значение какой-либо аналити-
ческой функции, голоморфной в D, то интеграл.в левой
части D4.30) равен /(?) при ?eZ> и нулю при t,^D. В про-
тивном случае, т. е. если /(а) не является граничным зна-
чением голоморфной в D функции, вычисление интеграла
D4.30) сводится к вычислению интегралов вида
Обозначим через S t конечную область, ограниченную
контуром Lh, а через S^ — остальную часть плоскости.
Тогда, если t,^Sf, то / = (—1L" при п > 0, и / = 0
при п ^ 0; если же ^е5^> то / = 0 при п ^ 0, и / =
= —(—l)'tn ПРИ и< 0. При вычислении интегралов от
сгп следует учесть, что в случае круговой границы о= р\/о.
Примем вначале, что C^iS1^ (при этом, очевидно,
?,<?D). Тогда интеграл от г|)(о) будет равен нулю, и усло-
вие D4.17) приводит к равенству
n=2 n=l
n=0
где
D4.33)

426 ИСПОЛЬЗОВАНИЕ СВЯЗЕЙ МЕЖДУ ФУНКЦИЯМИ 1ГЛ. VIIT
Положим теперь ?e<So (при этом по-прежнему
В результате получим, что равенство D4.32) можно рас-
пространить и на остальные значения индекса суммиро-
вания, принимая его нижнюю границу равной —се.
Приравнивая в D4.32) коэффициенты при одинаковых
степенях ? в левой и правой частях, придем к бесконечной
системе уравнений, которая распадается па изолирован-
ные системы двух уравнений с двумя неизвестными:
п. — 1 _,га — 1« п — 1.
( — 3
D4.34)
(— со < п < + оо).
Решая эти системы, при п Ф О и п ф 1 будем иметь
„ - K-n+lVn-2 - Pn-lV-n-1 (AA4R\
ап — —— о о . \tt.ooi
. " апа-п+\ - Р-пРп-1
Если же га = 0 или п = 1, то одно из уравнений D4.34)
обращается в тождество, а второе дает
Поскольку а0 = 0, то ах — y-J$-x, что можно было бы
получить и из D4.35). Коэффициент а0 остается неопре-
деленным, и его можно задавать произвольно.
В том случае, когда по обеим граничным поверхностям
заданы перемещения, определение коэффициентов ап на
этом заканчивается. Если на какой-либо из граничных
поверхностей заданы внешние силы, то нужно еще опре-
делить постоянную Ck для этой поверхности, входящую в
состав F^ и у0 (см. D4.28) и D4.33)). Коэффициент а_х
здесь удобнее вычислять при помощи D4.29). Тогда вто-
рое из уравнений D4.34) при п = 2 дает
а2 - J- (Т_з - a_ia_i). D4.36)
Первое уравпение из D4.34) позволяет определить
"То == ^0 — ^0 == а2Я2 ~Ь Pla—1»

§ 45] ДЕЙСТВИЕ СИЛ ВНУТРИ ПОЛУПРОСТРАНСТВА 427
а следовательно и Ch. Этот же прием можно применить,
когда внешние силы заданы по обеим поверхностям; при-
чем одна из постоянных Ck задается произвольно. Впро-
чем, в вычислении этих постоянных обычно не возникает
необходимости, так как они не входят в формулы напря-
жений или перемещений.
При определении коэффициентов Ъ~п точку ? в D4.30)—
D4.31) будем располагать внутри области D, т. е. считать
се принадлежащей одновременно St и Sf, Производя
иыкладки, получим
п
2и(в + 0-х_ о„2 (п + 1) (в + 2)
ST Р" ^
х + 2(в-Н) 1, n-2n-i
Bга + 1) Bя + 3)
a-n-ipJT2"-1. D4.37)
В последней формуле можно принимать к — О или
к = 1 по произволу: величина Ъп от этого не изменится.
При п = О следует опустить последнее слагаемое правой
части.
Напряжения и перемещения при известных коэффи-
циентах ап и Ъп вычисляются в соответствии с указани-
ями п. 1 § 8.
Задача для полой сферы несколько иным методом с
применением аналитических функций решалась в рабо-
те [52].
§ 45. Действие сил, осесимметрично распределенных
по плоским и цилиндрическим поверхностям
внутри упругого пространства и полупространства
1. Представления B9.1) аналогов комплексного лога-
рифма через аналитические функции позволяет получить
сравнительно простое решение о действии сил, приложен-
ных внутри упругого пространства или полупространства
(см. [136, 1411).

428
ИСПОЛЬЗОВАНИЕ СВЯЗЕЙ МЕЖДУ ФУНКЦИЯМИ (ГЛ. VIII-.
Рассмотрим вначале загружение упругого простран-
ства аксиальными Р и радиальными Q силами, распреде-
ленными по окружности радиуса г0, плоскость которой
перпендикулярна оси z, а центр расположен в точке z0
на этой оси (рис. 8.7).
Рис. 8.7.
Опишем некоторым малым радиусом е окружность V,
вокруг точки t0 = z0 -f- irQ и удалим часть пространства,-
вырезаемую при вращении V вокруг оси z. Напряженное*
состояние получающегося при этом пространства с торо-
идальной полостью определяется обобщенными аналити-
ческими функциями, имеющими вид (см. C2.22}—C2.22а))
Ф = Ф* + Ав + BE, ? = ?* - хАв + x5S, D5.1V
где в = в(«, g, S - E(t, t0).
Функции Ф„. и ?^ регулярны везде в плоскости с выре-
зами U и L" и исчезают на бесконечности. Разложим
эти функции в ряды по производным возрастающего по-
рядка от в и 3. Подставим D5.1) в формулы C2.15) ш
потребуем, чтобы напряжения при t -*-10, стремились к
бесконечности не быстрее, чем const/|i — to\. В результа-
те будем иметь
ф = 46 + 53, ? = -А{хв + 2zQ&) + В(хЕ - 2z0S')-
D5.2

§ Ib) ДЕЙСТВИЕ СИЛ ВНУТРИ ПОЛУПРОСТРАНСТВА 429
Коэффициенты^ и В определяются формулами C3.10)—
C3.11). Замечая, что
J pzds = P, J prds = Q,
L' L"
п устремляя в C3.10)—C3.11) радиус е окружности L'
к нулю, найдем
4яA —v)'
Таким образом, функции D5.2) при коэффициентах
D5.3) соответствуют действию сил, распределенных по
окружности внутри упругого пространства.
2. Перейдем к случаю полупространства z > 0. К функ-
циям D5.2) теперь следует добавить функции Ф* и ?*,
регулярные в этом полупространстве и исчезающие на
бесконечности. На границе полупространства должно
соблюдаться условие
(<хг + 1Тгг)|г=0 = (Ф' -
откуда
= - [А (в' + ив' + 2zo6") + В B' - xS' + 2z0l"")] «=в.
D5.4)
Пусть ^о = — zo + ir0—точка, симметричная?0 относи-
тельно границы полупространства. Функции 0* — в (t, t*0),
S* == 3 (t, tl) вычисляются при помощи тех же формул
B9.5), B9.7), B9.8), B9.13), что и в, S, но с заменой там
гп на —z0. Легко видеть, что при г = 0 имеют место соот-
ношения 0 = в* + iC/r, 3 = — S* — С — я, где С —
кусочно-постоянная функция, зависящая от расположе-
ния линий разветвления функций.
Принимая во внимание формулу B7.11а), получим
в' = -0*', 0" = 0*", S' = S*\ S" = -~S*" (z = 0).
D5.5).

430 ИСПОЛЬЗОВАНИЕ СВЯЗЕЙ МЕЖДУ ФУНКЦИЯМИ [ГЛ.
Подставляя эти выражения в правую часть формула
D5.4), найдем функции Ф*' и W*'.
Окончательные выражения функций Ф и ? в случав
действия сил, распределенных по окружности внутри
полупространства, имеют вид
^)(в* + х0 + 2z°0')
w
<45-6>
Напряжения, соответствующие функциям D5.2) ш
D5.6), определяются формулами C2.15). Необходимые вы"
ражения функций в, S и их производных приведены Р*
§ 29.
Отметим, что эти напряжения совпадают с теми, кото^
рые были получены в работе [4] более сложными методами
путем непосредственного интегрирования решений Кель-
вина и Миндлина.
При t -*- t0 значения напряжений неограниченно ра-,
стут. Выделяя особенности полных эллиптических инте-
гралов К(к) и D(k), которые входят в состав функций в
и S, будем иметь следующие асимптотические представ-
ления: .
D5.7K
где- D = A — 2v)l2nro(x + 1)H, p = \t — tQ\. Звездоч-
кой помечены члены, которые совпадают с соответствую-»
щими компонентами напряжений (в прямоугольных ко-
ординатах z, г) при действии сосредоточенных сил в.
условиях плоской деформации.

§45]
ДЕЙСТВИЕ СИЛ ВНУТРИ ПОЛУПРОСТРАНСТВА
431
3. Выражения D5.6) позволяют получить ряд других
решений для упругого пространства и полупространства.
Рассмотрим действие радиальных нагрузок Q и—Q,
приложенных по окружностям одинакового радиуса г0
с центрами соответственно в точках (z0, 0) и (z0 -(- Дг0, 0).
Положим т — QAzq = const и устремим Az0 к нулю.
S,
rr a n д
Принимая во внимание, что г— а = г-
г ' dz0 dz
д
= -77- S, получим
oz0
ф =
4л A — v)
m
4я A — v)
[S*' - (x + 2) B' - 2z0S"].
D5.8)
Эти обобщенные аналитические функции соответствуют
действию момента, распределенного с интенсивностью т
по окружности внутри полупространства.
Пусть теперь внутри упругого полупространства
г > 0 действуют аксиальные и радиальные силы р и q,
которые равномерно распределены по поверхности цилин-
дра радиуса г0 и высоты zz — z1 (рис. 8.8, а).
t^T
0
1
L 1L '
z
g
Рис. 8.8. ч
Положим в выражениях D5.6) Р = р dz0 и Q =
= g dz0 и проинтегрируем их по z0 в пределах от zx до z2.
Из B9.1) видно, что для этого требуется проинтегрировать
по z0 функции B9.2), что нетрудно сделать. Например,

432 ИСПОЛЬЗОВАНИЕ СВЯЗЕЙ МЕЖДУ ФУНКЦИЯМИ [ГЛ. VITI
поскольку
= - in
то
J в tfz0 = - Л2 + Лх
(Лх = Л (t, tj), Л2 = Л (f, г2), гх = Zi + г>0, <2 = z2 + г>0).
После выкладок будем иметь
Ф = Ф2 - Ф17 ? = ?2 - ?х, D5.9)
ф* = 4^Г=^Г) t- Л* + (* + 2) лй - 2z*0H +
** = 45?lfc) [- Л,* + (x + 2) Л, + 2zhQh] -
D5.10)
Линия разветвления будет состоять из трех участков:
отрезков 1J2 и txt2 (th — zh + г>01 'fe = zh — iro) и ПР°"
извольной дуги, соединяющей точки t2 и t2. За эту дугу,
в частности, можно принимать отрезок ^2^2.
Если радиальная нагрузка меняется по линейному за-
кону q = q°z0, то слагаемые, зависящие от q°, примут вид
- 2z0Tl
2]. D5.11)

§ 45] ДЕЙСТВИЕ СИЛ ВНУТРИ ПОЛУПРОСТРАНСТВА 433
4. Рассмотрим действие сил, распределенных по пло-
ской кольцевой площадке (рис. 8.8, б). Аксиальные силы
будем считать распределенными равномерно, а радиаль-
ные — по линейному закону пропорционально расстоя-
нию до оси симметрии.
Полагая в D5.6) Р — pdr0, Q = qrodro и интегрируя
по г0 в пределах от гх до г2, получим.
-22»х*)- <45Л2>
Здесь линия разветвления проводится по горизонталь-
ной прямой, соединяющей точки th = z0 + irh и ~th =
= z0 — irh.
На рис. 8.9 показаны зпюры нормальных и касатель-
ных напряжений для случая сил, распределенных по по-
верхности цилиндра и кольцевой площадке внутри упру-
гого полупространства.
Особенности напряжений на краях загруженных по-
верхностей принадлежат логарифмическому типу и
имеют такой же характер, что и при плоской дефор-
мации.
Если в D5.9)—D5.10) положить 2прг0 = Ро = const
и устремить г0 к нулю, то получим выражения, дающие
решение задачи о действии сил Ро, равномерно распредв
ленных внутри полупространства на отрезке [0, zQ] оси
симметрии.
Полагая в D5.6) 2лг0Р = Z, Q = 0 и устремляя г0
к нулю при Z --= const, придем к решению Миндлипа о дей-
ствии сосредоточенной силы внутри упругого полупро-
странства.
Если в D5.12) принять г0 = 0, гх = 0, q = 0, то будем
иметь загружение упругого полупространства нормаль-
ной нагрузкой, равномерно распределенной по площади
^3 А, я. Александров, Ю. И. Соловьев

434 ИСПОЛЬЗОВАНИЕ СВЯЗЕЙ МЕЖДУ ФУНКЦИЯМИ [ГЛ, VIII
круга радиуса г2. При этом
Соответствующие напряжения легко вычисляются по
формулам C2.15) с учетом результатов § 29. Решение ана-
логичной задачи в рядах приведено в работе [173].
.0
й)
II fflLH
и
Z'
*-
К
.. г
Рис. 8.9.
Решения, полученные в пп. 2—4, легко переходят в
решения для упругого пространства. Для этого достаточно
в соответствующих формулах отбросить функции, отме-
ченные звездочкой.
Приведенные выше решения были использованы в ра-
боте [145] для построения приближенного метода расчета
напряжений в полупространстве, имеющем цилиндриче-
скую выемку конечной глубины.

$ 46] СВЕДЕНИЯ О /«-АНАЛИТИЧЕСКИХ ФУНКЦИЯХ 435
§ 46. Некоторые сведения о /^-аналитических функциях
и их применениях в задачах теории упругости
1. Понятие /^-аналитических функций введено Г. Н. По-
ложием в работе [102] как одно из обобщений те-
ории аналитических функций комплексного переменного.
Свойства этих функций были подробно изучены в после-
дующих работах того же автора и систематизированы в
монографии [112]. Установлены аналоги теоремы Копта
и формулы Коши, построена классификация особых то-
чек и нулей, доказана теорема Лиувилля, построена тео-
рия вычетов, установлена изолированность .4-точек, в ко-
торых р-аналитическая функция принимает значения
А = const, доказана теорема о сохранении области, а так-
-же получены некоторые другие результаты.
Под /^-аналитической функцией комплексной перемен-
ной z — х -\- 1у понимается функция f(z) — и(х, у) -\-
+ iv(x, у), вещественная и мнимая, части которой удов-
летворяют системе уравнений:
дх ~~ р ду' ду ~~ р дх' {.4ОЛ)
где р = р(х, у) — положительная вещественная функция.
Отметим, что сумма и разность р-аналитических
функций, а также произведение ^-аналитической функции
на вещественную постоянную являются р-аналитически-
ми функциями.
Если заданы некоторые ^-аналитические функции
Z*=X + iYniZ* = -Y + iX, то выражения Z = X +
+ iY, Z = X + iY называются сопряженными перемен-
ными, соответствующими данной характеристике р =
— Pixi У), а функции Z и Z — антисопряженными пере-
менными.
Интегралом по сопряженной переменной от функции
F(z) = U + iV (не обязательно /^-аналитической) вдоль
контура L будет выражение вида
J § D6.2)
г г
Если F(z) = f(z) — ^-аналитическая функция, а кон-
тур Г замкнут, то интеграл D6.2) равен нулю (аналог
28*

436 ИСПОЛЬЗОВАНИЕ СВЯЗЕЙ МЕЖДУ ФУНКЦИЯМИ 1ГЛ. VIII
теоремы Коши). При разомкнутом контуре Г, соединяю-
щем точки z0 и z, интеграл D6.2) не зависит от пути инте-
грирования. В последнем случае этот интеграл является
функцией /*(z) своего верхнего предела, которая будет
также р-аналитической, если iZ и Z — р-аналитические
функции.
Одновременная принадлежность функций Z*, iZ*,
iZ, Z к классу ^-аналитических возможна лишь в том
случае, когда характеристика р является функцией от
какой-либо гармонической функции а — а(х, у). Тогда
^ jda, D6.3)
X
/•(*)= J/(z)dpZ = 'J/(*)& =
г z
i f(»dp—updo), D6.4)
где p = р(ж, г/) — мнимая часть аналитической функции
co(z) = a + Ф-
Производная по сопряженной переменной Z от F(x)
определяется выражением
Если p = p(a), то
dZ ~~ dz ~ 2 UP P 9aj+ 2 ^ЗР +/?
В том Cflj"iae, когда f(z) — р-аналитическая функция,
легко получить
Пусть функции Г, Г, Я, Н зависят от двух комилекс-
• ных переменных т = | + irj и z = х + ?у, удовлеа иоряя

§ 46] СВЕДЕНИЯ О ^-АНАЛИТИЧЕСКИХ ФУНКЦИЯХ 437
системе уравнений:
_ar=j_a? аг_ 1_ая
Э| р дх\' дг\ р дЪ,'
дН _ 1 af ЭЯ _ 1 ЭГ //R ov
причем Г и Я имеют представления:
Г (т, z) — — In p -\- g (т, z), ff(x,z) — Q -\- h (т, z)
(р = УA-^Г + (У]-УГ, Ъ = arctg ГС-П - »)/E - х)]).
D6.9)
Здесь р = р(%, т]); функции ^(т, z) и ?"(т, z) дважды
непрерывно дифференцируемы по | и т] при т =^ z, особен-
ности производных первого порядка при t=z строго мень-
ше единицы.
Тогда выражения Q(t, z) = Г + гЯ, Q(t, z) = Г + гЯ
являются сопряженными переменными и носят название со-
пряженных ядер, соответствующих характеристике р.
Если f(z) = u(z) + iv(z) — р - аналитическая функция,
определенная в односвязной замкнутой области D' + L'
{U — спрямляемая граница области D'), то интеграл
L'
= 2^7 [ f" (т)d^ (т' z) + iv (т)йй (т- *)] D6ЛО)
L'
равен /(z) при 2ЕЙ'и нулю при z фВ' (аналог формулы
Коши).
Пусть, кроме того, функции Г, Я, Г, Я удовлетворяют
системе уравнений:
аг 1_ая эг_ 1_ж ан = _1_эг
дх~ р ду' ду ~ р дх' ду ~ р дх '

438 ИСПОЛЬЗОВАНИЕ СВЯЗЕЙ МЕЖДУ ФУНКЦИЯМИ 1ГЛ. VIII
Тогда сопряженные ядра QnQ называются правиль-
ными и интеграл
J Wt, z) + iV(x)du{x, z)], D6.12)
L'
где плотность F(x) — произвольная интегрируемая функ-
ция, представляет собой ^-аналитическую функцию везде в
области определения й и Q, кроме точек z = z0 e L'
(аналог интеграла типа Коши). Если F(x) = f(x) является
р-аналитической функцией от т в точках контура L',
то существуют предельные значения функции J(z) при под-
ходе к точке z0 e L' слева и справа:
J+ ОО = i f (*«) + / (*.), /" (z0) = - 4 / (*.) + / (*o).
D6.13)
где J(z0) — интеграл D6.12), понимаемый в смысле глав-
ного значения.
В односвязной области D', прилегающей к оси х на
некотором участке I, имеет место представление
/о—^
КС - *) (t - г)]й/2-^е, D6.14)
ф(?) — аналитическая в Z)' функция, удовлетворяющая
условию Im ф@ = 0 при ^е/, a /(z) — р-аналитиче-
ская функция с характеристикой р = yh (к = const > 0).
Отметим, что рассмотренные ранее обобщенные ана-
литические функции ФЦ) связаны с р-аналити-
ческими функциями простой зависимостью. А имен-
но, если в формулах гл. VI заменить переменные z, г
через х, у, то функция f(z = х + iy) = Re Ф + iy Im Ф
является р-аналитической с характеристикой g pj=fy,
интеграл D6.2) эквивалентен B7.12), сопряженные пере-

46] СВЕДЕНИЯ О ^-АНАЛИТИЧЕСКИХ ФУНКЦИЯХ 439
менные D6.3) имеют вид Z = х + ilny, Z = х ^
интеграл D6.4) аналогичен интегралу B7.15), производ-
ная D6.6) — производной B7.10), представление D6.14) —
представлению B8.2).
По этой причине обобщенные аналитические функции,,
рассмотренные в гл. VI, можно назвать присоединенными
^-аналитическими функциями ([112], стр. 149), хотя их
теория развивалась независимо от теории р-аналитиче-
ских функций.
Для сопряженных ядер имеют место выражения
Q(T, z) = —2 Re 0 — 2iy Im 0,
Q(t, z) = — 2y Im В +2i Re B, D6.15)
где 0 = 0(z, т), В = E(z, t) — аналоги комплексного
логарифма (§ 29).
2. Как показано в работах 1104—109] (см. также {159]
и [68]), перемещения и усилия осесимметрично загружен-
ного тела вращения могут быть выражены через две р-ана-
литические функции. Несколько видоизменяя /указанные
выражения, для упругих перемещений запишем
2G(w + W) = иФ(г) - 2а:^ Ф®" - Щ& D6.16)
где Ф(г), ^(z) — р-аналитическиеТ функции комплекс-
ного переменного z = х -\- iy с характеристикой р = у,
х — ось симметрии тела, U = уи, w — аксиальное, и —
радиальное перемещения.
Для интегральных усилий на поверхности тела можно
получить
г
С sin (", ж)
\ -г— [(х+ 1) Im Ф - Z*] dx =-¦ - R* f
о
где С — некоторая комплексная постоянная, п — нормаль
к поверхности.

440 ИСПОЛЬЗОВАНИЕ СВЯЗЕЙ МЕЖДУ ФУНКЦИЯМИ [ГЛ. VIII
При заданном напряженном состоянии функции Ф(г) и
4f(z) определены с точностью до постоянных у1 -j-171
и y2— "*Vi> гДе Ti» ТьУг вещественны. Если заданными яв-
ляются перемещения, то уг = куг.
Когда область D', занятая меридиональным сечением
тела на полуплоскости у >¦ 0, односвязна, то функции
Ф(г) и W(z) однозначны, в противном случае имеет место
представление (см. [158])
Ф (Z) = Ф# (Z) + Д [«JkQ (*, 2fc) +
Y(z)= Y^*) + k2 I-afcQ (*,**)+ SpfcS B, zft)], D6.18)
где Ф^ иТ, — ^-аналитические функции, однозначные в
Z)', aft и pft — некоторые вещественные постоянные, й и
й — сопряженные ядра, определяемые равенствами
D6.15), zh (к = 1,2, . . ., п) — произвольно фиксирован-
ные точки внутри контуров L'h — линий пересечения по-
лостей с меридиональной плоскостью.
Представления D6.14) в случае тел с плоской границей
(полупространство, слой) позволяют установить связь с
плоской задачей теории упругости. При зтом р-аналити-
ческим функциям Ф(г) и W(z) соответствуют аналитические
функции ф(Р и г|з(?) такие, что
D6.19)
(z = x + iy, ? = x + ir\). D6.20)
Оператор Р имеет обращение
P~lF (z) = F &) =
D6.21)

§ 46] СВЕДЕНИЯ О Р-АНАЛИТИЧЕСКИХ ФУНКЦИЯХ 441
Подставляя D6.19) в D6.16) и D6.17), при помощи опе-
ратора Р-1 получим (см. [106])
(С + W&) +W = -P-lF, D6.22)
где Я = —%, F = 2G(w + iU) при заданных на границе
z = х = const перемещениях, и Я = 1, F =7?* — iZ*
при заданных внешних силах. Равенство D6.22) совпадает
с одним из вариантов формул Колосова — Мусхелишвили
плоской задачи.
Отметим, что операторы Р и Р-1 аналогичны операто-
рам S и S-1 на прямой, перпендикулярной оси симметрии
(см. п. 3 § 41).
Как уже отмечалось, использование представлений ком-
понентов осесимметричного состояния через аналитиче-
ские функции для решения задач теории упругости воз-
можно двояким путем.
Одним из этих путей является разложение аналитиче-
ских функций в ряды и интегралы по какой-либо полной
в данной области системе функций. Таким путем в рабо-
тах Г. Н. Положия и А. А. Капшивого [ИЗ, 66, 67, 69]
были получены решения некоторых задач для конечного
сплошного и полого цилиндров, для пространственного
слоя с цилиндрическим отверстием, а также для слоистого
цилиндра (обзор см. в монографии [112], стр. 398). Ана-
литические функции при этом разлагались в ряды по три-
гонометрическим функциям и интегралы Фурье.
При дальнейшем развитии этого метода были решены в
рядах и квадратурах задачи для сплошного и полого шара,
а также пространства с шаровой полостью, для эллипсо-
ида и параболоида вращения, для гиперболоидального
слоя и некоторые другие задачи (см. [112, 111, 71, 149]
и др.).
Другим методом является приведение задач теории
упругости к задаче линейного сопряжения для аналити-
ческих функций. Такой путь обычно используется в слу-
чае плоских границ, когда можно применить оператор Р~г
и привести граничные условия к виду D6.22). Этим мето-
дом было найдено решение в квадратурах основной сме-
шанной задачи для полупространства с круговой линией
раздела граничных условий [72] (аналогичное решение
для общего случая неосесимметричной задачи приведено

442 ИСПОЛЬЗОВАНИЕ СВЯЗЕЙ МЕЖДУ ФУНКЦИЯМИ ГГЛ. VlII
в § 16). Более сложные случаи задач с плоскими границами
приводятся к интегральным уравнениям. Здесь следует
отметить задачи о системе кругового и кольцевого штампов
[110], об упругом пространстве с системой плоских круго-
вых разрезов [70, 73] и др.
3. Рассмотрим более подробно решение осесимметрич-
ной контактной задачи о давлении на упругое полу-
пространство системы кругового и кольцевого штампов.
Пусть круговой штамп имеет радиус Ь1ч а кольцевой
штамп — внутренний радиус а2 и внешний радиус &2.
Форма поверхностей штампов определяется уравнениями
ж = УЛу) и х = Шу), причем ^(О) = i]J(a2) = 0. При
вдавливании кругового штампа на глубину hx, а кольце-
вого на глубину h2 будем иметь следующие условия на
поверхности полупространства:
w = hk + %(г/) (ak < у < bh; к = 1, 2; ах = 0)t
Pz =* ° (bi < У < aa*> Ь2<у < со),
рг = 0 @ < у < со). D6.23)
Подставляя D6.23) в равенства D6.16), D6.17) при
х = 0 и С = 0, получим следующие граничные условия
для р-аналитических функций Ф(г) и W(z) (p = у):
% Re Ф — Re ? = 2G[hk + %(г/) ]
К < У < bh; к = 1, 2),
1тТ = -5^->1 {Ъ1<у<аа),
Re Ф + Re ? = 0 @ < у < сю), D6.24)
где Рг п Р2 — неизвестные заранее прижимающие силы,
действующие на круговой и кольцевой штампы.
Последнее из условий D6.24) позволяет положить
Ф(г) = -ТB). D6.25)
Функцию Ф(г) будем разыскивать в форме:
D6.26)

46] СВЕДЕНИЯ О Р-АНАЛИТИЧЕСКИХ ФУНКЦИЯХ 443
D6.27)
где C/ft(f) — неизвестные вещественные функции, нечет-
ные относительно вещественной переменной t\ lh — сово-
купность отрезков [—bk, —ak] и [ah, bk]\ у — неизвест-
ная вещественная постоянная.
Для граничных значений аналитических функций лег-
ко получить:
= i\Ux(i\) + ii\Jx (\ц\
= ir\Ji (Ы > <h)%
- Л2) («2 < hi < W.
h| > Ь2). D6.28)
Здесь
/„-MTO-ljf^- C = l,2), D6.29)
«ft
— вещественные функции.
Заметим, что
Im Фк (iy) = ySilm. yh (щ) =
= yS0* Re cpft (in) - lim ft>ft (Q, D6.30)
где операторы 5Х и So* определены равенствами D1.17) и
D1.20). Подставляя D6.28) в D6.30) и сопоставляя с D6.24),

444 ИСПОЛЬЗОВАНИЕ СВЯЗЕЙ МЕЖДУ ФУНКЦИЯМИ [ГЛ. VIII
будем иметь выражение Рг и Р2 через U1 и Z72:
Oft
= 8 j ft/ft @ Л+2лу (al — b|) (А; — 1). D6.31)
ah
Введем операторы
ь х
, , 2 Г /(Tflth) 1 rf
и учтем, что L~^Layf (r\) = / (X),
Re Фй(гг/) = Z,0B Re ц>к(щ) @ < г/ < bj,
Re Oft (гг/) = (LOe, + Le,v) Re <pfe (iTj) (г/ > а2).
Тогда
Re Ы1Ц + Фа(й) ] = #x + Yx(X) @ < X < &!),.
Re [ф1 (Л) + ф2 (iX)] + L^LOa2Re [фх (irj) + ф2 (it])] =
= 7^-Я2 + ?2(Х) (as<X<62), D6.32)
где
X
л t
f)Q  0/J (' ll?b (y) CtW
Подставляя D6.28) в D6.32) с учетом соотношения
a
0
DE.3:5)

§ 46] СВЕДЕНИЯ О ^-АНАЛИТИЧЕСКИХ ФУНКЦИЯХ 445
Подставим в D6.34) и^ц) из D6.33) и J2(r\) из D6.29).
Изменяя порядок интегрирования, после преобразований
будем иметь
-h-2\yB + Ea-A-±-]u2(t)io(t)dt\. D6.35)
а2 L a, j
Здесь
- ,wi\ Д2(Я) . С 2kRt(i\)di\
- - со (Я.) - S7W + j
7W j
Я
Из условия непрерывности перемещений в точке а2
вытекает принадлежность U2 классу Н* в окрестности этой
точки. Последнее возможно лишь в том случае, когда пра-
вая часть равенства D6.35) тождественно равна нулю. От-
сюда
Y = 4" И - Я*) + Тв J ^ @ © @ *. D6.36)

446 ИСПОЛЬЗОВАНИЕ СВЯЗЕЙ МЕЖДУ ФУНКЦИЯМИ (ГЛ. VIII
В результате получим интегральное уравнение для оп-
ределения функции U2
ь*
(a2<X<b2). D6.37)
Ядро этого уравнения непрерывно при X =/= а2, I Ф-
Ф- а2; когда X —> а2 при t =/= а2, или t —> а2 ПРИ ^ =/= а2> то
ядро имеет степенную особенность порядка, меньшего
C,5; если X = t -> a2i To ядро сингулярно.
Когда функция ?/2 будет найдена^ 7 и иг определяются
формулами D6.36) и D6.33), прижимающие силы — фор-
мулой D6.31), аналитические функции фЛ(?) — при по-
мощи D6.27). Подставляя q>h(t,) в D6.26) и изменяя поря-
док интегрирования, можно получить выражение Ф(г)
через U2(t)-
^Значения перемещений определяются формулой D6.16)
при Ф(г) = —^(z). Напряжения легко найти при помо-
щи формул, аналогичных C2.15).
Полученное решение пригодно и для частного случая
одного кольцевого штампа. При этом Ьг = Фх = U1 =
= А=0.
В случае одного кругового штампа Фа == U2 = у = О,
а функция Ux определяется равенством D6.33).
4. Введение аналогов интеграла Коши и формулы Ко-
ши дает возможность сводить основные задачи осесиммет-
ричной теории упругости для тел вращения к одномер-
ным интегральным уравнениям. Этот путь был развит в
работах В. С. Чемериса [156—161], а также Г. Й. Поло-
жия и В. С. Чемериса [115, 116]. Приведем здесь интег-
ральные уравнения для решения первой и второй основ-
ных задач в случае тел вращения, не имеющих полостей.
Перепишем формулы D6.16)—D6.17) в виде
= -ХФ (z0) - 2х0 ^- Ф (*0) - F (*„), D6.38)
где z0 — аффикс точки контура L' — границы области D',
X и F обозначают то же самое, что и в D6.22), постоянную
С в D6.17) можно зафиксировать произвольно.

5 4в] СВЕДЕНИЯ О Р-АНАЛИТИЧЕСКИХ ФУНКЦИЯХ 447
Поскольку Ч^) является граничным значением функ-
ции, р-аналитической в области/?', то интеграл вида D6.12)
при F = W(x) и z <? D' равен нулю. Устремляя z к z0,
на основании второй из формул D6.13) будем иметь
Аналогичные соотношения справедливы для функций
Ф(,о) -^Ф(«.).
Подставляя D6.38) в D6.39),после преобразований по-
яучим
ф (*«) - 4" I Re ф (т)
ь
+ -L f Im Ф (т) d kff (t, *,)— (E - *0) -^ Q (t, zo)l -
= B (z0), D6.40)
Здесь ядро имеет слабую особенность того же типа,
что и в § 37. Разрешимость уравнения D6.40) показана в
упоминавшихся выше работах. Пример числового реше-
ния дан в статье [159]. Хотя полученное уравнение было
исследовано в предположении, что упругое тело не имеет
общих точек с осью симметрии, его распространение на
тела, пересекающие ось симметрии, по-видимому, не
встретит затруднений, если воспользоваться результа-
тами § 37. ,
Легко показать, что ядра уравнений D6.40) и C6.10)
мало отличаются одно от другого (особенно в случае пер-

448 ИСПОЛЬЗОВАНИЕ СВЯЗЕЙ МЕЖДУ ФУНКЦИЯМИ 1ГЛ. VIII
вой основной задачи). Однако между этими уравнениями
имеется принципиальное различие. Уравнение C6.10),
как мы уже отмечали, является аналогом уравнения
Д. И. Шермана плоской задачи ([93], § 102). В качестве
искомой функции там выступает некоторая произвольная
плотность F{x) обобщенного интеграла типа Копта. Урав-
нение D6.40) по способу получения аналогично уравнению
Н. И. Мусхелишвили ([93], § 98). Искомой функцией яв-
ляется граничное значение р-аналитической функции Ф (z).
Это обстоятельство может повлечь за собой дополнитель-
ные погрешности при численном решении, так как требо-
вание р-аналитичности существенно использовалось при
выводе интегрального уравнения D6.40), и его нарушение
отражается на соответствии между интегральным урав-
нением и граничными условиями D6.16)—D6.17).
С другой стороны, в случае первой основной задачи
уравнение D6.40) имеет более простое ядро по сравнению
с C6.10). Кроме того, после решения уравнения D6.40) мы
сразу получаем граничное значение ^-аналитической функ-
ции, в то время как после решения C6.10) соответствующее
значение еще нужно будет найти путем вычисления обоб-
щенного интеграла типа Коши.
5. Помимо осесимметричных задач р-аналитические
функции находят применение в теории кручения круглых
валов переменного диаметра [103]. В этом случав пере-
мещения w и напряжения ст2, стг, ст9, хгт равны пулю,
а перемещение v и напряжения тг6, тг9 не зависят от угла
0 и удовлетворяют уравнениям
= Gr±(JLy D6.42)
Первое из этих уравнений дает возможность ввести фун-
кцию напряжений ср. Введем еще функцию перемещений
¦ф = v/r, равную углу закручивания элементарной труб-
ки радиуса г. Тогда
1 9ф Г Эф 1 г?ф дф
Отсюда видно, что f(t) = i)j(z, r) + jcp(z, г) является
р-аналитической функцией переменного t = z + ir с ха-

§ 46] СВЕДЕНИЯ О Р-АНАЛИТИЧЕСКИХ ФУНКЦИЯХ 449
рактернстпкой р = Gr5. Для напряжепий и перемещений
имеют место выражения
T,e+iTre = 2Gr4-Re/= -2~1т/, y = rRe/.
at r at
D6.43)
Касательные силы рв, действующие на поверхности
вала, можно представить в форме
dr dz 1 Зш 1
D8.44)
(ds — дифференциал дуги контура меридионального се-
чения).
Если боковая поверхность вала не загружена, Im / =
= const на границе области D', занятой меридиональным
сечением тела в полуплоскости г > 0.
Полученные представления могут быть использованы
для решения задач кручения методами теории р-аналитиче-
ских функций. Кроме того, при помощи теоремы о со-
хранении области, справедливой для р-аналитических
функций, удается получить сравнительно простые оценки
некоторых интегральных характеристик (например, акси-
ального значения вектора напряжений на боковой поверх-
ности вала), что важно при расчетах коэффициента
концентрации напряжений около выточек и других непра-
вильностей. Более подробно этот вопрос освещен в упоми-
навшейся монографии Г. Н. Положил [112].
29 а. я. Александров, Ю. И. Соловьев

ЛИТЕРАТУРА
1. Абрамян Б. Л., Александров А. Я., Осесимметрич-
ные задачи теории упругости. «Механика деформируемого тела».
Тр. II Всесоюзн. съезда по теорет. и прикладной механике,
вып. 3, Обзорные доклады, «Наука», М., 1966, стр. 7—37.
2. Александров А. Я., Об одном приближенном методе ре-
шения плоских контактных задач теории упругости. Тр. Иово-
сиб. ин-та инж. ж. д. тр-та, 1955, вып, 11, стр. 5—28.
3. Александров А. Я., Некоторые решения осесимметрич-
ных контактных задач теории упругости". Тр. Новосиб. ин-та
инж. ж. д. тр-та, 1955, вып. 11, стр. 29—61.
4. Александров А. Я., Напряжения и перемещения в упру-
гом пространстве при действии равномерно распределенной
нагрузки по кольцу. Тр. Новосиб. ин-та инж. ж. д. тр-та, 1955,
вып. 11, стр. 62—88.
5. А л е к с а н д р о в А. Я., Некоторые зависимости между реше-
ниями плоской и осесимметричнои задач теории упругости для
бесконечной плиты. Докл. АН СССР, 1959, т. 128, № 1,
стр. 57—60.
6. Александров А. Я., Некоторые зависимости между реше-
ниями плоской и осесимметричнои задач теорий упругости и
решение осесимметричных задач при помощи аналитических
функций. Докл. АН СССР, 1959, т. 129, № 4, стр. 754—757.
7. Александров А. Я., Решение осесимметричных задач
теории упругости при помощи аналитических функций. Докл.
АН СССР, 1961, т. 139, № 2, стр. 337—340.
8. Александров А. Я., Решение осесимметричных задач
теории упругости при помощи зависимостей между осесиммет-
ричными и плоскими состояниями. ПММ, 1961, т. 25, вып. 5,
стр. 912—920.
9. Александров А. Я., О решении осесимметричных задач
теории упругости методами теории функций комплексного
переменного. Сб. «Некоторые проблемы математики и механи-
ки» (К 60-летию акад. М. А. Лаврентьева), Изд-во СО АН СССР,
Новосибирск, 1961, стр. 42—46.
Ю. Александров А. Я., Некоторые соответствия между
функциями напряжений осесимметричнои и плоской задач тео-
рии упругости и решение осесимметричнои задачи для беско-
нечного полого тяжелого конуса. Изв. СО АН СССР, 1962,
№ 2, стр. 15—24.
11. Александров А. Я., О решении пространственной осесим-
метричнои упругой задачи с объемными силами или температур-
ными напряжениями при помощи аналитических функций.
Изв. АН СССР, ОТН, Механика и машиностр., 1962, № 4,
стр. 130—133.

ЛИТЕРАТУРА 451
12. Александров А. Я., Решение пространственной осесим-
метричной упругой задачи с объемными силами или температу-
рами при помощи аналитических функций. Тр. научн. совещ.
по тепловым напряжениям в элементах конструкций, Изд-во
АН УССР, Киев, 1963, вып. 3, стр. 62—68.
13. Александров А. Я., О решении пространственных
осесимметричных упругих задач с объемными силами или тем-
пературными напряжениями и решение этих задач для сферы.
Изв. АН СССР, ОТН, Механика и машиностр., 1964, № 1,
стр. 206—208.
14. А л е к с а н д р о в А. Я., Представление компонентов прост-
ранственного осесимметричного состояния трансверсально-
изотропного тела при помощи функций комплексного перемен-
ного и контурных интегралов. Изв. АН СССР, ОТН, Механика
и машиностр., 1964, № 2, стр. 149—152.
15. Александров А. Я., Решение пространственных осесим-
метричных упругих задач с объемными силами или температур-
ными напряжениями для шара и пространства с шаровой по-
лостью. «Тепловые напряжения в элементах конструкций»,
Докл. научн. совещ., АН УССР, Киев, 1964, вып. 4, стр. 55—62.
16. А л е к с а н д р О в А. Я., Решение осесимметричных и некото-
рых других пространственных задач теории упругости при помо-
щи аналитических функций. Тр. Междунар. симп. «Приложения
теории функций в механике сплошной среды» (Тбилиси, 1963),
«Наука», М., 1965, стр. 97—118.
17. Александров А. Я., О некоторых методах численного
решения пространственных задач теории упругости для тел
вращения. Тр. конференции по численным методам. Вычислит,
центр СО АН СССР, Новосибирск, 1969, стр. 4—29.
18. Александров А. Я., Решение пространственных задач
теории упругости для тел вращения при помощи аналитических
и обобщенных аналитических функций. «Механика деформи-
руемого тела и расчет сооружений», Тр. Новосиб. ин-та инж.
ж. д. тр-та, 1970, вып. 96, стр. 5—35.
19. А л е к с а н д р о в А. Я., О распространении метода решения
пространственных задач теории упругости для тел вращения
при помощи аналитических функций на некоторые неосесим-
метричные тела. «Механика деформируемого тела и расчет со-
оружений», Тр. Новосиб. ин-та инж. ж. д. транспорта, 1970,
вып. 96, стр. 36—41.
20. А л е к с а н д р о в А. Я., Решение пространственных задач
теории упругости при помощи аналитических функций и кон-
турных интегралов для некоторых неосесимметричных тел.
Докл. АН СССР, 1970, т. 191, № 5, стр. 1011—1014.
21. Александров А. Я., Решение некоторых классов трех-
мерных задач теории упругости при помощи аналитических
функций. Сб. «Механика сплошной среды и родственные пробле-
мы анализа» (К 80-летию акад. Н. И. Мусхелшпвили), «Наука»,
М., 1972, стр. 13—29.
22. Александров А. Я., Решение основных трехмерных задач
теории упругости для тел произвольной формы путем числен-
ной реализации метода интегральных уравнений. Докл.
АН СССР, 1973, т. 208, № 2, стр. 291—294.
29*

452 ЛИТЕРАТУРА
23. А л о к с а н д р о в А. Я., Решение основных задач теории
упругости путем численной реализации метода интегральных
уравнении. Сб. «Успехи механики деформ. сред» (К 100-летию
со дня рожд. акад. Б. Г. Галеркиыа), «Наука», М., 1975,
стр. 3—24.
24. Александров А. Я., Алексеев Н. В., Д и т-
м а н А. О., Ж и л и с В. И., К и р и л е н к о А. Л., С о л о-
в ь е в 10. И., Исследование напряжений и деформаций в спи-
ральных сверлах. Материалы научн.-техн. симп. «Прогрессив-
ные конструкции сверл и их рациональная эксплуатация»,
Вильнюс, 1074, 40 стр.
25. Александров А. Я., ВольпертВ. С, О применении
одного метода решения осесимметричных задач теории упру-
гости к задаче о шаре а о пространстве с шаровой полостью.
Изв. АН СССР, ОТН, Механика и машиностр., 1961, № 6,
стр. 106—109.
26. А л е к с а н д р о в А. Я., В о л ь п е р т В. С, Решение прост-
ранственных задач теории упругости для трансверсально-изо-
тропного тела вращения при помощи аналитических функций.
Изв. АН СССР, Мех. тв. тела, 1967, № 5, стр. 84—91.
27. А л е к с а н д р о в А. Я., В о л ь п е р т В. С, Некоторые
задачи о концентрации напряжений около эллипсоидальной
полости в трансверсально-изотропном теле. Изв. АН СССР,
Мех. тв. тела, 1970, Л» 1, стр. 115—121.
28. Александров А. Я., В о л ь п е р т В. С, Решение
пространственной осесимметричной задачи термоупругости для
трансверсально-изотропного тела. Сб. «Тепловые напряжения
в элементах конструкций», АН УССР, Киев, 1970, вып. 8,
стр. 102—110.
29. Александров А. Я., В о л ь п е р т В. С, О л е-
г и н И. П., Решение некоторых осесимметричпых задач стацио-
нарной динамической теории упругости для изотропного тела.
«Динамика сплошной среды». Сб. научн. тр. Ин-та гидроди-
намики СО АН СССР, Новосибирск, 1974, вып. 19—20,
стр. 14—21.
30. Александров А. Я., Вольперт В. С, Оле-
ги н И. П., Решение некоторых задач стационарной динами-
ческой теории упругости при помощи аналитических функций.
Изв. АН СССР, Мех. тв. тела, 1975, № 5, стр. 78—85.
31. А л е к с а н д р о в А. Я., Вольперт В. С, О л е-
г и н И. П., Решепие некоторых плоских и пространственных
осесимметричных задач стационарной динамической термо-
упругости. «Механика деформируемого тела и расчет сооруже-
ний», Тр. Новосиб. пн-та инж. ж. д. тр-та, 1975, вып. 167,
стр. 18—36.
32. А л е к с а н д р о в А. Я., С о л о в ь е в Ю. И., Одна форма
решения пространственных задач теории упругости при помо-
щи функций комплексного переменного и решение этих задач
для сферы. ПММ, 1962, т. 26, вып. 1, стр. 138—145.
33 Александров А. Я., Соловьев Ю. И., Решение
пространственной осесимметричиой задачи теории упругости
при помощи контурных интегралов. ПММ, 1964, т. 28, вып. 5,
стр. 914—919.

ЛИТЕРАТУРА 453
34. Александров А. Я., Соловьев Ю. И., Об обобщении
метода решения осесимметричных задач теории упругости при
помощи аналитических функций на пространственные задачи
без осевой симметрии. Докл. АН СССР, 1964, № 2, стр. 294—
297.
35. Александров А. Я., Соловьев Ю. И., Применение
аналитических функций комплексного переменного к решению
пространственных неосесиыметричных задач теории упругости
для тела вращения. Изв. АН СССР, Механика, 1965, № С,
стр. 95—99.
36. Александров А. Я., Соловьев Ю. И., Решение
пространственных задач теории упругости для изотропных и
трансверсально-изотропных тел вращения при помощи ана-
литических и обобщенных аналитических функций. Докл. на
III Всесоюзн. съезде по теорет. и прикладной механике. Сб.
«Расчет простр. констр.», Стройиздат, м., 1970, вып. 13,
стр. 68—81.
37. Александров А. Я., СоловьевЮ. И., О приведении
пространственных осесимметричных задач теории упругости к
интегральным уравнениям. Сб. «Проблемы механики твердого
деформированного тела» (К 60-летию акад. В. В. Новожилова),
«Судостроение», Л, 1970, стр. 21—29.
38. Александров А. Я., Соловьев Ю. И., Двумерная
задача для упругого винта. Изв. АН СССР, Мех. тв. тела,
1974, № 1, стр. 28—35.
39. Александрович А. И., Решение трехмерных задач
теории упругости с использованием теории функций двух комп-
лексных переменных. Деп. ВИНИТИ JV» 2594—75, 19 стр.
40. Александрович А. И., Применение теории функций
двух комплексных переменных в теории упругости. Докл.
АН СССР, 1977, т. 232, Л» 3, стр. 542—544.
41. А р ж а н ы х И. С, Б о и д а р о н к о В. А., Приложение тео-
рии функций комплексного переменного к трехмерным задачам
математической теории упругости. «Математическая физика»,
Тр. Ин-та математики ЛИ Уз. ССР, Ташкент, 1961, вып. 23,
стр. 35—52.
42. БезуховН. И., Теория упругости и пластичности. Гостех-
издат, М., 1953, 420 стр.
43. Беленький М. Я., Некоторые осесимметричные задачи тео-
рии упругости. ПММ, 19C0, т. 24, вып. 3, стр. 582—584.
44. БелоносовС. М., Применение интегральных уравнений к
задаче о кручении валов переменного сечения. ПММ, 1960,
т. 24, вып. 6, стр." 1042—1046.
45. БелоносовС. М., Интегральные уравнения красных задач
для уравнений Лапласа и Гельмгольца в случае io.i вращения.
Сб. «Вычислительные системы», Изд-во СО АН СССР, Ново-
сибирск, 1964, вып. 12, стр. 5—25.
46. Бойко Л. Т., Сферический разрез в упругом пространстве
под действием внутреннего давления. Прикладная механика,
1972, т. 8, вып. 4, стр. 54—61.
47. Б о й к о Л. Т., 3 ю з и н В. А., М о с с а к о в с к и н В. И.,
Сферический разрез в упругом пространстве. Докл. АН СССР,
1968, т. 181, № 6, стр. 1357—1300.

454 ЛИТЕРАТУРА
48. Б о н д а р е в а В. Ф., О действии осесимметричной нормаль-
ной нагрузки на упругий шар. ПММ, 1969, т. 33, вып. 6,
стр. 1029—1033.
49. Б о и д а р е в а В. Ф., Контактная задача для весомого иолу-
шара. Тр. метролог, ин-тов СССР, ВНИИ физ.-тсхн. и радио-
техн. измерений, 1974, вып. 119 A79), стр. 3—13.
50. В е к у а И. Н., Системы дифференциальных уравнений перво-
го порядка эллиптического типа и граничные задачи с примене-
нием к теории оболочек. Матем. сборник, Новая серия, 1952,
т. 31 G3), вып. 2, стр. 217—314.
51. В е к у а И. Н., Обобщенные аналитические функции. Физмат-
гиз, М., 1959, 628 стр.
52. В о л ь п е р т В. С, Решение основных задач осесимметричной
теории упругости для полой сферы. «Строительная механи-
ка»,Тр.Новосиб. ин-та инж. ж. д. тр-та, 1967, вып. 62, стр. 96—
102.
53. В о л ь п е р т В. С, Решение основных задач осесимметричной
теории упругости для эллипсоида вращения и пространства с
эллипсоидальной полостью. «Строительная механика», Тр.
Новосиб. ин-та ишк. ж. д. тр-та, 1967, вып. 62, стр. 103—
110.
54. В о л ь п е р т В. С, Пространственная задача теории упру-
гости для эллипсоида вращения и эллипсоидальной полости.
МТТ, 1967, № 3, стр. 118—124.
55. В о л ь п е р т В. С, Решение основных задач теории упруго-
сти для трансверсально-изотропного параболоида и двухполост-
ного гиперболоида вращения. «Механика деформируемого тела
и расчет сооружений», Тр. Новосиб. ин-та инж. ж. д. тр-та,
1970, вып. 96, стр. 158-165.
56. Вольперт В. С, Концентрация напряжений около эллип-
соидальной полости или включения в трансверсально-изотроп-
ном теле. «Механика деформируемого тела и расчет сооруже-
ний», Тр. Новосиб. ин-та инж. ж. д. тр-та, 1972, вып. 137,
стр. 56—78.
57. В о л ь п е р т В. С, О л е г и н И. П., Осесимметричное
напряженное состояние пространства, содержащего систему
сферических полостей или включений. Деп. ВИНИТИ
№ 3266—77.
58. Г а л и н Л. А., Контактные задачи теории упругости. Гостех-
издат, М., 1953, 264 стр.
59. Г а х о в Ф. Д., Краевые задачи. Изд. 2, Физматгиз, М., 1963,
640 стр.
60. Г о б с о н Е. В., Теория сферических и эллипсоидальных
функций. ИЛ, М., 1952, 476 стр.
61. ГрадштейнИ. С, Рыжик И. М., Таблицы интегралов,
сумм, рядов и произведений. Изд. 2, Физматгиз, М., 1962,
1109 стр.
G2. Д а н и л ю к И. И., Об общем представлении осесимметричных
полей. Журн. приклад, механ. и техн. физики, 1960, № 2,
стр. 22—33.
63. Д а н и л го к И. И., Обобщенная формула Коши для осесим-
метричных полей. Сиб. матем. журн., 1963, т. IV, № 1,
стр. 48—85.

ЛИТЕРАТУРА 455
64. Д а н и л ю к И. И., Исследование пространственных осесям-
метрячных краевых задач., Сиб. матем. журн., 1963 т IV,
№ 6, стр. 1271—1310.
65. 3 ю з я и В. А., М о с с а к о в с к и й В. И., Осесимметричное
нагружение пространства со сферическим разрезом. ПММ, 1970.
т. 34, вып. 1,и стр. 179—183.
66. Капшивий О. О., Про розв'язанпя осесиметричних задач
'reopii пружност! для шару з цилшдричпою порожниною. Bic-
няк Кшв. ун-ту, № 4, сер. матем., мех., 1961, вйп. 1,
стр. 96-106.
67. Капшивий О. О., Застосування методу р-анал1тичних
функцш до розв'яяання одше1 задач1 для шаруватого
цилшдра. Прикл. мехашка, 1963, 1963, т. 9, вип. 6,
стр. 670—676,
68. Капшявый А. А., Применение р-аналитических функций
к решению краевых задач ососимметричной термоупругости.
Сб. «Вопросы матем. физики и теория функций», АН УССР,
Киев, 1964, № 1, стр. 24—34.
69. К а п ш и в ы й А. А., Применение ^-аналитических функций
к решению одной задачи осесимметричной теории упругости для
слоястого конечного цилиндра. «Вычисл. математики», Меж-
вед, иаучн. сб., Киев, 1966, вып. 2, стр. 115—123.
70. К а п ш и в ы й А. А., Копыстыра Н. П., Осесимметрич-
ные Задачи для упругого пространства с системой соосных кру-
говых разрезов. Прикладная механика, 1974, т. 10, вып. 10,
стр. 113—119.
71. КапшивыйА. А., Л о м о н о с Л. Н., К решению осесим-
метричных задач теории потенциала и теории упругости для
шара и для пространства с шаровой полостью. Сб. «Вычисл. и
приклад, математика», Изд-во КГУ, Киев, 1971, вып. 15,
стр. 129—140.
72. К а п ш и в ы й А. А., М а с л ю к Г. Ф., Решение смешанной
осесимметричной задачи теории упругости для полупространст-
ва методом р-аналитических функций. Прикладная механика,
1967, т. 3, вып. 7, стр. 21—27.
73. К а п ш и в ы й А. А., Маслюк Г. Ф., О решения первой
основной задачи осесимметричной теории упругости для прост-
ранства с плоскими трещинами методом р-аналитических функ-
ций. «Вычисл. и приклад, математика», Межвед. научн. сб.,
Киев, 1969, вып. 8, стр. 65—79.
74. К а п ш и в ы й А. А., Ногин Я. В., К решению основных
задач осесямметричной теории упругости для пространства со
сферическим разрезом. «Матем. физика», Респ. межвед. сб.,
Киев, вып. 9, стр. 38—47.
75. К а р с л о у Г., Егер Д., Теплопроводность твердых тел.
«Наука», 1964, 487 стр.
76. К л е й н Г. К., Учет неоднородности, разрывности деформаций
и других механических свойств грунта при расчете сооружения
на сплошном основании. Сб. тр. Моск. инж.-стр. ин-та, М.,
1956, № 14, стр. 168—180.
77. К л я ч к о С. Д., Нелинейное подобие в задаче кручения
упругого, упруго-пластического и вязко-упругого тела
вращения. Докл. АН СССР, 1973, т. 210, № 4, стр. 791—794.

456 ЛИТЕРАТУРА ' '
78. К у п р а д з е В. Д., Методы потенциала в теории упругости.
Физматгиз, М., 1963, 472 стр.
79. Л а в р е н т ь е в М. А., Ш а б а т Б. В., Методы теории функ-
ций комплексного переменного. Изд. 3, «Наука», М., 1965,
716 стр.
80. Л е б е д е в Н. Н., Специальные функции и их приложения.
Изд. 2, Физматгиз, М., 1963, 358 стр.
81. ЛебедевН. Н., СкальскаяИ. П., О разложении про-
извольной функции в интеграл по присоединенным сферическим
функциям. ПММ, 1968, т. 32, вып. 3, стр. 421—427.
82. Л е х н и ц к и и С. Г., Теория упругости анизотропного тела.
.Изд. 2, «Наука», М., 1977, 416 стр.
83. Лурье А. И., Пространственные задачи теории упругости.
Гостехиздат, М., 1955, 492 стр.
84. Л у р ь е А. И., Теория упругости. «Наука», М., 1970, 940 стр.
85. Л я в А., Математическая теория упругости. ОНТИ, М.— Л.,
1935, 676 стр.
86. МанджавидзеГ. Ф., Об одном сингулярном интеграль-
ном уравнении с разрывными коэффициентами и его примене-
нии в теории упругости. ПММ, 1951, т. 15, вып. 3, стр. 279—296.
87. Мельниченко И. П., П и к Е. М., Кватернионные пере-
менные и гиперкомплексные потенциалы в механике сплошной
среды. Прикладная механика, 1973, т. 9, вып. 4, стр. 45—50.
88. Михайлов Л. Г., Новый класс особых интегральных урав-
нений и его применение к дифференциальным уравнениям с
сингулярными коэффициентами. Душанбе, 1963, 183 стр.
89. М и х л и н С. Г., Сингулярные интегральные уравнения.
УМН, 1948, т. 3, вып. 3 B5), стр. 29—112.
90. М и х л и н С. Г., Лекции по линейным интегральным уравне-
ниям. Физматгиз, М., 1959, 232 стр.
91. Моссаковский В. И., Основная смешанная задача тео-
рии упругости для полупространства с круговой линией разде-
ла граничных условий. ПММ, 1954, т. 18, вып. 2, стр. 187—196.
92. Мустафаев А. А., О некоторой связи между плоской и
пространственной осесимметричной задачей теории упругости.
Докл. АН Азерб. ССР, 1959, т. 15, № 11, стр. 993—998.
93. МусхелишвилиН. И., Некоторые основные задачи мате-
матической теории упругости. Изд. 5, «Наука», М., 1966,
708 стр.
94. МуехелишвилиН. И., Сингулярные интегральные урав-
нения. Изд. 3, «Наука», М., 1968, 512 стр.
95. Н е й б е р Г., Концентрация напряжений. Гостехиздат, М.,
1947, 204 стр.
96. Н е м и ш Ю. Н., Упругое равновесие трехмерных деформируе-
мых тел, ограниченных некруговыми цилиндрическими поверх-
ностями. МТТ, 1973, № 2, стр. 77—86.
97. П а п к о в п ч П. Ф., К вопросу об аналогии между плоской
задачей теории упругости и задачей о деформации, симметрич-
ной относительно оси. ПММ, 1939, т. 3, вып. 3, стр. 45—66.
98. П а п к о в и ч П. Ф., Теория упругости. Оборонгиз, Л.— М.,
1939, G39 стр.
99. П а р т о и В. 3., П е р л и н П. И., Интегральные уравнения
основных пространственных и плоских задач упругого равно-

ЛИТЕРАТУРА 457
вееия. «Механика твердого деформируемого тела», т. 8,
ВИНИТИ, М., 1975, 84 стр.
100. Подильчук Ю. Н., Деформация упругого сфероида.
Прикладная механика, 1967, т. 3, вып. 12, стр. 34—42.
101. Подильчук Ю. Н., Деформация упругого параболоида
вращения. Прикладная механика, 1969, т. 5, вып. 12, стр. 28—
34.
102. Положий Г. Н., О ^-аналитических функциях комплекс-
ного переменного. Докл. АН СССР, 1947, т. 58, № 7,
стр. 1275—1278.
103. Положий Г. Н., Вариационно-топологические теоремы
краевых задач теории кручения валов переменного сечения.
Метод сохранения области и мажорантных областей. Изв.
АН СССР, сер. матем., 1955, т. 19, № 3, стр. 245—270.
104. П о л о ж i й Г. М., Метод р-аналггичних функщй в осееимет-
ричнш Teopii пружность Наук. щор1чн. Киш, ун-ту за
1956 р., Кшв, 1957, стр. 529—530.
105. Положий Г. Н., К вопросу о (р, ^-аналитических функ-
циях комплексного переменного и их применениях. Revue Math,
pur. et appl., Acad. R. P. Roumaine, 1957, t. 2, pp.331—
361.
106. П о л о ж i й Г. М., Про одне штегральне перетворення уза-
гальнених аналггичних функцщ. Вкник Ки!в. ун-ту, сер.
астрон., матем., мех., 1959, № 2, в. 1, стр. 19—29.
107. Положий Г. Н., О (р, ^-аналитических функциях комп-
лексного переменного и некоторых их применениях. В сб.
«Иселед. по соврем, проблемам теории функций компл. перем.»,
Физматгиз, М., 1960, стр. 483—515.
108. П о л о ж и й Г. Н., О краевых задачах осесимметричной тео-
рии упругости. Метод ^-аналитических функций комплексно-
го переменного. Укр. матем. журн., 1963, т. 15, № 1, стр. 25—
45.
109. Положий Г. Н., О применениях ^-аналитических и (р,
(^-аналитических функций. Тр. Между нар. симп. «Приложения
теории функций в механике сплошной среды» (Тбилиси, 1963),
«Наука», М., 1965, стр. 309—326.
НО. П о л о ж и й Г. Н., Об одной задаче теории осесимметрично-
го потенциала и о системе кругового и кольцевого штампов.
Прикладная механика, 1967, т. 3, вып. 12, стр. 16—27.
111. Положий Г. Н., Об интегральных представлениях р-анали-
тических функций и решений оеееимметричных задач теории
упругости. Прикладная механика, 1969, т. 5, вып. 4,
стр. 1 — 17.
112. Положи й Г. II., Теория и применение р-аналитических и
(р, (^-аналитических функции. Изд. 2, «Наукова думка», Киев,
1973, 424 стр.
113. П о л о ж i й Г. М., К а п ш н в и й О. О., Про розв'язания
осеепметричних задач Teopii пружиост1 для скшчешюго ци-
лшдра. Прикл. мехашка, 1961, т. 7, вип. 6, стр. 616—626.
114. П о л о ж и и Г. Н., У л и т к о А. Ф., О формулах обращения
основного интегрального представления р-аналцтнческнх
функций с характеристикой р = xh. Прикладная механика,
1965, т. 1, вып. 1, стр. 39—51.

458 ЛИТЕРАТУРА
115. П о л о ж i й Г. М., ЧемерисВ. С, До питания про засто-
сування р-аналггичних функщй в осесиметричнш теорп пруж-
носй. Доповда АН УРСР, 1958, № 12, стр. 1284—1287.
116. Положил Г. Н., Ч е м е р и с В. С., Об интегральных
уравнениях осесимметричпой теории упругости. Сб. «Иссле-
дования по современным проблемам теории функций комплекс-
ного переменного», Физматгнз, М., 1961, стр. 399—412.
117. Попов Г. Я., О связи между трехмерными и двумерными
напряженными состояниями в статической и динамической
упругости неоднородных тел. Докл. АН СССР, 1976, т. 228,
№ 3, стр. 566—569.
118. Прохорова Н. Л., С о л о в ь е в Ю. И., Осесимметрич-
ная задача для упругого пространства со сферическим разре-
зом. ПММ, 1976, т. 40, вып. 4, стр. 692—698.
119. Раджабов Н., Обращение одного интегрального уравне-
ния осесимметрической теории упругости. Докл. АН Тадж.
ССР, 1963, № 6, стр. 3—6.
120. Ростовцев Н. А., Комплексные функции напряжений в
осесимметричной контактной задаче теории упругости. ПММ,
1953, т. 17, вып. 5, стр. 611—614.
121. Ростовцев Н. А., К задаче о кручении упругого полу-
пространства. ПММ, 1955, т. 19, вып. 1, стр. 55—60.
122. Ростовцев Н. А., Комплексные потенциалы в задаче о
штампе, круглом в плане. ПММ, 1957, т. 21, вып.1, стр. 77—82.
123. Ростовцев Н. А., К теории упругости неоднородной
среды. ПММ, 1964, т. 28, вып. 4, стр. 601—611.
124. Ростовцев Н. А., ХраневскаяИ. Е., Решение за-
дачи Буссинеска для полупространства при степен-
ной зависимости модуля упругости от глубины. ПММ, 1971,
т. 35, вып. 6, стр. 1053—1061.
125. С а в и н Г. Н., П о д и л ь ч у к Ю. Н., Деформация упруго-
го двухполостного гиперболоида вращения. Прикладная ме-
ханика, 1969, т. 5, вып. 2, стр. 36—43.
126. С в е к л о В. А., Задачи типа Буссинеска для анизотропного
полупространства. ПММ, 1964, т. 28, вып. 5, стр. 908—913.
127. С в е к л о В. А., Сосредоточенная сила в трансверсально-
изотропном полупространстве и составной пространстве. ПММ,
1969, т. 33, вып. 3, стр. 531—537.
128. С в е к л о В. А., Действие штампа на упругое анизотропное
полупространство. ПММ, 1970, т. 34, вып. 1, стр. 172—178.
129. Смирнов В. И., Соболеве. Л., О применении нового
метода к изучению упругих колебаний в пространстве с осевой
симметрией. Тр. Сейсмолог, ин-та АН СССР, М., 1933, № 29,
48 стр.
130. СнеддонИ. Н., Б ер р и Д. С., Классическая теория упру-
гости. Физматгиз, М., 1961, 220 стр.
131. Соловьев Ю. И., Решение осесимметричиой задачи тео-
рии упругости для односвязных тел вращения. Инж. ж., 1965,
т. 5, вып. 3, стр. 469—476.
132. Соловьев Ю. И., Решение пространственной осесиммет-
ричной задачи теории упругости для многосвязных тел враще-
ния при помощи обобщенных аналитических функций. Докл.
АН СССР, 1966, т. 169, № 2, стр. 310-313.

ЛИТЕРАТУРА 459
133. Соловьев Ю. И., Основная смешанная задача осесиммет-
ричной теории упругости. ПММ, 1966, т. 30, вып. 5, стр. 956—
962.
134. СоловьевЮ. И., Некоторые вопросы, связанные с реше-
нием пространственной осесимметричной задачи теории упру-
гости при помощи обобщенных аналитических функций.
«Строительная механика», Тр. Новосиб. ин-та инж. ж. д. тр-та,
1967, вып. 62, стр. 5—35.
135. Соловьев Ю. И., Решение осесимметричной задачи тео-
рии упругости при помощи обобщенных интегралов типа Коши.
«Строительная механика», Тр. Новосиб. ин-та ивж. ж. д. тр-
та, 1967, вып. 62, стр. 36—63.
136. СоловьевЮ. И., Осесямметричная задача о действии сил,
распределенных по плоским и цилиндрическим поверхностям
внутри упругого полупространства. Изв. вузов, Стр. и арх.,
1967, № 4, стр. 68—73.
137. Соловьев Ю. И., Осесимметрнчная задача теории упру-
гости для тора и пространства с тороидальной полостью.
Изв. АН СССР, Мех. тв. тела, 1969, № 3, Стр. 99—105.
138. Соловьев Ю. И., Об интегральных уравнениях осесим-
метричной задачи теории упругости. Тр. конференции по чис-
ленным методам решения задач теории упругости и пластич-
ности, Новосибирск, 1969, стр. 30—36.
139. Соловьев Ю. И., Представление общего решения осесим-
метричной задачи теории упругости для многосвязных тел
вращения при помощи аналитических функций комплексного
переменного. «Механика деформируемого тела и расчет соору-
жений», Тр. Новосиб. ин-та инж. ж. д. тр-та, 1970, вып. 96,
стр. 42—61.
140. Соловьев Ю. И., О приведении пространственных осесим-
метричных задач теории упругости к граничным задачам для
аналитических функций комплексного переменного. ПММ,
1971, т. 35, вып. 5, стр. 918—925.
141. Соловьев Ю. И., Действие сил, осесимметрично распре-
деленных по плоским и цилиндрическим поверхностям внутри
упругого полупространства. «Механика деформируемого тела
и расчет сооружения», Тр. Новосиб. ин-та инж. ж. д. тр-та,
1972, вып. 137, стр. 11—26.
142. Соловьев Ю. И., Решение осесимметричной задачи тео-
рии упругости для трансверсально-изотроппых тел при помощи
обобщенных аналитических функций. ПММ, 1974, т. 38, вып. 2,
стр. 379—384.
143. Соловьев Ю. И., Представление общего решения осесим-
метричной задачи теории упругости с объемными силами при
помощи обобщенных аналитических функций. «Динамика
сплошной среды». Тр. Ин-та гидродинамики СО АН СССР,
Новосибирск, 1974, вып. 19—20, стр. 111—117.
144. СоловьевЮ. И., 3 а л е с о в Г. Ф., Приведение второй
основной задачи для упругого трансверсально-изотропного
тела вращения к интегральному уравнению типа Фредгольма
второго рода. «Механика деформируемого тела и расчет соору-
жений», Тр. Новосиб. ин-та инж. ж. д. тр-та, 1975, вып. 167,
стр. 37—47.

460 ЛИТЕРАТУРА
145. С о л о в ь е в Ю. И., П л е ш а к о в Ф. Ф., Осесимметричиое
напряженное состояние упругого пространства с цилиндри-
ческой выемкой конечной глубины. «Механика деформируемо-
го тела и расчет сооружений», Тр. Новосиб. ин-та инж. ж. д.
тр-та, 1972, вып. 137, стр. 27—36.
146. Соловьев Ю. И., Прохорова Н. Л., Решение в квад-
ратурах осесимметричной задачи о действии на упругую сферу
сосредоточенных и распределенных нагрузок. «Механика
деформируемого тела и расчет сооружений», Тр. Новосиб.
ин-та инж. ж. д. тр-та, 1972, вып. 137, стр. 126—136.
147. Соляник-КрассаК. В., Кручение валов переменного
сечения. Гостехиздат, М., 1949, 167 стр.
148. Соляник-Красса К. В., Решение осесимметричной
задачи в эллиптических координатах. Тр. Ленингр. политехи,
ин-та, 1958, № 195, стр. 5—25.
149. С т о я н Н. Н., О решении осесимметричных задач теории
упругости для гиперболоидального слоя методом р-аналити-
ческих функций. Доштд1 АН УРСР, сер. А, 1976, № 5,
стр. 427—432.
150. Т р и к о м и Ф., Интегральные уравнения. ИЛ, М., 1960,
299 стр.
151. Уздалев А. И., Плоская задача термоупругости для ани-
зотропного тела. Инж. ж., 1962, т. 2, № 2, стр. 280—286.
152. Уиттекер Е. Т., Ват сон В. Г., Курс современного
анализа, ч. I, Ф и з м а т г и з, М., 1933, 336 стр.
153. У л i т к о А. Т., Осесиметрична деформащя пружного пара-
болоЧда обертання. Доповщ! АН УРСР, сер. А, 1968,
№ 12, стр. 1126—1132.
154. У ф л я н д Я. С, Интегральные преобразования в задачах
теории упругости. Изд. 2, «Наука», Л., 1967, 402 стр.
155. Феппль А., Феппль Л., Сила и деформация, т. 2,
ОНТИ, М.— Л., 1936, 408 стр.
156. ЧемерисВ. С, До питания про застосування р-анал1тич-
них функцш в осесиметричнш Teopii пружность Допов1д1
АН УРСР, 1960, № 7, стр. 903-906.
157. ЧемерисВ. С, Одном1рн1 штегральш р1вняння осесимет-
рично! теорп пружность В1сник КДУ, сер. матем,, мех., Ки?в,
1960, № 3, вип. 2, стр. 105—112.
158. ЧемерисВ. С, Про метод наближеного розв'язання дру-
ro'i основной осесиметричног задач! Teopii пружность Прикл.
мехашка, 1963, т. 9, вип. 1, стр. 68—76.
159. Ч е м е р и с В. С, Об интегральных уравнениях осесиммет-
ричной теории упругости. Прикладная механика, 1965, т. 1,
вып. 5, стр. 36—46.
160. Ч е м е р и с В. С, Застосування р-аналшгсних функцш в
осесиметричнш Teopii пружность Доповда АН УРСР, сер. А,
1967, № 8, стр. 716—719.
161. ЧемерисВ. С, О методе приближенного решения первой
основной задачи осесимметричной теории упругости. Приклад-
ная механика, 1969, т. 5, вып. 5, стр. 58—62.
162. Шапиро Г. С, Осееимметричные деформации эллипсоида
вращения. Докл. АН СССР, 1947, т. 58, № 7, стр. 1309^
1312.

ЛИТЕРАТУРА 461
163. Шерман Д, И., Некоторые случаи статической задачи тео-
рии упругости с осевой симметрией. Тр. Сейсмолог, ин-та,
Изд-во АН СССР, М.— Л., 1935, № 71, 23 стр.
164. Ш е р м а и Д. И., К решению плоской статической задачи тео-
рии упвлтостп при заданных на границе смещениях. Докл.
АН СССР, 1940, т. 27, № 9, стр. 911—914.
165. Ш е р м а н Д. И., К решению плоской статической задачи тео-
рии упругости пои заданных внешних силах. Докл. АН СССР,
1940, т. 28, № 1", стр. 25—28.
166. Шерман Д. И., Смешанпаи задача статической теории
уггоугости для плоских многосвязных областей. Докл.
АН СССР, 1940, т. 28, № 1, стр. 29—32.
167. Шерман Д. И., К решению плоской задачи теории упру-
гости для анизотропной среды. ПММ, 1942, т. 6, вып. 6,
стр. 509—514.
168. Ш е р м а н Д. И., Пространственная статическая задача тео-
рии упругости с заданными смещениями на границе. ПММ,
1943, т. 7, вып. 5, стр. 341—360.
169. Штаерман И. Я., Контактная задача теории упругости.
Гостехпздат, М., 1949, 270 стр.
170. Штернберг Э., Трехмепняя концентрация напряжений в
теории упругости. «Механика», Период, сб. переводов иностр.
статей, 1958, вып. 6E2), стр. 73—80.
171. AlexandrovA. Y., Solution of three-dimensional problems
of the theory of elasticity for solids of revolution by means of
analytical functions. Int. J. Solids Structures, 1968, vol. 4,
pp. 701—721.
172. В e r s L., Theory of pseudo-analytic functions. Lecture notes
(mimeographed). New York University, N. Y., 1953, 187 p.
173. D e a n W. R., P a r s о n s H. W., S n e d d о n I. N.. A type
of stress distribution on the surface of a semi-infinite elastic
solid. Proc. of the Cambridge Phil. Soc, 1044, vol. 40, part. 1,
pp. 5—19.
174. G о 1 e с k i J., Analogy between boundary value problems for
regions bounded by concentric circles and axially symmetrical
boundary value problems for regions bounded by concentric
spherical surfaces. Bull. Acad. Polon. Sci., 1957, cl. 4, vol. 5,
No. 6, pp. 327—333.
175. Green A., Zerna W., Theoretical elasticity. Oxford, 1968,
457 p.
176. К n о p s R. I., Uniqueness of axisymmetric elastostatic prob-
lems for finite regions. Arch. Rational Mech. a. Analysis, 1965,
vol. 18, No. 2, пр. 107—116.
177. Kumar G п h a M i h i r, Tiiree dimensional stress system
from plane stresses. «Revue Roumaine math, pures et appl.»,
1968, vol. 13, No. 2, pp. 171—175.
178. Mariner re K., Ebenes und achsensymmetrischen Problem
der Elastizitatsthoorio. Z. ang. Math. Mech., 1933, Bd. 13, H. 6,
S. 437-438.
179. M i n d 1 i n H. D., Force at a point in the interior of semi-infi-
nite solid. Physics, 1936, vol. 7, No. 5, pp. 195—202.
180. N e u b e r H., Em neuer Ansatz zur Losung raumlicher Prob-
leme der Elastizitatstheorie. Der Hohlkegel unter Einzellast

4 62 ЛИТЕРАТУРА
als Beispiele.Z. ang. Math. Mech., 1934, Bd. 14, H. 4, S. 203—
212.
181. Penrod D. D., An analogue of the Kolosoff-Muskhelishvili
formulae in three dimensions. Quart. Appl. Math., 1966, vol. 23,
No. 4, pp. 313—322.
182. P о s с h 1 Th., Zur Theorie des Druckversuchs fur zylindrische
Korper. Z. ang. Math. Mech., 1927, Bd. 7, H. 6, S. 424—425.
183. SternbergE., RosenthalF., The elastic sphere under
concentrated loads. Journ. of appl. mech., 1952, vol. 19, No. 4,
pp. 413-421.
184. Szelagowski F., Solution of three-dimensional problem
of the theory of elasticity in functions of complex variables.
Bull. Acad. Polon. Sci., Ser. sci. thechn., 1962, vol. 10, No. 7,
pp. 253—260.
185. Tang Li-mi n, Snn Hwan-ehun, Тпгзз-сПтзгшо
nal elasticity problems solved by complex variable method.
Scientia Sinica, 1963, vol. 12, No. 11, pp. 1627—1649.
186. Toshiaki Hat a, The solution of steady-state axisym-
metric termoelastic problems by means of complex variables.
Int. journal of eng. sci., N. Y., 1975, vol. 13, No. 15,
pp. 479-488.
187. WeberC, Achsensymmetrische Deformation vonUmdrehungs-
korpern. Z. ang. Math. Mech., 1925, Bd. 5, H. 6, S. 464—468.
188. W e h e r C, Zur Umwandlung von rotationssymmetrischea
Problem in zweidimensionale und umgekehrt. Z. ang. Math.
Mech., 1940, Bd. 20, H. 2, S. 117-118.
189. WeberC, Kugel mit normalgerichteton Einzelkraften. Z.
ang.lMath. Mech., 1952, Bd. 32, No. 6, S. 188—195.

Авраам Яковлевич Алекеанвро»
Юрий Ильич Соловьев
Пространственные вадачи
теории упругости
М., 1978 г., 464 стр. с илл.
Редактор А. Г. Мордеинцев
Техн. редактор И. Ш. Аксельрод
Корректор Л. С. Сомова
ИВ М 2195
Сдано в набор 10.04.78 Подписано к печати 27. 11. 78.
Т-22034. Бумага 84x108 1/32. Тип. № 2. Обыкновенная
гарнитура. Высокая печать. Условн. печ. л. 24,36.
Уч-изд. л. 25,09. Тираж 4700 вкз. Заказ JA 115.
Цена книги 2 р. 80 в.
Издательство «Наука»
Главная редакция физико-математической литературы
117071, Москва, В-71, Ленинский проспект, 15
4-я типография издательства «Наука»
630077, Новосибирск, 77, Станиславского, 25