УДК 517.У54:517.У77.5Ь tt	Издание осуществлено при поддержке
ББК 22.161.6	^ctp>ii Российского фонда фундаментальных
3 72	~~ ** ~~ исследований по проекту 03-01-Ц019д
Знаменская Л. Н. Управление упругими колебаниями. — М.:
ФИЗМАТЛИТ, 2004. - 176 с. - ISBN 5-9221-0473-Х.
В книге представлены результаты исследований автора по управлению
упругими колебаниями систем, описываемых одномерным волновым урав-
уравнением с линейными граничными условиями различных родов. Подробно
рассматриваются практические способы построения граничных управлений
на основе решений, получаемых методом Даламбера и на основе метода
Фурье. Определяются обобщенные решения класса L<i различных типов
краевых задач. Для них с помощью априорных оценок доказаны теоремы
существования и получен явный вид этих решений.
Для научных работников, интересующихся задачами управления упру-
упругими колебаниями и теорией управления систем с распределенными па-
параметрами. Может быть полезна студентам университетов и технических
вузов, обучающихся по специальности «Прикладная математика и инфор-
информатика», и аспирантам.
© ФИЗМАТЛИТ, 2004
ISBN 5-9221-0473-Х	© Л. Н. Знаменская, 2004

Предисловие
Исследованию задач управления упругими колебаниями посвяще-
посвящено большое число работ (см., например, [11, 29, 31, 53, 54, 72, 101]). Од-
Однако в этих исследованиях не дается исчерпывающего решения задач
управляемости упругими колебаниями с помощью граничных управ-
управлений при различных типах граничных условий. В предлагае-
предлагаемой вниманию читателей книге эти вопросы рассмотрены с доста-
достаточной полнотой для колебаний, описываемых одномерным волновым
уравнением с линейными граничными условиями первого, второго и
третьего рода, а также смешанных краевых условий, т.е. когда на
границе заданы краевые условия разных родов.
Решения задач управления получены для классических решений
и для обобщенных из L2 решений краевых задач. Класс функций
^2([0 ^ х ^ I] х [0 ^ t ^ T]) введен автором, и он несколько уже
обычного класса Z/2, поскольку на функции класса Z/2 накладывают-
накладываются дополнительные условия: их сужения при фиксированном х или
при фиксированном t также принадлежат классу Z/2- При выполнении
этих исследований потребовались результаты, касающиеся существо-
существования и единственности решений класса L^ соответствующих краевых
задач. Для доказательства существования обобщенных решений был
использован аппарат априорных оценок.
Материал книги расположен так, чтобы максимально облегчить
изучение представленного в ней материала и чтобы читать каждый
раздел можно было независимо от других разделов в той части, кото-
которая посвящена практическому построению управления.
В главе 1 дан краткий обзор работ и результатов, связанных с
управлениями упругими колебаниями, а также введены необходимые
для дальнейшего изложения функциональные пространства.
В главе 2 формулируются постановки краевых задач, задач управ-
управления для классических решений класса С2. Даны решения задач
управления, основанные на методе Даламбера и методе Фурье. Ре-
Результат анализа каждой задачи представлен в виде готовой формулы,
определяющей искомое управление как функцию времени. Из этих
формул известными методами легко получить управления как функ-
функции состояния системы. Устанавливается связь между решениями,
которые получены с помощью формулы Даламбера и методом Фурье.
В последнем параграфе главы приводятся результаты по управлению
колебаниями балки, принадлежащие А.И. Егорову.
В главе 3 даются определения обобщенных решений класса L2 всех
рассмотренных выше типов краевых задач для волнового уравнения,

Предисловие
доказаны теоремы единственности обобщенных решений. Для класси-
классических решений всех указанных типов краевых задач получены апри-
априорные оценки, с помощью которых удается доказать существование
обобщенных решений класса Z/2 и получить их явный вид.
В главе 4 формулируются задачи управления в условиях первой
краевой задачи для обобщенных решений. Даны решения задач управ-
управления для случая, когда на управления не накладываются никакие
ограничения, и для случая, когда управления ограничены по норме
в Z/2- В этой главе также решены задачи управления для струны с
одним закрепленным концом.
В главе 5 формулируются и решаются в классе обобщенных ре-
решений задачи управления в условиях краевых задач с граничными
условиями других родов, т. е. когда управление колебаниями осу-
осуществляется, например, с помощью упругой силы, действующей на
концах струны.
Глава б посвящена задачам управления процессами, описываемы-
описываемыми системой телеграфных уравнений. Здесь приводятся только клас-
классические решения задач.
Часть результатов, вошедших в книгу, была опубликована авто-
автором в [42-45].
Исследования по тематике книги проводились в 1999-2003 гг. в
Исследовательском центре процессов управления Института прог-
программных систем Российской Академии наук и выполнялись при фи-
финансовой поддержке Российского фонда фундаментальных исследова-
исследований (гранты 01-01-00121 и 03-01-00414).
Автор выражает глубокую признательность академику В.А. Ильи-
Ильину за внимание к работе, многочисленные консультации и обсужде-
обсуждения в ходе ее выполнения, а также сотрудникам Исследовательского
центра процессов управления ИПС РАН.
Л.Н. Знаменская

Глава 1
Обзор результатов и предварительные сведения
§ 1. Обзор результатов
по управлению упругими колебаниями
Многие современные технические устройства и системы работают
в экстремальных режимах, и поэтому протекающие в них процессы
могут сопровождаться нежелательными (и даже опасными) колеба-
колебаниями или различного рода неустойчивостями. К такого рода сис-
системам относятся высокоскоростные летательные аппараты, мощные
энергетические агрегаты и т. п. С другой стороны, существуют объек-
объекты, в которых желательно генерировать колебания заданных частот.
В связи с этим возникают задачи управления колебаниями в техничес-
технических объектах и системах. Такого типа задачи вызываются в основном
двумя причинами.
Во-первых, эти задачи обусловлены стремлением погасить неже-
нежелательные колебания и неустойчивости. Для достижения этих целей
используются различные подходы. Один из подходов заключается в
том, что в рассматриваемый объект вносятся конструктивные изме-
изменения.
Теоретический базой оптимальных решений задач такого типа
служат методы теории оптимизации конструкций (см., например,
[3, 7, 8, 22, 78, 80, 84, 97, 99, 107, 118]; часть из этих перечисленных
работ посвящена методам оптимизации в теории граничных задач для
эллиптических уравнений).
В других исследованиях этого направления (см. [5, 24, 67]) раз-
разрабатываются методы оптимизации с учетом конкретных объектов
или структуры используемых материалов (строительные конструк-
конструкции, турбинные лопатки, ядерные реакторы и т.п.).
Во-вторых, эти задачи вызваны необходимостью генерировать ко-
колебания нужной частоты в акустических системах, радиотехнических
устройствах (см. [6, 92]). В решении этих задач также используются
методы, основанные на совершенствовании конструкций и на исполь-
использовании различного рода внешних устройств, предназначенных для
динамического воздействия на систему с целью повышения эффек-
эффективности ее работы.
В чисто математическом плане такие задачи оптимизации фор-
формулируются в терминах теории краевых задач для уравнений эллип-
эллиптического типа. Критерием оптимальности обычно выбирается квад-
квадратичный функционал, характеризующий потенциальную энергию
объекта, либо нелинейный функционал, в той или иной форме связан-

6	Гл. 1. Обзор результатов и предварительные сведения
ный с собственными значениями краевой задачи. В качестве управ-
управлений выбираются коэффициенты дифференциального оператора или
форма и граница области, в которой рассматривается краевая задача
(см., например, [4, 79, 80, 93, 108]).
Одна из таких задач сформулирована в книге В.Г. Литвинова [80]
и состоит в следующем. Пусть п — ограниченная липшицева область
в М2. Положим W = W2X (П) х ... х W2U (П), а через V обозначим замк-
замкнутое бесконечномерное подпространство в пространстве W с нормой
пространства W, через Pi (г = 1,..., к) — линейные непрерывные ото-
отображения из W в 1/2(П). Система этих операторов коэрцетивна, т.е.
для всех и Е V и h Е Yp справедливо следующее неравенство:
i(u)] dxdy
здесь с = const > 0, a Yp представляет собой множество, определяемое
как Yp = { h : h E Wp{Q), e<z ^ h ^ в2 }, где ei и в2 — некоторые
положительные постоянные.
Пусть, далее, задано семейство билинейных непрерывных на
пространстве V х V форм а^, зависящих от параметра h, прини-
принимающего произвольные значения из Yp:
=
aij(h)Pi(u)Pj(u)dxdy;
здесь dij(t) G C(ei, ег), причем а^- = aj^ для г, j = 1,..., к и
/с	/с
i,j = l	г=1
для ( G Ife и ci = const > 0.
Состояние управляемого объекта описывается краевой задачей:
для заданных элементов / С V* и /i G У/г найти функцию г^ G У, для
которой CLh(uh,v) = (/,г?) для всех г? Е V. Множество допустимых
управлений задачи определяется соотношениями
Qh = {he W2(Q), \\h\\ ^с2ДЧ^ h2, Фг(/г, uh) ^ 0, I = 1,..., г/},
где ci, h1, h2 — положительные постоянные, е\ < h1 < h2 < в2, а
IX —>- Ф/(/г,1х) — полунепрерывное снизу отображение из У2 x V' (с то-
топологией, порожденной произведением слабой топологии пространст-
пространства W^ (П) и слабой топологии пространства V) на множество вещест-
вещественных чисел.
В качестве критерия оптимальности берется функционал /i(/i),
который представляет собой непрерывное отображение Y2 с тополо-
топологией, порожденной слабой топологией W\ (П).
В.Г. Литвинов [80] рассмотрел проблемы существования и единст-
единственности оптимального управления в такого типа задачах, а также
различные приложения в теории оптимизации деформируемых тел.

§ 1. Обзор результатов по управлению упругими колебаниями	7
К этой же группе задач относятся разнообразные задачи оптими-
оптимизации в эллиптических системах с сингулярными возмущениями в
главном дифференциальном операторе (см. [68, 69, 71, 79]).
Другой вариант решения задачи оптимизации упругих колебаний
основывается на использовании динамических воздействий, когда ко-
колебания гасятся (или генерируются) с помощью специально рассчи-
рассчитанных внешних воздействий.
Динамические задачи оптимального управления системами мате-
математически корректно были, вероятно, впервые сформулированы в ра-
работах А.А. Фельдбаума. Основы математической теории оптимальных
процессов были заложены коллективом математиков под руководст-
руководством академика Л.С. Понтрягина. Эти работы послужили источни-
источником многочисленных исследований. Одно из направлений исследова-
исследований связано с решением задач об оптимальном управлении систем
с распределенными параметрами (см. [11-13, 26, 27, 31-41, 79, 86,
101]). Те же задачи исследовались методами классического вариа-
вариационного исчисления [79, 81, 85, 106, 110, 111]. Работам этого типа
посвящены многочисленные обзоры (см., например, [12, 91, 127]). В
задачах управления упругими колебаниями процесс зачастую мож-
можно описать уравнениями с отклоняющимися аргументами. Поэтому в
теории управления системы с запаздыванием рассматривались многи-
многими авторами (см., например, [73]). Это направление в исследованиях
по управлению колебаниями здесь не обсуждается и является темой
специального анализа.
Другой подход в решении задач об оптимальном управлении дина-
динамических систем связан с динамическим программированием. Ука-
Указанные методы также удалось использовать в теории систем с рас-
распределенными параметрами (см., например, [34, 95]). Главная пробле-
проблема здесь состоит в следующем. Для конечномерных систем известен
факт («проклятие размерности»), который заключается в том, что вы-
вычислительные трудности в практическом решении задач нарастают
лавинообразно с увеличением порядка системы и с некоторого уровня
перерастают в принципиальные сложности. Поэтому при изучении
бесконечномерных систем методами динамического программирова-
программирования требуется выделить классы систем, для которых удается пред-
предложить практически приемлемую процедуру построения точных или
приближенных решений.
Метод динамического программирования для исследования управ-
управляемых процессов является весьма важным, так как процедура ре-
решения (если, конечно, таковую удается реализовать) приводит к
построению оптимального управления в форме синтеза. Работ на
данную тему написано достаточно много. Однако автору этой кни-
книги не известны работы по математически корректному обоснованию
метода динамического программирования в теории систем с распре-
распределенными параметрами, подобного обоснованию, предложенного для
конечномерных систем В.Г. Болтянским.
Многие содержательные исследования по теории оптимальных

8	Гл. 1. Обзор результатов и предварительные сведения
процессов связаны с проблемой устойчивости динамических управ-
управляемых систем и стабилизации программных движений. Основные на-
направления этой теории разрабатывались Р. Каллманом, A.M. Летовым,
Н.Н. Красовским, В.И. Зубовым и другими авторами. Предложенная
Н.Н. Красовским концепция использования функций Ляпунова в ре-
решении задач оптимальной стабилизации оказалась плодотворной и в
теории систем с распределенными параметрами (см. [28, 33, 101, НО]).
А.И. Егоров [33] предложил процедуру, которая позволяет рассматри-
рассматривать проблемы оптимальной стабилизации и аналитического констру-
конструирования регуляторов в классе обобщенных решений краевых задач,
описывающих управляемый процесс.
1.1. Динамические задачи управления колебаниями упру-
упругих систем. Прежде чем характеризовать различные направления в
исследовании управления колебаниями упругих систем, отметим, что
многие проблемы в этой области являются общими для систем с рас-
распределенными параметрами. Поэтому ряд вопросов рассматриваемой
здесь теории достаточно полно отражен в обзорах по теории управ-
управляемых систем с распределенными параметрами (см., например,
[12, 91, 127]).
Впервые задачу об управлении колебаниями в достаточно четкой
математической форме рассмотрел А.Г. Бутковский в 1963 г. В пред-
предложенной им формулировке задача ставилась так.
Пусть управляемый процесс описывается уравнением
utt(x,t)=a2uxx(x,t), 0<х<1, 0<?,	A.1)
с дополнительными условиями
и(х, 0) = ip(x), щ(х, 0) = ф(х), 0 ^ х ^ /.	A.2)
Управление процессом происходит с помощью функций /i(t) и v(t):
и@, t) = fj,(t), u(l, t) = i/(t), O^t.	A.3)
При этом на допустимые управления /i(t) и u(t) наложено ограничение
||/i(t)|| ^ Ли ||^(^)|| ^ Л, где Л — заданная постоянная. Здесь норма
элемента берется с учетом того конкретного пространства управ-
управляющих функций, элементы которого однозначно определяют реше-
решение краевой задачи (классическое или обобщенное), представимое в
виде ряда Фурье по собственным функциям соответствующей задачи
Штурма-Лиувилля.
Задача состоит в том, чтобы за минимально возможное время
полностью «успокоить» колебания системы, т. е. добиться выполнения
следующих условий:
и(х,Т) = 0, щ(х,Т) = 0, 0 ^ х ^ /.	A.4)
Предложенный им метод решения основан на сведении задачи к
бесконечномерной проблеме моментов и последующем применении об-
обобщения метода Н.Н. Красовского решения задач подобного рода для
конечномерных систем. В разных вариантах этот метод позже приме-
применялся многими авторами (см., например, [18, 19, 65, 70]) для построе-

§ 1. Обзор результатов по управлению упругими колебаниями	9
ния точного и приближенного решений этой и других задач управле-
управления упругими колебаниями.
Задача управления гиперболической системой с данными на ха-
характеристиках впервые была рассмотрена в 1963 г. А.И. Егоровым,
который несколько позже (см. [32]) обобщил эти результаты на систе-
системы более общего вида и применил использованный метод к решению
некоторых задач теории инвариантности. А.Л. Кузьмина [75] получи-
получила новые результаты в решении задач управления такими системами,
устранив некоторые искусственные ограничения на уравнения, опи-
описывающие процесс.
В рассмотренных задачах управляемый процесс описывается урав-
уравнениями вида
уг _ fi(	1	п 1	п 1	п \	7 — 1	п
zxy — I \X->V->Z •>••••>% ->zx-> ••• ->zx->zy> ••• ->zy ->v)-> г —i,...,n,
в которых функции fi(ж, у, z, и, w, v) определены и непрерывны вместе
со своими производными fl и fy при О^ж^Х, О^^Уи дваж-
дважды непрерывно дифференцируемы по совокупности остальных аргу-
аргументов в некоторой заданной области. Параметр v может принимать
значения в некоторой открытой или замкнутой области V г-мерного
евклидова пространства. На функции гг, i = 1,... ,п, накладываются
граничные условия (условия Гурса-Дарбу)
г*@,у) = <р\(у), г*(х,О)=<рЦх), ^@)=^@), A.5)
где iplk — заданные непрерывные функции. Эти условия можно заме-
заменить другими условиями, расширяющими возможности управления
системой:
zi@,y)=ip\(y,z1@,y),.-.,zn@,y),v1),
zix(x,0)=iPi2(x,z1@,y),...,zn@,y),v2),
г\0,0)=гг0.
Здесь функции ср\ и кр\ удовлетворяют стандартным условиям из тео-
теории оптимальных процессов в конечномерных системах, a v1 и v2 —
независимые векторы управлений со своими областями допустимых
значений. Критерием оптимальности системы является функционал
г=1
где Ai, г = 1,... ,п, — заданные постоянные. При этом сначала была
рассмотрена задача со свободным концом z(X,Y) и фиксированными
1иУ,а затем эти ограничения были сняты.
Необходимые условия оптимальности в рассмотренных задачах
были сформулированы в виде соответствующих принципов максиму-
максимума, в каждом из которых основным содержанием является условие
максимума функции Понтрягина. В частности, в задаче с условия-
условиями A.5) эта функция определяется формулой
п
H(x,y,z,u,w,p,v) = ^pifl(x,y,z,u,w,v),

10	Гл. 1. Обзор результатов и предварительные сведения
где р = р(х, у) вводится с помощью «сопряженной» задачи Гурса-
Дарбу.
Для решения задач использовался метод, предложенный Л.И. Ро-
зоноэром при доказательстве принципа максимума в конечномерных
системах. В его основе лежит формула приращения минимизируемого
функционала.
Для системы с распределенными параметрами принципиаль-
принципиально важным является тот факт, что условие максимума функции Н
целесообразно представлять в интегральной форме
х Y
/ / [H(x,y,z(x,y),u(x,y),w(x,y),p(x,y),v(x,y) + Av)-
0 О
-H(x,y,z(x,y),u(x,y),w(x,y),p(x,y),v(x,y))\ dydx ^ 0.
Такая форма условия максимума позволила существенно расширить
класс задач об оптимальном управлении систем с распределенными
параметрами, решаемых этим методом. В частности, оказалось воз-
возможным решать задачи с ограничениями на зависимость допустимых
управлений от их аргументов (например, допустимые управления мо-
могут зависеть лишь от суммы аргументов или от их произведения).
Особо следует отметить, что интегральная форма представления
условий максимума функции Н позволяет без какого-либо дополни-
дополнительного анализа получать соответствующие условия в задачах управ-
управления с импульсными воздействиями, в том числе и в задачах с по-
подвижным управлением.
Эти задачи и их различные обобщения рассматривались предло-
предложенным методом во многих работах (см. [16, 46, 75, 102]).
В.И. Плотников и В.И. Сумин [89] в 1968 г. предложили рассматри-
рассматривать решения тех же задач в классе функций, имеющих обобщенные
производные, и доказали необходимые теоремы существования (см.
[86-90]). О.В. Васильев с учениками [16, 17], М.Я. Ягубов [119] и дру-
другие авторы исследовали необходимые условия второго порядка и осо-
особые управления. В.А. Срочко с учениками рассматривали применение
условий оптимальности в форме принципа максимума для построения
приближенных решений [17, 102]. Е.П. Бокмельдер и В.А. Дыхта [10]
использовали идеи метода ^-вариаций А.Я. Дубовицкого и А.А. Милю-
Милютина [30] для получения необходимых условий оптимальности.
Анализируя развитие идей принципа максимума в теории систем
с распределенными параметрами, следует подчеркнуть особую роль
В.И. Плотникова [86-88, 90]. Разработанная им технология получения
необходимых и достаточных условий оптимальности оказалась доста-
достаточно универсальной. Она в равной мере эффективна в применении к
конечномерным системам и к различным типам систем с распределен-
распределенными параметрами и была доведена автором до создания абстрактного
метода вариаций.
Динамические задачи оптимального управления для гиперболи-
гиперболических систем, когда время в процессе управления учитывается явно,

§ 1. Обзор результатов по управлению упругими колебаниями Ц
начали рассматриваться в связи с принципом максимума при решении
задач по аналитическому конструированию регуляторов и оптималь-
оптимальной стабилизации (см. [41, 72, 77, 101, 117, 124-126]. Первоначаль-
Первоначально рассматривались линейные колебания упругих стержней и балок с
квадратичными (энергетическими) критериями оптимальности.
Примерно в то же время для решения аналогичных задач нача-
начали применять метод динамического программирования. В решении
задач об оптимальной стабилизации Т.К. Сиразетдинов и его учени-
ученики применили аппарат второго метода Ляпунова. Несколько позже
более общий подход был применен А.И. Егоровым и его учениками.
Предложенный метод [33] позволил использовать обобщенные решения
рассматриваемых краевых задач не только в обычных колебательных
системах, но и в системах с сингулярными возмущениями, и в систе-
системах с отклоняющимися аргументами [69, 71, 76, 94, 111].
Практическое решение рассматриваемых задач обычно получа-
получается применением метода Фурье (разделение переменных), что при-
приводит к необходимости исследовать управляемый процесс, который
описывается бесконечной системой обыкновенных дифференциальных
уравнений. Таким способом удается получить содержательные ре-
результаты в исследовании колебаний мембран и объемных (трехмер-
(трехмерных) тел в предположении, что объект может перемещаться в про-
пространстве как твердое тело, совершая при этом упругие колебания
(см., например, [1, 2, 28, 101]).
Тем же методом Фурье в ряде важных случаях краевые задачи,
описывающие процессы, можно сводить к интегральным уравнениям
и рассматривать управляемый процесс, описываемый такими уравне-
уравнениями. В других случаях управляемый процесс может быть описан
непосредственно интегральными уравнениями. Для задач такого типа
весьма содержательные результаты получил В.И. Сумин [103, 104].
Задачи управления космическими аппаратами и другими подоб-
подобными объектами приводит к необходимости рассматривать динамику
взаимосвязанных упругих и жестких объектов. Упругое тело модели-
моделируется пластинами, балками, нитями с заданным распределением масс
и жесткостей с упруго подвешенными точечными массами. Целью
управления является ориентация конструкции в пространстве.
Такая сложная конструкция имеет систему управления ориен-
ориентацией, состоящую из реактивных двигателей, маховиков, силовых
гироскопов. Процесс в ней описывается дифференциальными или
интегро-дифференциальными уравнениями в обыкновенных и част-
частных производных. Возникающие при этом задачи управления весьма
разнообразны. Однако во всех случаях наибольший интерес представ-
представляют задачи синтеза управления при полной и неполной информации
о состоянии управляемой системы.
Г.Л. Дегтяревым и Т.К. Сиразетдиновым в работе [29] рассмотре-
рассмотрены многие задачи управления космическими аппаратами с упругими
элементами (синтез управления в детерминированных системах, адап-
адаптивное оптимальное управление). Рассмотрим одну из простейших

12	Гл. 1. Обзор результатов и предварительные сведения
задач такого типа. Речь идет об управлении космическим аппара-
аппаратом, представляющим собой твердое тело с двумя упругими балками,
заделанными консолями.
Введем следующие системы координат: ОхоУо^о — некоторая
инерциальная система координат с началом в центре масс космичес-
космического аппарата, Ox\y\Z\ — связанная с твердым телом система ко-
координат, Oixyz — вспомогательная система координат для описания
колебаний упругих элементов. Начало координат вспомогательной
системы совпадает с точкой заделки упругого элемента. Ось О\х на-
направлена по оси недеформированного упругого элемента, а ось О\у
параллельна оси Оу\.
Введем также следующие обозначения: /о — момент инерции ос-
основного жесткого тела; т(х), EI(x), I — соответственно погонная
масса, жесткость и длина упругих элементов; г — радиус основного
твердого тела; j(t) — угол поворота жесткого тела в инерциальной
системе координат; y(x,t) — отклонение точек стержня от недефор-
недеформированного состояния в момент времени t. Управление осуществля-
осуществляется с помощью момента My(t), приложенного к основному жесткому
телу.
Тогда уравнения движения конструкции предлагается предста-
представить в виде
I
Io-y"(t) + 2 [ггы(х)уи(х,г)Aх = My(t),
о
m1(x)Y/(t)+m(x)yu(x,t) = - [EI(x)yxx(x, t)]xx,
где mi (ж) = т{х){х + г), с граничными условиями
2/@,*)= 0 yx(O,t) = O,
EI(l)yxx(l,t) = 0, [EI(x)yxx(x,t)]x
= 0.
x = l
Здесь первые два условия выражают условия жесткой заделки элемен-
элементов, а два последних — условия отсутствия изгибающих моментов и
перерезающих сил на свободном конце балки. Критерием оптималь-
оптимальности служит квадратичный функционал.
Весьма специфичные задачи управления возникают при изучении
управляемых квантовых процессов и процессов в магнитной гидро-
гидродинамике [15, 23, 82, 98, 100, 112]. Они существенно отличаются от
традиционных задач оптимального управления в системах с распре-
распределенными параметрами, и их анализу, видимо, следует посвятить
специальный обзор.
1.2. Управление колебаниями одномерных тел. Исследова-
Исследование задач об оптимальном управлении одномерных упругих колебаний
(колебаний струн, стержней и балок) началось с работ А.Г. Бутковско-

§ 1. Обзор результатов по управлению упругими колебаниями 13
го A963 г.), В.А. Троицкого и D.L. Russel A965 г.). Предлагаемые ме-
методы решения опирались на идеи классического вариационного исчис-
исчисления, /-проблему моментов и принцип максимума. В дальнейшем, в
работах многих авторов не только рассматривались более общие зада-
задачи (с подвижным и импульсными управлениями), но и предлагались
более утонченные методы их исследования. В частности, В. Комко-
вым в [72] была рассмотрена следующая задача.
Рассматриваются упругие колебания стержня, которые при t ^ О,
—1/2 ^ х ^ 1/2 описываются уравнением
p(x)A(x)wtt(x,t) + [E(x)I(x)wxx(x,t)]xx = /(M),	A-6)
где р{х) — плотность материала; А{х) — площадь поперечного се-
сечения; w(x,t) — поперечные перемещения; Е{х) — модуль Юнга;
1(х) — момент инерции площади поперечного сечения относительно
нейтральной оси; f(x,t) — поперечная нагрузка, рассматриваемая в
дальнейшем как управление. Все функции, кроме /(ж,?), предполага-
предполагаются непрерывными на сегменте [-1/2,1/2].
Граничные условия берутся одного из следующих типов (здесь
введено обозначение /0 = '/2):
защемленный конец —
w(±lo,t) = 0, wx(±l0,t) =0;
свободно опертый конец —
w(±lo,t) = 0, E(±lo)I(±lo)wxx(±lo,t) = 0;
свободный конец —
Е (±/0) / (±/0) wxx (±Z0, t) = 0, [E(x)I(x)wxx (ж, t)] I	= 0.
\x = ±l0
Для гр(х), rj(x) G C2(—lo,lo) начальные условия имеют вид
w(x,0) = ф(х), wt(x, 0) = rj(x).
В. Комковым в [72] рассматриваются лишь обобщенные решения
указанных краевых задач, на каждом из которых определена полная
энергия объекта ?{t) = K{t) + V(t), где
1
-h
V(t) = 1 I E(x)I(x)[wxx(x,t)]2dx
I E(x)I(x)[wxx(xt)]2
-h
— кинетическая и потенциальная энергия соответственно.
При этом допустимые управления f(x,t) удовлетворяют одному
из следующих условий.
Условие 1. Допустимое управление f(t,x) принадлежит прост-
пространству L2@ ^ t ^ Г, —/о ^ х ^ Iq) и, следовательно, f(x,t) как функ-

14	Гл. 1. Обзор результатов и предварительные сведения
ция переменной х при каждом фиксированном t абсолютно интегри-
интегрируема на сегменте [—Zo? ^o]? a интеграл от функции |/(ж,?)| по сегмен-
сегменту [—Zoj'o] является измеримой и равномерно ограниченной функцией
переменной ?, 0 ^ t ^ Т. Кроме того, предполагается, что /(ж,?)
удовлетворяет неравенству
1	I2
]	A.7)
[
-Jo
Из этих условий, в частности, следует, что полная энергия объек-
объекта ?(t) также равномерно ограничена для всех t Е [0,Т].
Условие 2. Функция f(x,t) имеет вид
N
/(x,t) = J]E(x-^(t))^(t)+a(t,x),	A.8)
г=1
где a(t, х) — распределенное управление, а 8 (а) — дельта-функция
Дирака. Функции cpi(t) и ?i(t) являются измеримыми, а область значе-
значений ?i(t) содержится внутри сегмента [—lojo]- Функции (fi(t)
и a(t,x) подчинены условию, подобному A.7):
N
*0
/и
г=1
В рассматриваемых задачах в качестве целевой функции (крите-
(критерием качества объекта) выбирается полная энергия объекта, и необ-
необходимые условия оптимальности получаются в форме принципа мак-
максимума.
Представление функции f(x,t) в форме A.8) означает, что в рас-
рассмотренных автором задачах учитывается возможность использова-
использования импульсных управлений, играющих важную роль в прикладных
задачах. Идейно близкими к ним являются задачи с импульсными
подвижными управлениями (см., например, [14, 66]).
В более простой задаче минимизации энергии колебательного объ-
объекта Г.Б. Шенфельд [116] свел задачу к решению интегрального урав-
уравнения относительно оптимального управления. Применение условий
оптимальности в форме принципа максимума для приближенного ре-
решения задач оптимального управления упругими колебаниями ис-
использовано А.И. Егоровым и Г.Б. Шенфельдом [41].
В.И. Шакиров [115] рассмотрел разнообразные задачи для объекта
A.6) в предположении, что f(x,t) = p(t)q(x), где p(t) и q{x) — управ-
управляющие функции (разделенное управление). Им исследована зада-
задача управляемости таких объектов, получены условия оптимальности
и предложены методы построения программных и синтезированных
управлений на основе идей классического вариационного исчисления.
И.И. Воронцов в [21] рассмотрел задачу минимизации функционала

§ 1. Обзор результатов по управлению упругими колебаниями 15
Т	I
J[lA = 7 / V2(t)dt + / [«i^2(x,t) + a2Ut(x,t) + a3ul(x,t)] dx,
J	J	\t=T
если процесс описывается волновым уравнением A.1) с дополнитель-
дополнительными условиями A.2) и
ux@,t) =p(t), p'(t) = /i(t), u(l,t) = 0
и различными ограничениями на управление /i(?). Полученные усло-
условия оптимальности И.И. Воронцов использовал для приближенного ре-
решения задачи методами нелинейного программирования.
Аналогичные линейно-квадратичные задачи управления упруги-
упругими колебаниями методами классического вариационного исчисления
исследовал В.А. Троицкий [106]. Он, в частности, показал, что гра-
граничным управлением можно полностью погасить энергию объекта за
время Т = 21/а. Для численного решения задач им были предложе-
предложены градиентные методы. Несколько более общий подход к решению
подобных задач применил А.В. Фоменко [110].
Весьма эффективным оказался способ построения синтезирован-
синтезированных управлений, который предложил В.И. Зубов (оптимальное демп-
демпфирование функционалов) для конечномерных систем [47, 48]. В даль-
дальнейшем метод был обобщен на системы с распределенными параметра-
параметрами (см., например, [28]). Другой эффективный метод был предложен
В.Ф. Кротовым [74]. Этот метод был применен в [25] для управления
колебаниями при неограниченном времени.
Метод динамического программирования в исследовании оптими-
оптимизационных задач для одномерных упругих объектов и систем был при-
применен в работах многих авторов (см., например, [95]).
Проблемам приближенного решения задач оптимального управле-
управления упругими колебаниями посвящено много работ. Необходимость
исследования проблем аппроксимации определяется тем, что краевые
задачи для гиперболических уравнений с переменными коэффициен-
коэффициентами не решаются в замкнутой форме. Ряд дополнительных сложнос-
сложностей вносят особенности задач оптимизации (см., например, [18, 108]).
Учет волновой природы распространения возмущений в упругом
теле позволяет использовать управляющие воздействия в несколько
необычной форме [35]. При этом удается сравнительно просто решать
достаточно сложные задачи синтеза оптимального управления упруги-
упругими колебаниями (оптимальное быстродействие в задаче с ограничен-
ограниченными граничными управлениями). Волновая природа колебательного
процесса была учтена А.И. Егоровым [35] при решении следующих
задач гашения колебаний.
1. Задача гашения колебаний, описываемых волновым уравнением.
Процесс описывается краевой задачей A.1)—A.3), где /i(t) и v(t) яв-
являются управлениями. Решается задача о полном гашении колебаний
за кратчайшее время Г > 0, т.е. требуется обеспечить выполнение
условий A.4).

16	Гл. 1. Обзор результатов и предварительные сведения
2.	Задача успокоения колебаний, описываемых системой телеграф-
телеграфных уравнений. Процесс описывается системой уравнений
ди dv	dv ди
at ox	at ox
с начальными условиями и(х,0) = ip(x), v(x,O) = ф(х) при 0 ^ х ^ I.
и различными граничными условиями. В частности, если граничные
условия берутся в виде u@,t) = /i(?), v(O,t) = v(t) при 0 ^ ?, где /i(t)
и v(t) — управления, решается задача о полном гашении колебаний за
кратчайшее время Т > 0, т. е. когда требуется обеспечить выполнение
условия и(х,Т) = 0, v(T,x) = 0 для 0 ^ х ^ I.
3.	Задача управления колебаниями газа в длинном трубопроводе.
Процесс описывается уравнениями
ди dv	dv ди
dt дх	dt дх
Т2у" + Т1У' + у = -кгг(О,t), Tsfi' -y = a(t), 0 < t,
с граничными и начальными условиями
и@, t) + г;@, t) = /i(t), ru(l, t) + г;(/, t) = 0, 0 ^ t,
u(x, 0) = ip(x), v(x, 0) = ф(х), 0 ^ x ^ /,
2/@) =2/°, 2//(O)=2/1.
Здесь Ti, 7, fc, г — положительные постоянные, у?(ж), ^(ж) — задан-
заданные функции, 2/°, 2/1 — заданные постоянные. Управлениями являют-
являются a(t) и /i(t).
Целью управления является полное гашение колебаний в системе
за кратчайшее время Т > 0, т. е. построение тех управлений, при
которых выполняется условие
и(х, Т) = 0, v(x, Т) = 0, у(Т) = у\Т) = 0, 0 ^ х ^ I
Аналогичный прием использовали Л.И. Васницкий и И.В. Мило-
сердова [20] при построении оптимального гасителя продольных коле-
колебаний стержня.
Ж.-Л. Лионе [123] с помощью теории гильбертовых пространств
исследовал проблему существования граничных управлений в терми-
терминах обобщенного класса L2 решения волнового уравнения.
Большой цикл работ, выполненных В.А. Ильиным и его ученика-
учениками, связан с решением задач управления процессом колебаний в клас-
классе обобщенных решений*) W^iQi^T), ^2 (Qi,t) и ^2(Qz,t); здесь че-
через Qi,t обозначен прямоугольник [0 ^ х ^ I] х [0 ^ t ^ Т].
Решалась задача управления процессом A.1)—A.3) в классе обоб-
обобщенных решений, при этом отдельно исследовались случаи управле-
управления по двум концам и управления по одному концу. Первая из таких
задач формулировалась следующим образом.
*)
Строгие определения этих пространств даны в гл. 1, § 2.

§ 1. Обзор результатов по управлению упругими колебаниями 17
Вместе с начальными условиями A.2) вводятся условия окон-
окончания процесса A.4). Задача состоит в том, чтобы для произволь-
произвольных наперед заданных функций cp(x),cpi(x) и ip(x),ipi(x) установить
необходимые и достаточные условия существования граничных управ-
управлений /i(t) и v(t), обеспечивающих переход колебательного процес-
процесса A.1) из начального состояния A.2) в состояние A.4) и получить
эти управления в явном аналитическом виде. Аналогичным образом
формулируется задача об управлении процессом при одной гранич-
граничной управляющей функции /i(t) или u(t) в граничных условиях A.3)
(другая функция полагается равной нулю).
В работах В.А. Ильина и В.В. Тихомирова [63, 64] задача управле-
управления процессом колебаний решалась в классе обобщенных реше-
решений W^Qi^t) волнового уравнения при Т = 1/а.
В.А. Ильиным [51-54] получены необходимые и достаточные усло-
условия на функции, задающие начальные и финальные условия, при кото-
которых удается решить задачу управления процессом колебаний в классе
обобщенных решений W^Qi^t) волнового уравнения для Т < 1/а и
Т > 1/а при управлении на двух концах и для Т < 21/а и Т > 21/а при
управлении на одном конце. При этом были представлены в явном
виде управления решающие перечисленные задачи.
В работах [55-58] В.А. Ильин решал задачу управления колеба-
колебаниями струны в классе обобщенных решений с конечной энергией
(класс W^Qi^t)) ПРИ управлении по двум концам и одному концу
струны. Здесь также были получены необходимые и достаточные
условия на функции ip(x),(pi(x) и ip(x),ipi(x), при которых удается
решить задачу управления колебаниями струны для Г < 1/а и Г > 1/а
при управлении на двух концах и для Г < 21/а и Г > 21/а при управ-
управлении на одном конце. Здесь также были выписаны в явном виде
управления.
Идеи решения задач управления для волнового уравнения были
применены В.А. Ильиным [59-61] для решения задач управления сфе-
сферически симметричными колебаниями трехмерного шара и для для
процессов, описываемых уравнением k(x)[k(x)ux(x,t)]x —utt(x,t) = 0.
Г.Д. Чабакаури [113, 114] был изучен вопрос об оптимизации гра-
граничного управления процессом колебаний на одном конце при за-
закрепленном втором конце в классе обобщенных решений W^Qi^t)
и W^Qi^t) Для случая, когда не выполнены необходимые и доста-
достаточные условия, полученные В.А. Ильиным, на функции, задающие
начальное и финальное состояние процесса. Получено явное аналити-
аналитическое представление для оптимального управления.
П.А. Рево и Г.Д. Чабакаури [96] была решена задача управления
колебаниями струны со свободным правым концом, т.е. на правом
конце задавалось однородное второе краевое условие ux(l,t) = 0. За-
Задача управления колебаниями струны решалась в классе обобщенных
решений W^iQi^r) волнового уравнения.

18	Гл. 1. Обзор результатов и предварительные сведения
В.В. Тихомировым [105] решалась задача управления колебания-
колебаниями струны для случая упруго закрепленного правого конца, т. е. на
правом конце задавалось однородное краевое условие третьего рода
^ж(М) + hu(l,t) = 0, h > 0. Эта задача также решалась в классе
обобщенных решений W^Qi^t) волнового уравнения.
Интересные результаты получены В.А. Ильиным и Е.И. Моисее-
Моисеевым [62] при решении задачи граничного управления на одном конце
процессом, описываемым телеграфным уравнением
utt(x, t) — а2ихх(х, t) + с2и(х, t) = 0.
К этому уравнению сводится система телеграфных уравнений для
случая, когда сигнал по линии передается с искажением. В случае,
когда искажения сигнала нет, получается волновое уравнение A.1).
Одно из направлений развития теории уравнений в частных произ-
производных и соответствующих краевых задач связано с вариационными
неравенствами, когда состояние объекта определяется не уравнения-
уравнениями, а неравенствами (см., например, [49]). При анализе управляемого
процесса в этом случае удается в удобной форме описать поведение
объекта во времени с учетом различных ограничений на фазовое со-
состояние (см., например, [9]). Ряд важных результатов, относящихся к
этому направлению теории управления колебаниями и ее приложений,
представлены в книге V. Barbu [120].
§ 2. Классы функций и функциональные пространства
Обозначим через Qi^t прямоугольник
QlT = { (ж, t): 0 < х < I, 0 < t < Т }.
Совокупность всех функций u(x,t), имеющих в Qi,t непрерывные
производные до порядка к включительно обозначим через Ck{Qi^)^
к = 0, 1, ..., а совокупность таких функций u(x,t), которые к раз не-
непрерывно дифференцируемы вплоть до границы области Q/,t, т.е. в
-, обозначим через Ck(Q^T)- Класс Ck{Qi^) ПРИ к < оо является
П	I(Q)
полным нормированным пространством. Пространство	,
пространство измеримых на Qi,t функций, суммируемых по Qi,t c
квадратом.
Определим классы функций, введенные в работах В.А. Ильина
(см., например, [51, 55]).
Определение 1.1. Функция двух переменных u(x,t) принад-
принадлежит классу W^iQi^r), если она и ее частные производные первого
порядка непрерывны в прямоугольнике Q^T и если у этой функции
существуют все обобщенные частные производные второго порядка,
каждая из которых принадлежит классу I/2(Q/,t) и, кроме того, при-
принадлежит классу 1/2 [0,1] при любом t из сегмента [0, Г] и принадлежит
классу L2[0,T] при любом х из сегмента [0,/].
Определение 1.2. Функция двух переменных u(x,t) принадле-

§ 2. Классы функций и функциональные пространства	19
жит классу W\(Q/,t)? если она непрерывна в прямоугольнике Qi^t
и если у этой функции существуют все обобщенные частные про-
производные первого порядка, каждая из которых принадлежит классу
L2(Qi,t) и, кроме того, принадлежит классу L2[O,Z] при любом t из
сегмента [0,Т] и принадлежит классу 1/2[0,Т] при любом х из [0,1].
Результаты данной книги связаны с пространством Z/2(Qz,tM ко-
которое было введено автором в [42].
Определение 1.3. Функция двух переменных u(x,t) принад-
принадлежит пространству Z/2(Qz,tM если она принадлежит пространству
L2(Qi,t), a также принадлежит пространству L2[O,Z] при любом t из
сегмента 0,Т] и принадлежит пространству 1/2[0,Т] при любом х из
сегмента 0,1].
Введем следующие пространства функций:
Ят[0,Т] = {h(t) e C2[0,T]: h(T) = Л'(Г) =0},
По[0,Т\ = {h(t) е С2[0,Т]: Л@) = Л;@) =0};
пространства, сопряженные к этим пространствам функций, обозна-
обозначим соответственно HfT[0,T], Hfo[0,T].
Для обобщенных функций %'т[0, Т] введем понятие первообразной.
Предварительно заметим, что если g(t) — функция класса 1/2[0,Т], то
эта функция на пространстве %т[0,Т] порождает функционал*^
т
= [ g(t)h(t)dt.
о
Поэтому для любой функции h(t) Е 7-Lt[0,T] справедливо следующее:
т	т t
(g,h) = f g(t)h(t)dt = - f\ f g(s)ds\h'(t)dt = -(g*,hf);
j	j \_ j	j
0	0 0
ft
здесь введено обозначение g*(t) = / g(s)ds. Полученное равенство
Jo
и возьмем в качестве определения первообразной #* функции д.
Определение 1.4. Функция g*(t) G L2[0,T] такая, что g*(t)
непрерывна в нуле и ^*@) = 0, называется первообразной обобщен-
обобщенной функции д е %'т[0,Т], если для любой функции h(t) G Нт[0,Т]
выполняется следующее равенство:
{g*,hf) = — {g,h).	A-9)
Среди элементов д пространства HfT[0, T] выберем те, для которых
существуют первообразные д* в смысле определения 1.4. Совокуп-
Совокупность таких элементов обозначим (Н'Т)*[О,Т]. Множество (/Н^)*[0,Т]
*^ Здесь через (g,h) обозначено действие функционала д на пробных
функциях h.

20	Гл. 1. Обзор результатов и предварительные сведения
не является пустым. Например, функция д{х) = D — Зж)/DA — жM/4)
не принадлежит пространству 1/2[0,1], но у нее существует перво-
первообразная д*(х) = ж/A — жI/4, которая принадлежит пространст-
пространству 1/2[0,1], непрерывна в нуле и д*@) = 0.
Для обобщенных функций Ц'о[0,Т] аналогично введем понятие
первообразной. Пусть g(t) — функция класса 1/2[0,Т]; тогда эта функ-
функция на пространстве Ио[0,Т] порождает функционал
т
(g(t),h(t)) = Jg(t)h(t)dt.
о
Следовательно, для любой функции h(t) Е l~Lo[0,T] выполняется
т	т т
(9, h) = Jg(t)h(t) dt = j\jg{s) ds\ ti{t) dt = (g*,h') ;
о	о t
fT
здесь введено обозначение g*(t) = / g(s)ds. Это равенство берется
h
в качестве определения первообразной д* функции д.
Определение 1.5. Функция g*(t) G L2[0,T] такая, что д* не-
непрерывна в точке Т и д*(Т) = 0, называется первообразной функции д
класса 1-Lq[0,T], если для любой функции h(t) G l~Lo[0,T] выполняется
равенство	/ #ч , v	/
(9*,h') = (g,h).	A.10)
Аналогично, среди элементов д пространства Ц'о[0,Т] выберем те,
для которых существуют первообразные д* в смысле определения 1.5.
Совокупность таких элементов обозначим (НЬ)*[0,Т]. Множест-
Множество функций (/Hq)*[0,T] не является пустым. Например, функция
д[х) = (Зж + 1)/Dж5/4) не принадлежит пространству 1/2[0,1], но у
нее существует первообразная д*(х) = (х — l)/^1/4, которая принад-
принадлежит пространству 1/2[0,1], непрерывна в точке х = 1 и #*A) = 0.
Введем пространства, связанные с краевыми условиями первого,
второго, третьего рода соответственно:
= {f(x)eC2%l}: /@) = /(/) = 0},
= {f(x) e С2[0,1}: /'(О) = /'(/) =0},
= {f(x) е С2[0,1}: /'@) -/3/@) = f'(l)+af(l) =0};
здесь а,/3 > 0. Пространство, сопряженное к ^[0,1], г = 1, 2, 3, обо-
обозначим ^[0,1]. Для элементов пространств ^-[0,Z], г = 1, 2, 3, также
потребуется понятие первообразной.
Определение 1.6. Функция <? называется первообразной функ-
функции д пространства ^"{[0,/], если равенство
выполняется для любой функции / G f,]
Совокупность элементов д пространства ^"{[0,/], для которых пер-

§ 2. Классы функций и функциональные пространства	21
вообразные g принадлежат пространству L2[O,Z], обозначим ^{[0,/].
Определение 1.7. Функция g называется первообразной функ-
функции д пространства ^[0,/], если равенство A.11) выполняется для
любой функции f(x) = h (x), где h G ^[О,/].
Совокупность элементов д пространства ^[0,/], для которых пер-
первообразные g принадлежат пространству L2[0, Z], обозначим ^[О, Z].
3 а м е ч а н и е 1.1. В отличие от определения 1.6, в определении 1.7
участвуют только производные от функций пространства ^[О,/], а не
сами функции этого пространства.
Для пространства ^[^М] определим два типа первообразных по-
подобно определениям 1.4 и 1.5.
Определение 1.8. Функция д*(х) G 1/2[0,/] такая, что #* непре-
непрерывна в нуле и д*@) = 0, называется первообразной функции д класса
^Гз[0,/], если равенство A.9) выполняется для любой функции h(x)
вида h(x) = f'(x)+af(x), где /(ж) G Т3[0,1].
Определеие 1.9. Функция д*(х) Е L2[0,l] такая, что д* непре-
непрерывна в точке I и д*A) = 0, называется первообразной функции д
класса ^[0,1], если равенство A.10) выполняется для любой функции
h(x) = f'(x) - Cf(x), где /(ж) G ^3[0,q.
Совокупность элементов д пространства Т3[0,1], для которых су-
существуют первообразные д* в смысле определения 1.8, обозначим
(^Гз)*[0,/], а совокупность элементов д этого пространства, для кото-
которых существуют первообразные д* в смысле определения 1.9, обозна-
(^L]
Замечание 1.2. Определения первообразных д* и д* используют
линейные комбинации f'(x) + oif(x) и f'(x) — /3f(x) соответственно
для f(x) из JT3[O,/], а не сами функции пространства ^з[0,/].
Аналогичным образом определим подпространства (.Т7^)*^?']
и (^2)*[0,/] пространства ^[0,/]. Пространство (^=2)*Р^] есть сово-
совокупность элементов д из ^[0,/], первообразные <? которых непрерыв-
непрерывны в точке х = 0 и обращаются в этой точке в нуль. Соответственно
пространство (jF^fO,/] есть совокупность элементов g из ^[0,/], пер-
первообразные (? которых непрерывны в точке х = I и обращаются в этой
точке в нуль.
Введем пространства для смешанных краевых условий:
е С2[0,/]: /@) = /'(/) = 0 },
€ С2[0,/]: /'@) = /(/) =0},
^1,з[0,/] = { f(x) G С2[0,1]: /@) = /'(/) + af{l) = 0},
^3,i[0, /] = { f(x) ? С2[0,1]: /'@) - /3/@) = /(/) = 0 },
Яг,з[0,/] = { f(x) G С2[0,/]: /'@) = /'@ + «/(/) = 0 },
^з,2[0, /] = { /(ж) G С2[0,1}: /'@) - /}/@) = /'(/) = 0 };
здесь а,/3 > 0. Пространство, сопряженное к пространству ^,^[0,^],
обозначим Т[ j[O,Z], г, j = 1, 2, 3. Для этих пространств также введем

22	Гл. 1. Обзор результатов и предварительные сведения
понятие первообразной.
Определение 1.10. Функция g*(x) Е L2[0,Z] такая, что д* не-
непрерывна в нуле и д*@) = 0, называется первообразной функции д
класса JF{ 3[0, /], если равенство A.9) выполняется для любой функ-
функции h(x) = f'(x)+af(x), где f(x) G ^1,з[0,/].
Определение 1.11. Функция д*(х) Е L2[0,Z] такая, что д* не-
непрерывна в точке I и д*{1) = 0, называется первообразной функции д
класса ^{^[^ML если равенство A.10) выполняется для любой функ-
функции h(x) G ^1,з[0,/].
Совокупность элементов д пространства JF{ 3[0, /], для которых су-
существуют первообразные д* в смысле определения 1.10, обозначим
(Т'-у 3)*[0, /], а совокупность элементов д этого пространства, для ко-
которых существуют первообразные д* в смысле определения 1.11, обо-
обозначим (^Г15з)*[0^]«
Аналогичным образом вводятся понятия первообразных д* и д*
для пространства Т'<$ i[0,Z].
Определение 1.12. Функция д*(х) Е L2[0,Z] такая, что д* не-
непрерывна в нуле и д*@) = 0, называется первообразной функции д
класса .T^it^ML если равенство A.9) выполняется для любой функ-
функции h(x) G ^3д[0,/].
Определение 1.13. Функция д*(х) Е L2[0,Z] такая, что д* не-
непрерывна в точке I и д*A) = 0, называется первообразной функции д
класса Т^ i[0,/], если равенство A.10) выполняется для любой функ-
функции h{x) = Г(х)-C/(х), где f{x) e ^зд[0,/].
Совокупность элементов д пространства Т'ъ х[0,1], для которых су-
существуют первообразные ^* в смысле определения 1.12, обозначим
(^зд)*[0^]5 а совокупность элементов д этого пространства, для ко-
которых существуют первообразные д* в смысле определения 1.13, обо-
обозначим (^зд)*Р?']-
Из определений 1.10-1.13 получаются определения для первооб-
первообразных #* и д* элементов д пространств .Т7! 2[0>(] и -^гдР?']? если в
определении 1.10 положить а = 0, а в определении 1.13 — /3 = 0;
определения 1.11 и 1.12 остаются без изменений.
Определение 1.14. Функция д*(х) G 1/2[0,/] такая, что #* не-
непрерывна в нуле и #*@) = 0, называется первообразной функции д
класса ^2,зР?']? если равенство A.9) выполняется для любой функ-
функции h(x) = f'(x) +а/(ж), где f(x) G ^2,з[0,/].
Определение 1.15. Функция д*(х) G L2[0,Z] такая, что д* не-
непрерывна в точке I и д*A) = 0, называется первообразной функции д
класса Т'2 3[0?']? если равенство A.10) выполняется для любой функ-
функции h(x) = f'{x), где f{x) e ^2,з[0,/].
Совокупность элементов д пространства Т'2 з[05']? Для которых су-
существуют первообразные д* в смысле определения 1.14, обозначим
(^з)*[0,?], а совокупность элементов g этого пространства, для ко-
которых существуют первообразные д* в смысле определения 1.15, обо-

§ 2. Классы функций и функциональные пространства	23
значим (^2,з)*Р?']-
Аналогичным образом вводятся понятия первообразных д* и д*
для пространства ^^[^М]-
Определение 1.16. Функция д*(х) G 1/2[0,/] такая, что #* не-
непрерывна в нуле и д*@) = 0, называется первообразной функции д
класса ^з,2р?']? если равенство A.9) выполняется для любой функ-
функции h(x) = /'(ж), где f(x) e ^з,2[0,/].
Определение 1.17. Функция #*(ж) G 1/2[0,/] такая, что д* не-
непрерывна в точке / и #*(/) = 0, называется первообразной функции д
класса Т'ъ 2[0, Z], если равенство A.10) выполняется для любой функ-
функции h(x) = f(x)-/3f(x), где f{x) е ^з,2[0,/].
Совокупность элементов g пространства ^3,2P? (]? Для которых су-
существуют первообразные д* в смысле определения 1.16, обозначим
(^~з 2)*Р?']? а совокупность элементов д этого пространства, для ко-
которых существуют первообразные д* в смысле определения 1.17, обо-
обозначим (^з^ЫСМ]-
Замечание 1.3. Из определений первообразных д* и д* полу-
получаются следующие равенства для производных этих первообразных:
((g*y,/i) = — (g*,hf) = (g,h), откуда вытекает равенство
(д*У = д-	A-12)
Соответственно ((g*)f,h) = —(g*,hf) = —(g,h), откуда получается
равенство
Ы' = -д.	A.13)
Введем еще несколько функциональных пространств. Через L^fO, I]
обозначим совокупность функий класса L2[0,Z], которые непрерывны
на концах сегмента [0,/] и обращаются в нуль в этих точках.
Обозначим через (^)о[°Л г = 2,3, и (^-)о[0,/], i,j = 1,2,3,
совокупность элементов пространств (^)*[0,Z] и (^ j)*[O,Z] соответ-
соответственно, у которых первообразные д*(х) непрерывны в точке х = I и
обращаются в этой точке в нуль.
Через (^J[°Л г = 2,3, и (^-J[0,/], i,j = 1,2,3, обозначим
совокупность элементов пространств (^-)*[0,/] и (^j)*[O,Z] соответ-
соответственно, у которых первообразные #*(ж) непрерывны в точке х = 0 и
обращаются в этой точке в нуль.
Обозначим через G-Lt)o[QjT] совокупность элементов простран-
пространства (HfT)*[0,T], у которых первообразные g*(t) непрерывны в точке
t = Т и обращаются в этой точке в нуль. Аналогично, через (НЬ)® [0, Т]
обозначим совокупность элементов пространства (Но)*[0,Т], у кото-
которых первообразные g*(t) непрерывны в точке t = 0 и обращаются в
этой точке в нуль.
Введем ряд сокращений. Под выражением [i(t) G (/Н()Jа[0,Т] бу-
будем понимать то, что /i(t)e~aat G (^Но)^[0,Т], соответственно выраже-
выражение /i(t) e (J-L'T)lc№,T] будет обозначать, что /i(t)eaat e CH
Через /i(t)GF[0,T] обозначим /j(t) G (Я'т)Ъа[0,Т\ П («

Глава 2
Краевые задачи и задачи управления.
Классические решения
§ 1. Постановки краевых задач, метод Даламбера
1.1. Постановки краевых задач. Задачи для волнового урав-
уравнения с начальными и краевыми условиями обычно в литературе на-
называются смешанными задачами (см., например, [83]). В дальнейшем
будем пользоваться следующей терминологией: краевой задачей будем
называть задачу для волнового уравнения в Qt T с начальными (или
финальными) условиями и краевыми условиями при х = 0их = 1
одного рода, а смешанной краевой задачей будем называть задачу для
волнового уравнения в Qt T с начальными (или финальными) усло-
условиями и краевыми условиями при х = 0их = 1 разных родов.
Для волнового уравнения
uu(x,t) - a2uxx(x,t) = 0	B.1)
с начальными условиями
и(х,0)=ф), щ(х,0)=ф(х)	B.2)
или финальными условиями
и(х,Т) = (^i(x), щ(х,Т) = фг(х)	B.3)
сформулируем различные краевые задачи.
Первая краевая задача с начальными (финальными) условиями.
Найти функцию и(х, ?), удовлетворяющую уравнению B.1) в Q\,t-> на-
начальным B.2) (финальным B.3)) условиям на сегменте [0,1] и краевым
условиям
ЦО, t) = /i(t), u(l, t) = v(t) O^t^T.	B.4)
Условия B.4) называются условиями первого рода.
Вторая краевая задача с начальными (финальными) условиями.
Найти функцию u(x,t), удовлетворяющую уравнению B.1) в Qi^t-,
начальным B.2) (финальным B.3)) условиям на сегменте [0,1] и крае-
краевым условиям
ux@,t)= fi(t), ux(l,t) = v(t) O^t^T.	B.5)
Условия B.5) называются условиями второго рода.
Третья краевая задача с начальными (финальными) условиями.
Найти функцию u(x,t), удовлетворяющую уравнению B.1) в Q/,t,

§ 1. Постановки краевых задач, метод Даламбера	25
начальным B.2) (финальным B.3)) условиям на сегменте [0,1] и крае-
краевым условиям при C > 0 и а > О
ux(O,t) - f3u(O,t) = fi(t), ux(l,t) + au(l,t) = v(t) O^t^T. B.6)
Условия B.6) называются условиями третьего рода.
Смешанная краевая задача (i,j) с начальными (финальными) усло-
условиями. Найти функцию u(x,t), удовлетворяющую уравнению B.1) в
Qi^Ti начальным B.2) (финальным B.3)) условиям на сегменте [0,1]
и краевым условиям г-го рода при х = 0 и j-ro рода при х = I,
где i,j = 1, 2, 3.
Замечание 2.1. При /3 = 0 и а = 0 третья краевая задача пре-
превращается во вторую краевую задачу, поэтому все рассуждения будут
приводиться для третьей краевой задачи, при этом будут указывать-
указываться результаты для второй краевой задачи как частного случая третьей
краевой задачи. Аналогично будут формулироваться результаты для
смешанных краевых задач C,1) и A,3) и как частный случай резуль-
результаты для смешанных краевых задач B,1) и A,2). Результаты для
смешанных краевых задач C,2) и B,3) будут получаться из третьей
краевой задачи для а = 0 и C = 0 соответственно.
1.2. Классические решения краевых задач методом Да-
Даламбера. Определим классическое решение краевой задачи.
Определение 2.1. Дважды непрерывно дифференцируемая в
замкнутом прямоугольнике Ql T функция u(x,t) называется класси-
классическим решением первой краевой задачи с начальными (финальными)
условиями, если она удовлетворяет уравнению B.1) в Qz,t5 началь-
начальным условиям B.2) (финальным условиям B.3)) на сегменте 0 ^ х ^ I
и краевым условиям B.4) для 0 ^ t ^ Т.
Для остальных краевых задач классические решения определяют-
определяются аналогичным образом.
Классические решения поставленных краевых задач однозначно
определяются с помощью формулы Даламбера.
Для первой краевой задачи с начальными условиями реше-
решение u(x,t) при (ж,?) е Qi,t, 0 < Г ^ l/а, определяется следующим
образом:
*м**+и{'-1)+<'-1-1г)- BJ)
x — at
Здесь Ф(х) и \Р(х) — нечетные продолжения функций ip(x) и ф(х)
соответственно на сегменты [—/,0] и [1,21], функции \i,y_ удовлетво-
удовлетворяют условиям /i(t) = /i(t) на [0,Т], /i@) = 0 и /i(t) = 0 при ар-
аргументах t < 0; аналогичным условиям удовлетворяет и функция
z/(?). Как показывает формула B.7), для того, чтобы функция u(x,t)
являлась классическим решением рассматриваемой задачи, функция

26 Гл. 2. Краевые задачи и задачи управления. Классические решения
Ф(х) должна быть дважды непрерывно дифференцируемой на сегмен-
сегменте [—1,21], Ф(ж) — непрерывно дифференцируемой на этом сегменте,
функции n(t) и v_(t) — дважды непрерывно дифференцируемыми на
сегменте [—Т,Т]. Из согласования начальных и краевых условий и
нечетного продолжения функций ср и ф относительно точек х = 0 и
х = I вытекает, что
/х@) = ф) = 0, »'@)=ф@)=0,
г/@) = <рA) = О, i/@) = фA) =0.	1 " '
Решение u{x,t) второй краевой задачи с начальными условиями
для (x,t) е Qi,t, 0 < Г ^ l/а, определяется следующим образом:
Ф(х - at) + Ф(х + at)
и(х, t) =
x-\-at	t — x/a	t — {l — x)/a
Л	/ &(z) dz-a j fi(z) dz + a / v_{z) dz, B.9)
x-at	0	0
где Ф(х) и \Р(х) — четные продолжения функций ip(x) и ф(х) соот-
соответственно на сегменты [—/,0] и [1,21]. Из формулы B.9) следует,
что функция u(x,t) будет классическим решением рассматриваемой
задачи, если функция Ф(х) дважды непрерывно дифференцируема на
сегменте [—1,21], Ф(ж) непрерывно дифференцируема на этом сегмен-
сегменте, функции /i(t) и v_(t) непрерывно дифференцируемы на сегменте
[—Т,Т]. Из согласования начальных и краевых условий и четного про-
продолжения функций (риф относительно точек х = 0 и х = I вытекает,
М0) = ^@) = 0, м'@)=^@) = 0,
1/@) = <р'A) = 0, i/@) = ф'{1) = 0.	1 ' ;
Решение u(x,t) третьей краевой задачи с начальными условиями
в Ql,T-> 0 < Т ^ l/а, определяется следующим образом:
. . Ф(х - at) + Ф(х + at)
u(x, t) =	+
x + at	t — x/a
/	I
x-at
(l-
f
B.11)
Здесь Ф{х) и \Р{х) — некоторые продолжения функций ср(х) и ф{х) со-
соответственно на сегменты [—/,0] и [1,21] (эти продолжения опишем ни-
ниже). Из формулы B.11) следует, что функция u(x,t) будет классичес-
классическим решением рассматриваемой задачи, если функция Ф(х) дважды

§ 1. Постановки краевых задач, метод Даламбера	27
непрерывно дифференцируема на сегменте [—1,21], Ф(ж) непрерывно
дифференцируема на этом сегменте, а функции /a(t) и v_(t) непрерыв-
непрерывно дифференцируемы на сегменте [—Т, Т]. Из согласования начальных
и краевых условий и того факта, что непрерывно дифференцируемые
функции /i(t) и v(t) продолжаются нулем на множество t < 0, выте-
вытекает, что
/	= о, /Ло) = ^(о) - /зф(р) = о,
= 0, i/@) = ф'{1) + шКО =0.	l ' }
Выясним, каким образом необходимо продолжить функции ср(х)
и ф{х) относительно точек х = 0 и х = I на сегменты [—/,0] и [Z,2Z]
соответственно в случае краевых условий третьего рода.
Обозначим	x+at
TTt ч Ф(х + at) + Ф(х - at) I f rMJ
t/(x,t) = ^	^—Ь	^ + — у ^)d^.
ж-at
Будем искать функции Ф(х) и ^(ж) из условий, что функция U(x,t)
удовлетворяет нулевым граничным условиям B.6):
Ux@,t)-/3U@,t) = 0,	B.13)
ВД*) + аЕ/(М) = 0,	B.14)
Из равенства B.13) получим продолжения функций ср(х) и ф(х) на
сегмент [—/,0], а с помощью равенства B.14) получим продолжения
этих функций на сегмент [1,21]. Равенство B.13) при 0 ^ t ^ 1/а
имеет вид
(p'(at) + Ф'(-а?) ф{а?) - W(-at)
+
— at
Здесь мы воспользовались тем фактом, что при 0 ^ х ^ I выполняется
(р(х) = Ф(х) и ф(х) = \Р(х). Полученное равенство перепишем в виде
двух дифференциальных уравнений:
Ф'(-аЬ) - /ЗФ(-аг) = - [f\at) - /3ip(at)] ,
-at	at
&(-at) - C f &(z) dz = ф{а?) - f3 f ф(г) dz.
о	о
Сделаем замену в уравнениях у = —at. В результате получаем вы-
выражения Ф'(у) - (ЗФ(у) = f(y) и G'(y) - CG(y) = g(y), где введены
следующие обозначения: f(y) = — [<pf(—y) — /3(р(—у)],
у	-у
G(y) = 19(z) dz, g(y) = ф(-у) - f3 j ф(г) dz.

28 Гл. 2. Краевые задачи и задачи управления. Классические решения
Решения полученных уравнений для — I ^ у ^ 0, с учетом начальных
условий Ф@) = (^@) и ^@) = гр(О), имеют вид
-у
Ф(у) = ip(O)ePy + е^у [ e?z [<p'(z) - (Зф)] dz,	B.15)
-у	°
Щу) = ^@) + I W{z) - №(z)} dz -
7 \ } л
/ e?z U(z) -P i/j(s) ds dz.
J	\_	J	J
о	о
B.16)
Из выражений B.15) и B.16) при C = 0 получаем, как и в слу-
случае второй краевой задачи, четное продолжение функций ip(x) и ф(х)
относительно х = 0 на сегмент [—/,0].
Подобным образом из равенства B.14) получаем равенство, кото-
которое эквивалентно двум уравнениям:
Ф'{1 + at) + аФA + at) = - [ip'(l - at) + aip(l - at)] ,
l + at	I —at
&(l + at)+a / &(z)dz = il>(l-at)+a / i/>(z)dz.
l	l
В уравнениях сделаем замену at = у. Введем следующие обозначения:
i—y	i+y
g(y) =фA-у) + а j ф) dz, G(y) = j i/>(z) dz.
l	l
Решения дифференциальных уравнений Ф' (I + у) + аФA + у) = f(y) и
G'(l + у) + olGA + у) = д(у) равны для 0 ^ у ^ I с учетом начальных
условий ФA) = <рA) и () ()
-у
[ ~az [<p'(z) + аф)] dz, B.17)
1-
l-y
1
/Г	С	Л
e-az\ip(z)+a / i/>(s)ds\ dz. B.18)
L	J	J
z	z
Из выражений B.17) и B.18) при а = 0 получаем, как и в слу-
случае второй краевой задачи, четное продолжение функций ip(x) и ф(х)
относительно х = I на сегмент [7,2/].

§ 1. Постановки краевых задач, метод Даламбера	29
Приведем решения краевых задач для финальных условий. Реше-
Решение первой краевой задачи с финальными условиями имеет следую-
следующий вид:
Ф1 (х - а(Т - ?)) + Фг(х + а(Т - ?))
u(x,t) =
x + a(T-t)
~i I ^)dz + -,{t+l)+v(t+1-^), B.19)
x-a(T-t)
где функции ~p{t) и V(t) дважды непрерывно дифференцируемы на
сегменте [0,2Т]. Эти функции удовлетворяют следующим условиям:
-p(t) = /i(t) на [О,Г], р(Г) = 0 и ~p(t) = 0 при t > Т. Аналогичным
условиям удовлетворяет и функция V(t). Из согласования финальных
и краевых условий вытекает, что
?>i@)=/i(T)=0, tl>i@)=n'(T) = 0,
v(T) = o ф1A) = „'(т) = о	{ • UJ
Функции Ф\(х) и \Р\(х) — нечетные продолжения функций ipi(x)
и фг(х) относительно х = 0 и х = I на сегменты [—/,0] и [7,2/] соот-
соответственно.
Решение второй краевой задачи с финальными условиями форму-
формулой Даламбера представляется в виде
, ^ _Фг(х- а(Т - t)) +Фг(х + а(Т - t))
4x,t)-	2
x + a(T-t)	Т	Т
- — / V\{z)dz-a I Jl(z) dz + a / V(z) dz. B.21)
x-a(T-t)	t + x/a	t + (l-x)/a
Из согласования финальных и краевых условий вытекает, что
' z1/	//	'	B.22)
Функции Ф\(х) и \Pi(x) — четные продолжения функций (fi(x) и
ф\(х) относительно х = 0 и х = I на сегменты [—/,0] и [Z,2Z] соответ-
соответственно.
Решение третьей краевой задачи с финальными условиями пред-
представляется формулой
x + a(T-t)
2A J
x-a(T-t)
T	T
a f eaf3(t+x/a-^Jl(z) dz + a f e™(t+(l-x)/a-z)v^ dz
t + x/a	t + (l-x)/a

30 Гл. 2. Краевые задачи и задачи управления. Классические решения
Согласование финальных и краевых условий:
= 0, ф[@) - Рфг(О) = //(Г) = 0,
- 0 т// A) + гЬ (I) - i/f(T) - О У2-м)
Функция (pi(x) продолжена относительно х = 0 и х = I на сегменты
[-/,0] и [1,21] соответственно с помощью формул B.15) и B.17), а
функция ф\ (х) продолжены относительно х = 0 и х = I на сегменты
[-/,0] и [1,21] соответственно с помощью формул B.16) и B.18).
Решения смешанных краевых задач (г, j) с начальными условиями
получаются аналогично формулам B.7), B.9) и B.11). Продолжения
Ф и "Ф функций (риф относительно х = 0 на сегмент [—/,0] опреде-
определяются граничным условием г-го рода; продолжения этих функций
относительно точки х = I на сегмент [1,21] определяются граничным
условием j-ro рода. Соответственным образом преобразуются сла-
слагаемые, содержащие функции \i и v в формулах B.7), B.9) и B.11).
Таким образом, решение задачи A,3) с начальными условиями
представляется формулой
x + at
Ф(х - at) + Ф(х + at) I f T , ч 7
u(x,t) = —	^	L + — / &(z)dz +
у J	2	2а J y J
x — at
(lx
f
решение задачи C,1) с начальными условиями имеет вид
x + at
, ч Ф(х - at) + Ф(х + at)
u(xt) = ±)^J
I f
— j
t-x/a	X~at
-a j e-aW-x/a-z^(z)dz + v(t-l-^y	B.26)
о
Из формулы B.11) получаем при /3 = 0 решение смешанной крае-
краевой задачи B,3) с начальными условиями, а при а = 0 — решение
смешанной краевой задачи C,2) с начальными условиями.
Формула B.25) дает решение смешанной краевой задачи A,2) с
начальными условиями при а = 0, а формула B.26) при /3 = 0 пред-
представляет решение смешанной краевой задачи B,1) с начальными усло-
условиями.
Аналогичным образом получаются решения для смешанных
краевых задач с финальными условиями. Решение смешанной крае-
краевой задачи A,3) с финальными условиями имеет вид
x + a(T-t)
la J
x-a(T-t)

2. Постановки задач управления	31
т
+ ji(t + -) + a f ea*{t+V-x)/*-z)V(z) dz, B.27)
а решение смешанной краевой задачи C,1) имеет вид
a(T-t)
1 г
2CL J
Z
x-a(T-t)
T
-a f ea^t+x^a-^Jl(z)dz + v{t+l-^y B.28)
t + x/a
Из формул B.27) и B.28) соответственно получаются решение
смешанной краевой задачи A,2) при а = 0 и решение смешанной
краевой задачи B,1) при C = 0.
§ 2. Постановки задач управления
В основе задач управления колебаниями струны лежит решение
следующей задачи с начальными и финальными условиями: найти
функцию и(х, ?), удовлетворяющую уравнению B.1), начальным усло-
условиями B.2) и финальным условиям B.3). Решение сформулированной
задачи ищется как решение той или иной краевой задачи с заданными
начальными условиями B.2) и с такими краевыми условиями, кото-
которые обеспечат выполнение финальных условий B.3). Таким образом,
задача управления решена, если найдены управляющие функции /i(t)
и v(t) и период времени Т.
Будем в дальнейшем говорить об управлении колебаниями струны
в условиях соответствующей краевой задачи.
2.1. Управление колебаниями струны в условиях первой
краевой задачи. Будем предполагать, что функции ср(х) и ipi(x)
принадлежат пространству С2[0,1], а функции ф(х) и ф\(х) принадле-
принадлежат пространству С1 [0,1].
Задача 2.1. Найти момент времени t = Г и функции /i(t) и
v(t) в пространстве С2[0,Т] такие, чтобы для решения u(x,t) первой
краевой задачи с заданными начальными условиями [ср(х),ф(х)] в мо-
момент времени t = Т выполнялись финальные условия с заданными
функциями [(pi(x),ipi(x)].
Если волновое уравнение рассматривать как уравнение колеба-
колебаний струны, то сформулированную задачу можно рассматривать как
задачу о переводе струны за промежуток времени Т из состояния
[ср(х),ф(х)] в состояние [cpi(x)^i(x)]. Для решения задачи 2.1 нам по-
потребуются ее частные случаи — задача о гашении колебаний и задача
о переводе первоначально покоящейся струны в заданное состояние.

32 Гл. 2. Краевые задачи и задачи управления. Классические решения
Задача 2.2. Найти момент времени t = Т и функции /i(t) и u(t)
в пространстве С2[О, Г] такие, чтобы для решения u(x,t) первой крае-
краевой задачи с заданными начальными условиями [(р(х),гр(х)] в момент
времени t = Т выполнялись нулевые финальные условия и(х,Т) = О
ищ(х,Т)=0.
Задача 2.3. Найти момент времени t = Т и функции /i(t) и
i/(t) в пространстве С2[0,Т] такие, чтобы для решения u(x,t) первой
краевой задачи с нулевыми начальными условиями в момент време-
времени t = Т выполнялись финальные условия с заданными функциями
Постановки задач об управлении колебаниями струны с одним за-
закрепленным концом аналогичны сформулированным задачам. Един-
Единственное отличие — здесь требуется найти только одну управляющую
функцию.
2.2. Управление колебаниями струны в условиях других
краевых задач. Сначала сформулируем задачи управления в усло-
условиях третьей краевой задачи, из их постановок легко сформулировать
задачи управления в условиях второй краевой задачи и в условиях
смешанных краевых задач.
Задача 2.4. Найти момент времени t = Т и функции /i(t) и v(t) в
пространстве С1 [О, Г] такие, чтобы для решения u(x,t) третьей крае-
краевой задачи с заданными начальными условиями [(р(х),гр(х)] в момент
времени t = Т выполнялись финальные условия с заданными функция-
функциями [(р1(х),ф1(х)].
Это задача о переводе струны из состояния [(р(х),гр(х)] за проме-
промежуток времени Т в состояние [ipi(x),ipi(x)]. Для решения задачи 2.4
нам также потребуются ее частные случаи — задача о гашении коле-
колебаний и задача о переводе первоначально покоящейся струны в задан-
заданное состояние.
Задача 2.5. Найти момент времени t = Т и функции /i(t) и v(t) в
пространстве Сг1[0,Т] такие, чтобы для решения u(x,t) третьей крае-
краевой задачи с заданными начальными условиями [ср(х),гр(х)] в момент
времени t = Т выполнялись нулевые финальные условия и(х,Т) = О
и щ(х,Т) =0.
Задача 2.6. Найти момент времени t = Т и функции fi(t) и v(t) в
пространстве Сг1[0,Т] такие, чтобы для решения u(x,t) третьей крае-
краевой задачи с нулевыми начальными условиями в момент време-
времени t = Т выполнялись финальные условия с заданными функция-
функциями [(^i(>),^i(>)].
Задачи управления в условиях второй краевой задачи и смешан-
смешанных краевых задач формулируются аналогично, отличие заключается
в пространствах функций, в которых ищутся управления /i(t) и v(t).
Для краевых условий 2-го и 3-го рода управляющая функция ищет-
ищется в пространстве Сг1[О,Т], для краевого условия первого рода — в
пространстве С2[О,Г].

§ 3. Решение задач управления методом Даламбера	33
§ 3. Решение задач управления методом Даламбера
3.1. Решение задачи управления в условиях первой крае-
краевой задачи. Сначала решим задачу 2.2, затем задачу 2.3, решение
задачи управления 2.1 найдем как сумму решений задач 2.2 и 2.3.
3.1.1. Гашение колебаний. Успокоить колебания струны при лю-
любых начальных условиях [(р(х),гр(х)] можно за период времени Т рав-
равный l/а. Решение первой краевой задачи с начальными условиями
имеет вид B.7). Воспользуемся финальными условиями: и(х,Т) = О,
щ(х,0) = 0 при 0 ^ х ^ I. Получаем систему уравнений
х + 1
Ф(х + I) + Ф(х — I) 1 Г т/ ч 7	A — х\ /х\
2	+2;/*<*>& + К—МаН'
х-1
2	2а
а V а ) а \а/
Продифференцируем первое уравнение системы по х:
2	+	2а
0.
1 ,/1 — х\ 1 ,/ж\
--/^ — +-«/ м- =
а \ a J а \а/
Сложим полученное уравнение и второе уравнение системы и выч-
вычтем полученное уравнение из второго уравнения системы. После
преобразований получаем два уравнения относительно производных
функций а и v\
а \а/
-Ф'(ж
а
Сделаем замену t = (I — х)/а в первом уравнении, а во втором
уравнении положим t = х/а. Затем проинтегрируем уравнения и
воспользуемся условиями продолжения функций ср и гр относительно
точек х = 0 и х = I. Получаем выражения для fi(t) и i/(t)
at
О
l-at
-± f
I
Теперь учтем согласование начальных и краевых условий первой
краевой задачи с начальными условиями B.8). Получаем окончатель-

34 Гл. 2. Краевые задачи и задачи управления. Классические решения
но выражения для управляющих функций fi(t) и i/(t)
at
l>(z)dz,	B.29)
*(z)dz.	B.30)
I —at
3.1.2. Перевод покоящейся струны в заданное состояние. Восполь-
Воспользуемся формулой B.19), в которой Т полагаем равным l/а, и условия-
условиями того, что струна в начальный момент покоилась, получаем систему
уравнений
х + 1
Ф\(х - I) + Ф\(х + I) 1
l — x\
—)=0'
x-l
2a
1 ,fx\ 1 ,fl — x\
+ -»'[-) +-1у'[	 =0.
a \a/ a V a /
Продифференцируем первое уравнение системы по х:
2а
1 . /х\ 1 . (I — х\
-» - --у'{	 =о.
а \а/ а V а /
Сложим полученное уравнение со вторым уравнением системы и из
второго уравнения системы вычтем полученное уравнение, затем вос-
воспользуемся свойствами продолжения функций ip(x) и ф(х) относитель-
относительно точек х = 0иж = 1; получаем уравнения
2 , // -х\ ,
а V а )
-х)
Сделаем соответствующие замены в полученных уравнениях, про-
проинтегрируем их и воспользуемся согласованием финальных и краевых
условий первой краевой задачи с финальными условиями B.20). Окон-
Окончательно получаем выражения для управляющих функций /i(t) и u(t)
Mz)dZi	B.31)

3. Решение задач управления методом Даламбера	35
Mz)dz.	B.32)
at
3.1.3. Решение общей задачи управления. Общее решение зада-
задачи 2.1 получается как сумма решений задач гашения колебаний (зада-
(задача 2.2) и перевода покоящейся струны в заданное состояние
(задача 2.3). Решения /i(t) и v(t) даются формулами B.29), B.31)
и B.30), B.32) соответственно:
at	l-at
dz. B.34)
l-at	at
3.2. Решение задачи управления в условиях третьей кра-
краевой задачи. По аналогии с п. 3.1 сначала решим задачу успокоения
колебаний (задачу 2.5), затем задачу перевода покоящейся струны в
заданное состояние (задачу 2.6); решение задачи 2.4 будем искать как
сумму решений задач 2.5 и 2.6.
3.2.1. Гашение колебаний. Используем формулу B.11) решения
третьей краевой задачи с начальными условиями. Успокоить колеба-
колебания для произвольных начальных условий ip(x) и ф(х) возможно за
время Т = l/а, поэтому получаем следующую систему уравнений:
х + 1	A-х)/а
х-1	О
х I a
+ а Г e-^x-az)v(z) dz = 0, B.35)
о
гх\
\а)
2	2а
A-х)/а	х/а
+ af3 [ e-^l-x~az)ii{z)dz-aa f e-^x-az)v{z) dz = 0. B.36)
о	о
Продифференцируем уравнение B.35) по ж, полученное уравнение
сложим с уравнением B.36), затем из полученного уравнения выч-
вычтем уравнение B.36). После несложных преобразований приходим к
системе уравнений для функций /лиг/

36 Гл. 2. Краевые задачи и задачи управления. Классические решения
t
	 <?'(/ +at) + *Уь^а1)\ + е<"**|/(*)-аа / еаати(т) dr = О,
2 L	а J	у
о
t
" а/3 f e^T/
от = О.
2
о
Сделаем в полученных уравнения следующие замены:
t	t
eaaTv{r) dr = y(t), I ea^fi(r) dr = z(t).
о	о
Откуда получаем у'it) = eaOitv(t) и z'(t) = еа^/л(?). Введем функции
eaOLt\ ln 4 &(l + at)i r, . еа^\ п ч &(-at)i
__ ^/(/ + at) + v ^ ;j = /(*), _^_ ^(-at) - ^^J = 9(t).
Таким образом, приходим к двум обыкновенным дифференциальным
уравнениями: у' — аау = /(?), z' — aCz = g(t), причем /@) = 0 и
z@) = 0. Решая уравнения, находим y(t) и z(t):
t	t
y(t) = j еа^-^Лт) dr, z(t) = j еа^-^д(т) dr.
о	о
Следовательно, их производные имеют вид
t	t
y'(t) = f(t)+aa j eaa^"T)/(r) dr, z1 (t) = g(t)+af3 f eaf3(
о	о
Тем самым находим выражения для функций /i(t) и v(t):
t
аа
) dr.
о
t
о
Используя выражения B.15)—B.18) для продолжений Ф и Я? функ-
функций (риф относительно точек х = 0их = 1, получаем выражения для
управляющих функций /i(t) и v(t):
l
Z-at
at
2а	2

§ 3. Решение задач управления методом Даламбера	37
Из согласования начальных и краевых условий третьей крае-
краевой задачи B.12) получаем окончательные выражения для fi(t) и v(t):
Z-at
at
О
3.2.2. Перевод покоящейся струны в заданное состояние. Исполь-
Используем формулу B.23) решения третьей краевой задачи с финальными
условиями [(pi(x),ipi(x)] и Т = l/а. Струна в начальный момент вре-
времени покоилась, т.е. и(х,0) = 0, щ(х,О) = 0. Эти условия дают
следующие уравнения:
х + 1	1/а
Фг(х - I) + Фг(х + I) 1 Г т , ч 7	Г в(т nz) , ч 7
	 2^	^~2^ / ^z)dz~a e^x-az^/i(z)dz +
x — l	x/a
I/a
+ а f e^l-x-az)u{z) dz = 0, B.39)
x/a
+
2a
Z/a	Z/a
| /ж\ гр~ж>\
\a/ V a )
-aC [ e^x-az^(z) dz + aa f e^l-x-az^(z) dz = 0. B.40)
x/a	x/a
Продифференцируем по х уравнение B.39), затем сложим полу-
полученное уравнение с уравнением B.40) и полученное уравнение вычтем
из уравнения B.40). Сделаем замены t = х/а и t = (I — х)/а. После
несложных преобразований получим следующие уравнения:
]
l/a
+ e~a0tii{t) -a/3 f e-af3zfj,{z) dz = 0,
I/a
- e-acxtv(t) -aa f e-aOLZv(z) dz = 0.
Введем обозначения

38 Гл. 2. Краевые задачи и задачи управления. Классические решения
l/а	1/а
y(t) = I е~а^ф) dz, z(t) = I e-aazv(z) dz.
t	t
Для этих обозначений справедливы выражения y'(t) = —е~а
и z'(t) = —e~aatiy(t), причем для введенных функций y(t) и z(t) вы-
выполняются условия уA/а) = 0, z(l/a) = 0. Обозначим функции:
Таким образом, получаем систему обыкновенных дифференциаль-
дифференциальных уравнений
z'(t) + aaz(t) = g(t), z(l/a) = 0.
Решение полученной системы имеет вид
l/а	1/а
y(t) = - I е-а^*-т>/(т) dr, z(t) = - I е-а^-т^д{т) dr.
t	t
Отсюда находим выражения для функций fi(t) и v(t):
1/а
t
l/а
t
Воспользуемся свойствами B.15)-B.18) продолжений Фи?^ функ-
функций (р игр соответственно. Проделав все необходимые преобразования,
получаем выражения для функций \i и v\
<р[A - at) - /ЗугЦ - at) _
2
^ j
2а '
о
at
Согласование финальных и краевых условий B.24) третьей крае-
краевой задачи дает окончательное решение задачи 2.6:

3. Решение задач управления методом Даламбера	39
_L УШг) _ Шг)] ь, B.41)
К*) =	о	- 7Г / KW + «^l(«) dz-	B-42)
z	za j
at
3.2.3. Решение общей задачи управления. Общее решение зада-
задачи 2.4 получается как сумма решений задач гашения колебаний (зада-
(задача 2.5) и перевода покоящейся струны в заданное состояние
(задача 2.6). Решения /i(t) и v(t) даются формулами B.38), B.41)
и B.37), B.42) соответственно:
ip1'(at) — /3ip(at) (pi(l — at) — /3ipi(l — at)
at	I —at
1 f
Adz	/ Ш(г) - Cil>i(z)] dz, B.43)
2a J
о
_ ip'(l - at) +aip(l - at) ^iv^y ¦ ^i\-y ,
z	z
I	I
If	1 f
-\	/ ^i/jf (z)-\-ai/j(z)'j dz	/ [^^(z) + a/0i(z)] dz. B.44)
2a J	2a J
l-at	at
3.3. Решения задач управления в условиях других крае-
краевых задач. Решение задачи управления в условиях второй краевой
задачи получается из формул B.43), B.44) при а = 0 и /3 = 0:
¦at) ip(at) — ipi(l — at)
	~г	,	(z.4o)
2a
ip1 (I — at) + ipi(at) ip(l — at) — ipi(at)
u(t) =	.	B.46)
Здесь учтены согласования начальных и краевых условий B.10) и
финальных и краевых условий B.22) второй краевой задачи.
Решения задач управления в условиях других смешанных крае-
краевых задач получаются комбинациями решений соответствующих за-
задач управления в условиях первой, второй и третьей краевых задач;
при этом необходимо учитывать согласование соответствующих на-
начальных и краевых условий и финальных и краевых условий.

40 Гл. 2. Краевые задачи и задачи управления. Классические решения
§ 4. Решения задач гашения колебаний методом Фурье
В этом параграфе приведем формальные решения задач гашения
колебаний в условиях первой и третьей краевых задач, полученные
методом Фурье.
4.1. Решение первой краевой задачи с начальными усло-
условиями методом Фурье. Функцию u(x,t) представим в виде
u(x,t) =X(x)U(t).	B.47)
Подставляя выражение B.47) в волновое уравнение уравнение и
разделяя переменные, получим
U"(t) _ Х"(х) _ _ 2
a2U(t) ~ Х(х) ~ ~ '
или Х"{х) + Х2Х{х) = 0 и U"(t) + X2a2U{t) = 0.
Потребуем, чтобы функция B.47) удовлетворяла однородным гра-
граничным условиям u@,t) = 0, u(l,t) = 0. Из B.47) и однородных крае-
краевых условий получаем условия на функцию Х{х) Х@) = 0, Х{1) = 0.
Таким образом, в связи с нахождением функции Х{х) прихо-
приходим к задаче о собственных значениях: найти те значения парамет-
параметра X, при которых существуют нетривиальные решения задачи
Х"{х) + Х2Х(х) = 0, Х@) = 0, ХA) = 0,	B.48)
а также найти эти решения.
Общее решение уравнения задачи B.48) имеет вид
Х(х) = С\ cos Хх + С2 sin Xx.	B.49)
Из первого условия задачи B.48) следует, что С\ = 0, и функция
B.49) выражается формулой Х{х) = ^sinAx. Из второго условия
задачи B.48) следует равенство C^sinA/ = 0. Поскольку С2 ф 0, то
для определения А получаем уравнение XI = тгп, п = 0,1,...
При значениях Ап = тгп//, п = 0,1,..., существуют нетривиаль-
нетривиальные решения задачи B.48)
sinAnx 2 Г . 2
Хп(х) = 	, 00^= sin Xnxdx.
^п	J
О
Таким образом, решение u(x,t) первой краевой задачи с однород-
однородными граничными условиями примет вид
u(x,t) = ^2 un(t)Xn(x), un(t) = / u(x,t)Xn(x)dx.
n=l	{
Решение задачи с неоднородными граничными условиями будем
искать в том же виде. Продифференцируем функции un(t) дважды и
воспользуемся волновым уравнением; получаем

{.. Решения задач гашения колебаний методом Фурье	41
= а2 / uxx(x,t)Xn(x)dx.
о
Интеграл в правой части в полученном равенстве дважды возьмем по
частям, воспользуемся неоднородными краевыми условиями, задачей
B.48) и видом функции un(t). Прийдем к равенству
un(t) + X2na2un(t) = zn(t)-	B.50)
здесь введено обозначение
*„(*) = а2[^)Х'п@) - v(t)X'n(l)].	B.51)
Будем решать уравнение B.50) методом вариации произвольной по-
постоянной. Решение un(t) с учетом начальных условий записывается
в виде
Ф
un(t) = ipn cos Xnat + -—^- sin Xnat +
Xna
t
+ т— / zn(r) sin Xna(t - t) dr,	B.52)
лпа J
о
где ipn и фп — коэффициенты Фурье функций ip и ф соответственно,
разложенных по системе функций {Хп(х)}, п — 1,2,...
Решение первой краевой задачи имеет вид
оо
11)	"I
/ i m cos Xnat + -— sin Xnat Xn(x) +
°° X (x) }
+ Y^ лП / ^n(r) sin Ana(t - r) 6?r; B.53)
n=i Ana /
n
здесь zn(r) имеет вид B.51).
4.2. Решение третьей краевой задачи с начальными усло-
условиями методом Фурье. Проводя рассуждения, аналогичные тем,
которые проводили при решении первой краевой задачи, приходим
к следующей задаче Шту рма-Лиу вил ля: найти те значения парамет-
параметра X, при которых существуют нетривиальные решения задачи
2	) = О, B.54)
а также найти эти решения.
Решения задачи B.54) имеют вид
_ sin(Anx + 7n)	( Л
п\)	— 	5	{Z.DD)
где 7n = arctg(An//3) и ujn выбрано так, что интеграл по сегменту
[0,1] от функции Х%(х) равен 1. Для собственных функций Хп(х)
выполняются следующие равенства:

42 Гл. 2. Краевые задачи и задачи управления. Классические решения
\2пХпA)Хп(х) + Х'пA)Х'п(х) =
= Х2пХп@)ХпA -х) + Х'п@)Х'пA - х), B.56)
Хп{1)Х'п{х) - Х'пA)Хп(х) = Х'п@)ХпA -х)- Хп@)Х'пA - х). B.57)
Собственные числа Лп удовлетворяют уравнению:
ctg Xnl =
\n(j3 + a)'
B.58)
Полагая в B.58) Хп1 = ж, приходим к уравнению, которое решаем
графически (рис. 1).
Рис. 1
По аналогии с решением первой краевой задачи получаем, что
решение третьей краевой задачи имеет вид B.53), где
zn(t) = a2 [v(t)Xn(l) - n(t)Xn@)],
B.59)
Хп(х) — функции вида B.55), Лп — собственные числа вида B.58),
a ipn и фп — коэффициенты Фурье функций риф, разложенных по
указанной системе функций.
4.3. Решение задачи гашения колебаний в условиях
первой краевой задачи методом Фурье. Возвратимся к функ-
функции B.53); ее производная по t имеет вид

§ 4- Решения задач гашения колебаний методом Фурье	43
оо
ut(x,i) = У^ [-(рпХпаsin Xnat + фп cos Xnat]Xn(х) +
71=1
+ У2 Хп(х) / ?п(т) cos Xna(t — r) dr.
71=1	Q
Колебания можно успокоить при произвольных функциях ср и ф
за период Т = l/а, поэтому условия успокоения колебаний в момент
времени Г = l/а дают следующие равенства для п = 1, 2,...:
//а
<?ncosAnZH	/ [/л(г) - г/(т) cos Xnl] sin An(Z - ar) dr = 0, B.60)
О
Z/а
2 г
фпсо^Хп1-\	/ An[fi(r) — г/(г) cos An/] cos Xn(l — ar) dr = 0. B.61)
0
Из уравнений B.60) и B.61) с учетом An = ттп/l получаем
l
срп cos Xnl -\	//if	) sin Xnz dz +
ип J \ a J
о
i
+ — / i/f-) sin Xnzdz = 0, B.62)
cjn J \aJ
о
z
^n cos Xnl -\	— //if	) cos Xnz dz —
un J \ a J
о
i
_aXn f v(^\ COs\nZdz = 0. B.63)
un J \aJ
о
Интегралы в уравнении B.63) возьмем по частям и воспользуемся
равенством Хп1 = тгп, получим
/fl — z\ Л , 1 f d г /Z — zxi .
/i 	 cosAn2:^2: =--— / — /i 	 sir
\ a J Xn J dzl \ a J\
о о
i	i
I i/(-) cosAn2:^2: = --— / ^-[г/(-I sinAn
J \aJ	Xn J dzl \aJ\

44 Гл. 2. Краевые задачи и задачи управления. Классические решения
I
pncos\nl	-rlvi	)} sin\nzdz
uon J dz I V a / J
Таким образом, уравнение B.63) перепишется в виде
I
ipn)
uon J dz I V a /
0	l
-— [ ^(-)]^Xnzdz = 0.	B.64)
ujn J dz I \a/\
о
Определим функцию (р(х), коэффициенты Фурье которой имеют
вид (pncos\nl:
Еаш лпх	\-^ sinAnG — x)
71=1	71=1
Соответственно
oo ,
^^ cosA/sinAx = —г^(/ - x).
Равенства B.62) и B.64) умножим на Хп(х) = sin\nx/u;n и про-
просуммируем по п:
-<рA - х) + /*(—) + «/(-) = 0,	B.65)
Проинтегрируем равенство B.66) от х до I:
1-х
— / i/j(z) dz + [i(	)~г/( — ) = Co,	B.67)
a J	V a / \a/
о
где Co =»@)-i/(l/a).
Сложим равенства B.65) и B.67) и вычтем из равенства B.65)
равенство B.67); получим
1-х
1 Г
)dz + C0,
aJ	a J YK J
о
Отсюда находим выражения для fi(t) и i/(t):
at
Ij(z)dz + Co,	B.68)
о
1-х

§ 4- Решения задач гашения колебаний методом Фурье	45
l-at
^ = <рA - at) _ 1_ I ^ ^ _ с^	B>бд)
о
Если обозначим через ф{х) интеграл от нуля до х от функции ф,
то формулы B.68) и B.69) примут вид
jf{at) ф(аЬ)
jiyt) =	1	Ь Go,	(z.7(JJ
, ч ю{1 — at) фA — at) ^	,
Замечание 2.2. Выясним соответствие решений задачи гашения
колебаний струны, полученных с помощью метода Даламбера (форму-
(формулы B.29) и B.30)) и метода Фурье (формулы B.70) и B.71)). В силу
согласования начальных и краевых условий первой краевой задачи
B.8) получаем, что Со = 0, т. е. иA/а) = 0. Следовательно, из фор-
формулы B.30) получаем, что интеграл от нуля до I от функции ф равен
нулю. При этом условии выражения B.30) и B.71) совпадают.
4.4. Решение задачи гашения колебаний в условиях
третьей краевой задачи методом Фурье. Погасить колебания
струны, состояние которой в начальный момент времени определяется
парой произвольных функций (р(х) и ф(х), удается за период Т = 1/а.
Поэтому условия успокоения колебаний дают с учетом B.55) следую-
следующие равенства для п — 1,2,...:
I
Rn+ zn(—?-)xn(s)ds = Q,	B.72)
J \ a /
о
i
Sn + j zn(^-)xfn{s)ds = 0,	B.73)
о
где
Rn = a2ipnXn(l) + афпХпA),	B.74)
Sn = —а ХпсрпХпA) + афпХпA).	B.75)
В уравнения B.72) и B.73) подставим выражение B.59) и сделаем
следующие преобразования. Умножим уравнение B.72) на а и приба-
прибавим к нему уравнение B.73), затем умножим уравнение B.72) на \п
и вычтем из него уравнение B.73), умноженное на а, используя при
этом равенства из задачи B.54) и свойства собственных функций Хп
B.56) и B.57). После описанных преобразований получаем следующие
уравнения:
l
Qn~ fu(-)[X'n(s)-l3Xn(8)]d8-

46 Гл. 2. Краевые задачи и задачи управления. Классические решения
I
J»(^)[X'n(s)+aXn(s)]ds = О,	B.76)
= O, B.77)
где
E» + аДп)'	B-78)
Ql = a2xn{0)(x2nRn ~ *?„).	B-79)
Преобразуем уравнения B.76) и B.77), группируя раздельно сла-
слагаемые, содержащие в подынтегральном выражении Хп и Х'п:
-)+an[-^-)\X'n(s)ds = Q. B.81)
о
Интеграл
J= p(s)[X'n(s)+aXn(s)]ds
J
0
возьмем два раза по частям, при этом используем равенства B.54):
i	l s
p{s)[X'n{s) + aXn(s)] ds = - J[jp(r) drj [aX'n{s) - X2nXn(s)} ds.
0	0 0

§ 4- Решения задач гашения колебаний методом Фурье	47
В полученном уравнении сгруппируем раздельно слагаемые, содержа-
содержащие в подынтегральном выражении Хп и Х'п:
l	s
I _	s
р(т) dr - ap(s) | Xn(s) ds. B.82)
0 " 0
Аналогичные преобразования проделаем со вспомогательным ин-
ин¦/и/-
тегралом
l
1= J\(s)[X'n(s)-l3Xn(s)]ds,
о
при этом получаем следующее уравнение:
l	l l
q(s)[X'n(s) - /3Xn(s)} ds = jy q(r) dr^ [-X2nXn(s) - f3X'n(s)} ds.
0	0 s
В этом уравнении также сгруппируем раздельно слагаемые, содержа-
содержащие в подынтегральном выражении Хп и Х'п\
1	l
I
f3q(s) -\2nj q{r) dr] Xn{s) ds. B.83)
Для выражения, стоящего в квадратных скобках в левой части
уравнения B.82), решим уравнение yf(s) + cty(s) = f(s), y@) = 0, где
f(s) = /i((/ — s)/a), а через y(s) обозначен интеграл от нуля до s от
функции р; отсюда yf(s) = p(s). Заметим, что при введенных обозна-
обозначениях ?/@) = 0. Решение полученного дифференциального уравнения
имеет вид
S
«(e-T> dr = Jp(r) dr;
о	о
здесь учтено начальное условие. Производная решения y(s) имеет вид
S
y'(s) = f(s) -a I f(r)e-^s~^ dr = p(s).
о
Полученные выражения подставим в уравнение B.82):

48 Гл. 2. Краевые задачи и задачи управления. Классические решения
I I
\ /i(	)X'n(s)ds = - a/i[	)Xn(s)ds +
]n{s)ds. B.84)
о	о
Аналогично преобразуем и выражение, стоящее в квадратных
скобках в левой части уравнения B.83). Обозначим g(s) = v(s/a),
а через z{s) интеграл от I до s от функции q; в этих обозначениях
z'{s) = q{s). Заметим, что z{l) = 0. Решаем дифференциальное урав-
уравнение z'{s)— Cz{s) = g{s), z{l) = 0. Производная решения полученного
дифференциального уравнения есть
z\s) = g(s) -/3 I g(r)e^s-^ dr = q(s).
s
Полученные выражения подставим в уравнение B.83):
{^)s)ds. B.85)
0	s
Подставим в уравнения B.80) и B.81) выражения B.84) и B.85); после
преобразований получаем
l l
y
О s
I s
У {^)^	= 0, B.86)
о о
Ql + I [(А" + /3>(9 - (А2И + «>(^г)] Х« W ds ~
О s
I s
а(Х2п + a2) f\ j »(^Р)e"a(s"T) drl Xn(s) ds = 0. B.87)
о о
о о

§ 4- Решения задач гашения колебаний методом Фурье	49
Равенства B.86) и B.87) умножим на Хп(х), просуммируем по п и
воспользуемся свойством собственных функций Х"(ж) = — Х2гХп(х).
Получим два дифференциальных уравнения
Qi(rr) - Н"{х) + /32Н(х) + М"{х) - а2М(х) = 0,	B.88)
Q2(x) + Н'"(х) - C2Н'(х) + М'"(х) - а2М'(х) = 0;	B.89)
здесь использованы обозначения
оо	оо
Qi(x) = J2 Qlxn(x), Q2{x) = J2 QiXn(x),
П=1	71=1
I	X
H(x) = f u(^y^x-TUr, M(x) = Г ^-Ziy-^-T) dr.
x	0
Производные функций Н(х) и М(х) имеют вид
М'(х) =
' v a J
о
Далее продифференцируем равенство B.88):
Q[(x) - Н'"{х) + C2Н'{х) + М'"{х) - а2М'{х) = 0,	B.90)
вычтем из равенства B.89) равенство B.90) и сложим равенства B.89)
и B.90). Получим
Н'"(х
М'"(х
где введены обозначения
F(x)
G(x)
¦) - E2Н'{х)
¦) - о?М'{х)
_ [Q[(x) -I
2
[Q[(x) +
= F(x),
= G(x),
Q2(x)]
Q2(X)]
B.91)
B.92)
B.93)
B.94)
Решение уравнения B.91) имеет вид
I
Н{х) = Ао+ВоеРх+Сое-Рх + -^ j F{r) [I - ch/3(x - г)] dr, B.95)
его производная есть

50 Гл. 2. Краевые задачи и задачи управления. Классические решения
I
Н'{х) = /ЗВое^х - (ЗСое-Рх - 1 f F{r) sh 0(x - т) dr; B.96)
X
здесь пока коэффициенты Ао, Во и Со не известны.
Нашей задачей является нахождение функции u(t). Используя вид
функций Н(х) и Н'(х) получим и(х/а) — 0Н(х) — Н'(х). Подставим в
полученное дифференциальное уравнение выражения из B.95) и B.96)
и после несложных преобразований получим
= f3A0
at
где t = x/a. Производная функции u(t) имеет вид
i f F{r) [l - e~^at-T^ dr, B.97)
l
a f
dr.	B.98)
at
Для того чтобы найти коэффициенты А$ и Со, воспользуемся со-
согласованием начальных и краевых условий третьей краевой задачи
B.12) и равенствами из задачи B.54) для функций Хп{х). В выра-
выражения B.97) и B.98) подставим t = 0 и воспользуемся равенствами
согласования начальных и краевых условий; получаем систему для
нахождения неизвестных коэффициентов А$ и Со
l
(ЗА0 + 2(ЗСО + ^ / F(r) [l - е^)] dr = 0,
0 i
-2/32аС0 +а f F(r)e/3r dr = 0.
о
Решая систему, находим
о
Подставим полученные выражения для коэффициентов в равенст-
равенство B.97); окончательно получаем
at
v(t) = I I F{r) [e-^(at"T) - l] dr.	B.99)
о
Аналогичным образом из дифференциального уравнения B.92) и
выражения для М'{х) ищем функцию /i(t).
Решение М(х) уравнения B.92) и его производная имеют соот-
соответственно вид

- Решения задач гашения колебаний методом Фурье	51
х
М{х) = А + Веах + Се~ах - -^ /" ОД [1 - ch а(ж - г)] dr, B.100)
о
х
М'(х) = <хВеаж - аСе~ах + - / G(r) sh а(ж - г) dr.	B.101)
a J
о
Из обозначения М{х) и полученного для него выражения М'{х) нахо-
находим уравнение для функции /i(t): /i(l/a - х/а) = М'(х) + аМ(х).
Подставим в полученное дифференциальное уравнение выражения
B.100) и B.101):
l-at
^ / ОД [ea^-at"T) - l] dr, B.102)
о
где t = (I — х)/а. Найдем производную функции /i(t):
l — at
fi,'(t) = -2a2aBe^l~a^ -a f G(r)ea^-at"T) dr.	B.103)
о
Коэффициенты А и В найдем из согласования начальных и крае-
краевых условий третьей краевой задачи B.12), а также условий задачи
B.54) для собственных функций Хп(х).
Из выражений B.102), B.103) и условий согласования получаем
систему уравнений с неизвестными коэффициентами А и В:
l
аА + 2aBeal + i f G(r) \е^1~Т^ - l] dr = 0,
"о l
-2a2aBeal -a f G(r)ea(z"T) dr = 0.
о
Решение полученной системы:
I
a f G(r)ea(z"T)
о	о
Найденные коэффициенты подставляем в уравнение B.102):
at
= ^ / G(/ - г) [l - e-a^at-T)] dr.	B.104)
о
Осталось найти неизвестные функции F и G в формулах B.99) и
B.104) соответственно. Вернемся к формулам B.78) и B.79) для того,
чтобы вычислить коэффициенты Q\ и Q2n, используя формулы B.74)
и B.75) и свойства собственных функций B.54):

52 Гл. 2. Краевые задачи и задачи управления. Классические решения
ГI — L п nwrev /J	/
[\1ХпA)-аХ'пA)]фп
Qn~ xjo) —¦	BЛ06)
Как видно, в обоих коэффициентах присутствует одно и то же
выражение [А^ХПG) — аХ'п{1)\ /Хп@). Найдем, чему равно это вы-
выражение, умноженное на Хп(х), при этом будем использовать форму-
формулы B.56) и B.57) и свойства собственных функций задачи B.54):
_ [Х1Хп{1) - аХ'п{1)} х (х) _
= (\2n + ap)Xn(l-x) + (p-a)X'n(l-x). B.107)
Используя свойства рядов Фурье и равенства B.105)—B.107), находим
Ql(x) =
71=1	71=1
= if"(I - x) - (/3 - a)if'(l -x)- a/3if(l - x),
OO	.< OO
71=1	71=1
=	\-(/3-а)	\-а/3-
а	а
Следовательно,
B.Ю8)
Для того чтобы найти функции F(x) и G(x), потребуется произ-
производная функции Qi(x):
Q[(x) = _у,'"(/ - х) + (/3 - a)(p"(l - х) + a/V(* " ж). B.109)
Используя полученные формулы B.108) и B.109), а также форму-
формулы B.93) и B.94), найдем вид функций F(x) и G(x):

§ 4- Решения задач гашения колебаний методом Фурье	53
Подставим в формулы B.99) и B.104) найденные выражения для
функций F(x) и G(x) соответственно:
at
О
2 у Г w a
о
at
»-
a
о
Преобразования полученных формул дают окончательный вид уп-
управлений n(t) и v(t):
at
d1(at) — в if (at) 1 Г г,// ч ^ , / ч1 7
1 Г г,// ч
о
+ (б ^J^ К@) - ^'@)] , B.110)
I
f(I - at) + аиэA - at)
I [
— у
l-at
2p ' K@ + ^@]- B.111)
Замечание 2.З. Формулы B.38) и B.37) для управляющих функ-
функций /i(t) и v(t), полученные методом Даламбера, отличаются от фор-
формул B.110) и B.111) для этих функций, полученных методом Фурье,
слагаемыми, содержащими выражения ^"@) — /3cpf@) и ipff(l) + a(pf(l).
Чтобы показать, что эти формулы совпадают, воспользуемся усло-
условиями B.12) согласования начальных и краевых условий третьей кра-
краевой задачи. Для этого продифференцируем по t выражения B.37)

54 Гл. 2. Краевые задачи и задачи управления. Классические решения
и B.38) и подставим в полученные выражения t = 0; в результате
получаем дополнительные условия на функцию ip
(/'(О) - /У @) = 0, <р"A) + а<р'A) = 0.	B.112)
Таким образом, решения задачи гашения колебаний струны мето-
методом Фурье имеют вид B.37) и B.38).
4.5. Решение других краевых задач методом Фурье. Ре-
Решения других краевых задач с начальными условиями, полученные
методом Фурье, определяются выражением B.53), причем вид собст-
собственных функций Хп(х), собственных чисел Лп и выражение функции
zn(t) определяются конкретной краевой задачей. Приведем сводку ре-
результатов для различных краевых задач. Нормирующий множитель
ип в собственных функциях Хп(х) выбирается таким образом, чтобы
интеграл от нуля до I от Х%(х) равнялся единице.
Рис. 2
Вторая краевая задача. Собственные числа и собственные функ-
функции: Хп1 = тгп, Хп(х) = cos\nx/u;n, п = 0, 1,...; функция zn(t) имеет
вид B.59).
Смешанная краевая задача A,2). Собственные числа и собствен-
собственные функции: Хп1 = тгBп + 1)/2, Хп(х) = sinAnx/cjn, п = 0, 1, ...;
функция zn(t) имеет вид
zn(t) = a2 [»(t)X'n@) + v(t)Xn(l)] .	B.113)
Смешанная краевая задача B,1). Собственные числа и собствен-
собственные функции: \п1 = тгBп + 1)/2, Хп(х) = cos\nx/uon, п = 0, 1, ...;

5. Управление колебаниями упругого стержня
55
функция zn(i) имеет вид
zn(t) = -a2 [n(t)Xn(O) + v{t)X'n(lj\ .	B.114)
Смешанная краевая задача A,3). Собственные числа и собствен-
собственные функции: Хп(х) = sinХпх/ооп; собственные числа удовлетворя-
удовлетворяют уравнению ctg Ап/ = —а/Хп. Полагая Хп1 = ж, приходим к уравне-
уравнению ctgx = —al/x. Это уравнение решаем графически (рис. 2). Функ-
Функция zn(t) имеет вид B.113).
Смешанная краевая задача C,1). Собственные функции Хп(х)
имеют вид B.55), а собственные числа Ап удовлетворяют уравнению
ctgAn/ = —$/Хп. Это уравнение решается графически подобно тому,
как изображено на рис. 2. Функция zn{t) имеет вид B.114).
Рис. 3
Смешанная краевая задача C,2). Собственные функции Хп{х)
имеют вид B.55), а собственные числа Лп удовлетворяют уравнению
ctgAn/ = —/3/АП. Это уравнение решается графически подобно тому,
как изображено на рис. 2. Функция zn(t) имеет вид B.59).
Смешанная краевая задача B,3). Собственные функции Хп(х)
имеют вид Хп(х) = cos\nx/uon, а собственные числа Ап удовлетво-
удовлетворяют уравнению tgAnZ = а/Хп. Это уравнение решается графически
(рис. 3). Функция zn(t) имеет вид B.59).
§ 5. Управление колебаниями упругого стержня
5.1. О свободных колебаниях стержня*). При исследовании
свободных колебаний упругого стержня постоянного поперечного се-
сечения обычно предполагается, что он имеет ось симметрии. Если на
*)
Результаты этого параграфа принадлежат А.И. Егорову.

56 Гл. 2. Краевые задачи и задачи управления. Классические решения
него не действуют распределенные внешние нагрузки, то его малые
свободные колебания описываются уравнением (см., например, [109])
где u(?,t) — смещение точки ? в момент времени ?; EJ — жесткость
стержня; F — площадь поперечного сечения; р = A + е)ро; ро —
объемная плотность стержня; е = q/poF; q — интенсивность внешней
равномерно распределенной массовой нагрузки.
Вводя замену х = ?// и обозначение а2 = pFl4:(l-\-e)/(EJ), вместо
уравнения B.125) получим уравнение
д\м+а2д4^= о< 0<t<T
at2
Для определения собственных форм упругих колебаний стержня ре-
решение уравнения B.126) ищем в виде
u(t,x) = (d cosut + C28mut)X(x),	B.127)
где uj — параметр, характеризующий гармонические колебания стерж-
стержня. В итоге для определения Х(х) получаем уравнение
d f ^ - г4Х(х) = 0, 0 < х < 1,	B.128)
ах^
где г4 = а2и2 = u2pFl4(l + e)/(EJ).
Общее решение уравнения B.128) обычно представляется в ви-
виде суммы Х{х) = Y^AiKi(x), где Ai, г = 1,2,3,4, — произвольные
постоянные, г — положительный вещественный корень уравнения
Л4 — г4 = 0, а функции Крылова Ki(x) определяются формулами
т^ . ч ch тх + cos тх т^ . ч sh тх + sin тх
Ki{x) =	, К2(х) =	,
ch тх — cos тх	, ч sh тх — sin тх
Эти функции, очевидно, удовлетворяют условиям
dKidx{X) =KM> i = 1'2'3' KU-1)@) = 6ij, i,j = 1,2,3,4,
где ^j — символ Кронекера.
Отсюда можно получить собственные формы колебаний стерж-
стержня, соответствующие различным граничным условиям. Если концы
стержня оперты, то граничные условия имеют вид
u@,t) = uxx@,t) = u(l,t) = uxx(l,t) = 0.	B.129)
Тогда из B.129) следует, что
Х@) = Х"@) = ХA) = Х"{1) = 0,	B.130)

§ 5. Управление колебаниями упругого стержня	57
и краевая задача B.128), B.130) имеет собственные значения г ви-
вида г = 7Г&, к = 1,2,... Значит, в соответствии с формулой B.127)
частоты собственных колебаний определяются из соотношений
тг2/с2 2?2 / EJ
а соответствующие им собственные формы имеют следующий вид:
Хк(х) = D/c siriTr&x, & = 1, 2,...
При других граничных условиях собственные формы колебаний
описываются тригонометрическими и гиперболическими функциями.
В частности, если левый конец стержня закреплен упруго, а правый
свободен, то граничные условия для собственных форм принимают
вид Х@) = Х"@) = Х"A) = Х'"A) = 0. Собственные значения при
этом определяются уравнением sinrchr = cosrshr, а собственные
формы имеют вид Х^(х) = D^shr^ sinrfcX + sinrfc shr^x). Это вносит
принципиальные трудности в решение задач управления колебаниями.
5.2. Задачи управления колебаниями. Различные задачи
управления колебаниями стержня имеют многочисленные приложе-
приложения (см., например, [29]) и являются предметом теоретических и при-
прикладных исследований. Приведем решения различных задач полного
гашения колебаний стержня за конечное время с помощью граничных
управлений.
Рассмотрим управляемый процесс, описываемый задачей
и(х, 0) = <р(х),	щ(х, 0) = ф{х),	B.131)
u@,t) = fJio(t),	Uxx@,t) =
в которой управляющие функции /i/c(t) и Vk(t), к = 0, 2, пока не
ограничиваем никакими требованиями, кроме одного: каждый набор
управляющих функций /i&(?) и ^(t), fc = 0, 2, определяет классичес-
классическое или обобщенное решение задачи B.131).
Рассматриваемая задач управления состоит в следующем.
Задача управления I. Требуется определить момент време-
времени Т > 0 и соответствующие ему управляющие функции /i&(?) и ^(t),
fc = 0, 2, такие, чтобы определяемое ими решение u(x,t) краевой за-
задачи B.131) удовлетворяет условиям
и(х,Т) =щ(х,Т)=0, 0 < х < 1.	B.132)
Как показано в п. 5.3, в рассматриваемой задаче управления ко-
колебаниями стержня с помощью граничных управляющих воздействий
начальные возмущения можно погасить за конечное время (в рассмат-
рассматриваемом случае время равно Г = а/тг), полагая /io(t) = uo(t) = 0,

58 Гл. 2. Краевые задачи и задачи управления. Классические решения
/42 (*)
0 /
2
oo
' 2 ^
71=1
2(*) =
oo
71=1
(-1)
too
n
n
t), rue [j%(t]
п2ж2
a
2 :
Ti 7Г
a
)И!/§(<
(pnvrsi
;) определяются
a J ±5
2 2
n ^^ ^ 7Г +"|
i- a J
формулами
B.
Ci, B.
.133)
.134)
здесь C\ — произвольная постоянная.
Аналогичным образом решается та же задача успокоения колеба-
колебаний стержня в случае, когда /i2(t) = 1^2 (t) = 0, а процесс, описывае-
описываемый краевой задачей B.131), управляется внешними воздействиями,
определяемыми функциями /io(t) и щ{Ь) по формулам типа B.133)
и B.134).
Этот результат можно использовать при решении ряда других за-
задач управления колебаниями упругих систем. Отметим лишь одну из
них.
Управляемый процесс описывается краевой задачей
и(х, 0) = <р(х),	щ(х, 0) = ф(х),	B.135)
u@,t) = 0,	uxx@,t) =/i2(t),
u(l,t)=0, uxx(l,t)=y(t),
где /JL2(t) — управление того же типа, что и в предыдущей задаче, а
y(t) определяется с помощью дифференциального уравнения
^^ =ky + /u(l, t) + mv(t), y@) = у0.	B.136)
Здесь к, I, m, у0 — постоянные, а v(t) — управляющая функция то-
того же типа, что и /i2(t)- Таким образом, речь идет об управлении
системой, состоящей из двух взаимодействующих элементах. Один
из них — объект с сосредоточенными параметрами, а другой — с
распределенными параметрами.
Задача управления П. Требуется погасить колебания сис-
системы, т.е. найти /i2(?) и v(t) такие, что соответствующее им реше-
решение u(t,x), y(t) системы B.135), B.136) в некоторый момент времени
t — Т удовлетворяет при всех х G @,1) условиям
и(х, Т) = щ(х, Т) = у(Т) = 0.	B.137)
Решение задачи получается достаточно просто следующим рас-
рассуждением. Независимо от того, какими соотношениями ограничен
выбор функции y(t), она совместно с /i2(t) погасит колебания стерж-
стержня, если эти две функции будут определяться с помощью полученных
формул B.133) и B.134):

5. Управление колебаниями упругого стержня	59
t4(t) = - I\p(x)G1(x,t)dx+ [\p(x)G2(x,t)dx + d, B.138)
о	о
1	1
y°(t) = - f(p(x)G(x,t-^dx+ f^(x)G2(x,t-^jdx-Cu B.139)
о
где
о о
7Г
П 7Г
Gi(x,?)=tt2 у nsmnirx sm	/;,
^	а
71=1
OO	9 9
^ / ч	V^ -I	nZ7TZ
G2 (Ж, t) = 7Г 2_^ п	C0S П7ГЖ C0S 	^*
Постоянную С\ выбираем так, чтобы выполнялось условие у(Т) = О,
где Т = а/тг, т. е. полагаем
оо
оо ,	J,
n=l	0
Определив таким образом функцию 2/(t), искомое управление на-
находим по формуле (используя соотношение B.136))
v(t) = m-^yit) - ky(t) - lu(l, t)],	B.140)
Формулы B.138) и B.140) дают решение поставленной задачи.
Они определяют управления /i2(t) и v(t), которые полностью гасят
колебания за отрезок времени от 0 до а/тг. Если сравнить полученный
результат с решением аналогичной задачи управления колебаниями
струны, то здесь просматриваются две важные особенности.
1.	Время полного успокоения колебаний стержня более чем в три
раза короче промежутка времени, за который удается успокоить ко-
колебания струны.
2.	Возможности управления колебаниями стержня гораздо шире,
и при решении задачи они все не используются. Желаемый результат
получен с помощью управлений /i2(?) и ^(t), a /io(t) и щ{Ь) были
взяты равными нулю.
Формулы B.138) и B.139) можно использовать для получения
управления по принципу обратной связи. Для этого нужно функции
ip(x) и ф(х) в условиях B.135) рассматривать как состояние стержня
в момент времени t = г, т.е. положить и(х,т) = ip(x), щ(х,т) = ф(х).
Тогда формулы B.138) и B.139) можно представить в виде
1
= - u(x,r)Gi(x,t)dx +
о	1	1
+ ut(x,r)G2(x,t)dx —

60 Гл. 2. Краевые задачи и задачи управления. Классические решения
1
y°(t) = - u(x,r)G(x,t--)dx +
J	V	7Г/
о
1	1
+ ut(r,x)G2[x,t	j dx + ut(xJr)G(xJ0)dx.
Переходя в этих формулах к пределу при t ->• г, получаем управления
по принципу обратной связи
1
о
1	1
+ / ut(x,t)G2(x,t) dx - / ut(x,r)G2(x,0)dx,
о	о
i
2/°[*,ЦМ),^(ж,*)] = - / ^(x,t)G^x,t- -\dx +
о
i	i
/ ut(x, t)G2 (x, t--\dx+ J ut(x, t)G(x, 0) dx.
о	о
Управление v[t,u(x,t),ut(x,t)] находим по формуле B.140).
5.3. Решение задачи управления. Для решения задачи вос-
воспользуемся тем, что при заданных внешних воздействиях /ii(t) и щ{Ь)
решение задачи B.131) можно представить в виде
v^	}
u(x,t) = 2J un(t)Xn(x), Xn = sinnvrx, un(t) = 2 / u(x, t) Xn(x) dx,
71=1	{
Умножая обе части уравнения колебаний на Хп{х) и интегрируя по-
полученное равенство с учетом граничных условий, приходим к урав-
уравнениям
a un(t) + (птг) ип = 2n7r[if2(t) cosnvr — ji2(ij\ +
+ 2(n7rK[i/oWcosn7r-/ioW], n = 1,2,..., B.141)
которые нужно решать с учетом начальных условий
1	1
п = 2 Ц>(х) smriTrxdx, фп = 2 /

§ 5. Управление колебаниями упругого стержня	61
В уравнениях B.141) сделаем замену г = тг?/а, Un(r) = ип(ат/тг).
Тогда их можно представить в виде
+ (птгJ1г/0( — J cosnvr - /iOf — J I }, n = 1,2,...,
и, следовательно,
Un (т) = ^n cos п27гт Н—^- sin п27гт +
T
2
0
2 /* г г /as\	/as\i
H	5" / S 1/2 I — 1 COS П7Г - /X2 I — 1 +
0
, чо г /as\	/as\n . о , ч 7
+ (П7Г) I/o ( 	J COS П7Г - /io ( 	J Sill П 7Г(Т - S) US.
Представляя решение задачи B.131) в виде
оо
u(x,t) = и(ж, — J = U(x,t) = 2^ Un(r) sinnvrx
71=1
и учитывая, что система функций {smnnx} полна в 1/2@,1), находим,
что условия B.137) выполняются тогда и только тогда, когда
nirz
о
B.142)
1 Zfl / Г Г ('CLS\ ( ,n	/CLS}
т~\	/ i ^2 1 	 К~1) —/Х2 I
тг J L L V тг /	\ тг J
г(Гт -s)ds = 0, B.143)
где Гт = тгТ/а.
Пусть в равенствах B.142) и B.143) Гт = 1; тогда
Tr(l - s)ds-
1	1
- /A^f—¦	—) sinn27rs(is+(n7rJ / i/of—) (-l)n sinn27r(l-s)
J	\ 7Г /	U	V 7Г /
о	о

62 Гл. 2. Краевые задачи и задачи управления. Классические решения
1
/rail — s)\ . о ,11
/i0 ( —	 ) sin nz7rs ds\ > = 0,
о
l
7Г [J	V 7Г
0
1	1
) cosn27rs(is+(n7rJ / i/f
)	() / of
7Г /	U	V 7Г
0	0
- /
J
/	A^o f —¦
j \ 7Г
+ / A^o f —¦	—) cos п2тш ds I = 0.
j	;	j j
Поскольку	°
(—l)n sinn27r(l — s) = cosn7rsinn27r(l — s) = — si
(-I)ncosn27r(l - s) = cosn7rcosn27r(l - s) = cosn27rs,
то получаем два уравнения
—)]}smn2wsds = 0, B.144)
= 0 B.145)
относительно четырех неизвестных функций \ii и щ.
Положим /io(t) = щ{г) = 0, т.е. будем управлять процессом с
помощью внешних возмущений, определяющих изгиб стержня на его
концах при отсутствии их смещения.
В этом случае уравнения B.144) и B.145) принимают вид
=0' BЛ46)
= 0. B.147)

§ 5. Управление колебаниями упругого стержня	63
Так как
1	1
Г /аA - s)\	2 у	1 /" rf г , /аA - s)\i . 2
/ Д2 —	L cos n us as =	^— / — /io —	 sinn Trsds,
J V тг /	п^тг Jdsi\ тг /J
о	о
1	1
— cosn 7i5as =	^— / — i/o — sinn 715as,
V тг /	п^тг J as L V тг / J
о	о
то уравнение B.146) можно представить в виде
1
1
_ 2 / А [*/2(^)] sinn27rs^ = 0. B.148)
о
Функции /ii(a(l - s)/tt) и ^(as/ir) разложим в ряды Фурье по
системе {i}
fa{l-s)\ ^	.	/as\ ^
?Ы	 ) = 2_^ A*2nSinn7TS,	Z/2( 	 ) = ^ I/2n SinnTTS,
71=1	71=1
1	1
/" fail — s)\	f fas\
n = 2 / /i2 	 sin nyrs as,	z/2n = 2 / z/2 — sin П7ГЗ as.
J	\ 7Г /	У	V 7Г /
0
Следовательно, можно записать
где
о /a(l - s)
n=l
а /^2(аA ~ <s)/7r) определяется остальными слагаемыми ряда.
Аналогично, имеем
где введено обозначение
7TS.
71=1

64 Гл. 2. Краевые задачи и задачи управления. Классические решения
Умножая равенства B.146) и B.147) на sinn27re и суммируя по
всем п = 1, 2,..., будем иметь
^(^)/W,	,2.149)
где
B-151)
71=1
Проинтегрируем равенство B.150) в пределах от 0 до s:
S
^(,)da + C,	B.152)
где С — произвольная постоянная. Решая систему уравнений B.149)
и B.152), получаем
(a — 7rt)/a
7rt/a
0
Так как функции ip(s) и ip(s) определяются формулами B.151), то
отсюда окончательно получаем
9 9	9 9
cos	?-(pn7rsin	1\ +Ci,	B.153)
L 77/	fl
71=1
2 2/	22
LiLt-^cosILiLtl _d. B.154)
L	Qj	/I	Qj J
71=1
Этот результат означает, что в рассматриваемой задаче управле-
управления колебаниями стержня с помощью граничных управляющих воз-
воздействий начальные возмущения можно погасить за конечное вре-
время (в рассматриваемом случае это время равно Т = а/тг), полагая
(М*) = М*) = 0. М*) = l4(t), ® = ^2°W, где /iO(t) и !/§(*) опре-
определяются формулами B.153) и B.154).

Глава 3
Теоремы существования и единственности.
Обобщенные решения
§ 1. Обобщенные решения
Если и(х, t) — классическое решение краевой задачи, то для любой
функции F(x,t) Е C2{Qi^t) справедливо равенство
/ / [utt(x,t) - а2ихх (ж, t)] F(x,t)dxdt = 0.
Qi,t
Интеграл в левой части равенства возьмем дважды по частям:
ffu(x,t) [Ftt(x,t)-a2Fxx(x,t)] dxdt +
Qi,t
l
+ f[ut(x,T)F(x,T)-ut(x,0)F(x,0)] dx-
о
i
- / [u(x,T)Ft(x,T) - u(x,0)Ft(x,0)] dx-
о
т
-a2 J[ux(l,t)F(l,t)-ux(O,t)F(O,t)]dt +
о
T
+ a2 f [u(l,t)Fx(l,t) -u@,t)Fx@,t)] dt = O. C.1)
о
Для краевых задач с начальными условиями потребуем от функ-
функций F(x,t) выполнения следующих равенств:
F(x,T) = 0, Ft(x,T) = 0, xe[0,l].	C.2)
Для краевых задач с финальными условиями от функций F(x,t)
потребуем выполнения равенств:
F(x,0) = 0, Ft(x,0)=0, xe[0,l].	C.3)
В зависимости от того, какую краевую задачу будем рассматри-
рассматривать, дополнительно на функции F(x,t) накладываются условия.

66 Гл. 3. Существование и единственность обобщенных решений
Первая краевая задача:
F@, t) = 0, F(l, t) = О, O^t^T.	C.4)
Вторая краевая задача:
Fx(O,t) = O, Fx(l,t) = O, O^t^T.	C.5)
Третья краевая задача:
Fx(О,t) - /3F(Q,t) = О, Fx(/,*) + aF(l,t) = 0, 0 ^ t <C T. C.6)
Для смешанных краевых задач (г, j), г, j = 1, 2, 3, введенные усло-
условия C.4)-C.б) комбинируются.
Учитывая дополнительные условия на функции F(x,t) C.2) или
C.3), условия, аналогичные однородным краевым C.4)-C.б), и их
комбинации для соответствующих смешанных краевых задач, из
интегрального равенства C.1) получаем различные интегральные ра-
равенства для краевых задач. Эти интегральные равенства будем ис-
использовать для определения обобщенных решений краевых задач. Все
используемые здесь классы функций были введены в гл. 1, § 2.
Пусть выполняются следующие условия на функции, задающие
начальные, финальные и краевые условия первой краевой задачи:
Я	].	C.7)
Определение 3.1. Решением из L<z{Qi,t) первой краевой задачи
с начальными условиями называется такая функция u(x,t) из класса
I, для которой равенство
l
Л) [Ftt(x,t) -a2Fxx(x,t)} dxdt+ j <p(x)Ft(x,0) dx -
Qi,t
T
J
v(t)Fx(l,t)-ii(t)Fx(O,t)]dt = O C.8)
о
верно для всех функций F(x,t) G C2(Qi^t) c условиями C.2) и C.4) и
для которой условия B.4) и первое начальное условие B.2) выполня-
выполняются в смысле равенства элементов 1/2[0,Т] и L<z[0,/] соответственно,
а второе начальное условие — в смысле равенства элементов ^{[О,/].
О п ре делен ие 3.2. Решением из L2(Qi,t) первой краевой задачи
с финальными условиями называется такая функция u(x,t) из класса
L2(Qi,t), Для которой равенство
l
ffu(x,t)[Ftt(x,t)-a2Fxx(x,t)] dxdt- J <Pl(x)Ft(x,T)dx +
о
т
F(.,T)> + a2 I' [u(t)Fx(l,t) - fi(t)Fx(O,t)] dt = 0 C.9)
Qi,t
т

1. Обобщенные решения	67
верно для всех функций F(x,t) Е C2(Qi^t), удовлетворяющих услови-
условиям C.3) и C.4), и для которой краевые условия B.4) и первое финаль-
финальное условие B.3) выполняются в смысле равенства элементов 1/2[0,Т]
и 1/2[0,/] соответственно, а второе финальное условие — в смысле ра-
равенства элементов
Введем обобщенные решения из Z/2(Qz,t) второй краевой задачи
с начальными условиями при следующих предположениях:
<peL2[o,l\, Фе(^)*[о,1\, ц,и е си^У[о,Т\.	(зло)
Определение 3.3. Обобщенным решением из Z/2(Qz,t) второй
краевой задачи с начальными условиями называется такая функция
u(x,t) Е 1/2(Qi т)? Для которой равенство
l
ffu(x,t) [Ftt(x,t)-a2Fxx(x,t)] dxdt + Г <p(x)Ft(x, 0) dx -
Qi,t	о
- Ш, F(-, 0)) + a2 (ii(-),F@, •)) - a2 (v(-),F(l, •)) = 0 C.11)
справедливо для любой функции F(x, t) G C2(Qi^t), удовлетворяющей
условиям C.2) и C.5), и для которой краевые условия B.5) выпол-
выполняются в смысле равенства элементов (/Н^)*[0,Т], первое начальное
условие B.2) — в смысле равенства элементов L2[0,Z], а второе на-
начальное условие — в смысле равенства элементов (.Т7^)*^?']-
Для определения обобщенных решений второй краевой задачи с
финальными условиями предположим, что
^i€L2[O,q, Vie(J^)*[O,/], /,,!/€ №*[0,Т].	C.12)
Определение 3.4. Обобщенным решением из L2(Qi,t) второй
краевой задачи с финальными условиями называется такая функция
u(x,t) G 1/2(Qi т)? Для которой равенство
I
ffu(x,t)[Ftt(x,t)-a2Fxx(x,t)] dxdt- J i
Qi,t	о
+ (фг(•), F(«, 0)) + a2 (ii(-),F@, •)) - a2 (v(-),F(l, •)) = 0 C.13)
справедливо для любой функции F(x, t) G C2(Qi^t), удовлетворяющей
условиям C.3) и C.5), и для которой краевые условия B.5) выпол-
выполняются в смысле равенства элементов ('Но)*[0,Т], первое финальное
условие B.3) — в смысле равенства элементов L2[0,Z], а второе фи-
финальное условие — в смысле равенства элементов (jT^^fO,/].
На первый взгляд может показаться, что в классе L2(Qi,t) имеет
место неединственность решения второй краевой задачи. Рассмотрим
следующий пример.
Пример 3.1. Разобьем прямоугольник Q^T на множества

68 Гл. 3. Существование и единственность обобщенных решений
Q1 = {х > at,x > I - at}, Q2 = {at < x < I - at},
Q3 = {x < at,x < I - at}, Q4 = {/ - at < x < at}.
В силу волновой природы решения значения распространяются по
характеристикам х - at — С\ и х + at — C<z- Поэтому в качестве ре-
решения возьмем функцию uc(x,t), равную постоянной С на множест-
множестве Q3, постоянной —С на множестве Q1 и нулю на множестве Q4.
Эта функция удовлетворяет нулевым начальным условиями и ну-
нулевым краевым условиям второго рода. Проверим, удовлетворяет
ли эта функция интегральному равенству C.11) для любой функ-
функции F(x,t), удовлетворяющей свойствам C.2) и C.5).
Для множества Q3 получаем следующее выражение:
1/2 A-х)/а
С [[[Fu(x,t)-a2Fxx(x,t)]dxdt = C Г\ Г Ftt(x,t)dt] dx-
Q3	0	х/а
1/{2а) at	I/a l-at
/If	1	С \ С	1
/ Fxx(x,t)dx\dt-a2C / / Fxx(x,t)dx\ dt =
\_ J	J	J \_ J	J
0	0	I/() 0
\_	J	\_
0	0	I/Ba) 0
1/2	1/2
0
Теперь проделаем аналогичные вычисления для множества Q1:
I	х/а
\
I	/
-С [[[Fu(x,t)-a2Fxx(x,t)]dxdt = -C Г\ j Fu(x,t)dt\ dx-
Q3	1/2 A-х)/a
//Ba) i	I/a I
/If	1	f \ f	1
/ Fxx(x,t)dx\dt + a2C / \ Fxx(x,t)dx\ dt =
\_ J	J	J \_ J	J
0 l	I/() t
\_	J	\_
0 l-at	I/Ba) at
1/2	1/2
Сумма полученных выражений aC[F@,0) — F(l,0)] Ф 0. В даль-
дальнейшем будет доказана соответствующая теорема единственности.
Определим обобщенные решения из I/2(Q/,t) третьей краевой за-
задачи с начальными условиями при следующих предположениях:

1. Обобщенные решения	69
<peL2[o,i], Ф е №)*[0Л v,ve(n'Ty[o,T].	C.14)
О п ре делен ие 3.5. Обобщенным решением из L<z{Qi,t) третьей
краевой задачи с начальными условиями называется такая функция
u(x,t) Е L2(Qi,t), Для которой равенство C.11) справедливо для лю-
любой функции F(x,t) из C2(Qi^t), удовлетворяющей условиям C.2)
и C.6) и для которой краевые условия B.6) выполняются в смысле
равенства элементов G^0* [О, Т], первое начальное условие B.2) — в
смысле равенства элементов L2[O,Z], а второе начальное условие — в
смысле равенства элементов (^з)*^^]-
Для определения обобщенных решений третьей краевой задачи с
финальными условиями предположим, что
)* [о,/], »,ие(П'0Lо,т\. C.15)
О п ре делен ие 3.6. Обобщенным решением из Z/2(Qz,t) третьей
краевой задачи с финальными условиями называется такая функция
u(x,t) e I/2(Q/,t), Для которой равенство C.13) справедливо для лю-
любой функции F(x,t), принадлежащей пространству C2(Qi^t), удов-
удовлетворяющей условиям C.3) и C.6) и для которой краевые условия
B.6) выполняются в смысле равенства элементов (Н'о)*[0,Т], первое
финальное условие B.3) — в смысле равенства элементов 1/2[0, /], а
второе финальное условие — в смысле равенства элементов (^з)*[0,1].
Определим обобщенные решения из I/2(Q/,t) смешанной краевой
задачи C,2) с начальными условиями в следующих предположениях:
Определение 3.7. Обобщенным решением из I/2(Q/,t) смешан-
смешанной краевой задачи C,2) с начальными условиями называется такая
функция u(x,t) из I/2(Q/,tM Для которой равенство C.11) справедливо
для любой функции F(x,t) G C2(Qi^t), удовлетворяющей введенному
условию C.2) и условиям
Fx@,t) - /3F@,t) = 0, Fx@,t) = 0, 0 ^ t <: Г,	C.17)
и для которой краевое условие третьего рода в точке х = 0 и условие
второго рода в точке х = I выполняются в смысле равенства элемен-
элементов (/Н^)*[0,Т], первое начальное условие B.2) — в смысле равенства
элементов I^fO,/], а второе начальное условие — в смысле равенства
элементов (^3,2)*[0?A-
Для определения обобщенных решений смешанной краевой зада-
задачи C,2) с финальными условиями предположим, что
], ^i€(^i2)*[0,q, ii,ve(nf0L0,T\.	C.18)
Определение 3.8. Обобщенным решением из L/2(Qi,t) смешан-
смешанной краевой задачи C,2) с финальными условиями называется такая
функция u(x,t) e I/2(Q/,t), Для которой равенство C.13) справедливо

70 Гл. 3. Существование и единственность обобщенных решений
для любой функции F(x,t) Е C2(Qi^t), удовлетворяющей услови-
условиям C.3) и C.17), и для которой смешанные краевые условия третьего
рода в точке х = 0 и второго рода в точке х = I выполняются в смысле
равенства элементов ('Но)*[0,Т], первое финальное условие B.3) — в
смысле равенства элементов 1/2[0,/], а второе финальное условие — в
смысле равенства элементов (^3,2)*[0?(|-
Обобщенные решения из L2(Q/,t) смешанной краевой задачи B,3)
с начальными условиями определим при следующих предположениях:
Ч> е L2[0,l], Ф G (^2,з)*[0Д WZ (Н'Т)*[0,Т\.	C.19)
Определение 3.9. Обобщенным решением из L<z{Qi,t) смешан-
смешанной краевой задачи B,3) с начальными условиями называется такая
функция u(x,t) Е ?2(Qz,tM Для которой равенство C.11) справедли-
справедливо для любой функции F(x,t) e C2(Qi,t), удовлетворяющей C.2) и
условиям
Fx@,t) = 0, Fx@,t)+aF@,t) = 0, 0 ^ t ^ Г,	C.20)
и для которой краевое условие второго рода в точке х = 0 и треть-
третьего рода в точке х = I выполняются в смысле равенства элементов
(/Н^)*[0,Т], первое начальное условие B.2) — в смысле равенства
элементов L2[0,Z], а второе начальное условие — в смысле равенст-
равенства элементов (^2,з)*Р?']-
Для определения обобщенных решений смешанной краевой зада-
задачи B,3) с финальными условиями предположим, что
viGi2[o,q, Vie(^K)*[o,/], /*,!/€ №*[о,г]. C.21)
Определение 3.10. Обобщенным решением из L/2(Qi,t) смешан-
смешанной краевой задачи B,3) с финальными условиями называется такая
функция u(x,t) e I/2(Q/,t), Для которой равенство C.13) справедли-
справедливо для любой функции F(x,t) G C2(Qi^t), удовлетворяющей услови-
условиям C.3) и C.20), и для которой краевое условие второго рода в точке
х = 0 и третьего рода в точке х = I выполняются в смысле равенст-
равенства элементов (Н'о)*[0,Т], первое финальное условие B.3) — в смысле
равенства элементов L2[0,Z], а второе финальное условие — в смысле
равенства элементов [Т'^ з)*[0?(|-
Обобщенные решения из I/2(Q/,t) смешанной краевой задачи A,3)
с начальными условиями определим при следующих предположениях:
о,г]. C.22)
Определение 3.11. Обобщенным решением из Li2(Qi,t) смешан-
смешанной краевой задачи A,3) с начальными условиями называется такая
функция u(x,t) G L2(Qi,t), Для которой равенство
l
jju(x,t) [Fu(x,t)-a2Fxx(x,t)} dx dt + / <p(x)Ft(x,0) dx -
Qi,t

1. Обобщенные решения	71
1
- (i/>(-),F(., 0)) - a2 (»(•), F(l, •) - a2 J fi(t)Fx@, t) dt = 0 C.
23)
справедливо для любой функции F(x, t) G C2(Qi^t)j удовлетворяющей
условиям C.2) и условиям
F@,?) = 0, Fx@,t)+aF@,t) = 0, 0 ^ t <С Г,	C.24)
и для которой краевое условие первого рода в точке х = 0 выполняется
в смысле равенства элементов 1/2[0,Т], краевое условие третьего ро-
рода в точке х = I — в смысле равенства элементов (/Н^)*[0,Т], первое
начальное условие B.2) — в смысле равенства элементов 1/2[0,1], а вто-
второе начальное условие — в смысле равенства элементов (Т[ 3)*[0, Z].
Для определения обобщенных решений смешанной краевой зада-
задачи A,3) с финальными условиями предположим, что
<Р! е L2[o,i], фг е (^{,3).[о,/], ц е L2[o,T], v е (п'0L0,Т\. C.25)
Определение 3.12. Обобщенным решением из L/2(Qi,t) смешан-
смешанной краевой задачи A,3) с финальными условиями называется такая
функция u(x,t) G L2(Qi,t), Для которой равенство
l
ffu(x,t)[Ftt(x,t)-a2Fxx(x,t)] dxdt- J i
- a2 (u(-),F(lr) - a2 I fi(t)Fx(O,t)dt = 0 C.26)
Qi,t	о
т
о
справедливо для любой функции F(x,t) G C2(Qi^t), удовлетворяю-
удовлетворяющей условиям C.3) и C.24), и для которой смешанные краевые усло-
условия первого рода в точке х = 0 выполняются в смысле равенства
элементов 1/2[0,Т] и третьего рода в точке х = I — в смысле равенст-
равенства элементов (Но)*[0,Т], первое финальное условие B.3) — в смысле
равенства элементов L2[0,Z], а второе финальное условие — в смысле
равенства элементов (^г{5з)*[0^]-
Обобщенные решения из I/2(Q/,t) смешанной краевой задачи C,1)
с начальными условиями определим при следующих предположениях:
о,Т\. C.27)
Определение 3.13. Обобщенным решением из Li2(Qi,t) смешан-
смешанной краевой задачи C,1) с начальными условиями называется такая
функция u(x,t) G L2(Qi,t), Для которой равенство
I
jju(x,t) [Fu(x,t)-a2Fxx(x,t)} dxdt + j <p(x)Ft(x,0) dx -
Qi,t	°

72 Гл. 3. Существование и единственность обобщенных решений
Т
- (^(-),^(-,0)> +а2 / u(t)Fx(l,t) dt + a2 (/i(-), F@, •) dt = 0 C.28)
о
справедливо для любой функции F(x, t) G C2(Qi^t)j удовлетворяющей
условиям C.2) и условиям
Fx(O,t)-PF(O,t)=O, F(l,t) = 0, O^t^T,	C.29)
и для которой краевое условие третьего рода в точке х = 0 выполняет-
выполняется в смысле равенства элементов (HfT)*[0,T], краевое условие первого
рода в точке х = I — в смысле равенства элементов 1/2[0,Т], первое
начальное условие B.2) — в смысле равенства элементов 1/2 [0, I], а вто-
второе начальное условие — в смысле равенства элементов (^зд)*^^-
Для определения обобщенных решений смешанной краевой зада-
задачи C,1) с финальными условиями предположим, что
Определение 3.14. Обобщенным решением из Z/2(Qz,t) смешан-
смешанной краевой задачи C,1) с финальными условиями называется такая
функция u(x,t) G L2(Qi,t), Для которой равенство
I
г г	г
// u(x,t) [Fu(x,t) -a2Fxx(x,t)] dxdt+ / ip(x)Ft(x,0)dx-
j j	j
Qi,t	т	о
- (^(-),^(-,0)> +a2 / z/(t)Fx(/,t)dt + a2(/i(-),F(O, •) dt = 0 C.31)
о
справедливо для любой функции F(x, t) G C2(Qi^t), удовлетворяющей
условиям C.3) и C.29), и для которой краевое условия третьего рода
в точке х = 0 выполняется в смысле равенства элементов (^о)*[О,Г],
краевое условие первого рода в точке х = I — в смысле равенства эле-
элементов L2[0,T], первое финальное условие B.3) — в смысле равенства
элементов I^fO,/], а второе финальное условие — в смысле равенства
элементов (^ i)*[0,Z].
Обобщенные решения из L2(Qi,t) смешанной краевой задачи A,2)
с начальными условиями определим при следующих предположениях:
<peL2[0,l], ф G (^,2)*[0Д /iGL2[0,T], г/е (Н'Т)*[О,Т]. C.32)
Определение 3.15. Обобщенным решением из Li2(Qi,t) смешан-
смешанной краевой задачи A,2) с начальными условиями называется такая
функция u(x,t) G L2(Qi,t), Для которой равенство C.23) справедли-
справедливо для любой функции F(x,t) G C2(Qi,t), удовлетворяющей C.2) и
условиям
и для которой краевое условие первого рода в точке х = 0 выполня-
выполняется в смысле равенства элементов L2[0,T], краевое условие второго

1. Обобщенные решения	73
рода в точке х = I — в смысле равенства элементов (Нт)*[0, Т], первое
начальное условие B.2) — в смысле равенства элементов Z/2[0, l], а вто-
второе начальное условие — в смысле равенства элементов (Т'-у 2)*[0, Z].
Для определения обобщенных решений смешанной краевой зада-
задачи A,2) с финальными условиями предположим, что
<Р! G L2[0,l], фг G (^{i2)*[0,q, А* € L2[O,T], и G (П'0)ф,Т]. C.34)
Определение 3.16. Обобщенным решением из Z/2(Qz,t) смешан-
смешанной краевой задачи A,2) с финальными условиями называется такая
функция u(x,t) Е L2(Qi,t), Для которой равенство C.26) справедли-
справедливо для любой функции F(x,t) Е C2(Qi^t), удовлетворяющей услови-
условиям C.3) и C.33), и для которой краевое условие первого рода в точ-
точке х = 0 выполняется в смысле равенства элементов 1/2[0,Т], краевое
условие второго рода в точке х = I — в смысле равенства элемен-
элементов (/Но)*[0,Т], первое финальное условие B.3) — в смысле равенства
элементов L2[O,Z], а второе финальное условие — в смысле равенства
элементов О?7! 2)*[0?A-
Обобщенные решения из I/2(Q/,t) смешанной краевой задачи B,1)
с начальными условиями определим при следующих предположениях:
ip€L2[0,l], ф€(Т2<1)*[0,1\, i/€L2[0,T], ц€(П'т)*[0,Т\. C.35)
Определение 3.17. Обобщенным решением из Z/2(Qz,t) смешан-
смешанной краевой задачи B,1) с начальными условиями называется такая
функция u(x,t) G L2(Qi,t), Для которой равенство C.28) справедливо
для любой функции F(x,t) G C2(Qi^t) c условиям C.2) и условиями
Fx@, t) = 0, F(l,t) = 0, 0 ^ t ^ Г,	C.36)
для которой краевое условие второго рода в точке х = 0 выполняется в
смысле равенства элементов (/Н^)*[0,Т], краевое условие первого рода
в точке х = I — в смысле равенства элементов 1/2[О, Т], первое началь-
начальное условие B.2) — в смысле равенства элементов L^[О, I], а второе
начальное условие — в смысле равенства элементов (.7-2,i)*IP?']-
Для определения обобщенных решений смешанной краевой зада-
задачи B,1) с финальными условиями предположим, что
<Р! G L2[0,l], фг G (^2il)*[0,q, v G L2[0,T], /x G №*[0,Т]. C.37)
Определение 3.18. Обобщенным решением из L2(Qi,t) смешан-
смешанной краевой задачи B,1) с финальными условиями называется такая
функция u(x,t) G L2(Qi,t), Для которой равенство C.31) справедли-
справедливо для любой функции F(x,t) G C2(Qi^t), удовлетворяющей услови-
условиям C.3) и C.36), и для которой краевое условие второго рода в точ-
точке х = 0 выполняется в смысле равенства элементов (Н'о)*[0,Т], крае-
краевое условие первого рода в точке х = I — в смысле равенства элемен-
элементов 1/2[0,Т], первое финальное условие B.3) — в смысле равенства
элементов 1/2[0,?], а второе финальное условие — в смысле равенства
элементов ОТ^дЫ^М]-

74 Гл. 3. Существование и единственность обобщенных решений
§ 2. Теоремы единственности решения краевых задач
Единственность обобщенного класса I/2(Qz,t) решения краевой за-
задачи будем понимать в следующем смысле: если существуют два ре-
решения краевой задачи из класса Z/2(Qz,tM то их разность есть нулевой
элемент пространства Z/2(Qz,t)-
2.1. Теорема единственности решения первой краевой за-
задачи. Докажем полностью теорему единственности решения для
первой краевой задачи с начальными (финальными) условиями, а для
других краевых задач сформулируем теоремы и укажем отличия в
доказательствах.	^
Теорема 3.1. Решение из I/2(Q/,t) первой краевой задачи с на-
начальными [финальными) условиями единственно.
Доказательство. Предположим противное: существуют два
решения ui(x,t) и v,2(x,t) первой краевой задачи с начальными (фи-
(финальными) условиями из L/2(Qi,t)- Тогда их разность, которую обо-
обозначим u(x,t) = ui(x,t) — U2(x,t), является решением задачи
utt(x,t) - a2uxx(x,t) = 0, (ж,?) е Qi,t,
и(х, 0) = 0, щ(х, 0) = 0, 0 ^ х ^ Z,
Ц0, t) = 0, u(l, t) = 0, 0 ^ t ^ Г,
соответственно для финальных условий
utt(x,t) - a2uxx(x,t) = 0, (x,t) G Qi,t,
u(x,T) = 0, ut(x,T) = 0, 0 ^ x ^ /,
u@, t) = 0, u(l, t) = 0, 0 ^ t ^ Г,
и верно тождество
i т
i(x,t) [Ftt(x,t) — a2Fxx(x,t)] dxdt = 0,	C.38)
о о
для любой функции F(x,t), удовлетворяющей условиям C.2) и C.4)
(соответственно условиям C.3) и C.4)).
Докажем, что введенная функция u(x,t) = 0 почти всюду на Qi^t-
Продолжим u(x,t) на область t < 0, положив ее там равной нулю.
Тогда, предполагая, что F(x,t) = 0 при t > Г, можно следующим
образом переписать равенство C.38):
оо
u(x,t) [Ftt(x,t) -a2Fxx(x,t)] dxdt = 0.	C.39)
О -оо
Пусть vn(x) — одна из собственных функций задачи
v'n(x) + Xlvn(x) = 0, vn@)=0, vn(l)=0,	C.40)
при 0 ^ i ^ !, а А„ — соответствующее ей собственное значение.
I

§ 2. Теоремы единственности решения краевых задач	75
Обозначим F(x,t) функцию вида F(x,t) = vn(x)f(t), где /(t) — про-
произвольная дважды непрерывно дифференцируемая на множестве Ж
функция, равная нулю при t ^ to, где to — некоторое число, удов-
удовлетворяющее требованию to < Т.
Доказательство равенства
u(x,t)f(t)dt = 0,	C.41)
которое выполняется для почти всех 0 ^ х ^ I и для любой функ-
функции /(t) указанного класса, приведем, следуя работе Ильина В.А. [50].
Зафиксируем любое ? ^ 0. Тогда функция /(t + ?) заведомо равна
нулю при t ^ to, ив равенстве C.39) можно взять вместо функ-
функции /(t) функцию /(t + ?). При этом будем иметь
Ftt ~ a2Fxx = vn(x) [f"(t + 0 + *2J(t + О] ¦	C-42)
Положим
= J J u(x,t)vn(x)f(t + Odxdt.	C.43)
0 -oo
Очевидно, что функция Ап(^) определена и дважды непрерывно диф-
дифференцируема при ? ^ 0. Из равенств C.39) и C.42) заключаем, что
всюду при ? ^ 0 функция Ап(^) удовлетворяет уравнению
А?(О+ A?An @=0.	C.44)
Из уравнения C.44) получим, что всюду при ? ^ 0
Ап@ = Cnco8\nt + Dn8m\n?.	C.45)
Из формулы C.43) очевидно, что Ап(?) = 0 при ? ^ to (учитываем
при этом, что u(x,t) = 0 при t < 0). Но тогда ясно, что в форму-
формуле C.45) Сп = Dn = 0, и, следовательно, всюду при ( ) 0 и при
любом п
Ап(О = 0.	C.46)
Составим функцию	оо
U(x,0= J u(x,t)f(t + Odt.	C.47)
— ОО
Из равенств C.43) и C.46) заключаем, что функция C.47) ортогональ-
ортогональна по сегменту [0,/] ко всем собственным функциям vn(x). Отсюда в
силу полноты системы {vn(x)} получим, что при любом фиксирован-
фиксированном ? ^ 0	оо
— оо
В частности, при ? = 0 получаем требуемое равенство C.41).

76 Гл. 3. Существование и единственность обобщенных решений
Перепишем равенство C.41) в виде
т
u(x,t)f(t)dt = 0.	C.48)
о
Линейное многообразие ?/[0,Т] финитных дважды непрерывно
дифференцируемых функций на сегменте [О, Г] плотно в L2[0, Г], и для
каждого элемента /(?)? ?/[0,Т] также выполняется равенство C.48).
Из равенства C.48) получается, что для любой функции /(?) из
класса L<z[О, Т] справедливо равенство
1 т	I2
u(x,t)f(t)dt\ dx = 0.	C.49)
о о
Для доказательства равенства C.49), возьмем последовательность
функций fn{t) из ?/[0,Т], п = 1,2,..., сходящуюся к /(?) в смысле
пространства 1/2[0,Т], и используем неравенство Коши-Буняковского:
2	г Г г	1 2
f\fu{x,t)f{t)dt\ dx= f\fu{x,t){f{t)-fn{t)}dt\
оо	J	о о	J
I T	T
С \ С	С	1
^ / / u2(x,t)dt /[/(?) - fn(t)]2 dtldx =
j \_ j	j	j
0 0	0
Перейдем к пределу при п —> оо в полученном неравенстве. Поскольку
левый интеграл не зависит от п, а выражение справа стремится к
нулю, то получаем требуемое равенство C.49).
Возьмем последовательность fn(t) = sin (irnt/T) при п = 1,2,...
Для каждой такой функции fn(t) верно равенство C.49), и поэтому
для каждого номера п существует множество Ап меры нуль такое,
что для всех х из сегмента [0,1], не принадлежащих множеству Ап,
справедливо равенство т
u(x,t)fn(t)dt = O.	C.50)
о
Обозначим А — множество меры нуль, полученное объединением
всех Ап, п = 1,2,... Тогда для всех номеров п и для всех точек х
сегмента [0,/], не принадлежащих А, справедливо равенство C.50).
В силу полноты в 1/2[0, Т] системы {fn(t)} отсюда следует, что для
всех точек х сегмента [0,1], не принадлежащих множеству А, функ-
функция u(x,t) является нулевым элементом 1/2[0,Т]. Поэтому
l т
// u2(x,t)dxdt = \ u2(x,t)dt\ dx = 0,
Qi,t	о о

§ 3. Априорные оценки решений первой краевой задачи	77
тем самым доказано, что функция u(x,t) принадлежит Z/2(Qz,t)-
2.2. Теоремы единственности для других краевых задач.
Теорема 3.2. Решение из Z/2(Qz,t) третьей краевой задачи с
начальными (финальными) условиями единственно.
Доказательство теоремы аналогично теореме 3.1, единственное от-
отличие — выбор собственной функции vn(x), являющейся решением
задачи
v?(x) + X2nvn(x) = 0, v'n@) - Cvn@) = 0, v'n(l) + avn(l) = 0
при 0 ^ х ^ I.
Замечание 3.1. При C = 0 и а = 0 получаем доказательство те-
теоремы единственности решения второй краевой задачи, для C = 0 по-
получаем доказательство теоремы единственности решения смешанной
краевой задачи B,3), а при а = 0 — доказательство соответствующей
теоремы для смешанной краевой задачи C,2).
Теорема 3.3. Решение из Z/2(Qz,t) смешанной краевой зада-
задачи C,1) с начальными (финальными) условиями единственно.
Доказательство теоремы отличается от доказательства теоре-
теоремы 3.1 выбором собственной функции vn(x), являющейся решением
задачи (при 0 ^ х ^ I)
О) + X2nvn(x) = 0, «n@) = 0, v'Jl) + avn(l) = 0.
Замечание 3.2. При а = 0 получаем доказательство теоре-
теоремы единственности обобщенного решения смешанной краевой зада-
чи A,2).
Теорема 3.4. Решение из I/2(Q/,t) смешанной краевой зада-
задачи A,3) с начальными (финальными) условиями единственно.
Собственная функция vn(x) является решением при 0 ^ х ^ I
следующей задачи:
v'1[(x)+\2nvn(x)=0, v'n(O)-0vn(O)=O, «„@ = 0.
Замечание 3.3. При C = 0 получаем доказательство теоремы
единственности решения смешанной краевой задачи B,1).
§ 3. Априорные оценки решений первой краевой задачи
В этом параграфе получим априорные оценки для решений в клас-
классе C2(Qi:t) первой краевой задачи с нулевыми начальными и финаль-
финальными условиями.
2.1. Априорные оценки для решений первой краевой за-
задачи с нулевыми начальными условиями и Т ^ l/а. Рассмот-
Рассмотрим первую краевую задачу с нулевыми начальными значениями при
0 < Г ^ l/а. Классическое решение u(x,t) рассматриваемой задачи
удовлетворяет тождеству, аналогичному тождеству C.8),

78 Гл. 3. Существование и единственность обобщенных решений
II u(x,t)[Fu(x,t) -a2Fxx(x,t)]dxdt =
Qi,t
т
= a2 f\pL(t)Fx(O,t)-v(t)Fx(l,t)] dt, C.51)
оно выполняется для любой функции F(x,t) Е C2{Qi^t) со свойства-
свойствами C.2) и C.4) и имеет вид B.7) при <р(х) = 0 и ф(х) = 0:
C.52)
В качестве функции F(x, t) G C2(Qi,t) в тождестве C.51) возьмем
решение из класса C2(Qi^t) следующей задачи:
Ftt(x,t) -a2Fxx(x,t) =u(x,t), (x,t) E Q/,T,
F(x,T) = 0, Ft(x,T) = 0, O^x^l,	C.53)
F@, t) = 0, F(l, t) = 0, 0 ^ t ^ Г,
Решение F(x,t) задачи C.53) представим следующим образом:
F{x, t) = F1 (ж, t) - F2 (ж, t), где F1 (x, t) — функция вида
T-t x + a(T-t-r)
rpl ( f\ _ 	 /	/	(p rp гЛ At \ dq-	C\ KA\
0 x-a{T-t-r)
Найдем все первые и вторые производные функции F1(x,t):
T-t
F^ir t) —	/ ii (т + n(T — t — т) Т — т) dr —
0
T-t
-\ ( u(x-a(T -t-r),T -t) dr, C.55)
T-t
1 -r)dr-
l(x,t) = — / u(x + a(T -t-r),T
2a J
о
T-t
- 7Г u(x-a(T-t-r),T-r)dr, C.56)
2a J

3. Априорные оценки решений первой краевой задачи	79
T-t
u(x,t)-\-^ i d!u(x + a(T -t-r),T - т) dr-
о
т-t
-a(T-t-r),T-r)dr, C.57)
о
T-t
Flx(x,t) = — I d!u(x + a(T-t-r),T-r)dr-
Za J
0
T-t
-7Г I dMx -a(T-t-r),T-r) dr; C.58)
0
символом д\ обозначена производная по первой переменной функ-
функции u(x,t).
Из соотношений C.57) и C.58) получается, что введенная функ-
функция F1(x,t) удовлетворяет уравнению F^t(x,t) - a2F^x(x,t) = u(x,t),
а из равенств C.54) и C.55) вытекает, что F1(x,T) = 0, F?(x,T) = О
при 0 ^ х ^ I. Поэтому F1(x, t) является решением следующей задачи:
F?t(x,t)-a2Fxx(x,t) =u(x,t), (x,t) G
F1(x,T)=0J F?(x,T) = 0, O^x^l
T-t a(T-t-r)
[
[	]	C.59)
0 -a(T-t-r)
T-t l + a(T-t-r)
[
[
0 l-a(T-t-r)
В таком случае функция F2(x,t) является решением задачи
Fl(x,t) - F2x(x,t) = 0, (x,t) e QhT,
F2(x,T)=0, F2(x,T) = 0, O^x^l,	C.60)
F2@,t) = /i1^), F2(M) = г/1^), 0 ^ t ^ Г.
Единственное решение из C2(Qi^t) задачи C.60) имеет вид B.19) при
4>(х) = 0 и ф(х) = 0:
и(х, t) = -p(t + -) + F^ + ^—^).	C.61)
V а/ V	a /
Получаем

80 Гл. 3. Существование и единственность обобщенных решений
T-t x + a(T-t-r)
О x-a(T-t-T)
Л (	X\	Л (	X	I \
\ a/	\ a a/
T-t
1 г
(Т f\ — 	 / о,(т _i_ п(т _ / _ т\ т _ т) г1т —
О
T-t
	u(x-a(T-t-r),T-r)dr-
Zd J
Подставляя x = 0 в равенство C.60), учитывая вид /i1(t) из C.59) и
вид C.52) функции u(x,t), находим функцию Fx@,t):
T-t	T-t
Fx(O,t) = - [ u(a(T-t-r),T-r)dr=- [ [fi(t) + v_(C - t - 2r)] dr;
a J	a J
о	о
здесь С = 2T — //а. Далее, подставляя х = I в C.62), учитывая
вид ^1(t) из C.59) и вид C.52) функции u(x,t), находим Fx(l,t):
т-t	т-t
Fx(l,t) = -- f u(l-a(T-t-r),T-r)dr=- [ [fi(C-t-
a J	a J -
о	о
Подставим функции Fx(O,t) и Fx(l,t) в тождество C.51) и, сделав
преобразования, получаем
т
u2(x,t)dxdt = - (T-t) \n2(t) + ^2(?I cfa+- fjL(t)i/(z)dtdz,
JJ	a J	aJJ
Qi,t	о	Qc
где Qc = {0^?^C, O^z^C — ?}. Откуда находим оценку
1ИМI1ь2(сЗг,т) ^ Л^т) {\Ш\\ь2[о,т] + 1И*I1ь2[о,т]} , C-63)
где Л(а, Т) — некоторая константа, зависящая от а и Т.
3.2. Априорные оценки для решений первой краевой за-
задачи с нулевыми начальными условиями при закрепленном
правом конце и Т ^ 21/а. Рассмотрим первую краевую задачу,
описывающую колебания струны с закрепленным правым концом для
решений из класса C2(Q^T)'-

§ 3. Априорные оценки решений первой краевой задачи	81
utt(x,t) - a2uxx{x,t) = 0 внутри Qi,t,
и(х, 0) = О, щ(х, 0) = О, О ^ х ^ I,	C.64)
и(О, t) = ja(t), и{1, t) = О, О ^ t ^ Г,
Решение задачи C.64) удовлетворяет тождеству, получаемому из тож-
тождества C.8),
i т	т
I I'u(x,t)[Ftt(x,t) - a2Fxx(x,t)]dxdt = a2 I fi,(t)Fx(O,t) dt C.65)
0 0	О
для любой функции F(x,t) G &2{Qi,t) c условиями C.2), C.4) и имеет
вид
и(х, t) = Jt--)-Jt+---).	(З.бб)
—V а/ —\ а а/
В качестве функции F(x,t) G C2(Qi^t) в тождестве C.65) снова возь-
возьмем решение задачи C.53).
Решение задачи C.53) представим в виде разности функции C.54)
и решения задачи C.58): F(x,t) = F1(x,t) - F2(x,t).
При каждом фиксированном t продолжим нечетным образом
функцию u(x,t) на сегмент [1,21].
Функция F1{x,t) является решением задачи C.59), а функция
F2(x,t) является решением задачи C.60). В этих задачах в силу не-
нечетного продолжения функции u(x,t) на сегмент [1,21] функция ^1(t)
равняется нулю. Единственное решение из C2(Qi^t) задачи C.60)
имеет вид
F2{x,t) =W*+->) -р1 (*-- + —У	C.67)
\ а/	V а а /
Таким образом, получаем выражение для функции F(x,t)
T-t x + a(T-t-r)
[
0 x-a(T-t-r)
л ( x\ -i / x 21 \
-Jl1 ?+- +/I1 U-- + -),
\ a/	V a a /
откуда легко находится выражение для Fx(x,t)
т-t
1 Г
Fx(x,t) = — I u(x + a(T-t-T),T-T)dr-
2A J
0
T-t
-IT I u(x-a(T -t-r),T -r)]dr-
+f)->>'('-! + ?)- C68)

82 Гл. 3. Существование и единственность обобщенных решений
Подставляя х = 0 в равенство C.68) и учитывая вид функции
/i1(t) из C.59), получаем
T-t
Fx@,t) = - [ u(a(T-t-r)JT-r)dr=^-^fi(t).	C.69)
a J	a
о
Вернемся к тождеству C.65). Слева в этом тождестве для выбран-
выбранного F(x,t) стоит \\и\\^ /д у Легко показать, что модуль правой час-
части с учетом равенства C.69) не превосходит \\ц\\\ г0 тт с некоторой
константой, зависящей от а и Т. Таким образом, выполняется оценка
].	C.70)
3.3. Априорные оценки для решений первой краевой зада-
задачи с нулевыми финальными условиями и Т ^ l/а. Рассмот-
Рассмотрим первую краевую задачу с нулевыми финальными значениями при
0 < Т ^ l/а. Классическое решение u(x,t) рассматриваемой зада-
задачи удовлетворяет тождеству C.51), которое выполняется для любой
функции F(x,t) G C2(Qi^t), обладающей свойствами C.3) и C.4), и
имеет вид C.61).
В качестве функции F(x, t) G C2{Qi^t) b тождестве C.51) возьмем
решение из класса C2(Qi^t) следующей задачи:
Ftt(x,t) -a2Fxx(x,t) =u(x,t), (x,t) G Q/,T,
F(x,0) = 0, Ft(x,0) = 0, 0 ^ x ^ /,	C.71)
F@,t) = 0, F(l,t) = O, O^t^T.
Решение задачи C.71) представим в виде F(x,t) = F1(x,t) — F2(x,t),
где F1(x,t) — функция вида
t x + a(t )
0 x-a(t-r)
Найдем все первые и вторые производные функции F1(x,t):
t
Ftfat) = \ J{u(x + a(t - т),т) + u(x - a(t - r),r)}dr, C.73)
о
t
F*(x,t) = — {u(x + a(t-r),r) -u(x-a(t-r),r)}dr, C.74)
2A J
0
tt(x,t) = u(x,t)
t
| / 9i {u(x + a(t -t),t)- u(x - a(t - r),r)} dr, C.75)

§ 3. Априорные оценки решений первой краевой задачи	83
t
FlJx,t) = — / 9i{iA(ar + a(t-r),r) - u(x - a(t - т), т)} dr, C.76)
2a J
о
символом д\ обозначена производная функции u(x,t) по первой пере-
переменной.
Из соотношений C.75) и C.76) получается, что выполняется ра-
равенство Ftt(x,t) - a2Fxx(x,t) = u(x,t), а из равенств C.72) и C.73)
следует выполнение равенств F1(x,0) = 0, F/(x,0) = 0 при 0 ^ х ^ I,
поэтому F1(x,t) является решением следующей задачи:
F?t(x,t)-a2Fxx(x,t) =u(x,t), (M) G Qi,t,
t a(t-r)
/[ /
[
О -a(t-r)
+ a(t-r)
0 l-a(t-r)
В таком случае функция F2(x,t) является решением задачи
F2 (г t) — F2 (т t) — 0 (т t) G Oi rr
F2(x, 0) = 0, F2(x, 0) = 0, 0 ^ х ^ /,	C.78)
Единственное решение из C2(Qi^t) задачи C.78) имеет вид C.52).
Из этого получаем следующие выражения для функции F(x, t) и ее
производной по х:
x + a(t-r)
О x-a(t-i
t
1 Г
Fx(x,t) = — / [и(х + a(t — г),г) — и(х — a(t — т),тI dr
2a J
Подставляя х = 0 в равенство C.79), учитывая вид /i1(t) из C.77) и
вид C.61) функции u(x,t), находим функцию Fx@,t):
t	t
Fx@,t) = - u(a(t-r),r)dr = - \/i(t)+u(- -t + 2r)l dr.
a J	a J L	\a	/ J
О	О

84 Гл. 3. Существование и единственность обобщенных решений
Далее, подставляя х = I в C.79), учитывая вид ^1(t) из C.77) и
вид C.61) функции u(x,t), находим функцию Fx(l,t):
t	t
Fx(l,t) = -- fu(l-a(t-r),T)dr = -- fh(--t + 2r) + v(tj\ dr.
a J	a J L \a	/	J
о	о
Подставим функции Fx@,t) и Fx(l,t) в тождество C.51) и, сделав
преобразования, получаем
т
Нu2(x,t)dxdt = - I t[n2(t) + v2(t)} dt+- 11 n(t)v(z)dtdz,
Ql,T	0	Qc
где Qc = { С ^ t ^ T, //a — ? ^ 2: ^ T}. Из равенства получается
оценка вида C.63).
3.4. Априорные оценки для решений первой краевой за-
задачи с нулевыми финальными условиями при закрепленном
правом конце и Т ^ 21/а. Рассмотрим первую краевую задачу,
описываемую колебания струны с закрепленным правым концом для
решений из класса C2(Q^T)'-
ии(х, t) - а2ихх(х, t) = 0, (ж, t) G Qz,T,
u(x,T) = 0, ut(x,T) = 0, 0 ^ x ^ /,	C.80)
u@, t) = /i(t), u(l, t) = 0, 0 ^ t ^ T.
Решение задачи C.80) удовлетворяет тождеству C.65) для любой
функции F(x,t) e C2(Qi,t) с условиями C.3), C.4) и имеет вид
и(х, t) = -pit + -) - -pit - - + -V	C.81)
V a/ \ a a J
В качестве функции F(x,t) G C2(Qi^t) b тождестве C.65) возьмем
решение задачи C.71).
Решение задачи C.71) представим в виде разности функции C.72)
и решения задачи C.78): F(x,t) = F1^^) - F2(x,t).
При каждом фиксированном t продолжим нечетным образом
функцию u(x,t) на сегмент [1,21].
Функция F1{x,t) является решением задачи C.77), а функция
F2(x,t) является решением задачи C.78). В этих задачах в силу не-
нечетного продолжения функции u(x,t) на сегмент [1,21] функция ^1(t)
равняется нулю. Единственное решение из C2(Q^t) задачи C.78)
имеет вид	2/'
F2(x,t) =»1(t- -) -/(*+ - - -У	C.82)
— V а/ — \ а а /
Таким образом, получаем выражение для функции F(x,t):
t x + a(t-r)
[
[
0 x-a(t-

§ 4- Априорные оценки решений третьей краевой задачи	85
откуда легко находится выражение для Fx(x,t):
t
Fx(x,t) = ^ f[u(x + a(t - г),г) - и(х - a(t - г),г)} dr +
V()V()	C.83)
V)()V)(
а — \ а/ а — \ а а
Подставляя х = 0 в равенство C.83) и учитывая вид функции
/i1(t) из C.77), получаем
t
Fx@,t) = - fu(a(t-r),r)dr = -fi(t).	C.84)
a J	a
о
Вернемся к тождеству C.65). Слева в этом тождестве для выбран-
выбранного F(x,t) стоит \\и\\^ /д у Легко показать, что модуль правой
части с учетом равенства C.84) не превосходит \\/i\\2L г0 тт с некото-
некоторой константой, зависящей от а и Г. Таким образом, справедлива
полученная оценка C.70).
§ 4. Априорные оценки решений третьей краевой задачи
и смешанных краевых задач A,3) и C,1)
В этом параграфе предполагается, что 0 < Т ^ 1/а.
4.1. Априорные оценки для решений третьей краевой за-
задачи с нулевыми начальными условиями. Рассмотрим третью
краевую задачу с нулевыми начальными условиями. Классическое
решение u(x,t) рассматриваемой задачи удовлетворяет тождеству, ко-
которое получается из преобразования тождества C.11),
I т
/ / u(x,t)[Ftt(x,t) -a2Fxx(x,t)]dxdt =
о о
= а2 I I [//(•)]* (t)™ vw?v - [!/(•)]* (t)^ ^'"у ) (it, C.85)
о
которое выполняется для любой функции F(x,t) Е C2(Qi:t), обла-
обладающей свойствами C.2) и C.6), и имеет вид B.11) при ip(x) = О
и т/?(ж) = 0. Это выражение перепишем в следующем виде:
(х, t) = -ае-а№-хМ [М-)е(а/3'}] * (t - ^
+ ae-aa(t-(l-x)/a) ^(.)е( —)] * ^ _ L^j ,	C.8б)
В качестве функции F(x, t) G C2(Qi^t) b тождестве C.85) возьмем
решение из класса C2(Qi,t) следующей задачи:

86 Гл. 3. Существование и единственность обобщенных решений
Ftt(x, t) - a2Fxx(x, t) = u(x, t), (x, t) G Q,jT,
F(x,T) = O, Ft(x,T)=O, O^x^l,
(o.oY)
Fx(O,t)-0F(O,t) = O, O^t^T,
Fx(l,t)+aF(l,t)=0, O^t^T.
Решение задачи C.87) представим в виде F(x,t) = F1(x,t) — F2(x,t),
где F1(x,t) — функция вида C.54). При этом функция F1(x,t) явля-
является решением задачи
F?t(x,t)-a2F*x(x,t)=u(x,t), (x,t) e Qi,t,
F1(x,T)=0, Ft1(a;,T) = 0, O^x^l,
Следовательно, функция F2(x,t) удовлетворяет задаче
Fft(x, t) - a2F2x(x, t) = 0, (x, t) G Qi,T,
F2(x,T) = 0, F2(x,T)=0, O^x^l,
F2(l,t)+aF2(l,t) = v1(t) O
Единственное классическое решение задачи C.88) имеет вид C.23)
при <fii(x) = 0 и ipi(x) = 0; это выражение перепишем в виде
F2(x,t) = -aea^t+x/^
Получаем
T-t x + a(T-t-r)
0 x-a(T-t-T)
- ae~acx(t+(l-x)/a) [^(.)e(««-)] ^ U
а
тогда
T-t a{T-t-r)
О -a(T-t-r)

4- Априорные оценки решений третьей краевой задачи	87
T-t l + a(T-t-r)
[
F(M) Ya [
0 l-a(T-t-r)
Найдем производные по t полученных функций с учетом вида
функций //(?) = ^i(O^) - /^(М и */!(?) = Fl(l,t) + aF(l,t), a
также из формул C.55) и C.57):
т	т
-а2/?
а2/3 [е~а
т
т
2/
- а I e-^{2z-t-l/a) [^(.)е(а«.)] * ^ - t - ^) ^,	C.89)
= ае[г/()е
т
2 /"	Bt) ^()] *	_ z) dz _
а2а /" e-^
T	T
[
- a2a
T
+ а /" e-«/3B,-(/a-t) [^(.)e(a/3-)] * ^Z - t - i) d«.	C.90)
t
Подставим в тождество C.85) производные C.89) и C.90):
т
dxdt = a
JJu2(x,t)<
Qi,t	о
т
о

Гл. 3. Существование и единственность обобщенных решений
dt-
0
т
- а2а Г\
0
а
С
0
с
t
т
[J
t
•)] W|
. c-t
0
c-t
- z)dz
\dt-
С
C-t	C-u-t
С
[
0	0
C-t	C-u-t
4
+ ^ /[i/(.)]*(t)| /e"aa4 /"
0	0
где С = 2Г - //a.
Отсюда получается оценка
di/
]} C.91)
где Aj, j = 0, 1, 2, — константы, зависящие от a и Т.
4.2. Априорные оценки для решений смешанной краевой
задачи A,3) с нулевыми начальными условиями. Рассмотрим
смешанную краевую задачу A,3) с нулевыми начальными условиями.
Классическое решение u(x,t) рассматриваемой задачи удовлетворяет
тождеству, получаемому из тождества C.23),
I т
/ /
0 0
u(x,t)[Ftt(x,t) -a2Fxx(x,t)]dxdt =
= а2
C.92)
которое выполняется для любой функции F(x,t) G C2(Qi^t), обла-
обладающей свойствами C.2) и C.24). Единственное в классе C2{Qi^t)
решение u(x,t) рассматриваемой задачи имеет вид B.25) при ip(x) = О
и ф(х) = 0. Это выражение перепишем в виде

§ 4- Априорные оценки решений третьей краевой задачи	89
и(х, t) = fJyt --)+ ae-a«(*-('-*)/a) [v{-)e^} * (t - —). C.93)
В качестве функции F(x, t) G C2(Qi^t) b тождестве C.92) возьмем
решение из класса C2{Qi^t) следующей задачи:
Ftt(x,t)-a2Fxx(x,t)=u(x,t), (x,t) Е Q/,T,
F(x,T) = 0, Ft(x,T) = 0, O^x^l,	C.94)
F@, t) = 0, Fx(I, t) + aF(l, t) = 0, 0 ^ t <: T.
Решение задачи C.94) представим в виде F(x,t) = F1(x,t) — F2(x,t),
где F1(x,t) — функция вида C.54).
Функция F1(x,t) является решением следующей задачи:
Ft\(x,t) -a2F*x(x,t) =u(x,t), (M) G Qi,t,
F1(x,T)=0J F}(x,T) = 0, O^x^l,
F^Ct) = /(*), Fi(Z,t) + aF^M) = г/1^),	0 ^ t ^ Г.
В свою очередь функция F2(x,t) является решением задачи
F2t{x,t) -a2F2x(x,t) =0, (x,t) G Q/,T,
F2(x,T)=0, F2(x,T) = 0, O^x^/,	C.95)
F2@,t) = fj}(t), F2(l,t) + aF2(/,t) = z/1^), 0 ^ t ^ T,
Единственное решение из C2(Qi^t) задачи C.95) имеет вид B.27)
при ip(x) = 0 и ф(х) = 0; перепишем в виде
F2(x, t) = ~i?(t + -) + аеаа^+^-ж)/а) Г^(.)е-^а-I ft + —
\ a/	L	J* V	а
Получаем
[
О x-a(T-t-T)
_ ^ГЛ + ^) _ fleaa(t+(i-x)/a) Г^(.)е-(ао,I Л + [^?\
V а/	* V	а /
тогда
T-t
^@,t) = ^ fu{a{T-t-r),T-r)dr-
о
T-t
" ^ / ^(~a(T - * - г), Г - r) dr - i (/i1)' (t),

90 Гл. 3. Существование и единственность обобщенных решений
T-t l + a(T-t-r)
[
[
О i-a(T-t-r)
Следовательно,
T-t
- \ [ Hl + a(T - t - t),T - t) + u(l - a(T - t - t),T - t),T - t)] dr.
о
Учитывая, что
T-t a{T-t-r)
/i1 (t) = F1 @, t) = ^ I [ I гг(^, Г - t) d^ dr,
0 -a(T-t-r)
найдем производную функции /i1:
т-t
i1)/(?) = -! /" [i/(a(T-t-r),r-
Окончательно с учетом формулы C.93) получаем следующие выраже-
выражения для функций Fx@,t) и — \F(l,t)]:
dt
,t) = - [u(a(z-t),z)dz =-
a J	a
t
т
+ f e-aaBz-l/a-t) [^(.)e(^-)] * (^Z - t - -) dz,	C.96)
t
т
jt[F(l,t)] = - j u(l-a(z-t),z)dz
t
T
/
T
= - /HBz ~t-l-)dz-a(T- t)e~aat [v{-)e^a^] * (t)

4- Априорные оценки решений третьей краевой задачи	91
т	т
/Г С	1
e_aa{z_t) i ^2s _ ^ _ ^ ds \
L«/	J
т
+ аа
t
т
+ а2а Iе-аа{2г~г\Т - z)[u(-)e{aa')Y(z)dz. C.97)
t
Найденные функции C.96) и C.97) подставим в тождество C.92):
т	с	c-t
Иu2(x,t)dxdt = a f(T-t)ii2(t)dt+Y /
а2
О	0	0
с c-t
a3 /"
о Lo
т
о
С	C-t	C-t-s
{[
о	о
т	т
a4aj[„(¦)]*(t) у e-*"V*-t\T - z) [vtfe^]*(z) dzj dt,
О	t
О
где С = 2T - I/a.
Откуда получается следующая оценка:
IHli2(Qi)T)
| K-)e(aQ-T
C.98)
где Ло и Ai — константы, зависящие от а и Г.
4.3. Априорные оценки для решений смешанной краевой
задачи C,1) с нулевыми начальными условиями. Рассмотрим
смешанную краевую задачу C,1) с нулевыми начальными условиями.
Классическое решение u(x,t) рассматриваемой задачи удовлетворяет
тождеству, получаемому из тождества C.28),
l т
u(x,t)[Ftt(x,t) - a2Fxx(xJt)]dxdt =
о о
т
= a2
J {[v(-)]^t)jt[F@,t)} - v(t)Fx(l,t)} dt, C.99)

92 Гл. 3. Существование и единственность обобщенных решений
которое выполняется для любой функции F(x,t) Е C2(Qi^t), обла-
обладающей свойствами C.2) и C.29). Единственное в классе C2(Qi,t)
решение u(x,t) рассматриваемой задачи имеет вид B.26) при ip(x) = О
и гр(х) = 0. Придадим этому выражению следующий вид:
и(х, t) = -ae-a^t-xl*) [^(.)e(^-)] *(*--) + М - —) . C.100)
В качестве функции F(x, t) G C2(Qi^t) b тождестве C.99) возьмем
решение из класса C2(Qi^t) следующей задачи:
Ftt(x,t)-a2Fxx(x,t) =u(x,t), (M) e Qi,T,
F(x,T) = 0, Ft(x,T) = 0, O^x^/,	C.101)
Fx @, t) - /3F(Q, t) = 0, F(Z, *) = 0, 0 ^ t ^ Г.
Решение задачи C.101) представим в виде разности двух функ-
функций F(x,t) = F1(x,t) - F2(x,t), где F1(x,t) — функция вида C.54).
Функция F1(x,t) является решением следующей задачи:
F^t(x,t)-a2F^x(x,t) =u(x,t), (M) G Q/,t,
F1(ar,T)=0, ^(ж,Г) = 0, 0^ж^/,
Fi@,t) - ^@, t) = /(*), F1^,*) = i/1^), 0 ^ t ^ Г.
В свою очередь функция F2(x,t) является решением задачи
Ft2t(x,t) - a2F2x(x,t) = 0, (x,t) G Q/,T,
F2(x,T) = 0, F2(x,T) = 0, 0^x^/,	C.102)
Единственное решение из C2(Qi^t) задачи C.102) имеет вид B.28)
при ip(x) = 0 и ф(х) = 0. Этому выражению придадим следующий
вид:
F2(x, t) = -ae^+*l^ [^(.)e-(a^l it + -
L	J * V a
Получаем
T-t x + a(T-t-r)
0 x-a(T-t-T)
тогда
т-t
x(l,t) = — / u(l + a(T -t-r),T -r)dr-
2a J

4- Априорные оценки решений третьей краевой задачи	93
T-t
-7Г I иA - а(Т - t - т),Т - т) dr + - (v1)' (t),
La J	a
о
T-t a{T-t-r)
0 -a{T-t-r)
Следовательно,
т-t
d r~'— X f u(a(T-t-T),T-T)dr +
о
T-t
u(-a(T - t - r),T - r),T - r) dr ¦
о
Учитывая, что
T-t l + a(T-t-r)
0 l-a(T-t-r)
найдем производную функции и1:
т-t
ь{1 + а(Т -t-r),T -r)dr-
о
т-t
/ u(l-a(T-t-r),T-r)dr.
Окончательно с учетом формулы C.100) получаем следующие вы-
выражения для функций Fx(l,t) и — [F@,t)]:
Сии
Fx(l,t) = --v(t)(T-t) +
a
т
— aCBz — l/a — t)\ ( \ (aC-)~\* (ex	,	1 j	/q inq\
6	I fly')С	I I ZZ — Z — — I CLZ)	yo.i.\jO)
+
t
T
*L [F@, t)] = - f ]A2z - I/a -t)dz + a(T - t)e"a/3t [/а(')е^^] * (t)

94 Гл. 3. Существование и единственность обобщенных решений
1	1
аE [ е-"Р(*-ь) [ v_Bs- I/a
T
- a2/3 f е-а
¦ — I/a — z) ds
dz-
- z)
\z) dz. C.104)
t
Найденные функции C.103) и C.104) подставим в тождество C.99):
т	с	c-t
[[u2(x,t)dxdt = a [(T-t)v2(t)dt-— [\р(-)]*Щ f iy(r)dr\dt +
Q	°	oo
i,t
c-t
+ у I v(t)
о
T
a^ [/i(-)e(a/3-}]*(r) dr] dt +
о
С
C-t
C-t-s
0
T
где С = 2Т - I/a.
Откуда получается следующая оценка:
1L2[o,T]} (ЗЛ05)
где Ло и Ai — константы, зависящие от а и Т.
4.4. Априорные оценки для решений третьей краевой за-
задачи с нулевыми финальными условиями. Классическое реше-
решение u(x,t) третьей краевой задачи с нулевыми финальными условия-
условиями удовлетворяет тождеству, получаемому из C.13),
I т
I I u(x, t)[Ftt(x, t) - a2Fxx(x, t)} dxdt =
о о
T
= а2/{-[М-)]*(*)|[П(М)] + И-)Ь
C.106)

§ 4- Априорные оценки решений третьей краевой задачи	95
которое выполняется для любой функции F(x,t) Е C2(Qi^t), обла-
обладающей свойствами C.3) и C.6). Единственное в классе C2(Qi,t)
решение u(x,t) этой задачи имеет вид B.23) при (р(х) = 0 и ф(х) = 0.
Этому выражению придадим следующий вид:
и(х, t) = -ae	[] „ ( ^)
+ aeaa(t + (Z-z)/a) [-^-(aa-)] ^ Л + [^
V	Ob
В качестве функции F(x,t) G C2(Qi^t) b тождестве C.106) возь-
возьмем решение из класса C2(Qi^t) следующей задачи:
Ftt(x,t) -a2Fxx(x,t) =u(x,t), (x,t) e QZjTj
F(x, 0) = 0, Ft(ж, 0) = 0, 0 ^ x ^ /,	C.108)
Fx@,t) - /3F@,t) = 0, Fx(/,t) + aF(/,t) =0, 0 ^ t <: T.
Решение задачи C.108) представим в виде F(x,t) = F1(x,t) — F2(x, ?),
где F1{x,t) имеет вид C.72). Функция F1{x,t)— решение задачи
Ft\(x,t) -a2F*x(x,t) =u(x,t), (M) e Qi,T,
F^/j^ + aF1^,*) = г/1(^M 0 ^ t ^ Г.
Таким образом, функция F2(x,t) является решением задачи
Ft2t(x,t) - a2F2x(x,t) = 0, (x,t) G Q/,T,
F2(x,0)=0, F2(x,0)=0, 0^x^/,
Единственное решение из C2(Qi,t) задачи C.109) имеет вид B.11)
при (р(х) = 0 и ф(х) = 0. Ему придадим следующий вид:
+ ae-aa(t-(/-,)/a) ^1 (.)e(aa-)] * Л _ [^
Получаем
[
0 x — a(t — r)
^W [H(.)e(aQ-)] * (t -

96 Гл. 3. Существование и единственность обобщенных решений
тогда
t a(t-r)
[
0 -a(t-r)
t l + a(t-r)
[
[
0 l-a(t-r)
Для производных по t полученных функций получаем следующие
выражения:
t	t	z
lL[F(O,t)] = fu(a(t-r),r)dr-af3 f еаC{г~г) I fu(a(z-r),r) dr\ dz =
0	0	0
e-^] (t) -
0
t
о
t	z
- a213 Jea^z-^ [ Ге°<*(*т+1/а-г) JF(.)e-(aa-)] ^T - Z + i) dr\ dz
0	0
t
C.110)
o
t
-аа j'ео.а{г-±)\ Iu{l-a{z-T),r) dr\ dz = fleflatt[i/(-)e-(flQ>'] (t) -
о	о
t
n f „a/3Br + l/a-
aje
^) dr +
0
t	z
0	0
-a2a/eflaBz-^[i/(-)e-(fla>)] (z) d^. C.111)
о
Подставим в тождество C.106) производные C.110) и C.111):

4- Априорные оценки решений третьей краевой задачи	97
т
u2(x,t)dxdt = a3 f teaf
af3^ (t) dt -
С
T
a3 /
С	Z/a-t
T	t	T
l/a-z
С	Z/a-t
T	t	T
С	С	l/a-z
где С = 1/а — Т. Отсюда получается оценка
„ааТ
Ь2[0,Т]
,t]j '
где Aj, j = 0, 1, 2, — константы, зависящие от а и Т.
4.5. Априорные оценки для решений смешанной краевой
задачи A,3) с нулевыми финальными условиями. Классичес-
Классическое решение и(х, t) рассматриваемой задачи удовлетворяет тождеству,
получаемому из тождества C.26),
N u(x,t) [Ftt(x,t) -a2Fxx(x,t)} dxdt =
Qi,t

98 Гл. 3. Существование и единственность обобщенных решений
Т
= a2 J'{»(t)Fx(O,t) + [!/(•)]*(*) jt [F(l, -)]}dt,	C.113)
о
которое выполняется для любой функции F(x,t) Е C2(Qi^t), обла-
обладающей свойствами C.3) и C.24). Единственное в классе C2{Qi^t)
решение u(x,t) этой задачи имеет вид B.27). Этому выражению при-
придадим следующий вид:
^)/a) г _(.)e_ (ao,-)l (t+—V C.114)
* V	a J
В качестве функции F(x,t) G C2{Qi^t) b тождестве C.113) возь-
возьмем решение из класса C2(Qi^t) следующей задачи:
Ftt(x,t) -a2Fxx(x,t) =u(x,t), (x,t) G QiiT,
F(x,0) = 0, Ft(x,0) = 0, 0 ^ x ^ /,	C.115)
F@, t) = 0, Fx (/,*) + aF(/, t) = 0, 0 ^ t ^ Г.
Решение задачи C.115) представим в виде F(x,t) = F1(x, t) — F2(x, ?),
где F1(x,t) — функция вида C.72). Таким образом, функция F1(x,t)
является решением следующей задачи:
*Й(М) ~a2Flx[x,t) =u(x,t), (x,t) e QiiT,
F1(x,0)=0, ^(ж,0)=0, 0^ж^/,
F^O,*) =//(*)> F^l.^ + aF1^^) = г/1(^), 0 ^ t ^ Г.
В свою очередь функция F2(x,t) является решением задачи:
F2t(x,t) - a2F2x(x,t) = 0, (x,t) G Q/,T,
F2(x, 0) = 0, Ft2(x, 0) = 0, 0 ^ x ^ I,	C.116)
F2@,t) = /(*), F2(M) + «F2(/,t) = i/1^), 0 ^ t <: T.
Единственное решение из C2(Qi^t) задачи C.116) имеет вид
F2(x, t) = / (t - -) + oe-««	^
Получаем
t —r)
[
0 x-a[t-r)
тогда, используя вид решения C.114), найдем Fx@,t) и —[F(l,t)]
соответственно:

4- Априорные оценки решений третьей краевой задачи	99
, C.117)
jt [F(l, t)} =
^ - t)
,(t) -
-aa f ea
о	о
t
-a2a f еаа
C.118)
Подставим в тождество C.113) выражения C.117) и C.118):
т	т	т
// u2(x,t)dxdt = a t/n2(t)dt + a
Т	Т
а2 ffi(t)l [
С	l/a-t
Т
а3
о
T
C	С	l/a-z
T	t
где С = 1/а- Т.
Откуда получается оценка
Ь2[0,Т]"
„ааТ
C.119)
где Aj, j = 0, 1, — константы, зависящие от a и Г.

100 Гл. 3. Существование и единственность обобщенных решений
4.6. Априорные оценки для решений смешанной краевой
задачи C,1) с нулевыми финальными условиями. Класси-
Классическое решение u(x,t) указанной задачи удовлетворяет тождеству,
получаемому из тождества C.31),
u{x,t) [Fu(x,t) -a2Fxx(x,t)] dxdt =
Qi,t
T
= -a2 \\p(-)]^(t) — [F(O,t)] + i/(t)Fx(l,t)\dt, C.120)
о
которое выполняется для любой функции F(x,t) G C2(Qi^t), обла-
обладающей свойствами C.3) и C.29). Единственное в классе C2(Qi,t)
решение u(x,t) задачи представляется формулой B.28). Его предста-
представим в виде
(Л I JU • L J — Ct/O	LJLI * J о	I L |	I | IS I L |
* V a J \	a
В качестве функции F(x,t) G C2(Qi,t) в тождестве C.120) возь-
возьмем решение из класса C2(Qi^t) следующей задачи:
Ftt(x,t)-a2Fxx(x,t) =u(x,t), (M) G Qi,t,
F(x,0) = 0, Ft(x,0) = 0, 0 ^ х <: I,	C.122)
Fx@,t) - /3F@,t) = 0, F(l,t) = 0, 0 ^ t <: Т.
Решение задачи C.122) представим в виде F(x,t) = F1(x, t) — F2(x, t),
где F1{x,t) — функция вида C.72). Она является решением задачи
Flt{x,t) - a2Fxx(x,t) = u{x,t), (x,t) G Q/,t,
F1(x,0)=0, F/(x,0)=0, O^x^l,
Таким образом, функция F2(x,t) является решением задачи
F?t(x,t) -a2F2x(x,t) =0, (x,t) G QiiT,
F2{x, 0) = 0, F2[x, 0) = 0, 0 ^ x ^ /,	C.123)
Fj@,t)-/3F2@,t)=/i1^), F2(l,t) = v1(t), O^t^T.
Единственное решение из C2(Qi^t) задачи C.123) имеет вид
F2( .ч _ _ -aP(t-x/a)r l/ч е(а/3-I*Л_ ^^i г/1^- —
—	V a' V	a
Получаем
t x + a(t-r)
0 x-a(t-r)

4- Априорные оценки решений третьей краевой задачи	101
тогда
+ ae	fi [-)e	11 I y_ 11	I;
L—	J V a/ V a J
t	t	z
— [F@, t)] = / u(a(t-r),r) dr-a{3 / еа/3B;"^ j	/ гА(аB?-г), r) dr 1 dz,
0
t
Fx(l,t) = -- [u(l-a(t-r),r)dr.
a J
о
Используя вид решения C.121), найдем функции — [F@,t)] и Fx(l,t):
CLT
t
a2f3 f ea^2z-th[^i(•)e-^^]^z)dz-
t	z
- a/3 /e^(*-*) j fv^2T -z + -} dr\ dz, C.124)
t
Fx(l, t)= [ e*№T + l/a-t) [ (.)е-(а/3.)] ^2r - t +-) dr - - tl/(t).
J	* V	a/	a
0
C.125)
Подставим в тождество C.120) выражения C.124) и C.125):
т
/У IX2(ж, t) dx dt = a3 f ea/3tt[/i(-)]*(t) [M-)e"(a/3<)] „(*) dt +
0
T
a / tv2(t)dt-a
Qi,t	о
т	т
.2
0	С	Z/a-t
T	T
C
T

102 Гл. 3. Существование и единственность обобщенных решений
С	С	l/a-z
где С = 1/а- Т.
Отсюда получается оценка
C-126)
где Aj, j = 0, 1, — константы, зависящие от а и Т.
§ 5. Априорные оценки решений второй краевой задачи
и других смешанных краевых задач
В этом параграфе по-прежнему предполагается, что 0 < Т ^ 1/а.
5.1. Априорные оценки для решений второй краевой зада-
задачи с нулевыми начальными (финальными) условиями. Клас-
Классическое решение второй краевой задачи с нулевыми начальными
условиями удовлетворяет тождеству C.11) для любой функции F(x,t)
из C2(Qi,t), обладающей свойствами C.2) и C.5). Решение указанной
задачи имеет вид B.9). Это выражение перепишем в виде
и(х, t) = -а[?(•)]* (*--)+ a[v(-)]* (t - —).	C.127)
Для классического решения задачи справедлива оценка C.91), в кото-
которой равны нулю коэффициенты а и C:
Ло{\\ И-)]*||Ь2[0;Т] + || И-)Г||Ь2[0,т]}' C-128)
\H\l2(.Qi,t)
где До — константа, зависящая от а и Т.
Классическое решение второй краевой задачи с нулевыми финаль-
финальными условиями удовлетворяет тождеству C.13) для любой функции
F(x,t) e C2(Qi,t), обладающей свойствами C.3) и C.5). Решение
указанной задачи имеет вид B.23), т.е.
()	C.129)
Для классического решения задачи справедлива оценка C.112), в ко-
которой полагаются равными нулю коэффициенты а и C:
1М1ь2«Э,,т) ^ -ЦП ИО] JL2[0,T] + II К)] JL2[0lT]}> (ЗЛ30)
где До — константа, зависящая от а и Т.
5.2. Априорные оценки для решений смешанных краевых
задач C,2) и B,3) с нулевыми начальными (финальными)
условиями. Классическое решение смешанной краевой задачи B,3)
с нулевыми начальными условиями удовлетворяет тождеству C.11)

5. Априорные оценки решений других краевых задач
103
для любой функции F(x,t) Е C2(Qi^t), обладающей свойствами C.2)
и C.20). Решение указанной задачи имеет вид C.86) при /3 = 0, т.е.
и(х, t) = -аШ-)]* (t--
— V а
Г U - 1-^Л.
V	а /
C.131)
Для этого решения задачи выполняется оценка C.91) при /3 = 0:
Ь2[0,Т]
ь2[о
\
,т]/
{|| lL2[0,T]|| 1L2[0|T]}' C-132)
где Ло и Ai — константы, зависящие от а и Т.
Классическое решение смешанной краевой задачи B,3) с нулевы-
нулевыми финальными условиями удовлетворяет тождеству C.13) для любой
функции F(x,t) G C2(Qi^t), обладающей свойствами C.3) и C.20).
Решение указанной задачи имеет вид C.107) при /3 = 0, т.е.
u(x,t) = -a[rt-)
C.133)
Для классического решения задачи верна оценка C.112) при /3 = 0:
{	2[,]	||	||Ь2[0^} C.134)
где Ло и Ai — константы, зависящие от а и Т.
Результаты для смешанной краевой задачи C,2) также получают-
получаются из результатов для третьей краевой задачи при а = 0.
Классическое решение смешанной задачи C,2) с нулевыми началь-
начальными условиями имеет вид
и(х, t) = -ae-a^-*/a) [МОе^Э] *(*--) +%(•)]* (*~ ^l?)•
C.135)
Оно удовлетворяет тождеству C.11) для любой функции F(x,t) из
C2(Q/,tM обладающей свойствами C.2) и C.17). Для этого решения
справедлива оценка
L2[0,T] + II [К-)]
c]}, C.136)
где Aj, j = 0, 1, — константы, зависящие от а и Г.
Классическое решение смешанной задачи C,2) с нулевыми финаль-
финальными условиями имеет вид

104 Гл. 3. Существование и единственность обобщенных решений
и(х, t) = -aea^t+x/^ [7Z(-)e-^-)] ,(*+-) + a[F(-)]. (t +
\ CL J	\	CL
C.137)
Оно удовлетворяет тождеству C.13) для любой функции F(x,t) из
M обладающей свойствами C.3) и C.17). Для этого решения
справедлива оценка
Nl?2(QJ>T) < Л){A + PAi)\\ \мШ\ыо,т\
где Д^-, j = 0, 1, — константы, зависящие от а и Т.
5.3. Априорные оценки для решений смешанных краевых
задач A,2) и B,1) с нулевыми начальными (финальными)
условиями. Будем использовать результаты для смешанных крае-
краевых задач A,3) и C,1), полагая в них а = 0 и /3 = 0 соответственно.
Классическое решение смешанной краевой задачи A,2) с нулевы-
нулевыми начальными условиями для любой функции F(x,t) G C2(Qi^t), об-
обладающей свойствами C.2) и C.33), удовлетворяет тождеству C.23).
Решение указанной задачи имеет вид C.93) при а = 0, т. е.
и(х, t) = Jt--)+a [*/(•)]* (t - —).	C.139)
—V a/	V	a /
Для классического решения задачи справедлива оценка C.98)
при а = 0:
1ИМ)Нь2(дг,т) ^ До{|Н|ь2[о,т] + II ЮП1ь2[о,т]}, C.140)
где До — константа, зависящая от а и Г.
Классическое решение смешанной краевой задачи A,2) с нулевы-
нулевыми финальными условиями удовлетворяет тождеству C.26) для любой
функции F(x,t) G C2(Qi^t), обладающей свойствами C.3) и C.33).
Решение указанной задачи имеет вид C.114) при а = 0, т.е.
и(х, t) =Jl(t+-)+a []/(•)]* (t + ^—^) .	C.141)
Для классического решения задачи справедлива оценка C.119) с а = 0:
1ИМ)Нь2(дг,т) ^ Ло{|Н|ь2[о,т] + II К)]*Нь2[о,т]}, C.142)
где До — константа, зависящая от а и Г.
Результаты для смешанной краевой задачи B,1) также получают-
получаются из результатов для смешанной краевой задачи C,1) при /3 = 0.
Классическое решение смешанной задачи B,1) с нулевыми началь-
начальными условиями имеет вид C.100) при C = 0, т.е.
и(х, t) = -а [М-)]* (*--)+ uit ~ —) •	C.143)
Оно удовлетворяет тождеству C.28) для любой функции F(x,t) при-
принадлежащей пространству C2(Qi,t) и обладающей свойствами C.2)

§ 6. Обобщенные решения первой краевой задачи	105
и C.36). При C = 0 для этого решения справедлива оценка C.105), т.е.
IKM)IIl2(q,>t) ^ Л){||И1ь2[о,т] + II [М-)П1ь2[о,т]}, C-144)
где Ло — константа, зависящая от а и Т.
Классическое решение смешанной задачи B,1) с нулевыми финаль-
финальными условиями имеет вид C.121) при /3 = 0:
и(х, t) = -а [р(.)]* (*+-)+ v(t + ^—^).	C.145)
Оно удовлетворяет тождеству C.31) для любой функции F(x,t) из
C2(Q/,tM обладающей свойствами C.3) и C.36). Для этого решения
справедлива оценка C.126) при /3 = 0:
H\l2(q1iT) <: Ло{\\ [М')]*11ь2[о,т] + ||Hlb2[o,t]},	C.146)
где Ло — константа, зависящая от а и Т.
§ 6. Обобщенные решения первой краевой задачи
с нулевыми начальными (финальными) условиями
В этом параграфе применим полученные априорные оценки C.63)
и C.70) к решению в классе I/2(Q/,t) первой краевой задачи с нулевы-
нулевыми начальными (финальными) условиями. Также будет рассмотрен
случай с закрепленным правым концом (функция v(t) равна нулю).
6.1. Решение первой краевой задачи с нулевыми началь-
начальными (финальными) условиями. В этом разделе предполагается,
что 0 < Г ^ 1/а.
Теорема 3.5. Единственное решение класса Li2(Qi,t) первой
краевой задачи с нулевыми начальными условиями для произвольных
функций /i(t) и u(t) класса 1/2[0,Т] имеет вид C.52).
Доказательство. Рассмотрим последовательности {/in(t)} и
{v<n(t)} из класса С2[0,Т], сходящиеся к функциям /i(t) и u(t) со-
соответственно в смысле пространства L2[0,T]. Классическое реше-
решение un(x,t) задачи
ии - а2ихх = 0, (x,t) G QtiT,
и(х,0) = 0, щ(х,0) = 0, 0 ^ х ^ /,	C.147)
w(o,t) = fjin(t), u(i,t) = vn(t), о <: t <: г,
имеет вид C.52):
Функция un(x,t) для всех функций F(x,t) G C2(Qi^t), обладающих
свойствами C.2) и C.4), удовлетворяет тождеству C.51).
В силу оценки C.63) получаем, что последовательность реше-
решений un(x,t) для п = 1,2,... первой краевой задачи с нулевыми на-

106 Гл. 3. Существование и единственность обобщенных решений
чальными условиями фундаментальна, а в силу полноты пространст-
пространства I/2(Q/,t) сходится к некоторой функции u(x,t) Е I/2(Q/,tM удовле-
удовлетворяющей тождеству C.51) для любой функции F(x,?) Е C2(Qi^t),
обладающей свойствами C.2) и C.4). Таким образом, предельная
функция u{x,t) является решением первой краевой задачи с нулевы-
нулевыми начальными условиями и имеет вид C.52), а поэтому принадлежит
пространству L2(Qi,t)-
Теорема 3.6. Единственное решение класса Z/2(Qz,t) первой
краевой задачи с нулевыми финальными условиями, у которой функ-
функции /i(t) и v(t) произвольны и принадлежат 1/2[0,Т], имеет вид C.61).
Доказательство. Рассмотрим последовательности {/in(t)} и
{^n(^)} из класса С2[0, Т], сходящиеся к функциям /i(t) и v(t) в смысле
пространства L2[0,T] соответственно. Решение un(x,t) e C2(Qi,t)
задачи	9
ии -а ихх = 0, (x,t) e QiiT,
и{х,Т) = 0, щ(х,Г) = 0, 0 ^ х ^ /,	C.148)
u(i,t) = un(t), о ^ t <: г,
имеет вид (см. формулу C.61))
/	X \	/	X I \
un(x,t) =~pn(t+-) +Vn(t	h -).
V a)	V a a)
Функция un(x,t), удовлетворяет тождеству C.51) для всех функ-
функций F(x,t) G C2(Qi^t) таких, что справедливы условия C.3), C.4).
В силу оценки C.63) получаем, что последовательность un(x,t) ре-
решений задачи C.148) фундаментальна, а в силу полноты пространст-
пространства Li2(Qi,t) сходится к некоторой функции u(x,t) из I/2(Q/,tM удовле-
удовлетворяющей тождеству C.51) для любой функции F(x,t) G C2(Qi^t) co
свойствами C.3) и C.4). Таким образом, предельная функ-
функция u(x,t) является решением первой краевой задачи с нулевыми
финальными условиями, имеет вид C.161), а поэтому принадлежит
классу I/2(Q/,t).
6.2. Решение первой краевой задачи с нулевыми началь-
начальными (финальными) условиями с закрепленным правым кон-
концом. В этом разделе предполагается, что 0 < Г ^ 21/а.
Теорема 3.7. Единственное решение класса I/2(Q/,t) первой
краевой задачи с нулевыми начальными условиями с закрепленным пра-
правым концом и произвольной функцией /i(t) G Z/2[0,T] имеет вид (З.бб).
Доказательство. Рассмотрим последовательность функ-
функций {fin(t)} из класса С2[0,Т], сходящуюся к функции fi(t) в смысле
пространства L2[0,T]. Функция un(x,t) G C2(Q^t) вида
/ \	/ х\	( х 21\
Un{x,t)=!U\t--)-!U[t+---)
является решением следующей задачи:

§ 7. Обобщенные решения третьей краевой задачи	107
ии — а2ихх = 0, (ж,?) G Q/,t,
и(х, 0) = 0, щ(х, 0) = 0, 0 ^ х ^ Z,	C.149)
i/(O,t) = »n(t), u(l,t) = О, 0 ^ t <С Т.
Функция un(x,t), удовлетворяет тождеству C.65) для всех функций
F(x,t) Е C2(Qi^t) таких, что справедливы условия C.2) и C.4).
В силу оценки C.70) получаем, что последовательность un(x,t)
для п = 1,2,... решений задачи C.149) фундаментальна, а в си-
силу полноты пространства Z/2(Qz,t) сходится к некоторой функции
u(x,t) из I/2(Q/,tM удовлетворяющей тождеству C.65) для любой
функции F(x,t) e C2(Qi,t) со свойствами условия C.2) и C.4). Та-
Таким образом, предельная функция u(x,t) является решением задачи
C.149) и имеет вид (З.бб), а поэтому функция принадлежит Z/2(Qz,t)-
Теорема 3.8. Единственное решение класса I/2(Q/,t) первой
краевой задачи с нулевыми финальными условиями с закрепленным
правым концом и произвольной функцией /i(t) класса L2[0,T] имеет
вид C.81).
Доказательство. Рассмотрим последовательность функ-
функций {/in(t)} из класса С2[0,Т], сходящуюся к функции /i(t) в смысле
пространства Ь2[0,Т]. Решение un(x,t) G C2(Qi^t) задачи
ии — а2ихх = 0, (ж,?) G Q/,t,
и(х,Т) = 0, щ(х,Г) = 0, 0 ^ х ^ I,	C.150)
Ц0,?) = Unit), u(l, t) = 0, 0 ^ ? ^ Г,
имеет вид
/ ч — / х	2Z
un(x,t) =iinlt+-
Функция un(x,t) удовлетворяет тождеству C.65) для всех функций
F(x,t) G C2(Qi^t) таких, что справедливы условия C.3) и C.4).
В силу оценки C.70) получаем, что последовательность un(x,t)
для п — 1,2,... решений задачи C.150) фундаментальна, а в силу пол-
полноты пространства Z/2(Qz,t) сходится к некоторой функции u(x,t),
принадлежащей пространству Z/2(Qz,tM удовлетворяющей тождест-
тождеству C.65) для любой функции F(x,t) e C2(Qi,t) со свойствами C.3)
и C.4). Таким образом, предельная функция u(x,t) является решени-
решением задачи C.150) и имеет вид C.81), а поэтому u(x,t) G
§ 7. Обобщенные решения третьей краевой задачи
и смешанных краевых задач C,1) и A,3) с нулевыми
начальными (финальными) условиями
В этом параграфе применим полученные априорные оценки C.91),
C.98), C.105), C.112), C.119) и C.126) к решению в классе L2(QiiT)
третьей краевой задачи с нулевыми начальными (финальными) уело-

108 Гл. 3. Существование и единственность обобщенных решений
виями и смешанных краевых задач C,1) и A,3) с нулевыми началь-
начальными (финальными) условиями. Всюду в этом параграфе предпола-
предполагается, что 0 < Т ^ 1/а.
7.1. Обобщенные решения третьей краевой задачи с ну-
нулевыми начальными (финальными) условиями.
Теорема 3.9. Единственное решение класса I/2(Q/,t) третьей
краевой задачи с нулевыми начальными условиями для произвольных
функций /i(t) и v(t) класса (%'Т)*[0,Т] имеет вид C.86). Черта под
функциями \i и v в этой формуле означает, что соответствующие
первообразные как функции класса L<z равны нулю при отрицательных
аргументах.
Доказательство. Рассмотрим две последовательности функ-
функций [/in(-)e(a/3'}]*W и [^n(-)e(aa'}]*W из класса С2[0,Т], сходя-
сходящиеся к функциям [/i(-)e(a^')]*(t) и [z/(-)e(aa')]*(t) соответственно в
смысле пространства 1/2[0,Т], а также последовательности [/^п (•)]*(?)
и [^п(*)]*(^) из класса С2[0,Т], сходящиеся к функциям
и [^(-)]*(^) соответственно в смысле пространства 1/2[0,Т].
Из сходимости последовательности [/^n(-)]*(t) K функции [/()]()
в смысле пространства 1/2[0,Т] следует, что последовательность \in
сходится к \i в смысле пространства (/Н^)*[0,Т], а именно, для любой
функции h Е Ит[^,Т] верно
lim (/in,/i) = — lim ([/in(•)]*, hj = -
71—>-OO	71—>"OO
Аналогичные рассуждения справедливы и для последовательности vn.
Решение un(x,t) G C2(Q^t) задачи
ии - а2ихх = 0, (ж,?) G Q/,t,
1/(ж, 0) = 0, щ(х, 0) = 0 0 ^ х ^ I,
ux@,t)-/3u@,t)=nn(t), O^t^T,
имеет вид C.86). Функция un(x,t), удовлетворяет тождеству C.85)
для всех функций F(x,t) e C2(Qi,t) со свойствами C.2) и C.6).
В силу оценки C.91) получаем, что последовательность un(x,t),
п = 1,2,..., решений задачи C.151) фундаментальна, а в силу пол-
полноты пространства Li2(Qi,t) сходится в смысле этого пространства
к некоторой функции u(x,t) G ^(Q^t), УД°влетвоРяюЩеи тождест-
тождеству C.85) для любой функции F(x,t) G C2(Qi^t) со свойствами C.2)
и C.6). Таким образом, предельная функция u(x,t) является решени-
решением третьей краевой задачи с нулевыми начальными условиями, имеет
вид C.86), а поэтому принадлежит классу Z/2(Qz,t)-
Теорема 3.10. Единственное решение класса L2(Qi,t) третьей
краевой задачи с нулевыми финальными условиями для произвольных
функций n(t) и u(t) класса CHq)*[0,T] имеет вид C.107). Черта над
функциями \i и v в этой формуле означает, что соответствующие

§ 7. Обобщенные решения третьей краевой задачи	109
первообразные как функции класса Ь2 равны нулю при аргументах,
больших 1/а.
Доказательство. Рассмотрим две последовательности функ-
функций {[/in(-)e-(a/3-}]*W} и {M-)e-(aa°]*(*)} из класса С2[0,Т], схо-
сходящиеся к функциям [/i(-)e~(a^')]*(t) и [z/(-)e~(aa')]*(t) соответствен-
соответственно в смысле пространства Ь2[0,Т], и последовательности {[/^п (•)]*(?)}
и {[^п(•)]*(*)} из класса С2[0,Т], сходящиеся к функциям [/i(-)]*W
и [^(-)]*(^) соответственно в смысле пространства 1/2[0,Т].
Решение un{x,t) Е C2{Qi^t) задачи
utt - а2ихх = 0, (ж,?) G QtiT,
и(х,Т)=0, щ(х,Т) = 0 O^x^l,
имеет вид C.107). Функция un(x,t) удовлетворяет тождеству C.106)
для всех функций F(x,t) G C2(Qi,t), удовлетворяющих услови-
условиям C.3) и C.6).
В силу оценки C.112) получаем, что последовательность un(x,t),
п = 1,2,..., решений задачи C.152) фундаментальна, а в силу пол-
полноты пространства I/2(Q/,t) сходится в смысле этого пространства
к некоторой функции u(x,t) e I/2(Q/,t), удовлетворяющей тождест-
тождеству C.106) для любой функции F(x,t) G C2(Qi^t) со свойствами C.3)
и C.6). Таким образом, предельная функция u(x,t) является решени-
решением третьей краевой задачи с нулевыми финальными условиями, имеет
вид C.107), а поэтому принадлежит классу I/2(Qz,t)-
7.2. Обобщенные решения смешанных краевых задач A,3)
и C,1) с нулевыми начальными (финальными) условиями.
Теорема 3.11. Единственное решение класса L2(Qi,t) смешан-
смешанной краевой задачи A,3) с нулевыми начальными условиями для произ-
произвольных функций /i(t) класса 1/2[0,Т] и v(t) класса (HfT)*[0,T] имеет
вид C.93). Черта под функцией v в формуле C.93) означает, что со-
соответствующая первообразная как функция класса Ь2 равна нулю при
отрицательных аргументах.
Доказательство. Рассмотрим две последовательности {/in(t)}
и {D/n(')e^aa'^]*(?)} класса С2[0,Т], сходящиеся к функциям /i(t) и
[z/(-)e(aa')]*(?) соответственно в смысле пространства L2[0,T], а так-
также последовательность {[^п(*)]*№} из класса С2[0,Т], сходящуюся к
функции |V(-)]*(?) в смысле пространства 1/2[0,Т].
Решение un(x,t) G C2(Qi,t) задачи
ии - а2ихх = 0, (x,t) G QiiT,
и(х, 0) = 0, щ(х, 0) = 0 0 ^ х ^ /,	C.153)

110 Гл. 3. Существование и единственность обобщенных решений
имеет вид C.93). Функция un(x,t) удовлетворяет тождеству C.92)
для всех функций F(x,t) Е C2{Qi^t) со свойствами C.2) и C.24).
В силу оценки C.98) получаем, что последовательность решений
un(x,t), n = 1,2,..., задачи C.153) фундаментальна, а в силу пол-
полноты пространства L2(Q/,t) сходится к некоторой функции u(x,t)
пространства L2(Q/,t), удовлетворяющей тождеству C.92) для лю-
любой функции F(x,t) е C2(Qi,T) со свойствами C.2) и C.24). Та-
Таким образом, предельная функция u(x,t) является решением смешан-
смешанной краевой задачи A,3) с нулевыми начальными условиями, имеет
вид C.93), а поэтому принадлежит классу Z/2(Q/,t)-
Подобным же образом доказывается аналогичная теорема для ре-
решений смешанных краевых задач C,1) с нулевыми начальными усло-
условиями.	_
Теорема 3.12. Единственное решение класса L2(Q/,t) смешан-
смешанной краевой задачи C,1) с нулевыми начальными условиями для произ-
произвольных функций n(t) класса (/Н^)*[0,Г] и u(t) класса L2[0,T] имеет
вид C.100). Черта под функцией \i в формуле C.100) означает, что
соответствующая первообразная как функция класса L2 равна нулю
при отрицательных аргументах.
Теорема 3.13. Единственное решение класса Z/2(Q/,t) смешан-
смешанной краевой задачи A,3) с нулевыми финальными условиями для произ-
произвольных функций /i(t) класса L2[0,T] и v(t) класса (Н'о)*[0,Т] имеет
вид C.114). Черта над функцией v в формуле C.114) означает, что
соответствующая первообразная как функция класса L2 равна нулю
при аргументах, больших 1/а.
Доказательство. Рассмотрим последовательности {/in(t)},
{К(-)е"(оа1)]*й} и {[!/«(•)]*(*)} класса С2[0,Т], сходящиеся к функ-
функциям /i(t), [z/(-)e~(aa')]*(?) и |V(-)]*(?) соответственно в смысле
пространства L2[0,T].
Решение un(x,t) G C2(Qi^t) задачи
ии - а2ихх = 0, (x,t) G QiiT,
и(х,Т) = 0, щ(х,Г) = 0, 0 ^ х ^ /,	C.154)
i/@,t) = fin(t), ux{l,t) + au(l,t) = vn(t), O^t^T,
имеет вид C.114). Функция un(x,t), удовлетворяет тождеству C.113)
для всех функций F(x, t) G C2(Qi т), удовлетворяющих условиям C.3)
и C.24).
В силу оценки C.119) получаем, что последовательность un(x,t),
п = 1, 2,..., решений задачи C.154) фундаментальна, а в силу полноты
пространства I/2(Q/5t) сходится к функции u(x,t) e I/2(Q/5t), удов-
удовлетворяющей тождеству C.113) для любой функции F(x, t) G C2(Qi^t)
со свойствами C.3) и C.24). Таким образом, предельная функция
u(x,t) является решением смешанной краевой задачи A,3) с нулевы-
нулевыми финальными условиями, имеет вид C.114), а поэтому принадлежит
классу L2(Qi1t).

§ 8. Обобщенные решения второй краевой задачи	Ш
Подобным же образом доказывается доказывается аналогичная
теорема для решений смешанных краевых задач C,1) с нулевыми фи-
финальными условиями.
Теорема 3.14. Единственное решение класса Z/2(Q/,t) смешан-
смешанной краевой задачи C,1) с нулевыми финальными условиями для произ-
произвольных функций /i(t) класса (Н'о)*[0,Т] и v(t) класса L2[0,T] имеет
вид C.121). Черта над функцией \i в формуле C.121) означает, что
соответствующая первообразная как функция класса L2 равна нулю
при аргументах, больших 1/а.
§ 8. Обобщенные решения второй краевой задачи
и других смешанных краевых задач с нулевыми
начальными (финальными) условиями
Применим полученные в § б априорные оценки к решению в клас-
классе I/2(Q/,t) второй краевой задачи с нулевыми начальными (финаль-
(финальными) условиями и смешанных краевых задач с нулевыми начальны-
начальными (финальными) условиями. Будем предполагать, что 0 < Г ^ 1/а.
Теорема 3.15. Единственное решение класса Z/2(Q/,t) второй
краевой задачи с нулевыми начальными условиями для произвольных
функций /i(t) и u(t) класса G^0* [О, Т] имеет вид C.127). Черта под
функциями \i и v в формуле C.127) означает, что соответствующие
первообразные как функции класса L2 равны нулю при отрицательных
аргументах.
Теорема 3.16. Единственное решение класса Z/2(Q/,t) второй
краевой задачи с нулевыми финальными условиями для произвольных
функций /i(t) и v(t) класса (Н'о)*[0,Т] имеет вид C.129). Черта над
функциями \i и v в формуле C.129) означает, что соответствующие
первообразные как функции класса L2 равны нулю при аргументах,
больших 1/а.
Теорема 3.17. Единственное решение класса L2(Q/,t) смешан-
смешанной краевой задачи B,3) с нулевыми начальными условиями для про-
произвольных функций n(t) и u(t) класса (/Н^)*[0,Г] имеет вид C.131).
Черта под функциями \i и v в формуле C.131) означает, что соот-
соответствующие первообразные как функции класса L2 равны нулю при
отрицательных аргументах.
Теорема 3.18. Единственное решение класса Z/2(Q/,t) смешан-
смешанной краевой задачи B,3) с нулевыми финальными условиями для про-
произвольных функций n(t) и i/(t) класса (Н'о)*[0,Т] имеет вид C.133).
Черта над функциями /л и г/ в формуле C.133) означает, что соот-
соответствующие первообразные как функции класса L2 равны нулю при
аргументах, больших 1/а.
Теорема 3.19. Единственное решение класса Z/2(Q/,t) смешан-
смешанной краевой задачи C,2) с нулевыми начальными условиями для про-
произвольных функций n(t) и u(t) класса (/Н^)*[0,Г] имеет вид C.135).

112 Гл. 3. Существование и единственность обобщенных решений
Черта под функциями /л и г/ в формуле C.135) означает, что соот-
соответствующие первообразные как функции класса L2 равны нулю при
отрицательных аргументах.
Теорема 3.20. Единственное решение класса L<z{Qi,t) смешан-
смешанной краевой задачи C,2) с нулевыми финальными условиями для про-
произвольных функций /i(t) и u(t) класса (Но)*[0,Т] имеет вид C.137).
Черта над функциями \i и v в формуле C.137) означает, что соот-
соответствующие первообразные как функции класса L2 равны нулю при
аргументах, больших 1/а.
Доказательства этих теорем аналогичны доказательствам
теорем 3.11 и 3.13, при этом используются априорные оценки C.128),
C.130), C.132), C.134), C.136) и C.138) соответственно.
Теорема 3.21. Единственное решение класса L2(Qi^t) смешан-
смешанной краевой задачи A,2) с нулевыми начальными условиями для произ-
произвольных функций /i(t) класса L2[0,T] и v(t) класса (НЬ)*[0,Т] имеет
вид C.139). Черта под функцией v в формуле C.139) означает, что
соответствующая первообразная как функция класса Ь2 равна нулю
при отрицательных аргументах.
Теорема 3.22. Единственное решение класса L2(Qi^t) смешан-
смешанной краевой задачи B,1) с нулевыми начальными условиями для произ-
произвольных функций n(t) класса (Н'Т)*[0,Т] и v(t) класса L2[0,T] имеет
вид C.143). Черта под функцией \i в формуле C.143) означает, что
соответствующая первообразная как функция класса L2 равна нулю
при отрицательных аргументах.
Теорема 3.23. Единственное решение класса L2{Qi,t) смешан-
смешанной краевой задачи A,2) с нулевыми финальными условиями для произ-
произвольных функций /i(t) класса L2[0,T] и u(t) класса (Но)*[0,Т] имеет
вид C.141). Черта над функцией v в формуле C.141) означает, что
соответствующая первообразная как функция класса L2 равна нулю
при аргументах, больших 1/а.
Теорема 3.24. Единственное решение класса L2(Qi^t) смешан-
смешанной краевой задачи B,1) с нулевыми финальными условиями для произ-
произвольных функций /i(t) класса (Н'о)*[0,Т] и v(t) класса L2[0,T] имеет
вид C.145). Черта над функцией \i в формуле C.145) означает, что
соответствующая первообразная как функция класса L2 paenf нулю
при аргументах больших 1/а.
Доказательства этих теорем аналогичны доказательствам тео-
теорем 3.11 и 3.13, при этом используются априорные оценки C.140),
C.142), C.144) и C.146) соответственно.

Глава 4
Обобщенные решения задач управления
в условиях первой краевой задачи
§ 1. Постановки задач для обобщенных решений
Сформулируем задачи управления для обобщенных решений пер-
первой краевой задачи, аналогичные задачам 2.1-2.3. Будем предпола-
предполагать, что функции (р(х) и (fi(x) принадлежат пространству L2[0,/], a
функции ф(х) и ф\{х) принадлежат пространству ^{[0,/].
Задача 4.1. Найти момент времени t = Т и функции /i(t) и v(t)
в пространстве L2[0,T] такие, чтобы для решения u(x,t) из L2(Q/,t)
первой краевой задачи с начальными условиями [(р(х),ф(х)] выпол-
выполнялись в момент времени t = Т финальные условия с заданными
функциями [(pi(x),ipi(x)]. Причем равенства понимаются в смысле
соответствующих пространств.
Это задача о переводе струны из состояния [(р(х),ф(х)] за про-
промежуток времени Т в состояние [ipi(x),ipi(x)]. Для решения зада-
задачи 4.1 нам потребуются ее частные случаи: задача о гашении колеба-
колебаний и задача о переводе первоначально покоящейся струны в заданное
состояние.
Задача 4.2. Найти момент времени t = Т и функции fi(t) и i/(t)
в пространстве L2[0,T] такие, чтобы для решения u(x,t) из прост-
пространства Z/2(Q/,t) первой краевой задачи с начальными условиями
[(р(х),ф(х)] в момент времени t — Т выполнялись нулевые финаль-
финальные условия и(х,Т) = 0 и щ(х,Т) = 0; здесь равенства понимаются в
смысле равенства элементов L2[0,/] и ^{[0,/] соответственно.
Задача 4.3. Найти момент времени t = Т и функции fi(t) и i/(t)
в пространстве L2[0,T] такие, чтобы для решения u(x,t) e I/2(Q/5t)
первой краевой задачи с нулевыми начальными условиями в момент
времени t — Т выполнялись финальные условия с заданными функ-
функциями [ipi(x),ipi(x)]. Причем равенства понимаются в смысле соот-
соответствующих пространств.
Наибольший интерес в теории управления представляют задачи,
в которых на управление накладываются определенные ограничения;
в этих случаях нам необходимо решать, например, такую задачу.
Задача 4.4. Найти момент времени t = Т и функции /i(t) и u(t)
в пространстве L2[0,T], удовлетворяющие условиям ||/^||ь2[о,Т"] ^ Ли
IMIi/2[o,T] ^ А"» такие5 чтобы для решения u(x,t) G I/2(Q/5t) пер-
первой краевой задачи с заданными начальными условиями [(р(х),гр(х)]

114 Гл. 4- Обобщенные решения задач управления для первой задачи
в момент времени t — T выполнялись финальные условия с заданны-
заданными функциями [ipi(x),ipi(x)]. Равенства понимаются в смысле соот-
соответствующих пространств.
Это задача о переводе струны из состояния, определяемого парой
функций [ip(x),ip(x)] за время Г в состояние [fi{x)^\{x)\ при наличии
ограничений на норму управления.
Аналогично формулируются задачи о гашении колебаний и пе-
переводе первоначально покоящейся струны в заданное состояние при
ограничениях на управления типа неравенств.
Задача 4.5. Найти момент времени t = T и функции /i(t) и v(t)
в пространстве 1/2[0,Т], удовлетворяющие условиям ||/^||ь2[о,Т"] ^ А
и IMIi/2[o,T] ^ А, такие, чтобы для решения u(x,t) Е L2(Qi,t) пеР"
вой краевой задачи с заданными начальными условиями [ip(x),ip(x)]
в момент времени t = Т выполнялись нулевые финальные условия
и(х,Т) =0 и щ(х,Т) =0; здесь равенства понимаются в смысле ра-
равенства элементов L2[0,l] и ^{[О,/] соответственно.
Задача 4.6. Найти момент времени t = Т и функции /i(t) и v(t)
в пространстве 1/2[0,Т], удовлетворяющие условиям ||/^||ь2[о,Т"] ^ Ли
IMIz/2[o,T] ^ Л, такие, чтобы для решения u(x,t) Е L2(Qi,t) первой
краевой задачи с нулевыми начальными условиями в момент вре-
времени t = Т выполнялись финальные условия с заданными функция-
функциями [(pi(x),ipi(x)]. Равенства понимаются в смысле соответствующих
пространств.
Постановки задач об управлении колебаниями струны с одним
закрепленным концом аналогичны сформулированным задачам.
Единственное отличие этих задач — требуется найти только одну
управляющую функцию.
§ 2. Неединственность обобщенного решения
задачи управления
Как уже отмечалось, в основе задач управления колебаниями стру-
струны лежит задача с заданными начальными и финальными условиями
для волнового уравнения. В этом параграфе рассмотрим вопрос о
единственности решения задачи с начальными и финальными услови-
условиями, а тем самым и о единственности решения задачи управления в
случае управления по одному и по двум концам струны.
2.1. Неединственность решения задачи управления для
Т = l/а при управлении на двух концах. Обозначим
Q1 = { х > at, х > I - at }, Q2 = { at < x < I - at },
Q3 = { x < at, x < I - at}, Q4 = { / - at < x < at}.
Через uc(x,t) обозначим функцию, равную нулю в Q2 и Q4, а в Q1
и Q3 принимающую значения -С и С соответственно.

§ 2. Неединственность решения задачи управления	115
Теорема 4.1. Решение из L<z{Qi,t) задачи с заданными началь-
начальными и финальными условиями неединственно в следующем смысле:
если u(x,t) — решение задачи с заданными начальными и финальными
условиями, то решением этой задачи будет и функция и(х, t)+uc(x, t)
для любой константы С.
Доказательство. Предположим противное: существуют два
решения ui(x,t) и U2(x,t) из класса Z/2(Qz,t) задачи с заданными
начальными и финальными условиями. Тогда их разность u(x,t) есть
решение задачи
uu(x,t) - a2uxx(x,t) = 0, (x,t) Е Qz,T,
u(x, 0) = 0, ut(x, 0) = 0, O^x^l,	D.1)
u(x,T) = 0, ut(x,T) = 0, 0 ^ x ^ /,
Функция u(x,t), являющаяся решением из класса I/2(Q/,t) зада-
задачи D.1), имеет, по определению класса I/2(Q/,t), в точке х = 0 гранич-
граничное значение u@,t) = /i(t), а в точке х = I соответственно значение
u(l,t) = i/(t) из класса L2[0,T].
Одновременно функцию u(x,t) можно рассматривать как решение
из класса Li2(Qi,t) первой краевой задачи с нулевыми начальными
условиями
uu(x,t) - a2uxx(x,t) = 0, (x,t) G QiiT,
u(x, 0) = 0, ut(x, 0) = 0, 0 ^ x ^ /,	D.2)
Ц0, t) = /i(t), u(l, t) = z/(t), 0 ^ t ^ Г.
Единственное решение из класса Li2(Qi,t) этой задачи имеет
вид C.52). Продифференцируем равенство C.52) по t в смысле обоб-
обобщенных функций и воспользуемся условиями щ(ж, Т) = 0 и и(х,Т) = 0;
получим
+
*(!)=<••
Равенство D.4) продифференцируем по х:
Полусумма и полуразность последнего равенства и равенства D.3)
позволяет утверждать, что каждая из функций /л'A/а — х/а) и v'{xjd)
является нулевым элементом пространства ^{[0,/], так что \i[x) = С,
v(x) — Ci, где С и С\ — некоторые константы, и в силу равенст-
равенства D.4) d = -С, т. е. и(х, t) = глс(ж, t).

116 Гл. 4- Обобщенные решения задач управления для первой задачи
Чтобы убедиться, что u(x,t) = uc(x,t) является решением из
L>2(Qi,t) задачи D.2), остается проверить, что тождество
uc(x,t) [Ftt(x,t) - Fxx(x,t)] dxdt =
Ч1^т	i	i
= a2 [ n(t)Fx @, t) dt-a2 [ u(t)Fx (Z, t) dt, D.5)
о	о
верно для всех функций F(x,t) G C2(Qi,t) таких, что справедли-
справедливы условия C.2) и C.4). Тем самым из определения 3.1 получим,
что uc(x,t) является решением задачи D.1).
Левая часть тождества D.5) разбивается на два интеграла по мно-
множествам Q1 и Q3. Сначала найдем интеграл для множества Q3:
1/2 A-х)/а
С [f [Ftt(x,t)-a2Fxx(x,t)] dxdt = C Г\ j Fu(x,t) dt\dx-
Q3	0	х/а
I/Ba) at	I/a l-at
/If	1	С \ С	1
/ Fxx(x,t)dx \dt- Ca2 / / Fxx(x,t)dx\ dt =
\_ J	J	J \_ J	J
0	0	I/Ba) 0
1/2	1/2
0	0
I/a	I/a
// I I \	f
Fx@,t)dt = -2CaFl-, — ) + Ca2 / Fx(O,t)dt =
\2 2a/	J
о	о
l/a
/
= -2CaF(^, ^) + a2 I n(t)Fx(Q,t) dt.
0
Мы воспользовались заменами x — I — at и х = at в соответствующих
интегралах, а также формулой полной производной функции двух пе-
переменных.
Для множества Q1 равенство доказывается аналогично:
I	х/а
-С 11 [Ftt(x,t) - a2Fxx(x,t)} dxdt = -C f\ I Ftt{x,t)db\dx +
Ql	1/2 A-х) / a
//Ba) I	I/a I
+ Ca2 I I Fxx(x,t)dx\dt + Ca2 f f Fxx(x,t) dx\ dt =
j \_ j	j	j \_ j	j
0 l-at	I/Ba) at

§ 2. Неединственность решения задачи управления	117
I	I
„ [ d ( I — х\ 7 ^ ( d ( х\ 7
= -Са I —Fix,	\dx-Ca I —Flx,-)dx +
J dx \ a J	J dx \ a)
1/2	1/2
I	I
//1 1 \	Г
FT(l, t) dt = 2CaF [ —, — 1 + С a I FT(l, t) dt =
0	0
I
-a2 jv(t)Fx(l,t)dt.
о
Тем самым, теорема доказана.
2.2. Неединственность решения задачи управления для
Т = 111а при управлении на одном конце. Обозначим
Q = {(x,t) e Qi,t : х < at, x < 21 - at}.
Через uc(x,t) обозначим функцию, равную нулю в Qi,t\Q и прини-
принимающую значение С в Q.
Теорема 4.2. Решение из I/2(Q/,t) задачи с начальными
и финальными условиями неединственно в следующем смысле: ес-
если u(x,t) — решение задачи с начальными и финальными условиями,
то решением этой задачи будет и функция и(х, t)+uc(x, t) для любой
константы С.
Доказательство. Предположим, что существуют решения
ui(x,t) и U2(x,t) из класса I/2(Q/,t) задачи с начальными и финаль-
финальными условиями. Тогда их разность u{x,t) есть решение из этого
класса задачи D.1)
Функция u(x,t), являющаяся решением из класса I/2(Q/,t) зада-
задачи D.1), имеет, по определению класса I/2(Q/,tM при х = 0 некоторое
граничное значение u@,t) = /i(?).
Одновременно функцию u{x,t) можно рассматривать как решение
из класса I/2(Q/,t) первой краевой задачи с нулевыми начальными
условиями
utt(x,t) -а ихх = 0 (x,t) e QtiT,
и(х, 0) = 0, щ(х, 0) = 0, 0 ^ х ^ /,	D.6)
и@, t) = fi(t), u(l, t) = 0, 0 ^ t ^ Г.
Единственное решение из класса I/2(Qz,t) задачи 4.6 при 0 < Т ^ 21/а
имеет вид (З.бб).
Продифференцируем равенство (З.бб) по t в смысле обобщенных
функций и воспользуемся условиями щ(х,Т) = 0 и и(х,Т) = 0:
<"»

118 Гл. 4- Обобщенные решения задач управления для первой задачи
Равенство D.8) продифференцируем по х:
,B1 —
,(М-х\ ,(х\
-/а 	 - II -1=0.
— V а / — \а)
Полученное равенство сложим с равенством D.7). Таким образом, по-
получим, что //(ж/а) является нулевым элементом пространства ^{[0,/]
или \i(t) = С при t е [0,Г].
Таким образом, в силу равенства (З.бб) u(x,t) = uc(x,t). Что-
Чтобы убедиться, что u(x,t) = uc(x,t) является решением из класса
L2(Qi,t) задачи D.6), остается проверить, что тождество
I
ffuc(x,t)[Ftt(x,t)-a2Fxx(x,t)] dxdt = a2 f fi(t)Fx(O,t) dt, D.9)
Qi,t	о
верно для всех функций F(x,t) G W^iQiila) co свойствами C.2)
и C.4). Тогда из определения 3.1 получим, что uc(x,t) является ре-
решением задачи D.6). Левая часть тождества D.9) есть интеграл по
множеству Q:
I B1-х)/а
С [[ [Ftt(x,t)-a2Fxx(x,t)] dxdt = C Г\ Г Ftt(x,t)dt]dx-
Q	0	х/а
I/a at	21/а 21-at
Г \ Г	1	Г Г Г	1
-Са2 \ Fxx(x,t)dx\dt-Ca2 / / Fxx(x,t)dx\dt =
j \_j	j	j \_ j	j
0 0	I/a 0
I	I
„ f d ( 21 — x\ _, „ f d ( x\ ,
= -Ca / —Fix,	 dx-Ca I —F[x,-)dx +
J dx \ a J	J dx \ a)
о	о
2Z/a	2Z/a	2Z/a
+ Ca2 f Fx@,t)dt = Ca2 f Fx@,t) dt = a2 f fi,(t)Fx(O,t)dL
о
Теорема доказана.
§ 3. Управление колебаниями на двух концах
струны при отсутствии ограничений на управления
В этом параграфе будем решать задачи D.1)-D.3) для наборов
функций ip(x), (fi(x), гр(х), ipi(x), fi(t) и v(t), обеспечивающих су-
существование обобщенных решений класса L2(Qi,t)-
3.1. Гашение колебаний для Т = l/а. Решение первой крае-
краевой задачи с нулевыми финальными условиями, согласно теореме 3.6,

§ 3. Управление колебаниями на двух концах без ограничений 119
имеет вид C.61). При t = 0 решение C.61), по задаче 4.2, удовлетво-
удовлетворяет условиям и(х,0) = (р(х) и щ(х,О) = ф(х). Из C.61) получаем
следующие равенства при ^ = 0и0^х^/:
= ф(х),	D.10)
<а/	v a J
причем второе равенство понимается в обобщенном смысле, и его
можно переписать в виде	^
Ф(х)	гл-ч\
где ф — произвольная первообразная функции ф.
Складывая равенства D.10) и D.11), вычитая из равенства D.10)
равенство D.11) и делая подходящую замену, получим выражения
для /i(t) и v(t) при 0 ^ t ^ 1/а:
^ М	DЛ2)
z	za
Как видно, формулы D.12) и D.13) аналогичны формулам B.70) и
B.71) соответственно. Поскольку первообразную функции ф находим
с точность до константы, то вполне понятно наличие константы Со,
поэтому формулы D.12) и D.13) можно переписать в виде
^ MCo>	D.14)
^^-Со.	D-15)
Таким образом, справедливо утверждение
Теорема 4.3. Для произвольных функций (р(х) и ф(х), принад-
принадлежащих пространствам L2[0,l] и ^{[0,/] соответственно, решение
задачи 4.2 имеет вид D.14) и D.15), а период времени Т равен 1/а.
3.2. Решение задачи о переводе покоящейся струны в за-
заданное состояние для Т = 1/а Решение первой краевой зада-
задачи с нулевыми начальными условиями, согласно теореме 3.5, имеет
вид C.52). При Г = 1/а решение C.52) удовлетворяет условиям
и(х,Т) = (fi(x) и щ(х,Т) = ф\(х) в соответствиии с постановкой
задачи 4.3. Из C.52) получаем следующие равенства при Г = 1/а
и 0 ^ х ^ /:

120 Гл. 4- Обобщенные решения задач управления для первой задачи
'(
»'(—)+К'(-)=Фг(х),
— V а /	\а/
причем второе равенство понимается в обобщенном смысле, и его
можно переписать в виде
—V а
где ф\ — произвольная первообразная функции ф\.
Складывая равенства D.16) и D.17), вычитая из равенства D.16)
равенство D.17) и делая подходящую замену, получим выражения для
() и i/(t) при O^t^l/a
^^ - ^Уг^	DЛ8)
^) = ^) + ^)_	DЛ9)
Поскольку первообразная находится с точностью до константы, то
можно эти формулы переписать в виде
^ - С°,	D.20)
C«.	D.21)
Получили следующее утверждение.
Теорема 4.4. Для произвольных функций ipi (x) и ф\ (х), принад-
принадлежащих пространствам L2[0,l] и ^{[О,/] соответственно, решение
задачи 4.3 имеет вид D.20) и D.21), а период времени Т равен 1/а.
3.3. Обсуждение результатов о наименьшем периоде вре-
времени Т.
3.3.1. Гашение колебаний. Для произвольных (р(х) и ф(х) период
времени Т = 1/а является наименьшим периодом времени, за кото-
который удается погасить колебания струны. Колебания струны можно
погасить за время меньшее, чем 1/а, только для специальным образом
выбранных функций ip(x) и ф(х).
Определим, каким условиям должны удовлетворять функции
(р(х) G L2[0,Z] и ф(х) G ^{[0,/], чтобы колебания можно было погасить
за время Т < 1/а.
Решение этой задачи имеет вид C.61), при этом для t = 0 выпол-
выполняются равенства D.10) и D.11). Эти равенства понимаются в смысле
равенства элементов из L2[0,Z]. Складывая равенства D.10) и D.11) и
вычитая из D.10) равенство D.11), получаем следующие выражения:
_/x \ VAX) , 4J\tL)	—I1 x \
(р(х) ф(х)
2	2а

§ 3. Управление колебаниями на двух концах без ограничений 121
В силу свойств функций ~ри17 получаем условия на ip и ф
4>(х) ф(х)
—	Ь —— = 0, аТ <х ^ /,
2	2а	D.22)
^-^ = 0, 0^х<1-аТ,
2	2а
где равенства понимаются в смысле равенства элементов прост-
пространства L2[0,l].
3.3.2. Перевод покоящейся струны в заданное состояние. Опре-
Определим, каким условиям должны удовлетворять заданные функции
(fi(x) e 1/2[0,1] и гр1 (х) е ^{[О,/], чтобы можно было покоящуюся
струну перевести в состояние и(х,Т) = (fi(x) и щ(х,Т) = ф(х) за
время Г < //а. Для этого опять обратимся к решению первой крае-
краевой задачи с нулевыми начальными условиями, которое определяется
формулой C.52). Это решение при t = Т принимает значения
,	D.23)
ц'(т --) +1У(Т + - -1-) =фг{х),
— V а) V а а)
Второе равенство понимается как равенство элементов из ^{[0,/], и
его можно переписать в виде
-Jt-X-)+JT+X--L)=^.	D.24)
—V а/ \ а а/	а
Складывая равенства D.23) и D.24) и вычитая из D.23) равенст-
равенство D.24), получаем следующие выражения:
2	2а
(т _х\ = {) $(
— V а)
2	2а
В силу свойств функций \i и у_ получаем условия на
< ж ^ /,
D.25)
где по-прежнему равенства понимаются в смысле равенства элементов
пространства L2[0,Z].
3.4. Решение задачи о переводе струны из заданного
состояния в заданное. Будем решать задачу 4.1, т.е. искать уп-
управления /i(t) и v(t), которые переводят струну из состояния, опреде-
определяемого условиями и(х,0) = (р(х) и щ(х,0) = ф(х), в состояние, опре-
определяемое условиями и(х,Т) = (fi(x) и щ(х,Т) = ipi(x) при Г = 1/а.

122 Гл. 4- Обобщенные решения задач управления для первой задачи
Очевидно, что такие управления есть суммы управлений, ре-
решающих задачи успокоения колебаний и перевода покоящейся струны
в заданное состояние
°
где /i°(t) и v°(t) — управления, успокаивающие колебания, кото-
которые определяются формулами D.12) и D.13) соответственно, a /io(t)
и ^о(^) — управления, переводящие покоящуюся струну в заданное
состояние, определяемые формулами D.18) и D.19) соответственно.
Поэтому эти управления имеют вид
<p(at) +y?i(/ -at) \jj{at) - fa (I - at)
2	2a ~	D.26)
_ ip(l-at) +ip1(at) ip(l-at) - ipi(at)
Щ)~	2	2a
В силу того, что первообразная находится с точностью до константы,
из формул D.14), D.15), D.20) и D.21) получаем
D.27)
<p(at) +y?i(/ -at) ф{а?) - fa(l -at)
2	2
z	za
где С = С0-С°.
Теорема 4.5. Для произвольных функций ip(x), ipi(x) и ф(х),
ipi(x), принадлежащих пространствам 1/2[О, I] и ^[[0,1] соответствен-
соответственно, решение задачи 4.1 имеет вид D.27), а период времени Т равен 1/а.
Замечание 4.1. Решение задачи 4.1 за время Т < 1/а возможно
для пар функций [ip(x),ip(x)] и [(p\(x),fa(x)\, для которых выполня-
выполняются условия D.22) и D.25) соответственно.
§ 4. Управление колебаниями на одном конце струны
при отсутствии ограничений на управления
В этом параграфе решаем сформулированные задачи 4.1-4.3 для
Функций (р(х) е L2[o,/], ф(х) е ^[[0,1] и /i(t) e L2[o,r].
4.1. Гашение колебаний для Т = 21/а. Решение первой крае-
краевой задачи с нулевыми финальными условиями с закрепленным пра-
правым концом, согласно теореме 3.8, имеет вид C.81). При t = 0 ре-
решение C.81), по задаче 4.2, удовлетворяет условиям и(х,0) = ip(x) и
щ(х,0) = ф(х). Из C.81) получаем следующие равенства при t = 0 и
O^x^l:
/ /V» \	У О 7	/V» \
= <р(х),	D.28)

- Управление колебаниями на одном конце без ограничений 123
х\ ,B1-х\
-) -Д (	) = ф(х),
а/	V а /
причем второе равенство можно переписать в виде
где ф — произвольная первообразная функции ф.
Складывая равенства D.28) и D.29), вычитая из равенства D.29)
равенство D.28) и делая соответствующую замену, получаем
ф(аЬ) i if(at)	l_
Ja	2	a	D.30)
- at) if {21 -at)	I	21
2a	2 ' а ^^7'
или, в силу того, что первообразная находится с точностью до кон-
константы,
^(t) = { Ja	2	a	D.31)
1 фB1 - at) if {21 - at) 0	I	21
Таким образом, получили следующее утверждение о решении за-
задачи гашения колебаний для управления по одному концу.
Теорема 4.6. Для произвольных функций if{x) и ф(х), принадле-
принадлежащих пространствам L2[0,l] и ^[[0,1] соответственно, решение за-
задачи гашения колебаний при управлении по одному концу имеет
вид D.31), а период времени Т равен 21/а.
4.2. Задача о переводе покоящейся струны в заданное
состояние для Т = 21/а. Решение первой краевой задачи с нуле-
нулевыми начальными условиями с закрепленном правым концом, соглас-
согласно теореме 3.8, имеет вид (З.бб). При Т = 21/а решение (З.бб) удов-
удовлетворяет условиям u(x,2l/a) = y>i(x) и щ(х,21/а) = ф\{х). Из (З.бб)
получаем следующие равенства при Т = 21/а и0^х^1:
D.32)
причем второе равенство можно переписать в виде
21 — х
а / \а/	а
4.33
где ф — произвольная первообразная функции ф.
Складывая равенства D.32) и D.33), вычитая из равенства D.33)
равенство D.32) и делая соответствующую замену, получаем

124 Гл. 4- Обобщенные решения задач управления для первой задачи
cpi(at) ^i(at)	n<t<-
2	2a	a'	D 34)
-at) фгB1 -at)	Z	2/
!	2a	a	a
или
	о	о	Co j	0 ^ t < -,
^	^	a	D.35)
<pi B/ - at) ^1 B/ -at)	I	21
2	2a	a	a
Решение задачи о переводе покоящейся струны в заданное сос-
состояние при управлении по одному концу дает следующее утверж-
утверждение.
Теорема 4.7. Для произвольных заданных функций cpi(х) Е 1/2[О, I]
и ф\(х) G ^{[0,/] решение задачи о переводе покоящейся струны в за-
заданное состояние при управлении по одному концу имеет вид D.35), а
период времени Т равен 21/а.
4.3. Обсуждение результатов о наименьшем периоде вре-
времени Т. Покажем, что решение рассмотренных в этом параграфе за-
задач возможно для Т < 21/а, только если ip G L2[0,Z] и ф(х) G ^{[0,/]
связаны определенными соотношениями.
4.3.1. Гашение колебаний. Предположим, что 1/а < Т < 21/а. Ре-
Решение задачи об успокоении колебаний имеет вид C.81), при этом
для t = 0 выполняются равенства D.28) и D.29). Вычтя из D.29) ра-
равенство D.28), а затем воспользовавшись видом функции /J, получим
условие на функции ср(х) и ф(х)
1^1 - ф) =0, 0 ^ х < 21 - аТ.	D.36)
a
Если 0 < Т < 1/а, то, складывая равенства D.28) и D.29) и поль-
пользуясь видом функции ~р, получаем нужное условие
^М + ф) =0, аТ <х^1.	D.37)
Равенства D.36) и D.37) понимаются в смысле равенства элементов
из L2[O,Z].
4.3.2. Перевод покоящейся струны в заданное состояние. Анало-
Аналогично рассмотрим два случая. Предположим, что 1/а < Т < 21/а.
Решение задачи имеет вид (З.бб), а в момент времени t — T удовле-
удовлетворяет условиям и(х,Т) = (fi(x) и щ(х,Т) = ф\(х), поэтому имеем
равенства
JT -*)-Jt+---)= tp^x),	D.38)
—V a/ —V a a/

{.. Управление колебаниями на одном конце без ограничений 125
D.39)
)
а) —
Вычитая из D.39) равенство D.38) и пользуясь видом функции
получаем условие
О < х < 21 - аТ.
D.40)
Если 0 < Т < l/а, то, складывая равенства D.39) и D.38), получа-
получаем условие на функции ipi(x) и ф\(х)
аТ
D.41)
По-прежнему равенства D.40) и D.41) понимаются в смысле ра-
равенства элементов из L2[0,l].
4.4. Решение задачи о переводе струны из заданного
состояния в заданное. Надо подобрать такое граничное управле-
управление /i(t) = u@,t), чтобы решение u(x,t) первой краевой задачи с за-
закрепленным правым концом в момент времени t = Т принимало зна-
значения и(х,Т) = (fi(x) и щ(х,Т) = ipi(x) для Г = 21/а.
Очевидно, что такие управление есть сумма управлений, решаю-
решающих задачи успокоения колебаний и перевода покоящейся струны в
заданное состояние /i(t) = /i°(t) + /io(?), где /i°(t) — управление,
успокаивающее колебания, которое определяется формулой D.30), а
Vo(t) — управление, переводящее покоящуюся струну в заданное
состояние, определяемое формулой D.34). Управление имеет вид
ip(at)
<PiBl
-<pi(at) t ф
2 '
- at) - ipBl -
2
ф{21 - at)
(at) - i
2a
-at)
2a
)i{at)
j
-at)
I
a
I
a
21
a
D.42)
или из формул D.31) и D.35):
(p(at) - <pi(at) ф{а
2	2a
ipiBl- at) -ipBl-at)
-c,
D.43)
H
xj,{2l-at)-M2l-at)
la
I
a
2/
a
где С = C° -Co.
Сформулируем сказанное в виде следующего утверждения.

126 Гл. 4- Обобщенные решения задач управления для первой задачи
Теорема 4.8. Для произвольных заданных функций ip(x),ipi(x) из
L2[0,l] иф(х),ф\(х) 1/зЗ7![0, Z] решение задачи управления колебаниями
по одному концу имеет вид D.43), а период времени Т равен 21 /а.
Замечание 4.2. Решение задачи управления колебаниями по
одному концу за время 1/а < Т < 21/а возможно для пар функций
[(р(х),ф(х)] и [(^i(x),'0i(x)], для которых выполняются условия D.36)
и D.40) соответственно, а для 0 < Т < 1/а эти пары функций должны
удовлетворять условиям D.37) и D.41).
§ 5. Управление колебаниями струны
на одном конце при ограничении на управление
В этом параграфе решаем задачи управления колебаниями струны
с закрепленным правым концом при ограничении по норме на управ-
управляющую функцию /i(t), поставленные в § 1 настоящей главы, для
функций (p(x),(fi(x) Е L2[0,l], ф(х),ф\(х) Е ^{[0,/] и /i(t) Е L2[0,T].
5.1. Гашение колебаний. Решение /i(t) задачи о гашении коле-
колебаний при управлении по одному концу струны при отсутствии огра-
ограничения на управление задается формулой D.30).
Замечание 4.3. Поскольку имеется произвол в выборе перво-
первообразной ф{х) функции ф(х), то, выбирая определенным образом эту
первообразную, иногда можно добиться того, что ||^||l2[o,Z] ^ А. Та-
Таким образом, при условии, что функция ip(x) удовлетворяет неравен-
неравенству ||^||ь2[о,г] ^ А, функция /i(t), задаваемая формулой D.30), будет
удовлетворять ограничению на ее норму в L2[0,T].
Рассмотрим случай, когда функция /i(t), определяемая форму-
формулой D.30), не удовлетворяет при заданной функции ip(x) и любой
первообразной ф(х) функции ф(х) заданному ограничению на норму,
т-е- 1Ы1ь2[о,т] > А. Поскольку функция /i(t) не удовлетворяет тре-
требуемому ограничению для любой первообразной функции ф(х), то в
дальнейших рассуждениях будет использована фиксированная перво-
первообразная ф(х) функции ф(х).
Представим функции ip(x) и ф(х) в виде конечных сумм функций
(рг(х) и фэ(х) из L2[0,l], г = 1,..., &, j = 1,... ,п, соответственно, т.е.
k	n
причем для этих функций выполняются условия
|И|ь2[о,ч ^ 2Л, ||^'||ь2[о,ч ^ 2аЛ,	D.44)
для г = 1,.. .,&, j = 1,.. .,п.
Такое разбиение функций ip(x) и ф(х) можно осуществить разны-

§ 5. Управление на одном конце при ограничении	127
ми способами, например, это можно сделать следующим образом.
Пример 4.1. Пусть |M|l2[o,z] = ? и 1Н1ьз[о,Ч = ^' В качестве
функций if1 возьмем функции вида (рг(х) = 2/С(^(ж)//С, г = 1,...,&.
Величины К и к выбраны из соотношений 2кК = /С и /С ^ Л. Ана-
Аналогично, возьмем фэ(х) = 2Мф{х)/М, j = l,...,n, где величины Л/'
и п выбраны из соотношений 2п]\Г = N и Л/' ^ аЛ
Теперь приступаем к построению функции /i(t), удовлетворяющей
неравенству ||/^||ь2[о,Т"] ^ Л, и найдем момент времени Т, при которых
решение и(х, t) G L2(Qi,t) первой краевой задачи принимает значения
и(х,Т) = 0 и щ(х,Т) = 0 в смысле соответствующих пространств.
Введем следующие обозначения:
Функцию, первообразная которой обозначена ^(ж), обозначим
через ^(ж). Из вида разбиений функций (р(х) и ^(ж) получаются
равенства Фк(х) = 0 и ФгП(ж) = 0 (очевидно, что и ФгП(ж) = 0).
За каждый период времени 2//а можно переводить струну из
состояния [Фг(ж),^(ж)] в состояние [Фг+1(ж),'0(ж)], г = 0,..., к - 1,
поэтому за период времени 21к/а сможем перевести струну из состо-
состояния [(р(х),гр(х)] в состояние [0,ф(х)]. Аналогично, за время 21/а мож-
можно струну из состояния [(^^(ж)] перевести в состояние [0,Фг:; + 1(ж)],
j = 0, ...,п — 1. Поэтому за время 21п/а переведем струну из сос-
состояния [0,т/>(ж)] в состояние покоя. Окончательно удается погасить
колебания струны за период времени равный 21(к + п)/а.
Замечание 4.4. Очевидно, что период времени Т зависит от ви-
вида разбиений функций (р(х) и ф(х) (от того, на сколько частей мы их
разбиваем), а также и от выбора первообразной ф(х) функции ф(х).
Вопрос о наименьшем времени достижения успокоения колебаний вы-
выходит за рамки книги и здесь не рассматривается.
Найдем функции Mi(r) такие, что решения г>г(ж, г), г = 0,..., к—1,
задачи
<Т(Ж,Т) -V1XX{X,T) =0, (Ж,?) е Ql^l/a,
г;»@,т) = Mi(r), v\1,t) = 0, 0 ^ т <: 21 /а,	D.46)
г/(ж, 0) = Ф*(ж), <(ж, 0) = ф(х), O^x^l,
в момент времени т = 21/а удовлетворяют следующим условиям:
у*(х,21/а) = Ф^1(х) и vlT(x,2l/a) = ф(х).
Управление, переводящее струну из состояния [(р(х),ф(х)] в сос-
состояние [ipi(x)^i(x)] задается формулой D.42).

128 Гл. 4- Обобщенные решения задач управления для первой задачи
Согласно формуле D.42) управление Mi(r) имеет вид
^ /
^ а'
< -
^ а
С учетом обозначений D.45) получаем
I
Mi(r) = { "	а'
1 ,^i/2Z ч	I . . 21
оГ	т)-Фг{	г), -
2 I \а )	\а /J	a
2	V а )	а	а
Введем замену т = t — 2li/a и обозначим nl(t) = Mi (t — 2li/a);
тогда
21%	I + 21%
D.47)
для г = 0,..., к — 1.
Далее найдем функции Hj(r), j = 0, ...,n — 1, такие, что реше-
решения wi(x,r) задачи
W3TT(X,T) -W3xx(x,t) =0,	(Ж, Г) е Q 1,21/а,
wj@,r) =Hj(r), wj(l,r)=0, О^т^21/а,	D.48)
wj(x,0)=0, w3T(x,0)=&j(x), O^x^l,
в момент времени т = 21/а удовлетворяют условиям wJ(x,2l/a) = 0
и wl(x,2l/a) = Фг:; + 1(ж). Согласно формуле D.42) управление Hj(r)
имеет вид
или, с учетом обозначений D.45),
2	V a J	a
a
Заменим т = t - 21 (к + j)/a и обозначим v3(t) = Hj (t - 21 (к + j)/a);
тогда

5. Управление на одном конце при ограничении
129
г22)-
2l(k
-)¦
D.49)
2l(k
<> t
2l(k-
где j = 0,.. .,п - 1.
Строим функцию
i = 0,..., k — 1,
D.50)
В силу ограничений D.44) и вида функций //(?) и ^J(t), задавае-
задаваемых формулами D.47) и D.49), получаем, что для функции /i(t) выпол-
выполняется требуемое неравенство ||/^||ь2[о,Т"] ^ Л. Построенная функция
li(t) и является решением задачи о гашении колебаний струны при
ограничении на управление, так как функция u(x,t) для (ж,?) G Q/,t
u(x,t) =
2li\ 2li
	, —
a / a
2/(г
х, l
-)¦
21{к-
D.51)
a /	a	a
j = 0, ...,n-l,
удовлетворяет первой краевой задаче и, по построению, в момент вре-
времени Т = 2l(n + fc)/a принимает значения и(х,Т) = 0 и г^(ж,Т) = 0.
Сформулируем сказанное в виде следующего утверждения.
Теорема 4.9. Пусть заданы произвольная функция (р(х) G L2[0,Z]
и функция ф(х) G^{[0, Z], а ф(х) — фиксированная первообразная функ-
функции ф{х). Представим функции ср(х) и ф{х) в виде
к	п
Функции (рг(х) и фэ (х) принадлежат пространству L2[0,Z] и удовле-
удовлетворяют условиям D.44).
Тогда решение /i(t) задачи гашения колебаний имеет вид D.50) с
^(t), г = 0,. ..,fe- 1, из D.47) и vj(t), j = 0, ...,n- 1, ш D.49). Яе-
времени Т зависит от выбора первообразной ф(х) и от разбиений

130 Гл. 4- Обобщенные решения задач управления для первой задачи
функций ip(x), ф(х) и равен 21(п + к)/а.
5.2. Перевод струны из заданного состояние в заданное.
Используя идеи, изложенные в предыдущем пункте, будем решать
общую задачу о переводе струны из заданного состояния в заданное.
При отсутствии ограничений на управление решение задачи дается
формулой D.42), а период времени Т, за который удается добиться
требуемого результата, равен 21/а.
Замечание 4.5. Если заданные функции ср(х) и ipi(x) таковы,
что удовлетворяют неравенству \\ср — ^>i\\l2[o,1] ^ ^4, то в некоторых
случаях выбор первообразных ф{х) и ф\{х) функций ф{х) и ф\{х)
соответственно позволяет построить функцию /i(t), норма которой
удовлетворяет требуемому неравенству.
Пусть теперь функция /i(t), задаваемая формулой D.42), не удов-
удовлетворяет ограничению задачи управления ни для каких первообраз-
первообразных ф(х) и ф\(х) функций ф(х) и ф\(х) соответственно. Предпо-
Предположим, что для пар функции [ср(х),ф(х)], [cpi(x),ipi(x)], где ф{х) и
ф\(х) — фиксированные первообразные функций ф(х) и ф\(х) соот-
соответственно, выполняются следующие условия:
к	к
D.52)
з=1	з=1
O^x^l, j = l,...,n. D.53)
Замечание 4.6. Число слагаемых, составляющих функции ip(x)
и (fi(x) в D.52), может не совпадать; например, у функции (fi(x) их
только I < к. Тогда мы полагаем слагаемые <р\(х) для i = I + 1,..., к
равными нулю. Аналогичное замечание справедливо для функ-
функций ф(х) и ф\(х) из D.53).
Будем строить функцию /i(t), ||/х||ь2[о,т] ^ Л, и найдем момент
времени Г, такие, что решение u(x,t) e L2(Qt) первой краевой зада-
задачи при t — T принимает значения и(х,Т) = (fi(x) и щ(х,Т) = ф\{х).
Введем обозначения
i	к
г=1	г=1
l=i+l	D<54)
3	п	v	J
1 = 1	1=3 + 1
где i = 1,..., к, j = 1,..., п. Функцию, первообразная которой рав-
равна ^(ж), обозначим через ^(ж). Из D.52) получается равенство

5. Управление на одном конце при ограничении
131
= (fi(x), а из D.53) получается равенство \Рп(х) = фг(х); сле-
следовательно, \Рп(х) = ф\(х).
За каждый период времени 21/а мы сможем струну, состояние
которой определяется парой функций [Фг(х),ф(х)], переводить в сос-
состояние, определяемое соответственно парой функций [Фг+1(х),ф(х)]
для г = 0,..., к — 1. Перевести струну из состояния [(р(х),ф(х)] в сос-
состояние [(р1(х),ф(х)], таким образом, нам удастся за период време-
времени, равный 21к/а. За каждый период времени 21/а мы переводим
струну из состояния, определяемого парой функций [(pi(x),^(x)],
j = 0,..., п — 1, в состояние [cpi(x) ,\pi+1 (х)]. Следовательно, струну из
состояния [ср1(х),ф(х)] в состояние [ipi{x)^\{x)\ переведем за время
21п/а. Окончательно струну из состояния, определяемого функциями
[(р(х),ф(х)], мы сможем перевести в состояние [(fi(x)^i(x)] за период
времени Г, равный 21(п + к)/а.
Как отмечалось в замечании 4.4, этот период времени зависит
от выбора первообразных ф(х) и ф\(х) функций ф(х) и ф\(х) и от
разбиений функций ср(х), y>i(x), ф(х), ф\{х).
Приступаем к построению управления /i(t). Найдем функции
Mi(r) такие, что решения уг(х, г), i = 0,..., к — 1, задачи D.46) в мо-
момент времени т = 21/а удовлетворяют условиям vl(x,2l/a) =
и v^(x,2l) = ф{х). Согласно D.42) управление Mi(r) имеет вид
I
/
или, с учетом обозначений D.52) для Фг(х),
Мг{т) =
-
а
а
2/
I
а'
. 21
а
Сделаем замену т = t — 2li/a и обозначим nl(t) = М^ (t — 2li/a);
тогда
(-*)]¦
2/г / + 2/г
— ^ t < 	,
а	а
D.55)
/ + 2/i
2/ + 2/i

132 Гл. 4- Обобщенные решения задач управления для первой задачи
для i = 0,..., к — 1.
Далее найдем функции Hj(t), j = 0,... ,n — 1, такие, что решения
wi(x,r) задачи, аналогичной краевой задаче D.48), но с начальными
условиями wi(x,0) = <pi(x) и wl(x,0) = ^(ж), в момент времени
т = 21/а удовлетворяют следующим условиям: гаЭ(х,21/а) = ifi(x)
и wJT(x,2l/a) = ^ + 1(ж). Согласно формуле D.42) управление Hj(t)
имеет вид
а
Из обозначений D.53) для \pi (х) получаем
Сделаем замену т = t — 2l(k + j) и обозначим
тогда
0^т< -,
а
- <т < -
а ^ ^ а
= #j(t-2J[fc + j]);
D.56)
Функция /i(t) имеет вид D.50), где //(?) определяются формулой
D.55) для г = 0,... ,к - 1, a ^J(t), j = 0,... ,n - 1, имеют вид D.56).
В силу ограничений D.52) и D.53) и вида функций //(?), задавае-
задаваемых формулой D.55), и ^J(t) из формулы D.56), получаем, что для
функции /i(t) выполняется неравенство Ц/х^Ц^г ^ ^- Построенная
функция /i(t) является решением задачи о переводе струны из задан-
заданного состояния в заданное при ограничении на управление, поскольку
функция u(x,t) вида D.51) удовлетворяет первой краевой задаче и,
по построению, в момент времени Т = 21(п + к)/а принимает задан-
заданные значения u(x,T) = (fi(x) и ut(x,T)=ipi(x). Справедлива теорема.
Теорема 4.10. Пусть заданы произвольные функции ср(х), cpi(x),
принадлежащие пространству L2[0,Z], и гр(х), ф\(х) G ^{[0,/] такие,
что ip(x) и ipi(x) удовлетворяют условиям D.52), а фиксированные
первообразные ф(х), ^i{x) e L2[0,l] функций ф(х) и ipi(x) соответст-

§ 6. Управление на двух концах при ограничениях	133
вечно удовлетворяют условиям D.53).
Тогда решение /i(t) задачи управления имеет вид D.50) с /лг(?),
г = 0,..., к — 1, из D.55) и yi'(t), j = 0,..., п — 1, из D.56), а период
времени Т, зависящий от выбранных первообразных ф(х) и ф\(х) и от
разбиений функций (р(х), (pi(x), ф(х), ijji(x), равен 2l(n + k)/a.
§ 6. Управление на двух концах колебаниями струны
при ограничениях на управления
В этом параграфе решаем задачу 4.4 для произвольных функ-
функций фЪф^х) е L2[o,z], ^(rr),^i(rr) e ?[[о,/] и fi(t),u(t) e L2[o,r].
6.1. Гашение колебаний. Если ограничений на управления
нет, то решение задачи 4.4 для Г = l/а дается формулами D.26).
Решим задачу о гашении колебаний; ее решение при отсутствии огра-
ограничений на управления определяется формулами D.12), D.13).
Пусть функции /i(t) и v(t), задаваемые формулами D.12) и D.13),
не удовлетворяют ограничениям, а именно, выполняются неравенства
1Ы1ь2[о,т] > Ли \\v\\l2[o,t] > Л, но для слагаемых, составляющих эти
функции, выполняется следующее:
к
ф) = Y, 4>\х), 11^11ь2[о,ч ^ 2Л, 0 ^ х <: I,	D.57)
г=1
п
ф{х) = Х)^'(Ж)' 11^'11ь2[о,Ч ^ 2аЛ, 0 ^ х <: I,	D.58)
где i = 1,..., к, j = 1,..., п. Построим функции /i(t), ||/х||ь2[о,т] ^ Л
и ^(*)? II^IIl2[o,t] ^ Л, и найдем момент времени Г такие, что решение
u(x,t) первой краевой задачи в момент времени t = Т принимает
значения и(х,Т) = 0 и щ(х,Т) = 0.
Введем следующие обозначения:
viM - A- (~1)г)^ , /_,4i _ / х,	если i четное,
А \Х\ —	т 1 -L) X — \ 7
L J 2	yl — x, если г нечетное,
здесь 0 ^ х ^ I; Ф°(х) = <р(ж) и для г = 1,..., к
ф\х) = -Фг-1A-х)-(-1Г^(Хг[х}), ^{x)=^(X\x\). D.59)
Из D.57) вытекает, что Фк(х) = 0. Кроме того, заметим, что из
рекуррентных соотношений D.59) получаются равенства
2
D.60)
l j	2

134 Гл. 4- Обобщенные решения задач управления для первой задачи
( \ — ) rv*v>	если г четное,
iy	I „un „л если i нечетное,
Из обозначений D.59) следует, что
Г ф(х),
\фA-х),
откуда получаем равенства для любого г = 0,..., к — 1
$i(t) - $i+1(l - t) = 0, фгA -t)- $i+1(t) = 0.	D.61)
Далее, обозначим \Р°(х) = ipk(x),
&э(х) =&j~1(l-x) -^ (Xk+j[x\) , j = l,...,n.	D.62)
Из D.58) и D.62) следует, что \Рп(х) = 0. Из D.62) после несложных
выкладок получаем, что
D.63)
2	~	2	'
За каждый период времени Z/a переведем струну из состояния
[Фг(ж),^(ж)] в состояние [Фг+1(ж),т/>г+1(ж)], г = 0,..., fc - 1, поэтому
за время 1к/а сможем перевести струну из состояния [(р(х),гр(х)] в
состояние [0,фк(х)]- Аналогично, за каждый отрезок времени 1/а смо-
сможем струну из состояния, задаваемого функциями [0,^'(ж)], перевес-
перевести в состояние [0,^'+1(ж)], j = 0, ...,п — 1. Поэтому за время In/a
переведем струну из состояния [0,фк(х)] в состояние покоя. Оконча-
Окончательно удается погасить колебания струны за время 1{к + п)/а.
Приступаем к построению управлений /i(t) и v(t). Найдем функ-
функции /JLi(r) и i/i(t) такие, что для решения уг(х,т), г = 0, ...,& - 1,
задачи
УЪТТ(Х,Т) -V1XX(X,T) =0 (X,t) G Qlj/a,
г/(О,т) = Дг(г), v\1,t) = vi(t), (К т ^ Z/a,
в момент времени т = Z/a выполняются условия vl(x,l/a) = Фг+1(ж)
и vlT(x,l/a) = грг(х). Согласно формулам D.26) управления /Хг(т) и
^г(т) имеют для 0 ^ г ^ Z/a вид
_ Ф*(т) + Ф1+1{1/а - т) tjji(r) - $i+i(l/a - т)
-1К''	2	2
Из равенств D.60) и D.61) получаем
• ipi+1 (Xi+1[l - т])	• ipi+1 (Xi+1[

6. Управление на двух концах при ограничениях	135
Введем замену т = t — И/а и обозначения //(?) = /ii(t — li/a),
vl(t) = Vi (t — li/а). Тогда для li/а ^ t ^ 1{г + 1)/а получим
D.64)
где г = 0,... , & - 1.
Далее найдем функции Jlj(r) и vj{t), j = 0,... ,п - 1, такие, что
решения w^(x,r) задачи
W3TT(X,T) -W3xx(x,t) =0 (X,t) e Qlj/a,
в момент времени т = //а удовлетворяют условиям w3\x,l/a) = 0 и
wJT(x,l/a) = Ф^+1(ж). Согласно формулам D.26) управления Jlj(r) и
z/j(r) имеют вид
^	$a -г)	_ , ч ^'(//а - г) - ^
или, с учетом равенств D.63),
^	/а -т])
Обозначим p(t) = Jij(t-l(k + j)/a), vj(t) = Vj (t - l(к + j)/a)
и сделаем замену т = t — I(к + j)/a- Тогда для все t таких, что
1(к + зI a ^t ^1(к + j + I)/'а будем иметь
• _
I1 \Ч —	2
D.65)
р = ^+i(Xfe+i+i^_(fc + i)//a])
Строим функцию /i(t):
~~ n / \	V "^ J )	V "^ «^ "^ /	•	r\
iJ (~f~) ——	— <^ ~f~ <^	 rt ^— Г)	<vn 	 1 •

136 Гл. 4- Обобщенные решения задач управления для первой задачи
и функцию v(t):
г = О,...,/с- 1,
D.67)
j = 0, ...,n- 1.
а	а
Очевидно, в силу ограничений D.57) и D.58) и формул D.64)
и D.65), для функций \i и v выполняются необходимые неравенст-
неравенства |Н|ь2[о,т] ^ Л и |М|ь2[о,т] ^ Л.
Построенные функции /i(t) и u(t) являются решением задачи о га-
гашении колебаний струны при ограничениях на управления, поскольку
для (ж,?) G Qi \1 а функция
u(x,t) =
li
И
V X
wJ
1г\ 1г
i^ ) 1
a/ a
/(г
г =
D.68)
j = 0, ...,n- 1,
удовлетворяет первой краевой задаче и, по построению, в момент вре-
времени Т = 1(п + к)/а принимает значения и(х,Т) = 0 и щ(х,Т) = 0.
Сформулируем сказанное в виде следующего утверждения.
Теорема 4.11. Для произвольных функций ср(х) и ф(х), удовле-
удовлетворяющих только условиям D.57) и D.58), решения /л(?) и v(t) за-
задачи 4.5 имеют вид D.66) и D.67) соответственно с /il(t) и vl(t),
г = 0, ...,/с- 1, из D.64) и Jlj(t) и Р(?), j = 0, ...,п- 1, из D.65), a
период времени Т равен 1(п + к)/а.
6.2. Решение задачи о переводе струны из заданного
состояния в заданное. Используя идеи, изложенные в предыдущих
пунктах, будем решать общую задачу 4.4 о переводе струны из задан-
заданного состояния в заданное. При отсутствии ограничений на управле-
управление решение задачи для Т = l/а дается формулами D.26).
Пусть теперь функции ц(ь) и v(t), задаваемые формулами D.26),
не удовлетворяют ограничениям задачи 4.4, но для заданных пар функ-
функций [(р(х),ф(х)] и [ipi(x),ipi(x)] выполняются следующие условия:
к	к
D.69)
D.70)
г=1
г=1
2Л, к нечетное,
п	п
ф(х) = y^^j(x), i/>i(x) =
п четное.

6. Управление на двух концах при ограничениях
137
Замечание 4.7. Число слагаемых, составляющих функции ip(x)
и ipi(x) в D.69), может не совпадать. Например, если у функции ipi(x)
их только I < к, то мы полагаем слагаемые ср\ для г = /,..., к равными
нулю. Аналогичное замечание справедливо для функций ф(х) и ijj\{x)
из условия D.70).
По-прежнему
\Х\ —
A - (-
	 1 \ 1 rp 	 J	'
[1-х,
если г четное,
если i нечетное,
здесь 0 ^ х ^ I; обозначим Ф°(х) = ц>(х) и для г = 1,..., к
_ х) _ (_
Из D.69) вытекает, что Фк(х) = (fi(x). Заметим, что из рекуррентных
соотношений D.71) получаются следующие равенства (г = 0,..., к—1):
_ , Л^
-1])
D.72)
В силу того, что к нечетное, гр^(х) = грA — х). Введем обозначения
\Р°(х) = фA - х) и для j = 1,... ,п
JM) - ? (^'М) •	D-73)
(x). После несложных выкладок
Из D.70) следует, что "Фп[х) =
получаем, что
-1]) - Ц
-t)- $J+i (t)
(ХЩ - ф{
D.74)
За каждый период времени l/а мы будем переводить струну из
состояния [Ф1{х)^фг{х)] в состояние [Фг+1(ж),'0г+1(ж)], г = 0,..., к — 1,
поэтому за время Ikja переведем струну из состояния [ip(x),ip(x)] в
состояние [ipi(x),ip(l — x)]. Аналогично, за каждый отрезок времени
l/а сможем струну из состояния, задаваемого функциями [0,^'(ж)],
перевести в состояние [0,^'+1(ж)], j = 0,... ,п — 1. Поэтому за вре-
время In/а переведем струну из состояния [(pi(x),ip(l — x)] в состояние
[(pi(x),ipi(x)]. Окончательно удается решить задачу за период време-
времени равный 1(к + п)/а.

138 Гл. 4- Обобщенные решения задач управления для первой задачи
Приступаем к построению управлений fi(t) и v(t). Найдем функ-
функции fii(r) и Vi{t) такие, что решения г>г(ж,т), г = 0,..., к — 1, задачи
v1tt(x,t) -vlxx(x,r) = 0 (x,t) G Qij/a,
v\x, 0) = Ф\х), <(x, 0)=i/>i(x), O^x^l,
у*@,т) = fair), v%t) = Vi(t), 0 ^ т <: I/a,
в момент времени т = I/a удовлетворяют следующим условиям:
vl(x,l/a) = Фг+1(х) и vlT(x,l/a) = ipi(x). Согласно формулам D.26)
управления /Хг(т) и щ(т) имеют для 0 ^ т ^ l/а вид
^	^а - г)
- г) + ^+1(г) ^(//« - г) -
4 '	2
Из равенств D.71) и D.72) получаем
= (-1Г
= (-1)'
Для i = 0,..., к - 1 введем замену т — t — li/а и обозначения
fjLl(t) = fjii(t — li/a), vl(t) — Vi(i — li/a). Тогда для li/a ^ t ^ Z
D.75)
~ /г/а])
Далее найдем функции Jlj(r) и vj{t), j = 0,... ,n - 1, такие, что
решения w^(x,r) задачи
w3tt(x,t) -wxx(x,t) =0 (x,t) G Qi^i/a,
в момент времени г = //а удовлетворяют условиям w^(x,l/a) = 0 и
wJT(x,l/a) = Ф^+1(ж). Согласно формулам D.26) управления /1/(т) и

§ 6. Управление на двух концах при ограничениях	139
Vj{t) имеют вид
фз (Х*[т]) - $j+1 (Х*+1[1/а - г})
ХЦ11а - г]) -
или, с учетом равенств D.74),
+1	/a - г})
Для j = 0,..., п — 1 введем замену т = t — l(k + j)/a и обозначим
ft (t) = Jlj (t — l(k + j)/a), vi(t) = Uj (t — l(k + j)/a). Тогда для всех
l(k + j)/a ^ t ^ l{k + j + l)/a имеют место равенства
D.76)
2
Для функций /i(t) и z/(?) вида D.66) и D.67) соответственно в силу
ограничений D.69) и D.70) и вида функций (/х*(*),И(*)) и (^(t),P(t)),
задаваемых формулами D.75) и D.76) соответственно, выполняются
неравенства |Н|Ь2[0,т] ^и ||^||ь2[о,т] ^ Л.
Построенные функции /i(t) и u(t) являются решением задачи о
переводе струны из одного состояния в другое при ограничениях на
управления, поскольку для момента времени Г = 1(п + к) решение
u(x,t) вида D.58) удовлетворяет первой краевой задаче и, по построе-
построению, в момент времени Т = 1{п + к)/а принимает заданные значения
и{х,Т) = <рг(х) и щ{х,Т) = г1л(х).
Сформулируем сказанное в виде следующего утверждения.
Теорема 4.12. Для произвольных функций ср(х), y>i(x) и ф(х),
ipi(ж), удовлетворяющих только условиям D.69) и D.70), решения /i(t)
и u(t) задачи 4.4 имеют вид D.66) и D.67) соответственно с /il(t) и
vl(t), г = 0,..., к - 1, из D.75) и p(t) и Р(?), j = 0, ...,п - 1, ш
D.76), а период времени Т равен 1(п + к)/а.

Глава 5
Обобщенные решения задач управления
в условиях других краевых задач
§ 1. Обобщенные решения задач управления
в условиях третьей краевой задачи
1.1.	Постановки задач. Сформулируем задачи управления,
аналогичные задачам 4.1-4.3 для обобщенных решений третьей крае-
краевой задачи. Будем предполагать, что функции (р(х) и (fi(x) принадле-
принадлежат пространству L^fO,/], функция ф(х) принадлежит пространству
(•7~з)*[Р>(]> а функция ф\(х) принадлежит пространству (^3HР^]•
Задача 5.1. Найти момент времени t = T и граничные функции
fi(t) Е ЦР[0,Т] и v(t) Е T-La[O,T] такие, чтобы для обобщенного реше-
решения u(x,t) Е L2(Qi,t) третьей краевой задачи с заданными началь-
начальными условиями [(р(х),гр(х)] в момент времени t = Т выполнялись
финальные условия с заданными функциями [ipi(x),ipi(x)]. Причем
равенства понимаются в смысле соответствующих пространств.
Это задача о переводе струны из состояния [ip(x),ip(x)] за про-
промежуток времени Т в состояние [(р\(х),ф\(х)\. Для решения зада-
задачи 5.1 нам потребуются ее частные случаи: задача о гашении колеба-
колебаний и задача о переводе первоначально покоящейся струны в заданное
состояние.
Задача 5.2. Найти момент времени t = T и граничные функции
ja(t) e {%'<$?[Q,T] и i/(t) e СНоJа[0,Т] такие, чтобы для решения
u(x,t) G L/2(Qi,t) третьей краевой задачи с заданными начальными
условиями [(р(х),ф(х)] в момент времени t — T выполнялись нулевые
финальные условия и(х,Т) = 0 и щ(х,Т) = 0; здесь равенства пони-
понимаются в смысле равенства элементов соответствующих пространств.
Задача 5.3. Найти момент времени t = Т и граничные функции
fi(t) G (Н'т)%р[0,Т] и v(t) G CH^)Sa[O,T] такие, чтобы для решения
u(x,t) G L/2(Qi,t) третьей краевой задачи с нулевыми начальными
условиями в момент времени t — T выполнялись финальные условия с
заданными функциями [(р\(х),ф\(х)\. Причем равенства понимаются
в смысле соответствующих пространств.
1.2.	Решение задачи гашения колебаний. Колебания систе-
системы можно успокоить за время Т = l/а. Возьмем обобщенное решение
u(x,t) третьей краевой задачи с нулевыми финальными условиями,
которое согласно теореме 3.10 имеет вид C.107); здесь черта над функ-
функциями \i и v означает, что соответствующие первообразные в смысле

§ 1. Решения задач управления для третьей краевой задачи 141
пространства Z/2 обращаются в нуль для аргументов, больших Т.
В момент времени t = 0 для решения u(x,t) верны равенства,
понимаемые в смысле соответствующих пространств:
= Ф), E-1)
) t^l_ E.2)
а / \ a J a
Продифференцируем равенство E.1) в обобщенном смысле, учи-
учитывая равенство A.13) для первообразных д*\
E-3)
Сложим равенства E.2) и E.3), а затем вычтем из равенст-
равенства E.3) равенство E.2); получаем равенства, в которых сделаны за-
замены t = х/а и t = (I — х)/а:
Обозначим y(t) = -[/i(-)e-W')]Jt), z(t) = -[К-)е"(ааш)]*(*)- ТогДа
полученные равенства дают два дифференциальных уравнения:
-^,	E.4)
At) + a-W = [^^ - ^^] е—*.	E.5)
Решения уравнений E.4) и E.5) равны соответственно
Замечание 5.1. В выражениях E.6) и E.7) учтен тот факт,
что [<^']*(ж) = —ср(х). Из формы решений E.6) и E.7) следует, что
условия, наложенные на функции ср(х), ф(х), /i(t) и v(t), не являются
избыточными. Из условий уA/а) = 0 и z(l/a) = 0 с очевидностью
вытекает, что ip@) = 0, (рA) = 0 и ^@) = 0. Откуда следует, что

142	Гл. 5. Задачи управления в условиях других краевых задач
2/@) = 0 и z@) = 0. С учетом обозначений y(t) и z(t) получаем, что
tit) ^ (^о)°^[0,Т] и v(t) е СНо)*а[0,Т].
Продифференцируем по t уравнения E.6) и E.7) и воспользуемся
тем, что у1 {t) = /i(?)e~a^ и z'(t) — v(t)e~aat. Окончательно получаем
выражения для /i(t) и z/(?)
/ч (pf (at) — в из (at) ф(аг) + ВфЛсЛ)	, ч
/i(t) = ^ v у— ^v у + z±-L—^r v \	E.8)
2	2а
(^'(Z — at) + a<p(Z — at) ф{1 — at) — аф*{1 — at)
2	2a
Замечание 5.2. Если функция ip(x) дважды непрерывно диффе-
дифференцируема, функция ф(х) непрерывно дифференцируема, эти функ-
функции удовлетворяют условиям согласования B.12), а функция ф обла-
обладает следующим свойством: интеграл от этой функции от нуля до I
равен нулю (см. замечание 2.2), то полученное решение E.8), E.9)
совпадает с решением B.37), B.38).
1.3. Решение задачи перевода покоящейся струны в задан-
заданное состояние. Период времени, за который удается перевести пер-
первоначально покоящуюся струну в заданное состояние, равен Т = 1/а.
Возьмем обобщенное решение u(x,t) третьей краевой задачи с ну-
нулевыми начальными условиями, которое согласно теореме 3.9 имеет
вид C.86); черта под функциями диг/в этой формуле означает, что
соответствующие первообразные в смысле пространства L2 обраща-
обращаются в нуль для аргументов, меньших нуля.
В момент времени t = I/a для решения u(x,t) верны равенства,
понимаемые в смысле соответствующих пространств:
+
= <pi(x), E.10)
^. E.11)
а
Продифференцируем равенство E.10) в обобщенном смысле, учи-
учитывая равенство A.12) для первообразных #*:
E.12)

§ 1. Решения задач управления для третьей краевой задачи 143
Сложим равенства E.11) и E.12), а затем вычтем из равенства
E.12) равенство E.11). Получаем равенства, в которых сделаны за-
замены t = (I — х) /а и t = х/а соответственно:
Если ввести обозначения ?/(?) = [/х(.)е(а^)]*(*), *(*) = [г/(-)е(аа-)]*(?),
то полученные равенства дают два дифференциальных уравнения:
У'И) - аШ = [Щ^ ~ ^^] е-/»,	E.13)
E.14)
Решения уравнений E.13) и E.14) равны соответственно
^5 EЛ5)
Щ^У«К	E.16)
Замечание 5.3. В выражениях E.15) и E.16) учтен тот факт,
что [<?]_]*(#) = <pi(x). Из формул E.15) и E.16) следует, что усло-
условия, наложенные на функции ipi(x), ipi(x), fi(t) и v(t), не являются
избыточными. В этом легко убедиться, повторив рассуждения из за-
замечания 5.1.
Продифференцируем по t уравнения E.15) и E.16) и воспользуем-
воспользуемся тем, что у1 {t) = /i(t)ea^* и z'(t) = v(t)eaOit. Окончательно получаем
выражения для fi(t) и i/(t)
- at) - /ЗугЦ - at) фгA - at) - /?[^i]*(Z - at)
' E<17)
2а
_ ^[(at) +a(p1(at) ^i(at) +а[ф1\*(аг)
v(t)	+	.	E.18)
Замечание 5.4. Если функция ipi(x) дважды непрерывно диф-
дифференцируема, а функция фг(х) непрерывно дифференцируема и эти
функции удовлетворяют условиям согласования B.24), то полученное
решение E.17), E.18) совпадает с решением B.41), B.42).
1.4. Решение общей задачи управления. Решение задачи 5.1
получается как сумма решений задач гашения колебаний и перевода
покоящейся струны в заданное состояние. Выпишем решение этой
задачи:

144	Гл. 5. Задачи управления в условиях других краевых задач
<p'{at)-P<p{at) , tl>(at) + 0tl>*(at)
+	+
_
2	+	2a	+
l - at) - /3^A - at) фгA - at) - /3[фг}*A - at)
2a
at) V'C — at) — аф*A — at)
+
2	2a
ip'^at) + atpijat) фх{а1
+	+
§ 2. Обобщенные решения задач управления
в условиях смешанных краевых задач A,3) и C,1)
2.1. Задачи управления в условиях смешанной краевой
задачи A,3).
2.1.1. Постановки задач управления. Сформулируем задачи управ-
управления для обобщенных решений смешанной краевой задачи A,3). Бу-
Будем предполагать, что функции ip(x) и ipi(x) принадлежат прост-
пространству Li] [О,/], функция ф(х) принадлежит пространству (^г{;зJ[О? Ч?
а функция ipi(x) принадлежит пространству (^г{5з)о 1Р?(]-
Задача 5.4. Найти момент времени t = Т, граничные функции
/i(t) G L^fOjT] и z/(t) G /Ha[0,T] такие, чтобы для обобщенного реше-
решения u(x,t) G L2(Qi,t) смешанной краевой задачи A,3) с заданными
начальными условиями [ср(х),ф(х)] в момент времени t = T выполня-
выполнялись финальные условия с заданными функциями [(pi(x),ipi(x)]. При-
Причем равенства понимаются в смысле соответствующих пространств.
Это задача о переводе струны из состояния [ср(х),ф(х)] за проме-
промежуток времени Т в состояние [cpi(x)^i(x)]. Для решения задачи 5.4
нам потребуются ее частные случаи: задача о гашении колебаний и
задача о переводе первоначально покоящейся струны в заданное
состояние.
Задача 5.5. Найти момент времени t = Т и граничные функ-
функции fi(t) G L§[0,T] и v(t) G CH())°a[0,T] такие, чтобы для решения
u(x,t) G L2(Qi,t) смешанной краевой задачи A,3) с заданными на-
начальными условиями [(р(х),ф(х)] в момент времени t — T выполня-
выполнялись нулевые финальные условия и(х,Т) = 0 и щ(х,Т) = 0. Все ра-
равенства понимаются в смысле равенства элементов соответствующих
пространств.
Задача 5.6. Найти момент времени t = Т и граничные функ-
функции n(t) G L^fOjT] и i/(t) G (H>t)ocx[QiT] такие, чтобы для решения
u(x,t) e I/2(Q/,t) смешанной краевой задачи A,3) с нулевыми началь-
начальными условиями в момент времени t = Т выполнялись финальные

§ 2. Решения задач управления для задач A, 3) и C, 1)	145
условия с заданными функциями [(р\(х),ф\(х)\. Причем равенства
понимаются в смысле соответствующих пространств.
2.1.2. Решение задачи гашения колебаний. Колебания системы
можно успокоить за время Т = l/а. Возьмем обобщенное решение
u(x,t) смешанной краевой задачи A,3) с нулевыми финальными усло-
условиями, которое согласно теореме 3.13 имеет вид C.114); черта над
функцией v в этой формуле означает, что соответствующая первооб-
первообразная в смысле пространства Z/2 обращается в нуль для аргументов,
больших Т.
В момент времени t = 0 для решения u(x,t) верны равенства,
понимаемые в смысле соответствующих пространств:
M. E.22)
a
Продифференцируем равенство E.21) в обобщенном смысле, учи-
учитывая равенство A.13) для первообразных д*:
Сложим равенства E.22) и E.23), а затем вычтем из равенст-
равенства E.23) равенство E.22), сделаем соответствующие замены; получа-
получаем равенства
At) = ^ + M,	E.24)
Если ввести обозначение z(t) = — [z/(-)e~(aa')] (t), то получаем
дифференциальное уравнение E.5); его решение имеет вид E.7), а
функция u(t) имеет вид E.9).
Решение уравнения E.24) равно
= ^) _ ^at) _
z	2a
Таким образом, решение задачи имеет вид E.9), E.25).
2.1.3. Решение задачи перевода покоящейся струны в заданное
состояние. Период времени, за который удается перевести первона-
первоначально покоящуюся струну в заданное состояние, равен Т = l/а. Возь-
Возьмем обобщенное решение u(x,t) смешанной краевой задачи A,3) с
нулевыми начальными условиями, которое согласно теореме 3.11 име-
имеет вид C.93); черта под функцией v в этой формуле означает, что
соответствующие первообразные в смысле пространства L2 обраща-
обращаются в нуль для аргументов меньших нуля.

146	Гл. 5. Задачи управления в условиях других краевых задач
В момент времени t = I/a для решения u(x,t) верны равенства,
понимаемые в смысле соответствующих пространств:
^(х),	E.26)
^- E-27)
а
Продифференцируем равенство E.26) в обобщенном смысле, учи-
учитывая равенство A.12) для первообразных #*:
Сложим равенства E.27) и E.28), а затем вычтем из равенст-
равенства E.28) равенство E.27) и сделаем соответствующие замены; полу-
получаем дифференциальное уравнение E.14) и
^ = ^	_	E29)
Решение дифференциального уравнения E.14) имеет вид E.16), а
решение уравнения E.29) имеет вид
Таким образом, решение задачи перевода покоящейся струны в
заданное состояние имеет вид E.18), E.30).
2.1.4. Решение общей задачи управления. Решение задачи 5.4 по-
получается как сумма решений задач гашения колебаний и перевода по-
покоящейся струны в заданное состояние. Решение этой задачи задают
формулы E.20) и
ip{at) il)*{at) ip^l-at) №i]*(l-at)
~2	2a~~ + 2	2a '	E<31)
Замечание 5.5. Формула E.31) для дважды непрерывно диффе-
дифференцируемых функций ip(x), ipi(x) и непрерывно дифференцируемых
функций гр(х), ф\(х) соответствует формуле B.33).
2.2. Задачи управления в условиях смешанной краевой
задачи C,1).
2.2.1. Постановки задач управления. Сформулируем задачи управ-
управления для обобщенных решений смешанной краевой задачи C,1). Бу-
Будем предполагать, что функции ср(х) и ipi(x) принадлежат прост-
пространству Z/OfO,/], функция ф(х) принадлежит пространству (^ iJ[0,Z],
а функция ф\(х) принадлежит пространству (^ i)o[0?']-
Задача 5.7. Найти момент времени t = Т, граничные функции
fi(t) G ЦР[0,Т] и v(t) G L^fOjT] такие, чтобы для обобщенного реше-
решения u(x,t) e I/2(Q/,t) смешанной краевой задачи C,1) с заданными

§ 2. Решения задач управления для задач A, 3) и C, 1)	147
начальными условиями [ip(x),ip(x)] в момент времени t — T выполня-
выполнялись финальные условия с заданными функциями [(р\(х),ф\(х)\. При-
Причем равенства понимаются в смысле соответствующих пространств.
Это задача о переводе струны из состояния [ip(x),ip(x)] за проме-
промежуток времени Т в состояние [ipi(x),ipi(x)]. Для решения задачи 5.7
используем ее частные случаи: задачу о гашении колебаний и задачу
о переводе первоначально покоящейся струны в заданное состояние.
Задача 5.8. Найти момент времени t = Т, граничные функ-
функции fi(t) e (Uq)Q/[Q,T] и v(t) e L§[0,T] такие, чтобы для решения
u(x,t) e I/2(Q/,t) смешанной краевой задачи C,1) с заданными на-
начальными условиями [ip(x),ip(x)] в момент времени t — T выполня-
выполнялись нулевые финальные условия и(х,Т) = 0 и щ(х,Т) = 0. Все ра-
равенства понимаются в смысле равенства элементов соответствующих
пространств.
Задача 5.9. Найти момент времени t = Г, граничные функ-
функции /i(t) Е СНт)ов[®1 -^1 и u(t) G L^fOjT] такие, чтобы для решения
u(x,t) G L2(Qi,t) смешанной краевой задачи C,1) с нулевыми началь-
начальными условиями в момент времени t = Т выполнялись финальные
условия с заданными функциями [(pi(x),ipi(x)]. Причем равенства
понимаются в смысле соответствующих пространств.
2.2.2. Решение задачи гашения колебаний. Колебания системы
можно успокоить за время Т = l/а. Возьмем обобщенное решение
u(x,t) смешанной краевой задачи C,1) с нулевыми финальными усло-
условиями, которое согласно теореме 3.14 имеет вид C.121); в этой фор-
формуле черта над функцией \i означает, что соответствующая первооб-
первообразная в смысле пространства L2 обращается в нуль для аргументов,
больших Г.
В момент времени t = 0 для решения u(x,t) верны равенства,
понимаемые в смысле соответствующих пространств:
-ое"' И>-""'-)], (I) + "(Ц^) = VW.	E-32)
Продифференцируем равенство E.32) в обобщенном смысле, учи-
учитывая равенство A.13) для первообразных д*\
(Ц?) •(.). E-34)
Сложим равенства E.33) и E.34), а затем вычтем из равенст-
равенства E.33) равенство E.34) и сделаем соответствующие замены. Полу-
Получаем дифференциальное уравнение E.4) и

148	Гл. 5. Задачи управления в условиях других краевых задач
Решение уравнения E.4) имеет вид E.6), а решение уравнения E.35)
равно
„(t) = Ml^ + ±^.	E.36)
Таким образом, решение задачи имеет вид E.8), E.36).
2.2.3. Решение задачи перевода покоящейся струны в заданное сос-
состояние. Период времени, за который удается перевести первоначаль-
первоначально покоящуюся струну в заданное состояние, равен Т = l/а. Возьмем
обобщенное решение u(x,t) смешанной краевой задачи C,1) с нуле-
нулевыми начальными условиями, которое согласно теореме 3.12 имеет
вид C.100); черта под функцией \i в этой формуле означает, что соот-
соответствующие первообразные в смысле пространства Z/2 обращаются в
нуль для аргументов, меньших нуля.
В момент времени t = I/a для решения u(x,t) верны равенства,
понимаемые в смысле соответствующих пространств:
^- E-38)
а
Продифференцируем равенство E.37) в обобщенном смысле, учи-
учитывая равенство A.12) для первообразных #*:
i. E.39)
Сложим равенства E.38) и E.39), а затем вычтем из равенст-
равенства E.39) равенство E.38) и сделаем соответствующие замены. Полу-
Получаем дифференциальное уравнение E.13) и
2 ¦ 2—•	E-40)
Решение дифференциального уравнения E.13) имеет вид E.15), а
решение уравнения E.40) имеет вид
Р{1) = ^Ш + ЩШ_	E.41)
Таким образом, решение задачи перевода покоящейся струны в
заданное состояние имеет вид E.17), E.41).
2.2.4. Решение общей задачи управления. Решение задачи 5.7 по-
получается как сумма решений задач гашения колебаний и перевода по-
покоящейся струны в заданное состояние. Решение этой задачи задают
формулы E.19) и
fit) = —	1	1	1	.	E.42)
w	2а	2	2	2а	v J

§ 3. Решения задач управления со вторым краевым условием 149
Замечание 5.6. Формула E.42) для дважды непрерывно диффе-
дифференцируемых функций (р(х), <pi(x) и непрерывно дифференцируемых
функций ф(х), ф\(х) соответствует формуле B.34), если функция ф\
обладает следующим свойством: интеграл от этой функции от нуля
до I равен нулю (см. замечание 2.2).
§ 3. Обобщенные решения задач управления
в условиях краевых задач со вторым краевым условием
3.1. Задача управления в условиях второй краевой задачи.
Сформулируем задачу управления для обобщенных решений второй
краевой задачи. Предположим, что функции ip(x) и ipi(x) принад-
принадлежат пространству L2[O,Z], функция ф(х) принадлежит пространст-
пространству (^ )* IP? '] и Функция фг(х) принадлежит пространству (^Ш^М]-
Задача 5.10. Найти момент времени t = Т и граничные функции
/i(t) и v(t) из пространства П°[0,Т] = G^)°[0,Т] П (Н'ТI[Ъ,Т\ такие,
чтобы для решения u(x,t) Е L2(Qi,t) второй краевой задачи с задан-
заданными начальными условиями [(р(х),ф(х)] в момент времени t — T вы-
выполнялись финальные условия с заданными функциями [ipi(x),ipi(x)].
Равенства понимаются в смысле соответствующих пространств.
Решение этой задачи дают формулы E.19) и E.20) при а = 0
и C = 0:
= ipiafi+ipWat) + ф(а1) фхA - at)
2	2а
фA - at) - ilajat)
m	2	2а	'
3.2. Задача управления в условиях смешанных краевых
задач A,2) и B,1). Сначала сформулируем задачу управления для
обобщенных решений смешанной краевой задачи A,2).
Предположим, что функции ср(х) и ipi(x) принадлежат прост-
пространству L^fO,/], функция ф(х) принадлежит пространству (JT{ 2)*Р?']?
а функция ф\(х) принадлежит пространству (JT{ 2)о1Р>(]
Задача 5.11. Найти момент времени t = Т, граничные функции
n(t) из пространства L2[0,T] и i/(t) G /Н°[0,Т] такие, чтобы для реше-
решения u(x,t) G L2(Qi,t) смешанной краевой задачи A,2) с заданными
начальными условиями [ср(х),ф(х)] в момент времени t = Т выполня-
выполнялись финальные условия с заданными функциями [ifi{x)^i{x)\. При-
Причем равенства понимаются в смысле соответствующих пространств.
Решение этой задачи дают формулы E.31) и E.44).
Для обобщенных решений смешанной краевой задачи B,1) так-
также сформулируем задачу управления. Для этого предположим, что
функции ip(x) и ipi(x) принадлежат пространству L2[O,Z], функция
ф(х) принадлежит пространству (^2 iJ[0,Z], а функция ф\(х) при-
принадлежит пространству (^ i)o[0?(]-

150
Гл. 5. Задачи управления в условиях других краевых задач
Задача 5.12. Найти момент времени t = Т и граничные функции
Е /Н°[0,Т] и v(t) Е Z/2[0,T] такие, чтобы для обобщенного реше-
решения u{x,t) Е I/2(Q/,t) смешанной краевой задачи B,1) с заданными
начальными условиями [ср(х),ф(х)] в момент времени t = Т выполня-
выполнялись финальные условия с заданными функциями [(fi(x)^i(x)]. При-
Причем равенства понимаются в смысле соответствующих пространств.
Решение этой задачи дают формулы E.43) и E.42).
3.3. Задача управления в условиях смешанных краевых
задач B,3) и C,2). Сформулируем задачу управления для обоб-
обобщенных решений смешанной краевой задачи B,3). Предположим, что
функции ср(х) и (fi(x) принадлежат пространству L^fO,/], функция
ф(х) принадлежит пространству {Т^ з)*[0?(|? а функция ф\{х) при-
принадлежит пространству {Т^ з)оР^]-
Задача 5.13. Найти момент времени t = Т и граничные функции
/i(t) Е /Н°[0,Т] и v(t) Е Иа[0,Т] такие, чтобы для обобщенного реше-
решения u(x,t) e I/2(Q/,t) смешанной краевой задачи B,3) с заданными
начальными условиями [(р(х),гр(х)] в момент времени t = Т выполня-
выполнялись финальные условия с заданными функциями [ipi(x),ipi(x)]. При-
Причем равенства понимаются в смысле соответствующих пространств.
Теперь сформулируем задачу управления для обобщенных реше-
решений смешанной краевой задачи C,2).
Предположим, что функции (р(х) и (fi(x) принадлежат прост-
пространству Li][О,/], функция ф(х) принадлежит пространству (^з,2J[0?']?
а функция фг(х) принадлежит пространству (^3,2HР?']-
Задача 5.14. Найти момент времени t = Т и граничные функции
fi(t) е 7^ [0, Г] и v(t) e /Н°[0,Г] такие, чтобы для обобщенного реше-
решения u(x,t) G L2(Qi,t) смешанной краевой задачи C,2) с заданными
начальными условиями [ср(х),ф(х)] в момент времени t = Т выполня-
выполнялись финальные условия с заданными функциями [cpi(x)^i(x)]. При-
Причем равенства понимаются в смысле соответствующих пространств.
Решения задач управления 5.13 и 5.14 получаются из фор-
формул E.19) и E.20) при C = 0 и а = 0 соответственно. Таким об-
образом, решение задачи управления в условиях смешанной краевой за-
задачи B,3) имеет вид E.43) и E.20), а решение задачи управления в
условиях смешанной краевой задачи C,2) имеет вид E.19) и E.44).

Глава 6
Задачи управления, связанные
с телеграфными уравнениями
§ 1. Краевые задачи и задачи управления
1.1. Постановки задач. Будем решать задачу об управлении
процессом прохождения тока по проводу, который характеризуется
силой тока i и напряжением г?, являющимися функциями положения
точки х и времени t. Эти функции удовлетворяют системе телеграф-
телеграфных уравнений
vx+Lit + Ri = 0,	( .
ix + Cvt + Gv = 0,	[0Л)
где Rn L — сопротивление и коэффициент самоиндукции, а С и G —
коэффициенты емкости и утечки, рассчитанные на единицу длины. В
случае, когда сигнал по линии распространяется без искажения, т.е.
выполненно равенство CR = LG, решение задачи Коши для систе-
системы F.1) с начальными условиями
v(x, 0) = Ф{х), г(ж, 0) = Ф(х), -оо < х < оо,	F.2)
определяется формулами
+ ^)+^-^) *(x + at)-9(x-at)i
_0t \Ф(х + at) + Ф(х - at) Ф(х + at) - Ф(х - at)
e [
]
2	2aL
где /3 = G/C = R/L, a = y/l/(LC).
Решение F.3), F.4) является классическим решением сформули-
сформулированной задачи Коши F.1), F.2) при условии непрерывной диффе-
ренцируемости функций Ф(х), \Р(х) на всей числовой оси.
Если рассматривать линии передач длины I, то для характеристи-
характеристики функций v(x,t) и i(x,t) кроме начальных условий требуется учи-
учитывать условия, которые должны выполняться на концах линии.
Для системы F.1) можно ставить разные типы краевых условий.
Предположим, что функции v(x,t) и i(x,t) удовлетворяют начальным
условиям
v(x, 0) = ip(x), i(x, 0) = ф(х), 0 ^ х ^ /.	F.5)
Нас будут интересовать случаи нулевых условий на правом конце сег-
сегмента х = I. По-прежнему Qi,t — прямоугольник.
Краевая задача I с начальными условиями. Найти функции v(x,t)
и i(x,t), удовлетворяющие в Q^T системе F.1), начальным услови-

152	Гл. 6. Управление для телеграфных уравнений
ям F.5) при 0 ^ х ^ I и краевым условиям
г;@, t) = /i(t), v(l, t) = 0, 0 ^ t ^ Г.	(б.б)
Краевая задача II с начальными условиями. Найти функции v(x,t)
и г(ж, ?), удовлетворяющие внутри Qi,t системе F.1), начальным усло-
условиям F.5) при 0 ^ х ^ I и краевым условиям
г;@, ?) = /i(t), г(/, ?) = О, 0 ^ t ^ Г.	F.7)
В дальнейшем нам потребуются задачи с финальными условиями
v(x,T)=lp(x), Цх,Т)=ф(х).	F.8)
Краевая задача I с финальными условиями. Найти функции v(x,t)
и г(ж,?), удовлетворяющие в Qi,t системе F.1), финальным услови-
условиям F.8) при 0 ^ х ^ I и краевым условиям (б.б).
Краевая задача II с финальными условиями. Найти функции v(x,t)
и г(ж,?), удовлетворяющие внутри Q^T системе F.1), финальным
условиям F.8) при 0 ^ х ^ I и краевым условиям F.7).
При передаче электрической энергии важно, чтобы и напряже-
напряжение, и сила тока у потребителя были заданной величины. В связи с
этим возникают различные задачи управления процессом с помощью
управляющих воздействий /i(t), сосредоточенных в начале линии.
Задача гашения колебаний в условиях краевой задачи I. Найти
функцию n(t) и момент времени t = Т такие, чтобы решение кра-
краевой задачи I с начальными условиями F.5) в момент времени t — T
удовлетворяло условиям
v(x,T) = Q, i(x,T)=Q.	F.9)
Задача гашения колебаний в условиях краевой задачи П. Найти
функцию /i(t) и момент времени t = Т такие, чтобы решение краевой
задачи II с начальными условиями F.5) в момент времени t = Т
удовлетворяло условиям F.9).
Задача перевода покоящейся системы в заданное состояние в усло-
условиях краевой задачи I. Найти функцию /i(t) и момент времени t = Т
такие, чтобы решение краевой задачи I с нулевыми начальными усло-
условиями в момент времени t = Т удовлетворяло условиям F.8).
Задача перевода покоящейся системы в заданное состояние в усло-
условиях краевой задачи П. Найти функцию /i(t) и момент времени t — T
такие, чтобы решение краевой задачи II с нулевыми начальными усло-
условиями в момент времени t — T удовлетворяло условиям F.8).
Сформулированные задачи являются частными случаями сле-
следующих общих задач управления.
Задача управления в условиях краевой задачи I. Найти функцию
/i(t) и момент времени t = Т такие, чтобы решение [v(x,t),i(x,t)]
краевой задачи I с начальными условиями F.5) в момент времени
t — T удовлетворяло условиям F.8).

§ 1. Краевые задачи и задачи управления	153
Задача управления в условиях краевой задачи П. Найти функцию
li(t) и момент времени t = Т такие, чтобы решение [v(x,t),i(x,t)\
краевой задачи II с начальными условиями F.5) в момент времени
t = Т удовлетворяло условиям F.8).
1.2. Сведение краевой задачи I к краевым задачам для
волнового уравнения. Краевая задача I эквивалентна двум крае-
краевым задачам для функций v(x,t) и i(x,t). Сформулируем эти задачи.
Если v и i — дважды непрерывно дифференцируемые функции, то
из системы F.1) легко получить уравнения, которым удовлетворяют
функции v и г,
vtt + 20vt + P2v = a2vxx.	F.10)
iu + 2f3it + f32i = a2iXXj	F.11)
где C = G/C = R/L, a2 = 1/(CX).
Для того чтобы получить начальные условия для функции v(x,t)
воспользуемся вторым уравнением системы F.1), которое перепишем
в виде vt(x,t) = —ix(x,t)/C — /3v(x,t). Из полученного уравнения и
начальных условий F.5) находим второе начальное условие для функ-
функции v(x,t): vt(x,0) = —гф'{х)/С — E(р{х). Окончательно получаем для
функции v(x,t) краевую задачу.
Краевая задача для функции v(x,t). Найти функцию v(x,t) удов-
удовлетворяющую в Qi^t уравнению F.10), с начальными условиями
v(x,0)=<p{x), Vt(x,0) =-^Р-- 0<р{х)	F.12)
и краевыми условиями F.6).
Чтобы получить краевую задачу для функции i(x,t), необходимо
выписать начальные и краевые условия для этой функции. Основным
уравнением является уравнение F.11).
Для того чтобы получить второе начальное условие, воспользу-
воспользуемся первым уравнением системы F.1), которое преобразуем сле-
следующим образом: it(x,t) = —vx(x,t)/L - /3i(x,t). Отсюда находим
При получении краевых условий для функции i(x,t) будем пользо-
пользоваться вторым уравнением системы F.1). Находим краевые условия
для i(x,t):
ix@, t) = -Cn'(t) - Gn(t), ix(l, t) = 0.	F.13)
Краевая задача для функции i(x,t). Найти функцию i(x,t), удов-
удовлетворяющую в Qi,t уравнению F.11), с начальными условиями
i(x, 0) = ф{х\ it(x, 0) = -^М _ /Зф(х)	F.14)
и краевыми условиями F.13).
Замены v(x, t) = u(x, t)e~^f и г(ж, t) = w(x, t)e~^f в краевой задаче
для функции v(x,t) и соответственно в краевой задаче для функции

154	Гл. 6. Управление для телеграфных уравнений
i(x,t) позволяют сформулировать краевые задачи для функции u(x,t)
и w(x,t).
Найти функцию u(x,t) такую, что
utt{x,t) = a2uxx(x,t), (x,t) e QijT
u(x,0) = ф), щ(х,0) = г!л(х), O^x^l,	F.15)
где ^i(ar) = -<ф'(х)/С и
Найти функцию w(x,t) такую, что
wu(x,t) = a2wxx(x,t), (x,t) e QijT
w(x,0) = ф(х), wt(x,O) = (^i(x), 0 ^ x <: I,	F.16)
wx(p,t) = /li(t), Wx(i,t) = 0, о ^ t <: r,
где <Pl(x) = -<p'(x)/L и
Замечание 6.1. Если использовать терминологию, введенную в
этой книге, то задача F.15) — первая краевая задача с закрепленным
правым концом, а задача F.16) — вторая краевая задача со свободным
правым концом.
Для краевой задачи с финальными условиями получаем аналогич-
аналогичные краевые задачи.
Найти функцию u(x,t) такую, что
utt{x,t) = a2uxx(x,t), (x,t) e QijT
и(х,Т) = ^i(x), щ(х,Т) = ^i(x), 0 ^ х <: I,	F.150
u@,t) =
где
Найти функцию w(x,t) такую, что
wu(x,t) = a2wxx(x,t), (x,t) G Qz,T
w(x,T) = фг(х), wt(x,T) = ^i(x), 0 ^ x ^ I,	F.167)
^(z,*) = 0, о ^ t <: r,
где введены обозначения (fi(x) = —(f/(x)e^T/L, фг(х) = ф(х)е@т и
1.3. Сведение краевой задачи II к краевым задачам для
волнового уравнения. Краевая задача II также эквивалентна двум
краевым задачам для дважды непрерывно дифференцируемых в Qi,t
функций v(x, t) и г(ж, t). Функции г?(ж, t) и г(ж, t) из системы F.1) удов-
удовлетворяют уравнениям F.10) и F.11) и начальным условиям F.12) и
F.14). Второе краевое условие получим из первого уравнения систе-
системы F.1): vx(x,t) = -Lit(x,t) - Ri(x,t), поэтому vx(l,t) = 0.

§ 1. Краевые задачи и задачи управления	155
Краевая задача для функции v(x,t). Найти функцию v(x,t), удов-
удовлетворяющую в Qi,t уравнению F.10), с начальными условиями F.12)
и краевыми условиями
vx(l,t) = O.	F.17)
Чтобы получить краевую задачу для функции г(ж,?), необходимо
выписать краевые условие на конце х = 0 для этой функции. При
получении краевых условий для функции i(x,t) будем пользоваться
вторым уравнением системы F.1): ix(x,t) = -Cvt(x,t) -Gv(x,t). Из
полученного равенства находим краевые условия для i(x,t):
ix@,t) = -Cfif(t) - Gfi(t), i(l,t) = 0.	F.18)
Краевая задача для функции i(x,t). Найти функцию г(ж,?), удов-
удовлетворяющую в Qi^t уравнению F.11), с начальными условиями F.14)
и краевыми условиями F.18).
Аналогично, замены v(x,t) = u(x,t)e~Pt и i(x,t) = w(x,t)e~Pt со-
соответственно в краевой задаче для функции v(x,t) и в краевой задаче
для функции i(x,t) позволяют сформулировать краевые задачи для
функций u(x,t) и w(x,t).
Найти функцию u(x,t) такую, что
uu(x,t) = a2uxx(x,t), (x,t) e Qi,T
и(х,0)=<р(х), щ(х,0)='ф1(х), O^x^l,	F.19)
где 7/>iO) = -i/>'(x)/C и m(t) =
Найти функцию w(x,t) такую, что
wu(x,t) = a2wxx(x,t), (x,t) e Qi,T
w(x,0) =ф(х), wt(x,0)=<p1(x), O^x^l,	F.20)
wx(o,t) = /ii(t), w(i,t) = 0, о ^ t <: r,
где (Pl(x) = -(P'(x)/L и Jl1(t) = [-Cfi/(t)
Замечание 6.2. Задача F.19) — смешанная краевая задача A,2)
со свободным правым концом и F.20) — смешанная краевая зада-
задача B.1) с закрепленным правым концом.
Для краевой задачи II с финальными условиями получаем анало-
аналогичные краевые задачи с финальными условиями.
Найти функцию u(x,t) такую, что
uu(x,t) = a2uxx(x,t), (x,t) G Qz,T
u(x,T)=(p1(x), щ(х,Т)=:ф1(х), O^x^l,	F.190
u@,t) = in(t), ux(l,t) = 0, O^t^T,
где ^i(x) = ^f(x)ef3T, ф^х) = -ф'(х)е(ЗТ/С и

156	Гл. 6. Управление для телеграфных уравнений
Найти функцию w(x,t) такую, что
wu(x,t) = a2wxx(x,t), (x,t) Е QiiT
w(x,T) =ij>i(x), wt(x,T) = (p1(x), O^x^l,	F.200
wx@,t) = ?i(t), w(l,t) = 0, 0 ^ t <C T,
где введены обозначения fii(x) = —(ff(x)e^T/L, ^i{x) = гр(х)е^Т и
§ 2. Классические решения краевых задач I и II
В этом параграфе в качестве промежутка времени Т будем
использовать величину 21/а.
2.1. Решение краевых задач с начальными условиями.
Решения краевых задач F.15), F.16), F.19) и F.20) даются с
помощью формулы Даламбера. Для задачи F.15) решение имеет
при 0 ^ t ^ 21/а вид
x + at
, ч Ф(х + at) + Ф(х - at) 1
u(xt) = ±)^J +
1 Г
— I
x — at
21-х-
( %\	( М — х\
/ii t-- -fiilt	), F.21)
— V а/ —V	а /
где функции Ф(х) и \Р\(х) — нечетные продолжения относитель-
относительно точки х = 0 на всю числовую ось функций ip(x) и ф\{х)
соответственно с периодом 21.
Для задачи F.16) решение имеет при 0 ^ t ^ 21/а вид
x + at
1 Г
x-at
t-x/a	t-Bl-x)/a
-a j Jh(z)dz-a f Jh(z)dz, F.22)
о	о
функции \Р(х) и Ф\{х) — четные продолжения относительно точки
х = 0 на всю числовую ось функций ф{х) и ipi(x) с периодом 21.
Для задачи F.19) решение имеет при 0 ^ t ^ 21/а вид
x + at
Ф(гр _|_ nf\ _|_ ф(гр 	 nf\	I
v	-ж- \ «ДУ | VAJ (У / | Л. \ «АУ	1^С/ (У /	-L
2а
ж —at
F.23)

§ 2. Классические решения краевых задач I и II	157
где функции Ф(х) и &i(x) — нечетные относительно х = 0 и четные
относительно х = I продолжения на всю числовую ось функций ip(x)
и ф\(х) с периодом 41.
Для задачи F.20) решение имеет при 0 ^ t ^ 21 /а вид
x + at
at) 1 Г
ж —at
t-ж/а	t-Bl-x)/a
-a J Jh(z)dz + a f Mz)dz, F.24)
о	о
где функции \Р(х) и Ф\(х) — четные относительно х = 0 и нечетные
относительно ж = I продолжения на всю числовую ось функций ф(х)
и (fi(x) с периодом 41.
Выпишем решения v(x,t) и i(x,t) краевой задачи I, используя
формулы F.21), F.22):
v(x,t)=e-f> [
(ж -at)
Ф(х + at) - Ф(х - at)
F.26)
Функция Ф(х) — нечетное, а функция \Р(х) — четное продолжение
относительно точки х = 0 на всю числовую ось функций (р(х)
и ф(х) соответственно с периодом 21.
Функции, представленные формулами F.25) и F.26), зада-
задают классическое решение краевой задачи I, если функции Ф(х),
\Р(х) и /i(t) непрерывно дифференцируемы при — 21 ^ х ^ 31 и
—21/а ^ t ^ 21/а. Это возможно при выполнении следующих усло-
условий на функции ip(x), ф(х) и /л(г):
^@) = ч>A) = 0, ^@) = ф'A) = 0, /i@) = 0,	F.27)
где учитывались свойства продолжений функций ip(x) и ф(х)
относительно точек х = 0 и х = / и функции /i на отрицательную
полуось.	~
Выпишем решения v(x,t) и i(x,t) краевой задачи II, используя
формулы F.23), F.24):

158	Гл. 6. Управление для телеграфных уравнений
(х + at) + Ф(х - at) \Р(х + at) - \Р(х - аЬ)
., ч _nt[&(x + at)+W(xat) Ф(х + at) - Ф(х - at)
г(х, t)=e-V [
2aL
F.29)
Функция Ф{х) — нечетное продолжение относительно х = О
и четное продолжение относительно х = I функции ср(х) с перио-
периодом 41. Соответственно \Р(х) — четное продолжение относительно
х = 0 и нечетное продолжение относительно х = I функции ф{х) с
периодом 41.
Функции, представленные формулами F.28) и F.29), задают
классическое решение краевой задачи II, если по-прежнему функции
Ф(х), \Р(х) и /i(t) непрерывно дифференцируемы при — 21 ^ х ^ 31
и —21/а ^ t ^ 21/а. Этого удается достичь при выполнении сле-
следующих условий на функции (р(х), ф(х) и /i(t):
где учитывались свойства продолжений функций ip(x) и ф(х)
относительно точек х = 0 и х = / и функции /i на отрицательную
полуось.	~
2.2. Решение краевых задач с финальными условиями.
Нам потребуются решения задач с финальными условиями. При-
Приведем решения этих задач для t ^ 21/а. Решение краевой задачи I
с финальными условиями имеет вид
v(r t) —
0(T_t) \*{х + а(Т - t)) - Ф(х - а(Т -Щ
е	[	2аС
?)е^/- - -pit + tL^L)e№-*V*, F.31)
t t) =
a(T - t)) - Ф(х - a(T - t))
2aL
^№I\ F-32)

§ 2. Классические решения краевых задач I и II	159
Функция Ф(х) — нечетное, а функция Ф(х) — четное продолжение
относительно точки х = 0 на всю числовую ось функций (р(х) и ф(х)
соответственно с периодом 21.
Функции, представленные формулами F.31) и F.32), задают
классическое решение краевой задачи I с финальными условиями,
если функции Ф(х), Ф(х) и ~p(t) непрерывно дифференцируемы
при — 21 ^ х ^ 31 и 0 ^ ? ^ 41/а. Это возможно при выполнении
следующих условий на функции ip(x), ф(х) и /л(г):
ф(О)=фA)=О, ф'(О)=ф'A)=О, ц(Т) = 0,	F.33)
где учитывались свойства продолжений функций (р(х) и ф(х)
относительно точек х = 0 и х = / и функции ~р для значений t > Т.
Соответственно решение краевой задачи II с нулевыми финаль-
финальными условиями имеет вид
v(x, t) =	\*(* + «Tt))+$(xa{Tt)h
+
g(T_t) i$(x + а(Т - t)) - Щх -а{Т-Щ
6	2аС
F.34)
^ t) = e
= e0(T-t)
+
e(T_t) i$(x + a(T - t)) - $(x - a(T - t))
e	I	2aL
-^'a - Jl(t + ^_
Здесь функция Ф(х) — нечетное продолжение относительно х = 0 и
четное продолжение относительно х = I функции (р(х) с периодом
равным 41. Соответственно \Р(х) — четное продолжение относи-
относительно х = 0 и нечетное продолжение относительно х = I функ-
функции ф(х) с периодом 41.
Функции, представленные формулами F.34) и F.35), задают
классическое решение краевой задачи II с финальными условиями,
если по-прежнему функции Ф(х), Ф(х) и ~p(t) непрерывно диффе-
дифференцируемы при — 21 ^х^З!иО^^ 41/а. Этого удается достичь
при выполнении следующих условий на функции (р(х), ф(х) и /л(г):
(р@) = (р\1) = 0, ^@) = ф{1) = 0, ц(Т) = 0,	F.36)
где учитывались свойства продолжений функций (р(х) и ф(х)
относительно точек х = 0 и х = / и функции ~р для значений t > Т.

160	Гл. 6. Управление для телеграфных уравнений
§ 3. Классические решения задач управления
3.1. Решение задач гашения колебаний.
3.1.1. Гашение колебаний в условиях краевой задачи I. Коле-
Колебания системы, описываемой краевой задачей I, удается погасить
за время Т = 21/а. Возьмем решения F.31) и F.32) краевой
задачи I с нулевыми финальными условиями. Функции v(x,t) и
i(x,t) в момент времени ? = 0 принимают значения ip(x) и ф(х)
соответственно. Таким образом, получаем следующую систему
уравнений относительно неизвестной функции /i(t), 0 ^ t ^ 21/а,
для 0 ^ х ^ I:
(^?\е0B1-х)/а = (
V а /
аС '
Складывая уравнения и вычитая из одного другое, получаем при
соответствующих заменах выражения для функции /л(г):
fi(t) = <	F.37)
Blt) ^(t)	l^
_ _et{<pBl-at)
6 L
2аС
Из согласования начальных и краевых условий F.27), получаем
непрерывность функции fi(t) (формулаF.37)) в точке t = I/a.
3.1.2. Гашение колебаний в условиях краевой задачи П. Коле-
Колебания системы, описываемой краевой задачей II, удается погасить
за время Т = 21/а. Возьмем решения F.34) и F.35) краевой
задачи II с нулевыми финальными условиями. Функции v(x,t) и
i(x,t) в момент времени ? = 0 принимают значения (р(х) и ф(х)
соответственно. Таким образом, получаем следующую систему
уравнений относительно неизвестной функции /i(t), 0 ^ t ^ 21/а,
для 0 ^ х ^ I:
J*\	J2J^)xya = ф),
аС '
Складывая полученные уравнения и вычитая из одного другое,
получаем при подходящих заменах выражения для функции /i(t):
I
m ,	l2	2aCV	4
fi(t) = <	F.38)
_etf<pBl-at) , ^B*-at)]	/	2/
3 L 2 + 2aC J' a ^ ^
/	2/
^ ^ a *

§ 3. Классические решения задач управления	161
С учетом согласования начальных и краевых условий F.30)
видно, что функция /i(t), задаваемая формулой F.38), непрерывна
в точке t = I/a.
3.2. Перевод покоящейся системы в заданное состояние.
3.2.1. Возбуждение покоящейся системы в условиях краевой зада-
задачи I. Покоящуюся систему перевести в заданное состояние удается
за время Т = 21/а. Возьмем решения F.25) и F.26) краевой
задачи I с нулевыми начальными условиями. Функции v(x,t) и
i(x,t) в момент времени t = 2l/a принимают значения (р(х) и ф(х)
соответственно. Таким образом, получаем следующую систему
уравнений относительно неизвестной функции /i(t), 0 ^ t ^ 21/а,
для 0 ^ х ^ I:
A
\а
,)/a = Щ.
a)"	aC
Складывая уравнения и вычитая из одного другое, получаем при
соответствующих заменах выражения для функции
F-39)
С учетом согласования начальных и краевых условий F.33)
видно, что функция /i(t), задаваемая формулой F.39), непрерывна
в точке t = I/a.
3.2.2. Возбуждение покоящейся системы в условиях краевой
задачи П. Покоящуюся систему перевести в заданное состояние
удается за время Т = 21/а. Возьмем решения F.28) и F.29) краевой
задачи II с нулевыми начальными условиями. Функции v(x,t) и
i(x,t) в момент времени t — 21/a принимают значения (р(х) и ф(х)
соответственно. Таким образом, получаем следующую систему
уравнений относительно неизвестной функции /i(t), 0 ^ t ^ 21/а,
для 0 ^ х ^ I:
a(
V
Bl~X)c~f3x/a - а(-
а )
\е
а)	аС

162
Гл. 6. Управление для телеграфных уравнений
Складывая полученные уравнения и вычитая из одного другое,
получаем при подходящих заменах выражения для функции
2aC
OCBl/a-t)
a_t) \(pBl-at)
- at)
I
-,
a
21
F.40)
I	21
- ^ t ^ —.
2	2аС
С учетом согласования начальных и краевых условий F.36) видно,
что функция /i(t), задаваемая формулой F.40), непрерывна при
t = I/a.
3.3. Решение задач управления. Осталось выписать ре-
решение задачи управления в условиях краевой задачи I как сумму
решения F.37) задачи гашения колебаний и решения F.39) задачи
перевода покоящейся системы в заданное состояние. В условиях
краевой задачи I получаем следующее решение:
(p(at) ф{сЛ)\
2	2аС у
L 2
2аС
— at) ip(at)
2 +^СГ
^2i_t) \(pBl-at) $B1-at)
+	2	2аС
l-<t<2±
a	a
Решение задачи управления в условиях краевой задачи II
получается как сумма решения F.38) задачи гашения колебаний
и решения F.40) задачи перевода покоящейся системы в заданное
состояние:
I 2	2аС
_3t\<pBl-at)
2	2аС
ef3Bl/a-t)V
2	2aCY °^^a'
+ - -^1 l-<t<2±
2	2аС J' а4 ча"

Список литературы
1.	Акуленко А.Д. Приведение упругой системы в заданное состояние
посредством силового граничного воздействия // Прикл. матем. и мех. —
1981. — Т. 45, вып. 6. — С. 1095-1103.
2.	Акуленко А.Д. Управление движением мембраны посредством сило-
силовых граничных воздействий // Прикл. матем. и мех. — 1995. — Т. 59,
вып. 5. — С. 731-741.
3.	Арман Ж.-Л.П. Приложения теории оптимального управления систе-
системами с распределенными параметрами к задачам оптимизации конструк-
конструкций. — М: Мир, 1977. — 142 с.
4.	Ахмедов Ф.Ш. Оптимизация гиперболических систем при локальных
краевых условиях типа Бицадзе-Самарского // ДАН СССР. — 1996. —
Т. 283, №4. —С. 787-791.
5.	Афанасьев В.П. Оптимизация спектра частот собственных колебаний
лопаток газотурбинных двигателей: Дис. . . . канд. физ.-мат. наук. —
Днепропетровск, 1983. — 108 с.
6.	Бабе Г.Д., Гусев Е.Л. Математические методы оптимизации интер-
интерференционных фильтров. — Новосибирск: Наука, 1982. — 216 с.
7.	Баничук Н.В. Оптимизация формы упругих тел. — М.: Наука,
1980. — 256 с.
8.	Баскаков СИ. Радиотехнические цепи с распределенными парамет-
параметрами. — М.: Высшая школа, 1980. — 152 с.
9.	Бенсусан А., Лионе Ж.-Л. Импульсное управление и квазивариаци-
квазивариационные неравенства. — М.: Наука, 1987. — 596 с.
10.	Бокмелъдер Е.П., Дыхта В.А. К теории принципа максимума для
управляемых систем гиперболического типа // Теоретические и приклад-
прикладные вопросы оптимального управления. — Новосибирск: Наука, 1985. —
С. 41-58.
11.	Бутковский А.Г. Теория оптимального управления системами с рас-
распределенными параметрами. — М: Наука, 1965. — 474 с.
12.	Бутковский А.Г. Методы управления системами с распределенными
параметрами. — М.: Наука, 1975. — 568 с.
13.	Бутковский А.Г. Управление системами с распределенными пара-

164	Список литературы
метрами // Автоматика и телемех. — 1979. — № 11. — С. 16-65.
14.	Бутковский А.Г., Пустылъников Л.М. Теория подвижного управле-
управления системами с распределенными параметрами. — М.: Наука, 1988. —
384 с.
15.	Бутковский А.Г., Самойленко Ю.И. Управление квантово-механи-
ческими процессами. — М.: Наука, 1984. — 256 с.
16.	Васильев О.В. Оптимальность особых граничных управлений в сис-
системах с распределенными параметрами // Управляемые системы. —
1979. — № 18. — С. 4.-13.
17.	Васильев О.В., Срочко В.А., Терлецкий В.И. Методы оптимизации и
их приложения. — Новосибирск: Наука, 1990. — 150 с.
18.	Васильев Ф.П. Численные методы решения экстремальных задач. —
М.: Наука, 1989. — 552 с.
19.	Васильев Ф.П., Ишмухамедов А.З., Потапов М.М. Обобщенный
метод моментов в задачах оптимального управления. — М.: Изд-во МГУ,
1989. — 144 с.
20.	Васницкий Л.И., Милосердова И.В. Оптимальный гаситель продоль-
продольных колебаний стержня // Прикл. матем. и мех. — 1997. — Т. 61,
вып. 3. — С. 537-540.
21.	Воронцов И.И. Об оптимальности управления колебательными про-
процессами // Кибернетика. — 1973. — № 5. — С. 100-105.
22.	Гринев В.Б., Филиппов А.П. Оптимизация элементов конструкций по
механическим характеристикам. — Киев: Наукова думка, 1975. — 294 с.
23.	Губарев В.Ф. Управление параметрами плазмы в термоядерных уста-
установках: Дис. . . . д-ра физ.-мат. наук. — Киев, 1991. — 276 с.
24.	Губарев В.Ф. Динамика систем управления положением плазменного
шнура в токомаке // Автоматика. — 1979. — № 5. — С. 27-34.
25.	Гурман В.И., Знаменская Л.Н. Управление колебаниями при огра-
ограниченном ресурсе управления // Изв. РАН. Теор. и сист. управления. —
2002. — № 1. — С. 41-49.
26.	Данилов В.Я., Федорченко М.С. Оптимальное по быстродействию
управление упругими объектами // Вестн. Киевск. ун-та. Выч. и прикл.
матем. — 1976. — Вып. 18. — С. 120-123.
27.	Данилов В.Я., Фоменко А.В. Об оптимальном управлении в задаче
демпфирования периодических колебаний распределенных систем // Вестн.
Киевск. ун-та. Выч. и прикл. матем. — 1962. — Вып. 47. — С. 122-125.
28.	Дегтярев ГЛ. Синтез оптимального управления в распределенных
системах при локальном критерии качества // III Всес. Четаевская конф.

Список литературы	165
по устойчивости движения, аналитической механике и управлению движе-
движением. — Иркутск: Иркутский ун-т, 1977. — С. 133.
29.	Дегтярев Г.Л., Сиразетдинов Т.К. Теоретические основы оптималь-
оптимального управления упругими космическими аппаратами. — М.: Машино-
Машиностроение, 1986. — 216 с.
30.	Дубовицкий А.Я., Милютин А.А. Теория принципа максимума //
Методы теории экстремальных задач в экономике. — М.: Наука, 1980. —
С. 6-47.
31.	Егоров А.И. Об оптимальном управлении процессами в распреде-
распределенных объектах // Прикл. матем. и мех. — 1963. — Т. 27, № 4. —
С. 688-696.
32.	Егоров А.И. Оптимальные процессы в системах с распределенными
параметрами и некоторые задачи теории инвариантности // Изв. АН СССР.
Сер. матем. — 1965. — Т. 29, № 6. — С. 1205-1256.
33.	Егоров А.И. Оптимальная стабилизация систем с распределенными
параметрами // Труды Международной конференции IFIP по технической
оптимизации. — Новосибирск: Изд-во НГУ, 1974. — С. 180-188.
34.	Егоров А.И. Оптимальное управление тепловыми и диффузионными
процессами. — М.: Наука, 1978. — 464 с.
35.	Егоров А.И. Управление упругими колебаниями // ДАН УССР.
Сер. А. — 1986. —Ко Б. — С. 60-63.
36.	Егоров А.И., Капустян В.Е. Точечное управление колебаниями //
Краевые задачи для дифференциальных уравнений в частных производ-
производных. — Кишинев: Штиинца, 1981. — С. 34-41.
37.	Егоров А.И., Киръян СВ. Об оптимальной стабилизации упругих по-
поперечных колебаний // Приближенное решение задач оптимального управ-
управления системами с распределенными параметрами. — Фрунзе: Илим,
1976. — С. 51-57.
38.	Егоров А.И., Фоменко А.В. Об оптимальной стабилизации упру-
упругих систем // Динамика управляемых систем. — Новосибирск: Наука,
1979. — С. 111-120.
39.	Егоров А.И., Шакиров В.Н. Оптимальное управление колебаниями
проводника с током в магнитном поле // Математические методы в меха-
механике. — Кишинев: Штиинца, 1980. — С. 34-38.
40.	Егоров А.И., Шакиров В.Н. Оптимальное управление колебаниями
проводника с током // Оптимизация и устойчивость систем с распределен-
распределенными параметрами. — Фрунзе: Илим, 1980. — С. 59-75.
41.	Егоров А.И., Шенфельд Г.Б. Об одной задаче оптимального управле-
управления изгибными колебаниями балки // Тр. Фрунз. политехи, ин-та. Сер.

166	Список литературы
машиностроение. — 1971. — Вып. 45. — С. 38-45.
42.	Знаменская Л.Н. Априорные оценки обобщенных решений волно-
волнового уравнения // Дифференц. уравнения. — 2001. — Т. 37, № 8. —
С. 1062-1070.
43.	Знаменская Л.Н. Граничное управление на двух концах волновым
уравнением в классе обобщенных решений из L<i // Докл. РАН. — 2001. —
Т. 380, № 6. — С. 746-748.
44.	Знаменская Л.Н. Управление колебаниями струны в классе обобщен-
обобщенных решений из L<2 // Дифференц. уравнения. — 2002. — Т. 38, № 5. —
С. 666-672.
45.	Знаменская Л.Н. Управляемость колебаниями струны с одним за-
закрепленным концом при ограничениях на управление // Дифференц. урав-
уравнения. — 2003. — Т. 39, №3. — С. 377-382.
46.	Зубарев С.Н. Оптимальное управление процессами, описываемыми
гиперболическими и квазигиперболическими уравнениями: Дис. . . . канд.
физ.-мат. наук. — Киев, 1979. — 122 с.
47.	Зубов В.И. Лекции по теории управления. — М.: Наука, 1975. —
496 с.
48.	Зубов В.И. Колебания и волны. — Л.: Изд-во ЛГУ, 1989. — 416 с.
49.	Иваненко В.И., Мельник B.C. Вариационные методы в задачах управ-
управления для систем с распределенными параметрами. — Киев: Наукова дум-
думка, 1988. — 286 с.
50.	Ильин В.А. О разрешимости смешанных задач для гиперболического
и параболического уравнений // УМН — 1960. — Т. XV, вып. 2(92). —
С. 97-154.
51.	Ильин В.А. Граничное управление процессом колебаний на двух
концах // Докл. РАН. — 1999. — Т. 369, № 5. — С. 592-596.
52.	Ильин В.А. Граничное управление процессом колебаний на одном
конце при закрепленном втором конце // Докл. РАН. — 1999. — Т. 369,
№ 6. — С. 732-735.
53.	Ильин В.А. Волновое уравнение с граничным управлением на двух
концах за произвольный промежуток времени // Дифференц. уравне-
уравнения. — 1999. — Т. 35, № 11. — С. 1517-1534.
54.	Ильин В.А. Волновое уравнение с граничным управлением на од-
одном конце при закрепленном втором конце // Дифференц. уравнения. —
1999. — Т. 35, № 12. — С. 1640-1659.
55.	Ильин В.А. Граничное управление процессом колебаний на двух
концах в терминах обобщенного решения волнового уравнения с конеч-

Список литературы	167
ной энергией // Дифференц. уравнения. — 2000. — Т. 36, № 11. —
С. 1513-1528.
56.	Ильин В.А. Граничное управление процессом колебаний на одном
конце при закрепленном втором конце в терминах обобщенного решения
волнового уравнения с конечной энергией // Дифференц. уравнение. —
2000.	— Т. 36, № 12. — С. 1670-1686.
57.	Ильин В.А. Граничное управление процессом колебаний струны на
двух концах при условии существования конечной энергии // Докл. РАН.
—	2001. — Т. 376, № 3. — С. 295-299.
58.	Ильин В.А. Граничное управление процессом колебаний струны на
одном конце при закрепленном втором конце и при условии существования
конечной энергии // Докл. РАН. — 2001. — Т. 378, № 6. — С. 743-747.
59.	Ильин В.А. Граничное управление сферически симметричными ко-
колебаниями трехмерного шара // Тр. Мат. ин-та им. В.А. Стеклова. —
2001.	— Т. 232. — С. 144-155.
60.	Ильин В.А. О граничном управлении процессом, описываемым урав-
уравнением k(x)[k(x)ux(ж, i)]x -uu(x, t) = 0//Докл. РАН. — 2002. — Т. 286,
№ 2. — С. 156-159.
61.	Ильин В.А. О граничном управлении на одном конце процессом,
описываемым уравнением k(x)[k(x)ux(x,t)]x — Utt{x,t) = 0 // Тр. сем.
им. И.Г. Петровского. — 2002. — Вып. 22. — С. 121-141.
62.	Ильин В.А., Моисеев Е.И. О граничном управлении на одном конце
процессом, описываемым телеграфным уравнением // Докл. РАН. — 2002.
—	Т. 387, № 5. — С. 600-603.
63.	Ильин В.А., Тихомиров В.В. Волновое уравнение с краевым управ-
управлением // Дифференц. уравнения. — 1999. — Т. 35, № 1. — С. 137-138.
64.	Ильин В.А., Тихомиров В.В. Волновое уравнение с граничным управ-
управлением на двух концах и задача о полном успокоении колебательного про-
процесса // Дифференц. уравнения. — 1999. — Т. 35, № 5. — С. 692-704.
65.	Ишмухамедов А.З. Синтез оптимального управления для систем,
описываемых гиперболическими уравнениями // Дифференц. уравне-
уравнения. — 1985. — Т. 21, № 4. — С. 597-605.
66.	Каимкулов Ы. Оптимизация распределенных колебательных процес-
процессов с точечным воздействием: Дис. . . . канд. физ.-мат. наук. — Фрунзе,
1978. — 130 с.
67.	Каниболоцкий М.А., Уржумцев Ю.С. Оптимальное проектирование
слоистых конструкций. — Новосибирск: Наука, 1989. — 176 с.
68.	Капустян В.Е. Синтез оптимального управления распределенными
системами с запаздыванием по времени: Дис. . . . канд. физ.-мат. наук. —

168	Список литературы
Днепропетровск, 1982. — 115 с.
69.	Капустян В.Е. Оптимальное ограниченное управление сингулярно
возмущенными системами с распределенными параметрами: Дис. . . . д-ра
физ.-мат. наук. — Киев, 1994. — 295 с.
70.	Керимбеков А. Приближенное решение задач оптимального управле-
управления процессом, описываемым системой телеграфных уравнений: Дис. . . .
канд. физ.-мат. наук. — Фрунзе, 1987. — 115 с.
71.	Когут П. И. Устойчивость и оптимальная стабилизация систем ин-
тегро-дифференциальных уравнений нейтрального типа: Дис. . . . канд.
физ.-мат. наук. — Днепропетровск, 1989. — 112 с.
72.	Комков В. Теория оптимального управления демпфированием коле-
колебаний простых упругих систем. — М.: Мир, 1975. — 158 с.
73.	Красовский Н.Н. Теория управления движением. — М.: Наука,
1968. — 476 с.
74.	Кротов В.Ф. Методы решения вариационных задач на основе доста-
достаточных условий абсолютного минимума. I, II // Автоматика и телемех. —
1962. — Т. 23, № 12. — С. 1571-1582; 1963. — Т. 24, № 5. — С. 581-598.
75.	Кузьмина А.Л. Об одной задаче оптимального управления // Com-
Commentations Mathematicae Universitatis Carolinae. — 1966. — V. 7, № 3. —
P. 4-6.
76.	Кулиев Г.Ф. Задача точечного управления для гиперболического
уравнения // Автоматика и телемех. — 1993. — Т. 80, № 3. — С. 80-84.
77.	Ладиков Ю.П. Стабилизация процессов в сплошных средах. — М.:
Наука, 1978. — 432 с.
78.	Летов A.M. Динамика полета и управление. — М.: Наука, 1969. —
360 с.
79.	Лионе Ж.-Л. Оптимальное управление системами, описываемыми
уравнениями с частными производными. — М.: Мир, 1972. — 414 с.
80.	Литвинов В.Г. Оптимизация в эллиптических граничных задачах с
приложениями к механике. — М.: Наука, 1987. — 368 с.
81.	Лурье К.А. Оптимальное управление в задачах математической фи-
физики. — М.: Наука, 1975. — 478 с.
82.	Меркулов В.И. Управление движением жидкости. — Новосибирск:
Наука, 1981. — 174 с.
83.	Михлин С.Г. Курс математической физики. — М.: Наука, 1968. —
576 с.
84.	Ольхофф Н. Оптимальное проектирование конструкций. — М.: Мир,

Список литературы	169
1981. — 276 с.
85.	Петухов Л.В., Троицкий В.А. Вариационные задачи оптимизации
для уравнений гиперболического типа при наличии граничных управле-
управлений // Прикл. матем. и мех. — 1975. — Т. 39, № 2. — С. 260-270.
86.	Плотников В.И. Теория оптимизации систем с распределенными и
сосредоточенными параметрами: Дис. . . . д-ра физ.-мат. наук. — Горький,
1974. — 386 с.
87.	Плотников В.П., Новоженов М.М. Обобщенное правило множителей
Лагранжа для распределенных систем с фазовыми ограничениями // Диф-
ференц. уравнения. — 1982. — Т. 18, № 4. — С. 584-592.
88.	Плотников В.П., Сикорская Е.Р. Оптимизация управляемого объек-
объекта, описываемого нелинейной системой гиперболических уравнений // Изв.
вузов. Радиофизика. — 1972. — Т. 15, № 3. — С. 346-354.
89.	Плотников В.П., Сумин В.И. Оптимизация объектов с распределен-
распределенными параметрами, описываемых системами Гурса-Дарбу // ЖВМиМФ. —
1972. — Т. 12, № 1. — С. 61-77.
90.	Плотников В.П., Сумин В.И. Оптимальное управление системами
Гурса-Дарбу с правыми частями, дифференцируемыми в обобщенном смыс-
смысле // Дифференциальные и интегральные уравнения: Межвуз. сб. — Горь-
Горький: Горьк. ун-т, 1981. — С. 27-33.
91.	Пузырев В.И. Оптимальное управление системами с распределен-
распределенными параметрами (обзор) // Зарубежная радиоэлектроника. — 1975. —
№ 7. — С. 38-57.
92.	Пузырев В.И. Управление волновыми каналами // Зарубежная ра-
радиоэлектроника. — 1977. — № 10. — С. 3-27.
93.	Райтум Х.Ё. Задачи оптимального управления для эллиптических
уравнений. Математические вопросы. — Рига: Зинатне, 1989. — 312 с.
94.	Рахимов М. О синтезе оптимального управления упругими колеба-
колебаниями: Дис. . . . канд. физ.-мат. наук. — Ашхабад, 1979. — 128 с.
95.	Рахимов М. Применение метода динамического программирования
и спектрального разложения в задачах оптимального управления системами
с распределенными параметрами: Дис. . . . д-ра физ.-мат. наук. — М.,
1989. — 296 с.
96.	Рево П.А., Чабакаури Г.Д. Волновое уравнение с граничным управ-
управлением на левом конце при свободном правом конце и задача о полном
успокоении колебательного процесса // Дифференц. уравнения. — 2000. —
Т. 36, № 6. — С. 806-815.
97.	Рейтман М.И., Шапиро Г. С. Методы оптимального проектирования
деформируемых тел. — М.: Наука, 1976. — 266 с.

170	Список литературы
98.	Рубин И.К. Оптимальная система обмоток формирования и управ-
управления поперечными магнитными полями в «Токомаке» // Автоматика. —
1978. —Ко Б. — С. 49-57.
99.	Рудик А.П. Оптимизация физических характеристик ядерных реак-
реакторов. — М.: Атомиздат, 1979. — 278 с.
100.	Самойленко Ю.И., Губарев В.Ф., Кривонос Ю.Г. Управление быстро-
протекающими процессами в термоядерных установках. — Киев: Наукова
думка, 1988. — 384 с.
101.	Сиразитдинов Т.К. Оптимизация систем с распределенными пара-
параметрами. — М.: Наука, 1977. — 498 с.
102.	Срочко В. А. Вычислительные методы решения экстремальных за-
задач. — Иркутск: Изд-во Ирктутск. ун-та, 1982. — 110 с.
103.	Сумин В.И. Функциональные вольтерровы уравнения в теории оп-
оптимального управления распределенными системами. Ч. 1. — Нижний
Новгород: Изд-во Нижегор. ун-та, 1992.
104.	Сумин В. И. Функциональные вольтерровы уравнения в математи-
математической теории оптимального управления распределенными системами: Дис.
. . . д-ра физ.-мат. наук. — Нижний Новгород, 1998. — 268 с.
105.	Тихомиров В.В. Волновое уравнение с граничным управлением при
упругом закреплении. I, II // Дифференц. уравнения. — 2002. — Т. 38,
№ 3. — С. 393-403; 2002. — Т. 38, № 4. — С. 529-537.
106.	Троицкий В.А. Оптимальные процессы колебаний механических
систем. — Л.: Машиностроение, 1976. — 248 с.
107.	Троицкий В.А., Петухов Л.В. Оптимизация формы упругих тел. —
М.: Наука, 1982. — 412 с.
108.	Федоренко Р.П. Приближенное решение задач оптимального управ-
управления. — М.: Наука, 1978. — 488 с.
109.	Филиппов А.П. Колебания деформируемых систем. — М: Машино-
Машиностроение, 1970. — 734 с.
110.	Фоменко А.В. Вариационный метод в задачах управления и устой-
устойчивости распределенных колебательных систем: Дис. . . . канд. физ.-мат.
наук. — Днепропетровск, 1981. — 124 с.
111.	Фоменко А.В. Приближенное решение позиционных задач опти-
оптимального управления и дифференциальных игр: Дис. . . . д-ра физ.-мат.
наук. — Запорожье, 1991. — 321 с.
112.	Фридман А. Вариационные принципы в задачах со свободной гра-
границей. — М.: Наука, 1990. — 536 с.
113.	Чабакаури Г.Д. Оптимизация граничного управления процессом ко-

Список литературы	171
лебаний на одном конце при закрепленном втором конце // Дифференц.
уравнения. — 2001. — Т. 37, № 12. — С. 1655-1663.
114.	Чабакаури Г. Д. Оптимизация граничного управления процессом ко-
колебаний на одном конце при закрепленном втором конце в случае ограни-
ограниченной энергии // Дифференц. уравнения. — 2002. — Т. 38, № 2. —
С. 277-284.
115.	Шакиров В.Н. Задача демпфирования полной энергии в колебатель-
колебательных системах // Вычислительная и прикладная математика. — 1981. —
Вып. 45. — С. 62-85.
116.	Шенфелъд Г.Б. Приближенное решение некоторых задач оптималь-
оптимального управления колебательными системами с распределенными парамет-
параметрами: Дис. . . . канд. физ.-мат. наук. — Фрунзе, 1973. — 121 с.
117.	Шенфелъд Г.Б. Синтез оптимального управления движением упру-
упругой конструкции // Оптимизация процессов в системах с распределенными
параметрами. — Фрунзе: Изд-во Илим, 1975. — С. 23-26.
118.	Хог Э., Арора Я. Прикладное оптимальное проектирование. — М.:
Мир, 1983. — 480 с.
119.	Ягубов М.Я. Скользящие режимы оптимального управления и не-
необходимые условия оптимальности в системах с распределенными парамет-
параметрами: Дис. . . . д-ра физ.-мат. наук. — Баку, 1990. — 223 с.
120.	ВагЪи V. Optimal control of variation inequalities. —London: Pitman,
1984. — 292 p.
121.	Egorov A.I., Rachimov M. About the Problem of Synthesis of Optimum
Control by Ellastic Oscilllations // Lecture Notes in Computer Sciense. — Ber-
lin-Heidelburg-New York: Springer-Verlag, 1975. — P. 27.
122.	Fattorini И.О. Boundary Control Systems // SIAM J. Control. —
1968. — № 6. — P. 109-113.
123.	Lions J.L. Exact controllability, stabilization and perturbations for
distributed systems // SIAM Rev. — 1988. — V. 30, № 1. — P. 1-68.
124.	Russell D.L. Optimal reglation of linear symmetric hyperbolic systems
with finite dimentional controls // M. R. C. Techn. Report. № 566. —
Wisconsin: Medison, 1965.
125.	Russell D.L. Boundary value control of higher dimensional wave equa-
equation. P. 2. Technical Report. — Winconsin: Uneversity of Winconsin, 1970.
126.	Russell D.L. Boundary value control of higher dimensional wave equa-
equation. Part 1 // SIAM J. of Control. — 1971. — № 9. — P. 29-42.
127.	Wang P.K.C. Theory of Stability and Control for Distributed Parame-
Parameter Systems (a Bibliography) // Int. J. Control. — 1968. — V. 7, № 2. —
P. 101-116.

Оглавление
Предисловие 	 3
Глава 1. Обзор результатов и предварительные сведения . . 5
§ 1. Обзор результатов по управлению упругими колебаниями . . 5
1.1. Динамические задачи управления колебаниями упругих
систем (8). 1.2. Управление колебаниями одномерных тел A2).
§ 2. Классы функций и функциональные пространства	 18
Глава 2. Краевые задачи и задачи управления. Классические
решения 	 24
§ 1. Постановки краевых задач, метод Даламбера	 24
1.1. Постановки краевых задач B4). 1.2. Классические решения
краевых задач методом Даламбера B5).
§ 2. Постановки задач управления 	 31
2.1. Управление колебаниями струны в условиях первой крае-
краевой задачи C1). 2.2. Управление колебаниями струны в усло-
условиях других краевых задач C2).
§ 3. Решение задач управления методом Даламбера	 33
3.1. Решение задачи управления в условиях первой краевой за-
задачи C3). 3.2. Решение задачи управления в условиях третьей
краевой задачи C5). 3.3. Решения задач управления в усло-
условиях других краевых задач C9).
§ 4. Решения задач гашения колебаний методом Фурье	 40
4.1. Решение первой краевой задачи с начальными условиями
методом Фурье D0). 4.2. Решение третьей краевой задачи с на-
начальными условиями методом Фурье D1). 4.3. Решение зада-
задачи гашения колебаний в условиях первой краевой задачи ме-
методом Фурье D2). 4.4. Решение задачи гашения колебаний в
условиях третьей краевой задачи методом Фурье D5). 4.5. Ре-
Решение других краевых задач методом Фурье E4).
§ 5. Управление колебаниями упругого стержня	 55
5.1.0 свободных колебаниях стержня E5). 5.2. Задачи управ-
управления колебаниями E7). 5.3. Решение задачи управления F0).
Глава 3. Теоремы существования и единственности. Обоб-
Обобщенные решения	 65
§ 1. Обобщенные решения	 65
§ 2. Теоремы единственности решения краевых задач	 74
2.1. Теорема единственности решения первой краевой зада-

Оглавление	173
чи G4). 2.2. Теоремы единственности решения других крае-
краевых задач G7).
§ 3. Априорные оценки решений первой краевой задачи	 77
3.1. Априорные оценки для решений первой краевой задачи с
нулевыми начальными условиями и Т ^ 1/а G7). 3.2. Апри-
Априорные оценки для решений первой краевой задачи с нулевыми
начальными условиями при закрепленном правом конце и
Т ^ 21/а (80). 3.3. Априорные оценки для решений первой крае-
краевой задачи с нулевыми финальными условиями и Т ^ 1/а (82).
3.4.	Априорные оценки для решений первой краевой задачи с
нулевыми финальными условиями при закрепленном правом
конце и Т ^ 21/а (84).
§ 4. Априорные оценки решений третьей краевой задачи и сме-
смешанных краевых задач A,3) и C,1)	 85
4.1. Априорные оценки для решений третьей краевой задачи с
нулевыми начальными условиями (85). 4.2. Априорные оцен-
оценки для решений смешанной краевой задачи A,3) с нулевыми
начальными условиями (88). 4.3. Априорные оценки для реше-
решений смешанной краевой задачи C,1) с нулевыми начальными
условиями (91). 4.3. Априорные оценки для решений третьей
краевой задачи с нулевыми финальными условиями (94).
4.5.	Априорные оценки для решений смешанной краевой зада-
задачи A,3) с нулевыми финальными условиями (97). 4.6. Апри-
Априорные оценки для решений смешанной краевой задачи C,1) с
нулевыми финальными условиями A00).
§ 5. Априорные оценки решений второй краевой задачи и других
смешанных краевых задач	102
5.1. Априорные оценки для решений второй краевой задачи с
нулевыми начальными (финальными) условиями A02). 5.2. Ап-
Априорные оценки для решений смешанных краевых задач C,2)
и B,3) с нулевыми начальными (финальными) условиями A02).
5.3. Априорные оценки для решений смешанных краевых за-
задач A,2) и B,1) с нулевыми начальными (финальными) ус-
условиями A04).
§ 6. Обобщенные решения первой краевой задачи с нулевыми на-
начальными (финальными) условиями	105
6.1. Решение первой краевой задачи с нулевыми начальными
(финальными) условиями A05). 6.2. Решение первой краевой
задачи с нулевыми начальными (финальными) условиями с за-
закрепленным правым концом A06).
§ 7. Обобщенные решения третьей краевой задачи и смешанных
краевых задач C,1) и A,3) с нулевыми начальными (финаль-
(финальными) условиями	107
7.1. Обобщенные решения третьей краевой задачи с нулевыми
начальными (финальными) условиями A08). 7.2. Обобщенные
решения смешанных краевых задач A,3) и C,1) с нулевыми на-
начальными (финальными) условиями A09).

174	Оглавление
§ 8. Обобщенные решения второй краевой задачи и других сме-
смешанных краевых задач с нулевыми начальными (финальны-
(финальными условиями	111
Глава 4. Обобщенные решения задач управления в условиях
первой краевой задачи 	 113
§ 1. Постановки задач для обобщенных решений	113
§ 2. Неединственность обобщенного решения задачи управления . 114
2.1. Неединственность решения задачи управления для Т =
= 1/а при управлении на двух концах A14). 2.2. Неединст-
Неединственность решения задачи управления для Т = 21/а при управ-
управлении на одном конце A17).
§ 3. Управление колебаниями на двух концах струны при отсутст-
отсутствии ограничений на управления	118
3.1. Гашение колебаний для Т = 1/а A18). 3.2. Решение зада-
задачи о переводе покоящейся струны в заданное состояние для
Т = 1/а A19). 3.3. Обсуждение результатов о наименьшем пе-
периоде времени Т A20). 3.4. Решение задачи о переводе стру-
струны из заданного состояния в заданное A22).
§ 4. Управление колебаниями на одном конце струны при отсутст-
отсутствии ограничений на управления	122
4.1. Гашение колебаний для Т=21/а A22). 4.2. Задача о переводе
покоящейся струны в заданное состояние для Т = 21/а A23).
4.3. Обсуждение результатов о наименьшем периоде време-
времени Т A24). 4.4. Решение задачи о переводе струны из задан-
заданного состояния в заданное A25).
§ 5. Управление колебаниями струны на одном конце при ограни-
ограничении на управление	126
5.1. Гашение колебаний A26). 5.2. Перевод струны из задан-
заданного состояние в заданное A30).
§ 6. Управление на двух концах колебаниями струны при ограни-
ограничениях на управления	133
6.1. Гашение колебаний A33). 6.2. Решение задачи о переводе
струны из заданного состояния в заданное A36).
Глава 5. Обобщенные решения задач управления в условиях
других краевых задач	140
§ 1. Обобщенные решения задач управления в условиях третьей
краевой задачи	140
1.1. Постановки задач A40). 1.2. Решение задачи гашения ко-
колебаний A40). 1.3. Решение задачи перевода покоящейся стру-
струны в заданное состояние A42). 1.4. Решение общей задачи уп-
управления A43).
§ 2. Обобщенные решения задач управления в условиях смешанных
краевых задач A,3) и C,1)	144
2.1. Задачи управления для смешанной краевой задачи
A,3) A44). 2.2. Задачи управления для смешанной краевой
задачи C,1) A46).

Оглавление	175
§ 3. Обобщенные решения задач управления в условиях краевых
задач со вторым краевым условием	149
3.1.	Задача управления в условиях второй краевой задачи A49).
3.2.	Задача управления в условиях смешанных краевых задач
A,2) и B,1) A49). 3.3. Задача управления в условиях смешан-
смешанных краевых задач B,3) и C,2) A50).
Глава 6. Задачи управления, связанные с телеграфными
уравнениями	151
§ 1. Краевые задачи и задачи управления 	151
1.1. Постановки задач A51). 1.2. Сведение краевой задачи I к
краевым задачам для волнового уравнения A53). 1.3. Сведе-
Сведение краевой задачи II к краевым задачам для волнового урав-
уравнения A54).
§ 2. Классические решения краевых задач I и II	156
2.1.	Решение краевых задач с начальными условиями A56).
2.2.	Решение краевых задач с нулевыми финальными усло-
условиями A58).
§ 3. Классические решения задач управления 	160
3.1. Решение задач гашения колебаний A60). 3.2. Перевод по-
покоящейся системы в заданное состояние A61). 3.3. Решение
задач управления A62)
Список литературы	163

Научное издание
ЗНАМЕНСКАЯ Людмила Николаевна
УПРАВЛЕНИЕ УПРУГИМИ КОЛЕБАНИЯМИ
Редактор Е.Ю. Ходан
Оригинал-макет автора
ЛР №071930 от 06.07.99. Подписано в печать 26.01.04.
Формат 60x90/16. Бумага офсетная. Печать офсетная.
Усл. печ. л. 11. Уч.-изд. л. 12. Тираж: 400 экз. Заказ №
Издательская фирма «Физико-математическая литература»
МАИК «Наука/Интерпериодика»
117997, Москва, ул. Профсоюзная, 90
E-mail: fizmat@maik.ru, http://www.fml.ru
Отпечатано с готовых диапозитивов
в ППП «Типография «Наука»
121099, Москва, Шубинский пер., 6