ЛЛЗСолособ
КНИГА
УЧПЕДГИЗ•1958
А. А. КОЛОСОВ
КНИГА
ДЛЯ ВНЕКЛАССНОГО
ЧТЕНИЯ
ПО МАТЕМАТИКЕ
для учащихся VIII класса
ГОСУДАРСТВЕННОЕ
УЧЕБНО-ПЕДАГОГИЧЕСКОЕ ИЗДАТЕЛЬСТВО
МИНИСТЕРСТВА ПРОСВЕЩЕНИЯ РСФСР
Москва • 1958
Scan AAW
От автора
Книга для чтения по математике предназначена-для уча-
щихся VIII класса, но её могут прочитать и учащиеся IX
и X классов.
Юный читатель найдёт в этой книге дополнительный
материал к тому, что он узнал на уроке.
На углубление материала, изучаемого на уроке, на более
широкий показ практического применения его, на сообще-
ние сведений из истории математики и из жизни тех учёных,
которые вносили новые идеи в эту замечательную науку»
ни у учителя, ни у ученика на уроке времени не остаётся.
Автор надеется, что настоящая книга в некоторой степени
поможет учащемуся самостоятельно заполнить указанный
пробел. Но в то же время эта книга есть только один из
первых шагов к более широкому знакомству учащегося
с математикой. В настоящее время в наших библиотеках
можно подобрать достаточно обширную и вполне доступную
литературу по различным вопросам элементарной матема-
тики, чтение которой, безусловно, расширит математический
кругозор учащегося. Эта литература указана в конце каж-
дой главы.
Читатель не должен думать, что книга для чтения по
математике содержит только развлекательный материал; часть
текста книги требует чтения „с карандашом в руках®.
1*
3
Автор приносит глубокую благодарность Б. А. Кордем-
скому, И. Я. Депману, В, Е. Прудникову и И. М. Бе-
скину, которые прочли рукопись в первоначальном её виде
и сделали ряд ценных указаний, позволивших улучшить
эту книгу.
Замечания и пожелания просьба направлять по адресу:
Москва, 3-й проезд Марьиной рощи, 41, Учпедгиз, редакция
математики.
ГЛАВА I
НАТУРАЛЬНЫЙ РЯД ЧИСЕЛ
1.
Представление о натуральном ряде чисел: 1, 2, 3, 4, 5,
6, 7, 8,	, возникло в сознании людей в результате опе-
рации счёта. Начало формирования этого ряда является
первым шагом в создании математики.
В настоящее время мы без труда представляем этот ряд
бесконечным: действительно, какое бы натуральное число
мы ни взяли и как бы велико оно ни было, прибавив к нему
единицу, мы получим новое число, занимающее в натураль-
ном ряде следующее по порядку место. Но идея о беско-
нечно продолжающемся ряде целых чисел не сразу далась
человечеству. В очень отдалённые времена, когда люди умели
считать только до трёх, а дальше была „тьма", натураль-
ный ряд чисел был очень коротким. С течением времени,
научаясь считать сначала при помощи зарубок, зёрен и
т. п., а затем при помощи первой счётной машины—пальцев
своих рук, — люди постепенно удлиняли натуральный ряд
чисел, и прошло довольно продолжительное время, пока они
почувствовали и осознали, что этот ряд бесконечен.
Укреплению в сознании людей идеи бесконечности нату-
рального ряда могли содействовать задачи, подобные той,
которую поставил Архимед более двух тысяч лет назад.
В своём сочинении „Псаммит" он решает вопрос об исчи-
слении песчинок в размерах вселенной. Архимед не считал
5
Архимед.
вселенную бесконечной, как это есть на самом деле, но и
в его представлении она очень велика. Он представлял себе
вселенную в виде шара, на поверхности которого укреплены
неподвижные звёзды, а внутри находятся Земля, Солнце и
планеты. Радиус этого шара Архимед принимал равным
15 • 1012 км (в пересчёте на наши меры). Создав особую
систему счисления, он решил поставленную им задачу. Число
песчинок в размерах Архимедовой вселенной оказалось при-
мерно равным 1063. Это число велико, и оно занимает очень
далёкое место в натуральном ряде чисел.
2.
Создав натуральный ряд чисел, люди должны были изо-
брести и способ записи числа в этом ряде при помощи не-
многих знаков. Различные способы такой записи, изобретён-
ные разными народами на протяжении многих веков, в на-
стоящее время вытеснены десятичной позиционной системой,
6
которая позволяет при помощи только девяти знаков —
цифр: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, и цифры нуль записать
любое число натурального ряда.
Одно из свойств, создающих превосходство десятичной
системы счисления. перед другими системами, заключается
в том, что она пользуется законом поместного значения
цифр, хотя этот закон, как увидим ниже, присущ и не
только этой системе. Закон этот заключается в том, что
значение каждой цифры определяется её местом: цифра,
записанная на первом месте справа, означает единицы, на
втором — десятки, на третьем — сотни. Закон поместного
значения цифр сделал излишним введение особых знаков
для обозначения десятков, сотен, тысяч и других разрядных
единиц.
Записывая какое-либо число, мы обычно забываем о том,
что изобретение той системы записи, которой мы пользуемся
(письменной системы счисления на основе поместного значе-
ния цифр), является одним из важнейших исторических собы-
тий, а если иногда и вспоминаем об этом, то с недоумением,
почему учёные ещё в древности не открыли этого способа
для записи чисел?
Известный французский математик XIX в. Пьер Лаплас
говорит: „Мысль выражать все числа девятью знаками, при-
давая им, кроме значения по форме, ещё значение по месту,
настолько проста, что именно из-за этой простоты трудно
понять, насколько она удивительна. Как нелегко прийти
к этому способу, мы видим ясно на примере величайших
гениев греческой учёности, Архимеда и Аполлония, для
которых эта мысль осталась скрытой*.
Кому же мы обязаны изобретением письменной десятич-
ной нумерации, какому учёному, какой школе или какому
народу? Как и многое в математике, так и изобретение
позиционной десятичной системы нельзя приписать какому-
либо отдельному математику или какой-либо школе. Известно,
что много веков назад в Индии пользовались подобной
записью чисел. Известно, что индийцы уменьшили количество
цифр и довели их до десяти, считая в том числе и нуль, и
что индийцы применили позиционный принцип к десятичному
счёту и стали пользоваться цифрой нуль. Сами ли индийцы
пришли к этому историческому открытию или заимствова-
ли идею поместного значения цифр у вавилонян, которые
в глубокой древности пользовались шестидесятиричной пози-
ционной системой, или, может быть, она перешла к ним от
7
сумерийцев— сказать трудно. Но заслуга развития идеи
позиционного счисления и введения цифры нуль, несомненно,
принадлежит индийцам.
Нельзя не отметить и большую заслугу того учёного,
который в IX в. перенёс это открытие индийских матема-
тиков на почву Ближнего Востока — к арабам. Этим учёным
был математик — узбек Магомет, сын Музы из Хорезма,
который в одной из своих рукописей запечатлел йдею деся-
тичной системы счисления и ещё далее развил её. Рукопись
была написана на арабском языке, научном языке Ближнего
Востока того времени. Вот почему цифры, которыми мы
сейчас пользуемся, называются арабскими.
Вероятнее всего, что труд Магомета из Хорезма был
перенесён в Европу в IX в. арабами, а вместе с ним
в Европу проникла и десятичная позиционная система. Но,
как всё новое, этот способ записи чисел, поражающий нас
своей мудрой простотой, с большим трудом проникал не
только в широкие массы, но и в круги учёных и только
в XII—XIII вв. он утвердился окончательно, вытеснив преж-
ние, более сложные системы.
В Россию десятичная позиционная система счисления
проникла гораздо позже. До XVII в. в России в основном
пользовались старославянской нумерацией, которая не исполь-
зовала принципа поместного значения цифр, хотя источники
XV в. подтверждают знание русскими индийской нумерации.
В старославянской нумерации вместо цифр употреблялись
27 знаков — букв славянского алфавита, снабжённых для
отличия от обычных букв текста особым знаком сверху.
Вот знаки старославянской системы:
	1	г	J	4	5	6	7	8	9
Единицы		"в	'г	Л			J	П	Ж
Десятки	т	Тс	К	м	"N	1		rf	ч
Сотни			т	V			w	w	Я
Тысячи	Л	Л	Z	л	Л	.s	J	Я	л
При помощи этих знаков число 1957 запишется так:
Цифры различных времен и народов										
Наше время	1	2	3	4	У	6	7	8	9	iO
Египет	1	2	1		23	31		ЧЧ		f
Вавилон	Г	fl	Ш		V V	<< <х	VW* WV1	WVV VVW	vVwf	<
Китай	—	—	-Т=г-		JL	А	ь	К	/L	4-
Китай	(	<1	<||	X	К		±=.	-га-	К	-t-
Япония	4		г		Л		/‘	t	'/	7
Восточные арабы	1	г	Г	г	А	7	V	А	Я	
Европа К вен	1	2	?		ь	Ч	V	7	Я	
XII вен	!>	ь	3		ч		А		3	
XIII век	1	Z	?	<1	V		/х	8	<5	
XIV век	L	7		X	7	6	Л	3	9	
1508 г,	L	2	3	4	$	ь	7	8	9	
Древняя Г реция		А	X	J5	L	5	К	£		z
Рим	1	II	III		у/	VI	Vh	VIII	/X	X
Старославянская система, не обладающая принципом
поместного значения цифр, была вытеснена современной
десятичной системой.
Упражнение. Напишите при помощи старославянской
нумерации год вашего рождения, год Великой Октябрьской
социалистической революции, год основания Москвы, номер
вашей школы.
3.
Система счисления, которой мы пользуемся в настоящее
время, носит название десятичной, так как она основана
на счёте десятками. Исключительная роль десятка восходит
к древнейшим временам и, несомненно, связана со счётом
по пальцам на двух руках. Идея поместного значения цифр
позволяет любое число в десятичной системе написать в виде
многочлена, расположенного по степеням десяти. Так,
число 3256 в виде такого многочлена запишется следующим
образом:
3256 = 3- 103 + 2 • 102—{—5 • 10 + 6.
Любое целое число z в такой записи будет выглядеть так:
z = ап • 1 О'1 + J • 10п + ... + ах « 10 + а0,
где ап, ап_и ... а0 — цифры этого числа.
Без сомнения, когда-то существовали и иные системы
счисления с иными основаниями, чем десять. На это указы-
вают наименования числительных в разных языках. Так
в английском и немецком языках слова, обозначающие 11
и 12, построены не по десятичному принципу, сочетающему
десятки с единицами, и эти построения не связаны со сло-
вом, обозначающим число 10. Во французском языке слова,
обозначающие 20 и 80, построены так, что позволяют пред-
полагать о первоначальном существовании системы с осно-
ванием 20. Но какое бы число ни было положено в основу
позиционной системы счисления, для записи чисел потребуется
столько знаков (цифр), сколько единиц имеет её основание.
Система с малым основанием требует немного цифр, но числа
в ней записываются очень длинно. Запись же чисел в системе
с большим основанием короче, но в ней требуется больше
цифр и труднее запомнить таблицу умножения.
Посмотрим, как запишется одно и то же число в раз-
личных системах счисления. Возьмём число: четыреста
шестьдесят восемь.
10
В десятичной системе счисления оно запишется так: 468.
Напишем это же число в пятиричной системе. Выясним,
сколько в нашем числе пятков, т. е. единиц второго разряда:
468 :5 = 93,
~~ 45
18
15
©
Итак в нашем числе 3 простых единицы и 93 единицы
второго разряда. Но каждые пять единиц второго разряда
составляют единицу третьего разряда. Выясним, сколько
в нашем числе единиц третьего разряда:
_93:5= 18.
5
43
"“40
©
Остаток 3 указывает на число единиц второго разряда,
а частное 18 — на число единиц третьего разряда. Опреде-
ляем, сколько в 18 единицах третьего разряда единиц чет-
вёртого разряда:
18:5 = ®.
“ 15
©
Итак, в пятиричной системе число 468 запишется так: 3333.
Обратный переход может быть сделан при помощи
равенства:
3333 = 3 -53 + 3.52+3.5 +3 = 3754-75+15 +3 = 468.
Выясним, как запишется число 468 в троичной системе.
Вычисления расположим так, как указано ниже:
468 I 3
16 I 156 I 3
18	JL I 52 |_3_
©	® 22 | 17	3
ф ® 5 з
® Ф
Таким образом, мы видим, что в троичной системе число 468
запишется в виде: 122100.
11
Обратный переход даст:
122100= 1 • Зб + 2 • 344~2 • 33 + 1 . 32Ч-0 • 3 + 0 =
= 243+162 + 54 + 9 + 0 + 0 = 468.
Это же число в двенадцатиричной системе было бы таким: 268.
Проверьте это.
Но если бы вы попытались записать в двенадцатиричной
системе число 131, то девяти наших цифр уже не хватит,
и пришлось бы ввести ещё два новых знака — цифры для 10
и 11. Пусть такими знаками будут для 10 и для
11; тогда:
131:12 = 10
120
11
и число записалось бы так: Д -
Обратный переход даст:
Ж . 12-Ь=10. 124-11 = 131.
Упражнения. 1. Даны два числа: 15 и 12, написан-
ные в семиричной системе. Найдите их произведение в той же
системе. Сделайте проверку, заменив и сомножители и про-
изведение соответствующими числами десятичной системы.
2. Даны два числа: 111 и 101, написанные в двоичной
системе. Найдите их произведение в той же системе. Сде-
лайте проверку, заменив и сомножители и произведение
соответствующими числами десятичной системы.
Ответ, 35 в десятичной системе.
3. В какой системе счисления произведено умножение:
242
242
3212
12
4.
Вернёмся к натуральному ряду чисел и рассмотрим неко-
торые его свойства.
Напишем этот ряд:
1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, ...
Некоторые из чисел натурального ряда, такие, как 2, 3, 5,
7, 11, 13 ..., делятся только сами на себя и на единицу,
другие же: 4, 6, 8, 9, 10, 12, ..., помимо этих делителей,
имеют и другие делители. Первые числа мы называем чи-
слами простыми, вторые — составными1). Единица
не считается ни простым, ни составным числом. Так как
простые числа играют большую роль в арифметике, то очень
давно стремились создать таблицу простых чисел. Один из
способов составления таблиц простых чисел был предложен
более 2000 лет назад греческим учёным Эратосфеном (276—
195 гг. до н. э.), выдающимся географом древности, библио-
текарем Александрийской библиотеки. Приём построения
такой таблицы теперь называют „решетом Эрато-
сфена".
Посмотрим, как нужно „просеивать" числа натурального
ряда через „решето Эратосфена", чтобы выделить из мно-
жества чисел натурального ряда только простые числа.
Пусть нам нужно сделать это с числами:
1, 2, 3, 4, 5,	7. 3. 5, В, 11. В, 13. 14, В.
Тб, 17, В, 19, 20. 24. 22, 23, 2», 25.
Прежде всего вычеркнем единицу, так как она не принад-
лежит ни к простым, ни к составным числам. Далее, вычер-
кнем все числа, кратные 2, кроме 2, зачёркивая каждое
второе число, через одно, начиная от 2. Сделав это, вычёр-
киваем все составные числа, кратные 3, кроме 3. Для этого
зачёркиваем каждое число через два, начиная от 3. В не-
которых случаях придётся второй раз перечеркнуть число,
уже ранее зачёркнутое,— это те числа, которые кратны 2
и 3. Сделав это, переходим к отсеиванию составных чисел,
кратных 5, зачёркивая все числа через четыре на пятое,
1) Деление чисел на простые и составные было введено Пифа-
гором.
73
начиная с 5. Здесь также придётся некоторые числа пере-
черкнуть второй раз.
Для чисел натурального ряда от 1 до 25 работа по
япросеиванию“ простых чисел закончена, так как при деле-
нии 25 и 11 частное 2 меньше делителя. Остаётся только
выписать подряд все оставшиеся незачёркнутыми числа, и мы
получим все простые числа среди 25 первых чисел нату-
рального ряда.
2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23.
Упражнение. Составьте указанным способом таблицу
простых чисел среди чисел натурального ряда от 1 до 100.
Постепенное усовершенствование метода Эратосфена
позволило в настоящее время иметь таблицы простых чисел
в ряде натуральных чисел от 1 до 100 000 000. Эти таблицы
предоставляют в наше распоряжение обширный материал,
на основе которого можно высказать ряд гипотез о свой-
ствах простых чисел. Доказательства этих гипотез оказы-
ваются иногда очень сложными, а некоторые гипотезы не
доказаны до сих пор.
5.
Одним из первых вопросов, которые могут возникнуть
по поводу простых чисел, является вопрос о том, конечно ли
их число среди бесконечного множества чисел натурального
ряда или число простых чисел бесконечно.
Докажем теорему: Среди чисел натурального ряда
существует бесконечное множество простых чисел.
Справедливость этой теоремы следует из того, что каковы
бы ни были различные простые числа: ръ р2, р3, ..., рп,
можно получить новое простое число, среди них не содержа-
щееся. Таким простым числом будет простой делитель суммы:
Pi • Pt. • Рз  • • Рп + 1.
который, деля всю сумму, не может совпадать ни с одним
из простых чисел pi9 р2, р3, рп, так как при делении
указанной суммы на какое-либо из этих простых чисел всегда
получаем в остатке 1. Найдя таким образом новое простое
число рп+1 и составив сумму
Р1-Р2-Рз •••
14
мы придём к следующему новому простому числу рм+2» к0*
торое является простым делителем суммы:
Р1 * Р2 * Рз • • • Рп * Рп + 1 “1“ 1
и т. д. Таким образом, число простых чисел в натуральном
ряде чисел — бесконечно.
6.
Теорема о бесконечном множестве простых чисел была
доказана еще Евклидом, т. е. более 2000 лет назад. Начиная
с этого отдалённого времени, можно наблюдать попытки
многих математиков составить такую формулу с целочислен-
ным аргументом п, которая давала бы при различных целых
положительных значениях п только простые числа. Эти по-
пытки оказались тщетными,— такую формулу получить не
удалось.
В течение некоторого времени считали, что поставленную
задачу решает формула:
/(n)=22”+l,
предложенная французским математиком Пьером Ферма
(1601 —1665). Ферма высказал предположение, что все числа,
полученные из этой формулы, при различных целых значе-
ниях п будут числами простыми. В самом деле при п=1,
2, 3 и 4 мы получаем:
7(1)= 22+1=5;
/(2) = 22*+ 1 = 24 + 1 = 17;
/(3) = 22’+ 1 = 28+ 1 = 257;
/(4)= 22<+ 1 = 216 + 1 = 65 537
— только простые числа. Но при п = 5 формула Ферма, как
показал в 1732 г. член Петербургской Академии наук Эйлер,
неверна. Число 22 —|— 1 = 232 —|— 1 == 4 294967297 — составное
и раскладывается на множители 641-6 700 417. Недавно
установлена при помощи электронной машины и сложность
чисел /(10) и /(16).
Интересно, что числа Ферма встречаются и в геометрии,
когда разбирается вопрос о возможности построения при
15
помощи циркуля и линейки правильных многоугольников 9
с простым числом сторон.
Гаусс (1777—1855) доказал следующую замечательную
теорему:
Можно построить при помощи циркуля и линейки
только такие правильные многоугольники с простым
числом сторон, у которых число сторон есть „простое
число* Ферма, т. е. число вида 22П+1. Из этой теоремы
следует, что правильные многоугольники с семью, с три-
надцатью сторонами построить циркулем и линейкой нельзя,
а с 17 и 257 сторонами можно.
Рассмотрим ещё две формулы, дающие много простых
чисел:
F(n) = п2 — п + 41;
и
ср (п) = п2 — 79п + 1601.
Первая из этих формул даёт простые числа при п= 1, 2,
3, ..., 40, но при п=41 неверна; вторая формула даёт
простые числа при п — 1, 2, 3, ..., 79, но при п=80
получается составное число.
7.
Изучая таблицу простых чисел, можно подметить, что
простые числа не одинаково густо распределены в нату-
ральном ряде чисел.
Если взять первый десяток чисел натурального ряда, то
среди них мы найдём четыре простых числа; в группе чисел
от 20 до 30 — простых чисел только два; группа чисел от
410 до 420 дает только одно простое число 419; группа
от 850 до 860 — три простых числа; в группе чисел от
3990 до 4000 нет ни одного простого числа, а в группе
от 4000 до 4010 мы найдем три простых числа.
Таким образом, распределение простых чисел среди чисел
натурального ряда отличается чрезвычайно неправильной
последовательностью. Но эта неправильность исчезает, если
мы будем судить о „густоте" распределения простых
чисел по величине отношения
п
~N’
9 Многоугольник называется правильным, если все его стороны
равны и все его внутренние углы также равны.
16
где п — число простых чисел соеди М первых чисел нату-
рального ряда.
Имея таблицу простых чисел, можно подсчитать вели-
чину отношения при различных значениях АЛ Вот таблица
значений этого отношения:
К	10	102	103	10^	105	10»
п 1	4	25	168	1229	9592	78 498
п 7/	0,4	0,25	0,168	0,1229	0,09542	0,078498
V ' 0/" 1	40%	25%	16,80/0	да 12,3%	«9,5	да7,8 0/0
Эта таблица показывает, что „плотность" распреде-
ления простых чисел постепенно уменьшается, если рассма-
тривать возрастающие числовые промежутки натурального
ряда. Французскому математику Лежандру в 1798 г. удалось
доказать неограниченное убывание этой плотности при воз-
растании числа N. Начались попытки создания такой фор-
мулы, которая позволяла бы рассчитать п по данному N.
Эти попытки не увенчались успехом — точной формулы по-
лучить не удалось. Пришлось пойти по пути создания при-
ближённой формулы, но такой, чтобы ошибка была доста-
точно малой при большом значении М и уменьшалась бы
при дальнейшем увеличении N. Кроме того, была поставлена
задача: открыть те закономерности, которым подчиняется
самое отклонение истинного закона распределения простых
чисел от распределения их, которое получается по той или
иной формуле.
Этими двумя задачами занимались крупнейшие'матема-
тики на протяжении многих лет. Среди этих математиков
мы встречаем имена Лежандра (1655—1733), Эйлера
(1707—1783), Гаусса (1777—1855), Дирихле (1805—1859),
Бертрана (1822—1900) и, наконец, одного из величайших
математиков XIX века П. Л. Чебышева (1821—1894).
Чебышев в своем мемуаре „Об определении числа про-
стых чисел, не превосходящих данной величины (1849), дал
2 А. А. Колосов
/7
блестящее решение первой задачи. Закон распределения про-
стых чисел, открытый Чебышевым, выражается формулой:
п _ 0,43429
N ~ logio^ ’
точность которой неограниченно возрастает с возраста-
нием N. В этой формуле log107V есть тот показатель степени,
в которую нужно возвести 10, чтобы получить число N.
В связи с решением этой задачи Чебышев установил непра-
вильность формулы Лежандра г), выражающей число простых
чисел, меньших /V, и доказал гипотезу, выдвинутую, но
недоказанную Бертраном. Эта гипотеза такова:
между любым натуральным числом и его удвоением
всегда находится хотя бы одно простое число.
Упражнения. 1. При помощи формулы Чебышева
составьте таблицу простых чисел, непревосходящих числа Д/,
если N= 10, 102, 103, 10*, 10*, 106.
2.	Проверьте гипотезу Бертрана для небольших
чисел.
Закон распределения простых чисел, данный Чебышевым,
можно отнести к числу замечательных открытий в области
математики. Открытие этого закона произвело большое впе-
чатление на математиков — современников Чебышева. Неда-
ром один из больших специалистов в области теории чисел,
математик Ландау, в 1909 г. писал: „Первый после Евклида,
кто пошёл правильным путём для решения проблемы о про-
стых числах и достиг важных результатов, был Чебышев".
А английский математик Сильверст в 1881 г. писал: „Даль-
нейшего развития теории чисел надо ждать, пока родится
некто, настолько же превосходящий Чебышева своею про-
ницательностью и вдумчивостью, насколько Чебышев пре-
восходил этими качествами обыкновенных людей".
Мировое значение открытий Чебышева в области теории
чисел хорошо подчеркнул в одной из своих работ член
Академии наук Б. Н. Делоне: „Работы Чебышева о простых
числах были первыми успешными шагами в общей теории
простых чисел, впервые после Евклида давшие точные ре-
зультаты в общей теории распределения простых чисел.
1)	Формула Лежандра такова: = 2>3025togM^_ 1)08366-
19
П. Л. Чебышев.
От обоих мемуаров Чебышева веет необыкновенной све-
жестью, остроумием и силой, присущей молодому перво-
классному математическому таланту1).
Этими двумя гениальными работами начинается Петер-
бургская школа теории чисел".
8.
Пафнутий Львович Чебышев(1821—1894), окончивв 1841 г.
Московский университет, всецело отдался научным работам.
В течение пяти лет, равнодушно относясь к своему плохому
материальному положению и не думая о карьере, он твёрдо
продолжал избранный им путь.
Две черты характерны для Чебышева как ученого: широ-
кий диапазон его творчества и постановка теоретических
проблем в связи с задачами прикладного характера. Первая
черта отражена в тех результатах фундаментального значения,
*) П. Л. Чебышеву в год выхода указанного мемуара было
28 лет.
2*
ZP
которые Чебышев получил в теории чисел, теории
вероятностей, интегральном исчислении, в теории механиз-
мов и др. Вторая черта ярко сказывается в стремлении Че-
бышева сблизить теорию с её возможными практическими
приложениями. Он считал, что „сближение теории с прак-
тикой даёт самые благотворные результаты, и не одна только
практика от этого выигрывает, сама наука развивается под
влиянием её: она открывает им новые предметы для иссле-
дования или новые стороны о предметах, давно известных".
Высокая оценка этой стороны деятельности Чебышева
дана в словах академика Б. А. Стеклова.
„Гений Чебышева представлял собой исключительный
образец соединения практики с творческой, обобщающей
силой отвлечённого мыслителя-математика.
Практические запросы превращались им в соответствую-
щую математическую теорию, представлявшую новое откры-
тие в области чистой науки; эта последняя не оставалась
в области чистой мысли, воплощалась в реальную действи-
тельность, в различного рода машины и механизмы, кото-
рые служили как бы вещественным осуществлением его
творческих достижений".
Поэтому не удивительно, что Чебышев вместе с рядом
блестящих работ по математике очень много сделал как изо-
бретатель-конструктор. В основе всех его изобретений лежит
стремление облегчить работу человека, внеся в неё возмож-
ную экономию труда и времени.
„Математический гений такого масштаба, как Чебышев,
не мог не оказать самого крупного влияния на дальнейший ход
развития математики и должен был воздействовать, в большей
или меньшей степени, на всякого математика, даже далёкого
от Чебышева по своим интересам" (С. Н. Бернштейн).
Среди его учеников мы видим таких крупных матема-
тиков, как А. А. Марков, А. М. Ляпунов, Д. А. Граве,
К. А. Поссе и многих других. Некоторые из них продол-
жали работу над вопросами, поставленными их учителем.
Труды Чебышева послужили основой создания русских мате-
матических школ, продолжающих успешно развивать идеи
Чебышева. Эти школы в свою очередь (уже в советское время)
дали нашей стране многих выдающихся ученых-математиков;
среди них такие крупнейшие математики, как академики
С. Н. Бернштейн и И. М. Виноградов.
Первый очень много дал в области теории вероятностей,
основы которой заложили П. Л. Чебышев и его ближайшие
20
ученики — А. А. Марков и А. М. Ляпунов, а второй —
в области теории чисел.
Иностранные математики очень высоко ставили заслуги
П. Л. Чебышева. Члены Французской Академии наук во главе
с Эрмитом признали Чебышева „гордостью науки в России,
одним из первых геометров Европы, одним из величайших
геометров всех времён".
9.
Интересно ознакомиться ещё с одним свойством чисет
натурального ряда, известным в математике под названием
„проблема Гольдбаха1*. Остановиться на этом свойстве инте-
ресно и по одному тому, что проблема Гольдбаха возникла
в России и через 200 лет, в течение которых ряд крупней-
ших иностранных математиков безуспешно трудился над
решением этой проблемы, её решение было продвинуто
вперёд в наше время советским математиком, и, наконец,
проблема была почти решена также одним из выдающихся
советских математиков.
История возникновения проблемы Гольдбаха такова.
В 1742 г. член Петербургской Академии наук X. Гольдбах
в письме к Эйлеру, члену той же Академии наук, высказал
одну интересную гипотезу:
Любое натуральное число, большее пяти, представ-
ляет сумму трёх простых чисел.
Эйлер ответил, что он не может доказать эту гипотезу,
но что может высказать иную гипотезу, связанную с первой:
Всякое чётное натуральное число, большее двух, пред-
ставляет сумму двух простых.
Читатель, конечно, захочет проверить гипотезы, выска-
занные Гольдбахом и Эйлером для ряда частных случаев.
В течение 200 лет выдающиеся математики многих стран
стремились доказать проблему Гольдбаха—Эйлера, но без-
успешно. В то же время числовая проверка этого свойства,
доведённая к началу XX века до 9000 000, показала, что
гипотеза Гольдбаха верна. И вот, когда было высказано
предположение о том, что проблема Гольдбаха — Эйлера
средствами современной математики не может быть дока-
зана, один молодой советский математик Лев Шнирельман
(1905—1938) в 1931 г. добился значительных успехов в ре-
шении этой задачи и, наконец, в 1937 г. академик И. М. Ви-
ноградов почти полностью решил эту проблему. Он доказал,
что существует среди натуральных чисел такое число „С“,
21
И. М. Виноградов.
за которым всякое нечетное натуральное число является
суммой трёх простых чисел, причём это число „С“ очень
велико.
Профессор И. К. Андронов в своей книге „Арифметика
натуральных чисел" даёт такой итог современному состоя-
нию проблемы Гольдбаха:
„Бесконечный ряд натуральных чисел распадается на че-
тыре различные части:
1)	Множество, состоящее из пяти первых натуральных
чисел, где каждое число не есть сумма трёх простых чисел.
2)	Множество натуральных чисел от 6 до 9 000 000, где
опытом проверена правильность утверждения, что всякое
натуральное число есть сумма трёх простых чисел.
3)	Множество натуральных чисел от 9 000 000 до весьма
большого числа, найденного И. М. Виноградовым, где ни
опытом, ни математическими средствами не установлено, что
каждое натуральное число в этом промежутке есть или не
есть сумма трёх простых чисел.
22
4)	Бесконечный ряд натуральных чисел начиная от числа,
найденного И. М. Виноградовым, где каждое нечётное нату-
ральное есть сумма трёх простых чисел".
10.
Иван Матвеевич Виноградов родился в 1891 г. Окончил
физико-математический факультет Ленинградского универ-
ситета в 1914 г. В настоящее время он возглавляет Матема-
тический институт имени В. А. Стеклова Академии наук СССР.
В 1941 г. И. М. Виноградов удостоен Сталинской пре-
мии первой степени за книгу „Новый метод в аналитической
теории чисел". Методы, которые предлагает И. М. Вино-
градов, имеют также применение, выходящее далеко за пре-
делы области теории чисел.
11.
Задачи
1.	Доказать, что сумма п первых чисел натурального
п (п +1)
ряда равна —
Указание. Написав натуральный ряд чисел от 1 до п
1, 2, 3, 4, 5, ..., п — 2, п—1, л,
подметить свойство: сумма чисел этого ряда, одинаково
отстоящих от концов его, всегда равна сумме крайних чисел.
2.	Доказать при помощи гномонов1), включённых в квад-
рат (черт. 1), что’ сумма п первых нечётных чисел равна
квадрату их числа.
Указание. Подсчитайте сумму единиц в каждом гно-
моне и сумму единиц во всех клетках квадрата ABCD.
3.	Доказать, что сумма п первых чётных чисел нату-
рального ряда равна п(п+1).
4.	Доказать при помощи гномонов, включённых в квад-
рат (черт. 2), что сумма квадратов п первых чисел нату-
л(л+ l)(2n+ 1) „
рального ряда равна ——1!, т. е.
12_|_22-+-32 4- ... -|- п2 = ”(п + 1)б(2-^-V-.
х) Гномоном будем называть фигуру вида
23
Указание. Сумма чисел внутри каждого гномона равна
квадрату числа, совпадающего с номером гномона. Сумма
всех чисел внутри квадрата ABCD равна l2-f-224-32+...
Черт. 1.	Черт. 2.
... 4- я2, которую обозначим через х. Подсчитаем эту
сумму. Суммы чисел выше диагонали АС и ниже её равны.
Одна из этих сумм равна:
(п-1)-4-2(л —2)Н-3(п —3)4- ... -4-(п—1)[п—(п—1)]-=
= и4-2л4-3л4-.. .4-(л— 1)п—[124-224-ЗМ-.. . -4-(Л—1)21=
= л(1 + 2+3+... + (п— 1)1— \х — п2] =
п • п (п — 1) г 9.
=-----~ — п 1 ’
Сумма чисел находящихся на диагонали АС равна --
Составляем уравнение:
л2 (п — 1)—2х4- 2«2 4- "(п + ° = х.
Решая это уравнение получим:
6jc = n(2re24-3/i4-1);
_n-2(n+l)(2n+l)
6-2
т. е. 124-224-324-...4-га2= п(я + 1К2п + 1) »)
!) Полученное равенство не раз встретится читателю при изу-
чении математики. Это равенство может быть выведено и иными
способами.
24
5.	Доказать при помощи чертежа 3, что сумма кубов п
первых чисел натурального ряда равна квадрату их суммы,
т. е.
13_|_ 2’4-3’+... +п’ = [”^~Ь-1-)у.
6.	Доказать, что всякое простое число, большее 3, вы-
ражается формулой:
1,
т. е. при делении на 6 простое число даёт в остатке или 1,
или 5.
Доказательство. Пусть р— простое число, боль-
шее 3, и пусть при делении на 6 это число даёт в частном q
и в остатке г, где г < 6.
Тогда
р=6^ + г. (1)
Число р будет простым
только в том случае, если
г=1 или г = 5, так как,
если бы г равнялось 2, 3
или 4, то равенство (1) со-
ответственно приняло бы
вид:
6(? + 2= 2(3,7-+-1);
р=6(7+3 = 3(2(7+1);
р=6(7+4=2(3(7 + 2).
Правые части последних трёх равенств говорят о том,
что число р в первом случае делилось бы на 2, во втором—
на 3, в третьем — на 2, что противоречит условию, так как
р — число простое.
Обратное положение неверно, т. е. не всякое натураль-
ное число, дающее при делении на 6 остаток 1 или 5, будет
простым. Проверьте это на частных случаях.
7.	Доказать, что квадрат любого простого числа, кроме
2 и 3, при делении на 12 даёт в остатке 1.
8.	Доказать, что разность двух целых чисел делится
на 9, если цифры одного числа расположены в обратном
порядке относительно другого.
4 9. Доказать, что число 144 будет точным квадратом
во всякой системе счисления.
25
Задач а-шутка.
Я задумал трёхзначное число. Если от него отнять 7,
то оно разделится на 7, если отнять от него 8, то оно раз-
делится на 8, если же от него отнять 9, то оно разделится
на 9. Что это за число?
ЛИТЕРАТУРА
И. К. Андронов, Арифметика натуральных чисел, Учпед-
гиз, 1954.
Г. Н. Берман, Число и наука о нём, Гостехиздат, 1948.
Г. Н. Берман, Счёт и число, Гостехиздат, 1952.
В. К. Б е л л ю с т и и, Как постепенно люди дошли до настоя-
щей арифметики, Учпедгиз, 1941.
К. И. Швецов, Славянская нумерация, „Математика в школе*,
1952, № 2.
Я. И. Перельман, Живая математика, Гостехиздат, 1955.
И. Я. Депман, Рассказы о математике, Детгиз, 1954.
В. Е. Прудников, П. Л. Чебышев — ученый и педагог,
Учпедгиз, 1950.
Б. В. Гнеденко, Беседы о развитии математики, изд. АПН
РСФСР, 1946.
„Библиотека математического кружка*, вып. 1, Гостехиздат
1950.
ГЛАВА П
ИЗ ИСТОРИИ ГЕОМЕТРИИ
1.
Многие из учащихся, раскрыв страницы геометрии, для
того чтобы выучить заданный урок, не предполагают, что
книга эта является только упрощённой переработкой книги,
созданной более 2000 лет назад, что в книге, которую он
держит в руках, зафиксирована большая часть геометриче-
ских знаний того времени, что в ней отражён идеал логи-
ческого построения этой науки с точки зрения древних
греков.
Создание этой древней книги обычно связывают с име-
нем греческого математика Евклида, жившего в III веке до
нашей эры в Александрии, центре научной мысли греков
в III и II веках. Город был расположен на берегу Среди-
земного моря, недалеко от устья Нила. Здесь были знаме-
нитая Александрийская Академия-музей и огромная для того
времени библиотека, насчитывающая сотни тысяч рукописей.
Может создаться представление, что наука, именуемая
геометрией, создана силами одного человека, что у Евклида
не было предшественников и что позднейшим учёным нечего
было прибавить к тому, что уже дал Евклид. Такое пред-
ставление было бы абсолютно неверным. Геометрия, как и
всякая другая наука, создавалась постепенно, усилиями мно-
гих людей, на протяжении многих веков.
27
Зачатки геометрических знаний теряются в глубине ты-
сячелетий. Древнейшие из памятников культуры — египет-
ские папирусы и вавилонские глиняные дощечки с клино-
писными записями говорят о том, что уже за 4000—5000 лет
до нашего времени люди знали многое из того, что мы сей-
час изучаем в школе.
В древнейших памятниках вавилонской архитектуры мы
встречаем геометрические формы в виде куба, параллелепи-
педа, шестигранной призмы, цилиндра и конуса. Их излюб-
ленной композицией была ступенчатая пирамида, в форме
которой строились громадные обсерватории. Обычно такие
постройки состояли из семи террас, поставленных одна на
другую и представляющих собой как бы ступени огромной
лестницы, ведущей к небу. Каждая терраса была окрашена
в особый цвет, присвоенный семи светилам: Солнцу, Луне,
Юпитеру, Сатурну, Марсу, Венере и Меркурию. Поражает
монументальность, простота, стройность и красота дворцов,
построенных в том же стиле. Кто посмел бы утверждать,
что эти грандиозные здания строились без знания геометрии?
Там, где перед нами возникает стройность архитектур-
ных форм, там неминуемо присутствует и математика.
Но вавилоняне не только знали о существовании различ-
ных геометрических фигур, они умели также определять их
площади и объёмы. Так, они умели измерять площади прямо-
угольника, ромба, треугольника и трапеции, объем куба,
прямоугольного бруса и цилиндра. Всматриваясь в богатей-
ший геометрический орнамент на каменных плитах, сохра-
нившихся от той древнейшей эпохи, мы убеждаемся в том,
что у них чрезвычайно сильно было развито чувство сим-
метрии. Вавилоняне знали, что дуга, составляющая шестую
часть всей окружности, стягивается хордой, равной радиусу.
Вавилонянам мы обязаны также градусным делениям, и в этом
их большая научная заслуга. Когда мы говорим, что угол
содержит 20°32'18", мы в сущности читаем число, написан-
ное по шестидесятиричной вавилонской системе счисления:
23+й+
18
602 •
Греки в лице своего великого астронома Птолемея (II в. н. э.)
оценили по достоинству преимущества такой записи, удер-
жавшейся и до настоящего времени.
Большой интерес представляет найденная при раскопках
статуя одного из правителей Ширпуллы, Гудеа, жившего
28
не позднее 3000 лет до н. э. На коленях Гудеа мы видим
планы укреплённой постройки с масштабом (черт. 4).
Наличие подобных планов и масса архитектурных дета-
лей, несомненно, говорят о знакомстве вавилонян с принци-
пом подобия.
Многое из того, что мы изучаем сейчас в геометрии,
было известно и древним египтянам. Знакомство с египет-
ской математикой основано главным образом на двух папи-
русах: на папирусе Ахмеса, относящемся к периоду
2000— 1700 лет до н. э. и содержащему геометрические
Черт. 4.
задачи на измерение площадей и объёмов, и на московском
папирусе, относящемся к эпохе около 1850 г. до н. э. *)•
Египтяне умели измерять площади прямоугольника, треуголь-
ника и трапеции по тем же правилам, по каким мы изме-
ряем их теперь. Из того, что площадь круга египтяне при-
нимали равной площади квадрата со стороной, равной
-д- диаметра, следует более точное, чем у вавилонян, зна-
чение числа к (гс=3, 1605). Одним из самых блестящих
достижений египетской математики является нахождение ими
правильного способа определения объёма усечённой пира-
миды с квадратным основанием. При переводе этого способа
О Папирус называется московским потому, что в 1893 г. был
приобретён русским собирателем Голенищевым, а в 1912 г. пере-
шёл в собственность Московского музея изящных искусств.
на наш современный математический язык мы приходим
к формуле:
® = А(а2_|_а&_|_£2) (черТ. 5).
О
Египтянам, так же как и вавилонянам, было присуще
чувство симметрии и пропорций. Только наличие у египтян
внутреннего чувства пропорций позволяло им воздвигать
такие здания, которые поражают гармоничностью своих
форм.
И всё же ни у вавилонян, ни у египтян не было ещё
геометрии, как науки. Их познания являлись только резуль-
татом накопленного опыта
на почве чисто практических
потребностей; но будем по-
мнить, что египтяне и ва-
вилоняне подготовили тот
сырой материал, который
постепенно был использован
другим народом с более
поздней культурой. Этим
народом были греки. Черно-
вая работа была выполнена
на протяжении многих ве-
ков в Вавилоне и Египте,
и на долю греческих ученых выпало развить этот материал,
систематизировать его, дать логические доказательства и
установить научные методы геометрического исследования.
2.
Перед нами древняя Эллада за 6—7 веков до н. э. Её
города разбросаны по многочисленным островам и полу-
островам Средиземного моря. К этому времени один из еги-
петских фараонов открывает свободный доступ в свою
страну. Множество эллинов устремляется туда. Едут купцы
и учёные, искатели приключений и мореплаватели. Среди
них и Фалес из Милета (640—548), один из „семи мудрецов*,
и несколько позднее Пифагор с острова Самоса (564—473).
Они стремятся в Египет для того, чтобы на месте познако-
миться с тем запасом знаний, который за тысячелетия нако-
пился в этой древней стране. Они впитывают в себя всё то,
что знали по математике египтяне. Предание говорит, что
Пифагор едет ещё дальше, на восток — в сказочный Вави-
30
лон. Всюду и везде они по крупицам собирают интересую-
щие их знания и с ними возвращаются на родину.
Конечно, Фалес и Пифагор не одиноки в своём стремле-
нии перенести на почву Эллады математические знания древ-
него Востока, но их имена — наиболее яркие в этом отно-
шении. Так и проникают эти знания из Египта и Вавилона
в Грецию, где зарождается геометрия как наука.
Начало развития геометрии на почве Греции связывают
с именем Фалеса. В области геометрии ему приписывают
открытие свойства вписанных углов, опирающихся на диа-
метр; свойства углов при основании равнобедренного тре-
угольника; свойства вертикальных углов. Фалес также знал,
что треугольник определяется одной стороной и двумя
углами, прилежащими к ней; основываясь на этом, он указал
возможность определять расстояние до недоступных пред-
метов и высоту предметов по длине отбрасываемой ими тени.
Больше сделали в создании геометрии как науки пифа-
горейцы (570—471). Характерно в этом отношении утвер-
ждение одного из древнегреческих писателей — Прокла:
„Пифагор впервые разработал принципы геометрии и иссле-
довал теоремы невещественным, разумным путем". Не нужно
думать, что количество геометрических фактов, известных
грекам в V веке до н. э., значительно превышало число их,
полученное ими с Востока. Важно то, что мысль греков
шла в ином направлении, чем мысль египтянина или мате-
матика из Вавилона. Если последние стремились только
к накоплению готовых рецептов для решения задач: „возьми
то-то", „сделай то-то", то греков интересовало другое:
откуда взяты эти решения, эти геометрические факты, как
доказать, что они верны, как установить, что они справед-
ливы не только для отдельных частных случаев, но и вообще
справедливы. Поставив вопрос именно так, греческие мате-
матики и нашли верный путь для создания геометрии как
науки.
Пифагору, кроме теоремы, известной под его именем, и
школе пифагорейцев приписывают открытие несоизмеримых
отрезков, так поразившее самих пифагорейцев; доказатель-
ство существования только пяти видов правильных много-
гранников; доказательство теоремы о сумме углов треуголь-
ника; построение правильных пятиугольника и десятиуголь-
ника; построение многоугольника, равновеликого данному и
в то же время подобного другому; геометрический способ
решения квадратного уравнения (см. главу IV).
31
Платон.
Исключительное значение приписывала математике школа
Платона, знаменитого философа древности (429—348). Он
был учеником Сократа. Сам Сократ не считал нужным для
философа глубокое изучение математики. „Геометрию надо
знать настолько, чтобы только уметь измерить поле". На
иной точке зрения стоял Платон. После смерти Сократа он
знакомится с учением пифагорейцев, много путешествует и
в 388 г. основывает в Афинах „Академию", в которой ра-
ботает в течение 20 лет. Всякий входящий в Академию
читал надпись: „Пусть сюда не входит никто, не знающий
геометрии". Под влиянием учения пифагорейцев Платон осо-
знал важность точного знания, в частности математики как
одной из ступеней к изучению философии. „Уйди прочь.
У тебя нет орудия философии", — сказал Платон одному из
желающих поступить в его школу, но не получившему мате-
матического образования.
Каковы же заслуги школы Платона в создании геомет-
рии как науки?
Основной заслугой Платона является его стремление при-
дать систематическому построению геометрии ту точность
32
и логическую тонкость, которые потом навсегда стали ее
отличительной чертой, и развить геометрию из определений
и немногих аксиом.
К сожалению, до нас дошло только одно определение
из тех, которые были даны Платоном, — это определение
прямой: „Линия, в которой средняя точка покрывается кон-
цами,— есть прямая"*
Очевидно, это определение Платон получил из практи-
ческого построения прямой на местности при помощи про-
вешивания.
Черт. 6.
Важно в данном случае не то, что потом эти определе-
ния и состав аксиом изменились, а важен самый факт по-
добного подхода к построению геометрии.
Из частных вопросов Платону и его школе принадлежат
доказательства, решение или постановка следующих теорем
и задач: 1) открытие способа нахождения сторон прямо-
угольного треугольника в рациональных числах; 2) построе-
ние прибора для деления угла на три равные части (трисек-
ция угла); 3) исследование свойств призмы, пирамиды, ци-
линдра и конуса; 4) изучение „конических сечений", т. е.
тех ьривых, которые получаются в результате пересечения
конической поверхности плоскостью (черт. 6). Это извест-
ные вам из черчения кривые: эллипс, гипербола и парабола.
В изучении этих кривых большую роль сыграл ученик Пла-
тона— Менейхм и позже Архимед и Аполлоний. Многое
сделала школа Платона в выработке методов решения задач
на построение. Со времён Платона при решении задач на
3 А. А. Колосов	33
построение стали различать четыре части: анализ, построе-
ние, доказательство и исследование.
Говоря об истории создания геометрии, нельзя не упо-
мянуть имя Евдокса (408—355), врача, астронома, механика
и математика, создавшего теорию пропорций, на основе ко-
торой впоследствии Евклид со всей возможной для того
времени строгостью изложил геометрию, Кроме того, Евдоксу
при помощи особого способа удалось прийти к измерению
объёмов пирамиды, конуса и шара.
Итак, развитие математики в Греции шло в тесном со-
дружестве с философией. Но связь с философией оторвала
геометрию времён Платона от практических задач, и только
Архимед (287—212) требованиями самой жизни был поста-
влен в необходимость связать теоретическое построение гео-
метрии с практикой.
С VII по III век геометрия Греции накопила обильный
фактический материал. Назрела необходимость его систе-
матизации, приведения в стройную логическую систему.
Первая попытка такой систематизации геометрических
знаний была сделана Гиппократом из Хиоса, учеником Пи-
фагора, который написал первый учебник геометрии. Были,
очевидно, и другие попытки создать подобный учебник. Но
все эти попытки были забыты, когда появилось бессмертное
произведение Евклида «Начала".
В своей книге Евклид собрал всё, что было существен-
ного в трудах его' предшественников, дал доказательство
тех геометрических положений, которые ранее были обосно-
ваны недостаточно удовлетворительно. Несомненно, что
открытие некоторых теорем, помещённых в «Началах", при-
надлежит самому Евклиду. Но главная заслуга автора «Начал"
заключается в том, что все геометрические знания, нако-
пленные веками, были приведены им в такую систему,
которая долгое время считалась образцом ясности и стро-
гости.
Ни одна научная книга не пользовалась таким много-
вековым успехом, как «Начала" Евклида. Она сначала пере-
писывалась, а потом перепечатывалась множество раз в пе-
реводах на языки всего мира. Только с 1842 г. эта книга
выдержала более 500 изданий. По «Началам" изучали гео-
метрию Коперник, Галилей, Декарт, Ньютон, Ломоносов,
Лобачевский и многие другие великие учёные. Книга Евклида
знакома каждому школьнику, каждому культурному человеку
в упрощённом пересказе других авторов.
34
Евклид.
Великое историческое значение „Начал* заключается,
с одной стороны, в том, что они являются частью того фун-
дамента, на котором зиждется вся современная техника,
а с другой, научной стороны, „Начала* Евклида „передали
последующим временам идеалы вполне логической обработки
геометрии* (Ф. Клейн).
Глубокое изучение геометрии Евклида показало, что тво-
рение великого греческого математика не одинаково совер-
шенно во всех своих частях. Подмеченные недостатки каса-
лись главным образом самых основ его книги, т. е. основ-
ных понятий, определений и аксиом. Пересмотр этих основ
завершился созданием неевклидовой геометрии великим рус-
ским учёным Н. И. Лобачевским (1792—1856).
В конце XIX и в начале XX века появляется ряд работ,
в которых авторы стремятся к безукоризненному формули-
рованию всех аксиом и основных понятий геометрии.
Среди этих работ выделяется работа немецкого матема-
тика Д. Гильберта „Основания геометрии*, вышедшая
3*
35
в 1899 г. В 1903 г. Гильберт за свою работу „Основания
геометрии" получает премию имени Н. И. Лобачевского.
Таков длинный исторический путь создания той науки,
которую мы называем „Элементарная геометрия".
3.
Одна из знаменитых задач древности — задача о три-
секции угла 9- Уже пифагорейцы умели делить прямой угол
на три равные части при помощи построения равносторон-
него треугольника (черт. 7).
Успешное решение этой задачи дало толчок к поста-
новке более общей задачи — о делении на три равные части
любого угла. Простота решения
/	первой задачи вселяла надежду,
/	что и вторая задача будет ре-
Хх.	шена, если и не так просто, как
/	V\	первая, то все же как-то решена.
/	Задача эта была поставлена еще
/	в веке д0 н- э* и полУчила У
/\\	древних греков название задачи
о трисекции угла. За её решение
брались многие из лучших гре-
ЧеРт*	ческих математиков, но дойдя
в анализе задачи до определён-
ного пункта и, казалось, уловив порядок решения её, остана-
вливались перед невозможностью выполнить построение
только при помощи циркуля и линейки, как тогда требова-
лось. Столкнувшись с такой трудностью, некоторые из ма-
тематиков решили не ограничивать себя при решении данной
задачи применением только циркуля и линейки и пришли
к удачному результату. Мы теперь знаем,* что задача о три-
секции угла неразрешима при помощи циркуля и линейки * 2).
Тем интереснее ознакомиться с иными способами решения
указанной задачи, предложенными древнегреческими мате-
матиками.
От V до III века до нас дошло несколько решений. Мы
остановимся только на двух наиболее простых — решении
х) Другие знаменитые задачи древности будут даны во II и
111 частях книги.
2) Есть элементарное доказательство невозможности деления
угла на три равные части при помощи циркуля и линейки, но это
доказательство требует знания программы IX класса.
36
Никомеда (III—II века до н. э.) и решении Архимеда
(287—212).
Решение Никомеда. Пусть АОВ— данный угол,
который требуется разделить на три равные части (черт. 8).
Из точки К9 принадлежащей стороне ОВ, на сторону ОА
опускаем перпендикуляр KL и дополним получившийся тре-
угольник OKL до прямоугольника ODKL. Пусть луч ON
отделяет от угла АОВ третью часть — угол AON — и пусть
ON пересекает KL и DN, продолжение DK, соответственно
в точках М и N. Если Р — середина MN, то
MP = PN = KP = OK.
Вы убедитесь в справедливости последнего равенства, если
вспомните, что медиана КР гипотенузы MN треуголь-
ника KMN равна её половине, и проследите за следующей
записью:
Д4=2ДЗ = 2Д 1=Д2;
кр=ок,
следовательно,
MN = 2ОК.
Таким образом, направление луча, отсекающего от дан-
ного угла его третью часть, мы найдём, если нам удастся
построить на продолжении DK точку N так, чтобы
MN = 20K.
37
Построение точки N при помощи циркуля и линейки и
было тем пунктом, перед которым в растерянности остана-
вливались математики, решающие эту задачу.
Никомед продолжил решение этой задачи и при помощи
кривой, названной им конхоидой, довёл решение до
конца.
Ознакомимся прежде всего с этой кривой (черт. 9).
Черт. 9.
Черт. 10.
Дана прямая RS и точка О вне её. Из этой точки на
опущен перпендикуляр OL, на продолжении которого отло-
жен отрезок LLr=a. На лучах, выходящих из точки О,
от точек пересечения с прямой RS отложены отрезки, рав-
ные а. Геометрическое место концов этих отрезков и пред-
ставляет конхоиду. При помощи конхоиды можно решить
задачу о трисекции угла.
Для этого из точки К, лежащей на стороне ОВ (черт. 10),
опустим перпендикуляр KL на сторону ОА угла АОВ.
Строим конхоиду по точке О, прямой R и по отрезку
а = 2 • ОК.
38
Точку Af встречи прямой AjV, параллельной OLlt с кон-
хоидой соединяем с точкой О.
Тогда
Д NO А = У Д АОВ.
Действительно, по свойству конхоиды:
Если AW ==	= 2 • ОК\ MP=PN,
то
KP = PN *=ОК.
Поэтому
Д4 = Д5иД1 = Д2; Д5 = 2Д2; Д2 = ДЗ;
Д5 = 2ДЗ; Д4 = 2ДЗ,
т. е.
/_NOA =уД А0В-
На чертеже 11 вы видите прибор, при помощи которого
можно вычертить конхоиду.
Решение Архимеда. Решение Архимеда основано
на лемме:
„Если в окружности из точки, лежащей вне её, про-
ведены две секущие — одна через центр, а другая так,
что внешний её отрезок равен радиусу окружности, то
угол между секущими измеряется третьей частью боль-
шей из дуг, заключённых между его сторонами*.
Доказательство (черт 12):
Пусть МС = ОС — Р, м В А = т° и о CD — п°. Так
как треугольник МСО равнобедренный, то
Д CMD — Д COD = n°;
39
с другой стороны, по теореме об измерении угла с верши-
ной вне окружности:
Из двух последних равенств имеем:
т° —л°_ о
2 ~П
И
/п°= Зп°,
т. е.
£ ЛМВ = уД АОВ.
При помощи доказанной леммы решение задачи о три-
секции угла сведётся к следующему.
Дан угол АОВ, который требуется разделить на три
равные части. Опишем произвольным радиусом R = ОА = ОВ
прямой, то на основании
окружность с центром в
вершине данного угла
(черт. 13).
Если нам удастся по-
строить на окружности точ-
ку С так, чтобы: a) MC—R,
б) точка Л4 находилась на
продолжении стороны ОВ
угла АОВ и в) точки Л4, С
и А принадлежали одной
леммы задача была бы ре-
шена.
Попытки многих греческих математиков построить точку С
при помощи только циркуля и линейки не увенчались успе-
хом. В настоящее время доказано, что эта задача не разре-
шима при помощи указанных приборов.
Положение точки С может быть достаточно точно
определено при помощи линейки, на которой нанесена длина
радиуса проведенной окружности (черт. 14).
Добившись путём испытаний, чтобы край линейки, на
котором отложена длина радиуса, проходил через точку А
и чтобы отрезок МС равнялся длине радиуса, мы и получим
на окружности точку С. Проведя прямую AM, строим ра-
40
диус ОЕ, параллельный AM. Угол ВОЕ и будет третьей
частью угла АОВ.
Заметьте читатель,
Циркуля и линейки, на
что задача решена при помощи
которой нанесена длина радиуса.
4.
Три софизма. Софистами в древней Греции называли
философов-учителей, задачей которых было научить своих
учеников „мыслить, говорить и делать". Будучи в боль-
шинстве случаев глубоко образованными людьми, они не
столько передавали ученикам знания из различных областей
греческой науки, сколько стремились научить их владеть
искусством словесных состязаний. Чтобы выйти победителем
в словесном поединке, софисты часто пользовались тем, что
противник недостаточно глубоко знает предмет, о котором
идёт речь, недостаточно внимателен и наблюдателен и
поэтому не в состоянии отличить фальшь от правды. В ре-
зультате словесного поединка противник должен был согла-
ситься с доводами софиста и признать себя побеждённым,
хотя истина, казалось, была на его стороне.
41
Если в математике путём логической цепи рассуждений,
в одном звене которой намеренно допущена трудно улови-
мая ошибка, хотят убедить кого-то в неверности всем
Черт. 15.
взятых на сторонах этого
известного математического
положения, то перед нами
математический софизм.
Попробуйте и вы, чита-
тель, обнаружить ошибку в
тех софизмах, которые вам
здесь предлагаются. Будьте
внимательны, и вы останетесь
победителем.
Первый софизм.
„Всякая окружность имеет
два центра".
Возьмём произвольный
угол АВС и в произвольно
ла точках D и Е построим
перпендикуляры к соответствующим сторонам. Пусть
/И — точка пересечения этих перпендикуляров (черт. 15).
Проведём окружность через три точки D, Л1 и Е. Пусть
она пересекает стороны данного угла в точках К и £. Со-
единим точки К и L с точкой Угол KDM— прямой по
построению; следовательно, будучи вписанным углом, он
опирается на диаметр КМ. Угол LEM — также прямой
и вписанный; следовательно, он также опирается на диа-
метр LM. Итак, КМ и LM диаметры одной* окружности.
Середина каждого из них есть центр этой окружности.
Окружность имеет два центра.
Второй софизм. „Катет прямоугольного треугольника
равен его гипотенузе".
Дан прямоугольный треугольник АВС (черт. 16).
DE — перпендикуляр к АС в его середине; ВМ — биссек-
42
триса угла В; Л4 — точка пересечения указанного перпенди-
куляра и биссектрисы. Из точки М опущены перпендику-
ляры МК на ВС и ML на АВ.
/\ВКМ = &BML. (Почему?)
Следовательно,
BK=BL,	(1)
£\СКМ — £\ALM. (Почему?)
Следовательно,
CK — AL.	(2)
Складываем равенства (1) и (2):
BK+KC = BL^-LA
или
ВС = АВ,
т. е. катет прямоугольного треугольника равен его гипо-
тенузе.
Третий софизм. „Площадь квадрата, сторона кото-
рого равна 8 линейным единицам, будет иметь не 64,
а 65 квадратных единиц".
Разрежем квадрат ABCD на
четыре части, как указано на
чертеже 17. Равенство трапе-
ций I и II совершенно оче-
видно, как и равенство тре-
угольников III и IV. Из частей
I и III составим прямоугольный
треугольник, также составим
прямоугольный треугольник из
частей II и IV. Из полученных
двух равных прямоугольных
треугольников (черт. 18) скла-
дываем прямоугольник со сто-
ронами 13 единиц и 5 единиц
(черт. 19).
Площадь этого прямоугольника, очевидно, будет равна
65 квадратным единицам, следовательно, и площадь ква-
драта ABCD будет также равна 65 квадратным единицам.
Откуда взялась лишняя квадратная единица?
Рекомендуем читателю вырезать из клетчатой бумаги
квадрат (взять сторону клетки в 1 см), разрезать его, как
43
указано на чертеже 17, и из полученных частей сложить
прямоугольник.
5.
В заключение этой главы читателю предлагается не-,
сколько достаточно трудных задач.
Задача 1. Даны три квадрата ABCDt DCEF и FEKL
(черт. 20). Проведены диагонали BDt BF и BL.
Доказать, что / 1+Д2 + ДЗ = 90°.
Задача 2. Построить треугольник АВС по трём точкам Kt
L и М, в которых пересекают описанную около треуголь-
ника окружность:
44
а)	биссектрисы треугольника;
б)	высоты треугольника;
в)	высота, биссектриса и медиана, проведённые из одной
вершины.
Задача 3. На бильярдном поле стоят два шара Л1 и 7V.
Один из игроков пускает шар М так, что он, отразившись
последовательно от бортов АВ, ВС и С£>, попадает в шар М.
Вычертить путь шара М (черт. 21).
Черт. 21.
Задача 4. Стороны трапеции a, b, с n.d. Определить
длину отрезка прямой, соединяющей середины оснований.
ЛИТЕРАТУРА
В.	И. Костин, Основания геометрии, Учпедгиз, 1948.
В. И. Лебедев, Очерки по истории точных наук, вып. II
и IV, 1917.
В. П. Шереметевский, Очерки по истории математики,
Учпедгиз, 1940.
Б. В. Гнеденко, Беседы о развитии математики, изд. АПН
РСФСР, 1946.
И. Я. Депман, Рассказы о математике, Детгиз, 1954.
Д. С. Дубнов, Ошибки в геометрических доказательствах,
Гостехиздат, 1955.
А. И. Фетисов, О доказательстве в геометрии, Гостехиздат,
1954.
„Библиотека математического кр}жка“, вып. 2, Гостехиздат,
1954.
1
ГЛАВА III
РАЗВИТИЕ ПОНЯТИЯ О ЧИСЛЕ.
ЧИСЛА ЦЕЛЫЕ, ДРОБНЫЕ И ИРРАЦИОНАЛЬНЫЕ
1.
Когда мы начинаем думать о происхождении понятия
о числе и для разрешения этого вопроса обращаемся к исто-
рии математики, то нас прежде всего поражает та исключи-
тельно долгая и упорная психологическая работа, которую
пришлось проделать человеку, чтобы приобрести это поня-
тие и положить начало натуральному ряду чисел.
Первая трудность, которую должен был преодолеть
на этом пути первобытный человек, заключалась в том,
чтобы от частных представлений прийти к представлениям
общего характера; для этого человек должен был подметить
общие признаки отдельных предметов, а это случилось
только тогда, когда он натолкнулся на группы, по его
мнению, одинаковых предметов. Тогда, очевидно, и возникли
в сознании человека представления „один" и „много".
Дальнейшее „созерцание" создало постепенно понятие
о первых числах натурального ряда; при этом понятию
о числе отвлечённом всегда предшествовало и сначала с ним
тесно сливалось понятие о числе каких-нибудь определённых
предметов. Переход от понятия о числе определённых пред-
метов к числу отвлечённому был также и очень долгим
и очень трудным. Наглядным пособием для этого перехода
46
служили окружающие предметы. Так, глаза, уши, руки
отдельного человека, крылья птицы служили как бы нагляд-
ным пособием для выработки представления о числе „два".
Всякий отдельный предмет: солнце на безоблачном небе,
луна в ясную ночь, сам человек — вызывал представление
„один". Поэтому не удивительно, что люди когда-то давно
вместо „один" говорили „я" или „луна". Для выражения
числа „два" употребляли слова: „глаза", „крылья" и т. п.
Постепенно, пользуясь сначала пальцами рук, а потом
и пальцами ног, люди удлиняли счёт и прошло очень много
времени, прежде чем из операции счёта, идеи порядка
(первый, второй и т. д.) в сознании людей возникло пред-
ставление о натуральном ряде чисел, продолженном доста-
точно далеко.
Прошли годы, столетия, может быть тысячелетия, и,
наконец, в уме человека начинает зарождаться идея о дей-
ствиях над целыми числами. Возникновение этой идеи
диктовалось самой жизнью, работой человека, его повседнев-
ным опытом. Первые шаги в этом направлении были‘очень
робкими: действия первоначально производились над неболь-
шими числами, чтобы была возможность проверить правиль-
ность полученных результатов. Постепенно приобретались
навыки, создавались практические правила, которые с тече-
нием времени распространялись на всё большие и большие
числа. Сделать приобретённые таким образом знания точ-
ными, ещё больше увеличить область применения их, расширяя
при этом и самоё понятие о числе, и стало содержанием
одной из древнейших наук — арифметики.
2.
Вместе с развитием арифметики претерпевало глубокое
изменение и самоё понятие о числе.
В III веке до н. э. греческий математик Евклид определял
число как множество, составленное из единицх). Следуя
Евклиду, также определял понятие числа и Л. Ф. Магницкий,
создавший первый учебник арифметики в России (1703).
Но ещё ранее XVIII века применение определения Евклида
*) В понятие множества Евклид вкладывал иное содержание
чем то, которое вкладываем теперь мы. В нашем понимании
„множество" может быть состоящим из одной единицы и может
быть „пустое множество"—нуль.
47
встретилось с рядом трудностей. Прежде всего, опираясь
на него, нужно было признать, что 0 и 1 не являются
числами. Далее, с этим определением не мирилось опреде-
ление дроби как числа, не говоря уже о числах иррацио-
нальных. Всё это вместе взятое привело к тому, что
во второй половине XVIII века завоёвывает место иное,
общее определение числа, выдвинутое ещё Ньютоном
(1642—1727): число есть отношение одной величины к дру-
гой того же рода, принятой за единицу.
Это определение делало равноправными положительные
целые, дробные и иррациональные числа.
3.
Сложение двух целых чисел а и b можно рассматривать
как нахождение в натуральном ряде числа, занимающего о
место после а. Так как натуральный ряд бесконечен, то
это число всегда может быть в нём найдено. Следовательно,
действие слбжения целых чисел всегда выполнимо, и поэтому
операция сложения целых чисел не могла натолкнуть человека
на мысль о существовании чисел, отличных от чисел нату-
рального ряда.
Также всегда выполнимо и действие умножения целых
чисел, так как умножение в данном случае можно рассма-
тривать как частный случай сложения, когда слагаемые
одинаковы. Поэтому умножение целых чисел не могло
повлечь за собой необходимости введения новых чисел,
отличных от чисел натурального ряда. То же самое можно
сказать и о возведении целого числа в целую положительную
степень.
Итак, прямые операции над целыми числами не ставили
вопроса о расширении понятия о числе.
Обратные операции над целыми числами — вычитание,
деление, извлечение корня и логарифмирование — не всегда
выполнимы, если результат этих действий искать среди
чисел натурального ряда. Так, нельзя произвести действия
над целыми числами 5—8; 4:7, или найти х, если 2Ж=5,
не расширяя понятия о числе.
Но была и другая причина, помимо обратных действий
над целыми числами, заставлявшая человека идти по пути
расширения понятия о числе; этой второй причиной оказался
процесс измерения величин, который, как и процесс счета,
возник очень давно.
48
В настоящее время мы знаем, что, несмотря на беско-
нечное разнообразие величин, которые приходится измерять
человеку в науке и практической деятельности, измерения
этих величин могут быть сведены к измерению трёх основ-
ных величин: длины, массы и времени. Выбрав определённым
образом единицы для измерения трёх указанных величин,
можно будет построить систему мер для всевозможных
величин, в которой все единицы являются производными
от единиц длины, массы и времени. Такая система мер
построена и названа абсолют-
ной системой единиц.	л }	।	________
Возможно, что именно про-
цесс измерения величин и
натолкнул человека на первое	Черт. 22.
расширение понятия о числе
и заставил ввести в математику дробные числа. В дальней-
шем в целях наглядности изложения будем брать за образ
всяких измерений непосредственно осуществляемое измере-
ние длины.
Пусть даны два отрезка АВ и CD (черт. 22). Будем
находить отношения АВ к CD, понимая под отношением АВ
К	Е £
С>------
Черт. 23.
к CD число, которым измеряется одна из этих величин (АВ),
если другая (CD) принята за единицу. Решая эту задачу,
мы можем столкнуться с двумя случаями:
а)	выбранная нами единица (CD) укладывается в отрезке
АВ целое число раз без остатка; тогда отношение АВ к CD
о	АВ о
выразится целым числом п. В данном случае п =	— 3
(черт. 22);
б)	данный отрезок не измеряется абсолютно точно вы-
бранной единицей, не оказывается ей кратной, как это мы
видим на чертеже 23. Отрезок CD, который мы принимаем
за единицу, содержится в отрезке KL три раза и ещё
остаётся остаток EL, меньший CD. Единственно (черт. 23),
что мы можем сказать в этом случае, — это то, что резуль-
тат измерения заключается между числами 3 и 4. Желание
получить более точный результат заставляет нас применить
4 А. А. Колосов
49
приём, введённый в практику с древнейших времён — раздро-
бить избранную единицу на равные части, чтобы определить,
сколько раз определённая часть данной единицы {CD)
содержится в измеряемом отрезке KL, Пусть единица изме-
рения CD разделена на четыре равные части и эта подъеди-
ница укладывается в остатке EL три раза без остатка.
В математике подъединица, получаемая при делении перво-
начальной единицы на четыре равные части, обозначается
символом
4 *
и если отрезок KL содержит 15 подъединиц (черт. 23), то
мера этого отреака выразится числом
Последний символ и называется дробью или отно-
шением. Таким образом, дробное число можно написать
при помощи двух целых чисел. Одно из этих чисел назы-
вается знаменателем и показывает, какую часть вели-
чины (СО), с которой сравниваем другую величину {KL)t
мы приняли за новую единицу; другое — числитель —
показывает, сколько раз новая единица содержится в изме-
ряемой величине.
Оставалось сделать последний, самый трудный шаг —
освободить символ — от связи с процессом измерения и
самими измеряемыми величинами—и рассматривать этот символ
как отвлечённое число, уравненное в своих правах с нату-
ральным числом. Этот последний шаг в истории дробных
чисел вылился в длительный мозговой процесс человека
и был осуществлен только в результате накопления отдельных
усилий в течение многих столетий.
Так как нахождение отношений двух величин сводится
к делению двух чисел, то дробное число — стало симво-
лом, выражающим частное от деления двух целых чисел тп
и я, когда результат не может быть выражен целым числом;
иначе дробь — есть n-я часть числа гп.
Введением дробных чисел было осуществлено первое
расширение понятия числа и достигнута возможность гово-
50
рить о делении и в тех случаях, когда оно невозможно
во множестве целых чисел.
4.
Понятие дроби, как и понятие целого числа, с течением
времени претерпевало изменения. Евклид (III в. до н. э.)
в своих „Началах" и Никомах (I в. н. э.) в „Введении
в арифметику" совсем не рассматривают дробей, так как
ни у того, ни у другого нет понятия о дроби как об одном
числе. В то же время Архимед (287—212 до н. э.), ученик
Евклида, в своих работах употребляет дроби. Случилось
это потому, что греки отделяли арифметику как науку от
арифметики как искусства счисления. Дроби с точки зрения
греков можно употреблять только при решении каких-либо
практических задач, но им нет места среди* чисел, которые
изучает арифметика.
В более позднее время и вплоть до XVIII века считали,
что дробь, или, как часто тогда говорили, ломаное число,
есть собрание равных частей единицы. Во второй половине
XVIII века дробь уже рассматривается как частное от деле-
ния целых чисел. Эйлер, член Петербургской академии наук,
в „Универсальной арифметике" (1787 г.) рассуждает так:
„Представь себе только линию в 7 сажен длиною, то
никакого сомнения не будет, чтоб невозможно было разде-
лить эту линию на три равные части и о величине такой
иметь понятие. Получая о частном числе, в таких случаях
происшедшем, ясное понятие, хотя оно и не целое число,
доходим через оное до познания особливого роду чисел,
которые дробями, или ломаными числами, называются".
И, наконец, во второй половине XVIII века появляется
и третье истолкование дроби, наиболее отвечающее общему,
данному Ньютоном определению понятия числа как отноше-
ния одной величины к другой, того же рода, принятой
за единицу. С этого времени понятие дробного числа ста-
новится таким же простым и ясным, как и понятие целого
числа.
5.
Вычисления над дробями мы впервые встречаем в одном
из древнейших, дошедших до нас, памятников культуры —
египетском папирусе Ахмеса. Но способы этих вычислений
у египетских математиков 2000 лет до н. э. были очень
своеобразны и длинны. Египтяне, очевидно, ясно предста-
вляли себе только доли единицы и поэтому каждую задачу
4*
5/
сводили к действиям над дробями с числителем 1. Папирус
Ахмеса и начинается таблицей, выражающей дроби
2	2	2	2	2
5 ’ 7 ’ 9 ’ 11 ’ ’ *	99
суммой дробей с числителем 1. Например:
5 — 3	7 ~ 4 '28’	9 — 6 ' 18 И Т> Д'
Эта таблица содержит 49 дробей с числителем 2 и знаме-
нателем в виде одного из нечётных чисел от 3 до 99, и эту
таблицу, по-видимому, египетский математик того времени
должен был знать наизусть, так же как мы знаем таблицу
умножения. В то же время эта таблица показывает, что
египтянам было известно сокращение дробей, так как
в таблице отсутствуют сократимые дроби. Трудно сказать,
сколько времени потребовалось, чтобы составить эту таб-
лицу, но несомненно, что она составилась не сразу и яви-
лась результатом длинного ряда исканий и проб.
При помощи этой таблицы любая дробь может быть
представлена как сумма основных дробей с числителем 1.
Например:
_5 _ 2 , _2 . _2 __ J_ J_ _£	_ _1_ .
7 “ 7 ‘ 7 ’ 7 “ 7 ' 4 ‘ 28 ‘ 4	28 “ 7
+ (4 + 4)+(^+й)==т + 4 + п = т+7 + гг
Несомненный интерес представляют дроби, которыми
пользовались в древнем Вавилоне. Эти дроби интересны уже
потому, что напоминают наши десятичные дроби, только
вместо знаменателей 10, 102, 103, . .. вавилоняне употреб-
ляли 60, 602, 603....Такой выбор знаменателей станет
нам понятен, если мы вспомним, что основанием вавилон-
ской системы счисления было число 60 и что эта система
была поместной. Для вычислений с дробями вавилонянам
пришлось, так же как и египтянам, потратить много уси-
лий для составления обширных таблиц, выражающих основ-
ные дроби с числителем 1 через шестидесятиричные дроби.
Так:
_1_ = 2.	30
8 “60 ' 602 ‘
Чтобы почувствовать те трудности, которые пришлось пре-
одолеть вавилонянам при составлении этих таблиц, попро-
52
буйте основные дроби или выразить в шестидесяти-
ричных дробях.
Шестидесятиричные дроби вавилонян, имеющие те же
преимущества перед обыкновенными дробями, что и деся-
тичные дроби, несомненно, помогли улучшить способы за-
писей результатов измерений и позволили легко сравнивать
числа между собой. Если, например,
22 . _30	.2—19
8 “60“'“602 ’ 3 3 “60’
2 .	3	17 . 30 п
то у больше у на + Причиной распространения
вавилонских дробей среди индийцев, арабов и греков была
не только относительная легкость сравнения их между собой,
но и то облегчение, которое они вносили в выполнение
труднейшего арифметического действия — деления. Особенно
широко ими пользовались и хорошо их разработали грече-
ские астрономы во главе со знаменитым Клавдием Птоле-
меем, жившим во II веке н. э. Их примеру потом последо-
вали арабские, а за ними и средневековые учёные, пока
в XV веке шестидесятиричные дроби ье уступили место
более совершенным при десятичной системе счисления деся-
тичным дробям. Но даже в наши дни, читая отсчёты на
круге угломерного прибора или узнавая время, мы, несо-
мненно, отдаём дань своей зависимости от вавилонской
науки и её ученых, живших 4000 лет назад.
Вместе с распространением вавилонских дробей разви-
валось учение и об обыкновенных дробях. Большую работу
в этом направлении проделали индийские математики XI века
во главе с Брамагуптой. У них мы встречаем как основные
дроби, так и производные от них с любым числителем.
Запись дробей была весьма близка к современной: числи-
тель наверху, знаменатель внизу, но отсутствовала гори-
зонтальная черта и целое число, если оно было, помещалось
не впереди дроби, а выше числителя; например, запись
5	3
дроби Зу у индийцев выглядела так: 5.
Помимо вавилонских и индийских дробей, большое рас-
пространение в Европе вплоть до XV века имела римская
система дробей с основными дробями:
12’ 12’ 12’ 12’ 12’ 12’ 12’ 12’ 12’ 12’ 12*
63
Каждая из этих дробей имела свой знак и особое на-
звание.
В XVI веке борьба между различными системами дробей
окончилась победой индийской системы. Это совпало с тем
временем, когда индийская арифметика стала вступать
в свои права и получила силу и перевес. В этом же веке
учение о дробях принимает в основном облик, знакомый
нам теперь.
С XVI же века получили большое распространение деся-
тичные дроби, введённые в математику Симоном Стевином
(1548—1620)’)• Его сочинение, в котором он предлагает
к употреблению десятичные дроби, вышло в 1585 г. Оно
содержит только 7 страниц и называется так: „Десятая,
обучающая легко производить все расчеты, встречающиеся
в людских делах, при помощи целых чисел, без дробей".
Десятичные дроби при нашей десятичной поместной системе
счисления и принятой почти во всех культурных странах
метрической системе мер представляют исключительные
удобства во всех расчётах.
О применении дробей в России XVII века мы читаем
в книге В. Беллюстина „Как постепенно люди дошли до
настоящей арифметики" следующее: „В рукописи XVII века
„Статия численная о всяких долях указ" начинается прямо
с письменного обозначения дробей и с указания числителя
и знаменателя. При выговаривании дробей интересны такие
особенности: четвёртая часть называлась четью, доли же
со знаменателями от 5 до 11 выражались словами с окон-
и 1 1 1
чанием „ина", так что -=•— седмина, — пятина, тх— де-
/	э	ю
сятина; доли же со знаменателями, большими 10, выгова-
ривались с помощью слов „жеребей", например — — пять
1о
тринадцатых жеребьёв. Нумерация дробей была прямо заим-
ствована из западных источников... Числитель назывался
верхним числом, а знаменатель исподним".
Итак, то, что ученик школы узнаёт о дробях в течение
одного-двух лет, проникало в математику и завоёвывало
своё место в ней в течение многих тысячелетий. Вводя
дроби в математику, учёные часто шли ощупью, боязливо
и осторожно, иногда недостаточно глубоко проникая в сущ-
*) Впервые десятичные дроби встречаются у узбекского мате-
матика ал-Каши, умершего около 1436 г.
54
ность операций над ними. Учение о дробях и в более позд-
нее время (IX — XV века) оставалось труднейшим разделом
арифметики, особенно в действиях умножения и деления.
Поэтому часто составители учебников заставляли учеников
заучивать определённые правила действий над дробными
числами, не давая никаких теоретических обоснований или
объяснений этих правил. Трудно было изучать дроби по
таким книгам. Но в то же время в любую из предшествую-
щих нам эпох люди сознавали важность изучения дробей,
и учителя и в стихах и в прозе старались приободрить
своих учеников в преодолении тех трудностей, которые их
ожидали. 2000 лет назад знаменитый римский оратор Ци-
церон говорил: „Без знания дробей никто не может при-
знаваться сведущим в арифметике". То же самое писал
в стихах и русский математик Л. Магницкий, издавший
первый учебник арифметики в России (1703):
Но несть той арифметик,
Иже в целых ответчик,
А в долях сий ничтоже,
Отвещати возможе.
Темже о ты радеяй,
Буди в частях умеяй.
6.
Прошло очень много времени после открытия дробей,
пока человеческий ум обнаружил в процессе измерения ве-
личин существование иных чисел, кроме целых и дробных.
История проникновения этих новых чисел в математику
тесно связана с открытием несоизмеримых отрезков в гео-
метрии. Честь открытия несоизмеримых отрезков принадле-
жит греческому философу и математику Пифагору и его
школе (VI век до н. э.). Они доказали, что диагональ и
сторона квадрата не имеют общей меры. Эта теорема и её
доказательство известны теперь каждому школьнику и мало
вызывает у него удивления. Но эта же теорема привела
в величайшее смущение и Пифагора и всех его учеников.
В Греции существовало много различных философских
школ, но ни в одной из них математика не занимала такого
почётного места, как в школе, основанной Пифагором.
В основе философии пифагорейцев лежит понятие о числе
как основе мира и всего миропонимания. „Всё в природе,—
говорили они, — измеряется, всё подчиняется числу, в числе—
56
Пифагор.
сущность всех вещей; познать мир, его строение, его законо-
мерность— это значит познать управляющие им числа...
Можно видеть природу и властную силу числа во всех
человеческих занятиях, во всех искусствах, ремёслах и му-
зыке. Число — это всё. Не материя, а число — начало и
основа вещей".
Мы не можем согласиться с последним утверждением.
Мы знаем, что не число есть основа вещей. Но несо-
мненно, что число играет исключительную роль в науке
о природе, в деле подчинения её сил человеку.
И вот пифагорейцы, положившие в основу своей фило-
софии число как результат измерения и соотношения между
величинами, открывают существование несоизмеримых отрез-
ков: „Все может быть измерено", — говорили они. И вдруг
реальный прямолинейный отрезок — диагональ квадрата со
стороной, равной единице, — лишён числового образа. Это
противоречило самой сущности их философии и вносило
диссонанс в ту гармонию, которую видели пифагорейцы
56
в окружающем их мире. Трудно представить себе, то изу-
мление и ту растерянность, которые охватили их. Откры-
тие несоизмеримых было настолько неожиданным, что Пи-
фагор запретил разглашать его, боясь, что основа его
философии будет поколеблена, и когда один из его учени-
ков выдал эту тайну, то он был изгнан из союза пифаго-
рейцев. Но истину не скроешь. Так случилось и здесь.
Союз пифагорейцев распался. Члены ,союза рассеялись по
всей Греции-и, обучая математике, постепенно передали
окружающим свои знания и тайны и среди них — тайну
открытия несоизмеримых отрезков.
7.
Из несоизмеримости диагонали и стороны квадрата выте-
кает, что, если принять сторону квадрата за единицу изме-
рения, то результат измерения диагонали этой единицей
не может дать ни целого, ни дробного числа. Следовательно,
среди известных нам чисел нет числа, выражающего длину
диагонали квадрата, сторона которого принята нами за
единицу измерения. Но диагональ такого квадрата реально
существует, и вопрос о длине этой диагонали имеет смысл
независимо от того, соизмерим отрезок с выбранной еди-
ницей измерения или нет. Поэтому должно реально суще-
ствовать и число, выражающее длину диагонали. Но это
число должно быть числом иной природы, чем ранее изве-
стные нам числа, числом, выходящим за пределы рацио-
нальных чисел. Назовём эти новые числа числами иррацио-
нальными. Таким образом, для измерения длины отрезка
одних рациональных чисел оказалось недостаточно.
Не нужно думать, что иррациональные числа могут
получиться только при измерении длин отрезков. Измере-
ние любой величины может привести к иррациональному
числу. Можно, например, представить себе кусок меди,
вес которого несоизмерим с единицей веса — граммом. Так
будет, если поперечное сечение этого куска меди есть
квадрат со стороною в 1 см и если длина его будет равна
длине d диагонали этого квадрата. Тогда вес Р куска меди
будет таков:
8,93d
(удельный вес меди равен 8,93). В данном случае вес Р
не может быть выражен рациональным числом, так как
57
тогда и d, равное оказалось бы тоже числом рацио-
нальным, что не имеет места.
Итак, всякий раз, когда теоретические соображения го-
ворят нам о том, что измеряемая величина не имеет общей
меры с выбранной единицей измерения, в результате изме-
рения мы должны прийти к числу новой природы, чем
числа рациональные, — числу иррациональному.
Таким образом, вводя в математику иррациональные
числа, будем считать, что иррациональные числа суть числа,
служащие для измерения величин, несоизме-
римых с выбранной единицей измерения.
Но, очевидно, мало ввести понятие о но-
вых числах, необходимо ещё выяснить спо-
соб их записи при помощи цифр.
Пусть иррациональное число выражает
отношение двух несоизмеримых отрезков,
в частности измеряет длину диагонали квад-
рата, сторона которого принята за единицу
измерения. Будем искать приближённую ве-
личину отношения диагонали квадрата к его стороне, сна-
чала с точностью до 1, потом с точностью до 0,1, до
0,01 и т. д. Из чертежа 24 ясно, что
1 < А < 2,
я
a
a
Черт. 24.
следовательно,
“^1 (с недостатком) и (с избытком).
Чтобы найти это отношение с точностью до 0,1, разде-
лим сторону а квадрата на 10 равных частей и будем уклады-
вать ~ часть ее на диагонали. Мы придем к такому резуль-
тату:
1,4 < — < 1,5,
а
т. е.
1,4 (с недостатком) и -^^1,5 (с избытком).
Желая найти отношение — с точностью до 0,01, мы
а
должны были бы разделить сторону квадрата на 100 рав-
ных частей и укладывать часть её на диагонали. Мы
58
пришли бы к следующему результату:
1,4Г<-< 1.42;
а
следовательно,
1,41 (с недостатком) и —»1,42 (с избытком).
Если представить себе процесс нахождения более точ-
ного значения отношения — продолженным дальше, то всё же
мы не можем прийти к значению этого отношения в виде
числа, выраженного конечной десятичной дробью, так как
тогда диагональ и сторона квадрата оказались бы соизме-
римыми, а это противоречило бы известной нам теореме
о несоизмеримости диагонали и стороны квадрата. Следо-
вательно, представляя себе процесс нахождения более точ-
ного значения отношения — бесконечным, мы в результате
придём к числу в виде бесконечной десятичной дроби.'Эта
дробь не может быть периодической, так как тогда она
могла бы быть превращена в обыкновенную дробь и диа-
гональ и сторона квадрата оказались бы соизмеримыми.
С числами в виде бесконечных непериодических деся-
тичных дробей мы сталкиваемся впервые. Правда, такие
числа могли бы быть легко построены искусственным обра-
зом и раньше, напрймер 1,343343334.... Но для нас важен
факт, что бесконечная непериодическая дробь получена
нами в результате измерения, что это число отражает су-
щество вопроса, возникшего в процессе измерения реально
существующего отрезка прямой.
Таким образом, способ записи иррационального числа
при помощи цифр выяснен, и тем самым появляется воз-
можность иного определения иррационального числа.
Иррациональным числом называют число, выражен-
ное бесконечной десятичной непериодической дробью.
Выясним происхождение термина — иррациональный.
Ratio — при переводе с латинского языка означает — отно-
шение; рациональные числа — числа, которые могут быть
записаны в виде отношения двух целых чисел; иррацио-
нальные числа не могут быть представлены в виде такого
отношения.
8.
К необходимости введения в математику иррациональ-
ных чисел могла привести и задача о нахождении стороны
69
квадрата по его площади или ребра куба по его объему. Легко
решая первую задачу для численных значений площади
квадрата в 4 квадратные единицы, 9 квадратных единиц
путём извлечения арифметического квадратного корня из
этих чисел, математики столкнулись с невозможностью ре-
шить подобную задачу для численных значений площади
квадрата в 2 квадратные единицы и т. д. Попытки опре-
делить ]Л2, 1^3 и т. д. во множестве рациональных чисел
не привели к желаемому результату. Вспомним доказатель-
ство невозможности решения этой задачи.
Докажем теорему: если У 2 не равняется целому числу,
то он не может равняться и никакой конечной дроби.
Так как I2 < 2 < 22, то У 2 не равен целому числу.
Для дальнейшего доказательства теоремы вспомним, что
квадрат чётного чйсла есть число чётное, а нечётного —
нечётное. Последнее вытекает из записи:
(2п+1)2=4/г2-+-4/г-+-1 = 4/г(/г-+-1)+1. ч
Докажем теперь, что У 2 не может быть равен конечной
дроби. Допустим обратное.
Пусть
У^ = -.
q
где р и q— числа целые, и р и q—числа взаимно
простые.
Тогда
(/2)!=£ » 2,» = ^.
Последняя запись говорит о том, что р2— число чётное;
следовательно, и р — число чётное. Пусть p = 2k.
Тогда
4£2 = 2q2 и 2k2 = q2.
Отсюда q2 — число чётное и q — также чётное. Но если р
и q — числа чётные, то дробь у была бы сократима, что
противоречит поставленному условию и, следовательно,
У 2 не равняется конечной дроби.
Таким образом, вполне реальная задача о нахождении
стороны квадрата по его площади не всегда имеет решение,
если ответ искать среди целых и дробных чисел. Матема-
60
тики были поставлены перед необходимостью выбрать один
из двух возможных путей: первый — отказаться совсем от
решения задачи о нахождении стороны квадрата по его
площади, когда последняя задана числом в виде неполного
квадрата, второй — расширить понятие о числе, введя поня-
тие о новых числах. Они выбрали второй путь и расши-
рили понятие о числе, введя в математику числа иррацио-
нальные.
Чтобы познать природу этих новых чисел, будем рас-
суждать так: /2 мы можем определить приближённо с не-
достатком или с избытком, используя метод проб. Напом-
ним, как это делается.
1 < /У < 2.
Берём ряд чисел:
.1,1; 1,2; 1,3; 1,4; 1,5; 1,6; 1,7; 1,8; 1,9.
Среднее число этого ряда, будучи возведено в квад-
рат, даёт
1,52 = 2,25;
следовательно,
1,5,
тем более 1^2 меньше 1,6; 1,7; 1,8; 1,9.
Среднее из оставшихся чисел—1,3, будучи возведено
в квадрат, даёт
1,32 = 1,69.
Это говорит о том, что
1,3 < V2
и тем более V2 будет больше 1,2 и 1,1.
Взяв среднее из оставшихся чисел 1,4 и возведя его
в квадрат, получим
1,42 = 1,96.
Следовательно,
1,4 <	1,5.
Взяв новый ряд чисел:
1,41; 1,42; 1,43; 1,44; 1,45; 1,46; 1,47; 1,48; 1,49,
и проделав ту же работу, мы придём к выводу, что
1,41 </2< 1,42.
Этот процесс более точного нахождения V2 может быть
продолжен неограниченно. Представим себе такой процесс
6/
бесконечным. Тогда в результате мы придём к выводу,
что У2 есть бесконечная десятичная дробь. Эта дробь не
может быть периодической, так как последняя легко пре-
вращается в обыкновенную дробь, и тогда У2 равнялся бы
обыкновенной дроби, что противоречит теореме: „если
У 2 не равняется целому числу, то он не может равняться
и конечной дроби".
Таким образом, задача о нахождении стороны квадрата
по его площади приводит к необходимости принять новые
числа в виде бесконечных десятичных непериодических дро-
бей, т. е. принять числа иррациональные.
К такому же выводу мы пришли бы и решая задачу об
определении ребра куба по его объему и вообще, извле-
п ______
кая У а, где а — число, не представляющее полной я-й сте-
пени какого-либо другого числа.
9.
Нам остаётся решить вопрос о геометрическом изобра-
жении иррационального числа. Прежде чем приступить
к решению этого вопроса, обратим внимание на одно свой-
ство множества рациональных чисел:
Между любыми двумя рациональными числами rt и г2
всегда существует третье рациональное число.
Г»	Ci -4“ Г л
В самом деле, полусумма  есть всегда рациональ-
ное число, лежащее между гх и г2* Установив этот факт,
мы повторным его применением приходим к следующему:
Между рациональными числами и г2 всегда заклю-
чено бесконечное множество рациональных чисел.
Если предположить, что всё множество рациональных
чисел будет нанесено в виде соответствующей точки на
числовую ось, то нам может показаться, что эти точки
покроют всю числовую ось и на ней не останется места
для изображения иррациональных чисел. Простое геометри-
ческое построение разубедит нас в этом. Внимательно раз-
берите чертёж 25 и вдумайтесь, как он построен.
Концы отрезков У2, У3, Уб, Уб, У?, У8, ... зай-
мут места на числовой оси, свободные от всяких иных
точек, изображающих рациональные числа. Если бы конец
диагонали У2 при вращении её около начала координат
и совмещении с числовой осью оказался в точке, изобра-
62
жающей рациональное число, то и ]/ 2 был бы рациональ-
ным числом. Следовательно, множество рациональных точек
не покрывает всей числовой оси. Один из видных матема-
тиков Курант1) говорит по этому поводу: „Наивному со-
знанию, несомненно, может показаться странным и парадо-
ксальным, что везде плотное множество рациональных то-
чек не покрывает всей прямой... Нет ничего удивительного
в том, что открытие несоизмеримых потрясло греческих
математиков
После введения в математику иррациональных чисел
каждой точке на числовой оси соответствует определённое
число, каждому числу, рациональному или иррациональному,
Черт. 25.
соответствует единственная определённая точка на числовой
оси; теперь числовая ось заполнена сплошь, и, перемещаясь
по ней, мы проходим непрерывный ряд чисел.
10.
Читатель, наверное, заметил, что руководящим принципом
при введении как рациональных дробей, так и иррациональ-
ных чисел было желание обеспечить возможность измерения
длин отрезков посредством чисел. С этой точки зрения
иррациональное число мы рассматривали как длину отрезка,
несоизмеримого с единицей. Желание дать иррациональному
числу более удовлетворительное с логической точки зрения
определение, освободив это определение от связи с про-
цессом измерения величин, привело во второй половине
XIX века к иному определению иррационального числа.
Большую роль в данном случае сыграла работа немец-
кого математика Дедекинда „Непрерывность и иррациональ-
ные числа“ (1872).
!) Р. Курант и Г. Роббинс, Что такое математика.
63
Не вдаваясь в излишние подробности, постараемся выяс-
нить только самую сущность этого нового, более абстракт-
ного определения иррационального числа.
Представим себе множество рациональных чисел. В это
множество войдут числа целые, конечные дроби и беско-
нечные периодические дроби. Выделим из этого множества
какое-либо рациональное число г (допустим 3). Это число
делит всё множество рациональных чисел на два класса: А
и В. К классу А отнесём все рациональные числа, которые
меньше числа г, а к классу В — рациональные числа, боль-
шие числа г. Самое число г (3) мы можем отнести или
к классу Л, или к классу В. Если число (3) отнесено нами
к классу Л, то оно будет наибольшим числом а* среди
всех чисел этого класса; если число г (3) будет отнесено
к классу В, то оно окажется наименьшим числом Ь* среди
всех чисел этого класса. Можем ли мы представить себе
одновременное существование наибольшего рационального
числа а* в классе Л и наименьшего рационального числа Ь*
в классе В? Очевидно, нет. Если бы такое положение суще-
а* + Ь*	«
ствовало, то рациональное число —, заключённое между
а* и b*t было бы больше, чем наибольшее число а* класса Л,
и, следовательно, к этому классу не принадлежало бы и
меньше, чем наименьшее рациональное число Ь* в классе В,
следовательно, оно не принадлежало бы также и классу Л.
Будем называть разбиение множества рациональных
чисел на два класса при помощи выделения из этого мно-
жества числа г сечением в области рациональных чисел.
Остановимся ещё раз на тех свойствах, которыми обладает
подобное сечение. Вот эти свойства: 1) любое рациональное
число принадлежит или к классу Л или к классу В; 2) любое
число класса В больше любого числа класса Л; 3) в классе Л
существует рациональное число, большее любого из чисел
этого класса, если число г отнесено к классу Л; в про-
тивном случае в классе В существует рациональное число,
меньшее любого из чисел этого класса.
Сёчение, обладающее вышеуказанными свойствами, назо-
вём „собственным“ сечением.
Но существуют и иные сечения в области рациональных
чисел. Будем их в отличие от ясобственных“ сечений назы-
вать „несобственными“ сечениями. Какими же числами про-
изводятся эти новые сечения и каковы свойства подобных
сечений?
64
Пусть в области рациональных чисел произведено сечение
числом q, не принадлежащим к множеству рациональных
чисел. Нет препятствий за такое число взять любую неперио-
дическую десятичную дробь; с подобными числами мы столк-
нулись в результате извлечения корня л-й степени из числа,
не представляющего полной л-й степени (так, |Л2 =
= 1,41421 ...).
В этом случае мы так же, как и в собственных сече-
ниях, для каждого рационального числа можем-решить вопрос,
больше оно или меньше, чем число q (1,41421 Для
этого придётся только сравнить соответствующие десятичные
знаки (например, 1,4142< 1,41421... или 1,41422>1,41421,
или 1,414(2) > 1,41421 ...) и сообразно с этим отнести
каждое рациональное число либо к классу А (числа, мень-
шие числа q), либо к классу В (числа, большие числа q).
Таким образом, .несобственные" сечения также обладают
свойством (1). Отсюда следует, что .несобственным" сече-
ниям присуще и второе свойство .собственных" сечений.
Но если в .собственном" сечении в классе А было наиболь-
шее число а* или в классе В — наименьшее число Ь*, то
в новом сеченйи в классе А не может быть наибольшего
рационального числа, а в классе В не может быть наимень-
шего рационального числа, так как между каждым рацио-
нальным числом (1,4141) и нашей бесконечной непериоди-
ческой дробью (1,41421) всегда найдётся ещё бесчисленное
множество других рациональных дробей (например, 1,41415;
1,414156, ... и т. п.).
Таким образом, для .несобственных" сечений характерно
отсутствие наибольшего рационального числа в классе А
и наименьшего рационального числа в классе В.
Установив разницу меж^ .собственным" и .несобствен-
ным" сечениями, можно перейти к определению Дедекинда:
Каждое сечение в области рациональных чисел мы
будем называть рациональным или иррациональным
числом, смотря по тому, будет ли это сечение „соб-
ственным* или „несобственным*.
Определение Дедекинда более абстрактно, чем опреде-
ление иррационального числа, известнре читателю из курса
алгебры, но оно не связано с процессом измерения величин.
11.
Человеку, занимающемуся научной или практической
работой, очень часто приходится сталкиваться с иррацио-
5 А. А. Колосов
65
на льны ми числами. Не будет преувеличенным утверждение,
что в науке и технике иррациональные числа встречаются
не реже, чем числа рациональные. Многие вычисления, свя-
занные с длиной окружности или площадью круга, приводят
к иррациональному числу, так как отношение длины окруж-
ности к диаметру есть число иррациональное, и поэтому
подсчёт по формулам
С = 2nR и So = nr2
большей частью даёт приближённое значение иррациональ-
ного числа с определённой степенью точности.
Таблицы тригонометрических функций, которыми вы
пользуетесь в VIII классе, как правило, содержат числа,
выражающие приближённые значения иррациональных чисел.
Если вы строите прямоугольный треугольник по двум
катетам, заданным рациональными числами, то в большин-
стве случаев вы получаете гипотенузу, несоизмеримую
с катетами, и, следовательно, её отношение к любому из
катетов будет выражаться иррациональным числом. Напри-
мер, если а = 2, £=3, то с — У*4-Р 9 = 1^13.
Огромное количество научных и технических формул
содержит в себе действие извлечения корня или дробные
показатели. И мы, делая расчёты по этим формулам, часто
забываем, что полученный нами результат является только
приближённым значением иррационального числа.
Приведём несколько примеров таких формул:
а)	Время t поднятия тела, брошенного вертикально вверх
на высоту Л:
g
б)	Диаметр d трансмиссионного вала в сантиметрах:
где N — мощность станка в лошадиных силах, п — число
оборотов вала в минуту1).
9 Речь идёт о передаче при помощи ремня вращения от элек-
тромотора к шкиву, наглухо насаженному ва ведомый вал.
66
в)	Период колебания математического маятника
т= 2к1/"
г g
г)	Число I спиц шкива
i = ^-VD или
где D — диаметр шкива в миллиметрах!).
д)	Скорость v резания стали в метрах в минуту:
30
v =---------.
^0,45 , £0,52 ’
где t — глубина резания в миллиметрах, S — подача1 2) в мил-
лиметрах за один оборот.
12.
Задачи.
1.	Докажите, что числа 1^2 4-1^3 и	— ирра-
циональные.
Указание. Если бы, например, первое из этих чисел
было рациональным числом г, то, написав
/3 = г —/2
и возведя в квадрат, мы заключили бы, что 1^2 есть рацио-
нальное число.
2.	Задача индийского математика Бхаскара. Показать, что
/1О + /ЙН-/4О + /6О = /2 + /3 + V 5.
Указание. Разбейте 10 на слагаемые, а подкоренные
числа на множители так, чтобы подкоренное выражение ока-
залось полным квадратом трёхчлена, стоящего в правой
части равенства.
1) Чем больше диаметр шкива, тем сильнее стремление его
к разрыву и поэтому необходимо большее количество спиц, свя-
зывающих обод с осью.
2) Подача — сдвиг обрабатываемой детали при одном обороте.
5*
67
3.	Всякое число во второй степени есть единица.
Пусть
т4
х = у——.
Отсюда	_
ух = Уу.
(1)
(2)
Вычтя равенство (2) из равенства (1) по частям, получим:
х — Ух = у — V у
ИЛИ	г—	г—
X—y=v * — V У-
Разложим х — у на множители:
(/*+ Уу) • (/х—Уу) = Ух — У у.
Делим обе части последнего равенства на (Ух— Уу)-
Ух+Уу=1,
или 2]/х=1, так как х—-^—, то 21/	=1, или /м2=1.
г	4	F 4
В каком звене рассуждений допущена ошибка?
Задача-шутка. Из четырёх спичек составлено число
семь. Как, изменив положение только одной спички, полу-
чить единицу?
68
ЛИТЕРАТУРА
В. К. Б е л л юст и н, Как постепенно люди дошли до настоя-
щей арифметики, Учпедгиз, 1941.
И. Я. Д е п м а н, Рассказы о математике, Детгиз, 1954.
Б. В. Гнеденко, Беседы о развитии математики, изд.
АПН РСФСР, 1946.
Р. Курант и Г. Роббинс, Что такое математика, Гостех-
издат, 1947.
В. П. Шереметевский, Очерки по истории математики,
Учпедгиз, 1940.
А.	К. Фадеев и И. С. Сомински й, Алгебра, ч. II, Учпед-
гиз, 1954.
В.	Минковский, Исторический обзор развития понятия
иррационального числа, «Математика в школе*, 1939, № 3.
ГЛАВА IV
ИЗ ИСТОРИИ РАЗВИТИЯ УЧЕНИЯ ОБ УРАВНЕНИЯХ
1.
Учение об уравнениях есть одна из основных тем всей
алгебры. С уравнением мы сталкиваемся при решении многих
вопросов физики, механики, астрономии и химии. Решение
задач методом составления уравнений является могучим
средством при решении многих вопросов из области тех-
ники, производства, строительства и народного хозяйства.
Поэтому не удивительно, что зачатки учения об уравнениях
мы должны искать также далеко по времени, как и зачатки
хотя бы геометрических знаний.
Перед нами Египет за 2000 лет до н. э. Ещё нет мате-
матики как науки, нет и алгебры, следовательно, нет и
учения об уравнениях. И всё же изучение сохранившихся
от того времени памятников древней культуры Египта говорит
о том, что и 4000 лет назад решали задачи, которые мы
теперь решаем при помощи составления уравнений. Решали
египтяне эти задачи несколько по-иному.
Возьмём одну из задач, помещённых в древнейшем еги-
петском папирусе. Приведём текст этой задачи:
Отношение двух чисел равно отношению 2:1-^-, сумма
их квадратов 400. Определить эти числа. Мы решили бы
70
эту задачу путём составления системы уравнений:
| х:^ = 2:-|;
( x2+j2=400,
и пришли бы к ответу:
х— 16; у — 12.
4000 лет назад эту задачу решали, применяя правило „лож-
ного положения". Ход рассуждений древнего египтянина
такой: пусть первое число есть 2, тогда второе будет 1	.
Сумма их квадратов равнялась бы б~, а корень квадрат-
ный из суммы квадратов был бы -|-. Но корень квадратный
5
из суммы квадратов искомых чисел есть 20. Так как —
составляет восьмую долю от 20, то первое из искомых* не
два, а число, в восемь раз большее, т. е. 16, а второе
не полтора, а в восемь раз большее, т. е. 12.
Здесь нет ещё составления уравнения. Но подобно тому
как мы/ составляя уравнение, обозначаем искомое число
через х, так и древний математик делает допущение, что
определяемое число равно произвольно взятому числу (в дан-
ном случае двум).
2.
В III веке до н. э. очень многое было достигнуто в раз-
витии геометрии. Созданы „Начала" Евклида. Архимед,
решая геометрические задачи, пользуется методом, близким
к тому, который через 2000 лет после него был введён
в математику Ньютоном. Но алгебра (и, в частности, решение
уравнений) была известна им почти в том же объёме, что
и египтянам. Задачи, которые мы сейчас легко решили бы
методом составления уравнений, они решают чисто геоме-
трическим путём.
Рассмотрим одну из задач из книги Евклида „Начала".
„Разделить прямую АВ точкой М на такие две части,
чтобы площадь прямоугольника, построенного на прямой АВ
и на одной из её частей, была бы равна площади квадрата,
построенного на другой его части".
71
Построим на прямой АВ квадрат ABCD (черт. 26) и
полуокружность с радиусом BE(AE-DE). На AF строим
квадрат AFLM и продолжим LM ж встречи с CD в точке Л/.
Прямая АВ и будет разделена точкой М так, что пло-
щадь AFLM равняется площади MBCN.
Докажем это:
АВ2 — AF • AK = AF •DF (так как АК = DF),
или
AB2=FL-DF
Будем рассматривать последнее равенство как равенство
площадей квадрата ABCD и прямоугольника DFLN; вычтем
Черт. 26.
из обеих частей последнего равенства площадь прямоуголь-
ника AMND и получим:
площадь MBCN — площади AFLM.
Так задача решена у Евклида. Мы бы её решили
по-иному.
Пусть АВ = а и AM — х, где М — точка, делящая АВ
так, как требуется в условии задачи; тогда ВМ = а—х.
Составляем уравнение из условия задачи:
х2 — (а— х)а.
Решая его, получим:
Это решение легче, чем данное Евклидом, потому
что мы применили для решения задачи метод составления
уравнения.
Но и задолго до выхода в свет „Начал" Евклида греки
решали построением такие задачи, которые в настоящее
12
время без труда приводятся к решению полного квадрат-
ного уравнения вида аг2—|— px-\-q = 0. Геометрическое реше-
ние подобных задач далеко уступает в общности алгебраи-
ческим приёмам.
Так, уравнениям
х2Н-рх — <7 = 0 и х2— рх 4-4 = 0,
которые мы решаем при помощи известной всем формулы,
у древних греков соответствовали две различного содер-
жания задачи, требующие различных построений.
Приведём образец античного решения квадратного урав-
нения
х2 рх — т2,
где т2 в обычных обозначениях есть q.
Решение указанного уравнения греки свели бы к решению
такой задачи на построение:
К данному отрезку АВ — р приложить такой прямо-
угольник, чтобы, имея избытком квадрат одной высоты
с прямоугольником, он был равновелик данному квадрату
со стороной т.
Решение. Отрезок АВ, равный р, точкой С разделим
пополам (черт. 27) и на отрезке АС как на стороне строим
квадрат ACDE. Строим отдельно прямоугольный треугольник,
один катет которого MN = т, другой = От точки D
в сторону С откладываем отрезок DF, равный гипоте-
нузе МР построенного треугольника, и через конец F про-
водим прямую ВгС параллельно АВ до пересечения с про-
должением диагонали AD в точке О; ABBtAt есть искомый
73
прямоугольник, а его высота ВВХ и есть корень хг данного
уравнения > 0).
Доказательство. Достроим квадрат и прямо-
угольник AKLE.
DF—сторона квадрата DFGL по построению равна
DF=MP=^ +
следовательно, площадь этого квадрата равна
CD—сторона квадрата ACDE, по построению равна
площадь этого квадрата равна 0^ . Площадь фигуры
LGFCAE, очевидно, равна разности площадей двух квадратов:
площадь LGFCAE равняется площади DFGL—площадь
ACDE = т2 0^ —= т2\ но прямоугольник KAEL
равен прямоугольнику CBBVF\ поэтому
площадь KBB^G равняется площади LGFCAE — т2,
т. е.
х? + pxt = m2; (хх = BBt — KG).
Сделайте подобное построение для частного случая;
постройте положительный корень уравнения:
х2 + 6х=16.
3.
Прошло пять-шесть веков после Евклида, веков пере-
стройки греческой математики с геометрического метода
на метод алгебраический. За эти годы Александрийская
школа почти не продвинула вопроса об уравнениях вперёд
и только в конце александрийского периода, в III веке н. э.,
появляется математик, много сделавший в области развития
алгебры. Речь идёт о Диофанте.
Несомненно, что в развитии учения об уравнениях Дио-
фант внёс вклад больший, чем кто-либо другой из учёных
древней Греции. Его книга „Арифметика* имеет очень мало
общего с арифметикой Евклида и скорее походит на алгебру
индийцев. Во всяком случае в греческой математике у Дио-
фанта не было предшественников; не было у него и после-
74
дователей среди них, так как вслед за его временем наступает
эпоха окончательного падения античной науки. Диофант был
последним из великих математиков древней Греции. В конце
IV века н. э. Греция подверглась опустошительному наше-
ствию римских легионеров. Громадная александрийская
библиотека, один каталог которой составлял 120 томов,
была безжалостно и бессмысленно уничтожена. Греческая
наука и культура на многие века пришли в упадок.
О биографии Диофанта мы знаем очень мало. Даже годы
его жизни точно неизвестны. Некоторые сведения о нём
сохранились в надписи на надгробии Диофанта, сделанной
греческим учёным Метродором. Эта надпись дана в виде
задачи. Вот её текст:
Диофант провёл шестую часть своей жизни в дет-
стве; двенадцатую — в юности; после седьмой, прове-
дённой в бездетном супружестве, и ещё 5 лет у него
родился сын, умерший по достижении половины числа
лет жизни отца, после чего Диофант прожил только
4 года. Скольких лет Диофант умер?
Если читатель потрудится составить уравнение из условия
этой задачи и решит его, то он узнает, что этот великий
математик прожил долгую жизнь — 84 года.
4.
„Арифметика" Диофанта состояла из 13 книг; до нас
дошли только 6 книг. Не нужно искать в работе Диофанта
теоретического изложения алгебры; в ней мы встретим только
ряд задач, систематически расположенных и снабжённых
теоретическими объяснениями. Первая книга содержит главным
образом задачи, решаемые при помощи составления урав-
нений первой или второй степени с одним неизвестным,
остальные книги заключают в себе преимущественно задачи,
разрешаемые при помощи неопределённых уравнений второй
степени, т. е. системы совместных уравнений, число которых
меньше числа неизвестных; так, например, задача; по данной
гипотенузе с = 5 прямоугольного треугольника определить
его катеты х и у — приводит к одному квадратному урав-
нению x2-f-J'2=25 с двумя неизвестными. Такое уравнение
имеет бесчисленное множество решений, некоторые из кото-
рых мы можем определить, давая х значения из множества
допустимых значений (например, при х=2 у = уг21).
Число решений неопределённого уравнения может быть
75
ограничено какими-нибудь условиями. У Диофанта искомые зна-
чения неизвестных должны были выражаться рациональными
положительными числами, так как иных чисел греческая
математика и не знала. Теперь обычно вводится ещё более
тесное ограничение решений одними целыми положительными
числами; при таком ограничении уравнение х2+ву2 = 25
имеет только одно решение: х=3, у —4.
Новое в „Арифметике* Диофанта, что позволяет считать
его одним из творцов греческой алгебры, заключается прежде
всего в том, что он освобождает решение уравнений от
геометрических построений и, таким образом, геометриче-
ский анализ заменяет алгебраическим. Большой заслугой
Диофанта является также и его попытка ввести в целях
упрощения записей буквенную символику. Так, неизвестное
число он обозначал буквой <; (сигма). Эта буква одна из
всего алфавита не вошла в письменную нумерацию греков
и, следовательно, не представляла какого-нибудь определён-
ного числа. Коэффициент при неизвестном Диофант ставил
не впереди, как мы, а вслед за неизвестным. Эти коэффи-
циенты таковы: а — 1, р = 2, 7 = 3, 6 = 4 и т. д.
Записям:
<;а соответствует х;-
соответствует 2х;
^7 соответствует Зх.
Квадрат неизвестного он назвал Збуарл; (дюнамис) и короче
обозначал 8и; куб — (кюбос) и сокращённо хи. Запись
хор обозначает 2х2. Свободный член, кроме числового коэф-
фициента, снабжён значком р.8 — сокращённое р.оуа8е; (еди-
ница); так
р*7 = 3, рЛх= 1.
Знак сложения Диофант не употреблял и слагаемые просто
писал рядом. Знак действия употреблялся только для вычи-
тания ф (опрокинутая буква ф). 'Вместо знака равенства, две
части уравнения соединяются словом „равно* (t8o;); нередко
всё слово сокращается до одной начальной буквы Z.
Так, уравнение
х2=2х — 1,
76
у Диофанта запишется следующим образом:
уравнение
(х34-8х) —(5х2+ 1) = х,
8vejxWoa.
Решая уравнения, Диофант признаёт только рациональный
и положительный корень. Таким образом, из двух корней
уравнения
х2 — х — 6 — 0
он принимает только один 3. Корень —2 для Диофанта
не существует. Уравнение же
Х2_|_ 7x4-12 = о
совсем не имеет решения, так как оба корня его — отри-
цательны.
Решая задачи путём составления уравнений, Диофант
особое внимание уделял выбору неизвестного. Удачный выбор
неизвестного часто делает решение более простым.
В умении выбрать удачно главное неизвестное, провести
анализ задачи, предшествующий решению уравнения, и ска-
зывается яркий и оригинальный талант Диофанта.
Приведём для примера несколько задач Диофанта и его
решения.
Задача 1. Найти два числа, сумма которых 20, а про-
изведение 96.
Пусть 2х — разность обоих чисел. Тогда большее будет
10-4—лг, а меньшее 10 — х. Произведение их
100 —х2=9€; х2='; х = 2.
Искомые числа: большее 12, меньшее 8.
Задача 2. Сумма двух чисел 10, а сумма их квадра-
тов 68. Найти эти числа.
Составим систему уравнений:
| х-±-у = 10;
( х2 +у2 = 68.
Диофант предлагает решить её следующим образом: из пер-
вого уравнения имеем
=5.
77
Пусть
Сложение двух последних равенств даёт
х— 5 + п,
вычитание
у = 5 — п.
Подставляя во второе из уравнений системы, получим:
(5 + п)2 + (5 —п)2=68;
откуда
п = 3; х=8; у/ —2.
Задача 3. Найти три числа так, чтобы сумма всех трёх
и каждых двух были квадратами. „Пусть сумма трёх чисел
равна квадрату
Х2_|_2х+ 1.
Первое число вместе со вторым пусть будет х2, тогда
остаток	будет третье число. Второе число с третьим
пусть составляет:
х2 —2x4- Ь
корнем чего будет х—1. Теперь все три вместе
Х2 4-2x4-1;
отсюда первое будет 4х; но оно вместе со вторым должно
равняться х2, поэтому второе будет х2 — 4х. Итак, первое
с третьим 6х-|-1 должно равняться квадрату. Пусть это
равно 121, тогда число (искомое) получится 20. Отсюда
первое число равно 80, второе 320 и третье 41, и они удо-
влетворяют требованию".
5.
Чтобы иметь некоторое представление о неопределённых
или диофантовых уравнениях, которые особенно часто встре-
чаются в „Арифметике" Диофанта и в решении которых он
проявил так много остроумия и таланта, разберём несколько
простых задач.
Задача 1. Найти двузначное число, равное удвоенному
произведению его цифр.
Решение. Пусть искомое число будет 10x4“^» тогда
по условию задачи имеем:
10x4-j/ = 2ху;	(1)
78
деля обе части этого уравнения на 2х, получим:
+ <2>
так как у должно быть целым числом, меньшим 10, то и
2х
должно быть целым, т. е. у должно делиться на 2х. Поло-
жим, что у = 2хгг, тогда уравнение (2) перепишется сле-
дующим образом: *
5 4- п = 2хп	(3)
или, деля на п, имеем:
|+1 = 2х;	(4)
§
уравнение (4) показывает, что ~ должно быть целым числом,
следовательно, п=1 или п = 5. Если п=1, то х=3 и
_у = 6, если п = 5, то х=1 и _у=10. Последнее решение
не удовлетворяет задаче, так как у < 10.
Итак, имеем одно число 36.
Задача 2. Вы желаете отгадать дату рождения своего
товарища. Вы предлагаете ему умножить день его рождения
на 12, а месяц — на 31.
Он должен сообщить вам сумму обоих произведений,
и вы вычисляете по ней дату его рождения.
Пусть ваш товарищ родился 3 февраля. Тогда он должен
сделать следующие выкладки:
3. 124-2 • 31 = 36 + 62 = 98.
и сообщить вам результат 98.
Вы составляете неопределённое уравнение:
12x4-31j = 98,
где х—число рождения, у — месяц рождения. Остается
только решить это уравнение в целых и положительных
числах. Вот это решение:
бх+з14=49’
Так как х—целое число, то — — целое число. Обозначим
его через /; тогда
6х + 31/ = 49, ,у = 2/;
i=«-3U=8_5
79
" 6 I должно быть числом целым. Пусть -	—1{, отсюда
/=1 — 6+
итак,
х = 3-|-31/1 и у = 2—12/,.
По смыслу задачи 0<х<31 и 0<д/<12. На основе
этого составляем системы неравенств:
3 + 31/1 >0;
3 + 31/1 < 31.
2 — 12/1 >0;
2—12/1 <12.
(I)
(••)
Решая систему (I), получим:
. .	3	, 28
1	31 И Г* 31 •
Решение системы (II) даст:
, . 1	. .	5
/1<у и Л> ——.
Сопоставляя полученные для пределы имеем
___3_	28
31	31 •
Так как — целое число, то ^ = 0. При ^ = 0 х=3
и у — 2.
Дата рождения вашего товарища найдена: 3 февраля.
Проделайте такую же задачу, предположив, что дата
рождения вашего товарища 1 декабря; возьмите для этой
задачи дату вашего собственного рождения.
Задача 3. Найти целое двузначное число, которое в девять
раз более цифры его единиц.
Ответ. 45.
Задача 4. Вы должны уплатить за покупку в магазине
19 руб. У вас есть только трёхрублёвые купюры, у кас-
сира— только пятирублёвые. Можно ли при наличии таких
денег расплатиться за покупку и как именно?
Ответ. Число трёхрублёвых купюр: 8, 13, 18, 23...;
Число пятирублёвых купюр: 1, 4, 7, 10....
80
6.
Творцами алгебры по справедливости надо считать
индийцев. Но, останавливаясь на древних эпохах индийской
математики, мы возьмём время, непосредственно следующее
за временем Диофанта.
В середине VI века н. э. индийцы уже решали задачи
путём составления уравнений, мало отличающимся от совре-
менного, как это следует из сочинения астронома и мате-
матика Ариабхата „Наука о счислении". У него же мы
встречаем задачи на составление и решение в целых числах
неопределённых уравнений вида:
ах-\~Ьу = с.
В VII веке индийский математик Брамагупта (598—660)
пишет в 628 г. трактат, состоящий из 20 книг, из которых
алгебре посвящена XVIII книга. В ней мы встречаем решение
уравнений первой и второй степени, систем уравнений и
неопределённых уравнений в целых числах.
Вот одна из задач, предложенных Брамагуптой:
„Два аскета живут на вершине отвесной скалы высотой h
и в расстоянии от города в т раз большем, чем эта высота.
Чтобы достичь города, один из аскетов спускается вниз,
потом идёт по дороге. Другой поднимается в воздух на
некоторую высоту и оттуда устремляется к городу. Спра-
шивается, на какую высоту поднялся второй аскет, если оба
совершили один и тот же путь?"
Брамагупта решает эту задачу и получает ответ .
Попробуйте и вы решить эту задачу.
В XII веке знаменитый индийский астроном и математик
Бхаскара-Акария (акария — мудрец, ученый) в своем трак-
тате „Сидданта — сиромани" (Венец системы) излагает
алгебру в более ясной форме, чем это делалось до него.
Если Диофант рассматривал отдельно три случая квадрат-
ного уравнения:
ах2 + bx = с\ ах2 = Ьх-\-с и ах2 -\-с = Ьх,
то Бхаскара владеет уже решением квадратного уравнения
в общем виде. Подобно Диофанту, Бхаскара не принимает
отрицательные значения неизвестного, говоря, что „люди
не одобряют отвлечённых отрицательных чисел". Конечно,
не нужно думать, что записи решения уравнений произво-
6 А. А. Колосов
81
лились в той же форме, как делаем мы. Обозначение неиз-
вестных и коэффициентов и записи равенства были иными,
но процесс решения уравнения был таким же, как и у нас.
Условия задачи Бхаскара облекал в красивую, иногда
даже поэтическую форму.
Для образца приведём текст одной из задач:
„В самый разгар боя неистовый Притгава схватил пучок
стрел, чтобы поразить Карму. Половина пошла на само-
защиту, учетверённый корень квадратный сразил лошадей.
Шесть стрел пронзили Схалиа, возницу, тремя прорвало
знамя и расщепило лук и только одной последней стрелой
Карма был поражён в голову. Сколько стрел было в пучке
у Притгавы?"
Не узнаете ли и вы, читатель, сколько стрел имел неисто-
вый Притгава.
Бхаскара решает и системы уравнений первой степени
с несколькими неизвестными, обычно пользуясь способом
подстановки, и неопределенные уравнения в целых числах
более сложного вида, чем у Брамагупты, например вида:
ях2+ 1 =у2*
Всё это свидетельствует о значительном уровне знаний
по алгебре у индусов в XII—XIII веках.
Интересно высказывание Бхаскары о математике: „Я глу-
боко почитаю математику, потому что знакомые с нею видят
в ней средство к пониманию всего существующего
7.
Просмотрите и решите несколько задач из трактатов
Ариабхаты, Брамагупты и Бхаскары. Некоторые из этих
задач напомнят вам задачи из вашего школьного задачника.
Задача 1. «Два светила, находящиеся на данном рас-
стоянии друг от друга, движутся одно к другому навстречу
с данными скоростями v и
Определить точку их встречи*. (Ариабхата.)
Задача 2 (черт. 28). „Найти высоту свечи, зная длину
теней, бросаемых гномоном в двух различных положениях,
при условии, что дано расстояние между положениями гно-
монов". (Брамагу пта.)
Ответ, h(\ -I---.
Задача 3. „Некто сказал своему другу: „Дай мне
100 рупий и я буду вдвое богаче тебя", на что последний
82
ответил: „Если ты мне дашь только 10 рупий, я стану
вшестеро богаче тебя". Спрашивается: сколько было у каж-
дого? (Бхаскара.)
Решение самого Бхаскары.
Пусть у первого будет (2х—100) рупий, а у второго
(х+100) рупий. Ясно, что первое условие будет выпол-
нено. Имея в виду второе условие, получим:
6 (2х—100) = х-|-100.
Ответ. 40 и 170.
А как бы вы, читатель, решили эту задачу?
Задача 4. „Найти число, обладающее тем свойством,
что оно, будучи умножено на 12, по прибавлении к своему
кубу равняется ушестеренному квадрату самого себя, уве-
личенному тридцатью пятью". (Бхаскара.)
Решение задачи приводится к уравнению третьей
степени:
х3 + 12х —6х2=35;
Бхаскара решает его следующим образом:
х3+ 12х —6х2=35;
х3 —6х2+ 12х —8 = 27;
(х — 2)3 = 27;
х —2 = 3;
х — 5.
8.
От Х1П века — времени Бхаскары — вернёмся несколько
назад,4 к VII веку, когда на мировую сцену выступают
6*
83
арабы, покорившие к этому времени всю Переднюю Азию,
Северную Африку и Испанию. Исключительно быстро они
усвоили как западную, так и восточную науки. Научные
знания греков и индийцев слились вместе. Работы тех и
других переводятся на арабский язык. Все это дало толчок
дальнейшему развитию наук, в том числе и алгебры.
В 820 г. в Багдаде — столице восточного халифата —
появляется первый самостоятельный труд по математике как
результат изучения арифметики и алгебры индийцев, с одной
стороны, и геометрии греков — с другой. В этом году один
из учёных, которых было немало при дворе халифа аль-
Мамуна, Магомет бен-хМуса из Хорезма, таджик по про-
исхождению, заканчивает свое сочинение о вычислениях
с помощью аль-джебр валь-мукабала, которое он и назвал:
„Аль-джебр . валь-мукабала*. Название связано с двумя
приёмами решения уравнений: переносом членов уравнения
из одной части в другую и последующим приведением
подобных членов. Этот трактат, переведённый в XII веке
на латинский язык, стал тем сочинением, оттолкнувшись от
которого пошло дальнейшее развитие алгебры, но уже на
европейской почве л"Переводчики сочинения бен-Мусы посте-
пенно отбросили вторую часть названия его трактата, оставив
только первую — Аль-джебр или, как мы теперь говорим —
алгебра. Самого автора переводчики переименовали в Аль-
хваризми. Мы же будем помнить, что наш соотечествен-
ник— таджик Магомет сын Мусы из Хорезма — сделал
большой вклад в создание алгебры.
Трактат бен-Мусы состоит из двух частей. В первой
автор даёт правила сложения, вычитания и умножения алге-
браических выражений, содержащих неизвестное, его квадрат
или квадратный корень. Во второй — решение уравнений,
которых насчитывается шесть видов:
х2 — Ьх\ х2 — с\ Ьх = с\
х2 + Ьх = с\ х2 + с — Ьх; Ьх-]~с~ х2.
Все эти шесть видов уравнений можно было бы объединить
в один вид:
ах2 + Ьх 4- с = 0,
если бы арабам было известно буквенное обозначение коэф-
фициентов уравнений, под которыми можно было бы понимать
числа и положительные, и отрицательные, и равные нулю.
84
Правила решения каждого из шести видов уравнений
Альхваризми даёт на частных примерах, описывая его сло-
вами без всяких сокращений.
Вот правило для решения уравнения вида
х2 с = Ьх.
„Квадрат и число 21 равны 10 корням того же
квадрата; спрашивается, из чего образуется квадрат,
который после прибавления к нему 21 делается рав-
ным 10 корням того же квадрата?"
Вопрос, очевидно, сводится к решению уравнения:
х24-21 = 10х.
Решение. „Раздели пополам число корней (полу-
чишь 5). Умножь это число само на себя. От произведения
отними 21, остаток будет 4. Извлеки корень; он есть 2.
Отними его от половины числа корней (т. е. от 5); оста-
нется 3. Это и будет корень искомого квадрата. Или же
ты можешь приложить этот корень к половине числа кор-
ней, что даёт 7. Это и есть корень искомого квадрата,
а сам квадрат будет 49“ (из рукописи Альхваризми).
В результате многовековых трудов выдающихся мате-
матиков мы можем решить это уравнение гораздо скорее:
x = 5zt/25 —21==5z±2; хх = 3; х2 = 7.
Если корень уравнения получался отрицательным, то
бен-Муса отбрасывал его. Тем не менее понятие о числе
у него более широкое, чем у греков, так как оно вклю-
чает и число иррациональное.
9.
С ХИ века в Европе научные труды греков, индийцев
и арабов с арабского языка переводятся на латинский язык.
Таким образом, европейские математики получили возмож-
ность изучать великие творения Евклида, Аполлония, Архи-
меда, Птолемея, Альхваризми и др. Но потребовалось около
трёх столетий, чтобы от изучения этих трудов перейти
к самостоятельным исследованиям.
„Книга об абаке" итальянского математика Леонарда
Фибоначчи, написанная в 1202 г., даёт первое оригинальное
изложение арифметики и алгебры. В течение 200 лет эта
85
книга служила основой изучения математики и подготовила
успехи итальянской алгебры в эпоху Возрождения. Ориги-
нальность этой работы сказывается главным образом в манере
изложения, всегда ясной и точной. Здесь он во многих отно-
шениях выше своих арабских учителей. В самом же содер-
жании Фибоначчи менее самостоятелен, как он сам пишет,
что составил „Книгу об абаке*, „присоединив к индийскому
методу кое-что от себя, кое-что от тонкостей геометри-
ческого искусства Евклида*. Так, в одной книге сливаются
вместе влияния и Востока и древней Греции.
В 1494 г. появилось первое печатное руководство по
математике итальянца Луки Пачиоли. В разделе „Алгебра*
мы встречаем решение уравнений первой и второй степени.
Квадратные уравнения рассматриваются трёх видов:
х2 Н- Ьх = с;
Ьх-{-с = х2;
х2 + с = Ьх.
Правила для решения этих уравнений Пачиоли излагает
в стихах. Пачиоли же вводит знаки сложения, вычитания и
равенства в виде заглавных букв Р, М и Ае латинских
слов „plus*, „minus* и „aequalis^. Первую степень неиз-
вестного он обозначает буквой R {res—вещь), квадрат
неизвестного — знаком в виде буквы О, внутри которой
ставилась цифра 2. Таким образом, уравнение
х24-2х=8
в записи Пачиоли выглядело так:
@ P2RAeZ.
Творцом символической алгебры, тех привычных нам
обозначений, которые так упрощают и укорачивают решение
уравнений и все записи действий над алгебраическими выра-
жениями, обычно считают французского математика Франсуа
Виета (1540—1605). Введением буквенных обозначений Виет
указал путь для дальнейшего развития алгебры. Эти обозна-
чения позволяли легче подмечать общие законы, усколь-
зающие из поля зрения при замене букв числами.
Не нужно думать, что записи уравнений и их решений
у Виета в точности совпадают с теми, которыми поль-
зе
Франсуа Виет.
зуемся мы. В примерах с численными коэффициентами Виет
обозначает неизвестное буквой N, его квадрат буквой Q.
Таким образом, уравнение
Зх2—5х=2
Виет записывал так:
3Q — 5W aequal2.
Теорему о свойстве корней квадратного уравнения,
известную каждому школьнику старшего класса под назва-
нием „теоремы Виета", он распространял и на уравнения
высюих степеней. Формулировка этой более общей тео-
ремы такова:
Сумма корней приведённого уравнения п-ой степени
равна второму коэффициенту, взятому с противополож-
ным знаком, а произведение их — свободному члену с тем
же знаком, если п — чётное, и с противоположным зна-
ком, если п — нечётное.
На этом мы закончим обзор развития учения об урав-
нениях, так как многое из того, что дали учёные после
87
Виета, частично и сам Виет, уже выходит за рамки школь-
ной алгебры.
10.
А теперь, читатель, небесполезно решить хотя бы две
задачи, решение которых связано с теоремой Франсуа Виета.
Задача 1. В уравнении
(jz2 — 5k + S)x2 + (U— 1)х + 2 = 0
определить число k так, чтобы один из корней был вдвое
более другого.
Задача 2. Дано уравнение
x24-px-f-<7 = 0.
Составить при помощи только коэффициентов р и q
квадратное уравнение, корнями которого были, бы
+ И Л=Х1 + Х2’
где xt и х2— корни данного уравнения.
11.
Рассказ о двух математиках, которые стали врагами,
и о кубическом уравнении
1512 год. Французская армия, перейдя через Альпы, про-
никла в Северную Италию и захватила её. Завоеватели занялись
нещадным грабежом населения. Нападению подвергся и город
Бресчиа, находящийся недалеко от Милана; после упорного
сопротивления он был взят французскими войсками. Жители
несчастного города искали убежища в соборе, думая, что
святость этого места спасёт их от потерявших человеческий
облик французских солдат. Здесь собрались женщины, дети,
раненые воины. Среди них вместе с отцом был шестилетний
мальчик Никколо. Ничто не могло остановить французских
солдат, они ворвались в собор и в ярости изрубили спа-
савшихся там жителей. Мать Никколо нашла маленького полу-
живого мальчика рядом с трупом своего мужа. У Никколо
была разрублена челюсть и рассечен язык. С изуродованным
ребенком мать вернулась в свой дом и только её любовь
и заботы вернули Никколо к жизни. Но он уже никогда
не мог говорить свободно и получил прозвище tartaglla —
заика. Кто мог бы думать, что этот израненный ребёнок
будет гордостью Италии, одним из крупнейших учёных-
математиков.
88
Никколо Тарталья.
Трудно пришлось матери Никколо после смерти мужа.
Она была так бедна, что не имела возможности уплатить
за Никколо в школу и вынуждена была взять мальчика
из неё, когда он едва выучил азбуку только до буквы К.
Казалось, что мальчик затеряется среди массы таких же
бедных детей. Но исключительно упорный и талантливый,
он не только овладел остальными буквами алфавита, но и
языками латинским и греческим, а также и математикой,
которую он очень любил.
Если не было бумаги для вычислений, Никколо шёл на
ближайшее кладбище и там на надгробных плитах писал
свои математические выкладки. Упорная работа мальчика,
а потом и юноши дала свои результаты—двадцати трёх
лет он уже добывает свой хлеб тем, что учит других мате-
матике и помогает своей матери. Молва о молодом учёном
выходит за пределы его родного города Бресчиа, достигает
Вероны, Пьяченцы и, наконец, Венеции. Его приглашают
читать лекции по геометрии, механике, алгебре. Но это не
делает его богаче — плата за эти публичные лекции такова,
что едва хватает на жизнь.
89
Только в 1535 г. Тарталья может свободно вздох-
нуть — он получает кафедру математики в Вероне. В этом же
году он одерживает блестящую победу на публичном мате-
матическом состязании с неким Фиори. Слава о Тарталье
из Вероны распространяется по всей Италии.
Поводом к состязанию послужил вопрос об общем
решении уравнения третьей степени, вопрос, который не
смогли решить ни арабы, ни индийцы, ни древние греки.
Фиори знал решение уравнения вида x3-\~px—q от своего
учителя Спициона Феррео, который опытным путём дошёл
до этого решения. Но Тарталья ещё раньше, в 1530 г.,
добился решения для одного частного случая такого урав-
нения. Решение досталось ему с большим трудом, и поэтому
он не очень доверял заявлению Фиори о том, что ему изве-
стно решение, и считал это только хвастовством. Оба мате-
матика держали в тайне свои способы решений. И вот Тар-
талья, уверенный в победе, вызывает Фиори на публичный
математический поединок. Поединок назначают на 22 фев-
раля 1535 г. В этот день оба математика должны были
явиться к нотариусу. Каждый должен был принести 30 задач
и обменяться ими друг с другом в присутствии нотариуса.
На решение задач давалось 50 дней. Кто к концу этого
срока решит наибольшее число задач из 30, предложенных
соперником, тот и будет считаться победителем и, сверх
того, получит по 5 сольди за каждую задачу.
Между тем незадолго до этого дня до Тарталья доходят
слухи, что Фиори действительно знает способ решения урав-
нений вида х3-\- px=q.
Тарталья чувствует, что если это так, то Фиори обяза-
тельно предложит ему именно такие уравнения и, следова-
тельно, останется победителем, так как сам Тарталья знал
решение подобных уравнений для нескольких частных случаев.
Тогда, как пишет он в одном из своих сочинений, „я при-
ложил всё своё рвение, прилежание и искусство, чтобы найти
правило этих уравнений, и мне удалось это сделать за
10 дней до срока, т. е. 12 февраля, благодаря счастливой
судьбе". Мы бы сказали, благодаря его исключительному
таланту.
Предположение Тарталья подтвердилось. В назначенный
срок Фиори передал своему сопернику 30 задач, которые
все приводились к уравнениям вида xz-\-px = q.
Каково же было удивление всех, когда Тарталья все их
решил за 2 часа; Фиори же не справился и в 50 дней ни
90
Джероламо Кардано.
с одной из задач, которые Тарталья взял из разных отделов
геометрии и алгебры.
Молва о победе Тарталья быстро распространилась по
всей Италии. Многие учёные просили Тарталья сообщить
употребляемый им метод решения, но он упорно хранил
тайну своего открытия, обещая обнародовать её в большом
трактате по алгебре, подготовляемом к печати.
Весть о победе Тарталья дошла и до Болоньи, где жил
и работал исключительно талантливый ученый Джероламо Кар-
дано, интересующийся многими областями науки. Но Кардано
был совершенно иным человеком, чем скромный Тарталья.
В нём уживались вместе и отчаянный игрок и страстный
поклонник науки. То он увлечён математикой, то его инте-
ресует астрология, наука, предсказывающая судьбу человека
по звёздам. Его увлечение астрологией дошло до того, что
он составил гороскоп Христа, за что его заключают в тюрьму
по обвинению в ереси. После выхода из тюрьмы ряд новых
выходок и свежая ещё память о старых вызвали такое него-
дование его сограждан, что он был вынужден отказаться
от кафедры и бежать из Болоньи. Кардано находит убежище
91
при дворе папы. Говорят, что, предсказавши свою смерть
на известный день, он совершил самоубийство, чтобы под-
держать свою славу астролога. Вот с таким-то человеком
и познакомился Никколо Тарталья.
Кардано в это время писал свой, знаменитый потом,
трактат „Великое искусство, или о правилах алгебры",
в связи с чем у него появляется страстное желание овладеть
тайной решения кубического уравнения, известной Тарталья,
и поместить его в свою работу.
Он едет в Венецию и просит Тарталья открыть ему
тайну, обещая не печатать её в своей работе. Тарталья
отказывает ему в этом. От лести и просьб Кардано пере-
ходит к яростным оскорблениям и решает хитростью выма-
нить у Тарталья его тайну. Тарталья получает из Милана
письмо: „Знатный синьор, наслышавшийся о славе знамени-
того математика, приглашает его на свидание с тем, чтобы
научиться у него". Тарталья, польщённый таким вниманием,
отправляется в Милан. „Знатный синьор" оказывается уехав-
шим и вместо того, чтобы встретиться с ним, Тарталья
попадает в рукн Кардано. Опять потоки лести и просьб
со стороны Кардано, и, наконец, ему удаётся вырвать
у обманутого, доверчивого Тарталья тайну его открытия.
„Клянусь святым евангелием и словом благородного чело-
века , — убеждал Кардано, — что я никому и никогда не открою
тайну правил, сообщённых мне по дружбе".— „Если бы я не
поверил таким клятвам, — отвечает Тарталья,—то сам сде-
лался бы человеком, недостойным доверия", — и он сообщает
Кардано способ решения кубического уравнения.
Проходит 10 лет. В 1545 г. выходит в свет замечатель-
ный труд Кардано „Великое искусство", и в нём, нарушая
все свои клятвы, он подробно излагает теорию решения
кубических уравнений. Этот поступок делает двух знамени-
тых математиков смертельными врагами. „У меня вероломно
похищено лучшее украшение моего собственного труда по
алгебре", — говорит Тарталья. Но он как благородный чело-
век не нашёл другого выхода, как вызвать Кардано и его
ученика Феррари на математическое состязание, Тарталья
предлагает Кардано обменяться с ним 31 задачей и решить
их в пятнадцатидневный срок. Кардано соглашается. Тарталья
в 7 дней решил большую часть предложенных ему вопросов
и свои решения спешно отпечатал и послал в Милан. Его
противники прислали свои решения только через пять месяцев,
и притом, по мнению Тарталья, неверные. Полемика могла бы
92
затянуться надолго, если бы Тарталья не решил положить
ей конец и не встретиться со своими противниками лицом
к лицу. Он приезжает в Милан. На улицах города появ-
ляется герольд с гербом Тарталья. „Я, Тарталья, — провоз-
глашал герольд, — вызываю своих противников Кардано и
Феррари на публичный диспут в церковь святой Марии на
10 августа 1545 г., в 5 часов утра".
В назначенное время явился только один Феррари, „юноша
с нежным голосом, веселым лицом, громадными способностями
и характером дьявола", пишет в своих воспоминаниях Тар-
талья. Феррари был окружён толпой друзей и родственников,
Тарталья же был только вдвоём с братом среди враждебно
настроенной толпы чужого города. ’
Начался диспут. Тарталья доказал неправильность решения
одной задачи, сделанной Кардано, и хотел перейти к разбору
другого решения, но толпа не дала ему говорить, требуя
слова для Феррари. Напрасно Тарталья просил дать ему
закончить, а потом дать говорить Феррари всё, что он захочет,
друзья Феррари ничего не хотели слушать. Последний,
найдя ошибку в решении Тарталья, пустился в такие длин-
ные рассуждения, что время затянулось до обеда и церковь
быстро опустела. Диспут должен был бы продолжаться на
другой день, но, судя по началу, Тарталья мог ожидать
худшего, не исключая и смерти от кинжала наёмного убийцы.
Такой финал спора не был редкостью в то бурное время.
Ночью Никколо Тарталья и его брат, закутавшись
в плащи, покинули Милан. Кардано и Феррари сочли себя
победителями. История тоже оказалась несправедливой по
отношению к скромному Тарталья — способ решения куби-
ческого уравнения долго был известен в математике под
названием „Формулы Кардано".
Таков рассказ о том, как два великих итальянских мате-
матика стали смертельными врагами.
12.
Читатель может быть заинтересуется, как же Тарталья
решил уравнение
х3 + рх = ??	(1)
Приведём ход его рассуждений.
Будем искать корень уравнения х в виде
x—yt—у и,
93
где t и и — неизвестные, которые надо определить подан-
ным р и q. Далее, новое оригинальное предположение, что
(2)
Если подставить выражения для х и р в левую часть
данного уравнения, то получим:
ггу + з	- Л)=ч-,
I — 33 и + 3 tJ'S— 3)^П?= г,
t — u = q.	(3)
Равенства (2) и (3) дадут систему:
{t — u = q\
3^tu = pt
решив которую мы и получим выражения t и и через р и q\
или
отсюда:
_	_3Z-	_3>-
Подставляя значения t и и в равенство х=у t—у и, мы
и получим формулу Тарталья:
(Я+(Я+1-/ /
Подумайте, что для Тарталья было самым трудным при
выводе этой формулы?
Огромная заслуга Кардано заключается в том, что, овладев
решением уравнения
х3 рх = q,
он пошёл далее и нашёл способ решать полное кубическое
уравнение:
х3 + ах2 4- Ьх — с.
94
Оказалось, что стоит только х заменить через z —
т. е. положить
а
"З ’
х — z —
в полном уравнении уничтожается член со второй степенью
неизвестного и уравнение принимает вид уравнения Тарталья:
z*-\-pz = q.
Читатель не должен думать, что при помощи формулы
Тарталья — Кардано он сможет также легко решить любое
уравнение третьей степени вида х?-\- px-\-q — 0, как при
.	р t
помощи формулы	2 = — 5" — У -----Я он решает квадрат-
ное уравнение х24-рх + # = 0. Это совсем не так. Решая
в VIII классе квадратное уравнение, мы ставим условием,
п2
чтобы дискриминант -----q уравнения был больше нуля или
равен нулю. В случае дискриминанта, меньшего нуля, мы
говорим, что квадратное уравнение не имеет действительных
корней. Пытаясь решить кубическое уравнение x*-\-px-\-q—Q,
мы прежде всего потребуем, чтобы выражение (у)24“(у)8»
стоящее под квадратным корнем в формуле Тарталья —
Кардано, было больше нуля или равнялось нулю. Оказы-
вается при ('I')2 4“ ("д’)8 > 0 формула позволит нам опреде-
лить действительный корень уравнения; два других корня
будут мнимые. Сделаем это для уравнения
х34-6х = 2.
В этом случае
(|у+(|)’ = .+8=Э;
и формула Тарталья — Кардано даст:
х = у/~/94-1—j/" /9—1 =/4 —/2.
При помощи таблиц Брадиса (стр. 34 и 35) мы найдём, что
/4	1,588 и /2 дь 1,260
95
и тогда
х = 1,588— 1,260=0,328.
Проверим найденный корень:
0,32834- 6 • 0,328 «0,0354- 1,968 = 2,003.
Найдите этим способом действительные корни уравнения
х3 4- &х 4~ 20 и х3 — Зх 4- 5 = 0.
Если (-02 4“ (^)8 == 0» то все ТРИ К<>РНЯ будут действи-
тельные и- два из них. равные. Корень, неравный двум другим,
можно тоже определить при помощи формулы Тарталья —
Кардано. Сделайте это для уравнения
х3 — 12х— 16 = 0.
Остальные два корня, равные между собой, вы определите,
если левую часть уравнения разделите на разность между х
и найденным корнем, частное приравняете нулю и решите
полученное уравнение.
Если +	< 0» то 6се ТРИ корня будут действи-
тельные, но самый процесс нахождения их для читателя
в настоящее время не доступен, так как связан с теорией
комплексных чисел.
12.
В заключение попробуйте решить две задачи практи-
ческого характера при помощи составлений уравнений.
Задача 1. В одном сосуде находится дл/р-процентного
раствора кислоты, в другом ^/^-процентного раствора
той же кислоты. Из каждого сосуда отлили одно и то же
количество литров, и взятое из первого перелили во второй,
а взятое из второго — в первый. Какое количество литров
нужно отлить, чтобы в обоих сосудах оказался раствор
кислоты одной и той же крейости?
Задача 2. Два куска различных металлов Одинакового
веса сплавили вместе. Найти удельные веса этих металлов,
если один из них на З-^- больше другого, а удельный вес
получившегося сплава равен 8,75 —.
96
ЛИТЕРАТУРА
Г. Н. Попов, Очерки по истории математики, 1923,
В. П. Ш ере м етевски й, Очерки по истории математики,
Учпедгиз, 1940.
А. П. Ю ш к е в и ч, О математике народов Средней Азии
в IX—XV веках, Гостехиздат, 1951.
И. Я. Депман, Рассказы о математике, Детгиз, 1954.
Я. И. Перельман, Занимательная алгебра, Гостехиздат, 1949.
А. Г. К у р о ш, Алгебраические уравнения произвольных степе-
ней, Гостехиздат, 1951.
«Библиотека математического кружка*, вып. 1, Гостехиздат, 1950.
7 А. А. Колосов
ГЛАВА V
ФУНКЦИИ И ГРАФИКИ
1.
Понятие о функции является основным для многих разде-
лов современной математики. В этом понятии, „как в заро-
дыше, уже заложена вся идея овладения явлениями природы
и процессами техники при помощи математического аппарата.
Вот почему мы должны со всей беспощадностью требовать
от определения этого понятия полной, безукоризненной
ясности; ни одно слово в нём не должно вызывать и тени
сомнения; малейшая двусмысленность здесь грозит сделать
всё величественное здание, которое строит наука на базе
этого основного понятия, несовершенным, требующим капи-
тальной перестройки"х).
С понятием функции тесно связано понятие переменной
величины. Оба эти понятия были впервые введены в матема-
тику французским математиком Рене Декартом (1596—1650).
Известно, какое большое значение придавал Ф. Энгельс вне-
дрению указанных понятий в естественные науки. „Поворот-
ным пунктом в математике была декартова переменная вели-
1) А. Я. X и н ч и н, Восемь лекций по математическому анализу,
Гостехиздат, 1948.
98
чина. Благодаря этому в математику вошли и движение и
диалектика* („Диалектика природы*, 1952, стр. 206). Со-
зданный несколько позже Лейбницем и Ньютоном, анализ
бесконечно малых, в котором понятия функции и переменной
имеют первостепенное значение, отразил особенности про-
цессов, протекающих вокруг нас. „Анализ бесконечно малых —
основная математическая форма современного естествознания
и техники, и нет возможности учесть те неисчислимые благие
результаты, которые принёс с собой этот анализ в область
теории и техники*, — говорит известный физик С.И. Вави-
лов.
Книга, в которой впервые Декарт пишет о переменной
величине и функции, называется „Геометрия*. Она вышла
в свет в 1637 г. Следовательно, прошло более трёхсот лет
с тех пор, как понятие функции вошло в область матема-
тики. В течение трёх столетий в результате поисков наиболее
правильного и полного отражения в этом понятии сущности
совершающихся вокруг нас процессов понятие функции не-
однократно подвергалось изменениям и уточнениям. Поэтому
вполне естественно в этой главе, посвящённой простейшим
функциям и их графикам, познакомить вас, читатель, с совре-
менным состоянием этого вопроса.
2.
Изучение математики и физики в классах, предшествую-
щих восьмому, дало вам возможность накопить в вашем
сознании богатый материал о зависимостях различного рода.
Этому способствовало и изучение арифметики (изменение
результатов действий в связи с изменением компонентов,
изменение величины дроби в связи с изменением её элементов,
прямая пропорциональная и обратно пропорциональная зави-
симости, зависимости между величинами, участвующими в за-
дачах), и изучение геометрии (изменение длины окружности
в связи с изменением радиуса, измерение площадей прямо-
угольника и круга, измерение объёмов куба, бруса и цилиндра,
симметрия, сумма углов выпуклого многоугольника, подобное
преобразование фигур), и изучение алгебры (численное зна-
чение алгебраического выражения, составление уравнений
из условия задач, решение систем уравнений), и знакомство
с физическими законами, которые в определённой форме,
а часто и в определённых формулах фиксировали зависимости
между величинами, участвующими в изучаемом явлении.
7*
99
Многое в этом материале наводило вас на мысль, что
функциональная зависимость между величинами неминуемо
влечет за собой существование определенной формулы, анали-
тически выражающей эту зависимость, и приучало не мыслить
функцию вне ее связи с формулой вообще. В то же время
знакомство с техническими таблицами, самостоятельное со-
ставление таблиц, фиксирующих результаты опытов, прово-
димых вами при изучении определенных явлений в области
физики, хкмии и производства, построение фигуры, симмет-
ричной или подобной данной, пользование графиками, сня-
тыми с какого-либо прибора (барографа, термографа и т. п.),
вело вашу мысль в ином направлении, утверждающем, что
функциональная зависимость может существовать и вне связи
с определенной математической формулой. Все это, вместе
взятое, постепенно подготавливало ваше сознание к восприя-
тию современного определения функции.
Разберем несколько задач, которые помогут нам найти
наиболее четкое и исчерпывающее определение функции:
попутно с этим мы ознакомимся с некоторыми новыми поня-
тиями, терминами и определениями.
Определение. Будем называть множеством собра-
ние элементов {предметов, чисел, точек и т. п.), которое
определяется некоторым правилом, позволяющим с полной
определённостью судить о том, входит данный элемент
в число элементов собрания или не входит.
Примерами может служить множество всех натуральных
чисел, множество всех рациональных чисел или множество
всех треугольников.
Задача 1. Дано уравнение с двумя неизвестными:
у — 2х— 1.
Составить таблицу некоторых решений этого уравнения из
бесчисленного множества их.
Читателю известно, что данное уравнение имеет беско-
нечное множество решений и что мы можем найти некоторые
из этих решений, если одному из неизвестных, хотя бы х,
придадим произвольные числовые значения и определенным
образом найдём соответствующие значения для у. Так как
в задаче на х и у не накладываются никакие ограничения,
то, решая уравнение, мы можем для х выбрать произвольные
числа из множества всех действительных чисел. Найдя, таким
образом, несколько решений данного уравнения, мы можем
занести их в таблицу, в которой значения х и у, соответ-
100
ствующие друг другу, расположены в одном вертикальном
столбце.
X	— 1	0	/3	2	3		
У	— 1	1	2^3 4-1	5	7		
Построенная таблица в нашем представлении может быть
продлена неограниченно.
Совокупность всех численных значений х представляет
собой множество, которое обозначим через М; соответствую-
щие значения у составят другое множество, которое обозна-
чим через /V.
Построенная таблица каждому значению х из множества М
ставит в соответствие единственное и определенное значение у
из множества АЛ
Задача 2. Пусть длина стороны квадрата равна х, а пло-
щадь его у. Тогда
у = х2.
Составить таблицу значений у при некоторых значениях х9
допустимых в данной задаче.
Для решения задачи дадим х произвольные значения, вы-
брав их из множества положительных чисел, и найдём соот-
ветственные значения у. Получим таблицу:
X	0,5	1	2	2,5	V-7		
У	0,25	1	4	6,25	7		
Полученная таблица, как и в задаче 1, каждому из допу-
стимых значений х ставит в соответствие единственное и
определённое значение у. Обозначив по-прежнему через М
множество всех значений х, отметим, что множество М в этой
задаче иное, чем в задаче 1. Если в задаче 1 множество М
включало в себя все действительные числа, то в задаче 2
оно включает только положительные числа. Ни отрицатель-
ные числа, ни нуль не могут входить в множество М, так
как это противоречило бы смыслу задачи.
101
Задача 3. Пусть число сторон выпуклого многоугольника
равно х, а сумма внутренних углов его у. Тогда как известно
из геометрии,
ву = 180°(х — 2).
Составить таблицу значений у при определённых значениях х.
Указанная формула позволит это сделать.
X	3	4	5		
У°	180	360	540		•
Как и раньше, каждому значению х из множества М мы
можем поставить в соответствие единственное и определённое
значение у из множества ЛЛ Но множество Л1 в этой задаче
отличается как от множества М в задаче 1, так и от мно-
жества М в задаче 2. Здесь М есть множество целых поло-
жительных чисел, начиная с 3. При иных значениях задача
не имела бы смысла.
Задача 4. Самолёт из Москвы направляется в Севастополь
со скоростью 300 км!ч,ас. Расстояние от Москвы до Сева-
стополя—1200 км. В Харькове (800 км от Москвы) самолёт
имеет остановку на 2 часа. Составить таблицу расстояний
самолёта от Москвы с момента вылета и до момента посадки
его в Севастополе для некоторых моментов времени.
Пусть х — время полёта в часах и у — расстояние само-
лёта от Москвы в километрах; тогда
X	1	2	СМ |оо СМ		4	5	6
у	ЗОЭ	600	800	800	800	900	1200
Снова таблица даёт возможность каждому значению х
из множества Л4 поставить в соответствие единственное и
определённое значение у из множества N. Множество Л4
включает в себя все действительные числа на отрезке [0, 6];
никакие иные числа по смыслу задачи в это множество вхо-
дить не могут. Интересно также отметить, что изменение х
не всегда влечёт за собой изменение у\ при значениях х на
102
отрезке ру» 4yJ переменная у остаётся постоянной, рав-
ной 800 км.
Задача 5. Перед нами часть таблицы численного состава
учащихся школ Москвы на 1956 год:
№ школы	число учащихся
421 422 423 и т. д.	1120 1040 957 и т. д.
Если номер школы мы примем за множество М, а коли-
чество учащихся в отдельных школах — за множество 7V,
Черт. 29.
то каждому элементу множества М мы опять можем поста-
вить в соответствие единственное, определённое число из
множества Af. Очевидно, множество М в данном случае
включает в себя целые числа — номера всех школ г. Москвы.
Особенностью этой задачи в отличие от всех предшествую-
щих задач будет отсутствие формулы, при помощи которой
мы сможем определить элемент множества Л/ по соответ-
ствующему элементу множества М.
Задача 6. На чертеже 29 даётся часть ленты, снятой с
самопишущего прибора-термографа, регистрирующего темпе-
ратуру в различные дни апреля при помощи графика 1956 г.
103
Определите по данному графику температуру в различ-
ные моменты времени 14 и 15 апреля.
Пусть численные значения времени представляют собой
множество М, соответствующие численные значения темпе-
ратуры— множество Л/. Каждому элементу множества М
можно при помощи снятого с барабана термографа графика
поставить в соответствие единственный и определённый
элемент множества Л/. Множество М в данном случае опре-
деляется временем действия термографа. Здесь, как и в за-
даче 5, мы не имеем формулы, при помощи которой мы
могли бы по данному элементу множества М определить
соответствующий ему элемент множества AZ.
Черт. 30.
Задача 7. Дан четырёхугольник ABCD. Построить новый
четырёхугольник Л1В1С1О1, подобный данному, если даны
положение центра подобия О и коэффициент подобия
(черт. 30).
Построить на стороне многоугольника AiBiClDt
точку ух, соответствующую точке хх на стороне АВ много-
угольника ABCD.
Для решения поставленного вопроса нужно только по-
строить луч Oxf, точка пересечения этого луча со сторо-
ной АХВХ многоугольника AXBXCXDX и определит положение
искомой точки ух.
Будем понимать под множеством Л1 в этой задаче со-
вокупность точек X; контура многоугольника ABCD, а под
множеством N — совокупность точек контура AXBXCXDX.
104
Таким образом, перед нами два множества М и /V, связан-
ных между собой, но множества эти не числовые, а точеч-
ные. Как и во всех предыдущих задачах, при помощи
построенного нами чертежа каждому элементу (точке) мно-
жества М мы можем поставить в соответствие единственный
и определённый элемент (точку) множества 7V и даже со-
ставить таблицу этого соответствия.
	*1	*2	*3	• • •
yi	У1		Уз	• • •
Разобранных примеров будет достаточно, чтобы подойти
к пониманию современного определения функции и функ-
циональной зависимости.
Предварительно сделаем некоторые выводы из разобран-
ных задач:
1.	В каждой задаче мы имеем две переменные величины,
которые в большинстве задач обозначали одну через х
другую через у\ эти величины находятся в зависимости
друг от друга: площадь квадрата зависит от длины стороны
квадрата (задача 2), сумма внутренних углов многоуголь-
ника зависит от числа сторон его (задача 3), температура
воздуха зависит от времени суток (задача 5), положение
точки yi на контуре A^Bfi^D^ обусловлено положением
точки Xi на контуре ABCD (задача 7).
2.	Переменной х мы придавали значение или положение
по своему произволу» выбирая их среди возможных значе-
ний для данной задачи. Будем называть переменную х
аргуменФом.
3.	Совокупность всех значений аргумента, допустимых
в данной задаче, представляет собой множество Л4, кото-
рому соответствует определённое множество N — совокуп-
ность всех значений другой переменной у.
4.	В различных задачах мы сталкиваемся с различными
множествами М. В задаче 1—это множество всех действи-
тельных чисел, в задаче 2 — множество положительных
чисел, в задаче 3 — множество целых чисел начиная с 3,
в задаче 4 — множество действительных чисел на отрезке
[0; 6], в задаче 5 — множество целых чисел — номеров школ
г. Москвы, в задаче 7 — множество точек контура ABCD.
105
б.	Множество М в каждой задаче определяется содер-
жанием самой задачи, практическими соображениями и тре-
бованиями здравого смысла.
6.	Множеству М в каждой задаче ставится в соответ-
ствие множество ЛЛ
7.	Каждому численному значению х множества М или
каждому элементу его можно поставить в соответствие
определенное и единственное значение у из множества N.
8.	Значение элемента у из множества N, соответствую-
щее выбранному значению элемента х из множества М,
находится по определенному правилу, которое в дальнейшем
будем называть законом соответствия.
9.	Закон соответствия может быть дан в виде формулы
(задачи 1, 2, 3), графика (задача 6), таблицы (задача 5),
чертежа, построенного по определенному закону (задача 7)
и словесной формулировки.
Теперь перейдем к определению функции.
Пусть М и N — два множества, элементами кото-
рых могут быть любые объекты. Если каждому эле-
менту х множества М можно поставить в соответствие
некоторый элемент у множества N, то говорят, что у
есть функция х.
Эту мысль обычно записывают в виде равенства:
У =f{x).
Символ f означает установленный закон соответствия,
т. е. правило, позволяющее для каждого допустимого зна-
чения х находить соответствующее значение у.
Множество Л4, определяемое содержанием поставленной
задачи или практическими требованиями и содержащее те
значения аргумента х, которые мы можем придавать ему
в условиях данной задачи, называют областью опре-
деления функции. Так, в задаче 2 областью опреде-
ления функции будет множество всех положительных чисел,
в задаче 3 областью определения функции будет множество
всех целых чисел, начиная с трёх, и т. д.
Если закон соответствия функциональной зависимости
задан формулой, то обычно под областью определения
функции разумеют множество тех значений аргумента, при
которых эта формула имеет смысл. Однако часто эта
широкая область значений аргумента сужается практическими
соображениями.
Поясним эту мысль на примере.
106
Закон соответствия функций у задан формулой
Выяснить область определения функции.
Поставим требование, чтобы значения у были действи-
тельными; тогда значения для х мы должны выбрать так,
чтобы дробь
х —3
4 — х
была положительной, т. е.
Составляем две системы неравенств:
х— 3 > 0;	( х— 3 < 0;
4 — л>0;	(4 — х < 0.
Решая первую систему, получим:
х > 3 и х < 4.
Вторая система даст
х < 3 и х > 4;
последние неравенства противоречат друг другу. Итак,
3< х< 4.
Кроме того, х может равняться 3, но не может равняться 4,
так как тогда бы знаменатель дроби
х — 3
4 — х
превратился в нуль. Окончательно мы имеем:
3<х<4.
Таким образом, областью определения функции будет мно-
жество действительных чисел на промежутке (3; 4), включая
и число 3.
Когда область определения функции выяснена, то гово-
рят, что функция задана или функция определена на мно-
жестве Л1.
107
Прежде чем читать дальше, решите несколько задач на
нахождение области определения функции:
— 1 . _ 1 . _ 2
У~ /х —5 ’ У~1 —	У~х2 — Зх — 4*
2.
Пусть областью определения функции y==f(x) будет
некоторое множество М действительных чисел. Каждому
элементу этого множества на числовой оси соответствует
определённая точка. Приняв числовую ось за ось абсцисс»
построим прямоугольную систему координат. Из множества М
допустимых значений аргумента х выделим одно значение хк,
а на оси абсцисс — соответствующую ему точку. Этой точке
в свою очередь можно поставить в соответствие другую
точку координатной плоскости, именно точку с абсциссой хк
и ординатой yk=f(x^) и построить её. Таким образом, на
плоскости будет построена точка К (черт. 31), координаты
которой кое-что рассказывают о функции: ордината ук
точки указывает численное значение функции при значении
аргумента, равном абсциссе этой точки. Изменяя х внутри
множества М мы можем построить целый ряд точек, коор-
динатами которых будут значения независимой переменной х
и соответствующие значения функции у.
Геометрическое место точек, координатами которых
являются соответствующие значения аргумента и функции,
называют графиком этой функции.
Зная закон соответствия данной функции, мы всё же не
сможем практически построить по полученным координатам
все точки графика. Обычно строят только некоторые из
них^ достаточно близкие друг к другу, а затем естествец-
108
ным образом соединяют построенные точки плавной ли! <ей,
за исключением участков, находящихся вне области опреде-
ления функции.
График функции на выбранном участке изменения аргу-
мента может иметь вид непрерывной линии; таковы графики
Черт. 32
функций в задачах 1, 2 и 4 предшествующего параграфа
(черт. 32).
В других случаях, когда аргумент х по смыслу задачи
не может принимать всех значений на отрезке [а: ftl.
а только некоторые из них (задачи 3 и 5 предшествующего
параграфа), графиком функции будет совокупность отдель-
ных точек (черт. 33).
Если на отрезке [a; ft] изменения аргумента х функция
существует при всех значениях х, кроме значения х = т,
то из графика выпадает точка с абсциссой т и сам график
109
как бы распадается на отдельные части. Таким, например,
будет график функции
4
х — 2 ’
так как при
превращается
в 0 и, следовательно, при значении аргумента, равном 2,
функция не существует (черт. 34).
Возможны и графики вида, указанного на чертеже 35.
Закон соответствия в этом случае таков:
х
1
2
х+1
при
при
при
ПО
В этом случае, хотя аргумент х и может принимать любые
значения из множества действительных чисел, всё же график
функции не будет непрерывной линией.
Трудно переоценить значение графиков функций в науке
и жизни. Они играют исключительную роль в математике,
естественных науках, в науках экономических, в технике,
производстве, в сельском хозяйстве — всюду и везде, облегчая,
иллюстрируя и ускоряя решение возникающих вопросов, как
научных, так и практических, иногда трудно разрешимых
без помощи графиков.
Вот перед нами график функции (черт. 36)
_______________________ 2х
У~ '
Очень важно уметь выявить свойства функции, имея
перед собой её график.
Черт. 36.
Чтобы прочитать свойства данной функции по её графику,
нужно иметь в виду следующее:
1.	Заданное значение аргумента берется на оси х; соот-
ветствующее значение функции указывается ординатой той
точки графика, абсцисса которой равна заданному значению
аргумента.
2.	Если график функции слева направо поднимается, то
это говорит о возрастании функции с возрастанием аргу-
мента, если график функции слева направо опускается, то
функция на этом отрезке изменения аргумента убывает.
3.	Если функция на каком-либо отрезке (а; аргумента,
будучи непрерывной, от возрастания переходит к убыванию,
то график её на этом участке должен сначала слева направо
подниматься, достигнуть точки, наивысшей по сравнению
с ближайшими точками графика, а затем начать опускаться.
Значение функции, определяемое ординатой наивысшей
111
точки, называют максимумом функции на отрезке [а; #];
абсцисса этой точки говорит о том значении аргумента, при
котором функция достигает максимума.
Если функция на каком-либо отрезке [а; &] аргумента,
будучи непрерывной, от убывания переходит к возрастанию,
то график её на этом участке должен иметь точку, наиниз-
шую по сравнению с другими точками этого графика, на-
ходящимися в непосредственной близости. Значение функции,
определяемое ординатой наинизшей точки графика, называют
минимумом функции на отрезке [а; д]; абсцисса же этой
точки, указывает значение аргумен-
та, при котором функция достигает
минимума. Так, нижепомещённый
график (черт. 37) указывает, что со-
ответствующая ему функция имеет
максимум, равный 5 при х=0, и
два минимума, равные 1 при
х = У2 и х— — Уг21).
Читатель должен заметить, что
максимум функции не есть необхо-
димо наибольшее из всех возмож-
ных значений её, а также, что ми-
нимум не есть необходимо такое
значение, которое меньше всех
других значений функции.
4. Если график функции на
определённом отрезке изменения
аргумента остаётся параллельным оси х, то на этом
отрезке функция остаётся постоянной и не меняется
(черт. 41).
б.	Если график или чйСть его находится ниже оси х,
то для определённых значений аргумента функция — отри-
цательна, если выше оси х, — положительна.
6.	Координаты точки пересечения графика с осью х ука-
зывают, при каких значениях аргумента значение функции
равно нулю; координаты точки пересечения графика с осью
ординат говорят о численном значении функции при нуле-
вом значении аргумента.
1) На чертеже дан график биквадратного трёхчлена у =
= (х2 — 2р 4-1; У достигает наименьшей величины в том случае,
если х2- 2 s= 0 и, следовательно, х = ± У 2.
112
7.	Крутизна подъёма или опускания графика на различ-
ных участках позволяет сопоставлять скорость изменения
функции на этих участках.
8.	Если на координатной сетке начерчены графики двух
функций, то имеется возможность сравнить, как протекает
одно явление по сравнению с другим.
Вернёмся к графику функции
2х
У ~ х* + 1 •
Разберите при помощи графика изменение функции на
отрезке [—6; 4-6], изменения аргумента, ответиз на
вопросы:
1.	При каких значениях аргумента функция положи-
тельна? отрицательна?
2.	На каком отрезке изменения аргумента функция воз-
растает?
3.	Имеет ли данная функция максимум и минимум? Если
имеет, то при каких значениях аргумента и чему численно
равны наибольшее и наименьшее значения функции?
4.	Что можно сказать о скорости изменения функции на
отрезке ]—6; -4~6], изменения аргумента?
5.	При каком значении аргумента значение функции
равно 0,5 (ответ дать приближённый).
6.	Как расположены точки максимума и минимума гра-
фика относительно начала координат?
На все эти вопросы гораздо труднее было бы ответить,
если бы перед нами не было графика функции.
4.
В этой главе мы остановимся только на функциях,
с которыми читатель познакомился в VIII классе школы.
Вспомним эти функции.
1. Линейная функция. Закон соответствия линейной
функции может быть задан формулой
y — kx-^-b.
Основное свойство этой функции вы получите, если дадите
аргументу х два значения х{ и х2, найдёте соответствующие
значения функции yt и у2:
yl = kxi + b;	(1)
=	(2)
8 А. А. Колосов
ИЗ
и вычтете из равенства (2) по частям равенство (1*):
У2— yi = k{X2 — Xt).
Назовём разность х2— х{ приращением аргумента, а раз-
ность у2—У1 — соответствующим приращением функции;
тогда равенство (3) мы можем прочитать так:
Приращения функции пропорциональны соответствующим
приращениям аргумента; коэффициентом пропорциональности
будет коэффициент k при х в формуле, выражающей закон
соответствия линейной функции.
Это свойство и является основным для линейной функ-
ции; никакая иная функция этим свойством не обладает.
Вот примеры линейной зависимости, известные вам из
курса физики:
а)	= +
где vt— скорость равномерно-переменного движения в мо-
мент Z, а — ускорение, t—время и vQ— начальная скорость.
б)	Z = Z0(l + a/),
где Z — длина металлического стержня при Z°, Zo — началь-
ная длина стержня при 0° и a—коэффициент линейного
расширения.
Основное свойство линейной функции позволит устано-
вить вид графика этой функции.
Пусть дана функция
у — kx-\-b.
Даём аргументу х ряд произвольных значений: xl9 х2, х3
и т. д., и находим соответствующие значения функции:
Уъ У2> Уз и т- Построим ряд точек Alt А2, А3 с коор-
динатами: (xx, jx), (х2, у2), (х3, у3) и т. д. (черт. 38).
По свойству линейной функции
У2—У1 = 1г (<*«—*1) и у3 — y2 = k(x3 — х2).
Последние равенства можно переписать так:
л2 —	х8 — х2
Отсюда:
Уъ — У1 _ Уз —Уз
х2 — Xt х3 — х2 ’
или (черт. 38)
А3С
А^З Л2С
114
Последняя пропорция утверждает, что
Л Л|Л2В Л А2А«р;
следовательно,
ДЛ2Л1В = ДЛ3Л2С
и точки Лх, А2 и А3 находятся на одной прямой.
и х,	х2 х2
Черт. 38.
Разберём два примера.
1. Шар с горизонтальной плоскости, по которой он дви-
гался равномерно со скоростью 1	, переходит на на-
клонную плоскость. На наклонной плоскости длиной 4 м
Черт. 39.
шар двигается равномерно-ускоренно с ускорением
Приняв момент вступления шара на наклонную плоскость
за нулевой момент, вычертить график скорости шара на
отрезке [—1; 6] времени.
Выясним прежде всего время движения шара по наклон-
ной плоскости (черт. 39).
Формула
о	I /
s=T+^
8*
115
л	г\ с М	А 0,5Р , .
при 5 = 4 м и 0 = 0,5^^ даст 4=—2------------г**» откУДа:
/ = /20 —2 «2,5 (сек.).
Формула скорости движения шара на наклонной плоскости
такова:
Графиком этой функции на отрезке [0; 2,5] будет прямая,
пересекающая ось vt в точке с ординатой 1; дав t значе-
ние 2,5, получим для vt соответствующее значение 2,25.
Чертёж 40 даёт искомый график скорости шара на от-
резке [—1; 6] времени.
Черт. 41.
2. На чертеже 41 дан график роста добычи нефти
в СССР. При вычерчивании этого графика принято, что на
отрезке времени между каждыми двумя рядом надписанными
на оси времени годами добыча нефти возрастала равно-
мерно. Проследите по графику за ростом добычи нефти.

Данные на 1955 и I960 годы взяты из докладов
на XX съезде Коммунистической партии Советского Союза.
Как ярко характеризует крутизна отдельных участков гра-
фика успех этой отрасли хозяйства СССР!
Частым случаем линейной зависимости является прямая
пропорциональная зависимость. Закон соответствия этой
функции таков:
у =kx.
Основное свойство её:
Значения функции прямо пропорциональны соответ-
ствующим значениям аргумента} коэффициентом про-
порциональности будет коэффициент k при х в формуле,
выражающей закон соответствия.
Можно привести очень много примеров пропорциональ-
ной зависимости. Вот некоторые из них:
a)	S = vt\
б)	С — 2к/?;
В) Р = |1Р,
где F—сила трения и Р — вес тела,
г) Р= та,
где F—сила, т— масса и а — ускорение.
Графиком прямой пропорциональной зависимости будет
прямая, проходящая через начало координат. Коэффициент
пропорциональности k, равный отношению говорит
о наклоне графика по отношению оси абсцисс (черт. 42).
Из чертежа мы видим, что
k = tg Ot.
117
Разберём два примера:
1. В теории резания металлов большое значение имеют
формулы:
пп
30 ’
(О
(1)
где о — угловая скорость шкива в секунду, п— число обо-
ротов его в секунду, и
itDn
v~ ~ЙГ’
где v — линейная скорость в метрах в секунду точки на
окружности обрабатываемого предмета, D — диаметр его
в миллиметрах.
Из формулы (1) следует:
Как показывают формулы (1) и (2), между со и п, между v
и D при определённом п существует прямо пропорцио-
нальная зависимость.
Скорость резания представляет собой скорость переме-
щения точки на окружности обрабатываемого предмета отно-
сительно резца, т. е. скорость резания совпадает со ско-
ростью v. Скорость резания во избежание чрезмерного
нагревания резца имеет свои пределы — в зависимости от
твёрдости обрабатываемого предмета, качества резца и дру-
гих факторов.
Построить графики функции
\nDri
V~ ~60“
при п = 180, я = 360 и п = 540,
взяв на оси х масштаб для D = ~CM 
о0 мм
и на оси у масштаб для v =	•
2 —
сек
На графике мы получим ряд лучей, выходящих из начала
координат. Строим график для данной функции при п— 180.
Формула
nDn
v~ ~60~
примет вид:
V == Зтс£);
118
если 0=200 мм, то v = 3 • 3,14 • 200 = 1,88 (—); сое-
’ \сек/
диняя начало координат с точкой (200; 1,88), мы и полу-
чим соответствующий луч. Разберите, как построены другие
лучи чертежа 43.
Черт. 43.
2. На гонках один велосипедист прошёл всё расстояние
в 20 км с постоянной скоростью 20 ~~, а другой пер-
вую половину пути ехал со скоростью 16	, а вторую
половину — со скоростью 24	.
Выясните при помощи графиков,
какой велосипедист прошёл это рас-
стояние скорей.
Решение (черт. 44).
II. Обратно пропорциональная
зависимость. Закон соответствия
для обратно пропорциональной за-
висимости таков:
Черт. 44.
где k — величина постоянная, могущая быть для отдельных
частных случаев любым действительным числом. Областью
определения функции будет всё множество действительных
чисел, кроме нуля. При значениях аргумента, близких
к нулю, дробь велика по абсолютной величине; наоборот,
при больших по абсолютной величине значениях аргумента
119
значения функции могут быть сколько угодно близки
к нулю.
Вы знаете много примеров обратно пропорциональной
зависимости между величинами. Вспомним некоторые из них.
1. Для данной массы газа при постоянной температуре
давление газа меняется обратно пропорционально объёму
(Закон Бойля — Мариотта):
р . v = const.
2. Сопротивление провода при прохождении по нему
электрического тока обратно пропорционально площади по-
перечного сечения провода:
R = k~.
S
Графиком обратно пропорциональной зависимости, как
известно читателю, будет кривая, называемая равнобочной
гиперболой. Непосредственное построение графиков обратно
м	k
пропорциональной зависимости _у = — при различных зна-
чениях k приведёт нас к чертежу 45, на котором сплош-
ными линиями начерчены кривые, соответствующие значе-
ниям k > 0, пунктирными — значениям k < 0. У каждой
кривой проставлено соответствующее ей значение k.
120
Вопросы, а) Пусть построен график функции —
при х > 0; из произвольных точек его опущены перпенди-
куляры на оси координат. Что можно сказать о площадях
прямоугольников, ограниченных абсциссой и ординатой взя-
той точки графика и осями координат? Нельзя ли исполь-
зовать равнобочную гиперболу для построения ряда равно-
великих прямоугольников?
б)	Чем будут отличаться графики функций
от графика функции
при одном и том же значении k?
III.	Квадратная функция. Вы изучали квадратную функ-
цию в такой последовательности: сначала брали простейший
её вид:
у = ах2,	(1)
затем переходили к виду:
у — ах2 4- с
(2)
и, наконец, разбирали эту функцию в общем виде:
у—ах2 + Ьх-{-с.	(3)
Первые два вида являются частными случаями вида (3).
Не останавливаясь подробно на том, что вам должно быть
хорошо известно о свойствах этих функций и их графиках,
вспомним только следующие положения:
а) Графиком квадратной функции является кривая, назы-
ваемая параболой.
б> Форма параболы зависит от абсолютной величины
коэффициента а.
в)	Ось параболы или совпадает с осью ординат (слу-
чай 1 и 2), или параллельна ей (случай 3).
121
г)	Для получения формулы координат вершины пара-
болы формулу квадратной функции преобразуют так:
У = дх2Ч- дх+с = а [х2 Н-	=
Г , , ь	.	, С1
= а х2ч—х-Ч—7-=-----гтЧ-----=
[	1 а	1 4а2	4а2 1 a J
К, Ь\*	№ — 4ас1	( , Ь\* Ь* — 4ас
x+H---------т~9— =л(х+й-)--------1---=
* 2а/	4а2 J \	1 2а/ 4а
/	। b \2 । 4ас — №
=“(*+я)+т-’
тогда координаты вершины А параболы будут:
л/ b 4ас— Ь2\
А\~2а’’ Т)'
д)	Так как в вершине параболы график квадратной
функции достигает своей наивысшей или наинизшей точки»
то координаты вершины параболы дают также максимум
или минимум
4ас — №
4а
этой функции, и то значение аргумента (——, при кото-
ром функция достигает своего наибольшего или наимень-
шего значения.
е)	Квадратная функция имеет максимум, если а < 0 и
минимум, есди а > 0.
ж)	Не мешает также уметь быстро, без составления соот-
ветствующих табличек для х и у, строить график функции
у = ах2
при простейших значениях а. Вот графики этой функции
при а=1, а = 2, а = у и а = -^ (черт. 46).
Можно привести большое количество примеров квад-
ратной функции. Укажем на некоторые из них:
1.	Площадь квадрата со стороной х
у = х2.
2.	Площадь круга с радиусом Z?
5 = к/?2.
122
3.	Путь, пройденный телом равномерно-переменным дви-
жением
о / I
S — vQt -j- 2 •
4.	Сила сопротивления воздуха движению тела при боль-
ших скоростях
F=kv2.
5.	Кинетическая энергия движущегося тела
_ mv>
2
где т — масса тела и v его скорость.
6.	Движение тела, брошенного под углом к горизонту
с начальной скоростью vQ
7.	Поверхность шара с радиусом R
S=4nR2. ’
Вспомните ещё примеры квадратной функции.
Задача 1. Вычертить графики пути, скорости и уско-
рения свободно падающего тела в зависимости от вре-
мени Z, если -vo = O.
Законы движения в этом случае таковы:
S = ^-, v = gt и £=9,81-^-.
2	ь ь	сек2
123
Черт. 47.
Примем для упрощения построения графиков ускорение
силы тяжести равным 10	. Тогда решение задачи будет
выглядеть так, как показано на чертеже 47.
Задача 2. Для тела, брошенного вертикально вверх с на-
чальной скоростью vo=30 построить графики рас-
стояния S тела от земли, скорости и ускорения за всё
время движения в зависи-
мости от времени t.
Если принять напряже-
ние силы тяжести g равным
10— и не принимать во
сек	г
внимание сопротивления воз-
духа, то законы движения
в данном случае будут та-
ковы:
5 = 30/ —5/2	(1)
и
v=|30— 10* I. (2)
Определяем время движения
тела вверх и вниз. Для
этого полагаем в форму-
ле (2) ^=0 (момент оста-
новки тела наверху); получим
уравнение относительно /:
0 = 30—10/.
Отсюда:
/=3 (сек).
Всё время движения тела будет равно 6 сек. и, следова-
тельно, областью определения функций (1) и (2) будет
отрезок [0; 6] аргумента t.
Решение поставленной задачи будет иметь вид, как
показано на чертеже 47.
Чертёж 48 даёт нам полную картину изучаемого явле-
ния, и по нему мы можем ответить на ряд вопросов, на-
пример:
а)	Что можно сказать о всех трёх функциях при зна-
чении аргумента, равном 3?
124
б)	Вблизи каких значений аргумента функция (1) изме-
няется медленнее?
в)	Какая из двух функций (1) и (2) на отрезке аргу-
мента [0; 3J возрастает и какая убывает? и пр.
Задача 3. Построить графики функций (на одном чер-
теже):
у = — х2 + 4х + 4; (1)
у = -х + Ь9 (2)
и по чертежу ответить на
вопросы:
а)	Какая из функций имеет
максимум, чему он равен и
при каком значении аргумента?
б)	При каких значениях
аргумента функция (1) чис-
ленно больше функции (2)?
в)	При каких значениях
аргумента функции численно
равны нулю.
Задача 4. Доказать, что
из всех прямоугольников,
имеющих данный периметр,
наибольшую площадь имеет
квадрат.
Пусть периметр прямо-
угольника AECD равен 2р.
Если АВ = х, то AD — p—х
(черт. 49) и площадь ABCD, которую мы обозначим через у,
выразится так:
или
У = х(р — X)
у —— х2-|- рх.
Перед нами квадратная функция. Она имеет максимум,
так как коэффициент а < 0. Значение максимума и значе-
ние аргумента, при котором он наступает, определяются
координатами вершины параболы, служащей графиком функ-
ции (1). Вспомним, что координаты вершины А параболы
таковы:
. { b 4ас — №\
А\~2а‘'
125
Отсюда: х = —2	jу — у, т. е. АВ=^.
Тогда:
AD = p—х = р — у = у
и, следовательно, наибольшая площадь будет у квадрата.
Ренё Декарт. Рене Декарт прожил относительно не-
долгую жизнь. Совсем короткой была его литературная
деятельность. Она развивается на протяжении не многим
более одного десятилетия. Но, несмотря на это, философ-
ские взгляды Декарта и его работы в области математики
оставили неизгладимые следы во всей современной науке.
Как в древности Платон, как живший немного позже
Декарта Ньютон, Декарт не был матема-
тиком по специальности. И все же именно
его мы должны считать основателем но-
вой математики. * Интересы познания
окружающего мира во всем его разно-
образии и постоянной изменяемости пе-
ревешивали в сознании Декарта стре-
Черт. 49.
мление к решению чисто математических вопросов и за-
ставляли его в самой математике создавать методы, ведущие
к широким обобщениям, позволяющим отразить протекающие
вокруг нас процессы.
„Хотя с детства, — пишет Декарт, — я любил часы досуга
посвящать решению математических вопросов, но это были
безделки, в которых я, быть может, обнаруживал только
более тонкости, чем обыкновенные математики; я отбросил
специальное изучение арифметики и геометрии, чтобы посвя-
тить себя исследованиям в области универсальной матема-
тики; при внимательном размышлении я нашёл, что все
науки, имеющие дело с познанием порядка и меры, отно-
сятся к математике, всё равно, будут ли они искать этой
меры в числах, фигурах, созвездиях, тонах или совершенно
иных объектах. Поэтому должна быть универсальная наука,
развивающая всё относящееся к порядку и мере, совершенно
независимо от того или другого приложения; науке этой
всего приличнее освящённое преданием имя математика
(наука вообще), ибо все науки относятся к ней как части
к целому".
С самого раннего детства Рене остался без матери, она
умерла через несколько дней после рождения сына. Подобно
матери, он не отличался крепким здоровьем и рос болез-
126
Рене Декарт.
ненным ребёнком. Восьми лет Рене отдали в одну из луч-
ших школ, учреждённую королем Генрихом IV — в иезуит-
скую коллегию Ляфлеш,— в которой он оставался до
17-летнего возраста. Чему же учили в этой коллегии?
Прежде всего богословию, затем учеников подготавливали
к восприятию устаревшей философии, ведущей борьбу со
всем новым в науке о природе. К счастью Декарта, здесь же
обучали и математике; в частности, алгебру он изучал по
учебнику иезуита Клавиуса, отражавшему своим содержа-
нием и формой взгляды одного из выдающихся немецких
алгебраистов середины XVI века Михаила Штифеля. Здесь же,
в коллегии, он приобрёл и друзей, среди которых был и
Мерсенн г), впоследствии не один раз спасавший его от
преследований церковников.
Ц Мерсенн, друг Декарта, вошел в историю математики с чис-
лами, известными под его именем. Это числа вида
МЯ = 2П —1.
727
Сам Декарт не очень высоко оценивал результаты своего
пребывания в школе иезуитов. Маука того времени могла
привести умного и глубоко интересующегося всем Декарта
только к скептицизму. Так это и случилось. Вот что пишет
Декарт об этом периоде своей жизни.
„Я с детства воспитывался для науки, и так как меня
уверили, что она даст ясное и верное познание всего, чем
жизнь красна, то я прилагал необыкновенную ревность к ее
изучению. Но когда я кончил весь курс, целью которого
обыкновенно считают зачисление в ряды учёных, мои взгляды
совершенно изменились. Я очутился в такой сумятице со-
мнений и ошибок, что из моей жажды учения вынес только
одну пользу — умение раскрывать всё более и более глу-
бину моего невежества, а между тем я был учеником зна-
менитейшей школы Европы и полагаю, что, если есть на
земле где-нибудь учёные люди, то именно там должны
быть таковые. Я выучился всему, чему учились другие, но
не удовлетворяясь этим, я прочитал все, какие только могли
попасть мне в руки книги о предметах, считавшихся самыми
любопытными и необычными “.
Так кончился школьный период жизни Декарта. Ни
философия, ни связанные с ней науки, не говоря уже
о богословии, не могли удовлетворить его пытливый ум.
Даже от математики, которую любил Декарт, он ждал
большего.
Начинается период изучения „великой книги вселенной*
в поисках верного пути, которому он должен следовать.
„Я решил — говорит Декарт, — не искать другой науки,
кроме той, которую я мог найти или в себе самом, или
в великой книге вселенной, я употребил остаток своей
молодости на путешествия, изучая людей при дворах и
в армиях, обращаясь с людьми различных общественных
положений и характеров, собирая разнообразные опыты,
испытывая самого себя в положениях, в которые ставила меня
судьба, и все, что мне представлялось, я рассматривал так,
чтобы извлечь из этого какую-нибудь пользу. После не-
скольких лет такого изучения книги мира и стараний при-
обрести некоторую опытность я решился, наконец, изучить
Существовало предположение, что если число Afw = р — простое,
то и число Мр будет простым. При помощи электронной машины
удалось опровергнуть это предположение, показав, что число
Маш (8191	ЛТ13) уже не будет простым.
128
самого себя и употребить все силы своего духа, чтобы
выбрать путь, которому я должен следовать".
И вот, то его видят среди весёлой молодёжи Парижа;
то в результате встречи со своим другом Мерсенном он
ищет уединения, чтобы всецело отдаться науке; то он
солдат в армии Морица Оранского, куда стремятся многие
из тех, кто был недоволен политическим состоянием Фран-
ции. Здесь, в Нидерландах, имея много незанятого вре-
мени, он начинает серьёзное изучение математики. Случай
помог ему.
Однажды, гуляя по улицам города, Декарт увидел группу
прохожих, собравшихся перед наклеенным на стене плакатом.
Заинтересовавшись, он подошёл, но не мог прочитать того,
что было написано на плакате, — Декарт не знал фламанд-
ского языка. Тогда он обратился к ближайшему из про-
хожих с просьбой перевести ему содержание плаката.
Незнакомец с насмешкой посмотрел на молодого солдата и
сказал, что на плакате напечатан публичный вызов к реше-
нию геометрической задачи и что он, пожалуй, переведёт
ему текст задачи, если Декарт возьмётся её решить. Незна-
комец оказался профессором математики Бекманом. Каково же
было удивление Бекмана, когда на другой день Декарт
принёс ему решение задачи. Так начались занятия Декарта
математикой под руководством профессора Бекмана. Эти
занятия продолжались в течение двух лет.
Далее Декарт в поисках военного опыта принимает
участие в битвах начавшейся Тридцатилетней войны. Судьба
кидает его то в Баварию, то в Богемию, то он сражается
под Прагой. Наконец, устав от вечной сутолоки военной жиз-
ни, он навсегда покидает армию. Декарту было тогда 25 лет.
Казалось бы, что условия военных походов не могли благо-
приятствовать росту Декарта как философа и учёного. Тем
не менее именно в этот период его жизни, по признанию
самого Декарта, ему открылись новые горизонты научного
миросозерцания. „Природа знает только математическую
азбуку, — записывает он. — Сравнивая тайны природы с зако-
нами математики, я осмелился надеяться, что один и тот же
ключ мог бы открыть смысл и той и другой".
Еще четыре года странствий, в течение которых Декарт
окончательно приходит к убеждению несостоятельности
схоластической учёности и необходимости реформы науки,
и он возвращается на родину. Здесь среди группы учёных,
объединившихся вокруг Мерсенна, Декарт растёт как
9 А. А. Колосов	129
философ и учёный и вместе с этим растёт и научная слава
философа. Все окружающие настаивают на обнародовании
его философской системы, ожидая от неё обновления фило-
софии и научных методов. Декарт преодолевает в себе
отвращение к „фабрикации книг" и решает опубликовать
свои философские взгляды. Но появление сильных врагов,
иезуитов и богословов, противников его философии и угро-
жающих ему, заставляет его покинуть Париж и искать
уединение в Голландии, где он и работает в течение 20 лет.
В Голландии Декарт целиком отдаётся научному иссле-
дованию и разработке своего философского учения. В 1629 г.
он кончает первую свою работу „Правила для руководства
разума". В 1630—1633 гг. Декарт работает над „Тракта-
том о мире", в котором выражены его взгляды о строении
мира. В 1637 г. в Лейдене вышло анонимно его новое
произведение, послужившее крупнейшей вехой в истории
науки и философии. Это сочинение содержало „Диоптрику".
„Метеоры" и „Геометрию". Наконец, в 1644 г. выходят
в свет „Принципы философии", в которых учение Декарта
в целом получает систематическое изложение.
Несмотря на все принятые меры предосторожности,
работы Декарта навлекли на него преследование церковни-
ков. Не только французские отцы-иезуиты, но и голланд-
ские богословы обрушились на новое „еретическое" учение.
В 1647 г. произведения Декарта были присуждены к сож-
жению рукой палача.
Декарт был одним из творцов новой науки. Созданная
им аналитическая геометрия *), послужившая поворотным
пунктом в развитии математики, и его вклад в развитие
механики и оптики ставят его в ряд великих естествоиспы-
тателей XVII в.
Открытие аналитической геометрии, введение понятия
о переменной величине и функции, внесло движение в мате-
матику и подготавливало создание основных разделов совре-
менной математики — дифференциального и интегрального
исчислений. Геометрические фигуры, отнесённые к прямо-
угольной системе координат, и линии, понимаемые как гео-
метрическое место точек, позволили выразить геометри-
ческие образы в алгебраических уравнениях и тем самым
свести решение геометрических вопросов к алгебре.
Э Одновременно с Декартом, и независимо от него, многое
сделал в создании аналитической геометрии и французский мате-
матик Пьер Ферма.
130
Очень ценны для нас взгляды Декарта, подчёркивающие
значение науки как орудия практического прогресса: „Вместо
умозрительной философии, преподаваемой в школах, можно
создать практическую, при помощи которой, зная законы
природы так же отчётливо, как мы знаем разные ремёсла
наших мастеров, мы будем в состоянии применять их
таким же образом ко всякому делу, к которому они при-
годны, и стать как бы господами и владетелями природы
В конце 1649 г. Декарт по приглашению шведской
королевы Христины переезжает в Стокгольм. Но первая же
северная зима губительно подействовала на слабое здоровье
Декарта; он умер в феврале 1650 г.
ЛИТЕРАТУРА
К. С. Барыбин, Функции и их графики, „Математика
в школе" 1952, № 6.
В. И. Севбо, Введение математического понятия функции
в средней школе, „Математика в школе", 1953, № 5.
В. П. Шереметевский, Очерки по истории математики,
Учпедгиз, 1940.
С. И. Новоселов, Алгебра и элементарные функции, Учпед-
гиз, 1950, § 111, 113 и др.
В. Л. Гончаров, Вычислительные и графические упражнения
с функциональным содержанием, изд. АПН РСФСР, 1948.
А. Я. Хин чин, 8 лекций по математическому анализу, Гос-
техиздат, 1948.
И. П. Натансон, Простейшие задачи на максимум и мини-
мум, Гостехиздат, 1950.
С. И. Зе те ль, Задачи на максимум и минимум, Гостехиздат,
1948.
9*
ГЛАВА VI
ИЗМЕРЕНИЕ ПЛОЩАДЕЙ
1.
На чертеже 50 даётся план школьного участка: / —
здание школы; 2 — физкультурная площадка; 3 — фрукто-
вый сад, 4 — школьный огород; 5 — сарай. Определить
О Ю 20 30 4/7 50и
Масштаб 0,5см
Черт. 50
площадь всего школьного участка, площади отдельных его
частей: /, 2, 3, 4, 5 и площадь свободной земли. Для
определения площади всего участка его придётся разбить
на части, площади которых мы умеем измерять. Всего
удобнее сделать так, как это указано на чертеже 51.
Тогда вычисление площадей I, II, III, IV при помощи из-
вестных нам формул площадей треугольника и трапеции не
132
Черт. 52с
представит затруднений. Учтя данный на чертеже 51 мас-
штаб, мы сможем ответить на все вопросы, поставленные
в задаче. Сделайте это.
Формулы, которыми мы пользовались, решая данную за-
дачу, весьма древнего происхождения; уже одно то, что
эти формулы помещены в „Началах" Евклида, говорит
о возрасте их не менее чем 2200 лет. Трудно точно уста-
новить ту грань во времени, когда
люди совсем не знали правил изме-
рения площадей простейших фигур,
какие мы знаем теперь и уже знали
в древней Греции во времена
Евклида. Содержание некоторых из
древнейших египетских папирусов
и глиняных дощечек вавилонян по-
зволяет утверждать, что в те отда-
лённые времена и египтяне и вавило-
няне знали эти правила. Правда, наряду с ними в Египте
пользовались и иными правилами, которые позволяли быст-
рее измерять площадь земельного участка путём только
обхода по границам его, хотя результат измерения и по-
Черт. 53.
лучался с некоторой погрешностью. Так, в древнем Египте
для вычисления площади четырёхугольника ABCD (черт. 52)
пользовались формулой:
q л —J- b b -|- d
д — ”2 Г" *
Эта формула, будучи верной для прямоугольника (про-
верьте это), не будет верна вообще для любого четырёх-
угольника. Величина ошибки будет различной для различ-
ных типов четырёхугольников. Египтяне применяли эту фор-
мулу для вычисления таких четырёхугольников, у которых
углы близки к прямым. Но измеряя при помощи этой фор-
мулы хотя бы площадь произвольного параллелограмма, мы
можем получить значительные погрешности (черт. 53).
133
По египетской формуле
с АВ + CD AD + ВС
^ABCD —	2*2*
Но AB = CD и AD=BC\ следовательно,
с 2АВ 2AD ло
Sab св — “-5“ • —2~ = АВ • AD.
Таким образом, пользуясь египетской формулой, мы
принимаем площадь параллелограмма равной площади пря-
моугольника со сторонами, равными сторонам параллело-
грамма. Заштрихованные на чертеже 53 площади показы-
вают величину допущенной ошибки в определении площади
в
Черт. 54.
параллелограмма в двух различных случаях. Если угол А
параллелограмма по величине далёк от прямого, то ошибка
может оказаться очень значительной.
Была у египтян и приближённая формула для определе-
ния площади равнобедренного треугольника.
Вот эта формула (черт. 54):
с_______________________ab
6 —т •
Вычертим и в этом случае погрешность результата.
Сравним египетскую формулу с формулой, известной нам из
курса геометрии:
о ab е ab sin а
S = ~2 и •* = —2~•
Отсутствие в египетской формуле множителя sin а (черт. 55)
говорит о том, что египтяне получали результат измерения
площади треугольника больший, чем нужно. Ошибка будет
равна 0, если sina=l или a =90°. Ошибка будет малой,
134
если а близок к 90°, т. е. треугольник очень вытянут и
имеет малый угол при вершине. И, действительно, египтяне
пользовались этой приближённой формулой при а, близком
к 90° и не употребляли её в других случаях.
Читатель, конечно, помнит так называемую формулу
Герона (II и I вв.) для определения площади треугольника
по его сторонам. Приведём эту формулу:
S=Yр(р-а)(р-Ь)(р-с),
где р — полупериметр треугольника, а а, b и с — его сто-
роны. Интересна попытка индийского математика Брама-
гупта (598—660) получить подобную формулу для измерения
площади четырёхугольника. Если мы обозначим площадь
четырёхугольника через 5, его полупериметр — через р,
в
—
и	с
а
Черт. 56.
а стороны — через а, Ь, с и d, то Брамагупта прини-
мал, что
S = V(p — a)(p — b)(p—c)(j>—d).
Формула Брамагупты верна для прямоугольника (черт. 56).
Определяя площадь прямоугольника по этой формуле,
мы получим:
S = V (р — аПр — ЬУ = (р—а)(р — Ь\,
но р — а — b и р — Ь = а, следовательно,
S = ab.
Формула Брамагупты остаётся верной и для равнобоч-
ной трапеции (черт. 57).
В самом деле:
s = V (p—a)(p — b)(p—c)(p — d),
так как а = с, то
5 = V(p — a)2(p — b)(p — d) = (р — a) V(p — a)(p — d).
135
Проследите за дальнейшими преобразованиями:
= Е-^г- /(« + с)2—(d —	=
/	ч,/~ /Л + с\2 (d— £ \2
= {р-а)у/ (4-) -(—) •
Из прямоугольного ^АВЕ, в котором АЕ=-^~^- и
л ~4- с л ~|*" л
—_—	—_— = имеем:
<ж-т=*-
Следовательно,
S = (р-a}h =	• h= a+b+c±J-a~E.
Ц±.И.
Мы пришли к известной нам формуле площади трапе-
ции. Таким образом, правило измерения площади четырёх-
угольника, высказанное Брамагуп-
Черт. 58.
той, остаётся справедливым для рав-
нобедренной трапеции.
Интересно также отметить, что
указанная формула остаётся верной
и для четырёхугольника, вписанного
в окружность, диагонали которого
взаимно перпендикулярны (черт. 58).
Но она не будет иметь места
для четырёхугольника вообще. Это
легко проверить, применив формулу
Брамагупты к вычислению площади
параллелограмма. Попробуйте это
сделать.
Сам Брамагупта был осторожен в применении своей
формулы и пользовался ею только для определения площа-
дей равнобедренной трапеции и вписанного в окружность
четырёхугольника с взаимно перпендикулярными диагона-
лями.
Анализ только что рассмотренных правил измерения
площадей, как египетских, так и индийских, говорит о том,
что эти правила явились результатом недостаточно обосно-
ванного переноса правил, верных в некоторых частных слу?
136
чаях, на общий случай. Интересно, что по тому же пути
необоснованных обобщений пошли и у нас, в древней Руси,
в XV—XVI вв., в поисках способов измерения площадей.
Уже во второй половине XVI века возросшие потребности
в измерении земли, развитие артиллерийского дела и строи-
тельство в городах привели к необходимости создания
рукописей геометрического содержания. Так, известно, что
царь Иван IV в 1551 г. решил послать писцов „описать и
смерить государство". Без особого наказа, в котором были
бы даны правила измерения земельных угодий, этого сде-
лать было нельзя, и есть некоторые основания считать, что
такой наказ существовал и что сочинил его „некто знаю-
щий геометрию с вычетами плоскостей", как говорит один
из историков XVIII века. К сожалению, этот наказ до нас
не дошёл.
Первой из сохранившихся рукописей, в которых изла-
гаются правила измерения площадей, была „Книга сошного
письма" (1629), в которой имеется глава „О земном вер-
стании, как земля верстать". Большинство геометрических
сведений, которые мы можем почерпнуть из названной ру-
кописи, относится как раз к интересующему нас вопросу,
т. е. к измерению площадей. В те далёкие времена, так же
как и мы теперь, измеряемые участки сложной формы раз-
бивали на более простые — в виде прямоугольников, квад-
ратов, треугольников и трапеций. Если площадь прямо-
угольника умели тогда определять верно, то площади
треугольника и трапеции вычислялись по заведомо ошибоч-
ным правилам. Так, площадь треугольника измерялась
половиной произведения меньшей стороны на большую,
а площадь равнобедренной трапеции принималась равной
произведению полусуммы оснований на длину боковой сто-
роны.
Другие геометрические рукописи, дошедшие до нас,
также содержат много ошибочного в способах измерения
площадей, в частности в них утверждается, что фигуры
с равными периметрами замыкают и равные площади.
Трудно ответить на вопрос, действительно ли тогда рус-
ские не знали верных способов измерения площадей или те
правила, которые помещены в рукописях, появились в ре-
зультате искажений переписчиками правильных приемов.
Если принять, что рукописи отражают истинный уровень
геометрических знаний на Руси в XVI веке, то придётся
признать этот уровень знаний невысоким.
137
И всё же трудно верить этому, когда вспоминаешь
о таких исключительных по красоте архитектурных памят-
никах того времени, как собор Василия Блаженного, по-
строенный в 1553—1560 гг. при Иване Грозном русскими
„мастерами каменных дел" Посником, Яковлевым и Бармой.
Невозможно представить себе, что создание такого архи-
тектурного шедевра могло обойтись без широких геометри-
ческих знаний. А разве этот собор — единственный пре-
красный памятник архитектуры того времени? Их много, и
все они говорят о более высоком уровне геометрических
знаний, чем тот, о котором свидетельствуют дошедшие до
нас рукописи.
Конечно, были причины, которые задерживали распро-
странение этих знаний. Стоит только вспомнить, что еще
в XV веке математические книги вместе с другими свет-
скими книгами, вывезенными с Запада, подвергались запре-
щению. „Богомерзостен перед богом всякий, кто любит
геометрию", — говорится в одном из поучений того времени.
В 1701 г. Пётр I основал в Москве „Математических и
навигатских, т. е. Мореходно-хитростных наук школу".
В программу этой школы впервые были введены арифме-
тика, алгебра, геометрия и тригонометрия. Эти науки пре-
подавал выписанный из-за границы профессор-математик
англичанин Форварсон вместе с некоторыми „природными
русскими, а не немчинами". Пожалуй, с этого времени и
можно считать, что основы геометрии как науки проникли
к нам в Россию. Именно в начале XVIII века под редак-
цией Форварсона было переведено на русский язык и из-
дано несколько книг из „Начал" Евклида.
2.
В практических задачах часто приходится вычислять
площади фигур, ограниченных кривыми линиями произволь-
ной формы. Приведём примеры подобных задач:
а)	Определить площадь поперечного сечения реки, если
промеры глубин её дали результаты, указанные на чер-
теже 59.
б)	Определить площадь острова по плану (черт. 60,
масштаб 0,5 см—5 л).
в)	Работу двигателя часто определяют путём измерения
площади индикаторной диаграммы, вычерченной особым
прибором, соединённым с двигателем. Чертёж 61 даёт одну
из таких диаграмм.
138
Для определения плэщади фигуры, ограниченной криво-
линейным контуром, существует несколько способов, даю-
щих различную точность результата измерения. Каждый из
этих способов аналитически выражается определённой фор-
Черт. 60.
мулой: формулой прямоугольников, формулой трапеций и
формулой Симпсона.
Прежде чем перейти к указанным формулам, следует
заметить, что в большинстве случаев фигуру, ограниченную
криволинейным контуром, можно разбить на ряд элемен-
тарных фигур: криволинейную трапецию (черт. 62),
139
криволинейный треугольник (черт. 63) и криволинейный
сегмент (черт. 64), из которых две последние являются
частными случаями первой.
Вот пример подобного разбиения (черт. 65). Поэтому
целесообразно сначала познакомиться с приёмами измерения
площадей элементарных фигур. Начнём с измерения пло-
щади криволинейной трапеции; все, что будет сказано об этой
Черт. 62. Черт. 63. Черт. 64.
фигуре, может быть с незначительными изменениями прило-
жено и к криволинейному треугольнику и к сегменту.
Разделим сторону AD трапеции ABCD (черт. 66) на п
равных частей; пусть длина каждой части будет h. По-
строим внутри криволинейной трапеции п прямоугольников,
так как указано на чертеже. Тогда площадь трапеции ABCD
можно приближённо принять равной сумме площадей п пря-
моугольников. Если высоты этих прямоугольников обозна-
чить соответственно через _yt, у2> •••> З'п-п Уп> то пло"
щадь криволинейной трапеции будет выражена формулой:
Sabov• • • +.Уя-1 + .Уп)- (О
Это и есть формула прямоугольников. Площади, заштрихо-
ванные на чертеже 66, указывают на величину допущенной
при таком измерении погрешности. Эту погрешность можно
140
уменьшить, увеличив число п делений стороны AD трапе-
ции ABCD.
Желая уменьшить ошибку полученного результата, мы
можем построить внутри криволинейной трапеции не пря-
моугольники, а трапеции (черт. 67).
Суммируя площади этих трапеций, мы получим вновь
приближённую величину площади криволинейной трапеции:
+	| ^ + y^h [	| (Уп-1 + УпМ
или
Sabcd (у+.У2+.У3+ •••	+	(И)
Последняя формула, очевидно, будет более точной, чем
формула прямоугольников, и точность её может быть по-
вышена, если увеличить п.
Формула II и носит название формулы трапеции.
Ещё большую точность даёт формула Симпсона, англий-
ского математика (1710—1761). Вывод этой формулы по-
требовал бы дополнительных теоретических сведений^ выхо-
дящих за рамки программы восьмых
классов; поэтому мы его не приводим.
Сама же формула такова:
4у2-|-2j3-|-4у4 4“
4-2у54~.................+
(III)
Обратите внимание на чередование
коэффициентов внутри скобки в фор-
муле III.
Вооружившись формулами I, II и
шить задачи пунктов „ав, „б“ и „св. Сравните результаты
решения какой-либо из предложенных задач, найдя указан-
ную в ней площадь тремя различными способами.
3.
У читателя, прочитавшего § 2 данной главы, может
возникнуть вполне оправданный вопрос: неужели современ-
ная математика с её исключительно сильным вычислитель-
ным аппаратом не изыскала иных методов измерения пло-
щади криволинейной трапеции, дающих не приближённый,
III, вы сможете
141
а точный результат? Если этого сделать нельзя для криво-
линейной трапеции, ограниченной произвольной кривой, то
как обстоит дело с трапециями, ограниченными кривыми,
уравнение которых нам известно? Неужели и в этих слу-
чаях мы должны прибегнуть к формуле прямоугольников
или к каким-либо иным приближённым способам измерения
площадей? Читатель, у которого возникнет такой вопрос,
получит удовлетворение, узнав, что для криволинейных тра-
пеций, ограниченных кривыми, заданными уравнениями,
такой способ имеется и что в некоторых простейших слу-
чаях этот способ вполне доступен читателю. Ввиду широ-
кого применения его в математике целесообразно именно
сейчас на простейших примерах познакомиться с ним.
Идея этого метода такова.
Пусть криволинейная трапеция ABCD ограничена непре-
рывной на отрезке [а, £] кривой, заданной уравнением:
y = f(x) (черт. 68).	(1)
Уравнение (1) позволит нам определить ординату кривой
для заданных значений абсциссы х, если только при этом
значении х функция /(х) существует. Разделим сторону AD
трапеции на п равных частей и длину каждой из них обо-
значим через h. Определив ординаты j0, ylt у2> • • • Уп-1>
соответствующие значениям a, a-f-A, а-1-27г, .	—1)Л
абсциссы х, мы можем по методу прямоугольников найти
приближённое значение площади трапеции ABCD
+	••• -\-Уп-\Ь —
— Л(Уо4”Л+л+ •••	(2)
142
Читатель, наверное, заметил, что ранее, применяя фор-
мулу прямоугольников, мы ординаты у0, ylt ... измеряли,
а теперь, имея уравнение (1), мы их вычисляем.
Получив значение для площади трапеции ABCD, мы
на этом не остановимся/Желая найти более точный резуль-
тат, разделим сторону AD трапеции на 2п равных частей.
Длина каждой части теперь будет у . Определим, как и
в первом случае, при помощи уравнения (1) ординаты
Jo, Ji, J2, •••> J2.4-1» соответствующие значениям а,
а+'2‘> у • ••• абсциссы х, мы сможем вновь мето-
дом прямоугольников найти приближённое значение S2 пло-
щади трапеции ABCD, более близкое к её истинному зна-
чению S:
с	h . 2Л .	,	(2h — \)h
S2 = Jo ‘y + ji ’ “2"+ ••• 4~j2n-i-----2----’
Продолжая удваивать число делений стороны zJ) криво-
линейной трапеции ABCD, мы получим, таким образом, ряд
приближённых значений S2, 53, ... для её площади,
постепенно приближающихся к её истинному значению S,
причём разности S — Sx, S — S2, S — S3, ... будут посте-
пенно убывать. Чертежи 68 а и 68 6, на которых разность
между истинным значением S площади ABCD и её прибли-
жённым значением каждый раз заштрихована, подтверж-
дают это.
Теперь, читатель, сделаем вместе с вами один смелый
шаг. Выйдем за пределы тех возможностей, которые неми-
нуемо ставит нам практика на пути постепенного удвоения
числа п делений стороны AD трапеции и мысленно предпо-
ложим, что такое удвоение продолжается неограниченно.
Тогда, очевидно, разность между истинным значением пло-
щади и её приближённым значением может быть сделана
по абсолютной величине, сколь угодно близкой к нулю. Не
поможет ли нам математический анализ результаты этого
мысленного процесса отобразить в математических выклад-
ках и, вместо формул, выражающих приближённые значения
площади криволинейной трапеции ABCD, получить фор-
мулу, выражающую её истинное значение? Математика даёт
на этот вопрос положительный ответ.
Но прежде чем перейти к применению указанного ме-
тода для определения площади криволинейной трапеции,
143
ограниченной дугой какой-либо из известных вам- кривых,
применим его к определению площади обычной трапеции,
формула площади которой вам знакома из курса геометрии.
Совпадение результата, полученного новым методом, с ранее
известным вам результатом внесёт большую уверенность,
что подобный метод, применённый к криволинейной трапе-
ции, даст, как это и есть на самом деле, также верный
результат.
Итак, нам дана трапеция, ограниченная сверху частью
прямой y — kx, осью х
ординатами, соответствующими
абсциссам а и b (черт.
Требуется определить её
щадь.
Прежде чем решить
вопрос, вычислим
треугольника ADE. Для этого
разделим отрезок АЕ на п
„ ь
равных частей —; пусть
Ь L. ГГ
— ==я. Построим внутри тре-
угольника прямоугольники с
основанием h и высотами, рав-
ными ординатам уи у2>--->
Уп-1> соответствующим абсцис-
(72— 1)0	„
--------. Тогда площадь треуголь-
ника ADE будет приближённо равна:
2b ЗЬ
п ' п ’
69).
пло-
этот
площадь
b
сам —,
п 9
и
(j'l+^2 + •••	=
[л'п'л*’’’* п J
= ^(1 + 24-3+ ... 4-(«—1)1-
Из первой главы мы знаем, что
1 + 2Н-3+ ... +(«— 1)=”
поэтому
с hkb п(п — 1) да.	№(,	1\
Если предположить, что п будет неограниченно удваи-
ваться, то дробь -i будет стремиться к 0 и для площади
144
треугольника мы получим точную формулу:
с kb*
ADE-------------------------- 2 •
Согласно этому площадь треугольника АВС будет равна
с ka1
^АВС— 2 ’
Площадь трапеции BCED найдется путем вычитания из
площади треугольника ADE площади треугольника АВС:
Sbced — ^QP — o1).
Это и есть известная нам из геометрии формула пло-
щади трапеции. В самом деле,
k
Sbced = "2	— а) (Р + аУ>
но
Ь — а = СЕ и k(b-\-a)= kb-[-ka = DE-\~BC.
Итак,
q ______________________ DE + ВС г*
^boed—	2	•
Теперь можно перейти к задаче определения площади
криволинейной трапеции. Мы ограничимся двумя случаями,
когда кривой ограничивающей трапеции в одном случае
будет дуга квадратной параболы
у=ах2 и в другом'—дуга куби- у	В
ческой параболы y—kx\
Для решения поставленных задач
необходимо вспомнить формулы сум-
мирования квадратов и кубов чисел
натурального ряда, которые мы вы-
вели в первой главе. Вот эти фор-
мулы:
12 + 22 + 32+ ... +п2 =
_ л(л + 1)(2л + 1)
—	6	'	О
И Р-]-234-ЗЭ-|- ... -|-п3 =
и (п +1)
2
Приступаем к решению первой задачи. Определить пло-
щадь криволинейной трапеции, ограниченной сверху частью
параболы y=kx2 (черт. 70).
10 А. А. Колосов
145
Сначала найдём способ вычисления площади фигуры
ADE> ограниченной параболой, осью абсцисс и ордина-
той уп, соответствующей абсциссе х—b (черт. 71). Раз-
делим отрезок ОЕ оси абсцисс на п равных частей .
Пусть
Построим внутри фигуры ADE прямоугольники с основа-
нием h и высотами, равными ординатам yv у2, j/3, .. у
Тогда искомая площадь Sade будет приближённо равна
+ J2+J3+ ••• +.Уп-1);
из уравнения
у = kx2
имеем:
kb2	k22b2	k-32-b2	k(n—1)2*2
=	>2=-^2“, Уз=—— ^П-1=~У ~2	»
тогда:
5Л1>е=^[Р+22 + 32 + ..• + («—1)21 =
= ^li2+2*+32-b...-Hn-in.
Воспользовавшись формулой суммы квадратов натуральных
чисел от 1 до п—1, полученный результат представим так:
*з (и — 1) л (2л — 1) _ £*з (л __ 1) (2л — 1)
i>ADE ~кпз	6	п»	6
6 \	л/\ п /
146
Итак, площадь ADE приближённо найдена. Ошибка,
которую мы в данном случае допускаем, на чертеже 71
заштрихована. Чтобы уменьшить эту ошибку, удвоим
число п.
Тогда:

и ошибка, как показывает чертеж 71, будет значительно
меньше. Дальнейшее удвоение числа п, увеличивая прибли-
жённое значение площади ADE, де-
Площадь криволинейной трапеции BCED будет найдена
путём вычитания из площади ADE площади АВС*.
е	kb*	kcfi k	оЧ
Sbced = -3-----3- = у (Р3 — а3).
Пример. Вычислить площадь криволинейной трапеции,
ограниченной сверху параболой
осью х и ординатами, соответствующими абсциссам 2 и 4
(черт. 72).
Вывод формулы для площади криволинейной трапеции,
ограниченной сверху параболой
у = kx3,
10*
147
читатель может сделать самостоятельно. Чтобы вспомнить
форму кубической параболы указанного вида, построим еб
для частного случая, когда она задана уравнением
Для этого составляем таблицу значений х и соответ-
ствующих значений у:
X	0	1	2	3	4	—1	—2
У	0	1 8	1	3 3 8	8	1 ~8	—1
Черт. 73.
Построенная по этим точкам кривая, очевидно, будет
симметрична относительно начала координат (черт. 73).
Чтобы вывести формулу для
площади криволинейной трапеции,
ограниченной сверху кубической
параболой, возьмите уравнение этой
параболы в общем виде y = kx3 и
проведите рассуждения, аналогич-
ные тем, которые вы проводили,
определяя площадь трапеции, огра-
ниченной сверху квадратной пара-
болой. Используйте при решении
этого вопроса формулу:
13 _|_ 2s -|- З3 + ... +
+(„_1)-=р41И]!.
Ответ должен быть таким:
S=±(b* — a*).
Задача. Определить площадь, ограниченную параболой
и прямой
(1)
(2)
148
Указание, а) определяем точки пересечения параболы и
прямой, решая уравнения (1) и (2) совместно; б) строим
чертеж 74; в) определяем площадь трапеции ABCD; г) опре-
деляем площадь АОВ; д) определяем площадь OCD; е) на-
ходим искомую площадь путем вычитания из площади тра-
пеции ABCD суммы площадей АОВ и OCD.
Ответ. 9 кв. ед.
Разобранный нами в этом параграфе новый способ изме-
рения площадей может быть применен во многих случаях.
Здесь, очевидно, большое значение имеет наличие уравне-
ния той кривой, которая ограни-
чивает криволинейную трапецию
сверху. Мы не можем здесь ка-
саться общей задачи для случая
произвольной кривой. Решение этой
задачи составляет предмет большого
раздела высшей математики, извест-
ного под названием интегрального
исчисления.
4.
Читателю предлагается решить
несколько задач на вычисление пло-
щадей различных фигур.
Задача 1. Доказать, что площадь фигуры, ограниченной
прямыми, соединяющими каждую вершину квадрата с сере-
диной противоположной стороны, равна пятой части пло-
щади всего квадрата, (черт. 75).
/49
Задача 2* Через каждую вершину четырёхугольника
проведены прямые, параллельные диагонали, не проходящей
через эту вершину. Показать, что полученный таким обра-
зом параллелограмм имеет площадь вдвое большую, чем
данный четырехугольник (черт. 76).
Задача 3. Внутри треугольника найти такую точку, кото-
рая, будучи соединена с тремя
вершинами, разделила бы треу-
гольник на три части, площади
которых пропорциональны
трём данным числам р, q и г.
Решение.
Анализ. Пусть точка
О — искомая, тогда:
$овс- Soca : Soab — P : q : г.
У треугольников ОСА и
ОАВ (черт. 77) есть общее
основание ОА, и потому их
площади относятся как соот-
ветствующие высоты CQ и ВР.
Но из подобия треугольников CQK и ВРК имеем:
CQ :ВР = КС: КВ.
Таким образом:
KC:KB = q-.rt
LA : LC= г : q\
MB : MA — p ; q.
150
Следовательно, для построения точки О достаточно разде-
лить две стороны треугольника в данных отношениях и
соединить точки деления с противолежащими вершинами.
Проделайте построение для какого-либо частного случая.
Где будет находиться точка О, если площадь треугольника
требуется разделить на три равные части?
Задача 4. Трапеция своими диагоналями разбивается на
четыре части. Определить площадь трапеции, если площади
треугольников, примыкающих к основаниям, равны Sj и S2
(черт. 78).
Ответ. (УХ + У\$2)2’
Задача 5. Треугольник АВС — равносторонний (черт. 79):
АС
AM — ВК= CL = Какую часть площади треугольни-
ка АВС составляет площадь треугольника DEF?
/5/
Решение. Пусть АС —а
1)	Д£=1/"о9Н-4~2aCN «=1/*а9 + -$—
г	У	г	У	О
= -У7;
3 v •
AM
2)	Л ADM со /\ALC\ коэффициент подобия /С=-т— =
АL
з	3 ?
чх с 5длвс. с	5ABC	sabc .
о) O&ALC—	$	9 b^ADM З(У’т’)2 — 21 ’
с
*z ^MDLC
$ АВС  65авс  АВС ,
21 — 21	—	7	;
Решите эту задачу для случая, когда сторона треуголь-
ника разделена на 4, 5, ...» п равных частей и сделано
такое же построение, как и для п = 3 (черт. 80).
ЛИТЕРАТУРА
Д. Ю. Панов, Вычисление площадей, Техиздат, 1946.
В. Г. Панкратова, Способы приближённого определения
площадей, «Математика в школе», 1956, № 3.
Я. И. Перельман, Занимательная геометрия, Гостехиздат,
1955.
Б. В. Гнеденко, Очерки по истории математики в России,
Техиздат, 1946.
Н.	А. Глаголев, Элементарная геометрия, ч. 1, Учпедгиз,
1954.
152
ГЛАВА VII
ТЕОРЕМА ПИФАГОРА. РАВНОВЕЛИКИЕ ФИГУРЫ.
1.
С именем Пифагора связано много различных рассказов
и легенд. В некоторых из них приписываются заслуги, явно ему
не принадлежащие. Так, в одной из славянских рукописей
XVII века утверждается, что Пифагор положил начало ариф-
метике. Что касается фактов из жизни Пифагора, то здесь
отделить правду от вымысла очень трудно, тем более что
его ученики приписывали ему многое, чтобы возвысить сво-
его учителя в глазах народа.
Рассказывают, что в молодости Пифагор много путеше-
ствовал, побывал в Египте и проник через Малую Азию
караванными путями в Вавилон. Что будто бы всюду и везде
он по крупицам собирал знания древнейших народов по
математике, астрономии и технике и что, вернувшись на
свою родину — остров Самос, он так поразил преобретёнными
знаниями своих соотечественников, что его считали полубогом.
Дальнейшие сведения о жизни Пифагора становятся бо-
лее достоверными. Вернувшись на остров Самос, Пифагор
собирает вокруг себя юношей из благородных семей и ве-
дёт с ними тайные беседы. Никто не знает, чему он их учит.
Поликрат, правитель острова, боясь, что под прикрытием
этих тайных бесед зреет заговор против него, велит своим
людям следить за ними. Пифагор, возмущённый этим,
навсегда покидает родной остров и поселяется в одном из
греческих городов южной Италии — Кротоне.
153
Здесь происходит борьба между знатью и народом за
власть над городом. У знати есть вождь — атлет Милон,
но нет человека, который мог бы философски обосновать
необходимость передачи власти над городом в руки бога-
тых. И вот появляется Пифагор. Слава о нём достигла и
Кротона. Он учит: „Посмотрите вокруг себя. Везде в мире
порядок, все подчинено гармонии, мере. Даже звуки, и те
подчинены числам... Везде в природе господствует строй-
ный порядок, установленный богами. Даже небесные све-
тила и звёзды подчиняются ему. Как же может не подчи-
ниться ему человек? Горе тому городу, где царствует хаос,
где всё решает толпа, где нет почтения древнему строю".
Знать Кротона чувствует, что учение Пифагора может
объединить вокруг себя тех, кто за старые порядки в го-
роде, кто не хочет, чтобы власть была в руках народа.
Все больше и больше учеников у Пифагора. Они объеди-
няются в союз, союз посвящённых, куда не могут проник-
нуть простые люди.
В союзе царит дисциплина, послушание, слово учителя —
всё. „Союз дружбы" становится политическим союзом еди-
номышленников, занимающихся не только наукой, но и
мечтающих похитить власть у народа.
И они добиваются этого. Власть над городом в их руках.
Но пифагорейцы не успокаиваются на этом. Они стремятся
установить такой же „порядок", такую же „гармонию" и
в других городах. Это им также удаётся.
Но идёт время, и в самом Кротоне зреет недовольство
правящей знатью и союзом пифагорейцев. Появляются не-
довольные и среди членов союза. Многие требуют изгнания
пифагорейцев. Пифагор покидает город. В эту же ночь
разгневанная толпа народа — рыбаки, ремесленники, город-
ская беднота — окружает дом Милона, где собрались пифа-
горейцы, и уничтожает их.
А сам Пифагор бежит дальше — в Метапонт; но и там
его преследует гнев народа и девяностолетний учитель по-
гибает в одной из ночных схваток.
Такова политическая судьба Пифагора и основанного
им союза. Нам абсолютно чужды политические воззрения
Пифагора-аристократа, но к исключительным заслугам Пи-
фагора-учёного мы должны отнестись с уважением.
Пифагор и его школа положили начало теории чисел;
они заложили основы греческой алгебры, изучая пропорции и
прогрессии. В геометрии Пифагору принадлежат, помимо
154
теоремы, носящей его имя, учение о правильных многоуголь-
никах, теоремы о сумме углов треугольника и многоуголь-
ника и, наконец, пифагорейцам мы обязаны открытием не-
соизмеримых отрезков.
Далеко опередили время и астрономические взгляды
Пифагора.
Союз пифагорейцев распался. Члены его рассеялись по
всем городам Греции и, обучая математике других, посте-
пенно раскрыли все научные знания, известные им. То, что
было ранее, при жизни Пифагора, тайной для других, стало
достоянием всех.
2.
Предание говорит, что когда Пифагор пришёл к теореме,
известной в геометрии под его именем, то он принёс в жер-
тву богам сто быков, отчего
эта теорема и называлась
в средние века „гекатомба",
что означает при переводе с
древнегреческого сто быков.
Но не нужно думать, что
теорема Пифагора не была
известна раньше. Еще в
древнем Египте, за 2000 —
3000 лет до н. э., египтяне #
знали, что треугольник со
сторонами 3, 4 и 5 единиц
есть прямоугольный, и ши-
роко пользовались таким
треугольником для построе-	£
ния прямых углов на поверх-
ности земли и при постройке	рт’
зданий. Мы не знаем, как
доказывал эту теорему Пифагор. Но уже за 500 лет до
него в Китае знали доказательство этой теоремы. Такое же
доказательство мы встречаем и у индийского математика
Бхаскара (1114 г.) Приведем это доказательство.
ABDE — квадрат, построенный на гипотенузе прямоуголь-
ного треугольника АВС (черт. 81)
DKl_BCt EL±DK и AM±EL;
[\АВС= /\BKD- /\DEL = /\АМЕ\
KL—LM —МС— СК—a — b.
155
Из чертежа имеем:
с2 = ^- + (а — Ь)\
или
с2 = 2ab + b2 — 2аЬ + а2;
с2 — а2 + Ь2.
Черт. 82.	Черт. 83.
Существует много других доказательств теоремы Пи-
фагора. С некоторыми из них, а также и с некоторыми обоб^
щениями теоремы, мы сейчас и познакомимся.
Первое доказательство. Сущность первого дока-
зательства совершенно ясна из двух прилагаемых чертежей
(черт. 82, 83).
Второе доказательство. Построение чертежа 84.
156
1)	на гипотенузе АВ треугольнка АВС построен ква-
драт ABDE\
2)	EF ±.ВС и DM ХВС;
3)	DK±,EF и AL±EF.
Доказательство.
ДЛ LE = &DKE = Д BDM = Д ЛВС.

L
Черт. 85.
Если обозначить через S площадь фигуры, то
Sacmde — (Sael + Sdke) = о2 4- ^2>
где а и b — катеты треугольника АВС.
Sacmde — (Sbdm^t Sabc) = с2>
где с — гипотенуза треугольника АВС.
Так как левые части двух последних равенств равны, то
равны и правые части. Поэтому
с2 = а2 + Ь2.
Третье доказательство. Построение чертежа:
1) на сторонах прямоугольного треугольника АВС по-
строены квадраты (черт. 85);
157
2) ДKLM = f\CEF = /\АВС.
Доказательство.
ADGB = DEFG\
ACLM = CBKL\
ADGB — ACLM',
Sdefgba — (Sabc + Scef) = я2 + b2;
Sacbklm — (SrLm + Scab) = c2-
Из двух последних равенств следует, что
с2 = а2 + Ь2.
Четвёртое доказательство. Это доказательство
является образцом одного из многих доказательств теоремы
Черт. 86.
добных фигур, построенных
Пифагора, основанных на
разрезании квадратов, по-
строенных на катетах, и
укладывании полученных ча-
стей на квадрате, по-
строенном на гипотенузе
(черт. 86).
Выясните, как разрезан
квадрат ACDE.
Обобщение теоремы
Пифагора — теорема Ев-
клида. Теорема Пифагора
справедлива для площадей
квадратов, построенных на
сторонах прямоугольного
треугольника. Но квадраты
представляют собой подоб-
ные фигуры. Не будет ли
справедлива эта теорема для
площадей произвольных no-
определённым образом на
гипотенузе и катетах треугольника. Евклид, живший на
триста лет позднее Пифагора, доказал справедливость по-
добной теоремы. Он утверждал:
если на катетах и гипотенузе прямоугольного треуголь-
ника построить какие-либо подобные фигуры, в которых
катеты и гипотенуза являются сходственными сторонами,
158
то всегда имеет место равенство:
= Se,
где Sa, Sb и Sc — площади этих фигур (черт. 87).
Доказательство:
Sc ~	’ Зс ~	’
Sae2 = a2Sc; Sd.e2 = £2Sc.
Сложив два последних равенства по частям, получим:
c2(So + Sd) = (a2 + ^W
так как с2= о2 + ^2, то
+ Sc.
Эту теорему можно назвать обобщением теоремы Пифа-
рокл говорит, что подобной
форме теоремы Пифагора от-
давалось предпочтение перед
другими как верно выражающей
самую суть дела. „Хотя я пре-
клоняюсь и перед теми, кото-
рые впервые допытались до
гора. 1 реческии писатель
Черт. 87.
истины
этой проблемы, но еще выше я ставлю автора „На-
чал" Евклида не только потому, что он снабдил теорему
самым убедительным доказательством, но также и потому,
что еще более общую проблему, содержащуюся в 6-й книге,
он утвердил на неопровержимых основах науки".
Интересно иное доказательство теоремы Евклида, не
опирающееся на теорему Пифагора, а включающее её в себя.
Рассмотрим это доказательство.
В прямоугольном треугольнике АВС опустим высоту CD
на гипотенузу АВ (черт. 88). Образовались три прямоуголь-
169
ных треугольника: Д АВС, построенный на гипотенузе АВ;
/\ACD, построенный на катете АС, и £\BCD, построен-
ный на катете ВС. Они все подобны. Их площади относятся
как квадраты, сходственных сторон или как площади квад-
ратов, построенных на гипотенузе и катетах. Имеем:
Sabc • Sacd • Sbcd = с2: b2: а2,
или
Sabc — kc2> Sacd = kb2 и Sbcd — ka2.
Ho
Sabc = Sacd Sbcd-
Отсюда:
c2 = fl2_|_^2 (теорема Пифагора).
Если же на гипотенузе и катетах построить какие-либо
иные подобные многоугольники, то всё равно их площади
Черт. 89.
будут относиться, как пло-
щади треугольников АВС,
ACD и BCD, и мы прихо-
дим к теореме Евклида.
Рассмотрим ещё одно
обобщение теоремы Пифа-
гора.
Докажем теорему: На
сторонах АВ и АС произ-
вольного треугольника АВС
как на соответствующих
основаниях построены два
каких-либо параллелограм-
ма ABEF и ЛСС//(черт. 89),
расположенных вне тре-
угольника, а в остальном
совершенно произвольные;
стороны EF и GH продол-
жены до взаимного пересе-
чения в точке М.
Доказать, что параллелограмм, построенный на стороне ВС
и имеющий другую сторону, равную и параллельную AM,
равновелик сумме первых двух.
Доказательство.
По условию АМ = ВК',
проводим	OC^MMt и ВРЦЛ7И;
160
тогда:	s CLMiN — Samoc = Sahgc*
Sbkmjt = Smpba — Sbefa J
следовательно,
Sbklc — Sahgc~\- Sabef*
Доказанная теорема включает в себя теорему Пифагора
как частный случай. Докажите это при помощи чертежа 90.
Луночки Гиппократа. Построим на сторонах прямоуголь-
ного треугольника как на диаметрах полуокружности
(черт. 91).
Докажем, что сумма площадей двух заштрихованных
луночек равна площади прямоугольного треугольника.
По теореме Пифагора
О2 + ^2=С2;
умножим обе части последнего равенства на
ка2 . kZ>2 _ кс2
1 ' 2~
Если от площади полукруга, построенного на гипотенузе,
отнимем площади сегментов I и II, то останется площадь
треугольника АВС. Если от суммы площадей двух полу-
кругов, построенных на катетах, отнимем площади тех же
двух сегментов, то получим сумму
площадей двух луночек. Приняв во
внимание равенство (1), мы можем
сказать, что сумма площадей двух
Черт. 90.	Черт. 91.
луночек равна площади треугольника.
Эту задачу впервые поставил и решил греческий математик
Гиппократ, доказав тем самым, что площадь криволинейной
фигуры может быть равна площади прямолинейной фигуры.
О жизни Гиппократа из Хиоса (V—IV в. до н. э.)
известно очень немногое. По профессии он был торговцем.
11 А. А. Колосов
161
Некоторое время учился у пифагорейцев. Вследствие какого-то
несчастья он потерял всё свое состояние. Какесказал о нём
Аристотель: „Хорошо известно, что люди, глупые в одном
отношении, отнюдь не глупы в других. В этом нет ничего
странного: так, Гиппократ, хотя и искусный в геометрии,
был, по-видимому, в других отношениях слабым и бестолко-
вым человеком; и он, как говорят, по своей простоте по-
терял большую сумму денег благодаря обману сборщиков
пошлин".
Гиппократу принадлежит первый написанный учебник
по геометрии, и через два столетия Евклид многое исполь-
зует из этого учебника при составлении своего знаменитого
труда „Начала".
Гиппократу принадлежат теоремы об углах в окружности,
об отношении площадей двух кругов.
В особенности много сделал Гиппократ в области трёх
знаменитых задач древности: задачи об удвоении куба, за-
дачи о трисекции угла и задачи о квадратуре круга. Со
второй из этих задач читатель ознакомился. С первой и
третьей ознакомится позже.
3.
Пифагорейские числа. Существование прямоугольного
треугольника со сторонами 3, 4 и 5 ставило вопрос более
общего характера: какие ещё существуют прямоугольные
треугольники, стороны которых выражаются целыми числами.
Каждую такую тройку целых чисел называют пифагоровой
тройкой. Можно вывести формулы для получения всех таких
чисел. Это мы сейчас и Сделаем.
Пусть целые числа а, b и с образуют пифагорову тройку,
т. е. связаны соотношением
02 + ^2=с2.
Разделим обе части этого равенства на с2:
Положим для краткости:
а	b
— = х и —= у;
с	с
тогда:
Х2_|_.у2= J,
или
_у* = (1+ *)(! — X).
162
Напишем последнее равенство в виде непрерывной пропор-
ции
у __________________________ 1 — х
Т + х~ у
Общее значение двух отношений в этой пропорции пред-
т
ставим как отношение двух целых чисел — и составим си-
стему уравнений с двумя неизвестными:
у ___ m
1 + х	п	’
1 — х _ т
У ~	п’
которая может быть приведена к виду:
тх—пу — — т\
пх-\-ту = п.
Уравняв коэффициенты при неизвестном у и затем сло-
жив по частям уравнения системы, мы получим:
(т2 + и2) х = п2 — т2.
Отсюда
__________________________ п2 — /п2
Х~ *
Подобным образом найдём, что
__________________________ 2тп
У~т* + п^
Подставляя — и — вместо х и у, будем иметь:
с с
а п2 — m2 b_____________________ 2тп
/п24~ ’ с /к2 + п2 ’
или
а — (п2— т2)	—о,	Ъ = 2тп • —^4—
v 7 m2 -j- n2	m2 + n2
Обозначив общий для а и b рациональный множитель
через А, т. е. положив, что с = (/п2 + ^2)^> мы
к трём соотношениям:
а = (п2 — т2) • k;
b = (2mn)-k- i	(I)
с = (т2 - j- п*) • k. J
с
придём
11*
163
Таким образом, если числа а, b и с образуют пифагорову
тройку, то они соответственно пропорциональны числам
вида:
п2— /п2, 2тп и т2-\-п,2.
Легко проверить и обратное положение, что всякие три
числа а, b и с, определённые равенствами (I), образуют
пифагорову тройку. Для этого стоит только составить сумму
а2 + £2 и сравнить её с с2. В самом деле:
а2 + b2 = k2 (п* — 2т2п2 + т* + 4m2n2) = k2 (п2 + m2)2,
с другой стороны,
c2=k2 (m24-n2)2;
следовательно,
a2-\-b2 = c2.
Составим при помощи формулы (I) несколько пифагоро-
вых троек. Пусть т— 1; п = 2 и й= 1. Тогда:
а = (4—1)- 1 = 3; £ = 2- 1 .2 = 4; с = (1 + 4). 1 = 5.
Получили известную нам тройку египетского треугольника.
Пусть т = 3; и = 5; £=1.
Тогда:
а = (25 —9) • 1 = 16; £ = 2.5.3-1 = 30;
с = (25 + 9). 1 = 34;
342 = 162 + 302;
1156 = 256 + 900;
1156= 1156.
В связи с рассмотрением пифагорейских чисел более или
менее естественно возникает вопрос о возможности следую-
щего обобщения задачи: существуют ли целые положитель-
ные числа а, £ и с, которые удовлетворяли бы равенству
’ а3 + £3 = с3
или равенству
а4+£4 = с4,
или, вообще говоря, равенству
an+£w=cw,
где п — целое число, большее 2?Ответ был дан француз-
ским математиком Пьером Ферма (1601—1665).
164
Ферма имел привычку, читая сочинения математиков, де-
лать на полях книг свои примечания, высказывать различ-
ные теоремы в связи с прочитанным. Часто, высказав ту
или иную теорему, Ферма не приводил необходимого дока-
зательства этой теоремы.
Так случилось и с доказательством невозможности решить
в целых числах уравнение:
ап-\-Ьп=сп
при п > 2. На полях одного из сочинений греческого мате-
матика Диофонта была обнаружена запись Ферма: „Сумма
одинаковых степеней двух чисел не может быть той же
степенью какого-либо третьего числа. Исключение состав-
ляет лишь вторая степень, для которой это невозможно.
У меня есть этому поистине удивительное доказательство,
но поля слишком узки, чтобы вместить его".
Если другие теоремы, записанные Ферма на полях книг
и недоказанные им, впоследствии были доказаны другими
математиками, то теорема о равенстве
оп_|_#п=6п
в общей форме никогда и никем впоследствии не была ни
доказана, ни опровергнута, несмотря на то что целый ряд
крупнейших математиков пытался это сделать. Так эта
теорема, известная в математике под именем теоремы Ферма,
и осталась загадкой.
О жизни Ферма, протекшей очень спокойно, мы знаем
мало. Подготавливаясь к трудовой деятельности, он изучал
юридические науки, затем стал адвокатом и, наконец, со-
ветником провинциального парламента. Часы досуга Ферма
отдавал главным образом занятиям математикой. В этой
науке он достиг исключительного успеха. Он не напечатал
при жизни ни одной строчки своих исследований. Они со-
хранились в форме рукописей, отдельных записей на клоч-
ках бумаги или на полях страниц тех книг, которые он
изучал. Но несмотря на это, его открытия в области мате-
матики уже при жизни автора становятся известными и ока-
зывают влияние на научную мысль.
4.
Несколько вопросов из темы „Равновеликие фигуры".
Фигуры называются равновеликими, если они имеют
равные площади.
165
На основе изученных
докажите равновеликость
из данных чертежей (92,
вами геометрических соотношений
заштрихованных фигур на каждом
93, 94, 95, 96, 97, 98).
Черт. 92
Четыре последних чертежа позволят по-иному с точки
зрения равных площадей сформулировать известные вам
Черт. 95.
теоремы о пропорциональных отрезках в круге. Сделайте
это.
Интересно, что именно в этой форме все эти теоремы
и были найдены древними греками.
Черт. 96.	Черт. 97.
Две головоломки. 1. Фигура ABCDEF состоит из
трёх сплошных квадратов (черт. 99). Требуется разрезать
эту фигуру на две части так, чтобы из образовавшихся
частей можно было составить квадратную рамку. Отверстие
166
внутри рамки должно тбже иметь квадратную форму, равную
каждому из трёх квадратов, составляющую данную фигуру.
2. Возьмите 5 равных квадратов. Каждый из них раз-
режьте на трапецию и прямоугольный треугольник так
чтобы его катеты были один равен стороне квадрата, а дру
гой половине её (черт. 100). Из получившихся 10 фигур со
ставьте один квадрат. (Эти го-
ловоломки взяты одна из кни-
ги Б. А. Кордемского „Математи-
ческая смекалка", другая из
книги Б. Кордемского и Н. Ру-
салева „Удивительный квадрат".
В этих книгах читатель найдёт
много подобных задач и задач
более трудных.)
Из всех плоских много-
угольников, очевидно, самым
простым и по своим свойствам	Черт. 98.
и по способу измерения площади
будет квадрат. Мы знаем, что любой плоский много-
угольник можно превратить в равновеликий треугольник,
а последний — в равновеликий квадрат. Поэтому вполне
закономерно появившееся ещё у древних греков стремление
Черт. 100.
найти способы превращения любой фигуры, даже ограничен-
ной криволинейным контуром, в равновеликий ей квадрат.
Из таких фигур наиболее часто в практике встречается круг.
Но попытки греков заменить данный круг равновеликим
ему квадратом не увенчались успехомх). Эта задача под
названием „задача о квадратуре круга" стала одной из
знаменитых задач древности. История её охватывает не менее
*) Здесь говорится о неудачных попытках разрешить задачу
о квадратуре круга при помощи циркуля и линейки.
167
четырёх тысячелетий. Ею одинаково интересовались как
любители, так и знаменитые математики. Здесь мы эту за-
дачу поставили в связи с вопросом о равновеликости фигур.
Подробно о квадратуре
круга читатель прочтёт во
второй части книги для
чтения по математике.
Читатель получит боль-
шое удовлетворение, если
решит следующие задачи
на построение:
1. Данный треугольник
разделить на две равнове-
ликие части прямой, пер-
пендикулярной к основа-
нию (черт. 101).
Указание. Пусть EF делит Д АВС на две равные
по площади части. Составьте систему уравнений с неизвест-
ными х и у, исходя из того, что площадь треугольника ЕСЕ
Л
Черт. 102.
равна половине площади треугольника АВС и что Д EFC
подобен треугольнику BCD.
Ответ. х=у
2. Данный треугольник разделить на три равновеликие
части прямыми, параллельными основанию.
168
3. Проведите самостоятельно ещё одно доказательство
теоремы Пифагора.
Дан прямоугольный треугольник АВС. На его катетах
АС, ВС и гипотенузе АВ построены квадраты (черт. 102).
Квадрат, построенный на катете ВС, разрезан так, что
FN\\AB и NO | АВ. Квадрат, построенный на катете АС,
разрезан на две части прямой AM, являющейся продолже-
нием ЕА. Полученные после разрезания пять частей уло-
жите на квадрате ABDE так, чтобы они полностью запол-
нили этот квадрат.
ЛИТЕРАТУРА
В. Литцман, Теорема Пифагора, ОНТИ, 1935.
В. И. Лебедев, Кто автор первых теорем геометрии, М.,
1917.
В. И. Лебедев, Знаменитые геометрические задачи древ-
ности, М., 1917.
В. П. Шереметевский, Очерки по истории математики,
Учпедгиз, М., 1940.
Р. Курант и Г. Роббинс, Что такое математика, Гос-
техиздат, 1947.
Б. А. Кордемский и Н. В. Русале в, Удивительный
квадрат, Гостехиздат, М., 1952.
Б. А. Кордемский, Математическая смекалка, Гостехиз-
дат, 1955.
М. Ильин и Б. Сегал, Как человек стал великаном, Дет-
гиз, 1946.
ГЛАВА VIII
ПРАКТИЧЕСКОЕ ПРИМЕНЕНИЕ МАТЕМАТИКИ
Академик А. Н. Колмогоров, обращаясь к учащимся
средней школы, пишет: „Значение математических методов
в таких науках, как механика, физика или астрономия,
хорошо известно. Также всем известно и то, что матема-
тика необходима в практической работе инженеров и техни-
ков. Элементарные знания по геометрии или умение пользо-
ваться буквенными формулами необходимы почти каждому
мастеру или квалифицированному рабочему...
Ещё в большей степени самостоятельность и способность
по-новому подойти к математической формулировке задачи
необходима тому, кто берётся применять математику к ре-
шению технических проблем. Это по существу относится
к работе каждого инженера, пользующегося математикой.
Но так как требующиеся при этом математические знания
и способности имеются не у всех, то большинство наших
научно-исследовательских технических институтов и даже
некоторые крупные заводы широко стали на путь привле-
чения специалистов-математиков для работы вместе с инже-
нерами над техническими проблемами".
Эти слова советского учёного, немало сделавшего и
в области её практических применений (А. Н. Колмогорову
принадлежат исследования по теории стрельбы и по стати-
ческим методам контроля массовой продукции), подчёрки-
170
вают глубокую связь между математикой и другими нау-
ками и техникой.
Прежде чем перейти к основному содержанию этой по-
следней главы — некоторым практическим вопросам, разре-
шаемым на базе теоретического материала VIII класса,—
остановимся немного на тех математиках, которые всей
своей работой утверждали необходимость глубокой связи
между теорией математики и практикой. Из большого числа
таких математиков мы выделим наиболее ярких в этом отно-
шении и более знакомых вам: Архимеда, Ньютона, Л. Эй-
лера, П. Л. Чебышева и А. Н. Крылова.
Нам сейчас кажется невероятным, что было время, когда
учёные и философы с великим пренебрежением относились
к попыткам связать теоретические знания по математике
с её практическими приложениями. Но такое время было. Об
этом свидетельствуют высказывания и. Аристотеля (384—322)
и Платона (432—348), великих мыслителей и основателей
древнегреческих философских школ.
Аристотель, вплотную подошедший к материалистиче-
скому пониманию математики как науки („Математик под-
вергает рассмотрению объекты, устранивши все чувственные
свойства их и сохраняя только количеству определённость
и непрерывность, или разбирает те положения, в которых
они стоят друг к другу" 9, утверждал в то же время, что
„механика — не наука, а ремесленный навык, достойный
раба и излишний для философии").
Платон по поводу работ математиков Архита и Менехма,
пытавшихся решить классическую задачу об удвоении куба
путём применения инструментов и механизмов, говорил:
„Они губят и разрушают благо геометрии, так как при
этом она уходит от бестелесных и умопостигаемых вещей
к чувственным, и пользуются телами, нуждающимися в при-
менении орудий пошлого ремесла".
Плутарх, греческий историк II века н. э., подводя итог
подобным взглядам, пишет: „После Платона механика,
изгнанная из геометрии, отделилась от неё и долгое время
находилась в пренебрежении у теоретической науки, став
лишь одной из вспомогательных практических отраслей
военного искусства".
Тем с большим уважением мы должны отнестись к ге-
ниальному математику и механику древности, великому
1) Аристотель, Метафизика.
171
Архимеду (287—212 до н. э.), который не побоялся пойти
против взглядов, принятых в идеалистической математиче-
ской науке. Свои замечательные открытия в области мате-
матики, из которых некоторые подготовляли почву для
методов, введённых в математику только через 2000 лет
после него, он не стеснялся применять к решению много-
численных вопросов астрономии, механики, физики, тех-
ники и военного дела. Рассказывают о сделанном Архиме-
дом небесном глобусе, на котором можно было наблюдать
не только движение светил, но и затмения Солнца и Луны,
об остроумной машине для поливки египетских полей,
о сконструированных им сложнейших военных машинах.
Когда настала тяжёлая пора для его родного города
Сиракузы, который римляне осадили с двух сторон, Архи-
мед при помощи построенных им машин в течение долгого
времени отражал все нападения римских солдат, внося в их
ряды панику и нанося им громадные потери. Марцелл,
полководец римлян, шутил над своими техниками и меха-
никами и говорил: „Уж не перестать ли нам драться с ма-
тематиком? Он, сидя спокойно за стеной, топит наши ко-
рабли и, бросая в нас разом столько стрел, оставляет по-
зади мифических сторуких великанов". „Действительно, все
остальные сиракузяне служили своего рода телом архиме-
довых машин,—пишет об этой осаде Плутарх, — один он
был душою, которая всех двигала, всё направляла".
Не менее яркой в этом отношении фигурой был и зна-
менитый английский учёный Исаак Ньютон (1642—1727).
„Математика в его руках, — пишет известный русский фи-
зик С. И. Вавилов, — была методом и материалом для ре-
шения основных задач астрономии и физики, и тем не менее
в области математики он сделал исключительно много. Но-
вые запросы физики требовали и новой математики, новых
методов. Анализ бесконечно малых был совершенно необ-
ходим для задач новой механики". И Ньютон создаёт этот
анализ. В наше время труд дифференцируется. Физики,
инженеры, конструкторы ставят задачи, математики дают
методы и решения, „Ньютон одновременно делал и то и
другое".
С именем этого величайшего математика вы не раз
встретитесь, изучая математику, физику, механику и астро-
номию. Он был действительно одним из тех учёных, кто
твёрдо установил связь между математикой и другими нау-
ками между математикой и техникой.
172
Исаак Ньютон.
Переходя на русскую почву, мы также можем указать
на целый ряд учёных, которые, не мыслили математику вне
связи с практикой. Одним из таких учёных был член Петер-
бургской Академии наук Леонард Эйлер (1707—1783).
Неизмеримы его заслуги в развитии математики. Появ-
ление его основных математических работ: введение в ана-
лиз, дифференциальное и интегральное исчисление произ-
вели на современных ему математиков не только глубокое,
но, можно сказать, ошеломляющее впечатление; недаром
Деламбр 1) в одном из своих писем Лагранжу 9 называет Эй-
лера „этот дьявол", как бы желая высказать этим, что
сделанное Эйлером превышает силы человеческие.
Но нас поражает также и исключительно широкий круг
его интересов и вне математики. Стоит только перечислить
9 Деламбр и Лагранж — известные французские мате-
матики.
173
Леонард Эйлер.
названия некоторых его работ, чтобы убедиться в этом.
Среди них мы увидим: „Механику", „О движении твёрдых
тел", „Морскую науку", „Диоптрику", „Артиллерию", „Тео-
рию движения планет и комет", „Теорию музыки" и много
других трудов.
Удивительно, что, уже будучи слепым (Эйлер потерял
зрение за 17 лет до смерти), он не прекратил своей ра-
боты и продиктовал своему сыну и своим ученикам сотни
статей и 10 громадных томов отдельных сочинений по са-
мым разнообразным вопросам чистой и прикладной мате-
матики.
XIX век даёт нам также не один пример подобного
стремления математиков связать развитие своей науки с раз-
витием техники. Среди них особенно выделяется величайший
русский математик Пафнутий Львович Чебышев (1821—1894).
„Сближение теории с практикой даёт самые благотворные
174
результаты, и не одна только практика от этого вь^игры-
вает: сами науки развиваются под влиянием её",— писал
Чебышев. И это не были только слова. Всей своей научной
и практической деятельностью он подтвердил необходимость
и возможность такой связи. Как и Эйлер, Чебышев пора-
жает нас исключительно обширным кругом своих научных
и технических интересов. Создав теорию вероятностей как
науку, он применил её выводы к решению многих практи-
ческих вопросов: здесь вопросы из области артиллерии, из
области установления физических постоянных и другие^
В области практических приложений математику Чебышеву
принадлежат работы: „О зубчатых колёсах", „О построе-
нии географических карт", „О центробежном уравнителе"
и другие. 40 различных моделей шарнирный механизмов
сконструировал и построил Чебышев и написал о них
15 мемуаров. Среди них: арифмометр, гребной механизм,
стопоходящая машина, сортировалка зерна. „Своими заме-
чательными решениями ряда конкретных задач о механиз-
мах Чебышев значительно опередил всех своих современни-
ков; более того, он поставил перед наукой о механизмах
такие проблемы и задачи, к которым эта наука стала под-
ходить вплотную только в самые последние десятиле-
тия" х).
Наконец, нельзя здесь не остановиться на математике и
строителе кораблей, герое социалистического труда, ака-
демике Алексее Николаевиче Крылове (1863—1945). Ещё
будучи учеником Морского училища, он проявил большой
интерес к математике. Много работая самостоятельно, он
тогда уже понял, что именно математика является основой
научных методов кораблестроения. Позднее, в Морской
академии, Крылов создаёт исключительно оригинальную и
по содержанию и по глубине математических расчётов
„Теорию непотопляемости". Будучи оставлен при Академии,
он ведёт со студентами занятия по высшей математике и
одновременно читает курс теории корабля. Сталкиваясь
в своей практической деятельности с необходимостью про-
изводить большие вычисления, А. Н. Крылов пишет книгу
„О приближённых вычислениях". „Численные вычисления
нам понадобятся каждый день, поэтому методы их произ-
водства и должны быть даваемы в первую голову".
1)И. И. Артаболевский и Н. И. Левитский, Ме-
ханизмы Чебышева, изд. АН СССР.

A. H. Крылов.
Талант А. Н. Крылова особенно широко раскрылся после
революции и всё сделанное им ещё раз подтверждает, ка-
кой высоты может достигнуть практическая работа, если
она пользуется методами математики.
„Рано или поздно всякая правильная математическая
идея находит применение в том или ином деле", — гово-
рил он.
Чем ближе к нашим дням, тем чаще можно видеть мате-
матиков, работающих специалистами в смежных областях
науки. „Трудно отделить математику от механики и сей-
смологии в работах академиков М. А. Лаврентьева и
С. Л. Соболева. В первую очередь как механики известны:
академик М. В. Келдыш, члены-корреспонденты АН СССР
Л. Н. Сретенский и Л. И. Седов; как геофизик — А. Н. Ти-
хонов; как специалист по теоретической физике — Н. Н. Бо-
176
голюбов. Между тем все они окончили университеты в ка-
честве математиков"х).
Переходим к основному содержанию этой главы —
практическим приложениям математики^
Задачи по алгебре
а) Составление уравнений
1.	Имеется лом стали двух сортов с содержанием никеля
в 5°/0 и 40%. Сколько нужно взять каждого из этих сор-
тов, чтобы получить 140 т стали с содержанием никеля
в 30%?
Ответ. 40 т и 100 т.
2.	Имеется 600 г шестнадцатипроцентного раствора
йода в спирте. Нужно получить десятипроцентный раствор
йода. Сколько граммов спирта надо прибавить для этого
к уже имеющемуся раствору?
Ответ. 360 г.
3.	Сплав из меди и цинка весом в 24 кг при погруже-
нии в воду потерял в своем весе 2-^ кг. Определить коли-
чество меди и цинка в этом сплаве, если известно, что медь
1	2
теряет в воде Ид-% своего веса, а цинк 14у% своего
веса.
Ответ. 17 кг меди,
7 кг цинка.
4.	В одном сосуде находится т л р-процентного раствора
кислоты, в другом п л ^-процентного раствора той же
кислоты. Из каждого сосуда отлили одно и то же коли-
чество литров, и взятое из первого перелили во второй, а
взятое из второго — в первый. Какое количество литров
нужно отлить, чтобы в обоих сосудах оказался раствор
одной и той же крепости?
Решение. Если обозначить количество литров кислоты,
отлитых из каждого сосуда, через х, то количество чистой
кислоты в первом сосуде после переливания будет:
тр рх । qx
Too — Too "*’100 ’
t) A. H. Колмогоров, О профессии математика, изд.
.Советская наукаГ, 1952.
12 А, А. Колосов	/77
а во втором
nq Ях f Рх
100 — Too ‘ 'Too'*
Концентрации полученных после этого растворов: в первом
сосуде:
тр — px-\-qx
100/22	’
во втором:
nq — qx + рх
По условию задач получим уравнение:
тр — рх-\- qx _ nq — qx + px
lOOzn “	100/2
Решая его, придём к ответу
тп
Х =----:---.
т + п
5.	Чтобы найти массу любого
небольшого тела, мы обычно кла-
дём его на чашку весов и урав-
новешиваем его вес гирей. Если
притяжение Земли одинаково для
обоих, вес, а также и массы
равны.
А как при помощи весов опре-
делить массу Земли? Опишем спо-
соб Жолли, приводящий к со-
ставлению уравнения.
Весы, способные вынести зна-
чительную тяжесть, имеют две
Черт. 103.	пары чашек, из которых нижние
чашки привешены к верхним на
длинных проволоках (при первом определении массы Земли
в 1881 г. длина проволок равнялась 21 м и нижние чашки
были расположены несколькими этажами ниже верхних)
(черт. 103).
Если два шара и т2 одинаковой массы поместить
на две верхние или две нижние чашки, они будут точно
уравновешиваться, так как сила притяжения Земли на обе
массы одинакова. Если поместить т2 на верхнюю чашку»
a mt на нижнюю, ' то тх окажется тяжелее^ так как будет
178
ближе к центру Земли и будет сильнее притягиваться; но
весы опять можно уравновесить при помощи маленького
противовеса с. Если после этого поместить большой шар М
из свинца под нижней чашкой, равновесие опять будет
нарушено вследствие взаимного притяжения масс Л4 и
и надо поместить добавочную небольшую массу п на верх-
нюю чашку, чтобы уравновесить весы. Так как верхняя
чашка настолько удалена от Л4, что взаимное притяжение
между ними незначительно, притяжение М на равно
притяжению Земли на п. Но по закону тяготения первая
из этих сил имеет величину
GMmt
где d — расстояние между центрами шаров М и тогда
как вторая сила равна
GXn
R* ’
где X—неизвестная масса Земли, a R— расстояние между
п и центром Земли и является земным радиусом. Мы имеем
таким образом*.
„ Хп
G	>
d2	R2
откуда:
Л~ nd2 ‘
В опыте, произведённом в 1881 г., /п1 = т2=5 кг,
М = 5775,2 кг\ п = 0,589 мг-, d = 56,86 см и R = 6366 км.
Если читатель проделает необходимые вычисления для на-
хождения X, то он получит такой ответ для массы Земли:
Х==6,15. 1027 г.
Может быть вас заинтересует, какой же радиус имел
свинцовый шар весом в 5775 кгЪ Вы найдёте его по фор-
муле объёма шара:
шара ===	™R\
и узнав в таблице удельных весов, что удельный вес свинца
равен 11,34.
6.	Пароход идёт из Киева в Днепропетровск в течение
двух суток, обратно — в течение трёх суток. Определить,
12*
179
сколько времени будет плыть плот из Киева в Днепро-
петровск?
Ответ, 12 суток.
7. На карте имеются два населенных пункта А и В
(черт. 104). В пункте А—1500 человек, в В—1000 чело-
век. MN— железная дорога, на которой нужно построить
станцию так, чтобы расстояния от неё до Л и В были
обратно пропорциональны количеству населения в них.
На каком расстоянии от А
следует сделать остановку?
Решите эту задачу пу-
тём составления уравнения.
Числовые данные возьмите
с чертежа.
Ответ. 10 км.
8. Прирост продукции
на заводе по сравнению с
предыдущим годом за пер-
вый год составлял р %, за
второй год q %. Какой дол-
Масштаб
Черт. 104.
жен быть процент прироста продукции за третий год,
чтобы средний годовой прирост за три года был ра-
вен г %?
Решение. Продукция первого года составит 1+y^Q
По сравнению с ней продукция второго года будет такова:
(1	ioo)+(1 + 100)100 “О + ioo)(1 + 1Оо)*
Если продукция третьего года возрастёт на х %, то она
увеличится на
О + loo),(1 “Ь w)’Too •
По условию
3 L 100 ‘ \	100/ 100 * \	100/\	100/ 100J	100*
Решая это уравнение, получим:
х =
3r — p — q
Р<1
100
о/
/О*
180
б) Графики
Шестой пятилетний план развития народного хозяйства
СССР на 1956—1960 гг. в графиках.
Черная металлургия (черт. 105);
Черт. 106.
Электроэнергия (черт. 106);
Машиностроение (черт. 107);
Цемент (черт. 108).
Вопросы.
1.	В какие годы прошлых пятилеток и шестой пятилетки
выработка чугуна и проката численно равны?
181
2.	Какими должны быть выработки стали, цемента и
электроэнергии в 1958 г.» чтобы при равномерном воз-
растании этой выработки был выполнен план шестой
пятилетки?
3.	Во сколько раз скорость возрастания производства
цемента в шестой пятилетке больше соответствующей ско-
рости в пятой пятилетке?
4.	Составьте формулы, выражающие зависимость между
количеством выработанной электроэнергии и временем на
протяжении третьей и четвертой пятилеток, пятой пяти-
летки и шестой пятилетки.
Решение. Так как графиком указанной зависимости
является прямая линия, пересекающая ось у в точке с орди-
натой 50, то формула должна иметь вид:
у = kt “4“ 50 •
182
Определяем k из условия, что у равняется 91 при /=10
(1950 г.)
91 = k- 104-50.
Отсюда:
k = 4,1.
Следовательно, требуемая формула будет такова:
J = 4,U4-50.
Подобным образом составьте формулы для пятой и шестой
пятилеток.
Номограмма для формулы процентов от числа А
Формула a = при определённом численном значе-
нии р выражает прямо пропорциональную зависимость
между а и А. Лучи на данной номограмме (черт. 109),
выходящие из нулевой точки, и являются графиками этой
183
зависимости при различных значениях р. После того как
вы разберётесь, как построена номограмма, выполните при
помощи её упражнения:
1)	определить 12% от 70;
2)	определить число, если 14% его составляют 8;
3)	Найти процентное отношение 8 к 50.
График железнодорожного движения. На теории ли-
нейной функции основано также и построение графиков
железнодорожного движения. На чертеже ПО даётся не-
большая часть такого графика.
Задача о движении тела, брошенного под углом
к горизонту. Пусть скорость тела в начале полёта равна v0
и её направление составляет с горизонтальной плоскостью
угол а (черт. 111). Допустим, что на тело не действуют
никакие внешние силы, кроме силы тяжести. Разложим
начальную скорость v0 тела на две составляющие: гори-
зонтальную vx и вертикальную vy. Из чертежа имеем:
=-и0 cos а и vy = sin а.
По направлению первой слагающей ничто не мешает
телу двигаться, и оно по этому направлению, двигаясь
равномерно, за t секунд пройдёт путь х,
x = (-u0cosa)/.	(1)
184
В вертикальном направлении скорость vy не может оста-
ваться постоянной, так как на тело действует сила тяжести.
Движение в этом направлении будет равномерно-замедлен-
ным. Составляющая vy будет изменяться по закону:
vy = vQ sin а — g/,
и путь, пройденный телом в вертикальном направлении,
будет таков:
j/ = ^sina —	(2)
Определяем из уравнения (1) t:
и подставляем полученное значение t в уравнение (2):
___________________х sin a gx2
У ~ cos а 2VqCOS2 а ’
Так как= то
cos a	'
y = xtga-----5-^---х2.	(3)
Л ь 2i/q cos2 a	4 '
Мы получили формулу, выражающую зависимость между
высотой у, на которой находится брошенное тело над
Землей, и горизонтальным расстоянием его х от начальной
, а	Ь
х) sin a = —; cos a = —:
с ’	с ’
sin а _ а
cos a b
= tg a.
185
точки полёта (черт. 112). Эта формула принадлежит
к типу:
у = Ьх — ах2.
Следовательно, перед нами квадратная функция и графиком
её будет парабола, ось которой параллельна оси ординат
и ветви которой обращены вниз от ее вершины. Коорди-
наты вершины параболы мы найдём по формулам:
Ь	Аас — №
ХА = ~ъ[ и УА==—^— •
В данном случае
tg CHECOS2 a Vq sin 2а
Ха ~ g	2^
Дальность полёта артиллерийского снаряда, начальная ско-
рость которого г/0, очевидно, будет такова:
п 0	, «О sin 2а .
и = 2ха —---------
Последняя формула показывает, что дальность полёта
зависит от угла а (угол возвышения). Множитель sin 2а
достигает наибольшего значения при а =45°, когда sin 2а
станет равным 1.
Таким образом, максимальная дальность полёта снаряда
при данной скорости выражается формулой:
&тах — g
х) tgacos2
sin a o ,	2 sin a • cos a sin 2a
------------------ cos2 a = sin a • cos a =	~~ — .
cos a----------------------------------22
186
Если vQ = 600м/сек, то Dmax «	= 36 000 = 36 км.
При движении снаряда в воздухе существенную роль
играет сопротивление воздуха. Из-за сопротивления воздуха
скорость снаряда во время полёта убывает и траектория
не является больше параболой, её нисходящая ветвь идёт
круче, чем восходящая (баллистическая кривая) (черт. 112);
дальность полёта и высота подъёма становятся меньше.
График закона Бойля — Мариотта (р • v— постоянное).
На чертеже 113 кривые дают связь между давлением р
и объёмом v одного килограмма газа.
Для водорода (//2) вычерчены две кривые: одна — для
температуры 0°, а вторая — для 77°. Для кислорода (О2) —
одна кривая для 27°. Эти кривые в физике носят название
изотерм (кривые равной температуры), для математика
это — гиперболы, графически выражающие обратно про-
порциональную зависимость между р и v.
По графику для водорода при 0° составьте формулу,
выражающую закон соответствия между объёмом газа и
давлением на него.
в) Задачи на наибольшие (максимальные
и наименьшие (минимальные) значения
функции
Из курса VIII класса читатель помнит, что графиком
функции
у = ах2 + Ьх 4- с
187
служит парабола, ось которой параллельна оси ординат
(черт. 114).
Координаты вершины А параболы, как известно, опре-
деляются по формулам:
Ъ
Хл==~2а и =
4ас — №
4а
Если а > 0, то квадратная функция имеет минимум,
если а<0 — максимум (на чертеже 114 левая парабола).
Значение аргумента х, при котором квадратная функция
болы, а величина самого максимума или минимума опре-
деляется ординатой уд этой вершины.
Задача 1. Окно имеет форму прямоугольника, завер-
шённого полукругом (черт. 115). Дан периметр фигуры.
Каковы должны быть размеры её, чтобы окно пропускало
наибольшее количество света?
Решение. Пусть радиус полукруга равен х, а пери-
метр— 2р. Тогда, обозначив высоту прямоугольной части
окна через у, получим:
2р — 2х 2у + тгх
и
лх
у = р—X------(1)
Площадь S окна выразится так:
S = 2ху -|- -^у- = 2х (р — х — -у) — 2рх — 2х2 —
188
или
S=-(2+A)x2 + 2Px.
(2
Равенство (2) говорит о том, что S есть квадратная функ-
ция от х и имеет максимум, так как а < 0. Определяя пс
формуле
Хл~ 1а
то значение х, при котором S достигает максимума, мь
получим:
Но тогда
v=„_____?£_I___=
У Р 4 + п “ 2 (4 + к) 4 + т: ’
т. е. у = х. Таким образом, для того чтобы окно указан-
ной формы пропускало наибольшее количество света при
данном периметре, необходимо равенство высоты прямо-
угольной части окна радиусу полукруга.
Рассчитайте, какими должны быть радиус полукруга и
высота прямоугольной части окна, если его периметр
равен 6 м.
Ответ. 0,84 м.
Задача 2. В нашем распоряжении имеется изгородь
длиной в 200 м. Требуется обгородить этой изгородью
участок земли в виде прямоугольника наибольшей площади.
Какую форму должен иметь этот участок и чему будет
равна его площадь?
Ответ. 50 X 50 м2?
Задача 3. В квадрат со стороной а вписать квадрат,
имеющий наименьшую площадь (черт. 116).
Черт. 116.
189
Указание. Выразите площадь S вписанного квадрата
через а и х.
Задача 4. Ток силы / разветвляется по двум проводам,
сопротивление которых г^и г2. По какому закону должно
было бы происходить разветвление, чтобы выделяющаяся
в обоих проводах теплота была наименьшей?
Решение. Пусть сила тока в первом проводе равна х;
тогда сила тока во втором проводе / — х. Выделяющаяся
теплота у, по закону Джоуля и Ленца, равна:
У = rix2 + г2 (/—х)2 — (rt + г2) х2 — 2г2/х + г2/2.
Итак,
У = (Г1 + гг) х2 — 2г2/х + г2/2.
Перед нами квадратная функция, имеющая минимум,
так как а = Г1 + г2^> 0. Определяем то значение х, при
котором у достигает минимального значения по формуле:
b
Ха~ 2а *
В данном случае
г л _ — 2г/	г72
2 (rl + ri) г2 + <4 ’
Тогда сила тока во втором проводе будет равна:
/_ x==i—_r_L_=_ГХ_
П+г2 г1 + г2
Отсюда:
х ________________________ _г?_
I—X ’
т. е. сила тока должна быть распределена по проводам
обратно пропорционально их сопротивлениям.
Решение последующих задач основано на какой-либо
из двух теорем:
Теорема 1. Если сумма двух положительных пере-
менных величин х и у сохраняет постоянное значение
2а, то произведение этих величин имеет наибольшее
значение тогда, когда эти величины становятся рав-
ными между собой (т. е. х = у — а).
Доказательство. Если х > 0, .у > О п х-\-y=2at
то
4ху = (х+у)2 — (х —у)2 = 4а2 — (х—у)2.
4ху, очевидно, будет наибольшим, когда (х—у)2 будет
равно нулю, т. е. когда х — у.
190
Теорема 2. Если произведение двух положительных
переменных величин х и у сохраняет постоянное значе-
ние а2, то сумма этих величин имеет наименьшее зна-
чение тогда, когда эти величины становятся равными
между собой.
Доказательство.
(х+_у)2 = 4ху + (х — у)2 =	~—————~	~
= 4а2 Ч- (х—у)2,	|	1
(х+у)2 достигает минимума,
когда (х — у)2=0, т. е. когда	,
у — х.	Р
Используя эти теоремы,	Черт. 117.
наибольшую площадь.
Задача 6. Груз Р
в точке, отстоящей
^2
Черт. 118.
решите задачи.
Задача 5. Какой из всех треугольников, имеющих одно
и то же основание а и один и тот же периметр 2р, имеет
привешен к рычагу второго рода
от точки опоры на расстоянии а
(черт. 117), вес единицы длины
рычага равен q. Какой длины
нужно взять рычаг, чтобы урав-
новесить груз Р, приложив на
другом конце рычага силу Р наи-
меньшей величины?
Задачи по геометрии
1.	Около морского берега
есть опасная для кораблей зона
подводных скал. Где нужно уста-
новить на берегу два маяка и
тобы обезопасить плавание кораблей
Чертёж 118 поможет вам сделать эту задачу. и ТИ2 —
маяки. К19 К2 и К3 — различные положения корабля отно-
сительно опасной зоны.
Обратите внимание на угол М1К1М2, а этот угол известен
капитану корабля.
2.	Л, В и С — три радиомаяка, которые посылают сиг-
на ы определённой для каждого маяка длины волны. Положе-
ние маяков нанесено на карту, имеющуюся у капитана
как использовать их,
около этой зоны?
191
корабля. Капитан с корабля, находящегося в пункте D
(черт. 119), положение которого надо определить на карте,
находит при помЪщи рамочной антенны направления DA, DB
и DC и тем самым узнает углы аир. Эти данные дадут
капитану возможность нанести на карту положение ко-
рабля в данный момент.
Для решения задачи на отрезке АВ строим сегмент,
вмещающий угол а, и на ВС — сегмент, вмещающий угол р.
Тогда точка пересечения дуг этих сегментов (точка D) и
определит положение корабля.
Черт. 120.
3.	Читатель знаком из курса геометрии с поперечным
масштабом, позволяющим с довольно большой степенью точ-
ности определить длину данного отрезка и откладывать
отрезок данной длиньь Полезно ознакомиться с другим
прибором — нониусом, который также служит для определе-
ния длины отрезка. Вот его устройство (черт. 120):
АВ — масштабная линейка, KL — стержень, длину которого
измеряют, CD — нониус. Длина нониуса равна 9 делениям
масштабно!} линейки; эта, длина разделена на 10 равных
192
частей. Таким образом, каждое деление нониуса равно 0,9
деления масштабной линейки. Нониус — подвижен.
Желая измерить длину стержня KL, совмещаем нулевое
деление шкалы АВ с концом А стержня, а нулевое деление
нониуса — с концом L (черт. 120). Длина KL равна 5 пол-
ным делениям шкалы АВ с некоторым избытком, который
и нужно определить при помощи нониуса. Для этого отме-
чаем, какое деление нониуса совпадает с делением шкалы АВ.
Пусть это будет третье деление нониуса. Утверждаем, что
избыток равен 0,3 деления шкалы АВ.
В самом деле, если третье деление совпало с делением
шкалы АВ, то второе деление нониуса отстоит от ближай-
шего деления шкалы АВ на 0,1, первое — на 0,2, нулевое —
Планшет с алидадой
Черт. 121.
Алидада i
диоптрами
на 0,3. Таким образом, длина KL = 5,3. Нониус (или
верньер) употребляется также и на точных угломерных
инструментах.
4.	Мензульная съёмка. Мензула состоит из двух частей:
квадратной доски размером 40X40 см, называемой план-
шетом (планшет устанавливается на штативе), и алидады
с двумя диоптрами (черт. 121).
Для съёмки плана на планшет прикрепляется лист бумаги
и в центре планшета укрепляется игла; основание иглы
является центром подобия; положение центра подобия отме-
чается также и на земле при помощи отвеса, опущенного
из головки штатива, на котором укреплён планшет.
Прикладывая алидаду ребром к игле, направляют её
визированием через диоптры на вершины снимаемого участка,
в которых установлены вехи. По краю алидады проводят
от центра подобия лучи и на них в выбранном масштабе от-
кладывают расстояния, измеряемые рулеткой, от центра
подобия до каждой вершины. Так, на лучах, полученных
на листе, будут последовательно намечены все вершины
13 А. А. Колосов
снимаемого участка. Соединив эти точки отрезками прямых,
получают план участка в заданном масштабе (черт. 122).
Подумайте о теоретическом обосновании решения этой
задачи. Во время летних каникул снимите план какого-либо
участка при помощи мензулы.
5.	Снять план участка ABCDE можно также и путём
обхода с мензулой по контуру данного участка. Чертёж 123
Черт. 123.
указывает, как и в каком порядке решается эта задача. На
каком этапе обхода можно проверить правильность построе-
ния плана участка?
194
Перенося мензулу по контуру участка, необходимо до-
биваться совпадения вершин A, В, С, ... участка с соот-
ветствующими вершинами на плане.
6.	Определить высоту заводской трубы, к основанию
которой нельзя подойти (Черт. 124).
Черт. 124.
В
С
Черт. 125.
Для решения задачи необходимо проделать следующее:
а) промерить рулеткой длину базиса АВ, из концов кото-
рого видна вершина С трубы. Пусть длина базиса = а;
б) при помощи эклиметра
измерить углы а и р между
направлениями АС, ВС и
горизонтальным направле-
нием; в) построить на чер-
теже в определённом мас-
штабе треугольник А^В^С^,	\
подобный треугольнику д'
АВС; г) из вершины опу-
стить перпендикуляр CXD}
на основание АГВГ треуголь-
ника; д) измерить длину
этого перпендикуляра и,
приняв во внимание масштаб чертежа, определить высоту
трубы.
7.	На наклонной плоскости длиной / = 3 м и высотой
h = 1,8 м лежит груз Р = 60 кг. Определить силу, необ-
ходимую для удержания этого груза, и силу давления. Тре-
ние не учитывать (черт. 125).
Решение. Разложим вектор силы Р по двум направ-
лениям, из которых одно параллельно наклонной плоскости,
а другое перпендикулярно к ней. Получим два вектора:
Р— вектор силы, которая скатывает тело вниз (сила, про-
тивоположная и равная ей, необходима, чтобы удержать
13*
195
тело на наклонной плоскости), и вектор Q — вектор
силы давления тела на плоскость. Определяем векторы F и Q:
отсюда:
Л °° Л АВС;
~ВС ““ 'АС/ ~ ~АВ~9
- = q/ = — •
h ~	I ’
F = 5P.	(j,__
8.	Даны две силы: Р1 = 8 кг и F2=6 кг. Определить
равнодействующую этих сил при углах между ними в 30°,
60°, 90°, 120°, 150°.
Решим задачу для угла в 30° между данными силами
(черт. 126).
Из ДОВС: /? = /+ ВгН- 2• CDj________
Из ДВС£): СО = /ВС2 — ВО2 = |/	(^)2=^/Г,
/?=/>?+/^ 4-/W/з.
Подставляя числовые данные, получим:
R = ^64 •+ 36 4- 48/ 3 = /100-1- 48 • 1,73 =
= /183,04 = 13,5 (кГ).
Закончите задачу, взяв для угла между составляющими
силами иные числовые данные.
9.	Определение дальности горизонта.
Читатель, наверное, помнит теорему: если из точки,
взятой вне окружности, провести к этой окружности каса-
тельную и секущую, то отрезок касательной есть среднее
геометрическое для всей секущей и её внешней части.
196
Эта теорема даёт возможность определить дальность
горизонта из точки, находящейся на данной высоте над
поверхностью Земли (черт. 127).
О — центр Земли; Л4— точка, находящаяся на расстоя-
нии h над поверхностью Земли; МА — отрезок касательной,
проведённой из точки М к поверхности Земли; длина d
этого отрезка и есть дальность горизонта точки М.
По вышеприведённой теореме:
d — У(2/? + Л)-Л =	+
Слагаемое h2 по сравнению с 2Rh очень мало. Поэтому
при определении d слагаемым h2 можно пренебречь и делать
расчёт по приближённой формуле:
d^V2Rh,
(1)
где R— радиус Земли и h — высота точки М над поверх-
ностью Земли. Приняв R приближённо равным 6400 км,
при помощи формулы выполните упраж-
нения:
а)	Как далеко видно, если стоишь
на берегу моря на высоте 5 м над
его уровнем?
б)	Какова дальность горизонта,
если живёшь на берегу моря на вы-
соте 100 м?
в)	Какова дальность горизонта
с вершины Эльбруса (высота Эльбру-
са ^5 км)? Виден ли с вершины
Эльбруса Армавир; Батуми; Тбилиси?
(Воспользуйтесь картой.)
г)	Над Москвой поднялся страто-
стат на высоту 20 км. Какова даль-
ность горизонта его? Какие области
видны с этого стратостата? Могут ли
Курск, Горький, Смоленск? Узнайте эт(
10.	Чтобы измерить диаметр большого шкива, установили
штангенциркуль так, как показано на чертеже 128. Длина
ножек штангенциркуля $=25 см, расстояние между кон-
цами ножек 7=200 мм.
а)	Определить длину диаметра D.
б)	Вывести формулу, выражающую зависимость D от S
и I. (Рыбкин, Задачник)
Ответ, а) 425,
Черт. 127.
быть видны города
197
11.	Построить треугольник по трём сторонам:
/б, /5, /8.
12.	Определить площадь части Москвы, заключённой
внутри окружной железной дороги по плану, на котором дан
масштаб 1:250 000. (Черт. 129)
Указание. Задачу решите при помощи применения
формулы прямоугольников, предварительно разбив всю дан-
ную площадь на криволинейные трапеции и треугольники.
Принцип разбивки: избежать трапеций, ограниченных
кривой с разной крутизной на разных участках. Этим
достигается уменьшение погрешности результата.
Сначала найдите площадь фигуры в квадратных санти-
метрах, а затем учтите данный масштаб.
Ответ. «150 км2.
13.	В начале движения поезда сила тяги паровоза —
2500 кг\ затем, когда поезд прошёл первые 400 м, сила тяги
в течение очень небольшого промежутка времени уменьшилась
до 2000 кг\ с этой силой паровоз прошёл ещё 3200 м,
после чего при переходе на уклон сила тяги была умень-
шена до 500 кг и при этой силе он прошёл 1000 м. Всту-
пив на подъём, паровоз стал развивать силу в 1200 кг>
с которой прошёл последние 1400 м. Выразить работу,
совершённую силой тяги паровоза, графически и найти
среднее значение силы тяги на протяжении всего пути.
198
Каждое изменение силы тяги совершается на отрезке пути
в 200 м (черт. 130).
Для построения чертежа примем масштаб 100 км и в 1мм.
и 100 кг в 1 мг. По оси абсцисс будем откладывать прой-
денные паровозом расстояния, а по оси ординат—силу тяги.
В результате получим фигуру Р0А (черт. 130), площадь
которой и даст произведённую работу:
Л = 4• 25 +(25 +220)2 + 32 • 20 + (-Ц5)2-|-10,5 +
+ (5+^12)2+14 . 12== 1045 (ммг)'
Умножив полученную площадь, выраженную в квадрат-
ных миллиметрах на масштаб работ, т. е. на 100 • 100 =
Q WO 3Z00	1000	М00 Я
Черт. 130.
= 10 000, мы получим произведённую работу в килограмм
мометрах, равную в данном случае
Т= 10 450 000 (кгм).
Весь путь, пройденный поездом, равен 6600 м. Разде-
лив работу Т на путь в 6600 м, мы получим среднюю
силу тяги:
D 10 450 000 _ 1 кос
^сР~'~6600	~
14.	Индикаторная диаграмма. Часто для измерения ра-
боты двигателя к нему присоединяют особый прибор для
измерения давления пара в цилиндре этого двигателя. При-
бор носит название индикатора. Давление пара перемещает
поршенёк индикатора. Движение поршенька при помощи
системы рычагов передаётся закреплённому карандашу, дви-
жущемуся по оси вращающегося цилиндра, на котором при-
креплён лист бумаги. При вращении цилиндра карандаш
будет чертить некоторую кривую линию, которая показывает
199
давление пара в любом положении поршня цилиндра. Полу-
ченная кривая называется индикаторной диаграммой. Пло-
Определите площадь этой диаграммы или при помощи
Формулы трапеций, или по формуле Симпсона (глава VI).
Задачи по тригонометрии
1.	Исследование движения ползуна в кривошипно-ша-
тунном механизме. Кривошипно-шатунный механизм служит
для преобразования равномерного вращательного движения
конца кривошипа в неравномерное прямолинейное движение
ползуна, и обратно (черт. 132).
1)	Работа силы измеряется произведением силы на длину пути.
Если сила постоянна по величине, то работа графически изобра-
зится площадью прямоугольника. Если сила с течением времени
меняется по величине, то графически работа изобразится площадью
криволинейной трапеции.

В начальный момент, когда кривошип занимает положе-
ние ОЛр точка В шатуна находится в Вх. Если в дан-
ный момент кривошип находится в положении ОА, обра-
зуя угол а с линией мёртвых точек, соответственно чему
шатун занимает положение АВ, образуя с той же прямой
угол р, то, следовательно, палец В ползуна за время
поворота кривошипа на угол а переместился на величину
х — ВХВ. Выразим перемещение х в зависимости от данных
величин.
Опустим перпендикуляр АК на ОВХ; тогда:
ОВ — ОК-\-КВ.
Из треугольников АОК и АВК имеем:
ОК— О A cos а = г cos а и КВ — ЛВ cos Р = / cos Р;
следовательно,
О В = г cos а -|-1 cos р
и
х = г-\-1 — г cos а — Z cos р = г (1 —cos а) 4-/(1 —cosP). (1)
Выразим cosp в зависимости от угла а из треугольников
АОК и АВК\ найдём:
Л# = г5ша и /^ = Zsinp.
Отсюда:
г sin а = / sin р и sin р — у sin а
и	______________
cos р = У1 — sin2P = j/^ 1 — (у sin а
Переходя к выражению (1) для х, получим:
х = г(1 —cos а) -\-1	— |/ 1 —fy sin а
Вот тот закон, по которому изменяется перемещение
ползуна в зависимости от величины угла. Определите х,
если а=0, а = 90°.
2.	Расчёт длины ремённой передачи, соединяющей два
шкива: ведущий и ведомый (черт. 133). Пусть расстояние
между центрами шкивов равно d и радиусы их — R и г.
Длину ремённой передачи разобьём на части АВ, ВС, QD =
201
— АВ, DE, EF, ЕА— DF. Определим длину каждой отдель-
ной части.
Из треугольника ОХКО имеем:
О^ = ЛВ = /</2 —(/? —г)2; ДЛ0£=ДВ016==Д^10;
обозначим / АОЕ
Из ^\OVKO
через а и найдём его величину.
Зная sin а, мы сможем по таблицам определить и угол а
. г-»	г\ с1	it Pct
V? АЕ = О DF = -Tjgg- = -Jgy-;
О AEFD = tt/? +	2 =
пи	пга.
<jBQ— kjCH— фо — 180,
ига е
"90"’
к Г а П
180 2 ~ ПГ
ВС =
Длина всего ремня =
= 2/d2 —(/? —г)2 + It/? 4

пга
"ЭО"^
= 2/d2—(/?--г)2+я(/?-Ьг) + ^(/? —г).
3.	Винтовая линия. Представим себе, что на боковую
поверхность цилиндра с диаметром d наматывается прямо-
угольный треугольник АВС (черт. 134) с основанием АС = nd
202
так, что основание это совпадает с окружностью основания ци-
линдра. Так как АС — urf, то точка С после того, как весь тре-
угольник будет навернут на боковую поверхность цилиндра,
совпадает с точкой Alt точка В займёт положение Blt
на образующей АГВХ цилиндра, а гипотенуза АВ займёт
Черт. 134.
некоторое положение на боковой поверхности цилиндра и
примет форму винтовой линии.
Мы получили один виток винтовой линии. Длина катета
ВС (Л) называется шагом винтовой линии. Угол ВАС (а)
называется углом подъёма винтовой линии. Найдём зависи-
мость между ht d и а.
Из треугольника АВС имеем:
h = itd tg а;
полученная формула позволяет
также определить угол подъёма
по данным h и d
. h
tg а = —.
& nd
4.	Определить наибольший угол наклонной плоскости,
при котором тело, находящееся на наклонной плоскости,
будет находиться в равновесии. Вес тела Р и коэффициент
трения равен k (черт. 135).
Ответ. tg<p = £.
Указание. Сила трения измеряется произведением
силы давления тела на наклонную плоскость на коэффициент
трения k.
5.	Определение коэффициента трения. Тело веса Р
положено на наклонную плоскость с углом наклона а. Тело
203
под действием своего собственного веса прошло ускоренно
путь S в t секунд. Определить коэффициент трения k
(черт. 136).
Решение. Сила давления тела на наклонную плоскость
— kPcosa..
Сила, которая тянет тело вниз, =F=Psina—&Pcosa =
(1)
=Р (sin a — k cos a).
Если тело движется по наклонной плоскости, то ускорение
/* F
С другой стороны, ускорение а = — = — = gF\
7
вательно,
gP_
Р ~ F '
следо-
(2)
Из равенства (1) и (2) следует, что
25
g(sina — &cosa)== .
Отсюда:
, ^sin a 2S ,	2S
ь — —_______________— tsr a____________.
cos a gt2 cos a s & 7 gt2 cos a *
6. На чертеже 137 даётся винтовая нарезка поршня
затвора артиллерийского орудия. Вычислить угол ср для
заточки резца, служащего для нарезания этого винта.
Ответ. 78°48'.
7. Определить высоту здания, к которому нельзя непо-
средственно подойти (черт. 138).
204
Решение. 1) измеряются: базис АВ и углы аир;
2)	из Д AMN: MN=ANtga\
3)	из /\BMN: BW=A17Vctga;
4)	AN = AB+MNctg$;
5)	MN = (АВ + MN ctg р) tg а;
MN ctg a = AB -f- MN ctg p.
Черт. 137.
Отсюда
AB
MN =—----------“77.
Ctg a — Ctg p
Задачи, рассмотренные в этой главе, являются только
небольшой частью задач, иллюстрирующих использование
Черт. 138.
различных разделов математики в решении тех или иных
вопросов. Поле применения математики поистине необозримо,
и нет никакой возможности на нескольких страницах рас-
сказать о множестве практических применений её.
Хочется закончить эту главу словами Михаила Ивановича
Калинина, обращёнными к молодёжи: „Если вы хотите
206
участвовать в большой жизни, то наполняйте вашу голову
математикой, пока есть к тому возможность. Она окажет
вам потом огромную помощь во всей вашей работе".
ЛИТЕРАТУРА
С. Я. Лурье, Архимед, изд. АН СССР, 1945.
В. Е. Прудников, П. Л. Чебышев — учёный и педагог,
Учпедгиз, 1950.
Б. В. Гнеденко, Очерки по истории математики в России
Гостехиздат, 1946.
А. Н. Крылов, Леонард Эйлер, изд. АН СССР, 1933.
С. Я. III т р а й х, Алексей Николаевич Крылов. Его жизнь
и деятельность, Гостехиздат, 1950.
„Преподавание математики в свете политехнического обуче-
ния". Сборник статей, изд. АПН РСФСР, 1954.
ОГЛАВЛЕНИЕ
От автора........................................... 3
Глава I. Натуральный ряд чисел...................... 5
Создание натурального ряда чисел. Десятичная пози-
ционная система. Старославянская нумерация. Различные
системы счисления. Простые числа. Распределение про-
стых чисел среди чисел натурального ряда. П. Л. Че-
бышев. Проблема Гольдбаха. Гольдбах—Шнирельман —
Виноградов.
Задачи.
Глава II. Из истории геометрии..................... 27
Геометрические знания египтян и вавилонян. История
создания геометрии как науки в Греции. Фалес — Пи-
фагор — Платон—Евдокс—Архимед — Апполоний —Гип-
пократ— Евклид. Задача о трисекции угла. Софисты.
Три софизма.
Задачи.
Глава III. Развитие понятия о числе. Числа целые, дроб-
ные и иррациональные.................................. 46
Целое число. Дробное число. Дроби у египтян и вави-
лонян. Дроби в России. Иррационалыное число.
Задачи.
Глава IV. Из истории развития учения об уравнениях 70
Египет — Греция. Геометрическое решение квадратного
уравнения. Диофант. Диофантовы уравнения. Индия. Бра-
магупта. Бхаскара. Арабы. Магомет из Хорезма. Евро-
па. Лука Пачиоли. Виет. Рассказ о двух математиках,
которые стали врагами, и о кубическом уравнении.
Задачи.
207
Глава V. Функции и графики.............................. 98
Значение понятия функции в развитии математики.
Декарт. Современное понятие функции. Простейшие
функции. Рассказ о Декарте.
Задачи.
Глава VI. Измерение площадей........................... 132
Измерение площадей в Египте и Вавилоне. Измерение
площадей на Руси. Приближённое измерение площадей
способом прямоугольников и трапеций. Измерение пло-
щади криволинейной трапеции.
Задачи.
Глава VII. Теорема Пифагора. Равновеликие фигуры . . 153
Пифагор и его школа. Различные доказательства тео-
ремы Пифагора; обобщение ее. Пифагоровы числа.
Пьер Ферма и его теорема. Равновеликие фигуры.
Задачи.
Глава VIII. Практическое применение математики ... 170
Связь математики с другими науками и техникой.
Архимед, Ньютон, Эйлер, Чебышев, Крылов. Совет-
ские математики.
Практические задачи.
Алексей Алекс андрозин Колосов
КНИГА ДЛЯ ВНЕКЛАССНОГО ЧТЕНИЯ ПО МАТЕМАТИКЕ
Редактор Л. А Сидорова
Художественный редактор Б. М. Кисин
Технич. редакторы А. Ф. Федотова и М. И. Смирнова
Корректор Н. В. Богомолова
Сдано в набор 18/Х 1957 г. Подписано к печати 3/VI 1958 г. 84xl08’/32.
Печ. л. 13 (10,66). Уч.-изд. л. 10,12. Тираж 50000 экз. А 05054.
Учпедгиз Москва, Проезд Марьиной рощи, 41.
Типография им. Евг. Соколовой УПП Ленсовнархоза.
Ленинград, Измайловский пр., 29.
Заказ № 2677. Цена 2 р. 55 к.
Цена 2 р. 55 к.