/
Text
Владимир Дунчев
z
B
M
τ
ω
k
i
τ
C
r
y
j
τ
v
r
r
dφ
ds
v
M
τ
v
C
r
r
dφ
M
ds
v
A
x
y
y
(S)
B
(S)
φ
A
B1 Δψ
B
C1
C
A3
A
yA
xA
Δψ=Δφ
t
O
B2
B3
C2
Δφ
A1
t+Δt
O
x
x
РЪКОВОДСТВО ЗА РЕШАВАНЕ
НА ЗАДАЧИ ПО КИНЕМАТИКА
b
ω2
B
ωe
R2
ω1
R1
A
О1
vB
1
B1
О2
vA
vB vB vA
1
2
B2
vB
2
2020
a
A
ωr
Владимир Дунчев
Методично ръководство за
решаване на задачи по кинематика
УНЕВЕРСИТЕТСКО ИЗДАТЕЛСТВО
„ВАСИЛ АПРИЛОВ“
ГАБРОВО, 2020
Методичното ръководство за решаване на задачи по Кинематика е предназначено за
студентите от всички специалности в професионални направления „Машинно
инженерство“ и „Общо инженерство“, с цел по-лесно усвояване на учебния материал от
раздел Кинематика на дисциплината Механика I. В него са разгледани различни типове
задачи, които могат да послужат като основа за решаване на предвидените в учебния
план курсови задачи. Ръководството е структурирано в няколко основни раздела, в които
има кратки теоретични пояснения, последвани от решени примери.
Ръководството може да се използва като основа за решаване на конкретни проблеми
в инженерната практиката.
От автора
Владимир Петров Дунчев – автор, 2020
Методично ръководство са решаване на задачи по Кинематика
Българска
Първо
Рецензент: проф. Йордан Тодоров Максимов, дтн, ктн
Съдържание
Съдържание ...................................................................................... 3
I. Кинематика на точка .................................................................... 4
§1. Уравнение на движение ............................................................................................ 4
§2. Скорост на точка........................................................................................................ 4
§3. Ускорение на точка ................................................................................................... 5
§4. Изследване на движението на точка в естествени координати............................. 7
II. Кинематика на идеално твърдо тяло ....................................... 10
§1. Постъпателно движение на идеално твърдо тяло ................................................ 10
§2. Въртене около неподвижна ос на ИТТ .................................................................. 11
§3. Равнинно движение ................................................................................................. 16
§4. Преобразуване на въртеливи движения ................................................................ 25
III. Сложно движение на точка ..................................................... 31
§1 . Относително, преносно и абсолютно движение.................................................. 31
§2 . Теорема за абсолютната производна на векторна функция ............................... 32
§3 . Теорема за събиране на скоростите ...................................................................... 33
§4 . Теорема за събиране на ускоренията (на Кориолис) .......................................... 33
ЛИТЕРАТУРА ................................................................................ 38
3
I. Кинематика на точка
§1. Уравнение на движение
Определение – математичният модел, описващ зависимостта на заеманото от точката
положение в пространството във функция от времето, се нарича уравнение или закон на
движение.
Методи за задаване на движението:
- Векторен метод – движещата се точка се намира в неподвижната координатна
система Oxyz, като радиус-вектора ѝ се променя във времето - 𝑟𝑟⃗ = 𝑟𝑟⃗(𝑡𝑡);
�⃗ , където 𝚤𝚤⃗, 𝚥𝚥⃗ и 𝑘𝑘
�⃗ са единични вектори.
- Координатен метод - 𝑟𝑟⃗ = 𝑥𝑥𝚤𝚤⃗ + 𝑦𝑦𝚥𝚥⃗ + 𝑧𝑧𝑘𝑘
𝑥𝑥 = 𝑥𝑥(𝑡𝑡), 𝑦𝑦 = 𝑦𝑦(𝑡𝑡), 𝑧𝑧 = 𝑧𝑧(𝑡𝑡) – зависимости за уравненията на движение в декартова
координатна система.
- Естествен начин на задаване на движението на точка – при предварително известна
траектория на точката. Положението ѝ се задава чрез естествената координата 𝑠𝑠 = 𝑠𝑠(𝑡𝑡).
Траектория – кривата, която описва върха на радиус-вектора на точката.
z
M
k
I i
O
r
s
y
j
M
x
Фиг. 1а
Фиг. 1б
§2. Скорост на точка
2.1. Ходограф на векторна функция – кривата, описана от върха на векторната
функция �⃗
𝒇𝒇(𝒕𝒕) за последователните ѝ положения, когато се нанася от едно начало.
Траекторията на точката е ходограф на радиус-вектора ѝ.
4
z
ходограф на f(t)
M
v
vср
r(t)
f(t)
f(t+Δt)
О
r(t+Δt)
y
О
x
Фиг. 2а
M1
Δr
Фиг. 2б
2.2. Скорост
Определение за скорост – скоростта на точка е векторна величина, определяща
бързината, с която се изменя нейният радиус-вектор.
∆𝑟𝑟⃗
𝑣𝑣ср – средна скорост;
- ∆𝑡𝑡 = �����⃗
Границата на това отношение е: 𝑙𝑙𝑙𝑙𝑙𝑙
∆𝑟𝑟⃗
∆𝑡𝑡→0 ∆𝑡𝑡
= 𝑣𝑣⃗ – моментна скорост, или 𝑣𝑣⃗ = 𝑟𝑟⃗̇;
Проекциите на скоростта по координатните оси са равни на: 𝑣𝑣𝑥𝑥 = 𝑥𝑥̇ , 𝑣𝑣𝑦𝑦 = 𝑦𝑦̇ , 𝑣𝑣𝑧𝑧 = 𝑧𝑧̇ , за
големината на скоростта се получава: 𝑣𝑣 = �𝑣𝑣𝑥𝑥2 + 𝑣𝑣𝑦𝑦2 + 𝑣𝑣𝑧𝑧2 .
§3. Ускорение на точка
Определение за ускорение – ускорение на точка е векторна величина, определяща
бързината, с която се изменя векторът скорост на точка.
ходограф на v(t)
a
aср
Δv
v(t)
v(t)
v(t+Δt)
v(t+Δt)
О
О
Фиг. 3б
Фиг. 3а
�⃗
∆𝑣𝑣
𝑎𝑎ср – средно ускорение;
- ∆𝑡𝑡 = �����⃗
5
Δv
Границата на това отношение е: 𝑙𝑙𝑙𝑙𝑙𝑙
�⃗
∆𝑣𝑣
∆𝑡𝑡→0 ∆𝑡𝑡
= 𝑎𝑎⃗ – моментно ускорение, или 𝑎𝑎⃗ = 𝑣𝑣⃗̇ = 𝑟𝑟⃗̈;
Проекциите на ускорението по координатните оси са равни на: 𝑎𝑎𝑥𝑥 = 𝑣𝑣̇𝑥𝑥 , 𝑎𝑎𝑦𝑦 = 𝑣𝑣̇𝑦𝑦 , 𝑎𝑎𝑧𝑧 =
𝑣𝑣̇𝑧𝑧 , за големината на ускорението се получава: 𝑎𝑎 = �𝑎𝑎𝑥𝑥2 + 𝑎𝑎𝑦𝑦2 + 𝑎𝑎𝑧𝑧2 .
Задача 1. Точка започва да се движи по права линия, без начална скорост, с ускорение
𝑎𝑎(𝑡𝑡) = 3𝑡𝑡 2 − 𝑡𝑡 3 , където 𝑡𝑡 е времето в секунди. След колко секунди големината на
скоростта на точката отново ще бъде равна на нула.
Решение:
𝑣𝑣(𝑡𝑡) = ∫ 𝑎𝑎(𝑡𝑡)𝑑𝑑𝑑𝑑 = ∫(3𝑡𝑡 2 − 𝑡𝑡 3 )𝑑𝑑𝑑𝑑 =
𝑣𝑣(0) = 03 −
04
4
3𝑡𝑡 3
3
−
𝑡𝑡 4
4
+ 𝐶𝐶 = 𝑡𝑡 3 −
𝑡𝑡 4
4
+ 𝐶𝐶, но 𝑣𝑣(0) = 0 →
𝑡𝑡 4
+ 𝐶𝐶 → 𝐶𝐶 = 0. За скоростта се получава: 𝑣𝑣(𝑡𝑡) = 𝑡𝑡 3 − 4 . Разлага се
𝑡𝑡
полученият израз на множители и се получава: 𝑣𝑣(𝑡𝑡) = 𝑡𝑡 3 �1 − �. Очевидно първият
4
множител включва решение на задачата за началния момент, докато вторият множител
дава решение на задачата за търсения момент. Задачата се свежда до решаване на
𝑡𝑡
следното уравнение относно 𝑡𝑡: 1 − 4 = 0 → 𝑡𝑡 = 4 𝑠𝑠.
Задача 2. Точка се движи по права линия по закона 𝑥𝑥(𝑡𝑡) = 3𝑡𝑡 4 . След колко секунди
големината на ускорението на точката ще бъде а = 144 𝑚𝑚/𝑠𝑠 2 .
Решение:
а(𝑡𝑡) = 𝑥𝑥̈ (𝑡𝑡) → 𝑥𝑥̇ = 12𝑡𝑡 3 → 𝑥𝑥̈ = 36𝑡𝑡 2 → 36𝑡𝑡 2 = 144 → 𝑡𝑡 2 =
144
36
= 4 → 𝑡𝑡 = 2 𝑠𝑠.
Задача 3. Точка се движи по права линия с постоянно ускорение а = 4 𝑚𝑚/𝑠𝑠 2 . Да се
намерят големините на скоростта 𝑣𝑣 и преместването 𝑥𝑥 в края на третата секунда от
движението на точката, ако началните условия са: 𝑥𝑥(0) = 1 𝑚𝑚, 𝑣𝑣(0) = 2 𝑚𝑚/𝑠𝑠.
Решение:
За да се намери големината на скоростта 𝑣𝑣, се използва зависимостта: 𝑣𝑣(𝑡𝑡) = ∫ 𝑎𝑎(𝑡𝑡)𝑑𝑑𝑑𝑑,
откъдето за 𝑣𝑣 се получава: 𝑣𝑣(𝑡𝑡) = ∫ 𝑎𝑎(𝑡𝑡)𝑑𝑑𝑑𝑑 = ∫ 4𝑑𝑑𝑑𝑑 = 4𝑡𝑡 + 𝐶𝐶1. Използвайки началното
условие за скоростта 𝑣𝑣 се намира големината на константата 𝐶𝐶1 .
6
𝑣𝑣(0) = 4.0 + 𝐶𝐶1 → 2 = 0 + 𝐶𝐶1 → 𝐶𝐶1 = 2.
𝑣𝑣(𝑡𝑡) = 4𝑡𝑡 + 2 → 𝑣𝑣(3) = 4.3 + 2 = 14 𝑚𝑚/𝑠𝑠.
За преместването 𝑥𝑥 се използва зависимостта: 𝑥𝑥(𝑡𝑡) = ∫ 𝑣𝑣(𝑡𝑡)𝑑𝑑𝑑𝑑, откъдето за 𝑥𝑥 се
получава: 𝑥𝑥(𝑡𝑡) = ∫ 𝑣𝑣(𝑡𝑡)𝑑𝑑𝑑𝑑 = ∫(4𝑡𝑡 + 2) 𝑑𝑑𝑑𝑑 = 2𝑡𝑡 2 + 2𝑡𝑡 + 𝐶𝐶2. Използва се началното
условие за преместването 𝑥𝑥 , за да се намери големината на константата 𝐶𝐶2 .
𝑥𝑥(0) = 2. 02 + 2.0 + 𝐶𝐶2 → 1 = 0 + 0 + 𝐶𝐶2 → 𝐶𝐶2 = 1.
𝑥𝑥(𝑡𝑡) = 2𝑡𝑡 2 + 2𝑡𝑡 + 1 → 𝑥𝑥(3) = 2. 32 + 2.3 + 1 = 25 𝑚𝑚.
Задача 4. Точка се движи по закона 𝑥𝑥(𝑡𝑡) = 3𝑡𝑡 3 − 5𝑡𝑡, 𝑦𝑦(𝑡𝑡) = 20𝑡𝑡 − 12𝑡𝑡 3 . Да се намери
уравнението на траекторията на точката.
Решение:
След елиминиране на времето 𝑡𝑡 от уравненията на движение се намира траекторията
на точката:
3𝑡𝑡 3 − 5𝑡𝑡
3𝑡𝑡 3 − 5𝑡𝑡
𝑥𝑥
=
=
→ 𝑦𝑦 = −4𝑥𝑥.
𝑦𝑦 20𝑡𝑡 − 12𝑡𝑡 3 −4. (3𝑡𝑡 3 − 5𝑡𝑡)
§4. Изследване на движението на точка в естествени координати
4.1. Триедър на Frene
Траекторията на точка 𝑀𝑀 е предварително известна. Движението на точката в
пространството се отчита спрямо правоъгълната координатна система 𝑀𝑀𝜏𝜏𝑛𝑛𝑛𝑛, наречена
триедър на Frene, която се движи заедно с точката. Началото на координатната система
във всеки един момент съвпада с позицията на точката в пространството. Равнината, в
която се движи точката, се нарича оскулачна равнина. Тя е образувана от тангентата
𝑀𝑀𝜏𝜏 към траекторията на точката и нормалата 𝑀𝑀𝑛𝑛, която е насочена към вдлъбнатостта
на траекторията ѝ. Оскулачната равнина се означава с 𝑀𝑀𝜏𝜏𝑛𝑛. Третата ос 𝑀𝑀𝑏𝑏 се нарича
бинормала и е перпендикулярна на оскулачната равнина, като трите оси винаги
образуват дясно ориентирана координатна система.
7
b
O
b
M
τ
M
s(t)
n
O
M
v
s(t)
∆
s(t+∆t) s
τ
τ
M1
n
Фиг. 4а
Фиг. 4б
4.2. Определяне на скоростта в естествени координати
Средната скорост в интервала 𝑡𝑡, 𝑡𝑡 + ∆𝑡𝑡 е:
∆𝑠𝑠
- ∆𝑡𝑡 = 𝑣𝑣ср – средна скорост;
Границата на това отношение е: 𝑙𝑙𝑙𝑙𝑙𝑙
∆𝑠𝑠
∆𝑡𝑡→0 ∆𝑡𝑡
или 𝑣𝑣 = 𝑠𝑠̇ .
= 𝑣𝑣 – моментна големина на скорост,
4.3. Определяне на ускорението в естествени координати
В безкрайно малкият интервал от време точката се е преместила от т. 𝑀𝑀 до т. 𝑀𝑀1 , а
ускорение е равно на: 𝑎𝑎⃗ = 𝑙𝑙𝑙𝑙𝑙𝑙
�⃗
∆𝑣𝑣
∆𝑡𝑡→0 ∆𝑡𝑡
= 𝑙𝑙𝑙𝑙𝑙𝑙
����⃗−𝑣𝑣
𝑣𝑣
1 �⃗
∆𝑡𝑡→0 ∆𝑡𝑡
, където 𝑣𝑣⃗ е скоростта в т. 𝑀𝑀, а ����⃗
𝑣𝑣1 е скоростта
в т. 𝑀𝑀1 . Точката се движи по произволна траектория в пространството, в следствие на
което векторът скорост ����⃗
𝑣𝑣1 в т. 𝑀𝑀1 е завъртян на диференциално малък ъгъл ∆𝜑𝜑 спрямо
вектора скорост 𝑣𝑣⃗ в т. 𝑀𝑀. След разлагане на 𝑎𝑎⃗ = 𝑙𝑙𝑙𝑙𝑙𝑙
∆𝑡𝑡→0 ∆𝑡𝑡
ускорението се получават следните изрази.
𝑎𝑎𝜏𝜏 = 𝑙𝑙𝑙𝑙𝑙𝑙
𝑣𝑣𝑛𝑛 = 0.
∆𝑡𝑡→0
𝑣𝑣1𝜏𝜏 −𝑣𝑣𝜏𝜏
∆𝑡𝑡
; 𝑎𝑎𝑛𝑛 = 𝑙𝑙𝑙𝑙𝑙𝑙
∆𝑡𝑡→0
𝑣𝑣1𝑛𝑛 −𝑣𝑣𝑛𝑛
∆𝑡𝑡
����⃗−𝑣𝑣
𝑣𝑣
1 �⃗
по осите τ и n за проекциите на
, където: 𝑣𝑣1𝜏𝜏 = 𝑣𝑣1 cos ∆𝜑𝜑, 𝑣𝑣𝜏𝜏 = 𝑣𝑣, а 𝑣𝑣1𝑛𝑛 = 𝑣𝑣1 sin ∆𝜑𝜑,
Тангенциалното ускорение е векторът 𝑎𝑎
����⃗𝜏𝜏 = 𝑎𝑎𝜏𝜏 . ���⃗;
𝑒𝑒𝜏𝜏
За големината му се получава: 𝑎𝑎𝜏𝜏 = 𝑙𝑙𝑙𝑙𝑙𝑙
∆𝑡𝑡→0
𝑣𝑣1 cos ∆𝜑𝜑−𝑣𝑣
∆𝑡𝑡
при ∆𝑡𝑡 → 0, ∆𝜑𝜑 → 0, откъдето за cos ∆𝜑𝜑 → 1.
Нормалното ускорение е векторът ����⃗
𝑎𝑎𝑛𝑛 = 𝑎𝑎𝑛𝑛 . ����⃗;
𝑒𝑒𝑛𝑛
8
= 𝑙𝑙𝑙𝑙𝑙𝑙
𝑣𝑣1 −𝑣𝑣
∆𝑡𝑡→0 ∆𝑡𝑡
= 𝑙𝑙𝑙𝑙𝑙𝑙
∆𝑣𝑣
∆𝑡𝑡→0 ∆𝑡𝑡
= 𝑣𝑣̇ , тъй като
За големината му се получава: 𝑎𝑎𝑛𝑛 = 𝑙𝑙𝑙𝑙𝑙𝑙
При ∆𝑡𝑡 → 0 ⇒ 𝑙𝑙𝑙𝑙𝑙𝑙
∆𝑡𝑡→0
sin ∆𝜑𝜑
∆𝜑𝜑
= 1, lim
∆𝑡𝑡→0
∆𝜑𝜑
∆𝑡𝑡→0 ∆𝑠𝑠
𝑣𝑣1 sin ∆𝜑𝜑
∆𝑡𝑡
1
= 𝑙𝑙𝑙𝑙𝑙𝑙 �𝑣𝑣1 .
∆𝑡𝑡→0
= 𝑘𝑘 = 𝜌𝜌 , lim
∆𝑠𝑠
∆𝑡𝑡→0 ∆𝑡𝑡
sin ∆𝜑𝜑 ∆𝜑𝜑 ∆𝑠𝑠
∆𝜑𝜑
. ∆𝑠𝑠 . ∆𝑡𝑡�.
= 𝑣𝑣, lim 𝑣𝑣1 = 𝑣𝑣, където 𝑘𝑘 е
∆𝑡𝑡→0
кривина, а 𝜌𝜌 е радиус на кривина, или за нормалното ускорение се получава: 𝑎𝑎𝑛𝑛 =
𝑣𝑣 2
𝜌𝜌
.
Пълното ускорение на точката е равно на векторната сума на тангенциалното и
нормалното ускорения: 𝑎𝑎⃗ = 𝑎𝑎
����⃗𝜏𝜏 + ����⃗,
𝑎𝑎𝑛𝑛 а големината му е равна на: 𝑎𝑎 = �𝑎𝑎𝜏𝜏2 + 𝑎𝑎𝑛𝑛2 .
Задача 5. Точка се движи по окръжност с радиус 𝑅𝑅 = 1 𝑚𝑚 по закона 𝑠𝑠(𝑡𝑡) = 4𝑡𝑡 3 . Да се
намерят големините на скоростта, тангенциалното ускорение и нормалното ускорение
на точката в края на втората секунда от нейното движение.
Решение:
Големината на скоростта на точката е равна на: 𝑣𝑣 = 𝑠𝑠̇ → 𝑣𝑣(𝑡𝑡) = 12𝑡𝑡 2 . В края на
втората секунда за големината ѝ се получава: 𝑣𝑣(2) = 12. 22 = 48 𝑚𝑚/𝑠𝑠.
Големината на тангенциалното ускорение е равно на: 𝑎𝑎𝜏𝜏 = 𝑣𝑣̇ → 𝑎𝑎𝜏𝜏 (𝑡𝑡) = 24𝑡𝑡. В края
на втората секунда за големината му се получава: 𝑎𝑎𝜏𝜏 (2) = 24.2 = 48 𝑚𝑚/𝑠𝑠 2 .
За големината на нормалното ускорение следва: 𝑎𝑎𝑛𝑛 =
𝑣𝑣 2
𝑅𝑅
=
482
1
= 2304 𝑚𝑚/𝑠𝑠 2 .
Задача 6. Точка се движи по окръжност с радиус 𝑅𝑅 = 2 𝑚𝑚 по закона 𝑠𝑠(𝑡𝑡) = 8𝑡𝑡 − 2𝑡𝑡 3 .
Да се намерят големините на скоростта, тангенциалното ускорение и нормалното
ускорение на точката в края на първата секунда от нейното движение.
Решение:
Големината на скоростта на точката е равна на: 𝑣𝑣 = 𝑠𝑠̇ → 𝑣𝑣(𝑡𝑡) = 8 − 8𝑡𝑡 2 . В края на
първата секунда за големината ѝ се получава: 𝑣𝑣(1) = 8 − 8. 12 = 0 𝑚𝑚/𝑠𝑠.
Големината на тангенциалното ускорение е равно на: 𝑎𝑎𝜏𝜏 = 𝑣𝑣̇ → 𝑎𝑎𝜏𝜏 (𝑡𝑡) = −16𝑡𝑡. В края
на втората секунда за големината му се получава: 𝑎𝑎𝜏𝜏 (1) = −16.1 = −16 𝑚𝑚/𝑠𝑠 2 (посоката
на движение е противоположна на посоката на тангенциалното ускорение, т.е. точката
се забавя).
За големината на нормалното ускорение се получава: 𝑎𝑎𝑛𝑛 =
9
𝑣𝑣 2
𝑅𝑅
=
02
2
= 0 𝑚𝑚/𝑠𝑠 2 .
II. Кинематика на идеално твърдо тяло
§1. Постъпателно движение на идеално твърдо тяло
Определение за идеално твърдо тяло – тяло, на което разстоянието между кои да е
две точки остава постоянно за целият интервал от време, се нарича идеално твърдо
тяло (ИТТ).
Определение за постъпателно движение – постъпателно движение се нарича
движение на ИТТ, при което всяка права от тялото се премества успоредно на себе си.
B
A
O
O1
φ
φ1
Фиг. 5
Свойства на постъпателното движение:
- Всички точки от ИТТ описват еднакви траектории;
z
B1
B
rB
O
rA
A
A1
y
x
Фиг. 6
- Всички точки от ИТТ имат еднакви по големина и направление скорости в един и
същ момент от времето;
10
- Всички точки от ИТТ имат еднакви по големина и направление ускорения в един и
същ момент от времето;
Доказателство:
�����⃗ = 𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐
�����⃗
�����⃗ 𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐 , за траекторията на т. В се получава,
�����������⃗ , а ���⃗
𝐴𝐴𝐴𝐴
𝑟𝑟𝐵𝐵 = 𝑟𝑟���⃗
𝐴𝐴 + 𝐴𝐴𝐴𝐴 , тъй като 𝐴𝐴𝐴𝐴 = �����������⃗
че е изместена успоредно спрямо траекторията на т. А на разстояние постоянния вектор
�����⃗
𝐴𝐴𝐴𝐴 .
�����⃗, за скоростта на т. В се получава: ���⃗
След диференциране на израза ���⃗
𝑟𝑟𝐵𝐵 = ���⃗
𝑟𝑟𝐴𝐴 + 𝐴𝐴𝐴𝐴
𝑟𝑟𝐵𝐵̇ =
𝑑𝑑
�����⃗, или ���⃗
���⃗
𝑟𝑟𝐴𝐴̇ + 𝑑𝑑𝑑𝑑 𝐴𝐴𝐴𝐴
𝑟𝑟𝐵𝐵̇ = ���⃗
𝑟𝑟𝐴𝐴̇ → ����⃗
𝑣𝑣𝐵𝐵 = ����⃗.
𝑣𝑣𝐴𝐴
𝑣𝑣𝐴𝐴̇ → ����⃗
За ускорението на т. В се получава: ����⃗
𝑣𝑣𝐵𝐵̇ = ����⃗
𝑎𝑎𝐵𝐵 = ����⃗.
𝑎𝑎𝐴𝐴
§2. Въртене около неподвижна ос на ИТТ
Определение – когато две, кои да е, точки А и В от тялото остават през цялото
време на движение неподвижни, тялото се върти около неподвижна ос, определена от
т. А и т. В.
2.1. Закон за движение – мислено се прекарват две полуравнини, съдържащи
неподвижната ос на въртящото се тяло, първата е неподвижна, а втората се върти заедно
с ИТТ. Положението на тялото се определя еднозначно чрез ъгъла между двете
полуравнини. Зависимостта 𝜑𝜑 = 𝜑𝜑(𝑡𝑡) се нарича закон на движение на тяло, което
извършва въртене около неподвижна ос.
B
φ
ω
I
e
A
II
Фиг. 7
11
2.2. Ъглова скорост
Векторната величина, определена от границата на отношението 𝑙𝑙𝑙𝑙𝑙𝑙
∆𝜑𝜑
∆𝑡𝑡→0 ∆𝑡𝑡
𝑒𝑒⃗ = 𝜔𝜔
�⃗, се
нарича ъглова скорост на тялото в момента 𝑡𝑡, където 𝑒𝑒⃗ е единичен вектор, който лежи
върху неподвижната ос. Посоката на вектора ъглова скорост 𝜔𝜔
�⃗ се определя по правилото
на дясната ръка (векторът е посока на палеца на дясната ръка, докато свитите пръсти
показват посоката на въртене на ИТТ).
𝜔𝜔(𝑡𝑡) = 𝜑𝜑̇ (𝑡𝑡), измерва се в 𝑟𝑟𝑟𝑟𝑟𝑟⁄𝑠𝑠 или 𝑠𝑠 −1 . Връзката между големината на ъгловата
скорост и броя обороти за минута е: 𝜔𝜔 =
2.3. Ъглово ускорение
𝜋𝜋𝑛𝑛
30
, където 𝜔𝜔 [𝑠𝑠 −1 ], a 𝑛𝑛 [𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚−1 ].
Определение – бързината, с която се мени ъгловата скорост.
Векторната величина, определена от отношението:
ускорение на ИТТ, а границата: 𝑙𝑙𝑙𝑙𝑙𝑙
Откъдето следва: 𝜀𝜀⃗ =
���⃗
𝑑𝑑𝜔𝜔
𝑑𝑑𝑑𝑑
���⃗
∆𝜔𝜔
∆𝑡𝑡→0 ∆𝑡𝑡
���⃗
∆𝜔𝜔
∆𝑡𝑡
= 𝜀𝜀�����⃗,
ср. се нарича средно ъглово
= 𝜀𝜀⃗ – ъглово ускорение на ИТТ в момента 𝑡𝑡.
= 𝜔𝜔̇�⃗. Ъгловото ускорение може да бъде: 𝜀𝜀 > 0, 𝜀𝜀 = 0 или 𝜀𝜀 < 0.
Когато 𝜀𝜀 > 0 въртенето е ускорително, когато 𝜀𝜀 < 0 въртенето е закъснително, а когато
𝜀𝜀 = 0, ъгловата скорост е постоянна.
B
B
ω
A
ω
ε
ε
A
𝜀𝜀 > 0
𝜀𝜀 < 0
Фиг. 8а
Фиг. 8б
12
Задача 7. Тяло се върти около неподвижна ос по закона 𝜑𝜑(𝑡𝑡) = 4𝜋𝜋𝑡𝑡 3 . Колко оборота
е направило тялото до края на третата секунда.
Решение:
Връзката между закона на въртене на ИТТ и броя обороти е: 𝑛𝑛 =
За конкретната задача се получава: 𝑛𝑛 =
4𝜋𝜋𝑡𝑡 3
2𝜋𝜋
→
4𝜋𝜋.33
2𝜋𝜋
𝜑𝜑(𝑡𝑡)
2𝜋𝜋
.
= 54 оборота.
Задача 8. Тяло започва да се върти около неподвижна ос с ъглово ускорение 𝜀𝜀(𝑡𝑡) =
4𝜋𝜋𝜋𝜋, като началната ъглова скорост е 𝜔𝜔0 = 2𝜋𝜋, 𝑠𝑠 −1 . Колко оборота е направило тялото до
края на втората секунда.
Решение:
Използва се формулата 𝑛𝑛 =
𝜑𝜑(𝑡𝑡)
2𝜋𝜋
. За да се намери закона на въртене на ИТТ, трябва да
се интегрира двукратно, като се използват началните условия: 𝜑𝜑(0) = 0 𝑟𝑟𝑟𝑟𝑟𝑟 и 𝜔𝜔0 =
2𝜋𝜋, 𝑠𝑠 −1 .
Първо се намира закона, по който се изменя ъгловата скорост, от зависимостта:
𝜔𝜔(𝑡𝑡) = ∫ 𝜀𝜀(𝑡𝑡)𝑑𝑑𝑑𝑑. След заместване се получава: 𝜔𝜔(𝑡𝑡) = ∫ 4𝜋𝜋𝑡𝑡𝑑𝑑𝑑𝑑 = 2𝜋𝜋𝑡𝑡 2 + 𝐶𝐶1. За да се
намери константата 𝐶𝐶1 , се използва началното условие 𝜔𝜔0 = 2𝜋𝜋, 𝑠𝑠 −1 , като се получава:
𝜔𝜔(0) = 2𝜋𝜋;
𝜔𝜔(0) = 2𝜋𝜋02 + 𝐶𝐶1 , откъдето за 𝐶𝐶1 се получава: 𝐶𝐶1 = 2𝜋𝜋 или за ъгловата скорост се
получава: 𝜔𝜔(𝑡𝑡) = 2𝜋𝜋𝑡𝑡 2 + 2𝜋𝜋.
Законът на въртене се получава след като се интегрира полученият израз за ъгловата
скорост: 𝜑𝜑(𝑡𝑡) = ∫ 𝜔𝜔(𝑡𝑡)𝑑𝑑𝑑𝑑. След заместване се получава:
𝜑𝜑(𝑡𝑡) = ∫(2𝜋𝜋𝑡𝑡 2 + 2𝜋𝜋)𝑑𝑑𝑑𝑑 =
2𝜋𝜋𝑡𝑡 3
3
+ 2𝜋𝜋𝜋𝜋 + 𝐶𝐶2 , константата 𝐶𝐶2 се намира след използване
на началното условие: 𝜑𝜑(0) = 0 𝑟𝑟𝑟𝑟𝑟𝑟.
𝜑𝜑(0) = 0;
𝜑𝜑(0) =
2𝜋𝜋.03
3
+ 2𝜋𝜋. 0 + 𝐶𝐶2 , откъдето за 𝐶𝐶2 се получава: 𝐶𝐶2 = 0. Законът за движение се
описва чрез следния израз: 𝜑𝜑(𝑡𝑡) =
2𝜋𝜋𝑡𝑡 3
3
𝑡𝑡 2
+ 2𝜋𝜋𝜋𝜋 = 2𝜋𝜋𝜋𝜋. � 3 + 1�.
13
Броят на оборотите е: 𝑛𝑛 =
22
получава: 𝑛𝑛 = 2. �
3
+ 1� =
2.7
3
𝜑𝜑(𝑡𝑡)
=
2𝜋𝜋
𝑡𝑡2
3
2𝜋𝜋𝜋𝜋.� +1�
2𝜋𝜋
𝑡𝑡 2
= 𝑡𝑡. � 3 + 1�. Като се замести 𝑡𝑡 = 2, 𝑠𝑠 се
= 4,67 оборота.
Задача 9. Тяло се върти около неподвижна ос по закона 𝜑𝜑(𝑡𝑡) = 4𝜋𝜋𝑡𝑡 3 . Да се намери
големината на ъгловото ускорение в края на петата секунда.
Решение:
Големината на ъгловото ускорение е втора производна на закона за въртене: 𝜀𝜀(𝑡𝑡) =
𝜑𝜑̈ (𝑡𝑡). След двукратно диференциране се получава: 𝜑𝜑̇ (𝑡𝑡) = 12𝜋𝜋𝑡𝑡 2 → 𝜑𝜑̈ (𝑡𝑡) = 24𝜋𝜋𝜋𝜋.
𝜀𝜀(𝑡𝑡) = 24𝜋𝜋𝜋𝜋 → 𝜀𝜀(2) = 24𝜋𝜋. 2 = 48𝜋𝜋, 𝑠𝑠 −2.
2.4. Скорост на точка от ИТТ, въртящо се около неподвижна ос
Точка 𝑀𝑀 от ИТТ, което се върти с ъглова скорост 𝜔𝜔 лежи на разстояние 𝑟𝑟 от
неподвижната ос 𝐴𝐴𝐴𝐴. Траекторията, която описва точката, е дъга от окръжност с радиус
𝑟𝑟 и център точка от неподвижната ос 𝐴𝐴𝐴𝐴. За много малко време 𝑑𝑑𝑑𝑑 ИТТ се завърта на
ъгъл 𝑑𝑑𝑑𝑑, като дължината на дъгата, която описва точката, е 𝑑𝑑𝑑𝑑 = 𝑑𝑑𝑑𝑑. 𝑟𝑟.
B
τ
ω
C
τ
r
r
dφ
v
C
τ
v
ds
v
M
r
A
Фиг. 9
14
r
dφ
M
τ
ds
v
𝑑𝑑𝑑𝑑
Големината на скоростта на точка 𝑀𝑀 е равна на: 𝑣𝑣 = 𝑑𝑑𝑑𝑑 = 𝑟𝑟
𝑑𝑑𝑑𝑑
𝑑𝑑𝑑𝑑
= 𝑟𝑟𝜑𝜑̇ = 𝑟𝑟𝑟𝑟.
Следователно големините на всички точки от ИТТ, което се върти около неподвижна ос,
са пропорционални на разстоянието от тях до оста на въртене.
2.5. Ускорение на точка от ИТТ, въртящо се около неподвижна ос
Ускорението на т. 𝑀𝑀 се разлага на тангенциално 𝑎𝑎
����⃗𝜏𝜏 и нормално ����⃗
𝑎𝑎𝑛𝑛 ускорение. Пълното
ускорение е векторна сума от двете му компоненти: 𝑎𝑎⃗ = 𝑎𝑎
����⃗𝜏𝜏 + ����⃗.
𝑎𝑎𝑛𝑛
B
ω
C
µ
µ
n
a
r
an
ε
A
C
τ
aτ
M
n
r
an
a
τ
aτ
M
Фиг. 10
За големината на тангенциалното ускорение се получава: 𝑎𝑎𝜏𝜏 = 𝑣𝑣̇ = 𝑟𝑟𝜔𝜔̇ = 𝑟𝑟𝑟𝑟, а за
нормалното ускорение се получава: 𝑎𝑎𝑛𝑛 =
𝑣𝑣 2
𝜌𝜌
=
𝑟𝑟 2 𝜔𝜔2
𝑟𝑟
= 𝑟𝑟𝜔𝜔2.
Големината на ускорението 𝑎𝑎⃗ е: 𝑎𝑎 = �𝑎𝑎𝜏𝜏2 + 𝑎𝑎𝑛𝑛2 = 𝑟𝑟√𝜀𝜀 2 + 𝜔𝜔 4 , а направлението му се
определя от ъгъл 𝜇𝜇 = 𝑎𝑎𝑎𝑎𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐
𝑎𝑎𝑛𝑛
𝑎𝑎𝜏𝜏
= 𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎
𝜔𝜔 2
𝜀𝜀
.
15
§3. Равнинно движение
3.1.Определение – движение, при което всички точки от ИТТ се преместват
успоредно на една неподвижна равнина.
3.2. Закон за движение, ъглова скорост и ъглово ускорение при равнинно
движение
Всички точки на една права, перпендикулярна на една равнина 𝛼𝛼, имат едни и същи
траектории, скорости и ускорения. Тогава движението на ИТТ може да се определи
еднозначно от движението на едно негово сечение 𝑆𝑆 с равнина 𝛼𝛼 ′ ∥ 𝛼𝛼.
y
y
(S)
B
φ
A
xA
(S)
A
yA
O
B
C1
C
A3
t
x
Δψ=Δφ
B1 Δψ
B2
B3
Δφ
C2
A1
t+Δt
O
x
Фиг. 11а
Фиг. 11б
Положението на равнинното сечение 𝑆𝑆 се определя еднозначно в равнината 𝑥𝑥𝑥𝑥 от
отсечката 𝐴𝐴𝐴𝐴. Точка 𝐴𝐴 се нарича полюс, като нейните координати са известни: 𝑥𝑥𝐴𝐴 и 𝑦𝑦𝐴𝐴 ,
както и ъгъла 𝜑𝜑 (фиг 11а). От това може да се намери положението на всяка произволна
точка от сечението.
Следователно зависимостите: 𝑥𝑥𝐴𝐴 = 𝑥𝑥𝐴𝐴 (𝑡𝑡); 𝑦𝑦𝐴𝐴 = 𝑦𝑦𝐴𝐴 (𝑡𝑡); 𝜑𝜑 = 𝜑𝜑(𝑡𝑡) се наричат закон за
движение на равнинно сечение 𝑆𝑆, като полюсът 𝐴𝐴 е произволна точка.
За безкрайно малко време равнинното движение може да се представи като
суперпозиция от транслация и ротация около произволно избран полюс. На фиг. 11б се
вижда, че за произволно избран полюс т. С, ъгълът, на който се е завъртяло сечението от
ИТТ, е един и същ (Δφ=Δψ), докато скоростта и ускорението на точката ще са различни
за всички точки в дадения момент.
При равнинно движение зависимостите за ъгловата скорост 𝜔𝜔
�⃗ и ъгловото ускорение 𝜀𝜀⃗
са аналогични както при въртене на тяло около неподвижна ос: 𝜑𝜑̈ = 𝜔𝜔̇ = 𝜀𝜀, като
векторите 𝜔𝜔
�⃗ и 𝜀𝜀⃗ са перпендикулярни на неподвижната равнина. Ротационната част от
равнинното движение не зависи от избора на полюс, т.е. 𝜔𝜔
�⃗ и 𝜀𝜀⃗ са едни и същи за всички
точки от тялото.
16
3.3. Скорост на точка при равнинно движение
За да се намери скоростта на произволно избрана т. В, се избира т. А, за която е
известен закона на движение (избираме я за полюс). Векторът ������⃗
𝑟𝑟𝐵𝐵𝐵𝐵 определя положението
на т .В спрямо полюса т. А, като законът на движение на т. В е: ���⃗
𝑟𝑟𝐵𝐵 = ���⃗
𝑟𝑟𝐴𝐴 + ������⃗.
𝑟𝑟𝐵𝐵𝐵𝐵 Като се
диференцира израза спрямо времето 𝑡𝑡 , за скоростта на т. В се получава: ����⃗
𝑣𝑣𝐵𝐵 = ���⃗
𝑟𝑟𝐵𝐵̇ = ���⃗
𝑟𝑟𝐴𝐴̇ +
������⃗
𝑟𝑟𝐵𝐵𝐵𝐵̇ = ����⃗
𝑣𝑣𝐵𝐵𝐵𝐵 където ����⃗
𝑣𝑣𝐴𝐴 е скоростта на полюса, а ������⃗
𝑣𝑣𝐵𝐵𝐵𝐵 е скоростта на т. В от въртенето
𝑣𝑣𝐴𝐴 + ������⃗,
ѝ около т. А. Големината на въртеливата скорост 𝑣𝑣
������⃗
𝐵𝐵𝐵𝐵 се получава след диференциране
на ������⃗
𝑟𝑟𝐵𝐵𝐵𝐵 спрямо времето 𝑡𝑡: ������⃗
𝑟𝑟𝐵𝐵𝐵𝐵̇ = 𝜔𝜔
�⃗ × ������⃗
𝑟𝑟𝐵𝐵𝐵𝐵 или за скоростта се получава: 𝑣𝑣
������⃗
�⃗ × �����⃗
𝐴𝐴𝐴𝐴 . От
𝐵𝐵𝐵𝐵 = 𝜔𝜔
векторното произведение се вижда, че посоката на вектора скорост ������⃗
𝑣𝑣𝐵𝐵𝐵𝐵 е
����
перпендикулярна на отсечката, свързваща т. А и т. В (𝑣𝑣
������⃗
𝐵𝐵𝐵𝐵 ⊥ 𝐴𝐴𝐴𝐴 ), като посоката на
вектора скорост винаги следва посоката на въртене на тялото спрямо полюса.
����.
Големината на въртеливата скорост е 𝑣𝑣𝐵𝐵𝐵𝐵 = 𝜔𝜔. 𝐴𝐴𝐴𝐴
ω
y
B
rB
vBA
vB
rBA v A
rA
A vA
x
O
Фиг. 12
3.4. Моментен център на скоростите (МЦС)
Определение – МЦС е точка от равнината на движеща се равнинна фигура,
скоростта на която в даден момент от време има големина, равна на нула, 𝑣𝑣𝑃𝑃 = 0. Тази
точка се бележи с P и е единствена.
Доказателство:
Скоростта на две точки А и В, изразена чрез скоростта на полюса (т. Р), е:
����⃗
𝑣𝑣𝐴𝐴 = ����⃗
𝑣𝑣𝑃𝑃 + ������⃗
𝑣𝑣𝐴𝐴𝐴𝐴 = 𝑣𝑣
������⃗,
����⃗
𝑣𝑣𝐵𝐵 = 𝑣𝑣
����⃗
������⃗
������⃗,
𝑣𝑣𝐴𝐴 ⊥ ����
𝐴𝐴𝐴𝐴 и ����⃗
𝑣𝑣𝛣𝛣 ⊥ ����
𝛣𝛣𝛣𝛣
𝐴𝐴𝐴𝐴
𝑃𝑃 + 𝑣𝑣
𝐵𝐵𝐵𝐵 = 𝑣𝑣
𝐵𝐵𝐵𝐵 като ����⃗
17
Във всеки момент от движението на равнинната фигура съществува точка, чиято
големина е равна на нула. Ако се допусне, че 𝑣𝑣𝑃𝑃 ≠ 0, то ����⃗
𝑣𝑣𝑃𝑃 трябва да е едновременно ⊥
на ����
𝐴𝐴𝐴𝐴 и ����
𝛣𝛣𝛣𝛣, което е невъзможно, тъй като ����
𝐴𝐴𝐴𝐴 не е успоредна на ����
𝐵𝐵𝐵𝐵. Следователно 𝑣𝑣𝑃𝑃 =
0. При ъглова скорост на равнинната фигура равна на ω, за скоростите 𝑣𝑣𝐴𝐴 и 𝑣𝑣𝐵𝐵 се
���� и 𝑣𝑣𝐵𝐵 = 𝜔𝜔. 𝐵𝐵𝐵𝐵
����.
получава: 𝑣𝑣𝐴𝐴 = 𝜔𝜔. 𝐴𝐴𝐴𝐴
y
A
B
vA
vB
ω
P
x
O
Фиг. 13
3.3. Ускорение на точка при равнинно движение
Избира се т. А за полюс и след двукратно диференциране спрямо времето 𝑡𝑡 за
̇ = 𝑣𝑣
̇
ускорението на т. В се получава: 𝑟𝑟���⃗
𝑟𝑟𝐴𝐴 + ������⃗
𝑟𝑟𝐵𝐵𝐵𝐵 → ����⃗
𝑣𝑣𝐵𝐵 = ����⃗
𝑣𝑣𝐴𝐴 + ������⃗,
𝑣𝑣𝐵𝐵𝐵𝐵 ����⃗
𝑣𝑣𝐵𝐵̇ = ����⃗
𝑣𝑣𝐴𝐴̇ + ������⃗
𝑣𝑣𝐵𝐵𝐵𝐵
����⃗
𝐵𝐵 = ���⃗
𝐴𝐴 +
𝑑𝑑
𝑑𝑑𝑑𝑑
𝑑𝑑
(𝜔𝜔
�⃗ × 𝑟𝑟������⃗),
𝑎𝑎𝐴𝐴 = ����⃗
𝑣𝑣𝐴𝐴̇ , а 𝑑𝑑𝑑𝑑 (𝜔𝜔
�⃗ × ������⃗)
𝑟𝑟𝐵𝐵𝐵𝐵 = 𝜔𝜔
�⃗̇ × ������⃗
�⃗ × ������⃗
𝑟𝑟𝐵𝐵𝐵𝐵̇ = 𝜀𝜀⃗ × 𝑟𝑟������⃗
�⃗ × 𝜔𝜔
�⃗ × ������⃗
𝑟𝑟𝐵𝐵𝐵𝐵
𝑟𝑟𝐵𝐵𝐵𝐵 + 𝜔𝜔
𝐵𝐵𝐵𝐵 където ����⃗
𝐵𝐵𝐵𝐵 + 𝜔𝜔
ω
y
аA
B
rB
ε
в
aBA
аB
ц
aBA
rBA аA aBA
A
rA
O
Фиг. 14
18
x
в
Векторното произведение 𝜀𝜀⃗ × ������⃗
𝑟𝑟𝐵𝐵𝐵𝐵 = �������⃗
𝑎𝑎𝐵𝐵𝐵𝐵
се нарича въртеливо ускорение и е
в
𝐴𝐴𝐴𝐴 . Големината му е: 𝑎𝑎𝐵𝐵𝐵𝐵
= 𝜀𝜀. ����
𝐴𝐴𝐴𝐴. Двойното векторно
перпендикулярно на отсечката ����
ц
�������⃗
произведение 𝜔𝜔
�⃗ × 𝜔𝜔
�⃗ × ������⃗
𝑟𝑟𝐵𝐵𝐵𝐵 = −𝜔𝜔2 . ������⃗
𝑟𝑟𝐵𝐵𝐵𝐵 = 𝑎𝑎
𝐵𝐵𝐵𝐵 се нарича центростремително ускорение и
ц
е насочено по правата ����
𝐴𝐴𝐴𝐴 от т. В към т. А. Големината му е: 𝑎𝑎𝐵𝐵𝐵𝐵
= 𝜔𝜔2 . ����
𝐴𝐴𝐴𝐴 . За ускорението
ц
в
�������⃗
�������⃗
𝑎𝑎𝐵𝐵 = 𝑎𝑎
����⃗
на т. В се получава: ����⃗
𝐴𝐴 + 𝑎𝑎𝐵𝐵𝐵𝐵 + 𝑎𝑎𝐵𝐵𝐵𝐵 .
Aко ускоренията ����⃗
𝑎𝑎𝐵𝐵 и ����⃗
𝑎𝑎𝐴𝐴 се разложат на тангенциалната и нормалната си компоненти
ц
в
𝑎𝑎𝐵𝐵𝜏𝜏 + ����⃗
𝑎𝑎𝐵𝐵𝑛𝑛 = ����⃗
𝑎𝑎𝐴𝐴𝜏𝜏 + ����⃗
𝑎𝑎𝐴𝐴𝑛𝑛 + �������⃗
𝑎𝑎𝐵𝐵𝐵𝐵
+ �������⃗
𝑎𝑎𝐵𝐵𝐵𝐵
.
се получава: ����⃗
Задача 10. За даденото положение на показания на схемата механизъм да се намери
ъгловото ускорение 𝜀𝜀2 на мотовилката 2, ако: ����
𝑂𝑂𝑂𝑂 = 𝑟𝑟, ����
𝐴𝐴𝐴𝐴 = 𝑙𝑙, 𝜔𝜔1 = 𝜔𝜔 = 𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐.
A
1
2
ω1
α
O
B
3
Фиг. З10
Решение:
За да се намери ъгловото ускорение на мотовилката 2, трябва да се намери
въртеливото ускорение на някоя точка от нея. От показаното на схемата положение е
видно, че т. А (обща за коляното 1 и мотовилката 2) може да се избере за полюс, тъй като
скоростта и ускорението в т. А спрямо коляното 1 са: 𝑣𝑣𝐴𝐴 = 𝜔𝜔. 𝑟𝑟 и ����⃗
𝑎𝑎𝐴𝐴 = 𝑎𝑎
�������⃗
𝑎𝑎𝐴𝐴,𝑛𝑛 където
𝐴𝐴,𝜏𝜏 + �������⃗,
𝑎𝑎𝐴𝐴,𝜏𝜏 = 𝑣𝑣𝐴𝐴̇ = 0 𝑚𝑚/𝑠𝑠 2 , понеже скоростта на т. А е константна. За нормалното ускорение в
т. А се получава: 𝑎𝑎𝐴𝐴,𝑛𝑛 = 𝜔𝜔2 . 𝑟𝑟. След като е определено ускорението в т. А, за да се намери
търсеното ъглово ускорение на мотовилката, трябва да се намери въртеливото ускорение
в
����. Въртеливото ускорение участва в израза за
на т. В, което е равно на: 𝑎𝑎𝐵𝐵𝐵𝐵
= 𝜀𝜀2 . 𝐴𝐴𝐴𝐴
ц
в
�������⃗
�������⃗
ускорението на т. В: ����⃗
𝑎𝑎𝐵𝐵 = 𝑎𝑎
����⃗
𝐴𝐴 + 𝑎𝑎𝐵𝐵𝐵𝐵 + 𝑎𝑎𝐵𝐵𝐵𝐵 . За да намери големината на въртеливото
в
ускорение 𝑎𝑎𝐵𝐵𝐵𝐵
, първо трябва да се намерят големините на
19
ц
𝑎𝑎𝐵𝐵𝐵𝐵
и 𝑎𝑎𝐵𝐵 .
ц
����. Големината на ъгловата
Центростремителното ускорение е равно на: 𝑎𝑎𝐵𝐵𝐵𝐵
= 𝜔𝜔22 . 𝐴𝐴𝐴𝐴
скорост на мотовилката се намира от определението за МЦС.
8
P= -1
ω2=0 s
A
vA
2
1
ω1
B
α
O
3
vB
Фиг. З10а
За даденото положение на механизма скоростите в т. А и т. В са успоредни ����⃗
𝑣𝑣𝐴𝐴 ∥ ����⃗,
𝑣𝑣𝐵𝐵 а
���� и ����⃗
���� , т.е. т. Р лежи в безкрайността, което показва, че мотовилката
𝑣𝑣𝐴𝐴 ⊥ 𝑃𝑃𝑃𝑃
����⃗
𝑣𝑣𝐵𝐵 ⊥ 𝑃𝑃𝑃𝑃
извършва моментна транслация, или 𝜔𝜔2 = 0, 𝑠𝑠 −1 . За големината на центростремителното
ц
���� = 0 𝑚𝑚/𝑠𝑠 2 .
ускорение се получава: 𝑎𝑎𝐵𝐵𝐵𝐵
= 𝜔𝜔22 . 𝐴𝐴𝐴𝐴
aA,τ
A
1
ω1
aA,n
2
ω2=0 s-1
ц
aBA
=0 m/s2
ц
α
O
aBA
в
aBA
3
aB B
Фиг. З10б
Ускорението в т. В и въртеливото ускорение на т. В спрямо полюса А могат да се
намерят графично след като се знаят направленията им. От графичното решение за
в
големината на въртеливото ускорение на т. В се получава: 𝑎𝑎𝐵𝐵𝐵𝐵
= tan 𝛼𝛼 . 𝑎𝑎𝐴𝐴,𝑛𝑛 =
𝜔𝜔2 . 𝑟𝑟. tan 𝛼𝛼.
20
направление на
α
B a
B
α
α
aA,n
в
aBА
направление на
в
aBA
aB
Фиг. З10в
Големината на ъгловото ускорение на мотовилката 2 е равна на: 𝜀𝜀2 =
𝜔𝜔 2 .𝑟𝑟.tan 𝛼𝛼
𝑙𝑙
, 𝑠𝑠 −2.
ц
𝑎𝑎𝐵𝐵𝐵𝐵
����
𝐴𝐴𝐴𝐴
=
Задача 11. За показаното на схемата положение на механизма, да се намери ъгловата
скорост 𝜔𝜔3 на звено 3, ако: ����
𝑂𝑂𝑂𝑂 = 𝑟𝑟, ����
𝐴𝐴𝐴𝐴 = 𝑙𝑙, �����
𝑂𝑂1 𝐵𝐵 = 2𝑟𝑟, 𝜔𝜔1 = 2𝜋𝜋.
A
B
2
1
ω1
O
3
O1
Фиг. З11
21
Решение:
Намира се скоростта на т. А: 𝑣𝑣𝐴𝐴 = 𝜔𝜔1 . 𝑟𝑟. Звено 2 извършва равнинно движение, като
за полюс се избира т. А. От положението на механизма следва, че скоростта в т. В е
перпендикулярна на отсечката �����
𝑂𝑂1 𝐵𝐵, следователно е успоредна на скоростта на полюса,
т.е. извършва моментна транслация. Ъгловата скорост на звена 2 в дадения момент е
равна на нула.
8
P= -1
ω 2=0 s
vA
A
2
1
vB
B
ω1
ω3
O
3
O1
Фиг. З11а
След като звено 2 извършва моментна транслация, за скоростите следва: ����⃗
𝑣𝑣𝐴𝐴 = ����⃗.
𝑣𝑣𝐵𝐵
Големината на скоростта на т. В е: 𝑣𝑣𝐵𝐵 = 𝜔𝜔1 . 𝑟𝑟, но също е равна и на: 𝑣𝑣𝐵𝐵 = 𝜔𝜔3 . 2𝑟𝑟 или за
големината на 𝜔𝜔3 се получава: 𝜔𝜔3 =
𝑣𝑣𝐵𝐵
2𝑟𝑟
=
𝜔𝜔1 .𝑟𝑟
2𝑟𝑟
=
22
2𝜋𝜋
2
= 𝜋𝜋, 𝑠𝑠 −1 .
Задача 12. Диск с диаметър 𝑑𝑑 = 1 𝑚𝑚 извършва чисто търкаляне с ъглова скорост 𝜔𝜔 =
2 𝑠𝑠 −1 . Да се намери скоростта в т. С и т. А от диска.
A
ω
d
C
Фиг. З12
Решение:
Използва се правилото за МЦС, в случая МЦС се явява точка от диска, която е в
контакт с неподвижната повърхнина.
vA
A
C vC
P
Фиг. З12а
𝑑𝑑
1
За т. С се получава: 𝑣𝑣𝐶𝐶 = 𝜔𝜔. 2 = 2. 2 = 1 𝑚𝑚/𝑠𝑠;
За т. А се получава: 𝑣𝑣𝐴𝐴 = 𝜔𝜔. 𝑑𝑑 = 2.1 = 2 𝑚𝑚/𝑠𝑠.
Извод: големината на скоростта се увеличава линейно с отдалечаване на точката
от МЦС.
23
Задача 13. Диск с радиус 𝑟𝑟 извършва чисто търкаляне. Ако скоростта в центъра на
диска е константна, да се намери ускорението в МЦС.
C
r
vc=const
P
Фиг. З13
Решение:
Дискът извършва равнинно движение с МЦС т. Р. Съставя се векторно уравнение за
ц
в
ускорението в т. Р с полюс т. С: 𝑎𝑎
����⃗
𝑎𝑎𝐶𝐶 + ������⃗
𝑎𝑎𝑃𝑃𝑃𝑃
+ ������⃗
𝑎𝑎𝑃𝑃𝑃𝑃
.
𝑃𝑃 = ����⃗
C
r
vc=const
aP=vc2.r
P
Фиг. З13а
Големината на ускорението в полюса т. С е: 𝑎𝑎𝐶𝐶 = 𝑣𝑣𝐶𝐶̇ = 0 𝑚𝑚/𝑠𝑠 2 ;
24
ц
За големината на центростремителното ускорение се получава: 𝑎𝑎𝑃𝑃𝑃𝑃
= 𝜔𝜔2 . 𝑟𝑟, където
ъгловата скорост на диска е: 𝜔𝜔 =
𝑣𝑣𝐶𝐶
𝑟𝑟
= 𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐, а големината на центростремителното
ц
ускорение, изразено чрез скоростта на т. С и радиуса на диска е: 𝑎𝑎𝑃𝑃𝑃𝑃
= 𝑣𝑣𝐶𝐶2 . 𝑟𝑟 = 𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐;
в
= 𝜀𝜀. 𝑟𝑟, 𝜀𝜀 = 𝜔𝜔̇ = 0 𝑠𝑠 −1 , тъй
За големината на въртеливото ускорение се получава: 𝑎𝑎𝑃𝑃𝑃𝑃
като 𝜔𝜔 = 𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐.
ц
2
������⃗
����⃗
Окончателно за ускорението на МЦС се получава: 𝑎𝑎
𝑃𝑃 = 𝑎𝑎𝑃𝑃𝑃𝑃 , 𝑎𝑎𝑃𝑃 = 𝑣𝑣𝐶𝐶 . 𝑟𝑟 = 𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐, т.е.
когато скоростта в центъра на диска е константна, ускорението в МЦС е насочено от т.
Р към центъра на диска, а големината му е: 𝑎𝑎𝑃𝑃 = 𝑣𝑣𝐶𝐶2 . 𝑟𝑟 = 𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐.
§4. Преобразуване на въртеливи движения
4.1. Преобразуване на прости въртеливи движения
Преобразуването на въртеливи движения се извършва посредством: зъбни,
фрикционни, ремъчни и верижни предавки. За тях е изпълнено условието: 𝑣𝑣𝐴𝐴 = 𝜔𝜔1 . 𝑅𝑅1 =
𝜔𝜔
𝑅𝑅
𝜔𝜔2 . 𝑅𝑅2 , където отношението: 𝑖𝑖1,2 = 𝜔𝜔1 = ± 𝑅𝑅2, се нарича предавателно отношение. Знакът
2
1
е „+“, когато ъгловите скорости са еднопосочни, и е „-“, когато ъгловите скорости са
разнопосочни.
ω2
R2
R2
ω1
R1
О2
ω2
R1
О1
ω1
A
A
О1
vA
О2
vA
Фиг. 15а
Фиг. 15б
25
ω2
R2
ω1
R1
О1
vA
О2
A1
vA
A2
Фиг. 15в
Задача 14. Водещото колело от зацепена зъбна двойка има радиус 𝑅𝑅1 = 0,15 𝑚𝑚 и
ъглова скорост 𝜔𝜔1 = 6 𝑠𝑠 −1 . Предавателното отношение е 𝑖𝑖1,2 = 3. Да се намери скоростта
на точка от периферията на водимото зъбно колело.
Решение:
За да се намери скоростта на периферна точка от второто зъбно колело се използва
𝜔𝜔
𝑅𝑅
двукратно формулата: 𝑖𝑖1,2 = 1 = ± 2, където за големината на ъгловата скорост на
𝜔𝜔
𝑅𝑅
2
1
𝜔𝜔1
второто зъбно колело се получава: 𝜔𝜔2 = 𝑖𝑖
1,2
6
= 3 = 2 𝑠𝑠 −1 , а за радиуса му се получава:
𝑅𝑅2 = 𝑅𝑅1 . 𝑖𝑖1,2 = 0,15.3 = 0,45 𝑚𝑚, големината на скоростта на периферна точка от второто
зъбно колело е: 𝑣𝑣2,пер. = 𝜔𝜔2 . 𝑅𝑅2 = 2.0,45 = 0,9 𝑚𝑚/𝑠𝑠.
Извод: Скоростите на всички периферни точки от зацепената зъбна двойка имат
еднакви големини.
26
ω2
R2
ω1
R1
A
О1
vB
B1
1
О2
vA
vB vB vA
1
B2
2
vB
2
Фиг. З14
Задача 15. Водещото колело от зацепена зъбна двойка има ъглова скорост 𝜔𝜔1 = 4 𝑠𝑠 −1 .
Предавателното отношение е 𝑖𝑖1,2 = 2, а радиусът на водимото зъбно колело е 𝑅𝑅2 = 0,2 𝑚𝑚.
Да се намери големината на нормалното ускорение на точка от периферията на второто
зъбно колело.
Решение:
Големината на нормалното ускорение е: 𝑎𝑎𝑛𝑛 =
𝑣𝑣 2
𝑅𝑅
= 𝜔𝜔2 . 𝑅𝑅. В случая за точка от
периферията на второто зъбно колело се получава: 𝑎𝑎𝑛𝑛,2 = 𝜔𝜔22 . 𝑅𝑅2 . Единствено неизвестна
𝜔𝜔1
остава големината на ъгловата скорост 𝜔𝜔2 . За нея се получава: 𝜔𝜔2 = 𝑖𝑖
Големината на нормалното ускорение е: 𝑎𝑎𝑛𝑛,2 =
ω2
𝜔𝜔22 . 𝑅𝑅2
2
= 2 . 0,2 = 0,8 𝑚𝑚/𝑠𝑠 2 .
R2
ω1
R1
A
О1
B1
О2
vA
B2
Фиг. З15
27
1,2
an
пер.
4
= 2 = 2 𝑠𝑠 −1 .
Задача 16. Водещата шайба на ремъчна предавка се върти по закона 𝜑𝜑1 (𝑡𝑡) = 4𝑡𝑡 2 .
Предавателното отношение е 𝑖𝑖1,2 = 2, да се намери големината на ъгловото ускорение на
водимата шайба.
Решение:
𝜔𝜔
𝜔𝜔1
От 𝜔𝜔 = 𝜑𝜑̇ и 𝑖𝑖1,2 = 1 следва, че: 𝜔𝜔1 = 𝜑𝜑1̇ = 8𝑡𝑡, а 𝜔𝜔2 =
𝜔𝜔
𝑖𝑖
2
1,2
=
8𝑡𝑡
2
= 4𝑡𝑡. За големината на
ъгловото ускорение на водимата шайба се получава: 𝜀𝜀2 = 𝜔𝜔2̇ = 4 𝑠𝑠 −2 .
4.2. Събиране на въртения около успоредни оси
ИТТ се върти около оста си 𝑎𝑎 с ъглова скорост ����⃗
𝜔𝜔𝑟𝑟 (релативна ъглова скорост) и
същевременно се върти около неподвижната ос 𝑏𝑏 с ъглова скорост ����⃗
𝜔𝜔𝑒𝑒 (преносна ъглова
скорост). Двете оси са успоредни, като всички точки от тялото се движат в равнини,
успоредни на една неподвижна ос, която е перпендикулярна на двете оси, т.е. ИТТ
извършва равнинно движение.
a
b
B
A
ωr
ωe
Фиг. 16
Разглежда се едно сечение 𝑆𝑆 от тялото, където ъгловите скорости 𝜔𝜔
����⃗𝑟𝑟 и ����⃗
𝜔𝜔𝑒𝑒 са
еднопосочни, а т. Р е МЦС. Абсолютният моментен център на въртене е т. Р, като точката
лежи върху отсечка, която свързва двете оси на въртене и дели дължината на отсечката
в отношение, обратно пропорционално на големините на релативната и преносната
28
ъглови скорости. За векторната сума на ъгловите скорости се получава: 𝑣𝑣𝐵𝐵 = 𝜔𝜔𝑟𝑟 . ����
𝐴𝐴𝐴𝐴 ,
𝑣𝑣𝐴𝐴 = 𝜔𝜔𝑒𝑒 . ����
𝐴𝐴𝐴𝐴 , a 𝜔𝜔𝑎𝑎 е равна на:
𝑣𝑣 +𝑣𝑣
𝐵𝐵
𝐴𝐴
=
𝜔𝜔𝑎𝑎 = ����
����
𝐵𝐵𝐵𝐵 +𝐴𝐴𝐴𝐴
𝑣𝑣𝐴𝐴 +𝑣𝑣𝐵𝐵
����
𝐴𝐴𝐴𝐴
b
=
���� +𝜔𝜔𝑟𝑟 .𝐴𝐴𝐴𝐴
����
𝜔𝜔𝑒𝑒 .𝐴𝐴𝐴𝐴
����
𝐴𝐴𝐴𝐴
= 𝜔𝜔𝑒𝑒 + 𝜔𝜔𝑟𝑟 , или 𝜔𝜔
�����⃗𝑎𝑎 = ����⃗
𝜔𝜔𝑒𝑒 + ����⃗
𝜔𝜔𝑟𝑟
a
ωa
ωe
ωe
B
ωr
P
B
ωa
A
ωr
A
P
Фиг. 17
Абсолютната ъглова скорост на тялото е векторна сума от преносна и релативна
ъглови скорости.
Когато преносната и релативната ъглови скорости са разнопосочни, се получава:
����
����
����, 𝜔𝜔𝑎𝑎 = 𝑣𝑣𝐵𝐵 −𝑣𝑣𝐴𝐴 = 𝑣𝑣𝐴𝐴−𝑣𝑣𝐵𝐵 = 𝜔𝜔𝑒𝑒.𝐴𝐴𝐴𝐴−𝜔𝜔𝑟𝑟 .𝐴𝐴𝐴𝐴 = 𝜔𝜔𝑒𝑒 − 𝜔𝜔𝑟𝑟 , или
𝑣𝑣𝐵𝐵 = 𝜔𝜔𝑟𝑟 . ����
𝐴𝐴𝐴𝐴, 𝑣𝑣𝐴𝐴 = 𝜔𝜔𝑒𝑒 . 𝐴𝐴𝐴𝐴
����
����
����
����
𝐵𝐵𝐵𝐵 −𝐴𝐴𝐴𝐴
𝐴𝐴𝐴𝐴
𝐴𝐴𝐴𝐴
𝜔𝜔𝑎𝑎 = 𝜔𝜔
�����⃗
����⃗𝑒𝑒 + ����⃗.
𝜔𝜔𝑟𝑟
a
b
ωr
A
B
ωa
P
ωe
ωe
B
ωr
A
Фиг. 18
29
ωa
P
4.3. Метод на Вилис
Разглежда се диференциален зъбен механизъм, в който с 𝐻𝐻 е означено звеното 𝑂𝑂𝑂𝑂,
което извършва въртене около неподвижна ос и се нарича „водило“. Звено 2 (планетно
зъбно колело) извършва сума от въртения около успоредни оси с преносна ъглова
скорост 𝜔𝜔
����⃗𝑒𝑒 = �����⃗
𝜔𝜔𝐻𝐻 и релативна ъглова скорост ����⃗
𝜔𝜔𝑟𝑟 около собствената си ос. Звено 1 (зъбен
венец) извършва въртене около неподвижна ос. Ако на целия механизъм се предаде
допълнителна ъглова скорост 𝜔𝜔
�⃗ = −𝜔𝜔
�����⃗,
𝐻𝐻 то звена 1 и 2 ще извършват въртения около
неподвижни оси, тъй като водилото ще бъде неподвижно. За полученото релативно
𝜔𝜔 −𝜔𝜔
𝑅𝑅
𝑧𝑧
𝑟𝑟
𝐻𝐻
𝑟𝑟
= 𝑖𝑖1,2
следва: 𝑖𝑖1,2
= 𝜔𝜔1 −𝜔𝜔𝐻𝐻 = ± 𝑅𝑅2 = ± 𝑧𝑧2. От полученото
предавателно отношение 𝑖𝑖1,2
2
𝐻𝐻
1
1
отношение може да се намери коя да е от трите ъглови скорости 𝜔𝜔1, 𝜔𝜔2 и 𝜔𝜔𝐻𝐻 , ако са
известни другите две.
R1
H
R2
O
ω1
ω2
A
ωH
Фиг. 19
Задача 16. За показания на схемата планетен механизъм да се намери ъгловата
скорост на водилото 𝐻𝐻, ако 𝜔𝜔1 = 𝜔𝜔, 𝜔𝜔2 = 2𝜔𝜔, 𝑅𝑅1 = 4𝑅𝑅, 𝑅𝑅2 = 𝑅𝑅.
Решение:
𝜔𝜔 −𝜔𝜔
𝑅𝑅
𝑧𝑧
𝑟𝑟
От 𝑖𝑖1,2
= 𝜔𝜔1 −𝜔𝜔𝐻𝐻 = ± 𝑅𝑅2 = ± 𝑧𝑧2 следва:
2
𝐻𝐻
1
1
𝜔𝜔1 −𝜔𝜔𝐻𝐻
𝜔𝜔2 −𝜔𝜔𝐻𝐻
𝑅𝑅
𝜔𝜔−𝜔𝜔
𝑅𝑅
= 𝑅𝑅2 = 2𝜔𝜔−𝜔𝜔𝐻𝐻 = 4𝑅𝑅 →
1
𝐻𝐻
𝜔𝜔−𝜔𝜔𝐻𝐻
2𝜔𝜔−𝜔𝜔𝐻𝐻
2
2𝜔𝜔 − 𝜔𝜔𝐻𝐻 = 4. ( 𝜔𝜔 − 𝜔𝜔𝐻𝐻 ) → 2𝜔𝜔 − 4𝜔𝜔 = 𝜔𝜔𝐻𝐻 − 4𝜔𝜔𝐻𝐻 → 2𝜔𝜔 = 3𝜔𝜔𝐻𝐻 → 𝜔𝜔𝐻𝐻 = 3 𝜔𝜔.
30
1
=4 →
III. Сложно движение на точка
§1 . Относително, преносно и абсолютно движение
В неподвижната инерциална координатна система Oxyz се движи ИТТ, което е
свързано с подвижната неинерциална координатна система Ax1y1z1, като по повърхността
на тялото се движи т. M.
Движението на т. M по отношение на подвижната координатна система Ax1y1z1 се
нарича относително (релативно), като скоростта и ускорението на т. M в координатната
���⃗𝑟𝑟 и относително ускорение
система Ax1y1z1 се наричат съответно относителна скорост 𝑣𝑣
𝑎𝑎𝑟𝑟
����⃗.
Движението на ИТТ спрямо неподвижната координатна система Oxyz се нарича
преносно, като скоростта и ускорението на точката от тялото, където в разглеждания
момент се намира т. M , се наричат преносна скорост 𝑣𝑣
���⃗𝑒𝑒 и преносно ускорение ����⃗.
𝑎𝑎𝑒𝑒
Ъгловата скорост на тялото в случая се нарича преносна ъглова скорост ����⃗.
𝜔𝜔𝑒𝑒
Движението на т. M по отношение на неподвижната координатна система Oxyz се
нарича абсолютно (сложно), а скоростта и ускорението на точката се наричат абсолютна
скорост ����⃗
𝑣𝑣𝑎𝑎 и абсолютно ускорение ����⃗.
𝑎𝑎𝑎𝑎
z
z1
y1
A
ρ
x1
rA
M
r
О
y
x
Фиг. 20
31
§2 . Теорема за абсолютната производна на векторна функция
2.1. Теорема на Poisson
Теорема на Poisson – дадена е подвижна координатна система Ax1y1z1, имаща ъглова
скорост 𝜔𝜔
�⃗ и единични вектори ��⃗,
𝚤𝚤1 ��⃗
𝚥𝚥1 и ����⃗
𝑘𝑘1 , съответно по осите x1, y1 и z1. Производните
̇
по времето на единичните вектори са: ��⃗
𝚤𝚤1̇ = 𝜔𝜔
�⃗ × ��⃗;
𝚤𝚤1 ��⃗
𝚥𝚥1̇ = 𝜔𝜔
�⃗ × ��⃗;
𝚥𝚥1 ����⃗
𝑘𝑘1 = 𝜔𝜔
�⃗ × ����⃗
𝑘𝑘1 ;
Доказателство:
Ако Ax1y1z1 извършва транслация, единичните вектори ��⃗,
𝚤𝚤1 ��⃗
𝚥𝚥1 и ����⃗
𝑘𝑘1 ще останат с
постоянни големини, а техните производни по времето ще са равни на нула.
Движението на Ax1y1z1 е сума от транслация + ротация около моментна ос на ротация.
Всеки от единичните вектори може да се разгледа като радиус вектор на точка лежаща
върху осите x1, y1 и z1, която отстои на разстояние единица от координатното начало. Нека
върху оста x1 лежи т. I1 с радиус вектор ����⃗
𝑟𝑟𝐼𝐼1 = ��⃗,
𝚤𝚤1 тогава за скоростта на т. I1 във
въртеливата част от движението на Ax1y1z1 се получава:
което е равно на: 𝜔𝜔
�⃗ × ����⃗
𝑟𝑟𝐼𝐼1 = 𝜔𝜔
�⃗ × ��⃗
𝚤𝚤1 →
𝑑𝑑𝚤𝚤���⃗
1
= ��⃗
𝚤𝚤1̇ = 𝜔𝜔
�⃗ × ��⃗.
𝚤𝚤1
𝑑𝑑𝑑𝑑
������⃗
𝑑𝑑𝑟𝑟
𝐼𝐼1
𝑑𝑑𝑑𝑑
=
𝑑𝑑𝚤𝚤���⃗
1
𝑑𝑑𝑑𝑑
= 𝑣𝑣
�����⃗,
�����⃗
�⃗ × ����⃗,
𝑟𝑟𝐼𝐼1
𝐼𝐼1 но 𝑣𝑣
𝐼𝐼1 = 𝜔𝜔
Аналогични зависимости се получават и за другите две производни на единичните
̇
�⃗ × ��⃗
𝚥𝚥1 и ����⃗
𝑘𝑘1 = 𝜔𝜔
�⃗ × ����⃗
𝑘𝑘1 .
вектори: ��⃗
𝚥𝚥1̇ = 𝜔𝜔
моментна ос
на ротация
z1
k1 ω
x1
i1 A j1
I1
y1
Фиг. 21
2.2. Теорема за абсолютната производна на векторна функция
Дадени са векторната функция 𝜌𝜌⃗ = 𝜌𝜌⃗(𝑡𝑡), дефинирана в подвижната координатна
система Ax1y1z1, и неподвижната координатна система Oxyz. Абсолютната векторна
32
производна на 𝜌𝜌⃗(𝑡𝑡) в неподвижната координатна система Oxyz е:
където
�⃗
𝑑𝑑`𝜌𝜌
𝑑𝑑𝑑𝑑
�⃗
𝑑𝑑𝜌𝜌
𝑑𝑑𝑑𝑑
=
�⃗
𝑑𝑑`𝜌𝜌
𝑑𝑑𝑑𝑑
+ 𝜔𝜔
�⃗ × 𝜌𝜌⃗,
е производна на 𝜌𝜌⃗(𝑡𝑡) в подвижната координатна система, а 𝜔𝜔
�⃗ е ъгловата
скорост на подвижната координатна система.
Доказателство:
�⃗1 , където 𝑥𝑥1 , 𝑦𝑦1
Векторната функция 𝜌𝜌⃗(𝑡𝑡) се представя във вида: 𝜌𝜌⃗ = 𝑥𝑥1 𝚤𝚤⃗1 + 𝑦𝑦1 𝚥𝚥⃗1 + 𝑧𝑧1 𝑘𝑘
�⃗1 са
и 𝑧𝑧1 са проекциите на 𝜌𝜌⃗ върху осите на подвижната координатна система, а 𝚤𝚤⃗1 , 𝚥𝚥⃗1 и 𝑘𝑘
съответните единични вектори. След диференциране на 𝜌𝜌⃗ се получава:
�⃗
𝑑𝑑𝜌𝜌
𝑑𝑑𝑑𝑑
�⃗1 + 𝑥𝑥1 𝚤𝚤⃗1̇ + 𝑦𝑦1 𝚥𝚥⃗1̇ + 𝑧𝑧1 𝑘𝑘
�⃗̇1 , първите три члена се представят като:
= 𝑥𝑥̇ 1 𝚤𝚤⃗1 + 𝑦𝑦̇ 1 𝚥𝚥⃗1 + 𝑧𝑧̇1 𝑘𝑘
�⃗1 = 𝑑𝑑`𝜌𝜌�⃗. За последните три от Теоремата на Poisson се получава:
𝑥𝑥̇ 1 𝚤𝚤⃗1 + 𝑦𝑦̇ 1 𝚥𝚥⃗1 + 𝑧𝑧̇1 𝑘𝑘
𝑑𝑑𝑑𝑑
�⃗̇1 = 𝑥𝑥1 𝜔𝜔
�⃗1 = 𝜔𝜔
�⃗1 � = 𝜔𝜔
�⃗ × 𝚤𝚤⃗1 + 𝑦𝑦1 𝜔𝜔
�⃗ × 𝚥𝚥⃗1 + 𝑧𝑧1 𝜔𝜔
�⃗ × 𝑘𝑘
�⃗ × �𝑥𝑥1 𝚤𝚤⃗1 + 𝑦𝑦1 𝚥𝚥⃗1 + 𝑧𝑧1 𝑘𝑘
�⃗ × 𝜌𝜌⃗
𝑥𝑥1 𝚤𝚤⃗1̇ + 𝑦𝑦1 𝚥𝚥⃗1̇ + 𝑧𝑧1 𝑘𝑘
Следователно:
�⃗
𝑑𝑑𝜌𝜌
𝑑𝑑𝑑𝑑
=
�⃗
𝑑𝑑`𝜌𝜌
𝑑𝑑𝑑𝑑
+ 𝜔𝜔
�⃗ × 𝜌𝜌⃗.
§3 . Теорема за събиране на скоростите
Абсолютната скорост на точка е векторна сума от преносната и релативната
скорости – ����⃗
𝑣𝑣𝑎𝑎 = ���⃗
𝑣𝑣𝑒𝑒 + ���⃗.
𝑣𝑣𝑟𝑟
Доказателство:
За радиус – вектора на точката в неподвижната координатна система се получава:
̇ 𝑑𝑑𝜌𝜌�⃗ 𝑣𝑣𝐴𝐴 + 𝑑𝑑`𝜌𝜌�⃗ +
𝑟𝑟⃗ = ���⃗
𝑟𝑟𝐴𝐴 + 𝜌𝜌⃗ , а след като се диференцира по времето се получава: 𝑟𝑟⃗̇ = 𝑟𝑟���⃗
𝐴𝐴 + 𝑑𝑑𝑑𝑑 = ����⃗
𝑑𝑑𝑑𝑑
𝜔𝜔
�⃗ × 𝜌𝜌⃗
или: ����⃗
𝑣𝑣𝑎𝑎 = ����⃗
𝑣𝑣𝐴𝐴 + 𝜔𝜔
�⃗ × 𝜌𝜌⃗ +
�⃗
𝑑𝑑`𝜌𝜌
𝑑𝑑𝑑𝑑
, но ����⃗
𝑣𝑣𝐴𝐴 + 𝜔𝜔
�⃗ × 𝜌𝜌⃗ = 𝑣𝑣
���⃗,
𝑒𝑒 а
Следователно: ����⃗
𝑣𝑣𝑎𝑎 = ���⃗
𝑣𝑣𝑒𝑒 + ���⃗.
𝑣𝑣𝑟𝑟
�⃗
𝑑𝑑`𝜌𝜌
𝑑𝑑𝑑𝑑
= ���⃗.
𝑣𝑣𝑟𝑟
§4 . Теорема за събиране на ускоренията (на Кориолис)
Абсолютното ускорение е векторна сума от преносно, релативно и кориолисово
ускорения – ����⃗
𝑎𝑎𝑎𝑎 = ����⃗
𝑎𝑎𝑒𝑒 + ����⃗
𝑎𝑎𝑟𝑟 + ����⃗.
𝑎𝑎𝑐𝑐
33
Доказателство:
Изразът за абсолютната скорост 𝑣𝑣
����⃗
𝑣𝑣𝐴𝐴 + 𝜔𝜔
�⃗ × 𝜌𝜌⃗ +
𝑎𝑎 = ����⃗
�⃗
�⃗
𝑑𝑑` 𝑑𝑑`𝜌𝜌
𝑑𝑑`𝜌𝜌
𝜔𝜔
�⃗̇ × 𝜌𝜌⃗ + 𝜔𝜔
�⃗ × 𝜌𝜌⃗̇ + 𝑑𝑑𝑑𝑑 � 𝑑𝑑𝑑𝑑 � + 𝜔𝜔
�⃗ × 𝑑𝑑𝑑𝑑 , или:
�⃗
𝑑𝑑`𝜌𝜌
�⃗
𝑑𝑑`𝜌𝜌
𝑑𝑑𝑑𝑑
̇
се диференцира: 𝑣𝑣
����⃗
𝑣𝑣𝐴𝐴̇ +
𝑎𝑎 = ����⃗
𝑑𝑑`
𝑎𝑎𝑎𝑎 = ����⃗
����⃗
𝑎𝑎𝐴𝐴 + 𝜀𝜀⃗ × 𝜌𝜌⃗ + 𝜔𝜔
�⃗ × � 𝑑𝑑𝑑𝑑 + 𝜔𝜔
�⃗ × 𝜌𝜌⃗� + 𝑑𝑑𝑑𝑑 ���⃗
𝑣𝑣𝑟𝑟 + 𝜔𝜔
�⃗ × ���⃗,
𝑣𝑣𝑟𝑟 след преработване се получава:
𝑎𝑎𝑎𝑎 = ����⃗
����⃗
𝑎𝑎𝐴𝐴 + 𝜀𝜀⃗ × 𝜌𝜌⃗ + 𝜔𝜔
�⃗ × 𝜔𝜔
�⃗ × 𝜌𝜌⃗ + ����⃗
𝑎𝑎𝑟𝑟 + 2𝜔𝜔
�⃗ × ���⃗,
𝑣𝑣𝑟𝑟 където първите три компоненти на
уравнението се явяват преносното ускорение ����⃗
𝑎𝑎𝑒𝑒 = ����⃗
𝑎𝑎𝐴𝐴 + 𝜀𝜀⃗ × 𝜌𝜌⃗ + 𝜔𝜔
�⃗ × 𝜔𝜔
�⃗ × 𝜌𝜌⃗, ����⃗
𝑎𝑎𝑟𝑟 е
релативното ускорение, а последното векторно произведение е кориолисовото
ускорение: ����⃗
𝑎𝑎𝑐𝑐 = 2𝜔𝜔
�⃗ × ���⃗.
𝑣𝑣𝑟𝑟
Следователно: ����⃗
𝑎𝑎𝑎𝑎 = ����⃗
𝑎𝑎𝑒𝑒 + ����⃗
𝑎𝑎𝑟𝑟 + ����⃗.
𝑎𝑎𝑐𝑐
По големина кориолисовото ускорение е равно на: 𝑎𝑎𝑐𝑐 = 2𝜔𝜔𝑣𝑣𝑟𝑟 sin(𝜔𝜔
�⃗𝑣𝑣
���⃗),
𝑟𝑟 следователно
кориолисовото ускорение е равно на нула в следните три случая:
1) 𝜔𝜔 = 0 – преносното движение е транслация;
2) 𝑣𝑣𝑟𝑟 = 0 – големината на релативната скорост е равна на нула (т. М е в покой);
3) 𝜔𝜔
�⃗ ∥ ���⃗
𝑣𝑣𝑟𝑟 – векторите преносна ъглова скорост и релативна скорост са успоредни.
Посоката на кориолисовото ускорение се определя по правилото за векторно
произведение, където 𝜔𝜔
�⃗ и ���⃗
𝑣𝑣𝑟𝑟 образуват равнина, спрямо която кориолисовото ускорение
е перпендикулярно, а трите вектора образуват дясно ориентирана координатна система
(𝜔𝜔
�⃗, ���⃗
𝑣𝑣𝑟𝑟 и 𝑎𝑎𝑐𝑐 ).
Задача 17. Прав кръгов цилиндър с радиус 𝑟𝑟 се върти около оста си по закона 𝜑𝜑(𝑡𝑡), с
постоянна ъглова скорост 𝜔𝜔𝑒𝑒 = 𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐. По образуващата му се движи т. M. по закона 𝑠𝑠(𝑡𝑡).
Да се намерят абсолютната скорост и абсолютното ускорение на точката.
34
r
M
s
φ
Фиг. З17
Решение:
За да се намери големината на абсолютната скорост на т. М, първо трябва да се
намерят големините на скоростите 𝑣𝑣𝑟𝑟 и 𝑣𝑣е . Релативната скорост на точката се явява първа
производна на закона за движение на точката - 𝑠𝑠̇ = 𝑣𝑣𝑟𝑟 . Точката от тялото, където се
намира т. М е точка от периферията на цилиндъра, т.е. преносната скорост е равна на
скоростта на тази точка, или 𝑣𝑣е = 𝜔𝜔𝑒𝑒 . 𝑟𝑟, където ъгловата скорост на ИТТ е първа
производна на закона за движение на цилиндъра - 𝜔𝜔𝑒𝑒 = 𝜑𝜑̇ . Посоките на двете скорости
са показани на фиг. З17а, като големината на абсолютната скорост на т. М е равна на:
𝑣𝑣𝑎𝑎 = �𝑣𝑣𝑟𝑟2 + 𝑣𝑣𝑒𝑒2 = �𝑠𝑠̇ 2 + (𝜑𝜑̇ . 𝑟𝑟)2 .
35
r
va
vr
M
ve
s
ωe
φ
Фиг. З17а
За да се намери големината на абсолютното ускорение на т. М трябва да се намерят
големините на трите му компоненти 𝑎𝑎𝑟𝑟 , 𝑎𝑎𝑒𝑒 и 𝑎𝑎𝑐𝑐 . Релативното ускорение е равно на
производната по времето на релативната скорост - 𝑠𝑠̈ = 𝑣𝑣𝑟𝑟̇ = 𝑎𝑎𝑟𝑟 . Преносното ускорение
на периферната точка от ИТТ има две компоненти: 𝑎𝑎𝑒𝑒,𝜏𝜏 и 𝑎𝑎𝑒𝑒,𝑛𝑛 , тангенциалната
компонента е производна на преносната скорост - 𝑎𝑎𝑒𝑒,𝜏𝜏 = 𝑣𝑣𝑒𝑒̇ = 𝜔𝜔𝑒𝑒̇ . 𝑟𝑟 = 0 𝑚𝑚/𝑠𝑠 2 ,
големината му е нула, защото ъгловата скорост е константна. За големината на
нормалното преносно ускорение се получава: 𝑎𝑎𝑒𝑒,𝑛𝑛 = 𝜔𝜔𝑒𝑒2 . 𝑟𝑟. Посоката му е показана на
фиг. З17б. Големината на кориолисовото ускорение е равно на нула, защото векторите
преносна ъглова скорост и релативна скорост на т. М са успоредни. За големината на
36
2 = �𝑠𝑠̈ 2 + (𝜑𝜑̇ 2 . 𝑟𝑟)2 , тъй като
абсолютното ускорение се получава: 𝑎𝑎𝑎𝑎 = �𝑎𝑎𝑟𝑟2 + 𝑎𝑎𝑒𝑒,𝑛𝑛
векторите релативно ускорение и нормално преносно ускорение са перпендикулярни.
r
aa
vr
ar
ae,n M
ve
aτ,e=0
s
ωe
φ
Фиг. З17б
37
ЛИТЕРАТУРА
[1] Beer, F.P., E. R. Jonhston Jr, D. F. Mazurek, P. J. Cornwell, Vector mechanics for
engineers: statics and dynamics, tenth edition, 2013.
[2] Meriam, J. L., L. G. Kraige, Engineering Mechanics: Volume 2, Dynamics, seventh
edition, 2012.
[3] Максимов Й. Т., Теоретична механика, ЕксПрес, Габрово, 2016.
[4] Бъчваров, С. Н., А. А. Джонджоров, Б. И. Чешанков, Н. К. Малинов, Ръководство
за упражнения и решаване на задачи по Теоретична механика, С, 1973.
38