Text
А.СХолево
КВАНТОВАЯ ВЕРОЯТНОСТЬ И КВАНТОВАЯ СТАТИСТИКА
(Итоги науки и техн. Соврем, пробл. матем. Фундам. направления. ВИНИТИ, 1991. т.83. С. 3—132)
Предметом обзора является вероятностная структура квантовой теории.
Математические исследования в этой области начались в ЗО-е годы, но лишь за
последние двадцать лет усилиями ряда специалистов была, в основном, создана
квантовая теория вероятностей, опирающаяся на современный аппарат
некоммутативного функционального анализа и свободная от трудностей и
противоречий первоначального подхода. Основные понятия квантовой теории
вероятностей рассматриваются в обзоре в сопоставлении с классической
вероятностной схемой. Подчеркиваются принципиальные отличия, в основе
которых лежат более сложные геометрия выпуклого множества квантовых
состояний и алгебраическая структура пространства квантовых наблюдаемых.
Эти отличия находят выражение в корреляционных неравенствах, проливающих
новый свет на проблему скрытых параметров, а также в фундаментальных
ограничениях на точность и информативность измерений, составляющих предмет
квантовой теории статистических решений.
Центральные математические понятия — разложение единицы
(положительная операторно-значная мера) и вполне положительное отображение
— рассматриваются в естественной связи с приложениями. Основанная на этих
средствах обобщенная статистическая модель квантовой механики дает ключ к
ряду вопросов, не находящих удовлетворительного решения в рамках
стандартной формулировки. Это — проблема соответствия (канонической
сопряженности), марковская динамика открытых квантовых систем, проблема
воспроизводимости в теории квантового измерения, процессы непрерывного
измерения. Излагаются основы теории квантовых случайных процессов, в
частности, квантовое стохастическое исчисление, дающее эффективный метод
расширения динамических полугрупп и процессов непрерывного измерения.
Содержание
Предисловие 7
Введение 9
0.1. Конечномерные системы 9
0.2. Общие постулаты статистического описания 11
0.3. Классические и квантовые системы 12
0.4. Рандомизация в классической и квантовой статистике 14
0.5. Выпуклая геометрия разложений единицы и фундаментальные 15
пределы точности
0.6. Проблема соответствия 16
0.7. Повторные и непрерывные измерения 16
0.8. Необратимая динамика 18
0.9. Квантовые случайные процессы 18
Глава 1. Стандартная статистическая модель квантовой механики 19
§ 1. Основные понятия 19
1.1. Операторы в гильбертовом пространстве 19
1.2. Оператор плотности 21
1.3. Спектральная мера 22
1.4. Статистический постулат 22
1.5. Совместимые наблюдаемые 23
1.6. Простейший пример 25
§ 2. Симметрии, кинематика, динамика 27
2.1. Группы симметрии 27
2.2. Однопараметрические группы 28
2.3. Соотношения Г. Вейля 29
2.4. Гауссовские состояния 32
§ 3. Составные системы 33
3.1. Тензорное произведение гильбертовых пространств 33
3.2. Произведение квантовых состояний 34
3.3. Независимость и предельные теоремы 35
§ 4. Проблема скрытых параметров 37
4.1. Скрытые параметры и квантовая дополнительность 37
4.2. Скрытые параметры и квантовая целостность 39
4.3. Структура множества квантовых корреляций 42
Глава 2. Статистика квантовых измерений 43
§ 1. Обобщенные наблюдаемые 43
1.1. Разложения единицы 43
1.2. Обобщенная статистическая модель квантовой механики 45
1.3. Геометрия множества обобщенных наблюдаемых 47
§ 2. Квантовая теория статистических решений 49
2.1. Проверка гипотез 49
2.2. Байесовская задача 50
2.3. Пропускная способность квантового канала связи 53
2.4. Общая формулировка 55
2.5. Квантовые неравенства Рао — Крамера 57
§ 3. Ковариантные наблюдаемые 60
3.1. Формулировка проблемы 60
3.2. Структура ковариантного разложения единицы 61
3.3. Обобщенные системы импримитивности 62
3.4. Случай абелевой группы 63
3.5. Каноническая сопряженность в квантовой механике 65
3.6. Локализуемость 68
Глава 3. Эволюция открытой системы 69
§ 1. Преобразования квантовых состояний и наблюдаемых 69
1.1. Вполне положительные отображения 69
1.2 Операции, динамические отображения 71
1.3. Условные ожидания 73
§ 2. Квантовые динамические полугруппы 74
2.1. Определение и примеры 74
2.2. Инфинитезимальный оператор 75
2.3. Свойство консервативности 77
2.4. Ковариантные эволюции 79
2.5. Эргодические свойства 80
2.6. Расширения динамических полугрупп 81
Глава 4. Последовательные и непрерывные процессы измерения 85
§ 1. Статистика последовательных измерений 85
1.1. Понятие инструмента 85
1.2. Представление вполне положительного инструмента 87
1.3. Три уровня описания квантовых измерений 89
1.4. Воспроизводимость 90
1.5. Измерения непрерывных наблюдаемых 91
§ 2. Процессы непрерывного измерения 93
2.1. Неразрушающие измерения 93
2.2. «Квантовый парадокс Зенона» 95
2.3. Предельная теорема для сверток инструментов 96
2.4. Сверточные полугруппы инструментов 98
2.5. Инструментальные процессы 100
Глава 5. Процессы в пространстве Фока 103
§ 1. Квантовое стохастическое исчисление 103
1.1. Основные определения 103
1.2. Стохастический интеграл 105
1.3. Квантовая формула Ито 108
1.4. Квантовые стохастические дифференциальные уравнения 110
§ 2. Расширения в пространстве Фока 113
2.1. Винеровский и пуассоновский процессы в пространстве Фока 114
2.2. Стохастические эволюции и расширения динамических 116
полугрупп
2.3. Расширения инструментальных процессов 119
2.4. Стохастические представления процессов непрерывного 121
измерения
2.5. Нелинейные стохастические уравнения апостериорной динамики 123
Литература 125
Именной указатель 266
Предметный указатель 268
ИМЕННОЙ УКАЗАТЕЛЬ
Азема (Azema J.) 116 Аратари (Aratari С.) 84
Аккарди (Accardi L.) 19, 37, 74, 82, Артемьев А. Ю. 126
111, 113, 128, 131, 132 АхиезерН.И. 126
Али (АИ S. Т.) 69, 128 Аюпов Ш. А. 22
Алицки (Alicki R.) 84, 128 Балслев (Balslev E.) 128
Альбеверио (Albeverio S.) 81 Баргман (Bargmann V.) 28
Андо (Ando R.) 71, 128 Баркиелли (Barchielli А.) 95, 100, 119,
Аншелевич В. В. 37, 81 128
Араки (Araki Н.) 19, 60, 113 Барнетт (Barnett С.) 108, 128
Бах (Bach A.) 37, 128
Белавкин В. П. 52, 55, 56, 84, 85, 108,
109,110,124,125,126,128
Белл (Bell J.) 13, 38, 39, 41, 129
Бенджбаллах (Benjballah С.) 55, 129
Бербериан (Berberian S. К.) 128
Березин Ф. А. 126
Бернулли (Bernoulli J.) 26, 35
Блох (Bloch L.) 80
Боголюбов Н. Н. 126
Богомолов Н. А. 56, 126
Больцман (Boltzmann L.) 84
Бор (Bohr N.) 46
Брагинский В. Б. 128
Брагтели (Bratteli U.) 126, 128
Бриллюэн (Brillouin L.) 15
Вайтман (Wightman A. S.) 68
Вальд(\?аША.) 14,56
фон Вальденфельс (von Waldenfels
W.K5, 36, 111, 112, 128, 129,
131,132
Ваневский (Waniewski J.) 90, 132
Ванцян А. Г. 55, 127
Варадарайан (Varadarajan V. S.) 11,
28, 132
Вебер (Weber Т.) 124
Вейль Г. (Weyl H.) 29, 31, 113, 126
Вербер (Verbeure A.) 37, 128, 130, 131
Верль (Wehrl A.) 72, 132
Вернер (Werner R.) 42, 132
Верри (Verri M.) 130
Ветс (Vets Р.) 37,130
Вигнер (Wigner E. Р.) 27, 28, 36, 39,
68, 126
Винер (Wiener N.) 116
Винсент-Смит (Vincent-Smith G. F.)
84,132
Войкулеску (Voiculescu D.) 36, 132
Воронцов Ю. И. 128
Габор (Gabor D.) 15
Гаддер (Gudder S.) 11,130
Галилей (Galilei G.) 29, 68
Гатарек (GatarekD.) 125, 129
Гейзенберг (Heizenberg W.) 28
Гельфанд И. М. 70
Гирарди (Ghirardi G. С.) 124, 125, 129
ГихманИ. И. 101
Гишарде (Guichardet A.) 130
Глазман И. М. 126
Глаубер (Glauber R.) 126
Глисон (Gleason A. M.) 21, 38
Годерис (Goderis D.) 37, 130
Гольдштейн М. Ш. 36, 37, 81
Горини (Gorini V.) 18, 75, 83, 130, 131
Гренандер (Grenander U.) 126
Грейвс (Graves С.) 30
Гриб А. А. 126
Гринлиф (Greenleaf F.) 92
Гришанин Б. А. 56, 126
Гротендик (Grotendieck A.) 43
rpox(GrohU.)81, 130
Даниэль (Daniell P.) 18, 84
Денисов Л. В. 126
Джизен (GisinN.) 125, 129, 130
Дирак (Dirac P. A. M.) 126
Додонов В. В. 126
Долинар (Doliinar S.) 90
Дэвис (Davies E. В.) 15, 17, 18, 72, 75,
77, 78, 81, 82, 85, 95, 96, 100,
129,132
Журне (Journe J.-L.) 107, 108, ПО,
130
Закаи (Zakai M.) 124
Ингарден (Ingarden R. S.) 55, 130
Ито (Ito К.) 19, 108, 116
йоргенсен (JOrgensen P. Т.) 30,130
Карлеман (Carleman Т.) 44
Каррузерс (Carruthers P.) 126
Кастлер (Kastler D.) 72
Кастрижьяно (Castrigiano D. P. L.) 69,
128
Каттанео (Cattaneo U.) 63,128
Кеннеди (Kennedy R. S.) 52
Клаудер (Klauder J.) 126
Клаузер (Clauser J. F.) 40
Колмогоров А. Н. 7, 18, 82, 84, 126
Коссаковски (Kossakowski A.) 18, 75,
130
Кошен (Kochen S.) 38, 130
Крамер (Cramer H.) 58
Kpayc (Kraus К.) 68, 130
Крейн М. Г. 53
Кристенсен (Christensen E.) 77, 129
Куагебер (Quagebeur J.) 37
Кэдисон (Kadison R. V.) 70
Кюммерер (Kummerer В.) 80, 83, 131
Ланц (Lanz L.) 95, 100, 128
JIeBH(LeviP.) 18,96
Левитин Л. Б. 54
Либ (Lieb E. Н.) 37
Линдблад (Lindblad G.) 18, 55, 72, 75,
84, 131
Линдсей (Lindsay J. M.) 110, 113
Липцер P. HI. 123
Логунов А. А. 126
Лу(ЬиУ. G.I28
Лупиери (Lupieri G.-C.) 119, 128
Лэкс (Lax M.) 52, 59
Людвиг (Ludwig G.) 11, 15, 48, 72,
131
Льюис (Lewis J. T.) 15, 17, 19, 72, 82,
85,129
Маассен (Maassen H.) 83,104,113,
129
Макки (Mackey J.) И, 21, 62, 64, 127,
130
Мак-Кин (McKean H. Р.) 84
Манько В. И. 126
Манюсо (Manuceau J.) 131
Маслов В. П. 127
Мейер (Meyer P.-A.) 113,116,131
Мельник (MielnikB.) 90, 131
Менский М. Б. 96, 127
Мисра (Misra В.) 95, 131
Морозова Е. А. 60, 80
Мур (Moore R. Т.) 30, 130
Наймарк М. А. 15, 44, 46, 49, 63,
фон Нейман (von Neumann J.) 7, 10,
13, 16, 22, 30, 38, 53, 86, 93, 127
Нельсон (Nelson E.) 42, 131
Ньето (Nieto M.) 126
Ньютон Т. (Newton Т.) 68
Озава (Ozawa M.) 56, 86, 88, 91, 93,
119,131
ОксакА. И. 126
Оселедец В. И. 127
Партасарати (Parthasarathy К. R.) 19,
37, 106, 108, 109, ПО, 112, 113,
115,130,131
Паули (Pauli W.) 25, 67
Петц (Petz D.) 56, 72, 74, 81, 131
Пирл (Pearle P.) 125, 129
Проспери (Prosperi G. М.) 95, 100,
128
Прохоров Ю. В. 127
Пруговечки (Prugovecki E.) 69, 128
Пуанкаре (Poincare H.) 68
Раджио (Raggio S.) 60
Pao (Rao С. R.) 58
Рид (Read M.) 127
Римини (Rimini A.) 125, 129
Рисе (Riesz F.) 22, 58, 127
Робертсон (Robertson H. Р.) 24
Робинсон Д. (Robinson D.) 126, 128
Робинсон П. (Robinson P.) 113
Розанов Ю. В. 127
Розенблатт (Rosenblatt M.) 37
Саймон (Simon В.) 127
Саммерс (Summers S. J.) 42, 132
Сарымсаков Т. А. 37, 81, 127
Секефальви-Надь (Sz.-Nagy В.) 127
Сигал (Segal I. M.) 11, 70, 114, 127
Синай Я. Г. 80
Синха (Sinha К.) 108
Скороход А. В.101,103, 111, 127
Скутару (Scutaru H.) 63, 132
Соважо (Sauvageout J.-L.) 84, 132
Стайнспринг (Stinespring W. F.) 70,
132
Сташевски (Staszewski Р.) 124, 129
Стоун (Stone M. Н.) 16, 22, 28, 30
Стратонович Р. Л. 52, 55, 59, 127, 132
Стритер (StreaterR. F.) 19, 84, 108,
113,128
Сударшан (Sudarshan E. С. G.) 18, 75,
95, 126, 130, 131
Такесаки (Takesaki M.) 73,132
Тодоров И. Т. 126
Торн (Thome К. S.) 128
Уайльд (Wilde I. F.) 108, 128
Ульман (Uhlmann A.) 60
Умегаки (Umegaki H.) 56, 73, 132
Фаннес (Fannes M.) 37
Фаньола (Fagnola F.) 110, 129 фок В.
А. 103
Фриджерио (Frigerio A.) 19, 81, 82, 83
84,110,116,128,129,130,131
Фридман (Friedman С. N.) 95, 129
Xaar (Haag R.) 72
Хадсон (Hudson R. L.) 19, 36, 106,
108,109,110,112,116,129,130
ХалфинЛ. А. 130
Хегерфельдт (Hegerfeldt G. С.) 37, 68,
130
Хег-Крон (Hcegh-Krohn R.) 81
Хелстром (Helstrom С. W.) 15, 50, 52,
59, 127
Хепп (Нерр К.) 37
Xiwi(HidaT.I15
ХинчинА. Я. 18,96
Холево А. С. 15, 39, 47, 50, 53, 55, 64,
68,96,106,111,118,127,130
Цирельсон Б. С. 42, 128, 130
ПРЕДМЕТНЫЙ
Алгебра
— Клиффорда 27, 42
— фон Неймана 23
С*-алгебра 69
апостериорное состояние 86
апостериорное среднее 86,123
Белла—Клаузера—Хорна Шимони
(БКХШ) неравенство 40
Блоха уравнение 80
Вакуумный вектор 105
Вектор состояния 23
Вероятностная мера (на квантовой
логике) 21
Гамильтониан 28
Гейзенберга картина 28
Гельфанда—Наймарка—Сигала
Чеботарев А. М. 78, ПО, 128, 129
Чеккини (Cecchini С.) 74
Чемберс (Chambers W. G.) 55, 129
Ченцов Н. Н. 60, 80, 128
4ofi(ChoiM. D.O1, 128
Шейл (Shale D.) 132
Шенберг (Schoenberg I. J.) 98
Шерстнев А. Н. 22
Шимони (Shimoni A.) 40
Ширяев А. Н. 123
Шмидт (Schmidt К.) 37, 131
Шпайхер (Speicher R.) 36, 132
Шпеккер (Specker E. Р.) 38, 130
IIInoH(SpohnH.)81, 132
Шрёдингер (Schrodinger E.) 28
Шриниваз (Srinivas M. D.) 91, 132
Штермер (StOrmer E.) 48, 71
Шурманн (Schurmann M.) Ill, 128*
132
Эванс Д. (Evans D. Е.) 77, 81, 82, 129
Эванс М. (Evans M. Р.) 110
Эмери (Emery M.) Ill, 116, 129
Эмх (Emch G.) 128
Эпплбаум (ApplebaumD. В.) 108,
113,130
Юн (Yuen H. Р.) 51, 52, 59
?3re(JaiteR.)81,130
УКАЗАТЕЛЬ
(ГНС)-конструкция 70
Генератор (и.-процесса) 101
*- гомоморфизм 70
Детального равновесия условие 83
Динамическое отображение 18, 72
Динамическая полугруппа квантовая
18,74
ковариантная 79
Дисперсия 25
Дополнительность 13
Измерение 89
— косвенное 87
— неразрушающее 94
Импримитивности система 62
— обобщенная 63
Импульс 29
Инструмент 17, 85
— безгранично-делимый 96
— воспроизводимый 90
— вполне положительный 86
Инструментальный процесс с
независимыми приращениями
(и.-процесс) 100
Ито формула квантовая
Иорданово (симметризованное)
произведение 25
Канал связи квантовый 53
Канонические коммутационные
соотношения (ККС)
— Вейля 29
— Вейля—Сигала 31
— Гейзенберга 30
Канонические наблюдаемые 30
Квазихарактеристическая функция 99
Квантовая логика 10
Квантовый случайный процесс 82
— ковариантный 83
— марковский 83
— стационарный 83
Ковариация 25
Коммутант 74
Коммутатор 23
Контекстуальность 39
Консервативность 77
Корреляции
— квантово-представимые 42
— классически-представимые 43
Корреляционные ядра 82
Коцикл 77, ПО
Крайняя точка 21
Кэдисона—Шварца неравенство 70
Ланжевена уравнение квантовое 117
Логарифмическая производная
— правая 59
— симметризованная 58
Локализуемость 68
Марковское управляющее уравнение
квантовое 74
Мартингал квантовый 106
Модулярная группа автоморфизмов
73
Наблюдаемая 9,11
— вещественная 22
— времени 67
— координаты 30
— обобщенная 45
— скорости 30
— функционально подчиненная 12
Независимость 35
— свободная 36
Неопределенностей соотношение 24
— Гейзенберга 32
Оператор
— положительный 20
— самосопряженный 22
— сопряженный 20
— унитарный 20
— эрмитов 20, 22
— ядерный 20
Операция 72
Открытая система 18
Отображение
— аффинное 27
— безгранично-делимое 116
— вполне диссипативное 76
— вполне положительное 69
— дуальности 114
— нормальное 71
— положительное 69
— условно вполне положительно 76
Оценка параметра 57
— локально-несмещенная 59
— несмещенная 57
Паули матрицы 25
Переполненная система 44
Перестановочные операторы 23
Плотности
— матрица 9
— оператор 21
Проектор 20
Проекционный постулат 17
Пропускная способность 54
Разложение единицы 14, 43
ковариаитное 60
ортогональное 9 22
Расширение
— динамической полугруппы 18 82
— и.-процесса 119
Решающее правило 49, 55
— байесовское 49, 56'
— детерминированное 47, 55
— классически-рандомизованное 48
— квантово-рандомизованное 48
— минимаксное 56
— несмещенное 57
Рождения-уничтожения операторы
104
Сверточная полугруппа
инструментов
Симметрия 27
Симплектическое пространство 31
След 20
— частичный 35
Смесь 11
Событие квантовое 10
Совместимые наблюдаемые 12, 24
Совместное распределение
вероятностей 24
Согласованный процесс 106
Состояние 9, 11,22
— гауссовское 32
— когерентное 32
обобщенное 62
сжатое 32
— минимальной неопределенности
32
— нормальное 23
— основное 32
— чистое 23
Спектральная мера 22
Спектральная теорема 22
Среднее значение 23
Стандартное измеримое
пространство 43
Статистическая модель 12
Вальда 14
квантовой механики
обобщенная 14, 45
стандартная 23
колмогоровская 12
отделимая 12
Статистический ансамбль 11
Стохастическая эквивалентность 114
Сходимость операторов
— сильная 20
— слабая 20
— м!*-слабая (ультраслабая) 20
Считающий процесс 102
Тензорное произведение 33
Теорема
— Вигнера 27
— Глисона21
— М.Г.Крейна53
— М. А. Наймарка 44
— Стайнспринга 70
— Стоуна 28
— Стоуна—фон Неймана 30
— Шенберга 76
Условно положительно определенная
функция 99
Условное ожидание 34, 73
Фока пространство 103
Хаотическая представимость 116
Характеристическая функция
— инструмента 97
— состояния 32
Хронологически упорядоченная
экспонента 111
Целостность квантовая 39
Центр (статистической модели) 12
Центральная предельная теорема
квантовая 35
Числа частиц оператор 104
Шрёдингера картина 28
Шрёдингера уравнение 28
Экспоненциальный вектор 105
Энтропия относительная 72
Эргодическая теорема квантовая 80
ПРЕДИСЛОВИЕ
Теоретико-множественная концепция, положенная А. Н. Кол-
Колмогоровым в основу теории вероятностей, оказалась необычай-
необычайно плодотворной и продолжает успешно разрабатываться. В то
же время эволюция естествознания с необходимостью приводит
к рассмотрению альтернативных вероятностных систем, в кото-
которых теоретико-множественная математика играет вспомогатель-
вспомогательную роль, и на первый план выходят связи с функциональным
анализом и современной математической физикой.
Развитие физики — от механики через статистическую меха-
механику к квантовой теории — сопровождалось возрастанием роли
вероятностных представлений. Наблюдаемое поведение физи-
физических объектов атомного и субатомного уровней имеет выра-
выраженный статистический характер. Соответственно, предсказания
теории, описывающей поведение микрообъектов, являются по
своему существу вероятностными и выражаются в терминах
средних значений, корреляций, вероятностей переходов и т. п.
Принципиально важным, однако, является следующее обстоя-
обстоятельство: хотя результат каждого отдельно взятого эксперимен-
эксперимента можно рассматривать как обычную случайную величину,
оказывается невозможным дать описание совокупности резуль-
результатов всевозможных экспериментов над данным микрообъектом,
характеризующей его состояние, в терминах классического «про-
«пространства элементарных событий». Другими словами, состоя-
состояние не может быть задано, как в классической статистической
механике, распределением вероятностей P(dco) на некотором
фазовом пространстве Q, отражающим неточность или неполно-
неполноту задания «истинного»состояния co6Q. Квантовая статистич-
ность имеет первичный характер и неустранима за счет повы-
повышения точности и детальности измерений.
Одна из главных особенностей квантовой физики, препятст-
препятствующих «классическому», т. е. теоретико-множественному опи-
описанию, состоит в наличии взаимно дополнительных ве-
величин, которые не могут одновременно иметь каких-либо опре-
определенных значений. При последовательном измерении таких
величин результат оказывается зависящим от порядка измере-
измерений. С этим связано то обстоятельство, что в основе математи-
математического аппарата квантовой физики лежит некоммутативная ал-
алгебра матриц или операторов. Перефразируя известное опреде-
определение теории вероятностей ", можно сказать, что квантовая
теория вероятностей — это теория операторов в гильбертовом
пространстве, «одушевленная» статистической интерпретацией
квантовой механики.
Начало исследованию вероятностной структуры квантовой
теории было положено в известной монографии Дж. фон Ней-
')
«Probability theory is a measure theory — with a soul» (M. Kac).
мана «Математические основы квантовой механики» A932).
В этой книге, послужившей истоком многих идей функциональ-
функционального анализа, было дано обоснование формализма, развитого
в предшествовавших физических работах, особенно в дираков-
ских «Принципах квантовой механики». Кроме того, в ней был
поднят ряд фундаментальных вопросов вероятностной структу-
структуры квантовой теории, которые в то время не могли найти удов-
удовлетворительного решения. В 60—70-е годы эта проблематика
вызывает новый интерес, который стимулирует создание, уже
на базе достижений современного функционального анализа,
вероятностной теории, являющейся логическим развитием ста-
статистической интерпретации квантовой механики и свободной от
ряда трудностей и противоречий первоначального подхода. Об-
Обзор основных принципов и результатов этой теории и является
предметом настоящей статьи.
Квантовая вероятность связана со многими разделами мате-
математики и физики, и излагать ее можно с разных позиций. Автор
придерживается той точки зрения, что наибольший интерес в
квантовой вероятности представляют те факты, которые прин-
принципиально отличают ее от обычной (и зачастую противоречат
классической вероятностной интуиции). По этой причине кван-
квантовая вероятность рассматривается здесь в тесной связи со ста-
статистикой измерений, в которой эти отличия находят наиболее
яркое проявление и имеют определенное физическое содержа-
содержание. Основное внимание уделено не формальным поискам не-
некоммутативных аналогов различных результатов теории вероят-
вероятностей, а раскрытию вероятностной структуры квантовой теории
и показу того, как это помогает в решении конкретных проблем
(подробнее см. введение).
С другой стороны, контраст между классической и кванто-
квантовой вероятностью проявляется на фоне определенного парал-
параллелизма математических структур. В полной мере этот паралле-
параллелизм раскрывается в рамках так называемой некоммутативной
теории вероятностей — общей алгебраической схемы, включаю-
включающей в себя как квантовый, так и классический (коммутатив-
(коммутативный) случаи. Всячески подчеркивая конкретные проявления
этого параллелизма, автор отказался от соблазна изложения
с более общих позиций, поскольку это потребовало бы услож-
усложнения математического аппарата, не сопровождающегося за-
заметным выигрышем в понимании сущности квантовой вероятно-
вероятности. Вследствие такого подхода, а также ограниченности объ-
объема статьи некоторые красивые результаты некоммутативной
теории вероятностей, носящие более технический характер, не
нашли здесь подробного отражения. Взамен в тексте даются
ссылки на другие статьи обзорного характера, где этим вопро-
вопросам уделено больше внимания.
Большая часть тем, вошедших в этот обзор, обсуждалась
на семинаре «Алгебраические методы в классической и кван-
товой статистике» в Математическом институте им. В. А. Стек-
лова АН СССР, и автор выражает всем его участникам свою
искреннюю благодарность.
Введение
0.1. Конечномерные системы. Изложение теории вероятно-
вероятностей принято начинать с конечной схемы. Следуя этой традиции,
рассмотрим конечное вероятностное пространство Q. Имеют
место три тесно связанных между собой факта, которые по-раз-
по-разному выражают классичность вероятностной схемы:
1) множество событий AczQ образует булеву алгебру;
2) множество распределений вероятностей [ри . . . , рх] на Q
является симплексом, т. е. выпуклым множеством, в котором
каждая точка однозначно представляется в виде смеси (вы-
(выпуклой комбинации) крайних точек;
3) множество случайных величин \К\, . . . Д.у] на Q образует
коммутативную алгебру (относительно поточечного умноже-
умножения).
Квантовым аналогом этой схемы является модель Лг-уровне-
вой системы. Аналог распределения вероятностей — состоя-
состояние такой системы описывается матрицей плотности —
эрмитовой Л^Х-^-матрицей S, удовлетворяющей условиям поло-
положительной определенности и единичности следа
5>0, TrS=l; @.1)
аналог случайной величины — наблюдаемая описывается
произвольной эрмитовой тУХ^-матрицей X. Пусть
п
А'=У-^ @.2)
/--1
— спектральное разложение эрмитовой матрицы X, где
*1<*2<---—собственные числа, Е\, Е2, . . . — проекторы на
соответствующие собственные подпространства. Набор Е=
= {?j} образует ортогональное разложение еди-
единицы:
п
^} = \, @.3)
где I — единичная матрица. Из свойств @.1), @.3) следует, что
соотношение
P*(Xj) = TtSEj; y = l,...,«, @.4)
задает распределение вероятностей на спектре Sp X={xu х2,...}
наблюдаемой X; в квантовой механике постулируется, что это
есть распределение вероятностей наблюдаемой X в состоянии S.
В частности, среднее значение X в состоянии S есть
El Y\ =Tr СУ tft K\
S\A J — 1Г jA. ^U.Oj
Если в этой модели ограничиться рассмотрением только
диагональных матриц
О
О
. О'
о
то мы возвращаемся к классической схеме с N элементарными
событиями, где, в частности, @.5) сводится к ES(X) =
N
=2pjA.j. To же самое мы получили бы, рассматривая только
одновременно диагонализуемые, т. е. коммутирующие (переста-
(перестановочные между собой) матрицы. Поскольку имеются наблю-
наблюдаемые, описываемые некоммутирующими матрицами, модель
./V-уровневой системы не сводится к классической схеме.
Роль индикаторов событий в квантовом случае играют наб-
наблюдаемые, принимающие значения 0 или 1, т. е. эрмитовы
идемпотентные матрицы: Е2=Е. Вводя унитарное координатное
пространство Ж=С^, в котором действуют N~X.N-матрицы, та-
такую матрицу Е можно рассматривать как ортогональный проек-
проектор на подпространство & в Ж. Таким образом, квантовые
события можно отождествить с подпространствами унитар-
унитарного пространства Ж. Множество квантовых событий, называ-
называемое квантовой логикой, частично упорядочено (по
включению) и наделено операциями <%\\/<%i (линейная оболоч-
оболочка подпространств <g\, <§f2), Ж\/\Ж2 (пересечение подпространств
<%\, <8i), &>' (ортогональное дополнение) с известными свой-
свойствами. Неклассичность модели ./V-уровневой системы можно
выразить тремя различными утверждениями:
1) квантовая логика событий не является булевой алгеброй,
поскольку в ней не выполнено тождество дистрибутивности
8\/\ (&2У&ъ) = (&i/\8i) V (#1/\#з) •
Вследствие этого, нет «элементарных событий», на которые од-
однозначно распадалось бы любое квантовое событие;
2) выпуклое множество состояний не является симплексом,
т. е. представление матрицы плотности в виде смеси крайних
точек неоднозначно;
3) комплексная оболочка множества наблюдаемых яв-
является некоммутативной (ассоциативной) алгеброй.
В бесконечномерном случае вместо матриц приходится рас-
гатривать операторы, действующие в некотором гильбертовом
пространстве Ж. Математически корректное изложение основ-
основных понятий квантовой механики в гильбертовом пространстве
было впервые дано Дж. фон Нейманом [26]. Он, в частности,
подчеркнул существенное различие между эрмитовыми (сим-
(симметричными) и самосопряженными операторами, которое, ко-
10
нечно, не проводилось в предшествовавших физических работах
и указал, что именно условие самосопряженности обеспечивает
в случае й1тЖ=оо аналог спектрального разложения @.2).
Другой круг вопросов в случае dim^=oo связан с уточнением
понятия следа и соответствующего класса операторов с конеч-
конечным следом. Математическая схема, называемая стандарт-
стандартной формулировкой квантовой механики в гильбертовом
пространстве, рассматривается в гл. 1.
0.2. Общие постулаты статистического описания. Каждая из
математических структур — квантовая логика событий, выпук-
выпуклое множество состояний и алгебра квантовых наблюдаемых —
может быть охарактеризована определенной системой аксиом,
но возникающие при этом характеризационные проблемы ока-
оказываются совсем не тривиальными и по существу составляют
отдельные направления исследований, обзор которых выходит
за рамки настоящей статьи (см., в частности, Сигал [32], Мак-
ки [23], Варадарайан [160], Людвиг [125], Гаддер [95]). Имея
дело с конкретным объектом — квантовой теорией вероятностей
в гильбертовом пространстве, не приходится прибегать к тем
или иным системам аксиом; более того, именно знание структур-
структурных особенностей этого объекта и дает основание для мотиви-
мотивировки той или иной аксиомы. Одним из полезных уроков ак-
аксиоматического подхода является, однако, указание на плодо-
плодотворный параллелизм в описании классических и квантовых си-
систем. Формулируемые ниже положения являются модифика-
модификацией первых четырех аксиом Макки, одинаково применимых как
к классическим, так и квантовым системам.
(I) Заданы множество <3, элементы которого называются со-
состояниями и множество D, элементы которого называются (ве-
(вещественными) наблюдаемыми. Для любой пары S6©, Хб?> за-
задано распределение вероятностей |j,sx(dx) на сг-алгебре .$(R)
борелевских подмножеств вещественной прямой R, называемое
распределением вероятностей наблюдаемой X в состоянии S.
Состояние 5 интерпретируется как более или менее деталь-
детальное описание приготовления статистического анса мбля
независимых индивидуальных представителей рассматриваемой
системы, а наблюдаемая X — как величина, измеряемая опреде-
определенным прибором для каждого представителя в данном ан-
ансамбле. Аксиома A), таким образом, предполагает воспро-
воспроизводимость индивидуальных экспериментов и устойчи-
устойчивость частот при их независимых повторениях. Следующая
аксиома выражает возможность смешивания ансамблей.
(II) Для любых Su S26© и любого числа р, 0<р<1, суще-
существует 5б@, такое, что
P) Р
всех X6D; 5 называется смесью состояний 5Ь S2 в пропор-
пропорции р : A—р).
11
Следующая аксиома говорит о возможности преобразования
информации, полученной при измерении наблюдаемой. Пусть f
борелевская функция из R в R. Если Хи Х2?О таковы, что для
всех
где /~' (В) ={х : f(x)&B}, то наблюдаемая Х2 функционально
подчинена наблюдаемой X]. В этом случае будем писать
X2=f°Xl.
(III) Для любой Х]бО и любой борелевской функции / су-
существует Х2&?>, такая что X2=f°X\.
Пару непустых множеств (@, О), удовлетворяющих аксиомам
(I) — (III), назовем статистической моделью. Статистическая мо-
модель называется отделимой, если
(IV) Из того, что \is' ==M-s* для всех ХЮ следует Si = S2;
УС УС
из того, что |j,s' =Ц52 для всех SG<3 следует Х{=Х2.
Для отделимой модели операция смешивания в @ и отноше-
отношение функциональной подчиненности в О определены однознач-
однозначно. Тем самым множество состояний © наделяется выпуклой
структурой, а множество наблюдаемых D получает частичную
упорядоченность.
Наблюдаемые Х\, . . . ,Хт называются совместимыми, если
они функционально подчинены некоторой наблюдаемой X, т. е.
Xj = fj°X; /=l,...,m. Совместимые наблюдаемые могут быть
измерены в одном эксперименте. Наблюдаемые, совместимые со
всеми наблюдаемыми Х?О, образуют центр статистической мо-
модели. Запас элементов в центре определяет степень классично-
классичности модели.
0.3. Классические и квантовые системы. Пусть (Q, SftCil)) —
измеримое пространство, SP(Q)—выпуклое множество всех ве-
вероятностных мер на Q, а О(Й) совокупность всех вещественных
случайных величин с естественным отношением функциональной
подчиненности. Пусть
—-распределение вероятностей X&O(Q) относительно ()
Пара ($Р(Й), 0@)) образует отделимую статистическую мо-
модель, которую можно назвать колмогоровской. В этой мо-
модели все наблюдаемые совместимы и центр совпадает с D(Q).
Для простоты продемонстрируем совместимость наблюдаемых с
конечным множеством значений. Всякая такая наблюдаемая
имеет представление, аналогичное @.2)
п
А» = 2 *,?,((*)), @.6)
где Ej(u>) есть индикатор множества В;={со.: Х(со) =х1). Мно-
Множества Bj образуют разбиение пространства Q, а {Е/(а)} яв-
12
ляются аналогом ортогонального разложения единицы @.3). Ес-
Если Х\,...,Хт — произвольный набор таких наблюдаемых, то
достаточно взять разбиение {В}} более мелкое, чем все раз-
разбиения, соответствующие наблюдаемым Xt, чтобы было возмож-
возможно представить все Xt как функции наблюдаемой X, соответ-
соответствующей такому разбиению {В}}.
Статистическая модель iV-уровневой квантовой системы
фактически была описана в п. 1. Если наблюдаемая X имеет
спектральное разложение @.2), то наблюдаемая f°X опреде-
определяется как
п
f°X=^f(Xj)Ej. @.7)
.7=1
Квантовые наблюдаемые Хь . . . , Хт совместимы тогда и только
тогда, когда соответствующие матрицы перестановочны,
т. е.
Центр такой модели тривиален: он состоит из матриц, кратных
единичной, т. е. только из постоянных наблюдаемых.
Для совместимых наблюдаемых естественно вводится совме-
совместное распределение вероятностей относительно любого со-
состояния S. Если же Xi,.. ., Хт несовместимы, то совместное
распределение относительно произвольного состояния не суще-
существует. Это обстоятельство отражает квантовый принцип
дополнительности. Физические измерения над микро-
микрообъектами осуществляются макроскопическими эксперимен-
экспериментальными установками, каждая из которых предполагает
сложную и специфичную организацию пространственно-времен-
пространственно-временной среды. Разные способы такой организации, отвечающие
разным наблюдаемым, могут быть взаимно исключающими
(хотя и относятся к одному и тому же микрообъекту), т. е.
дополнительными. Наличие обширного запаса несовместимых
наблюдаемых — первое из основных отличий квантовой стати-
статистики от классической.
Один из наиболее спорных вопросов квантовой теории —
проблема скрытых параметров, т. е. вопрос о принципиальной
возможности описания квантовой статистики в терминах клас-
классического вероятностного пространства. Первая попытка дока-
доказательства невозможности введения скрытых параметров была
предпринята Дж. фон Нейманом в [26] и долгое время его
аргументы рассматривались как решающие. В 1966 г. Дж. Белл
обратил внимание на их неполноту и указал на другое фунда-
фундаментальное свойство квантовомеханического описания, которое
можно обозначить как свойство целостности". Математиче-
Математически оно связано с принципом суперпозиции и с тем обстоятель-
1; Английский термин — non-separability.
13
ством, что составные квантовые системы описываются с по-
помощью тензорного, а не декартова произведения, как в класси-
классической теории вероятностей. Свойства дополнительности и це-
целостности лежат в основе негативных результатов в проблеме
скрытых параметров, которые обсуждаются в конце гл. 1.
0.4. Рандомизация в классической и квантовой статистике.
Вернемся к Колмогоровой модели и рассмотрим случайную ве-
величину @.6). В каждой точке соШ она с вероятностью 1 прини-
принимает одно из значений х,. В математической статистике, в ча-
частности в теории статистических решений полезно рассмотре-
рассмотрение «рандомизованных» случайных величин, которые опреде-
определяются указанием вероятностей ЛГ,(со), (О^ЛГДю)^!) приня-
принятия значения х, для любого элементарного события ш. Набор
функций М = {М;(ю)} характеризуется условиями
и описывает неточное измерение случайной величины X, т. е.
измерение со случайными ошибками. Распределение вероятно-
вероятностей такого измерения относительно вероятностной меры Р
дается формулой
$ co). @.9)
В частности, измерение является точным (безошибочным), если
Mj(tt)) =?Дсо). Таким образом возникает другая классическая
статистическая модель, которую по имени создателя теории ста-
статистических решений можно назвать моделью Вальда.
Естественно рассмотреть квантовый аналог модели Вальда,
в которой наблюдаемая с конечным множеством значений опи-
описывается конечным разложением единицы, т. е. семей-
семейством матриц (операторов) М = {Л43}, удовлетворяющим усло-
условиям
п
М}>0; y^Mj^-L @.10)
Вероятность /-го исхода в состоянии S определяется формулой,
аналогичной @.9)
@.11)
Эти определения естественно переносятся и на наблюдаемые с
произвольным множеством значений. Так возникает обоб-
обобщенная статистическая модель квантовой механики
(см. §2.1).
Общие разложения единицы в квантовой теории появляются
на рубеже 70-х годов. К этому независимо приводят исследова-
14
ния по квантовой аксиоматике (Г. Людвиг), по проблеме
воспроизводимости, связанной с повторными измерениями
(Э. Б. Дэвис и Дж. Льюис); по квантовой теории статистиче-
статистических решений (А. С. Холево) и другие работы. Обобщенная
статистическая модель квантовой механики является логическим
следствием ее вероятностной структуры и дает основу для
рассмотрения ряда вопросов, не находящих удовлетворительно-
удовлетворительного решения в рамках стандартной формулировки.
0.5. Выпуклая геометрия разложений единицы и фундамен-
фундаментальные пределы точности. Хотя описанное выше расширение
понятия наблюдаемой формально аналогично введению рандо-
лизованных величин в классической статистике, неортогональ-
неортогональные разложения единицы имеют в квантовой теории принципи-
принципиально более важное значение, нежели просто средство описа-
описания неточных измерений. Дело в том, что и с математической, и
с физической точек зрения наибольший интерес представляют
крайние точки выпуклого множества разложений единицы
@.10), описывающие статистику предельно точных и макси-
максимально информативных измерений. В классическом случае
крайние точки множества @.8) совпадают с нерандомизован-
ными процедурами {?,(со)}, соответствующими обычным случай-
случайным величинам. Однако в квантовом случае крайние точки
множества @.10) при п>2 уже не исчерпываются ортогональ-
ортогональными разложениями единицы. Следовательно, для описания
предельно точных квантовых измерений требуются, в общем
случае, неортогональные разложения единицы.
С другой стороны, как показал М. А. Наймарк A940), про-
произвольное разложение единицы расширяется до ортогонального
в некотором объемлющем гильбертовом пространстве. Это
позволяет истолковать неортогональное разложение единицы
как обычную наблюдаемую в расширении исходной квантовой
системы, содержащем независимую дополнительную систему.
Таким образом, измерение над расширением может быть более
точным и информативным, чем любое прямое квантовое изме-
измерение. Этот парадоксальный с точки зрения классической ста-
статистики факт связан с затронутым в п. 3 квантовым свойством
целостности.
В 1940—50 годы в работах Д. Габора и Л. Бриллюэна было
высказано предположение, что квантово-механическая природа
канала связи должна налагать фундаментальные ограничения
на скорость передачи и точность воспроизведения информации.
Этот вопрос приобрел актуальность в 60-е годы с появлением
квантовых каналов связи — систем передачи информации, осно-
основанных на свойствах когерентного лазерного излучения.
В 70-е годы была создана последовательная квантовая теория
статистических решений, которая дает принципиальную основу
для рассмотрения вопросов предельной точности и информатив-
информативности измерений (см. К. Хелстром [37], А. С Холево [43]).
15
В этой теории решающие процедуры — измерения описываются
разложениями единицы в гильбертовом пространстве системы и
решаются задачи об отыскании экстремума некоторого
функционала (меры точности, шенноновской информации) в
классе квантовых решающих процедур, обычно подчиненных
дополнительным ограничениям (несмещенности, ковариантности
и т. п.) (см. гл. 2).
0.6. Проблема соответствия. Одна из трудностей в стандарт-
стандартной формулировке квантовой механики состоит в невозможно-
невозможности сопоставления некоторым величинам, таким как время,
угол, фаза и т. п. самосопряженного оператора в гильбертовом
пространстве системы. Причина кроется в теореме единственно-
единственности Стоуна—фон Неймана, которая налагает жесткие ограни-
ограничения на спектры канонически сопряженных наблюдаемых.
К этому же кругу вопросов можно отнести и трудности с
локализуемостью (т. е. введением ковариантных наблюдаемых
положения) для релятивистских квантовых частиц с нулевой
массой. Рассмотрение в качестве наблюдаемых неортогональных
разложений единицы, подчиненных условиям ковариантности,
аналогичных коммутационным соотношениям Вейля в теореме
Стоуна—фон Неймана, позволяет в значительной степени избе-
избежать этих трудностей (см. гл. 2). В спектральной теории
неортогональные разложения единицы возникают как обобщен-
обобщенные спектральные меры несамосопряженных операторов. В со-
соответствии с этим, например, оператор, отвечающий наблюда-
наблюдаемой времени, оказывается максимальным эрмитовым (но не
самосопряженным). Можно сказать, что обобщенная статисти-
статистическая модель квантовой механики на новом математическом
уровне оправдывает «наивное» представление о вещественной
наблюдаемой, как об эрмитовом, но не обязательно самосопря-
самосопряженным, операторе.
0.7. Повторные и непрерывные измерения. В колмогоровской
модели преобразования состояний системы могут быть описаны
с помощью условных вероятностей. Пусть в результате измере-
измерения случайной величины @.6) получено значение Xj. При этом
классическое состояние, т. е. вероятностная мера P(da) на Й
преобразуется по формуле
@.12)
Очевидно, что если результат измерения не принимается во вни-
внимание, то состояние Р вообще не изменяется:
п
Р(А)^Р(А\Bj)P (Bj) = Р(А). @.13)
;='
16
В квантовой статистике ситуация качественно более сложна.
Аналогом преобразования @.12) является знаменитый проек-
проекционный постулат Дж. фон Неймана
где S оператор плотности состояния перед измерением, a Sj —
после измерения наблюдаемой @.2), в результате которого по-
получено значение х}. Основанием для этого постулата служит
феноменологическая гипотеза воспроизводимости, подразумева-
подразумевающая предельную точность и минимальность возмущения, вно-
вносимого измерением наблюдаемой X. Если результат измерения
не принимается во внимание, то состояние S преобразуется по
формуле, аналогичной @,13):
п
2 (°Л5)
Однако в общем случае ZEjSE^S; это означает, что изменение
j
состояния в ходе квантового измерения не сводится только к
преобразованию информации и отражает также принципиаль-
принципиально неустранимое и необратимое физическое воздействие изме-
измерительного прибора на наблюдаемую систему. С проекционным
постулатом связан целый ряд проблем; не затрагивая вопросов
философского характера, которые выходят за пределы вероят-
вероятностной интерпретации, остановимся на конкретных проблемах,
которые успешно решаются в рамках обобщенной статистической
модели квантовой механики.
Принципиальную трудность представляет формулировка про-
проекционного постулата для наблюдаемых с непрерывным спект-
спектром. Для описания изменения состояния при произвольном
квантовом измерении Э. Б. Дэвис и Дж. Льюис A970) ввели
понятие инструмента — меры со значениями в множестве
преобразований квантовых состояний. Этим понятием охваты-
охватываются и неточные измерения, не удовлетворяющие условию
воспроизводимости, что позволяет включить и случай непрерыв-
непрерывного спектра. С каждым инструментом связано разложение еди-
единицы, причем инструментам, возникающим из проекционного
постулата, отвечают ортогональные разложения единицы. Поня-
Понятие инструмента открывает возможность описания статистики
любой последовательности квантовых измерений.
Новое освещение получает вопрос о траекториях, восходя-
восходящий к фейнмановской формулировке квантовой механики. Про-
Процесс непрерывного (во времени) измерения квантовой наблю-
наблюдаемой можно представить как предел «серий» последователь-
последовательных неточных измерений. Математическое описание такого
предела обнаруживает замечательные аналогии с классической
схемой суммирования случайных величин, функциональными
2—9280 17
предельными теоремами в теории вероятностей и представле-
представлением Леви—Хинчина для процессов с независимыми прираще-
приращениями (см. гл. 4).
0.8. Необратимая динамика. Обратимая динамика изолиро-
изолированной квантовой системы описывается уравнением
S-»UtSUrl; —oo<^<oo, @.16)
где {?/(} — группа унитарных операторов. Если система являет-
является открытой, т. е. взаимодействует с окружением, то ее эво-
эволюция является, как правило, необратимой. Пример такого
необратимого изменения состояния, обусловленного взаимодей-
взаимодействием с измерительным прибором, дается соотношением @.15).
Наиболее общий вид динамического отображения,
задающего конечную эволюцию открытой системы, включает
как @.16), так и @.15):
S-»-SVjSVA @.17)
J
где 2Vj*Vj = I. Среди всевозможных аффинных преобразований
выпуклого множества состояний, отображения @.17) выделяют-
выделяются специфически некоммутативным свойством полной по-
положительности, возникшим и играющим важную роль в
современной теории операторных алгебр.
Непрерывная марковская эволюция открытой системы опи-
описывается динамической полугруппой, т. е. полугруп-
полугруппой динамических отображений, удовлетворяющей определен-
определенным условиям непрерывности (см. Э. Б. Дэвис [78]). Динамичес-
Динамические полугруппы являются некоммутативным аналогом марков-
марковских полугрупп в теории вероятностей. В 1976 г. Г. Линдблад и
независимо, в конечномерном случае, В. Горини, А. Коссаков-
ский и Э. Сударшан получили полное описание инфинитези-
мального оператора непрерывной по норме динамической полу-
полугруппы. Этот результат, лежащий в основе многих фактов тео-
теории квантовых случайных процессов, рассматривается в гл. 3.
0.9. Квантовые случайные процессы. Одним из стимулов воз-
возникновения теории квантовых случайных процессов послужила
проблема расширения динамической полугруппы до обрати-
обратимой динамики «большой системы», включающей открытую систе-
систему и окружение. Возможность такого расширения означает, в
частности, согласованность понятия динамической полугруппы
с основным динамическим принципом квантовой механики, вы-
выраженным соотношением @.16).
В теории вероятностей подобное расширение марковской по-
полугруппы до группы временных сдвигов в пространстве траекто-
траекторий, соответствующих марковскому случайному процессу, осу-
осуществляется известной конструкцией Колмогорова—Даниэля.
Понятие квантового случайного процесса, играющее важную
роль в проблеме расширения динамической полугруппы, было-
18
сформулировано Л. Аккарди, А. Фриджерио и Дж. Льюисом
A980). Роль марковского свойства особенно подчеркивалась
Л. Аккарди. В 80-е годы теория квантовых случайных процес-
процессов превратилась в обширное самостоятельное поле исследова-
исследований (см., в частности, сборники [141]—[145]).
Аналитический аппарат квантового стохастическо-
стохастического исчисления, позволяющий, в частности, строить нетри-
нетривиальные классы квантовых случайных процессов и конкретные
расширения динамических полугрупп, был предложен
Р. Л. Хадсоном и К- Р. Партасарати A982). Квантовое стохас-
стохастическое исчисление возникает на пересечении двух концеп-
концепций— временной фильтрации в смысле теории случайных про-
процессов и вторичного квантования в пространстве Фока. В кон-
конце 60-х годов Р. Стритер и X. Араки указали на структуру не-
непрерывного тензорного произведения, которая лежит в основе
связи между безграничной делимостью, процессами с независи-
независимыми приращениями и пространством Фока. Благодаря этому,
пространство Фока оказывается носителем процессов «квантово-
«квантового шума», которые дают универсальную модель окружения от-
открытой квантовой системы. Квантовое стохастическое исчисле-
исчисление представляет интерес и с точки зрения классической теории
случайных процессов. Оно перебрасывает мост между исчисле-
исчислением Ито и вторичным квантованием, открывает неожиданные
связи между непрерывными и скачкообразными процессами,
позволяет по-новому взглянуть на понятие стохастического ин-
интеграла. Наконец, на этой основе развиваются потенциально
важные приложения, относящиеся к теории управления и филь-
фильтрации для квантовых случайных процессов (см. гл. 5).
Глава 1
СТАНДАРТНАЯ СТАТИСТИЧЕСКАЯ МОДЕЛЬ
КВАНТОВОЙ МЕХАНИКИ
§ 1. Основные понятия
1.1. Операторы в гильбертовом пространстве. Изложению
теории операторов в гильбертовом пространстве, в значительной
мере стимулированной проблемами квантовой механики, посвя-
посвящено много прекрасных книг (см., в частности, [2], [30]). Ниже
мы лишь напоминаем некоторые факты и фиксируем обозначе-
обозначения.
Далее Ж обозначает сепарабельное комплексное гильберто-
гильбертово пространство. Для скалярного произведения в Ж использует-
используется дираковское обозначение <<p|i|)>, причем считается, что фор-
форма <<р|г|з> линейна по г|э и антилинейна по ф. Символ |г|э><<р|
2* 19
обозначает оператор, действующий на вектор у^Ж по формуле
1*><ф1х=*<ф1х>-
В частности, если <^|ф> = 1, то \ф<$\ есть проектор на вектор
¦\р&Ж. Линейная оболочка множества операторов вида |^><ф|
совпадает с множеством операторов конечного ранга в Ж.
Если X — ограниченный оператор в Ж, то X* обозначает со-
сопряженный оператор, определяемый соотношением
<Ф|Х*я|з> = <Хф|я|5>; Ф, феж.
Множество Ъ{Ж) всех ограниченных операторов в Ж является
банаховой алгеброй с инволюцией*. Оператор Х^Ъ(Ж) эрмитов,
если Х=Х*. Унитарным оператором называется оператор U,
такой что U*U=UU* = l, где I — единичный оператор. Проек-
Проектором называется эрмитов оператор Е, такой что Е2=Е. Эрми-
Эрмитов оператор X положителен (Х^О), если <^|Zf>^sO для всех
ярбЖ. Для положительного оператора однозначно определен по-
положительный квадратный корень.
Для всякого ограниченного положительного оператора Т
однозначно определен след
со
Trr = 2<ei|7'e, > < + oo, A.1)
где {е4} произвольный ортонормированный базис. Оператор Т
называется ядерным (оператором со следом), если он является
линейной комбинацией положительных операторов с конечным
следом. Для такого оператора след определяется однозначно,
как сумма абсолютно сходящегося ряда вида A.1). Множество
ядерных операторов %{Ж) является банаховым пространством
относительно нормы ||7*||i = Try7**7\ причем множество опера-
операторов конечного ранга плотно в %{Ж).
Множество %(Ж) образует двусторонний идеал в алгебре
Э(<Ж). Сопряженное к банахову пространству %{Ж) изоморфно
Ъ(Ж), причем двойственность определяется билинейной формой
<7\ Х} = ТгТХ; Т&?(Ж), Х&{Ж). A.2)
Нижний индекс h в обозначении множества операторов означа-
означает, что рассматривается соответствующее подмножество эрми-
эрмитовых операторов, например, Ък(Ж) есть вещественное банахо-
банахово пространство ограниченных эрмитовых операторов в Ж. От-
Отметим, что %ъ{Ж)*=Ън(Ж), причем двойственность по-прежне-
по-прежнему задается формой A.2).
Кроме сходимости по операторной норме в Ъ{Ж), часто ис-
используются более слабые понятия сходимости. Последователь-
Последовательность {Хп} сходится к X сильно, если lim ||Znf—Хф|| = 0 для
П->оо
всех ^Ж, слабо, если Нт<ф|^„я|з> = <ф|Хя|з> для всех ср, ^Ж,
и w* — слабо (ультраслабо), если limTr TZn=Tr TX для всех
20
. Если {Хп} ограниченная по норме последовательность
операторов, такая что Хп^.Хп+и то Хп сходится сильно, слабо и
w*—слабо к ограниченному оператору X (обозначается Хп\Х).
1.2. Оператор плотности. Так называется всякий положитель-
положительный оператор 5 с единичным следом:
Тг5 = 1.
Множество операторов плотности <2(«5$) является выпуклым
подмножеством вещественного линейного пространства %К{Ж)\
более, того, оно является основанием конуса положительных
элементов, порождающего %ь(Ж). Точка 5 выпуклого множест-
множества <2 называется крайней, если из того, что S=pSx-\-A—p)S2,
где Su 52б@, 0</з<1, следует Sl = S2 = S. Крайними точками
множества @(«5$) являются одномерные проекторы
A.3)
где \р?Ж, <я|з |я|з> = 1. Всякий оператор плотности представим в
виде счетной выпуклой комбинации
где (tyj| i|3j> = 1, pj^O, 2 Р)= 1. Одно из таких представлений
дается спектральным разложением оператора S, когда ify явля-
являются его собственными векторами, a pi соответствующими соб-
собственными числами.
Рассмотрим множество б(<5$) проекторов в Ж, изоморфное
квантовой логике событий (замкнутых линейных подпрост-
подпространств Ж). Вероятностной мерой на EE^) называется вещест-
вещественная функция (д, со свойствами: 1) 0^^(?)^1, ЕШ(Ж)\ 2) ес-
если {E3)czk(c№), причем EjEk = Q при \=?k и 2^ = 1, то
i
Отвечая на вопрос Макки, Глисон A957) доказал следующую
теорему.
Теорема. Пусть dim Ж^Ъ. Тогда всякая вероятностная
мера на Щ,{Ж) имеет вид
>x(?)=TrS?, A.4)
где 5 — однозначно определяемый оператор плотности.
Случай dim<3^=2 является особым — для него легко указать
меры, не представимые в виде A.4), однако они не используют-
используются в квантовой теории. Доказательство теоремы Глисона совер-
совершенно нетривиально и породило целое направление в некомму-
некоммутативной теории меры, посвященное всевозможным обобщениям
и упрощениям этой теоремы (см. обзор Кручиньского в [141]).
21
По поводу некоммутативной теории меры и интегрирования см.
обзоры Ш. А. Аюпова и А. Н. Шерстнева и другие статьи в
сборниках [18], [34].
1.3. Спектральная мера. Пусть SB множество с о-алгеброй
измеримых подмножеств 38(85). Ортогональным разложением
единицы в Ж называется проекторно-значная мера на 38(95),
т. е. функция множеств Е: 38C^)^-(§.(Ж), удовлетворяющая
условиям:
1) если Ви ВфЗЦЭ$) и В,ПЙ2=0, то Е(В1)Е(В2) =0;
2) если {Я,} — конечное или счетное разбиение 96 на попар-
попарно-непересекающиеся измеримые подмножества, то
где ряд сходится сильно.
Пусть X — оператор с плотной областью определения
X)S?. Обозначим 2D(X*) множество векторов ф таких, что
существует %&Ж, для которого
Определим оператор X* с областью определения 3)(Х*), пола-
полагая Х*ф=%. Оператор X называется эрмитовым (симметричес-
(симметрическим), если Х<=:Х*, и самосопряженным, если Х=Х*.
Спектральная теорема (фон Нейман, Стоун, Рисе,
1929—1932) устанавливает взаимно однозначное соответствие
между ортогональными разложениями единицы Е на о-алгебре
31 (R) борелевских подмножеств вещественной прямой R и са-
самосопряженными операторами в Ж по формуле
оо
Х= J xE(dx), A.5)
где интеграл понимается в подходящем смысле (см. [30]). Раз-
Разложение единицы Е называется спектральной мерой операто-
оператора X. Для любой борелевской функции f определен самосопря-
самосопряженный оператор
/оА'= j xE(dx),
— оо
спектральная мера F которого связана со спектральной мерой
оператора X соотношением
Совокупность всех самосопряженных операторов в Ж обозна-
обозначим О (Ж).
1.4. Статистический постулат. С каждой квантовомеханичес-
кой системой связывается сепарабельное комплексное гильбер-
гильбертово пространство Ж. Состояния системы описываются операто-
операторами плотности ъЖ. Вещественной наблюдаемой называется лю-
22
бой самосопряженный оператор в Ж. Распределение вероятно-
вероятностей наблюдаемой X в состоянии 5 задается соотношением
A.6)
где Е — спектральная мера X. Определенную таким образом от-
отделимую статистическую модель {<о{Ж), &(Ж)) будем назы-
называть стандартной статистической моделью квантовой механики.
Из A.5), A.6) вытекает, что среднее значение наблюдаемой
X в состоянии S,
ES(X) =
равно
E8(X)=TrSX A.7)
(по крайней мере, для ограниченных наблюдаемых).
Крайние точки множества <5(Ж), описываемые операторами
плотности A.3), называются чистыми состояниями, а вектор л|з
называется вектором состояния. Среднее значение наблюдаемой
X в таком состоянии равно
Допуская вольность речи, ограниченной наблюдаемой иногда
называют произвольный Х^Ъ(Ж). Соотношение A.7) определя-
определяет линейный положительный нормированный (ES(I) = 1) функ-
функционал на алгебре Ъ{Ж), т. е. состояние в смысле теории
алгебр (предыдущие рассуждения поясняют происхождение
этого математического термина). Состояние на Ъ(Ж), опреде-
определяемое оператором плотности по формуле A.7), является нор-
нормальным в том смысле, что если Хп\Х, то Es(Xn)^-Ea(X).
Алгеброй фон Неймана называется всякая алгебра ограни-
ограниченных операторов в Ж, содержащая единичный оператор,
замкнутая относительно инволюции и предельного перехода в
сильной (слабой) операторной топологии. С любой алгеброй
фон Неймана S3, как и с Ъ{Ж), ассоциируется статистическая
модель, в которой состояниями являются нормальные состоя-
состояния на 23, а наблюдаемыми — самосопряженные операторы, при-
присоединенные к 23. Такие модели занимают промежуточное поло-
положение между квантовой и классическими (соответствующими
коммутативным алгебрам 23), и играют важную роль в теории
квантовых систем с бесконечно большим числом степеней сво-
свободы— полей и сред (см. [7], [9], [51]).
1.5. Совместимые наблюдаемые. Коммутатором ограничен-
ограниченных операторов X, Y называется оператор
[X, Y]=XY—YX.
Операторы X, YGfd(^)—перестановочны (коммутируют), если
[X, У]=0. Самосопряженные операторы X, Y называются пере-
23
становочными, если перестановочны их спектральные меры.
Следующие утверждения эквивалентны:
1) Наблюдаемые Хи .. . , Х„ совместимы, т. е. существует
наблюдаемая X и борелевские функции fi,...,fn такие, что-
Xj=fj°X; /=!,... ,п.
2) Операторы Х\,. . . ,Хп перестановочны.
Если Е и ... ,Е п — спектральные меры совместимых наблю-
наблюдаемых Хи ..., Хп, то соотношение
Е(В1Х...ХВп)=°Е1(В1)-...-Еп(Вп); Bfi® (R),
однозначно определяет ортогональное разложение единицы Е
на <%(R"), называемое совместной спектральной мерой операто-
операторов Х\,. . . ,Хп. Для любого оператора плотности S определено
совместное распределение вероятностей наблюдаемых
Х\,. . . , Хп
Для любой борелевской функции f(xi,...,xn) определена на-
наблюдаемая
со со
у (л j, . . . , j\я) = \ ... \ J \Х\ 1 • • • » Хп) с* yCtX^ . . . uXfj),
причем
Е5(/(А1, ..., А\))= \ ... \/иь...,х„)Х
—со —оо
x ... dxn).
Существование несовместимых наблюдаемых отражает кван-
квантовый принцип дополнительности. Количественное выражение
этого принципа дает соотношение неопределенностей. Для
наблюдаемых X, Y, имеющих конечный второй момент относи-
относительно состояния 5, корректно определяются билинейные формы
(X, y>s = ReTr YSX, [X, У]8=21шТг YSX
(см. [43, гл. II]). Пусть Х = [Х\,. . . , Хп]—набор произвольных
наблюдаемых с конечным вторым моментом. Введем веществен-
вещественные матрицы
Cs(\)=[[Xit Щ,н ».
Из положительной определенности полуторалинейных форм
X, У-^-Тг Y*SX, Tr XSY* вытекает неравенство"
1} Впервые такое неравенство было указано Робертсоном A934); впо-
впоследствии оно неоднократно переоткрывалось (см. [17]).
24
где левая и правая части рассматриваются как комплексные
эрмитовы матрицы. Для двух наблюдаемых X=XU Y=X2 нера-
неравенство A.8) равносильно соотношению неопределенностей
Шрёдингера—Робертсона
Ds(X)-Ds(y)> (X-hEs(X), У-1-Е3(У)J +
где
— дисперсия наблюдаемой X в состоянии S. Если X, Y — совме-
совместимые наблюдаемые, то величина
{X-l.Es(X),
оо
= Jj
(х-Е$(Х))(у-Е5(У))^'г (dxdy)
— оо —оо
представляет собой ковариацию X, Y в состоянии 5; при этом
[X, y]s=0 и A.9) превращается в неравенство Коши—Шварца
для ковариации случайных величин.
Детальный обзор многообразных вариантов и обобщений со-
соотношения неопределенностей см. в [17].
Заметим, что если X, У—произвольные (ограниченные) опе-
операторы, то
/У V\ —Tr СУпУ 1\ \(\\
\Л, I/s— 1ГоЛ°1, ^l.lU)
где
X°Y==±(XY+YX)
— йорданово (симметризованное) произведение операторов X, У.
Величина вида A.10) в квантовой статистической механике на-
называется корреляцией, хотя если наблюдаемые X, У не совме-
совместимы, она не связана каким-либо простым образом с измере-
измерениями X, У.
1.6. Простейший пример. Пусть dim Зё = 2. Базис в
образован матрицами
I=."i от _ го п _ го -л _ п о'
ГО 1]
= [l О}
где 0; — матрицы, Паула. Полагая X (a)=^S агаь где а =
= (аи а2, a3NR3, имеем
A.11)
25
тде a-b — скалярное, aXb—векторное произведения векторов
а, Ь. Отсюда
TrX(a)Z(b)=2a-b. A.12)
Всякая матрица плотности однозначно записывается в виде
S(a) l
где |а|<1. Таким образом, @E#) как выпуклое множество
изоморфно единичному шару в R3, причем чистые состояния со-
соответствуют точкам сферы |а| = 1. В этом случае
где 1|^(а)—единичный вектор состояния. Поскольку
<(a) ]i|j(—а)> = 0, то соотношение
дает спектральное разложение наблюдаемой Х(а). Итак, наблю-
наблюдаемая Х(а) принимает значения ±1, причем вероятность зна-
значения ±1 в состоянии S(b) (|b|^l) есть
TrS(b)S(±a) = i(l±a-b), A.13)
так что Х{а) имеет распределение Бернулли.
В физике конечномерное гильбертово пространство обычно
описывает внутренние (спиновые) степени свободы квантовой
системы. Случай dim «5^=2 отвечает минимальному спину 1/2.
Матрица-^- X(sl) описывает наблюдаемую спина в направле-
направлении а, а оператор плотности 5(а) (|а| = 1) ¦—«полностью поля-
поляризованное состояние», в котором спин в направлении а имеет
точное значение ?г • Операторы плотности с |а|<1, представ-
представляющие собой смеси полностью поляризованных состояний,опи-
состояний,описывают «частично поляризованные» состояния, в частности,
а=0 соответствует хаотическому состоянию S@) = t^I.
Из соотношения A.11) следует, что наблюдаемые Х(а),
Х(Ъ) совместимы тогда и только тогда, когда а и b коллинеар-
ны. С другой стороны, для всех a, b6R3
Х(а)Х{Ъ)+Х(Ъ)Х{я)=2(л-ЪI. A.14)
Фиксируем некоторое состояние и рассмотрим соотношение
Х(а)+Х{Ъ)=Х{а+Ъ). A.15)
Оно показывает, что распределение Бернулли устойчиво по от-
отношению к сложению наблюдаемых, подчиненных соотношению
антикоммутации A.14), и что в квантовой теории вероятностей
существует векторное пространство бернуллиевских случайных
величин размерности, большей единицы (в обычной теории ве-
вероятностей таким свойством обладают только гауссовские слу-
случайные величины).
26
На самом деле такое пространство существует для любой
конечной размерности п. Пусть ^(п)—конкретная алгебра
Клиффорда, т. е. комплексная алгебра матриц, порождаемая эр-
эрмитовыми образующими Xi,. . . , Хп, удовлетворяющими соотно-
соотношениям
) j j; k, j = l, ...,«. A.16)
Более точное определение и дальнейшие сведения об алгебрах
п
Клиффорда см., например, в [160]. Полагая X(a)=T1ajXJ для
а= (аи ..., ап)?Цп, соотношения A.16) можно записать в фор-
форме A.14). При этом, конечно, выполняется A.15). Наблю-
Наблюдаемые Х(а.), a6R", принимают только значения ±|а| и поэто-
поэтому имеют распределение Бернулли относительно любого со-
состояния на алгебре W(n).
На алгебре Клиффорда естественно определяется «бернул-
лиевское состояние», подобное многомерному гауссовскому рас-
распределению в обычной теории вероятностей (т. н. квазисвобод-
квазисвободное состояние канонических антикоммутационных соотношений
[58], [150]).
§ 2. Симметрии, кинематика, динамика
2.1. Группы симметрии. Рассмотрим отделимую статистиче-
статистическую модель (<2, D). Пусть задана пара взаимно однозначных
преобразований: W, отображающее S на ® и Ф, отображающее
D на О, причем
для всех S6<2, X?D. Отсюда следует, что W является аффинным
отображением, т. е.
если р^О, 2/5j = l. Преобразование W назовем симметрией в
пространстве состояний.
Теорема (Вигнер, 1931). Всякая симметрия пространства
квантовых состояний имеет вид
B.1
где U унитарный или антиунитарный оператор в Ж.
Для средних значений наблюдаемых имеем
где
B.2)
27
С точки зрения наблюдаемой статистики преобразование B.1)
состояний эквивалентно преобразованию B.2) наблюдаемых.
В первом случае говорят о картине Шрёдингера, а во втором —
о картине Гейзенберга.
Пусть G — группа и g-HPg — представление G в группу сим-
симметрии <5(Ж), так что
Если G — связная топологическая группа, а представление
g^?g непрерывно, то ^?g представляется в виде
где g^-Ug — проективное унитарное представление груп-
группы G в пространстве Ж, т. е. операторы Ug унитарны и удовлет-
удовлетворяют уравнению
UglUg, = a>(gu g2)Ugl.gt, B.3)
где u>(g\, gi) —множитель представления — комплексная функ-
функция, удовлетворяющая определенным алгебраическим соотноше-
соотношениям (см., например, Варадарайан [160]).
2.2. Однопараметрические группы. В случае G = R, как пока-
показали Вигнер и Баргманн, всегда можно выбрать co(gi, g2) = l,
так что однопараметрическая группа симметрии определяется
унитарным представлением R в Ж.
Теорема (Стоун, 1932). Пусть t-*-Ut, /6R— сильно непре-
непрерывная группа унитарных операторов в Ш, так что
Тогда существует самосопряженный оператор А в Ж, такой что
Ut = eitA. Обратно, для любого самосопряженного оператора А
семейство еНА, tdR, образует сильно непрерывную однопарамет-
рическую группу.
Итак, предположив, например, что статистическое описание
изолированной квантовой системы инвариантно относительно
выбора начала отсчета времени, мы приходим к выводу, что в
Ж существует самосопряженный оператор Н такой, что состоя-
состояние системы в момент времени t описывается формулой
St = e-lffiSde'fft. B.4)
Оператор Н называется гамильтонианом (или наблюдаемой
энергии) системы. Из B.4) следует уравнение эволюции (в кар-
картине Шрёдингера)
^ = [Я, St]. B.5)
Если So=|fo> <fo| —чистое состояние, то S,= |ifit>
где {ij^} — семейство векторов в Ж, удовлетворяющее уравнению
Шрёдингера
1
28
Как правило, Н — неограниченный оператор (полуограничен-
(полуограниченный снизу), так что в соотношениях B.5), B.6) следует позабо-
позаботиться об областях определения.
Уравнение эволюции в картине Гейзенберга имеет вид
Xt = e^Xoe-'»<; *^ = [*„ Щ.
Аналогично, из предположения о пространственной однород-
однородности вытекает существование самосопряженного оператора Р,
такого что состояние квантовой системы в системе отсчета,
сдвинутой на расстояние х вдоль данной координатной оси,
определяется уравнением
Sx = e-iP*SoelP*. B.7)
Оператор Р называется оператором импульса вдоль этой оси.
Вообще, всякой однопараметрической группе симметрии геомет-
геометрического или кинематического характера отвечает самосопря-
самосопряженный оператор, порождающий по формулам типа B.4), B.7)
преобразования квантовых состояний.
2.3. Соотношения Г. Вейля. Кинематика нерелятивистских
систем как классических, так и квантовых, основана на прин-
принципе относительности Галилея, согласно которому описание
изолированной системы одинаково во всех инерциальных систе-
системах отсчета. Пусть Wx ь — унитарный оператор, порождающий
преобразование состояний при переходе в систему отсчета,
сдвинутую на расстояние х и движущуюся относительно исход-
исходной со скоростью v вдоль выделенной координатной оси. Тогда
(х, v)-+Wx, v есть проективное представление группы G = R2 в
гильбертовом пространстве Ж. Можно доказать, что соотноше-
соотношение B.3) приводится к виду
^~}Xi+X2,Vi+V2, B.8)
где т — вещественный параметр (связанный с массой частицы)
и далее строго положительный. Выделяя однопараметрические
подгруппы — группу пространственных сдвигов VX=WX,0 и груп-
группу «галилеевых бустов» UV=WO, „, соотношение B.8) можно пе-
переписать в виде
UvVx = etmxrVxUv\ х, ^6R, B.9)
причем Wx,v = eimjcvi2Vxi/v. Соотношение B.9) называется
каноническим коммутационным соотношением (ККС)
Г. Вейля [10].
Согласно теореме Стоуна,
где Q, Р — самосопряженные операторы в Уё. Рассматривая Q
как вещественную наблюдаемую, заметим, что соотношение
29
B.9) равносильно уравнению
Vx*E{B+x)Vx=E(B); fletf(R) B.10)
для спектральной меры Е оператора Q. Это же равносильно то-
тому, что распределение вероятностей наблюдаемой преобразует-
преобразуется ковариантно при пространственных сдвигах B.7):
для любого состояния So. Это дает основание назвать Q наблю-
наблюдаемой координаты вдоль выделенной оси. Симметричное рас-
рассуждение показывает, что Pjm есть наблюдаемая скорости
изолированной квантовой системы.
Представлением ККС считается любая конкретная пара
(V, 0), удовлетворяющая соотношениям B.9). Представление
называется неприводимым, если в Ж нет замкнутого подпро-
подпространства, инвариантного относительно Vx, Uv. Неприводимым
является представление Шрёдингера в Ж=Ь2()
В этом представлении Q задается оператором умножения на |,
а Р — оператором f~'-rp
Операторы Р, Q имеют общую плотную инвариантную об-
область определения и удовлетворяют на ней ККС Гейзенберга]):
[P,Q] = il. B.11)
Операторы Р, Q называются каноническими наблюдаемыми.
Обратный переход от соотношения Гейзенберга к соотношению
Вейля (экспоненциирование) имеет ряд аналитических тонко-
тонкостей, связанных с неограниченностью операторов Р, Q и поро-
породил обширную математическую литературу (см. Йоргенсен,
Мур [112]).
Принципиальное значение для квантовой механики имеет тот
факт, что ККС определяют канонические наблюдаемые Р, Q
практически однозначно.
Теорема (Стоун-фон Нейман, 1931). Всякое сильно не-
непрерывное представление ККС является прямой суммой непри-
неприводимых представлений, каждое из которых унитарно эквива-
эквивалентно представлению Шрёдингера.
В частности, в любом представлении ККС операторы Р, Q,
как и в представлении Шрёдингера, неограничены и имеют ле-
лебегов спектр, простирающийся на всю вещественную прямую.
С этим связана известная трудность с установлением разумного
принципа соответствия в квантовой механике. Вопрос состоит в
определении канонически сопряженных квантовых наблюдае-
наблюдаемых, аналогичным обобщенным координатам и импульсам в
') Соотношение B.Ill) впервые было рассмотрено в 50-х годах прошлого
века ирландским математиком Грейвсом, который развил соответствующее
символическое исчисление.
30
гамильтоновом формализме квантовой механики, и связан с
проблемой квантования классических систем. Так, в классичес-
классической механике время и энергия, подобно координате и импульсу,
являются канонически сопряженными величинами. Однако на-
наблюдаемая энергии Н имеет ограниченный снизу спектр, поэто-
поэтому из теоремы Стоуна—фон Неймана вытекает, что не сущест-
существует самосопряженного оператора времени Т, которым был бы
связан с Н каноническим коммутационным соотношением. Эти
трудности, возникающие и для других канонических пар, раз-
разрешаются в рамках обобщенной статистической модели кван-
квантовой механики (см. гл. 2, § 3).
Аналогично формулируются ККС для систем с произвольным
числом степеней свободы. Пусть {Z, А} — симплектическое про-
пространство, т. е. вещественное линейное пространство с билиней-
билинейной кососимметричной формой A (z, z'); z, z'?Z. Представлением
ККС называется семейство z-^-W(z) унитарных операторов в
гильбертовом пространстве Ж, удовлетворяющее ККС Вейля—
Сигала
W(z]W(z')=exp±-A(z, z')W(z + z'). B.12)
Если форма А невырождена, a Z конечномерно, то оно имеет
четную размерность d, и существует базис, в котором
d
А (г, г') = ]? (Xjy'j — х'.у}).
При этом операторы сильно непрерывного представления Вейля
записываются в виде
а
W (z) = exp i 2 (XjPj + ijjQj), B.13)
где самосопряженные операторы Ph Q3- удовлетворяют много-
многомерному аналогу ККС Гейзенберга B.11)
[Pt, Qa]=*6,aI; [Л> /У = 0, [Qit QJ=O.
В этом случае теорема единственности Стоуна—фон Неймана
сохраняет силу.
Для систем с бесконечным числом степеней свободы един-
единственность нарушается и существует континуальное множество
неэквивалентных представлений, что является причиной «ин-
«инфракрасных расходимостей» в квантовой теории поля (см. [7],
[32], [51]).
Неединственность представлений ККС тесно связана с не-
неэквивалентностью вероятностных мер в бесконечномерных про-
пространствах и послужила одним из первоначальных стимулов для
изучения этого вопроса, занимающего большое место в класси-
классической теории случайных процессов.
31
2.4. Гауссовские состояния. Неравенство A.9) и ККС B.11)
влекут соотношение неопределенностей Гейзенберга
DB(P)DB(Q)>l/4, B.14)
из которого видно, что не существует состояния S, в котором Р
и Q одновременно принимали бы некоторые точные значения с
вероятностью 1. Состояния, для которых в B.14) достигается
равенство, называются состояниями минимальной неопределен-
неопределенности. Это чистые состояния S* „, определяемые векторами
^,0=^«,01|зо,о; (х, uNR2, B.15)
где "фо, о — вектор основного состояния, в представлении Шрё-
дингера имеющий вид
Состояния Sx v характеризуются тремя параметрами
При фиксированном а2 векторы tyx, v образуют семейство, из-
известное в квантовой оптике как семейство когерентных состоя-
состояний [12], [21]. Для этих состояний
(Q-ESxtV(Q)-l, P-ESxiV(P)-l)Sxiv = 0. B.16)
Более широкий класс образуют чистые состояния, для которых
достигается равенство в соотношении неопределенностей A.9)
(для Р и Q), но условие B.16) не обязано выполняться. Эти
состояния широко обсуждались в физической литературе под
именем сжатых (squeezed) состояний (см., например, [140]).
С математической точки зрения все эти состояния входят в
класс состояний, являющихся естественным квантовым анало-
аналогом гауссовских распределений в теории вероятностей.
Пусть {Z, А}— конечномерное симплектическое пространство
с невырожденной кососимметричной формой А и z-^-W (z) —не-
—неприводимое представление ККС в гильбертовом пространстве
Ж. Характеристическая функция оператора плотности S в Ш
определяется соотношением
q>(z)=TrSW(z); zeZ, B.17)
и обладает рядом свойств, аналогичных свойствам характери-
характеристических функций в теории вероятностей [43, гл. V]. В частно-
частности, аналог условия положительной определенности имеет вид
2 с/;*ф (г,- - г*) ехр 1A (Zj, zk)>0 B.18)
для всех конечных наборов {с,}с:С, {ZjjczZ. Состояние S назы-
называется гауссовским, если его характеристическая функция име-
32
ет вид
cp(z)=exp ^и(г)-|»(г, z)J,
где m(z) —линейная, a a(z, z') —билинейная формы на Z. Это
соотношение задает характеристическую функцию тогда и толь-
только тогда, когда выполнено условие
a (z, г) a (z', z') > IА (г, г'J; z, z'GZ,
непосредственно связанное с B.18). Общее определение для
бесконечномерного Z было дано в [127]. В квантовой теории по-
поля такие состояния описывают квазисвободные (обобщенно-
свободные) поля и носят такое же название. В статистической
механике они возникают как равновесные состояния бозе-систем
с квадратичным гамильтонианом (см., например, [70], [51]).
§ 3. Составные системы
3.1. Тензррное произведение гильбертовых пространств.
Пусть Э6\, Жч — гильбертовые пространства со скалярными
произведениями < • J • >, и < • | • >2. В множестве 9? формаль-
формальных линейных комбинаций элементов г^Х^г^^Х^г введем
положительно определенную эрмитову форму, полагая
и продолжая ее на & по линейности. Пополнение (факторизо-
ванного по нулевому подпространству формы) пространства 9?
является гильбертовым пространством, которое называется тен-
тензорным произведением Ж\, Шч и обозначается Ж\®Жъ- Вектор
пространства Ш\®Жъ, соответствующий классу эквивалентно-
эквивалентности векторов ty\X$2?3', обозначается ipi®^.
Если Ж-;=Ь2(пи (х3); /=1, 2, то пространство Ш\®Жг =
= L2(QiX^2, (Д.1ХЦ2) состоит из всех функций -ф(соi, 0J), квад-
квадратично интегрируемых по мере (Д.1ХЦ2, причем вектор г)?!®^
определяется функцией ifi (coi) -ф2(о>2) -
Тензорное произведение операторов Х\®ХЪ где Х; — опера-
оператор в Ж}, определяется формулой
Если Mj — конечномерные (комплексные) гильбертовы про-
пространства, то
dim 8(Ж1®Ж2) =dim О E^0 dim
Если же 36j — вещественные гильбертовы пространства, то здесь
имеет место знак >, а для кватернионных .гильбертовых про-
пространств (при некотором разумном определении Ж1&Ж2),
знак <С. Это обстоятельство рассматривается как косвенный
3-9280 "'33
аргумент в пользу поля комплексных чисел в аксиоматической
квантовой механике.
Аналогично определяется тензорное произведение любого ко-
конечного числа гильбертовых пространств Ж\® ... ®Жп- В кван-
квантовой механике Ж\® ... ®Жп описывает систему из п различи-
различимых частиц. В статистической механике приходится рассматри-
рассматривать системы неразличимых частиц — бозонов или фермионов.
В гс-кратном тензорном произведении Ж9п выделяются два под-
подпространства: симметричное тензорное произведение Ж&п, опи-
описывающее бозоны, и антисимметричное тензорное произведение
Жап, описывающее фермионы (в случае 2$ = L2(Q, ц) первое
состоит из симметричных, а второе — из антисимметричных
функций iJ)(g)i, . . . , соп) аргументов шь .. ., con6Q). Системы из
переменного (неограниченного) числа частиц описываются про-
оо
странствами Фока: симметричным пространством Га(<5#)=2Ф
®Жт в случае бозонов и антисимметричным пространством
Та{Ж) = 2 ®Жап в случае фермионов. В этих пространствах
л-О
действует специальное представление канонических коммутаци-
коммутационных (соответственно, антикоммутационных) соотношений, свя-
связанное с процедурой вторичного квантования (см. [6], [51], [70]).
3.2. Произведение квантовых состояний. Если Sj — операторы
плотности в Жи то Si®S2-—оператор плотности в Ж\®Ж2,
причем
7r(Si®S2)(Xl®X2)=1rSlXl-TrS2X2; Х?Ъ{Ж>).
Операторы вида Х%\2, где Х$Ъ{Ж\), а 12 — единичный оператор
в Ж2, образуют подалгебру SiciSS^i®^), изоморфную Ъ{Ж\).
Формула
C.1)
определяет отображение <В из Ъ{Ж\®Ж2) на Ъ(Ж\), обладаю-
обладающее свойством условного ожидания
Еа(ХУ)=Ев(&(Х)У); Х&(Ж{®Ж2), Ш9Ь
относительно состояния S~Si®S2. В квантовой теории вероят-
вероятностей условные ожидания играют меньшую роль, чем в клас-
классической, поскольку в общем случае условное ожидание на дан-
данную подалгебру S3 относительно данного состояния 5 существует
лишь при весьма ограничительном соотношении между §9 и S,
в определенной мере, сводящем ситуацию к классической; точ-
точнее см. п. 3.1.3.
Если 5 — произвольный оператор плотности в Ж\®Ж2, то
в Ж\ найдется единственный оператор плотности 5Ь такой что
34
Это же верно для любой линейной комбинации операторов плот-
плотности, т. е. для любого ядерного оператора Т в Эв\®3вг- Отобра-
Отображение T^f-Tx называется частичным следом оператора Т (обо-
(обозначается Ti=Trggt T). Операция частичного следа аналогична
нахождению маргинального распределения в теории вероятно-
вероятностей.
3.3. Независимость и предельные теоремы. Рассмотрим сна-
сначала ситуацию, соответствующую одномерной центральной пре-
предельной теореме в теории вероятностей. Пусть 5 — фиксирован-
фиксированное состояние. Вещественные наблюдаемые Хи ..., Х„, ... на-
зываются независимыми, если
Ев(ф1№1)-...фт№т))= C.2)
для любых т=1, 2 любых ограниченных борелевских функ-
функций фь ..., фт и любых номеров /ь ..., /т, таких что j^fi при
k?=t. Предполагается, что Xs одинаково распределены и имеют
второй момент, причем Es(Xj) = 0, Ds(Zj) = 1. Что можно сказать
о предельном распределении нормированных сумм
Если Х\, ..., Хп, ... — попарно перестановочны, то
exp it(Xi-\-... -\-Хп) =ехр itX{ ... exp itXn-y tdR, C.3)
и применение характеристических функций сводит вопрос к
классической центральной предельной теореме, со стандартным
нормальным распределением в качестве предельного. В общем
случае C.3) не выполняется и предельное поведение сумм су-
существенно зависит от алгебраических свойств последовательно-
последовательности слагаемых. Пусть, например, Хи ..., Хп, ... — антипере-
становочны в том смысле, что
Х,ХК=— ХАХ,- при \ФК
Тогда прямой подсчет (в предположении конечности 4-го момен-
момента Xj) показывает, что
Es(Sn<)-(Es(Sn2)J-4),
откуда следует, что 5n2-vl по вероятности. Поскольку Es(Sn) =
=0, то распределение Sn стремится к симметричному распреде-
распределению Бернулли, сосредоточенному в точках ±1". Это согла-
согласуется с наблюдением, что распределение Бернулли устойчив»
относительно сложения антиперестановочных наблюдаемых
(п. 1.6).
Богатство новых возможностей, открывающихся в некомму-
некоммутативной теории, демонстрируют понятие свободной независимо-
'' Это рассуждение сообщено автору В. фон Вальденфельсом.
3* 35
.qth гИрсоотщетствующая предельная теорема, открытые Войку-
.леску [162].(см, также Шпайхер [151]). Вещественные наблюдае-
наблюдаемые Х{, г..,_1й:\- • называются свободно независимыми, если
.соотношения .C.2), выполняются для всех номеров /ь ..-., /„, та-
.ких что i\f-:U+h k~l, ..., т— 1.
Теорема. Пусть Хг— свободно независимые наблюдаемые,
•; /=1, . .., п, .... Пусть Xj одинаково распределены и
= 0, DB(Zj) = l/4. Тогда распределение нормированных
сумм Sn сходится при п-*-оо к полукруговому закону Вигнера с
,плотностью
p(X) = \irVl-x2> 'xl<1'
Ю, |х|>1,
Доказательство этой теоремы методом моментов требует
довольно сложных комбинаторных подсчетов. Другой метод до-
доказательства — использование преобразования Коши, которое
играет роль логарифма характеристической функции для сво-
'бодно независимых величин [163].
При переходе к многомерной предельной теореме возникает
принципиально новая ситуация, обусловленная возможностью
различных алгебраических соотношений между компонентами
каждого из слагаемых. В работе Кашена, Хадсона [77] (соответ-
(соответственно, Хадсона [106]) предполагается, что компоненты слагае-
слагаемых подчинены каноническим коммутационным (антикоммута-
(антикоммутационным) соотношениям и доказывается, что состояния, описы-
описывающие нормированную сумму, сходятся к квазисвободному со-
состоянию канонических коммутационных (антикоммутационных)
соотношений, т. е. к квантовому гауссовскому (бернуллиевско-
му) состоянию. При этом в случае антикоммутационных соотно-
соотношений вместо обычного тензорного произведения алгебр, порож-
порожденных компонентами каждого слагаемого, необходимо исполь-
использовать так называемое градуированное тензорное произведение,
обобщающее понятие антиперестановочности. Более интересны
результаты работ Гири, фон Вальденфельса [90] и Вальденфель-
Вальденфельса [164], в которых показано, что квазисвободное состояние на
алгебре канонических коммутационных (соответственно, анти-
антикоммутационных) соотношений возникает в квантовой централь-
центральной предельной теореме без априорных предположений об алге-
алгебраической природе слагаемых, а лишь в зависимости от выбо-
выбора обычного (или градуированного) тензорного произведения.
Однако метод доказательства в этих работах, основанный на
вычислении моментов, предполагает ограничительное в анали-
аналитическом плане условие существование моментов всех порядков.
В ряде работ рассматривался случай слабо зависимых на-
наблюдаемых. М. Ш. Гольдштейн доказал сходимость к нормаль-
нормальному распределению в случае последовательности вещественных
наблюдаемых Хи . . ., Хп, . . ., удовлетворяющей- условиям сла-
36
бой зависимости ¦« асимптотической перестановочности типа ус-1
ловия Розенблатта (см. обзор В. В. Аншелевича и М. Ш. Гольд-,
штейна в сборнике [34] и книгу Т. А. Сарымсакова [31]). Обоб-
Обобщение результатов фон Вальденфельса об асимптотической ква-
зисвободности на случай слабо зависимых слагаемых даны в
работе Аккарди и Баха [53] (алгебру 9Э в этой работе следует
считать коммутативной). Наиболее полный результат для слабо
зависимых (перестановочных) слагаемых получен Годерисому
Бербером, Ветсом [92]. Следует отметить, что' истоком работ
[90], [92] послужили известные работы Хеппа и Либа о флуктуа-
циях в мазере Дикке, которые дают некоторую физическую мо-
мотивацию квантовой центральной предельной теоремы для пере-
перестановочных слагаемых.-- - --.-. - _.
Различные алгебраические обобщения центральной предела
ной теоремы (связанные, в частности, с понятием безграничной.
делимости) рассматривались также Хегерфельдтом [97], Парта-
сарати и Шмидтом [138], Фаннесом и Куагебером (статья в
сборнике [142]). . .
§ 4. Проблема скрытых параметров
Проблема скрытых параметров — это вопрос о принципиаль-
принципиальной возможности описания квантовой механики в терминах
классического фазового пространства. Несмотря на устояв-
устоявшееся среди физиков мнение о невозможности такого описания,
конструирование теорий со скрытыми параметрами не прекра-
прекращается (одной из недавних и наиболее интересных попыток яв-
является стохастическая механика [132]). Этой проблеме посвяще-
посвящена обширная литература (см., например, [14]). Здесь мы ограни-
ограничимся обсуждением наиболее существенных логических
аргументов против «скрытых параметров».
4.1. Скрытые параметры и квантовая дополнительность.
С математической точки зрения в проблеме скрытых парамет-
параметров речь идет о возможности установления соответствий
5(do))->-5, Х((а)^-Х между классическими состояниями, т. е.
распределениями вероятностей S(d®} на измеримом «фазовом
пространстве» (Q, <М{п)) и операторами плотности 5 в гильбер-
гильбертовом пространстве Ш квантовой системы, и между случайными
величинами Х{<&) и наблюдаемыми X ъ Зё, которые воспроизво-
воспроизводили бы статистические предсказания квантовой теории и удо-.
влетворяли некоторым физически мотивированным условиям.
Такими условиями, естественно возникающими из общего поня-
понятия статистической модели (п, 0.2), в первую очередь являются,
сохранение функциональной подчиненности в пространстве на-
наблюдаемых, а также выпуклой структуры в множестве состоя-
состояний. Обзор с этой точки зрения основных «доказательств невоз-
невозможности» скрытых параметров дан в [45],. Так, результаты
37
Белла [66] и Кошена, Шпеккера [115] равносильны следующему
утверждению.
Предложение. Пусть йХтЖ^Ъ. Не существует одно-
однозначного отображения ^-vX(co) множества наблюдаемых
О(<Ж) в множество случайных величин на каком-либо измери-
измеримом пространстве Q, удовлетворяющего условию:
1) если Х^>~Х(а), то f°X-*-f(X(a)) для любой борелевской
функции f.
Доказательство. Можно считать, что dim<5#<oo. Пусть
такое отображение существует, тогда из 1) выводятся следую-
следующие свойства
2) X(a))eSpX для любого собЯ;
3) Если .АГ, —совместимые наблюдаемые и Л^-у^Дю), то
2
/¦ j
Фиксируем собЯ и рассмотрим функцию проекторов \л(?) =
—Е(ю), где Е^Е(а). Из 2), 3) вытекает, что ц является веро-
вероятностной мерой на @(<5#), принимающей только значения 0,1.
По теореме Глисона ц(?) =Tr SE, где 5 —оператор плотности,
но такая функция не может быть двузначной мерой.
Недостаток аргументации фон Неймана [26] состоит в том,
что он требовал выполнения свойства 3) для произволь-
произвольных, а не только совместимых наблюдаемых <?,-. Рассуждение
с аддитивностью средних значений, которое он привел для обо-
обоснования этого требования, по существу, заранее исключает
теории со скрытыми параметрами [45], [14].
Приведенное выше доказательство означает невозможность
введения скрытых параметров по схеме частичной наблюдаемо-
наблюдаемости, реализуемой, например, в классической статистической
механике, где имеется взаимно однозначное соответствие меж-
между «макроскопическими» наблюдаемыми и некоторыми функ-
функциями на фазовом пространстве. Однако оно не исключает бо-
более сложных конструкций, в которых одна и та же квантовая
наблюдаемая X может быть измерена множеством разных спо-
способов и соответствие Х((о)^-Х, таким образом, не взаимно од-
однозначно. На самом деле в квантовой механике имеется по
крайней мере столько различных способов измерения наблю-
наблюдаемой X, сколько есть представлений X=f°? в виде функций
от других наблюдаемых ?. Если Я имеет кратное собственное
значение, то заведомо найдутся несовместимые наблюдаемые
?i и ?2 такие, что X=fi°?l — f2°%. Требование взаимной одно-
однозначности входит тогда в прямое противоречие с квантовым
свойством дополнительности !). Отсюда вытекает, что в теориях
') Если dim 3#=2, то наблюдаемые с кратным спектром — это постоян-
постоянные величины; тогда такого противоречия не возникает, и теория со скры-
скрытыми параметрами, удовлетворяющая условиям доказанного предложения,
строится явным образом [66].
38
со скрытыми параметрами следует оставить возможность для
различных классических представлений одной и той же кван-
квантовой наблюдаемой (такого рода теории Дж. Белл назвал кон-
контекстуальными). Аналогичное замечание можно отнести и
представление квантовых состояний. А. С. Холево дал явное
описание такой формальной конструкции, сохраняющей струк-
структуры статистической модели [45], [101].
Предложение. Пусть 36 — гильбертово простр анство.
Существует измеримое пространство Q и отображения Х(<&)-+Х
некоторого множества случайных величин на Ъ{36) и S(d(o)-bS
некоторого множества вероятностных мер на hCB) такие, что
1) Если Sj(du>)->Sj и {pj} — конечное распределение вероят-
вероятностей, то
2) Если Я'(со)-* л* и / —борелевская функция, то f (X (&))
/оА-;
3) Если A'(cu)->a* и S(da)-*-S, то
В случае dim3&^3 отображения Х(&)-*-Х, S(rfco)->-5 с необ-
необходимостью не являются взаимно однозначными. Этот резуль-
результат показывает, что принцип дополнительности препятствует
классическому описанию квантовой статистики лишь при до-
дополнительном требовании взаимной однозначности (неконтек-
стуальности).
4.2. Скрытые параметры и квантовая целостность. Рассмот-
Рассмотрим квантовую систему, состоящую из двух компонент Ж\, Ж%.
Чистые состояния такой системы задаются единичными векто-
векторами ^Ж\ ®Эвг, которые являются линейными комбинациями
(суперпозициями) факторизуемых векторов \f>i(8nf>2- Если ф=
=г|I®г|J, то обе компоненты системы находятся в однозначно
определенных чистых состояниях; если же if> нефакторизуемо,
то между компонентами обнаруживаются специфические кор-
корреляции, которые невозможно смоделировать никаким класси-
классическим механизмом случайности. На это обратил внимание
Белл, показавший, что даже в контекстуальной теории со скры-
скрытыми параметрами нельзя удовлетворить естественному требо-
требованию, названному им «эйнштейновской локальностью» [66]".
Обсудим близкое, но более общее условие разделимости
145].
') В этой связи см. также статью Э. Вигнера «Скрытые параметры и
квантовомеханические вероятности» в сб. [11].
39
Рассмотрим наблюдаемые
, Л=1. ...,л;
где Ь» — единичный оператор в 3@}, так что
[ХрУк] = 0, D-2)
т. е. каждая наблюдаемая Xj совместима с каждой Yk. Поэто-
Поэтому для любого состояния 5 в Зв^®Ж2 определены квантовые
корреляции {Xj,Yk)$. Матрица C — \{Xj,Yk)§\j=\,...,n,
й=1»-•. > т
описывает статистические результаты tint различных эксперимен-
экспериментов, вообще говоря, несовместимых между собой.
Предложение. Пусть п, пъ>2. Не существует измери-
измеримого пространства Q и отображений S(da>)-+S, Х(а)-+Х та-
таких, что:
1) если Х(а)^Х, то ^(coNSpX;
2) для любого S* и любых Хи ..., Хп; У\, ...,Ym вида D.1)
найдутся Xj(со), Fft(co) такие, что ХДсй)->Л";, Yk{a)-*-Yk и
для какого — либо S (da)-+S.
Доказательство. Достаточно ограничиться случаем п =
= /ге = 2. Рассмотрим наблюдаемые Хи Х2, Y\, Y2 вида D.1) и
такие, что
||Ху||<1, |1ПЦ<1. D-3>
Предположим, что указанные отображения существуют и пусть
Хи Yh — соответствующие случайные величины на вероятност-
вероятностном пространстве (Q, 3$(Q), S(dw)). В силу условия 1),
<1, |У,(со)|<1, откуда
Усредняя по S(da) и используя условие 2), получаем нера-
неравенство Белла —Клаузера—Хорна —Шамони {БКХШ)
( А',, Г, > §.+ { Л\, Y2 > i + < Х2, Yx ) § - ( Х2, Г2 )§<2. D.4)
Остается указать квантовые наблюдаемые Х}, Yk и состоя-
состояние S, для которых неравенство D.4) нарушается. Рассмотрим
систему из двух частиц со спином 1/2, так что dim ^ =
= dim <#2=2- (см, п. 1.6). Пусть S — чистое состояние состав^
40
ной системы с вектором
| [> (
(— е) - % (—
e)J,
где фу(е) —единичный вектор •/-й компоненты, описывающий
полностью поляризованное состояние с направлением спина е.
Положим
где ло)(а) — наблюдаемые спина в Ж, (см. п. 1.6). Корреляции
между компонентами имеют вид
( Х(а), У(Ъ)) ^ = < ф|АA)(а)®*<2)(Ь)г|> > = -а-Ь.
Пусть векторы а3-, bfe образуют конфигурацию, обозначенную на
рисунке, тогда значение левой части неравенства D.4) для
наблюдаемых Xj = k(aj), Yk = Y(hk) равно 2V2, что противо-
противоречит неравенству и доказывает предложение1^
В [114] указано общее неравенство
(Л\У, + Л'/2 + Х2Г\ - >:2Y2y < 41 - [X,, Х2]. [Г,, Г2],
справедливое лля любмх операторов, удовлетворяющих усло-
условиям D.2), D.3). Из него вытекает как неравенство БКХШ
(при [Хи X2] = [YV ^2] = 0), так и граница
|| X,YX + Хх?2+ X2Y, _ A\K21| < 2 /2,
из которой видно, что в построенном примере неравенство
БКХШ нарушается максимальным образом.
¦> Работы Дж. Белла стимулироэали ряд экспериментов, в которых на-
нарушение неравенства БКХШ получило подтверждение (см., например, U4]).
4Г
Поскольку компоненты составной системы могут представ-
представлять собой частицы, пространственно отделенные друг от друга
макроскопическим расстоянием, то описывающая их теория со
скрытыми параметрами должна быть существенно нелокаль-
нелокальной". В работе Саммерса и Вернера [156] показано, что поло-
положение не спасает и переход к локальной квантовой теории по-
поля, где неравенство БКХШ также нарушается максимальным
образом.
4.3. Структура множества квантовых корреляций. В ра-
работе Б. С. Цирельсона [48] было изучено выпуклое множество
Сог(я, т) квантовопредставимых матриц C = [cjk]?z\',"",'!n>
элементы которых представимы ка# корреляции cJk= < A';-, Yk ) §
каких-либо квантовых наблюдаемых Xh ?h, удовлетворяющих
условиям D.2), D.3). Оказывается, что формально более силь-
сильное, чем D.2) (и физически содержательное), условие D.1)
приводит к тому же множеству корреляционных матриц С. Это
видно из доказательства следующей теоремы, которая дает про-
прозрачное геометрическое описание множества Cor (я, т).
Теорема. Матрица С принадлежит множеству Cor (я, т)
тогда и только тогда, когда в евклидовом пространстве размер-
размерности тт(п, т) существуют векторы ai, ..., а„; Ъи . ¦., Ът та-
такие, что ||аЛ<1, ЦК1К1 и arbA=c,-ft для всех /, k.
Дадим набросок конструкции, существенной для доказатель-
доказательства. Пусть ^(п)—комплексная алгебра Клиффорда с п эр-
эрмитовыми образующими Х\, ..., Хп, удовлетворяющими соот-
соотношениям
Поскольку элементы X,(g>X,- алгебры & (п) фф (п) перестановоч-
перестановочны и их спектр состоит из ±1, то 1 является точкой спектра
элемента
(кратности 1). Пусть я — неприводимое представление алгеб-
алгебры 'ё'(п) ®<&(п), тогда в пространстве представления существу-
существует единственный с точностью до множителя вектор if, такой что
я(Л)г|5=г|5. Доказывается, что
<i|5|n(X(a)<g)X(b))i|)> = a-b; a, beR".
Вектор tf> определяет состояние S в точном представлении ал-
алгебры 'S'(n) ®Ф(п) такое, что
11 По поводу нелокальности в стохастической механике см. статью
Э. Нельсона [132].
42
где Х) = Х(а})®1, Ук = 1®Х{Ък) удовлетворяют условию D.1),
а значит, и D.2).
Из этой теоремы в [48} получено описание крайних точек
множества Сог(п, пг), а также указаны неравенства, задаю-
задающие множество Cor B, 2).
Обозначая Соп (п, пг) множество классически-представимых
матриц С, таких что
где Х1г Yk — случайные величины, такие что
j Fh(со) |^1, имеем, очевидно,
Con (n, m)CCor(n, пг).
Несовпадение этих множеств математически выражает свой-
свойство квантовой целостности. Неравенство БКХШ задает гранич-
граничную гиперплоскость, отделяющую многогранник СопB, 2) от
квантово-реализуемой матрицы тгИ j_j еСог B, 2). Естественно
поставить вопрос, насколько Cor (n, пг) превосходит Corj (n, пг).
Пусть К(п, пг) —наименьшее число, обладающее свойством
Сог(п, m)aK(n, m)Corl(n, пг).
Последовательность К {и, пг) возрастает с ростом п, т. Как
отмечается в [48], из геометрического описания множества
Сог(л, т) вытекает, что К= Нш К{п, те) совпадаете известной
п,т~кх!
в теории нормированных пространств константой Гроте«дика
Ко < " г- »1,782.
21A + К2)
Глава 2
СТАТИСТИКА КВАНТОВЫХ ИЗМЕРЕНИЙ
§ 1. Обобщенные наблюдаемые
1.1. Разложения единицы. Пусть {SS, 9S{S6)) —измеримое
пространство. В дальнейшем часто SS стандартное измери-
измеримое пространство, т. е. борелевское подмножество полного се-
парабельного метрического пространства. Стандартные измери-
измеримые пространства одинаковой мощности изоморфны (см., на-
например, {160, гл. V]), поэтому с точки зрения теории меры они
эквивалентны борелевским подмножествам вещественной пря-
прямой R.
Разложением, единицы в гильбертовом пространстве Ж на-
называется нормированная положительная операторнозначная ме-
43
pa на 38{-Я?У;-т. е. функция множеств 1W: Я(8в).-*%{2ё), удовле-i
творяющая условиям: ...
1) М(В)—положительный оператор в Ж для любого
Щ{Щ); . .....
2) Если {В,} — конечное или счетное разбиение 86 на попар-.
но-непересекающиеся измеримые подмножества, то (
где ряд сходится сильно.
Если М(ВJ — М(В) для всех B?$(S6), то М — ортогональ-
ортогональное разложение единицы (см. п. 1.1.3). Неортогональные раз-
разложения единицы (на R) появились в работе Карлемана A923),
в связи с проблемой спектрального разложения несамосопря-
несамосопряженных операторов и были детально изучены в 1940—60-е годы
(см., например, [2], [30], [68]).
Теорема (М. А. Наймарк, 1940). Всякое разложение еди-
единицы ъ Ж может быть расширено до ортогонального разложе-
разложения единицы, т. е. существует гильбертово пространство Ж^Ж
и ортогональное разложение единицы Е : &{86)-*%(Ж) в Ж
такое, что
М{В)=РЕ{В)Р; ВШ(8?),
где Р — проектор из Ш на Ш. Если Ш — сепарабельно, а 86 —
стандартно, то Ж можно выбрать сепарабельным. Существует
единственное с точностью до унитарной эквивалентности мини-
минимальное расширение, характеризующееся тем свойством, что
множество {Е(В)Р^\ ВЬ&{%6), ^Ж) плотно в Ж.
Если существует ст-конечная мера \х, такая что ]|М(В)||^
СЯ то
М (fi)=JpU)P(rfjc); ВЪ2ё(9В), A.1)
где Р{х)—измеримая ограниченная функция со значениями в
8C6), называемая плотностью М относительно меры |i (интег-
(интеграл сходится в сильной операторной топологии). Если А\п\Ж =
= оо, то ортогональное разложение единицы не может иметь
плотности относительно' какой-либо о-конечной меры.
Пример. Переполненной системой [21], [6] в Ж называется
семейство {ех; х^35}аЖ, удовлетворяющее условию
где ц — некоторая о-конечная мера на $($6), т. е.
44
Частным случаем переполненной системы является полная ор-
ортогональная система в Ж, однако в общем случае векторы ех
могут быть не ортогональны и линейно зависимы. Всякий век-
вектор \р?Ж имеет разложение
A.2)
по векторам переполненной системы. Соотношение
{ex\{x(dx) A.3)
•определяет разложение единицы с плотностью Р(х) = \ех) (ех\
Дадим для него явную конструкцию минимального расширения
Наймарка (см. [78, гл. 8]). Определим ортогональное разложе-
разложение единицы Е в Ж=Ь2{@в, ц) соотношением
E(B)f(x) = lB(x)f(x); х?%,
где 1В(-)—индикатор множества В^$(дВ). В A.2), A.3) сле-
следует, что соотношение
задает изометрическое вложение Ж в ~Ж, причем
M(B) = V*E(B)V.
Образ УЖ пространства Ж в L2(<3?, |i) является гильбертовым
пространством с воспроизводящим ядром Ж(х, у) =(ех\еу}, т. е.
проектор Р из L2{tHe, ц) на УЖ является интегральным опера-
оператором с ядром Ж(х, у).
1.2. Обобщенная статистическая модель квантовой механики.
Это отделимая статистическая модель (см. п. 0.2), в которой
состояния описываются операторами плотности, а вещественные
наблюдаемые — разложениями единицы на J?(R) в гильберто-
гильбертовом пространстве Ж- Функциональная подчиненность наблю-
наблюдаемых определяется соотношением (f°M) (В) =M(f~] (В)). Ес-
Если 36 — измеримое пространство, то обобщенной наблюдаемой
[наблюдаемой] со значениями в S6 называется произвольное
(ортогональное) разложение единицы М на ${96). Распределе-
Распределение вероятностей обобщенной наблюдаемой М в состоянии 5
определяется формулой
A.4)
Основанием для этих определений служит
Предложение ([143, гл. 2]). Соответствие 5->|i^ являет-
является аффинным отображением выпуклого множества квантовых
состояний @C?) в множество вероятностных мер ^(дв)- Обрат-
Обратно, всякое аффинное отображение из <5(Ж) в $(<2?) имеет вид
5->jx^ , где М — однозначно определенное разложение единицы
на &{%).
. 45
Аффинность означает, что смесь состояний переходит в соот-
соответствующую смесь распределений
для любых Sfi<5C@); д,^0, 2/0,= 1, и имеет прямое истолкова-
истолкование в терминах статистических ансамблей. Можно сказать, что
разложение единицы дает наиболее общее описание статистики
исходов квантового измерения, совместимое с вероятностной
интерпретацией квантовой механики.
Опираясь на теорему Наймарка, можно доказать, что для
любого разложения единицы М в Ж найдутся гильбертово
пространство Жо, оператор плотности So в Жо и ортогональное
разложение единицы Е в Ж®Ж0, такие что
В?Я (ЯВ), A.5)
для всех Se@(,5^) или М(В) =S>0(E(B)), где &о— условное ожи-
ожидание относительно состояния So, определяемое аналогично
формуле A.3.1). Таким образом, разложение единицы описы-
описывает статистику измерения обычной наблюдаемой в некотором
расширении исходной системы, содержащем вспомогательную
независимую систему в состоянии So, что говорит о согласован-
согласованности понятия обобщенной наблюдаемой со стандартной фор-
формулировкой квантовой механики.
Пример. Векторы состояний минимальной определенности
A.2.15) образуют переполненную систему в Ж=Ь2(Щ,
У*-" ^ ^ ^XlV I dxdv = l
([12], [21]), что позволяет определить обобщенную наблюдаемую
со значениями в R2
^ A.6)
Укажем конструкцию, которая связывает М с приближенным
совместным измерением координаты и скорости квантовой час-
частицы. Пусть Жо = I-2 (R), Л), Qo — канонические наблюдаемые в
Жо и So= |'фо.оХ'фо.о|—основное состояние в Зёо- Самосопря-
Самосопряженные операторы
= Q®Io-I®Q0, ±P = ±[P®\0+l®P0] A.7)
в Ж<В)Зёо перестановочны и, а значит, имеют совместную спект-
спектральную меру E(dxdv). Используя аппарат характеристических
') На это указал Н. Бор в статье «О понятиях причинности и дополни-
дополнительности» A948) (см. Избранные научные труды.— М.: Наука, 1971.— 2.—
С. 391-398).
46
функций из п. 1.2.4, можно доказать, что для любого состояния-
5 распределение вероятностей обобщенной наблюдаемой A.6)
[Л* (В) = ~ [ \ < ^x.v j S^x.v ) UXdV
в
удовлетворяет соотношению A.5), т. е. совпадает с совместным:
распределением вероятностей наблюдаемых Q, Р/т в состоянии.
5®50 (см. [43, гл. 3]). Относительно приближенных измерений
Q, Р см. также [78], [37], [159] и цитированные там работы.
1.3. Геометрия множества обобщенных наблюдаемых. Ана-
Аналогом обобщенной наблюдаемой в классической статистике яв-
является рандомизованная случайная величина, т. е. переходная
вероятность ПE|со) из пространства элементарных событий Q
в пространстве значений X. Будем далее предполагать, что 96—
стандартное пространство. Тогда соотношение
устанавливает взаимно однозначное соответствие между слу-
случайными величинами / со значениями в 96 и детермини-
детерминированными переходными вероятностями, такими что
ПE|со)=0 или 1, т. е. П(?|соJ = П(?|со). Переходные вероят-
вероятности из Q в 96 образуют выпуклое множество, крайними точ-
точками которого являются детерминированные переходные веро-
вероятности и только они (см., например, [41, гл. II]).
Соотношение между наблюдаемыми и обобщенными наблю-
наблюдаемыми в квантовом случае значительно сложнее и интерес-
интереснее. Обозначим Tl($t?) выпуклое множество обобщенных на-
наблюдаемых со значениями в $6, Extr2rt(«^) множество его край-
крайних точек, Conv 2Jt выпуклую оболочку подмножест-
подмножества 2Яс2Я($?). В 2Я($?) вводится естественная то-
топология: последовательность {М(п)}с:ЭЭТ($?) сходится к М, если
для любого состояния 5 последовательность вероятностных мер'
fj,s<n> (В) =Тг 5М(П) (В) сходится по вариации к ц8(В) =
=Tr SM(B); 2Л означает замыкание подмножества 2Я в этой то-
топологии. Пусть 2Ло(#?)—подмножество обычных наблюдаемых
и 2Jti(<2?)—подмножество обобщенных наблюдаемых М, таких
что [М(В{), М(В2)] = 0 для всех Bu Bfc&{86). В работе А. С.Хо-
лево [38] показано, что МбЗЯ,^) тогда и только тогда, когда
, A.8)
где Е — наблюдаемая со значениями в некотором пространстве
8В\, Ч\.{В\Х\)—переходная вероятность из 96\ в 96. По анало-
аналогии с классической статистикой, наблюдаемые, описываемые
ортогональными разложениями единицы Е (Е(ВJ — Е(В)),
можно рассматривать как детерминированные (более
точное обсуждение см. в [101]). Наблюдаемые из Ш\B8), кото-
47
рые задаются перестановочными разложениями единицы, явля-
являются классически-рандомизованными в том смысле, что
M62Jti($?) получается из обычной наблюдаемой путем преобра-
преобразования A.8), содержащего внешний классический источник
неопределенности. Всякую обобщенную наблюдаемую Мб2Я(«^>)
можно рассматривать как квантово-рандомизованную в смысле
представления A.5): она эквивалентна обычной наблюдаемой
в расширении исходной системы, включающем независимую
квантовую систему. Наконец, точки из Extr2Jt(^) представля-
представляют собой обобщенные наблюдаемые, в которых неопределен-
неопределенность, обусловленная процедурой измерения, сведена к мини-
минимуму.
Обозначим m мощность множества значений SS.
Теорема. Если /и =2, то Шо {&)= Extr W (&) и Щ{95) =
Если т>2, то Шо (%)?Extr Ш {%) и
Щ (<^)c=Conv Шо {96)аШ C6), причем если dim<9^<oo, то
последнее включение точно. Если же &\тЗё= оо, то Зйо(<2?) =
Таким образом, ситуация аналогична классической лишь в
случае обобщенных наблюдаемых с двумя значениями". В этом
случае М={М0, Mi), где Mi = I—Мо и 2Я(<2?) как выпуклое под-
подмножество изоморфно порядковому интервалу {Мо : Мо 2Л (Ж),
0^.М0^.Ц, крайние точки которого совпадают с проекторами
в Эв (см., например, [78, гл. 2]).
Чтобы доказать, что Шй{86) ?=Extr Ш{$в) при т>2, доста-
достаточно сделать это в случае т = 3 и dim^=2 (см. [43, § 1.6]).
Рассмотрим неортогональное разложение единицы
Mk= J|iKe*)X4>(eA)|; k = \, 2, 3, A.9)
где \|)(е„)—векторы состояний системы со спином '/г (см.
п. 1.1.6), причем eh, k=l, 2, 3, образуют правильный треуголь-
треугольник. Тот факт, что A.9) является крайней точкой, можно уста-
установить непосредственно, либо воспользовавшись критерием из
статьи Штермера в [85]: конечное разложение единицы М =
= {Ми . . . , Мт} является крайней точкой тогда и только тогда,
т
когда для любых Хи . . . , Хт?ЪC6) из 2 EiXtEi = 0 следует
?Дг?(=0, где ?,- — носитель Ми т. е. проектор на ортогональное
дополнение к нулевому подпространству Mf. Если dim3^<oo,
то из наличия крайних точек, не попадающих в Wq($8), следу-
следует, что Щ)()
Интересный пример крайней точки дает неортогональное
разложение единицы A.6).
') Такие наблюдаемые, называемые «эффектами», играют центральную
роль в аксиоматическом подходе Людвига [125], [118].
8
Доказательство того, что 2Яо($?) =ЯЯ($?) в случае dim
= 00, основывается на теореме М. А. Наймарка. Пусть M62Jt(
и {РЫ)} — последовательность конечномерных проекторов в
сильно сходящаяся к I. Тогда М{п> (В) = РЫ)М(В)Р(-") — разло-
разложение единицы в конечномерном пространстве Ж{п) = Р{пK6,
которое можно расширить до ортогонального разложения еди-
единицы Е<п) в сепарабельном гильбертовом пространстве 3^(п)гэ
гэ<9^(п). Поскольку dim5f = c», можно считать, что Ж(п) — Ж.
Имеет место оценка
где |is(n) (В) =Tr SEin) (В), ца(В) =Tr SM(B) [44], доказываю-
доказывающая утверждение. Итак, в случае &\тЖ=оо, все обобщенные
наблюдаемые являются предельными точками множества на-
наблюдаемых.
§ 2. Квантовая теория статистических решений
2.1. Проверка гипотез. В гильбертовом пространстве Ж на-
наблюдаемой квантовой системы заданы операторы плотности 5е;
6=1, ..., т, описывающие одно из возможных состояний си-
системы. Выбор одной из гипотез 0=1, ..., т осуществляется на
основе решающего правила, задаваемого разложением единицы
М = {МЬ ..., Мт}. При этом вероятность принятия гипотезы ы =
= 1, ..., т, если система находится в состоянии 59, равна
t#(a) = TrSeMa. B.1)
Как и в классической статистике, задается некоторый функцио-
функционал от вероятностей B.1) и вопрос состоит в нахождении экст-
экстремума этого функционала в том или ином классе решающих
правил. В физических задачах квантовая система является но-
носителем информации, состояния которого 5в зависят от «пере-
«передаваемого сигнала» 0. «Приемник» осуществляет квантовое из-
измерение, статистика которого описывается разложением еди-
единицы М в 1. Речь идет об отыскании квантовых ограничений
на качество измерения и о его оптимизации.
При байесовском подходе задаются априорные вероятности
гипотез яв и функция отклонения We,(и); 8, ы = 1, ..., т. Байе-
Байесовский риск определяется обычной формулой
& {М}= 2
9 = 1 я=1
Решающее правило, минимизирующее 52{М}, называется байе-
байесовским. Часто рассматривают случай We(u) = l—бви и Яв =
= Vm. Тогда речь идет о максимизации средней вероятности
4—9280 49
правильного решения
т
12(9)' B-3)
что является дискретным аналогом метода максимального
правдоподобия. Наконец, важной мерой качества решающего
правила является шенноновская информация
(ЦIп/1^~. B.4)
е ? я^* (и)
Первоначальная постановка квантовой задачи различения
гипотез (Хелстром, 1967) основывалась на стандартном кванто-
во-механическом формализме, в соответствии с которым реша-
решающие правила описывались ортогональными разложениями
единицы. Формулировка квантовой теории статистических ре-
решений, основанная на обобщенных наблюдаемых, была пред-
предложена А. С. Холево A972). Обозначим 2Я класс всех решаю-
решающих правил М={М), ..., Мт}, 2Jti — класс классически-рандо*
мизированных правил (т. е. таких, что MjMh = MhMj) и 2Я0 —
класс детерминированных решающих правил (MjMt = 8jkMj).
Пример ([38]). Рассмотрим задачу различения равноверо-
равновероятных гипотез
•Se=Mee)X*M|; 6=1, 2, 3,
где 'ф(ее)—векторы состояний системы со спином 1/2, возника-
возникающие в A.9). Тогда
max 9 {М} = max 9 Щ = \ B + УТ) < 4= max 3> {М},
ЭК» SRi 33^
причем максимум достигается на решающем правиле A.9). Бо-
Более того,
max / {М} = max / {М} < max / {М}.
ЗЗ^о 331i 33i
Этот и другие подобные примеры (см. [80]) демонстрируют
неожиданный с классической точки зрения факт: квантовая
рандомизация может увеличивать информацию о состоянии си-
системы. Хотя этот эффект проявляется только в конечномерных
гильбертовых пространствах (см. предыдущий пункт), он ясно
указывает на необходимость использования обобщенных на-
наблюдаемых.
2.2. Байесовская задача. Байесовский риск B.2) представля-
представляется в виде
50
где Wa = ^ neWe(u)Se — операторная апостериорная функция
9=1
отклонения. Поскольку 5?{М} -— аффинный функционал на вы-
выпуклом множестве 2Я, задача о его минимизации может быть
рассмотрена с помощью методов линейного программирования.
Теорема (А. С. Холево, Юн). Имеет место соотношение
двойственности
т1п#{МНтах{Тгл:Ле?(<Э0), Л<1Рв; а=1,...,да}. B.5)
Следующие утверждения эквивалентны:
0) М° = {Л4Ц0} — байесовское решающее правило;
1) существует Л°е?(<Ж), такой что
(Wa~A°)Ma° = 0; и=\,...,т;
т
2) оператор л°=]?] №"Ц./ИЦ0 эрмитов и A°<WU; u—\,...,m.
ц=1
Задача в правой части B.5) имеет единственное решение,
которым является оператор Л°, входящий в условия 1), 2).
Наиболее часто используется достаточность условия 1), ко-
которая доказывается элементарно: для любого №={Ми)
и=\ и=\ «=1
С помощью этого условия легко проверяется оптимальность ре-
решающего правила A.9) в примере предыдущего пункта,
Пример 1. Пусть операторы Wu — Wv; и, v — 1,.. ., pit
перестановочны, т. е. Wu — C-\-Ша°, где Wa° — перестановоч-
перестановочные операторы. Тогда существует самосопряженный оператор
X и функции Wa°(x) на R, такие что
Wu°=Wk°(X).
Пусть {^й} —разбиение R, такое что Wk0(x)<Wj°(x) при
х^вк, j^k, и положим Л°-С + mmWk°(X), М/г°=\?Гк(Х).
к
Тогда условия 1) выполнены. Если С = 0, то это соответствует
вычислению байесовского решающего правила в классической
статистике: правило является детерминированным и для каж-
каждого х предписывает выбирать решение а, для которого
апостериорное отклонение Wa(x) минимально [37, гл. IV].
Пример 2. Условия предыдущего примера автоматически
выполняются в случае двух гипотез So, «Si. Для простоты рас-
рассмотрим функцию потерь We(u) = l—беи, так что речь идет о
4* 51
минимизации средней ошибки. Байесовское решающее правило
Имеет вид
Mo=l(ol00)(%S0 —я^). |/И?= 1 (-00,01 (яо5о —я^),
и минимальная ошибка
Если So, 5] — чистые состояния с векторами г|H, я^, то
В общем случае уравнения оптимальности сводятся к слож-
сложной нелинейной задаче, часто геометрического характера. Мно-
Много интересных явно решаемых случаев, в которых условия при-
примера 1 не выполняются, рассмотрено Хелстромом [37],
Р. Л. Стратоновичем [155] и В. П. Белавкиным [63]. Остано-
Остановимся на задаче различения т чистых состояний с линейно не-
независимыми векторами \|зе и априорными вероятностями яе>0.
Можно считать, что Ж порождается векторами г|зв; 6=1, . . . , т.
Кеннеди показал, что в этом случае байесовское решающее
правило имеет вид
Ми=\еиу(еи\; и = \,...,т, B.6)
где {еи} — некоторый ортонормированныи базис в Ж (см. [37,
гл. IV]). Таким образом, задача сводится к нахождению орто-
нормированного базиса, наилучшим образом приближающего
систему {г|5„} в смысле критерия
tn
o=i
В [63] из общих условий оптимальности 1), 2) получено нели-
нелинейное уравнение для базиса {еи} и указан случай, когда оно
решается явно. Пусть диагональные элементы матрицы Q1/2,
где Q=[\njnk{^j\^ky]j, ft=i,..., m, совпадают и равны iq. Тогда
оптимальный базис
.7=1
где [Ajft] = QI/2, причем минимальная ошибка
т\пЩЩ=\—mq.
В частности, в «равноугольном» случае, когда <i|5j|i|)j,) =y при
j^k, а яе = 1/?я, получается формула Юна—Лэкса
52
А. С. Холево заметил [42], что в случае равновероятных
чистых состояний имеет место оценка
e=i
Базис, минимизирующий правую часть, имеет вид
М>л B-8)
где [аг*] = Г~1/2 и Г = [ { % | \р* ) ], причем
(теорема М. Г. Крейна). Отсюда
1/2- B-9)
Решающее правило, отвечающее базису B.8), асимптотически
оптимально в пределе почти ортогональных состояний, Г->1,
причем правая часть в B.9) дает первый член асимптотики.
В «равноугольном» случае B.9) обращается в равенство.
2.3. Пропускная способность квантового канала связи. На-
Набор операторов плотности {5е} определяет простейшую модель
квантового канала связи (см. [39], [98]), для которого 8 играет
роль «сигнала», пробегающего входной алфавит \,...,т. Ко-
Кодирование задается распределением вероятностей я = {лв} на
входном алфавите, а декодирование — разложением единицы
M = {MU}, где и пробегает выходной алфавит \,...,р. Вероят-
Вероятность получить на выходе символ и при условии, что на входе—,
сигнал 0, дается формулой B.1). Таким образом, квантовый ка-
канал связи можно рассматривать как обычный канал со специ-
специфическими ограничениями на переходные вероятности, неявно
выраженными формулой B.1). Чему равна пропускная способ-
способность такого канала связи?
Рассмотрим информационное количество Зх (тс, М), опреде-
определяемое формулой типа B.4) (где и пробегает от 1 до р) и
величину С, = sup З^ (я, М), где супремум берется по всевоз-
я;м
можным кодированиям и декодированиям. В ранних работах
для оценки пропускной способности использовалась величина
= sup
я L
J B.10)
=i / 9 J
где H(S)=—TrSlnS — энтропия фон Неймана квантового
состояния 5. В [40], [121J показано, что для любого кодиро-
53
вания л и декодирования М
(т
^ngSe -2леЯEе), B.11)
причем если операторы 5е неперестановочны, то неравенство
строгое". По-видимому, при том же условии С\<С, хотя в пол-
полной общности это не было установлено. Однако как показы-
показывают следующие рассуждения, величина С\ также не может
рассматриваться как пропускная способность.
Правильное определение пропускной способности должно
быть связано с предельной скоростью асимптотически безоши-
безошибочной передачи информации. Рассмотрим ft-ю степень канала
в пространстве Жп = Ж®п, определяемую состояниями Sv =
= Se,®...®Sen, где v = (9i, ...,9Л) — всевозможные слова вход-
входного алфавита длины п. Пусть Э'„(я, М) и Cn = supyn(iz, M) —
величины, определяемые для /г-й степени канала аналогично
Зх (я, М) и С,. Информационное количество 3'„(я, М) обладает
свойством аддитивности [40]
sup У„+т («(*> X
()()
= sup .?„ (я("\ М(«)) +sup ^
М(«) М("О
откуда следует, что последовательность {С„} субаддитивна,
С СС а следовательно, существует
n//i. B.12)
Основываясь на классической теореме кодирования, можно до-
доказать, что при /?<С существуют такие кодирования и деко-
декодирования объема N=[2nR], что средняя ошибка
1
А (л, Л0 = д
стремится к нулю при м-»-сю, тогда как при R>C она не стре-
стремится к нулю при любом выборе кодирования и декодирова-
декодирования [42]. Это дает основание назвать величину С пропускной
способностью данного квантового канала связи.
Следует отметить, что для соответствующего классического
канала «без памяти» последовательность {С„} аддитивна и
поэтому C=Cn/n=Ci. Оказывается, что в квантовом случае
возможно строгое неравенство
d<C, B.13)
') Это утверждение было высказано Л. Б. Левитиным в 1969 г.
54
что соответствует парадоксальному с классической точки зре-
зрения наличию «памяти» в произведении независимых каналов.
Измерение в таком произведении может нести больше информа-
информации, чем сумма информации, получаемых в каждой компоненте.
Этот факт, разумеется, обусловлен необычными статистическими
свойствами составных квантовых систем и является еще одним
проявлением квантовой целостности.
Доказательство этого факта, данное в работе А. С. Холево
[42], использует следующую оценку пропускной способности С
для канала с чистыми состояниями Se= |i|5e><i}>e I:
Г т
С>С=—lnmin 2_
в основе которой лежит неравенство B.9) для средней ошибки
и модификация метода случайных кодов, предложенная
Р. Л. Стратоновичем и А. Г. Ванцян в [36]. Для двоичного ка-
канала (т = 2)
— е2/1п2,
где е= | <i|)i |я|з2>| ¦ В случае «почти ортогональных состояний»
C1<l+-g-82lne2+o(e2lns2), е-». О,
откуда следует B.13) для достаточно малых в.
В этой области остается ряд трудных нерешенных вопросов
[98]. Определенная формулой B.12) пропускная способность не
вычислена в точном виде даже для двоичного канала. Ввиду
серьезных аналитических трудностей, представляют большой
интерес всевозможные оценки и приближенные результаты (см.
Бенджбаллах и Чарбит [67], В. П. Белавкин [63], Ингарден
[110J, Линдблад [121], Чемберс [74]). В общем случае С^С,
однако неизвестно, достигается ли здесь равенство для непере-
неперестановочных операторов плотности Se.
2.4. Общая формулировка. Как и в классической теории
статистических решений [50], задается множество значений 9
неизвестного параметра 0, множество SB решений х (часто
$5 = ®) и функция отклонения We(x), определяющая качество
решения х при данном значении параметра 8. Множество SB—
измеримое (обычно стандартное) пространство и We(x) ограни-
ограничена снизу и измерима по х при фиксированном 666.
Каждому значению 0 соответствует оператор плотности 59
в гильбертовом пространстве рассматриваемой квантовой систе-
системы, а решающее правило задается разложением единицы
М : <М{8В)-+Ъ(Ж) в Ж. Ортогональные разложения единицы
описывают детерминированные решающие правила. При дан-
данном значении параметра 6 и данном решающем правиле М ре-
решение выбирается в соответствии с распределением вероятно-
55
стеи
$ (В) = Тт SeM(B);
Среднее отклонение, определяемое формулой
является для каждого Эбв аффинным функционалом на вы-
выпуклом множестве решающих правил Ш{96).
Решающее правило называется байесовским, если оно мини-
минимизирует байесовский риск
для данного априорного распределения я на 9, и минимаксным,
если оно минимизирует максимальное среднее отклонение
тах5?е{М}. Как классическая, так и квантовая теории статисти-
9
ческих решений включаются в общую схему, в которой состо-
состояния описываются точками произвольного выпуклого множе-
множества <3, причем значительная часть результатов классической
теории Вальда переносится на эту схему, достигая естественных
границ общности (А. С. Холево [41]). При минимальных требо-
требованиях на функцию отклонений установлены общие условия су-
существования байесовского (Озава [133]) и минимаксного ре-
решающих правил, полнота класса байесовских решающих пра-
правил (Н. А. Богомолов [8]), аналог теоремы Ханта—Стейна [43],
[8]. Обобщения понятия достаточности изучали Умегаки [158],
А. С. Холево [41], Петц [139]. В силу ограниченности понятия
условного ожидания, в квантовой теории статистических реше-
решений достаточность играет гораздо меньшую роль, чем в класси-
классической, зато на первый план выходят свойства инвариантности
относительно подходящих групп симметрии (см. § 3).
На основе соответствующего аппарата интегрирования в
[41] получены необходимые и достаточные условия оптималь-
оптимальности и соотношение двойственности в байесовской задаче с
произвольными в, 8В, обобщающие теорему из п. 2.2. Эти
условия позволяют, в частности, дать исчерпывающее решение
многомерной байесовской задачи оценивания среднего значения
гауссовских состояний (В. П. Белавкин, Б. А. Гришанин [5],
А. С. Холево [41]), которое иллюстрируется здесь одним при-
примером.
В задаче оценивания <д=3в является конечномерным много-
многообразием, в частности, областью в Rn. В этом случае детерми-
детерминированное решающее правило может быть задано набором
совместимых вещественных наблюдаемых Хи . . . ,Хп в Ж.
Согласно п. 1.2, произвольное решающее правило задается на-
56
бором совместимых наблюдаемых Х\,...,Хп в расширении Ж
вида Ж®Жй, где Жо— вспомогательное гильбертово простран-
пространство с оператором плотности So- При таком способе задания ре-
решающее правило называется оценкой многомерного параметра
9=(8i 0„). В квантовой задаче оценивания, в отличие от
классической, байесовские оценки могут оказаться существенно
недетерминированными.
Пример. Пусть {Sa>fb (a, PNR2} — семейство гауссовских
состояний (см. п. 1.2.4) с характеристической функцией
Tr Sa,p exp \i(Px + Qy)] = exp [i (ax + Щ -
—f-С*2 + «/*)]; (x, yNR2, B-14>
где P, Q — канонические наблюдаемые, 02^гГ- Рассмотрим байе-
байесовскую задачу оценивания параметра 0= (а, {*) с функцией
отклонения
и гауссовским априорным распределением вероятностей с плот»
0-(а2 + $2)). Решение этой задачи качест-
2 К ')
венно зависит от величины gt/g2. Если g\jg2< Bs2) 2 или g\/g2>
>Bs2J, где s2 = a2 + cFg' T0 байесовские оценки детерминиро-
детерминированы, т. е. задаются парой перестановочных самосопряженных
операторов А, В в 36. В первом случае Л = (——1 Р, В = 0, а
s
во втором А = 0, В=(— JQ. Если же BsT2<gjg2<Bs2J,
то оценки задаются перестановочными операторами
в Ж®Ж0 (ср. A.7)), где k\, k2 — коэффициенты, нелинейно за-
зависящие от s2, ^i, g2, а оператор плотности So в Жй гауссов-
ский и имеет характеристическую функцию
-~*\-W$t:«* v'f
Соответствующее разложение единицы в Ж отличается от A.7)
линейной заменой переменных. В отличие от аналогичной клас-
классической задачи, зависимость байесовского риска от весов gu
g2 также имеет существенно нелинейный характер.
2.5. Квантовые неравенства Рао—Крамера. Рассмотрим за-
задачу оценивания в семействе состояний {5е}, где 8=(8ь ...
..., 0ft)GR\ Решающее правило М назовем несмещенным, если
57
для всех
В предположении конечности вторых моментов определена мат-
матрица ковариации
De {М}= [ J ... J (X; -8i)(Xj — Qj)p.* {dxx.. .dx») ]; i, /=1 A.
В классической статистике хорошо известно неравенство Рао—
Крамера, ограничивающее снизу матрицу ковариации несме-
несмещенных оценок. Входящая в эту границу информационная мат-
матрица Фишера однозначно определяется метрической геометри-
геометрией симплекса «классических состояний», т. е. распределений
вероятностей на пространстве элементарных событий Q [50].
В квантовой статистике имеется много неэквивалентных нера-
неравенств типа Рао—Крамера, что связано с существенно более
сложной геометрией множества состояний.
Поскольку неравенство Рао—Крамера имеет локальный ха-
характер, достаточно предполагать, что семейство состояний опре-
определено в окрестности фиксированной точки 0. Введем вещест-
вещественное гильбертово пространство L2(Se), определяемое как по-
пополнение множества ЭЛ(Ж) ограниченных вещественных наблю-
наблюдаемых относительно скалярного произведения
{X, Y}e = ReTrYSeX=TrSeX°Y, B.15)
где X°Y=2 (XY-\-YX)—йорданово произведение X, Y. Предпо-
Предположим, что
1) семейство {5е} сильно дифференцируемо в точке 0 как
функция со значениями в %{Ж);
cISq
2) линейные функционалы Х-^Тг -^-Х непрерывны относи-
относительно скалярного произведения B.15).
При этих условиях по теореме Ф. Рисса существуют сим-
метризованные логарифмические производные Le;'eL2E9), опре-
определяемые из условий
dS n
Тт~Х= (Ц,Х), *6»*E&). B.16)
Формально,
^-SrLl B.1?)
Тогда для любого решающего правила М, имеющего конечные
вторые моменты и удовлетворяющего условию локальной
58
несмещенности
J •'• \xi-Mji.dx,...dxk) = b4; i,J = \,...,k, B.18)
где -0q-(B) = 7t-0q-M(B), имеет место неравенство
D0{M}>Jfl-1. B.19)
Здесь Je = [<Le\ LeJ>e]i, j=i h — вещественная симметричная
матрица — аналог информационной матрицы Фишера для сим-
метризованной логарифмической производной.
С другой стороны, введем комплексные гильбертовы прост-
пространства L±2Ee) как пополнения Ъ(Ж) относительно скалярных
произведений
{X, F>9+=Tr X*SeY, {X, F>e- = Tr YSeX*
и определим правую и левую логарифмические производные
Le±j как решения уравнений
u;
(существующие при тех же условиях 1), 2)). Формально
dse о ,+j г-у о
Тогда, при условии B.18)
D9{M} >(JoT\ B.20)
где ^ = [ ( Lq1 , L'e1) i]ij=i,...,k — комплексные эрмитовы матри-
матрицы, и B.20) рассматривается как неравенство для эрмитовых
матриц.
Формальное определение B.17) симметризованной логариф-
логарифмической производной и неравенство B.19) принадлежит Хел-
строму, а неравенство B.20) —Юну и Лэксу (см. [37, гл. VIII]).
Другие неравенства были получены Р. Л. Стратоновичем [155].
Математически корректные определения логарифмических про-
производных и вывод соответствующих неравенств дан в книге
[43, гл. VI]. Пространства L2, ассоциированные с квантовым со-
состоянием, полезны и в других вопросах. Элементы этих прост-
пространств могут быть интерпретированы как (классы эквивалент-
эквивалентности) неограниченных операторов в Ж ([43, гл. II]).
Неравенства B.19), B.20) дают существенно различные,
несравнимые границы для De{M}. В случае одномерного пара-
параметра (&=1) всегда /е^/е*, причем равенство имеет место тог-
dS q
да и только тогда, когда [Ss, -^- ] = 0. В этом случае неравенст-
неравенство, основанное на симметризованной логарифмической произ-
59
водной, оказывается наилучшим [37, гл. VIII]. С другой стороны,
для двупараметрического семейства гауссовских состояний
B.14) неравенство B.19) дает Tr De{M}^2o2, тогда как из
B.20) вытекает Tr D9{M}^2a2+l. Последняя граница до-
достигается для несмещенных оценок, определяемых операторами
типа A.7). Неравенство B.20), основанное на правой (или ле-
левой) логарифмической производной, вообще лучше приспособ-
приспособлено к задачам оценивания, в которых параметр допускает ес-
естественную комплексификацию (в последнем примере 0 =
)
Выражение
lv y<J ] f J2/ ~— у ¦" V A ~
определяет метрику в множестве операторов плотности
В более широком контексте алгебр фон Неймана эта метрика,
известная как расстояние Бюреса, подробно изучалась Араки,
Ульманом и др. (см. обзор Раджио в [141]). Если {Se} — семей-
семейство, удовлетворяющее условиям 1), 2), то при А6-*-0
Таким образом, расстояние Бюреса эквивалентно в малом ри-
мановой метрике, определяемой квантовым аналогом информа-
информационной матрицы Фишера. Е. А. Морозова и И. Н. Ченцов в
[35] описали всевозможные римановы метрики в Ч5(Ж)
(dim Ж<С°°), монотонно инвариантные в категории марков-
марковских морфизмов (аффинных отображений <3(Ж) в себя). Ми-
Минимальной в этом классе является риманова метрика в правой
части B.21).
§ 3. Ковариантные наблюдаемые
3.1. Формулировка проблемы. Пусть G — локально компакт-
компактная группа, действующая непрерывно на транзитивном G-прост-
ранстве SB и V : g-*-Ve, g^G,— непрерывное (проективное) уни-
унитарное представление группы G в гильбертовом пространстве Ж.
Разложение единицы !Л:В-+М(В), Be$(t(8?) в Ж ковариантно
по отношению к V, если
Vg*M(B)Vg=M(g-lB); gdG, Ве$(&). C.1)
В квантовой механике S6 является пространством значений
физического параметра (обобщенной координаты) х, обладаю-
обладающего группой симметрии (движений) G. Фиксируем x^t96 и
оператор плотности So. Соотношение
Sx=VgS0Vg*, где x = gx0, C.2)
60
описывает преобразование квантового состояния, отвечающее
движению g. Рассмотрим обобщенную наблюдаемую М, удов-
удовлетворяющую условию ковариантности C.1), и пусть ji^ (В) =
= TrSxM(B)—ее распределение вероятностей в состоянии S*.
Тогда условие C.1) равносильно следующему:
ц*,о (gB) = р* {В); В?<% (Я?), geG, C.3)
для любого состояния So- Это означает, что статистика наблю-
наблюдаемой М преобразуется согласно движениям g в пространстве
обобщенной координаты SB (см. пример в п. 1.2.3). Условие
ковариантности, таким образом, дает правило для установления
соответствия между классическими параметрами и квантовыми
наблюдаемыми.
Такое соответствие является, конечно, далеко не однознач-
однозначным. Среди множества ковариантных обобщенных наблюда-
наблюдаемых основной интерес представляют те, которые описывают
предельно точные измерения соответствующего параметра. Рас-
Рассмотрим задачу оценивания параметра x&SB в семействе состо-
состояний C.2). Пусть на множестве 8В = ® задана функция откло-
отклонения We{x), такая что Wge (gx) = We (x). Среднее отклонение
C-4)
при условии C.1) не зависит от 8. Минимум аффинного функ-
функционала C.4) достигается в крайней точке выпуклого множе-
множества 5MG'V {SB) ковариантных обобщенных наблюдаемых. Обо-
Обозначим 3Jl0GlV {SB) подмножество ковариантных наблюдаемых,
задаваемых ортогональными разложениями единицы. Проблема
соответствия в математическом плане сводится к изучению за-
запаса элементов и структуры множеств 3Jl0G>v {SB), 5MG v C?)
В общем случае
Целый ряд парадоксов в стандартной формулировке квантовой
механики обусловлен тем, что множество TtoG'v(S?) оказы-
оказывается пустым. С другой стороны, ExtrSKGiV {SB) имеет значи-
значительно более обширный запас элементов, среди которых и на-
находится обобщенная квантовая наблюдаемая, отвечающая дан-
данному классическому параметру.
3.2. Структура ковариантного разложения единицы. При
специальных предположениях относительно G, SB, V можно
дать прямое решение уравнения ковариантности C.1), проли-
проливающее свет и на общий случай.
Пусть G — унимодулярна, a G0=G/S& компактна, тогда
на G существует а-конечная инвариантная мера \i, а на SB ко-
конечная инвариантная мера v, такая что v(B) =|л(Аг1 {В)), где
61
Теорема ([78], [43]). Пусть V—конечномерное представ-
представление группы G. Для любого ковариантного разложения едини-
единицы М найдется положительный оператор Ро, такой что
[Ро, Vg]=0, g?G0 и
М(В) = { P(x)v(dx),
где плотность Р(х) определяется соотношением
Pfuf 1=1/ PI/* ^4^1
lo 0/ ' В О Я \ /
Доказательство. Из тождества
(см. [43, гл. IV]), полагая 5= (dim Ж)~Ч, получаем ТтМ(В) =
= (й\тЖ)~1\(В). Поэтому существует плотность Р{х) со зна-
значениями в %{Ж). Соотношение C.5) вытекает из условия ко-
ковариантности.
Ограничение на Ро, вытекающее из условия нормировки
М($в)=\, иногда удается выразить явно. Очень просто
устроено множество 5MGV (gp) в случае, когда V есть неприво-
неприводимое квадратично-интегрируемое представление (dim <Ж^-|-оо)
унимодулярной группы п~ВБ. Из соотношений ортогонально-
ортогональности для V (см. [126]) следует, что при надлежащей нормиров-
нормировке [А
для любого оператора плотности So. Таким образом, формула
устанавливает взаимно однозначное аффинное соответствие
между 2JlGV (G) и ®{Ж). В частности, крайние точки множе-
множества 2flG'v (G) описываются формулой
C.6)
где ^ф (g") = Vgipo, а г|)о — произвольный единичный вектор в
Ж. Семейство \ty(g); g^G] образует переполненную систему,
называемую в физике обобщенными когерентными состо-
состояниями (обычные когерентные состояния отвечают неприводи-
неприводимому представлению ККС и специальному выбору вектора гро,
см. п. 1.2.4).
3.3. Обобщенные системы импримитивности. Если М в соот-
соотношении C.1) ортогональное разложение единицы, то пара
(V, М) называется системой импримитивности. Это понятие,
введенное Дж. Макки (см. [126]), играет важную роль в теории
62
представлений групп: представление V продолжается до систе-
системы импримитивности тогда и только тогда, когда оно индуци-
индуцировано с подгруппы G/85. Если же М — произвольное кова-
риантное разложение единицы, то (V, М) называется обобщен-
обобщенной системой импримитивности. Имеет место следующее обоб-
обобщение теоремы М. А. Наймарка о расширении.
Теорема ([72], [148]). Пусть G — локально компактная
группа, удовлетворяющая второй аксиоме счетности,
(85, $(85))—стандартное измеримое пространство. Пусть
(V, М) —обобщенная система импримитивности в Ж, тогда су-
существуют изометрическое вложение W пространства Ж в неко-
некоторое гильбертово пространство Ж и система импримитивности
(V, Е) в Ж, такие что
Vg=W*VgW; M(B) = W*E(B)W.
Если множество {Е (В) W^ \ В?% (85), ^Ж) плотно в Ж, то
(V, Е) унитарно эквивалентно системе импримитивности, про-
продолжающей представление в Ж = l}j?(96, ja), индуцированное
с подгруппы 0/85 '>.
Для иллюстрации рассмотрим пару (V, М), где V—непри-
V—неприводимое квадратично интегрируемое представление, М дается
формулой C.6). Искомое расширение в 3e = L2(G, ц) является
модификацией конструкции для произвольной переполненной
системы (см. п. 2.1.1), именно
Vgf(x) = f(gx); Е (Д)/ U) = 1В (х) f U),
причем вложение W действует по формуле Wty(g) — (ty(g) |ф>.
Подпространство W2ec:L2((j, (j,) связано с воспроизводящим
ядром M'(g,g')=<$(g)\$(g')> = <$o\V(g-lg/)yo>. Связь между
обобщенными когерентными состояниями и индуцированными
представлениями подробно исследовал Скутару [148]. В общем
случае Каттанео [73] показал, что М имеет ограниченную
плотность Р(х) относительно квазиинвариантной меры ц на ЗБ
тогда и только тогда, когда подпространство WcLj (85, \к)
является гильбертовым пространством с воспроизводящим яд-
ядром (со значениями в Ъ(Ж)).
3.4. Случай абелевой группы. Случай, когда G=S6 — абеле-
ва локально компактная группа, представляет интерес, в част-
частности, в связи с проблемой канонической сопряженности в кван-
квантовой механике. Полное описание ковариантных разложений
единицы для произвольного (непрерывного) представления V
дается в терминах преобразования Фурье; при этом значения
«плотности» Р(х) оказываются, вообще говоря, неограниченны-
'' L2j?(8j, ц) обозначает гильбертово пространство функций на 8В со
значениями в некотором гильбертовом пространстве Ж, квадратично интегри-
интегрируемых по мере ц.
63
ми положительно-определенными формами. Излагаемые далее
результаты могут быть получены как прямыми методами гар-
гармонического анализа, так и с помощью теоремы о расширении
из предыдущего пункта (см. статью А. С. Холево в [141]).
Обобщение на неабелевы группы типа I дано в работе [46].
Пусть G — двойственная группа, dg— мера Хаара в Q.
Предложение I. fflG'v (О)ф 0 тогда и только тогда,
когда спектр V абсолютно непрерывен относительно dg.
Если это выполнено, то V разлагается в прямой интеграл
факторных представлений, именно
где Л — измеримое подмножество Q, {Ж (к); к?Л} — измеримое
семейство гильбертовых пространств с dim Ж (А,),> 0 для п. в.
А?Л, причем
j (к) dk, если г(з = { ®у (-к) dl.
Y
V $ =
Здесь л (#) —значение характера Х^О на элементе gdO. Сле-
Следующее утверждение вытекает из теоремы импримитивности
Макки, которая обобщает теорему единственности Стоуна —
фон Неймана (п. 1.2.3).
Предложение 2. 3Ro'v(G)=?0 тогда и только тогда,
когда А=?} с точностью до множества нулевой меры и
dim Ж (к) = const для п. в. Agu.
Ядром будем называть семейство {Р (%,%'); X, X'GA}, где
Р (к, к') — сжимающие операторы из Ж (к1) в Ж (к), причем
комплексная функция < ф(Л) | Р (к, X') ty(X') ) я измерима по
мере dkXdk' для люб^х <р= \ ®<р(к)с?к, ф = \ Фг^(к)dk?2e
<< -|- >я обозначает скалярное произведение в Ж (к)). Ядро
положительно определено, если
>(Я, А/)ф(А/) ) xdkdk'>0
л л
для всех Ф6^?1 = |ф: \ || Ф (Я) ||яй?Л < оо I. Для таких ядер одно-
1 J I
А
значно с точностью до эквивалентности определяется диаго-
диагональное значение Р(к,к) (см. [HI]). Обозначим 1й(^)==
= \k(g)dg, где rfg — мера Хаара в О.
в
64
Теорема. Соотношение
< Ф | М {В) г|) ) = J J ( ф (к) | Р (К, А') ф (^') > JB (А, —
л л
где В пробегает компактные полмножества в О, q>,
устанавливает взаимно однозначное соответствие между ко-
вариантными разложениями единицы в Ж и классами экви-
эквивалентности положительно определенных ядер {Р(^}
таких что /Э(Я,Л) = Ь, (единичный оператор в Ж {к)).
Эта теорема сводит вопрос об описании множества
Extr5MGV (G) к нахождению крайних точек выпуклого множе-
множества положительно определенных ядер {Р(к, А/)}, удовлетворя-
удовлетворяющих условию Р(ЯД) = 1>.. В полном объеме эта задача не ре-
решена даже для конечного Л. Можно, однако, выделить под-
подкласс множества Extr2JlGV (G), существенный для квантовоме-
ханическпх приложений.
Для простоты ограничимся далее случаем, когда
dim Ж (Я) =const, ХбЛ. Обозначим 5MCG'V (G) класс ковариант-
ных разложений единицы, ядра которых удовлетворяют соотно-
соотношению
Если A=G, то этот класс совпадает с ЗЛ^' (О), с другой
стороны, Sdlf'v(G)eExtr 3RG>V (G), причем совпадение имеет
место только, если Л состоит из двух точек. Все элементы
Sdl°'v(G) получаются друг из друга калибровочными преобра-
преобразованиями
M'(B)=U*M(B)U, C.7)
где U = \ ®U (Ц с?Я — разложимый унитарный оператор в ,Ж =
Если реализовать Ж как L*y?(A,dty, где Ж(К) = Ж, I.QA,
то в классе 2ft?'v(G) выделяется разложение единицы Мс,
определяемое ядром Р (X, Х') = 1Ж (единичный оператор в Ж),
для которого
< ц, | Мс(В) ф ) = jj J < ц> (Я) | <Р (^0 ) j/1-; (*• -?
л л
Всякое iWe3Jl°'v(G) имеет ядро вида U (Ъ)* U{*¦'), где
{f/(X)} — измеримое семейство унитарных операторов в Ж.
3.5. Каноническая сопряженность в квантовой механике.
Пусть х — одномерный параметр, так что G — 8S является ве-
5—9280 65
щественной прямой R (случай параметра сдвига), или единич-
единичной окружностью Т (случай параметра поворота), и пусть х-*-
-+-Vx=e~ixA — унитарное представление группы G в Ж. Спектр
Л оператора А содержится в двойственной группе G, которая
совпадает с R в случае G = R и с множеством целых чисел Z в
случае G = T.
Условие ковариантности обобщенной наблюдаемой М имеет
вид
V,*M(B)VX=M(B—x); BG?(G), x?G, C.9)
где В—х = {у: у-\-х^В), причем в случае G = T имеется в виду
сложение по модулю 2я. Вводя операторы
У
а
получаем, что C.9) равносильно соотношению Вейля (см.
п. 1.2.3)
C.10)
в котором, однако, операторы Uv, вообще говоря, неунитарны.
В этом смысле обобщенная наблюдаемая М является канони-
канонически сопряженной к наблюдаемой А.
Для обобщенной канонической пары (А, М) имеет место со-
соотношение неопределенностей [100]
A^(y)-Ds(A)>l/4; y6G, C.11)
где As (y)^y~2{\'Tr SUy j— 1), уфО, есть некоторая функ-
циональная мера неопределенности ковариантной обобшенной
наблюдаемой М в состоянии S (см. [43, § IV.7J). Если G = R
и М имеет -конечную дисперсию DS(M), то lim As (у) = D5 (M),
так что из (З.П) следует обобщение соотношения неопреде-
неопределенностей Гейзенберга
Для параметра поворота (G = T) дисперсия не является адек-
адекватной мерой неопределенности, и неравенство C.11) следует
рассматривать как окончательное. Различные формы соотноше-
соотношения неопределенностей для угловых переменных обсуждались
в обзорах [19], [17]. Следует отметить, что обобщенная наблю-
наблюдаемая угла поворота существует всегда, поскольку условия
предложения 1 из предыдущего пункта выполняются автомати-
автоматически (G=Z). С другой стороны, условия предложения 2 не
могут быть выполнены, если dim<5^<;°o (как для систем с ко-
конечным спином), и в этих случаях обычной наблюдаемой угла
поворота не существует.
Наибольший интерес представляют ковариантные обобщен-
обобщенные наблюдаемые, имеющие минимальную неопределенность.
66
Теорема ([100]). Пусть 5=|ф><ф|—чистое состояние,
тогда
min A?(«/) = «T2
В частности, для G =
min Ds(M)=U?-\\q(y)\\jdy, C.13)
2
где ip(y)—компоненты вектора я|з в представлении, диагонали-
зующем оператор А. Минимум достигается на ковариантной на-
наблюдаемой М* класса 2JlcG>y, которая задается ядром Р*(у,у')
таким, что Р*(У,У')Ц(У')/Ц(У')\\=Ц(У)/Ц(У)\\; у, t/'ел.
Величины C.12), C.13) дают внутреннюю меру неопреде-
неопределенности параметра х в состоянии 5.
Таким образом, требования ковариантности и минимальной
неопределенности (относительно чистых состояний) определя-
определяют канонически сопряженную обобщенную наблюдаемую одно-
однозначно с точностью до калибровочного преобразования C.7).
Следует отметить, что аналогичная степень произвола остается
и в стандартной формулировке квантовой механики, поскольку
в случае A=G класс 2ftcG>v(G) совпадает с классом ковариант-
ных наблюдаемых 2JtoG'v(G).
Пример. Рассмотрим квантовую систему с положитель-
положительным гамильтонианом Н. Представление t-+Vt = e~iHt группы
временных сдвигов не удовлетворяет условиям предложения 2
предыдущего пункта, поскольку AcR+. Поэтому ковариантной
наблюдаемой временного сдвига не существует °. Предположим
для простоты, что A=R+ и что спектр Н однороден (т. е. имеет
постоянную кратность для п. в. Л6Л). Тогда Н унитарно экви-
эквивалентен оператору умножения на Я в гильбертовом простран-
пространстве Ж=1*]к(\\+) квадратично-интегрируемых функций ф=
||()] на R+ со значениями в некотором гильбертовом прост-
пространстве Ж. Ковариантные обобщенные наблюдаемые класса
^c'V (Ю с точностью до калибровочного преобразования C.7)
эквивалентны наблюдаемой Мс, определяемой соотношением
C.8), т.е.
= \\ < ф (Я) | ф (Л.')
RR
R+R4-
Разложение единицы Мс является обобщенной спектральной ме-
мерой в смысле [2] максимального симметричного (но не самосо-
1} На трудности с определением наблюдаемой времени в квантовой ме-
механике указывал Паули (см. Handbuch der Physik.— 1958.— 5/1.— С. 60—63).
5* 67
пряженного) оператора
T = i^-, 2) (Г) = (ф:г|) абсолютно непрерывна, г|)@) =
d
< со
Минимальное расширение Наймарка разложения единицы
Мс в пространстве Зё = Ь^{Щ дается формулой, аналогичной
C.14), с заменой R+ на R, и является спектральной мерой са-
мосопряженного оператора i -тув Ljp (R).
3.6. Локализуемость. Пусть W — унитарное представление
группы, описывающей кинематику данной квантовой системы
(универсальной накрывающей группы Галилея в нерелятивист-
нерелятивистском или группы Пуанкаре в релятивистском случае), в гиль-
гильбертовом пространстве Ж и пусть U — ограничение W на уни-
универсальную накрывающую G группы евклидовых преобразова-
преобразований g: x-^-Ax+b, xGR3. Система называется локализуемой по
Вайтману, если в Ж существует ортогональное разложение еди-
единицы Е на а-алгебре ^(R3) борелевских подмножеств коорди-
координатного пространства R3, удовлетворяющее условию евклидовой
ковариантности
Ug*E(B)UR=E{g-x В); geG, 56^(R3).
При этом условии для любой области BcR3 найдется вектор
состояния ijj такой, что (ty\E(B)\jp}= 1, т. е. вероятность обнару-
обнаружения системы в области В равна 1. Для локализуемой систе-
системы определены совместимые наблюдаемые координат
Qj=!!ixjE{dxldx2dx3); /=1, 2, 3, C.15)
ковариантные относительно евклидовых преобразований.
Используя то обстоятельство, что (U, Е)—система импри-
импримитивности, можно доказать, что локализуемыми по Вайтману
являются все массивные частицы и релятивистские безмассовые
частицы с нулевой спиральностью. Безмассовые частицы с не-
ненулевой спиральностью (фотон, нейтрино) оказываются нело-
кализуемыми (Ньютон, Вигнер, 1949, Вайтман, 1962). Такой вы-
вывод не согласуется с экспериментальной локализуемостью фото-
фотона; более того, как показал Хегерфельдт, такое понятие
локализуемости приводит к противоречию с требованием причин-
причинности в релятивистской динамике (см., например, [55]). Эти труд-
трудности снимаются, если в определении локализуемости допуска-
допускаются произвольные разложения единицы. Неортогональное раз-
разложение единицы М, описывающее локализацию фотона, было
указано, в частности, в работах Крауса (в сб. [159]), А. С. Хо-
лево [99]. Полная классификация соответствующих обобщенных
систем импримитивности, при дополнительном условии кова-
ковариантности относительно преобразований подобия, включающая
68
характеризацию крайних точек, дана Кастрижьяно [71]. Реля-
Релятивистские безмассовые частицы оказываются приближен-
приближенно локализуемыми в том смысле, что sup <гЬ|М(Л)г|)> = 1 для
любой области ficR3. Наблюдаемые координаты, определен-
определенные соотношением C.15), являются самосопряженными, но не-
неперестановочными операторами и поэтому не имеют совместной
спектральной меры.
В ряде работ, обзор которых имеется в статьях Али, Пруго-
вечки [55], развивалась идея стохастической локализуемости в
фазовом пространстве. Результаты этих работ также указыва-
указывают на то, что обобщенная статистическая модель квантовой ме-
механики дает возможность, по крайней мере, смягчить известные
противоречия между релятивистской инвариантностью и нело-
нелокальностью квантовомеханического описания.
Глава 3
эволюция открытой системы
§ 1. Преобразования квантовых состояний
и наблюдаемых
Динамика изолированной квантовой системы, описываемая
однопараметрической группой унитарных операторов, обратима
во времени. Эволюция открытой системы, подверженной внеш-
внешним воздействиям, будь то процесс установления равновесия с
окружением или взаимодействие с измерительным прибором,
обнаруживает черты необратимости. В математическом плане
такие необратимые изменения описываются вполне положитель-
положительными отображениями.
1.1. Вполне положительные отображения. Пусть 31с=9Э(<9^) —
некоторая С*-алгебра операторов, т. е. подпространство Ъ(Ж),
замкнутое относительно алгебраических операций, инволюции
и перехода к пределу по операторной норме (см., например,
[32], [9]). Обозначим Шп алгебру комплексных пХ^-матриц. Ли-
Линейное отображение Ф из 31 в Ъ(Ж) (где Ж гильбертово про-
пространство) называется положительным, если из ХШ, Х^О сле-
следует Ф[Х]^0, и вполне положительным, если для любого п~^-\
отображение Ф„ С*-алгебры 21<8>9Ита в С*-алгебру ^(Ж)®Ш^,
определяемое формулой Фп(Х®У) =фп(Х) ®Y, является поло-
положительным. Другими словами, для любой матрицы [Я,-*!, p,=i,..., *
с элементами Х^Ш, положительно определенной в том смысле,
что 2 <q>j|^rt<Ps>=^0 для любого набора {ф3}с<3?, матрица
[Ф(-^л)Ь, *=in также является положительно определенной.
Еще одно эквивалентное определение: для любых конечных на-
69
боров {Х,)а% и
2<ф;|Ф1А*;^]ф»>>0. A.1)
/.ft
Для положительного отображения имеет место неравенство
Кэдисона—Шварца
Ф[Х]*Ф[Х]^\\Ф\\Ф[Х*Х] A.2)
для всех X68t таких, что Х*Х=ХХ*. Если Ф вполне положитель-
положительно, то это неравенство выполняется для всех ASt. Пример по-
положительного, но не вполне положительного отображения —
транспонирование в 5Ш„. Если Ф положительно и 31, либо ФC1)
коммутативны, то Ф вполне положительно. Таким образом,
свойство полной положительности проявляется лишь в неком-
некоммутативной ситуации.
Отображение я: 91-> 33 (X). называется *-гомоморфизмом
(представлением), если оно сохраняет алгебраические операции
и инволюцию.
Теорема (Стайнспринг, 1955). Пусть %с%(Ж) — С*-алгебра
с единицей и Ф: 31-5-93 (Ж) — линейное отображение. Ф вполне
положительно тогда и только тогда, когда оно допускает
рредсдавление
<b[X\ = Vn[X\V, A.3)
где V — ограниченное линейное отображение аз Ж в неко-
некоторое гильбертово пространство Ж, л — *-гомоморфизм §t
в ® (Ж).
Существует единственное с точностью до унитарной эквива-
эквивалентности минимальное представление A.3), характеризующе-
характеризующееся свойством: подпространство (л [A'j 1Л|з: Xg&, \$<Ж} плотно в Ж.
Доказательство прямого утверждения представляет собой
обобщение конструкции Гельфанда—Наймарка—Сигала (ГНС),
которая соответствует случаю положительного линейного функ-
функционала на §1 (dimЖ=\) [32], [9]. На алгебраическом тензорном
произведении &®Ж определяется (псевдо-) скалярное произве-
произведение, такое что
Неотрицательность скалярного квадрата следует из A.1). Пусть
Ж гильбертово пространство, получающееся в результате фак-
факторизации и пополнения §t<g><9^ по этому скалярному произведе-
произведению. Соотношения
VJcp=I <g) ф
определяют переходом в Ж объекты V, л, удовлетворяющие со-
соотношению A.3).
70
Замечание. Если SB — метризуемый компакт и М — раз-
разложение единицы в Ж на о-алгебре борелевских подмножеств
М(%6), то отображение
f-+\f(x)M(dx)\ fee {SB)
9Ё
С*-алгебры СA6) непрерывных комплексных функций на SB в
Ъ(Ж) является (вполне) положительным. Теорема Стайнсприн-
га в этом случае дает расширение Наймарка для М, поскольку
¦ -гомоморфизм С(86) задается ортогональным разложением
единицы.
Всякая алгебра фон Неймана S9 является С*-алгеброй с еди-
единицей. Положительное отображение Ф алгебры S9 называется
нормальным, если из Ха\Х в S9 следует Ф[Ха]|Ф[Х].
Следствие ([117]). Всякое нормальное вполне положи-
положительное отображение Ф :Ъ(Ж)-*-Ъ(Ж) имеет вид
со
^ A.4)
где ряд ^VnVn сходится сильно в 95 (Ж).
л=1
Доказательство. Если Ф нормально, то представление
я в формуле A.3) также можно сВДтать нормальным. Известно,
что всякое нормальное представление алгебры 95(^0) в про-
пространстве Ж кратно единичному, т. е. Ж = Ж®Жй и п[Х] =
= Х®10, где Жо— некоторое гильбертово пространство,
10 — единичный оператор в Жо (см., например, [78, гл. 9]). Пусть
[в]} — ортонормированный базис в Жо, тогда Vty=? Vnty®en, a
л = 1
соотношение A.3) переходит в A.4).
Обзор свойств вполне положительных отображений имеется
в статье Штермера в сборнике [85]. Андо и Чой [57] рассмотрели
нелинейные вполне положительные отображения и устано-
установили для них обобщение теоремы Стайнспринга.
1.2. Операции, динамические отображения. Алгебра Ъ(Ж)
как банахово пространство является сопряженным к простран-
пространству ядерных операторов Х(Эё) (см. п. 1.1.1). Если W — линей-
линейное отображение в %(Ж), положительное в том смысле, что
ЧЧТ]^0, если Т^О, то W ограничено (см., например, [78, гл. 2])
и поэтому имеет сопряженное отображение ф=Ч/* : S9(<5^)->-
-+$5(Ж), которое является линейным положительным нормаль-
нормальным отображением; более того, всякое Ф с такими свойствами
является сопряженным к некоторому W. Если W положительно
и, кроме того, ТгЧЧТКТгТ для всех Та%(Ж), 7>0, то W на-
71
зывается операцией (в пространстве состояний). Это равно-
равносильно тому, что Ф[1]^1. Отображение Ф также называется
операцией (в алгебре наблюдаемых).
В квантовой статистике операции описывают изменения со-
состояний (наблюдаемых) открытой системы в результате эволю-
эволюции или макроскопического воздействия, включая отбор по ка-
какому-либо признаку (например, по результату измерения) в со-
соответствующем статистическом ансамбле. Если S — оператор
плотности исходного состояния, то число Tr W[S] интерпрети-
интерпретируется как доля отобранных представителей ансамбля, а
^PfSj/Tr^S] как оператор плотности, описывающей новое со-
состояние отобранного ансамбля. Термин «операция» был введен
в известной работе Хаага и Кастлера A964), посвященной обос-
обоснованию квантовой теории поля. Базирующийся на понятии
операции аксиоматический подход к квантовой механике был
развит Дэвисом и Льюисом, Людвигом и другими авторами
(см., например, [78], [125], [116], [85]).
В динамической теории особенно важны операции, перево-
переводящие состояние в состояние. Это равносильно тому, что
Tr W[T] = TrT для всех Tf±Z(M) или же Ф[1]=1, где Ф = ЧГ*. Если,
кроме того, Ф — вполне положительно, то W (или Ф) называет-
называется динамическим отображением1}. Из теоремы Вигнера
(п. 1.2.1) следует, что обратимые динамические отображения
описываются формулами
W[T]=UTU*, O[X] = U*XU,
где U — унитарный оператор в Ж (если U антиунитарный, то Ф
не может быть линейным отображением). В общем случае ди-
динамические отображения описывают необратимые эволюции и
являются некоммутативным аналогом марковских отображе-
отображений в теории вероятностей. Мерой необратимости может слу-
служить относительная энтропия квантовых состояний
ЯE2|5!) =TrSi(lnSi—lnS2).
О свойствах относительной энтропии см. Линдблад [122], Верль
[166], Петц [139]). Важнейшим является обобщенная
Я-теорема: для любого динамического отображения х?:
([2\\[])B\l)
Согласно следствию из п. 1.1, динамическое отображение
допускает представление
где ^ V*yn = \. Отсюда нетрудно получить
п=0
¦> На свойство полной положительности эволюции открытой системы,
было указано, в частности в работах [117], [39].
72
Следствие ([123]). Отображение 4я : %{Ж)-^1{Ж) явля-
является динамическим тогда и только тогда, когда существуют
гильбертово пространство Ж о, состояние 50 в Жо и унитарный
оператор U в Ж=Ж®Жо, такие что
где Тг^о— частичный след в Жо.
Таким образом, динамическое отображение расширяется до
обратимой эволюции составной системы, включающей исход-
исходную открытую систему и «окружение», причем возможность та-
такого расширения обусловлена свойством полной положитель-
положительности.
1.3. Условные ожидания. Так называются отображения
8: Ъ{Ж)-*~Ъ(Ж), являющиеся идемпотентами (&2=Ж) с еди-
единичной нормой. & отображает Ъ[Ж) на С*-подалгебру 31=
{Х:Хт(Ж), &[Х]=Х). Если Ж нормально, то 31 —алгебра
фон Неймана. Условное ожидание согласовано с состоянием 5,
если Tr S<S\X\ = TxSX; Х^Ъ(Ж). Томияма показал, что условное
ожидание является положительным отображением и обладает
свойством
&(XYZ)=X${Y)Z; У&(Ж); X,Zm,
которое включалось в первоначальное определение, данное
Умегаки [158]. На самом деле всякое условное ожидание вполне
положительно.
Общий критерий существования нормального условного ожи-
ожидания в алгебрах фон Неймана дал Такесаки [157]. В случае
Ъ(Ж) этот критерий имеет следующую формулировку. Пусть
5 — невырожденный оператор плотности, тогда с ним связана
модулярная группа автоморфизмов {Ж)
Условное ожидание & на подалгебру %аЪ(Ж), согласованное с
состоянием 5, существует тогда и только тогда, когда 31 инва-
инвариантна относительно at. В частности, это выполняется, если
[S, Х]=0 для всех ХШ.
Пример нормального условного ожидания (усреднение по
подсистеме составной системы) был дан в п. 1.3.1. Приведем
другой важный пример. Пусть {Еп} — ортогональное разложение
единицы в Ж. Тогда
является нормальным условным ожиданием на подалгебру %
операторов вида A.5), согласованным с любым состоянием,
оператор плотности которого принадлежит 51. Алгебру St можно
73
описать также соотношением %={Еп; п= 1,2,...}', где Ш'
обозначает коммутант подмножества ШаЪ(Ж), т. е. сово-
совокупность всех ограниченных операторов, коммутирующих с опе-
операторами из WI.
Обзор результатов об условных ожиданиях в алгебрах фон
Неймана имеется в статьях Чеккини в сб. [141] и Петца в сб.
[143]. В них же излагается некоторое обобщение понятия ус-
условного ожидания, принадлежащее Аккарди и Чеккини.
§ 2. Квантовые динамические полугруппы
2.1. Определение и примеры. Динамическая полугруппа яв-
является некоммутативным обобщением полугруппы переходных
операторов в теории марковских случайных процессов. Возмож-
Возможны два эквивалентных способа задания динамической полу-
полугруппы— в пространстве состояний и в алгебре наблюдаемых
системы. Квантовой динамической полугруппой в пространстве
состояний называется семейство динамических отображений
{Wt; /6R,+} банахова пространства ядерных операторов {Ж)
такое что
2) 4fo==ld (тождественное отображение);
3) {?,} сильно непрерывна, т. е. lim ||^<[Г] — Т ||i = 0 для
любого Т&Bё). '-*0
Из общей теории полугрупп в банаховом пространстве (см.,
например, [9, гл. 3]) вытекает, что существует плотно опреде-
определенный инфинитезимальныи оператор
Если Ч^ непрерывна по норме, т. е. lim ЦЧ^—Id||=0, то Ж —
t-*o
всюду определенное, ограниченное отображение %{Ж). Если So
начальное состояние, то функция 5i=4fi[50] удовлетворяет
квантовому марковскому управляющему уравнению^
которое является некоммутативным аналогом уравнения Кол-
Колмогорова—Чепмена. В физических приложениях динамические
полугруппы и возникают как решения марковских управля-
управляющих уравнений.
Динамическая полугруппа в алгебре наблюдаемых — это полу-
полугруппа динамических отображений {Ф,; ^6R+} алгебры %@в
такая что <D0 = Id и W* — lim ФЛХ] = X для любого Х
') Английский термин — master equation.
74
Мы будем в основном рассматривать полугруппы, непрерывные
по норме, т. е. такие, что lim ||Ф, — Id 11 = 0.
Пример ([116]). Пусть G — сепарабельная локально ком-
компактная группа, g-+Vg~непрерывное унитарное представление
О в 36 и {у,,; ^6R+}—непрерывная сверточная полугруппа веро-
вероятностных мер на Q (см., например, [13]). Соотношения
'8XV *t (dg)
задают квантовые динамические полугруппы, соответственно,
в JW и в ®EК).
В частности, пусть А —эрмитов оператор в Ж, тогда выра-
выражение
соответствующее гауссовской сверточной полугруппе на R, оп-
определяет динамическую полугруппу с инфинитезимальным опе-
оператором
X[S]=ASA— Л2=5. B.2)
Если U — унитарный оператор, Х>0, то
является динамической полугруппой, отвечающей пуассоновской
сверточной полугруппе на Z, с инфинитезимальным операто-
оператором
X[S]=X[USU*—S]. B.3)
Понятие динамической полугруппы было предложено Косса-
ковским [116] (см. также Дэвис [78]), однако без условия пол-
полной положительности, которое позднее было введено Линдбла-
Линдбладом [123]. Многие физические примеры укладываются в общую
схему квазисвободных динамических полугрупп, которые явля-
являются квантовым аналогом гауссовских марковских полугрупп.
В случае ККС такие полугруппы характеризуются условием,
что они переводят гауссовские состояния в гауссовские (см.
п. 1.2.4). В статистической механике они описывают необрати-
необратимую динамику открытых Бозе- или Ферми-систем с квадратич-
квадратичным взаимодействием (см. обзоры [27], [56]).
2.2. Инфинитезимальный оператор. Требование полной поло-
положительности налагает нетривиальные ограничения на инфини-
инфинитезимальный оператор полугруппы. Описание инфинитезималь-
ного оператора непрерывной по норме квантовой динамической
полугруппы было получено Линдбладом и, независимо в случае
«dim<5^<oo, Горини, Коссаковским и Сударшаном.
75
Теорема ([123]). Для того чтобы ограниченное отображе-
отображение Ж пространства %{Ж) было инфинитезимальным операто-
оператором непрерывной по норме квантовой динамической полугруп-
полугруппы, необходимо и достаточно, чтобы
(LjSL*j-L)LfS), B.4)
где H, L0&{3€), H=H* и ряд 2 L*jL] сходится сильно.
Первое слагаемое в B.4) отвечает обратимой эволюции
с гамильтонианом Н, а второе задает диссипативные члены.
Оператор ^ LjLj связан со скоростью диссипации. Переходя
к формулировке в алгебре наблюдаемых, имеем для инфшште-
зимального оператора 2f = X* полугруппы <D, = TV*
L)XLj-L)LfX). B.5)
В основе доказательства теоремы лежат следующие два
факта [123], [84].
Предложение. Пусть 3? — ограниченное отображение
Ъ{Ж) в себя, такое что 2р[1]=0. Следующие утверждения эк-
эквивалентны:
1) exp tg вполне положительно для всех t?R+;
2) 3? вполне диссипативно, т. е. i?[X*]=i?[X]* и
Xk\-X)S \Xk\-g\XtfXk) ^ ) > О
для любых конечных наборов {ф,}(=Ж, {Х})а$5(Ж);
3) 3'[Х*] = 3'[Х\* и S условно вполне положительно
т. е. из 2Л"Л = 0 слеДУет
J
/>*
Это утверждение родственно теореме Шенберга в теории ус-
условно положительно определенных функций (см., например,
[138], а также п. 4.2.4).
Теорема. Пусть S7 —ограниченное отображение Ъ(Ж) в
себя, такое что 27[Ii]==0. Для того чтобы 3? было вполне дисси-
пативным, необходимо и достаточно, чтобы
&[Х]=Ф[Х]+К*Х+ХК, B.6>
где Ф — вполне положительное отображение,
76
Соотношение B.5) получается тогда из формулы A.3) для
нормального вполне положительного отображения.
Доказательство формулы B.6) может быть связано с кого-
мологиями алгебры Ъ(Ж). Конструкция типа ГНС сопоставляет
вполне диссипативному отображению 2 линейное отображе-
отображение В алгебры Ъ{Ж) в пространство ограниченных операторов
из Ж в Ж (другое гильбертово пространство), так что
Более того, отображение В оказывается коциклом некоторо-
некоторого представления («-гомоморфизма) я алгебры Ъ{Ж) в Ъ{Ж),
т. е. удовлетворяет уравнению
B[XY]=n[X]B[Y]+B[X]Y; X,Y&b(aft).
Основную трудность представляет доказательство того, что вся-
всякий коцикл тривиален, т. е. имеет вид В[Х] = njXJi?—RX, где
R — ограниченный оператор из Ж в Ж. Кристенсен и Эванс [76]
обобщили этот подход и получили аналог представления B.6)
для произвольной С*-алгебры операторов.
2.3. Свойство консервативности. Проблема характеризации
инфинитезимального оператора динамической полугруппы без
требования непрерывности по норме трудна и остается откры-
открытой. Нетривиальной является и задача построения динамической
полугруппы по формальному выражению типа B.5), где H,Lj—
неограниченные операторы. Дэвис [79] указал довольно общие
условия, при которых с формальным выражением B.4) ассо-
ассоциируется сильно непрерывная полугруппа вполне положитель-
положительных отображений {Ф(; ^6R+}, такая что
и являющаяся аналогом феллеровского минимального решения
в классической теории марковских процессов. Если минималь-
минимальная полугруппа консервативна в том смысле, что Ф,[1] = 1, то
она является единственной динамической полугруппой, ннфини-
тезимальный оператор которой является замыканием оператора
B.5), Неконсервативность, как и в классической теории, связа-
связана с возможностью «ухода на бесконечность» за конечное время.
Пример 1 ([79]). Пусть Ж=12 — гильбертово простран-
пространство последовательностей {ijv, n^O} и «операторы рождения-
уничтожения» а*, а определены соотношениями (а*г|))„ =
=]/m|)n-i, (aij))n=yn+l i|Wi- Рассмотрим управляющее уравне-
уравнение
—LOtL —L L°Ot,
где L=a*2, L*=a2, a St — диагональный оператор плотности
в I2. Диагональные элементы pn(t); n=0, 1,..., оператора St
77
удовлетворяют уравнению чистого рождения
минимальное решение которого неконсервативно, 2^ РпУХ^
при />0.
Дэвис дал достаточные условия консервативности, пригод-
пригодные для класса моделей квантовой диффузии. Оригинальные
общие условия консервативности, основанные на аналогиях с
классической теорией марковских процессов, предложил
А. М. Чеботарев в [49], [35]. Рассмотрим для простоты случай
формального инфинитезимального оператора
3?[Х] ==L*XL+K*X+XK,
где L, L*, К, К* — операторы, имеющие плотную общую инва-
инвариантную область определения 2D. Предполагается, что 3)—¦
существенная область определения для операторов К, К*, ко-
которые являются инфинитезимальными операторами сильно
непрерывных сжимающих полугрупп в Ж, и что К=—-к L*L-\-
-\-Ш, где Я — самосопряженный оператор. Условия консерва-
консервативности имеют вид
[L, L*]>—cl, i[L*L,H]^—cL*L,
где с>0 и неравенства понимаются как неравенства для соот-
соответствующих форм, определенных на SD. Представление о
диапазоне применимости этих условий дают два примера.
Пример 2. Пусть ^ = L2(R), Q —оператор умножения
на х, ^> = ^~1'57"' а(х) — д,важд,ы непрерывно дифференцируе-
дифференцируемая функция. Рассмотрим формальное выражение
°X. B.7)
Если А"—оператор умножения на дважды непрерывно диффе-
дифференцируемую функцию /(х), то ¦S'fA"] есть оператор умноже-
умножения на YTx (a(A"J~rfx )' т" е" совпаДает с инфинитезимальным
оператором симметричной диффузии на коммутативной подал-
подалгебре r°(R)c®(Z2(R)).
Условия А. М. Чеботарева выполняются, если
sup a (x) a" (x)< oo .
X
78
Пример 3. В обозначениях предыдущего примера рас
смотрим выражение
- J m№)\c(Q,l)\2°X, B.8)
—со
где Vx = exp(—ixP), m — вероятностная мера на R, с — ком-
комплексная измеримая функция, такая что %(х) = J"m(d|) \c(x,
%) |2<оо для всех х. На коммутативной подалгебре Z.°°(R) B.8)
совпадает с инфинитезимальным оператором скачкообразного
марковского процесса в R с интенсивностью скачков к(х). До-
Достаточные условия консервативности выполняются, если
sup
X
где m(x\d%) =m(d'g) \с(х, ?)|2/х(х)—условные вероятности
скачков.
Полученные в [49] условия консервативности позволяют рас-
рассмотреть также суммы выражении типа B.7), B.8) и гамиль-
тоновых членов вида i[H, X] с неограниченным Н.
2.4. Ковариантные эволюции. Пусть g-+Vg — представление
в Ж группы G, описывающей симметрии окружения открытой
квантовой системы. Динамическая полугруппа {Ч^; ^6R+} назы-
называется ковариантной, если
Для всех S6®(Ж), g(±G, tdR+. Структура ковариантных вполне
положительных отображений рассмотрена в [149]. В конечно-
конечномерном случае получена достаточно полная классификация ин-
финитезимальных операторов динамических полугрупп, ковари-
ковариантных относительно групп пространственных симметрии [93], [1].
Пример. Рассмотрим эволюцию B.1) открытой системы со
спином 1/2 (dim<3^ = 2; см. п. 1.1.6), ковариантную относитель-
относительно действия группы SO B), соответствующей аксиально симмет-
симметричному окружению. Представление имеет вид cp-W^3, где
фб[О, 2я). Общий вид инфинитезимального оператора ковариант-
ковариантной динамической полугруппы
CjUjSL'j-L'jLfS), B.9)
где Cj>0, # = ycuoa3, L_X =y=-(a, —ia2), L0 = a3, ?,=
= —— (ax -J-ia2). Полагая St = S(a.t), для вектора &t имеем
79'
уравнение Блоха
-T?
-coo
0
0
0
0
7T1
a/ +
0
0
Coo/
B.10)
где 7Т = 2с0 + (с, + с_,), Г,[ = 2 (d + с_,), стс = 2Г „ (с, - с_,).
Уравнение B.10) описывает релаксацию спина в аксиально-
симметричном магнитном поле. Параметр Гц (Т±) имеет смысл
времени продольной (поперечной) релаксации. При t-^-\-oo
LccoJ
так что St стремится к предельному состоянию
Инфинитезимальный оператор B.9) вполне диссипативен,
что налагает нетривиальные ограничения на физические пара-
параметры эволюции. Именно, 2Т±~1—Тп~1 — 2с0^0, откуда 2Т,,^
>Т± [93].
В серии работ, обзор которых имеется в [83], описаны инфи-
нитезимальные операторы инвариантных динамических полу-
полугрупп (не обязательно непрерывных по норме), действующих
тождественно на алгебре инвариантных элементов.
2.5. Эргодические свойства. Если Ф — динамическое отобра-
отображение, то семейство {Ф"; k = 0, 1, . .. } можно рассматривать как
динамическую полугруппу с дискретным временем. Асимптоти-
Асимптотические свойства таких полугрупп при ?->-оо являются нетриви-
нетривиальным обобщением эргодической теории для классических це-
цепей Маркова. Свойство полной положительности используется
при этом лишь постольку, поскольку оно влечет неравенство
Кэдисона—Шварца A.2), а эргодические теоремы для средних
верны для положительных отображений.
В большинстве работ в той или иной форме присутствует
предположение, что Ф имеет точное нормальное инвариантное
состояние, т. е. состояние с невырожденным оператором плотно-
плотности Sx, такое, что Тг 5„Ф[Х] =Tr S^X для всех Х&д{Ж). Имеет
место эргодическая теорема для средних
B.11)
/=о
где с?о, — условное ожидание на подалгебру 91„ инвариантных
элементов Ф. В разной степени общности этот результат был
получен Я. Г. Синаем, Е. А. Морозовой и Н. Н. Ченцовым, Кюм-
мерером и другими авторами (см. обзор [27]). Соотношение
B.11) можно рассматривать как обобщение закона больших
чисел. Много внимания было уделено распространению теорем
типа B.11) на неограниченные операторы и изучению некомму-
80
тативного аналога сходимости почти наверное в алгебрах фон
Неймана. Подробный обзор этих результатов дан В. В. Аншеле-
вичем и М. Ш. Гольдштейном в [34], Петцем в [141], Яйте [111].
Отображение Ф неприводимо (Дэвис, Эванс), если не су-
существует проектора РФО, I, такого что Ф[Р] = Р. Последнее ра-
равенство равносильно тому, что подалгебра операторов вида
РХР; Р^(Ж) инвариантна относительно Ф. Неприводимость
эквивалентна единственности инвариантного состояния Sm и од-
одномерности подалгебры $«,. При этом в формуле B.11) ё?„[Х}=
= (Тг5„Х)-1. Для неприводимости отображения Ф, записанно-
записанного в виде A.4), необходимо и достаточно, чтобы {Vn; n=l, 2, ...
... }"=Ъ(Ж), где %,"—(%,')'. Для неприводимого отображения
имеет место аналог теоремы Перрона—Фробениуса, отвечающий
разложению замкнутого класса состояний цепи Маркова на под-
подклассы (Эванс, Хег—Крон, Альбеверио; см. обзор [27]). Случай
dim Ж<оо детально рассмотрен также в книге Т. А. Сарымса-
кова [31].
Пусть теперь {Ф,; t?R+} — квантовая динамическая полу-
полугруппа, имеющая точное нормальное инвариантное состояние
So». Для нее также имеет место эргодическая теорема для сред-
средних (см. обзоры [27], [94]). Неприводимые полугруппы изучали
Дэвис, Эванс, Шпон, Фриджерио (см. [78], [152]). Необходимое
и достаточное условие неприводимости динамической полугруп-
полугруппы с инфинитезимальным оператором B.5) состоит в том, что
{H,LU 1Д/=1, 2, ...}'=»C0).
Для неприводимых квантовых динамических полугрупп с не-
непрерывным временем имеет место существенное усиление эрго-
дической теоремы (см. [94])
ю' — lim
Этот факт не переносится на динамические полугруппы в произ-
произвольных алгебрах фон Неймана. Обобщения на этот случай дру-
других асимптотических свойств, спектральной теории и теоремы
Перрона—Фробениуса подробно рассмотрены в обзоре Гроха
[94].
Основные физические примеры эргодических динамических
полугрупп относятся к классу квазисвободных полугрупп, для
которых эргодичность устанавливается непосредственно (см. об-
обзор [27]).
2.6. Расширения динамических полугрупп. С точки зрения
статистической механики закономерен вопрос — насколько по-
понятие динамической полугруппы согласуется с более фундамен-
фундаментальным законом обратимой эволюции для изолированной си-
системы. В физических приложениях управляющее уравнение
B.1) получается при рассмотрении взаимодействия квантовой
системы с окружением в марковском приближении (пределы
слабого или сингулярного взаимодействия). Строгое обоснова-
6—9280 81
ние такого приближения требует достаточно громоздких оценок
даже для простых моделей. Имеется ряд обзоров [152], [56], [93]г
[27], [52], в которых эта проблема квантовой статистической ме-
механики получила всестороннее освещение, и лучшее, что здесь
можно предложить — это обратиться к одному из этих обзоров.
В принципиальном плане представляет интерес также по-
постановка обратной задачи о расширении динамической полу-
полугруппы до группы автоморфизмов, т. е. представление марков-
марковской динамики через обратимую динамику открытой системы,
взаимодействующей с окружением. Возможность такого расши-
расширения обусловлена, главным образом, свойством полной поло-
положительности (Дэвис; Эванс, Льюис; см. [84]).
Теорема. Пусть {Ч*,; ^PR+} — непрерывная по норме дина-
динамическая полугруппа в пространстве состояний 2>{Ж). Найдутся
гильбертово пространство Жо, состояние So в Зёо и сильно не-
непрерывная группа унитарных операторов {?/,; t&R} в ЖЖ
такие что
для всех +
В п. 5.2.2 будет приведена явная конструкция расширения,
допускающая прозрачное динамико-статистическое истолкова-
истолкование. Следует отметить, что одна и та же динамическая полу-
полугруппа может иметь много неэквивалентных расширений (даже
если требовать минимальность расширения). Дополнительный
свет на структуру возможных расширений проливает понятие
квантового случайного процесса. Согласно определению Аккар-
ди, Фриджерио и Льюиса A980), квантовый случайный процесс
задается тройкой (91, (/,), ср), где 91 — С*-алгебра, (/«h6R —се-
—семейство «-гомоморфизмов некоторой фиксированной С*-алгебры
S3 в 91, ф — состояние на SI. При определенных условиях регуляр-
регулярности квантовый случайный процесс однозначно с точностью до
эквивалентности восстанавливается по корреляционным ядрам
о", tn(Xv ..., Хп;Ги ...,Г„) =
(X,)* ... j,n 1Хп)* jtn (Yn) ... Jtl (Г,))
(некоммутативный аналог теоремы А. Н. Колмогорова о про-
продолжении системы конечномерных распределений) (см. сбор-
сборник [20]). В классическом случае 31 и 53 коммутативные алгебры
измеримых ограниченных функций, соответственно, на простран-
пространстве элементарных исходов й и на фазовом пространстве систе-
системы Е, (/,) определяется семейством случайных величин на Q
со значениями в Е, а ф — функционал математического ожида-
ожидания, соответствующий вероятностной мере на Q.
С квантовым случайным процессом связываются семейства
подалгебр «прошлого», «настоящего» и «будущего»
82
Процесс называется марковским, если существует согласо-
согласованное с ф семейство условных ожиданий {<ot\)icn из 91 на 91,]г
такое что
ковариантным марковским, если дополнительно существует
группа «-автоморфизмов (oc^tpR алгебры 91, такая что at(^ls]) =
= %i+s\; t, 56R, и arffS]-a_t~S't+s], и стационарным мар-
марковским, если ф инвариантно относительно (<zt). Для кова-
риантного марковского процесса соотношение
<bt\X\ = j?&njt[X] B-12)
при выполнении некоторых условий непрерывности определяет
динамическую полугруппу в Э. Обратно, всякая непрерывная по
норме квантовая динамическая полугруппа {Ф,} расширяется до
ковариантного марковского процесса, удовлетворяющего соот-
соотношению B.12). Если же динамическая полугруппа удовлетво-
удовлетворяет условию детального равновесия, то она расширяется до
стационарного марковского квантового случайного процесса
(Горини, Фриджерио). Условие детального равновесия относи-
относительно состояния S для полугруппы {Ф(} в Ъ(Ж) означает, что
существует другая динамическая полугруппа {Ф(+} в Ъ{Ж), та-
такая что
Tr SQ>t+[X]Y=7rSXq>t[Y}; X,
с инфинитезимальным оператором &+, удовлетворяющим соот-
соотношению
g[X]—g+[X} = 2i[H, X],
где #6§9лE#) (состояние S с необходимостью оказывается ста-
стационарным для Ф, и Ф(+). До сих пор отсутствует полное опи-
описание динамических полугрупп, допускающих стационарные
марковские расширения.
Фриджерио и Маассен [87] указали широкий класс полу-
полугрупп, не удовлетворяющих условию детального равновесия, но
допускающих расширение с помощью «квантового пуассоновско-
го процесса». Систематическое исследование стационарных мар-
марковских расширений предпринял Кюммерер [119]. Он установил
прямую связь между эргодическими свойствами динамического-
отображения (неприводимость, слабое, сильное перемешивание)
и его минимального стационарного марковского расширения.
Кюммерер и Маассен [120] показали, что квантовая динамичес-
динамическая полугруппа в конечномерном гильбертовом пространстве до-
допускает стационарное марковское расширение с помощью клас-
классического случайного процесса тогда и только тогда, когда ее
6* 85
инфинитезимальный оператор имеет вид
B.13)
r=\
где А, — эрмитовы, Ur — унитарные операторы, А,г>0. Оператор
B.13) является суммой выражений B.2), B.3), соответствую-
соответствующих гауссовским и пуассоновским полугруппам, а расширение
получается с помощью случайного блуждания на группе авто-
автоморфизмов алгебры Шп.
Неоднозначность расширения динамической полугруппы до
случайного процесса связана с тем, что знание полугруппы {Ф(}
позволяет восстановить лишь хронологически-упорядоченные
корреляционные ядра
wtl tn(Xv ..., Хп; Yv ...,Г„) =
=фо(ф,, [x\<utt-.u[--'*>tn-ta^ \KYn\- ¦ -та,
для которых 0<^< ... <tn (здесь <po = <p|2to— начальное со-
состояние). В классической теории вероятностей корреляционные
ядра зависят от времен tu . . ., tn симметричным образом; из-
известная конструкция Колмогорова—Даниэля однозначно сопо-
сопоставляет полугруппе переходных вероятностей марковский про-
процесс, являющийся ее минимальным расширением до группы вре-
временных сдвигов в пространстве траекторий. Определение
квантового случайного процесса, основанное только на хроноло-
хронологически-упорядоченных ядрах, было предложено Линдбладом
[124], некоммутативные обобщения конструкции Колмогорова—
Даниэля рассматривались Винсент—Смитом [161], В. П. Белав-
киным [3], Соважо [146].
Алицки и Мессер установили существование и единствен-
единственность решения класса нелинейных кинетических уравнений,
в частности, квантового уравнения Больцмана:
5<, B.14)
где W — унитарный «оператор парных столкновений» в
ТгB, —частичный след по второму множителю в Ж®!№. Отве-
Отвечая на вопрос, поставленный Стритером в [143], Фриджерио и
Аратари построили расширение «нелинейной квантовой динами-
динамической полугруппы», определенной уравнением B.14) по уни-
унитарной эволюции в квантовой системе, состоящей из бесконечно-
бесконечного числа частиц с парными взаимодействиями (квантовое обоб-
обобщение «карикатуры Мак—Кина» классического уравнения Боль-
84
цмана). В. П. Белавкин [4] дал конструкцию квантового ветвя-
ветвящегося процесса, в котором одночастичная динамика описывает-
описывается полугруппой нелинейных вполне положительных отображе-
отображений общего вида.
Глава 4
ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНЫЕ И НЕПРЕРЫВНЫЕ ПРОЦЕССЫ ИЗМЕРЕНИЯ
§ 1. Статистика последовательных измерений
1.1. Понятие инструмента. Рассмотрим последовательное из-
измерение двух величин X, Y, принимающих значения, соответ-
соответственно, в множествах 36 и °tf, которое осуществляется над си-
системой в состоянии 5. Совместная вероятность того, что исход
первого измерения х попадает в множество А, а исход второго
у попадает в В (где АаЗб, Ва'У) есть
ц8(А; В)=цв(А)ца(В\А), A.1)
где pis(Л) = pis(Л; °У) —вероятность того, что х$А, а цв(В\А) —
соответствующая условная вероятность. Обозначим SA состоя-
состояние системы после первого измерения (оно зависит также от
5, но не зависит от В). Тогда, согласно B.1.4),
liB(B\A)=7rSAM(B), A.2)
где М — разложение единицы, отвечающее величине Y. Из A.1),
A.2) видно, что функция множеств
должна быть о-аддитивна по А. Это мотивирует следующее оп-
определение (Дэвис и Льюис, 1970).
Пусть 36 — множество с а-алгеброй измеримых подмножеств
9И(8в). Инструментом (в пространстве состояний) со значениями
в 36 называется функция множеств Л, заданная на 31C6) и удо-
удовлетворяющая условиям:
1) Ж [В) —операция для любого Ве$1C6);
2) МC6)—динамическое отображение, т. е. ТтЖC6)[Т~[ =
= 1хТ для всех Т?<?{Ж);
3) если {B3}cz$lC6) —конечное или счетное разбиение мно-
множества В&38C6) на попарно непересекающиеся подмножест-
подмножества, то
где ряд сходится по норме %()
Постулируется, что если 5 — оператор плотности, описываю-
описывающий состояние системы перед измерением, то вероятность собы-
85
тия, что исход измерения попадает в множество BQ$I(S&), равна
HeE)=TrjrE)[S], A.3)
а состояние доли статистического ансамбля, в которой зареги-
зарегистрировано это событие, дается оператором плотности
SB=Jt(B)[S)/TTJC(B)[S] A.4)
(при условии, что ца(В)Х)). В частности, изменение состояния
всего статистического ансамбля задается динамическим отобра-
отображением S^>*J((gg)[S].
Переходя к сопряженным отображениям Л'(В) =Ж(В)*, по-
получаем формулировку в алгебре наблюдаемых: инструмент —
это функция множеств JC на <ЙC15), такая что
1) Jf(B)—положительное нормальное отображение
в себя для любого ВШ{95)\
2) Л"(Я?)[1] = 1;
3) если {В}}а33($1?) —разбиение множества В, то
j
где ряд сходится да*-слабо.
Каждому инструменту отвечает обобщенная наблюдаемая
М(В)=/Г(В)[1]; В*Я(&), A.5)
такая, что
Hs(B)=JtSM(B).
Озава [135] показал, что для любого инструмента Ж и любо-
любого состояния S существует семейство апостериорных состояний
{Sx\ х?35), т. е. операторов плотности Sx, таких что:
1) функция х->Тг SXY (хв-измерима для любого Уб59(<Ж);
2) Tr Jl(B)[S]Y=S(TvSxY)n8(dx).
В
Оператор плотности Sx описывает состояние доли статистическо-
статистического ансамбля, в которой исход измерения равен х, а величина
Tr SxY=Ea(Y\x) есть апостериорное среднее наблюдаемой У
при условии, что исход предыдущего измерения равен х.
Инструмент Ж (или Jf) называется вполне положительным,
если отображения Jf (В); В?&{315), вполне положительны.
Пример 1. Пусть A = lxiEi — вещественная наблюдаемая с
чисто точечным спектром. Соотношение
J[(B)[S]=
определяет вполне положительный инструмент со значениями в
R, соответствующий проекционному постулату фон Неймайв,
который описывает предельно точное измерение наблюдаемой Л.
Распределение вероятностей в состоянии S есть
*s(B)= 2 TrSEt,
а апостериорные состояния даются формулой
S^EtSEJTr SE,. A.7)
Пример 2. Пусть А— вещественная наблюдаемая и
р(х) —плотность распределения вероятностей на R, такая что
оо оо
)x = o2< oo. A.8)
Вполне положительный инструмент
Ж (В) [S] = С у р(xl-A)SVp(-«I — A)dx A.9)
в
описывает неточное измерение наблюдаемой А со случайной
ошибкой, распределенной с плотностью р(х). В самом деле
р3 (В) = jj TtSp (xl — A)dx =
в
(dy)dx,
где ц8л — распределение вероятностей наблюдаемой А в состоя-
состоянии S. Апостериорные состояния суть
<-, Vp(x\-A)S Vp(xl-A)
х TrSp(xl-A)
Чем меньше а2, т. е. чем ближе р(х) к б-функции, тем точнее
измерение наблюдаемой А. Для наблюдаемой А с чисто точеч-
точечным спектром случай о2=0 соответствует примеру 1; для наблю-
наблюдаемой с непрерывным спектром возникают принципиальные
трудности, не позволяющие непосредственно обобщить проек-
проекционный постулат на этот случай (см. далее п. 1.3).
1.2. Представление вполне положительного инструмента.
Многие реальные процессы укладываются в следующую схему
косвенного измерения: рассматриваемая система взаимодейству-
взаимодействует с «пробной» системой, после чего над пробной системой про-
производится прямое измерение некоторой квантовой наблюдаемой.
Пусть Жо — гильбертово пространство пробной системы, So —
оператор плотности, описывающий ее исходное состояние, U —
унитарный оператор в Ж®Жо, задающий взаимодействие и
?о — ортогональное разложение единицы в Жо, соответствующее
измеряемой величине. Распределение вероятностей такого изме-
измерения дается формулой
<Us(B)=Tr U{S®S0)U*{\®E0{B)); Bb?{SB),
87
где S — оператор плотности системы перед измерением. Оно
может быть записано в виде A.3), где
J?(B)[S] = Tt%,0U (S®So)U* A<г>Е0(В)) A.10)
— вполне положительный инструмент в пространстве состояний
системы Ж (здесь Тг^ — частичный след по Ж о) . Верно и об-
обратное.
Теорема (Озава, [134]). Пусть М — вполне положительный
инструмент со значениями в 86. Найдется гильбертово про-
пространство Жо, оператор плотности So в Ж о, унитарный оператор
U в Ж®Жо и ортогональное разложение единицы Ео в Жо, та-
такие что для любого оператора плотности S в Ж имеет место
формула A.10).
В основе этой теоремы лежит следующая комбинация теоре-
теоремы Наймарка и теоремы Стайнспринга: если Jf — вполне поло-
положительный инструмент (в алгебре наблюдаемых), то существу-
существует гильбертово пространство Ж, изометрический оператор V из
Ж в Ж, ортогональное разложение единицы Е в Ж и нормаль-
нормальный «-гомоморфизм я из 83(Ж) в Э(Х), такие что [Е(В), л[Х]] =
= 0 для всех ВШ(86), Х&8(Ж) и
Jf{B)[X\=V*E(B)n[X\V. A.11)
Пространство Ж превращается в Ж®Жо с помощью рассужде-
рассуждений, которые были использованы при доказательстве формулы
C.1.4).
Из A.11) выводится аналог представления C.1.4) для
вполне положительного инструмента
где ц—а-конечная мера на 8В, a Vn(x) — ji-измеримые функции
на 86 со значениями в Ъ{Ж), такие что
Соответствующий инструмент в пространстве состояний имеет
вид
Ж (В) [S] = ^ ^ Vn (х) SVn (х)* [х (dx). A.12)
В п=\
При этом распределение вероятностей в состоянии 5 дается
формулой
с °°
y2iTTSVn(x)*Vn(x)v,(dx), AЯЗ)
88
а апостериорные состояния
п=1
1.3. Три уровня описания квантовых измерений. Теорема
Озава имеет принципиальное значение, поскольку демонстриру-
демонстрирует согласованность понятия (вполне положительного) инстру-
инструмента со стандартным формализмом квантовой механики. Опи-
Описание измерения в обобщенной статистической модели кванто-
квантовой механики может быть осуществлено с различной степенью
подробности. Имеется три основных уровня описания, каждому
из которых отвечает определенный математический объект в
гильбертовом пространстве системы:
1) Задана только статистика исходов измерения. Как пока-
показано в п. 2.1.2, это эквивалентно заданию обобщенной наблю-
наблюдаемой, т. е. некоторого разложения единицы в Ж.
2) Кроме статистики, задан закон преобразования состояний
в зависимости от исхода измерения. На этом уровне адекватное
описание измерения дается понятием инструмента. Каждому ин-
инструменту по формуле A.5) отвечает обобщенная наблюдаемая,
однако это соответствие не взаимно однозначно, поскольку ин-
инструмент дает более подробное описание измерения, нежели на-
наблюдаемая.
3) Задано динамическое описание взаимодействия системы с
пробной системой. Этот уровень является еще более подробным:
каждому инструменту по формуле A.10) может соответствовать
множество различных процедур косвенного измерения. Деталь-
Детальность схемы косвенного измерения зависит от того, где в изме-
измерительном приборе проводится черта между «пробной системой»
и «детектором», осуществляющим прямое измерение.
С точки зрения физических приложений представляет боль-
большой интерес вопрос о реализуемости той или иной теорети-
теоретической схемы квантового измерения. Высказывалась мысль (см.,
например, статью «Проблема измерения» в сборнике [11]), что
хотя квантовая механика правильно отражает некоторые черты
микромира, далеко не все, что содержится в ее математической
модели, может иметь свой прототип в реальности. Известны об-
общие ограничения типа правил суперотбора (см., например, [23]),
которые постулируют измеримость только наблюдаемых, сов-
совместимых с некоторой выделенной величиной типа заряда.
В связи со схемой косвенного измерения возникают следующие
вопросы:
1) Соответствует ли данному унитарному оператору U реаль-
реальное квантовомеханическое взаимодействие?
2) Соответствует ли данной наблюдаемой А реально изме-
измеримая физическая величина?
Подробное обсуждение таких вопросов выходит за рамки
89-
настоящего обзора, но некоторые комментарии здесь все же не-
необходимы. В работах Ваневского [165] и Мельника [129] пока-
показано, что всякий унитарный оператор может быть получен из
шрёдингеровской эволюции с некоторым потенциалом, завися-
зависящим от времени. Таким образом, первый вопрос сводится к ре-
реализуемости потенциалов в квантовой механике. С другой сто-
стороны, в п. 1.5 будет показано, что второй вопрос сводится к пер-
первому для взаимодействий специального вида. Практически,
конечно, эти вопросы могут быть совсем не просты и требуют
отдельного рассмотрения в каждой конкретной задаче измере-
измерения (см. в этой связи поучительное обсуждение «приемника
Долинара» в [37, гл. VI] и в [18]).
1.4. Воспроизводимость. Пусть S — оператор плотности,
Ж\, . . ., Жп — последовательность инструментов со значениями
в измеримых пространствах 86 и ..., 85п. Из постулатов A.3),
A.4) следует, что величина
Вп)[...Ж, (BX)\S\...], A.15)
где Bfi&ffij) есть вероятность того, что в последовательности
измерений, задаваемых инструментами Ж\, ..., Жп, над систе-
системой, первоначально находившейся в состоянии S, будут получе-
получены исходы xfiBj-, / = 1, ..., п. Если 86 и • • •> 85п — стандартные
измеримые пространства, то функция множеств A.12), задан-
заданная на параллелепипедах В{Х • • -ХВп, однозначно продол-
продолжается до вероятностной меры на а-алгебре SS(S?i)X ¦•¦
...Х@(%п) (см. [78, § 4.2]). Соотношение A.15) можно запи-
записать также в виде
ф •*»(?, Х...ХЯЯ) =
В случае инструментов, сооответствующих проекционному по-
постулату A.6), соотношение A.15) переходит в формулу Вигне-
ра (см. статью «Проблема измерения» в сборнике [11]).
Рассмотрим повторное измерение, описываемое инструмен-
инструментом Ж. Инструмент Ж называется воспроизводимым., если
, Ви В2?%{85) A.17)
для любого оператора плотности 5. Это свойство является ма-
математическим выражением гипотезы воспроизводи-
воспроизводимости, гласящей, что «если физическая величина дважды из-
измеряется на системе 9*, причем измерения следуют непосредст-
непосредственно одно за другим, то в обоих случаях получается одно и
то же значение» (см. [26, гл. IV, п. 3]).
Рассмотрим инструмент со счетным множеством исходов #? —
={*ь х2, ...} и положим Ж(=Ж({х{}).
¦90
Предложение ([134], [78]). Всякий инструмент вида A.6)
•обладает свойствами:
1) MilJClS^ — bijMlS] (воспроизводимость);
2) если TrJd[S]=\, то J(IS\=S (минимальность возмуще-
возмущения) ;
3) если Х^О и Жг*[Х]=0 для /=1, 2, ..., то Х = 0 (невы-
(невырожденность).
Обратно, всякий инструмент с этими свойствами имеет вид
A.6).
Таким образом, проекционный постулат A.6) можно рас-
рассматривать как следствие ряда физически содержательных
свойств соответствующего инструмента, включающих воспроиз-
воспроизводимость. Как уже отмечалось, в случае непрерывного спектра
возникают принципиальные трудности, которые в наиболее яс-
ясной форме выражаются следующей теоремой
Теорема (Озава [134]). Пусть 35 — стандартное измеримое
пространство. Всякий инструмент со значениями в 35', облада-
обладающий свойством воспроизводимости A.17), с необходимостью
является дискретным, т. е. существует счетное подмножество
350cz35, такое что ЖC5\350) [5]=0 для всех 5.
Доказательство. Рассмотрим точное состояние, задава-
задаваемое невырожденным оператором плотности 5. Согласно п. 1.1,
существует семейство апостериорных состояний {Sx}. Пусть
{Вп} — счетная подалгебра, порождающая 31C5). Обозначая
М(В) = Ж(В)*\\\ и используя воспроизводимость, имеем
|j Tr SXM (Вп) [xs (dx) = ТтЖ (В) [S] М (Вп) =
= Тг Ж (В П Вп) [S] = J 1 Вп (х) ^s (dx),
в
откуда Tr SxM(Bn) = 1в„ (х) для jxs-почти всех х&35. Поэтому
найдется подмножество 350с35, такое что J? C5\350) [S]=0 и
TvSxM(B) = lB(x); x?S50, ВЧ@C5).
Но тогда TrSxM({x}) = l, хе350, т. е. М({х})Ф0 и \is({x})^0, от-
откуда следует, что 350 счетно.
В примере 1 апостериорные состояния A.7) таковы, что в
этих состояниях (дискретная) наблюдаемая А с вероят-
вероятностью 1 имеет определенное значение xs. Причина трудностей
с непрерывным спектром связана с тем, что (алгебраическое)
состояние, в котором непрерывная наблюдаемая А имеет опре-
определенное значение, не может быть нормальным (т. е. задавать-
задаваться каким-либо оператором плотности).
1.5. Измерения непрерывных наблюдаемых. В работах
Шриниваза [153] и Озавы [136] указана возможность описания
воспроизводимых измерений непрерывных наблюдаемых, ис-
использующая состояния и инструменты, не удовлетворяющие ус-
91
ловию нормальности. Пусть А — / xEA(dx) —вещественная наб-
— со
людаемая и пусть г\ — какое-либо инвариантное среднее1' на
пространстве C(R) ограниченных непрерывных функций на R.
Следуя [153], рассмотрим отображение (У„А алгебры 33 (<Ж) в
себя, определяемое формулой
где индекс у означает, что усреднение происходит по перемен-
переменной у, и функцию множеств
A.18)
Отображение &^А является условным ожиданием на комму-
коммутативную подалгебру {ЕА(В)\ ?GJ?(R)}'=S3a, порожденную
наблюдаемой А. Если А имеет чисто точечный спектр, то ё?цА
есть нормальное условное ожидание, задаваемое формулой
C.1.5), а соотношение A.18) совпадает с проекционным посту-
постулатом A.6). В общем случае отображение S^A не нормальное,
а функция множеств A.18) обладает всеми свойствами воспро-
воспроизводимого инструмента, кроме нормальности.
Вероятности последовательного измерения наблюдаемых
Аи .. ., Ап даются обобщением формулы A.16)
= TTSJfAt(B{)[...JfAn(Bn)\l]...]. A.19)
Если Д, ..., Ап совместимы, то S'ri![EAk(B)] = EAk(B), откуда
^' AnWi X ... X ?„) = Тг SEa, (В,).. .Еап (Вп), A.20)
т. е. распределение вероятностей последовательных точных из-
измерений совместимых наблюдаемых совпадает с распределе-
распределением точного совместного измерения этих наблюдаемых (см.
п. 1.1.5) —результат, который подтверждает правомерность
«обобщенного проекционного постулата» A.18).
С другой стороны, если А, несовместимы, то из-за не нор-
мальности отображений S"n ', функция множеств A.18) может
оказаться лишь конечно аддитивной на J?(R). Для того чтобы
восстановить а-аддитивность, необходимо рассматривать рас-
распределение на компактификации вещественной прямой R=
= RU{—ooJUt00}- Например, после точного измерения наблюда-
наблюдаемой координаты Q система переходит в не нормальное состо-
состояние, в котором импульс Р с положительными вероятностями
принимает значения ±се [153].
Ч См. Ф. Гринлиф. Инвариантные средние на топологических груЯЯах
и их приложения.— М.: Мир, 1973.
92
Озава [136] построил процесс косвенного измерения, отвеча-
отвечающий обобщенному проекционному постулату A.18) и разъяс-
разъяснил роль инвариантного среднего i\. Рассмотрим наблюдаемые
Q, Р во вспомогательном гильбертовом пространстве Жо =
= L2(R), которое будет описывать «пробную систему». Поль-
Пользуясь теоремой Банаха о продолжении, можно показать, что
для любого ц на алгебре Ъ(Ж0) существует (не нормальное)
состояние Ец, такое, что
для любой f?C(R). Пусть ?/(=ехр(—itHint)—унитарная эволю-
эволюция в Ж®Жо, где
A.21)
причем К может быть выбрано произвольно большим, чтобы
пренебречь свободной динамикой системы и прибора. В [136]
показано, что для любого (нормального) состояния S и любого
Х(Ж)
Tr SJCA (-5) [X] = (Es®En) (Ui,k (X®Eq (В)) UilK); B?® (R).
Таким образом, пробная система, находящаяся в состоянии ?„ с
точно определенной координатой, в течение времени 1/Л взаимо-
взаимодействует с наблюдаемой системой согласно A.21), после чего
производится точное измерение координаты пробной системы.
Такая схема является обобщением процедуры косвенного
измерения, рассмотренной фон Нейманом в случае чисто точеч-
точечного спектра ([26, гл. VI, п. 3]). В принципиальном плане она
сводит измерение произвольной квантовой наблюдаемой к из-
измерению координаты пробной системы, при условии реализу-
реализуемости гамильтониана взаимодействия A.21).
§ 2. Процессы непрерывного измерения
2.1. Неразрушающие измерения. Рассмотрим изолированную
квантовую систему, эволюция которой описывается группой уни-
унитарных операторов {Ut; t?R) в гильбертовом пространстве Ж.
Пусть {Ajt; / = l,...,m; t&T), где TczR — семейство веществен-
вещественных наблюдаемых. Обозначим
B.1)
и предположим, что для любых моментов времени tx <...</„
и любых j\,.--,jn наблюдаемые Лу-,(^), ..., Ajn(tn) совме-
совместимы. Согласно формуле A.20), последовательное точное
измерение наблюдаемых Ah (?,),..., Ajn (tn) (jk = 1,..., tn) имеет
распределение вероятностей
, X ... X 5„) = Тг SE(tl) (Я,)- • •?«„) (Вп), B.2)
93
где BkQ$(Rm) и E{tk)~совместная спектральная мера наблю-
наблюдаемых Aj (tk); j = 1, . .., т.
Семейство вероятностных мер B.2) при всевозможных п=
= 1,2,...; ti,. .. , tn является согласованным. Используя теоре-
теорему А. Н. Колмогорова о продолжении, можно доказать, что
существует единственное ортогональное разложение единицы Е
на J?(RT), где J?(RT) —о-алгебра цилиндрических множеств на
пространстве траекторий RT такое, что
n) = E(ti) E,). • .?<*„) (Вп).
Оно описывает статистику непрерывного (во времени) точного
измерения семейства совместимых наблюдаемых B.1), в том
смысле, что вероятность подмножества В в пространстве траек-
траекторий есть
В физике подобные измерения получили название неразру-
шающих и привлекли внимание, в связи с задачей обнаружения
слабой силы (гравитационной волны), действующей на пробную
систему [69], [140].
Пример. Квантовомеханический осциллятор массы тис
частотой со, возбуждаемый скалярной силой <р@> описывается
уравнениями
Q{t) = mrlP{t), P{t)=-m<o2Q{t) + q>{t)\, B.3)
где Q@) = Q, P@) = P — канонические наблюдаемые, т. е.
[Р, Q] = il. Положим AU = Q cosco^ — (P/mco) sin co^, так что
Л, (t) = Q (t) cos at — (P (t)/ma) sin co^.
Из уравнений B.3)
Al(t)=—(<p(t)/m®)sin(otl, B.4)
поэтому наблюдаемые Ах (t) совместимы при разных t и воз-
возможно непрерывное неразрушающее измерение семейства
{Ai(t)}. Сила ф(^) может быть определена по любой траектории
из соотношения B.4).
Аналогично, для A2t=P coscu^+majQ sin co^ получаем семей-
семейство совместимых наблюдаемых
Л2@ =Р(t) cos <i)t-\-ma>Q (t)sin at,
для которого A2(t) = (f(t) cos atl. Заметим, что Al(t) и A2(t)
несовместимы, поскольку [A2(t), At (t)] = il. Действуя в духе
п. 2.1.3, рассмотрим семейство совместимых наблюдаемых
B.5)
94
в пространстве Ж®Жо (см. [103]). Сила ф(^) определяется тог-
тогда из соотношения
(t) — mat sin со^Д (t).
2.2. «Квантовый парадокс Зенона». Попытки рассмотрения
непрерывных измерений несовместимых наблюдаемых, опи-
опирающиеся на проекционный постулат, приводят к парадоксаль-
парадоксальным выводам, в основе которых лежит следующий математичес-
математический факт. Пусть Н — самосопряженный оператор из Ъ(Ж), Е —
проектор, тогда
lim (Е exp (itH/n) Е)п = Е ехр {ПЕНЕ). B.6)
Это следует из того, что \\ехр(ИН/п)—I—itH/n\\=o(l/n) и Е2 =
= Е. Обобщение этого результата на случай неограниченного
Н является непростой задачей; некоторые условия были получе-
получены Фридманом [86]. Его результаты включают случай, когда
<3^=L2(R"), Н =—А/2т — гамильтониан свободной частицы в
R", а Е=1@(-) —индикатор ограниченной области iZ)cz:R" с
гладкой границей.
Рассмотрим свободную частицу, эволюционирующую на вре-
временном интервале [0, t], и предположим, что в каждый момент
времени tk/n, k = 0, 1, . . ., п, производится точное измерение на-
наблюдаемой Е, описываемое проекционным постулатом A.6). Ес-
Если исход измерения равен 1, то это означает, что частица нахо-
находится в области 3). Вероятность того, что во всех п-\-\ измере-
измерениях получен исход 1, есть
цяA, ..., \)=Tr(E exp(itH/n)E)"S(E exp(itH/n)E)n
и при п—»-оо в силу B.6) стремится к
Тг Е ехр {ПЕНЕ) So ехр {—ПЕНЕ) ? = Tr S0E, B.7)
где So — начальное состояние. Если в начальный момент части-
частица находится в области 2), то вероятность B.7) равна 1 незави-
независимо от эволюции, т. е. при непрерывном точном измерении мес-
местоположения частица никогда не покидает область SD (см. так-
также Дэвис [78, п. 7.4]). Необычные физические следствия соотно-
соотношения B.6) были подробно рассмотрены в работе Мисры и
Сударшана [130], где для них было предложено общее название
«квантовый парадокс Зенона».
Причина парадокса состоит в том, что измерение, описывае-
описываемое проекционным постулатом, переводя состояние системы в
состояние, отвечающее точно определенному значению наблю-
наблюдаемой, производит конечное изменение, на фоне которого эф-
эффект эволюции за время tin является пренебрежимо малым при
п-*-оо. Чтобы избежать этого и получить нетривиальный пре-
предельный процесс непрерывного измерения, включающий эволю-
эволюцию, Баркиелли, Ланц и Проспери [59], [60], предложили рас-
95
сматривать последовательность неточных измерений, точность
которых убывает пропорционально числу измерений п. Перво-
Первоначально описание предельного процесса в частных случаях
связывалось с фейнмановским интегралом по траекториям (ср.
в этой связи также Менский [25]), однако общая картина прямо
основывается на идеях, изложенных в § 1, в частности на поня-
понятии инструмента. В работах А. С. Холево [47], [102] было указа-
указано на параллель такого подхода с классическими предельными
теоремами в схеме серий, причем предельный процесс непрерыв-
непрерывного измерения оказывается некоммутативным аналогом процес-
процесса с независимыми приращениями. Подобно классическому слу-
случаю, все такие процессы описываются некоторой формулой ти-
типа Леви—Хинчина [102], [35]. Квантовые случайные процессы в
смысле Дэвиса [78] с этой точки зрения соответствуют сложному
пуассоновскому процессу. Дальше кратко излагаются результа-
результаты этих работ.
2.3. Предельная теорема для сверток инструментов. Для про-
простоты ограничимся измерениями со значениями в R (существен-
(существенно лишь, что пространство значений является абелевой локаль-
локально компактной группой; см. [102], [35]). Пусть Jf\, . . ., Jfn— ин-
инструменты (в алгебре наблюдаемых) со значениями в R. Су-
Существует единственный инструмент Jf со значениями в R", та-
такой что
Jfi (Я,)[. . . jrn(Bn)[X]...];
Свертка инструментов Jf\, . . ., Jfn определяется соотношением
и, согласно формуле A.13), описывает статистику суммы исхо-
исходов я последовательных измерений, отвечающих инструментам
Jfl, ...,Jfn. Инструмент Jf со значениями в R называется
безгранично-делимым, если для любого я = 1,2, ... найдется
инструмент Jf(n) такой, что Jf=Jf(n)*- ¦ -*Jf(n)=Jfln). Пробле-
Проблема непрерывного измерения оказывается тесно связанной
с пределами я-кратных сверток вида /С{") при п-> с» и со
структурой безгранично-делимых инструментов. Решение этих
вопросов опирается на некоторое обобщение метода харак-
характеристических функций в теории вероятностей.
Обозначим %а банахову алгебру да*-непрерывных линейных
отображений Ъ{Ж) в себя с произведением Ф • ЧГ[Х] = Ф[11Г[Х]].
Единицей в этой алгебре является тождественное отображение,
обозначаемое Id. В алгебре ёГа вводится топология т, опреде-
определяемая семейством полунорм
|| Ф ||s= sup j Tr SQ>[X\ |, 56©C0).
96
Характеристическая функция инструмента /С определяется
соотношением
<D(a,)[A'] = Je'4/»"(dA,)[A7t B-8)
R
где интеграл сходится в топологии т. Функция Ф(Х) со значе-
значениями в ga является характеристической функцией вполне поло-
положительного инструмента тогда и только тогда, когда
) ()[1]
) Ф()[];
2) Ф(Х) т-непрерывна в точке А = 0;
3) Ф(к) положительно определенна в следующем смысле:
для любых конечных наборов {^Ж {A^R {Х}8(Э?)
2 < фу!ф fa-bj)[x*jXk]^ > >о.
1,ь
(аналог теоремы Бохнера—Хинчина, сводящийся к ней в слу-
случае dim 5^=1).
Характеристическая функция свертки Jfx*...*Jfn есть
поточечное произведе'ние соответствующих характеристичес-
характеристических функций Фг (X)-. .. -Ф„(А,), поэтому re-кратная свертка
Jf*n) имеет характеристическую функцию Ф(П)(А)Л, где Ф(Л)(Х) —
характеристическая функция инструмента Л%). Распределение
вероятностей [лEл) суммы п повторных измерений, описываемых
инструментом Jf(n), определяется формулой
R
Следующее утверждение является аналогом центральной
предельной теоремы в схеме серий.
Предложение. Пусть {Jf(n)} — последовательность впол-
вполне положительных инструментов и пусть существует т — непре-
непрерывный предел
т-Ит/1(Ф(|О(Я,) —Id) = 24X). B-9)
П-*-оо
Тогда свертки Jf(n)*n слабо сходятся к безгранично делимому
инструменту Jf с характеристической функцией ехр5'(Х,I) в
том смысле, что
т-llm \
для всех непрерывных ограниченных функций f(x).
Заметим, что аналог классического условия асимптотической
пренебрегаемости
'> Имеется в виду экспонента в банаховой алгебре So-
7—9280 97
в общем случае не влечет B.9). Вопрос об описании возмож-
возможных пределов т-НтФ(п)(А) при одном этом условии остается
открытым.
Пример. Пусть А, Н— (ограниченные) вещественные на-
наблюдаемые, р(х) —плотность распределения вероятностей на R,
удовлетворяющая условиям A.8). Рассмотрим вполне положи-
положительный инструмент
Jfw (В) [X] = е""/« VW j Ур (У« х\ - -L Л) х
Хл ]/ р\Упх\ ^Л te-'w'«. B.10)
г \ У п )
Свертка Jf\n) имеет следующую статистическую интерпретацию.
Рассмотрим квантовую систему, динамика которой на интер-
интервале [0, t\ описывается гамильтонианом Н. В моменты времени
tj^jt/щ / = 0, 1, ...,п— 1, производится приближенное изме-
измерение наблюдаемой А с дисперсией па2 = п \ x2p(x)dx, а затем
берется среднее —^ a \t{p) полученных результатов а[^п))
(которое имеет дисперсию о2). Предел при л->- оо соответ-
соответствует среднему у \a(t)dx результатов а(т) некоторого
о
«непрерывного измерения» наблюдаемой А. Вычисления" пока-
показывают, что для достаточно гладкой плотности р {х) предел
B.9) равен
+ j-J(AXA-AZoX) + iXA°X-jO^X, BJ1)
где J = Sp'(xJp(x)-ldx — информационное количество Фишера
для семейства плотностей {p(x-\-Q)j с параметром сдвига 66R,
так что о2/^1.
2.4. Сверточные полугруппы инструментов. Следующий ре-
результат типа теоремы Шенберга (см., например, [96], [138]) пере-
перебрасывает мост между скалярными условно положительно опре-
определенными функциями и вполне диссипативными отображения-
отображениями (п. 3.2.2).
Предложение. Пусть &(X)—функция со значениями
в &,.
Следующие условия эквивалентны:
1) exp t3? (X) положительно определенна для всех t^O; „
2) функция &(X) эрмитова, т. е. S{—X)[X*]=g{%){Х\*
98
и условно положительно определенная, т. е. для любых конеч-
конечных наборов {$:}сЭё, {ki}cR, {Х^а^Ж) таких, что Я
выполняется
Для того чтобы функция & (К) представлялась в виде преде-
предела B.9), необходимо и достаточно, чтобы она удовлетворяла
одному из условий этого предложения, была т-непрерывна и
i?@)[I] = 0. Такие функции будем называть квазихарактеристи-
квазихарактеристическими.
Семейство инструментов {Jft\ ^6R+} образует сверточную
полугруппу, если Jft*Jf,=Jft^\ t, s6R+. Очевидно, что все ин-
инструменты Jft безгранично делимы. Пусть Фг(Я) —характери-
—характеристическая функция инструмента Jft. Соотношение
Ф,(Я)=ехр^(Я); *6R+, B.12)
устанавливает взаимно однозначное соответствие между квази-
квазихарактеристическими функциями & {%) и сверточными полу-
полугруппами вполне положительных инструментов, удовлетворяю-
удовлетворяющими условию непрерывности
liml(./*°t(?/0)-Id(| = 0 B.13)
для любой окрестности нуля Uo.
Следующий результат можно рассматривать как обобщение
представления Леви—Хинчина для логарифма характеристичес-
характеристической функции безгранично делимого распределения.
Теорема. Для того чтобы функция &(%) со значениями в
%а была квазихарактеристической, необходимо и достаточно,
чтобы она допускала представление
2 (К) =&ь+2х {%) +¦&* {%), B.14)
где 3?о — вполне диссипативное отображение вида C.2.5),
причем о2>0, LeS(^), т. е. функция типа B.11);
оо
r,s=lR\0
2 S
s=l R\0
2 XVT
)Н% BЛ6>
7*
где oc6R, Vs&%>{3@), a [\i.riS]r,s=i,2,...— положительно определен-
определенная матрица комплексных мер на R\0, такая, что ряд
оо
2 R/-i(R\0)V*l/r сходится ш>*-слабо, и
J T^jr У-оо (dx) < оо.
R\0
Доказательство формулы B.14) использует разновидность
конструкции ГНС, которая сопоставляет условно положительно
определенной функции S (Я) пару коммутирующих коциклов
алгебры Ъ{Ж) и группы R, а также сведения о структуре этих
коциклов [96], [84], [76] (доказательство проходит для любой ал-
алгебры фон Неймана и абелевой локально-компактной группы).
Перенесение вероятностного метода, основанного на понятии со-
сопровождающего закона, представляется в некоммутативной
ситуации затруднительным.
Вероятностный смысл каждого из слагаемых в формуле
B.12) выясняется в связи с процессами непрерывного изме-
измерения.
2.5. Инструментальные процессы. Пусть <У — пространство
всех вещественных функций на R, ЗВа, ь — а-алгебра, порождае-
порождаемая приращениями y{s)—y(t); a^t<.s^b. Инструментальным
процессом с независимыми приращениями (и. -процессом) назы-
называется семейство {JCa, ь', a, 66R, а^Ь}, где Jfab — инструмент
(в алгебре наблюдаемых) со значениями в (<%/, '3}а,ь), причем
B.17)
если а^Ь^с и E&3Sa,b, F?3Bb,c. Если все инструменты Jfab впол-
вполне положительны, то и.-процесс называется вполне положи-
положительным. Для любого оператора плотности S и временного про-
промежутка [а, Ь] и.-процесс определяет распределение вероятно-
вероятностей
li8(E)^TrSjraib(E)[l]; ЕъЯ.шЬ, B.18)
на пространстве траекторий y(t); tG[a, b]. С физической точки
зрения, исходом непрерывного измерения является производная
у(t), однако оказывается, что распределение B.18) сосредото-
сосредоточено на недифференцируемых функциях. Это определение, дан-
данное в [102], является модификацией определения Дэвиса [78],
использовавшего лишь пространство скачкообразных функций
и более общего определения Баркиелли, Ланца, Проспери [59],
основанного на пространстве обобщенных функций. В случае
dimЖ=\ и.-процессы — это обычные вещественные процессы
с независимыми приращениями. Всякий и.-процесс однозначно
определяется набором своих конечномерных распределений, ко-
100
торые в силу B.17) имеют следующую структуру
где то<т1<...<тр; Ви ..., Bfi® (R).
И.-процесс называется однородным, если для любых а, Ь,
t6R выполняется
где (Txy)(t) = y(t + %). Соотношение
jrt(B)=Jra,a+t(y(-):y(a + t)-y(a)?By, ВеЖЩ, B.19)
определяет тогда сверточную полугруппу инструментов, через
которую конечномерные распределения выражаются по формуле
= •/*%,_,. (?,)• ... ••/*%-,„_, (Bp). B.20)
Если и.-процесс непрерывен в том смысле, что
-\d\\ = O B.21)
для любого е>0, то соответствующая сверточная полугруппа
непрерывна в смысле B.13), и, следовательно, ее характеристи-
характеристические функции имеют вид B.12), где 2 (%) —некоторая квази-
характеристическая функция. Обратно пусть 2{%)—квазиха-
2{%)—квазихарактеристическая функция, {Jft} — соответствующая сверточная
полугруппа, тогда соотношение B.20) определяет конечномер-
конечномерные распределения, продолжающиеся до однородного, непре-
непрерывного, вполне положительного и.-процесса {/СаЪ}- Более того,
модифицируя технику продолжения теории случайных процес-
процессов п, можно доказать, что и.-процесс {Jfa, ь} сосредоточен на
подпространстве SDc^, состоящем из функций без разрывов
второго рода. Функция 2 {X) называется генератором и.-процес-
и.-процесса {Л\ ь}.
Слагаемое 3?0 в формуле B.14) описывает эволюцию (в об-
общем случае необратимую) рассматриваемой квантовой системы,
происходящую независимо от процесса измерения. В класси-
классическом случае (dim Ж=1) это слагаемое вообще отсутствует.
Второе слагаемое 2\{Х) описывает процесс непрерывного при-
приближенного измерения наблюдаемой A = o2(L-\-L*). Соответ-
Соответствующий и.-процесс сосредоточен на непрерывных траекториях
и отвечает классическому винеровскому процессу. Многомерное
обобщение — сумма слагаемых вида B.11) с разными операто-
операторами Lb ..., Lm — задает процесс непрерывного приближенного
') См. И. И. Гихман, А. В. Скороход. Теория случайных процессов.— М.:
Наука, 1973.— 2.
101
измерения нескольких (вообще говоря, несовместимых) наблю-
наблюдаемых [60]. Наконец, слагаемое i?2(M описывает скачкообраз-
скачкообразную компоненту процесса измерения.
Пример (ср. [78, гл. 5]). Пусть В^-&(В); B6^(R\0) —
функция множеств, удовлетворяющая определению (вполне по-
положительного) инструмента (см. п. 1.1), за исключением усло-
условия нормировки 2). Таким образом, C = ^(R\0)[I] — некоторый
положительный оператор. Соотношение
&(ЩХ]= jj е^Р(с1х)[Х]-С°Х+1[Н, X] B.22)
R\0
определяет квазихарактеристическую функцию, представляю-
представляющую собой первое слагаемое в формуле B.16). Однородный
и.-процесс {Jfa.b} с генератором B.22) имеет кусочно-постоян-
кусочно-постоянные траектории; пусть, например, F<^2D — подмножество траек-
траекторий, имеющих ровно т скачков на отрезке [а, Ь], причем /-Й
скачок происходит на интервале Asa[a, b] и имеет величину
hfiBh где 5j6^(R\0). Если интервалы Аи . . ., А„ следуют друг
за другом без пересечений, то
=\ ... J
Л д
где S^ot^^—C°X-\-i[H, X]. Особенно просто устроен аналог
пуассоновского процесса с генератором
2'(X)[X]^[i(eahU*XU—X)+i[H, X],
где U—изометрический оператор. Это считающий процесс [154],
для которого скачки траектории фиксированной величины h
происходят в случайные моменты времени, имеющие экспонен-
экспоненциальное распределение с параметром ц>0. В момент скачка
состояние преобразуется по формуле S-^USU*, а между скач-
скачками эволюционирует согласно закону
Рассмотрим вкратце вопрос о сходимости повторных измере-
измерений к процессу непрерывного измерения. Пусть временная
ось R разбита на промежутки р/п), *Щ] длины 1/п, и каждо-
каждому моменту времени отвечает измерение, описываемое вполне
положительным инструментом JCW с характеристической функ-
функцией Ф(п)(К). Серия таких повторных измерений естественным
образом определяет и.-процесс {Л\ь}, траекториями которого
являются кусочно-постоянные функции (см. [102]). Обозначим
где А>0.
102
Теорема. Пусть существует т-непрерывный предел
причем sup sup л[|Ф(п)Ш —-Idl|< oo. Тогда последовательность
п |Л|<1
мер {ц^} сходится в Топологии Скорохода к мерам
V.StX(E) = 4x SJfa,b(E)[X\,
где {JCa,b} — однородный вполне положительный и.-процесс с
генератором &{%).
В частности, последовательность повторных приближенных
измерений наблюдаемой А из примера п. 2.3 сходится к про-
процессу непрерывного измерения с генератором B.11).
В случае dim<5^=1 этот результат переходит в теорему
А. В. Скорохода о сходимости сумм независимых случайных ве-
величин к процессу с независимыми приращениями.
Знание генератора и.-процесса позволяет в принципе опре-
определить основные вероятностные характеристики распределения
B.18) в пространстве траекторий, в частности, произвольные
смешанные моменты [60]. На этом основаны квантово-статисти-
ческие приложения рассматриваемой теории. В работе [103J про-
проведено сравнение оценок неизвестной силы, действующей на от-
открытую квантовую систему, построенных на основе различных
процессов непрерывного измерения. Статистика считающих про-
процессов рассматривалась в работах [154], [18].
Глава 5
ПРОЦЕССЫ В ПРОСТРАНСТВЕ ФОКА
§ 1. Квантовое стохастическое исчисление
1.1. Основные определения. Пусть I)— гильбертово простран-
пространство. Симметричное пространство Фока, ассоциированное с \),
определяется как
л=0
где Го(&)=С, Tn{$)=\)sn — симметризованная п-я тензорная
степень пространства \> (см. п. 1.3.1). Г„($) называется п-ча-
стичным подпространством, Го($)—вакуумным подпростран-
подпространством. В квантовой физике Г (I)) описывает систему из перемен-
переменного (неограниченного) числа частиц (бозонов [6], [7]).
103
В интересующем нас случае, когда J)=L2(R+), пространство
Фока Г E) состоит из бесконечных последовательностей
где /0€С, /„ (tu..., tn) — комплексная симметричная квадратич-
квадратично-интегрируемая функция от /,,...,/„6R+. причем
1,...,/л)|2^1...йГ/„< ОО.
»-о "' о" '
Удобная модификация этого представления была предложена
Маассеном в [142]. Пусть т = {^,,..., tn} — цепь в R+, т. е. под-
подмножество R+ конечной мощности \t\ = n, упорядоченное так,
что ^i <•••</„. Обозначая Ф множество всех цепей, фга —
со
множество цепей мощности п, имеем $р = U фя, где фо = {0}.
Определим на ф о-конечную меру ц,(й?т), которая совпадает
с мерой dtx...dtn на фя, r>0, и ц@) = 1. Для грбГ E) поло-
положим ф(т)= fn{tx,..., tn), если |т| = ге>0 и гр@) = /о. Симмет-
Симметричная функция /„ однозначно определяется своим ограииче-
со DO
нием на фп) причем ¦^¦[...[\fn(tu...,trt)\2dtl...dtn =
(т)|2ц(Л)> так что
Для любого ^>0 определим операторы A(t), A+ (t), A.(t)
соотношениями
Оператор A (t) переводит rn=rn(L2(R+)) в Г„_ь А+ (t) перево-
переводит Г„ в Г„+ь и A(t) переводит Г„ в Г„. В квантовой физике
А (/) является оператором уничтожения (бозона на временном
отрезке [0, ф, A+{t)—оператором рождения, A(t)—операто-
A(t)—оператором числа частиц ^бозонов). Общей инвариантной областью^оп-
ределения является подпространство Г», состоящее из векто-
104
ров -фбГ(^) таких, что
для всех Я>0. Операторы A(t), A+(t) однозначно продолжа-
продолжаются до замкнутых взаимно сопряженных операторов (для ко-
которых сохраняются прежние обозначения). Операторы Л@, а
также
Q(t)~A(t)+A+(t), P(t)=i{A+(t)-A{t)) A.3)
являются существенно самосопряженными на Г„ (см., напри-
мер, [6], [29]).
Из определений A.2) вытекают следующие коммутационные
соотношения на Г»
A.4)
[A{t),A{s)]=-A(tAs), lA(t),A+(s)] = A
где tAs = min(t, s). Отсюда следует, что
= 0, [P{t),P(s)] = 0,
A.5)
s)] = tQ(tAs).
Пусть /¦6L2(R+). Экспоненциальным вектором называется
вектор т^бГ (Щ такой, что 1^@)= 1, г|)/(т) = 11/(/). Скаляр-
ное произведение двух экспоненциальных векторов
Из A.2) следует, что A(t)yf=(\f(s)ds)-yf.
\о /
Вектор фо> соответствующий /^0, называется вакуумным век-
вектором. Для него
Л(*I|>о=О, Л(*Но=О. A.6)
Линейную оболочку семейства экспоненциальных векторов обо-
обозначим Ге. Она плотна в Г(Ь) (см., например, [96]).
1.2. Стохастический интеграл. Одно из основных свойств про-
пространства Фока — функтори а льное свойство
0-7)
105-
в частности, для любого
^,oo)). A.8)
При этом экспоненциальные векторы, включая вакуумный, так-
также факторизуются
Поскольку L2(R+) можно рассматривать как непрерывную пря-
прямую сумму (прямой интеграл) одномерных гильбертовых про-
пространств, пространство F(L2(R+)) является, в определенном
смысле, непрерывным тензорным произведением. Эта структура
лежит в основе связи между пространством Фока, безграничной
делимостью и процессами с независимыми приращениями (см.,
например, [96], [138]).
Далее $=Ж<3)Т(Ь2(Я+)), где Ж—некоторое «начальное»
пространство. Элементы ф можно рассматривать как функции
tf(x), тб5р, со значениями в Ж. Будет удобно не различать в на-
написании операторы, действующие в Ж, или в F(L2(R+)), и их
поднятия в ф; например, A (t) обозначает как оператор в
F(L2(R+)), так и оператор l®A(t) в ф (где I —единичный опе-
оператор в Ж). Обозначим Ж®Те алгебраическое тензорное произ-
произведение Ж и Ге. Семейство (вообще говоря, неограниченных)
операторов {M(t); t&R+}, определенных на Ж®Ге, будет назы-
называться процессом в ф.
Соотношения A.8), A.9) задают естественную фильтрацию
в пространстве ф. Процесс {M(t)\ /6R+} в ф называется согла-
согласованным (с данной фильтрацией), если для любого /6R+
A.10)
где Mt\ — оператор, действующий в Ж®ГA-2@, t)), а 1ц —
единичный оператор в T(L2(t, oo)). Благодаря A.8), A.9), опре-
определено отображение условного ожидания &t\ в алгебру опе-
операторов вида A.10), согласованное с вакуумным состоянием
1^о) <^о'- Согласованный процесс называется мартингалом,
если $t\\M(s)\ = M(t) при s~>t. Основные процессы (А(^)},
{A+(t)}, {A(t)} являются мартингалами.
Партасарати и Хадсон [108], [20J построили стохастический
интеграл от согласованных процессов по основным мартингалам
A(t), A*{t), A.(t). Дальше излагается модификация этой конст-
конструкции (см. статью А. С. Холево в [145]). Процесс {M(t)\
tfi[O, T]} называется простым, если существует разбиение
O = t0<ti<...<tN = T, такое что М (t) = M (/;_i) для *€[*/_!,
tj). Для четверки простых согласованных процессов {M^(t)},
а = 0, 1, 2, 3, стохастический интеграл определяется соотно
106
шением
г
I(T)=[ (ModA+M]dA +
$
лг
I1-11)
Из неравенств Журне (см. [128, п. V.1.4]) вытекает оценка
Pii
0<t<T [
т
5 |2+ 0-12)
где -ф€<Э^, /6i2(R+). Назовем {Ma(t)} допустимой четверкой,
если для любого е>0 найдется четверка GVIa(t)} простых сог-
согласованных процессов, такая что
ess sup || [M0(t) — Л^
o«r
и сильно допустимой четверкой, если для любого е>0 найдется
четверка {Ма} простых согласованных процессов со значения-
значениями в & (ф), такая что
ess sup || MJ*1) — M0{t)\\<z,
о
г
J \\M3(t)-M3(t)\\dt<e.
о
107
Из неравенства A.12) вытекает, что для любой допустимой
четверки стохастический интеграл
\-Mzdt) (I. I4>
определен на Ж®Те как сильный предел стохастических ин-
интегралов вида A.11) от простых процесов {Ма} и является
согласованным процессом. Если Мз=0, то I(t) является мартин-
мартингалом; доказано, что достаточно произвольный ограниченный
мартингал в пространстве Фока является стохастическим ин-
интегралом (Партасарати и Синха). Пример неограниченного мар-
мартингала, не представимого в виде стохастического интеграла по
основным процессам, содержится в работе Журне [113].
Из определений A.2) основных мартингалов вытекает яв-
явная формула (В. П. Белавкин [35])
где г|з<5)(т) =^(tU{s}), которая может служить для альтернатив-
альтернативного определения стохастического интеграла, имеющего смысл
для более широких классов процессов (включая несогласован-
несогласованные процессы).
Стохастический интеграл по процессам в антисимметричном
пространстве Фока рассматривался Барнетом, Стритером,
Уайлдом [62], [141], Хадсоном и Эпплбаумом [107].
1.3. Квантовая формула Ито. Соотношение A.14) принято
записывать в дифференциальной форме
dI=M0dA+M1dA+M2dA++M3dt. A.15)
Пусть J(t)— другой стохастический интеграл, так что dJ —
Теорема. Если четверки {Ма}, {Na} сильно допустимы, то
произведение I(t)J(t) является стохастическим интегралом, при-
причем
где произведение вычисляется по следующим формальным пра-
правилам: значения любого согласованного процесса в момент t
коммутируют со стохастическими дифференциалами основных
процессов dA(t), dA(t), dA+(t), dt, а в слагаемом (dl) (dJ) trpo-
изведения стохастических дифференциалов основных процессов
108
находятся согласно таблице умножения
dA
dA
dA+
dt
dA+
dt
dA'
0
0
dA
dA
'dA
0
0
dA
0
0
0
0
dt
0
0
0
0
A.16)
Алгебра стохастических дифференциалов A.15) с таблицей
умножения A.16) изоморфна некоторой алгебре ЗХЗ-матриц.
Особенно удобна реализация, предложенная В. П. Белавкиным
в [35]: соответствие
dl = ModA + MxdA + M2dA+ + M3dt++
ГО Mx МЛ
М= О Мо МЛ A.17)
.0 0 0 J
оказывается инволютивным алгебраическим изоморфизмом, пе-
переводящим инволюцию (dI)* = MQ*dA-ir M2*dA-\-Mi*dA+-\-M^dt
в инволюцию
"о
0
0
Ж,
м0
0
м3'
м2
0
=
0
0
Щ
mi
0
щ
м\
0
Пример. Рассмотрим стохастические интегралы
В (t) = С J (s) dA (s), В+ (t) = J J (s) dA+ (s),
о о
где J(t) = (— 1)ЛО — сильно допустимый процесс. Из формулы
A.24) следующего пункта вытекает, что J (t) удовлетворяет
уравнению
dJ=—2JdA.
Пользуясь таблицей A.16), находим
d{BJ+JB)=— 2(BJ+JB)dA.
Поскольку fi@)=0, то из теоремы следующего пункта выте-
вытекает, что В (t)J (t)-]-J (t)B(t) =0. Снова пользуясь таблицей
A.16), находим d(BB+-\-B+B)=dt, откуда
B(t)B+(t)+B+(t)B(t)=t,
т. е. операторы В (t), B+ (I) удовлетворяют каноническому ан-
антикоммутационному соотношению для фермионных операторов
рождения—уничтожения. Этот факт лежит в основе изоморфиз-
изоморфизма между симметричным (бозонным) и антисимметричным
(фермионным) пространствами Фока, установленного Хадсоном
и Партасарати [109].
109
Квантовый стохастический интеграл и формула Ито имеют
естественное обобщение на случай многих степеней свободы,
когда основные процессы Aj(t), Ak+(t), Ajh(t) многомерны и
действуют в пространстве Фока r(I^2(R+)), где У? — гильбер-
гильбертово пространство, размерность которого равна числу степеней
свободы (Хадсон, М. П. Эванс [143], В. П. Белавкин [35]), а
также в нефоковских пространствах, связанных с гауссовскими
состояниями канонических коммутационных соотношений (Хад-
(Хадсон, Линдсей [142]).
1.4. Квантовые стохастические дифференциальные уравне-
уравнения. Рассмотрим линейное однородное квантовое стохастиче-
стохастическое дифференциальное уравнение
dV^[LodA+LldA+L2dA++Lidt]V, t^O, A.18)
с начальным условием V@)=I, которое является краткой за-
записью интегрального уравнения
jj
V (t) = I -f jj [Lo (s) dA (s) + Lx (s) dA (s) + L2 (s) dA+ (s) 4-
+ L3(s)ds]V(s).
Модифицируя рассуждение Хадсона и Партасарати [108], ос-
основанные на методе последовательных приближений, можно до-
доказать следующую теорему.
Теорема. Если {La} — сильно допустимая четверка, то ре-
решение {V(t); t&R+} уравнения A.18) существует, единственно и
является сильно непрерывным согласованным процессом.
Обозначим 9*1 оператор временного сдвига в ф : ^i|)(t) =
= г|з(т«), где xt = {t\+t, . .., tn+t), если т={^, . . . , tn). Решение
V(t) удовлетворяет уравнению коцикла
V(t+u) = (9>u*V(t)9>u)V(u); t, uGR+. A.19)
Особый интерес представляет случай, когда V(t), t?R+, явля-
являются унитарными операторами. Для этого необходимо и доста-
достаточно, чтобы уравнение A.18) имело вид
dV = [(W -1) dA + LdA+ - L*WdA -
где W — унитарный, a H — самосопряженный операторы из
9E»).
Весьма важной является задача обобщения теоремы суще-
существования и единственности решения уравнения A.18) на слу-
случай неограниченных коэффициентов La(t). Некоторые результа-
результаты в этом направлении имеются в работах Хадсона и Партаса-
Партасарати [108], Журне [113], Фриджерио, Фаньолы, А. М. Чебота-
Чеботарева [75]. В работе [113] частично решена задача описания силь-
сильно
но непрерывных унитарных решений уравнения A.19). Этот
вопрос тесно связан с проблемой консервативности, обсуждав-
обсуждавшейся в п. 3.2.3.
Уравнения типа A.18) связаны с линейными стохастически-
стохастическими дифференциальными уравнениями в гильбертовом простран-
пространстве (см., в частности, А. В. Скороход [33]), и можно надеяться,
что эти два направления взаимно обогатят друг друга. Решения
уравнения A.20) являются некоммутативным аналогом муль-
мультипликативного процесса с независимыми стационарными при-
приращениями в группе унитарных операторов. Общая теория та-
таких процессов развита Аккарди, фон Вальденфельсом и Шур-
маном [54]. Последний показал [144], [147], что всякий такой
процесс, удовлетворяющий условию равномерной непрерывно-
непрерывности, является решением уравнения типа A.20). Используя ана-
аналогию с квантовыми процессами, А. С. Холево указал стохасти-
стохастическое дифференциальное уравнение, которому удовлетворяет
произвольный классический мультипликативный процесс с не-
независимыми стационарными приращениями в группе Ли (муль-
(мультипликативный аналог разложения Ито) [104].
Наглядное представление решений уравнения A.18) дают
хронологически упорядоченные экспоненты, родственные мульти-
мультипликативному стохастическому интегралу в классической теории
случайных процессов (по поводу последнего см. Эмери [82]).
Пусть (Ma(t)} — четверка простых согласованных процессов на
[0, Т] со значениями в S3 (Ж). Положим
Vj= exp [Mo (*,_,) (Л (tj) - Л (*,_!)) +
_,) (A (tj) - A (tj^)) + М2 (*,_,) (А+ (tj) - А+ (*,_,)) +
+ M,(t,-.1)(tJ-tJ_1)]
и обозначим
г
expjk (ModA+MldA-\-M2dA+-{-M3dt) =
= Vfr....V1. A.21)
Оператор A.21) определен на Ж®Те. В работе А. С. Холево
(см. [145]) доказано, что если {Ма} — сильно допустимая чет-
четверка согласованных процессов со значениями в Ъ(Ж) и
{Ma{N)} — последовательность четверок простых процессов, ап-
аппроксимирующая {Ма} в смысле A.13), то существует сильный
предел на Ж®Те выражений вида A.21), который называется
хронологически упорядоченной экспонентой. При этом семей-
семейство хронологически упорядоченных экспонент
г
A.22)
ill
является сильно непрерывным на Ж®Те, согласованным про-
процессом, который удовлетворяет стохастическому дифференци-
дифференциальному уравнению A.18), где {La} и {Ма} связаны соотноше-
соотношениями
L0 = a(M0), L, = Af,&(Afo), L2 = b(M0)M2,
Здесь a, b, с — целые функции
^f eZlZ . A.23)
Используя изоморфизм A.17), эти соотношения можно объеди-
объединить в одно матричное равенство
L=eM—I.
Если коэффициенты Ma(t) коммутируют между собой при
всевозможных значениях временных аргументов, то хронологи-
хронологически упорядоченная экспонента превращается в обычную
t
V (t)= exp J (M(JdA + MxdA^M2dA+-±M3dt),
о
и дает, таким образом, явное решение уравнения A.18).
Пример. Решение уравнения
dJz = zJzd\; /,@)=I, A.24)
при гФ — 1 записывается в виде
Если z=—1, то решение уравнения A.24) имеет вид
J-\ if) = So,A(/)i
где бг,у —символ Кронекера. Поскольку J^{t) обращается в
нуль, оно не может быть записано в виде экспоненты.
Хронологически упорядоченные экспоненты
J (LdA+-L*dA-iHdt) A.25)
о
рассматривались фон Вандельфельсом, а также Хадсоном и
Партасарати в [141], [20]. Эти экспоненты являются унитарны-
унитарными операторами, удовлетворяющими уравнению
dV = [LdA+-L*dA-(iH-{-—L*L)dt]V; l/@) = I. A.26)
2
Пример. Пусть dim 5^=1 и /6I2(R+). Экспонента
t
Vf (t) = exp ^ (/ (s) dA+ (s) - / (s) dA (s))
о
112
является унитарным решением уравнения
1
dVf(t) = \f{t)dA+{t)-f(t)dA(t)—L\f(t)\2dt]V,(t) A.27)
в r(I2(R+)). Из этого уравнения и квантовой формулы Ито
вытекает, что процессы Vf(t)Vg(t) и Vf+g(t)e\p Ига? / (s)X
oJ
Xg{s)ds, где g"—другая функция из ?2(Р+), удов-
удовлетворяют одному и тому же уравнению; кроме того, они
совпадают при t =0 и, следовательно, тождественно равны,
т. е.
\\ A.28)
Рассмотрим Z.2(R+) как вещественное линейное простран-
пространство Z с кососимметричной формой
1 = 2 Im ''
\jf(s)g(s)ds.
о
Из A.28) тогда следует, что операторы W(f) = V,(oo) образуют
(неприводимое) представление канонического коммутационно-
коммутационного соотношения Вейля A.2.12) в симметричном (бозонном) про-
пространстве Фока T(L2(R+)), а формулы A.4), A.5) дают инфи-
нитезимальную форму канонического коммутационного соотно-
соотношения. При этом экспоненциальные векторы играют ту же роль,
что и когерентные состояния в случае конечного числа степеней
свободы, а отображение дуальности (см. п. 2.1) соответствует
переходу к представлению Шрёдингера, диагонализирующему
операторы Q(t).
Дальнейшие сведения о квантовом стохастическом исчисле-
исчислении можно найти в обзоре Мейера [128], а также в сборниках
[142]—[145], охватывающих такие темы, как связи с некоммута-
некоммутативной геометрией (Хадсон, Эпплбаум, Робинсон), применение
в теории кратного стохастического интеграла (Маассен, Мейер,
Партасарати, Линдсей), некоммутативные случайные блужда-
блуждания в «игрушечном пространстве Фока» и их сходимость к ос-
основным процессам (Партасарати, Линдсей, Аккарди) и другие.
§ 2. Расширения в пространстве Фока
Благодаря структуре непрерывного тензорного произведения,
пространство Фока является естественным вместилищем различ-
различных «безгранично делимых» объектов. В конце 60-х годов Ара-
Араки и Стритер рассматривали безгранично делимые представле-
представления групп и показали, что такие представления вкладываются в
8—9280 ИЗ
пространство Фока. Поскольку представление группы опреде-
определяется некоторой положительно определенной функцией, то этот
результат дает запись безгранично делимой положительно опре-
определенной функции через фоковское вакуумное среднее (см. [96},
[138]). Отсюда также следует, что всякое безгранично-делимое
распределение вероятностей может быть реализовано как рас-
распределение некоторой квантовой наблюдаемой относительно
вакуумного состояния в пространстве Фока. Таким образом,
пространство Фока вмещает в себя все процессы с независимы-
независимыми приращениями, а также процессы «квантового шума», кото-
которые дают универсальную модель окружения открытой кванто-
квантовой системы. Это обстоятельство лежит в основе конструкций
расширения, использующих фоковское пространство.
2.1. Винеровский и пуассоновский процессы в пространстве
Фока. Если {X(t); t?R) — коммутирующее семейство самосопря-
самосопряженных операторов в гильбертовом пространстве ф, то оно диа-
гонализуемо: существует пространство с мерой (Q, <%{п), \х)
и унитарный оператор / из ф на L2(Q, ц), такие что
для фб?2(Й, р.), где Хг(а) —вещественные измеримые функ-
функции. При этом для любого \рЩ и ограниченной борелевской
функции f(xu ..., хп)
где P(d(?>) = | (Jty) (га) |2ц(Ло)—вероятностная мера на Q.
В этом смысле семейство {^@} в гильбертовом пространстве §
с выделенным вектором г|э стохастически эквивалентно случай-
случайному процессу {Х((со)} в вероятностном пространстве (Q,
36(п), Р).
Рассмотрим коммутирующее (в силу A.5)) семейство само-
самосопряженных операторов {Q(t)} в T(?2(R+)). Пусть {И7,;
iGR+} — стандартный винеровский процесс, L2(W)—гильберто-
L2(W)—гильбертово пространство комплексных квадратично интегрируемых
функционалов от винеровского процесса. Отображение дуально-
дуальности (Сигал)
где в правой части формулы — кратные стохастические интегра-
интегралы в смысле Ито, является изоморфизмом пространства Фока
e=r(L2(R+)) и L2(W), причем
Поэтому семейство {Q@} B T(L2(R+)) с вакуумным вектором
фо стохастически эквивалентно винеровскому процессу Wt. "Ана-
"Аналогичное утверждение справедливо и для коммутирующего се-
114
мейства {P(t)}. Заметим, что в силу A.5) операторы Q(t) и
P(s) не коммутируют между собой и поэтому семейство {Q(t)y
P(t)} не эквивалентно двумерному винеровскому процессу. Уни-
Унитарный оператор ?Л|э(т.)=1|т|ф(т) переводит г|з0 в ф0 и
P(t)=UQ(t)U-K
Оператору U в L2(W) отвечает преобразование Фурье—Вине-
Фурье—Винера 1).
Рассмотрим теперь коммутирующее семейство самосопря-
самосопряженных операторов {Л(^)}. Пусть {Nt; tdR+} — пуассоновский
процесс интенсивности X на вероятностном пространстве (Q,.
З&Щ, Рх) и L2(jV)=L2(Q, P,). Отображение
nifv ...,tn)dXtl... dXt
где Xt = %-U2(Nt—Xt)—компенсированный пуассоновский про-
процесс, является изоморфизмом пространства Фока r(L2(R+)) и
L2(N), причем
где
n(M@ = AU) + VTQ@ + X/. B.1)
Таким образом, семейство {П<Х)(/)} в T(L2(R+)) с вакуумным
вектором г|зо стохастически эквивалентно пуассоновскому про-
процессу [108].
С точки зрения классической теории вероятностей соотноше-
соотношение B.1) не может не вызвать удивления — пуассоновский про-
процесс представлен как сумма винеровского процесса с постоян-
постоянным сносом и процесса A(t), равного нулю почти наверное (от-
(относительно вакуумного состояния). Дело, конечно, в том, что
слагаемые не коммутируют и поэтому не могут рассматривать-
рассматриваться как классические случайные процессы на одном вероятност-
вероятностном пространстве. Заметим, что подобная связь между пуассо-
новским и нормальным распределением хорошо известна в
квантовой оптике [21],
В подходящее пространство Фока r(Lj^(R+)), где LJ^(R+) —•
пространство квадратично-интегрируемых функций со значе-
значениями в некотором гильбертовом пространстве Ж, может быть
вложен произвольный стохастически непрерывный процесс с не-
независимыми приращениями (Партасарати, см. [128]). Представ-
Представление такого процесса требует, вообще говоря, бесконечного'
числа независимых процессов рождения-уничтожения-числа
частиц.
Среди процессов с независимыми приращениями только ви-
') См. Т. Хида. Броуновское движение.— М.: Наука, 1987.
8* US
неровский и пуассоновский обладают следующим свойством
хаотической представимости: гильбертово пространство квадра-
квадратично интегрируемых функционалов от процесса является пря-
прямой суммой подпространств, порождаемых гс-кратными стохас-
стохастическими интегралами (Винер, Ито). Вопрос — какие другие
мартингалы обладают этим свойством — привлек внимание спе-
специалистов по теории случайных процессов. В частности, Эмери
показал, что этим свойством обладает мартингал Аземы
gt), B.2)
где g, — последний нуль винеровского процесса Wt перед момен-
моментом t. Партасарати [137] рассмотрел квантовое стохастическое
дифференциальное уравнение
dX(t) = (c~l)X(t)d\(t)+dQ(t), X@)=0,
и показал, что при любом сб[—1, 1] оно имеет решение, являю-
являющееся коммутирующим семейством самосопряженных операто-
операторов и стохастически эквивалентное (относительно вакуумного
вектора) мартингалу со свойством хаотической представимости.
Как заметил Мейер, при с = 0 решение X(t) стохастически экви-
эквивалентно мартингалу Аземы. Таким образом, в высшей степени
нелинейное преобразование B.2) винеровского процесса оказы-
оказывается тесно связанным с линейным стохастическим дифферен-
дифференциальным уравнением для некоммутирующих процессов.
2.2 Стохастические эволюции и расширения динамических
полугрупп. Интересный класс безгранично делимых объектов
возникает в связи с динамическими полугруппами. Пусть X —
гильбертово пространство, Ф — динамическое отображение в ал-
алгебре $5(Ж), т. е. нормальное вполне положительное отображе-
отображение, такое что Ф[1] = 1. Назовем Ф безгранично делимым, если
для любого п=\, 2, ... Ф=(Ф„)", где Ф„ — динамическое отоб-
отображение. Если (Ф(; t?R+} — динамическая полугруппа, то все
отображения Ф, безгранично делимы, поскольку ф,= (Ф(/„)".
С другой стороны, если dim<5^<<x>, то всякое безгранично де-
делимое динамическое отображение имеет вид Ф=<?Г -е^', где &" —
условное ожидание на некоторую подалгебру Ъсг.Ъ{Ж), а 9? —
вполне диссипативное отображение, оставляющее подалгебру
Э инвариантной [15]. Отображение <§ играет роль, аналогичную
идемпотентному делителю в теории безгранично делимых поло-
положительно определенных функций на группах [138]. Если |Г = Ы,
то через Ф можно провести квантовую динамическую полу-
полугруппу.
В работе Хадсона и Партасарати [108] было построено вло-
вложение непрерывной по норме квантовой динамической полу-
полугруппы в пространство Фока, которое может быть истолковано
как расширение до марковского квантового случайного процес-
процесса в смысле п. 3.2.6 (см. статью Фриджерио в [142]). Для Йрос-
тоты ограничимся описанием конструкции работы [108] для по-
116
лугруппы с инфинитезимальным оператором вида
S[X\ = i[H, X]+L*XL—L*LoX, B.3)
где Н, Ье®(Ж), Н* = Н.
Предложение. Пусть {Ф,; t?R+) — квантовая динамичес-
динамическая полугруппа в Ъ{Ж) с инфинитезимальным оператором B.3).
Тогда
Q)t[X\=&0[V(t)*(X®\)V(t)], Хе%(Ж), B.4)
где {V(t); /GR+} — семейство унитарных операторов в ф=
=Ж'®Г(Ь2(R+)), удовлетворяющее уравнению A.26), а отоб-
отображение &"о '¦ ?>{$)->-Ъ(Ж)—усреднение по вакуумному состоя-
состоянию, определяемое формулой
Тг
для любого оператора плотности S в Ж и любого (§)
Доказательство. Из уравнения A.26) и квантовой
формулы Ито вытекает квантовое уравнение Ланжевена для
X(t):
dX(t)=[L(t)*, X(t)]dA(t)+[X(t), L(t)]dA+(t) +
, X(t)]+(L(t)*X(t)L(t)-L{t)*L(t)°X{t))}dt.
Усредняя по вакуумному состоянию и учитывая первое из со-
соотношений
0, B.5)
вытекающих из A.6), получаем, что семейство наблюдаемых
b = 3'olV(t)*(X®[)V(t)] в алгебре системы %(Ж) удов-
летворяет уравнению
Отсюда следует, что Ф, [А']=ехр t
Пусть теперь {Wt; t?R+} — соответствующая динамическая
полугруппа в пространстве состояний. Из представления B.4)
вытекает конструктивное доказательство теоремы о расшире-
расширении, сформулированной в п. 3.2.6. Обозначим Жо = Г(Ь2(Щ)
пространство Фока, ассоциированное с L2(R), и пусть So —
= |^оХ^>о|, где \р0 — вакуумный вектор в ?2(R). В пространстве
3%>®Жо действует группа унитарных операторов временного
сдвига {9"й ^6R}, определяемых как в п. 1.4. Поскольку Жо —
= r(L2(R_))®r(L2(R+)), где R- = (—°°, 0), действие основных
процессов A(t), A+(t), A(t); t?R+; естественно переносится в
Ж®Жо. Решение уравнения A.26) является тогда семейством
унитарных операторов {V(t); №И.+) в Ж®Жо, удовлетворяющим
соотношению коцикла A.19). Из этого соотношения вытекает,
117
что
является группой унитарных операторов в 2ё®Ж,й. Поскольку
, = ЛГ®1, из B.4) следует, что
Построенное расширение имеет прозрачную физическую ин-
интерпретацию. Группа операторов временного сдвига {9"t} опи-
описывает динамику квантового шума, который играет роль окру-
окружения рассматриваемой системы. Записывая операторы V(t)
в виде хронологически упорядоченной экспоненты A.25), мож-
можно видеть, что они задают эволюцию системы с гамильтониа-
гамильтонианом Я, взаимодействующей с окружением посредством сингу-
сингулярного гамильтониана
Hlnt=i(LA+(t)-L*A(t)). B.6)
Усреднение унитарной эволюции {?/,} по вакуумному состоянию
шума и дает динамическую полугруппу в Ъ{Ж).
Аналогичное унитарное расширение имеет место для произ-
произвольной квантовой динамической полугруппы с инфинитези-
мальным оператором C.2.4)—надо только использовать кван-
квантовое стохастическое исчисление с бесконечным набором опера-
операторов рождения-уничтожения.
С точки зрения статистической механики представляет инте-
интерес выяснение точных условий, при которых такая в высшей
степени идеализированная динамическая система, как кванто-
квантовый шум, возникает из более реалистичных физических моделей
открытых систем (см. в этой связи работу [52], где обсуждают-
обсуждаются приближения слабого взаимодействия и малой плотности).
Из формулы B.4) можно получить представления квантовой
динамической полугруппы через решения классических стохас-
стохастических дифференциальных уравнений в гильбертовом прост-
пространстве 36 (см. статью А. С. Холево в [35]). Пусть Wt — стан-
стандартный винеровский процесс и {V,{V(W); /6R+} — случайный
процесс со значениями в 99(<Э#), удовлетворяющий стохастичес-
стохастическому дифференциальному уравнению
I. B.7)
Тогда
<!>t[X] = M(l)V\l\W)* XV<<X) (W), B.8)
где M(i) —математическое ожидание, отвечающее распределе-
отвечающее распределению винеровского процесса. С другой стороны, пусть Nt —
пуассоновский процесс с единичной интенсивностью и {VV (N).
118
Удовлетворяет уравнению
+ ±-(L*L-\))dt]v(?)W)-.
. B.9)
Тогда
^)И2) B.10)
где МB) — математическое ожидание, отвечающее распределе-
распределению пуассоновского процесса.
Заметим, что решения уравнений B.7), B.9) могут быть за-
записаны в виде хронологически-упорядоченных экспонент (муль-
(мультипликативных стохастических интегралов)
\\s\ + (.h)]\, B.11)
J I L ^ J J
[ ]y B.12)
Ограничимся выводом представления B.8). Введем семейство
изометрических операторов V{tl) из Ж в $ = 5#®Г (Z.2(R+)),
определяемых соотношением
BЛЗ)
Из уравнения A.26) следует
[ \\{i\ B.14)
поскольку в силу B.5) коэффициент при dA (t) может быть
произвольным. Если воспользоваться теперь преобразованием
дуальности, то формула B.4) перейдет в B.8), а уравнение
A.26)—в уравнение B.7). Аналогично, вывод представления
B.10) из формулы B.4) основан на преобразовании Jw из
п. 2.1 (при А,= 1) (см. п. 2.4).
2.3. Расширения инструментальных процессов. При рассмот-
рассмотрении процессов непрерывного измерения естественно возникает
понятие безграничной делимости инструмента, которое объеди-
объединяет безграничную делимость распределений вероятностей и
динамических отображений. В работе Баркиелли и Лупиери
(см. [61], [142]) указано соответствующее расширение в прост-
пространстве Фока, которое можно рассматривать как конкретиза-
конкретизацию общего результата Озава (п. 4.1.2) для процессов измере-
измерения, протекающих во времени. Ограничимся здесь двумя наи-
наиболее важными примерами.
119
Пример 1. Рассмотрим и.-процесс {ЛРУ,*} с генератором
&{l)(k)[X] = & [X]+iX (L*X+ XL)-~MX, B.15)
где L, //=//* — ограниченные операторы в гильбертовом
пространстве Ж, а 3?[Х] дается формулой B.3). Согласно
п. 4.2.3, это есть процесс непрерывного измерения наблюдаемой
A — (L-\-L*) в системе, эволюционирующей с гамильтонианом Н.
Из результата Баркиелли и Лупиери следует, что
jr{o,)(E)lX} = &o[V (t)* (X®P{0\](E))V (t)}; ЕЬЗ&о.и B.16)
где {V (t)}— семейство унитарных операторов в гильбертовом
пространстве S} — Ж®Г (Z.2(R+)), удовлетворяющее квантовому
стохастическому дифференциальному уравнению A.26), а Po'J(E);
E6$o,t, спектральная мера семейства совместимых наблюдаемых
Q(s); 0<s<t, в r(Z.2(R+)) (См. п. 4.2.1) (в силу однородности
аналогичное представление имеет местом для A'a.l, где а^С b).
Пусть {JC^aX} — соответствующий и.-процесс в пространстве
состояний. Тогда соотношение B.16) приобретает вид
формулы D.1.10)
B.17)
которая имеет ясную физическую интерпретацию: наблюдаемая
система, первоначально находившаяся в состоянии S и эволю-
эволюционирующая с гамильтонианом Н, взаимодействует с кванто-
квантовым шумом посредством сингулярного гамильтониана B.6).
При этом над квантовым шумом, который играет роль пробной
системы, производится непрерывное неразрушающее измерение
семейства совместимых наблюдаемых Q(s); O^Cs^C/.
Пример 2. И.-процесс {л!2,!} с генератором
&2)(%)[X] = i[H, X\ + (L*XLea-L*L°X), B.I8)
где Н, Ьв%(Эё), является естественным обобщением считаю-
считающего процесса из п. 4.2.5. Для этого процесса расширение
имеет вид
и B.19)
где P{02J(E); Ee$o,t, спектральная мера семейства совместимых
наблюдаемых A(s); 0<s<^, в T(/.2(R+)). Соответствующее
представление в пространстве состояний
^)№) = ТгГ(у(К+»К(ОE®|г|H > ( ЦH|)К(<)*A®Р^Ш)) B.20)
имеет интерпретацию, аналогичную соотношению B.17).
120
Несколько слов о методе доказательства соотношений
B.16), B.19). Обозначим
где BQ$ (R), и введем характеристические функции
Тогда
®\J) (ЩХ\ = $0{V {t)* {x®e»-Y(i)«))V {Щ, B.21)
где Y{l)(t) = Q (t) и Y{2)(t) — A(t). Используя Квантовую фор-
формулу Ито, можно доказать, что функции B.21) удовлетворяют
уравнениям
йФ\п {Ц = %(п {\)-®\1] (Ъ) dt,
т. е.
Отсюда вытекает, что {Jft^} есть сверточная полугруппа, от-
отвечающая и.-процессу {Jfi[l}. В силу взаимной однозначности
соответствия между и.-процессами и сверточными полугруппами
(п. 4.2.5) отсюда следуют соотношений B.16), B.19).
2.4. Стохастические представления процессов непрерывного
измерения. Используя прием, который позволил получить в
п. 2.2 стохастические представления квантовой динамической
полугруппы, найдем соответствующие стохастические представ-
представления для процессов непрерывного измерения [105]. Из этих
представлений вытекает явное описание распределений вероят-
вероятностей в пространстве траекторий — исходов непрерывного из-
измерения и апостериорных состояний наблюдаемой квантовой
системы.
Рассмотрим сначала и.-процесс с генератором B.15). Как
отмечалось в п. 4.2.5, он сосредоточен на непрерывных траекто-
траекториях. Пусть mi, ¦—мера Винера в пространстве непрерывных
функций ff, отвечающая стандартному винеровскому процес-
процессу W,.
Предложение 1. И.-процесс [J(a\l} абсолютно непре-
непрерывен по мере (хA) в том смысле, что
, B.22)
где {V^'^W)}—семейство ограниченных операторов в Ж,
удовлетворяющее стохастическому дифференциальному уравне-
уравнению B.7) относительно меры (iA).
121
Доказательство основано на применении преобразования
дуальности к представлению B.17). При этом, как в п. 2.2,
появляются операторы V{tl)(W), а спектральная мера Р(о,1 се-
семейства Q(s); 0<s<t, диагонализуется, так что проектор
Ро,1(Е) переходит в индикатор множества Ee&o.tD'e-
Соотношение B.17) дает конкретное представление вполне
положительного инструмента Л о,] в виде D.1.12). Отсюда
получается распределение вероятностей в пространстве на-
наблюдаемых траекторий
Оно абсолютно непрерывно по мере Винера ра), причем плот-
плотность дается формулой
B-23)
и почти наверное положительна. Апостериорное состояние,
отвечающее наблюдаемой траектории Ws; 0<s'<t, есть
S{A) {W) = p\l) (^)-lV{tl)(W) SV\l){W)*. B.24)
Отметим, что если начальное состояние чистое, S=|i|>> (г|>|,
то апостериорные состояния являются чистыми S{ )(W) =
1^'Ч^) tf)W где
Перейдем к случаю считающего процесса с генератором
B.18). Пусть цB) — мера в пространстве 2), отвечающая пуас-
соновскому процессу единичной интенсивности.
Предложение 2. И.-процесс {М^ъ} абсолютно непреры-
непрерывен по мере цB), а именно
B.25)
Е
где {V\2)(N)} — семейство ограниченных операторов в 3@, Удов-
Удовлетворяющее стохастическому дифференциальному уравнению
B.9) относительно меры цB).
Доказательство соотношения B.25) требует некоторого пре-
преобразования представления B.20). Рассмотрим унитарные опе-
операторы Вейля Vx{t)=txp[zA+(t)—zA(t)], где zGC. При s<* име-
имеет место соотношение
которое проверяется с использованием уравнения A.27) и кван-
квантовой формулы Ито. Положим z=l, тогда Il(s) является пуас-
соновским процессом единичной интенсивности в пространстве
122
Фока. Обозначая Ut=Vi(t)*V(t), перепишем B.20) в виде
, B.26)
где Ро2,] — спектральная мера семейства совместимых наблюдае-
наблюдаеII 0^ И ф
, р р
мых II(s); 0<s<^. Из квантовой формулы Ито вытекает
уравнение для Ut:
dUt = {{L -I) dA+ (t)-(L- l)*dA (t) -
Вводя изометрические операторы V(P из Ж в $ по формуле
и учитывая соотношения B.5), получаем уравнение
W\2) = {{L-l)dn(t)-[iH + Y(L*L-l)]dt\v\2K B.27)
Унитарный оператор /A) из п. 2.1 переводит пространство Фока
F(L2(R+)) в L2(N), где iV, — классический пуассоновский про-
процесс единичной интенсивности, при этом уравнение B.27) пере-
переходит в B.9), проектор Ро,1 (Е) —в индикатор множества Е, а
формула B.26)—в представление B.25).
Для распределения вероятностей в пространстве наблюдае-
наблюдаемых траекторий и апостериорных состояний получаются форму-
формулы, аналогичные B.23) — B.25).
2.5. Нелинейные стохастические уравнения апостериорной ди-
динамики. Получим стохастические дифференциальные уравнения,
которым удовлетворяют наблюдаемые траектории и апостериор-
апостериорные состояния в процессе непрерывного квантового измерения.
Рассмотрим сначала процесс измерения наблюдаемой A = LArL*
с генератором B.15). Из уравнения B.7) для семейства
Vta)(W) и формулы B.23) вытекает, что плотность Pta>(W)
распределения вероятностей наблюдаемых траекторий ц8 отно-
относительно меры Винера ц,^ удовлетворяет стохастическому диф-
дифференциальному уравнению
dpp {W)=m, (W) Л° > W) <№t. B.28)
где
— апостериорное среднее наблюдаемой А. Отсюда следуети,
что наблюдаемый процесс Y(t) является процессом диффузион-
диффузионного типа, удовлетворяющим стохастическому дифференциаль-
дифференциальному уравнению
dY(t)=m,(Y)dt+dW,. B.29)
¦' См. Р. Ш. Липцер, А. Н. Ширяев. Статистика случайных процессов.—
М.: Наука, 1974, § 7.2.
123
Применяя стохастическое исчисление Ито, получаем уравнение
для апостериорного состояния B.24)
+ Sj1 \У) (L - tjit {У))*] \dY [t) - т, (У) dt], B.30)
где
Это уравнение блло получено В. П. Белавкиньм из рас-
рассмотрения квантового аналога задачи фильтрации случайных
процессов [64]. В случае чистых состояний уравнение для
вектора апостериорного состояния имеет вид
- mt(Y)dt]~
t. B.31)
Нелинейность уравнений B.30), B.31) обусловлена нормиров-
нормировкой апостериорных состояний B.24), в основе же лежит
линейное стохастическое уравнение B.7) типа уравнения Закаи
в классической теории фильтрации.
Большой интерес представляет задача вывода и исследова-
исследования уравнений B.30), B.31) в случае, когда L, Н — неограни-
неограниченные операторы. В работе В. П. Белавкина и Сташевского
[65] рассмотрено уравнение
t, B.32)
которое получается из B.31) формальной заменой Я = Р2/2т,
L — Q, где Р, Q — канонические наблюдаемые нерелятивистской
частицы массы т. Это соответствует непрерывному приближен-
приближенному измерению координаты свободной частицы. Найдено яв-
явное решение в случае гауссовского начального состояния и по-
показано, что оно является гауссовским с дисперсией, стремящей-
стремящейся к конечному пределу при ^-v+oo. Таким образом, уравне-
уравнение B.32) снимает известный квантовомеханический парадокс
с расплыванием волнового пакета свободной частицы.
Интересно, что сходные нелинейные уравнения, однако с со*
вершенно иной мотивировкой и интерпретацией, возникли прак-
практически одновременно в работах ряда авторов, занимающихся
поисками альтернативного концептуального обоснования тео-
теории квантового измерения. В работе, опубликованной в сбор-
сборнике [142], Гирарди, Римини и Вебер поставили вопрос о на-
нахождении уравнений, дающих единое описание микро- и макро-
макросистем, из которых, в частности, вытекали бы как обратимая
квантовая динамика, так и необратимые изменения типа цроек-
ционного постулата. Предлагались различные решения этого
124
вопроса; в работах Джизена [91], Гирарди, Пирла и Римини
[89] введено уравнение типа B.31), где, однако, вместо dY(t)~
mt{Y)dt фигурирует стохастический дифференциал некоторого
априорно данного винеровского процесса (уравнение в [91] от-
отличается за счет выбора фазового множителя у \|)<(|)). Пусть
Я = 0, Ь = Ъх{Е{ — самосопряженный оператор с чисто точечным
спектром. В [91], [89] отмечается, что получающееся уравнение
dfy = {L- (L)t)qtdWt~j(L- (L)t)*v?tdt> B-33)
где <L>( = <ij), |Z/i|>(>, дает динамическое описание проекционного
постулата 1ф->-'ф1-=?4т|з/||?41|)[|, в том смысле, что при t-^-\-oo
решение г|}< стремится к одному из состояний o|v В работе Гата-
река и Джизена [88] дано математическое исследование уравне-
уравнения B.33) для неограниченного оператора L, а также
уравнения типа B.32). Для доказательства существования сла-
слабого решения эти авторы использовали формальный прием пре-
преобразования вероятностной меры (теорему Гирсанова), который
в схеме непрерывного измерения имеет содержательный смысл
перехода от процесса Y(t) к винеровскому процессу Wt, опре-
определяемого формулой B.29).
В случае считающего процесса с генератором B.18) стохас-
стохастическое уравнение для плотности в пространстве траекторий
имеет вид
где
— апостериорная интенсивность скачков. Уравнение для
апостериорного состояния
' (У) L* 1
y[[dY(t)K(Y)di] B.34)
В статье В. П. Белавина в сборнике [35] приведено общее не-
нелинейное уравнение квантовой фильтрации, включающее в себя
как уравнение B.30), так и B.34).
ЛИТЕРАТУРА
Приведенная ниже библиография не претендует на полноту. Чтобы об-
облегчить пользование списком литературы, при его составлении предпочтение
отдавалось монографиям, сборникам статей и обзорным работам. Ссылки на
отдельные статьи носят, в основном, дополняющий характер и даются обыч-
обычно в тех случаях, когда содержание этих статей не охватывается в доста-
достаточной мере перечисленными видами обобщающих публикаций. В частности,
125
значительная доля статей содержится в трудах конференций по квантовой
теории вероятностей и ее приложениям [141] — [145] (см. также сборник пе-
переводов [20]). В таких случаях в тексте приводится имя автора оригиналь-
оригинальной работы н дается ссылка на соответствующий сборник нли обзор.
1. Артемьев А. Ю. Классификация квантовых марковских кинетических
уравнений спиновых систем по группам симметрии окружения // Теор.
и мат. физ.— 1989.— 79, № 3.— С. 323—333
2. Ахиезер Н. И., Глазман И. М. Теория линейных операторов в гильбер-
гильбертовом пространстве.— М.: Наука, 1966.— 543 с.
3. Белавкин В. П. Теорема реконструкции для квантового случайного про-
процесса // Теор. и мат. физ.— 1985.— 62, № 3.— С. 409—431
4. — Квантовые ветвящиеся процессы и нелинейная динамика многокван-
многоквантовых систем // Докл. АН СССР.— 1988.— 301, № 6.— С. 1348—1352
5. —, Гришанин Б. А. Исследование проблемы оптимального оценивания
в квантовых каналах методом обобщенного неравенства Гейзенберга //
Пробл. передачи информации.— 1973.— 5, № 3.— С. 44—52
6. Березин Ф. А. Метод вторичного квантования.— М.: Наука 1986.—
319 с.
7. Боголюбов Н. Н., Логунов А. А., Оксак А. И., Тодоров И. Т. Общие
принципы квантовой теории поля.— М.: Наука, 1987.— 615 с.
8. Богомолов Н. А. Минимаксные измерения в общей теории статистиче-
статистических решений // Теория вероятностей и ее применения.— 1981.— 26,
№ 4.— С.798— 807
9. Браттели У., Робинсон Д. Операторные алгебры и квантовая статисти-
статистическая механика.— М.: Мир, 1982.— 511 с. (Пер.: Bratteli О., 'Robin-
'Robinson D. W. Operator algebras and quantum statistical mechanics 1.— New
York, Heidelberg, Berlin: Springer Verlag, 1,979)
10. Вейль Г. Теория групп и квантовая механика.— М.: Наука, 1986.—
495 с. (Пер.: Weyt H. Gruppentheorie und quantenmechanik.— Leipzig:
S. Hirzel, 1928)
11. Вигнер Е. Этюды о симметрии.— M.: Мир, 1971.— 318 с. (Пер.\Wig-
ner Е. P. Symmetries and reflections.— Bloomington — London: Indiana
Univ. Press, 1970)
12. Глаубер Р. Оптическая когерентность и статистика фотонов (в сб.
«Квантовая оптика и квантовая радиофизика»).— М.: Мир, 1966.— С.
91—279 (Пер.: Glauber R. J. The quantum theory of optical coherence //
Phys. Rev.— 1963.— 130.— С 2529—2539)
13. Гренандер У. Вероятности на алгебраических структурах.— М.: Мир,
1965.— 275 с. (Пер.: Grenander U. Probabilities on algebraic structures.—
Stockholm, Qoteborg, Uppsala: Almquist and Wiksell, 1963)
14. Гриб А. А. Неравенства Белла и экспериментальная проверка кванто-
квантовых корреляций на макроскопических расстояниях // Успехи физ. наук.
— 1984— 142, вып. 4.— С. 619—634
15. Денисов Л. В. Безгранично делимые марковские отображения в кванто-
квантовой теории вероятностей // Теория вероятностей и ее применения.—
1988— 33, № 2.— С. 417—420
16. Дирак П. Принципы квантовой механики.— М.: Наука, 1979.— 480 с.
(Пер.: Dime P. A. М. The principles of quantum mechanics, 4th ed.—
Oxford: Oxford Univ. Press, 1958)
17 Додонов В В Манько В. И. Обобщения соотношений неопределенно-
неопределенностей в квантовой механике // Тр. ФИАН СССР— 1987.— 183.— С.
5—70
18 Известия ВУЗов. Математика. Т. 8B43).— Изд-во Казан, ун-та, 1982.—
79 с.
19. Каррузерс П., Ньето М. Переменные фаза-угол в квантовой механике.
В сб. «Когерентные состояния в квантовой теории».— М.: Мир,ч>!972.—
С 71—146 (Пер.- Carruthers P., Nieto M. M. Phase and angle variables
in quantum mechanics // Rev. Mod. Phys.- 1968.— 40B).- С 411-440)
126
20. Квантовые случайные процессы и открытые системы. Сер. Математика.
Новое в зарубежной науке. Вып. 42.— М.: Мир, 1988.— 222 с.
21. Клаудер Дж. Сударшан Э. Основы квантовой оптикн.— М.: Мир, 1970.
— 428 с. (Пер.: Klauder I. R., Sudarshan E. С. G. Fundamentals of
quantum optics.— New York, Amsterdam: W. A. Benjamin Inc., 1968)
22. Колмогоров А. Н. Основные понятия теории вероятностей.— М.: Наука,
1974.- 119 с.
23. Макки Дж. Лекции по математическим основам квантовой механики.—-
М.: Мир, 1965.— 222 с. (Пер.: Mackey G. W. Mathematical foundations
of quantum mechanics.— New York: W. A. Benjamin Inc., 1963)
24. Маслов В. П. Операторные методы.— М.: Наука, 1973.— 538 с.
25. Менский М. Б. Группа путей: измерения, поля, частицы.—• М.: Наука,
1983,— 319 с.
26. фон Нейман Дж. Математические основы квантовой механики. — М.:
Наука, 1964.— 367 с. (Пер.: von Neumann J. Mathematische grundlagen
der quantenmechanik.— Berlin: Springer Verlag, 1932)
27. Оселедец В. И. Вполне положительные линейные отображения, нега-
мильтонова эволюция и квантовые стохастические процессы // Итоги
наукн и техн. Теория вероятностей. Мат. статистика Теоретич. ки-
кибернетика.— ВИНИТИ, 1983.— 20.— С. 52—94
28. Прохоров Ю. В., Розанов Ю. А. Теория вероятностей.— М.: Наука,
1967.— 495 с.
29. Рид М., Саймон Б. Методы современной математической физики. Т. 2.—
М.: Наука, 1978.— 395 с. (Пер.: Reed M., Simon В. Methods of modern
mathematical physics. II.— New York, San Francisco, London: Acad.
Press, 1975)
30. Рисе Б., Сёкефальви-Надь Б. Лекции по функциональному анализу.—
М.: Мир, 1979.— 587 с. (Пер.: Riesz F., Sz.-Nagy, Lecons d'analyse
fonctioneile, 6 eme ed.— Budapest: Acad. Kiado, 1972)
31. Сарымсаков Т. А. Введение в квантовую теорию вероятностей.— Таш-
Ташкент: ФАН, 1985.— 142 с.
32. Сигал И. Математические проблемы релятивистской физики.— М.: Мир,
1968.— 191 с. (Пер.: Segal I. Mathematical problems of relativistic phy-
physics.— Providence, Rhode Island: Amer. Math. Soc.— 1963)
33. Скороход А. В. Операторные стохастические дифференциальные урав-
уравнения и стохастические полугруппы // Успехи мат. наук.— 1982.— 37,
№ 6.— С. 157—183.
34. Современные проблемы математики. Новейшие достижения.— ВИНИТИ,
1985— 27.— 230 с.
35. Современные проблемы математики. Новейшие достижения.— ВИНИТИ,
1990.— 36.— 185 с.
36. Стратонович Р. Л., Ванцян А. Г. Об асимптотически безошибочном де-
декодировании в чистых квантовых каналах // Пробл. упр. и теории ин-
форм.— 1978.— 7, № 3.— С. 161—174
37. Хелстром К. У. Квантовая теория проверки гипотез и оценивания.— М.:
Мир, 1979.— 344 с. (Пер.: Helstrom С. W. Quantum detection and esti-
estimation theory.— New York: Acad. Press, 1976)
38. Холево А. С. Аналог теории статистических решений в некоммутативной
теории вероятностей // Тр. моек, матем. об-ва.— 1972.— 26.— С.
133—149
39. —. К математической теории квантовых каналов связи // Пробл. пе-
передачи информ.— 1972.— 8, № 1.— С. 62—71
40. — Некоторые оценки для количества информации, передаваемого кван-
квантовым каналом связи // Пробл. передачи информ.— 1973.— 9, № 3.—
С. 3—11
41 — Исследования по общей теории статистических решений // Тр.
МИАН СССР, т. 124.— М.: Наука, 1976— 140 с.
42. —. О пропускной способности квантового канала связи // Пробл. пе-
передачи информации.— 1979.— 15, № 4.— С. 3—11
127
43. — Вероятностные и статистические аспекты квантовой теории.— М •
Наука, 1980.— 320 с.
44. — О проверке статистических гипотез в квантовой теории // Probability
and mathematical statistics.— 1982.— 3, № 1.— С. 113—126
45. — Статистическая структура квантовой механики и скрытые парамет-
параметры.— М.: Знание, 1985.— 32 с.
46. — Об одном обобщении канонического квантования // Изв. АН СССР.
Сер. мат.— 1986.— 50, Л» 1.— С. 181 — 194
47. — Безгранично делимые измерения в квантовой теории вероятностей //
Теор. вероятностей и ее применения.— 1986.— 31. № 3.— С. 560—564
48. Цирельсон Б. С. Квантовые аналоги неравенств Белла. Случай двух
пространственно разделенных областей // Зап. науч. семинаров ЛОМИ.
Проблемы вероятностных распределений. IX.— 1985.— 142.— С. 175—
194
49. Чеботарев А. М. Достаточные условия консервативности диссипативных
динамических полугрупп // Тео'р. и мат физ.— 1989.— 80, № 2.— С.
192- 211
50. Чениов Н. Н. Статистические решающие правила и оптимальные выво-
выводы,— .М.; Наука, 1972.— 520 с.
51. Эмх Ж. Алгебраические методы в статистической механике и кванто-
квантовой теории поля.— М.: Мир, 1976.-- 423 с. (Пер.: Emch G. G. Algebraic
methods in statistical mechanics and quantum field theory.— New York:
Wiley Iuterscience, 1972)
52. Accardi L, Alicki R., Lu Y. G., Frigerio A. An invitation to the weak
coupling and low density limits // Preprint, Centro matematico V. Vol-
ierra.-- 1990,— № 41.— 58 c.
53. Accardi L., Bach A. Quantum central limit theorems for strongly mixing
rpndom variables // Z. Walirscheinlichkeitstheor und verw. Geb.— 1985.—
68.— С 393—402
54. Accardi L.. Schurmann M., von Waldenfels W. Quantum independent in-
increment processes on superalgebras // Math. Z.— 1988.— 198.— C.
451—477
55. Ali S. Т.. Prugovecki E. .Mathematical problems of stochastic quantum
mechanics: harmonic analysis on phase space and quantum geometry //
Acta Appl. Math.— 1986.— 6— С 1—62
56. Alicki R., Lendi K. Quantum dynamical semigroups and applications //
Lect. Notes Phys.— 1987.— 286.— 196 с
57. Ando Т.. Choi M. D. Non-linear completely positive maps. In: «Aspects of
positivity in functional analysis» (eds: Nagel R., Schlotterbeek U.,
Wolff M. P. Я.)— Elsevier, "(North Holland), 1986.— С 3—13
58. Balslev E.. Verbeure A. States on Clifford algebras // Commun. Math.
Phys.— 1968.— 7, № 1.— С 55—76
59. Barchielli A., Lanz L, Prosperi G. M. A model for macroscopic descrip-
description and continuous observations in quantum mecha.nics /,/ Nuovo cim.—
1982.— 72В,- С 79—21
60. —, —, — Statistics of continuous trajectories in quantum mechanics: ope-
operation-valued stochastic processes // Found. Phys.— 1983.— 13.— C.
779—812
61. —, Lupieri G. Quantum stochastic calculus, operation valued stochastic
processes and continual measurements in quantum mechanics // J. Math.
Phys— 1985.— 26, № 9.— С 2222—2230
62 Barnett С Streater R. E., Wilde I. F. The Ito—Clifford integral // J.
Funct. Anal.— 1982.— 48, № 2.— С 172—212
63 Belavkin V P. Optimal multiple quantum statistical hypothesis testing //
Stochast— 1975,— /.— С 315—345
64. _ Nondemolition stochastic calculus in Fock space and nonlinear fil-
filtering and control in quantum systems. In: Stochastic methods in mathe-
mathematics and physics. Proc. 24 Karpacz winter school, 1988 (eds* Giele-
rak R., Karwowski W.) — Singapore; World Scientific— 1989.— С
310—324
128
65. —, Staszewski P. A quantum particle undergoing continuous observation
// Phys. Lett. A.— 1989.— 140, № 7, 8.— С 359—362
66. Bell J. S. On the problem of hidden variables in quantum mechanics //
Rev. Mod. Phys.— 1966,— 38.— C. 447—452
67. Benjballah C, Charbit M. Quantum communication with coherent states
//IEEE Trans. Inform. Theory.— 1989.— 35, № 5.— С 1114—1123
68. Berberian S. K. Notes on spectral theory.— Princeton: D. Van Nostrand,
1966.— 122 s.
69. Braginsky V. В., Vorontzov Y. I., Thorne K. S. Quantum nondemolition
measurement /,' Science.— 1980.— 209, № 4456.— C. 547—557
70. Bratteli 0., Robinson D. Operator algebras and quantum statistical me-
mechanics. II.— Berlin, Heidelberg, New York; Springer—Verlag, 1981
71. Castrigiano D. P. L. On euclidean systems of covariance for massless
particles II Lett. Math. Phys.— 1981.—'5.— C. 303—309
72. Cattanro U. On Mackey's imprimitivity theorem // Commun. Math. Helv.
— !'O9,— .¦'••/• -Vs 4.— C. 629—64!
73. Densities of covariant observables // J. Math. Phys.— 1982,— 23,
jYo д.._ .". f)-:-i_064
74. Chambers \\". G. Quantum bounds on the information capacity of narrow-
narrowband free-spcce iinks without extraneous noise // J. Phys. A: Math. Gen.
— \'№.— /¦/.— С 133—143
75. Chcbolarei' A. M., Fagnola F., Frigerio A. Towards a stochastic Stone's
theorem. Preprint. University of Trento. — 1990.— 13 с
76. Christensen ?.. Evans D. E. Cohomology of operator algebras and quan-
quantum rtvnamical semigroups // J. London Math. Soc.— 1979.— 20, № 2.—
С 358'— V,8
77. Cushci C. D., Hudson R. L. A quantum mechanical central limit theo-
theorem. II J. Appi. Probab,— 1971.— 8.— С 454—469
78. Davies E. B. Quantum theory of open systems.— London: Acad. Press,
1976.— 171 с
79. —. Quantum dynamical semigroups and the neutron diffusion equation //
Rept. Math. Phys— 1977.— //, № 2.— С 169—188
80. —. Information and quantum measurement // IEEE Trans. Inform. Theo-
Theory.— 1978.— 11-24.— C. 596
81. —, Lewis I. T. An operational approach to quantum probability // Com-
Commun. Math. Phys— 1970.— 17.— С 239—260
82. Emery M. Stabilite des solutions des equations differentielles stochasti-
ques: applications aux integrals multiplicatives stochastiques // Z. Wahr-
scheinlichkeitsiheor. und werw. Gebiete.— 1978.— 41— C. 241—262
83. Evans D. E. A review on semigroups of completely positive maps // Lect.
Notes Phys.— 1980— Ив.— С. 400—406
84. —, Lewis' J. T. Dilations on irreversible evolutions in algebraic quantum
theory // Commun. of the Dublin Inst. of Adv. Stud., Ser. A.— 1977.—
24.—' 104 с
85. Foundations of quantum mechanics and ordered linear spaces (eds Hart-
kamper A., Neumann H.) // Lect. Notes Phys. Berlin, Heidelberg. New
York: Springer—Verlag, 1974.— 29.— 355 с
86. Friedman С N. Semigroup product formulas, compressions and continual
observations in quantum mechanics // Indiana Univ. Math. J.— 1972.—
21, № П.— С 1001—1013
87. Frigerio A., Maassen H. Quantum Poisson processes and dilations of
dynamical semigroups // Probab. Theory Rel. Fields.-— 1989.— 83, № 4.
— С 489—508
88. Gatarek D., Gisin N. Continuous quantum jumps and infinitedimensional
stochastic equations // Preprint. Universite de Geneve.— 1990.— 15 с
89. Chirardi G., Pearle P., Rimini A. Markov processes in Hilbert space and
continuous spontaneour localization of systems of identical particles //
Preprint ICTP. Trieste.— IC/89/44— 1989.— 28 с
90. Giri N., von Waldenfels W. An algebraic version of the central limit
9—9280 1^
theorem// Z. Wahrscheinlichkeitstheor. und verw Gebiete— 1978.— 42,
№ 2.— С 129—134
91. Gisin N. Stochastic quantum dynamics and relativity // Helv. Phys.
Acta.— 1989.— 62.— С 363—371
92. Goderis D., Verbeure A., Vets P. Non-commutative central limits // Pro-
bab. Theory Rel. Fields.— 1989.— 82, № 4.— С 527—544
93. Gorini V., Frigerio A., Verri M., Kossakowski A., Sudarshan E. С G.
Properties of quantum Markovian master equations // Rept Math Phys —
1978.— 13, № 2.— С 149-173
94. Groh U. Positive semigroups on C*- and W*-algebras // Lect. Notes
Math.— 1986— 1184.— C. 369—425
95. Qudder S. Stochastic methods in quantum mechanics.— New York: North
Holland, 1979
96. Guichardet A. Symmetric Hilbert spaces and related topics // Lect. Notes
Math.— 1972.— 261.— 197 с
97. Hegerfeldt G. С Noncommutative analogs of probabilistic notions and
results // J. Funct. Anal.— 1985.— 64, № 3.— С 436—456
98. Holevo A. S. Problems in the mathematical theory of quantum communi-
communication channels J/ Rept. Math. Phys.— 1977.— 12, № 2.— С 253—258
99. — Estimation of shift parameter of a quantum state y/ Rept. Math.
Phys.— 1978— 13, № 3.— С 287—307
100. — Bounds for generalized uncertainty of the shift parameter // Lect.
Notes Math.— 1983.— 1021— С 243—251
101. — Statistical definition of observable and the structure of statistical mo-
model .// Rep. Math. Phys.— 1985.— 22, № 3.— С 385—407
102. — Conditionally positive definite functions in quantum probability //
Proc. of International Congress of Mathematicians, Berkeley, Calif.,
USA, 1986.— 1987.— С 1011—1020
103. — Quantum estimation // Odv. Statist. Signal Processing.—1987.— /.—
С 157—202
104. — An analog of the Ito decomposition for multiplicative processes with
values in a Lie group // Sankhya.— 1990
105. — Inference for quantum processes // Proc. Internat. Workshop on
Quantum Aspects of Optical Communication, Paris, 1990
106. Hudson'R. L. A quantum mechanical central limit theorem for anti-corn -
muting observables // J. Appl. Probab.— 1973.— 10, № з._ с. 502—509
107. —, Applebaum D. Fermion Ito's formula and stochastic evolutions //
Commun. Math. Phys.— 1984.— 96.— С 473—456
108. —, Parthasarathy K- R- Quantum Ito's formula and stochastic evolutions
// Commun. Math. Phys.— 1984— 93, № 3.— С 301—323
109. — Unification of Fermion and Boson stochastic calculus // Commun.
Math. Phys.— 1986.— 104.— С 457—470
110. Ingarden R. S. Quantum information theory // Rept. Math. Phys.— 1976.
— 10, ,№ 1.— С 43—72
111 Jajte P. Strong limit theorems in noncommutative probability // Lect.
Notes Math.— 1985.— 1110.— 152 с
112. Jergensen P. Т., Moore R. T. Operator commutation relations.— Dod-
recht: Reidel, 1984.— 493 с
113. Journe J.-L. Structure des cocycles markoviens sur l'espace de Fock //
Probab. Theory Rel. Fields.— 1987.— 75, № 2— С 291—316
114. Khalfin L. A., Tsirelson B. S. Quantum and quasi-local analogs of Bell
inequalities. In: Symp. on the foundations of modem physics (ed:
P. Lahti P. Mittelstaedt).— 1985.— С 441—460
115. Kochen S., Specker E. The problem of hidden variables in quantum me-
systems // Rept. Math. Phys.— 1972.— ПО— С. 59—87
116. Kossakowski A. On quantum statistical mechanics of non-hamiltonian
systems ,// Rept. Math. Phys.— 1972.— 3, № 4.— С 247—274
117. Kraus K- General state changes in quantum theory // Ann. Phys.—
1971.— 64, № 2.— С 331—335
130
118. — States, effects and operations // Lect. Notes Phys.— 1983, 190.—
151 с
119. Kiimmerer B. Markov dilations on W*-algebras // J. Funct Anal— 1985
— 63, № 2.— С 139—177
120. Kiimmerer В., Maassen H. The essentially commutative dilations of dyna-
dynamical semigroups on Mn // Commun. Math. Phys— 1987— 109.—
C. 1—22
121. Lindblad G. Entropy, information and quantum measurement '/ Commun.
Math. Phys.— 1973.— 33.— С 305—222
122. — Completely positive maps and entropy inequalities // Commun Math.
Phys.— 1975.— 40.— С 147—151
123. — On the generators of quantum dynamical semigroup // Commun. Math.
Phys— 1976.— 48.— С 119—130
124. — Non-markovian quantum stochastic processes and their entropy //
Commun. Math. Phys.— 1979.— 65.— С 281—294
125. Ludwig G. Foundations of quantum mechanics I.— New York/Heidel-
York/Heidelberg/Berlin: Springer—Verlag, 1983.— 426 с
126. Mackey G. W. Unitary group representations in physics, probability and
number theory.— Reading Mass. London: Benjamm/cummings publ.
сотр., 1978
127. Manuceau I., Verbeure A. Quasifree states of the CGR // Commun Math.
Phys.— 1968.— 9, № 4,— С. 293—302
128. Meyer P.-A. Elements de probabilities quantiques // Lect. Notes Math.—
1986.— 1204— С 186—312
129. Mietnik B. Global mobility of Schrodinger's particle // Rept. Math. Phys.
_ 1977.— 12, № 3.— С 331—339
130. Misra В., Sudarshan E. C. G. The Zeno's paradox in quantum theory //
J. Math. Phys.— 1977.— 18, № 4.— С 756—763
131. Nelson E. Dynamical theories of Brownian motion.— Princeton, N. J.,
1967
132. — Field theory and the future of stochastic mechanics // Lect. Notes
Phys.— 1986.—' 262.— C. 438—469
133. Ozawa M. Optimal measurements for general quantum systems /,' Rep.
Math. Phys— 1980.— 18, № 1.— С 11—28
134. — Quantum measuring processes of continuous observables // J. Math.
Phys.— 1984.— 25.— C. 79—87
135. — Conditional probability and a posteriori states in quantum mechanics
// Publ. RIMS Kyoto Univ.— 1985.— 21, № 2.— С 279—295
136. — Measuring processes and repeatability hypothesis // Lect. Notes Math.
— 1987.— 1299.— C. 412—421
137. Parthasarathy K. R. Azema martingales and quantum stochastic calculus
/,/ Preprint ISI—1989.— 20 с
138. —, Schmidt K. Positive definite kernels, continuous tensor products, and
central limit theorems of probability theory // Lect. Notes Math.—
1972.— 272.— 107 с
139. Petz D. Sufficient subalgebras and the relative entropy of states of
a von Neumann algebra // Commun. Math. Phys.— 1986.— 105.—
C. 123—131
140. Quantum optics, experimental gravitation and measurement theory (eds
Meystre P., Scully M. O.).— New York: Plenum, 1983
141. Quantum probability and applications to the quantum theory of irrever-
irreversible processes. Proc. Villa Mondragone, 1982 (eds Accardi L, Frige-
no A., Gorini V.)— Lect. Notes Math— 1984.— 1055.— 441 с
142. Quantum probability and applications. II. Proc. Heidelberg, 1984 (eds
Accardi L, von Waldenfels W.) — Lect. Notes Math.— 1985.— 1136.—
534 с
143 Quantum probability and applications. III. Proc. Oberwolfach, 1987 (ed.
Accardi L., von Waldenfels W.).— Lect. Notes Math.— 1988.— .ШЗ.—
373 c.
9* 131
144. Quantum probability and applications. IV. Proc. Rome, 1987 (ed. Accar-
di L, von Waldenfels W.).— Lect. Notes Math.— 1989.— 1396.— 355 с
145. Quantum probability and applications. V. Proc. Heidelberg, 1988 (ed.
Accardi L, von Waldenfels W.).— Lect. Notes Math.— 1990,— 1442
146. Sauvageot J.-L. Markov quantum semigroups admit covariant Markov
C*-dilation // Commun. Math. Phys.— 1986.— 106.— С 91—103
147. Schiirmann M. Noncommutative stochastic processes with independent and
stationary increments satisfy quantum stochastic differential equations
// Probab. Theory Rel. Fields.— 1990.— 84.— C. 473—490
148. Scuiaru H. Coherent states and induced representations // Lett. Math.
Phjs.— 1977.— 2. № 2.— C. 101—107
149. — Some remarks on covariant completely positive linear maps on C*-?l-
gebra if Rept. Math. Phys.— 1979.— 16, № l.— С 79—87
150. Shale D., Stinespring W. States of the Clifford algebra // Ann. Math.—
1964,— SO, N° 2.— С 365—381
151. Speicher R. A new example of «independence» and «white noise» // Pro-
Probability Theory and Related Fields.— 1990.— 84, № 2.— C. 141—160
152. Spolw H. Kinetif equations from HamiHonian dynamics: Markovian li-
limits II Rev. Mod. Рлуь.— 1980.— 53, № 3.— С 569—615
153. Srinivas M. D. СоПарье postulate for observables with continuous spec-
irum // Commun. Math. Phys.-- 1980,— 71.— С 131—158
154. —. Davies E. B. Photon counting probability in quantum optics // Out.
Acta.-- 1981.— 28, № ?.--- C. 981—996
155. Sfratcnovidi R. L. The quantum generalization of optimal statistical
estimation and hypothesis testing /,/ Stochast.— 1973.— 1, № 1,—
С 87—126
156. Summers S. J., Werner R. Bell's inequalities and quantum field theory.
II. Bell's inequalities are maximally violated in the vacuum // J. Math.
Phys.— 1987.— 28 A0).— C. 2448—2456
157. Takesaki M. Conditional expectations in von Neumann algebra // J. Funct.
Anal— 1972.— P.— С 306—321
158. Umegaki H. Conditional expectations in an operator algebra. IV. (Entro-
(Entropy and information) // Kodai Math, semin repts.— 1962.— 14, № 2.—
C. 59—85
159. The uncertainty principle and foundations of quantum mechanics (eds
Price W. С ., Chissick G. S.).— London: Wiley, 1977
160. Varadarajan V. S. Geometry of quantum theory.— New York/Berlin/
/Heidelberg/Tokyo: Springer—Verlag, 1985.— 412 с
161. Vincent-Smith G. F. Dilation of a dissipative quantum dynamical system
to a quantum Markov process /,/ Proc. London Math. Soc.— 1989.— 59,
N° 1.— С 58—72
162 Voiculescu D. Symmetries of some reduced free product O*-algebras //
Lect. Notes Math.— 1985.— 1132.— C. 556—588
163. — Addition of certain non-commuting random variables fj J. Funct.
Anal.— 1986— 66.— С 323—346
164. von Waldenfels W. An algebraic central limit theorem in the anticom-
muting case // Z. Wahrscheinlichkeitstheor und verw. Geb.— 1978.— 43,
№ 2.— С 135—140
165 Waniewski J. Theorem about completeness of quantum mechanical mo-
motion group // Rept. Math. Phys.— 1977.— 11, №. 3.— С 331—339
166 Wehrl A. General properties of entropy // Rev. Modern Phys.,— 1978.—
50.— C. 221—260
ИМЕННОЙ УКАЗАТЕЛЬ К СТАТЬЕ А. С. ХОЛЕВО
Азема (Azema J.) 116
Аккарди (Accardi L.) 19, 37, 74, 82,
111, 113, 128, 131, 132
Али (АН S. Т.) 69, 128
Алицки (Alicki R.) 84, 128
Альбеверио (Albeverio S.) 81
Андо (Ando R.) 71, 128
Аншелевич В. В. 37, 81
Араки (Araki H.) 19, 60, 113
Аратари (Aratari С.) 84
Артемьев А. Ю. 126
Ахиезер Н. И. 126
Аюпов Ш. А. 22
Балслев (Balslev E.) 128
Баргман (Bargmann V.) 28
Баркиелли (Barchielli А.) 95, 100,
119, 128
Барнетт (Barnett С.) 108, 128
Бах (Bach A.) 37, 128
Белавкин В. П. 52, 55, 56, 84, 85,
108, 109, ПО, 124, 125, 126, 128
Белл (Bell J.) 13, 38, 39, 41, 129
Бенджбаллах (Benjballah С.) 55, 129
Бербериан (Berberian S. К.) 128
Березин Ф. А. 126
Бернулли (Bernoulli J.) 26, 35
Блох (Bloch L.) 80
Боголюбов Н. Н. 126
Богомолов Н. А. 56, 126
Больцман (Boltzmann L.) 84
Бор (Bohr N.) 46
Брагинский В. Б. 128
Браттели (Bratteli U.) 126, 128
Бриллюэн (Brillouin L.) 15
Вайтман (Wightman A. S.) 68
Вальд (Wald A.) 14, 56
фон Вальденфельс (von Walden-
fels W.) 35, 36, 111, 112, 128, 129,
131, 132
Ваневский (Waniewski J.) 90, 132
Ванцян А. Г. 55, 127
Варадарайан (Varadarajan V. S.) 11,
28, 132
Вебер (Weber T.) 124
Вейль Г. (Weyl H.) 29, 31, 113, 126
Вербер (Verbeure A.) 37, 128, 130,
,131
Верль (Wehrl A.) 72, 132
Вернер (Werner R.) 42, 132
Верри (Verri M.) 130
Ветс (Vets P.) 37, 130
Вигнер (Wigner E. P.) 27, 28, 36,
39, 68, 126
Винер (Wiener N.) 116
Винсент-Смит (Vincent-Smith Q F)
84, 132 '
Войкулеску (Voiculescu D.) 36, 132
Воронцов Ю. И. 128
Габор (Gabor D.) 15
Гаддер (Gudder S.) 11, 130
Галилей (Galilei G.) 29, 68
Гатарек (Gatarek D.) 125, 129
Гейзенберг (Heizenberg W.) 28
Гельфанд И. М. 70
Гирарди (Ghirardi G.-C.) 124, 125,
129
Гихман И. И. 101
Гишарде (Guichardet A.) 130
Глазман И. М. 126
Глаубер (Glauber R.) 126
Глисон (Gleason A. M.) 21, 38
Годерис (Goderis D.) 37, 130
Гольдштейн М. Ш. 36, 37, 81
Горини (Gorini V.) 18, 75, 83, 130,
131
Грснандер (Grenander U.) 126
Грейвс (Graves С.) 30
Гриб А. А. 126
Гринлиф (Greenleaf F.) 92
Гришанин Б. А. 56, 126
Гротендик (Grotendieck A.) 43
Грох (Groh U.) 81, 130
Даниэль (Daniell P.) 18, 84
Денисов Л. В. 126
Джизен (Gisin N.) 125, 129, 130
Дирак (Dirac P. A. M.) 126
Додонов В. В. 126
Долинар (Doliinar S.) 90
Дэвис (Davies E. В.) 15, 17, 18, 72,
75, 77, 78, 81, 82, 85, 95, 96, 100,
129, 132
Журне (Journe J.-L.) 107, 108, ПО,
130
Закаи (Zakai M.) 124
Ингарден (Ingarden R. S.) 55, 130
Ито (Ко К.) 19, 108, 116
Иоргенсен (Jorgensen P. Т.) 30, 130
Карлеман (Carleman Т.) 44
Каррузерс (Carruthers P.) 126
Кастлер (Kastler D.) 72
Кастрижьяно (Castrigiano D. P. L.)
69, 128
266
Каттанео (Cattaneo U.) 63, 128
Кеннеди (Kennedy R. S.) 52
Клаудер (Klauder J.) 126
Клаузер (Clauser J. F.) 40
Колмогоров А. Н. 7, 18, 82, 84, 126
Коссаковски (Kossakowski A.) 18, 75,
130
Кошен (Kochen S.) 38, 130
Крамер (Cramer H.) 58
Kpayc (Kraus K-) 68, 130
Крейн М. Г. 53
Кристенссн (Christensen E.) 77, 129
Куагебер (Quagebeur J.) 37
Кэдисон (Kadison R. V.) 70
Кюммерер (Kummerer B.) 80, 83, 131
Ланц (Lanz L.) 95, 100, 128
Леви (Levi P.) 18, 96
Левитин Л. Б. 64
Либ (Lieb E. H.) 37
Линдблад (Lindblad Q.) 18, 55, 72,
75, 84, 131
Линдсей (Lindsay J. M.) 110, 113
Липцер Р. Ш. 123
Логунов А. А. 126
Лу "(Lu Y. G.) 128
Лупиери (Lupieri G.-C.) 119, 128
Лаке (Lax M.) 52, 59
Людвиг (Ludwig G.) 11, 15, 48, 72,
131
Льюис (Lewis J. T.) 15, 17, 19, 72,
82, 85, 129
Маассен (Maassen H.) 83, 104, 113,
129
Макки (Mackey J.) 11, 21, 62, 64,
127, 130
Мак-Кин (McKean H. Р.) 84
Манько В. И. 126
Манюсо (Manuceau J.) 131
Маслов В. П. 127
Мейер (Meyer P.-A.) 113, 116, 131
Мельник (Mielnik В.) 90, 131
Менский М. Б. 96, 127
Мисра (Misra В.) 95, 131
Морозова Е. А. 60, 80
Мур (Moore R. Т.) 30, 130
Наймарк М. А. 15, 44, 46, 49, 63,
70
фон Нейман (von Neumann J.) 7, 10,
13, 16, 22, 30, 38, 53, 86, 93, 127
Нельсон (Nelson E.) 42, 131
Ньето (Nieto M.) 126
Ньютон Т. (Newton Т.) 68
Озава (Ozawa M.) 56, 86,
93, 119, 131
Оксак А. И. 126
•Оселедец В. И. 127
88, 91,
Партасарати (Parthasarathy К. R.)
19, 37, 106, 108, 109, ПО, 112, ИЗ,
115, 130, 131
Паули (Pauli W.) 25, 67
Петц (Petz D.) 56, 72, 74, 81, 131
Пирл (Pearle P.) 125, 129
Проспери (Prosperi G. М.) 95, 100,
128
Прохоров Ю. В. 127
Пруговечки (Prugovecki E.) 69, 128
Пуанкаре (Poincare H.) 68
Раджио (Raggio S.) 60
Pao (Rao С. R.) 58
Рид (Read M.) 127
Римини (Rimini A.) 125, 129
Рисе (Riesz F.) 22, 58, 127
Робертсон (Robertson H. Р.) 24
Робинсон Д. (Robinson D.) 126, 128
Робинсон П. (Robinson P.) 113
Розанов Ю. В. 127
Розенблатт (Rosenblatt M.) 37
Саймон (Simon В.) 127
Саммерс (Summers S. J.) 42, 132
Сарымсаков Т. А. 37, 81, 127
Секефальви-Надь (Sz.-Nagy В.) 127
Сигал (Segal I. M.) 11, 70, 114, 127
Синай Я. Г 80
Синха (Sinha К.) 108
Скороход А. В. 101, 103, 111, 127
Скутару (Scutaru H.) 63, 132
Соважо (Sauvageout J.-L.) 84, 132
Стайнспринг (Stinespring W. F.) 70,
132
Сташевски (Staszewski P.) 124, 129
Стоун (Stone M. Н.) 16, 22, 28, 30
Стратонович Р. Л. 52, 55, 59, 127,
132
Стритср (Streater R. F.) 19, 84, 108,
113, 128
Сударшан (Sudarshan E. С. G.) 18,
75, 95, 126, 130, 131
Такесаки (Takesaki M.) 73, 132
Тодоров И. Т. 126
Торн (Thorne К- S.) 128
Уайльд (Wilde I. F.) 108, 128
Ульман (Uhlmann A.) 60
Умегаки (Umegaki H.) 56, 73, 132
Фаннес (Fannes M.) 37
Фаиьола (Fagnola F.) ПО, 129
Фок В. А. 103
Фриджерио (Frigerio A.) 19, 81, 82,
83 84, ПО, 116, 128, 129, 130, 131
Фридман (Friedman С. N.) 95, 129
Хааг (Haag R.) 72
267
Хадсон (Hudson R. L.) 19, 36, 106,
108, 109, 110, 112, 116, 129, 130
Халфин Л. А. 130
Хегерфельдт (Hegerfeldt G. С.) 37,
68, 130
Хег-Крон (Hcegh-Krohn R.) 81
Хелстром (Helstrom С W.) 15, 50,
52, 59, 127
Хепп (Нерр К.) 37
Хида (Hida T.) 115
Хинчин А. Я. 18, 96
Холево А. С 15. 39, 47, 50, 53, 55,
64, 68, 96, 106, 111, 118, 127, 130
Цирельсон Б. С. 42, 128, 130
Чеботарев А. М. 78, ПО, 128, 129
Чеккини (Cecchini С.) 74
Чемберс (Chambers W. G.) 55, 129
Ченцов Н. Н. 60, 80, 128
Чон (Choi M. D.) 71, 128
Шсйл (Shale D.) 132
Шенберг (Schoenberg I. J.) 98
Шерстнсв А. Н. 22
Шкмони (Shimoni A.) 40
Ширяев А. Н. 123
Шмидт (Schmidt К.) 37, 131
Шпайхер (Speicher R.) 36, 132
Шпеккер (Speaker E. Р.) 38, 130
Шпон (Spohn H.) 81, 132
Шрсдингер (Schmdinger E.) 28
Шриниваз (Srinivas M. D.) 91, 132
Штермер (Stermer Е.) 48 /1
Шурманн (Schurmann М.) Ш, 128,
132
Эванс Д. (Evans D. Е.) 77, 81, 82,
129
Эванс М. (Evans М. Р.) ПО
Эмери (Emery M.) 111, 116, 129
Эмх (Emch G.) 128
Эпплбаум (Applebaum D. В.) 108,
113, 130
Юн (Yuen H. Р.) 5!, 52, 59
Яйте (Jaite R.) 81, 130
ПРЕДМЕТНЫЙ УКАЗАТЕЛЬ К СТАТЬЕ А. С. ХОЛЕВО
Алгебра
— Клиффорда 27, 42
— фон Неймана 23
С*-алгебра 69
апостериорное состояние 86
апостериорное среднее 86, 123
Белла—Клаузера— Хорна Шимони
(БКХШ) неравенство 40
Блоха уравнение 80
Вакуумный вектор 105
Вектор состояния 23
Вероятностная мера (на квантовой
логике) 21
Гамильтониан 28
Гсйзенберга картина 28
Гельфанда—Наймарка—Сигала
(ГНС)-конструкция 70
Генератор (и.-процесса) 101
«-гомоморфизм 70
Детального равновесия условие 813
Динамическое отображение 18, 72
Динамическая полугруппа квантовая
18, 74
— — — ковариантная 79
Дисперсия 25
Дополнительность 13
Измерение 89
— косвенное 87
— нсразрушагащсе 94
Импримитивности система 62
— обобщенная 63
Импульс 29
Инструмент 17, 85
— безгранично-делимый 96
— воспроизводимый 90
— вполне положительный 86
Инструментальный процесс с незави-
независимыми приращениями (и.-процесс)
100
Ито формула квантовая
Иорданово (симметризованное) про-
произведение 25
Канал связи квантовый 53
Канонические коммутационные соот-
соотношения (ККС)
— Всйля 29
— Вейля—Сигала 31
— Гейзенберга 30
Канонические наблюдаемые 30
Квазихарактеристическая функция 99
Квантовая логика 10
268
Квантовый случайный процесс 82
— ковариантпыи 83
— марковский 83
— стационарный 83
Ковариация 25
Коммутант 74
Коммутатор 23
Контекстуальность 39
Консервативность 77
Корреляции
— квантово-представимые 42
— классически-представимые 43
Корреляционные ядра 82
Коцикл 77, ] 10
Крайняя точка 21
Кэдисопа—Шварца неравенство 70
Ланжевена уравнение квантовое 117
Логарифмическая производная
— правая 59
— симметризованная 58
Локализуемого 68
Марковское управляющее уравнение
квантовое 74
Мартингал квантовый 106
Модулярная группа автоморфизмов
73
Наблюдаемая 9, 11
— вещественная 22
— времени 67
— координаты 30
— обобщенная 45
—¦ скорости 30
¦—¦ функционально подчиненная 12
Независимость 35
— свободная 36
Неопределенностей соотношение 24
— Гейзенберга 32
Оператор
— положительный 20
— самосопряженный 22
— сопряженный 20
— унитарный 20
— эрмитов 20, 22
— ядерный 20
Операция 72
Открытая система 18
Отображение
— аффинное 27
— безгранично-делимое 116
— вполне диссипативное 76
— вполне положительное 69
— дуальности 114
— нормальное 71
— положительное 69
— условно вполне положительно 76
Оценка параметра 57
— локально-несмещенная 59
— несмещенная 57
Паули матрицы 25
Переполненная система 44
Перестановочные операторы 23
Плотности
— матрица 9
— оператор 21
Проектор 20
Проекционный постулат 17
Пропускная способность 54
Разложение единицы 14 43
ковариантное 60
- — ортогональное 9 22
Расширение
— - динамической полугруппы IS 82
— и.-процесса 119
Решающее правило 49, 55
— байесовское 49, 56 '
— детерминированное 47, 55
— - классически-рандомизованное 48
— квантово-рандомизованное 48
— минимаксное 56
— несмещенное 57
Рождения-уничтожения операторы
Сверточная полугруппа инструментов
Симметрия 27
Симплсктическое пространство 31
След 20
— частичный 35
Смесь 11
Событие квантовое 10
Совместимые наблюдаемые 12, 24
Совместное распределение вероятно-
вероятностен 24
Согласованный процесс 106
Состояние 9, 11, 22
— гауссовское 32
— когерентное 32
— — обобщенное 62
— — сжатое 32
- минимальной неопределенности 32
— нормальное 23
—¦ основное 32
— чистое 23
Спектральная мера 22
Спектральная теорема 22
Среднее значение 23
Стандартное измеримое пространство
43
Статистическая модель 12
Вальда 14
квантовой механики
— обобщенная 14, 45
— стандартная 23
269
колмогоровская 12
отделимая 12
Статистический ансамбль 11
Стохастическая эквивалентность 114
Сходимость операторов
— сильная 20
— слабая 20
— а>*-слабая (ультраслабая) 20
Считающий процесс 102
Тензорное произведение 33
Теорема
— Вигнера 27
—¦ Глисона 21
— М. Г. Крейна 53
—¦ М. А. Наймарка 44
— Стайнспринга 70
—• Стоуна 28
— Стоуна—фон Неймана 30
~ Шенберга 76
Условно положительно определенная
функция 99
Условное ожидание 34, 73
Фока пространство 103
Хаотическая представимость 116
Характеристическая функция
— инструмента 97
— состояния 32
Хронологически упорядоченная экспо-
экспонента 111
Целостность квантовая 39
Центр (статистической модели) 12
Центральная предельная теорема
квантовая 35
Числа частиц оператор 104
Шрёдингера картина 28
Шрёдингера уравнение 28
Экспоненциальный вектор 105
Энтропия относительная 72
Эргодическая теорема квантовая S0
ОПЕЧАТКИ
к РЖ «Соврем, пробл. матем. фундам. направления» № 83, 1991 г.
Страница1
Ш1
34
30
60
123'
126
192
Щ
239*
24#
Строка
,14 сверху
,15 сверлу
5 сверху
[15 сверху
,'ИЗ снизу
30 снизу
119 снизу
. 1 снизу
б шизу
J0 снизу
6 сверху
, 3 свержу
Напечатало
Г. C8)=...
(представление
Ж
PPHW)
/Weyt
k..-Vz(X)-...
.. i&.m
.... =9л(<о—в*,
/ом. ,(Ш.36)
¦ ¦¦рЬШ(ё(п),
...Ер^(ш).
¦Следует читать
Г.(Ж)=...
|К пр^ставшению
Weyl
... -Vy (X)- ...
|(вЛ6)
л..^(ш)—е4,
/(.см. A1Л6))
...Ер,(ш).
Зак. 9280
Технический редактор Л. 5. Кутакова Корректор Я. Я.
Сдано в набор 27.11.90 Подписано в печать 23.04.91
Формат бумаги 60X90'/.». Бум. кн-журн. Литературная гарнитура
Высокая печать. Усл. печ. л. 17,25 Усл. кр.-отт. 17,25 Уч.-изд. л. 16,65
Тираж 600 экз. Заказ 9280 Цена 6 р. 40 к.
Адрес редакции: 125219, Москва, А-219, уя. Усиевича, 20а. Тел. 155-42-29
Пронзводственно-нздательскнЙ комбинат ВИНИТИ
140010, Люберцы, 10, Московской обл., Октябрьский просп., 403
Индекс 56911
ISSN 0233—6723. ИНТ, Современные проблемы математики.
Фундаментальные направления, т. 83. 1991. —С. 276.