УДК 535
ББК 22.34
Ш70
Ш л я й х В. П. Квантовая оптика в фазовом пространстве / Перевод
с англ. под ред. В.П. Яковлева. - М.: ФИЗМАТЛИТ, 2005. - 760 с. -
ISBN 5-9221-0540-Х.
Книга является практически исчерпывающим введением в современную
квантовую оптику и охватывает широкий спектр вопросов, в том числе:
неклассические состояния света, методы инженерии и реконструкции кван-
квантовых состояний, квантовую томографию, метод ВКБ и фазу Берри, динамику
волновых пакетов и интерференцию в фазовом пространстве, квантовые ос-
осцилляции Раби, квантовые распределения в фазовом пространстве и методы
их измерения, процессы затухания и усиления поля в резонаторах, динамику
ионов в ловушках, оптику атомов в квантованных световых полях, квантовое
перепутывание как инструмент для квантовых измерений. Оригинальный под-
подход с акцентом на фундаментальную роль пространства фазовых переменных
позволяет автору очень наглядно излагать и интерпретировать разнообразные
разделы квантовой оптики, облекая книгу в форму, тонко дополняющую другие
издания в этой области. Написанная в полифоническом ключе и с большим
педагогическим мастерством, книга найдет своего читателя как среди студен-
студентов и молодых ученых, теоретиков и экспериментаторов, только осваивающих
квантовую оптику и смежные разделы физики, так и в искушенном физическом
сообществе.
ISBN 5-9221-0540-Х (русск.)	@ Wiley_VCHj 2001
ISBN 3-527-29435-Х (англ.)	© физматлит, 2005 (русск.)

ОГЛАВЛЕНИЕ
Предисловие к русскому изданию		10
Предисловие		11
Глава 1. Что такое квантовая оптика?		15
1.1.	По дороге к квантовой оптике		15
1.2.	Резонансная флюоресценция		17
1.3.	Сжатие флуктуации		23
1.4.	Модель Джейнса-Камингса-Пауля		31
1.5.	КЭД резонатора		32
1.6.	Оптика де-бройлевских волн		39
1.7.	Квантовое движение в ловушках Пауля		44
1.8.	Двухфотонная интерферометрия и дальше		47
1.9.	План книги		48
Литература		50
Глава 2. Некоторые сведения из квантовой механики		55
2.1.	Собственные состояния операторов координаты и импульса		56
2.2.	Собственное энергетическое состояние		61
2.3.	Матрица плотности: краткое введение		65
2.4.	Эволюция квантовых состояний во времени		75
Литература		87
Глава 3. Функция Вигнера		90
3.1.	Дебют функции Вигнера		91
3.2.	Свойства функции Вигнера		92
3.3.	Эволюция функции Вигнера во времени		97
3.4.	Функция Вигнера определяется фазовым пространством		99
3.5.	Уравнения в фазовом пространстве для собственных энергетиче-
энергетических состояний		102
3.6.	Гармонический осциллятор		108
3.7.	Вычисление квантово-механических средних		112
Литература		118
Глава 4. Квантовые состояния в фазовом пространстве		123
4.1.	Собственное энергетическое состояние		124
4.2.	Когерентное состояние		133
4.3.	Сжатое состояние		147
4.4.	Повёрнутые квадратурные состояния		164
4.5.	Реконструкция квантового состояния		171
Литература		177

Оглавление
Глава 5. Волны а 1а ВКБ		181
5.1.	Вероятность для классического движения		181
5.2.	Амплитуды вероятности квантового движения		183
5.3.	Квантование энергии		187
5.4.	Резюме		192
Литература		196
Глава 6. ВКБ и фаза Берри		199
6.1.	Фаза Берри и адиабатическое приближение		200
6.2.	Адиабатичность и волновые функции ВКБ-приближения		205
6.3.	Неадиабатическая фаза Берри		215
Литература		218
Глава 7. Интерференция в фазовом пространстве		219
7.1.	Суть подхода		219
7.2.	Вывод формализма перекрытия площадей		222
7.3.	Приложение к переходам Франка-Кондона		231
7.4.	Обобщение		232
Литература		234
Глава 8. Применения интерференции в фазовом пространстве. . .	236
8.1.	Связь с интерференцией в фазовом пространстве		236
8.2.	Собственные состояния данной энергии		237
8.3.	Когерентное состояние		239
8.4.	Сжатое состояние		245
8.5.	Вопрос о фазовых состояниях		253
Литература		264
Глава 9. Динамика волновых пакетов		266
9.1.	Что такое волновые пакеты?		266
9.2.	Дробные и полные возобновления		267
9.3.	Естественные масштабы времени		270
9.4.	Новые представления сигнала		274
9.5.	Простое описание дробных возобновлений		280
Литература		286
Глава 10. Квантование поля		290
10.1.	Волновое уравнение для потенциалов		291
10.2.	Структура мод в ящике		297
10.3.	Поле как набор гармонических осцилляторов		302
10.4.	Эффект Казимира		308
10.5.	Операторы векторного потенциала и полей		315
10.6.	Состояния поля излучения с заданным числом фотонов		318
Литература		325
Глава 11. Состояния поля		330
11.1.	Свойства квантованного электрического поля		330
11.2.	Возвращение к когерентным состояниям		334

Оглавление
11.3. Состояние шрёдингеровской кошки		346
Литература		359
Глава 12. Функции в фазовом пространстве		362
12.1.	Вигнеровское фазовое пространство не единственное		362
12.2.	Q-функция Хушими-Кано		365
12.3.	Усреднение с помощью функций в фазовом пространстве		372
12.4.	Р-распределение Глаубера-Сударшана		380
Литература		391
Глава 13. Оптическая интерферометрия		393
13.1.	Делитель пучка		394
13.2.	Гомодинный детектор		402
13.3.	Восьмиканальный интерферометр		406
13.4.	Измеряемые фазовые операторы		415
Литература		424
Глава 14. Взаимодействие атома и поля		427
14.1.	Как сконструировать взаимодействие?		428
14.2.	Связь векторный потенциал — импульс		429
14.3.	Дипольное приближение		436
14.4.	Взаимодействие диполя с электрическим полем		439
14.5.	Взаимодействие и перепутывание подсистем		443
14.6.	Эквивалентность А • р и г • Е		443
14.7.	Эквивалентность гамильтонианов Н^ и Н^		448
14.8.	Простая модель взаимодействия атома с полем		449
Литература		458
Глава 15. Модель Джейнса-Каммингса-Пауля: динамика		460
15.1.	Резонансная модель Джейнса-Каммингса-Пауля		460
15.2.	Роль отстройки		468
15.3.	Решение уравнений Раби		471
15.4.	Обсуждение решения		475
Литература		483
Глава 16. Приготовление состояний и перепутывание		484
16.1.	Измерения для перепутанных систем		484
16.2.	Коллапс, возобновления и дробные возобновления		494
16.3.	Приготовление квантовых состояний		502
16.4.	Инженерия квантовых состояний		506
Литература		520
Глава 17. Ловушка Пауля		525
17.1.	Основы методов удержания ионов		526
17.2.	Лазерное охлаждение		531
17.3.	Движение иона в ловушке Пауля		533
17.4.	Модельный гамильтониан		548
17.5.	Приближение эффективного потенциала		555
Литература		558

Оглавление
Глава 18. Затухание и усиление		562
18.1.	Затухание и усиление поля в резонаторе		563
18.2.	Матрица плотности подсистемы		565
18.3.	Резервуар двухуровневых атомов		567
18.4.	Одноатомный мазер		579
18.5.	Взаимодействие атома с резервуаром		590
Литература		604
Глава 19. Атомная оптика в квантованных световых полях		609
19.1.	Постановка задачи		609
19.2.	Сведение к одномерному рассеянию		614
19.3.	Приближение Рамана-Ната		618
19.4.	Отклонение атомов		620
19.5.	Интерференция в фазовом пространстве		633
Литература		639
Глава 20. Функции Вигнера в атомной оптике		641
20.1.	Модель		641
20.2.	Уравнение движения для функции Вигнера		643
20.3.	Движение в фазовом пространстве		645
20.4.	Квантовая линза		650
20.5.	Статистика фотонов и импульсное распределение		654
20.6.	Эвристический подход		655
Литература		660
Приложение А. Волновые функции стационарных состояний
гармонического осциллятора		661
А.1. Решение в виде степенного ряда		661
А.2. Асимптотическое поведение		664
Приложение Б. Операторы, зависящие от времени		670
Б. 1. Особенности дифференцирования операторов		670
Б.2. Упорядочение во времени		672
Приложение В. Мера Зюсмена		676
8.1.	В чём недостаток других мер		676
8.2.	Выход из сложившегося затруднения		677
8.3.	Обобщение на многомерные распределения		678
Приложение Г. Уравнения в фазовом пространстве		679
ГЛ. Постановка задачи		679
Г.2. Преобразование Фурье матричных элементов		681
Г.З. Члены с кинетической энергией		681
Г.4. Члены с потенциальной энергией		683
Г.5. Резюме		685
Приложение Д. Функция Эйри		686
Д.1. Определение и дифференциальное уравнение		686
Д.2. Асимптотическое разложение		687

Оглавление
Приложение Е. Радиальное уравнение		693
Приложение Ж. Асимптотический вид распределения Пуассона	696
Приложение 3. Инструментарий для интегралов		698
3.1.	Метод стационарной фазы		698
3.2.	Спираль Корню		703
Приложение И. Площадь перекрытия		706
И. 1. Сведение ромбовидной области к прямоугольнику		706
И.2. Ромбовидная область		707
И.З. Площадь перекрытия как вероятность		710
Приложение К. Р-распределения		711
К. 1. Тепловое состояние		711
К.2. Состояние с заданным числом фотонов		712
К.З. Сжатое состояние		713
Приложение Л. Ядро для процесса гомодинирования		716
Л.1. Выражение для ядра в замкнутом виде		716
Л.2. Предел сильного локального осциллятора		718
Приложение М. За пределами дипольного приближения		720
М.1. Тейлоровское разложение первого порядка		720
М.2. Классическое калибровочное преобразование		723
М.З. Калибровочное преобразование в квантовом случае		726
Приложение Н. Эффективный гамильтониан		729
Приложение О. Термостат из осцилляторов		732
О.1. Вклад от членов второго порядка		732
0.2. Соотношения симметрии при взятии следа		735
О.З. Основное кинетическое уравнение		736
0.4. Явные выражения для Г, C и G		737
0.5. Интегрирование по времени		739
Приложение П. Функции Бесселя		740
П.1. Определение функций Бесселя		740
П.2. Асимптотическое поведение		741
Приложение Р. Квадратный корень из <5-функции		743
Литература для дальнейшего чтения		745
Предметный указатель		748

Предисловие к русскому изданию
Весной 2001 г. «Квантовая оптика в фазовом пространстве» была
опубликована в издательстве Wiley-VCH. Для меня это был знамена-
знаменательный момент — держать в руках первый напечатанный экземпляр
книги. С того дня я получил массу откликов от друзей и коллег,
и книга, в общем, вызвала положительный резонанс в самых широких
физических кругах. Как и ожидалось, в книге такого объема опечатки
неизбежны. Кроме того, я понял, что небольшие переделки могли бы
сделать книгу более удобной для чтения, однако отложил эти измене-
изменения до второго издания.
И вот два года назад появилась возможность решить эти неболь-
небольшие проблемы. Профессор Владимир Агранович и профессор Валерий
Яковлев, независимо друг от друга, обратились ко мне с идеей русско-
русского перевода «Квантовой оптики в фазовом пространстве». Благодаря
никогда не прекращавшейся помощи доктора Микаэля Бэра из изда-
издательства Wiley-VCH и огромной поддержке со стороны профессора
Юрия Кагана, который способствовал установлению контакта с изда-
издательством «Физматлит», сложилась необходимая для осуществления
русского перевода конструкция. Без неутомимых усилий профессора
В. П. Яковлева и его группы, в частности, доктора А. Беркова, М. Кон-
драшина и С. Петропавловского, которые переводили и поправляли
английский оригинал книги, данный проект никогда не был бы завер-
завершен. Я чрезвычайно благодарен Валерию и его коллегам за их замеча-
замечательную работу. Выражаю также большую благодарность профессору
Аграновичу, доктору Бэру и профессору Кагану, сделавшим русское
издание «Квантовой оптики в фазовом пространстве» реальностью.
Я искренне надеюсь, что новое издание будет полезным для рос-
российского физического сообщества.
Вольфганг П. Шляйх
Ульм, май 2004 г.

«Поддержка веры — нет дара лучшего от тех, кто близок».
(Из техасского фольклора.)
Посвящается двум людям, всегда верившим в то,
что эта книга будет закончена,
Кэси и Майклу.
Предисловие
В течение зимнего семестра 1992/93 гг. я в первый раз прочитал
первую часть курса квантовой оптики в Университете г. Ульм, за
которой в летнем семестре 1993 г. последовала вторая часть. Когда
я предложил этот курс во второй раз, университет был настолько
любезен, что оказал финансовую поддержку двум студентам-диплом-
студентам-дипломникам Эрвину Майру и Даниэлю Кремеру, которые, пройдя этот
курс в предыдущем году, уже могли облечь мои рукописные заметки
и наброски рисунков в чёткую форму. Эрвин и Даниэль проделали
огромную работу. С тех пор я преподавал этот курс много раз, собирая
всё больше и больше материала, который был включён в данную
рукопись уже другими аспирантами Отделения квантовой физики. Она
послужила нескольким поколениям студентов университета Ульма как
введение в область квантовой оптики.
Во время одного из своих многих визитов в Ульм Майкл Поулсон,
мой близкий друг из издательства Wiley-VCH, увидел у меня на
столе эту рукопись. «Я хочу опубликовать эти заметки» — было его
немедленной реакцией. Михаэль был полон веры, что рукопись со
временем станет пригодной для публикации книгой. Он хотел, чтобы
материал был расширен и включал бы задачи, эксперимент и исчерпы-
исчерпывающий список литературы. Целью было превратить существовавшую
рукопись, содержавшую около 150 страниц, в книгу объёмом порядка
250 страниц. Его доверие ко мне было столь велико, что он начал
рекламировать Квантовую оптику в фазовом пространстве прежде,
чем мы даже подписали контракт. Я думаю, что получившийся ре-
результат удовлетворяет тем критериям, которые выдвигал Михаэл, за
исключением одного — числа страниц.
На Рождество 1996 года мы окончательно подписали контракт, и
Майкл почувствовал большое облегчение. Я до сих пор помню его
слова: «Теперь мне, наконец, удалось подписать тебя на эту книгу».
Его безвременная смерть, неделей позже, во время рождественских
каникул, добавила и новый смысл этой фразе, и целенаправленную

12	Предисловие
значимость его веры и ожиданий; более, чем когда либо, я был полон
решимости выполнить то, что обещал.
После того как Эрвин и Даниэль закончили аспирантуру, их но-
новая профессиональная жизнь не позволяла отдавать много времени
продолжению проекта. С того рокового Рождества девяносто шестого
года многие студенты помогали мне трансформировать лекционные
заметки в разные разделы книги, продолжая работу, которую начали
Эрвин и Даниэль. Принявший эти обязанности Штефан Менегини
в течение нескольких лет играл определяющую роль в печатании
рукописи. Но он также закончил аспирантуру в процессе работы над
проектом. В финальной стадии работы над книгой его роль перешла
к Флориану Хогу. Я чрезвычайно благодарен им всем за помощь.
То, что начиналось с 200 страниц, когда уходили Эрвин и Даниэль, со
временем разрослось и достигло нынешнего 700 страничного размера.
Точно так же за последние 10 лет чрезвычайно расширилась и об-
область квантовой оптики. Отражением этого факта является и разнооб-
разнообразие учебников, опубликованных по этой теме. В одной книге невоз-
невозможно представить все разделы этой быстро развивающейся области.
Поэтому многие современные темы, такие как квантовая информатика
и конденсация Бозе-Эйнштейна, остались за рамками и данной книги.
Здесь основным предметом обсуждения является квантовое фазовое
пространство и применение квазиклассических методов, таких как
приближение ВКБ, к проблемам квантовой оптики. Для современной
американской рекламы «электронной почты и информационного хай-
вэя» кое-кто предложил даже назвать книгу «phase-space.com.».
Многие мои друзья и коллеги прочитали различные разделы
книги и сделали полезные замечания. В этой связи я хочу особо
упомянуть И. Беляницкого-Бирюлю (I. Bialynicki-Birula), Д.Г. Эбер-
ли (J.H. Eberly), Г.Д. Кимбла (H.J. Kimble), Д. Коуба (D. Kobe),
Р.Ф. О'Коннела (R.F. O'Connell), Г. Вальтера (Н. Walther), К. Вудке-
вича (К. Wodkiewicz) и Э. Вольфа (Е. Wolf). Отдельная благодарность
адресуется М. Кёнигу (М. Konig), который очень тщательно поработал
над всей книгой и сделал многочисленные конструктивные замечания.
На окончательной стадии все сотрудники Отделения читали гранки
уже целой книги. Большое спасибо Г. Альберу (G. Alber), M. Бинерту
(М. Bienert), М. Цироне (М. Cirone), О. Крассеру (О. Crasser), А. Дел-
гадо (A. Delgado), Д. Фишеру (D. Fischer), М. Фрайбергеру (М. Frey-
berger), Ф. Хогу (F. Haug), В. Козлову (V. Kozlov), Г. Маку (Н. Mack),
В. Меркелу (W. Merkel), Г. Метикасу (G. Metikas), M. Муссингеру
(М. Mussinger), К. Фогелю (К. Vogel), Д. Вихману (J. Wichmann)
и В.П. Яковлеву (V.P. Yakovlev). К. Фогель проделал также основную
работу по составлению предметного указателя. Я благодарен моим
секретарям Б. Казель (В. Casel), P. Кнопфле (R. Knopfle) и У. Томас
(U. Thomas), которые помогли в составлении списка литературы.
Различные главы книги были опробированы в двух сериях лек-
лекций в Техаском университете в Остине. Проницательные вопро-

Предисловие	13
сы Д.Г. Эберли (J.H. Eberly), М. Финка (М. Fink), Д. Хайнцена
(D. Heinzen), Д. Кето (J. Keto), М. Рейзена (М. Raizen), B.C. Шиве
(W.С. Schieve) и Е.С.Г. Сударшана (E.C.G. Sudarshan) помогли мне
отточить аргументацию в очень оживлённых дискуссиях и во время
лекций, и после них. Они чрезвычайно помогли улучшить представле-
представление материала. Я высоко ценю радушное гостеприимство и дружескую
атмосферу факультета физики ТУ в Остине.
Многие научные организации поддержали исследования, резуль-
результаты которых суммированы в настоящей книге. В этой связи я хо-
хочу особо отметить Немецкое исследовательское общество (Deutsche
Forschungsgemeinschaft) и Программу Лейбница, ЕС, Фонд Хереуса
(Heraeus Foundation), Фонд Гумбольта и Университет г. Ульм. Все
они финансировали моих студентов, помощников и гостей. И всем им
большое спасибо.
Периоды отдыха в Дентоне, в Техасе, в доме моего чуткого тестя
Г. С. Филлипса, который всегда называет меня своим «небесно-элек-
«небесно-электронным зятем», были очень благоприятными для завершения книги.
Кроме того, я очень признателен за радушное гостеприимство Физиче-
Физическому факультету Северного техасского государственного университе-
университета в Дентоне.
Наконец, но не в последнюю очередь, я хочу выразить искреннюю
благодарность своим учителям. Г. Зюсману, чьи лекции в Универ-
Университете Людвига-Максимиллиана в Мюнхене пробудили мой интерес
к теоретической физике и побудили сменить диплом преподавателя
высшей школы на диплом физика. Меня всегда поражал разносто-
разносторонний и глубокий интерес Зюсмана к физике в целом, а не просто
к отдельной её области, и его влияние, надеюсь, отразилось в данной
книге. М.О. Скалли и Г. Вальтер ввели меня в область квантовой
оптики 20 лет тому назад. Мне выпала удача тесно работать с ними
над различными проблемами квантовой оптики, и они оказали силь-
сильное влияние на мои представления об этой области. Благодаря этому
сотрудничеству, моё понимание существенно возросло. Другая сторона
физики прошла через годы моей совместной работы с Дж.А. Уилером
в Техасе. Он учил меня, что многие физические явления становятся
понятными, когда они рассматриваются с помощью метода ВКБ, объ-
объединённого с понятием фазового пространства. В этом смысле книга
берёт своё начало в тех годах моей работы с Джоном в Остине в Техасе
по проблеме интерференции в фазовом пространстве.
Особую благодарность выражаю моим издателям из Wiley-VCH и,
в частности, Майклу Бэру, невинному преемнику Майкла Поулсона, за
его терпение в ожидании окончательной версии Квантовой оптики в
фазовом пространстве. Они, действительно, страдали вместе со мной
в моих попытках написать всесторонний учебник по использованию
фазового простраства в квантовой оптике.
Больше всего я хочу поблагодарить своих родителей, которые по-
побуждали меня думать глубже и сделали для меня возможным полу-

14	Предисловие
чить образование, необходимое для продолжения моих исследований.
Отдельная благодарность предназначена моей жене Кэси и Майклу
Поулсону, которые никогда не отказывались от своей веры в меня
и в то, что эта книга всё-таки будет закончена, даже тогда, когда
другие близкие мне люди заключали пари — будет или не будет
книга закончена до 2050 года. Майкл Поулсон однажды сказал: «Я не
беспокоюсь по поводу того, что книга будет закончена, так как Кэси
обеспечит, чтобы ты это сделал для нас обоих». В этих пророческих
словах он был прав; да упокоится с миром.
Вольфганг П. Шляйх
Улъм, ноябрь 2000 г.

Глава 1
ЧТО ТАКОЕ КВАНТОВАЯ ОПТИКА?
Что такое квантовая оптика? Это довольно субъективный вопрос.
Хорошо известный в этой области учёный авторитетно ответил так:
«Квантовая оптика — это всё то, что я делаю». Для определения этого
направления физики с большей объективностью невольно напрашива-
напрашивается игра слов: «Квантовая оптика суть та область оптики, где имеют
значение квантовые свойства света».
Какое открытие в физике обозначает день рождения квантовой
оптики? На ум приходит много явлений. Может быть, это открытие
кванта, или разработка квантовой электродинамики, или создание ма-
мазера/лазера? Или что-то отличное от вышеперечисленного?
В данной главе мы ответим на вопрос ретроспективно, суммиро-
суммировав некоторые первопроходческие эксперименты, которые определяют
квантовую оптику. Список этот, конечно, не полон и отобран субъ-
субъективно. Быстро развивающаяся область квантовой оптики как раз
и демонстрирует особенно ярко, что даже через 100 лет существования
квантовой механики в ней остаётся многое, что можно узнать непо-
непосредственно из первоначального открытия Планка.
1.1. По дороге к квантовой оптике
Более ста лет тому назад М. Планк было озадачен эксперименталь-
экспериментальными результатами по излучению чёрного тела, полученными Г. Рубен-
Рубенсом (Н. Rubens) и Ф. Курлбаумом (F. Kurlbaum) в Имперском физико-
техническом институте в Берлине. С точки зрения сегодняшнего дня
эти эксперименты выглядят вполне академическими. Тем не менее, они
были мотивированы приложениями в промышленности. Действительно,
надо было разработать стандарты для колб осветительных ламп. И эта
потребность оказалась спусковым механизмом для одной из наиболее
важных проблем 20-го века. Классическая теория электромагнетизма
не могла объяснить наблюдаемый спектр излучения чёрного тела. В от-
отчаянной, но мужественной попытке Планк постулировал, что осцилля-
осцилляторы в стенках полости могут поглощать и испускать излучение только
дискретными порциями. Эта революционная идея дискретности, в пику
непрерывности, привела к знаменитой формуле излучения и явилась
отправной точкой квантовой механики.
В настоящее время мы связываем квантование с полевыми ос-
осцилляторами, а не с механическими осцилляторами в стенке. При

16	Гл. 1. Что такое квантовая оптика?
этом волновая и матричная формулировки квантовой механики бы-
были первоначально разработаны для массивных частиц, а уже потом
распространены на электромагнитное поле, что привело к квантовой
электродинамике.
Разработка квантовой электродинамики (КЭД), которая имеет дело
с взаимодействием квантованного вещества с квантованными электро-
электромагнитными полями, началась с работ П. Дирака. Он был первым, кто
получил коэффициенты Эйнштейна А и В для спонтанного и инду-
индуцированного излучения. Кульминацией КЭД было, с одной стороны,
экспериментальное открытие В. Лэмбом и Р. Ризерфордом сдвига уров-
уровней в атоме водорода и измерение аномального магнитного момента
электрона, выполненное Г. Фоли (Н.М. Foley) и П. Кушем (P. Kusch).
С другой стороны, теоретические работы С. Томонага, Д. Швингера
и Р. Фейнмана показали, как избежать бесконечностей, которые доку-
докучали теории с тридцатых годов. Поразительное согласие между тео-
теорией и экспериментом, установленное в настоящее время для многих
КЭД-систем, подтверждает, вне всякого сомнения, квантовую природу
света.
Создание аммониевого мазера О Ч. Таунсом (С.Н. Townes),
Дж. Гордоном (J. Gordon) и X. Цейгером (Н. Zeiger) и последовавшее
за статьёй А. Шавлова (A. Schawlow) и Ч. Таунса «Оптические
мазеры» создание лазера Т. Мейманом (Т. Maiman) открыли новую
область квантовой электроники. Побуждённый экспериментами
с мазером и основываясь на своей собственной теоретической работе
по поглощению водяного пара, В. Лэмб разработал в период 1954—
1956 гг. теорию мазера. Позднее он создал полную полуклассическую
теорию работы лазера. Независимо группа Г. Хакена (Н. Haken)
в Штутгарте разработала свой собственный подход. В рамках
полуклассической теории Лэмба и Хакена электромагнитное поле
описывалось классически, а атом — квантово-механически.
С тех пор теория лазера прошла длинный путь от начальных
подходов, использующих уравнения баланса, через полуклассическую
теорию до полной квантовой версии. Три подхода к теории лазера —
это метод Фоккера-Планка, использованный Г. Хакеном и X. Рискеном
(Н. Risken), метод оператора шума М. Лэкса (М. Lax) и В. Луизелла
(W. H. Louisell) и техника матрицы плотности М. Скалли (М.О. Scully)
и В. Лэмба. Ранее квантовая теория счёта фотонов была разработана
Р. Глаубером (R. Glauber).
К сожалению, количество квантовых эффектов в лазере были скуд-
скудным. Единственными квантовыми эффектами, доступными измерению,
были статистика фотонов в лазере и фазовая диффузия.
х) Первый молекулярный генератор, работающий на молекулах аммиака,
был создан в 1954 г. Н.Г. Басовым и A.M. Прохоровым и независимо от них
группой Ч. Таунса. — Прим. ред. пер.

1.2. Резонансная флюоресценция
П
1.2. Резонансная флюоресценция
Сильным толчком к развитию квантовой оптики послужило явле-
явление резонансной флюоресценции. Свет, излучённый атомом, который
управляется классическим монохроматическим электромагнитным по-
полем, проявляет интересные квантовые эффекты в спектре и статистике
фотонов. Здесь мы кратко рассмотрим этот краеугольный камень кван-
квантовой оптики.
1.2.1. Пик упругого рассеяния: свет как волна. Резонансная
флюоресценция — это давнишняя проблема, которая впервые была
весьма детально обсуждена В. Гайтлером в его классической книге
«Квантовая теория излучения». Он указал, что испущенное излучение
имеет такую же частоту, как и падающее излучение. Таким образом,
спектр описывается (^-функцией. В этом смысле атом есть просто
управляемый диполь, который поэтому и излучает частоту управляю-
управляющего поля. Упругая компонента рассеянного света наблюдалась экспе-
экспериментально и показана на рис. 1.1.
PQ
4 -
-
6 Гц
V
-200 -100
0
Асэ, Гц
100
200
Рис. 1.1. Гетеродинный спектр упругой компоненты флюоресценции от одного
захваченного иона 24Mg+. Виден узкий пик при нулевой разности между
частотой гетеродинного сигнала и управляющей частотой. Взято из работы
J.T. Hoffges et al., Opt. Comm. 1997. V. 133. P. 170
Для этого измерения одиночный ион магния был помещён в мо-
модифицированную ловушку Пауля, которая показана на рис. 1.2. Лазер

18
Гл. 1. Что такое квантовая оптика?
управлял электронным переходом в ионе, а испущенное излучение
комбинировалось с управляющим полем. Результирующий сигнал, ко-
который обычно называют гетеродинным сигналом, анализировался как
функция частоты. Как показано на рис. 1.1, спектр содержит узкую
линию, локализованную вблизи частоты падающего излучения. Теоре-
Теоретически ширина этой линии должна быть нулевой. Практически она
определяется шириной спектра возбуждающего поля.
Рис. 1.2. Конфигурация электродов ловушки с крышками. Ловушка состоит
из двух колинеарно расположенных цилиндров, которые соответствуют ги-
перболоидным крышкам традиционной ловушки Пауля. Роль кольцевых элек-
электродов играют два полых цилиндра, расположенных концентрично с каждой
из цилиндрических крышек. Предусмотрены дополнительные электроды для
компенсации случайных электрических полей. Благодаря открытой структуре
ловушка обеспечивает большой телесный угол для детектирования и хороший
доступ для лазерных пучков. Взято из работы J.T. Hoffges et ai, Opt. Comm.
1997. V. 133. P. 170
В связи с этим интересно отметить, что данный эксперимент явля-
является также проверкой волновой природы света. Действительно, упругий
пик столь узок из-за фиксированного соотношения фаз излучённой
волны и управляющего поля.
Испущенный свет является, таким образом, волной. Этот экспе-
эксперимент явно поддерживает скорее волновую, нежели корпускулярную
концепцию. В следующем разделе мы, однако, увидим, что можно слег-
слегка изменить эксперимент таким образом, что проявится корпускуляр-
корпускулярный аспект. Это ещё одна демонстрация принципа дополнительности
Бора.
1.2.2. Трёхпиковый спектр Моллоу. Наличие 5-функционного
пика в спектре есть только одно из свойств данного процесса. В конце

1.2. Резонансная флюоресценция
19
мВт
мВт
мВт
шестидесятых годов Б. Моллоу (B.R. Mollow) исследовал резонанс-
резонансную флюоресценцию в рамках квантовой электродинамики и обна-
обнаружил, что спектр зависит от интенсивности падающего излучения.
Для низких интенсивностей справедлив результат Гайтлера. Однако,
для больших интенсивностей спектр имеет более сложную структуру,
и помимо упругого 5-функционного пика есть ещё три уширенных
некогерентных вклада, с центрами на частоте падающего излучения
и на двух боковых частотах. Последние сдвинуты на частоту, которая
определяется электрическим полем
падающей волны. Эти некогерент-
некогерентные пики имеют и существенно
другую ширину, которая опреде-
определяется естественной шириной Г
спектральной линии атома. Дей-
Действительно, центральный пик име-
имеет ширину Г/2, в то время как
боковые пики имеют ширину ЗГ/4.
Этот спектр был измерен экс-
экспериментально группами К. Стра-
уда, С. Изекиля и Г. Вальтера в
середине семидесятых годов. На
рис. 1.3 показано появление трёх-
пикового спектра Моллоу по мере
увеличения интенсивности лазера.
1.2.3. Антигруппировка.
Новая глава в книге о резонансной
флюоресценции была открыта в се-
середине семидесятых годов, когда
Г. Кармикаэль (Н. Carmichael)
и Д. Уолс (D.F. Walls) в Новой
Зеландии и Г. Кимбл (H.J. Kimbl)
и Л. Мандель (L. Mandel) в США
независимо друг от друга вер-
вернулись к этой проблеме и про-
проанализировали статистические
свойства света. Они обнаружили
существование времени задержки
между двумя последовательными
фотонами, излучёнными атомом.
Свет оказался анти-группиро-
Рис. 1.3. Экспериментальный трёх-
пиковый спектр Моллоу, в котором
боковые пики проявляются всё бо-
более отчётливо при возрастании ин-
интенсивности лазера. Упругий пик,
который в идеале представляется
^-функцией, расположенной поверх
центрального пика, не показан. Взя-
Взято из работы W. Hartig et al.,
Z. Physik. A. 1976. V. 278. P. 205
ванным. Такое поведение резко
отличается от свойств излучения тепловых источников, когда фотоны
приходят группами. Интересно отметить, что для лазерного излучения
тоже есть отличная от нуля вероятность двум фотонам прибыть сразу
один за другим.

20	Гл. 1. Что такое квантовая оптика?
Один из способов измерения эффекта группировки или антигруппи-
антигруппировки — это схема Брауна и Твисса, показанная на рис. 1.4. Излучение,
пройдя через светоделитель, попадает на два детектора. Мы можем
измерить время задержки между двумя последовательными щелчками
этих детекторов. Первый фотон приводит в действие детектор в одном
плече схемы, а второй фотон включает детектор в другом плече.
Повторяя эксперимент много раз, мы измеряем распределение времён
запаздывания.
Этот эксперимент, выполненный в конце пятидесятых годов Г. Хэн-
бери-Брауном (Н. Hanbury Brown) и Р. Твиссом (R.Q. Twiss) с солнеч-
солнечным светом, был отправной точкой квантовой теории счёта фотонов,
путь которой был проложен Р. Глаубером. Для понимания важной роли
этого эксперимента мы отсылаем к лекциям Р. Глаубера в Лез Уше.
Рис. 1.4. Измерение корреляционной функции второго порядка. Свет из источ-
источника попадает на два детектора. Светоделитель даёт возможность измерить
интенсивность в этой точке. Нас интересует распределение последовательных
щелчков двух детекторов. Первый фотон, попадающий в детектор, включает
часы, а второй фотон, попадающий в другой детектор, останавливает часы.
В качестве источника света можно использовать лампу накаливания, лазер или
резонансную флюоресценцию одиночного иона, который управляется лазерным
полем
Глауберовская теория счёта фотонов основана на корреляционных
функциях электромагнитного поля. В этом формализме антигруппиров-
антигруппировка фотонов проявляется в поведении корреляционной функции второго
порядка дB\т) в зависимости от времени задержки г и, в частности,
при г = 0.
Рисунок 1.5 показывает зависимость д^ от задержки г для трёх
типичных источников света, а именно, теплового источника излучения,
лазерного света и резонансной флюоресценции. Мы видим, что при
г —> оо все кривые приближаются к единице. Однако, начальные значе-
значения для всех кривых, то есть д^ при т = О, различны. Для теплового
источника кривая начинается со значения д^2\0) = 2 и приближается
к единице сверху. Следовательно, более вероятно обнаружить два
фотона приходящими сразу друг за другом. Для лазера распределение
не зависит от задержки. Тем не менее, свет, испущенный атомом,
который управляется лазерным полем, совершенно другой. В этом
случае вероятность обнаружить фотон сразу после того, как один
уже был зарегистрирован, равна нулю, так что д^2\0) = 0. Поэтому

1.2. Резонансная флюоресценция	21
2-
Рис. 1.5. Корреляционная функция второго порядка как функция времени
задержки т. Когда источником излучения в эксперименте Брауна и Твисса
является лампа, корреляционная функция второго порядка д^(т) (пунктирная
линия) имеет доминирующий максимум при коротких временах задержки.
Поэтому более вероятно зарегистрировать два фотона сразу друг за другом,
чем с большой задержкой. Свет проявляет свойство группировки. Когда ис-
источником является лазер, свет подчиняется статистике Пуассона и д^2\т) не
зависит от задержки (сплошная линия). Однако, резонансная флюоресценция
показывает совершенно другое поведение (штриховая линия): свет проявляет
эффект антигруппировки, так как вероятность двум фотонам следовать сразу
друг за другом очень мала
кривая приближается к единице снизу. В этом случае для описания
света резонансной флюоресценции нам нужна полная квантовая теория
излучения.
Эти теоретические предсказания были подтверждены эксперимен-
экспериментально для атомных пучков группами Л. Манделя и Г. Вальтера. Со-
Создание ловушек Пауля для ионов и магнито-оптических ловушек для
атомов открыло новую эру в экспериментальном изучении резонанс-
резонансной флюоресценции. Теперь стало возможным наблюдать излучение
отдельной частицы и, следовательно, регистрировать антигруппиро-
ванный свет от одиночного иона, атома или молекулы. На рис. 1.6
представлены результаты измерения корреляционной функции второго
порядка для резонансной флюоресценции одиночного иона магния.
Эти кривые отчётливо показывают, что вероятность наблюдения двух
фотонов, излучённых сразу друг за другом, очень мала.
Явление антигруппировки, наблюдаемое с помощью одиночного
иона, особенно интересно в связи с экспериментами по гетеродиниро-
ванию, показанных на рис. 1.1, так как в обоих экспериментах мы ана-
анализируем одно и то же излучение. В гетеродинном спектре резонансной
флюоресценции мы обнаруживаем узкую спектральную структуру, ко-
которая подтверждает волновую природу испущенного света. Когда же
проводится с тем же самым светом корреляционный эксперимент, мы
наблюдаем проявление корпускулярных свойств. Таким образом, резо-
резонансная флюоресценция служит замечательной демонстрацией корпус -
кулярно-волнового дуализма.

22
Гл. 1. Что такое квантовая оптика?
-30
-20 -10 0 10
Время, не
30 40
Рис. 1.6. Антигруппировка фотонов резонансной флюоресценции одиночного
иона 24Mg+, захваченного в ловушку, изображённую на рис. 1.2. Корреля-
Корреляционная функция второго порядка д^2\т) имеет ярко выраженный минимум
при нулевых временах задержки. Показаны кривые для трёх характерных
отстроек резонанса. Время интегрирования ограничено временем хранения
иона. В последнем случае (с) время хранения было 220 минут. Взято из работы
J.T. Hoffges et ai, Opt. Comm. 1997. V. 133. P. 170
С явлением антигруппировки тесно связано возникновение субпу-
ассоновской статистики. Р. Глаубер показал, что классический ток из-
излучает электромагнитное поле в когерентном состоянии. В этом случае
статистика фотонов, то есть вероятность обнаружить m фотонов, опи-
описывается распределением Пуассона. Однако, для фотонов излучения,
испущенного управляемым атомом, распределение уже пуассоновского.
Их статистика является субпуассоновской. Для атомного пучка этот
эффект наблюдался группой Л. Манделя, а для одиночного иона —
группой Г. Вальтера.

1.3. Сжатие флуктуации
23
1.3. Сжатие флуктуации
В недавних экспериментах по резонансной флюоресценции прояви-
проявилось ещё одно впечатляющее свойство поля излучения. Эксперимен-
Экспериментальная кривая на рис. 1.7 показывает, что флуктуации поля сжаты.
1.3.1. Что такое сжатое состояние? Для того, чтобы однозначно
описать состояние классического механического гармонического ос-
осциллятора, нам нужны как амплитуда, так и фаза осциллятора. Точно
так же нам нужны амплитуда и фаза для однозначного описания
электромагнитного поля. В простейшем виде электромагнитное поле
представляется вектором в комплексном пространстве, как показано на
рис. 1.8. Заметим, что здесь изображён не полный вектор напряжённо-
напряжённости электрического поля Е, а только одна его компонента.
Для квантования поля нужна, конечно, некоторая функция распре-
распределения полевых векторов. Эта функция распределения обеспечивает
весовой множитель для каждой точки комплексного пространства.
Можно было бы подумать, что эта весовая функция даёт вероятность
того или иного конкретного значения вектора электрического поля.
К сожалению, квантовая механика не допускает такую вероятностную
интерпретацию. Действительно, поскольку это комплексное простран-
пространство представляет собой фазовое пространство, образованное двумя
-20
4	8	12
Частота спектроанализатора, МГц
Рис. 1.7. Экспериментальное наблюдение эффекта сжатия в резонансной флю-
флюоресценции. Пунктирная линия обозначает предел дробового шума, который
определяется вакуумными флуктуациями электромагнитного поля. Видно, что
в небольшом интервале частот, превышающих 12 МГц, флуктуации излучения
резонансной флюоресценции становятся меньше этого предела. Взято из рабо-
работы Lu et al., Phys. Rev. Lett. 1998. V. 81. P. 3635

24
Гл. 1. Что такое квантовая оптика?
Im E
Im E
Re E
Re E
Im E
1т Е
ReE
ReE
Рис. 1.8. Представление электромагнитного поля в комплексном пространстве,
то есть, в фазовом пространстве, образованном компонентами вектора (а).
С учётом квантового описания поля конец вектора может лежать в любой
точке области фазового пространства, имеющей минимальную площадь 2ттН.
Эта область неопределённости может быть кругом (б), что приводит к сим-
симметричному распределению флуктуации. Она также может быть эллипсом
с несимметричным распределением флуктуации (в, г). В этом случае имеет
место сжатие либо фазовых флуктуации (в), либо амплитудных (г), так что
электромагнитное поле находится в сжатом состоянии
сопряжёнными переменными, то соотношение неопределённостей Гай-
зенберга не позволяет характеризовать состояние квантовой системы
одной точкой в фазовом пространстве. Поэтому мы не можем сопоста-
сопоставить какую-либо вероятность отдельной точке фазового пространства.
Тем не менее, существуют распределения квази-вероятности, и они по-
полезны для квантово-механического описания электромагнитных полей,
как это очень детально обсуждается на протяжении данной книги. Все
эти распределения, однако, имеют некоторые изъяны и не допускают
вероятностную интерпретацию.
В самой простой ситуации распределение векторов поля симмет-
симметрично по двум переменным комплексного пространства относительно
среднего поля. Однако, для различных приложений в интерферомет-
интерферометрии важно с высокой точностью измерять фазу поля. В этом случае
амплитуда нам не столь интересна. Поэтому выгодно несимметричным
образом перераспределить квантовые флуктуации. Так как мы долж-
должны сохранить площадь в фазовом пространстве, или, скорее, объём
под распределением, уменьшение флуктуации одной переменной ведёт
к возрастанию флуктуации другой переменной. Это явление имеет
определённую аналогию с выдавливанием зубной пасты из тюбика.
Поэтому-то выражение сжатие флуктуации стало популярным.

1.3. Сжатие флуктуации	25
Сжатые состояния упоминались в ранних работах Р. Глаубера и бы-
были очень детально изучены X. Иеном, Д. Холленхорстом и Д. Столером.
Экспериментально они были впервые реализованы группой Р. Слашера
в лаборатории Белла в 1985 году. Вскоре после этого эксперимента
Д. Кимбл со своей группой, будучи тогда в Техаском университете
в Остине, получил сильно сжатые состояния. Сейчас их получение
стало рутинным делом.
1.3.2. Сжатые состояния оптического параметрического ос-
осциллятора. На рис. 1.9 показана установка для сжатия флуктуации
вакуума. Она существенно использует нелинейную оптику и оптиче-
оптический параметрический осциллятор (ОПО), то есть, такое устройство,
которое генерирует излучение с частотой 2ио из света с частотой ио. Это
явление обычно называют генерацией второй гармоники.
Отметим, что возможен также и обратный процесс. Мы можем
создать свет с частотой ио из излучения с частотой 2ио. Этот процесс
называют параметрической даун-конверсией.
Микро-введение в нелинейную оптику. Для того чтобы получить
генерацию второй гармоники или даун-конверсию нужна среда типа
кристалла, поляризация Р которого, помимо линейного по электриче-
электрическому полю Е члена, включает также вклады со второй или более
высокими степенями Е, то есть
Р = Х{1)Е + х{2)Е2 + ...	A.1)
Кроме того, вспомним из классической электродинамики, что поляри-
поляризация управляет волновым уравнением
c2dt2
для электрического поля.
Для простоты опустим пространственную часть и рассмотрим един-
единственно зависимость от времени. Чтобы прояснить самое существен-
существенное, мы сосредоточимся на ОПО.
Хорошо известное тригонометрическое соотношение
cos2 (cot) = i(l +cosBu;t))
показывает, что нелинейная среда создаёт из поля
Е = Е\ cos (uot)
постоянное поле Eq и поле
Е1 = E2cosBoot),
с частотой 2ио. Другими словами, с помощью излучения с частотой ио
мы генерируем свет с частотой 2ио. Подобный же анализ объясняет
генерацию субгармонических частот.

26
Гл. 1. Что такое квантовая оптика?
Кольцевой лазер
Ba2NaNb5Q
'15
Поляризатор
Оптический
Параметрический
осциллятор
0,53 мкм f 1,06 нм
MgO:LINbO3
1,06 мкм
Сигнал
Локальный
осциллятор
С И Фильтр
1,06 мкм
Поляризатор
Фотодиод 2
Спектроанализатор
Фотодиод 1
F(W9q)
Рис. 1.9. Экспериментальная установка для генерации и наблюдения сжатого
света. Кольцевой лазер (наверху) с нелинейным кристаллом создаёт свет с ча-
частотами и и 2и. Светоделитель, обладающий частотной чувствительностью,
пропускает излучение с частотой 2и, но отражает его на частоте и. Про-
Прошедший свет с частотой 2и возбуждает резонатор с нелинейным кристаллом
(в центре). В результате появляется свет частоты и. Два выходных детектора
измеряют интенсивности света и преобразуют сигналы в электрические то-
токи г\ и гг. Спектральный анализатор (внизу) измеряет флуктуации разности
двух токов. Взято из статьи L.A. Wu et at., J. Opt. Soc. Am. B. 1987. V. 4.
P. 1465

1.3. Сжатие флуктуации	27
Как осуществить сжатие? Вернёмся теперь к вопросу сжатия
для ОПО. Для того чтобы создать сжатое состояние, нужно иметь
возможность асимметричным образом манипулировать двумя перемен-
переменными фазового пространства. Нелинейное взаимодействие A.1) как
раз и добивается этого. Свет, созданный ОПО, то есть при генерации
второй гармоники, оказывается сжатым.
Схема знаменитого эксперимента по генерации сжатого света пред-
представлена на рис. 1.9. Здесь был использован процесс генерации субгар-
субгармоник. Излучение кольцевого лазера с частотой 2ио служит накачкой
для оптического параметрического осциллятора, связанного с резона-
резонатором. Нелинейная среда генерирует субгармоническое излучение, и из
резонатора выходит свет с частотой и. Он смешивается с излучением
той же частоты, которое было отражено светоделителем, обладающим
частотной селективностью, и не прошло через резонатор. Подвижное
зеркало регулирует фазу этого поля. Так как это поле сильное, мы
называем его локальным осциллятором.
Детектирование сжатия. Но как измерить подавление квантовых
флуктуации? Инструментом, решающим проблему измерения флук-
флуктуации, является так называемый гомодинный детектор, показанный
в нижней части рис. 1.9. Здесь с помощью светоделителя сжатый свет
смешивается с сильным классическим полем. Мы измеряем результи-
результирующие интенсивности света в двух выходных каналах светоделителя,
преобразовав их в токи i\ и г^ фотоэлектронов, которые вычитаем друг
из друга и записываем их разность i-(t) как функцию времени. Этот
ток флуктуирует около среднего значения (г_), где угловыми скобками
обозначено усреднение по времени. Статистика этих флуктуации даёт
нам полную функцию распределения для разностного тока и, в частно-
частности, её второй момент V, который является мерой ширины распределе-
распределения. Данный эксперимент выполнен для фиксированной фазы $ между
двумя полями, приходящими на светоделитель.
Когда мы закрываем вход для параметрического осциллятора, с ло-
локальным осциллятором смешивается только поле вакуума. Так как
поле вакуума инвариантно относительно вращения, флуктуации V не
зависят от относительной фазы $, как показано штриховой линией на
рис. 1.10.
Сжатое состояние, напротив, имеет асимметрию в фазовом про-
пространстве, и поэтому флуктуации чувствительны к фазе. Теперь, когда
мы меняем фазу, флуктуации могут падать ниже, либо становиться
выше уровня вакуумных флуктуации, как на это указывает осцилли-
осциллирующая кривая на рис. 1.10.
1.3.3. Статистика фотонов с осциллирующей функцией рас-
распределения. Сжатое состояние характеризуется асимметричным рас-
распределением квантовых флуктуации. Это, однако, только одно из за-
замечательных свойств этих состояний. Они имеют также достаточно
необычное распределение для числа световых квантов.

28
Гл. 1. Что такое квантовая оптика?
Рис. 1.10. Ширина V распределения фототока как функция разности фаз $
между двумя полями на входах гомодинного детектора. В самом простом
представлении в фазовом пространстве вакуумное состояние имеет вид кружка
и, очевидно, симметрично относительно вращения. Оно не имеет какой-либо
предпочтительной фазы. Следовательно, когда мы смешиваем вакуумное состо-
состояние с локальным осциллятором, ширина V не зависит от #. Напротив, сжатое
состояние представляется в виде эллипса, который выделяет предпочтительное
направление в фазовом пространстве. Поэтому ширина V зависит от фазового
угла 'д. В областях значений фазы около точек $0 + /стг, где к = 0, 1, 2,...,
флуктуации падают ниже вакуумного уровня. Свет сжат. В промежуточных
областях флуктуации больше, чем флуктуации вакуума. Взято из работы
L. A. Wu et ai, J. Opt. Soc. Am. B. 1987. V. 4. P. 1465
Когерентное состояние, которое является самой простой аппрок-
аппроксимацией лазерного поля, имеет пуассоновское распределение числа
фотонов. Напротив, в сжатом состоянии статистика фотонов описыва-
описывается осциллирующей функцией распределения, как это было измерено
экспериментально группой Д. Млинека и показано на рис. 1.11.
Есть много объяснений этого удивительного эффекта. Самое прямое
объяснение использует идею интерференции в фазовом пространстве.
1.3.4. Интерференция в фазовом пространстве. В основе ле-
лежит квазиклассическая интерпретация квантово-механического ска-
скалярного произведения (х\ ф) двух квантовых состояний \х) и \ф).
Такая интерпретация связывает комплексную амплитуду вероятности
(х| ф) с площадью области перекрытия в фазовом пространстве. Дей-
Действительно, давайте изобразим два квантовых состояния \х) и \ф)
в фазовом пространстве. Если есть только одно перекрытие, то его
площадь даёт соответствующую вероятность, то есть квадрат модуля
скалярного произведения. Если же число перекрытий больше одного,

1.3. Сжатие флуктуации
29
0,3
0,2
0,1
0,0
-
-
-
Сост
ояние сжатого вакуума
<й>=3.0
Дисп.(л)= 16.4
п
10
12
14
Число фотонов п
Рис. 1.11. Экспериментально реконструированное распределение для числа фо-
фотонов в состоянии сжатого вакуума отчётливо показывает осцилляции между
чётными и нечётными значениями. Взято из работы G. Breitenbach et al.,
Nature. 1997. V. 387. P. 471
эти области интерферируют. В этом случае каждая область представ-
представляет интерферирующую амплитуду вероятности с данными амплитудой
и фазой. Амплитуда задаётся квадратным корнем из площади, в то
время как фаза определяется другими подходящими областями в фа-
фазовом пространстве.
Мы суммируем идею интерференции в фазовом пространстве в виде
формулы
Ш =
Z	/
3
j-я площадь
перекрытия
в фазовом пр-ве
1/2
ехр
/ j-я площадь \
г заключённая между
у осевыми линиями J
A.2)
для скалярного произведения двух квантовых состояний \х) и \ф).
Статистика фотонов в сжатом вакууме. Чтобы разобраться со
статистикой фотонов сжатого вакуума, вычислим скалярное произве-
произведение (ml^sq) m-фотонного собственного состояния \т) и состояния
сжатого вакуума |V>sq)- Изобразим m-фотонное состояние в виде кру-
круговой полосы в фазовом пространстве, а сжатое состояние — в виде
сильно вытянутого эллипса, как показано на рис. 1.12. Следовательно,
полоса образует две симметрично расположенные области перекрытия,
площади которых равны Ат. Тогда скалярное произведение
A.3)

30
Гл. 1. Что такое квантовая оптика?
является суммой двух интерферирующих площадей фазового простран-
пространства. Разность фаз 2фт двух вкладов определяется площадью, за-
заключённой между осевыми линиями эллипса и круговой полосы, как
показано справа на рис. 1.12.
Эксперимент Янга с двумя щелями в терминах фазового про-
пространства. Этот пример отчётливо демонстрирует, что интерферен-
интерференция в фазовом пространстве очень похожа на знакомый эксперимент
с двумя щелями. В обоих случаях есть два интерферирующих вклада
в полную вероятность детектирования некоторого точно определённого
выходного сигнала. В одном случае эти два вклада приходят от двух
щелей. В другом случае они возникают от двух различных областей
перекрытия в фазовом пространстве. Разность фаз в эксперименте со
щелями определяется разницей длин оптических путей от центров двух
щелей до точки детектирования. Точно так же, амплитуды вероятности
двух вкладов в выражении A.3) имеют разность фаз. В этом смысле
знаменитый интерференционный эксперимент Янга обобщается на яв-
явление интерференции в фазовом пространстве.
RqE
Рис. 1.12. Интерференция в фазовом пространстве как объяснение статистики
фотонов сильно сжатого вакуума с осциллирующей функцией распределения.
Круговая полоса, представляющая состояние с определённым числом фотонов,
вырезает из сильно вытянутого эллипса, который представляет сжатый ва-
вакуум, две симметрично расположенных области перекрытия (слева). Полная
амплитуда вероятности обнаружить т фотонов в состоянии сжатого вакуума
определяется, таким образом, интерференцией этих двух площадей в фазовом
пространстве. Разность фаз определяется площадью, ограниченной осевыми
линиями двух рассматриваемых нами состояний (справа)

1.4. Модель Джейнса-Камингса-Пауля	31
1.4. Модель Джейнса-Камингса-Пауля
Как описать взаимодействие атома со светом? На первый взгляд
это невероятно трудная задача, так как она включает много степеней
свободы. Есть атом с его ядром и множеством электронов. В про-
простейшем случае мы можем рассмотреть атом водорода, состоящий из
единственного протона и единственного электрона. Атом движется как
целое. Сам электрон совершает движение относительно протона. При
соответствующих условиях оба движения должны рассматриваться
в рамках квантовой механики.
Сам атом представляет собой электрический диполь р = ег, кото-
который взаимодействует с электрическим полем Е посредством гамильто-
гамильтониана взаимодействия
Яг.Е = -р.ЕAМ).	A.4)
Здесь г и R обозначают, соответственно, координаты электрона и цен-
центра инерции атома. Таким образом, дипольный момент включает внут-
внутренние степени свободы, то есть атомные уровни, a R описывает
движение центра инерции
1.4.1.	Один двухуровневый атом плюс одна мода поля. В пол-
полной квантовой версии теории, то есть в рамках нерелятивистской кван-
квантовой электродинамики, внутренняя координата г, координата центра
инерции R и электрическое поле Е становятся операторами. Ситуация
будет особенно простой, когда есть только два электронных состояния,
то есть вовлечены только два внутренних уровня, и с этими двумя
уровнями взаимодействует, вызывая переходы между ними, только
одна мода электромагнитного поля. Такая модель была предложена
на заре теории мазера Е. Джейнсом и Ф. Каммингсом и, независимо,
Г. Паулем.
Благодаря простоте этой модели она может быть решена анали-
аналитически. И несмотря на простоту, она содержит много физики. Дол-
Долгое время модель считалась игрушкой для теоретика, не имеющей
непосредственного применения. Однако, метод оптической накачки,
разработанный А. Кастлером, позволяет нам реализовать приближён-
приближённую двухуровневую модель. Более того, с помощью сверхпроводящих
микроволновых полостей и высококачественных оптических зеркал со-
создают одномодовые резонаторы с чрезвычайно высокой добротность
порядка Q = 3 • 1010, которые соответствуют среднему времени жизни
фотона в резонаторе порядка 0,2 с. Поэтому в настоящее время модель
Джейнса-Каммингса-Пауля является одним из краеугольных камней
квантовой оптики.
1.4.2.	Временные масштабы. Итак, самой простой системой
КЭД резонатора является одиночный двухуровневый атом, взаимо-
взаимодействующий с одной резонаторной модой. Динамика этой системы
описывается уравнением Шрёдингера, так что эволюция во времени

32	Гл. 1. Что такое квантовая оптика?
является унитарной. Происходит обмен одним квантом возбуждения
между атомом и полем. Такой периодический обмен характеризуется
так называемой однофотонной частотой Раби
в которую входит дипольный момент р, постоянная Планка Н и элек-
электрическое поле ?q. Но какое электрическое поле?
В квантовой версии электродинамики оператор электрического поля
пропорционален так называемому вакуумному электрическому полю
A.5)
Здесь го, О и V обозначают вакуумную диэлектрическую проница-
проницаемость, частоту резонатора и объём, занимаемый рассматриваемой
модой, соответственно. Таким образом, мы можем увеличить силу вза-
взаимодействия, выбирая больший дипольный момент и/или увеличивая
вакуумное электрическое поле путём уменьшения объёма моды. Такова
стратегия микроволновых и оптических резонаторов.
В реальных экспериментах атомы испытывают спонтанное затуха-
затухание. Оно связано со скоростью распада j±. Точно так же электриче-
электрическое поле в резонаторе затухает со скоростью к. Процессы затухания
нарушают унитарность временной эволюции, и нам нужно описание
в терминах матрицы плотности, а не вектора состояния. Это будет
темой следующего раздела. А здесь мы обсудим только характерные
масштабы времени.
Кроме того, в большинстве экспериментов атомы пролетают через
резонатор и взаимодействуют с его полем только конечное время Т.
В заключение отметим, что в тех экспериментах по КЭД резонаторов,
которые обсуждаются в следующем разделе, имеет место определённая
иерархия четырёх частот, а именно, до, к, 7_|_ и Т~х.
1.5. КЭД резонатора
В течение десятилетий времена жизни электромагнитного излу-
излучения в существовавших резонаторах были короче, чем временные
масштабы, связанные с внутренней динамикой атома, взаимодейству-
взаимодействующего с этими резонаторными полями. Этот факт существенно ис-
использовался в теории лазера для упрощения окончательных уравнений.
Однако, в последнее время были разработаны новые резонаторы для
микроволновой и оптической областей. Они обладают очень большими
временами распада, то есть большой добротностью. Как следствие,
атом может поглотить, переизлучить и вновь поглотить один и тот же
фотон много раз. Атом испытывает много осцилляции Раби, прежде
чем поле в полости затухнет. Новая технология резонаторов является
базисом новой эры КЭД резонаторов.

1.5. КЭД резонатора	33
1.5.1. Удивительный мазер. Из гамильтониана взаимодей-
взаимодействия A.4) видно, что мы можем получить сильную связь между
атомом и электрическим полем, если увеличить дипольный момент
и/или увеличить электрическое поле. Так как дипольный момент
существенно зависит от расстояния между электроном и ядром,
большие дипольные моменты реализуются для высоковозбуждённых
состояний электрона. Поэтому удобно работать с такими ридбергов-
скими атомами.
Действительно, лазеры перестраиваемой частоты позволяют приго-
приготовить контролируемым образом высоковозбуждённые атомы в состо-
состояниях с главным квантовым числом п порядка 60. Так как расстоя-
расстояние электрона от ядра растёт пропорционально п2, электрон в таком
ридберговском атоме находится очень далеко от ядра, и атом обла-
обладает большим дипольным моментом. Поскольку связь атома с полем
осуществляется с помощью дипольного момента, для ридберговских
атомов эта связь необычайно сильна.
Частоты переходов между соседними состояниями с большими
квантовыми числами лежат в микроволновой области. Поэтому объеди-
объединение высокодобротных микроволновых резонаторов со спектроскопией
ридберговских атомов открывает уникальные возможности. Группы
Г. Вальтера в Гархинге и С. Хароша (S. Haroche) в Париже восполь-
воспользовались этими преимуществами и сконструировали мазеры, в основе
которых лежит ридберговский атом в микроволновом резонаторе.
Одноатомный мазер. Эти мазеры удивительны, так как они ра-
работают в режиме генерации даже в том случае, когда среднее число
атомов в резонаторе меньше единицы. Принципиальная схема экспе-
экспериментального устройства одноатомного мазера в Гархинге, показаная
на рис. 1.13, достаточно проста: разреженный пучок ридберговских
атомов, приготовленных с помощью лазера, проходит через высоко-
высокодобротный микроволновой резонатор. Когда частота поля находится
в резонансе с атомным переходом, атом может вложить своё возбуж-
возбуждение в полевую моду. Следующий атом взаимодействует уже с этим
модифицированным полем и может также передать своё возбуждение.
Если время затухания поля в полости велико по сравнению с временем
пролёта атомов и характерным временем внутренней динамики, поле
в полости может возрастать.
На рис.1.14 показана резонансная линию первого одноатомного
мазера. Здесь измеряется число возбуждённых атомов как функция
отстройки частоты резонатора. Если атом находится в резонансе с по-
полем в резонаторе, то число таких атомов в возбуждённом состоянии
драматически снижается, так как в этом случае все атомы вкладывают
своё возбуждение в поле и усиливают его.
Излучение мазера. Излучение такого мазера существенно отлича-
отличается от обычного лазерного света. Оно проявляет такие существенно
неклассические свойства как антигруппировку, субпуассоновскую ста-
статистику и сжатие. Более того, это устройство позволяет нам изучать
2 В. П. Шляйх

34
Гл. 1. Что такое квантовая оптика?
%^ Tie тчник атомов рубидия
Электроды для
штарковского сдвига
Вспомогательный
. j.o i ектор
Опорный лазер
УФ лазер
для селектироваи ш
по скоростям
\
Пьезоэлементы
для точной подстройю
ниобиевого резонатор;)
Селективная по атомным
состояниям ионизация
ридберговских атомов
электрическим полем
Рис. 1.13. Экспериментальная схема одноатомного мазера в Гархинге. Атомы из
рубидиевой печки (наверху) возбуждаются в ридберговское состояние 63р3//2
с помощью ультрафиолетового лазера (левая траектория пучка). Так как ла-
лазерный луч образует некоторый угол с атомным пучком, возбуждаются только
атомы с определённой скоростью. Тем самым достаточно хорошо фиксируется
время взаимодействия атомов с полем. После того как атомы пролетят через
микроволновой резонатор, они детектируются с помощью селективной иони-
ионизации во внешнем поле. Два пьезоэлемента позволяют настраивать частоту
резонатора. Опорный пучок (правая траектория) используется для привязки
частоты лазера к штарковскому сдвигу атомного резонанса, что позволяет
непрерывным образом перестраиваться по величине скорости атомов. Взято из
работы М. Weidinger et ai, Phys. Rev. Lett. 1999. V. 82. P. 3795
такие фундаментальные вопросы квантовой механики как перепуты-
вание квантовых состояний, приготовление состояний и декогерент-
ность.
Между обычным лазером и данным одноатомным мазером есть
фундаментальное различие: высокий Q-фактор резонатора означает,
что свет не может из него вырваться. Поэтому неклассическое излу-
излучение одноатомного мазера не может быть оторвано от резонатора.
Любой метод, позволяющий извлечь поле, испортит Q-фактор и, следо-

1.5. КЭД резонатора
35
Rb85
N < 22000 с
-0,50	21506,50	+0,50
Собственная частота резонатора, МГц
Рис. 1.14. Резонансная линия первого одноатомного мазера: число возбуж-
возбуждённых атомов как функция отстройки частоты резонатора. Атомы рубидия
в возбуждённом состоянии бЗрз/2 пересекают микроволновой резонатор и вза-
взаимодействуют с его полем. На выходе из резонатора измеряется число атомов,
оставшихся в прежнем состоянии. Когда резонатор настроен на частоту Да; =
= 21506,5МГц перехода в состояние 61с1з/2, число возбуждённых атомов
резко уменьшается, и появляется сложная резонансная линия. С уменьшением
потока N атомов резонанс становится более острым. Равновесное микровол-
микроволновое излучение в полости соответствует температуре 2 К. Взято из работы
D. Meschede et at., Phys. Rev. Lett. 1985. V. 54. P. 551
вательно, квантовое состояние поля излучения. В такой ситуации мы
не можем произвести прямые измерения мазерного поля с помощью
обычных фотодетекторов. Единственным инструментом для измерения
излучения в полости являются сами атомы. В этой игре они играют
две роли: с одной стороны, они генерируют мазерное поле и, с другой
стороны, измеряют его.
Так как длина волны линии излучения мазера лежит в микро-
микроволновой области, большой проблемой становится равновесное чёрное
излучение, обусловленное температурой резонатора. Действительно, по
Планку среднее число п равновесных фотонов с резонансной часто-
частотой О в полости с температурой Т равно
п =
1
ехр
Ш
A.6)
-1
Здесь &в обозначает постоянную Больцмана.Подставив в эту формулу
типичные числовые значения, мы получаем, что среднее число фотонов
меняется от п = 3,6 при 4,3 К до п = 1,5 при 2 К и до п = 0,054 при
0,3 К. Поэтому, для того чтобы в полости не было тепловых фото-

36	Гл. 1. Что такое квантовая оптика?
нов, она должна быть охлаждена до чрезвычайно низких температур.
Первые эксперименты с одноатомным мазером были выполнены при
температуре около 2 К. В настоящее время достигнуты температуры
порядка 0,3 К.
1.5.2. КЭД резонаторов оптического диапазона. Для исследо-
исследований по резонаторной КЭД в оптической области используются, глав-
главным образом, два типа систем: а) резонаторы с высокодобротными зер-
зеркалами и б) стеклянные сферы с так называемыми модами шепчущей
галереи.
Ключевым элементом оптических резонаторов являются зеркала.
Они должны иметь огромную отражательную способность и были пер-
первоначально разработаны с целью минимизировать обратное отражение
в круговых лазерных гироскопах. Такие гироскопы используются в ка-
качестве оптических навигационных приборов в гражданской авиации
и на подводных лодках. Поэтому в течение долгого времени зеркала
такого качества были строго засекречены и недоступны с коммерческой
точки зрения. Ситуация изменилась с окончанием холодной войны.
Однако, оптическая область имеет также и недостаток. Так как
во взаимодействии участвуют низко лежащие состояния, дипольные
моменты теперь не столь велики, как в микроволновой области. К сча-
счастью, этот недостаток можно скомпенсировать увеличением вакуум-
вакуумного электрического поля. Согласно формуле A.5), это равносильно
уменьшению размера резонатора.
Движение атомов через резонатор: атомно-резонаторный мик-
микроскоп. Подход, основанный на оптических резонаторах, был впервые
разработан группой Кимбла, который в настоящее время работает
в Калифорнийском технологическом институте в Пасадене. Они проде-
продемонстрировали так называемое вакуумное расщепление Раби в оптиче-
оптической области. Совсем недавно они использовали оптический резонатор
с большим Q-фактором для измерения движения атомов в поле стоячей
световой волны. Отдельные атомы выпускались из магнито-оптической
ловушки (МОЛ) в гравитационном поле, как показано на рис. 1.15.
Такая ловушка использует силы, действующие на атом из-за взаи-
взаимодействия дипольного момента с неоднородным магнитным полем.
После того как ловушка выключена, атомы падают, пролетая через
резонатор. Так как расстояние между двумя зеркалами чрезвычайно
мало, порядка 100 мкм, большинство атомов не попадает во входную
щель. Несмотря на это, несколько атомов оказываются в резонаторе.
Лазер накачивает в резонатор излучение, а фотодетектор регистрирует
прошедший свет. Из-за сильной связи с полем атомы меняют интен-
интенсивность прошедшего излучения, и попадающий на детектор световой
поток уменьшается в то время, когда атом пересекает резонатор, как
показано на рис. 1.16. Таким способом можно наблюдать отдельные
атомы, которые проходят через резонатор и взаимодействуют с его
полем.

1.5. КЭД резонатора	37
Рис. 1.15. Атомы, падающие через оптический резонатор с большим Q-факто-
ром. Атомы цезия накоплены в магнито-оптической ловушке (МОЛ), располо-
расположенной в 7 мм над резонатором Фабри-Перро. Когда ловушка выключается,
некоторое количество атомов падает через резонатор, который накачивается
лазером, создающим поле стоячей волны. Фотодетектор измеряет прошедший
свет. Взято из работы Н. Mabuchi et at., Opt. Lett. 1996. V. 21. P. 1393
В этих экспериментах однофотонная частота Раби до, скорость
затухания к поля в резонаторе, скорость затухания 7_l атомного ди-
польного момента и обратное время пролёта Т~х атома таковы:
(до, я, j±,T-l)/2ir = A1; 3,5; 2,5;0,001) МГц.
Кимблу с сотрудниками удалось даже восстановить путь отдельного
атома по излучению, выходящему из резонатора. В этом смысле данное
устройство является атомно-резонаторным микроскопом. Более того,
они могут удержать атом в резонаторе с помощью электромагнитного
поля, которое соответствует одному фотону. Другими словами, одиноч-
одиночный атом захватывается на орбиту одиночным фотоном.
Завершая это обсуждение, мы подчеркнём, что очень похожие
эксперименты были выполнены группой Г. Ремпе (G. Rempe), перво-
первоначально в Констанце, а теперь в Гархинге. Однако, в отличие от
экспериментов Кимбла, атомы выбрасывались снизу и должны были
карабкаться против силы тяжести. Если резонатор расположен близко
к точке поворота траектории, такая схема обеспечивает чрезвычайно
большое время взаимодействия.
Одноатомный лазер. Группа М. Фельда (М. Feld) из Массачусет-
ского технологоческого института заменила микроволновый резонатор
в схеме одноатомного мазера на оптический резонатор с большим
Q-фактором, использовав зеркала для гироскопов. Это устройство об-
обладает тем преимуществом, что оно работает на переходах между
низко лежащими атомными состояниями и поэтому не требует охла-
охлаждения резонатора. Кроме того, для измерения поля излучения можно
использовать обычные детекторы фотонов. Сравнение такого лазера
с одноатомным мазером в Гархинге, а также сопоставление экспери-
экспериментов по КЭД резонаторов, выполненных в Париже, и экспериментов
с оптическими резонаторами в Пасадене или Констанце/Гархинге мож-
можно найти в статье Кимбла, указанной в списке литературы в конце
данной главы.
Моды шепчущей галереи. Второй путь к оптическим резонаторам
с большими Q-факторами — это стеклянные сферы, подобные той, что
показана на рис. 1.17. Этот подход был впервые разработан группой

38
Гл. 1. Что такое квантовая оптика?
1
S 0,5
§ 0,3
S
о
С 0,1
1
1 0,5
У 0,3
о
о
с од
CD
S 0,5
У 0,3
о
g
с од
ц
то
V у
в
V
1Л 1
1
V
г
е
0,2
0,4
0,2
0,4
0,6
t,MC
t,MC
Рис. 1.16. Шесть примеров сигнала прошедшего излучения при прохождении
отдельных атомов через оптический резонатор. Когда атом пересекает резона-
резонатор, показатель преломления в полости меняется, и интенсивность прошедшего
света падает. Осцилляции в области минимума соответствуют тому, что атомы
с ненулевой поперечной скоростью пролетают над разным числом периодов
стоячей волны. Взято из работы H.Mabuchi et ai, Opt. Lett. 1996. V. 21. P. 1393
В. Брагинского в Москве. Такие сферы имеют электромагнитные моды,
которые распространяются с внутренней стороны, но очень близко к
поверхности, и могут быть возбуждены лазерным полем с наружной
стороны. С помощью этой техники группами Кимбла и Хароша были
достигнуты факторы добротности порядка 108.
По аналогии с акустическими волнами эти возбуждения называют-
называются модами шепчущей галереи. Данное название связано с собором Св.
Павла в Лондоне, в котором можно слышать шёпот, распространяю-
распространяющийся вдоль галереи.
Главный недостаток таких резонаторов состоит в том, что они
заполнены стеклянной средой. Поэтому не так-то легко послать кон-
контролируемым образом атом через поле резонатора. Можно, однако,
добавить атом в среду и таким способом получить генерацию. Другая
возможность использования этих резонаторов состоит в том, чтобы

1.6. Оптика де-бройлевских волн
39
Рис. 1.17. Микрорезонатор моды шепчущей галереи, имеющий форму стеклян-
стеклянной сферы. Слева показана такая сфера при внешнем освещении, в то время
как фотографии в середине и справа представляют моды излучения в виде,
соответственно, узкой либо широкой полосы вдоль экватора. Взято из работы
M.L. Gorodetsky and V.S. Ilchenko, Opt. Comm. 1994. V. 113. P. 133
атомы взаимодействовали с затухающим в пространстве полем этих
мод шепчущей галереи. Были сделаны теоретические предложения по
рассеянию и даже по захвату атомов такими полями.
1.6. Оптика де-бройлевских волн
Одно из предсказаний квантовой механики относится к волновой
природе частиц с массой, а именно, с движеием центра инерции части-
частицы связана волна де Бройля. Знаменитый эксперимент К. Дэвиссона
(С. J. Davisson) и Р. Джермера (R.H. Germer) в 1926 году по рассеянию
электронов кристаллом никеля был в то время сенсацией. Он ясно
обнаружил волновую природу электронов.
1.6.1. Оптика электронов и нейтронов. Важным применением
де-бройлевских волн является электронный микроскоп. Тем временем
были созданы линзы, призмы и интерферометры для электронов. Более
того, электронные интерферометры оказались чрезвычайно полезными
для проверки основ квантовой механики.
Подобным же образом мы можем рассматривать волновую природу
нейтронов. И здесь также была разработана огромная область ней-
нейтронной оптики. В качестве примера на рис. 1.18 показана картина
дифракции нейтронов на двух щелях, которая ясно подтверждает вол-
волновые свойства частиц. Нейтронные интерферометры широко применя-
применялись, в том числе, для изучения фундаментальных вопросов квантовой
механики. Так, методом нейтронной интерферометрии была установ-
установлена строгая верхняя граница для величины возможных нелинейных
вкладов в уравнение Шрёдингера. Кроме того, с помощью нейтронной
интерферометрии было продемонстрировано, что для полного поворота

40
Гл. 1. Что такое квантовая оптика?
5000
Положение сканирующей щели
Рис. 1.18. Картина дифракции на двух щелях, полученная с помощью очень
холодных нейтронов с длиной волны 2 нм, которая соответствует скорости
200 мс. Сплошная линия — это предсказание, следующее из первых прин-
принципов квантовой механики с учётом всех характеристик экспериметальной
установки. Взято из работы A. Zeilinger et ai, Rev. Mod. Phys. 1988. V. 60.
P. 1067
300
Положение сканирующей решетки
Рис. 1.19. Интерферограмма атомной де-бройлевской волны, полученная с по-
помощью двух щелей. Интенсивный пучок атомов гелия, сформированный ме-
методом расширения сверхзвукового газа, дифрагирует на двух щелях, которые
представляют собой микроструктуру для прохождения атомов. В дальней зоне
результирующий профиль атомной плотности образует систему интерферен-
интерференционных полос. Штриховая линия — фон детектора, а линия, соединяющая
экспериментальные точки, служит просто для направления взгляда. Взято из
работы О. Carnal et ai, Phys. Rev. Lett. 1991. V. 66. P. 2689

1.6. Оптика де-бройлевских волн
41
спина надо повернуться на угол 4тг. Более того, на эту область были
распространены многие концепции квантовой оптики, что и привело
к названию нейтронная квантовая оптика.
1.6.2. Атомная оптика. Благодаря механическому воздействию
света на атомы лазеры стали совершенным инструментом для того,
чтобы управлять движением центра инерции атомов. Здесь мы должны
особо отметить методы лазерного охлаждения, с помощью которых
можно понизить кинетическую энергию атомов и получить температу-
температуры в диапазоне микрокельвина.
Кроме того, атомы очень удобны для целей атомной оптики ещё
и потому, что они обладают богатой структурой внутренних степеней
свободы, на которые может действовать лазерное поле. На рис. 1.19 по-
показана экспериментальная картина дифракции атомной де-бройлевской
волны на двух щелях. В данном эксперименте щели были сделаны с по-
помощью механической маски. Дифракционную решётку можно создать
и с помощью лазерного пучка. В этом случае мы опять используем
Не*
Стеклянная
поверхность
25мкм
Юмкм
X '
57 см
2 см
57 см
Рис. 1.20. Экспериментальная схема наблюдения оптического эффекта Штер-
на-Герлаха. Атомы гелия в состояниях *S и 3S пересекают стоячую световую
волну, чей период больше ширины атомного пучка. Такое условие реализовано
при отражении стоячей волны от стеклянной пластины под некоторым углом.
При этом, как показано на вставке, создаётся структура типа стоячей волны,
чей период гораздо больше оптической длины волны. В полной аналогии со
знакомым эффектом Штерна-Герлаха, 35-атомы отклоняются в двух направ-
направлениях, соответствующих их внутренним состояниям. Атомы в состоянии *S
не чувствуют лазерное поле и движутся без взаимодействия. Взято из работы
Т. Sleator et at., Phys. Rev. Lett. 1992. V. 68. P. 1996

42
Гл. 1. Что такое квантовая оптика?
электродипольное взаимодействие атома и тот факт, что поле зависит
от положения атома. Таким способом были экспериментально проде-
продемонстрированы отклонение, фокусировка и интерференция атомных де-
бройлевских волн.
В качестве примера на рис. 1.20 показана схема эксперимента по
отклонению гелиевого пучка в результате взаимодействия с полем
стоячей волны. В зависимости от внутренних состояний атома мы
получаем когерентное расщепление на два пучка, как показано на
рис. 1.21. Это напоминает эксперимент Штерна-Герлаха, в котором
расщепление было обусловлено взаимодействием неоднородного маг-
магнитного поля с магнитным моментом атома. В данном же случае
имеет место взаимодействие электрического диполя с неоднородным
электрическим полем.
80
60
40
20
к 80
1»
S 40
о
о
5 20
к
80
60
40
20
а
jF ^у^Ьс
о
б
. 6
А/2к=4 МГц
А А/2зт = 0 МГц
f\ А/2л = -9 МГц
-300 -200 -100 0 100 200
Угол отклонения, мкрад
300
Рис. 1.21. Профиль интенсивности атомного пучка в оптическом эффекте
Штерна-Герлаха для трёх характерных отстроек лазерного поля. Два боковых
максимума соответствуют двум углам отклонения атомов, находящихся в три-
плетном состоянии. Центральный пик около нулевого угла отвечает атомам
в синглетном состоянии, которые не отклоняются. Взято из работы Т. Sleator
et ai, Phys. Rev. Lett. 1992. V. 68. P. 1996

1.6. Оптика де-бройлевских волн
43
Такое когерентное разделение пучка означает также, что мы мо-
можем использовать взаимодействие атомов со световыми полями, чтобы
получить когерентный расщепитель пучка для атомов. Если скомби-
скомбинировать три лазерных поля, как показано на рис. 1.22, то мы можем
получить атомный интерферометр. Результирующие числа отсчётов
в двух плечах интерферометра находятся строго в противофазе, как
изображено внизу на рис. 1.22.
В заключение отметим, что ротационные датчики, то есть гироско-
гироскопы, основанные на атомном интерферометре, уже конкурируют с опти-
оптическими гироскопами. Более того, реализована интерферометрия даже
25 см
25 см
Коллимационные „	„	„
щели 5 мкм ПеРвая Вт°Рая ТРетья
Стоячая световая волна
Детектирующие
щели 10 мкм
41000
40000
О
14000
13000
Канал 1
Канал 2
0	200 400 600 800
Позиция третьей решетки
1000
Рис. 1.22. Последовательность трёх стоячих лазерных волн когерентно разде-
разделяет и смешивает много атомных пучков (наверху). На выходе интерферометра
смешиваются два такие пучка. Числа отсчётов в двух выходных каналах
находятся в противофазе, как показано внизу. Взято из работы Е.М. Rasel et
ai, Phys. Rev. Lett. 1995. V. 75. P. 2633

44	Гл. 1. Что такое квантовая оптика?
с более макроскопическими объектами. Сейчас существуют интерфе-
интерферометры для больших молекул, таких как фуллерены.
Ещё более интересной является ситуация, когда де-бройлевская
длина волны атомов становится порядка расстояния между ними. То-
Тогда отдельные атомы теряют свою индивидуальность, и их волновые
функции начинают перекрываться. Для бозонных атомов имеет место
конденсация Бозе-Эйнштейна, и все атомы попадают в одно и то же
состояние в ловушке.
1.6.3. Атомная оптика в квантованных световых полях. Если
рассматривать взаимодействие атома с квантованным светом, то ве-
вещество и свет поменяются ролями. В то время как первоначально
вещество представлялось как частица, а свет как волна, то теперь
мы выявляем волновую природу вещества и корпускулярную природу
света. Это открывает совершенно новую область, а именно, атомную
оптику в квантованных световых полях. Она является тесным союзом
двух областей — атомной оптики и резонаторной квантовой электро-
электродинамики.
В этой области пока ещё не было экспериментов. Однако,
К. Ван Лейвен (К.А.Н. van Leeuwen) в Эйндховене построил огромную
машину с атомным пучком для наблюдения дискретного отклонения
атомов, обусловленного дискретностью числа фотонов. Результатов,
к сожалению, пока нет 0 .
1.7. Квантовое движение в ловушках Пауля
Техника лазерного охлаждения сделала возможным уменьшить ки-
кинетическую энергию накопленных в ловушке ионов до такого уровня,
когда движение центра инерции иона должно рассматриваться на ос-
основе квантовой механики. Поскольку удерживающий ионы потенциал
квадрупольной ловушки, типа показанной на рис. 1.2 ловушки с крыш-
крышками, в первом приближении квадратичен, движение центра инерции
описывается гамильтонианом гармонического осциллятора.
1.7.1. Аналогия с КЭД резонаторов. Ион имеет не только посту-
поступательные, но и внутренние степени свободы. Рассмотрим для просто-
простоты двухуровневый ион. В том случае, когда ион, двигаясь в ловушке,
взаимодействует с классической стоячей волной, его поведение описы-
описывается гамильтонианом, который является обобщением гамильтониана
модели Джейнса-Каммингса-Пауля.
х) Недавно группой Ван Лейвена были опубликованы полученные на этой
установке результаты экспериментов по многофотонному брэгговскому рассе-
рассеянию метастабильных атомов гелия, А.Е.А. Koolen at ai, Phys. Rev. A 65,
041601-1 B002). - Прим. ред. пер.

1.7. Квантовое движение в ловушках Пауля	45
В приближении Лэмба-Дике, когда пространственный размер вол-
волновой функции основного колебательного уровня ловушки мал по
сравнению с периодом световой волны, этот гамильтониан переходит
в гамильтониан модели Джейнса-Каммингса-Пауля. В этом случае
система, представляющая собой ион, захваченный в ловушку Пауля
и взаимодействующий с классической волной, является механическим
аналогом КЭД резонатора. Роль кванта возбуждения поля играет те-
теперь колебательный квант, то есть фотоны заменяются фононами.
Снова имеет место периодический обмен возбуждениями между ко-
колебательными и внутренними состояниями. Этот обмен зависит от
колебательного квантового состояния.
На рис. 1.23 показана динамика внутренних состояний иона для
трёх начальных квантовых состояний колебательного движения. В
частности, представлена зависимость от времени вероятности найти
атом в основном состоянии, если первоначально он был в основном
состоянии, а фононы находились в состоянии с определённым числом
заполнения (наверху), в тепловом состоянии (посередине) и в сжатом
состоянии (внизу). Сплошная линия изображает предсказание обоб-
обобщённой модели Джейнса-Каммингса-Пауля.
1.7.2. Обработка квантовой информации. В концепции перепу-
тывания заключается принципиальная разница между классической
и квантовой механикой. Это слово, по-немецки Verschrankung, было
придумано Е. Шрёдингером (Е. Schrodinger) в 1935 году в статье,
которая суммировала существовавшее на то время состояние квантовой
механики. Оно выражает тот факт, что после взаимодействия две
квантовые системы не могут быть разделены, то есть соответствующее
им квантовое состояние больше не являются произведением состояний
подсистем. Такое перепутывание чуждо классическому миру. Оно яв-
является основным компонентом так называемого парадокса Эйнштейна-
Подольского-Розена.
В модели Джейнса-Каммингса-Пауля мы имеем дело со взаимо-
взаимодействием внутренних степеней свободы с фотонным полем. В ловушке
Пауля, как механическом аналоге этой модели, речь идёт о взаимо-
взаимодействии внутренних степеней свободы с движением центра инерции.
В обоих случаях взаимодействие приводит к перепутыванию этих сте-
степеней свободы.
Недавно было предложено использовать квантовые степени свобо-
свободы для хранения информации. Действительно, внутренние состояния
атома или иона можно использовать в качестве кубитов. Очевидно,
можно использовать также и суперпозицию основного и возбуждённого
состояний. Это аналогично так называемому оптическому компью-
компьютеру, выгода которого основана единственно на интерференционных
свойствах классических электромагнитных полей. В так называемом
квантовом компьютере добавляется ещё и квантовый компонент, когда
мы используем перепутывание. Это может приводить к экспоненциаль-

46
Гл. 1. Что такое квантовая оптика?
Фоковское состояние
Л @
1-
0,8"
0,6™
0,4-
0,2-
0™
о
ли
0,8 -
0'6:
0,4 -
0,2-
0
ЙШААЛЛАЛДЛЛллллл,
i i г
20
Тепловое	п
состояние
40
Время,
0,3-
0,2-
0,1-
0-
Ik
ll
II
¦ I
60 80 100
МКС
!¦¦¦¦.-.1,
10	20	30
Время, мкс
Сжатое состояние
40
50
10
15
Время, мкс
Рис. 1.23. Галерея квантовых состояний движения, вызывающих характерную
динамику внутренних состояний иона, находящегося в ловушке Пауля и вза-
взаимодействующего с классической стоячей световой волной. Когда движение
представляет собой собственное фононное состояние, внутренняя динамика
демонстрирует затухающие рабиевские осцилляции (наверху). Если движение
соответствует начальному тепловому состоянию (посередине), внутренняя ди-
динамика проявляет достаточно нерегулярные осцилляции, которые позволяют
реконструировать начальное экспоненциальное распределение фононов, пока-
показанное на вставке. Случай сжатого состояния движения (внизу) также приво-
приводит к достаточно нерегулярным осцилляциям. Взято из работы D.M. Meekhof
et ai, Phys. Rev. Lett. 1996. V. 76. P. 1796

1.8. Двухфотонная интерферометрия и дальше	47
ному ускорению быстродействия компьютера для проблем определён-
определённого типа.
Действительно, вычислительные проблемы классифицируются по
числу шагов, необходимых для решения задачи. Давайте рассмотрим
задачу умножения двух чисел, содержащих N десятичных знаков. Су-
Существуют, несомненно, алгоритмы, решающие эту задачу. Когда мы
увеличим число знаков, задача становится более громоздкой. Однако,
независимо от алгоритма, увеличение числа шагов зависит от N по-
полиномиально. Напротив, когда мы хотим факторизовать большое чис-
число, содержащее N десятичных знаков, число шагов экспоненциально
зависит от N. Недавно П. Шор (P. Shor) разработал новый алгоритм,
основанный на квантовом перепутывании, который требует только по-
полиномиального усилия. Это имеет огромное значение в криптографии,
поскольку коды основаны на невозможности факторизации больших
чисел.
Эти алгоритмы, как правило, исходят из унитарной эволюции во
времени. Каждая же реальная квантовая система обладает диссипаци-
диссипацией. Всегда есть небольшая порция света, покидающая резонатор, или
в ловушке Пауля происходит нагревание из-за внешнего управляюще-
управляющего поля, зависящего от времени. Квантовые состояния чрезвычайно
хрупки. Потеря единственного фотона может разрушить суперпози-
суперпозицию. Эти обстоятельства привели к разработке кодов исправления
ошибок.
Экспериментально пока были реализованы отдельные квантовые
гейты. Группа Д. Вайнленда (D. Wineland) в Боулдере реализовала
гейт управляемое-не, использующий один ион, который движется
в ловушке Пауля и взаимодействует с классической стоячей волной.
В этом случае ион должен быть охлаждён до низких температур,
чтобы стала существенной дискретность собственных энергетических
состояний в ловушке. В области квантовой электродинамики группа
Кимбла создала фазовый гейт, посылая атомы через оптическую по-
полость с большим Q-фактором.
Однако, квантовый компьютер, состоящий из большого числа ионов
в ловушке, ещё не реализован. Одна из многих бросающих вызов про-
проблем состоит в том, чтобы охладить все ионы в ловушке до основного
состояния. Недавно до основного состояния были охлаждены два иона,
находящиеся в определённой колебательной моде.
1.8. Двухфотонная интерферометрия и дальше
Параметрический осциллятор создаёт свет с частотой 2и из света
с частотой и. На языке световых квантов можно представить, что
мы начинаем с двух квантов с энергией Tujj и создаём один квант
с энергией 2Tujj. Может произойти, однако, и обратный процесс. Свет
с частотой 2ио распространяется через кристалл, чтобы выйти в виде
света с частотой и. Таким образом, один квант с энергией 2Tujj создаёт

48	Гл. 1. Что такое квантовая оптика?
два кванта с энергией Ни. Так как эти два кванта появились из-за
взаимодействия света с кристаллом, кванты перепутаны. Поэтому они
являются идеальным объектом для исследования концепции перепуты-
вания.
Многие явления квантовой механики, следующие из перепутыва-
ния, были сейчас проверены с помощью этой рабочей лошадки —
перепутанных фотонов. Место не позволяет нам входить в дальней-
дальнейшие детали, и мы лишь упомянем, в качестве нескольких примеров,
эксперименты по проверке неравенств Белла, квантовую телепортацию
и плотное квантовое кодирование. За более исчерпывающим обсужде-
обсуждением мы отсылаем к списку литературы в конце этой главы.
1.9. План книги
Представленная коллекция экспериментов по квантовой оптике от-
отчётливо демонстрирует, что эта область вполне развилась и отличается
изобилием явлений. Поэтому-то невозможно включить всю тематику
данной области в одну книгу. Более того, за это время появилось
много книг по квантовой оптике. Поэтому мы отобрали для данной
книги те темы, которые до сих пор широко не обсуждались в других
книгах. Кроме того, мы сосредоточились на тех явлениях квантовой
оптики, которые становятся особенно прозрачным, когда рассматрива-
рассматриваются в фазовом пространстве. Мы попытались представить материал
в замкнутом виде, чтобы его мог читать студент, имеющий элементар-
элементарные познания в квантовой механике.
Основной акцент в книге делается на фазовом пространстве как
исходном базисе квантовой оптики. В этой связи было бы вполне
занятным напомнить, что именно квантование объёма фазового про-
пространства привело Планка к правильной формуле излучения. Мы по-
показываем, что многие из этих идей, связанных с фазовым простран-
пространством, остаются чрезвычайно полезными для понимания многих явле-
явлений квантовой оптики. В частности, квазиклассическая формулировка
квантовой механики в духе Вентцеля-Крамерса-Бриллюэна (ВКБ),
на которую иногда ссылаются как на асимптотологию, служит нам
руководящим принципом. В этом смысле квазиклассика не исключает
квантовую природу света. Напротив, предполагая наличие макроско-
макроскопического возбуждения поля, в этом формализме мы полностью учи-
учитываем интерференционные квантовые свойства.
Сначала этот формализм поясняется на примере механических ос-
осцилляторов. Это оправдано по двум причинам: а) электромагнитное
поле есть набор гармонических осцилляторов, и всё, что получено для
механических осцилляторов, может быть непосредственно перенесено
на полевые осцилляторы, и б) электроны в атомах, два ядра диатомной
молекулы, или ион в ловушке Пауля представляют собой механические

1.9. План книги	49
осцилляторы, чьё движение должно описываться с помощью квантовой
механики.
Книга организована следующим образом. После краткого обзора
основных понятий квантовой механики мы обращаемся к изображению
квантовых состояний в фазовом пространстве с помощью функции Виг-
нера. Это представление выявляет поразительные свойства квантовых
состояний, такие как осциллирующая статистика фотонов в сильно
сжатых состояниях, или возможность реконструировать квантовое со-
состояние с помощью томографии. Многие из этих эффектов появляются
в квазиклассическом пределе. Поэтому мы обращаемся к краткому
обзору метода ВКБ и связываем его с фазой Берри. Это прямиком ведёт
к идее интерференции в фазовом пространстве и динамике волновых
пакетов.
Функция Вигнера — это только одна из бесконечного набора функ-
функций распределения в фазовом пространстве. Эти обобщённые функ-
функции распределения следуют из подходящим образом упорядоченных
представлений матрицы плотности с помощью когерентных состояний.
Они очень важны для квантовой электродинамики резонаторов. По-
Поэтому мы сначала конспективно излагаем квантование поля излучения,
а потом переходим к обсуждению различных квантовых состояний.
И вновь фазовое пространство является общей основой, объединяющей
эти темы. Многоканальные системы, то есть комбинации светоделите-
светоделителей и устройств для сдвига фаз позволяют измерять такие функции
распределения в фазовом пространстве.
Пока между веществом и светом не было взаимодействия. Поэтому
мы обращаемся к вопросу о том, как сконструировать взаимодействие
между атомом и полем, и подробно обсуждаем модель Джейнса-
Каммингса-Пауля. Тогда логически следующей темой являются кван-
квантовые измерения и приготовление квантовых состояний, основанное
на квантовом перепутывании. Ловушка Пауля является аналогом КЭД
резонатора, но представляет дальнейшее развитие модели Джейнса-
Каммингса-Пауля в двух отношениях: а) теперь она не ограничена
однофотонными переходами, б) внешний потенциал, управляющий дви-
движением центра инерции, явно зависит от времени.
Приведённые выше примеры имеют дело с чистыми состояниями.
Далее мы обращаемся к системам, для описания которых необходима
матрица плотности. Мы выводим уравнение для матрицы плотности
для случаев затухания или усиления поля в полости. Это немедлен-
немедленно приводит к матрице плотности одноатомного мазера. Спонтанное
излучение атома тоже может быть получено с помощью подхода, осно-
основанного на матрице плотности. Другая система, для которой необходим
такой подход, происходит из области атомной оптики. Мы рассмат-
рассматриваем движение атома через квантованную стоячую волну. И вновь
фазовое пространство обеспечивает более глубокое понимание процес-
процессов отклонения и фокусировки атомных пучков в электромагнитных
полях.

50	Гл. 1. Что такое квантовая оптика?
Литература
По дороге к квантовой оптике
Общий исторический взгляд на лазерную физику
М. Bertolotti, From Masers to Lasers, Adam Hilger, Bristol, 1983
W.E. Lamb, W.P. Schleich, M.O. Scully and C.H. Townes, Laser
Physics: Quantum Controversy in Action // Rev. Mod. Phys. 1999. V. 71.
P. S263-S273.
Резюме многих школ по лазерной физике
Н. Haken, Laser Theory, Springer Verlag, Heidelberg and Berlin, 1984.
Appeared originally in Encyclopedia of Physics, edited by S. Fliigge, Springer,
Heidelberg, 1970
W.H. Louisell, Quantum Statistical Properties of Radiation. Wiley, New York,
1973
M. Sargent III, M. O. Scully and W.E. Lamb Jr. Laser Theory Addison-Wesley,
Reading, Mass., 1974
M.O. Scully and M.S. Zubairy, Quantum Optics, Cambridge U.P. New York,
1996
[M.O. Скалли, M.C. Зубайри. Квантовая Оптика. — M.: Физматлит, 2003]
Обзор состояния квантовой оптики в трудах летних школ и конференций
С. DeWitt, A. Blandin and С. Cohen-Tannoudji, Quantum Optics and Elec-
Electronics, Gordon and Breach, New York, 1965
R.J. Glauber, Quantum Optics: Proceedings of the International School of
Physics «Enrico Fermi», Academic, New York, 1969
Современные направления в квантовой оптике
Превосходный общий взгляд можно найти в:
R. Bonifacio, Mysteries, Puzzles, and Paradoxes in Quantum Mechanics,
American Institute of Physics, Woodbury, 1999
T. W. Hansch and H. Walther, Laser spectroscopy and quantum optics, Rev.
Mod. Phys. 1999. V. 71. P. S242-S252.
Резонансная флюоресценция
Ранние рассмотрения
W. Heitler, The Quantum Theory of Radiation, Oxford University Press,
Oxford, 1930
[В. Гайтлер. Квантовая теория излучения. — М.:ИЛ, 1956]
B.R. Mollow, Power Spectrum of Light Scatterd by Two-Level Systems, Phys.
Rev. 1969. V. 188. P. 1969-1975.
Педагогически превосходное и полное изложение теории резонансной флюоресцен-
флюоресценции
С. Cohen-Tannoudji, in: Frontiers in Laser Spectroscopy, ed. by R. Balian,
S. Haroche and S. Liberman, North-Holland, Amsterdam, Vol. I, 1977

Литература	51
Эксперименты по резонансной флюоресценции
F. Schuda, С. R. Stroud Jr. and М. Hercher, Observation of the resonant Stark
effect at optical frequencies // J. Phys. B. 1974. V. 7. P. L198-L202.
F. Y. Wu, R.E. Grove and S. Ezekiel, Investigation of the Spectrum of Reso-
Resonance Fluorescence Induced by a Monochromatic Field // Phys. Rev. Lett. 1975.
V. 35. P. 1426-1429.
W. Hartig, W. Rasmussen, R. Schieder and H. Walther, Study of the Frequency
Distribution of the Fluorescent Light Induced by Monochromatic Radiation,
Z. Physik A. 1976. V. 278. P. 205-210.
/. T. Hoffges, H. W. Baldauf, T. Eichler, S.R. Helmfrid and H. Walther, Het-
Heterodyne measurement of the fluorescent radiation of a single trapped ion, Opt.
Comm. 1997. V. 133. P. 170-174.
/. T. Hoffges, H. W. Baldauf, W. Lange and H. Walther, Heterodyne measure-
measurement of the resonance fluorescence of a single ion // J. Mod. Opt. 1997. V. 44.
P. 1999-2010.
Ранние эксперименты в Рочестере и Гархинге по антигруппировке фотонов
L. Mandel and E. Wolf, Optical Coherence and Quantum Optics. Cambridge
U.P., New York, 1995
[Л. Мандель, Э. Вольф. Оптическая когерентность и квантовая оптика. —
М.: Физматлит, 2000]
J.D. Cresser, J. Eager, G. Leuchs, M. Rateike and H. Walter, in: Dissipative
Systems in Quantum Optics, ed. by R. Bonifacio and L. Lugiato, Topics in Current
Physics, 27, Springer, Berlin, 1982
Экспериментальное наблюдение сжатия в резонансной флюоресценции
Z.H. Lu, S. Bali and J.E. Thomas, Observation of Squeezing in the
Phase-Dependent Fluorescence Spectra of Two-Level Atoms // Phys. Rev. Lett.
1998. V. 81. P. 3635-3638.
Сжатый свет
L.A. Wu, M. Xiao and H.J. Kimble, Squeezed states of light from an optical
parametric oscillator // J. Opt. Soc. Am. B. 1987. V. 4. P. 1465-1475.
Измерение осциллирующей статистики фотонов в сжатом вакууме
G. Breitenbach, S. Schiller and /. Mlynek, Measurement of the quantum states
of squeezed light, Nature. 1997. V. 387. P. 471-475.
Одноатомный мазер
D. Meschede, H. Walther and G. Muller, One-Atom Maser // Phys. Rev. Lett.
1985. V. 54. P. 551-554.
M. Weidinger, B.T.H. Varcoe, R. Heerlein and H. Walther, Trapping States in
the Micromaser // Phys. Rev. Lett. 1999. V. 82. P. 3795-3798.

52	Гл. 1. Что такое квантовая оптика?
Высокодобротные оптические резонаторы
М. G. Raizen, R. J. Thompson, R. J. Brecha, H. J. Kimble and H. J. Carmicha-
el, Normal-Mode Splitting and Linewidth Averaging for Two-State Atoms in an
Optical Cavity // Phys. Rev. Lett. 1989. V. 63. P. 240-243.
H.J. Kimble, Nonclassical light 20 years later: an assessment of the voyage
into Hilbert space // Phil. Trans. R. Soc. Lond. A. 1997. V. 355. P. 2327-2342.
H. Mabuchi, Q.A. Turchette, M.S. Chapman and H.J. Kimble, Real-time de-
detection of individual atoms falling through a high-finesse optical cavity // Opt.
Lett. 1996. V. 21. P. 1393-1395.
P. Munstermann, T. Fischer, P. Maunz, P.W.H. Pinkse and G. Rempe, Dy-
Dynamics of Single Atom Motion Observed in a High-Finesse Cavity, Phys. Rev.
Lett. 1999. V. 82. P. 3791-3794.
P. W. H. Pinske, T. Fischer, P. Maunz and G. Rempe, Trapping an atom with
single photons, Nature. 2000. V. 404. P. 365-368.
C.J. Hood, T.W. Lynn, A. C. Doherty, A.S. Parkins and H.J. Kimble, The
Atom-Cavity Microscope: Single Atoms Bound in Orbit by Single Photons //
Science. 2000. V. 287. P. 1447-1453.
Идея микрорезонаторов, основанных на модах шепчущей галереи
В.Б. Брагинский, B.C. Ильченко. Свойства оптических диэлектрических
резонаторов, Доклады АН 1987, Т. 293, С. 1358
V.B. Braginsky, M.L. Gorodetsky and V.S. Ilchenko, Quality-factor and non-
nonlinear properties of optical whispering gallery modes, Phys. Lett. A. 1989. V. 137.
P. 393-397.
M.L. Gorodetsky and V.S. Ilchenko, High-Q optical whispering gallery mi-
croresonators: precession approach for spherical mode analysis and emission
patterns with prism couplers // Opt. Comm. 1994. V. 113. P. 133-143.
Оптика де-бройлевских волн
Оригинальная статья по рассеянию электронов на кристалле никеля
С. Davisson and L.H. Germer, The Scattering of Electrons by a Single Crystal
of Nickel, Nature, 1927. V. 119. P. 558-560.
Эта статья вместе со многими другими животворными работами, которые были
первоначально опубликованы в журнале Nature, перепечатаны в специальном сборнике,
посвященном 100-летию Американского физического общества:
С. Davisson and L.H. Germer, in: A celebration of physics, ed. by P. Campbell,
Nature, London, 1999
Введение в электронную интерферометрию
F. Hasselbach, H. Kiesel and P. Sonnentag, Exploration of the Fundamentals
of Quantum Mechanics by Charged Particle Interferometry, in: Decoherence: The-
Theoretical, Experimental, and Conceptual Problems, ed. by Ph. Blanchard, D. Giulini,
E. Joos, С Kiefer and I.-O. Stamatescu, Springer, Berlin, 2000
Общий взгляд на нейтронную оптику
Н. Rauch and S.A. Werner, Neutron Interferometry. Lessons in Experimental
Quantum Mechanics, Oxford University Press, Oxford, 1999

Литература	53
A. Zeilinger, R. Gahler, C.G. Skull, W. Treimer and W. Натре, Single- and
double-slit diffraction of neutrons // Rev. Mod. Phys. 1988. V. 60. P. 1067-1073.
Пионерские эксперименты по атомной оптике
О. Carnal and /. Mlynek, Young's Double-Slit Experiment with Atoms: A
Simple Atom Interferometer // Phys. Rev. Lett. 1991. V. 66. P. 2689-2692.
T. Sleator, T. Pfau, V. Balykin, O. Carnal and /. Mlynek, Experimental Demon-
Demonstration of the Optical Stern-Gerlach Effect // Phys. Rev. Lett. 1992. V. 68.
P. 1996-1999.
E.M. Rasel, M.K. Oberthaler, H. Batelaan, J. Schmiedmayer and A. Zeilinger,
Atom Wave Interferometry with Diffraction Gratings of Light, Phys. Rev. Lett.
1995. V. 75. P. 2633-2637.
Даже такие макроскопические молекулы как Ceo демонстрирует интерференцию в
эксперименте с двумя щелями
М. Arndt, О. Nairz, J. Vos-Andreae, С. Keller, G. van der Zouw and
A. Zeilinger, Wave-particle duality of Сбо molecules, Nature. 1999. V. 401.
P. 680-682.
Квантовые вычисления
Идея квантового компьютера восходит к работам:
R.P. Feynman, Simulating Physics with Computers // Int. J. Theor. Phys.
1982. V. 21. P. 467-488.
D. Deutsch, Quantum theory, the Church-Turing principle and the universal
quantum computer, Proc. R. Soc. Lond. A. 1985. V. 400. P. 97-117.
Экспериментальная реализация квантового гейта, основанного на ионе в ловушке
Пауля
С. Monroe, D.M. Meekhof, В.Е. King, W.M. Itano and D.J. Wineland, Demon-
Demonstration of a Fundamental Quantum Logic Gate // Phys. Rev. Lett. 1995. V. 75.
P. 4714-4717.
Квантовый фазовый гейт
Q.A. Turchette, С.I Hood, W. Lange, H. Mabuchi and HI Kimble, Measure-
Measurement of Conditional Phase Shifts for Quantum Logic // Phys. Rev. Lett. 1995.
V. 75. P. 4710-4713.
Теоретические предложения по квантовым компьютерам, основанным на ионных
ловушках или КЭД резонаторов
/./. Cirac and P. Zoller, Quantum Computations with Cold Trapped Ions, Phys.
Rev. Lett. 1995. V. 74. P. 4091-4094.
T. Pellizzari, S.A. Gardiner, J.I. Cirac and P. Zoller, Decoherence, Continuous
Observation and Quantum Computing: A Cavity QED Model, Phys. Rev. Lett.
1995. V. 75. P. 3788-3791.
Специальный выпуск с обзором по квантовой информации, квантовым вычислениям
и квантовой коммуникации
Modern Studies of Basic Quantum Concepts and Phenomena, ed. by
E.B. Karlsson and E. Brandas, Physica Scripta, T76, 1998
Этот выпуск был перепечатан в виде книги в издательстве World Scientific, Singa-
Singapore, 1998

54	Гл. 1. Что такое квантовая оптика?
D. Bouwmeester, А.К. Ekert and A. Zeilinger, The Physics of Quantum Infor-
Information, Springer, Heidelberg, 2000
[Д. Баумейстр, А. Экерт, А. Цайлингер. Физика квантовой информа-
информации. — М.: Постмаркет, 2002]
Превосходное изложение теории чисел и классической криптографии
N. Koblitz, A Course in Number Theory and Cryptography. Springer, New
York, 1994.
Двухфотонные эксперименты
Обзор двухфотонных экспериментов для проверки оснований квантовой физики
A. Zeilinger, Experiment and the Foundations of Quantum Physics, Rev. Mod.
Phys. 1999. V. 71. P. S288-S297.
L. Mandelj Quantum Effects in One-Photon and Two-Photon Interference, Rev.
Mod. Phys. 1999. V. 71. P. S274-S282.
Б.В. Брагинский, Ф.Я. Халил. Квантовые измерения. — М.: Наука, 1990.

Глава 2
НЕКОТОРЫЕ СВЕДЕНИЯ
ИЗ КВАНТОВОЙ МЕХАНИКИ
В покере перед каждой сдачей игроки должны сделать взнос в об-
общий банк. Это называют начальной ставкой 0 . Аналогично, желая
обсуждать квантовую оптику, в частности, влияние квантовой механи-
механики на оптику, нужно сначала сделать начальную ставку в банк знаний
по квантовой физике. Поэтому в данной главе мы коротко суммируем
наиболее существенные черты квантовой механики, уделяя особое вни-
внимание тем понятиям, которые часто используются в квантовой оптике.
Классическая механика состоит из двух разделов: кинематики,
описывающей движение тел безотносительно к вызвавшим его причи-
причинам, и динамики, рассматривающей причины движения тел. Аналогич-
Аналогично квантовая кинематика описывает квантовые состояния, а кван-
квантовая динамика — эволюцию этих состояний во времени. Квантовая
кинематика основана на пяти аксиомах: A) вся информация о кван-
квантовой системе содержится в векторе состояния; B) вектор состояния
является вектором в гильбертовом пространстве; C) квадрат модуля
волновой функции определяет плотность вероятности; D) наблюдаемые
представляются эрмитовыми операторами; E) операторы удовлетворя-
удовлетворяют определённым коммутационным соотношениям. Квантовая динами-
динамика вытекает из уравнений Шрёдингера или фон Неймана.
В этой главе мы сначала обсудим квантовую кинематику, а затем
перейдём к динамике. Везде в данной главе рассматривается квантовая
система, состоящая из частицы массой М, движущейся в одномерном
потенциале. Обозначим координату частицы х, а её импульс р. Как от-
отмечено выше, в квантовой механике координата и импульс становятся
эрмитовыми операторами х и р. В первом разделе мы обсудим свойства
собственных состояний этих операторов \х) и \р).
Другим важным оператором в квантовой механике является га-
гамильтониан	2
H = ^ + U(x).	B.1)
В нерелятивистском случае он включает операторы р2/BМ) и U(x)
кинетической и потенциальной энергии соответственно.
1) В оригинале данная глава называется Ante, то есть «Начальная став-
ставка». — Прим. ред. пер.

56	Гл. 2. Некоторые сведения из квантовой механики
Собственные состояния \т) гамильтониана являются собственными
состояниями оператора энергии и определяются как
Н \т) =
т)
Гармонический осциллятор с квадратичным потенциалом
U(x) = i Мп2х2
является базовой моделью в физике. Для квантовой оптики модель гар-
гармонического осциллятора особенно важна по двум причинам: 1) недав-
недавно ионы в ловушке и атомы в поле стоячей волны были охлаждены
до такой температуры, что стало необходимым квантово-механическое
описание их движения; 2) при квантовании электромагнитного по-
поля каждая мода является гармоническим осциллятором. Более того,
недавно наблюдались эффекты, определяющиеся квантованными поля-
полями. Все эти причины побуждают кратко напомнить вывод распределе-
распределения по координатам собственных энергетических состояний гармони-
гармонического осциллятора.
Состояние квантовой системы является вектором в гильбертовом
пространстве. Это пространство невероятно велико. В общем случае,
чтобы однозначно выделить квантовое состояние, необходимо задать
целый ряд чисел. Во многих случаях это просто невозможно. Тогда
приходится отказаться от описания системы с помощью вектора состо-
состояния и перейти к описанию на языке матрицы плотности. В последнем
разделе этой главы мы кратко суммируем ряд свойств матрицы плот-
плотности.
Затем мы обратимся к вопросам квантовой динамики. Посредством
уравнения Шрёдингера
гП\ф) = Н\ф)
гамильтониан определяет временную эволюцию квантового состоя-
состояния \ф). Мы коротко напомним различные способы решения тако-
такого уравнения, в частности, обсудим формальные решения уравнений
Шрёдингера и фон Неймана с помощью мультинтеграла Вольтерра-
Шлезингера и мультикоммутаторов.
2.1. Собственные состояния операторов
координаты и импульса
Как отмечено выше, в квантовой механике операторы координаты
и импульса частицы становятся эрмитовыми операторами х и р. Кроме
того, вектор состояния \ф) описывает движение частицы. Очевидными
примерами таких векторов являются собственные состояния \х) и \р)

2.1. Собственные состояния операторов координаты и импульса 57
операторов координаты и импульса х и р. Они определяются уравне-
уравнениями на собственные значения
х\х) = х \х)
р\р) =р\р) •
Здесь х и р — собственные значения. Эти собственные значения
действительны, так как операторы эрмитовы. Кроме того, они могут
принимать любые значения, то есть спектр этих операторов непре-
непрерывен.
2.1.1. Свойства собственных состояний. Если умножить первое
уравнение на (х'\ и использовать эрмитовость х, то есть равенство
то получим уравнение
(X X = (X X
(хг -х)(х'\х}=0,
решение которого имеет вид
{х
х) = 5(х' — х).
Следовательно два собственных состояния координаты \х')
B.2)
B.3)
со-
соответствующие двум разным собственным значениям х1 и х, орто-
ортогональны. Однако из-за присутствия 5-функции они не нормированы
на единицу. Это же верно и для собственных состояний оператора
импульса. Гильбертово пространство определено для всех квадратично
интегрируемых функций. Очевидно, что собственные состояния коор-
координаты и импульса не принадлежат этому пространству. Эта довольно
тонкая математичская проблема приводит ко многим усложнениям,
которые мы не хотим обсуждать в рамках этой книги. За деталями
и решениями мы отсылаем читателя к списку литературы.
Соотношение полноты и разложение состояний. Собственные
состояния \х) оператора координаты образуют полный набор состояний.
Иными словами, любое квантовое состояние \ф) можно разложить по
собственным состояниям координаты. При этом соотношение полноты
Г
1 = \dx \x) (х
приводит к представлению
|V}=l|V} = j<fe|x)(x||V} = j
где мы ввели волновую функцию
ф(х) = (х\ \ф) = (х\ф)
в координатном представлении.
х),
B.4)
состояния

58	Гл. 2. Некоторые сведения из квантовой механики
Точно так же можно разложить состояние \ф) по собственным
состояниям импульса, используя соотношение полноты
Это приводит к разложению
IV) = 1 \Ф) = jdp \р) {р\ \ф) =^рф(р) \р),	B.5)
где волновая функция в импульсном представлении имеет вид
Здесь мы ввели обозначения, указывающие, что две волновые функ-
функции ф(х) и ф(р) являются двумя представлениями одного и того же
состояния 1^). Однако нельзя получить одно представление из другого
простой заменой аргументов. В следующем подразделе мы увидим, что
два представления связаны фурье-преобразованием.
2.1.2. Производная волновой функции. В предыдущем разде-
разделе мы видели, что скалярное произведение (х\ ф) является волновой
функцией состояния \ф) в координатном представлении. Как выра-
выражается величина (х\р\ф) через волновую функцию? Очевидно, это
есть координатное представление квантового состояния \ф') = р\ф),
полученного действием оператора импульса р на состояние \ф). Но что
представляет собой состояние \ф') и как оно связано с волновой
функцией ф{хI Мы, конечно, вспоминаем, что эта величина связа-
связана с производной волновой функции по координате. Действительно,
в координатном представлении оператор импульса есть производная по
координате. Получим этот хорошо известный результат заново.
В классической механике координата и импульс являются кано-
канонически сопряжёнными величинами. В квантовой механике соответ-
соответствующие операторы удовлетворяют коммутационному соотношению
Гейзенберга
[х,р\ =хр — рх = ih.	B.6)
Эта формула связывает координатное и импульсное представления.
Чтобы это стало понятнее, вычислим величину (x\p\i/j). Используя
координатное представление B.4) состояния \ф), получаем
(х\р\ф)=\с1х'(х\р\х'}{х'\ф).	B.7)
Величина (х\р\х'} находится умножением коммутационного соот-
соотношения Гейзенберга B.6) на (х\ и \хг), так что
(х\ хр — рх\х') = гЫ(х — х').
Здесь мы использовали соотношение ортогональности B.3).

2.1. Собственные состояния операторов координаты и импульса 59
Используем теперь уравнение для собственных значений и соб-
собственных состояний координаты и напомним, что х — эрмитов опе-
оператор. Это позволяет подействовать оператором х на (х\. Поэтому
уравнение упрощается и принимает вид
(х — xr) (x\p\xf) = ih5(x — xf),
откуда
V
х — х
Правая часть по существу есть первая производная (^-функции. Это
становится особенно ясным, если подставить полученное выражение
назад в формулу B.7), то есть
Р\Ф) =
\ dxf ih6{x ~ x) (х'\ф).
J	х-х
Чтобы провести интегрирование, разложим волновую функцию
ф(х') = (х'\ ф) в ряд Тейлора в окрестности точки х, откуда
/ / /\ I г \ ^ф ( /ч 1 d ф /	/\2 i
ф(х ) = <ф(х) --^(Х-Х) + 2~^(Х~Х)^'-
Если теперь подставить это разложение в интеграл, получим:
(х\р\ф)=т(ф(х) ldx'S(x~x^ -^ \dxf5(x-xf) +
у J	х — х	ах J
+ i^T \dx'5(x-xr)(x-xr) + ,
* dx J
Первый интеграл обращается в нуль из-за нечётности подынте-
подынтегрального выражения. Третий интеграл также обращается в нуль, так
как функция х — х1 равна нулю при х1 = х. Следовательно
(х\р\ф) =-Иг^ф(х).	B.8)
В заключение этого раздела отметим, что координатное распределе-
распределение, отвечающее вектору состояния, которое получается в результате
действия на состояние оператора импульса, есть производная волновой
функции этого состояния. Этот результат хорошо известен:
^_hd_
г dx'
то есть оператор импульса в координатном представлении есть произ-
производная по координате.
2.1.3. х- и р-представления связывает фурье-преобразование.
Какова связь между волновыми функциями в координатном и им-

60	Гл. 2. Некоторые сведения из квантовой механики
пульсном представлениях? Чтобы ответить на этот вопрос, умножим
разложение
состояния \ф) по собственным состояниям импульса B.5) на (х\, от-
откуда
ф(х) = (х\ф) = J dpi/j(p)(x\p).
Мы пришли к необходимости найти скалярное произведение (х\р)
собственных состояний координаты и импульса. В использовавшейся
до сих пор системе обозначений это означает, что мы должны найти
волновую функцию р(х) = (х\р) собственного состояния импульса в
координатном представлении.
Применим формулу B.8) из предыдущего раздела к частному слу-
случаю \ф) = \р). Тогда
(х\ р\р) =р(х\р) =р- р(х) = -ih— p(x).
Получившееся дифференциальное уравнение
имеет решение
p(x) = (x\p)=J\Teipx^.	B.9)
Константу нормировки J\f можно найти из условия ортогонально-
ортогональности B.3) собственных состояний координаты, подставив соотношение
полноты для импульсных состояний, то есть
5{х — xf) = dp (x\p) (p\ xf) = dpp(x) - p*(xf).
Здесь звёздочка означает комплексное сопряжение.
Действительно, подставляя в этот интеграл выражение B.9) для
волновой функции р(х), получаем
5(x-xf) = |A/
Учитывая интегральное представление 5-функции
находим
Таким образом, скалярное произведение собственных состояний
координаты и импульса равно
(х\р) = BтгП)-1/2ехр(^хр\ .	B.10)

2.2. Собственное энергетическое состояние	61
Отсюда можно найти явную связь
ф(х) = B^ft)-1/2
между координатной волновой функцией ф(х) и импульсной волновой
функцией ф(р).
2.2. Собственное энергетическое состояние
Обратимся к собственным состояниям гамильтониана B.1), которые
являются собственными состояниями \т) оператора энергии. Рассмот-
Рассмотрим случай гармонического осциллятора. Эта модель играет важную
роль при описании не только механических колебаний, но и осцил-
осцилляторов поля. В гл. 10 вновь появятся подобные состояния, которые
будут отвечать различной степени возбуждения полевого осциллятора.
В этом случае т обозначает число возбуждений, или, говоря более
привычно, число фотонов. По этой причине иногда мы будем для таких
состояний употреблять название «состояние с определённым числом
возбуждений» или «фоковское состояние» по имени российского учё-
учёного В. А. Фока.
Состояния гармонического осциллятора данной энергии \т) опре-
определяются уравнением на собственные значения
Н\т) =Ет\т),	B.11)
где гамильтониан имеет вид
я ^ +
Здесь М обозначает массу осциллятора, О — его собственную
частоту, а х и р — операторы, описывающие координату и импульс
осциллятора, соответственно. Энергия ш-го собственного состояния
равна Ет.
Дираковские обозначения квантовых состояний не привязаны к
конкретному представлению. В частности, абстрактный вектор состо-
состояния \т) не позволяет глубже проникнуть в свойства этого состо-
состояния. Он позволяет путём абстрактных вычислений получать отве-
ответы на вопросы типа: какова вероятность обнаружить колеблющуюся
частицу в заданной точке х или с заданным импульсом р. Однако
при этом необходимо переходить к координатному или импульсному
представлениям. В данном разделе мы обсудим эти представления для
собственных состояний энергии.
2.2.1. ^Произвольное представление. Рассмотрим теперь эрмитов
оператор X, например, оператор координаты или импульса. Собствен-
Собственные состояния \Х) оператора X, определяющиеся уравнением
Х\Х) =Х\Х)

62	Гл. 2. Некоторые сведения из квантовой механики
с собственным значением X, полны. Поэтому можно представить еди-
единичный оператор 1 как
1 = [ dX \X) (Х\.
Здесь мы предположили, что спектр оператора, то есть распределение
его собственных значений, непрерывен. Интервал собственных значе-
значений определяет область интегрирования. Для простоты мы опустили
пределы в интеграле. В случае дискретного спектра интегрирование
следует заменить суммированием.
Соотношение полноты позволяет выразить собственное состояние
данной энергии \т) как непрерывную суперпозицию собственных со-
состояний \Х) оператора X. Действительно, умножая кет-вектор \т) на
единичный оператор, находим:
\т) = l\m)=^dX \X)(X\\m) = \dXum(X) \X).
Здесь функция ит(Х) = (Х\ \т) = (X \т) является волновой функ-
функцией собственного энергетического состояния \т) в Х-представлении.
Как найти эту функцию?
Умножая уравнение на собственные значения B.11) слева на со-
состояние (Х\, находим уравнение, определяющее волновую функцию
ит(Х) собственного энергетического состояния гармонического осцил-
осциллятора в произвольном представлении \Х)\
(Х\ Н \т) = Ет (Х\ т) = Етит{Х).
Очевидно, проблема состоит в вычислении действия гамильтониана
на \Х). Покажем, как это можно сделать в том случае, когда опера-
оператор X является оператором координаты х.
2.2.2. Координатное представление. Рассмотрим собственные
состояния данной энергии в координатном представлении. С помощью
соотношения полноты	„
1 = \ dx \x) (х
находим разложение m-го собственного состояния данной энергии:
\т) = 1 \т) = dx \х) (х\ \т) = dxum(x) \x).
Здесь ит(х) = (х\т) — координатная волновая функция собственного
состояния данной энергии \т).
В приложении А.1 показано, что следствием квадратичной интегри-
интегрируемости собственных функций \т)
(т\т) = \ dx (т \х) (х\ т) = &^(ж)ит(а;) = dx \um(x)\2 = 1
является дискретность спектра гамильтониана.

2.2. Собственное энергетическое состояние
63
Уравнение Шрёдингера в координатном представлении. Выве-
Выведем теперь уравнение B.11) в координатном представлении. Умножая
уравнение на собственные значения B.11) на (х\, находим:
(х\ Н \т) = Ет(х \т) = Етит(х)
и, подставляя гамильтониан B.1),
-(х
р2 \т)
2М (Еш - 1-
ит(х) = 0.
Как отмечалось выше, проблема состоит в вычислении первого
слагаемого в этом уравнении, поскольку собственные состояния \х) не
являются собственными состояниями оператора импульса р. Однако
с помощью условия полноты
1
= \dp\p){p\
собственных состояний импульса \р) можно переписать указанное сла-
слагаемое, введя координатную волновую функцию. Действительно,
(х\ р2 \т) = dp (х\ р2 \р) (р\ т) = dpp2 (x \р) (р \т).
На следующем шаге используем координатное представление B.10)
собственного состояния импульса
1
(х\р) =
ipx/h
/2тг/г
B.12)
и записываем
г
(х\р
га) =
Плоскую волну в интеграле можно рассматривать как координатное
представление B.10) собственного состояния импульса, так что
(x\f
га = -/
OX
B.13)
1
Здесь на последнем шаге мы использовали соотношение полноты соб-
собственных состояний импульса.
С учётом этого результата уравнение на собственные значе-
значения B.11) в координатном представлении принимает вид
d иш(а
dx
=0.
B.14)
Очевидно, этот результат согласуется с представлением о замене опе-
оператора кинетической энергии второй производной по координате, умно-
умноженной на — Й2/BМ).

64	Гл. 2. Некоторые сведения из квантовой механики
Решение уравнения Шрёдингера. Уравнение Шрёдингера в коорди-
координатном представлении B.14) является дифференциальным уравнением
для функции параболического цилиндра. Чтобы прояснить это и найти
собственные значения энергии, введём обезразмеренные переменные
и преобразуем уравнение к более удобному виду. Для энергии вводим
переменную Ет = М1г]т, а для координаты — переменную ? = кх, где
х= у/Мп/%.	B.15)
После перехода к новой переменной ? уравнение Шрёдингера прини-
принимает вид
d Urn^ + Brjm - ?2)ит(?) = 0.	B.16)
В приложении АЛ мы обсуждаем решения этого уравнения и на-
находим асимптотическое разложение получающихся функций. Однако,
строго говоря, это уравнение не совсем совпадает со стандартным
дифференциальным уравнением
d2u(y)
dy2
определяющим функцию параболического цилиндра. Эти два уравне-
уравнения связаны преобразованием у = ^л/2 и отождествлением а = — г]т.
Мы должны решать первое уравнение при следующем граничном
условии: для обеспечения нормируемости решений они должны обра-
обращаться в нуль, когда ? стремится к бесконечности.
В приложении А.1 показано, что нормируемые волновые функции
возникают только при г]т = т + 1/2.
В этом случае решения принимают вид
0, (?\ 	 КГ TJ (С\ю~о^	(9 1 7сЛ
UfYi \C I — •' v 772, -П-ТП vSs/^	'	\?. 1. I О.)
где константа нормировки
1/4	!
B.176)
а Нт{^) есть т-й полином Эрмита.
В завершение этого раздела приведём вид волновых функций
в обычных переменных
где константа нормировки
ят =

2.3. Матрица плотности: краткое введение	65
Собственные значения энергии равны
Em = Ml(m + i
В случае гармонического осциллятора как координатные, так и им-
импульсные переменные входят квадратично. Поэтому соответствующие
волновые функции очень похожи. В частности, импульсная волновая
функция также задаётся полиномами Эрмита (см. задачу 2.1).
2.3. Матрица плотности: краткое введение
Вектор состояния содержит полную информацию о квантовой си-
системе. Однако во многих случаях мы не знаем всех деталей рассмат-
рассматриваемой системы. Это может быть, например, в случае, когда она
имеет слишком большое число степеней свободы. В частности, когда
система взаимодействует с резервуаром, мы не можем проследить за
движением составных частей последнего. Примерами таких систем
могут служить спонтанное излучение атома или затухание излучения
в резонаторе. В этих случаях невозможно описать систему вектором
состояния и требуется введение нового понятия.
2.3.1. Вектора состояния недостаточно! Невозможно описать
любое квантовое состояние, задав только вектор состояния, то есть
волновую функцию. Почему так происходит? Чтобы ответить на этот
вопрос на конкретном примере, рассмотрим частицу, находящуюся
в одномерной потенциальной яме гармонического осциллятора. Однако
рассмотрение будет носить более общий характер.
Классические вероятности и интерференция. Обсудим сначала
случай, когда частица находится в некотором состоянии данной энер-
энергии \т). Мы не обсуждаем сейчас, как приготовить такое состояние,
а хотим выяснить другой вопрос: какова вероятность W(x) dx обнару-
обнаружить частицу в области между х и х + dx?
Поскольку пока что динамика отсутствует, рассмотрим ансамбль
тождественно приготовленных частиц и осуществим однократное из-
измерение координаты каждой частицы. Квантовая механика предска-
предсказывает, чему будет равна получившаяся плотность вероятности W(x).
Согласно борновской интерпретации W(x) есть квадрат волновой
функции, отвечающей данной энергии, в координатном представлении.
Здесь мы учли, что отвечающие данной энергии волновые функции
гармонического осциллятора действительны. В общем случае волновые
функции не обязаны быть действительными. Тогда плотность вероят-
вероятности равна квадрату модуля волновой функции, то есть
= \(х\т}\2 = \и(х)\2
т}\2 = \ит(х)
Для того, чтобы наше рассмотрение носило максимально общий харак-
характер, будем считать, что функция ит(х) комплексна.
3 В. П. Шляйх

66	Гл. 2. Некоторые сведения из квантовой механики
В связи с этим нужно ещё раз подчеркнуть, что в общем случае
мы не различаем плотность вероятности и вероятность. Более того,
мы обычно будем называть W(x) вероятностью обнаружения частицы
в точке с координатой х, хотя на самом деле подразумевается, что эта
вероятность равна W(x) dx, и вместо точки х имеется в виду интервал
между х и х + dx.
Далее, рассмотрим более сложный случай, когда состояние осцил-
осциллятора является суперпозицией многих собственных энергетических
состояний:	qq
\Ф)= Е Фт\т).	B.18)
га=0
Здесь фт — комплекснозначные коэффициенты разложения. Мы опять
не задаём вопрос, как получить такую суперпозицию, а интересуемся,
чему равна вероятность обнаружения частицы в точке х. В этом случае
волновая функция
сю
ф(х) = (х\ ф) = Е Фтит(х)
га=0
есть суперпозиция волновых функций с определёнными энергиями.
Отсюда вероятность найти частицу в точке х равна
9	°°
VV [X) — \ip{X)\ — 2_^ ^mrn^mK^j'^nyX)-
777,?n=0
Теперь можно разбить двойную сумму на слагаемые, в которых т =
= п, и слагаемые cm/n.B данном случае
сю
W(x)= ? \фт\2\ит(х)\2 + ? ф*тфпи*т(х)ип(х) =
?п=0	тфп
= J2 Pm^|ra)W+ E ФтФпит(х)ип(х).
?тг=0	ттг/п
Отдельные слагаемые в первой сумме имеют вполне определён-
определённый смысл. Каждое слагаемое равно вероятности обнаружить частицу
в точке х, если она находится в т-м энергетическом состоянии. Ве-
Вероятность нахождения в m-м энергетическом состоянии равна Рт =
= ФтФт-
Заметим, однако, что вероятность найти частицу в точке х, при
условии, что она приготовлена в данном суперпозиционном состоянии
|^) B.18), не равна просто сумме отдельных определённых выше веро-
вероятностей, но включает также двойную сумму, содержащую произведе-
произведения ф^пфпи^(х)ип(х) с т Ф п. С этими дополнительными слагаемыми
связано фундаментальное различие между классической и квантовой
механикой.
Усреднённые квантовые состояния? Рассмотрим несколько иной
вопрос. Предположим, что единственная информация о квантовом со-

2.3. Матрица плотности: краткое введение	67
стоянии частицы — это набор вероятностей Рт нахождения в га-м
энергетическом состоянии. Можно ли описывать частицу суперпози-
суперпозицией состояний? Чему равны коэффициенты разложения фт? Почему
не выбрать их равными корню квадратному из вероятностей Рт? Это
лишь частный случай более общей ситуации, когда
Фт(Фт) =
?
т?
Но что фиксирует фазовые углы
Поскольку у нас нет никакой информации об этих углах, нужно
усреднить по всем возможным реализациям, то есть произвести усред-
усреднение по ансамблю. Самое простое распределение вероятностей для
фаз — постоянное распределение, приводящее к среднему значению
В этом случае следует усреднить вероятность
что позволяет найти частицу в точке х при условии постоянного
распределения фаз. Действительно, усреднённое распределение веро-
вероятностей W(x) имеет вид
т=0
Очевидно, что используя такую процедуру усреднения, мы можем
правильно получить распределение по координатам. Но можно ли при
этом представить квантовое состояние осциллятора, характеризующе-
характеризующееся вероятностями и случайными фазами, как вектор состояния
который является суперпозицией собственных энергетических состоя-
состояний? Ответ: безусловно, нет! В самом деле, усреднив квантовое состо-
состояние, мы очевидно получим нуль.
Квантовое состояние как оператор. Мы лучше поймём подходя-
подходящее определение состояния, если перепишем вероятность обнаружения
частицы в точке х в ином виде. Для этого снова вспомним соотношение
W(x) = \ф(х)\2 = | <х| ф)\2 = <х| ф) Щ х) = <х| [Щ (VI] \х).
Такая формулировка распределения вероятностей позволяет ввести эр-
эрмитов оператор

68
Гл. 2. Некоторые сведения из квантовой механики
с помощью которого можно компактно записать вероятность:
W(x) = (х\р\х).
Подчеркнём, что здесь существенен порядок векторов бра (ф\
и кет \ф). Если взять эти векторы в порядке (ф\ ф), получим скалярное
произведение, то есть число. Однако, если взять векторы в противопо-
противоположном порядке, то получим оператор
действующий на другое состояние
Для суперпозиции состояний
Фгп \т)
га=0
этот оператор имеет вид
Р= Е ФтФп\т)(п\= J2 Рт,п\т){п\
т,п=0	т,п=О
B.19)
Заметим, что в общем случае в операторах \т) (п\ возникают все
возможные комбинации тип. Комплекснозначные числа pm?n = фтФп
образуют матрицу, элементы которой состоят из произведений коэф-
коэффициентов разложения фп. Поскольку оператор р можно использовать
для вычисления плотностей вероятности, например, вероятности на-
нахождения в данной точке и т.п., то его называют матрицей плотности
или статистическим оператором, а матричные элементы pm?n образуют
матрицу плотности в энергетическом представлении.
Как выглядит оператор р, если произвести усреднение по фазам?
Для ответа на этот вопрос подставим выражение
J, — /р ргфт
для коэффициентов разложения фт в определение р. Тогда
771,П=0
т=0
тфп
что после усреднения по различным реализациям фаз фт и фп приво-
приводит к выражению
сю	сю
V = Y1 Рт \Ш) Ы = J2 Ргп,т \т) (т\ .
т=0	т=0
Здесь, в отличие от суперпозиции состояний, возникают операторы
1га) (п\ только с га = п.

2.3. Матрица плотности: краткое введение	69
В заключение отметим, что имеются два типа средних значений.
Первый возникает в рамках квантовой механики и следует из того,
что квантовое состояние допускает только статистическое описание.
Второй тип средних значений чисто классический. Он отражает тот
факт, что у нас нет полной информации о системе, мы даже не знаем, в
каком квантовом состоянии система находится. В результате возникает
усреднённая матрица плотности ~р. В то время, как в первом случае
можно описывать состояние системы вектором состояния, во втором
следует обратиться к формализму матрицы плотности. Иногда векторы
состояний называют чистыми состояниями, а усреднённые матрицы
плотности описывают смешанные состояния^В оставшейся части книги
мы не будем делать различий между р и р, и станем писать р даже
тогда, когда будем иметь дело со смешанными состояниями.
2.3.2. Определение и свойства. В предыдущем разделе мы обос-
обосновали введение матрицы плотности как наиболее общего описания
квантового состояния. В каждом случае, когда у нас нет достаточной
информации о системе, мы вынуждены пользоваться формализмом мат-
матрицы плотности. Так, в рассмотренном выше примере мы не знали фаз
амплитуд вероятности. В данном разделе кратко изучим ряд свойств
матрицы плотности.
Рассмотрим квантовую систему в любом из состояний \ф^) с j =
= 0,1,... Когда система находится в смешанном состоянии, мы не
можем утверждать, что она находится в одном из состояний \ф\), \гр2)
или любом другом состоянии |^j). Более того, мы не можем описать
состояние системы суперпозицией
сю
\Ф) = Е Фз Ш •
Поскольку в смешанном состоянии мы знаем только вероятность Р\ф^,
с которой реализуется состояние \ф^), это смешанное состояние есть
оператор
р = Е рш Ш Ш = Е рм Ш Ш'	B-2°)
3=0	j=0
описывающий «квантовое состояние» системы. Очевидно, что этот
оператор включает только диагональные элементы оператора \i/jj) (фк\,
и матрица плотности pj^ = PjSjk диагональна в ^^-представлении.
Вычислим среднее значение
оо
(Фт\ р\Фт) = J2 Р\Фо) (^ш| Фз) ШФт)
i=o
и предположим, что совокупность состояний \фт) образует ортонорми-
рованный набор с
(Ф

70	Гл. 2. Некоторые сведения из квантовой механики
Отсюда находим, что диагональный элемент матрицы плотности
(Фт\р\Фт) =Р\фт)
равен вероятности Р\>фт) найти квантовую систему в состоянии \фт).
Поскольку величины Р\фт) есть вероятности, их сумма должна
равняться единице, то есть
сю	сю
Тхр= ? {фт\р\фт) = ? Р1Фт) = 1.
?п=0	т=0
Здесь мы ввели операцию следа, то есть осуществили суммирование
диагональных элементов матрицы плотности.
2.3.3. След оператора. Операция следа определена не только для
матрицы плотности, но и для любого оператора О. Так, определение
следа оператора О имеет вид
сю
ЪО= ? (Фт\О\фт)	B.21)
Ш=0
где \фт) — полный набор состояний.
Покажем теперь, что эта операция есть суммирование по диаго-
диагональным элементам оператора О в представлении \фт). Для этой
цели умножим О слева и справа на единичный оператор, записанный
в форме соотношения полноты в виде
сю
1= Е №т)(фт\,	B.22)
га=0
и получим
0=101= ? \Фт){Фт\д\фп)(фп\.
т, п=0
Отсюда оператор О, выраженный в базисе \фт), принимает вид
сю
О= ? От,п\фт)(фп\,
т,п=0
где	_
От,п = {Фт\О\фп)
— матричные элементы оператора в состояниях \фт). Заметим, что
диагональные элементы равны Om?m = (фт\О\фт), и след действи-
действительно равен сумме диагональных элементов.
След не зависит от представления. Покажем теперь, что данное
выше определение следа оператора не зависит от полного набора состо-
состояний \фт), с помощью которых вычисляются диагональные элементы
оператора. Для этого рассмотрим другой полный набор ортонормиро-
ванных состояний {б-,).

2.3. Матрица плотности: краткое введение	71
Если подставить соотношение полноты
сю
1 = J2 \Фп) (Фп\
п=0
состояний \фп) в определение B.21) следа оператора О, то
1=0	1,т,п=0
то есть
СЮ
TlO = Y1 (Фт\О\фп)(Ф
т,п=0	1=0
С помощью соотношения полноты B.22) состояний |^/) получаем
сю
ЪО= Y1 {Фт\О\Фп){Фп\Фт),
т,п=0
или	ж
Ттб= J2 (Фт\б\фт),
т=0
где мы использовали условие ортонормированности {фп\Фт) = 5т,п
состояний \cj)j). Таким образом, след не зависит от представления.
Среднее значение равно следу. След играет центральную роль в
квантовой механике, так как он позволяет вычислять средние значения
операторов. Такая величина включает два усреднения.
1)	Во-первых, нужно осуществить квантово-механическое усредне-
усреднение, то есть найти среднее значение оператора О в состоянии \фт) по
правилу {О)\фгп) = (фт\ 6 \фт).
2)	Во-вторых следует усреднить по распределению состояний \фт),
каждое из которых реализуется с вероятностью Р\фт). Отсюда нахо-
находим, что	^
(д)= Е (Фт\д\фт}Р1Фт).
т=0
С другой стороны, если теперь вычислить выражение
/=о	/=о	т=о
сю
1,т=0
приходим к соотношению
сю
т=0

72	Гл. 2. Некоторые сведения из квантовой механики
которое и доказывает утверждение
Среднее значение оператора О в квантовом состоянии, которое описы-
описывается матрицей плотности р, есть след произведения О и р.
Пример. Проиллюстрируем метод вычисления квантово-механиче-
ского среднего значения оператора с помощью формализма следа. Для
этого вычислим среднее значение самой матрицы плотности, то есть
1=0
Если подставить определение матрицы плотности, то
(Р) = Е Ш ( Е Р1^> \Фт) (Фт\) ? РШ Ш
1=0	т=0	п=0
ИЛИ	оо
(Р) = Y1 Р\Фт)Р\фгг) ШФт) (Фт\Фп) (Фп\ф1).
1,т,п=0
Используя соотношения ортонормированности, получаем
сю
(Р) = ЛРШ-	B-23)
/=0
Условие нормировки	^
Е^> = 1
/=0
обеспечивает то, что отдельные вероятности Р\фг) меньше единицы.
Таким образом, имеем неравенство
из которого получаем, что
сю	сю
/=0	/=0
Знак равенства возникает тогда и только тогда, когда в сумму даёт
вклад единственное слагаемое \ф), то есть
В этом случае квантовая система находится в единственном состоянии,
то есть её состояние является не смешанным, а чистым состоянием.
Мы можем теперь вернуться к первоначальному вопросу, касающе-
касающемуся среднего значения матрицы плотности B.23). Имеем неравенство
где знак равенства возникает только для чистого состояния.

2.3. Матрица плотности: краткое введение	73
2.3.4. Примеры матрицы плотности. Проиллюстрируем описан-
описанный формализм, сравнив и отметив различия матриц плотности для
теплового (термодинамического) состояния и теплового фазового
состояния гармонического осциллятора. В этом разделе для представ-
представления матрицы плотности используются собственные энергетические
состояния \п) гармонического осциллятора, то есть \фп) = \п).
Тепловое состояние. В тепловом состоянии n-е собственное энер-
энергетическое состояние занято с вероятностью Рп = Ne~n@, где C =
= Ш/(квТ). Здесь п, кв и Т обозначают, соответственно, частоту
осциллятора, постоянную Больцмана и температуру теплового состоя-
состояния. В данном случае матрица плотности имеет вид
ОО
р — дг V e~nf3\n)(n\.
п=0
Константа нормировки N находится из условия
ОО
1 = Тхр = ? (п\р\п) =Nj: е"п/3 =
n=0	n=0
иначе говоря,
N =\- е-?.
Поэтому матрица плотности принимает явный вид
п=0
Температура Т тесно связана со средней энергией теплового состо-
состояния:
ОО	°°	/	1 \
(Я) = Тг (Нр) = ]Г (п\Нр\п) = ^(п|Ш Ы-\-^) р\п).
п=0	п=0
На последнем шаге мы использовали уравнение на собственные значе-
значения оператора энергии.
Таким образом, нужно вычислить величину
(Я) = Ш V (п + ^ Wn = Ш (? nWn) + i = Ш (птепл + ^ ) ,
где
Wn = (п\р\п) = Ne-?n = A - е-^е-Р"
п=0
— распределение энергии и среднее число тепловых квантов в данном
состоянии, соответственно.

74	Гл. 2. Некоторые сведения из квантовой механики
Если подставить распределение энергии в выражение для среднего
числа тепловых квантов, можно легко провести суммирование по п,
и в результате
СЮ	?> СЮ
^тепл — \1 е ) 2_^пе	— \l e )~qq Z^ e	~~
n=0	^ п=0
откуда
ехр —- - 1
\/сТУ
Поэтому среднее число тепловых квантов определяется температу-
температурой Т.
Если воспользоваться соотношением
ен =
приходим к выражению
00	п
:пл =	ЦггЕ(^Тт) НИ	B-24)
^тепл ~Т J-	\ ^тепл "Т А /
Ртепл =
У^ТРПТТ "Г 1
п=0
для матрицы плотности теплового состояния со средней энергией
(Я) = Ш(птеПл + A/2)).
Тепловое фазовое состояние. Различие между смешанным и чи-
чистым состояниями становится более ясным при сравнении теплового
состояния и теплового фазового состояния:
B.25)
п=0
Заметим, что состояние |(^о) обладает тем же распределением по
энергии
TJ7	I /_ I._ \ |2	1	/ ^тепл
Wn \(п\щ}\
'^тепл П^ 1 \ '^тепл П^ -1 /
что и тепловое состояние. Тем не менее, это состояние существенно
отличается от теплового, так как оно есть квантово-механическая су-
суперпозиция состояний с определёнными числами заполнения. Это явно
проявляется в выражении для матрицы плотности:
x(m+n)/2
)
771,П=0
Заметим, что в противоположность матрице плотности ртеПл тепло-
теплового поля, имеющей только диагональные элементы (п|/5тепл|^)> У этого

2.4. Эволюция квантовых состояний во времени	75
оператора есть и недиагональные элементы. Они отражают тот факт,
что состояние |<^о) является квантово-механической суперпозицией фо-
ковских состояний, то есть свидетельствуют об интерференции состо-
состояний с разными числами фотонов.
2.4. Эволюция квантовых состояний во времени
До сих пор мы рассматривали квантовую кинематику, то есть
обсуждали свойства стационарных квантовых состояний. Обратимся
теперь к квантовой динамике и рассмотрим эволюцию состояний во
времени, вытекающую из уравнения Шрёдингера
№)) = НШ))-	B-26)
Здесь Н — гамильтониан рассматриваемой задачи.
2.4.1. Движение волнового пакета. В случае нерелятивистской
частицы, движущейся в потенциале U, гамильтониан B.1)
содержит операторы кинетической и потенциальной энергии.
Оператор эволюции во времени. Если U не зависит от времени, то
и гамильтониан Н = Щ не зависит от времени. Поэтому формальное
решение уравнения Шрёдингера имеет в этом случае вид
\Ш) = ехр [-1 #о • (t - t0)] \Ф(г0)} = Щ, t0) \Ф(г0)} • B.27)
Можно легко доказать эту формулу, продифференцировав её по вре-
времени. С этой целью напомним, что согласно приложению Б в общем
случае дифференцирование экспоненциального оператора
U(t) = ехр [%)]
нетривиально. Только в случае, когда операторы B(t) и B(t') в разные
моменты времени t и t' коммутируют друг с другом, то есть
\B(t),B(t')\ =0,	B.28)
дифференцирование экспоненциального оператора совпадает с диффе-
дифференцированием с-числовой экспоненты: она воспроизводит сама себя
и умножается на производную по времени от аргумента.
Так как в нашем случае
п
условие B.28) удовлетворяется.
Унитарный оператор эволюции во времени U(t, to) связывает кван-
квантовые состояния \i/j(to)} и \i/j(t)) в два разных момента времени to < t.

76	Гл. 2. Некоторые сведения из квантовой механики
Решение зависящего от времени уравнения Шрёдингера сводится по-
поэтому к нахождению U.
Формула^B.27) даёт точное выражение для оператора эволюции
во времени U. Подчеркнём, однако, что это выражение является всего
лишь формальным. Гамильтониан включает квадрат оператора им-
импульса и, через потенциал U, оператор координаты. Поскольку эти
операторы не коммутируют, невозможно разложить экспоненту в B.27)
на произведение двух отдельных экспонент, содержащих только опе-
операторы импульса или координаты. Поэтому невозможно действовать
операторами последовательно, они оба должны применяться совместно.
Эволюция во времени в энергетическом представлении. Если
начальное состояние IV^o)) есть собственное состояние \т) гамильто-
гамильтониана Но, то есть	_
Щ \т) = Ет \т)
это выражение упрощается:
и начальное состояние приобретает только общую фазу. Эта фаза мало-
малоинтересна, так как при вычислении наблюдаемых, например, функций
распределения или средних значений, она сокращается.
Ситуация становится интереснее, если начальное состояние не яв-
является собственным состоянием Щ. Так как набор собственных энер-
энергетических состояний \т) полон, можно разложить по ним состояние
сю
№(*о)> = ? Vv* N ,	B.29)
га=0
где фт = (га \i/j(to)) — коэффициенты разложения. Следовательно на-
начальное состояние \i/j(to)) есть суперпозиция собственных энергетиче-
энергетических состояний. Мы называем такой объект волновым пакетом.
Если подставить разложение B.29) в формальное решение B.27)
уравнения Шрёдингера и воспользоваться тем, что состояния \т) яв-
являются собственными состояниями Щ, получим:
сю
№(*)> = X>m exp [-1- Em{t - t0)] \m).
га=0
В этом случае результат не сводится к возникновению общей
фазы, поскольку каждое энергетическое состояние приобретает свою,
отличную от других, фазу. Следовательно, мы получаем суперпозицию
собственных энергетических состояний с разными фазами, которая
описывает движение начального волнового пакета.
Мы ещё вернёмся к более подробному обсуждению задачи о ди-
динамике волнового пакета в гл. 4, где будут рассмотрены когерентные
и сжатые волновые пакеты в потенциале гармонического осциллятора.

2.4. Эволюция квантовых состояний во времени	11
Кроме того, в гл. 9 мы проанализируем движение волнового пакета
ядер в ангармоническом потенциале, возникающем, например, за счёт
электронных состояний двухатомной молекулы. В разделе 15.1 мы ис-
используем выражение B.27) для оператора эволюции во времени, чтобы
получить вектор состояния в рамках резонансной модели Джейнса-
Каммингса-Пауля.
2.4.2. Эволюция во времени за счёт взаимодействия. До сих
пор мы рассматривали замкнутую систему, не взаимодействующую
с внешним миром. Эволюция такой системы во времени следовала из
того, что начальное состояние не являлось собственным состоянием
гамильтониана. Иными словами, начальный волновой пакет не «впи-
«вписывался» в потенциал U. В данном разделе рассмотрим эволюцию во
времени квантовой системы, вызванную её взаимодействием с внешней
силой.
Возможным примером квантовой системы может служить заряжен-
заряженная частица, движущаяся в потенциале U(x), создаваемым, например,
ловушкой Пауля. В этом случае ион взаимодействует с пространствен-
пространственно однородным электрическим полем Eo(t), и гамильтониан взаимодей-
взаимодействия имеет вид	^
H[ni(t) = -ex-E0(t).
Полный гамильтониан в этом случае равен
H0 + Hint(t)	B.30)
и состоит из гамильтонианов Щ и Н-т\ частицы и её взаимодействия,
соответственно. Уравнение Шрёдингера записывается в виде
B-31)
Даже в том случае, когда начальное состояние есть собственное
состояние Но, оно не обязательно является собственным состоянием
полного гамильтониана. Поэтому эволюция во времени становится
более сложной.
Чтобы лучше понять ситуацию, рассмотрим сначала самый эле-
элементарный случай статического поля Eq. Тогда полный гамильтониан
остаётся независящим от времени и можно использовать формальное
решение B.27). Однако если электрическое поле создаётся, например,
полем лазера, оно зависит от времени, и поэтому гамильтониан взаи-
взаимодействия также зависит от времени. В этом случае не так то просто
решить зависящее от времени уравнение Шрёдингера.
Чтобы обобщить формальное решение B.27), попробуем искать
решение в виде
Г-| \dt' Н{А |^(*о)) •	B.32)
= ехр

78	Гл. 2. Некоторые сведения из квантовой механики
Однако, как показано в приложении Б, это выражение верно только
при условии, что гамильтонианы H(t) в разные моменты времени t
коммутируют. В случае произвольной зависимости от времени оператор
эволюции, связывающий состояния \i/i(t)) и IV^o)) > более сложен. Мы
посвятим следующие разделы выводу формальных решений для этого
случая.
Представление взаимодействия. Завершим этот раздел замеча-
замечанием, что даже в том случае, когда гамильтониан не зависит явно от
времени, можно получить уравнение типа Шрёдингера с зависящим от
времени гамильтонианом. Если использовать подстановку
то из уравнения Шрёдингера B.31) получается преобразованное урав-
уравнение	7
где мы ввели гамильтониан
H®(t) = ехр [-1 #о ¦ (* - to)] tfint(t) exp [-jffo-(t- to)] •
Следовательно результирующее уравнение движения для преобразо-
преобразованного состояния \i/j^{t)} принимает тот же вид, что и уравнение
Шрёдингера B.31). Однако мы заменили полный гамильтониан преоб-
преобразованным гамильтонианом взаимодействия. Заметим, что благодаря
зависимости преобразования от времени, этот гамильтониан тоже ста-
становится зависящим от времени, даже если исходный гамильтониан до
преобразования от времени не зависел. Поскольку такая формулировка
явно выделяет роль взаимодействия, её называют представлением
взаимодействия.
Мы используем представление взаимодействия в разделе 14.8, где
будет обсуждаться атом, взаимодействующий с квантованным полем.
В этом случае результирующий гамильтониан действительно явно за-
зависит от времени.
2.4.3. Гамильтониан, зависящий от времени. Обсудим различ-
различные формальные решения зависящего от времени уравнения Шрёдин-
Шрёдингера
±	Ш	B-33)
т
Здесь мы не касаемся вопроса о происхождении зависимости гамильто-
гамильтониана от времени. Это может быть результатом зависящего от времени
взаимодействия или обсуждавшегося выше перехода в представление
взаимодействия.
Выведем различные выражения для оператора эволюции во времени
U(t,to) при наличии зависящего от времени гамильтониана H(t). Пер-
Первый способ вывода основан на инфинитезимальных преобразованиях.
Они позволяют записать оператор эволюции во времени как бесконеч-

2.4. Эволюция квантовых состояний во времени	79
ное произведение. Мы отмечаем интересную связь с мультинтегралом
Вольтерра-Шлезингера, являющимся обобщением интеграла Римана.
Второй способ основан на представлении уравнения Шрёдингера в фор-
форме интегрального уравнения и последующей итерации этого уравне-
уравнения. Третий формальный способ связан с введением хронологического
оператора Т, играющего существенную роль в квантовой электродина-
электродинамике.
Решение с помощью инфинитезимальных преобразований. В пер-
первом способе начнём с вектора состояния IV^o)) в момент времени to
и вычислим вектор состояния \i/j(t) в бесконечно близкий момент
времени t = to + At. Это позволяет заменить производную по времени
в уравнении Шрёдингера на разность. Поэтому из
гП
dt t0	At
находим состояние
А*)) = [l - |ДШ(*0)] №(*o))	B.34)
в момент времени to + At. Действительно, начав с состояния в момент
времени to и сделав инфинитезимальное преобразование, мы соверши-
совершили маленький шаг в будущее.
Рассмотрим теперь следующий шаг, который нужно сделать, чтобы
найти состояние в момент времени to + 2At. Из формулы B.34) на-
находим:
2At)) = \<ф(г0 + At + At)) =
= [l - г- Attf (t0 + At)] [l - г- Attf (t0)] |V(*o)} • B.35)
Заметим, что в этом выражении произведено важное упорядочение.
Гамильтониан H(to) в более ранний момент времени to действует преж-
прежде гамильтониана H(to + At) в более поздний момент времени to + At.
Эволюция состояния во времени продолжается путём умножения слева
на инфинитезимальный оператор эволюции во времени
SU(t) = 1- l-AtH(t).
Моменты времени в аргументе 5U(t) увеличиваются справа налево,
причём более ранние моменты времени всегда находятся правее более
поздних моментов.
Чтобы получить конечный переход во времени от to до t, следует
последовательно проделать много таких инфинитезимальных преоб-
преобразований. Для этого сначала разделим временной интервал t — to

80	Гл. 2. Некоторые сведения из квантовой механики
на N инфинитезимальных интервалов At = (t — to)/N, начинающихся
в моменты времени tv = to + v • At, где v = 0,..., N. После этого можно
устремить число интервалов N к бесконечности.
Обобщая полученную выше итерацию на втором шаге B.35), нахо-
находим выражение
где оператор эволюции во времени
U(t,to)= lim 5U(tN-i)-5U(tN-2)
N-\
= lim П [l - ^tH(U)] B.36)
оказывается бесконечным произведением. Ещё раз подчеркнём, что
члены в произведении строго упорядочены: операторы в более ранние
моменты времени действуют до операторов в более поздние моменты
времени.
Полезно переписать бесконечное произведение. С этой целью за-
заметим, что каждый множитель в произведении можно представить
экспонентой от логарифма. Действительно,
l-lAtH{tv)=exphn\l-l
п	I L ft
Отсюда видим, что оператор эволюции во времени является произ-
произведением экспоненциальных операторов. Но так как операторы не
обязательно коммутируют, мы не можем просуммировать показатели
экспонент. Это возможно только в том случае, когда гамильтонианы
H(tv) в разные моменты времени tv коммутируют. Только в этом
случае
еА.еВ=еА+В
и поэтому
,N-\	.
U(t, t0) = lim expJ V In [l - l-
Так как At —> 0 при N —> oo, можно разложить логарифм In A + z) =
и, предполагая существование предела, получить
, to) = lim exp
N-\
\ E MH{tu
= exp
dt"H(t
o
о

2.4. Эволюция квантовых состояний во времени	81
в согласии с B.32). Здесь мы использовали определение интеграла
Римана
N	\
i/=u	о
а на последнем шаге ввели сдвинутую переменную интегрирования t' =
Мулътинтеграл Волътерра-Шлезингера. Представление B.36)
оператора эволюции во времени U в виде бесконечного произведения
операторов в двух отношениях является обобщением интеграла Рима-
на: вместо суммы входит произведение и вместо с-чисел входят опе-
операторы. Следуя Вольтерра и Шлезингеру, определим так называемый
мультинтеграл как
t-t0
N-\	_
lim Д AtA(U) =
Оператор эволюции во времени принимает вид
К сожалению, в общем случае эта формула мало полезна, так
как вычисление мультинтеграла является необычайно трудной задачей,
приводящей к высшим трасцендентным функциям.
Интегральное уравнение. Обратимся к другому представлению
оператора эволюции во времени. Для этого сначала преобразуем урав-
уравнение Шрёдингера в интегральное уравнение:
- l-\dtf H(t')W)).	B.37)
Действительно, продифференцировав это выражение, мы немедленно
получим уравнение Шрёдингера B.33).
Если теперь записать это уравнение для t = t', то есть
№')) = Шо)) - {\dt"H{t") \ф{1")),

82	Гл. 2. Некоторые сведения из квантовой механики
и подставить его в B.37), получим
t
ft J
to
21 t>
2
-0 \dt' \dt" H{t')H{t")W)). B.38)
Третье слагаемое в правой стороне этого уравнения ясно указывает
на упорядочение по времени. Так как интегрирование jio перемен-
переменной t" производится только до значения t', гамильтониан H(t") в более
ранний момент времени всегда находится справа от гамильтониана
H(t') в более поздний момент времени. Поэтому мы автоматически
учитываем упорядочивание по времени.
Теперь можно продолжить итерации, что приводит к формальному
решению
где оператор эволюции во времени U имеет вид
оо	п t	tn	t2
U(t,to) = Y, (y) ldtn \dtn~l -\dtiH(tn)H(tn.l)...H(t2)H(tl).
n=0	t0 t0	t0
B.39)
Здесь мы ввели переменные интегрирования tn, tn_i,..., t^ t\, удовле-
удовлетворяющие цепочке неравенств tn ^ tn-\ ^ ... ^ t\ ^ to. Это гаранти-
гарантирует упорядочивание по времени.
Хронологический оператор. В разделе 2.4.2 мы испробовали сле-
следующее выражение для оператора эволюции во времени для зависяще-
зависящего от времени гамильтониана:
К сожалению, получающееся при этом состояние является решением
уравнения Шрёдингера только при условии, что гамильтонианы в раз-
разные моменты времени коммутируют. Принцип причинности требует
упорядочивания во времени. Поэтому можно найти точный оператор
эволюции во времени, совершив такое упорядочения. Для этого введём
хронологический оператор Т. Этот оператор гарантирует, что все опе-
операторы в более ранние моменты времени находятся правее операторов,
взятых в более поздние моменты времени, то есть
Г B(t") A(t') при t" > tf,
" 1 A(tf) B(t") при tf > t
п

2.4. Эволюция квантовых состояний во времени	83
Тогда оператор эволюции во времени принимает вид
U(t,to) =
Это выражение тождественно представлению B.39) оператора эво-
эволюции. Чтобы доказать это, сначала разложим экспоненту в ряд, то
есть
f {exp [-I ]dt'H(t')} }
0	-I >	^n=0
B.40)
n=0
и заметим, что выполнено соотношение
Л г /^ / Г г *г *г
to	to	to	to
выведенное в приложении Б. В результате приходим к формуле B.39).
2.4.4. Эволюция во времени матрицы плотности. Завершаем
эту главу распространением полученных результатов по квантовой
динамике на матрицы плотности. Сначала вновь выведем уравнение
движения для матрицы плотности, а затем представим его формальное
решение через двойные коммутаторы.
Уравнение фон Неймана. Заметим, что зависимость от времён
матрицы плотности
вытекает из зависимости от времени вектора состояния \i/jj). Поэтому,
когда мы продифференцируем определение B.20) матрицы плотности
по времени, то
dP - V^ и, . . \dm) /./,.1 , l/,.\ Л\Ъ
dt z^'iw dt ^' ' Irj/ dt
3=0
что с помощью уравнения Шрёдингера
dt '

84	Гл. 2. Некоторые сведения из квантовой механики
сводится к
Здесь Н означает гамильтониан системы.
Это уравнение можно представить в компактной форме
f = ~[?. Я.	B-41)
которая называется уравнением фон Неймана.
Если гамильтониан не зависит от времени, то есть Н = Яо, то
в полной аналогии с формулировкой квантовой механики на языке
векторов состояния, представленной формулой B.27), можно записать
формально точное выражение для матрицы плотности
p(t) = exp [~H0(t - t0)] Ш exp [i H0(t - to)] =
U\o)- B.42)
Действительно, дифференцируя по времени, можно легко доказать этот
результат. В разделе 18.3.3 мы воспользуемся этим выражением, чтобы
вывести уравнение для матрицы плотности одноатомного мазера.
Формальное решение. К сожалению, формальное решение B.42)
верно только для независящих от времени гамильтонианов. В разде-
разделе 18.5 мы рассматриваем взаимодействие атома с резервуаром гар-
гармонических осцилляторов, представляющих моды электромагнитного
поля. В этом случае гамильтониан явно зависит от времени. Поэтому
нужны какие-то другие приёмы нахождения формальных решений.
С этой целью формально проинтегрируем уравнение фон Нейма-
Неймана B.41):
p(t) = p(t0) - г- \dtx [H(U), p(t{)],	B.43)
to
где р(?о) означает матрицу плотности системы в момент времени to-
Решаем теперь это интегральное уравнение по теории возмущений и
подставляем выражение B.43) для момента времени t\, то есть
to
в коммутатор в правой части формулы B.43). В результате
t	t и
p{t) = p(t0) - |Jdt, [H(u),p(t0)} +(:^2jcft1 jdt2 [?(*,), [H(t2),p(t2)
to	to to

Задачи	85
Отсюда первые два слагаемых в правой части включают только мат-
матрицу плотности р(?о) в момент времени to, а последний — двукрат-
двукратный интеграл, содержащий двойной коммутатор, включают матрицу
плотности р(^2), то есть при всех моментах времени. Чтобы устранить
это слагаемое, продолжаем подставлять B.43) в эти многократные
коммутаторы. В результате
t	U	ts-i
jdtijdti... J dts[H(U), [H(t2),...,[H(ts),p(to)} ¦¦¦}}¦
to to	to
Подчеркнём, что это формальное решение уравнения фон Неймана
является точным. В гл. 18 мы используем формулу B.4.4.2), чтобы
получить уравнения для матрицы плотности поля в резонаторе, которое
затухает из-за взаимодействия с резервуаром двухуровневых атомов.
Задачи
2.1	Волновая функция в импульсном представлении
Получить волновую функцию собственного энергетического со-
состояния гармонического осциллятора в импульсном представ-
представлении.
2.2	Квадратичная интегрируемость
Показать, что наличие дискретного энергетического спектра тре-
требует квадратичную интегрируемость волновых функций данной
энергии.
Указание: Записать формулу B.2) для собственных энергетиче-
энергетических состояний.
2.3	Матричный элемент оператора кинетической энергии в ко-
координатном представлении
Вычислить матричный элемент
2М
подставив полный набор состояний с данным импульсом |р).
2.4 Пропагатор свободной частицы
Функция Грина или пропагатор G(x, t\x', tr) позволяет вычислить
волновую функцию ifj(x,t) в момент времени t, если задана вол-
волновая функция ф(х',tf) в более ранний момент времени V'.

86	Гл. 2. Некоторые сведения из квантовой механики
(а)	Показать, что для не зависящего от времени гамильтониана
Н функция Грина
G(x,t\xf,tf) = (х exp(-iH(t-tf)/h) xf)
\	I
приводит к представлению
i/>(x,t) = \dxfG(x,t\xf,tf)<i/j(xf,tf).
(б)	Показать, что пропагатор свободной частицы, описываемой
гамильтонианом	9
if = JL-
0 ~ 2М'
имеет вид
M	f-M {x-x'
2.5	Свойства матрицы плотности
Матрица плотности системы задаётся выражением
Р = Е РШ ШШ> гДе 0 < РШ < 1. Е РШ = !¦ B-44)
3	3
Доказать следующие утверждения.
(а)	Собственные значения произвольной матрицы плотности
действительны.
(б)	Собственные значения Л^ произвольной матрицы плотности
удовлетворяют соотношению 0 ^ Л^ ^ 1.
(в)	?л*=1-
г
(г)	EANi-
г
Заметим, что состояния \ф^) в формуле B.44) в общем случае не
ортогональны. Поэтому B.44) не является спектральным разло-
разложением р.
2.6	Полиномы Эрмита и тепловые состояния
(а) Полиномы Эрмита определяются формулой
Доказать соотношения
п _ 2xz-z2
/	i
п=0

Литература	87
2» ** +9°
Нп[х) = 4^ zne
-z2+2ixz j^
(б) Использовать полученное выше интегральное представление
полиномов Эрмита для вывода соотношения
Г 2 (х- 2у(J
ехр \х
Нп(х)Нп(у) = " L	1 - 4С
П
справедливого при \(\ < 1/2 и (" G R. Каков результат для
ICI = 1/2?
(в) Матрица плотности гармонического осциллятора с часто-
частотой п, находящегося в тепловом равновесии равновесии
с термостатом при температуре Т, имеет вид
га=0
где /3 = М1/(квТ) и N = I - e'f3.
Получить матрицу плотности в координатном представлении
x exp< —
Литература
Введение в квантовую механику
Обзор основных понятий квантовой механики читатель может найти в книгах:
von Neumann J. Mathematical Foundations of Quantum Mechanics. Springer,
Berlin, 1932
[Иоган фон Нейман. Математические основы квантовой механики. — М.:
Наука 1964]
Dirac P.A.M. The Principles of Quantum Mechanics. Clarendon Press, Ox-
Oxford, 1958
[Дирак П.A.M. Принципы квантовой механики. — М.: ГИФМЛ, I960]
Ландау Л.Д., Лифшиц Е.М. Квантовая механика. Нерелятивистская тео-
теория. — М.: Физматлит, 2002
Bohm D. Quantum Theory. Prentice Hall, Englewood Cliffs, 1951
[Бом Д. Квантовая теория. — М.: Наука, 1965]

88	Гл. 2. Некоторые сведения из квантовой механики
Feynman R.P., Leighton R.B., Sands М. The Feynman Lectures on Physics,
Vol. 3, Quantum Mechanics. Addison-Wesley, Reading, Mass., 1965
[Феймановские лекции по физике. — M.: Мир, 1978]
Schiff L.I. Quantum Mechanics. McGraw-Hill, New York, 1968
[Шифф Л. Квантовая механика. — М.: ИЛ, 1959]
Cohen-Tannoudji С, Diu В., Laloe F. Quantum Mechanics Vol. I and II.
Wiley, New York, 1977
Bohm A. Quantum Mechanics. Springer, Heidelberg, 1993
Bialynicki-Birula /., Cieplak M., Kaminski J. Theory of Quanta. Oxford Uni-
University Press, 1992
Выражение квантовая кинематика было введено в книге:
Weyl H. Gruppentheorie und Quantenmechanik. Hirzel, Leipzig, 1928
[Вейлъ Г. Теория групп и квантовая механика. — М.: Наука, 1986]
и обсуждается с большим педагогическим мастерством в сборнике:
Schwinger J. Hermann Weyl and Quantum Kinematics // Exact Sciences and
their Philosophical Foundations. Vortrage des internationalen Hermann-Weyl-Kon-
gresses, Kiel, 1985, edited by W. Deppert, K. Hiibner, A. Oberschelp and V. Wei-
demann. — Verlag P. Lang, Frankfurt, 1988
Оператор эволюции во времени в квантовой электродинамике
Представление оператора эволюции во времени как бесконечного произведения см. в
работе
Tomonaga S. On a Relativistically Invariant Formulation of the Quantum
Theory of Wave Fields. Prog. Theoret. Phys. 1 27-39 A946)
[Перепечатана в кн.: Новейшее развитие квантовой электродинамики / Под
ред. Д. Д. Иваненко. - М.: ИЛ, 1954]
Хронологический оператор был введён в работе:
Dyson F.J. The Radiation Theories of Tomonaga, Schwinger, and Feynman //
Phys. Rev. 1949. V. 75. P. 486-502.
Эта историческая работа перепечатана в сборнике:
Schwinger J. Selected Papers on Quantum Electrodynamics. Dover Publica-
Publications, New York, 1958
[См. также кн.: Новейшее развитие квантовой электродинамики. Сб. ста-
статей. Пер. с нем / Под ред. Д. Д. Иваненко. — М.: ИЛ, 1954]
Боголюбов Н.Н., Ширков Д. В. Введение в теорию квантованных полей. —
М.: Наука, 1985.
Мультинтеграл Вольтерра-Шлезингера
Связь между множеством линейных дифференциальных уравнений и интегралом
произведения см. в работах:
Schlesinger L. Vorlesungen iiber lineare Differentialgleichungen. B.G. Teub-
ner, Leipzig, 1908
Schlesinger L. Einfuhrung in die Theorie der gewohnlichen Differentialgle-
Differentialgleichungen auf funktionentheoretischer Grundlage. De Gruyter, Berlin, 1922

Литература	89
Обзор свойств мультинтеграла см. в работах:
Schlesinger L. Neue Grundlagen fur einen Infinitesimalkalkul der Matrizen //
Math. Z. 1931. V. 33. P. 33-61.
Rasch G. Zur Theorie und Anwendung des Produktintegrals // J. rein. u.
angew. Math. 1934. V. 171. P. 65-119.
Связь мультинтеграла Вольтерра-Шлезингера с представлением оператора эволюции
во времени в квантовой электродинамике в виде бесконечного произведения:
Salecker H. Quantenelektrodynamische Selbstenergie und exakte Losungen
der
Schrodinger-Gleichung II, Z.Naturforschg. 5a, 480-492 A950)
Исторические работы по матрице плотности
Понятие матрицы плотности было независимо введено в работах:
von Neumann J. Wahrscheinlichkeitstheoretischer Aufbau der Quanten-
mechanik. Gottinger Nachr. 245-272 A927)
von Neumann J. Thermodynamik quantenmechanischer Gesamtheiten.
Gottinger Nachr. 273-291 A927)
Landau L.D. Das Dampfungsproblem in der Wellenmechanik // Z. Physik.
1927. V.45. P. 430-441.
Перепечатана в кн.:
Ландау Л.Д. Собрание трудов. Т. 1. — М.: Наука, 1969

Глава 3
ФУНКЦИЯ ВИГНЕРА
Квантовая механика описывает микроскопическую систему с по-
помощью вектора состояния \ф) или матрицы плотности р. Это доволь-
довольно абстрактные объекты, так что непросто установить их свойства.
Однако существует представление квантовой механики, позволяющее
непосредственно выявить свойства квантового состояния. Это пред-
представление задаётся в фазовом пространстве и базируется на понятии
функции Вигнера. В данной главе мы рассмотрим основные свойства
формулировки квантовой механики в фазовом пространстве.
Фазовое пространство является также очень подходящей сценой
для рассмотрения связи между классической и квантовой механикой.
Согласно впервые сформулированной М. Борном статистической интер-
интерпретации, мы не можем сравнивать предсказания квантовой механи-
механики с соответствующими классическими предсказаниями для отдельно
взятой частицы. С помощью современной квантовой оптики, в част-
частности, устройств типа ловушки Пауля или одноатомного мазера, мы
теперь можем осуществлять эксперименты с отдельными квантовыми
частицами. Одно измерение позволяет установить только одно значение
измеряемой величины. Квантовая механика — статистическая теория,
и поэтому она не способна предсказать результат такого однократного
измерения. Исключением является, конечно, результат, вероятность
которого строго равна нулю. Такое событие никогда не может осу-
осуществиться. Если мы повторяем измерения много раз, то получается
гистограмма, находящаяся в согласии с предсказанием квантовой ме-
механики.
По этим причинами более удобно сравнивать квантовую механику
отдельной частицы с классической механикой ансамбля частиц. Для
этой цели хорошо подходит статистическая механика, в частности,
уравнение Лиувилля для функции распределения ансамбля классиче-
классических частиц в фазовом пространстве. В своей Нобелевской лекции
М. Борн призывал к такому сравнению двух теорий и представил
детальный анализ элементарного примера из квантовой механики —
частицы в ящике. В этой книге мы покажем, что различия и сход-
сходство классической и квантовой механики наиболее ясно выявляются
в фазовом пространстве. С этой целью изучим квантово-механические
функции распределения в фазовом пространстве. В данной главе рас-
рассмотрим функцию Вигнера.

3.1. Дебют функции Вигнера	91
Мы рассматриваем квантово-механическое движение частицы с
массой М. Для простоты ограничимся одномерным движением, кото-
которое описывается операторами координаты и импульса х и р соответ-
соответственно. В силу коммутационного соотношения [х,р\ = ih между х и р
невозможно определить истинное распределение в фазовом простран-
пространстве. Можно определить функцию, зависящую от собственных значе-
значений х и р, однако у такого распределения есть недостатки. В частности,
оно может принимать отрицательные значения. Мы покажем ниже,
что центральное понятие интерференции амплитуд вероятностей
отражается в этих отрицательных частях функции Вигнера.
3.1. Дебют функции Вигнера
Вигнеровское распределение в фазовом пространстве квантового
состояния, описываемого матрицей плотности р, имеет вид:
W(x,p) =
Эта величина появилась впервые в статье Е. Вигнера в 1932 г. в связи
с квантово-механическими поправками к состоянию термодинамиче-
термодинамического равновесия. Однако не было приведено никаких объяснений про-
происхождения этого выражения. В данном разделе мы тоже ограничимся
лишь кратким обсуждением функции Вигнера.
Наша цель — описать движение частицы из точки х' в точку х".
Путеводной нитью для нас является гейзенберговская матричная ме-
механика. Этот подход был мотивирован изучением переходов атомов
с уровня п' на уровень п". Гейзенберг заметил, что существенным яв-
является не движение на уровне п' или п", а квантовый скачок от п' к п".
В духе такого подхода рассмотрим квантовый скачок от х' к х", то
есть скачок на расстояние ^ = х" — х'. Кроме того, Гейзенберг заметил,
что интенсивность перехода определяется соответствующим матрич-
матричным элементом оператора. Для дипольного перехода таким оператором
является дипольный момент Д и матричный элемент {п"\^1\пг).
В случае одномерного движения частицы, соответствующий опера-
оператор, описывающий её состояние, это матрица плотности р. Как сле-
следует из аналогии с квантовым скачком, матричный элемент {х"\^р\х')
описывает квантовый скачок из собственного состояния координаты
\х') в собственное состояние координаты \х"). Можно определить
координату х = (V + х")/2 центра скачка и вместо двух координат х'
и х" ввести центр х и длину ? квантового скачка формулами
х' = х — -{; и х" = х + - ?.
1огда квантовый скачок запишется в виде (х-\--{;
Естественно, мы ассоциируем импульс частицы р со скачком из

92	Гл. 3. Функция Вигнера
в х", то есть с ?. Так как импульсное распределение получается из
координатного с помощью фурье-преобразования, осуществим такое
преобразование относительно длины квантового скачка, то есть
Здесь включён нормировочный множитель 1/BтгЙ), обеспечивающий
выполнение свойства
dx
которое обсуждается в следующем разделе.
Таким образом, функция Вигнера есть фурье-преобразование
W(x,p) = — \d? ехр [~
матрицы плотности р(х",х') = (х"\р\хг), выраженной в координатном
представлении через переменные х = (V + х")/2 и ^ = x/f — х1, отвеча-
отвечающие центру скачка и его длине, соответственно, то есть
= Р(х",х') = р (х + 1-?,
Действительно, матричный элемент (х"\р\хг) зависит от двух коор-
координатных переменных. Совершаем фурье-преобразование по одной из
них, и в результате имеем снова две переменные: фурье-переменную
скачка, которую мы называем р, и центральную точку скачка х. Обе
величины являются с-числами, а не операторами. Поэтому функция
Вигнера W зависит от двух классических переменных х и р. Однако
пока ещё не вполне очевидно, что эти переменные соответствуют ко-
координате и импульсу, образующим то фазовое пространство, в котором
задана функция Вигнера. Мы докажем это в следующем разделе.
Завершим раздел замечанием, что в случае чистого состояния 1^),
то есть при р = \ф)(ф\, это выражение сводится к
Г (х -\{) ф{х+1-^, C.2)
где ф(х) = (х\ф) — координатное представление состояния 1^). Отсюда
следует, что функция Вигнера есть фурье-преобразование волновых
функций состояния \ф) со сдвинутыми координатами.
3.2. Свойства функции Вигнера
До сих пор мы мотивировали введение функции Вигнера необхо-
необходимостью наглядного представления абстрактного понятия квантового
состояния. Однако, как будет видно ниже, с помощью функции Виг-
Вигнера можно добиться много большего, а именно, вычислить квантово-
механические средние значения, используя понятия классической ста-

3.2. Свойства функции Вигнера	93
тистической механики. В этом отношении, однако, функция Вигнера
не уникальна. Действительно, как показано в гл. 12, существует бес-
бесконечное количество функций распределения в фазовом пространстве,
позволяющих достичь той же цели. Тем не менее, функция Вигнера
уникальна в том смысле, что у неё простые свойства. Обсуждение этих
свойств составляет содержание данного раздела.
3.2.1. Предельные распределения. Проинтегрируем функцию
Вигнера по переменной р или по переменной х и покажем, что таким
образом получается распределение вероятностей координаты или
импульса, соответственно. Начнём анализ с интегрирования по р.
Распределение по координатам. Если проинтегрировать обе сто-
стороны выражения C.1) по р и поменять местами порядок интегрирова-
интегрирования по ? и р, то получим
dpW(x,p) =
¦
Р
что с помощью соотношения
сводится к
1
2тгН
Г
1 ПТ) P"V"D
J
= 5@	C.3)
то есть
dpW(x,p) = (х\ р \х) = W(x).
Отсюда, функция Вигнера обладает тем свойством, что при интегриро-
интегрировании по переменной импульса получается распределение вероятностей
W(x) для координат.
Импульсное распределение. Совершенно аналогично можно полу-
получить распределение по импульсам, произведя интегрирование по ко-
координате х. Действительно, введя новые переменные интегрирования
х1 = х — - ? и х" = х + - ?, то есть исходные координаты, находим:
Г	iff
dx W(x,p) = 1r—r \dx \dt; exp
x- -?) =
- J_ dxf dx" ехв (-- v(x" - x'
(x"\ д
Чтобы связать это выражение с импульсным распределением W(p) =
= (р|р|р), вставим два полных набора координатных состояний
l = Jfex \х')(х'\ и l = Jfe/x \x"){x"\

94	Гл. 3. Функция Вигнера
в определение импульсного распределения
W(p) = (р\р\р) = \dx' Jdx"(p\х") (х"\ р\х'} (х' \р)
и вспомним полученное в разделе 2.1.3 импульсное представление
собственного состояния координаты \х")
i)	C.4)
В результате мы приходим к написанной выше формуле, то есть
W(p) = JL ^dx'^dx" exp {-\р{х" - х')) (х"\ р\х>).
Итак, интегрирование функции Вигнера по координате приводит к рас-
распределению по импульсам.
3.2.2. Перекрытие квантовых состояний как перекрытие в фа-
фазовом пространстве. У функции Вигнера есть ещё одно интересное
свойство, а именно, выполняется правило следа произведения:
^ dx ^ dpWh(x,p)Wh(x,p).	C.5)
Здесь
н
C.6)
обозначает функции Вигнера матриц плотности pj с j = 1 и 2.
След произведения двух матриц плотности определяется произве-
произведением двух соответствующих функций Вигнера, проинтегрированным
по фазовому пространству. Правило следа произведения играет важную
роль в квантовой физике. Как мы покажем в следующем разделе,
оно позволяет глубже проникнуть в суть вопроса о форме квантовых
состояний.
В случае чистых состояний pj = \i/jj) (ф^\ находим:
(И) = ШЫ2,
а правило C.5) следа произведения сводится к
(х,р).	C.7)
Отсюда квадрат модуля скалярного произведения двух квантовых
состояний l^i) и \гр2) равен произведению функций Вигнера W\^ и
VF|-02), проинтегрированному по фазовому пространству.

3.2. Свойства функции Вигнера
95
Перейдём к доказательству формулы C.5). Для этого подставим
определения C.6) в правую часть выражения C.5) и поменяем местами
порядок интегрирования, откуда
= 2тгП \dx
= \dx d?, d& t-t
Р\
Вспоминая интегральное представление дельта-функции C.3) и инте-
интегрируя по <^2, получаем:
= \dx\i
Р\
Р2
где 6 = -6 = -?•
Введём переменные интегрирования х" = х + ^/2 and а/ = ж —
Тогда
ft = da/ fe/x (ж/х| pi \xr) (xf\ p2 \x"),
что, вместе с условием полноты
\dx'\x'){x'\ = 1,
сводится к выражению
П= Idx"(x"\pip2\x") =Tr(pip2).
Это выражение действительно совпадает с левой частью C.5).
3.2.3. Форма функции Вигнера. Из общего определения функ-
функции Вигнера C.1) и правила для следа произведения C.5) можно уста-
установить различные свойства формы функции Вигнера. Мы не можем
сжать состояние так, чтобы оно оказалось локализованным в области
фазового пространства меньше, чем 2тгЙ. Кроме того, функция Вигнера
нормируемого состояния не может принимать произвольно больших
значений и, самое важное, она может стать отрицательной.
Размер квантового состояния. Рассмотрим две одинаковые мат-
матрицы плотности pi = р2 = Р и вспомним, что
Тгр2 < 1,
где знак равенства берётся только для чистого состояния. Тогда из
выражения C.5) находим:
2тгЙ
\dx\dpW$(x,p)
C.8)

96
Гл. 3. Функция Вигнера
или
w
В приложении В показано, что правая часть есть мера площади в фа-
фазовом пространстве, занятой квантовым состоянием. Поэтому это со-
соотношение выражает известный факт, что чистое квантовое состояние
занимает в фазовом пространстве площадь 2тгЙ, а соответствующая
площадь, занятая смешанным состоянием, больше.
Верхняя граница функции Вигнера. Функция Вигнера не может
принимать произвольно большие значения. Существует верхняя грани-
граница 1/(тг7г) этой функции. Для доказательства напомним определение
W(x,p) = JL
exp
функции Вигнера чистого состояния. Будем рассматривать этот инте-
интеграл как скалярное произведение
двух волновых функций
соответствующих состояниям \
ление волновых функций ф\ и
правильную нормировку
\) и \ф2). Здесь мы включили в опреде-
опреде02 множитель 1/л/2, чтобы обеспечить
f
На последнем шаге мы предположили, что волновая функция ф = ф(х)
нормирована.
Эти определения позволяют оценить величину функции Вигнера
\т^Р)\ = ±.\(ф1\ф2)\
с помощью неравенства Коши-Шварца
справедливого для двух нормированных состояний \ф\)
Таким образом, установлено неравенство
p)\^_.
Функция Вигнера чистого нормируемого состояния не может прини-
принимать значений больших, чем 1/(тгЙ).

3.3. Эволюция функции Вигнера во времени	97
Функции Вигнера могут принимать отрицательные значения.
Снова возвращаемся к удивительному свойству C.5) следа от про-
произведения двух матриц плотности. Для случая двух матриц pi и р2
таких, что
=0,
из этого соотношения вытекает
x,p)=0,	C.9)
то есть произведение двух функций Вигнера, проинтегрированное по
всему фазовому пространству, должно обращаться в нуль.
Из этого условия с необходимостью следует, что функция Вигнера
Wpx или (и) Wp2 должна принимать отрицательные значения. В част-
частности, в гл. 4 мы покажем, что функция Вигнера собственного энер-
энергетического состояния гармонического осциллятора может принимать
отрицательные значения. Это поразительное свойство делает невоз-
невозможной интерпретацию функции Вигнера как реального распределения
вероятностей. Тем не менее, функция Вигнера полезна при вычислении
квантово-механических средних значений.
Условие C.9) не исключает возможности, что существуют функции
Вигнера, принимающие всюду положительные значения. Напомним,
что полученное условие выполняется только для двух ортогональных
состояний. Например, в гл. 4 мы обсудим функции Вигнера когерентно-
когерентного и сжатого волновых пакетов. Они имеют вид гауссовских функций
и поэтому везде положительны. Это тесно связано с теоремой Хадсо-
на-Пике, утверждающей, что единственной неотрицательной функци-
функцией Вигнера является гауссовское распределение.
3.3. Эволюция функции Вигнера во времени
Функция Вигнера представляет важный инструмент для преобра-
преобразования операторного уравнения движения для матрицы плотности
в с-числовое уравнение. Однако такое уравнение довольно сложно
и выявляет нелокальную природу функции Вигнера. В данном разделе
мы выведем это уравнение движения. В частности, рассмотрим кван-
тово-механическое движение частицы в потенциале U(x).
3.3.1. Уравнение фон Неймана в фазовом пространстве. Вы-
Выведем уравнение движения для функции Вигнера, беря матричные
элементы левой и правой
и кет-векторами
дим из уравнения
4 В. П. Шляйх
(х\-
частей уравнения фон Неймана между бра-
х— ^ О- Действительно, если мы исхо-

98
Гл. 3. Функция Вигнера
то получаем
-5«
Умножим обе части на BtyH)~1 exp(—гр^/К) и проинтегрируем по пере-
переменной ?. Слева это даёт производную по времени функции Вигнера.
Правая часть более сложна. Действительно,
т п J s
[2М
где было использовано выражение для гамильтониана
Поэтому уравнение движения для функции Вигнера принимает вид
где величина
содержит кинетическую энергию гамильтониана, а
г 1
х + -.
U{x)p-pU{x)
учитывает потенциальную энергию.
В приложении Г отдельно вычислены слагаемые Т и U, и они вы-
выражены через производные функции Вигнера. Эти соотношения имеют
вид:
(ih/2)
¦W(x,p;t)
C.10)
1=0
Т = -— — W(x,p;t).	C.11)
Таким образом, кинетическая часть Т включает только первую произ-
производную по координате. Напротив, член Ы, отвечающий потенциальной
энергии, в зависимости от вида потенциала U(x), может включать
производные функции Вигнера по импульсу более высоких порядков.

3.4. Функция Вигнера определяется фазовым пространством	99
3.3.2. Квантовое уравнение Лиувилля. Теперь мы готовы за-
записать уравнение движения для функции Вигнера. Если объединить
потенциальный и кинетический члены C.10) и C.11), получим:
dx с
= У^ /oi , iM	, 2/.+Г 77WT V^(x,p; t). C.12)
Полезно рассмотреть классический предел этого уравнения. С этой
целью формально положим h = 0. Если предположить, что производные
функции Вигнера в правой части уравнения не являются сингуляр-
сингулярными, то правая часть обращается в нуль. Поэтому мы приходим
к уравнению Лиувилля классической статистической механики:
? М дх dx с
В этом смысле слагаемые в правой части уравнения C.12) определя-
определяют квантово-механические поправки к классическому уравнению Ли-
Лиувилля.
Возможно ли, что временная эволюция квантовых состояний всё
ещё управляется классической механикой даже при условии h ^ О?
Действительно, если рассматривается эволюция в потенциале, содер-
содержащем только слагаемые не выше второго порядка по координате,
классическое уравнение Лиувилля тождественно квантово-механиче-
скому уравнению движения для функции Вигнера. В этом случае
каждая точка в фазовом пространстве функции Вигнера движется
в соответствии с классическими уравнениями движения. Квантово-
механические свойства системы спрятаны в начальном условии. В то
время как в классической механике допускается любая нормируемая
неотрицательная функция распределения, в квантовой механике это
уже не так. Класс функций, которые могут представлять квантовое
состояние системы, определяется законами квантовой механики.
3.4. Функция Вигнера определяется фазовым
пространством
Определения функции Вигнера C.1) и C.2) сформулированы в тер-
терминах матрицы плотности или билинейной формы от волновой функ-
функции. Поэтому общая стратегия нахождения функции Вигнера заключа-
заключается в том, чтобы начать с квантового состояния, заданного с помощью
р или \ф), вычислить эти величины в сдвинутых точках х ± ?/2
и осуществить фурье-преобразование по отклонению ?. Такая проце-
процедура предполагает, что путь к функции Вигнера всегда лежит через

100	Гл. 3. Функция Вигнера
шрёдингеровскую картину квантовой механики, так как мы должны
найти состояние.
Однако существует возможность непосредственно вычислить функ-
функцию Вигнера из фазового пространства, решая два связанных диф-
дифференциальных уравнения в частных производных. На самом деле,
эти уравнения определяют более широкий класс функций в фазовом
пространстве, известных как функции Моэля.
3.4.1. Определение функции Моэля. Прежде чем обсуждать
дифференциальные уравнения в фазовом пространстве, обоснуем зна-
значение функций Моэля. Для этого начнём с зависящей от времени
функции Вигнера в виде
W(X,P;t) = ^-h
x-l-?
Перепишем это уравнение с помощью выведенного в разделе 2.4.4
соотношения
и получим:
W(x, p]t) =
1
x — — i
Далее включим два соотношения полноты в энергетическом представ-
представлении
где символ JT означает суммирование и интегрирование по всем энер-
энергетическим состояниям дискретного и непрерывного спектров. Если
воспользоваться уравнением на собственные значения энергии
Н\Е)=Е\Е),	C.13)
получим:
C.14)
где мы определили функцию Моэля
{^)(\{С C-15)
Заметим, что эта функция есть обобщение функции Вигнера. Дей-
Действительно, диагональная функция Моэля W\e){e\(x>p) = Ще)(х,р)
есть обычная функция Вигнера собственного энергетического состоя-
состояния \Е).
Выражение C.14) позволяет понять важность функции Моэля:
независящие от времени функции Моэля определяют эволюцию во вре-

3.4. Функция Вигнера определяется фазовым пространством
101
мени функции Вигнера, причём начальная матрица плотности в энер-
энергетическом представлении служит весовым множителем.
3.4.2. Уравнения в фазовом пространстве для функций Моэ-
ля. Возвращаемся к вопросу о том, как найти функцию Вигнера из
фазового пространства, не обращаясь к шрёдингеровской квантовой
механике. Для этого выведем дифференциальные уравнения в частных
производных для функций Моэля.
Исходным будут антикоммутатор
ее ^ (\Е")(Е'\Н
Е' + Е"
\E"){Ef
и коммутатор
г- ]\Е"){Е'\,Н\ = '- \\Е")(Е'\Н-Н\Е")(Е'\\ = г-(Е' - Е")\Е"){Е'\
гамильтониана Н и оператора \Е//)(Е/ .
Здесь мы использовали уравнение на собственные значения энер-
энергии C.13) и ввели множители, которые окажутся полезными далее.
Если теперь умножить обе стороны двух уравнений справа на
и проинтегрировать по ?,
х — ^О, а слева на
получим:
_
2тг/г
U\E"){E'\,H}X-l-A =
Я' + Е"
")(Е'\
2тгЙ
г-[\Е"){Е'\,Н]
Таким образом, правые части обоих уравнений уже содержат функцию
Моэля. Чтобы выразить левую часть через производные этой функции,
подставим гамильтониан
= ш
в это выражение и проделаем те же действия, что и при выводе кван-
квантового уравнения Лиувилля. За деталями вывода отсылаем читателя
к приложению Г.

102
Гл. 3. Функция Вигнера
В результате
"'	Ш д2
2М
Ш дх2
A (-\)[(h/2f d2lu д21
{ri B0! dx21 dp21
'\E")(E'\
^^-W\E..)m C.16a)
М дх dx dp
V^ [-Ч V*-!1,
2l+l 8p2l+l
dx2l+l 8p
Wwv
\Е")(Е'\ =
C.16b)
Эти уравнения определяют зависимость функции Моэля W\e")(E'\ от
аргументов — координаты х и импульса р.
Заметим, что в первое уравнение входят только чётные производ-
производные, а во второе — только нечётные. В случае произвольного потенци-
потенциала уравнения имеют бесконечный порядок. Можно было бы задаться
вопросом, а нельзя ли использовать тот факт, что ряды представляют
собой разложения по степеням постоянной Планка. Такое разложение
наводит на мысль ограничиться включением только членов низшего
порядка. Однако подобная процедура приводит к ошибочным резуль-
результатам, так как постоянная Планка всегда возникает перед членом
со старшей производной. Общеизвестны трудности анализа подобных
дифференциальных уравнений. Мы кратко обсудим этот вопрос в сле-
следующем разделе.
3.5. Уравнения в фазовом пространстве
для собственных энергетических состояний
Чтобы лучше понять эти уравнения, рассмотрим собственное состо-
состояние данной энергии. В этом случае Ег = Е", и поэтому два уравнения
сводятся к дифференциальным уравнениям в частных производных
daU да
2М
8М
4
B0! dx21 dp21
W\E)(x,p) =
= EW\E)(x,p) C.17)
р д
М дх
dx dp
lu du
1=1
B1+1)! dJW Op
21+1
W\E)(x,p)=0
C.18)

3.5. Уравнения в фазовом пространстве для собственных	103
для функции Вигнера W\e) собственного энергетического состоя-
состояния \Е). Заметим, что второе уравнение представляет собой стационар-
стационарную форму квантового уравнения Лиувилля C.12), а первое уравнение
есть уравнение на собственные значения энергии Е. Мы проиллюстри-
проиллюстрируем это в следующем разделе, взяв в качестве примера собственное
энергетическое состояние гармонического осциллятора. Пока же со-
сосредоточимся на том, как разложение по степеням Н влияет на вид
функции Вигнера.
Рис. 3.1. Функция Вигнера шестого собственного энергетического состояния
гармонического осциллятора
3.5.1. Разложение по степеням постоянной Планка. На
рис. 3.1 и на обложке этой книги показана функция Вигнера шестого
собственного энергетического состояния гармонического осциллятора.
Мы видим заметный максимум вдоль классической траектории
Eqm = u^ + U(x),	C.19)
определяемой квантово-механической энергией Eqm.
На первый взгляд, эта фраза звучит как оксиморон 0 . Мы имеем
в виду траекторию в фазовом пространстве, которая определяется
сохранением энергии. При этом для целей данного обсуждения мы
выбрали энергию Eqm, определяемую шрёдингеровской квантовой ме-
механикой.
В области фазового пространства, заключённой внутри классиче-
классической орбиты, видны характерные осцилляции. Кроме того, имеется
очень заметный максимум в начале координат фазового пространства.
Снаружи траектории функция Вигнера затухает, что обеспечивает
условие нормировки.
Такое поведение характерно не только для энергетических соб-
собственных состояний гармонического осциллятора. На рис. 3.2 показана
функция Вигнера собственного энергетического состояния осциллято-
осциллятора Морса. Мы снова видим, что в области фазового пространства,
заключённой внутри классической траектории, возникают бросающи-
1) Сочетание слов с противоположным значением (греч. oxymoron, букв. —
остроумно-глупое). — Прим. ред. пер.

104
Гл. 3. Функция Вигнера
еся в глаза осцилляции и пики. В противоположность случаю гармо-
гармонического осциллятора, здесь классическая траектория не столь явно
выражена. Кроме того, в области вне классической орбиты возникает
рябь.
Покажем теперь, как эти свойства возникают из уравнений C.17)
и C.18) в фазовом пространстве. В частности, сосредоточимся на
зависимости решений этих уравнений от постоянной Планка.
Рис. 3.2. Пространственная плотность вероятности (на заднем плане) и функ-
функция Вигнера (передний план) собственного энергетического состояния осцил-
осциллятора Морса. Функция Вигнера обладает сложной структурой в области
фазового пространства, окружённой классической траекторией, соответству-
соответствующей квантовому значению энергии. В области фазового пространства вне
траектории видна рябь. Взято из работы: М. Hug et ai, Phys. Rev. A. 1998.
V. 57. P. 3206
Классический предел. Начнём обсуждение этих двух уравнений
с анализа классического случая, когда Н = 0. Тогда два уравнения для
функции Вигнера сводятся к виду
2М
р д
~М~дх
dU д
При выводе мы предположили, что при h = 0 производные функции
Вигнера не становятся сингулярными.
Из первого уравнения немедленно вытекает, что функция Вигнера
является дельта-функцией вдоль классической траектории с энерги-
энергией Е. Заметим, что это решение удовлетворяет второму уравнению.
Излишне напоминать, что на энергию нет никаких ограничений —
в пределе h = 0 уравнение на собственные значения для функции
Вигнера уже теряет способность определить энергию.
Полу классический предел. Если принять во внимание следующий
член разложения, содержащий h, чтобы попытаться получить поправку

3.5. Уравнения в фазовом пространстве для собственных	105
к написанной выше ^-функции, то решение оказывается существенно
иным. Резкая классическая ^-функция в квантовой механике расплы-
расплывается и становится функцией Эйри.
Чтобы выявить последствия ненулевого значения постоянной План-
Планка, слегка преобразуем уравнение C.17). Из-за сложности этих урав-
уравнений в случае произвольного потенциала мы не можем выписать их
точное аналитическое решение. Поэтому в данном разделе мы дадим
правдоподобное объяснение поведения решения двух связанных урав-
уравнений в фазовом пространстве. Подчеркнём, что наш подход неточен,
но позволяет понять суть вопроса.
Подставляя собственное значение Eqm в форме траектории в фазо-
фазовом пространстве C.19) в уравнение C.17), получаем
р1гп(х)-р2 к2 д2 к2 ?и д2 h4 d4u д4
2М	Ш дх* 8 dx* др* + 16-24 dx" dp4
, ~ (ih/2J1 d2lU д21 \ ЛХГ , ч п
Вблизи классической траектории можно аппроксимировать разность
квадратов импульсов величиной
р\гп - Р2 = (Pqrn ~ P)(Pqm + р) = 2рЧт(рЧт ~ р)•
Таким образом, мы понизили зависимость от р от квадратичной функ-
функции до линейной. Кроме того, пренебрежём пока что второй производ-
производной по х. В результате получается уравнение вида
М [Pqm P) 8 fa* др* + 16-24 ^ дрА +
\Ще*"){х9р) = 0- C'20)
М [Pqm P) 8 fa* др* + 16-24
J1 d2l
/—з
Если рассмотреть зависимость функции Вигнера от импульса при
фиксированной координате, предыдущее уравнение примет вид обык-
обыкновенного дифференциального уравнения бесконечного порядка
(-a(Pqm-p) + П2C f-2 + Й47 -^ + ..) WlEqrn)(x,p) = 0
V	dp	dp	J
с некоторыми константами а, /3, j,..., которые определяются из C.20).
3.5.2. Модельное дифференциальное уравнение. В предыду-
предыдущем разделе мы показали, что дифференциальные уравнения, опре-
определяющие функцию Вигнера, являются степенными разложениями по
постоянной Планка. Высшая производная вносит самую высокую сте-
степень h. Когда h стремится к нулю, предельный переход у подобных

106	Гл. 3. Функция Вигнера
уравнений осуществляется довольно тонким образом. Чтобы выявить
эти тонкости, рассмотрим модельное дифференциальное уравнение
^+^(у)	C.21)
dy	dy )
для функции W = W(y\e). Здесь параметр г играет роль постоянной
Планка, и мы сосредоточимся на поведении решения W(y; г) при г,
стремящемся к нулю.
Решение с помощью фурье-преобразования. Чтобы решить диф-
дифференциальное уравнение, учитывая все производные по переменной у,
определим фурье-преобразование
W(k) = \dyeikyW(y)
функции W и обратное преобразование
W(y) = — \dke-ikyW(k).	C.22)
2тг J
Здесь мы предположили, что функция W достаточно быстро убывает,
так что фурье-образ существует.	^
Подставляя представление C.22) функции W через W в дифферен-
дифференциальное уравнение C.21), получаем
о .„,.„,*, г2к2 -г4к4] e~ikyW(k) = 0.	C.23)
Z7T I L	J
Член, содержащий у, можно выразить как производную от экспоненты
по к, то есть
У е-гку _ 1 Д (e~iky)
что, после интегрирования по частям, даёт
dkye~ikyW(k) = -\ \dk {-^-e-iky\ W(k) =
{—г) J \dk	)
Н)
~iky W(k)
dk
Для того, чтобы обеспечить существование фурье-преобразования,
отынтегрированный по частям вклад должен обратиться в нуль, так
что мы приходим к соотношению
dkye~ikyW(k)= Idke
_lky I dW(k)
i dk
Отсюда выражение C.23) принимает форму:
—— + (ezkz - ?4fc4) W(k) \ е гку = 0,
1 I „ I I aw , , 2г.2 ,,4 7 4\

3.5. Уравнения в фазовом пространстве для собственных	107
которая соответствует обыкновенному дифференциальному уравнению
АХтСтОЛ	^^
CLVV \Гь)	. / 9 7 2	47 4\ TI7/7 \
—-jt~^ = ~г \? к — г к ) W(k),
с решением:
Щк) = ехр \-i (у к3 - j к5
Здесь для простоты мы выбрали начальное условие W(k = 0) = 1.
Если подставить это выражение назад в определение фурье-преоб-
разования C.22), получим:
WA = W(y;e) = J- [dfcexp {-г \-?^k5 + ?^к3 + у к] } . C.24)
Z7T )	{	[ Ь	6	J J
Это выражение включает степени г вплоть до четвёртого порядка, на
что указывает индекс 4 у W.
Подобный интеграл возникает в теории дифракции света и носит
название «ласточкиного хвоста». Он был очень подробно исследован
в связи с проблемой равномерных асимптотических разложений инте-
интегралов.
От «ласточкиного хвоста» к функции Эйри, а затем к 5-функ-
ции. Решение C.24) проливает свет на степенное разложение диффе-
дифференциального уравнения по г. Действительно, те же степени возникают
в показателе экспоненты.
При г = 0 находим интегральное представление дельта-функции
Wo = W(y; s = 0) = 6 (у) = ^-\dk e~iky
в полном соответствии с решением уравнения
yW2=0,
следующего из C.21) в пределе е = 0.
Однако, оставляя только слагаемое е2, получаем функцию
if	Г / 2
W2 = W(y; г) = — \dk ехр — г [ — к3 + у к
2тг J	[_ V 3
которая с помощью подстановки е2к3 = ?3, то есть s2l3k = ^, принимает
Хх 2 — <Ь	-г\-1 1с	У)'	\O.ZjO)
Здесь мы ввели известную из теории дифракции функцию Эйри
Ai (у) = d? ехр |"г (- ?3 + у^\ 1 .	C.26)
В приложении Д суммированы все наиболее важные свойства
функции Эйри. Однако сейчас достаточно напомнить поведение этой
функции, показанное на рис. 3.3. Для положительных значений ар-

108	Гл. 3. Функция Вигнера
Рис. 3.3. Функция Эйри действительного аргумента у. По абсолютной вели-
величине эта функция ограничена значением главного максимума вблизи начала
координат. Для положительных аргументов функция Эйри экспоненциально
убывает, а для отрицательных имеет характерные осцилляции
гумента функция Эйри положительна и экспоненциально затухает.
Для отрицательных значений аргумента она осциллирует и медленно
убывает. Главный максимум функции Эйри находится в окрестности
у = 0, где обращается в нуль её вторая производная. Это следует из
дифференциального уравнения
dy
Кроме того, непосредственно из интегрального представления C.26)
функции Эйри немедленно находим свойство нормировки
dy Ai(y) = 1.
Тот факт, что г отлично от нуля, коренным образом изменяет
решение W. В то время как при г = 0 решение имело вид дельта-функ-
дельта-функции, локализованной в точке у = 0, теперь мы имеем осциллирующую
функцию, главный максимум которой лежит в окрестности у = 0.
При стремлении е к нулю множитель ?~2/3 в W перед функцией
Эйри увеличивает амплитуду осцилляции, а также величину главного
максимума. Кроме того, из-за наличия множителя г 2/3 в аргументе
функции Эйри, период осцилляции уменьшается. В то же время глав-
главный максимум приближается к точке у = 0. Таким образом, функция
W(y;e), определяемая формулой C.25), в пределе г^О стремится
к дельта-функции.
3.6. Гармонический осциллятор
Во многих учебниках по квантовой механике утверждается, что
гармонический осциллятор является классической системой. Это аргу-
аргументируется тем, что, как мы видели в предыдущем разделе, в случае
квадратичного потенциала уравнение движения для функции Вигнера
сводится к классическому уравнению Лиувилля. Однако собственные
энергетические состояния зависят от постоянной Планка и являются

3.6. Гармонический осциллятор	109
поэтому квантово-механическими объектами. Они определяются пер-
первым из двух обсуждавшихся выше уравнений.
3.6.1. Функция Вигнера как волновая функция. Чтобы про-
проиллюстрировать это, решим два связанных уравнения для случая
собственного энергетического состояния гармонического осциллятора.
На этом примере мы покажем, что уравнение на собственные значения
энергии в фазовом пространстве одномерного гармонического осцил-
осциллятора сводится к уравнению Шрёдингера двумерного гармонического
осциллятора.
Для квадратичного потенциала
U(x) = 1- Мп2х2
два уравнения C.17) и C.18) сводятся к
2 1 TT
C.27а)
C-27b)
Если вспомнить, что х = л/ШЩп, и ввести безразмерные координату
? = кх, импульс С = р/{Нк) и энергию г] = Е/(Ш), два уравнения
принимают вид:
JL + Jl
дB at
е,с) + [2?? - (с2+?2)] и^(?,о = о
В первое уравнение входит лапласиан по двум переменным ? и С
в фазовом пространстве. Кроме того, сами эти переменные входят
в уравнение квадратично. Следовательно, это уравнение на собствен-
собственные энергетические состояния одномерного гармонического осцилля-
осциллятора полностью аналогично уравнению Шрёдингера для собственных
энергетических состояний двумерного гармонического осциллятора.
Отсюда вытекает, что можно найти функцию Вигнера с помощью
разложения по произведениям волновых функций гармонического ос-
осциллятора, содержащих полиномы Эрмита.
Однако второе уравнение в фазовом пространстве требует, чтобы
решения обладали специальной симметрией. Действительно, функция
Вигнера может зависеть только от суммы квадратов двух переменных
в фазовом пространстве, то есть зависеть только от энергии. Чтобы
показать это, предположим, что

ПО	Гл. 3. Функция Вигнера
где
2/(^0 =С2 + С2.	C.28)
С помощью соотношений
и 8W^ = dW
д(	dy
dt;	dy	д(	dy
получаем
Обратимся к уравнению на собственные значения для функции Виг-
Вигнера, которое превращается в обыкновенное дифференциальное урав-
уравнение благодаря симметрии, накладываемой классическим уравнением
Лиувилля. С помощью соотношений
d2W(y) 2 odW(y)	d2WM _d2W(y) 2 odW(y)
dy2	dy	дС	dy2	dy
вытекающих из правила дифференцирования сложной функции C.29),
и определения C.28) величины у находим дифференциальное уравне-
уравнение второго порядка
dy
которое подробнее обсуждается в приложении Е.
3.6.2. Фазовое пространство навязывает квантование энергии.
В разделе 2.2.2 мы определили координатное представление собствен-
собственного энергетического состояния гармонического осциллятора. Соответ-
Соответствующее граничное условие — затухание волновой функции в клас-
классически недоступной области — отбирает из всех возможных решений
соответствующего уравнения Шрёдингера волновую функцию данной
энергии. Поэтому граничные условия в координатном пространстве
приводят к дискретности собственных значений энергии и определяет
их величину.
Аналогично, функция Вигнера этого собственного состояния дан-
данной энергии находится путём решения дифференциального уравнения
типа уравнения Шрёдингера C.27а). Оно является уравнением в част-
частных производных в фазовом пространстве. Следовательно граничные
условия в фазовом пространстве определяют собственные значения
энергии.
Поскольку дифференциальное уравнение C.31) второго порядка,
у него имеются два независимых решения. Тот факт, что функция
Вигнера нормирована, накладывает ограничение на поведение этих
решений — они должны убывать при у —> оо.

3.6. Гармонический осциллятор
111
В приложении Е решено радиальное уравнение, подчиняющееся
такому граничному условию, и показано, что функция
содержащая га-й полином Лагерра, представляет нормируемое решение
обыкновенного дифференциального уравнения C.31), если
V =
Это квантование энергии, следующее из квантования фазового про-
пространства.
Записанная в переменных фазового пространства х и р, функция
Вигнера ш-го энергетического собственного состояния имеет вид:
_ (-1)"
Ых)
C.32)
В следующей главе мы обсудим свойства этой функции более детально.
Здесь отметим лишь, что она была экспериментально измерена для
иона, движущегося в потенциале гармонического осциллятора, созда-
создаваемом в ловушке Пауля, как показано на рис. 3.4.
0.5
-0.5
СУ"
im a
	1

Re a
Рис. 3.4. Экспериментально восстановленная функция Вигнера состояния,
близкого к фоковскому состоянию \п = 1). Чёрный контур отвечает значению
W|i) = 0. Отрицательные значения в окрестности начала координат выявляют
неклассический характер этого состояния. Взято из работы: Leibfried et at.,
Phys. Rev. Lett. 1996. V.77. P. 4281

112	Гл. 3. Функция Вигнера
3.7. Вычисление квантово-механических средних
Функция Вигнера даёт ясное представление о рассматриваемом
квантовом состоянии. Однако квантовое состояние — только одна
сторона монеты. Другая — это эрмитов оператор, соответствующий
той или иной наблюдаемой. Только объединив эти два понятия, можно
дойти до соприкосновения с экспериментом. Действительно, знание
квантового состояния необходимо для вычисления средних значений
операторов.
В классической статистической физике средние от функций А(х,р),
которые зависят от переменных х и р в фазовом пространстве, вы-
вычисляются с помощью классической функции распределения Wc\(x,p)
согласно соотношению
{Ad(x,p)} = \dx\dpAd{x,p)Wd{x,p).	C.33)
Существует ли аналогичный метод в квантовой механике? Роль клас-
классической функции распределения в фазовом пространстве в квантовой
механике берёт на себя функция Вигнера. Поэтому поучительно вы-
вычислить средние квантово-механического оператора А способом, ана-
аналогичным C.33):
(А(х,р)) = \dx\dpA(x,p)W(x,p).
Здесь А(х,р) — с-числовое представление оператора А(х,р), такое,
что интегрирование по фазовому пространству с функцией Вигнера со-
состояния приводит к правильному квантово-механическому результату.
В данном разделе мы покажем, что существует хорошо определённая
процедура, позволяющая вычислять такие средние в полном согласии
с законами квантовой механики.
3.7.1. Упорядочение операторов. Нет нужды подчёркивать, что
нахождение такого с-числового представления данного оператора
нетривиально. Следующий самый элементарный пример ясно демон-
демонстрирует те проблемы, которые возникают в связи с этим понятием.
Примеры. Рассмотрим произведение операторов
А = х - р,
содержащее операторы координаты и импульса х и р соответственно.
Для данного обсуждения несущественно то, что оператор А неэрмитов.
Попробуем найти классическое с-числовое представление этого опе-
оператора. Один возможный подход заключается в том, чтобы заменить
операторы х и р на с-числа х и р. Однако результат такого наивного
подхода зависит от того, на какой стадии мы перейдём к такому класси-
классическому пределу. В частности, если начать с оператора А и заменить х
и р, получим	^
А^ А(х,р) = х-р.	C.34)

3.7. Вычисление кванто во-механических средних	113
С другой стороны, можно переписать оператор А тождественным
образом, использовав сначала коммутационное соотношение
^ ^ h
что приводит к выражению
А = р • х — [р, х] =р • х — -.
Если теперь заменить операторы с-числами, получим
А = р - х —г.
г
Очевидно это выражение отличается от C.34) на величину комму-
коммутатора.	^
Аналогично, можно представить оператор А в виде
^ 1	11	h
А= -(х-р + р-х) - -[р,х] = -(х'р + р-х) - —.
Здесь операторы координаты и импульса входят симметрично. В
этом случае наивное с-числовое представление принимает вид
Этот элементарный пример ясно показывает, что существует много
классических пределов одних и тех же операторов, зависящих от того,
как мы выберем порядок некоммутирующих операторов, прежде чем за-
заменять их на с-числа. Эта проблема известна в литературе как пробле-
проблема упорядочивания. Следовательно, процедура усреднения с помощью
функции Вигнера может быть согласована с квантово-механическим
результатом только при условии правильного выбора упорядочивания.
В следующем разделе мы покажем, что функция Вигнера действитель-
действительно позволяет вычислить средние значения симметрично упорядоченных
операторов.
Упорядочение Вейля-Вигнера. Функция Вигнера
27ГЙ
представляет собой матрицу плотности р в виде классической функции
W(p,x) в фазовом пространстве. Можно обобщить эту процедуру
замены квантово-механических операторов на классические с-числа на
случай произвольных операторов А, определив так называемое соот-
соответствие Вейля-Вигнера
А(х,р)=
C.35)

114
Гл. 3. Функция Вигнера
Таким способом, мы определяем классическое представление в фазовом
пространстве оператора А, которое ужедюзволяет вычислить квантово-
механические средние значения типа (А) с помощью функции распре-
распределения Вигнера в фазовом пространстве W(x,p).
Действительно, если вспомнить определение среднего значения
оператора А через матрицу плотности
(А)=Тг(Ар),
с помощью формулы для следа произведения C.5) получим соотно-
соотношение	ж ж
(А) = \ dx dp A(x,p)W(x,p).
— оо —оо
3.7.2. Примеры упорядочения Вейля-Вигнера. Проиллюстри-
Проиллюстрируем роль упорядочения Вейля-Вигнера на двух примерах. Во-первых,
на примере операторного произведения А = х • р мы показываем, что
функция Вигнера позволяет квазиклассическим образом усреднять
симметрично упорядоченные операторы. Во-вторых, преобразование
Вейля-Вигнера операторного произведения Яр, включающего гамиль-
гамильтониан и матрицу плотности, позволяет установить связь с уравнения-
уравнениями в фазовом пространстве C.17) и C.18).
Симметричное упорядочивание. В случае операторного произве-
произведения А = х - р из определения упорядочения Вейля-Вигнера C.35)
находим:
А{х,р) =
х • р
х- -
9
или
А(х,р) =
V
Если включить полный набор состояний данного импульса, полу-
получим:
А(х,р) = jd? Jdp'exp (-|
¦игр
1
ИЛИ
А(х,р) = г^
где на последнем шаге мы использовали соотношение
(х\р) =
Перепишем интегралы в виде
А(х,р) =
д
2 d(-ip/h)

3.7. Вычисление кванто во-механических средних	115
и осуществим интегрирование с помощью дельта-функции в точке р =
= р'. Тогда
А(х,р) = х-р--^рр = х-р--.
Таким образом, в этом примере упорядочение Вейля-Вигнера соот-
соответствует симметричному упорядочиванию.
В заключение подчеркнём, что так происходит и в общем случае.
Уравнение Шрёдингера в фазовом пространстве. Проиллюстри-
Проиллюстрируем эту технику представления квантово-механических операторов
с-числами для случая не зависящего от времени уравнения Шрёдин-
Шрёдингера. В частности, покажем, что получаются два связанных уравнения
в фазовом пространстве C.17) и C.18), определяющие функцию Виг-
нера собственного энергетического состояния.
Начнём с уравнения на собственные значения
Н\Е)=Е\Е)
для собственного состояния данной энергии \Е), записанного в виде
операторного уравнения
Н(\Е)(Е\) = Е(\Е)(Е\).
Таким образом, слева мы имеем произведение двух операторов, а спра-
справа — один оператор, умноженный на с-число. Если воспользоваться
правилом соответствия Вейля-Вигнера, то правая часть этого уравне-
уравнения превращается в функцию Вигнера W\e) собственного энергетиче-
энергетического состояния, умноженную на собственное значение. Левая часть
сложнее, так как содержит произведение двух операторкхв.
Согласие» результату задачи 3.4, для произведения АВ двух опера-
операторов А и В правило Вейля-Вигнера даёт
В соответствии с этим предписанием, мы должны в функции А заме-
заменить переменные координаты и импульса операторами, содержащими
координату, импульс и их производные, то есть
h д	, h д
2г др	2г ох
Эти операторы иногда называют операторами Боппа, так как они свя-
связаны с именем Ф. Боппа, занимавшего пост заведующего знаменитой
кафедрой Зоммерфельда в Мюнхенском университете.
Делая переобозначения А = Н и В = \Е)(Е\ = р, приходим к фор-
формуле

116	Гл. 3. Функция Вигнера
Таким образом, представление Вейля-Вигнера независящего от вре-
времени уравнения Шрёдингера
Нр = Ер
имеет вид
Для гамильтониана частицы в потенциале U
предыдущее выражение для функции Вигнера собственного энергети-
энергетического состояния принимает вид:
Если отделить действительную и мнимую части этого уравнения, то
V
(Р д 1 \тт ( h д\ тт ( , П д
Ш 5ж г/i L V 2г dpj	\ 2г др
= EW\E)[x,p)
После разложения потенциала С/ в ряд Тейлора, приходим окончатель-
окончательно к уравнениям C.17) и C.18).
Первое уравнение играет роль уравнения Шрёдингера для соб-
собственных значений энергии. Так как это дифференциальное уравнение
в частных производных в фазовом пространстве, оно зависит от двух
переменных. Кроме того, потенциальная энергия входит в уравнение
довольно сложным образом, внося зависимость от комбинаций коор-
координаты и производной по импульсу. Второе уравнение — это стацио-
стационарное уравнение Лиувилля. Любопытно, что оба уравнения содержат
либо сумму, либо разность значений потенциала, вычисленного для
таких комбинаций.
Задачи
3.1 Эволюция во времени функции Вигнера для квадратичных
потенциалов
Рассмотреть потенциал вида

Задачи	117
Показать, что эволюция во времени функции Вигнера определя-
определяется выражением
W(x,p,t) = Wo(xo(x,p,t),po(x,p,t)).
Здесь Wq(x,p) — функция Вигнера в момент времени t = О,
a (xo(x,p,t),po(x,p,t)) — точка в фазовом пространстве, из ко-
которой должна начать движение классическая частица в момент
времени t = О, чтобы достичь точки (х,р) в момент времени t.
3.2 Функция Вигнера теплового состояния
(а)	Вычислить функцию Вигнера W(x,p), соответствующую
матрице плотности гармонического осциллятора в тепловом
равновесии с термостатом. Использовать результат зада-
задачи 2.6 для координатного представления матрицы плотности
р(х,х') = (х\ ^р\х').
(б)	Исследовать поведение функции Вигнера W(x,p) в случае
низких и высоких температур и объяснить полученный ре-
результат.
3.3 Функция Моэля гармонического осциллятора
Показать, что функция Моэля гармонического осциллятора име-
имеет вид
где введено сокращённое обозначение
\2	1 4 / 2
кНн) ^ ' Ш \2М
Это выражение справедливо при т ^ п. Как оно выглядит при
т > п?
Указание: См. Groenewold A946) или Buzek and Knight A995).
3.4 Упорядочение Вейля-Вигнера
Показать, что для произведения АВ двух операторов А и В
правило соответствия Вейля-Вигнера имеет вид:

118	Гл. 3. Функция Вигнера
3.5 Классический предел
Согласно формулам C.32) и B.15), функция Вигнера ш-го соб-
собственного энергетического состояния имеет вид:
Рассмотреть классический предел h —> 0. Как возникает 5-функ-
ция от классической энергии Е?
Указание: Очевидно, имеет смысл устремить h к нулю, удер-
удерживая т фиксированным. Чтобы получить классический предел,
нужно удерживать энергию состояния Е = (га + 1/2)Ш фикси-
фиксированной при стремлении h к нулю. Следовательно mh должно
оставаться постоянным, или, иными словами, га должно стре-
стремиться к бесконечности. Использовать асимптотику полиномов
Лагерра.
3.6 Функция Вигнера и туннелирование
Исходя из двух связанных уравнений в фазовом простран-
пространстве C.17) и C.18), вывести уравнения, определяющие функцию
Вигнера собственного энергетического состояния обращенного
гармонического осциллятора с потенциалом
Показать, что при больших по модулю значениях энергии функ-
функция Вигнера приближённо совпадает с функцией Эйри вдоль
классической траектории, отвечающей энергии Е. Для нулевой
энергии функция Вигнера равна функции Бесселя нулевого по-
порядка. Обсудить явление туннелирования на языке функций Виг-
Вигнера.
Указание: См. Balazs and Voros A990).
Литература
Переход от классической теории к квантовой
Связь квантовой механики одной частицы и классической статистической механики
ансамбля частиц
Born M. Continuity, Determinism, and Reality // Dan. Math.-Phys. Kl. 1955.
V. 30. P. 3-26.
Born M. Vorhersagbarkeit in der klassischen Mechanik // Z. Physik. 1958.
V. 153. P. 372-388.
Born M. Statistical Interpretation of Quantum Mechanics // Science. 1955.
V. 122. P. 675-679.

Литература	119
Первоначальные работы по функциям Вигнера
Понятие об этой функции распределения в фазовом пространстве восходит к работе:
Wigner E.P. On the quantum correction for thermodynamic equilibrium //
Phys. Rev. 1932. V. 40. P. 749-759.
В этой работе имеется интересное подстрочное примечание, в котором автор утвер-
утверждает, что эта функция была ранее предложена для других целей Л. Сцилардом. Од-
Однако никакой подобной работы не было опубликовано. В связи с теорией рассеяния
П.А. М.Дирак и В. Гейзенберг использовали выражения, аналогичные функции Вигнера.
Дирак даже вывел уравнение движения.
Dime P.A.M. Note on Exchange Phenomena in the Thomas Atom // Proc.
Camb. Phil. Soc. 1930. V. 26. P. 376-385.
[Дирак П.A.M. Собрание трудов, т. 2. — М.: Наука, 2003]
Heisenberg W. Uber die inkoharente Streuung von Rontgenstrahlen // Physik.
Zeitschr. 1931. V. 32. P. 737-740.
Функция Моэля была введена в работе
Moyal J.E. Quantum mechanics as a statistical theory // Proc. Camb. Phil.
Soc. 1947. V.45. P. 99-124.
[См. перевод в сб.: Вопросы причинности в квантовой механике. — М.:
ИЛ, 1955]
Ранние идеи о функции Моэля и, в частности, функция Моэля гармонического
осциллятора содержится в работе:
Groenewold H.J. On the principles of elementary quantum mechanics //
Physica. 1946. V. 12. P. 405-460.
Обзоры по функциям Вигнера
Обзор свойств функций Вигнера
Татарский В.И. // УФН. 1983. V. 29. Р. 311-327.
Balazs N.L., Jennings В. К. Wigner's functions and other distribution func-
functions in Mock phase spaces // Phys. Rep. 1984. V. 104. P. 347-391.
Hillery M., O'ConnellR.F., Scully M.O., Wigner E.P. Distribution functions
in physics: fundamentals // Phys. Rep. 1984. V. 106. P. 121-167.
Englert B.-G. On the operator bases underlying Wigner's, Kirkwood's and
Glauber's phase space functions // J. Phys. A. 1989. V. 22. P. 625-640.
Bialynicki-Birula I., Cieplak M., Kaminski J. Theory of Quanta. Oxford Uni-
University Press, 1992
Ozorio de Almeida A.M. The Weyl representation in classical and quantum
mechanics // Phys. Rep. 1998. V. 295. P. 265-342.
Scheibe E. Die Reduktion physikalischer Theorien. Band II, Springer, Heidel-
Heidelberg, 1999
Эвристический подход к функции Вигнера, изложенный в разделе 3.1, можно найти
в работе
Sufimann G., Schleich W.P. A jump shot at the Wigner distribution // Physics
Today. 1991. V. 44A0). P. 146-148

120	Гл. 3. Функция Вигнера
Использование функций Вигнера в теории рассеяния
Carruthers P., Zachariasen F. Quantum collision theory with phase space
distributions // Rev. Mod. Phys. 1983. V. 55. P. 245-285.
Применение функции Вигнера для частотно-временного анализа
Cohen L. Time-Frequency Analysis. Prentice Hall, Englewood Cliffs, 1995
Функции Вигнера для электрического поля
Так как существует тесная аналогия между волновой функцией и классическим
электрическим полем, функции Вигнера в классической оптике вызывают большой ин-
интерес как у теоретиков, так и у экспериментаторов. См., например:
Bartelt H.O., Brenner K.-H., Lohmann A.W. The Wigner distribu-
distribution function and its optical production // Opt. Commun. 1980. V. 32.
P. 32-38.
Dragoman D. The Wigner distribution function in Optics and Optoelectronics.
Progress in Optics, edited by E. Wolf, Volume XXXVII, North Holland, Amster-
Amsterdam, 1997
Dragoman D., Dragoman M., Bahr /., Brenner K.-H. Phase-space measure-
measurements of micro-optical objects // Appl. Opt. 1999. V. 38. P. 5019-5023.
Связь функции Вигнера с определением зависящего от времени спектра
Eberly J.H., Wodkiewicz К. The time-dependent physical spectrum of light //
J. Opt. Soc. Am. 1977. V. 67. P. 1252-1261.
Brenner K.-H., Wodkiewicz K. The time-dependent physical spectrum of light
and the Wigner distribution function // Opt. Comm. 1982. V. 43. P. 103-106.
Асимптотология функций Вигнера
Асимптотический предел функций Вигнера детально изучался в работах
Berry М. V. Semi-classical mechanics in phase space: a study of Wigner's
function // Phil. Trans. R. Soc. London. 1977. V. 287A. P. 237-271
Berry M. V. Quantum scars of classical closed orbits in phase space // Proc.
R. Soc. London. 1989. V. 423A. P. 219-231
Berry M. V. Fringes decorating anticaustics in ergodic wave functions // Proc.
R. Soc. London. 1989. V. 424. P. 279-288.
Интерпретация функций Вигнера
Квантово-механические скалярное произведение двух квантовых состояний как пе-
перекрытие функций Вигнера в фазовом пространстве
O'Connell R.F., Wigner E. P. Quantum-mechanical distribution functions: con-
conditions for uniqueness // Phys. Lett. 1981. V. 83A. P. 145-148
Интерпретация квантово-механического измерения как перекрытия двух функций
Вигнера в фазовом пространстве
O'Connell R.F., Rajagopal А.К. New interpretation of the scalar product in
Hilbert space // Phys. Rev. Lett. 1982. V. 48. P. 525-526.
O'Connell R.F., Walls D.F. Operational approach to phase-space measure-
measurements in quantum mechanics // Nature (London) 1984. V. 312. P. 257-258.

Литература	121
Wodkiewicz К. Operational approach to phase-space measurements in quan-
quantum mechanics // Phys. Rev. Lett. 1984. V. 52. P. 1064-1067.
Stenholm S. The Wigner Function: I. The Physical Interpretation // Euro.
J. Phys. 1980. V. 1. P. 244-248.
Buzek V., Knight P.L. Quantum Interference, Superposition States of Light
and Nonclassical Effects // Prog. Opt. 1995. V. 34. P. 1-158.
Правило соответствия Вейля-Вигнера и его приложения в квантовой теории изме-
измерений
Ворр F. Statistische Mechanik bei Storung des Zustandes eines physikalischen
Systems durch die Beobachtung // W. Heisenberg und die Physik unserer Zeit /
Ed. by F. Bopp, Vieweg, Braunschweig, 1961
Динамика из функций Вигнера
Gr0nager М., Henriksen N.E. Quantum dynamics via a time propagator in
Wigner's phase space // J. Chem. Phys. 1995. V. 102. P. 5387-5395.
Feldmeier #., Schnack J. Fermionic Molecular Dynamics // Prog. Part. Nucl.
Phys. 1997. V. 39. P. 393-442.
Определение функций Вигнера из фазового пространства
Два уравнения для функций Моэля были выведены и обсуждались в работах:
Fairlie D.B. The formulation of quantum mechanics in terms of phase space
functions // Proc. Camb. Phil. Soc. 1964. V. 60. P. 581-586.
Kundt W. Classical statistics as a limiting case of quantum statistics // Z.
Naturforsch. A. 1967. V. 22. P. 1333-1336.
Wang L., O'Connell R.F. Quantum mechanics without wave function //
Found. Phys. 1988. V. 18. P. 1023-1033
Dahl J.P., in Energy Storage and Redistribution in Molecules, ed. J. Hinze,
Plenum Press, New York, 1983
Dahl J.P., in Semiclassical Descriptions of Atomic and Nuclear Collisions.
eds. J. Bang and J. de Boer, Elsevier, Amsterdam, 1985
Уравнения для случая собственных энергетических состояний ангармонического
осциллятора
Hug M., Menke С, Schleich W.P. How to calculate the Wigner function from
phase space // J. Phys. A. 1998. V. 31. P. L217-L224.
Hug M., Menke C, Schleich W.P. Modified spectral method in phase space:
Calculation of the Wigner function. I. Fundamentals // Phys. Rev. A. 1998. V. 57.
P. 3188-3205.
Hug M., Menke C, Schleich W.P. Modified spectral method in phase space:
Calculation of the Wigner function. II. Generalizations // Phys. Rev. A. 1998.
V. 57. P. 3206-3224.
Компактная формулировка уравнений Моэля с помощью звёздного произведения
Curtright Т., Fairlie D., Zachos С. Features of time-independent Wigner
functions // Phys. Rev. D. 1998. V. 58. P. 025002-1-14
Zachos C, Curtright T. Phase-Space Quantization of Field Theory // Prog.
Theor. Phys. Suppl. 1999. V. 135. P. 244-258.

122	Гл. 3. Функция Вигнера
Функция Вигнера осциллятора Морса
Dahl J.P., Springborg M. The Morse oscillator in position space, momentum
space and phase space // J. Chem. Phys. 1988. V. 88. P. 4535-4547.
Функция Вигнера и отрицательная вероятность
Теоремы Хадсона-Пике
Hudson R.L. When is the Wigner quasi-probability density non-negative? //
Rep. Math. Phys. 1974. V. 6. P. 249-252.
Piquet С Fonctions de type positif associees a deux operateurs hermitiens //
С R. Acad. Sc. Paris. 1974. V. 279A. P. 107-109
Понятие отрицательной вероятности
Bartlett M.S. Negative Probability // Proc. Cambridge Philos. Soc. 1945.
V.41. P. 71-73.
Feynman R.P., in Negative Probabilities in Quantum Mechanics, ed. by
B. Hiley and F. Peat, Routledge, London, 1987
См. также:
Scully M. O., Walther H., Schleich W. P. Feynman's approach to negative
probability in quantum mechanics // Phys. Rev. A. 1994. V. 49. P. 1562-1566
Измерение отрицательной части функции Вигнера первого возбуждённого состояния
гармонического осциллятора
Leibfried D., Meekhof D.M., King B.E., Monroe C, Itano W.M.,
Wineland D.J. Experimental Determination of the Motional Quantum State of a
Trapped Atom // Phys. Rev. Lett. 1996. V. 11. P. 4281-4285
Явление туннелирования на языке функции Вигнера и отрицательных вероятностей
Balazs N.L., Vows Л. Wigner's Function and Tunneling // Annals of Physics.
1990. V. 199. P. 123-140.
Квантово-механические функции распределения в фазовом пространстве не обяза-
обязательно должны принимать отрицательные значения. Существуют распределения, которые
везде положительны и всё же приводят к правильным квантово-механическим предель-
предельным случаям. Однако такие распределения уже не являются билинейными по волновой
функции.
Cohen L. Positive and negative joint quantum distributions // Frontiers of
Nonequilibrium Statistical Physics / Ed. by G.T. Moore and M.O. Scully, Plenum
Press, New York, 1986
Площадь в фазовом пространстве
Оценка площади в фазовом пространстве, занятой функцией Вигнера
Siissmann G. Uncertainty Relation: From Inequality to Equality // Z. Natur-
forsch. 1997. V. 52a. P. 49-52

Глава 4
КВАНТОВЫЕ СОСТОЯНИЯ В ФАЗОВОМ
ПРОСТРАНСТВЕ
Модель гармонического осциллятора играет выдающуюся роль, осо-
особенно в квантовой физике. Поскольку эта задача имеет точное ре-
решение, она является любимой игрушкой теоретиков, но одновременно
служит моделью реальных систем. Например, в гл. 10 мы покажем,
что каждая мода электромагнитного поля в резонаторе является гармо-
гармоническим осциллятором. Далее, благодаря лазерному охлаждению мы
можем наблюдать квантовое движение отдельного иона, захваченного
в ловушку Пауля. Поскольку такая ловушка приближённо описывается
квадратичным потенциалом взаимодействия с ионом, система является
реалистичным примером механического гармонического осциллятора.
В этой главе мы изучим квантовые состояния простого гармониче-
гармонического осциллятора, описываемого гамильтонианом
^1\	D.1)
где М обозначает массу осциллятора, а О — его собственную частоту.
Операторы х и р описывают координату и импульс осциллятора, соот-
соответственно.
Сосредоточим внимание на собственных энергетических состояни-
состояниях, когерентных и сжатых состояниях и повёрнутых квадратурных
состояниях. В частности, обсудим распределение по энергии для этих
состояний. Для случая полевого осциллятора это соответствует стати-
статистике фотонов электромагнитного поля. Когда речь идёт о колебатель-
колебательном движении, распределение по энергии соответствует вероятности
заполнения отдельных фононных мод. Мы покажем, что распределение
по энергии когерентного состояния является пуассоновским, в то время
как соответствующее распределение сильно сжатого состояния содер-
содержит характерные осцилляции. Мы выведем простые аналитические
выражения для этих распределений в пределе больших квантовых чи-
чисел. Именно здесь мы столкнёмся с первыми примерами того явления,
которое красной нитью проходит через всю книгу: в соответствую-
соответствующем асимптотическом пределе сложные явления становятся простыми.
Следуя М. Берри, будем называть такой подход асимптотологией.
Ещё один вопрос, обсуждаемый в данной главе, — временная зависи-
зависимость координатных и импульсных распределений упомянутых выше
состояний. Эти распределения можно найти из эволюции во времени

124	Гл. 4. Квантовые состояния в фазовом пространстве
соответствующих вигнеровских функций, что позволяет реконструиро-
реконструировать функции Вигнера квантовых состояний, если известны функции
распределения по квадратурным переменным.
4.1. Собственное энергетическое состояние
Главной темой книги является асимптотология. Мы рассматрива-
рассматриваем волновые функции квантовой системы в асимптотическом пределе
больших квантовых чисел. В качестве первого примера такого асимп-
асимптотического подхода рассмотрим волновую функцию гармонического
осциллятора, отвечающую данной энергии, в пределе т ^> 1. Покажем,
что волновая функция в данной точке пространства представляет ко-
когерентную суперпозицию волн, распространяющихся направо и налево
с фиксированной разностью фаз. В фазовом пространстве эти величины
имеют простой геометрический смысл. Следует подчеркнуть, что ука-
указанное свойство присуще не только волновой функции гармонического
осциллятора, но может быть распространено на волновые функции, от-
отвечающие любому произвольному потенциалу (см. обсуждение в гл. 5).
4.1.1. Простое представление в фазовом пространстве. В раз-
разделе 2.2 мы уже обсуждали энергетические состояния гармонического
осциллятора. В частности, мы получили волновую функцию
ит(х) = Мт Нт(ях) е~\ ^хJ	D.2)
собственного состояния данной энергии в координатном пространстве.
Нормировочная постоянная равна
D.3)
где к =
Как представить собственное энергетическое состояние в фазовом
пространстве? В классической механике движение частицы опреде-
определённой энергии Е описывается эллипсом в фазовом пространстве,
образованном переменными координатой х и импульсом р. Это следует
из закона сохранения энергии, записанном в виде
2	2
Р +^=Е
2М 2/(МО2)
Отсюда для квантовой частицы в собственном энергетическом состоя-
состоянии \т), энергия которого равна

4.1. Собственное энергетическое состояние
125
находим траекторию в фазовом пространстве
р
2М
	^—г = Ш га + -
2/(МО2)	V 2
Удобно ввести безразмерные координату кх и импульс р/(Тгк) и
рассмотреть фазовое пространство, образованное этими переменными.
Мы видим, что вытекающая из закона сохранения энергии траектория
в фазовом пространстве
представляет собой окружность радиуса д/2 (га + 1/2), как показано
на рис. 4.1.
Рис. 4.1. Элементарная картина собственного состояния данной энергии в фа-
фазовом пространстве. Рассматривается фазовое пространство, образованное без-
безразмерными координатой кх и импульсом р/{Нн). В этих переменных, траек-
траектория в фазовом пространстве отвечающая собственному состоянию с энергией
Ещ = М1(т-\- 1/2), является окружностью радиуса д/2 (т + 1/2), которая
проходится по часовой стрелке
Почему бы не сопоставить эту круговую орбиту в фазовом про-
пространстве элементарному представлению собственного энергетического
состояния? Покажем, что в пределе больших квантовых чисел волновая
функция данной энергии ит\х) действительно может быть представле-
представлена как линейный интеграл в таком фазовом пространстве.
4.1.2. Предел больших га. Для этого представим сначала вол-
волновую функцию D.2) в другой форме. Заметим, что зависимость от
координаты содержится в функции Гаусса и полиномах Эрмита. Эти
полиномы зависят от квантового числа га. Для перехода к пределу
больших т полезно иначе переписать полином Эрмита.
Волновая функция энергетического состояния как контурный
интеграл. Напомним представление полинома Эрмита Нт в виде

126	Гл. 4. Квантовые состояния в фазовом пространстве
интеграла Коши в комплексной ^-плоскости:
Нт(х) = -2т m\-^ldz 2T(m+1) exz-z2l\
2тгг J
Здесь контур обходит начало координат z = 0 по часовой стрелке.
Эту формулу можно проверить, подставив в интеграл в правой
части производящую функцию полиномов Эрмита
> n! Ы '
n=0
В результате
, v .	=Hm(x),
n=0
где на последнем шаге использовано соотношение
2тг
= -ir~k [ dipe~ikip = 2mSkt0
и запись в полярных координатах z = гег(р с dz = izdcp. Подставляя это
выражение в формулу D.2), получаем:
V^ ^i (+[> 2/4 (J/2 D.4)
Таким образом волновая функция состояния данной энергии пред-
представлена контурным интегралом в комплексной ^-плоскости.
Асимптотика. Установим связь этого комплексного пространства
с классическим фазовым пространством. Для этого мы специально
показали в приложении А, что главные вклады в контурный интеграл
в формуле D.4) возникают от двух симметрично расположенных точек
z± = ях±г [2
показанных на рис. 4.2.
Заметим, что действительная и мнимая части этих точек определя-
определяются координатой х и импульсом
Рт(х) = J2M (Ет - \ MfiV)	D.5)
механического осциллятора. Кроме того, эти точки лежат на окружно-
окружности радиуса W2 ( т + - J , так как

4.1. Собственное энергетическое состояние
127
Im
Rez
Рис. 4.2. Волновая функция состояния гармонического осциллятора данной
энергии как контурный интеграл в комплексной плоскости. Можно получить
волновую функцию в точке х в виде интеграла по контуру в комплексной
^-плоскости. Контур обходит начало координат по часовой стрелке. В пределе
больших квантовых чисел главный вклад в этот контурный интеграл возникает
только от двух точек z±. У них одинаковая действительная часть, определя-
определяемая величиной мх, но отличающиеся знаком мнимые части ±pm(x)/(hyc),
определяемые классическим импульсом рт(х). Следовательно, эти точки рас-
расположены на комплексной плоскости симметрично относительно действитель-
действительной оси. При разных х эти точки лежат на окружности радиуса д/2 (т + 1/2).
Разность фаз между ними соответствует заштрихованной области, ограничен-
ограниченной окружностью и вертикальной линией, отвечающей данному значению мх
Такой результат согласуется с наивной фазовой картиной собственного
состояния данной энергии Ет = Ш (т + - J как круговой траектории
радиуса W2 f га + - J в фазовом пространстве.
В пределе больших т волновая функция состояния данной энергии
принимает вид
ит(х) =
где амплитуда
и фаза
в которой
"*V ' - 27Г Рш{х)
г(х) = Sm(x) - j,
D.6а)
D.66)
D.6в)
Sm(x) = (т + \) arctg | [2 (т + \
1/2
зависят от координат.

128
Гл. 4. Квантовые состояния в фазовом пространстве
Следовательно, волновая функция состояния данной энергии в пре-
пределе больших т представляет собой суперпозицию распространяющих-
распространяющихся направо и налево по оси х волн с фиксированным (для каждого х)
соотношением между фазами. Разность фаз 2фт двух распространя-
распространяющихся навстречу друг другу волн определяется постоянной фазой
тг/4 и фазой Sm(x). Последняя выглядит, на первый взгляд, довольно
сложно. Однако, она имеет простую геометрическую интерпретацию
в фазовом пространстве. Как показано на рис. 4.3, величина Sm(x)
равна площади фазового пространства, ограниченной действительной
осью, вертикальной линией кх и дугой окружности радиуса ^т =
= ^/2G71+ 1/2), то есть
— безразмерный импульс гармонического осциллятора, безразмерная
координата которого равна ?.
Рис. 4.3. Заштрихованная область, ограниченная действительной осью, верти-
вертикальной линией кх и дугой окружности радиусом д/2 (т + 1/2) представлена
в виде разности площадей сегмента и треугольника
Если подставить выражение для энергии Ет = Ш (т + - J в фор-
формулу D.5) для импульса рт и вспомнить определение н= /Щ
то получим связь
рт(х) =
т
-) - (яхJ = Пкрт(кх)
между безразмерным импульсом рт(?) и обычным импульсом рт(х).
Отсюда фаза Sm(x) принимает вид
S
(x) = j:
dx'pm(x').

4.1. Собственное энергетическое состояние	129
Так как волновая функция состояния данной энергии является стоячей
волной, амплитуды Лт распространяющихся направо и налево волн
должны быть равны. Заметим, что эта амплитуда содержит в знаме-
знаменателе квадратный корень из классического импульса. В классической
точке поворота хт = ^т/я импульс обращается в ноль, и поэтому сама
амплитуда и рассматриваемое приближённое выражение для волновой
функции становятся сингулярными. Иными словами, это приближение
верно только в достаточно далёкой от точек поворота области.
В гл. 5 мы более детально обсудим проблему, связанную с точками
поворота. В частности, мы выразим решение уравнения Шрёдингера
в окрестности точки поворота через функцию Эйри. Тем самым будет
получено равномерное асимптотическое приближение для волновой
функции. Мы вернёмся к этому вопросу ниже.
Резюме. Проведённый в приложении А асимптотический анализ,
основные результаты которого суммированы в данном разделе, показы-
показывает, что волновая функция стационарного состояния гармонического
оциллятора
ит(х)=(
в пределе больших т принимает вид
dx'pm{x')-\\-	D-7)
В гл. 5 мы покажем, что приближённые выражения D.6) для ит
тождественны стандартной волновой функции ВКБ-приближения.
Иногда удобно выразить эту волновую функцию через безразмер-
безразмерную координату ? = кх. В этом случае координатная волновая функция
принимает вид
Cm
D.9)
Для простоты мы не вводили два разных символа для волновой
функции состояния данной энергии, записанной в переменных х или
? = кх, хотя эти функции немного различаются.
4.1.3. Функция Вигнера. В гл. 3 мы ввели понятие функции
Вигнера как возможного расширения классической функции распре-
распределения в фазовом пространстве на квантовый случай. Было полу-
получено выражение для функции Вигнера собственного энергетического
состояния гармонического осциллятора. Вывод в гл. 3 основывался
на дифференциальном уравнении в частных производных в фазовом
5 В. П. Шляйх

130	Гл. 4. Квантовые состояния в фазовом пространстве
пространстве. В данном разделе мы начнём с определения функции
Вигнера как интеграла Фурье от сдвинутых волновых функций и вы-
выполним соответствующее интегрирование.
Вычисление интеграла Вигнера. Подставим волновую функцию
собственного энергетического состояния в координатном представ-
представлении	, ,,
в определение C.2) функции Вигнера
W(x,p) = 2^
Тогда
x dt; exp f — ij- ? — т ? ) Hm [>cx-\--^\ Hm ixx—-
Дополним выражение в показателе экспоненты до полного квадрата:
и введём новую переменную интегрирования
так что в результате
W\m)(x,p) = ±-h exp [-(
С учётом соотношения симметрии для полиномов Эрмита
tfm(-C) = (-i)m#m(C) имеем
W\m)(x,p) = {^f- exp
x -— Ы(е"с2Ят fc - *#¦ + nx) Hm U-%^--
л/тг J	V	fix	)	\	Ни
что позволяет использовать формулу для интеграла
Bтш!Г1 -L [^е-^2Ят(С + 0) Ят(С + С2) =
V 7Г J
где Lm обозначает тп-и полином Лагерра.

4.1. Собственное энергетическое состояние	131
С учётом формулы
— ( -f- ) — (кхJ
находим выражение
для функции Вигнера m-го собственного энергетического состояния.
Аргументом полинома Лагерра является энергия осциллятора
2 /-
Пн)
4Ef + 5M"v)^4^'^
равная сумме кинетической и потенциальной энергии, выраженных
в единицах разности энергий Ш уровней отдельных осцилляторов.
Множитель 4 введён для того, чтобы получились правильные значения
кинетической и потенциальной энергий.
Форма функции Вигнера. Функция Вигнера m-го энергетического
состояния гармонического осциллятора, выраженная через безразмер-
безразмерную энергию, принимает компактный вид
W\m){x,p) ={-=^e-^p)Lm[4V(x,p)}.
Поскольку в это выражение входит только безразмерная энергия г],
функция Вигнера постоянна вдоль траекторий в фазовом простран-
пространстве, отвечающих постоянной энергии, то есть вдоль эллипсов. Однако
зависимость Wm от энергии довольно интересная. Так как т-и по-
полином Лагерра Lm(Q является полиномом т-и степени, он имеет т
нулей как функция ?. Следовательно, функция осциллирует между
положительными и отрицательными значениями, как это показано на
рис. 4.4, то есть функция Вигнера m-го собственного энергетического
состояния состоит из волновых горбов и впадин. Здесь важно заметить,
что Lm@) = 1 и поэтому
Следовательно, функция Вигнера m-го собственного энергетического
состояния в начале координат фазового пространства меняет знак в за-
зависимости от чётности или нечётности квантового числа, как показано
на рис. 4.4.
Переход от положительных к отрицательным значениям функции
Вигнера в начале координат при переходе от одного т к другому имеет
важное следствие. Последним волновым фронтом всегда является вол-
волновой горб, то есть функция Вигнера здесь всегда положительна. Этот
последний горб находится в окрестности квантованной траектории
в фазовом пространстве

132
Гл. 4. Квантовые состояния в фазовом пространстве
0,2
W(r\)
-0,2
Рис. 4.4. Функция Вигнера W\m)(rj) собственного энергетического состояния
ш) как функция безразмерной энергии rj для т = 3 (сплошная линия) и т =
= 4 (пунктирная линия)
Рис. 4.5. Функция Вигнера фоковского состояния \т = 4) и соответствующие
распределения по координатам и импульсам. Так как состояния с данным чис-
числом заполнения являются собственными состояниями гармонического осцил-
осциллятора, функция Вигнера, как и распределения по координатам и импульсам,
стационарны. Эти распределения получаются путём интегрирования функции
Вигнера вдоль осей импульсов и координат, соответственно. Из-за осцилляции
функции Вигнера вторичные распределения также осциллируют
На рис. 4.5 показана функция Вигнера, а также соответствующие
распределения для координаты и импульса, полученные интегрирова-
интегрированием функции Вигнера по импульсам и координатам, соответственно.
Функция Вигнера осциллирует в области, ограниченной классической
траекторией в фазовом пространстве, и поэтому значение интеграла

4.2. Когерентное состояние	133
сильно зависит от того, по какому контуру проводится интегрирова-
интегрирование. Это влечёт за собой осцилляции распределений вероятностей для
координаты и импульса.
4.2. Когерентное состояние
Когерентные состояния занимают центральное по важности поло-
положение в квантовой механике и, в частности, в квантовой оптике. Это
состояния гармонического осциллятора, которые максимально возмож-
возможным образом близки к классическому движению частицы в квадра-
квадратичном потенциале. Такие состояния были введены для механического
осциллятора Э. Шрёдингером для того, чтобы избежать нежелательных
свойств расплывания волновых пакетов. Осцилляторы квантованных
электромагнитных полей были детально исследованы Р. Глаубером,
Дж. Клаудером и Ю. Сударшаном. С учётом особой важности таких
состояний для квантовой оптики, мы отведём обсуждению их свойств
заметное место. В данном разделе будет дано только краткое введение,
основанное на аналогии с механическим осциллятором. Полный фор-
формализм когерентных состояний будет рассмотрен в разделе 11.2.
В этом разделе мы сначала определим когерентное состояние как
такое состояние, которое возникает в результате внезапного смещения
квадратичного потенциала. Затем обсудим распределение по энергии
для когерентных состояний. Оно определяется интегралом перекрытия
когерентного состояния с собственным состоянием данной энергии.
Мы вычислим этот интеграл перекрытия двумя способами: во-первых,
используя точные волновые функции таких состояний, и, во-вторых,
используя довольно грубое приближение, которое, однако, нагляднее
всего выявляет лежащую во основе физику. Затем мы обсудим эволю-
эволюцию когерентных состояний во времени и установим её связь с движе-
движением классической частицы в потенциале гармонического осциллятора.
4.2.1. Определение когерентного состояния. Рассмотрим меха-
механический осциллятор, например, шар, катающийся без трения в квад-
квадратичной потенциальной яме. Начнём с основного состояния осцилля-
осциллятора, волновая функция которого
ио(х) = ( — I ехр (-- к2х2
Когерентное состояние получится, если внезапно сдвинуть это основ-
основное состояние. В рамках механической модели сдвиг достигается путём
внезапного смещения начала координат гармонического осциллятора
на величину ж0 = л/2 а/к с одновременным понижением потенци-
потенциальной энергии на величину M?12Xq/2 = а2Ш, как это показано на
рис. 4.6.
В данном контексте внезапность требует, чтобы сдвиг происходил
за время, меньшее, чем любой временной масштаб рассматриваемой

134
Гл. 4. Квантовые состояния в фазовом пространстве
\
Рис. 4.6. Внезапный сдвиг потенциала гармонического осциллятора U(x) =
= Мп2х2/2 на величину ж0 = л/2 а/к и одновременное уменьшение потен-
потенциальной энергии на величину M?l2xl/2 = a2hQ создаёт из гауссовского
основного состояния щ = щ(х) (показано сплошной кривой в минимуме потен-
потенциала) когерентное состояние ^соь = ^соь(^), локализованное около точки х =
= л/2 а/к. Это состояние, волновая функция которого изображена пунктирной
линией, не является собственным состоянием осцилляторного потенциала. Рас-
Распределение по энергии для когерентного состояния, то есть вероятность Wm
обнаружить ттг-е собственное энергетическое состояние \т) в |^соь), определя-
определяется перекрытием Wm(\ipcoh}) между иш и ipcoh, как показано внутри кружка.
Для простоты мы выбрали конкретное квантовое число т = 55 и показали
i?m=55 только для положительных значений х. Параметр смещения имеет
значение а = 7
задачи. У частицы не должно хватать времени на то, чтобы среаги-
среагировать на смещение. Отсюда следует, что волновая функция частицы
не изменяется и должна быть выражена через переменные нового
сдвинутого потенциала, так что
фсоь{х)= (^Л ехр[-^(хх-л/2аJ] .	D.11)
Противоположным случаем является медленный — адиабатический —
сдвиг потенциала. В этом случае частица всё время остаётся в основ-
основном состоянии.
4.2.2. Распределение по энергии. Волновая функция фсо^ не яв-
является собственной функцией потенциала гармонического осциллято-
осциллятора, то есть когерентное состояние нестационарно и, следовательно, эво-
эволюционирует во времени. Об этом речь пойдёт в следующем разделе.
Таким образом, в когерентном состоянии имеется разброс по энергии.
Насколько он велик? Этот вопрос обсуждается в данном разделе.
Распределение по энергии когерентного состояния не является ожи-
ожидаемой с классической точки зрения дельта-функцией, локализованной

4.2. Когерентное состояние	135
около классического значения
о
гл	1 / ••	\ /	\2	1 л ,ггл2 / V 2 OL \	9.1-гл
Ь = - (жесткость пружины)(смещение) = - ЛШ I 	 1 = a nil,
а должно вычисляться по правилам квантовой механики как
Wm = \wm(\^coh})\2 = |(m|^coh)|2,	D.12a)
где
Wm(|V>coh)) = I dx Um(x) фсоь(х)	D.126)
— интеграл перекрытия между волновыми функциями когерентного
состояния D.11) и m-го собственного состояния данной энергии D.2).
Точное рассмотрение. Вычислим перекрытие wm (|V>coh)) между
га-й энергетической волновой функцией иш и волновой функцией ко-
когерентного состояния ^coh* точно определяемое интегралом
сю
Здесь введена безразмерная переменная интегрирования ? = нх.
Соотношение
позволяет объединить два квадратичных вклада в показателях экспо-
экспонент и с помощью формулы
^dyHm(y) ехр [-(у - у0J} = V^
осуществить интегрирование. Действительно, амплитуда вероятности
wm (l^coh)) обнаружения m-ro собственного энергетического состояния
в когерентном состоянии l^coh) имеет вид
u;m(|Vcoh» = 4^e-a2/2.	D.13)
Таким образом, разброс когерентного состояния по энергии описыва-
описывается распределением Пуассона
WUIV>coh» = ^e-<	D.14)
Это распределение и, в частности, дискретность квантовых чисел т
были измерены для случаев электромагнитного поля в резонаторе и
колебательного движения одиночного иона, захваченного в ловушку
Паула. За подробностями мы отсылаем читателя к рис. 16.8 и рис. 16.9.

136
Гл. 4. Квантовые состояния в фазовом пространстве
Завершим этот подраздел обсуждением полученного результата в
пределе больших смещений, то есть при а > 1. Согласно формулам
приложения Ж распределение Пуассона D.14) имеет асимптотическое
представление
1
ехр
ш + A/2) - а
D.15)
изображённое на рис. 4.7 пунктирной линией.
w
0,04
0,02
39
49
59
69
Рис. 4.7. Вероятность Wm обнаружения m-го собственного энергетического со-
состояния \т) в когерентном состоянии даётся распределением Пуассона (сплош-
(сплошная линия, формула D.14)). Это точное распределение и его асимптотический
предел для больших смещений (пунктирная линия, формула D.15)) практи-
практически неразличимы в окрестности максимума т = а2 — A/2). Мы выбрали
смещение а = 7. Каждый классический осциллятор, находившийся в состо-
состоянии покоя и подвергшийся смещению, точно так же испытывает внезапное
увеличение энергии, но это увеличение энергии в наших единицах точно равно
а2 = 49. Следует отметить, что кривые на самом деле таковыми не являются,
поскольку т никогда не может быть нецелым
Следовательно, распределение Пуассона сводится к гауссовскому
распределению с центром в точке а2 — A/2). Точно так же и амплитуда
вероятности обнаружения m-го собственного энергетического состо-
состояния
-1/2
ехр
т+A/2)-а2
'2 а
имеет гауссовскую форму.
Асимптотическое рассмотрение. В предыдущем разделе, точно
вычислив интеграл перекрытия, мы установили, что распределение по
энергии в когерентном состоянии является распределением Пуассо-
Пуассона. Кроме того, мы получили для этого распределения гауссовский
асимптотический предел. Более глубокое понимание смысла этого
результата D.15) возникает при рассмотрении интеграла перекры-

4.2. Когерентное состояние
137
V V У V у
~\Ycoh
58
49
40
31
10
X
0
wm
0,05
Рис. 4.8. Вероятность Wm = Wm (l^coh)) обнаружения m-го собственного
энергетического состояния \т) в |^Coh), показанная на этом рисунке спра-
справа, определяется перекрытием ииш (l^coh)) в координатном пространстве двух
волновых функций Um и фсоь, показанных в левой части рисунка для кон-
конкретных значений т. Для квантовых чисел т = ж2х2)/2 = а2 правая стен-
стенка потенциала гармонического осциллятора U(x) = Мп2х2/2 на рис. 4.6
является, по существу, прямой линией. Поэтому энергетическая волновая
функция в окрестности классической точки поворота хш является функ-
функцией Эйри, главный максимум которой находится близко перед потенци-
потенциальной стенкой. Ширина когерентного состояния, показанного пунктирны-
пунктирными линиями, велика по сравнению с длиной волны энергетической волно-
волновой функции иш. Поэтому осциллирующая часть иш при интегрировании
с ^Coh по х усредняется и выпадает. В интеграл ииш (l^coh)) даёт вклад
только последний положительный максимум. Этот максимум узок по срав-
сравнению с ^Coh и поэтому действует как дельта-функция, локализованная
в точке х = Хщ. Вычисление интеграла перекрытия ииш (l^coh)) сводится
к «считыванию» значения ^Соь(ж) = (^2/тгI//4ехр [—(нх — л/2 аJ/2] в точ-
точке поворота Хщ для m-го собственного энергетического состояния, то есть,
Wm (l^coh)) — (>гг2/тгI//4ехр [— (кхш — л/2аJ/2]. Такая процедура непосред-
непосредственно приводит к гауссовскому приближению для точного распределения
Пуассона, которое отвечает когерентному состоянию и показано в правой части
рисунка
тия D.126) с использованием волновых функций ит гармонического
осциллятора в пределе больших т.
Из рис. 4.8 мы видим, что волновая функция когерентного состо-
состояния является широкой по сравнению с длиной волны, отвечающей
энергетической волновой функции иш D.2). Поэтому при вычислении
интеграла D.126) осциллирующая часть иш выпадает из-за усредне-
усреднения. Главный вклад возникает от последнего горба иш в окрестности
точки поворота хш = л/2(т + 1/2) /х, который действует, по суще-
существу, как дельта-функция. Поэтому для целей данного обсуждения

138	Гл. 4. Квантовые состояния в фазовом пространстве
можно аппроксимировать ит выражением
ит(х) ^
где N — постоянная, которую можно определить из нормировки энер-
энергетического распределения.
В этом приближении интеграл перекрытия D.126) сводится к
ехр [-- (яхт - л/2 аJ] .
Таким образом зависимость амплитуды вероятности wm (\ipCoh)) от т
следует из зависимости волновой функции фсоъ когерентного состояния
от переменной х. Поэтому вероятность Wm обнаружить т-е энерге-
энергетическое состояние имеет единственный максимум при т = а2, как
и показано в правой части рис. 4.8.
Завершая это обсуждение, представим амплитуду вероятности Wm
в более компактной форме, которая позволяет сопоставить её с выра-
выражением, полученным в предыдущем разделе.
Если заметить, что
= А/2 (тп + ^ ) -V2a =
m+l/2-a2	^m+l/2-a2
то получаем
Wm =
V2a
После нормировки этого результата приходим к выражению D.15).
4.2.3. Эволюция во времени. Внезапно сдвинув потенциал, мы
создаём когерентное состояние из основного состояния осциллятора.
Полученный таким образом гауссовский волновой пакет D.11), об-
обладающий потенциальной энергией М?12х^/2 = а2Ш, движется туда
и обратно, отскакивая от классических точек поворота колебатель-
колебательного движения, соответствующего данной энергии. Как мы сейчас
покажем, он имеет как раз «правильную» ширину, которая позволяет
ему сохранять свою форму при колебаниях. Рассмотрим три разных
подхода: 1) точно вычислим эволюцию вектора состояния во времени;
2)	проследим эволюцию во времени распределения по координатам;
3)	используем эволюцию во времени функции Вигнера.
Поведение вектора состояния. В данном разделе обсудим свой-
свойства когерентного состояния, движущегося в потенциале гармониче-
гармонического осциллятора. С этой целью решим уравнение Шрёдингера

4.2. Когерентное состояние	139
для случая, когда система в момент времени t = О находится в коге-
когерентном СОСТОЯНИИ l^coh) •
Формальное решение этой задачи имеет вид
--Ht
Действие гамильтониана на начальное когерентное состояние про-
проще всего вычислить, используя разложение
сю	сю
l^coh) = ^ \m)(m\ipcoh) = ^% (l^coh)) \m)	D.16а)
га=0	га=О
начального когерентного состояния по собственным энергетическим
состояниям \т). Согласно D.13), коэффициенты разложения равны
2/2.	D.166)
у ml
Если вспомнить уравнение на собственные значения энергии
Н\т) =т(т+^) |га),
то эволюция во времени когерентного состояния принимает вид
га=0
Подставляя формулу D.166) для wm в это выражение, приходим к
сумме
= е-Ш/2 у (ае~рт е-«2/2|то).	D.17)
Здесь мы объединили зависящие от времени фазовые множители
с амплитудами вероятности wm начального когерентного состояния,
заданного действительным параметром смещения а. Заметим, что за-
зависимость от времени изменила параметр а, превратив его в ае~гпг.
Время существенно вошло в выражение для амплитуды вероятности,
как будто теперь имеется когерентное состояние с комплексным смеще-
смещением. Отсюда следует, что в момент времени t состояние осциллятора
снова является когерентным состоянием с тем же модулем, но с другой
фазой параметра смещения. В гл. 11 будет дано более общее опреде-
определение когерентного состояния, когда смещения могут иметь действи-
действительные и мнимые части. Кроме того, рассмотрение функции Вигнера
в следующем разделе показывает, что начальная функция Вигнера
просто движется по окружности в фазовом пространстве, не изменяя
своей формы. Это вновь указывает на то, что когерентное состояние
остаётся когерентным.

140	Гл. 4. Квантовые состояния в фазовом пространстве
Заметим также, что после одного периода колебаний Т = 2тг/0
вектор состояния приобретает фазу О • Т • 1/2 = тг. Эта фаза обусловле-
обусловлена наличием энергии нулевых колебаний гармонического осциллятора.
Её можно связать с так называемой фазой Берри, которую мы подробно
обсудим в гл. 6. В данном разделе мы не хотим погружаться в тонкости
того, как измерить эту фазу. Заметим только, что поскольку она
входит в общий фазовый множитель, её нельзя детектировать путём
наблюдения только одного осциллятора.
Завершая этот раздел, вновь подчеркнём, что при эволюции гар-
гармонического осциллятора во времени когерентное состояние остаётся
когерентным.
Распределение по координатам. В предыдущем разделе мы об-
обсудили эволюцию во времени когерентного состояния, рассматривая
вектор состояния. В этом разделе, используя тот же подход, обсудим
зависимость от времени волновой функции
Aoh(x,t) = (a#coh(*))	D-18)
в координатном представлении. Здесь мы близко следуем статье
Э. Шрёдингера 1926 г.
Если подставить в предыдущее выражение для волновой функции
когерентного состояния i/jCOh(x,t) разложение D.17) вектора состояния
по собственным энергетическим состояниям и воспользоваться коор-
координатным представлением D.2) m-го собственного состояния данной
энергии ит(х), то
Aoh(x,t) = (^) ехр [-1 (гШ + а2 + к2х2)\ х
> Нш(кх) Iае~
Вычислим сумму в правой части этого уравнения, воспользовавшись
производящей функцией для полиномов Эрмита
у^ Нт(х) zm =
т=0
Тогда
а
я2х2 + а2е~2гШ - 2л/2 кхае~ш\ } . D.19)
Чтобы глубже понять смысл этого довольно сложного выражения,
разложим экспоненту на действительную и мнимую части. С помощью

4.2. Когерентное состояние	141
соотношений
а2 A + е~2Ш) = 2а2 cos2(fit) - га2 sin BШ) =
= 2 [Re (ae"im)]2 - г 2 Re (ae"im) Im (ае"ш*)
получим окончательно
2Ч1/4	Г ^
-\ exp J -- \усх - y/2
х exp |гЙхл/2 1ш(ае-ш*)| j x
х ехр {-г [у + Re(ae"int) 1ш(ае-*шI }. D.20)
Здесь мы объединили мнимую часть фазового множителя так,
чтобы стала яснее физическая картина. Кроме того, мы всё время
удерживаем действительный параметр смещения а вместе с зависящей
от времени экспонентой е~гпг. В принципе, можно было бы вынести а
из этих действительной и мнимой частей в формуле D.20). Однако,
как отмечалось в предыдущем разделе, параметр смещения может
принимать и комплексные значения. В наше рассмотрение включается
и такой случай.
Зависящая от времени волновая функция когерентного состояния
является произведением трёх множителей. Первый представляет гаус-
совское распределение по координатам с максимумом в зависящей от
времени точке
x(t) = ^ Re (ае~гШ) .
Второй множитель — плоская волна по координате с зависящим от
времени импульсом
p(t) = W2 Im (ae~int) .
Наконец, третий множитель содержит общую фазу, которая не зависит
от координат, но зависит от времени. Она содержит сумму фазы
0zP(t) = y>
связанной с энергией нулевых колебаний осциллятора, и площадь
прямоугольного треугольника
Аа = 1 T(t) ^f = Re (ae-itH) Im (ae"im) ,

142	Гл. 4. Квантовые состояния в фазовом пространстве
образованного х и р. В этих обозначениях волновая функция когерент-
когерентного состояния принимает вид
1/4
, t)= [ — ) ехр ( -— [х - x(t)] ) х
х ехр 1
U(x)
Рис. 4.9. Динамика волновой функции когерентного состояния

4.2. Когерентное состояние	143
На рис. 4.9 мы изображён процесс движения псевдоклассической
частицы в потенциале гармонического осциллятора U(x) = ЛШ2ж2/2,
которое описывается когерентным состоянием, то есть основным со-
состоянием, смещённым на величину xq = у/2а/х, соответствующая
вероятность по координатам W(x,t) = \ipCoh(x,t)\2 сохраняет гауссов-
ский вид (верхний рисунок). Однако, в процессе движения частицы по
круговой орбите в фазовом пространстве волновая функция i/jCOh(x,t)
описывает сложную траекторию в комплексном пространстве. Примеры
этого поведения в отдельные моменты времени показаны на вставках
в нижней части рисунка. В момент времени t = О действительная гаус-
совская волновая функция имеет центр в точке х = у/2 а/я = Зл/2 jк.
Когда волновой пакет распространяется вниз по потенциальной стенке,
трансформируя потенциальную энергию в кинетическую, гауссовская
огибающая функции i/jCOh(%,t) наклоняется в отрицательную сторону
мнимой оси. Концы огибающей закручиваются, образуя гауссовский
штопор, как это показано для момента времени t = Т/4. При подъёме
на противоположную стенку скрученная волновая функция начинает
раскручиваться, но продолжает наклоняться за счёт фазы —гШ/2,
обусловленной вкладом энергии нулевых колебаний осциллятора. В мо-
момент времени t = Т/2, равный половине периода колебаний, когда ча-
частица останавливается в левой точке поворота х = — у/2 а/к, волновая
функция вновь становится гауссовой, однако, теперь чисто мнимой.
Когда частица пускается в обратный путь и ускоряется при спуске,
V^ohf^O скручивается уже знакомым образом, как показано в мо-
момент времени t = ЗТ/4. Центральный максимум направлен под углом
—Зтг/4 в комплексной плоскости. Заметим, однако, что как следствие
положительности импульса спиральность штопора меняет знак. После
одного полного оборота, то есть при t = Т, скрученная нитка восста-
восстанавливается и превращается опять в чисто гауссовскую огибающую,
однако теперь только с отрицательными значениями. Таким образом,
после одного периода t = Т движения волновая функция когерентного
состояния, то есть амплитуда вероятности в координатном представ-
представлении фсо\\{хЛ) не возвращается к исходной форме, а приобретает за
счёт энергии нулевых колебаний гармонического осциллятора динами-
динамическую фазу —тг. Таким образом, из рис. 4.9 видно, как действительная
и мнимая части волновой функции зависят от координаты. С этой
точки зрения волновая функция представляет собой линию, которая
закручивается в трёхмерном пространстве, определяемом координатой
и действительной и мнимой частями волновой функции.
Завершим этот раздел обсуждением распределения вероятности
в координатном представлении. Непосредственно из полученного вы-
выражения для волновой функции находим
eW{-x2[x-x{tf}-	D-22)

144	Гл. 4. Квантовые состояния в фазовом пространстве
Это выражение представляет собой не меняющий своей формы гаус-
совский волновой пакет. В частности, ширина пакета Ах = к~х =
= л/НЦМЩ, определяемая по точке, где значение гауссовской функ-
функции уменьшилось в е раз, не зависит от времени. Центр волнового
пакета находится в точке x(t) и движется согласно классическим
уравнениям.
В импульсном представлении получается аналогичный результат,
что будет явно показано в следующем разделе с помощью функции
Вигнера. В частности, мы покажем, что соответствующая ширина им-
импульсного распределения Ар = л/НАШ не зависит от времени.
Кроме того, произведение ширин по координате и импульсу равно Н.
Это означает, что рассматриваемое состояние минимизирует соотноше-
соотношение неопределённостей.
Рассмотрение с помощью функции Вигнера. С помощью завися-
зависящей от времени волновой функции D.21) и стандартного интегрального
определения функции Вигнера можно вычислить зависящую от време-
времени функцию Вигнера D.10) когерентного состояния.
Однако в данном разделе мы используем другой подход. Сначала
мы найдём функцию Вигнера когерентного состояния в момент вре-
времени t = 0, а затем получим эту функцию для более поздних момен-
моментов времени, решая обсуждавшееся в гл. 3 уравнение Лиувилля для
функции Вигнера. После интегрирования получившегося результата
по координатам или импульсам, мы получим зависящее от времени
импульсное или координатное распределения.
Начнём с расчёта функции Вигнера в момент времени t = 0. Если
подставить волновую функцию D.11) в определение функции Вигнера,
получим (в случае действительных а)
W(x,p) = \ ехр \-(кх - л/2 аJ - \р/(Пя)}2} .	D.23)
тг/г L	J
Из уравнения движения C.12) мы знаем, что в случае гармониче-
гармонического осциллятора функция Вигнера эволюционирует в соответствии
с классическим уравнением Лиувилля. Поэтому временная эволюция
функции Вигнера в квадратичном потенциале может быть записана как
W(x,p;t) = w(xo(x,p;t),po(x,p;ty,6),	D.24)
где выражения
xo(x,p;t) = cos (Ш) х - sin (Ш) -?- -,	D.25а)
Po(x,p;t) = sin (Ш) kxUk + cos (Ш) р	D.25b)
связывают согласно классическим уравнениям движения точку в фа-
фазовом пространстве (х,р) в момент времени t с начальной точкой
(хо,ро) в момент времени t = 0. Эти соотношения отражают тот факт,
что импульс и координата в фазовом пространстве выступают на рав-
равных основаниях и являются взаимозаменяемыми.

4.2. Когерентное состояние	145
Таким образом, если взять функцию Вигнера D.23), в качестве
начального условия, то
W(x,p;t) = — ехр
- ( sin (Ш) кх + cos (Ш) ?-)"\. D.26)
- ( cos (Ш) кх - sin (Ш) -5- - у/2 а) -
2
Отсюда следует, что при движении вдоль классической траектории
функция Вигнера испытывает поворот в фазовом пространстве. Кроме
того, ширина этой функции не изменяется со временем. В следующем
разделе мы рассмотрим сжатое состояние, для которого ширина функ-
функции Вигнера уже изменяется.
В завершение этого раздела вычислим импульсное распределение,
проинтегрировав зависящую от времени функцию Вигнера D.26) по
переменной х. После вычисления гауссовского интеграла получаем
D.27)
Таким образом, импульсное распределение также имеет гауссовский
вид с центром в точке p(t) и не зависящей от времени шириной.
/
/
/ Р
/ t
Рис. 4.10. Эволюция когерентного состояния во времени. Функция Вигнера
представляет собой симметричный гауссовский колокол, который движется
по окружности в фазовом пространстве. Мы показали только начальную
функцию Вигнера и направление вращения. В процессе движения предельные
распределения, также имеющие гауссовскую форму с постоянными и равными
ширинами, совершают гармонические колебания. Параметр смещения выбран
равным а = 2
На рис. 4.10 показана функция Вигнера D.26) и соответствующие
распределения по координате и импульсу D.22) и D.27) как функ-
функции времени. Функция Вигнера показана только для момента време-
времени t = 0, в то время как результат её интегрирования по одной из

146
Гл. 4. Квантовые состояния в фазовом пространстве
переменных мы показываем для всех времён. Видно, что волновые
пакеты в координатном и импульсном пространствах осциллируют туда
и обратно по гармоническому закону, сохраняя в процессе движения
свою ширину.
Подчеркнём, что в случае электромагнитного поля такое движение
волнового пакета наблюдалось экспериментально. Верхний рисунок
в центральной колонке на рис. 4.11 показывает распределение элек-
о
3
0	100 200
Время, мс
Рис. 4.11. Запись шумов (слева), квадратурные распределения Р$(х$) =
= VF(X^) и реконструированные функции Вигнера (справа) для различных
генерируемых квантовых состояний. Сверху вниз: когерентное состояние, сжа-
сжатое по фазе состояние, повёрнутое (ф = 48°) сжатое состояние, сжатое по
амплитуде состояние, сжатое вакуумное состояние. Для четырёх верхних со-
состояний запись шумов как функции времени отвечают осцилляции электриче-
электрических полей в интервале 4тг, в то время как для сжатого вакуума (относящегося
к другому набору измерений) показан интервал Зтг. Квадратурные распределе-
распределения (в центре) можно интерпретировать как эволюцию во времени волновых
пакетов (плотностей вероятности координат) за период одного колебания. Для
реконструкции квантовых состояний достаточно интервала тг. Взято из работы:
G. Breitenbach et ai, Nature. 1997. V. 387. P. 471

4.3. Сжатое состояние	147
тромагнитного поля как функцию времени. Оно находится в полном
согласии с зависимостью от времени координатного распределения
когерентного состояния, показанного на рис. 4.10. Аналогичная кривая
была получена так же при измерении колебательного движения двух-
двухатомной молекулы.
4.3. Сжатое состояние
В предыдущем разделе, внезапно понизив и сместив квадратичный
потенциал, мы создали когерентное состояние механического гармо-
гармонического осциллятора из его основного состояния. Созданный таким
образом волновой пакет осциллирует туда и обратно между класси-
классическими точками поворота, сохраняя свою форму. Ширина волнового
пакета тождественна ширине волнового пакета основного состояния
осциллятора.
Уже на заре развития квантовой механики Ю. Кеннард рассмотрел
эволюцию во времени волновых пакетов, которые в момент времени
t = 0 были либо шире, либо уже волнового пакета основного состоя-
состояния. В отличии от когерентных состояний, у таких волновых пакетов
ширина осциллирует, пока сами пакеты движутся туда и обратно в ос-
цилляторном потенциале. В последние годы подобные состояния стали
играть существенную роль в квантовой оптике. В этом разделе физики
они получили название сжатых состояний. Название проистекает из
того факта, что эти состояния шире или уже волнового пакета основно-
основного состояния. Сжатые состояния усиленно исследовались теоретически
и стали играть важную роль в молекулярной физике и при описании
ловушек Пауля. В частности, теоретически и экспериментально иссле-
исследовались сжатые состояния света. Впервые сжатое состояние света
было получено в 1985 г. в лаборатории им. Белла.
В данном разделе мы дадим краткое введение в физику сжатых
состояний. Сначала мы определим такое состояние, пользуясь обра-
образом механического осциллятора, например, маятника. Затем обсудим
энергетическое распределение и покажем, что сильно сжатое состоя-
состояние отображает распределение осциллятора по энергии. Кроме того,
с помощью функции Вигнера мы проиллюстрируем эволюцию сжатого
состояния во времени.
4.3.1. Определение сжатого состояния. Начнём с определения
сжатого состояния с помощью механической модели, показанной на
рис. 4.12. Как и в случае когерентного состояния, начнём с основного
состояния осциллятора, то есть состояния маятника, висящего верти-
вертикально вниз. Затем мы внезапно поднимаем точку подвеса, одновре-
одновременно удлиняя нить. Это эффективно изменяет частоту осциллятора.
В данном разделе мы покажем, что это соответствует эффективному
сжатию волнового пакета. Затем мы снова внезапно смещаем потенци-
потенциал, что соответствует внезапному сдвигу точки подвеса вдоль окруж-

148	Гл. 4. Квантовые состояния в фазовом пространстве
ности с сохранением длины нити. Таким образом получаем сжатое
состояние, у которого в дополнение к тем изменениям, которые нужны
для образования когерентного состояния, внезапно изменяется частота
осциллятора от п к ?l/s, где s > 0.
Рис. 4.12. Механическая модель создания сжатого состояния гармонического
осциллятора представлена маятником. Ограничимся рассмотрением отклоне-
отклонений на малые углы. Применим сначала оператор сжатия S, а затем оператор
смещения D. Сжатие осуществляется поднятием точки подвеса с одновремен-
одновременным удлинением нити. Это эффективно изменяет частоту осциллятора. Смеще-
Смещение осуществляется путём внезапного сдвига точки подвеса вдоль окружности
с центром в точке, где находится масса маятника
Заметим, однако, что порядок осуществления операций сдвига
и сжатия важен. То состояние, которое получается из основного после
сжатия и сдвига, отличается от состояния, получающегося после сдви-
сдвига и сжатия. Оба состояния будут сжатыми, однако, отличающимися
параметром смещения. Мы покажем это ниже.
Математическая формулировка. Сформулируем механическое
определение сжатого состояния на математическом языке. Для этого
снова начнём с волновой функции основного состояния гармонического
осциллятора массой с М, частотой О и параметром к = ^
Внезапное изменение частоты осциллятора от О к Cl/s не изменяет
эту функцию, но, конечно, значение к меняется на
Выразим волновую функцию исходного основного состояния D.28) че-
через параметры нового потенциала, иными словами, выразим волновую
функцию через новое значение к1. В такой новой системе координат
волновая функция примет вид
1/4
' ~ '2 2

4.3. Сжатое состояние	149
Поэтому только при s = 1 это состояние будет также основным со-
состоянием и нового потенциала. В этом случае мы не изменяем длину
маятника. Однако, при s ^ 1 такое состояние называют сжатым ос-
основным состоянием или сжатым вакуумом. Название происходит от
изменения ширины распределения, к чему мы сейчас переходим.
Для простоты, опустим в оставшейся части этой главы штрих у па-
параметра к и определим сжатое основное состояние волновой функцией
1/4
(iV)	D.29)
Введём оператор сжатия S(s), действие которого на волновую функ-
функцию имеет вид
д	Х^).	D.30)
Это обозначение выявляет иную точку зрения на сжатое состояние:
можно сказать, что мы не изменяем потенциал, но эффективно сжима-
сжимаем основное состояние. Количественный результат будет тем же.
Распределение флуктуации. Обратимся к обсуждению ширин рас-
распределений вероятности для сжатых состояний. Это исследование яс-
яснее всего объяснит происхождение названия сжатого состояния. Нач-
Начнём с распределения вероятности сжатого состояния по координате
W(x) = \фо{х)\2 = ( — 1 ехР \-^2х2] .	D.31)
\ ^ /
Заметим, что при s > 1 ширина
Дж= ' 1
Vs ™
меньше, чем ширина распределения вероятности в основном состоянии
осциллятора
= \uo(x)\2= (?-\ exp(-
2
Отсюда флуктуации по координате для фо(х) сжаты по сравнению с
флуктуациями в основном состоянии. Это сжатие происходит за счёт
флуктуации сопряжённой переменной р. Действительно, импульсное
распределение сжатого основного состояния
D.32)
имеет ширину
Ар = л/s Ня.

150	Гл. 4. Квантовые состояния в фазовом пространстве
Следовательно, при s > 1 ширина Ар становится, соответственно,
больше — такой, чтобы удовлетворять минимально возможному соот-
соотношению неопределённостей
Ах-Ар= -L- -y/sh>c = h.
В случае 0 < s < 1 обнаруживается сжатие флуктуации по импульсу,
происходящее за счёт флуктуации по координате. Для s = 1 мы вос-
воспроизводим когерентное состояние, соответствующее симметричному
распределению флуктуации по х и р.
На рис. 4.13 показаны экспериментально измеренные ширины сжа-
сжатого вакуумного состояния электромагнитного поля в эксперименте
с оптическим параметрическим осциллятором, подробнее описанном
в разделе 1.3.2. Данные ясно ложатся на гиперболу, предсказываемую
минимальным соотношением неопределённостей Таким образом, при
s ф 1 флуктуации по одной из двух сопряжённых переменных умень-
уменьшаются по сравнению с флуктуациями в соответствующем основном
состоянии. Этим и объясняется название сжатого состояния. Однако
Р. Глаубер, который дал в ранней работе одно из первых описаний
способа создания сжатого состояния, подчёркивал, что название вво-
вводит в заблуждение. Сжимается не состояние, а флуктуации. Поэтому
более подходящими именами были бы су б флуктуирующие или супер-
флуктуирующие состояния. К сожалению эти названия, более точно
описывающие физику, не привились.
Тем не менее, в определённом смысле состояние действительно
сжато. Яснее всего это становится при рассмотрении функции Вигнера
сжатого состояния. Если подставить волновую функцию фо(%) сжатого
основного состояния в определение функции Вигнера и взять гауссов-
ские интегралы, то
[о~1
о	1 / П \Z \
s \Нж)
Отсюда при s ф 1 гауссовская функция растягивается в одном направ-
направлении и сжимается в другом. В этом смысле можно утверждать, что
по форме функции Вигнера такое состояние является сжатым.
Горизонталями функции Вигнера являются эллипсы, большая и ма-
малая оси которых определяются параметром сжатия s. В случае сильно-
сильного сжатия, горизонтали принимают вид сигары. Наличие гауссовского
весового множителя привело к названию гауссова сигара для функции
Вигнера сжатого состояния.
Подчеркнём, что, помимо параметра сжатия, существует дополни-
дополнительный параметр, входящий в определение сжатого состояния. До сих
пор мы рассматривали случай, когда малая и большая оси эллипса
были выстроены вдоль осей жир. Однако они могут составлять некото-
некоторый угол с этими осями. Это станет существенным при рассмотрении
в разделе 4.3.5 эволюции сжатого состояния во времени.

4.3. Сжатое состояние
151
10
неопределенностей
-) +(/+?+)=!
0,5
1,0
1,5
Рис. 4.13. Экспериментально измеренное минимальное соотношение неопре-
неопределённостей для сжатого вакуумного состояния электромагнитного поля. Все
состояния, минимизирующие соотношение неопределённостей, лежат на гипер-
гиперболе в пространстве, определяемом флуктуациями двух сопряжённых перемен-
переменных. Точки соответствуют экспериментальным значениям, сплошная линия —
предсказываемая теорией гипербола. Взято из работы: L.A. Wu et at., J. Opt.
Soc. Am. B. 1987. V. 4. P. 1465
Обобщённые сжатые состояния. До сих пор мы рассматривали
только сжатое основное состояние. Если теперь дополнительно сдви-
сдвинуть его, получим обобщённое сжатое состояние с волновой функцией
1/4
[|/2] D.33)
где а — действительное число. Как отмечалось выше, параметр s > 0
описывает ширину волнового пакета.

152	Гл. 4. Квантовые состояния в фазовом пространстве
В этом определении обобщённых сжатых состояний мы сначала
сжали основное состояние, а затем сместили его. Посмотрим, что
получится, если поменять местами операторы сжатия S(s) и смеще-
смещения D(a).
С этой целью рассмотрим состояние
фщ(х) = S(s) D{pt) щ(х) = S(s) f^\ exp [-± (ях - л/2 аJ] .
Используя соотношение D.30), определяющее действие оператора сжа-
сжатия на волновую функцию, получаем:
2 N
7Г
ч1/4
\
) exP
s
—2
/
I
xx — V
\2~
)_
^ 5(в)гю(х).
v s /
Отсюда видно, что сжатое состояние, полученное при выполнении
сначала смещения, а затем сжатия основного состояния, отличается
наличием множителя \j\fs в эффективном смещении от сжатого со-
состояния, полученного при обратном порядке выполнения операций.
4.3.2. Энергетическое распределение: точное рассмотрение.
Определённое в предыдущем разделе сжатое состояние не является
собственным энергетическим состоянием нового потенциала. Следова-
Следовательно, это состояние обладает разбросом по энергиям. Энергетическое
распределение
Wm = \гит(\фщ})\2 = |(m|^sq)|2	D.34а)
даётся интегралом перекрытия
^md^sq)) = dx Um(x) фщ(х)	D.346)
волновых функций собственного энергетического состояния и сжатого
состояния. В этом и следующем разделах мы вычислим указанный
интеграл точно и приближённо.
Выстроенное сжатое состояние. После подстановки выраже-
выражений D.2) и D.33) для волновых функций данной энергии и сжатого
состояния в интеграл перекрытия D.346) получаем:
СЮ
— СЮ
где мы ввели безразмерную переменную интегрирования ? = кх.

4.3. Сжатое состояние
153
Этот интеграл можно вычислить, используя соотношения
\dy exp [-(y - y0J} Hm(Xy) = тг'/2A - \2)m'2 Н„
77 У0
После небольшого количества алгебраических выкладок получаем ам-
амплитуду вероятности
Wm =
sV2a
обнаружить в сжатом состоянии ш-е собственное энергетическое со-
состояние.
Из этого выражения получаем энергетическое распределение
1 / 2sa2
77 ехР -:
Bmm!)
(sz -
ч1/2
S+l
. D.35)
На рис. 4.14 изображена эта вероятность Wm как функция парамет-
параметра сжатия s при фиксированном смещении а = 7. Подчеркнём, что на
0,05
30
Рис. 4.14. Вероятности Wm обнаружения ш-го собственного энергетического
состояния \т) в сжатом состоянии для разных выборов параметра сжатия s.
Все кривые изображены при одном и том же значении параметра смещения
а = 7. Самая задняя кривая (сжатие отсутствует, s = 1) демонстрирует иде-
идеальное пуассоновское распределение, связанное с когерентным состоянием.
Кривые, расположенные ближе к передней части рисунка, показывают ос-
осцилляции распределения вероятности возбуждения. Когда сжатие становится
экстремальным (s —*> оо), появляется всё большее число этих осцилляции при
всё больших значениях ш, а вклад в вероятность от каждого отдельного пика
стремится к нулю (самая передняя кривая Wm = 0 практически совпадает
с прямой линией)

154	Гл. 4. Квантовые состояния в фазовом пространстве
этом и следующих рисунках кривые не являются непрерывными, так
как т всегда целое число.
Заметим, что при s = 1, то есть для когерентного состояния, аргу-
аргумент полинома Эрмита стремится к бесконечности, а множитель перед
ним (s — \)т стремится к нулю. Если использовать асимптотическое
поведение полиномов Эрмита
Нт(у) ~ Bу)т
при у ^> 1, то энергетическое распределение D.35) упрощается до
знакомого распределения Пуассона
Пуассоновский характер Wm показа на рис. 4.14 самой задней кривой.
С ростом сжатия, то есть с увеличением s, распределение стано-
становится уже, чем пуассоновское, иными словами, становится субпуассо-
новским. Однако, в пределе сильного сжатия, s —> оо, распределение
начинает осциллировать, как это показано на передней части рис. 4.14.
Кроме того, когда появляется всё больше и больше максимумов, пер-
первый максимум — главный вклад в отсутствие осцилляции — быстро
уменьшается.
Быстрые вариации, скрытые за полиномами Эрмита в D.35), станут
виднее в гл. 8, если использовать понятие интерференции в фазовом
пространстве, развитое в гл. 7. Однако, сжатое основное состояние, то
есть случай а = О, уже позволяет пролить свет на происходящее. Так
как Я2ш+1@) = 0 и Я2ш@) ^ 0, из D.35) следует, что
W^m+i = 0> в то время как W^m Ф О-
Таким образом, получаются осцилляции с двойным периодом. Подчерк-
Подчеркнём, что эти осцилляции были экспериментально измерены с помощью
томографии квантовых состояний, как показано на рис. 1.11.
Повёрнутые сжатые состояния. До сих пор большая и малая
оси сигары сжатого состояния были совмещены с осями координатной
системы в фазовом пространстве. Обсудим коротко энергетическое
распределение повёрнутого сжатого состояния.
В задаче 4.2 мы показали, что в этом случае энергетическое рас-
распределение имеет вид
Hm —=^= (s cos if + г sin if)
Г 2a f 2 , • 2 \]
exp —	 (s cos if + sin if)
[ s+ 1	J
D.36)
где (р — угол между осью сигары и осью импульсов.

4.3. Сжатое состояние
155
0,04
0,02
0
0,04
0,02
О
50
100 т
О
1 б
Р
X
WWw-
О
50
100 т
Рис. 4.15. Энергетическое распределение сильно сжатого состояния. На встав-
вставках: а) гауссова сигара параллельна оси р\ б) сигара повёрнута на 85° по
отношению к оси р. Параметры s = 201 и а = 7
На рис. 4.15 мы сравниваем энергетическое распределение неповёр-
нутого и повёрнутого сжатых состояний с одинаковыми параметрами
смещения и сжатия. Заметим, что осцилляции в неповёрнутом состоя-
состоянии имеют один, но большой период. Наоборот, соответствующая кри-
кривая для повёрнутого состояния демонстрирует два явления: а) появля-
появляются быстрые осцилляции; б) на них сверху накладывается медленная
модуляция. Эти эффекты спрятаны в довольно сложных выражениях
для полиномов Эрмита и становятся более ясными в асимптотических
разложениях, которые обсуждаются в следующем разделе.
4.3.3. Энергетическое распределение: исследование асимпто-
асимптотики. Мы хотим глубже понять зависимость энергетического рас-
распределения Wm(\^Sq}) сжатого состояния D.35) от характеризующих
это состояние параметров. Для этого используем специальную форму
энергетической волновой функции в пределе больших га, которую мы
обсуждали в разделе 4.1.2.
Наивная картина. На рис. 4.16 показано перекрытие wm(\i/jsq))
между волновыми функциями ит и фщ собственного энергетического
состояния и сжатого состояния для конкретных квантовых чисел га.
Рассматривается ситуация, когда состояние сильно сжато по перемен-
переменной х, то есть 5^1.
Если сравнить рис. 4.16 с соответствующим рис. 4.8 для когерент-
когерентного состояния, то видно, что теперь волновая функция фщ узкая
по сравнению с длиной волны энергетической волновой функции ит.
Следовательно, т/ц действует, по-существу, как дельта-функция, лока-
локализованная в точке х = у/2 а/к, то есть
у/2а\
i
D.37)
где N — константа, которую следует определить в конце вычислений
из условия нормировки энергетического распределения.

156
Гл. 4. Квантовые состояния в фазовом пространстве
ДЛД
А Д
V V V V
V V V/
62
57
52
45
10
0
Wm
ОД
Рис. 4.16. Энергетическое распределение для сильно сжатого состояния
Wm(\^Sq})j осцилляторное поведение которого показано на рисунке справа,
есть следствие перекрытия wm(\^Sq}) волновой функции ?п-го энергетиче-
энергетического состояния иш и сжатого состояния t/jsq, показанных в левой части
рисунка в окрестности точки х = у/2 а/к сплошной и пунктирной линями,
соответственно. В противоположность когерентному состоянию, поведение ко-
которого обсуждалось на рис. 4.6 и 4.8, гауссовская функция фщ узкая по
сравнению с длиной волны иш. Эта гауссовская функция действует, по су-
существу, как дельта-функция, расположенная в точке х = у/2 а/к, и перево-
переводит осцилляции иш по координате х, а именно иш{х) ~ cos(*Sfm(x) — тг/4),
в осцилляции энергетического распределения Wm, то есть, \?ш(\фщ)) ~
~ cos [Sm(x = у/2 а/и) — тг/4] . Осцилляторное энергетическое распределение
сильно сжатого состояния есть результат последовательного прохождения вол-
волновых фронтов иш сквозь «узкую щель», которой является сжатое состояние.
Для определённости мы выбрали значения параметров смещения и сжатия
равными а = 7 и s = 21
В этом приближении волновая функция сжатого состояния выделя-
выделяет значение иш при х = у/2 а/я, то есть
= Num(x =
D.38)
Анализируя рис. 4.16 и формулу D.38), замечаем, что с ростом
величины т зависимость амплитуды вероятности wm(\^Sq}) сильно
сжатого состояния от т всё более совпадает со значением энергетиче-
энергетической волновой функции ит при х = у/2 а/к. При т, меньших чем а2,
мы попадаем в классически запрещённый режим для энергетической
волновой функции. Это приводит к очень малой вероятности обнару-
обнаружения m-го энергетического собственного состояния, как и показано
справа на рис. 4.16.

4.3. Сжатое состояние	157
При т = а2 горб, отвечающий точке поворота, находится в обла-
области максимума волновой функции сжатого состояния, что приводит
к максимуму в перекрытии гит(\фщ}), а следовательно и в \?т(\фщ}).
Соответственно, для квантовых чисел га, больших чем а2, волновая
функция сжатого состояния прощупывает осцилляторный режим ит,
приводя к осцилляторному поведению Wm(\i/jSq)). Рассмотрим деталь-
детальнее эту область \?т(\фщ}).
Интеграл перекрытия как разложение Тейлора. Вернёмся к ин-
интегралу перекрытия
wm Ш) = (^)'/4 \^ит@ ехр [-| (? - л/2 аJ]	D.39)
координатных волновых функций ит(?) и ^(С) собственного энерге-
энергетического состояния и сжатого состояния. С целью упрощения обозна-
обозначений мы ввели безразмерную координату ? = ях, так что энергетиче-
энергетическая волновая функция в этих координатах принимает вид D.8).
При более основательном исследовании интеграла перекры-
перекрытия D.39) не нужно использовать дельта-функционное приближе-
приближение D.37) для фщ, а следует разложить волновую функцию данной
энергии в ряд Тейлора в окрестности точки ? = у/2 а:
сю
v—>
После подстановки этого разложения вместе с волновой функцией
сжатого состояния D.33) в интеграл перекрытия D.346) получаем:
к=0	"*>
Из-за антисимметрии подынтегрального выражения интеграл обраща-
обращается в нуль для нечётных степеней у, то есть
Следовательно, вклад в сумму дают только чётные слагаемые. С помо-
помощью интегрального соотношения
= 7Г1/2 f^Y4Z o-2fc Bfe)!
\s)	k\
приходим к результату:
~ 2s)~k d2kUrn(Q
k=0
D.40)
Чётные производные волновой функции данной энергии. До это-
этого момента вычисления были точными. Однако в такой форме выраже-

158	Гл. 4. Квантовые состояния в фазовом пространстве
ние D.40) не слишком полезно. Мы должны найти чётные производные
волновой функции данной энергии, после чего произвести суммиро-
суммирование. Один из способов добиться этого — начать дифференцировать
по ? уравнение Шрёдингера
с безразмерным импульсом
-?2.	D.41)
К сожалению, из-за правила дифференцирования произведения это
становится довольно сложной процедурой.
Однако, в теперешнем обсуждении нас интересует приближённый
аналитический ответ. Поэтому сосредоточимся на области осцилляции
ит{?), то есть на режиме |?| < ^т = W2 (га+ - J . Так как ? = л/2а,
это также соответствует т > а2, то есть осцилляторной области для
Wm(\i/jsq)). В этом случае импульс рт(?) медленно изменяется, и мож-
можно пренебречь изменением рт(?) по сравнению с изменением ит(?).
Таким образом, получаем приближённое выражение
^ = (-1)*[Ы?)Г ит(О-	D.42)
Такой же ответ получится и в случае, если начать с асимптотического
выражения D.9) для волновой функции данной энергии при боль-
больших т
,1/2 _
*т\^1 - I - I \Рт.(?)] Ч^ COS
I
Выполняя дифференцирование иш D.7), мы снова пренебрегаем мед-
медленным изменением [рт{0}~ по сравнению с изменением косинуса,
и приходим к D.42).
Приближённое аналитическое распределение по энергии. С по-
помощью приближённого выражения D.42) для чётных производных
волновой функции данной энергии и определения D.41) безразмерно-
безразмерного импульса формула D.40) для амплитуды вероятности приводится
к виду
/с=0

4.3. Сжатое состояние
159
Оставшаяся сумма сворачивается в экспоненту, так что получаем ком-
компактную формулу
D.43а)
для амплитуды вероятности обнаружения в сильно сжатом состоянии
тп-то собственного энергетического состояния.
Здесь мы определили
ехр[-2(ш+ 1/2
m + - — а2
D.436)
л/2
= ( m + - ) arctg
т+ 1/2-а2
— a\jm + - — a2 — j. D.43b)
Таким образом, энергетическое распределение в пределе сильного
сжатия принимает вид
|2 _
= 4 Am COS
D.44)
где амплитуда Лт и фаза фт определены формулами D.43).
Завершаем этот раздел представленным на рис. 4.17, а сравнением
приближённого выражения для Wm с точным результатом D.35). Здесь
показано относительное отклонение
\w — w(exact)
AWm=l ш ш
ттД exact)
vv m
как функция т. Подчеркнём превосходное согласие. Отклонение боль-
больше для тех значений га, при которых wiexac почти равна нулю, так
как в этом случае мы делим на малое число.
4.3.4. Переход к пределу сжатого вакуума. Рассмотрим теперь
энергетическое распределение D.44) в пределе га ^> а2. С помощью
асимптотического разложения
1
arctg/3= --- + ...,
справедливого при C > 1, фаза фт D.43в) сводится к
D.45)
D.46)

160
Гл. 4. Квантовые состояния в фазовом пространстве
0,5
р
X
1
102
104
б
к труп
р
X
50
100 m
50
100 m
Рис. 4.17. AWm = |Wrn — W^xact)|/W^xact) асимптотических энергетических
распределений для: а) неповёрнутого сжатого состояния D.44); б) повёрнутого
сжатого состояния D.48), показанных на вставках. В случае неповёрнутого со-
состояния изображённое на рис. 4.15 а энергетическое распределение практиче-
практически равно нулю при т < а . Чтобы подчеркнуть осцилляторное поведение Wm,
мы построили AWm в случае а) только для области т > а2. Поскольку для
повёрнутого состояния осцилляции Wm проявляются, начиная с вакуумного
состояния т = 0, мы показываем AWm в случае б) для всей области т.
Чтобы нагляднее выявить отклонения, использована логарифмическая шкала.
Параметры равны s = 201, а = 7. Угол поворота ср в случае б) равен 85°
и поэтому энергетическое распределение D.44) принимает вид
— ^ *^m
-l)mcos 4a\ m+ir
D.47)
Множитель (—1)т приводит к быстрым осцилляциям при переходе от
чётных к нечётным значениям т. Эти нечётно-чётные осцилляции мо-
модулируются медленно изменяющейся огибающей, связанной с членом
cos ( 4а Jm + - ), как показано на рис. 4.18.
В случае сжатого вакуума а = 0, выражение D.47) упрощается
к виду
и остаются только нечётно-чётные осцилляции. Период медленной мо-
модуляции в этом случае бесконечен.
Повёрнутые сжатые состояния. Обратимся к случаю повёрну-
повёрнутого сжатого состояния. В предыдущем разделе уже приводился точ-
точный результат и было показано на рис. 4.15, что возникают два типа
осцилляции в энергетическом распределении. Эти осцилляции яснее
всего видны в асимптотическом выражении. Однако непосредственно
найти эти асимптотики не так-то просто. Нужное выражение мож-
можно немедленно получить, воспользовавшись понятием интерференции
в фазовом пространстве, которое обсуждается в гл. 7. За деталями
вывода отсылаем читателя к этой главе, а здесь только приведём
окончательный результат и обсудим его.

4.3. Сжатое состояние
161
400
500
Рис. 4.18. Энергетическое распределение D.35) неповёрнутого сжатого состоя-
состояния демонстрирует на экспоненциальном хвосте, то есть при т > а2, быстрые
нечётно-чётные осцилляции с медленно изменяющейся амплитудой. Параметры
равны s = 201 и а = 2
Энергетическое распределение сильно сжатого состояния, повёрну-
повёрнутого на угол (р по отношению к оси импульсов, имеет вид
где
Wm = 2Am[ch кш + cos
exp <j —2 I m + - — a2 cos
V2tvs
m + — — a cos (
и
причём
Фт = Ф,
4	. / , 1 2 2
хт = - asmip im + - — a cos (
5	\	Z
1/2
1/2
D.48)
D.49)
D.50)
- j arctg
(m+l/2-a2cos
I/2
( , 1	2 2 A1/2 7Г
— a cos </? ( m + - — a cos cpj — —.
Ha рис. 4.17, б мы сравниваем вычисленное таким образом энерге-
энергетическое распределение повёрнутого сжатого состояния D.48) с точ-
точным выражением D.36) и получаем превосходное согласие.
Используя полученные асимптотические выражения, обсудим те-
теперь гигантские осцилляции. Заметим, прежде всего, что эти осцил-
6 В. П. Шляйх

162	Гл. 4. Квантовые состояния в фазовом пространстве
ляции возникают для углов (р, близких к тг/2. Поэтому введём угол
$ = тг/2 — (р. В пределе $ <С 1 или, более точно, в пределе
(т+1/2-a2 sin2??) ^ у/т+1/2 Г i (щ?J 1 ^ yWl/2
asintf	а?? [_ 2 т+ 1/2 J	atf	'
с помощью асимптотической формулы D.45) для arctg/З находим для
фазы Фт (8.25) выражение
Фт=т-- 2шЫга + - .	D.51)
Сравнивая это выражение с фазой D.46) неповёрнутого сжатого
состояния в том же пределе, замечаем, что при т ^> а2 фаза Фт
имеет ту же зависимость от га. Поэтому можно ожидать аналогичного
поведения Wm для повёрнутого сжатого состояния. Действительно,
с помощью выражения D.51) формула D.48) приводится к виду
ixm + (-l)mcos
то есть очень похожему на выражение D.47).
Снова множитель (—1)т приводит к быстрым нечётно-чётным ос-
цилляциям с амплитудой cos ( Аад^/т + 1/2 1, которая и ответственна
за гигантские осцилляции. Они исчезают при тех значениях т, когда
косинус обращается в нуль, то есть при
Отсюда огибающая имеет узлы при
Разность Атп между двумя последовательными узлами, то есть про-
протяжённость n-й гигантской осцилляции, имеет вид:
1 / тг \2
Атп = mn+i -mn = - ^—J (п + 1).	D.54)
Следовательно, с ростом ср, то есть при уменьшении #, длина Атп
увеличивается и становится бесконечной при д = 0. Для заданного
смещения а оптимальный угол $opt находится из условия, что в диа-
диапазоне представленных на рисунке значений т происходило только
несколько гигантских осцилляции. Для случая рис. 4.15, б это озна-
означает, что Атп=\ должно быть порядка 10. Действительно, из D.54)
находим:	2
4 OL ^opt

4.3. Сжатое состояние	163
то есть
¦ ^ 4°.	D.55)
Заметим, что это условие не зависит от параметра сжатия s. Однако,
из этого не следует, что появление гигантских осцилляции не зависит
от s. Согласно формуле D.52), эти осцилляции проявляют себя только
в случае, когда первое слагаемое ch.xm в D.52) порядка второго, то
есть когда сЪ.ят = 1. Отсюда вытекает условие появления гигантских
осцилляции
Резюме. Завершая этот раздел, подчеркнём, что энергетическое
распределение сильно сжатого состояния содержит осцилляции, зави-
зависящие от квантового числа га. Эти осцилляции яснее всего проявляют-
проявляются в соответствующих асимптотических разложениях энергетического
распределения, формулы для которых имеют очень компактный вид.
Физический смысл этих формул станет яснее, когда мы будем обсуж-
обсуждать понятие интерференции в фазовом пространстве.
4.3.5. Эволюция во времени. В этом разделе мы обсудим неко-
некоторые вопросы эволюции сжатых состояний во времени. Интуитивно
самый ясный подход — использовать для этого функцию Вигнера.
Мы снова вычисляем функцию Вигнера в момент времени t = О, под-
подставляя волновую функцию сжатого состояния D.33) в определение
функции Вигнера D.10). После взятия интеграла получаем:
W(x,p) = — ехр \-sixx - V2af - - (—)\ .	D.56)
irh	|_	s \Нн) ^
Эволюцию во времени этой функции Вигнера мы найдём, заменив
начальные координаты xq и импульсы ро классическими траекториями
xo(x,p,t) = c(ut) i(Ot)^
po(x,p,t) = $т(Ш)ях?гя + cos(O?)p,
идущими от хо и ро в ж и р. Таким образом, функция Вигнера в момент
времени t принимает вид:
if/	\ 2
W(x,p, t) = — exp —5 ( cos (Ш)ях — sin (Ш)—— v2« ) —
тгаг [ \	Пж	)
s
- - f sin (Ш) кх + cos (Ш)
s V
D.57)

164	Гл. 4. Квантовые состояния в фазовом пространстве
Интегрируя это выражение по р и х, получим распределения вероятно-
вероятностей по координате и импульсу, соответственно, как функции времени.
В частности, для распределения по координате находим:
cos (t))
\фщ(хЛ)\2 = —=^= ехр -¦-U Ux-у/2 a
\/7rSx(t)	I Sx[t) \
sx(t) = s si
где
2
s
а для распределения по импульсу —
где
5p(t) = s cos2(O?) + - si
s
Подчеркнём, что ширины этих гауссовских распределений, заданные
величинами sx и sp, не зависят от времени только для 5=1, то
есть для когерентного состояния. Это особенно отчётливо видно из
рис. 4.19, на котором изображена эволюция во времени функции Виг-
нера и соответствующих предельных распределений. Эти кривые, в от-
отличие от случая когерентного состояния, представленного на рис. 4.10,
имеют огромные максимумы в точках поворота, которые указывают
на сильную зависимость от времени характера осцилляции сжатого
волнового пакета.
4.4. Повёрнутые квадратурные состояния
В разделе 4.5 мы поставили вопрос о том, как измерить функцию
Вигнера. Существенным элементом схемы является повёрнутый без-
безразмерный квадратурный оператор
Х$ = cos 1? (ях) + sin $ (SA-	D.58)
Заметим, что при # = 0 оператор X$=q с точностью до масштабного
фактора к совпадает с оператором координаты х, а при # = тг/2 он
с точностью до масштабного фактора \/(hx) совпадает с оператором
импульса р.
Так как квадратурный оператор Х$ удовлетворяет условию перио-
периодичности	^ ^
можно ограничиться рассмотрением # в интервале длиной тг. Как мы
покажем ниже, удобно выбрать интервал 0 ^ # ^ тг.
Повёрнутый квадратурный оператор есть линейная комбинация опе-
операторов координаты и импульса. Угол # фиксирует соответствующие
веса двух операторов. Мы покажем в этом разделе, что данный угол

4.4. Повёрнутые квадратурные состояния	165
Рис. 4.19. Эволюция во времени сжатого состояния с а = 2 и параметром
сжатия s = 4. Функция Вигнера представляет собой асимметричную «сжатую»
гауссовскую функцию, которая движется по окружности в фазовом простран-
пространстве. Мы показали только начальную функцию Вигнера и указали направление
вращения. В процессе эволюции во времени маргинальные распределения,
имеющие форму гауссовских функций, совершают гармоническое колебание.
В противоположность случаю когерентного состояния, ширины теперь осцил-
осциллируют во времени: большой ширине по импульсу соответствует малая ширина
по координате, и наоборот. Получается «дышащий» волновой пакет
определяет вращение координатной системы в фазовом пространстве.
Наиболее ясно это следует из рассмотрения функции Вигнера соб-
собственных состояний \Х#).
Так как операторы координаты и импульса обладают непрерывным
спектром, то повёрнутый квадратурный оператор Х$ также имеет
непрерывный спектр. Кроме того, поскольку х и р эрмитовы, оператор
Х$ также эрмитов. Это гарантирует, что собственные значения Х$
действительны, и повёрнутый квадратурный оператор является наблю-
наблюдаемой. В гл.13 будет показано, что в случае осциллятора электро-
электромагнитного поля гомодинный детектор как раз измеряет эту величину.
Для каждого угла # существует непрерывное семейство собственных
состояний \Х$) с собственными значениями Х$. Вдобавок, эти состоя-
состояния зависят от угла #.
4.4.1. Функция Вигнера состояний координаты и импульса.
В этом разделе мы вычислим функцию Вигнера собственных состояний
либо координаты \х) либо импульса \р). Эти состояния нормированы
на 5-функции, поэтому функции Вигнера таких состояний следует по-
понимать в смысле обобщённых функций. В частности, здесь нарушается
правило C.8), что квадрат функции Вигнера, проинтегрированный по
всему фазовому пространству, равен 1/BтгЙ).
Собственные состояния оператора координаты. Рассмотрим
сначала случай собственного состояния координаты \xq) и напомним

166
Гл. 4. Квантовые состояния в фазовом пространстве
определение C.1) функции Вигнера
WW(*-р) = г^ }dve~iPv/h(х + \
С помощью условия ортонормированности
(х \у) = 5(х - у)
получаем:
Одну из 5-функций можно использовать для взятия интеграла, так что
в результате имеем
W \(х v) =	с~г^	di^ix	Жп))«
Если вспомнить соотношения
5(ах) = —г 5(х)
f(x) 5(х - у) = f(y) 5(x - у),
получим
D.59)
Итак, функция Вигнера собственного состояния координаты \хо)
есть дельта-функция в точке х = xq. Заметим, что переменная им-
импульса вообще не вошла в ответ. Поэтому функция Вигнера является
бесконечно тонкой и бесконечно высокой стенкой, средняя линия ко-
которой расположена параллельно оси импульсов, как это показано на
рис. 4.20, а. Такое представление функции Вигнера собственного со-
состояния координаты подтверждает наивную картину такого состояния:
координата точно определена, но полностью отсутствует информация
об импульсе.
Собственное состояние оператора импульса. Аналогично нахо-
находим для функции Вигнера собственного состояния импульса |ро)
выражение
где на последнем шаге была использована формула B.10)
(х|р) = BтгЙ)-1/2ехр(^?]

4.4. Повёрнутые квадратурные состояния
167
рп
Рис. 4.20. Функции Вигнера: а) собственного состояния координаты |ж0) и
б) собственного состояния импульса \ро) представляют собой бесконечно тон-
тонкие и бесконечно высокие стенки, расположенные параллельно осям импульса
или координаты, соответственно
для скалярного произведения собственных состояний координаты и им-
импульса.
Если вспомнить интегральное представление дельта-функции, по-
получим, что функция Вигнера
собственного состояния импульса есть дельта-функция в точке ро-
И снова можно сказать, что это есть бесконечно тонкая и бесконечно
высокая стенка, расположенная вдоль прямой ро> как показано на
рис. 4.20,6.
Предельные распределения для функций Вигнера. В разделе 3.2.2
мы видели, что квадрат модуля скалярного произведения двух кван-
квантовых состояний \ф) и \ф) есть произведение функций Вигнера W\^)
и И^), проинтегрированное по фазовому пространству, то есть
(х,р)\?1ф)(х,р).	D.60)
D.61)
Заметим, что свойство
Ww(x0) = \{хо\ф}\2 =
функции Вигнера есть частный случай этой формулы. Действительно,
если использовать выражение D.59) для функции Вигнера собственно-
собственного состояния координаты, то из формулы
dx \dp W\Xo) (х,
х, р)
находим
; dp5(x — xq)
Это соотношение позволяет понять геометрически следующее при-
примечательное свойство D.61) функции Вигнера: распределение вероят-

168	Гл. 4. Квантовые состояния в фазовом пространстве
ностей возникает после интегрирования по сопряжённой переменной.
Можно представить себе функцию Вигнера как ландшафт с холмами
и долинами, простирающийся в х-р фазовом пространстве, как это
видно, например, на рис. 3.1 для функции Вигнера шестого собствен-
собственного энергетического состояния гармонического осциллятора. Таким
образом, вероятность обнаружить частицу в точке хо равна объёму,
а точнее, взятой с определённым весом площади сечения, полученного
из функции Вигнера с помощью тонкой пластины, расположенной
в точке хо параллельно оси импульсов.
4.4.2. Координатная волновая функция повёрнутых квадра-
квадратурных состояний. Наша цель заключается в том, чтобы получить
функцию Вигнера W\x#) собственного состояния \Х$). Для этого
нужна волновая функция Х(х\Х$) = (х\Х#) в координатном пред-
представлении. Это выражение должно, очевидно, зависеть от переменной
координаты х и собственного значения Х#, задающего состояние при
фиксированном угле #. Обозначим эту волновую функцию Х(х\Х$).
Уравнение на собственные значения в координатном представ-
представлении. Формулу для X можно получить многими способами. Мы из-
изложим только один, в котором всё начинается с уравнения на собствен-
собственные значения	_
для повёрнутых квадратурных состоянии.
Умножим обе части на (х\ и вспомним определение квадратурного
оператора. Тогда
Записывая оператор импульса в ^-представлении
П d
р =
находим окончательно
i dx'
1 ¦ " " * Х(х;Х^)=Х6Х(х;Х6),
то есть
dx
Поскольку это обычное дифференциальное уравнение первого порядка,
мы немедленно находим собственную волновую функцию повёрнутого
квадратурного оператора
Координатная волновая функция повёрнутого квадратурного состояния
является гауссовской. В отличие от когерентного состояния, показа-
показатель экспоненты чисто мнимый. Поэтому волновая функция не может

4.4. Повёрнутые квадратурные состояния	169
быть нормирована на единицу. В полной аналогии с собственными
состояниями координаты или импульса, мы нормируем квадратурные
собственные состояния на 5-функции. Это, в частности, определяет
множитель ЛЛ
Уравнение на собственные значения есть дифференциальное урав-
уравнение первого порядка по координате х. Следовательно функция J\f
всё ещё может зависеть от угла i? и от собственного значения Х$.
Поэтому уравнение на собственные значения определяет семейство
квадратурных состояний, отличающихся выбором ЛЛ
Вычисление постоянной нормировки. Так как повёрнутые квад-
квадратурные состояния являются собственными состояниями эрмитового
оператора, они удовлетворяют соотношению полноты
Подчеркнём, что это соотношение справедливо для любого угла #.
Интегрирование проводится по всей области собственных значе-
значений Х$.
Мы найдём Л/", беря соотношение полноты в обкладках из (х\ и \у)
и учитывая соотношение ортогональности. В результате
X* (х \Х#) (Х#\у) = jdX* Х(х;Х4)Х*(у;Х<>) = 6(х - у).
С помощью выражения D.62) для координатной волновой функции
Х(х\ Х$) повёрнутого квадратурного состояния находим
Квадратичные по Х$ слагаемые в показателе экспоненты взаимно
сокращаются, а перекрёстное слагаемое приводит к интегралу
9/9 9\1
я{х -у)\х
, X») |2 exp [i(x - у)
Если ввести новую переменную интегрирования k = xX^/sin^, урав-
уравнение, определяющее Л/", принимает вид:
5(х — у) = ехр —	 я2(х2 — у2)
L 2 sin |У	J >zr
х dk
N

170	Гл. 4. Квантовые состояния в фазовом пространстве
До сих пор не определена зависимость Л/* от 1^, то есть от к.
Однако, на этом шаге мы обращаем внимание, что интеграл по к равен
5-функции по переменной х — у, и поэтому \J\f\2 не зависит от к, а
следовательно, от Х#. В оставшейся части книги мы выберем семейство
квадратурных состояний Х$ так, чтобы \J\T\2 зависела только от #.
При этом условии
Г/	\	* ^u& u 1A	7\ л O111 V \ к Г ( с\\\1 Ч (	\
5(х-у)=ехр\-—-к (х -у )|2^--|Л/^)| 6(х-у),
ИЛИ
Здесь использовано соотношение
f(xM(x-y) =f(yN(x-y).
Тогда из условия нормировки находим
В заключение резюмируем главный результат этого раздела. Вол-
Волновая функция Х(х\Х$) повёрнутого квадратурного собственного со-
состояния \Х$) в координатном представлении имеет вид:
Подчеркнём, что угол # ограничен областью 0 ^ # ^ тг. Эта область
имеет то преимущество, что в ней константа нормировки J\f всегда
действительна.
4.4.3. Функция Вигнера повёрнутых квадратурных состояний.
Мы можем теперь вычислить функцию Вигнера
1
х~ 2У
собственного состояния \Х$). С помощью выражения D.62) для вол-
волновой функции Х(х\Х$) квадратурного состояния этот интеграл
х + \ у;X^j X*(x-\ у;
принимает вид:
х
2 sin 'д cos 'д
Хл — cos дя [ х —
(х - ^у^ X.

4.5. Реконструкция квантового состояния	171
Упрощая показатель экспоненты в подынтегральной функции и исполь-
используя выражение для постоянной нормировки, находим:
WlXe)(x,p) = ^L^-^jdyexp [i (*„ -cost?**-sin t?
то есть
D.63)
Следовательно, функция Вигнера повёрнутого квадратурного состоя-
состояния есть дельта-функция на линии
Х$ = cos $ кх + sin $ -^-.
ПК
4.5. Реконструкция квантового состояния
В гл. 3 мы ввели функцию Вигнера как представление квантового
состояния. Напомним, что всякая процедура измерений над квантовой
системой может дать только распределения вероятностей. Поскольку
квантовое состояние содержит всю доступную информацию о кванто-
квантовой системе, мы безусловно можем, отталкиваясь от этого состояния,
рассчитать все распределения вероятностей. Зададим обратный вопрос:
возможно ли использовать набор вероятностных распределений для
реконструкции квантового состояния?
Этот вопрос возвращает нас к раннему периоду развития квантовой
механики, в частности, к обзорной статье В. Паули. Он интересовался
вопросом, можно ли найти амплитуду и фазу волновой функции, зная
вероятности распределений по координате и импульсу. Паули не дал
ответа на этот вопрос. Однако простые контрпримеры показывают, что
в общем случае это невозможно. Как обсуждается в задаче 4.3, нужно
знать больше распределений, чем эти два.
В области классической оптики эта задача носит название вос-
восстановления фазы. В этом случае мы хотим определить амплитуду
и фазу электромагнитного поля, осуществив подходящие измерения
интенсивности. Опять же, для реконструкции электромагнитного поля
требуется много распределений интенсивности.
Существенным ингредиентом такой схемы реконструкции является
повёрнутый безразмерный квадратурный оператор Х#, обсуждавшийся
в предыдущем разделе.
4.5.1. Томографические срезы функции Вигнера. Можно ли
реконструировать квантовое состояние, представленное, например,
функцией Вигнера, если использовать различные распределения веро-
вероятностей? Очевидно, что только распределений по координате и им-
импульсу недостаточно. Что можно сказать о распределениях по квадра-
квадратурным переменным
W(X#) = (Х#\ р\Х#) = Ъ{\Х#) (Х#\ р}

172
Гл. 4. Квантовые состояния в фазовом пространстве
для различных углов #?
Мы сейчас покажем, что для реконструкции функции Вигнера
необходимо знание этих распределений для всех углов 0 ^ д ^ тг. Для
доказательства установим связь квадратурных распределений W(X#)
квантового состояния с его функцией Вигнера. Согласно правилу C.5)
произведения для следа, можно представить квадратурное распределе-
распределение W(X$) интегралом по фазовому пространству
W(Xe) = 2irh\dx jdp W]Xe)(x,p) Wp(x,p)
от произведения двух соответствующих функций Вигнера. С помощью
выражения D.63) для функции Вигнера W\x#)(%>p) повёрнутого квад-
квадратурного состояния эта формула принимает вид:
^)] Wp(x,p). D.64)
W(X#)=
Распределение вероятностей W(X#) получается как перекрытие
между функцией Вигнера W^ интересующего нас состояния и беско-
бесконечно тонкой полосой фазового пространства, представленной 5-функ-
цией. Отсюда каждая полоса, заданная собственным значением Х#,
определяет линию, вдоль которой нужно интегрировать функцию Виг-
Вигнера. Процедура интегрирования приводит к распределению W(X$)
для фиксированного угла # в фазовом пространстве, что схематически
показано на рис. 4.21. Поэтому мы можем получить все распределе-
распределения W{X$), если известна функция Вигнера. Это и не удивительно,
поскольку Wp содержит всю информацию о квантовом состоянии.
Но можно ли обратить процедуру?
Рис. 4.21. Функция Вигнера Wp(x,p), представленная одной из своих гори-
горизонталей. Каждое перекрытие между бесконечно тонкими полосами в фазовом
пространстве при заданных Х$ приводит к значению W(X#). Все такие пере-
перекрытия при фиксированном угле # в фазовом пространстве образуют полное
распределение вероятности W(X$)

4.5. Реконструкция квантового состояния	173
4.5.2. Преобразование Радона. В гл. 13 мы покажем, что в слу-
случае светового поля гомодинный детектор измеряет квадратурные рас-
распределения W{X$). Предположим, что мы измерили эти распределения
для всех значений углов в интервале 0 ^ д ^ тг. Можно ли тогда на
основе этой информации реконструировать полную функцию Вигнера?
Ответ утвердительный и основан на преобразовании Радона.
Процедура обращения. Чтобы обратить соотношение D.64) и вы-
выразить функцию Вигнера через квадратурные распределения, запишем
^-функцию в выражении D.64) как интеграл Фурье, так что
= —- \dte ltXq& \dx\dp exp \i?cx(t cos ti) +^^- (tsini?) Wp(x,p).
Z7T J	J J	L	"H	-I
Умножим это уравнение на elt x® и проинтегрируем по Х$. В резуль-
результате
dx dp explixx ( + i— rj) Wp(x,p). D.65)
idXfijt'XtWiXo) = \dx
Здесь мы ввели сокращения ( = t' cosfi и 77 = t'smfi.
Выражение в правой части этой формулы представляет собой дву-
двумерное фурье-преобразование, которое мы сейчас обратим, чтобы най-
найти функцию Вигнера Wp. На первый взгляд, кажется, что такое об-
обращение осуществляется непосредственно. Однако область изменения
переменных t' и °д такова, что мы не покрываем полностью простран-
пространство (С rj). Действительно, tr определена на всей оси, то есть —оо <
< tr < 00. Напротив, $ покрывает только половину плоскости, так
как -тг/2 < # < тг/2.
Умножим обе части выражения D.65) на 1^1 ехр — гях'С,— ^т~ V)
\	пж )
и проинтегрируем по всей области изменения г и #. В результате
получим:
7Г
Г	'
dt'\t'\ Ш exp (-inx't -ijr^
о
7Г
= I dx I dpWp(x,p) I d^l^l I dd exp \гк{х - x') C, ^ i^-
J J	J J V
о
где в правой части мы поменяли порядок интегрирования.
Интегральное соотношение. Сосредоточимся на интеграле
Х= \dt'\t'
J
- xf

174	Гл. 4. Квантовые состояния в фазовом пространстве
включающем два интеграла по t1 и #, и покажем, что они являются
интегральными представлениями двух дельта-функций по координате и
импульсу. Для этого сначала разобьём область интегрирования по t' на
две части, отвечающие положительным и отрицательным значениям:
• ОО	7Г	О	7Г	\
l=(\dtr\tr\\d$+ \ dt'\tr\\dAx
^0	0	-оо	0
х ехр ( гя(х — x')t' cos $ + г Р, Р t1 sin ft ) ,
где на последнем шаге мы учли обозначения ? = tr cosd и rj =
= ^sin^. Сделав во втором интеграле подстановки t" = — tx и # =
= ^х + тг и вспомнив соотношения tx cos 1? = — ?" cos ($' + тг) = ?" cos ^х
и tx sin д = -t" sin (#' + тг) = t/x sin ^x, получим:
ТГ
0
х exp
оо
¦J'
0
оо
i?\t
0
гк[х -
\
2тг
I
0
2тг х
тг '
Uj U СЛ-JJ I 0 УЪ \JL Jb
- t' sin # J =
/
Видно, что теперь охвачена вся плоскость (С 7/).
Если от полярных координат перейти к декартовым, интеграл при-
принимает вид:
X = d(exp [гх(х — х')(\
хр ( —г
то есть сводится просто к произведению двух дельта-функций.
Измерение функции Вигнера. Учитывая этот результат, обра-
обратим D.65). Тогда
-L- \dt\t\
о
D.66)
где все штрихованные переменные заменены на свои нештрихованные
аналоги.

Задачи	175
Выражение D.66) отвечает на наш вопрос о том, возможно ли
реконструировать функцию Вигнера, если известны все распределения
вероятностей W(X#). Действительно, мы получаем Wp из преобра-
преобразования D.66) ансамбля распределений W(X#), определённых всеми
фазами в интервале между # = 0 и # = тг.
В гл. 13 мы покажем, что гомодинный детектор измеряет требу-
требуемый ансамбль распределений W(X#). Мы фиксируем #i = О фазой
локального осциллятора и определяем распределение W(X$X) по уже
описанной схеме. Затем выбираем вторую фазу #2 = 2tt/N и вновь
измеряем получившееся распределение. Этот процесс продолжается до
тех пор, пока мы не дойдём до фазы $дг = Nir/N = тг. Такая процедура
даёт последовательность распределений
Результирующий дискретный ансамбль является хорошим приближе-
приближением к истинному (на самом деле непрерывному) ансамблю.
Затем мы используем дискретизированную версию исходного ан-
ансамбля, численно осуществляем преобразование D.66) и восстанав-
восстанавливаем Wp. Именно в этом смысле можно говорить об измерении
функции Вигнера Wp. Такую технику измерений иногда называют
гомодинной томографией, так как W^ восстанавливается по всем рас-
распределениям W(X#), которые являются проекциями исходной функции
Вигнера на повёрнутые плоскости. Это во многом напоминает хорошо
известную технику томографии, используемую для получения на ком-
компьютере трёхмерного изображения человеческого тела.
Задачи
4.1 Энергетическое распределение сжатого вакуума
В разделе 4.3.2 мы вычислили энергетическое распределе-
распределение D.35) сжатого состояния. В случае сжатого вакуума это
распределение принимает вид:
Используя соотношения для полиномов Эрмита, доказанные в за-
задаче 2.6а, показать, что
{О	для нечётных га,
т/2
(_2)т/2 д B/ - 1) для чётных т.
1=1
В чём заключается физическое объяснение того, что энергетиче-
энергетическое распределение не изменяется при замене s на 1/s? Вычис-
Вычислить среднюю энергию.

176
Гл. 4. Квантовые состояния в фазовом пространстве
Указание: См. Vogel and Schleich A991).
4.2	Энергетическое распределение повёрнутого сжатого состоя-
состояния
Получить энергетическое распределение повёрнутого сжатого со-
состояния.
Указание: См. Schleich and Wheeler A987b).
4.3	Реконструкция состояния по распределениям вероятностей?
Определяют ли состояние два распределения вероятностей по
координате и импульсу?
Указание: Это древняя задача, на которой споткнулись даже
В. Паули A933) и Г. Рейхенбах A948). Обсуждение см.: A. Vogt
A978) и A. Orlowski and H. Paul A995).
4.4	Сжатые фоковские состояния
До сих пор обсуждались сжатые состояния, возникающие из
вакуумного состояния. Однако можно также применить оператор
сжатия S к собственному энергетическому состоянию \п). Об-
Обсудить свойства таких состояний, в частности, их эволюцию во
времени для случая гармонического осциллятора. Эта эволюция
наблюдалась экспериментально в ансамбле холодных атомов Cs,
_j 500 мкм _ 7
Рис. 4.22. Измеренная динамика волнового пакета ансамбля холодных атомов
Cs в поле стоячей электромагнитной волны с большой отстройкой. Когда
тепловая энергия атомов мала, они движутся вблизи минимума стоячей волны.
Поэтому потенциал можно аппроксимировать потенциалом гармонического ос-
осциллятора. На рисунке представлена эволюция во времени сжатого собствен-
собственного энергетического состояния \п = 1), представленная соответсвующими
распределениями координаты в разные моменты времени. Взято из работы:
М. Morinaga et ai, Phys. Rev. Lett. 1999. V. 83. P. 4037

Литература
177
движущихся в поле стоячей электромагнитной волны с большой
отстройкой (рис. 4.22).
4.5 Суперпозиционное состояние
Обсудить эволюцию во времени суперпозиции основного и перво-
первого возбуждённого состояний гармонического осциллятора. Соот-
Соответствующие экспериментальные данные показаны на рис. 4.23.
500 мкм
500 мкм 	z y
Рис. 4.23. Сравнение теории (а) и экспериментальных данных (б) для эво-
эволюции во времени суперпозиции состояний, включающей основное и первое
возбуждённое состояния гармонического осциллятора. Две соответствующие
волновые функции показаны наверху. В эксперименте использовался ансамбль
холодных атомов Cs, движущихся в поле стоячей волны с большой отстройкой.
Внизу (г) показана наблюдаемая эволюция во времени когерентного состояния
гармонического осциллятора. Взято из работы: М. Morinaga et at., Phys. Rev.
Lett. 1999. V. 83. P. 4037
Литература
Пособие по специальным функциям
Поведение различных специальных функций, в частности, полиномов Эрмита и Ла-
герра, изображённое на трёхмерных рельефных графиках
Jahnke E., Emde F. Tables of Functions. Dover, New York, 1945

178	Гл. 4. Квантовые состояния в фазовом пространстве
Даже в наш век компьютеров с программами Mathematica и Maple трёхмерные
рельефы специальных функций в этой книге всё ещё впечатляют.
[Янке Е., Эмде Ф., Лёш Ф. Специальные функции: формулы, графики,
таблицы. Пер. с нем./Под. ред. Л. И. Седова — М.: Наука, 1964]
Элементарные волновые пакеты
Первые статьи по волновым пакетам механического осциллятора
Schrodinger Е. Der stetige Ubergang von der Mikro- zur Makromechanik //
Naturwissenschaften. 1926. V. 14. P. 664-666.
Kennard E.H. Zur Quantenmechanik einfacher Bewegungstypen // Z. Physik.
1927. V. 44. P. 326-352.
Физика смещённых собственных энергетических состояний
Senitzky I.R. Quantum Effects in the Interaction between Electrons and
High-Frequency Fields // Phys. Rev. 1954. V. 95. P. 904-913.
Экспериментальная реализация атомных волновых пакетов в поле стоячей электро-
электромагнитной волны
Morinaga М., Bouchoule /., Кагат J.-C, Salomon С. Manipulation of Mo-
Motional Quantum States of Neutral Atoms // Phys. Rev. Lett. 1999. V. 83.
P. 4037-4040.
Сжатые состояния
Обсуждение сжатых состояний света
Stoler D. Equivalence Classes of Minimum Uncertainty Packets // Phys. Rev.
D. 1970. V. 1. P. 3217-3219.
Yuen H.P. Two-Photon Coherent States of the Radiation Field // Phys. Rev.
A. 1976. V. 13. P. 2226-2243.
Обзоры по физике сжатых состояний
Walls D.F. Squeezed States of Light // Nature (London) 1983. V. 306.
P. 141-146.
Henry R. W., Glotzer S.C. A Squeezed States Primer // Am. J. Phys. 1988.
V. 56. P. 318-328.
Nieto M. What are squeezed states really like? // Frontiers in Nonequilibrium
Statistical Physics / Ed. by G.T. Moore and M.O. Scully, Plenum Press, New
York, 1986
Многие пионерские работы в области сжатых состояний перепечатаны в книге
Meystre P., Walls D.F. Nonclassical Effects in Quantum Optics. American
Institute of Physics, New York, 1991
Применение сжатых состояний в квантовой оптике
Kimble H.J., Walls D.F. // J. Opt. Soc. Am. B. 1987. V. 4A0)
Knight P., Loudon R. // J. Mod. Opt. 1984. V. 34F)
Giacobino E., Fabre С // Appl. Phys. B. 1992. V. 55C)

Литература	179
Экспериментальное подтверждение свойств сжатого вакуумного состояния как со-
состояния, минимизирующего соотношение неопределённостей
Wu L.A., Xiao М., Kimble H.J. Squeezed states of light from an optical
parametric oscillator // J. Opt. Soc. Am. B. 1987. V. 4. P. 1465-1475.
Обсуждение асимптотических энергетических распределений для когерентных и
сжатых состояний
Schleich W.P., Wheeler J.A. Oscillations in the Photon Distribution of
Squeezed States and Interference in Phase Space // Nature (London) 326,
574-577 A987a)
Schleich W.P., Wheeler J.A. Oscillations in Photon Distribution of Squeezed
States // J. Opt. Soc. Am. В 4, 1715-1722 A987b)
Vogel K., Schleich W.P., in: Fundamental Systems in Quantum Optics / Ed.
by J. Dalibard, J.M. Raimond and J. Zinn-Justin, Elsevier, Amsterdam, 1991
*	Ахманов С. А., Дьяков Ю.Е., Чиркин А. С. Введение в статистическую
радиофизику и оптику. — М.: Наука, 1981
*	Новые физические принципы оптической обработки информации / Под
ред. С. А. Ахманова и М. А. Вороцова. — М.: Наука, 1990
Реконструкция квантового состояния
Обсуждение задачи Паули, сформулированной в
Pauli W. Die allgemeinen Prinzipien der Wellenmechanik. Handbuch
der Physik, Vol. 24, edited by H. Geiger and K. Scheel, Springer Verlag, Berlin,
1933
[Паули В. Общие принципы волновой механики. — М.: ОГИЗ, 1947]
см. работы
Reichenbach H. Philosophic Foundations of Quantum Mechanics. University
of California Press, Berkeley, 1948
Vogt A. Position and Momentum Distributions do not Determine the Quantum
Mechanical State // Mathematical Foundations of Quantum Theory / Ed. by
A.R. Marlow, Academic Press, New York, 1978
Orlowski A., Paul H. Phase retrieval in quantum mechanics // Phys. Rev. A.
1995. V. 50. P. 921-924.
Обзор проблемы измерения квантового состояния
FreybergerM., Bardroff P., Leichtle С, Schrade С, Schleich W.P. The art of
measuring quantum states // Physics World. 1997. V. 10A1). P. 41-45
Leonhardt U. Measuring the Quantum State of Light. Cambridge University
Press, Cambridge, 1997
Schleich W.P., Raymer M. Quantum State Preparation and Measurement //
J. Mod. Opt. 1997. V. 44A1/12)
Leibfried D., Pfau Т., Monroe С Shadows and Mirrors: Reconstructing Quan-
Quantum States of Atom Motion. Physics Today. 1998. V. 51D). P. 22-28
Welsch D.G., Vogel W., Opatrny T. Progress in Optics, ed. by E. Wolf,
North-Holland, Amsterdam, 1998

180	Гл. 4. Квантовые состояния в фазовом пространстве
Томография квантового состояния
Томографический эксперимент впервые осуществила группа из университета штата
Орегон
Smithey D.T., Beck M., Raymer M.G., Faridani A. Measurement of the
Wigner distribution and the density matrix of a light mode using optical homodyne
tomography: application to squeezed states and the vacuum // Phys. Rev. Lett.
1993. V. 70. P. 1244-1247.
Галерея измеренных функций Вигнера
Breitenbach G., Schiller S., Mlynek J. Measurement of the quantum states of
squeezed light // Nature. 1997. V. 387. P. 471-475.
Предложения по измерению функций Вигнера
Royer A. Measurement of the Wigner function // Phys. Rev. Lett. 1985. V. 55.
P. 2745-2748.
Vogel K., Risken H. Determination of quasiprobability distributions in terms
of probability distributions for the rotated quadrature phase // Phys. Rev. A. 1989.
V. 40. P. 2847-2849.
Близко примыкает к указанным работа
Vogel W., Schleich W.P. Phase distribution of a quantum state without using
phase states // Phys. Rev. A. 1991. V. 44. P. 7642-7646.
Метод томографии квантового состояния основан на обратном преобразовании Ра-
Радона. Оригинальная работа по преобразованию Радона
Radon J. fiber die Bestimmung von Funktionen durch ihre Integralwerte langs
gewisser Mannigfaltigkeiten // Ber. Verh. Sachs. Akad. Wiss. Leipzig, Math.-Nat.
Kl. 1917. V.69. P. 262-277.
Эта работа перепечатана в книге
Radon /., in 75 Years of Radon Transform, ed. by S. Gindikin and P. Michor,
International Press, Boston, 1994

Глава 5
ВОЛНЫ A LA ВКБ
Как можно описать движение нерелятивистской частицы в связыва-
связывающем потенциале? Можно выбрать за основу классическую механику
и порассуждать о траекториях в фазовом пространстве. Это один
подход. Противоположный, квантово-механический подход заключает-
заключается в том, чтобы найти собственные функции данной энергии этого
осциллятора. К сожалению, аналитическое рассмотрение соответству-
соответствующего уравнения Шрёдингера ограничено очень небольшим набором
потенциалов специального вида, таких как потенциал гармонического
осциллятора, потенциал Морса и ещё нескольких. В большинстве же
случаев мы вынуждены обращаться к численным решениям. Однако
как аналитические, так и численные решения часто скрывают пора-
поразительные и замечательные свойства рассматриваемого круга задач.
Эти скрытые свойства выходят на свет только в полуклассическом
пределе квантовой механики, который рассматривается в этом раз-
разделе.
Этот подход связан с именами Г. Вентцеля, Г. Крамерса и Л. Брил-
люена, которые в 1926 г., сразу после создания волновой механики,
впервые рассмотрели приближённые решения независящего от времени
уравнения Шрёдингера. В данной главе мы кратко суммируем резуль-
результаты такого подхода. Отметим, что он оказался чрезвычайно полезным
при рассмотрении задач квантовой оптики и квантового хаоса.
5.1. Вероятность для классического движения
Рассмотрим частицу массой М и энергией Е, движущуюся в одно-
одномерном потенциале U = U(x), показанном на рис. 5.1, а. Мы описываем
её движение координатой х и импульсом р. Как вкратце описано
в гл. 3, сравнение классической и квантовой механики основано на ста-
статистической механике и использовании ансамбля классических частиц.
Поэтому, говоря в этой главе об отдельной классической частице, мы
подразумеваем ансамбль классических частиц.
Закон сохранения энергии, имеющий в данном случае вид
E = ^ + U(x),	E.1)

182
Гл. 5. Волны а 1а ВКБ
U(x)
Рис. 5.1. Частица с энергией Е, совершающая периодическое движение в по-
потенциале U(x) между точками поворота # и ? (рис. а), описывает замкнутую
траекторию в фазовом пространстве х-р. Эта траектория (рис. б), определя-
определяется классическим импульсом р^с1\х) = ±р(х\Е). Классическая вероятность
W<yd\x\E) обнаружения частицы в точке х определяется величиной \/р и по-
показана на рис. в. Она имеет только один минимум, находящийся в точке
минимума U, где скорость частицы максимальна. В точках поворота $ и ?, где
р = 0, вероятность расходится. Площадь под кривой нормирована на единицу.
Квазиклассическая вероятность W^WKB\x), изображённая сплошной кривой на
рис. г, имеет много максимумов и минимумов в результате интерференции
волн, идущих направо и налево и образующих стоячую волну, которая описы-
описывает собственное энергетическое состояние. Вероятность W^WKB\x) в точках
поворота конечна, в окрестностях # и ? имеет максимумы типа тех, кото-
которые есть у функция Эйри, и захватывает классически запрещённую область.
Огибающая W^KB\x) равна удвоенной классической вероятности, показан-
показанной на рис. г пунктирной линией, что следует из условия нормировки при
наличии вызванных интерференцией осцилляции. Классическая вероятность,
определяемая обратной величиной импульса, и интерференция между волнами
составляют суть квазиклассической квантовой теории
позволяет немедленно получить фазовую траекторию классического
колебания в фазовом пространстве х-р
p{d)(x;E) = ±р(х;Е) =
- U(x)],
E.2)
показанную на рис. 5.1, б.
Если ни начальная координата хо = x\t=o, ни начальный импульс
Ро = p\t=o неизвестны, а известна только полная энергия Е, то мы со-
сопоставляем с таким движением в фазовом пространстве классическую
вероятность W^d\x; E) обнаружения частицы в точке с координатой х.
Эта вероятность определяется обратной величиной классического им-

5.2. Амплитуды вероятности квантового движения	183
пульса р(х;Е) E.2). Иными словами, W^l\x; E) велика, когда ско-
скорость частицы мала, и мала, когда р принимает большие значения.
Более точно, мы определяем
^с1)<*^Ч^Ь)-	E-3)
В точках поворота траектории, обозначенных # и ?, импульс р E.2)
обращается в нуль, и поэтому вероятность W(x\ E) E.3) равна беско-
бесконечности, как показано на рис. 5.1, в. Тем не менее W^(x\E) норми-
нормируема, то есть
\dxW{d\x;E) = 1.	E.4)
Если подставить определение E.3) классической вероятности VHcl) в
условие нормировки и заметить, что р(х) = Mdx/dt, можно определить
константу нормировки ЛЛ
?	т/2
1 { Л/-2 f dx	1 Л/ г ,, 1 Я2 Г ,, 1 Л/
2
2'v J p(x;E) ~ 2 M J ^MT^M
то есть
E.5)
где Т = A dt обозначает период обращения по траектории, соответству-
соответствующий энергии Е. Итак, суть данного раздела — отождествить обрат-
обратную величину классического импульса частицы с мерой вероятности
того, что она имеет данную координату.
5.2. Амплитуды вероятности квантового движения
Мы получим переход от классической к квантовой механике, умно-
умножив выражение E.1) закона сохранения энергии на волновую функцию
и(х) данной энергии и заменив импульс р дифференциальным опера-
оператором (h/i) х d/dx. Такой рецепт приводит к выражению
CL U	ZilVl Г т~1	ТТ/ \~\	/Л	/Г* П \
—2 Н	г Iе ~ и(х)\и = 0-	E.6а)
dx h
С помощью определения E.2) классического импульса р уравнение
Шрёдингера принимает вид:
и"{х)+ И^1 и(х)=0.	E.66)
Здесь и далее в этой главе штрих означает дифференцирование по
координате х.
Выведем теперь приближённое решение полученного уравнения
Шрёдингера, справедливое между двумя точками поворота. Здесь мы

184	Гл. 5. Волны а 1а ВКБ
не следуем стандартному изложению, которое дано во многих учебни-
учебниках по квантовой механике. В этом подходе фаза волновой функции
разлагается в ряд по степеням постоянной Планка. Мы же попробуем
найти решение, комбинируя данное в предыдущем разделе понятие
классической вероятности с идеей интерференции амплитуд вероят-
вероятности.
5.2.1. Обоснованная догадка. Чтобы глубже понять суть при-
приближённого решения независящего от времени уравнения Шрёдингера,
рассмотрим сначала частный случай постоянного потенциала U(x) =
= Uq. В этом случае классический импульс E.2) постоянен, так что
р(х; Е) = ^2M(E - Uo) = р0.
Поэтому можно точно проинтегрировать уравнение Шрёдингера E.66),
получив
и(х) = N cos - dxpo — а ,
[hi	J
где N и а — константы.
Волновой анзац. Руководствуясь этим примером, перейдём к слу-
случаю непостоянного классического импульса р, предложив следующий
анзац
u{w*Ye)(x) = cos [i \dxp(x) E)-a\,	E.7)
удовлетворяющий дифференциальному уравнению
[„(wave)] " + Г (?J _ gj' tg U j ^ф. Е) _ Л bwave) = 0>
аналогичному уравнению Шрёдингера E.6).
Следовательно, если можно пренебречь вкладом второго слагаемого
в скобках, анзац E.7) близок к точному решению. Тем не менее,
у предложенного рецепта есть более серьёзный недостаток, чем то, что
не удаётся точно решить уравнение Шрёдингера E.6). Этот анзац не
удовлетворяет принципу соответствия. Действительно, в пределе боль-
больших квантовых чисел, то есть больших энергий, результаты квантовой
механики обязаны переходить в соответствующие результаты клас-
классической механики. В частности, квантово-механическая вероятность
обнаружения частицы энергией Е в точке с координатой х, даваемая
выражением
W(x) = [u(x)f ,	E.8)
должна превращаться в этом пределе в E.3).
Корпускулярный анзац. На основании принципа соответствия и
сравнения классической и квантовой вероятностей E.3) и E.8) можно

5.2. Амплитуды вероятности квантового движения	185
предложить анзац, совершенно отличный от волнового анзаца E.7).
Он имеет вид:	,	1
и{с1)(х) = , Л = ЛГе-2 ыр.	E.9)
Здесь постоянная J\f определяется как в 5.5).
К сожалению, и^ тоже не удовлетворяет уравнению Шрёдинге-
ра E.6), но приводит к довольно сложному уравнению
Наше обсуждение ясно показывает, что невозможно описывать дви-
движение частицы с помощью волнового решения а 1а E.7), и точно так
же, невозможно применить корпускулярный анзац E.9), основанный
на понятии классической вероятности.
Квантово-механическая частица — и частица, и волна. Функ-
Функция, лучше всего описывающая ситуацию, является произведением
волнового анзаца E.7) и корпускулярного анзаца E.9). Действитель-
Действительно, функция
«(WKB)(x) = u{d)(x)u{waYe\x) = -^cos[i \dxp(x) -
uX41^J(x) = u^4(x)uxn"^J(x) =	cos I - \dxp[x) - a
v " x '	"-ж
удовлетворяет уравнению шрёдингеровского типа
E.10)
E.11)
\"/ VV^y	J
и принципу соответствия.
Для проверки вычислим вероятность обнаружения частицы в точ-
точке х, то есть
что следует из формул E.8) и E.10). Заметим, прежде всего, что и этот
анзац не приводит немедленно в соответствующем пределе к клас-
классическому результату. Действительно, независимо от того, насколько
велика энергия, вероятность всегда испытывает осцилляции как функ-
функция координат, как показано на рис. 5.1, г. Однако, если теперь мы
усредним эту вероятность по быстрым осцилляциям i^wav4 то получим
усреднённое распределение вероятности
= [W(d)(x)f^(wave)(x)]2) =
>, E.13)

186Гл. 5. Волны а 1а ВКБ
которое затем сводится к
^ - 2 р(х)
На последнем шаге мы использовали определение классической веро-
вероятности E.3).
Из-за осцилляции u^WKB\ следующих из вида i^wav4 вероятность
W^WKB\x) E.12) никогда не достигает классической вероятности E.3).
Только усреднённая вероятность W^WKB\x) удовлетворяет принципу
соответствия. В этом смысле классический предел квантовой механики
существенно отличается от предела частной теории относительности,
приводящей к галилеевской относительности в пределе малых скоро-
скоростей. В последнем случае достаточно устремить параметр, равный от-
отношению скорости частицы к скорости света, к нулю, и уравнения част-
частной теории относительности автоматически переходят в ньютоновские
уравнения. В квантовой механике не существует такого равномерного
предела. Необходима дополнительная процедура усреднения.
5.2.2. Область применимости волновой функции ВКБ. Соглас-
Согласно нашей догадке, функция
кг	N €	1
^(wkb) ^ = _^ cos M dxp(x) - a
является приближённым решением одномерного уравнения Шрёдинге-
Шрёдингера для собственного энергетического состояния. Но насколько хорошо
это приближение и каковы пределы его применимости?
Для ответа на этот вопрос сравним уравнение Шрёдингера E.66)
с уравнением для i^WKB) E.11). Видно, что выражение i^WKB) есть
решение уравнения Шрёдингера, если
-И Й2.	E.14)
Дифференцируя классический импульс E.2), находим
откуда
После подстановки этих выражений в формулу E.14), приходим к усло-
условию применимости решения ВКБ E.10)
К_
ш
5 [U'ix)]2 1 Ц"{х)
16 [E-U(x)]3 4 [E-U(x]
«1.	E.15)
Ясно, что это условие нарушается в окрестности точек поворота #
, где С/(#) = U(?) = Е. Следовательно решение ВКБ E.10) может

5.3. Квантование энергии	187
быть справедливо только в области между двумя точками поворота, то
есть в области, где # <С х <С ?.
Кроме того, согласно формуле E.15), потенциал U, или точнее ско-
скорость изменения U, тоже накладывает ограничения на применимость
техники ВКБ-приближения. Разрешены только медленно изменяющи-
изменяющиеся потенциалы. Любые потенциалы с острыми углами не могут быть
рассмотрены данным методом, их нужно рассматривать другим мето-
методом — ВКБ-приближением, способным «бороться» с острыми углами.
За деталями отсылаем читателя к литературе в конце главы. Подчерк-
Подчеркнём, однако, что в общем случае волновые функции ВКБ-приближения
находятся в превосходном согласии с точными волновыми функциями.
5.3. Квантование энергии
Вернёмся к построению решения ВКБ, которое с учётом условия
нормировки E.5) имеет вид
,(WKB)/ гл\ о /	М	\	| 1
?
<,™ (*; Я) = 2 ^^g^y J cos ^ j dxp(x; E) - aj.	E.16)
Для того, чтобы решение E.16) представляло собственную функ-
функцию данной энергии, следует зафиксировать две остающиеся свобод-
свободными постоянные — энергию Е и фазу а. Мы найдём эти величины,
приближённо решая уравнение Шрёдингера в окрестности точек по-
поворота д и ?. Когда мы найдём асимптотическое продолжение этого
приближённого решения в область осцилляции u^WKB\ то есть в об-
область, где # < х < ?, эта функция сведётся к выражению E.16) при
условии, что а = тг/4. Покажем это явно.
5.3.1. Определение фазы. Чтобы найти фазу а, разложим потен-
потенциальную энергию U(x) в ряд Тейлора в окрестности правой точки
поворота ?, ограничившись только линейными членами:
U{x) = С/(?) + ^
Следовательно, в окрестности точки ? уравнение Шрёдингера E.6) для
волновой функции собственного энергетического состояния имеет вид
где мы ввели величину
Подчеркнём, что к имеет размерность обратной длины и поэтому игра-
играет роль волнового числа.

188	Гл. 5. Волны а 1а ВКБ
Это позволяет записать уравнение Шрёдингера в безразмерных
переменных у = кх, то есть
-^^-к(х-?)и = 0.	E.18)
d(kxJ V	J
Это уравнение показывает, что поведение волновой функции данной
энергии в точке поворота удовлетворяет уравнению Шрёдингера с ли-
линейным потенциалом. Конкретная форма потенциала входит только
в виде значения его первой производной в точке поворота.
Уравнение Шрёдингера в линейном потенциале. Таким образом,
мы должны решить независящее от времени уравнение Шрёдингера
для случая линейного потенциала. Впервые это сделал Г. Брейт, запи-
записав решение через функцию Эйри:
М(у) = ^ U ехр [г (^3 + ytj] .	E.19)
В приложении Д обсуждаются различные свойства функции Эйри.
В частности, мы показываем, что она удовлетворяет дифференциаль-
дифференциальному уравнению
^М - у М(у) = 0.	E.20)
dy
Сравнение формул E.18) и E.20) показывает, что решение имеет вид:
и{х) = N к\[к{х - ?)],	E.21)
где N — константа.
Дифференцируя это выражение по координате и пользуясь диф-
дифференциальным уравнением E.20) для функции Эйри, нетрудно убе-
убедиться, что так определённая волновая функция и(х) удовлетворяет
уравнению Шрёдингера в приближении E.17) линейного потенциала.
Сшивка двух решений. Итак, мы получили точное решение урав-
уравнения Шрёдингера в окрестности точки поворота ?. Чтобы определить
фазу а, мы должны теперь сшить это решение с осциллирующей
волновой функцией E.16), справедливой на достаточном удалении от
точек поворота.
Для этого напомним выписанное в приложении Д соответствую-
соответствующее асимптотическое разложение функции Эйри. Из формулы E.21)
следует, что положительные значения аргумента функции Эйри соот-
соответствуют классически недоступной области потенциала, в то время
как отрицательные значения описывают классически разрешённую об-
область.
Поскольку мы хотим сшить волну ВКБ в разрешённой обла-
области E.16) с выражением для функции Эйри вблизи точки поворота,
используем асимптотическое разложение

5.3. Квантование энергии	189
справедливое для отрицательных аргументов z, где z = —k(? — х).
Поэтому выражение для волновой функции E.21) вблизи точки
поворота принимает вид:
и(х) - ЛГ-L [*(? - аОГ'^Щ [Щ - x)f2 - J] .	E.23)
Сравним этот результат с видом волновой функции ВКБ-приближе-
ния, которая определяется формулой E.16):
Чтобы получить правильный переход между двумя волновыми функци-
функциями, следует линеаризовать потенциал в волновой функции ВКБ-при-
ближения. Действительно, решение в виде функции Эйри было полу-
получено для линейного потенциала.
С этой целью рассмотрим связанный с линейным потенциалом
приближённый импульс
р(х) = л/2М [Е - U{x)\ = ^2MUf(x) у/? - х = Пкг'2у/? - х E.24)
и вычислим фазу
Q(T) = 1 drr>(r\ — — dr \/9M\E — TTCtW
n ]	a }
X	X
которая равна
S
S(x) ^ /c3/2 \dx y/i-x = \ [Щ - x)}3/2.	E.25)
X
Отсюда волновая функция ВКБ-приближения принимает вид:
- а] . E.26)
Сравнение волновой функции ВКБ-приближения E.26) и волновой
функции E.23), распространённой на область осцилляции, начинаю-
начинающихся с точки поворота, приводит к значению
Соответственно, мы знаем, что в точках поворота ВКБ-волна имеет
фазу — тг/4, что показано на рис. 5.2. Это простейший вид так называ-
называемого индекса Маслова, возникающего при применении ВКБ-анализа
для многомерных систем. За более подробным обсуждение отсылаем
к цитированной литературе.

190	Гл. 5. Волны а 1а ВКБ
Кроме того, этот же анализ позволяет найти полную волновую
функцию в окрестности точки поворота:
¦х)].	E.27)
-l)mcos ± \dxp{x)-j
= cos
Рис. 5.2. Фаза волновой функции ВКБ-приближения в точках поворота # и ?
классического движения равна —тг/4, то есть и^кв\х = #,?) ос cos(—тг/4).
х
гл	(WKB)	/Г dxp(x) тгЛ
Отсюда, осциллирующая часть и\^ ' имеет вид: cos —?1^^ — - или
\j h	4 /
— — V Чтобы гарантировать однозначность волновой функции
dxp(x)
ВКБ-приближения г^кв) в любой точке х в классически разрешённой об-
области, значение и^кв\х), полученное разложением в окрестности правой
точки поворота ?, должно быть тождественным тому, которое получается
путём разложения в окрестности левой точки поворота #. Нечётные кванто-
квантовые числа соответствуют нечётному числу нулей. Отсюда, волновая функция
вблизи 'д имеет противоположный знак по сравнению с волновой функцией
вблизи ?. Мы должны включить дополнительное изменение фазы (— \)ш =
= cos (штг) в условии однозначности, что приводит к квантованию энергии
\dxp(x) = 2тгЯ(ш+ 1/2)
5.3.2. Квантование Бора-Зоммерфельда-Крамерса. В преды-
предыдущем подразделе мы нашли фазу волновой функции ВКБ-прибли-
ВКБ-приближения путём сшивки этого решения с функцией Эйри, разложенной
в окрестности правой точки поворота ?. Конечно, можно применить
ту же процедуру и в левой точке поворота #. Это приводит к друго-
другому осциллирующему разложению энергетической волновой функции.
Очевидно, что разложения, полученные справа или слева, должны
приводить к тождественным результатам в любой точке посередине.
Именно это условие приводит к квантованию энергии.
Нечётным квантовым числам соответствует нечётное число нулей
волновой функции. Следовательно, волновая функция с нечётными
квантовыми числами имеет в окрестности # знак, противоположный

5.3. Квантование энергии	191
тому, который имеется в окрестности ?. Это приводит к условию
однозначности
(-l)mcos
- dxp{x) — — = cos - dxp{x) — — .
_ J	^ J L J	J
0
Если мы включим множитель (—l)m в фазу волны, то есть
х	?
[1 Г I— /~\	7г1	Г 1 Г ^— /—\ ^1	А
- dxp{x) — ттг — — \ — cos - dxp[x) — — =0,
пJ	4J	L J	J
и воспользуемся соотношением
cos a — cos /3 = 2 sin a sin ¦
2 '
получим:
x
* v '	2 I J
Г 1 [l f	7г1
2sin< - - dxp{x) — ттг — —
'in I 2 Я ^P^) ~ Я ^^^) ~ m7r f = °-
L L J	J	J J
х sin<
Так как это выражение должно быть верным при любых х, первый
синус должен обратиться в нуль, откуда
- - dxp(x) -ттг- ? =0.
z L J	J
Это условие квантования Бора-Зоммерфельда-Крамерса.
2 dxp(x) = el dxp(x) = J = 2тгЙ f m + - j .
Заметим, что интеграл действия J квантован в долях полуцелых
значений 2тгЙ. Такое квантование по полуцелым, а не по целым зна-
значениям следует из фазового сдвига а = тг/4, который, в свою очередь,
обязан своим происхождением приближённому выражению волновых
функций в виде функций Эйри. Это утверждение становится ясным,
если проследить происхождение множителя 1/2. Данный результат
был получен Г. Крамерсом в 1926 г.
Квантование действия требует квантования энергии. Действитель-
Действительно, если вспомнить, что импульс р{х) содержит энергию Е в качестве
свободного параметра, становится понятным, что только некоторые

192	Гл. 5. Волны а 1а ВКБ
избранные значения энергии Ет могут удовлетворять условию Бора-
Зоммерфельда-Крамерса
ф dxpm(x) = ф dxp(x; Ет) = ф dx \/2М[Ет — U(x)] = 2тгЙ (т + - ) .
J	J	J	\ 2 J
Завершим этот раздел замечанием, что метод ВКБ нахождения
волновых функций данной энергии неприменим к несепарабельным
системам большей размерности. В качестве примеров можно привести
задачу об атоме водорода в сильном постоянном магнитном поле или
задачу о квантовом биллиарде. Эти задачи относятся к проблемам
квантового хаоса. Полуклассическое рассмотрение оказывается в этом
случае необычайно полезным. Однако данные вопросы выходят за
рамки этой книги.
5.4. Резюме
Завершим обсуждение волновой функции ВКБ, приведя важнейшие
результаты. В частности, мы повторим те шаги, которые приводят
к волновой функции ш-го энергетического состояния в ВКБ-прибли-
жении, а затем коротко обсудим единое асимптотическое разложение
волновой функции.
5.4.1. Построение простейшей волновой функции в ВКБ-
приближении. Чтобы построить волновую функцию в ВКБ-прибли-
жении, исходим из закона сохранения энергии для частицы массой М,
движущейся в связывающем потенциале U(x)\
Разрешаем это уравнение относительно классического импульса
р(х; Е) = ^2М[Е - U(x)],	E.28)
подставляем найденное выражение в условие квантования Бора-Зо-
ммерфельда-Крамерса
2 [ dxp(x; Е) = I dxp(x; Е) = 2тгЙ (тп + )-
и разрешаем относительно энергии Е. Такая процедура приводит
к дискретным значениям энергии Еш. Используя определение импуль-
импульса E.28), находим квантованный импульс
рт(х) = р(х; Е = Ет) = ^2М[Ет - U(x)]
частицы в т-м собственном состоянии энергией Ет.

5.4. Резюме	193
Точки поворота #ш и ?т для m-й орбиты находятся из условия
) = U(?m). Это позволяет вычислить период
= 2M f -^r-
Prn(x)	J
#т
т-го собственного энергетического состояния. Кроме того, можно най-
найти фазу
?т
ipm(x) = 5ш(ж) - j = - dxpm(x) - ^,	E.29)
ВКБ-волны в точке ж.
Следовательно, волновая функция m-го собственного энергетиче-
энергетического состояния в приближении ВКБ имеет вид:
= 2 [	—- I cos
iPrn\X)
1 f ,~	/~ч	7Г
- dxpm(x) - -
E.30)
Заметим, что данное выражение применимо только внутри области
осцилляторного поведения волновой функции, достаточно далеко от
точек поворота. В точках поворота импульс обращается в нуль и по-
поэтому волновая функция ВКБ-приближения обращается в бесконеч-
бесконечность. Кроме того, мы должны считать значение волновой функции
в классически запрещённой области равным нулю. Поскольку такое
приближение точной волновой функции довольно примитивно, этот вид
волновой функции ВКБ-приближения называют простейшей волновой
функцией ВКБ-приближения.
5.4.2. Равномерное асимптотическое разложение. Можно пре-
преодолеть трудности с сингулярностью простейшей волновой функции
ВКБ-приближения в точке поворота, воспользовавшись решением в ви-
виде функции Эйри E.27). Кроме того, как показывается в задаче 5.1,
можно использовать выведенное в приложении Д асимптотическое
разложение функции Эйри для положительных аргументов для на-
нахождения простого выражения для волновой функции в запрещённой
области.
Таким образом, можно представить волновую функцию в различных
областях координатного пространства простыми выражениями. Однако
эти выражения справедливы только в этих конкретных областях. Так
называемое равномерное асимптотическое разложение позволяет запи-
записать выражение, единым образом применимое во всей области. Мы не
будем выводить этого выражения, а только обоснуем его.
7 В. П. Шляйх

194	Гл. 5. Волны а 1а ВКБ
Область осцилляции. Для координат слева от правой точки пово-
поворота t;m, то есть при х ^ ^т, равномерное решение имеет вид:
^=2 (^))'/2[^-(ж)]1/6 Ai (- g^
Действительно, подставляя асимптотическое разложение функции Эй-
ри в формулу для волновой функции в осцилляторном режиме, можно
убедиться, что она сводится к простейшей волновой функции ВКБ-при-
ближения. Кроме того, для значений координат вблизи точки поворота
можно использовать асимптотические выражения E.24) и E.25) для
импульса рт(х) и фазы Sm(x), и получить волновую функцию E.27),
справедливую вблизи точки поворота. Итак, приведённая формула объ-
объединяет в одном выражении два предельных режима.
Классически запрещённая область. Для координат в запрещённой
области, то есть для х > ?ш, потенциальная энергия U(x) больше, чем
энергия Е. Поэтому мы должны заменить импульс рт(х) на
а фазу Sm(x) на	х
Sm(x) = - J dxpm(x).
Cm
Поэтому выражение для волновой функции в запрещённой области
принимает вид:
um(x) = 2 -^Ут $Sm(x) Ai $Sm(x)	. E.32)
Мы вновь можем убедиться, что эта формула верна, подставив в неё
асимптотическое разложение функции Эйри для больших положитель-
положительных аргументов, и получив простейшую функцию ВКБ-приближения,
верную в классически запрещённой области. Кроме того, в точке по-
поворота этот результат сводится к тому, который получен из формулы,
верной слева от точки поворота.
Задачи
5.1 Простейшая волновая функция ВКБ-приближения в запре-
запрещённой области
Чтобы вывести вид простейшей волновой функции ВКБ-прибли-
ВКБ-приближения в классически запрещённой области, где U(x) > Е, запи-
записать уравнение Шрёдингера E.6а) в виде
u/f(x) — —т-^ и(х) = 0.
где р = ^2M(U(x) — Е). Применить идеи раздела 5.2 для на-
нахождения приближённого решения, затухающего вдали от точки

Задачи	195
поворота. Сшивая это решение с тем решением E.21), которое
верно в точке поворота, найти простейшую волновую функцию
ВКБ-приближения в классически запрещённой области.
5.2	Равномерная асимптотическая волновая функция ВКБ-при-
ВКБ-приближения
Вывести выражения E.31) и E.32) для равномерной асимптоти-
асимптотической волновой функции ВКБ-приближения, начав с уравнения
Шрёдингера E.6а) и введя фазу S(x) как новую переменную.
Сравнить получившееся дифференциальное уравнение с уравне-
уравнением для функции Эйри.
5.3	Метод ВКБ для атома водорода. Преобразование Лангера
Радиальные волновые функции водородоподобного атома удовле-
удовлетворяют уравнению
h2 ?u e	h2 1A+1) „
где I = 0,1,2,... Это уравнение можно рассматривать как од-
одномерное уравнение Шрёдингера для частицы в эффективном
потенциале	9 9
(а) Каковы собственные значения энергии, полученные с помо-
помощью правила Бора-Зоммерфельда-Крамерса?
Указание: Ввести безразмерные переменные
Me2	П2
Г И Г]
(б)	Что происходит при / = 0?
(в)	Совершить преобразование
р = е^, и = е^2 v
и рассмотреть полученный результат снова как одномерное
уравнение Шрёдингера для частицы в эффективном потен-
потенциале.
(г)	Каковы собственные значения энергии, получающиеся в
этом случае из правила квантования Бора-Зоммерфельда-
Крамерса?
Указание: См., например, работы Langer A937) и Yost et al.
A939).
5.4 Осциллятор Морса
Рассмотреть потенциал Морса
U(x) = D(e-2ax -2е~ах), где D > 0, а > 0.

196	Гл. 5. Волны а 1а ВКБ
(а)	Нарисовать график этого потенциала. При каких энергиях
движение классической частицы в потенциале U(x) будет
финитным?
(б)	Найти период финитного движения классической частицы
с энергией Е в потенциале U(x).
(в)	Чему равны собственные значения энергии, вычисленные
с помощью правила квантования Бора-Зоммерфельда-Кра-
мерса
(К р dx = 2тгЙ ( т + - 1 ?
(г)	Вычислить волновые функции ВКБ-приближения.
(д)	Нарисовать фазовые траектории р2/BМ) + U(x) = Em. Ка-
Какова геометрическая интерпретация фазы волновых функций
ВКБ-приближения?
Указание: Получающиеся интегралы сводятся к стандарт-
стандартным с помощью подстановки и = е±ах.
Уравнение Шрёдингера для потенциала U(x) можно также
решить точно. См., например, Ландау и Лифшиц, Кван-
Квантовая Механика B003). Значения энергии, вычисленные
методом ВКБ, совпадают с точными ответами.
5.5 Волновая функция ВКБ-приближения для гармонического
осциллятора
Следуя этапам вычислений, описанным в разделе 5.4, вывести
формулы ВКБ-приближения для волновых функций данной энер-
энергии ит(х) в потенциале гармонического осциллятора U(x) =
= - Мп2х2. Сравнить этот результат с асимптотическим выраже-
выражением D.6), полученным в разделе 4.1.2, применив метод перевала
к интегральному представлению полиномов Эрмита.
Литература
Первоначальные работы по методу ВКБ
Чтение первоначальных работ по методу ВКБ очень стимулирует. См., например:
Wentzel G. Eine Verallgemeinerung der Quantenbedingungen fur die Zwecke
der Wellenmechanik // Z. Phys. 1926. V. 38. P. 518-529.
Kramers H.A. Wellenmechanik und halbzahlige Quantisierung // Z. Phys.
1926. V. 39. P. 828-840.
Brillouin L. La mechanique ondulatoire de Schrodinger; une methode generale
de resolution par approximations successives // C.R. Acad. Sci. Paris. 1926.
V. 183. P. 24-26.
Задача о линейном потенциале:
Breit G. The Propagation of Schrodinger Waves in a Uniform Field of Force //
Phys. Rev. 1928. V. 32. P. 273-276.

Литература	197
Вводные статьи и книги по методу ВКБ:
Debye P. Wellenmechanik and Korrespondenzprinzip // Physik. Zeitschr. 1927.
V. 28. P. 170-174.
Pauli W. Die allgemeinen Prinzipien der Wellenmechanik. Handbuch
der Physik, Vol. 24, edited by H. Geiger and K. Scheel, Springer Verlag, Berlin,
1933
[Паули В. Общие принципы волновой механики. — М.: ОГИЗ, 1947]
Kramers Н.А. Quantentheorie des Elektrons und der Stahlung. Vol. 2, Hand-
und Jahrbuch der Chemischen Physik, Eucken-Wolf, Leipzig, 1938
Подходящее преобразование переменных для атома водорода
Langer R.E. On the Connection Formulas and the Solutions of the Wave
Equation // Phys. Rev. 1937. V. 51. P. 669-676.
Yost F.L., Wheeler J.A., Breit G. Coulomb Wave Functions in Repulsive
Fields // Phys. Rev. 1939. V. 49. P. 174-189.
Hainz /., Grabert H. Centrifugal terms in the WKB approximation and semi-
classical quantization of hydrogen // Phys. Rev. A. 1999. V. 60. P. 1698-1701.
Метод ВКБ для специалистов
Более продвинутая литература:
Froman N., Froman P.O. JWKB Approximation: Contributions to the Theory.
North-Holland, Amsterdam, 1958
[Фрёман #., Фрёман П. У. ВКБ-приближение. — М.: МИР, 1967]
Heading J. An Introduction to Phase Integral Methods. Methuen, London,
1962
Wasow W. Asymptotic Expansions for Ordinary Differential Equations. Wiley,
New York, 1965
Berry M. V., Mount K.E. Semiclassical Approximations in Wave Mechanics //
Rep. Prog. Phys. 1972. V. 35. P. 315-397.
Wheeler J. A., in: Studies in Mathematical Physics, ed. by E.H. Lieb, B. Simon
and A.S. Wightman, Princeton University Press, Princeton, 1976
de Bruijn N. G. Asymptotic Methods in Analysis. North-Holland, Amsterdam,
1985
Berry M. V. Semi-classical mechanics in phase space: a study of Wigner's
function // Phil. Trans. R. Soc. London. 1977. V. 287A. P. 237-271
Berry M. V. Quantum scars of classical closed orbits in phase space // Proc.
R. Soc. London. 1989. V. 423A. P. 219-231
Berry M. V. Fringes decorating anticaustics in ergodic wave functions // Proc.
R. Soc. London. 1989. V. 424. P. 279-288.
Рассмотрение методом ВКБ потенциалов с острыми углами
Bestle /., Schleich W.P., Wheeler J.A. Anti-Stealth: WKB grapples with a
corner // Appl. Phys. B. 1995. V. 60. P. 289-299.

198	Гл. 5. Волны а 1а ВКБ
Равномерное асимптотическое разложение
Chester С, Friedmann В., Ursell F. An extension of the method of steepest
descents // Proc. Camb. Philos. Soc. 1957. V. 53. P. 599-611.
Bleistein N., Handelsmann R.A. Asymptotic Expansions of Integrals. Holt,
Rinehard and Winston, New York, 1975
ВКБ и квантование Эйнштейна-Бриллюена-Келлера (ЭБК)
Хорошее введение в методы ВКБ для высших измерений и квантование ЭБК:
Percival I.C. Semiclassical theory of bound states // Adv. Chem. Phys. 1977.
V. 36. P. 1-61.
Применение техники ВКБ в высших измерениях и, в частности, для хаотических
систем типа атома водорода в магнитном поле или задаче о стадионе:
Friedrich H. Theoretical atomic physics. Springer-Verlag, Heidelberg, 1998
Маслов В.П., Федорчук М.В. Квазиклассическое приближение для урав-
уравнений квантовой механики. — М.: Наука, 1976

Глава 6
ВКБ И ФАЗА БЕРРИ
В гл. 4 мы построили когерентное и сжатое состояния гармониче-
гармонического осциллятора, например, маятника, путём внезапного смещения
точки подвеса или изменения его длины. Таким образом мы перешли от
основного состояния маятника к состояниям, не являющимся собствен-
собственными состояниями данной энергии. Что случится, если рассмотреть
другой предельный случай, то есть вновь начать с основного состояния
маятника, но теперь медленно менять его длину?
В этом контексте «медленно» означает «медленно по сравнению со
всеми временными масштабами системы», то есть мы рассматриваем
адиабатические изменения. Следовательно, в каждый момент времени
существуют мгновенные собственные состояния данной энергии \m(t)).
В раннюю эпоху развития квантовой механики Пауль Эренфест об-
обнаружил, что при адиабатических изменениях маятник остаётся в по-
подобном мгновенном собственном состоянии. Однако он приобретает
некоторую фазу. Эта фаза состоит из двух частей: а) динамической фа-
фазы, возникающей из-за того, что стационарное состояние подвергается
унитарной эволюции во времени, и б) геометрической фазы, связанной
с топологией пространства параметров. Последнюю принято называть
фазой Берри.
Вид волновой функции данной энергии в связывающем потенциале
можно найти из независящего от времени уравнения Шрёдингера.
Если потенциал как функция координаты медленно изменяется, можно
аппроксимировать волновую функцию волной ВКБ. Такое поведение
напоминает обсуждавшиеся выше адиабатические изменения. Действи-
Действительно, существует тесная связь между волновой функцией ВКБ-при-
ближения и фазой Берри. Мы уже видели, что волновая функция
ВКБ-приближения содержит фазу, которая при движении от одной
точки поворота к другой непрерывно изменяется на большую величи-
величину, кратную 2тг. Однако в точке поворота фаза скачком изменяется
на —тг/2.
В данной главе мы покажем, что эти две фазы волновой функции
ВКБ-приближения действительно можно интерпретировать как дина-
динамическую и топологическую фазы. Для этого в разделе 6.1 мы кратко
знакомимся с понятием фазы Берри, а затем в разделе 6.2 заново
выводим вид волновой функции ВКБ-приближения методом, наиболее
ясно демонстрирующим аналогию с фазой Берри.

200	Гл. 6. ВКБ и фаза Берри
Кроме того, требование адиабатичности изменений не является
необходимым. Следуя работам Ю. Ааронова и Дж. Анандана, можно
определить фазу Берри и для неадиабатических изменений. Мы завер-
завершаем главу кратким обсуждением этой идеи в разделе 6.3. В частности,
устанавливается связь с эволюцией во времени квантового состояния
гармонического осциллятора, обсуждавшейся в гл. 4.
6.1. Фаза Берри и адиабатическое приближение
В данном разделе мы рассмотрим эволюцию во времени квантового
состояния, если гамильтониан системь^Я" содержит зависящий от вре-
времени внешний параметр R(t), то есть Н = H[R(t)]. В частности, сосре-
сосредоточим внимание на случае, когда R(t) описывает замкнутую петлю
в пространстве параметров, так что R(t = 0) = R(t = Т). Здесь Т
обозначает период такого цикла. Вычислим фазу, приобретаемую за
время такой циклической эволюции.
Для этого обсудим сначала адиабатическое приближение. Мы уви-
увидим, что при адиабатическом изменении во времени квантовая система,
первоначально приготовленная в собственном состоянии данной энер-
энергии, остаётся в мгновенном собственном состоянии, но приобретает
фазу.
6.1.1. Адиабатическая теорема. Эволюция во времени любого
квантового состояния |Ф(?)) следует из уравнения Шрёдингера
гй| |Ф(*)> = Я|Н(*)] |Ф(*)>.	F.1)
Мгновенное собственное состояние |n[R(t)]) гамильтониана H[H(t)]
данной энергии En[H(t)] определяется уравнением
H[R(t)] \n[R(t)]} = En[R(t)] \n\R(t)]}.	F.2)
Рассмотрим временную эволюцию произвольного состояния |Ф(? = 0))
и разложим его по мгновенным собственным состояниям данной энер-
энергии согласно соотношению
|Ф(* = 0)> = Е ^n(t = 0)\n[R(t = 0)]).	F.3)
п
Чтобы решить зависящее от времени уравнение Шрёдингера F.1),
высказываем гипотезу, что
^	F.4)
Здесь мы включили динамическую фазу
t
i,	F.5)

6.1. Фаза Берри и адиабатическое приближение	201
являющуюся очевидным обобщением обычного фазового множителя
Ent/h на случай системы, зависящей от времени.
Дифференциальное уравнение для коэффициентов разложения
Фп(?) можно найти, подставив разложение F.4) в уравнение
Шрёдингера F.1). Тогда:
(I
Здесь для простоты опущен аргумент R(?) мгновенного собственного
состояния \п). Подчеркнём, однако, что эти состояния неявно зависят
от времени через R(?). Эта зависимость проявляется в последнем члене
приведённого выше уравнения, в котором содержится производная по
времени состояния \п).
Если вспомнить из определения динамической фазы F.5) соотно-
соотношение
то выражение, следующее из левой части уравнения Шрёдингера, при-
принимает вид
. F.6a)
Уравнение на собственные значения F.2) для |n[R(?)]) позволяет
вычислить правую часть уравненияч Шрёдингера, приняв для вектора
состояния |Ф(?)) выражение F.4). В результате
н 1ф№> = 2^ Е^п ехР НС ] \п) -	F-66)
п
Если сравнить это с правой частью F.6а), получим:
^ехр [-гф^]] \(jt^n\ \п) + фп (^1П)I = °- F7)
п
Проектируем теперь на собственное состояние данной энергии
|m[R(?)]) и предполагаем условие ортонормированности
(rain) = 6т..п.

202
Гл. 6. ВКБ и фаза Берри
Это приводит к дифференциальному уравнению
га\фт- У
dt
тфп
Здесь слагаемое с Фт исключено из суммы.
Мы замечаем, что матричный элемент
П)ФП.
F.8)
= (га — п
at
связывает n-е и га-е энергетические состояния. Даже если мы стартуем
из какого-то одного собственного состояния данной энергии, в ре-
результате унитарной эволюции во времени, обусловленной уравнением
Шрёдингера, будут заселены другие собственные энергетические со-
состояния. Три фактора определяют вероятность перехода с n-го на га-й
уровень: а) матричный элемент 7m?n, б) разность динамических фаз
ФгРA) — ФтA), в) начальная амплитуда вероятности Фп n-го уровня.
Сначала обсудим роль матричного элемента 7m?n и попробуем дать
оценку его величины. Для этого выделим явную зависимость от вре-
времени, определяемую зависящим от времени параметром R(?). Заменим
дифференцирование по времени дифференцированием по параметру R,
умноженному на производную по времени R. Тогда имеем
Im,n =
F.9)
так что величина 7Ш>П определяется скоростью изменения R. Предпо-
Предполагая, что на характерных временных масштабах задачи это изменение
мало, получаем, что перемешивание состояний за счёт матричного
элемента 7m?n мало.
Заметим также, что при п ф т отдельные члены в сумме содержат
фазовые множители, являющиеся функциями времени. Такие осцилля-
осцилляции также уменьшают эффективную связь ш-го состояния с осталь-
остальными.
Таким образом, вытекающая из F.8) адиабатическая теорема утвер-
утверждает, что система, изначально находившаяся в собственном состоянии
данной энергии, остаётся в этом состоянии, если изменение R(t) адиа-
батично. В этом случае отсутствуют переходы в другие мгновенные
собственные энергетические состояния. Следовательно, в результате
эволюции во времени состояние |m[R(t = 0)]) остаётся собственным
состоянием данной энергии |m[R(t)]), но, как мы сейчас покажем,
приобретает фазу.
6.1.2. Анализ геометрической фазы. Чтобы найти эту фазу, рас-
рассмотрим эволюцию во времени энергетического собственного состоя-
состояния |m[R(t = 0)]) при адиабатическом изменении R(t). Такое усло-
условие адиабатичности позволяет пренебречь в уравнении F.8) связью

6.1. Фаза Берри и адиабатическое приближение	203
с остальными собственными состояниями данной энергии |n[R(t)]).
Поэтому находим:
f^m(t) = - <m[R]| VR |m[R]> ¦ ^ Фто(*),	F.10)
где было использовано представление F.9) матричного элемента /ш>ш.
Покажем теперь, что слагаемое (m[R]|VR|m[R]) является чисто
мнимым. Действительно, дифференцируя условие нормировки 1 =
= (m[R]|m[R]), находим соотношение
0 = VR ((m[R] |m[R])) = (VRm[R] |m[R]> + (m[R]| VR
или
0 = (m[R]| VR |m[R])* + (m[R]| VR |m[R]) = 2Re{(m[R]| VR
то есть действительная часть обращается в нуль.
Отсюда вытекает, что амплитуда вероятности действительно приоб-
приобретает фазу, определяемую дифференциальным уравнением
jt Фт(«) = -г Im [(m[R] | Vr |тр]>] ¦ ^ Фго(*),
откуда
Фт(*)
Здесь мы ввели геометрическую фазу
R(t)
R(t=0)
Название «геометричаская» или «топологическая» фаза связано с тем,
что интеграл выявляет геометрию гильбертова пространства. Действи-
Действительно, фазу определяет скалярное произведение вектора состояния
|m[R]) и VR|m[R]). Более точно, это геометрия, которая измеряется
вдоль пути, проходимого вектором R(t).
В заключении этого раздела обсудим адиабатическую эволюцию
квантового состояния |m[R(t = 0)]). В этом случае начальное условие
для коэффициентов разложения Фп(? = 0) в уравнении F.3) имеет вид:
и состояние
|Ф(*)> = ехр [-#<!>(*)] ехр [-1ф^{Щ |mp(t)]>	F.11)
приобретает помимо динамической фазы ф$(Ь) ещё и геометрическую
фазу </>$(t).
6.1.3. Геометрическая фаза как поток в гильбертовом про-
пространстве. Завершим этот раздел рассмотрением случая циклической

204
Гл. 6. ВКБ и фаза Берри
эволюции по замкнутому пути С в пространстве параметров. Здесь Т
обозначает период циклического движения.
Согласно выражению F.11) вектор состояния после одного цикла
не совпадает с исходным вектором. Помимо динамической фазы
т
1
(T)=l-\dtEm[R(t)}
он приобретает геометрическую фазу
.<e)=J>dRIm{(m[R]|VR|m[R])}.
F.12)
Это выражение привносит элементы дифференциальной геометрии.
Действительно, оно напоминает идею измерения кривизны поверхности
путём параллельного переноса касательного вектора. В этом случае
мы переносим вектор, касательный искривлённой поверхности, вдоль
пути, показанного на рис. 6.1. Если рассмотреть замкнутый путь, то
после одного оборота обносимый вектор не возвращается в исходное
положение. Угол между двумя векторами отличен от нуля. Этот угол
и есть мера кривизны поверхности.
Рис. 6.1. Параллельный перенос на сфере как мера кривизны. Рассмотрим
вектор, который всегда находится в касательной плоскости к поверхности
сферы и переносится по замкнутому пути по сфере. По возвращении в исход-
исходную точку перенесённый вектор не совпадёт с начальным, угол между этими
векторами отличен от нуля. Этот угол есть мера кривизны сферы
В случае геометрической фазы мы измеряем кривизну пространства
параметров. Чтобы это утверждение стало более ясным, можно с помо-
помощью теоремы Стокса преобразовать линейный интеграл вдоль пути С
в поверхностный интеграл. Геометрическая фаза
ф$= [df.Bm[R]

6.2. Лдиабатичность и волновые функции ВКБ-приближения	205
является тогда потоком векторного поля
Bm[R] = VR x Im{(m[R]| VR |
через площадку J7, охватываемую контуром С, с вектором бесконечно
малого элемента поверхности df.
Заметим, что геометрическая фаза фт аналогична фазе Ааронова-
Бома. В этом последнем случае электроны рассеиваются на вектор-
векторном потенциале, создаваемом длинным и тонким соленоидом. Магнит-
Магнитное поле такой системы постоянно внутри соленоида и равно нулю
снаружи. Поэтому линии векторного потенциала представляют собой
окружности, охватывающие соленоид. Волновая функция электрона,
облетающего соленоид с левой стороны, испытывает сдвиг фазы, от-
отличающийся от сдвига фазы волновой функции электрона, облетаю-
облетающего соленоид с правой стороны. Полный сдвиг фазы Ааронова-Бома,
определяющий интерференционную картину на больших расстояниях,
равен контурному интегралу
ф{ё) ~ [ dR • A(R) = [ dt • [VR x A(R)] = [ dt • B(R)
С	T	T
векторного потенциала вдоль замкнутой траектории С электронов, то
есть потоку магнитного поля В сквозь поверхность J7, охватываемую
контуром С. Эта аналогия наиболее ясно показывает, что геометриче-
геометрическая фаза измеряет поток в гильбертовом пространстве.
Завершим этот раздел замечанием, что понятие геометрической
фазы содержит много других тонкостей. Объём книги не позволяет
глубже рассмотреть этот необычайно интересный круг вопросов. Одна-
Однако необходимо заметить, что такая геометрическая фаза наблюдалась
в случае поляризации света, проходящего через скрученные оптово-
оптоволоконные волноводы. Кроме того, совсем недавно было заявлено, что
исходя из этого понятия, можно вывести статистики Ферми-Дирака
и Бозе-Эйнштейна. Всё же эти вопросы выходят за рамки данной
книги, и мы отсылаем читателя к цитированной литературе.
6.2. Адиабатичность и волновые функции
ВКБ-приближения
В разделе 5.2.1 мы обосновали вид волновой функции данной энер-
энергии типа показанной на рис. 6.2 и соответствующей произвольному,
но медленно меняющемуся связывающему потенциалу U(x). В данном
разделе мы выведем этот результат, представив независящее от вре-
времени уравнение Шрёдингера для волновой функции и(х) в виде урав-
уравнения Шрёдингера для двумерной системы. Такой подход позволяет
связать ВКБ-приближение с понятием геометрической фазы.

206
Гл. 6. ВКБ и фаза Берри
i
2тж -
Г/2+6 \
2я-
у -7Г/4"
/ Г+е
/^ЗГ/2
^Г/4
Рис. 6.2. Зависимость фазы волновой функции данной энергии в ВКБ-при-
ближении от координаты. Волновая функция m-го энергетического состояния
в связывающем потенциале испытывает осцилляции и имеет m узлов (рис.
наверху). Частица, имеющая такую энергию, движется по замкнутой орбите
в фазовом пространстве (рис. посередине). Площадь, охватываемая замкнутой
орбитой, равна 2ттН(т + 1/2). Фаза волновой функции ВКБ-приближения
увеличивается при движении от правой точки поворота ? к левой точке #
и назад (рис. внизу). Накопленная за время движения от одной стороны
до другой фаза равна тг/4 + тптг + тг/4 = (т+1/2)тг. Двойной вклад тг/4
возникает от того, что фаза ВКБ-волны в каждой точке поворота равна — тг/4.
В противоположность такому монотонному росту фаза испытывает скачок
—тг/2 в точках поворота, иными словами, тогда, когда частица пересекает
ось х в фазовом пространстве. Таким образом, полная фаза, накопившаяся за
весь цикл движения, равна 2 (т + 1/2) тг — 2тг/2 = 2тгт, и волновая функция
тождественна начальной
6.2.1. Проблема собственных значений энергии как пробле-
проблема распространения. Начнём с независящего от времени уравнения
Шрёдингера
и"(х) + к2(х)и(х) =0	F.13)

6.2. Лдиабатичность и волновые функции ВКБ-приближения	207
р(х) = Щх) = ^J2M[E - U(x)}
и введём формально двухкомпонентный вектор
FЛ4)
Далее в этом разделе штрихом означено дифференцирование по х.
В результате получаем уравнение типа уравнения Шрёдингера
г^|Ф(аО> = И(аО|Ф(аО>,	F.15)
описывающего распространение вектора |Ф). Здесь мы используем
слово распространение, а не эволюция, для того чтобы подчеркнуть
тот факт, что теперь в уравнении Шрёдингера координата играет роль
времени.
Однако, в противоположность гамильтониану обычного уравнения
Шрёдингера, подобная гамильтониану величина
о)	FЛ6)
является неэрмитовым оператором. Кроме того, ТС содержит только
недиагональные элементы. Поэтому это приводит к системе двух свя-
связанных уравнений. Поскольку связь зависит от координаты, решить
такое уравнение распространения точно представляет нетривиальную
задачу. Однако мы можем продолжать искать приближённые решения.
Для этого найдём сначала мгновенные собственные состояния ТС.
Так как ТС неэрмитов, у нас есть левые и правые собственные состо-
состояния.
Мгновенные собственные значения и собственные состояния.
Собственные значения
Х±(х) = ±к(х)	F.17)
оператора ТС(х) действительны и зависят от координат. Им соответ-
соответствуют мгновенные собственные состояния
удовлетворяющие уравнению на собственные значения
П(х)\и±(х))=\±(х)\и±(х)).	F.19)
Полученное уравнение полностью аналогично уравнению F.2) для
мгновенных собственных состояний |m[R(?)]), в котором R(?) заменено
на х.
Заметим, что состояния \и±) не ортогональны друг другу. Однако
они ортогональны состояниям
{v±(x)\ = (тВД, 1),	F.20)

208
Гл. 6. ВКБ и фаза Берри
которые являются левыми состояниями Н, то есть
= \±(v±\.
Действительно, равенства
(v+\u-) = (v-\u+) =0
F.21)
следуют из определений F.18) и F.20) векторов состояния.
Кроме того, так как TL неэрмитов, скалярное произведение левого и
правого собственных состояний с одинаковым собственным значением
является чисто мнимым и имеет вид
(г;± \и±) =
F.22)
Таблица 6.1. Сопоставление ключевых элементов для фазы Берри и ВКБ
Уравнение
эволюции
Гамильтониан
Состояние
Уравнение на
собственные
значения
Эволюция
Динамическая
фаза ф$
Геометрическая
фаза фт
Фаза Берри
гП— |Ф(?)) = H[R(t)] |Ф(*)>
Эрмитов
МВД»
H[R(()] n>[R(t)]) =
= E,,[R(t)]|m[R(t)])
t
0
[dRIm{(m[R]|VR|m[R])}
с
ВКБ
W(a:)|u±(a;)> =
= X±(x)
\Щх)) =
= exp —ф± —^0±
ад(х))
^±(x))
X
r
ЫжЛ±(ж)
0
r^(V±|d/dx|^±>
J x (v±h±>
Анзатц. Разложим вектор |Ф) по собственным состояниям \и±).
Такой подход аналогичен разложению F.3) вектора состояния по мгно-
мгновенным собственным энергетическим состояниям. Мы опять отделяем
сначала динамические фазы
F.23)

6.2. Лдиабатичность и волновые функции ВКБ-приближения
209
приобретаемые этими собственными состояниями, если выбрать за
начальную точку xq.
Поэтому исходим из гипотезы, что
ехр [-гф^\х)] \и+(х)) +
+ Ф_(ж) ехр [-г0_(
F.24)
Подставляя это выражение в уравнение распространения F.15), полу-
получаем уравнение
=
1
Здесь мы использовали уравнение на собственные значения F.19)
для \и±).
Если теперь вспомнить соотношения ортогональности F.21)
(v+\u-}=0 и (v-\u+)=0,
получаем два связанных уравнения
dx
(v+\-=-\u+)
	^
{v+\u+)
Ф i
- ехр [-г @_(d) -
dx
гх+)
F.25а)
dx
(v-\u-)
- ехр [-г
и-)
F.256)
Отметим, что эта система уравнений полностью аналогична системе
уравнений F.8), обсуждавшейся в связи с адиабатической теоремой.
Роль времени теперь играет координата. Главное отличие заключается
в том, что условие F.22) приводит к появлению членов (v± \u±) в
знаменателях. Так как имеются всего два состояния \и±), сумма в F.8)
сводится к одному слагаемому, связывающему амплитуду вероятности
Ф+ с Ф_ и наоборот. Детальное сравнение подхода, использующего
фазу Берри, и ВКБ-приближения дано в таблице.

210
Гл. 6. ВКБ и фаза Берри
Явные уравнения для Ф±. Запишем уравнения F.25) в более явной
форме. Для этого заметим, что из определений F.18) и F.20) следуют
соотношения
v±
v±
d_
dx
_d_
dx
и± \ =
= ±ik'(x).
F.26а)
F.266)
С помощью формул F.22), F.26) и выражения F.23) для динамической
фазы два связанных уравнения F.25) сводятся к
—
dx
2 k(x)
-ехр
2 k{x)
F.27а)
dx
ехр[г
_(x).
х0
F.276)
До этого момента рассмотрение было точным. Действительно, два
связанных дифференциальных уравнения первого порядка полностью
эквивалентны независящему от времени уравнению Шрёдингера F.13)
второго порядка.
6.2.2. Динамическая и геометрическая фазы. При обсуждении
адиабатической теоремы в разделе 6.1.1 мы рассматривали эволю-
эволюцию во времени одного собственного энергетического состояния в ре-
результате адиабатического изменения, описываемого параметром R(?).
Адиабатичность позволила пренебречь связью с другими собственными
энергетическими состояниями, и мы обнаружили появление геомет-
геометрической фазы. В данном разделе мы применим аналогичный подход
к системе уравнений F.27).
Заметим, что связь амплитуды Ф+ с амплитудой Ф_ возникает за
счёт отношения к'/к и фазового множителя. Этот фазовый множитель
меняется вдвое быстрее, чем фазовый множитель в самой волновой
функции. Поэтому в низшем порядке можно пренебречь связью, и из
приближённых дифференциальных уравнений
d
—
dx
(v±\— \и±)
(v± u±)
2 k(x)
получить приближённое решение
=ехр
F.28)
F.29)

6.2. Лдиабатичность и волновые функции ВКБ-приближения	211
Здесь хо обозначает начальную координату. Подчеркнём, что при-
приближённые уравнение распространения F.28) полностью аналогично
соответствующему уравнению временной эволюции F.10).
Таким образом, приближённое решение для вектора F.24) имеет
вид
|Ф±(ж)> = ехр [-ф±{ё\х)] ехр [-1ф±{й\х)] Ф±(ж0) \и±), F.30)
где мы ввели фазы
г
х)= dx
J
v± u±)
2
F.31)
При адиабатическом изменении координаты векторы \и±) приобретают
фазы двух типов. Фаза
dxk(x)
возникает из-за изменения мгновенных векторов состояния \и±). Это
величина аналогична динамической фазе. Фаза ф±^ аналогична фазе
Берри F.12).
Однако здесь есть тонкое различие. Волновое число к действитель-
действительно. Поэтому, в противоположность чисто мнимой фазе Берри F.12),
похоже, что теперь геометрическая фаза F.31) действительна. Сле-
Следовательно, она представляет затухание, связанное с классической
частью волновой функции. Мы замечаем это, представив фазовый
множитель в виде
/ , (g)N	Г 1 , к(х)	1к(х0)	1
ехр(-^))=ехр^--1п^
Однако в точке поворота волновое число обращается в ноль и фаза
становится бесконечной. Если обойти эту сингулярность, выйдя в ком-
комплексную плоскость (см. рис. 6.3), то накопленная фаза равна тг/2.
Действительно, такое значение получается при разложении волнового
числа в окрестности левой точки поворота #:
к{х) =
Кроме того, производная волнового числа имеет вид

212
Гл. 6. ВКБ и фаза Берри
Рис. 6.3. Скачок фазы волновой функции ВКБ-приближения в окрестности
точки поворота объясняется контуром в комплексном пространстве. Обычно
энергетическая волновая функция в связывающем потенциале зависит от ве-
щественнозначной координаты х (вверху). Однако, чтобы выяснить изменение
фазы в точках поворота, мы слегка деформируем путь, связывающий две
точки поворота: как только мы приближаемся к точке поворота, мы обходим
её, двигаясь по окружности в комплексной плоскости. В результате прямые
траектории, связывающие две окружности, слегка смещены от действительной
оси. Результирующее поведение волновой функции в левой точке поворота
показано на рис. 6.4
Отсюда геометрическая фаза, накопленная при обходе вокруг точки
поворота # по круговому контуру С радиусом р, параметризованному
в виде z = д — ре~гг&, равна
\ \
dz
k(z)
1
4j
О
= -г -.
4
Благодаря выбранному контуру в комплексной плоскости фаза ф±
стала чисто мнимой.
Наконец, для контура, полностью окружающего точку поворота,
находим:
^(8>B) = -г \.
Поэтому собственные состояния \и±) приобретают действительный фа-
фазовый сдвиг —тг/2 при обходе вокруг точки поворота #.
6.2.3. Новый вывод волновой функции ВКБ-приближения.
Уравнение Шрёдингера F.15) является уравнением распространения
для вектора квазисостояния |Ф), компонентами которого являются
энергетическая волновая функция и(х) и её первая производная и'(х).
Согласно выражению F.30), собственный вектор \и±) при переходе

6.2. Лдиабатичность и волновые функции ВКБ-приближения	213
вдоль оси х от одной точки поворота к другой и обратно приобретает
две фазы: одну — динамического происхождения и вторую, связанную
с геометрией и возникающую из-за сингулярности волнового числа
в точке поворота.
От вектора квазисостояния к волновым функциям ВКБ-прибли-
жения. Эти свойства очень напоминают поведение обсуждавшейся
в гл. 5 стандартной волновой функции ВКБ-приближения
{WKB)( \ _ кг
LLm	yXJ — JMm
где
Vm(x) = Sm(x) - j = J dx k(x) - j.
x
Действительно, можно непосредственно идентифицировать динами-
динамическую фазу ф±^ с фазой Sm(x). Кроме того, классический предэкс-
поненциальный множитель кш (х) является действительной частью
геометрической фазы, в то время как фаза —тг/4, похоже, тесно связана
с мнимой частью. Однако это не до конца ясно, так как фаза ВКБ
равна — тг/4, в то время как полная геометрическая фаза, накопленная
при обходе точки поворота, равна — тг/2. Очевидно, что обе фазы тесно
связаны, поскольку обе они возникают в точке поворота. Фаза ВКБ
возникает из-за того, что волновая функция достигает классически
запрещённой области, а фаза Берри происходит из-за желания избе-
избежать точки поворота и спастись от неё путём выхода в комплексную
плоскость.
Кроме того, не до конца ясно, как векторы квазисостояний \и±)
связаны с волновыми функциями ВКБ-приближения. Чтобы ответить
на эти вопросы, используем F.18) для разложения вектора квазисосто-
квазисостояния |Ф) по его компонентам:
-гф±М(х)] \и±(х)) =
и с помощью определения вектора |Ф) F.14) найдём соотношения
и±(х) =	A)
Ua_(x) — -pz/cfж)М/-|-(ж) exp —^0ib \^J — -^-tfb(x)u-^-(x).
Таким образом, в адиабатическом приближении производная волно-
волновых функций и± воспроизводит и± и вносит множитель ^fik(x). Это
слагаемое происходит от дифференциала динамической фазы. Поэтому
в данном приближении мы не дифференцируем амплитуды Ф±.

214
Гл. 6. ВКБ и фаза Берри
Если теперь вспомнить приближённое решение F.29), получаем
выражение для волновой функции ВКБ-приближения
1
ехр ^г dxk(x)
х0
F.32)
и ее первой производной
dx
= =pik(x)
х0
(WKB)
ехрЫ dxk(x)\ =тгк(х)и{±>. F.33)
Итак, мы действительно нашли вид волновых функций ВКБ-при-
ВКБ-приближения, обсуждавшихся в разделе 5.2.1.
Рис. 6.4. Поведение волновой функции ВКБ-приближения в окрестности левой
точки поворота #. При приближении к точке поворота вдоль действительной
оси фаза волновой функции увеличивается. Мы обходим точку поворота по
окружности в комплексной плоскости. Как следствие, фаза непрерывно умень-
уменьшается. После полного поворота на угол 2тг разность фаз оказывается равной
—тг/2. Если продолжить путь к правой точке поворота вдоль действительной
оси, фаза вновь увеличивается. Проекция этой винтовой лестницы на плос-
плоскость, то есть редукция к вещественнозначной оси х, порождает разрывный
скачок —тг/2
Свежий взгляд на волновые функции ВКБ-приближения. Устано-
Установим теперь связь между фазами, которые приобретают векторы ква-

6.3. Неадиабатическая фаза Берри	215
зисостояний \и±) при распространении вдоль пути, показанного на
рис. 6.3, и фазами (рт и —тг/4 в волновой функции ВКБ-приближения.
Для этого проследим изменение волновой функции при движении
от правой точки поворота ? к левой точке поворота #. На рис. 6.2
вверху показана волновая функция ш-го собственного энергетического
состояния в связывающем потенциале. Эта функция заперта между
двумя точками поворота классического движения и содержит т узлов.
В рамках ВКБ-приближения энергия определяется так, что площадь
фазового пространства внутри классической фазовой траектории равна
2тгЙ(ш + 1/2), как это показано на рисунке посередине.
Когда мы движемся от правой точки поворота к левой, фаза (рт(х)
монотонно растёт, начиная со значения — тг/4. Мы проходим т узлов,
так что фаза Sm достигает значения штг. Чтобы попасть в левую точку
поворота, необходимо иметь ещё фазу тг/4. Следовательно, полная
фаза, набранная во время движения от правой точки поворота к левой,
равна тг/4 + гатг + тг/4 = (га + 1/2)тг (рис. 6.2, внизу).
То же самое верно при движении от левой точки поворота к правой.
Однако, есть одна тонкость. В двух точках поворота имеется фазовый
скачок на тг/2. Это гарантирует однозначность волновой функции после
одного замкнутого пути в фазовом пространстве. Но каково происхож-
происхождение этого фазового скачка?
Мы знаем, что ответ связан с геометрической фазой. Действитель-
Действительно, можно избежать столкновения с точкой поворота путём выхода
в комплексную плоскость. Для определённости будем приближаться
к точке поворота, следуя по линии, параллельной действительной оси,
но имеющей малую отрицательную мнимую часть. Как только мы
приближаемся к точке поворота, мы переходим на путь по окружности
вокруг этой точки, теряя при этом фазу тг/2 при спуске с лестницы,
показанной на рис. 6.4.
6.3. Неадиабатическая фаза Берри
При выводе фазы Берри предполагались адиабатические изменения.
Однако мы покажем в данном разделе, что это ограничение несуще-
несущественно. Понятие неадиабатической фазы Берри проливает свет на вре-
временную эволюцию волнового пакета для гармонического осциллятора.
6.3.1. Вывод выражения для фазы Ааронова-Анандана. Об-
Обратимся к некоторому квантовому состоянию 1^), которое, благодаря
эволюции во времени согласно уравнению Шрёдингера
\i>(t)) = H(t)
обладает особым свойством: в момент времени Т состояние тожде-
тождественно исходному состоянию с точностью до фазы ф, то есть
\<ф(Т)} = е{* \ф@)}.	F.34)

216	Гл. 6. ВКБ и фаза Берри
Здесь гамильтониан Н может иметь произвольную зависимость от вре-
времени.
Введём теперь состояние
$(t)) = e-W \<ф(г)}	F.35)
и построим зависящую от времени фазу (р так, чтобы устранить фазу ф
и получить	_	_
ф(Т)) = \ф@)).	F.36)
Покажем, что в этом случае ф содержит динамическую и геометриче-
геометрическую части.	_
Для этого продифференцируем состояние \ф) по времени и исполь-
используем уравнение Шрёдингера для временной эволюции состояния \ф),
так что	7 _	_
±Ш)	\) \ ехр \-гф)\ Н \ф) .
Умножим это уравнение на (ф\, что приводит к уравнению
Здесь мы использовали формулу F.35), устанавливающую связь между
состояниями \ф) и ф), чтобы устранить фазу (р в последнем слагаемом.
После интегрирования по времени Т, из этого уравнения получает-
получается разность фаз
т	т
<р(Т) - <р@) =i^dtf {Ф\^\Ф) ~l\dt' №\ Й 1^> •	F-37)
о	о
Используем теперь эту фазу
tp(T) - <р@) = ф,	F.38)
чтобы показать, что можно добиться выполнения соотношения
\ф(Т)) = \ф@)).
Действительно, из уравнений F.34) и F.35) находим
ф(Т)) = е~г^ \ф(Т)) = е-г^ег* \ф@)),
что с помощью условия F.38) принимает вид
\ф{Т)) = е-^°> \ф{0)) = \ф{0)).
На последнем шаге мы вновь использовали формулу связи F.35).
Таким образом, квантовое состояние \ф) через время Т тожде-
тождественно состоянию в момент времени t = 0. Однако, согласно F.34),
состояние 1^) приобрело фазу ф, состоящую из двух частей, связанных,
как это видно из F.37), с эволюцией во времени и геометрией.

6.3. Неадиабатическая фаза Берри	217
6.3.2. Эволюция во времени в потенциале гармонического
осциллятора. Проиллюстрируем понятие фазы Ааронова-Анандана,
применив его к задаче о временной эволюции квантового состояния
в квадратичном потенциале. Мы определим геометрическую и динами-
динамическую фазы.
В разделе 4.2.3 было найдено, что эволюция во времени любого
квантового состояния \фо) гармонического осциллятора частотой О
даётся выражением
ехр [-* (т + \ ) Ш] Н .	F-39)
где фт = (т\фо) — коэффициенты разложения начального состояния
l^o) по собственным энергетическим состояниям \т) гармонического
осциллятора.
Через время, равное периоду осциллятора Т = 2тг/О, состояние
имеет вид
\ф(Т)) = е
и поэтому с точностью до фазы тождественно начальному состоянию.
Обычно пренебрегают этим общим фазовым множителем, возникаю-
возникающим за счёт энергии нулевых колебаний. Однако, мы покажем сейчас,
что это слагаемое является самым простым примером фазы Ааронова-
Анандана.
Для этого определим состояние
F.40)
которое периодично и поэтому удовлетворяет условию
\ф(Т)) = \ф@)),
уже выписанному в F.36). Вычислим теперь фазу
т	т
используя выражения F.40) и F.39) для состояний \ф) и \ф). Тогда
получим:
ф = 2тг]Г т\фт\2 - 2тг ^ (т + ±) \фт\2 = 2тгш - 2тг (т + ±) = -тг,
m
где m = ^2 mlV;
m
Таким образом, геометрическая фаза равна 2тгт, а динамическая
фаза равна 2тг fш+ -

218	Гл. 6. ВКБ и фаза Берри
Литература
Введение и дальнейшее развитие теории фазы Берри
Понятие геометрической фазы развито в работе:
Berry М. V. Quantal phase factors accompanying adiabatic changes // Proc.
Roy. Soc. Lond. A. 1984. V. 392. P. 45-57.
Элементарное изложение этого вопроса:
Berry M. V. The geometric phase // Sci. Am. 1988. V. 259F). P. 46-52
Holstein B.R. The adiabatic theorem and Berry phase // Am. J. Phys. 1989.
V. 57. P. 1079-1084.
Shaphere A, Wilczek F. Geometric Phases in Physics. World Scientific,
Singapore, 1989
Обобщение фазы Берри на случай неадиабатических изменений:
Aharonov Y., Anandan J. Phase Change During a Cyclic Quantum Evolu-
Evolution // Phys. Rev. Lett. 1987. V. 58. P. 1593-1596.
Связь между фазой Берри и квантовой статистикой:
Berry М. V., Robbins J.M. Quantum indistinguishability // Proc. Roy. Soc.
Lond. 1997. V. A453. P. 1771-1790
Параллельный перенос
Объяснение понятия параллельного переноса в дифференциальной геометрии и в
применении к общей теории относительности:
Ohanian Н.С. Gravitation and Spacetime. W. W. Norton, New York, 1976
Mistier C.W., Thorne K.S., Wheeler J. A. Gravitation. W. H. Freeman, New
York, 1973
Фаза Берри и ВКБ-приближение
Связь волновых функций ВКБ-приближения с фазой Берри:
Littlejohn R. G. Cyclic Evolution in Quantum Mechanics and the Phases of
Bohr-Sommerfeld and Maslov // Phys. Rev. Lett. 1988. V. 61. P. 2159-2162.
Berry M. V. Quantum adiabatic anholonomy // Anomalies, Phases, Defects /
Ed. by U. Bregda, G. Garmo and G. Morandi, Naples, Bibliopolis, 1990
Benedict M.G., Schleich W. On the Correspondence of Semiclassical and
Quantum Phases in Cyclic Evolutions // Found. Phys. 1993. V. 23. P. 389-397.
Эксперименты
Эксперименты, связанные с измерением фазы Берри
Bitter Т., Dubbers D. Manifestation of Berry's Topological Phase in Neutron
Spin Rotation // Phys. Rev. Lett. 1997. V. 59. P. 251-254.
Richardson D.J., Kilvington A.I., Green K., Lamoreaux S.K. Demonstration
of Berry's Phase using Stored Ultracold Neutrons // Phys. Rev. Lett. 1988. V. 61.
P. 2030-2033.
Chiao R. Y. Optical Manifestations of Berry's Topological Phases: Aharo-
nov-Bohm-like Effects for the Photon, Proc. 3rd Int. Symp. Foundations of
Quantum Mechanics, ed. Shun-ichi Kobayashi et ai, The Physical Society of
Japan, Tokyo, 1990, p. 80-92

Глава 7
ИНТЕРФЕРЕНЦИЯ В ФАЗОВОМ ПРОСТРАНСТВЕ
Квантово-механическая система, изначально приготовленная в со-
состоянии \п) и подвергшаяся внезапному изменению условий, претерпе-
претерпевает скачок из этого состояния в состояние \т) с амплитудой вероят-
вероятности
Wm,n = (т\п) = dx (т\х) (х\п) = dxum(x) vn(x). G.1)
Здесь ит(х) и vn(x) обозначают волновые функции соответствующих
состояний в координатном представлении.
Такой же интеграл перекрытия определяет амплитуду вероятности
радиационного перехода молекулы из одного колебательного состояния
в другое, если изменение дипольного момента на межъядерном рас-
расстоянии х мало во всей области значений х, вносящих существенный
вклад в матричный элемент. Мы не интересуемся здесь выводом этой
хорошо известной стандартной формулы, а задаёмся вопросом, как
установить, мала или велика величина wm^n и от чего это зависит.
Нам удастся глубже разобраться с этим вопросом с помощью поня-
понятия интерференции в фазовом пространстве. Скалярное произведение
определяется интерференцией площадей перекрытия между интересу-
интересующими нас квантовыми состояниями. Вывод этого утверждения со-
составляет главное содержание данной главы.
Сначала мы объясним основные понятия этого подхода, а затем
дадим математический вывод. Он в значительной степени опирается
на волновые функции ВКБ-приближения и метод стационарной фазы,
который обсуждается в приложении 3. Главу завершают применение
этого понятия к переходам Франка-Кондона в двухатомных молекулах
и обобщение на произвольные состояния.
7.1. Суть подхода
Для этого сначала нужно найти простой способ изображения соб-
собственного энергетического состояния, а затем — простой геометри-
геометрический алгоритм в фазовом пространстве, позволяющий вычислить
скалярное произведение. Этот алгоритм сводится к перекрытию пло-
площадей фазового пространства, представляющих отдельные квантовые
состояния. Но как изобразить такие состояния?

220
Гл. 7. Интерференция в фазовом пространстве
В предыдущих главах мы сформулировали вигнеровское представ-
представление квантовой механики, в частности, представление произвольно-
произвольного квантового состояния. Это одна возможность. Другой, ещё более
простой способ основан на ВКБ-анализе собственного энергетического
состояния, рассмотренный в предыдущей главе. Суть метода — в пред-
представлении собственного энергетического состояния в виде единствен-
единственной траектории, как показано пунктирными линиями на рис. 7.1. Как
следует из условия квантования Бора-Зоммерфельда-Крамерса, эта
крамерсовская траектория для ш-го собственного состояния данной
энергии охватывает в фазовом пространстве площадь 2тгЙ(ш + 1/2).
Но можно подойти к вопросу иначе и рассматривать собственное
энергетическое состояние как полосу в фазовом пространстве, показан-
показанную на рис. 7.1 серым цветом. Действительно, в основополагающей ра-
Рис. 7.1. Изображение вероятностей переходов. Иллюстрация связи классиче-
классической и квантовой теорий. Внизу: Кривые потенциальной энергии как функции
координаты х перед переходом (верхний рисунок) и после перехода (рисунок
чуть ниже). Горизонтальные линии указывают разрешённые уровни энергии
в этих потенциалах перед и после перехода. Показанные здесь волновые
функции иш и vn относятся к начальному и конечному состояниям, вероят-
вероятность перехода между которыми мы хотим вычислить с помощью интеграла
вида иш{х) х (медленно меняющаяся функция х) х vn(x) dx. Наверху: По-
Полосы в фазовом пространстве (затемнённые области), связанные с начальным
и конечным состояниями, и область перекрытия между ними (зачернено).
В случае более одного такого перекрытия (в данном примере — два) две тём-
тёмных области в форме ромба отличаются своими «импульсами». В одной тёмной
зоне оба осциллятора движутся «направо», а в другой — «налево». Таким
образом, полная амплитуда вероятности есть сумма вкладов Ат2п exp (±i(/?m,n)
от двух зон. Здесь фаза (рш,п фиксирована слегка затенённой областью между
центральными линиями двух состояний. Не существует более простой иллю-
иллюстрации интерференции в фазовом пространстве

7.1. Суть подхода	221
боте по выводу формулы излучения с помощью фазового пространства
Макс Планк подчёркивал, что квантовое состояние является полосой
в фазовом пространстве, границы которой определяются условиями
квантования, то есть требованием, что площадь фазового пространства
равна 2тгЙга для внутренней границы и 2тгЙ(га + 1) для внешней гра-
границы полосы. Отсюда сама полоса занимает в фазовом пространстве
площадь 2тгЙ. Так как границы полосы определяются старыми услови-
условиями квантования Планка-Бора-Зоммерфельда, в которых планковская
константа умножается на целые, а не на полуцелые числа, как предло-
предложил Крамере, мы используем для этих полос название полос Планка-
Бора-Зоммерфельда. Крамерсовская траектория, определяемая полу-
полуцелыми долями действия, проходит посередине полосы, как показано
на рис. 7.1. Совокупность всех мыслимых конечных состояний, то
есть совокупность всех полос Планка-Бора-Зоммерфельда, заполняет
всё фазовое пространство. Именно эта интерпретация квантового со-
состояния позволяет развить простой алгоритм вычисления скалярного
произведения.
После того, как мы поняли, как представить отдельные квантовые
состояния, можно обратиться к вопросу о вычислении скалярного про-
произведения. Для этого заметим, как следует из рис. 7.1, что сквозь охва-
охватывающую все возможности коллекцию «беговых дорожек» вырезается
полоса совершенно иного происхождения для начального состояния
с квантовым числом п. Площадь этой полосы также равна 2тгЙ.
Чему равна вероятность того, что система, первоначально нахо-
находившаяся в состоянии п, перейдёт в то или иное состояние т при
внезапном изменении условий движения? При ответе на этот вопрос
даже не требуются глубокие исследования и достаточны простые со-
соображения. Мы ожидаем, что вероятность перехода в любое конечное
состояние т связана с площадью или площадями перекрытия этого
состояния с полосой начального состояния. Нет перекрытия — нет
перехода!
Кроме того, площади, вырезаемые из начальной полосы п всеми
возможными полосами конечных состояний, в сумме равны полной
площади 2тгЙ этой начальной полосы. Далее, вероятности перехода из
начального состояния п во все конечные состояния в сумме должны
равняться единице. Поэтому возникает искушение отождествить ве-
вероятность перехода с произведением 1/BтгЙ) на площадь перекрытия.
Трудно представить себе более простой алгоритм вычисления вероятно-
вероятностей перехода, который к тому же столь очевидным образом соблюдал
бы правило сумм.
Однако так сформулированный способ расчёта вероятности перехо-
перехода слишком упрощён, для того чтобы быть верным. Этому есть простая
причина: как показано на рис. 7.1, область перекрытия состоит не из
одного, а из двух или иногда даже нескольких кусков, обычно распо-
расположенных симметрично относительно оси координат (за исключением
случаев, когда присутствует магнитное поле). С каждой такой областью

222	Гл. 7. Интерференция в фазовом пространстве
перекрытия квантовая механика сопоставляет не просто вероятность, а
амплитуду вероятности. Из результатов опыта Юнга с двумя щелями
следует подходящий рецепт: складываются не вероятности, а ампли-
амплитуды вероятностей. У нас нет иного выбора, кроме как заключить, что
здесь имеет место интерференция в фазовом пространстве.
Таким образом, вероятность перехода не получается путём сложе-
сложения приведённой площади перекрытия Ат]п/BтгН) над координатной
осью с такой же приведённой площадью перекрытия Ат\п/BтгК) под
осью. Вместо этого мы складываем амплитуду вероятности
2
exp (iipm,n)
для одной области перекрытия с амплитудой вероятности
связанной с другой областью, и чтобы получить вероятность скачка,
возводим сумму в квадрат:
^ra,n —
л (о)
^-171,1%
1/2
4@)
2тгП
1/2
2
4@)
Здесь фаза <^ш>п от вклада верхней области перекрытия определяет-
определяется показанной на рис. 7.1 слегка заштрихованной областью в фазовом
пространстве, заключённой между горизонтальной осью и централь-
центральными крамерсовскими линиями в двух интересующих нас полосах.
Аналогично определяется фаза для нижней области.
7.2. Вывод формализма перекрытия площадей
В этом разделе мы дадим вывод обрисованного в предыдущем
разделе понятия перекрытия площадей как величины, определяющей
вероятность перехода. Для этого вычислим сначала скалярное произве-
произведение двух собственных энергетических состояний с помощью их вы-
выражений в ВКБ-приближении и метода перевала. Затем мы сопоставим
отдельные члены получившегося выражения с площадями в фазовом
пространстве.
7.2.1. Скачки с точки зрения координатного пространства. За-
Заменим волновые функции иш и vn их выражениями в ВКБ-прибли-
ВКБ-приближении и затем вычислим интеграл G.1) с помощью метода перевала.
Именно такой подход, предложенный много лет назад Ландау в связи
с проблемой передачи энергии при соударениях, успешно применяется
во многих физических задачах. В этом разделе мы дадим обзор этого
подхода с упором на интерпретацию в фазовом пространстве.

7.2. Вывод формализма перекрытия площадей	Т1Ъ
Волновые функции данной энергии в ВКВ-приближении. В квази-
квазиклассическом приближении, то есть при больших значениях квантовых
чисел га, мы приближённо записываем волновые функции иш в области
между двумя классическими точками поворота °дш и ?ш, (#ш < ^ш
(рис. 7.2, а)) в виде волновых функций ВКБ-приближения
cos [sro(a0 - J] ,	G.2a)
где
l]	G.26)
ж) = - dxpm(x).	G.2в)
Энергия Ет га-го собственного состояния в потенциале
= U^x\x), показанном на рис. 7.2, а), определяется условием квантова-
квантования Бора-Зоммерфельда-Крамерса
Jm = ®dxpm{x) = 2тгЙ ( га + - j .	G.2г)
Согласно формуле E.5), нормировочные постоянные J\fm равны
G.2д)
где период движения по га-й орбите в U^[) равен
Tm = 2M \ dxp~l = I dt.	G.2e)
J	J
Аналогично мы приближённо записываем волновые функции vn =
= vn(x) для значений х между классическими точками поворота ?п
и Хп (Сп < Хп (рис. 7.2, а) в виде
CWKR4) / \	Лп
v\r^Hx) = .	cos
J] ,	G.3a)
где
)]	G.36)
п(ж) = - dxpn(x).	G.3в)

224
Гл. 7. Интерференция в фазовом пространстве
О
Рис. 7.2. Резюме метода вычисления вероятности перехода методом перекрытия
площадей, а) Потенциальная энергия, отвечающая той силе, под действием
которой система осциллирует, показана как функция координаты х перед
(U^ с минимумом в точке xq) и после (U^ с минимумом в точке х = 0)
внезапного изменения условий движения (самый важный пример: измене-
изменение колебаний двухатомной молекулы, вызванные электронным переходом).
На рис. а показаны также уровень энергии и волновая функция начального
колебательного состояния п и, для образца, одно из многих конкурирующих
конечных состояний т. б) Траектории в фазовом пространстве данного на-
начального состояния п и одного из возможных конечных состояний ш, опреде-
определяемые правилом квантования Крамерса: площади замкнутых областей равны
2тг/г (ш + 1/2) и 2тг/г (п + 1/2), соответственно, в) Начальное состояние и одно
из возможных конечных состояний, представленные как полосы Планка-Бора-
Зоммерфельда площадью 2тгН. Две симметрично расположенные ромбовидные
зоны пересечения полос пит служат как бы двумя «щелями» в «опыте
с двумя щелями в фазовом пространстве», результатом которого является
вероятность перехода Wm,n. При аккуратном вычислении сумма вероятностей
перехода из п во все конечные состояния т равна в точности 2ттН, как
и следует ожидать, исходя из значения площади п-й начальной полосы. Когда
полоса одного из возможных конечных состояний пересекается по касательной
с полосой данного начального состояния, что случается вблизи точек поворота
х = (п и х = Хп, возникает необычно большое перекрытие с полосой началь-
начального состояния (затемнённые области), что, согласно концепции перекрытия
площадей, приводит к большой вероятности перехода. При значениях т, мень-
меньших ?Timin или больших гптах перекрытие отсутствует. Такие случаи мы здесь
не обсуждаем
Энергия Еп, соответствующая движению в потенциале
находится из условия квантования Бора-Зоммерфельда-Крамерса
1
Jn = el dxpn(x) = 2тгЙ (г
G.3г)

7.2. Вывод формализма перекрытия площадей	225
Нормировочные постоянные J\fn равны
Мп = 2W %-,	G.3д)
где	^
Тп = 2М \dxp~1	G.3е)
— период движения по n-й орбите в потенциале U^X
Точки стационарной фазы. Чтобы вычислить амплитуду вероят-
вероятности wm,n, подставляем в G.1) выражения G.2а) и G.3а) для двух
волновых функций ит(х) и vn(x) в ВКБ-приближении. Получаем вы-
выражение
шт,п	^"^ ат\^) ип\^) — ^"^ ат \ / п	V /'
J	с.
где интегрирование в последнем интеграле ограничено областью, об-
общей для обеих волновых функций.
Если использовать теперь явные выражения G.2) и G.3) с соответ-
соответствующими нормировочными постоянными, находим:
,n =	1/2 dx[pm(x)pn(x)]-l/2 X
[J-mJ-n)	J
С	n(x)} + exp[-iSm,n(x)}} , G.4)
где
Сгг	Хгг
Sm,n(x) = $т{х) - Sn(x) = - dxpm(x) - - dxpn(x). G.5)
X	X
Здесь мы использовали выражения G.2в) и G.3в) для фаз волновых
функций ВКБ-приближения. Кроме того, мы пренебрегли вкладами от
быстро осциллирующих функций ехр{±г[5гш(ж) -\- Sn(x)]}.
Огибающая [рт{х)Рп{х)]~1^2 медленно меняется по сравнению с пе-
периодом осцилляции, следующим из exp [iSm,n]. Поэтому мы используем
метод перевала, то есть разлагаем Sm,n в ряд Тейлора
°т,п\х) — °т,п
dx
[х — хс
х=хс
2 dx2 x=Xc
... G.6)
8 В. П. Шляйх

226	Гл. 7. Интерференция в фазовом пространстве
в окрестности стационарной точки хс, которая определяется из условия
= 0.
dx
х=хс
Из явного вида Sm,n G.5) находим, что это условие имеет вид
Рт(Хс) =Рп(Хс).	G.7)
Поэтому основной вклад в интеграл G.4) возникает от тех точек хс,
в которых импульсы рт и рп равны, то есть от точек пересечения двух
орбит в фазовом пространстве
),	G.8)
как показано на рис. 7.2, б. Число таких пересечений хс зависит от
формы потенциалов U^ и С/B1 Однако в оставшейся части главы
мы ограничимся потенциалами, приводящими к единственной точке
пересечения хс.
Вычисление скалярного произведения. Таким образом, разность
фаз Sm,n G.5), записанная в виде ряда Тейлора G.6), имеет вид
Если подставить это выражение в G.4) и вычислить медленно меняю-
меняющуюся функцию [рт(х)рп(х)}~1/2 в точке хс, получим:
wm,n = М[Ттрт(хс)ТпРп(хс)}~1/2 \ exp[iSm,n(xc)} x
х dx exp < -?-
J	\2h
где, согласно G.5),
dx dx
dpn фга| 'хх)Ч + ссЛ G.9а)
Z,m	Хгг
Sm,n(xc) = ^ \dxpm(x) - - dxpn(x)	G.96)
жс	xc
обозначает разность фаз в точке пересечения хс.
Амплитуды вероятностей принимают простой вид. В остав-
оставшемся интеграле G.9аа), определяющем скалярное произведение, мы
ещё не задали пределов интегрирования. В формуле G.4) это интегри-
интегрирование было ограничено областью, общей для обеих волновых функ-
функций, то есть (п < х < ?ш. Однако согласно формулам G.7) и G.9аа)
главный вклад в интеграл возникает от окрестности 5х точки хс, то
есть от области, близкой к точке пересечения двух крамерсовских

7.2. Вывод формализма перекрытия площадей
227
орбит в фазовом пространстве G.8). Но что определяет эту окрест-
окрестность?
Вне сомнения, один фактор, вносящий главный вклад, это величина
dpn(xc) dpm(xc) Х'
\1/2
dx
dx
возникающая в интеграле G.9аа). Это полезная мера разности на-
наклонов двух крамерсовских орбит в фазовом пространстве G.8). При
большом угле пересечения волны быстро теряют синхронизацию, что
приводит к малой величине области, где происходит конструктивная
интерференция. При малом угле пересечения верно обратное. Таким
образом, величина амплитуды вероятности wm,n определяется этим
углом.
Другая важная величина, определяющая wm^n, это окрестность хс,
придающая разные значения оставшемуся интегралу. Эта зависимость
медленно сходится и детально обсуждается с помощью понятия спира-
спирали Корню в задаче 7.4. Поэтому распространим пределы интегрирова-
интегрирования до бесконечности и вспомним интегральное соотношение
В этом случае полная амплитуда вероятности G.1) равна сумме двух
амплитуд
Ц2	Ц2	г<рш>п).	G.10а)
Квадрат абсолютных значений обеих амплитуд одинаков:
[Ттрт(хс)ТпРп(хс)}
-1
-1
. G.106)
dx	dx
Однако они имеют разные фазы ±</?ш>п, определяемые выражением
U	Хгг
1
<Pm,n = ~h
1 Г 7	/ \
- - j dxPn(x)
G.10b)
Из нашего анализа вытекают три вывода.
1)	Квантово-механическое скалярное произведение G.1) двух
квазиклассических состояний, описываемых волновыми функциями
ВКБ-приближения и^Кв^ и v^KB^ G.2) и G.3), есть сумма (в данном
случае) двух комплекснозначных амплитуд вероятности, величина
которых Лт2п определяется формулой G.106), и имеющих разность
фаз 2(?>m?n, которая определяется формулой G.10в).
2)	Эти амплитуды вероятностей возникают в результате пересече-
пересечения крамерсовских траекторий G.8), соответствующих двум квантовым
состояниям.

228	Гл. 7. Интерференция в фазовом пространстве
3) Величина каждой амплитуды частично определяется углом, под
которым пересекаются «рельсы».
Анализ, представленный в этом разделе, теряет силу в случае
квантовых состояний га, касающихся эллиптичной 0 n-орбиты на
рис. 7.2, в. Такая ситуация соответствует переходам Франка-Кондона
в окрестности тт[п и mmax точек поворота классического движения
(рис. 7.2, а). Здесь волны ВКБ G.2) и G.3) оказываются сингулярны-
сингулярными, и необходимо использовать равномерное асимптотическое разло-
разложение ит и vn. Так как цель данной главы — обрисовать основные
понятия интерпретации квазиклассической техники в фазовом про-
пространстве, подобно подходу с перекрытием площадей в разделе 7.2.2,
мы ограничимся квантовыми состояниями га, лежащими между тт-т
и гатах на рис. 7.2, а, то есть m-полосами, вырезающими два сим-
симметрично расположенных ромба из n-полосы. Для таких значений га
описанный подход приводит к хорошему согласию с точным рассмот-
рассмотрением.
7.2.2. Скачки с точки зрения фазового пространства. В преды-
предыдущем разделе мы показали, что скалярное произведение двух соб-
собственных энергетических состояний, отвечающих двум разным по-
потенциалам, есть сумма амплитуд вероятности. В данном разделе мы
докажем, что их квадраты модулей Лт,п и фазы </?ш>п являются площа-
площадями фазового пространства. Для этого сначала представим собствен-
собственные энергетические состояния в виде полос в фазовом пространстве,
а затем вычислим их перекрытие в пределе, определяемом принципом
соответствия Бора.
Состояния как полосы в фазовом пространстве. Согласно фор-
формуле G.8), мы можем сопоставить m-му собственному состоянию
данной энергии в потенциале U^ единственную орбиту в фазовом
пространстве
Ет = ш + иA){х)'	GЛ1)
как показано на рис. 7.2, б. Здесь энергия Ет определяется условием
квантования Бора-Зоммерфельда-Крамерса.
Однако для теперешних целей лучше подходит вариант, в котором
ш-е энергетическое собственное состояние представляется не един-
единственной траекторией, а целой полосой в фазовом пространстве. Со-
Согласно Планку, каждое состояние занимает область площадью 2тгЙ.
Таким образом, простейшее определение внутренней границы такой
полосы даётся орбитой в фазовом пространстве
^ ^^2 ^,	G.12а)
1) Следуя Дж. Уилеру, автор использует название «elliptical n-orbit». —
Прим. ред. пер.

7.2. Вывод формализма перекрытия площадей
229
где энергия Е^ определена формулой
n) = 2тгЙга.
Внешняя граница определяется орбитой
Wout) _ J_ Г (out)l2 , Ы1)(Т
с энергией E^ui\
2М
\ заданной выражением
ui) =2тгН(т+1).
G.126)
G.13а)
G.136)
Крамерсовская траектория G.11) «пробегает» точно посередине т-й
полосы площадью 2тгЙ, определяемой формулами G.12) и G.13).
Рис. 7.3. Полная площадь перекрытия А^в^ между начальной полосой п
Планка-Бора-Зоммерфельда и возможной конечной полосой т, то есть сумма
площадей двух симметрично расположенных ромбовидных зон, может быть
выражена через двойные разности площадей заштрихованных областей, охва-
охватываемых соответствующими траекториями в фазовом пространстве
Площадь перекрытия полос как двойные разности. Когда мы со-
сопоставляем такие полосы состоянию т на рис. 7.2, а и n-му состоянию
в потенциале U^2\ то эти полосы перекрывают друг друга в окрестно-
окрестностях точек пересечения (жс,±рш(жс)) в фазовом пространстве, образуя
две ромбовидные зоны общей площадью ^4^^ = 2Ат]п, как показано
на рис. 7.2, в. Не предложено лучшего алгоритма вычисления интеграла
перекрытия wm,n G.1) двух волновых функций ит и vn в коорди-
координатном пространстве, чем вычисление площади перекрытия ^4^^
соответствующих полос Планка-Бора-Зоммерфельда G.12) и G.13)
в фазовом пространстве. Вычислим теперь эту площадь перекры-
перекрытия A(PBS)
Согласно рис. 7.3, можно выразить величину А^в^ через двойные
разности
=a>(rn+
1)- [a(ra
G.14)

230
Гл. 7. Интерференция в фазовом пространстве
показанной на рис. 7.4 площади
, G.15)
которая охватывается двумя орбитами в фазовом пространстве
Е(з) (jr(j)) = ^LjffajrU)) + и(Л(х)	G.16)
G.17)
j = 1,2), соответствующих двум приведённым действиям
ztt/г
Координата хс пересечения двух орбит G.16) определяется условием
р(хс;^)	G.18)
и зависит от J7^ и Т^. Классические точки поворота ( =
и ^ = ^(^^) находятся из условия
и зависят только от одного из двух приведенных действии.
р\ A)
-7——	B)
G.19)
Рис. 7.4. Площадь а = a(J-^\j-^) в фазовом пространстве между двумя
орбитами, соответствующими приведённым действиям J7^ и Т^
Площадь перекрытия согласно принципу соответствия. Соглас-
Согласно принципу соответствия Бора в пределе больших квантовых чисел т
и п можно заменить разности частными производными, так что
а(га
- а(т,п

7.3. Приложение к переходам Франка-Кондона	231
и аналогично для другой переменной действия. Поэтому формула G.14)
сводится к виду
G.20)
Следовательно, в этом пределе можно вычислить площадь перекрытия
А^Вп^ между состояниями тип, беря частные производные выраже-
выражения G.15) для площади а = a(J-^;J-W) по редуцированным действиям
^\ Мы проделываем это вычисление в приложении И и находим:
= 2BтгЙJМ2 [ТтРт(Жс)Т„р„(Жс) \р'т(хс) -р'п(хс)\Г] ¦ G.21)
Сравнивая этот результат с выражением G.106) для квадрата модуля
одной из амплитуд вероятности, получаем:
1 [4(PBSI 4(o)
Ат'п ~ 2 [~2^h\ ~ ~ЪЛ-	{LIl)
Итак, можно сопоставить величину амплитуды вероятности Ат,п квад-
квадратному корню из площади одной из двух симметрично расположенных
ромбовидных зон, делённой на л/2тгй. Этот весовой множитель возни-
возникает из-за того, что сумма вероятностей должна равняться единице,
а площади полос Планка-Бора-Зоммерфельда равны 2тгЙ.
7.3. Приложение к переходам Франка-Кондона
Площадь перекрытия двух полос Планка-Бора-Зоммерфельда
определяет величину амплитуды вероятности. Но почему? Это
доказывают проведённые выше математические выкладки. Но нельзя
ли привести на этот счёт более интуитивные соображения?
Ответ — да. Представим показанное на рис. 7.2, а п-е собствен-
собственное энергетическое состояние в потенциале U^ — начально занятое
квантовое состояние — n-й эллиптичной полосой Планка-Бора-Зо-
Планка-Бора-Зоммерфельда на рис. 7.2, в. Сделаем теперь ещё один шаг и вообразим
эту полосу как ограниченный краями полосы постоянный поток ча-
частиц, каждая из которых движется по своей фазовой траектории. Это
напоминает поезда, движущиеся по своим рельсам. На рис. 7.2, в мы
показываем также изначально пустые энергетические полосы в потен-
потенциале U^x\
Индуцируем теперь переход Франка-Кондона с n-го колебательного
уровня в потенциале U^ на любой из уровней потенциала U^ за
счёт внезапного перехода от U^ к U^l\ Такое изменение потенциала
приводит к пересечению полос т с n-й эллиптичной полосой и поз-
позволяет «переключить стрелки» и перенаправить частицы с их пути по
n-й линии на соответствующую га-ю линию.

232	Гл. 7. Интерференция в фазовом пространстве
Но сколько частиц можно найти на любой конкретной га-й линии?
Очевидно, что все частицы из n-й полосы, оказавшиеся в момент
изменения потенциала между краями га-й полосы, будут направлены
по новому пути, который задаётся траекториями, представляющими
эту полосу. Таким образом, число частиц в га-й полосе определяется
чёрной ромбовидной площадью перекрытия двух областей.
Так как в данном случае таких областей две, число частиц в полосе
есть сумма числа частиц в каждом ромбе. Иными словами, нужно сло-
сложить две площади перекрытия. Нигде более так ясно не проявляется
разница между классической и квантовой физикой. Вращающиеся по
орбите частицы представляют классические вероятности, которые мы
складываем.
Напротив, квантовая механика имеет дело с амплитудами веро-
вероятностей; поэтому чёрные ромбы представляют собой интерфериру-
интерферирующие амплитуды вероятностей, а разность фаз определяется форму-
формулой G.9аб). Эта величина также допускает простую геометрическую
интерпретацию в фазовом пространстве. Согласно формулам G.9аб)
и G.106) (и с точностью до изменения знака в sign[p^(xc) — pfm{xc)]j)
это есть площадь в фазовом пространстве между двумя крамерсовски-
ми траекториями G.8), показанными на рис. 7.1.
7.4. Обобщение
Можно суммировать и одновременно обобщить основной результат
этой главы, записав формулу
j-я
'
j-я площадь,
г I ограниченная
Ъ \ центральными
линиями
G.23)
для скалярного произведения двух квантовых состояний \\) и \ф).
Согласно этому предписанию, мы изображаем два интересующих нас
квантовых состояния в фазовом пространстве. Мы вычисляем их пло-
площади перекрытия и делим каждую площадь на 2тгЙ. Если теперь из-
извлечь квадратный корень, то получим соответствующую квантово-ме-
ханическому скалярному произведению амплитуду вероятности. Если
имеются более одного перекрытия, нужно просуммировать амплитуды
вероятностей. Разность фаз между вкладами опять же определяется
площадью в фазовом пространстве. На этот раз это делённая на h
площадь, ограниченная центральными линиями.
Физика алгоритма перекрытия, исследованная и суммированная на
рис. 7.1, очень напоминает знакомый опыт с двумя щелями. В обоих
случаях имеются два интерферирующих вклада в полную вероятность
обнаружения конкретного исхода. В одном случае два вклада прихо-
приходят от двух щелей. В другом случае они возникают от двух разных

Задачи	233
областей перекрытия в фазовом пространстве. Разность фаз в опыте
с двумя щелями измеряется разностью оптических длин путей от
центра двух щелей к точке детектирования. Аналогично, амплитуды
вероятности двух вкладов в выражение G.10а) тоже имеют разность
фаз. Она определяется площадью в фазовом пространстве колебатель-
колебательного движения, ограниченной начальной и конечной орбитами, которые
задаются формулами G.9аб) и G.10в). В этом смысле знаменитый ин-
интерференционный эксперимент Юнга обобщается на интерференцию
в фазовом пространстве.
Задачи
7.1	Геометрический анализ площади перекрытия
Пользуясь только геометрией фазового пространства, вычислить
площадь ромбовидной области перекрытия двух собственных
энергетических состояний, показанную на рис. 7.3 и заданную
формулой G.21).
Указание: В области перекрытия аппроксимировать траектории
в фазовом пространстве прямыми линиями, как показано на
рис. И.1. Вычислить площадь, выразив её через угол между тра-
траекториями двух квантовых состояний и соответствующие высоты.
См. также обсуждение в приложении И.
7.2	Интерференция в фазовом пространстве и функция Вигнера
Как перевести обсуждавшуюся в этой главе идею интерферен-
интерференции в фазовом пространстве на язык функций Вигнера? Начать
с соотношения C.7), выразив скалярное произведение двух кван-
квантовых состояний через их функции Вигнера. Как в этом подходе
возникает квантовая интерференция?
Указание: См. Dowling et al. A991).
7.3	Принцип Малликена
Принцип Малликена постулирует сохранение кинетической энер-
энергии ядра в переходе Франка-Кондона. Как это связано с площа-
площадью перекрытия?
Указание: См. Mulliken A971).
7.4	Амплитуды вероятностей перехода и спираль Корню
Используя спираль Корню, о которой идёт речь в приложении 3
и которая показана на рис. 3.1, обсудить геометрическим спосо-
способом влияние окрестности 5х точки хс на значение каждой из
амплитуд вероятности. Видно, что приближение к стационарным
значениям G.10) довольно медленное. Однако эта медленность
является счастливым свойством «метода интерференции в фа-
фазовом пространстве». Из него следует, что окончательная веро-
вероятность перехода мало зависит от того, как закручены внутрь
последние петли спирали, то есть мало зависит от того, как

234	Гл. 7. Интерференция в фазовом пространстве
меняются (если это происходит медленно) волновые функции вне
зоны конструктивной интерференции, то есть вне каустик полос
в фазовом пространстве.
Указание: Привести формулу G.9аа) к виду
wm,n(te) = ЛЩ exp [iSm,n(xc)] V2F(k5x) + с. с.
и воспользоваться свойством спирали Корню
у
F(y) = \dt exp (гтг?2/2)
о
которое обсуждается в приложении 3.
Литература
Молекулярная физика
Обзор молекулярной физики:
Herzberg G. Molecular Spectra and Molecular Structure. Vol. I, Spectra of
Diatomic Molecules, Nostrand, Princeton, 1965
[Герцберг Г. Спектры и строение двухатомных молекул. — М.: ИЛ,
1949]
Эта книга является стандартным введением в молекулярную физику. В ней детально
обсуждаются приближение Борна — Оппенгеймера и принцип Франка-Кондона.
* Слэтер Дж. Электронная сруктура молекул. — М.: Мир, 1965
См. также последнее издание книги
Bergmann L., Schafer С. Constituents of Matter: Atoms, Molecules, Nuclei
and Particles. W. de Gruyter, Berlin, 1997
Оригинальная работа по приближению Борна — Оппегеймера:
Born M., Oppenheimer R. Zur Quantentheorie der Molekeln // Ann. Phys.
(Leipzig) 1927. V. 84. P. 457-484.
Историю принципа Франка-Кондона см. в речи Эдварда Кондона при уходе в от-
отставку с поста президента Американского физического общества:
Condon E. U. The Franck-Condon Principle and Related Topics // Am. J. Phys.
1947. V. 15. P. 365-374.
Скалярное произведение собственных энергетических состояний двух смещённых
ангармонических осцилляторов, записанное с помощью волновых функций ВКБ, а также
метод перевала были впервые рассмотрены в работе:
Landau L.D. Zur Theorie der Energieiibertragung bei StoBen // Phys. Z.
Sowjet. 1932. V. 1. P. 88-98.
Перепечатана в кн.:
Ландау Л. Д. Собрание трудов, т. 1. — М.: Наука, 1969
перепечатанной в книге
Тег Haar D., Collected Papers of L.D. Landau, Pergamon, Oxford, 1965

Литература	235
Ландау Л.Д., Лифшиц Е.М. Квантовая механика. Нерелятивистская тео-
теория. — М.: Физматлит, 2002
Интерференция в фазовом пространстве
Идея интерференции в фазовом пространстве введено в:
Wheeler J.A. Franck-Condon effect and squeezed-state physics as
double-source interference phenomena // Lett. Math. Phys. 1985. V. 10.
P. 201-206.
и, в частности, в
Dowling J.P., Schleich W.P., Wheeler J.A. Interference in Phase Space //
Ann. Phys. (Leipzig) 1991. V. 48. P. 423-502.
Обзор этой идеи:
Buzek V., Knight P. L. Quantum Interference, Superposition States of Light
and Nonclassical Effects // Prog. Opt. 1995. V. 34. P. 1-158.
Обобщение понятия интерференции в фазовом пространстве
Agarwal G.S. Interference in Complementary Spaces // Found. Phys. 1995.
V. 25. P. 219-228.
Интерпретация метода ВКБ в фазовом пространстве
Близкие по духу работы, в которой вычисляются матричные элементы с помощью
метода ВКБ:
Jabloriski A. Uber das Entstehen der breiten Absorptions- und Fluoreszenzban-
den in Farbstofflosungen // Z. Phys. 1932. V. 73. P. 460-469.
Child M.S. Molecular Collision Theory. Academic Press, London, 1974
Heller E.J. Phase Space Interpretation of Semiclassical Theory // J. Chem.
Phys. 1977. V. 67. P. 3339-3351.
Heller E.J. Quantum Corrections to Classical Photodissociation Models //
J. Chem. Phys. 1978. V. 68. P. 2066-2075.
Lee H.-W., Scully M.O. Wigner Phase-Space Description of a Morse Oscilla-
Oscillator // J. Chem. Phys. 1982. V. 77. P. 4604-4610.
Miller W.H. The Classical S-Matrix in Molecular Collisions. Adv. Chem.
Phys., ed. by I. Prigogine and S.A. Rice, Vol. XXX, Wiley, New York, 1975
Mulliken R.S. Role of Kinetic Energy in the Franck-Condon Principle //
J. Chem. Phys. 1971. V. 55. P. 309-314.

Глава 8
ПРИМЕНЕНИЯ ИНТЕРФЕРЕНЦИИ
В ФАЗОВОМ ПРОСТРАНСТВЕ
В гл. 4 мы ввели когерентное и сжатое состояния гармонического
осциллятора и обсудили некоторые свойства этих состояний. В част-
частности, мы вычислили их распределение по энергии Wm, исходя из
интеграла перекрытия соответствующих волновых функций.
В данной главе мы вернёмся к этой задаче и используем развитое
в предыдущей главе понятие интерференции в фазовом пространстве.
Мы вычислим энергетическое распределение, рассчитав площади пере-
перекрытия в фазовом пространстве. Для этого необходимо найти подхо-
подходящие представления в фазовом пространстве двух интересующих нас
квантовых состояний, то есть собственного энергетического состояния
и когерентного или сжатого состояния. Затем мы вычислим их пере-
перекрытие. В противоположность предыдущим главам, будем использовать
безразмерные переменные в фазовом пространстве. Это облегчит вы-
вычисление площадей перекрытия. Кроме того, такие же безразмерные
переменные описывают фазовое пространство одной моды электромаг-
электромагнитного поля. В завершение этой главы кратко обсуждается проблема
фазовых состояний в квантовой механике. В этом случае понятие ин-
интерференции в фазовом пространстве оказывается особенно полезным,
так как оно позволяет глубже понять определение фазовых состояний.
8.1. Связь с интерференцией в фазовом пространстве
В гл. 7 мы дали геометрическое представление квантово-механиче-
ского скалярного произведения двух квантовых состояний как резуль-
результата интерференции площадей в фазовом пространстве. Применим эти
идеи к анализу энергетического распределения
когерентного или сжатого состояния. Действительно, эта вероятность
следует из скалярного произведения собственного энергетического со-
состояния \т) и когерентного или сжатого состояния \ф).
Возможность применения понятия интерференции в фазовом про-
пространстве становится особенно ясной, если вспомнить, что интеграл
перекрытия	г
п)т(\ф)) = I Aхит(х)ф(х)
имеет вид выражения G.1).

8.2. Собственные состояния данной энергии	237
Здесь ит(х) — волновая функция ш-го собственного энергети-
энергетического состояния гармонического осциллятора, заданная выражени-
выражением D.2). Волновые функции ф(х) = i/jCOh(%) и ф(х) = ^0*0» соот-
соответственно, когерентного и сжатого состояний D.11) и D.33) играют
роль vn(x).
Похоже, мы сталкиваемся с определённой проблемой, так как при
выводе формализма интерференции в фазовом пространстве мы ис-
использовали представление ВКБ для обеих волновых функций ит(х)
и vn(x). Однако, в рассматриваемом примере vn(x) не может быть
представлена волновой функцией ВКБ-приближения. Тем не менее,
слегка подправив формализм, мы получим превосходные результаты.
В гл. 7 рассматривались произвольные связывающие потенциалы
[/0) и С/B). В этой главе сосредоточим внимание на частном случае
потенциала гармонического осциллятора
2'
Мы можем ввести безразмерные переменные в фазовом пространстве
~	~ р
X = КХ И р= -г—,
где
/МО
к =
Эллиптическая фазовая траектория ш-го собственного состояния дан-
данной энергии, определяемая уравнением
принимает тогда форму окружности
1	1 —о , 1 —о	/ n I \
- = -рт + -х	(8.1)
с радиусом л/2(т + 1/2). Здесь введена безразмерная энергия
Е
Для простоты во всей главе мы опускаем значок тильды над безраз-
безразмерными переменными.
8.2. Собственные состояния данной энергии
В гл. 7 собственные энергетические состояния связывающего потен-
потенциала были представлены как полосы в фазовом пространстве. В дан-
данной главе рассмотрим это представление для случая энергетических
собственных состояний гармонического осциллятора.

238	Гл. 8. Применения интерференции в фазовом пространстве
В записи через безразмерные переменные фазового пространства х
и р определённые в гл. 7 полосы получаются из двух траекторий в
фазовом пространстве
т - - \ri[nrf + -г2
111 2 i^m J 2
т+\={-[№
1 2
2Ж'
устанавливающих внутренний и внешний края полосы Планка-Бора-
Зоммерфельда, имеющей круговую форму.
Рис. 8.1. Траектория, соответствующая m-му состоянию данной энергии гар-
гармонического осциллятора, в подходящим образом выбранном масштабе пред-
представляется в фазовом пространстве окружностью с радиусом д/2(т+1/2).
Состоянию мы сопоставляем полосу площадью 2тг, определяемую внутренним
радиусом Гщ = л/2т и внешним радиусом rm+i = y^2(m-\- 1)
Таким образом, мы сопоставляем состоянию, которое характеризу-
характеризуется числом т, полосу с внутренним радиусом тш = л/2гп и внешним
радиусом rm+i = л/2(пг + 1), как показано на рис. 8.1. Такое пред-
представление m-го собственного энергетического состояния в виде полосы
напоминает последний положительный горб соответствующей функции
Вигнера, о которой шла речь в разделе 4.1.3.
Полоса занимает в фазовом пространстве площадь 2тг. Действи-
Действительно, эта площадь равна разности площадей кругов с радиусами
Гт+\ и гт, то есть
площадь
га-й полосы
= 7ГГ
т+\
= 2тг.
Отсюда следует, что площадь не зависит от квантового числа т.

8.3. Когерентное состояние	239
Можно глубже понять это элементарное представление собственно-
собственного состояния данной энергии, если переписать формулу для площади
в виде
площадь \ /	, \ /	\ о- л о /о о\
= тг (rm+i + rm) (rm_Li — гт) = 7г2гтАт = 2тг. (8.2)
Ш-И ПОЛОСЫ /	v +	у v +	'	mm	\ /
Здесь мы ввели средний радиус
гт = 1-
и радиальную ширину полосы
Ат = у/2(т+1) - V2m.
Условие нормировки (8.2) немедленно приводит к соотношению
Am = J-.	(8.3)
Поскольку средний радиус гт увеличивается с ростом квантового
числа как квадратный корень из т, ширина уменьшается обратно
пропорционально квадратному корню из т. Таким образом, с ростом т
кольца становятся всё тоньше и тоньше.
Завершим этот раздел кратким обсуждением предела больших
квантовых чисел. В квазиклассическом приближении Бора, иначе го-
говоря, при т > 1, можно заменить в ширине Ат разность между
соседними квантовыми состояниями на производную, вычисленную при
полуцелом значении квантового числа, то есть
dm
ду/2т/
dm
1
m'=m+\ V2(m+l/2)
(8.4)
Действительно, радиальная ширина полосы уменьшается с увеличени-
увеличением квантового числа га.
Если сравнить это выражение для Ат с формулой (8.3), получаем
приближённое соотношение
rm ^J2(m + i)	(8.5)
для среднего радиуса га-й полосы. Это радиус траектории в фазовом
пространстве, отвечающей полуцелому значению т + 1/2.
8.3. Когерентное состояние
В разделе 4.2 мы показали, что когерентное состояние является
смещённым основным состоянием гармонического осциллятора. Благо-
Благодаря этому смещению когерентное состояние не является собственным
энергетическим состоянием осциллятора, а обладает пуассоновским

240	Гл. 8. Применения интерференции в фазовом пространстве
распределением по энергии
^ + A/2) -а
(8.6)
где а — параметр смещения.
В чём состоит естественный алгоритм вычисления вероятно-
вероятностей Wm по формуле (8.6)? Очевидно, что упомянутое выше квантово-
механическое скалярное произведение является превосходным мате-
математическим инструментом для этого. Однако такой подход не поз-
позволяет проникнуть глубже в физику. Чтобы лучше понять результат,
используем концепцию интерференции в фазовом пространстве.
Для этого нужно представить в фазовом пространстве два состо-
состояния, входящие в скалярное произведение — когерентное состояние
l^coh) и собственное энергетическое состояние \т). Мы уже нашли вы-
выше, что собственное энергетическое состояние представляет круговую
полосу. Обратимся к соответствующему представлению когерентного
состояния.
8.3.1. Элементарный подход. Когерентное состояние — это сме-
смещённое основное состояние. В нашем упрощённом представлении соб-
собственного энергетического состояния как полосы в фазовом простран-
пространстве основное состояние изображается кругом с радиусом у/2 и с цен-
центром в начале координат. Следовательно, когда мы смещаем центр
этого круга в точку хо = л/2 а на положительной оси х (рис. 8.2), коге-
когерентное состояние представляется кругом, внешняя граница которого
определяется формулой
2=p2C0h + (x-V2aJ.	(8.7)
Энергетическое распределение как результат простого пере-
перекрытия. Понятие интерференции в фазовом пространстве связывает
вероятность Wm обнаружения в когерентном состоянии m-го энерге-
энергетического состояния с площадью перекрытия Ат этих двух состояний
в фазовом пространстве.
К каким результатам для Wm приводит этот алгоритм? Для значе-
значений т меньших или больших двух критических значений, то есть для
+i) <л/2а-л/2 и л/2 а + л/2 < W2 (т + 1) ,
полосы и круг вообще не перекрываются, так что
Полосы, соответствующие значениям ш, лежащим между этими край-
крайними точками, имеют в общем случае ненулевую площадь перекрытия

8.3. Когерентное состояние	241
с кругом. Максимальное перекрытие возникает от полосы, которая
проходит через центр круга. Это соответствует квантовому числу
то есть а2 = т + 1/2, в полном соответствии с гауссовским преде-
пределом (8.6) пуассоновского распределения. Для соседних полос площади
перекрытия уменьшаются.
Есть ещё одно свойство, которое отчётливо проявляется в таком на-
наглядном представлении энергетического распределения: пуассоновское
распределение асимметрично по отношению к максимуму. В гауссов-
ском пределе (8.6) мы пренебрегли этим свойством. Однако в форма-
формализме перекрытия оно становится очевидным. Действительно, так как
площадь каждой полосы постоянна, а радиус возрастает с ростом кван-
квантового числа, ширина Am каждой полосы уменьшается. Следовательно
левая половина круга, отвечающего когерентному состоянию, может
уместить меньшее количество состояний, чем правая. Это естественно
приводит к асимметрии энергетического распределения.
Оценка ширины. Можно получить оценку ширины распределения,
подсчитав число полос, пересекающих круг. Для облегчения сравнения
с гауссовским пределом пуассоновского распределения, полезно опре-
определить полуширину Am энергетического распределения. Из нашего
алгоритма в фазовом пространстве вытекает, что эта величина равна
числу полос, умещающихся в круге половинного радиуса, то есть
где мы учли формулу (8.3), связывающую ширину Ат га-й полосы
с её средним радиусом. Кроме того, мы использовали асимптотическое
разложение (8.5) радиуса гт.
Заметим, что ненулевое перекрытие создают только полосы с кван-
квантовыми числами m = а2. Отсюда для полуширины энергетического
распределения приходим к выражению
Am ^ 2а.
Полученный результат противоречит гауссовскому пределу пуассо-
пуассоновского распределения, в котором предсказывается значение у/2 а.
Это ясно указывает на то, что наш формализм вычисления вероят-
вероятностей схватывает суть дела, но не совсем правилен. Это становится
ещё яснее, если теперь вычислить площадь перекрытия Ат аналити-
аналитически.
Количественный анализ. Покажем теперь, что наш формализм
предсказывает для площади перекрытия Ат между га-й полосой План-
ка-Бора-Зоммерфельда и кругом (8.7) не гауссовскую, а корневую
зависимость от квантового числа т.

242	Гл. 8. Применения интерференции в фазовом пространстве
Определим площадь перекрытия двух состояний как
Ат=	\dx\dp —,
перекрытие т-й полосы
и когерентного состояния
где введён множитель 1/2тг с целью сохранить условие нормировки
\dx \dP
1 /площадь когерентного\
=2Г( состояния =2тг ) =
перекрытие т-и полосы
и когерентного состояния
В предыдущей главе мы нашли, что вероятности получаются при
делении площади перекрытия на 2тгЙ. Так как в наших единицах Н= 1,
этот нормировочный множитель равен 2тг.
Площадь перекрытия, представленную сегментом m-го кольца,
можно аппроксимировать прямоугольником с шириной Ат и высотой
2Pcoh(xc)=2^/2-(xc-V2af,
вычисленной в центре полосы хс = гт. Площадь этого прямоугольника
равна
Л с± 1 д су / \ _ 1 д /о /	./оЛ\2
Лт — — АЛт ^Pcoh ^с) — — t-±m \ z ~ \хс — V Z а/' .
Z7T	7Г	v
Кроме того, из рис. 8.2 вытекает, что главные вклады в перекрытие
возникают от полос, разрезающих круг. Грубо говоря, в этом случае
квантовые числа т порядка а2. Так как согласно (8.4) квантовое число
т входит в Ат только в знаменателе, зависимость от т очень слаба,
и мы можем поэтому заменить т + 1/2 на а2, откуда
Am ^ -^
и следовательно
Ат *< —^- J2 - (хс - V2aJ .	(8.8)
тгу2а v
Если вспомнить, что в пределе больших m верно соотношение
¦V2^m+1/2"a2,	(8.9)
2
формула (8.8) упрощается и принимает вид
Ат ^ —2 \4а2 -[т+\ -а2] .	(8.10)
тг2а V	V ^	/

8.3. Когерентное состояние
243
т+\
W
Рис. 8.2. Основное состояние гармонического осциллятора, изображаемое в фа-
фазовом пространстве как круг с радиусом л/2 и с центром в начале координат,
после смещения из начала координат на величину л/2 а моделирует когерент-
когерентное состояние. Площадь перекрытия между m-й полосой (представляющей со-
состояние с квантовым числом т) и этим кругом, дающая простейший алгоритм
определения энергетического распределения Wm когерентного состояния, при-
приводит к распределению «полуэллиптической» формы (8.10), воспроизводящему
качественные свойства пуассоновского распределения (показано внизу справа).
Если вместо этого взять каждую точку фазового пространства с весом, соот-
соответствующим круговому гауссиану WCOh (8.11), то получим вероятность Wm,
зависимость которой от значений т практически неотличима от правильного
пуассоновского результата. Действительно, мы получаем зависимость (8.6),
изображённую на рис. 4.7 пунктирной линией
Предполагаемое распределение вероятностей Wm = Am имеет, та-
таким образом, максимум при т = а2 — 1/2 в согласии с формулой (8.6).
Однако полуширина этого распределения по т равна 2а в противо-
противоречии с предсказанием л/2 а. Поэтому такой элементарный подход,
хотя и даёт более глубокое представление об энергетическом распре-
распределении когерентного состояния, всё же не позволяет выяснить всю
правду.
8.3.2. Влияние внутренней структуры. Проблема неправильно-
неправильного предсказания полуширины тесно связана с другой проблемой, воз-
возникающей при рассмотрении результата элементарного подхода (8.10),
предсказывающего не гауссовскую, а корневую зависимость от га.
Такая зависимость есть следствие того, что до сих пор каждой точке
внутри диска приписывался одинаковый вес. Это и приводит к тому,

244	Гл. 8. Применения интерференции в фазовом пространстве
что Wm корневым образом зависит от га. Более аккуратное рассмотре-
рассмотрение учитывает плавный разброс по х
и соответствующий разброс по импульсам
Таким образом, каждая точка в фазовом пространстве получает вес
в соответствии с распределением Вигнера
Wcoh(x,p) = i exp[-(x-V2af-p2].	(8.11)
Круговое пятно, показанное на рис. 8.2, грубо изображает экспоненци-
экспоненциальное спадание функции распределения — эффект, аналогичный часто
используемому для исправления дефектов линз плавному изменению
пропускающей способности. В исправленном варианте концепции пло-
площади перекрытия вычисляется взвешенное перекрытие
[dx Jdp Wcoh(x,p)
m-я полоса
между m-й полосой и гауссовским колоколом (8.11). Поэтому Аш пред-
представляет собой объём, вырезанный полосой из гауссовского колокола.
В противоположность элементарному подходу нам не нужно теперь
вводить условие нормировки, так как функция Вигнера уже нормиро-
нормирована. Действительно, находим:
m	m гп_я полоса
В пределе m > 1 для Am, приближённо представленной га-м взве-
взвешенным прямоугольником, получаем:
Ащ = Am exp[-(fm - у/2 af] - dp exp (-p2),
J 7Г J
что с помощью (8.4) и (8.9) сводится к результату
2тг а
ехр
ш+ 1/2-а2
тождественному выражению (8.6).
Таким образом, в квазиклассическом пределе энергетическое рас-
распределение Wm когерентного состояния есть перекрытие в фазовом
пространстве гауссовского колокола когерентного состояния и соответ-
соответствующей полосы Планка-Бора-Зоммерфельда состояния с квантовым
числом т.

8.4. Сжатое состояние	245
8.4. Сжатое состояние
Обратимся теперь к случаю сжатого состояния. В частности, мы
хотим глубже понять происхождение осцилляции энергетического рас-
распределения сильно сжатого состояния. Наш подход аналогичен тому,
который был использован в предыдущем разделе для изучения коге-
когерентного состояния.
8.4.1. Осцилляции как результат интерференции в фазовом
пространстве. Представим сжатое состояние |?/ц) с помощью функ-
функции распределения D.56) в фазовом пространстве:
WsJx,p) = - exp \-s(x - л/2 аJ} ехрГ--р2! .	(8.12)
тг L	J L s ]
Везде в данном разделе мы используем безразмерные переменные в
фазовом пространстве.
Вдохновлённые успехом подхода, основанного на площади перекры-
перекрытия в случае когерентного состояния, определим теперь взвешенную
площадь перекрытия
р Wsq(x,p),
?тг-я полоса
то есть объём, который вырезает га-я полоса из гауссовой сига-
сигары (8.12). Что предсказывает этот алгоритм для вероятности?
Если квантовые числа га меньше, чем а2, га-я полоса не пересека-
пересекается с сигарой. Отсюда следует, что вероятность Wm пренебрежимо
мала, в согласии с точной кривой.
При га = а2 полосы врезаются в сигару по касательной, создавая
необычайно большое перекрытие. Это приводит к возникновению глав-
главного максимума в энергетическом распределении.
Однако при га > а2 в пределе s ^> 1, то есть для сильно сжатого
состояния, получаются две симметрично расположенные ромбовидные
области перекрытия (рис. 8.3, а). Каждая ромбовидная область Лт
соответствует одной амплитуде вероятности, следовательно, в согласии
с принципом интерференции в фазовом пространстве G.23), находим:
Wm = \(т\фщ)\2 =
(8.13)
Этот анализ ясно показывает, что наш формализм может качественно
объяснить важные свойства энергетического распределения сжатого
состояния. Покажем, что такой подход даёт и количественное согласие.
Площадь перекрытия. С этой целью вычислим явно объём, выре-
вырезаемый из гауссовой сигары га-й энергетической полосой, когда имеет-

246
Гл. 8. Применения интерференции в фазовом пространстве
Рис. 8.З. Вычисление энергетического распределения сильно сжатого состо-
состояния с помощью принципа интерференции в фазовом пространстве. Веро-
Вероятность обнаружения m-го энергетического собственного состояния можно
найти из взвешенной площади перекрытия в фазовом пространстве m-го со-
состояния \т), представленного полосой Планка-Бора-Зоммерфельда, и сильно
сжатого состояния, изображённого здесь в виде гауссового сигарообразно-
сигарообразного эллиптического контура, который отвечает экспоненциальному убыванию.
При ш, больших а2, существуют два таких перекрытия, что показано на рис. а.
Эти перекрытия соответствуют двум интерферирующим комплекснозначным
амплитудам вероятности. Вероятность Am, связанная с отдельным ромбом,
определяется площадью ромбовидного перекрытия. Разность фаз 2фш между
амплитудами фиксирована заштрихованной областью, вырезанной центральны-
центральными линиями двух состояний, как это показано на рис. б
ся более одного перекрытия. Взятая с весом площадь перекрытия равна
Ат = dx J- exp [s(x - л/2 аJ} —==
J V ^	vS7T J
dp exp ( — p2) .
В пределе s ^> 1 можно провести интегрирование по х, заменив рас-
распределение по координатам на (^-функцию в точке х = у/2 а. Имеем:
sir
dp exp ( —p'
(8.14)
Заметим, что при s ^> 1 подынтегральное выражение ехр(— р2/s) мед-
медленно изменяется в области интегрирования протяжённостью
5рт = J2(m + 1 - «2) _ 2{т - а*) =
2(т + 1 - а2) + у 2(т - а2)
. (8.15)

8.4. Сжатое состояние	247
Поэтому можно приближённо записать интеграл по импульсам (8.14),
взяв значение функции exp (—р2/5) в центре области интегрирования,
то есть в точке
рт = \ (J2{m + 1 - а2) ^)	^
(8.16)
и умножив её на ширину 5рт, то есть
Лт *< 6Рт -L ехр (- -pi) .	(8.17)
С помощью формул (8.15) и (8.16) находим:
и тогда выражение (8.17) принимает вид:
+ - - а2) -]
2 ' 8У	(8.18)
1	2
2	~
Заметим, что это выражение тождественно найденному в разде-
разделе 4.3.2 после перехода к соответствующему пределу в точном энерге-
энергетическом распределении.
Фаза осцилляции. Фаза фт, связанная с каждым перекрытием,
равна площади заштрихованного сегмента на рис. 8.3, б. Эта область
ограничена центральными линиями сжатого состояния (х = \/2а) и
полосы (р2т + х2 = 2 (га + 1/2)), и осью х. Фаза равна
, _ (площадь \ тг _ / площадь \ / площадь \ тг
(Рт — I Сегментау 4 ~~ I сектора у (треугольника) 4'
Здесь мы включили фазовый сдвиг тг/4, возникающий от фазы соб-
собственной энергетической функции ит(х) в точке поворота движения
^т = л/2(т + 1/2), соответствующей энергии га + 1/2.
Если вспомнить соотношения
\ сектооа / ^\\i^\"^i^ii^ \ • •» * ^ ) arcian
и
/ площадь \
(треугольника ) 2 (^а) V 2 Г + 2 ) " 2а = a\jm + 2 " " '

248	Гл. 8. Применения интерференции в фазовом пространстве
то
+l--a2 - J. (8.19)
Заметим, что это выражение для фазы тождественно результату D.43в)
из раздела 4.3.2.
8.4.2. Гигантские осцилляции. Обратимся теперь к случаю сжа-
сжатого состояния, повёрнутого на угол ср относительно оси импульсов.
Как было показано в разделе 4.3.2, энергетическое распределение
гармонического осциллятора в сжатом состоянии может содержать
быстрые осцилляции с медленно меняющейся огибающей (рис. 4.15, б).
В данном разделе мы используем понятие интерференции в фазовом
пространстве, чтобы лучше понять происхождение этих гигантских
осцилляции и вывести явное асимптотическое выражение для энерге-
энергетического распределения.
Заметим, что в полной аналогии со случаем ср = 0, обсуждавшемся
в предыдущем разделе, га-я полоса вырезает из повёрнутой гауссовой
сигары, изображённой на рис. 8.4, две интерферирующих ромбовидных
области перекрытия. Отсюда из формулы G.23) получаем выражение
для вероятности обнаружения энергии hw(m-\- 1/2):
W —
vv m —
(8.20)
Вычислим взвешенные площади в фазовом пространстве Лт и
±ФШ. Для этого удобно повернуть фазовое пространство на угол (р,
показанный на рис. 8.5. В повёрнутой системе координат х'-р' гауссова
сигара принимает вид:
Wsq (х', р') = — exp —s (х' — v2 a cos (рJ	(р' + л/2 a sin (pJ
причём, согласно 8.5, её центр находится в точке х'с =
и р'с = — у/2ашир.
Вычисление амплитуд. Аналогично тому, как это было сделано
в предыдущем разделе, вычислим взвешенные площади перекрытия
= \\ dx'dp'Wsq(x',p'),
771-я полоса
показанные на рис. 8.4, заменив распределение по координатам на
5-функцию в точке х'с. Оставшиеся интегралы от гауссова распределе-
распределения по импульсам
1	Г	/- .	2
ехр \—(р +v2asin<^)
7TS

8.4. Сжатое состояние
249
t
p
1
2
л/2а'
m , я
Рис. 8.4. Взвешенные площади перекрытия в фазовом пространстве Л^
и Лт^ между полосой состояния с номером т и повёрнутой сильно сжатой
сигарой. В отличие от рис. 8.3, а, весовые множители для двух чёрных ромбов
различны. В области Лт^ т-я полоса Планка-Бора-Зоммерфельда пересекает
сигару ближе к её центру, и поэтому приобретает большой вес, в то время
как область перекрытия Аш находится дальше от центра сигары, и даёт
соответственно меньший вклад. Разность фаз 2Фт снова фиксируется за-
заштрихованной площадью, вырезанной центральными линиями двух состояний,
в полном соответствии с рис. 8.3 6
мы аппроксимируем их значениями в центрах ромбов
±рт =
1	о	о
- — az cos^
(8.21)
умноженными на ширину области
Арт ^ [2(ш + A/2) - a2 cos2 ^)]~Х/2
по импульсам. Выражения для Арт и ±р^ непосредственно следуют
из рис. 8.5, и для величины
-^j = Apw
ехр
1
V2
a simp
дают окончательный результат
где
ехр
-2
i- a2 cos
2
,
V2tts
т+ - — a2 cos2 i
кт = - asm(/?4/m
-\- - — a2
cos2 о? .
(8.22)
(8.23)
(8.24)
Заметим, что при о? ф 0 две площади перекрытия различны по
величине, в то время как для о? = 0 имеем равенство Лш = Am =

250
Гл. 8. Применения интерференции в фазовом пространстве
Рис. 8.5. Повёрнутая гауссова сигара сильно сжатого состояния в системе
координат х'-р', ось р' которой параллельна оси сигары. Центр гауссовой
сигары находится в точке х'с = y^2acoscp и р'с = — \f2asmtp. Центральная
линия сигары смещена относительно оси р' на \f2acostp (сравните с л/2 а
на рис. 8.3 6). Следовательно, центральная линия m-го фоковского состояния
пересекает центральную линию гауссовой сигары в точках фазового простран-
пространства х'с = \f2acosip и ±Рга = ±д/2 (т + 1/2 — a2 cos2 cp)
Вычисление фаз. Обратимся к вычислению фазы Фт интерфери-
интерферирующих площадей. Согласно G.23) она определяется площадью, огра-
ограниченной центральными линиями рассматриваемых состояний, то есть
сегментом на рис. 8.4. В повёрнутой координатной системе эта площадь
тождественна рассмотренной в предыдущем разделе с заменой л/2а
на V%(xcos(p, как показано на рис. 8.5. Тогда непосредственно из
формулы (8.19) находим:
= 0т(л/2 acoscp) = (гп + -j arctg
A/2) -a cos\р
a cos Lp\jm + -
— j. (8.25)
Теперь мы можем написать явное асимптотическое выражение для
энергетического распределения повёрнутого сжатого состояния. Дей-
Действительно, с помощью формулы (8.22) предсказываемое концепцией
интерференции в фазовом пространстве энергетическое распределе-
распределение (8.20) принимает вид:
Wm = 2Am[dixm + cos BФШ)],
где Ат, кт и Фт даются выражениями (8.23), (8.24) и (8.25), соответ-
соответственно.
Напомним, что на рис. 4.17 мы сравнивали этот асимптотический
результат с точным ответом D.36) и обнаружили блестящее согласие.
8.4.3. Резюме. Интерферирующие площади перекрытия в фазо-
фазовом пространстве объясняют осцилляции энергетического распределе-
распределения сжатого волнового пакета механического осциллятора. Когда со-
состояние осциллятора достаточно сжато по координате, вероятность Wm

8.4. Сжатое состояние
251
найти энергию hw (га + - j испытывает осцилляции с большим пери-
периодом.
При га > а2 эти осцилляции принимают совсем другую форму: они
состоят из нечётно-чётных осцилляции с медленно меняющейся ам-
амплитудой. Оба типа осцилляции являются следствиями интерференции
двух симметрично расположенных ромбовидных областей перекрытия
между га-й энергетической полосой и сжатой гауссоврой сигарой. Они
вытекают из энергетического распределения
Оценим взвешенную площадь Лт отдельного ромба как
/ ширина
= I ромба по
\ координате х
вероятность '
нахождения
центре ромба
/ ширина \
: I ромба по
у импульсу р
-1/2
Г* [S~ Го / ,1	2М~ ' 1	Го
= J-J- \2[т+--а2)\ -= ехр \-2
V s V тг L V i	/J a/tts	L
вероятность \
иметь импульс I =
^в центре ромба у
Фаза фт + тг/4 таких представляющих амплитуду вероятности пло-
площадей есть область, ограниченная осью х и центральными линиями
сжатого состояния и га-й полосы. Согласно рис. 8.6, а она равна
/ площадь \
(сегмента)
7Г
4
/ площадь \
I сектора )
( площадь \ тг
(треугольника) 4
га+-
т+2~а 4'
Заметим, что при га > а2 фаза 0Ш, то есть площадь сегмента, лишь
немного возрастает при переходе от га к га + 1. Следовательно, период
осцилляции довольно велик.
Совершенно другое поведение возникает в случае га ^> а2. Как
следует из рис. 8.6,6, можно аппроксимировать эту фазу, определив
сегмент как
площадь, ограниченная
га-й центральной линией
в пространственном квадранте
с положительной фазой
^ -у/2
/ площадь \ _ тг
(прямоугольника) 4
. 1 \	7Г	ТГ о
ra+-J --=m--2a
(8.26)

252	Гл. 8. Применения интерференции в фазовом пространстве
р
Р
Ч
а
\
)'
б
\
I х
Рис. 8.6. Определяющая фазу площадь заштрихованного сегмента есть раз-
разность площадей сектора и треугольника, показанных на рис. а. В пределе
т ^> а2, показанном на рис. б, можно аппроксимировать площадь сегмента
в фазовом пространстве разностью площадей положительного квадранта круга
и прямоугольника
Отсюда, фт включает быстро и медленно меняющиеся функции т.
Следовательно, Wm содержит быстрые нечётно-чётные осцилляции,
амплитуды которых модулированы за счёт медленно меняющегося
вклада. Так как т > а2, это поведение имеет место на экспоненци-
экспоненциальном хвосте Am, и его можно вытащить на свет, только рассмотрев
предел экстремального сжатия, когда высота сигары л/s много больше
смещения у/2 а.
Аналогичное явление имеет место и в случае, когда гауссова сигара
составляет угол (р с осью импульсов. Начиная с критического уг-
угла (р, возникают быстрые нечётно-чётные осцилляции, модулированные
медленно меняющейся огибающей. Эти осцилляции происходят из-
за интерференции двух ромбовидных областей перекрытия в фазовом
пространстве Am и Am , то есть
Вновь фаза 2Фт + тг/2 равна площади, охваченной центральными ли-
линями. Можно без труда связать Фт с фазой фт неповёрнутого сжатого
состояния, если повернуть систему координат на угол ср = тг/2 — #.
В новых координатах параметр смещения равен
y/2acos(p = \/2acos ( ^ — #) = y/2asmi!),
а фаза

8.5. Вопрос о фазовых состояниях	253
при $ <С 1 тождественна выражению (8.26) с заменой а на ш?. Однако
в отличие от энергетического распределения неповёрнутого сжатого
состояния, в данном случае у Wm нет нулей, так как две интерфери-
интерферирующие площади перекрытия Лт различны. Действительно, можно
оценить площади Лт с помощью соотношения
/ ширина \ / вероятность \ / ширина \
ffi = ( ромба по ] х ( координаты I х ( ромба по ] х
\координате х') \в центре ромба/ \импульсу pf J
вероятность \	1/2
х импульса	= J — J — 2 (т + - — a cos у?)	х
\в центре ромба/ V s V тг L V 2
ехр < — \±-\ 2 (т-\- - —
tts	^ [ s у V 2
что согласуется с выражениями (8.22)-(8.24).
В этом разделе мы продемонстрировали на нескольких примерах
как работает представление об интерференции в фазовом простран-
пространстве. Оказалось, что это мощный инструмент для выяснения важных
свойств скалярных произведений квантовых состояний.
8.5. Вопрос о фазовых состояниях
«Старая» квантовая механика Планка, Бора и Зоммерфельда — так
называемая атомная механика — основана на рассмотрении перемен-
переменных действие-угол. Напротив, «новая» квантовая механика Гейзен-
берга и Шрёдингера основана на переменных координата и импульс.
Поразительно, что уже через несколько месяцев после основополагаю-
основополагающих работ Гейзенберга и Шрёдингера Фриц Лондон задался вопросом
о том, как переформулировать новую квантовую механику на языке
переменных действие-угол. Он сразу же обнаружил, что не суще-
существует эрмитового оператора, соответствующего классической фазовой
переменной. Во второй работе он предложил оператор ехр (гф) для
экспоненты от фазы.
Когда Дирак занялся квантованием электромагнитного поля, он
также последовал по пути применения переменных действие-угол.
Он использовал оператор фазы, проигнорировав те проблемы, которые
отметил Лондон. С тех пор вопрос об операторе фазы стал предметом
обсуждения поколений физиков. Здесь мы хотим только отметить са-
самый последний подход Барнетта и Пегга. За более детальным обзором
проблемы отсылаем читателей к литературе в конце этой главы.
Мы будем возвращаться к этому вопросу в разных главах книги.
Однако в данном разделе мы используем принцип площади пере-

254	Гл. 8. Применения интерференции в фазовом пространстве
крытия для установления связи между фазовым и энергетическим
представлением квантового состояния \ф).
8.5.1. Амплитуда и фаза классического осциллятора. Чтобы
понять те усложнения, которые связаны с амплитудно-фазовым пред-
представлением квантового осциллятора, рассмотрим сначала аналогичную
проблему для классического гармонического осциллятора.
Эволюция осциллятора во времени определяется ньютоновским
уравнением движения
где t — безразмерная временная переменная, выраженная в единицах
обратной частоты осциллятора.
Поскольку это уравнение второго порядка, для однозначного опре-
определения дальнейшего поведения осциллятора необходимо задать две
величины: начальные координату xq = x(to) и импульс ро = #(^о) в за~
данный момент времени to. Классическое состояние осциллятора ха-
характеризуется координатой и импульсом и является поэтому точкой
в двумерном пространстве, натянутом на координату и импульс. Коор-
Координаты точки в фазовом пространстве равны (#о>Ро) •
Уравнение Ньютона указывает, как начальная точка движется в фа-
фазовом пространстве. Действительно, для зависящих от времени коор-
координаты и импульса, записанных здесь в форме двумерного вектора,
находим решение
fx(t)\_
где для простоты мы положили to = 0.
Это движение в фазовом пространстве порождает траекторию, за-
зависящую от времени как от параметра и имеющую форму окружности
x2(t) -\-p2(t) = Xq +Pq = const,
по которой осциллятор перемещается с постоянной скоростью. Это
становится особенно ясно, если воспользоваться тригонометрическими
соотношениями
cos (а — /3) = cos (a) cos (/3) + sin (a) sin (/3),
sin (a — /3) = sin (a) cos (/3) — cos (a) sin (/3),
благодаря которым вектор принимает вид:

8.5. Вопрос о фазовых состояниях	255
Для сравнения укажем, что величина (ро даётся соотношениями
^^	^	(8.28)
Действительно, сро — это угол, определённый начальными координата-
координатами в фазовом пространстве (xq,pq).
Из уравнения (8.27) ясно видно, что осциллятор движется с те-
течением времени по окружности в фазовом пространстве. Радиус этой
окружности равен квадратному корню из удвоенной энергии, а угловая
скорость в фазовом пространстве равна единице или, в размерных
единицах, частоте осциллятора.
Такое представление позволяет также иначе параметризовать тра-
траекторию в форме окружности в фазовом пространстве. Вместо того,
чтобы использовать декартовы координаты, можно с тем же успе-
успехом описать такое движение в полярных координатах. Напомним,
что в используемых нами безразмерных единицах действие J равно
ограниченной окружностью площади ty(xq + Pq), а угол (p(t) = (ро — t
отсчитывается от начальной фазы (р$. Заметим, что (p(t) линейно
уменьшается со временем, начиная со значения (ро. Это указывает
на то, что движение в фазовом пространстве происходит по часовой
стрелке. Таким образом, находим:
fx(t)\ [7 ( cosip(t)
Действие J и фаза ip определяют состояние осциллятора ничем не
хуже переменных х и р.
Завершим этот раздел кратким обсуждением перехода к кванто-
квантовой механике, в которой координата и импульс являются эрмитовыми
некоммутирующими операторами. Из-за этого понятие фазы стано-
становится неоднозначным. Действительно, определённые в (8.28) тригоно-
тригонометрические функции cosip и simp включают отношения координаты
и импульса, то есть отношение некоммутирующих операторов. Это
порождает проблему упорядочения операторов. Мы вернёмся к этому
вопросу в разделе 13.4, где будет введено второе поле, позволяющее
преодолеть эту трудность.
Другая проблема, связанная с квантовой версией понятия фазы,
это разные спектры сопряжённых переменных. В классической физике
действие J и фаза (р являются сопряжёнными переменными. Поэтому
мы ожидаем, что и квантовые аналоги этих величин также будут
сопряжёнными переменными. Однако такое, строго говоря, невозмож-
невозможно, так как соответствующие операторы имеют очень различающиеся
спектры. Переменная действия для гармонического осциллятора дис-
дискретна и принимает положительные полуцелые значения. Напротив,
оператор фазы должен был бы иметь непрерывный спектр, так как
фазовая переменная непрерывна. Одним из способов решения этой

256	Гл. 8. Применения интерференции в фазовом пространстве
проблемы эрмитового оператора фазы является переход к дискретному
множеству фазовых углов. Существует немало других способов. Мы не
будем углубляться в эти вопросы, отсылая читателей к цитированной
литературе.
8.5.2. Определение фазового состояния. Цель данного подраз-
подраздела — мотивировать определение
сю
\ч>) = -т^ Y1ехр [1 (ш + г
га=О
фазового состояния \ф), не зная явного вида соответствующего опера-
оператора фазы. Наш подход использует понятие интерференции в фазовом
пространстве и основан на интуитивном понимании того, как должно
выглядеть изображение в фазовом пространстве состояния с «хорошо
определённой фазой».
Энергетическое представление. Используем соотношение полно-
полноты
]Г |га) (т\ = 1
т=0
для собственных энергетических состояний |га), чтобы разложить фа-
фазовое состояние \ф) по состояниям |га), то есть
сю	сю
и = ? (ш и и = ^ ^m [и и. (8.29)
771=0	771=0
Таким образом возникает проблема определения комплекснозначной
амплитуды вероятности обнаружения данной энергии
wm[\(p}} = (т\(р)
в фазовом состоянии.
Если вспомнить соотношение
(ip\m) = (m\ip)*,
то можно заметить, что интересующая нас величина является ком-
комплексно сопряжённой к амплитуде вероятности обнаружения данной
фазы О
wjm)] = ((p\m)	(8.30)
в состоянии с определённым числом заполнения.
Удобнее всего искать амплитуду вероятности (ср |га), используя
понятие интерференции в фазовом пространстве. Для этого нужно
найти представление фазового состояния в фазовом пространстве. Что-
Чтобы записать представление такого состояния с хорошо определённой
х) Строго говоря, здесь и ниже речь идёт об амплитуде вероятности данного
фазового состояния \<р). — Прим. ред. пер.

8.5. Вопрос о фазовых состояниях
257
фазой, мы должны обратится к интуиции. Как показано на рис. 8.7,
фазовое состояние \ф) можно представить как клин, выходящий из
начала координат под углом (р.
Рис. 8.7. В наиболее простой формулировке фазовое состояние можно предста-
представить в х-р фазовом пространстве осциллятора в виде клиновидной области
с вершиной в начале координат, направленной под углом ср (заштрихованный
ломоть). Если разложить фазовое состояние по состояниям с определённы-
определёнными числами заполнения, которые представляются в х-р фазовом простран-
пространстве круговыми полосами Планка-Бора-Зоммерфельда с внутренним радиусом
у/2т и внешним радиусом д/2(т + 1), то коэффициенты разложения |((/?|т)|2
будут, согласно принципу площадей перекрытия, равны площади пересечения
клина с 771-й полосой. С ростом т клин расходится, в то время как ширина
			 г /	jx -1—1/2
Аш = д/2(т+ 1) — у2т = 2 (т + - j	колец Планка-Бора-Зоммер-
Планка-Бора-Зоммерфельда уменьшается, чтобы сохранить площадь перекрытия постоянной и рав-
равной единице. В результате, разложение \ф) по состояниям с определёнными
числами заполнения не является абсолютно сходящимся
В такой геометрической картине разложение (8.29) фазового состо-
состояния по состояниям данной энергии соответствует представлению кли-
клина последовательностью соседних кольцевых сегментов, вырезаемых из
него полосами Планка-Бора-Зоммерфельда. Подчеркнём, что каждый
кольцевой сегмент соответствует амплитуде вероятности и поэтому
имеет свою фазу. Следовательно, клин построен как последователь-
последовательность интерферирующих сегментов.
Фазовая амплитуда собственного энергетического состояния.
С помощью понятия интерференции в фазовом пространстве вычис-
вычислим теперь амплитуду вероятности (<р \т) обнаружения данной фазы
в собственном состоянии данной энергии. Такой формализм связывает
квадрат модуля амплитуды вероятности \((р\т}\2 с площадью перекры-
перекрытия в х-р фазовом пространстве для осциллятора между га-й круговой
полосой Планка-Бора-Зоммерфельда с внутренним радиусом
и внешним радиусом
Гт+1 = ^2G71+1),
9 В. П. Шляйх

258
Гл. 8. Применения интерференции в фазовом пространстве
\\^\11Ч\ - 2^>	WI"
Рис. 8.8. (а) Фазовое распределение W^[|m)] состояния с данным числом
заполнения \т), представляемого в наиболее простой форме в виде круго-
круговой полосы Планка-Бора-Зоммерфельда с внутренним радиусом гш = л/2т
и внешним радиусом rm+i = д/2(т+ 1), определяется площадью перекрытия
этого кольца (с полной площадью 2тг) и расходящегося луча, представляю-
представляющего собственное фазовое состояние, то есть W^[|m)] = 1/Bтг). (б) Понятие
интерференции в фазовом пространстве связывает с фазой комплекснозначной
фазовой амплитуды u^[|m)] площадь г
/2 = (ш+ -) (р, заключённую
между центральной линией т-й полосы, то есть круговой траекторией Крамер-
са (ж2/2) + (р2/2) = т + A/2), и центральной линией расходящегося луча. Из-
за связанного с энергией нулевых колебаний поправочного коэффициента 1/2,
амплитуда вероятности обнаружения данной фазы w^ имеет период 4тг, а не 2тг
представляющей т-е энергетическое состояние, и направленным под
углом (р расходящимся лучом в фазовом пространстве, который пока-
показан на рис. 8.8, а.
Эта площадь равна
^ггг+1	7Г
|((^|ш)| = — dr г
Гт	— 7Г
(8.31)
Здесь мы включили множитель Bтг) \ чтобы обеспечить выполнение
условия нормировки
' <Ьр\(<р\т)\2 = \,
так как площадь полосы Планка-Бора-Зоммерфельда равна 2тг.
Таким образом фазовое распределение
W4,[\m)] = \(<p\m)\2 = ±;	(8.32)
состояния \т) не зависит от (р. Отсюда вытекает, что фаза в собствен-
собственном энергетическом состоянии является полностью неопределённой.

8.5. Вопрос о фазовых состояниях	259
Понятие об интерференции в фазовом пространстве позволяет
также найти фазу амплитуды вероятности (<р \т). Согласно форму-
формуле G.23), она равна площади
{ 1)	(8.33)
заключённой между круговой центральной линией полосы Планка-
Бора-Зоммерфельда с радиусом rm+i/2 = у 2 f га+ - J и центральной
линией луча в фазовом пространстве, как показано на рис. 8.8, б.
С помощью выражения (8.32) для фазового распределения соб-
собственного энергетического состояния находим амплитуду вероятности
обнаружения данной фазы в собственном состоянии данной энергии
((р\т) ^ Иу|га)]1/2ехр Г-г (га + -) ip] = -= exp \-i(m+-) if] .
L \ Z/ j vztt L V Z/ j
(8.34)
Фазовые состояния в усечённом гильбертовом пространстве.
Этот результат и наводит на мысль об определении фазового состояния
в виде следующей суперпозиции собственных энергетических состоя-
состояний:
сю	сю
И = ^ (тИ N = у= Е ехР (+i (m + 0 ^) 'm> ¦ (8-35)
у	( ( 0 )
?n=0	?n=0
К сожалению, это определение имеет недостаток. Действительно,
как показано на основании геометрических соображений рис. 8.7, каж-
каждое собственное состояние данной энергии \т) вносит в бесконечную
сумму в выражении (8.35) вклад |(т|</?)| = B7т)/2, не зависящий
от т. Отсюда выражение для \ф) (8.35) не является сходящимся 0 .
Если обрезать сумму, то получим
г
\<p)r = limJ2n(r + I)]"'/2 J2 ехР [* (m + I) H H ¦	(8-36)
т=0
Такие состояния были использованы Барнеттом и Пеггом для определе-
определения эрмитового оператора фазы. Подчеркнём, однако, что этот предель-
предельный переход нетривиален. Действительно, гильбертово пространство
гармонического осциллятора базируется на бесконечном количестве
собственных энергетических состояний. Если теперь ограничить про-
пространство состояний конечным числом собственных энергетических
состояний, то они не образуют полный набор обычного гильбертова
1) Математически корректный аналог формулы (8.35), свободный от ука-
указанного недостатка, получается, если вместо полуклассического разложения
по плоским волнам использовать разложение по базису функций квантового
оператора фазы, введённого В.Н. Поповым и B.C. Яруниным (см. литературу в
конце главы). — Прим. ред. пер.

260	Гл. 8. Применения интерференции в фазовом пространстве
пространства. Следовательно, мы находимся в другом пространстве.
Тем не менее можно использовать конечное множество состояний дан-
данной энергии для построения в этом пространстве квантовых состояний,
аналогичных когерентным или сжатым состояниям, и даже собствен-
собственным состояниям координаты и импульса. При увеличении размерности
этого пространства мы переходим к пределу обычного гильбертова
пространства гармонического осциллятора.
К сожалению, объём книги не позволяет углубиться в изучение
свойств этих поразительных пространств, построенных из конечного
числа собственных энергетических состояний. Для более детального
обсуждения данного вопроса отсылаем читателя к списку литературы.
Эволюция фазовых состояний во времени. Вопреки обычному
соглашению, мы включили фазовый сдвиг ср/2 в определение фазовых
состояний (8.35). Этот сдвиг проявляется в выражениях (8.33) и (8.34)
и вытекает из существования энергии нулевых колебаний осциллятора.
Как следствие, фазовые состояния (8.36) имеют период 4тг, а не 2тг.
Порождаемая энергией нулевых колебаний фаза несущественна при
вычислении моментов (р или построении оператора фазы. Однако эта
фаза проявляет себя в интерференционных экспериментах. Кроме того,
она удобна при рассмотрении эволюции фазового состояния во вре-
времени.
Действительно, убедимся в этом, рассматривая эволюцию во вре-
времени
фазового состояния \ф(г = 0)) = |(^о) под действием гамильтониана
гармонического осциллятора
Н =
С помощью определения (8.35) фазового состояния и уравнения
на собственные значения для собственных энергетических состояний
находим:
сю
ехр 0 (т + I)щ) ехр Н
га=О
i °°
ехр г (m + -
откуда
В процессе эволюции во времени фазовое состояние остаётся самим
собой. Фазовый угол линейно уменьшается как функция времени, что
и ожидалось на основании классического рассмотрения в разделе 8.5.1.

8.5. Вопрос о фазовых состояниях	261
8.5.3. Фазовое распределение квантового состояния. Теперь
мы способны определить плотность вероятности наличия данной фазы
у квантовго состояния \ф). С учётом определённых выше фазовых
состояний \(р) мы определяем эту плотность с помощью скалярного
произведения
w{)
Аналогично, для матрицы плотности р вероятность наличия данной
фазы имеет вид:
Если подставить энергетическое представление чистого состояния
оо
\Ф) = J2 Фт \т)
га=0
в полученное выше выражение для W((p), получим:
га=0
J
га=0
Здесь мы использовали формулу (8.34) для амплитуды вероятности
нахождения данной фазы в состоянии данной энергии. При вычислении
модуля постоянный фазовый сдвиг (р/2, конечно, пропадает.
Таким образом, плотность вероятности нахождения фазы равна
квадрату модуля бесконечной суммы, включающей амплитуды вероят-
вероятности обнаружения данной энергии и фазовые множители.
В завершении этого раздела установим связь между амплитудой
вероятности нахождения данной фазы
сю
™АШ = (<р\ Ф) = Е (^1т) Н Ф)>
т=0
и амплитудой вероятности наличия данного числа фотонов
wm№)] = (т\ф).
С помощью формулы (8.34) находим, что
(8.37)
-• ¦ -	i \	z / i
ra=O
является дискретной фурье-суммой амплитуд вероятности наличия
данного числа фотонов г^^)].
Этот результат аналогичен известному факту, что амплитуда веро-
вероятности ф(р) данного р есть фурье-образ амплитуды вероятности ф(х)
данного х. Однако, поскольку состояния гармонического осциллятора
имеют положительную энергию т ^ 0, в выражение (8.37) входит
половинчатая сумма фурье-компонент только по положительным т.
Это обстоятельство приводит к большим осложнениям при попытке
построения оператора фазы.

262	Гл. 8. Применения интерференции в фазовом пространстве
Задачи
8.1	Волновые функции ВКБ-приближения как следствие интер-
интерференции в фазовом пространстве
Вывести выражение E.30) для собственного энергетического со-
состояния и^КВ^ в ВКБ-приближении, исходя из представления об
интерференции в фазовом пространстве.
Указание: См. Schleich et ah A989).
8.2	Вывод статистики фотонов с помощью функций Вигнера
Получить статистику фотонов в когерентном или сжатом состоя-
состояниях с помощью функции Вигнера.
Указание: См. Schleich et al. A988).
8.3	Формула суммирования Пуассона
Вывести формулу суммирования Пуассона
справедливую для любой функции /п дискретной переменной.
Заметим, что f(n) есть непрерывное расширение функции, такое,
что f{n) = fn для всех целых чисел в области суммирования.
Указание: Поменять местами порядок суммирования и интегри-
интегрирования.
8.4 Свойства фазовых состояний
В формуле (8.35) дано определение фазовых состояний
1	ОО
(а) Используя формулу суммирования Пуассона, выведенную в
задаче 8.3, получить выражение
для скалярного произведения двух фазовых состояний \ф)
и \(pf). Здесь V означает главную часть в смысле Коши. Это
соотношение показывает, что фазовые состояния, отвечаю-
отвечающие разным углам, не ортогональны. Это является следстви-
следствием того факта, что сумма в определении (8.35) начинается
от 0, а не от —оо.
(б) Используя ВКБ-представление E.30) волновой функции
данной энергии иш{х) и метод перевала, вывести асимпто-
асимптотическое выражение
wv(x) = <*И = -^ ^§- exp [^

Задачи	263
для амплитуды вероятности обнаружения данной координа-
координаты w(f(x) = (х \ф) в фазовом состоянии.
(в) Используя предыдущее выражение для амплитуды вероят-
вероятности обнаружения данной координаты в фазовом, вывести
приближённой выражение
W (г п) = (^"\ Ji[2x(p-xtgip)]
2x(p-xtgcp)
для функции Вигнера фазового состояния.
(г) Показать, что для сжатого состояния с координатной волно-
волновой функцией
7Г
- - f kx — л/2 а
фазовое распределение в случае действительных значений
параметра смещения а > 0 и параметра сжатия s > 1 име-
имеет вид:
Р(<р) =
7rs cos
а	Г 2 2. 2 1
ехР \-~а tgV при -^
L s	J	z
7Г
При -7Г < ^ < --
ИЛИ — < (f <7Г.
Указание: В пределе 5 ^ 1 можно воспользоваться соотно-
соотношением
{О	при т < а2 — -,
:
Л12^ + Л!п/2е-^-	при т > а2 - i,
где Лт и 0т определены формулами (8.18) и (8.19). Мы ап-
аппроксимируем сумму интегралом и вычисляем его с по-
помощью метода перевала. Детальнее см. Schleich et al.,
A989).
(д) Показать, что фазовое распределение сжатого состояния как
функция смещения или параметра сжатия испытывает би-
бифуркацию. Эта бифуркация уже наблюдалась в эксперимен-
экспериментах G. Breitenbach et al. A997).

264	Гл. 8. Применения интерференции в фазовом пространстве
Литература
Интерференция в фазовом пространстве и статистика фотонов
Применение понятия интерференции в фазовом пространстве к распределению по
энергии или статистике фотонов в когерентном или сжатом состояниях
Schleich W.P., Walther #., Wheeler J.Л. Area in Phase Space as a Determiner
of Transition Probability: Bohr-Sommerfeld Bands, Wigner Ripples and Fresnel
Zones // Found. Phys. 1988. V. 18. P. 953-968.
Schleich W.P., Wheeler J. A. Oscillations in Photon Distribution of Squeezed
States and Interference in Phase Space // Nature (London) 1987. V. 326.
P. 574-577.
Schleich W.P., Wheeler J. A. Oscillations in Photon Distribution of Squeezed
States // J. Opt. Soc. Am. B. 1987. V. 4. P. 1715-1722.
Schleich W.P., Walls D.F., Wheeler J. A. Area of Overlap and Interference in
Phase Space Versus Wigner Pseudo-Probabilities // Phys. Rev. A. 1988. V. 38.
P. 1177-1186.
Schleich W.P., Dowling J.P., Horowicz R.J., Varro S. Asymptotology in
Quantum Optics // New Frontiers in Quantum Electrodynamics and Quantum
Optics / Ed. by A.O. Barut, Plenum Press, New York, 1989, p. 31-61
Krahmer D., Mayr E., Vogel K., Schleich W.P. Meet a Squeezed State and
Interfere in Phase Space // Current Trends in Optics / Ed. by J.C. Dainty,
Academic Press, London, 1994
Vogel K., Schleich W.P., in: Fundamental Systems in Quantum Optics / Ed.
by J. Dalibard, J.M. Raimond and J. Zinn-Justin, Elsevier, Amsterdam, 1991
Фазовый оператор
Проблема эрмитовости фазового оператора восходит к работам:
Dirac P.A.M. The Quantum Theory of the Emission and Absorption of Radi-
Radiation. Proc. R. Soc. London, Ser. 114 A, 243-269 A927)
[Дирак П.А.М. Собрание трудов. Т. 2. — М.: Наука, 2003]
London F. Uber die Jacobischen Transformationen der Quantenmechanik //
Z. Phys. 1926. V. 37. P. 915-925.
London F. Winkelvariable und kanonische Transformationen in der Undula-
tionsmechanik // Z. Phys. 1927. V. 40. P. 193-210.
Недавние предложения по поводу эрмитового фазового оператора:
Pegg D. Т., Barnett S.M. Unitary Phase Operator in Quantum Mechanics //
Europhys. Lett. 1988. V. 6. P. 483-487.
Pegg D. Т., Barnett S.M. Phase Properties of the Quantized Single-mode
Electromagnetic Field // Phys. Rev. A39, 1665-1675 A989),
Barnett S.M., Pegg D. T. On the Hermitian Optical Phase Operator // J. Mod.
Opt. 1989. V. 36. P. 7-19.
Pegg D.T., Barnett S.M., Vaccarro J.A. Phase in Quantum Electrodynam-
Electrodynamics // Quantum Optics V / Ed. by D.F. Walls and J. Harvey, Springer Verlag,
Heidelberg, 1989

Литература	265
Попов В.И., Ярунин B.C. Операторы фазы фотона // ТМФ. 1991. Т. 89.
С. 395-401.
Popov V.N., Yarunin V.S. Quantum and quasi-classical states of the photon
phase operator // J. Mod. Opt. 1992. V. 39. P. 1521-1531.
Эрмитовый оператор фазы, предложенный в этих работах, основан на состояниях
Лоудона, которые определены в работе:
Loudon R. The Quantum Theory of Light. 1st ed., Oxford University Press,
Oxford, 1973
[Лоудон Р. Квантовая теория света. — M.: Мир, 1976]
Обзор проблемы квантовой фазы и зависящих от фазы измерений
Schleich W.P., Barnett S.M. Quantum Phase and Phase Dependent Measure-
Measurements. Physica Scripta T48 A993)
Paul H. Phase of a Microscopic Electromagnetic Field and its Measurement //
Fortschr. Phys. 1974. V. 22. P. 657-689.
Carruthers P., Nieto M.M. Phase and Angle Variables in Quantum Mechan-
Mechanics // Rev. Mod. Phys. 1968. V. 40. P. 411-440.
[Перепечатана в кн.: НФФ вып.1. Когерентные состояния в квантовой
механие. — М.: Мир, 1972]
Lynch R. The Quantum Phase Problem: A Critical Review // Phys. Rep. 1995.
V. 256. P. 367-436.
Интерференция в фазовом пространстве и фазовые состояния
Подход к проблеме фазовых состояний с использованием идеи об интерференции
в фазовом пространстве
Schleich W.P., Horowicz R.J., Varro S. A Bifurcation in Squeezed State
Physics: But How? or Area-of-Overlap in Phase Space as a Guide to the Phase
Distribution and the Action-Angle Wigner Distribution of a Squeezed State, Quan-
Quantum Optics V, edited by D.F. Walls and J. Harvey (Springer Verlag, Heidelberg,
1989)
Schleich W.P., Horowicz R.J., Varro S. A Bifurcation in the Phase Probability
of a Highly Squeezed State // Phys. Rev. A. 1989. V. 40. P. 7405-7408.
For an experimental verification of this phase distribution see
Breitenbach G., Schiller S. Homodyne tomography of classical and
non-classical light // J. Mod. Opt. 1997. V. 44. P. 2207-2225.
Квантовая механика в конечном гильбертовом пространстве
Обсуждение различных квантовых состояний в конечномерном пространстве состо-
состояний гармонического осциллятора
Buzek V., Wilson-Gordon A. D., Knight P. L, Lai W.K. Coherent States in a
finite dimensional basis: their phase properties and relation to coherent states of
light // Phys. Rev. A. 1992. V. 45. P. 8079-8094.
Figurny P., Orlowski A, Wodkiewicz K. Squeezed fluctuations of truncated
photon operators // Phys. Rev. A. 1993. V. 47. P. 5151-5157.
Kneer B. Diskretisierung des elektromagnetischen Feldes in der Quantenoptik.
Diplomarbeit, Universitat Ulm 1995

Глава 9
ДИНАМИКА ВОЛНОВЫХ ПАКЕТОВ
В предыдущих главах мы обсуждали квазиклассическую технику
расчётов в квантовой механике и продемонстрировали различные при-
приложения этого подхода. В частности, мы показали, что осцилляции
энергетических распределений сжатых состояний, скрытые непрозрач-
непрозрачной завесой математики, отчётливо видны, если воспользоваться ана-
анализом ВКБ. В данной главе мы продемонстрируем ещё одно приложе-
приложение квазиклассических методов — проанализируем динамику волновых
пакетов.
9.1. Что такое волновые пакеты?
Волновые пакеты состоят из большого числа одновременно воз-
возбуждённых квантовых уровней. Они возникают в задачах атомной
и молекулярной физики, КЭД в резонаторе и атомной оптики. Дей-
Действительно, если мы разлагаем, например, квантовое состояние \ф)
движения электрона в атоме или ядра в двухатомной молекуле по
собственным состояниям \п), отвечающим определённым значениям
энергии Еп = huin, эволюция системы во времени имеет вид:
№(*)> = ? Фпе-™** \п),
П
где фп обозначают коэффициенты разложения.
Типичный сигнал, наблюдаемый от такого зависящего от времени
волнового пакета, — это автокорреляционная функция
измеряющая перекрытие между эволюционирующим во времени состо-
состоянием \i/j(t)} и исходным состоянием \i/;(t = 0)).
Другой пример обсуждается в гл. 16 в связи с моделью Джейнса-
Каммингса-Пауля. Эта модель рассматривает одну моду электромаг-
электромагнитного поля в резонаторе, которая взаимодействует с одиночным
двухуровневым атомом. Волновой пакет состоит из суперпозиции соб-
собственных энергетических состояний этой моды, то есть из состояний
с определённым числом фотонов. В этом смысле это «фотонный волно-
волновой пакет».

9.2. Дробные и полные возобновления	267
В данном случае типичным сигналом является инверсия атомных
населённостей	^
п=0
Весовые множители Wn определяют статистику фотонов квантового
поля, а параметр д есть вакуумная частота Раби.
Несмотря на различную физическую природу таких систем и изу-
изучаемых сигналов, видно удивительное сходство общей структуры вре-
временного поведения этих сигналов. Оно практически не зависит от кон-
конкретного вида весовых множителей Wn и абсолютных значений частот
uj(n). Поэтому в данной главе мы не будем конкретизировать физиче-
физический смысл этих величин, а будем лишь предполагать выполненными
довольно общие свойства, такие как гладкость, нормируемость и т. п.
В частности, рассмотрим временную эволюцию нестационарного сиг-
сигнала вида
5() ?^пе^™',	(9.1)
где иоп и Wn — частота и вес гармоники с последовательным номером п.
Заметим, что автокорреляционная функция атомного или молеку-
молекулярного волнового пакета включает именно такой сигнал S. Здесь
весовой множитель Wn = \фп\2 представляет собой вероятность засе-
заселения n-го уровня, а частота ип = Еп/Н находится из энергетического
спектра атома или молекулы. Сумма такого же вида возникает в моде-
модели Джейнса-Каммингса-Пауля. В этом случае, который обсуждается
в гл. 16, частотный спектр ип = л/п2д зависит от квадратного корня
из индекса суммирования.
Здесь мы представляем аналитический подход, позволяющий вы-
выяснить типичные свойств нестационарных сигналов вида (9.1). Бу-
Будут установлены такие свойства как квазипериодическое поведение,
дефазировка, дробные и полные возобновления. Все эти физические
явления есть результат квантовых биений, представляющих эффекты
интерференции между большим числом слагаемых, дающих вклад
в (9.1). Однако по той же самой причине из выражения (9.1) для S
трудно выделить тонкую структуру сигнала. Поэтому для вывода за-
замкнутых выражений в определённых представляющих интерес времен-
временных интервалах мы используем технику квазиклассического приближе-
приближения в квантовой механике, что позволяет выявить типичные свойства
сигнала S.
9.2. Дробные и полные возобновления
Благодаря ультракоротким лазерным импульсам открылась новая
увлекательная область исследований — физика атомных и молекуляр-
молекулярных волновых пакетов. Короткие импульсы не только позволяют воз-
возбуждать когерентную суперпозицию многих квантовых состояний, но
и являются инструментом для контроля за их последующей эволюцией.

268
Гл. 9. Динамика волновых пакетов
На рис. 9.1-9.3 представлены три типичных примера нестационар-
нестационарных сигналов от таких когерентно приготовленных систем. На рис. 9.1
и 9.2 показаны развёрнутая по времени интенсивность спонтанного
излучения и автокорреляционная функция электронного ридбергов-
ского волнового пакета, созданного коротким лазерным импульсом.
На рис. 9.3 приведена расчётная автокорреляционная функция C(t)
колебательного волнового пакета, движущегося в потенциале возбуж-
возбуждённого терма А*Е+ натриевого димера.
93,4 пс
1	2
Время после лазерного импульса, не
Рис. 9.1. Динамика электронного волнового пакета, зарегистрированная с по-
помощью временной развёртки интенсивности спонтанного излучения. Волно-
Волновой пакет был создан коротким лазерным импульсом, резонансным группе
близколежащих ридберговских состояний в водороде в окрестности состояния
с главным квантовым числом п = 85. Здесь начальная структура биений
с периодом Т\ = 93,4 пс повторяет себя примерно через t ~ 2,6 не. Взято из
работы: J. Parker and C.R. Stroud Jr., Phys. Rev. Lett. 1986. V. 56. P. 716
Хотя физическая природа двух систем, а также приведённые на
рисунках наблюдаемые величины довольно сильно отличаются друг от
друга, рисунки демонстрируют удивительное сходство. Сначала идёт
последовательность регулярных максимумов. Период Т\ этой струк-
структуры соответствует типичному расстоянию между уровнями энергии
соседних возбуждённых состояний. По прошествии нескольких перио-
периодов это поведение постепенно исчезает. Однако через время Т^, много
большее Т\, начальная структура восстанавливается. По этой причине
временной масштаб Т% обычно называют временем возобновления. Для
электронного ридберговского волнового пакета на рис. 9.1 время Т%

9.2. Дробные и полные возобновления
269
220
250 , 280
t, пс
Рис. 9.2. Экспериментальные данные по автокорреляционной функции C(t) =
= \(фA)\ф@)}\ атомного волнового пакета. Из (а) видно, что на ранней стадии
C(t) почти периодична с периодом Т\ = 15,3 пс, соответствующим типичному
расстоянию между соседними энергетическими уровнями. Однако при больших
временах эта периодичность исчезает и возникает новое явление: на времен-
временных масштабах, являющихся долями другого характерного времени Т^ ^> Т\,
система вновь становится периодической — явление, называемое дробными
возобновлениями. Период составляет теперь долю промежутка времени Т\.
В непосредственной близости к моменту времени Т^ = 474 пс сигнал даже
успевает почти полностью восстановить свою форму, приводя к полному воз-
возобновлению. Кроме того, как показано на рис. б, периодическое поведение
с периодом Т\ возникает вблизи момента времени Т2/2 = 237 пс, но в этой
области структура сигнала сдвинута на Т\/2 по отношению к начальной. Такие
дробные возобновления имеют асимметричную форму с быстрым затуханием
с одной стороны и медленным осциллирующим падением с другой. Взято из
работы: J. Wals et al., Physica Scr. 1995. V. T58. P. 62
равно 5,2 не, а для ядерного волнового пакета на рис. 9.3 время
Т2 = 94 пс.
Кроме того, эти графики показывают, что через доли этого времени
возобновления вновь возникает периодическая структура, называемая
дробными возобновлениями, однако теперь период этой структуры
составляет долю Т\. Это свойство яснее всего видно на рис. 9.3.
Полные и дробные возобновления наблюдались в ряде экспериментов
с атомными и молекулярными системами. За подробным обсуждением
экспериментов мы отсылаем читателя к цитированной в конце главы
литературе.
В заключение заметим, что явления коллапса и периодических
возобновлений были предсказаны только в 1980 г. Дж. Эберли с со-
сотрудниками исследовали эволюцию во времени инверсии атомных на-
селённостей, которая предсказывается моделью Джейнса-Каммингса-
Пауля. Мы обсудим детальнее эту модель и инверсию в разделе 16.2.
Эберли и др. дали первые аккуратные выражения для промежуточного
и долговременного поведения этой модели КЭД в резонаторе и при-
привели исчерпывающие численные подтверждения своих аналитических
формул. Кроме того, они ввели для этого явления термин «возобновле-
«возобновление». Удивительно, что дробные возобновления были замечены только
десятью годами спустя.

270
Гл. 9. Динамика волновых пакетов
1	23	31	46
I
О
45
t, пс
90
Рис. 9.3. Динамика колебательного волнового пакета, движущегося в потен-
потенциале возбуждённого электронного терма А1^^ натриевого димера. Мы по-
показываем автокорреляционную функцию C(t) = \(ф@)\фA)}\, где начальное
состояние 1^@)) является репликой основного состояния более низкого терма
Xх Т^. Такое состояние может быть создано коротким лазерным импульсом
за счёт вертикального электронного перехода и состоит из нескольких коле-
колебательных состояний потенциала АХТ^. Для этой системы начальная перио-
периодичность Т\ = 300 фс, показанная на вставке в левом верхнем углу рисунка,
самоповторяется примерно через 46 пс, что показано на вставке в правом
верхнем углу. На других вставках, показывающих поведение C(t) за время 1 пс
в окрестностях t = 23 пс и t = 31 пс в увеличенном масштабе, выявляются
периоды, отличные от Т\. Для большей наглядности период Т\ указан стрелкой
9.3. Естественные масштабы времени
В данном разделе мы перепишем сигнал S(t) (9.1) так, чтобы вы-
выявить различные временные масштабы, характерные для его эволюции.
Во всей главе мы предполагаем, что нормированное распределение
весовых множителей Wn имеет главный максимум при целом значе-
значении п» 1 и ширину An такую, что п ^> An ^> 1. В таком пределе
больших п, иначе говоря, в квазиклассическом пределе, частоты ujn
физической системы гладко зависят от индекса п, так что можно перей-
перейти к непрерывному продолжению функции и(п). Заметим, однако, что
здесь уже предполагается, что рассматриваемая физическая система
является интегрируемой, то есть явление хаотичности отсутствует.
В противном случае энергетический спектр демонстрирует очень слож-
сложное поведение с отталкиванием уровней и другими тонкостями. В дан-
данной главе мы не хотим погружаться в эти проблемы и предполагаем,
что и(п) является гладкой функцией.

9.3. Естественные масштабы времени
271
9.3.1. Иерархия временных масштабов. Указанные свойства
позволяют разложить ио{п) в ряд Тейлора
и(п) = и(п)
dn
(п-п)
d2uj(n)
(п - пJ +
d3u(n)
... (9.2)
- п)
пK
6 dn3
в окрестности п, который мы запишем в виде
су	су
Здесь мы определили
2тг 1 а\/—\ 1 d3 и
a cfj = ±1 учитывает знак j-й производной и^\п).
Заметим, что всегда можно выбрать значение о\ равным +1, так
как энергия связанного состояния квантовой системы растёт с ростом
квантового числа п. Однако знаки gj при j > 1 зависят от рассматри-
рассматриваемой системы. Так, в случае ридберговских атомов собственные ча-
частоты и(п) ос — 1/п2. Поэтому (J2 = — 1 и сгз = +1. В модели Джейнса-
Каммингса-Пауля с собственными частотами Раби и(п) ос л/п имеем
а2 = — 1 и сгз = +1.
Если подставить выражение (9.2) в формулу (9.1), находим:
S(t) =exp[icj(n)t] S(t),
где
S(t) =
оо
(9.3)
(9.4)
Здесь мы ввели индекс суммирования т = п — п. Именно эту сумму
S(t) (9.4) мы будем анализировать в оставшейся части данной главы.
Можно глубже понять смысл разложения (9.2) величины и по п
и временных масштабов I), если вспомнить, что в квазиклассическом
пределе действие J пропорционально квантовому числу п связанного
состояния. Поэтому при J = nh и Е = hx) = Н, где Н — гамильтониан,
получаем
(9.5)
ди^ _ д(Пои) _ дВ_
дп d(hn) dJ'
Это соотношение позволяет выразить производные о/-7') частоты и по п
через производные гамильтониана и постоянную Планка Н. Действи-

272
Гл. 9. Динамика волновых пакетов
160
Рис. 9.4. Типичный сигнал представлен здесь зависимостью от времени суммы
\S(t)\ (9.4) для случая гауссовского распределения Wn с дисперсией An = 8.
Мы выбрали параметры Т% = 160Ti и Тз = ЮООТ2 с а\ = <72 = сгз = 1, а всё
более протяжённые временные масштабы в (9.2) положены равными бесконеч-
бесконечности. Сумма демонстрирует довольно сложную временную зависимость
тельно, используя J = nh, находим соотношение
й3 я,-_1Ях - йт3-	(9-6)
onJ onJ o<J	oJJ
Подчеркнём, что гамильтониан нелинейного осциллятора является
нелинейной функцией действия. Отсюда, отдельные производные со-
содержат разные степени постоянной Планка. Следовательно, разложе-
разложение (9.2) величины ио соответствует разложению по степеням h. Так
как времена Tj суть обратные величины производных и^\ они пропор-
пропорциональны обратным степеням ft~J+1 и поэтому удовлетворяют системе
неравенств
Тх «Г2«Г3«...	(9.7)
Таким образом, указанные временные масштабы являются суще-
существенно разными. Это позволяет анализировать временное поведение
сигнала S(t) (9.4) в различных режимах.
9.3.2. Типичный сигнал. Для иллюстрации типичного временно-
временного поведения суммы (9.4) используем конкретный пример распределе-
распределения Гаусса
1	Г (га - nf
wn =
ехр
(9.8)
с дисперсией An.

9.3. Естественные масштабы времени	273
На самом деле этот пример больше всего обсуждается в литера-
литературе, так как в экспериментах с полем накачки и пробным сигналом
возбуждающий лазерный импульс часто имеет гауссову форму, что
приводит к гауссовой или почти гауссовой весовой функции Wn. Од-
Однако подчеркнём, что в случае негауссовых весов типичные свойства
нестационарных сигналов изменяются незначительно, пока Wn сосре-
сосредоточена вокруг некоторого главного максимума с шириной An ^> 1.
Поэтому мы называем результирующий сигнал типичным.
Заметим, что благодаря сдвигу т = п — п в выражении 9.4 для
суммы по т параметр п входит только в величины Ту В данном
примере мы не конкретизируем функциональную зависимость и(п)
от п, но выбираем Т2 = 160 • Т\ и Тз = 1000 • Т2. Кроме того, всё более
протяжённые временные масштабы в разложении (9.2) мы полагаем
бесконечными. Следовательно, п не входит явно. Более того, мы поло-
положили <72 = <7з = 1.
На рис. 9.4 мы показываем поведение суммы \S(t)\ для случая гаус-
совского распределения (9.8) с дисперсией An = 8 в течение длитель-
длительного периода времени. Здесь и на всех последующих рисунках время
измеряется в единицах Т\. Этот график отражает сложную временную
зависимость |?(?)|, аналогичную величинам, показанным на рис. 9.1
и 9.3.
Чтобы разрешить тонкую структуру сигнала, на рис. 9.5 и 9.6
показаны определённые интервалы времени из рис. 9.4 в увеличен-
увеличенном виде. На рис. 9.5 представлена ранняя стадия эволюции. После
быстрого затухания, показанного на вставке, обнаруживается сначала
периодическая последовательность симметричных пиков, разделённых
периодом Т\. Однако с течением времени пики становятся шире, пока
они не перекрываются и не образуют сложную картину биений. В на-
нашем примере это происходит примерно через три периода. Позднее, как
только биения устанавливаются, мы обнаруживаем дробные возобнов-
возобновления разных порядков, которые следуют очень близко друг за другом.
На рис. 9.6 представлены увеличенные фрагменты рис. 9.4 в окрест-
окрестностях моментов времени t = 1/4 Т2 = 40 • Т\ (a), t = 1/3 Т2 = 53,33 х
х Тх (б), t = 1/2 Т2 = 80 • Тх (в), и t = Т2 = 160 • Тх (г), соответственно.
Мы видим следующие характерные свойства. Сумма S снова содер-
содержит периодическую последовательность пиков, однако теперь интервал
между двумя соседними пиками равен, соответственно, Т\/2, Т\/3, Т\
и опять Т\. На рис.9.6,а-<5 показаны дробные возобновления, в то
время как на рис. 9.6, г показано полное возобновление. Чем больше
время t = (l/r)T2 (здесь г = 4,3,2, 1), тем больше тонкая структура
отличается от симметричных пиков на начальной стадии эволюции.
В частности, чем больше проходит времени, тем более асимметрич-
асимметричными становятся дробные возобновления. Они демонстрируют резкое
спадание справа от своих центров, а слева убывают значительно мед-
медленнее. Кроме того, на фоне этого медленного убывания видны осцил-
осцилляции. Отметим, что аналогичные структуры, показанные на рис. 9.2 6,

274
Гл. 9. Динамика волновых пакетов
Рис. 9.5. Типичный сигнал рис. 9.4 на ранней стадии, то есть до момента
времени t = \2T\. После быстрого затухания, показанного на вставке в увели-
увеличенном виде, мы видим следующие с периодом Т\ симметричные пики, которые
уширяются и убывают по высоте. Начиная с t = 3T1, возникают быстрые
осцилляции и развивается сложная структура биений. Заметим, что как только
появляется такая структура, обнаруживаются дробные возобновления разных
порядков. В окрестности t = 1/20 Т2 = 8Т\ мы видим 10 пиков на периоде Т\,
в то время как в окрестностях t = 1/18 Т2 = 8,9ГЬ t = 1/16 Т2 = 10Гь и t =
= 1/14 Т2 = 11,4Ti мы находим на периоде Т\, соответственно, 9, 8, и 7 пиков
были экспериментально обнаружены в работах Уолса и др. A994,
1995) для случая ридберговского волнового пакета в рубидии. Заме-
Заметим далее, что высоты дробных возобновлений оказываются медленно
промодулированными по амплитуде с центром в точке t = (l/r)T2.
Чем дальше от этого центра расположены дробные возобновления, тем
ниже становится их главный максимум, тем больше ширина, а малые
осцилляции слева от центра сглаживаются.
9.4. Новые представления сигнала
Поведение типичного сигнала S(t), показанное на рис. 9.4, 9.5 и 9.6,
не очевидно из формы S, заданной выражением (9.4). Поэтому в следу-
следующих двух разделах мы преобразуем сумму к виду, который позволяет
ясно увидеть период пиков и тонкие детали их формы. В разделе 9.4.1
мы начнём с анализа начальной эволюции, а в разделе 9.4.2 проанали-
проанализируем тонкую структуру дробных и полных возобновлений.

9.4. Новые представления сигнала
275
0,5
'yd
III/
а
Ъ1
40
43
53	t/Tl
163
Рис. 9.6. Типичный сигнал рис. 9.4 для промежуточных интервалов времени.
Здесь в увеличении показано поведение \S(t)\ для временных интервалов
длительностью 6Т\ вокруг выделенных моментов времени. В случаях (а) и (б)
показаны дробные возобновления в окрестностях t = 1/4 Т% = А0Т\ и t =
= 1/ЗТ2 = 53,33Ti, соответственно. Заметим, что период дробных возобновле-
возобновлений в случае (а) равен Т1/2, а в случае (б) — Т1/3. Как только соседние пики
начинают значительно перекрываться (как это видно, например, из поведения
\S(t)\ на краях графиков в случаях (а) и (б)), возникает сложная структура
биений. Кроме того, мы видим, что форма пиков становится асимметричной,
и слева от максимума возникают осцилляции. Случаи (в) и (г) соответствуют
дробным возобновлениям в окрестности t = 1/2 Т2 = 8ОТ1 и полным возоб-
возобновлениям в окрестности t = 1/1 Т2 = I6OT1. Период дробных возобновлений
на рисе, как и полных возобновлений на рис. г, равен Т\. Однако дробные
возобновления сдвинуты на половину периода Т\. Кроме того, форма дробных
и полных возобновлений резко асимметрична, то есть они имеют медленно
нарастающее осциллирующее начало слева от максимумов и быстрое убывание
справа. Во всех четырёх случаях высоты пиков определяются медленно из-
изменяющейся огибающей. Масштабы по вертикали для всех четырёх примеров
одинаковы
9.4.1. Ранняя стадия эволюции. В этом разделе, воспользовав-
воспользовавшись формулой суммирования Пуассона, мы изложим удобный метод
анализа сигнала на начальной стадии эволюции. С помощью этого
преобразования мы получим новое представление суммы S, которое
наиболее отчётливо выявляет её свойства в указанном временном ин-
интервале.
Фазовый множитель в каждом члене выражения (9.4) состо-
состоит из произведения множителей exp Bnimt/T\), ехр Bтггсг2Ш2 tjT^),
ехр Bтггсгзш3t/Тз) и т.д. Относительная значимость этих множите-
множителей существенно зависит от конкретного рассматриваемого интервала

276	Гл. 9. Динамика волновых пакетов
времени. На ранней стадии эволюции, то есть для моментов вре-
времени t порядка Т\, основной вклад в фазу даёт первый множитель
expBiYimt/T\). Следовательно, все слагаемые в сумме S(t) находятся
в фазе для моментов времени t, кратных периоду Т\. Поэтому мож-
можно ожидать появления в сигнале последовательности пичков вблизи
точек, отвечающих моментам времени t\ = I -Т\, где I = 1,2,... Од-
Однако с увеличением времени важным становится и второй множитель
ехр Bтггсг2т2?/Т2). Его вклад приводит к возрастающему различию фаз
соседних слагаемых в сумме (9.4) в точках, отвечающих моментам
времени ?/, что приводит к уширению пичков.
Удобная форма сигнала. Чтобы максимально прояснить этот во-
вопрос, перепишем сумму S(t) с помощью формулы суммирования Пуас-
Пуассона	^	оо
Л f™ = Y^ \dmf(m) ехр(-2тгг/ш),	(9.9)
которая обсуждалась в задаче 8.3. Здесь /(га) — непрерывное продол-
продолжение функции /ш дискретной переменной, такое, что /(га) = /ш для
всех га.
Отсюда получаем:
S(t) = ^ \dmW(n + m) x
х ехр \2m [(^ - /) га + а2^ га2 + аг±- га3 +
где W(n-\-m) обозначает непрерывную форму дискретного распределе-
распределения W^+m. Заметим, что существует много непрерывных продолжений
дискретных весов Wn. В случае распределения Гаусса (9.8) мы выби-
выбираем это продолжение в виде
W(x) = . 1 ехр [-(ж~?2] ,	(9.11)
V^A^2 F [ 2Ап2 \
но хотим подчеркнуть, что проводимое рассмотрение справедливо для
произвольного распределения весов Wn.
Структуры с периодом Т\. Рассмотрим теперь моменты времени
много меньшие Tj/(An)J, где j > 3, и удержим только первые два
слагаемых в показателе экспоненты (9.10). В этом случае интеграл от
гауссовского распределения (9.11) имеет вид:
[ dx ехр {-ах2 + Ьх) = J^ ехр ( ^- J ,	(9.12)
-оо	^ ^
где	1	t
а=—l—-2ma2±-	(9.13)
2Д	Т
2Дп
(J)	(9.14)

9.4. Новые представления сигнала	277
Если использовать это соотношение, то сумма S принимает вид:
~ 9 * 9
2тг An
ехр
Отделим действительную и мнимую части в показателе экспоненты.
Тогда
ехр
(Tr(i)
-lT\f
где ширины
и
аг\ ) -
\ 1 4*
|_4тг Дп
16тг3 An2't/T-2
т2(
Г2
If
, (9.15)
(9|6)
(9.17)
гауссианов с действительным и мнимым показателями экспоненты рас-
растут как функции времени.
Из выражения (9.15) становится ясным физический смысл пре-
преобразования (9.9). Действительно, формула суммирования Пуассона
позволяет представить дискретную суперпозицию многих гармоник,
подобную сумме S, как последовательность появляющихся один за
другим зависящих от времени сигналов, пронумерованных индексом /.
Когерентный сигнал S(t) есть теперь последовательность комплексных
гауссианов с центрами в точках t\ =l -T\. Два последовательных сла-
слагаемых в сумме (9.15) разделены во времени, если временной интервал
между ними ti —ti-\ = Т\ больше, чем их ширина 5ti = 2у/2 ar(ti),
то есть если Т\ > 5ti. Поэтому применение формулы суммирования
Пуассона приводит к существенному упрощению, когда ширина каж-
каждого сигнала во времени меньше временного интервала между двумя
сигналами.
На рис. 9.7 мы сравниваем приближённый результат (9.15), пока-
показанный пунктирной кривой, с точным, который представлен сплошной
линией. В то время как сначала, на рис., а, разница между точной
суммой и выражением (9.15) едва различима, приближение, пренебре-
пренебрегающее кубическим членом в показателе экспоненты, становится хуже
при больших временах, как показано на рис., б.
9.4.2. Промежуточные времена. Обратимся к более поздним мо-
моментам времени, для которых разность фаз между двумя последова-
последовательными членами в сумме (9.4) не близка к целому кратному 2тг.
В этом временном режиме представления (9.10) и (9.15) неудобны,

278
Гл. 9. Динамика волновых пакетов
\S{t)
\S{t)\
t/T,
Рис. 9.7. Сравнение точного численного расчёта типичного сигнала \S(t)\ (9.4)
(сплошная линия) и приближённого выражения (9.15) (пунктирная линия) на
ранней стадии эволюции. В то время как для ранних моментов времени две
кривые почти неразличимы (а), для более поздних моментов времени видны
отклонения (б). В обоих случаях приближение хорошо работает в центре
каждого интервала и становится хуже на краях. Масштабы по вертикальным
осям одинаковы
так как важна интерференция между соседними сигналами. Действи-
Действительно, именно интерференция вкладов комплексных гауссианов в вы-
выражении (9.15) приводит, в конце концов, к образованию дробных
возобновлений, как показано на рис. 9.5 и 9.7 для t > ЗТ\. Однако ни
период, ни форма дробных возобновлений не видны из структуры вы-
выражения (9.15) для суммы S. Таким образом, в этом временном режиме
представление (9.15) суммы (9.4) уже не приносит пользы. Нельзя ли
преобразовать сумму S к такому виду, который ясно показывал бы
период и форму дробных и полных возобновлений?
Ответ положительный. Ключевая идея нашего подхода заключает-
заключается в разделении полной суммы (9.4) на некоторое число частичных
сумм, каждая из которых содержит только слагаемые с близкими
фазами. Этого можно достичь, объединив каждый r-й член исходной
суммы (9.4) в одну частичную сумму. Конкретный выбор г зависит от
рассматриваемого временного интервала.
Сдвиг начала отсчёта времени. Действительно, рассмотрим пове-
поведение S в окрестности момента времени t = q/rT^ дробного возобнов-
возобновления. Здесь q/r — отношение взаимно простых целых чисел. Удобно
сдвинуть начало отсчёта времени в окрестность q/r Т% и выбрать его
равным целому кратному / периода Т\, то есть
t = I Tx + At = ^ T2 + eg/rTi
At.
(9.18)
Здесь абсолютное значение остатка
= 1Т\ — - Т2
меньше или равно половине периода Т\, то есть |?g/r| < 1/2. Такой
выбор позволяет представить формулу (9.4) для суммы S в виде
Q( А+\ — Qf+ 	 q гр
oyLXl) = D[t — — 1 2
m= — oo
(9.19)

9.4. Новые представления сигнала	279
ГД6
7<?} = ехр Bта2 - т2)	(9.20)
и
Wm^LAiJ — Wn-\-in ^"-r ^ —.. v
Здесь мы использовали соотношение ехр Bтгг mt/T\) = ехрBтггга/) х
х ехр Bтгг гаAt/T\) = ехр Bт гаAt/T\). Заметим, что это представле-
представление суммы S зависит от выбора начала отсчёта времени и, следо-
следовательно, от отношения q/r. Поэтому для каждого рассматриваемого
интервала времени мы пользуемся разным представлением суммы S.
Разложение на частичные суммы и их суммирование. Далее
заметим, что функция 7ш , заданная выражением (9.20), периодична
поте периодом г, так как
1т\г = ехР [2тггсг2д/г (га + гJ] = ^\
Эта периодичность зависит только от знаменателя г дроби q/r. Чтобы
воспользоваться ею, перестроим суммирование с помощью соотно-
соотношения	,
сю	г— 1 сю
Е «™ = Е Е «P+fcr,	(9.22)
m= — oo	р=0к= — оо
то есть сначала просуммируем слагаемые аш для всех значений индек-
индекса, отличающихся на целое кратное кг периода г, а затем просумми-
просуммируем эти частичные суммы по одному периоду. Так как 7 +&г = 1р »
находим:
г—1	сю
S(At) = 5>?r) 5] ^р+*г(А*)-	(9-23)
р=0	к= — оо
На начальной стадии временной эволюции для частичной суммы
по индексу к мы сталкиваемся с той же ситуацией, что и для полной
суммы S (9.4). Поэтому можно применить формулу суммирования
Пуассона (9.9) к частичным суммам по к, что приводит к выражению
г— 1	сю
р=0	m= —
где W(x,At) — непрерывная форма распределения Wm(At) (9.21). Как
обсуждалось в разделе 9.4.1, формула суммирования Пуассона позво-
позволяет представить каждую зависящую от времени частичную сумму как
последовательность зависящих от времени сигналов, пронумерованных
индексом га.

280	Гл. 9. Динамика волновых пакетов
Если ввести новую переменную интегрирования х = р + кг, инте-
интеграл по х не зависит от р, то есть
г— 1	сю	сю
S(At) = - V т!г) V exp Bтгг^ га) [ dx W(x, At) exp (-2m— x).
0
p=0 т=-сю
_оо
Окончательный результат. Меняя порядок суммирования, запи-
записываем выражение для S в виде
сю
т= — сю
где коэффициенты
1 г~х г /	м
Wm = 7 Е еХР [27ri {^Р^ +^7J	^9'2^
г ^^^
не зависят от времени, а величины
At
= \ dxW ^	,
^¦t \ J. 1	у ,	/ 7 , ^_Х1/ \ J. 1	,4 ,	|	/q О/?\
представляют зависящие от времени сигналы.
Таким образом, мы превратили одну бесконечную сумму (9.4)
в другую бесконечную сумму (9.24). Такое преобразование, ставшее
возможным благодаря сдвигу начала отсчёта времени (9.18), а также
разложению (9.22) на частичные суммы с использованием формулы
суммирования Пуассона, является точным. Но в чём же преимущество
этого на первый взгляд сложного представления S? Как мы покажем
в следующем разделе, оно в наиболее очевидной форме выявляет дроб-
дробные возобновления.
9.5. Простое описание дробных возобновлений
В новом представлении (9.24) сигнала S(t) каждое слагаемое, да-
дающее вклад в сумму, состоит из произведения весовой функции Wm
и функции формы Im (At). Обсудим детальнее эти составные части
и покажем, что каждое слагаемое Im (At) представляет дробное воз-
возобновление. При этом, в полном соответствии с результатами разде-
раздела 9.4.1, данное утверждение справедливо, и, следовательно, представ-
представление (9.24) полезно только, когда временная ширина сигнала меньше,
чем промежуток времени между двумя соседними сигналами.

9.5. Простое описание дробных возобновлений	281
9.5.1.	Гауссовы суммы. Множитель Wm не зависит от распре-
распределения W(n) и интервала времени At. Поэтому в сумме (9.24) он
действует как весовой множитель. Это хорошо известная величина
в рамках теории дробных возобновлений. Согласно (9.25), Wm есть
сумма г комплексных чисел с одинаковым модулем 1/г. Следовательно,
модуль Wm меняется от нуля до единицы. Отдельные слагаемые
в конечной сумме интерферируют, и эта интерференция зависит от
параметров т и г, определяющих фазовый угол 2тгш/г. Кроме того,
дополнительная зависимость от г входит благодаря фазе 2nq/r. Таким
образом, величина Wm является, на первый взгляд, сложной функци-
функцией га, г и q. Однако детальный анализ показывает, что выполняются
следующие простые свойства: 1) для чётных г коэффициенты Wm
обращаются в ноль для каждого второго значения га, в то время
как для нечётных г величины Wm отличны от нуля для всех га;
2) модуль \Wm | каждого ненулевого весового множителя не зависит
от q\ в частности, \Wm \ = 1/лЛ7 Д^я нечётных г и \Wm \ = л/Щг Для
чётных г. За более детальным обсуждением свойств гауссовых сумм
мы отсылаем к задаче 9.1.
9.5.2.	Функция формы. Обратимся к зависящему от времени
фактору Im {At), содержащему информацию о положении, длитель-
длительности и детальной форме сигнала. Для определённости рассмотрим
предыдущий пример гауссового распределения для функции W(n).
Кроме того, чтобы свести к минимуму математические вычисления,
рассмотрим такие моменты времени, когда в показателе экспоненты
можно пренебречь кубическим слагаемым х3 и членами более высокого
порядка. Обсуждение этого вопроса можно найти в задаче 9.4.
Для многих физических систем это превосходное приближение.
Рассмотрим, например, движение колебательного волнового пакета
в потенциале возбуждённого терма А*?+ натриевого димера, показан-
показанное на рис. 9.3. В этом случае временной масштаб Тз существенно не
влияет на форму сигнала для времён порядка Т^, так как Тз очень вели-
велико по сравнению с Т^. Два замечательных примера, для которых такое
условие выполняется точно для всех моментов времени, это потенциал
Морса и ящик с бесконечно крутыми и бесконечно высокими стенками.
Для этих систем третья и все следующие производные собственных
частот ио(п) по квантовому числу п обращаются в ноль.
В этом случае можно вычислить интеграл, следуя процедуре вы-
вычислений, которая использовалась для ранней стадии временной эво-
эволюции. Находим:
At- —Tx
2a2r{At)
ехр
At- —Ti
2a! (At)

282	Гл. 9. Динамика волновых пакетов
где комплексная амплитуда
Af(At) =
sq/rTx + At)/T2
уменьшается, но ширины
1
of (At) ее
гауссианов с действительным и мнимым показателями экспоненты рас-
растут как функции времени.
Следовательно, функция формы определяется произведением ком-
плекснозначного квадратного корня, а также двух гауссианов. Действи-
Действительная функция Гаусса заметно отлична от нуля только в окрестности
целых кратных значений Т\/г.
Согласно формуле (9.24) сигнал представляет собой бесконечную
сумму функций Im . Эти функции являются гауссианами, локализован-
локализованными в моменты времени тпТ\/г. Когда промежуток Т\/г между двумя
последовательными гауссианами больше, чем их ширина аг, они не
перекрываются. В этом случае сумма по m распадается на временную
последовательность таких гауссианов, как и в случае ранней стадии
эволюции во времени. Единственная разница состоит в том, что теперь
наименьшим периодом является доля Т\/г.
Следовательно, сигнал в окрестности дробного возобновления, то
есть в момент времени
состоит из последовательности гауссианов, разделённых промежутком
времени Т\/г, если г нечётно, или 2Т\/г, если г четно. Когда гауссианы
не перекрываются, га-й член в сумме (9.24) представляет тп-е дробное
возобновление. Так как мы пренебрегли вкладом кубического члена
в функцию формы, эти дробные возобновления имеют ту же форму,
что и на начальной стадии эволюции. За более детальным обсужде-
обсуждением роли члена третьего порядка, который приводит к возникновение
осцилляции на фоне медленного убывания с левой стороны от центра
каждого дробного возобновления, показанного на рис. 9.6, мы отсыла-
отсылаем читателя к задаче 9.4.
Когда соседние неисчезающие члены Im (At) и I^j(At) в выра-
выражении (9.24) перекрываются, между ними возникает интерференция.
Тогда важную роль начинают играть фазы комплексного гауссиана
и квадратного корня. В результате сумма S демонстрирует более слож-
сложное поведение.

Задачи	283
Задачи
9.1 Свойства гауссовых сумм
В выражении (9.25) мы определили гауссову сумму
где q и г взаимно просты и а^ = =Ы. Показать:
(а)	если г нечётно, то все Wm отличны от нуля и \Wm | =
(б)	если г и rq/2 четны, то Wm = 0 для нечётных т и \Wm \ =
= л/2/г для чётных га;
(в)	если г четно, a rg/2 нечётно, то Wm = 0 для чётных т
и |Wm | = л/2/r для нечётных т.
Указание: Вычислить сначала
га=О
Используя получившееся выражение, найти \Wm |2 с помощью
соотношения	г_{
1=0
(г)
Оказывается, что почти все А\ обращаются в ноль.
9.2 Завитки
В квазиклассической квантовой механике два предельных перехо-
перехода — устремление времени к бесконечности и постоянной Планка
к нулю — не коммутируют. Этот факт проявляется наиболее
отчётливо в суммах
Sn(t) = ? e™4
Можно использовать технику, развитую в этой главе, чтобы
представить сумму Sn в виде, позволяющем лучше понять функ-
функциональную зависимость от параметров г и N. К сожалению,
это сделать довольно трудно. За подробным исследованием Sn
мы отсылаем к работе M.V. Berry A988). Здесь же предлагается
вычислить эту сумму численно.
(а) Обсудить поведение этой суммы в комплексном простран-
пространстве для фиксированного N как функцию т. Благодаря спе-

284	Гл. 9. Динамика волновых пакетов
цифической форме эти структуры получили название завит-
завитков Берри. Как эти завитки связаны со спиралью Корню,
которая обсуждается в приложении 3?
(б) Как эти структуры зависят от N?
Согласно Оксфордскому словарю английского языка «curlicue» —
причудливый фантастический локон или петля.
9.3 Временные масштабы: порядки величин
В разложении (9.2) мы определили времена
^ _ 2тг
где ио^\п) — j-я производная частоты Е(п)/Н по квантовому
числу п, взятая при среднем значении п. Вычислить значения Т\,
Т2 и Т3 для следующих трёх систем:
(а)	резонансной модели Джейнса-Каммингса-Пауля, в которой
и(п) = Ал/пТТ, А/2тг ^ 25 кГц и п = 10
(б)	атома водорода с п = 50
(в)	колебаний двухатомной молекулы, когда
ио{п) = иоо(п — an2)
с 2тг/и;о = 300 фс, а ^ 1/100, и п = 10.
9.4 Динамика волнового пакета и комплекснозначная функция
Эйри
Обсудить влияние члена третьего порядка т3, входящего в вы-
выражение (9.4) для сигнала S(t). Для этого вычислить интеграл
Im (At) аналитически для случая гауссового весового множите-
множителя, удерживая указанный кубический член.
Как показано в работе Leichtle et al. A996), это приводит к моду-
модуляции левой стороны гауссовских дробных возобновлений, пока-
показанных на рис. 9.6. Детальная структура дробных возобновлений
следует из выражения
1^{М) = ехр[гФт(Д*)] G(At) Fm(At) Ai [zm(At)}
для интеграла (9.26).
Здесь функции G(At) и Fm(At) определены как
G(At) = А ехр
-Л leq/r +
At V

Задачи	285
a Ai(z) обозначает функцию Эйри. Величины Фт, А, А и /i
действительны, a zm комплексна. Явные выражения для этих
величин приведены в работе Leichtle et al. A996).
9.5 Волновые пакеты для частицы в ящике
Квантово-механическая частица с массой М, захваченная в ящик
длиной L, имеет квадратичный энергетический спектр. Следо-
Следовательно, зависящая от времени волновая функция ifj(x,t) име-
имеет вид	^
ip(x,t) = У^ фтит(х)ехр (-2тггга2—) ,
771=1
где фт обозначает коэффициент разложения волновой функции
ф(х) = ф(хЛ = 0)
в момент времени t = 0 по собственным функциям данной
энергии
( \	[% •
ит{х) = i - sin mf
V Li \ Li
а время возобновления Т^ определяется формулой
AML2
Используя формализм, развитый в этой главе, получить представ-
представление
г
ОО	( \ (	1	\	°°
/ = —оо	/= — оо
(9.27)
в котором
описывает эволюцию начальной волновой функция ф(х) с помо-
помощью функции Грина
свободной частицы.
Согласно формуле (9.27), волновая функция в моменты времени,
являющиеся дробными долями времени возобновления, является
суперпозицией, составленной из начального волнового пакета,
локализованного около точек, соответствующих долям длины
ящика.

286	Гл. 9. Динамика волновых пакетов
Указание: См. работу: Stifter et al. A997).
9.6 Эффект Тальбота
При падении плоской световой или де-бройлевской волны на
периодическую структуру, например, механическую решётку, воз-
возникает периодическая цепочка волновых пакетов. Картина рас-
распределения интенсивности света или атомов после прохождения
решётки вытекает из принципа суперпозиции волновых пакетов,
распространяющихся в соответствии с функцией Грина свобод-
свободной частицы. Получающиеся узоры проявляют примечательную
регулярность. В частности, существует расстояние от решётки,
на котором воспроизводится исходная цепочка волновых пакетов.
Кроме того, на определённых долях этого расстояния исходная
цепочка имеет меньший период. Это явление называется эффек-
эффектом Тальбота. Оно экспериментально наблюдалось для света
и атомов.
(а)	Рассмотреть распространение периодической цепочки волно-
волновых функций с помощью функции Грина свободной частицы.
(б)	Использовать формулу суммирования Пуассона для отобра-
отображения периодичности в пространстве на эволюцию во вре-
времени частицы с квадратичным энергетическим спектром.
(в)	Использовать формулу (9.27) для объяснения эффект Таль-
Тальбота.
Литература
Введение в волновые пакеты
За последние несколько лет появилось много работ о волновых пакетах в атомной
и молекулярной физике. Обзор электронных волновых пакетов в ридберговских атомах
см.:
Alber G., Zoller P. Laser excitation of electronic wave packets in Rydberg
atoms // Phys. Rep. 1990. V. 199. P. 231-280.
Обзор колебательных волновых пакетов в молекулярной физике
Gruebele M., Zewail А.Н. Ultrafast reaction dynamics // Phys. Today. 1990.
V. 43. P. 24-33.
Garraway В., Suominen К.-Л. Wave-packet dynamics: new physics and chem-
chemistry in femto-time // Rep. Prog. Phys. 1995. V. 58. P. 365-419.
Недавнее резюме состояния вопроса о динамике волновых пакетов
Yeazell J.A., Uzer T. The Physics and Chemistry of Wave Packets. Wiley,
New York, 2000

Литература	287
Электронные волновые пакеты
Экспериментальное наблюдение дробных и полных возобновлений для атомных
волновых пакетов
Yeazell J.A., Mallalieu М., Stroud C.R. Observation of the collapse and
revival of a Rydberg electronic wave packet // Phys. Rev. Lett. 1990. V. 64.
P. 2007-2010.
Yeazell J. A, Stroud Jr. C.R. Observation of fractional revivals in the evolution
of a Rydberg atomic wave packet // Phys. Rev. A. 1991. V. 43. P. 5153-5156.
Meacher D. R., Meyler P. E., Hughes I. G., Ewart P. Observation of the collapse
and fractional revival of a Rydberg wavepacket in atomic rubidium // J. Phys. B.
1991. V. 24. P. L63-69.
Marmet L., Held H., Raithel G., Yeazell J.A., Walther H. Observation of
quasi-Landau wave packets // Phys. Rev. Lett. 1994. V. 72. P. 3779-3782.
Wals /., Fielding H.H., Christian J.F., Snoek L.C., Van der Zande W.J.,
van Linden van den Heuvell H. B. Observation of Rydberg wave packet dynamics
in a Coulombic and magnetic field // Phys. Rev. Lett. 1994. V. 72. P. 3783-3786.
Wals J., Fielding H.H., Van Linden van den Heuvell H.B. The Role of the
Quantum Defect and of High-Order Dispersion in Rydberg Wave Packets //
Physica Scr. 1995. V. T58. P. 62-68.
Молекулярные волновые пакеты
Baumert Т., Engel V., Rottgermann С, Strunz W. Т., Gerber G. Femtosecond
pump-probe study of the spreading and recurrence of a vibrational wave packet in
Na2 // Chem. Phys. Lett. 1992. V. 191. P. 639-644.
Walther Th., Bitto H., Huber J.R. High-resolution quantum beat spectroscopy
in the electronic ground state of a polyatomic molecule by IR-UV-pump-probe
method // Chem. Phys. Lett. 1993. V. 209. P. 455-458.
Fischer /., Villeneuve D.M., Vrakking M.J.J., Stolow A. Femtosecond
wave-packet dynamics studied by time-resolved zero-kinetic energy photoelectron
spectroscopy // Chem. Phys. 1995. V. 102. P. 5566-5569.
Vrakking M.J.J., Villeneuve D.M., Stolow A. Observation of fractional revivals
of a molecular wave packet // Phys. Rev. A. 1996. V. 54. P. R37-40.
Дробные и обычные возобновления
Теоретическое обсуждение возобновлений в модели Джейнса-Каммингса-Пауля
Eberly J.H., Narozhny N.B., Sanchez-Mondragon J.J. Periodic Spontaneous
Collapse and Revival in a Simple Quantum Model // Phys. Rev. Lett. 1980. V. 44.
P. 1323-1326.
Общие аспекты динамики волновых пакетов в атомных и молекулярных системах
и квантовой оптике
Parker J., Stroud Jr. C. R. Coherence and Decay of Rydberg Wave Packets //
Phys. Rev. Lett. 1986. V. 56. P. 716-719.
Авербух К, Перелъман Н. Ф. // УФН. 1991. V. 161

288	Гл. 9. Динамика волновых пакетов
Явление дробных возобновлений было теоретически предсказано в работах:
Averbukh I.Sh., Perel'man N.F. Fractional revivals: Universality in the
long-term evolution of quantum wave packets beyond the correspondence principle
dynamics // Phys. Lett. A. 1989. V. 139. P. 449-453.
Лвербух К, Перелъман И. Ф. // ЖЭТФ. 1989. V. 69. Р. 464-469
Nauenberg M., Stroud С, Yeazell J. The classical limit of an atom. Sci. Am.
1994. V. 270. No. 6. P. 24-31
Nauenberg M. The Transition from Quantum to Classical Mechanics in Atomic
Physics // Comments At. Mol. Phys. 1990. V. 25. P. 151-157.
Теория дробных возобновлений
Формализм для понимания явления возобновлений и дробных возобновлений, опи-
описанный в данном разделе, близко следует работам:
Fleischhauer M., Schleich W.P. Revivals made simple: Poisson summation
formula as a key to the revivals in the Jaynes-Cummings model // Phys. Rev. A.
1993. V.47. P. 4258-4269.
Leichtle C, Averbukh I.Sh., Schleich W.P. Generic structure of multilevel
quantum beats // Phys. Rev. Lett. 1996. V. 77. P. 3999-4002.
Leichtle C, Averbukh I.Sh., Schleich W.P. Multilevel quantum beats: an
analytical approach // Phys. Rev. A. 1996. V. 54. P. 5299-5312.
Идея частичного суммирования фазовых членов восходит к работе
Winthrop J. Т., Worthington C.R. Theory of Fresnel Images. I. Plane Periodic
Objects in Monochromatic Light // J. Opt. Soc. Am. 1965. V. 55. P. 373-381.
Эффект Тальбота
В рамках классической оптики аналогичное явление известно как эффект Тальбота:
речь идёт о самовоспроизведении в области ближнего поля изображения решётки,
освещаемой плоскими волнами. Эффект впервые наблюдался Тальботом:
Talbot H.F. Facts relating to Optical Science // Philos. Mag. 1836. V. 9.
P. 401-407.
и был значительно позднее объяснён в работе:
Rayleigh L. On Copying Diffraction-gratings, and on some Phenomena con-
connected therewith // Philos. Mag. 1881. V. 11. P. 196-205.
Schuster A. A Simple Explanation of Talbot's Bands // Philos. Mag. 1904.
V. 7. P. 1-8.
Демонстрация эффекта Тальбота для атомных волн
Clauser J.F., Li S. Talbot-vonLau atom interferometry with cold slow potas-
potassium // Phys. Rev. A. 1994. V. 49. P. R2213-R2216.
Chapman M.S., Ekstrom C.R., Hammond T.D., Schmiedmayer J., Tan-
nian B.E., Wehinger S., Pritchard D.E. Near-field imaging of atom diffraction
gratings: The atomic Talbot effect // Phys. Rev. A. 1995. V. 51. P. R14-17.
Детальное математическое рассмотрение эффекта Тальбота
Clauser J.F., Reinsch M.W. New Theoretical and Experimental Results in
Fresnel Optics with Applications to Matter-Wave and X-Ray Interferometry //
Appl. Phys. B. 1992. V. 54. P. 380-395.

Литература	289
Rohwedder В. Atom Optical Elements Based on Near-field Grating
Sequences // Fortschr. Phys. 1999. V. 47. P. 883-911.
Экспериментальное подтверждение детальной ковровой структуры эффекта Тальбота
Nowak S., Kurtsiefer Ch., David С, Pfau Т. Higher oder Talbot fringes for
atomic matter waves // Opt. Lett. 1997. V. 22. P. 1430-1432.
Введённая в данной главе техника использовалась также для рассмотрения полного,
дробного и фрактального эффекта Тальбота
Berry М. V. Quantum Fractals in Boxes // J. Phys. A. 1996. V. 29.
P. 6617-6629.
Berry M. V., Klein S. Integer, fractional and fractal Talbot effects // J. Mod.
Optics. 1996. V.43. P. 2139-2164.
Та же техника использовалась для объяснения динамики волнового пакета в беско-
бесконечно глубокой потенциальной яме
Stifter P., Schleich W.P., Lamb W.E. The particle in the box revisited //
Proceedings of the conference on «Quantum Optics and Laser Physics» / Ed. by
L. Jin and Y. S. Zhu, Springer, Heidelberg, 1997
Завитки
Математическое описание завитков в духе изложенного в данной главе подхода
Berry M. V. Random renormalization in the semiclassical long-time limit of a
precessing spin // Physica D. 1988. V. 33. P. 26-33.
Berry M. V., Goldberg J. Renormalisation of curlicues // Nonlinearity. 1988.
V. 1. P. 1-26.
10 В.П. Шляйх

Глава 10
КВАНТОВАНИЕ ПОЛЯ
Огромные достижения последних лет в технологии изготовления
зеркал с высокой отражающей способностью привели к созданию резо-
резонаторов для оптической области с временами жизни в микросекундном
диапазоне. В сверхпрводниковых резонаторах микроволнового диапазо-
диапазона фактор добротности достигает значений порядка 1010. Атом, проходя
через такой резонатор, может много раз обменяться возбуждением
с резонаторным полем прежде, чем оно затухнет. Это свойство лежит
в основе новых, ранее не существовавших источников света, таких
как лазеры или мазеры, которые работают с одним или даже менее,
чем с одним атомом, в среднем. Совершенно ясно, что в излучении
таких устройств проявляются многие квантовые эффекты. Более того,
напряжённость вакуумного электромагнитного поля таких резонаторов
может быть порядка 80 В/м — это почти макроскопическое поле для
вакуума.
В последующих главах мы более детально обсудим эти устройства.
В данной же главе закладывается фундамент для этих исследова-
исследований. Мы проведём квантование электромагнитного поля в резонаторе
и покажем, что поле представляет собой бесконечный набор гармони-
гармонических осцилляторов. Каждый осциллятор квантуется каноническим
способом.
Здесь мы следуем первоначальному рецепту, сформулированному
М. Борном (М. Born), В. Гейзенбергом (W. Heisenberg) и П. Иорда-
Иорданом (P.Jordan). В своей знаменитой статье (Drei-Manner-Arbeit 0)
они квантовали электромагнитное поле, выражая векторный потен-
потенциал через его квадратурные компоненты. П. Дирак (Р.А.М. Dirac),
напротив, проводил квантование электромагнитного поля в переменных
действие — угол. Однако, в то же самое время, когда Дирак написал
свою статью, Ф. Лондон (F. London), работавший тогда в университете
Штутгарта, показал, что таких операторов угла не существует. По-
Поэтому подход Дирака привёл к продолжительной дискуссии в кванто-
квантовой оптике по вопросу подходящего определения эрмитового фазового
оператора. В разделах 8.5 и 13.4 мы обсуждаем эту проблему более
детально.
х) «Работа трёх авторов» — Прим. ред. пер.

10.1. Волновое уравнение для потенциалов	291
Тесно связанной с квантованием поля излучения является идея
фотона. Слово фотон ввёл в физический обиход химик Г. Льюис
(G.N. Lewis), который первоначально имел в виду нечто совершенно
отличное от того, что Эйнштейн рассматривал как квант света. Это
делает вопрос о волновой функции фотона в высшей степени проти-
противоречивой, но интересной темой. Мы вернёмся к этому обсуждению
в следующей главе.
10.1. Волновое уравнение для потенциалов
В данном разделе мы начинаем с уравнений Максвелла в сво-
свободном пространстве и получаем волновые уравнения для векторно-
векторного А и скалярного Ф потенциалов. Кратко обсуждается калибровоч-
калибровочная инвариантность электродинамики. Этот вопрос особенно важен
для раздела 14.2.1, в котором рассматривается, каким образом надо
описывать взаимодействие между веществом и светом. Так как речь
идёт о квантовании свободного поля излучения, то есть в отсутствие
зарядов и токов, мы используем кулоновскую калибровку, что позво-
позволяет работать с одним только векторным потенциалом. Мы проводим
разделение переменных и получаем уравнение Гельмгольца для про-
пространственной части u(r) векторного потенциала А(г,?). Поведение
электрического и магнитного полей на стенках резонатора определяет
граничные условия для u(r).
10.1.1. Вывод волновых уравнений. Начнём с системы уравне-
уравнений Максвелла, которая включает однородные уравнения
V-B = 0, VxE = -^	A0.1a)
ot
и неоднородные уравнения
V-D = p, VxH=^+j.	A0.16)
Здесь р и j обозначают заряд и ток, а конститутивные соотношения
и B = /i0H,	A0.2)
связывают магнитную индукцию В с магнитным полем Н и элек-
электрическую индукцию D с электрическим полем Е. Диэлектрическая
проницаемость sq и магнитная восприимчивость /iq для свободного
пространства определяют скорость света в вакууме
с2
с2 = —.	A0.3)
Электрическое поле и магнитная индукция выражаются через вектор-
векторный А и скалярный Ф потенциалы с помощью соотношений
^	A0.4)

292	Гл. 10. Квантование поля
BeVxA.	A0.5)
Эти выражения гарантируют, что поля Е и В удовлетворяют паре одно-
однородных уравнений Максвелла A0.1а). В самом деле, легко видеть, что
V-B = V-(VxA)=0
Обратимся теперь к неоднородным уравнениям Максвелла A0.16).
Непосредственно из уравнений связи A0.2) следует, что
V-E=-?-	A0.6)
где мы воспользовались выражением A0.3).
Подставляя формулы A0.4) и A0.5), выражающие поля через по-
потенциалы, в уравнение A0.7), получаем
|^ ад. (Ю.8)
с Ж	с дг
С помощью соотношения
V х (V х А) = V (V • А) - V2А
перепишем A0.8) в виде
-/Kg.	A0.9)
Получим теперь волновое уравнение для скалярного потенциала Ф.
Для этого начинаем с уравнения A0.6) и с помощью A0.4) находим
V-E = -V-(V<?)-|-(V-A) = A	A0.10)
Отметим, что действие волнового оператора на векторный потенци-
потенциал А, написанное в левой части уравнения A0.9), управляется входя-
входящими в правую часть током j и скалярным потенциалом Ф. Точно так
же в уравнение для Ф входят заряд и векторный потенциал. Поэтому
эти два уравнения связаны. Эту связь можно исключить с помощью
подходящего выбора условия калибровки, что и рассматривается в сле-
следующем разделе.

10.1. Волновое уравнение для потенциалов	293
10.1.2. Калибровочная инвариантность электродинамики. В
электродинамике есть свобода в выборе калибровки. В предыдущем
разделе мы решили два однородных уравнения Максвелла, введя век-
векторный и скалярный потенциалы АиФ. Поскольку магнитная индук-
индукция определяется ротором векторного потенциала А, то есть
В = V х А,
векторный потенциал определён с точностью до градиента Л = Л(г, t)
скалярного поля. Действительно, преобразованный векторный потен-
потенциал
А' = A + VA	A0.11)
создаёт ту же самую магнитную индукцию.
Аналогично, поскольку электрическое поле Е получается из выра-
выражения	яд
мы можем включить производную по времени Л в скалярный потенциал
Ф. Преобразованный таким образом скалярный потенциал
Ф' = Ф-^	A0.12)
создаёт то же самое электрическое поле
Е' = -УФ' - ^ = Е.
dt
Различные векторные и скалярные потенциалы могут приводить к од-
одному и тому же магнитному и электрическому полю. Тем самым,
работая с потенциалами, мы имеем дополнительную степень свободы:
потенциалы можно выбрать так, чтобы упростить вычисления.
Поэтому теперь мы выберем потенциалы таким образом, чтобы
расцепить два уравнения. Это условие ограничивает класс возможных
потенциалов. Тем не менее, существует много калибровок, которые ре-
решают поставленную задачу. В квантовой электродинамике или в кван-
квантовой оптике чаще всего используются калибровка Лоренца и ку-
лоновская калибровка. А в физике элементарных частиц, например,
используются импульсная и временная калибровки. Для знакомства
с различными калибровками мы отсылаем к книге Ициксона и Зюбера.
Волновые уравнения в калибровке Лоренца. В калибровке Лорен-
Лоренца векторный и скалярный потенциалы связаны условием
I^ + V-A = 0.	A0.13)
с vt
Так как сюда входят первая производная по времени от скалярного
потенциала и дивергенция векторного потенциала, это условие являет-
является лоренц-инвариантным. Это отчётливо видно, если ввести простран-
пространственно-временные координаты хт = (cb, х, у, z) и 4-вектор потенциала

294	Гл. 10. Квантование поля
Аш = (Ф/с, Ах, Ау, Az), с помощью которых условие Лоренца прини-
принимает форму	^т
Здесь мы использовали эйнштейновское правило суммирования по
дважды повторяющемуся индексу т = 0, 1, 2, 3.
В калибровке Лоренца два волновые уравнения расцепляются
и имеют вид
V2A-1^4 = -rtJ	A0.14)
с dt
с'ее -Ь	<Ю15)
В заключение этого раздела отметим, что много потенциалов удовле-
удовлетворяют условию Лоренца и в то же время приводят к идентичным
электромагнитным полям. Все они связаны калибровочным потенциа-
потенциалом Л, который удовлетворяет волновому уравнению
У2Л-та = 0.	A0-16)
с dt
Мы, действительно, приходим к этому уравнению, если с помо-
помощью A0.11) и A0.12) выразим потенциалы
А = А' - VA,
и подставим их в условие Лоренца, которое даёт
с2 dt	с2 dt2
Поскольку преобразованные потенциалы тоже должны удовлетворять
условию Лоренца, то калибровочный потенциал Л должен подчиняться
волновому уравнению A0.16).
Волновые уравнения в кулоновской калибровке. Кулоновская ка-
калибровка определяется требованием
V-A = 0.	A0.17)
Это условие не является релятивистски инвариантным, так как содер-
содержит производные только по координатам. Кроме того, в кулоновской
калибровке волновые уравнения A0.9) и A0.10) принимают вид
п2а 1 д2А

10.1. Волновое уравнение для потенциалов	295
то есть они не расцепляются: волновое уравнение для векторного
потенциала всё ещё содержит скалярный потенциал Ф. При этом урав-
уравнение для Ф превращается в уравнение Пуассона.
В следующем разделе мы проведём квантование поля излучения
в отсутствие зарядов и токов, то есть при р = 0 и j = 0. В этом случае
уравнение Пуассона даёт Ф = 0, а волновое уравнение для векторного
потенциала упрощается к виду
V2A- \^Ц± =0.	A0.18)
с dt
Позже мы увидим, что при кулоновской калибровке направление
вектора А, определяющее поляризацию колебаний, ортогонально вол-
волновому волновому вектору к. Следовательно, колебания электриче-
электрического поля являются поперечными. Вот почему иногда кулоновскую
калибровку называют поперечной калибровкой.
Процедура квантования электромагнитного поля в кулоновской ка-
калибровке достаточно проста, поскольку есть только поперечные фото-
фотоны. Напротив, в лоренцовой калибровке, которая включает и продоль-
продольное направление, и скалярный потенциал, появляются и продольные,
и скалярные фотоны. В этом случае процедура квантования является
более сложной, и мы должны следовать методу Гупта и Блейлера.
10.1.3. Решение волнового уравнения. Когда нет зарядов и то-
токов, нам остаётся только решить волновое уравнение A0.18) для
векторного потенциала А поля в резонаторе с подходящими гранич-
граничными условиями на его стенках. Если мы имеем решение А(г,?) =
= (Ax(r,t), Ay(r,t), Az(r,t)), то есть знаем все компоненты Ax,Ay,Az
векторного потенциала А для всех г и t, то с помощью соотноше-
соотношений A0.4) и A0.5) можно вычислить поля Е и В во всех точках и для
любого момента времени.
Разделение переменных. Решим теперь волновое уравнение A0.18)
для резонатора с идеально проводящими стенками. Разделим перемен-
переменные с помощью подстановки
A(r,t) = Tq(t)v(r),	A0.19)
где q(t) зависит только от времени, a v(r) обозначает вектор, завися-
зависящий только от координаты г. Позднее, для вычислений мы выберем
постоянную Т наиболее удобным для нас образом.
Непосредственно из A0.18) находим
g(t)V2v(r) - -i g(*)v(r) = 0.	A0.20)
с
Записывая это уравнение для компонент vx,vy,vz вектора v, получаем
соотношение	2 . .
Vj(r) ~ c2WY	[ }
справедливое для каждой компоненты j = х, у, z.

296	Гл. 10. Квантование поля
Поскольку правая часть зависит только от времени, а левая — толь-
только от координаты г внутри резонатора, то обе части уравнения не зави-
зависят ни от времени t, ни от координаты г, то есть, являются константой.
Левая часть содержит вторую производную по координате. Поэтому
константа разделения имеет размерность (длина). Мы обозначим её
—к2 = —к2, где к является волновым вектором, который определяется
граничными условиями. Знак минус связан с тем, что собственные
значения лапласиана, как показано в задаче 10.1, отрицательны.
Мы видим, что правая часть не зависит от индекса проекции Vj.
Следовательно, константа разделения не может зависеть от j, что
приводит к следующему уравнению Гельмгольца
V2v(r) + k2v(r) =0	A0.22)
для пространственной части векторного потенциала и к осцилляторно-
му уравнению
q(t) + u2q(t) = 0	A0.23)
для той части, которая зависит от времени. Частота О = с|к| = ск
зависит от волнового вектор к и, тем самым, определяется граничными
условиями.
Граничные условия. Граничные условия для А следуют из требо-
требования, что тангенциальная компонента Е и нормальная компонента В
равны нулю. Для кулоновской калибровки имеем
дА
ец (г) • Е(г, t) = -ец • ^ = -Т q(t) ец (г) • v(r)
гран
гран
= о,
гран
то есть
eii(r)-v(r)
= 0.	A0.24)
гран
Здесь мы ввели единичный вектор ец(г), тангенциальный границе. Так
как граница может иметь произвольную сложную форму, этот вектор
зависит от координаты точки г на границе.
Если ввести ещё единичный вектор е_|_, направленный по нормали
к границе, то получаем условие
гран
B(r, t) =er[VxA] =Tq(t) e±(r) • [V x v(r)
гран
= 0,
гран
то есть
e±(r).[Vx v(r)
= 0.	A0.25)
гран
На первый взгляд может показаться, что условия A0.24) и A0.25)
для электрического и магнитного полей независимы. В задаче 10.2
мы, однако, показываем, что требования к магнитному полю могут
быть удовлетворены, если выполнены ограничения, накладываемые на
электрическое поле.
Само условие кулоновской калибровки имеет вид
V-v(r)=0.	A0.26)

10.2. Структура мод в ящике	297
В то время как условия A0.24) и A0.25) должны выполняться толь-
только на границах, то есть на проводящих стенках резонатора, уравне-
уравнение A0.26) должно удовлетворяться во всех точках.
В заключение этого раздела отметим, что условия A0.24) и A0.25)
приводят к «дискретности» возможных волновых векторов и, тем са-
самым, к дискретному набору модовых функций v/(r). Здесь / представ-
представляет собой некоторый набор целых чисел. Эта дискретность, однако,
не имеет никакого отношения к квантовой природе поля излучения.
Она связана только с граничными условиями, которые накладываются
на пространственную часть векторного потенциала резонатором той
или иной формы. Напротив, квантование поля излучения и концепция
фотона связаны с той частью векторного потенциала, которая зависит
от времени, то есть, с осцилляторным уравнением A0.23). Это будет
темой следующих разделов.
10.2. Структура мод в ящике
В предыдущем разделе мы получили уравнение Гельмгольца для
модовой функции v(r) и сформулировали для неё граничные условия,
которые определяются поведением электрического и магнитного полей
на стенках резонатора произвольной формы. В данном разделе мы
решим эти уравнения для резонатора, имеющего форму ящика. Мы по-
покажем, в частности, как из граничных условий возникает дискретность
модовой структуры.
Подчеркнём, что такой простой резонатор не является полностью
нереальным. Хотя, например, резонатор одноатомного мазера пред-
представляет собой замкнутую цилиндрическую полость. Однако, чтобы
проиллюстрировать наиболее существенные моменты, сохранив мате-
математическую простоту, мы здесь рассматриваем прямоугольный ящик.
По поводу решений уравнений Гельмгольца для резонаторов более
сложных конфигураций, таких, например, как открытые резонаторы
с конфокальными зеркалами, которые широко используются в экспе-
экспериментах по КЭД резонаторов, рассматриваемых в гл. 1, мы отсылаем
к литературе.
10.2.1. Решения уравнения Гельмгольца. Рассмотрим резона-
резонатор в форме прямоугольного ящика с размерами Lx, Ly и Lz, показан-
показанный на рис. 10.1. Представим волновой вектор
k = кхех + куеу + kzez	A0.27)
и радиус-вектор
г = хех + уеу + zez	A0.28)
в декартовых координатах, используя единичные векторы для трёх
направлений в пространстве.

298
Гл. 10. Квантование поля
z J
0
II ^
T
у
—=-
^^—	>
Рис. 10.1. Резонатор в форме ящика. Плоскости, для которых х = 0, или у = 0,
или z = 0, обозначены, соответственно, I, II и III
Сначала рассмотрим условие A0.24) для v, отвечающее отсутствию
тангенциальной компоненты электрического поля. Для грани I это
условие имеет вид
vy(x = 0, у, z) = vz(x = 0, у, z) = 0.	A0.29)
Аналогично, мы находим для грани II
vx(x, y = 0,z)= vz(x, y = 0,z)=0	A0.30)
и для III
vx(x, y,z = 0)= vy(x, y,z = 0)=0.	A0.31)
Это подводит нас к подстановке
vx(x,y,z) = ATnx cos(kxx) sin (kyy) sin (kzz),
vy(x,y,z) =J\fny sin(kxx) cos(kyy) sin(kzz),	A0.32)
vz(x,y,z) =J\fnz sin(kxx) sin (kyy) cos (kzz),
где введён единичный вектор е = (nx,ny,nz), который будет позже
определён так, чтобы удовлетворить условию кулоновской калибровки.
Кроме того, мы ввели некоторый нормировочный коэффициент Л/".
Отметим, что в качестве набора базисных функций для подстановки
мы использовали синус и косинус. Тем самым, каждая компонента vx,
vy и vz удовлетворяет уравнению Гельмгольца. Так, например, имеем
Avx
VX[Y) — \ — Кх —
-KZ)VX\V)
(г) =0
Следовательно, мы можем выбирать между выражениями, линейными
по синусам или косинусам. Но чтобы удовлетворить условиям A0.29)—
A0.31) равенства нулю тангенциальной компоненты электрического
поля, для зависимости, например, компоненты vx от у и z мы должны
выбрать синусы, как того требуют условия A0.30) и A0.31), то есть
vx(x, y = 0,z)= vx(x, y,z = 0)=0.
10.2.2. Условие калибровки и векторы поляризации. В тех же
формулах мы написали чисто косинусоидальную зависимость vx от х
и аналогичные зависимости vy от у и vz от z. Это гарантирует нам,

10.2. Структура мод в ящике	299
что условие V • v(r) = 0 кулоновской калибровки принимает простую
форму, а именно,
Vv(r)	+ +
УЧ дх ^ ду ^ dz
= - (nxkx + Пуку + nzkz) sin (кхх) sin (куу) sin (kzz) = 0. A0.33)
Предположим сначала, что ни одна из компонент вектора к не равна
нулю. Так как калибровочное условие A0.33) должно выполняться для
любой точки г внутри ревонатора, то есть для любого выбора г =
= (x,y,z), получаем
пхкх + Пуку + nzkz = е • к = 0.
Следовательно, вектор е должен быть ортогонален направлению рас-
распространения, другими словами, кулоновская калибровка означает по-
перечность волны.
Так как есть два линейно независимых направления, ортогональных
направлению распространения, существуют два линейно независимых
вектора ei и е% поляризации для каждого вектора к, то есть для
каждого набора компонент кх, ку и kz.
Есть, правда, одно исключение: если одна из компонент к обраща-
обращается в ноль, то калибровочное условие, согласно A0.33), выполняется
автоматически. В этом случае есть только один вектор поляризации.
Действительно, предположив, например, что ку = 0, мы получаем
из A0.32) следующую модовую функцию
v(r) = еуЛГ sm(kxx) sin(kzz).	A0.34)
Таким образом, в общем случае есть два направления поляризации.
Если же одно из волновых чисел равно нулю, то остаётся только
одно направление поляризации. Это свойство приведёт к интересным
последствиям для эффекта Казимира, который рассматривается в раз-
разделе 10.4.
10.2.3. Граничные условия и дискретность мод. Нам осталось
найти волновой вектор к. Эта величина определяется условием об-
обращения в ноль тангенциальной компоненты электрического поля на
гранях Iх, IIх и IIIх, противоположных I, II и III. Здесь эти условия
имеют вид
vy(x = Lx, у, z) = vz(x = Lx, y, z) = 0,
vx(x, у = Ly, z) = vz(x, у = Ly, z) = 0,
vx(x, y,z = Lz) = vy(x, y,z = Lz) = 0.

300
Гл. 10. Квантование поля
С учётом подстановки A0.32) эти три соотношения немедленно приво-
приводят к следующему результату
A0.35)
kzLz = lz7r,
где lx, 1у, и lz суть целые числа. Следовательно, компоненты кх =
= 1хтг/Ьх, ку = lyir/Ly и kz = Iztt/Lz волнового вектора могут при-
принимать значения, являющиеся целыми кратными тг/Ьх, тг/Ьу и tt/Lz.
Стенки резонатора, а точнее говоря, резонатор, имеющий боковые гра-
грани I и Iх, обеспечивает дискретность ж-компоненты волнового вектора.
Аналогично, стенки II и IIх, а также стенки III и IIIх навязывают дис-
дискретность, соответственно, у- и ^-компонентам. Вновь подчеркнём, что
это «квантование» волнового вектора к не имеет никакого отношения
к квантованию электромагнитного поля, которое связано с амплитудой
q(t) и будет обсуждаться в следующем разделе.
10.2.4. Граничные условия для магнитного поля. В разделе,
посвященном граничным условиям, мы отметили, что требования,
предъявляемые нормальной компоненте вектора В, выполняются ав-
автоматически, если выполнены граничные условия для тангенциальной
компоненты вектора Е. Сейчас мы продемонстрируем справедливость
этого утверждения для прямоугольного резонатора.
Рассмотрим сначала резонаторные грани I и Iх. Для них вектор
нормали е^ есть либо е^ = — ех для I, либо е^ = ех для Iх, и поэтому
(V х v(r))x
x = 0, или
x = Lx
dvz дщ
dz
= 0, или
= 0.
Так как vz(x = O,y,z) = vz(x = Lx,y,z) = vy(x = O,y,z) = vy(x =
= Lx, y, z) = 0, это условие удовлетворяется автоматически.
Для сторон II и IIх мы находим, аналогично, что
(V х v(r))v
у = 0, ИЛИ
dvx
и, наконец, для сторон III и IIIх имеем
(V х v(r))z
дх
dvz
дх
dvx
ду
у = 0, ИЛИ
z = 0, или
= 0,
= 0.
Таким образом, граничные условия для нормальных компонент маг-
магнитной индукции выполняются автоматически.
10.2.5. Ортонормированность модовых функций. Согласно вы-
выражениям A0.32), пространственная часть v(r) векторного потенциала
описывается тригонометрическими функциями. Компоненты кх, ку и kz
волнового вектора являются целыми 1Х, 1у и lz кратными, соответ-

10.2. Структура мод в ящике	301
ственно, ty/Lx, n/Ly и tt/Lz. Эту тройку целых чисел мы обозначим
буквой /.
Условие кулоновской калибровки V • А = 0 каждому волновому
вектору ставит в соответствие два вектора поляризации ei и е^. Исклю-
Исключением является случай, когда одна из компонент волнового вектора
равна нулю. Так как векторы поляризации зависят от той же тройки
чисел, мы обозначим векторы е/д и е/?2 как е/. Здесь уже индекс I
включает совокупность четырёх чисел, а именно, 1Х, 1у и lz, а также
связанный с каждым набором индекс поляризации A или 2).
Отметим, что два пространственных распределения V/ и v// — две
модовые функции — удовлетворяют условию
.V|/(r) = 5U/	A0.36)
ортонормированности. Здесь производится интегрирование по всему
пространству.
Чтобы доказать соотношение ортонормированности A0.36) для мод
в ящике, мы сначала заметим, что факт ортогональности двух модовых
функций с разной поляризацией является тривиальным. Поэтому до-
достаточно рассмотреть две модовые функции с одинаковым направлени-
направлением поляризации и отличающиеся, по крайней мере, одним из волновых
чисел кх, ку или kz. Вычислим теперь интеграл
V	г=х,у,гу
где интегрирование происходит по всему объёму V = LxLyLz ящика.
Вспоминая выражения A0.32) для модовых функций, находим
L
J = ЛГЛГ' '
I ~ j	~	~ ~ '
о
Lz	La
' lnxn'x dx cos (kxx) cos (kxx) dy sin (kyy) sin (kyy) x
^	о	о
bz	Lx
x dz sin (kzz) sin (k'zz) + nyn^ dx sin (kxx) sin (fc^x) x
о	о
Ly	Lz
x d?/ cos (kyy) cos (fc^?/) d^ sin (kzz) sin (fc^) +
о	о
Lx	Ly
г	г
+ nznfz dx sin (kxx) sin (fc^x) dy sin (kyy) sin (fc^y) x
x dz cos (fcz2:) cos (k'zz) >.
о
Lz

302	Гл. 10. Квантование поля
С помощью интегральных соотношений
Li
Г Л	/ 7 Xi\	( UXi\	r	Li
dxi cos \irli—\ cos lir^ — j = di.j>. —
0
Г Л	• ( 7 ХЛ • ( H ХЛ	Si	Li
dxi sin тг^— sin тг^— = 0/i?// —
J	\ Li J \ Li J	г z
0
получаем
J = N2 Y^ n\LxLyLz 5iXiVx 5iyj,y 5iZiVz =ЛГ2-5Ц>	A0.37)
Здесь использован тот факт, что т?х + п^ + п^ = 1.
Сравнивая этот результат с условием нормировки A0.36), находим
нормировочный коэффициент
Отметим, прежде всего, что в случае ящика нормировочная константа
не зависит от модового индекса /. Такое упрощение, однако, имеет ме-
место только в случае ящика. Кроме того, мы видим, что J\f определяется
только частью полного объёма V. Это обстоятельство позволяет ввести
эффективный объём моды
Это определение становится понятным, если вспомнить, что каждая
модовая функция в ящике является синусом или косинусом. Вычисляя
объём моды, мы интегрируем квадраты этих функций, что и приводит к
множителю 1/2 для интегрирования по каждой переменной. У нас три
пространсивенных направления, что даёт коэффициент 1/2 • 1/2 • 1/2 =
= 1/8.
В заключение отметим, что для резонатора другой формы, напри-
например, для цилиндрического, эллиптического или конфокального резо-
резонатора, модовые функции имеют другой вид. Тем не менее, благодаря
граничным условиям A0.24), волновые числа принимают дискретные
значения. Кроме того, соответствующие модовые функции удовлетво-
удовлетворяют условию ортонормированности A0.36).
10.3. Поле как набор гармонических осцилляторов
Модовые функции v/(r) резонатора определяют пространственную
зависимость векторного потенциала А электромагнитного поля в резо-
резонаторе. Мы показали на примере прямоугольного ящика, что модовые
функции образуют полную ортонормированную систему. Это утвер-

10.3. Поле как набор гармонических осцилляторов	303
ждение справедливо для резонатора произвольной формы. Поэтому мы
можем разложить векторный потенциал поля конкретного рассматри-
рассматриваемого резонатора по его модовым функциям.
В данном разделе мы используем такое разложение и вычислим
энергию
П= pr[i?OE2M) + iMoH2M)]	A0.38)
электромагнитного поля в резонаторе. Интегрирование здесь произво-
производится по всему пространству.
В данном вычислении мы не предполагаем какой-либо конкретной
формы резонатора. Оно справедливо для любого резонатора, допуска-
допускающего такое модовое разложение. Мы покажем, что полная энергия
поля в резонаторе является суммой энергий гармонических осцилля-
осцилляторов, отвечающих отдельным модам. Квантование этих осцилляторов
проводится точно так же, как это делается для механических осцилля-
осцилляторов. Такая процедура ведёт к квантованию поля излучения. Ещё раз
подчеркнём, что квантование возникает в зависящей от времени части
векторного потенциала.
10.3.1. Энергия поля в резонаторе. До сих пор мы рассматрива-
рассматривали векторный потенциал. Чтобы вычислить энергию электромагнитного
поля в резонаторе, нам нужны электрическое и магнитное поля. Связь
между полями и потенциалом задаётся решениями A0.4) и A0.5)
однородных уравнений Максвелла. Кроме того, мы должны модифици-
модифицировать одномодовое выражение A0.19) и учесть все моды резонатора.
Безразмерная модовая функция. В предыдущем разделе мы на-
нашли нормировочную константу J\f модовой функции резонатора, име-
имеющего форму ящика. Эта константа определяется эффективным объё-
объёмом V/ моды.
Понятие эффективного объёма моды оказывается полезным для
резонатора произвольной формы. В этом случае мы снова исходим из
модовой функции с некоторой нормировочной константой J\f и опреде-
определяем её из условия
|d3rV/2(r) = 1.	A0.39)
Это соотношение связывает J\f с объёмом V резонатора, внося некото-
некоторый алгебраический множитель из-за интегрирования квадрата осцил-
осциллирующей модовой функции. Для прямоугольного ящика, например,
этот фактор равен 1/8. Указанная связь даёт нам возможность ввести
эффективный объём V/ моды как объём резонатора, умноженный на
числовой фактор.
Для удобства выделим из модовых функций модовый объём V/,
определив, тем самым, безразмерные модовые функции щ
v/(r) = -=u/(r).

304	Гл. 10. Квантование поля
Тогда условие ортогональности A0.39) принимает вид
A0.40)
Многомодовое разложение: электрическое и магнитное поля.
В резонаторе существует много собственных мод. Поэтому мы записы-
записываем векторный потенциал
V^	A0.41)
заданный выражением A0.19), в виде дискретной суммы по модовым
функциям u/(r). Вспоминая условие ортонормированности A0.40), мы
выделили модовый объём V/ из самих модовых функций. Удобно, кроме
того, включить в коэффициент и диэлектрическую проницаемость го.
Таким образом, постоянная Т в формулах A0.19) определяется модо-
модовым объёмом и диэлектрической проницаемостью. Пока нет никаких
ограничений на амплитуды qi(t).
Теперь, используя разложение A0.41) и формулы A0.4) и A0.5),
вычислим электрическое Е и магнитное Н поля. В кулоновской калиб-
калибровке получаются следующие выражения для электрического поля
Е(г,*) = -^ = -?-1 ф(*)и,(г)	A0.42)
и для магнитного поля
Н(г, ?) = — V х А = V	]= qi(t) V x U|(r).	A0.43)
Мы более подробно обсудим эти выражения в разделе 10.5 после того,
как проведём квантование полей.
Интегрирование по пространству. Подставляя выражения
A0.42) и A0.43) в интеграл, определяющий полную энергию поля
в резонаторе, получаем
(v x U() ¦(v x U(/)- (ia44)
Сначала во втором интеграле представим произведение двух роторов
от модовых функций в виде
(V х и/) • (V х U//) = V • [и// х (V х и/)] + и// • [V х (V х и/)].

10.3. Поле как набор гармонических осцилляторов	305
Чтобы доказать это соотношение, преобразуем правую часть с помо-
помощью векторного равенства
V • (f х g) = g • (V х f) - f • (V x g),
полагая в нём g = V x щ и f = u//. Это, действительно, даёт
V • [щ> х (V х и/)] = (V х и/) • (V х щ,) - щ> • [V х (V х щ)\,
то есть написанное выше соотношение.
Кроме того, условие ортонормированности A0.40) превращает
первую двойную сумму в однократную. Таким образом, энергия поля
A0.44) записывается в виде
A0.45)
С помощью теоремы Гаусса мы преобразуем первый интеграл по объё-
объёму в интеграл по поверхности, то есть
[ d3r V • [u// x (V х u/)] = [ dS • [u// x (V x u/)].
surface
Здесь dS(r) обозначает вектор нормали к поверхности в точке г.
Получившийся поверхностный интеграл равен нулю. Действитель-
Действительно, вектор U// пропорционален пространственной части электрического
поля, а V х и/ пропорционален пространственной части магнитного по-
поля. Следовательно, подинтегральная функция содержит векторное про-
произведение электрического и магнитного полей. Так как интегрирование
происходит по границам резонатора, электрическое и магнитное поля
должны вычисляться на этой границе. Согласно граничным условиям,
рассмотренным в разделе 10.1.3, электрическое поле ортогонально по-
поверхности, а магнитное поле параллельно ей. Векторное произведение
таких векторов даёт вектор, лежащий в плоскости поверхности и, тем
самым, ортогональный dS(r).
Оставшийся интеграл по объёму легко вычислить, если восполь-
воспользоваться условием кулоновской калибровки V• и/ = 0 и уравнением
Гельмгольца A0.22), которые дают
V х (V х uj) = V (V • uj) - V2u/ = -V2u/(r) = k2U/(r) = №) U|.
Учитывая условие ортонормированности A0.40) модовых функций, мы
приходим к окончательному выражению

306	Гл. 10. Квантование поля
Следовательно, энергия электоромагнитного поля в произвольном
резонаторе представляет собой сумму энергий Hi гармонических ос-
осцилляторов, относящихся к каждой моде, обозначенной индексом /.
10.3.2. Квантование поля излучения. Энергия поля излучения
в резонаторе записывается как сумма энергий отдельных мод. Энергия
отдельной моды имеет вид энергии гармонического осциллятора, кото-
который описывается обобщённой координатой <#. Вопрос теперь в том, что
определяет амплитуду qfi
В классической физике амплитуда ничем не фиксирована и может
принимать любые значения. Теперь мы покажем, что квантование элек-
электромагнитного поля не допускает произвольных значений величины qi,
а накладывает на неё определённые ограничения, зависящие от состо-
состояния поля. В данном разделе мы детально рассматриваем процедуру
квантования. А чтобы квантовый аспект проблемы был максимально
ясным, сначала кратко напомним классический гармонический осцил-
осциллятор.
Классический гармонический осциллятор: мини-обзор. Мы исхо-
исходим из гамильтониана
%i = \ei+\^i<e	(Ю.46)
Z-го осциллятора с единичной массой, который соответствует 1-й моде.
Две сопряжённые переменные q\ и р\ = qi подчиняются уравнениям
Гамильтона
которые, очевидно, приводят к уравнению движения
qi + ufa = 0
для амплитуд A0.23), полученному при решении волнового уравнения.
Таким образом, р\ = ф и q\ являются канонически сопряжёнными пе-
переменными.
Так как магнитное поле пропорцоинально qi, а электрическое поле
пропорционально qi = pi, эти поля ведут себя подобно двум сопряжён-
сопряжённым переменным — координате и импульсу механического осциллято-
осциллятора. Поэтому удобно проводить квантование этих полевых осцилляторов
точно так же, как это делается для механического осциллятора, то
есть, сначала ввести комплексные амплитуды щ и а*, а затем сопоста-
сопоставить им операторы уничтожения а// и рождения а[ моды /.
Итак, вводим амплитуды
) и а* =

10.3. Поле как набор гармонических осцилляторов	307
В терминах этих амплитуд сопряжённые переменные q\ и р\ имеют вид
qi = УЩ^1^^ и ^ = !у^^"аП-	A0-47)
Подставляя эти выражения для qi и р\ в гамильтониан A0.46) 1-й моды,
получаем
1
*\2	*	* \
или	,
^	A0.48)
Здесь мы следили за тем, в каком порядке комплексные амплитуды
щ и а^* входят в гамильтониан. Это важно теперь, когда мы заменяем
амплитуды операторами.
Квантование осциллятора. Мы квантуем электромагнитное поле,
проводя квантование каждого модового осциллятора. Для этого посту-
постулируем коммутационные соотношения
[%,&'] =гП6ц<	A0.49)
для оператора обобщённой координаты % моды / и оператора обобщён-
обобщённого импульса pv моды V. Предполагается, как мы видим, что для V ф I
[%,Р1>] =0,
так как в этом случае операторы относятся к разным модам, то есть
к двум разным осцилляторам, и поэтому коммутируют.
Через операторы уничтожения
\
и рождения
операторы координаты и импульса выражаются следующим образом
/+4) и й =
Поэтому коммутационные соотношения A0.49) принимают вид
/,/' = [Й,Й'] = ^ [а// +а\,а1> -а\,\ = — (—[а//,а|,] + [а]", а/']) =
zz	zz \	/

308	Гл. 10. Квантование поля
то есть
[ai>,al]=6lfl>.	A0.51)
Здесь использовано, что
[а//, а//] = [а]",а]",] =0.
Гамильтониан поля излучения. В заключение этого раздела мы
воспользуемся коммутационными соотношениями A0.51) и представим
операторную версию
Hi = -ffii (a|a/ + а/а|)
классического гамильтониана Hi A0.48), отвечающего l-щ осциллято-
осциллятору, в виде
[} ±y	A0.52)
Таким образом, гамильтониан электромагнитного поля принимает фор-
форму
^\	A0.53)
В этом выражении второй член
является прямым следствием коммутационных соотношений. Он не
содержит никаких операторов и представляет собой сумму энергий
нулевых колебаний отдельных осцилляторных мод. Поскольку число
таких мод бесконечно, а мы суммируем по всем модам, этот вклад
обращается в бесконечность. Мы можем, однако, перенормировать
энергию и исключить этот бесконечный член. Для решений уравнения
Шрёдингера этот член приводит к некоторой общей бесконечной фазе.
Можно было бы подумать, что этот член не приводит ни к каким
наблюдаемым следствиям. Однако в следующем разделе мы покажем,
что из-за этого члена две проводящие пластины притягивают друг
друга даже в том случае, когда нет никакого поля излучения, кроме
вакуума.
10.4. Эффект Казимира
В данном разделе мы рассмотрим вклад
обусловленный энергией нулевых колебаний гармонических осцилля-
осцилляторов отдельных мод.

10.4. Эффект Казимира	309
Очевидно, что этот член расходится. Тем не менее, есть экспери-
экспериментальные ситуации, когда энергия нулевых колебаний проявляется
в реальных эффектах. Например, если сравнить энергии нулевых ко-
колебаний двух разных по размеру резонаторов, то разность двух бес-
бесконечных значений этих энергий является конечной величиной и, что
особенно интересно, приводит, как мы сейчас покажем, к появлению
силы.
10.4.1. Энергия нулевых колебаний прямоугольного резона-
резонатора. Мы можем проиллюстрировать этот эффект с помощью двух
параллельных пластинок, которые имеют площадь L2 и разделены
расстоянием а, как показано на рис. 10.2. Сначала получим точное
выражение для бесконечной энергии нулевых колебаний.
(J		a	~~Г
Рис. 10.2. Две параллельные пластины, которые имеют площадь L2 и разделе-
разделены расстоянием а, притягивают друг друга из-за разницы бесконечных энергий
нулевых колебаний внутри резонатора и в свободном пространстве
Частота О/ моды / имеет вид
ui=c\kt\ =
где использовано условие квантования A0.35). Кроме того, для каждой
частоты существуют, вообще говоря, два направления поляризации. За
исключением тех случаев, когда одно из волновых чисел равно нулю.
Тогда есть только одно направление поляризации. Это обстоятельство
очень важно при вычислении эффекта Казимира.
Следовательно, энергия нулевых колебаний записывается в виде
«b« = ^;i»nz = ^>; >; №^ + {11 + ®^, (ю.54)
где первое суммирование производится по направлениям поляризации,
о которых говорилось выше.
Теперь мы предполагаем, что линейные размеры пластинок гораздо
больше расстояния между ними, то есть а <С L. В этом случае моды,
отличающиеся индексами 1у и lz, располагаются плотнее, приближаясь

310	Гл. 10. Квантование поля
к непрерывному распределению. Поэтому суммирование по этим ин-
индексам можно заменить интегрированием и получить
сю сю
«г=?
pol lx=0
ix=v о	О
ИЛИ
1х=О
сю сю сю
pol lx=0 о О
где ? = lyd/L и ( = lza/L.
Вводя полярные координаты ? = л/п cos p( = y^ sin cp и преоб-
преобразуя двойной интеграл
сю сю	сю	тг/2	сю	тг/2	сю тг/2
Г /-\ г- Г Г 1 г- Г if Г
(i(T = d\\lu ) \Л/ ^ = du—рг- л/г^ du? = — du d(/?,
J	J	J 2v^	J	2 J J
000	00	0	00
A0.55)
приходим к выражению
pol /=0 о
в котором для упрощения записи мы обозначили I = 1Х.
Теперь мы выделяем член с / = 0, напоминая, что ему, в отличие
от остальной суммы, отвечает только одно направление поляризации,
и получаем
^	y/+2^J +	A0.56)
8a L 0	i=i о	^
Отметим, что энергия нулевых колебаний вакуумного поля включает
два фактора: A) общий множитель, который зависит от геометрии
системы и содержит, помимо констант h, с и тг, площадь L2 пла-
пластинок и расстояние а между ними, а также B) интегралы, которые
сильно расходятся. Мы видим, что эти интегралы не зависят ни от
каких геометрических или физических величин. Их нельзя вычислить
каким-либо разумным образом. Найдём теперь энергию ТС^С нулевых
колебаний вакуума в отсутствие резонатора. Если вычесть эти две
бесконечные величины друг из друга, мы получим конечный результат.
10.4.2. Энергия нулевых колебаний в свободном пространстве.
Теперь мы вычислим энергию нулевых колебаний в отсутствие резо-

10.4. Эффект Казимира	311
натора, устремив к бесконечности не только L, но и расстояние а
между пластинками. В этом случае все три суммирования в выраже-
выражении A0.54) заменяются интегрированием, так что мы должны вычис-
вычислить следующую величину
сю сю сю
dlx dly
Ро1 О	О	О
которая после введения новых переменных интегрирования ? = lya/L
и С = lza/L принимает вид
сю
2 2	г
1 J
Используя переход A0.55) к полярным координатам, получаем
A0.57)
СЮ СЮ
о о
где множитель 2 возникает из-за суммирования по поляризациям.
Это выражение имеет тот же самый общий множитель, включаю-
включающий константы Н, с и тг и геометрические величины а и L, как и вы-
выражение A0.56) для энергии 7Yq0X нулевых колебаний в резонаторе.
Кроме того, в оба выражения входит интегрирование по переменной и,
которое соответствует модам в направлениях у и z. Поскольку теперь
пластины отсутствуют, то при вычислении TC^Z суммирования нет,
а есть только интегрирование.
Отметим, что в формуле A0.57) мы суммируем по двум направле-
направлениям поляризации, что даёт коэффициент 2. В отличие от ситуации
с энергией нулевых колебаний в прямоугольном ящике, когда дис-
дискретные моды ж-направления суммируются, теперь нет необходимости
выделять моду, у которой одно из волновых чисел равно нулю. Так
как в свободном пространстве такая мода является лишь одной точкой
в интеграле, она не может дать вклад.
10.4.3. Разность двух бесконечных энергий. Мы установили,
что энергия нулевых колебаний как в прямоугольном ящике, так
и в свободном пространстве является бесконечной. Теперь мы должны
вычесть бесконечный вклад свободного пространства из бесконечной
энергии нулевых колебаний в прямоугольном резонаторе и, тем самым,
определить конечную величину энергии Казимира. Эта энергия, отне-
отнесённая к единице площади, определяется выражением
V = \ [ПЪ0ОХ - «Г] = Щ-1-	(Ю.58)

312	Гл. 10. Квантование поля
Здесь мы ввели величину
сю	сю сю	сю сю
I = - \ du л/п + У^ du v I2 + и — \ dl du у I2 + м,
О	*=1 О	0 0
которая представляет собой разность
i=i	o
между дискретной суммой и интегралом величин
Вполне очевидно, что интеграл IJJ) расходится. На первый взгляд
может показаться, что и величина / должна расходиться. Но поскольку
она определяется разностью между суммой и интегралом от расходя-
расходящихся величин, то оказывается конечной.
Для вычислений воспользуемся формулой Эйлера-Маклорена
1	СЮ
i = -2m+Y.m-> ,, 2! . л 4! ¦ л,
—	о
где числа Бернулли Bj определяются с помощью производящей
функции
сю	•
У - V^ п 2Г
которая даёт В^ = 1/6 и Б4 = —1/30, как проиллюстрировано в зада-
задаче 10.3.
Чтобы найти производные, представим сначала интегралы в форме
сю
1A) = \ dv ^ ,
где на последнем шаге введена переменная интегрирования v = I2 + и.
Тогда
dl(l) _ _9/2
~dT~ М

10.4. Эффект Казимира	313
Так как
= 0
dl3
1=0
для j ^ 4, ряд Эйлера-Маклорена обрывается на третьем члене.
Учитывая, что dI(O)/dl = 0 и В\ = —1/30, получаем
7=-ш-	A0-59)
Именно разность между вкладами дискретной модовой структуры при
наличии пластинок и непрерывной модовой структуры в их отсутствие
даёт конечную величину A0.59).
10.4.4. Сила Казимира: теория и эксперимент. Теперь мы го-
готовы вычислить потенциальную энергию взаимодействия двух парал-
параллельных пластинок, обусловленную энергией нулевых колебаний.
Сила между двумя параллельными пластинками. Подставляя
формулу / = —1/180 A0.59) в выражение A0.58), находим энергию,
приходящуюся на единицу площади поверхности,
так что сила, действующая на единицу площади,
имеет вид	2
F(a) = o7'	(ia60)
Это весьма удивительный результат: разность бесконечных энергий
нулевых колебаний при наличии и в отсутствие пластин конденсато-
конденсатора приводит к силе притяжения между этими пластинами. Эта сила
возрастает с уменьшением расстояния, а именно, обратно пропорцио-
пропорционально четвёртой степени расстояния. Кроме того, мы видим, что сила
имеет чисто квантовое происхождение, так как она пропорциональна
постоянной Планка h. И ещё, скорость света входит посредством ча-
частоты и модовой структуры поля. Интересно отметить, что величина
а/с представляет собой время, которое нужно свету, чтобы пройти
расстояние между двумя пластинами, то есть, чтобы «прозондировать»
их присутствие.
Сферическая оболочка. Эффект Казимира был рассчитан для мно-
многих геометрических конфигураций. Он не всегда приводит к силе при-
притяжения. Например, для сферической проводящей оболочки получается
отталкивающая сила. Интересна история этого эффекта.
Воодушевлённый успехом при вычислении силы притяжения меж-
между двумя проводящими пластинами, Г. Казимир (Casimir H.B.G.)
в 1953 году предложил занимательную модель заряженной частицы.
В собственной системе покоя частица рассматривается как сфери-

314	Гл. 10. Квантование поля
ческая оболочка, несущая однородный поверхностный заряд с пол-
полным значением е. Соответствующая энергия электростатического от-
отталкивания стремится расширить сферу. С другой стороны, наличие
проводящей границы меняет энергию нулевых колебаний вселенной.
Казимир утверждал, по аналогии со случаем параллельных пластинок,
что притяжение за счёт энергии нулевых колебаний может приводить
к сжатию сферы. Стабильная конфигурация, то есть баланс этих
сил возникает только при определённом значении параметра е2/(Йс).
Поэтому он назвал свою модель заряженной частицы мышеловкой
для е2/(Йс).
К сожалению, эта модель имеет драматический дефект: в 1968 году
Т. Бойер (Т. Воуег) показал, что энергия нулевых колебаний при нали-
наличии проводящей сферической оболочки с радиусом а имеет вид
V(a) ^ +0,09 ^
и, тем самым, приводит к отталкиванию, а не к притяжению. По-
Поэтому, в отличие от случая параллельных пластинок, которые из-за
флуктуации вакуума притягивают друг друга, сферическая оболочка
расширяется.
Экспериментальная проверка. В течение долгого времени была,
по-существу, только одна попытка экспериментальной проверки эф-
эффекта Казимира. Этот эксперимент, датированный 1958 годом, показал
наличие силы притяжения, которая, как сказал сам автор М. Спарнааи
(M.J. Sparnaay), не противоречит формуле A0.60). Этот эксперимент,
к сожалению, представляется неубедительным, так как его неопреде-
неопределённость составляет практически 100%.
Эффект, тесно связанный с рассматриваемым, недавно наблюдался
группой Е. Хайндса (Е. Hinds). Они измерили притяжение атома про-
проводящей пластиной и получили хорошее согласие с теорией.
И всё же наиболее эффектный эксперимент по эффекту Казимира
был недавно выполнен С. Ламоро (S.K. Lamoreaux). Чтобы избежать
экспериментальных трудностей, возникающих из-за требуемой точно-
точности, с которой надо поддерживать условие параллельности двух пла-
пластин, он исследовал силу Казимира в ситуации, когда двумя провод-
проводниками являются плоская пластина и сфера. В этом случае указанная
сила имеет вид	2
FsF(a) = -2irR - — —
где R — радиус кривизны сферической поверхности.
Одним из основных отличий от силы Казимира A0.60) между двумя
параллельными пластинами является то, что сила F$y не зависит от
площади пластины. Кроме того, степенная зависимость от обратного
расстояния а определяется кубом, а не четвёртой степенью.
На рис. 10.3 показано сравнение измеренных и ожидаемых значений
силы Казимира. Согласие с теорией весьма впечатляющее.

10.5. Операторы векторного потенциала и полей
315
Расстояние, мкм
10
Рис. 10.3. Экспериментальное измерение силы Казимира между пластиной
и сферой как функции расстояния. Точками показаны экспериментальные
результаты, а сплошная линия представляет ожидаемую силу Казимира. Взято
из статьи S.K. Lamoreaux, Phys. Rev. Lett. 1997. V. 78. P. 5
10.5. Операторы векторного потенциала и полей
В разделе 10.3.2 мы проквантовали поле излучения, постулировав
соотношения коммутации между сопряжёнными переменными q\ и р/,
связанными с зависящими от времени частями модовых функций.
Соответствующие комбинации этих операторов определяют операто-
операторы уничтожения щ> и рождения а[ 1-й моды. В данном разделе мы
приводим сводку результатов для операторов векторного потенциала,
электрического и магнитного поля и обсуждаем их зависимость от
времени.
10.5.1. Векторный потенциал. С помощью A0.47) выражаем
векторный потенциал А A0.41) через операторы рождения и уничто-
уничтожения и получаем
A0.61)
Зависимость от времени операторов рождения и уничтожения.
Зависимость от времени векторного потециала определяется зависимо-
зависимостью от времени операторов щ> и а[. Действительно, если вспомнить
гейзенберговское уравнение движения
для оператора уничтожения 1-й моды и использовать коммутационное
соотношение A0.51), мы приходим к выражению
KMli
которое дает
щ = -iCti
A0.62)

316	Гл. 10. Квантование поля
Решение этого уравнения
al'\k) = &1'\у)?	(Ш.Ьо)
показывает, что фаза оператора уничтожения содержит отрицательный
знак.
Подставляя это решение для а// вместе с соответствующим выра-
выражением
для а[, в формулу A0.59) для оператора А векторного потенциала,
получаем
A(r, t) = ^ А\ и/ (г) -^г-
i	v2
Здесь использовано обозначение
Величина А\ имеет размерность векторного потенциала. В неё входят
объём V/ и частота О/ моды. Напоминаем, что пространственная зави-
зависимость векторного потенциала содержится в безразмерных модовых
функциях u/(r), а операторные свойства определяются операторами
уничтожения и рождения а// и а\. Таким образом, А\ является едини-
единицей квантования.
Другие представления. Отметим, что процедурой своего появ-
появления модовые операторы напоминают оператор координаты механи-
механического осциллятора. Поэтому напрашивается ввести безразмерный
оператор обобщённой координаты
^(t) = -^(av(t)+al(t))	A0.64)
v2
1-й моды. С учётом этой величины векторный потенциал
представляет собой сумму обобщённых операторов координаты отдель-
отдельных мод.
Мы заканчиваем этот раздел, написав ещё одно представление
оператора векторного потенциала
Положительно-частотная часть

10.5. Операторы векторного потенциала и полей	317
содержит только операторы уничтожения, в то время как отрицатель-
отрицательно-частотная часть
А(-) (г, t) = -±=г J2 Ai u/ (Ф\ @) e+iQlt
содержит только операторы рождения.
Положительно-частотной компонентой векторного потенциала яв-
является та, которая содержит фазы —iQ.it. Как всегда формулирует
Глаубер: «Это положительно-частотная компонента, коль скоро
минус в экспоненте».
10.5.2. Оператор электрического поля. Обратимся теперь к опе-
оператору электрического поля. Уравнение A0.42) даёт нам возможность
выразить электрическое поле через производную векторного потенциа-
потенциала по времени. Мы исходим из модового разложения A0.61) векторного
потенциала и, воспользовавшись выражением A0.62) для производных
операторов уничтожения и рождения, получаем
или
Ё(г,?) = ^?/U/(r)-^r (aif(O)e~iQlt -aj(O)eiuA .	A0.65)
Здесь введено сокращённое обозначение
A0.66)
Эта величина имеет размерность электрического поля. Иногда её назы-
называют электрическим полем фотона, а иногда — вакуумным электриче-
электрическим полем. Происхождение этого, отчасти вводящего в заблуждение
названия станет понятным, когда мы рассмотрим одномодовый резона-
резонатор. Подобно векторному потенциалу, величина Е\ является единицей
квантования электрического поля.
Другие представления. Вид оператора A0.65) электрического поля
подсказывает ввести безразмерный оператор обобщённого импульса
щ(Л) = -L- (av(t) -aUt))	A0.67)
V2i
1-й моды. С ним выражение для Е принимает форму
Ё(г,?) = -У*?/и/(г)тг/(?),	A0.68)
которая показывает, что оператор Е является сопряжённым векторно-
векторному потенциалу А, в который входит оператор обобщённой координа-
координаты xi(t).

318	Гл. 10. Квантование поля
В полной аналогии с векторным потенциалом, мы можем так же
разложить и оператор A0.65) электрического поля
на положительно-частотную часть
Ё(+) (г, t) = ^^2?iui (r)a// @) e~iQlt
и отрицательно-частотную часть
V2 г
Эти два члена снова содержат только операторы или уничтожения, или
рождения.
10.5.3. Оператор магнитного поля. В заключение этого раздела
рассмотрим оператор
(Vxui(r))
A0.69)
магнитного поля Н. С помощью безразмерного оператора х\ обобщён-
обобщённой координаты он записывается следующим образом
В отличие от операторов векторного потенциала и электрического поля,
здесь мы не можем прямо ввести единицу квантования магнитного по-
поля, так как к модовой функции применяется операция ротора, которая
должна быть включена в определение единицы квантования.
Так как электрическое и магнитное поля содержат сопряжённые
операторы обобщённого импульса и обобщённой координаты, то опера-
операторы полей не коммутируют друг с другом. Этот факт имеет важные
последствия для проблемы одновременного измерения электрической
и магнитной составляющих поля. Вопрос об общей форме коммутаци-
коммутационных соотношений для операторов электромагнитного поля и их из-
измеримости был подробно изучен Н. Бором и Л. Розенфельдом (N. Bohr,
L. Rosenfeld). По поводу дальнейших деталей мы отсылаем к списку
литературы в конце главы.
10.6. Состояния поля излучения
с заданным числом фотонов
При квантовании поля излучения мы сначала представили его в ви-
виде бесконечного набора мод, а затем проквантовали гармонический
осциллятор, связанный с каждой модой. Перейдя от с-чисел к операто-

10.6. Состояния поля излучения с заданным числом фотонов 319
рам, мы построили операторы векторного потенциала, электрического
и магнитного полей. Таким образом, мы не можем описывать электро-
электромагнитное поле просто с помощью комплексно-значных или веществен-
вещественных функций, но должны обратиться к понятию квантового состояния.
При этом вся информация о поле содержится именно в квантовом
состоянии. Подчеркнём ещё раз, что эта информация связана только
с зависящим от времени оператором амплитуды % векторного потен-
потенциала, а не с пространственной зависимостью, которая содержится
в модовой функции.
Какие состояния следует использовать в качестве базиса? Должны
ли мы использовать собственные состояния оператора электрического
поля, или магнитного поля, или полной энергии? Для многих задач
собственные состояния гамильтониана поля излучения оказываются
наиболее удобными. Они связаны с идеей фотона.
Сначала мы вкратце рассмотрим свойства состояний с определён-
определённым числом фотонов, а потом обсудим среднее значение оператора
энергии, т.е гамильтониана. Далее обратимся к суперпозиции состо-
состояний с определённым числом фотонов и перепутанным состояниям.
В данном разделе мы не указываем, как приготовить такие состояния
поля излучения. Эта проблема, в высшей степени нетривиальная, будет
детально обсуждаться в гл. 16.
10.6.1. Фотон и Антифотон. Из выражения A0.52) следует, что
гамильтониан, то есть оператор энергии 1-й моды без учёта энергии
нулевых колебаний имеет вид
Hi =
где мы ввели оператор числа возбуждений
ni=a\av.	A0.70)
Собственные состояния \щ) оператора числа возбуждений для 1-й моды
удовлетворяет стандартному уравнению
A0.71)
где щ является собственным значением числа возбуждений.
Это уравнение аналогично уравнению для собственных энергети-
энергетических состояний механического гармонического осциллятора, которое
рассматривалось в разделе 2.2. Напоминаем, что энергия осциллято-
осциллятора может принимать только значения, являющиеся целыми кратными
энергии Ш/. Поэтому оператор числа возбуждений может принимать
только целочисленные значения щ =0, 1,2,... Это приводит к важному
утверждению по поводу электромагнитного поля, 1-я мода которого
находится в состоянии |п/). Действительно, в этом случае данная мода
обладает хорошо определённым числом возбуждений щ и энергией щ х
х Ш/.

320	Гл. 10. Квантование поля
Эти дискретные возбуждения модового осциллятора и, тем самым,
поля излучения обычно называют фотонами. Это название восходит
к 1926 году, когда физико-химик Г. Льюис (G.N. Lewis) употребил
слово «фотон» в письме к редактору журнала Nature {Природа). В этом
письме Льюис рассуждал о том, что передача излучения от одного ато-
атома к другому осуществляется некоторой новой частицей, для которой
он и придумал слово «фотон». Льюис рассматривал её как реальную
частицу, но специально отрицал, что она является световым квантом,
о котором говорили Планк, Эйнштейн и Бор. По поводу более деталь-
детального обсуждения как истории, связанной с фотоном, так и вопроса
о том, почему к этому понятию надо относиться с осторожностью, мы
отсылаем к работе Лэмба, особенно, к его статье, которая называется
«Антифотон».
В заключение этого раздела мы подчёркиваем, что было бы оши-
ошибочным связывать с рассмотренными возбуждениями движение неко-
некоторой частицы. Квантовая часть света сидит только в зависящей от
времени части векторного потенциала, но не в его пространственной
зависимости. Поэтому нельзя определить волновую функцию фото-
фотона в координатном пространстве. По этому поводу формулировались
многочисленные предложения, но вопрос всё ещё остаётся предметом
споров.
10.6.2. Многомодовый случай. До сих пор мы рассматривали
только одну моду. Однако поле излучения в резонаторе содержит
бесконечное число мод. Поэтому вектор состояния |Ф) поля излучения
должен включать бесконечное число состояний. Сначала, для просто-
простоты, рассмотрим состояние
в котором есть щ возбуждений моды 1, щ возбуждений моды 2 и так
далее. Здесь мы считаем, что все моды независимы.
Физический смысл состояний с заданным числом возбуждений про-
проявляется особенно отчётливо, когда мы вычисляем среднее значение
полной энергии резонаторного поля в состоянии |Ф).
Вспоминая выражение A0.53)
i
для гамильтониана электромагнитного поля в резонаторе и опуская
энергию нулевых колебаний TCq, получаем
(Ю = ({ni}\n\{ni}} =^Ш/(п1,п2,...,п/,...|п/|п1,п2,...,п/,...),
где оператор числа возбуждений щ действует только на состояние 1-й
моды, которое в данном случае является собственным состоянием \щ)
этого оператора.

10.6. Состояния поля излучения с заданным числом фотонов 321
Используя уравнение A0.71), находим
Поскольку собственные состояния |п/) ортогональны и нормированы,
то есть
(п/|п//) = 5ц>,
мы получаем
(п\, П2, ... , Щ, ... \п\, П2, ... , Щ, ...) = (ni|ni)(n2|n2) ... (п/ |п/) ... = 1.
Таким образом, среднее значение полной энергии имеет вид
i
Полная энергия электромагнитного поля в состоянии |{п/}), которое
является прямым произведением состояний с определёнными числами
фотонов, представляет собой сумму энергий щ • Ш/, соответствующих
энергиям отдельных мод. Так как 1-я мода содержит щ квантов, то её
энергия равна щ • Ш/.
10.6.3. Суперпозиция перепутанных состояний. Состояние 1^/)
полевой моды / не обязательно должно быть состоянием \щ) с задан-
заданным числом возбуждения, но может быть суперпозицией
щ
таких состояний с амплитудами вероятности фщ. В этом случае состо-
состояние поля излучения есть прямое произведение
суперпозиционных состояний |^/).
Примерами таких суперпозиционных состояний являются когерент-
когерентные состояния, сжатые состояния, собственные состояния квадратур-
квадратурных операторов, которые обсуждались в гл. 4 применительно к гармо-
гармоническому осциллятору. В следующей главе мы рассмотрим полевые
аналоги этих состояний. До сих пор мы говорили о прямых произведе-
произведениях состояний отдельных мод. Но эти моды могут быть перепутанны-
перепутанными, когда состояния отдельных мод не могут быть факторизованы, то
есть не могут быть записаны в виде прямого произведения состояний.
Вот пример такого перепутанного многомодового состояния
когда амплитуды вероятности ^...,щ,п^пк,... не представимы в виде про-
произведения функций, каждая из которых зависит только от одного из
индексов ..., щ, rij, п&,...
11 В. П. Шляйх

322	Гл. 10. Квантование поля
Термин «перепутанные состояния» происходит от немецкого выра-
выражения Шрёдингера «verschrankter Zustand». В них принципиальное
различие между классической физикой волновых процессов и кванто-
квантовой механикой. Они составляют суть парадокса Эйнштейна-Подоль-
ского-Розена, для которого Шрёдингер и придумал это выражение.
Совсем недавно эти состояния были использованы, чтобы реализовать
телепортацию квантовых состояний, квантовый канал связи и, может
быть, квантовые вычисления. Мы вернёмся к теме перепутанных со-
состояний в гл. 16.
Задачи
10.1	Собственные значения лапласиана
Показать, что собственные значения Л лапласиана, определяемые
уравнением
V2Uj(r) = \uj(r),	A0.72)
отрицательны, если выполняются граничные условия A0.24)
и A0.25).
Указание: Умножить уравнение A0.72) на Uj и просуммировать
по j. Затем использовать первое тождество Грина.
10.2	Граничные условия для электрического и магнитного полей
Используя интегральную форму уравнений Максвелла, показать,
что граничные условия A0.25) для магнитного поля удовлетво-
удовлетворяются, если выполнены граничные условия A0.24) для элек-
электрического поля. Это утверждение справедливо для резонатора
произвольной формы.
10.3	Свойства чисел Бернулли
Числа Бернулли Вп определяются соотношением
ez — 1 ^ га!
n=0
Доказать, что
n— 1
A0-73)
и вычислить Вп для п = 0, 1,..., 4.
Указание: Умножить соотношение A0.73) на ez — 1 и разложить
правую часть в ряд Тейлора по z.
10.4 Квантование поля по бегущим волнам
(а) Показать, что в подходящей калибровке электромагнитное
поле в отсутствие зарядов и токов может быть однозначно
описано с помощью векторного потенциала А. Какой вид
имеют уравнения движения для А?

Задачи	323
(б)	Показать, что в ящике с гранями L\, L2, I/3 векторный
потенциал может быть представлен в форме
А(х,?) = ^
ст=1,2
если предположить периодические граничные условия и вы-
выбрать кулоновскую калибровку. Здесь е^а, а = 1,2 — векто-
векторы поляризации. Какие условия накладываются на к и е^а?
Как зависят от времени a\^a(t) и aj^t)?
Замечание: первоначально произвольный коэффициент
в этом выражении выбран таким образом, что после про-
процедуры квантования поля величины a?a и а\^а становятся
обычными операторами рождения и уничтожения.
(в)	Показать, что при подходящем выборе векторов поляриза-
поляризации вко- полная энергия свободного электромагнитного поля
может быть представлена в виде
Указание: Хотя здесь проводятся вычисления с классически-
классическими величинами, целесообразно позаботиться о порядке сле-
следования множителей a^a(t) и a^G(t), поскольку при кванто-
квантовании поля этим величинам будут сопоставлены операторы.
(г)	Показать, что полный импульс G(t) свободного электромаг-
электромагнитного поля определяется выражением
Е
Е
к G=1,2
(д) Форма написанного выше гамильтониана и зависимость от
времени величин a\^a(t) и a^G(t) наводит на мысль рассмат-
рассматривать каждую моду электромагнитного поля как гармони-
гармонический осциллятор. Если проводить квантование поля в кар-
картине Гейзенберга, ci^it) и a\^G[t) становятся зависящими от
времени операторами a^a{t) и a\^a{t) рождения и уничтоже-
уничтожения для соответствующей моды, а Н становится оператором
Гамильтона. Предполагается, что моды независимы, а для
операторов o/ka(t) и a\^a(t) постулируются коммутационные
соотношения

324	Гл. 10. Квантование поля
Показать, что гейзенберговские уравнения движения
~^Г~ = Т ^'акст , —jf- = ¦
at n I	J	at i
совпадают с классическими уравнениями движения для а^а
и akcJ.
(е) Выразить операторы А(х,?), Е(х, t) и В(х, t) векторного по-
потенциала и полей через операторы рождения и уничтожения.
(ж) Какой вид имеют соответствующие операторы в картине
Шрёдингера?
10.5 Коммутационные соотношения для полей
В ящике с гранями L\, L2, I/3 оператор векторного потенциала
может быть написан в форме
если накладываются периодические граничные условия и выбира-
выбирается кулоновская калибровка. (Обозначения те же, что и в преды-
предыдущей задаче.)
(а) Какой вид имеют операторы D(x) и В(х)?
(б) Показать, что для векторов е^а с декартовыми координатами
(^ко-)г и вектора к выполняется условие полноты
(в) Показать, что операторы А(х), D(x), и В(х) подчиняются
следующим коммутационным соотношениям:
=0,
=0,
=0,
=0,
- х'

Литература	325
Здесь 5jj(x — Xх) является поперечной дельта-функцией, ко-
которая может быть определена следующим образом
гТ /	/\ 	 1 v^4 / г kik<j
10.6 Свойства поперечной дельта-функции
Поперечная дельта-функция определяется как
Показать:
(a) ^.(x)
i o2 i
(в) SjAx) = SijS(x) + —	1—г для перехода к континууму.
47Г (JXiUXj X
Литература
Квантование поля
Первые работы по квантовой теории излучения
Born M., Jordan P. Zur Quantenmechanik // Z. Physik. 1925. V. 34.
P. 858-889.
и
Born M., Heisenberg W., Jordan P. Zur Quantenmechanik II // Z. Physik.
1925. V. 35. P. 557-615.
Целями этих работ были, соответственно, перенесение классических формул диполь-
ного излучения в квантовую теорию и вычисление флуктуации энергии поля равновес-
равновесного чёрного излучения.
Область квантовой электродинамики началась с работы
Dime P.A.M. The Quantum Theory of the Emission and Absorption of Radi-
Radiation // Proc. Roy. Soc. A. 1927. V. 114. P. 243-265.
[Дирак П.A.M. Собрание научных трудов. Т. П. Квантовая теория (научные
статьи 1924-1947). - М.: Физматлит, 2003]
Эта статья включена в книгу
Schwinger J. Selected Papers on Quantum Electrodynamics. Dover Publica-
Publications, New York, 1958
Исключительно тщательная трактовка квантовой теории излучения, подчёркиваю-
подчёркивающая роль модовых функций, даётся в классической статье
Fermi E. Quantum theory of radiation // Rev. Mod. Phys. 1932. V. 4.
P. 87-132.

326	Гл. 10. Квантование поля
Тема этой статьи пришла из Летней школы по теоретической физике 1930 года в
университете Мичигана на Энн Арбор. В этой статье Ферми применил квантовую теорию
излучения для описания интерференционных полос Липпмана. Кроме того, он показал,
что излучение, испущенное одним атомом и поглощённое другим, распространяется со
скоростью света. В последнее время эта проблема вновь вызывает большой интерес,
так как данная модель, строго говоря, предсказывает мгновенное распространение, как
показано в статье
Hegerfeldt G. С. Causality problems for Fermi's two-atom system // Phys.
Rev. Lett. 1994. V. 72. P. 596-599.
Квантование продольных полей и метод Гупта — Блейлера
Jauch J.M., Rohrlich F. The Theory of Photons and Electrons.
Addison-Wesley, New York, 1955
Itzykson C, Zuber J.B. Quantum Field Theory. McGraw-Hill, New York, 1966
[Ициксон К., Зюбер Ж. Б. Квантовая теория поля. — М.: Мир, 1984]
Подробное обсуждение коммутационных соотношений для полевых операторов и
поперечной дельта-функции
Louisell W.H. Quantum Statistical Properties of Radiation. Wiley, New York,
1973
Vogel W., Welsch D.-G. Lectures on Quantum Optics. Akademie Verlag,
Berlin, 1994
Cohen-Tannoudji C, Dupont-Roc /., Grynberg G. Photons and Atoms —
Introduction to Quantum Electrodynamics. Wiley, New York, 1989
Mandel L., Wolf E. Optical Coherence and Quantum Optics. Cambridge
University Press, Cambride, 1995
[Мандель Л., Вольф Э. Оптическая когерентность и квантовая оптика. —
М.: Физматлит, 2000]
Моды резонатора
Рассмотрение мод резонаторов различной конфигурации
Siegman A.E. An Introduction to Lasers and Masers. McGraw-Hill, New
York, 1971
Siegman A.E. Lasers. University Science Books, Mill Valley, 1986
Milonni P. W., Eberly J.H. Lasers. Wiley, New York, 1988
Saleh B.E.A., Teich M.C. Fundamentals of Photonics. Wiley, New York, 1991
^Розанов И. И. Оптическая бистабильность и гистерезис в распределённых
линейных системах. — М.: Наука, 1997
Ограничения на измерения электромагнитного поля
Вопрос об измеримости полевых операторов был поставлен в работах
Bohr N., Rosenfeld L. Zur Frage der MeBbarkeit der elektromagnetischen
FeldgroBen // Kgl. Danske Videnskab. Selskab., Mat.-fys. Medd. 1933. V. 12.
No. 8
Bohr N., Rosenfeld L. Field and Charge Measurement in Quantum Electrody-
Electrodynamics // Phys. Rev. 1950. V. 78. P. 794-798.

Литература	327
Эти статьи вошли в книгу
Wheeler J.A., Zurek W.H. Quantum Theory and Measurement. Princeton
University Press, Princeton, 1983
Эффект Казимира
Оригинальная работа по эффекту Казимира
Casimir H.B. G. On the attraction between two perfectly conducting plates //
Proc. Kon. Ned. Akad. 1948. V. 51. P. 793-795.
Casimir H.B. G. Introductory remarks on quantum electrodynamics // Physica.
1953. V.XIX. P. 846-849
Изложение этого эффект есть в книгах
Power Е.А. Introductory Quantum Electrodynamics. Longmans, Green and
Co., London, 1964
Milonni P. W. The Quantum Vacuum: An Introduction to Quantum Electrody-
Electrodynamics. Academic, New York, 1994
Sarlemijn A., Sparnaay M.J. Physics in the Making: Essays in Honor of
H.B.G. Casimir on the Occasion of his 80th Birthday. North Holland, Amsterdam,
1989
Описание эффекта Казимира с помощью дзета-функции
Elizalde E. Ten Physical Applications of Spectral Zeta Functions. Springer,
Berlin, 1995
Сила Казимира была исследована для различных конфиграций проводящих пласти-
пластинок, например, клинообразных, или сферических. Обзор можно найти в работах
Воуег Т.Н. Quantum Electromagnetic Zero-Point Energy of a Conducting
Spherical Shell and the Casimir Model for a Charged Particle // Phys. Rev. 1968.
V. 174. P. 1764-1776.
Elizalde E., Romeo A. Essentials of the Casimir effect and its computation //
Am. J. Phys. 1991. V. 59. P. 711-719.
Barton G. New Aspects of the Casimir Effect: Fluctuations and Radiative
Reaction // Cavity Quantum Electrodynamics / Ed. by P. R. Berman, Adv. At.
Mol. Opt. Phys. 28 Supplement 2, Academic Press, Boston, 1994
Мостепаненко В.М. Эффект Казимира и его приложения. — М.: Энерго-
атомиздат, 1990
Есть интересный «классический» эффект Казимира . Два корабля, стоящие в порту
параллельно друг другу, притягиваются, как обсуждается в статье
Boersma S.L. A maritime analogy of the Casimir effect // Am. J. Phys. 1996.
V. 64. P. 539-541.
Первый эксперимент по эффекту Казимира, выполненный в 1958 году в Филлипс
Лэбс.
Sparnaay M.J. Measurements of attractive forces between flat plates //
Physica. 1958. V. 24. P. 751-764.
Новейшее измерение эффекта Казимира
Lamoreaux S. Demonstration of the Casimir Force in the 0.6 to 6 /xm Range //
Phys. Rev. Lett. 1997. V. 78. P. 5-8.

328	Гл. 10. Квантование поля
Притяжение атома двумя параллельными пластинками
Sukenik С./., Boshier M.G., Cho D., Sandoghdar V., Hinds E.A. Measure-
Measurement of the Casimir-Polder Force // Phys. Rev. Lett. 1993. V. 70. P. 560-563.
Волновая функция фотона и локализация фотона
Вопрос о волновой функции фотона затрагивается в вводной главе книги
Scully M. О., Zubairy M.S. Quantum Optics. Cambridge University Press,
Cambridge, 1997
[Скалли М.О., Зубайри М.С. Квантовая Оптика. — М.: Физматлит, 2003]
Тщательный обзор и новый подход можно найти в работе
Bialynicki-Birula I. Photon Wave Function. Progress in Optics, Volume
XXXVI, North Holland, 1996, p. 245-294
Детальная критика концепции фотона и превосходный исторический обзор содер-
содержатся в статье
Lamb Jr. W.E. Anti-photon // Appl. Phys. B. 1995. V. 60. P. 77-84.
Обсуждение вопроса об операторе коордитаты фотона
Newton T.D., Wigner E.P. Localized States for Elementary Systems // Rev.
Mod. Phys. 1949. V. 21. P. 400-406.
Обсуждение вопроса о пространственной локализации фотона
Pike E.R., Sarkar S. Spatial Dependence of Weakly Localized Single-Photon
Wave Packets // Phys. Rev. A. 1987. V. 35. P. 926-928.
Более подробное обсуждение этой проблемы
Pike E.R., Sarkar S. The Quantum Theory of Radiation. Oxford Science
Publications, Oxford, 1995
Идея использовать корреляционные функции операторов электрического поля в ка-
качестве волновых функций фотона
Scully M. О., Drtihl К. Quantum eraser: A proposed photon correlation ex-
experiment concerning observation and «delayed choice» in quantum mechanics //
Phys. Rev. A. 1982. V. 25. P. 2208-2213.
Scully M. O. Photon-Photon Correlations from Single Atoms // Advances in
Quantum Phenomena / Ed. by E.G. Beltrametti and J.-M. Levy-Leblond, Plenum
Press, New York, 1995
Rathe U.W., Scully M. О. Theoretical Basis for a New Subnatural Spec-
troscopy Via Correlation Interferometry // Lett. Math. Phys. 1995. V. 34.
P. 297-307.
Подобные идеи использованы в концепции би-фотона для описания перепутывания
различных мод
Клышко Д.Н. Фотоны и нелинейная оптика. — М.: Наука, 1980
Rubin M.H., Klyshko D.N., Shih Y.H., Sergienko A. V. Theory of Two-photon
Entanglement in Type-II Optical Parametric Down-conversion // Phys. Rev. A.
1994. V. 50. P. 5122-5133.
Sergienko A.V., Shih Y.H., Rubin M.H. Experimental Evaluation of a
Two-photon Wave Packet in Type-II Parametric Downconversion // J. Opt. Soc.
Am. 1995. V. B12. P. 859-862.

Литература	329
Rubin M.H. Transverse Correlations in optical spontaneous parametric
down-conversion // Phys. Rev. A. 1996. V. 54. P. 5349-5360.
Keller Т.Е., Rubin M.H. Theory of two-photon entanglement for spontaneous
parametric down-conversion driven by a narrow pump pulse // Phys. Rev. A.
1997. V. 56. P. 1534-1541.
Другой подход к волновой функции фотона
Sipe IE. Photon Wave Functions // Phys. Rev. A. 1995. V. 52. P. 1875-1883.

Глава 11
СОСТОЯНИЯ ПОЛЯ
Основной темой данной книги является взаимодействие вещества
с квантованным светом. Огромные успехи экспериментальной кванто-
квантовой оптики позволяют нам сосредоточиться на такой ситуации, когда
одиночный атом взаимодействует с единственной модой поля излуче-
излучения. В гл. 14 будет рассмотрена эта простая модель взаимодействия.
Поэтому здесь мы изучаем одну моду поля и далее в этой главе
опускаем модовый индекс I. Тогда оператор электрического поля имеет
вид
Ё(г,?) = -?Ьи(г)т?(*) = ?ou(r) -^ (a(t)-tf(t)) .	A1.1)
В этой формуле электрическое поле выражено через вакуумное элек-
электрическое поле ?q. Пространственная зависимость входит посредством
функций u(r), которые определяются исключительно геометрией ре-
резонатора и граничными условиями A0.24)—A0.25). Операторная сущ-
сущность электрического поля проявляется в операторах рождения и уни-
уничтожения.
Ранее мы уже встретились со многими различными квантовыми
состояниями механического гармонического осциллятора и обсудили
их свойства. Чрезвычайно полезными, в частности, оказывается состо-
состояние \п) с заданной энергией. Кроме того, мы изучили когерентные
и сжатые состояния. Теперь эти состояния появятся вновь, уже приме-
применительно к полю излучения. Поэтому в данной главе мы возвращаемся
к обсуждению их свойств. Особое внимание обращается на коге-
когерентные состояния, поскольку они позволят нам разработать общий
формализм функций распределения в фазовом пространстве. Помимо
этого мы рассмотрим неклассические свойства состояния шрёдингеров-
ской кошки, которые обусловлены квантово-механическим принципом
суперпозиции.
11.1. Свойства квантованного электрического поля
В данном разделе мы покажем, что среднее значение оператора
электрического поля в состоянии с заданным числом фотонов равно
нулю. Интенсивность же, напротив, задаётся числом фотонов. Далее
обратимся к собственным состояниям оператора электрического поля,

//./. Свойства квантованного электрического поля
331
который представляет собой линейную комбинацию операторов рожде-
рождения и уничтожения. В этих состояниях среднее значение электриче-
электрического поля не равно нулю.
11.1.1. Состояния с заданным числом фотонов. Начнём наше
обсуждение с состояний с заданным числом фотонов, являющихся ана-
аналогом собственных энергетических состояний осциллятора, и вычис-
вычислим, в частности, среднее значение оператора Е(г,?) электрического
поля одной моды в состоянии \п).
Среднее электрическое поле. Среднее электрическое поле в состо-
состоянии с заданным числом возбуждений имеет вид
п) =
u(r) (n
a —
A1.2)
С учётом свойств
а\п) =
n — 1) и аЦп) = \/п +1 \n + 1)
операторов уничтожения и рождения, среднее значение принимает
форму
n- l)-
+l)l. A1.3)
Поскольку фоковские состояния взаимно ортогональны, получаем
(п|Ё|п)=0,
то есть среднее значение электрического поля в фоковском состоянии
исчезает.
Происхождение вакуумного электрического поля. Отметим, од-
однако, что интенсивность, пропорциональная квадрату электрического
поля, в состоянии с заданным числом возбуждений в ноль не обраща-
обращается. Действительно, мы имеем
= (п\г2
п) = — -?q u2(r)
(п\ а2
Напомним, что оператор а2 уничтожает два кванта и создаёт состояние
\п — 2), которое ортогонально \п). Аналогично, оператор дJ создаёт
состояние |п + 2), которое тоже ортогонально \п).
Тогда, с учётом коммутационного соотношения \а,аЦ = 1, написан-
написанное выше выражение приводится к виду
(n\v2\n) = l-S2u2(v) (n|2n+
n + i
A1.4)
Квадрат электрического поля растёт линейно по числу квантов в фо-
фоковском состоянии. Поскольку при п = 0, то есть для вакуумного
состояния |0) имеем
i

332	Гл. 11. Состояния поля
то флуктуация (?2)|о) электрического поля в вакуумном состоянии,
отвлекаясь от геометрического фактора и2(г), задаётся величиной ?$.
Вот почему величину Sq иногда называют вакуумным электрическим
полем.
Подчеркнём, однако, что среднее электрическое поле вакуумного
состояния равно нулю. Мы можем интерпретировать So только как
эффективное электрическое поле вакуума
|u(r)| - [ u2(r) J	у/2'
Данное обсуждение проясняет интуитивно понятные свойства со-
состояния \п) с заданным числом возбуждений с точки зрения квадра-
квадрата электрического поля, то есть интенсивности. Свойства же самого
оператора электрического поля в таком состоянии, скорее, противо-
интуитивны, что демонстрируется фактом обращения в ноль среднего
значения. Последнее обстоятельство просто отражает тот факт, что
фоковские состония являются собственными состояниями оператора
числа возбуждений п = йГ^а, который суть произведение операторов
рождения и уничтожения. Оператор же электрического поля определя-
определяется разностью операторов рождения и уничтожения.
11.1.2. Собственные состояния электромагнитного поля. Те-
Теперь построим собственные состояния оператора электрического или
магнитного поля. Электромагнитное поле в таком состоянии имеет
определённую амплитуду. Поскольку оператор электрического поля
представляет собой линейную комбинацию операторов уничтожения
и рождения, интересующие нас состояния являются аналогом квад-
квадратурных собственных состояний, которые рассматривались в гл. 4.4
применительно к механическому осциллятору.
Определение оператора поля излучения. Оператор электрического
поля одной моды имеет вид
Ё(г,?) =?ou(r)-^ (а(О)е-^-а^О)е^),	A1.5)
где # = Ш. Если отвлечься от модовой функции и вакуумного элек-
электрического поля, то он представляет собой линейную комбинацию
операторов уничтожения и рождения с фазовыми множителями. Такая
структура наводит на мысль ввести следующий оператор поля излуче-
излучения
?# = -^(ae-^ + afe^) = costfx + sin^Tr.	A1.6)
На последнем шаге мы воспользовались определениями A0.64)
и A0.67) безразмерных операторов х и f обобщённой координаты
и импульса.

//./. Свойства квантованного электрического поля
333
Очевидно, что ?$ является линейной комбинацией х и тг. В частно-
частности, при д = О оператор ?$ совпадает с оператором обобщённой коорди-
координаты и, следовательно, соответствует оператору магнитного поля. При
# = тг/2 оператор редуцируется к безразмерному оператору импульса,
который отвечает электрическому полю.
Разложение по состояниям с заданным числом фотонов. Соб-
Собственные состояния \?$) повёрнутого оператора электрического поля
удовлетворяют уравнению
е#\е<,) = е#\е<,).	(п.7)
Теперь получим точное выражение для этих состояний, разложив
их по состояниям с заданным числом фотонов, то есть
п=0
Чтобы найти коэффициенты разложения (п|?#), рассмотрим сначала
случай д = 0. Тогда оператор ?$ сводится к оператору координаты
осциллятора. Поэтому, в полной аналогии с координатным представ-
представлением ип(х) = (х\п) собственных энергетических состояний B.17),
коэффициенты разложения имеют вид
TJ (P \	(	^2
(п \?&=0) = (п \х) = ъ
Здесь Нп обозначает n-й полином Эрмита.
Из определения A1.6) мы видим, что состояния \?$) получаются
из состояний |?#=о) поворотом в фазовом пространстве на угол $. Это
приводит нас к разложению
X = .
n=0
то есть
A1.8)
n=0
собственных состояний \?$) поля по состояниям с определённым чис-
числом фотонов.
Можно проверить, что определённые таким образом состояния удо-
удовлетворяют уравнению A1.7) для собственнных состояний и собствен-
собственных значений оператора A1.6). С учётом хорошо известного соотно-
соотношения
|п -

334	Гл. 11. Состояния поля
уравнение A1.7) принимает вид
-^r Vn e~w n - 1 + Vn + 1 ew \n + 1
Вводя новые индексы суммирования т = п — 1 и га = п + 1, находим
1
'
ОО	• q
¦гаЯт_1
^|^)=тг 1/4ехр(--?|) х
Вспоминая рекуррентное соотношение
Hm+l(z) = 2zHm(z) - 2mHm_x(z)
для полиномов Эрмита, получаем
Таким образом, состояния \?$), определяемые формулой A1.8), явля-
являются собственными состояниями оператора поля. Электрическое поле
в таком состоянии имеет определённую амплитуду ?$.
По поводу дальнейших свойств собственных состояний поля излу-
излучения мы сошлёмся на аналогичное обсуждение собственных состоя-
состояний квадратурных операторов для механического осциллятора в разде-
разделе 4.4.
11.2. Возвращение к когерентным состояниям
Элекромагнитное поле в собственном состоянии \?$) обладает опре-
определённой амплитудой ?$. Поэтому сопряжённая переменная ?$+^/2
является полностью неопределённой. Этот факт проявляется наиболее
отчётливо для фазового угла # = 0, поскольку ?$=о = х, а ?$=7Г/2 =
= тг, так что принцип неопределённости для этих операторов даёт
следующее соотношение
Ах Атг > i
для флуктуации Ах и Атг. Так как поля Е и Н пропорциональны
операторам тг и х, являясь, тем самым, сопряжёнными переменными,
имеем следующее соотношение неопределённостей
АЁАН>1

11.2. Возвращение к когерентным состояниям	335
для полей. Константа X получается из определений операторов элек-
электрического и магнитного поля и из коммутационных соотношений для
операторов тг и х.
Следовательно, электромагнитное поле в собственном состоянии
ведёт себя не так, как предписывает классическая электродинамика.
Теперь нас будут интересовать квантовые состояния, которые до-
допускали бы одновременное существование хорошо определённых, — ра-
разумеется, в рамках соотношения неопределённостей, — электрического
и магнитного поля. Такими состояниями являются когерентные состо-
состояния. Впервые они обсуждались Э. Шрёдингером (Е. Schrodinger) как
специальные решения зависящего от времени уравнения Шрёдингера
для механического гармонического осциллятора. Позднее Р. Глаубер
(R. Glauber) исследовал эти состояния более детально. Они стали
базисом квантовой оптики. Рассмотрим кратко некоторые их свойства.
11.2.1. Уравнение для собственных состояний. Следуя Глаубе-
ру, определим когерентные состояния
а) как собственные состояния
оператора уничтожения а, то есть
а|а)=а|а).	A1.9)
Так как оператор а неэрмитов, собственные значения а не обязаны
быть действительными. В общем случае они комплексны. Кроме того,
отсутствуют граничные условия, которые сделали бы спектр а дискрет-
дискретным. Поэтому а может принимать любые комплексные значения.
Разложение по фоковским состояниям. Разложим когерентное
состояние	^
\а) = Х>п|п),	A1.10)
п=0
по состояниям с определённым числом фотонов \п). Здесь wn обо-
обозначает амплитуду вероятности обнаружить п фотонов в когерентном
состоянии \а). Напоминаем, что говоря об п фотонах, мы имеем
в виду п возбуждений данной моды.
Подставляя разложение A1.10) в уравнение A1.9) и используя
а\п) = у/п \п — 1),
получаем
сю	сю
а
\а) = ^2 wnVn \п — 1) — Yl awn\n).
п=0	п=0
Умножая слева на (т\ и используя условие ортонормированности фо-
ковских состояний, приходим к двучленному рекуррентному соотно-
соотношению
m+\V+ 1 = aw
то есть,

336	Гл. 11. Состояния поля
Применяя эту формулу несколько раз, получаем
то есть
_ а
WrY1 ~ Гт\
Нормировка и специальный класс когерентных состояний. Ко-
Коэффициенты w$ находятся из условия нормировки
оо
1 = (а\а) = ^2 \wn\2,
п=0
которое даёт
п=0
или
Это условие всё ещё оставляет фазу (р коэффициента
неопределённой. В принципе, фаза (р тоже могла бы каким-то сложным
образом зависеть от параметра а. Однако в стандартном определении
когерентного состояния фаза (р выбирается равной нулю. При таком
выборе фазы когерентное состояние \а) с комплексным параметром а
имеет вид	^
п=0
В следующем разделе мы покажем, что данное определение согласуется
с альтернативным определением когерентного состояния как смещён-
смещённого вакуумного состояния.
11.2.2. Когерентное состояние как смещённый вакуум. В раз-
разделе 4.2 мы ввели когерентное состояние как смещённое основное
состояние. Теперь мы хотим сформулировать эту идею аккуратным ма-
математическим методом. С этой целью определим когерентное состояние
с помощью соотношения
\а) = D(a)\0) = eaUi-a*u\0),	A1.12)
где D(a) является оператором смещения.
Убедимся сначала, что данное определение когерентного состояния
эквивалентно тому, которое оновано на уравнении A1.9) для соб-
собственных состояний оператора а. Для этого воспользуемся формулой
Бейкера-Хаусдорфа
= еАеве-[А,в}/2

11.2. Возвращение к когерентным состояниям	337
которая справедлива для двух операторов А и В, подчиняющихся
коммутационным соотношениям
[А, [А, В}} = [В, [А, В]] = 0.
Отметим, что операторы а и д) уничтожения и рождения заведомо
удовлетворяют этому условию, так как \а,д,Ц = 1.
С помощью теоремы Бейкера-Хаусдорфа определение A1.12) коге-
когерентного состояния записывается в виде
то есть,
Раскладываем экспоненциальную функцию от а*а по степеням а. Тогда
условие а\0) = 0 даёт
так что	1 2
а) = е-2>1 еаП |0).	A1.13)
Раскладывая теперь оператор еаа , приходим к выражению
п=0 '	п=0
п ,
или
п=0 УП!
п),
что совпадает с разложением A1.11) когерентного состояния по состо-
состояниям с определённым числом фотонов.
В заключение подчеркнём, что оба определения идентичны только
при выборе фазы коэффициента г^о равной нулю.
11.2.3. Статистика фотонов в когерентном состоянии. В раз-
разделе 4.2.2 было получено пуассоновское распределение по энергиям
для когерентного состояния механического осциллятора. Мы, в част-
частности, проследили, как оно возникает, вычислив интеграл перекрытия
соответствующих волновых функций в координатном пространстве.
В данном разделе рассматривается когерентное состояние одной моды
поля излучения. В этом случае статистика фотонов
Wn=\wn2 = \(n\a)f =
определяется вероятностью Wn = \wn\2 обнаружить п фотонов, когда
поле находится в когерентном состоянии.

338
Гл. 11. Состояния поля
Моменты функции распределения фотонов. Вычислим среднее
число
оо	оо	оо
(п) = (а\ п\а) = ^2 (а\п \п) (п\ \а) = ^ п \(а \п) | = J^ n Wn
п=0	п=0	п=0
фотонов в когерентном состоянии \а). В выражении
00 | |2п	2	°° | |2(п-1)	2
п=0	'	п=1
вводим новый индекс суммирования п = п — 1 и получаем
(п) = \а\2.
Следовательно, параметр \а\2 является средним числом фотонов в ко-
когерентном состоянии.
Для того, чтобы найти ширину распределения Пуассона, которая
определяется дисперсией
(п-1)!
а2 = (п2) - (пJ,
вычислим второй момент
(п2) = (а\ п2 \а) = 2_\ {а
п=0
\п) (п
п=0
— 1 + 1 \а
п=1
п-1 (га-2)!
то есть
(п2) =
,|2 V^ |a
п=\
(п-1)!
Вводя индексы суммирования, соответственно, п = п — 2 и п = п — 1,
находим
(п2) = |а|4 + |а|2.	(П.14)
Таким образом, дисперсия пуассоновского распределения числа фото-
фотонов в когерентном состоянии имеет вид
а =
С увеличением среднего числа фотонов максимум распределения, нахо-
находящийся в точке (п) = \а\2, и ширина а = \а\ распределения Пуассона
возрастают. Однако их отношение
ширина распределения Пуассона
среднее значение для распределения Пуассона / ~~ (п)
1
/Щ ^о
О

11.2. Возвращение к когерентным состояниям	339
стремится к нулю обратно пропорционально квадратному корню из
среднего числа фотонов.
Дисперсия как следствие алгебры операторов. В заключение
этого раздела рассмотрим другой способ вычисления среднего числа
(п) фотонов и дисперсии распределения. Здесь мы используем урав-
уравнение A1.9) для собственных состояний и собственных значений,
а не процедуру суммирования с функцией распределения. При таком
подходе особенно чётко видно, как квантовые законы проявляются во
втором моменте распределения.
С помощью уравнения A1.9) для когерентного состояния получаем
следующее выражение для среднего числа фотонов
(п) = (а\а^а\а) = а*а{а\а) = |а|2,
где также использованы формулы а\а) = а\а) и {а\а) = а*(а
Тогда второй момент имеет вид
(п2) =
или
(n2) = (а\а^2а2 + аЧ\а) = \а\А + \а\2
\)а\а),
в полном согласии с выражением A1.14).
Следовательно, отличная от нуля дисперсия а2 = (п2) — (пJ =
= \а\2 функции распределения фотонов появляется из-за того, что при
вычислении второго момента оператора числа фотонов использовано
соотношение коммутации.
11.2.4. Распределение для электрического поля в когерентном
состоянии. Вычислим теперь распределение вероятности
обнаружить собственное состояние \?$) электрического поля, когда
система находится в когерентном состоянии \/3). Задача сводится к вы-
вычислению скалярного произведения полевого состояния \?$) и коге-
когерентного состояния |/3).
Скалярное произведение. Используя разложение A1.8) полевого
состояния \?$)
Ц()|>	A1.15)
п=0
по состояниям с определённым числом фотонов, находим
п=0

340	Гл. 11. Состояния поля
Подставляя в это выражение амплитуды вероятности присутствия фо-
ковских состояний
в когерентном состоянии, получаем
п=0
С учётом производящей функции
п=0
для полиномов Эрмита приходим к окончательному выражению
\-\
\el - \ (/Зе-«J + у/2 ?C^ \
\ (/Зе) + у/2 ?»Cе	\
A
.16)
для скалярного произведения собственного состояния электрического
поля и когерентного состояния.
Неповёрнутые собственные состояния. Особый интерес пред-
представляют амплитуды вероятности (?$=о \/3). Когда фазовый угол $ =
= 0, оператор электрического поля сводится к оператору обобщённой
координаты х, и выражение A1.16) для амплитуды вероятности при-
принимает вид
или
IР п ^ I й\ 	 / Ф \ й\ 	 /7Г	/ <=»VT"l	( й	I й\ 1 <=»VT"l
\?"$=0 rw ~~ \ \г I —	t;Jv]J — I ду — \fJ\ J сЛ.р — —
\_ Zi	J	\ A \
A1.17)
Таким образом, соответствующее распределение описывается гауссов-
ской функцией с центром в точке ?#=q = л/2/3. Первый экспоненциаль-
экспоненциальный множитель отсутствует только для действительных значений /3.
Как мы увидим в разделе 11.3, такие фазовые факторы становятся
существенными при рассмотрении суперпозиции двух различных коге-
когерентных состояний.
Распределение вероятности. В заключение этого раздела приве-
приведём выражение для вероятности обнаружить определённое собственное
значение электрического поля в когерентном состоянии. Для этого

11.2. Возвращение к когерентным состояниям	341
вычислим квадрат абсолютного значения написанного выше скалярного
произведения
Скомбинировав члены в показателе экспоненты, получаем
Следовательно, в когерентном состоянии электрическое поле распреде-
распределено по закону Гаусса.
11.2.5. Переполненность системы когерентных состояний. Ко-
Когерентные состояния образуют переполненный набор, то есть, их систе-
система полна, но они неортогональны. Это приводит к некоторым интерес-
интересным свойствам задачи разложения, которые мы сейчас и рассмотрим
более подробно.
Полнота системы когерентных состояний. Сначала докажем,
что когерентные состояния образуют полный набор. Для этого рас-
рассмотрим оператор
Напоминаем, что параметр а = |а|ег^, который задаёт когерентное
состояние, является комплексным числом, имеющим действительную
и мнимую части. Дифференциал d?a имеет вид
d2a = d (Re a) d (Im a) = dar dai = \a\ d\a\ dd.
Подставляя разложение A1.11) когерентного состояния по фоковским
состояниям в оператор /, получаем
оо
/ =
CXJ	UV	/I
V —= [ ^ЫЫш+п+1е-Н2- [
0	о
т,п=0	о
Используя соотношение
| d$e = 5m,0,	A1.18)
— 7Г

342
Гл. 11. Состояния поля
выполняем интегрирование по #, а потом^вводим новую переменную
интегрирования ? = |а|2, так что оператор / принимает вид
оо ^ оо
1 Г ,, ¦
— d\a'
п\ J
n=0 о
Вспоминая интегральную формулу
n\ J
e^ = Г(п+ 1) =п\
о
для гамма-функции Г, приходим к условию полноты фоковских состо-
состояний	QQ
п=0
где 1 обозначает единичный оператор.
Таким образом, мы нашли разложение единичного оператора по
когерентным состояниям, а именно,
= - \d2a\a)(a\.
7Г J
A1.19)
Неортогональность. В предыдущем разделе мы доказали условие
полноты системы когерентных состояний. Покажем теперь, что они не
ортогональны друг другу.
Чтобы подробнее разобраться с этим свойством, рассмотрим два
когерентных состояния
сю
n=0
Используя условие ортогональности фоковских состояний, получаем
,
п=0
ИЛИ
Отсюда следует, что
где использовано соотношение
A1.20)
A1.21)
= -|а - /3|2.

11.2. Возвращение к когерентным состояниям	343
Таким образом, перекрытие двух когерентных состояний имеет гаус-
совский вид. И чем больше они отдалены друг от друга, тем меньше
перекрытие.
11.2.6. Разложение по когерентным состояниям. Весьма уди-
удивительным следствием этой неортогональности является возможность
разложить когерентное состояние \а) по набору когерентных состо-
состояний. Кроме того, мы можем разложить состояние с определённым
числом фотонов по когерентным состояниям, заданным либо для всех
значений комплексного параметра, либо только для тех, которые лежат,
например, на окружности. Это и есть тема данного раздела.
Разложение когерентного состояния по когерентным состоя-
состояниям. Подействовав на когерентное состояние единичным оператором
и воспользовавшись условием полноты A1.19), получаем выражение
\a) = \\a)=l-\d2C\C){C\a),
которое, с учётом A1.20), принимает вид
\а) =
;I<
Согласно этой формуле, когерентное состояние \а) представлено в виде
суперпозиции когерентных состояний \/3) для всех точек пространства
с координатами /Зг и /%. Каждое когерентное состояние \/3) входит с
весом
е-\ (М2 + |/3|2)+а/Г = е-\ \а-C\2 е\ {аC*-а*C) = е~\ \а-C\2 е%фф\Ы)^
где ф(C;а) = Im(a/3*). Весовой фактор, таким образом, содержит гаус-
совскую функцию, которая служит мерой удалённости когерентного
состояния |/3) от раскладываемого когерентного состояния, а фаза ф
представляет собой площадь треугольника, образованного началом ко-
координат комплексного пространства и двумя комплексными числами
а и /3.
Фоковское состояние на плоскости когерентных состояний. Так
как системы когерентных состояний является полной, то вполне оче-
очевидно, что состояние с определённым числом фотонов можно разло-
разложить по когерентным состояниям. Действительно, используя опять
условие полноты A1.19), получаем выражение
п) = {- J2	I J2^
которое, с учётом C = |/3|ег^, принимает вид
ОО
\п) = 2 J d\/3\ \Р\

344	Гл. 11. Состояния поля
Это достаточно сложное представление фоковского состояния в виде
суперпозиции когерентных состояний, отвечающих всем точкам ком-
комплексного пространства. Здесь мы параметризовали комплексное про-
пространство с помощью окружностей с непрерывно меняющимся радиу-
радиусом. Подчеркнём, что когерентные состояния, относящиеся к окружно-
окружности с фиксированным радиусом, содержат фазовый множитель е~гп®,
который зависит от состояния \п). Сначала берётся суперпозиция со-
состояний, расположенных вдоль окружности, а потом ещё строится
суперпозиция состояний для многих таких окружностей.
Фоковское состояние на окружности когерентных состояний.
На самом деле из-за переполненности системы когерентных состояний
нет необходимости интегрировать по радиусу Щ окружностей. Можно
получить такое представление фоковского состояния, которое содержит
только когерентные состояния, расположенные вдоль одной окружно-
окружности произвольного радиуса, а именно,
Чтобы найти нормировочный коэффициент Л/"п(|/3|), раскладываем ко-
когерентное состояние
¦е-) =
по фоковским состояниям, подставляем это выражение в написанное
выше представление вектора \п) и получаем
771=0	—7Г
то есть
Здесь была использована формула A1.18).
Таким образом, мы получаем представление
,-1/2
|n; = _L ' I i/^i—« -
n-го фоковского состояния в виде суперпозиции когерентных состоя-
состоянии, расположенных на окружности.
Радиус этой окружности остаётся произвольным. Это обстоятель-
обстоятельство кажется противо-интуитивным, если вспомнить самое простое
представление фоковского состояния в виде круговой полосы Планка-
Бора-Зоммерфельда в фазовом пространстве, рассмотренное в разде-

11.2. Возвращение к когерентным состояниям	345
ле 8.2. Центральная линия этой полосы в фазовом постранстве имеет
радиус д/2[п + A/2)].
Отметим, что в квазиклассическом пределе, когда п > 1, получен-
полученное выше представление тоже указывает на определённый радиус C
в фазовом пространстве. Действительно, в этом случае из асимптотиче-
асимптотического разложения распределения Пуассона, полученного в разделе 4.2,
следует, что максимум выражения, стоящего в квадратных скобках,
находится в точке \/3\ = у/п. Различие в множителе у/2 просто отража-
отражает то обстоятельство, что в данном случае мы имеем дело с фазовым
пространством переменных ar-ai, а не х-р.
Тот факт, что радиус \/3\ может быть произвольным, хотя асимп-
асимптотическое разложение пуассоновского распределения и указывает на
определённое значение радиуса, является следствием переполненности
набора когерентных состояний.
11.2.7. Средние значения для оператора электрического поля.
В разделе 11.1.1 было показано, что среднее значение оператора элек-
электрического поля в состоянии с определённым числом фотонов равно
нулю. Теперь проведём аналогичный расчёт для когерентного состо-
состояния.
С помощью выражения для оператора электрического поля
и уравнения а\а) = а\а) для когерентного состояния получаем
(Ё(г, *)) = So u(r) -^ [a(t) - a*(t)] = -л/2 ?0 u(r) Im a(t),
ИЛИ	_
(E(r,t)) = -V2?0u(r)\a\ sintf(t).	A1.22)
Это есть обычное выражение для классического электрического поля
с амплитудой л/2?о|<^1и(г) и фазой #. В отличие от среднего значения в
состоянии с определённым числом фотонов, данная величина не равна
нулю.
Рассмотрим теперь второй момент
(f2) = -^?02u2(r) (
оператора электрического поля, то есть
<r2) = -i?o2u2(r) [(a-a*J-l].	A1.23)
С помощью этого соотношения и выражения A1.22) для (Е) находим
дисперсию	^
а% ее (г2) - (Е>2

346	Гл. 11. Состояния поля
оператора электрического поля
Следовательно, флуктуации электрического поля в когерентном состо-
состоянии не зависят от комплексной амплитуды а. Подчеркнём, что данный
результат совершенно отличен от того, что получается для фоковского
состояния: там, согласно A1.4), флуктуации пропорциональны числу
квантов п, входящих в фоковское состояние. Если, однако, п = О,
то флуктуации и в вакууме, и в когерентном состоянии одинаковые:
когерентное состояние имеет только вакуумные флуктуации. Поэтому
когерентные состояния наиболее близки к классической физике.
11.3. Состояние шрёдингеровской кошки
Принцип суперпозиции является сердцевиной квантовой механики.
Как сформулировал Дирак в первой главе своего классического учеб-
учебника по квантовой механике, «... два или больше состояний могут сло-
сложиться, чтобы дать новое состояние.» Нигде, пожалуй, не проявляется
столь ярко сила этого принципа, как в суперпозиции двух когерентных
состояний. Действительно, отдельное когерентное состояние является
почти классическим состоянием, в том смысле, что по своим свойствам
оно очень близко к классической физике. Тем не менее, квантово-
механическая суперпозиция двух когерентных состояний может уже
проявлять, как показано в данном разделе, существенно неклассиче-
неклассические свойства.
11.3.1. Оригинальный парадокс с кошкой. В 1935 году А. Эйн-
Эйнштейн, Б. Подольский и Н. Розен (A. Einstein, В. Podolsky and N. Rosen)
опубликовали свою, давшую обильные всходы статью, которая крити-
критиковала квантовую механику, задавая вопрос, а является ли квантовая
механика полной. Это побудило Э. Шрёдингера (Е. Schrodinger) сум-
суммировать формализм квантовой механики в его, ставшей уже клас-
классической статье, которая была опубликована в журнале Naturwis-
senschaften 0 . В этой статье он ввёл понятие перепутывания двух
квантовых систем и описал мысленный эксперимент с кошкой.
В непрозрачном для внешнего наблюдателя ящике находятся кош-
кошка и ампула с ядовитым газом. Некий механизм может отпустить
молоток, который разобьёт стеклянную ампулу с газом. Это убьёт
кошку. Механизм, освобождающий молоток, приводится в действие
в результате случайного процесса радиоактивного распада. После того
как экспериментальная установка смонтирована и прошло достаточно
времени по сравнению с периодом радиоактивного распада, есть две
возможности. Если молоток не упал, и ампула цела, то кошка ещё
х) «Естественные науки» — Прим. ред. пер.

11.3. Состояние шрёдингеровской кошки	347
жива. Этому соответствует вектор состояния системы \a,i), где а
обозначает живое состояние кошки, а г — неповреждённое состояние
стекла. В противоположном случае молоток разбил стекло, и кошка
мертва. Эта альтернатива описывается вектором состояния \d,b), где d
обозначает мёртвую кошку, а Ъ — разбитое стекло.
Поскольку кошка и стеклянная ампула находятся в непрозрачном
ящике, внешний наблюдатель не включён в вектор состояния двух-
компонентной системы. Две альтернативные возможности существуют
одновременно. Следовательно, вектор состояния Ф данной двухкомпо-
нентной системы — кошки и стекла — является квантово-механической
суперпозицией обоих векторов состояния. Относительные амплитуды
определяются процессом радиоактивного распада. В самом простом
случае мы можем взять суперпозицию с равными весами, то есть,
Несколько упрощая, можно сказать, что кошка находится в суперпози-
суперпозиции двух макроскопически различимых состояний, а именно, мёртвом
и живом. Состояние одной только кошки можно представить вектором
Парадокс здесь не в том, что кошка может быть мёртвой или живой.
Парадокс заключается в том факте, что такой макроскопический объ-
объект как кошка является одновременно мёртвым и живым, находясь
в квантовой суперпозиции двух состояний \а) и \d).
Однако состояние |Ф), указанное Шрёдингером, это не суперпози-
суперпозиционное состояние \фс). Состояние |Ф) более сложное. Оно включает
также и состояние ампулы. Это не «одночастичное», а «двухчастич-
«двухчастичное» состояние. При этом живая кошка скоррелирована с неразбитым
стеклом, а мёртвая — с разбитым. Такое состояние называется перепу-
перепутанным состоянием.
11.3.2. Определение полевого состояния шрёдингеровской
кошки. При рассмотрении модели Джейнса-Каммингса-Пауля,
которая описывает взаимодействие двухуровневого атома с квантован-
квантованным световым полем, мы вернёмся к проблеме перепутывания двух
квантовых систем, а именно, внутренних состояний атома и полевых
состояний.
Здесь же мы ограничимся одной модой поля и определим состояние
шрёдингеровской кошки как суперпозицию двух макрокропически раз-
различимых полевых состояний. Мы выбираем два когерентных состоя-
состояния, которые имеют совершенно различные амплитуды или фазы. Если,
вдобавок, амплитуды велики, то такое квантовое состояние включает
два классически различимых состояния, типа «живой» и «мёртвый».
Подчеркнём, что С. Харош (S. Haroche) и его группа реализовали экс-
экспериментально состояния, которые обсуждаются теоретически в дан-

348	Гл. 11. Состояния поля
ном разделе. В разделе 16.3.1 мы кратко опишем экспериментальную
схему приготовления этих состояний, а сейчас сосредоточимся на их
свойствах.
Мы определяем состояние шрёдингеровской кошки
\ф)=АГ-^ (\аег^) + \ае-{*))	A1.24)
как квантово-механическую суперпозицию двух когерентных состоя-
состояний \ае±г(р) с действительным положительным параметром смещения
л/2 а в фазовом пространстве безразмерных осцилляторных перемен-
переменных х-р и действительными фазами ±<^.
Так как два когерентных состояния неортогональны, нормировоч-
нормировочный коэффициент J\f в выражении A1.24) не равен единице. Чтобы его
вычислить, напомним формулу A1.20) для скалярного произведения
</3|7>=ехр [-1(|/3|2 + |7|2)+Г
двух когерентных состояний \р) и |7/.
С помощью этого соотношения получаем нормировочную константу
а г2 / \	1
1 + cos [a sin Bф)\ exp (-p<p)
где
\р<р\ = | ± v2 asin<^)|.
В определении A1.24) состояния \ф) мы написали отдельно коэффици-
коэффициент 1/л/2, который обычно появляется в суперпозиции двух ортого-
ортогональных состояний, и множитель Л/", служащий мерой неортогональ-
неортогональности двух интерферирующих когерентных состояний.
11.3.3. Представление в вигнеровском фазовом пространстве.
Простейшим изображением состояния \ф) в фазовом пространстве яв-
являются два кружка с центрами в точках с полярными координатами
(л/2 а, ±^), как показано на рис. 11.1. Более сложное рассмотрение,
проясняющее роль интерференции двух состояний, опирается на функ-
функцию Вигнера
A1.25)
которая обсуждалась в гл. 3. Здесь ф(х) = (х \ф) является ж-представ-
лением состояния \ф).
Так как, согласно A1.17), ^-представление когерентного состояния
|/3) имеет вид
(х|/3)=тг-1/4ехр [1(/32 - |/3|2)] ехр [-\{х - V2 /ЗJ] ,

11.3. Состояние шрёдингеровской кошки
349
X
ael
\ае
ир\
Рис. 11.1. Самый простой вариант наглядного изображения квантово-механи-
ческой суперпозиции двух когерентных состояний со средним числом квантов
(п) = а2 и разностью фаз 2ср представляет собой два кружка единичного
радиуса, смещённые на расстояние \/~2 а от начала координат, с углом 2ср
между прямыми, направленными из начала координат в их центры
то для координатного представления состояния
ем следующую формулу
-V2
A1.24) мы получа-
получаф(х) = тг 4"J\I —= ехр [—a" sin" (p\ x
л/9
х exp [|
ае
exp |-- [х
+ ехр [—га2 sin Bф)\ ехр
Подставляя это выражение в определение A1.25) функции Вигнера,
после интегрирования и небольшой алгебры получаем
~(х-у/2ае-*
(П.26а)
Здесь
— ехр — (х — л/2 a cos (p
тг [ v
) —
v2 asimp)
У
A1.266)
обозначает функцию Вигнера одного когерентного состояния с пара-
параметром смещения а и фазой ±</?. Интерференционный член
W[nt(x,p) = — cos 2v2 a sin ip [x — -v2 acos(^ )
тг L	V 2	)\
x exp
-(x-y/2
a cos ip) — p
A1.26b)

350	Гл. 11. Состояния поля
появляется из-за того, что распределение Вигнера A1.25) билинейно
по волновой функции.
Таким образом, W\^) является не просто суммой функций Виг-
Вигнера VF|aexp(-|-^)> (П-266) двух отдельных когерентных состояний,
но содержит также гауссовский колокол W\n\ A1.26в) с центром на
положительной полуоси в точке х = у/2 a cos (р и промодулированный
осциллирующей функцией фазы
2фх = 2v2 a simp (х — -v2 acostp) .
Из выражений A1.26) мы видим, что локальные ширины трёх пиков по
переменной р одинаковы и равны единице. Кроме того, они не зависят
от ср. То же самое справедливо и для ширины функции W\aexp(±iip^
в ж-направлении.
Напротив, ширина интерференционного члена VF"int A1.26в), как
функции х, сильно зависит от (р. Это связано с модулирующей функ-
функцией cosB(f)x). Для подходящих значений (р она становится уже, чем
гауссовский колокол A1.266) когерентного состояния, то есть приводит
к сжатию гауссовского распределения. Для совершенно других значе-
значений ср в фазовом пространстве существуют такие области, в которых
Wint принимает и отрицательные, и положительные значения, — ка-
канавы в фазовом пространстве, которые показаны на рис. 11.3.3. Эти
волнообразные гребни и впадины вигнеровской функции и являются
источником неклассических свойств суперпозиционного состояния \ф).
11.3.4. Статистика фотонов. Теперь обратимся к обсуждению
вероятности Wm обнаружить т квантов в рассматриваемом супер-
суперпозиционном состоянии и её зависимости от разности фаз 2(р двух
входящих в эту суперпозицию состояний. Мы покажем, в частности,
что существует много областей, в которых распределение фотонов ока-
оказывается уже пуассоновского. Такая статистика называется субпуас-
соновской. Если распределение шире пуассоновского, то статистика
называется надпуассоновской. Оказывается, что для данного примера
суперпозиции двух когерентных состояний с одинаковыми амплитуда-
амплитудами, но разными фазами, существуют также области фазовых углов,
в которых статистика является надпуассоновской, но имеет осциллиру-
осциллирующий характер. Такое поведение является следствием интерференции
в фазовом пространстве, которая обсуждалась в гл. 7, и, в этом смысле,
аналогично осциллирующей статистике фотонов сильно сжатого состо-
состояния.
Полное описание. Вероятность Wm обнаружить т квантов в со-
состоянии \ф) определяется формулой
2	A1.27)

11.3. Состояние шрёдингеровской кошки
351
Рис. 11.2. Более сложное представление квантово-механической суперпозиции
двух когерентных состояний опирается на функцию Вигнера. Последняя состо-
состоит не только из двух гауссовских колоколов, которые расположены в фазовом
пространстве осцилляторных переменных х-р около точек х = у/2 a cos cp
и р = ±л/2 a sincp и соответствуют двум отдельным когерентным состояниям
аег<р) и \ае~г<р), но включает также и интерференционный член, локализован-
локализованный вблизи оси х. Этот вклад возникает из-за того, что имеется суперпозиция
двух когерентных состояний, а вигнеровское распределение A1.25) билинейно
по волновой функции. Интерференционный колокол может быть в ж-направ-
лении уже, чем гауссовские колоколы отдельных когерентных состояний, что
означает сжатие по переменной х. Он может даже принимать отрицательные
значения, приводя, тем самым, к осциллирующей статистике фотонов. Здесь
мы выбрали а = б и ср = тг/б
С помощью точного выражения D.13)
(т Р) =
A1.28)
для амплитуды вероятности состояния с определённым числом фотонов
в когерентном состоянии находим, что функция распределения фотонов
имеет вид
гфт)\2,	A1.29)
или
COS2
A1.30а)
Чтобы прояснить, в чём сходство и в чём различие с аналогичным вы-
выражением D.44) для функции распределения фотонов сильно сжатого
состояния, введём величину
A1.306)

352
Гл. 11. Состояния поля
которая, с точностью до нормировочного коэффициента Л//2, описы-
описывает пуассоновскую статистику фотонов в одном когерентном состоя-
состоянии. Фаза
фт = пир,	A1.30в)
представляет собой площадь клиновидной области фазового простран-
пространства, заключённой между внутренней окружностью m-фотонного фо-
ковского состояния и двумя прямыми, которые соединяют центры
кружков, отвечающих когерентным состояниям, с началом координат
фазового пространства.
Согласно A1.27) и A1.28), суперпозиция двух когерентных со-
состояний, каждое из которых привносит интерферирующие амплитуды
вероятности (га \ае±г(р), приводит к возникновению интерференцион-
интерференционного члена cos2 фт, то есть к модуляции знакомой нам пуассоновской
статистики отдельного когерентного состояния.
ж/10
20
Рис. 11.3. Вероятность Wm обнаружить m-квантовое состояние в суперпози-
суперпозиционном состоянии \ф), заданном выражением A1.24), и её зависимость от
относительной фазы ср. Распределение Пуассона для ср = 0 (а) с увеличением ср
сужается, а его максимум смещается в направлении меньших значений т {б).
Этот искривлённый волновой фронт внезапно обрывается, чтобы породить но-
новый фронт, и приводит к распределению, которое шире пуассоновского и имеет
уже не один максимум (в). Здесь мы выбрали а = б
На рис. 11.3 мы демонстрируем влияние этого вклада более по-
подробно, представив вероятность Wm, которая определяется формула-
формулами A1.30), как функцию квантового числа т и фазы (р. Для определён-
определённости все изображённые кривые отвечают одному и тому же значению
параметра смещения а = 6.
Когда разность фаз отсутствует, то есть ср = 0, два когерентных
состояния расположены просто поверх друг друга, \ф) представляет
собой одно когерентное состояние, и Wm является пуассоновским

11.3. Состояние шрёдингеровской кошки
353
распределением (рис. 11.3, а). С увеличением (р распределение вероят-
вероятности сужается, имея более высокий и слегка сдвинутый максимум,
как показано на рис. 11.3,6. Этот эффект сужения отчётливо виден,
если сравнить начальное распределение Пуассона при ср = О (сплошная
линия на рис. 11.4, а и пунктирные линии на рис. 11.4,б-г) с распре-
распределением Wm для того значения (р, которое отмечено в нижней части
рис. 11.4 стрелкой (б).
л/128
71/2
Рис. 11.4. Распределение вероятности Wm для суперпозиции A1.24) двух
когерентных состояний является: (а) пуассоновским, (б) субпуассоновским,
(в) надпуассоновским, (г) зависящим осциллирующим образом от относи-
относительной фазы ср двух когерентных состояний. Для сравнения на рисунках
(б-г) пуассоновское распределение с ip = 0 изображено пунктирной линией.
Различный характер статистики фотонов для разных значений фазового уг-
угла отчётливо проявляется в относительной дисперсии а A1.31), показанной
внизу. Чтобы подчеркнуть осцилляции величины сг, мы использовали для ср
логарифмическую шкалу. Здесь выбрано а = б
Относительная дисперсия. Формально эффект сужения описыва-
описывается с помощью относительной дисперсии
(т)
-<m>,
A1.31)
где введены моменты
(га) = ^2 mWm и (га2) = ^2 TT^Wn
т=0	т=0
12 В. П. Шляйх

354	Гл. 11. Состояния поля
распределения Wm A1.30). Условие а < 1 определяет субпуассонов-
скую статистику, а а > 1 указывает на надпуассоновскую статистику.
При а = 1 дисперсия эквивалентна случаю распределения Пуассона.
По поводу вычисления этих моментов мы сошлёмся на задачу 11.8,
а здесь приведём только результат. На нижней части рис. 11.4 показана
дисперсия как функция фазы (р для фиксированного значения а = 6
параметра смещения. При (р = 0, то есть для когерентного состояния
с пуассоновской статистикой из A1.31), мы имеем а((р = 0) = 1. Если
фаза (р такова, что 2(а(рJ <С 1, то
Следовательно, существует область значений фазы ср, показанная
в нижней части рис. 11.4, в которой распределение Wm для состоя-
состояния \ф) проявляет существенную примесь субпуассоновской статисти-
статистики. Это результат представляется весьма удивительным, если вспом-
вспомнить, что переход от пуассоновского распределения для когерентного
состояния к субпуассоновскому распределению вызван единственно
сложением двух когерентных состояний. Этот пример замечательно
иллюстрирует силу принципа суперпозиции.
Если ещё больше увеличить ср, то первый «волновой фронт» на
рис. 11.3 изгибается влево, и от него резко отделяется второй волновой
хвост, что приводит к появлению в распределении Wm двух пиков.
В результате распределение вероятности становится шире, чем рас-
распределение Пуассона, то есть возникает надпуассоновская статистика
с дисперсией а > 1, как показывает нижняя часть рис. 11.4. Для ещё
больших ср второй волновой фронт увеличивает свою высоту, так что
возвращается тенденция к сужению функции Wm к субпуассоновско-
субпуассоновскому распределению. Такое сужение, однако, вновь резко прерывается
отрывом третьего волнового фронта при значении фазы, указанном
стрелкой (в) на рис. 11.3, что опять приводит к надпуассоновской
статистике. Таким образом, осцилляции в а проявляются для таких
значений (р, когда два когерентных состояния мало отличаются друг
от друга, то есть когда
= л/2 asintp < 1.
При больших значениях ср (в нашем конкретном примере при ср ^
^ тг/8) волновые фронты выстраиваются всё более и более параллельно
оси ср. Это приводит к распределениям вероятности Wm со всё боль-
большим числом пиков, как показано на рис. НА, г, то есть к осцилли-
осциллирующему распределению с пуассоновской огибающей. Данный пример
показывает, что условие а = 1, отнюдь не означает автоматически
наличия пуассоновской статистики, поскольку второй момент Wm не
чувствителен к осцилляциям в распределении Wm.
Интерференция в фазовом пространстве. При ср ^ тг/4 два ко-
когерентных состояния вполне различимы и осцилляции Wm просто

Задачи	355
отражают этот факт. Они аналогичны осцилляциям квантовой ста-
статистики фотонов сильно сжатого состояния. Эта аналогия отчётливо
видна, если сравнить формулы A1.30) с D.43). Выражения выглядят
очень похоже. Они отличаются только определениями амплитуды Лт
и фазы фт.
Это наводит на мысль, что за ними стоит общий физический
принцип. Действительно, выражение A1.30), описывающее статистику
фотонов в состоянии шрёдингеровской кошки, допускает ту же самую
простую интерпретацию в терминах интерференции в фазовом про-
пространстве, что и осциллирующая статистика фотонов сильно сжатого
состояния. Мы находим вероятность Wm как результат интерференции
вкладов областей перекрытия между га-й полосой, отвечающей т-му
фоковскому состоянию, и двумя гауссовскими колоколами, представля-
представляющими два когерентные состояния. Перекрытие этой полосы с одним
гауссовским колоколом даёт гауссовский предел распределения Пуас-
Пуассона, то есть гауссовский предел величины Лт, как было показано
в разделе 8.3. Поскольку есть два состояния, то возникают и две об-
области перекрытия, вклады которых интерферируют, а разность фаз фт
определяется средними линиями двух рассматриваемых состояний.
В заключение нашего обсуждения состояния шрёдингеровской кош-
кошки скажем, что осцилляции а очень напоминают поведение соответ-
соответствующей величины для статистики фотонов в одноатомном мазере,
которые показаны на рис. 18.4.
Задачи
11.1 Действие оператора рождения на когерентное состояние
Когерентное состояние является собственным состоянием опе-
рарора уничтожения. Мы можем поинтересоваться, а что полу-
получится, если на когерентное состояние подействовать оператором
рождения. Этот результат будет важен в связи с уравнением
Фоккера-Планка и проблемой затухания поля излучения.
Показать, что
2 2.
Указание: С помощью соотношения A1.13) вычислить
и считать а и а* независимыми переменными.
11.2 Проблема собственного состояния оператора рождения
Решить уравнение для собственных состояний
и показать, что нормированного решения не существует ни при
каких значениях комплексного параметра а.
12*

356	Гл. 11. Состояния поля
11.3 Гармонический осциллятор с вынуждающей силой
Гамильтониан гармонического осциллятора с вынуждающей си-
силой имеет вид
(а)	Показать, что этот гамильтониан приводит к классическим
уравнениям вынужденных колебаний. Решить эти уравнения
с начальными условиями х@) = xq и р@) = ро-
(б)	Показать, что гамильтониан данной задачи можно записать
в форме
Н = Ш (atа + ^) - ^/(t)(af + a),
где а"*" и а операторы рождения и уничтожения для гармони-
гармонического осциллятора. Получить соотношение между функ-
функцией /(?) и силой K(t).
(в)	Решить уравнение Шрёдингера
ihft щ = н\ф)
с помощью подстановки
\ф(г)) = ei(p® exp [a(t)at - а*(Щ |0),
где (p(t) и a(t) зависящие от времени функции, а |0) ос-
основное состояние гармонического осциллятора. Как надо
выбрать (р@) и а@), чтобы сделанная подстановка давала
зависящее от времени решение с начальным условием |ао)?
(г)	Показать, что состояние \ф) нормируемо только для действи-
действительных (р. Допускает ли такое решение дифференциальное
уравнение для (р?
Указание: P. Carruthers and M.M. Nieto A965).
11.4 Свойства полевых состояний
Рассмотреть одномодовое электромагнитное поле. Вычислить
средние значения операторов а\ = (а + д))/2 и п = а^а, а также
их дисперсии
(а) в состоянии ^ cm\m) с ^ \ст\2 = 1,
(б)	в фоковском состоянии \т),
(в)	в состоянии —— (\т) + ег(р\гг,
(г)	в когерентном состоянии.

Задачи	357
11.5 Преобразование Боголюбова и сжатые состояния
Рассмотреть операторы
А = ch e a
А^ = ch г д) + sh г а,
где г действительный параметр.
(а)	Показать, что
\ Л Л Т 	 1
.П, 11.		 1 .
(б)	Выразить а и eft через А и А\
(в)	Найти собственные состояния А
А\г, 7) = j\s, 7)
Указание: Вычисления легче всего провести в координатном
представлении, используя безразмерную переменную и соот-
соотношения
1 / , d \ ^+ 1 / d
а = —= [х + —- , а1 = ^^ ж ——
V2 V ах/	V2 V ах
(г)	Вычислить средние значения и дисперсии операторов а\ =
= (а + а^)/2 и а2 = (а —а^)/Bг) в сжатом состоянии. Срав-
Сравнить результаты для сжатого и когерентного состояний.
(д)	Доказать условие полноты
1 г
7Г J
11.6 Фоковское состояние как суперпозиция когерентных состо-
состояний
Показать, что фоковское состояние \п) можно представить как су-
суперпозицию когерентных состояний \а) с помощью соотношения
п) =
| ^ТГ И da,
2т J
С
где контур интегрирования С обходит начало координат.
11.7 Полнота системы когерентных состояний
Дана последовательность когерентных состояний |а&) (к = О,
1,2, ...,оо), имеющая, по крайней мере, одну точку сгущения.
Мы хотим показать, что набор состояний |а&) полон. Чтобы до-
доказать эту теорему, мы предполагаем, что набор |а&) не является
полным, а затем приходим к противоречию.
(а) Показать, что существует нормируемое состояние \ф) ф О,
для которого {ф\о1.ь) =0, к = 0, 1, 2,..., если система |)
неполная.

358	Гл. 11. Состояния поля
(б)	Показать, что
Да) = eH
является целой функцией и /(а/с) = 0.
(в)	Показать, что отсюда следует равенство f(a) = 0.
(г)	Показать, что если
7Г
то мы имеем
'а)(а| d2a = 1,
ije
ije-Н2
11.8 Свойства состояния амплитудной кошки
Мы рассматриваем состояние шрёдингеровской кошки
которое обсуждалось в разделе 11.3.
(а) Получить функцию Вигнера A1.26) состояния шрёдингеров-
шрёдингеровской кошки.
Указание: Выполнить интегрирование с помощью формулы
оо	(	1	ПРИ П = 0
тг-1/2 [ dxxne-^-z^ = \	z	при п=1
I 2 A/2) при п = 2.
(б)	Вычислить распределение вероятности для квадратурных пе-
переменных х и р, интегрируя функцию Вигнера по сопряжён-
сопряжённой переменной. Определить области параметров, в которых
имеет место сжатие для квадратурных переменных.
(в)	Вычислить два первых момента
(га) = Я2а2 {1 + cos [a2 sin Bср) + 2<р] ехр (-2а2 sin2 <p)}
и
(т2)=Я2а2х
х < 1 + cos (a2 sin B<р) + 2<р) ехр (-2а2 sin2 у?) +
2 sin2 у?
[1 + cos (а2 sin Bу?) + 4(р) ехр (—2а2 si
sin2
функции распределения A1.30) для фотонов, соответствую-
соответствующей состоянию шрёдингеровской кошки.

Литература	359
(г) С помощью этих выражений показать, что при 2(а(рJ <С 1
формула A1.31) для относительной дисперсии а2 приводится
к виду
а2 - 1 - 2(а<рJ.
Следовательно, для достаточно малых углов (р состояние
проявляет субпуассоновскую статистику и оказывается сжа-
сжатым по амплитуде. Поэтому оно называется состоянием ам-
амплитудной кошки.
11.9 Фазовое распределение для состояния фазовой кошки
Суперпозиционное состояние
Щ = ^(\а- 5а) + \а + 5а)),
v2
состоящее из двух когерентных состояний с одинаковой фазой,
но разными амплитудами а ± 5а, тоже проявляет интересные
свойства. В частности, в зависимости от разности 25а параметров
смещения двух когерентных состояний распределение по фазе
может быть уже, чем для одного когерентного состояния. Поэто-
Поэтому оно называется состоянием фазовой кошки. Вычислить лон-
доновское фазовое распределение, которое для данного состояния
обсуждалось в разделе 8.5.
Указание: См. Schaufler et ai, A994)
Литература
Собственные состояния электромагнитного поля
Собственные состояния электромагнитного поля
Schubert M., Vogel W. Field Fluctuations of Two-Photon Coherent States //
Phys. Lett. 1978. V. 68A. P. 321-322.
Yurke В., Walls D.F., Schleich W.P. Quantum Superpositions Generated
by Quantum Nondemolition Measurements // Phys. Rev. A. 1988. V. 42.
P. 1703-1711.
Когерентные состояния
Оригинальная статья о нерасплывающемся волновом пакете для гармонического
осциллятора
Schrodinger E. Der stetige Ubergang von der Makro- zur Mikromechanik //
Naturwissenschaften. 1926. V. 14. P. 664-666.,
Kennard E.H. Zur Quantenmechanik einfacher Bewegungstypen // Z. Physik.
1927. V.44. P. 326-352.
Подробный исторический обзор по когерентным состояниям и нерасплывающимся
волновым пакетам
Nieto M.M. The Discovery of Squeezed States — in 1927. in: Fifth Inter-
International Conference on Squeezed States and Uncertainty Relations, edited by

360	Гл. 11. Состояния поля
D. Han, J. Janszky, Y.S. Kim and V.I. Man'ko, NASA Center for AeroSpace
Information, Hanover, MD, 1997
Формализм когерентных состояний как основы квантовой оптики
Glauber R.J. The Quantum Theory of Optical Coherence // Phys. Rev. 1963.
V. 130. P. 2529-2539.
Glauber R.J. Coherent and Incoherent States of the Radiation Field // Phys.
Rev. 1963. V. 131. P. 2766-2788.
Glauber R.J., in: Quantum Optics and Electronics, Les Houches, edited by
С DeWitt, A. Blandin and С Cohen-Tannoudji, Gordon and Breach, New York,
1965, pp. 331-381
[Глаубер Р.. в кн.: Квантовая оптика и квантовая радиофизика. Сб. под
ред. О. В. Богданкевича и О.Н. Крохина. — М.: Мир, 1966]
Glauber R.J. Quantum Optics. Proceedings of the 10th Session of Scottish
Universities Summer School in Physics 1969, Academic Press, London, 1970
Дальнейшая литература по когерентным состояниям
Klauder J.R. The Action Option and a Feynman Quantization of Spinor Fields
in Terms of Ordinary c-numbers // Ann. Phys. 1960. V. 11. P. 123-168.
Klauder J.R., Sudarshan E.C.G. Fundamentals of Quantum Optics. Bend-
jamin, New York, 1968
[Клаудер Дж., Сударшан Э. Основы квантовой оптики. — М.: Мир, 1970]
Carruthers P., Nieto М.М. Coherent States and the Forced Quantum Oscilla-
Oscillator // Am. J. Phys. 1965. V. 33. P. 537-544.
Perelomov A. Generalized Coherent States and Their Applications. Springer,
Heidelberg, 1986
*Малкин И.А., Манько В.И. Динамические симметрии и когерентные со-
состояния квантовых систем. — М.: Наука, 1979
Состояние шрёдингеровской кошки
Оригинальная работа о парадоксе с кошкой появилась в серии статей
Schrodinger E. Die gegenwartige Situation der Quantenmechanik //
Naturwissenschaften. 1935. V. 23. P. 807-812, 823-828, 844-849.
Английский перевод Дж.Д. Триммера
Schrodinger E. The Present Situation in Quantum Mechanics // Proc. Am.
Philos. Soc. 1980. V. 124. P. 323-338.
вошёл в книгу
Wheeler J.A., Zurek W.H. Quantum Theory and Measurement. Princeton
University Press, Princeton, 1983
Свойства суперпозиции двух когерентных состояний одинаковой амплитуды, но с
разными фазами
Schleich W.P., he Kien F., Pernigo M. Non-Classical States from Two
Pseudo-Classical States // Phys. Rev. A. 1991. V. 44. P. 2172-2187.

Литература	361
Суперпозиция двух когерентных состояний с одинаковыми фазами, но с разными
амплитудами
Schaufler S., Freyberger M., Schleich W.P. The birth of a phase-cat // J. Mod.
Opt. 1994. V.41. P. 1765-1779.
Экспериментальная реализация состояний шрёдингеровской кошки в высокодоброт-
высокодобротном резонаторе, в экспериментах с ионами и ридберговскими атомами
Brune М., Hagley Е., Dreyer /., Maitre X., Maali A., Wunderlich С, Rai-
mond J.M., Haroche S. Observing the Progressive Decoherence of the «Meter» in
a Quantum Measurement // Phys. Rev. Lett. 1996. V. 77. P. 4887-4891.
Monroe C, Meekhof D.M., King B.E., Wineland D.J. A Schrodinger Cat
Superposition State of an Atom // Science. 1996. V. 272. P. 1131-1135.
Noel M.W., Stroud Jr. C.R. Young's double-slit interferometry within an
atom // Phys. Rev. Lett. 1995. V. 75. P. 1252-1255.

Глава 12
ФУНКЦИИ В ФАЗОВОМ ПРОСТРАНСТВЕ
В предыдущей главе мы обсудили ряд примеров состояний электро-
электромагнитного поля. Многие их свойства становятся наглядными, когда
мы изображаем эти состояния в фазовом пространстве. Вопрос, одна-
однако, — в каком фазовом пространстве?
В классической механике мы можем связать динамику системы
с поведением функции распределения в фазовом пространстве. Для
системы с одной степенью свободы это фазовое пространство обра-
образовано двумя сопряжёнными переменными, такими как координата
и импульс в случае механического осциллятора, или напряжённости
электрического и магнитного полей в случае полевого осциллятора.
В квантовой механике, однако, принцип неопределённости Гайзен-
берга не допускает представления о состоянии системы как о точке
в фазовом пространстве. Допускаются только области фазового про-
пространства с минимальной площадью 2тгЙ. Поэтому-то и удивительно,
что существует, тем не менее, подход к квантовой механике, основан-
основанный на фазовом пространстве. Мы уже подробно обсудили описание
с помощью функции Вигнера. В данной главе мы показываем, что
когерентные состояния позволяют определить в квантовой механике
и другие распределения в фазовом пространстве.
12.1. Вигнеровское фазовое пространство
не единственное
На первый взгляд кажется удивительным, что существует много
квантовых функций распределения в фазовом пространстве, особенно,
если понять, что число таких функций бесконечно. Нас интересует,
какая в них польза? В предыдущих главах мы использовали, главным
образом, функцию Вигнера, чтобы проиллюстрировать свойства неко-
некоторого данного квантового состояния. В данном разделе мы кратко об-
обсуждаем применение обобщённых распределений в фазовом простран-
пространстве для вычисления квантово-механических средних и устанавливаем
связь с функцией Вигнера.
12.1.1. Кому нужны функции фазовых переменных? За спи-
спиной всегда маячит принцип неопределённости. Все распределения в фа-
фазовом пространстве обладают рядом свойств, совершенно отличных от

12.1. Вигнеровское фазовое пространство не единственное	363
классических фазовых распределений. Так например, функция Вигнера
может принимать отрицательные значения. Напротив, функция Q
Q(a) = -(а\р\а),
введённая в этой главе как среднее значение (математическое ожида-
ожидание) матрицы плотности в когерентном состоянии, всегда положитель-
положительна. Она, однако, не позволяет вычислить предельные распределения,
то есть распределение вероятностей для одной из сопряжённых пере-
переменных с помощью интегрирования фазового распределения по другой
переменной. Эта функция, тем не менее, весьма полезна, так как
она очень удобна, как мы увидим, для вычисления других квантово-
механических средних значений.
Ещё одним фазовым распределением, основанным на когерентных
состояниях, является Р-распределение. Эта функция была введена
одновременно и независимо друг от друга Глаубером (R.J. Glauber)
и Сударшаном (E.C.G. Sudarshan). Поэтому мы решили, следуя алфа-
алфавитному порядку, назвать эту функцию фазовых переменных Р-рас-
пределением Глаубера-Сударшана. Р-распределение может становить-
становиться очень сингулярным, так как оно может включать производные от
дельта-функций. Из-за этих особенностей квантовых распределений
в фазовом пространстве, чуждых для распределения вероятностей, мы
называем их распределениями /сваз^-вероятности.
Кроме того, каждое из этих распределений отвечает специально-
специальному выбору упорядочения операторов. Действительно, Q-распределение,
распределение Вигнера и Р-распределение связаны, соответственно,
с антинормальным, симметричным и нормальным упорядочением. С по-
помощью этих функций распределения мы можем, как в статистической
механике, вычислять средние значения квантово-механических опе-
операторов, но при условии, что сначала мы соответствующим образом
упорядочили операторы.
Для понимания мы напомним, что классическая функция распреде-
распределения р(с^(х,р) позволяет нам вычислить среднее значение функции
О(х,р) двух сопряжённых переменных путём усреднения их с помо-
помощью этого распределения, то есть
(О(х,р)}= \dx\dpO(x,p)p(cr>(x,p).	A2.1)
Мы теперь вычислим среднее значение (О(х,р)} квантово-механи-
ческого оператора О, используя квантовое распределение в фазовом
пространстве по аналогии с классическим распределением. Так как два
оператора^? и р не коммутируют, не ясно, как мы должны записать
оператор О в с-числовом представлении, фигурирующим в написанном
выше интеграле. Очевидно, мы должны обратиться к упорядочению
операторов. Для каждой конкретной процедуры упорядочения суще-
существует определённая функция распределения в фазовом пространстве,

364	Гл. 12. Функции в фазовом пространстве
которая всегда даёт правильную величину квантово-механического
среднего значения. Это утверждение является главной темой данной
главы.
12.1.2. Ещё одно описание фазового пространства. До сих пор
наше обсуждение фазового пространства механического осциллятора
с массой М и частотой О было основано на таких переменных как
координата х и импульс р. Однако, применительно к полевому ос-
осциллятору, и особенно с точки зрения когерентных состояний, более
удобно использовать фазовые переменные ar = Re а и а^ = 1та, где а
комплексное собственное значение оператора уничтожения а. Действи-
Действительно, Q- и Р-распределения формулируются в терминах аг и с^
вместо х и р.
Мы можем немедленно сделать переход между этими двумя набо-
наборами переменных, как только напомним стандартные выражения
^аг	A2'2а)
-a*) = hxV2ai	A2.26)
для х и р через амплитуды аг и^. Здесь мы использовали обозначение
к = л^ШЩТь. Нам уже встречался частный случай соотношения A2.2)
в уравнении A0.47), где масса полевого осциллятора полагалась равной
единице.
Кроме того, соответствующие фазовые объёмы dx • dp и dar • dai
связаны соотношением
dx • dp = 2hdar • dai.	A2.3)
Эти соотношения позволяют нам проводить непосредственное сравне-
сравнение различных фазовых распределений с функцией Вигнера.
Например, в гл. 4 мы ввели функцию Вигнера
W(x,p) = ^ ехр I"- [кх - V2
когерентного состояния а^ = а^г + шоь которая соответствует смеще-
смещению. Мы нашли функцию Вигнера для сжатого состояния
W(x,p) = ± ехр [-8
где s > 0 является параметром сжатия. Для s = 1 мы получаем коге-
когерентное состояние.
Если мы теперь совершим переход к фазовому пространству, свя-
связанному с а, эти выражения принимают вид
W(ar, аг) = - ехр \-2(аг - а0гJ - 2(аг - а0гJ]	A2.4а)
7Г	L	J

12.2. Q-функция Хушими-Кано	365
и	2 Г	2	1
W(ar, OLi) = - exp -2s(ar - a0rJ --(оц- aOif .	A2.46)
7Г	L	S	J
Здесь мы использовали уравнения A2.2) и A2.3) для преобразования,
соответственно, переменных и фазового объёма.
Следовательно, в этих безразмерных переменных ширины Ааг и
Ащ сжатого состояния, которые мы определим по одинаковому уровню
экспоненциального убывания функции Вигнера, имеют вид
/i и
Эти две неопределённости, с точностью до фактора 2, обратны друг
другу. В следующем разделе мы покажем, что этого не происходит,
когда мы представляем сжатое состояние с помощью Q-функции.
12.2. Q-функция Хушими-Кано
В гл. 3 мы ввели функцию Вигнера как наглядное изображение
квантового состояния. Мы также показали, что это распределение
реализуется в фазовом пространстве, образованном фазовыми пере-
переменными координатой и импульсом. В случае электромагнитного поля
такими переменными служат напряжённости электрического и маг-
магнитного полей. Функция Вигнера, однако, не является единственным
распределением в фазовом пространстве. Существует бесконечно много
функций распределения. В данном разделе мы вводим так называемую
Q-функцию, которая обладает тем замечательным свойством, что она
всюду в фазовом пространстве положительна. Мы сначала определяем
Q-функцию и иллюстрируем её на различных примерах.
12.2.1. Определение Q-функции. Мы определяем Q-функцию
чистого квантового состояния \ф) как
Q(ar,ai) = -\{a\i>)\2.	A2.5)
7Г
Напоминаем, что два действительных числа аг и с^ (или \а\, #) описы-
описывают когерентное состояние \а). Таким образом, величина Q зависит от
этих двух переменных, то есть аг и с^ образуют пространство фазовых
переменных Q-функции.
Альтернативная форма
Q(ar,ai) = -(а\ф)(ф\а)
приведённого выше определения вместе с описанием
р=\ф){ф\	A2.6)

366
Гл. 12. Функции в фазовом пространстве
чистого состояния \гр) с помощью матрицы плотности немедленно при-
приводит к обобщению
= -(a\p
а
A2.7)
Q-функции A2.5) на случай смешанного состояния, которое описыва-
описывается матрицей плотности р.
Следовательно, Q-функция представляет собой среднее значение
матрицы плотности в когерентном состоянии.
6
Ima
Re a l
Ima
4 Re a
Рис. 12.1. (а) B-функция когерентного состояния |ao) имеет вид гауссовского
«колокола», локализованного около аТ = а§т и щ = аог- (б) Линия уровня
(Э-функции, соответствующая её уменьшению в е раз. Здесь мы выбрали «о —
12.2.2. Q-функции некоторых квантовых состояний. В данном
разделе мы вычисляем и обсуждаем Q-функции некоторых определён-
определённых квантовых состояний. Кроме того, мы сравниваем их с соответ-
соответствующими функциями Вигнера.
Когерентное состояние. Первым примером будет когерентное со-
состояние |ао). Используя условие неортогональности A1.21) двух коге-
когерентных состояний \а) и |ао), мы немедленно находим, что
= - exp [-\a - ао\2
С помощью соотношения
а - ао\2 = \(аг - аОг
г
- a0i
\2 = (ar - а0гJ
приводим это выражение к виду
Q(ar, OLi) = - exp [-(ar - a0rJ - (at - a0iJ] .
A2.8)
Таким образом, Q-функция когерентного состояния |ао) имеет вид
гауссовского «колокола», локализованного около аг = аог и щ = аоь
как показано на рис. 12.1. Этот гауссовский «колокол» симметричен:
линия уровня, где функция Гаусса уменьшается в е раз, представляет
собой окружность единичного радиуса. Иногда для упрощения мы

12.2. Q-функция Хушими-Кано
367
просто изображаем круговую линию уровня, соответствующую экспо-
экспоненциальному убыванию Q-функции.
Заметим, что Q-функция когерентного состояния всегда имеет гаус-
совский вид, независимо от значений параметров а^г и аог- Более того,
от них не зависит и радиус круговой линии уровня. Это обстоятельство
отражает тот факт, что флуктуации оператора электрического поля
в когерентном состоянии не зависят от смещения oiq\ когерентное со-
состояние представляе собой смещённое основное состояние гармониче-
гармонического осциллятора. Поэтому флуктуации в этом состоянии определяют-
определяются только свойствами гармонического осциллятора, а не параметрами
смещения.
В заключение этого раздела мы заметим, что рассмотренное рас-
распределение шире соответствующей функции Вигнера, заданной урав-
уравнением A2.4).
Фоковское состояние. Теперь мы сосредоточимся на Q-функции
состояния \п) с определённым числом фотонов. Подставляя состояние
\п) в определение A2.5) функции Q и напоминая, что распределение
числа фотонов в когерентном состоянии является пуассоновским, мы
получаем
= - \(а
7Г
п}\2 = -
7Г
1 а
|2п
га!
A2.9)
Заметим, что при обсуждении распределения фотонов Wn(\a)) мы рас-
рассматривали Wn как функцию квантового числа п для фиксированного
когерентного состояния \а). В контексте же данного вычисления мы
держим фиксированным число п и рассматриваем, как это распределе-
распределение Пуассона зависит от аг и щ.
Отметим, прежде всего, что в Q-функцию фоковского состояния
входит только абсолютное значение \а\ = \jo?r + af фазовой перемен-
переменной, но не её фаза #. Поэтому Q-функция состояния с заданным
числом фотонов радиально симметрична, как показано на рис. 12.2.
-4
Re a
Тггш
Рис. 12.2. Q-функция фоковского состояния |п) является радиально симмет-
симметричной и не имеет какой-либо предпочтительной фазы. Здесь мы выбрали
Вакуумное состояние. Особенно интересен случай вакуума, то
есть фоковского состояния с п = 0. Согласно уравнению A2.9) функ-

368	Гл. 12. Функции в фазовом пространстве
ция Q в этом случае имеет вид
±[-a2r-o%]	A2.10)
Q(r,i)
гауссовского распределения с центром в начале координат фазового
пространства.
Если мы напомним, что Q-функция когерентного состояния име-
имеет вид
Q(ar, OLi) = - exp \-(ar - a0rJ - (a* - ^Oif] ,
7Г	L	J
то такое абстрактное определение
\a0) =D(ao)\O) = еа^-^г |0)
когерентного состояния как результата действия оператора смещения
D(ao) на вакуум предполагает чрезвычайно простую интуитивную кар-
картину: гауссовский «колокол», локализованный около начала координат
фазового пространства переменных (аг, с^), смещается в окрестность
точки (аог, aoi).
Сжатое состояние. Ещё одним важным состоянием поля излуче-
излучения является сжатое состояние, которое мы подробно обсуждали при-
применительно к механическому осциллятору. Теперь мы кратко обсудим
его Q-функцию
которая вычислена в Задаче 12.1. Мы видим, что Q-функция является
гауссовским распределением с разными ширинами вдоль координат аг
и cti, как показано на рис. 12.3.
Q\
0,0:
,¦¦¦¦/¦ Ч
Рис. 12.3. В отличие от случая когерентного состояния, (Э-функция сжатого
состояния |^sq) асимметрична в фазовом пространстве. Она сжата в одном
направлении. Здесь мы выбрали 7 = 2 + 3ins=10
Подчеркнём, однако, что эти ширины

12.2. Q-функция Хушими-Кано	369
не находятся в обратном отношении друг к другу, как это имеет место
для ширин Ааг ' и Аа\ соответствующей функции Вигнера A2.5).
Наиболее отчётливо это проявляется в случае сильно сжатого состоя-
состояния, когда s <С 1. В этом случае мы получаем такие ширины
функции Q, в отличие от ширин
Следовательно, в пределе сильного сжатия ширина Аа\ ' функции Q
приближается к соответствующей ширине функции Вигнера. Однако,
ширина Ааг стремится к постоянному значению, в то время как
соответствующая характеристика функции Вигнера стремится к нулю.
Другими словами, функция Вигнера сжатого состояния становится
бесконечно вытянутой и бесконечно тонкой, а площадь
остаётся постоянной.
Функция Q, напротив, становясь бесконечно вытянутой, всегда
сохраняет конечную ширину. Тем самым проявляется тот факт, что
площадь
Aa{Q) - - s-±±
стремится к бесконечности, когда s возрастает. Чтобы понять эту
особенность, в Задаче 12.5 мы напоминаем, что вычисление Q-функции
включает дополнительное усреднение, а именно, функция Q представ-
представляет собой функцию Вигнера, усреднённую с распределением Гаусса.
Тепловое состояние. До сих пор мы обсуждали Q-функцию чи-
чистых состояний. Теперь обратимся к смешанному состоянию одной
моды. В разделе 2.3.4 мы рассмотрели поле в тепловом состоянии,
заданном матрицей плотности
Здесь (п) обозначает среднее число фотонов в поле.
Чтобы вычислить Q-функцию, мы подставляем выражение A2.12)
для матрицы плотности в определение A2.7) функции Q и, используя
формулу для амплитуды вероятности
(па) =

370
Гл. 12. Функции в фазовом пространстве
распределения числа фотонов в когерентном состоянии, получаем сле-
следующий результат
1
(п)
7г[(гг> + 1]
Вспомнив разложение экспоненциальной функции в ряд, мы можем
выполнить суммирование и получить следующее выражение
1
тг[(гг> ¦
ехр
(гг)
- 1 а
которое после небольших алгебраических преобразований принима-
принимает вид	/	2 \
Q(ar,ai) = ^т^—^у ехр (-(lf A •	A2.13)
Таким образом, Q-функция теплового состояния представляет со-
собой гауссовский «колокол», расположенный в окрестности начала ко-
координат фазового пространства ar-ai, как показано на рис. 12.4. Вви-
Ввиду того, что в эту функцию входит только абсолютное значение \а
фазовой переменной, гауссовское распределения является радиально
симметричным.
Рис. 12.4. B-функция теплового состояния светового поля представляет со-
собой гауссовский «колокол», расположенный около начала системы координат
фазового пространства. Она радиально симметрична и не выделяет никакого
преимущественного направления в фазовом пространстве. Для ненулевой тем-
температуры распределение шире, чем для вакуумного состояния. Ведь ширина
определяется средним числом фотонов (п). Здесь мы выбрали (п) = 8
Ширина гауссовского распределения определяется средним числом
фотонов (п). Отметим, что для вакуума, то есть для состояния с (п) =
= 0, мы получаем формулу
которая согласуется с выражениями A2.8) и A2.10) для Q-функций,
соответственно, когерентного состояния |ао) = |0) либо фоковского
состояния \п = 0). Для ненулевого среднего числа фотонов (п) гаус-
гауссовское распределение шире, чем для вакуумного состояния.

12.2. Q-функция Хушими-Кано	371
Тепловое фазовое состояние. Радиальная симметрия Q-функции
фоковского состояния ясно показывает, что состояние с определённым
числом фотонов не имеет никакого выделенного направления в фазо-
фазовом пространстве. Это пуассоновский «пончик» (doughnut), показан-
показанный на рис. 12.2.
Напротив, когерентное состояние ||а|ег^) представляет собой гаус-
совское распределение, расположенное около точки с амплитудой \а
и фазой #. Поэтому у него есть выделенное направление. Это удиви-
удивительно, если вспомнить, что когерентное состояние является суперпо-
суперпозицией состояний с определённым числом фотонов: каждое фоковское
состояние не имеет предпочтительной фазы, а суперпозиция фоковских
состояний приводит к нарушению симметрии в фазовом пространстве,
то есть к вполне хорошо определённой фазе.
Таким образом, мы ожидаем, что Q-функция термодинамического
фазового состояния, которое обсуждалось в разделе 2.3.4 и определя-
определяется матрицей плотности
m,n=O
также имеет предпочтительную фазу.
Теперь для более детального изучения этого вопроса мы вычислим
Q-функцию
2
Q(ar,Qti) =
1
тг[(гг>
/~\ \ n/2 n -Ы2/2
(п) \ а е ' ' /
A2.14)
теплового фазового состояния.
Здесь мы отметим типичную для проявления квантовой интерфе-
интерференции ситуацию, когда для получения полной вероятности мы сум-
суммируем амплитуды вероятности, а не сами вероятности. К сожалению,
такая интерференция амплитуд вероятности вносит дополнительные
математические сложности. Амплитуда вероятности распределения фо-
фотонов в когерентном состоянии содержит множитель (п!)/2, из-за
которого трудно выполнить суммирование аналитически. Поэтому мы
вынуждены обращаться к численным расчётам этой суммы.
На рис. 12.5 мы показываем Q-функцию, вычисленную таким спо-
способом. Она представляет собой клинообразное распределение, вытя-
вытянутое вдоль реальной оси фазового пространства. Это подтверждает
идею, что интерференция фоковских состояний приводит к появлению
выделенного направления в фазовом пространстве.
Для того, чтобы почувствовать поведение этой Q-функции, в Зада-
Задаче 12.2 мы вычисляем сумму приближённо, но аналитически, и полу-
получаем
A2.15)

372
Гл. 12. Функции в фазовом пространстве
2
/
-1
-2
Ima
§PPi}
б
Щ1) Rea
Ima О
Рис. 12.5. B-функция тепловоого фазового состояния |<?>о)> изображённая
в трёхмерном виде (а) и с помощью линий уровня (б), отчётливо показывает
наличие преимущественного направления в фазовом пространстве. В этом
примере среднее число фотонов равно (п) = 20, а выделенный фазовый угол
равен нулю
Таким образом, в отличие от Q-функции теплового состояния данное
выражение содержит не только квадрат модуля \а\2 фазовой перемен-
переменной, но также и угол #.
12.3. Усреднение с помощью функций в фазовом
пространстве
В предыдущем разделе мы обсудили Q-функции различных кван-
квантовых состояний. Эти распределения служат ещё одним превосходным
наглядным изображением квантовых состояний. Более того, по срав-
сравнению с функцией Вигнера Q-функции имеют то преимущество, что
они всегда положительны. Это подводит нас к вопросу: почему бы не
использовать Q-функцию, а не функцию Вигнера?
Напомним, что функция Вигнера подчёркивает саму сущность ин-
интерференции и поэтому полезна, когда мы хотим изучать интерферен-
интерференционные явления. Один вопрос, тем не менее, остаётся: если отвлечься
от наглядного изображения квантового состояния, какая ещё есть
польза от функции распределения в фазовом пространстве? В данном
разделе мы показываем, что Q-функция может быть использована для
вычисления среднего значения антинормально упорядоченного произ-
произведения операторов уничтожения и рождения.
12.3.1. Эвристический аргумент. Сначала мы вычисляем сред-
среднее значение простой комбинации операторов рождения и уничтоже-
уничтожения, а затем обобщаем эту процедуру в следующем разделе. На протя-
протяжении данного раздела мы ограничиваемся рассмотрением одной моды.
Рассмотрим безразмерный оператор напряжённости электрического
поля	.
8(а,а^) =тг= -^-(а-а^).	A2.16)

12.3. Усреднение с помощью функций в фазовом пространстве 373
Обратившись к выражению A0.68) для оператора электрического по-
поля Е, мы отметим, что рассматриваемый нами оператор содержит всю
операторную структуру Е, если отвлечься от вакуумного электриче-
электрического поля So и модовой функции щ.	^
Классическая величина, которая соответствует 8, имеет вид
8(а, а*) = -L- (а - а*) = \[2оц.	A2.17)
Здесь мы заменили операторы уничтожения и рождения а и д) ком-
комплексными с-числами а и а* соответственно. Иногда мы ссылаемся на
эту процедуру как на классический предел .
В разделе 11.2.7 мы вычислили два первых момента оператора
электрического поля Е в когерентном состоянии |ао). С помощью
определения A2.16) безразмерного оператора электрического поля вы-
выражения A1.22) и A1.23) принимают вид
(?(a,af)) = V2a0i	A2.18а)
E2(a,at))=2a§i + i.	A2.186)
При выводе мы использовали уравнение для собственных значений
оператора поглощения.
Теперь мы вычислим среднее значение оператора электрического
поля 8 в когерентном состоянии, предполагая, что Q-функция может
быть использована как классическая функция распределения в фа-
фазовом пространстве. Тогда Q-функция выступает в качестве весовой
функции при интегрировании классического представления ?{а,а*)
оператора 8(а,а^) по переменным а и а*.
Первый момент электрического поля. В такой схеме мы находим
квантово-механическое среднее значение (?(а,аУ)}, вычисляя интеграл
оо	оо
(?(а, аУ)} = \d2a8(a,a*) Q(a,a*) = dar dai 8(ar, a^) Q(ctr, oti),
— oo —oo
A2.19)
который с помощью выражений A2.8) и A2.17), соответственно, для
Q-функции когерентного состояния и напряжённости классического
электрического поля приводится к виду
оо	оо
-L [ dare-{a<-a>>^ -U [
— ОО
С помощью интегральных соотношений
= 1 и
лА
оо
f dCCe-(C"CoJ=Co
J

374	Гл. 12. Функции в фазовом пространстве
мы находим-таки	_
то есть, действительно, правильный квантовый результат A2.18а).
Второй момент. Пока операторы рождения и уничтожения входи-
входили линейным образом. Теперь мы выполним подобные же вычисления
для второго момента
? (а, аУ) = — - (а2 + 'оJ — 7ю) — а^а)
величины ?. Прежде всего, мы должны ответить на вопрос, какова
подходящая форма соответствующей классической величины. Поэтому
мы должны обсудить вопрос об упорядочении операторов. Отметим,
что если в классическом пределе мы снова заменяем операторы а и д)
комплексными с-числами а и а* то мы получаем
?2(а, а*) = — - ( а2 + а* — аа* — а*а J = — - ( а2 + а* — 2а*а
Мы, однако, получаем совершенно другой результат, если используем
коммутационное соотношение \а,д,Ц = 1 прежде, чем сделаем замену.
В этом случае исходным выражением является либо
l \a,a*)\ =--
либо	1
А]? (a,at)J = -- (a2
Здесь символ J\f обозначает, что произведение, составленное из опе-
операторов уничтожения и рождения, упорядочено таким образом, что
операторы рождения всегда расположены слева от операторов уничто-
уничтожения. Мы называем такие выражения нормально упорядоченными.
Напротив, под символом Л оператор рождения всегда стоит справа от
оператора уничтожения. Этот тип упорядочения мы называем анти-
антинормальным упорядочением.
Если мы теперь заменим а и а\ соответственно, на а и а*, то
обнаружим, что два классических выражения
?2(п\а, а*) = -1-(а2 + а*2 - 2а"а - 1) = -±(а - а*J + i = 2а2 + i
и
?2(г\а,а*) = -\{а2 + а*2 - 2а*а + 1) = -\{а - а*J -1-=2а2-\,
которые соответствуют нормально или антинормально упорядоченным
операторам, на самом деле различны.
Побуждаемые успешным вычислением первого момента и для того,
чтобы решить, приводит ли процедура нормального или антинормаль-

12.3. Усреднение с помощью функций в фазовом пространстве 375
ного упорядочения к правильному квантово-механическому результату,
мы теперь вычисляем интегралы
(п)
= d2a?2y&J(a,a*)Q(a,a*) =
сю	сю
= [ dar l йа
— сю —сю
(п) г
Г*' = d2
которые соответствуют классическим представлениям в фазовом про-
пространстве среднего значения (? (а,с^)). Выполняя интегрирование, мы
находим выражние
-,
которое с помощью соотношений
сю
приводит к следующим точным формулам
Сравнивая эти выражения с правильным квантово-механическим ре-
результатом A2.186)
2\ \
мы замечаем, что с ним совпадает только антинормально упорядочен-
упорядоченное выражение. Это приводит нас к выводу, что Q-функция позволяет
нам усреднять антинормально упорядоченные произведения операторов
уничтожения и рождения.
Предлагается, таким образом, следующая процедура вычисления
среднего значения оператора О(а,д,^), состоящего из произведений
операторов уничтожения и рождения, которые пока ещё не располо-
расположены в определённом порядке. Мы сначала проводим антинормальное
упорядочение оператора О(а,д,^), используя соотношение коммутации
[а,аЦ = 1, то есть мы вычисляем Л[О(а,а^)]. Потом мы находим клас-
классическое выражение О(а\а,а*) этого антинормально упорядоченного
произведения, заменяя а иа^ на а и а*. Далее мы выполняем усредне-
усреднение классической величины О^а\ используя Q-функцию, то есть
В следующем разделе мы строго доказываем это соотношение.

376	Гл. 12. Функции в фазовом пространстве
12.3.2. Строгое рассмотрение. В предыдущем разделе мы пока-
показали, что мы можем вычислить первый и второй моменты оператора
электрического поля в когерентном состоянии, используя (^-функцию.
В данном разделе мы хотим это обобщить на оператор О(а,а^), ко-
который содержит произвольную комбинацию операторов уничтожения
и рождения.
Тогда общая проблема состоит в нахождении удобного способа
вычисления среднего значения
(б)=Тг(бр)	A2.20)
оператора О в квантовом состоянии, которое описывается матрицей
плотности р. Хотя есть много способов сделать это, в данном разделе
мы детально опишем только два.
Пример со вторым моментом оператора электрического поля пока-
показал, что с помощью коммутационных соотношений мы можем предста-
представить один и тот же оператор во многих формально различных формах,
которые, однако, эквивалентны друг другу. Следовательно, мы можем
представить оба оператора р и О в нормально либо антинормально упо-
упорядоченной форме. Мы можем также иметь смешанное представление,
в котором р является нормально упорядоченным, в то время как О упо-
упорядочен антинормально, или наоборот. Все эти формы эквивалентны.
Для вычислений, однако, некоторые формы оказываются более удобны-
удобными и, в частности, обеспечивают связь с процедурой интегрирования
в классическом фазовом пространстве. Они позволяют нам вычислить
среднее значение с помощью классического интегрирования.
Средние значения антинормально упорядоченных операторов.
В этом разделе мы вычисляем среднее значение, используя нормально
упорядоченную матрицу плотности р^п) и антинормально упорядочен-
упорядоченный оператор О^а\ Кроме того, мы показываем, что в этом случае
формула
(О)=Тг(О^^)	A2.21)
получает интерпретацию как усреднение в классическом фазовом про-
пространстве с Q-функцией в качестве функции распределения.
Сначала мы проводим антинормальное упорядочение оператора О,
используя коммутационные соотношения \а,аЦ = 1, и находим анти-
антинормально упорядоченный оператор
6W = Л
с с-числовыми коэффициентами (Ж .
Теперь мы находим представление матрицы плотности р в терминах
операторов уничтожения и рождения, что прямо приводит к Q-функ-
ции. Как мы сейчас покажем, это представление является нормально
упорядоченным.

12.3. Усреднение с помощью функций в фазовом пространстве 377
С этой целью мы напоминаем, что Q-функция, которая определяет-
определяется выражением
Q(ar, щ) = - (а\ р\а) = Q(a, а*),	A2.23)
7Г
зависит от реальной и мнимой частей а, или от а и а*. Поэтому мы
можем разложить эту функцию в ряд
Q(a,a*) = ^^2p$a*kal	A2.24)
по степеням а и а*. Тогда коэффициентами этого разложения являются
с-числа р%
ставление
с-числа Pj^i . Действительно, когда мы подставим операторное пред-
матрицы плотности в определение A2.23) функции Q и используем
уравнение для собственных значений оператора уничтожения, мы при-
приходим к указанному выше соотношению.
Теперь мы готовы вычислить среднее значение (О) оператора О.
Подставляя матрицу плотности A2.25) в нормально упорядоченной
форме и оператор О в антинормально упорядоченном форме A2.22),
мы находим
С помощью следующего свойства
Тт(АВ) = Тг(ВА),
которое справедливо для следа произведения двух операторов А и В,
мы можем скомбинировать отдельно степени операторов уничтожения
и рождения и получить
Мы вычисляем след, используя когерентные состояния, и приходим
к следующему выражению
С помощью уравнения для собственных значений в случае когерентных
состояний мы находим

378	Гл. 12. Функции в фазовом пространстве
или
Если теперь мы используем с-числовое представление
для антинормально упорядоченного оператора О и разложения A2.24),
это выражение принимает вид
F}=\jd2aO^(a)Q(a).
Следовательно, мы получаем среднее значение оператора О, который
состоит из произвольной комбинации операторов рождения и уничто-
уничтожения, интегрированием классического представления антинормально
упорядоченного оператора вместе с Q-функцией.
Средние значения нормально упорядоченных операторов. В дан-
данном разделе мы вычисляем среднее значение
F)=Tr@(n)p(a))	A2.26)
оператора О, записанного в нормально упорядоченной форме О^п\
с помощью антинормально упорядоченной матрицы плотности р(а\
Мы показываем, что и в этом случае мы получаем интерпретацию
в терминах усреднения в фазовом пространстве с помощью так назы-
называемой Р-функции Глаубера-Сударшана.
Мы записываем оператор О в виде нормально упорядоченных про-
произведений степеней операторов уничтожения и рождения, то есть
ОН =J2O^]a^aj,	A2.27)
с с-числовыми коэффициентами разложения О^\
Матрицу плотности р мы представляем, напротив, в виде антинор-
антинормально упорядоченных произведений степеней операторов уничтоже-
уничтожения и рождения, то есть
jS^E^at'.	A2.28)
k,l
Здесь коэффициенты р$ являются с-числами.
Теперь мы можем с помощью этих выражений вычислить среднеее
значение О и начнём с соотношения

12.3. Усреднение с помощью функций в фазовом пространстве 379
которое следует из A2.27) и A2.28). Используя свойства следа, мы
объединяем операторы уничтожения и операторы рождения и находим
(о)= Е
i,j,k,l
Мы вычисляем след, используя когерентные состояния,
и с помощью уравнения для собственных значений когерентных состо-
состояний приходим к выражению
ИЛИ
(б)=
Мы обращаем внимание, что выражение в первых скобках является
с-числовым представлением
нормально упорядоченного оператора О(п\ Это и побуждает нас ввести
новую функцию распределения
К ,1
Мы подчёркиваем, что это распределение отнюдь не Q-функция, так
как коэффициенты разложения р^ , возникающие при разложении
антинормально упорядоченной матрицы плотности, вообще говоря, от-
отличаются от коэффициентов разложения р}? при нормальном упоря-
упорядочении. В следующем разделе мы обсудим это распределение более
подробно.
Следовательно, мы имеем
то есть мы можем выполнить усреднение квантово-механического опе-
оператора О, сначала нормально упорядочив его и заменив операторы
с-числами, а потом вычислив интеграл по фазовому пространству с по-
помощью Р-распределения.

380	Гл. 12. Функции в фазовом пространстве
12 А. Р-распределение Глаубера-Сударшана
В предыдущем разделе мы ввели Р-функцию
для того, чтобы вычислить среднее значение квантово-механического
оператора с помощью интегрирования по фазовому пространству. Здесь
p\j являются коэффициентами разложения антинормально упорядо-
упорядоченной матрицы плотности. Теперь мы показываем, что определённая
таким образом Р-функция позволяет нам представить матрицу плот-
плотности в диагональной форме в базисе когерентных состояний. Кроме
того, мы обсуждаем её связь с Q-функцией. Мы заканчиваем этот
раздел, приведя различные примеры.
12.4.1. Определение Р-распределения. До сих пор мы представ-
представляли матрицу плотности в базисе состояний с определённым числом
фотонов \т). Мы нашли это представление, умножая условие полноты
сю
1= ]Г \т)(т\	A2.30)
га=0
набора фоковских состояний слева и справа на матрицу плотности.
Так, из
р=1'р-1	A2.31)
мы находим
сю	сю
р= J2 \т)(т\р\п)(п\= J2 Ртп\т)(п.
т,п=0	т,п=0
Подобным же образом мы можем использовать условие полноты
— d2c
7Г J
для когерентных состояний, чтобы найти следующее представление
A2.32)
для матрицы плотности.
Заметим, что представление в базисе когерентных состояний, в пол-
полной аналогии с представлением в базисе фоковских состояний, включа-
включает, в общем случае, недиагональные элементы (а|р|/3). Следовательно,
оно содержит проекционные операторы |а)(/3|, в которых а может
отличаться от /3. Кроме того, это представление содержит два интегри-
интегрирования по фазовому пространству.

12.4. F)-распределение Глаубера-Сударшана	381
Мы можем, однако, записать матрицу плотности также и в диаго-
диагональном представлении
^d2aP(a)\a)(a\	A2.33)
по когерентным состояниям. Отметим, что это представление совер-
совершенно отлично от другого представления в базисе когерентных состоя-
состояний, которое описывается выражением A2.32). Прежде всего, в данное
представление каждое когерентное состояние \а) входит только в виде
комбинации |а)(а|, то есть в диагональной форме. Более того, оно тре-
требует только одного интегрирования по фазовому пространству. Глаубер
и Сударшан независимо друг от друга ввели эту функцию.
На первый взгляд, такое диагональное представление кажется уди-
удивительным. Мы можем, однако, доказать приведённое выше соотноше-
соотношение, если подставим разложение A2.29) по степеням а и а* в правую
часть выражения A2.33). Напомнив уравнение для собственных зна-
значений оператора уничтожения, мы находим выражение
\d2aP(a)\a)(a\ = ^>^ \d2a (ak\a))
kl	^
которое вместе с условием полноты для когерентных состояний
немедленно приводит к антинормально упорядоченному представле-
представлению A2.28) матрицы плотности.
Мы подчёркиваем, что так называемое Р-распределение Глаубера-
Сударшана не является истинным распределением вероятности. Наи-
Наиболее ясно это видно на примере когерентного состояния |ао). Так как
в этом случае матрица плотности имеет вид
р= |ао)(ао|,
то Р-распределение в рассматриваемом представлении
р= \d2aP(a)\a)(a
должно быть дельта-функцией Дирака, то есть
Р(а)=5(а-а0).
Поэтому Р-функцию надо понимать в смысле обобщённой функции
распределения. Действительно, в следующем разделе мы показываем,
что Р-функция может становиться более сингулярной, чем дельта-
функция. Для ш-ного фоковского состояния она представляет собой
m-ную производную дельта-функции. А для сжатого состояния она
даже содержит производные бесконечно большого порядка.
12.4.2. Связь между Q- и Р-функциями. Р-распределение, так
же как и Q-функция, зависит от действительной и мнимой частей
амплитуды а когерентного состояния \а). Но они имеют, однако, со-
совершенно разную форму: на примере когерентного состояния мы уже

382	Гл. 12. Функции в фазовом пространстве
видели, что Р-распределение является дельта-функцией, в то время
как Q-функция представляет собой гауссовский колокол с ненулевой
шириной. Теперь мы установим связь между этими двумя распределе-
распределениями в фазовом пространстве для произвольной матрицы плотности.
С этой целью мы усредняем уравнение
р= ld2aP(a)\a)(a\,	A2.34)
еление, и находим
Q(a) =l-(a\p\a) = l- \d2f3 Р(/3)(а\р)(р\а),
определяющее Р-распределение, и находим
ИЛИ
Q(a) =
Вспомнив выражение
Ka|/3)|2 = e-lQ-fl2
для скалярного произведения когерентных состояний, мы находим
\a-^.	A2.35)
7Г
Следовательно, Q-функция представляет собой Р-распределение, про-
проинтегрированное по фазовому пространству вместе с весовым множи-
множителем, заданным функцией Гаусса. Последняя является Q-функцией
когерентного состояния |/3). Это соотношение приводит к следующей
интерпретации: Q-функция квантового состояния появляется, когда мы
считываем (read out) Р-распределение, используя когерентное состо-
состояние.
Отметим, что уравнение A2.35) согласуется с процедурой усредне-
усреднения, которая обсуждалась в разделе 12.3. Действительно, мы напоми-
напоминаем, что Q-функция представляет собой среднее значение матрицы
плотности в когерентном состоянии \а). Мы можем вычислить это
среднее значение, проведя сначала антинормальное упорядочение мат-
матрицы плотности, а затем взять классический предел, то есть заменить
операторы с-числами. Это даёт выражение A2.29) для Р-функции.
Затем мы выполняем интегрирование по фазовому пространству вместе
с Q-функцией Qa интересующего нас квантового состояния, то есть
когерентного состояния. Таким образом мы приходим к соотношению
Q{a)=\d2CP{f3)Qa{C).
Уравнение A2.35) показывает также, что Q-функция квантового состо-
состояния всегда шире соответствующего Р-распределения, так как послед-
последнее усредняется с гауссовским распределением. Эти два распределения
помогают вычислять средние значения квантово-механических опера-
операторов. Эти операторы, однако, упорядочены различным образом, что
и отражается в различном виде этих распределений. Следовательно,
эти распределения и существуют в различных фазовых пространствах.

12.4. Р-распределение Глаубера-Сударшана	383
12.4.3. Р-функция из Q-функции. Q-функция представляет со-
собой среднее значение матрицы плотности в когерентном состоянии.
Следовательно, Q-функция определена явным образом. Напротив,
Р-функция определена неявным образом. Это диагональное представ-
представление матрицы плотности в когерентном состоянии. В предыдущем
разделе мы получили соотношение
Q{pt) = - \d2f3P(f3)e-\a-^\	A2.36)
которое позволяет нам найти Q-функцию при условии, что мы уже
знаем Р-функцию. Но как обратить это соотношение? К этому вопросу
мы обращаемся в данном разделе.
Мы можем установить простую связь между компонентами Фурье
этих двух функций распределения. Чтобы выявить эту связь наиболее
отчётливым образом, мы определяем преобразование Фурье
J	J
Р-функции, и подобным же образом
OLiQ(ar, аг)е~^гаг+^а1)	A2.38)
обозначает преобразование Фурье Q-функции.
Мы подставляем выражение A2.36) для Q-функции, выраженной
через Р-функцию, в фурье-образ A2.38) Q-функции и находим
1 Г	Г	Г	Г
— \dar \dai \d/3r \df3i P(f3r, t
7Г J	J J J
а после изменения порядка интегрирования имеем
= i J dCrJ d/3iP(f3r, A
Мы вычисляем гауссовские интегралы в скобках, вводя переменные
интегрирования а[ = с^ — Д и используя формулу
dxe-ax2+bx = J^ exp (^Л .	A2.39)

384	Гл. 12. Функции в фазовом пространстве
В результате мы получаем связь
&)> A2.40)
ИЛИ	_	/ 2 2w ~
pit ?\ — Air+ii)lb Q(? t.\	П2 4П
между фурье-образами Q и Р Q- и Р-функций.
Теперь мы подставляем эту формулу в обратное преобразование
P(ar,ai) = —— dir (%гР(€г,&)ег^гаг+Ьа*>	A2.42)
для Р-распределения и прходим к выражению
?)е*«'-"'-+Ь<Ч A2.43)
Р(аг,аг) ^
(ztt)
Это соотношение позволяет нам найти Р-распределение для произ-
произвольного квантового состояния по его Q-функции. Для этой цели мы
сначала должны вычислить преобразование Фурье Q-функции, а затем
вычислить указанный выше интеграл. В Приложении К мы следуем
этому подходу для получения Р-функций различных квантовых состо-
состояний, которые обсуждаются в следующем разделе.
Уравнение A2.43) показывает также, что могут быть случаи, когда
Р-функция не существует как аналитическая функция, а только как
распределение (весовая функция?). Действительно, в этом интеграле
двумерная анти-гауссовская функция е^+^)/4 умножается на фурье-
образ функции Q. Так как показатель экспоненты имеет положитель-
положительный знак, интеграл сходится только при условии, что Q(?r,?i) убывает
быстрее, чем растёт экспонента. Интеграл, однако, всегда существует
в смысле распределения, как это было показано Сударшаном.
Напротив, Q-функция существует всегда. Условие нормировки
\Q(a)d2a= i
Q-функции гарантирует, что она обращается в нуль при ?г, ^ ^оо.
Кроме того, уравнение A2.43) проливает свет на тот факт, что
Q-функция всегда шире, чем Р-функция. Уравнение A2.40) пока-
показывает, что из-за гауссовской функции с отрицательным показате-
показателем экспоненты фурье-образ Q-функции всегда уже, чем фурье-образ
Р-функции. Поэтому обратное преобразование Фурье Q, то есть сама
Q-функция, всегда шире, чем Р-функция.
12.4.4. Примеры Р-распределений. В предыдущем разделе мы
дали общий рецепт, как получить Р-функцию квантового состояния из
его Q-функции. В данном разделе мы обсуждаем свойства Р-функций

12.4. Р-распределение Глаубера-Сударшана	385
различных квантовых состояний. Мы, в частности, показываем, что
состояния с неклассическими свойствами, такие как состояния с опре-
определённым числом фотонов, или сжатые состояния имеют Р-функции,
которые имеют смысл только как распределения. Они корректно опре-
определены только тогда, когда появляются под знаком интеграла.
Тепловое состояние. Мы начинаем наше обсуждение с примера
теплового состояния. Согласно Приложению К, Р-функция такого со-
состояния имеет вид
pfn ^Л _ * -\а\2/(п)
Когда мы сравниваем это выражение с соответствующей Q-функцией
A2-44)
то видим, что обе функции имеют гауссовский вид. Однако, они име-
имеют весьма разные ширины: ширина Р-функции, которая определяется
условием, что гауссовское распределение уменьшается в е раз, равна
(п), в то время как ширина Q-функции есть (п) + 1. Следовательно,
она больше на один дополнительный квант. Это конкретизирует наше
прежнее утверждение, что Q-функция всегда шире соответствующей
Р-функции.
В пределе (п) ^> 1, то есть когда один такой квант не играет
никакой роли, разница перестаёт существовать. С физической точки
зрения это можно понять, если напомнить из раздела 2.3.4, как среднее
число фотонов связано с температурой Т поля в тепловом состоянии
и с константой Больцмана &в
h(§)Yl-	A2-45)
Поэтому, если мы предполагаем, что тепловая энергия к^Т значительно
больше расстояния между квантованными уровнями энергии Ш, мы
находим
<й> ¦- ш
Таким образом, предел (п) > 1 соответствует случаю больших темпе-
температур, когда дискретностью числа фотонов и разницей между пип+1
можно пренебречь.
Разница между Q- и Р-функциями проявляется особенно ярко,
когда мы рассматриваем эти две функции распределения для теплового
состояния поля в пределе (п) —> 0. Тогда мы находим, что Q-функция
имеет гауссовский вид
Q(ar,ai) = -e-^\	A2.46)
7Г
13 В. П. Шляйх

386	Гл. 12. Функции в фазовом пространстве
в то время как Р-функция является дельта-функцией, то есть
Р(аг, аг) = 5(аг) 5(аг) = 5(а).	A2.47)
Это не удивительно, если напомнить уравнение A2.45), в котором
предельный переход (п) —> 0 означает, что температура стремится к ну-
нулю. В этом пределе тепловое состояние становится вакуумом, которое
является также когерентным состоянием.
Фоковское состояние. Р-функция теплового состояния является
вполне «благонравной» функцией Гаусса. Только в предельном случае
вакуумного состояния она превращается в дельта-функцию Дирака.
Теперь мы показываем, что состояние с заданным числом фотонов
более сингулярно, чем вакуумное состояние. Его Р-функция включает
производные более высокого порядка.
В Приложении К мы находим, что Р-функция
п-го фоковского состояния определяется оператором Ln(A), действую-
действующим на дельта-функцию. Этот оператор выражается через двумерный
оператор Лапласа
Д^ + ^-	A2-48)
oar ooii
Из-за появления n-го полинома Лагерра Ьп возникают степени лапла-
лапласиана вплоть до n-го порядка, которые действуют на дельта-функцию.
Следовательно, n-фотонное состояние приводит к производным вплоть
до 2п-го порядка от дельта-функции.
Напоминая явные выражения Ь${х) = 1 и L\(x) = 1 — х для двух
полиномов Лагерра низшего порядка, мы находим
Р]0)(а)=5(а)
для вакуумного состояния и
для фоковского состояния с одним фотоном.
Сжатое состояние. Состояние с п фотонами имеет Р-функцию,
которая содержит 2пю производную от дельта-функции. Сжатое со-
состояние, по крайней мере, в одном направлении более узкое, чем
когерентное состояние. Поэтому его Р-функция должна быть более
сложной, чем дельта-функция.
Действительно, в Приложении К мы находим, что Р-функция сжа-
сжатого состояния имеет вид
P(ar,ai) = ехр
1 - s д2 1 - s д2
8s да2г 8 да2
5 (а —

Задачи	387
Так как она содержит производные бесконечно высокого порядка от
дельта-функции, она более сингулярна, чем Р-функция фоковского
состояния. Это выражение, тем не менее, полезно всякий раз, когда
оно стоит под знаком интеграла, что является обычной ситуацией для
функций распределения.
Задачи
12.1 Q-функция сжатого состояния
Вычислить Q-функцию A2.11) сжатого состояния.
Указание: Начать с амплитуды Q-функции
оо
(a#sq) = J dx(a\x)(x\ipsq),
— оо
и использовать координатные представления
14 1/4
(а
х) = ( — ) ехр — - (х — л/2агJ — v2 iolix + iarai
\7Г/	L ^	J
(a#sq) = (^) exp [-| (x - л/2 7rJ + л/2 ijiX - 1
для когерентного состояния \а) и для сжатого состояния l^sq) >
соответственно. Здесь аг и щ являются действительной и мни-
мнимой частями а, а состояние \фщ) характеризуется параметром
сжатия s и смещениема 7 = Ъ + ^Ъ-
12.2	Q-функция теплового фазового состояния
Получить аналитическое выражение A2.15) для Q-функции теп-
теплового фазового состояния.
Указание: Использовать гауссовский предел распределения Пуас-
Пуассона и заменить суммирование интегрированием. См. Daubler et
al. A993).
12.3	Нормальное упорядочение
Даны операторы а и д) с соотношением коммутации \а,аЦ = 1.
В дальнейшем \а) обозначает когерентное состояние, \п) и \т) —
фоковские состояния, a F есть произвольный оператор. Показать:
(а)	Оператор F однозначно определяется функцией
f(a*,a) = {a\F\a).
(б)	Если /(а*, а) может быть разложено в степенной ряд, то
есть
13*

388
Гл. 12. Функции в фазовом пространстве
оператор F может быть представлен в виде
F — У^ f
п,т
(в) Оператор |0)@| может быть представлен в виде
1=0
(г) Оператор еХа а (А комплексный параметр) может быть пред-
представлен в виде
/=0
(д) Оператор \п)(т\ может быть представлен в виде
п)(т\ = У^ЦЛ
(е) Оператор \а)(а\ может быть представлен в виде
\а)(а\ = е~а*а
1=0
а1 еа
12.4 Антинормальное упорядочение
В данной задаче операторы а и д) подчиняются коммутационному
соотношению \а,д,Ц = 1, а \а) обозначает когерентное состояние.
(а) Для функции д(а), которая является аналитической функ-
функцией а, мы имеем
(б)
След
д(а) ехр (—za*a + a
оператора F имеет вид
TrF= \{a\i
*м d a _ g(?/z)
7Г Z
(в) Для произвольного оператора F выполняется следующее
тождество:
F =
(г) Функция f(a*, а) определяется как
F=\f(a*,a)\a)(a\^.

Задачи	389
Если f(a*, а) может быть разложена в степенной ряд
Т0	-
F —
(д) Определить с помощью (в) функцию f(a*, а), соответству-
соответствующую оператору F так, что
F= \f(a*,a)\a)(a
d2a
Что можно сказать о существовании функции /(а*, а)?
(е) Определить функцию f(a*,a), соответствующую оператору
р
еХа а (Л комплексное) так, что
(ж) Показать:
9
7Г
1=0
(з) Что можно сказать о сходимости этого разложения?
12.5 ^-параметризованные распределения в фазовом пространстве
Мы определяем ^-параметризованные распределения квазиверо-
квазивероятности как
W(a,s) =
Показать следующие свойства:
(a) W(a, s) нормирована:
d2a= 1.
(б) s = — 1 даёт Q-функцию:
W(a, s = — 1) = — (a\ p \a).
7Г
(в) 5=1 даёт Р-функцию:
lw(a,s= \)\a)(a\d2a = p.

390	Гл. 12. Функции в фазовом пространстве
(г) s = 0 даёт функцию Вигнера от соответствующих пере-
переменных:
W ( а = \ ^-х+ ,	p,s = 0 ) =
Указание: Выразить а и д) через операторы координаты
и импульса и вычислить след с помощью собственных со-
состояний оператора координаты.
(д)	Получить уравнение диффузионного типа
os	8 удаг даг)
(е)	Вычислить W(a,s) для когерентного состояния |ао).
(ж) Вычислить W(a,s) для фоковского состояния \п):
1. Получить соотношение
где
L (т) V
полиномы Jlareppa.
Указание: Вычислить след с помощью фоковских состо-
состояний.
2. Вычислить W(a, s).
Результат:
Указание: Сначала показать, что полиномы Лагерра
удовлетворяют следующему соотношению:
n=0	Z
С помощью этой формулы задача сводится к интегриро-
интегрированию экспоненциальных функций.
(з) Для фоковских состояний показать, что предельный случай
5^—1 даёт Q-функцию.
Указание: Могут помочь формулы из Задач 12.4 (а), (в).

Литература	391
12.6 Различные представления функции Вигнера
Показать, что функция Вигнера может быть представлена как два
смещения и преобразование чётности. Действительно, докажите
соотношение:
W(a) = - Tr
где
С
P = I dx | — x) (x
есть оператор четности и
ТГ'
Литература
Q-функция была впервые введена Хушими
Husimi К. Some Formal Properties of the Density Matrix // Proc. Phys.
Math. Soc. Jpn. 1940. V. 22. P. 264-314.
Позднее она была переоткрыта Кано
Капо Y. A new phase-space distribution function in the statistical theory of
the electromagnetic field // J. Math. Phys. 1965. V. 6. P. 1913-1915.
Р-распределение@Р-распределение было введено независимо Глаубером
Glauber R.J. Photon correlations // Phys. Rev. Lett. 1963. V. 10. P. 84-86.
и Сударшаном
Sudarshan E.C.G. Equivalence of semiclassical and quantum mechanical de-
descriptions of statistical light beams // Phys. Rev. Lett. 1963. V. 10. P. 277-279.
Связь между Q-функцией Хушими-Кано и Р-распределением Глаубера-Сударшана
Metha C.L., Sudarshan E.C.G. Relation between quantum and semiclassical
description of optical coherence // Phys. Rev. 1965. V. 138. P. B274-B280.
«-параметризованное распределение в фазовом пространстве
Cahill K.E., Glauber R.J. Density Operators and Quasiprobability Distribu-
Distributions // Phys. Rev. A. 1969. V. 177. P. 1882-1902.
Наиболее общая формулировка процедуры вычислений в фазовом пространстве
Agarwal G.S., Wolf E. Calculus for Functions of Noncommuting Operators
and General Phase-Space Methods in Quantum Mechanics. I. Mapping Theorems
and Ordering of Functions of Noncommuting Operators // Phys. Rev. D. 1970.
V. 2. P. 2161-2186.
Agarwal G.S., Wolf E. Calculus for Functions of Noncommuting Operators
and General Phase-Space Methods in Quantum Mechanics. II. Quantum Mechan-
Mechanics in Phase Space // Phys. Rev. D. 1970. V. 2. P. 2187-2205.

392	Гл. 12. Функции в фазовом пространстве
Agarwal G.S., Wolf E. Calculus for Functions of Noncommuting Operators
and General Phase-Space Methods in Quantum Mechanics. III. A Generalized
Wick Theorem and Multitime Mapping // Phys. Rev. D. 1970. V. 2. P. 2206-2225.
[Перепечатана в кн.: НФФ вып.1. Когерентные состояния в квантовой
механике, — М.: Мир, 1972]
Agarwal G.S., Wolf E. Quantum Dynamics in Phase Space // Phys. Rev. Lett.
1968. V. 21. P. 180-183.
Обсуждение тепловых фазовых состояний
Daubler В., Miller Ch., Risken #., Schoendorff L. Quantum States with
Minimum Phase Uncertainty for the Siissmann Measure // Physica Scripta, 1993.
V.T48. P. 119-123.

Глава 13
ОПТИЧЕСКАЯ ИНТЕРФЕРОМЕТРИЯ
Каким образом можно определить внутреннюю структуру кванто-
квантового состояния, то есть, как можно измерить распределения в фазовом
пространстве? В данной главе мы представляем и анализируем два
подхода, которые позволяют достичь этой цели. Метод томографии
квантового состояния использует единственный делитель пучка (све-
(светоделитель), чтобы смешать полевую моду с локальным осциллятором
и разрезать функцию Вигнера на множество тонких слоев. Из функций
распределения для этих слоев, полученных для различных значений
фазы локального осциллятора, можно восстановить функцию Вигнера
с помощью преобразования Радона, которое обсуждалось в разде-
разделе 4.5.1. Следовательно, этот метод напрямую измеряет нарезанные
распределения и уже математически вычисляет функцию Вигнера.
Напротив, 8-канальный гомодинный детектор использует четыре
светоделителя и устройство для сдвига фазы, чтобы одновременно
произвести два гомодинных измерения светового поля. В этом случае
статистика фотоотсчётов прямо даёт Q-функцию в некотором масштабе
без каких-либо дальнейших математических операций.
Однако одновременное измерение двух сопряжённых переменных
становится возможным только при учёте дополнительного шума, кото-
который попадает на входной светоделитель через открытый входной порт.
Оба метода существенно используют один или несколько свето-
светоделителей. Для того, чтобы разобраться в вопросе, почему простое
гомодинирование или восьмиканальный гомодинный детектор позво-
позволяют нам восстанавливать распределения в фазовом пространстве,
надо рассмотреть действие светоделителя на квантовые состояния поля
излучения. В частности, мы должны понять, как светоделитель меняет
квантовое состояние, то есть, как состояния падающих полей преобра-
преобразуются в состояния уходящих полей.
С этой целью в разделе 13.1 мы анализируем, как действует
делитель пучка. Поведение состояний поля выглядит особенно про-
просто, когда используется распределение Глаубера-Сударшана, которое
обсуждалось в предыдущей главе. В разделе 13.2 мы обращаемся
к анализу гомодинного детектора. Здесь получена статистика фотонов
в двух выходных портах и показано, что в предельном случае силь-
сильного поля локального осциллятора мы можем измерить распределение
напряжённости электрического поля. В разделе 13.3, посвященном

394	Гл. 13. Оптическая интерферометрия
обсуждению восьмиканального гомодинного детектора, показано, что
наблюдаемая статистика фотоотсчётов определяется, с точностью до
масштаба, Q-функцией. В разделе 13.4 мы связываем этот подход со
старой проблемой оператора фазы. Действительно, такой многоканаль-
многоканальный интерферометр подводит к идее, как ввести измеряемые фазовые
операторы, которые оказываются тесно связанными с проблемой Эйн-
штейна-Подольского-Розена.
13.1. Делитель пучка
В гл. 10 на примере резонатора, имеющего форму ящика, кратко
изложено, как квантовая теория излучения подходит к описанию неко-
некоторого оптического устройства. Мы начинаем с уравнений Максвелла,
описываем электромагнитное поле в кулоновской калибровке с помо-
помощью векторного потенциала, выделяя в нём фактор, который зависит от
времени и определяется уравнением для осциллятора, и пространствен-
пространственную часть, которая подчиняется уравнению Гельмгольца. Граничные
условия, накладываемые резонатором, вместе с уравнением Гельмголь-
Гельмгольца задают пространственную структуру электромагнитного поля. Они
определяют его моды. Квантование связано с той частью, которая
зависит от времени, и проявляется как осцилляторные возбуждения
этих мод.
Если мы хотим на основе квантовой теории излучения понять
действие светоделителя и его квантовые свойства, надо следовать
указанному выше рецепту: сначала найти собственные моды, а затем
проквантовать, как описано в предыдущей главе. Но каковы в нашем
случае граничные условия, которые определяют эти моды?
Граничные условия задаются самим светоделителем. Поэтому нам
нужна модель для его описания. Самой элементарной моделью явля-
является диэлектрическая среда, занимающая ограниченную область про-
пространства. Ради простоты предположим, что это тонкая пластина,
разделяющая интересующее нас пространство. Прежде чем обсуждать
квантованные световые поля и излучение, падающее на светоделитель
и выходящее из него, сначала надо найти полевые моды для этой
задачи. С этой целью мы должны решить уравнение Гельмгольца с со-
соответствующими граничными условиями в присутствии разделяющей
диэлектрической среды. В области вне этой среды, то есть в свобод-
свободном пространстве, решениями уравнений Гельмгольца являются просто
плоские волны ехр(±гк-г). Вид решений внутри среды зависит от
свойств диэлектрика. Граничные условия обеспечивают сшивку реше-
решений вне и внутри светоделителя.
Тем самым светоделитель связывает решения по одну сторону от
него с решениями по другую сторону. В простейшем случае линей-
линейной диэлектрической среды мы получаем линейную связь всех мод.
Поэтому можно выразить амплитуду ау V-и моды по одну сторону от

13.1. Делитель пучка	395
светоделителя через амплитуды щ 1-х мод по другую сторону. Связь
двух амплитуд задаётся матрицей Тщ
I
Матричные элементы Т\ч определяются диэлектрической средой и гра-
граничными условиями. Кроме того, некоторые ограничения на эту мат-
матрицу накладываются законом сохранения энергии.
Для перехода к квантованному полю мы рассматриваем амплитуду
щ как квантовую величину и заменяем её оператором щ. Это даёт
закон преобразования модовых операторов по обе стороны от свето-
светоделителя. Таким образом, мы можем описать действие светоделителя
с помощью преобразования операторов. Точно так же его действие
можно описать с помощью преобразования состояний.
13.1.1. Классическое рассмотрение. Для простейшего обсужде-
обсуждения ограничимся двумя входящими модами и свяжем их с двумя
выходящими модами, как показано на рис. 13.1. Сначала из общих
соображений получим 2 х 2-матрицу преобразования, а затем покажем,
как преобразуются операторы и квантовые состояния.
а2
-ах
а2'
Рис. 13.1. Схематический набросок светоделителя. Диэлектрическая среда пре-
преобразует амплитуды a\i и а2/ входящих мод V и 2' в амплитуды а\ и а^
выходящих мод 1 и 2. Ситуация не вполне симметрична, так как закон
сохранения энергии требует фазового сдвига тг при отражении одной из двух
мод. Эта асимметрия показана пунктирной линией с одной стороны от зеркала
Мы хотим выразить амплитуды двух выходящих мод через ампли-
амплитуды входящих мод. Две входящие моды, по одной с каждой стороны
светоделителя, обозначены как Iх и 2х, а их амплитуды — как ау и ау.
Такое обозначение содержит изрядный намёк, так как в дальнейшем
эти классические амплитуды становятся операторами уничтожения для
мод Iх и 2х. Две выходящие по одной с каждой стороны от светоделите-
светоделителя моды обозначены как 1 и 2, а соответствующие амплитуды есть а\
и а,2.

396	Гл. 13. Оптическая интерферометрия
Теперь можно выразить амплитуды а\ и а2 через амплитуды ау
и а2>. Заметив, что в каждую из амплитуд а\ и а2 дают вклад два про-
процесса, а именно, процессы прохождения и отражения света, получаем
следующее преобразование
или	=	.	A3.1)
а2 = t2a2> +r\a\i	\a2j \r\t2j\a2>J
Здесь величины ti и г^ являются коэффициентами прохождения и от-
отражения соответствующего пучка. Их числовые значения зависят от
конкретных свойств светоделителя, то есть от диэлектрической среды.
Кроме того, для светоделителя без потерь закон сохранения энергии
накладывает условие
|ai|2 + \а2\2 = \av\2 + |a2'|2
на квадраты абсолютных значений этих амплитуд, то есть на интенсив-
интенсивности мод. Это соотношение выполняется для произвольных входящих
амплитуд ay и а2< и накладывает ограничение на коэффициенты от-
отражения и прохождения. Подставляя в данное условие амплитуды а\
и а2 из уравнения A3.1), получаем
r2a2>)(t*{a*v + r2a2,) +
)(^a^, ^r^a\f) = [|ti|2 + |n|2] |ai/|2 +
a2,\2 + (Ur2+t2ri)ava2, + (t*r2 + t2r*) ay a*,.
Так как это равенство должно выполняться для произвольных ампли-
амплитуд ay и а2', приходим к следующим соотношениям
|ti|2 + |ri|2 = N2 + H2=l,	A3.2а)
Url + Щп = t\r2 + t2r\ = 0.	A3.26)
Первое уравнение констатирует, что в светоделителе нет поглощения.
Второе уравнение связывает различные моды и вносит знак «минус».
Это становится более понятным в случае полностью симметричного
делителя пучка.
13.1.2. Симметричный светоделитель. В последующих разделах
для простоты мы будем использовать только делители пучка 50 : 50, ко-
когда половина энергии проходит, а другая половина отражается. В этом
случае коэффициенты A3.2) отражения и прохождения принимают вид
М2 = Ы2 = Ы2 = ы2 = 1.	A3.3)
Условие A3.3) связывает фазы коэффициентов отражения и прохож-
прохождения. Эти фазы зависят от конкретных деталей светоделителя. Дей-
Действительно, одна или обе стороны светоделителя могут быть частично

13.1. Делитель пучка
397
прозрачными зеркалами, либо весь светоделитель может состоять из
нескольких слоев с различными коэффициентами преломления.
Независимо от этих экспериментальных деталей, условие A3.3)
накладывает ограничение на относительную фазу. Можно, например,
выбрать полностью симметричную ситуацию
t\=t2 =
1
для коэффициентов прохождения полевых мод. При этом уравне-
уравнение A3.3) предписывает, что отражение является асимметричным, то
есть
г\ = -=, г2 = ег
1
В этом случае мы имеем дело с ситуацией, изображённой на рис. 13.2.
а2=~
л/2
Рис. 13.2. Симметричный светоделитель создаёт из двух входящих полей их
сумму и разность. Кроме того, амплитуды уменьшаются в л/2 раз. Разность
двух амплитуд возникает из-за отражения от более толстой среды и является
следствием закона сохранения энергии
Пучок, который отражается от зачернённой стороны светоделителя
испытывает фазовый сдвиг, равный тг, в то время как пучок полевой
моды Iх отражается от стороны, показанной пунктирной линией, без
фазового сдвига.
Таким образом, мы приходим к следующим соотношениям для ам-
амплитуд
а\ = —= (ay — а2')
а2 = -L {av
или для преобразования
а\
= Т
CL9'
1
V2
CL2') ,
1 -1
1 1

398	Гл. 13. Оптическая интерферометрия
Эти уравнения предсказывают следующие классические интенсивности
1\ = |ai|2 = - \а\> -а2'\2
И	о 1	2
h = Ы = g lai' + a2'
на двух выходах делителя пучка.
13.1.3.	Переход к квантовой механике. Теперь совершим пе-
переход к квантовой механике, заменяя амплитуды (ai^ay) и (а\,п2)
полевых мод операторами (а\>,Ъ>2>) и (а\,п2). Тогда светоделительное
преобразование операторов имеет вид
а\ = -^(ai' -a2>)	A3.4а)
и	«
а2 = -Mai' +a2/).	A3.46)
v2
Таким образом, светоделитель создаёт линейную комбинацию модовых
операторов: светоделительное преобразование является линейным.
13.1.4.	Преобразование квантовых состояний. Преобразование
операторов — это только одна из возможных точек зрения. Ещё один,
но эквивалентный подход опирается на квантовые состояния. На языке
квантовых состояний, однако, ситуация представляется более сложной.
Так как у нас две входящие моды, мы должны указать полное
квантовое состояние |Фт) этих двух мод. В простейшем случае два
квантовые состояния \ф)\' и \^}2f независимы друг от друга и записы-
записываются в виде факторизованного состояния
Однако входящие состояния могут быть перепутанными друг с другом.
В этом случае мы не можем записать их в виде факторизованного
состояния. Более того, состояния входящих полевых мод могут быть
смешанными состояниями и должны описываться матрицей плотности,
что приводит к двухмодовой матрице плотности pin. Следовательно,
наиболее общее входящее состояние имеет вид pin.
Что представляет собой квантовое состояние двух выходящих мод?
Так как делитель пучка преобразует две входящие моды в линейные
комбинации, можно ожидать, что выходящие моды будут перепутанны-
перепутанными. В общем случае мы не можем представить квантовое состояние на
выходе в виде факторизованного состояния. Очевидно, это квантовое
состояние можно задать с помощью двухмодовой матрицы плотности
Pout- Но какова связь между pin и pOut?
Преобразование когерентного состояния. Для того чтобы отве-
ответить на этот вопрос, сначала рассмотрим, как светоделитель преобразу-
преобразует два независимых когерентных состояния \fi)\> и |7Ь'> соответствен-
соответственно, двух мод V и 2х. Так как когерентные состояния являются соб-

13.1. Делитель пучка
399
ственными состояниями операторов поглощения, они преобразуются
так же, как и амплитуды. Следовательно, мы получаем, что входящее
состояние
|Фш> = \P)v |7>2<	A3-5а)
преобразуется в выходящее состояние
/3-7
A3.56)
Светоделительное преобразование когерентных состояний изобра-
изображено на рис. 13.3.
р+у\
V2 /2
P-Y
V2
lY>2'
Рис. 13.3. Когерентные состояния преобразуются светоделителем как ампли-
амплитуды. Поэтому входящее состояние |Фш) = |/3)i'|7J' переходит в состояние
|Фои1) = |(^-7)/\/2I|(^ + 7)/у2J в двух выходных портах
Преобразование произвольной матрицы плотности. До сих пор
мы рассмотрели только когерентные состояния двух входящих поле-
полевых мод. Теперь обобщим эти результаты на случай, когда излучение
полевых мод V и 2х описывается матрицей плотности pin.
Так как мы знаем, что когерентные состояния в результате све-
тоделительного преобразования остаются когерентными состояниями,
удобно разложить матрицу плотности
pin =
|7>2'<7|
A3.6)
по когерентным состояниям. Здесь Р]/2'(/3,7) является распределением
Глаубера-Сударшана для двух полевых мод 1' и 2'. Кроме того, для
упрощения обозначений мы вставили только один модовый индекс
между соответствующими кет- и бра-векторами, образующими матрицу
плотности.
Теперь можно применить светоделительное преобразование
1' |7>2<
/3-7
A3.7)

400
Гл. 13. Оптическая интерферометрия
к двум когерентным состояниям. В результате матрица плотности pout
для двух выходных портов 1 и 2 имеет вид
V2 /Л V2
A3.8)
Специальные случаи входящих полей. Когда обе входящие поле-
полевые моды находятся в когерентных состояниях |/30) и |а), то есть для
распределения
мы можем выполнить интегрирования и получить, что матрица плот-
плотности
Pout —
Ро-а\ /13о-а
- а \ I fa + a
2
отвечает двум независимых когерентным состояниям
и |(/Зо + а)/у/2J двух полевых мод 1 и 2.
Отметим, однако, что в случае, когда распределение Р\'^'(Рн)
не описывается дельта-функцией от двух переменных интегрирования,
две полевые моды не являются больше независимыми, а коррелируют
друг с другом из-за интегрирования по комплексным переменным /3
и 7, то есть по фазовому пространству. Две моды являются перепутан-
перепутанными.
Мы завершим этот раздел, представив результат, когда одна из
двух входящих полевых мод, скажем, мода 2х, находится в когерентном
состоянии \а). Этот пример играет центральную роль при анализе
гомодинного детектора, который обсуждается в следующем разделе.
В этом случае мы имеем
Л',2'(/?,7) = р(РШ'У-а)>	A3.9)
где Р(/3) обозначает распределение Глаубера-Сударшана для входящей
моды Iх. Наличие ^-функции от фазовой переменной 7 позволяет вы-
выполнить одно из интегрирований, и мы приходим к выражению для
матрицы плотности
poui= \d2l3P(f3)
0-а\ ПЗ-а
/3 + а
A3.10)
поля излучения двух мод 1 и 2.
13.1.5. Статистика фотоотсчётов в выходных портах. В преды-
предыдущем разделе мы получили матрицу плотности поля излучения двух
выходящих мод после светоделителя 50 : 50. Теперь вычислим вероят-
вероятность
w(nun2) = (щ| (n2|pout \m) \n2)	A3.11)
обнаружить щ и щ возбуждений в полевых модах, соответственно,
1 и 2. Напомним, что состояния \щ) и \п2) являются состояниями

13.1. Делитель пучка
401
с определённым числом фотонов в модах 1 и 2. Следовательно, такое
распределение можно связать со статистикой фотонов в двух модах.
Отметим, что W(n\,ri2) является совместной вероятностью, то есть
вероятностью обнаружить щ возбуждений в первой моде и щ— во
второй.
С помощью выражения A3.8) для матрицы плотности pout выходя-
выходящих мод получаем
Ядро
13-Л
V2 /i
(«2
/3 + 7\
^2 /2
представляет собой вероятность зарегестрировать щ фотонов в моде 1
и П2 фотонов в моде 2, когда моды Iх и 2х находятся в когерентных
состояниях |/3) и |7) •
Напоминая пуассоновскую статистику фотонов
.|2п . .о
а)|2 =
в когерентном состоянии \а), находим точное выражение
/3-7
2п,
/3 + 7
2П2
711! 712!
ехр [-1(|/3 -7|2
A3.12)
3 + 7I2)]
A3.13)
для ядра.
Следовательно, статистика фотоотсчётов в выходных портах све-
светоделителя задаётся как результат интегрирования по фазовому про-
пространству распределения Глаубера-Сударшана Руу Для входящих по-
полевых мод Iх и 2х вместе с ядром Knuri2(j,/3).
Мы закончим этот раздел кратким обсуждением ситуации, когда
одна из двух мод, скажем 2х, находится в когерентном состоянии \а),
а полевая мода Iх описывается Р-распределением Р(/3) Глаубера-Су-
Глаубера-Сударшана. Так как в этом случае, в соответствии с уравнением A3.9),
мы имеем
A3.14)
то статистика фотоотсчётов описывается распределением
W(nun2) = ^d2f3P(f3)Knun2(a,f3),
где ядро КПиП2 задаётся выражением A3.13).
Такой же результат получается, если подставить выражение A3.10)
для матрицы плотности pout в формулу A3.11) для распределения фо-
фотоотсчетов.

402	Гл. 13. Оптическая интерферометрия
13.2. Гомодинный детектор
В предыдущем разделе мы рассмотрели статистику фотоотсчётов
и получили выражения для вероятности обнаружить щ фотонов в мо-
моде 1 и щ фотонов в моде 2. Специальный тип измерения состоит в том,
чтобы вычесть числа фотоотсчётов для двух мод и получить гисто-
гистограмму для их разности. Этот тип измерений называется гомодинным
детектированием. Подчеркнём, что в этом случае полевые моды имеют
одинаковые частоты. В ситуации, когда они имеют разные частоты,
схема измерений называется гетеродинным детектированием.
13.2.1.	Классическое рассмотрение. В разделе 13.1.2 было дано
классическое описание симметричного делителя пучка. Тем самым мы
нашли, что классические интенсивности 1\ и 1% двух выходящих мод
такого светоделителя выражаются через электрические поля а\> = ?
и ау = аё1® входящих полевых мод Iх и 2' с помощью соотношений
1\ = ~ lai' ~~ а2' |2 = а 0^|2 + а<2 ~ а (^е~^ + ?*ег^)]
и	1	1
Если теперь вычесть эти две интенсивности, попадающие на два де-
детектора, то их разность
h\ =h-I\ = а (?е~[*+ ?*(?*)
содержит фазу $ электрического поля моды 2''. Кроме того, электриче-
электрическое поле ? моды V входит в виде линейной комбинации 8е~г"д и 8*еггд.
Это очень напоминает квадратурный оператор
eft = —=r (ае + а1 е )	(lo.lo)
v 2
электрического поля, который определяется формулой A1.6). В самом
деле, заменяя в нашем классическом выражении амплитуду ? операто-
оператором поглощения а, а комплексно сопряжённую величину 8* оператором
рождения а\ мы приходим к квадратурному оператору.
Следовательно, разность интенсивностей 721 измеряет квадратур-
квадратурный оператор электрического поля. Это, в свою очередь, позволяет нам
восстановить функцию Вигнера, как обсуждалось в гл. 4.
13.2.2.	Квантовая трактовка. Разность интенсивностей даёт ин-
информацию о распределении электрического поля. Об этом извещают
изложенные выше классические результаты. Они предлагают также
заменить классические поля операторами. Отметим, однако, что мы
заменяем оператором поле только одной моды, а поле другой моды
сохраняем классическим.
Чтобы подкрепить этот эвристический аргумент строгим выводом,
рассмотрим теперь случай, когда поле излучения моды V описывается

13.2. Гомодинный детектор	403
матрицей плотности р, а поле входящей моды 2х находится в когерент-
когерентным состоянии \а). Кроме того, мы используем квантовые состояния,
а не операторы, чтобы получить аналитический результат для распре-
распределения разности фотоотсчетов.
Схема стратегии измерений. Сначала кратко суммируем, как
толковать на квантовом языке измерение разности интенсивностей.
Измерение интенсивностей 1\ и 1^ детекторами D\ и В^ становится
измерением чисел фотонов п\ и щ. Вычитание двух интенсивностей 1\
и /2 превращается в вычитание двух чисел фотонов, что даёт разность
чисел фотонов щх = п\ — щ. Следовательно, распределение для раз-
разности интенсивностей соответствует функции распределения W(ri2x)
для разности фотоотсчётов. Исходя из классической аргументации, мы
ожидаем, что в пределе когерентного состояния с большой амплитудой
\а\ > 1, функция W(ri2\) является распределением, которое соответ-
соответствует оператору
?о = ^=(ае-™ + а^»).	A3.16)
Поэтому в эксперименте мы регистрируем числа фотонов, попадаю-
попадающих на каждый детектор, и вычитаем их. Затем мы вновь приготавли-
приготавливаем полевые состояния р и \а), повторяем эксперимент и снова нахо-
находим разность чисел фотонов. Мы строим гистограмму этих отсчётов.
Эта гистограмма и является распределением W(ri2x)- Такие экспери-
эксперименты были выполнены группами М. Раймера (М. Raymer) в Юджине
(США) и Ю. Млинека (J. Mlynek) в Констанце (Германия) и позволили
измерить состояние поля. Мы отсылаем к рис. 4.11 в гл.4, на котором
показаны типичные результаты измерений распределений поля.
Статистика фотоотсчётов. Нас интересует распределение
W(ri2\) для разности чисел отсчётов фотонов п^х = Щ — щ. Если
при этом сумма щх = пх + П2 фотоотсчётов не регистрируется, надо
вычислить след распределения W(nx,ri2) по величине щ\. Поэтому
мы получаем распределение W(ri2\) для разности фотоотсчётов,
представляя число фотонов щ в виде разности щ и п^х и суммируя
по П2, то есть
W(ri2x) = Yl ^(ni = п2 — П2\',П2) = Yl W(nx;ri2 = П21 + щ).
n2=0	ni=0
На последнем шаге этого равенства мы выразили щ через П2\ и щ
и просуммировали по щ.
Подставляя в это выражение точную формулу A3.14)
для распределения чисел фотоотсчётов, получаем
W(n2l)=\d2f3P(l3)Kn2l(a,f3),	A3.17)

404
Гл. 13. Оптическая интерферометрия
где ядро
КП2[ (а, C) =
п,=0
ni=0
щ
0-а
V2
«21 +П1
A3.18)
представляет собой вероятность измерить разность n<i\ чисел фотонов
в выходящих модах симметричного светоделителя, когда поля двух
входящих мод находятся в когерентных состояниях \а) и \C).
В приложении Л это ядро вычислено аналитически и для него
получено точное выражение
C +
КП2[(а,/3) =
C — а
o-W-W
A3.19)
содержащее модифицированную функцию Бесселя 1и.
Поэтому распределение для разности фотоотсчётов, измеряемое го-
модинным детектором, получается интегрированием Р-распределения
Глаубера-Сударшана для входящего поля по фазовой переменной C
с помощью ядра КП21(а, /3). Здесь мы предположили, что другое вхо-
входящее поле находится в когерентном состоянии \а) произвольной ам-
амплитуды.
Предел сильного поля локального осциллятора. В предельном
случае когерентного состояния \а) = ||а|ег^) с большой амплитудой,
то есть \а\ ^> 1, выражения A3.17) и A3.19), описывающие статистику
фотоотсчётов, существенно упрощаются. Покажем, в частности, что
в этом пределе статистика фотоотсчётов сводится к функции рас-
распределения We\(?$) напряжённости электрического поля, измеренного
в единицах амплитуды поля локального осциллятора. Фаза # поля
в этом распределении определяется фазой когерентного состояния.
С этой целью установим сначала связь между распределением ве-
вероятности
Wp{?#) = (?<,\р\?#)
обнаружить квадратурное состояние \?$) в состоянии поля, заданном
матрицей плотности р, и распределением чисел фотоотсчетов.
Подставляя в это выражение матрицу плотности входящей полевой
моды Iх в представлении Глаубера-Сударшана
Р =
получаем
A3.20)
Следовательно, чтобы связать распределение A3.17) для разности фо-
фотоотсчётов W(ri2\) с функцией распределения A3.20) для электриче-

13.2. Гомодинный детектор
405
ского поля Wp(?#), надо установить соотношение между ядром КП21,
заданным выражением A3.19), и функцией распределения
для электрического поля в когерентном состоянии. В разделе 11.2.4 мы
уже вычислили эту функцию и получили гауссовское распределение
'exp ¦
o-itf
с центром в точке /Зе г<д + /3*ег^.
Сравнивая гауссовское распределение W\p)(?$) для поля с точной
формулой для ядра КП21, которая содержит модифицированные функ-
функции Бесселя, мы видим, что эти выражения, очевидно, различны. Од-
Однако они совпадают в пределе сильного поля локального осциллятора,
то есть для когерентного поля большой амплитуды.
Доказательство этого равенства сводится к вычислению соответ-
соответствующего асимптотического разложения для ядра КП21. Итак, рас-
рассмотрим предел, когда отношение П2\/\а\ остаётся конечным при
\а\ —> оо. Для этого случая в Приложении Л получено асимптотическое
выражение
1
A3.21)
которое и дает эту связь
КП2[(\а\ ->оо
у/2\а\
у/2\а\
Следовательно, в пределе сильного поля локального осциллятора рас-
распределение вероятности W(ri2\) для разности фотоотсчётов п^х даётся
выражением
™Ы) = -^- Wd[?* = -^- ) ,	A3.22)
2\а\
которое является распределением электрического поля, в соответству-
соответствующем масштабе входящего квантового состояния.
Уравнение A3.22) представляется весьма интересным результатом
с точки зрения квантового измерения. В самом деле, до сих пор мы не
обсуждали вопрос о том, как измерить распределение напряжённости
электрического поля излучения для одной моды. Приведённое выше
соотношение показывает, что измерение чисел возбуждений в полевых
модах после действия делителя пучка и построение гистограммы для
разности фотоотсчётов и составляют процедуру такого измерения. Под-
Подчеркнём, однако, что данная стратегия работает только тогда, когда мы
комбинируем измеряемое поле с классическим полем, то есть с полем
в когерентном состоянии с большой амплитудой.

406
Гл. 13. Оптическая интерферометрия
13.3. Восьмиканальный интерферометр
Один светоделитель преобразует две входящие полевые моды в две
выходящие моды. Мы можем, однако, сконструировать более сложную
схему, объединив две гомодинных схемы с устройством сдвига фазы на
тг/2, как показано на рис. 13.4. Отметим, что в этом случае мы имеем
устройство, которое преобразует четыре входящие полевые моды в че-
четыре уходящие. Так как в данной ситуации есть восемь каналов, такой
интерферометр называют восьмиканальным гомодинным детектором
или восьмиканальным интерферометром.
Рис. 13.4. Восьмиканальный интерферометр состоит из двух простых гомодин-
гомодинных схем, образованных детекторными парами D4/D3 и Dq/D$. Они измеряют
разности фотоотсчётов щг = п± — щ и Пб5 = щ — щ. Два дополнительных
светоделителя связывают все четыре входных порта, а одно плечо содержит
устройство, сдвигающее фазу на тг/2
13.3.1. Квантовое состояние выходящих полевых мод. Теперь
рассмотрим эту схему более подробно, сосредоточившись на случае,
когда две из четырёх входящих мод находятся в когерентном состоянии
и в смешанном состоянии с матрицей плотности р, как показано на
рис. 13.4. Две другие входящие моды находятся в вакуумных состо-
состояниях. В этом случае матрица плотности состояния входящего поля
имеет вид
р[п =
\а) (а\
где мы вновь представили матрицу плотности р входящего поля с по-
помощью распределения Глаубера-Сударшана Р(/3).

13.3. Восьмиканальный интерферометр
407
Обозначим четыре выходящие полевые моды как 3,4, 5 и 6 и най-
найдём матрицу плотности pout этих мод, преобразуя каждое когерентное
состояние с помощью обычного светоделительного преобразования.
С этой целью проследим действия отдельных светоделителей.
Сначала рассмотрим когерентное состояние \/3) и вакуумное состо-
состояние |0), попадающие на светоделитель в правом нижнем углу. В со-
соответствии с уравнением A3.7) светоделитель преобразует начальное
двухмодовое состояние
в состояние
Здесь мы вставили знак «минус», возникающий для процесса отраже-
отражения от светоделителя, в то время как для проходящего пучка такого
изменения знака не происходит. Кроме того, мы предположили, что
рассматривается светоделитель типа 50 : 50, который делит интен-
интенсивность пополам, то есть амплитуда когерентного состояния, будучи
пропорциональной напряжённости электрического поля, делится на
фактор л/2.
Подобным же образом делитель пучка в верхнем левом углу из
состояния
\а) <8> |0)
создает состояние
/2/ь
72
Отметим, что благодаря ориентации этого светоделителя — в отличие
от ситуации с правым нижним делителем — здесь не меняется знак
когерентного состояния, так как не происходит отражения от среды
с большим показателем преломления.
Теперь обратимся к светоделителю в нижнем левом углу, который
смешивает две полевые моды а и Ъ и приводит к их совместному попа-
попаданию на детекторы Дз и ^4- Этот делитель преобразует состояние
1
а
Здесь из-за отражения мы опять включили знак «минус» в моду 3.
Обратимся теперь к верхнему правому делителю. Отметим, что из-
за сдвига фазы на тг/2 когерентное состояние
л_
V2

408
Гл. 13. Оптическая интерферометрия
созданное светоделителем в нижнем правом углу, на входе верхнего
правого делителя имеет вид
Поэтому, из состояния
/2/с
iL
полевых мод end получается состояние
8> -UiP
полевых мод 5 и 6, которое попадают на фотодетекторы
В результате мы получаем, что состояние
\а)
четырёх входящих мод преобразуется в состояние
± (/3 -
\ (/3
-\ (г/3 -
-i (г/3
четырёх выходящих мод.
Так как мы разложили полевую матрицу плотности р по когерент-
когерентным состояниям |/3), то теперь можно вычислить матрицу плотности
Pout четырёх выходящих мод 3, 4, 5 и 6. Действительно, мы находим
Эта матрица плотности описывает квантовое состояние четырёх вы-
выходящих полевых мод для восьмиканального интерферометра. Из-за
интегрирования по фазовой переменной /3 эти четыре моды перепута-
перепутаны, так как /3 появляется во всех модах. Только в том случае, ко-
когда Р-распределение Глаубера-Сударшана для входящей полевой моды
является дельта-функцией, то есть когда эта мода находится в коге-
когерентном состоянии, связь между модами отсутствует и перепутывания
состояний нет.
13.3.2. Статистика фотоотсчётов. Теперь можно вычислить рас-
распределение фотоотсчётов rij для четырёх детекторов Dj, где j =
= 3,4, 5, 6, используя соответствующие собственные состояния с опре-
определённым числом фотонов \rij). Тогда вероятность \?(пз,щ, щ,щ)

13.3. Восьмиканальный интерферометр
409
регистрации щ, п±, щ и щ фотонов детекторами Дз, D4, D$ и
имеет вид
П5,щ(а, C), A3.23)
где ядра
а)
определяют статистику фотоотсчётов в выходных портах при наличии
входящего когерентного состояния.
Сравнивая это выражение с соответствующей формулой A3.14)
для одного светоделителя, мы отмечаем, что теперь, благодаря двум
дополнительным выходным портам, появляются два ядра. Каждое из
этих ядер определяется, как и раньше, статистикой чисел фотонов
в когерентных состояниях. Амплитуды этих когерентных состояний
снова представляют собой линейные комбинации амплитуд когерент-
когерентных состояний. Главное отличие от ситуации с одним светоделителем
состоит в появлении фактора 2 вместо л/2 и множителя г из-за сдвига
фазы. Фактор 2 возникает из-за того, что каждое состояние должно
пройти через два делителя прежде, чем оно попадёт на детектор.
Статистика двойного гомодинирования. Если мы теперь про-
проводим измерения только разностей отсчётов П43 = Щ — щ и щ$ =
= щ — щ, надо вычислить след выражения A3.23), определяющего
статистику фотоотсчётов для восьмиканального интерферометра, по
величинам сумм щ + щ и щ + щ чисел фотонов для фиксированных
значений разностей П43 и щ$. Следовательно, вероятность W(n^,n§§)
обнаружить разности П43 и щ$ фотоотсчётов имеет вид
, Щ5) = | d2f3Р@) КП43(а, /3) КЩ5(а, /3),
A3.24)
где ядра определены как
сю
_ v^
n3=0
сю
Е
П5=0
("
/
5
]
г
1 , , \
2 -«;
Г/Я Л1
2
2
/
^ГЦЗ + ПЗ
\
2
Суммы такого типа были уже вычислены применительно к гомодинно-
му детектору. Действительно, из сравнения написанных выше выраже-

410
Гл. 13. Оптическая интерферометрия
ний для ядер КПаз и КЩ5 с выражением A3.18) для ядра КП2Х в случае
одного светоделителя видно, что мы можем получить результат сумми-
суммирования с помощью формулы A3.19) для ядра КП21. Заметим, что ядро
КП43 получается из ядра КП21 заменой а —> а/у/2 и C —> /З/у/2. Таким
образом, с помощью выражения A3.19) получаем
/|П43| [-
2
- а2
f 1
ехр \--
Аналогично, замены а —> — а/у/2 и /3 —> —i/3/\/2 дают ядро
^65
ехР "о
2)]-
Здесь Iv обозначает модифицированную функцию Бесселя.
Эти два результата вместе с формулой A3.24) точно описывают
статистику разностей фотоотсчётов П43 и щ$ для восьмиканального ин-
интерферометра в случае, когда две из четырёх входящих мод находятся,
соответственно, в когерентном состоянии и в произвольном полевом
состоянии, а две остальные входящие моды находятся в вакуумном
состоянии.
Эти точные выражения довольно сложны и похожи на результат для
одного гомодинного детектора. Там мы получили достаточно простое
выражение, когда рассмотрели предельный случай когерентного состо-
состояния с большой амплитудой, то есть в случае сильного локального
осциллятора. Это и служит поводом для того, чтобы теперь рассмот-
рассмотреть предел сильного локального осциллятора для восьмиканального
детектора.
Предел сильного локального осциллятора. Делая замены а —>
—> а/у/2 и /3 —> /З/л/2 в асимптотической формуле A3.21), получаем
следующее предельное выражение для КПАЗ:
КПАЗ(\а\
1
ехр <^ -
Здесь мы обозначили а =
Таким образом, детекторная пара (Дз,
тельных единицах разность фотоотсчётов п4з
ную переменную
A3.25)
, регистрируя в относи-
а\, измеряет квадратур-
A3.26)
Сравнивая это выражение с соответствующим результатом A3.21) для
одного делителя пучка, мы видим, что ширина и положение центра
гауссовского распределения изменились. Центр теперь находится на
половине того расстояния, которое было в случае одного делителя
пучка. Кроме того, и ширина распределения равна теперь половине
ширины прежнего распределения.

13.3. Восьмиканальный интерферометр	411
Подобным же образом, делая замены а —> — а/у/2 и C —> — i/З/у/2,
получаем асимптотическое выражение для КЩ5. Это приводит к сле-
следующему результату
КЩ5(\а\ - ос,/3) = -1 expj- [g - 1 (/Je"" - /Ге")
A3.27)
Следовательно, детекторная пара (D$, Dq), регистрируя в относи-
относительных единицах разность фотоотсчётов щ$/\а\, измеряет квадратур-
квадратурную переменную
р„ = ± (/Зе-« -/Few).	A3.28)
13.3.3. Одновременное измерение и проблема ЭПР. Проведён-
Проведённый в предыдущем разделе анализ говорит о том, что с помощью
восьмиканального интерферометра проводится одновременное измере-
измерение переменных х$ и р$. Возникает, однако, вопрос, каким операторам
соответствует это измерение. Теперь мы покажем, что таковыми явля-
являются двухмодовые, а не одномодовые операторы.
Наивный подход. Подходя к этому вопросу самым простым обра-
образом, напомним, что величина C проистекает из полевого оператора Ъ
входящей моды. Тогда это означает, что в эксперименте производится
одновременное измерение квадратурных операторов
Заметим, однако, что эти операторы не коммутируют
и их совместная измеримость запрещена постулатами квантовой меха-
механики.
Двухмодовые операторы. В предельном случае сильного локаль-
локального осциллятора четыре входящие моды превращаются в две. Дей-
Действительно, две входящие моды, попадающие на светоделитель в ле-
левом верхнем углу интерферометра, показанного на рис. 13.4, являют-
являются когерентным состоянием большой амплитуды и вакуумом. В этом
случае, однако, вакуумную моду не надо рассматривать квантово-
механическим образом, так как поля в двух выходных портах это-
этого светоделителя всецело определяются сильным классическим полем
когерентного состояния. Поэтому в такой ситуации четырёхмодовый
вход интерферометра превращается в двухмодовый. Это те две моды,
которые попадают на светоделитель в нижнем правом углу. Операторы
рождения и уничтожения b и tf относятся к полевой моде, которая
описывается матрицей плотности р, а операторы bo и frj — к вакууму.

412	Гл. 13. Оптическая интерферометрия
В задаче 13.3 с помощью светоделительного преобразования 13.4
полевых операторов показано, что в предельном случае сильного ло-
локального осциллятора две детекторные пары (D4,D3) и (D6,D5) вось-
восьмиканального интерферометра измеряют двухмодовые операторы
-™	A3.29а)
-*>.	A3.296)
Здесь # является реперной фазой локального осциллятора.
При специальном выборе д = О они превращаются в пару опера-
операторов
где мы ввели квадратурные операторы (х,р) и (xq,pq), использовав
определение Ъ = 1/л/2 (х -\- гр).
Таким образом, в предельном случае сильного локального осцил-
осциллятора и при специальном значении реперной фазы # = 0 операторы
щз и Пб5, которые соответствуют разностям фотоотсчётов на четы-
четырёх детекторах восьмиканального интерферометра, представляют собой
двухмодовые операторы X и Р.
Следовательно, главное отличие от интуитивного подхода состоит
в том, что нам нужны две моды, чтобы описать одновременное измере-
измерение. Так как операторы х и р падающей моды не коммутируют, они не
могут быть измерены одновременно с произвольной точностью. Если,
однако, связать эту моду с другой полевой модой, которой отвечают
операторы xq и р0, а именно, с вакуумным состоянием, то операторы
Х = х^хо и Р = р — ро
уже коммутируют друг с другом, так как
=[х,р\-[хо,ро]=О.
Поэтому одновременное измерение X и Р с произвольной точностью
допускается квантовой механикой. Подчеркнём, что такая специальная
структура двухмодовых операторов X и Р возникает именно благодаря
специальному устройству восьмиканального интерферометра.
Напомним, что пара операторов (X, Р) лежит в основе работы
Эйнштейна, Подольского и Розена о полноте квантовой механики.
Важность этой операторной пары была подчёркнута Бором в его ответе
на ситуацию ЭПР. Этот мысленный эксперимент рассматривает изме-
измерение координаты центра инерции и относительного импульса двух

13.3. Восьмиканальный интерферометр
413
скоррелированных массивных частиц. Наши операторы X и Р как раз
и соответствуют этим переменным. Каждая мода представляет одну
частицу.
Чтобы наиболее отчётливо прояснить эту аналогию, напомним, что
два коммутирующие оператора имеют общую систему собственных
состояний. Следовательно, операторы X и Р имеют общие собственные
состояния \Х,Р). В задаче 13.3 получено представление этих собствен-
собственных состояний
dz | dy
Х,Р) =
в квадратурных переменных. Здесь \у}\ и \z)o обозначают квадратур-
квадратурные собственные состояния двух входящих мод.
Это представление показывает, что две моды находятся в перепу-
перепутанном состоянии из-за (^-функции и обладают определённым «импуль-
«импульсом», связанным с преобразованием Фурье.
13.3.4. Измерение Q-функции. Благодаря специальному распо-
расположению светоделителей и устройств для сдвига фаз восьмиканальный
интерферометр, регистрируя статистику фотоотсчётов, измеряет некие
величины, которые чем-то похожи на две сопряжённые некоммутиру-
ющие переменные. Нам, однако, приходится заплатить определённую
цену за такое одновременное измерение: когда мы смешиваем входя-
входящую моду с вакуумной модой, мы привносим дополнительный шум.
В результате, как будет сейчас показано, мы измеряем Q-функцию
входящего поля, а не функцию Вигнера.
С этой целью подставим асимптотические выражения A3.25)
и A3.27) для ядер КПАЗ и КЩ5 в формулу A3.24), которая описывает
статистику фотоотсчётов. В результате получаем
1
тга'
d2f3P(C) exp
Используя определения квадратурных переменных х$ и р#, находим
соотношение
7</65 | I—/ 43 1 _|_ I I — 9 I	—	I 4-
3
2
_(гц1_.щА
\\а\ \а\)>
а\ \а\

414
Гл. 13. Оптическая интерферометрия
Следовательно, в предельном случае сильного локального осциллятора
функция распределения для разностей фотоотсчётов описывается вы-
выражением
W(n43,n65) = -^ \d2f3P(f3) ехр \-\z-f3\2} ,	A3.30)
ща\ J	L	J
где
z =
[\а\
\ Г
а
является комплексным числом, в которое входят нормированные на
скорости отсчётов п43/\а\ и n65/N и фаза $ локального осциллятора.
Мы глубже проникнем в суть выражения A3.30) для W(n43,
если напомним формулу A1.21) для скалярного произведения
= ехр
с участием когерентного состояния \z), заданного комплексным пара-
параметром z. Это приводит к следующему выражению
= -L^ \d2f3P(C) \(z
тт\а\ J
Запишем это выражение с помощью Q-функции
Q{z)=l-(z\p\<
матрицы плотности
падающего поля. Тогда после подстановки р в определение Q находим
Q(z)={-\d2f3P{f3)\{z\f3)\2
и таким образом получаем формулу
W(n43,n65) =
— г
-^65
A3.31)
Статистика разностей фотоотсчётов представляет собой считывание
в некотором масштабе Q-функции падающего светового поля при
условии, что попадающее на другой светоделитель поле находится
в когерентном состоянии и имеет большую амплитуду, то есть другое
световое поле является сильным локальным осциллятором.
Выбирая значение $ = 0 для фазы локального осциллятора, полу-
получаем
а
1
— г
Таким образом, относительные числа фотоотсчётов П43/Ы и пб5/\а
представляют собой две квадратурные компоненты, то есть две

13.4. Измеряемые фазовые операторы
415
0.0041
0.002
фазовые переменные, как на это
уже указывали асимптотические
выражения для ядер КПАЗ и КЩ5.
Мы закончим этот раздел
кратким обсуждением процедуры
измерения распределения вероят-
вероятности фотоотсчётов W(ri43, Щб)-
Мы приготавливаем состояние
локального осциллятора \а) =
= ||а|) и полевое состояние р,
которое измеряется. Регистриру-
Регистрируем числа фотоотсчётов щ, щ,
щ и щ четырьмя детекторами
и берём разности П43 = Щ — Щ
и Пб5 = Щ — Щ. Запомнив эти
числа, повторяем эксперимент, то
есть снова приготавливаем поле-
полевые состояния, регистрируем чис-
числа фотонов rij и находим разности. В результате строим гистограм-
гистограмму для разностей П43 и щ$ в виде графика по переменным щ%/\а
и щ$/\а\, как это показано на рис. 13.5 для случая однофотонного
фоковского состояния. Этот график действительно изображает в неко-
некотором масштабе Q-функцию однофотонного фоковского состояния.
Рис. 13.5. Распределение вероятности
фотоотсчётов \?(п4з,щъ) для вось-
миканального интерферометра в пре-
предельном случае сильного локально-
локального осциллятора. Здесь падающее поле
находится в однофотонном фоковском
состоянии
13.4. Измеряемые фазовые операторы
Старинный вопрос об операторе, который соответствует фазе гармо-
гармонического осциллятора, мы кратко обсудили в разделе 8.5. Интересно
отметить, что группа Л. Манделя (L. Mandel) использовала восьмика-
нальный интерферометр для определения новых операторов См и Sm,
связанных с косинусом и синусом разности фаз между полем локаль-
локального осциллятора и квантованным полем. Важно, что эти операторы
представляют собой не просто некоторые теоретические конструкции,
а могут быть измерены. Сейчас мы кратко суммируем результаты этого
подхода и, в частности, установим связь с интерпретацией в терминах
фазового пространства, используя Q-функцию. Для этого сначала рас-
рассмотрим классическое описание действия восьмиканального интерфе-
интерферометра, а потом покажем, как такой анализ наводит на мысль о новых
фазовых операторах.
13.4.1. Измерение классических тригонометрических величин.
Повторим кратко классическое описание, подобное тому, что представ-
представлено в разделе 13.2.1, процесса измерения разности интенсивностей,
обословленной делителем пучка. Для этого вновь рассмотрим два

416
Гл. 13. Оптическая интерферометрия
классических электрических поля Ej = 8je г7Ч падающих на светоде-
светоделитель, как показано на рис. 13.6. Записывая интенсивности
= \Е{ -Е2\2 = Е\
- 28{82 cos (i?2 -
h = \Ei +E2\2= E\ + E\ + 28X82 cos (#2 - #i),
попадающие на два детектора, получаем, что разностный ток /43 = h —
— /3 имеет вид
/43 = 48\82 cos ($2 — по-
последовательно, можно выразить косинус разности фаз через разност-
разностный ток /43 и амплитуды напряжённости Е\ и 82 электрических полей
в виде
A3.32)
/4-/з
Подчеркнём, что мы не можем определить величину cos (#2 ~
измеряя только разность токов /43. Нам нужно ещё произведение
напряжённостей электрических полей.
Аналогично, мы можем измерить синус разности фаз двух классиче-
классических волн, если до измерения сдвинуть с помощью четверть-волновой
пластины фазу одного из полей на тг/2, как показано на рис. 13.7.
Е2 =
Рис. 13.6. Два классических
электрических поля падают на
светоделитель, а мы измеряем
Е2 =
Е[ =
Рис. 13.7. Два классических электри-
электрических поля попадают на светодели-
светоделитель после того, как пучок 1 прохо-
разность токов двух детекторов дит через Л/4-пластину, что приводит
D3 и
к сдвигу фазы на тг/2. Далее выполня-
выполняется измерение разностного тока двух
детекторов D$ и Dq
Интенсивности /5 и 1§, измеряемые детекторами D$ и
ют вид
15 = \Е[ - Е2\2 = 8\ + S\ - 28Х82 sin (tf2 - fix)
q, име-
име= \E[ +E2\2 = 8\ + 8\ + 28X82 sin

13.4. Измеряемые фазовые операторы	417
так что разностный ток равен
/б5 = h-h= 4?i?2 sin (#2 - #i).
Таким образом, синус разности фаз определяется выражением
8^@2-0,) = ^ = %=^.	A3.33)
4:0102	40X02
Если теперь встроить обе эти гомодинные схемы в восьмиканальный
гомодинный детектор, то мы сможем измерить одновременно и синус
и косинус. Используя тригонометрическое соотношение
и уравнения A3.32) и A3.33), можно выразить произведение
амплитуд электрических полей Е\ и ?% через разностные токи
4S& = А//42з + /|5 = J(h ~ hY + (/б - hJ •
43
А теперь мы имеем возможность выразить тригонометрические функ-
функции, синус и косинус, только через токи Ij. Действительно, мы на-
находим
cos(tftf)=	4 3
y/(h - hf + (/б - hf
h-h
h - hf + (h - hf
Таким образом, можно найти косинус и синус разности фаз, измеряя
интенсивности /3, U, /5 и /б в четырёх выходных портах восьмиканаль-
ного интерферометра и подставляя результаты измерения в написанные
выше выражения.
13.4.2. Измерение квантовых тригонометрических величин.
Чтобы осуществить переход от классических полей к квантовым, на-
надо заменить классические токи Ij операторами числа фотонов Uj.
Руководствуясь этим принципом, приходим к наблюдаемым фазовым
операторам
A3.34а)
у (гг4 - п3J + (п6 - п5J
^^ ^
Щ~П5	A3.346)
гг4 - п3J + (п6 - п5J
В разделе 13.3.2 мы получили совместную вероятность ^(п4з,^б5)
для разностей чисел отсчётов фотонов П43 = Щ — Щ и щ$ = щ — щ,
попадающих на четыре детектора восьмиканального гомодинного ин-
14 В. П. Шляйх

418	Гл. 13. Оптическая интерферометрия
терферометра. Это распределение можно измерить экспериментально.
Тем самым, мы можем измерить и вычислить аналитически среднее
значение
(f(CM, SM))=Af
A3.35)
любой функции / от операторов См и $м- Для того чтобы избежать
трудностей, связанных с поведением A3.35) в точке П43 = ^65 — О»
группа Манделя предложила исключить такие измерения и перенор-
перенормировать совместную вероятность разностых фотоотсчётов с помощью
соотношения
А Г _	1
Как это рассмотрение связано с фазовым пространством? В разде-
разделе 13.3.4 мы показали, что в предельном случае сильного локального
осциллятора распределение фотоотсчётов 1^G143,^65) представляет со-
собой, с точностью до масштабного множителя, Q-функцию состояния
входящего поля. Кроме того, косинус- и синус-операторы удовлетво-
удовлетворяют стандартным тригонометрическим соотношениям. Это наводит на
мысль определить фазовое распределение как результат интегрирова-
интегрирования Q-функции квантового состояния по радиусу. Теперь мы покажем,
что это фазовое распределение действительно лежит в основе экспери-
экспериментально наблюдаемых фазовых операторов.
В разделе 13.3.4 мы показали, что в предельном случае сильного
локального осциллятора разности фотоотсчётов утрачивают свойство
дискретности. Это связано с тем фактом, что они измеряются в еди-
единицах большой амплитуды \а\ поля локального осциллятора. Поэтому
можно ввести непрерывные переменные ? = П43/М и ^ = П65/Ы и>
заменив в уравнении A3.35) суммирование интегрированием, получить
— сю —сю
A3.36)
Здесь мы положили J\f = 1, так как в предельном случае сильного
локального осциллятора
тг|а|
Если ввести полярные координаты г и ф с помощью соотношений
— ф) и тг = г sin ($ — ф),

13.4. Измеряемые фазовые операторы	419
то интегралы в выражении A3.36) для среднего значения принима-
принимают вид
(f(CM, Sm)} =
СЮ
х dr r\a\2 W
о
\a
r cos (# —
a
r sin (# —
Такое разделение интегрирований по фазовой переменной и по радиусу
позволяет ввести фазовое распределение
сю
WQ(d -ф)= \drr\a\2 W[\a\r cos (tf - 0), |a|rsin (tf - 0)],
о
так что среднее значение получается как результат интегрирования
величины / в с-числовом представлении вместе с фазовым распределе-
распределением ]?®(ф), то есть
7Г
(f(CM,SM))= \ с1ф f [cos ($-ф), sin ($-4>)}WQ($-4>).
— 7Г
Определённое таким образом фазовое распределение мы получаем,
выражая функцию распределения для фотоотсчётов W(n^,n§§) в по-
полярных координатах и интегрируя по радиусу. С учётом точной форму-
формулы A3.31)
И'(„„, „Ю) = Jp
для распределения фотоотсчётов в предельном случае сильного локаль-
локального осциллятора выражение для фазового распределения приводится
к виду
сю
= ^ \Aгг(ге*ф\р\ге*ф).
Таким образом, мы нашли экспериментально наблюдаемое фазовое
распределение, которое связано с фазовым пространством. В предель-
предельном случае сильного локального осциллятора фазовое распределение
\?®(ф), соответствующее наблюдаемым фазовым операторам, логиче-
логически следует из Q-функции. Действительно, выражая Q-функцию в по-
полярных координатах и интегрируя по радиусу, мы находим это фазовое
распределение. С помощью такого распределения можно вычислять
средние значения любых функций от операторов, интегрируя их вместе
с Wr

420
Гл. 13. Оптическая интерферометрия
13.4.3. Двухмодовые фазовые операторы. В разделе 13.3.3 бы-
было показано, что в предельном случае сильного локального осцилля-
тора^восьмиканальный интерферометр измеряет двухмодовые операто-
операторы X и Р. Эти операторы коммутируют. Поэтому можно определить
тригонометрические операторы
См =
X
Для одной моды такое определение весьма затруднительно, так как
в этом случае жирне коммутируют, и возникает проблема упорядоче-
упорядочения операторов. Но так как двухмодовые операторы коммутируют, их
определение является однозначным.	^
С помощью общих собственных состояний \Х, Р) операторов X и
Р, удовлетворяющих уравнениям
Х\Х,Р)=Х\Х,Р) и Р\Х,Р) = Р\Х,Р),
находим спектральные представления
= О) = \ dX [ dP
X
¦\Х,Р){Х,Р\
— сю —ею
сю	сю
= 0)= \ dX \
J J
\Х,Р)(Х,Р\
— сю —сю
Они позволяют нам вычислить средние значения См и
Задачи
13.1	Светоделительное преобразование
Показать, что светоделительное преобразование A3.4) полевых
операторов является унитарным. Использовать этот результат для
получения преобразования A3.5) когерентных состояний.
13.2	Светоделитель и фоковские состояния
В разделе 13.1.4 мы установили, как светоделитель 50/50 преоб-
преобразует когерентные состояния. Преобразование произвольного со-
состояния можно свести к преобразованию когерентных состояний,
поскольку они образуют полный набор. В качестве альтернатив-
альтернативного подхода можно попробовать объяснить действие делителя

Задачи
421
ID
Рис. 13.8. Светоделитель и фоковские состояния, (а) На светоделитель падают
вакуумное состояние и TV-фотонное фоковское состояние, (б) На светоделитель
падают два однофотонных фоковских состояния
пучка с помощью корпускулярной картины, то есть используя
концепцию фотонов. В такой картине мы бы описывали действие
светоделителя следующим образом: фотон с вероятностью 1/2
проходит и с вероятностью 1/2 отражается. Обе эти модели
действия светоделителя рассмотрены в следующих примерах.
(а)	На один вход светоделителя подаётся вакуумное состояние,
а на другой вход — фоковское состояние с N фотонами, как
показано на рис. 13.8, а.
1.	Как светоделитель преобразует состояния |0) и \N)?
2.	Какова вероятность зарегистрировать щ фотонов детек-
детектором D\ и П2 фотонов — детектором Dfi
3.	Какой результат получится в корпускулярной картине?
(б)	В оба входных порта светоделителя инжектируются фоков-
фоковские состояния |1), как показано на рис. 13.8,6.
1.	Как светоделитель преобразует эти состояния?
2.	Чему равна вероятность зарегистрировать щ фотонов
детектором D\ и щ фотонов — детектором D?
3.	Какой результат получится в корпускулярной картине?
(в)	Объяснить, что общего и в чём различие этих двух картин.
13.3 Двухмодовые операторы для восьмиканального интерферо-
интерферометра
В разделе 13.3 мы получили статистику фотоотсчётов в вось-
миканальном интерферометре, используя светоделительное пре-
преобразование полевых состояний. Аналогичным образом можно
получить этот результат с помощью формул светоделительного
преобразования A3.4) полевых операторов.

422
Гл. 13. Оптическая интерферометрия
(а) Показать, что в предельном случае сильного локального
осциллятора две детекторные пары (D4,D3) и (D6,D5) вось-
миканального интерферометра измеряют скорость счёта
W(n43,n65)= ) \di/ \dv"
а\ Bтг) J J
х (Ф
ехр
г п43
паз
ехр г пб5
Ф
Здесь мы ввели двухмодовые операторы
i (о + a0)
~ \ (« - «о) е
Й65A?) = 1 (at - al)
а |Ф) обозначает двухмодовое входящее состояние поля,
(б) Получить квадратурное представление
сю сю
\Х,Р) = -}= [ dz \ dy exp[-iPy}S(z
л
— сю —сю
двухмодового состояния \Х, Р).
(в) Доказать соотношение
Ф
f[cM,sM]\
Ф =
= NX NP/
для среднего значения функции / двухмодовых фазовых
операторов См и ?>м- Здесь мы можем интерпретировать
плотность вероятности
W(X,P) = |(Х,Р|Ф)|2
как обобщённое положительное распределение в фазовом
пространстве, образованном парами (Х,Р) одновременно из-
измеримых собственных значений.
(г) Показать, что распределение W превращается в Q-функцию,
если на правый нижний светоделитель в интерферометре па-
падает только вакуумное состояние и некоторое произвольное
полевое состояние.
Указание: Смотри работу М. Freyberger et al. A995).

Задачи	423
13.4 Восьмиканальный интерферометр и единичные фотоны
В разделе 13.3 мы исследовали восьмиканальный интерферо-
интерферометр и получили выражение для скорости разностных отсчё-
отсчётов W(ri43, Щб)- Мы показали также, что в предельном случае
сильного локального осциллятора (\а\ ^> 1) может быть измерена
Q-функция состояния с матрицей плотности р. В данной задаче
мы хотим рассмотреть случай, когда р= |1)A|.
(а) Вычислить 1^G143,^65) Для конечного значения а и р =
= |1)A|, то есть для однофотонного состояния.
Указание: В Приложении К.2 показано, что Р-функция фо-
ковского состояния даётся выражением
Сначала показать, что это эквивалентно формуле
(б)	Каков результат в предельном случае \а\ —> О?
(в)	Показать, что в предельном случае \а\ ^> 1 можно измерить
Q-функцию.
13.5 Асимптотика функций Бесселя
С помощью метода перевала показать, что справедливы следую-
следующие асимптотические разложения:
(а)	Формула Стирлинга
оо
п\ = tne dt = л/2тгп пп е~п при п ^> 1.
о
(б)	Модифицированная функция Бесселя
7Г
1
Ых) = -
7Г
О
может быть представлена в виде ряда
v=0
Указание: Разложить экспоненту в степенной ряд и проин-
проинтегрировать каждое слагаемое,
(в) Модифицированная функция Бесселя ведёт себя как
X
1п(х) = 	 при х > п2 .

424	Гл. 13. Оптическая интерферометрия
Указание: Разделить область интегрирования на две части,
0. ..тг/2 и тг/2...7г, и показать, что в пределе х —> оо вторая
область не даёт вклада.
при ж ^ оо, n ^ оо, но п/л/х фиксировано.
Указание: Использовать подстановку z = ег^
Литература
Делитель пучка
Теория квантово-механического делителя пучка и его различные применения рас-
рассматривались в ранних работах
Richter G., Brunner W., Paul Н. Elektrische Feldstarke und Interferenz
von Laserstrahlen // Ann. Physik (Leipzig) 1964. V. 14. P. 239-261.
Brunner W., Paul #., Richter G. Absorption und Streuung quantenmechanisch
koharenter Strahlen II // Ann. Physik (Leipzig) 1965. V. 15. P. 17-29.
Резюме этих ранних статей может быть найдено в работах
Paul Н. Ein Beitrag zur Quantentheorie der optischen Koharenz // Fortschr.
d. Physik. 1966. V. 14. P. 141-204.
Zeilinger A. General properties of lossless beam splitters in interferometry //
Am. J. Phys. 1981. V. 49. P. 882-883.
Prasad S., Scully M. O., Martienssen W. A Quantum Description of the Beam
Splitter // Opt. Commun. 1987. V. 62. P. 139-145.
M0lmer K. A particle description of the quantized field — the beam splitter //
J. Phys. B. 1988. V. 21. P. L573-L578.
Leonhardt U. Quantum Measurements of Light. Cambridge University Press,
1997
Гомодинное детектирование
Обсуждение гомодинного детектирования
Yuen H.P., Chan V.W.S. Noise in homodyne and heterodyne detection // Opt.
Lett. 1983. V. 8. P. 177-179.
Shapiro J.H., Wagner S.S. Phase and Amplitude Uncertainties in Heterodyne
Detection // IEEE J. Quantum Electron. QE. 1984. V. 20. P. 803-813.
Анализ статистики фотоотсчётов в гомодинном эксперименте
Braunstein S.L., Caves CM. Phase and Statistics of Generalized Squeezed
States // Phys. Rev. A. 1990. V. 42. P. 4115-4119.
Braunstein S.L. Homodyne Statistics // Phys. Rev. A. 1990. V. 42.
P. 474-481.

Литература	425
Восьмиканальный гомодинный детектор
Измерение Q-функций когерентных и тепловых состояний с помощью восьмиканаль-
ного гомодинного детектора
Walker N.G., Carroll J.E. Simultaneous Phase and Amplitude Measurements
on Optical Signals Using a Multiport Junction // Electron. Lett. 1984. V. 20.
P. 981-983.
Walker N.G., Carroll J.E. Multiport-Homodyne Detection near the Quantum
Noise Limit // Opt. Quantum Electron. 1986. V. 18. P. 355-363.
Применение восьмиканального гомодинного детектора для изучения фазовых рас-
распределений
Noh J. W., Fougeres A., Mandel L. Measurement of the Quantum Phase by
Photon Counting // Phys. Rev. Lett. 1991. V. 67. P. 1426-1429.
Noh J. W., Fougeres A., Mandel L. Operational approach to phase operators
based on classical optics // Physica Scripta. 1993. V. T48. P. 29-34.
Torgerson J.R., Mandel L. Measuring the Quantum Phase of the E.M. Field
by Interference as (n) ->()// Physica Scripta. 1998. V. T76. P. 110-114.
Анализ этих экспериментов
Freyberger M., Schleich W.P. Photon counting, quantum phase, and
phase-space distributions // Phys. Rev. A. 1993. V. 47. P. R30-R33.
Freyberger M., Vogel K., Schleich W.P. From photon counts to quantum
phase // Phys. Lett. A. 1993. V. 176. P. 41-46.
Englert B.-G., Wodkiewicz K. Intrinsic and operational observables in quan-
quantum mechanics // Phys. Rev. A. 1995. V. 51. P. R2661-R2664.
Englert B.-G., Wodkiewicz K., Riegler P. Intrinsic phase operator of the
Noh-Fougeres-Mandel experiments // Phys. Rev. A. 1995. V. 52. P. 1704-1711.
Восьмиканальный гомодинный детектор и проблема ЭПР
Оригинальная статья, излагающая парадокс ЭПР, и ответ Бора
Einstein A., Podolsky В., Rosen N. Can a Quantum-Mechanical Description of
Physical Reality be Considered Complete? // Phys. Rev. 1935. V. 47. P. 777-780.
[Альберт Эйнштейн. Собрание научных трудов, том.III. — М.: Наука,
1966]
Bohr N. Can a Quantum-Mechanical Description of Physical Reality be Con-
Considered Complete? // Phys. Rev. 1935. V. 48. P. 696-702.
Детальное обсуждение восьмиканального гомодинного детектора и переменных ЭПР
Freyberger M., Heni M., Schleich W.P. Two-mode quantum phase // Quan-
Quantum. Semiclass. Opt. 1995. V. 7. P. 187-203.
Fontenelle M.T., Freyberger M., Heni M., Schleich W.P., Zubairy M.S.
Quantum phase, Photon Counting and EPR-Variables // The Dilemma of Einstein,
Podolsky and Rosen — 60 Years later / Ed. by A. Mann and M. Revzen, Institute
of Physics Publishing, Bristol, 1996

426	Гл. 13. Оптическая интерферометрия
Общее рассмотрение восьмиканального гомодинного детектора как специального
случая системы, производящей одновременное измерение двух сопряжённых переменных
с помощью включения дополнительного шума
Arthurs Е., Kelly Jr J.L. On the simultaneous measurement of a pair of
conjugate observables // Bell Syst. Tech. J. 1965. V. 44. P. 725-729.
Stenholm S. Simultaneous measurement of conjugate variables // Ann. Phys.
(NY), 1992. V. 218. P. 233-254.
Многоканальные системы
Концепция и теория многоканальных системы, то есть сетей, состоящих из дели-
делителей пучка и устройств для сдвига фаз, которые образуют п входных и п выходных
портов
Walker N.G. Quantum theory of multiport optical homodyning // J. Mod.
Opt. 1987. V. 34. P. 15-60.
Torma P., Stenholm S., Jex I. Hamiltonian theory of symmetric optical net-
network transforms // Phys. Rev. A. 1995. V. 52. P. 4853-4860.
Torma P., Jex I. Properties of Ising-type linear networks // J. Opt. B. 1999.
V. 1. P. 8-13.
Mattle K., Michler M., Weinfurter #., Zeilinger A., Zukowski M.
Non-classical statistics at multiport beam splitters // Appl. Phys. B. 1995. V. 60.
P.S111-S117.
Возможность представления любой унитарной матрицы с помощью многоканальной
системы, составленной только из 4-портовых систем
Reck М., Zeilinger A., Bernstein H.J., Bertani P. Experimental Realization of
Any Discrete Unitary Operator // Phys. Rev. Lett. 1994. V. 73. P. 58-61.

Глава 14
ВЗАИМОДЕЙСТВИЕ АТОМА И ПОЛЯ
До сих пор мы рассмотрели только свойства квантованных свето-
световых полей в отсутствие взаимодействия с веществом. Теперь сосредо-
сосредоточимся на квантовых эффектах, возникающих из-за взаимодействия
атомов с квантованным излучением. Для того чтобы это сделать,
надо, прежде всего, установить подходящий вид взаимодействия между
светом и веществом. Здесь мы руководствуемся принципом калибро-
калибровочной инвариантности Вейля (Н. Weyl). В 1918 году он ввёл прин-
принцип калибровочной инвариантности для создания объединённой теории
гравитации и электромагнетизма. Этот принцип был несколько умозри-
умозрительным, как об этом позднее писал сам Вейль. Однако, в 1928 го-
году он понял, что калибровочная инвариантность приводит к связи
электромагнитного поля с веществом. Калибровочная инвариантность
является центральным пунктом современных калибровочных теорий,
таких как квантовая электродинамика или квантовая хромодинамика,
и определяет взаимодействие между полями.
В разделе 14.1 мы делаем набросок двух наиболее популярных
методов описания связи между атомом и электромагнитной волной,
а в разделе 14.2 обращаемся к краткому обзору принципа калибро-
калибровочной инвариантности. Здесь, в частности, показано, как появляется
гамильтониан с минимальной связью. Далее этот результат использу-
используется, чтобы рассмотреть гамильтониан атома водорода, взаимодейству-
взаимодействующего с электромагнитным полем. В рамках дипольного приближения,
которое обсуждается в разделе 14.3, такая модель приводит к до-
достаточно компактному гамильтониану взаимодействия. Она связывает
внутренние степени свободы атома с движением его центра инерции
и с электромагнитным полем.
Кроме схемы с минимальной связью существует и другая модель
взаимодействия. Она основана на том факте, что атом представляет
собой электрический диполь, который взаимодействует с электриче-
электрическим полем. Как показано в разделе 14.4, такой подход приводит к га-
гамильтониану взаимодействия, который содержит координату электрона
и электрического поля. Раздел 14.5 посвящен обсуждению вопроса
о переходе к квантовой механике. Калибровочные преобразования поз-
позволяют нам показать в разделах 14.6, 14.7 и приложении М, что
в рамках соответствующих условий обе схемы эквивалентны.

428	Гл. 14. Взаимодействие атома и поля
В разделе 14.8 задача о взаимодействии атома с полем сводится
к самой простой ситуации взаимодействия двухуровневого атома с од-
одной модой поля излучения. Такая модель была введена Е. Джейнсом
(Е.Т. Jaynes) вместе с Ф. Каммингсом (F.W. Cummings) и, независи-
независимо, Г. Паулем (Н. Paul) в 1963 году. Долгое время эта модель была
любимой игрушкой теоретиков, а благодаря современным достижениям
квантовой оптики, в частности, при создании резонаторов с высо-
высоким Q-фактором для микроволнового и оптического излучений, она
реализована экспериментально. Благодаря простоте, предсказательной
силе и экспериментальному воплощению модель стала «дрозофилой» О
квантовой оптики.
14.1. Как сконструировать взаимодействие?
Предлагаются две возможности.
Первый подход исходит из структуры минимальной связи между
заряженной частицей с массой те и зарядом е, находящейся в точке
с координатой ге, и электромагнитным полем, которое в кулоновской
калибровке описывается векторным потенциалом А(ге,?). При этом
мы заменяем импульс ре в выражении для кинетической энергии
р^/Bте) частицы величиной ре — еА(ге,?). Квадрат этой разности
даёт перекрёстный член
НСр = -—A(re,t) -pe,
который связывает импульс частицы с полем.
Рассмотрим теперь эту связь для простейшего атома, состоящего
из одного электрона и одного протона. Кроме того, используем диполь-
ное приближение: векторный потенциал оптического поля не меняется
заметным образом на расстояниях порядка размера атома. Тогда мы
получим взаимодействие
= --
связывающее импульс р относительного движения электрона с приве-
приведённой массой /i с векторным потенциалом в точке с координатой R
центра инерции атома.
В рамках второго подхода мы рассматриваем атом как электриче-
электрический диполь с дипольным моментом р = ег. Здесь г обозначает коор-
координату электрона относительно протона. Вновь напоминаем дипольное
приближение: напряжённость электрического поля Е электромагнит-
электромагнитной волны оптического диапазона не меняется заметным образом на
1) Дрозофилы — плодовые мушки, сыгравшие важную роль как объект
генетических исследований. — Прим. ред. пер.

14.2. Связь векторный потенциал — импульс	429
размере атома. Следовательно, диполь обладает потенциальной энер-
энергией
ЯГ.Е =-ег • E(R,*)	A4.1)
в электрическом поле E(R, t), взятом в точке с координатой R центра
инерции.
В настоящей главе мы получим обе формы взаимодействия, стар-
стартуя с гамильтониана электрона и протона в электромагнитном поле
и используя дипольное приближение. В отсутствие движения центра
инерции оба гамильтониана эквивалентны, то есть существует ка-
калибровочное преобразование, которое связывает обе соответствующие
волновые функции. Это преобразование, однако, не является столь же
простым при наличии движения центра инерции. В этом случае, кото-
который очень детально обсуждается в приложении М, мы должны выйти
за рамки простого дипольного приближения. В результате появляются
дополнительные члены, такие как в гамильтониане Рентгена (Rontgen).
14.2. Связь векторный потенциал — импульс
В этом разделе мы сначала дадим краткий обзор существенных
составных элементов схемы минимального взаимодействия для одной
частицы, а затем обратимся к случаю атома в электромагнитном поле.
Здесь мы сосредоточимся на полном гамильтониане атома, включая
движение его центра инерции. Последнее будет особенно важным для
обсуждения вопросов атомной оптики в квантованных полях.
14.2.1. Минимальная связь из принципа калибровочной инва-
инвариантности. Стандартный подход к описанию взаимодействия одной
заряженной частицы массы т с внешним полем, которое задаётся
векторным потенциалом А = А(г,?) и скалярным потенциалом Ф(г,?)
опирается на схему минимальной связи. В этом подходе канонический
импульс р заменяется кинетическим импульсом р — еА. Кроме того,
добавляется потенциальная энергия V(r) = еФ(г,?). Но в чём состоит
более глубокая причина такой процедуры?
Ответ был дан Вейлем в 1928 году. Он связал калибровочную
инвариантность электродинамики с квантовой механикой и показал,
что это приводит к условию минимальной связи. Современные кван-
квантовые теории поля, в частности, калибровочные теории, такие как
квантовая электродинамика и квантовая хромодинамика, опираются на
тот же принцип. Учитывая эти важные обстоятельства, мы сейчас,
хотя бы вкратце, рассмотрим принцип калибровочной инвариантности.
В рамках данного раздела мы рассматриваем электромагнитное поле
как классическое.
Глобальные преобразования. В квантовой механике мы никогда
не наблюдаем непосредственно волновую функцию. Мы скорее наблю-
наблюдаем вероятность результата некоторого конкретного измерения. Эти
вероятности определяются квадратом модуля волновой функции в соот-

430	Гл. 14. Взаимодействие атома и поля
ветствующем представлении. Поэтому волновая функция определяется
только с точностью до общей фазы. Итак, начнём с волновой функции
ф(г,г), которая удовлетворяет уравнению Шрёдингера
;(г,?),	A4.2)
где U(г) является внешним потенциалом.
Преобразованная волновая функция
ф(гЛ) = eia^(rft)	A4.3)
удовлетворяет тому же самому уравнению Шрёдингера
при условии, что фаза а не зависит от координаты и времени.
При преобразовании A4.3) изменение волновой функции ф не зави-
зависит от координаты и времени. Со всеми пространственно-временными
точками обходятся одинаково. Поэтому-то такое преобразование назы-
называется глобальным преобразованием.
Локальные преобразования. Теперь обратимся к ситуации, когда
фаза зависит от координаты и времени, то есть рассмотрим преобразо-
преобразованную волновую функцию вида
ф(г, t) = ехр Г^ еЛ(г, tj\ ф(г, t).	A4.4)
Здесь для удобства мы ввели постоянную Планка и электрический
заряд е.
Так как при преобразовании A4.4) фаза зависит от координат
пространственно-временной точки, это преобразование называется ло-
локальным преобразованием.	_
Из-за зависимости Л от координаты и времени волновая функция ф
удовлетворяет не уравнению Шрёдингера, а более сложному уравнению
%? = гЫ?V " eVA(r' *)]Йг, *) + [ОД - е^] ^(г, t).
A4.5)
Мы можем убедиться в правильности написанного уравнения, подста-
подставив волновую функцию A4.4)
ф(г, t) = ехр 1-^ еЛ(г, t)j ф(г, t)
в уравнение A4.2) и используя соотношение

а также
г
из которого следует
2
14.2. Связь векторный потенциал — импульс	431
= - V [ехр (~ еА] ф] = ехр (~ ek] (- V - е\7к) ф,
г L \ ft J ]	V п ) \г	)
?vJ [ехр DеЛ) Ц = fv h DеЛ) (iv -eVA
1 A] (	^
= ехр (-1- eA] (- V - e
Таким образом, мы действительно получаем уравнение A4.5) для ф.
Калибровочная инвариантность электродинамики. Несмотря на
дополнительные члены в уравнении A4.5), у него всё-же есть сходство
с уравнением Шрёдингера: импульс заменён на разность импульса
и градиента фазы, а потенциальная энергия изменилась за счёт про-
производной фазы по времени. Это вызывает воспоминание о свободе
с выбором калибровки в электродинамике, которая обсуждалась в раз-
разделе 10.1.2.
Напомним, что мы можем решить однородные уравнения Максвел-
Максвелла, введя векторный потенциал А и скалярный потенциал Ф. Так как
магнитная индукция задаётся ротором векторного потенциала А, то
есть
В = V х А,
векторный потенциал определён только с точностью до градиента неко-
некоторого скалярного поля. Действительно, преобразованный векторный
потенциал
AX = A + VA	A4.6)
создаёт ту же самую магнитную индукцию.
Далее, поскольку напряжённость электрического поля Е определя-
определяется выражением
мы можем включить производную по времени Л в скалярный потенциал
Ф. Преобразованный таким образом скалярный потенциал
Ф'^Ф-f	A4.7)
создаёт то же самое электрическое поле
х	Х ^ = Е.
dt
Подчеркнём, однако, что мы ограничены в выборе калибровочного
потенциала Л. Действительно, условие кулоновской калибровки V • А
накладывает ограничение АЛ = 0 на Л.
Взаимодействие как следствие постулата об инвариантности.
Теперь мы постулируем, что уравнение Шрёдингера должно оставаться

432	Гл. 14. Взаимодействие атома и поля
неизменным при таком локальном преобразовании как A4.4), то есть
волновое уравнение для преобразованной функции ф должно иметь ту
же самую форму, что и уравнение Шрёдингера для исходной волновой
функции ф. Поэтому надо исходить из уравнения Шрёдингера, которое
уже содержит потенциалы электромагнитного поля. Они позволят нам
«поглотить» дополнительные члены VA и Л, которые возникают, когда
мы делаем локальное преобразование. Итак, исходим из уравнения
Шрёдингера
f V) - еА(г, tj\ * ф(г, t) + [U(v) + еФ(г, t)] V(r, t).
Если сделать преобразование
ф(г, t) = ехр Г^ еЛ(г, t), 1 ф(г, t)
то новая волновая функция ф удовлетворяет уравнению Шрёдингера
= ^ [(^V) - еА'(г, t)]2 ф(г, t) + [U(r) + еФ'(г, *)] ^(г, t),
которое формально идентично исходному.
Здесь мы воспользовались калибровочной свободой электродина-
электродинамики и включили дополнительные члены в модифицированные потен-
потенциалы A4.6) и A4.7). Из-за этой связи с калибровочными преобра-
преобразованиями, соотношения A4.3) и A4.4) называются, соответственно,
глобальным и локальным калибровочным преобразованием.
Гамильтониан заряженной частицы в электромагнитном поле.
Теперь можно написать гамильтониан заряженной частицы без внут-
внутренних степеней свободы, то есть без спина, в электромагнитном поле.
Используя структуру минимальной связи, получаем гамильтониан
Я = ^ (р - еАJ + еФ + П,
куда мы включили также гамильтониан
П = \d3r [I ?0E2(r,t) + \ моН2(г,*)]	A4.8)
= \d3r [I ?0E
свободного поля A0.38).
Раскрывая квадрат в выражении для кинетической энергии, полу-
получаем два перекрёстных члена А • р и р • А. Поскольку при переходе
к квантовой механике величина р должны быть заменена оператором
р = - V, важен порядок операторов.
Напомним соотношение
р • [A(r)V>(r)] = -V • [A(r)V>(r)] = - [ф(г)V • А + А •
ъ	ъ

14.2. Связь векторный потенциал — импульс	433
справедливое для любой произвольно зависящей от координат функции
ф(г). Так как в кулоновской калибровке V • А = 0, получаем
р • А = А • р.
Таким образом, квантово-механический гамильтониан
по форме действительно идентичен классическому.
14.2.2. Взаимодействие атома с полем. Теперь рассмотрим си-
ситуацию с атомом в поле. Для простоты возьмём атом водорода, который
состоит из протона массы тр в точке гр и электрона массы те с коор-
координатой ге, как показано на рис. 14.1. В данном разделе мы опускаем
гамильтониан Н свободного поля.
Рис. 14.1. Простейшая модель атома водорода состоит из протона в точке гр
и электрона с координатой ге. Так как отношение масс электрона и протона
отлично он нуля, центр инерции R = (тр + me)~l (mere + mprp) слегка сдви-
сдвинут от протона к электрону
С учётом кулоновского взаимодействия
между электроном и протоном полный гамильтониан атома водорода
в электромагнитном поле имеет вид
Н = Не+Нр + V(re - rp).	A4.10)
Здесь мы, следуя уравнению A4.9), определили гамильтонианы
н^ё-Р + йА{ГрЛ)-рр + ^-РАЧгрЛ) A4Л2)
электрона и протона во внешнем поле.
Для того чтобы более отчётливо прояснить роль дипольного при-
приближения, которое обсуждается в следующем разделе, координатная
зависимость векторного потенциала показана здесь в явном виде. Кро-

434	Гл. 14. Взаимодействие атома и поля
ме того, для упрощения записи опущены шляпки над операторами
координат и импульсов, а также над гамильтонианом.
Координаты центра инерции и относительного движения. Вве-
Введём радиус-вектор центра инерции
-р _ теге + гПрГр _ те	тр
системы двух частиц с полной массой
М = те^тр = тр A + — )	A4.13)
и радиус-вектор относительного движения
г = ге - гр
электрона и протона.
Затем можно выразить координаты электрона
^(^)г	A4.14)
и протона
rp = R-^R-^r	A4.15)
через координаты центра инерции R и относительного движения г. За-
Заметим, что на последнем шаге в этих двух соотношениях использовано
выражение A4.13) для полной массы системы.
Подчеркнём, что из-за ненулевого отношения масс
те/тр ^ 1/1836<С 1,
координата протона не совпадает с положением центра инерции. По-
Последний слегка сдвинут по направлению к электрону, как это показано
на рис. 14.1.
Введём импульс
Р = ре + рр,
относящийся к движению частицы с полной массой М, и связанный
с относительным движением импульс
частицы с приведённой массой
/1=	-^— = те 1 + — .	A4.17)
те + тр	у тр)
Эти определения позволяют выразить импульс электрона
Ре = ^Р + р	A4.18)

14.2. Связь векторный потенциал — импульс	435
и импульс протона
через Р и р. В этих переменных суммарная кинетическая энергий
электрона и протона
^ + ^.	A4-20)
2ше ^ 2тр
не содержит перекрёстные члены и является просто суммой кинетиче-
кинетических энергий центра инерции и относительного движения.
Гамильтониан атома в электромагнитном поле. Теперь мы име-
имеем возможность выразить гамильтониан A4.10) атома водорода в элек-
электромагнитном поле через координаты центра инерции и относительного
движения. Используя соотношения A4.19), A4.14), A4.15), A4.18)
и A4.20), выражаем все величины через эти переменные и получаем
я= Р2 ¦ Р2	1 е
2М 2/х 4тг? ||
MIL	М J	L	М J J	2me L	М
-^r,tl. A4.21)
М \
Оператор Н содержит гамильтониан
2М 2/х 4тг
атома водорода в отсутствие электромагнитного поля. Этот гамильто-
гамильтониан состоит из операторов кинетических энергий движения центра
инерции и относительного движения, а также кулоновского взаимодей-
взаимодействия электрона и протона.
Кроме того, полный гамильтониан A4.21) атома в поле включает
связь атома с векторным потенциалом. Обратим внимание на два вида
такой связи: импульс р относительного движения взаимодействует с
суммой векторных потенциалов в точках, где находятся электрон и
протон, и, напротив, импульс Р движения центра инерции связан с
разностью векторных потенциалов.
Два последних слагаемых, содержащих квадраты векторного потен-
потенциала, не связаны ни с одним из импульсов, но зависят от движения
центра инерции, как на то указывает величина R, а также от внутрен-
внутренних степеней свободы, представленных переменной г.

436	Гл. 14. Взаимодействие атома и поля
14.3. Дипольное приближение
Точный гамильтониан A4.21) атома водорода в электромагнитном
поле значительно упрощается, если использовать так называемое ди-
дипольное приближение. В данном разделе мы очень детально рассмот-
рассмотрим это приближение.
14.3.1.	Разложение векторного потенциала. Напомним, что ко-
координатная зависимость А в формулах A4.21) имеет вид A(R + 5r),
где параметр 5г равен либо 5г = —те/Мг, либо 5г = тр/Мг. Поэтому,
раскладывая векторный потенциал A(R + 5r) в ряд Тейлора около
точки R, получаем
A(R + 6r) ^ A(R) + Fт • VR) A(R) + ...	A4.23)
Векторный потенциал меняется на характерной длине, которая опре-
определяется волновым вектором к. Учитывая, что me/mp <C 1, а вели-
величина г порядка размера атома, можно сравнить линейную поправку
Eг • Vr) A(R) с величиной A(R) и получить
'(fa i!f^(R)l = fa ¦ k < г ¦ к ^ 27Г pa3Mep аТ0Ш « 1. A4.24)
|A(R)|	длина волны света
Здесь мы использовали то, что волновой вектор обратно пропорциона-
пропорционален длине волны света.
Таким образом, векторный потенциал мало меняется на размерах
атома: и электрон и протон чувствуют, по-существу, один и тот же
векторный потенциал, а именно, тот, что в точке с координатой центра
инерции, то есть
А(ге) ~ А(гр) ~ A(R).	A4.25)
Это приближение называется дипольным приближением, и такое на-
название станет понятным, как только мы обсудим взаимодействие, за-
записанное в форме Е • г.
14.3.2.	Взаимодействие в форме А • р. Тейлоровское разложе-
разложение A4.23) радикально упрощает гамильтониан A4.21) атома водорода
в электромагнитном поле. В низшем порядке мы заменяем в векторных
потенциалах пространственный аргумент его значением R в центре
инерции и получаем
^ + ?--7^0-- A(R' *) Р + I" A2(R' *)• A4-26)
Таким образом, при такой формулировке взаимодействия относитель-
относительная координата г вообще не связана с полем. Поскольку вектор г
имеет отношение к дипольному моменту р = ег атома, напрашивается
назвать это приближение нулевым дипольным приближением. Такое
название, однако, вводит в заблуждение. Это становится особенно ясно
при формулировке взаимодействия в виде г • Е A4.1).

14.3. Диполъное приближение	437
Действительно, гамильтониан A4.26) нулевого приближения кон-
констатирует, что с векторным потенциалом взаимодействует импульс р
относительного движения. В разделе 14.6 мы покажем, что в отсут-
отсутствие движения центра инерции обе картины взаимодействия экви-
эквивалентны. Таким образом, нулевое приближение для тейлоровского
ряда A4.23), которое не зависит от г, уже вносит дипольную структуру
посредством относительного импульса р.
14.3.3. Различные формы А • р-взаимодействия. Чтобы лучше
разобраться в структуре гамильтониана Н^\ мы теперь несколькими
способами перегруппируем его слагаемые.
Выделение роли электрона. В одном таком представлении отно-
относительный импульс и векторный потенциал скомбинированы в виде
полного квадрата
Я<°> = НШ + Я, = g + i- [p - eA(R,t)]2 - J-?i. A4.27)
Следовательно, гамильтониан атома в электромагнитном поле пред-
представляет собой сумму кинетической энергии
я =Zl
kin ~ 2M
движения центра инерции и гамильтониана
заряженной частицы с приведённой массой \± в кулоновском потенци-
потенциале и в поле электромагнитной волны с векторным потенциалом А.
Последний берётся в точке с координатой R центра инерции. Такая
форма гамильтониана подчёркивает роль атомного электрона.
Выделение роли атома в целом. Другое представление подчёр-
подчёркивает факт разделения движения центра инерции и относительно-
относительного движения. Взаимодействие последнего с электромагнитным полем
определяется значением векторного потенциала в точке R.
Начнём с гамильтониана
бесконечно тяжёлого атома, расположенного в точке R в поле электро-
электромагнитной волны с векторным потенциалом А. В этом случае гамиль-
гамильтониан взаимодействия с полем имеет вид
tfA.p = --A(R,t)-p.
Ц
Заметим, что это так называемое А • р взаимодействие связывает
электромагнитное поле, заданное векторным потенциалом, с импуль-

438	Гл. 14. Взаимодействие атома и поля
сом электрона. Гамильтониан, таким образом, распадается на сумму
слагаемых
#@) = Яст + Яатом + ЯА.р,	A4.29)
где мы ввели гамильтониан
Hcm = ^ + ^A2(H,t),	A4.30)
зависящий только от координат центра инерции. Следовательно, он
описывает движение центра инерции в пондермоторном потенциале
заданном квадратом векторного потенциала. Этот потенциал играет
важную роль в физике плазмы, для атомов в сильных полях и лазеров
на свободных электронах.
Резюме. В заключение этого раздела заметим, что гамильтониан
A4.26) непосредственно следует из выражения A4.10). В самом деле,
заменяя в выражениях A4.11) и A4.12) для гамильтонианов Не и Нр
координаты электрона ге и протона гр их приближёнными значениями
г и R и используя дипольное приближение A4.25), получаем
AJ).pe + ^A'(R,t)	A4.31)
2те те
)-pp + -^A2(R,?),	A4.32)
что даёт
2	2	/	\	9
н = тг^ + -Р- -eA(R,t) • —ре - —pJ + A^(R?)
тг + Р eA(R,t)	ре	pJ + A(R,?)
A4.33)
Используя формулы A4.16) и A4.20), приходим к выражению A4.26).
14.3.4. Поправки более высокого порядка. Линейный член ря-
ряда Тейлора A4.23) привносит с собой относительную координату г.
Поскольку нулевое приближение уже содержит дипольную структуру,
будем называть эти поправки следующим порядком дипольного прибли-
приближения. Рассмотреть их несколько труднее. Чтобы здесь сосредоточить-
сосредоточиться на существенных моментах, мы суммировали результат вычисления
поправки первого порядка в Приложении М и получили
-L [р - еА - е^р (г ¦ Vr) а] ' + V(r), A4.34)

14.4. Взаимодействие диполя с электрическим полем	439
где
Am = тр — тпе
есть разность масс протона и электрона.
Член, связывающий импульс Р движения центра инерции и про-
производную векторного потенциала по направлению (г • Vr) А, приводит
к гамильтониану взаимодействия
Это выражение содержит величину, которая тесно связана с магнитным
полем. В самом деле, векторное соотношение
Г X В = Г X Vr X А = Vr (г • А) - (г • Vr) А
показывает, что Н' тесно связан с так называемым гамильтонианом
Рентгена (Rontgen)
HRM = ^(гхВ).Р,
который более подробно обсуждается в следующем разделе.
Подчеркнём, однако, что Н' не идентичен гамильтониану Рентгена,
поскольку отсутствует член Vr (г • А). В Приложении М показано,
что, на самом деле, недостающий член можно получить с помощью
подходящего калибровочного преобразования.
Мы заканчиваем это обсуждение замечанием, что похожий Рент-
Рентгеновский член появляется и для относительного движения. С помо-
помощью калибровочного преобразования, полученного в Приложении М,
гамильтониан	Л
тт// 	 б /ЛТП / __ ч .
который возникает из-за перекрёстного члена в кинетической энергии
относительного движения, записывается в калибровочно инвариантной
форме
тт	е Am / -г.4
Я^(гхВ)р
Здесь появляется дополнительный множитель 2, который тесно связан
с фактором Томаса (Thomas).
Индексы в гамильтонианах Рентгена HRM и HRe станут понятны-
понятными, когда мы обсудим взаимодействие электрического диполя с элек-
электрическим полем. Точно так же прояснится и название гамильтониана
Рентгена.
14.4. Взаимодействие диполя с электрическим полем
Кроме описания взаимодействия света с веществом с помощью
выражения А • р есть и другой метод, который основан на взаимо-
взаимодействии диполя с электрическим полем. В настоящем разделе мы
сосредоточимся на этом подходе.

440	Гл. 14. Взаимодействие атома и поля
14.4.1. Дипольное приближение. Напомним, что атом, состоя-
состоящий из электрона и протона, разделённых относительным вектором г,
обладает дипольным моментом р = ег. Отметим ещё раз, что элек-
электрическое поле не меняется существенно на размере атома. Поэтому
электрическое поле Е(ге,?) в точке с координатой ге электрона почти
совпадает с полем Е(гр,?) в точке гр, где находится протон, или же
с тем, что в центре инерции, то есть
Диполь в электрическом поле Е обладает потенциальной энергией
ЯГ.Е = -р • E(R, t) = -er • E(R, t).	A4.35)
Такая аргументация означает, что в дипольном приближении полный
гамильтониан атома в электрическом поле имеет вид
^ ^ ^	).	A4.36)
Подчеркнём, что для многих приложений этого гамильтониана доста-
достаточно.
14.4.2. Гамильтонианы Рентгена и другие. Однако такой, сфор-
сформулированный ad hoc 0 гамильтониан может приводить к противоре-
противоречивым результатам. Такие проблемы возникают, когда мы учитываем
движение центра инерции. Было показано, в частности, что тради-
традиционное дипольное взаимодействие A4.35) приводит к нефизической
зависимости от скорости углового распределения фотонов спонтанного
излучения движущегося атома.
Разрешение этих противоречие связано с поправочными членами
вида (г • Vr) А в гамильтониане Н^ A4.34). Действительно, в При-
Приложении М показано, что калибровочно инвариантный гамильтониан
(\ который получается из Н^{\ имеет вид
+ V(r) - ет • Е - | ^ (г ¦ VR) (г ¦ Е). A4.37)
В отличие от выражения A4.34), эта формула содержит теперь поля,
а не векторный потенциал. Кроме того, если пренебречь вкладами,
содержащими магнитное поле и градиент электрического поля, этот
гамильтониан переходит в Н^ A4.36).
1) Искусно, специальным образом. — Прим. ред. пер.

14.4. Взаимодействие диполя с электрическим полем	441
Физический смысл отдельных вкладов в Н^ становится особенно
ясным, если раскрыть квадраты в кинетических энергиях и написать
Н^ ' = Н^ ) + HRM + HRe +
Отсюда получается рентгеновский член
HRM = ^ (г х В) • Р.
Мы глубже поймём это слагаемое, если напомним с помощью форму-
формулы (М.12) следующее соотношение
P = MR-e(r хВ),
которое связывает канонический Р и кинетический MR импульсы.
Тогда гамильтониан Рентгена принимает вид
HRM = е(г х В) • R - ^ (г х ВJ = -ег • (R х В) - ^ (г х ВJ,
или	2
HRM = Яг.Ест -1(гх ВJ
и содержит два вклада. Первый член возникает из-за того, что диполь
р = ег движется со скоростью R через магнитное поле. В движущейся
системе координат диполь видит электрическое поле Ecm = R х В.
Движущийся наблюдатель чувствует не только магнитное поле, но
и электрическое поле. Этот факт уже был известен Рентгену в 1888 го-
году. По этой причине соответствующий вклад в гамильтониан носит его
имя. Второй вклад содержит квадрат магнитного поля. Аналогичный
член возникает из квадратов импульсов и будет обсуждаться в конце
данного раздела.
Подобным же образом мы получаем рентгеновский член
ТТ	1 Am / -Г.Ч
Я*е^2Ме(гхВ)'Р
для относительного движения. Вспомнив выражение (М.13) для кано-
канонического импульса
е Am / -г.4
Р = ^ ~ 2 ~W (Г Х ^
относительного движения, находим
тт	Am , -г>\ • 1 fe Am\2
Я	e(rxB)r()
e(rxB).r--(-—) (rxB) ,
e(rxB)r(
тл 1 (е Amy / ,-.4 2
е = -р.Ее--(-—) (гхВ) .
ИЛИ
1 (е Amy

442	Гл. 14. Взаимодействие атома и поля
Действительно, так как электрон движется вокруг ядра, диполь тоже
движется со скоростью г. Следовательно, диполь р = ег видит инду-
индуцированное его движением электрическое поле
-^ Am /. -г.4
Ee^2M(rXB)-
Однако по сравнению с аналогичным эффектом для движения центра
инерции, теперь поле более сложное: оно содержит множитель 1/2,
известный как фактор Томаса, и отношение масс
Am _ nip — те _ 1 — те/тр ^ . ~те
М	ТПр + ГПе	1 + ГПе/гПр	ТПр'
которое близко к единице.
Дальнейшее понимание физического смысла члена Нце возникает,
если представить его в форме
которая описывает взаимодействие орбитального углового момента г х
х р с магнитным полем. Поэтому гамильтониан Нце тесно связан
с известным членом, ответственным за парамагнетизм электрона в маг-
магнитном поле.
Обратимся теперь к выражению
I	I / Л™ \2~|
Я(гхВJ = [гМ + 2^
На последнем шаге мы объединили два слагаемых, которые содержат
массы, и использовали определения A4.13) и A4.17), соответственно,
полной и приведённой масс. Мы видим, что вклад Я/гхВ^ содержит
только приведённую массу /i.
Кроме того, магнитное поле и относительная координата входят сю-
сюда квадратично. Поэтому этот член связан с так называемым эффектом
диамагнетизма в атомной физике.
Если использовать векторное соотношение
(rxBJ = r2B2-(r-Bf,
то гамильтониан Я/гхВч2 принимает альтернативную форму
где величина ег написана как дипольный момент р.
Последний член
представляет собой поправку к обычному дипольному взаимодействию:
он служит мерой неоднородности поля на размере атома.

14.6. Эквивалентность А • р и г • Е	443
14.5. Взаимодействие и перепутывание подсистем
До сих пор наше рассмотрение было, по сути, классическим. Теперь
обратимся вкратце к квантовой задаче.
Полная квантовая система, состоящая из атома и поля, описывается
вектором состояния |Ф). Его изменение как функции времени следует
из уравнения Шрёдингера
v'v dt ' '-
Здесь |Ф) включает состояние l^cm) движения центра инерции, внут-
внутреннее состояние IVVtom) атома и состояние \фтл&) поля излучения.
В оставшейся части книги мы используем заглавные греческие буквы,
такие как Ф и Ф, для обозначения вектора состояния объединённой
системы, а прописные греческие буквы, такие как ф, для векторов
состояния подсистем. В последующих главах мы на некоторое время
будем пренебрегать движением центра инерции. В этом случае вектор
состояния объединённой системы, включающей поле и внутренние
степени свободы атома, обозначается как |Ф).
Операторы R и Р, соответствующие координате и импульсу движе-
движения центра инерции, действуют на вектор состояния l^cm), операторы
г" и р координаты и импульса электрона действуют на внутреннее
состояние |^атом), а операторы векторного потенциала А, электриче-
электрического поля Е и магнитного поля В, которые определяются выражения-
выражениями A0.61), A0.65) и A0.69) и содержат линейные комбинации опера-
операторов рождения и уничтожения щ и а\, действуют на вектор состояния
iV'mwie) поля. Кроме того, все полевые операторы действуют также и на
состояние центра инерции, поскольку они содержат модовые функции
u/(R), зависящие от оператора координаты R центра инерции.
Заметим, что обе формы гамильтониана взаимодействия На-р
и i^r.E включают все три типа степеней свободы. Поэтому, даже
если начальное состояние системы является прямым произведением
трёх векторов состояния, взаимодействие создаёт сильно перепутанное
состояние — состояние, которое не может быть вновь факторизовано
в виде произведения состояний трёх подсистем. Такое перепутывание
очень важно для проблем, которые детально обсуждаются в связи с мо-
моделью Джейнса-Каммингса-Пауля, концепцией инженерии квантовых
состояний и задачами атомной оптики в квантованных световых полях.
14.6. Эквивалентность А • р и г • Е
Есть два способа описания взаимодействия атома с полем: в первом
случае импульс электрона взаимодействует с векторным потенци-
потенциалом, тогда как второй способ использует координату электрона и
электрическое поле. На первый взгляд не очевидно, что оба метода

444	Гл. 14. Взаимодействие атома и поля
приводят к одинаковым результатам. Этот вопрос и будет темой насто-
настоящего раздела.
В 1931 году М. Гупперт-Маер (М. Goppert-Mayer) опубликовала
результаты своей диссертационной работы, выполненной под руковод-
руководством М. Борна (М. Born) в Гёттингене. В диссертации на основе
квантовой электродинамики Дирака рассматривались двухфотонные
переходы в атомах. На начальной стадии исследования она решила
работать с гамильтонианом взаимодействия ЯГ.Е, а не с Яар. С этой
целью она добавляет к классическому лагранжиану полную произ-
производную по времени. Это дополнение позволяет ей показать, что оба
взаимодействия эквивалентны.
Здесь мы кратко рассмотрим данную аргументацию, а затем обра-
обратимся к квантовому случаю, используя специальный пример локаль-
локального калибровочного преобразования, которое обсуждалось в разде-
разделе 14.2.1. Далее мы покажем, что при вычислении матричных элемен-
элементов всё ещё есть одна тонкость. В данном разделе мы пренебрегаем
движением центра инерции и имеем дело только с относительным
движением электрона.
14.6.1. Классическое преобразование лагранжиана. Начнём с
классического гамильтониана
тг [Р
2М
электрона с приведённой массой fi в поле с векторным потенциалом
А = A(R,t) и кулоновском поле V'(r) = — е2/Dтг?о|г|).
Для того чтобы установить его связь с гамильтонианом
2
#@) = тг- + V(r) - ег • E(R> t)	A4.39)
диполя ег в электрическом поле Е, мы используем тот факт, что два
лагранжиана эквивалентны, когда они отличаются только на полную
производную по времени.
Эквивалентность лагранжианов. Уравнения движения получа-
получаются из вариации интеграла действия. Действительно, для истинной
траектории г = г(?) классической частицы вариация
= 0,
и интеграл действия, содержащий функцию Лагранжа, имеет экстре-
экстремум. Здесь координаты концевых точек интеграла не варьируются, то
есть Sr(ti) = Sr(t2) =0.
Если рассмотреть лагранжиан

14.6. Эквивалентность А • р и г • Е	445
который отличается от L только на полную производную по времени
от скалярной функции /, то для действия получаем
4	Ч	,t
= J dtL\r,r,t) = J dtL(r,r,t)-
и
Так как появившиеся из-за / дополнительные члены зависят только от
концевых точек, их вариации обращаются в ноль. Оба лагранжиана да-
дают одно и то же уравнение движения и, следовательно, эквивалентны.
Полная производная по времени. Функция Лагранжа получается
из гамильтониана с помощью преобразования Лежандра
в котором надо выразить импульс, используя канонические уравнения
Гамильтона	,Оч
^ 1
^ [р
Таким образом, функция Лагранжа, соответствующая гамильтониа-
гамильтониану A4.38), имеет вид
Мы можем вычесть полную производную по времени d/dt(r • А) и по-
получить функцию Лагранжа
?@) = L@) _ d (r . А) = \L i 2 _ y(r) _ d
(ЛЬ	?	(ЛЬ
В данном рассмотрении мы пренебрегаем движением центра инерции.
Поэтому координата R в аргументе векторного потенциала не зависит
от времени. Это позволяет нам заменить полную производную по
времени на частную производную, то есть
Здесь мы воспользовались тем, что в кулоновской калибровке электри-
электрическое поле и векторный потенциал связаны соотношением
F дА
Таким образом, мы получаем лагранжиан
который соответствует гамильтониану A4.39).
Влияние движения центра инерции. Подчеркнём, что решающим
элементом данного вывода является дипольное приближение, то есть

446	Гл. 14. Взаимодействие атома и поля
тот факт, что векторный потенциал не зависит от координаты элек-
электрона. Важно также, что координата R не зависит от времени. Если
включить движение центра инерции, то есть учесть зависимость R от
времени, мы получим дополнительное слагаемое, так как
Следовательно, в присутствии движения центра инерции гамильтони-
гамильтонианы не являются эквивалентными. В этом более глубокая причина
появления в гамильтониане A4.37) дополнительных членов, таких как
гамильтонианы Рентгена и другие.
14.6.2. Квантовое рассмотрение. Обратимся теперь к квантово-
квантовому рассмотрению вопроса об эквивалентности двух гамильтонианов
if(°) и if(°), заданных выражениями A4.38) и A4.39). Мы снова прене-
пренебрегаем движением центра инерции и рассматриваем только волновую
функцию ip(r,t) электрона. В частности, сосредоточимся на уравнении
Шрёдингера
В квантовой механике оба гамильтониана связаны калибровочным пре-
преобразованием _
ф(г, t) = ехр Гг| г • A(R, tj\ ф(г, t).	A4.40)
Заметим, что данное преобразование, как частный случай общего
преобразования, которое обсуждалось в разделе 14.2.1, соответствует
Л(г,?) =r- A(R,?).	A4.41)
Из соотношений A4.2) и A4.5) немедленно следует, что волновая
функция ф(г,г) удовлетворяет уравнению Шрёдингера, которое содер-
содержит взаимодействие г • Е. Действительно, сначала находим, что
Так как в кулоновской калибровке Е = —-к~, мы приходим к урав-
уравнению
Если волновая функция ф(г,Ь) удовлетворяет уравнению Шрёдингера
с минимальным взаимодействием, то есть со связью вида А • р, вол-
волновая функция ф(г,Ь) удовлетворяет уравнению Шрёдингера со взаи-
взаимодействием г • Е. Вновь подчеркнём, что эквивалентность двух форм
взаимодействия опирается на калибровочное преобразование A4.40),

14.6. Эквивалентность А • р и г • Е	447
в котором относительная координата г не входит в векторный потен-
потенциал, а координата R не зависит от времени.
14.6.3. Матричные элементы операторов А • р и г • Е. Решаю-
Решающим фактором является согласованное использование волновых функ-
функций ф или ф при вычислении матричных элементов двух гамильтони-
гамильтонианов взаимодействия. Так, например, матричные элементы
операторов
ЯА.Р = --
И	^
ЯГ.Е = -er -E(R,t)
различны. Подчеркнём, что здесь оба матричных элемента вычислены
с помощью одних и тех же собственных энергетических состояний
атома \j) и \j'), которые определяются уравнением
Яатом \j) =Щ + ^(г)] \j) = Ej \j).	A4.42)
То есть, мы не сделали калибровочного преобразования состояний.
Поскольку Е и А зависят только от координаты R ядра, достаточно
рассмотреть матричные элементы (j\^\jf) и (j\ p \f). С этой целью
напомним уравнение движения для гейзенберговского оператора
б	dr	* Г Г7"	^1	Ъ ( ТТ	^ ^ ТТ	\
= ~Т+ = ъ Яатом, Г = - Яатом Г - Г Яатом ,
II at h V	\ h V	/
которое даёт следующие матричные элементы
Яатомг-гЯа.
Используя определение A4.42) собственных энергетических состояний
\j) и \j'), находим
1- (Л р |/) = i (Е, - Er) 01 г |j'> = ico 01 г |/>,
где о; = (E'j — Ej/)/h. Таким образом, мы получаем соотношение
Заметим, однако, что этот матричный элемент не совпадает
с (ЛЯг-еЬО' который соответствует взаимодействию дипольного
момента с электрическим полем.

448	Гл. 14. Взаимодействие атома и поля
14.7. Эквивалентность гамильтонианов Н^ и
В предыдущем разделе, а более подробно^ Приложении М, полу-
получено выражение A4.37) для гамильтониана Н^ атома, движущегося
в поле с напряжённостями Е и В. В этом выводе мы исходили из
гамильтониана с минимальной связью
н = i[Ре ~еА{Ге)]2 + i[Рр+еА(Гр)]2+v{r) A4-43)
электрона и протона с полем в кулоновской калибровке. Затем мы
ввели координаты центра инерции и относительного движения и раз-
разложили векторный потенциал в ряд Тейлора около координаты центра
инерции. Калибровочное преобразование
Ф(г, R, t) = ехр [1 е Л(г, R, ?)] Ф(г, R, t)
с потенциалом
A(r,R,t) = г • A(R,t) + ^ (г ¦ Vr) [r ¦ A(R,t)]	A4.44)
преобразует приближённый гамильтониан Н^ A4.34) в калибровочно
инвариантный гамильтониан Н^ A4.37).
Интересен и такой вопрос, можно ли совершить калибровочное пре-
преобразование непосредственно точного гамильтониана A4.43), а затем
сделать дипольное приближение. Оказывается, калибровочное преоб-
преобразование
Ф(ге,гр,*) =ехр ^еЛ(ге,гр,?)] Ф(ге,гр,?)	A4.45)
с калибровочным потенциалом Дирака-Гейзенберга
1
Л(ге,гр,*) = J^A (re - гр) • А [Лге + A - \)rp,t]	A4.46)
о
достигает этой цели. В задаче 2 мы получаем уравнение Шрёдингера
для Ф, предполагая, что Ф удовлетворяет уравнению Шрёдингера с га-
гамильтонианом A4.43). Потом мы используем дипольное приближение
и приходим к выражению A4.37) для гамильтониана Н^\
Калибровочный потенциал Дирака-Гейзенберга Л весьма интерес-
интересный объект. Он является обобщением формулы г • А A4.41) для одной
частицы на случай двух частиц. Такое обобщение не является вполне
очевидным, так как векторный потенциал А зависит только от одной
пространственной переменной. Эта проблема обходится с помощью
одномерного интеграла. Действительно, аргумент
г' = Лге + A - Л)гр = гр + Л (ге - гр) = гр + Лг

14.8. Простая модель взаимодействия атома с полем	449
векторного потенциала при Л = 0 совпадает с координатой гр протона,
а при Л = 1 получается координата ге электрона. Следовательно, мы
перемещаемся непрерывным образом от одной частицы к другой.
Кроме того, тот факт, что одномерный интеграл A4.46) является
обобщением выражения г • А становится особенно понятным в пред-
представлении	г
Л(ге,гр,*)= J dr'-A(r',t).
Поскольку V х А = В ф О, этот одномерный интеграл зависит от вы-
выбора контура интегрирования. В соответствии с определением A4.46)
мы выбираем прямую 0 , которая соединяет два заряда.
В заключение этого раздела свяжем калибровочный потенциал
Дирака-Гейзенберга A4.46) с калибровочным потенциалом Л A4.44),
который используется в Приложении М, чтобы квантово-механиче-
ским образом показать эквивалентность гамильтонианов Н^ A4.34)
и Н^ A4.37) с учётом движения центра инерции.
С этой целью используем выражения A4.14) и A4.15), чтобы выра-
выразить координаты ге и гр электрона и протона, которые входят в опре-
определение A4.46) величины Л, через координаты R и г, соответственно,
центра инерции и относительного движения, и получаем
1
1
^r- fdA[A(R,t)- (^-A)(r-VR)-A(R,?)] .
о
На последнем шаге мы разложили векторный потенциал в ряд Тейлора,
используя выражение A4.23).
Интегрируя по А, приходим к выражению
Объединив массовые члены, действительно, получаем форму-
формулу A4.44) для потенциала Л.
14.8. Простая модель взаимодействия атома с полем
В разделе 14.3 сформулирован гамильтониан атома водорода в кван-
квантованном электромагнитном поле с учётом движения центра инерции.
Этот гамильтониан включает все атомные состояния и все моды поля
излучения. В данном разделе мы значительно упростим этот гамильто-
гамильтониан, полагая, что только два атомных уровня находятся в резонансе
1) Поэтому калибровочный потенциал A4.46) называют «line gauge poten-
potential». — Прим. ред. пер.
15 В. П. Шляйх

450
Гл. 14. Взаимодействие атома и поля
с полем. При этом рассматривается только одна мода поля в резонато-
резонаторе. По-прежнему, мы учитываем движение центра инерции.
Рис. 14.2. Простая модель взаимодействия атома и поля с учётом движения
центра инерции. Единственная мода добротного резонатора, которая описыва-
описывается модовой функцией u(r), изображённой здесь в простейшей форме, как
синусоида, взаимодействует с атомом, имеющим полную массу М и находя-
находящимся в точке R. Движению центра инерции атома отвечает кинетическая
энергия Р2/2М. Мы рассматриваем только два внутренних состояния атома,
а именно, возбуждённое состояние \а) и основное состояние \Ь) с энергиями,
соответственно, Еа = hua и Еь = Шоь- Частота перехода есть и = иа — ооь-
Дальнейшее упрощение происходит, когда мы считаем, что атом находится
в фиксированной точке, то есть пренебрегаем движением центра инерции. В та-
таком случае данная модель, которую называют в литературе моделью Джейнса-
Каммингса-Пауля, описывает взаимодействие двухуровневой системы с одной
модой квантованного поля резонатора
Эта простая модель, изображённая на рис. 14.2, обладает, тем не
менее, достаточно богатым физическим содержанием, чтобы описать
большинство явлений атомной оптики и квантовой электродинамики
резонаторов (КЭР). Она является «дрозофилой» квантовой оптики.
Модель, которая пренебрегает движением центра инерции, то есть
рассматривает только взаимодействие квантованного поля резонатора
с двухуровневой атомной системой, мы называем моделью Джейнса-
Каммингса-Пауля.
14.8.1. Получение гамильтониана. В этом разделе мы адапти-
адаптируем гамильтониан с электродипольным взимодействием
ЯГ.Е = -р - E(R, t) = -er • E(R, t)
к случаю двухуровневого атома, взаимодействующего с одной модой
поля излучения. И начнём с того, что представим внутренние степени
свободы атома с помощью спиновых матриц Паули.
Внутренние состояния. Вполне очевидно, что двухуровневых ато-
атомов в природе нет. Однако с помощью оптической накачки можно
реализовать такую ситуацию, когда эффективно оказываются вовле-
вовлечёнными только два энергетических состояния атома. Обозначим верх-

14.8. Простая модель взаимодействия атома с полем	451
нее энергетическое состояние как Еа = Ни;а через \а), а нижнее —
как Еь = bwb через \Ь). Они являются собственными состояниями
гамильтониана На70М атома.	^
Так как с помощью этих состояний любой атомный оператор О
можно записать в виде
0=1.6-1= J2 \j)(j\d\j')(j'\,	A4.47)
j,j'=a,b
то для гамильтониана получаем следующее выражение
HamM=Ea\a}(a\+Eb\b)(b\.
В векторном представлении
(^У <а| = A,0)
гамильтониан записывается как матрица
а О
О Е
Л(Еа- Еь)	О
1- (Еа + Еь)-\ (Еа - Еь)
ИЛИ	~	1/10
Яатом = Е 1 + i hw I q _ j
1
где Е = - (Ea + ?^5), a u; = u;a — CJ5 обозначает частоту перехода.
Так как постоянный член в гамильтониане не играет роли, мы его
здесь и в дальнейшем опускаем и приходим к выражению
атом = g
в которое введена спиновая матрица Паули
1 0
0 -1
Очевидно, что в энергетическом представлении гамильтониан диаго-
диагоналей.
Оператор диполъного момента. Теперь воспользуемся условием
полноты A4.47), чтобы выразить оператор координаты ? в терминах
энергетических собственных состояний. Так как волновые функции
15*

452	Гл. 14. Взаимодействие атома и поля
i/ij(r) состояний с заданной энергией обладают определённой чётно-
чётностью, диагональные матричные элементы равны нулю, то есть
В самом деле, поскольку функция |^'|2 является симметричной, а опе-
оператор г антисимметричен, то подынтегральное выражение антисиммет-
антисимметрично. Для недиагональных элементов имеем
е(а\г\Ъ) =е^3г Ф1(г)гфъ(г) = р
г
е(Ъ\г\а) =e^d6r ф1(г)гфа(г) = р*9
так что оператор дипольного момента ег принимает вид
ег = р|а)F| + р* \Ь)(а\.
Отметим, что этот оператор описывает переходы из основного состо-
состояния \Ь) в возбуждённое \а) и обратно. Для того чтобы совершенно
отчётливо прояснить это свойство, применим оператор ег к состоянию
\Ь) и получим
ег\Ъ)=р\а)(Ъ\Ъ) + р*\Ъ){а\Ъ) =
Аналогично
ег
а) =
а)(Ъ\а} + р*\Ъ}(а\а) = р* \Ъ).
Таким образом, оператор
({5 )	A4.48)
переводит атом в возбуждённое состояние и, тем самым, действует как
оператор рождения атома в возбуждённом состоянии \а).
Напротив, оператор
Э=\Ь)(а\=(°1 °Л	A4.49)
уничтожает атом в возбуждённом состоянии и поэтому является опе-
оператором уничтожения для возбуждённого состояния.
С помощью спиновых матриц Паули <5^ A4.48) и а A4.49) оператор
дипольного момента зписывается в виде
ег = ра^ + р*д.	A4.50)
Состояния поля. Обратимся теперь к интересующей нас одной
моде поля излучения в резонаторе. Вспоминая выражение A0.65),
имеем	^ ^	^
E(R,?) =?ou(R)i(a-at),	A4.51)

14.8. Простая модель взаимодействия атома с полем	453
где, в отличие от первоначального определения A0.66) вакуумного
электрического поля, теперь в амплитуду включён квадратный корень
из двух, то есть
I Ш
Здесь u(R) представляет собой модовую функцию резонатора. Так как
атом находится в точке R, мы должны и модовую функцию взять в той
же точке.
Согласно A0.52), гамильтониан одной моды поля излучения с ча-
частотой п имеет вид	^
где мы пренебрегли энергией нулевых колебаний.
Гамильтониан взаимодействия. Обратимся теперь к гамильтони-
гамильтониану взаимодействия	^	^ ^
ЯГ.Е = -er-E(R,?).
Используя выражения A4.50) и A4.51) для оператора дипольного
момента е? и оператора электрического поля E(R, ?), получаем
ЯГ.Е = -So г [р • u(R) д^ + р* • u(R) а] (а - Щ .
Скалярное произведение р • и дипольного момента р и модовой функ-
функции и является комплексной величиной
ри= \p'
с фазой (р. Таким образом, гамильтониан взаимодействия приводится
к виду	^	^
ЯГ.Е = hg(R)(-i) (a^ eiLp + ae~iLp) (a - af) ,
где мы ввели зависящую от координаты вакуумную частоту Раби
^b.	(H.52)
Физический смысл этой величины, а так же её название станут понят-
понятными после того, как в гл. 16 мы обсудим динамику модели Джейнса-
Каммингса-Пауля.
Выбирая фазу (р = тг/2, получаем
ЯГ.Е = hg(R) (af -a) (a- af) .
Полный гамильтониан. Собрав все результаты, получаем полный
гамильтониан атомно-полевой системы
^ Р2	1	^
Я = —— + Нпа^а + - hjjdz + hg(R) (at -a) (a- a") .
Этот гамильтониан включает оператор кинетической энергии Р2/BМ)
движения центра инерции атома, гамильтониан hfta^a свободного поля
и гамильтониан fkjaz/2, отвечающий внутренним состояниям. Опера-
Оператор взаимодействия между этими степенями свободы определяется за-

454	Гл. 14. Взаимодействие атома и поля
висящей от координаты константой связи g(R) и строится из спиновых
матриц Паули д и д^ и полевого оператора а — а\ Спиновые матрицы
Паули в энергетическом представлении являются недиагональными
матрицами.
14.8.2. Приближение вращающейся волны. Продолжим упро-
упрощение гамильтониана взаимодействия
ЯГ.Е = fog (да) + д^а — да — д^а^) .
Для этого есть два аргумента. Первый исходит из того факта, что
члены да и д^д) приводят к сильному нарушению закона сохранения
энергии. Второй аргумент, более математического свойства, основан
на процедуре усреднения. Мы переходим к представлению взаимодей-
взаимодействия, которое определяется внутренними состояниями атома и сво-
свободного поля, и пренебрегаем быстро осциллирующими членами. Это
и привело к названию приближение вращающейся волны.
Нарушение закона сохранения энергии. Члены да и д^а^ приводят
к нарушению закона сохранения энергии. Мы поймём этот факт, если
заметим, что, например, оператор да уничтожает возбуждённый атом
и одновременно уничтожает возбуждение поля. Аналогично, оператор
д^д) рождает полевое возбуждение и одновременно переводит атом из
основного состояния в возбуждённое.
Напротив, операторы да) и З^а либо уничтожают возбуждённый
атом с одновременным рождением полевого возбуждения, либо рожда-
рождают возбуждённый атом, уничтожая полевое возбуждение, как показано
на рис. 14.3.
и
\ъ)
Рис. 14.3. Приближение вращающейся волны. Возбуждение атома при погло-
поглощении фотона (вверху слева) и девозбуждение атома при излучении фотона
(внизу слева). В то время как эти процессы являются резонансными, те,
которые показаны на правой стороне рисунка, являются нерезонансными. Для
них энергия не сохраняется: атом девозбуждается и одновременно поглощает
фотон (вверху справа), либо атом возбуждается с излучением фотона (внизу
справа)
Тогда, пренебрегая членами да и д^д), получаем окончательное
выражение	^	^
ЯГ.Е = H[ni = hg (да) + д^а)	A4.53)
для нашего гамильтониана взаимодействия.
Приближение, основанное на пренебрежении членами да и д^д) на-
называется приближением вращающейся волны. Такое название стано-

14.8. Простая модель взаимодействия атома с полем	455
вится понятным только при более детальном математическом анализе
данной проблемы.
Метод усреднения. Для прояснения математических деталей при-
приближения вращающейся волны, которое до сих пор опиралось только
на эвристические аргументы, запишем гамильтониан
полной системы в представлении взаимодействия по внутренним со-
состояниям атома и состояниям свободного светового поля. Здесь
Яо = ЙО а^а + -hhjdz
обозначает гамильтониан свободного атома и свободного поля.
Для этого определим состояние |ФA)(?)) с помощью замены
A4-54)
Заметим, что свободное движение центра инерции, то есть оператор
кинетической энергии, мы не включили в указанное преобразование.
Это привело бы к сложному выражению для частоты Раби д, так как
она зависит от координаты R центра инерции.
Подставляя выражение A4.54), которое содержит вектор состояния
|ФA)(?)) в представлении взаимодействия, в уравнение Шрёдингера
получаем
d
ih —
dt	\2M
где
[{ Щ ЯГ.Е ехр [-1 Яо*]	A4.55)
является оператором взаимодействия в представлении взаимодействия.
Полечим теперь точное выражение для гамильтониана взаимодей-
взаимодействия ЩЕ. С этой целью мы подставляем гамильтониан Щ в фор-
формулу A4.55), используем тот факт, что атомные и полевые операторы
коммутируют, и приходим к выражению
-u;taz) (af -a)exp^--<
x еш+аШ (а-\
Рассмотрим сначала ту часть, которая содержит атомные операторы.
Так как матрица Паули az диагональна, получаем
еШ/2	q

456	Гл. 14. Взаимодействие атома и поля
что даёт
^-^. A4-56)
Здесь использовано матричное представление A4.49) оператора д. Та-
Таким образом, атомная часть имеет вид
exp Q гиогдЛ (д^ - д) exp (~ iuotdz\ = д^ eiujt -ae
iuotdz\ = д^ e -ae~iujt
Перейдём теперь к вычислению полевых операторов. Напомним, что
в гейзенберговской картине, рассмотренной в разделе 10.5.1, эволюция
во времени описывается выражением
a(t) = е*а+аш а@) е~*гЧш = а@)е"*ш,
которое даёт
Таким образом, гамильтониан ^-е в представлении взаимодействия
имеет вид
<» = kg (?t е™ Эе~гшГ) (ае~гШ а)еш)
#<»Е = kg (?t е™ -Эе~гшГ) (ае
или
Щ1)Е= kg (()	ц)
Мы видим, что операторы да и а^а\ приводящие к несохранению
энергии, умножаются на осциллирующие множители, которые содер-
содержат сумму частот резонатора и атомного перехода.
Напротив, операторы да) и д^а входят с множителями, которые
содержат только разность частот, то есть отстройку А = О — ио. В то
время как вклады от да и д^а^ осциллируют, грубо говоря, с удвоенной
оптической частотой, члены да) и д^а меняются медленно.
Так как уравнение Шрёдингера является дифференциальным урав-
уравнением первого порядка по времени, мы должны интегрировать по вре-
времени. В результате интегрирования сумма и разность частот оказыва-
оказываются в знаменателе. Следовательно, основной вклад должен появиться
от медленно меняющихся членов. Поэтому мы можем аппроксимиро-
аппроксимировать гамильтониан взаимодействия в представлении взаимодействия
следующим выражением
^1}е - #mt = % (^f eiAt + d^ae~iAt) .	A4.57)
Данный подход можно строго обосновать с помощью процедуры
усреднения. При этом, в частности, можно вычислить поправки следу-
следующих порядков.

Задачи	457
В исходной шрёдингеровской картине полученный гамильтониан
соответствует гамильтониану взаимодействия
Нг.ъ = fog (до) + <5^a) .
Резюме. Итак, мы показали, что в приближении вращающейся вол-
волны наша простая модель двухуровневого атома, взаимодействующего
с одной модой поля излучения, описывается гамильтонианом
Я = —— + foua^a + - fowaz + fog(R) (да) + afa) .
В следующих двух главах мы исследуем эту модель более детально.
В частности, сначала рассматривается случай неподвижного атома,
когда пренебрегается движением центра инерции. Роль оператора ки-
кинетической энергии изучается в последних главах.
Задачи
14.1	Построение гамильтониана взаимодействия
Рассмотрим атом, состоящий из ядра с единичным зарядом в точ-
точке с координатой гр и одного электрона с координатой ге, в ста-
статическом электрическом поле с потенциалом ф(х).
(а)	Какой гамильтониан имеет эта система?
(б)	Выразить гамильтониан через координаты центра инерции
и относительного движения и разложить потенциал по от-
относительной координате до членов второго порядка.
(в)	Рассмотреть движение электрона в потенциале, который со-
создаётся протоном, находящимся в точке R, и в дополнитель-
дополнительном внешнем поле с потенциалом ф(х). Каков гамильтониан
в этом случае?
(г)	Сравнить результаты.
(д)	Что изменится в пункте (б), если ядро состоит не из одного,
а из Z протонов?
(е)	Рассмотреть ион, имеющий ядро с Z протонами и один
электрон. Показать, что для центра инерции нет положения
устойчивого равновесия, если в окружающем пространстве
отсутствуют заряды или токи.
14.2	Дипольное приближение для двух частиц
С помощью калибровочного преобразования A4.45) с калибро-
калибровочным потенциалом Дирака-Гейзенберга A4.46) получить из
гамильтониана A4.43) двух противоположно заряженных частиц
в электромагнитном поле с кулоновской калибровкой гамильто-
гамильтониан A4.37). Сначала удобно выполнить калибровочное преобра-
преобразование, а потом ввести координаты центра инерции и относи-

458	Гл. 14. Взаимодействие атома и поля
тельного движения. На последнем шаге использовать дипольное
приближение. Надо ли при таком подходе удерживать в разло-
разложении Тейлора A4.23) член с первой производной векторного
потенциала?
Литература
Калибровочная инвариантность как причина связи для полей
Первоначальное предложение Вейля использовать принцип калибровочной инва-
инвариантности для формулировки единой теории гравитации и электричества изложено
в работе
Weyl Н. Raum, Zeit, Materie. Springer, Berlin, 1918
[Вейль Г. Пространство, время, материя. — М.: Янус, 1996]
Применение калибровочной инвариантности для описания связи между электриче-
электричеством и веществом
Weyl Н. Gruppentheorie und Quantenmechanik. Hirzel, Leipzig, 1928
[Вейль Г. Теория групп и квантовая механика. — М.: Наука, 1986]
Методическое введение в калибровочные теории
Hayot F. Introduction to gauge theories // New trends in atomic physics, Les
Houches 1982 / Ed. by G. Grynberg and R. Stora, North-Holland, Amsterdam,
1984
A p против г Е
Первое обсуждение эквивалентности двух гамильтонианов взаимодействия А • р
и г-Е
Goppert-Mayer М. fiber Elementarakte mit zwei Quantenspriingen // Ann.
Phys. (Leipzig) 1931. V. 9. P. 273-294.
Наиболее ясное, пожалуй, изложение этого вопроса можно найти в обзоре и книге
Power E. A., Zienau S. Coulomb Gauge in Non-Relativistic Quantum Electro-
Electrodynamics and the Shape of Spectral Lines // Philos. Tran. Roy. Soc. London A.
1959. V. 251. P. 427-454.
Cohen-Tannoudji C, Dupont-Roc /., Grynberg G. Photons and Atoms, Intro-
Introduction to Quantum-Electrodynamics. Wiley, New York, 1989
В связи с проблемой лэмбовского сдвига было указано, что вычисления, основанные
на р • А-взаимодействии не согласуются с экспериментом. Взаимодействие же вида г • Е
согласуется, как обсуждалось в работе
Lamb Jr. W.E. Fine Structure of the Hydrogen Atom // Phys. Rev. 1952.
V. 85. P. 259-276.
Разрешение этого парадокса можно найти, например, в работах
Lamb Jr. W.E., Schlicher R.R., Scully M. О. Matter-field interaction in atomic
physics and quantum optics // Phys. Rev. A. 1987. V. 36. P. 2763-2772.
Scully M.O., Zubairy M.S. Quantum Optics. Cambridge University Press,
1997
[Скалли М.О., Зубайри М.С. Квантовая Оптика. — М.: Физматлит, 2003]

Литература	459
Методическое изложение проблемы калибровочной инвариантности
Kobe D.H. Gauge transformations and the electric dipole approximation //
Am. J. Phys. 1982. V. 50. P. 128-133.
Kobe D.H., Gray R.D. Operator Gauge Transformations in Nonrelativistic
Quantum Electrodynamics: Application to the Multipolar Hamiltonian // II Nuovo
Cimento. 1985. V. 86B. P. 155-169.
Kobe D.H., in: Ode to a Quantum Physicist, ed. by W.P. Schleich, H. Walther
and W. E. Lamb, Elsevier, Amsterdam, 2000
Атом в поле
Изложение, подобное представленому в разделе 14.2.2, было предложено в работе
Eberly J.H. Note on the Electric Dipole Interaction. Internal Memorandum,
M. L. No. 808, W.W. Hansen Laboratories of Physics, Stanford, 1961
а так же, применительно к лазерному охлаждению, в обзоре
Stenholm S. The semiclassical theory of laser cooling // Rev. Mod. Phys.
1986. V. 58. P. 699-739.
Обсуждение формы гамильтониана взаимодействия с учётом движения центра инер-
инерции в рамках Е • г-взаимодействия
Rontgen W. С. fiber die durch Bewegung eines im homogenen electrischen
Fel de befindlichen Dielectricums hervorgerufene electrodynamische Kraft // Ann.
Phys. Chem. 1888. V. 35. P. 264-270.
Baxter C, Babiker M., Loudon R. Canonical approach to photon pressure //
Phys. Rev. A. 1993. V. 47. P. 1278-1287.
Wilkens M. Significance of Rontgen current in quantum optics: Spontaneous
emission of moving atoms // Phys. Rev. A. 1994. V. 48. P. 570-573.
Модель Джейнса-Каммингса-Пауля
Оригинальные работы по модели Джейнса-Каммингса-Пауля
Jaynes E.T., Cummings F.W. Comparison of Quantum and Semiclassical
Radiation Theories with Applications to the Beam Maser // Proc. IEEE. 1963.
V. 51. P. 89-109.
Paul H. Induzierte Emission bei starker Einstrahlung // Ann. Phys. (Leipzig)
1963.	V. 11. P. 411-412.
Разработка подобных идей
Willis C.R. A Model of Interacting Radiation and Matter // J. Math. Phys.
1964.	V. 5. P. 1241-1252.
Picard R.H., Willis C.R. Coherence in a Model of Interacting Radiation and
Matter // Phys. Rev. 1965. V. 139. P. A10-A15.
Метод усреднения изложен, например, в книге
Боголюбов Н.Н., Митропольский Г. А. Асимптотические методы в теории
нелинейных колебаний. — М.: Наука, 1974

Глава 15
МОДЕЛЬ ДЖЕЙНСА-КАММИНГСА-ПАУЛЯ:
ДИНАМИКА
Модель Джейнса-Каммингса-Пауля, введённая в предыдущем раз-
разделе, является самой простой моделью взаимодействия атома с кван-
квантованным полем: она рассматривает только один двухуровневый атом
и единственную моду поля излучения. Кроме того, в неё можно также
включить движение центра инерции. В данной главе, однако, мы пока
пренебрегаем движением атома: это первоначальная версия модели
Джейнса-Каммингса-Пауля. К квантовому рассмотрению движения
центра инерции мы обратимся в главах 19 и 20.
Итак, в настоящей главе мы решаем уравнение Шрёдингера
гЙ^Р=Я1п4|Ф(*))	A5.1)
для вектора состояния |Ф), когда гамильтониан взаимодействия в пред-
представлении взаимодействия имеет вид
H[ni = Ггд (aa^eiAt + a^ae~iAt) .	A5.2)
Мы рассмотрим динамику системы в двух предельных случаях.
1)	Для точного резонанса, когда гамильтониан не зависит от вре-
времени, в разделе 15.1 с помощью алгебры операторов будет получено
замкнутое выражение для оператора эволюции во времени.
2)	В случае больших отстроек от резонанса, который обсуждается
в разделе 15.2, мы сделаем некоторую замену, а затем в разделе 15.3
решим получившееся уравнение с помощью преобразования Лапласа.
Случай больших отстроек является особенно важным, так как число
фотонов и населённости атомных уровней сохраняются, но возникают
фазовые сдвиги, которые зависят и от числа фотонов, и от насе-
населённости. Таким способом можно создать так называемые состояния
шрёдингеровской кошки, которые обсуждаются в разделе 15.4.
15.1. Резонансная модель
Джейнса-Каммингса-Пауля
Чтобы проникнуть в суть динамики модели Джейнса-Каммингса-
Пауля, рассмотрим сначала резонансный случай А = 0. В этом пределе
гамильтониан взаимодействия

15.1. Резонансная модель Джейнса-Каммингса-Пауля	461
не содержит явной зависимости от времени. Поэтому можно восполь-
воспользоваться формальным решением
= exp [-igt(atf+ЭЩ
уравнения Шрёдингера, которое обсуждалось в разделе 2.4.2.
Для того чтобы рассмотреть динамику, мы в данном разделе вы-
вычислим оператор эволюции
U(t, to = 0) = exp [-igt (aa) + a^a)]
для резонансной модели Джейнса-Каммингса-Пауля.
Начальный вектор состояния
СЪ \
п=0	п=0	^ Ь
са
п)
A5.3)
является прямым произведением вектора состояния поля
сю
п=0
и атомного состояния
\фатом) = са \а) +Сб \Ь).
На последнем шаге в выражении A5.3) атомное состояние представле-
представлено с помощью вектор-столбцов
|°> = (J) и \ь) =
которые удобны, когда рассматривается действие атомно-полевого га-
гамильтониана на начальное состояние.
15.1.1. Вычисление оператора эволюции с помощью алгебры
операторов. Сначала запишем оператор U в разных формах и начнём
с определения
п=0
экспоненциальной функции в виде ряда по степеням параметра Л и
оператора А. Разбиваем сумму на две части с чётными и нечётными
степенями, то есть
U(t, to = 0) = exp [—igt(da) + a^a)] =^c — is,

462
Гл. 15. Модель Джейнса-Каммингса-Пауля: динамика
где
A5.4)
Е
п=0
Чётные степени. Начнём с оператора
и напомним соотношения
Э2 = (\Ъ){а\J = \Ъ)(а\\Ъ)(а\=д,
которые отражают тот факт, что в двухуровневой системе оператор,
приводящий к повышению или понижению атомного уровня, может
быть применён только один раз.
Кроме того, есть оператор
A5.6)
отвечающий переходу из основного состояния \Ь) в возбуждённое \а
и обратно в \Ь). Аналогично, оператор
= (\а) (Ь\) (\Ь) (а\) =
о о
A57)
описывает переход из состояния \а) в \Ь) и обратно в \а).
Атомный оператор дд^ действует вместе с полевым оператором
то есть атомный переход по пути \Ь)
\Ь) сопровождается уни-
уничтожением фотона с последующим рождением. Точно так же, оператор
объединён с аа\ то есть переход
\Ь)
а) идёт вместе
с рождением фотона и его уничтожением. Таким образом, оператор
(аа1 + а1 а) = а а1 а1 а + а1 а а а1 =
0
0
как следует из A5.6) и A5.7), отвечает двухфотонному процессу и
приводит к соотношению

15.1. Резонансная модель Джейнса-Каммингса-Пауля
463
Следовательно, для оператора ^ A5.4) мы получаем следующее выра-
выражение
С =
п=0
Bn)!
О
\
n=o
ИЛИ
с =
О
cos(gtVa^a ) у
A5.9)
Нечётные степени. Из определения A5.5) оператора 5? получаем
n(gtJn+l
s =
(-l)n(gt)
\
n=0
Bга+1)!
О
где использовано выражение A5.8) для квадрата оператора
	t ^t^ /0 в\
аа +а а={Я О )¦
С помощью написанных выше соотношений получаем следующую фор-
формулу
)
s =
/aat
О
О
/ata
/aat
0
A5.10)
Подчеркнём, что, в отличие от с*, оператор 5^ в базисе атомных состоя-
состояний является недиагональным.
Оператор эволюции во времени. Теперь можно объединить фор-
формулы A5.9) и A5.10), чтобы получить точное выражение для оператора
эволюции. Но предварительно выразим оператор аа^ через оператор
числа фотонов п с помощью соотношения Ш) = а^а-\- 1 = п + 1. Таким

464
Гл. 15. Модель Джейнса-Каммингса-Пауля: динамика
образом, оператор эволюции для модели Джейнса-Каммингса-Пауля
имеет вид
U(t, to = 0) = exp [—igt(aa^
_ /cos (gt\/n + 1) 0
I	0	cos (gty/n)
— г
A5.11)
Этот оператор определяет динамику данной модели.
15.1.2. Интерпретация оператора эволюции. Структура выра-
выражения A5.11) для оператора эволюции во времени достаточно про-
прозрачна: динамика атомно-полевой системы определяется чётным или
нечётным числом актов обмена квантом возбуждения между полем
и атомом, которым и соответствуют два вклада в эту формулу.
Вклады чётного порядка. Поскольку уничтожение кванта поля
сопровождается рождением атомного возбуждения, а рождение кванта
поля — уничтожением возбуждения атома, чётное число актов обмена
возбуждениями оставляет атомное состояние неизменным. Поэтому-
то оператор, соответствующий обмену чётным числом фотонов, диаго-
диагоналей.
Кроме того, из унитарности оператора эволюции, заданного экспо-
ненциаьной функцией, следует, что зависимость от времени опреде-
определяется тригонометрическими функциями — косинусом и синусом. Так
как диагональные матричные элементы не дают переходов, а при t = 0
должно получиться начальное состояние, то диагональный член может
содержать только косинус.
Появление операторов \/п и л/п + 1 становится понятным, если
вспомнить, что матричный элемент в верхнем левом углу отвечает
2п-фотонным переходам, которые начинаются и заканчиваются в воз-
возбуждённом состоянии атома. Поэтому сначала надо родить фотон,
а затем его уничтожить. Такой процесс происходит п раз, то есть
п раз
Точно так же, матричный элемент в нижнем правом углу отвечает
2п-фотонным процессам, которые начинаются и заканчиваются в ос-
основном состоянии атома. Следовательно, сначала фотон уничтожается,
а потом снова рождается, и такой процесс происходит п раз, то есть
(о)а)(д)а)... (а) а) = @а)п = Vn 2n.
п раз

15.1. Резонансная модель Джейнса-Каммингса-Пауля
465
Члены нечётного порядка. Второе слагаемое описывает процессы
обмена нечётным числом фотонов. Такой оператор не может быть
диагональным — он должен быть недиагональным. Если мы начи-
начинаем с основного состояния, а в конце приходим к возбуждённому
состоянию, то сначала надо уничтожить фотон, а затем осуществить
2п-фотонный процесс рождения и уничтожения фотона п раз, то есть
2п
а =
а.
п раз
Для того чтобы получить синус из членов нечётного порядка в разло-
разложении экспоненты, мы должны умножить и разделить на у/п + 1 . Это
объясняет вид второго столбца во втором слагаемом формулы A5.11).
Аналогичным образом можно объяснить и первый столбец, связан-
связанный с Bп + 1)-фотонными переходами из возбуждённого состояния,
заканчивающиеся в основном состоянии. В этом случае сначала дол-
должен родиться фотон, а потом произойти 2п-фотонный процесс цикли-
циклического уничтожения и рождения фотонов, то есть
п раз
Так как при t = О переходов нет, зависимость от времени определяется
синусом.
15.1.3. Вектор состояния всей системы. Теперь можно приме-
применить оператор эволюции к начальному вектору состояния системы
ОО	, ч
-»-?Ч*н
Используя соотношения
п — 1) = sin (gtyfn )\n — 1)
in (qtvn ) ^+ \ sin (qty/n )
sm x^
Vn
находим
n) =
n=0
— г
0
/n+ 1 \n + 1) = sin (gty/n + 1 ) \n + 1),
0
cos (gty/n ) ) \cb
sin (gty/n + 1 ) |n + 1)
n -
|n —

466
Гл. 15. Модель Джейнса-Каммингса-Пауля: динамика
Таким образом, вектор состояния имеет вид
оо
= ?w«
n=0
ca cos (gty/n + 1
C5 cos (gty/n )
— г
сь sin (gty/n ) |n - 1)
i>
или
oo
?
n=0
^ni ca [ cos (gty/n + 1 ) |a,n) — г sin (gty/n + 1 ) |b, n + 1)] +
+ о,[cos (gty/n ) |b, n) — isin(^v^) |a, n — 1)] I. A5.12)
Здесь введены обозначения \a) \n) = \a, n) и |Ь) \п + 1) = |Ь, n + 1).
Рис. 15.1. Динамика модели Джейнса-Каммингса-Пауля в пространстве со-
состояний атома и поля. Вершина каждого куба, изображённая в виде пустого
или заполненного кружка, обозначает атомно-полевое состояние \j,m), где
\j) = |a) или \b), а \т) есть m-фотонное фоковское состояние. Верхняя плос-
плоскость представляет состояния, в которых атом возбуждён, и поле содержит т
фотонов, а нижняя плоскость содержит состояния с атомом на основном
уровне. Вдоль осей, направленных вглубь, указаны числа фотонов. Так как
в модели Джейнса-Каммингса-Пауля происходят обмены только одним кван-
квантом возбуждения между атомом и полем, состояние \а,п) либо не меняется,
как показано стрелкой в верхней плоскости, либо превращается в состояние
\Ь,п-\- 1), на что указывает стрелка, направленная в правую вершину ниж-
нижней плоскости на заднем плане. Амплитуды вероятности, связанные с эти-
этими процессами, имеют, соответственно, вид Сп = cos (у/п + 1 gt) и — iSn =
= —i sin (у/п + 1 gt). Точно так же, состояние \Ь, п) может оставаться неиз-
неизменным, либо превращаться в состояние \а,п— 1), как показывает стрелка,
направленная в правую вершину верхней плоскости на переднем плане. Ампли-
Амплитуды вероятности этих процессов есть, соответственно, Сп-\ и —iSn-\- Пол-
Полное состояние атомно-полевой системы определяется суперпозицией четырёх
состояний \а, п), \а,п— 1), \Ь, п) и \Ь, п-\- 1), показанных четырьмя чёрными
кружками. Подчеркнём, однако, что такой рисунок не может содержать, или
правильно представлять интерференцию этих состояний

15.1. Резонансная модель Джейнса-Каммингса-Пауля
467
15.1.4. Динамика в пространстве состояний. Будет поучитель-
поучительно рассмотреть динамику модели Джейнса-Каммингса-Пауля, задан-
заданную выражением A5.12), для наиболее простого случая, когда атом,
находящийся в суперпозиционном состоянии \фатом) = са \а) + сь \Ь),
взаимодействует с фоковским состоянием \п). В этом случае оператор
эволюции превращает начальное состояние
= 0)) = |^атом) ® |V
= [са
СЬ \
то есть
в состояние
= 0)} = Са\а,п) + сь\Ъ,п)
= са [Сп \а, п) - iSn \Ъ, п+1)] + cb [Cn_i \Ъ, п) - iSn_x \a, п-1>]
A5.13)
к моменту времени t.
Здесь мы ввели сокращённые обозначения
Сп = cos
A5.14а)
Sn = sin (л/nTT gt) .
A5.146)
На рис. 15.1 такая динамика изображена с помощью трёхмерной
решётки. Каждая вершина кубов представляет состояние атомно-по-
левой системы. На верхнем «этаже» расположены состояния \а,т),
то есть фоковские состояния в присутствии атома в возбуждённом
состоянии. На нижнем «этаже» мы изображаем состояния \Ь, га), то
есть состояния фотонного поля, когда атом находится в основном
состоянии.
Вершины слева отмечают состояния до взаимодействия, а вершины
справа представляют состояния после взаимодействия. Динамика мо-
модели указывается стрелками, соединяющими вершины.
Так как атом и поле могут обменяться не более чем одним возбуж-
возбуждением, состояние \а,п) может либо остаться прежним, как показывает
горизонтальная стрелка, либо превратиться в состояние \Ь,п+ 1), как
изображено стрелкой, направленной в правую вершину на нижней
плоскости. Амплитуды вероятности для этих переходов равны, соот-
соответственно, Сп и —iSn.
Точно так же, состояние \Ь,п) может либо не измениться, либо
перейти в состояние \а,п— 1), как показано горизонтальной стрел-
стрелкой, либо диагональной стрелкой, направленной в правую вершину
на первом плане. Амплитуды вероятности этих процессов есть Сп_\
и -iSn-\.
Если атом первоначально находился в когерентной суперпозиции
возбуждённого и основного состояний, указанные выше амплитуды
вероятностей переходов из этих состояний надо умножить, соответ-
соответственно, на амплитуду вероятности са нахождения в состоянии \а) и на
амплитуду вероятности съ нахождения в состоянии \Ъ). Поэтому для

468
Гл. 15. Модель Джейнса-Каммингса-Пауля: динамика
верхнего атомного уровня полные амплитуды вероятности остаться на
том же уровне или перейти на нижний уровень равны, соответственно,
саСп и —icaSn. Аналогично, для нижнего уровня полные амплитуды
вероятности либо остаться, либо перейти на верхний уровень есть
съСп-\ и —icbSn-\. В этом случае вектор состояния |Ф) всей системы
является суперпозицией всех четырёх состояний \а, п), \а,п — 1), \Ь,п)
и \Ь,п+ 1), изображённых чёрными кружками в вершинах.
Пока мы рассмотрели только эволюцию вектора состояния системы,
состоящей из двухуровневого атома, взаимодействующего с единствен-
единственным фоковским состоянием. В случае произвольного полевого состо-
состояния	оо
|^поле) = J2Wn 1П)
п=0
каждая вершина с левой стороны является начальной точкой для стре-
стрелок, указывающих переходы. Поэтому каждую такую вершину надо
снабдить амплитудой вероятности wn, как показано на рис. 15.2.
wll4
Рис. 15.2. Пространство состояний атомно-полевой системы для модели
Джейнса-Каммингса-Пауля в случае суперпозиции фоковских состояний с ам-
амплитудами вероятности wn. Каждый пустой кружок с левой стороны пред-
представляет одну компоненту начального состояния, взвешенную с амплитудой
вероятности wn. Для каждой компоненты начального состояния стрелки ука-
указывают различные пути эволюции, которые дают вклад в конечное состояние,
изображённое заполненными кружками
15.2. Роль отстройки
Обратимся теперь к более сложному случаю модели Джейнса-
Каммингса-Пауля с ненулевой отстройкой. В такой ситуации гамиль-
гамильтониан взаимодействия A5.2) явным образом зависит от времени, и мы
не можем использовать формальное решение, рассмотренное в преды-

15.2. Роль отстройки
469
дущем разделе. Конечно, в принципе, можно было бы использовать
упорядоченное по времени произведение, которое обсуждалось в раз-
разделе 2.4. К счастью, в этом нет необходимости.
Напомним, что гамильтониан iJint связывает две подсистемы атом-
атомных и полевых состояний. Поэтому мы сделаем некоторую замену
вектора состояния, которая содержит подходящую комбинацию поле-
полевых и атомных состояний. А затем с помощью уравнения Шрёдингера
получим уравнения движения для коэффициентов разложения.
15.2.1. Состояния атома и поля. Вектор состояния |Ф) содержит
полевые и атомные состояния. Однако из-за специальной структуры
операторов взаимодействия Эа) и а^а атомные и полевые состояния
входят только в виде определённой комбинации.
Действительно, уничтожение атома в возбуждённом состоянии \а)
приводит к рождению полевого возбуждения. Поэтому гамильтониан
ifint преобразует состояние \а) \п) = \а,п), где \п) обозначает п-фотон-
ное фоковское состояние поля, в состояние
Я,
int
а,п.
= Пд (
- d4e~iAt) \a, n) = hgVn + 1 eiAt \b, n + 1).
A5.15)
Здесь мы воспользовались следующим свойством
¦t \п\ =
а1 \п) =
оператора рождения и результатами действия
Э\а) = \Ь)
И
д^\а) = \а)(Ъ\ \а) = \а)(Ь\а) =0
атомных операторов. Последняя формула отражает тот факт, что воз-
возбуждённое состояние нельзя возбуждать дальше.
Точно так же, атом в основном состоянии \Ь) становится возбуж-
возбуждённым за счёт полевого возбуждения. Поэтому гамильтониан Н-т\
преобразует \Ъ) \n-\- 1) = \Ь,п+ 1) в состояние
Ь, n+\) =
а,п)
A5.16)
Здесь мы использовали соотношение
а
и свойства
и
П) = у/п \п — 1)
^ \Ъ) = \а)
а\Ъ) = \Ъ)(а\\Ъ) = \Ъ)(а\Ъ)=О.

470
Гл. 15. Модель Джейнса-Каммингса-Пауля: динамика
Последняя формула отражает тот факт, что ниже основного состояния
опуститься нельзя.
Состояние \Ь, 0), которое соответствует значению п = — 1 в выра-
выражении A5.16), играет особую роль: из формулы A5.16) следует, что
Ны\Ъ,0)=0.
A5.17)
Вакуум не может возбудить атом, находящийся в основном состоянии.
Состояние \Ь,0) отщепляется от остальных состояний.
15.2.2. Уравнения Раби. Теперь мы готовы обсудить динамику
нерезонансной модели Джейнса-Каммингса-Пауля. С этой целью сде-
сделаем некоторую замену вектора состояния.
Замена вектора состояния. Поскольку гамильтониан Н-т\ пе-
перемешивает только состояния \Ь, п+1) и \а,п), попробуем сделать
следующую замену
A5.18)
п=0
вектора состояния.
Чтобы найти уравнения движения для зависящих от времени ам-
амплитуд вероятности Фа?п и Ф&,п+ь подставим написанный выше вектор
состояния в уравнение Шрёдингера A5.1)и получим
п=0
сю
Е
п=0
ИЛИ
сю
[Фо,п(*) \а,п
а, п) + Ф6,п+1 (t)H[nt \Ъ, п + 1)
\Ь,п+ 1)]
n=0 L
Ф6,п+1 (t)hgVn
\Ъ, 0),
где использованы преобразования A5.15)—A5.17) состояний |a,n),
|Ь,п+1> и |Ь,0>.
Проектируя на состояния |a,n), |Ь, п+1) и |Ь, 0) с учётом их
ортогональности, получаем так называемые уравнения Раби
Фь,„+1(*) = -igy/n + I eiAt*o,n(t).
A5.19)

15.3. Решение уравнений Раби	471
Мы видим, что состояние \Ь, 0), действительно, не участвует в дина-
динамике, так как
Фь,о№ = 0,
в полном соответствии со вторым из уравнений Раби при п = — 1.
Начальные условия. Уравнения Раби A5.19) представляют собой
систему двух связанных обыкновенных дифференциальных уравнений
первого порядка и поэтому нуждаются в двух начальных условиях.
Это амплитуды вероятности Фа?п(? = 0) и Фб,п(? = 0) в момент времени
t = 0. Эти условия предполагают, что при t = 0 атом никак не связан
с полем, и вектор состояния |Ф(? = 0)) является прямым произведе-
произведением
= 0))
= IVWf) й
= [Са
а)
?>№
+ С{
field)
.|Ь>]
оо
0 5Z Wfl
п=0
п)
оо
= ^2 [wnca
п=0
, п) + wnCb \b, n)],
n=0
которое в обозначениях A5.18) имеет вид
сю
Ь, п + 1)] + ^0Сб |Ь, 0). A5.20)
п=0
Здесь са, С5 и г^п есть амплитуды вероятности, что при t = 0 атом
находился, соответственно, в состоянии \а) или |Ь), а поле — в п-м
фоковском состоянии.
Сравнивая выражение A5.20) для |Ф(? = 0)) с формулой A5.18) для
вектора состояния |Ф), находим начальные условия
Фа,п(? = 0)=^пса,	A5.21a)
0)=wn+xcb	A5.216)
= 0) = Фь,о(*) = ^осб-	A5.21в)
Следовательно, надо получить решение уравнений Раби A5.19), под-
подчиняющееся этим начальным условиям.
15.3. Решение уравнений Раби
Уравнения Раби A5.19) представляют собой систему двух свя-
связанных дифференциальных уравнений первого порядка. Существует
много способов расцепления таких уравнений. Одна из возможностей
состоит в том, чтобы продифференцировать оба уравнения по времени
и подставить одно в другое. В данном разделе мы, однако, сочли
более удобным использовать преобразование Лапласа. Таким способом
можно автоматически учесть начальные условия.
15.3.1. Преобразование Лапласа. С помощью преобразования
Лапласа уравнения Раби сводятся к системе алгебраических уравне-

472	Гл. 15. Модель Джейнса-Каммингса-Пауля: динамика
ний, которые решаются элементарно. Выполняя затем обратное пре-
преобразование Лапласа, мы находим амплитуды вероятности Фа,п@
и *b,n+i(*).
Получение алгебраических уравнений. Начинаем с того, что вве-
введём преобразования Лапласа амплитуд вероятности
о
Здесь мы преобразовали амплитуды вероятности егА^2Фа?п и е~г
Фь,п+1, включив в них часть явной зависимости гамильтониана от
времени, которая связана с отстройкой. Эта замена позволяет нам
получить простые уравнения для 4fa^n(s) и 4fb,n+i(s)-
Действительно, умножая уравнения Раби A5.19) на e-ste^At/2 и
e-ste-iAt/2 и интегрируя по времени, находим
о
После интегрирования по частям получается неоднородная система
*b,n+i(s)
двух связанных алгебраических уравнений.
Решение алгебраических уравнений. Решение этой системы имеет
вид
( *() \	( Фо.п@)
где матрица, обратная U, задана выражением
.А
-IQy/n + 1 \	1
A5.23)
r^l	д I=xtt
detU	;Л./ГТТ , ,"Л	detU

15.3. Решение уравнений Раби	473
Определитель
detU = 52+(^) +?2(п+1) = E + гАп)E-гАп)	A5.24)
матрицы U имеет нули в точках s = ±гЛп, где
что позволяет нам вычислить амплитуды вероятности Фа,п(?)
15.3.2. Обратное преобразование Лапласа. Теперь обратим
преобразование Лапласа с помощью формулы
в которой контур интегрирования С надо выбрать так, чтобы он охва-
охватывал все полюсы. Подставив решение A5.22) вместе с выражени-
выражением A5.23) для матрицы U~ в формулу обращения преобразования
Лапласа, мы видим из результирующего выражения
*a.n(* = 0)
2ш) det U
С
что полюсами являются нули определителя A5.24) матрицы U. Тогда,
используя соотношение
1	1	1
detU (s + iXn)(s — гХп) 2гХп \s — iXn s + iXn
получаем
Фо.п@)
2iAn U (S
Напомним теперь из комплексного анализа формулу интеграла Коши
которая справедлива для аналитической функции /. Здесь замкнутый
контур интегрирования обходит простой полюс в точке z = а в направ-
направлении против часовой стрелки.

474
Гл. 15. Модель Джейнса-Каммингса-Пауля: динамика
С помощью этой формулы написанное выше выражение для ампли-
амплитуд вероятности приводится к виду
e
Используя определение IT A5.23), получаем соотношение
1 Г iX^t-ш
2г\п
= i\n) -
1
2\п
„глпъ
g\/n
An - —
-«-«-¦( -^ -Щ
которое после объединения соответствующих членов принимает вид
— sin (Xnt)
(Ant) + г^- sin (Ant) -i
-^	 sin (Xnt) cos (Xnt) - г—— sin (Xnt)
Результаты. Таким образом, мы получили точные выражения
(Xnt) +i^sin (Ant)] Фо,п@) -
ГТ sin(Ant) Фь,„+1 @) 1 A5.25a)
J
cos
- i
8т(Ап*)Фо,„@)
cos(Ant) -г^- sin(Ant)
A5.256)

15.4. Обсуждение решения	А1Ъ
для амплитуд вероятности Фа>п(?) или 4fb,n+\(t) обнаружить атом в
возбуждённом состоянии \а) и п фотонов, или же обнаружить атом
в основном состоянии \Ь) ип+1 фотон.
Подчеркнём, что эти выражения получены в представлении взаи-
взаимодействия по внутренним состояниям атома и состояниям свободного
поля.
15.4. Обсуждение решения
Обсудим теперь физический смысл этих решений для модели
Джейнса-Каммингса-Пауля. В частности, проанализируем их в двух
предельных случаях: 1) когда световое поле находится в резонансе
с атомным переходом и 2) когда оно имеет большую отстройку. В пер-
первом случае мы установим связь с результатами первого раздела, кото-
которые были получены с помощью алгебры операторов. Во втором случае
эволюция во времени вектора состояния |Ф) атомно-полевой системы
определяется эффективным гамильтонианом, который сохраняет насе-
населённости атомных уровней и статистику фотонов. Такой гамильтониан
играет важную роль в атомной оптике и квантовой электродинамике
резонаторов.
15.4.1. Общее рассмотрение. В предыдущем разделе мы уста-
установили, что гамильтониан модели Джейнса-Каммингса-Пауля пере-
перемешивает только две амплитуды вероятности Фа?п и Ф^п+ь Так как
мы ограничились случаем унитарной эволюции, то есть рассмотрели
замкнутую систему атома и поля, и в силу линейности квантовой
механики зависящие от времени амплитуды вероятности являются
линейными комбинациями амплитуд при t = 0.
Кроме того, поскольку гамильтониан взаимодействия рождает атом-
атомное возбуждение с одновременным уничтожением фотона и наоборот,
изменение со временем такой квантовой системы может представлять
собой только периодический процесс обмена возбуждением между ато-
атомом и полем. Следовательно, амплитуды вероятности Фа?п и Фб,п+1
должны быть периодическими функциями. Самыми простыми перио-
периодическими функциями являются синус и косинус, и, действительно,
выражения A5.25а) представляют собой линейные комбинации началь-
начальных амплитуд с периодическими коэффициентами. Период обмена воз-
возбуждением между атомом и полем определяется обобщённой частотой
Раби
(fJ	A5.26)
которая, как мы видели в предыдущем разделе, является нулём опре-
определителя матрицы U.
Обсудим теперь тригонометрические функции — синус и косинус,
входящие в вектор состояния. Для того чтобы произошёл переход
из состояния \Ь, п+1) в \а,п), либо наоборот, нужно отличное от

476	Гл. 15. Модель Джейнса-Каммингса-Пауля: динамика
нуля поле. Поэтому амплитуда вероятности такого перехода должна
быть, по крайней мере, пропорциональна электрическому полю, то
есть рабиевской частоте Лп. Следовательно, вклад в амплитуду Фа>п,
обусловленный переходом из состояния с амплитудой Ф&,п+ь должен
быть пропорционален, скорее, синусу, а не косинусу, так как последний
в низшем порядке не зависит от частоты Раби. Точно так же, вклад
в амплитуду Ф&,п+ь обусловленный переходом из состояния с ампли-
амплитудой Фа>п, тоже должен содержать синус.
Кроме того, вероятность остаться в том же состоянии должна быть
пропорциональна косинусу и, тем самым, гарантировать, что в пределе
короткого времени, или в пределе слабого поля переходов нет.
Коэффициенты перед тригонометрическими функциями станут по-
понятными, когда мы рассмотрим предел точного резонанса или случай
больших отстроек.
15.4.2. Случай резонанса. Сначала рассмотрим случай точного
резонанса, когда А = О — lj = 0. В этом пределе обобщённая частота
Раби A5.26) принимает вид
Зависимость от времени амплитуд вероятности описывается выраже-
выражениями
^а,п{1) = cos(Vn + 1 gt) Фа,п@) - г sin(\Jп + 1 gt) *b,n+i(O) A5.27a)
Фь,п+1 W = -isin(Vn+l gt) Фа,п@) + со8(л/п + 1 gt) *bfn+i@).
A5.276)
Ещё раз обращаем внимание на факт периодического обмена возбужде-
возбуждением между атомом и полем. Кроме того, мы видим, что перед синусом
всегда стоит коэффициент —г, который, если проследить, восходит
к коэффициенту г в уравнении Шрёдингера, то есть к множителю —г
в уравнениях Раби A5.19).
Вакуумные осцилляции Раби. Особая ситуация имеет место, когда
электромагнитное поле находится первоначально в основном, то есть
в вакуумном состоянии. В этом случае написанные выше уравнения
имеют вид
Фа,0 (t) = cos (gt) Фа,о @) - г sin (gt) Фь, i @)
Фь,1 (t) = -г sin (gt) Фа,0@) + cos (gt) Фь,i @).
Они показывают, что периодический обмен возбуждением между ато-
атомом и полем происходит даже в случае вакуума. Частота такого обмена
представляет собой вакуумную частоту Раби g A4.52).
Если атом первоначально находился в основном состоянии, то на-
начальные условия имеют вид Фь?о(О) = 1> Фьл(О) = 0 и Фа?о(О) = 0. Тогда
написанные выше уравнения показывают, что атом всё время остаётся

15.4. Обсуждение решения	477
в основном состоянии, то есть Фь,о(?) = 1, ^b,\(t) = 0 и Фа,о(О = 0.
Таким образом, атом не может перейти в возбуждённое состояние, если
поле находится в состоянии вакуума.
Однако, если атом первоначально находился в возбуждённом состо-
состоянии, происходит периодический процесс обмена возбуждением между
атомом и полем. Действительно, в этом случае начальные условия
^5,i@) = 0 и Фа?о(О) = 1 отбирают зависящие от времени решения
Фа,о(*) = cosfo*)	A5.28a)
*b,i(*) = -isin(gt).	A5.286)
Такой периодический обмен между вакуумным полем резонатора и ато-
атомом отчётливо виден на рис. 16.8.
Связь с описанием, основанным на алгебре операторов. В заклю-
заключение напишем вектор состояния резонансной модели Джейнса-Кам-
мингса-Пауля для произвольного начального состояния атома и по-
поля. С этой целью подставим начальные условия A5.21) в выраже-
выражения A5.27) для амплитуд вероятности и получим
^aAt) = Сп^пСа ~ iSnwn+\cb	A5.29a)
и
Фь,п+1 (*) = -iSnwnca + Cnwn+icb,	A5.296)
где использованы сокращённые обозначения A5.14) для Сп и Sn.
С учётом этих выражений для амплитуд вероятности Фа?п и Ф&,п+ь
вектор состояния
сю
|Ф(*)> = ? (Фо,„ \а, п) + Фь,„+1 |Ь, п + 1» + Ф6,о |Ь, 0)
п=0
принимает вид
сю
|Ф(*)> = Е wnCa[Cn \а, п) - iSn \Ъ, п + 1>] +
п=0
сю
+ J2 wn+icb[Cn \b, n + 1) - %Sn \а, п}] + wocb \b, 0).
n=0
Меняя индекс суммирования nr = n + 1 во второй сумме и объединяя
её с последним членом, получаем
J2 Wn{ca[Cn \a,n) - iSn \Ъ,п+\)} +
п=0
+ c6[Cn_i \b,n) - iSn_x \a,n- 1)]},
в полном соответствии с формулой A5.12).

478
Гл. 15. Модель Джейнса-Каммингса-Пауля: динамика
15.4.3. Нерезонансный случай. Дальнейшее понимание зависи-
зависимости от времени амплитуд вероятности Фа?п и Фб,п+1 приходит при
рассмотрении предельного случая больших отстроек, когда
A5.30)
Проанализируем решения A5.25а) модели Джейнса-Каммингса-Пауля
в этом случае.
Амплитуды вероятности. Сначала заметим, что в случае боль-
больших отстроек, то есть при условии A5.30), обобщённая частота Ра-
би A5.26) принимает вид
4g2(n+l) Д/. 2g2(n+l)\ = Д g2(n+l)
A2
и из A5.25а) находим
nt) +гзт(А„*)]Ф„,„@) =
ИЛИ
= ехр (г
* Фа.П(О).
A5.31)
Здесь мы пренебрегли переходами из основного состояния, так как
д\/п + 1
2дл/п
2gyn ¦
Действительно, большая отстройка препятствует совершению перехо-
перехода — атом должен оставаться в исходном состоянии.
Аналогичным образом получаем
Фь,„+1(*) = ехр [г (^ - An) t] *b,n+i@) =
= ехр —г
,У(»+1).
Фь,п+1@). A5.32)
Отметим, что эти две амплитуды вероятности Фа?п и Фб,п+1 вращаются
по-разному: в то время как Фб,п+1 вращается по часовой стрелке, Фа?п
вращается против часовой стрелки.
Эффективный гамильтониан. Теперь можно упростить форму-
формулы A5.18) и A5.25а) для вектора состояния атомно-полевой системы.
Подставляя приближённые выражения A5.31) и A5.32) для амплитуд

15.4. Обсуждение решения	479
вероятности Фа?п и Фб,п+1 в формулу A5.18) для вектора состояния,
находим
+ ехр ( -г g2(n.+ !) t ) Фь,п+1@) \Ь, п + 1) I + Фь,0@) |Ь,0>
п=0
В том вкладе, который связан с основным состоянием атома, мы сдви-
сдвигаем индекс суммирования по фоковским состояниям и получаем
|Ф(*)> = ]Г [ехр (г fcti) Л Фа,п@) |а, п) +
n=o L ^	/
Напомним сотношения
е
а,п) = eiipn\a,n) и е^**аа|Ь,п) = e~iipn \Ъ,п),
содержащие произвольную действительную фазу у?, и
- (az + 1) а) = |а) и - (аг + 1) |Ь> = О,
которые позволяют представить полученное выше выражение в следу-
следующей форме
|Ф(*)> - ехр U ^ [az аЧ + i (^ + 1)] Д х
п=0
ИЛИ
Здесь мы ввели эффективный гамильтониан
Heff = -^- [^afa + i (?z + 1)] .	A5.33)
В Приложении Н мы получим этот результат, используя второй поря-
порядок теории возмущений для оператора эволюции Ы.
Вектор состояния. В предельном случае больших отстроек дина-
динамика модели Джейнса-Каммингса-Пауля определяется эффективным
гамильтонианом A5.33). Получающаяся динамика сохраняет статисти-

480	Гл. 15. Модель Джейнса-Каммингса-Пауля: динамика
ку фотонов и населённости атомных уровней. Она приводит только
к появлению фазовых сдвигов
в векторах состояний \а,п) и \Ь,п).
Мы увидим эти особенности, как только подставим начальные
условия A5.21), то есть Фа?п@) = wnca и Фь>п@) = гипсь, в уравне-
уравнение A5.4.3.2) и получим
(	\)	|>) |>A5.34)
п=0
Так как фазовые сдвиги </4 и </4 зависят от числа фотонов и раз-
различны для атома в основном и возбуждённом состояниях, атомные
и полевые состояния не факторизуются: эффективный гамильтони-
гамильтониан, не вызывая в системе никаких переходов, создаёт перепутывание
атомных и полевых состояний. В следующем разделе мы обсудим
эффект перепутывания более подробно, а в заключение подчеркнём,
что эффективный гамильтониан A5.33) широко применялся как для
получения состояния шрёдингеровской кошки, так и для задач атомной
оптики в квантованных световых полях.
Задачи
15.1 Квазиклассическая модель Джейнса-Каммингса-Пауля
Рассмотреть атом (ядро в точке х = 0), взаимодействующий с
классическим электромагнитным полем
Е(х, t) = Eoez cos (kx - vt).
(а) Показать, что в рамках определённых приближений (диполь-
ное приближение, приближение вращающейся волны, отсут-
отсутствие у атома постоянного дипольного момента, учёт только
переходов с частотой, близкой к частоте электромагнитного
поля) атом может быть описан с помощью вектора состояния
Здесь \а) и \Ъ) являются состояниями, для которых частота
перехода близка к частоте электромагнитного поля, а ампли-
амплитуды са и сь подчиняются уравнениям движения
са = igeiAtcb, cb = ige~iAtca,

Задачи	481
где
и	т? т?
д 			 -С/а — -LLfb
h
В рамках квазиклассического подхода спонтанный переход
из состояния \а) или \Ь) в основное состояние (или в дру-
другие атомные состояния) можно описать феноменологически,
введя затухающие члены,
ca = ~Yca + igeiAtCb> Cb = ~jcb + ige~iAtca. A5.35)
Справедливость уравнений A5.35) может быть проверена в
рамках квантового подхода на основе теории спонтанного
излучения Вайскопфа-Вигнера (Weisskopf-Wigner), которая
обсуждается в разделе 18.5.6.
(б) Какова вероятность обнаружить атом в состоянии \Ь)
в момент времени t, если при t = 0 он был в состоянии
а)? Получить результат точно, а так же в первом порядке
временной теории возмущений. Учесть в уравнениях A5.35)
затухающие члены.
Указание: Сначала сделать преобразование
са = e~7at/2 ca, cb = e~7bt/2 cb.
Ответ: точный результат имеет вид
Wb(t) = g
где [i задаётся выражением
sin (/xt/2)
Первый порядок временной теории возмущений даёт
^	9
х [e~lat + e~lbt - 2 е-^+7^/2 cos (At)] .
(в) С помощью выражения для Wb(t) определить вероятность
того, что за время между t = 0 и t = оо произойдёт спонтан-
спонтанное излучение фотона из-за распада состояния \Ь), и обсу-
обсудить этот результат.
16 В. П. Шляйх

482	Гл. 15. Модель Джейнса-Каммингса-Пауля: динамика
(г) С помощью выражения для W^l\t) определить вероятность
того, что за время между t = г и t = оо произойдёт спон-
спонтанное излучение фотона из-за распада состояния \Ь), и об-
обсудить этот результат. Особенно интересен случай больших
значений т.
15.2 Модель Джейнса-Каммингса-Пауля с рамановской связью
В модели Джейнса-Каммингса-Пауля с рамановской связью вза-
взаимодействие двухуровневого атомы с модой квантованного элек-
электромагнитного поля описывается гамильтонианом
Н = bw а^ + НХ ^^l ax
Gx - у 1 о
(а)	Показать, что эволюция во времени произвольного состоя-
состояния |Фо) имеет вид
|Ф(?)) = ехр(—iuita^a) [cos (At a^a) — гдх sin (Xta^a)] |Фо)-
(б)	Найти состояние |Ф(^)), если при t = 0 поле было в фо-
ковском состоянии \п), а атом в состоянии \а), а также,
когда первоначально было поле в когерентном состоянии \а)
и атом в состоянии \а).
(в)	Чему равна вероятность обнаружить атом при t > 0 в состо-
состоянии \а), если при t = 0 поле было в когерентном состоянии
а), а атом в состоянии \а)?
15.3 Модель Джейнса-Каммингса-Пауля с амплитудой взаимо-
взаимодействия, зависящей от времени
Взаимодействие двухуровневой системы с резонансной модой
электромагнитного поля в приближении вращающейся волны
описывается гамильтонианом
ifint = hg (да^ + а^а) .
Если атом движется в резонаторе, g становится зависящим от
времени (почему?).
(а)	Решить соответствующее уравнение Шрёдингера в случае
зависящего от времени параметра взаимодействия g = g(t)
для двух начальных условий: |Ф@)) = \п,а) и |Ф@)) = \п,Ь).
(б)	Почему нельзя получить (аналитически) решение в случае
ненулевой отстройки?

Литература	483
15.4 Эволюция во времени смешанных состояний
Двухуровневый атом взаимодействует с электромагнитным полем
резонатора в соответствии с моделью Джейнса-Каммингса-Пау-
ля. При t = О поле находится в тепловом состоянии
п=0
а состояние атома имеет вид когерентной суперпозиции
рА@) = cos2tf |a)(a|+sin2tf \b)(b\
возбуждённого \а) и основного \Ь) состояний.
(а)	Найти матрицу плотности всей системы в момент времени t
для случая точного резонанса между атомом и полем.
(б)	Найти матрицы плотности атомной и полевой подсистем в
момент времени t.
(в)	Вычислить вероятность обнаружить атом в возбуждённом
состоянии в момент времени t.
(г)	Какой будет матрица плотности поля после того, как атом
обнаружен в возбуждённом состоянии?
(д)	Чему равна вероятность обнаружить в момент времени t
состояние поля с п фотонами?
(е)	Какой будет матрица плотности атома после того, как заре-
зарегистрировано n-фотонное состояние поля?
(ж) Что случится с величиной ctg2 # = п/(п+ 1)? Как можно
интерпретировать этот результат?
Литература
Модель Джейнса-Каммингса-Пауля
Оригинальные статьи по модели Джейнса-Каммингса-Пауля
Jaynes E.T., Cummings F.W. Comparison of Quantum and Semiclassical
Radiation Theories with Applications to the Beam Maser // Proc. IEEE. 1963.
V. 51. P. 89-109.
Paul H. Induzierte Emission bei starker Einstrahlung // Ann. Phys. (Leipzig)
1963. V. 11. P. 411-412.
Тематические обзоры по модели Джейнса-Каммингса-Пауля и её многочисленным
приложениям в квантовой оптике
Shore В. W. The Theory of Coherent Atomic Excitations. Wiley, New York,
1990
Shore B.W., Knight P. L. Topical Review: The Jaynes-Cummings model //
J. Mod. Opt. 1993. V.40. P. 1195-1238.
16*

Глава 16
ПРИГОТОВЛЕНИЕ СОСТОЯНИЙ
И ПЕРЕПУТЫВАНИЕ
В предыдущей главе мы решили уравнение Шрёдингера для векто-
вектора состояния модели Джейнса-Каммингса-Пауля, который описывает
внутреннее состояние одного атома, взаимодействующего с единствен-
единственной модой поля резонатора. В данной главе мы сосредоточимся на осо-
особенностях эффекта перепутывания этих двух типов степеней свободы.
Термин «перепутывание» выражает тот факт, что из-за взаимодей-
взаимодействия две квантовые системы — атом и поле — не могут быть раз-
разделены. Даже после того как взаимодействие закончилось, состояние
полной системы описывается некоторым единым вектором состояния,
который не сводится к произведению векторов состояний. Это вполне
невинное, на первый взгляд, утверждение является одним из централь-
центральных уроков квантовой механики.
Важность перепутывания была понята Эрвином Шрёдингером (Ег-
win Schrodinger) в 1936 году, который назвал его Verschranktheit
zweier Quantensysteme 0 . Здесь мы покажем, что явление перепутыва-
перепутывания позволяет нам получить информацию о поле излучения, производя
измерение внутренних степеней свободы атома. Более того, с помощью
перепутывания можно создавать произвольное полевое состояние в ре-
резонаторе. Такой метод мы называем инженерией квантовых состо-
состояний. Перепутывание и инженерия квантовых состояний и являются
основной темой данной главы.
16.1. Измерения для перепутанных систем
Модель Джейнса-Каммингса-Пауля является схемой, которая де-
демонстрирует перепутывание между атомными и полевыми степенями
свободы. Такое перепутывание можно наблюдать, проводя измерения
для атома или поля, либо совместные измерения для обеих квантовых
систем. Именно такие совместные измерения были в центре внимания
квантовой оптики на протяжении последних лет. В настоящем разделе
мы сначала обсудим математический формализм, показывающий, как
извлечь интересующие нас вероятности из вектора состояния, а потом
кратко опишем экспериментальные процедуры, которые необходимы
1) Скрещивание двух квантовых систем. — Прим. ред. пер.

16.1. Измерения для перепутанных систем	485
для соответствующих измерений с атомом, или с полем, или с обеими
системами.
16.1.1. Как получить вероятности. Вектор состояния содержит
полную информацию о состоянии квантовой системы. В частности, он
даёт нам возможность получить вероятности результатов различных
измерений. Здесь мы обсудим, как получить эти вероятности из векто-
вектора состояния.
Совместные измерения для атомно-полевой системы. Наша
квантовая система состоит из атома и одной моды поля излучения.
Поэтому можно произвести совместное измерение для атома и поля.
Эксперимент присходит следующим образом. Мы приготавливаем на-
начальное состояние поля \фтл&) и атомное состояние |VVtom), предостав-
предоставляем двум системам возможность взаимодействовать в течение неко-
некоторого заданного промежутка времени, а потом проверяем, находится
ли система в интересующем нас состоянии, то есть, находятся ли атом
в^реперном атомном состоянии \фатом) и поле в реперном состоянии
\фиоле). Если обе подсистемы находятся в своих реперных состояниях,
мы записываем это событие, а если нет, то событие отбрасывается.
Затем эта процедура повторяется много раз.
Напоминаем, что квантовая механика не может предсказать резуль-
результат каждого индивидуального акта измерения, а может дать только
вероятность этого события. В самом деле, вероятность W обнаружить
атом в состоянии \фатом) и поле в состоянии \фтт) при условии, что
полная система находится в состоянии |Ф(?)), имеет вид
вероятность обнаружить в момент
W(t; |^атом), |Vw)) = ( „ времени t атом в состоянии
VVtom) И ПОЛе В СОСТОЯНИИ ^поле)
— Куполе Коатом 1^@) |2- A6.1)
Измерения такого типа, то есть совместные измерения для кванто-
квантовых систем, выявляют наличие перепутывания подсистем. Чтобы это
продемонстрировать, используем представление A5.18)
n=0	n=0j=a,b
вектора состояния системы. Здесь член 4?b$(t)\b,O) тоже включён в
сумму.
Подставляя это выражение в определение A6.1) совместной веро-
вероятности, получаем
~	~	оо	_	_	2
Wit' \ih \ \ih \ i — > > \Т/ • (f)(ih \ i \ (ih In)	A fi Я^
V ' I т атом / 9 | т по л б //	/ /	7,Ti\/\ г атом \J / \ т по л б / * V • /
n=0 j=a,b

486	Гл. 16. Приготовление состояний и пер впутывание
Отметим, что результат такого совместного измерения содержит мак-
максимум квантовой интерференции. Действительно, сначала происходит
суммирование по всем фоковским состояниям и по всем атомным
состояниям, а потом вычисляется квадрат модуля этой суммы. Мы сум-
суммируем произведение амплитуд вероятности \I/j?n и амплитуд реперных
состояний атома и поля по всем фотонным и атомным состояниям.
Такая двойная сумма содержит массу интерференционных членов.
Измерение внутренних атомных состояний. Простейшим измере-
измерением для квантовой системы, которая состоит из атома и одной полевой
моды, является измерение внутреннего состояния атома вне зависи-
зависимости от состояния поля. В этом случае вероятность W обнаружить
атомное состояние |VVtom) вне зависимости от того, каким является
состояние поля, получается из вектора состояния |Ф(?)) следующим
образом
вероятность найти в момент времени t
W(t; ^атом)) = (	аТОМ В СОСТОЯНИИ |^атом),
независимо от полевого состояния
^2	A6.4)
п=0
Так как состояние поля после взаимодействия не измеряется, мы долж-
должны вычислить след по полевым состояниям. Здесь для вычисления
следа использованы фоковские состояния.
Воспользовавшись подстановкой A6.2) для вектора состояния
системы, получаем
W(t; I
,\ПМлатом \j)
n=0 j=a,b
A6.5)
Сравнивая это выражение с формулой A6.3) в случае совместного
измерения, видим, что теперь интерференция (в значительной степени)
утеряна. В то время как при совместном измерении амплитуды веро-
вероятности для обеих подсистем суммируются до вычисления квадрата
модуля, теперь же, при измерении одной подсистемы, мы суммируем
только по состояниям этой подсистемы и берём квадрат модуля. Если
реперное состояние является когерентной суперпозицией двух внут-
внутренних состояний, вероятность W(t\ IVVtom)) содержит сумму амплитуд
вероятности Фа>п(?) и Ф^п(?). Весовые факторы этих вкладов пред-
представляют собой амплитуды, с которыми атомные состояния \а) и \Ъ)
представлены в реперном состоянии ^атом)-
Подчеркнём, что формула A6.5) для W(t; |VVtom)) включает также
суммирование по полевым состояниям. Теперь, однако, в эту сумму
входят только вероятности. Концепция совместных измерений поз-

16.1. Измерения для перепутанных систем	487
воляет нам дать интерпретацию этих вероятностей. В самом деле,
вероятность обнаружить атом в реперном состоянии ^атом), независимо
от полевого состояния, представляет собой сумму
W (; |^атом>)
п=0
совместных вероятностей
W
j=a,b
обнаружить атом в реперном состоянии \фатом) и поле в п-м фоковском
состоянии.
В заключение данного обсуждения приведём формулы для случая,
когда реперным состоянием является одно из внутренних атомных
состояний. В этом случае интерференция полностью отсутствует, и ве-
вероятность найти атом в возбуждённом, либо в основном состоянии
имеет вид
^	сю
п=0
или
W(t;\b)) = Y,№b,n(t)\2-
п=0
Действительно, чтобы получить вероятности W(t; \a)) и W(t; \b}), надо
сначала вычислить квадраты абсолютных значений отдельных ампли-
амплитуд вероятности Фа?п и Ф^п нахождения атома в состоянии \а), или
\Ь), и поля в фоковском состоянии. Затем эти вероятности суммируют-
суммируются по всем фоковским состояниям.
Интересно отметить, что эти вероятности были измерены экспе-
экспериментально для модели Джейнса-Каммингса-Пауля и для атомного
мазера. В разделе 16.2 мы обсудим эти эксперименты более подробно.
Измерение полевых состояний. Обратимся теперь к обсуждению
измерения только состояния поля, когда атомное состояние не измеря-
измеряется. В этом случае нас интересует вероятность W(t\ ^поле)) получить
полевое состояние ^поле)» независимо от атомного состояния. Такая
вероятность имеет вид
(вероятность обнаружить в момент \
времени t поле в состоянии |VWne), =
независимо от атомного состояния J
j=a,b

Гл. 16. Приготовление состояний и пер впутывание
Здесь вычислен след по внутренним состояниям атома, которые не
наблюдаются.
Подставляя сюда выражение A6.2) для вектора состояния
получаем
W (t; \фтле)) =
j=a,b n=0
A6.6)
Подчеркнём, что данное выражение полностью аналогично результату
для измерения только атомных состояний. Просто индексы суммиро-
суммирования j и п поменялись ролями. Теперь сначала производится сум-
суммирование по всем фоковским состояниям произведений амплитуды
вероятности \I/j?n и амплитуды (п| ^поле)* с которой n-фотонное состо-
состояние представлено в реперном состоянии поля. Поскольку внутреннее
состояние атома не измеряется, то берётся след по всем атомным
состояниям, то есть сумма вероятностей для двух состояний атома.
В терминах совместных измерений мы можем интерпретировать ве-
вероятность W(t; ^поле)) обнаружить полевое состояние \"фполе}, незави-
независимо от атомного состояния, как сумму вероятностей двух совместных
измерений. В самом деле, это есть сумма
W ft; \фП
= W(t;\a),\i>n0Jie))+W(t;\b),\i;miie)
совместной вероятности
w(t;|a),|Vw>) =
п=0
нахождения атома в состоянии \а) и поля в состоянии \фиоле) и сов-
совместной вероятности
_ ч	_			_	2
W(t;\b),\ Ч
п=0
нахождения атома в состоянии \Ь) и поля в состоянии \фполе).
Резюме. Мы завершим данное обсуждение измерений для перепу-
перепутанных квантовых систем, суммировав основные результаты.
При измерении атомной системы в состоянии \а) вместе с измере-
измерением поля в состоянии \фиоле) мы складываем амплитуды вероятности
Фа?п нахождения атома в состоянии \а) и п фотонов в резонаторе,
умноженные на амплитуду вероятности (п| ^поле)* обнаружить п фо-
фотонов в реперном состоянии поля. Напротив, при измерении атомного
состояния \а) без измерения полевого состояния мы должны сложить
вероятности |Фа,п|2 обнаружить атомное состояние \а) и п фотонов.
Поэтому при измерении, использующем реперное состояние системы,
мы имеем квантовую интерференцию комплексных амплитуд вероятно-

16.1. Измерения для перепутанных систем	489
сти, в то время как во втором случае такие интерференционные члены
отсутствуют.
16.1.2. Состояние подсистемы после измерения. В предыду-
предыдущем разделе получены выражения для вероятностей обнаружить при
измерении определённое атомное состояние и/или определённое поле-
полевое состояние. В этом разделе мы ставим совершенно другой вопрос:
в каком квантовом состоянии находится одна из подсистем после того,
как выполнено измерение для другой подсистемы? В каком состоянии,
например, находится поле после измерения, сделанного для атома?
В каком состоянии атом после измерения, выполненного для поля?
Начнём с обсуждения состояния поля, которое возникает, если в
результате измерения обнаружено реперное атомное состояние \фатом)-
В этом случае полевое состояние имеет вид
Подчеркнём, что данное выражение, действительно, является поле-
полевым состоянием: квантовая система, которая описывается вектором
состояния |Ф), состоит из двух подсистем, связанных с атомными
уровнями и состояниями поля. Мы проектируем на состояние атомной
подсистемы, и поэтому результирующее состояние является полевым
состоянием.
Однако из-за процедуры проектирования новое полевое состояние
ненормировано. Чтобы устранить этот недостаток, надо ввести норми-
нормировочную константу Л/", которая получается из условия
п=0
Из формулы A6.4) следует, что сумма представляет собой вероятность
^(IV^tom)) обнаружить в атомном состоянии |Ф) реперное состояние
IVVtom)- Таким образом, нормированное полевое состояние имеет вид
Это выражение имеет очень простой физический смысл: квантовое
состояние ^поле) появляется только тогда, когда мы обнаружим атом
в реперном состоянии^ |^атом). Такое событие, однако, случается только
с вероятностью ^(^атом))- Поэтому надо отнормировать полевое со-
состояние по отношению к этой вероятности.
Теперь вкратце обсудим, каким будет атомное состояние, если мы
обнаружили поле в реперном состоянии ^поле)- Следуя изложенным
выше аргументам, получаем

490
Гл. 16. Приготовление состояний и пер впутывание
Нормировка, как и раньше, определяется вероятностью И^^поле)) об-
обнаружить реперное состояние ^поле) в состоянии |Ф) полной системы.
В разделе 16.3 мы применим процедуру совместных измерений
для приготовления различных состояний поля излучения, таких как
состояние шрёдингеровской кошки и фазовые состояния.
16.1.3. Схема эксперимента. Перепутывание атомных и полевых
переменных проявляется в вероятностях результатов измерения этих
величин. Здесь мы опишем методы, которые, в принципе, да и практи-
практически, позволяют выполнить интересующее нас измерение для объеди-
объединённой системы атома и поля.
Измерение внутренних состояний. Начнём с простейшего случая,
а именно, с регистрации атомного состояния \а) или \Ъ). Популярным
здесь является метод ионизации. В этом случае к атому прикладывает-
прикладывается электрическое поле Е = Eoez, направленное по оси z. Возникающая
потенциальная энергия
Vs = -еЕ • г = -eEoz,
показанная на рис. 16.1 штриховой линией, деформирует кулоновский
потенциал
Еа
Рис. 16.1. Эффект Штарка и ионизация. Штарковский потенциал Vs, обу-
обусловленный постоянным электрическим полем (штриховая линия), придаёт
кулоновскому потенциалу (пунктирная линия) форму кривой с максимумом
(сплошная линия). Электрон с энергией Еа, находившийся первоначально
в связанном состоянии в кулоновском поле, теперь покидает атом (левый
рисунок). С увеличением напряжённости электрического поля штарковский
потенциал становится круче, и всё более глубокие состояния с энергией Еъ
могут быть ионизованы (правый рисунок)
1
изображённый пунктирной линией, и возникает эффективный потен-
потенциал, показанный сплошной линией. Тогда собственное состояние ку-
лоновской задачи с энергией Еа, которая лежит чуть выше максимума
суммарного потенциала — кулоновского и штарковского, уже больше
не является связанным и ионизуется.
Заметим, что более сильное электрическое поле создаёт более
крутой штарковский потенциал. Тем самым мы можем добраться до
более глубоких энергетических уровней кулоновской ямы. Справа на

16.1. Измерения для перепутанных систем
491
рис. 16.1 напряжённость поля выбрана такой, что ионизуется состояние
с энергией Еъ. Следовательно, величина напряжённости ионизирующе-
ионизирующего поля переводится в термин энергии атомного уровня.
Поэтому самый эффективный способ проведения такого измерения
состоит в том, что увеличивают напряжённость электрического поля,
как функцию времени, и измеряют ток ионизации /(?). Максимумы
этого тока, их высота и положение как функции напряжённости поля,
дают информацию об атомных состояниях, их населённостях и соб-
собственных значениях энергии, как показано на рис. 16.2.
Рис. 16.2. Измерение внутренних состояний с помощью метода ионизирую-
ионизирующего поля. Линейно меняющееся со временем электрическое поле ионизует
различные атомные уровни в разные моменты времени. Как показано на левом
рисунке, атом чувствует линейно возрастающую напряжённость электрическо-
электрического поля E0(t). Это поле создаёт потенциал, являющийся линейной функцией
координаты z. Крутизна этой функции линейно растёт со временем (левый
рисунок). Атомный электрон чувствует суммарный потенциал кулоновского
поля и внешнего электрического поля (в середине). В момент времени ta напря-
напряжённость поля такова, что максимум суммарной потенциальной энергии равен
энергии Еа возбуждённого состояния \а) . В этот момент времени возбуждён-
возбуждённое состояние ионизуется, что приводит к появлению пика (правый рисунок)
в токе ионизации /. В более поздний момент времени U суммарный потенциал
становится ещё круче, что приводит к ионизации состояния \Ь) и появлению
второго пика в токе ионизации (правый рисунок). Сравнивая площади под
этими двумя пиками, мы находим населённости отдельных уровней
Такая техника широко применялась для ридберговских атомов, так
как эти высоковозбуждённые атомы в состояниях с главным квантовым
числом п = 60 чрезвычайно чувствительны к электрическим полям
и могут быть легко ионизованы. В частности, применительно к одно-
одноатомному мазеру, который обсуждается в разделе 18.4, ионизационным
методом измерялись населённости различных атомных состояний.
Измерение атомного диполя. Данная версия ионизационного ме-
метода позволяет измерить только населённости отдельных энергети-
энергетических уровней. Для двухуровневого атома такое измерение, говоря
формальным языком, является операцией проектирования на атомные
состояния \а) или \Ь). Сюда, однако, не входит реперное суперпози-

492	Гл. 16. Приготовление состояний и пер впутывание
ционное состояние \фатом) = са \а) + сь \Ь), которое необходимо, чтобы
при измерении атомного состояния ^атом) = са \а) + сь \Ъ) получить его
проекцию	_	_	_
(^атом^атом) = С*Са + CbCb.
Каким образом можно осуществить такое измерение?
Чтобы ответить на этот вопрос, напомним, что классическое ре-
резонансное поле заданной амплитуды ?0 за время взаимодействия t
преобразует атомное состояние
|^атом) =Са \а) +СЪ\Ъ)
в состояние
44
где новые амплитуды вероятности
са = с'а(са, сь) = cos (gt) ca - г sin (gt) съ
и
с'ъ = с'ъ(са, сь) = cos (gt) cb - г sin (gt) ca
являются функциями начальных амплитуд са и q>. Здесь д = p?o/h
обозначает классическую частоту Раби.
В данной книге нас интересует взаимодействие атома с квантован-
квантованным, а не с классическим световым полем. Заметим, однако, что напи-
написанные выше соотношения для взаимодействия с классическим полем
эквивалентны ситуации с квантованным световым полем, находящимся
в состоянии с заданным числом фотонов, которая описывается урав-
уравнениями Раби A5.19). В этом случае напряжённости классического
электрического поля ?0 соответствует напряжённость вакуумного поля,
умноженная на корень квадратный из числа фотонов.
Для повёрнутого состояния IV^tom) ' показанного на рис. 16.3, ам-
амплитуда вероятности получить при измерении атомное состояние \а)
имеет вид
(a |V4om> = cos (9t) ca - г sin (gt) cb,
и её надо сравнить с искомой проекцией
(^атом^атом) = С*Са + c?cb,
отвечающей измерению с помощью реперного состояния ^атом)-
Следовательно, при подходящем выборе параметров классическо-
классического электромагнитного поля можно добиться положения, когда с* =
= cos (gt) и с? = —i sin (gt). Подчеркнём, что для реализации этих
условий нам понадобится, в общем случае, ещё и нерезонансное клас-
классическое поле.
Итак, мы можем проводить измерение атомных состояний с помо-
помощью реперного состояния \фатом), посылая атом через классическое по-
поле с последующим измерением населённостей уровней ионизационным
методом.

16.1. Измерения для перепутанных систем
493
и
И
' ^атом'
Рис. 16.3. Измерение амплитуды вероятности реперного атомного состояния
^атом) с помощью классического поля и процедуры измерения населённости
одного из атомных уровней. В верхней части рисунка схематически показано
устройство с классическим полем и детектором для атомов. В нижней части
рисунка изображено состояние атома в виде вектора в двумерном гильбертовом
пространстве, образованном базисными векторами \а) и \Ь) . (В целях изоб-
изобразительной доступности мы пренебрегаем тем обстоятельством, что в общем
случае амплитуды вероятности комплексны.)^ Мы хотим спроектировать на-
начальный вектор состояния |^атом) на вектор |^атом). В эксперименте мы можем
только определить, находится ли атом в состоянии \а) или в \Ь), что соот-
соответствует проектированию на оси векторного пространства. Взаимодействие
с классическим ^олем приводит к такому повороту в векторном пространстве,
что состояние |^атом) переходит в \Ь). Теперь обнаружение атома в состоянии
\Ь) эквивалентно эффективному проектированию на состояние |^атом)
Измерения полевых состояний. До сих пор мы рассматривали
измерения атомных переменных. В заключение этого раздела кратко
обсудим процедуру регистрации поля в реперном состоянии ^поле)-
Самым известным реперным состоянием является состояние с опре-
определённым числом фотонов \п). В этом случае при каждом конкретном
измерении регистрируется число фотонов в резонаторе. Точнее говоря,
подсчитывается не число фотонов, а число фотоэлектронов на детек-
детекторе. Здесь мы не будем входить в детали теории фотодетекторов.
По этому вопросу отсылаем к лекциям Р. Глаубера (R. Glauber), про-
прочитанным в Лез Уше, и книге Л. Манделя (L. Mandel) и Э. Вольфа
(Е. Wolf). Скажем только, что регистрация фотоотсчётов эквивалентна
проектированию реперного состояния ^поле) = \п) на вектор состояния
поля.
Обратимся к экспериментальной реализации гомодинных состоя-
состояний как реперных состояний поля. В разделе 13.2 было показано,
что гомодинный детектор, представленный на рис. 16.4, регистрирует

494
Гл. 16. Приготовление состояний и пер впутывание
\ает)
Рис. 16.4. Балансное гомодинирование с помощью когерентного состояния
а) = ||а|ег7?) большой амплитуды \а\ > 1 эквивалентно измерению распре-
распределения электромагнитного поля W(?$) = \(?# \фтле) |2. Таким образом, это
пример, когда собственное состояние \?#) электромагнитного поля является
реперным для измерения полевого состояния |^Поле)
собственное состояние поля \?$). Таким образом, такая процедура со-
соответствует проектированию с использованием состояния \?$). В этом
случае наше реперное состояние имеет вид \фиоле) = \?$) •
В _заключение мы ещё раз подчеркнём, что величины
^(^;|^атом),|^поле)), W(t; |^поле)) и W(t;\i/jaT(m}) представляют
собой вероятности результатов измерений для ансамбля идентично
приготовленных систем. Это означает, что мы сначала приготавливаем
исходные атомное и полевое состояния, предоставляем атому
провзаимодействовать с полем в течение заданного времени t, а затем
производим измерение либо совместно для атома и поля, либо для
поля, либо только для атома. Записываем результат, повторяем
эксперимент много раз и строим гистограмму.
16.2. Коллапс, возобновления и дробные
возобновления
В предыдущем разделе мы показали, как найти вероятность реги-
регистрации определённого атомного состояния и/или определённого по-
полевого состояния для модели Джейнса-Каммингса-Пауля. В данном
разделе мы сосредоточимся на эволюции во времени атомных перемен-
переменных и кратко обсудим эксперименты в этой области.
16.2.1. Инверсия как инструмент измерения внутренней дина-
динамики. Инверсия атомных населённостей X является величиной, ко-
которая находится в центре внимания, так как легко доступна экспери-
эксперименту. Сначала мы получим точное выражение для инверсии в модели
Джейнса-Каммингса-Пауля, а потом обсудим её эволюцию во вре-
времени.
Инверсия. Инверсия определяется как
lit) = W{t\ \a)) - W{t\ \Ь))

16.2. Коллапс, возобновления и дробные возобновления	495
и, следовательно, включает вероятность
п=0
что атом после измерения в момент времени t находится в возбуждён-
возбуждённом состоянии \а), и вероятность
п=0
находиться в основном состоянии \Ь).
Атомная инверсия есть разность населённостей двух атомных уров-
уровней. Поэтому она играет важную роль в теории лазера. Если величина
X положительна, атом с большей вероятностью находится в возбуж-
возбуждённом состоянии, чем в основном. Для ансамбля атомов это означает,
что большее число атомов будет в возбуждённом, а не в основном со-
состоянии. Это есть обычное условие возникновения лазерной генерации.
Однако недавно были предложены лазеры без инверсии. К вопросу об
инверсии мы ещё вернёмся в гл. 18.
С помощью решения A5.29) для резонансной модели Джейнса-
Каммингса-Пауля находим точные выражения для амплитуд
\gt)wn
+\

= Cnwn+X = cos(\/n+ \gt)w
n+\.
Здесь считалось, что атом первоначально был в основном состоянии.
В выражениях для вероятностей удобно сдвинуть индекс суммиро-
суммирования. Тогда
сю	сю
2	2
W(t\ \а)) = J2 sin2 (л/п + 1 gt) |wn+i|2 = J2 sin2 (Vn>9t) W
n=0	n=0
и, аналогично,	^
n=0
где Wn = |г^п|2 описывает статистику фотонов поля резонатора до
взаимодействия с атомом.
Если использовать тригонометрическое соотношение
cos2 a — sin2 a = cos Ba),
то выражение для инверсии принимает вид
сю
A6.8)
п=0
Эволюция инверсии во времени. Суммирование по п не совсем
тривиально, поскольку оно содержит л/п. Это напоминает общую за-

496
Гл. 16. Приготовление состояний и пер впутывание
дачу о динамике волнового пакета, которая рассматривалась в гл. 9.
Поэтому мы можем прямо воспользоваться всеми полученными в той
главе результатами и понять, как себя ведёт указанная сумма.
Ill] а
Re a
Jm ex
Re a
t/Тг
Рис. 16.5. Динамика модели Джейнса-Каммингса-Пауля, представленная
B-функцией поля (вверху) и инверсией атомных населённостей (внизу), для
двух интервалов времени. На начальной стадии (левая колонка) Q-функция
поля вращается в фазовом пространстве, что приводит к периодическому по-
появлению инверсии. Этот эффект соответствует классическому периодическому
движению волнового пакета для механического осциллятора. На языке модели
Джейнса-Каммингса-Пауля такое периодическое поведение называется возоб-
возобновлением. Отметим, что в области дробных возобновлений (правая колонка)
вблизи t = (l/3)T2/2 ^-функция поля имеет больше пиков, и периодичность
инверсии меняется. Взято из работы I.Sh. Averbukh, Phys. Rev. A. 1992. V. 46.
P. R2205
На рис. 16.5 показана эволюцию во времени инверсии для случая,
когда функция распределения чисел фотонов Wn резонаторного поля
локализована вблизи достаточно большого среднего значения п > 1.
Эта картинка была получена численным расчётом суммы A6.8), ко-
которая определяет атомную инверсию в модели Джейнса-Каммингса-
Пауля. Отметим, что инверсия, действительно, показывает то же самое
поведение, что и волновой пакет, рассматривавшийся в гл. 9. После
режима осцилляции с убывающей амплитудой инверсия исчезает на
достаточно большой промежуток времени, но периодически возобнов-
возобновляется. Периодическое возобновление инверсии в литературе называют
возобновлениями Джейнса-Каммингса. Эти возобновления становят-
становятся шире, а их амплитуды уменьшаются.

16.2. Коллапс, возобновления и дробные возобновления	497
Со временем возобновления перекрываются и образуют новые
структуры. Это хорошо известные дробные возобновления.
Подчеркнём, однако, что возобновления Джейнса-Каммингса ана-
аналогичны классическим осцилляциям атомного или молекулярного вол-
волнового пакета между точками поворота, как об этом говорилось в гл. 9.
Они происходят на начальной стадии эволюции при временах, состав-
составляющих целое кратное временного масштаба Т\ = л/^2тг/д, где п есть
среднее число фотонов в полевом состоянии.
Для того чтобы понять этот сценарий, используем тот факт, что
распределение чисел фотонов локализовано вблизи п > 1. Это обстоя-
обстоятельство позволяет сделать разложение
в ряд
Здесь
S
л/г7 - л/^л/l 4- П~П *
[ 2 п
Тейлора около п и написать инверсию в
1
мы ввели зависящую от
оо
2
- п
виде
1 /п-гг\2]
Л п )\
времени функцию сигнала
V , - РУП J 9ТГ7
1
\—t
2
а также два масштаба времени
Так как п ^> 1, иерархия масштабов Т\ и Т2 такова, что Т\1Тъ, то
есть они сильно различаются. Кроме того, из приближённой формулы
для инверсии отчётливо видно, что эта величина осциллирует с эффек-
эффективной рабиевской частотой 2дл/^.
Следуя рецепту, приведённому в гл. 9, мы можем в пределе малых
времён пренебречь квадратичным вкладом и вкладами более высоких
порядков. Заменяя далее суммирование по m интегрированием, по-
получаем форму коллапса инверсии, то есть затухающую огибающую
инверсии около начального момента времени. Более того, с помощью
формулы суммирования Пуассона можно описать и эффект возобнов-
возобновления инверсии при целых кратных Т\. Из-за квадратичного вклада
в S(t) возобновления уширяются, и при Т\ соседние пики начинают
перекрываться. Это приводит к эффекту дробных возобновлений.
16.2.2. Эксперименты по эффекту коллапса и возобновлений.
Заканчивая этот раздел, подчеркнём, что такие характеристики как
инверсия были измерены экспериментально. В частности, эффект кол-
коллапса и первого возобновления наблюдался для одноатомного мазера,

498	Гл. 16. Приготовление состояний и пер впутывание
в экспериментах с высокодобротными микроволновыми резонаторами
и ионными ловушками. Эффект дробных возобновлений в этих систе-
системах пока, к сожалению, не наблюдался.
Эксперименты по эффекту коллапса и возобновлений ясно указы-
указывают на корпускулярную структуру поля излучения, другими словами,
на то, что число фотонов п дискретно. В самом деле, возобновления,
то есть периодическое повторение значений инверсии через целые
кратные величине Т\ интервалы времени, не могли бы происходить,
если бы п не было дискретным. Из предыдущего обсуждения и из ана-
анализа динамики волнового пакета в гл. 9 следует, что эффект коллапса
возникает, как только суммирование по п заменяется интегрированием.
Эффект возобновления проявляется только тогда, когда мы сохраняем
свойство дискретности, используя формулу суммирования Пуассона.
Для отчётливого прояснения этого вопроса кратко обсудим экспе-
эксперименты по эффекту возобновлений Джейнса-Каммингса. Измеряется
вероятность
f
п=0
найти атом в основном состоянии, если до взаимодействия он был в
возбуждённом состоянии. В этом случае из формулы A5.29) получаем
амплитуду вероятности
Фь,п(?) = -iSn-\wn-\,
которая даёт
2/T	A6.9)
Одноатомный мазер. Первый эксперимент по проверке этого со-
соотношения и, в частности, по наблюдению эффекта коллапса и воз-
возобновлений был выполнен с помощью одноатомного мазера. Мы де-
детально рассмотрим этот удивительный мазер в разделе 18.4. Здесь
же сосредоточимся только на особенностях коллапса и возобновлений,
показанных на рис. 16.5.
В одноатомном мазере много атомов пролетают через высокодоб-
высокодобротный резонатор и создают стационарное одномодовое поле мазера.
Статистика фотонов этого поля, задаваемая функцией Wn(t), зависит
от времени взаимодействия t каждого атома. Один из атомов, управля-
управляющих полем мазера, можно использовать в качестве контролирующего
атома для измерения поля. С этой целью измеряем вероятность обна-
обнаружить данный атом в основном состоянии после того, как он провзаи-
модействовал с полем мазера. Время взаимодействия этого атома тоже
равно t. Поэтому, искомая вероятность имеет вид

16.2. Коллапс, возобновления и дробные возобновления
499
Эта вероятность, действительно, содержит сумму рабиевских осцилля-
осцилляции. В ней, таким образом, проявляется эффект коллапса и возобнов-
возобновлений, показанный на рис. 16.6 и 16.7.
30 ?
40 Е
-50
60 g
S
5?
тность
о
Be,
и,/
0,6
0,5
0,4
03
Т=2,5К
_
Г
, , , , 1 ,
н
1 I
N =
85Rb б:
, i
2000 с
I нЛ
ФттГ т
hhLi т т
т
Зр3/2^^61
1 I I
1 ' '
—
_
-
—
^5/2
1 , ,
0	50	100	150
Время пролёта через резонатор, мкс
70
ID
Рис. 16.6. Коллапс вероятности заселения возбуждённого состояния в од-
одноатомном мазере. Вероятность атому остаться в возбуждённом состоянии
85
/ состояние атома 85Rb) как функция времени взаимодействия, которое
определяется здесь временем пролёта через резонатор, выходит на стационар-
стационарное значение. Видна также последняя осцилляция Раби в конце коллапса,
приводящего к стационарному состоянию. Поток атомов N равен N = 2000 с,
а температура равновесного чёрного излучения есть Т = 2,5К. Взято из статьи
G. Rempe et al., Phys. Rev. Lett. 1987. V. 58. P. 353
Как подчёркивалось выше, существование эффекта возобновления
ясно указывает на корпускулярную структуру излучения.
Резонапгорные эксперименты с инжектированными микроволно-
микроволновыми полями. В ситуации с мазером, однако, динамика гораздо слож-
сложнее, чем в модели Джейнса-Каммингса-Пауля. Последняя описывает
взаимодействие каждого атома с полем, которое приготовлено иден-
идентичным образом. В частности, когда мы меняем время взаимодействия,
атом по-прежнему взаимодействует с тем же самым начальным полем.
Кроме того, статистика фотонов поля до взаимодействия с атомом не
зависит от времени взаимодействия. Напротив, в одноатомном мазере
атомы используются как для приготовления поля, так и для считыва-
считывания динамики. Поэтому изменение времени взаимодействия приводит
к изменению стационарного поля.
Эту проблему можно обойти, инжектируя поле в резонатор извне.
Результаты такого подхода показаны на рис. 16.8. Здесь поле в коге-
когерентном состоянии с четырьмя различными амплитудами инжектиро-
инжектировалось в резонатор и наблюдалось, какая при этом возникает динамика
атома. Левая колонка показывает вероятность перехода в основное
состояние, как функцию времени взаимодействия. В случае (А) поле
не инжектируется, но атом испытывает осцилляции Раби, как и пред-

500
Гл. 16. Приготовление состояний и пер впутывание
0,7
^0,6-
| 0,5
I
О
I" 0,4
0,3
т=
-
1
2,5
1
К
t
85
1 I
N =
H
Rb 6:
, i
¦ . , . |
3000 c™1
T
Jrff*
5p3/2-61d5/2
, , , , I
-
—
30-
40 E
50
-60
0	50	ЮО	150
Время пролёта через резонатор, мкс
70
a
Рис. 16.7. Эффект возобновления населённости возбуждённого состояния в од-
одноатомном мазере. После коллапса и периода спокойствия вероятность атому
оказаться в возбуждённом состоянии возобновляется и вновь осциллирует.
В отличие от рис. 16.6, поток атомов увеличен до значения N = 3000 с. Взято
из статьи G. Rempe et ai, Phys. Rev. Lett. 1987. V. 58. P. 353
сказывает уравнение A5.28). В случаях (С) и (D) инжектированное
когерентное состояние было таким, что отчётливо проявляются кол-
коллапс и начало возобновления.
В выражение A6.9) для вероятности атому оказаться в основном
состоянии входят время пролёта и распределение для фотонов. В ука-
указанных выше экспериментах наблюдалась зависимость этой вероятно-
вероятности от времени. Поэтому можно с помощью преобразования Фурье
выразить функцию распределения для фотонов через интеграл от из-
измеренных вероятностей. Это позволяет нам найти статистику фотонов
поля.
Средняя и правая колонки на рис. 16.8 показывают рассчитанные
указанным образом, соответственно, преобразования Фурье и функ-
функции распределения. Отметим, что, действительно, для верхнего случая
центр распределения находится в точке с нулевым числом фотонов,
соответствующим вакуумному состоянию, в то время как для нижнего
случая распределение имеет максимум, который сдвинут относитель-
относительно вакуума. Фурье преобразования имеют максимумы в точках у/п,
которые соответствуют частотам Раби. Максимумы достаточно хорошо
локализованы вблизи частот л/n. Это прямо указавает, что электромаг-
электромагнитное поле квантовано, поскольку входят только дискретные частоты.
Таким образом, данные эксперименты являются ещё одним указанием
на дискретность возбуждений электромагнитного поля.
Движение иона в ловушке Пауля. Завершая этот раздел, упо-
упомянем, что динамика Джейнса-Каммингса-Пауля наблюдалась также
для одиночного иона, который движется в ловушке Пауля и взаимодей-
взаимодействует с классическим световым полем. Более подробно эта ситуация

16.2. Коллапс, возобновления и дробные возобновления
501
0 30 60 90
Время, мкс
О 50 100
Частота, кГц
150
Рис. 16.8. Наблюдаемый сигнал рабиевских нутаций (левая колонка), рас-
рассчитанный фурье-образ амплитуды (средняя колонка) и статистика фотонов
(правая колонка). Когерентное состояние инжектируется в первоначально пу-
пустой микроволновой резонатор с большим (Э-фактором. Атом в возбуждённом
состоянии проходит через резонатор и взаимодействует с полем в течение
времени t. В левой колонке показана вероятность найти атом в основном
состоянии для нескольких полей с возрастающими амплитудами. (А) Поле не
инжектируется, среднее число тепловых фотонов в резонаторе 0,06(±0,01);
(Б), (В), и (Г) соответствуют когерентным полям со средними числами фотонов
0,4(±0,02), 0,85(±0,04), и 1,77(±0,15). Точки являются экспериментальными
[коридор ошибок на рисунке (А) показан только для ясности]; сплошные
линии соответствуют теоретической подгонке. Фурье-преобразование (средняя
колонка) этих вероятностей даёт частоты Раби v = 47 кГц, i/\/2, v\[b, и 2i/,
указанные вертикальными пунктирными линиями. Масштабы на вертикальных
осях рисунков от (а) до (г) пропорциональны 4; 3; 1,5 и 1. Правая колонка
изображает соответствующие распределения чисел фотонов, извлечённые из
наблюдаемого сигнала (из экспериментальных точек). Сплошные линии пока-
показывают теоретические распределения для теплового (а) и когерентных [(/3),
G)' ($)] состояний, которые обеспечивают оптимальное совпадение с получен-
полученными данными. Взято из статьи М. Brune et al., Phys. Rev. Lett. 1996. V. 76.
P. 1800

502
Гл. 16. Приготовление состояний и пер впутывание
будет рассмотрена в следующей главе. Здесь же будет достаточно ска-
сказать, что квантовые энергетические уровни движения центра инерции
иона в ловушке (фононы) играют роль состояний с заданным числом
фотонов.
Когерентное
состояние
0,8 :
0,4-
0,2 :
10
^
20	30
Время, мкс
40
50
Рис. 16.9. Эффект коллапса и возобновлений для внутренней динамики иона,
находящегося в ловушке Пауля. Одиночный ион, совершающий квантово-ме-
ханическое движение в потенциале гармонического осциллятора и взаимодей-
взаимодействующий с классическим полем стоячей световой волны, может быть описан,
как будет показано в разделе 17.4, в рамках модели Джейнса-Каммингса-Па-
уля. В данном случае собственные энергетические состояния осцилляторного
потенциала (фононы) играют роль фотонных состояний. Начальное состояние
движения центра инерции является когерентным состоянием со средним чис-
числом фононов п = 3,1 ±0,1. Внутренняя динамика очетливо проявляет эффект
коллапса рабиевских осцилляции и их возобновление. На вставке показаны
вклады в наблюдаемый результат населённостей состояний с определённым
числом фононов, которые хорошо соответствуют распределению Пуассона со
средним числом п = 2,9 ± 0,1. Взято из статьи D.M. Meekhof et at., Phys. Rev.
Lett. 1996. V. 76. P. 1796
На рис. 16.9 показана динамика внутренних состояний двухуров-
двухуровневого иона, движущегося в ловушке Пауля и взаимодействующего
с классической световой волной. Начальное состояние движения цен-
центра инерции иона является когерентным состоянием, и соответству-
соответствующая динамика внутренних состояний проявляет эффект коллапса
и отчётливого возобновления.
16.3. Приготовление квантовых состояний
До сих пор всегда предполагалось, что поле излучения находит-
находится в некотором определённом состоянии \фполе). Однако мы не дали
никакого рецепта, как приготовить такое состояние. В этом разделе
мы сначала кратко рассмотрим метод получения суперпозиции двух

16.3. Приготовление квантовых состояний	503
когерентных состояний с различными фазами — квантового состояния,
которое обычно называют состоянием шрёдингеровской кошки. Такое
состояние было недавно получено экспериментально с помощью упо-
упомянутого метода.
Затем в разделе 16.4 предлагается общий метод получения про-
произвольной, но конечной, суперпозиции фоковских состояний. В обо-
обоих случаях используется динамика Джейнса-Каммингса-Пауля двух-
двухуровневого атома, взаимодействующего с одной модой квантованного
поля.
Существует гораздо больше методов приготовления состояний,
и специальный выпуск Journal of Modern Optics 0 , посвященный при-
приготовлению квантовых состояний и измерениям, даёт широкий обзор
всей этой области квантовой оптики.
16.3.1. Приготовление состояний с помощью дисперсионного
взаимодействия. В разделе 16.1.2 мы показали, что измерение атом-
атомной переменной для перепутанной атомно-полевой системы приготав-
приготавливает квантовое состояние поля. Здесь мы иллюстрируем эту схему
приготовления состояний на примере взаимодействия атома в рамках
модели Джейнса-Каммингса-Пауля при большой отстройке от резо-
резонанса.
Прежде всего мы покажем, что таким способом можно создать
суперпозицию двух когерентных состояний с разными фазами. Такая
схема была реализована экспериментально, а некоторые детали пред-
представлены на рис. 16.10 и 16.11.
Рассмотрим сначала взаимодействие атома в состоянии
|^атом)=Са|а)+С6|6)	A6.10)
с сильно отстроенным квантованным полем, находящимся в состоянии
сю
|^поле) = J2Wn 1П) •
п=0
С помощью подходящего классического поля можно приготовить та-
такую когерентную суперпозицию атомных состояний A6.10), которая
указана на рис. 16.10.
Согласно A5.34), квантовое состояние атомно-полевой системы по-
после времени взаимодействия t имеет вид
J2 (	) , A6.11)
п=0
где мы представили фазу в форме
и обозначили (p(t) = g2t/A.
1) См. список литературы в конце главы. — Прим. ред. пер.

504	Гл. 16. Приготовление состояний и пер впутывание
¦^класс	J^TX	^ класс
Рис. 16.10. Приготовление поля резонатора в состоянии шрёдингеровской
кошки. С помощью классического поля двухуровневый атом, находившийся
первоначально в основном состоянии, переводится в состояние когерентной
суперпозиции |^атом) = са \а) + съ \Ь) основного и возбуждённого состояний.
Приготовленный таким образом атом пересекает одномодовый резонатор, силь-
сильно отстроенный от частоты атомного перехода. Дисперсионное взаимодействие,
которое описывается эффективным гамильтонианом A5.33), создаёт перепу-
перепутанное состояние A6.11) атома и поля. В результате измерения атомного
диполя |^атом) = са \а) + сь \Ь) с помощью другого классического поля и иониза-
ионизационного детектора создаётся полевое состояние |^Поле), A6.12). Такая конфи-
конфигурация напоминает метод Рамзея в радиоспектроскопии высокого разрешения.
Так как не каждый атом, покидающий резонатор, находится в реперном состо-
состоянии |^атом), то и состояние |^поле) возникает не каждый раз. В случае, когда
в качестве начального полевого состояния берётся когерентное состояние \а),
конечное состояние поля является суперпозицией \ф) = —=¦ [\аег(р^ + |ае~г(/:)]
двух когерентных состояний с одной и той же амплитудой а, но разными
фазами -\-ср и —ip — состояние амплитудной шрёдингеровской кошки
Теперь производится измерение для атома, и нас, в частности,
интересует, находится ли атом в реперном состоянии
IVVtom) =2а \а) +Съ\Ь).
Такое измерение можно реализовать с помощью подходящего класси-
классического поля и ионизационного детектора, как обсуждалось в разде-
разделе 16.1.
Если атом действительно находится в состоянии \фатом), то, соглас-
согласно A6.7), состояние поля имеет вид
n=0	n=0
, A6.12)
где W(t\ IVVtom)) есть вероятность обнаружить атом после времени
взаимодействия t в реперном атомном состоянии ^атом)-
Это выражение можно упростить, выбрав амплитуды вероятно-
вероятности са, сь и са, съ реперного и начального атомных состояний таким

16.3. Приготовление квантовых состояний
505
Рис. 16.11. Экспериментальная генерация состояния шрёдингеровской кошки
с помощью совместного измерения. Для атома, проходящего через систему
типа схемы Рамзея, рис. 16.10, проявляется эффект осцилляции в вероятности
перехода. Если в случае (а) поле полости является вакуумом, то случаи
(б)-(г) соответствуют когерентному состоянию с \а\ = 3,1. Расстройки между
частотой перехода и частотой поля в случаях (б)-(г) различны. В результате
возникают три различных угла ср между двумя когерентными состояниями,
образующими состояние шрёдингеровской кошки, как показано с помощью
фазового представления полевых компонент, изображённых в правой колонке.
Точки показывают экспериментальные значения, а кривые являются подходя-
подходящими синусоидами. Взято из статьи М. Brune et al., Phys. Rev. Lett. 1996.
V. 77. P. 4887
образом, что
cacae
*pi(fi(t) _
= cbcb =
V2'
В этом случае приготовленное указанным способом состояние \ф) поля
принимает форму
n) +
o-i>4>n(t)
где J\f константа нормировки.
у ^
п=0
\п)
A6.13)

506	Гл. 16. Приготовление состояний и пер впутывание
Отметим, что начальные амплитуды wn состояний с определённым
числом фотонов приобрели фазовые множители exp [±i(pn(t)]. Таким
образом, состояние поля существенно изменилось из-за взаимодей-
взаимодействия с атомом и произведённого измерения атомного состояния.
16.3.2. Генерация состояния шрёдингеровской кошки. Чрез-
Чрезвычайно важное приложение этого результата связано с рассмотрением
когерентного состояния
сю	сю п
\а)^™п\п)^Ъе~а2/2^	(ШЛ4)
n=0	n=0VU'
в качестве начального состояния поля.
Напомним, что фазы (pn(t) = (p(t) n линейны по п. Поэтому фазовые
множители, содержащие срп, можно включить в амплитуды вероятно-
вероятности wn, произвести в формуле A6.13) суммирование, то есть
n=0
и получить суперпозиционное состояние
A6.15)
Это есть состояние амплитудной шрёдингеровской кошки, о котором
говорилось в разделе 11.3.
Итак, мы использовали дисперсионный режим взаимодействия для
модели Джейнса-Каммингса-Пауля при большой отстройке от резо-
резонанса, чтобы с помощью суперпозиции атомных состояний и одного
когерентного полевого состояния создать суперпозицию двух когерент-
когерентных состояний с одинаковыми амплитудами, но различными фазами.
В этом процессе происходит перенос когерентности от атомов к полю.
Данный метод позволяет приготовить только состояния типа A6.15),
но он может быть обобщён для приготовления любой конечной супер-
суперпозиции фоковских состояний, как это будет показано в следующем
разделе.
16.4. Инженерия квантовых состояний
Теперь рассмотрим метод приготовления произвольной, но конеч-
конечной, суперпозиции фоковских состояний. Мы используем динамику
модели Джейнса-Каммингса-Пауля для двухуровневого атома, взаи-
взаимодействующего резонансным образом с одной модой квантованного
поля, и полагаемся на процедуру совместного измерения.

16.4. Инженерия квантовых состояний
507
16.4.1. Схема метода. Наша конечная цель состоит в том, чтобы
приготовить квантовое состояние
N
п=0
A6.16)
10} JF.
одной резонаторной моды, то есть интересующее нас состояние явля-
является суперпозицией первых N + 1 фоковских состояний с заданными
комплексными коэффициентами dn. Как получить такую суперпозицию
в резонаторе, стартуя с вакуумного состояния?
Получение фоковских состояний. Поскольку желаемое полевое
состояние содержит фоковское TV-фотонное состояние \N), а мы начи-
начинаем с вакуума, понятно, что надо передать в резонатор необходимое
возбуждение. Один очевидный метод
полагается на использование N воз-
возбуждённых двухуровневых атомов.
Следуя этой первой наивной идее, бу-
будем инжектировать в резонатор один
за другим N возбуждённых атомов.
Здесь и далее в этом разделе предпо-
предполагается для простоты, что в каждый
момент времени в резонаторе нахо-
находится только один атом. Если все N
атомов передадут своё возбуждение
в поле, то мы, действительно, приго-
приготовим фоковское состояние \N) , как
указано на рис. 16.12.
Подчеркнём, что именно такой
эксперимент был выполнен в Гархин-
ге с помощью высокодобротного мик-
микроволнового резонатора одноатомного
мазера. Стартовав с вакуумного со-
состояния, экспериментаторы пригото-
приготовили последовательно однофотонное
и двухфотонное состояния. Они про-
прозондировали это состояние с помо-
помощью дополнительного атома и заре-
зарегистрировали осцилляции Раби, кото-
которые испытывает атом в таком поле, как показано на рис. 16.13.
Суперпозиционное состояние. Это состояние, однако, не является
искомым состоянием \ф^), то есть это не есть когерентная суперпо-
суперпозиция A6.16) первых N + 1 фоковских состояний. Для того чтобы
получить суперпозицию полевых состояний, надо привнести в резона-
резонатор не только возбуждение, но и когерентность, то есть квантовую
интерференцию.
Простейшая интерференция связана с суперпозицией атомных со-
состояний для одного атома. Поэтому, для того чтобы передать полю
Рис. 16.12. Получение фоковско-
го состояния \N) из вакуума |0) .
N возбуждённых двухуровневых
атомов один за другим инжекти-
инжектируются в резонатор с одной мо-
модой в состоянии вакуума. Если
все атомы после взаимодействия
с резонансным полем окажутся
в основном состоянии, то мы со-
создадим в полости фоковское со-
состояние \N). Это условие требу-
требует, чтобы мы произвели измере-
измерение для атомов с помощью детек-
детектора, чувствительного к атомным
состояниям

508
Гл. 16. Приготовление состояний и пер впутывание
од
0,05
О
-0,05
-0,1
« 1
| 0,5
q
: о
™0,5
1
0,5
О
40 60 80 100 120 140 160 0 12 3 4
- . ••• *"••"• * а
i , 1 : ¦ i , 1
	t	*	|	:-^
\
1
1
К
h
к
б ¦
^: :
'_ а '_
I
б
"I
: 1 в :
-у
40 60 80 100 120 140 160 0 1 2 3 4
1
0,8
0,6
0,4
0,2
О
0,8
0,6
0,4
0,2
О
0,6
0,4
0,2
О
о
н
о
о
Время взаимодействия, мкс
Число фотонов
Рис. 16.13. Приготовление и измерение фоковского состояния в одноатомном
мазере. С помощью последовательности двухуровневых атомов, проходящих
через резонатор с высоким (Э-фактором, можно приготовить и прозондиро-
прозондировать однофотонное и двухфотонное фоковские состояния, когда атомное воз-
возбуждение передаётся полю и наблюдаются возникающие в результате этого
рабиевские осцилляции. Если мы начинаем с вакуумного состояния поля
в резонаторе (а), то один атом, совершая переход из возбуждённого состояния
в основное, приготавливает однофотонное фоковское состояние (б). Два таких
атома, вкладывая свои внутренние возбуждения в поле, создают двухфотон-
двухфотонное фоковское состояние (в). Регистрируя с помощью дополнительного атома
соответствующие рабиевские осцилляции, показанные в левой колонке, мы
зондируем число фотонов. Взято из статьи Varcoe В.Т.Н. et at., Nature. 2000.
V. 403. P. 743
не только возбуждение, но и когерентность, будем инжектировать
в полость N резонансных двухуровневых атомов, каждый из которых
находится в некоторой подходящей суперпозиции основного и возбуж-
возбуждённого состояний, как показано на рис. 16.14.
Рассмотрим теперь процесс создания поля в полости с помощью
подходящим образом приготовленных атомов. Первоначально поле в
полости является вакуумом. Мы посылаем в резонатор первый атом,
находящийся в суперпозиционном состоянии
Заметим, что пока это состояние написано без учёта нормировки,
которую проведём на последнем этапе.

16.4. Инженерия квантовых состояний
509
Ю> JP.
После взаимодействия атома с вакуумным полем произведём изме-
измерение атомного состояния. Если атом в возбуждённом состоянии, мы
должны остановиться и отбросить
этот результат. Почему? Да пото-
потому, что нужное полевое состоя-
состояние \ifjd) A6.16) содержит фоковское
TV-фотонное состояние \N). Так как
у нас только N атомов, т. е. N возбуж-
возбуждений, то все атомы должны выйти из
резонатора в основном состоянии.
Итак, рассмотрим теперь ситуа-
ситуацию, когда атом, покинувший резо-
резонатор, находится в основном состо-
состоянии. В этом случае возникают две
возможности для полевого состояния.
Поскольку атом первоначально был
в когерентной суперпозиции основно-
основного и возбуждённого состояний, а по-
потом оказался в основном состоянии,
состояние поля есть суперпозиция
вакуумного состояния |0) и однофо-
тонного фоковского состояния |1), как
указано на рис. 16.15.
Комплексные амплитуды вероятно-
вероятности (?>q и ^1 определяются динами-
динамикой атомно-полевого взаимодействия
и будут вычислены ниже. Подчеркнём
и такое обстоятельство: из-за редуци-
редуцирования полной системы атома и поля
Рис. 16.14. Инженерия кванто-
квантовых состояний: схема установ-
установки. Мы приготавливаем произ-
произвольное интересующее нас по-
полевое состояние \фа), включа-
включающее первые N + 1 фоковское
состояние, инжектируя в резона-
резонатор N подходящим образом при-
приготовленных резонансных двух-
двухуровневых атомов. Начальным
состоянием поля является ваку-
вакуум. Атом с номером к находит-
находится в суперпозиции \а) + isk \b)
атомных состояний, где Sk есть
некоторый комплексный пара-
параметр, который зависит от инте-
интересующего нас состояния поля
\фа) • Если все атомы, покидая
полость, оказываются в основ-
основном состоянии, полевая мода бу-
будет находиться в желаемом со-
состоянии \фл)
только к полевой системе состояние
поля \(р^) ненормировано. Обозначим ненормированное состояние по-
поля как \^р^}. Кроме того, в данном разделе верхний индекс указывает
номер атома, а нижний — номер фоковского состояния.
Второй атом продолжает этот процесс и превращает вакуумный
член состояния \(р^) в суперпозицию вакуумного |0) и однофотонного
|1) состояний. Точно так же, он преобразует компоненту |1) вектора
j^1)) в суперпозицию |1) и следующего фоковского состояния |2).
Таким образом, состояние поля после того, как второй атом с ним
провзаимодействовал и был зарегистрирован в основном состоянии,
является суперпозицией
B)
л,	«	B) B)
фоковских состоянии с амплитудами вероятности щ', (р\ J и

510
Гл. 16. Приготовление состояний и пер впутывание
IN)
IJV-1)
12}
ID
10)
1
N-l N
Рис. 16.15. Инженерия квантовых состояний: эволюция полевых амплитуд,
обусловленная взаимодействием следующих друг за другом атомов с полем
резонатора. Вдоль вертикальной оси показано, как развиваются состояния поля
с заданным числом фотонов, а на горизонтальной оси указано время, кото-
которое пропорционально числу атомов. Предполагается, что после резонансного
взаимодействия двухуровневых атомов с одной резонаторной модой, которая
сначала была в вакуумном состоянии, все N атомов оказались в основном
состоянии. До входа в резонатор каждый атом находится в подходящим обра-
образом выбранной суперпозиции основного и возбуждённого состояний. Поэтому
атом может либо увеличить число фотонов на единицу, либо оставить его
неизменным, как указывают диагональные и горизонтальные стрелки. Каж-
Каждая элементарная ячейка этой решётки может считаться нижней плоскостью
рис. 15.1, так как мы рассматриваем только те атомы, которые покидают
резонатор в основном состоянии
Рисунок 16.15 даёт больше информации о структуре этих амплитуд.
Отметим лишь, что только один путь ведёт от вакуума |0) к фоковско-
му состоянию |2). Точно так же, только один путь оставляет вакуум
неизменным. Напротив, есть два пути, связывающие |0) с |1): это
происходит, когда либо первый, либо второй атом вносит своё возбуж-
возбуждение. Два вклада интерферируют, и поэтому амплитуда вероятности
(р\ есть сумма амплитуд, отвечающих двум путям.
Следующий атом продолжает процесс возбуждения, и после про-
прохождения N атомов мы, действительно, получаем суперпозицию
N
n=0
П) =
- ,„№
первых 7V + 1 фоковских состояний с амплитудами вероятности </4 •
Заметим, однако, что эти амплитуды, вообще говоря, не совпадают
с коэффициентами разложения dn нужного нам полевого состояния.
Это становится особенно понятным, если учесть, что много различных
путей дают вклад в отдельное фоковское состояние. Рисунок 16.15
показывает, что из этого правила есть два исключения. Есть только

16.4. Инженерия квантовых состояний	511
один путь, который ведёт из вакуума к фоковскому состоянию \N).
Аналогично, только один путь оставляет вакуум неизменным. Для всех
других фоковских состояний есть много путей, которые ведут от |0)
к In). Вклады всех путей, связывающих 10) с In), интерферируют,
(АО
и соответствующие амплитуды вероятности срп ' являются суммами
амплитуд, отвечающих этим путям.
16.4.2. Обратная задача. Из-за множественности интерфериру-
интерферирующих путей обратная задача, а именно, определение параметров Sk
атомной суперпозиции, которые дадут нужные нам полевые ампли-
амплитуды (fn ' = dn, выглядит безнадёжной. Тем не менее, треугольная
структура атомно-полевой диаграммы на рис. 16.15 позволяет решить
обратную задачу шаг за шагом.
Рекуррентные соотношения для амплитуд. Для этого рассмот-
рассмотрим влияние fc-ro атома. Его взаимодействие описывается в рамках
резонансной модели Джейнса-Каммингса-Пауля, которая подробно
обсуждалась в разделе 15.1.
До инжектирования в полость fc-ro атома в суперпозиционном со-
состоянии \а) + isk \Ь) резонаторное поле находится в состоянии
n=0
После взаимодействия, когда атом покинул полость, состояние
полной системы имеет вид
к-\
п=0
+ г?кСп-\ I6' n) + ?kSn-\ la' п ~ 1)\ '
Здесь мы воспользовались эволюцией во времени A5.13) модели
Джейнса-Каммингса-Пауля и обозначили Сп = cos (л/п + 1 дтЛ и
(к)	/ i	 \
Sn = sin [yn + 1 grk) • Кроме того, мы полагаем, что отдельные атомы
могут иметь разное время взаимодействия т&.
Если мы теперь произведём измерение атомного состояния и заре-
зарегистрируем данный атом в основном состоянии \Ь), то состояние \ср^}
поля принимает вид
к-\
п=0
= -<?
п=0
fe-0 ^7Г(/с) (Л^-1) \п)

512	Гл. 16. Приготовление состояний и пер впутывание
Теперь новые амплитуды вероятности срп ' получаются из рекуррент-
рекуррентного соотношения
№ = №№ - еьСЮ&Х-".	A6.17)
Они выражаются через значения полевых амплитуд (рп~ до влёта
в резонатор fc-ro атома. Подчеркнём, что мы выделили общий множи-
множитель —г.
Формулировка обратной задачи. Теперь можно обратиться к об-
обратной задаче, то есть к определению такой атомной суперпозиции
\а) + ieN \b) и такого полевого распределения ipn ~ , чтобы после
прохождения TV-го атома поле было в интересующем нас состоянии
\<pw) = № = Е <*»!«>•
п=0
Для этого подставим рекуррентное соотношение
которое следует из A6.17) для атома с номером k = N, в систему
уравнений для фоковских состояний. Заметим, что yrN ~ ' = 0, так как
только N-и атом создаёт N-e фоковское состояние. Тогда, с учётом
С^} = 1 и 5^ = 0, находим
SN-\ 4>N-l	= dN
„(N) (ЛГ-1)	,	Пп 1йч
- eN CKn_\ ipb } = dn	A6.18)
Отметим, что коэффициенты dn искомого поля, стоящие в правой части
этой системы из TV + 1 уравнения, заданы. Неизвестными величинами
являются TV амплитуд вероятности (fn ~ , входящие в полевое состо-
состояние, которое было до прохождения TV-го атома, и параметры г^ атом-
атомной суперпозиции. Следовательно, мы, действительно, имеем TV + 1
уравнение для TV + 1 неизвестного. В этом-то и скрывается возмож-
возможность решить обратную задачу.
Решение обратной задачи. Начнём с того, что решим первое
уравнение, то есть
(N-\) _ dN

16.4. Инженерия квантовых состояний	513
и подставим этот результат в следующее уравнение, которое определя-
определяет величину ^pN^2 > и так далее. В результате получаем решение
N-n
?
П
A6.19)
Подстановка найденного таким образом коэффициента щ	в по-
последнее уравнение системы A6.18) даёт
то есть характеристическое уравнение для en-
Уравнение A6.20) является алгебраическим уравнением JV-й сте-
степени. Поэтому оно имеет N корней. Мы численно решаем это харак-
характеристическое уравнение и выбираем одно значение en из N корней
уравнения A6.20). Тогда формула A6.19) немедленно даёт нам соот-
соответствующие коэффициенты срп ~ ' состояния \(p(N~1^). Тем самым,
мы определили полевое состояние и атомную суперпозицию, которые
необходимы, чтобы получить интересующее нас состояние поля после
пролёта через резонатор TV-го атома.
Теперь берём это полевое состояние |<^(^-1)) в качестве нового
нужного нам состояния, которое надо получить, посылая N — 1 атом
через полость. Для состояния |<^(^-1)) мы выполняем те же самые
вычисления, что и для состояния IV^)' и получаем параметр sn-\
и состояние |<^^~2)), содержащее N — 1 коэффициент фп ~ •
Мы повторяем эту процедуру до тех пор, пока не закончим ваку-
вакуумным состоянием. Ряд комплексных чисел г\,б2,.. .,sn задаёт внут-
внутренние состояния последовательности N атомов, которые мы должны
инжектировать в резонатор, чтобы из вакуумного состояния пригото-
приготовить нужное полевое состояние \i/Jd)-
16.4.3. Пример: приготовление фазового состояния. Мы про-
проиллюстрируем этот метод, создав усечённое фазовое состояние
V8 n=0
В этом случае все амплитуды вероятности интересующего нас состоя-
состояния действительны и равны. Подставляем их в выражения A6.19), ко-
которые определяют полевые амплитуды до попадания в резонатор TV-го
атома, и вычисляем параметр суперпозиции en с помощью уравне-
уравнения A6.20). Потом повторяем эту процедуру для следующих N — 2 по-
полевых состояний пока не придём к вакуумному состоянию. В табл. 16.1
приведены вычисленные таким способом величины е\,Е2, ... ,?7 Для
постоянного значения дт^ = тг/5 параметра взаимодействия.
17 В. П. Шляйх

514
Гл. 16. Приготовление состояний и пер впутывание
Таблица 16.1. Внутреннее состояние \а) -\- i\sk\elf3k\b), в котором должен
быть к-й атом, чтобы получить усечённое фазовое состояние A6.21), при фик-
фиксированном значении параметра взаимодействия дт = тг/5. В правой колонке
представлены вероятности Р^ , A6.25), обнаружить к-й атом в состоянии \Ь)
после взаимодействия с резонаторным полем при условии, что все предыдущие
атомы были зарегистрированы в состоянии \Ь). Вероятность Vi A6.27) обнару-
обнаружить все атомы в основном состоянии равна Vi = Рь
0)
•РЬB)...РЬG) =0,01388
к
1
2
3
4
5
6
7
ы
0,5412
0,5730
0,6951
0,8283
1,0562
1,3334
1,5002
-0,5075
0,5102
-0,7585
-0,9977
0,7783
0,5141
-0,5389
0,4938
0,3616
0,6477
0,8106
0,7368
0,4918
0,4086
Для того чтобы дать представление об отдельных шагах эволю-
эволюции полевого состояния от вакуума к усечённому фазовому состоя-
состоянию A6.21), на рис. 16.16 показана Q-функция полевого состояния
\(р^) после того, как к-и атом пролетел через резонатор и был зареги-
зарегистрирован в основном состоянии.
Вероятность успешного испытания. Какова же вероятность со-
создания такого состояния, то есть вероятность Vn обнаружить все
атомы в основном состоянии после того, как они прошли через резо-
резонатор? До сих пор мы пользовались ненормированными состояниями
для атомов и поля, так как это было удобно для вычисления супер-
суперпозиционных параметров ей и амплитуд срп . Если же нам нужны
вероятности, надо использовать нормированные полевые состояния
A6.22)
n=0
и нормированные атомные состояния (|а) + i?k\b)) j\j\ + |?/с|2 •
Для коэффициентов т/4 ' получаются уравнения, которые аналогич-
аналогичны A6.18), но теперь имеют вид
jXk) _ лл c(fc) jXk~l)

16.4. Инженерия квантовых состояний
515
k=0
k=l
k = 2
k=3
Im a
k = 4
k=5
-2
Im a
Рис. 16.16. Q-функция Q(a) = \(а\(р^)\2/тг полевого состояния |^^fc^) по-
после того, как к-й атом провзаимодействовал с полем и был зарегистри-
зарегистрирован в основном состоянии. Параметры внутренних состояний входящих
атомов указаны в табл. 16.1. Контурные линии соответствуют значениям
Q = 0,025, 0,050, 0,075,...
Здесь нормировочная константа
A6.24)
17*

516
Гл. 16. Приготовление состояний и пер впутывание
ek
учитывает норми-
нормисостоит из двух частей. Множитель 1/у 1 +
ровку внутреннего состояния fc-ro атома, а фактор 1/л//^'^ связан
с процедурой нормировки полевого состояния после редуцирования
в результате измерения.
Вычисляя с помощью уравнений A6.23) вероятность обнаружить
к-и атом в основном состоянии, приходим к выражению
(к) \—Л d(k) I (к— 1)	/-ч(к) I (к-
п=0
Теперь мы готовы вычислить вероятность успеха, то есть вероят-
A6.25)
ность
N
к=\
события, когда все N атомов покидают резонатор в основном состоя-
состоянии. Из первого уравнения системы A6.23) видно, что
к=\
Поскольку мы стартуем с вакуумного состояния, то ^о — 1- Кроме
того, заметим, что для нормированного интересующего нас состояния
имеет место соотношение ^n = dn, и уравнение A6.26) сводится к
N
= П
к=\
;-1
Подставляя сюда нормировочные константы Л4 из A6.24), получаем,
что вероятность Vn обнаружить все N атомов в основном состоянии
находится из соотношения
N
i
П^
к=\
N
которое дает
VN =
N
п
к=\
A6.27)
Вероятность Vn зависит от выбора корней характеристического
уравнения A6.20) и времён взаимодействия т&. Можно ли использовать
эту «степень свободы», чтобы оптимизировать вероятность

16.4. Инженерия квантовых состояний
517
Таблица 16.2. Внутреннее состояние \а) + i\sk\ ег/3к \b) к-го атома, которое
нужно для получения усечённого фазового состояния A6.21). Здесь мы оп-
оптимизировали параметры взаимодействия дтк, чтобы получить максимальную
вероятность V\ A6.27) зарегистрировать все атомы в основном состоянии.
В правой колонке даны вероятности Р^ A6.25) обнаружить к-й атом в состо-
состоянии \Ь) после его взаимодействия с резонаторным полем при условии, что все
предыдущие атома были уже зарегистрированы в состоянии \Ь). В этом случае
мы имеем Vi = 0,05193
к
1
2
3
4
5
6
7
0,7462
0,8513
0,8543
0,9972
1,2000
1,3198
1,1003
РФ
-0,6016
0,5569
0,7427
-0,6821
-0,5256
0,5097
1,0000
дгк/тт
0,5000
0,3370
0,2780
0,2477
0,2363
0,1937
0,1524
р(к)
1,0000
0,5655
0,7435
0,6265
0,5196
0,4366
0,8690
Чтобы получить некоторое представление о возможностях такой
оптимизации, рассмотрим простейшую ситуацию одинаковых времён
взаимодействия т& = г на примере приготовления усечённого фазового
состояния A6.21). Зависимость вероятности Vj от параметра взаимо-
взаимодействия дт показана на рис. 16.17. Для этой кривой параметр ?*. для
каждого атома выбран с наименьшим абсолютным значением.
0 0,2 0,4 0,6 0,8 1
gxln
Рис. 16.17. Вероятность Vi обнаружить все семь атомов в основном состоянии
как функция параметра взаимодействия дт при приготовлении усечённого
фазового состояния A6.21). Здесь все вк выбраны с наименьшими абсолют-
абсолютными значениями. Отметим появление эффекта пленения вероятности, когда,
согласно A6.27), вероятность Vi равна нулю
Отметим, что вероятность Vj возрастает при увеличении параметра
взаимодействия дт, достигает максимального значения Vj = 0,02067
при дт = 0,2445тг, а затем убывает. Кроме того, при тех значениях

518	Гл. 16. Приготовление состояний и пер впутывание
параметра взаимодействия дт, когда sin (дтл/п) =0 (п = 1,2, ...,7)
происходит пленение населённости, то есть вероятность Vi обращается
в ноль, как видно из уравнения A6.27). Как правило, максимум веро-
вероятности реализуется при меньшем значении параметра взаимодействия,
чем то, которое соответствует пленению.
Следующий шаг процедуры оптимизации состоит в том, что каж-
каждому атому ставится в соответствие своё время взаимодействия т&
с полем резонатора. В табл. 16.2 мы выбрали т& таким образом, чтобы
вероятность Vj обнаружить все семь атомов в основном состоянии
была максимальной. С помощью этой стратегии удалось увеличить Vj
вплоть до значения Vj = 0,05193.
Заключение. В заключение подчеркнём, что методом инжектиро-
инжектирования в полость N соответствующим образом приготовленных атомов
с последующей регистрацией всех этих атомов в основном состоянии
можно создать из вакуумного состояния любую суперпозицию первых
N + 1 фоковских состояний. Более того, отметим, что гамильтониан
Джейнса-Каммингса-Пауля не является решающим фактором этого
метода. Могут быть использованы и другие похожие модели атомно-
полевого взаимодействия, если они обеспечивают обмен энергией меж-
между атомами и полем.
Задачи
16.1 Коллапс и возобновления в модели Джейнса-Каммингса-
Пауля
Для резонансного атома, находившегося первоначально в основ-
основном состоянии, инверсия X(t) определяется выражением
оо
n=0
где Wn описывает статистику фотонов полевого состояния при
t = 0.
(а) Показать с помощью формулы суммирования Пуассона
ОО	+ОО ОО
п=0	и=-с
что X(t) можно записать в виде
+ ОО
та) = y: ы
v= — оо
где Xv(t) задаётся выражением
|-ОО
lv(t) = -Re\ldnW(n)ez™n-'Zl9t^n dn

Задачи	519
(б) Если функция распределения Wn меняется медленно по
сравнению с фазовым множителем, интеграл можно вычис-
вычислить приближённо методом стационарной фазы. Показать,
что для v > 1 величина Ху принимает вид
о 9 \	/22
д t \ at	at тг
п— о о I ,	 cos i ^	4
тогда как для v ^ — 1 мы получаем
Zv(t) =0.
Указание: В случае v = 0 метод стационарной фазы не
применим. В этом случае имеем просто
оо
I0(t) = - [ dn W(n) cos Bgty/n ).
о
(в) Рассмотреть инверсию в случае, когда поле в момент време-
времени t = 0 находится в когерентном состоянии с большой ам-
амплитудой. При каком условии получается заметный эффект
возобновлений? Есть ли возобновления в случае теплового
начального состояния?
Указание: Для когерентного состояния \а) при п =
а
2
можно использовать асимптотическое разложение D.15).
(г) В случае осциллирующей статистики фотонов, типа той, ко-
которая есть в сильно сжатом состоянии, возобновления имеют
осцилляции, как показано Сатянараяна (Satyanarayana) и др.
A989). С помошью подходящей асимптотики распределения
чисел фотонов и метода стационарной фазы получить мно-
многократные возобновления. Есть ли интерпретация на языке
интерференции в фазовом пространстве?
Указание: Смотри статью Фляйшхауэра (Fleischhauer) и
Шляйха (Schleich) A993).
16.2 Инженерия состояний
Взаимодействие двухуровневого атома с классическим полем мо-
может быть представлено как преобразование
а) +	|>, 1
\	A6.28)
Взаимодействие двухуровневого атома с квантованной модой
электромагнитного поля в представлении взаимодействия описы-
описывается гамильтонианом
t 2
Я = 9
А

520	Гл. 16. Приготовление состояний и пер впутывание
При t = 0 атом находится в состоянии \а), а поле — в когерентном
состоянии |ао). Процесс взаимодействия с полями проходит в три
этапа:
1)	взаимодействие с классическим полем согласно A6.28)
2)	взаимодействие с квантованным полем (время взаимодей-
взаимодействия г)
3)	взаимодействие с классическим полем согласно A6.28), но
с заменой (р на —(р.
После взаимодействия производится измерение атомного состоя-
состояния. Предположим, что атом всегда регистрируется в возбуждён-
возбуждённом состоянии.
(а)	В каком состоянии после измерения находится поле?
(б)	Показать, что при подходящем выборе параметров #
и ip можно приготовить любую суперпозицию состояний
2	2
(в) Показать, что с помощью N атомов при подходящем выборе
параметров $&, (р^ (к = 1,...,7V) и г < ivA/(g2N) можно
создать заданное полевое состояние
N
|„/Л = V^ I -ig2r/ABn-N)\	A6 29)
I т I / j I	/ '
п=0
если все атомы обнаружены в возбуждённом состоянии.
Указание: Следуя тому же методу, что и в разделе 16.4,
получить рекуррентные соотношения для полевых амплитуд
Сп ' до взаимодействия с к-м атомом и амплитуд сп ' после
взаимодействия с fc-м атомом. Показать, что для любого со-
состояния A6.29) существует, по крайней мере, одно решение.
О нормировке беспокоиться не надо.
Литература
Теория счёта фотонов
Теория счёта фотонов изложена в классических лекциях, прочитанных на Школе
в Лез Уше (Франция)
Glauber R.J., in: Quantum Optics and Electronics, Les Houches, edited by
C. DeWitt, A. Blandin and C. Cohen-Tannoudji, Gordon and Breach, New York,
1965, pp. 331-381
[Глаубер Р.. в кн.: Квантовая оптика и квантовая электроника, — М.:
Мир, 1966]
Mandel L., Wolf E. Optical Coherence and Quantum Optics. Cambridge U.P.,
New York, 1995

Литература	521
[Мандель Л., Вольф Э. Оптическая когерентность и квантовая оптика. —
М.: Физматлит, 2000]
Квантовая электродинамика резонаторов
Обзор области квантовой электродинамика резонаторов
Haroche S., Kleppner D. Cavity Quantum Electrodynamics // Phys. Today.
1989. V.42. P. 24-30.
Hinds E.A. Perturbative Cavity Quantum Electrodynamics, in: Cavity Quan-
Quantum Electrodynamics, edited by P. Berman, Adv. At. Mol. Opt. Phys., Supplement
2, Academic Press, Boston, 1994
Yokoyama H., Ujihara K. Spontaneous Emission and Laser Oscillation in
Microcavities. CRC, Boca Raton, 1995
Наблюдение периодического обмена возбуждением между атомом и резонаторным
микроволновым полем
Rempe G., Walther H., Klein N. Observation of Quantum Collapse and Revival
in a One-Atom Maser // Phys. Rev. Lett. 1987. V. 58. P. 353-356.
Brune M., Schmidt-Kaler F., Maali A., Dreyer /., Hagley E., Raimond J.M.,
Haroche S. Quantum Rabi Oscillations: A Direct Test of Field Quantization in a
Cavity // Phys. Rev. Lett. 1996. V. 76. P. 1800-1803.
Varcoe B.T.H., Brattke S., Weidinger M., Walther H. Preparing pure photon
number states of the radiation field // Nature. 2000. V. 403. P. 743-746.
Первые результаты для оптической области были сообщены в материалах конферен-
конференции
Brecha R.J., Orozco L.A., Raizen М. G., Xiao M., Kimble H.J. Mode Splitting
for Two-Level Atoms Inside an Optical Resonator. J. Opt. Soc. Am. 1986. V. B.
P. 238
и опубликованы гораздо позднее
Raizen М. G., Thompson R. J., Brecha R. J., Kimble H. J., Carmichael H. J.
Normal-Mode Splitting and Linewidth Averaging for Two-State Atoms in an
Optical Cavity // Phys. Rev. Lett. 1989. V. 63. P. 240-243.
Метод Рамзея
Оригинальные работы по методу разделённых осциллирующих полей в спектроско-
спектроскопии изложены в монографии
Ramsey N.F. Molecular Beams. Oxford University Press, New York, 1956
[Рамзей Н. Молекулярные пучки. — M.: Ил, 1960]
Приложение этого метода к одноатомному мазеру
Krause /., Scully M.O., Walter H. Quantum theory of the micromaser: Sym-
Symmetry breaking via off-diagonal atomic injection // Phys. Rev. A. 1986. V. 34.
P. 2032-2037.
Brune M., Haroche S., Lefevre V., Raimond J.M., Zagury N. Quantum
Nondemolition Measurement of Small Photon Numbers by Rydberg-Atom
Phase-Sensitive Detection // Phys. Rev. Lett. 1990. V. 65. P. 976-979.

522	Гл. 16. Приготовление состояний и пер впутывание
Эффект возобновлений в модели Джейнса-Каммингса-Пауля
Численный расчёт временной эволюции среднего числа фотонов для модели Джейн-
Джейнса-Каммингса-Пауля
Frahm J. Quantenmechanische Streuung der elektrischen Feldstarke einer
gestorten Resonator-Eigenschwingung // Ann. Phys. (Leipzig) 1966. V. 18.
P. 205-208. Автор нашёл затухание и разнообразные повторения осцилляции
Раби. В статье, однако, нет детального обсуждения эффекта повторений.
Детальный теоретический анализ эффекта возобновлений в модели Джейнса-Кам-
Джейнса-Каммингса-Пауля
Eberly J.H., Narozhny N.B., Sanchez-Mondragon J.J. Periodic Spontaneous
Collapse and Revival in a Simple Quantum Model // Phys. Rev. Lett. 1980. V. 44.
P. 1323-1326.
Venkata Satyanarayana M., Rice P., Vyas R., Carmichael H.J. Ringing re-
revivals in the interaction of a two-level atom with squeezed light // J. Opt. Soc.
Am. 1989. V. B6. P. 228-237.
Fleischhauer M., Schleich W.P. Revivals made simple: Poisson summation
formula as a key to the revivals in the Jaynes-Cummings model // Phys. Rev. A.
1993. V.47. P. 4258-4269.
Экспериментальное наблюдение корпускулярной природы поля излучения, которая
проявляется в осцилляциях Раби и возобновлениях Джейнса-Каммингса
Rempe G., Walther И., Klein N. Observation of Quantum Collapse and Revival
in a One-Atom Maser // Phys. Rev. Lett. 1987. V. 58. P. 353-356.
Brune M., Schmidt-Kaler F., Maali A., Dreyer /., Hagley E., Raimond J.M.,
Haroche S. Quantum Rabi Oscillations: A Direct Test of Field Quantization in a
Cavity // Phys. Rev. Lett. 1996. V. 76. P. 1800-1803.
Подобие и различия между эффектами коллапса и возобновлений для модели
Джейнса-Каммингса-Пауля и одноатомного мазера
Wright E.M., Meystre P. Collapse and revival in the micromaser // Opt. Lett.
1989. V. 14. P. 177-179.
Существует весьма близкая аналогия между КЭД резонаторов и квантовым движе-
движением иона в ловушке Пауля, которая детально обсуждается в гл. 17. Эффект возобнов-
возобновлений, предсказанный для модели Джейнса-Каммингса-Пауля, наблюдался эксперимен-
экспериментально в ловушке Пауля в работе
Meekhof D. М., Monroe С., King В. Е., Itano W. М., Wineland D. J. Generation
of Nonclassical Motional States of a Trapped Atom // Phys. Rev. Lett. 1996.
V. 76. P. 1796-1799.
Теоретическое обсуждение дробных и полных возобновлений в модели Джейнса-
Каммингса-Пауля, сходных с теми, что наблюдаются в механических осцилляторных
системах, таких как атомы и молекулы, для времён, дробных кратных Т^
Averbukh I.Sh. Fractional revivals in the Jaynes-Cummings model // Phys.
Rev. A. 1992. V. 46. P. R2205-R2208.
Приготовление состояний
Ранний подход к проблеме приготовления квантовых состояний
Lamb W.E. An operational interpretation of non-relativistic quantum mechan-
mechanics // Phys. Today. 1969. V. 22D). P. 23-28

Литература	523
Приготовление состояний в одноатомном мазере и, в частности, генерация фоков-
ских состояний
KrauseJ., Scully M. О., Walther Н. State Reduction and |n) State Preparation
in a High-Q Micromaser // Phys. Rev. A. 1987. V. 36. P. 4647-4550.
Meystre P. Repeated Quantum Measurements on a Single Harmonic Oscilla-
Oscillator // Opt. Lett. 1987. V. 12. P. 669-671.
Meystre P. Cavity Quantum Optics and the Quantum Measurement Process //
Prog. Opt. 1992. V. 30. P. 261-355.
De Martini F., Di Giuseppe G., Marrocco M. Single-Mode Generation of
Quantum Photon States by Excited Single Molecules in a Microcavity Trap //
Phys. Rev. Lett. 1996. V. 76. P. 900-903.
Недавний эксперимент по приготовлению двухфотонного фоковского состояния с
помощью одноатомного мазера
Varcoe B.T.H., Brattke S., Weidinger M., Walther H. Preparing pure photon
number states of the radiation field // Nature. 2000. V. 403. P. 743-746.
Теоретические предложения по приготовлению резонаторного поля в состоянии шрё-
дингеровской кошки
Song S., Caves СМ., Yurke В. Generation of superpositions of classically
distinguishable quantum states from optical back-action evasion // Phys. Rev. A.
1990. V.41. P. 5261-5264.
Yurke В., Schleich W.P., Walls D.F. Quantum superpositions generated
by quantum nondemolition measurements // Phys. Rev. A. 1990. V. 42.
P. 1703-1711.
Savage СМ., Braunstein S.L., Walls D.F. Macroscopic quantum superposi-
superpositions by means of single-atom dispersion // Opt. Lett. 1990. V. 15. P. 628-630.
Последнее предложение реализовано в эксперименте
Brune M., Hagley E., Dreyer /., Maitre X., Maali A., Wunderlich С, Rai-
mond J.M., Haroche S. Observing the Progressive Decoherence of the «Meter» in
a Quantum Measurement // Phys. Rev. Lett. 1996. V. 11. P. 4887-4891.
Экспериментальная реализация состояния шрёдингеровской кошки для движения
центра инерции иона
Monroe С, Meekhof D.M., King B.E., Wineland D.J. A Schrodinger Cat
Superposition State of an Atom // Science. 1996. V. 272. P. 1131-1135.
Концепция инженерии квантовых состояний
Vogel К., Akulin V.M., Schleich W.P. Quantum State Engineering of the
Radiation Field // Phys. Rev. Lett. 1993. V. 71. P. 1816-1819.
Другой подход к проблеме
Parkins A.S., Marte P., Zoller P., Kimble H.J. Synthesis of Arbitrary Quan-
Quantum States via Adiabatic Transfer of Zeeman Coherence // Phys. Rev. Lett. 1993.
V. 71. P. 3095-3098.
Обзор различных методов приготовления состояний
Schleich W.P., Ray тег М., Special Issue on Quantum State Preparation and
Measurement. J. Mod. Opt. 1997. V. 44A1/12)

524	Гл. 16. Приготовление состояний и пер впутывание
Квантовое неразрушающее измерение одного фотона в резонаторе
Nogues G., Rauschenbeutel A, Osnaghi S., Brune М., Raimond J.M.,
Haroche S. Seeing a single photon without destroying it // Nature. 1999. V. 400.
P. 239-242.
Перепутывание атомов
Перепутывание атомов, последовательно проходящих через резонатор
Englert В.-G., Loffler М., Benson О., Varcoe В., Weidinger М., Walther Н.
Entangled Atoms in Micromaser Physics // Fortschr. Phys. 1998. V. 46.
P. 897-926.
Hagley E., Maitre X., Nogues G., Wunderlich C, Brune M., Raimond J.M.,
Haroche S. Generation of Einstein-Podolsky-Rosen Pairs of Atoms // Phys. Rev.
Lett. 1997. V. 79. P. 1-5.
Rauschenbeutel A, Nogues G., Osnaghi S., Bertet P., Brune M., Rai-
Raimond J.M., Haroche S. Step-by-Step Engineered Multiparticle Entanglement //
Science. 2000. V. 288. P. 2024-2028.
Перепутывание четырёх ионов в ловушке
Sackett С.A., Kielpinski D., King B.E., hanger С, Meyer V., Myatt C.J.,
Rome M., Turchette Q.A., Itano W.M., Wineland D.J., Monroe C. Experimental
entanglement of four particles // Nature. 2000. V. 404. P. 256-259.

Глава 17
ЛОВУШКА ПАУЛЯ
Удержание в течение длительного времени отдельных ионов в ло-
ловушке открывает разнообразные новые возможности в лазерной спек-
спектроскопии. Кроме того, одиночный захваченный ион представляет со-
собой уникальный объект для проверки фундаментальных законов кван-
квантовой механики. Так, например, динамика иона в ловушке Пауля нало-
наложила строгие ограничения на нелинейную версию квантовой механики.
Квантовые скачки , которые были одной из главных тем ранних дис-
дискуссий между Бором и Шрёдингером по поводу квантовой механики,
наблюдались в прямых экспериментах и в настоящее время исполь-
используются для контроля внутренней динамики иона. Недавно одиночный
ион, находящийся в ловушке Пауля, был использован для реализации
квантового гейта, а цепочка из многих ионов в линейной ловушке
может рассматриваться как обещающий компонент при создании кван-
квантового компьютера . Кроме того, экспериментальная генерация неклас-
неклассических состояний движения иона в ловушке Пауля обозначила новую
эпоху в области приготовления квантовых состояний. В виду важности
ловушки Пауля, проиллюстрированной на приведённых примерах, мы
посвящаем данную главу обсуждению физики этого замечательного
прибора.
Глава построена следующим образом. Раздел 17.1 содержит краткий
обзор основных методов удержания ионов. Здесь, в частности, пока-
показано, что нельзя осуществить трёхмерный захват заряженных частиц
с помощью только статических электрических полей. Нужны электри-
электрические поля, зависящие от времени. Затем, в разделе 17.2 даётся крат-
краткое введение в проблему лазерного охлаждения. Эта область быстро
развивалась на протяжении последних лет, и по данной теме существу-
существует огромная литература. Недостаток места не позволяет нам входить
в детали этой впечатляющей области квантовой оптики, и поэтому мы
отсылаем к списку литературы в конце данной главы. В разделе 17.3
кратко обсуждаются особенности динамики иона в ловушке Пауля.
Показано, в частности, что эволюция во времени, весьма сложная
из-за явной зависимости удерживающего потенциала от времени, мо-
может быть наглядно представлена как последовательность операций
поворота, сжатия и ещё одного поворота в фазовом пространстве.
Мы также останавливаемся на так называемых решениях Флоке для
гармонического потенциала с частотой, которая периодически зависит

526
Гл. 17. Ловушка Пауля
от времени, и показываем, что в базисе начальных состояний Фло-
ке описание эволюции системы во времени существенно упрощается.
В разделе 17.4 вводится модель, описывающая связь движения центра
инерции иона с его внутренними состояниями в классическом элек-
электромагнитном поле. Это приводит к многофотонному гамильтониану
Джейнса-Каммингса-Пауля.
17.1. Основы методов удержания ионов
В отличие от нейтральных атомов, на ионы, благодаря наличию
заряда, легко воздействовать с помощью электромагнитных полей.
Сначала мы покажем, что уравнение Лапласа не допускает возмож-
возможность трёхмерного удержания иона с помощью только статических
электрических полей. Потом обратимся к обсуждению динамического
удержания в электрических полях, зависящих от времени.
17.1.1. Невозможность трёхмерного статического удержания.
Для первой попытки удержания рассмотрим только статические элек-
электрические поля и начнём с кругового электрода с двумя гиперболоид-
ными крышками, изображённых на рис. 17.1.
Рис. 17.1. Конфигурации поля в нестабильной электростатической ловушке,
состоящей из кругового электрода с двумя гиперболоидными крышками. По-
Положительно заряженная частица отталкивается от кругового электрода, но
притягивается крышками (слева). Другая полярность электродов (справа) не
меняет ситуацию: теперь крышки удерживают частицу, но она притягивается
круговым электродом
Приложим постоянное напряжение таким образом, что круговой
электрод заряжен положительно, а крышки — отрицательно. Такое
устройство, однако, не обеспечивает трёхмерный конфайнмент. Что-
Чтобы это понять, проследим за движением положительно заряженного
иона вдоль силовых линий поля. Положительно заряженное кольцо
отталкивает положительный ион и толкает его к центру ловушки.
Следовательно, происходит локализация в радиальном направлении.
Однако в вертикальном (точнее, ортогональном) направлении частица
притягивается отрицательно заряженными крышками, и движение, та-
таким образом, неустойчиво.

17.1. Основы методов удержания ионов	527
Такой характер движения связан с седловой точкой потенциала
Ф(г) = /0.(ж2 + 2/2-2г2),	A7.1)
которая приводит к устойчивому движению в радиальном направлении
и неустойчивому движению в ортогональном направлении. В написан-
написанном выражении /о является постоянной величиной.
Есть соблазн предположить, что какая-нибудь другая, более слож-
сложная конфигурация электродов приведёт к трёхмерной локализации.
Однако законы электростатики, а точнее, уравнение Лапласа
4+4+4
дх2 ду dz2
не допускает этого.
Действительно, подставляя седловой потенциал A7.1) в уравнение
Лапласа, получаем
АФ = /о • B + 2 - 2 • 2) = 0.
Следовательно, множитель 2 и знак минуса в потенциале вдоль оси z
диктуются уравнением Лапласа.
Существуют, по крайней мере, два метода, которые предлагают путь
решения проблемы седловой точки. Первый основан на статических
электрическом и магнитном полях и привёл к созданию ловушки Пен-
нинга. Второй подход использует зависящие от времени электрические
поля и реализован в ловушке Пауля, которая детально обсуждается
в следующем разделе.
В основе ловушки Пеннинга лежит конфигурация электрическо-
электрического поля, показанная справа на рис. 17.1, на которую накладывается
постоянное однородное магнитное поле, направленное вдоль оси сим-
симметрии. В таком устройстве достигается трёхмерный конфайнмент —
вертикальное магнитное поле заставляет ион совершать движение по
окружности в плоскости, ортогональной магнитному полю, которое
преодолевает радиальную неустойчивость, вызванную электростатиче-
электростатическим полем.
17.1.2. Динамическое удержание. Ловушка Пауля основана ис-
исключительно на использовании меняющихся во времени электрических
полей. Способ её действия легко понять, если рассмотреть упоминав-
упоминавшийся выше седловой потенциал. Когда частица начинает скатываться
вниз по склону неустойчивости, знак напряжения на электродах ме-
меняется на противоположный, так что частица, вдруг, чувствует воз-
возрастающий, а не убывающий, потенциал. Теперь, однако, становится
неустойчивым движение вдоль другой координаты. Поэтому, надо сно-
снова сменить полярность напряжения на электродах. Приложение такого
знакопеременного напряжения приводит к динамическому захвату.
Уравнение Матъе. В такой ситуации потенциал имеет вид
Ф(г, *) = /(*) (ж2+ 2/2-2*2),	A7.2)

528	Гл. 17. Ловушка Пауля
где
г /,ч _ U + V COS (g;rft)
J\l) —	2 , о 2
r0 + 2^о
Здесь U и V обозначают амплитуды постоянного и переменного на-
напряжений, го — радиус кольцевого электрода, 2zq — расстояние между
крышками и иот\ = 2тг/Т — частота (радиочастотного диапазона) пере-
переменного напряжения.
Классическое движение иона в потенциале A7.2) подчиняется урав-
уравнению
My = -еУФ(г,?),
где М и е масса и заряд иона. Подставляя потенциал A7.2) в уравнение
движения, получаем
Mr+ 2e/(*)(r-3z)=0,
где z = @,0, z)T.
Преобразуем это уравнение к виду уравнения Матье
^4 + [а + 2qcosBr)}x = 0,	A7.3)
дт
где введены следующие обозначения
1	, SeU AeV	/17у1Ч
т =-LJTft, а=	-0—«	9~ » и Q =	9—9	9~- A7-4)
2	М2(Ъ + 24)	М2B + 24)
Уравнение для координаты у идентично A7.3), а в уравнении для
координаты z параметры а и q содержат множитель —2.
Области устойчивости. Уравнение Матье A7.3) является линей-
линейным дифференциальным уравнением с периодическими коэффициен-
коэффициентами. Поэтому можно использовать теорему Флоке и записать общее
решение уравнения A7.3) в виде
х(т) = А е+^г ф(т) + В е~^т ф(-т).	A7.5)
Здесь А и В — константы, а
оо
cne2inT	A7.6)
периодическая функция.
Когда характеристический показатель /i чисто действительный,
функция х(т) ограничена и, следовательно, движение устойчиво. Од-
Однако, если /i имеет мнимую часть, функция х(т) содержит экспонен-
экспоненциально возрастающий вклад. Движение неустойчиво. Параметры а
и q, то есть напряжения, приложенные к ловушке, и определяют, будет
ли движение устойчивым, или нет. Если /i = 0, решение х{т) строго
периодическое.

17.1. Основы методов удержания ионов
529
Чтобы определить область стабильности решения уравнения Матье,
иначе говоря, область стабильности ловушки Пауля, используем в этом
уравнении подстановку Флоке
которая дает
а] сп
Сдвинем индексы в последних двух членах и получим трёхчленное
рекуррентное соотношение
[а - Bn + /iJ] cn + q (cn_! + сп+1) = 0,	A7.7)
которое принимает форму векторного уравнения
Мс =
q a- [-Z
О	q
О	О
Я.
а — /i2
Я
0
q
0
0
q
\ / : \
С-2
со
Cl
С2
\
I
V '• )
= 0
с трёхдиагональной (якобиевской) матрицей М.
Для существования нетривиального решения для вектора с опреде-
определитель М, так называемый определитель Хилла, должен быть равен
нулю
det M = det
\
q
0
0
q
0
а — /
<2
0
q
a-
0
О
/iJ q
\
= 0.
A7.8)
Аналитическое вычисление этого определителя для данных значе-
значений параметров а и q задача непростая, поскольку матрица М бес-
бесконечного ранга. В различных учебниках, тем не менее, этот опреде-
определитель вычислен аналитически, так что равенство нулю определителя
Хилла приводит к некоторому существенно нелинейному уравнению.

530
Гл. 17. Ловушка Пауля
Л
-1
Рис. 17.2. Диаграмма устойчивости для ловушки Пауля. Трёхмерный конфай-
нмент реализуется для значений напряжений а и q из чёрных областей, при
которых оба движения, как радиальное, так и вертикальное, устойчивы
В общем случае из-за такой нелинейности приходится искать ха-
характеристические показатели численно, как это подробно обсуждается
в разделе 17.3.4. На диаграмме устойчивости 17.2 указаны области
значений безразмерных амплитуд а и q постоянного и переменного
напряжений, в которых устойчиво движение вдоль г (светло-серые
области) и вдоль оси z (тёмно-серые области). Из-за фактора 2 и знака
минус в уравнении для координаты z области устойчивости для ^-дви-
^-движения получаются из соответствующих областей для движения по г
уменьшением масштаба и отражением относительно оси q.
Чтобы получить захват во всех трёх направлениях, должны быть
устойчивыми как движение вдоль г, так и вдоль z. Следовательно,
динамический трёхмерный конфайнмент имеет место только там, где
светло-серые и тёмно-серые области перекрываются. Существует много
таких областей, показанных чёрным цветом на рис. 17.2. В экспери-

17.2. Лазерное охлаждение	531
ментах, однако, чаще всего используется область, которая ближе всех
к началу координат.
Коль скоро характеристический показатель для набора парамет-
параметров а и q определён, можно с помощью векторного уравнения Мс = О
найти соответствующте коэффициенты сп. Они играют важную роль
при квантовом рассмотрении движения в ловушке Пауля. Поэтому
следующий раздел 17.3.4 посвящен подробному обсуждению свойств
коэффициентов сп.
Приближённый анализ устойчивости. Мы получим некоторое
представление о сути диаграммы устойчивости, если рассмотрим
окрестность начала координат. Действительно, в предельном случае,
когда \а\ <С 1 и q < 1, можно ограничиться матрицей 3x3 около п =
= 0. Вычисляя соответствующий определитель и используя неравен-
неравенства \а\ <С 1 и q < 1, получаем следующую формулу
для характеристического показателя. Движение устойчиво, только ес-
если /i действительная величина, в противном случае движение неустой-
неустойчиво. Это эквивалентно условию - q2 + а > 0. Таким образом, границы
области устойчивости определяются уравнением
то есть	1
1 о
а = --q.
На диаграмме устойчивости в координатах а и q данная кривая
представляет собой параболу, которая начинается в начале координат
и изгибается вниз. Поскольку движение в ^-направлении отличается
знаком минус и множителем 2, соответствующая кривая для движения
вдоль z круче и изгибается вверх, как показано на рис. 17.2.
Эти кривые, однако, совершенно не определяют область устой-
устойчивости. Для этого нужна ещё почти прямая линия, выходящая из
точки а = 1 и идущая вниз, и соответствующая кривая, начинающаяся
в точке а = —1/2 и идущая вверх. Можно провести приближённое
вычисление, подобное тому, что сделано вблизи п = 0, и получить эту
кривую.
17.2. Лазерное охлаждение
Пока мы научились, как удержать ион в ловушке, но каким образом
поместить его туда с самого начала? Самое простое решение — создать
его прямо внутри, ионизуя, например, пучок нейтральных атомов с по-
помощью столкновений с электронами в центре ловушки. К сожалению,
получающийся захваченный ион обладает значительной кинетической
энергией, что делает его бесполезным для большинства приложений,

532
Гл. 17. Ловушка Пауля
таких как спектроскопия. Таким образом, следующая задача состоит
в том, чтобы отобрать у иона кинетическую энергию. Световое дав-
давление, производимое лазером, является тем инструментом, который
используется для преодоления этого препятствия.
Лазерный
пучок
Крышка
Кольцевой
электрод
Пучок атомов
магния
Пучок
электронов
§ a
S 2
10 мм
Рис. 17.3. Схематический рисунок ловушки Пауля с электронной пушкой (вни-
(внизу) и оптическим детектором (вверху). Пучок нейтральных атомов, в данном
случае это атомы магния, пересекает ионную ловушку в центре рисунка через
просветы между кольцевым электродом и крышками. Благодаря присутствию
электронного пучка, который входит через отверстие в нижней крышке и дви-
движется вверх, атомы на своём пути через ловушку превращаются в ионы. Они
теперь локализованы в трёх направлениях с помощью электрических полей.
Лазерный пучок охлаждает ионы и позволяет детектировать их положение по
резонансной флюоресценции. Излучённый свет наблюдается через отверстие
в верхней крышке с помощью микроскопа. Взято из статьи F. Diedrich and
Н. Walther, Phys. Rev. Lett. 1987. V. 58. P. 203
С этой целью рассмотрим атом или ион с импульсом р, движущийся
навстречу электромагнитной волне с частотой ujl- Пусть uoL меньше
частоты иоа резонансного атомного перехода, так что энергии фотона
недостаточно для возбуждения иона. Грубо говоря, ион может извлечь

17.3. Движение иона в ловушке Пауля	533
недостающую энергию из своего движения и, тем самым, уменьшить
свою кинетическую энергию. Другими словами, эффект Допплера, обу-
обусловленный атомной скоростью, ликвидирует связанный с отстройкой
разрыв А = ljl — иа, и атом поглощает фотон с импульсом Ш = Tujjl/c.
После поглощения величина импульса атома уменьшается от р до
р — hk, как того требует закон сохранения импульса.
Поглощённый фотон переизлучается спонтанно, но его направле-
направление, а следовательно, и результирующий импульс отдачи, случайны.
Если усреднить по многим рассеянным фотонам, импульс отдачи об-
обращается в ноль, в то время как средний импульс атома вдоль на-
направления распространения электромагнитной волны уменьшится на
величину, которая равна числу N актов рассеяния, умноженному на
импульс фотона. Число N определяется внутреннй квантовой динами-
динамикой атома и может достигать значений порядка 108 с, что позволяет
за секунды охладить ион от комнатной температуры до температур
в области милли-Кельвина.
Есть искушение, отложив рассмотрение эффектов лазерного охла-
охлаждения, обсудить, каким образом температуру одиночного иона, охла-
охлаждённого с помощью лазера, сдвигают в область ещё более низких
значений, или упомянуть совсем другую игру по удержанию и охла-
охлаждению нейтральных атомов для получения оптической «мелассы» 0 .
К сожалению, мы должны двигаться дальше и можем только отослать
читателя ко всё возрастающей литературе по этому предмету. И всё же
следует упомянуть, что предельно достижимая с помощью лазерного
охлаждения температура лежит в диапазоне микро-Кельвина.
17.3. Движение иона в ловушке Пауля
В общем случае движение иона в ловушке Пауля имеет два масшта-
масштаба времени. Есть медленное — так называемое секулярное движение,
с частотой, которая определяется усреднённым по времени связываю-
связывающим потенциалом, и быстрое микродвижение, которое зависит от ра-
радиочастоты переменного напряжения, приложенного к ловушке. Чтобы
разобраться в сути квантовой составляющей этого движения, сначала
обсудим эволюцию во времени операторов координаты и импульса
для гармонического осциллятора с частотой, зависящей от времени.
Такой осциллятор служит в качестве некоторой модели для ловушки
Пауля. Мы покажем, что квантовое движение характеризуется тремя
вещественными параметрами, которые соответствуют повороту, сжа-
сжатию и ещё одному повороту в фазовом пространстве. Кроме того, будет
видно, что при подходящем выборе базиса зависимость этих парамет-
параметров от времени становится достаточно простой, а в некоторых случаях
1) Меласса — патока. Здесь имеется в виду вязкая субстанция. — Прим.
ред. пер.

534	Гл. 17. Ловушка Пауля
даже периодической. Этот выбор соответствует описанию с помощью
состояний Флоке.
Эволюция во времени вектора состояния \ipCm{t)} движения центра
инерции одиночного иона в ловушке Пауля следует из уравнения ТТТрё-
дингера
Здесь гамильтониан
Hcm{t) = ^ + \Moj\t)x2	A7.9)
определяет одномерное движение иона с массой М, импульсом р и
координатой х в потенциале гармонического осциллятора
uo2(t) = ^-оо^ [a + 2q cos (covft)],	A7.10)
крутизна которого зависит от времени. Безразмерные параметры а и q
определены соотношениями A7.4).
Можно формально решить зависящее от времени уравнение Шрё-
дингера, введя оператор эволюции
h
0
-\ \dt'Hcm(t')
A7.11)
где Т является оператором упорядочения по времени, так что вектор
состояния имеет вид
Проанализируем теперь, как действует этот оператор эволюции в про-
пространстве состояний и в вигнеровском фазовом пространстве.
17.3.1. Сведение к классической задаче. Чтобы получить неко-
некоторое представление о динамике гармонического осциллятора с завися-
зависящей от времени частотой, рассмотрим сначала эволюцию гейзенбергов-
гейзенберговских операторов. В данной главе мы используем реперный осциллятор
с постоянной частотой иог. Операторы в начальный момент времени,
либо начальные состояния в шрёдингеровской картине определены по
отношению к данному реперному осциллятору. Частота иг является
некоторым вещественным параметром, находящимся в нашем распоря-
распоряжении. Глаубер показал, что стационарный гармонический осциллятор
с частотой ujr может служить в качестве реперного осциллятора, чьи
собственные энергетические состояния \п) образуют удобный полный
базис. Без потери общности, реперную частоту можно выбрать так,
чтобы состояния \п) были начальными условиями для состояний Фло-
Флоке, как показано в разделе 17.3.4.

17.3. Движение иона в ловушке Пауля	535
Выразим операторы^ координаты и импульса через операторы уни-
уничтожения и рождения Ь и Ь^ стационарного реперного осциллятора, то
есть
X =
и
р =
П fb + bt
Рассмотрим теперь зависимость этих операторов от времени, обу-
обусловленную оператором эволюции Ucm(t), то есть нас интересуют опе-
операторы	^
Здесь гейзенберговские операторы отмечены тильдой.
Покажем, что эти гейзенберговские операторы можно представить
в виде зависящей от времени линейной комбинации операторов уни-
уничтожения и рождения b и tf стационарного реперного осциллятора.
В самом деле, можно доказать следующие соотношения
Wcm(t)xUcm(t)= а/2д^7 \?ЧФ + Ф)Ь^]	A7.12а)
и	i
U$m(t) pUcm(t) = \ 	 ?*(?)Ь + ?(?)Ь"М .	A7.126)
Комплексная функция e(t) удовлетворяет дифференциальному урав-
уравнению Матье классической задачи
s(t)+oo2(t)s(t) = 0	A7.13)
с начальными условиями
е@) = 1 и ё@) =iujr.	A7.14)
Мы докажем соотношения A7.12), если убедимся, что оператор
x(t), который в правой части уравнений A7.12) выражен через b и Ъ\
а в левой части — с помощью унитарного преобразования, удовлетво-
удовлетворяет одному и тому же дифференциальному уравнению и одинаковым
начальным условиям. Действительно, дифференцируя оператор x(t),
представленный с помощью унитарного преобразования, и используя
соотношение	^
которое следует из A7.11), получаем уравнение движения
^v(i\ — г 771 (+\ \ТТ (+\ г] TJ (i\ —	77*1" (i\r>TT (i\ =
\ ) — Т^ cm \ / I-'-'cm \Ь) •> *ь I ^crnv^/ — ~7T ^crnl''/ г ^сгп\Ч — ~л~г
h	м	м

536	Гл. 17. Ловушка Пауля
В полной аналогии с x(t), находим уравнения для оператора импульса
= -Mu;2(t)x(t).
Следовательно, оператор x(t) удовлетворяет дифференциальному урав-
уравнению второго порядка
§(?)+и;2 (?)§(?) =0.
Отметим, что согласно A7.13), правая часть A7.12) также удовле-
удовлетворяет указанному уравнению. Кроме того, из A7.14) следует, что
согласуются и начальные условия
frt-6
Уравнения A7.12) играют ключевую роль для гармонического ос-
осциллятора с зависящей от времени частотой. Они показывают, что
зависимость от времени входит только в виде классических функций
e(t). Все квантовые свойства содержатся в операторах b и tf стацио-
стационарного реперного осциллятора.
В завершение этого пункта отметим важное свойство функции г
и её комплексного сопряжения е*. Вронскиан этих функций
W[s(t),s(t)}=s(t)s*(t)-s(t)s*(t),
является константой. Действительно, дифференцируя W по t и ис-
используя тот факт, что e(t) и e*(t) удовлетворяют дифференциальному
уравнению
e(t)+uo2(t)s(t) = 0,
имеем W(s,s) = 0. С помощью начальных условий A7.14), то есть
?@) = 1 и ?@) = iuir, окончательно получаем
W[e(t),e(t)] =W[e@),e@)] =2iujr .	A7.15)
Таким образом, если иог ф 0, функция e(t) нигде не обращается в ноль,
иначе определитель Вронского был бы равен нулю.
17.3.2. Движение как последовательность сжатия и поворотов.
В картине Гейзенберга операторы координата и импульса x(t) и p(t) яв-
являются зависящими от времени линейными комбинациями операторов
уничтожения и рождения Ъ и Ъ^ стационарного реперного осциллятора.
Эта комбинация очень напоминает преобразование сжатия, введённое
в задаче 11.5. В самом деле, двухфотонные состояния являются соб-
собственными состояниями линейной комбинации операторов уничтоже-

17.3. Движение иона в ловушке Пауля	537
ния и рождения. Рассмотрим теперь под этим углом зрения действие
унитарного оператора временной эволюции Ucm HaJ>.
Покажем, в частности, что преобразование Ucm(t) представляет
собой последовательное действие оператора поворота
(#Ь+±)] ,	A7.16)
за которым следует оператор сжатия
t22]	A7.17)
и второй оператор поворота. Так что полный оператор эволюции име-
имеет вид ^ ^ ^ ^
Ucm(t) = R[G(t)] S[r(t)] R[ti(t)] .
Мы получим точные выражения для параметра сжатия г и двух углов
поворота в и #.
Обобщённое преобразование сжатия. Сначала покажем, что опе-
оператор эволюции во времени Ucm преобразует оператор уничтожения Ъ
реперного осциллятора в линейную комбинацию операторов уничтоже-
уничтожения и рождения.
Напоминая связь
/ л/г..	I ;
A7.18)
оператора Ь с операторами координаты и импульса и формулы преоб-
преобразования
A7.19)
получаем	^	^	^
U^m(t)bUcm(t) =c(t)b-s(t) 6f.	A7.20)
Здесь коэффициенты
1 Г	11
A7.21)
\	\	A7.22)
удовлетворяют уравнениям
1Ф)|2 - W)\2 = ^ [e{t)e*it) - e(t)e*(t)] .	A7.23)
Используя выражение A7.15)
W[e(t),i(t)} = s{t)e*{t) - e(t)i*(t)=2iur,

538	Гл. 17. Ловушка Пауля
для вронскиана, находим
|с(*)|2-|8(*)|2=1.	A7.24)
Это позволяет нам представить абсолютные значения с и s в виде chr
и shr, то есть
с(?) = chr(t) exp[i7(t)]	A7.25)
s(t) = shr(?) exp [if3(t)\ .	A7.26)
Для параметра r(?), используя A7.21) и A7.22), находим
exp [r(t)] = chr(t) +
1 Г /, u,l9 , ,
= - [y\e{t)\2 + \e
и, аналогично,
exp[-r(?)] = - [у а
С учётом формул
shr(t) =
A7.25)
~-\c(t)\ +
и A7.26)
?(t)
ДЛЯ
I2 + e(t)
c(t) и s(
P/«?-2],
t) выражение
A7.27)
A7.28)
A7.20)
записывается в виде
Идентификация поворотов и сжатия. Итак, эволюция во време-
времени оператора уничтожения определяется тремя параметрами г, j и C.
Покажем теперь, что эволюция во времени может быть представлена
как последовательность преобразований поворота, сжатия и ещё одного
поворота.
Для этого напомним свойства
&(ф) Ъ R(ip) = Ъ ехр (-г ф)
оператора поворота R и действие
S\r) Ъ S{r) = chr b — shr b^
оператора сжатия S. Это позволяет нам установить следующее соотно-
соотношение
{t).

17.3. Движение иона в ловушке Пауля
539
Таким образом, результат преобразования Ucm(t), применённого
к оператору Ь, идентичен последовательности преобразований поворо-
поворота, сжатия и ещё одного поворота. Очевидно то же самое справедливо
для tf и, следовательно, для любого оператора. Таким образом, мы
представили действие оператора эволюции Ucm(t) как последователь-
последовательное применение преобразований поворота, сжатия и второго поворота,
то есть
Ucm(t) = R[B(t)] S[r(t)] R[0(t)] ,
где углы
6(i) = -
A7.29)
A730)
определяются выражениями
cos [2 6 (t)] = cos 7@ cos C(t) - sin 7 (t) sin f3(t) =
_ Rec(t)Res(t)-lmc(t)lms(t) _ \s(t)\2/Jr-\s(t)\2
A73П
sin[2e(t)] =
Аналогично, находим
cos[2i?(t)] =
sin [2 #(*)] =
Re
\e(tf
L
Im \e{tf
L
A7.32)
A7.33)
A7.34)
Отметим, что при t -^ 0 оператор Ucm(t) переходит в единич-
единичный оператор. Действительно, используя начальные условия е@) =
= 1 и е@) = itjr, а также уравнения A7.21) и A7.22), имеем с@) =
= 1 и «(О) = 0, что с учётом A7.25) и A7.26) непосредственно даёт
г@) = 0 и 7@) = 0. Таким образом, оператор сжатия S@) становится
единичным оператором, а два оставшихся поворота комбинируются
в один поворот на угол 6@) + #@) = —7@) = 0, как можно увидеть
из A7.29) и A7.30).
Вычислить предельные значения углов в(?) и $(?) сложнее, так как
в оба их определения A7.29) и A7.30) входит угол /3(t), который не
задан при t = 0 из-за условия s@) = 0. Поэтому надо вычислить произ-

540	Гл. 17. Ловушка Пауля
водные s(t) в точке t = 0 более высокого порядка. Тщательный анализ
показывает, что 0@+) = тг/4 = — #@+) при ujr > и@), и 0@+) =
= — тг/4 = — #@+) при иог < и@). Если иог = о;@), как выбрано на
рис. 17.5, то 0@+) и #@+) определяются первой неисчезающей про-
производной функции с<;2(?) в точке t = 0. В случае u;r = о;@) и для
специального вида функции u2(t), заданной выражением A7.10), имеем
0(О+)=тг/4 = -/
17.3.3. Динамика в вигнеровском фазовом пространстве. До
сих пор мы анализировали динамику одиночного иона в ловушке Пауля
с явной зависимостью от времени, используя представление Гейзенбер-
га. Теперь обратимся к картине Шрёдингера и рассмотрим зависимость
от времени вектора состояния
= f exp[-^ Jdt'Яст(О] |^ст@)>. A7.35)
Динамику квантовых состояний можно наглядно представить с помо-
помощью функции Вигнера
W(x,p;t) = ^ [ deVcm (х- ^-*) V'cm (x + ^t) е~^\ A7.36)
В гл. 3 было показано, что для всех гамильтонианов, квадратичных по
операторам координаты и импульса, функция Вигнера удовлетворяет
уравнению Лиувилля
Поэтому функцию Вигнера в произвольный момент времени t
W(x,p-,t) = W[x(x,p-,t),p(x,p-,ty,t = 0]	A7.37)
можно выразить через начальную функцию Вигнера W(x,p;0) при t =
= 0, заменив начальную координату и начальный импульс величинами
Динамика как перемешивание координат фазового простран-
пространства. Рассмотрим эту динамику более подробно. Заметим, что соот-
соотношение A7.38) связывает координату х и импульс р функции Вигнера
в момент времени t с координатами фазового пространства х и р, входя-
входящими в функцию Вигнера при t = 0. Чтобы связать это преобразование

17.3. Движение иона в ловушке Пауля	541
фазовых переменных с пропагатором Ucm(t), который определяется
выражением A7.35), используем обратное преобразование
то есть выразим фазовые переменные (х,р) конечного распределения
через исходные величины. Здесь мы воспользовались тем, что соглас-
согласно A7.23) и A7.24), определитель матрицы A7.38) преобразования
фазового пространства равен единице.	^
Поэтому оператор эволюции во времени Ucm, действующий в фазо-
фазовом пространстве, можно интерпретировать как преобразование
Напомним, что Ucm включает оператор сжатия и два поворота. По-
Покажем теперь, что всё это можно увидеть непосредственно из матри-
матрицы Ucm.
Действительно, в фазовом пространстве преобразование поворота
(cos ю	—— sin ю \
-Ma;rsin^	cos(?> /
и операция сжатия
ехр (—г)	О
О	ехр (г
записываются в виде матриц 2x2. Заметим, что согласно нашему
определению A7.16) оператора поворота R(<p), положительный угол (р
отвечает повороту по часовой стрелке. Таким образом, унитарный
оператор эволюции Ucm(t) в фазовом пространстве действует как
С помощью точных выражений A7.27) и A7.28), A7.31) и A7.32),
A7.33) и A7.34), соответственно, для r(?), 6(?) и $(?) после небольшой
алгебры получаем
Ree(t) --L-lms(t)
ucm(tL	м.Шг
MRee(t) — Ime(i)
Отметим, что эта матрица описывает преобразование в фазовом про-
пространстве A7.39), которое связывает начальную функцию Вигнера при

542
Гл. 17. Ловушка Пауля
t = 0 с функцией Вигнера в некоторый более поздний момент време-
времени t > 0.
Рис. 17.4. Временная эволюция колебательного квантового состояния иона
в ловушке Пауля как последовательность операций поворота, сжатия и пово-
поворота. Согласно A7.37), начальное когерентное состояние \фст@)} = \а = 3)
иона, представленное здесь круговой горизонталью функции Вигнера (сплош-
(сплошная линия), переходит в сжатое состояние \фст(т)}, показанное эллиптической
горизонталью его функции Вигнера (сплошная линия). Первое преобразование
поворачивает начальную гауссовскую функцию Вигнера с центром в точке
фазового пространства с безразмерными координатами х' = д/'Mujr/h х =
= у/2 а и р' = \/у/НМшг р = 0 на угол #(т) = 0,387 радиан, определяемый
формулами A7.33) и A7.34). Получившаяся круговая горизонталь функции
Вигнера (штриховая линия) подвергается операции сжатия вдоль одной из
декартовых осей фазового пространства. Одновременно центр гауссиана пере-
перемещается вдоль гиперболы х'р' = const = a2 sin [2 #(т)]. Последнее вращение
поворачивает эллипс сжатого гауссиана на угол в(т) = 2,454 радиан, опре-
определяемый формулами A7.31) и A7.32), что приводит к функции Вигнера ко-
конечного состояния \фст(т)}. Заметим, что оператор поворота A7.16) определён
таким образом, что положительный угол соответствует вращению по часовой
стрелке. Здесь выбраны следующие значения параметров: а = 0, q = 0,4 и иг =
= uj(O), а время иг[Т = Э/у7^-
Пример гауссовского волнового пакета. Зависимость от време-
времени $, г, и в следует из зависимости этих величин от комплексных
функций e(t) и e(t). Рис. 17.4 иллюстрирует действие всех трёх преоб-
преобразований на когерентное состояние l^cmCO)) = \а = 3). Мы начинаем
с гауссовской функции Вигнера
W(x,p,0) = — ехр
7ГЯ
\М
Миог
-V2,
hMujrV
и конструируем функцию Вигнера W(x,p,r) в более поздний момент
времени г = 9/(^/0^2 o;rf). Первое преобразование R(#) только повора-
поворачивает функцию Вигнера на угол #(т) = 0,387 радиан вокруг начала
координат фазового пространства. Поэтому теперь функция Вигнера

17.3. Движение иона в ловушке Пауля	543
локализована около точки
После этого оператор сжатия S(r) сжимает получившуюся функцию
Вигнера в направлении оси х фазового пространства, поскольку пара-
параметр г(т) = 0,719 является вещественным. Одновременно центр гаус-
сиана перемещается вдоль гиперболы х • р = х$ • р$ = a2 ft sin [2#(т)]
на расстояние, которое зависит от г. Наконец, третье преобразование
R@) поворачивает эллипс сжатого состояния на угол 0(т) = 2,454
радиан вокруг начала координат. Это означает, что оси эллипса ока-
оказываются повёрнутыми на угол 0(т) по отношению к фиксированной
системе координат. Для данного рисунка мы выбрали параметры ло-
ловушки а = 0, q = 0,4 и реперную частоту иог = со@).
Подчеркнём, что три параметра #(?), г(?), и 0(?) характеризуют
полную эволюцию во времени любой функции Вигнера. На рис. 17.5
показана зависимость от времени величин #, г и 0 при тех же па-
параметрах ловушки, что и на рис. 17.4. Для этого мы нашли функции
e(t) и e(t) путём численного интегрирования уравнения Матье A7.13).
Отметим достаточно сложную зависимость от времени параметров пре-
преобразований $(t), r(t) и в(?), которая приводит к сложной эволюции
системы во времени.
17.3.4. Решение Флоке. В предыдущем разделе мы показали, что
эволюция во времени любого квантового состояния движения иона
в ловушке Пауля описывается тремя параметрами $(?), г(?), и 0(?).
Отметим, что они зависят от выбора реперной частоты и;г, которая
определяет функции e(t) и i(t). Теперь мы специально выберем иог
таким образом, чтобы упростить вид классического решения s(t), a,
следовательно, и зависимость от времени интересующих нас пара-
параметров.
Секулярное движение, определяемое характеристическим пока-
показателем. Для этого возвратимся к решению дифференциального урав-
уравнения A7.13) классического движения для функции s(t), удовлетво-
удовлетворяющей начальному условию A7.14). Согласно теореме Флоке общее
решение имеет вид
e(t) = A e^ <f)(t) + В е~^ ф(-Ь),	A7.40)
где А и В постоянные, а
оо
Y, cn exP (*nwrfi)	A7.41)
п= — оо
периодическая функция.

544
Гл. 17. Ловушка Пауля
i	i	i	i	i	i	i
/
©rft
Рис. 17.5. Зависимость от времени трёх параметров #(?), r(t) и 0(?) преобразо-
преобразований, характеризующих эволюцию во времени одиночного иона в ловушке Па-
Пауля. Масштаб времени задаётся частотой шг\ переменного напряжения. Стрелка
указывает значение т, использованное на рис. 17.4, а кружками отмечены
соответствующие значения #, г и 0 в момент времени т. Остальные параметры
те же, что на рис. 17.4
Для нахождения коэффициентов разложения сп и характеристиче-
характеристического показателя /i подставляем решение Флоке
JF) f.\ _ г fit a(-l\	/ i 7 АО)
в уравнение A7.13). В случае частоты, зависящей от времени по
закону A7.10), это приводит к трёхчленному рекуррентному соотно-
соотношению A7.7) и определителю Хилла A7.8), который даёт нам харак-
характеристический показатель /i. Коэффициенты сп получаются далее из
системы линейных уравнений.
В табл. 17.1 приведены коэффициенты сп с \п\ < 3 для трёх различ-
различных пар (a, q) значений параметров ловушки из первой области устой-
устойчивости уравнения Матье. Отметим, что в этой области параметров
коэффициенты сп вещественны. Как мы сейчас покажем, этот факт не
случаен.

17.3. Движение иона в ловушке Пауля
545
Из-за симметрии ио2(—t) = uo2(t) зависящей от времени часто-
частоты A7.10) функции e*(t) и e(—t) удовлетворяют одному и тому же
дифференциальному уравнению и одинаковым начальным условиям.
Поэтому эти функции совпадают, то есть
e*(t)=e(-t).
A7.43)
Подставляя A7.40) в уравнение A7.43) и используя тот факт, что
в области устойчивости уравнения Матье характеристическая часто-
частота /i вещественна, приходим к соотношению ф*(г) = (j)(—t), которое
с учётом A7.41) даёт
Е
o-inujrft _
= Е
o-inujxit
A7.44)
Следовательно, коэффициенты сп должны быть вещественными.
На рис. 17.6, а показан характеристический показатель /i в едини-
единицах частоты иг[ как функция параметров ловушки а и q для первой
области устойчивости уравнения Матье. В этой области характеристи-
характеристический показатель чисто действительный и определяет частоту секу-
лярного движения иона.
Выбор реперного осциллятора. Теперь сосредоточимся на реше-
решении Флоке A7.42). С помощью подходящего выбора реперной часто-
Таблица 17.1. Коэффициенты сп с |п| < 3 для трёх различных пар (a,q) зна-
значений параметров ловушки из первой области устойчивости уравнения Матье.
Кроме этого, приведено отношение рабиевских частот Пп/Пп = со\/fi/ujr
для двух гамильтонианов Н-т{ и Н-т{, написанных с учётом и без учёта влия-
влияния микродвижения, а также параметр сжатия s = fi/ujr , то есть отношение
частот \i и uiF\ В последней строке приведено отношение a;rf//i частоты
ловушки и характеристической частоты
со
С\
С-1
С2
С-2
сз
С-3
coy/x/^F)
8 = fl/UF)
а = 0, q = 0.1
0,9519165
0,022 2005
0,025 582 5
0,000134 0
0,000165 7
0,0000004
0,0000005
1,001890
1,107 758
28,23
а = 0, q = 0,4
0,8198607
0,062 499 2
0,112 9407
0,001357 1
0,003 287 9
0,000013 7
0,0000404
1,034 380
1,591780
6,84
а = 0,2, q = 0,6
0,654 0799
0,0551381
0,273472 5
0,0015066
0,0154435
0,0000202
0,0003334
1,190388
3,312210
2,82
18 В. П. Шляйх

546	Гл. 17. Ловушка Пауля
0,f
0,5
-0,5
0	-,3	1	0	0,5
Рис. 17.6. Зависимость характеристического показателя /х (слева) и реперной
частоты our для решения Флоке (справа) от параметров ловушки а и q.
Здесь показаны горизонтали функций /л = /х(а, д) и аД = с^г (а, д) в первой
области устойчивости уравнения Матье. Обе величины измеряются в единицах
радиочастоты uri
такую реперную частоту иг , подставим решение Флоке A7.42) в на-
наты ujr можно удовлетворить условиям А = 1 и В = 0. Чтобы найти
такую реперную частоту илг , поде:
чальные условия A7.14) и получим
сю
е(Л@) = 1 = 0@) = ? с„	A7.45)
п= —сю
и ?(F)@) = гад = гц + 0@), что вместе с выражением A7.45) даёт
сю
4F)=/^ + ^rf Е пс™-	A7.46)
п= —сю
Таким образом, согласно A7.46), характеристический показатель и
и коэффициенты сп определяют то значение реперной частоты илг ,
которое приводит к решению Флоке A7.42).
На рис. 17.6, Ь показана зависимость ил)- от а и q, которые, по-
прежнему, лежат в первой области устойчивости уравнения Матье.
Заметим, что при q = 0, то есть для не зависящего от времени осцил-
осциллятора, две частоты /ihw} совпадают.
Пример гауссовского волнового пакета. На рис. 17.7 показана
зависимость от времени величин #, г и в при тех же параметрах
ловушки а = 0 и q = 0,4, что и на рис. 17.5. Однако на этот раз
мы выбрали специальное значение реперной частоты илг , которое
приводит к решению Флоке
гд,е

17.3. Движение иона в ловушке Пауля
547
mT{t
Рис. 17.7. Зависимость от времени параметров преобразований #(?), r(t) и 0(?)
для реперной частоты our = our , приводящей к решению Флоке. Отметим,
что в отличие от ситуации, представленной на рис. 17.5, параметр сжатия г
и угол поворота в являются периодическими функциями, то есть r(t + Т) =
= r(t) и 0(? + Т) = 0(?), а для угла & мы имеем # (? + Т) = &(t) + /xT. Здесь,
как и на рис. 17.5, параметры ловушки а = 0 и q = 0,4
Из этого рисунка видно, что угол в и параметр сжатия г являются
периодическими функциями с периодом Т потенциала ловушки.
Эта периодичность следует из наших уравнений. Так как в опреде-
определения A7.27) и A7.28) величины r(t), а также в определения A7.31)
и A7.32) для 6(?) входят только абсолютные значения функций s^F\t)
и i(F\t), либо произведение s^F\t) и [?(F\t)]*, очевидно, что парамет-
параметры r(t) и в(?) периодичны по t с периодом Т, то есть
r(t + T) =r(t)
Кроме того, поскольку функции e(t) и e(t) входят в определение
величины $ квадратично, имеет место соотношение
=#(*)+/хТ
18*

548	Гл. 17. Ловушка Пауля
Благодаря этим свойствам периодичности, матрица преобразования
Ucm(t + Т) = R[6(i + T)\ S[r{t + T)] R[i?(t + Т)]
в момент времени t + Т описывается выражением
Ucm(t + Т) = (r[6(*)] S[r(t)] R[tf(t)]) R [i?(t)] R[i?(t + T)] =
Здесь использовано соотношение R R = 1.
Объединяя поворот на угол $(? + Т) и обратный поворот на угол
#(?) в один поворот на угол $(? + Т) — $(?) = jiT, получаем
Ucm(t + T) = Ucm(t)R(MT).	A7.47)
Таким образом, в базисе решений Флоке функция Вигнера произволь-
произвольного состояния в момент времени t + Т просто повёрнута в фазовом
пространстве на угол fiT по отношению к функции Вигнера в момент
времени t.
Чтобы лучше понять смысл такого специального выбора реперной
частоты, рассмотрим эволюцию во времени собственных энергетиче-
энергетических состояний In) стационарного гармонического осциллятора с соб-
(Т?Л
ственной частотой иг . Из уравнений A7.35) и A7.47) находим, что
начальное состояние l^cmCO)) = \п) после одного периода Т переходит
в состояние
\Фст(Т)} = Ucm(T) \п) = R(iiT) \п) = е"Чп+2)^
так что собственные энергетические состояния \п) реперного осцилля-
осциллятора с частотой ujr являются начальными состояниями Флоке в мо-
момент времени t = 0.
17.4. Модельный гамильтониан
Предыдущий анализ показал, что из-за явной зависимости ловушки
Пауля от времени движение иона в такой системе достаточно слож-
сложное. Подчеркнём, что это никак не связано с квантовой механикой,
а получается только из-за зависимости от времени удерживающего
потенциала. Действительно, коль скоро мы имеем дело с гармониче-
гармоническим осциллятором, классическая и квантовая динамика идентичны,
как видно из уравнений Лиувилля для функции Вигнера.
В данном разделе мы свяжем движение иона с динамикой его внут-
внутренних степеней свободы. Эта связь получается из-за взаимодействия
с классическим лазерным полем. В этом случае вектор состояния

17.4. Модельный гамильтониан	549
полной системы включает как внутренние состояния, так и движение
центра инерции и подчиняется уравнению Шрёдингера
^	A7-48)
Полный гамильтониан
H(t) = tfcm(t) + Ha + HB3(t)	A7.49)
является суммой гамильтонианов Hcm(t), Ha и HB3(t), которые опи-
описывают, соответственно, движение центра инерции A7.9), внутренние
атомные состояния и взаимодействие с лазерным полем.
Для простоты рассмотрим только два внутренние состояния атома,
так что	_ ,
На = - huaaz,
где иа обозначает частоту перехода между двумя уровнями, a az есть
матрица Паули.
Мы будем иметь в виду два типа лазерных полей, взаимодейству-
взаимодействующих с ионом: 1) бегущую волну, либо 2) стоячую волну. В случае
бегущей волны гамильтониан взаимодействия имеет вид
^в?@ = % {^f ехР [-i(uLt -кх)] + h.c.}	A7.50)
Здесь g определяет величину взаимодействия, a uol и к являются,
соответственно, частотой и волновым вектором лазерного излучения.
Аббревиатура h.c. обозначает эрмитовское сопряжение.
В случае стоячей волны лазерного поля гамильтониан взаимодей-
взаимодействия принимает форму
Я^(?) = 2hg cos(uLt) (a + af) sin(fcx).	A7.51)
В этом разделе мы сосредоточимся на ситуации с бегущей волной,
а также рассмотрим уравнение A7.51) в предельном случае Лэмба-
Дике.
17.4.1. Переход к представлению взаимодействия. Чтобы разо-
разобраться в динамике системы, удобно работать в представлении взаимо-
взаимодействия. Преобразуем гамильтониан взаимодействия A7.50) с помо-
помощью соотношения
m{t) Ua{t) Ucm(t).	A7.52)
Здесь введено унитарное преобразование
Ua(t) =
внутренних состояний, а оператор эволюции во времени Ucm(t) для
движения центра инерции определяется выражением A7.35).

550	Гл. 17. Ловушка Пауля
Параметр Лэмба-Дике. Напомним соотношение A4.56)
UldUa=de-^\	A7.53)
Кроме того, используя преобразование A7.12а) оператора координа-
координаты х, находим
exp (ikx) Ucm(t) = exp [ife
С помощью определения A1.12) оператора смещения
D(a) = ехр(а^ — а* о)
запишем это выражение в более компактной форме
U$m(t) exp(ikx) Ucm(t) = D[a(t)].	A7.54)
Здесь мы ввели зависящую от времени комплексную величину сме-
смещения
a(t) = ir)e(t)
и параметр Лэмба-Дике
7 / ^	/К АЖ
V = к\ wtj— =vz7r——.
' ]/ 2Mujr	X
Действительно, смещение а пропорционально классической функ-
функции e(t), которая получается из дифференциального уравнения Ма-
тье A7.13). Как было показано в разделе A7.3), решение этого диф-
дифференциального уравнения имеет достаточно сложную зависимость от
времени.
Кроме того, мы видим, что параметр Лэмба-Дике г] служит мерой
ширины
h
волновой функции основного состояния реперного осциллятора по
сравнению с длиной волны Л = 2тг/& светового поля.
Гамильтониан в представлении взаимодействия. Подставляя
формулы A7.53) и A7.54) унитарного преобразования для матрицы а
и для экспонента, описывающей бегущую волну, в выражение для
гамильтониана Н^ в представлении взаимодействия, получаем
= hg [a^e-*AtD (a(t)) + ae*AtD (-a(t)j\ .	A7.55)
Здесь введена расстройка А = ujl — ша между лазерной частотой и
частотой атомного перехода. Кроме того, использовано соотношение
Гамильтониан взаимодействия содержит явную зависимость от вре-
времени. Она входит из-за расстройки, а также благодаря зависимости

17.4. Модельный гамильтониан	551
смещения a(t) от времени. Последняя зависимость весьма примеча-
примечательна, так как в гамильтониан входит сумма двух операторов смеще-
смещения. Поэтому действие гамильтониана на состояние системы в данный
момент времени состоит в том, что квантовое состояние движения
центра инерции смещается в комплексном пространстве на a(t) и
на —a(t). Кроме того, эти смещения скоррелированы и перепутаны
с внутренними переходами. Смещение на величину -\-а сопровождается
переходом в возбуждённое состояние, а смещение на (—а) — перехо-
переходом в основное состояние. Следовательно, такой гамильтониан взаи-
взаимодействия создаёт состояния шрёдингеровской кошки, для которых
внутренние степени свободы перепутаны с движением центра инерции.
В заключение этого раздела приведём соответствующий результат
для взаимодействия со стоячей волной. В этом случае имеем
= Hg	(	) (	)
1 V	(if 56)
Гпмильтониан снова включает комбинацию операторов смещения с па-
параметрами +а и —а. Однако в отличие от случая бегущей волны,
зависимость от времени теперь гораздо сложнее.
17.4.2. Режим Лэмба-Дике. Чтобы лучше понять суть этих га-
гамильтонианов взаимодействия, ограничимся рассмотрением предельно-
предельного случая Лэмба-Дике, когда характерный размер волновой функции
состояния поступательного движения меньше длины волны света Л =
= 2тг/&, то есть когда г] <С 1. В данном разделе мы сосредоточимся на
ситуации со стоячей волной.
Упрощение гамильтониана. Если г] <С 1, можно разложить опера-
оператор смещения
D(а) = D(irje) = exp UrjeV + irje*b] = 1 + irj(e*b
так что выражение A7.56) для гамильтониана в представлении взаи-
взаимодействия приводится к виду
Йв8з№ = r)hg(l +e~2iuJLt)aeiAt [>(*) b + e(t)#] + h.c. A7.57)
Теперь можно существенно упростить этот гамильтониан взаимо-
взаимодействия, воспользовавшись решением Флоке A7.42), которое отвеча-
отвечает, согласно A7.46), реперной частоте ujr = Ur . В этом случае точное
решение A7.42) имеет вид
сю
ф{Ь) = ег"* ]Г сп exp (mwrft),
п= —оо
где /i — характеристическая частота, а сп — коэффициенты разло-
разложения.

552	Гл. 17. Ловушка Пауля
Подставляя это выражение в гамильтониан взаимодействия A7.57),
получаем
ехр [г (Д +/х + no;rf) t] a bU + h.c, A7.58)
где мы воспользовались вещественностью коэффициентов сп.
Таким образом, этот гамильтониан содержит понижающий оператор
для внутренних состояний, а так же операторы уничтожения и рожде-
рождения для колебательного движения.	^^ ^^
В частности, мы видим, что возникли комбинации вида atf и ab.
Первый оператор соответствует внутреннему переходу иона из возбуж-
возбуждённого состояния в основное с одновременным возбуждением одного
кванта колебательного движения. Это полностью аналогично тому, что
происходит в обычной модели Джейнса-Каммингса-Пауля.
В то же время, второй член включает два оператора уничтожения,
а именно, для колебательного и для внутреннего состояний иона.
Следовательно, этот член показывает, что ион может опуститься по
лестнице колебательных уровней и одновременно совершить переход
из возбуждённого состояния в основное. При обсуждении обычной
модели Джейнса-Каммингса-Пауля мы пренебрегали такой комбина-
комбинацией. Иногда её называют анти-моделью Джейнса-Каммингса-Пауля.
Покажем теперь, что с помощью подходящего выбора отстройки Д
можно реализовать либо модель Джейнса-Каммингса-Пауля, либо её
анти-версию.
Отстройка определяет тип модели Джейнса-Каммингса-Пау-
Джейнса-Каммингса-Пауля. С этой целью возьмём такое значение Д, что одно из слагаемых
суммы A7.58) становится медленно меняющейся функцией, в то время
как все остальные члены быстро осциллируют. Это происходит, напри-
например, когда (—Д — ц)/иоТ\ является целым числом по-
Чтобы обеспечить достаточно большое взаимодействие с полем, вы-
выберем Д таким образом, что коэффициент сщ является самым большим
из всех сп. Для пар параметров (a,q), приведённых в табл. 17.1, наи-
наибольшее взаимодействие обеспечивается коэффициентом cq. Поэтому,
мы выбираем Д = —/i при условии, что Д — /i = — 2/i не является
целым кратным частоты ловушки иоТ\. Заметим, что Д порядка харак-
характеристической частоты /i и, следовательно, гораздо меньше лазерной
частоты ul-
Используя приближение вращающейся волны, приходим к выра-
выражению	^
Я$ (t) = vcohg [aft + аЬу	A7.59)
которое представляет собой обычный гамильтониан Джейнса-Кам-
Джейнса-Каммингса-Пауля.

17.4. Модельный гамильтониан	553
Заметим, что выбор А = /i даёт гамильтониан анти-модели Джейн-
са-Каммингса-Пауля.
17.4.3. Многофононная модель Джейнса-Каммингса-Пауля.
Пока мы показали, что в режиме Лэмба-Дике, когда пространствен-
пространственный размер волновой функции центра инерции мал по сравнению
с периодом электромагнитного поля, гамильтониан взаимодействия
соответствует однофононной модели Джейнса-Каммингса-Пауля. Те-
Теперь мы отбросим указанное ограничение, и получим многофононную
модель Джейнса-Каммингса-Пауля. Чтобы сделать это как можно
проще, остановимся на случае бегущей волны.
Гамильтониан взаимодействия в энергетическом представ-
представлении. В разделе 17.4.1 мы обсудили гамильтониан взаимодействия
H^(t) на формальном языке операторов, не обращаясь к конкретному
базису. Рассмотрим теперь оператор смещения в базисе собственных
энергетических состояний \п) не зависящего от времени реперного
осциллятора. При этом будет отчётливо видно, что атом испытывает
переходы между колебательными уровнями ловушки, когда он
совершает переходы между внутренними состояниями.
С этой целью введём матричные элементы
n(n,n+s) = g e-iAt (n| D(a(t)) \n + s)
между собственными энергетическими состояниями \п) реперного ос-
осциллятора. Тогда гамильтониан взаимодействия записывается в виде
n=0s=-n
оо
V M^n'n+S)(?)<5^ n) (n + s\ + h.c,
который показывает, что ион переходит в возбуждённое состояние за
счёт поглощения s колебательных квантов. Параметр взаимодействия
для такого 5-фононного перехода определяется матричным элементом
Q(n,n+s)^ Отметим, что эта величина явно зависит от времени. Зави-
Зависимость от времени связана с отстройкой А и с параметром смеще-
смещения a(t).
Указанные матричные элементы можно вычислить точно и получить
для 5^0
= g Oil exp(-iAt)[iVe*(t)Y
хехр --Jr
2
\2). A7.60)
Здесь Lsn обозначает обобщённый полином Лагерра. Подобное же вы-
выражение получается и для s < 0.
Выбор реперного осциллятора. Заметим, что решение е дифферен-
дифференциального уравнения Матье входит в выражение A7.60) для f^)

554	Гл. 17. Ловушка Пауля
достаточно сложным образом. Действительно, в разделе 17.3.4 было
показано, что общее решение для функции е является суммой
e(t) = A eilMt фЦ) + В e~ilMt </>(-t)
двух вкладов, где А и В произвольные константы, а
периодическая функция.
Однако подходящий выбор частоты реперного оциллятора позволяет
упростить написанное выше решение. При этом, как показано в разде-
разделе 17.3.4, из двух вкладов остаётся только один, и решение имеет вид
Из выражения A7.60) видно, что в два последних множителя г^
входит в виде \г\. В эти члены, таким образом, входит только периоди-
периодическая функция ф(г). Исключением является множитель, где индекс s
фононного перехода входит как показатель степени. Но в показатель
степени входит и секулярная частота /i. Это даёт 5-ю гармонику секу-
лярной частоты, так что мы приходим к выражению
где коэффициенты u;|n'n+s) получаются разложением в ряд Фурье той
части функции ^(n'n+s), которая периодична с периодом Т = 2и/иг{.
С учётом этого выражения для o(n?n+s), гамильтониан взаимодей-
взаимодействия в представлении взаимодействия принимает вид
^ (Г)	СЮ СЮ	СЮ
n=0 s=—n 1 = — оо
х exp[i(/o;rf — s/i — A)t] д^ \п) (п + s| + h.c. A7.61)
Подчеркнём, что данное выражение является точным. Оно показывает,
что зависимость H^(t) от времени определяется некоторой комбина-
комбинацией luTf — sfi — А расстройки А и всех гармоник радиочастоты ит$
и характеристической частоты /i. Такая структура позволяет провести
усреднение оператора H^(t) по времени и получить стационарный
so-фононный гамильтониан.
Усреднение гамильтониана по времени. Пока величина отстройки
А не была задана. Теперь же мы выберем её таким образом, чтобы один

17.5. Приближение эффективного потенциала	555
из членов суммы A7.61) менялся медленно, а остальные слагаемые
быстро осциллировали. Это происходит, когда
SofJL + А =
Заметим, кстати, что данное условие ставит интересную теоретико-
числовую задачу.
Чтобы иметь достаточно сильное взаимодействие с полем, возьмём
такое значение А, чтобы после процедуры усреднения по времени
остался только член с наибольшим коэффициентом о;[п'п+ . Этому
соответствует
А = l0U)Tf - SofJL
при условии, что А + sfi не является целым кратным частоты иТ\ для
всех s ф so.
Используя приближение вращающейся волны, получаем усреднён-
усреднённый по времени гамильтониан
^	оо
H{U = Е ЦГ1П+8о)^ \п) (п + зо\ + h.c,
n=0
который представляет собой 5о~фононный гамильтониан Джейнса-
Каммингса-Пауля.
17.5. Приближение эффективного потенциала
Подчеркнём, что представленный в предыдущем разделе подход
к описанию ловушки Пауля учитывает полную зависимость A7.10)
от времени гармонического потенциала ловушки. Приближение эф-
эффективного потенциала, напротив, пренебрегает микродвижением иона
и описывает ловушку Пауля с помощью стационарного потенциала
гармонического осциллятора
A7.62)
с характеристической частотой /i.
Гамильтониан взаимодействия Нвз в приближении вращающейся
волны имеет вид
Ч	A7.63)
Отметим, что здесь операторы уничтожения Ъ^ и рождения bj^ относят-
относятся к осциллятору с частотой /i.
Следовательно, частота Раби равна

556	Гл. 17. Ловушка Пауля
и мы должны использовать собственные состояния |п)м гармонического
осциллятора с частотой fi.
Сравнивая модель эффективного потенциала с той, которая учиты-
учитывает влияние микродвижения, отметим два различия: 1) две рабиев-
ские частоты пп и 0,%' отличаются фактором coy/i/w ; 2) оператор Ъ
(F)
соответствует реперному осциллятору с частотой иог , в то время как
оператор Ъ^ относится к осциллятору с характеристической частотой /i.
Поэтому фоковские состояния этих двух осцилляторов оказываются
сжатыми по сравнению друг к другу в отношении
s =
где s связано с параметром сжатия г, который входит в определе-
определение A7.17) оператора сжатия, соотношением s = ехрBг).
В табл. 17.1 представлено отношение Q,n/?ln = coy fi/ujr частот
Раби для двух гамильтонианов, а также параметр s = ji/ujr для
трёх различных пар значений (a,q) параметров ловушки. Мы видим,
чем больше значения а и q, тем больше величины этих отношения
и, следовательно, различие двух моделей. Однако при a, \q\ <C 1 они
практически совпадают.
Задачи
17.1 Эволюция во времени функции Вигнера для случая завися-
зависящей от времени частоты
Рассмотрим гармонический осциллятор с частотой u(t), завися-
зависящей от времени. Уравнение движения для такого осциллятора
имеет вид
x + u;2(t)x = 0.	A7.64)
Из задачи 3.1 мы знаем, что эволюция во времени функции
Вигнера такого осциллятора задаётся уравнением
W(x,p;t) = Wo(xo(x,p;t),po(x,p;t)).
Здесь Wq(x,p) есть функции Вигнера при t = 0, а
(xo(x,p;t),po(x,p;t)) обозначает точку фазового пространства, из
которой в момент времени t = 0 должна стартовать классическая
частица, чтобы через время t достичь точки (х,р). Убедитесь,
что факт зависимости частоты от времени не меняет это
утверждение.

Задачи	557
Покажите, что xo(x,p;t) и po(x,p;t) для гармонического осцил-
осциллятора с зависящей от времени частотой можно записать в форме
xo(x,p-t)
po(x,p;t)
где ujr является произвольной, но постоянной частотой, a e(t)
подчиняется уравнению A7.64) с начальным условием
17.2 Эндоскопия ловушки Пауля
Цель состоит в том, чтобы реконструировать начальное колеба-
колебательное состояние
п=0
иона в ловушке Пауля с помощью измерения эволюции во вре-
времени его внутреннего состояния. Здесь мы разложили состояние
iV'cni(O)) по собственным состояниям \п) реперного осциллятора
(F)
с частотой Ur .
Поскольку мы хотим восстановить амплитуды вероятности wn, то
есть не только их абсолютные значения, но и фазы, нам нужен
зонд с реперной фазой. Используем когерентную суперпозицию
основного \Ь) и возбуждённого \а) состояний в качестве началь-
начального состояния \фатОм{0)}.
(а) Рассмотреть временную эволюцию полного вектора состо-
состояния
с помощью гамильтониана взаимодействия A7.59) и пока-
показать, что вероятность
оо	_	_
JHmt/h\
(a\
n)
n=0

558	Гл. 17. Ловушка Пауля
обнаружить ион в возбуждённом состоянии в момент време-
времени t имеет вид
Wa(t;ip) = - - 4 М2 + 4 S cosBOnt) (\wn\2 - |wn+i|2) -
n=0
i OO
- ^ sin BUnt) Im (wnw*n+xe-iip) . A7.65)
n=0
Здесь частота Раби fln задаётся формулой
пп =пс0 J	— л/пТТ.
(б) Использовать зависимость от времени вероятности Wa(t;(p),
A7.65), чтобы получить коэффициенты разложения wn и,
тем самым, начальное колебательное состояние |V>cm@))-
Для этого надо измерить вероятность Wa(t',ip) для двух
различных значений фазы ср и N значений времени взаимо-
взаимодействия t.
Указание: См. статьи Schrade et al. A995), A997) и Bardroff et
al. A996).
Литература
Физика ловушки Пауля
Оригинальные работы, в которых была предложена и продемонстрирована экспери-
экспериментально ловушка Пауля
Paul W., Osberghaus О., Fischer Е. // Forschungsberichte des Wirtschafts-
ministeriums Nordrhein-Westfalen. 1958. Nr. 415
Fischer E. Die dreidimensionale Stabilisierung von Ladungstragern in einem
Vierpolfeld // Z. Physik. 1959. V. 156. P. 1-26.
Более современный обзор можно найти в Нобелевской лекции
Paul W. Electromagnetic traps for charged and neutral particles // Rev. Mod.
Phys. 1990. V. 62. P. 531-540.
Специальные выпуски с обзорами по физике ионов в ловушках
Blatt R.j Gill P., Thompson R.C. Current perspectives on the physics of
trapped ions // J. Mod. Opt. 1992. V. 39. P. 193-220.
Blatt R.j Neuhauser W. High-Resolution Laser Spectroscopy // Appl. Phys.
B. 1994. V. 59 B and 3)
Уравнение Матье
Теорема Флоке
Whittaker E.T., Watson G.N. A Course of Modern Analysis. Cambridge
University Press, Cambridge, 1927

Литература	559
[Уиттекер Э.Т., Ватсон Дж.Н. Курс совремнного анализа, ч. П. —
М.: ГИФМЛ, 1963]
Сводка свойств функций Матье
Abramowitz М., Stegun LA. Handbook of Mathematical Functions. U.S.
Government Printing Office, Washington, 1964
[Справочник no специальным функциям с формулами, графиками
и математическими таблицами./Под ред. Абрамовиц М. и Сти-
ган И.. — М.: Физматлит, 1979]
McLachlan N. W. Theory and application of Mathieu functions. Clarendon
Press, Oxford, 1947
Meixner /., Schafke F.W. Mathieusche Funktionen und Spharoidfunktionen.
Springer, Heidelberg, 1954
Линейные ловушки Пауля
Линейные ловушки Пауля стали очень популярными в последние годы благодаря их
потенциальным возможностям для реализации квантового компьютера. Они берут своё
начало от фильтра массы, предложенного в работе
Paul W., Steinwedel Н. Ein neues Massenspektrometer ohne Magnetfeld //
Z. Naturforsch. A. 1953. V. 8. P. 448-450.
Созданы различные виды линейных ловушек: ловушки типа беговой дорожки, а
также линейной формы. См. напр.
Birkl С, Kassner S., Walther Н. Multiple-shell structures of laser-cooled
24Мд+ ions in a quadrupole storage ring // Nature. 1992. V. 357. P. 310-313.
RaizenM.G., Gilligan J.M., Bergquist J.C., Itano W.M., Wineland D.J. Lin-
Linear trap for high-accuracy spectroscopy of stored ions // J. Mod. Opt. 1992. V. 39.
P. 233-242.
Лазерное охлаждение
Оригинальные работы по лазерному охлаждению
Hansch Т. W., Schawlow A.L. Cooling of Gases by Laser Radiation // Opt.
Commun. 1975. V. 13. P. 68-69.
Wineland D.J., Dehmelt H. Proposed 1014Д^ < v Laser Fluorescence Spec-
Spectroscopy on Tl+ Mono-Ion Oscillator III // Bull. Am. Phys. Soc. 1975. V. 20.
P. 637
Wineland D.J., Itano W.M. Laser cooling of atoms // Phys. Rev. A. 1979.
V. 20. P. 1521-1540.
Обзор по допплеровскому охлаждению с исчерпывающим списком литературы мож-
можно найти в работе
Stenholm S. The semiclassical theory of laser cooling // Rev. Mod. Phys.
1986. V. 58. P. 699-739.
и в книге
Миногин В.Г., Летохов B.C. Давление лазерного излучения на атомы. —
М.: Наука, 1986

560	Гл. 17. Ловушка Пауля
Превосходное введение в сложные методы сизифова охлаждения и охлаждения ниже
энергии отдачи
Cohen-Tannoudji С. Atomic Motion in Laser Light // Fundamental Systems
in Quantum Optics / Ed. by J. Dalibard, J.-M. Raimond and J. Zinn-Justin,
North-Holland, Amsterdam, 1992
Квантовое описание ловушки Пауля
Квантовое движение ионов в ловушках
Combescure М. A quantum particle in a quadrupole radio-frequency trap //
Ann. Inst. Henri Poincare. 1986. V. 44. P. 293-314.
Brown L.S. Quantum Motion in a Paul Trap // Phys. Rev. Lett. 1991. V. 66.
P. 527-529.
Agarwal G.S., Arun Kumar S. Exact Quantum-Statistical Dynamics of an Os-
Oscillator with Time-Dependent Frequency and Generation of Nonclassical States //
Phys. Rev. Lett. 1991. V. 67. P. 3665-3668.
Glauber R.J. Laser Manipulation of Atoms and Ions. Proc. Int. School
of Physics «Enrico Fermi», Course CXVIII A991) / Ed. by E. Arimondo,
W.D. Phillips and F. Strumia, North-Holland, Amsterdam, 1992
Описание этого движения с помощью функции Вигнера
Schrade G., Man'ko V.I., Schleich W.P., Glauber R.J. Wigner functions in
the Paul trap // Quantum Semiclass. Opt. 1995. V. 7. P. 307-325.
Schrade G., Bardroff P.J., Glauber R.J., Leichtle C, Yakovlev V., Schle-
Schleich W.P. Endoscopy in the Paul trap: The influence of the micromotion // Appl.
Phys. B. 1997. V. 64. P. 181-191.
Аналогия с КЭД резонаторов
Аналогия между КЭД резонаторов и квантовым движением иона в ловушке Пауля
Blockley С.A., Walls D.F., Risken H. Quantum collapses and revivals in a
quantized trap // Europhys. Lett. 1992. V. 17. P. 509-514.
Cirac J.I., Blatt R., Parkins A.S., Zoller P. Quantum collapse and revival in
the motion of a single trapped ion // Phys. Rev. A. 1994. V. 49. P. 1202-1207.
Vogel W., de Matos Filho R.L. Nonlinear Jaynes-Cummings dynamics of a
trapped ion // Phys. Rev. A. 1995. V. 52. P. 4214-4217
Описание нелинейной динамики Джейнса-Каммингса-Пауля захваченного иона с
учётом микродвижения
Bardroff Р./., Leichtle С, Schrade G., Schleich W.P. Endoscopy in the Paul
trap: measurement of the vibratory quantum state of a single ion // Phys. Rev.
Lett. 1996. Y.77. P. 2198-2201.
Bardroff P.J., Leichtle C, Schrade G., Schleich W.P. Paul Trap
Multi-Quantum Interactions // Acta Phys. Slovaca. 1996. V. 46. P. 231-240.
В этих статьях указана также процедура измерения квантового со-
состояния.

Литература	561
Наблюдение эффекта возобновлений в ловушке Пауля
Meekhof D. М., Monroe С., King В. Е., Itano W. М., Wineland D. J. Generation
of Nonclassical Motional States of a Trapped Atom // Phys. Rev. Lett. 1996.
V. 76. P. 1796-1799.
Применения ловушки Пауля
Наблюдение квантовах скачков в атомах
Nagourney W., Sandberg J., Dehmelt Н. Shelved optical electron amplifier:
observation of quantum jumps // Phys. Rev. Lett. 1986. V. 56. P. 2797-2799.
Sauter Th.j Neuhauser W., Blatt R., Toschek P.E. Observation of quantum
jumps // Phys. Rev. Lett. 1986. V. 57. P. 1696-1698.
Обсуждение фазовых переходов между упорядоченными структурами и хаотически-
хаотическими облаками ионов в ловушке Пауля
Diedrich F., Peik E., Chen J.M., Quint W., Walther H. Observation of a phase
transition of stored laser-cooled ions // Phys. Rev. Lett. 1987. V. 59. P. 2931-2934.
Wineland D.I, Bergquist J.C., Itano W.M., Bollinger II, Manney СИ.
Atomic-ion Coulomb clusters in an ion trap // Phys. Rev. Lett. 1987. V. 59.
P. 2935-2938.
Blumel R., Chen J.M., Peik E., Quint W., Schleich W.P., Shen Y.R.,
Walther H. Phase Transitions of Stored Laser-Cooled Ions // Nature. 1988.
V. 334. P. 309-313.
Наблюдение цилиндрических оболочечных структур, образованных ионами в ловуш-
ловушке Пеннинга
Gilbert S.L., Bollinger J.J., Wineland D.J. Shell-structure phase of mag-
magnetically confined strongly coupled plasmas // Phys. Rev. Lett. 1988. V. 60.
P. 2022-2025.
Нелинейное обобщение квантовой механики
Weinberg S. Testing Quantum Mechanics // Ann. Phys. 1989. V. 194.
P. 336-386.
Экспериментальная проверка такого обобщения
Bollinger J.I, Heinzen D.J., Itano W.M., Gilbert S.L., Wineland D.J. Test
of the Linearity of Quantum Mechanics by rf Spectroscopy of the 9Be+ Ground
State, Phys. Rev. Lett. 1989. V. 63. P. 1031-1034.
Квантовый компьютер, основанный на линейной ловушке, был предложен в работе
Cirac J.I., Zoller P. Quantum Computations with Cold Trapped Ions // Phys.
Rev. Lett. 1995. V. 74. P. 4091-4094.
Резонансная флюоресценция одиночного иона, удерживаемого в ловушке Пауля
Diedrich F., Walther H. Nonclassical Radiation of a Single Stored Ion // Phys.
Rev. Lett. 1987. V. 58. P. 203-206.
Наблюдение перепутывания четырёх накопленных в ловушке ионов
Sackett С.A., Kielpinski D., King B.E., hanger С, Meyer V., Myatt С.I,
Rome M., Turchette Q.A., Itano W.M., Wineland D.J., Monroe С Experimental
entanglement of four particles // Nature. 2000. V. 404. P. 256-259.

Глава 18
ЗАТУХАНИЕ И УСИЛЕНИЕ
Модель Джейнса-Каммингса-Пауля описывает взаимодействие
двухуровневого атома с одной модой квантованного поля излучения.
Динамика этой модели определяется уравнением Шрёдингера для
вектора состояния объединённой системы, состоящей из атома и поля.
Из-за перепутывания двух подсистем нельзя написать уравнение
движения для вектора состояния одной из подсистем.
Если же нас интересует динамика самого атома, либо только поля,
мы можем написать уравнения движения. Но не для вектора состояния
подсистемы, а для матрицы плотности (статистического оператора) ато-
атома либо поля. Разделение двух взаимодействующих квантовых систем
на подсистемы с неизбежностью приводит к их описанию в терминах
матрицы плотности.
Описание квантовой системы с затуханием из-за взаимодействия
с резервуаром тоже опирается на представление о матрице плотности.
Резервуар имеет огромное число степеней свободы, то есть он включает
много подсистем, каждая из которых взаимодействует с интересующей
нас квантовой системой. Поскольку число подсистем велико, мы не
можем произвести измерения для каждой из них и, следовательно, не
можем следить за перепутыванием между нашей квантовой системой и
подсистемами резервуара. Это обстоятельство приводит к формализму
матрицы плотности.
Тем не менее, есть возможность описания подобного типа проблем
с помощью волновой функции, а не матрицы плотности. Так называе-
называемый квантовый метод Монте Карло, использующий стохастические
волновые функции, был разработан в связи с задачами лазерного
охлаждения для описания механического действия света на атомы.
Эта техника чрезвычайно полезна для анализа затухания квантовых
систем.
В разделе 18.1 представлена модель, которая позволяет описать
квантовым образом затухание и усиление поля в резонаторе. Далее
в разделе 18.2 излагается общая формулировка динамики малой си-
системы, взаимодействующей с большим резервуаром. В разделе 18.3
с помощью этого формализма выведено основное кинетическое урав-
уравнение для модели резонаторного поля, взаимодействующего с пучком
двухуровневых атомов. Здесь мы используем как теорию возмущений,
так и точное описание. Точный подход немедленно даёт основное

18.1. Затухание и усиление поля в резонаторе	563
кинетическое уравнение для одноатомного мазера — темы раздела 18.4.
В разделе 18.5 мы обращаемся к задаче о двухуровневом атоме, ко-
который взаимодействует с тепловым резервуаром. Здесь рассмотрены
спонтанное излучение и лэмбовский сдвиг.
Недостаток места не позволяет нам коснуться других интересных
подходов к описанию затухания и усиления, таких как метод Ланжеве-
на. За дальнейшими подробностями мы отсылаем к списку литературы
в конце главы.
18.1. Затухание и усиление поля в резонаторе
В данной главе мы рассмотрим изменение во времени одной моды
поля излучения из-за взаимодействия с пучком двухуровневых атомов,
как показано на рис. 18.1. Здесь мы не проводим измерений над атома-
атомами после того, как они покинули резонатор. Поскольку нас интересует
только поведение поля, возмущённое атомами, то есть динамика одной
подсистемы, её состояние может быть описано только с помощью
матрицы плотности.
Можно представить себе различные сценарии в зависимости от
начального состояния атомов. Рассмотрим сначала атомы, которые на-
находятся не в когерентной суперпозиции возбуждённого \а) и основного
\Ь) состояний, а в классической статистической смеси состояний \а)
и \Ъ), то есть атомы описываются матрицей плотности
Раа О
0 Pbb
Здесь раа и ръъ обозначают населённости, соответственно, возбуждён-
возбуждённого и основного состояний.
Во время пролёта атомы, находящиеся в основном состоянии, могут
возбуждаться резонаторным полем и уносить возбуждение из резона-
резонатора. За счёт этих атомов поле затухает.
Напротив, атомы в возбуждённом состоянии могут совершить пере-
переход в основное состояние и передать своё возбуждение полю. В этом
случае поле усиливается.
Если мы имеем тепловой пучок с температурой Т, в котором, в
соответствии с распределением Больцмана
•¦)-
^=ехр --
рьь	\
большая часть атомов находится в основном, а не в возбуждённом
состоянии, результирующим эффектом атомного резервуара является
затухание резонаторной моды.
Если же, напротив, есть инверсия, и большее число атомов на-
находятся в возбуждённом, а не в основном состоянии, то есть они

564
Гл. 18. Затухание и усиление
Рис. 18.1. Модель затухания или усиления одной резонаторной моды. Поток
резонансных двухуровневых атомов проходит через полость (вверху) вблизи
пучностей полевой моды. Атомы находятся в состоянии статистической смеси
возбуждённого \а) и основного \Ь) состояний, населённости которых задаются
распределением Больцмана с температурой Т. Если в основном состоянии
находится больше атомов, чем в возбуждённом (слева), то большее число
атомов возбуждается полем полости, забирая его энергию, т. е. фотоны из
резонатора, по сравнению с числом обратных процессов передачи возбуждения
от атома к полю. Следовательно, поле резонатора, в среднем, теряет фотоны, то
есть резервуар двухуровневых атомов с температурой Т приводит к затуханию
этого поля. Отметим, что никаких измерений внутреннего состояния атомов,
взаимодействующих с резонаторным полем, не производится. Для резервуара
известны только населённости состояний, которые определяются температу-
температурой. Если атомы обладают инверсией, т. е. больше атомов в возбуждённом
состоянии, чем в основном (справа), то они усиливают поле, передавая ему
возбуждения. В такой ситуации населённости уровней описываются распреде-
распределением Больцмана с «отрицательной температурой»
описываются больцмановской функцией
Раа,
ръъ
с «отрицательной температурой», мы получаем результирующее усиле-
усиление поля резонатора. На этом принципе работают лазеры и мазеры,
что мы подробно обсудим в следующих разделах.
Тот факт, что состояние полевой моды может быть описано только
матрицей плотности, а не вектором состояния, связан с отсутствием
процедуры измерения для атома после взаимодействия, то есть с отсут-
отсутствием измерения для резервуара. Даже если бы все инжектируемые
атомы были в возбуждённом (или в основном) состоянии, мы, всё
равно, должны были бы прибегнуть к формализму матрицы плотности.

18.2. Матрица плотности подсистемы	565
18.2. Матрица плотности подсистемы
Состояние квантовой системы, такой как полевая мода, взаимодей-
взаимодействующая с квантовым резервуаром, состоящим из двухуровневых ато-
атомов, описывается матрицей плотности рп. Какому уравнению движения
подчиняется матрица плотности рп?
18.2.1. Крупномасштабное уравнение движения. Здесь мы от-
ответим на этот вопрос, вспоминая главный результат раздела 2.4.4. Для
сохранения достаточной общности рассмотрим взаимодействие кван-
квантовой системы, помеченной индексом s, с резервуаром, обозначенным
индексом г. Системой может быть, например, полевая мода резонатора,
а резервуаром — пучок двухуровневых атомов.
В разделе 2.4.4 было получено формальное выражение
( — Т
п=\
t	tn	t2
to to	to
для матрицы плотности ps^r объединённой системы — квантовой си-
системы и резервуара. Здесь Н обозначает гамильтониан взаимодействия
в представлении взаимодействия. В общем случае Н зависит от вре-
времени.
Чтобы получить уравнение движения для системы, надо вычислить
след матрицы плотности A8.2) по состояниям резервуара. Матрица
плотности ps рассматриваемой системы определяется как след ps+r по
состояниям резервуара, то есть
ps = Trr(ps+r).
Кроме того, предполагается, что до взаимодействия система и резер-
резервуар были независимы. Тогда матрица плотности ps+r объединённой
системы при to является прямым произведением
матриц плотности ps(^o) и рг(^о) системы и резервуара.
Вычисляя след по состояниям резервуара и вспоминая, что
Trrpr(?o) = 1, получаем
n=\	t0 t0	t0
xTrr[#(in), [H(tn.l),...,[H(tl),ps+I(t0)]...]]. A8.3)

566	Гл. 18. Затухание и усиление
Матрица плотности системы в момент времени t определяется сле-
следом по состояниям резервуара от коммутатора, который состоит из
вложенных друг в друга коммутаторов гамильтониана взаимодействия
и начальной матрицы плотности полной системы. Поэтому, даже если
мы начинаем с чистых состояний системы и резервуара, из-за операции
вычисления следа состояние системы будет определяться матрицей
плотности. Это следствие того факта, что в рассматриваемой схеме не
производится измерение состояния резервуара.
Обсудим теперь эволюцию системы во времени, обусловленную вза-
взаимодействием с резервуаром в течение времени т. Имеется в виду, что
взаимодействие системы началось в момент времени t и закончилось
в момент t + т. Если в уравнении A8.3) переопределить to —> t и t —>
—> t + т, то изменение
l-[ps(t + T)-ps{t)] = jtPs{t)	A8.4)
матрицы плотности системы из-за взаимодействия запишется в виде
?
n=l
xTvr[H(tn),
Производную по времени, заданную соотношением A8.4), иногда на-
называют крупномасштабной 0 производной, так как предполагается,
что изменение системы, вызванное взаимодействием с резервуаром,
является медленным.
18.2.2. Стационарный гамильтониан. Если гамильтониан не за-
зависит от времени, то можно сразу выполнить интегрирование по вре-
времени, используя соотношение
t tn	t2
\dtn |^п_1...р*1 = ^(*-*о)п.	A8.6)
to	to	to
Для доказательства этой формулы рассмотрим переход от n-го шага
к (п + 1)-му
^гг + 1	62	р
tn+\ dtn ... \ dt\ = dtn+\ — (tn+\ — to)n =
^0	^0	t0
1
(n+1)!
О Автор использует термин «крупнозернистая (coarse-grained) производ-
производная». — Прим. ред. пер.

18.3. Резервуар двухуровневых атомов	567
что полностью согласуется с A8.6). На первом шаге этого равенства
предполагалась справедливость соотношения A8.6) для п.
Заметив, что равенство элементарно справедливо для п = 1, мы,
тем самым, доказали справедливость интегральной формулы A8.6)
методом индукции.
С помощью A8.6) приходим к уравнению движения
л	1 °° 1 / • \п
п=1
для матрицы плотности ps(?) системы. Здесь мы снабдили коммутатор
индексом п для напоминания, что член n-го порядка содержит п
коммутаторов, и гамильтониан взаимодействия появляется в нём п раз.
18.3. Резервуар двухуровневых атомов
На примере резонаторной моды, взаимодействующей, как показано
на рис. 18.1, с пучком двухуровневых атомов, проиллюстрируем ту
роль, которую в уравнении A8.5) играют вложенные друг в друга
коммутаторы. Воспользуемся резонансным гамильтонианом взаимодей-
СТВИЯ
Н = hg (аа^ + д^а) = hg Jq. " = ПдА	A8.8)
V а и /
модели Джейнса-Каммингса-Пауля. Здесь мы вспомнили, что
о о\ ^t /о
)	[
t
а={ 1 о) иа-[оо
и ввели недиагональную матрицу А, содержащую полевые операторы а
и at
Атом входит в резонатор в момент времени t и никак не скоррелиро-
ван с полем. Следовательно, матрица плотности рп+ат атомно-полевой
системы факторизуется
(t) - ~ (t) (Я) ^ (t) - ~ (Я) ( Раа РаЪ
V РЬа рьь
18.3.1. Приближённое рассмотрение. В данном рассмотрении
ограничимся случаем, когда начальная атомная матрица плотности рат
диагональна, т. е.
и поэтому
)праа О
О рпръъ

568	Гл. 18. Затухание и усиление
Так как гамильтониан A8.8) резонансного взаимодействия не зависит
от времени, можно использовать уравнение движения A8.7) и полу-
получить
п=\
Чтобы представить это уравнение движения для матрицы плотности
в замкнутой форме, надо вычислить коммутаторы матриц 2x2, мат-
матричными элементами которых являются полевые операторы уничтже-
ния и рождения.
Одиночный коммутатор. Для вычисления коммутаторов, прежде
всего, полезно заметить, что произведение AR диагональной матрицы
R и недиагональной матрицы А приводит к недиагональной матрице,
0 J \0 C J \а^а О
Здесь мы были внимательны к порядку расположения операторов а =
= рпРаа, /3 = finPbb, а и а\ так как матрица плотности рп поля, входящая
в S и /3, не коммутирует с полевыми операторами а и at
Точно так же получаем выражение
S0\/0a\_/0 aa
О Д М at 0 ) ~ { Д at О
так что коммутатор А и R является недиагональной матрицей
О	а/3-аа \ _ ( 0 7
A8.10)
Так как след этой недиагональной матрицы равен нулю, т. е.
Tr [A, R] = 0,
то первый член разложения A8.9) полевой матрицы плотности по
теории возмущений исчезает.
Двойной коммутатор. Произведение АС двух недиагональных
матриц, таких как А и С, приводит к диагональной матрице. Действи-
Действительно, имеем
0 а\/0 7\_/а? 0
at 0 J у ? 0 )~ \ 0 а+7
И\/ 0 а\_/7«! 0
6 0 ) 1 at 0 ) " I 0 ?а

18.3. Резервуар двухуровневых атомов	569
Тогда
A8.11)
О
и след имеет вид
Тг[А, [ДД]] =a?-7af +af7-^a.	A8.12)
Таким образом, первый неисчезающий вклад в A8.9) появляется во
втором порядке и пропорционален (grJ.
Подставляя из A8.10) выражения для 5 и j в A8.12), получаем
Tr [A, [A, R]] = аа)а - afta^ - afta^ + aaa) +
или
Тг[Д [A, R}} = раа (аа^ри + Рп5а* ~ 2а^рпа) +
Н~ Рбб (tt ttPn + Рп& & — Лариа}) . (lo.lo)
Здесь использованы определения величин а и C.
Так как коммутатор \А, [A, R]\ является диагональной матрицей,
то вклад третьего порядка в разложении A8.9) полевой матрицы
плотности отсутствует. Очевидно, что исчезают все вклады нечётных
порядков; работают только чётные порядки. В дальнейшем обсуждении
мы, однако, ограничимся членами вплоть до (grJ.
Крупномасштабное описание. Будем со скважностью г инжекти-
инжектировать в резонатор атомы в возбуждённом, либо в основном состоянии,
давая им возможность взаимодействовать с полем в течение времени г.
Поскольку гамильтониан A8.8) описывает взаимодействие с полевой
модой только одиночного атома, ограничимся ситуацией, когда ско-
скорость инжектирования г меньше или равна 1/т. Теперь предположим,
что в момент времени t атом входит в резонатор и покидает его
в момент времени t + г. Следующий атом войдёт позже, а именно,
не раньше момента времени t-\-(\/r). Полевая матрица плотности не
меняется в течение времени, пока в резонаторе нет атома, так как
рассматривается только эволюция, обусловленная взаимодействием.
Поэтому мы можем определить крупномасштабную производную
и, введя обозначения
2 И ПЬ = ГрЬЬ(дтJ,	A8.14)

570
Гл. 18. Затухание и усиление
получить, используя A8.9) и A8.13), так называемое основное кинети-
кинетическое уравнение
— рп = --Па
A8.15)
Подчеркнём, что это уравнение достаточно сложное. Это уравнение
для статистического оператора (матрицы плотности) рп, которое содер-
содержит также полевые операторы а и а\ Важен порядок расположения
этих операторов относительно рп, так как сама матрица плотности рп
тоже содержит полевые операторы.
Непосредственно решить основное кинетическое уравнение чрез-
чрезвычайно трудно. Существует, тем не менее, много методов получения
решения. Идея состоит в том, чтобы преобразовать уравнение A8.15)
в с-числовое уравнение, используя специальные представления для
матрицы плотности, такие как функции распределения в фазовом
пространстве или представление чисел заполнения для фотонов. Это
и будет темой следующего раздела.
18.3.2. Матрица плотности в представлении чисел заполнения.
Уравнение движения A8.15) для матрицы плотности описывает зату-
затухание или усиление резонаторной моды. Действительно, первое сла-
слагаемое обусловлено атомами в возбуждённом состоянии и должно
приводить к усилению, в то время как второй член возникает из-за
атомов в основном состоянии и должен описывать уход возбуждений
из резонатора, приводя к затуханию.
Переход в пространство фоковских состояний. Для более де-
детального исследования процессов затухания и усиления рассмотрим
полевую матрицу плотности в представлении фоковских состояний
ри=
\m)
т, п=0
= ^ Рт,п \™) (п
771,П=0
Взяв матричные элементы от обеих частей уравнения A8.15) для
матрицы плотности, получаем
TtPm.n = -1K^
\п) + (т\
\п) - 2 (т
|_(?ri| атарп \п) + (тп\ fad/a \n) — 2 (т\ арп^т \п}\ .
Вспомнив, что
а \п) =
\п — 1)
\п + 1)
(ml
= л/т (т — 1
(m a =

18.3. Резервуар двухуровневых атомов	571
находим
т г(т + 1 + п
d	1 _ и
т. Нт,п	с\ /vo, [V
- - ПЬ Um + П) pm?n - 2^G71+ l)(n+ 1) pm+l,n+l I ,
или
-Jt Pm,n = Tia^/mn pm-ln-l ~ - [Tla(m
Пь(т + n)] pm,n + 7г6^(ш+1)(п+1) pm+i,n+i. A8.16)
Таким образом, мы приходим к дифференциальному уравнению перво-
первого порядка для матричных элементов pm?n. Они связаны трёхчленны-
трёхчленными рекуррентными соотношениями со своими ближайшими соседями
вдоль диагоналей, как указывают точки в матрице
Pm—\,m — 2	Pm—\,m—\	Pm—\,m
Pm,m—\	Pm,m	Pm,m-\-\
Pm+\,m	Pm+l,m+l	Pm+l,m+2
v	¦	¦	¦/
Такая связь подсказывает перенумеровать матричные элементы в
порядке следования недиагональных матричных элементов, т. е. ввести
величину
Рт,т+к = (т\ рп \т-\-к)= р$.
В этих обозначениях уравнение движения A8.15) для матрицы плот-
плотности поля принимает вид
+ ПЬу/(т+1)(т + к+1) р^. A8.17)
Поскольку индекс к в этом уравнении не меняется, то оно, скорее,
скалярное, а не матричное рекуррентное соотношение.
Эволюция во времени статистики фотонов. Рассмотрим теперь
эволюцию во времени статистики фотонов. Для этого сосредоточимся
на матричных элементах, расположенных вдоль главной диагонали т =
= п, т. е. при к = 0. Если ввести вероятность
Wm = (т\рп\т) = рт,т = Рш=0)

572
Гл. 18. Затухание и усиление
Пъ{т
га + 1)
l)Wn
га)
га- 1)
Рис. 18.2. Диаграмма переходов для вероятности \?ш обнаружить ттг фото-
фотонов в резонаторном поле, взаимодействующем с резервуаром двухуровневых
атомов. Состояние \т) заселяется в результате приходов с верхнего \m-\- 1)
и нижнего \т — 1) уровней. Это отвечает процессам поглощения одного из
771+1 фотонов атомом в основном состоянии и вынужденного излучения фо-
фотона возбуждённым атомом в присутствии ттг — 1 фотона. Так как поглощение
происходит из состояния с ттг + 1 фотоном и осуществляется атомом в основ-
основном состоянии, скорость процесса пропорциональна числу фотонов ттг+ 1, ско-
скорости IZb инжектирования невозбуждённых атомов в резонатор и вероятности
Wm+i обнаружить 771+1 фотон. Излучение возбуждённого атома состоит из
двух частей: вынужденного и спонтанного излучений. Вынужденное излучение
пропорционально числу фотонов, в то время как спонтанное излучение всегда
вкладывает единицу, независимо от числа фотонов в поле. Следовательно, из-
излучение атома в присутствии ттг — 1 фотона пропорционально числу (ттг — 1) +
+ 1 = 771, скорости !Za прихода возбуждённых атомов и вероятности Wm-\
найти начальное фотонное состояние \т — \) . С другой стороны, происходит
опустошение рассматриваемого состояния \т) за счёт поглощения фотона
атомом в основном состоянии с уменьшением числа фотонов от ттг до ттг — 1.
Кроме того, атом в возбуждённом состоянии может излучить фотон и изменить
их число от ттг до ттг + 1. Соответствующие скорости, связанные с поглощением
и излучением, имеют вид IZbт\?ш и !Za (ттг +1) \?ш
обнаружить в поле т фотонов, то уравнение A8.17) приводится к виду
-rWm= Пат Wm_x - [?га(т + 1) + Пьт] Wm + Пь(т + 1)
A8.18)
Поведение статистики фотонов удобно представить в виде диаграммы
переходов, изображённой на рис. 18.2.
Для лучшего понимания рассмотрим зависимость от времени сред-
среднего числа фотонов
(га) =
га=0

18.3. Резервуар двухуровневых атомов	573
Для этого умножим уравнение A8.18) для функции распределения
фотонов на га, просуммируем по всем га и получим
В первой сумме вводим новый индекс суммирования га/ = га — 1, а в
последней сумме т" = га + 1, что даёт
^ /т\ _ т? \^/W 4- П2 W , ¦
— \П1) — /va 2_^\пь * l) vvт'
т'
Так как суммы, содержащие квадрат индекса суммирования га, ком-
компенсируют друг друга, мы приходим к дифференциальному уравнению
jt(m) = -(Пь -Па) (т) +Па
для среднего числа фотонов.
Решение этого уравнения имеет вид
(ТТЬ ( и )) — С	\ГП ( \) )) ~\~ 	 I 1 С	I.	( 1 о. 1У)
Затухание поля. Если Ль > 71а, среднее число фотонов (m(t))
убывает от своего начального значения (га@)) до стационарной вели-
величины. Скорость затухания
7 = Пь - Па = г(дтJ(рьь - Раа)	A8.20)
определяется разностью населённостей и силой взаимодействия (дтJ.
Стационарное значение имеет вид
/ G —> )) = ^а — Раа
1\^Ъ 'Ъ'п	РЬЬ Раа
Условие Ль > 7Za для стационарной величины означает, что рьъ > Раа,
то есть число атомов в основном состоянии должно быть больше, чем
в возбуждённом. Атомы, в среднем, забирают возбуждение у поля до
тех пор, пока не наступит равновесие между возбуждениями в атомной
системе и в поле: такой тип резервуара приводит к затуханию поля.
Более того, поле, в конечном счёте, приходит к состоянию теплового
равновесия с температурой, которая определяется разностью населён-
населённостей двух атомных уровней. Действительно, если населённости двух
уровней заданы распределением Больцмана
Раа	( h(jU \
!— =ехр(-—)
ръъ	\ кв-L
)

574	Гл. 18. Затухание и усиление
с температурой Т, то стационарного значение равно
<"»(* "> °°)> = ЖТТ = ехр[^/AвГ)] - 1 = Птепл'	A8-21)
Раа
Здесь на последнем шаге мы ввели среднее число птеш1 фотонов в теп-
тепловом состоянии с температурой Т.
Можно даже показать, что в пределе t —> оо все недиагональные
элементы pm?n матрицы плотности стремятся к нулю, и поле, действи-
действительно, находится в равновесном термодинамическом состоянии.
Другая форма уравнения затухания. Теперь используем выра-
выражения A8.20) и A8.21) для скорости затухания 7 и среднего числа
тепловых фотонов, чтобы выразить через них коэффициенты lZa и Ль
уравнения A8.15). С помощью получившихся формул
И ПЪ = 7<Хепл + 1)
уравнение для эволюции среднего числа фотонов записывается в до-
достаточно компактном виде
^(т> = -7(т>+7пТепл.	A8.22)
Кроме того, основное кинетическое уравнение A8.15) принимает стан-
стандартную форму
dtpn 2
A8.23)
которая используется для описания затухания полевой моды в резона-
резонаторе с температурой Т и константой распада 7-
Это уравнение содержит два вклада. Операторы, стоящие в двух
скобках, умножаются на константу распада 7/2 и на среднее число
тепловых фотонов. Первый множитель, однако, содержит дополнитель-
дополнительный квант, т.е. он равен птепл + 1> а не ^тепл- Очевидно, что это
различие существенно, когда мы рассматриваем нулевую температуру,
когда все атомы резервуара находятся в основном состоянии. В этом
случае среднее число фотонов равно нулю. Таким образом, основное
кинетическое уравнение при нулевой температуре принимает вид
-j- рп = ~ (а^арп + рп^а - 2арпа^) .
Поле, взаимодействующее с резервуаром при нулевой температуре, всё
ещё испытывает затухание.
Усиление резонаторного поля. В случае, когда Пъ < 71а, среднее
число фотонов растёт экспоненциально, и мы имеем дело с процессом
усиления. Условие усиления, записанное в виде ръъ < раа, означает,
что атомов в возбуждённом состоянии больше, чем в основном. Такую

18.3. Резервуар двухуровневых атомов	575
ситуацию называют инверсией среды. В этом случае атомы уже дей-
действуют не как поглощающий резервуар, но напротив, они накачивают
резонаторное поле, передавая ему, в среднем, больше энергии, чем
забирая у него.
В действительности, конечно, такой процесс усиления не может
продолжаться до бесконечности, так как всегда есть противодейству-
противодействующий механизм затухания, который, в конце концов, приводит к ста-
стационарному среднему числу фотонов. Более подробно мы обсудим эту
проблему в разделе 18.4.
Распределения в фазовом пространстве. Пока мы обсудили эво-
эволюцию во времени только одного параметра, характеризующего кван-
квантовое состояние, а именно, среднего числа фотонов. Квантовое состо-
состояние, однако, определяется либо функцией непрерывной переменной,
такой как Р-функция Глаубера-Сударшана, либо распределением для
дискретного числа фотонов. В задачах, приведённые в конце данной
главы, рассмотрен вопрос о том, как записать уравнение A8.23) для
матрицы плотности в с-числовом представлении и решить их с помо-
помощью такой техники. Данный подход позволяет рассмотреть влияние на
квантовое состояние процессов затухания или усиления. В частности,
показано, что усиление всегда вносит дополнительный шум, и распре-
распределения в фазовом пространстве уширяются.
18.3.3. Точное основное кинетическое уравнение. Прежде чем
начать более детальное обсуждение свойств основного кинетического
уравнения A8.23), просуммируем ряд теории возмущений в выра-
выражении A8.9) и получим точное уравнение для матрицы плотности
поля. Есть два подхода: можно вычислить все коммутаторы, входящие
в A8.9), либо использовать оператор эволюции A5.11) модели Джейн-
са-Каммингса-Пауля. В данном разделе последуем второму методу.
Полевая матрица плотности и оператор временной эволюции.
Начнём с формального решения
уравнения фон Неймана B.42), где
Щ + г; t) = ехр Г—^ Нт] = exp [-igr (да^ + аЩ	A8.24)
обозначает оператор временной эволюции для гамильтониана Джейн-
са-Каммингса-Пауля.
Для получения матрицы плотности вычислим след по состояния
атомной системы, то есть
= TraT [w(* + r; t) рп+ат(?) W* (t + r;

576
Гл. 18. Затухание и усиление
Напомним выражение A5.11)
„ (паайаЬ\
Сп О
О С -
sn
\
О
I
для оператора эволюции во времени, где
Сп(т) = cos (дт\/п + 1 ) и Sn(r) = sin (дт\/п + 1 ).
Мы предполагаем, что в момент времени ?, когда атом начинает
взаимодействовать с полем, матрица плотности рп+ат факторизуется в
виде произведения матриц плотности рп и рат поля и атома, то есть
В отличие от предыдущего раздела, теперь и атомная матрица плотно-
плотности может иметь недиагональные элементы раь.
Таким образом, полевая матрица плотности имеет вид
8.25)
Перемножая матрицы и вычисляя след, приходим к уравнению
- (бпри af ^—	^ а)
. A8.26)
Это соотношение является точным и определяет матрицу плотности
поля в момент времени t + г, если она задана вместе с атомной
матрицей плотности в момент времени t.
Крупномасштабное описание. Обратимся теперь уже не к одному
атому, а к атомному пучку, и получим уравнение движения с круп-
крупномасштабной производной 0. Для этого вычтем из A8.26) значение
матрицы плотности рп(?) в момент времени t и умножим получившееся
1) Автор использует термин «крупнозернистое (coarse-grained) уравне-
уравнение». — Прим. ред. пер.

18.3. Резервуар двухуровневых атомов
577
выражение на скорость г, с которой атомы инжектируются в резонатор.
Эта процедура даёт основное кинетическое уравнение
= \Сп(т) pn(t) Сп(т) - pu{t) + ^=f
l{T)pn(t) 6n-i(T) - pn(t)
A8.27)
Здесь использовано условие нормировки раа + рьь = 1-
Основное кинетическое уравнение в представлении фоковских
состояний. Чтобы глубже понять структуру уравнения A8.27), выве-
выведем уравнения движения для матричных элементов
Здесь диагонали пронумерованы с помошью верхнего индекса к, ко-
который отчётливо показывает схему связей между матричными элемен-
элементами.
Непосредственно из уравнения A8.27) получаем
_l p^J ГРаа
ГрЪЪ -
rpba -
rPab]
Атомные населённости раа и ръъ связывают матричные элементы толь-
только вдоль одной и той же диагонали, т. е. они связывают матричный
элемент рт с его ближайшими соседями pmJr\ и рт_\- Напротив,
недиагональные элементы раь = pla связавают друг с другом разные
19 В. П. Шляйх

578
Гл. 18. Затухание и усиление
диагонали, т. е.
Рт-1	Рт-\
\ г
рт	<-+ рт	<-+
г \
Рт+1
Jfc+1)
Рт
Лк)
Рт+1-
Сведение только к населённостям. Установим теперь связь с ос-
основным кинетическим уравнением A8.15), рассмотрев специальный
случай
/ Раа О
когда когерентность в атомной матрицы плотности отсутствует, то есть
раЬ = рьа = 0- Тогда уравнение A8.27) приводится к виду
d
= Граа \Cn(r)pn(t)dn(r) -pn(t) + п 1}Т' at fiu(t) a n ]У^
[	vn	уп \
+ гръъ Сп-\(т) pn(t) Сп-\(т) - pn(t) + S^-L apn(t) о) -Щ,
Это уравнение является важным компонентом квантовой теории одно-
одноатомного мазера, которая обсуждается в следующем разделе.
Здесь же мы упростим это уравнение в пределе малых времён
взаимодействия, когда дт^/{т) + 1 <С 1, где (га) есть среднее число
фотонов в поле. В этом случае можно разложить косинус- и синус-
операторы
Сп(т) = cos (дтл/а^а + 1 ) = cos
= 1 — ^
{дт\/п
= дт\/п
Здесь использовано коммутационное соотношение aa"^ = a^
Удерживая квадратичные по дт члены, получаем
—
где lZa=r раа (дтJ иПь = г ръъ (дтJ.

18.4. Одноатомный мазер	579
Это уравнение, действительно, совпадает с A8.15), которое было
получено в разделе 18.3.1 с помощью теории возмущений.
18.3.4. Резюме. В этом разделе мы вывели основное кинетиче-
кинетическое уравнение для матрицы плотности рп резонаторного поля, управ-
управляемого пучком резонансных двухуровневых атомов, которые описыва-
описываются матрицей плотности рат. Были использованы два метода:
A)	Формальное решение уравнения фон Неймана в терминах много-
многократного коммутатора позволило вычислить след по состояниям
атомного резервуара, а переход к крупномасштабному описанию
привёл к уравнению движения.
B)	Точное решение модели Джейнса-Каммингса-Пауля для матри-
матрицы плотности рп+ат атомно-полевой системы позволило нам избе-
избежать вычисления вложенных друг в друга коммутаторов. Таким
способом найдено точное выражение для матрицы плотности рп.
Если первый метод основан на теории возмущений, то второй
подход является точным. Спрашивается, зачем думать о расчётах по
теории возмущений, если есть точный метод? Для точного подхода
существенно, что взаимодействие между полем и атомами не зависит
явно от времени. Поскольку поле находится в точном резонансе с ато-
атомами, такое условие выполняется. Однако для нерезонансного взаи-
взаимодействия, в которое из-за отстройки входят зависящие от времени
фазовые множители, такой метод, вероятно, применить нельзя.
18.4. Одноатомный мазер
В предыдущем разделе нами получены весьма важные компоненты
квантовой теории одноатомного мазера, или микромазера. В данном
разделе мы обсудим это устройство более детально и проанализируем
уникальные свойства его поля.
Основой одноатомного мазера является высокодобротный резона-
резонатор. Пучок возбуждённых атомов очень малой интесивности пересекает
полость и резонансным образом взаимодействует с одной модой поля
излучения. Атом может передать резонатору своё возбуждение и, тем
самым, усилить поле. Атомы служат и для другой цели: они зон-
зондируют поле. Детектор, расположенный за резонатором, регистрирует
населённости атомных уровней. Когда резонатор настроен на частоту
перехода, число атомов в возбуждённом состоянии падает, указывая
на то, что начался мазерный режим. На рис. 1.14 показано первое
экспериментальное наблюдение мазерного резонанса.
18.4.1. Уравнение для матрицы плотности. Если описывать
взаимодействие с помощью резонансного гамильтониана Джейнса-
Каммингса-Пауля, то динамика поля определяется уравнением A8.27).
Будем предполагать, что интервал времени между двумя следующи-
следующими друг за другом атомами значительно больше, чем время взаимо-
19*

580	Гл. 18. Затухание и усиление
действия одного атома. Поэтому для этого интервала времени надо
учитывать затухание полевой моды, которое определяется уравнени-
уравнением A8.23).
Уравнение движения для матрицы плотности, которое учитывает
как резонансное взаимодействие с потоком двухуровневых атомов, так
и затухание резонаторного поля, получается, если дополнить основное
кинетическое уравнение A8.27) правой частью уравнения затухания
A8.23).
В стандартной схеме одноатомного мазера атомы входят в резо-
резонатор, будучи в возбуждённом состоянии. Это означает, что раа = 1
И рЪЪ = РаЪ = РЪа = 0.
Добавляя упрощённое таким образом выражение A8.27) к уравне-
уравнению затухания A8.23), получаем основное кинетическое уравнение
-J A.(t) = г[Сп(т) pa(t) бп(т) - Ш] + r^f1 a%(t) a ^f± -
аг	vn	vn
- I (птепл + 1) (atapn + рп$а - 2apna^) -
- \ птеш (aa^pn + pnaa^ - 2afpna) , A8.28)
для одноатомного мазера.
Переходим к с-числовой форме этого операторного уравнения, за-
записывая матрицу плотности
а. = Е р№ Н (ш + к\
гп,к
в представлении чисел заполнения фотонов.
Тогда кинетическое уравнение A8.28) принимает форму дифферен-
дифференциально-рекуррентного уравнения
jt Pt] = г [(CmCm+k - 1) р?> + 5m_15m+fc_1 p^
+ \ (птеПл + 1) ^(m+lXm + fc+l) Рш+х ~ Bm + к)
\ птепл [2Vm(m + к) рЮ_х - Bт + к + 2) р«] , A8.29)
которое связывает только ближайших соседей вдоль диагонали. Пе-
Перемешивания по верхнему индексу к нет. В оставшейся части этого
раздела мы обсудим свойства этого достаточно сложного рекуррентно-
рекуррентного соотношения.
18.4.2. Уравнение эволюции для статистики фотонов. Сначала
проанализируем свойства функции распределения фотонов
Ш = (т\ 7) \т\ — п — n(fc=0)
vvт — \П1\ Рп \1П/ — Рт,т — Рш

18.4. Одноатомный мазер	581
С этой целью рассмотрим уравнение для диагональных элементов
матрицы плотности одноатомного мазера, то есть уравнение A8.29)
при к = 0, которое имеет вид
-jj.wrn = -г sin2 (дтл/т + 1 )Wm + г sm2(gr^)Wm_i +
Vm+\ — raWm] + 7птепл[^^/т-1 — (га +
A8.30)
Стационарное решение. Стационарное распределение фотонов по-
получается из уравнения A8.30), если положить
_ц/ —о
vv т — и,
at
что, после перестановки слагаемых, даёт
0= -гsin2(grVrn + 1 )Wm + 7(^тепл + l)(m+ l)Wm+i -
+ 7^тепЛтИ7ш_1. A8.31)
Мы заведомо получим решение этого уравнения, если обе строки
в уравнении A8.31) обращаются в ноль раздельно. Это условие, назы-
называемое детальным равновесием, имеет вид
1 Т* Q1T1 I ПП~ л /ТУ) I —I— Л/Т)	ТУ) I \А/	1 — Л/ ( Т)	—I— I 17T7 14/
I / olll 1 и / д/ / / ь J | | / ^Т6ПЛ 11 и J У У ууъ— 1 — /V ТбПЛ I 7	777/ ?
Г Sill (pT\/?7l)] TJ/	/1Q QO\
тН	7	ГТ\— Wm-\.	(lo. 61)
ИЛИ	г	ш 2
w — Птепл ¦ rsm
vv m —
^тепл "Г 1	'Д'^тепл "Г i///i J
Это двухчленное рекуррентное соотношение имеет решение
A8.33)
где нормировочная константа Wo определяется из условия
га=0
Среднее число фотонов. Стационарное распределение A8.33) поз-
позволяет вычислить среднее число фотонов
сю
(га) = J2 т Wm
га=0
в стационарном состоянии. Здесь же мы применим другой метод, чтобы
с помощью уравнения A8.30) для функции распределения получить
уравнение эволюции для (га).

582	Гл. 18. Затухание и усиление
Для этого умножим A8.30) на т и просуммируем по га. Тогда
7	ОО
— (га) = — г ^ msin2 [дт\/т + 1) VKm +
m=0
сю
+ r ^ msin2 (дту/т) Wm_i + 7(птепл - (m)),
ra=0
где использовано выражение A8.22), описывающее вклад затухающей
части.
Если во второй сумме ввести новый индекс суммирования га/ =
= га — 1, то линейные по индексу суммирования члены исчезают, и мы
приходим к уравнению
J	ОО
^t(m)=rJ2 sinW^TT ) Wm + 7(птеПл - <m».	A8.34)
m=0
Чтобы получить для (т) замкнутое уравнение, предположим, что
функция распределения фотонов хорошо локализована около среднего
значения (т). Такое предположение позволяет заменить переменный
индекс т под знаком суммы на (ш) и получить нелинейное дифферен-
дифференциальное уравнение
V	) +7Кепл - (ш>).	A8.35)
Поскольку это уравнение всё ещё весьма сложное, ограничимся таки-
такими значениями параметра взаимодействия дт, что дт^/\тп) + 1 <С 1.
В этом предельном случае можно разложить синус в A8.35), сохранив
только основной член, что даёт
— (m) ^ (r(grf - 7)(m) + r(grf + 7птепл.
Стационарное решение этого уравнения имеет вид
Птепл	^2
где введено безразмерное время взаимодействия
В отсутствие взаимодействия, когда д = 0, среднее число фотонов
в поле определяется только числом тепловых фотонов птеш1- С уве-
увеличением $ число фотонов в резонаторе растёт. Отметим, что оно
увеличивается по двум причинам: 1) член $2 в числителе приводит
к возрастанию (га) и 2) зависимость знаменателя от $2 — усиливает
этот рост. Когда i? приближается к единице, среднее число фотонов

18.4. Одноатомный мазер
583
растёт очень быстро, так как знаменатель стремится к нулю. Здесь
функция (га) является сингулярной.
Эта особенность ясно указывает, что линейное приближение боль-
больше не справедливо. Нам надо выйти за рамки этого приближения.
Сделать это аналитически, однако, не удаётся. Поэтому обратимся
к численному решению.
На рис. 18.3 показано среднее число фотонов в стационарном со-
состоянии, полученное с помощью точного стационарного распределе-
распределения A8.33). Мы, действительно, видим крутое возрастание (га), ко-
когда д приближается к единице, что является порогом режима генера-
генерации мазера. Подобный эффект есть в любом лазере.
Из-за того, что в уравнение A8.34) входит синус, возникают и дру-
другие пороговые значения. Они, однако, не столь ярко выражены, как
первый. Отметим также, что с увеличением параметра накачки пороги
становятся резче.
Рис. 18.3. Нормированное среднее число фотонов в стационарном состоянии
одноатомного мазера как функция безразмерного времени взаимодействия #.
Показаны три кривые для различных значений параметра накачки: г/7 = 20
(короткая штриховая линия), г/7 = 200 (длинная штриховая линия), и г/7 =
= 2000 (сплошная линия)
Дисперсия. В разделе 11.3 при обсуждении состояния шрёдинге-
ровской кошки была введена относительная дисперсия
а2 = (т2) - (тJ
(т)
стационарной функции распределения числа фотонов.
Если а = 1, мы имеем дело с распределением Пуассона, в то
время как при а > 1 или а < 1 статистика является, соответственно,

584	Гл. 18. Затухание и усиление
надпуассоновской или субпуассоновской. Применим теперь эту меру
неклассичности излучения к полю одноатомного мазера.
Начнём снова с уравнения эволюции A8.30) для распределения
фотонов, умножим его на га2 и, просуммировав по га, получим
(га2) = r^2 sin2 (#тл/га + 1) m2
— (га2) = -r^2 sin2 (#тл/га + 1) m2Wm
7ПТеПл Е
Если ввести индексы суммирования т! = m — 1 и т" = т + 1, приводя
члены Wm±i к виду Wm, to многие слагаемые исчезают, то есть
-f (m2) = г ^ sin2 (^гл/mTT) Bm + \)Wm -
(XXi
m
2	2 3m
т	т
и мы приходим к точному уравнению
j (га2) = rjr sin2(grVm+ I ) Bга + 1) Wm - 27(га2) +
га=0
\ 7\4^тепл ~г lj(ra) + 7^тепл-
Предположим, что фотонное распределение локализовано вблизи (га).
Ограничиваясь короткими временами взаимодействия, раскладываем
синус и получаем уравнение
^ (га2) = 2(г(#тJ - 7) (ш2) + [Зг(#тJ + 7Dптепл + 1)] (т) +
которое в стационарном режиме даёт
Zyi — i/ )	^	1 — v
Относительная дисперсия
а2 = •& +2ггтепл+1 _ , v

18.4. Одноатомный мазер	585
с учётом A8.36), имеет вид
a2 = rh^±l^	{lS37)
1—77
Как известно, для когерентного состояния с пуассоновским распределе-
распределением числа фотонов относительная дисперсия а равна единице. Урав-
Уравнение A8.37) предсказывает возрастание а до значений, превышающих
единицу, когда параметр взаимодействия # приближается к единице.
В этой ситуации одноатомный мазер проходит через порог генерации,
и поэтому статистика фотонов является надпуассоновской. Численные
результаты для а, показанные на рис. 18.4, действительно, подтвержда-
подтверждают предсказание, полученное при малых временах взаимодействия.
Для больших значений # статистика фотонов отчётливо проявляет
субпуассоновские свойства, но при этом имеет также надпуассоновские
пики около значений #, целых кратных 2тг.
Пленённые состояния. Статистика фотонов становится особенно
интересной, когда нет тепловых фотонов, то есть птепл = 0 или Т = 0.
В этом случае стационарное распределение A8.33) принимает вид
sin {gryl )
7/
i=\
Выберем теперь такое время взаимодействия т, что
gT^/nq + 1 = <?тг,	A8.38)
где q и nq целые положительные числа. В этом случае из рекуррент-
рекуррентного соотношения A8.32) следует, что
и, таким образом, все вероятности для чисел заполнения, превыша-
превышающих nq обращаются в ноль. Поэтому стационарное распределение
фотонных чисел заполнения имеет вид
{т -2/ /7\
Wq I I	:	ДЛЯ U $^ ТП <^ TIq i
/=1 7'
0	для m > nq.
Так как состояния с п > nq не заняты, среднее число фотонов мень-
меньше nq и может быть даже значительно меньше, если время взаимо-
взаимодействия близко к значениям, которые определяются условием A8.38),
т. е. имеет место эффект пленения для среднего числа фотонов. Это
явление демонстрируется на рис. 18.5, где мы сравниваем зависимости
среднего числа фотонов от безразмерного времени взаимодействия #
для температур, соответствующих птепл — 0,1 и птепл = Ю~7.
Интуитивное объяснение этого эффекта основано на том, что воз-
возбуждённый атом, взаимодействуя с полем в состоянии \nq), не может

586
Гл. 18. Затухание и усиление
2%	4л	6%	8 я;
1 5 10 20 30 40 50 60
Рис. 18.4. Слева: относительная дисперсия а распределения фотонов для од-
одноатомного мазера в стационарном состоянии. Параметр накачки равен г/7 =
= 200, а пунктирная линия указывает значение а = 1 для когерентного состо-
состояния с пуассоновской статистикой. Справа: измеренная дисперсия Qa = о2 — 1
для атомов в области нижнего порога мазера как функция Nex = г/7 над
порогом. Взято из статьи G. Rempe et ai, Phys. Rev. Lett. 1990. V. 64. P. 2783

18.4. Одноатомный мазер
587
О 2п An 6%
\М	О 2% 4тс вп %% Юп
Рис. 18.5. Появление пленённых состояний для стационарных значений сред-
среднего числа фотонов при параметре накачки г/7 = 50 и среднем числе тепловых
фотонов пТепл = 0,1 (слева) и пТепл = Ю~7 (справа). В случае (б) отчётливо
видны пленённые состояния: при определённых значениях времени взаимодей-
взаимодействия $ среднее число фотонов оказывается значительно меньше по сравнению
со случаем (а)
оставить возбуждение в резонаторе, так как при определённом времени
взаимодействия он испытывает целое число рабиевских циклов и по-
покидает резонатор в возбуждённом состоянии. Небольшая начальная
населённость состояний с т > nq, а также ненулевая температура
мешают появлению пленённых состояний.
В заключение этого раздела отметим, что пленённые состояния
наблюдались на эксперименте, показанном на рис. 18.6.
18.4.3. Фазовая диффузия. До сих пор мы обсуждали те свой-
свойства одноатомного мазера, которые связаны с диагональными элемен-
элементами матрицы плотности. Теперь обратимся к недиагональным эле-
элементам и рассмотрим временную эволюцию первых недиагональных
матричных элементов. Эти матричные элементы определяют фазовую
диффузию в одноатомном мазере.
Фазовый оператор Лондона. В разделе 8.5 мы обсудили проблему
эрмитовых фазовых операторов и ввели лондоновские фазовые состоя-
состояния. Представленный здесь подход основан на фазовом операторе
A8.39)
связанном с фазовыми состояниями (8.35)
i -\ — i	 у^ ег
пv
A8.40)
Подставляя определение A8.40) фазового состояния в определение
A8.39) фазового оператора и выполняя интегрирование, получаем
A8.41)
п=0

588
Гл. 18. Затухание и усиление
B, 1)A, 1)	(О, 1)
E, 2X4, 2)C, 2) B,2) A,2)
0,4-
0,2-
о-
-0,2-
-0,4-
-0,6-
0,2-
0,1-
0-
-0,1 •
-0,2-
-0,3-
0,04-
0,02-
о-
™0,02-
-0,06-
0,06"
0,04-
0,02 :
0:
-0,02 ^
1
\
i-ГЧ
30 40 50 60 70 80 90 100 ПО 120 130
Время взаимодействия, мкс
Рис. 18.6. Экспериментальное наблюдение пленённых состояний для одноатом-
одноатомного мазера. Инверсия населённости атомных уровней как функция времени
взаимодействия для параметров накачки, соответственно, Nex = 7 и Nex = 10.
На диаграммах (а) и (C) представлены данные диаграмм (А) и (В) после
исключения регулярного линейного убывания. Вертикальные линии указывают
теоретические положения всех пленённых состояний низших порядков, лежа-
лежащих в области времён взаимодействия, представленных на диаграмме. Провалы
в инверсии можно отождествить с положениями пленённых состояний. Взято
из статьи М. Weidinger et ai, Phys. Rev. Lett. 1999. V. 82. P. 3795
В данном разделе мы вычислим среднее значение
1ещ\ — тг (ещ /J ) — Х^(m\ei(P 7) \т)
\с / J-1 у гП/ / J \iio\C' Т Рп|//6/
m
лондоновского фазового оператора для поля мазера, которое описыва-
описывается матрицей плотности р/. Для этого подставим выражение A8.41)

18.4. Одноатомный мазер	589
для фазового оператора в представлении чисел заполнения под знак
операции следа и получим
?<п + 1|рп|п) = ^ Pn+i,n =
п	п	п
Таким образом, среднее значение фазового оператора определяется
суммой первых недиагональных элементов матрицы плотности.
Уравнение движения для фазового оператора. Чтобы получить
эволюцию этой величины во времени, обратимся к уравнению движе-
движения A8.29) для матрицы плотности. Это уравнение при к = 1 после
суммирования по т даёт
¦dtHm
7
2
\
Сдвигая индексы суммирования, получаем
— (ег^) = 2^ \ т cos (дт\/п + 2) cos (дту/п + 1) — 1 +
п
+ sin (дт\/п + 2 ) sin (дту/п + 1 ) — 7(птепл
- Т^теп
Если воспользоваться тригонометрическим соотношением
cos a cos /3 — 1 + sin a sin /3 = cos (а — /3) — 1 = —2 sin2 - (а — /3) ,
то это уравнение упрощается
где
у/п + 2 - Vn+ 1
= 2rsmz
+ 7(птепл + 1) In + - - л/п(п+ 1I + 7^тепл I П + 2 ~
. A8.43)

590	Гл. 18. Затухание и усиление
Мы получим замкнутое, но приближённое уравнение для (ег(^}, если
воспользуемся тем, что fin является медленно меняющейся функци-
функцией п. В этом случае можно заменить величину fin её средним значени-
значением
п
и получить
Если ещё предположить, что Wn заметно отлична от нуля только
для п > 1, то в определении A8.43) величины fin можно разложить
квадратные корни и получить приближённую формулу
.	(.8.45)
для константы D фазовой диффузии.
Величину D можно связать непосредственно со средним числом
фотонов, если предположить, что (/in) = /лп=(п). Тогда из выраже-
выражения A8.45) получаем
Величина D имеет размерность частоты и может быть связана с ши-
шириной линии одноатомного мазера: в отсутствие диффузии фаза поля
не менялась бы, так как мы работаем в представлении взаимодействия.
В шрёдингеровской картине с учётом фазовой диффузии имеем
d_ eiu,t+i<p(t) = цш + ф^ eiu>t+i<p(t) = цш + Аш) eiu>t+Mt)t
Это соотношение показывает, что диффузия в фазе приводит к разбро-
разбросу Аи; = ф = 2D по частоте, а это не что иное, как ширина линии.
18.5. Взаимодействие атома с резервуаром
Теперь обратим ту ситуацию, которая обсуждалась в разделе 18.3.
В то время, как там полевая мода играла роль интересовавшей нас
системы, а резервуар состоял из двухуровневых атомов, теперь систе-
системой является одиночный двухуровневый атом, а резервуар состоит из
бесконечного числа полевых мод. Взаимодействие атома с резервуаром
приводит к спонтанному излучению атомов, а также к сдвигу уровней.
В отличие от примеров, обсуждавшихся ранее, теперь мы хотим полу-
получить уравнение движения для матрицы плотности атома, а не поля.
18.5.1. Модель и уравнение движения. Рассмотрим гамильто-
гамильтониан	^ ^ ^ ^
H = HaT + Hu+HB3	A8.46)

18.5. Взаимодействие атома с резервуаром	591
полной системы, который включает гамильтониан
HaT = ^hwaz	A8.47)
свободного атома и гамильтониан
Яп =	j
I
отвечающий полевым модам с частотами О/, а также оператор взаимо-
взаимодействия	^
где
№(R)^?^|W^	A848)
обозначает амплитуду взаимодействия атома, находящегося в точке R,
с 1-й модой.
Имея в виду атомную оптику, которой посвящена гл. 19, мы должны
будем учесть движение атома, и, следовательно, величина R будет
оператором. В такой ситуации амплитуда взаимодействия gi(R) тоже
становится оператором. Кроме того, атомная матрица плотности будет
включать не только внутренние степени свободы, но и координату
атома. Поэтому надо соблюдать порядок расположения оператора g/(R)
и матрицы плотности атома. Однако, в данном разделе мы пренебрега-
пренебрегаем движением атома, и R является просто параметром.
Так как формальное выражение A8.3) для матрицы плотности ps
системы написано в представлении взаимодействия, перейдём к этому
представлению для гамильтониана Н A8.46) и, в полной аналогии с
результатом раздела 14.8, получим выражение
ЯвC7) = V(t) = hJ29i (ouj elAlt + Э%е~гА'^ = hg
где А/ = О/ — uj обозначает отстройку 1-й полевой моды от атомной
частоты. Кроме того, для упрощения обозначений мы ввели многомо-
довый полевой оператор
где константа g имеет размерность частоты. Её значение произвольно,
поскольку она введена только для того, чтобы привести гамильтониан
взаимодействия к виду гамильтониана Джейнса-Каммингса-Пауля.
В отличие от примеров, рассмотренных в разделах 18.3 и 18.4,
теперь гамильтониан взаимодействия явно зависит от времени, и надо
обратиться к приближённому методу. Согласно A8.5), крупномасштаб-

592	Гл. 18. Затухание и усиление
ное уравнение движения для матрицы плотности рат атома, включая
члены вплоть до второго порядка по взаимодействию, имеет вид
t
t+T	t+T
\ }
Кгт
где Vn = V(tn) и р обозначают матрицы плотности атома и поля.
Теперь вычислим обычный и двойной коммутаторы между Vn и
р и след по полевым состояниям. Поскольку процедура вычисление
достаточно длинная и громоздкая, рассмотрим только член первого
порядка, содержащий обычный коммутатор, чтобы проиллюстрировать
метод, а член второго порядка с двойным коммутатором обсудим в
Приложении О.
18.5.2. Вклад первого порядка. В этом разделе мы вычислим
вклад члена первого порядка в уравнение для матрицы плотности.
Для этого найдём коммутатор V и р и проведём соответствующее
усреднение по времени.
Уравнение движения. Начнём с вычисления вклада рат , связанно-
связанного с коммутатором
4{р + д^Ах^р- раА\ -
матрицы плотности р и многомодовых операторов А\ и А\, который
даёт
(страт - ратСг) Тг ( А[рп) + (сгТрат ~ ратСГТ) Тг ( А\рп) I .
Здесь мы представили матрицу плотности р в виде прямого произ-
произведения матриц плотности атома (ат) и поля (п), т.^е. р = рат ® рп
и использовали тот факт, что полевые операторы А\ и А\ коммутируют
с атомными величинами рат, а и а\ Кроме того, учли возможность
поменять местами А\ или А\ с рп при вычислении следа, поскольку
Тг (а-В)= Тг (в-А
Это обстоятельство позволило попарно объединить слагаемые комму-
коммутатора.

18.5. Взаимодействие атома с резервуаром	593
Таким образом, в первом порядке получаем следующее уравнение
движения
Рат = -i9*(t) (^Рат - Рат^) ~ ig(t) (^рат - р^)	A8.50)
для матрицы плотности рат атома, где
t+T	t+T
g(t)=gl- J ^ Тг{Лрп} = 5>^ | dt" e~lAlU Tr" №ft) A8-51)
t	/	t
обозначает частоту Раби.
Эффективная частота Раби. Величина g(t) определяется как
результат усреднения по времени математического ожидания, т. е. сред-
среднего значения по состоянию резервуара, оператора уничтожения Л\ для
поля резервуара. Усреднение по времени происходит по промежутку г
времени взаимодействия и содержит фазовый фактор, зависящий как
от отстройки А/ частоты 1-й моды резервуара от атомного перехода,
так и от т. Покажем, что, несмотря на указанное усреднение, величина
g зависит от времени.
Среднее по состоянию резервуара включает матрицу плотности рп
многомодового поля. Если моды не находятся в состоянии перепутыва-
ния друг с другом, рп является прямым произведением
матриц плотности рт отдельных мод. Тогда при вычислении следа
получаем
Тг (а/рп) = Тгп ( щ Д рт I = Tr (aipi) Д Тг (рт),
V т /	тф1
то есть
Тг(а/рп) = Ti(aipi),
где на последнем шаге использовано условие Tr(pi) = 1.
Таким образом, эффективная рабиевская частота имеет вид
9(t) = ^>е-^е-»>< ^ Tr (atpt),	A8.52)
где заодно выполнено интегрирование по переменной t\ с помощью
соотношения
1 l\T	-iA,T 1	+гД;т/2	-гАгт/2
т J	-iAtT	iAtT
t
и введён параметр $/ = Air/2.
Резонансное приближение. Выражение A8.52) для g ясно пока-
показывает, что вклад в величину g дают только те моды резервуара, для
которых среднее значение оператора поглощения не равно нулю. Важна

594
Гл. 18. Затухание и усиление
также и отстройка А/ этих мод от резонансной атомной частоты.
Действительно, выражение A8.48) содержит функцию
с доминирующим максимумом при д = 0. Поэтому при суммировании
по модам в выражении A8.52) функция S отбирает только те резонанс-
резонансные моды, для которых Д/т/2 <С 1. В этом смысле функция S действует
как дельта-функция.
В результате получаем
где резонансная мода отмечена индексом 0.
18.5.3. Уравнения Блоха. Теперь обсудим динамику, которая
следует из уравнения движения A8.50). Для этого сначала, перейдя
к матричным элементам, запишем данное операторное уравнение в виде
с-числового уравнения, которое затем свяжем с движением точки на
сфере.
Уравнения для матричных элементов. Из A8.50) находим следу-
следующие уравнения
Paa -
Pbb =
Pab =
И
Pba =
= (а\ рат
= (Ъ\ рат
е (а рат
= (Ь\ Ал
\а) = — ig* (а сграт — рата
\Ъ) = -ig* (Ь\арат-рата\1
\Ъ) = -ig* (а\арат-рата
\а) = -ig* (b\ dfaT - faTa
Если вспомнить соотношения
то написанная
и
a a) = \b) и а
a\b)=0 и а
выше система уравнений
Paa — ^g Pab
Pbb = -ig* Pab +
pab = -ig(pbb -
\a) -ig(a a^paT- i
i) -гд{Ь\д^-рг
b) -ig(a\a^paT-p
a) -ig(b\a^paT -f
t a) = 0;
принимает вид
igPba,
-Paa)
a),
T^t |b> ,
;T?f \ь)
a).
A8.53)
A8.54a)
A8.546)
A8.54b)
Pba = ~ig*(paa ~ Pbb)•
Так как матрица плотности является эрмитовой, диагональные элемен-
элемента paa и ръь действительны, а раъ = р*>а. Поэтому четвёртое уравнение
является просто комплексным сопряжением третьего уравнения.
Инверсия и поляризация. Уравнения A8.54) описывают динамику
двухуровневого атома в резервуаре полевых мод. Эти, так называемые

18.5. Взаимодействие атома с резервуаром	595
уравнения Блоха, лежат в основе полуклассической теории лазера.
Поэтому имеет смысл кратко проанализировать их.
Складывая первые два уравнения, получаем
Раа + РЪЪ = О,
то есть вероятность раа + ръъ = 1 сохраняется.
Теперь перепишем уравнения A8.54) в несколько иной форме. Для
этого введём инверсию
W = раа- РЪЪ,
то есть разность населённостей возбуждённого и основного состояний,
а также удвоенные реальную
U = раЪ + РЪа = РаЪ + р1ъ = 2 Re Pab
и мнимую
v = i(pab ~ РЪа) = i(pab - р1ъ) = ~21траЬ
части матричного элемента раъ.
В этих обозначениях уравнения Блоха принимают вид
u(t) = -29i(t)w(t),
v(t) = -2gr(t)w(t),
w(t)=2gi(t)u(t)+2gr(t)v(t),
где g(t) =gr(t)+igi(t).
Сфера Блоха. Если ввести трёхкомпонентные вектор-столбцы S =
= (u,v,w) и Б = Bgr, —2gi,0), то уравнения Блоха принимают форму
dt
знакомую из уравнения прецессии вектора углового момента S в маг-
магнитном поле.
Таким образом, динамика двухуровневого атома в присутствии поля
идентична поведению спина в магнитном поле. Поскольку эта проблема
широко обсуждалась Д. Блохом (D. Bloch), данные уравнения носят
его имя.
Есть изящное графическое представление такой динамики как дви-
движения точки на сфере. Действительно, мы видим, что длина вектора S
сохраняется, так как
= 2 [—2giuw — 2gr vw -\- 2giиw -\- 2gr vw] =0.
Следовательно, конец вектора движется по поверхности сферы.
18.5.4. Вклад второго порядка. Перейдём теперь к вкладу вто-
хB)
рого порядка рат в выражении A8.49). Приведём сначала результиру-

596	Гл. 18. Затухание и усиление
ющее основное кинетическое уравнение, а потом обсудим физический
смысл отдельных парамеров.
Основное кинетическое уравнение. Согласно результатам Прило-
Приложения О, уравнение имеет вид
[ДЯ, рат] - (Гг + Gr
— Г \rfrr*7) 4- 7) rfrf*—9,rr*7) гт\ -\-2в*гт7) гг-\-9,Ягг* п гг* (\ 8 5М
где, для краткости, использованы обозначения
Г = Гг + il\ = V la/ 2niI(Ai,Ai) + V O/*am (al>(am> /(А/, Дш),
I	1фт
A8.56)
и	_ _ _
G = Gr + гСг = Е 1#/1 ^(А/, А/),	A8.57)
/
а также
/О 	 о \ ' Q 	 \ ^ 2 /^2 \ Т ( А А \ | \ ^	/^ \ /^ \ Т ( А А \
р = рг + г pi = 2_^ ^ (а^ / i (—A/, A/J + ^ 9Wm \al)\am) 1 [~^l> ^m)-
l	1фт
Здесь / обозначает двойной интеграл
. t+т t2
t t
Кроме того, мы ввели гамильтониан
АН = -П (тг + 1(?Л аг,	A8.58)
ответственный за сдвиг уровней.
Обсуждение параметров. Величина Г определяется состоянием
резервуара. В самом деле, Г зависит от средних чисел щ фотонов
в отдельных модах резервуара, а также от средних значений операторов
рождения и уничтожения.
Например, резервуар, полевые моды которого находятся в тепловом
состоянии и описываются диагональными матрицами плотности
с функциями распределения фотонов Wn сразу даёт, что
at |n) = J2 Wil)V^ {n\ n - 1) = 0,
n
(ah = 0.

18.5. Взаимодействие атома с резервуаром	597
Тем самым, для теплового резервуара выражение для Г имеет вид
Интересным с практической точки зрения резервуаром является ваку-
вакуум, то есть тепловое состояние с нулевой температурой. В этом случае
все моды находятся в основном состоянии, и среднее число квантов
возбуждения в каждой моде равно нулю, т. е. щ = 0. Следовательно,
параметр Г обращается в ноль, то есть
Гвак = 0.
_ Обратимся теперь к параметру G. Из определения A8.57) величины
G видно, что её значение
G = j2\gi\2H^i,Ai)	A8.60)
/
не зависит от состояния резервуара, так как она возникает из коммута-
коммутатора полевых операторов, которые приводят просто к с-числу G, @.13).
Поэтому оно не равно нулю, даже если резервуар находится в вакуум-
вакуумном состоянии, то есть	_
Свак ф 0.
Более того, ^сли сравнить выражения A8.59) и A8.60), то можно
заметить, что G совпадает с величиной Г для случая теплового ре-
резервуара с щ = 1, то есть для теплового резервуара с одним квантом
возбуждения в каждой моде.
Так же как и в ситуации с Г, значение C критическим образом
зависит от состояния резервуара: необходимым условием того, что C
не равно нулю, является существование хотя бы для одной моды ре-
резервуара отличного от нуля среднего значения оператора уничтожения,
либо его квадрата.
Для теплового резервуара имеем
B/> = ? wil) <«№> = ? Wnl) у/Мр^Т) <n| n - 2) = О,
n	n
а с учётом (а/) = (щ) = 0 приходим к выражению
Ртепл — U,
то есть для теплового резервуара параметр C обращается в ноль.
Существуют, однако, такие случаи, когда C не исчезает. Например,
в сжатом вакууме среднее значение (й|) не равно нулю, что приво-
приводит к отличному от нуля значению C. Важные следствия этот факта
проявляются в процессе распада атомного состояния, который будет
обсуждаться в разделе 18.5.6.
18.5.5. Лэмбовский сдвиг. Выражения для величин Г, G и C
достаточно сложны и могут даже приводить к бесконечностям. Прежде

598	Гл. 18. Затухание и усиление
чем обсуждать эти сложности, сначала глубже разберёмся в физи-
физическом смысле отдельных членов основного кинетического уравне-
уравнения A8.55).
Гамильтониан
АН = -П (Гг + i i
в кинетическом уравнении A8.55) вляется поправкой к гамильтониану
A8.47)
1
2 ¦
Яат = -
свободного атома. Следовательно, взаимодействие атома с резервуаром
полевых мод приводит к сдвигу уровней на величину частоты
Ди =-2 (l\ + ± G4) .	A8.61)
Это сдвиг уровней называется лэмбовским сдвигом. Экспериментально
он был открыт в 1947 году В. Лэмбом (W. E. Lamb) и его аспирантом
Р. Ризерфордом (R.C. Retherford) в водороде. Из уравнения Дирака сле-
следует, что состояния 225i/2 и 22Pi/2 вырождены по энергии. Экспери-
Эксперимент, однако, ясно показал, что эти два уровня сдвинуты относительно
друг друга. Этот сдвиг является свидетельством квантовой природы
электромагнитного поля. Действительно, из выражения A8.61) видно,
что есть два вклада в сдвиг. Первый возникает из-за мнимой части Г^
величины Г. Согласно A8.56), параметр Г, по-существу, определяется
средним числом фотонов в модах резервуара. Поэтому такой вклад
в сдвиг уровня аналогичен известному квадратичному штарковскому
сдвигу в статическом электрическом поле^
В отличие от первого члена, вклад Gi возникает из-за коммута-
коммутационных соотношений для полевых операторов, которые обсуждаются
в Приложении О. Следовательно, это чисто квантовый полевой эффект,
который не исчезает, даже если все моды резервуара находятся в ос-
основном состоянии, т. е. для вакуума.
18.5.6. Затухание Вайскопфа-Вигнера. Помимо сдвига уров-
уровней, резервуар приводит и к другому драматическому эффекту. Он вы-
вызывает затухание атомных состояний, то есть населённости раа и ръъ
двух атомных уровней и поляризация раь затухают. Это явление назы-
называется затуханием Вайскопфа-Вигнера.
Уравнение движения для матричных элементов. Чтобы наибо-
наиболее отчётливым образом прояснить этот эффект, запишем уравне-
уравнение A8.55) для матрицы плотности с помощью матричных элементов.
Поскольку в данном обсуждении нас интересует проблема затухания,
будем пренебрегать, для простоты, лэмбовским сдвигом.

18.5. Взаимодействие атома с резервуаром	599
Вспоминая действие атомных операторов на внутренние состоя-
состояния A8.53), приходим к следующей системе уравнений
Раа = -2 (Гг + Gr) Раа + 2 Гг Pbb,
Рьь = +2 \ГГ + Gr) раа - 2 Гг рьь,
Pab = ~ BГГ + Gr^j Pab + 2C РЪа
^r + Gr j Pba +2/3* pab-
Складывая первые два уравнения, получаем
Раа + Pbb = О,
то есть условие сохранения нормировки
Раа + Pbb = 1 •
Используя это условие в двух уравнениях для раа и рьь, получаем
Раа — —? I ^-L г "Г' Ь-г I раа т^1г
И
Рьь = -2 BГГ + GV ) phh + 2 (Гг + Gr ) .
Пока мы не получили точных выражений ни^для Гг, ни для Gr.
Но уже, тем не менее, видим, что если Гг > 0 и Gr > 0, населённости
затухают со скоростью 2BГГ + Gr) из-за взаимодействия атома с ре-
резервуаром. Для стационарного состояния, когда раа = Рьь — 0» имеем
Раа =
Рьь = г
2ГГ + Gr
Ещё раз подчеркнём наличие двух вкладов. Один обусловлен величи-
величиной Гг, которая содержит средние числа фотонов. Следовательно, это
индуцированный распад, связанный с индуцированным излучением.
Другой вклад возникает из-за Gr и, поэтому, обусловлен квантовой
природой поля. Он присутствует, даже если величина Гг равна нулю.
Этот вклад соответствует спонтанному излучению.
Две константы затухания поляризации. Теперь обратимся к
двум последним уравнениям, то есть к двум уравнениям для недиаго-
недиагональных элементов матрицы плотности.
Вспоминая действительную и мнимую части
и = n (Pab + Pab)

600	Гл. 18. Затухание и усиление
И	_ 1
v = 2i (pab ~ р^
матричного элемента раь, или
Pab = U + W
и
р*аЬ = и- iv,
получаем
и + iv = -Гг(и + гг;) + 2(/3r + iCi)(u - iv),
то есть
Характер поведения величин и w v становится понятным, если рас-
рассмотреть собственные значения Л, которые получаются из уравнения
0 = det ( {гт	^ )= Л2 - 2ЛГГ + Г2 - 4(/32+/32),
V 2/3,	А-(Гг-2/Зг)/	г ^г М';>
то есть
Отсюда находим два собственных значения
А±=ГГ±2|/3|.
Следовательно, если |/3| ^ 0, недиагональные элементы атомной мат-
матрицы плотности имеют две различные константы затухания. Дей-
Действительно, есть константа затухания Гг — 2|/3|, которая меньше, чем
константа Гг + 2\/3\.
Задачи
18.1 Матрица плотности атома и поля
Показать, что для резонансной модели Джейнса-Каммингса
Пауля матрица плотности
/5п+ат(*) =	U

Задачи
601
объединённой системы атома и поля в момент времени t име-
имеет вид
P(t) =
п-\
I	Sn
п + 1
а рп а
\ vn	уп-\
/п+1
-^а^^РиСпРаа — CVi—1Рп&
ат рп а
п 1
^- раа
pab
Q
п-\ръъ -
Q	\
—= paa
\ раъ~ Cn-\pna —=r-pba i
Vn /
Указание: Перемножить матрицы ZY и 2Д которые определяются
выражением A5.11), с начальной матрицей плотности
РпРст РпРаб
РпРба РпРбб
Здесь операторы Сп и 5П берутся в момент времени t — to.
18.2 Алгебра^ операторов
Пусть А является произвольным, не обязательно эрмитовым,
оператором, д) и а — операторы рождения и уничтожения для
гармонического осциллятора, а \а) обозначает когерентное состо-
состояние.
Доказать следующие соотношения:
{а\а)А\а) = а*(а\А\а),
(а\Аа\а) =
(а\АаЦа) = (а* + -^j (a\A\a).
18.3 Q-функция затухающего гармонического осциллятора
Рассмотреть гармонический осциллятор с частотой О, который
взаимодействует с тепловым резервуаром, состоящим из беско-
бесконечного числа гармонических осцилляторов. Уравнение движения
для матрицы плотности имеет вид
р = -Ш \cfta, р] - ^ (пт

602	Гл. 18. Затухание и усиление
- 77 птепл
paa^ -2afpa), A8.62)
где птепл определяется выражением A8.21).
(а) С помощью уравнения A8.62) вывести уравнение движе-
движения для Q-функции и применить соотношения, полученные
в предыдущей задаче.
Ответ:
(б)	Записать уравнение движения для Q-функции в полярных
координатах а = гег{р и а* = ге~щ'.
(в)	Показать, что эволюция во времени Q-функции затухающе-
затухающего гармонического осциллятора в представлении взаимо-
взаимодействия имеет вид
Q(a*,a,t) =	—(	z^tv х
/3,t = O)d2/3. A8.63)
Указание: Решить уравнение движения для Q-функции, ис-
используя (нефизическое) начальное условие Q(a*,a,t = 0) =
= 5(а — C). Это даёт функцию Грина для описания эволюции
во времени произвольной Q-функции. В координатах а и а*
она имеет гауссовский вид с зависящими от времени сред-
средним значением и дисперсией.
(г) С помощью выражения A8.63) найти эволюцию во времени
Q-функции, если при t = 0 осциллятор находился в коге-
когерентном состоянии. Показать, что при t —> оо это решение
сходится к Q-функции теплового состояния A2.13).
18.4 Затухание состояния шрёдингеровской кошки
(а) Вычислить Q(a*,a,t) в случае, когда при t = 0 осциллятор
находился в состоянии шрёдингеровской кошки
которое было введено в разделе 11.3. Обсудить результат,
обратив внимание на затухание интерференционного члена
в Q-функции.

Задачи	603
(б)	Используя основное кинетическое уравнение A8.62), пока-
показать, что при птеш1 = 0 эволюция во времени статистики
фотонов определяется уравнением
Wm = 7(m + l)Wm+i - jmWm.
(в)	Показать, что зависящее от времени решение этого уравне-
уравнения имеет вид
0	/
A8.64)
(г) С помощью решения A8.64) найти зависящую от времени
статистику фотонов для затухающего состояния шрёдинге-
ровской кошки.
18.5 Эволюция во времени Р-распределения
Затухающий гармонический осциллятор описывается с помо-
помощью основного кинетического уравнения A8.62). Исследовать это
уравнение более подробно в случае птепл = 0, т. е. при Т = 0.
(а) Показать, что зависящее от времени когерентное состояние
a(t)} удовлетворяет уравнению
— \a(t)) = (-- аа* - -
- - аа* +
а
(б) Показать, что матрица плотности
подчиняется уравнению движения для затухающего гармо-
гармонического осциллятора.
(в) Показать, что если матрица плотности в момент времени t =
= 0 представлена в виде
p(t = 0) = \d2a Р(а, а*, t = 0) \а)(а\,
где P(a,a*,t = 0) является Р-функцией при t = 0, то при
временах t > 0 для Р-функции справедливо соотношение
Р(а, a*,t) = е^ Р {ае^'2+^\ а*е^2~^\ t = 0) .
18.6 Метод квантовых скачков
При достаточно низких температурах квантовая система, взаимо-
взаимодействующая с резервуаром, может быть приближённо описана
с помощью основного кинетического уравнения вида
= ~[Н,р] +|Bapaf -tfap-ptfa).	A8.65)

604	Гл. 18. Затухание и усиление
Одним из возможных способов решения этого уравнения яв-
является метод квантовых траекторий, который мы сейчас хотим
рассмотреть. Мы предполагаем, что в момент времени t система
находится в состоянии \ф(?)). Для эволюции во времени есть две
возможности.
A) Эволюция во времени управляется неэрмитовым гамильто-
гамильтонианом	^
Н = Н- ihj/2 a^a,
который приводит к состоянию
[i-iHdt/h]\*i>(t))
B) Система совершает скачок, соответствующий исчезновению
фотона, который приводит к состоянию
Для каждого интервала времени dt мы выбираем случайным
образом одну из двух возможностей. Вероятность Рdt того, что
в период времени между t и t + dt произойдёт скачок, имеет вид
Так как эволюция во времени не является унитарной, мы должны
нормировать состояние после каждого скачка.
Показать, что матрица плотности
p(t) =
которая усреднена по всем траекториям, является решением ос-
основного кинетического уравнения A8.65).
Указание: Смотри работы Dalibard et al. A992), M0lmer et al.
A993) и Carmichael A993).
Литература
Основные кинетические уравнения
Scully M.O., Lamb W.E. Quantum Theory of an Optical Maser. I. General
Theory // Phys. Rev. 1967. V. 159. P. 208-226.
Scully M. O. Varenna lecture // Proceedings of the international school of
physics «Enrico Fermi», course XL2 / Ed. by R. Glauber, Academic Press, New
York, 1969

Литература	605
Модель гармонического осциллятора, взаимодействующего с резервуаром двухуров-
двухуровневых атомов
Lamb W.E. Approach to Thermodynamic Equilibrium (and other Stationary
States) // The Physicist's Conception of Nature / Ed. by J. Mehra, D. Reidel,
Dordrecht, Holland, 1973
Эта работа включена в книгу
Moore G.T., Scully M. О. Frontiers of Nonequilibrium Statistical Physics.
Plenum Press, New York, 1985
Различные методы вывода основных кинетических уравнений
Haake F. Statistical Treatment of Open Systems by Generalized Master
Equations. Springer Verlag, Heidelberg and Berlin, 1974
Agarwal G.S. Quantum Statistical Theories of Spontaneous Emission and
their Relation to Other Approaches. Springer Verlag, Heidelberg and Berlin, 1974
van Kampen N. G. Stochastic Processes in Physics and Chemistry.
North-Holland, Amsterdam, 1981
Gardiner С W. Handbook of Stochastic Processes. Springer Verlag, Heidelberg
and Berlin, 1989
Risken H. The Fokker-Planck Equation. Springer Verlag, Heidelberg and
Berlin, 1989
*Файн В.М., Ханин И. Я. Квантовая радиофизика. — М.: Сов. радио, 1965
*Ахиезер А.И., Пелетминский СВ. Методы статистической физики. — М.:
Наука, 1977
Метод волновых функций для диссипативных процессов
Метод квантовых траекторий
Dalibard J., Castin Y., M0lmer К. Wave-Functions approach to Dissipative
Processes in Quantum Optics // Phys. Rev. Lett. 1992. V. 68. P. 580-583.
M0lmer K., Castin Y., Dalibard J. Monte Carlo Wave Function Method in
Quantum Optics // J. Opt. Soc. Am. B. 1993. V. 10. P. 524-538.
Carmichael H. An Open Systems Approach to Quantum Optics. Springer
Verlag, Heidelberg and Berlin, 1993
Квантовые уравнения Ланжевена
Квантовые уравнения Ланжевена сформулированы в пионерских работах Лакса
(М. Lax) и школы Хакена (Н. Haken). См., напр.,
Lax M. Quantum Noise. IV. Quantum Theory of Noise Sources // Phys. Rev.
1966. V. 145. P. 110-129.
Haken H. Laser Theory. Springer Verlag, Heidelberg and Berlin, 1984.
Первоначально появилась в Encyclopedia of Physics, edited by S. Fliigge,
Springer, Heidelberg, 1970
Louisell W.H. Quantum Statistical Properties of Radiation. Wiley, New York,
1973
Современные приложения есть в Гл. 9 книги
Scully M. О., Zubairy M.S. Quantum Optics. Cambridge U.P., New York,
1996

606	Гл. 18. Затухание и усиление
[Скалли М.О., Зубайри М.С. Квантовая Оптика. — М.: Физматлит, 2003]
Ford G. W., Lewis J. Т., O'Connell R.F. Quantum Langevin Equation // Phys.
Rev. A. 1988. V. 37. P. 4419-4428.
*	Лэкс M. Флуктуации и когирентные явления. — М.: Мир, 1974
*	Хакен Г. Синергетика. — М.: Мир, 1980
Декогерентность
Joos Е., Zeh H.D. The Emergence of Classical Properties Through Interaction
with the Environment // Z. Phys. B. 1983. V. 59. P. 223-243.
Zurek W.H. Decoherence and the Transition from Quantum to Classical //
Physics Today. 1991. V. 44. P. 36-44.
Giulini D., Joos E., Kiefer C, Kupsch /., Stamatescu I.-O., Zeh H.D. Deco-
Decoherence and the Appearance of a Classical World in Quantum Theory. Springer,
Heidelberg, 1996
Роль шума в процессах усиления и затухания
Glauber R.J. Amplifiers, Attenuators, and Schrodinger's Cat // New Tech-
Techniques and Ideas in Quantum Measurement Theory. Vol. 480 / Ed. by D.M. Green-
berger, New York Academy of Sciences, New York, 1986, p. 336-372
Экспериментальное наблюдение декогерентности с помощью состояния шрёдинге-
ровской кошки для резонаторного поля и движения центра инерции
Brune M., Hagley E., Dreyer /., Maitre X., Maali A, Wunderlich С, Rai-
mond J.M., Haroche S. Observing the Progressive Decoherence of the Meter in a
Quantum Measurement // Phys. Rev. Lett. 1996. V.77. P. 4887-4891.
Myatt C.J., King B.E., Turchette Q.A., Sackett С A., Kielpinski D.,
Itano W.M., Monroe C, Wineland D.J. Decoherence of quantum superpositions
through coupling to engineered reservoirs // Nature. 2000. V. 403. P. 269-273.
*Менский М.Б. Квантовые измерения и декогеренция. — М.: Физматлит,
2001
Одно-атомный мазер
Первый эксперимент по одноатомному мазеру
Meschede D., Walther Н, Muller G. One-Atom Maser // Phys. Rev. Lett.
1985. V. 54. P. 551-554.
Эксперимент по двухфотонному мазеру
Brune M., Raimond J.M., Goy P., Davidovich L., Haroche S. Realization of a
Two-Photon Maser Oscillator // Phys. Rev. Lett. 1987. V. 59. P. 1899-1902.
Теория одноатомного мазера
Filipowicz P., Javanainen /., Meystre P. Theory of a Microscopic Maser //
Phys. Rev. A. 1986. V. 34. P. 3077-3087.
Lugiato L.A., Scully M.O., Walther H. Connection between microscopic and
macroscopic maser theory // Phys. Rev. A. 1987. V. 36. P. 740-743.
Filipowicz P., Javanainen /., Meystre P. Quantum and Semiclassical States of
a Kicked Cavity Mode // J. Opt. Soc. Am. B. 1986. V. 3. P. 906-910.

Литература	607
Измерение статистики фотонов в одноатомном мазере и наблюдение бистабильности
фотонной статистики
Rempe G., Schmidt-Кaler F., Walther Н. Observation of sub-Poissonian pho-
photon statistics in a micromaser // Phys. Rev. Lett. 1990. V. 64. P. 2783-2786.
Benson O., Raithel G., Walther H. Quantum jumps of the micromaser field:
dynamic behavior close to phase transition points // Phys. Rev. Lett. 1994. V. 72.
P. 3506-3509.
Обсуждение фазовой диффузии в одноатомном мазере
Scully М. О., Walther H., Agarwal G.S., Quang Т., Schleich W.P. Micro-
Micromaser spectrum // Phys. Rev. A. 1991. V. 44. P. 5992-5996.
Quang Т., Agarwal G.S., Bergou /., Scully M.O., Walther #., Vogel K.,
Schleich W.P. Calculation of the micromaser spectrum. I. Green's-function ap-
approach and approximate analytical techniques // Phys. Rev. A. 1993. V. 48.
P. 803-812.
Vogel K., Schleich W.P., Scully M.O., Walther H. Calculation of the mi-
micromaser spectrum. II. Eigenvalue Approach // Phys. Rev. A. 1993. V. 48.
P. 813-817.
Schieve W.C., McGowan R.R. Phase distribution and linewidth in the micro-
micromaser // Phys. Rev. A. 1993. V. 48. P. 2315-2323.
Raithel G., Wagner C, Walther #., Narducci L., Scully M.O. The Micro-
Micromaser: A Proving Ground for Quantum Physics // Cavity Quantum Electrody-
Electrodynamics / Ed. by P.R. Berman, Adv. At. Mol. Opt. Phys., Supplement 2, Academic
Press, Boston, 1994
Lu N. Natural linewidth of a micromaser // Opt. Comm. 1993. V. 103.
P. 315-325.
Lu N. Micromaser spectrum: Trapped states // Phys. Rev. A. 1993. V. 47.
P. 1347-1357.
Теоретическое предсказание и наблюдение пленённых состояний
Meystre P., Rempe G., Walther H. Very-low-temperature behavior of a micro-
micromaser // Opt. Lett. 1988. V. 13. P. 1078-1080.
Weidinger M., Varcoe B.T.H., Heerlein R., Walther H. Trapping States in the
Micromaser // Phys. Rev. Lett. 1999. V. 82. P. 3795-3798.
Обзор по физике перепутывания в одноатомном мазере
Englert B.-G., Loffler M., Benson О., Varcoe В., Weidinger M., Walther H.
Entangled Atoms in Micromaser Physics // Fortschr. Phys. 1998. V. 46.
P. 897-926.
Уравнения Блоха
Оригинальная статья по ядерному магнитному резонансу
Bloch F. Nuclear Induction // Phys. Rev. 1946. V. 70. P. 460-474.
Изящное изложение уравнений Блоха
Allen L., Eberly J.H. Optical Resonance and Two-Level Atoms. Wiley, New
York, 1975, available as a reprinted version by Dover Publishing
[Аллеи Л., Эберли Дж. Оптический резонанс и двухуровневые атомы. —
М.: Мир, 1978]

608	Гл. 18. Затухание и усиление
Идея блоховской сферы
Feynman R. Р., Vernon F. L., Hellwarth R. W. Geometrical Representation of
the Schrodinger Equation for Solving Maser Problems // J. Appl. Phys. 1957.
V. 28. P. 49-52.
Спонтанное излучение и лэмбовский сдвиг
Weisskopf V., Wigner Е. Calculation of the Natural Linewidth Based on
Dirac's Theory of Light // Z. Phys. 1930. V. 63. P. 54-73.
Lamb W.E., Retherford R.C. Fine Structure of the Hydrogen Atom by a
Microwave Method // Phys. Rev. 1947. V. 72. P. 241-243.
Первый расчёт лэмбовского сдвига
Bethe Н.А. The Electromagnetic Shift of Energy Levels // Phys. Rev. 1947.
V. 72. P. 339-341.
Спонтанное излучение в сжатом вакууме
Gardiner С. W. Inhibition of Atomic Phase Decays by Squeezed Light: A Direct
Effect of Squeezing // Phys. Rev. Lett. 1986. V. 56. P. 1917-1920.
Существование подобного эффекта в модели Джейнса-Каммингса-Пауля
Ben-Aryeh Y., Miller С.Л., Risken Н., Schleich W.P. Inhibition of atomic
dipole collapses by squeezed light: a Jaynes-Cummings model treatment // Opt.
Comm. 1992. V. 90. P. 259-264.

Глава 19
АТОМНАЯ ОПТИКА В КВАНТОВАННЫХ
СВЕТОВЫХ ПОЛЯХ
До сих пор мы изучали взаимодействие атома с квантованным
световым полем, считая, что атом покоится в точке R, иначе говоря,
мы пренебрегали движением центра инерции частицы. В данной гла-
главе нас будет интересовать влияние квантованного поля на движение
атома. Поэтому теперь не только внутренние степени свободы атома
и световое поле, но и движение центра инерции будет описываться
квантовым образом. Тем самым мы включим в рассмотрение волновую
природу вещества, а именно, волновые свойства атомов, из-за которых
и возникло название атомная оптика. Для простоты будем рассматри-
рассматривать только одну моду поля излучения.
19.1. Постановка задачи
Рисунок 19.1 иллюстрирует нашу схему. Атомная волна, связанная
с движением двухуровневого атома, распространяется через резонатор
и взаимодействует с одной модой поля излучения, так что система
описывается знакомым нам резонансным гамильтонианом Джейнса-
Каммингса A4.57). В представлении взаимодействия этот гамильтони-
гамильтониан имеет вид	_2
Н = ^ + р • u(r) So (oaf + д^а) ,	A9.1)
где оператор р2/BМ) описывает кинетическую энергию движения
центра инерции, а и(?) является значением модовой функцией в точке
с координатой г атома.
Обратим внимание, что здесь, в отличие от главы 14, переменные г
и р, относящиеся к центру инерции, обозначены маленькими буква-
буквами, а динамические переменные относительного движения выражены
с помощью дипольного момента р и операторов а и а^ переворота
внутренних состояний. Использование для координат маленьких букв
согласуется с обозначением координатных осей на рис. 19.1.
19.1.1. Динамика. Так как теперь движение центра инерции яв-
является квантовым, координата г и импульс р являются сопряжёнными
операторами и подчиняются коммутационным соотношениям
20 В. П. Шляйх

610
Гл. 19. Атомная оптика в квантованных световых полях
Рис. 19.1. Схема устройства для атомной оптики. Атомная волна распростра-
распространяется через резонатор и взаимодействует (резонансным образом) с одной
стоячей модой светового поля. Здесь изображена ситуация, когда атомный
волновой пакет перекрывает много длин волн светового поля и поэтому может
рассматриваться как плоская волна, распространяющаяся в ^-направлении.
Разрез распределения вероятности показан только для одного значения z
Вектор состояния полной системы. Итак, динамика вектора со-
состояния |Ф) полной системы, включающей движение центра инерции,
внутренние состояния атома и состояния электромагнитного поля, под-
подчиняется уравнению Шрёдингера
A9.2)
*-л|.>.
Представим вектор состояния |Ф) в виде разложения
га=0
ffirf \Ф	1 (rf t\ n m — 1 \ -\- Фи (rr t\ \h m\] \rf\
A9.3)
где
(амплитуда вероятности того, что в момент време- \
ни t атом находится в точке г и внутреннем со- ]
стоянии \а), а поле — в состоянии с т — 1 фотоном/
/ амплитуда вероятности того, что в момент времени t \
Фб,т(г>0 = ( атом находится в точке г и внутреннем состоянии I .
\	\Ь), а поле — в состоянии с т фотонами	/
Обобщённые уравнения Раби. Подставляя это выражение в урав-
уравнение Шрёдингера A9.2) с гамильтонианом A9.1), получаем
т=0
a,m-
^\b,m)\ |r') =

19.1. Постановка задачи
611
2
,т |Ь, т}] ^
сю
¦Е
га=О
u(r')
[Фа,ш-1 \Ь, т)
а, га- 1)] |г').
A9.4)
Здесь использованы соотношения
а \Ь) = Э^ \а) = 0, а^ \т — 1) = \/m |m) и а \т) = \/ш |т — 1).
Чтобы получить уравнения движения для амплитуд вероятности
Фа?т_1 и Фь,т, умножим A9.4) либо на (а,п— 1,г|, либо на (b,n,r
а =
и используем соотношения ортонормированности (а\ Ь) = 0, (а
= (Ь\ Ь) = 1 для внутренних состояний и ортогональности (г | гх) = 5(г —
— г') для состояний движения центра инерции.
В результате получаем
= |
>г'Фа,п_,(г',*)(г
р-
Фь.п(г,«)
A9.5а)
Напоминая полученное в задаче 2.3 выражение
<r|p2|r'}=(?v)V-r'
A9.56)
для матричного элемента квадрата оператора импульса в координатном
представлении, можем написать
Р
2М
г =
Аналогичным образом получаем
Г з /	/
J г 6,п г ,
20*

612	Гл. 19. Атомная оптика в квантованных световых полях
Следовательно, уравнения движения A9.5) для амплитуд вероятности
Фа,п-\ и Фъ,п принимают форму
гП аф°^(г'*) = t_ Фап_х (r> t) + p. u(r) gQ^ фЬп(г> t) (i9.6a)
J->L) _ P Фьп(г, t) I p - u(r) Еу^^п Qan_\(r,t). A9.66)
dt	2M 'n '	a'n
Эти уравнения представляют собой уравнения Раби A5.19) знакомой
нам модели Джейнса-Каммингса-Пауля с учётом оператора кинетиче-
кинетической энергии
Р	^ А
ш = ~ш '
Кроме того, теперь модовая функция зависит от координаты г атома,
то есть от переменной, сопряжённой импульсу.
19.1.2. Эволюция во времени амплитуд вероятности. В преды-
предыдущем разделе была сформулирована система двух связанных урав-
уравнений для амплитуд вероятности Фа,п-1 и Фь,п- В данном разделе
вводятся «одетые состояния», которые представляют собой линейные
комбинации этих амплитуд и приводят к расцеплению уравнений. То-
Тогда амплитуды вероятности ведут себя подобно частице в определённом
потенциале, который задаётся электромагнитным полем. Мы получим
эти потенциалы и соответствующие начальные условия.
Эффективные потенциалы для одетых состояний. Обобщённые
уравнения Раби можно расцепить, переходя к линейным комбинациям
Фь,п±Фо,п_ь	A9.7)
которые подчиняются уравнениям
с потенциалами
[Л мг) = ±р • u(r) ?o\/n.	A9 9)
Таким образом, амплитуды вероятности Фп удовлетворяют уравнению
Шрёдингера для частицы с массой М, движущейся в потенциале
Un • Эти потенциалы имеет вид скалярного произведения дипольного
момента р и модовой функции u(r). Кроме того, они пропорциональны
напряжённости вакуумного поля во и квадратному корню из числа
фотонов.
Специальный пример модовой функции. Для иллюстрации потен-
потенциалов Un используем моды резонатора в форме ящика, которые
обсуждались в гл. 10. Мода
u(r) = eysm(kxx) sin^/Z^),	A9.10)

19.1. Постановка задачи
613
получающаяся из выражения A0.34) при lz = 1, приводит к потенциа-
потенциалам
^	sin(kxx) sinGrz/Lz),	A9.11)
где р = р • е:
¦у
Рис. 19.2. Модовая функция резонатора(слева) и потенциал одетого состояния
(справа). Модовая функция u(r) A9.10) совершает много осцилляции вдоль
оси х, а на оси z имеет только один максимум. Потенциал одетого состоя-
состояния A9.11) отражает поведение модовой функции и имеет амплитуду, которая
определяется квадратным корнем из числа фотонов п. Зависимость потенциала
от х для различных значений п показана на разрезе при z = Lz/2, т. е. в центре
резонатора
На рис. 19.2 показан потенциал Un для п = 1. Для пояснения
роли числа фотонов, которое входит в виде квадратного корня из п, на
том же рисунке показана зависимость потенциала от х для различных
значений п на разрезе при z = Lz/2. Так как положение узлов по-
потенциала не зависят от числа фотонов, а амплитуда пространственной
модуляции пропорциональна л/п, с увеличением п потенциалы Un
становятся круче. Потенциал Un отличается от Un только знаком.
Итак, амплитуды вероятности Фп эволюционируют в потенциалах
Un ' в соответствии с уравнением Шрёдингера. Но каковы начальные
условия?
Начальные условия. Чтобы ответить на этот вопрос, рассмотрим
начальное условие для |Ф). Вектор состояния |Ф) в момент времени t =
= 0, т. е. до взаимодействия, является прямым произведением атомного
состояния
|^атом) = \Ь) ,
в качестве которого мы возьмём основное состояние, полевого состо-
состояния
|^поле) =
п=0
имеющего вид суперпозиции фоковских состояний с амплитудами ве-
вероятности wn, и состояния движения центра инерции

614	Гл. 19. Атомная оптика в квантованных световых полях
нормированного условием
Тогда |Ф(? = 0)} имеет вид
0)> = |^атом) ® \фтле) <g> \фст) =
гг=О
оо
I / ^ / j п /	V / I /
п=0
Сопоставляя это начальное состояние с выражением A9.3), находим
Фо,п_,(г',0)=0.
С учётом A9.7) это приводит к следующим начальным условиям
0) = Г(т)ъип.	A9.12)
Таким образом, динамика вектора состояния |Ф) объединённой систе-
системы, имеющей три типа степеней свободы, а именно, внутреннее состоя-
состояние атома, состояние полевой моды и состояние движения центра инер-
,	„ ,(±)
ции, определяется поведением волновых функции Фп , описывающих
движение в потенциалах Un и удовлетворяющих начальным услови-
условиям A9.12). Поскольку в общем случае потенциал является трёхмерным
и может быть очень сложным, решение уравнения Шрёдингера A9.8)
для Ф^ становится нетривиальной задачей.
19.2. Сведение к одномерному рассеянию
Рассмотрим ситуацию, когда атомный пучок первоначально распро-
распространяется ортогонально волновому вектору поля в резонаторе. Далее
в этом разделе направление волнового вектора выбрано в качестве
оси х. Поскольку оно ортогонально атомному пучку, мы иногда назы-
называем его поперечным направлением.
Движение вдоль оси z, т. е. продольное движение, считается клас-
классическим, так как мы предполагаем, что начальная кинетическая энер-
энергия р1/BМ) движения в направлении z велика и мало меняется из-
за изменения продольного импулься при взаимодействии со световым
полем.

19.2. Сведение к одномерному рассеянию
615
19.2.1. Приближение медленного изменения. Эти соображения
побуждают представить волновые функции
Ф^±}(г, t) = exp[-i(Et/H - kzz)} Ф^(х, у, z)	A9.13)
в виде плоской волны с медленно меняющимися амплитудами
Фп (x,y,z). Распространяющаяся вдоль оси z волна имеет импульс
pz = Mvz = hkz
и кинетическую энергию
Е=у-^-.	A9.14)
Подставляя это выражение в уравнения движения A9.8) для одетых
состояний, получаем
L
п
х е:
Тот факт, что Фп ' является медленно меняющейся функцией z, т. е.
д2Ф{^)
dz2
<^ Kz
dz
позволяет нам пренебречь третьим слагаемым в скобках по сравнению
со вторым. Учитывая выражение A9.14) для энергии Е, получаем
2М
или
Здесь введена временная переменная
zM z
t =
hkz
которая «измеряется» расстоянием z, пройденным волной со скоро-
скоростью vz.
Таким образом, классическое описание движения в ^-направлении
сводит трёхмерную задачу к двумерной.

616	Гл. 19. Атомная оптика в квантованных световых полях
19.2.2. От двух измерений к одному. Чтобы ещё больше упро-
упростить задачу, возьмём модовую функцию вида A0.35), которая создаёт
потенциалы
п sm(kxx) smGrz/Lz).
лы Un не зависят от ко
движение в ^-направлении можно отделить с помощью замены
Поскольку в этом случае потенциалы Un не зависят от координаты у,
A9.15)
где	2
^U &	A9Л6)
sm(Trvzt/Lz)Sm(kxx
A9.17)
Таким образом, мы свели задачу трёхмерного рассеяния к решению
одномерного нестационарного уравнения Шрёдингера. Подчеркнём, од-
однако, что это нетривиальная задача, так как в результате движения
атома через резонатор потенциал явно зависит от времени, поскольку
включение и выключение взаимодействия определяется модовой функ-
функцией sm(iYvzt/Lz).
Кроме того, потенциал является периодической функцией коорди-
координаты х, что может приводить к весьма сложным решениям. Даже
в отсутствие зависимости от времени уравнение Шрёдингера
для волновой функции ф частицы с массой М, которая движется
в периодическом потенциале, не может быть решено аналитически.
Такое уравнение возникает во многих физических явлениях физики
твёрдого тела и приводит к блоховским состояниям и запрещённым
зонам. Подобные эффекты появляются также и в задачах атомной
оптики.
19.2.3. Вектор состояния. В заключение этого раздела, объеди-
объединив все результаты, выпишем вектор состояния |Ф(?)) A9.3) полной
системы. Для этого с помощью A9.7) выразим функции Фа,т-\ и Фь,т
через Фп ' и в результате, учитывая формулы A9.13) и A9.15), прихо-
приходим к следующим выражениям
= ехр [-г (f - kzz\] e(y,t) \

19.2. Сведение к одномерному рассеянию	617
= ехр [_г(И_
куда входит плоская волна в ^-направлении, а также волновые функ-
функции Q(y,t) и ф1±}(ж,?).
Подставляя эти формулы в выражение A9.3) для вектора состояния
|Ф), получаем
где
™ " -,[1
A9.18)
обозначает вектор состояния полной системы, учитывающий движение
по х.
Теперь нам осталось получить решения уравнений Шрёдинге-
ра A9.16) и A9.17), удовлетворяющие начальному условию A9.12),
которое, согласно A9.13) и A9.15), имеет вид
<4±}(r, 0) = eikzZ 5>i±}(r, 0) = eikzZ в(у, 0) ^(х, 0) = F(v)wn.
Если факторизовать исходную амплитуду вероятности
f(r)=f(x)g(y)h(z)
для движения центра инерции, то начальные условия переписываются
в виде
() ik
A9.19)
Используя пропагатор для свободной частицы, полученный в зада-
задаче 2.4, находим следующее выражение
и (у-у'J
L2h t
для волновой функции.
Мы должны ещё решить уравнение A9.17) для Фп с начальным
условием A9.19). Это тема следующих разделов.

618	Гл. 19. Атомная оптика в квантованных световых полях
19.3. Приближение Рамана-Ната
В данном обсуждении мы ограничимся приближённым аналити-
аналитическим решением уравнения A9.17). Рассмотрим предельный случай,
когда не происходит заметного смещения атома в ^-направлении при
его прохождении через стоячую волну. Передача импульса, тем не ме-
менее, происходит. Это приближение называется приближением Рамана-
Ната.
19.3.1. Эвристические аргументы. Попробуем разобраться в су-
сути такого приближения, напомнив, что атомный пучок входит в ре-
резонатор, будучи ортогональным волновому вектору электромагнитного
поля. Приведём для этого случая классическую оценку кинетической
энергии, приобретаемой атомом в результате взаимодействия со свето-
световым полем.
Оценка передаваемого импульса. Действующую на частицу клас-
классическую силу
/ изменение импульса \ Ар
сила = 	$	 = —-
у время взаимодействия/ т
можно оценить как
,„	/изменение потенциальной энергии \	п /— ,
сила = Употенциал ~ 	^— ~ pc^Jn kx.
\ приведенная длина волны X I
Следовательно, классический импульс Ар, который световое поле пе-
передаёт атому, имеет вид
Ар ~ р?Ол/п kxr.
Малые смещения. В уравнении A9.17) можно пренебречь кинети-
кинетищ
й рх
которой справедлива оценка рвол/п, т.е.
ческой энергией рх/BМ) по сравнению с потенциальной энергией, для
2М 2М	2М
при условии, что
<<c {	(ig 20)
A1VI
Если сравнить расстояние Ах, которое проходит атом, с длиной волны
света, т. е.
/
расстояние, проходимое атомом
благодаря приобретённому импульсу Ар\ Ах г Ар ,
приведённая длина волны X	I X М	М
то условие A9.20) малости поперечной кинетической энергии прини-
принимает вид
Ах <С X.

19.3. Приближение Рамана-Наша	619
Таким образом, в приближении Рамана-Ната атом может смещаться
только на расстояния, малые по сравнению с длиной волны света.
Действие для малой отдачи. Условие A9.20) можно также пред-
представить и в несколько иной форме, если вспомнить, что р?оТл/п/Н
определяет число рабиевских циклов, совершаемых атомом за время
взаимодействия г с полем, содержащим п фотонов.
Тогда имеем
2М
число	\ /действие для энергии отдачи\ .
рабиевских циклов) V	h	)
Поскольку сюда входят масса атома и время взаимодействия, условию
A9.20) всегда можно удовлетворить, переходя к более тяжёлым атомам
или к коротким временам взаимодействия.
19.3.2. Амплитуды вероятности. Мы показали, что в уравнении
Шрёдингера можно пренебречь поперечной кинетической энергией,
если смещение атома, обусловленное взаимодействием с электромаг-
электромагнитным полем, меньше длины волны этого поля. В этом приближении
уравнение Шрёдингера упрощается к виду
/п sin (irvzt/L)
и после интегрирования даёт
[t	1
Ti ^ J dt' sin (<irvzt'/L)y/n sin (kxx) .
о	J
Так как нас интересует волновая функция на выходе из резонатора,
можно положить vzr = L. Используя соотношение
L/v
dt sin (nvzt L) =	cos (nvzt L)
7TVZ
0
2L _ 2
7TVZ	7Г
и начальное условие Фп (ж, 0) = f(x)wn A9.19), получаем
Ф^Ое, t) = wn f(x) ехр [тгхл/п sin (kxx)] .
Здесь введён безразмерный параметр взаимодействия

n=0
620	Гл. 19. Атомная оптика в квантованных световых полях
Теперь легко написать вектор состояния |Ф) A9.18) в явном виде
оо
ип dxf f(x')< cos [ху/п sin (kxxf)\ \b, n) —
-isin^Vn sm(kxx')} \a,n- 1)| \x'). A9.21)
Следует отметить, что координатная зависимость взаимодействия ато-
атома с квантованным световым полем приводит к сильному перепуты-
ванию поперечного движения, полевых состояний и энергетических
уровней атома.
19.4. Отклонение атомов
В данном разделе рассматривается отклонение атома, т. е. процесс
передачи импульса от поля к атому. Мы исследуем, в частности, рас-
рассеяние в приближении Рамана-Ната. В этом режиме взаимодействие
с полем не приводит к заметному смещению атома, но всё же меняет
его импульс.
19.4.1. Схемы измерений и условия рассеяния. Чтобы вычис-
вычислить передаваемый импульс, запишем вектор состояния |Ф), найден-
найденный в предыдущем разделе, в импульсном представлении. Для этого
используем полный набор собственных состояний \р') импульса и по-
получим
сю
1ф№) = ^2^п \dpr [сп(р')\Ъ,п) -isn(pr) \а,п- 1)] \рг), A9.22)
п=0
где
sn(p) = —= [da;/(ж) sin [яуп sin(kxx)] e~ipx/h.	A9.236)
v 2тг/г j
Этот вектор состояния |Ф) объединённой системы позволяет ответить
на вопросы, касающиеся импульсного распределения рассеянных ато-
атомов, особенно в ситуации, когда нас интересует результат совместного
измерения для поперечного движения и квантованного поля резона-
резонатора.
Совместные измерения. При такой постановке задачи атом пе-
пересекает резонаторное поле, приготовленное в заданном состоянии
iV'mwie)» взаимодействует с ним и, в результате, отклоняется. После
того как атом покидает резонатор, мы регистрируем состояние поля
и измеряем импульс атома. Затем мы снова приготавливаем состояние
полной атомно-полевой системы и повторяем эксперимент. Квантовая

19.4. Отклонение атомов
621
механика может предсказать распределение вероятности результатов
совместных измерений импульса и поля.
Совместные измерения для перепутанных систем обсуждались
в разделе 16.1. Мы, в частности, интересовались совместными изме-
измерениями для внутренних состояний атома и состояний резонаторного
поля. Говоря об атомной оптике, надо включить в рассмотрение и дви-
движение центра инерции. Учёт этой степени свободы осуществляется
прямым обобщением методов, разработанных в разделе 16.1. Надо
вычислить вероятность
w(p,|Vw» =
j=a,b
обнаружить значение импульса р при условии, что поле находится в
реперном состоянии
сю
'гполе / =
п=0
Здесь речь идёт о ситуации, когда внутренние состояния \j) = \а), \Ь)
атома не регистрируются, и поэтому по ним вычисляется след.
Подставляя в выражение для W реперное состояние в фоковском
представлении, получаем
w(p, |Vw» =
j=a,b n=0
A9.24)
В полной аналогии с выражением для совместного атомно-полевого
измерения, в данном случае совместного измерения атомного движения
и поля сначала происходит суммирование всех амплитуд вероятности,
а затем берётся квадрат модуля получившегося выражения. Следова-
Следовательно, это распределение вероятности определяется суммой когерент-
когерентных слагаемых, то есть зависит от интерференции многих амплитуд
вероятности.
Если использовать точное выражение A9.22), то распределение
вероятности принимает вид
или
W(p, |
W(p, |
n=0
п=0
п=0
сю
п=0
A9.25)
Здесь мы поменяли индекс суммирования и воспользовались тем, что
sq(p) = 0, как следует из формулы A9.236).

622	Гл. 19. Атомная оптика в квантованных световых полях
Таким образом, внутренние состояния дают некогерентные вклады.
Напротив, полевые состояния, представленные амплитудами вероятно-
вероятности фп и wn, входят когерентным образом.
Усреднённые измерения. Рассмотрим теперь совершенно другой
эксперимент. Атом пересекает резонатор, а мы измеряем только им-
импульс атома. Изменение поля из-за взаимодействия с атомом нас не
интересует. В этом случае надо вычислить след по состояниям резо-
наторного поля. Если использовать для вычисления следа состояния
с заданным числом фотонов, то результирующая вероятность имеет вид
j=a,bn=0
Здесь, в отличие от A9.24), сначала берётся квадрат модуля, а потом
происходит суммирование. Поэтому результирующее распределение ве-
вероятности является суммой некогерентных слагаемых, а именно, сум-
суммой вероятностей.
Подставляя точное представление A9.22) вектора состояния в напи-
написанное выше выражение для усреднённого импульсного распределения,
получаем
оо	оо
w(P) = y: \wn\2K(p)\2 + Е K+i|2K+iG5)|2.
n=0	n=0
Если сдвинуть индекс суммирования во второй сумме и учесть, что
5о(р) — О, то °ба члена можно объединить и получить
сю
W(p) = J2 W2 Ыр)? + Ыр)\2} •	A9.26)
п=0
Здесь суммируются только вероятности.
Режимы рассеяния. Одним из начальных условий процесса рас-
рассеяния является амплитуда вероятности f(x) поперечной координаты
атома. Согласно A9.23), амплитуды вероятности сп и sn обнаружить
импульс р являются преобразованиями Фурье произведения начальной
пространственной амплитуды f(x) и тригонометрических функций от
модовой функции sin (kx) электромагнитного поля. Поэтому следу-
следует различать два характерных случая для этих интегралов Фурье:
1) начальное пространственное распределение \f(x)\2 атомов является
широким по сравнению с периодом стоячей волны, либо 2) простран-
пространственное распределение узкое.
В первом случае, который обычно называют режимом Капицы-
Дирака, можно считать, что распределение атомов, а с ним и /,
являются, по-существу, постоянными. Тогда получающиеся интегралы
для сп и sn, как показано в приложении П, являются функциями Бес-
Бесселя. Кроме того, периодичность стоячей волны приводит к дискретным
значениям передаваемого импульса.

19.4. Отклонение атомов	623
Противоположный случай, когда начальное распределение по ко-
координате узкое по сравнению с периодом электромагнитной волны,
называют режимом Штерна-Герлаха. Поскольку распределение узкое,
можно линеаризовать модовую функцию поля вблизи максимума функ-
функции f(x). Поэтому атом чувствует только градиент модовой функции.
Импульсы опять дискретны, то есть отклонение атомов происходит на
дискретные углы. Однако теперь эта дискретность связана с дискрет-
дискретной природой электромагнитного поля.
В данной главе мы сосредоточимся на режиме Капицы-Дирака,
а в следующей главе проанализируем режим Штерна-Герлаха.
19.4.2. Режим Капицы-Дирака. Рассмотрим случай, когда на-
начальное пространственное распределение атомов с шириной L покры-
покрывает N периодов Л стоячей волны. Для простоты считаем это распре-
распределение постоянным, т. е.
\f(x)\2 - - - —
L NX
В этом случае функции сп и sn вычисляются точно. Кроме того, можно
вычислить и окончательные импульсные распределения.
Амплитуды вероятности для импульсов. Начнём с величины сп,
которая теперь имеет вид
L
1 г
сп(р) = -т=- dx cos \яу/п sin (kx)] exp (—ipx/h).
Вводя новую переменную интегрирования # = kx, находим
2тгЛГ
Сп{р) = ж w h \Mcos ^sin^exp H4
о
где использовано соотношение kL = 2irN. Теперь разделим область
интегрирования на N периодов, т. е.
(
и сдвинем пределы интегрирования с помощью новой переменной $ =
= д — 2тпу. Это даёт
1	1 N— 1 л г
Сп{р) = 7Ш7Ш^^Г cos[xV"sin^ехрНИ(^ \

624	Гл. 19. Атомная оптика в квантованных световых полях
Отметим, что суммирование по v не зависит от переменной ин-
интегрирования #, и мы можем вынести экспоненциальную функцию
ехр [—2mp/(hk)u] из-под знака интеграла. В результате получаем
2тг
/ ч	1 с-П/2) Г Р 1 1 Г Го	Г /— • ~сЛ	\ • Р
сп{Р) — —?== oN — — Ш7 cos \н\/п sinVI ехр — г —
vhk	ifiK] ztt j	i пк
о
где введена функция
Квантование импульса. Заметим, что функция 5д/ ' {?) является
периодической и имеет максимумы при целых значениях величины ?.
Действительно, в этих точках все фазы являются целыми кратными
2тг, и каждый член суммы равен единице, так что функция 5N
оказывается равной л/N . Таким образом, при N —> оо максимальное
значение функции 5^' стремится к оо. Для нецелых значений ?
отдельные члены суммы компенсируют друг друга.
По такому поведению можно предположиь, что функция 5^ дей-
действует как «гребёнка» из 5-функций при целых значениях ?. В при-
приложении Р, однако, показано, что только квадрат % действует как
«гребёнка» из ^-функций. Так как аргументом 5^ ' является величина
p/(hk), то импульс атома может принимать значения, целые кратные
импульса Нк.
Таким образом, мы обнаружили квантование импульса атома в виде
целых кратных значений импульса фотона. Такая связь с импуль-
импульсом светового поля, однако, слегка вводит в заблуждение. Данное
квантование проистекает не из квантовой природы поля излучения.
Оно обусловлено периодичностью потенциала, точнее, периодичностью
модовой функции электромагнитного поля.
Так как нас интересует распределение по импульсам, т. е. вероят-
вероятность, функция 5д/ ^ входит только в виде квадрата. Это гарантирует,
что величина p/hk принимает целые значения. Поэтому, как пока-
показано в приложении П, оставшийся интеграл даёт функцию Бесселя
). В результате получаем
сп(р) = -±=5{У2)Щ \ [1 + (-l)P/C*)] Jp/(hk){x^i) A9.27а)
и, аналогично,
sn(p) = -±=5^Щ 1 [1 - (_1)р/С*)] Jp/{hk)(x^i). A9.276)
Мы видим, что амплитуда вероятности сп(р) отлична от нуля толь-
только для чётных кратных Ш. Амплитуда sn(p), напротив, имеет нену-

19.4. Отклонение атомов	625
левые значения для нечётных кратных Нк. Напомним, что амплитуды
сп(р) и sn(p) связаны с атомом, который входит в резонатор, бу-
будучи в основном состоянии, а покидает его, находясь, соответственно,
в основном или в возбуждённом состоянии. Поэтому, чтобы покинуть
в основном состоянии, атом должен испытать чётное число рабиевских
циклов и, тем самым, обменяться чётным числом фотонных импульсов.
Точно так же, атому, уходящему в возбуждённом состоянии, нужно
нечётное число актов обмена импульсом, чтобы совершить переход из
начального основного состояния. В этом состоит ещё одно проявление
перепутывания полевых переменных с импульсом атома.
Распределение по импульсам. Получим теперь точные выраже-
выражения для распределений по импульсам, которые были сформулированы
в предыдущем разделе. Начнём с усреднённого импульсного распреде-
распределения A9.26). Вклады от атомов, покидающих резонатор в основном
или в возбуждённом состояниях, которым соответствуют вероятности
|сп(р)|2 и |sn(p)|2, можно объединить, если учесть, что, согласно фор-
формулам A9.27) для сп и sn, первая сумма содержит только чётные
кратные Нк, а второй вклад содержит только нечётные кратные. Что
же касается вероятности, то в обоих случаях она задаётся функцией
Бесселя. Таким образом, получается выражение
1	СЮ	СЮ
р=-оо	га=0
= 4 Е s(p-Phk)wp,
р=-оо
где мы ввели распределение по безразмерным дискретным импульсам
сю
Wp [|t/w>] = Y, W™ tlVw}] J2p(xV^)	A9.28)
ra=0
в случае резонаторного поля в состоянии \фтле) со статистикой фо-
фотонов, заданной коэффициентами Wm = |г^ш|2. Кроме того, квадрат
функции 5д/ ' заменён «гребёнкой» 5-функций при целых кратных Нк.
Отметим, что в это усреднённое импульсное распределение Wp вхо-
входят не амплитуды вероятности wm, а только функция распределения
фотонов резонаторного поля, то есть статистика фотонов. На рис. 19.3,
19.4 и 19.5 показаны усреднённые импульсные распределения, которые
получены для фоковского, когерентного и сильно сжатого состояний
поля в резонаторе. Чтобы облегчить сравнение и, тем самым, отчётливо
прояснить влияние статистики фотонов на импульсное распределение,
во всех трёх случаях среднее число фотонов одно и то же и равно
т = 9. Кроме того, рядом показаны функции распределения для фото-
фотонов в единицах (р/хJ.
Отметим, прежде всего, что все три импульсных распределения
различны. В случае фоковского состояния видны осцилляции и до-

626
Гл. 19. Атомная оптика в квантованных световых полях
Рис. 19.3. Импульсное распределение атомов, рассеянных одной модой резона-
торного поля, находящегося в фоковском состоянии \т) с т = 9, для пара-
параметра взаимодействия ж = 10. Распределение имеет доминантный пик в точке
р = p/(hk) = жл/rn и быстро затухает в области импульсов, превышающих
это критическое значение. Для меньших импульсов функция распределения
имеет осциллирующее поведение. Эти осцилляции связаны с квантовой интер-
интерференцией состояний поступательного движения. Огибающая получается из
классического сечения рассеяния
15-
0
25
Р 50
Рис. 19.4. Влияние распределения фотонов резонаторного поля на импульсное
распределение рассеянных атомов. Поле находится в когерентном состоянии
а) со средним числом фотонов т = а =9. Пуассоновское распределение
для фотонов (пунктирная линия) приводит к плавному импульсному распреде-
распределению. Максимум Wm определяет максимальное значение Wp. Правый край
распределения \?ш задаёт и правый край функции Wp
минирующий максимум при р = к^/Ш. Эти осцилляции очень напо-
напоминают осцилляции Франка-Кондона, которые обсуждались в гл. 7.
И действительно, в разделе 19.5 мы покажем, что в обоих случаях при-
причиной осцилляции является интерференция в фазовом пространстве.
Для когерентного и сжатого состояний осцилляции в области малых
импульсов из-за усреднения исчезают, но основной максимум в точке
р = Хл/Ш остаётся. Мы видим также, что осциллирующая статистика
фотонов в случае сжатого состояния приводит к затуханию правого
склона максимума.
Эти явления становятся яснее, если использовать асимптотическое
разложение
JJz) ^
0
для
> 2,
Ap{z) cosфр{г) для \р\ < z
A9.29)

19.4. Отклонение атомов
627
Щ
. (маска)
Рис. 19.5. Статистика фотонов сжатого сдвинутого состояния и её считы-
считывание с помощью импульсного распределения отклонённых атомов. Распре-
Распределение фотонов (нижняя кривая) измеряется в единицах (р/ к) . Кривая
И^[|<?> = 0), l^sq)] соответствует совместному измерению импульса атома и фа-
фазы поля, а распределение WpU^sq)] игнорирует фазу поля. Верхняя кривая
-j^Onask) показывает импульсное распределение атомов, выделенных экраном
со щелями шириной d = Л/10, которые расположены напротив узлов стоячей
волны. Процедура совместного измерения даёт адекватное считывание, в то
время как результаты, игнорирующие фазу поля, приводят к менее эффек-
эффективному воспроизведению статистики, а также к дополнительным быстрым
осцилляциям. Здесь выбраны параметр сжатия s = 50 и параметр смещения
а= 10
функций Бесселя, приведённые в приложении П. Здесь для удобства
введены обозначения для амплитуды
и фазы
р arccos ( —
7Г
4'
Аналитическое продолжение этого выражения в область \р\ > z приво-
приводит к экспоненциальному убыванию. Поэтому эта область вносит ма-
малый вклад в импульсное распределение, и можно считать, что Jp(z) = 0
при р > z.
Выражение A9.29) является нашим главным инструментом, что-
чтобы разобраться в поведении импульсного распределения Wp, задан-
заданного суммой A9.28) функций Бесселя, и выделить два компонента

628	Гл. 19. Атомная оптика в квантованных световых полях
этого распределения. Подставляя A9.29) в выражение A9.28) для
распределения по импульсам и используя тригонометрическое равен-
равенство cos2 a = (I + cosBa))/2, мы, действительно, получаем следующее
представление
ТЛ7 с± ттИплавн) _|_ ттИбыстр)
VVP — vvp	"Т" vy p
плавная часть которого
сю
тЫплавн) — J	W
Р
7Г>2Г *-^
т=т'
обусловлена медленно меняющимся множителем Ар(>с^/т) в асимпто-
асимптотическом разложении функции Бесселя, а быстрая часть
оо
связана с косинусом в этом разложении.
Здесь также использовано приближение Jp(z) = 0 при р > z. По-
Поэтому начальное значение индекса суммирования вместо нуля равно
т! = [(р/хJ] . Символом [z] обозначено наибольшее целое число,
меньшее или равное z.
Заменив в медленной части суммирование интегрированием, мы
видим, что распределение по импульсам
сю
^ J_ Г
т'
/
д /7
V
является результатом усреднения статистики фотонов с весовой функ-
функцией
Г	0	для т < (р/хJ,
т 1 (ък^/т - (р/яJ j для т>(р/яJ,
которая определяется амплитудой функции Бесселя. Эта весовая функ-
функция даёт основной вклад в точке т = (р/кJ, но из-за корневой зависи-
зависимости она имеет широкое крыло. Таким образом, импульсное распре-
распределение несёт информацию о статистике фотонов резонаторного поля.
Это, однако, не очень совершенное считывающее устройство, так как
статистика фотонов усредняется по широкому крылу распределения.
Размываются, прежде всего, особенности, отвечающие малым числам
фотонов.
В заключение этого раздела укажем, что с помощью новой пе-
переменной интегрирования у = л^т — (р/яJ плавную часть можно

19.4. Отклонение атомов	629
представить в компактной форме
ттл(плавн) _
vv	—
сю
ь	7Г>2Г
О
Для более детального обсуждения плавной части отсылаем к зада-
задаче 19.1.
Совместные измерения. Теперь обратимся к случаю совместного
измерения импульса атома и поля. Подставляя точные формулы A9.27)
для sn и сп в выражение импульсного распределения A9.25) для
совместного, получаем
A9.30)
где введено безразмерное распределение дискретных импульсов
ю	2
/, / lib	" " LI / nvytfiv-/ J	5^ \	V	/	V	*	/
ra=0
Из этого выражения, с большей ясностью, чем^из сравнения усред-
усреднённых импульсных распределений Wp и W(p, \фтле), видна вся мощь
эффекта перепутывания. В усреднённых распределениях суммируются
квадраты функций Бесселя. В совместном распределении сначала сум-
суммируются функции Бесселя, а потом берётся квадрат модуля резуль-
результата. Поскольку функции Бесселя осциллируют, при их суммирова-
суммировании может происходить компенсация положительных и отрицательных
вкладов. В усреднённых распределениях такого сокращения не просхо-
дит, так как туда входят только квадраты функций Бесселя.
Из асимптотического разложения A9.29) функции Бесселя следует,
что доминирующий максимум находится там, где индекс равен аргу-
аргументу. Если предположить, что произведение ipmwm слабо меняется
на характерном масштабе осцилляции функции Бесселя, то основной
вклад в сумму даёт слагаемое с р = ку/т, т.е. т = (р/хJ. Это
приводит к следующему приближённому выражению
где J\f обозначает некоторую нормировочную константу.
Это выражение показывает, что в данном случае совместное им-
импульсное распределение точно следует статистике фотонов поля резо-
резонатора. В этом существенное отличие от случая усреднённого импульс-
импульсного распределения, когда надо было усреднить распределение фотонов
с весовой функцией Ар.

630	Гл. 19. Атомная оптика в квантованных световых полях
Проиллюстрируем это на примере, когда начальным состоянием
резонаторного поля является сильно сжатое состояние, а фазовое со-
состояние	_	^
vw> = \ч>=о) = -±= y: \n)
V 2тг п=0
используется как реперное._Это реперное состояние удовлетворяет
условию, что произведение ф^Шт меняется медленно, так как ф^ =
= const. В этом случае мы, действительно, получаем, что импульсное
распределение в точности следует осцилляциям распределения фото-
фотонов, т.е. статистике поля.
В этом смысле интересно понять, почему же есть такая близкая
связь между двумя распределениями. Отметим, что это не выполня-
выполняется, если реперным состоянием является одно состояние с опреде-
определённым числом фотонов, или же, если такое состояние используется
в качестве начального. В такой ситуации суммирование по фоковским
состояниям \т) сводится к одному члену, так что не происходит ника-
никаких сокращений из-за осциллирующего поведения функций Бесселя.
Совершенно очевидно, что нам нужны начальное и реперное состоя-
состояния с достаточно широкими распределениями для числа фотонов. Это
условие выполняется для сжатого и фазового состояний поля.
Есть простое объяснение такой возможности точного считывания
статистики фотонов с помощью статистики импульсов. Так как мы
производим совместное измерение, то из нашего ансамбля отбираются
вполне определённые атомы. Выбранное нами сжатое состояние имеет
фазовое распределение, локализованное около 0. Точно так же, фазовое
состояние соответствует фазе ср = 0. Поэтому совместное измерение
отбирает атомы, которые не меняют фазу поля. Это как раз те атомы,
которые пересекают резонатор в узлах стоячей волны, где электри-
электрическое поле отсутствует. Но в узлах градиент поля не равен ну-
нулю. Следовательно, атомы приобретают импульс. Величина градиента
и, следовательно, передаваемый импульс зависят от числа фотонов.
Поскольку числа фотонов дискретны, то дискретен и передаваемый
импульс. Более того, вероятность отклонения на данный угол опре-
определяется вероятностью обнаружить соответствующий градиент элек-
электрического поля, то есть, вероятностью обнаружить соответствующее
число фотонов. Следовательно, есть взаимно однозначное соответствие
между распределениями по импульсам и по числу фотонов.
19.4.3. Эффект Капицы-Дирака с маской. В предыдущем раз-
разделе мы установили, что импульсное распределение позволяет опреде-
определить статистику фотонов электромагнитного поля в резонаторе. Было
показано, в частности, что совместное измерение, которое отбирает
только атомы, проходящие через узлы резонаторного поля, обеспечи-
обеспечивает эффективное считывание статистики. Тогда возникает идея заме-
заменить процедуру совместного измерения простой маской с узкими щеля-
щелями вблизи узлов поля. Эти щели должны быть расположены периодиче-

19.4. Отклонение атомов	631
ски, т. е. отстоять друг от друга на половину периода А стоячей волны,
и быть уже, чем А/2. Создать механическим образом такие щели для
оптического диапазона очень трудно. Однако с помощью подходящего
выбора атомного перехода вместе с дополнительным световым полем
можно создать атомные волновые пакеты с пространственным мас-
масштабом порядка оптической длины волны. За дальнейшими деталями
таких экспериментов мы отсылаем к литературе.
Форма волнового пакета. Рассмотрим атомную волну де Бройля
(de Broglie)
fix) = -L у g(x-v\/2),
которая представляет собой когерентную суперпозицию N гауссовских
волновых пакетов
локализованных около узлов поля и имеющих ширину d <C А/2. Столь
узкие гауссовские функции не перекрываются друг с другом, и поэтому
нормировка
Т
приводит к коэффициенту \/\/~N в определении f(x).
Гауссовскому волновому пакету д(х) в координатном представлении
соответствует гауссовский же волновой пакет
с шириной Ар = h/d в импульсном пространстве.
Амплитуды вероятности для атомов в основном состоянии.
Подставим выражение f(x) для волны де Бройля в определения A9.23)
амплитуд сп(р) и sn(p) и выполним интегрирование. Начнём с ампли-
амплитуды Сп(р) и, переходя к переменной интегрирования х = х — и\/2,
получим следующее выражение
/тг y/2d
dx ехр — - ( — j cos \к\[п sin (kx) (— 1 Y\ exP ~i

632
Гл. 19. Атомная оптика в квантованных световых полях
или
с (r))-S{l/2) \ Р 1
dye y cos \>сл/п sin (v2 dky) exp — i-^— v2y .
Используем тот факт, что ширина щели гораздо меньше периода поля,
т.е. dk = 2nd/\ <C 1. Это позволяет линеаризовать синус и, вычислив
оставшиеся гауссовские интегралы с помощью сотношения
—2/ e^ay _
/тге
-(а/2J
ехр
Ар
сп(р) = ^/2) [2^] i
Вспомнив выражение для импульсного представления д(р) волнового
пакета, находим
д(р +
Прежде всего, отметим, что период решётки Л/2, вместо Л, как бы-
было в первом примере, приводит к дискретным значениям импульсов,
которые являются целыми кратными 2Нк, а не Нк. Кроме того, на-
начальное импульсное распределение ^ смещается на величину импульса
±хл/пНк. Следовательно, каждое фоковское состояние поля резонато-
резонатора передаёт импульс ±я^/пКк. Если ширина начального импульсного
распределения Ар меньше, чем разность сдвигов импульсов
Нк,
5р =
вызванных соседними фоковскими состояниями, дискретность этих со-
состояний проявляется в дискретных пиках импульсного распределения
отклонённых атомов.
Амплитуды вероятности для атомов в возбуждённом состо-
состоянии. Перейдём теперь к вычислению sn(p). Оно совершенно анало-
аналогично расчёту амплитуды сп(р). Есть, однако, небольшое, но важное

19.5. Интерференция в фазовом пространстве	633
отличие. Оно и является поводом для данного обсуждения. Подставляя
де-бройлевскую волну f(x) в определение sn(p), получаем
N-1
" '^-	> ехр -гтг?-
сю
1	1	Г 7_	1 /Ж\2] .Г	I— .	/,_\/	^Ч/Л	Г	-ДОЛ
—— ——- аж ехр — - - sin Wn sin (&#)(— 1) ехр — г^— .
V7T V26/ J	L 2 Vdy J L	J L h i
х
— сю
Учитывая, что sin (—a) = —sin (а), имеем
ЛГ-1
dye y sin Ix^/n sin (\/2 dky) exp — i-
Отметим, что нечётность синуса вместе к величиной периода Л/2
дают дополнительный член в сумме по v. Это приводит к нечётным
кратным Нк значениям импульса. Действительно, с учётом определения
функции 5д/ , написанная выше формула принимает вид
\ Р 1 ,
I —	ix
—= dye~y sin \хл/пV2 dky ехр — г^-
утг J	L	J L Ар
где модовая функция уже линеаризована.
Вычисляя оставшиеся гауссовские интегралы, получаем
snip) = $/2) [?j; ~ \}1г [ЖР - ху/пЩ - д(р +
19.5. Интерференция в фазовом пространстве
Рассмотрим плоскую де-бройлевскую волну, которая входит в резо-
резонатор, содержащий одну моду поля в п-м фоковском состоянии. Какова
вероятность обнаружить импульс р у атома, рассеянного такой стоячей
волной? В приближении Рамана-Ната, как показано в предыдущих
разделах, ответ такой:
W(p) = J25(P~ lhk)Ji{^V^)	A9.32)
Как понять этот результат с точки зрения фазового пространства?

634	Гл. 19. Атомная оптика в квантованных световых полях
Более простой подход опирается на идею интерференции в фазовом
пространстве. Мы уже убедились, что этот метод позволяет проник-
проникнуть в суть многих проблем квантовой оптики. В данном разделе мы
применим его к задаче об отклонении атомов квантованным световым
полем и вновь получим написанное выше распределение A9.32) веро-
вероятности W(p).
Вероятность W(p) обнаружить импульс р задаётся квадратом абсо-
абсолютного значения скалярного произведения
w(p) = (р\ф)
состояния с импульсом \р) и квантового состояния \ф) движения цен-
центра инерции атома вдоль стоячей волны. Какой вид имеет квантовое
состояние движения?
19.5.1. Как представить квантовое состояние? В предыдущем
разделе получен вектор состояния |Ф) полной системы. Теперь нас не
интересуют все детали, и мы сосредоточимся только на сути. Если
входящая в резонатор де-бройлевская волна покрывает всю протяжён-
протяжённость L стоячей волны, то составляющая атомного импульса вдоль
волнового вектора поля пренебрежимо мала. В приближении Рамана-
Ната атом покидает резонатор, приобретя импульс р = я^/п cos (kx)Kk.
Здесь к обозначает амплитуду взаимодействия. Отсюда напрашива-
напрашивается изобразить состояние движения \ф) атома в виде кривой р =
= к^/п cos (kx)hk в фазовом пространстве, образованном импульсом р
и координатой х. Тогда самым простым вариантом функции распреде-
распределения в фазовом пространстве для этого состояня является
= — 5 [р — кл/п cos (kx)hk\ .
Нормировка выбрана таким образом, что
L	оо
[ dx I dpW\^)(x,p) = 1.
Собственное состояние импульса \р) изображается, очевидно, прямой
линией, параллельной оси х. Его фазовым представлением является
5-функция, так что
W\p)=6(p-p').
19.5.2. Площадь перекрытия. Концепция интерференции в фа-
фазовом пространстве связывает вероятность W(p) с величиной площади
перекрытия
А(р) = \dx \dpfWlp)(x,pf)Ww(x,pf)
собственного состояния импульса и квантового состояния движения,
представленных в фазовом пространстве двумя функциями распреде-
распределения, соответственно, W\p) и W\^y

19.5. Интерференция в фазовом пространстве	635
Мы различаем три ситуации. Если \р\ > к^/пЪк, то перекрытие
отсутствует. Следовательно, результирующая вероятность W(p) обра-
обращается в ноль. Мы понимаем, однако, что 5-функционное представ-
представление состояния движения достоточно грубое. Более полный анализ
описывает это состояние с помощью функции Эйри, которая обсужда-
обсуждалась в связи с проблемой равномерного асимптотического разложения.
Так что вероятность в данном случае оказывается экспоненциально
малой. Если р = хл/nhk, линия импульсного состояния тангенци-
тангенциально касается максимумов косинусоидальной волны. Это приводит
к большому перекрытию и, следовательно, к большой вероятности.
Здесь есть, к тому же, и новая дополнительная особенность: из-за
периодичности электромагнитной волны число таких тангенциальных
перекрытий велико. Вклады всех этих областей перекрытия интер-
интерферируют, так что важную роль начинают играть разности фаз. Это
приводит к дискретности значений импульса, как было математически
показано в предыдущей главе. Результаты интерференции из-за перио-
периодичности рассматриваемой структуры отчётливо видны в случае, когда
р < >Сл/пНк, и появляется ещё одна особенность: на одном периоде 0 <
< кх < 2тг косинуса есть пересечения в двух разных точках, а именно,
х$ ' = к~х arccos —/=—
И	/ 	 \
х\ ' = тг — к~ arccos
Соответствующий интеграл перекрытия
Л(р) = \dx\ dp15(p' — p)W\^)(x,p') = — \dx 5 [р — хл/п cos (kx)Kk\
в точке х = х$ равен
у к2п(НкJ — у2
Здесь мы ввели переменную интегрирования у = Хл/п cos (kx)hk и по-
положили kL = 2ttN.
В результате интегрирования получаем
11	1	1
Связанная с перекрытием фаза ф определяется площадью (в единицах
Н), которая заключена между косинусоидальной волной, осью импуль-
импульсов и линией р' = р. Мы, таким образом, получаем
1 Г	1
ф(р) = т\ dx хл/п cos (kx)hk — рх$ \

636	Гл. 19. Атомная оптика в квантованных световых полях
В это выражение, согласно гл. 7, включён фазовый сдвиг тг/4. Инте-
Интегрирование даёт
- D) - 4arccos (?
Фаза, связанная с точкой пересечения х$ , равна —ф(р).
Из-за периодичности стоячей электромагнитной волны такие пере-
перекрытия повторяются. Разность фаз между двумя последовательными
эквивалентными точками равна
Хр _ 2тгр
Если начальная де-бройлевская волна перекрывает N периодов стоячей
волны, происходит интерференция вкладов от N таких элементарных
зон. В этом есть аналогия с физикой твёрдого тела. В частности,
результатом такой интерференции является дискретность значений им-
импульса, если число периодов устремить к бесконечности.
19.5.3. Выражение для амплитуды вероятности. Объединяя
все эти соображения, приходим к следующей формуле для амплитуды
вероятности
N-1
exP [i (Ф(Р) + 27Г4
+ у/А(р) ехр [-г (ф(р) +
Выносим за знак суммирования фазовый множитель и объединяем его
с коэффициентом 1/N, который входит в Л. Это даёт
N-1
Используя приведённое в Приложении П асимптотическое разложение
функции Бесселя с аргументом z = х^/n, а также определение функ-
функции 5д/ , получаем амплитуду вероятности
и функцию распределения A9.32) по импульсам.

Задачи	637
Задачи
19.1 Импульсное распределение: свойства плавной части
В разделе 19.4 в рамках приближения Рамана-Ната получено
импульсное распределение для атомов, рассеянных квантованным
световым полем. Мы показали, что точное распределение
оо
га=0
состоит из плавной части
сю
Wm=
и осциллирующего вклада. Рассмотрим свойства плавной части
и сравним результаты с точными выражениями.
(а)	Показать, что плавное импульсное распределение нормиро-
нормировано на единицу.
(б)	Показать, что второй момент распределения (р2) связан со
средним числом т фотонов соотношением
(Р2>	<lfn
(в)	Показать, что этот результат находится в полном согласии
с соответствующим выражением, получающимся из точного
распределения.
(г)	Вывести соотношение
которое связывает значение функции распределения в точке
р = 0 с относительной дисперсией а2 = т2/т — т распре-
распределения фотонов.
(д) Доказать соотношение подобия
Каков физический смысл этого соотношения?

638	Гл. 19. Атомная оптика в квантованных световых полях
19.2 Атомная оптика в дисперсионном пределе
В дисперсионном пределе взаимодействие атомного пучка с полем
стоячей световой волны может быть описано с помощью гамиль-
гамильтониана
(а) Показать, что в результате взаимодействия со световым по-
полем состояние
J dxf(x)\
т=0
переходит в состояние
ОО	+?
где t есть время взаимодействия. Выполнить вычисления в
представлении взаимодействия и использовать приближение
Рамана-Ната.
(б)	Вычислить пространственное (по координате х) распределе-
распределение атомов после того, как они прошли через поле.
(в)	Вычислить распределение атомов по поперечным импульсам
после взаимодействия с полем в случае, когда ширина атом-
атомного пучка значительно больше длины волны света и его
можно считать плоской волной.
(г)	Какой вид имеет пространственное (по х) распределение
атомов после взаимодействия, если первоначально поле бы-
было в когерентном состоянии \гег(р), а после взаимодействия
оно было зарегистрировано в фазовом состоянии \ф) =
= 1/л/2тг Е егп(р\п)? Обсудите полученный результат.
п
Указание: Для когерентного состояния достаточно большой
амплитуды пуассоновское распределение можно аппрокси-
аппроксимировать распределением Гаусса, а суммирование заменить
интегрированием.
(д)	Вычислить результирующее полевое состояние, если до вза-
взаимодействия поле находилось в когерентном состоянии,
а атом после взаимодействия был обнаружен в точке х.

Литература	639
Литература
Введение в атомную оптику
Обзор области атомной оптики
Kazantsev A.P., Surdutovich G.I., Yakovlev V.P. Mechanical Action of Light
on Atoms. World Scientific, Singapore, 1990
Казанцев А.П., Сурдович Г.И., Яковлев В. П. Механическое действие света
на атомы. — М.: Наука, 1991
Stenholm S., in: Laser manipulation of atoms and ions / Ed. by E. Arimondo,
W. D. Phillips and F. Strumia. Proc. of the International School of Physics «Enrico
Fermi», Course CXVIII, Varenna, 1991, North-Holland, Amsterdam, 1992
Обзор экспериментальной ситуации
Sigel M., Adams C.S., Mlynek J. Frontiers in Laser Spectroscopy / Ed. by
T. W. Hansch and M. Inguscio, Proc. of the International School of Physics «Enrico
Fermi», Course CXX, Varenna, 1992, North-Holland, Amsterdam, 1993
Adams C.S., Sigel M., Mlynek J. Atom Optics // Phys. Rep. 1994. V. 240.
P. 143-210
Тематические издания по атомной оптике
Mlynek /., Balykin V., Meystre P. Optics and Interferometry with Atoms //
Appl. Phys. B. 1992. V. 54E)
Arimondo E., Bachor H.-A. Atom Optics // J. Quant. Semicl. Opt. 1996. V. 8.
P. 495.
Berman P.R. Atom Interferometry. Adv. At. Mol. Opt. Phys., Academic Press,
Boston, 1996
Рассеяние частиц световым полем
Оригинальные работы по эксперименту Штерна-Герлаха
Gerlach W., Stern О. Der experimented Nachweis der Richtungsquantelung
im Magnetfeld // Z. Physik. 1922. V. 9. P. 349-352.
и по рассеянию электронов электромагнитным полем
Kapitza P.L., Dirac P.A.M. The reflection of electrons from standing light
waves // Proc. Camb. Philos. Soc. 1933. V. 29. P. 297-300.
Рассеяние атомов классическим световым полем
Cook R.J., Bernhardt A.F. Deflection of Atoms by a Resonant Standing
Electromagnetic Wave // Phys. Rev. A. 1987. V. 18. P. 2533-2537.
Bernhardt A.F., Shore B. W. Coherent Atomic Deflection by Resonant Stand-
Standing Waves // Phys. Rev. A. 1981. V. 23. P. 1290-1301.
Эксперимент по рассеянию атомов
Moskowitz P.E., Gould P.L., Atlas S.R., Pritchard D.E. Diffraction of an
Atomic Beam by Standing-Wave Radiation // Phys. Rev. Lett. 1983. V. 51.
P. 370-373.

640	Гл. 19. Атомная оптика в квантованных световых полях
Обзор новой области атомной оптики по изучению квантового хаоса
Raizen M.G., in: Advances in Atomic, Molecular and Optical Physics. Vol.
41, ed. by B. Bederson and H. Walther, Academic Press, Boston, 1998, pp. 43-81
Атомная оптика в квантованных световых полях
Пионерские работы по атомной оптике в квантованных световых полях
Meystre P., Schumacher Е., Stenholm S. Atomic Beam Deflection in a Quan-
Quantum Field // Opt. Commun. 1989. V. 73. P. 443-447.
Meystre P., Schumacher E., Wright E.M. Quantum Pendellosung in Atom
Diffraction by a Light Grating // Ann. Physik (Leipzig) 1991. V. 48. P. 141-148.
Обзоры по атомной оптике в квантованных световых полях
Herkommer A.M., Schleich W.P. Review of Atom Optics in Quantized Light
Fields // Comments At. Mol. Phys. 1997. V. 33. P. 145-157.
Freyberger M., Herkommer A.M., Krahmer D.S., Mayr E., Schleich W.P.,
in: Advances in Atomic and Molecular Physics, Vol. 41, ed. by B. Bederson and
H. Walther, Academic Press, Boston, 1999, pp. 143-180
Считывание статистики фотонов с помощью рассеяния атомов квантованным свето-
световым полем
Akulin V.M., Fam Le Kien, Schleich W.P. Deflection of atoms by a quantum
field // Phys. Rev. A. 1991. V. 44. P. R1462-R1465.
Herkommer A., Akulin V.M., Schleich W.P. Quantum Demolition Measure-
Measurement of Photon Statistics by Atomic Beam Deflection // Phys. Rev. Lett. 1992.
V.69. P. 3298-3301.
Treussart F., Hare /., Collot L., Lefevre V., Weiss D.S., Sandoghdar V.,
Raimond J.M., Haroche S. Quantized Atom-Field Force at the Surface of a
Microsphere // Opt. Lett. 1994. V. 19. P. 1651-1653.
Метод реконструкции полевого состояния с помощью отклонения атомов был прд-
ложен в работе
Freyberger M., Herkommer A.M. Probing a quantum state via atomic deflec-
deflection // Phys. Rev. Lett. 1994. V. 72. P. 1952-1955.
Теория и эксперименты по светоиндуцированным поглощающим
решёткам
Chudesnikov D.O., Yakovlev V.P. Bragg Scattering on Complex Potentials
and Formation of Super-Narrow Momentum Distributions of Atoms in Light
Fields // Laser Phys. 1991. V. 1. P. 110-119.
Krahmer D.S., Herkommer A.M., Mayr E., Akulin V.M., Averbukh I.Sh.,
van Leeuwen Т., Yakovlev V.P., Schleich W.P. // Quantum Optics VI / Ed. by
D.F. Walls and J.D. Harvey, Springer, Berlin, 1994
Oberthaler M.K., Abfalterer R., Bernet S., Schmiedmayer /., Zeilinger A.
Atom Waves in Crystals of Light // Phys. Rev. Lett. 1996. V. 77. P. 4980-4983.

Глава 20
ФУНКЦИИ ВИГНЕРА В АТОМНОЙ ОПТИКЕ
В предыдущей главе было дано краткое введение в область атомной
оптики в квантованных световых полях. Состояние системы описыва-
описывалось с помощью вектора состояния. В данной главе движение атома
в квантованном световом поле рассматривается на основе распределе-
распределения Вигнера. Мы сосредоточимся, в частности, на режиме Штерна-
Герлаха, которому в гл. 19 не было уделено достаточного внимания.
Кроме того, для иллюстрации механического действия света мы рас-
рассмотрим случай нерезонансного атома.
В разделе 20.1 мы кратко напоминаем суть рассматриваемой мо-
модели. Далее в разделе 20.2, исходя из уравнения Шрёдингера для
вектора состояния атомно-полевой системы, формулируется уравнение
для функции Вигнера, которая описывает движение только центра
инерции атома. Выясняется, что эта функция может быть представлена
в виде взвешенной с учётом статистики фотонов суммой функций
Вигнера, каждая из которых соответствует движению атома в поле
с определённым числом фотонов. В разделе 20.3 приводится аналитиче-
аналитическое решение уравнения для функции Вигнера при условии, что длина
волны света намного превышает длину де-бройлевской атомной вол-
волны. Этот случай называется режимом Штерна-Герлаха. Результатом
эволюции функции Вигнера, как отмечается в разделе 20.4, является
то, что отдельные фоковские состояния поля приводят к отклонению
атома в разных направлениях и к их фокусировке в разных точках. Это
свойство позволит нам в разделе 20.5 восстановить статистику фотонов
по импульсному распределению атомов. Наконец, в разделе 20.6 с по-
помощью наглядной интерпретации в терминах фазового пространства
получены простые выражения для положения и размеров фокальных
областей, обусловленных взаимодействием с отдельными фоковскими
состояниями.
20.1. Модель
Нерезонансное взаимодействие атомов с модой квантованного элек-
электромагнитного поля, показанное на рис. 20.1, описывается с помощью
эффективного гамильтониана
H=-^ + [0(z + L)-0(z)]g(x)tfa.	B0.1)
21 В. П. Шляйх

642
Гл. 20. Функции Вигнера в атомной оптике
Операторы оа^ представляют со-
собой операторы уничтожения и рож-
рождения полевой моды, а константа
связи
д(х) =
B0.2)
Рис. 20.1. Квантовая линза. Пучок
атомов, первоначально распростра-
распространяющийся вдоль оси z, нерезонанс-
нерезонансно взаимодействует со световым по-
полем в области — L ^ z ^ 0. В за-
зависимости от фоковского состояния
поля атомы отклоняются в различ-
различных направлениях и фокусируются
в разных точках пространства
содержит квадрат вакуумного элек-
электрического поля 8q и линейную по-
поляризуемость атома
2
а= р
которая определяется квадратом
дипольного момента р и отстрой-
отстройкой А. Ради простоты мы пред-
предположим, что распределение поля
вдоль оси z имеет прямоугольный
описывается с помощью функций
профиль с шириной L, который
Хэвисайда d(z).
Из-за нерезонансного характера взаимодействия мы можем прене-
пренебречь внутреними степенями свободы атома. Наличие оператора ки-
кинетической энергии р%/BМ) говорит о том, что поперечное движение
атома рассматривается квантовомеханически. Скорости же вдоль оси z
настолько велики, что соответствующая длина де-бройлевской волны
AdB = 2тгН/(Муг) намного меньше характерного масштаба изменения
электромагнитного поля, т. е. длины волны А. Таким образом, продоль-
продольное движение атома вдоль оси z является классическим.
Координату z можно выразить через время посредством соотноше-
соотношения z = vzt — L, так что пространственное движение в этом направ-
направлении выглядит как эволюция во времени, определяемая уравнением
Шрёдингера
Ш^ = Я|Ф>.	B0.3)
При заданном значении L скорость vz определяет время взаимодей-
взаимодействия tb = L/vz.
При влёте атома в область взаимодействия в момент времени t = 0
вектор состояния |Ф(? = 0)) представляет собой прямое произведение
состояния l^cm) поперечного движения атома с волновой функцией
f(x) И ПОЛеВОГО СОСТОЯНИЯ ^поле)» т-е-
J dx f(x) \x) 0 ? Wn \п) ,
™0
где комплексные коэффициенты wn являются амплитудами вероятно-
вероятности фоковских состояния поля.

20.2. Уравнение движения для функции Вигнера	643
Уравнение Шрёдингера B0.3) с гамильтонианом B0.1) связывает
полевые степени свободы с пространственным движением. В результа-
результате состояния поля перепутываются с атомными, что позволяет извле-
извлекать информацию об одной подсистеме с помощью другой.
Представив вектор состояния |Ф) в виде
n=0
и подставляя его в уравнение Шрёдингера B0.3) с гамильтониа-
гамильтонианом B0.1), мы получаем
tf(t - tL)]g(x)n\ *n(x,t). B0.4)
Каждое уравнение Шрёдингера этой системы описывает движение
частицы в потенциале
Un(x) = [#(z + L)-#(z)]g(x)n,
который создаётся отдельными фоковскими состояниями поля. Таким
образом, уравнение B0.4) определяет изменение во времени амплитуды
вероятности 4fn(x,t) обнаружить в момент времени t атом в точке х,
а поле — в п-м фоковском состоянии.
В интервале времени 0 < t < ?l, когда атом находится в поле
стоячей световой волной, он чувствует потенциал
Un(x)=g(x)n,	B0.5)
в то время как при t^ < t, когда атом находится вне резонатора,
потенциал равен нулю
Un(x) = 0.
Итак, эволюция во времени состояния |Ф) комбинированной атомно-
полевой системы определяется изменением во времени амплитуд веро-
вероятности 4fn(x,t), удовлетворяющих начальному условию 4fn(x,t = 0) =
= /(*)¦
20.2. Уравнение движения для функции Вигнера
Вектор состояния |Ф) содержит полную информацию как о поле,
так и об атоме, и наши дальнейшие действия зависят от того, какие
сведения относительно этой атомно-полевой системы мы хотели бы
получить. Например, мы могли бы рассмотреть свойства только кван-
квантованного поля, не обращая при этом внимания на поперечное дви-
движение атома, либо, наоборот, сконцентрироваться на пространствен-
пространственном движении атома, исключая полевые переменные. Более того, мы
могли бы исследовать перепутывание атомных и полевых переменных
21*

644	Гл. 20. Функции Вигнера в атомной оптике
посредством совместных измерений, которые подробно обсуждались
в предыдущей главе.
В данном разделе мы ограничимся рассмотрением исключитель-
исключительно атомного движения. Нас будет интересовать распределение ато-
атомов в фазовом пространстве, образованном поперечной координатой х
и импульсом р. В качестве основного инструмента исследования будет
выступать функция Вигнера.
Рассмотрим матрицу плотности
сю	сю	сю
wn,w*n,, [ dx' j dx!n,{x',tL>*nll{x",t)\x')(x"\®\n')(n
Z	/
п',п"=О	—сю	—сю
B0.6)
полной системы и возьмём от неё след по полевым переменным. В
результате она редуцируется к атомной матрице плотности
2 \dxf \dx!n{xf,tL!*n{x",t)
сю	сю	сю	сю
п=0	п=0
B0.7)
Подставляя атомную матрицу плотности B0.7) в определение B0.8),
мы получаем выражение для функции Вигнера
Bа8)
поперечного атомного движения в виде некогерентнои смеси
сю
W(x,p;t) = ^2\wn\2Wn(x,p;t)	B0.9)
n=0
атомных функций Вигнера
— сю
B0.10)
каждая из которых соответствует движению атома в потенциале
Un B0.5), зависящем от n-го фоковского состояния. Весовой коэффи-
коэффициент при n-й функции Вигнера задаётся вероятностью |г^п|2 данного
числа фотонов в начальном состоянии поля.

20.3. Движение в фазовом пространстве	645
Согласно результатам раздела 3.3, квантовое уравнение Лиувилля
для функций Wn(x,p;t) имеет вид
dwn _ р dwn ^ {-\)l{h/2fl d2l+lun(x) d2l+lwn
dt	М дх 2-~< B/+1)! dx2l+l dp2l+l '	'
Таким образом, зависимость от времи поперечного движения атома
можно получить, решая либо уравнение Шрёдингера B0.4) для ампли-
амплитуды вероятности Фп, либо уравнение движения B0.11) для соотвест-
вующей функции Вигнера Wn.
20.3. Движение в фазовом пространстве
Нашим дальнейшим шагом является исследование отклонения
и фокусировки атомов квантованным световым полем в режиме Штер-
на-Герлаха. Для этого примем, что ширина начального волнового
атомного пакета мала по сравнению с длиной волны света, а время
взаимодействия tb невелико, так что волновой пакет незначительно
смещается в направлении х за период взаимодействия с полем. В рас-
рассматриваемом приближении уравнение для функции Вигнера может
быть решено точно, а далее с помощью соотношения B0.9) мы сразу
получаем пространственное и импульсное распределение атомов.
20.3.1. Гармоническое приближение. В качестве начального
условия для Фп мы выбираем гауссовский волновой пакет
Ф„(а:,* = 0) = f{x) = (x/^d)/2 exp f-± (j)] ,	B0.12)
где d обозначает ширину поперечного распределения атомов.
В случае dl\ мы можем разложить константу связи д(х), определя-
определяемую выражением B0.2), вблизи центра х = 0 волнового пакета, т.е.
д(х) = до + дхх + \д2х2 + ... ^ д0 - \$- + \д2 U + д-), B0.13)
где дх = dg/dx\x=0 и д2 = d2g/dx2\x=().
Объединив линейный и квадратичный вклады в полный квадрат,
мы видим, что задача сводится к движению в потенциале
Un{x) = Unixf) + \мпЦх - xff	B0.14)
смещённого гармонического осциллятора с минимумом
Un(xf) =до- ^ — п
в точке Xf = —д\/д2 и частотой Qn =

646	Гл. 20. Функции Вигнера в атомной оптике
Постоянное слагаемое Un(xf) можно не учитывать в уравнении
Шрёдингера
ih —
для амплитуды вероятности Фп, так как оно приводит только к несу-
несущественному фазовому множителю.
20.3.2. Движение атома в резонаторе. Для получения эволю-
эволюции Фп во времени мы можем, конечно, воспользоваться функцией
Грина для гармонического осциллятора. Однако, чтобы глубже разо-
разобраться в особенностях динамики рассматриваемого волнового пакета,
мы применим более наглядный подход, использующий функцию Виг-
Вигнера в фазовом пространстве.
Функция Вигнера в гармоническом приближении. Оставаясь
в рамках гармонического приближения раздела 20.3.1, мы видим, что
в сумму, стоящую в правой части уравнения движения B0.11) для Wn,
вносит вклад только один член с I = 0, поскольку dnU/dxn = 0 при
всех п > 2, и, следовательно, приходим к классическому уравнению
Лиувилля
dWn = _р dWn dU{x
=	=
dt	М дх	дх др
= -M-te+MU»{-x-xf)-df BОЛ5)
для функции Вигнера.
Гармоническое приближение имеет большой плюс: поскольку ча-
частота пп осциллятора не зависит от амплитуды колебаний, все части
распределения движутся в фазовом пространстве с одинаковой угловой
скоростью, так что функция Вигнера Wn(x,p;t) в момент времени t
может быть получена из начальной функции Вигнера Wn(x,p;t = 0)
поворотом в фазовом пространстве вокруг точки (х = Xf\p = 0). Таким
образом, мы можем найти распределение Wn(x,p;t) в момент времени t
с помощью начального распределения Wn(xo,po;t = 0) при условии,
что каждая частица первоначального ансамбля движется в фазовом
пространстве из точки (#о,Й)) в Т0ЧКУ (х>р) вдоль классической траек-
траектории, которая определяется уравнениями
ЖР	^^	B0 16)
dp M	дх	дх
а гамильтониан
2
h + Uniw)	B0Л7)
содержит гармонический потенциал Un(x).

20.3. Движение в фазовом пространстве	647
Итак, функция Вигнера в момент времени t имеет вид
Wn(x,p;t) =
оо	оо
dxo dpo5[x-x(xo,po;t)]5[p-p(xo,po;t)]W(xo,po;
а две дельта-функции гарантируют, что частицы движутся вдоль клас-
классических траекторий х = x(xo,po;t) и р = p(xo,po;t) из начальной
точки фазового пространства (x(xo,po;t = 0) = хо, p(xo,po;t = 0) = ро)
в точку (х,р).
С помощью дельта-функций мы выполняем интегрирование и полу-
получаем
Wn(x,pit^tL) = Wn(xo(x,pit),po(x,p-,ty,t = O).	B0.18)
Здесь координаты начальной точки фазового пространства (xq,pq) вы-
выражены через координаты (х,р) конечной точки с помощью решений х
и р.
Для того чтобы получить явное выражение для функции Вигне-
Вигнера B0.18) при 0 < t < ?l, мы должны найти решение уравнения для
смещённого гармонического осциллятора
М§ + Мп2пх = MU2xf,	B0.19)
удовлетворяющее начальному условию x(t = 0) = xq и p(t = 0) = ро-
Нетрудно проверить, что функции
x(xo,po;t) = (x0-xf)cos(nnt) + -^- sin(nnt)+xf,
lVl\L	\Z\J.Z\J)
p(xo,po',t) =pocos(Unt) - Мпп(х0 -Xf)sin(Unt)
удовлетворяют уравнению B0.19), а также соответствующим началь-
начальным условиям.
С помощью этих решений мы выражаем величины xq и р$ через
х = х и р = р, т. е.
xo(x,p;t) = (x-xf)cos(nnt)
)
Ро(х,р; t) = pcos (Clnt) + MSln(x — Xf) sin (Qnt).
Таким образом, окончательный вид функции распределения в фазовом
пространстве определяется формулами B0.18) и B0.21).
Пример гауссовского волнового пакета. Вернёмся к начальному
условию B0.12). Подставив начальную волновую функцию 4fn(x,t =
= 0) = f(x) поперечного движения в определение функции Вигне-
Вигнера B0.10), получаем
Wn(x0,p0;0) = ±; exp[- (^Y - (|р0J} .	B0.22)

648	Гл. 20. Функции Вигнера в атомной оптике
Используя выражение B0.21), мы приходим к следующему результату
Wn(x,p;t^tL) =
= — ехр --и ((х - Xf) cos (Unt) - -у— sin (Unt) + xf ) x
iTti	\_ a \	ivi\Ln	/ J
x exp I"- (Jj (pcos (Ont) + (x - xf)MUn sin (Ont)fj . B0.23)
Данная функция Вигнера описывает распределение атомов в фазовом
пространстве до тех пор, пока они находятся в поле стоячей световой
волны, т. е. при 0 ^ t ^ ?l-
20.3.3. Движение атома вне резонатора. Вне области взаимо-
взаимодействия, когда t > tb, потенциал отсутствует, т.е. Un = 0. В этом
случае атом совершает свободное движение, и эволюция во времени
функции Вигнера определяется уравнением
dt " М дх '	[ZUZV
Используя снова классические траектории, мы можем получить реше-
решение	/ п	\
Wn(x,p; t>tL) = Wn [x - -^(t - tL),p; t = tLj	B0.25)
с начальным условием Wn(x,p;t = ?l). В самом деле, из выраже-
выражения B0.25) следует, что частицы движутся по траекториям с постоян-
постоянным импульсом, т. е. параллельно оси х.
Формула B0.25) с гауссовским распределением B0.23) в качестве
начального условия принимает следующий вид
xexpJ-(-)
где ipn = ftntb-
Напомним, что время связано с координатой z посредством соотно-
соотношения z = vzt — L. Поэтому распределение
Wn(x,p;z) =
х ехр |- (?) [pcos(^n + (х - j^- z - Ж/) M0nsin^n]2| B0.26)

20.3. Движение в фазовом пространстве	649
описывает квантовое состояние движения центра инерции атома после
того, как он пересёк резонаторное поле, соответствующее n-му фоков-
скому состоянию.
20.3.4. Моментальные снимки функции Вигнера. На рис. 20.2
изображены линии уровня исходного гауссовского сигарообразного
волнового пакета B0.22), расположенного около начала координат
Рис. 20.2. Эволюция атомной функции Вигнера внутри и вне светового поля,
находящегося в фоковском состояния с п = 2. В области поля первоначальный
гауссовский сигарообразный волновой пакет, узкий по импульсной переменной,
но широкий по координате, поворачивается в результате эволюции в пара-
параболическом потенциале. Вне светового поля импульс атома сохраняется, что
приводит к сдвиговому деформированию функции распределения. Ширина
распределения по пространственной переменной минимальна, когда сигарооб-
сигарообразное распределение принимает вертикальное положение, что соответствует
случаю фокусировки
фазового пространства и вытянутого вдоль оси х. Из-за движения
атома в потенциале гармонического осциллятора Un гауссовская сигара
поворачивается, согласно B0.23), вокруг точки (х = Xf, р = 0) на
угол рп = untL.
Последующая свободная эволюция, которая описывается форму-
формулой B0.26), изображена на рис. 20.2 для трёх фиксированных зна-
значений времени, т. е. для трёх фиксированных значений координаты
вне области взаимодействия с полем. Заметим, что ширина функции
Вигнера по пространственной переменной х сначала уменьшается, а за-
затем возрастает, достигая своего минимального значения в тот момент,
когда сигарообразное распределение пересекает линию х = Xf. Таково
физическое происхождение пространственной фокусировки атомов.
До сих пор мы рассматривали движение атома в потенциале Un,
который определяется п-м фоковским состоянием поля. Если состояние
поля представляет собой суперпозицию фоковских состояний, функ-
функция Вигнера атомного движения W(x,p;z) является некогерентной
суммой B0.9) функций Вигнера Wn(x,p;t), взвешенных с функцией
распределения числа фотонов \wn\2. На рис. 20.3 изображена функция
Вигнера W(x,p;t) на выходе резонатора, а на рис. 20.4 показаны гори-
горизонтали этой функции Вигнера в различные моменты времени t, т. е.
для различных координат z.

650
Гл. 20. Функции Вигнера в атомной оптике
W(x,p)
Рис. 20.3. Функция Вигнера атома на выходе из резонатора. Поле находится
в когерентном состоянии со средним числом фотонов п= 1. Из-за различия
угловых скоростей для разных фоковских состояниях поля атомная функция
Вигнера в процессе взаимодействия с квантованным световым полем расщеп-
расщепляется на несколько компонент
Левая колонка на рис. 20.4 показывает эволюцию начальной гаус-
совской сигары внутри области поля стоячей световой волны. От-
Отметим, что из-за зависимости частоты Оп осцилляторного потенци-
потенциала, а, следовательно, и угловой скорости в фазовом пространстве
от п, гауссовская сигара расщепляется на несколько сигарообразных
составляющих, весовой коэффициент каждой из которых определяется
статистикой фотонов.
Рис. 20.4, в показывает распределение атомов на выходе из ре-
резонатора, которое, таким образом, выступает в качестве начального
распределения для дальнейшей свободной эволюции, представленной
в правой колонке для различных значений координаты z вне области
поля. Каждое сигарообразное распределение испытывает сдвиговую
деформацию, о которой говорилось в связи с рис. 20.2. При этом раз-
различные сигары пересекают фокальную линию х = Xf в разные моменты
времени, которые соответствуют разным точкам оси z.
20.4. Квантовая линза
До сих пор мы анализировали распределение по поперечной коор-
координате и импульсу в зависимости от координаты z. Рассмотрим теперь
пространственное распределение W(x,z) атомов на плоскости x-z.
В частности, мы остановимся на эффекте фокусировки и вычислим
фокусное расстояние квантовой линзы.

20.4. Квантовая линза
651
Рис. 20.4. Эволюция во времени функции Вигнера атома внутри {а-в) и вне
(г-ё) резонатора. Поле резонатора находится в когерентном состоянии со сред-
средним числом фотонов п = 1. Мы приводим горизонтали четырёх доминирующих
вигнеровских пиков, которые соответствуют вакууму п = 0 и первым трём
возбуждённым фоковским состояниям п = \, п = 2 и п = 3. На диаграмме (а)
изображено первоначальное распределение, а на (б-в) показано его вращение
и расщепление вследствие взаимодействия со световым полем. В ходе свобод-
свободной эволюции, представленной на (г-ё), разные сигарообразные распределения
пересекают линию х = ж/ в различные моменты времени, что соответствует
разным фокусным расстояниям
20.4.1. Пространственное распределение атомов. Чтобы полу-
получить пространственное распределение W(x,z), мы интегрируем функ-
функцию W(x,p;z), которая определяется формулами B0.9) и B0.26), по
переменной р и приходим к выражению
W(x,z) =
B0.27)
n=0
где
Wn(x,z)= dpWn(x,p;z)
представляет собой пространственное распределение, обусловленное
взаимодействием атомов с полем в п-м фоковском состоянии.

652	Гл. 20. Функции Вигнера в атомной оптике
Вычисляя гауссовские интегралы, получаем
Wn(x,z) =
B0.28)
где
Dn(z) =
+d (cos^-—ssin
B0.29)
На рис. 20.5 изображены горизонтали функции распределения
W(x,z), а также её разрез вдоль фокальной линии х = Xf для
когерентного состояния поля со средним числом фотонов п = 1.
Из-за того, что отклонения атомов полем отдельными фоковских
состояний различны, исходный атомный пучок расщепляется на
несколько парциальных компонент. При этом каждая парциальная
компонента, соответствующая конкретному п-у фоковскому состоянию,
фокусируется в своей индивидуальной фокальной точке (#/,JFn).
Разрез функции распределения W(x, z) вдоль фокальной линии х =
= Xf, представленный в правой части рис. 20.5, показывает вес каждой
расщеплённой компоненты, который отражает статистику фотонов
начального полевого состояния.
20.4.2. Фокусное расстояние и угол отклонения. Функция рас-
распределения W, которая описывается формулами B0.27), B0.28) и
B0.29), даёт возможность вычислить фокусное расстояние Тп и угол
отклонения дп для каждой парциальной волны. Предполагается, что
мы можем разделить вклады отдельных парциальных пучков, как в си-
ситуации, показанной на рис. 20.5.
Точные выражения. Фокусное расстояние Тп определяется из со-
соотношения B0.29) как значение координаты z, для которой Dn(z)
минимально. При z > 0, т. е. вне области поля, это соответствует
условию
cos ipn	 z sin ipn = 0,
zf = Tn = o I" .	B0.30)
Когда атом покидает область поля, т. е. при z = 0, центр атомного
волнового пакета расположен в точке
хп = Xf (I — cos(^n),	B0.31)
как это следует из формулы B0.28).
которое дает

20.4. Квантовая линза
653
x/d
0
-4
];$:.:-'.:::	-—
2
а
——	—
	——^—
4 /1
W(x
1
0,8
0,4
0"
~Xf
J
1
V i
1 t!
II I
1 1
! I
! .'
\ j
2
6
\
\
4
z/z1
Рис. 20.5. Горизонтали (слева) распределения вероятности УУ(ж, z) обнаружить
атом в точке с координатами х и z. Атомный пучок гауссовской формы
с центром в точке х = 0 покидает резонатор в точке z = 0. Поле находится в ко-
когерентном состоянии со средним числом фотонов п= 1. Неотклонённая и нес-
несфокусированная парциальная волна, отвечающая вакуумному состоянию поля
резонатора, представляет профиль падающего пучка. Отклонённые парциаль-
парциальные волны, отвечающие различным фоковским состояниям поля, фокусируются
на линии х = Xf. Распределение атомов вдоль этой линии приведено справа.
Использованы следующие значениях параметров: срп = 0,15, h/(d2Mojn) = 20,
и Xf I d = —2. Значения координаты z измеряются в единицах z' = vz/Qn
Волновой пакет проходит через точку (х = Xf, z = Тп) фокуса и,
следовательно, отклоняется на угол
К = arctg
xf ^
B0.32)
На последнем шаге мы воспользовались выражениями B0.30) и
B0.31).
Фокусное расстояние Тп, определяемое формулой B0.30), зависит
только от кривизны #2 потенциала Un, поскольку Оп = л^пд^/М и
(рп = ClnL/vz зависят от д^. Напротив, угол рассеяния <Qn зависит и от
наклона ^, и от кривизны д^.
Малоугловое приближение. Однако, в пределе срп <С 1 угол откло-
отклонения #п перестаёт зависеть от д^ так как
где величина
1 _ giL
N Mvl
соответствует отклонению в поле первого фоковского состояния.
Таким образом, угол отклонения линейно зависит от числа п. По-
Поскольку п может принимать только дискретные значения, то и углы
отклонения дискретны. Именно в факте дискретных значений угла
отклонения и проявляется корпускулярная структура фотонного поля.

654	Гл. 20. Функции Вигнера в атомной оптике
Кроме того, в рассматриваемом пределе фокусное расстояние име-
имеет вид
Jn — J 1 >
П
где величина
Т _ Mvz
представляет собой фокусное расстояние при взаимодействии с полем
фоковского состояния \п = 1).
Таким образом, фокусное расстояние тоже зависит от числа фото-
фотонов п, и дискретность п проявляется в дискретности значений вели-
величины Тп. Однако, в отличие от угла рассеяния #п, который линейно
возрастает с п, фокусное расстояние убывает обратно пропорциональ-
пропорционально п.
20.5. Статистика фотонов и импульсное
распределение
Данные о статистике фотонов в резонаторе можно получить, ис-
используя существующую сильную^ корреляцию между состоянием поля
и импульсным распределением W(p) атомов после того, как они поки-
покинули поле. Проинтегрировав функцию Вигнера W(x,p : t) по перемен-
переменной х мы получаем
n=0
В этом выражении импульсное распределение
d
1
^-ехр
hDn
(р- MUnxf sin ifn)
B0.33)
атомов после взаимодействия с полем в n-м фоковском состоянии имеет
ширину
I	о"
П - ¦ 1~~л.~ i / d2MUn
ип =
Данное выражение наглядно демонстрирует, что атом, влетающий
со средним импульсом (р) = 0 в область взаимодействия со световым
полем в п-м фоковском состоянии, покидает резонатор со средним
импульсом
pn = Munxfsm<pn.	B0.34)
При движении в свободном от поля пространстве импульс сохраняется,
и поэтому распределение не зависит от координаты z. Именно этот

20.6. Эвристический подход
655
приобретённый импульс и определяет угол отклонения дп B0.32)),
который имеет вид
дп = arctg
Рп
Mvz
До тех пор, пока разность двух импульсов Арп =pn+i — pn, приоб-
приобретённых вследствие взаимодействия с двумя соседними фоковскими
состояниями, больше, чем разброс их значений, задаваемый ширина-
ширинами Dn соответствующих гауссовских распределений, мы можем разли-
различить вклады от каждого индивидуального фоковского состояния. По-
Поскольку каждый гауссовский пакет взвешен с функцией распределения
фотонов, то в данном случае импульсное распределение представляет
собой полную запись статистики фотонов, как показано на рис. 20.6.
0.2
W(p)
0.1
0
a ft i
11
л
, _ А Д 1
I
„60 -40 -20 p
0
0.04
Wip)
0.02
0
6
1
...Jl
Illl...
-300 -200 -100 p 0
bid
ш
Рис. 20.6. Считывание статистики фотонов с помощью импульсного распре-
распределения атомов, рассеянных квантованным электромагнитным полем, которое
находится в когерентном состоянии со средним числом фотонов п = 1 (а)
и п = 20 (б). Чётко видны индивидуальные вклады в рассеяние от отдельных
фоковских состояний, образующих когерентное состояние. Огибающая им-
импульсного распределения свидетельствует о пуассоновской статистике фотонов.
В случае (а) мы выбрали срп = 1/лДо, h/(d2Mun) = л/Тб, а в случае (б)
срп = л/2, h/(d2Mun) = 1/л/2. Кроме того, в обоих случаях Xf/d = —100
Отметим в заключение, что все вышеуказанные результаты были
получены лишь при разложении константы связи д(х) вблизи центра
волнового пакета. Такой подход справедлив, только если волновой
пакет незначительно смещается в процессе взаимодействия с полем,
т. е. до тех пор, пока потенциал гармонического осциллятора является
хорошим приближением для потенциала Un.
20.6. Эвристический подход
До сих пор мы обсуждали картину движения атомов в кванто-
квантованном световом поле с точки зрения полной динамики в фазовом
пространстве. Теперь мы приведём простую геометрическую интер-
интерпретацию этого процесса. В частности, с помощью наглядной схемы,
показанной на рис. 20.7, мы снова выведем формулу B0.30) для фокус-

656
Гл. 20. Функции Вигнера в атомной оптике
ного расстояния Тп квантовой линзы, обусловленной n-м фоковским
состоянием поля, а также получим размер фокальной области.
Ах
Xf
-L
О
Рис. 20.7. Квантовая линза, соответствующая п-му фоковскому состоянию поля
(справа), и эволюция атомного пучка в фазовом пространстве (слева). Здесь мы
рассматриваем только отрезок Ах оси х. В течение времени взаимодействия со
стоячей световой волной этот отрезок поворачивается на угол срп. В пределе
малых углов поворота срп <С 1 смещение вдоль оси х мало по сравнению с
Ах. Далее в процессе свободной эволюции рассматриваемые точки фазового
пространства остаются на одной прямой и пересекают фокальную линию х =
= Xf в один и тот же момент времени ?/. При этом ширина Ах волнового
пакета уменьшается и в момент пересечения линии х = ж/ обращается в ноль
20.6.1. Фокусное расстояние. Рисунок 20.7 поясняет характер-
характерные особенности процесса фокусировки. Справа приведена схема соб-
собственно процесса фокусировки, а слева показана эволюция атомного
волнового пакета в фазовом пространстве.
Геометрическая картина. Атомный волновой пакет с поперечным
размером Ах, изображённый на рисунке жирной линией, входит в об-
область светового поля (затенённая область) в точке z = —L, а покидает
её, слегка сместившись и сжавшись в вертикальном направлении,
в точке z = 0. Благодаря взаимодействию со светом, приготовленным
в п-м фоковском состоянии, различные составляющие пакета при-
приобретают различные поперечные импульсы. В результате свободной
эволюции вне резонатора атомный пучок фокусируется в точке z = Тп.
Этот процесс легко понять, исходя из динамики в фазовом про-
пространстве. Ради простоты в качестве исходного распределения в фазо-
фазовом пространстве мы рассматриваем одномерное распределение с цен-
центром в точке х = 0 и шириной Ах и с нулевым импульсом. Поскольку
потенциал, создаваемый полем n-го фоковского состояния, является
гармоническим, жирная черта, изображающая начальное распределе-
распределение, поворачивается в фазовом пространстве на угол срп вокруг точки
(х = Xf, p = 0). Этот поворот в фазовом пространстве и является при-
причиной небольшого сдвига и сжатия волнового пакета. Стоит отметить,
что разные части волнового пакета приобретают различные импульсы,
пропорциональные пространственной координате этих частей.

20.6. Эвристический подход	657
Вне резонатора импульс каждой части атомного волнового пакета
сохраняется. В результате все фазовые точки повёрнутого одномерного
распределения проходят координату х = Xf в один и тот же момент
времени tf, как показывает жирный горизонтальный отрезок на оси
импульсов. Так как время связано с координатой z соотношением z =
= vzt — L, то фокусное расстояние Тп, отвечающее п-м фоковскому
состоянию поля, имеет вид Тп = vztf — L.
Математический расчёт. Теперь с помощью этой картины вос-
воспроизведём выражение B0.30) для фокусного расстояния Тп. Для
этого проследим за эволюцией точек фазового пространства с нулевым
начальным импульсом p(t = 0) = 0. Совокупность этих точек изоб-
изображена в левой части рис. 20.7 в виде отрезка вертикальной жирной
линии с центром в точке х = 0.
Согласно формуле B0.20), в более поздний момент времени t ^ ?l
указанные точки перемещаются в новое положение
x(t) = (Хо — Xf) COS (?lnt) + Xf,
p(t) = -MUn (хо - Xf) sin (Unt)
и располагаются уже на прямой
р(х) = -МПп tg(Qnt) (x - Xf),	B0.35)
проходящей через точку х = Xf под углом срп = Q,nt к оси х.
После того как атом покидает область поля, он движется свободно
и сохраняет свой импульс
Pl =p(t > tL) = -MUntg(pn(xL -xf),
где xl = x{tb). Координата х меняется по закону
x(t) = 2L(t-tL)+xL = [l- Пп tg ipn(t - tL)] (xL - xf) + xf.
Поэтому все точки прямой B0.35) достигают фокуса х = Xf за одно
и то же время
Соответствующая координата на оси z и определяет искомое фокусное
расстояние
Этот результат совпадает с выражением B0.30), полученным в разде-
разделе 20.4.2 из пространственного распределения W(x,z) атомов.
20.6.2. Размер фокальной области. До этого момента мы рас-
рассматривали предел геометрической оптики, когда начальное распреде-
распределение в фазовом пространстве было бесконечно узким по импульсной
переменной. Что произойдёт с фокусом в случае волновой оптики,
когда мы примем во внимание конечную величину неопределённости
5р импульса?

658	Гл. 20. Функции Вигнера в атомной оптике
Неопределённость 5р приводит к тому, что фокальная точка раз-
размывается в фокальную область конечной ширины. Чтобы получить
выражение для размера фокальной области, рассмотрим эволюцию
во времени точки фазового пространства (х = 0,р = 5р). Если эта
точка попадает на линию х = Xf в момент времени t'p то с помощью
соотношения z'n = vzt'j — L мы получаем интересующую нас ширину
oj-n = zn — Тп.
Согласно B0.20), точка (х = 0,р = 5р) в момент tL перемещается
в положение	^
x'L = -xf cos (pn + j^- sin (pn + xf	B0.36)
и
pxL = 5p cos ipn + XfMun sin y?n.	B0.37)
Находим теперь момент времени tj, когда эта точка проходит через
фокальную линию х = Xf. Так как в процессе свободной эволюции
импульс pfL сохраняется, мы получаем
и поэтому
С помощью соотношения vztb = L определяется соответствующая ко-
координата z
Л// 77
z'n = vzt'f -L = —?¦ (xf - x'L).
Подставляя сюда (xf — x'L) и р\ из выражений B0.36) и B0.37),
получаем
. -1
COS(?>n
Vz
п tg <рп
cos (pn
С учётом формул B0.30) и B0.34) для фокусного расстояния Тп и
приобретённого импульса рп это выражение принимает вид
+ ^.cos
Таким образом, размер n-й фокальной области 5^-*п равен
^	±	^	,	B0.38)
Рп
Рп
а в предельном случае 5р cos (pnlpn сводится к простому выражению
Рп

Задачи	659
Мы видим, что разброс по импульсам 5р приводит к уширению фо-
фокальной области. Поэтому для разрешения отдельные фокальных об-
областей, порождённых разными фоковскими состояниями, необходимо,
чтобы их размеры были меньше расстояния между ними. Это условие
накладывает жёсткие ограничения на параметры линзы, которые об-
обсуждаются в задаче 20.1.
Задачи
20.1 Квантовая линза в приближении Рамана-Ната
Показать, что квантовая линза обладает следующими свой-
свойствами:
(а) Пространственное распределение атомов W^N(x,z) в при-
приближении Рамана-Ната имеет вид
1
ехр
Nx
B0.39)
где
1 + 4т — • B0.40)
У \dMvzJ ' " ^ ' N xf
Чтобы получить этот результат, в гамильтониане B0.1)
следует опустить оператор кинетической энергии во время
движения атома в резонаторе, но сохранить его на стадии
свободного движения.
(б) Показать, что выражение B0.28) сводится к виду B0.39)
в пределе малых углов поворота (рп = ппгь <С 1, когда
со8(рп = 1 и sm(pn = (рп.
При этом, однако, характерная ширина Dn B0.29) принима-
принимает вид
Г"» / \ r^J /I ll ( \ Т\\ I 79/1 I ^^
и содержит добавочный член HL/(dMvz). Этот вклад от-
отражает уширение волнового пакета при движении атома
в гармоническом осцилляторном потенциале. В рамках при-
приближения Рамана-Ната этот дополнительный вклад отсут-
отсутствует, поскольку опущен оператор кинетической энергии по
сравнению с энергией электромагнитного взаимодействия,
(в) Вычислить размер фокальной области
3 1
n

660	Гл. 20. Функции Вигнера в атомной оптике
в приближении Рамана-Ната.
(г) Каково условие разрешения отдельных фокальных областей?
Указание: См. Averbukh et al. A994).
Литература
Квантовая линза
Квантовая линза в атомной оптике
Averbukh I.Sh., Akulin V.M., Schleich W.P. A Quantum Lens for Atomic
Waves // Phys. Rev. Lett. 1994. V. 72. P. 437-441.
Mayr E., Krahmer D., Herkommer A.M., Akulin V.M., Schleich W.P., Aver-
Averbukh I.Sh. Phase Space as Arena of Atomic Motion in a Quantized Light Field //
Acta Phys. Pol. A. 1994. V. 86. P. 81-95.
Domokos P., Adam P., Janszky /., Zeilinger A. Atom de Broglie Wave Deflec-
Deflection by a Single Cavity Mode in the Few-Photon Limit: Quantum Prism. Phys.
Rev. Lett. 1996. V.77. P. 1663-1666.
Rohwedder В., Orszag M. Quantized light lenses for atoms: The perfect thick
lens // Phys. Rev. A. 1996. V. 54. P. 5076-5084.
Дискретность фотонного поля
Применение процесса отклонения атомов для демонстрации корпускулярной струк-
структуры фотонного поля
Herkommer A., Akulin V.M., Schleich W.P. Quantum Demolition Measure-
Measurement of Photon Statistics by Atomic Beam Deflection // Phys. Rev. Lett. 1992.
V.69. P. 3298-3301.
Treussart F., Hare /., Collot L., Lefevre V., Weiss D.S., Sandoghdar V.,
Raimond J.M., Haroche S. Quantized Atom-Field Force at the Surface of a
Microsphere // Opt. Lett. 1994. V. 19. P. 1651-1653.
Mack H., Meneghini S., Schleich W.P. Atom Optics and the Discreteness
of Photons, in: Quantum Optics of Small Structures, edited by B. Lenstra,
T.D. Visser and K.A.H. van Leeuwen // Proc. Kon. Ned. Akad. Wetensch. 2000.
P. 169-183

Приложение А
ВОЛНОВЫЕ ФУНКЦИИ СТАЦИОНАРНЫХ
СОСТОЯНИЙ ГАРМОНИЧЕСКОГО
ОСЦИЛЛЯТОРА
В данном приложении мы обсудим решения м(?) стационарного
уравнения Шрёдингера
для гармонического осциллятора. Здесь введена безразмерная коорди-
координата ?, а дифференцирование по этой переменной обозначено двумя
штрихами. Общее решение этого дифференциального уравнения при
произвольном значении г] выражается через функции параболического
цилиндра. Однако эти функции, вообще говоря, не обладают требу-
требуемым асимптотическим поведением при больших значениях ?. Чтобы
обеспечить нормируемость волновых функций, мы должны рассматри-
рассматривать решения, убывающие при больших ?. Функции параболического
цилиндра имеют нужные асимптотики лишь при специальном выбо-
выборе г], а именно при т\т = т + 1/2. В этом случае указанные решения
сводятся к полиномам Эрмита Нт. При этом соответствующие значе-
значения г\ш являются собственными значениями энергии.
В этом приложении мы получим указанные функции, строя реше-
решение в виде степенного ряда. Затем мы обсудим асимптотическое пове-
поведение найденных решений при больших значениях квантового числа.
АЛ. Решение в виде степенного ряда
Чтобы разобраться с поведением решения этого дифференциального
уравнения, рассмотрим сначала его асимптотику при ? —> оо, когда
можно пренебречь параметром т\ по сравнению с ?. В этом случае
дифференциальное уравнение (А.1) принимает вид
и" @ - ЫО = о.
В качестве нормируемого решения попробуем использовать
Дифференцируя эту функцию дважды, находим

662 Прил. А. Волновые функции стационарных состояний гармонического
Здесь мы пренебрегли единицей по сравнению с ?2.
Таким образом, выбранная нами функция удовлетворяет дифферен-
дифференциальному уравнению в пределе ? —> оо. Это наводит на мысль, что
точное решение следует искать в виде
-l2^\	(A.2)
где функция Н(?) подлежит определению.
Подставляя выражение (А.2) в уравнение (АЛ), получаем
Н" - 2^Я' + 2 (ji + ±) Я = 0.	(А.З)
Решение последнего уравнения ищем в виде степенного ряда
сю
*	(А.4)
k=0
Для первой и второй производной имеем
/с=0
Здесь на последнем шаге мы сдвинули индекс суммирования j = к — 2.
Подставляя степенной ряд в уравнение (А.З), находим
сю
Е
3=0
[{j + 2)(j + 1) ci+2 - 2 (j - ц - I) Ci] e = 0.
Так как степенные функции ?•?' при j = О, 1,2,... линейно независимы,
то соответствующие коэффициенты в квадратных скобках должны
равняться нулю. Это условие приводит к рекуррентному соотношению
1
Рекуррентное соотношение вида
Cj+2 = dj Cj

A.I. Решение в виде степенного ряда	663
объединяет члены либо с чётными, либо с нечётными j. Последова-
Последовательно применяя написанное выражение, получаем
Cj+2 = dj Cj = dj dj-2 Cj-2 = ... = dj dj-2 ••• dQcQ.
о
l
В зависимости от того, является ли j чётным или нечётным, раз-
разложение начинается с cq или с\ и содержит либо только чётные, либо
только нечётные степени ?.
Чтобы исследовать асимптотическое поведение функции Н, рас-
рассмотрим члены с высокими степенями ?, то есть с большими значе-
значениями j. В этом пределе рекуррентное соотношение (А.5) упрощается
к виду
J
и даёт
cv = — для j = 2v > 1.
Таким образом, функция Н(?) имеет следующую асимптотику
3
так что решение ведёт себя как
Очевидно, что эта функция является ненормируемой.
Из этого затруднения можно выйти, только потребовав, чтобы раз-
разложение (А.4) содержало не бесконечное число членов, а обрывалось
при определённом значении j, то есть чтобы Cj = 0 для некоторого j.
Из рекуррентного соотношения (А.5) видно, что это происходит, если
параметр г\ принимает полуцелые значения, то есть
При таком выборе т\ функции Н(?) являются полиномами степени
га, которые обозначим как Нт. Они называются полиномами Эрмита.
Тот факт, что они являются полиномами, гарантирует, что собственные
функции
отвечающие собственному значению г\ш = га + 1/2, являются норми-
нормированными. В самом деле, условие нормировки выглядит следующим
образом
1= I d?uL(i)=Nl I d?HUe>e-? = Л/1 VtF 2mm!.

664 Прил. А. Волновые функции стационарных состояний гармонического
Отсюда находим нормировочную константу
^/ v2mm!
Итак, подведём итоги. Собственные функции гармонического осцилля-
осциллятора выражаются через полиномы Эрмита, которые содержат только
чётные, либо только нечётные степени безразмерной координаты и по-
потому обладают определённой чётностью. Волновая функция, соответ-
соответствующая m-му собственному значению энергии, является полиномом
степени т и имеет т нулей.
А.2. Асимптотическое поведение
В этом разделе мы получим выражения для волновых функций
гармонического осциллятора при больших значениях квантового числа.
При этом используется интегральное представление полиномов Эрмита
и метод перевала, описанный в Приложении 3, что даёт возможность
определить поведение волновых функций вдали от точек поворота.
А.2.1. Представление волновой функции в виде контурного
интеграла. Используя известное интегральное представление полино-
полиномов Эрмита, можно представить волновую функцию гармонического
осциллятора в виде контурного интеграла
Ll/4 ^
• dz;
При больших значениях квантового числа удобнее переписать по-
последнюю формулу в виде
Um(x) = fm(x) Im(x).	(А.6)
Здесь введена новая функция
Bтг)
и контурный интеграл
fm(x) = -f-з J2-+V2 (ml) e-("*J/2	(А.7)
Im(x) = -Bn)-]/2jidzz-1/2e-E^x-z\	(A.8)
Заметим, что знаменатель хт+х в интегральном представлении по-
полиномов Эрмита Нт мы разделили на две части, оставив в знаменателе
множитель z1/2 и включив функцию ^m+1/2 B фазу
z	(A.9)

А.2. Асимптотическое поведение
665
подынтегрального выражения. Это сделано для того, чтобы даже в пре-
пределе больших т квантовое число т всегда появлялось в комбина-
комбинации т + 1/2.
А.2.2. Приближённое выражение для интеграла Jm. Рассмот-
Рассмотрим поведение интеграла 1т(х), (А.8), при больших значениях т.
Точки перевала. В соответствии с процедурой метода перевала,
который обсуждается в Приложении 3, разложим комплекснозначную
функцию Ет в ряд Тейлора
1
— ^т[Х, Z±) -T —
2
dz
вблизи точек z±, удовлетворяющих условию
dz
z=z±
= 0.
Последнее равенство приводится к квадратному уравнению
z2 -
которое имеет два решения
2>=°'
Z± = КХ :
-) —
= кх
(hx) '
(АЛО)
(А.11)
(А. 12)
(А.13)
Обе точки поворота имеют одну и ту же действительную часть, но раз-
различаются знаком мнимой части. Кроме того, они лежат на окружности
радиуса W2 I m + - ] , так как
Z±\ = \КХ) -
Отметим также, что фазовый портрет собственного состояния с энерги-
энергией Ш (т + - j , представляет собой окружность радиуса л 2 I т + - J .
Вычисление второй производной. Следующим шагом является
вычисление величины Sm и её второй производной в точках z± и под-
подстановка разложения (АЛО) в интеграл (А.8).
Вторая производная величины Sm, как это следует из (А.11), име-
имеет вид
z=z±
^ -2

666 Прил. А. Волновые функции стационарных состояний гармонического
Используя формулы (А. 12) и (А. 13), получаем
= - kxz± - 2 ( т + -
2 dz2
ИЛИ
(А. 14)
z=z±
Таким образом, значения второй производной фазы Ет подынтеграль-
подынтегральной функции в точках перевала z± отличаются только знаком.
Гауссовское приближение для 1т. Подставляя выражения (АЛО)
и (А. 14) в формулу (А.8) для 1т, получаем
p [-i? ±-(z- z+f
oo
сю
Это выражение можно упростить
Ргп г
Входящие сюда комплекснозначные гауссовские интегралы равны
dye±iy2 = v^e±i7r/4,	(A. 15)
Такие интегралы часто встречаются в квазиклассическом приближении
квантовой механики. Они также тесно связаны с интегралами Френеля
и спиралью Корню, которые рассмотрены в Приложении 3.
Используя (А. 15), получаем окончательное выражение
Im(x) = ,Щ - {_е-[-(^
Р Ъ
(АЛ6)
Вычисление фазы волновой функций. Вычислим теперь значение
показателя экспоненты Sm (А.9) в точках z = z±. Для этого записыва-

А.2. Асимптотическое поведение	667
ем выражения (А. 13) для точек поворота z± в полярных координатах,
то есть
z± =
exp jiiarctg [^2 (m + ±) -
и с помощью соотношений (А. 12) и (А. 13) получаем
Em(x;z = z±) = --xxz± - - (т + -) + (т + -) lnz± =
\ (т + i) In [2 (m + i)] ± i (m + ^j <pm
ИЛИ
= ±i|(ra+i) Vm-\
К X
Тогда функция (А. 16) принимает вид
т{х) =2А/— cos 5ш(ж)- - х
Рт	L	tJ
где мы ввели следующее обозначение
О ( \
Sm(x) =
= (m+ ^ ) arctg^/2 (m + - j - x^ (xx)"^ -
1 AT? ^h 77 1^Гл / \
--xxx2[m+-)-x1x1=- dxpm{x)
Z	у	\	Z /	11 J
и использовали тригонометрическое соотношение
/^ 7Г\	. (п 7Г	7Г\	/^ 7Г
sin [в + - = sin р — - + - = cos р — -
V 4/	V 4 2 у	V 4

668 Прил. А. Волновые функции стационарных состояний гармонического
А.2.3. Асимптотическое выражение для /т. Теперь нам оста-
осталось найти асимптотику функции /ш, которая содержит факториал га!.
При больших значениях га можно использовать формулу Стирлинга
т! ^ л/2тг f m + ij е~Ут+Г2>,	(А.18)
(ro+5)/2
что приводит к выражению
fm(x) = ^g[2[m+l-)\" -'¦ exp|-^(m + ^)-
ИЛИ
2 2"
>zr X
Подставляя последнюю формулу и выражение (А. 17) в (А.6), мы полу-
получаем асимптотическое выражение в пределе больших га
(A. 19)
для собственной функции га-го энергетического состояния. Этот ре-
результат совпадает со стандартным видом квазиклассической волновой
функции, которая обсуждается в Главе 5.
А.2.4. Принцип соответствия Бора. В предыдущем разделе мы
показали, что главный вклад в интеграл 1т, а следовательно, и в вол-
волновую функцию ит дают окрестности двух точек перевала z±. Напом-
Напомним, что эти точки лежат на окружности радиуса w 2 (га + -
Заметим, что член 1/2 в выражении для радиуса в некотором
смысле произволен. Например, если в выражении (А.8), мы включим
множитель z~xl2 в экспоненту, то в методе перевала будет фигуриро-
фигурировать функция
Em(x;z) = - z2 — kxz + (га + 1) lnz.
В этом случае фазовая траектория представляет собой окружность
радиуса у/2(т + 1).
Точно также мы можем внести в фазу лишь га-ю степень z и рас-
рассматривать функцию
Ет (х; z) = - z2 — хх z + га In z.
В этом случае радиус фазовой траектории равен л/2га.
Более того, можно любым другим способом разделить на два сла-
слагаемых показатель степени переменной z, которая стоит в знаменателе
в интегральном представлении. Этот произвол содержится и в прин-

А. 2. Асимптотическое поведение	669
ципе соответствия Бора. Согласно Бору, мы можем заменить конеч-
конечную разность между соседними квантовыми уровнями с номерами т
и т + 1 дифференциалом, то есть
к
m+\
71 ~ dm'
Эта замена справедлива, если т велико. Однако принцип соответствия
ничего не говорит о том, при каком значении т мы должны вычислять
эту производную. Подробный анализ стационарного уравнения Шрё-
дингера, проведённый Крамерсом с помощью функции Эйри приводит
в конце концов к правильному квазиклассическому условию кванто-
квантования	, ^
действие = 2тгЙ I т + -
и даёт правильный ответ на загадку с 1/2, указывая, что производная
dhm/dm должна браться при га + 1/2, то есть посередине между со-
соседними квантовыми числами. Этот вопрос подробно рассматривается
в Главе 5.
Литература
Свойства полиномов Эрмита и их связь с функциями параболического цилиндра
можно найти в книгах
Szego G. Orthogonal Polynomials. American Mathematical Society, New
York, 1939
Градштейн И. С, Рыжик И.М. Таблицы интегралов, сумм, рядов и произ-
произведений. — М.: Наука. Физматлит,1971
Abramowitz M., Stegun I.E. Handbook of Mathematical Functions. National
Bureau of Standards, Washington D.C., 1964
[Справочник по специальным функциям с формулами, графиками и ма-
математическими таблицами / Под ред. М. Абрамовича и И. Стиган. — М.:
Физматлит, 1979]

Приложение Б
ОПЕРАТОРЫ, ЗАВИСЯЩИЕ ОТ ВРЕМЕНИ
В данном приложении обсуждаются вопросы, связанные с диффе-
дифференцированием оператора
W(t)=exp [?(*)],
где оператор B(t) зависит от времени. Эта задача является одной из
основных в квантовой механике, так как оператор B(t) часто быва-
бывает связан с гамильтонианом системы, и поэтому оператор U имеет
непосредственное отношение к оператору эволюции. Мы покажем, что
в общем случае производная от экспоненциального оператора exp [B(t)]
не сводится просто к тому же самому экспоненциальному оператору,
умноженному на производную от B(t). Это следует из того факта,
что производная от оператора В не обязательно коммутирует с самим
оператором В.
Проблема дифференцирования тесно связана с процедурой упорядо-
упорядочения операторов во времени. Мы получим формулу хронологического
упорядочения произведения п интегралов, содержащих гамильтониан
системы.
Б.1. Особенности дифференцирования операторов
Чтобы продифференцировать оператор U, разложим экспоненту в
ряд Тейлора
п=0
Так как n-я степень оператора представляет собой произведение п
операторов, то есть

Б.1. Особенности дифференцирования операторов	671
то производная по времени имеет вид
т- Bn(t) = ^-B(t)- B(t) • ... • B(t)
dt	dt
+ B{t) -^
dt "	"	(Б.1)
+ B(t) ¦ B(t) .....?tB{t).
Заметим, что здесь сохраняется порядок следования операторов. Лишь
тогда, когда оператор В и его производная коммутируют, то есть
все члены можно объединить, записав результат в привычной форме
jtBn(t) = п ¦ Б" ¦ ±B(t) = n ¦ ffB(t) ¦ Bn~\t),
которая уже непосредственно даёт
ft exp [B(t)] = ±B{t) ¦ exp [B{t)\ = exp [B(t)\ ¦ ±B(t).
В случае, когда оператор В и его производная не коммутируют, возни-
возникает более сложное выражение.
Проиллюстрируем это свойство на двух примерах. Оператор
B = -l-Hot
коммутирует со своей производной по времени
и поэтому
at
Напротив, оператор
содержащий интеграл от гамильтониана H(t), зависящего от времени,
не обязательно коммутирует со своей производной по времени
Действительно, эти два оператора коммутируют лишь тогда, когда
коммутируют операторы гамильтониана в различные моменты времени,
то есть [H(t), H(t')\ = 0 при любых временах t' ^ t.

672	Прил. Б. Операторы, зависящие от времени
Б.2. Упорядочение во времени
В разделе 2.4.3 была введена операция упорядочения во времени
l	*'>'ь (Б.2)
\ A(t{)B(t2) при tx>t2
произведения двух операторов A(t\) В fa), взятых в различные мо-
моменты времени t\ и t2, которая обеспечивает, что оператор в более
ранний момент времени всегда стоит справа. В данном разделе это
понятие хронологического произведения иллюстрируется для квадрата
и вообще n-й степени интеграла от гамильтониана, зависящего от
времени.
Б.2.1. Хронологическое произведение двух интегралов. Для
того чтобы лучше почувствовать операцию временного упорядочения,
вычислим сначала следующую величину
H(t')\ =fndt2 ^dtiH(t2)H(ti)\, (Б.З)
в которую входит произведение двух операторов H(t\) и H(t2), взятых
в различные моменты времени. Такой член появляется во втором по-
порядке при разложении оператора эволюции
f[exp{-l jdt'tf(t'
^ 1 - i J dtx H(tx) --^fUdt2\dtl H(t2)H(tx
в случае нестационарного гамильтониана H(t). Так как в член первого
порядка в гамильтониан Н входит линейно, операция упорядочения во
времени не нужна.
Итак, мы займёмся выражением (Б.З), то есть процедурой упорядо-
упорядочения во времени квадрата интеграла от нестационарного гамильтони-
гамильтониана. Для этого разобьём интегрирование по t\ на две области t2 > t\
и t\ > t2, как того требует определение (Б.2) операции упорядочения
во времени, то есть
t	t t2	t t
dt2 \dt\=\ dt2 \ dtx + [ dt2 \

Б.2. Упорядочение во времени
673
и получим
П2=Т
[ dt2 [ dti H(t2)H{t{) +f\\dt2 [ (it, H(t2)H(ti]
to	to	to	t2
В первом интеграле ^ > ?i и, следовательно,
f [Я(*2)Я(*1)] =H(t2)H(t{).
Второй же интеграл берётся по области t\ > t2 и с учётом соотношения
f [Я(*2)Я(*1)] =H(U)H(t2)
даёт
t t2	t t
П2 = \ dt2 \ dtx H(t2)H(ti) +\ dt2 [ <fti H(ti)H(t2).
to	to
to	t2
'0-
Рис. Б.1. Изменение порядка интегрирования. Чтобы взять итеграл по тре-
треугольной области на плоскости (ti,^), образованной диагональю, точкой
(to, to) и вертикальной линией, проходящей через точку t, следует сначала
проинтегрировать по переменной t\ в пределах от ?2 ДО t (горизонтальный
отрезок), а затем по ?2 в пределах от to до t. С другой стороны, сначала можно
проинтегрировать по переменной ?2 от to до t\ (вертикальный отрезок), а затем
по переменной t\ от to до t
Поменяем теперь порядок интегрирования во втором двойном инте-
интеграле, воспользовавшись формулой
t	t	t
dt2 dtx =
to	*2	^0
dt2,
22 В. П. Шляйх

674	Прил. Б. Операторы, зависящие от времени
проиллюстрированной на рис. Б.1, и получаем
t t2	t и
П2 = J dt2 J dtx H(t2)H(ti) + J dtx J dt2 H(ti)H(t2).
to	to	to	to
Если во втором двойном интеграле сделать замену
t\^t2 и t2^t\,
то он сводится к первому, так что
t t2
H2=2\dt2 \dtxH(t2)H(tx).	(Б.4)
to t0
Таким образом, мы получаем следующее выражение
Г	( . t	ч п	. t	j	t2
f \expl~\dt'H(t')\\ ^\-l-\dtxH(tx)-\ dt2 \dUH(t2)H(U)
^ ^ t0	J-l	t0	tJ0	t0
для членов низшего порядка в разложении оператора эволюции систе-
системы с нестационарным гамильтонианом.
Б.2.2. Произведение п членов. Теперь проведём процедуру упо-
упорядочения во времени произведения п интегралов от нестационарного
гамильтониана. Докажем, в частности, соотношение
Hn{t)=f\\dt'H{t')T =
'-to	*
. (Б.5)
to t0	t0
Очевидно, что результат (Б.4) для квадрата интеграла от гамильтони-
гамильтониана является частным случаем этой формулы. Напрашивается приме-
применить тот же самый метод, чтобы получить интересующую нас более
общую формулу. Однако, более удобно использовать другую процеду-
процедуру вычисления. Мы сначала получим рекуррентно-дифференциальное
уравнение, а потом покажем, что правая часть выражения (Б.5) удо-
удовлетворяет этому уравнению.
Дифференцируя по времени оператор
Г г	г	г	1
Hn(t) =T\jdtn H(tn) J dtn-i H(tn-i)... J dtx H(ti) ,
'-to	*o	t0	^

Б.2. Упорядочение во времени
675
являющийся произведением п одинаковых интегралов, получаем
t	t
H(t)\dtn-lH(tn-l)...\dtlH(tl) +
to	t0
t
\dtnH{tn)H{t)...\dtxH{tx)-
to	t0
что полностью соответствует формуле (Б.1).
Однако теперь в отличие от (Б.1) можно упростить получившееся
выражение, воспользовавшись операцией Т упорядочения во времени,
которая обеспечивает, что оператор, взятый в более поздний момент
времени, должен стоять слева. Наиболее поздним моментом времени
является t, поэтому мы можем переместить оператор H(t) налево.
В результате все п членов суммы становятся идентичными. Кроме
того, оставшееся произведение п — 1 интеграла от гамильтониана по-
прежнему должно быть упорядочено во времени. Таким образом, при-
приходим к рекуррентно-дифференциальному уравнению
-,п-1
dt'H(t')
= nH{t)Hn-x{t).
(Б.6)
Продифференцировав теперь правую часть соотношения (Б.5), полу-
получаем
*n-l
n(t) = n\\dtn-x \ dtn-2 ...\dtxH(t)H(tn-x)...H(tx) =
= nH(t)Hn-i(t),
то есть п-мерный интеграл (Б.5) действительно подчиняется двух-
двухчленному рекуррентно-дифференциальному уравнению (Б.6). Очевид-
Очевидно также, что правая часть (Б.5) удовлетворяет начальному условию
Hn(to)=O,
которое следует из определения ТСп.
22*

Приложение В
МЕРА ЗЮСМЕНА
В данном приложении мы обращаемся к вопросу адекватного опре-
определения ширины нормированного распределения вероятности. Отметив
сначала те трудности, которые связаны со стандартными мерами, на-
например с дисперсией, мы далее обсуждаем предложенное Зюсманом
(G. SuBmann) новое определение ширины как обратной площади под
квадратом функции распределения. Насколько выразительной является
эта мера, продемонстрировано для распределений Гаусса и Лоренца.
В.1. В чём недостаток других мер
Как определить ширину функции распределения? Предлагается
много величин, однако не все они достаточно выразительны. Некото-
Некоторые из них делают акцент на специфические особенности конкретных
распределений. Эти вопросы подробно описаны в литературе. Здесь же
мы остановимся лишь на нескольких способах определения ширины.
Для простоты рассмотрим распределение / = f(x) с нулевым сред-
средним значением	^
(х) = I" dxx-f(x) = 0.
— оо
Почему бы не использовать дисперсию
сю
5ух2 = (х2) = dxx2 • f(x)
— сю
распределения / для определения его ширины? Однако эта мера полез-
полезна только для хорошо локализованных распределений. Действительно,
для гауссовского распределения
она даёт
5vx =-^D.
v2
Интересно сравнить определённую таким образом ширину с расстоя-
расстоянием 5d = 2D между двумя точками ±D, в которых распределение

В.2. Выход из сложившегося затруднения	677
Гаусса убывает в е раз. Последняя величина больше, чем 5ух, в 2л/2
раз, то есть 5ух < 5]jx-
Обратимся теперь к распределению Лоренца
f( ) = l D
тг D2 + х2'
Это распределение имеет широкие крылья с относительно медленным
квадратичным убыванием. Второй момент этого распределения про-
просто не существует, так как стоящая в подынтегральном выражении
квадратично возрастающая функция компенсирует убывание крыльев
распределения. Тем не менее, и для лоренцева распределения можно
определить характерную ширину 5d = 2D как расстояние между точ-
точками ±D, в которых оба слагаемых в знаменателе равны друг другу.
Следовательно, в этом случае 5г>х < 5ух = оо.
В.2. Выход из сложившегося затруднения
Пример лоренцева распределения убедительно иллюстрирует необ-
необходимость более подходящей оценки ширины распределения. Здесь мы
рассмотрим меру Зюсмена, которая свободна от указанных недостат-
недостатков.
Определение. Почему бы не аппроксимировать функцию распре-
распределения некоторым прямоугольным распределением со средней высо-
высотой /г? Возникает вопрос, как определить h. Среднее значение любой
функции д(х), зависящей от х, определяется формулой
(д(х)) = J dxg(x) • f(x)
Если нас интересует средняя высота функции /, то надо, очевидно,
усреднить саму f(x), то есть положить д{х) = f(x). Определённая
таким образом средняя высота распределения / имеет вид
h=(f(x)}= I dxf(x)f(x).
Тогда мера Зюсмена 5sx определяется из условия сохранения норми-
нормировки распределения /, то есть 5sx • К = 1, которое даёт
^шгт^г-	(вл)
г
dxf\x)
Согласно этому распределению ширина Ssx обратно пропорциональна
площади под квадратом функции распределения.

678	Прил. В. Мера Зюсмена
Примеры. Проиллюстрируем меру Зюсмена на примерах гауссов-
ского и лоренцева распределений. Вычисляя соответствующие интегра-
интегралы, получаем ширину 5sx гауссовского распределения
5sx = л/2тг D.
Следовательно, эта величина даже больше, чем ширина Sjjx, то есть
5ух < 5]jx < 5sx. Аналогично, для лоренцева распределения мы имеем
Ssx = 2тг?>.
Эта величина больше, чем ширина 5]jx = 2D, в тг раз, что обусловлено
крыльями данного распределения при \х\ > D. Таким образом, распре-
распределению Лоренца отвечает иерархия 5dx < 5sx < 5ух = оо.
В.З. Обобщение на многомерные распределения
В заключение отметим, что данное понятие меры можно расростра-
нить на функции распределения с большим числом числом перемен-
переменных. Для простоты ограничимся случаем двухмерных распределений.
Они представляют особый интерес с точки зрения функций распре-
распределения в фазовом пространстве. В этом случае вместо ширины рас-
распределения вводится понятие характерной площади. Действительно,
площадь А той области фазового пространства х — р, где функция рас-
распределения W(x,p) заметно отлична от нуля, определяется величиной
1
А =
оо оо
dx dpW2(x,p)
Мера Зюсмена представляет собой частный случай общего класса
статистических мер, описанных в обзоре Верла. Отсылая за подроб-
подробностями к литературе, отметим, что эти понятия играют важную роль
в проблеме реконструкции квантовых состояний.
Литература
Подробный анализ различных определений ширины распределения вероятности мож-
можно найти в следующих источниках
Bialynicki-Birula /., Freyberger M., Schleich W.P. Various Measures of
Quantum Phase Uncertainty: A Comparative Study // Physica Scripta. 1993.
V. T48. P. 113-118.
Sussmann G. Uncertainty Relation: From Inequality to Equality. Z. Natur-
forsch. 52a, 49-52 A997)
Wehrl A. General properties of entropy // Rev. Mod. Phys. 1978. V. 50.
P. 221-260.

Приложение Г
УРАВНЕНИЯ В ФАЗОВОМ ПРОСТРАНСТВЕ
Формулируя уравнение Неймана в фазовом пространстве, мы столк-
столкнулись с довольно сложными выражениями для фурье-образов матрич-
матричных элементов, которые представляют собой комбинации кинетической
и потенциальной энергии, а также матрицы плотности. Цель данного
приложения состоит в том, чтобы выразить эти величины через произ-
производные от функции Вигнера.
Похожие выражения встречались нам и при выводе уравнений в фа-
фазовом пространстве, которые определяют функцию Моэля. Поэтому
целесообразно сначала рассмотреть матричные элементы более общего
вида, а затем применить эти результаты к квантовому уравнению
Лиувилля и функциям Моэля.
ГЛ. Постановка задачи
В данном приложении мы получим явный вид правой части кван-
квантового уравнения Лиувилля
dt
которое определяет эволюцию во времени функции Вигнера
сю
, 1
W(x,p\t) = — \
2irh J
— сю
В частности, мы выразим члены
сю
r = -i-L-L Т
~ Н2М 2тгП J
Р2Р~РР
обусловленные кинетической и потенциальной энергией, через произ-
производные функции Вигнера.

680
Прил. Г. Уравнения в фазовом пространстве
Кроме того, используя два уравнения
l-{\E"){E'lH)\x-\i
Е' + Е"
Ще-)(Е'\
= г-{Е> - E")W]E,,)m,
мы получим два уравнения в частных производных по фазовым пере-
переменным, которые определяют функцию Моэля
Е") Е'
:
Процедура вывода квантового уравнения Лиувилля непосредствен-
непосредственно связана с вычислением левой части уравнения Моэля. Действитель-
Действительно, подставляя гамильтониан
в написанные выше интегралы, находим
'\Е")(Е'\
где выделен вклад
(Г.2а)
(Г.2Ь)
отвечающий кинетической энергии и член
х + ^| [\E"){E'\U{x) ± U(x)\E")(E'\] \х - 1
соответствующий потенциальной энергии.

Г. 3. Члены с кинетической энергией
681
Г. 2. Преобразование Фурье матричных элементов
Для нахождения величин Т, Т^\ Ы и U^\ удобно использовать
преобразование Фурье
матричных элементов
р2 А± Ар2
(Г.З)
от антикоммутатора и коммутатора кинетической энергии с операто-
оператором А. Подставляя сюда А = р или А = \Е") {Е'\, получаем соотно-
соотношения
(Г.4)
2М
(Г.5)
которые связывают величины Т и Т^) с t^\
Для членов с потенциальной энергией U(x) мы точно так же опре-
определяем преобразование Фурье
(Г.6)
матричных элементов
от антикоммутатора и коммутатора операторов U(x) и
В этом случае получаются соотношения
которые связывают величины U и
Г.З. Члены с кинетической энергией
Рассмотрим сначала члены t^\ связанные с кинетической энергией,
записав предварительно матричные элементы М.^ в несколько ином
виде. Для этого вспомним выражение B.13), то есть
?>2
Р
дхг

682
Прил. Г. Уравнения в фазовом пространстве
которое дает
ф) = -
ф
р
д2
ф
В результате находим формулу
±
для матричных элементов
Перейдём теперь от производных по переменным
х" = х + - ? и х' = х — - ?,
к производным по х и ?, где
А
и ^ж^-ж7,
применяя правило
_д	 _д_ддхдд?_1д
+?) дх дхдх д^дх
и аналогично
В результате получаем соотношения
г\2	1 г\2
а матричные элементы ЛТ ; принимают вид
M^ = -2h2S,
\ д2 д2 д2
А
1
(

ГА. Члены с потенциальной энергией
683
Подставляя эти выражения в определение t^ и избавляясь от диффе-
дифференцирования по ? с помощью интегрирования по частям, получаем
А
1
(Г.7)
= -2 г
д 1
дх 2тг/г
(Г.8)
Теперь мы можем вычислить величину Т, используя точное выра-
выражение (Г.8) для t(~\p), а также формулу связи (Г.4), которые дают
Т — —^- — W	(Vе))
1 " М дх W'	[[ 'yj
Аналогично, воспользовавшись выражениями (Г.7) и (Г.8), а также
соотношениями (Г.4), (Г.5), получаем следующие результаты
(Г. 10а)
(Г. 106)
для функции Моэля.
Г.4. Члены с потенциальной энергией
Обратимся теперь к членам, связанным с потенциальной энерги-
энергией и^. Используя соотношение
U(x) \х) = U{x) \х),
которое следует из определения собственных функций и собственных
значений оператора координаты, получаем
А
1
х — -<
Раскладывая потенциал в ряд Тейлора
оо
m=0
dx
находим, что сумма
1=0
(ih/2J1 d2lU
72l)T^
(Г.11)

684	Прил. Г. Уравнения в фазовом пространстве
двух потенциалов со сдвинутыми аргументами содержит производные
чётного порядка от потенциала, в то время как разность
00 /., ,~ч9/ ,97_l_1 T^ . .? 2/+1
" lzt t- i;i dx— v ^/
включает только нечётные производные.
Подставляя эти выражения в интеграл Фурье (Г.6) для и^ и за-
записывая степени ? в виде производных от экспоненты, получаем
d2lU д2
иу 'J = " " ' ' '
B0!
Таким образом, связанный с потенциальной энергией член Ы в кванто-
квантовом уравнении Лиувилля записывается в виде
сю
и = У:->К: U-r^r^mW(x,P).	(Г.13)
Аналогично, члены U\ > имеют вид
_0^(-1IШ21 d2lu д21
1=0
(Г.146)
Следовательно, вклад от потенциальной энергии выражается через про-
производные по импульсу от функции Вигнера. Число таких производных
зависит от вида потенциала.

Г.5. Резюме	685
Г.5. Резюме
Теперь мы готовы к тому, чтобы сформулировать квантовое урав-
уравнение Лиувилля. С учётом соотношений (Г.9) и (Г. 13) уравнение
движения (Г.1) для функции Вигнера принимает вид
д . р д dU(x) д
f
Кроме того, принимая во внимание точные выражения (Г. 10)
и (Г. 14) для величин Т^ и U^\ мы получаем два уравнения в фазо-
фазовом пространстве
2М + и {Х> ш ах2 <-. Bi)\ dTn дп211 п\Е"НЕ'\
771/ , T7I//
& + Ь тхт
= 	g	^I^'X^'I
и
\ V д 8U д Л (-1
f^x B1 + 1)!
которые определяют функцию Моэля.

Приложение Д
ФУНКЦИЯ ЭЙРИ
Функция Эйри играет важную роль при построении квазикласси-
квазиклассических волновых функций. В этом приложении даётся краткий обзор
основных свойств этой функции, а также получены её асимптотики
в различных областях изменения аргумента. Кроме того, мы поговорим
о стоксовых и антистоксовых линиях и коснёмся так называемого
явления Стокса.
Д.1. Определение и дифференциальное уравнение
В 1838 г. Эйри получил дифракционный интеграл, который описы-
описывает изменение каждой цветовой (частотной) компоненты поля элек-
электромагнитной волны в поперечном направлении в радуге. Для действи-
действительного аргумента z эта функция Эйри определяется интегралом
(Д.1)
Для произвольных комплексных значений z выбирается подходящий
контур интегрирования.
Хотя в ряде явлений, таких как дробные возобновления, описанные
в задаче 9.4 приходится использовать функцию Эйри от комплексного
аргумента, всё же чаще представляет интерес поведение этой функции
Ai (z) на действительной оси Re (z) = х.
Определение (Д.1) свидетельствует о том, что функция Эйри явля-
является обобщением ^-функции
1
5(z) = — \ dt exp (izt)
и содержит в фазе не только линейный, но и кубичный по t член.
Заметим, что существуют и более общие формулы, в фазе которых
присутствует переменная интегрирования в пятой степени. Заинтересо-
Заинтересованный читатель может найти такие обобщения в специальной литера-
литературе. Функция Эйри удовлетворяет следующему дифференциальному
уравнению
Ai"()

Д.2. Асимптотическое разложение	687
Это можно доказать, дифференцируя определение (Д.1) дважды по z,
что даёт
Ai"(z) = ^ J dtexp (| t3) (-t2) exp (izt).
— OO
Интегрируя по частям, получаем
сю
Ai"(z) = - J- exp ({ A exp (izt) °° + ±- \ dtexp ({ A exp (izt).
— сю
Формально первый член не является сходящимся. Однако мы могли
бы добавить множитель ехр(—e\t\) со сколь угодно слабым затуханием
в подынтегральную функцию и тем самым обеспечить сходимость на
бесконечности. Тогда первый член исчезает и мы приходим к указан-
указанному дифференциальному уравнению (Д.1) для функции Эйри.
В заключение отметим, что существует даже строгий математиче-
математический подход к определению пределов осциллирующих функций. Такая
процедура требуется также и в теории расходящихся сумм. Место не
позволяет нам углубиться в детали этого интересного метода, согласно
которому, например, сумма вида
?=1-1 + 1-1 + ... = 1-A-1 + 1-1 + ...) = 1-?
принимает значение
а также имеют место соотношения
sin (oo) = cos (oo) = О,
непосредственно связанные с нашей задачей. Отсылая за подробностя-
подробностями к книге Харди, отметим, теория расходящихся сумм играет важную
роль в явлении Стокса, которое обсуждается в разделе (Д.2.3).
Д.2. Асимптотическое разложение
В этом разделе мы получим асимптотическое разложение функции
Эйри E.19). Применим для этого метод стационарной фазы к инте-
интегралу
— сю
определяющему функцию Эйри, где
S(t;z) = ^t3 + zt.	(Д.2)

688
Прил. Д. Функция Эйри
Разложим фазу
вблизи точек
{t-tsf
(Д.З)
удовлетворяющих условию стационарности фазы, то есть
as;
dt
= ti
= 0.
При этом ограничимся действительными значениями аргумента z =
= х. Обобщение на случай комплексного аргумента можно найти в
специальной литературе.
Из выражения (Д.З) находим, что при х > О точки стационарной
фазы
t8 = ±iVW\	(Д-4)
принимают чисто мнимые значения. И наоборот, при х < О точки
ta = ±д/Я	(Д-5)
действительны. Отметим, что при х = 0 две точки стационарной фазы
вырождаются в одну.
Рассмотрим сначала асимптотическое поведение функции Эйри при
отрицательных аргументах. В конце данного раздела кратко обсудим
случай положительных значений аргумента.
Д.2.1. Режим осцилляции. Подставляя выражение (Д.5) для то-
точек стационарной фазы при х < О в формулу (Д.2) для фазы, получаем
S(ts;x) = ±l-\x\3/2-
= Т| N3/2
d2S
= 2t\ts =±2\x
1/2
Тогда разложение фазы S(t; x) вблизи точки ts имеет вид
S(t;х) - S(ts; x)+l-Q
(t - tsf = Ц |x|3/2 ± \x\V\t T
Поэтому интегральное представление функции Эйри E.19) можно
записать в виде
сю
Ai(x) - exp [-|г|ж|3/2] ^ [ dt exp [г|х|'/2 (t - \x\l/2f~\ +
— СЮ
СЮ
+ ехр[|г|х|3/2] ^ Г dt exp [-г^!1/2 (* + |ж|1/2J] - (Д.6)

Д.2. Асимптотическое разложение
689
Воспользовавшись формулой для интеграла
ОО	,
[ dteiat2 = ,/Л eisigna7r/4,
J	V \а\
находим
Ai(x)-
1
-1/4
cos | -
О
2 - J) для х < 0.
(Д.7)
(Д.8)
Д.2.2. Режим затухания. Обратимся теперь к случаю, когда х >
> 0. Теперь точки стационарной фазы, как и сама фаза S, становятся
чисто мнимыми. В самом деле, подставляя точку стационарной фа-
фазы (Д.4) в выражение (Д.2) для фазы, получаем
S(te;x) = т|	(
С учётом второй производной от фазы
d2s
^) = ±г\
di2
= 2t\t. = ±2i\x\
разложение S в ряд Тейлора принимает вид
S(t;x)^±U\x\^2±i\x\l^(t
l/2\
Так как в показателе экспоненты фаза S входит с множителем г, то
ОО
[1/2 (* - *
i- [ dt ехр
СЮ
¦exp[+f|x|3/2]^ J
(Д9)
Как и в случае (Д.6) при х > 0, здесь тоже есть два вклада от двух
точек стационарной фазы. Но поскольку эти точки чисто мнимые,
а в экспоненте содержится множитель г, то вместо осциллирующих
вкладов теперь получаются экспоненциально возрастающий и убыва-
убывающий члены. Более того, второй интеграл в выражении (Д.9) рас-
расходится. Если численно проанализировать поведение функции Эйри,
то выясняется, что она экспоненциально убывает при положительных
значениях х. Следовательно, вторым членом в формуле (Д.9) надо
пренебречь. Тогда, взяв оставшийся гауссовский интеграл, получаем
следущее асимптотическое представление функции Эйри при положи-
положительных х
Ai(ж) ^
1

690	Прил. Д. Функция Эйри
Подчеркнём, что пока мы не дали строгого математического обосно-
обоснования отсутствия вклада от второй точки стационарной фазы. Это до-
достаточно нетривиальное утверждение мы кратко обсудим в следующем
разделе.
Д.2.3. Явление Стокса. Рассматривая асимптотики функции Эй-
Эйри, мы обнаружили, что функция Эйри меняет своё поведение в зависи-
зависимости от знака аргумента: при отрицательных значениях аргумента она
осциллирует, а в области положительных значений — экспоненциально
убывает. Осцилляции появляются в результате интерференции вкладов
от двух точек, в которых комплексные фазы стационарны и различны,
в то время как затухающее поведение обусловлено вкладом одной
точки стационарной фазы с действительным показателем экспоненты.
В последнем случае есть и вторая точка стационарной фазы, но её
вкладом надо пренебречь, чтобы получить согласие с точным резуль-
результатом. В наших предыдущих рассуждениях причина выхода из игры
одной из точек стационарной фазы осталась невыясненной. Почему
на «освещенном» крыле функции Эйри, то есть при х < 0 мы имеем
две экспоненты, в то время как на «тёмной» стороне при х > 0 есть
только одна экспонента? Где происходит включение и выключение
экспоненты?
Определение стоксовых и антистоксовых линий. Ответ на этот
вопрос надо искать в комплексной плоскости, и связан он с так на-
называемыми линиями Стокса. В литературе существует два определния
стоксовых и антистоксовых линий. Мы будем придерживаться опреде-
определения, предложенного Хедингом.
Рассмотрим два линейно независимых решения дифференциального
уравнения второго порядка, f\ и /2, которые ведут себя, в основном,
как exp [Si(z)] и ехр [^(г)]» то есть
/i - ехр [S\(z)] и /2 - ехр [S2(z)].
Предположим также, что в разных областях комплексной плоскости
эти два решения ведут себя совершенно различным образом: есть
области, где одно из этих решений много больше другого, и области,
где эти решения одного порядка. Стоксовы и антистоксовы линии
разграничивают эти области.
Антистоксовы линии в комплексной плоскости определяются сле-
следующим условием
Re[Sl(z)-S2(z)}=0.
Таким образом, на антистоксовых линиях решения f\ и /2 одинаковы
по абсолютной величине. Стоксовы же линии определяются условием
Поэтому на стоксовых линиях наиболее сильно проявляется различие
в асимптотическом поведении решений f\ и /2, так как
fi(z) ~ eReS^z) eiip и f2(z)

Д.2. Асимптотическое разложение
691
где (р = lmS\(z) = ImS^z). При пересечении линии Стокса оба ре-
решения меняются ролями: доминировавшее решение становится малым
и наоборот.
Приложение к функции Эйри. Уравнение Эйри
f"-zf = O
имеет два линейно независимых решения f\(z) = Ai(z) и /2B) =
= Bi(z). Мы показали, что асимптотическое поведение функции Ai(z)
имеет вид
,-1/4
--z3/2
3
exp
Можно также показать, что
h(z) ~ Z~l/A ехР
Тогда условие Rez3/2 = 0 определяет
антистоксовы линии
argz = ±|, тг,
в то время как стоксовы линии, для ко-
которых Im z3/2 = 0, удовлетворяют уело-
;г = о,±|.
aS
S
\
Imz
/
aS
%aS
S
Rez
Рис. Д.1. Стоксовы (S) и ан-
антистоксовы (aS) линии функ-
функции Эйри в комплексной плос-
плоскости. В затенённой области
функция Эйри Аг экспоненци-
экспоненциально мала. В оставшейся же
области она, напротив, являет-
является доминирующей
как показано на рис. Д.1.
Таким образом, функция Эйри мала
в области —тг/3 < argz < тг/3, затенён-
затенённой на рис. Д.1, и является доминирую-
доминирующим решением в дополнительной к этому сектору области. Функция
Bi преобладает в области —тг/3 < argz < тг/3, и мала в остальной
части комплексной плоскости.
Функция включения. В 1847 году Эйри предложил различные
приближения для Ai (z) при больших положительных значениях z и,
в частности, получил формально точное представление
Ai(z) =
exp \--z
L J
3/2
(-DrTr
с коэффициентами
Tr =
r=0
•- - I
36z3/2
r- - II
9

692	Прил. Д. Функция Эйри
Можно показать, что при больших значениях г эти коэффициенты
имеют вид	( п
т ~ (г- 1)!
ir — —
Поэтому при больших z величины Тг сначала уменьшаются, а затем
возрастают, то есть ряд расходится. Однако, как показал М. Берри,
эту сумму можно оборвать на некотором подходящем члене и просум-
просуммировать расходящийся остаток ряда методом Бореля. В результате
приходим к представлению
т-
где г* = 4^3/2/3.
В последнем выражении функция включения 0(z) при пересечении
линии Стокса z = \z\ exp [г2тг/3] быстро, но монотонно меняется от О
до 1, включая тем самым второе, экспоненциально малое решение.
Литература
Hardy G.H. Divergent Series. Oxford University Press, Oxford, 1963
Функция Эйри и линии Стокса
Dingle R.B. Asymptotic Expansions: Their Derivation and Interpretation. Aca-
Academic Press, New York, 1973
Heading J. An Introduction to Phase Integral Methods. Methuen, London,
1962
Berry M.V., Howls C.J. Infinity interpreted. Physics World, 6F), 35-39,
A993)
Berry M. V., Howls C.J. Hyper Asymptotics for Integrals with Saddles. Proc.
R. Soc. London, A434, 657-675, A991)

Приложение Е
РАДИАЛЬНОЕ УРАВНЕНИЕ
В разделе C.5) мы свели уравнения в фазовом пространстве для
функции Вигнера собственного энергетического состояния гармониче-
гармонического осциллятора к обыкновенному дифференциальному уравнению
°	(ЕЛ)
по переменной у = г2. В данном приложении показано, что требование
нормируемости функции Вигнера приводит к известному энергетиче-
энергетическому спектру осциллятора, а также позволяет однозначно выбрать ре-
решение радиального уравнения (ЕЛ) и найти функцию Вигнера, которая
имеет вид
^	(Е.2)
Решение радиального уравнения. Чтобы понять поведение реше-
решения, рассмотрим сначала асимптотическое дифференциальное уравне-
уравнение в пределе у —> оо. В этом случае уравнение (ЕЛ) упрощается
к виду
с ограниченным решением
Используя подстановку
w\r])(y) = L(v)e~y>	(Е-3)
из уравнения (ЕЛ) получаем
Решение этого уравнения ищем в виде степенного ряда
оо

694	Прил. Е. Радиальное уравнение
Подставляя производные
ОО	ОО
y: j с, yi-x = y: и+о cj+i yj
ОО
в уравнение (Е.4), находим
00 г	i
? (j + Oi 9+i + (i + 1) 9+i " 2j cj + B77 - 1) Cj U/ = 0.
i=o
Отсюда следует двухчленное рекуррентное соотношение
(j + IJ ci+, = 2 (j + | - »?) Cj,
или	/ 1
+
.	(E.6)
Нормировка и квантование энергии. Прямой путь состоит в том,
чтобы решить полученное рекуррентное соотношение. Однако в этом
нет необходимости, если мы хотим найти только правило квантования
энергии. Для этого рассмотрим асимптотический вид рекуррентного
соотношения при больших значениях j. В этом случае рекуррентное
соотношение принимает форму
и имеет решение
Отсюда получаем асимптотическое поведение L(y)
з	з
Но тогда при у —> оо функция Вигнера ведёт себя как
Очевидно, что это решение является ненормируемым. Мы получим
заведомо нормируемое решение, если потребуем, чтобы ряд (Е.5) обры-
обрывался на некотором члене, скажем на т-м, то есть положим cm+i = 0.
В этом случае из рекуррентного соотношения (Е.6) видно, что
г]т=т+ - или Ет = (т + -

Прил. Е. Радиальное уравнение	695
Таким образом, требование нормируемости функции Вигнера приводит
к известному правилу квантования энергии.
Явное выражение для Lm. Оборвав ряд на га-м члене, получаем
2(m-j+l)	_ (-2)' (m-j+l)(m-j + 2)...m _
так что решение имеет вид
т / \
L(y) = с0 Е( • ) ., =coLmBy),	(E.7)
где функция
Ьт(х) = У
представляет собой полином Лагерра степени т.
Итак, мы нашли функцию Вигнера
отвечающую m-му уровню энергии.
Нормировочная константа. Осталось найти нормировочную кон-
константу со- С помощью полученного решения и определения полиномов
Лагерра (Е.7) запишем условие нормировки
сю сю	сю 2тг	сю
dx J dpW\m)(x,p) = h J drr J dcpW\m)(r) = irh J dyW\m)(y) = 1
— ex) — ex)	0	0	0
в виде
j=0
Вычисляя биномиальную сумму
lm"j (-2)j = A - 2)m = (-l)m,
j=o
находим
Итак, функция Вигнера, отвечающая m-му уровню энергии, действи-
действительно принимает вид (Е.2).

Приложение Ж
АСИМПТОТИЧЕСКИЙ ВИД РАСПРЕДЕЛЕНИЯ
ПУАССОНА
В гл. 4 мы получили распределение энергии в когерентном со-
состоянии, вычислив скалярное произведение когерентного состояния
и состояния с определённой энергией. При аппроксимации волновой
функции стационарного состояния дельта-функцией, локализованной
в классической точке поворота, естественным образом получаются
полуцелые квантовые числа. В гл. 8 тот же результат был получен на
основе формализма площади перекрытия. Однако стандартная асимп-
асимптотика распределения Пуассона не приводит к нужному результату.
В данном приложении мы используем уточнённую формулу Стирлин-
га, чтобы получить правильное выражение с полуцелыми квантовыми
числами.
Известно, что распределение Пуассона
в пределе при Л —> оо переходит в распределение Гаусса
12"!
(Ж.2)
Так как при любом целом Л точное распределение Пуассона удовлетво-
удовлетворяет условию
WX-i = WX,
то, в отличие от выражения (Ж.2), максимум Wm достигается при Л —
— 1/2. Поэтому более точным приближением для распределения Пуас-
Пуассона, верным, по крайней мере, в окрестности точки т = А, является
выражение
W — L pvn ) — 	L
У2Л
как это видно из рис. 4.7.
(Ж.З)

Прил. Ж. Асимптотический вид распределения Пуассона	697
Получим теперь асимптотическую формулу (Ж.З), в которую входят
полуцелые числа, основываясь на уточнённой формуле Стирлинга
(т+1/2) 2
V	J —.	(Ж.4)
Взяв логарифм выражения (Ж.1)
In Wm = га In Л — In (га!) — Л
и воспользовавшись формулой (Ж.4), находим
lnWm =
или
111 W YD,	' » \ А I л J -1--1--1 1 А I л
Л
где введено обозначение 5 = т -\- - — Л. В пределе 5/Х <С 1 используем
разложение In A — х) = —х — - х2 и получаем
2 Л
что совпадает с формулой (Ж.З)
Литература
Уточнённая формула Стирлинга
Leubner С. Generalized Stirling approximations to N! // Euro. J. Phys. 1985.
V.6. P. 299-301.

Приложение 3
ИНСТРУМЕНТАРИЙ ДЛЯ ИНТЕГРАЛОВ
Основным инструментом, который использовался на протяжении
всей книги, является метод стационарной фазы. Этот приём позволяет
приближённо, но аналитически вычислять интегралы определённого
вида. Основную роль в этой процедуре играют интегралы Френеля.
В данном приложении после краткого обзора метода стационарной
фазы, мы обсудим интегралы Френеля, опираясь на свойства спирали
Корню. Всё это имеет непосредственное отношение к понятию интер-
интерференции в фазовом пространстве, рассмотренной в гл. 7.
3.1. Метод стационарной фазы
Чтобы понять основную идею рассматриваемого метода, мы начнём
с приближённой оценки одномерных интегралов. Затем рассмотренный
подход будет распространён на многомерные интегралы.
3.1.1. Одномерные интегралы. Метод стационарной фазы при-
применим к интегралам вида
[ dtf(t;x)exp[ig(t;x)].
Пусть существуют такие области переменной интегрирования t, где
функция д плавно меняется. Кроме того, предположим, что в некото-
некоторых областях переменной t функция д, наоборот, быстро возрастает,
спадает либо осциллирует, и, как следствие, экспонента exjp[ig(t;x)]
быстро меняется. Если функция / меняется медленно по сравнению
с этими осцилляциями, то такие области не дают вклада в интеграл.
Очевидно, что интеграл набирается на тех участках, где функция д
меняется плавно, то есть где
dg(t;x)
dt
= 0.
t=ts
Точка ts, где эта производная обращается в ноль, называется точкой
стационарной фазы.

3.1. Метод стационарной фазы	699
Одна точка стационарной фазы. Разложим функцию g в ряд
Тейлора
d2g(t;x)
9
dtz
о
t = t8
(t - tsy = g(ts; x) + - c(ts; x)(t - tsy
вблизи точек стационарной фазы ts, в которых первая производная от
g обращается в ноль. В последнем выражении введено обозначение для
второй производной
c(ta;x)= ^ '
t=t3
взятой в точке стационарной фазы.
Вынося медленно меняющуюся функцию /, взятую в точке ts, из-
под интеграла, получим
сю
1(х) 9* f(ts; x) exp [ig(ta; x)] f dt exp [i c(ts; x)(t - tsJ] .
— СЮ
Заметим, что пределы интегрирования при этом остались неизменны-
неизменными. Этот факт не самоочевиден, так как мы разложили функцию g
в ряд Тейлора и вынесли из-под интеграла функцию / в точке ts.
Возникают два вопроса. 1) Является ли получившийся интеграл схо-
сходящимся? 2) Какова окрестность точки ts, дающая основной вклад
в интеграл? На первый вопрос легко ответить, если вспомнить формулу
для интеграла Френеля
сю
= \
о
C.1)
Ответ на второй вопрос даст спираль Корню, которую мы рассмотрим
в следующем разделе.
Соотношение C.1) приводит к приближённой оценке исходного ин-
интеграла
I(x) ^ J-J^u fits', x) exp {г [g(ta; x) + sign (c(ta; x)) j] } .
Отметим, что вторая производная с входит в знаменатель подкорен-
подкоренного выражения. Поэтому приближённое выражение для исходного
интеграла / теряет смысл, когда вторая производная функции g об-
обращается в ноль. В этом случае следует учитывать кубичные члены
в разложении функции д, что приводит к интегралу, выражающемуся
через функцию Эйри. Такое разложение обычно называют равномер-
равномерным асимптотическим разложением.

700	Прил. 3. Инструментарий для интегралов
Отметим, что как точка стационарной фазы ts, так и функции
g(ts\x) и c(ts\x) зависят от х. Поэтому в принципе при определённом
значении х величина с может обратиться в ноль.
Несколько точек стационарной фазы. До сих пор предполага-
предполагалось, что функция g имеет единственную точку стационарной фазы.
Нетрудно обобщить полученный выше результат на случай нескольких
точек tj стационарной фазы. При этом каждая такая точка вносит свой
вклад в приближённое выражение для исходного интеграла
f(tfx) exp |г [g(tfx) + sign (c(tfx)) ^j j .
Знак второй производной в каждой стационарной точке tj определяет
знак соответствующего фазового сдвига.
3.1.2. Многомерные интегралы. Применим теперь метод стаци-
стационарной фазы к многомерным интегралам вида
оо	оо
1{х)= [ dt{x) ... [ Sn) f(tw,. ..,t(n);x) exp [ig (*('),. ..,t(n);x)].
Без ограничения общности можно считать, что интеграл зависит лишь
от одного параметра х, так как обобщение на случай нескольких
параметров никак не меняет дальнейших рассуждений.
Главный вклад в интеграл дают окрестности точек стационарной
фазы с координатами
Эти точки находятся из условия
9 „и(Р
= 0.
Таким образом, чтобы найти точку стационарной фазы, следует про-
продифференцировать функцию g по всем и переменным интегрирования.
В результате получается и уравнений с и неизвестными, решением ко-
которых являются координаты tj ,...,?^- точек стационарной фазы (t)j.
В наших обозначениях индекс j нумерует различные точки стационар-
стационарной фазы.
Разложим функцию в ряд Тейлора вблизи точек (t)j
g^\...,t{n);x)^	__
C.2)

3.1. Метод стационарной фазы	701
В последнем выражении введено обозначение для матрицы, составлен-
составленной из вторых производных
вычисленных в точках стационарной фазы (t)j.
Предположим, что функция / медленно меняется, тогда мы можем
вынести из-под интеграла её значение в точке (t)j. Используя разло-
разложение C.2) функции д, получаем
= Е /((% *) ехР fo((% *)] -h ((%*)' C-3)
где введён многомерный интеграл
сю	сю
7,-((%*) =
-сю	-сю
с переменными интегрирования
Последний интеграл является обобщением интеграла Френеля на мно-
многомерный случай. Непосредственно видно, что показатель экспоненты,
являясь числом, представляет собой произведение вектора-строки, мат-
матрицы и вектора-столбца. Размерность матрицы — п х п, векторы, со-
состоящие из координат т^к\ также имеют п компонент. При условии, что
функция д принимает действительные значения и достаточно гладкая,
чтобы порядок дифференцирования не имел значения, матрица вторых
производных является действительной и симметричной.
В случае, когда матрица вторых производных содержит внедиаго-
нальные элементы, интегрирование по каждой переменной не удаётся
осуществить независимо от других переменных. В силу действительно-
действительности и симметричности матрицы её можно диагонализовать с помощью
ортогональной матрицы U. При этом многомерный интеграл сводится
к произведению п независимых интегралов. Для этого приведём били-
билинейную форму
V T^V/ ; ((t) - Т) tW - V A(mV2
2_^т Ш\\Ъ)з1Х)т — 2^Aj ^>m
к,I	m
к главным осям. Здесь введены собственные значения матрицы вторых
производных \j , а также новые переменные согласно формуле
6п = Е^г(/)-	C-4)
Индекс j у собственных значений напоминает о том, что матрица вто-
вторых производных зависит от конкретной точки стационарной фазы (t)j.

702	Прил. 3. Инструментарий для интегралов
Заменим переменные интегрирования согласно формуле C.4). В си-
силу линейности преобразования его якобиан равен определителю мат-
матрицы U. Так как матрица U ортогональна, то |detC/| = 1, так что
Пользуясь мультипликативностью экспоненты, сведём интеграл J
к произведению одномерных интегралов Френеля, то есть
С помощью соотношения C.1) найдём
Учтём также, что произведение собственных значений Ху1' равно опре-
определителю матрицы вторых производных
Кроме этого, введём обозначение для целого числа
/ \ v—4 . Л (т) ( \
m=\
что приводит нас к следующему выражению
Подставляя последнее выражение в равенство C.3), окончательно
найдём
Внешне это выражение имеет много общего со своим одномерным
аналогом. Однако постоянная величина 2тг заменяется теперь на Bтг)п,
а вторая производная трансформируется в определитель матрицы вто-
вторых производных. Наиболее существенное отличие заключается в фа-
фазовых сдвигах. Знак второй производной в этом случае заменяется на
сумму знаков собственных значений Xj. Это число тесно связано
с индексом Маслова, встречающегося в квазиклассическом пределе
квантовой механики.

3.2. Спираль Корню	703
3.2. Спираль Корню
В предыдущих рассуждениях мы опирались на соотношение C.1)
Этот интеграл постоянно встречается в квазиклассическом приближе-
приближении квантовой механике. Как вывести эту нужную формулу? Можно
воспользоваться как чисто математическими, так и геометрическими
соображениями.
Формальный вывод начнём с гауссовского интеграла, принимающе-
принимающего действительные значения
G(a) =
О
и имеющего смысл при Recr ^ 0. Положив в этом интеграле а = — i~
и принимая во внимание, что
а — р-гтт/2	_ || -i(sign7-lOr/2
получим
Следовательно,
GG) = G(a = -i7) = ^/o
Мы получили требуемый ответ. Однако природа этого интеграла, при-
причина его сходимости остались невыясненными.
Более глубокое понимание этих вопросов даёт геометрический под-
подход, основанный на спирали Корню
По традиции в этом определении оставлен множитель тг/2.
Этот интеграл встречается в теории дифракции и описывает спи-
спираль Корню, изображённую на рис. 3.1. На горизонтальной и верти-
вертикальной осях этого графика отложены действительная
У
С (у) =Refldt exp [г^Л j	C.5а)

704
Прил. 3. Инструментарий для интегралов
-0,5
\Q)
-1,5
S(y)
0,5
-0,5
1.5,	^
(о
¦0,5
7y
Ciy)
Рис. 3.1. В декартовых координатах спираль Корню выражается через ин-
у	2	у	2
тегралы Френеля С (у) = dt cos — и S(y) = dt sin^. С ростом длины
о	о
дуги спирали у функции С и S осциллируют и в пределе у —»> оо принимают
установившееся значение С(оо) = <S(oo) = 1/2. Сходимость к этому значению
весьма медленная
и мнимая часть
/Г
=Imf \dt
i-fr
C.56)
величины F. Спираль Корню является нечётной функцией длины ду-
дуги у, т.е F(—y) = —F(y), так как подынтегральное выражение пред-
представляет собой чётную функцию. Отрицательные значения длины дуги
лежат в третьем квадранте.
Рисунок наглядно демонстрирует, что увеличение параметра у при-
приводит к осцилляциям функций С и S. В пределе у —> оо обе эти
функции принимают одно и то же установившееся значение
п(	\ or	\ l
С(у -> оо) = 5(у -> оо) = -,
что наглядно продемонстрировано рис. 3.1.
Функция
имеет отрицательную мнимую часть и, следовательно, является вели-
величиной, комплексно сопряжённой со спиралью Корню, представленной
на рис. 3.1.
Чтобы установить связь с интегралом G, выразим интеграл Френе-
Френеля через интегралы С и S. Нетрудно видеть, что
• оо) + г signG) S(y ->• оо).

3.2. Спираль Корню	705
Учитывая также соотношение
получаем формулу C.1).
Чтобы понять причину сходимости интеграла Френеля F, достаточ-
достаточно заметить, что подынтегральное выражение описывает окружность
в комплексной плоскости по мере роста переменной t. Скорость обхода
при этом всё время возрастает из-за квадратичной зависимости t2.
В результате подынтегральное выражение осциллирует всё быстрее
и быстрее, что гарантирует сходимость интеграла.
Литература
Метод стационарной фазы
Friedmann В. Lectures on Application-oriented Mathematics. Holden Day,
San Francisco, 1969
Heading J. An Introduction to Phase Integral Methods. Methuen, London,
1962
Wasow W. Asymptotic Expansions for Ordinary Differential Equations. Wiley,
New York, 1965
de Bruijn N. G. Asymptotic Methods in Analysis. North-Holland, Amsterdam,
1985
Метод перевала
Courant R., Hilbert D. Methoden der mathematischen Physik. Springer, Hei-
Heidelberg, 1931
Methods of Mathematical Physics, Interscience Publishers, New York, 1953
[Курант Р., Гильберт Д. Методы математической физики. Пер. с
нем. Т. 1-2. - М.-Л.: ГИТТЛ, 1951]
Спираль Корню и различные её представления описаны в книге
Jahnke Е., Emde F. Tables of Functions. Dover, New York, 1945
[Янке Е., Эмде Ф., Лёш Ф. Специальные функции: формулы, графики,
таблицы. Пер. с нем./Под. ред. Л. И. Седова — М.: Наука, 1964]
23 В. П. Шляйх

Приложение И
ПЛОЩАДЬ ПЕРЕКРЫТИЯ
В данном приложении мы вычислим площадь ромбовидной области
перекрытия между двумя полосами Планка-Бора-Зоммерфельда в фа-
фазовом пространстве. Для этого используем представление G.20) этой
площади
Л(о) - i
An.ra - 9
= т -
= п+A/2)
в виде двойной производной от площади а(^A\ J1^), заключён-
заключённой между орбитами, соответствующими укороченным действиям З1^
и J?Bl Согласно выражению G.15) площадь этого участка фазового
пространства можно записать в виде
*с(^A)
= 2J [
С(^B)
В последнем выражении чётко просматривается зависимость от двух
укороченных действий J1^ и J?Bl
ИЛ. Сведение ромбовидной области
к прямоугольнику
Дифференцируя по 3-^ \ найдём
да = р (хс- 3{2)) дХс - V (хс .^ПП дХ°
г@

И. 2. Ромбовидная область
707
Очевидно, что в точке пересечения орбит импульсы одинаковы, то есть
c;JB)),	(ИЛ)
а в точке поворота импульс равен нулю
Учитывая это, получим
1 да
dx-
Дифференцирование по З1^ приводит к следующему выражению для
площади перекрытия G.20)
dp(x;J(l))
гО)
дхс
(И.2)
Последнее выражение допускает интересную интерпретацию в фазо-
фазовом пространстве. Оно показывает, что площадь ромбовидной зоны
перекрытия, затенённой на рис. 7.3, приблизительно равна площади
прямоугольника с высотой
с- т
с- т) -
о\j-
X = Хс
jrO) =m+ 1/2
и шириной
= хс
= т + i; JB) = n
г B)
1)	=m+(i/2)
2)	=п+A/2)
как это видно из рис. И.1. Отметим, что как величина Ao^PBS\ так
и Ap(pBS) по отдельности неправильно отражают размеры ромбовидной
области: величина Ax(PBS) меньше поперечного размера этой области,
a Ap(pBS) превышает её высоту. Однако площадь прямоугольника с
такими сторонами в точности равна площади ромбовидной области,
затенённой на рис. ИЛ.
И.2. Ромбовидная область
Выражение (И.2) допускает и другое толкование. Перепишем для
этого величину дхс/д3-^ в ином виде. Рассмотрим две траектории
23*

708
Прил. И. Площадь перекрытия
Рис. И.1. Площадь ромбовидной области перекрытия m-й и п-й полосы
Планка-Бора-Зоммерфельда равна площади изображённого прямоугольника.
Его высота Ap(PBS) равна разности граничных значений импульсов, взятых
в точке хс пересечения крамерсовских орбит, соответствующих укороченным
действиям т + - и п-\- -. Границы полосы отвечают значениям действия т
и 771+ 1. Ширина прямоугольника Ax(PBS) представляет собой разность про-
пространственных координат точек пересечения линии, проведённой по сере-
середине m-й полосы, и линий, ограничивающих п-ю полосу. Величины Ax(PBS)
и Ар(рв^ не определяют истинных размеров ромбовидной области, однако их
произведение в точности равно площади этого участка фазового пространства
в фазовом пространстве, определяемые условием сохранения энергии
2М
(И.За)
(И.Зб)
В точке их пересечения хс импульсы и, следовательно, кинетические
энергии одинаковы, поэтому
_?;(!) (j?^1)) — Е^ (j?B)) — U^(xc) + U^ixc) = 0.
Продифференцируем это уравнение по <?B\ тогда
~du^ <тЩ дх
Г B)
dx
или
дхс
[ dx
dx
dx
-1
к = о,
dj
B)
(И.4)
(И.5)

И. 2. Ромбовидная область
709
Чтобы получить теперь производные от потенциала, продифференци-
продифференцируем выражение (И.З) по х, что даёт
ди(з)	pU) (х-
х-
дх =	М	dx	'
Подставляя эти соотношения в выражения (И.5), находим
дхс
Г B)
dx
dx
M
pv
Г B)
Для дальнейшего удобно выразить производную от энергии по дей-
действию через производную от импульса по той же переменной
др _ др дЕ _ М дЕ
При этом мы воспользовались уравнением фазовой траектории
+ U(l\x),
которое отвечает укороченному действию
Кроме того,
М дЕ{2) _ др
(И.6)
и тогда
дхс
dx
dx
-1
dp
ГBГ
Подставляя последний результат в выражение (И.2), получаем
Л^]п = -
dx
dx
-1
X = Xc
ТМ =m +
T^ =n +
. {W.I)

710	Прил. И. Площадь перекрытия
Следовательно, площадь ромбовидной области равна произведению
трёх сомножителей. Два из них представляют собой производные от
соответствующих импульсов по укороченному действию. Так как в пре-
предельном случае, когда применим принцип соответствия Бора
р(х; га + 1) - р(х; га) ^ p)f'
то указанные производные равны высотам двух полос Планка-Бора-
Зоммерфельда в точке их пересечения. Третий сомножитель представ-
представляет собой разность производных по координате. Эта величина есть
не что иное как угол, под которым пересекаются рассматриваемые
траектории. Таким образом, площадь ромбовидный области опреде-
определяется высотой двух полос Планка-Бора-Зоммерфельда и углом их
пересечения. Более подробно этот вопрос рассматривается в задаче 7.1.
И.З. Площадь перекрытия как вероятность
Покажем теперь, что выражение (И.7) для площади ромбовидной
области определяет вероятность перехода Лш>п. Для этого заметим,
что, как это следует из определения укороченного действия G.17),
соотношение
x\ J{jA = BтгП)-{ Т (jU)) (И.8)
совместно с выражением (И.6) даёт
др{х) _	2ттНМ
Аналогично,
др{2) _	2ттНМ
Вследствие этого выражение (И.7) теперь можно переписать в виде
^m,n — \Z7V'1) 1V1 \_1m
Здесь мы ввели обозначения
1m — *- \y ~	2 / '	n — V	~	2 / '
Pm(x) = p(x] JA) = m + -) и pn(xc) = p(x = xc, jW = n + -^.
Таким образом, площадь одной ромбовидной области перекрытия с точ-
точностью до размерного множителя 2тгЙ равна вероятности Лш>п.

Приложение К
Р-РАСПРЕДЕЛЕНИЯ
В данном приложении иллюстрируется метод отыскания Р-функ-
ции по заданной Q-функции, описанный в разделе 12.4.3. Мы полу-
получим Р-распределение теплового состояния, состояния с определённым
числом фотонов, а также сжатого состояния. Но для начала кратко
напомним суть самой процедуры.
Согласно выражению A2.43) Р-распределение получается при под-
подстановке фурье-образа Q-функции интересующего нас состояния
\ ^aiQ(ar,ai)e-i^a^ia^	(K.I)
в формулу обращения
Р(а) = Р(аг,аг) =
B^J
(К.2)
В дальнейшем, если не оговорено иное, пределы интегрирования при-
принимаются равными ±оо.
Поэтому процедура вычисления такова: сначала мы берём Q-функ-
цию и находим её фурье-образ Q, а получившийся результат подстав-
подставляем в написанное выше выражение и производим интегрирование.
К.1. Тепловое состояние
Используя выражение для Q-функции этого состояния A2.13)
1	/ ^ i ч 1	(к 3)
найдём соответствующее преобразование Фурье
оо	о
П(? С.\ —	*	Г йп p-al/[{n) + \]-i?r(Xr
W^r>WT[(ri> + l] J darC
— сю
Используя выражение для интеграла

712	Прил. К. Р-распределения
находим
Подставим это выражение в формулу обращения (К.2)
сю сю
— сю —сю
которая после повторного применения формулы (К.4) принимает вид
Р{аг,а.г) = —^ exp
Итак, Р-распределение в состоянии с заданной температурой по-
прежнему является гауссовским.
К.2. Состояние с заданным числом фотонов
В разделе 12.2 была получена Q-функция
1
i2n
a\2
для n-фотонного состояния. Чтобы найти соответствующее Р-распре-
Р-распределение, мы должны сначала вычислить фурье-образ
?i) = I \dar [da^e-^e-1^^^^	(K.6)
соответствующей Q-функции. С помощью замен
аг = Г COS (ра,	?r = yj Q + 42 COS (f?,
ai=r sin ipa,	& = у ^ + ^2 sin ^^
и нового обозначения ср = cpa — cp^ сведём интересующий нас интеграл
О	-7Г
Вспоминая интегральное представление функции Бесселя Jq{z)
7Г
¦г— dtp e	== Jq[z)
— 7Г
и полинома Лагерра Ln[z)
П\ -ZT , ч

К. 3. Сжатое состояние	713
можно представить фурье-образ Q-функции п-фотонного состояния в
виде
Подставив последнее выражение в формулу обращения (К.2), мы
сразу же сталкиваемся с трудностями в вычислении интеграла
Действительно, подынтегральная функция не исчезает при ?г, ^ —> оо,
и поэтому обратное преобразование Фурье не существует, а результат
не выражается через обычную аналитическую функцию. Однако ока-
оказывается возможным переписать это выражение через производные от
дельта-функции.
Разложив полином Лагерра в ряд по степеням ?г, выражение для
Р-функции можно представить в следующем виде
оо оо
1 (j?_ + j?_
4 \даг dcxi
— оо —оо
(К.7)
Очевидно, что мы можем вынести из-под интеграла полином Лаггера,
аргументом которого является лапласиан
2 '
да2г да
причём оставшийся интеграл представляет собой дельта-функцию. Та-
Таким образом,
_ т , 1 ( д2 , д2
4 \да2г да2
= Ln(-l-AM(a).
Следовательно, Р-распределение в n-фотонном состоянии получается
при действии п раз оператором Лапласа на дельта-функцию.
К.З. Сжатое состояние
В качестве ещё одного примера мы рассмотрим сжатое состоя-
состояние l^sq)- Q-функция для этого состояния определяется выражени-
выражением A2.11) (см. задачу 12.1)
f\{ \	I / I / \ 12	v	/	\2	(
Keg \LX I —	\ т SQ / —	1 C.A.JJ	\LXf	]Т)	1 \^
7Г	7TS+1	LS+1	S+1
(К.8)

714	Прил. К. Р-распределения
Найдём преобразование Фурье этой Q-функции, подставив выраже-
выражение (К.8) в (К.1)
сю
2 ^ [л г 2s
	—- dar exp
7Г S+ 1 J	^ L S+ 1
(ar - jrf - i?r
~r 1
Заменим переменные согласно
/3r = ar - 7r и
и найдём
oo
I e~iirlr | d/3r exp [
itt
x e-^i" | dpi exp
— OO
Используя выражение для гауссовских интегралов (К.4), получим
Q&, ^) = exp [-i±i er -S-^-?- ^
Согласно выражению A2.41) фурье-преобразование соответствующего
Р-распределения имеет вид
= exp —-— ^	-— ^ — i(t;r7r + &7г) • (К.9)
В общем случае это выражение экспоненциально возрастает при уве-
увеличении как величины ?г, так и <^. Лишь в когерентном состоянии,
когда 5=1, мы получаем осциллирующее выражение, которое при об-
обращении преобразования Фурье даст ^-функцию. Однако даже в общем
случае, несмотря на расходящееся подынтегральное выражение, мы
можем формально определить обратное преобразование Фурье подобно
тому, как это было проделано^ для фоковского состояния.
Подставляя фурье-образ Р Р-распределения (К.9) в формулу обра-
обращения (К.2), находим
сю
' I. ч	, . / Х
— сю	ею
d^i exp — -
P(ar, OLi) = ^— d?r exp —-— ^r + i^r(ar — jr)
Ztt I	L os	J
СЮ
j
— oo

К. 3. Сжатое состояние	715
Разложив экспоненту в ряд
е\х2 = у^ А^
п=0
получим, что
ш °^
X
т=0
'l-s\n
n=0
Кроме того, мы можем выразить величины <^г и ^ через производные
от соответствующих экспонент, то есть
771=0
P{ar,ai) = J2 i. (illir (^-Г ± f ^e^-
4	' ^-^ ml \ Ss J \idar) 2тт J
0
f" -1 Т
2тг J
V -
п=0
ИЛИ
El I - s U
—.	5	т
n=0 ' V	l
Просуммируем получившееся выражение и получим
- s д2 1 - s д2
=exp
да\
Данное Р-распределение обладает даже более сильной особенностью,
чем Р-распределение для фоковского состояния, которое содержит
лишь конечное число производных от дельта-функции.

Приложение Л
ЯДРО ДЛЯ ПРОЦЕССА ГОМОДИНИРОВАНИЯ
В разделе 13.2 было получен результат для разности числа фото-
фотонов П21 =П2 — пх, зарегистрированных детектором гомодинирования,
выраженный через некоторое ядро КП21(а,C). Здесь под щ понимается
число фотонов, зарегистрированных детектором /, а щ — это число
фотонов, зарегистрированных детектором 2. В данном приложении
мы получим замкнутую форму указанного ядра, используя для этого
функции Бесселя. Кроме того, мы обсудим предел сильного локального
осциллятора.
Л.1. Выражение для ядра в замкнутом виде
Согласно результатам раздела A3.18), ядро имеет вид
КП2[ (а, C) =
оо
-Е
ni=0
Щ
п\
и представляет собой вероятность зарегистрировать разницу в коли-
количестве фотонов П21 на выходах симметричного расщепителя пучка,
который перемешивает два когерентных состояния \а) и \/3).
В силу условия О ^ щ = щх + Щ при суммировании следует рас-
рассмотреть два случая: 1) когда щх > 0 и тогда формула для суммы
корректна; 2) когда п^х < 0, при этом суммирование начинается с щ =
= |n2i|. Во втором случае ядро принимает вид
2
[3 + су. \
ПХ ' г )	(-\П21\+П\ —
п1=|п21| \ V2 А \
Сдвинув индекс суммирования щ = — |n2i| -\-щ, получим
сю
X—^
I 21|	/	/ j
п,=0
/3-а\
^ /,
2
^2 /2
Таким образом, случай щх < 0 сводится к случаю щх > 0 с заменой а
на —а. Строго говоря, последнее выражение не совпадает с первона-

Л.1. Выражение для ядра в замкнутом виде
717
чальным определением ядра, так как поменялась нумерация состояний.
Однако это не имеет никакого значения при оценке величины данной
суммы.
Так как нам достаточно рассмотреть случай n<i\ > О, будем иметь
дело с суммой вида
кп.2Х = Y,
ni=0
П\
P-OL
щ
/3 + а
Используя явные выражения A3.12) для пуассоновской статистики
фотонов в когерентном состоянии, перепишем последнее выражение
в виде
n,=0
/3-а
C
2(n2i+ni)
1
П\\ [П
x exp |--
Учитывая, что
|/3 - a\2 + |/3 + a\2 = (C - a)(/3* - a*) + (/3 + a)(/3* + a*) =
находим
- е-Н2-1/з|2
C-а
СЮ
v—>
п,=0
+ П21)!
Оставшийся ряд представляет собой модифицированную функцию Бес-
Бесселя	QQ
1л*) = уАи1К,л,-	(лл)
п=0
п\ (п + v)\
Таким образом,
C — а
В случае щх < 0, то есть при щ\ = — \щ\\, выражение для ядра
К_\П2[\(а,C) можно получить, заменив а на —а в К\П21\(а,/3), то есть
К_1Ы(а,C) =
/3-а
/3 + а
7|п21|(|/32-'
Окончательный результат, объединяющий оба рассмотренных случая,
имеет вид
Р + а ^ Т. .ЛД2 _^-\а\2-\C\2
КП21(а,0) =
C-а

718
Прил. Л. Ядро для процесса гомодинирования
Непосредственно видно, что последнее выражение обладает требуемой
симметрией К_\П21\(а,C) = К\П21\(-а,C).
Л.2. Предел сильного локального осциллятора
В случае когерентного состояния \а) большой амплитуды, то есть
при \а\ ^> 1, рассматриваемое ядро можно существенно упростить.
Мы рассмотрим случай, когда отношение П2\/\а\ остаётся конечным
при \а\ —> оо.
Воспользуемся асимптотическим разложением (Л.1)
модифицированной функции Бесселя 1и, справедливом при vjz —> О
и конечном vI\fz. Тогда выражение для ядра КП2Х сводится к виду
1 («,/?) =
C — а
'2 — pjl
или
f3/a-\
ехр -
П21 е-|а|2-|/3|2 + |а|2|1-(/3/аJ|
х ехр —
п21
2\а\г\1 - (J3/a)'
В тождестве
\/3/а
пренебрежём членом |/3/а|4 и разложим корень, тогда
то есть приближённо получаем
l -
32-а2|
. (Л.2)
При этом мы воспользовались представлением а = \а
числа в виде амплитуды и фазы локального осциллятора.
ё1® комплексного

Л. 2. Предел сильного локального осциллятора
719
Подставляя это выражение обратно в показатель экспоненты в вы-
выражении (Л.2), найдём
ехр ( П21 In
1+Р/а
1-0/а
(Л.З)
В последнем выражении мы пренебрегли квадратичными членами
(C/аJ и (/3*/а*J в знаменателе показателя экспоненты и под знаком
корня, а также использовали очевидное равенство
-|/3|2 - \ {Ре-"J - \ {P'e"f = -\ {Ре-" + p*e"f.
Теперь осталось упростить логарифмический член. Ограничиваясь
линейными слагаемыми
= Н	1—* +
1+Р/а
1-13/а
A
1 -I
а
а а
а а
и использовав известное разложение
= х,
получим
In
1+Р/а
1-Р/а
П/	П/	\П/ ^
А$\
Подставив это выражение в формулу (Л.З), получаем окончательное
приближённое выражение для ядра КПп
р*е")
(Л.4)
Таким образом, в пределе сильного локального осциллятора ядро КП21
сводится к гауссовскому распределению величины П2\/\а\ с максиму-
максимумом в точке (Зе~г® + /3*ег^.

Приложение М
ЗА ПРЕДЕЛАМИ ДИПОЛЬНОГО
ПРИБЛИЖЕНИЯ
В данном приложении будет выведен гамильтониан A4.37) атома,
движущегося в электромагнитном поле с напряжённостью Е и магнит-
магнитной индукцией В. Для этого мы следуем процедуре, сходной с пред-
представленной в разделе 14.6, но теперь учтём также члены следующего
порядка в тейлоровском разложении A4.23), то есть первые производ-
производные векторного потенциала.
Затем мы совершим калибровочное преобразование над рассматри-
рассматриваемым гамильтонианом. Для этого рассмотрим классическую функ-
функцию Гамильтона и найдём по ней соответствующий лагранжиан. До-
Добавив к лагранжиану полную производную по времени, мы добьёмся
того, что электромагнитное поле будет входить в него только через
напряжённость Е и индукцию В. Исходя из этого нового лагранжиана,
будет получен соответствующий гамильтониан.
После этого мы обобщим калибровочное преобразование, описанное
в 14.6.2, на квантовый случай, что позволит учесть движение атомного
центра масс. При этом гамильтониан имеет тот же вид, что и при
классическом рассмотрении.
МЛ. Тейлоровское разложение первого порядка
В этом разделе мы уточним выражение для гамильтониана нулевого
приближения
#(о)^Р2 + ^(р-еАJ + Пг),	(МЛ)
учитывая для этого следующий порядок тейлоровского разложе-
разложения A4.23).
М.1.1. Разложение гамильтониана. Рассмотрим точный гамиль-
гамильтониан A4.21)

M.I. Тейлоровское разложение первого порядка	721
который выводится из принципа наименьшего действия, и воспользу-
воспользуемся разложениями
A (R + ^ г, t) <* A(R, t) + ^ (г ¦ Vr) A(R, i)	(M.2a)
A (R - ^ r, t) - A(R t) - ^ (r ¦ VR) A(R t).	(M.26)
В результате получим
M ^me mPy/ LV K/ J	2M2 Vme mv)
(M.3)
Здесь через i^^0^ обозначен гамильтониан нулевого приближе-
приближения (МЛ).
Вспомнив определения A4.13) и A4.17) полной М и приведённой /i
массы и вводя обозначения
Am = Шр — тпе,
получим соотношения
{тр _ ГПе \ _ (	_	ч (Шр +
y j	ГПрГПе \l
а также
1 1 /Am \2 _ M/x + Am2 _ 1	(m2 — mvme + m2e)(mv + me) _
M Дм] " M2/x ~ M2	mpme ~
M2
Используя полученные выражения, перепишем гамильтониан (М.З) в
виде

722	Прил. М. За пределами диполъного приближения
Учитывая явный вид гамильтониана нулевого приближения if(°) (МЛ),
мы можем сгруппировать слагаемые и получить компактную формулу
(M.4)
МЛ.2. Обобщение на операторы. Подчеркнём, что выраже-
выражение (М.4) остаётся справедливым и в квантовом случае, когда
импульсы Р и р заменяются соответствующими операторы по правилу
Жордана
Р -+ Р = - VR
г
Действительно, в кулоновской калибровке V•А = 0 квантовомехани-
ческий перекрёстный член
• [(г • VR) А] + [(г ¦ VR) А] ¦ р} Ф(г, R, t) =
= -
Ъ
= \ {Vr ¦ [(г ¦ VR) А]} Ф + 2 [(г ¦ Vr) A] ¦ РФ =
= j [(г ¦ VR) (Vr ¦ А)] Ф + 2 [(г • VR) А ] • Р Ф = 2 [(г ¦ VR) А ] • Р Ф
совпадает с классическим аналогом.
Аналогично, в силу того что векторный потенциал А зависит толь-
только от положения центра масс R, получаем
{р ¦ [(г ¦ VR) А] + [(г ¦ VR) А] ¦ р } Ф(г, IU) =
= -. Vr ¦ {[(г ¦ Vr) А] Ф} + [(г ¦ Vr) А] ¦ р Ф =
= \ {Vr ¦ [(г • Vr) А]} Ф + 2 [(г ¦ VR) А] ¦ рФ = 2 [(г • VR) А] ¦ РФ,

М.2. Классическое калибровочное преобразование	723
причём в последнем равенстве мы воспользовались соотношением
Vr-(r-VR)A= и '	и * '"^ с д
и условием кулоновской калибровки.
М.2. Классическое калибровочное преобразование
Гамильтониан Н^ (М.4) не является калибровочно инвариантным,
так как он содержит и векторный потенциал, и его первую производ-
производную. Чтобы выразить потенциал только через электрическое и маг-
магнитное поля, мы сначала вычислим соответствующий лагранжиан l/1),
а затем прибавим к нему полную производную по времени. Исходя из
этого эквивалентного лагранжиана l/Ч мы получим соответствующий
ему гамильтониан НA\ Заметим, что аналогичная процедура уже при-
применялась в разделе 14.6.1, однако теперь будет также учтено движение
центра масс.
М.2.1. Лагранжиан с учётом движения центра масс. В этом
разделе будет выведен лагранжиан
= R Р + г р - Я^,	(М.5)
отвечающий гамильтониану Н^1\ Для этого мы используем выраже-
выражение (М.4) для Н({\ чтобы вычислить скорости
г =
В результате имеем
Р = MR + е (г • VR) A
р = fir + еА + е^ (г • Vr) A.
Полученный результат позволяет выразить импульсы Р и р в выраже-
выражениях для лагранжиана (М.5) и гамильтониана Н^ через R и г. Таким
образом,
+ eR- [(r-VR)A]+/ir2 + er-A +

724	Прил. М. За пределами диполъного приближения
Лагранжиан, соотвествующий гамильтониану (М.4) имеет вид
= i MR2 + i /xf2 + er • A - V(r) + eR • [(r • Vr) A] +
^], (M.6)
ИЛИ
Здесь введено обозначение для лагранжиана нулевого приближе-
приближения (М.4)
L(°) = l-MR2 + l-ii2 + er • A-F(r).
Таким образом, движение центра масс учитывается в последних двух
слагаемых выражения (М.6). Однако эти члены не инвариантны отно-
относительно калибровочных преобразований.
М.2.2. Полная производная по времени. В разделе 14.6.1 мы
добавили к лагранжиану полную производную по времени, что поз-
позволило, не изменяя уравнений движения, исключить из рассмотрения
векторный потенциал и оперировать с электрическим полем.
Будем действовать в том же ключе и рассмотрим новый лагранжиан
(M.7)
Выполнив дифференцирование по времени и вспомнив, что R и г явля-
являются динамическими переменными, зависящими от времени, получим
х [f (г -Vr)A + г [(г • Vr)A] + (г ¦ Vr) R -Vr (г -А) + г ¦ (г -^
Принимая во внимание известное соотношение
Е = -^	(М.8)
между электрическим полем Е и векторным потенциалом в кулонов-
ской калибровке, заметим, что член со второй производной потенциала
учитывать не нужно, так как мы ограничиваемся только первым по-
порядком в тейлоровском разложении. Комбинируя оставшиеся члены,
получим формулу
= i MR2 + i /xf2 - V(r) + er • E + eR • [(r • Vr) A - VR (r • A)] +

М.2. Классическое калибровочное преобразование	725
которая с помощью соотношения
г х В = г х VR х А = VR (г • А) - (г • VR) A	(M.9)
сводится к виду
= i MR2 + i fir 2 - V(r) + er • E - eR • (r x B) -
где использовано обозначение L^ для преобразованного лагранжиана
нулевого приближения.
М.2.3. Гамильтониан с учётом движения центра масс. Вычис-
Вычислим гамильтониан НA\ соответствующий преобразованному лагран-
лагранжиану I/1). Чтобы отыскать эту величину
Н^ = R P + r p-Z^,	(М.11)
во-первых, определим из выражения для лагранжиана ZA1) (M.10)
канонические импульсы
я7
Р = ^- = MR - е (г х В)	(М. 12)
Т3\	/АЛ 1Q4
Q	2ТгХВ)>	(МЛЗ)
Перепишем теперь величины R и г в формуле (М.11) для гамиль-
гамильтониана и лагранжиана V (М.10) через значения Р и р, то есть
+ ± [Р + е (г х В)] е (г х В) + 1 [р + | ^ (г х В)] | ^ (г х В) -
е Am / —. ч / -^ч
" 2 "М" (Г ' Vr) (Г ' Е)'
или, собирая одинаковые слагаемые

726	Прил. М. За пределами дипольного приближения
Легко видеть, что электромагнитное поле входит в данный гамильто-
гамильтониан только через калибровочно инвариантные величины Е и В.
М.З. Калибровочное преобразование в квантовом
случае
В предыдущем разделе мы получили калибровочно инвариант-
инвариантный гамильтониан Н^ (М.14), учитывающий движение центра масс.
В этом классическом выводе использовался гамильтониан первого при-
приближения (М.4), причём к соответствующему лагранжиану l/1) мы
добавили полную производную по времени. Данный раздел содержит
соответствующие выкладки для квантового случая.
М.3.1. Калибровочный потенциал. Рассмотрим уравнение Шрё-
дингера
с гамильтонианом
Введём волновую функцию Ф
Ф(г, R, t) = ехр \г- еЛ(г, R, ?)] Ф(г, R, t).	(M. 16)
Здесь калибровочный потенциал
Л(г, R, t) = г ¦ A(R, t) + \ ^ (г ¦ VR) [г ¦ A(R, *)]	(М. 17)
выбран исходя из выражения для полной производной по време-
времени (М.7).
Так как мы работаем в первом приближении тейлоровского разло-
разложения, то мы должны пренебречь вторыми производными А по R. В то
же время производные по г следует сохранить.
Подставляя теперь выражение для волновой функции Ф (М.16)
в уравнение Шрёдингера (М.15), получаем уравнение движения
для Ф, которое из-за калибровочного множителя ехр (геК/К) содержит
несколько слагаемых. Проанализируем каждое из них отдельно.
Движение центра масс. Сначала мы обратимся к члену
[P-e(r-VR)A]
+ eVRA-e(r-VR)AJ Ф,

М.З. Калибровочное преобразование в квантовом случае	727
отвечающему за движение центра масс. Перепишем его с помощью
выражения (МЛ7) для величины Л в виде
[Р - е (г • Vr) А] Ф = ехр (| еЛ) {р + е [VR (г • А) - (г • VR) А]} Ф.
Как всегда, мы пренебрегаем вторыми производными векторного по-
потенциала.
Согласно выражению (М.9) мы можем объединить оба члена в квад-
квадратных скобках, переписав результат через магнитное поле, то есть
- е (г • Vr) AJ Ф = ехр ^еЛ)[р + е(гх В)] Ф.
Использовав это выражение, получим
|Р - е (г • VR) AJ Ф = Гр - е (г • VR) AJ ехр Q еЛ) х
х Гр + е(г х ВI Ф = ехр(^еЛ) fp+e(rx B)l fp + e(rx B)l Ф,
то есть
[P-e(r-VR)AJ Ф = ехр(^еЛ) [р + е (г х ВI Ф. (М.18)
Относительное движение. Обратимся теперь к относительному
движению и рассмотрим выражение
Г- А Am / п ч .1 / /г Л\ г\
^р - еА - е— (г • VR) Aj (ехр ^- еА) ФJ =
= ехр (^еЛ) р - еА - е—^ (г • Vr) A + eVr Л Ф.
Из определения (М.17) калибровочного потенциала Л видно, что
VrA = A+i^ [VR(r-A) + (r-VR)A],
и, таким образом,
Г- А Am / п ч .1 / /г Л\ г\
^р - еА - е— (г • VR) Aj (ехр ^- еА) Ф) =
Снова воспользуемся выражением (М.9) и выразим член в квадратных
скобках через магнитное поле
р - еА - е-^г- (г • VR) Aj (ехр (^- eAJ
(i А \ Г^ е Am , -^Л ~
= ехр(-еЛ)[р + -— (гхВ)]Ф.

728	Прил. М. За пределами диполъного приближения
Последняя формула определяет правило, по которому оператор кине-
кинетической энергии относительного движения действует на волновую
функцию
(г- VR)Aj (ехр ^- еА) ФJ =
Производная по времени. Обратимся теперь к производной по
времени
.,дФ ., д Г /г А\г1	(г Л Г <9Л~ , ., <9Ф
гЙ^- = гН— ехр -еЛ Ф = ехр - еЛ -е—Ф + гЙ —
Применяя определение (M.I7) калибровочного потенциала Л
$Л ^А , 1 Am / -_, ч ^А	-^ 1 Am ,
+	(У^	Е	(
и выражение для электрического поля (М.8), получим
дФ	(ъ а \ Г Г _. ™ , е Am ,_. ^ ч ,_. „ч"| ^
~т~ 6/7/ _ ^ .
(М.20)
М.3.2. Уравнение Шрёдингера^для функции Ф. Получим урав-
уравнение Шрёдингера для величины Ф. Для этого подставим результа-
результаты (М.18), (М.19) и (М.20) в уравнение (М.15). Сократив на калибро-
калибровочный множитель, имеем
е Am
[-^ , е Am
ег-Е+-—
то есть	~
dt
где гамильтониан Я"^1) определяется выражением (М.14).

Приложение Н
ЭФФЕКТИВНЫЙ ГАМИЛЬТОНИАН
В разделе 15.4.3 мы показали, что при больших отстройках от
резонанса эволюция во времени вектора состояния системы с гамиль-
гамильтонианом Джейнса-Каммингса-Пауля
Hint(t) = Пд (aa^eiAt + a^ae~iAt)	(H.I)
приближённо определяется эффективным гамильтонианом следующего
вида
^ [ &а +\{dz + 1)] .	(Н.2)
Этот результат был получен из точной модели Джейнса-Каммингса-
Пауля при больших отстройках от резонанса.
В данном приложении мы получим этот же результат, используя
оператор эволюции во времени
. t	t	t'
U(t, t0 = 0) ^ 1 - M dt1 H(tf) - \\dtf H(tf) \ dt" H(t"), (H.3)
0	0	0
рассмотренный в разделе 2.4. При этом мы ограничимся разложением
этого оператора до членов второго порядка.
Вычислим оператор эволюции (Н.З) для частного случая нерезо-
нерезонансного гамильтониана Джейнса-Каммингса-Пауля (Н.1).
Взяв интеграл
t
\dtf Hini(tf) = ^ \аа) (eiAt - l) - дЧ (e~iAt - l)] ,	(H.4)
о
получим член второго порядка вида
t t'	о о t
0	0	0

730	Прил. Н. Эффективный гамильтониан
' - l)] =
dt' [а2^2 (e2M' A')
[	BiM'
-2iAt'
e-2iAt' - e-iAt') - &aatf (е~ш' - l)] |. (H.5)
Это выражение можно значительно упростить, если принять во внима-
внимание, что
Э2 = \Ъ){а\\Ъ){а\ = \Ъ){а\Ъ)(а\=О,
и, таким образом,
а*2 = 0.
Отсюда находим
t	t'
[ Д4-1 TJ (+f\ [ Д4-11 TJ (+n\
\CLT li[ni[t ) Cil il[n\\Z ) —
о	о
Выполнив оставшееся интегрирование, получим дополнительный мно-
множитель А в знаменателе, а также осциллирующие и постоянные во
времени вклады. Второй и четвёртый члены в формуле (Н.5) приводят
к линейно возрастающим во времени выражениям. Сохраняя только
линейный вклад, получим
t	t'	22
\dt'H[nt(t') \dt"H[nt(t") ^ -г^- [(д^д-аа^Яа + дЩ t,
где мы воспользовались соотношением \а,д,Ц = 1.
Вспомним также, что
д^д - дд^ = \а) (Ъ\ \Ъ) (а\ - \Ъ) (а\ \а) (Ъ\ = \а) (а\ - \Ъ) (Ъ\ = az
2 \^z ' -v-
Тогда
t	t'	22
t'H[ni(t') \dt"H[nt(t") ^ -i^L \^za4 + i (az + 1)] t (H.6)
о	о
Сравним вклады первого и второго порядка (Н.4) и (Н.6). Оба
слагаемых содержат в знаменателе отстройку в первой степени. Член

Прил. Н. Эффективный гамильтониан	731
первого порядка постоянен либо осциллирует во времени, в то время
как вклад второго порядка линейно возрастает. Следовательно, отбро-
отбросив член первого порядка, окончательно получим
или
Последнее выражение содержит эффективный гамильтониан (Н.2).

Приложение О
ТЕРМОСТАТ ИЗ ОСЦИЛЛЯТОРОВ
В данном приложении мы получим уравнение для двухуровнево-
двухуровневого атома, взаимодействующего с термостатом, представляющим со-
собой набор гармонических осцилляторов. В частности, мы вычислим
двойной коммутатор гамильтониана взаимодействия V^ и Vi, взятого
в различные моменты времени, а также матрицу плотности, входящую
в кинетическое уравнение с крупнозернистой производной
Рг? = - i X- \dt2\dt\Tin{ fv2, [9i, p] 1} .	@.1)
t+r t2
Для упрощения записи введём многомодовый оператор уничтоже-
уничтожения	.
Лп = A(tn) = - J
^ z
и, соответственно, оператор рождения
Здесь величины tn = t\,t2 являются переменными интегрирования в
основном кинетическом уравнении.
В этих обозначениях гамильтониан взаимодействия принимает вид
Vn = V(tn) = hg
гамильтониана модели Джейнса-Каммингса-Пауля.
0.1. Вклад от членов второго порядка
Сначала мы вычислим двойной коммутатор, после чего возьмём
след этого оператора по степеням свободы термостата.
0.1.1. Вычисление двойного коммутатора. В наших обозначе-
обозначениях двойной коммутатор между гамильтонианом взаимодействия Vi
и V2, взятым в два различных момента времени t\ и t^, и вычисленной

0.1. Вклад от членов второго порядка	733
в момент времени t матрицой плотности р(?) системы, состоящей из
атома и термостата, имеет вид
[92, [Vup]] = (HgfS [ЭА\, [дА\, jo]] + [аЛ1 [а^Аир]] +
[^ ^] }. @.4)
Вычислим каждое из написанных слагаемых. Начнём с первого
члена
2, [ЭА\, p] = ЭА2ЭА\р' — ЭА\рЭА2 — cfAlfxrA] + рЭА\ЭА2-
Этот результат можно упростить, так как многомодовый оператор поля
коммутирует с атомным оператором. В результате в первом и послед-
последнем члене написанного выражения появляется квадрат величины а.
Напомним, что а2 = 0, так как двухуровневый атом может релаксиро-
вать лишь в основное состояние и никуда более. Поэтому получаем,
что	г	-,
12,[сгЛ),р] = — Л)сгрсгЛ2 — А2араА\.	@.5)
Подчеркнём, что а коммутирует с Ап, но не коммутирует с р. Таким
образом, мы должны следить за порядком следования операторов а и р.
Аналогично, получаем
и с учётом того, что двухуровневый атом не может перейти в какое-то
другое состояние кроме возбуждённого, то есть (<5^) = 0, имеем
@.6)
К сожалению, два оставшихся члена в выражении @.4) не подлежат
упрощению. Поменяем местами атомные и полевые операторы, сохра-
сохранив порядок следования операторов поля и матрицы плотности, то есть
@.7)
Аналогично, имеем
\а^А2, [ЭА\, р]
@.8)
Укажем способ, позволяющий определить, являются ли выраже-
выражения @.7) и @.8) согласованными: очевидно, что левые части этих

734	Прил. О. Термостат из осцилляторов
двух уравнений следуют друг из друга при замене атомных и полевых
операторов их эрмитово сопряжёнными величинами. Поэтому правые
части этих уравнений связаны таким же преобразованием. Аналогич-
Аналогичная замена объединяет выражения @.5) и @.6).
0.1.2. След по степеням свободы термостата. Возьмём след по
степеням свободы термостата. Предположим, что перед включением
взаимодействия между атомом и термостатом отсутствует какая-либо
корреляция и соответствующая матрица плотности является прямым
произведением вида
Р = Рат ® Рп-
Известно, след инвариантен относительно циклических перестановок
Тт(вд) = Тт(дв).
Тогда из соотношений @.5) и @.6) найдём
Тгп
И
Тгп
Два оставшихся слагаемых из выражений @.7) и @.8) имеют более
сложный вид
Тгп
Аналогично, имеем
Тгп ^А2, [^j,p]j = Э^аратЪп (A2A\pn^ + pat^f Тгп
- apaia^ Тгп (Л2Л{рп1 - а^рата Тги
Соберём все члены, дающие вклад в основное кинетическое уравнение
Тгп
:t Trn
Тгп (а\Л\^Л + (jSar^a - ?рат^) Тгп (Л\ А^рА I
@.9)

0.2. Соотношения симметрии при взятии следа	735
В последней формуле мы объединили слагаемые с одинаковым значе-
значением следа.
0.2. Соотношения симметрии при взятии следа
Уравнение @.9) предполагает вычисление следа от различных ком-
комбинаций операторов поля. Однако некоторые из этих выражений ока-
окажутся комплексно сопряжёнными друг с другом. Обсудим подробнее
эти соотношения симметрии.
0.2.1. Комплексно сопряжённые величины. Рассмотрим следу-
следующую комбинацию операторов
которая появляется в двойном коммутаторе и в его эрмитово сопря-
сопряжённом выражении
В силу того, что след инвариантен относительно циклических переста-
перестановок, имеем
TrnFt) = Тгп (ри А\ Ах) = Тгп (Яг Рп А\) = Тгп [Я\ Ах Рп) .
С помощью соотношения
Тг(E+) = Тг(б)*
приведём последнее соотношение к следующей форме
Тгп (Я\ А2 ри) * = Тгп (Я\ Ах рп) •	@.10)
Аналогично,
Тгп (Л\А\рп) =Тгп(рпЛ2Л) =Тгп(л2Лрп) =Тгп(лЛ2Рп!
Отсюда следует формула
Тгп (Я\ А\ рп) * = Тгп (Я2 Ах Рп) •	@.11)
0.2.2. Коммутатор операторов поля. Для дальнейшей работы
с выражением @.9) вычислим коммутатор операторов Ах и А\. При-
Применяя определения @.2) и @.3) многомодовых операторов
= 32 / j 9l 9т е	т 1а1>ат\
Q
1,т
и пользуясь известным коммутационным соотношением
[ai,am] =5i,m,

736	Прил. О. Термостат из осцилляторов
сведём искомый коммутатор к следующему выражению
-t2).	@.12)
В результате
Тгп (ЛЛ|рп) = Тгп { (Л|Л, + [Л, Щ) Рп
= Тгп (Л^Л^ + G{U - t2), @.13)
причём в последнем равенстве мы воспользовались тем, что Тгрп = 1.
0.3. Основное кинетическое уравнение
Чтобы получить более компактное выражение для основного кине-
кинетического уравнения, введём следующие обозначения
= ^ | dt2 Jdt, Trn (ЛЛй)	@.14)
t	t
-2 t+r
9_
т
Т = Тг + гТг = 9- \ dt2\dUTrn[A\A\pn),	@.15)
а также
_2 t-r /	^i
9- [ dt2 \db\G(t\ -t2).	@.16)
Подставим результат @.9) с учётом соотношений @.10), @.11)
и @.13) в формулу @.1), определяющую производную матрицы плот-
хB) _
ности рат . 1огда с точностью до членов второго порядка получаем
основное кинетическое уравнение
рат
- Г {аа^ рат + рат а^а -а^ рат а - ара
-Г* {д*арат + ратаа* -дргтд^ -д^ргтд} - G {рат д^д - дргт Э
-G* {а^арат-арат
Здесь введены обозначения @.14), @.15) и @.16) для /3, Г и G.

0.4. Явные выражения для Г, C и G	737
Перепишем последнюю формулу, перегруппировав для этого слага-
слагаемые
^ = 2C*арата + 2[3^рата^ - |7г* + G
ат + г* j5aT??t - (г + г*)
Отделяя действительную и мнимую части ГиС, получим
- Гг [а? рат + рат ac?T - 2 aT рат aj + i f Г^ + GA [a1 a, paTJ -
-iTi \dd\\
Принимая во внимание соотношения
G G =
И	,
GG = 6/ (ft CLj (b\ = 6/ (o| = — A — G^) ,
2
получим окончательную форму основного кинетического уравнения с
точностью до членов второго порядка
- \Tr + Grj [af а рат + ратс^ а - 2д ра
-Тг \аа^рат + ратаа^ -2а^рата] + 2/3* а
0.4. Явные выражения для Г, /3 и G
Остановимся подробнее на параметрах Г, /3 и G. Эти выражения
содержат произведение двух полевых операторов, и имеют более слож-
сложный вид, чем эффективная частота Раби g(t), возникающая в первом
порядке теории. Операторы Лп и А^ являются многомодовыми, то
есть представляют собой суммы по модам термостата. Поэтому удобно
в возникающих двойных суммах отделить произведения операторов,
относящихся к одной моде, от выражений, содержащих разномодовые
24 В. П. Шляйх

738	Прил. О. Термостат из осцилляторов
операторы. Тогда, учитывая определения @.2) и @.3) многомодовых
операторов, получаем
TY \ А^ Ал 7I — \^ n* n pi(Ait2-Arnt[) rp (rf 7i 7i\ —
II п ^2 J\\ Ри\ — зг" / j 9\ 9т е	1]- п I ai am Ри J —
+ Г^ /_^У1 Ут^	±lu yut
9 1фт
В случае, когда моды термостата не перепутаны друг с другом, мы
можем заменить матрицу плотности поля на соответствующий опера-
оператор р/, действующий на определённую моду поля, то есть
Тгп ( а\ сц рп) = Тгп ( а\ щ рЛ = щ
/±\	/±\	j.
Тгп [а\ ampnj = Trn (aj рЛ Тгп (ат рт) = (a])(am).
Здесь щ означает среднее число фотонов в 1-й моде.
Итак, мы нашли, что
9 1фт
Подставим последнее выражение в определение @.15) для величины Г
Г = Y^ Ы2 ni 7(Ль Л0 + Y1 9* 9т (al)(am) /(А/, Дш).
Y1
1фт
В последнем выражении введён повторный интеграл по времени
1{ЫЛт) = \ \ dt2 jdt,^^*2-^*').	@.17)
t	t
Параметр C определяется следующим выражением
I	1фт
Обратимся теперь к величине G. Подставив выражение @.13) для
G в определение @.16) величины G, получим
где использовано обозначение @.17) повторного интеграла /.

0.5. Интегрирование по времени	739
0.5. Интегрирование по времени
Преобразуем повторный интеграл по времени
?+т	t2
7-/д д \ 1 Г jj. гй
Т J
следующим образом
t.-\-T
-iArnt2	-iAmt
I(AhAm)= ¦ " -" *
то есть
{-гАшт) J
t
или
i(Ai-Am)t г(Аг-Ат)т _ i	-г(Дт-Дг)* i Дг r _
1 h m)~ (-iAm) г(Аг-Ат)г ^ г Аш	iAtr
При А/ = Am последнее выражение сводится к виду
В силу соотношения
е^ - 1 = cosi? - 1
окончательно имеем
/(Ль А.) = 2 sin2^;/2) + ii- [l - ^Ii] .	@.18)
24*

Приложение П
ФУНКЦИИ БЕССЕЛЯ
Функции Бесселя применяются во многих разделах теоретической
физики. В квантовой оптике они появляются в импульсных распре-
распределениях атомов, рассеивающихся на стоячей световой волне. В этом
приложении мы рассмотрим некоторые свойства функций Бесселя,
а также применим метод стационарной фазы к их интегральному пред-
представлению.
П.1. Определение функций Бесселя
Функции Бесселя первого рода Jp(z) представляют собой коэффи-
коэффициенты Фурье в разложении
Заметим, что отсюда немедленно следуют интегральные представления
этих функций
тг	2тг
1	Г	1 Г
Jp\z) = тг~ ^ ехр[—г(р?? — zsint?)] = -г— кМ exp[—г (pi? — ^sini?)].
Z7T J	Z7T J
-7Г	О
(П.1)
Оба представления эквивалентны, так как мы интегрируем периодиче-
периодические функции по периоду 2тг.
В задаче рассеяния атомов возникают интегралы вида
2тг
Ф) = 2^\М COi
о
и
2тг
(р) = -1- [
2тг J
Их нетрудно выразить через функции Бесселя, если применить форму-
формулы Эйлера для косинуса и синуса, а также сдвинуть интегрирование

П. 2. Асимптотическое поведение	741
в одном из интегралов на тг. После несложных вычислений получаем
Непосредственно видно, что выражение для с(р) равно нулю при нечёт-
нечётных значениях р, в то время как s(p) исчезает при чётных значениях р.
П.2. Асимптотическое поведение
Функция Бесселя обладает специфическими свойствами: она быст-
быстро убывает при \р\ > z и осциллирует в области \р\ < z. В этом разделе
мы получим асимптотическое разложение функции Jp(z), применяя
для этого метод стационарной фазы к интегральному представлению
функции Бесселя.
Разложим фазу
()	(П.2)
функции Бесселя
7Г
If
V\ )	г»	ЪЛ.^г	i
Z7T J
— 7Г
вблизи точки стационарной фазы #s, подчиняющейся условию
—	= p-^cos7i|9_o =0,	(П.З)
dv #=#s	v~Vs
то есть
- = cos?is.	(П.4)
Таким образом, при \p/z\ < 1 имеется две действительные точки
стационарной фазы
$s = ± arccos - ,
тогда как при |р/^| > 1 имеется всего одна, причём чисто мнимая, по-
подобная точка. При подстановке выражений для этих точек в фазу ?(#)
она становится чисто мнимой, что, с учётом множителя г, приводит
к быстрому экспоненциальному убыванию при \р\ > z.
Обратимся теперь к случаю двух действительных точек стацио-
стационарной фазы при \р\ < z. Подставляя их в определение фазы (П.2),
получим
/-4 / П \	I	I	I Ю \	I О
-Р*

742
Прил. П. Функции Бесселя
Вторую производную ?(#) найдём из выражения для первой производ-
производной (П.З) с учётом формулы (П.4)
d2S	/
Следовательно, функция Бесселя (П.1) приближённо равна
W - -ЛГ еХР fi [>
1Z7T	^ L
1 z1 — р2 — р arccos ( - ) \\
\z J\)
+СС.
Используя формулу
J dye~
7Г _jK
а
l-г Signa
при действительных значениях а, получим окончательное приближён-
приближённое выражение для функции Бесселя
Uz\^k-
„2Ч-1/4
COS
Заметим, что интерференция двух действительных точек поворота ±$s,
определяемых из условия
р = ^cos^s,
ведёт к осцилляторному поведению функций Бесселя Jp(z) при р < z.
Литература
Асимптотическое разложение функции Бесселя, представленнное в данном прило-
приложении, является частным случаем разложения Дебая.
Debye P. Naherungsformeln fur die Zylinderfunktionen fur groBe Werte des
Arguments und unbeschrankt veranderliche Werte des Index // Math. Ann. 1909.
V.67. P. 535-558.

Приложение Р
КВАДРАТНЫЙ КОРЕНЬ ИЗ 5-ФУНКЦИИ
В данном приложении мы рассмотрим свойства функции
!	ЛГ-1
N
и, в частности, покажем, что в пределе N —> оо квадрат модуля
этой функции представляется бесконечным рядом, состоящим из дель-
дельта-функций, локализованных в целых точках j, то есть
2
lim
= E
В этом смысле мы можем интерпретировать выражение 5N (^) как
квадратный корень из (^-функции.
Используя известную формулу
^ Х	1 -х '
мы можем записать рассматриваемую функцию 5N (^) в виде
При этом квадрат модуля этой функции определяется выражением
" _ J_
~ N
sin (^тг
Заметим далее, что для любого целого значения ? числитель и знаме-
знаменатель последнего выражения равны нулю, так что
|2
lim
= lim N -^ оо.
При любом другом значении ? отношение двух синусов конечно, и,
таким образом
lim
< lim i- -> О,

744
Прил. Р. Квадратный корень из 5-функции
где с — некоторая константа. Такое поведение свидетельствует о том,
что эта функция действительно представляет собой суперпозицию
^-функций, расположенных в точках j. Проверим, соблюдается ли
условие нормировки.
Посчитаем для этого площадь под исследуемой функцией в окрест-
окрестности целого значения j. Введём переменную интегрирования ? =
тогда
M=i T« 2si
J-?
ИЛИ
. sin
= 1.
Таким образом, площадь под рассматриваемой кривой равна единице.
Литература
Выражение для квадратного корня из дельта-функции можно найти в следующем
источнике
Berry М. V. Semiclassical theory of spectral rigidity // Proc. R. Soc. Lond. A.
1985. V.400. P. 229-251.

Литература для дальнейшего чтения
Учебники по классической оптике, лазерной физике
и нелинейной оптике
Born М., Wolf E. Principles of Optics Gth Ed.), Cambridge University Press,
Cambridge, 1999
[Бори M., Вольф Э. Основы оптики. — M.: Наука, 1973]
Klauder J.R., Sudarshan E.C.G. Fundamentals of Quantum Optics. Benjamin,
New York, 1968
[Клаудер Дж., Сударшан Э. Основы квантовой оптики. — М.: Мир, 1970]
Haken Н. Laser Theory. Springer Verlag, Heidelberg and Berlin, 1984.
Данный материал впервые был опубликован в Encyclopedia of Physics, edited
by S. Fliigge, Springer, Heidelberg, 1970
Nussenzveig H.M. Introduction to Quantum Optics. Gordon and Breach,
London, 1973
Louisell W.H. Quantum Statistical Properties of Radiation. Wiley, New York,
1973
Sargent III M., Scully M.O., Lamb Jr. W.E. Laser Theory. Addison-Wesley,
Reading, Mass., 1974
Allen L., Eberly J.H. Optical Resonance and Two-Level Atoms. Wiley, New
York, 1975. Данная книга была переиздана издательством Dover в 1987 г.
[Аллен Л., Эберли Дж. Оптический резонанс и двухуровневые атомы. —
М.: Мир, 1978]
Loudon R. The Quantum Theory of Light Crd Ed.), Oxford Science Publish-
Publishing, Oxford, 2000
[Лоудон Р. Квантовая теория света. — M.: Мир, 1976]
Perina J. Coherence of Light. Reidel, Dordrecht, 1985
[Перина Я. Когерентность света. — М.: Мир, 1974]
Schubert М., Wilhelmi В. Nonlinear Optics and Quantum Electronics. Wiley,
New York, 1986
Milonni P. W., Eberly J.H. Lasers. Wiley, New York, 1988
Levenson M.D., Kano S.S. Introduction to Nonlinear Laser Spectroscopy.
Academic Press, San Diego, 1988
* Перина Я. Квантовая статистика линейных и нелинейных оптических
явлений. — М.: Мир, 1987
^Александров Е.Б., Хвостенко Г.И., Чайка М.П. Интерференция атомных
состояний. — М.: Мир, 1991
*Ахманов С.А., Никитин СЮ. Физическая оптика. — М.: Изд. МГУ, 1998

746	Литература для дальнейшего чтения
Учебники по квантовой оптике
Weissbluth М. Photon-Atom Interactions. Academic Press, Boston, 1989
Cohen Tannoudji C, Dupont-Roc /., Grynberg G. Photons and Atoms, Intro-
Introduction to Quantum Electrodynamics. Wiley, New York, 1989
Shore B. W. The Theory of Coherent Atomic Excitations. Wiley, New York,
1990
Meystre P., Sargent III M. Elements of Quantum Optics. Springer Verlag,
Berlin, 1990
Gardiner C. W. Quantum Noise. Springer Verlag, Berlin, 1991
Carmichael H. An Open Systems Approach to Quantum Optics. Springer
Verlag, Heidelberg and Berlin, 1993
Walls D.F., Milburn G.J. Quantum Optics. Springer Verlag, Heidelberg and
Berlin, 1994
Mandel L., Wolf E. Optical Coherence and Quantum Optics. Cambridge U.P.,
New York, 1995
[Мандель Л., Вольф Э. Оптическая когерентность и квантовая оптика. —
М.: Физматлит, 2000]
Pike E.R., Sarkar S. The Quantum Theory of Radiation. Clarendon, Oxford,
1995
Vogel W., Welsch D.G. Lectures on Quantum Optics. Akademie Verlag,
Berlin, 1996
Scully M.O., Zubairy M.S. Quantum Optics. Cambridge U.P. New York, 1996
[Скалли М.О., Зубайри М.С. Квантовая Оптика. — М.: Физматлит, 2003]
Barnett S.M., Radmore P.M. Methods in Theoretical Quantum Optics. Oxford
University Press, Oxford, 1997
Carmichael H.J. Statistical Methods in Quantum Optics 1, Master Equations
and Fokker-Planck-Equations. Springer, New-York, 1999
*Микаэлян А. Л. Оптические методы в информатке. — М.: Наука, 1990
*Килин С. Я. Квантовая оптика: поля и их детектирование. — Минск:
Наука и техника, 1990
Сборники работ
Следующие статьи были включены в различные сборники
Mandel L., Wolf E. Selected Papers on Coherence and Fluctuations of Light.
Dover, New York, 1970
Knight P.L., Allen L. Concepts of Quantum Optics. Pergamon, Oxford, 1983
Meystre P., Walls D.F. Nonclassical Effects in Quantum Optics. American
Institute of Physics, New York, 1991
Perina J. Selected Papers on Photon Statistics and Optical Bistability. SPIE,
Bellingham, 1991
Agarwal G.S. Selected Papers on Fundamentals of Quantum Optics. SPIE,
Bellingham, 1995
Agarwal G.S. Selected Papers on Resonant and Collective Phenomena in
Quantum Optics. SPIE, Bellingham, 1995

Литература для дальнейшего чтения	747
Летние школы и конференции
Обзор состояния методов квантовой оптики представлен в трудах летних школ и кон-
конференций
DeWitt С, BlandinA., Cohen-Tannoudji С. Quantum Optics and Electronics.
Gordon and Breach, New York, 1965
Glauber R.J. Quantum Optics: Proceedings of the International School of
Physics «Enrico Fermi». Academic, New York, 1969
Meystre P., Scully M. О. Quantum Optics, Experimental Gravitation and
Measurement Theory. Plenum, New York, 1981
Grynberg G., Stora R. New Trends in Atomic Physics: Les Houches 1982,
Session XXX-VIII. North-Holland, Amsterdam, 1984
Dalibard /., Raimond J.-M., Zinn-Justin J. Fundamental Systems in Quantum
Optics: Les Houches Lecture Notes, Session LIII. North-Holland, Amsterdam,
1992
Mandel P. Quantum Optics: Proceedings of the XXth Solvay Conference on
Physics // Physics Reports. 1991. V. 219. P. 78-348.
Arimondo E., Phillips W.D., Strumia F. Laser Manipulation of Atoms and
Ions: Proceedings of the International School of Physics «Enrico Fermi». North-
Holland, Amsterdam, 1992

Предметный указатель
Р-распределение из Q-функции
383, 384
—определение 379-381
—состояние с заданным числом фо-
фотонов 712, 713
-,- сжатое 386, 713, 715
—,— тепловое 385, 711, 712
—,— фоковское 386
—, усреднение с помощью
Р-распределения 378, 379
—,эволюция во времени 603
Q-функция затухающего гармони-
гармонического осциллятора 601
— из Р-распределения 381, 382
—определение 363, 365
—,состояние вакуумное 368
—,— когерентное 366
-,- сжатое 368, 387
—,— тепловое 369, 370
—,	фазовое 371, 372, 387
—,— фоковское 367
—, усреднение с помощью
Q-функции 376, 378
s-параметризованные распределе-
распределения в фазовом пространстве 389
Автокорреляционная функция
266-269
Антифотон 319, 320
Асимптотология 48, 120, 123
Атомная инверсия 564
— оптика 41
Атомный интерферометр 43
Барнетта-Пегга фазовые состояния
259
Бейкера-Хаусдорфа теорема 336
Бернулли числа 312, 322
Берри фаза 200
	, адиабатическая теорема 200
	, гармонический осциллятор
196
	, геометрическая фаза 203
	, динамическая фаза 204
	и ВКБ 199
	, неадиабатическая 215
	, поток в гильбертовом про-
пространстве 203
	, скачок фазы в точке поворота
211
	, топологическая фаза 203
Бесселя функция модифицирован-
модифицированная, асимптотика 423, 424
	, асимптотическое разложе-
разложение 718
	, интегральное представле-
представление 423
	, Тейлора ряд 423
	, тейлоровское разложение
717
	первого рода, асимптотическое
разложение 741, 742
	—, интегральное представ-
представление 740
	, производящая функция
740
Блоха сфера 595
— уравнения 594, 595, 607
Больцмана распределение 563, 564,
573
Боппа операторы 115
Вайскопфа-Вигнера затухание 598
Вакуумное электрическое поле 317
Векторы поляризации 298, 299, 323

Предметный указатель
749
Взаимодействие атома с резервуа-
резервуаром 590, 591
Вигнера функция, асимптотология
120
	, верхняя граница 96
	, для туннелирования 118
	, интегральное представление
91, 92
	, когерентное состояние 144,
145, 244
	, определение из фазового про-
пространства 99
	, отрицательные значения 97
	, правило произведения 94
	, предельные распределения 93
	, представленная как смещение
плюс оператор чётности 391
	, сжатое состояние 150, 163,
164, 245
	, состояние с данным числом
заполнения 103, 109, 111, 112,
130-132
	, — фоковское 693, 695
	, — шрёдингеровской кошки
349, 351, 358
	, статистика фотонов 262
	, термодинамическое состояние
117
	, томографическая реконструк-
реконструкция 146, 171, 173, 174, 179
	, уравнения в фазовом про-
пространстве для собственных со-
состояний энергии 102
ВКБ метод, Бора-Зоммерфельда-
Крамерса условие квантования
190
	 в применении к гармоническо-
гармоническому осциллятору 196
	потенциалу Морса 195
	, волновой анзац 184
	, квантование энергии 187
	, классическая вероятность 182
	, — траектория в фазовом про-
пространстве 182
	, корпускулярный анзац 184
	, Лангера преобразование 195,
197
	, область применимости 186
	, простейшая волновая функция
192
	, равномерное асимптотическое
разложение 193
	, сшивка решений 188
Возобновления Джейнса-Кам-
мингса 497
—,Джейнса-Каммингса-Пауля мо-
модель 494, 496, 497, 518, 521
- дробные 267, 273, 280-282, 284,
287, 288, 496, 497
—,молекулярные волновые пакеты
268, 269, 287
—,одноатомный мазер 498, 499
—,электронные волновые пакеты
268, 287
Возрождения дробные 269
—,электронные волновые пакеты
268
Волновой пакет, кеннардовский 147
	молекулярный 268, 269, 287
	фотонный 266
	электронный 268
	, - 287
Вольтерра-Шлезингера мультинте-
грал 81, 88
Вольтерра—Шлезингера мультинте-
грал 81
Восьмиканальный интерферометр,
измерение Q-функции измере-
измерение 413, 414
	, преобразование состояний
406, 408
	, связь с проблемой ЭПР
411-413, 425
	, сильный локальный осцилля-
осциллятор 410, 411, 415
	, статистика фотоотсчётов 408,
409, 415
	, схема 406
	, ядра 409, 410
Вращающейся волны приближение
454, 455
Гамильтониан взаимодействия, атом
в электромагнитном поле 433
	в дипольном приближении 436
	, высшие поправки 438

750
Предметный указатель
	, диполь в электрическом поле
439
	, заряженная частица в элек-
электромагнитном поле 432
	, Рентгена гамильтониан 439,
440
	, эквивалентность А • р и г • Е
443
—	диамагнитный 442
—	парамагнитный 442
Гармонический осциллятор 61, 108
	, асимптотическое разложение
126, 664
	, Вигнера функция 111, 129
	, волновая функция стационар-
стационарного состояния 661
	, волновые функции, отвечаю-
отвечающие данной энергии 64
	, двумерный 109
	, квантование энергии из фазо-
фазового пространства ПО, 111
	, — — с помощью волновых
функций 65
	с вынуждающей силой 356
Гауссова сигара 150, 245, 246, 248,
250-252, 649, 650
Гауссовы суммы 281, 283
Гельмгольца уравнение, общий слу-
случай 296
	, прямоугольный ящик 297
Гигантские осцилляции 161-163
Гильбертово пространство усечён-
усечённое 259
Гомодинный детектор, измерение
квадратурного оператора 493
	, предел сильного поля локаль-
локального осциллятора 404, 405
	, статистика разности фотоот-
фотоотсчётов 403, 405
	, — фотоотсчётов 403
	, ядро 404, 405
Граничные условия для электромаг-
электромагнитного поля 296, 300, 322
Декогерентность 606
Делитель пучка, светоделитель сим-
симметричный 396, 397
	, —, классическое преобразова-
преобразование 395-397
	, —, преобразование матрицы
плотности 399, 400
	, —, — операторов полевых мод
398
	, -, - состояний 398, 399
	, —, статистика фотоотсчётов
400, 401
	, —, условия на отражение и
прохождение 396
Детектор гомодинирования, предел
сильного локального осциллято-
осциллятора 718
	, ядро 716-719
Джейнса-Каммингса-Пауля модель
450, 460
	, алгебра операторов и оператор
эволюции 461
	, вектор состояния системы 470,
474
	, динамика в пространстве со-
состояний 466, 468
	, дисперсионное взаимодей-
взаимодействие 503
	для ловушки Пауля 548
	, квазиклассическая версия 480
	, коллапс и возобновление 266,
494
	, Лапласа преобразование 471
	, многофононный гамильтониан
553
	, определение 450
	, приготовление состояний 502,
503
	, роль отстройки 468
	с зависящей от времени ампли-
амплитудой 482
	рамановской связью 482
	, эффективный гамильтониан
при большой отстройке 478
Дипольное приближение 436
	в общем случае 436
	для двух частиц 457
Дирака-Гейзенберга калибровочная
фаза 448, 457
Дифракция атомов 41
Добротность резонатора 31, 38

Предметный указатель
751
Завитки 283, 289
Затухание и усиление резонаторной
моды, модель 563
	, переходы 572
	, приближённое основ-
основное кинетическое уравнение 570
	, точное основное кине-
кинетическое уравнение 575, 576
Измерение атомного диполя 491
—	населённости 486
—	полевого состояния 493
—	Раби осцилляции, одноатомный
мазер 499
	, Пауля ловушка 502
	, поля в резонаторе 500
Инверсия атомных населённостей
267, 494, 518, 564, 575, 588, 595
Интеграл «ласточкин хвост» 107
Интерференция в фазовом про-
пространстве 28, 219
	—, скалярное произведение
как интерферирующие площади
29
	, статистика фотонов сжа-
сжатых состояний 29
	—, Янга двухщелевой ин-
интерферометр 30
Казимира эффект, две сферы 313
	классический 327
	, параллельные пластинки 309,
313
	, эксперимент 314
Калибровочная инвариантность
электродинамики 293, 431
Калибровочное преобразование гло-
глобальное 432
	 локальное 432
Капицы-Дирака рассеяние 630
—	режим 622-624
Квадратный корень из ^-функции
743
Квадратурные состояния повёрну-
повёрнутые, определение квадратурного
оператора 402
Квазиклассический предел 239
Квазиклассическое приближение
223
Квантование поля излучения 306
	по бегущим волнам 322
Квантования условия, Бор-Зоммер-
фельд-Крамерс 190-192, 221,
223, 224
	, ВКБ 187
	, следующие из волновых функ-
функций 64, 65
Квантовая линза 650
	, гармоническое приближение
645
	, движение в фазовом простран-
пространстве 645
	, модель 641
	, размер фокальной области 657
	, Рамана-Ната приближение
659
	, статистика фотонов и им-
импульсное распределение 654
	, угол отклонения 652
	, фокусное расстояние 652, 656
—	оптика 15
—	призма 660
—	электродинамика резонатора 32
	 резонаторов 521
—	электроника 16
Квантовые скачки 525
Квантовый компьютер 45, 53
Кеннардовские волновые пакеты 147
Кинетическая энергия, матричные
элементы 85, 611
Классический предел 99, 104, 118,
186, 373, 374, 382
Ковёр 289
Когерентное состояние механиче-
механического осциллятора 133
	, определение 133
	, распределение по энер-
энергии 134
	,	точное 135
	,	, асимптотическое
рассмотрение 136
	—, — — —, интеграл пере-
перекрытия 138
	, эволюция во времени 138

752
Предметный указатель
138
-, вектор состояния
	,	, Вигнера функция
144
	электромагнитного поля, неор-
неортогональность 342
	, переполненность 341
	, разложение по когерент-
когерентным состояниям 343
	,	фоковским состоя-
состояниям 335
	—, распределение электри-
электрического поля 339
	, смещённый вакуум 336
	—, среднее значение элек-
электрического поля 345
	, статистика фотонов 337
	, уравнение для собствен-
собственных состояний 335
Коммутатор, векторный потенциал
318, 324, 735
—,операторы координаты и импуль-
импульса 58, 91, 113, 307, 411
—,— рождения и уничтожения 308,
331, 374-376, 735
—,электрическое поле 324
—электромагнитное поле 318
Коммутационные соотношения для
полей 324
Координаты относительные 434
— центра инерции 434
Крупнозернистая производная 732
Крупномасштабная производная 566
Крупномасштабное описание 569,
576
Кулоновская калибровка 294-296,
299, 301, 304, 433
КЭД масштабы времени резонаторов
31
Лагерра полиномы, определение 695
	 от лапласиана 386
	, производящая функция 390
Лагранжиан 444
— за пределами дипольного прибли-
приближения 725
—,производная по времени 445, 724
Лазерное охлаждение 531, 559
Лапласа преобразование 471-473
Лапласиан, Лагерра полиномы от
лапласиана 386
—собственные значения 322
Лиувилля квантовое уравнение 98,
99, 645, 679, 685
Ловушки типа беговой дорожки 559
Лоренца калибровка 293
Лэмб-Дике параметр 550
—	режим 551
Лэмб—Дике параметр 550
Лэмбовский сдвиг 597, 598, 608
Максвелла уравнения 291
Малликена принцип 233
Масса полная 434
—	приведённая 434
Матрица плотности 65
	, атом+поле, модель Джейнса-
Каммингса-Пауля 600
	, вложенные коммутаторы 566
	, квантовое состояние как опе-
оператор 67
	, определение 69
	, след оператора 70
	, состояние тепловое 73
	, тепловое фазовое состояние
74
	, формальные решения 84, 85
	, эволюция во времени 83
Матье уравнение 527, 528, 535, 558
Метод квантовых скачков 603
—	перевала, Корню спираль 227
—	стационарной фазы 698
	, Корню спираль 233, 703
	, многомерный случай 700
	, одномерный случай 698
Минимальная связь 428, 429, 448
Многоканальные системы 426
Моды 297
—безразмерная модовая функция
303
—,объём 303
—	определение 297
—	ортонормированность 300
—	шепчущей галереи 37, 39
Моэля функции, для гармоническо-
гармонического осциллятора 117

Предметный указатель
753
	, определение 100, 680
	, уравнения в фазовом про-
пространстве 101, 102, 685
Нейтронная оптика 39
Нелинейная квантовая механика
525, 561
Обработка квантовой информации
45
Одетые состояния 612
Одноатомный мазер, дисперсия рас-
распределения 583
	, коллапс и возобновления 498
	, основное кинетическое урав-
уравнение 580
	, пленённые состояния 585
	, резонансная линия 33
	, среднее число фотонов 35, 581
	, статистика фотонов 581
	, схема эксперимента 33
	, фазовая диффузия 587
	, ширина линии 590
Оператор хронологического произ-
произведения 672
	, определение 672
	, произведение п интегралов
674
	, — двух интегралов 672
—	эволюции во времени 80, 83
	—, Джейнса-Каммингса-
Пауля модель 463
	, как бесконечное произ-
произведение 80
	, произвольные гамильто-
гамильтонианы 83
	, сумма интегралов 82
	, Т-экспонента 83
Оператора рождения проблема соб-
собственного состояния 355
Операторы векторного потенциала
315
—	магнитного поля 318
—	электрического поля 317
Оптика де-бройлевских волн 39
Отклонение атомов 620
Отрицательная вероятность 122
Параллельный перенос 204
Паули спиновые матрицы 451, 452
Пауля ловушка, аналогия с КЭД
резонаторов 560
	,	резонатором 44
	, движение в фазовом простран-
пространстве 540-543
	, диаграмма устойчивости 529
	, квантовый подход 502
	, Лапласа уравнение 527
	линейная 525
	, - 559
	, микродвижение 533, 556
	, отсутствие 3-х мерного удер-
удержания статическими электриче-
электрическими полями 526
	с гиперболоидными крышками
526, 532
	, — крышками 18
Пеннинга ловушка 527
Передача импульса 620
	, квантование 624
	, плавная часть 628, 637
	, совместное измерение 620
	, усреднённое измерение 622
Перекрытия площадей формализм
222
	, Бора принцип соответствия
230
	, вероятность перехода 220
	, вычисление скалярного про-
произведения 226
	, Планка-Бора-Зоммерфель-
да полосы 221
	, стационарной фазы точки
225
	, фазовые состояния 254
	, Франка-Кондона переходы
231
	, энергетическое распределе-
распределение 236
	, — —, когерентное состоя-
состояние 242
	,	, сжатое состояние 245
Переход от классической теории к
квантовой 118
Повёрнутые квадратурные состоя-
состояния, Вигнера функция 170, 171

754
Предметный указатель
	, волновая функция 168, 170
	, определение квадратурного
оператора 164
Полуклассический предел 104, 181
Поперечная ^-функция 325
Правила квантования из волновой
функции 661, 663
	фазового пространства 694
Представление взаимодействия,
Джейнса-Каммингса-Пауля мо-
модель 460, 475
	, — резонансная модель 460
	, общее определение 78
	, Пауля ловушка 549, 550, 554
Приготовление фоковских состоя-
состояний 507
Пропагатор свободной частицы 85
Пуассона распределение, асимпто-
асимптотика 519
	, асимптотический предел 136,
138, 696
	, надпуассоновское 350, 353,
354
	, субпуассоновское 22, 350, 353,
354, 359
— формула суммирования 262, 276,
518
Пуассоновское распределение, суб-
субпуассоновское 33, 154
Раби уравнения 470
	, Джейнса-Каммингса-Пауля
модель 470
	 квазиклассические 480
	обобщённые 610
Радона преобразование 173
Рамана-Ната приближение 618, 637
Рамзея метод 504, 521
Резонансная флюоресценция, антиг-
антигруппировка 19, 21
	, гетеродинирование 17, 18, 21
	, корреляционная функция вто-
второго порядка 20-22
	, Моллоу спектр трёхпиковый
18, 19
	, некогерентный вклад 19
	, сжатие 23
	, упругий пик 17, 19
Реконструкция квантового состоя-
состояния 171, 179
Светоделитель, преобразование со-
состояний 420
Связь между волновыми функциями
в координатном и импульсном
представлениях 59, 61
Сжатое состояние механического
осциллятора 147
	—, Вигнера функция 163,
164
	, выстроенное 152
	, обобщённое 151
	, оператор сжатия 149
	, определение 147
	—, повёрнутое сжатое со-
состояние 154, 160, 176
	, распределение по энер-
энергии 152
	,	точное 152
	, — флуктуации 149
	, сжатый вакуум 159, 175
	 —, фазовое распределение
263
	—, эволюция во времени
163, 164
	, энергетическое распреде-
распределение, интеграл перекрытия 157
	—, — —, исследование
асимптотики 155
	электромагнитного поля, Бого-
Боголюбова преобразование 357
	, генерация второй гармо-
гармоники 25
	—, детектирование сжатия
27
	, оптический параметриче-
параметрический осциллятор 25
	—, осциллирующая стати-
статистика фотонов 27
	, эксперимент 25
Сжатый вакуум, осциллирующая
статистика фотонов 30
	, осцилляторная статистика фо-
фотонов 159, 160
	, распределение энергии, асимп-
асимптотический подход 29, 30

Предметный указатель
755
	, эволюция во времени 146
	, эксперимент 27
	, энергетическое распределение,
асимптотическое рассмотрение
159, 160
	,	, точное рассмотрение 175
Собственное состояние данной энер-
энергии: гармонический осциллятор,
Вигнера функция 131
	—: — —, контурный инте-
интеграл 125
	:	, координатная вол-
волновая функция 124
	:	, координатное пред-
представление 130
	:	, предел больших т
125, 127
	—:	, простое представ-
представление в фазовом пространстве
124
	:	, точки постоянной
фазы 126
	:	, эволюция во вре-
времени 131
	импульса, Вигнера функция
166, 167
	, полноты соотношение 58,
60
	, уравнение на собственные
значения 57
	координаты, Вигнера функция
166
	, полноты соотношение 57
	, уравнение на собственные
значения 57
— энергетическое состояние:
гармонический осциллятор,
ВКБ-приближения волновая
функция 193
	: — —, координатное пред-
представление 62
	: — —, произвольное пред-
представление 61
Собственные энергетические состо-
состояния: гармонический осцилля-
осциллятор, координатное представле-
представление 64
—	энергетическое состояние: гармо-
гармонический осциллятор, коорди-
координатное представление 64
Совместные измерения для пере-
перепутанных систем 484-486, 503,
620, 629
Состояние, измерение 503
—,инженерия 506
—	подсистемы после измерения 489
—приготовление 502, 503
—	с заданным числом фотонов 318
	, состояние фоковское
331
	,	, одна мода 331
	, фоковское состояние,
многомодовый случай 320
	,	, собственные со-
состояния электромагнитного поля
332
	,	, среднее электри-
электрическое поле 331
Состояния субфлуктуирующие 150
—	суперфлуктуирующее 150
Спонтанное излучение 481, 482,
572, 590, 599, 608
Стационарной фазы метод 222
Стирлинга формула 423, 668, 697
Тальбота эффект 286, 288, 289
Тригонометрические величины
квантовые 417
	 классические 415, 417
Упорядочение операторов антинор-
антинормальное 374-376, 378, 388
	, Вейль-Вигнер 113, 114
	нормальное 374, 376-378, 387
	, симметричное 114
Условия квантования, ВКБ 191
	, из фазового пространства ПО,
111
	, ЭБК 198
Усреднение с помощью функций в
фазовом пространстве 372, 376,
378
Фазовые состояния 253, 415

756
Предметный указатель
	, Вигнера функция 263
	, двухмодовые фазовые опера-
операторы 420
	из интерференции в фазовом
пространстве 253
	, измеряемые фазовые операто-
операторы 415
	, координатная волновая функ-
функция 262
	, Лондона фазовый оператор
587
	, переменные действие и фаза
255
	, фазовая амплитуда собствен-
собственного энергетического состояния
257
	, фазовое распределение 260
	, эволюция во времени 260
Флоке решение 543-546
- теорема 528, 543
Фон Неймана уравнение, вывод 83
	, матрица плотности 83
	, перевод в фазовое про-
пространство 97
Формализм площадей перекрытия,
Крамерса траектория 220
Фотон, волновая функция 328
—происхождение названия 291, 320
Франка-Кондона переходы 231
Функции в фазовом пространстве
362, 372, 376, 378
Хилла определитель 529
Хронологический оператор 82
	, определение 82
Частица в ящике 285
Ширина функции распределения,
дисперсия 676
	, Зюсмена мера 676-678
	из условия убывания функ-
функции 676
Шрёдингера уравнение 56
	, в фазовом пространстве 115
	, двумерный гармонический ос-
осциллятор 109
	, Джейнса-Каммингса-Пауля
модель 460
	, одномерный гармонический
осциллятор 64, 661
Шрёдингеровской кошки состояние,
амплитудная кошка 358, 359
	, Вигнера функция 348, 349
	, затухание 602
	, определение состояния 347,
348
	, оригинальный парадокс с
кошкой 346
	, сжатие 350
	, статистика фотонов
350-354
	, фазовая кошка 359
	, экспериментальная реали-
реализация 503
Штарка эффект 490, 491
Штерна-Герлаха оптический эф-
эффект 41, 42
—	режим 623, 641
—	эксперимент 42
Эйри функция, асимптотическое
разложение 687
	, дифференциальное уравнение
686
	, интегральное представление
107, 686
	комплексного аргумента 284
	, стоксовы и антистоксовы ли-
линии 690
	, точки стационарной фазы
подынтегрального выражения
688
Электрическое поле вакуума 332
Электронная оптика 39
Энергия электромагнитного поля в
резонаторе 303
Энтропия по Верлю 678
Эрмита полиномы, интегральное
представление 87, 126
	, определение 86
	, производящая функция 86,
126, 140, 340
Эффективный потенциал 612

Научное издание
Вольфганг П. ШЛЯЙХ
КВАНТОВАЯ ОПТИКА В ФАЗОВОМ ПРОСТРАНСТВЕ
Редактор B.C. Яру huh
Оригинал-макет: В.В. Худяков
ЛР №071930 от 06.07.99. Подписано в печать 16.02.05.
Формат 60x90/16. Бумага офсетная. Печать офсетная.
Усл. печ. л. 47,5. Уч.-изд. л. 52,0. Заказ №
Издательская фирма «Физико-математическая литература»
МАИК «Наука/Интерпериодика»
117997, Москва, ул. Профсоюзная, 90
E-mail: fizmat@maik.ru, fmlsale@maik.ru;
http://www.fml.ru
Отпечатано с готовых диапозитивов в ПФ «Полиграфист»
160001, г. Вологда, ул. Челюскинцев, 3
Тел.: (8172) 72-55-31, 72-61-75, факс: (8172) 72-60-72
E-mail: form.pfp@votel.ru http://www.vologda/~pfpv
ISBN 5-9221-0540-Х
9 78592205408