Е.К.Войшвилло
ИИЕ
как форма
мышления
Логико-
гносеологический
анализ
«Издательство
Московского университета
1989
ББК 87.4
В65
Печатается по постановлению
Редакционно-издательского совета
Московского университета
Рецензенты:
кандидат философских наук Ю. В. Ивлев,
кандидат философских наук Г. В. Гриненко
Войшвилло Е. К.
В65 Понятие как форма мышления: логико-гносеологический:
анализ. — М.: Изд-во МГУ,' 1989. — 239 с.
ISBN 5—211—00205—9.
В книге выясняется специфика понятия как формы мышления, его
роль в познании, возможные логические структуры, виды отношений меж-
ду понятиями, основные операции с ними. Показаны возможности при-
менения средств современной логики (понятий логической семиотики, фор-
мализованного логического языка и аппарата дедукции) для анализа-
структур понятий, отношений между понятиями и для разрешения неко-
торых исторически сложившихся спорных вопросов теории понятия.
В связи с этим в монографию введен раздел «Логический анализ языка»,
содержащий, в частности, описание формализованного языка в логике-
предикатов и исчисления предикатов первого и второго порядков.
Для научных работников, преподавателей, аспирантов, студентов фи-
лософских факультетов и для интересующихся вопросами теории позна-
ния и логическими аспектами языка.
В
0301060000—045
077(02)
3—89
ББК 87.4>
ISBN 5—211—00205—9
© Издателмгво Московского
уннвер.сЖта, 1989
Введение
Эта книга является продолжением исследований,
некоторые итоги которых были опубликованы в монографии «По-
нятие» (1967 г.).
Цель исследований состояла в пересмотре традиционной тео-
рии понятия на базе современной логики и с применением ее ап-
парата. Имелось в виду в основном применение формализованно-
го логического языка — языка логики предикатов, а также свя-
занного с ним аппарата дедукции для анализа логических струк-
тур понятия, отношений между понятиями и уточнения ряда по-
ложений прежней теории. Теория понятия, начало которой поло-
жил Аристотель, рассматривалась в традиционной логике как
один из наиболее важных ее раздедов. Однако многие ее положе-
ния были довольно неопределенны, а во многих случаях явно не-
состоятельны.
Для характеристики этой"теории достаточно, пожалуй, ска-
зать, что в ней не было выяснено даже основное: что представ-
ляет собой понятие как особая форма мысли, какова его логиче-
ская структура в отличие, например, от суждения.
Так, обращаясь к одному из наиболее солидных и авторитет-
ных трудов по логике традиционного направления X. Зигварта, в
качестве определения понятия находим: «Понятие в логическом
«смысле отличается от возникшёг-р в естественном течении мышления
.и обозначенного посредством слова общего представления своим
постоянством, не ведающей 1^сдлючений неизменной определен-
ностью и надежностью и общезначимостью своего словесного обо-
значения» [41, т. 1, с. 278].
В другой .также широко известной в свое время книге русско-
го автора А. И. Введенского понятие определяется как мысль о
предметах, рассматриваемых со стороны их существенных при-
знаков. Понятие здесь связывается с терминами, главным образом
.выделяемыми в качестве подлежащего и сказуемого в суждениях,
.и рассматривается как их смысл [22]. В. Ф. Асмус пишет, что по-
3
нятие есть «мысль о предмете, выделяющая в нем существенные-
признаки» [6, с. 32]. Как видно, во всех этих случаях есть те или-
иные характеристики понятия, но нет ответа на основной вопрос,,
что именно представляет собой понятие. Аналогичная ситуация,
наблюдается в других курсах, учебниках, научных работах, по-
священных понятию (и при том не только логиков, но также пси-
хологов и философов).
Наблюдается довольно странная ситуация: о понятиях говорят
в любой науке, теории и постоянно в повседневной жизни. Иногда-
даже мышление характеризуют как процесс оперирования поня-
тиями. И вместе с тем остается неясным, что при этом имеется в-
виду, хотя едва ли можно предполагать, что это не столь уж и
существенно. Полезно напомнить здесь известную мысль Ф. Эн-
гельса, которую развивал В. И. Ленин, что искусство оперировать
понятиями не является прирожденным. И при этом важно знать
не только диалектику становления и развития понятий, на что-
прежде всего обращали внимание Ф. Энгельс и В. И. Ленин, но и
структурно-логические характеристики этой формы мысли, а так-
же основные логические приемы оперирования с понятиями. Кста-
ти, с полным основанием можно утверждать, что встречающиеся
в научных работах, учебной литературе погрешности культуры-
мышления чаще всего связаны с неумением оперировать понятия-
ми как особыми формами мысли.
Указанное выше состояние традиционной теории понятия яви-
лось, возможно, одной из причин пренебрежительного отношения
к ней, а вместе с тем и к самой ее проблематике со стороны пред-
ставителей современной логики. Этому способствовала также
распространившаяся весьма упрощенная, идущая от Г. Фреге-
трактовка понятия как одноместного предиката (форма выраже-
ния свойств предметов в формализованных языках). Это истолко-
вание связано с определенной спецификой формализованных язы-
ков. Нередко понятие отождествляют с терминами или со смыс-
лами терминов, не сознавая в последнем случае, что сами эти
смыслы представляют собой более или менее сложные мыслен-
ные образования, за которыми стоят определенные способы по-
знавательной деятельности.
Другая причина состоит в том, что с возникновением совре-
менной символической логики сузилось само понимание логики.
Согласно распространенным представлениям задача логики сво-
дится к построению и исследованию дедуктивных систем — логи-
ческих исчислений, — описывающих формы выводов и доказа-
тельств в рамках специальных 'формализованных языков.
Теория дедукции, которая здесь имеется в виду, с особыми
методами анализа, а именно методом формализации (рассужде-
ний, понятий, теорий), моделирования смыслов‘языковых выра-
жений с использованием ряда математических понятий, является
центральной частью современной логики. И в этой части она до-
стигла большого прогресса по сравнению с традиционной логи-
кой. Однако в практике исследований интуитивно предмет логики
4
понимается значительно шире. Объектами ее исследований явля-
ются индуктивные методы познания и такие приемы, как класси-
фикация, обобщение, научное объяснение, методы построения на-
учных теорий и отношения между понятиями и т. д.
Речь идет о понимании логики как науки, о всем многообра-
зии логических форм и приемов воспроизведения действительно-
сти на ступени абстрактного мышления, т. е. воспроизведения ее
с помощью языка. К числу таких форм и приемов естественно
отнести также понятия и разнообразные операции с ними. При
изучении их, однако, существенную роль должны играть методы
современной логики и особенно такие ее результаты, как форма-
лизованные логические языки, связанные с ними семантические
понятия и аппарат дедукции.
Именно применение формализованных языков позволяет вы-
явить специфику понятия как формы мышления и многообразие
логических структур понятий. Выясняется возможность трактов-
ки как понятий теорий определенных типов. Представление при-
знаков, составляющих так называемое содержание понятий в ви-
де высказывательных форм (предикатов) формализованного ло-
гического языка, открывает возможность применения современ-
ного аппарата дедукции для анализа отношений между понятия-
ми и уточнения многих положений традиционной теории.
В качестве формализованного языка используется описанный
в книге язык классической логики предикатов второго порядка, а
в качестве дедуктивного аппарата — также изложенное в книге
исчисление предикатов второго порядка (система натурального
вывода) классической логики.
Ряд разделов монографии «Понятие» сохранен в данной кни-
ге, однако в более или менее переработанном виде. Вместе с тем
добавлены новые разделы: отношения между понятиями и опера-
ции с понятиями.
Первую часть книги составляет логический анализ естествен-
ного языка, который, по мысли автора, должен подводить к по-
ниманию принципов построения формализованного логического
языка, а также обеспечивать эмпирическую основу для логиче-
ских обобщений в теории понятия.
Логический анализ языка понимается автором как рассмотре-
ние его с теоретико-познавательной точки зрения, т. е. как сред-
ство познания. Этим обусловлены огрубления, связанные, в част-
ности, с отвлечением от многих аспектов языка, существенных
для него к$к средства коммуникации.
При отборе материала и особенно при его структурировании
автор имел в виду возможность использования книги в качестве
учебного пособия по ряду разделов в так называемых общих
курсах логики для философов и студентов других факультетов.
Автор выражает искреннюю благодарность жене Аристовой
Зое Матвеевне и дочери Наталье, А. Е. Болотову, Е. В. Семено-
вой, Н. А. Алешиной и А. В. Щипковой за помощь в подготовке
рукописи к печати.
Часть I
язык
КАК СРЕДСТВО ПОЗНАНИЯ
Глава I
логический анализ
ЕСТЕСТВЕННОГО ЯЗЫКА
§ /.
ЯЗЫК КАК ЗНАКОВАЯ СИСТЕМА.
ОСНОВНЫЕ АСПЕКТЫ ЯЗЫКА.
ВИДЫ И ХАРАКТЕРИСТИКИ ЗНАКОВ
Язык есть система знаков. Знак есть материаль-
ный объект, который служит в процессе общения и мышления
-людей представителем какого-то другого объекта. Слова и слово-
сочетания языка — суть знаки, поскольку, с одной стороны, они
являются материальными объектами (представляют собой коле-
бания воздуха или следы чернил, типографской краски, графита
и т. п.) и как таковые доступны органам наших чувств. С другой
стороны, они представляют какие-то объекты, и прежде всего из
' внеязыковой действительности, т. е. имеют те или иные предмет-
ные значения. Это могут быть отдельные предметы, классы пред-
метов, процессы, ситуации действительности и многообразные ха-
рактеристики предметов (свойства, отношения и т. п.).
Различают три основных аспекта языка: синтаксический, се-
мантический и прагматический. Синтаксический аспект состав-
ляет многообразие отношений знаков к другим знакам, имею-
щиеся в языке правила образования одних знаков из других и из-
менения знаков (склонение, спряжение и т. п.). Семантический
аспект составляет совокупность отношений знаков к объектам
внеязыковой действительности, т. е. к тому, что они обозначают.
Прагматический аспект включает все особенности языка, кото-
рые зависят от того, кем и в каких ситуациях он применяется.
Сюда относятся явления изменения смыслов слов и выражений в
зависимости от того, кто именно их использует и в каких ситуа-
циях, явления эмоциональной окрашенности тогд, что выражает-
ся в том или ином случае, и т. д., а также определенные пред-
посылки, в частности мировоззренческого характера, употребле-
ния .языка. Например, в том факте, что как естественное воспри-
нимается высказывание «у нас еще много недостатков» и как не-
естественное, по крайней мере требующее разъяснений, «у нас
6
еще много успехов», выражается, как считают лингвисты, суще-
ствование убеждения людей в том, что нормальным является про-
грессивное изменение общества. В основе различения таких, на-
пример, оборотов речи, как «уже Аристотель знал, что ...» и «еще
Аристотель знал, что...» выражаются определенные субъективные
различия в оценке временных отношений в мире.
Влияние прагматических факторов в обычном употреблении
(речевом) естественного языка убедительно и многосторонне по-
казано в книге . Н. Д. Арутюновой «Типы языковых значений»
(М,, 1988). Особо обращает на себя внимание стремление автора
выяснить' степени такого влияния для языковых выражений раз-
личных семантических категорий, а также с особыми типами зна-
чений в пределах отдельных категорий.
При рассмотрении языка как средства познания, формирова-
ния и выражения мысли, воспроизведения связей и отношений
действительности вообще, а именно это является главным и ха-
рактерным для логического анализа языка, мы отвлекаемся от
всех прагматических аспектов. К тому же принимаются многие
упрощения и огрубления в рассмотрении также и синтаксиса и
семантики языка. Так, говоря о словах и словосочетаниях языка;
отвлекаемся от их значений в различных падежах, лицах, време-
нах. Существительные понимаются в основном лишь в имени-
тельном падеже и в единственном числе, глаголы — в единствен-
ном числе настоящего времени. При этом непереходные глаголы
рассматриваются просто как свойства предметов, а все осталь-
ные— как отношения, к тому же вместе с предлогами. Так, пред-
ложение «Иванов вошел в комнату» понимается как выражающее
отношение «вошел в» между Ивановым и комнатой. «Дети идут
в школу» будет понято как «каждый ребенок» (из некоторого
множества наблюдаемых детей) идет в школу. Таким образом,
предложение выражает отношение каждого ребенка — из упомя-
нутого множества — к некоторой определенной (подразумеваемой)
школе. Как показывает практика использования определенных
логических языков, упрощенный таким образом язык достаточен
для выражения утверждений той или иной науки. Допускаемые
упрощения обычно даже необходимы и во всяком случае не яв-
ляются помехой для уяснения того, каким именно образом язык
может служить средством познания действительности, что и ин-
тересует логика прежде всего. Более того, оказывается, что фор-
мализованные языки, построенные на основе такого анализа есте-
ственного языка, и связанные с ними методы логики эффективно
применимы для выяснения сущности многих, более сложных
форм и тонкостей естественного языка.
Характеризуя выражения языка как знаки, мы учитываем
обычное в лингвистике отождествление различных случаев («эк-
земпляров») одного и того же — относительно некоторых сущест-
венных характеристик — выражения. Все случаи употребления
слова «земля» (все его экземпляры) рассматриваются как раз-
личные экземпляры одного и того же знака. Таким образом, при-
7
меняется логический прием, который может быть назван «отож-
дествляющее абстрагирование», а его результат как «абстракция
отождествл ения».
В рамках синтаксического аспекта нас интересует роль раз-
личного типа знаков языка в упомянутых процессах формирова-
ния и выражения мысли. В анализе же семантических отношений
возникает вопрос о типах значений языковых выражений, а так-
же отношений знаков к обозначаемым ими объектам и главным
образом о том, каким образом осуществляются связи знаков с
тем, что они представляют. Точнее говоря, речь идет о том, ка-
ким именно образом слова и словосочетания языка становятся
знаками. Важную роль в понимании этого имеет понятие смыс-
ла. Смыслы, которые являются характеристиками по крайней ме-
ре некоторых знаков, наряду с их значениями мы рассматриваем
как логические способы связи знаков с представляемыми ими
объектами. Существенным является при этом различение типов
смыслов, специальных для различных типов языковых выраже-
ний, например, имен и предложений. Различные типы смыслов
представляют собой, как будет показано в дальнейшем, различ-
ные формы мыслей, а также определенные способы «мыслитель-
ной обработки» и «воспроизведения» действительности в мышле-
нии (рассмотрение которых выходит уже за пределы анализа
языка, или, точнее, является философско-гносеологическим аспек-
том такого анализа).
Виды знаков
и основные характеристики знаков
Полезно выделить три вида знаков по характеру
отношения их к обозначаемым объектам: 1) знаки-индексы;
2) знаки-образцы; 3) знаки-символы. Знаки-индексы связаны с
представляемыми ими предметами некоторым причинным обра-
зом. К ним относятся: положение флюгера, следы на снегу и, по-
видимому, некоторые выражения, возникшие в языке как реак-
ции на внешние воздействия на человека (междометия). Знаки-
образы являются в какой-то мере изображениями обозначаемых
предметов (картины, чертежи, схемы). Считают иногда, что близ-
кими к ним в языке являются повествовательные предложения,
хотя не вполне ясно, насколько это правильно. По-видимому, к
числу знаков этого типа в языке принадлежат такие слбва, как
«звон», «треск», «жужжание», «тишина», «гром» и т. п., которые
по своему звучанию воспроизводят какие-то звуковые характери-
стики обозначаемых ими процессов, вызывают определенные зву-
ковые образы обозначаемых ими предметов. Знаки-символы фи-
зически никак не связаны с обозначаемыми ими объектами. Это.
большинство слов, в частности имен естественного языка. Связь
их с обозначаемыми предметами устанавливается либо по согла-
шению, либо стихийно при формировании языка и практического
усвоения его отдельным человеком. Решающую роль в языке иг-
рают знаки именно этого вида.
8
Важную роль в осуществлении связи знаков-символов с объ-
ектами играют их смысловые характеристики или просто прису-
щие им смыслы.
Основные характеристики знаков. Каждый знак характери-
зуется прежде всего тем, что он представляет собой материаль-
ный объект. Знаки языка, как мы уже говорили, — это следы
графита, типографской краски, чернил на бумаге (при использо-
вании языка в письме) или колебания воздуха, жесты, мимика
и т. п. (при использовании языка в устной речи). Но нас интере-
суют прежде всего характеристики знаков как средств коммуни-
кации и мышления. Ими являются предметные значения и смысл
знака.
Предметное значение — это именно то, представителем чего
является знак. Наличие его обязательно у каждого знака в силу
самого понятия знака. Предметные значения разнообразны. Это
могут быть отдельные предметы и одушевленные существа, клас-
сы предметов, явления, процессы, свойства, отношения предме-
тов и т. д. Подробнее о типах предметных значений знаков язы-
ка речь пойдет в связи с различением семантических категорий
языковых выражений. Здесь же будут выявлены различные типы
отношений знаков к объектам.
Смысл есть выраженная в самой структуре знака (собствен-
ный смысл знака) или ассоциированная с ним по соглашению
(смысл, приданный знаку в некотором сообществе) характеристи-
ка обозначаемых предметов, позволяющая отличать их от всех
других предметов. Согласно распространенному в логике и тео-
рии знаков (семиотике) определению смысла, в частности, по
Фреге, смысл — это способ, каким знак обозначает предмет. Точ-
нее говоря, информация о предмете, которую он содержит и ко-
торая достаточна именно для мысленного выделения этих пред-
метов. По существу, имеется в виду совокупность свойств (при-
знаков), которыми характеризуется предмет и по которым он
выделяется из множества других предметов. Однако, как мы
увидим далее, смыслы в свою очередь представляют собой неко-
торые качественно определенные, структурированные образова-
ния, формы отражения предметов и явлений действительности в
мышлении. Так, смыслы знаков-имен — это понятия. Смыслы по-
вествовательных предложений — суждения.
Мы упомянули выше о собственном смысле знака и придан-
ном ему смысле. Здесь явно подразумевается и то, что могут
быть знаки, которые не имеют ни собственного, ни приданного
смысла. Выражение «город, являющийся столицей СССР» имеет
собственный смысл (при условии, конечно, если известно, что
обозначают слова «город», «столица», «СССР»). Но «Луна»,
«Земля», «Москва», «ромб» не имеют собственного смысла. В та-
ких случаях могут быть три возможности: либо слово вообще не
является знаком (по крайней мере, для каких-то членов сообще-
ства), либо оно употребляется как знак в соответствии со сти-
хийно возникшей — на основе совместной практической деятель-
9
ности людей или практического освоения языка — связью его с
определенным предметом или предметами некоторого класса, и
наконец, слово как знак связывается с предметом или предмета-
ми некоторого класса на основе приданного ему в данном сооб-
ществе смысла. Для слов «Луна», «Москва», «город» возможны
второй или третий случаи. Но, поскольку слово «Москва» упо-
требляется в языковой практике для обозначения нескольких го-
родов в мире, и не только городов, для обеспечения точности от-
носительно его употребления в том или ином контексте, мы мо-
жем пояснить, например, что имеется в виду «столица СССР».
Ассоциировав это выражение со словом «Москва», мы тем самым
придали последнему определенный смысл. В результате «Моск-
ва» стала именем определенного города. Приданный ему смысл
выражается в данном случае также в форме имени, но описа-
тельного. Для «Луны» приданный смысл выражает словосочета-
ние — описательное имя — «естественный спутник Земли». Слово
«ромб» едва ли можно удачно употреблять без придания ему
определенного смысла, так как его выражает словосочетание
(описательное общее имя) «плоская геометрическая фигура, огра-
ниченная четырьмя равными сторонами».
Содержащаяся в описательном имени характеристика предме- 
та позволяет выделить предмет, отличив его от всех других пред-
метов в случае его обнаружения. Однако само по себе оно, вооб-
ще говоря, не дает возможности обнаружить предмет и в силу
этого не указывает на предмет непосредственно. Например, Шли-
ман был уверен, что «местоположение Трои» имеет предметное
значение, но ему пришлось затратить много усилий, чтобы найти
это место (холм Гиссарлык).
Вполне возможны различные выделяющие характеристики
для одного и того же предмета или класса предметов. Это зна-
чит, что два различных выражения могут иметь различные смыс-
лы, но одно и то же предметное значение, например «равноуголь-
ный треугольник» и «равносторонний треугольник», «администра-
тивный центр СССР» и «культурный центр СССР».
Как видим, смысл представляет собой посредствующее и при
том связующее звено между знаком и обозначаемым им объек-
том. Придание смысла некоторому языковому выражению (осу-
ществляемое посредством специальной логической операции —
определения) является важным логическим способом введения
новых знаков в язык и уточнения предметных значений имею-
щихся в нем знаков.
Говоря здесь о смысле, мы имеем в виду прямой, или лекси-
ческий смысл слов и словосочетаний, в отличие, например, от
косвенного, или так называемого переносного («белое золото»,
«черное золото» для характеристики соответственно хлопка и
нефти, «летит на крыльях любви» и т. п. метафорические выра-
жения, указывающие лишь на определенное сходство одних пред-
метов, процессов, явлений с другими). Прямой смысл надо отли-
чать также от так называемого «буквального» или этимологиче-
10
ского смысла («география» буквально означает описание Земли,
«врать» буквально означает «говорить», разговаривать, а
«врач» — человек, который врет в этом смысле).
Распространенной является точка зрения, согласно которой
всякий знак или по крайней мере всякое имя имеет смысл. Во-
прос о том, насколько это верно, имеет существенное значение,
поскольку он является частью вопроса о способах связи знаков с
объектами, которые они представляют. Одна из наиболее общих
задач логической теории знаков состоит как раз в объяснении то-
го, каким образом осуществляется связь знаков с предметами
внеязыковой действительности, и прежде всего, конечно, с пред-
метами и явлениями объективного мира.
Представление о том, что каждый знак имеет какой-то смысл,
может возникнуть из того, что нам всегда известны те или иные
характеристики объекта, который представлен данным знаком.
Однако смысл знака, повторяем, есть не любая характеристика
объекта, а именно такая, посредством которой объект мысленно
может быть выделен однозначным образом. Это выражают сло-
вами: предметное значение знака есть функция его смысла. Пред-
лагая считать, что каждое имя имеет смысл, А. Чёрч подчерки-
вает, что в качестве смысла можно рассматривать по крайней
мере то, что обозначаемый им предмет (его денотат — по Чёрчу)
«зовется так-то и так-то» [103, т. 1, с. 343]. Однако свойство
предмета, состоящее в том, что он называется данным именем,
ие выполняет, очевидно, основной функции смысла — выделения
предмета, которая важна как раз в случае, когда нужно знать,
какой именно предмет зовется данным именем, т. е. обозначается
данным знаком. Предлагаемое А. Чёрчем расширение понятия
смысла затушевывает существенные различия в способах связи
знаков с объектами. В одних случаях связь осуществляется
именно посредством смысла, в других случаях — непосредственно,
обычно стихийно, но нередко также путем указания соответ-
ствующих предметов, приведения примеров, т. е. посредством
приема, который в логике носит название остенсивного определе-
ния. Как говорит Б. Рассел, в первом случае слова определяются
вербально, во втором — наглядно [См. 73, с. 109].
Подчеркивают обычно также, что не всякое выражение язы-
ка, которое воспринимается как знак или претендует на то, что-
бы быть знаком, и возможно даже представляющее некоторый
смысл, имеет предметное значение. Лишены предметных значе-
ний, например, слова «вечный двигатель», «самая удаленная точ-
ка Вселенной», «теплород», «флогистон», «душа», «нечистая си-
ла» и т. д., если эти слова не употребляются в некотором пере-
носном смысле. Можно сказать, что мы имеем дело с мнимыми
знаками, т. е. знаками с фиктивными значениями. Не имея пред-
метного значения, слово может при этом иметь смысл (например,
«двигатель, работающий без затраты энергии», «всемогущее су-
щество»). Но существенно заметить, что смысл однозначно опре-
деляет предметное значение знака, если оно вообще имеется.
11
По вопросу о предметных значениях знаков имеется еще мно-
го неясностей. И во всяком случае здесь необходимы определен-
ные конкретизации. Надо уточнить само понятие существования
или несуществования объекта, для обозначения которого упо-
требляется то или иное выражение языка. Конечно, неестествен-
но было бы считать мнимыми знаками слова, обозначающие, на-
пример,- идеализированные предметы действительности (идеаль-
ный газ, абсолютно твердое тело, материальная точка, инерциаль-
ная система), хотя обозначаемые ими предметы не существуют в
реальной действительности. Нет в объективной действительности
также небесных или земных полюсов, меридианов, параллелей,
чисел и т. п. К числу выражений, лишенных предметных значе-
ний, казалось, можно было бы отнести: «бесконечно удаленная
точка», «бесконечно удаленная прямая». Но в проективной гео-
метрии они употребляются явно как значащие выражения. Ка-
кой-то смысл могут иметь и рассуждения о явно несуществующих
предметах. Вспомним, например, эпизод из «Кругов ада». Автор,
каждый раз встречая свою возлюбленную Беатриче, кланялся ей
и получал ответный поклон. Но однажды такого поклона не по-
следовало. «И стал я, — пишет Данте, — рассуждать о том покло-
не, в котором мне было отказано».
Более точным образом интересующий нас сейчас вопрос о
предметных значениях языковых выражений может быть решен,
если учитывать существование в каждой науке или в тех или
иных процессах рассуждения некоторого универсума — множества
объектов, которые допускаются в качестве предмета познания и
рассуждения. Указанные множества характеризуют также как он-
тологию употребляемого в той или иной области познания языка,
т. е. как множества объектов, к признанию которых (к признанию
существования) обязывает употребляемый или принимаемый в
этой области познания язык.
В таком случае наличие или отсутствие предметного значения
у того или иного знака должно решаться в зависимости от того,
в какой области познания этот знак употребляется и имеется ли.
этот объект в соответствующем универсуме познания или рас-
суждения. Так мы должны сказать, что выражение «бесконечно
удаленная точка» является знаком, т. е. имеет предметное значе-
ние в проективной геометрии и не является знаком вне ее. Обо-
значения чисел (цифры) имеют предметные значения в универ-
суме арифметики.
Более того, представители науки, даже такой, положим, как
физика или химия, изучающей явления объективного мира, до-
пускают (по крайней мере на некоторых этапах познания) в ка-
честве элементов универсума своих рассуждений не только ре-
альные предметы или результаты идеализации их, но и объекты,
вопрос о существовании которых как реальных предметов яв-
ляется открытым. Активность познания человека состоит, в част-
ности, в том, что в рассмотрение вводятся предметы, существова-
ние которых является первоначально гипотетичным: «теплород»,
12
’«флогистон», «эфир» и т. п. Определенное обсуждение их возмож-
ных свойств необходимо для выяснения того, не являются ли они
лросто научными фикциями. Оказавшись ими, они исключаются
«из универсума науки. Но сам факт возможности рассуждения об
объектах такого рода приводит к мысли о том, что обозначаю-
щие их выражения языка в некотором смысле не лишены пред-
метных значений. Видимо, можно сказать, что предметными зна-
чениями выражений таких типов являются воображаемые или
мыслимые предметы.
§ 2-
ОСНОВНЫЕ СЕМАНТИЧЕСКИЕ
И СИНТАКСИЧЕСКИЕ КАТЕГОРИИ
ЯЗЫКОВЫХ ВЫРАЖЕНИИ
Семантическими категориями называют непересе-
жающиеся классы выражений языка, имеющих однотипные пред-
метные значения. Именно в силу однотипности значений выраже-
ния одной семантической категории играют также одинаковую
«синтаксическую роль в языке, т. е. выполняют однотипные син-
таксические функции. В силу этого класс выражений, составляю-
щих некоторую семантическую категорию, представляет собой и
«определенную синтаксическую категорию.
Вообще, все значимые (имеющие какие-нибудь определенные
шредметные значения) выражения языка мы делим прежде всего
на предложения и некоторые виды выражений, играющих ту или
иную роль в составе предложений.
Предложения являются основными единицами коммуникации
также в процессе познания. По своему содержанию (смыслам
или, как считают в лингвистике, по цели) предложения делятся
на повествовательные, побудительные и вопросительные. Особое
означение с познавательной точки зрения, как и с точки зрения
.коммуникации, имеют повествовательные предложения. Содержа-
ниями (смыслами) повествовательных предложений являются
«суждения — мысли, в которых в форме утверждений или отрица-
ний отражаются связи и отношения действительности.
Под термином «предложение» будем иметь далее — где нет
особых оговорок — предложения именно этого типа
Предложения, как и выражаемые ими суждения, истинны или
.ложны. Эти характеристики, указывающие на их отношение к
.действительности, точнее абстрактные объекты — «истина» и
«ложь» — в так называемой классической логике принято считать
“предметными значениями предложений. Хотя в других системах
логики (в так называемых нефреговских) имеются иные подходы,
* Что касается вопросительных и побудительных предложений, то имеются
-неясности, связанные с характеристиками их как знаков. Нет ответа на вопрос
•о том, чтб представляют собой их смыслы и предметные значения. Хотя не
шполие ясен этот вопрос и относительно повествовательных предложений.
13
согласно которым значениями предложений как знаков являются
описываемые ими ситуации (положительного или отрицательного
характера). Так или иначе, предметные значения предложений в-
определенном смысле однотипны. Класс их представляет собой
семантическую категорию, притом основную семантическую кате-
горию, языка. Будучи основными коммуникативными единицами,
языка, предложения составляют также и основную синтаксиче-
скую категорию языка.
Среди выражений, встречающихся в составе предложений, вы-
деляются дескриптивные и логические термины.
К дескриптивным терминам относятся:
1.	Называющие выражения (термы)—единичные имена («Луна»,.
«Москва», «столица СССР») и общие имена («растение», «ме-
талл», «город», «четное число»),
2.	Предикатные выражения (предикаторы) — слова и словосоче-
тания, служащие знаками свойств предметов («твердый», «бе-
лый», «высокий», «кристаллический») и отношений между
предметами («больше», «меньше», «столица», «причина», «на-
ходиться между»),
К числу предикаторов, служащих знаками свойств (одномест-
ные предикаторы), относятся также словосочетания: «есть чело-
век», «есть дерево» и вообще «есть Р», где Р — общее имя.
3.	Предметно-функциональные выражения (предметные функто-
ры)— выражения, обозначающие предметные функции, опера-
ции. К ним относятся специальные знаки математического язы-
ка «sin», «+», «log». К множеству выражений этого типа в.
естественном языке относятся: «объем», «вес», «рост», «рас-
стояние», «цвет», «профессия».
К числу логических терминов принадлежат:
1.	Логические связки — «если..., то...», «и», «или», «если и только*
если», «не» («неверно, что...»).
2.	Логические операторы — кванторные слова: «всякий» (сино-
ним «каждый», иногда «все»), «некоторый» («существует», а.
также «большинство», «какой-нибудь» и т. п.).
3.	Описательные выражения — «тот... который», «некий» и т. п.
Естественно начать характеристику выделенных выражений
как знаков с указания типа их предметных значений. На первый
случай мы охарактеризуем их в общих чертах. Более точным об-
разом их семантические характеристики могут быть выяснены ис-
ходя из учета их синтаксических функций.
Предметными значениями единичных имен являются отдель-
ные вещи, лица, процессы и даже множества их, когда они мыс-
лятся как нечто целое. Предмет, обозначаемый единичным име-
нем, называют денотатом, номинатом, дессигнатом, референтом-
этого имени.
Говоря обобщенно, предметное значение единичного имени —
это отдельный предмет в широком смысле слова. Это то, о чем
можно что-то утверждать или отрицать. Таким образом, предмет
понимается как предмет мысли, объект познания.
14
Общее имя является знаком какого-то (неопределенно какого
«именно) произвольного предмета из некоторого класса предметов,
обладающих определенными общими для них признаками. В силу
именно неопределенности предмета (элемента класса), на кото-
рый указывает общее имя, оно позволяет утверждать (или отри-
цать) что-то обо всех или некоторых предметах класса. Напри-
мер, что «всякая жидкость упруга» или «некоторые жидкости яв-
ляются химически сложными веществами». Утверждения такого
рода в определенном смысле есть утверждения и о самом классе.
Поэтому этот именно класс естественно считать предметным зна-
чением общего имени. При этом общее имя не именует упомяну-
тый класс, а лишь представляет его как знак. «Человек» пред-
ставляет класс людей, именем же этого класса является «класс
людей». Класс предметов, который представляет общее имя, бу-
дем называть его экстенсионалом2, а иногда также объемом об-
щего имени. Таким образом, класс людей является экстенсиона-
лом общего имени «человек» и денотатом единичного имени —
«класс людей». (Заметим, что указанное понимание предметно-
го значения общего имени соответствует известному принципу
взаимозаменяемости общих имен в так называемых экстенсио-
нальных контекстах, см. § 4.) В силу того что предметы класса,
жоторый представляет общее имя, обладают некоторой общей ха-
рактеристикой, общие имена трактуют иногда как знаки этих ха-
рактеристик, т. е. как некоторые предикаторы. Однако выраже-
ния, представляющие собой общие имена, правомерно использо-
вать как предикаторы лишь в некоторых особого рода контек-
стах. Таким образом, например, используется слово «дерево» в
'контексте «растение, которое является деревом», т. е. растение,
обладающее свойствами, характерными для деревьев.
Предикаторы, как уже сказано, представляют те или иные
свойства или отношения, наличие которых можно утверждать или
«отрицать относительно отдельных предметов или предметов неко-
торых классов. Предметными значениями предметных функторов
являются функции (которые иногда определяют как отношения
особого рода между элементами множеств, в других случаях, как
операции, устанавливающие такие отношения). (Уточнение поня-
тия функции см. дальше.)
Логические связки и операторы обычно трактуются также как
знаки некоторых, особого рода, функций (логические функции,
2 Карнап в своей теории значений, по существу, отвергает понятие пред-
метного значения знака, вводя просто две характеристики каждого знака —
экстеисиоиал и интеисиоиал [см. 44, § 30]. Эти характеристики лишь в не-
которых случаях совпадают соответственно с понятиями «смысл» и «предмет-
ное значение» знака. Концепция Карнапа связана с определенной, позитивист-
ской, трактовкой процесса познания и роли языка в этом процессе. Один из су-
щественных моментов этой концепции состоит в отказе от понятия реальной
действительности как «псевдонаучного» понятия. Как отмечает С. А. Яновская,
для Карнапа знак — это лишь некоторая замкнутая в себе формальная систе-
ма, а ие средство познания тех или иных явлений объективной действительно-,
•сти {см. 106, с. 15].
15
см. дальше). Хотя более точно, по крайней мере относительно
логических связок, было бы сказать, что они представляют в.
процессе нашего познания некоторые, особого типа, отношения
между явлениями реальной действительности. Их специфика, на-
пример по сравнению с теми отношениями, которые являются
предметными значениями предикаторов, состоит в особой общно-
сти. Вообще, дескриптивные термины и логические термины раз-
личаются тем, что одни — дескриптивные термины — специфичны
для различных областей познания и потому характеризуют кон-
кретное содержание высказывания той или иной области позна-
ния. Другие — логические термины — являются общими в выска-
зываниях различных областей познания и определяют те аспекты
смыслов высказываний, понятий, теорий, которые называют логи-
ческими содержаниями.
Заметим, что предикаторы, предметные функторы, логические
термины, представляя — в общений* и в мышлении людей — отно-
шения или функции, не являются их именами, как и общие име-
на не являются именами представляемых ими классов предме-
тов. Таким образом, мы замечаем существование различных ти-
пов отношений знаков к объектам. Один из них — отношение име-
нования, характерный для единичных имен. Другой — просто от-
ношение «представительства» (если можно так выразиться), хотя
между знаком и его предметным значением всегда есть отноше-
ние «представительства» в широком смысле.
Вообще о любом знаке естественно говорить, что он обозна-
чает то, что является его предметным значением. Мы будем поль-
зоваться этой терминологией, когда нет надобности особо огова-
ривать, имеется ли в виду отношение именования или представи-
тельства (не отождествляя таким образом отношение «обозна-
чает» с отношением «именует», как это часто делается). Теперь,
могут быть поняты и синтаксические функции выражений выде-
ленных категорий.
Единичные и общие имена в составе предложений играют
роль логических подлежащих, т. е. частей предложений, которые
указывают на то, к чему относится содержащееся в них утвер-
ждение или отрицание.
Предикаторы служат логическими сказуемыми предложений,
т. е. указывают на то, что утверждается или отрицается в пред-
ложении о тех или иных предметах и явлениях. (Точнее, логиче-
скими сказуемыми служат выражения особого рода, которые в
дальнейшем мы называем предикатами. В формализованном язы-
ке это высказывательные формы со свободными переменными на
аргументных местах предикатора. В естественном языке роль пе-
ременных играют общие имена. Это значительно осложнит ана-
лиз таких форм, поэтому здесь он опускается. Хотя выражения
этого рода — предикаты, следовало бы даже рассматривать как
особую семантическую категорию языковых выражений.) Такова
основная синтаксическая роль соответственно называющих выра-
жений и предикаторов в языке. Наряду с этим те и другие упо-
16
требляются в составе сложных имен и сложных предикаторов^
образуемых из простых выражений, в частности посредством ло-
гических констант.
Особенно здесь следует обратить внимание на сложные пре-
дикаторы вида «есть <т», указывающие на другую важную функ-
цию общих имен о, а именно на то, что в указанных контекстах
они выражают нечто, что может утверждаться о тех или иных
предметах (о смысле контекстов «есть о» см. с. 31—32). Мы бу-
дем говорить, что общее имя находится в субъектной позиции, ко-
гда оно играет роль логического подлежащего в предложении, и
в предикатной позиции в составе предикатора «есть Р». Общее
имя в субъектной позиции требует всегда добавления квантор-
ных слов «всякий», «некоторые» и т. п., указывающих на то, от-
носится ли утверждение в предложении ко всем или не ко всем
предметам класса, который представляет общее имя, например-
«всякая жидкость упруга», «некоторые жидкости суть химически,
сложные вещества». Это обстоятельство указывает на то, что об-
щие имена являются некоторыми аналогами переменных символов,
специальных языков логики и математики. Выражение типа «че-
ловек добродушен» не выражает определенной мысли. Оно подоб-
но утверждению «х добродушен». Конечно, не исключаются слу-
чаи, когда кванторные слова лишь подразумеваются, когда по
смыслу предложения, по ситуации, в которой они высказываются,,
само собой ясно, какое из них имеется в виду.
Кажется, правда, что никакие кванторы не нужны и не под-
ходят в таких, например, предложениях, как «пища необходима
человеку», «откройте окно». (Общие имена «пища», «человек»,,
«окно» употребляются здесь в субъектной позиции.) Это ясно,,
если рассматривать эти предложения как высказывания об отно-
шениях (см. дальше). Очевидно, что по отношению к общим име-
нам «пища»,' «окно» неприменимы кванторные слова «всякий»,,
«некоторый» (что касается человека, то ясно, что речь идет а
каждом человеке). Однако также очевидно, что подразумевается
все-таки своеобразный, обычно не учитываемый квантор «какой-
нибудь» (квантор безразличия). Возможны и такие случаи, когда
по видимости общее имя употребляется как единичное, например-
«человек появился на земном шаре около 3 млн лет тому назад»..
Здесь «человек» обозначает вид, класс людей.
Этот вид (класс людей) как предмет изменяется от множест-
ва первобытных людей до множества современных (аналогично'
тому, например, как изменяется Москва, некий Иванов и т. п.).
Но это не лишает нас возможности пользоваться одним именем
для всех стадий его существования, «перенося» его с одной ста-
дии на другую, отождествляя их, когда допустимо игнорировать-
их различия. Всем известны, например, также случаи употребле-
ния общих имен в качестве единичных в предложении, вроде-
«книга лежит на столе», в тех или иных конкретных ситуациях,
указывающих, какой именно предмет представляемого им класса
имеется в виду.
17
Но как можно понять смысл утверждения (в одном из учеб-
ных пособий по социологии): «Социальный закон выражает сущ-
ность социального, целостности организации и жизнедеятельности
общества на всех уровнях его структуры»? Имеется ли в виду,
что есть один социальный закон, и выражает ли он сущность лю-
бого «социального», очевидно, социального явления? Скорее всего,
однако, «социальный закон» здесь —общее имя. Относится ли то-
гда то, что в нем утверждается, к любому или не к любому за-
кону?
Утверждая или отрицая что-то о всех или некоторых предме-
тах класса, представленного общим именем, мы характеризуем
определенным образом и сам класс, т. е. утверждаем нечто и о
нем самом, но не как о целом, отдельном предмете, а как о чем-
то, что представляет в действительности совокупность возможно
разрозненных, в различное время и в различных частях простран-
ства существующих предметов.
Предметно-функциональные вы{Тажения играют роль в образо-
вании сложных имен («объем земного шара», «рост Петрова»,
«цвет вишни»).
Существенно заметить, что утверждение (или отрицание) в
простом предложении может относиться не только к одному пред-
мету (как в предложениях—«4 есть четное число», «Волга есть
река») или к предметам некоторого (одного) класса («всякий
глагол спрягается», «некоторые существительные не изменяются
по падежам»), но и к некоторой последовательности отдельных
предметов или классов двух, трех, ... вообще п объектов, или, как
говорят еще, — к предметам некоторой упорядоченной пары, трой-
ки ... вообще п-ки предметов. Например, «5 больше 3», «город
Киров расположен между городами Горьким и Пермью», «всякий
студент изучает какую-нибудь науку». Объектами утверждения
в первом предложении естественно считать члены упорядоченной
пары (5, 3), во втором — города, составляющие упорядоченную
тройку (Киров, Горький, Пермь). В третьем — классы студентов
и наук, т. е. члены пары (студент, наука). В соответствии с этим
логическими подлежащими в первом случае надо считать термы
«5» и «3», во втором — «Киров», «Горький», «Пермь», в третьем —
общие имена «студент» и «наука». Роль логических сказуемых в
этих предложениях (при указанном их истолковании) играют со-
ответственно предикаторы «больше», «расположен между» и
«изучает».
Предложение с одним логическим подлежащим выражает ат-
рибутивное суждение. Логическое сказуемое такого предложения
есть предикатор, представляющий свойство. Наличие нескольких
подлежащих является особенностью предложений, выражающих
суждения, об отношениях.
В рассмотренных случаях понятия «логическое подлежащее»
и «логическое сказуемое» употреблялись в соответствии с тем, как
это принято в современной логике, одно из существенных отличий
18
которой от традиционной логики состоит в учете специфики вы-
сказываний 3 об отношениях.
Очевидно, что когда в лингвистическом анализе выделяют под-
лежащее, то имеют в виду то, о чем утверждается в предложе-
нии. В таком случае «группа подлежащего» (подлежащее вместе
с определениями, дополнениями, обстоятельствами) должна со-
впадать с тем, что мы называем здесь логическим подлежащим,,
но лишь в применении к атрибутивным суждениям. Таким обра-
зом, лингвистика в своем анализе простых повествовательных
предложений предполагает лишь суждения этого типа. Только'
эти суждения знала и традиционная логика, сводя к ним выска-
зывания об отношениях. Сведение такого рода всегда возможно..
Для этого достаточно первое из всех логических подлежащих
предложения, выражающего суждение об отношении, рассматри-
вать как единственное логическое подлежащее всего предложе-
ния, рассматривая всю остальную часть предложения как его ло-
гическое сказуемое. В указанном предложении «каждый студент
изучает какую-нибудь науку» логическим подлежащим окажется
«студент», а логическим сказуемым — «изучает какую-нибудь на-
уку». Но такое сведение, как показала современная логика, при-
водит к существенному обеднению содержания предложения.
Имеются специальные результаты современной логики, на-
пример теоремы о неразрешимости исчисления предикатов, язык
которого содержит более чем одноместные предикаторы, и о раз-
решимости любого его фрагмента, в языке которого нет никаких
предикаторов, кроме одноместных, т. е. предикаторов, представ-
ляющих свойства.
Не соответствует действительной роли кванторных слов «вся-
кий», «каждый»; отнесение их — в лингвистическом анализе — к
числу местоимений (и исключения, как правило, из классифика-
ции вообще йванторного слова «некоторые»). Не означает ли все
это, как и многое другое, необходимости определенных корректи-
ровок лингвистического анализа языка, если исходить из того,,
что к числу его важных целей относится выработка критериев и
навыков точного понимания и выражения мысли в языке?
Остановимся подробно на семантических и синтаксических ха-
рактеристиках выделенных выражений и некоторых связанных с
ними проблемах.
Имена. Выделяемые в пределах этой категории единичные и
общие имена имеют, как мы уже видели, существенные разли-
чия, в строгом смысле слова именами следовало бы называть
только единичные. (Общие имена представляют собой своеобраз-
ные переменные естественного языка.)
8 Мы различаем значение выражений «предложение» (повествовательное)
«суждение» и «высказывание» следующим образом: суждение — это мысль, ко-
торую выражает предложение как некоторая знаковая форма. Употребляя тер-
мин «предложение», имеем в виду знаковую форму. Термин «высказывание»
употребляется тогда, когда имеется в виду суждение вместе с некоторой знако-
вой формой.
Категория единичного имени представляется весьма простой.
Но стоит только обратиться к существующим его определениям
дли хотя бы отдельным характеристикам, как сразу возникают
некоторые неясности и вопросы. Особенно много трудностей свя-
зано с трактовкой общих имен. «Существует традиционное раз-
личение между «собственными» именами и именами «классов»,—
пишет Б. Рассел, — это различение объясняется тем, что соб-
ственные имена относятся только к одному объекту, тогда как
имена классов относятся ко всем объектам определенного рода,
как бы многочисленны они ни были. Так, «Наполеон» есть соб-
ственное имя, а «человек» — имя класса [См. 73, с. 107]. Автор
ле различает здесь имена единичные и собственные. Собственные
имена естественно рассматривать как вид единичных имен. Пер-
вые («Луна», «Волга», «Вселенная») не имеют собственного
смысла, вторые («естественный спутник Земли», «самая большая
река в Европе») — имеют его. И естественно сразу возникает во-
прос, что значит «объект», к которому относится единичное имя?
Б. Рассел связывает его с понятием «субстанции». Проще говоря,
•объект здесь — это предмет, о котором можно высказать нечто в
предложении. Такова именно мысль автора, когда он говорит о
синтаксическом определении единичного имени [См. 73, с. 108].
Как мы уже говорили, под словом «предмет» подразумевается
предмет мысли, познания, обсуждения и т. д.; им может быть и
некоторый класс множества предметов. «Множество планет
Солнечной системы», «класс растений», безусловно, являются еди-
ничными именами, хотя бы потому, что в качестве логических
подлежащих, например в предложениях: «множество планет Сол-
нечной системы состоит из 7 планет», «класс растений не являет-
ся ограниченным» — они употребляются без кванторных слов. До-
бавление последних было бы просто бессмысленным. Из сказан-
ного следует, что противопоставление собственных имен именам
классов у Рассела является неправомерным. Судя по примеру
«человек» и другим под именами классов он имеет в виду общие
имена, но неточно трактует их предметные значения.
Явно узким является определение единичного имени как сло-
ва или словосочетания, называющего вещь или человека [См. 86,
с. 13], автор говорит об имени, имея в виду едщшчные имена;
общее имя характеризуется далее как обозначающее или имити-
рующее понятие {См. 86, с. 16].
Итак, единичное имя можно определить как то, что обозна-
чает какой-либо предмет. При этом «предмет» понимается в ши-
роком смысле, включая, по существу, все, что может быть объек-
том мысли (вещи, множества и системы вещей, живые существа,
процессы, ситуации, а также характеристики вещей, процессов
и т. п.). В связи с этим возникает необходимость определения са-
мого термина «предмет». Мы говорим, например, что «Волга
впадает в Каспийское море». Является ли предметом та ситуа-
ция, которую описывает это предложение? Согласно указанному
определению имени, ответ, очевидно, должен быть отрицатель-
20
яым, если мы хотим различать имена и предложения. Но «впа-
дение Волги в Каспийское море», очевидно, является именем и,
значит, согласно тому же определению имени, обозначаемая им
«ситуация есть предмет. Аналогичным образом обстоит дело и с
выражением: ’’предложение «Волга впадает в Каспийское море»”.
Если мы перечислим совокупность предметов, лежащих на столе,
то укажем на определенное множество, и само это множество,
очевидно, не есть предмет. Но «множество предметов, лежащих
ла данном столе», является именем и, значит, знаком предмета.
Напрашивается мысль о том, что предмет (в широком смысле)
•есть то, что названо именем. Так именно определяет предмет
(вещь) А. Чёрч, считая предметом все, что может быть названо
[См. 103, с. 18]. Однако в таком случае мы приходим к порочно-
му кругу: имя есть то, что обозначает предмет, а предмет есть
то, что может быть обозначено именем. К тому же неясным
остается вопрос о том, что именно может быть обозначено име-
нем. По-видимому, круг разрывается, если мы скажем, что имя
есть такой тип выражения языка, применение которого к чему-
либо (вещи, процессу, ситуации и т. п.) в качестве знака превра-
щает это что-либо (вещь, процесс, ситуацию и т. п.) в предмет.
В таком определении имени подразумевается определенная спе-
цифика отношения его как знака к обозначаемому объекту. Как
уже сказано выше, это — отношение именования. Оно, очевидно,
принципиальным образом отличается от того отношения, которое
имеется, например, между предложением «Волга впадает в Кас-
пийское море» как знаком и той ситуацией («впадение Волги в
Каспийское море»), которую оно описывает и которую можно
считать предметным значением предложения. (Предложение не
только описывает некоторую ситуацию, но и содержит утвержде-
ние «ли отрицание ее существования.)
Ясно также его отличие от того отношения, которое имеется
между словом «больше» и соответствующим отношением, напри-
мер в предложении «5 больше 3»; здесь именем этого отношения
является не «больше», а ’’отношение «больше»”. Из указанного
определения имени ясно, насколько большую роль играет эта
категория языка в процессе познания. Все, что мы хотим сделать
предметом познания, должно быть обозначено именем. Кажу-
щееся исключение составляют случаи, когда объект мысли выде-
ляется посредством жестов, заменяющих словесные обозначения.
Однако и здесь мы имеем дело со своеобразными знаками типа
имен. Но все ли таким образом может быть сделано предметом
мысли и возможна ли некоторая типизация самих предметов?
К числу предметов, очевидно, относятся наряду с конкретны-
ми предметами объективной действительности определенные
^происходящие в определенном месте и в определенное время)
явления (события) действительности (например, разгром гитле-
ровской Германии, XXVII съезд КПСС, борьба за мир на совре-
менном этапе), а также отдельные стороны, отношения матери-
альных предметов, отвлеченные от них и ставшие самостоятель-
21
ными объектами мысли, такие, например, как движение, измене-
ние, твердость, причинная связь явлений и т. п. Предметами в
указанном смысле могут быть также создаваемые наукой теоре-
тические конструкты, такие, как числа, дифференциал, п-мерное-
пространство, формальные системы алгебры и т. п., имеющие за-
частую весьма отдаленную связь с определенными явлениями
реальной действительности; далее, классы тех или иных предме-
тов и явлений действительности, когда они мыслятся как само-
стоятельные предметы, т. е. обозначены некоторым именем; нако-
нец, объектом мысли может быть и сама мысль (понятие, сужде-
ние), представление, образ вообще и даже отдельные стороны,,
свойства мысли, образа (логическая форма мысли, знаковая
форма ее выражения).
Возвращаясь к определению вещи Чёрчем, существенно заме-
тить, что возможность названия чего-либо и превращения такими
образом этого «нечто» в объект мысли зависит от характера «не-
что». По существу, объектом мысли может стать лишь то, что
обладает качественной определенностью, достаточной для того,,
чтобы его можно было каким-то образом выделить (описать или
указать) и более или менее точно мысленно отделить от всего-
остального. Превращение чего-либо в объект мысли связано с-
определенной идеализацией и огрублением. Когда мы имеем де-
ло, например, с конкретным предметом или явлением объектив-
ной действительности, превращение его в объект мысли осущест-
вляется посредством отождествления различных его состояний,
ступеней развития (принцип отождествления) путем выделения
каких-то тождественных (инвариантных), сохраняющихся в раз-
личных состояниях сторон предмета и отвлечения от всех разли-
чий в этих состояниях. Это дает возможность мыслить предмет-
именно как нечто качественно определенное и тождественное са-
мому себе в этой определенности. Без этого не имело бы смысла-
понятие «данный предмет», поскольку каждый предмет действи-
тельности непрерывно изменяется, не оставаясь тем же самым ни-
в какой промежуток времени.
Замечательно возражал А. И. Герцен эмпиристам, желавшим
иметь дело только с конкретными предметами, и притом такими,
каковы они есть в действительности: «...желание оставить пред-
мет, как он есть, и понять его, не разрешая в м^сль, — не только'
иллогизм,,но просто нелепость: частный предмет, явление, остает-
ся неприкосновенным, если человек, не думая о нем, смотрит на-
него, когда он к нему равнодушен; если он его назовет, то уже ок-
не оставил его в сфере частностей, а поднял во всеобщее» [29,
т. 1, с. 105].
Необходимость рассматривать предмет мысли как тождествен-
ный самому себе представляет собой один из важнейших прин-
ципов мышления (принцип тождества). Формулировку его можно
найти у Аристотеля: «Невозможно ничего мыслить, если не мыс-
лишь (каждый раз) что-нибудь одно...» [5, т. 2, с. 64].
При правильном понимании этого принципа он вовсе не на-
22
ходится, как иногда думают, в противоречии с признанием из-
менчивости предметов и не исключает возможность познания их
изменений. Наоборот, изменения, переходы предмета из одного
состояния в другое могут быть поняты и описаны лишь при ус-
ловии, если точно зафиксировано, что именно подвергается изме-
нению и что является результатом этого изменения.
В философии понятие «данный предмет» связывают с поня-
тием качества. При этом многие представители диалектического
материализма рассматривают качество некоторого предмета как
нечто единое, неотделимое от его бытия. «Качество, — как напи-
сано в Философско-энциклопедическом словаре (1983), — фило-
софская категория, выражающая неотделимую от бытия объекта
его существенную определенность, благодаря которой он является
именно этим, а не иным объектом». Можно ли при этом говорить
-о качественных изменениях какого-либо предмета? Напрашивает-
ся понимание процесса качественных изменений как последова-
тельности уничтожения одних предметов и появления других.
Правильнее учитывать наличие в предмете различных качеств,
характеристик вообще и мыслить данный предмет, по крайней
мере, при описании каких-либо его изменений, как выделенный
по какой-либо из его характеристик. Данный человек, например,
может мыслиться и как материальное тело, и как студент, ком-
сомолец, спортсмен и т. д. Переставая быть, положим, студентом,
•он теряет свое бытие как студента. Но если бытие предмета по-
нимать именно таким относительным образом — относительно не-
которых своих качественных характеристик, тогда указанное опре-
деление качества приведет нас к порочному кругу: чтобы опреде-
лить, что является качеством некоторого предмета, надо решить,
что именно неотделимо от его бытия. Но для понимания самого
его бытия нужно выяснить то качество, с которым оно связы-
вается (о качественных и количественных характеристиках пред-
метов см. ч. II, гл. II). Ясно, конечно, что приведенное выше раз-
личение «предмет — непредмет» имеет смысл в пределах опреде-
ленного языка или фрагмента языка, поскольку нечто характери-
зуется как предмет лишь в силу того, что оно определенным
способом обозначено. Когда же мы занимаемся анализом выра-
жений языка, обсуждая вопрос о различиях между предметами,
«обозначаемыми термами, и отношениями, представляемыми пре-
дикатбрами, нам приходится пользоваться некоторым метаязы-
ком4, где для всех указанных категорий употребляется термин
«объект».
Несколько слов о специфике классов и множеств как предме-
тов мысли.
Термины «класс» и «множество» чаще всего употребляются
как синонимы. Но иногда, например в некоторых аксиоматических
теориях множеств, они имеют разное значение. В связи с наши-
4 Язык, выражения которого анализируются в метаязыке, называется язы-
чком-объектом {См. 103', с. 48].
23
ми задачами в дальнейшем, а именно в теории понятия, нам то-
же необходимо такое различение. Классом мы будем называть
множество предметов, обладающих некоторыми общими для них
качественными характеристиками. Таковы, например, множество-
людей, металлов, растений. Правда, в теории множеств обычно
подчеркивается, что любое множество предметов можно мыслить
как совокупность предметов, обладающих некоторым общим
свойством. Можно, например, считать, что каждый элемент х
множества, состоящего из предметов а\,...,ат обладает свойст-
вом: х = а\ или ..., или х=ат. Но дело в том, что для определения
того, имеет ли какой-то предмет это свойство, а значит, и вопро-
са о том, является ли он элементом множества предметов, сход-
ных в этом свойстве, надо знать уже, каково именно это множе-
ство.
Говоря об общей качественной характеристике предметов*
класса, мы имеем в виду именно tq, что может служить основой
для отнесения предметов к данному множеству. Вместе с тем'
надо заметить, что указанное различение класса и множества не-
является вполне строгим и в случаях, когда нет особой необхо-
димости в их различении, мы будем пользоваться преимущест-
венно термином «множество» как более широким.
Множество не есть предмет объективной действительности и:
отличается, например, от таких предметов, как созвездие Боль-
шая Медведица или коллектив Московского университета. По-
следние, в отличие от множеств, можно было бы назвать агрега-
тами. Правда, в так называемой мереологической теории мно-
жеств агрегаты также называют множествами и все множества
вообще представляют как агрегат (в которых есть только части,,
но нет элементов). Во всяком случае надо различать множество-
агрегат (агрегированное множество) и множество отдельно суще-
ствующих предметов, которое называют иногда дистрибутивным
множеством. Термин «множество» здесь и далее мы употребляем»
именно для обозначения последних. Агрегат состоит из множест-
ва предметов, но представляет собой нечто связное целое* или по
крайней мере в некоторых отношениях выступает как реальное-
целое (коллектив имеет общие задачи, несет ответственность за
их выполнение). Множество лишь в мышлении оказывается само-
стоятельным объектом. Конечно, объектом мысди может стать и.
сама совокупность предметов, составляющих агрегат (звезды
Большой Медведицы, члены данного коллектива).
Предметы, составляющие агрегат, — это его части. Предметы!
множества — это элементы множества (класса). Элементы мно-
жества мыслятся как отдельно существующие, независимые друг
от друга, хотя имеющие некоторое общее свойство (оно может
указывать на зависимость их друг от друга, как в только что-
приведенных примерах).
Частями множества являются содержащиеся в нем множест-
ва, т. е. его подмножества. К числу подмножеств (частей) всяко-
го множества, состоящего из п предметов (п>1), относятся: пу-
24
стое множество (множество, не содержащее ни одного элемента);
единичные множества (множества, содержащие по одному эле-
менту исходного множества; единичное множество, состоящее из
-одного элемента, отличается от самого этого элемента как объект
принципиально иной природы); множества, содержащие по два
элемента и т. д.; наконец, само исходное множество (которое, ко-
нечно, является частью самого себя). Таким образом, множество,
•состоящее из п элементов, имеет 2П различных подмножеств.
В логике и философии имеются разные мнения относительно
того, существуют ли вообще классы (множества) предметов в
действительности или они представляют собой лишь продукты
мышления. В каком смысле можно говорить, например, о множе-
стве предметов, обладающих свойствами, которые обозначают
•слова «смеется», «бежит», «сидит» и т. д. (множества истинности
предикаторов «смеется», «бежит», «сидит» и т. д.)? Имеются ли
в действительности классы смеющихся людей, бегущих людей
или животных? Конечно, таких групп людей или животных, всех
«собранных где-то вместе, в действительности не существует. Тем
не менее, утверждая, например, что бегущий человек затрачи-
вает больше энергии, чем сидящий, естественно понимать это, как
относящееся к любому бегущему человеку и любому сидящему
человеку, подразумевая тем самым существование соответствую-
щих классов именно как множеств предметов, возможно сущест-
вующих в разных местах и в разное время, но имеющих некото-
рые общие свойства.
По-другому обстоит дело, видимо, когда класс или множество
вообще становится объектом нашей мысли. В таком случае он
мыслится уже как некая группа со всеми элементами, как бы со-
бранными вместе. Здесь уже имеется сильная идеализация реаль-
но существующих множеств.
Особенно сомнительного рода объекты возникают, когда в
одно множество объединяются некоторые отдельные предметы и
их множества. Вообще говоря, ничто не мешает нам, имея неко-
торые предметы, объединить их в одно множество и выделить
также некоторые его подмножества; затем мы можем образовать
множество, состоящее из предметов и их множества и его под-
множеств; в свою очередь это множество можно превратить в
самостоятельный предмет и объединить его в одно множество с
элементами ранее полученного множества и т. д. Однако, как вы-
яснилось еще в конце прошлого столетия, таким образом можно
получить внутренне противоречивые объекты; относительно та-
ких объектов доказуемо как некое утверждение, так и его отри-
цание, из истинности некоего утверждения следует его ложность,
и наоборот, т. е. возникают ситуации, называемые в логике пара-
доксами (антиномиями). Один из таких парадоксов — парадокс
Рассела.
Пусть некоторое множество представляет собой обобщение
предметов некоторого класса, обладающих общим^ свойством.
Если само оно как предмет не обладает тем же свойством, назо-
25
вем его нормальным; в противном случае — ненормальным. Нор-
мальны, например, множество деревьев (поскольку само это мно-
жество не есть дерево), множество людей и т. д. Ненормальны
множество предметов мысли (поскольку само оно есть предмет
мысли), множество абстракций (которое само имеет свойство
быть абстракцией). Рассмотрим множество всех нормальных,
множеств. Само это множество естественно (в соответствии с за-
конами логики) должно быть или нормальным, или не быть та-
ковым. Однако если предположить, что оно нормально, то из это-
го следует, что оно не является нормальным, так как обладает
свойством «быть нормальным», по которому в нем обобщаются
предметы (в данном случае множества). Если же допустить, что*
оно не является нормальным, т. е. не обладает свойством, по ко-
торому в нем обобщаются предметы, то получается, что оно нор-
мально. Таким образом, множество всех нормальных множеств:
оказывается нормальным и вместе с тем не является нормальным.
Это указывает на то, что такого множества как предмета проста
не существует, и сам термин «множество всех нормальных мно-
жеств» должен рассматриваться как лишенный предметного зна-
чения, по крайней мере в теории множеств. В самой реальной’
действительности мы имеем, конечно, какое-то множество нор-
мальных множеств. Оно является предметным значением общего'
имени «нормальное множество». О составляющих это множества
элементах мы можем говорить нечто вполне осмысленным об-
разом.
Одна из возможностей предотвратить появление парадоксов:
такого типа указана Расселом, выдвинувшим так называемую
теорию типов, ограничивающую возможность образования мно-
жеств как предметов мысли (детальнее см. часть II, § 7). Соглас-
но этой теории нельзя включать в качестве элементов в одно
множество какие-то предметы и какие-либо множества этих
предметов. Противоречивым оказалось также множество всех
множеств (как это выявляется в известном парадоксе Кантора).
Опять речь идет о противоречивости его как предмета мысли.
Предмет такого рода не удовлетворяет даже принципу тождест-
ва. Он не остается тождественным самому себе в процессе рас-
суждения: имея в виду различные множества в действительности
и объединяя их в единый предмет мысли как денотат термина
«множество всех множеств», мы вводим в рассмотрение новое
множество, расширяя тем самым первоначальный предмет нашей
мысли. Этот расширенный объект снова надо считать элементом
нашего множества всех множеств и т. д.
Общие имена. Мы упомянули уже о том, что вопрос о значе-
ниях общих имен является особенно неясным. Было отмечено,
что Б. Рассел трактует их как имена классов [См. 73, с. 107].
Вместе с тем он же пишет о том, что они «относятся ко всем объ-
ектам определенного рода». При этом ясно, что «относятся» надо'
понимать не так, как например в высказываниях: «Иванов есть
человек», «Петров есть человек» и т. д., т. е. в составе сказуемых
26
(образуемых сочетанием общего имени с логической связкой
есть), а так, что общее имя в нашем примере «человек» является
именем каждого предмета из класса, которое это имя представ-
ляет. Понимание общего имени как имени класса, а также и как
имени каждого из предметов этого класса можно найти у Милля
[См. 60, с. 23, 26]. Именно от Милля, очевидно, пошла трактов-
ка общего имени — по крайней мере в английской философии —
как имени многих предметов. «По терминологии Милля, — пишет
А. Чёрч, — и других следующих ему, не только единичное имя
обозначает, но и общее имя; но в отличие от первого оно обозна-
чает не отдельный предмет, а целое множество предметов. Так, на-
пример, общее имя «человек» обозначает и Рембрандта, и Скот-
та, и Фреге, и т. д.» [103, с. 341].
Однако из некоторых разъяснений Милля явствует, что он
-скорее имеет в виду не то, что имя является именем каждого
предмета представляемого им класса, а что оно приложимо — в
составе логического сказуемого — к каждому из этих предметов.
Так, Милль пишет: «Общее имя обыкновенно определяют как та-
кое, которое можно правильно утверждать в одном и том же
смысле относительно каждой из неопределенного количества ве-
щей... Так, имя «человек» можно с полным правом утверждать
относительно Джона, Джорджа, Мэри и неопределенного количе-
ства других лиц, и всегда в одном и том же смысле, так как сло-
во «человек» обозначает некоторые качества, а мы, прилагая его
к этим личностям, утверждаем, что все они обладают именно
этими качествами» [60, с. 23]. (Существенно обратить здесь вни-
мание на мысль Милля о том, что, кроме всего прочего общее
имя обозначает некоторое качество.)
Согласно указанному взгляду получается так, что общее имя
.имеет множество значений. Впрочем, Т. Котарбиньский прямо
пишет, что общее и!йя — «человек», «птица», «преступник» имеет
много десигнатов. Это не согласуется с принципом однозначности
имен, о котором речь пойдет дальше. Более точно понимание
смысла общего имени «человек» проявляется в рассуждениях Са-
тина (М. Горький. «На дне»). «Человек, — поясняет он барону,—
это ты, я, старик, Магомет, но это и не ты, не я, не старик». Это
по видимости противоречивое утверждение содержит, очевидно,
две взаимно дополняющие друг друга характеристики роли обще-
го имени: в предикатной позиции, т. е. в виде сказуемого «есть о»
оно — общее имя о — может быть применено к любому предмету
из представляемого им класса. В субъектной позиции, т. е. в ка-
честве логического подлежащего, оно не указывает ни на какой
определенный предмет класса. Кстати, в специальной логической
работе Рассел уже определенно пишет, что «имя «человек» (а
man) обозначает не многих людей, а неопределенного человека»
[113]. Общие имена явно рассматриваются как аналоги перемен-
ных формализованных языков логики. Однако это не соответ-
ствует его утверждению, приведенному выше.
Фреге вообще не выделял общие имена в качестве особой ка-
27
тегории языковых выражений, рассматривая их как одноместные
предикаторы {См. ПО, с. 131]. В этом ему следуют многие совре-
менные авторы в том числе известный польский логик К. Айдуке-
вич — автор специально разработанной им логической теории син-
таксических категорий [см. 85]. (Такой точки зрения автор при-
держивается в работе «Понятие» [см. 25]). Эта позиция сталки-
вается с трудностями в анализе предложений естественного язы-
ка, не давая, в частности, объяснения того, что представляют со-
бой логические подлежащие предложений с кванторными слова-
ми. Как известно, Платон считал значениями общих имен особые-
сущности — идеи, реально существующие в некотором особом ми-
ре. «Человек», согласно этому взгляду, обозначает человека как
такового, т. е. идею человека. Согласно Платону, она существует
реально, а отдельные люди — суть отражения этой идеи (и при-
том несовершенные, чем и объясняется наличие множества
их).
Аристотель, преодолев идеализм Платона, трактовал значение
общего имени как некоторую сущность, содержащуюся в отдель-
ных вещах определенного класса (представляемого, по нашей
терминологии, общим именем). В трактате «Категории» Аристо-
тель характеризует единичные имена — имея в виду, очевидно, их
предметные значения, т. е. отдельные вещи, — как «первые сущ-
ности», а общие имена как «вторые сущности». Основная мысль
Платона о том, что значениями общих имен «человек», «дом» яв-
ляются некий «человек вообще», «дом вообще», породила в сред-
невековой философии споры относительно природы такого рода1
объектов (универсалий). Одной из концепций по этому вопросу;
противостоящей платоновской (названной позже реализмом), был
концептуализм, согласно которому «универсалии» — это просто
понятия. Ю. С. Степанов, придерживаясь, судя по всему, этой
концепции, считает, что предметными значениями общих имен яв-
ляются именно понятия. «Словом дерево, — пишет он, — мы име-
нуем «дерево вообще», мы имеем в виду не вещь, ибо такой «ве-
щи» нет, а понятие о ней и именуем его» [86, с. 16]. Таким об-
разом, общие имена оказываются, по существу, единичными, как
это было и у Платона, ибо идеи «дерева», «человека» — это от-
дельные предметы, как и понятия «дерево вообще», «человек во-
обще». Этому противоречит употребление общих имен в субъект-
ной позиции, но главное, указанная трактовка общих имен не
выдерживает критики с точки зрения принципа предметности упо-
требления'знаков, в частности имен (см. § 4). Если общие имена
именуют понятия, то они могут и употребляться — в качестве ло-
гических подлежащих — только для утверждений о понятиях. Мы
видим, как теория значений общих имен перерастает в важные
проблемы гносеологии.
Как нам представляется, употребление общих имен «человек»,
«дерево» вовсе не обязывает нас к признанию каких-то сущностей
вроде «человека вообще» и «дерева вообще». Они являются про-
сто результатом обобщения предметов определенных классов по»
28
некоторым общим для этих предметов характеристикам. Обобще-
ние осуществляется за счет отвлечения от индивидуальных раз-
личий (как это происходит при отождествлении предметов каких-
то классов, например всех экземпляров слова «дерево», результа-
том которого является именно одно данное слово), но не игнори-
рования этих различий. Таким образом, общее имя и оказывается
представителем класса предметов. Из этого следует, что слова,
представляющие собой общие имена могут рассматриваться в'
определенных контекстах, например в составе описательных имен
(знаковых форм понятий, о которых речь пойдет ниже) или в
предложениях, когда они играют роль логических сказуемых как
знаки свойств или совокупностей свойств, по которым обобщаются
предметы классов.
Мы подошли к вопросу о сходстве общих имен естественного'
языка и символов переменных в специальных языках математики
и логики. Ранее мы уже заметили, что общие имена являются
своеобразными переменными естественного языка. Символы, х,.
у, z и т. п., играющие роль переменных, например в математике,
логике, относятся к типу единичных имен, но отличаются от имен
тем, что не имеют определенных значений (денотатов), а лишь
могут принимать различные значения из некоторой, всегда зада-
ваемой при введении переменной, области (множества индиви-
дов). Как пишет А. Чёрч, переменная по своей функции (значе-
нию в языке) совпадает с константой (т. е. именем с определен-
ным значением), отличаясь от него лишь тем, «что единственный
денотат константы заменен здесь возможностью различных зна-
чений переменных [См. 103. с. 20].
Используя переменные х, у, мы можем сформулировать, в-
частности, предложения типа «всякий предмет х из области D
обладает свойством Р», «для всякого предмета х из области D\
существует предмет у из области D2 такой, что х находится в от-
ношении R к. у» н т. п. Если, например, область значений х в-
первом выражении есть класс людей, а Р — знак свойства «разум-
ный», то это выражение есть не что иное, как предложение: «Вся-
кий человек разумен». В случае если Di есть класс студентов,
D2— класс наук, a R — отношение «изучает», то второе из при-
веденных выражений представляет предложение: «Всякий сту-
дент изучает какую-либо науку», или буквально: «Для всякого
студента х существует наука у, такая, что х изучает у». Таким’
образом, с помощью переменных, как и с помощью общих имен,
мы высказываем нечто обо всех или некоторых предметах тех
или иных классов D, или Di, или D2. При этом в той части, ко-
торая выражает то, что высказывается о предметах (предикат
высказывания — «х разумен», «х изучает у»,— отличается от то-
го, что мы раньше называли логическим сказуемым, наличием
переменных на аргументных местах предикаторов), переменные
указывают на какие-то отдельные предметы соответствующих
классов. Таким образом, переменная как знак, с одной стороны,
является представителем некоторого класса, с другой — зна-
2^
ком какого-то, но не определено какого именно, предмета этого
класса.
Аналогично дело обстоит и с общим именем, с той лишь раз-
ницей, что указание на область (класс) возможных предметов,
знаком которых может быть это общее имя в контексте некото-
рого высказывания, а именно в его предикатной части, содержит-
ся в самой структуре общего имени, тогда как символы перемен-
ных специально надо ассоциировать с определенными областями
D, Di, D2 (посредством употребления имен этих классов). Пред-
ставляя некоторый класс предметов, общее имя в то же время
употребляется — в субъектной части того или иного высказыва-
ния— как знак какого-то предмета из этого класса. Мы можем,
например, сказать, что: «для всякого человека верно, что он нуж-
дается в общественной оценке результатов своего труда и потому
стремится к приобретению знаний и максимальному развитию
своих способностей». Правда, специальные символы переменных
более удобны как средства' экземплификации (выделения, ин-
дивидуализации) предметов некоторого класса, чем общие
имена.
Употребляя переменные х и у для точного выражения мысли,
содержащейся в предложении: «Всякий человек имеет друга», —
понимаемой как суждение об отношении, — мы можем получить:
«Для всякого человека х существует человек у, такой, что у друг
х». При желании обойтись просто общим именем «человек» необ-
ходимо было бы, очевидно, прибегнуть к какому-то иному спосо-
бу выделения одного и другого из подразумеваемых под х и у
людей, например к способу индексации: «Для всякого человека]
существует человек2, такой, что второй — друг первого».
Итак, любое общее имя («человек», «дерево») связано с неко-
торым классом предметов, которые обобщаются посредством это-
го имени по некоторым общим для них свойствам, например,
свойствам, общим для всех людей и отличающим их от всего
остального в мире. Аналогично для всех деревьев. Обычно эту со-
вокупность свойств мыслят как одно более или менее сложное
свойство «человек», «дерево». Это и является основой отмеченной
ранее возможности трактовать общее имя как знак некоторого
свойства, т. е. как одноместный предикатор. Однако в естествен-
ном языке, по крайней мере в русском, предикативную функцию
общее имя выполняет в сочетании со связкой «есть», т. е. в кон-
тексте «есть о». Будучи употребленным в такой — предикативной
позиции, — оно выступает не как переменная, а как знак, выра-
жающий определенную характеристику предметов, к которым от-
носится содержащееся в предложении утверждение или отри-
цание.
Таким образом, общее имя по своему содержанию является
весьма многосторонним: оно представляет некоторый класс пред-
метов, является знаком произвольного предмета этого класса и
содержит определенную характеристику обобщаемых предметов.
Первая и вторая из этих сторон характеризуют его как специфи-
.30
ческую переменную естественного языка и проявляются при упо-
треблении его в роли логического подлежащего в предложении,,
т. е. в субъектной позиции. Третья из указанных сторон прояв-
ляется при употреблении общего имени в предикатной позиции.
Употребляя общее имя в предикатной позиции, мы указываем на:
то, что представляют собой или чем не являются предметы, к ко-
торым относится утверждение или отрицание в предложении.
Вместе с этим выявляется принадлежность или непринадлеж-
ность этих предметов классу, представляемому общим именем.
Характеристика предметов, о которых идет речь, может быть-
выражена в самом имени, например, в таком, как «многолетнее
растение, имеющее крону, ствол, корни». Имя при этом имеет
собственный смысл и называется описательным. Другой вид об-
щих имен составляют неописательные имена — имена, не имею-
щие собственного смысла. Но смысл такому имени, как и в слу-
чае единичных имен, может быть придан посредством ассоциации
его с некоторым описательным общим именем. Только что ука-
занное общее описательное имя может быть использовано в каче-
стве выражения смысла, приписываемого слову «дерево». Основ-
ная.же масса общих имен естественных языков, как, впрочем, и
знаков других категорий, употребляется интуитивно, на основе
знакомства с какими-то предметами соответствующего класса
или просто на основе ситуаций, в которых употребляется данное
имя.
Структура описательного общего имени
(а тем самым и смысла общего имени вообще)
Как видим, в описательном общем имени явно
выделяются две части: во-первых, некоторый класс D, подклас-
сом которого является объем данного имени — субстанциальная
часть общего имени и, во-вторых, характеристика Р — предметов
последнего, выделяющая их в пределах D — атрибутивная или
предикатная часть общего имени. Для описательного имени, вы-
ражающего смысл имени «дерево», имеем: «Многолетнее расте-
ние (D), имеющее ствол, крону и корни (Р)». Для ромба: «плос-
кая геометрическая фигура (Ь), ограниченная четырьмя равны-
ми сторонами (Р)». Этим определяется смысл выражения вида
«а есть а», где а — описательное общее имя с субстанциальной
частью D и атрибутивной частью Р. Это выражение, очевидно,
означает: «Существует предмет в классе D, совпадающий с а
(тождественный а), обладающий свойствами Р (см. § 8). Если
о — неописательное общее имя, то «а есть а» означает только
«существует некий предмет в объеме имени D, с которым совпа-
дает (тождественно) а». Превращение неописательного имени в
описательное происходит, как видим, во-первых, за счет его рас-
слоения— выделения некоторого более широкого класса, к кото-
рому принадлежит его объем, и, во-вторых, в выявлении сово-
купности свойств, характеризующих предметы представляемого
ЗГ
этим именем класса. Нередко последняя совокупность свойств
обозначается тем же знаком, что и данное общее имя, но пони-
маемым уже как предикатор. Например, «дерево» превращается
в «многолетнее растение, которое является деревом». «Является
деревом» здесь нельзя уже, очевидно, понимать как «есть дере-
во». Иначе это повело бы нас к «дурной» бесконечности: «...есть
дерево» должно быть понято как «... есть многолетнее растение,
которое есть дерево», а далее как «...есть многолетнее растение,
которое есть многолетнее растение, которое есть дерево» и т. д.
«Является деревом» в выражении «многолетнее растение, которое
является деревом» надо понимать как утверждение (атрибутив-
ного вида — см. § 8) о принадлежности каждому растению сово-
купности свойств, выделяющих деревья из множества растений.
Кстати, Г. Фреге и его последователи, как замечает, например,
Я. Хинтикка [См. 101, с. 322] различают три основных смысла
слова «есть»: первый — «есть» как существование («есть на свете
правда»), второй — «есть» как предикация («молодой человек
есть обожатель Вирджинии») и, наконец, «есть» как тождество
(отдельных предметов: молодой человек есть Джон-младший).
По мнению самого Я. Хинтикки, это различение является ошибоч-
ным (к тождеству всех этих смыслов приводит его, анализ по-
средством созданного им метода игровой семантики). Однако
едва ли с этим можно согласиться. В случае тождества «есть»
означает «то же самое, что и...» (т. е. простое равенство «3+5»
есть 8» значит «3+5 есть то же самое, что и 8», или «3+5 = 8»).
В случае предикации в составе «есть ст», где ст — общее имя, как
мы видели, «есть» имеет уже гораздо более сложный смысл,
включая тождество лишь как один из моментов.
Учитывая сказанное выше, надо, очевидно, отличать предика-
цию атрибутивного типа и типа «есть ст» — утверждения понятий-
ного типа (см. § 8). Выделяя предикацию атрибутивного вида,
мы признаем тем самым, что утверждение необязательно дол-
жно содержать связку «есть», вопреки широко распространенно-
;му мнению. Более того, с точки зрения логики выражения типа:
«Джон есть выше других баскетболистов» или «цветок есть пре-
красный», т. е. контексты, в которых «есть» относится не к обще-
му и не к единичному имени, надо рассматривать, в лучшем слу-
чае, лишь как сокращения, для которых опускается некоторое
-общее имя. Если не подразумевается, к чему относится, например,
«прекрасный» в последнем предложении, то возможны двусмыс-
ленности, приводящие даже к неверным оценкам ситуаций.
О сказавшем, что «цветок есть прекрасный», можно думать, что
он имеет вкус, т. е. эстетически развит, хотя он вполне мог под-
разумевать: «Цветок есть предмет, прекрасный для подарка».
Впрочем, основной аргумент с точки зрения логики состоит в том,
что каждый предикатор «прекрасный», «выше, чем другие» мо-
.жет употребляться точным образом лишь с указанием области его
определения (или области его применения). Но об этом речь
пойдет дальше.
.32
Предикаторы. В зависимости от того, применим ли предика-
тор в качестве логического сказуемого к одному предмету как к
аргументу или к паре, тройке и т. д., он называется одномест-
ным, двухместным, трехместным и т. д. (речь идет о числе аргу-
ментных мест предикатора). Говоря о применимости предикатора
в качестве логического сказуемого, мы имеем в виду, конечно,
применимость его в каждом отдельном случае и осмысленным
образом так, чтобы при этом получалось истинное или ложное
утверждение, притом неразложимое на некоторые самостоятель-
ные утверждения. (Простыми утверждениями являются, напри-
мер, «3 больше 2» — результат применения предикатора «боль-
ше» к паре (3, 2), «2 больше 3» — применение того же предикато-
ра к паре (2, 3). Но «5 больше 2 и 3» является сложным выска-
зыванием, поскольку разлагается на «5 больше 2» и «5 больше
3». «5 больше» — неосмысленное выражение — двухместный пре-
дикат применен к одному предмету.) Более чем одноместные пре-
дикаторы обобщенно называются многоместными.
Примеры одноместных и двухместных предикаторов уже были
приведены. Трехместные предикаторы: «находится между»,
«дает», «сообщает». В некоторых контекстах «сообщает» может
быть и четырехместным, когда, кроме ответов на вопросы «кто?»,
«кому?», «что?», требуется также уточнение «когда». Четырех-
местным является также предикатор «встретил».
Одноместные предикаторы, как уже говорилось раньше, пред-
ставляют (менее точно — означают, выражают или обозначают)
свойства5, а многоместные — отношения. По поводу этих харак-
теристик предикаторов, в особенности одноместных, необходимы
некоторые пояснения.
Одно и то же выражение обычного (разговорного) языка в
одних случаях может представлять, например, свойство, а в дру^
гих — отношение. Так, слово «думает» может представлять состоя-
ние (свойство) человека, а также отношение (человек думает о
чем-то). По существу, это разные по смыслу выражения.
Таким, образом, различение предикаторов по числу аргумент-
ных мест является важным условием уточнения смысла языко-
вых выражений.
Предметы, к которым применим предикатор, называются его
аргументами. Аргументы, относящиеся к различным местам, мо-
гут представлять собой предметы различных классов. Например,
для двухместного предикатора «столица» аргументами первого
5. Слово «свойство» в современной логике употребляется в более широком
смысле по сравнению с обычным его употреблением. Оно охватывает свойст-
ва в узком смысле (такие, как кристалличность, твердость, электропроводность),
состояния, в том числе действия, выражаемые непереходными глаголами «сто-
ит», «бежит», количественные характеристики предметов и т. д. К числу свойств
относятся и такие характеристики предметов, как «делимость на 3», «знание ка-
кого-нибудь языка» и т. п. Представитель традиционной логики сказал бы, что
здесь мы имеем дело не со свойствами, а с отношениями.
2 Е, К. Войшвилло
33
места являются города, а второго — государства. В характери-
стике каждого предикатора существенно указание классов воз-
можных аргументов для каждого места.
Далее, характеристиками предикатора являются область его
определения и область (множество) его истинности. Область
определения одноместного предикатора совпадает с множеством
его возможных аргументов. Для многоместного предикатора об-
ластью определения является множество упорядоченных пар,,
троек, четверок и т. п. (в зависимости от числа аргументных мест
предикатора) предметов — возможных аргументов предикатора.
Так, для предикатора «столица» это будет множество всех пар
{а, Ь), где а — какой-нибудь город, а b — какое-нибудь государ-
ство.
Если учесть,, что множество всех n-ок, таких, что первый член
n-ки есть элемент некоторого множества Мп, второй — элемент
множества ЛЬ, п-й член — элемент множества Л12, есть декарто-
во произведение множеств MiXAf2X ... ХМп, то можно сказать,
что область определения «-местного предикатора, множествами
возможных аргументов которого являются ЛТ2,...,Мп, есть
декартово произведение этих множеств. В частном случае, если
ЛГ1=Л12= ... =Мп (т. е. все аргументы предикатора принадле-
жат одному и тому же множеству), декартово произведение
М х М х . . X Л1 называется n-й декартовой степенью М и
п раз
обозначается Мп. Если предикатор «находится между», например
(относить лишь к городам СССР, т. е. считать, что аргументом
для каждого его места является какой-нибудь город СССР), то
его область определения есть М3, где М — множество всех горо-
дов СССР (М3 есть множество всех возможных троек городов, не
исключая и совпадений тех или иных и, возможно, всех членов
тройки).
Выражение языка типа предикатора является определенным
знаком лишь в том случае, когда указана область его определе*
ния (а вместе с тем и множество его возможных аргументов).
Дело в том, что одно и то же выражение языка, например,
«знает» может в разных случаях употребления представлять со-
бой различные предикаторы и, значит, различные знаки в зави-
симости от множеств возможных его аргументов. В одном случае
областью определения его может быть множество пар (человек,
наука) (возможные случаи его применения: «Петров знает мате-
матику», «Иванов знает логику»). В другом случае — это пары
людей: «Иванов знает Петрова» и т. п. Возможны и другие слу-
чаи («Иванов знает материал курса» и т. д.). Наиболее важным
случаем (особо выделяемым, например, в так называемой эписте-
мической логике) является употребление «знает» в контекстах,
вида «а знает р», где а — имя человека, а р — некоторое повест-
вовательное предложение. Точнее говоря, вместо «знает» здесь
подразумевается «знает..., что...», например, «Петя знает, что
Волга впадает в Каспийское море». Отношение равенства может
34
<5ыть задано на множестве пар целых положительных чисел, на
множестве пар рациональных чисел, на множестве пар множеств
и т. п. Во всех этих случаях оно представляет различные отноше-
ния. В математике обычно вместо «задано на множестве пар»
каких-нибудь объектов говорят «задано на множестве таких-то
-объектов».
Множеством истинности «-местного предикатора (п>1) яв-
ляется такое подмножество элементов области его определения,
т. е. множество таких п-ок предметов, для которых высказыва-
ние, получаемое в результате применения этого предикатора в
качестве сказуемого, истинно. Для предикатора, представляющего
свойство (т. е. одноместного предикатора), это множество состоит
.из предметов, обладающих данным свойством; для предикатора —
-отношения элементами множества истинности являются последо-
вательности предметов, находящихся в данном отношении. В част-
ных случаях множество истинности предикатора может оказать-
ся пустым или совпадающим с областью его определения.
Примеры. Областью определения предикатора «быть метал-
лом» естественно считать класс веществ, в множество его истин-
ности войдут железо, медь, свинец и прочие металлы. Если в ка-
честве множества возможных аргументов для предикатора «боль-
ше» взять класс целых положительных чисел, то область его
«определения составит класс всех возможных пар таких чисел, а
в множество истинности его войдут пары (2, 1), (3, 1), (3, 2)
и т. д. В множество истинности предикатора «столица» войдут
пары: (Москва, СССР), (София, Болгария), (Москва, РСФСР),
?(Киев, УССР), (Париж, Франция) и т. д.
Множество истинности предикатора называют также объемом
представляемого им свойства или отношения. Характерную осо-
«беннс^сть предикаторов, как и предметных функторов, отличаю-
щую их от имен и предложений, Г. Фреге усматривал в их нена-
сыщенности, т. е. в том, что они всегда требуют некоторых допол-
нений, в сочетании с которыми образуют предложения. Такими
дополнениями предикатора является имя или последовательность
имен, обозначающих предметы из множеств возможных аргумен-
тов предикатора. Иначе говоря, ненасыщенность предикатора
(как и предметного и логического функтора) означает, что в нем
подразумеваются пустые (аргументные) места. Принципиальное
отличие предикатора от имени, обозначающего то же свойство
или отношение, которое представляет предикатор, проявляется в
том, что замена первого вторым в некотором предложении раз-
рушает эт.о предложение. Предложение, например, «5 больше 3»
при такой замене предикатора «больше» на имя обозначаемого
им отношения ’’отношение «больше»”, которое представляет сле-
по «больше» превращается просто в бессмысленное выражение:
«5 отношение, которое представляет слово «больше» 3» (пред-
ставляющее собой, по существу, тройку имен, но бессмысленное
6 силу отсутствия запятой как перечислительного знака).
Ненасыщенность предикатора обусловлена тем, что в нем
2*	35
подразумеваются пустые места, на которые как раз и могут под-
ставляться имена аргументов. С учетом ненасыщенности более
точными записями предикаторов «есть металл», «больше», «нахо-
дится между» являются соответственно «— есть металл», «— боль-
ше—», «—находится между—» (в последнем случае мы упро-
щаем выражение естественного языка, исключая союз «и»), В не-
которых случаях возникает надобность в указании номеров пу-
стых мест, соответствующих номерам членов n-ок, к которым
применим предикатор. Запись «—находится между—, —» ука-
зывает, что результатом применения данного предикатора к трой-
ке городов (Калинин, Москва, Ленинград) должно быть предло-
жение «Калинин находится между Москва, Ленинград».
На определенном этапе познания мира человеком, осущест-
вляемого стихийным образом в процессе формирования самого
языка, свойства предметов и отношения между предметами «от-
рываются» от самих предметов, получая специальные обозначе-
ния. При этом есть две возможности. Первая — когда свойство
или отношение обозначается знаком типа предикатора. Тогда
именно оно мыслится как нечто присущее каким-то предметам,,
на которые как раз указывают подразумеваемые пустые места
предикатора. Вторая возможность — когда свойство или отноше-
ние отделяется вообще от предметов и само становится предме-
том мысли, т. е. денотатом некоторого имени.
Предикаторы, как и имена, могут иметь собственный смысл и
не иметь его. В последнем случае предикатор может иметь при-
данный смысл. Придание смысла предикатору состоит в том, что-
разъясняется что именно обозначает это слово, т. е. указание
предикатора, имеющего собственный смысл и представляющего-
то же отношение. Например, для «— столица —» им является
«—административный центр—».
Обычным в естественном языке является образование одних
предикаторов из других, например, из многоместного предикато-
ра может быть образован предикатор с меньшим числом мест за-
полнением пустых мест именами предметов из соответствующих
множеств аргументов. Так, из «—столица—» получаем одномест-
ные предикаты «— столица СССР», «Москва столица —». Без
указания пустых мест формулировки получаемых таким образом
предикаторов в ряде случаев затруднительны. Трудно, например,
выразить второй из полученных предикаторов. Для первого на-
прашивается понимание его как единичного имени «столица
СССР» или даже как общего имени, т. е. как оно предстает в
контексте, «есть столица СССР». Из того же двухместного пре-
дикатора «— столица —» может быть образован одноместный
предикатор «— столица (какого-нибудь) государства». Из двух-
местного отношения «—мать—» могут быть образованы «—мать
Павла», а также «— мать кого-нибудь». Просто «мать кого-ни-
будь» есть общее имя, как оно употребляется в контексте «вся-
кая мать заслуживает уважения». Буквально оно означает «жен-
щина, которая является матерью кого-нибудь». Оно образуется
36
из общего имени «женщина» с добавлением свойства «— мать
кого-нибудь», аналогично тому как образуются общие имена:
«жидкий металл» (металл, который является жидким), «кристал-
лическое вещество», «рентабельное предприятие» и т. д.
Таким образом, имеются определенные способы образования
из предикаторов других предикаторов, а также единичных и об-
щих имен. Описание возможных способов таких образований од-
них выражений из других является затруднительным без исполь-
зования формализованного языка логики предикатов (о возмож-
ных применениях его для анализа такого рода см. § 5, 8). В этом
именно языке вводится понятие предиката, необходимое во мно-
гих случаях для анализа структур сложных выражений естест-
венного языка. Введение этого понятия в естественном языке яв-
ляется затруднительным в силу отсутствия специальных символов
переменных.
Предметные функторы. Как и предикаты, выражения (знаки)
этого рода делятся на одноместные и многоместные (двух, трех
и т. д. -местные). Одноместные «sin», «log», «объем», «рост»
и т. п.; двухместные — «сумма», «произведение», «расстояние».
В силу подразумеваемых в этих выражениях пустых мест они,
как и предикаторы, являются ненасыщенными выражениями. Под-
разумеваемые в них пустые места могут заполняться именами
предметов из тех или иных множеств (классов), называемых, как
и в случае предикаторов, множествами возможных аргументов
функтора. Различным местам предметного функтора также мо-
гут соответствовать различные множества. Таким же образом,
как и для предикаторов, вводится понятие «область определения
функтора». Существенное отличие предметного функтора от пре-
дикатора состоит в том, что результатом его применения к и-ке
предметов (и>1)—из области определения — является не пред-
ложение, которое может оцениваться как истинное или ложное, а
некоторый предмет (обозначаемый единичным именем). Поэтому
по сравнению с анализом предикаторов здесь неправомерно поня-
тие «множество истинности», но существенное значение приобре-
тает понятие «множество возможных значений» функтора. Это
множество возможных денотатов имен, возникающих при всех
возможных применениях функтора к элементам области его опре-
деления. Так, областью определения (и в данном случае также
множеством возможных аргументов) предметного функтора
«рост» является множество людей. Каждый результат его приме-
нения имеет форму «рост а», где а — тот или иной конкретный
человек. Очевидно, это форма описательного единичного имени,
предметным значением — денотатом является некоторое имено-
ванное число. Оно и есть значение данного предметного функтора
для аргумента а. Множество значений данного, функтора есть
множество всех именованных чисел, которые могут характеризо-
вать рост человека. Множеством возможных значений функтора
«цвет» является множество всех цветов спектра и результатов их
комбинаций. Предметными значениями указанных функторов как
37
знаков языка являются определенные характеристики людей и
вещей. Кстати, желательно учитывать наличие таких характери-
стик предметов наряду со свойствами и отношениями. Но харак-
теристики такого рода могут рассматриваться как функции, и по-
тому, обобщенно говоря, можно считать, что предметными значе-
ниями предметных функторов, учитывая и такие специфические,
как «sin», «log» и т. д., являются функции (о понятии функции
см. § 3). Некоторые функторы, как и имена, и предикаторы, не
имеют собственного смысла, но могут иметь приданный. Для'
функтора «sin» — если множеством возможных аргументов яв-
ляется множество углов прямоугольного треугольника — придан-
ный смысл выражает определение «sin а» (синуса угла а прямо-
угольного треугольника) как «отношения противолежащего этому
углу катета к гипотенузе».
Роль предметных функторов в языке выполняют в определен-
ных случаях также двухместные предикаторы, обозначающие так
называемые «функциональные отношения». Двухместное отноше-
ние «—R—» является функциональным, если для каждого пред-
мета 6-аргумента, соответствующего второму месту отношения,
имеется только один предмет a-аргумент, соответствующий пер-
вому месту, который может иметь данное отношение к а. Функ-
циональными являются отношения «мать», «отец», «столица»,
«старший сын» и т. п. Для такого отношения «— R —» примене-
ние его к какому-нибудь предмету b как аргументу, соответствую-
щему второму месту, получаем выражение типа «Rb», используе-
мое в языке обычно как имя подразумеваемого предмета а (хотя,
строго говоря, указанное применение R дает одноместный преди-
катор «R—Ь») и лишь из него формируется определенным обра-
зом упомянутое описательное имя (см. § 8).
Логические константы. Наиболее естественной характеристи-
кой логических констант как знаков языка, принятой в логике,
является трактовка их как особого рода функторов. (Рассмотре-
ние их с этой точки зрения отложим до параграфа 3. Там же бу-
дет рассмотрена возможность трактовки как функторов, так и
предикаторов, и предикатов.) Здесь же подчеркнем, что лишь ло-
гические константы применяются для описательных — единичных
и общих — имен. При этом они определяют логические структуры
(логические формы) мысли. Например, логическая форма сужде-
ния, точным образом выраженного некоторым предложением, вы-
является посредством отвлечения от предметных значений всех
имеющихся в этом предложении дескриптивных терминов. В ре-
зультате выявляется также и некоторая сторона, или часть, со-
держания мысли, называемая логическим ее содержанием. Вы-
явление логических форм и логических содержаний суждений (вы-
сказываний), поскольку имеются в виду суждения, представлен-
ные в определенной знаковой форме, необходимо для описания и
обоснования форм правильных рассуждений и для понимания за-
конов логики. Важное значение для понимания многих приемов
познания имеет также выявление логических форм понятий. (Бо-
38
лее детальное и точное изложение этих вопросов читатель найдет
в следующей главе, где оно осуществляется на основе и в рам-
ках языка логики предикатов.)
§ 3.
ВЫРАЖЕНИЯ ЯЗЫКА КАК ФУНКТОРЫ.
ВИДЫ ФУНКЦИИ
Понятие функции рассматривалось до некоторых
пор как специфическое понятие математики. Имелись в виду, как
правило, числовые функции (аргументами и значениями которых
являются числа того или иного класса — натуральные, рацио-
нальные, действительные, комплексные и т. д.). В параграфе 2
мы использовали это понятие более общим образом, допуская в
качестве возможных аргументов и значений функции предметы
любого типа. Однако существует и более широкое обобщение
этого понятия, в силу которого оно нашло применение в логике.
Упомянутое обобщение осуществлено Г. Фреге. Им введен особый
вид‘функций — логические функции, к числу которых принадле-
жат, в частности, те функции, знаками которых являются логи-
ческие константы, а также предикаторы при определенном функ-
циональном их истолковании.
В основе понятия функции лежит понятие отношения соответ-
ствия (функционального отношения) между двумя множествами
Л41, М2, в силу которого каждому элементу одного множества со-
ответствует ’ один из элементов другого множества. Отношения
этого рода могут существовать объективно или устанавливаться
людьми при решении тех или иных задач. Объективно, например,
каждому человеку соответствует некоторый день его рождения.
Для того чтобы обеспечить порядок в театре, устанавливается
определенным образом (путем выдачи билетов каждому посети-
телю с указанием номера места) отношение между множеством
посетителей и множеством мест в театре. Функция — это опера-
ция, посредством которой либо воспроизводится некоторое объек-
тивно существующее отношение соответствия, либо устанавли-
вается некоторое отношение соответствия. Если функция устанав-
ливает отношение соответствия между множествами М.\ и Л12, то
говорят, что посредством ее осуществляется отображение множе-
ства Aft в множества М2. Множество при этом называется об-
ластьюопределения функции, а М2— множеством ее значений.
.Основной характеристикой функции как операции является
именно то соответствие, которое она устанавливает. Оно может
быть охарактеризовано как множество Л11ХЛ12 — декартово произ-
ведение области определения на область значений. По терминоло-
гии Фреге, это «пробег значений функции». И именно этот класс
скорее всего надо считать предметным значением знака, кото-
рый можно трактовать как функтор (поскольку согласно прин-
39
ципу взаимозаменимости знаков два функтора .являются взаимо-
заменимыми в контекстах определенного рода, если функции, ко-
торые они представляют, имеют один и тот же пробег значений).
Функции делятся на одноместные и многоместные по харак-
теру области их определений. Одноместные функции имеют в ка-
честве области определения множества индивидов; областью
определения многоместной функции является множество последо-
вательностей предметов из некоторых множеств индивидов
М2, ..., Мп (п>2), т. е. декартово произведение Л^ХЛ^Х...
... ХЯ,
«-местная функция («>1) с областью определения Л11Х...Х
ХЛ1П и с областью значений М характеризуется как функция ти-
па (MiX ... ХМп)=^М, где «=>»— знак отображения первого
множества во второе (соответствие между первым и вторым).
В зависимости от характера объектов, составляющих область
значений функций, они делятся на предметные и логические. Зна-
чениями предметных функций — элементами областей значений —
являются предметы тех или иных типов. Логические функции в
качестве значений имеют истинностные значения высказываний
или предикатов «истина», «ложь», а в некоторых случаях также
«бессмысленно», «неопределенно» и другие, рассматриваемые как
особого рода абстрактные объекты, хотя непосредственно значе-
ниями логических операций являются сами высказывания или
предикаты. Что касается характера аргументов функции, то для
предметных таковыми являются также (как и значениями их)
предметы тех или иных типов. Аргументами логических функций
могут быть как предметы, так и истинностные значения выска-
зываний или предикатов (непосредственно сами высказывания
или предикаты).
Имея в виду одновременно типы аргументов и значений функ-
ций, в множестве функций выделяют 3 основных вида: предмет-
но-предметные, предметно-истинностные, истинно-истинностные
функции вида 2 и 3 называют пропозициональными.
Предметные (предметно-предметные) функции составляют
предметные значения выражений, которые мы называли предмет-
ными функторами. При этом местность функтора, его аргументы,
множества возможных его аргументов, область определения, об-
ласть значений представляют собой соответственно местность, ар-
гументы, множества возможных аргументов, область определения
и область значений представляемой им функции.
Введение в логику понятия логических функций позволяет рас-
сматривать все выражения языка, кроме предложений и назы-
вающих выражений, как знаки некоторых функций. Таким обра-
зом, достигается определенное единообразие в характеристиках
предметных значений широкого класса выражений. Мы упомина-
ли уже о возможной функциональной трактовке логических кон-
стант. Сейчас обратим внимание на такую возможность относи-
тельно предикаторов.
Каждый «-местный предикатор можно и с определенной точки
40
зрения полезно рассматривать как «-местный функтор, предмет-
ным значением которого является «-местная предметно-истин-
ностная функция. Иначе говоря, сами свойства и отношения, ко-
торые представляют предикаторы, возможно рассматривать как
операции, результатом применения которых к определенным пред-
метам или к последовательностям предметов — аргументов пре-
дикатора— является высказывание, т. е. нечто истинное или лож-
ное. (Мы рассматриваем язык, в котором высказывания могут
иметь значения только «истина» или «ложь», но не то и другое
вместе.) Применение операции состоит именно в том, что соот-
ветствующий предикатор применяется к его аргументам в качест-
ве логического сказуемого. Область определения функции, состав-
ляющей предметное значение «-местного предикатора («>1), есть
область определения самого этого предикатора. Областью же
значений функции является множество {и, л}, где «ы» — означает
«истина», а «л» — «ложь». Вообще, функция, которую представ-
ляет «-местный предикатор с областью определения MiXM2X...
...ХМп, характеризуется как функция типа (М1ХМ2Х ... X
ХМ)=>{«, л). Пробегом значений такой функции является множе-
ство М1ХМ2Х ... ХМп}Х{и, л}.
Другой вид логических функций представляют логические кон-
станты. Здесь мы остановимся на логических константах, назы-
ваемых логическими связками, имея в виду: союз ««», который
называем «конъюнкция» и для которого используем обозначение
«&»; «или» — «дизъюнкция», обозначение — «V»; «если..., то...» —
«импликация», обозначение — «гэ»; «не» — в смысле «неверно,
что...» — «отрицание», обозначение «“» (черта, которая ставится
над отрицаемым высказыванием).
Эти связки как знаки (с некоторыми упрощениями обозначае-
мых ими отношений) в естественном языке представляют истин-
ностные функции и называются также истинностно-функциональ-
ными связками, а сами их языковые выражения характеризуются
соответственно как истинностные функторы, причем «отрицание»
есть одноместный функтор. Представляемая им функция (отрица-
ние как сама операция) имеет тип {и, л}=>{и, л}; &, \/—двух-
местные функторы, представляющие функции типа {и, л)2=>{и, л}
({и, л}2— вторая декартова степень множества {и, л}, т. е. {и, л}Х
Х{и, л}).
Конъюнкция, например, будучи примененной к высказываниям
А и В в качестве значения, дает высказывание (А&В), результа-
тами применения дизъюнкции и импликации также к двум выска-
зываниям А и В являются соответственно _(Л V В), (ЛоВ). При-
менение отрицания к суждениям А дает А. Однако для полноты
характеристики этих функций необходимо рассмотреть, каковы
именно истинностные значения высказываний — результата при-
менения функтора в зависимости от истинностных значений аргу-
ментов.
Однако предварительно надо заметить, что перечисленные ло-
гические константы не имеют в естественном языке определенных
41
значений и употребляются неоднозначно. Например, «и» как ло-
гический союз применяется к некоторым высказываниям А и В
так, что учитывается временной порядок ситуаций, описываемых
этими высказываниями: можно сказать, что «...Наполеон стоял
(на Поклонной горе) и думал, почему ему не приносят «ключи»
от Москвы», но явно неприемлемым кажется «перевернутое»
утверждение: «Наполеон думал... и стоял...». И конечно, разный
смысл имеют утверждения: «N заболел и выпил лекарство» и
«N выпил лекарство и заболел». Здесь мы имеем так называе-
мую «направленную» конъюнкцию. Она подразумевает наличие
некоторой связи между явлениями. Иное значение имеет союз
«и» в контекстах «Л и В», в которых утверждается только сосу-
ществование ситуаций А и В, т. е. что имеются ситуация А и си-
туация В. Именно это «и» мы выделяем и обозначаем знаком
конъюнкции «&».
Утверждение. «Л или В» может пониматься как «имеет место
ситуация Л или ситуация В, но не обе вместе» (сильная дизъ-
юнкция «или») или просто как «имеет место по крайней мере од-
на из ситуаций — Л и В (а возможно и обе)». В последнем слу-
чае мы имеем слабую дизъюнкцию — «или», которую выше мы
обозначили знаком «V».
Сложные высказывания видов (ЛоВ), (Л&В), (Л\/£), Л, об-
разованные с помощью истинностных функциональных связок,
представляют собой экстенсиональные высказывания. Это значит,
что их истинностные значения зависят лишь от истинностных зна-
чений их составляющих Л и В. Особого обсуждения требует им-
пликация, т. е. союз «если..., то...». Высказывание вида «если Л,
то В» (условное высказывание) имеет примерно следующий
смысл: явления, о наличии которых утверждается в высказыва-
ниях Л и В, связаны между собой так, что при наличии первого
обязательно есть второе. При таком понимании «если..., то...» это
выражение представляет собой интенсиональную логическую связ-
ку, называемую в логике интенсиональной или сильной имплика-
цией. Это значит, что истинность или ложность (т. е. значение,
валентность) высказывания, получаемого при ее применении
(«если Л, то В»), зависит от смысла Л и В, но не от их истин-
ностных значений самих по себе.
Иначе говоря, высказывание «если Л, то В» представляет со-
бой контекст, интенсиональный относительно Л и В. Суждение:
«Если число 336 делится на 3, то сумма цифр его делится на 3» —
истинно (поскольку «делимость некоторого числа на 3» (Л) и
«делимость суммы цифр числа на 3» (В) связаны между собой
таким образом, что при наличии первого обязательно есть вто-
рое). Но суждение: «Если число 336 делится на 3, то оно делит-
ся на 2» — ложно (поскольку между делимостью числа на 3 (Л)
и делимостью того же числа на 2 (В) нет необходимой связи).
Между тем составляющие этих высказываний (взятые в качест-
ве Л и В) в том и другом случае истинны. С другой стороны,
суждение того же вида может быть истинным и при ложности
42
обоих его составляющих (например, «если число 56 делится на 3,
то сумма цифр этого числа делится на 3»), а также при ложно-
сти первого и истинности второго. Только при истинности перво-
го из составляющих (Л) и ложности второго (В) оно будет
всегда (при любом содержании А и В) ложно.
В так называемых классических системах символической ло-
гики (называемых иначе системами с материальной импликаци-
ей) импликация («дэ») имеет более слабый смысл. Высказыва-
ние ЛоВ (читается как «если Л, то В» или «Л имплицирует В»)
понимается примерно так: «Высказывания Л и В (фактически)
таковы, что при истинности Л истинно В», (т. е. Л и В оба истин-
ны, или оба ложны, или В истинно и Л ложно, исключен лишь
случай, когда Л истинно, а В ложно). Таким образом, здесь не
утверждается, что между явлениями, представляемыми Л и В,
есть необходимая связь.
При таком истолковании импликации она становится экстен-
сиональной функцией (и называется материальной импликаци-
ей). Значение высказывания ЛэВ зависит только от значений
(валентностей) Л и В. Ясно, что высказывание: «Если 336 делит-
ся на 3, то оно делится на 2», которое мы прежде считали лож-
ным, теперь, понимая «если..., то...» как материальную имплика-
цию, надо считать истинным, поскольку для Л и В мы действи-
тельно не имеем здесь такой ситуации, когда истинно Л и лож-
но В. Более того, истинными надо считать и высказывания: «Ес-
ли медь — металл, то 2+2=4», «Если медь — сложное вещест-
во, то 2+2=4». В обычном языке «если..., то...» не употребляет-
ся, по-видимому, в смысле материальной импликации (хотя есть
мнение, что это имеет место в математике). Материальная им-
пликация' является абстракцией от связи, выражаемой союзом
«если..., то...» в составе условных суждений вида «если Л, то
В», иначе говоря ЛоВ есть результат отвлечения от связи меж-
ду ситуациями Л и В, утверждаемой в высказывании «если Л,
то В».
Логика прибегает здесь к тому же приему, что и физика, на-
пример, когда она рассматривает тела как абсолютно черные.
Введение такой абстракции, как материальная импликация,
вполне оправдывает себя. Логический аппарат — классическая
логика, который при этом получается (совокупность правил
и законов рассуждения), обеспечивает возможность получения в
любом случае истинных результатов из истинных высказываний,
но не обеспечивает в каждом случае вывода связи между исход-
ными высказываниями (посылками) и заключением по содержа-
нию. Этот недостаток классической логики преодолевается в ре-
левантной логике [см. 24].
В системах логики с материальной импликацией все связки
употребляются как экстенсиональные операции. Определение
импликации и указанных выше операций как экстенсиональных
функторов дано в следующих таблицах:
43
А	В	Azz>B	А&В	A\j В	А	А
и	и	и	и	и	и	л
и	л	л	л	и	л	и
л	и	и	л	и		
л	л	и	л	л		
Очевидно, «&», «V», могут быть истолкованы как знаки
(функторы), представляющие функции типа
{и, л}2=>{и, л}
(напомним, что {и, л}1 есть {и, л}Х{и, л}); в данном случае —
множество всех пар, составленных из ««» и «л», соответствую-
щих всем возможным распределениям значений А и В в табли-
цах для этих функций, а знак отрицания «—» представляет функ-
цию типа {и, л}=>{и, л}.
Итак, мы видели, что выражения некоторых типов семантиче-
ских категорий естественного языка могут рассматриваться как
знаки определенных типов функций. К ним относятся предикато-
ры, логические константы, и, само собой, те, что были названы
предметными функторами. Можно показать, что функциональная
трактовка возможна даже для всех выражений языка, кроме
имен и предложений [25, с. 58—63].
Обратим внимание на то, что и сами знаковые выражения,
представляющие рассмотренные выше функции, могут быть ис-
толкованы как некоторые функции, аргументами и значениями
которых являются также знаки языка. Так, «-местный предика-
тор можно трактовать как функцию, которая, будучи применен-
ной к последовательности п имен, образует предложение. Выра-
жения, которые мы назвали предметными функторами, сами мо-
гут быть охарактеризованы как функции, аргументами и значе-
ниями которых являются имена. Рассмотренные логические кон-
станты есть функции, которые из предложений (или из выска-
зывательных форм вообще) образуют предложения (высказыва-
тельные формы). Очевидно, указанные характеристики рассмат-
риваемых типов выражений относятся к ним как к синтаксиче-
ским категориям. Возможность такой их трактовки обусловле-
на той же ненасыщенностью их, в силу которой они являются
функторами в семантическом плане. Специфика этих выражений,
например в сравнении с общими именами, состоит не только в
том, что они не являются именами объектов, которые они пред-
ставляют как знаки, но еще и в том, что сами они являются
функциями — синтаксическими моделями представляемых ими
функций.
Таким образом, семантический анализ функторов можно за-
менить синтаксическим анализом этих знаков как лингвистиче-
44
ских функций или вообще совместить оба — семантический и
синтаксический — плана анализа. В таком случае удобно вос-
пользоваться для описания типов функций способом, предложен-
ным К. Айдукевичем [см. 107, § 1]. Пусть п обозначает катего-
рии имен (синтаксический план) или предметов (семантический
план), при этом единичные и общие имена не различаются, а
s — категорию предложения или некоторую ситуацию, утвержда-
емую или отрицаемую в предложении, или, наконец, просто
произвольное истинностное значение предложения. Тогда й-мест-
ный предметный функтор — fk как знак функции и соответству-
ющая функция, которую он представляет, может быть охарак-
теризован посредством дроби ----------- (которую следует пони-
ft раз
ма«гь как указание на тип функций, на то именно, что она пред-
ставляет собой операцию, порождающую из п имен или пред-
метов) имя (или предмет); й-местный предикатор есть функция
типа ---------. Конъюнкция, дизъюнкция и импликация долж-
п, ... , п
k раз
-	5
ны быть охарактеризованы, очевидно, как -------, а отрицание —
S, S
S
как —.
S
При таком представлении функции легко усматривается и
способ ее применения, точнее, то, как получает она свое значе-
ние при применении ее к соответствующим аргументам. Примене-
ние функции к соответствующим аргументам состоит просто в
приписывании этих аргументов к дроби, изображающей функ-
цию, а значение функции получается в результате «сокращения»
дроби. Например, операция применения двухместного предикато-
ра к паре предметов будет изображена в виде -------— , п, п. Ре-
зультатом сокращения п, «.соответственно в числителе и знаме-
нателе является s. Из той же функции в результате применения
s
се к одному предмету -------, п получаем одноместную функцию
s
п
При этом видим, что двухместную и, вообще, более чем од-
номестную функцию можно рассматривать как одноместную (как
в предыдущем примере). Значениями функций в таких случаях
могут быть другие функции. Вообще, возможно обобщение поня-
тия функции таким образом, что и аргументами функций могут
быть функции. Например, мы различаем предикаторы (глаголы)
«лежит» и «лежит на...». Предлог «на» превращает здесь одно-
.местный предикатор I — I в двухместный I--------1, свойства в
-отношения. Его, таким образом, можно рассматривать как функ-
45
п, п __
цию "	• Предложение «книга лежит на
столе» может быть-
S п, п
представлено теперь как последовательность п —, -----------, п,
п S
п
члены которой суть категории соответственно «книга», «лежит»,
«на», «стол». «Сокращение» дробей приводит к s (удобно, оче-
S
видно, сначала сократить — во втором и третьем членах и за-
п
тем осуществить все остальные). Результат s указывает на то, что
все выражение есть предложение. Указанный способ анализа
наводит на мысль, что мы имеем алгоритм, позволяющий решить
вопрос, является ли какое-либо предложение правильно постро-
енным (способ семантических составляющих). Это было бы дей-
ствительно так, если бы каждое выражение языка в любых кон-
текстах представляло бы собой одну и ту же категорию. Но тот
же предлог «на» в выражении: «На миру и смерть красна» —
уже представляет собой не ту функцию, как в разобранном вы-
ше случае. В естественном языке обычно дело обстоит не так,,
что категория всего контекста определяется категориями его со-
ставляющих, но, наоборот, категории этих последних зависят от
категории, в конечном счете смысла самого контекста.
Указанный способ представления функций (в отличие от упо-
мянутого выше) имеет, очевидно, ряд преимуществ. Но в нем не
отражается возможность принадлежности аргументов, относя-
щихся к разным местам функции к различным областям. К тому
же отсутствие различения единичных и общих имен в подразуме-
ваемой здесь семантической теории ограничивает возможности ее
применения для анализа выражений естественного языка.
§ 4.
ПРИНЦИПЫ УПОТРЕБЛЕНИЯ ИМЕН
И ЗНАКОВ ВООБЩЕ.
АНТИНОМИИ ИМЕНОВАНИЯ.
ТИПЫ КОНТЕКСТОВ
Р. Карнап сформулировал следующие принципы
употребления (единичных) имен [см. 44, с. 160], которые, как
он считает, подразумеваются в теории именования Г. Фреге.
1.	Принцип однозначности. «Каждое выражение, употребляе-
мое в качестве имени (в определенном контексте), является име-
нем только одного объекта». (Карнап называет этот объект номи-
налом данного имени.)
46
2.	Принцип предметности. «Предложение говорит (имеет де-
ло, включает в свой предмет) о номинатах входящих в него
имен».
3.	Принцип взаимозаменимости, согласно которому предмет-
ное значение некоторого сложного выражения (предложения или
имени) при замене любых вхождений в него некоторого имени
другим именем с тем же (предметным) значением (номинатом,
денотатом) не изменяется.
Первый из этих принципов подразумевается уже, по существу,
в определении имени. Здесь имеется . в виду не то, конечно, что
имя не может иметь различных значений. Многозначность имен —
распространенное явление в обычных (национальных, разговор-
ных) языках. В специальных языках науки стремятся к тому, что-
*бы каждое имя имело лишь одно значение. Этот принцип ско-
рее надо, видимо, понимать как некоторое требование логики:
в контексте любого рассуждения под тем или иным именем иметь
в биду один и тот же предмет.
Согласно второму принципу связи, отношения, на которые
указывает некоторое сложное выражение (предложение или
сложное имя), суть отношения, связи между предметами, обоз-
начаемыми именами в составе этого выражения, а не между са-
мими этими именами. В частности, утверждения, в формулировке
которых употребляются те или иные имена, относятся не к самим
этим именам, а к обозначаемым ими предметам. Чтобы выска-
зать нечто о предмете, необходимо употребить имя предмета
(в некоторых случаях какой-нибудь заменитель его вроде же-
стов или других знаков). Но объектом мысли является всегда
предмет.
Имеются, правда, некоторые видимые нарушения этого прин-
ципа. Сюда относятся, например, случаи автонимного употреб-
ления имен, когда некоторый термин употребляется в качестве
имени самого себя. Например: «Дом есть имя существительное».
Объектом мысли здесь является, конечно, не дом, а слово «дом».
Во избежание двусмысленности в таких случаях употребляют
•обычно кавычки («дом» — имя существительное»; имя с кавыч-
ками есть имя имени, заключенного в кавычки) или вводят спе-
циальные имена для имен.
т.	а — р
Гретии принцип можно выразить в виде правила -’
где Ф(а) — сложное имя или предложение (хотя Фреге рассмат-
ривал предложения так же, как специфические имена, денотата-
ми которых являются их истинностные значения), в составе ко-
торого имеется имя или предложение а; Ф(Р) — результат заме-
ны каких-нибудь вхождений а в этом выражении на р; равенст-
во «=» означает совпадение предметных значений выражений,
стоящих слева и справа от него. В целом правило гласит: если
аир — одинаковые предметные значения, то Ф(а) и Ф(Р) так-
же имеют одинаковые предметные значения. Правда, в случае
'предложений вместо Ф(а)=Ф(Р) следовало бы написать Ф(а)^
47
= Ф(Р), аналогично для а и 0; «н=» означает совпадение истин-
ностных значений предложений.
Все указанные принципы естественно распространяются на
любые знаки языка нелогического характера (предложения и
дескриптивные термины). Любой знак, будь то единичное или
общее имя, предикатор, предметный функтор или предложение в
точно построенном языке или по крайней мере в контексте неко-
торого рассуждения, должен иметь одно и то же предметное зна-
чение (принцип однозначности употребления знаков). Для того
чтобы иметь возможность говорить о наличии у предметов тех
или иных свойств или отношений, необходимо употреблять зна-
ки соответствующих предметов, свойств, отношений. Но утверж-
дения и характеристики, содержащиеся в сложных выражениях,
относятся не к самим знакам, а к тому, что они представляют
как знаки (принцип предметности). Наконец, как кажется, в си-
лу именно принципа предметности должно быть верно, что пред-
метное значение некоторого сложного выражения как знака при
замене любых вхождений в него какого-либо знака другим зна-
ком с тем же предметным значением не изменяется (принцип
взаимозаменимости знаков).
Полезно напомнить при этом, что предметными значениями
единичных имен являются отдельные предметы, общих — классы
предметов, предикаторов — свойства или отношения, или при
функциональном истолковании их — предметно-предметные функ-
ции и, наконец, предложения имеют в качестве предметных зна-
чений свои истинностные значения. Отсюда очевидно условие
равнозначности для всех перечисленных выражений, кроме, по-
жалуй, предметных функторов. Естественно, что два функтора
имеют одно и то же значение, если они представляют одну и ту
же функцию, т. е. функцию, имеющую один и тот же «пробег
значений». Однако дальше мы сосредоточим внимание на име-
нах и предложениях.
Как уже только что замечено, принцип взаимозаменимости яв-
ляется, как кажется, следствием принципа предметности. Если
объектами мысли в сложном выражении являются не составля-
ющие его имена, а обозначаемые ими объекты, то ясно как буд-
то, что значение этого выражения должно зависеть только от
значений составляющих его имен. Однако встречается немало
случаев, противоречащих этому. Например, предложение: «Пто-
ломей считал, что Солнце вращается вокруг Земли» — истинно.
Имя «Солнце» имеет, очевидно, то же значение, что и «централь-
ное тело Солнечной системы». Однако результат замены перво-
го вторым во взятом предложении — «Птоломей считал, что цен-
тральное тело Солнечной системы вращается вокруг Земли» —
явно ложное предложение. Или: «поиск Шлиманом местополо-
жения Трои» обозначает действительное действие. Но «поиски
холма Гиссарлык» не имеет денотата (хотя холм Гиссарлык и
есть «местоположение Трои», обнаруженное Шлиманом).
Далее, известно, что «число планет — 9» и «9 необходимо*
.48
больше 7». По принципу взаимозаменимости последнее предложе-
ние должно иметь то же значение, что и «число планет необхо-
димо больше 7». Однако последнее неверно, тогда как исходное
истинно. Число подобных примеров может быть значительно уве-
личено. Хотя, например, замена имени «Луна» на «естественный
спутник Земли» в контексте «Луна есть остывшее небесное тело»
не приводит к изменению значения этого контекста. Указанные
явления несоответствия между тем, что должно быть — согласно
принципу взаимозаменимости — и фактическим положением дел
Карнап назвал антиномиями отношения именования [см. 44,
с. 205].
Из всего этого следует, что есть два рода контекстов, в кото-
рых могут встречаться те или иные имена. В одних случаях пред-
метное значение контекста Ф(а), содержащего имя, зависит толь-
ко от предметного значения (денотата) этого имени. В других
случаях оно зависит от смысла имени а.
Приведенное выше выражение: «Птоломей считал, что Солнце
вращается вокруг Земли» — является интенсиональным относи-
тельно имени «Солнце», а также относительно имени «Земля», вы-
ражение: «...поиск Шлиманом местоположения Трои» — интенсио-
нально относительно имени «местоположение Трои». Предложе-
ние «9 необходимо больше 7» является интенсиональным отно-
сительно 9 и 7.
Для интенсиональных контекстов принцип взаимозаменимости'
в том виде, как он сформулирован выше, оказывается, очевидно,
неправомерным.
В настоящее время нет определения, посредством которого-
можно было бы отличить экстенсиональные контексты от интен-
сиональных. Конечно, если оказывается, что при замене имени
(или предложения) а в контексте Ф(а) равнозначным именем
(или предложением) изменяется значение контекста, то это ука-
зывает на то, что контекст не является экстенсиональным отно-
сительно а. Однако таким образом нельзя доказать, что некото-
рый контекст Ф(а) является экстенсиональным относительно а,
ибо для этого надо убедиться, что его значение не меняется при
замене а на любое имя (или предложение), имеющее то же пред-
метное значение.
Фреге заметил, что интенсиональными (по его терминологии
косвенными) являются контексты, содержащие косвенную речь.
Например, «Георг IV однажды хотел узнать, является ли Валь-
тер Скотт автором «Вэверлея». Этот контекст интенсионален от-
носительно «Вальтер Скотт» и «автор Вэверлея»», поскольку эти
имена входят в состав косвенной речи. В дальнейшем выясни-
лось, что класс интенсиональных контекстов значительно шире.
К ним относятся вообще все так называемые прагматические кон-
тексты, содержащие отношения человека к каким-то явлениям
или предметам, такие, как «знает», «ищет», «различает», «сомне-
вается» и т. п.; специфика этих отношений состоит в том, что
-наличие или отсутствие их к некоторым предметам у того или
49
иного человека зависит от имеющейся у него информации об этих
предметах. Интенсиональными являются также некоторые типы
высказываний, выражающих необходимые связи явлений.
Имеются различные попытки объяснить специфику интенсио-
нальных контекстов и причины возникновений антиномий име-
нования. Обзор их имеется в работе Карнапа [см. 44, § 32], а
также в статье Куайна [см. 50].
Одно из решений (Фреге, Чёрч) состоит в том, что при упо-
треблении имени в интенсиональном (относительно этого имени)
контексте такое употребление имени называют косвенным в от-
личие от прямого или обычного употребления его в экстенсио-
нальных контекстах — его денотат изменяется. Денотатом имени
в косвенном его употреблении становится то, что в обычном
(прямом) употреблении этого имени является его смыслом. Та-
ким образом, согласно принципу предметности в интенсиональном
контексте выражаются отношения не между предметами — обыч-
ными денотатами имен, а между смыслами их. Исходя из этого
'Фреге и его последователи сохраняют принцип взаимозаменимо-
сти и для интенсиональных контекстов (но с учетом того, что
равнозначным для имени а, употребленным косвенным образом,
является имя, имеющее тот же смысл, что и а в прямом его упо-
треблении).
По существу, это решение означает отказ от принципа пред-
метности в строгом смысле этого слова. И более последователь-
ным является, например, решение Куайна, по мнению которого
имена в косвенном употреблении вообще ничего не обозначают
(употребление имени в таком контексте не является референт-
ным), т. е. не являются именами в точном смысле слова. В со-
ответствии с этим неприемлемым для них считается и принцип
взаимозаменимости. В последней работе Куайн [50] по данному
вопросу предпочитает характеризовать эти контексты как рефе-
рентно непрозрачные, что наводит на мысль, что в каком-то
смысле они или по крайней мере какие-то из них являются рефе-
рентными. Очевидно, есть разница между контекстом: «Слово
«Москва» является названием столицы СССР» и «У знает, что
Москва является столицей СССР». В первом случае вхождение
слова «Москва» внутри кавычек явно не является референтным.
Во втором случае оно в некотором смысле указывает на опреде-
ленный предмет.
Как нам представляется, возможно истолкование интенсио-
нальных контекстов, при котором принцип предметности сохраня-
ет силу в обычном своем виде.
Ключ к пониманию специфики употребления имен в интенсио-
нальных контекстах можно найти в некоторых замечаниях Геге-
ля относительно различных способов рассмотрения самих пред-
метов, к которым могут относиться утверждения. В более или
менее отчетливой форме аналогичные мысли были высказаны
еще Аристотелем.
Гегель рассматривает умозаключение: «Зеленое приятно»}
50
«Эта картина зеленая»; следовательно, «эта картина приятна».
Может быть, действительно зеленое приятно и картина зеленая,
и тем не менее она может быть неприятна (например, отврати-
тельной ио своему сюжету). Между тем умозаключение по фор-
ме правильно. Дело в том, пишет Гегель, что надо уточнить,
имеем ли мы в виду в первой посылке «зеленое» именно как зе-
леное (тогда заключением должно быть: «Картина как зеленый
предмет приятна» — и оно будет истинным, если истинны посыл-
ки), или речь идет о зеленом предмете в целом (тогда вывод
логически правилен, а заключение может быть ложным лишь из-
за ложности первой посылки) [см. 28, т. 6, с. 135—136].
Итак, здесь определены разные способы рассмотрения пред-
мета, обозначенного некоторым именем, а по существу, и раз-
личные способы употребления имен.
1. В одних случаях признаки, составляющие смысл имени,
служат лишь средством выделения предмета, сам же предмет-
берется в целом со всеми своими свойствами; поэтому утвержде-
ние в предложении, где встречается имя, не зависит от смысла
имени. Это имя может быть заменено именем с другим смыслом.
Нужно лишь, чтобы оно выделяло тот же предмет. Так обстоит
дело в экстенсиональных контекстах.
2. В других случаях не только выделяют предмет, но сам
предмет рассматривается лишь со стороны этих признаков. На-
пример: «Зеленое именно как зеленое»; «Октябрьская революция-
как социалистическая революция» (как социалистическая она
была направлена против буржуазии города и деревни, но, по-
скольку в ходе ее решались также и некоторые задачи буржуаз-
ной революции, ее поддерживало на определенных этапах все
крестьянство). Представитель какой-либо страны в ООН, являю-
щийся в то же время представителем сессии ООН, может высту*
пать и как представитель страны, и как председатель сессии.
Предложения: «Человек V как представитель страны М высказал
то-то и то-то» и «человек V как председатель сессии ООН вы-
сказал то-то и то-то» — не совпадают по смыслу.
Аристотель различал случаи, когда вещи присуще нечто не
в связи с ее сущностью и когда что-то присуще ей по ее сущно-
сти [5, т. 2, с. 187—189]. Это различение по крайней мере весьма
близко к тому, которое имеется у Гегеля.
Когда имя употребляется в интенсиональном контексте, поло-
жим в предложении, утверждение также относится к обозначае-
мому им предмету (т.е.к обычному его денотату),но как к пред-
мету, охарактеризованному определенным образом, или как к
предмету с некоторыми подразумеваемыми характеристиками
(например, в предложении: «Птолемей считал, что Солнце вра-
щается вокруг Земли» — одним из объектов мысли является
Солнце, но как предмет с теми характеристиками, которые были
известны Птолемею).
Иначе говоря, утверждение относится здесь к предмету —
5Г
Солнцу, — каким его знал Птолемей. То, что искал Шлиман, есть
местность, которая характеризуется как местоположение Трои.
Кирилл Петрович Троекуров (по повести А. С. Пушкина «Дуб-
ровский») испытывает симпатию к учителю музыки его дочери
французу Дефоржу. Это отношение его обусловлено известными
ему характеристиками Дефоржа (смелость, находчивость и т. д.)
и незнанием других характеристик, присущих этому же человеку,
которые исключают для Троекурова какую-либо симпатию к не-
му как к конкретной личности.
Обратимся к примеру, рассмотренному выше (пример мо-
дального контекста Куайна, приведенный Карнапом [см. 44,
с. 207]): «9 необходимо больше, чем 7», «число планет равно 9»,
следовательно (по принципу взаимозаменимости), «число планет
необходимо больше 7». Первое высказывание говорит, что 9 имен-
но как число необходимо больше, чем 7; в заключение должны
получить «число планет как число необходимо больше 7». Это
истинно и никакой антиномии не возникает.
Кстати, исходя из приведенного истолкования интенсиональ-
ных контекстов, мы не признали бы интенсиональным, например,
предложение: «Древние греки не знали о существовании Амери-
канского материка» — относительно имени «Американский мате-
рик» (несмотря на наличие отношения «не знали»). Ясно, что
значение этого высказывания не зависит ни от каких характери-
стик Американского материка, поскольку греки не знали о су-
ществовании материка, естественно они не знали никаких его ха-
рактеристик.
Итак, дело не в том, что имя имеет разные значения в раз-
ных контекстах, и неверно, что утверждения относятся иногда не
к предмету, а к смыслу имени. Неверно также считать, что име-
на, относительно которых контекст является интенсиональным,
ничего не обозначают вообще, как считает, например, Куайн.
Различен просто характер употребления имен, тем самым и ха-
рактер утверждений, поэтому различны условия взаимозамени-
мости имен в экстенсиональных и интенсиональных контекстах.
Поскольку в интенсиональном контексте существенна характери-
стика предмета, обозначаемого некоторым именем, замена его
именем с тем же значением, вообще говоря, неправомерна. Но
всегда допустима замена имени на имя с тем же смыслом.
Различие условий взаимозаменимости составляет рациональ-
ное содержание теории смысла, предложенной Карнапом. Он
формулирует разные принципы взаимозаменимости для экстенсио-
нальных и интенсиональных контекстов. Однако Карнап отка-
зывается от трактовки имен языковых выражений как знаков
чего-либо. Каждое осмысленное языковое выражение согласно
его концепции просто характеризуется наличием двух сторон —
экстенсионал и интенсионал. В контекстах экстенсионально-
го характера экстенсионал и интенсионал соответственно совпа-
дают с предметным значением и смыслом. В других случаях от-
личаются от них.
52
Основной недостаток подхода к выражениям как к именам
Карнап видит в необходимости различать прямые и косвенные
контексты. При построении формализованных языков во избежа-
ние многозначности имен пришлось бы, говорит он, вводить отдель-
ные имена для разных (обычного и косвенного) значений имени.
В определенных условиях процесс подобного удвоения имен мог
бы оказаться бесконечным [см. 44, § 30].
Однако указанный недостаток вовсе не присущ, очевидно,
методу отношения именования самому по себе. Он обусловлен
определенным истолкованием специфики употребления имен в
интенсиональных контекстах. Отказ от метода отношения име-
нования или, точнее, от понятия имени вообще, есть прежде все-
го отказ от принципа предметности, поскольку смысл и денотат
имени рассматриваются просто как два самостоятельных объекта.
При этом затушевывается действительная роль языка в процес-
сах познания объективного мира и общения людей в их прак-
тической деятельности.
В заключение этой главы подчеркнем, что мы старались рас-
смотреть язык в основном как средство познания. С этой точки
зрения главным образом рассматривались и основные категории
языковых выражений. При этом в трактовке знаков языка и от-
дельных их видов мы отступили от некоторых общепринятых
представлений. Например, от того, что каждое имя и вообще
каждый знак языка имеет в качестве своих характеристик смысл
и значение. Отличается от многих распространенных трактовка
•общих имен. Существенным, на наш взгляд, является функцио-
нальный подход к анализу выражений языка, начало которому
положил один из основоположников современной символической
логики Г. Фреге. Этот подход связан с обобщением, осуществлен*
ним Г. Фреге, математического понятия функции, в частности с
введением понятия пропозициональной функции. Функциональ-
ный подход к выражениям естественного языка имеет значение,
очевидно, не только с познавательной точки зрения, т. е. с точ-
ки зрения трактовки языка как средства отражения действитель-
ности, средства познания, но, очевидно, и для лингвистики. Он
позволяет получить обобщение многих лингвистических категорий
и осуществить некоторый единый подход к их классификации.
При анализе языка с лингвистической точки зрения, несомненно,
также нужно учитывать такие понятия логики, как свойство, от-
ношение, предметно-функциональная характеристика. Вообще
Райхенбах в какой-то мере прав, подчеркивая важное значение
современной символической логики для лингвистики и, в част-
ности, для совершенствования грамматики. «Грамматика настоя-
щего времени, — пишет он —... с ее искусственными классифика-
циями и необоснованными конструкциями основана на очевидном
непонимании структуры языка. Нам хотелось бы надеяться, что
настанет день, когда результаты символической логики в виде
модернизированной грамматики найдут дорогу в начальные шко-
лы» [114, с. 255]. Специально занимаясь анализом разговорно-
53
го языка, Райхенбах (используя понятия и методы современной-
логики), правильно отмечает, что серьезным недостатком грам-
матики является отсутствие понятия пропозициональных функ-
ций (каковыми и являются предикаторы, когда они используют-
ся в качестве логических сказуемых в предложениях), объединя-
ющего различные грамматические категории (существительное,
прилагательное, глагол). Деление слов на прилагательные и гла-
голы, по его мнению, вообще имеет сомнительное значение. На
это, по-видимому, является уже крайностью.
Глава II
ЯЗЫК ЛОГИКИ ПРЕДИКАТОВ
И ИСЧИСЛЕНИЕ ПРЕДИКАТОВ
§ 5.
язык классической логики предикатов
(ПЕРВОГО И ВТОРОГО ПОРЯДКОВ)
Прежде чем приступить к описанию интересую-
щего нас языка (сокращенно ЯКЛП2), отметим некоторые его>
особенности по сравнению с обычными (разговорными нацио-
нальными) языками.
1.	Этот язык является искусственным и предназначен для оп-
ределенных целей (например, для аксиоматического построения’
теорий, для анализа смысловых содержаний высказываний есте-
ственного языка и выявления логических отношений между ни-
ми, для описания правил рассуждения — выводов и доказа-
тельств).
2.	Если в обычных (естественных) языках мы выделяем три-
семиотических аспекта — синтаксический, семантический и пра-
гматический, — то в языке, который подлежит описанию, имеют-
ся только синтаксический и семантический аспекты. Наличие
прагматического аспекта в естественных языках связано с неко-
торыми их неопределенностями (смыслы некоторых выражений-
языка зависят от того, кто их употребляет; наличие, в частности,
ситуационных слов — «здесь», «там», «сейчас», «сегодня», мес-
тоимений и т. п., предполагает осмысленность содержащих их
выражений лишь в определенных ситуациях, связанных с упот-
реблением языка тем или иным человеком), в ЯКЛП2 нет ника-
ких неопределенностей, в нем имеются точные правила образо-
вания аналогов имен естественного языка (термов) и аналогов-
его предложений (формул), а также точные правила, определяю-
щие значения его выражений. Языки такого рода называются?
54
-формализованными, а также языками со специфицированной
-структурой.
3.	В естественном языке наряду с той его частью, которая
предназначена для описания внеязыковой действительности (объ-
ектная часть языка), имеются слова, обозначающие выражения
самого языка («слово», «имя», «предложение», «существитель-
ное» и т. д.), и предложения, в которых утверждается нечто, от-
носящееся к языку (существительные изменяются по падежам,
предложение: «Лошади любят овес» — истинно), такие языки
называются семантически замкнутыми. В ЯКЛП2 имеется толь-
ко объектная часть, точнее говоря, он содержит лишь средство
для описания какой-то внешней по отношению к нему действи-
тельности. Все то, что используется для характеристики изме-
нений самого этого языка и необходимо при его описании, выде-
ляется в особый язык. Описываемый язык (ЯКЛП2 в данном
-случае) называется объектным языком, а язык, используемый
для его описания, анализа и т. п. — метаязыком по отношению
к данному (объектному).
4.	ЯКЛП2 характеризуют обычно как символический язык по-
тому, что здесь используется особая символика, прежде всего,
для обозначения логических связок и операторов (так, вместо
логических констант-связок «если..., то», «и», «или», «неверно,
что» используют обычно «го», «&», «V», «—>; вместо кванторных
слов «всякий», «некоторый» (или, что то же, «существует») —
знаки «V», «Я» соответственно, хотя нередко для отрицания, на-
пример, употребляют знаки	для конъюнкции — Л; ни-
какого соглашения, однако, относительно используемой символи-
ки не существует. (Мы будем использовать указанные символы.)
'Специальные символы употребляются также в качестве зна-
ков предметов, свойств и отношений; наиболее характерным здесь
является применение специальных символов — предметных пе-
ременных — вместо общих имен естественного языка в роли ло-
гических подлежащих. Так, высказывание: «Всякий студент изу-
чает какой-нибудь иностранный язык» — может быть записано
в ЯКЛП2 в виде УхЯу^(х, у), где «х» употребляется вместо
«студент», «у» — вместо «иностранный язык», R — является
знаком отношения «изучает». Классы студентов и иностранных
языков называются в таких случаях областями значений соот-
ветственно х и у. При желании выразить более полно информа-
цию, заключенную в исходном высказывании, его можно было
бы записать в виде Vx(P(x) oo'H.y(Q(y)&R(x, у)), где Р и Q обо-
значают соответственно «студент» и «иностранный язык», рас-
сматриваемые как знаки свойств (т. е. одноместные предикато-
ры), а х и у имеют единую область значений — «объекты вооб-
ще». Буквально высказывание звучит так: «Для всякого объек-
та х верно, если он является студентом, то существует объект у
такой, что он представляет собой иностранный язык и х изучает
у». Употребление символики способствует сокращению записи вы-
сказываний и облегчает, особенно в сложных случаях, понима-
55
ние смыслов соответствующих высказываний. Однако в принци-
пе оно не является обязательным. Вместо специальных символов
вполне можно было бы использовать слова (того или иного) ес-
тественного языка. Некоторые трудности при этом возникали бы
в случаях, когда несколько логических подлежащих в суждении
должны представлять одно и то же общее имя (и играя роль
предметной переменной, обозначать в разных случаях различные
предметы). Так, известный закон коммутативности, записывае-
мый в виде х+у=у+х, где х и у обозначают, например, целые
положительные числа (и подразумеваются кванторы общности
«для всякого х и для всякого у»), без употребления переменных
пришлось бы, очевидно, сформулировать так: «Для всякого чис-
ла] и для всякого числа2 верно: число]+число2=число2+числО1».
Ясно, что подобные ситуации могут возникать не только в ариф-
метических утверждениях, они имеют место всякий раз, когда в
суждении утверждается наличие некоторого отношения между
элементами какого-либо класса предметов. Предметные перемен-
ные (и не только предметные, по существу, любые так называе-
мые квантифицируемые в языке переменные), являясь аналога-
ми общих имен естественных языков, выполняют еще функцию
фиксирования — в определенных контекстах — отдельных эле-
ментов класса предметов, представителем которого в языке яв-
ляется общее имя (но в отличие от единичного имени, предмет-
ная переменная фиксирует какой-то предмет лишь в некотором
контексте, и притом неопределенно какой именно предмет).
Наиболее существенным для данного языка является нали-
чие точных правил образования его выражений и приписывания
им значений и особенно то, что каждая знаковая форма приобре-
тает определенный смысл. Без этого невозможна точная форму-
лировка правил рассуждения (правил вывода). Поскольку каж-
дое правило вывода указывает прежде всего на связь между не-
которыми типами предметных ситуаций, составляющих смысло-
вые содержания высказываний, необходимо, чтобы знаковые фор-
мы соответствующих высказываний однозначно представляли в
языке эти ситуации. В естественном языке мы имеем такие вы-
ражения (т. е. знаковые формы), которые в различных случаях
их употребления принимают различные смысловые содержания
(ср,, например, высказывания: «Тела, имеющие плотность мень-
ше воды, плавают на воде», «Фабриканты оружия, получающие
огромные прибыли от его производства, заинтересованы в гонке
вооружений»). Обе знаковые формы относятся к структурам од-
ного типа, содержащим причастный оборот, однако первая вы-
ражает просто суждение, а вторая содержит три утверждения:
«Фабриканты оружия получают огромные прибыли от производ-
ства оружия», «Они заинтересованы в гонке вооружений» и пер-
вое из указанных обстоятельств обусловливает второе (ср. так-
же «а и b — братья» и «а и b — студенты». Первое предложе-
ние выражает простое суждение «а — брат Ь», второе — слож-
ное — «а — студент и b — студент»),
56
Важной особенностью ЯКЛП2 является также прямое соот-
ветствие между структурами знаковых его форм (формул) и
структурами выражаемых ими смысловых содержаний. Соответ-
ствие состоит в том, что каждой существенной части структуры
смысла соответствует определенная часть знаковой формы. Так,
в структуре смысла простого повествовательного предложения,
т. е. в структуре простого суждения, необходимо выделить, на-
пример, отдельные предметы или классы предметов, о которых
что-то утверждается в суждении (в знаковых формах им соот-
ветствуют единичные или общие имена), свойства или отноше-
ния, наличие которых у соответствующих предметов утверждается
(в качестве знаков для них употребляются одноместные или мно-
гоместные предикаторы или составленные из них с помощью ло-
гических констант сложные выражения, представляющие слож-
ные свойства или отношения, как, например, в суждении: «Вся-
кое число, которое оканчивается на 0 или на 5, делится на 5»);
если утверждение относится к классу предметов, то обязатель-
ны кванторные слова — «всякий», «некоторый» (или «существу-
ет») .
В естественном языке всегда эти (как и другие) состав-
ляющие смысла явно выделяются (ср., например: «Всякое госу-
дарство имеет столицу» и «Всякое четное число делится на ка-
кое-нибудь простое число»). Структура обоих суждений: для
всякого предмета, обладающего свойством S, существует пред-
мет, обладающий свойством Р, такой, что он находится в отно-
шении R к первому; в первом случае R есть отношение «столи-
ца», а во втором — «делитель». Однако во втором случае не
выделено явно, как нетрудно видеть, наличие квантора «сущест-
вует». Чтобы не встать в тупик перед софистическим рассужде-
нием: «А встретил кого-то», «Кто-то изобрел велосипед», следо-
вательно, «Л встрётил изобретателя велосипеда», надо понять,
что первое предложение выражает суждение: «Существует чело-
век такой, что А встретил его», а второе «Существует человек,
который изобрел велосипед». Ясно, что из этого не следует тре-
тье. Иначе говоря, надо учесть, что под словами «кого-то» и
«кто-то» подразумевается здесь квантор существования. Но в
двух следующих высказываниях: 1) «если какое-нибудь тело
вторгается в атмосферу Земли, то оно вспыхивает», 2) «если ка-
кое-то тело вторгается в атмосферу Земли, то в ней наблюдает-
ся вспышка» — «какое-то» имеет разные значения. В первом оно
означает «всякое» («каждое»), во втором — «существует». Имен-
но структура мысли в первом случае такова: «Для каждого х
верно, что если оно вторгается в атмосферу Земли, то оно вспы-
хивает». (В языке логики предикатов Vx(P(x, apQ(x)), где
«Р — отношение вторгается», «Q — вспыхивает», «а — атмосфера
Земли»; во втором случае: «если существует, тело х такое, что
оно вторглось в атмосферу Земли, то в атмосфере наблюдается
вспышка» Ях(Р(х, а)=э5(а)); S — обозначает характеристику
атмосферы Земли: «в ней наблюдается вспышка», которую есте-
57
ственно рассматривать как свойство а). А. Чёрч, характеризуя
формализованный язык, пишет, что этот язык в отличие от есте-
ственного языка следует за логической формой «...и воспроизво-
дит ее даже в ущерб краткости и легкости общения» [103, с. 16].
Точнее, знаковая форма в формализованных языках описываемо-
го типа «следует за логической формой». Это существенно в
двух отношениях: во-первых, для анализа и точного выражения
смыслов высказываний естественных языков, во-вторых, и это
главное, для формализации рассуждений — выводов.
Рассуждения (выводы), осуществляемые в естественном языке
с учетом смыслов языковых выражений и представляющие со-
бой, по существу, операции именно с этими смыслами (с мыс-
ленными предметными ситуациями), могут быть представлены в
формализованном языке как операции со знаковыми формами
высказываний. Операции эти осуществляются по правилам фор-
мального характера, «формального» в том смысле, что для их
применения необходимо учитывать лишь то, из каких знаков со-
ставлены знаковые формы (формулы, выражающие соответству-
ющие суждения) и в каком порядке расположены эти знаки. Яс-
но, что подобная возможность отвлечения от смыслов высказыва-
ний при описании форм правильных рассуждений необходима
для автоматизации многих интеллектуальных процессов и являет-
ся условием обеспечения максимальной точности в построении
научных выводов и доказательств (не говоря уже о том, что вы-
воды и доказательства при этом становятся всегда проверяе-
мыми) .
Особенностью языка ЯКЛП2 является его экстенсиональ-
ный характер, состоящий в том, что его термы и формулы — ана-
логи имен и предложений естественного языка — представляют
собой экстенсиональные контексты (это значит, что предметные
значения термов и истинностные значения высказываний зависят
только от предметных значений, их составляющих, но не от их
смысловых содержаний)^
Переходя непосредственно к описанию ЯКЛП2, отметим, что
оно включает в себя две части: синтаксис и семантику.
Синтаксис ЯКЛП2 включает перечень исходных символов (из
которых строятся термы и формулы); правила образования тер-
мов (индуктивное определение понятия терма); правила образо-
вания формул (индуктивное определение понятия формулы).
Таким образом, в данном языке мы различаем три типа объ-
ектов: исходные символы, термы и формулы. Имея в виду так-
же формализацию рассуждений в этом языке, выделяем 4-й тип
объектов — последовательности формул, представляющие собой
выводы и доказательства.
Строго говоря, выражение «язык логики предикатов» являет-
ся общим именем. Существует множество языков этого типа, ко-
торые могут различаться перечнем исходных символов, а также
значениями дескриптивных терминов из числа этих символов (и
вследствие этого — значениями термов и формул). Мы будем
58
описывать здесь, по существу, лишь схему построения языков ин-
тересующего нас типа.
Различают формализованные языки первого порядка (или пер-
вой ступени) с равенством или без равенства, второго порядка
(второй ступени) и более высоких порядков (третьего, четверто-
го и т. д.).
Понятие порядка (ступени) языка будет определено позже.
Оно связано с понятием предиката, которое также будет разъяс-
нено в дальнейшем. Сейчас лишь заметим, что эти различия оп-
ределяются типами квантифицируемых в данном языке перемен-
ных. В языке первого порядка квантифицируемыми являются
лишь предметные переменные, т. е. переменные, возможными
значениями которых являются предметы подразумеваемой в
каждом языке предметной области (называемой, как мы уже го-
ворили, областью индивидов). В языке второго порядка кванти-
фицируемыми являются, кроме того, предикатные и также, воз-
можно, предметно-функциональные переменные. Возможными
значениями предикатных переменных являются свойства индиви-
дов или отношения между индивидами, возможные значения
предметно-функциональных переменных предметные функции той
или иной местности. В некоторых случаях в число квантифици-
руемых переменных языка второго порядка включаются также
пропозициональные переменные. Однако мы рассматриваем язык
“без переменных этого типа (они могут быть нужны лишь для
определенных логических целей). В языках третьего порядка в
числе квантифицируемых переменных оказываются также преди-
катные переменные, значениями которых являются свойства
свойств индивидов и отношения между такими свойствами, инди-
видами и свойствами такого рода и т. п.
Здесь мы ограничимся описанием языков и логических исчис-
лений второго порядка. Они понадобятся нам для анализа ло-
гических структур понятий и отношений между понятиями. В ка-
честве фрагментов этих языков легко выделяются языки, а вме-
сте с тем и исчисления первого порядка. (Языки, выше чем вто-
рого порядка, представляют некоторый интерес для самой логи-
ки, но не находят практических применений, тем более что здесь
значительно усложняются формулировки правил логического вы-
вода.)
Исходные символы (исходный базис языка): в их число вхо-
дят дескриптивные термины — постоянные и переменные, логи-
ческие константы и некоторые знаки, выполняющие технические
функции в самом языке (технические символы).
I.	Предметные переменные х, у, z, хь х2, •••, хп, ... (счетное
бесконечное множество). Предикатные переменные — символы
вида J’s* (Л=1, 2, ...; s=l, 2, ... для каждого k). Верхний ин-
декс k указывает на число аргументных мест отношения, которое
может быть значением такой переменной. Соответственно этому
сам символ «JMn называют ^-местной предикатной переменной.
Таким образом, мы имеем предикатные переменные любой ме-
59
стности k, и для каждого k — неограниченный перечень перемен-
ных этой местности.
Предметно-функциональные переменные — символы вида fsk,
k=l, 2, ...; s=l, 2, ... для каждого k. Здесь k — также показа-
тель местности предметной функции, которая может быть значе-
нием этой переменной.
II.	В качестве дескриптивных постоянных (дескриптивных
констант) в зависимости от потребностей, с которыми связано по-
строение языка, включается в число исходных символов некото-
рое число (возможно, ноль) предметных постоянных аь а2, • • •
..., ат (т>0), предикатных постоянных Рк, Qk, Rk, Psk и пред-
метно-функциональных постоянных фЛ
Предметные константы должны играть в языке роль имен —
специально выделяемых предметов из подразумеваемой области
индивидов. Предикатные постоянные — знаки используемых в
языке свойств и отношений. Предметно-функциональные — также
знаки рассматриваемых в языке предметных функций. Значения
k и s в обозначении Ps* и ф5* определяются в зависимости от
того, какие именно свойства и отношения, а также предметные
функции рассматриваются в языке.
III.	Логические константы: гэ, &, V, —, V, Я соответственно
импликация, конъюнкция, дизъюнкция, отрицание, квантор общ-
ности и квантор существования.
IV.	Технические знаки: (—левая скобка) —правая скобка и,—
запятая.
Термы:
1.	Любая предметная переменная и предметная константа
а/ являются термами.
2.	Если ti, t2, ..., tk — термы, a hk — местная предметно-
функциональная переменная или k — местная предметно-функ-
циональная постоянная, то h(tu t2, ..., tk) — терм.
3.	Ничто, кроме указанного в пунктах 1 и 2, не является тер-
мом.
Формулы:
1.	Если t2, ..., tk — термы, Fk — 6-местная предикатная
переменная или предикатная константа, то t2, tk) есть
формула.
2.	Если А и В — формулы, то (ЛдэВ), (Л&В), (А\/В), —А
есть формулы.
3.	Если а — предметная или предикатная или предметно-
функциональная переменная, то УаЛ и ЭаЛ — формулы.
4.	Ничто, кроме указанного в пунктах 1—3, не есть формула.
Вместо —Л в дальнейшем пишем А, а если формула Л имеет
вид ЯаВ или УаЛ, то отрицание (—) пишется только над пер-
вым квантором. Таким образом, вместо — (В&С) пишем В&С, а
60
вместо — ЯаВ используем запись ЯаВ. Будем использовать так-
же запись Я как сокращение для (Л=>В)&(ВдэЛ).
Символы t, t2, Fk, hk, А, В, а, как и Qk, Rk, Pk,
Xi, a, — метазнаки (знаки метаязыка), иначе — синтаксические
переменные; значениями таких переменных являются соответст-
вующие символы описываемого языка. Например, хь х2, а,\, а2,
f23(xi, х2, а3), Р', Q1, R1, Л3, ^23 и т. п.
В дальнейшем в качестве синтаксических переменных для
формул будут использоваться также С, D и т. д., а для перемен-
ных наряду с указанными также 0, у.
Формулы А и В, встречающиеся в пунктах 2 и 3, называются
подформулами указанных формул.
Введенные понятия исходного символа, терма и формулы яв-
ляются эффективными. Это означает, что, пользуясь определения-
ми этих понятий, мы можем для любого заданного символа ре-
шить вопрос — относится ли он к числу исходных в данном язы-
ке и для любой последовательности — является ли она термом
или формулой языка. При этом для исходных символов принимает-
ся абстракция (условие) отождествления, согласно которой все
различные случаи употребления некоторого символа рассматри-
ваются как различные экземпляры одного и того же символа и
предполагается, что мы умеем узнавать символ, несмотря на не-
которые, всегда имеющиеся различия в его написаниях.
Связанные и свободные переменные в формулах.
Определения. Каждый случай, когда в последова-
тельности знаков, представляющих собой формулу А, встречается
переменная а, называется вхождением этой переменной в Л; каж-
дое вхождение переменной а в формулы вида УаЛ и ЯаЛ назы-
вается связанным. Всякое вхождение, отличное от указанного,
является свободным (подформула А формул указанного вида на-
зывается областью действия, соответственно квантора общности V
и квантора существования Я с переменной а). Связанным яв-
ляется вхождение переменной, стоящей непосредственно за кван-
тором, и каждое вхождение ее в область действия квантора. Пе-
ременная а, имеющая связанные вхождения в формулу А, назы-
вается связанной в этой формуле, переменная, имеющая свобод-
ные вхождения в формулу А, называется свободной в этой фор-
муле. Формула и терм, не содержащие свободных переменных,
называются соответственно замкнутой формулой и замкнутым
термом.
Обратим внимание на то, что согласно определению свобод-
ной и связанной переменной одна и та же переменная в некото-
рой формуле может быть и свободной и связанной. Таковы, на-
пример, переменные хь ^i2 в формуле (Я^’12Ях!5э2(х!, ai)V
VVx2(5z>i2(xi, a2)^Q2(xi, х2)))> переменная х2 — связана, но не
является свободной.
61
Семантика ЯКЛП2. Семантикой некоторого определенного
языка, в частности ЯКЛП2, называется совокупность значений
его выражений. Однако, поскольку, как было сказано раньше, мы
ограничимся здесь лишь описанием общей схемы построения язы-
ков типа ЯКЛП2, нас интересует общее понятие их семантики.
Сформулировать это понятие — значит указать общие правила
приписывания значений исходным символам, термам и формулам
языка.
Прежде всего, в каждом случае определения семантики не-
которого языка должно быть указано некоторое непустое мно-
жество индивидов (индивиды — любые предметы в широком
смысле слова, внутренняя структура которых не учитывается и
которые можно отличать друг от друга). Это множество есть об-
.ласть возможных значений предметных переменных языка (под-
разумеваются языки, в которых все предметные переменные име-
ют одну и ту же область значений). Можно употреблять языки с
несколькими сортами предметных переменных, различающихся
областями значений. Однако всегда можно объединить эти об-
ласти в одно множество, отражая принадлежность тех или иных
предметов, о которых идет речь в некотором высказывании, в
той или иной области в самих записях высказываний; напомина-
ем, что эта возможность была разъяснена при общей характе-
ристике языка ЯКЛП2.
Только с выбором определенной области D символы, которые
мы называли предметными, предикатными и предметно-функцио-
нальными переменными при описании синтаксиса, действитель-
но становятся таковыми. Употребление этого названия, как и на-
звания других типов символов («предметные константы», «пре-
дикатные постоянные» и т. д.), являются чисто условными. Все
они приобретают действительные смысловые значения лишь при
наличии семантики языка.
Предполагается, что на области D определено некоторое мно-
жество свойств и отношений различных местностей П и множе-
ство предметных функций Ф также различных местностей. Та-
ким образом, по существу, мы выбираем систему объектов
<D, 77, Ф>, называемую структурой. Это какой-то из «возможных
миров», к которым могут относиться высказывания нашего язы-
ка, например, некоторая область реальной действительности или
система абстрактных объектов, представляющая собой предмет
исследования некоторой теории. Однако в силу экстенсионально-
го характера описываемых языков свойства и отношения могут
отождествляться здесь с их объемами; иначе говоря, «-местное
отношение Р может и обычно рассматривается как некоторое
подмножество множества (декартовой степени) Dn 6.
Дальнейший шаг в построении семантики ЯКЛП2 состоит в
гвыборе функции <р приписывания значений предметным, преди-
в Предметную функцию ф" можно трактовать как п+ 1-местное отношение:
ф(Х1, х2, .... xn)=x„+f Используя эту возможность, структуру определяют иног-
да лишь как (Д, П}.
62
катным и предметно-функциональным постоянным языка (т. е.
всем тем исходным символам языка, которые в результате при-
писывания им значений должны превратиться в дескриптивные по-
стоянные языка). Предметной константе а, <р приписывает в каче-
стве значения элемент из D, т. е. ф(а,)е1), fe-местной предикатной
постоянной Ptn приписывается в качестве значения fe-местное от-
ношение из множества П или — при экстенсиональной трактовке
отношений — некоторое подмножество множества D*; таким об-
разом, в последнем случае <p{Pik)^Dk (при той же экстенсиональ-
ной трактовке отношений можно понимать <p>(Pth) как пропози-
циональную функцию типа	л}); для предметно-функцио-
нальной постоянной ее значение — ф(ф?) есть функция ти-
па £>*=>£> (соотносящая fe-ке предметов из Dk предмет из D).
Пару <D, <р> называют обычно интерпретацией языка.
Ф не обязательно должна быть всюду определенной, иначе го-
воря, некоторым предметным, предикатным и предметно-функ-
циональным постоянным могут не приписываться никакие опре-
деленные значения. Они также наряду с квантифицируемыми пе-
ременными могут рассматриваться как переменные (соответству-
ющих категорий) данного языка. Но в отличие от квантифицируе-
мых переменных для каждой из них подразумевается одно, фик-
сированное в данном языке, значение. Употребимым для таких
переменных названием являются «переменные — параметры».
Такого рода переменные используются, например, для выявле-
ния логических форм термов, высказываний и предикатов. Логи-
ческая форма того или иного выражения указанных типов полу-
чается из него заменой всех дескриптивных постоянных именно
переменными — параметрами соответствующих категорий. (Оче-
видно, такая замена означает отвлечение от конкретных значе-
ний дескриптивных постоянных и всего выражения в целом.) Бо-
лее того, при построении формализованных выводов и доказа-
тельств (в рамках логических исчислений) мы должны отвле-
каться от всяких интерпретаций дескриптивных терминов как и от
значений логических констант.
При построении определенного языка интерпретация исход-
ных символов (применение к ним функции ф) осуществляется
обычно независимо от вхождений этих символов в те или иные
термы или формулы. Однако для логических целей интерпрета-
ция языка в целом не является необходимой. Существенно лишь
понятие интерпретации, т. е. существенно значение того, что имен-
но приписывает функция ф исходным символам языка, а также
принципов определения значений термов и истинностных значений
формул при тех или иных выбранных D и ф. Необходимость кон-
кретного выбора D и ф, т. е. определенной интерпретации, возни-
кает лишь применительно к отдельным формулам и термам. Ес-
ли и возникает необходимость в конкретных интерпретациях, то»
лишь для дескриптивных постоянных в составах подлежащих ана-
лизу отдельных формул и термов. Учитывая это, будем приме-
нять записи Dtpt и АрЛ, имея в виду результаты применения ф
63’
(связанным с фиксированным D) к отдельным составляющим со-
ответственно терма t и формулы А. Таким образом, указанные
выражения являются метаязыковыми знаками интерпретирован-
ных термов и формул объектного языка.
По идее замкнутый терм и замкнутая формула в результате
применения операции D и чр должны превращаться соответствен-
но в имя некоторого предмета из D и высказывание. Однако это
произойдет, если определен смысл конструкций сложных термов,
атомарных формул и значения логических констант. Это опреде-
ление осуществляется посредством указания правил приписыва-
ния значений термам и формулам.
Незамкнутые термы при этом представляют собой формы
имен, незамкнутые формулы — предикаты. Из первых получают-
ся имена, из вторых — высказывания в результате приписыва-
ния значений всем имеющимся в них свободным переменным.
Таким образом, мы должны ввести еще одну функцию — s,
приписывание значений всем свободным переменным в формулах
и термах. Предметной переменной xi она приписывает в качестве
значений предметы из D, предикатной переменной и предмет-
но-функциональной fsk — соответственно ^-местное отношение и
fe-местную предметную функцию, определенные на D.
Пусть Dqst и DqsA обозначают теперь результаты интерпре-
тации составляющих соответственно терма t и формулы А и при-
писывания значений, входящих в них свободным переменным.
(Для замкнутых t и A	и DcpsA^DcpA, где s: гра-
фическое равенство, означает «то же самое, что». Если же в А
нет и дескриптивных постоянных, то DqA^DA и Dcpt^Dt, где ин-
терпретационная роль D состоит в указании лишь областей зна-
чений переменных.)
Вообще говоря, функция s определяется каждый раз на не-
котором множестве переменных, содержащихся в некоторой со-
вокупности формул Л1, .... А„, (т>1), отношения между кото-
рыми нас в том или ином случае интересуют. Эта функция s мо-
жет быть задана в виде пары последовательностей (переменных
и приписываемых им значений) сц, ..., am/0i, , 0«, где пере-
менные aj, ..., ат попарно различны; 0(- есть значение, приписы-
ваемое переменной сц.
Обычно вводят специальные функции, положим ц и v, сопо-
ставляющие соответственно терму в качестве его значения пред-
мет из D, а формуле — истинностное значение — элемент из мно-
жества {«, л}. Приписывание значений осуществляется при дан-
ных (фиксированных) Z?<ps. В таком случае ц(/, D, <р, s) есть ме-
таязыковое имя предмета из D, который есть значение t, а
v(X, D, ср, $) — имя абстрактного объекта «и» или «л» (значе-
ния формулы Л).
Однако в качестве имен предметов — значений термов — мо-
гут быть использованы введенные ранее выражения Dcyst, а в ка-
честве замены для v(^4, D, <р, в) будем использовать |£><рхД|.
Нам остается лишь разъяснить значения выражений этого рода
£4
для различных t и А (в соответствии с индуктивными определе-
ниями этих понятий). В этом и состоят правила приписывания
значений термам и формулам:
а)	для термов xt и а,- (первый пункт индуктивного определе-
ния) Dqsxi и Dtps а, согласно предыдущим разъяснениям есть со-
ответственно sxi и ера,-;
б)	значением терма hin(6, tn) при данных Dtps, т. е. зна-
чением выражения Aps/i,n(6, tn) является тот предмет из D,
который соотносит функция t(shin, (т. е. <рй/п или shF) п-ке пред-
метов (<psf 1, ..., cps^n) в структуре {ДПФ).
(Подразумевается индуктивное допущение, согласно которо-
му значения <ps6 уже определены; в данном случае выясняется
смысл конструкции htn(t\, tn); она, как видим, означает при-
менение подразумеваемой здесь функции /г," к п-ке подразуме-
ваемых предметов t}, ..., tn.)
Правила приписывания значений формулам (при данных
Dtps).
Пусть |DcpsA | означает «значение формулы А при Арб»; ина-
че говоря, указанное выражение применяется вместо
v(A, D, <р, s), где v — функция, приписывающая значение форму-
лам при фиксированных Dtps; значением формулы при данных
Dtps, как было уже сказано, может быть «истина» («и») или
«ложь» («л») — т. е. какой-нибудь элемент из {и, л} — но не оба
вместе, употребляется вместо слов «если и только если».
a)	[ApsE?(ti, t%, ..., 6г)]=ы"^предметы <р$Л, ..., cps^ нахо-
дятся в отношении <psFik или — при экстенсиональной трактовке
отношения [D(psFik(ti, t2, ..., /А)]=««=>^-ка предметов <ps6, ...
..., (pstk есть элемент <psF,-fe, иначе говоря, есть элемент подмно-
жества Dk, каковым является cpsF?.
б)	| Dtps (А зэВ) |=«<=> |ApsA |=л или |DcpsB|=«;
|Dtps(А&В) | =««=> |Dtps А | =Fu и \D(psB\=u;
|Арб(ЛV#) I =«<=НAps.41 =« или |D(psB|=«;
I Dtps A | =«<=> | Z><ps711 ==л;
|DcpsVaA1 =«<=> |ApsaA | =u для любого s, a,
где sa — может отличаться от s не более чем позицией а (т. е.
приписыванием значений а).
|i)<ps3aX | =«<=> |£)(psaX | =« для какого-нибудь sa, при том же,
что в предыдущем пункте условий относительно sa. Если а не
свободна в А, то кванторы в формулах NaA и ЯаЛ называются
вырожденными (ясно, что в этом случае | ApsaA | = |D(psA |).
Вместо метаутверждения «| А | =ы» (или «v(A, D, <р, s)=«» упо-
требляют: «Выполнимо А при Dtps», сокращенно: «Вып. A, D. ср,
s»)».
Заметим, что пункт а) в последнем определении разъясняет
смысл конструкции Ftk(tit ..., tk). При определенных D, ср, s она
3 К. Войшвилло
65
означает утверждение о наличии отношения Г,* между предмета-
ми Л, tk (при &=1 — утверждение о наличии свойства Ftk у
предмета t\). Пункт б) представляет собой неявные определения
значений логических констант.
Примеры. DcpsVxj((Р2(хь ai)&P2(xi, a2))дэР2(хь х2)), если
D — множество целых положительных чисел, срГ2 — делится,
<pai — 2, cpa2 — 3, sx2 — 6 представляет собой высказывание: «Для
всякого целого положительного числа Xi верно, что если оно де-
лится на 2 и на 3, то оно делится на 6». OcpVxiX2P2(x2, xj, если
D — множество людей, Р2 — отец, представляет высказывание:
«Для всякого человека xt существует человек х2 такой, что он
является отцом первого».
Формула УаЛ при определенных D, ср, s представляет собой
высказывание: «Для всякого предмета а (из множества D, П или-
Ф в зависимости от типа а) верно А», а Я а А — высказывание:
«Существует предмет а, такой, что верно Л».
Если D — множество предметов вообще, то ДфУхЯ.З3^1 (х))
представляет высказывание: «Для всякого предмета х существу-
ет некоторое свойство, которое ему принадлежит».
V и Я в сочетании с переменной а, к которой они могут от-
носиться, так же как и логические связки, можно охарактери-
зовать как некоторую пропозициональную функцию (что будет
показано ниже, после разъяснения понятия предиката), но с
иным типом аргументов.
Все формулы ЯКЛП2 можно разделить на выполнимые для
каких-то D, ср, s (такие, что |O<psA.|==u для каких-нибудь D, <р. ,s)
и невыполнимые (такие, что | DcpsA | =л при любых D, <р, $). Вы-
полнимые в свою очередь делятся на общезначимые — выполни-
мые для любых D, ср, s, необщезначимые и выполнимые лишь для
некоторых D, ср, s. Общезначимые формулы представляют собой
законы логики предикатов второго порядка. Невыполнимые фор-
мулы суть явные и неявные отрицания законов логики. Для ме-
таутверждения «А общезначимо» используем обозначение «г=А».
Основные виды логических отношений между вы-
сказываниями. Отношение логического следова-
ния
Высказывание Во является следствием некоторого
множества высказываний Го (Г0|=В0) Одл я любых £>, <р, s, для
которых выполняются все формулы Г, выполняется также В (на-
помним, что Во есть DtpsB; В — логическая форма Во; аналогич-
но Г есть множество формул — логических форм высказываний
Го; Го может быть как конечным, так и бесконечным множест-
вом).
В силу зависимости отношения логического следования меж-
ду высказываниями лишь от их логических форм, в случае Г0Н=
Н=В0 имеет место отношение следования Г£=В между формула-
ми. Наличие последнего отношения можно, очевидно, трактовать,
как общую схему метаутверждения Г01=В0 для любых высказы-
66
®аний, логическими формами которых являются совокупности Г
и В. Учитывая определения |Dcps(.4=>B) | и |£>ср$(А&В) |, нетруд-
но показать, что: {Ль А2, .. Am}V=B^V= {А\Т2> (A2z^ .. ,{Атт2>
тэВ ...))<=>!=( (Л1&Л2&-  -&Ат) ^>B) (при какой-нибудь расста-
новке скобок в конъюнкции Ai&A2&. . ,&Ат). Опуская здесь скоб-
ки в аналогичных случаях, в дальнейшем мы используем свойст-
во ассоциативности &, согласно которому (А&(В&С)) равнознач-
но ((А&В)&С); аналогичным свойством обладает также V.
В дальнейшем вместо записи {Ai, ..., Ат)|=В, т>1, будем упо-
треблять ..., ЛтН=В.
Таким образом, имеем связь между отношением следования
и логическими законами определенного вида. Например, формула
вида ( (AzdB) =э ((ВзэС)зэ (АдэС))) является законом ЯКЛП2
(как и ЯКЛП1), т. е. \==((A^B)-=>((Bzz>C)^(AzdC))). Это зна-
чит, что имеем отношение следования: (А=>В)(=((ВзэС)о(Ао
=эС)); (АоВ), (ВоС)|=(ЛгэС); (АоВ), (Bz^C), At=C.
Формулы вида (ЛгэВ), (Л|3э (Л2^>... (ЛтзэВ))), представ-
ляющие логические законы, как раз и выражают рассматривае-
мые отношения между высказываниями (точнее, связь между
предметными ситуациями, составляющими логические содержа-
ния высказывании). Однако подобное выражение в языке отно-
шения Г|=В невозможно, когда Г — бесконечное множество.
Язык логики предикатов первого порядка
Из описанного языка выделяется язык логики пре-
дикатов первого порядка, если из списка исходных символов ис-
ключить предикатные переменные &sk и предметно-функциональ-
ные переменные fsk.
Все определения (термов, формул, свободных и связанных
переменных выполнимых и общезначимых формул, логического
•следования и т. п.) формально сохраняются с учетом лишь того,
что значением метапеременной а является лишь некоторое
Xi (учитывая это, в определениях формул а может быть замене-
но на Xt; это означает, что квантифицируемыми переменными в
‘формулах являются теперь только предметные). Аналогично из-
меняются значения синтаксических переменных Fk и hk (которые
могут быть заменены везде соответственно на Р? и тр?).
Мы будем говорить, что язык является полуинтерпретирован-
ным, если не зафиксированы никакие определенные D и <р, но
указаны лишь их возможные типы (т. е. определено общее поня-
тие интерпретации), а также определены возможные значения
переменных и правила приписывания значений термам и форму-
лам при тех или иных D, <р, s.
Совокупность определений возможных значений выражений
языка Е. ,Д. Смирнова называет семантическими правилами пер-
вого типа, а приписывание конкретных значений, связанных с вы-
бором определенной области D — семантическими правилами вто-
рого типа [см. 84, с. 122]. Таким образом, полуинтерпретирован-
.3*
67
ный язык, по нашей терминологии, возникает, когда указаны се-
мантические правила только первого типа.
В полуинтерпретированном языке, который в дальнейшем
имеется в виду, D и <р будем определять каждый раз примени-
тельно к некоторому терму, формуле или некоторому множеству
формул, отношения между которыми в том или ином случае нас
интересуют (аналогично тому, как это делалось раньше для s).
Ясно, что D^st и DcpsA представляют собой метаязыковые обо-
форма. Формы последнего вида мы называем предикатами.
Для замкнутых t и А такими метаязыковыми обозначениями
являются Dept и ДсрА, а сами t и А — суть логические формы
имен и высказываний. Для t и А, содержащих свободные пере-
менные, Dept есть Именная форма, а D<pA — высказывательная
форма. Формы последнего вида мы называем предикатами.
Предикаты как выражения свойств и отношений
(признаков предметов)
Мы выделяем предикаты в качестве особой кате-
гории выражений ЯКЛП2 потому, что они представляют много-
образие возможных свойств и отношений, выразимых в данном
языке посредством исходных предикатных постоянных (предика-
торов) и переменных.
Аналогично предикаторам, предикаты делятся на одномест-
ные и многоместные. Число мест п предиката ЛрА (и соответст-
венно его логической формы А) есть число различных свободных
переменных в А.
Возможны предикаты различных порядков. Порядок предика-
та определяется характером имеющихся в нем свободных пере-
менных или, конкретнее говоря, характером объектов, являющих-
ся его возможными аргументами. Предикат первого порядка со-
держит только предметные свободные переменные. Если же сре-
ди его переменных есть хоть одна предикатная или предметно-
функциональная переменная, он является предикатом второго по-
рядка. Например. VxVy(9\2(x, у)т^9)х2(у, х)) — одноместный пре-
дикат второго порядка. Он выражает свойство симметричности
2-местного отношения 9^. Для каждого предиката можно, очевид-
но, ввести то или иное специальное обозначение для выражаемого'
им свойства или отношения. Симметричность ^2 можем обозна-
чить, например, sim — одноместный предикатор второго порядка.
Тогда указанному сложному предикату соответствует простой
sim З92. Другой пример предиката второго порядка — предикат,
выражающий свойство непрерывности функции f действительных
чисел Vy УхУх2Э.г( х2| <?:=> |f(xi) — /(*2) I <У) — для всякого
заданного числа у при любом значении аргумента х; функции Л
можно указать такое ее приращение х;— х2, не превосходящее по
абсолютной величине заданное число z, при котором приращение
функции не превосходит по абсолютной величине число у. Об-
ласть возможных значений — xlt х2, у, z — множество действи-
68
тельных чисел. Примерами предикаторов второго порядка могут
служить количественные числа, рассматриваемые как характери-
стики некоторых свойств (при экстенсиональной их трактовке),
т. е., по существу, как характеристики множеств индивидов. Так,
свойство «Р быть континентом» (т. е. множество континентов)
может быть охарактеризовано числом 5, что можно за-
писать в виде 5(Р)7. Каждый простой предикат вида
п(Р), где п — некоторое натуральное число, может быть опреде-
лен в описанном языке второго порядка, например О (Р) = КхР(х)
Df
(т. е. Р — пустое свойство, если и только если не существует ин-
дивидов, обладающих этим свойством).
2 (Р) = 3X1 Зх2 ((Р (х,) &Р (х2)) & Vx3 (Р (х3) о (х3=х, \/х3=х2)).
D,f
Встречающийся здесь 2-местный предикат х=у тождество ин-
дивидов в свою очередь может быть определен в нашем языке
второго порядка как 35^1 (^i1 (х) ~^’i* (у), где — — знак экви-
валентности — «эквиваленция» («х тождественно у», если и толь-
ко если для всякого свойства индивидов оно или принадлежит
или не принадлежит обоим этим предметам).
Итак, мы видели возможность введения в язык определенных
(постоянных) предикаторов второго порядка. Очевидно, можно в
таком случае вводить и предикатные переменные второго поряд-
ка. Если при этом допускать квантификацию по таким перемен-
ным, получим язык предикатов третьего порядка. В таком языке
мы имеем предикаты, среди свободных переменных которых име-
ются-предикаторы второго порядка. Сам предикат в таком слу-
чае является предикатом третьего порядка. Вводя знаки, сокра-
щения для свойств и отношений, которые выражают такие пре-
дикаты (предикаторы третьего порядка), и затем переменные
такого же порядка с допущением квантификации по ним, полу-
чим язык четвертого порядка. Вообще языком п-го порядка на-
зывают такой, в котором допускается квантификация по преди-
катным переменным п— 1 порядка.
Допуская квантификацию по переменным п-го порядка, п>0
(порядок 0 имеют предметные переменные), мы согласно изве-
стному критерию Куайна допускаем соответствующие этим пере-
менным объекты в качестве элементов онтологии данного языка.
Так, в языке второго порядка в числе предметов мысли имеются
свойства и отношения индивидов, а в языке третьего порядка —
свойства таких свойств и отношений и т. п.
В отличие от предикаторов предикаты представляют собой
7 Обычно прн указанном истолковании количественного числа его рассмат-
ривают как свойство свойств или множеств [см. 31]. Точнее было бы 5(Р) чи-
тать как «числовой характеристикой Р является 5», ио не как «Р имеет свой-
ство (5)», поскольку 5, как и другие количественные числа, являются значени-
ями предметных функций «мощность (о) — кардинальное число о», где v —
некоторое множество индивидов (количественная характеристика и).
69
формы утверждений или отрицаний наличия свойств или отноше-
ний у предметов тех или иных типов. Они могут быть охаракте-
ризованы как признаки предметов или тех или иных последова-
тельностей предметов, что существенным образом использовано в
анализе логических форм понятий и отношений между понятия-
ми (см. § 9).
Полезно различать свойства-атрибуты, такие, которые пред-
ставляются простыми и сложными предикатами, образованными
лишь с использованием одноместных предикаторов, например
Pl (xj VQ1 (xi) и т. п. и свойства, производные от отно-
шений (реляционные свойства), представляемые одноместными
предикатами, в которых использованы какие-либо более чем од-
номестные предикаторы. Например Р2(хь Х\), представляющие
свойства предмета X; находиться в отношении Р2 к самому себе,
P2(xt, at), VxiP2(xi, х2), 3xtP2(xh х2), (Р1 (х1)зэЯх1Р2(х1, х2))
и т. п.
С другой стороны, предикаты, представляющие отношения, мо-
гут быть образованы с использованием одноместных предикато-
ров. Например (P’(xi)&P1(x2)), представляющий отношение сход-
ства между предметами Xi и х2 (состоящего в наличии у них об-
щего свойства Р'); (Pl (xJoQ1 (х2)). Как указывают правила
образования формул, из исходных предикаторов языка с помощью
логических связок языка, и используя возможно другие символы,
мы можем образовать бесконечное множество предикатов любой
местности.
Приведенные только что формулы представляют собой, оче-
видно, лишь логические формы предикатов, из которых предика-
ты образуются при определенных D и ср.
Очевидно, что все простые высказывания8 ЯКЛП2 образуют-
ся непосредственно из предикатов связыванием свободных пере-
менных в них или замещением свободных переменных именами
предметов. Не исключаются комбинации того и другого способов.
Ясно, что таким же образом образуются одни предикаты из дру-
гих с большим числом мест. Таким образом, множество формул
ЯКЛП2 представляет собой бесконечное многообразие возмож-
ных форм высказываний и предикатов (свойств и отношений).
Итак, мы имеем определенные способы образования предика-
тов, одних предикатов из других, и высказываний из предикатов.
Расширяя язык, можно ввести некоторые способы обра-
зования общих и единичных имен из предикатов. Для любого
предиката Л(аь ..., ап), где и>1, получаем общее имя (щ, ...
..., ап) Л(аь ..., а«) (последовательность объектов «аь ..., ап»,
находящихся в отношении «Д(аь ..., ап)». В случае, когда это
общее имя представляет один объект, можно выделить этот объ-
ект посредством единичного имени (аь ..., а«)Л (см. § 8).
8 Простым высказыванием называют такое, никакая правильная (ие сов-
падающая с целым) часть которого ие есть высказывание.
70
Предикат £><рА выполняется или не выполняется для тех или
иных предметов из D — значений свободных переменных А, т. е.
для той или иной функции s.
Теперь можно определить V и Я вместе со знаком а — опера-
торной переменной а, т. е. выражения ¥а и Яа как функции, ар-
гументами которых являются одноместные предикаты, а значе-
ниями — высказывания, т. е. функции вида —-—. Конечно, при
я
п
образовании формулы ¥aA(a) или ЯаЛ(а) формула Л (а) может
содержать кроме а и другие свободные переменные. Но, рассмат-
ривая Л (а) в этом случае как одноместный предикат, мы подра-
зумеваем, что значения всех свободных переменных, кроме а, яв-
ляются фиксированными. Это подразумевается, очевидно, в ука-
занных выше правилах приписывания истинностных значений
формулам УаЛ(а) и ЯаЛ(а).
Предикаты и функции
Обычно предикаты рассматриваются как функции
значений их свободных переменных. Значениями этих функций —
при том или ином распределении значений свободных перемен-
ных — являются истина или ложь. Иначе говоря, предикаты рас-
сматривают как предметно-истинностные функции, подобные тем,
которые представляют предикаторы. Так, «-местный предикат
со свободными переменными си, ..., <хп есть функция, соотнося-
щая' «-ке предметов 0], ..., 0„ значение истина или ложь.
Точнее говоря, предикат представляет собой определенную
функцию при условии, если указано соответствие членов «-ки
предметов, к которым эта функция должна применяться, пере-
менным в данном выражении. Например, для предиката «Больше
(х, у)» — «Р(х, у)» — надо договориться, имеются ли в виду па-
ры <х, у) или <у, х>. В первом случае для пары чисел <3, 5> мы
получили бы в качестве значения функции — «ложь» (высказыва-
ние «3 больше 5»), А во втором случае — когда пару <3, 5> мы
рассматриваем как пару <у, х> и поэтому должны подставлять
первый член пары на место у, а второй на место х — получили
бы в качестве значения функции «истина» (высказывание «5
больше 3»). Таким образом, строго говоря, n-местный предикат
(«>1) не представляет собой определенной функции. Он может
представлять множество различных функций в зависимости от
указанной договоренности о соответствии между его переменны-
ми и членами «-ок предметов, к которым он применяется. Эти
функции называются «присоединенными» к данному предикату
[103, с. 27] (лучше бы употреблять термин «функция, ассоцииро-
ванная с данным предикатом»). Кажется, очевидно, что с одноме-
стным предикатом ассоциирована лишь одна функция. Правда,
это верно лишь при обычно подразумеваемом условии, что об-
ласть определения «-местного предиката составляет некоторое мно-
71
жество n-ок предметов. Но в принципе ничто не может препят-
ствовать нам рассматривать любой n-местный предикат как и+
+т-местную функцию (т>0). Так, предикат «х больше у» пра-
вомерно применять к тройкам <х, у, z> или четверкам <х, у, z, у>
предметов.
Ясно, что в этих случаях значения функции будут определять-
ся значениями х и у. Однако такая возможность «увеличения
местности» предиката как функтора может играть существенную
роль в образовании понятий (содержания которых трактуются
как предикаты).
Все только что сказанное приводит нас к необходимости иметь
способ указания функции, ассоциированной с некоторым преди-
катом.
Такая возможность используется в логических исчислениях,
например в приведенном ниже понятии подстановки формул вме-
сто предикатных переменных.
Возможно также и обратное рассмотрение fe-местного предика-
та как n-местной функции при n<k. Например, трехместный пре-
дикат Р](х, у)&Р2(х, z) может рассматриваться как двухместная
функция, применяемая к паре предметов (х, у), или одноместная
функция, применяемая к некоторому одному предмету х. При
подобном истолковании ^-местной функции, т. е. как функции п
различных переменных	все остальные переменные, не
входящие в n-ку, рассматриваются как фиксированные. Таким
образом, любую формулу независимо от числа и состава свобод-
ных переменных в ней можно рассматривать как функцию задан-
ной последовательности попарно-различных переменных щ, ...
..., а* (как это и имеется в виду в определении подстановки фор-
мул вместо предикатных переменных).
Есть и другая возможность, которая была описана раньше:
рассматривать данную n-местную функцию не как предметно-ис-
тинностную, а как такую, значением которой в результате при-
менения ее к n-ке предметов является k—n-местная функция.
Итак, с любым ^-местным предикатом может быть ассоцииро-
вана функция любой местности п (п>А или n<k). Полезно, оче-
видно, иметь способ задания и обозначения такой функции. Для
этой цели используется оператор функциональной абстракции
«к». В таком случае n-местная функция, ассоциированная с не-
которым предикатом А, обозначается как ..., 7апА (читает-
ся как «функция переменных щ, ..., ctn, значение которых есть
Л»), где О], ..., ап, попарно различны и среди них, возможно,
имеются все или лишь некоторые из свободных переменных, име-
ющихся в Л (в качестве тривиального случая допускается и та-
кой, когда в Л вообще нет свободных переменных, т. е. А есть
высказывание); высказывания естественно трактовать как 0-мест-
ные предикаты.
Значением указанной функции в применении к n-ке предметов
является результат подстановки 05 вместо ats (где s.= l, 2, ..., п),
причем подстановка должна быть правильной. Последнее замеча-
72
ние имеет, очевидно, смысл, когда сами выражения 0s имеют в
своем составе свободные переменные, например переменные тер-
мы. (Если подстановка не является правильной, то неправильно
само применение функции.)
Предикаты и высказывания.
Возможные интерпретации свободных переменных
в формулах
Наряду с трактовкой формул, содержащих пред-
метные переменные, как предикатов возможно рассмотрение их
как Логических форм высказываний.
При таком понимании этих формул они используются наря-
ду с другими в формализованных выводах и доказательствах; их
использование необходимо в выводах при установлении отноше-
ний между понятиями. Эти две трактовки одних и тех же фор-
мул обусловлены различными истолкованиями их свободных
предметных переменных (вообще, квантифицируемых или собст-
венных переменных языка). Как уже было замечено ранее, ког-
да формула А со свободными предметными переменными рас-
сматривается как предикат, вхождения свободных переменных
в ней понимаются как знаки пустых (аргументных) мест преди-
ката.
Такое истолкование свободных переменных в формулах на-
зывается предикатной их интерпретацией. При рассмотрении
формулы А, как формы высказывания переменные в свою оче-
редь могут интерпретироваться двояко. В одном случае считают,
что они имеют фиксированные значения. Эта интерпретация на-
зывается условной. В условной интерпретации употребляются,
например, переменные («неизвестные») в математических урав-
нениях. Другая из возможных интерпретаций свободных перемен-
ных в высказываниях есть интерпретация всеобщности, при ко-
торой формула А рассматривается как высказывание, истинное
при любых значениях ее свободных переменных, т. е., по суще-
ству, как высказывание, в котором эти переменные связаны кван-
торами общности. Таким является истолкование переменных в
записях математических законов. Однако в описанном далее ис-
числении подобное употребление формул в качестве посылок вы-
водов не предусматривается.
£ 6.
ИСЧИСЛЕНИЕ ПРЕДИКАТОВ ПЕРВОГО
И ВТОРОГО ПОРЯДКОВ
(СИСТЕМА НАТУРАЛЬНОГО ВЫВОДА)
В исчислении предикатов осуществляется формали-
зация выводов и доказательств для формул (и соответствующих
им высказываний) некоторого формализованного логического язы-
ка (языка логики предикатов). В нашем случае имеется в виду
описанный выше язык ЯКЛП2.	1 	1	
73
Мы рассмотрим здесь так называемую натуральную систему
исчисления предикатов, или, точнее говоря, систему натурально-
го вывода. Само название систем того типа, которые здесь имеют-
ся в виду, связано с тем, что выводы и доказательства приближе-
ны к соответствующим естественным формам рассуждений. В от-
личие от аксиоматических способов построения логического ис-
числения, в выводах и доказательствах которых наряду с содер-
жательными посылками используются законы логики (аксиомы
системы), выводы и доказательства натуральных систем строятся
только на основе логических правил. В определенных случаях при
этом наряду с данными посылками обязательно применяются не-
которые промежуточные допущения, которые устраняются в ко-
нечном счете с использованием так называемых непрямых пра-
вил вывода.
Согласно сказанному основную часть формулировки систем
натурального вывода составляют формулировки исходных пра-
вил (выводов и доказательств). Все правила при этом делятся
на два вида: правила введения тех или иных логических кон-
стант и правила исключения логических констант (причем для
каждой логической константы языка имеется по крайней мере
одно правило ее введения и одно правило ее исключения). В со-
ответствии с этим принимаем обозначения правил, например
&в — правило введения конъюнкции, — первое правило ис-
ключения конъюнкции.
В качестве постулатов системы принимаем следующие исход-
ные правила.
А. В
&а:—-----; запись данного вида означает, что правило позволяет из
А & & формул А и В выводить формулу А &В.
А & В	А&В
Д	о
\/ • А • \/ • &	• \/ • A\J В, А _
Vb*' A\JB ’ Vb* ‘ A \j В ’ V“‘ В
. Г, Al-в .	. А=>В, А ,
в' Г |- А => В ’ в ’ В
— в 	6 ; —(как и Раныпе, Г есть множество
ГI- А	А допущений, возможно, пустое).
Перечисленные правила составляют в совокупности правила
исчисления высказываний, которые могут быть выделены как
фрагмент исчисления ’предикатов (и обычно выделяется даже в
самостоятельную систему, что, впрочем, имеет, по существу, лишь
дидактическое значение). Система исчисления предикатов долж-
на включать также правила оперирования с кванторами.
При осуществлении выводов согласно только правилам ис-
74
числения высказываний мы не учитываем структуры, а значит,
и смыслы простых высказываний, соответствующие пунктам 1 и
3 в определении формулы). Это значит, что при этом простые
высказывания могут рассматриваться как нечто целое и обозна-
чаются особыми символами — р, q, г, pit р2, ... (пропозициональ-
ные переменные). Эта возможность используется при построении
языка логики (исчисления) высказываний, который представля-
ет собой, как нетрудно видеть, некоторую абстракцию языка ло-
гики предикатов.
Среди перечисленных правил особо выделяются zdb и —в. Это
непрямые правила. В отличие от прямых правил, которые ука-
зывают на возможность выведения некоторой формулы из дру-
гих формул, непрямые правила позволяют заключать о наличии
некоторой выводимости на основе некоторых имеющихся выводи-
мостей (каких-то формул из некоторых множеств формул).
В принципе исчисление строится так, чтобы каждой выводи-
мости соответствовало отношение логического следования. Исход-
ные выводимости в формулировках непрямых правил указывают
на наличие некоторых выводов — частей общего осуществляемого
вывода, представляющих эти выводимости, а заключение вида
Г h А при правильной формулировке правил гарантирует, по су-
ществу, при этом наличие отношения логического следования А
из Г.
Специфика упомянутых непрямых правил системы состоит
также в том, что их применение позволяет исключать некоторые
ранее принятые для построения нужного вывода промежуточные
допущения (гипотезы). Таким является, как нетрудно видеть, в
обоих случаях допущение А.
Правила для кванторов также делятся на правила введения
и правила исключения. Таким образом, обычно в натуральной
системе имеются четыре правила для кванторов: VB (введение
квантора общности), Уи (исключение квантора общности), Яв
(введение квантора существования), Яи (исключение квантора
существования). Однако в силу специфики исчисления предика-
тов второго порядка практически удобнее сформулировать по два
правила исключения квантора общности — VH, Уи* и введения
квантора существования — Яв, Яв*.
Существенным в формулировках правил для кванторов яв-
ляется понятие подстановки термов вместо свободных предмет-
ных переменных, предикатных символов или формул вместо сво-
бодных предикатных переменных или предметно-функциональных
символов вместо свободных предметно-функциональных перемен-
ных в некоторую формулу. Мы говорим, что формула А (е) есть
результат подстановки е вместо а в формулу Л (а), если Л(е) по-
лучена заменой всех свободных вхождений а в Л (а) на е. При
этом е имеет какое-либо из только что указанных значений, кро-
ме формул, в зависимости от того, к какому типу переменных при-
надлежит а. Случай подстановки формул вместо предикатных
символов выделяется особо.
75
Подстановка называется правильной, если всякое свободное
вхождение какой-нибудь переменной в е9 остается свободным в
А (е) во всех вхождениях е, появившихся в результате подста-
новки.
В случае когда а не является свободной в Л (а), то А(е) —
результат подстановки е вместо а в А(е) есть Л (а). Подстанов-
ка в этом случае тривиальна и, очевидно, всегда правильна.
Примеры.
ЯХ1(Р2(Х1, Л2(хг, хз) )) =>Q (/\2(х2, х3)) является результатом пра-
вильной подстановки терма fi2(x2, х3) вместо переменной х2 в
формулу ЯХ! (P2(xi,x2)=>Q(x2)). При подстановке терма fi2(X],x2)
вместо х2 в ту же формулу подстановка окажется неправильной
(поскольку X] в t попадает в область действия квантора ЯхО.
Подстановка некоторой формулы В
вместо предикатной переменной Psk в формулу А
При осуществлении этой операции мы рассматри-
ваем Psk и формулу Я.как A-местную функцию переменных си, ...
..., ak (из которых никакие две не совпадают). Поэтому, строго
говоря, подстановка осуществляется каждый раз вместо А? (си,...
..., а*) для произвольно выбранных си, .... ak. Естественно учи-
тывать, что Psk имеет в формуле А, вообще говоря, несколько
свободных вхождений Psk(tu, ..., ttk), ..., Psk(tn, ..., tik) />1,
представляющих собой применение функции Psk(a\, ..., ak) к
соответствующим последовательностям термов).
Пусть Psk(tmi, ..., tmk) есть m-тое (по порядку слева напра-
во) из таких вхождений (l<m<Z). Подстановка В (вместо
Ps*(ai, .... а*) в А осуществляется заменой каждого из указан-
ных свободных вхождений Psk формулой В*т, представляющей
собой результат подстановки в В вместо всех свободных вхожде-
ний в ней переменных си, ..., ат соответственно tm\, ..., tmk
(В*т — результат применения В как функции переменных си,  • •
..., а* к последовательностям объектов tmi, ..., tmk', смысл за-
мен такого рода и подстановки данного типа вообще детальнее
выясняется из трактовки предикатов и формул как функций
(см. § 5, раздел «Предикаты и функции»).
Подстановка является правильной, если и только если выпол-
няются два условия: 1) правильной является подстановка, по-
средством которой из В образуется В*т для каждого т; 2) ни-
какая свободная переменная в В*т, отличная от переменных
си, •.., ат, не оказывается связанной в этой формуле (в соста-
ве А) при замещении ею выражения Psk(tm\, ..., tmk).
Некоторые предварительные содержательные объяснения не-
обходимы относительно правил VB и Яи.
9 В данном понятии терма все вхождения переменных в нем являются сво-
бодными, но возможны термы других видов, за счет введения которых описан-
ный язык может быть расширен. Могут быть и связанные вхождения пере-
менных.
76
В выводах мы можем иметь теперь допущения со свободны-
ми переменными. При наличии допущения Д(р) (формулы, содер-
жащей р свободно) возможны две из упоминавшихся ранее ин-
терпретаций свободных переменных, в данном случае р-интерпре-
тация всеобщности (при которой Д(р) понимается как утвержде-
ние общего характера, относящееся к любому объекту р из под-
разумеваемой области значений переменных) или условная ин-
терпретация (при которой Л(р) понимается как утверждение, от-
носящееся к некоторому — фиксированному объекту р).
В первом случае содержательно правомерно из А (Р) вывести
по правилу Vв формулу УаЛ(а). Во втором случае такой вывод
неправомерен. Однако при построении формального вывода
обычно не уточняется смысл вводимых допущений указанного
рода и судить о нем можно, наоборот, по тому, какие правила
применяются к допущениям. Так, если к Л(Р) или к какой-нибудь
зависящей от данного допущения формуле В(р) применяется в
выводе Vв, т. е. обобщение по переменной р, то это указывает
на то, что Р рассматривается в Д(р) в интерпретации всеобщно-
сти или, как принято говорить, р варьируется в данном выводе.
Если переменная в допущении Д(р) варьируется в данном выво-
де, то это допущение нельзя исключать — по какому-либо из не-
прямых правил — в нашем случае по правилам —в или =>в. Та-
кое применение непрямых правил не гарантирует истинности за-
ключения при истинности использованных в выводе допущений.
Например, пусть допущение Д(х) означает «х делится на 3», вы-
водим из него ¥хД(х). Исключая допущение А(х) — по =>в —
получаем А (х)=>¥хД (х); последнее утверждение ложно, напри-
мер, для х, равного 6. Это утверждение уже не зависит от допу-
щения Д(х), все другие допущения, которые могут быть еще в
выводе, могут быть истинными; таким образом, при истинности
допущений имеет место ложное заключение.
Однако есть возможность строить выводы так, чтобы ни при
каких применениях правил для кванторов никакие переменные в
допущениях не варьировались, а, наоборот, определенным обра-
зом фиксировались. Применяя, например, ¥в к формуле Д(Р),
т. е. обобщая ее по переменной р 10, мы можем рассуждать так:
Л(р) либо истинно для любого р, либо для каких-то значений р
ложно. В первом случае можно фиксировать р, подразумевая
под ним объект из множества значений р, во втором — такой
объект, для которого Л(Р) ложно. Действуя таким образом, мы
никогда не получим из истины ложь. Конечно, фиксируя значе-
ние Р в Л(р), мы должны фиксировать значения и всех других
свободных переменных в этой формуле.
Действительно, если наша формула содержит также свобод-
ные переменные рь ..., р™, то она представляет собой утверж-
дение об отношении между р, рь ..., рт и ясно, что зафиксиро-
10 Результаты обобщения Д(Р) по переменной 0 может быть урД(р) или
"V аД(а). Изменение переменной при определенных условиях несущественно.
77
ванный нами объект р имеет данное отношение, вообще говоря,,
не к любым Pi, рт. Фиксирование значения р требует соот-
ветствующей фиксации значения и всех других свободных пере-
менных.
Необходимость аналогичной процедуры фиксирования — огра-
ничения — переменной р возникает также при применении пра-
вила Ни в той формулировке, которая здесь имеется в виду. Во-
обще говоря, из утверждения ЯаЛ(а) нельзя вывести Л(Р) при
произвольном р. Однако подобный способ исключения Я возмо-
жен при определенном выборе значения р. Будем рассуждать,
так: дано ЯаД(а), это, возможно, верно (т. е. действительно су-
ществуют какие-то объекты в подразумеваемой структуре
<£>, П, Фу, для которых выполняется Л (а)) или указанное утвер-
ждение не является верным. В первом случае выберем какой-ли-
бо из объектов, для которых Л (а) выполняется, и назовем его,
положим р. Во втором случае р пусть обозначает любой, какой-
либо фиксированный объект. Но, фиксируя значение переменной
Р, которая подставляется вместо а в Д(а), мы должны также за-
фиксировать значение других свободных переменных рь ..., р«
в данной формуле. Последнее объясняется так же, как в случае с
Ув: выбранный предмет р имеет отношение А, вообще говоря, не'
к любым предметам; выбор предметов Pi.......pm осуществляется
как раз в зависимости от выбора р. Ясно, что при таком способе
рассуждения и в этом случае -- как в случае Ув — не может
быть так, чтобы заключение Д(р) оказалось ложным при истин-
ности ЯаД(а).
В соответствии со сказанным формулировки правил Ув и Яи
(которые называются слабыми правилами) и соответственна
применение этих правил в выводах будут сопровождаться осо-
быми заметками вида «р, Pi, ..., рт» — ограничены, где «огра-
ничены» будет означать как раз то, что значения указанных пе-
ременных определенным образом зафиксированы. С этими отмет-
ками связаны определенные ограничения возможностей примене-
ния самих правил Ув и Яи, а также определение самого понятия
вывода.
Д(Р) и А(е) в указанных далее формулировках правил для
кванторов есть формулы, представляющие собой результаты пра-
вильной подстановки р или е в формулу Д(а); р — переменная
того же типа, что и а; значение е см. в определении понятия
подстановки (см. с. 118).
Правила для кванторов, о которых уже шла речь, таковы?
Ув:	, р, рь рт — ограничены, где рь ..., рт — все
V аА (а)
свободные переменные формулы УаЛ (а) ”, Я(р) — результат
правильной подстановки р вместо а в формулу Л (а),
11 Как было замечено раньше, естественнее было бы фиксировать все сво-
бодные переменные, содержащиеся в А(Р) наряду с |3. Однако при этом нуж-
но было бы дополнительное условие: р не должно содержаться свободно в
формуле АаА(а).
78
v . Va.4(a)
’ и • л . ,
A (e)
g • A
a Я aA (a)
3 aA (a)
A(₽) ’

•Ян :
0m —ограничены, 01( ... , 0m— все свобод-
ные переменные формулы ЯаЛ(а) 12. Отметку 0, 0Ь ..., 0т —
ограничены понимаем как совокупность утверждений: 0 — аб-
солютно ограничена, и она ограничивает все остальные перемен-
ные 01, ..., 0m (которые являются относительно ограниченными),
т. е. имеем: «0 ограничивает 01», «0 ограничивает 02» и т. д. (Яс-
но, что переменных 01, ..., 0m — может не быть, тогда имеем
запись «0 — ограничена», что означает лишь, что 0 — абсолют-
но ограничена.) Отношение «ограничивает» транзитивно (если
некоторая переменная 0 ограничивает 0/, а 0; ограничивает 0/,
то 0 ограничивает 0/). С упомянутыми ограничениями на при-
менения VB и Я„ связаны следующие условия правильности вы-
водов:
1) никакая переменная не должна быть абсолютно ограни-
•чена в выводе более одного раза 13;
2) никакая переменная не должна ограничивать саму себя
(непосредственно или по транзитивности).
Из указанных формулировок VB, VH, Яв и Яи нетрудно выде-
лить соответствующее правило исчисления предикатов первого
порядка (о котором речь пойдет ниже). Специфическими для ис-
‘числения предикатов второго порядка являются следующие пря-
жила:
V^A	. А[^(ах........<xft)\B]
----Ъ-	’		ь
А[^(а1, ... , aft)\B]-----------------З^А
тде A[Psfe(ai, ..., ал)\В] обозначает результат правильной под-
становки в А формулы В вместо Psk(си, ..., ал) (см. выше).
Вывод представляет собой некоторую непустую последова-
тельность формул. В натуральной системе он начинается всегда
12 Если брать все свободные переменные формулы А(0), содержащиеся в
>ней наряду с 0, то следовало бы, как в формулировке ув, требовать еще, что-
бы 0 не содержалось свободно в заА(а).
,3 Абсолютное ограничение переменной, например 0, означает, что при
’Применении ув или Зи мы, выбирая некоторый объект, обозначаем его (как
бы даем ему имя) знаком 0; ясно, что, вводя этот знак для определенного объ-
екта, мы не можем использовать этот знак в другом случае — применение тех
:же правил ув или Зи, поскольку фиксируемый при этом объект, возможно,
является другим; в каждом случае должен выбираться знак, отличный уже от
использованных в таких ситуациях (каждый раз должна употребляться пере-
менная, которая не является еще абсолютно ограниченной в данном выводе).
79
с некоторых допущений — исходных (данных для осуществления
вывода) или вспомогательных (подлежащих в дальнейшем иск-
лючению по правилам =>в и —и). Все формулы вывода нумеру-
ются. При введении некоторого допущения в вывод перед его
номером ставится знак «+». При применении того или иного
прямого правила к имеющейся последовательности приписыва-
ется заключение этого правила. В случаях применения непрямых
правил дэв и —в приписывается формула соответственно АгэВ
или А (указанная в заключении формулировок этих правил). По-
скольку при этом подразумевается, что из числа допущений вы-
вода исключается А, ставим перед номером указанной приписы-
ваемой формулы (—п), где п — номер допущения А. Это обозна-
чает, что последняя указанная формула вывода принимается без
допущения А. При этом естественно, что в дальнейшей части вы-
вода мы не можем использовать никакие формулы части вы-
вода от шага, где введено А до шага, непосредственно предшест-
вующего тому, где оно исключено (шаг с отметкой «(—п)>), по-
скольку формулы этой части могли зависеть от А. К сказанному
надо добавить еще, что исключение допущений (осуществляемое
по =>в и —в) может осуществляться лишь в порядке, обратном
порядку их введения. Иначе говоря, выделенным (устраняемым)
допущением А в каждом случае применения указанных правил
должно быть последнее, еще не исключенное допущение.
Вывод, в котором исключены все допущения (т. е. для каждого
шага «+/г» имеется шаг с отметкой «(—и)»), является доказа-
тельством его последней формулы.
Полученный вывод с заключением В (где В — последняя фор-
мула вывода) при наличии в нем некоторого множества неисклю-
ченных допущений Г представляет выводимость Г\-В, а Также '
А )- В, где А — любое расширение Г 14. В случае, если вывод
представляет собой доказательство В, имеем выводимость из пус-
того множества допущений, т. е. \-В, а также А \-В для любого
множества допущений А.
Вывод (доказательство) называется завершенным, если в име-
ющихся в нем неисключенных допущениях, а также в заключении
его не содержится никакая свободная переменная, абсолютно ог-
раниченная на каком-нибудь шаге в данном выводе. В противном
случае вывод не является завершенным. Незавершенный вывод
всегда может быть завершен исключением допущений, содержа-
щих абсолютно ограниченные свободные переменные применением
правила дэв, и последующим связыванием всех абсолютно огра-
ниченных свободных переменных в полученном заключении по-
средством применения правила Яв.
Следует различать выводы (и соответственно доказательства)
и схемы выводов. В выводах мы имеем дело с формулами языка,
14 Как мы говорили, выводимость должна соответствовать отношению ло-
гического следования. Для последнего в классической логике принимается прин-
цип: если В следует из какого-то множества посылок Г, то оно является след-
ствием и любого, более широкого множества посылок.
80
в схемах выводов — со схемами формул, т. е. с выражениями
для формул в метаязыке, например, вида Л&В=>С, УаЛ(а) и т. п.
Схема вывода представляет бесконечное множество выводов,
каждый конкретный вывод получается из нее подстановками вмес-
то метазнаков для формул (синтаксических переменных) любых
формул, вместо синтаксической переменной а — любой соответст-
вующей переменной языка и т. д.; вообще, вместо синтаксической
переменной — символа соответствующего типа объектного языка.
Вывод или схему вывода удобно сопровождать анализом, пред-
ставляющим собой указание для каждой формулы вывода, на
каком основании она введена в вывод, является ли она допуще-
нием или получена по какому-либо из правил — из выводимос-
тей, которые представляют некоторые части последовательности.
Приведем несколько примеров схем выводов и доказательств.
Вначале пример схемы вывода и доказательства на уровне ис*
числения высказываний.
Пример 1. Схема доказательства формулы: ((Л&ВрС)э
=>(Ло(В=>С)). Для сокращения опускаем внешние скобки в от-
дельно взятых формулах.
+ 1.	(Л&В)=>С	— допущ.
+ 2.	Л	— допущ.
+ 3.	в	— допущ.
4.	А&.В	— из 2, 3 по правилу &в.
5.	С	— из 1, 4 по правилу зэи.
—3)	6.	В=>С	— из 1—5, г)в.
(-2)	7.	Ло (ВоС)	— 1—6, дэя.
(-1) 8-	((Л&В)гэС)	=> (Л=> (ВоС))— 1—7, :г>в.
Последовательность формул 1—5, на которую имеется ссылка
на 6-м шаге, представляет выводимость (Л&В)оС, А, В I- С.
По правилу ов исключается допущение В (играющее роль А в
формулировке правила ов), роль Г играет множество формул
(Л&В)=>С и А, т. е. {(Л&В)=>С, Л}, выводимость, полученная на
6-м шаге, есть {(Л&В)эС, Л}|-В=)С. Последовательность фор-
мул 1—6 (используемая на 7 шаге) представляет выводимость
(Л&В)=>С, Л В=)С (роль Г в формулировке =>в играет одноэле-
ментное множество (Л&В)оС, т. е. {(Л&В)=>С}, исключаемое
допущение — Л). На последнем, 8-м шаге правило ов применя-
ется к выводимости (Л&В) оС Ло (ВоС), Г (в формулировке
ов) есть пустое множество. Результирующая выводимость есть
((Л&В)оС)=>(Ло(В=>С)). Таким образом, вывод представ-
ляет собой доказательство указанной формулы. На каждом из
предшествующих шагов получаем вывод — формулы этого ша-
га — из некоторого'непустого множества допущений.
81
Пример 2. Схемы вывода: Ух1У5г’?(Л=>В(х,-,	Ух;(Ло
=>V^?где А не содержит свободно переменных xt и
^Ptk, а В — любая формула, возможно содержащая свободные
переменные xiy Ptk.
+ 1. NxiN^ik (Л=>В (х„ ^ik) — допущ.
+ 2. A — допущ.
3.	У^(А=)В(Х', g>tk), 1, Уи
4.	Л=>В(х,-, 5»?), 3, У„
5.	B(xt, ZPf), 4, 2, =>„
6.	V^ikB(Xi, ^ik), 5, Ув, &ik, Xi — огр.
<—2)	7. Л=>У^*В(х,-, &*), 1-6, =>в
8. Ух;(Л=>У^*(х,-, 3V)), 7, Ув, х - огр.
Очевидно, все условия, связанные с ограничениями перемен-
ных и подстановками, выполняются (х — в первом случае только
относительно ограничен, и лишь один раз, во втором случае —
абсолютно ограничен). Вывод завершен, поскольку в Л по усло-
вию не содержатся свободно переменные х и фр. Во все осталь-
ные подформулы исходного допущения (1) и заключения (8) они
входят лишь в качестве связанных переменных. На шаге 6-м мы
писали «5V, х — ограничены», хотя не исключается наличие в
формуле В, как и У5^?В(х,, 5V) других свободных переменных.
'Однако при построении схем выводов необходимо учитывать лишь
явно вводимые переменные.
Примеры возможных нарушений условий, связанных с поняти-
ем ограничения переменных. Можно попытаться вывести выска-
зывание ЯуУхР(х, у) из УхЯуР(х, у).
4-	1. УхЯ^Р(х, у) допущ.
2.	ZyP(x, у), 1, Уи
3.	Р(х, у), 2, Яи, У, х — огр.
4.	VxP(x, у), 3, Ув, х, у — огр.
Последний шаг неправомерен, поскольку получается, что у
'ограничивает у (получается по транзитивности из того, что у ог-
раничивает х и х ограничивает у).
Положим, что нам дано Р(х). Формально можно вывести из
этого УхР(х). При этом х ограничен. В силу этого Р(х) |-VxP(x)
незавершен. Незавершено и доказательство |-Р(х) гэУхР(х),
которое можно получить, продолжая указанный вывод, исключая
допущение Р(х) по zjb. Вывод может быть завершен примене-
нием правила Яв. В результате получаем р Ях(Р(х)зэУхР(х)).
82
Пример 3. Схема доказательства формулы:
(ЯхЛ (х) УЯ.хВ (х)) =>Ях(Л (х) \/В (х)).
+ 1. ЯхЛ(х) УЯхВ(х) допущ.
+ 2. Ях(Л(х) \/В(х)) допущ.
+ 3. ЯхЛ(х) допущ.
4.	Л(х), 3, Яи, х — огр.
5.	Л(х)уВ(х) 4, Vbi
6.	Ях(Л(х)VB(x)), 5, Яв
(—3)	7. ЯхЛ (х) 1—2, 1—6, —в
8.	ЯхВ(х) 1, 7, Vh
9.	В (у) 8, Яи, у — огр.
10.	А(у)\/В(у) 9, Vb2
11.	Ях(Л(х)уВ(х)) Ю, Яв
(—2)	12. Ях(Л (х)уВ7хГ) 1, 2, 1 — 11, —в
13. Ях(Л(х)уВ(х)) 12, —и
(—1)	14. (ЯхЛ(х)уЯхВ(х))=>Ях(Л(х)уВW) 1—13, =>в.
Очевидно, все условия, связанные с ограничениями перемен-
ных и подстановками, выполняются. Вывод (доказательство) за-
вершен.
На шаге 9 нельзя было бы получить В(х), поскольку при этом
осуществлялось бы вторично в данном выводе абсолютное ограни-
чение переменной х,.
Последовательности 1—2 и 1—6, на которые есть ссылки на
шаге 7, представляют выводимости ЯхЛ (х) V ЯхВ (х), Ях (Л (х) V
\/В(х), ЯхД(х) Ях(Л(х)ДВ(х)), ЯхЛ(х) уЯхВ(х),
Ях(Л(х)\/В(х), ЯхЛ(х) }- Ях(Л(х)\/В(х)) (см. замечание выше
о соотношении вывода и выводимости). Исключаемым допущени-
ем — по —в — является, очевидно, ЯхЛ(х). На 12-м шаге и
для применения —в используем выводимости: ЯхД(х) \/Ял:2?(л:),
Ях(Л (х)уВ(х)) Н Ях(Л(х)УВ(х)) и	ЯхЛ(х) VЯхВ(х),
Ях(Л (х) уВ(х)) |-Ях(Л(х) VB(x)), которые представляют соот-
ветственно последовательности 1—2 и 1—11.
Из последних замечаний и аналогичных им в примере 1 не-
трудно усмотреть возможность замены непрямых правил =>в и —в
соответственно следующими прямыми:
_ В	В. В	л
о •------- и —-------, где Л — последнее из неисключенных
д
83’
допущений вывода, оно исключается при применении того или
иного из данных правил.
Покажем теперь, каким образом изменится построение вывода
на примере последних из приведенных схем (доказательств, при-
мер 3).
1. ЯхА (х) \/ЯхВ (х) допущ.
+ 2. Ях(А (х) \/В (х)) допущ.
+ 3. ЯхА(х)	допущ.
4.	А(х) 3, Яи, х — огр.
5.	X(x)VBU) 4, Vbi
6.	Ях(А(х)\/В(х)) 5, Яв
<—3)	7. ЯхА(х) 2, 6, —в	'
8.	ЯхВ(х) 1, 7, \/и
9.	В (у) 8, Яи у — огр.	.. ;
10.	A(y)VB(y) 9, Vb2
11.	Ях(А(х)V^(x)) 10, Яв	: ’
(—2) 12. Ях(Л(х)\7ВйГ) 2, 11, —в
13. Ях(А(х)VB(x)) 12,—и
(—1)	14. Ях(А(х)\/ЯхВ(х))=>Ях(А(х)\/В(х)), 13, =>в-
Как уже отмечалось, в ЯКЛП2 может быть введено по опре-
делению отношение тождества (равенства) индивидов x=y==V/”
D.f
сРЦх) czi^1 (у)), где 531 (х) ос^'(у) — сокращение для (^'(х)^
(у) ) & (^‘ (у)	(X) ) .
Было указано также, каким образом из ЯКЛП2 может быть
выделен в качестве его фрагмента ЯКЛП1 (язык классической
логики предикатов первого порядка). Из этого ясно, каким обра-
зом исчисление предикатов первого порядка получается в качест-
ве фрагмента описанного исчисления (второго порядка). В ЯКЛП1
отношение тождества нельзя ввести по определению, однако на-
личие этого отношения — для выражения многих высказываний
в этом языке — оказывается необходимым. Поэтому предикатор,
обозначающий отношение тождества, в случае надобности вво-
дится в число исходных символов ЯКЛП1 в качестве особого ло-
гического предикатора Р2 (или =). Соответственно к числу фор-
мул добавляется выражение P(t lt t2) (или ti = t2). Высказывание
Р2( t\, ti) (или ti — ti) означает, что ti и t2 являются именами
одного и того же предмета. Таким образом, « = » есть, по сущест-
ву, отношение между термами языка, а не между предметами
84
какой-либо внеязыковой действительности. Это и служит основа-
нием трактовки его как некоторого логического отношения.
Исчисление, построенное на базе ЯКЛП1 с равенством, назы-
вается исчислением предикатов с равенством. Свойства отноше-
ния « = » определяются в исчислении двумя постулатами: 1) t = t
(рефлексивность «=»), 2) (tl=t2)^(A(tl)^A(t2)), в натураль-
ной системе второму постулату соответствует правило
----~, где t2 есть результат замены какого-либо числа
A (ti) => А (/2)
(возможно нуля) свободных вхождений t\ в формулу А на t2.
При этом все вхождения t2, появляющиеся при такой замене,
должны быть свободными в А. Некоторое вхождение терма в
формулу А называется свободным, если все свободные вхождения
переменных в t остаются свободными в А.
В исчислении предикатов с равенством доказуемы теоремы,
выражающие свойства «=»: V (х=х) (рефлексивность «=»);
VxVy((x=y)o(i/=jc)) (симметричность « = »); VxVyVz(((x = y)&
&(y=z)) => (x—z)) (транзитивность).
Теми же свойствами обладает отношение тождества (равенст-
ва) второго порядка (тождество свойств или отношений, опре-
деленных на множестве индивидов или соответствующих им мно-
жеств). Это отношение не является определимым и в языке вто-
рого порядка. Предикатор, выражающий отношение тождества
второго порядка, мы будем вводить в язык в дальнейшем при
возникновении надобности.
Предикатор « = » оказывается необходимым при записи вы-
сказываний, в которых встречаются выражения типа: «для вся-
кого предмета (из некоторой предметной области) кроме «а»,
«для всяких двух различных предметов», «существует единст-
венный предмет, обладающий некоторым свойством Р», и т. п.
Высказывание о том, что лишь один предмет из некоторой
области обладает свойством Р, должно быть сформулировано в
виде Ях(Р* (x)&Vy(Pl (у)оу=х)). Для известного высказывания
геометрии: «Через каждые две различные точки проходит не бо-
лее чем одна прямая», которое с логической точки зрения более
информативным образом можно выразить как «для всяких двух
различных точек существует не более чем одна прямая, которой
принадлежат обе эти точки», имеем выражение: VxiVx2(xi=x2) о
=>VyVz((P(xb у)&Р(х2, у)&Р{х\, z)&P(x2, z))oz/=z), где значе-
ниями %! и х2 являются точки, у и z — прямые, «Р» означает
«принадлежит» (например, Р(х\, у) «принадлежит» (х, у)). Р пи-
шем вместо Р2, это обычная практика опускания верхних индек-
сов у предикаторов, которая не приводит к двусмысленности, так
как на число мест предикатора указывает число следующих за
ним аргументов.
Мы применяем здесь предметные переменные, с одной сторо-
ны, Xi, х2, с другой — у, z, имеющие различные области значений
(соответственно множество точек и множество прямых). Данный
85
прием применяется для сокращения записей. По существу, иск-
лючаем из записи высказываний указание на то, что обозначают
переменные, перенося эти указания в метаязык. Данный прием —
употребление «многосортных» предметных переменных — будет
использоваться и в дальнейшем. Само собой ясно, что в выводах,
в которых используются предметные переменные с разными об-
ластями значений, это различие необходимо учитывать при под-
становках термов вместо переменных: ясно, что вместо перемен-
ной со значениями из некоторой области Z)i может подставляться
только терм, обозначающий объект из этой же области.
Возможно построение исчислений на базе языков с многосорт-
ными предметными переменными. Однако в таких языках значи-
тельно усложняется определение интерпретации языка и формули-
ровки правил выводов.
Известно, что исчисление предикатов первого порядка (клас-
сической логики) является адекватным относительно описанной
выше семантики. Это значит, что всякая доказуемая в нем фор-
мула является общезначимой (теорема о семантической непроти-
воречивости исчисления), и, наоборот, всякая общезначимая
формула является доказуемой в исчислении (теорема о семанти-
ческой полноте исчисления). В качестве следствия этого полу-
чаем: отношение выводимости Г\-В имеет место в исчислении,
если и только если справедливо отношение логического следова-
ния Г\=В.
Исчисление предикатов второго порядка является неполным/
но семантически непротиворечивым. Доказуемы в нем только-
общезначимые формулы, и всякой выводимости соответствует от-
ношение логического следования (но не всякая общезначимая
формула является доказуемой) и не для всякого случая отноше-
ния логического следования Г^=В имеется отношение выводимо-
сти Г _L В.
Часть II
понятие
КАК ФОРМА МЫШЛЕНИЯ
Глава I
ПОНЯТИЕ КАК ФОРМА МЫСЛИ
И КАК ФОРМА ПОЗНАНИЯ
§ 7.
СТРУКТУРА И ОСНОВНЫЕ ХАРАКТЕРИСТИКИ
ПОНЯТИЯ.
РОЛЬ ПОНЯТИЯ в ПОЗНАНИИ
Понятие обычно определяют как одну из основных
форм мышления; этим подчеркивается важная роль его в позна-
нии. Переход от чувственной ступени познания к абстрактному
мышлению характеризуется прежде всего как переход от отраже-
ния мира в формах ощущений, восприятий и представлений к от-
ражению его в понятиях и на их основе в суждениях и теориях.
Мышление, таким образом, может рассматриваться как процесс
оперирования понятиями. Именно благодаря понятиям мышление
приобретает характер обобщенного отражения действительности.
Ф. Энгельс подчеркивает, что «результаты, в которых обоб-
щаются данные его (естествознания. — Е. В.) опыта, суть поня-
тия ...» [1, т. 20, с. 14]. Согласно характеристике В. И. Ленина
«понятия высший продукт мозга, высшего продукта материи» [2,
т. 20, с. 149].
В логике большое внимание уделялось понятию. Учение о по-
нятии составляет один из главных разделов традиционной логики.
Однако в анализе этой формы в сравнении с другими (сужде-
нием, умозаключением) имеется больше всего неясностей. Оста-
лось невыясненным основное: что представляет собой понятие
как форма мысли и тем более как форма мышления вообще? Это
положение находит отражение при попытках определения поня-
тия. В нашей учебной и специальной логической и философской
литературе наиболее распространенным является определение
понятия как формы мысли, представляющей собой отражение
предметов и явлений со стороны их существенных признаков.
Вот несколько типичных определений. Понятие есть «форма
мышления, отражающая и фиксирующая существенные призна-
ки вещей и явлений объективной действительности». «Понятие —
мысль, отражающая существенные признаки предметов». «Понятие
87
в марксистском его понимании есть итог, результат обобщения
явлений, их свойств, признаков, закономерных связей». «Научное
понятие как форма логического мышления является концентри-
рованным отражением внутренних, существенных, определяющих
свойств и закономерных связей предметов материального мира»..
«...Понятие способно отражать глубинные, сущностные стороны
познаваемых явлений. Характерная черта понятия состоит в том,,
что с его помощью различные предметы, свойства, отношения от-
ражаются в человеческом сознании через их существенные при-
знаки».
Во всех этих определениях понятие не выделяется из множе-
ства других форм мысли, в частности не отличается от суждения.
И в суждениях, конечно, могут отражаться и в действительности
часто отражаются существенные свойства, закономерные связи
предметов и явлений; в суждениях также осуществляются обоб-
щения, они представляют собой итоги познания и т. п. Иначе
говоря, все черты, которыми характеризуются здесь понятия, не
исключены и у суждений. Между тем авторы приведенных опреде-
лений имеют в виду особую форму мысли, особый способ отра-
жения действительности.
Не выясняет вопроса также принятое у некоторых польских
авторов определение понятия как смыслового значения имени;
«Значение имени мы называем понятием», — пишет К. Айдуке-
вич *. Понятие лошади есть значение имени «лошадь», понятие
«треугольника» есть значение имени «треугольник» и т. д. [107,.
с. 18]. При этом значение имени (слова) понимается как уста-
новившийся в данном языке способ понимания слова. Аналогично
у Т. Котарбиньского: «Содержание понятия, соответствующего
имени «М», — это все равно, что и значение имени «М»... [52,
с. 270]. Согласно' этой схеме Т. Котарбиньского, «Ян имеет поня-
тие катализатора» означает лишь то, что Ян понимает слово «ка-
тализатор», и если Ян не понимает этого слова, то он не имеет
понятия катализатора!
Заметив уязвимость указанной схемы, автор исправляет ее в
другом месте. Согласно уточненному определению: «у Яна есть
понятие преступления» означает лишь то, что «Ян понимает слово
«преступление» или какое-либо другое, равнозначное ему».
К этому теперь добавляется пояснение: «А понимает данное сло-
во тот и только тот, кто по меньшей мере наглядно уясняет себе,
что оно значит; следовательно, понимает, например, данное на-
звание тот и только тот, кто по меньшей мере наглядно отдает
себе отчет в том, какая совокупность признаков приписывается
объекту, о котором это слово высказывается» [52, с. 637].
Вместо «отдавать себе отчет в том, какая совокупность при-
знаков приписывается объекту...» в данном случае точнее было
бы употребить «знать, по каким признакам выделяется объект...»
1 Под значением имени Андукевич имеет в виду, очевидно, то, что мы на-
зываем смыслом. Термин «значение» часто употребляется именно так:
88
(это уже не то же самое, что «наглядно отдавать себе отчет»).
Но мысль, представляющая собой результат выделения объекта
по определенным признакам, и есть, собственно, понятие, а пони-
мание слова есть знание того, какое именно понятие, оно выра-
жает.
По Котарбиньскому, Ян имеет понятие преступления, если он
знает, например, что словом «преступление» обозначается обще-
ственно опасное действие или бездействие. Представим себе, что
Ян знает о существовании общественно опасных действий или
бездействий, но не знает, что слово «преступление» обозначает
именно такого рода действия, и (не владея, например, никакими
другими языками, кроме русского) не понимает никаких других
слов, обозначающих то же самое. Значит ли это, что Ян не имеет
понятия преступления? Ян может не понимать слова «преступле-
ние», «Verbrechen» (нем.), «crime» (англ.) и т. д. и все-таки иметь
понятие, выражаемое этими словами. Все дело в том, что для
понимания слова необходимо не только иметь выражаемое им
понятие, но и знать, что это слово выражает именно данное по-
нятие.
, Наконец, рассмотрим следующую ситуацию: Ян и Марк оба
понимают слово «идеал». Однако один имеет в виду под ним
«мыслимый предел желаний, стремлений», другой — известное,
выражаемое этим термином понятие алгебры. Значит ли это, что
один из них имеет неверное понятие идеала? Ясно, что нет.
Просто одно и то же слово в разных случаях связывается с раз-
ными понятиями.
Таким образом, понятие не является чем-то неразрывно свя-
занным с определенным словом. Оно представляет собой какое-то
самостоятельное мысленное образование. «Быть значением сло-
ва» — это двухместный предикат», «быть понятием» — одноме-
стный.
Айдукевич, например, поясняет, что имя приобретает отчет-
ливое значение (а видимо, только при наличии такого значения
и можно говорить об установившемся понимании имени) посред-
ством его определения. Но определение, когда оно относится
к имени, вводит некоторое понятие, которое придается данному
имени в качестве его смысла. Известно и то, что в науке термины
нередко вводятся для выражения уже сформировавшихся поня-
тий. В таком случае понятие становится смысловым значением
термина и определяет его понимание.
С материалистической точки зрения понимание (смысл) слов
естественнее выводить из понимания предметов, т. е. из уяснения
того, в чем состоит специфика того или иного предмета или
предметов некоторого класса, что обусловливает его специфику,
а здесь уже возникает проблема отражения. Главное в проблеме
понятия состоит именно в том, чтобы выяснить его специфику
как формы отражения мира и уяснить тем самым его роль в про-
цессе познания, а также в формировании, понимании и усвоении
языка. Нужно согласиться с тем, что смысловые содержания
89
имен, и прежде всего общих, — это понятия, но надо объяснить,
что представляют собой эти смысловые содержания и как они
формируются.
Мы уже имели случай упомянуть, что смыслы имен, так же
как и смыслы предложений (суждения), представляют собой
определенные структурные образования. Это — мысленные обра-
зования определенного вида или, как говорят, определенные
формы мысли. Более того, являясь определенным видом мысли,
понятие представляет собой вместе с тем и определенную форму
познавательной, мыслительной деятельности, форму познания
предметов и явлений действительности, определенный способ
воспроизведения предметов и явлений действительности на ступе-
ни абстрактного мышления. Наличие этих двух аспектов дает
основание характеризовать понятие как особую форму мышления
вообще. Понятия, как мысленные образования, как мы увидим
далее, весьма различны по своим структурам, в которых находит
выражение своеобразие и многообразие форм мыслительной, по-
знавательной деятельности человека.
Трактовка понятия польскими логиками хотя и не разъясня-
ет, что представляет оно собой как форма мышления, но явно
наводит на мысль о существовании такой формы.
Между тем под термином «понятие» некоторые философы
имеют в виду просто один из особых по своему содержанию ви-
дов суждения. Например, согласно определению П. В. Копнина:
«Понятие — это суждение, предикатом которого является мысль
о всеобщем в явлении» [51, с. 45, 48—50]. П. С. Попов считает,
что «понятие в тесном, или научном, смысле слова» есть сужде-
ние, в предикате которого раскрывается сущность некоторого
предмета (мыслимого в субъекте суждения) [см. 71, с. 72—73].
Суждения такого рода принято было называть в истории логики
как реальные определения предметов. Таково, например, опреде-
ление воды как химически сложного вещества, молекулы кото-
рого состоят из двух атомов водорода и одного атома кислорода.
Вопрос о том, что называть тем или иным термином, в част-
ности термином «понятие», не является принципиальным. Можно
обозначить им и особый вид суждения, но едва ли следует упот-
реблять его таким образом. Целесообразнее использовать этот
термин для обозначения особой формы мысли, существующей
наряду с суждением. Кстати, указание на эту форму имеется и
в приведенном определении П. В. Копнина: «мысль о всеобщем»,
представляющая собой предикат суждения, очевидно, уже не яв-
ляется суждением.
Итак, мы называем понятием то, что обычно называют смыс-
лом слова, имея в виду прежде всего смыслы общих имен, по-
скольку на их базе, как мы увидим дальше, формируются смыс-
лы единичных имен. При этом, как было сказано, мы исходим из
того, что имеем здесь дело с особой формой отражения действи-
тельности. Специфика этой формы состоит в том, что она прежде
всего представляет собой результат мысленного и, значит, сло-
90
веского выделения предметов некоторого класса, т. е. предметов,
качественно сходных в каком-то отношении. Выделение осуществ-
ляется по определенной совокупности признаков, отличительной
для данных предметов, т. е. такой, что все признаки данной со-
вокупности вместе достаточны, чтобы отличить эти предметы
от всех остальных. Если понятие образовано корректным обра-
зом, то указанная совокупность признаков является также неиз-
быточной. Это означает, что каждый признак из этой совокуп-
ности необходим для выделения данного класса. Совокупность
без этого признака уже не будет отличительной. Для выделения,
например, класса студентов используются признаки: «человек»,
«учащийся», притом «учащийся высшего или среднего специаль-
ного гражданского учебного заведения». Аналогично «материаль-
ный предмет, который в процессах мышления и общения людей
является представителем каких-либо других объектов» (знак);
«Способ ведения хозяйства предприятия, обеспечивающий окупа-
емость производимых затрат» (хозрасчет), и т. п. Но, для того
чтобы выделить класс предметов по какой-то совокупности при-
знаков, необходимо обобщить данные предметы по этим призна-
кам. Обобщение состоит в том, что мы отвлекаемся от всех ин-
дивидуальных и иных различий внутри класса, от того, например,
что есть студенты технических и гуманитарных вузов, есть хо-
рошо и плохо успевающие и т. п. В результате предметы мыс-
лятся абстрактно: только как обладающие указанной отличи-
тельной совокупностью признаков. Таким образом, мы имеем
мысленное образование: «Человек, являющийся учащимся выс
шего или среднего специального гражданского учебного заведе
ния».
Подводя итог изложенному, можно сказать, что понятие как
•форма (вид) мысли, или как мысленное образование, есть ре-
зультат обобщения предметов некоторого класса и мысленного
выделения самого этого класса по определенной совокупности
общих для предметов этого класса — ив совокупности отличи-
тельных для них — признаков.
Характеристика понятия как формы познания, как способа
мыслительной деятельности явствует из данного определения.
Это — способ мысленного выделения классов предметов посред-
ством обобщения этих предметов. Этот процесс включает, как
правило, более или менее широкое множество приемов познания.
Наибольшую ценность в познании представляют собой понятия,
в которых предметы обобщаются по существенным признакам.
Однако с гносеологической точки зрения мысль представляет со-
бой понятие независимо от того, насколько существенными яв-
ляются признаки, составляющие основу обобщения предметов,
тем более что для предметов одного и того же класса возможны
и менее и более существенные признаки, существенные для харак-
теристики самих этих предметов или с какой-то точки зрения
в связи с тем или иным использованием предметов (см. § 10).
91
Логическая структура и основные
характеристики понятия
Совокупность признаков, по которым обобщаются
предметы в понятии, называется содержанием данного понятия,
точнее было бы сказать основным содержанием; далее, мы будем
различать основное и полное содержание понятия и в связи
с этим различать само понятие просто как охарактеризованное
выше обобщение предметов, т. е. как смысл общего имени и как
некоторую систему знаний. При корректном способе образования
понятия основное содержание его — это совокупность признаков,
которые все вместе достаточны, а каждый необходим для того,
чтобы выделить данный класс предметов, т. е. отличить эти пред-
меты от других. Например, добавление перпендикулярности диа-
гоналей к содержанию указанного понятия квадрата делает со-
вокупность избыточной; данный признак является производным —
выводимым из основного содержания понятия квадрата. Класс
обобщаемых в понятии предметов называется его объемом. Мыс-
лимые (обобщаемые в понятии) предметы — носители признаков,
составляющих содержание понятия, — суть элементы объема это-
го понятия. Части объема — это виды предметов, обобщенных
в понятии, и выделение их означает выявление определенных
различий внутри класса предметов. Обобщая предметы в поня-
тиях, как было сказано, мы отвлекаемся от всяких различий
внутри соответствующего класса предметов. Но когда понятие
образовано, возникает обычно необходимость выявления их уже
на основе полученного обобщения. Это выявление осуществляется
в форме особой операции, называемой делением понятия, и пред-
ставляет собой определенную конкретизацию данного понятия.
Выше была указана совокупность признаков, составляющая
содержание понятия «студент». Объем этого понятия есть класс
всех людей, обладающих этими признаками, т. е. класс всех тех,
кого мы называем студентами. Отдельные люди этого множест-
ва — элементы его объема. Частями объема являются, например,
множество студентов технических вузов, а также гуманитарных,
множество студентов выпускников и начинающих обучение и т. д.
Следует обратить внимание на то, что объем понятия в отличие
от содержания понятия не является частью понятия как мысли.
Он представляет собой класс реально или по крайней мере не-
зависимо от понятия существующих объектов. Указание на объем
понятия при его характеристике есть указание именно на то, к
чему относится данное понятие, на то, что обобщается в нем.
Для понимания структуры понятия существенно учитывать,
что выделение мыслимого в нем множества предметов осуществ-
ляется всегда в пределах некоторого более широкого класса. Ин-
тересующие нас предметы мы мыслим в понятии как вид предме-
тов некоторого рода, как нечто особенное в пределах чего-то
общего. Так, треугольники мыслятся как вид плоских геометриче-
ских фигур, механическое движение как вид изменения (именно
92
изменение положения тела в пространстве), деревья как вид рас-
тений, хозрасчет как вид способов (методов) ведения хозяйства
и т. д. В соответствии с этим среди признаков, составляющих
содержание понятия, выделяются родовые и те, что составляют
видовые отличия мыслимых в понятии предметов. Так, например,
в формулировке понятия квадрата: «Четырехугольник с прямыми:
углами и равными сторонами» или более развернуто: «Плоская,
замкнутая, ограниченная 4 равными сторонами фигура, все сто-
роны которой равны и углы прямые» — слова «плоская, замк-
нутая, ограниченная четырьмя сторонами фигура» указывают
родовые признаки понятия, а «прямоугольность» и «равносторон-
ность» составляют видовое отличие «квадрата», именно то, что
выделяет квадраты в множестве четырехугольных геометрических
фигур. Род понятия составляет субстанциальная часть, а видовое
отличие — его атрибутивная часть (см. структура общего описа-
тельного имени, с. 31).
Вместе с тем указанное разделение признаков на родовые и
видовые не является абсолютным. В зависимости от задач, с ко-
торыми связано образование понятия, в качестве рода может
быть взят один или другой, более широкий класс. Те же квадра-
ты мы можем мыслить и как вид четырехугольников, и как вид
замкнутых плоских геометрических фигур, относя «четырехуголь-
ность» в таком случае к видовому их отличию, а также вид гео-
метрических фигур вообще. В каждом из указанных случаев мы
получим различные понятия об одних и тех предметах, более
того, возможно обобщение одних и тех же предметов в различ-
ных понятиях по различным совокупностям признаков вообще.
Металлы, например, можно мыслить как химически простые ве-
щества с особой, ионной кристаллической решеткой или как хи-
мически простые вещества, атомы которых обладают низким ко-
эффициентом ионизации. Один и тот же класс треугольников
может быть обобщен в понятиях «равносторонний треугольник» и
«равноугольный треугольник».
То, что в понятии класс предметов, составляющих его объем,
выделяется в пределах некоторого другого класса, является, по-
видимому, определенной закономерностью познания. Во всяком
случае в структуре понятия находит отражение диалектика от-
дельного, особенного и общего. Обобщаемые в понятии предметы
мыслятся как особенное в общем, а отдельные предметы осмыс-
ляются, как это видно из способов образования описательных
единичных имен, на основе понятий, т. е. как элементы особен-
ного, зафиксированного в понятии.
Указанная закономерность — необходимость выделения клас-
са предметов, обладающих некоторыми особенными признаками,
в пределах другого класса неявным образом нашла отражение
в аксиоматической теории множеств. Одна из формулировок из-
вестной в этих теориях множеств аксиомы свертывания гласит:
«По каждому условию А(х) относительно каких-либо предметов
х (сформулированного в предполагаемом формализованном язы-
93-
ке) можно образовать (выделить) класс предметов у, состоящий
из всех тех и только тех предметов х, которые удовлетворяют
указанному условию — Яу¥х(хеу—Л(х))». Для простоты пред-
полагаем, что А (х) содержит в качестве свободной переменной
только х; со — знак эквивалентности, Л со В понимается как сок-
ращение для (ДзэВ)&(ВзэД). Оказалось, однако, что эта аксио-
ма без особых ограничений правил образования формул в пред-
полагаемом формализованном языке не является верной. Если
в качестве условия «Д(х)» принять х^х, то в качестве следствия
из данной аксиомы получаем — посредством следующего выво-
да — противоречие:
1.	ЯуУх(хег/сл х^х) —допущ.
2.	Vx(xsxcz> х^х) из 1, Ни у — огр.
3.	уеусо у&у из 2, Vu
4.	yt=yzz>y^y из 3, &щ
5.	y^yzz>y^y ИЗ 3, &U2
+6. у<=у.
7.	у^у из 4, 6, z>u
8.	у^у из 5, 7, zdu
(—6)	9. у^у из 7, 8, —в
10.	у^у из 5, 9, ZDU
{—1)	11. (ЯуУ’У'(xsyt/эх^х)) из 9, 10 —ь-
Имеется, однако, другая формулировка аксиомы свертывания,
не приводящая к противоречию, т. е. неопровержимая указанным
образом (и, по-видимому, вообще) [см. 99, с. 174]:
Я у Vx (х^у сл'З.г (x<=z&A (х))).
Данная формулировка указывает на то, что по каждому усло-
вию А (х) можно образовать (выделить) класс у — всех тех
предметов х, которые удовлетворяют условию Д(х), но в пределах
некоторого класса z. Как видим, здесь имеется указание на необ-
ходимость выделения какого-то класса предметов в пределах
другого. Наконец, имеется третья, неопровержимая формулировка
той же аксиомы свертывания (называемая также аксиомой вы-
деления) [99, с. 174]:
Vz3yVx(xey (хег&Д (х))).
Здесь, как нетрудно видеть, утверждается, что во всяком клас-
се z по любому условию А(х) можно выделить класс предметов
у, удовлетворяющих этому условию.
94
Это утверждение можно истолковать как указание на то, что
всякое понятие хА(х) имеет объем. Класс предметов z в указан-
ной формулировке аксиомы — это область D значений х (род
данного понятия), а у есть не что иное, как именно объем дан-
ного понятия.
Слово и понятие. Как и всякая мысль, понятие выражается
в определенной знаковой форме. Непосредственно такими фор-
мами в естественном языке являются общие описательные имена.
Обычно вместо них используются всякого рода сокращения («сту-
дент», «треугольник»). Понятия составляют смысл имен такого
рода и в силу указанной их функции — мысленного выделения
предметов — связывают эти имена с теми объектами, которые
они должны представлять как знаки языка в процессах комму-
никации и мышления.
Напомним, что смысл является категорией семиотики, кон-
кретнее — семантики и представляет собой одну из характерис-
тик знаков. Говоря о понятии, мы выходим за пределы теории
знаков, рассматривая понятие не как некоторую характеристику
знаков, а как определенную форму отражения действительности
на ступени абстрактного мышления т. е. на ступени познания дей-
ствительности с помощью языка. То, что в семантике называется
смыслами знаков, представляет собой определенные мысленные
образования, результаты определенной мысленной переработки
предметов действительности и фиксации их в языке. Эти образо-
вания, как увидим далее, весьма различны по своим структурам,
в которых находит выражение своеобразие и многообразие форм:
мыслительной, познавательной деятельности человека. В связи
с вопросом о соотношении знаковой формы понятия и сокращаю-
щих слов следует различать два типа ситуаций:
1) в процессе той или иной научной деятельности или в по-
вседневной жизни человек вводит некоторые понятия, выделяя
интересующий его класс предметов и затем подбирает какое-ни-
будь сокращающее слово — общее имя для этих предметов;
2) имеется уже более или менее точно интуитивно употребля-
емое в научном или повседневном обиходе некоторое имя, обо-
значающее предметы некоторого класса, и затем образуется по-
нятие о соответствующих предметах, отвечающее на вопрос, что-
представляют собой эти предметы. (Операцию такого рода назы-
вают «реальным» определением термина.)
В первом случае понятие может быть сформулировано на ос-
нове нескольких или даже единичного наблюдаемого случая.
Так, обнаружение в начале лишь одного химически простого ве-
щества — радия — с самораспадающимися атомами послужило
основанием для создания общего понятия «радиоактивное веще-
ство». Возможно даже и часто осуществляется в науке образова-
ние понятий о предметах, существование которых только пред-
полагается или допускается как возможное. На основе знания,
например, того, что атомы известных химически простых веществ
состоят из положительно заряженного ядра и вращающихся во-
95>
круг него отрицательных частиц — электронов, — ученые пред-
положили возможность существования частиц, устроенных «на-
оборот», а именно состоящих из отрицательно заряженного ядра
и вращающихся вокруг него положительно заряженных частиц —
позитронов. Так возникло общее понятие антиатома. Ясно, что
объем образованного таким образом понятия может оказаться
пустым. Впрочем, в науку вводятся и используются для опреде-
ленных целей понятия и с пустыми объемами: например, понятие
«вечный двигатель» (и даже вечный двигатель первого рода и
второго рода). Оно применяется для формулировки определенных
законов термодинамики, а именно как раз для утверждения о не-
возможности вечного двигателя (как первого, так и второго
рода).
Как правило, понятие является результатом сложного процесс
са мыслительной деятельности. В случаях же второго типа дело
осложняется часто еще недостаточной четкостью предметных
значений употребляемых слов. Процесс образования понятий
здесь сочетается обычно с уточнением этого значения путем про-
смотра того, в каких именно контекстах (или, как бы сказал
Витгенштейн, по каким правилам) употребляется слово в данном
сообществе. Как правило, при этом выявляется даже многознач-
ность употребления того или иного слова, например, слова «игра»
как обозначение имитации некоторой деятельности ради удоволь-
ствия — детские игры, или отработки приемов некой деятель-
ности, или состязаний, или действий актеров и т. д. И довольно
неясно до сих пор, возможно ли некоторое обобщение, по суще-
ству, всех этих отдельных ситуаций в едином понятии. Аналогич-
ным образом дело обстоит со словом «болезнь» и многими дру-
гими.
К тому же нет никаких запретов для употребления того или
иного слова в некотором специальном смысле. Это значит, что
человек в случае надобности может ассоциировать с тем или
иным словом, уже употребляющимся в обществе, специальное по-
нятие (смысл), а тем самым и предметное значение, не соответ-
ствующее или не вполне соответствующее тем значениям, кото-
рое слово уже приобрело в языковой практике. Операция такого
рода типична для так называемых номинальных определений
термина. Существенно, однако, при этом, чтобы утверждения,
в которых употребляется это слово, согласовывались с этим
ассоциированным понятием. Лингвисты, например, постоянно ха-
рактеризуют существительное, глагол и т. д. как части речи, т. е.
определенного типа классы слов. Так, в книге «Современный рус-
ский язык» (под ред. Д. Э. Розенталя. М., 1979), читаем: «Суще-
ствительное есть класс слов, объединенных категориальным зна-
чением предметности и выражающих это значение в формах рода,
числа и падежа». Аналогично имена существительные, как и
глаголы и т. д., характеризуются и в другой книге под таким же
названием (Шанский Н. М., Тихонов А. Н. Современный русский
язык. М., 1981). Эти определения не соответствуют, очевидно,
96
употреблению слов «существительное», «глагол» как общих имен
для отдельных слов определенных типов. Только при данном их
употреблении осмысленно говорить о том, что существительные,
например, изменяются по падежам, числам, глаголы — по лицам
и временам (конечно, изменяются не классы слов, а именно от-
дельные слова). Подобные утверждения мы встречаем и в упо-
минаемых книгах, но они не соответствуют указанным определе-
ниям. Классы же, называемые частями речи, содержат в качест-
ве элементов результаты таких изменений. Когда отвечают на
вопрос, что представляют собой предметы, обобщаемые некото-
рым именем, указывают на элементы класса, который представ-
ляет это имя. Таким образом, согласно приведенным определе-
ниям элементами объема понятий «существительное», «глагол»
оказываются классы слов. В действительности же согласно при-
нятому употреблению этих слов классы (части речи) как раз
являются не элементами объемов соответствующих понятий, а
самими этими объемами.
Кстати, согласно тем же упомянутым определениям существи-
тельные, глаголы — это отдельные слова, и неясно, к какой кате-
гории отнести словосочетания, вроде «высокий человек», «красное
дерево» и более сложные, например «точка, которая находится
в состоянии покоя или равномерного движения». Очевидно, они
обладают всеми признаками существительного, кроме того, что
не являются отдельными словами. Естественно было бы считать—
опять-таки в соответствии с принятым употреблением, — что су-
ществительное — это единичное или общее имя, находящееся
в какой-либо из допустимых в данном языке форм (различаю-
щихся по числам и падежам, очевидно, что формы множествен-
ного числа могут иметь лишь общие имена).
Основные приемы образования понятий
Анализ предметов, данных в представлении, —
разложение их на отдельные признаки, выявление их связей и от-
ношений с другими предметами. Синтез — воспроизведение пред-
метов, расчлененных в процессе анализа на отдельные признаки,
представляющее их как систему выделенных свойств и отноше-
ний. Сравнение — выявление сходств и различий между предме-
тами. Обобщение — объединение в одной мысли под одной зна-
ковой формой множества предметов по сходным их чертам. Обоб-
щение связано, как уже было замечено, с процессом абстрагиро-
вания.
Полезно выделить три вида абстрагирования. Один из них со-
стоит в том, что в предмете выделяются какие-то признаки, а все
другие остаются за пределами внимания. Другими словами, про-
исходит отвлечение от всех других признаков. Результат приме-
нения такого приема есть абстрактно мыслимый, характеризуе-
мый лишь некоторой совокупностью выделенных признаков пред-
мет. Именно этот прием неразрывно связан с обобщением пред-
4 Е. К. Войшвилло
97
метов некоторого класса и поэтому может быть назван обобщаю-
ще различающим абстрагированием.
Второй вид — отождествляющее абстрагирование. Прием сос-
тоит в том, что, выделяя некоторые признаки предмета, мы иг-
норируем все остальные как несущественные с той или иной точ-
ки зрения. Это ведет к отождествлению всех предметов, облада-
ющих выделенными признаками. Таким образом, например, выде-
ляя те или иные слова по их структуре, мы игнорируем все
оазличия, связанные с их написанием или произношением, и рас-
сматриваем все случаи употребления слова одной и той же
структуры как различные экземпляры одного и того же слова. Все
эти случаи как бы склеиваются в один. Элементами понятия
«книга», например, мы считаем такие книги, как «Поднятая це-
лина», «Мать», «Три мушкетера» и т. д., но не различные экземп-
ляры этих книг.
И наконец, имеется так называемое изолирующее абстрагиро-
вание, состоящее в том, что отдельные признаки предметов, от-
дельные их характеристики мысленно отделяются от самих пред-
метов и становятся’ самостоятельными предметами мысли. Ре-
зультатом таких процессов являются так называемые абстракт-
ные объекты и понятия: «фигура», «качество», «количество», «та-
лант», «объем», «длина» и пр.
Следует различать (часто смешиваемые) такие приемы позна-
ния, как обобщающее абстрагирование и идеализация. Идеализа-
ция состоит в том, что, имея в виду некоторые предельные слу-
чаи (предел уменьшения трения, увеличение упругости и т. д.),
мы либо мысленно наделяем предметы какими-то свойствами, ко-
торых они в действительности не имеют (например, физические
тела — способностью восстанавливать при деформации свой объ-
ем или форму, в результате чего появляются понятия типа «иде-
ально упругое тело или жидкость»), либо лишаем их каких-то
свойств, которыми они в действительности обладают. Так возни-
кают в нашем сознании «безразмерные» точки, линии, лишенные
ширины, «идеальный газ» (молекулы которого при соударениях
ведут себя как абсолютно упругие шарики). Обобщенно говорят,
что понятие является результатом анализа мыслимых в нем пред-
метов.
Понятие и представление. Как уже отмечалось, обобщаемые
в понятиях предметы первоначально могут быть даны в пред-
ставлениях. Для класса чувственно воспринимаемых предметов
возможны даже некоторые общие представления, некоторые «ус-
редненные» образы этих предметов (например, можно иметь не-
который «недетализированный» образ дерева, человека). Однако
едва ли возможны подобные способы воспроизведения в сознании
таких предметов, как растения, организмы, и тем более объектов,
не относящихся к чувственно воспринимаемым («искривленное
пространство», «свет», «электромагнитное поле» и т. п.).
На примере взаимосвязи представлений и понятий (мышления,
которое обычно понимается как отображение мира в понятиях)
98
В. И. Ленин подчеркивал противоречивый, диалектический ха-
рактер познания. «Представление ближе к реальности, чем
мышление? И да и нет. Представление не может схватить дви-
жения в целом, например, не схватывает движения с быстротой
300 000 км. в 1 секунду, а мышление схватывает и должно схва-
тить» [2, т. 29, с. 209]. С одной стороны, представления ближе
к действительности, предметы отражаются в них в более или ме-
нее цельном, естественном виде. Понятие представляет собой
в некотором роде схематическое, но, как правило, более глубо-
кое отображение предметов. Отображение действительности в по-
нятиях обеспечивает неограниченные возможности познания дей-
ствительности. Существенно в этом отношении то, что представ-
ления субъективны, а понятия в силу их фиксации в языке интер-
субъективны. Представление более или менее конкретно, поня-
тие абстрактно. «Мышление, восходя от конкретного к абстракт-
ному, — пишет В. И. Ленин, — не отходит — если оно правиль-
ное... — от истины, а подходит к ней» [2, т. 29, с. 152].
Однако и оперирование понятиями в той или иной мере связа-
но с представлениями. Расчленяя в понятии предметы и явления
на признаки, мы связываем в свою очередь обычно сами эти при-
знаки с некоторыми представлениями. Й даже имея дело с сугубо
абстрактными предметами, человек стремится ввести в свои рас-
суждения элементы наглядности, конструируя для этой цели не-
которые представления — наглядные модели абстрактных объ-
ектов.
Понятие в строгом и не в строгом смысле. В части I мы отме-
чали, что общие (как и единичные) имена употребляются интуи-
тивно более или менее точно и без осознания того, по каким
именно признакам выделяются или могут быть выделены обозна-
чаемые ими предметы. В этом случае не выявлен смысл соответ-
ствующих общих имен, а следовательно, строго говоря, они не
выражают понятий. Так, человек может пользоваться словами
«дерево», «человек», «болезнь», не умея отвечать на вопрос, что
именно он имеет в виду, какие признаки специфичны для мысли-
мых здесь предметов. В одних случаях подобного рода со слова-
ми связываются лишь некоторые более или менее четкие пред-
ставления (чувственные интуиции) и через посредство именно
этих представлений осуществляется связь слов с предметами дей-
ствительности. В других — некоторые интеллектуальные инту-
иции, возникшие в процессе усвоения языка. Первоначальной ос-
новой указанных интуитивных связей имен с обозначаемыми ими
предметами является совместная практическая деятельность лю-
дей и, конечно, общение их в процессе деятельности. Люди вы-
деляют предметы некоторых классов и дают им общие названия
благодаря способности этих предметов удовлетворять их опреде-
ленные потребности.
В практике научного познания понятиями называют и те аб-
стракции, которые представляют интуитивно употребляемые
имена. Таким образом, термин «понятие» употребляется в более
4*
99
широком, чем указано выше, смысле. Так, говорят, например,
«дерево» — это понятие, «человек» — это понятие, независимо
от того, связываются или нет с этими словами знания о том,
что представляют собой обозначаемые ими предметы, выделены
ли в этих предметах те признаки, которые составляют основу их
обобщения, или же имеются лишь более или менее ясные, нерас-
члененные интуиции.
Иначе говоря, понятием в этом значении термина называют
просто любой предмет, ставший объектом мысли (следовательно,
названный и мыслимой в той или иной степени абстрактности).
Часто в философии прошлого для этого употреблялся термин
«идея». Например, Д. Локк, используя этот термин, указывает,
что под ним подразумевается «все, что является объектом мыш-
ления человека» [57, с. 75]. Оперируя таким понятием, человек
может не иметь о нем понятия. Это парадоксальное на первый
взгляд утверждение означает лишь то, что дважды употреблен-
ный в этой фразе термин «понятие» имеет в одном и другом
случае разные значения. Так, А. И. Герцен в письме «Эмпирия и
идеализм» говорит о существовании в науках понятий, которые
еще не поняты [29, т. 1, с. 93]. Однако во всех случаях, где не-
обходимо точное понимание смыслов утверждений, и особенно
если возникает надобность в доказательствах наших высказыва-
ний, мы не можем ограничиваться интуициями. В подобных ситу-
ациях необходимы понятия в строгом смысле этого слова, кото-
рых мы и будем придерживаться.
Абстрактное и конкретное в понятиях
В силу обобщенного характера отражения пред-
метов в понятии они мыслятся в понятии всегда в той или иной
мере абстрактно. Но это не означает, как часто представляется,
что сами мыслимые в них предметы всегда суть некоторые абст-
ракции. В понятиях: «металл», «растения», «атомы» и т. п. —
имеются в виду в качестве элементов объема некоторые предме-
ты действительности. Когда мы утверждаем, что все студенты
обязаны сдавать экзамены, то, конечно, относим эту обязанность
к конкретным людям, а не к неким абстрактным объектам. Лишь
в некоторых случаях предметами понятий являются те или иные
идеализированные предметы действительности («абсолютно упру-
гая жидкость», «идеальный газ», «материальная точка» и т. п.);
идеальные предметы («земной меридиан», «сила»), абстрактные
объекты (характеристики реальных предметов или множеств
предметов, отвлеченные от них и ставшие самостоятельными объ-
ектами мысли, результаты изолирующего абстрагирования —
пространство, время, упругость, числа, геометрические фигуры
и т. п.) и, конечно, — в соответствии с широким пониманием тер-
мина «предмет» — предметами понятия, элементами его объема
могут быть также и явления, события, процессы (восход солнца,
революция, перестройка, механическое движение и т. п.).
100
Возможные предметы понятий могут быть классифицированы
по уровням абстракции в соответствии с известной теорией типов
Б. Рассела (которую мы здесь несколько модифицируем с учетом
рассматриваемых вопросов). Во-первых, это индивиды (предметы
первого уровня) исходные объекты той или иной теории, вообще
говоря, предметы любой природы, но рассматриваемые без учета
их внутренней структуры; учитывается лишь возможность выде-
ления отдельных предметов, отличения от других и именования
их. Во-вторых, свойства и отношения индивидов (выступающие
именно как предметы мысли), множества и системы индивидов
(также рассматриваемые как предметы мысли). Это — предметы
второго уровня. Вообще, если выделены предметы i-ro уровня, то
следующий /Ч- 1-й уровень составляют свойства предметов i-ro
уровня, отношения, аргументами которых являются предметы i-ro
и, возможно, предметы более низких уровней, множества и систе-
мы, состоящие из предметов i-ro и, возможно, также более низкого
уровня. Из множества возможных систем объектов мы здесь
особо выделяем: 1) конечную или бесконечную последователь-
ность предметов, находящихся в некотором отношении. Конечные
последовательности называют кортежами, или — при наличии
«п» предметов в последовательности — «п»-ками предметов;
2) некоторые непустые множества предметов с множеством опре-
деленных иа них отношений и (или) операций. Примерами сис-
тем первого вида могут служить: натуральный ряд чисел, пара
объектов «город и страна», «такие, что первый является столицей
второй, пара людей, из которых первый является отцом второго.
Примерами систем второго вида являются алгебраические струк-
туры — группа, кольцо, булева алгебра. Например, булева алгеб-
ра есть система: непустое множество объектов некоторого типа М
с заданными на нем двумя двухместными операциями и одной од-
номестной операцией, удовлетворяющими определенным условиям.
Примером более сложных систем второго типа являются сис-
темы, класс которых выделяет аксиомы евклидовой геометрии,
аксиоматизированной Д. Гильбертом и представляющей собой
в этом случае формальную теорию.
Существенно выделяются своей структурой лишь понятия,
в которых мыслятся именно какие-либо системы объектов. Все
другие сходны между собой в том, что мыслимые в них предме-
ты — это отдельные объекты, будь то индивиды, свойства, отно-
шения или множества, рассматриваемые как предметы мысли.
Логические формы понятий этого типа, как и других типов, рас-
сматриваются в дальнейшем. Специфичны элементы объемов и
содержания таких понятий. Так, предметами — элементами объ-
ема понятия изотопов являются пары химических элементов, ато-
мы которых имеют одинаковые заряды ядра. Соответственно при-
знаками, по которым обобщаются объекты и которые в данных
случаях представляют видовые отличия обобщаемых объектов
(именно — пары некоторых предметов), являются определенного
вида отношения между этими предметами — отношение равен-
101
ства зарядов ядра. Объемом приведенного понятия является сово-
купность соответствующих пар.
Значение понятий в познании. Итак, в понятии выделяются
некоторые классы предметов посредством обобщения этих пред-
метов. Результаты таких выделений в понятиях представляют оп-
ределенные «узлы» в познании, вокруг которых концентрируются
все наши знания. Так, в процессе познания мы постоянно накап-
ливаем знания о животных и растениях (и различных видах тех
и других), о металлах и металлоидах, об энергии и механическом
движении, о государстве и классовой борьбе, о теплоте, электри-
честве, магнетизме и т. д., имея каждый раз в основе той или
иной системы знаний определенные понятия (далее мы увидим,
что при определенном более широком — по сравнению с приве-
денной характеристикой — взгляде на понятие, его естественно
трактовать именно как некоторую систему знаний). Существен-
ную роль играют понятия в формулировке законов науки; кото-
рые представляют собой, как известно, общие утверждения, отно-
сящиеся к тем или иным классам предметов, обобщенных в по-
нятиях. «Во всякой замкнутой системе энтропия возрастает», —
это предложение имеет определенный смысл и только в этом слу-
чае может быть истолковано как выражение закона природы,
если определенный смысл имеют его части: «замкнутая система»,
«энтропия», «возрастает». Эти смыслы суть понятия.
Представляя собой смыслы общих имен и имея таким образом
в качестве своих знаковых форм описательные общие имена,
понятия по своим знаковым формам являются своеобразными
переменными естественного языка, для которых мы употребляем
название «специфицированные переменные». Именно благодаря
понятиям абстрактное мышление характеризуется как обобщенное
отражение действительности. Всякий отдельный предмет, явление
и т. д. познается здесь на основе некоторого общего понятия, как
отдельное в чем-то общем (медь как металл со своими особыми
характеристиками, Октябрьская социалистическая революция —
на основе понятия революции вообще).
Более того, понятия нужны не только для формулировок и
объяснения законов, знание которых является результатом эмпи-
рических обобщений (в частности, посредством популярной ин-
дукции). Для того чтобы объяснить, например, почему давление
газа на стенки сосуда увеличивается с уменьшением его объема
и с повышением температуры, надо иметь понятие, выражающее
сущность самого газа, давления, температуры. Необходимо осо-
знать, что газ представляет собой совокупность хаотически дви-
жущихся молекул, что давление на определенную единицу пло-
щади сосуда есть совокупная сила ударения молекул о соответ-
ствующий участок стенок сосуда и что температура газа — это
показатель средней кинетической энергии движения молекул, от
которой и зависит сила ударения молекул о стенки сосуда.
102
§ 8.
ЛОГИЧЕСКИЕ ФОРМЫ ПОНЯТИИ.
ПОНЯТИЯ и ОПИСАТЕЛЬНЫЕ ИМЕНА (дескрипции)
Логическая форма того или иного понятия, как и
суждения, может быть выявлена по знаковой (языковой) форме
его выражения обычным образом, посредством замены содержа-
щихся в ней дескриптивных терминов фиксированными перемен-
.ными (параметрами) соответствующих категорий. Однако если
для суждения более или менее значительной сложности обычно
может быть указана его точная знаковая форма, по крайней мерс
в специальном формализованном языке, например в языке логики
предикатов, то для понятий в этом отношении имеются опреде-
ленные трудности. Эти трудности обусловлены, в частности, тем,
что понятие не воспринимается как единое мысленное образова-
ние. Признаки, составляющие его содержание, представляются
как некоторое множество отдельных характеристик, данное их
перечислением. Не воспринимается единство класса и признаков,
характеризующих его элементы, обобщенный характер отраже-
ния предметов класса и в конечном счете то, что понятие по
своей знаковой форме есть специфическая (специфицированная)
переменная естественного языка (см. § 7).
У. Рейтман, например, пишет, что термин «понятие» «...обо-
значает либо множество элементов, удовлетворяющих некоторому
критерию, либо сам этот критерий» [75, с. 145—146]. Между тем
автор подчеркивает существенное значение теории понятий для
психологии. Даже в простых случаях для точного выражения по-
нятий, например, «кристаллическое вещество», «целое положи-
тельное число, которое больше 5», «целые положительные числа
(пара чисел), такие, что одно больше другого» нужны специаль-
ные языковые средства. Необходимо, в частности, использовать
специальные знаки — переменные в составе языковых форм, вы-
ражающих отдельные характеристики признаки предметов или их
систем в указанных понятиях, таких, как «— является кристал-
лическим», «— больше 5», «— больше —». Употребляя здесь пе-
ременные х и у, будем иметь: «х является кристаллическим», «х
больше 5», «х больше у» или в стандартной и потому более удоб-
ной форме: «кристаллично (х)», «больше (х, 5)», «больше (х, у)».
Таким образом, здесь мы, по существу, применяем язык логи-
ки предикатов (см. § 5). Напомним, что указанные здесь выска-
зывательные формы называются предикатами. Употребляя опи-
санный выше язык логики предикатов — с некоторыми необходи-
мыми в тех или иных случаях расширениями — мы будем исполь-
зовать упомянутую при его описании возможность применения
многосортных предметных переменных, т. е. переменных с раз-
личными областями возможных значений. В порядке расшире-
ния описанного языка будем использовать «у» в качестве пере-
менной для множеств индивидов или n-ок индивидов. Перемен-
ные всегда употребляются с указанием областей (множеств) их
103
возможных значений. В первом из указанных случаев область
х — вещество, во втором и третьем — х и у — целые положи-
тельные числа. В предикате «столица (х, у)» областью х естест-
венно считать города, а областью у — государства. Переменная
в составе предиката является знаком произвольного (любого, не-
фиксированного) предмета из соответствующей предметной облас-
ти. Используя введенные средства, указанные понятия могут быть
выражены в таком случае в виде: «х кристаллично (х)» (чита-
ется: «вещество х, которое является кристаллическим» или «ве-
щество х, для которого верно, что оно является кристалличес-
ким»), «х больше (х, 5), (целое положительное число х, которое
больше 5»), «(х, у) больше (х, у)» («целые положительные чис-
ла — х и у, такие, что первое больше второго»). Как можно ви-
деть, родовые признаки понятий при данном способе их выраже-
ний включаются в характеристики предметных областей пере-
менных. Явным образом выражаются лишь видовые отличия
мысленных понятий предметов. Ясно, что родами для первых двух
понятий являются соответственно множества веществ и множест-
ва целых положительных чисел, т. е. области значений х, род
третьего понятия — это множество всех возможных пар целых
положительных чисел, т. е. декартово произведение (или
в данном случае, декартова степень D2), где D — множество це-
лых положительных чисел.
До сих пор мы употребляли лишь индивидные переменные.
Другие типы переменных, необходимых в ряде определенных слу-
чаев для образования понятий, — это переменные для свойств и
отношений, а также для множества предметов (для обобщения
систем предметов в понятиях потребности в специальных пере-
менных не возникает). Используя, например, переменную для
свойств индивидов, для двухместных отношений между инди-
видами, можно образовать понятия: «,^1 такое, что для всякого
вещества х, если оно металл, то ^Цх)» («свойство, общее для
всех металлов»; элементами объема этого понятия является, на-
пример, электропроводность, ковкость и другие свойства метал-
лов), «5я2 такое, что 5я2 (6, 3)» («отношение между числами 6 и
3»; элементами объема его являются отношения «больше», «де-
лится на» и др.). Понятие «5я2, такое, что для любых двух пред-
метов х и у верно, что если ^*2(х, у), то ^я2(у, х)» обобщает двух-
местные симметричные отношения; элементами его объема явля-
ются «параллельно», «перпендикулярно», «равно», «сосед» и др.
Когда видовое отличие понятия составляет некоторое множе-
ство признаков, то их как предикаты можно объединить в один
предикат посредством операции конъюнкции.
Теперь более точным образом могут быть определены логи-
ческие формы понятий. Учитывая сказанное выше о типах воз-
можных объектов мыслимых понятий, можно выделить два ос-
новных типа понятий, различающихся по их логическим формам:
1) ХА(X) читается: «предмет X из соответствующей предметной
области, для которого верно Я(Х)» и 2) (Xi, ..., Хп)А (Хь ..., Хп)
104
(«система объектов Хь Хп из соответствующих предметных
областей, для которых верно А(Х{, ..., Хп)», или «система объек-
тов Xi, ..., Хп — из соответствующих областей, находящихся
в отношении A(Xi, Хп)»). Элементами объема первого поня-
тия являются отдельные предметы (любого типа — индивиды,
свойства, отношения, множества). Элементы объема второго —
системы предметов (Хь ..., Хп). Последняя форма может рас-
сматриваться как общая форма понятия при условии ri^l. Систе-
ма (X) из одного предмета трактуется при этом просто как от-
дельный предмет, т. е. (Х)4(Х) рассматривается как ХА(Х).
В качестве обобщенного знака для двух указанных форм поня-
тий мы будем употреблять также Ж Л (Ж), где Ж есть X, или
(Хь ..., Хп), п^1.
Выражение ЖЛ(Ж) представляет собой точное выражение
структуры общего описательного имени. При этом обобщается
понятие общего имени: включаются в рассмотрение общие имена,
элементами объемов которых являются системы объектов того
или иного рода. Здесь явным образом реализуется также идея
истолкования общих имен естественных языков как своеобразных
(специфицированных) переменных.
В предикате A(Xi, ..., Хп) в составе понятия (Хь ..., Хп)
A(Xit ..., Хп), п^1 не должно быть никаких свободных — не свя-
занных кванторами «всякий» и «существует» — переменных, кро-
ме Xi, ..., Хп. Однако не обязательно должна содержаться каж-
дая из этих переменных. Так, рассматривая точку на плоскости
как пару координат (действительных чисел) х и у, как это приня-
то в аналитической геометрии, мы можем образовать понятие
«точка окружности с радиусом г, расположенной в плоскости ХУ,
с центром в начале координат» — (х, у) (х2 + у2 = г2). С тем же
предикатом мы можем образовать понятие (х, у, г) (х2 + у2 = г2).
Здесь систему объектов (х, у, z) можно рассматривать как точку
в пространстве (с координатами х, у, z), а все понятие истолко-
вать как «точка цилиндрической поверхности, проходящей через
окружность х2+у2=г2 (предыдущего примера) параллельно
оси Z».
Из последних двух примеров видно, почему неправильно отож-
дествлять понятие с предикатом (и тем более с одноместным
предикатом, представляющим свойства, как это делал, например,
Фреге). Дело именно в том, что один и тот же предикат может
составлять содержание различных понятий.
Замечание. Д. П. Горский в книге «Обобщение и познание»
считает, что нужно различать три формы понятия, или, как он
пишет, три формы выражения понятия: Р(х), хР(х) и Р(а), где
Р — конкретный предикат, «а» — некоторый параметр, представ-
ляющий «...некоторый фиксированный индивидуальный элемент...»
некоторого класса [35, с. 135] — объема понятия (по термино-
логии автора — экстенсионала понятия). «Общим для указанных
форм понятий, — как считает Д. П. Горский, — является то, что
в них некоторым образом отождествлены изучаемые объекты
105
предметных областей по общему для них свойству Р, ...» [35,
с. 133]. Однако последнее можно сказать лишь про форму хР(х)
с той оговоркой, что отождествляются — в результате обобщения
в понятии — обычно не все предметы изучаемой области, а лишь
некоторый их вид; сама эта область служит родом для понятия.
Выражение Р(х) само по себе не указывает, очевидно, на какое-
либо отождествление или обобщение предметов какого-либо клас-
са, хотя бы потому, что, как мы только что видели, оно может
быть использовано для обобщения индивидов х, пар (х, у), троек
(х, у, z). Тем более не представляет собой, очевидно, никакого
обобщения Р(а). Это просто логическая форма атомарного атри-
бутивного высказывания. Различие между Р(х) и хР(х), тракту-
емыми как понятия, Д. П. Горский видит в том, что первое
«...выражает структуру такого понятия, которое при оперирований
с ним не предполагает полностью выделенного объема» [35, 134],
а второе «...используется тогда, когда объем понятия ... счита-
ется полностью выделенным из соответствующей области пред-
метов в некотором абсолютном смысле» [35, с. 135]. Неясно, что
значит здесь «объем некоторого понятия выделен» и тем более
выделен «в некотором абсолютном смысле». По-видимому, име-
ется в виду, что класс обобщаемых в понятии предметов каким-
то образом описан уже до образования понятия. Однако для
образования понятия и тем более его «использования» этого не
требуется. Мы можем, например, употреблять понятие «натураль-
ное число х, находящееся в промежутке между числами 100 и
1000», имеющее, очевидно, форму хР(х), вовсе не зная, каково
множество таких натуральных чисел. С помощью этого понятия
как раз и выделяется и определенным образом характеризуется
этот класс.
Выражения вида Р(х) или Р(х, у) в разговорном языке на-
зывают иногда понятиями. Можно сказать, например, что понятие
«х<у» (для целых положительных чисел х, у) есть Э.г(х+г=у),
т. е. «х<г/» означает, что сумма х с некоторым z равна у. Одна-
ко «х<у» мы употребляем здесь просто как сокращение знака
подразумеваемого понятия (х, у)(х<у). Во всяком случае, опре-
деляя некоторый предикат А(Х\, ..., хп), мы определяем факти-
чески и понятие (хь ..., хга)Л(Х1, ..., х„). Сам по себе предикат
не выступает как какая-то особая форма понятия. Мы выделяем
его из понятия постольку, поскольку нас интересует лишь одна —
интенсиональная — сторона понятия.
Отношение принадлежности предмета (элемента)
классу — объему понятия и включение класса
в класс.
Основные эквивалентности
Пусть •щ'Х.АСХ, ) означает «множество всех систем
объектов Xi, Хп, удовлетворяющих условию A(Xit ..., Хп)»
или «множество всех объектов X, удовлетворяющих условию
Л(Х)», т. е. объем понятия Ж Л (ЗЕ), где w (перевернутое М) —<
106
оператор образования множества. В логике множество мЭсА(Х)
обозначают так же, как 3EA(£) и {36 :А(36)}. Но удобнее иметь
оператор множества указанного префиксного типа.
Например, объем рассмотренного выше понятия «точка окруж-
ности» есть w (х, У) (х2+у2=г2). Это, собственно, и есть имя самой
окружности, понимаемой как «геометрическое место точек», т. е.
множество точек, определенным образом связанных между собой.
Используя переменную v для подобных множеств, можно
сформулировать понятие окружности, лежащей в плоскости х, у
с центром в начале координат u3zz(u = w(x, у) (х2+у2=и2)), где
и — числовая переменная для радиуса окружности (с той же
областью значений — множеством действительных чисел, что и х
и У)-
Утверждение о том, что система предметов (0Ь ..., 0П), /г>1
есть элемент объема понятия (Хь ..., Хп)А(Х\, ..., Хп), может
быть записано в виде (0Ь ..., 0„)е эд (Хь ..., Х„)А(Ль ..., Хп),
где «е» — отношение принадлежности элемента классу.
При этом, если (01...... 0Л) относится к роду понятия
(Xi, ..., Хп)А(Х\, ..., Хп), т. е. является элементом рода, то име-
ет место эквивалентность 1.8:
1.8. (0Ь ..., 0га)€= w•••> %п) (01, .... Bn)=A(Qi, ..., 0„),
где А(0Ь ..., 0„) получается из A(Xi....Хп) заменой всех сво-
бодных вхождений Х( на 0,- (i=l, 2 ... п), а п^1. Причем, само
собой подразумевается, что 0/ есть предмет из области значений
JV/.
Как известно, выражение «М1=Л12» (означающее в теории
множеств: «множество Mt есть часть множества М2» или
включено в Л42») равносильно «Ух(хеЛ112эхеЛ12» («для всякого
объекта, если он элемент Л4Ь то он есть элемент М2»). Примени-
тельно к объемам понятий и с соответствующим обобщением име-
ем эквивалентности 2.8 и 3.8:
2.8 до36А(36) cz доЖВ(Ж) = уЭс(Ж еЕууЖА(Ж) => X ее
где «УЗЕ», если 36 есть (Хь ..., Хп), является сокращением для
«УХЬ УХ2, .... VX„».
Из 1 и 2 получаем
3.8. w3EA(3E)£W^(3£)^V3e(A(3e)=>B (36)).
Заметим, что эквивалентность 1.8 обычно формулируется (в математике,
например) без указанного условия о принадлежности системы (01( .... 0П) к
роду понятия (Xlt ..., Xn)A(Xi, ..., Хп). Подразумевается, что род этого по-
нятия представляет собой универсум рассуждения. Однако в естественном язы-
ке нет определенного единого универсума рассуждения и мы можем иметь де-
ло с предметами, которые не относятся к роду того или иного понятия. С уче-
том этого вместо указанной эквивалентности должно быть: 1'. (0t, ..., 9я)е
GW(X1, ..., ХП)А(Х1, .... X„)=3(Xt, .... Xn)((Xi, .... Xn)as(0,, ....
..., 0n)&A(Xi..x„)=g (xh ..., xn)(x,, ..., x„) = (0. 0П)&Д(0Ь ..
.... 0»)).
Например: высказывание «дух является зеленым» (пример Гегеля, якобы
опровергающий закон исключенного третьего) можно понимать как утверждение:
«а»еод хР(х), где «а» — дух, «Р» — зеленый. Область «х», т. е. род понятия
хР(х), естественно есть множество вещей, обладающих каким-нибудь цветом.
Тогда имеем: «аеуухР(х)  ах(х=а&Р(а))». Утверждение, очевидно, ложно,
107
поскольку среди предметов _рода понятия хР(х) нет «духа». Верным будет
«а f^WxP(x) =Vx((x^a)yP(a))>.
В естественном языке вместо a^WXA(X) употребляются обычно формы
вида а есть <т, где <т — общее имя. В данном случае, с учетом введенного здесь
представления общих имен как специфицированных переменных, а есть ХА(Х).
Так, вместо «Иванов является элементом множества людей, имеющих высшее
образование», мы скажем, очевидно, «Иванов есть человек, имеющий высшее
образование». Таким образом, мы снова, но теперь уже в точных терминах, при-
ходим к выяснению смысла выражения «есть <т» (ср. с. 31). В применении это-
го выражения к предмету а имеем «а есть ХА(Х)» эквивалентно «зТ(а=
=Х&А(а))». Теперь, однако, существенно обратить внимание на две различные
формы, как будто одного и того же утверждения: «а есть ХА(Х)» и «А(а)».
В первой предмет подводится под некоторое понятие. (Это отношение харак-
теризуется в диалектике как утверждение тождества отдельного н общего, ина-
че говоря, само это утверждение истолковывают как «отдельное — а есть об-
щее — <т».) В другой утверждается наличие у предмета а определенной харак-
теристики (признака) А. Первую можно назвать понятийной формой утверж-
дения, вторую — атрибутивной. (Аристотель, например, утверждения вида:
«Всякое S есть Р», имеющее, очевидно, понятийную форму, формулировал как
«Р принадлежит всем S», т. е. в атрибутивной форме.) Атрибутивная форма
выражения предложений характерна, например, для языка логики предикатов,
но не является редкостью и в естественных языках. Именно с этой формой
утверждения связано в логике много софизмов и парадоксов. «Дух—зеленый»
и «дух—незелеиый» — то и другое, как говорит Гегель, ложно, вопреки закону
исключенного третьего (очевидно, мы имеем здесь атрибутивные формы утверж-
дений Р(А) и Р(А)). В парадоксальную ситуацию согласно известному в логике
софизму попадает человек, отвечающий (именно в предложениях атрибутивной
формы) на вопрос: «Перестал ли ты бить своего отца?» — в форме «да» (Р(а))
или «нет» (Р(а)). Аналогично возникает парадокс относительно множества всех
нормальных множеств, известный «парадокс лжеца», «Эватл и Протагор» и т. п.
Дело в том, что в утверждении атрибутивной формы подразумевается (или
должно подразумеваться), что предмет, к которому относится утверждение, при-
надлежит области определения утверждаемого или отрицаемого признака, и
парадоксы возникают именно в тех случаях, когда это условие нарушается.
Признаки «зеленый», «незеленый» имеют в качестве области определения вещи,
которые могут иметь какую-нибудь окраску.
Парадоксы указанных видов исчезают при формулировке соответствующих
утверждений в понятийной форме. Мы уже показывали, как это происходит в
связи с гегелевским парадоксом относительно духа; аналогичное, например, про-
исходит и с утверждением относительно множества всех нормальных множеств.
Пусть а обозначает это множество, a N — свойство множеств «нормально», а
область переменной v — множество множеств. Тогда для утверждения: «Мно-
жество всех нормальных множеств является нормальным» — имеем: а есть
0.V(0)s3n(a = i'&V(tt)). Но мы уже видели выше, что из утверждения АГ(а)
следует N(a). Это значит, что наше утверждение эквивалентно g v(a=v&N (а)&
т. е. является ложным. Утверждение же, что множество всех нормаль-
ных множеств ие является нормальным в понятийной форме — а есть vNv,
т. е. а ие есть vN(v), эквивалентно 3t>(a=i>&M(a)), что_в свою очередь эквива-
лентно уv(a~v\/N(a)). Учитывая, что N(a) =N(a)&N(a) (как это получает-
ся в известных формулировках парадокса), имеем, наконец, что а не есть
vN(v) эквивалентно \va = vV(N(a)&N(а)) = Vt>(a=t>) ss g v(a=v), т. e. среди
множеств не существует множества всех нормальных множеств (мы получили
здесь отмеченный выше (§ 2, гл. I) результат, что противоречивость множества
всех нормальных множеств указывает на то, что оно не существует как пред-
мет) .

Способы образования единичных описательных
имен на основе понятий.
Логическая структура общих имен
Как мы видели, на основе понятия может быть об-
разовано имя класса — объема этого понятия. Это описательное
-единичное имя класса. Оно выделяет данный класс предметов.
С другой стороны, тот же класс выделяет, как мы говорили выше,
само понятие $4 (ЗЕ ). Ясно, что о выделении в том н другом слу-
чае речь идет в различных смыслах. При образовании имени
класса мы выделяем этот класс как предмет мысли и, значит,
как нечто целое. Употребляя данное имя, мы можем сказать, на-
пример, что данный класс не пуст (или пуст), конечен (или бес-
конечен). Выделяя класс в понятии, мы не превращаем его
в предмет мысли, не рассматриваем как нечто единое, целое. Он
выделяется в силу того, что сама знаковая форма понятия явля-
ется знаком любого предмета этого класса. Как мы уже говори-
ли, — это своеобразная (специфицированная) переменная естест-
венного языка. Употребление понятия в качестве субъекта тех или
иных утверждений правомерно лишь в сочетании с кванторными
словами «всякий», «некоторые». Например, «всякое вещество, на-
ходящееся в жидком состоянии, не имеет собственной формы, то
есть принимает форму того сосуда, в который помещено», «неко-
торые вещества, находящиеся в жидком состоянии, являются, про-
водниками электрического тока» («вещество, находящееся в жид-
ком состоянии», есть, очевидно, понятие вида хР(х), где область
«х» есть класс веществ). Образование имени класса и тем самым
превращение этого класса в предмет мысли сопряжено с очень
-сильными абстракциями и идеализациями (см. § 2. «Единичные
имена»).
На основе понятия образуются также описательные имена
других типов, например, с помощью оператора определенной дес-
крипции — «1 » (называемого также «йота — оператором»), ко-
торому в русском языке соответствует словосочетание «тот...,
который», а также оператора неопределенной дескрипции «е»
(называемого также «эпсилон — оператором»), которому в рус-
ском языке соответствует слово «некий». Соответственно описа-
тельные имена имеют вид пЗЕ 4(3: ), е& 4(ЗЕ). Первое читается
как «тот предмет (или та система предметов) ЗЕ, который удов-
летворяет условию 4(ЗЕ)», второе — как «некий предмет (или
некая система предметов) ЗЕ, удовлетворяющая условию 4(ЭЕ)».
Первое называется также определенной дескрипцией, и ее обра-
зование правомерно лишь в случаях, когда предмет, удовлетворя-
ющий условию 4 (ЭЕ), существует и является единственным, т. е.
когда объем понятия ЭЕ 4 (ЭЕ) является единичным, например, «то
небесное тело, которое является естественным спутником. Земли
(собственное имя того же цредмета — Луна)». Второе называют
.неопределенной дескрипцией.. Ее образование правомерно, 'когда
класс предметов эдЗЕ4(ЭЕ) не является пустым. .
.109
Существенно заметить, что единичный класс ^^А(ЗЕ) и от-
дельный предмет i3EA(3E) — объекты разной природы. С по-
мощью 1 оператора мы «вынимаем» единственный предмет из
этого класса и делаем его предметом мысли. Важно также обра-
тить внимание на различие между е ЗЕ А (ЗЕ) и общего имени
ЗЕ А (ЗЕ), выражающего само понятие: первое является именем
какого-то фиксированного, хотя и неохарактеризованного далее
предмета из класса ЭДЗЕА(ЗЕ). Второе — знак любого из пред-
метов этого класса, в силу чего и употребляется как переменная.
Очевидно, понятие, составляющее смысл общего имени ЗЕ А (ЗЕ),
является также основной частью смыслов имен тЭЕ А (ЗЕ) и
еЗЕА(ЗЕ) (как и ^ЗЕА(ЗЕ)), но в содержании этих имен подра-
зумевается и дополнительная информация относительно обознача-
емых предметов. В первом случае — информация о существова-
нии и единственности предмета, во втором — о существовании
предметов, удовлетворяющих условию А (ЗЕ).
Учитывая сказанное, утверждение о том, что предмет пЗЕА(ЗЕ)
имеет некоторое свойство В, т. е. выражение В{ i3EA( ЗЕ)), можно
рассматривать как сокращение для утверждения: «существует
единственный предмет ЗЕ (соответствующей предметной области),
обладающий свойством А, который имеет также свойство В».
Аналогично выражение «В (е ЗЕ А (ЗЕ)» может быть принято как
сокращение для «существует предмет ЗЕ, обладающий свойством
А и свойством В».
Для обозначения смысла имен пЗЕА(ЗЕ ) употребляют также
термин «индивидный концепт» (Р. Карнап).
Глава II
ПРИЗНАКИ И ИХ ВИДЫ
§ 9.
ПРИЗНАКИ И ПРЕДИКАТЫ.
ДЕЛЕНИЕ ПРИЗНАКОВ ПО СТРУКТУРАМ
И СОДЕРЖАНИЯМ
Признаками в логике называют любые возможные
характеристики предметов, все, что можно высказать о предмете.
В объективной действительности это все то, в чем одни предметы
сходны между собой, другие — различны. Сходство и различие
предметов в самой действительности служат объективным осно-
ванием для отождествления и различения их по соответствующим
признакам в процессе познания. Как уже отмечалось, обобщая
предметы некоторого вида в понятии, мы отождествляем их по
соответствующей совокупности признаков, составляющих содер-
110
жание понятия; выделяя соответствующий класс предметов, отли-
чаем эти предметы от всех других предметов. Признаком может
«быть наличие или отсутствие у предмета того или иного качества,
свойства, состояния и т. п. или отношения предмета к другим
предметам. Так, признаками металлов является их кристаллич-
ность (качество), хорошая проводимость электричества (свойст-
во), а также то, что они не являются сложными веществами
(отсутствие качества); признаком Москвы является наличие у нее
такого отношения (к СССР как государству), как «быть столи-
цей», а одним из признаков Харькова — отсутствие такого отно-
шения.
Знаковыми формами признаков, формами выражения их в
языке в процессе познания, как было уже сказано, являются
предикаты, высказывательные формы со свободными переменны-
ми; именно они представляют собой формы утверждения или от-
рицания наличия у предметов тех или иных качеств, свойств и т. п.
Виды, признаков.
Деление по форме (структуре). Выделение различных призна-
ков (деление понятия «признак») может осуществляться с раз-
личных точек зрения или, как говорят в логике, по различным ос-
нованиям. Во-первых, необходимо различать признаки отдельных
предметов и систем предметов. Первые выражаются в виде одно-
местных предикатов, вторые — в виде многоместных (более чем
одноместных) предикатов (напомним, что одноместные предикаты
содержат одну свободную переменную, многоместные — более,
чем одну). Так, признаком двух государств может быть то, что
они являются соседями, дружественными государствами; пара
линий может характеризоваться тем, что эти линии имеют общую
точку (взаимно пересекаются) или, наоборот, не имеют общих
точек (не пересекаются).
Далее, необходимо (для дальнейших классификаций) разли-
чать признаки простые и сложные.
Речь идет о различениях признаков в зависимости от струк-
тур представляющих их предикатов. Простыми будем называть
признаки, предикаты которых не содержат никаких логических
констант, кроме, может быть, кванторов и отрицаний. В против-
ном случае признак является сложным. Примеры простых при-
знаков студента х будут тогда: «успевающий» («успевает х»),
«неуспевающий» («не успевает х»), «изучает какой-то иностранный
язык» («Зу изучает (х, у)») и «сдал все экзамены определенной
сессии» (Vy сдал (х, у))2.
Признаки вида (А1\уА2), (Ai&A2) являются сложными. Полез-
2 Правда, последние два признака можно представить как сложные: «изу-
чает (х, at) V—V изучает (х, аг)\/—V изучает (х, ат)», «сдал (х, at)&...& сдал
(х, ат)», где at, ..., ат — перечень иностранных (для данного студента) язы-
ков, илн — во втором случае — перечень экзаменов сессии. Однако эти преоб-
разования осуществляются не по одним лишь правилам исчисления предика-
тов, Онн имеют определенный содержательный характер. Здесь существенное
значение имеет знание состава множества языков (и конечность . их) предме-
тов сессии (н конечность этих множеств).
111
но также среди сложных признаков различать разложимые (на
более простые) и неразложимые. Разложимый признак как преди-
кат имеет форму А\&А2&... &Ап или может быть приведен к такой
форме посредством эквивалентных преобразований. Ясно, что в
таком случае он может быть представлен как совокупность при-
знаков Д], А2, ..., Ап. В противном случае признак не является
разложимым. Например, VxP(x)V3*Q(*) согласно приведенным
ниже эквивалентностям и правилу эквивалентных преобразова-
ний — эквивалентно VxP(x)&SxQ(x) (а также ЯхР(х)&Ух^(х)),
то есть представляет разложимый признак.
Эквивалентность предикатов, представляющих некоторые при-
знаки, означает одинаковую их информативность.
Все остальные деления признаков относятся непосредственно
лишь к простым.
Положительные и отрицательные признаки. Простые признаки
делятся на положительные и отрицательные. По идее положитель-
ный признак некоторого объекта х есть наличие у него некоторого'
свойства или отношения. Положительными будут, например, Р(х) и
ЯуР(х, у) отрицательным, "3.уР(х, у), а также (эквивалентный
ему) VyP(x, у). Предикат, представляющий положительный (про-
стой) признак, не содержит отрицаний, или согласно упомянутым
выше возможностям преобразования может быть приведен к та
кому виду (при наличии в нем четного числа вхождений отриц
ния). При наличии в предикате, представляющем простой пг
знак, четного числа вхождений отрицаний он может быть пре
разован до предиката, не содержащего отрицаний вообще. 1
наличии нечетного числа отрицаний он может быть сведен к 1.
дикату, имеющему лишь одно отрицание, и даже в некоторь
смысле стандартному виду А, где А не содержит уже отрицания.
Отрицательным будет, например, признак предмета х вида
VyHzP(x, у, z). Но таковыми же являются и получаемые из дан-
ного предиката эквивалентными преобразованиями:
Я//ЯгР(х, у, z), 'Ay\zP(x, у, z).
К числу отрицательных относятся также употребляемые в ес-
тественных языках выражения типа: «неграмотный», «неспособ-
ный», «несчастливый», а также «бездарный», «бесформенный».
Содержащуюся здесь частицу «не» (и ее грамматический синоним
«без», «бес») рассматривают иногда как особые виды отрицания,
которые Аристотель назвал противополаганием 3.
Особенность этой операции как некоторого отрицания состоит
в том, что ее употребление связано со спецификой отрицаемой
3 Точнее «протнвополагание» у Аристотеля, как установил 3. Н. Микеладзе,
есть операция более широкого характера, а именно: протнвополаганнем неко-
торого высказывания А является отрицание — в обычном классическом смыс-
ле — некоторого его собственного следствия В, т. е. В, где В есть собственное
следствие А, если оно слабее А, т. е. неверно, что А также является его след-
ствием [см. 59].
112
характеристики (качества, свойства и т. п.) предмета. Именно
она употребляется в случаях, когда речь идет о характеристике,
которая может принадлежать предмету в некоторых степенях,
по крайней мере полностью или частично; так, человек может
быть грамотным и малограмотным, счастливым и не вполне сча-
стливым. Указанное (сильное) отрицание некоторого свойства
(качества, состояния и т. п.) означает, что предмет не обладает
этим свойством ни в полной мере, ни частично. Таким образом,
неграмотен (х) равносильно неверно, что грамотен (х) или ма-
лограмотен (х), что в свою очередь означает, что (х) не является
грамотным и не является малограмотным. Но при таком сведе-
нии упомянутого отрицания (противополагания) соответствующий
признак становится, очевидно, уже сложным.
Деление признаков по содержанию. Простые признаки отдель-
ных предметов делятся также на виды по содержанию в зависи-
мости от того, указывают ли они на наличие или отсутствие свой-
ства или отношения. Свойства или отсутствие их являются ха-
рактеристиками отдельных объектов. Признаки, характеризующие
системы предметов, всегда указывают на наличие или отсутствие
какого-либо отношения. В дальнейшем имеются в виду опреде-
ленные конкретизации понятий свойств и отношений, в силу кото-
рых выявляется многообразие возможных характеристик предме-
тов. На это многообразие обратил внимание Аристотель. Он, на-
т^имер, различал 10 типов таких характеристик, которые называл
чН^егориями: сущность или субстанция (человек, лошадь); коли-
:§®£₽о (в два локтя); качество (белое); отношение (двойное,
ЛЬНьшее); место (на площади, в Ликее); время (вчера); положе-
на (лежит, сидит); состояние (обут); действие (разрезает);
Лрадание (разрезается). Однако столь детальная дифференциа-
ция признаков едва ли необходима. Перечень их у Аристотеля яв-
ляется к тому же неполным. В нем нет таких существенных для
понимания процессов познания характеристик предметов, как их
способности вести себя определенным образом в определенных
ситуациях (например, электропроводность, упругость, раствори-
мость и т. п.). Характеристики такого рода получили в современ-
ной логике название «диспозиционных предикатов». С философ-
ской точки зрения, или, конкретнее, с точки зрения теории позна-
ния существенно, по-видимому, различать такие характеристики,
как качество, свойства, отношения и количественные характерис-
тики предметов. Качеством называют нечто, присущее предмету
самому по себе (хотя оно возникло, возможно, в связи с другими
предметами). Качеством некоторого предмета является то, что
он представляет собой металл или железо, дерево, жидкость
и т. п., а также то, что он имеет кристаллическое строение, что
в его составе имеются свободные электроны (как у металлов).
Свойство есть проявление некоторого качества во взаимодействии
предмета ’с какими-либо другими предметами. Так, наличие крис-
таллического строения у какого-либо вещества, т. е. качества,
проявляется при нагревании в том, что это вещество имеет опре-
113
деленную температуру плавления. Наличие свободных электронов
при наличии электрического поля проявляется в том, что в веще-
стве появляется электрический ток (поток электронов). Таким
образом, наличие у вещества определенной температуры плавле-
ния, хорошая его электропроводность — это свойства. Точно так
же цвет предмета есть свойство его, представляющее собой про-
явление некоторого качества определенного характера поверхнос-
ти, —во взаимодействии со световыми лучами. Качество иногда
характеризуют как структурное свойство предметов, однако это
не всегда характеристика структурного характера. К качествен-
ным характеристикам человека относятся его характер, культур-
ный и интеллектуальный уровень, наличие определенных принци-
пов и т. д., а свойствами, представляющими собой проявление
указанных и иных качеств, являются, например, вежливость, че-
стность, аккуратность и т. д.
Нетрудно видеть, что свойства в указанном смысле — это и
есть способность предметов вести себя некоторым образом в оп-
ределенных ситуациях, т. е. то же, что диспозиционные предика-
ты, если придерживаться вышеуказанного их определения. Одна-
ко с понятием диспозиционного предиката связывают обычно
представление о необходимости определенного поведения пред-
мета при определенных условиях (растворимое вещество необхо-
димо растворяется при погружении в воду, упругое тело необхо-
димо восстанавливает форму и размеры при устранении деформи-
рующих его сцл). «Способность» же предмета вести себя неко-
торым образом в определенных ситуациях может не исключать
лишь возможность предмета вести себя определенным образом,
но не необходимо ведет себя так. Трусливый человек, например,
может при наличии опасности проявить малодушие, отступить
перед нею, но не обязательно поведет себя таким образом. В по-
нятии свойства предмета подразумевается как необходимость, так
и возможность для этого предмета вести себя при определенных
условиях определенным образом. Заметим, что, различая среди
характеристик предметов качества и свойства, мы, по существу,
касаемся деления признаков также по модальности-, качества и
все возможные характеристики предметов, выделенные Аристоте-
лем — это и есть нечто присущее или не присущее предмету
фактически. Свойства указывают на нечто потенциально возмож-
ное или необходимое.
Когда мы говорим об отношениях, то должны различать отно-
шения между какими-то предметами, например в системах пред-
метов, и отношения как характеристики отдельных предметов,
как особый вид свойства в широком смысле слова (реляционные
свойства). Что касается отношения как характеристики отдель-
ного предмета (впрочем, как и отношения вообще), то нет ника-
кого способа его определения без ссылок на форму представляю-
щего его предиката. Им является положительный одноместный
предикат, образованный из многоместного путем устранения всех
его свободных переменных, кроме одной (устранение той или иной
114
свободной переменной осуществляется либо замещением всех ее
свободных вхождений предметной константой, либо связыванием
ее кванторами общности или существования). Выше были уже
приведены примеры простых признаков отдельных предметов от-
ношений. («х — столица СССР, х — столица какого-либо госу-
дарства у»).
Важным случаем признака — отношения некоторого отдель-
ного предмета является принадлежность этого предмета к какой-
либо системе объектов. Дело в том, что принадлежность к системе
может обусловливать наличие многих других признаков у пред-
мета. Так, весьма существенным признаком человека является
принадлежность его к сообществу существ, производящих и при-
меняющих орудия труда. Благодаря именно такой принадлежнос-
ти человек разумен, обладает речью, определенными принципами
морали и т. д. Содержанием понятий во многих случаях является
именно указание на принадлежность множеству предметов, обоб-
щаемых в этом понятии систем. Например, натуральное число
часто определяется как число, принадлежащее натуральному
ряду. Натуральный ряд определяется особым — индуктивным
образом как некоторая система чисел; аналогично формула фор-
мализованного логического языка определяется как элемент
некоторой системы формул, определяемой также методом индук-
ции.
К количественным характеристикам предметов относятся та-
кие, например, как объем и плотность, удельный вес, рост (чело-
века), численность населения и т. п. — все то, что допускает
сравнение типа: больше, меньше, равно и в принципе может быть
выражено числом с некоторой размерностью.
Характеристики этого рода называются величинами. Они пред-
ставляют собой степени каких-то свойств (температура, например,
есть степень нагретости тела, объем тела — степень его свойства
«занимать часть пространства»). С логической точки зрения ве-
личины — это предметно-числовые функции, функции, аргумента-
ми которых являются предметы некоторого рода, отличные от
чисел, а значениями — числа и, возможно, некоторые качествен-
ные оценки степеней свойств предметов (например, для темпера-
туры — высокая, низкая). Точнее, количественной характеристи-
кой некоторого вещества является то, что его плотность или
удельный вес равны, больше или меньше некоторого числа (соот-
ветствующей размерности). Вообще количественная характерис-
тика предмета как его признак есть предикат вида (/*(..., х,
...))-(/Л(аь ..., ak) или /*(..., х, ...))-(п, где «)-(»— какое-
либо из отношений «=», «>», «<», «>», «<», «/*» — знак не-
которой предметно-числовой функции (&>1) (числовой функ-
тор), а /*(..., х, ...) — результат замещения всех его аргумент-
ных мест, кроме одного, отмеченного знаком х, именами каких-
либо предметов (возможных аргументов), fk(ai, ..., а*) — ре-
зультат замещения всех аргументных мест fk именами каких-ни-
будь предметов; «п» — некоторое число (обычно с некоторой раз-
115
мерностью). Например, «объем х равен 103 см3, расстояние (х —
Ленинград) больше 200 км» 4.
Нетрудно заметить, что согласно приведенному выше опреде-
лению отношений как признаков отдельных предметов такими
признаками формально являются и количественные характеристи-
ки. Чтобы отличить одно от другого, надо подчеркнуть, что осо-
бенностью количественных характеристик является наличие пред-
метно-числовых функторов в представляющих их предикатах.
Впрочем, и указанные различения характеристик предметов
по содержанию иногда представляются излишне детальными.
В философии обычно различают лишь качественные и количест-
венные характеристики. Очевидно, в число качественных харак-
теристик в широком смысле при этом войдут качества (включая
состояние, положение и т. д. в классификации Аристотеля), свой-
ства и отношения в узком смысле.
В дальнейшем мы будем пользоваться термином «свойство» в
установленном ранее и принятом в логике широком смысле, раз-
личая при этом свойства атрибутивного характера (атрибутив-
ные свойства) и свойства реляционного характера (реляционные
свойства). Языковой формой атрибутивного свойства является
положительный одноместный предикат, не содержащий предмет-
ных констант (имен каких-нибудь объектов) и кванторов. В про-
тивном случае предикат представляет реляционное свойство.
Признак, указывающий на наличие или отсутствие атрибу-
тивного свойства, называется безотносительным. В том же слу-
чае, когда признаком является отсутствие или наличие реляцион-
ного свойства, его называют относительным. Это деление может
быть отнесено не только к простым, но и вообще к любым при-
знакам. Обычно в формулировке относительных признаков ис-
пользуются многоместные предикаторы. Но признак такого рода
может быть образован и посредством лишь одноместных преди-
каторов. Например, реляционное свойство человека х: «сущест-
вует человек у, который радуется удачам х» «3y(P(x)z>Q(y))»,
где «Р»— «делает успехи», a «Q» — «радуется».
Наконец, деление признаков на относительные и безотноси-
тельные нетрудно распространить и на сложные признаки. Слож-
ный признак является относительным, если относительным яв-
ляется по крайней мере один из составляющих его простых при-
знаков. Формальной характеристикой реляционного свойства яв-
ляется наличие в представляющем его предикате тех или иных
кванторов и (или) предметных констант.
Как мы видели и увидим в дальнейшем, для решения ряда за-
4 Используя известный в логике принцип о возможности замены А-местно-
го функтора £+1-местным преднкатором, можно представить предикат
fk(..., х, ...)=п в виде Fn+l{n, ..., х, ...), где «F» есть fe+1-местный предикатор,
соответствующий предметно-числовому функтору f*. Так, объем (х)=п пред-
ставляется как объем (п, х) (п есть объем х), расстояние (х, у)=п представ-
ляется, как расстояние (п, х, у) (расстояние между хну).
116
дач, связанных с анализом понятий и отношений между ними, не-
обходимы эквивалентные преобразования предикатов. Основу
этих преобразований составляют следующие эквивалентности в
описанном ранее языке логики предикатов.
1.9. (А&В) = (В&А)
2.9. (АуВ)=?(В\/А)
3.9. (Д&(В&С))^((Д&В)&С)
4.9. (dvmxnv
VW)
5.9. (Д&(В\/С))^((Л&В)У
VH&C))
6.9. (Д\/(В&С))^((ЛУВ)&
&(4VO)
7.9. AtdB==A\/B
8.8. A&B^=A\/B
9.9. A\/B=sA&B
10.9. A==A
11.9. VXA^A
12.9. AXA^A
13.9. VXA(X) = %XA(X)
14.9. RXA(X)=VXa(X)
15.9. УХ(Д(Х)&В(Х) =
= VX4(X)&VXB(X)
16.9. ЯХ(Д(Х)\/Л(Х)) =
= ЯХД(Х)\/ЯХВ(Х)
17.9. VXG4(X)VB)s )
=VXA(X)\/B
18.9. ЯХ(Д(Х)&В)е= J
= S.XA(X)&B
X, — метазнак для всех переменных языка Xi&sk, а также для
переменных v, введенных выше для множеств и систем объектов.
Преобразование выражений (формул ЯЛП) на основе указан-
ных эквивалентностей осуществляется по правилу (замены экви-
A s В
валентных): г _ г ', где — любая формула, в которой вы-
ьа~ св
делены какие-либо вхождения формулы А (в качестве подформу-
лы С), а Св — результат замены выделенных вхождений А в
формуле С на В.
закон коммутативности конъюнк-
ции
закон коммутативности дизъюнк-
ции
закон ассоциативности конъюнк-
ции
закон ассоциативности дизъюнк-
ции
законы дистрибутивности конъ-
юнкции относительно дизъ-
юнкции и дизъюнкции относи-
тельно конъюнкции
законы образования противопо-
ложности для конъюнкции и
дизъюнкции
закон снятия двойного отрицания
законы отбрасывания вырожден-
ных кванторов (если А не со-
держит X свободно)
законы образования противопо-
ложности для кванторов
дистрибутивность квантора общ-
ности и квантора существо-
вания
соответственно относительно
конъюнкции и дизъюнкции
законы пронесения кванторов
(через &, V), если В не содер-
жит X свободно.
Деление (простых) признаков по их месту и роли
в системе признаков некоторого предмета
или предметов какого-либо вида
До сих пор мы рассматривали виды признаков,
имея в виду множество возможных признаков вообще. Однако
можно говорить о множестве признаков того или иного конкрет-
ного предмета или вида некоторых предметов (металлов, жидко-
стей, млекопитающих). При этом в таком множестве признаков
надо различать случайные для данного предмета или предметов
данного вида и неслучайные. Случайные обусловлены некоторыми
внешними обстоятельствами. Случайными признаками металлов,
например, являются наличие в них тех или иных примесей, та
или иная их температура в определенных случаях. Аналогично
для воды. Для человека случайными могут быть то или иное его
служебное положение, окружение и т. п. Между неслучайными
признаками существуют внутренние для данных предметов свя-
зи: одни из них обусловливают другие. Их множество представ-
ляет собой таким образом некоторую систему. Для предметов не-
которого вида, и тем более для отдельных конкретных предме-
тов, это множество бесконечно. Иное дело множество признаков
этого рода, познанных на том или ином этапе развития знания.
Оно всегда конечно, причем в определенных случаях—при отно-
сительной завершенности процесса познания предметов на неко-
тором этапе — это множество также представляет собой опреде-
ленную систему, по крайней мере когда речь идет о признаках
некоторого вида предметов (вопрос о том, в какой мере это отно-
сится к признакам отдельных предметов, является в науке пока
открытым). Одни признаки здесь обусловливают другие, эти по-
следние — третьи и т. д. В силу этих отношений субординации од-
ни признаки системы можно охарактеризовать как более сущест-
венные, другие — как менее существенные.
Системами указанного типа являются, например, множества
известных признаков металлов, воды, признаков, характеризую-
щих общественное устройство. Наличие ионной кристаллической
решетки у металлов обусловливает их ковкость, пластичность; в
силу наличия свободных электронов в массе металла они явля-
ются хорошими проводниками электричества; благодаря наличию
кристаллического строения металлы, как и другие кристалличе-
ские вещества, имеют определенную температуру плавления.
§ 10.
ОСНОВНЫЕ СУЩЕСТВЕННЫЕ ПРИЗНАКИ.
СУЩНОСТЬ ПРЕДМЕТОВ
Среди неслучайных признаков предметов можно
выделить совокупность некоторых наиболее существенных (основ-
ных) признаков, обусловливающих все остальные, общие для
its
данных предметов. Из этой совокупности В сочетании с известны-
ми законами соответствующей области действительности могут
быть логически выведены все известные общие для данных пред-
метов и неслучайные для них признаки, а для абстрактных объ-
ектов— в так называемых полных теориях—вообще все призна-
ки, общие для предметов вида. Совокупность основных сущест-
венных признаков того или иного вида конкретных предметов
действительности называется их сущностью. Так, сущностью ме-
таллов как химически простых веществ является то, что они со-
стоят из однородных атомов, а именно атомов с одним и тем же
зарядом ядра, и атомы их обладают низким коэффициентом иони-
зации, в силу чего легко теряют свои внешние электроны. Этим
обусловлены общие для металлов их химические свойства, особое
строение их кристаллической решетки, хорошая электропровод-
ность, пластичность и т. д. Основным признаком общества, т. е.
его сущностью, является господствующий в нем способ производ-
ства, характеризующийся определенным уровнем развития произ-
водительных сил и типом производственных отношений, т. е. тем,
что называется экономическим базисом общества. Экономический
базис общества определяет характер господствующих в обществе
политических взглядов, правовых отношений, идеологии, морали.
В истории философии имело широкое распространение пред-
ставление о том, что у предметов того или иного вида или даже
отдельных предметов имеется некоторая абсолютная сущность,
основа всех его признаков. Эта «последняя сущность» должна
быть согласно этим представлениям пределом познания соответ-
ствующих явлений. На такое понимание наводит нередко встре-
чающееся в марксистской философской литературе определение
сущности как некоторого внутреннего содержания вещи, опреде-
ляющего специфику ее многообразных проявлений. Подобное
определение нашло, например, отражение в Философском энцик-
лопедическом словаре (М., 1983). Однако, специально анализи-
руя понятие сущности в связи с вопросом о развитии знания,
В. И. Ленин подчеркивает, что диалектический материализм ре-
шительно отвергает существование каких-либо пределов позна-
ния вещей и явлений мира, а тем самым отрицает и указанное
представление о сущности. Познание мира, как и отдельных его
областей и явлений, есть бесконечный процесс углубления зна-
ния. Имеются лишь пределы, уровни достигнутых на каждом эта-
пе знаний. Сущность предмета в диалектико-материалистическом
ее понимании — это и есть тот предел, до которого дошло позна-
ние предмета на данной ступени [См. 2, т. 18, с. 136—140, 275].
Это означает, что сущность может быть менее и более глубокой.
Познание предметов движется, как пишет В. И. Ленин, «от явле-
ния к сущности и от менее глубокой к более глубокой сущности»
[2, т. 29, с. 203].
Таким образом, диалектический материализм не отбрасывает
понятия сущности вообще, но лишает его того абсолютного ха-
рактера, который ему придавала прежняя метафизическая фило-
//9
софия (склонная вообще рассматривать каждый этап развития
нашего знания как предел познания).
Сущность предметов некоторого качества, т. е. предметов не-
которого класса, выявленная на некотором уровне познания, яв-
ляется основой качественной специфики этих предметов, но лишь
в той мере, в какой эта специфика нам известна на данном этапе
познания. Исходя из этой сущности, мы можем объяснить извест-
ные общие, специфические для данных предметов (неслучайные)
их признаки. В процессе дальнейшего развития знания о соответ-
ствующих предметах открываются новые качества, свойства пред-
метов, отношения их к другим предметам, которые нельзя объяс-
нить исходя из познанной сущности. В таком случае происхо-
дит— в результате поиска нужных объяснений — проникновение
в «более глубокую» сущность предметов, открытие таких их при-
знаков, исходя из которых могут быть объяснены все известные
ранее и вновь открытые их особенности. Таким образом, соглас-
но взглядам марксизма, существуют сущности разных уровней
или порядков. «Мысль человека, — писал В. И. Ленин, — беско-
нечно углубляется от явления к сущности, от сущности первого,
так сказать, порядка к сущности второго порядка и т. д. без
конца» [2, т. 29, с. 227]. Это положение В. И. Ленин формули-
рует первоначально в «Материализме н эмпириокритицизме».
Так, еще в недалеком прошлом свет в физике понимали как
поток волн электромагнитного характера определенного диапазо-
на частоты. Но при этом не объяснялись некоторые открытые
позже световые явления, например явление фотоэффекта. В на-
стоящее время господствует уже корпускулярно-волновая теория
света, согласно которой свет представляет собой поток фотонов,
обладающий как волновыми, так и корпускулярными свойствами.
Окисление какого-либо вещества понималось до некоторых пор
как присоединение к атомам данного вещества атомов кислорода.
В настоящее время этот механизм соединения атомов объяс-
няется как результат взаимодействия внешних электронов ато-
мов. Вообще на некотором этапе от понимания химических реак-
ций как взаимодействий между атомами веществ произошел пе-
реход к пониманию их как взаимодействий внешних электронов и
образующихся при этом ионов атомов.
Совокупность основных, существенных признаков может быть
выделена также, по-видимому, в любом случае, в множестве при-
знаков, общих для абстрактных предметов того или иного ви-
да,— геометрических фигур, чисел, алгебраических систем и т. п.
Для ромбов, например, это то, что указывается в определении
фигур этого вида (и соответственно в содержании понятия ром-
ба): плоская геометрическая фигура, замкнутая, ограниченная
4 сторонами, все стороны которой равны. В аксиоматической тео-
рии алгебраических систем того или иного вида (теории групп,
булевой алгебры и т. д. и вообще в теории некоторой структуры,
например, в геометрии, как математической, формальной теории)
эту совокупность признаков (и соответственно содержание поня-
120
тия рассматриваемой структуры) представляет множество акси-
ом. Однако эту совокупность признаков неправомерно, видимо,
рассматривать как сущность структуры соответствующего вида,
поскольку для одного и того же множества признаков, общих
для структур некоторого вида, существует, вообще говоря, не
одна такая совокупность. Так, вместо указанной совокупности ос-
новных существенных признаков ромба может быть другая, полу-
чающаяся из нее заменой признака «равносторонняя фигура»
на «фигура, диагонали которой взаимно перпендикулярны и в
точке пересечения делятся пополам». Известно также, что суще-
ствуют эквивалентные теории с различными составами аксиом.
Неестественно, конечно, было бы считать, что объекты одного и
того же типа имеют на одном и том же уровне познания различ-
ные сущности.
Специфическими являются случаи, когда дело касается пред-
метов, созданных людьми для тех или иных определенных целей.
Обычно сущность такого рода предметов усматривают именно в
их назначении, что отражается в определениях. Часы — это при-
бор, с помощью которого можно отсчитывать время; термометр —
прибор, служащий для измерения температуры, и т. д. Назначе-
нием предмета определяются и все его другие качества. Это и
служит причиной того, что оно принимается за сущность. Хотя
верно и другое: благодаря наличию определенных качеств (осо-
бому устройству) та или иная вещь выполняет определенные
функции. Качества вещи, предназначенной для определенной це-
ли, вытекают из ее назначения логически. Способность же веши
служить определенной цели обусловлена ее качеством фактиче-
ски, как действие — причиной. Но поскольку человек мысленно
конструирует вещь прежде, чем создает ее, и при этом выводит
все ее качества именно из предназначения вещи, то это послед-
нее оказывается решающим. Здесь, как видим, сущность вещей
определяется практическими потребностями людей. Но это не
указывает на субъективный характер данного понятия, поскольку
сами вещи, которые здесь имеются в виду, создаются людьми
именно для удовлетворения своих потребностей.
В любом случае основные существенные признаки предметов
некоторого вида составляют основу их качественной специфики,
поскольку они обусловливают все другие общие и в совокупности
специфические для данных предметов признаки. В случае кон-
кретных предметов действительности обусловленность имеет при-
чинный или целевой характер, в случае абстрактных объектов —
структурный или функциональный характер. Но в том и другом
случае из совокупности указанных основных признаков в сочета-
нии с законами данной области действительности все другие не-
случайные признаки предметов выводимы логически.
Сущность предметов того или иного вида составляют обычно
признаки, недоступные наблюдению. Они выявляются теоретиче-
ским способом именно в результате построения и обоснования
теории, объясняющей известные признаки изучаемых предметов.
121
Кстати, именно в процессе построения такой теории прежде всего
происходит отделение неслучайных признаков от случайных. Слу-
чайные выделяются тем, что не поддаются объяснению и не впи-
сываются в возникающую при построении теории систему.
Еще в XVIII в. возник, например, вопрос о сущности воды.
Речь шла именно о том, как объяснить известные в то время, об-
щие для всех случаев существования воды, ее свойства. Основой
обобщения всех этих случаев под общим названием — именем
«вода» — являлось первоначально практическое использование во-
ды и связанная с этим интуиция. Как обычно при построении тео-
рии возникло несколько гипотез. Одна из них, которая затем по-
лучила теоретическое и экспериментальное подтверждение и ста-
ла общепризнанной, — гипотеза Лавуазье о том, что вода есть
химическое соединение кислорода и водорода. Эксперименталь-
ным подтверждением оказалось получение воды из «гремучего
газа». При этом как раз выявилось, что наблюдаемые в различ-
ных случаях примеси воды не связаны с ее сущностью, т. е. пред-
ставляют собой случайные признаки. Углублением знания сущно-
сти воды, указанной Лавуазье, стало в дальнейшем понимание
того, что вода есть химически сложное вещество, молекулы кото-
рого состоят из 2 атомов водорода и 1 атома кислорода. При
этом удалось объяснить и такое примечательное свойство воды,
как сжатие ее при нагревании от 0°С до 4°С, обусловленное пере-
стройкой молекулярной структуры воды в этом температурном
промежутке.
Итак, в системе познанных признаков некоторого вида выде-
ляются: 1) основные, существенные признаки для конкретных
предметов действительности, составляющие их сущность; 2) про-
изводные— обусловленные основными, а также 3) случайные
признаки.
Производные признаки предметов можно охарактеризовать
как необходимо присущие им, поскольку эти признаки обусловле-
ны основными. Основные существенные признаки принадлежат
предметам фактически и благодаря им производные признаки
выделяются в понятии именно как предметы особого качества.
Лишь в некотором тривиальном смысле — ради обобщения —
можно говорить о необходимой присущности также и этих при-
знаков (поскольку предметы некоторого класса определяются —
мысленно выделяются — как предметы, обладающие определен-
ной совокупностью признаков, постольку каждый из них необхо-
димо принадлежит этим предметам).
Речь идет в данном случае о логической необходимости, тогда
как производные признаки конкретных предметов реальной дей-
ствительности являются физически необходимыми для этих пред-
метов. В каких-то случаях, правда, физически необходимыми мо-
гут быть и основные существенные признаки предметов, но лишь
постольку, поскольку сами эти предметы рассматриваются в ка-
честве части некоторой системы объектов. Так, сущность капита-
листического общества составляют признаки, которыми характе-
122
ризуется капиталистический способ производства. Они обуслов-
ливают такие необходимые черты капиталистического общества,
как наличие пролетариата и буржуазии, классовой борьбы, пе-
риодическое возникновение экономических кризисов и т. п. Но сам
буржуазный способ производства с необходимостью возникает в
еилу законов развития общественно-экономических формаций.
Именно в последовательности сменяющих друг друга формаций
капитализм является необходимым преемником феодализма и
необходимы в этой системе основные признаки капитализма.
Понятию сущности посвящена специальная статья Т. Котар-
биньского. В этой статье Т. Котарбиньский склоняется, вслед за
Аристотелем, которого он считает основоположником теории сущ-
ностей, к тому, что сущность некоторого явления — это его при-
чина. «Собирая различные примеры ответа на вопрос о сущности
чего-либо, мы приходим к выводу, что, по мнению Аристотеля,
эти вопросы требуют ответов, указывающих в каждом случае,
почему определяемое бытие является именно таким» [52, с. 77].
Однако здесь же мы находим у автора и другое, а именно, что
Аристотель рассматривал сущность как нечто, что мы выявляем,
давая ответ на вопрос «что такое то или другое?». Очевидно, во-
прос «почему?» действительно требует указания причины, но,
разъясняя, что представляет собой то или иное явление, обычно
указывают уже не причину, а некоторую совокупность основопо-
лагающих признаков. До сих пор мы рассматривали случаи лишь
такого рода. Но иногда признаком, выражающим сущность, дей-
ствительно может быть и причина некоторого явления. Так, сущ-
ность лунного затмения состоит в том, что Земля оказывается на
оси, соединяющей Солнце и Луну, и загораживает тем самым ка-
кую-то часть падающих на Луну солнечных лучей (пример Ари-
стотеля, согласно Т. Котарбиньскому) [см. 52, с. 76]. Сущность
молнии, очевидно, состоит в том, что в атмосфере возникает элек-
трический разряд большой силы.
Авторы работ по диалектической логике обычно определяют
сущность как закон и противопоставляют это понимание сущно-
сти «формально-логическому» истолкованию ее как совокупности
признаков [см., например, 79, с. 217 и др.].
Указанное понимание неточно уже потому, что законы приро-
ды выражаются в процессе познания их в форме суждений, а
суждения истинны или ложны. Сущность же как характеристика
каких-то предметов может быть выражена лишь в форме преди-
ката. Предикаты, как мы уже видели, не истинны и не ложны,
они лишь выполняются или не выполняются для тех или иных
предметов, имена которых подставляются вместо свободных пере-
менных. Речь шла также о том, что предикаты, например одно-
местные, выражают признаки предметов (представляя, возможно,
некоторую совокупность признаков, объединенных в одну конъ-
юнкцию). Таким образом, сущность тех или иных предметов пред-
ставляет собой именно некоторую совокупность признаков. Утвер-
ждения типа «закон есть сущность» являются, очевидно, резуль-
123
татом отсутствия точного понятия самого закона. Законы соглас-
но известной характеристике В. И. Ленина суть связи, обуслов-
ленные той или иной сущностью. Как мы уже видели, сущность
предметов того или иного класса обусловливает характерные для
этих предметов свойства. Каждая такая обусловленность является
законом. Сущность химического элемента — величина заряда ато-
мов элемента, указывающая на определенное строение ядра,—
закономерным образом обусловливает определенные химические
свойства веществ, которые представляют данный элемент. Эти
именно закономерности фиксируются в таблице Менделеева. Сущ-
ность жидкости — определенный характер связи между молекула-
ми жидкости — обусловливает специфическое свойство жидкости
передавать давление, оказанное на нее, во все стороны с одина-
ковой силой (известный закон Паскаля). Но мы уже упоминали,
что это свойство жидкостей может быть использовано в качестве
содержания понятия жидкости. Но в этом случае сущность непра-
вомерно уже характеризовать как закон.
По своей логической форме динамические законы, которые
здесь имеются в виду, — это утверждения вида: «Для всякого
предмета — элемента объема понятия ЖА(Ж ) выполняется пре-
дикат В (Ж)». В описанном выше языке логики предикатов суж-
дение этого типа выражается в виде УЖ (А(Ж)оВ(Ж)) (напом-
ним, что если Ж есть система объектов (Х1г...,Хт), то «У Ж» —
сокращение для «УЛ),..., УХт»).
Говоря более точно, закон должен быть выражен в форме
уЗЕ (А( Ж )->В( Ж)), где -»—это релевантная (интенсиональная)
импликация, соответствующая необходимой условной связи
«если..., то...» естественного языка. Именно в этом случае выра-
жается то обстоятельство, что признак В(Ж) необходимо присущ
предметам ЖА(ЗЕ). Но мы ограничиваемся здесь распространен-
ными представлениями относительно способов выражения законов.
Если В (ЗЕ) является видовым отличием для предметов, обоб-
щаемых в понятии ЖА(Ж ), то можно образовать понятие
ЖВ(Ж), равнозначное по фактическому объему указанному по-
нятию ЗЕ А (Ж). Эта возможность порождает иногда неправильное
представление о том, что по крайней мере в некоторых случаях
закон используется в качестве содержания понятия. В действи-
тельности, как мы видим, содержанием понятия может служить
лишь некоторый признак, необходимая принадлежность которого
предметам некоторого класса утверждается в формулировке за-
кона. Например, согласно закону Паскаля всякая жидкость хА(х)
необходимо обладает признаком В(х): любое давление, оказы-
ваемое на жидкость х, распространяется во все стороны с одина-
ковой силой. По существу, этот закон верен не только для жид-
костей, но и для газов, т. е. для всех веществ, которые можно
охарактеризовать как вещества, не имеющие своей собственной
формы. Имея в виду под Ж А (Ж ) именно это понятие, для пред-
метов которого указанный признак В (Ж) является отличитель-
ным, мы можем образовать равнозначное ему ЗЕ В (ЗЕ).
124
Согласно аналитической геометрии точки окружности (с цен-
тром в начале координат и радиусом г) удовлетворяют уравне-
нию х2+у2 = г2, где х и у — координаты точки. Это значит, что
они подчинены закону V(x, у) (Д(х, у)=)В(х, у, г)), где (х, у, г) —
тройка действительных чисел, А(х, у, г) означает, что точка,
представляемая парой координат (х, у), принадлежит окружно-
сти радиусом гис центром в начале координат, а В(х, у, г) есть
указанное уравнение х2+у2 = г2. Используя признак В(х, у, г),
мы можем выразить общее понятие точки окружности указанного
вида—(х, у) (х2+у2 = г2), а также общее понятие окружности
(при нефиксированном г) того же вида. иЯг(и=у\[ (х, у)(х2+у2 =
=г2)). Здесь признак В(х, у, г) употреблен, очевидно, иным обра-
зом, чем в первом случае. В этом случае легче поддаться иллю-
зии, что содержанием понятия является закон определенного ви-
да. На такое мнение наталкивает распространенное представле-
ние о том, что уравнения — это законы. Однако дело обстоит не
так, поскольку уравнение представляет собой лишь предикат —
признак точки (х, у) окружности радиусом г (в нашем случае).
Явно несостоятельным является также определение в фило-
софской и логической литературе сущности предмета как того,
что необходимо принадлежит предмету, без чего он не может су-
ществовать, не может быть тем, что он есть [См. 87, с. 84; 8,
с. 99]. Попытка применить его практически обнаруживает даже,,
что оно содержит скрытый круг. Попробуем, например, руковод-
ствуясь им, выделить существенные признаки квадрата. Для это-
го нужно установить, без каких признаков ту или иную фигуру
нельзя отнести к квадратам. Но это уже требует знания сущест-
венных признаков квадрата. Мы не назвали бы квадратом, на-
пример, четырехугольник, углы которого не являются прямыми, а
стороны равными, но именно потому, что знаем, что эти призна-
ки являются существенными для квадрата.
Вообще для решения вопроса о том, без каких признаков
предмет не был бы тем, что он есть, надо знать, чем именно этот
предмет является, какими существенными признаками выделяется
из числа других предметов.
Мы имели в виду случаи, когда в качестве предмета берется
уже результат некоторого обобщения и абстрагирования («квад-
рат вообще», «животное» вообще и т. п.). Если бы, исходя из
указанного определения, поставить вопрос о существенных при-
знаках какого-либо конкретного «данного предмета», то нужно
было бы признать существенным любое его, даже самое незна-
чительное свойство, так как без любого свойства предмет не был
бы тем, что он есть. Более того, единичный конкретный предмет,,
если его брать именно как конкретный, со всеми его признаками,
вообще никогда не остается «данным предметом» в силу непре-
рывного изменения, которому он подвержен. О нем можно гово-
рить как о «данном предмете», рассматривая его лишь с той или
иной стороны, выделяя его лишь по тем или иным определенным,
более или менее устойчивым признакам. Например, стол, за кото-
725
рым я пишу, можно рассматривать как «данный стол», как «пред-
мет, находящийся в данном месте», как «данный деревянный
предмет» и т. д.
Выражения «данный предмет», «тот же самый предмет»,
«один и тот же предмет» имеют смысл только в том случае, если
установлен принцип, условие отождествления различных состоя-
ний предмета или различных предметов, ибо в природе ничто не
бывает абсолютно тем же самым или одинаковым. Можно счи-
тать предметы, встречающиеся в разных местах в разное время и
различные в каких-то отношениях, «теми же самыми», например,
предметами одного и того же класса, если они имеют установлен-
ные для данного класса существенные признаки. Значит, сами
понятия «тот же самый», «данный предмет» должны быть опре-
делены через существенные признаки, но не наоборот. Из сказан-
ного ясно также, что неправомерно говорить и о необходимости
принадлежности существенных признаков «данному предмету»,
если сам «данный предмет» определяется именно существенными
признаками.
Если сущность предмета выявлена, то оказывается, что одни
признаки необходимо принадлежат ему, потому что вытекают из
сущности, другие являются случайными, потому что не связаны с
нею. Из определения квадрата как прямоугольного и равносто-
роннего четырехугольника с необходимостью следует, что диаго-
нали его равны, что они образуют со сторонами квадрата равные
углы, что при пересечении их образуются равные треугольники
и т. д. Все эти признаки необходимо принадлежат квадрату. Но,
поскольку основные определяющие признаки не выводятся из че-
го-либо, неясно, какой смысл может иметь утверждение об их не-
обходимой принадлежности квадрату.
Столь же неясно, что имеют в виду, когда говорят, что без
существенных признаков предмет «не может существовать», если
речь идет о предметах, уже существующих или существовавших.
Если же объектом мысли является предмет, который предпола-
гается создать, например корабль для межпланетных путешест-
вий, то здесь имеет смысл обсуждать вопрос не о том, без каких
признаков предмет не сможет существовать, а о том, без чего он
не будет соответствовать своему назначению. Но сущность пред-
мета составляют здесь скорее не эти признаки, а, как уже гово-
рилось, само назначение предмета. Сущность шахматного коня,
например, состоит в его роли в игре, определяемой установлен-
ными для него правилами.
С другим определением сущности мы встречаемся у А. И. Вве-
денского (и в несколько измененном виде в некоторых наших
курсах логики): «...существенными признаками называются такие
признаки, из которых каждый, взятый отдельно, необходим, а все
вместе достаточны, чтобы отличить данный предмет, или же дан-
ную группу предметов, от всех остальных предметов» [22, с. 58].
Введенский, правда, дает это определение лишь как предвари-
тельное, отмечая его недостаточность, которая состоит, по его
126
мнению, в том, что в нем не отражается относительный характер*
существенных признаков. Для того чтобы отличить квадрат от
остальных фигур, можно использовать признаки: наличие четы-
рех сторон, прямолинейность этих сторон, образование их пересе-
чением четырех прямых углов и равенство этих сторон между со-
бой. Каждый из этих признаков необходим (отбросив любой из
них, нельзя выделить квадрат), все вместе они достаточны. Это
значит, что данные признаки являются существенными, а все дру-
гие— несущественными. Однако квадрат можно отличить и с по-
мощью другой группы признаков: четырехугольность и облада-
ние диагоналями, которые взаимно перпендикулярны, взаимно
делятся пополам и равны между собой. В таком случае именно
эти признаки оказываются существенными, а остальные, в том
числе перечисленные выше, оказываются несущественными. Вве-
денский считает, что признаки той и другой совокупности можно
принять за существенные, все зависит от нашей точки зрения на
предмет. С одной точки зрения более важными являются одни
признаки, с другой — другие.
Учитывая указанную относительность существенных признаков,
Введенский дает им следующее окончательное определение: «Это*
признаки, которые и необходимы, и достаточны, чтобы с их по-
мощью отличить предмет или группу предметов от всех осталь-
ных, и которые вместе с тем из всех подобных признаков (т. е.
необходимых и достаточных для той же цели) оказываются бо-
лее важными при рассмотрении данного предмета или данной
группы предметов с той точки зрения, с какой мы хотим узнать,
последние» [22, с. 59—69].
Если даже исправить это определение, как это делает, напри-
мер, В. Ф. Асмус, внеся в него указание на обусловленность точ-
ки зрения на предмет (тем самым и выбора той или другой груп-
пы его признаков) потребностями практической деятельности, то
его все-таки нельзя признать удовлетворительным.
Во-первых, в нем подчеркивается отнюдь не основная сторона
самих существенных признаков. Существенные признаки выделя-
ются из числа других тем, что они имеют особое значение по от-
ношению к другим признакам предмета или к признакам, кото-
рыми характеризуется та или иная связь данного предмета с дру-
гими предметами, а не особой логической функцией их, каковой
является отличение предмета от других предметов. То обстоя-
тельство, что мы используем существенные признаки для отличе-
ния одних предметов от других, само обусловлено особым значе-
нием их для предмета. И, конечно, не всякие признаки, необхо-
димые и достаточные5 для того, чтобы отличить данный предмет
от всех других, являются действительно существенными для пред-
5 «Необходимость» и «достаточность» в определении Введенского пред-
ставляют собой характеристику той или иной совокупности признаков. «Необ-
ходимость» здесь означает лишь то, что при исключении хотя бы одного
признака совокупность оказывается уже недостаточной для отличения пред-
мета.
127
мета. (Часто обращается внимание на то, что человека можно
выделить из всего живого мира как существо, обладающее мяг-
кой ушной мочкой.)
Во-вторых, и это главное, обусловленность существенности
точкой зрения на предмет (или даже потребностями практики)
лишает эту категорию объективности.
Более правильно, по-видимому, будет сказать, что Введен-
ский здесь не различает два понятия существенного, а именно
понятия признаков, существенных для предметов того или иного
качества, и признаков того или иного предмета, существенных в
каком-то отношении (предмета с другими предметами) или с той
или иной точки зрения (с точки зрения определенного использо-
вания предмета человеком). Выше речь шла о существенном
именно в первом смысле. Введенский фактически имеет в виду
существенное во втором смысле, именно как относительно суще-
ственное. Относительно существенные признаки существенны в
том или ином взаимодействии предметов с другими предметами и
составляют основу специфики самого этого взаимодействия, во
всяком случае в той или иной мере определяют его характер. Так,
особенность воды, состоящая в том, что она имеет максимальную
плотность при 4°С, существенна для нее как среды обитания вод-
ных животных. В силу именно этой особенности воды в холодное
время года вода в водоемах обычно не промерзает до дна, благо-
даря чему на дне водоемов сохраняется жизнь обитателей вод-
ных бассейнов. В этом смысле многие признаки, несущественные
для самих предметов, существенны для использования этих пред-
метов человеком. Пластичность, гибкость меди при особенно хо-
рошей ее электропроводности существенны при использовании ее
в качестве электропроводов. При выборе артиста на некоторую
роль существенны рост, фигура, а также то, является ли он брю-
нетом или блондином.
Результатом того, что относительно существенные признаки
не отличают часто от признаков, существенных для предметов —
того или иного качества — самих по себе, является распростра-
ненное в философской литературе мнение об относительности су-
щественного и в том числе сущности вообще.
Один из наиболее видных представителей логики прагматиче-
ского направления Ф. Шиллер писал, что ’’«сущность», которую
пытается установить каждое определение, является просто пунк-
том, который важно выяснить для данного времени” (в связи с
данной целью, ради которой рассматривается предмет). «Отсюда
следует, что сущности и определения вещей являются неизбежно
множественными, изменчивыми, относительными...» [115, с. 70].
Так, например, по Шиллеру, нет сущности человека как таковой.
Каждый может ее усмотреть в различном в зависимости от того,
с какой стороны его интересует человек. «Для теолога сущностью
человека является то, что ои имеет душу; для врача — то, что он
имеет тело; для повара — что он имеет желудок. Все эти опреде-
ления закономерны... с различных точек зрения. Для существова-
128
ния человека одинаково существенно и то, что он делает деньги
и что он может любить» [115, с. 54]. За сущность предмета люди
принимают обычно, по мнению Шиллера, то, что в нем больше
всего бросается в глаза или является наиболее важным с точки
зрения потребностей людей.
В книге В. Ф. Асмуса намечено разделение признаков на от-
носительно и безотносительно существенные [См. 6, с. 38—39],
хотя проведено оно недостаточно последовательно; в некоторых
случаях все существенные признаки трактуются как относитель-
ные; так, например, утверждается, что «различие между сущест-
венными и несущественными признаками имеет относительный ха-
рактер. Одни и те же признаки одного и того же предмета будут
в^одноМ] случае существенными, а в другом — несущественными»
Во многих понятиях обобщаются предметы даже различных
качеств по некоторым признакам, существенным не для самих
предметов, а именно в том или ином отношении и вообще в тех
или иных случаях практической деятельности. Таковы понятия:
«жидкое вещество», «твердое вещество», «кристаллическое веще-
ство», «химически простое вещество», «химически сложное веще-
ство». В число предметов, обобщенных в понятии «кристалличе-
ское вещество», попадают металлы, лед, парафин, дерево и т. п.;
т. е. качественно совершенно различные вещи, но, очевидно, так-
же, что кристалличность, по которой осуществлено здесь обобще-
ние, существенна во многих процессах взаимодействия перечис-
ленных предметов с другими и для решения многих практических
задач человека.
Но для каждого из указанных классов предметов — объемов
перечисленных понятий — в свою очередь возникает вопрос о сущ-
ности этих предметов. Для химически простых веществ ее усмат-
ривают в том, что молекулы этих веществ (или непосредственно
сами вещества) состоят из атомов с одним и тем же зарядом яд-
ра. Сущность предметов, имеющих белый цвет, состоит в том, что
они отражают любые падающие на них лучи света, а черные
предметы, наоборот, поглощают все лучи.
Здесь выявляется возможность понятий различных уровней:
белый предмет и предмет, отражающий все падающие на него
световые лучи, химически простое вещество и вещество, молеку-
лы которого или непосредственно само вещество состоят из одно-
родных атомов, и т. п.
В одном случае видовое отличие составляет некоторый нерас-
членяемый далее признак, во втором — содержание понятия есть
результат расчленения этого признака, связанного с выявлением
сущности предметов соответствующего класса.
При образовании понятий, в которых мыслятся предметы не-
которого определенного качества (металлы, растения, механиче-
ское движение, тот или иной вид геометрических фигур), стремят-
ся выбрать в качестве содержания понятия совокупность основ-
ных, существенных признаков предметов, хотя в некоторых слу-
5 Е. К. Войшеилло
129
чаях наоборот выбирают в качестве содержания совокупность ка-
ких-либо внешних легко наблюдаемых признаков. Например, ме-
таллы характеризуют как вещества пластичные, с характерным
металлическим блеском и т. д. Все зависит от того, интересует
ли нас понятие как основа знаний о предметах данного качества
или лишь как способ мысленного выделения этих предметов.
Обычно в науке для одних и тех же предметов используют поня-
тия того и другого типов. Так, согласно одному понятию темпера-
туры она есть величина, пропорциональная средней кинетической
энергии молекул тела. В этой характеристике температуры выде-
ляется, очевидно, ее сущность. «Смешное» можно определить как
«то, что смешит». Но сущность того, что именно смешит, до сих
пор не выявлена. Согласно другому — температура характеризует-
ся операциональным образом как величина, которая может быть
определена с помощью термометра.
Мы говорим до сих пор о сущности предметов некоторого ви-
да или класса. Можно ли говорить в каком-то смысле о сущности
отдельных (конкретных) предметов, — это открытая проблема в
философии и логике. Большинство философов и логиков прошло-
го склонялись к отрицательному мнению по этому вопросу. Одна-
ко есть логики, которые решают этот вопрос безоговорочно поло-
жительно [См. 22].
По-видимому, о сущности отдельной вещи имеет смысл гово-
рить, лишь относя ее к тому или иному классу. Едва ли имеется
какая-то сущность Аристотеля. Но имеет смысл говорить о сущ-
ности (качественной особенности) его как философа, логика, че-
ловека вообще и т. п.
С другой стороны, не все логики и философы признают суще-
ствование и видовой сущности. Под влиянием позитивизма во вто-
рой половине прошлого столетия и в начале нынешнего в фило-
софии распространяется взгляд, что понятие сущности является
порождением схоластики и чуждо действительной науке. «Поня-
тие о сущности, — пишет Б. Рассел, — является сокровенной
частью каждой философской системы после Аристотеля вплоть до
нашего времени. Это, по-видимому, безнадежно сбивающее с тол-
ку понятие...» По мнению Рассела, сущностью может обладать
слово, а не вещь [См. 73, с. 221, 222]. Бохенский, заявляя, что
якобы в естественных науках не говорят о сущности, тем не ме-
нее замечает: «Если присмотреться ближе к естественному спо-
собу исследования, то часто бросается в глаза что-то вроде
стремления к некоторой, правда, недостижимой, существенной
дефиниции. Ведь исследование проникает все «глубже» в струк-
туру предмета. Например, ответ на вопрос «Что такое свет?» се-
годня звучит по-другому, чем во времена Ньютона...» [108, с. 96].
Итак, сущность недостижима (здесь же автор говорит о беспер-
спективности движения к ней), но... познание «проникает все
«глубже»»! Ясно, что недостижима метафизическая абсолютная
сущность.
В настоящее время, как часто подчеркивается, конкретные на-
130
уки постепенно освобождаются от влияния идеалистических и
метафизических философских представлений, реабилитируется и
понятие сущности. «Естественные науки, — пишет Котарбинь-
ский, — прошли через фазу эпистемологии, которая отрицательно
относилась к поискам сущности чего-либо. Не потому ли, что са-
мо это понятие слишком срослось со схоластикой и бесплодным
ее вербализмом?» [52, с. 78]. «В настоящее время все чаще мож-
но слышать и читать о «сущности» того или иного явления. Мы
оказываемся свидетелями известного возврата к этому понятию,
которое полвека назад было еще весьма непопулярным в науч-
ных кругах. Пора поэтому раскрыть его содержание и попытаться
ответить на вопрос, что именно подразумеваем мы, когда говорим
о сущности культуры, о сущности познания, о сущности материа-
лизма и т. п.» [52, с. 72].
В современной логике интерес к понятию сущности заново
возник в связи с семантическими проблемами квантовой модаль-
ной логики. Появилось даже специальное направление — эссен-
циолизм, представители которого признают существование не
только общих (видовых), но и индивидуальных сущностей пред-
метов. Однако само это понятие трактуется и обсуждается здесь
не в философско-гносеологическом смысле, а в некотором специ-
альном логическом смысле.
Следует иметь в виду, что в истории логики и философии сло-
во «сущность» употреблялось в смысле «нечто», «вещь», «пред-
мет», «некая субстанция» (объект мысли). В этом смысле Аристо-
тель говорил о первых и вторых сущностях. (Первая сущность —
отдельная вещь. Вторичные сущности — это так называемые уни-
версалии— нечто, обозначаемое общими именами: «лошадь»,
«человек», «дерево» и т. д.) Если в этом смысле про вещь гово-
рят, что она есть некая сущность, то, понимая сущность как ос-
нову качественной специфики вещи, правомерно поставить во-
прос: «Какова сущность этой сущности?», например, «Какова сущ-
ность человека?».
§ 11-
ПОНЯТИЯ ВИДА И РОДА В ЛОГИКЕ
И КОНКРЕТНЫХ НАУКАХ
Мы употребляли уже раньше такие термины, как
«вид» и «род», подразумевая, как это принято, соответственно
классы Л и В, из которых первый составляет правильную (несов-
падающую с целым) часть второго и объединяет предметы со
специфическими для них свойствами (отличающими их от других
предметов В). Более точно вид — это модификация, особая фор-
ма существования того качества, которым характеризуются пред-
меты рода. Мы будем и дальше придерживаться принятого упо-
требления терминов «вид» и «род», но с оговоркой, что классы
5*
131
(Л и В в приведенном определении) понимаются не как само-
стоятельные объекты (хотя и не исключается возможность рас-
смотрения их в случае надобности и как самостоятельных объ-
ектов). Вид А некоторого рода В составляют (в совокупности)
предметы А. Так, хвойные деревья — вид деревьев; деревья — род
по отношению к хвойным деревьям.
Всякое понятие, как уже подчеркивалось, выделяет некоторый
класс предметов как вид некоторого рода, как особенное в чем-то
общем. Параллелограмм мы выделяем как вид четырехугольни-
ков, деревья — как вид растений.
Ясно, что в пределах объема того или иного понятия в свою
очередь могут быть выделены виды обобщенных в нем предметов.
Нетрудно видеть, что основное содержание понятия представ-
ляет собой нечто тождественное (общее) в предметах; по нему
собственно и отождествляются предметы в понятии. Когда же мы.
обращаемся к объему, устанавливая наличие в нем тех или иных
видов и элементов, то, наоборот, выявляем различия, особенности
тех или иных групп предметов в пределах этого общего (от ко-
торых отвлекались, образуя понятие). Виды представляют собой
особенное в общем, элементы — отдельное (единичное) в преде-
лах этого общего.
Понятия рода и вида обсуждаются Порфирием [72]. В соот-
ветствии со взглядами Аристотеля видом некоторого рода можно
считать такой класс, предметы которого выделяются в роде по*
некоторым существенным признакам. Однако в этом случае поня-
тия достаточно неопределенны в силу недостаточной определенно-
сти самого понятия «существенный признак». Более всего соот-
ветствует употреблению термина «вид» в практике научного по-
знания, очевидно, понимание вида предметов некоторого класса
(рода) как такого подкласса его (рода), предметы которого от-
личаются от всех других предметов рода наличием или отсут-
ствием некоторого особого структурного свойства (т. е. наличием
или отсутствием некоторого особого качества) (см. § 9). Естест-
венно в таком случае считать, например, что материя составляет
вид объектов, мыслимых в понятии «объективная реальность»
(объективная реальность это все, что существует вне и независи-
мо от сознания человека и сообщества людей, хотя может быть и
возникло не без участия сознания). К «объективной реальности»,
как этот термин обычно понимается, относят не только матери-
альные тела — физические объекты, поля и т. д., но и атрибуты
материи, формы ее существования, например, пространство, вре-
мя, движение, производственные отношения в том или ином об-
ществе и т. п. Ясно, что для философии объединение таких раз-
нородных предметов в один класс не является искусственным, по-
скольку все они входят в универсум философского рассуждения,
а относительно многих атрибутов материи существуют, как из-
вестно, споры с точки зрения основного вопроса философии (ср.
Кант о пространстве и времени как априорных формах человече-
ского созерцания). Материя выделяется как та объективная ре-
132
альность, которая способна действовать — непосредственно или
опосредованно—на органы чувств человека, вызывая при этом
ощущения. Речь идет об определенном физическом воздействии, о
раздражении органов чувств, в результате которого появляются
ощущения. Ясно, что такие воздействия могут производить лишь
вещи, поля и т. д. с определенными свойствами и формами суще-
ствования, но не сами эти свойства и формы. Сам по себе ука-
занный здесь признак материй не является ее структурным свой-
ством, но подразумевается, что его основу составляют некоторые
структурные особенности материи.
Аналогично в качестве химических элементов были выделены
инертные газы по тому признаку, что они не вступают ни в какие
химические реакции с другими элементами. И здесь сам по себе
этот признак не является качественной характеристикой химиче-
ских элементов. Но, конечно, подразумевалось, что основу его
составляют какие-то особые характеристики строения атомов
этих элементов, что подтвердилось дальнейшими исследова-
ниями.
В логике термины «вид» и «род» употребляются в еще более
широком смысле, чем только что указанный. Говоря о том, что в
понятии некоторый класс предметов выделяется как вид предме-
тов некоторого рода, мы допускаем возможность того, что видо-
вым отличием этих предметов может служить любое свойство, а
отнюдь не обязательно какое-то их особое качество (структурное
свойство). Среди металлов, например, могут быть выделены ме-
таллы, имеющие те или иные примеси средн деревьев — деревья
Брянского леса. Строго говоря, металлы с примесями не состав-
ляют особого вида металлов, как и деревья Брянского леса осо-
бого вида деревьев. То, что имеется в виду под термином «вид»
в строгом смысле слова следовало бы, возможно, называть онто-
логическим видом. То же, что имеется в виду в логике, — видами
в логическом смысле слова. Родом же в логике мы называем
любой класс предметов, имеющих некоторые общие свойства, в
котором выделяется некоторый другой класс как вид предметов
первого. Правда, как это ни парадоксально, логика в указанном
употреблении «вида» приближается в некотором смысле к ари-
стотелевской его трактовке, подразумевая, что обобщение пред-
метов в понятиях осуществляется всегда по более или менее суще-
ственным признакам. Но «существенное» здесь имеется в виду
не в безотносительном, а в относительном смысле, т. е. сущест-
венное не в смысле сущности предмета, а как существенное для
того или иного рассмотрения или использования предмета (см.
§ Ю).
Если в связи с какой-либо задачей существенно выделить
множество людей, занимающихся спортом, то правомерно рас-
сматривать в данной ситуации это множество как вид людей.
Расширительное употребление терминов «род» и «вид» в тео-
рии понятий и при операциях с понятиями оправдано соображе-
ниями чисто практического характера. Оно освобождает нас с. '
ГъЗ
необходимости оговаривать каждый раз при образовании поня-
тия, выделяем ли мы некоторый вид предметов в пределах того
или иного рода или просто некоторое подмножество какого-то
множества предметов.
Надо различать отношение: «вид—род» и «часть—целое». Пер-
вое является лишь особым, частным случаем второго. Особен-
ность его в том, что оно есть отношение между классами пред-
метов некоторого типа (качества) и в силу этого принципиально
отличается от отношения «часть—целое» между предметами. Зем-
ля есть часть Солнечной системы, но не вид ее; атомы — части
молекул. Вид — это особенное в общем; предметы вида — это бо-
лее или менее конкретные, частные формы существования пред-
метов рода. Одни не существуют наряду с другими. Нет деревьев,
наряду с хвойными, лиственными и другими деревьями.
Иначе говоря, род есть только совокупность видов и притом
совокупность, не представляющая собой реального предмета (как
и каждый класс, являющийся видом данного рода, есть лишь со-
вокупность подклассов — видов данного класса, а в конечном сче-
те— индивидов). Следовательно, род в противопоставлении ви-
дам (как и вид в противопоставлении индивидам) есть лишь аб-
стракция. Между тем предмет, хотя и состоит из частей, сам
представляет собой реальную (существующую в пространстве и
во времени) вещь; такими же являются и его части.
Для понимания существа таких абстракций, как «род» и
«вид», а также специфики отражения мира в понятиях вообще,
ценно замечание К. А. Тимирязева относительно биологического
вида. Критикуя взгляды представителей идеализма в биологии, в
частности Шлейдена, трактовавшего понятие биологического ви-
да в духе объективного идеализма как некую божественную идею
или божественный план творения, К. А. Тимирязев подчеркивает
объективный характер этого понятия и в то же время отмечает
специфику его как понятия в сравнении с тем, что оно отражает.
«Слово «вид» по отношению к организмам имеет, очевидно, два
значения, и от неясного различения двойственности этой точки
зрения проистекают бесконечные недоразумения и разногласия
ученых. В одном смысле вид, очевидно, только отвлеченное поня-
тие, в другом — он реальный факт. Мы, очевидно, то противопо-
лагаем вид разновидности, то противополагаем его другим видам.
Вид, противополагаемый разновидности, есть, конечно, отвлечен-
ное понятие, но виды, целый ряд видов, противополагаемых друг
другу, представляют несомненный объективный факт, и от этого-
то объективного, а не отвлеченного понятия и отправлялись пер-
вые классификаторы, установившие учение о виде» [91, т. 4,
с. 181—182].
Биологический вид есть род (в логическом смысле) по отно-
шению к его разновидностям (логическим видам его). Мысль
К. А. Тимирязева по отношению к любому роду можно интерпре-
тировать так: род как совокупность тождественных предметов
(как мы его мыслим в понятии, т. е. в противопоставлении его
134
видам) есть абстракция, но как совокупность качественно опре-
деленных форм (видов) и отдельных предметов, качественно от-
личных от всех других предметов, есть реальный факт.
В силу неточного употребления термина «вид» возникают ино-
гда трудности, связанные с определениями понятий в конкретны;:
науках. Так, понятие «химического элемента» обычно определяют
как вид атомов некоторого типа. Однако это определение не со-
гласуется с рядом утверждений в самой же химии. Так, в книге
«Общая химия» Н. Л. Глинки читаем: «Химический элемент мож-
но определить как вид атомов, характеризующийся определенной
совокупностью свойств» [с. 21] или «химический элемент — это
вид атомов, характеризующийся определенной величиной положи-
тельного заряда ядра» [с. 106]. В другом месте автор пишет, что
водород и кислород «содержатся в воде не в виде газообразных
водородов и кислородов... а в виде элементов водорода и кисло-
рода» [с. 21]. Очевидно, автор не хочет сказать, что в состав воды
входят классы (всех) атомов водорода и кислорода.
Судя по последнему утверждению в цитируемой работе, под
химическим элементом имеется в виду вещество, представленное
некоторой совокупностью атомов определенного вида, находя-
щихся в связанном с атомами другого вида состоянии, т. е. сово-
купностью атомов определенного вида в составе некоторого хи-
мически сложного вещества. Что иначе может обозначать фраза:
«Находятся в виде химического элемента»? Впрочем, другая
фраза, если же эти элементы «находятся в свободном состоянии»,
т. е. не связаны химически ни с каким другим элементом [с. 21],
указывает на то, что «химический элемент» понимается как веще-
ство, которое представляет какая-либо совокупность атомов опре-
деленного вида (независимо от того, находится ли это вещество
в свободном или связанном виде). Подразумевается, что оно мо-
жет находиться в связанном состоянии (т. е. в составе какого-
нибудь химически сложного вещества), а также в свободном со-
стоянии (хотя в таком случае не подходят слова: «в виде хими-
ческого элемента»). В последнем понимании химический эле-
мент— это абстракция, которая возникает в силу отвлечения от
того, находится ли вещество в связанном или свободном состоя-
нии. Химический элемент в связанном состоянии и химический
элемент в свободном состоянии — это два вида существования хи-
мического элемента.
Глава III
ЗАКОН ОБРАТНОГО ОТНОШЕНИЯ
И ЕГО РОЛЬ В ПОЗНАНИИ
§ 12.
ЗАКОН ОБРАТНОГО ОТНОШЕНИЯ
МЕЖДУ ОБЪЕМАМИ И СОДЕРЖАНИЯМИ ПОНЯТИИ.
ЛОГИЧЕСКОЕ И ФАКТИЧЕСКОЕ СОДЕРЖАНИЕ
ПОНЯТИИ
Закон обратного отношения между объемами и со-
держаниями понятий сформулирован впервые в логике Пор-Роя-
ля (60-е годы XVII в.). Обычная его формулировка: чем шире со-
держание понятия, тем уже его объем, точнее, речь идет об отно-
шении объемов и содержаний двух каких-либо понятий, имеющих
один и тот же род. Закон состоит в том, что если содержание од-
ного понятия шире, чем другого, то объем этого первого, наобо-
рот, уже, чем второго. Более общей формулировкой закона яв-
ляется: если объем одного понятия составляет часть другого,
имеющего тот же род, то содержание второго составляет часть
содержания первого, и наоборот, если содержание одного есть
часть содержания другого, то объемы понятий находятся в об-
ратном отношении. Однако здесь требуется ряд уточнений. Во-
первых, как понимать утверждение: «Содержание одного поня-
тия составляет часть содержания другого»? (Для объемов это
ясно: объем одного понятия составляет часть объема другого по-
нятия,— это значит, что каждый элемент первого является эле-
ментом второго согласно эквивалентности 2 (§ 8).)
В традиционной логике подразумевалось, что содержание по-
нятия тем шире, чем больше в нем признаков, характеризующих
мыслимые в нем предметы. Однако число признаков не всегда
просто подсчитать. Так, даже для простых понятий «число, кото-
рое делится (без остатка) на 3 или 2» и «число, делящееся на
3» возникает неясность относительно того, где число признаков
больше. Во-вторых, признаки могут существенно различаться по
информативности. Так, в понятиях «человек, знающий какой-либо
из европейских, — положим живых, — языков», «человек, знаю-
щий любой из живых европейских языков» и «человек, знающий
английский язык» мы имеем в качестве видового отличия по одно-
му признаку, но очевидно, что информативность этих понятий от-
носительно мыслимых в них предметов, точнее, информативность
самих упомянутых признаков различна. Содержание понятия и
отдельные признаки естественно понимать именно как некоторую
информацию. При этом, поскольку речь идет о сравнении поня-
тий, имеющих одинаковый род, существенно учитывать лишь ту
информацию, которую заключают предикаты, представляющие ви-
довые отличия мыслимых понятий предметов. Отношения между
136
предикатами по информации могут быть определены с помощью
понятия логического следования.
Df 1. Будем говорить, что содержание понятия (ХЬ...,ХП)
B(Xlt... ,Хп) 6 составляет часть содержания понятия (Хь...
..., Хп) A (Xi,..., Хп), п>1, если и только если из Д(ХЬ...
..., Хп) (Хь..., Хп), где 1= знак отношения логического сле-
дования классической логики предикатов.
Отношения логического следования между теми или иными
высказываниями, вообще говоря, можно установить, исходя из
определения этого отношения в логике предикатов (§ 5), а для
высказывании в языке логики предикатов первого порядка, ис-
пользуя также аппарат исчисления предикатов первого порядка
(в котором, как известно, отношения формальной выводимости
A t-В— установленное без варьирования переменных — имеет
место тогда и только тогда, когда В логически следует из Д). Мы
напомним здесь лишь некоторые наиболее важные для анализа
понятий случаи отношения следования:
1.12. Д&В|=Д.	2.12.	Д&В|=В.	3.12.	A'f=AyB.
4.12. В\=А\уВ. 5.12. ¥Х(Д(Х)|=Д(ео). 6.12. А (е0) 1=ЯХД (А),
где Д(ео)—результат подстановки константы ео в А(Х) вместо
всех свободных вхождений X, ео есть имя некоторого предмета,
а< — знак определенного свойства или отношения Ргк, или имя не-
которого множества в зависимости от того, является ли X пред-
метной, предикатной переменной или переменной для множеств.
В силу транзитивности следования из 5.12 и 6.12 получаем 7.12.
УХА(Х)\==Э.ХА(Х). К этим отношениям можно добавить отноше-
ния следования, подразумеваемые в перечисленных в § 9 эквива-
лентностях 1—12, учитывая, что «А = В» означает, что «Д|=В» и
«В|=Д».
Теперь легко могут быть разрешены вопросы об отношениях
содержаний указанных выше понятий. В силу отношения 4.12 со-
держание понятия «число, которое делится на 2 или на 3» со-
ставляет часть содержания понятия «число, которое делится на
3» (в данном случае А\/В и В соответственно содержания перво-
го и второго понятий). Однако содержание второго не является
частью первого и, значит, оно шире, чем содержание первого. Что
касается указанных понятий относительно людей, знающих евро-
пейские языки, и людей, знающих английский язык, то отноше-
ния их по содержанию нетрудно выяснить, выявив логические
формы этих понятий. Ими являются «хХуР(х, у)», «хР(х, а)»
’(где область значений «х» и «z/» соответственно «люди» и «евро-
пейские языки», «Р» заменяет «знает», «а» — английский язык»),
6 Напомним, что X..Хп — переменные, возможно, различных категорий
(предметов, свойств, отношений и т. д.). (X,, .... Xn)A(Xlt ..., Хп) — общая
форма понятия; здесь л:>1. В случае п=1 имеем «ХД(Х)» («предмет X нз не-
которой предметной области D, обладающей свойством 4»); при п>1. «(Xi,...,
..., Хя)Д(Х1, .... Хп)» означает «система объектов X], ..., Х„)» возможно из раз-
личных предметных областей Di, ..., Dn, находящихся в отношении А».
137
Содержание первого понятия здесь составляет часть содержа-
ний второго и третьего, поскольку отношения логического следо-
вания: VyP(x, у)\=Э.уР(х, у) и Р(х, а)£=Я.уР(х, у) (согласно
соотношениям 5.12 и 6.12).
Содержание третьего понятия является частью содержания
второго, так как VyP(x, у)£=Р(х, а) согласно 5.12.
Никаких отношений, обратных указанным, не имеется. Это
значит, что содержание второго понятия шире, чем двух других,
а содержание третьего шире второго. Так, согласно закону об-
ратного отношения между объемами понятий имеется WVyPX
X (х, z/)c=v\f хР(х, a)c=v\[ х3.уР(х, у), где «с=» есть отношение
«правильная часть»; одно множество является правильной частью
другого, если оно, будучи частью этого другого множества, не
совпадает с ним.
В истории логики существовали и существуют до сих пор
споры относительно закона обратного отношения. Не все считают,
что такой закон действительно существует. Среди представителей
диалектической логики существует даже мнение, что этот закон
относится лишь к некоторым особым понятиям «формально-логи-
ческого» характера. Для диалектических понятий справедлив, как
они считают, закон прямого отношения: чем шире объем понятия,
т. е. чем более общим оно является, тем богаче его содержание
[см., например, 79].
О существовании понятий, подчиненных закону «прямого от-
ношения», утверждали и некоторые представители конкретных
наук. Например математик Ламберт, вслед за ним известный фи-
лософ прошлого столетия Эрнст Кассирер считали, что к их числу
относятся понятия математики, в частности аналитической гео-
метрии. Критикуя закон обратного отношения, это же мнение от-
носительно упомянутых понятий высказывает и немецкий фило-
соф Г. Клаус (см. § 14). Известен так называемый «парадокс
Больцано», который также, по видимому, опровергает закон об-
ратного отношения. Именно указываются следующие два поня-
тия: «человек, знающий европейские языки» и «человек, знающий
все живые европейские языки». Содержание второго из этих по-
нятий, как считают приводящие этот парадокс, шире, чем содер-
жание первого (поскольку к характеристике языков добавляется
признак «живые»), но объем этого понятия также шире, чем
объем первого. Однако мы имеем здесь парадокс лишь по види-
мости. Этот случай представляется парадоксальным как раз в
силу того, что не было точного критерия для установления отно-
шений между понятиями по содержанию. Используя введенное
определение для отношения «быть частью» между содержаниями,
а также воспользовавшись точным языком логики предикатов для
представления логических форм данных понятий, легко устано-
вить, что, вопреки упомянутому мнению, в данном случае более
широкое содержание имеет первое из указанных понятий. Логи-
ческая форма первого — xVyP(x, у), второго—xNy(Q(y)^P{x,
у)), где Р заменяет «знает», Q — «живой», области значений х и
138
у соответственно «люди» и «европейские языки». Используя ап-
парат исчисления предикатов, легко убедиться, что: VyP(x, ц)(=
t=Vz/(Q(z/)=>P(x, у)).
Имеются, однако, случаи более серьезного характера, по види-
мости опровергающие обсуждаемый закон. Возьмем, например,
пары понятий «квадрат» и «квадрат с взаимно перпендикуляр-
ными диагоналями» или «число, делящееся на 2 и на 3» и «число,
делящееся на 2, на 3 и на 6». Согласно понятию логического сле-
дования и введенному определению отношения «часть» для со-
держаний между понятиями, содержание второго понятия в каж-
дой из этих пар шире, чем содержание первого, однако объемы
первого и второго в каждой паре совпадают. Для разрешения
трудностей этого рода необходимы определенные уточнения поня-
тий «содержание понятия», «объем понятия», а вместе с тем и
формулировки закона обратного отношения. Необходимо разли-
чать, во-первых, логическое и фактическое содержание понятия и
аналогично логический и фактический объемы понятий. Логиче-
ское содержание, которое до сих пор, по существу, имелось в ви-
ду, это имеющаяся в понятии информация относительно обоб-
щаемых в нем предметов, зависящая лишь от логической формы
понятия. Фактическое содержание — это информация, которую мы
имеем в понятии с учетом значений имеющихся в его формули-
ровке дескриптивных терминов (знаков предметов, свойств, отно-
шений). «С учетом значений... дескриптивных терминов» означает
«с учетом некоторой совокупности знаний относительно предме-
тов, свойств, отношений — значений этих терминов» в составе не-
которой теории, в которой используется данное понятие.
Утверждение: «фактическое содержание понятия (ХЬ...,Х„)
В (Х\,..., Хп) относительно совокупности знаний составляет часть
фактического содержания понятия (Хь ... ,Хп)А (Хь... ,Хп)» от-
носительно той же совокупности знаний определяется как
<А(ХЬ...,ХЯ)В (ХЬ...,ХЯ)».
Ясно, что если логическое содержание В — одного понятия, со-
ставляет часть логического содержания А — другого понятия, то
это же отношение существует и между их фактическими содер-
жаниями, ибо если Af=B, то согласно законам классической ло-
гики ГА^=В для любого Г. Очевидно теперь, что фактические со-
держания А и В упомянутых выше понятий «квадрат» и «квад-
рат с взаимно перпендикулярными сторонами» совпадают. Имеем
Г, А^=В и Г, В[=А, где Г — множество из одного высказыва-
ния— теоремы геометрии: «Во всяком квадрате диагонали вза-
имно перпендикулярны». Аналогичным образом устанавливаем
совпадение фактических содержаний понятий «число, делящееся
на 2 и на 3» и «число, делящееся на 2, на 3 и на 6», используя в
качестве Г множество из 3 (истинных) утверждений арифметики:
«Если некоторое число а делится на b и с, которые не имеют об-
щего делителя, отличного от единицы, то оно делится и на их
произведение», «2 и 3 не имеют общего делителя, отличного от
единицы», «шесть есть произведение двух и трех».
139
Имеются, например, несколько определений и соответственно
понятий простого числа. Наиболее употребительны два из них:
(1) «целое положительное число, отличное от единицы и не имею-
щее никаких делителей, кроме самого этого числа и единицы»,
символически: x(x=l&Vz/(.P(z/, х)^у=х\/у=\)), где область х
и у — множество целых положительных чисел, «Р(у, х)» означает
«у — делитель х»; (2) «целое положительное число, имеющее ров-
но два различных делителя» —хЯ//Лг(Р(//, х)&Р(г, x)&z = z/&
&V«(P(w, x)zou=z/V«=£))• В арифметике считается, что эти по-
нятия обобщают один и тот же класс чисел, или, как принято на-
зывать такие понятия в логике, они являются равнозначными.
Однако это верно только в составе арифметики, т. е. с учетом
определенных положений арифметики. Без учета каких-либо зна-
ний данные понятия неравнозначны. Их содержания являются
просто несравнимыми. Если учесть одно положение арифметики:
«Каждое число имеет в качестве делителя самого себя и едини-
цу», тогда оказывается, что содержание второго—именно факти-
ческое содержание относительно указанного положения — уже,
т. е. составляет правильную часть содержания первого (а объ-
емы их, естественно, находятся в обратном отношении). Совпаде-
ние содержаний указанных понятий и, значит, их равнозначность
имеется с учетом еще одного арифметического утверждения: «Все
делители единицы равны между собой». (Доказательство всех
сформулированных утверждений осуществляется в системе исчис-
ления предикатов с равенством.)
В каком-то смысле (который не удается пока точно охаракте-
ризовать) второе определение является более слабым, и потому
оно предпочтительнее, поскольку употребление логически более
слабого определения (понятия с возможно более слабым логиче-
ским содержанием) требует меньше логической информации при
решении вопроса о том, подходят ли некоторые предметы под
данное понятие, и обеспечивает большую информативность об-
щих утверждений относительно мыслимых в понятии предметов.
Однако возможность определения того, какое из понятий яв-
ляется более слабым по содержанию, едва ли возможно здесь
просто на основе интуиции, без применения точного логического
аппарата. При выборе определения одного и того же класса пред-
метов существенную роль может играть также интуитивная яс-
ность определения, поскольку одна из основных функций понятия
состоит именно в выделении интересующего нас класса пред-
метов.
Аналогично тому как это сделано для содержаний, необходимо
различать также логический и фактический объемы понятий.
Логический объем понятия (Xi,...,Xn)A составляет множе-
ство возможных систем объектов (Xi,..., Хп), выполняющих пре-
дикат А, без учета значений имеющихся в нем дескриптивных
терминов, т. е. рассматриваемый лишь со стороны его логической
формы. Фактический объем того же понятия — это множество
140
«фактически существующих систем объектов, удовлетворяющих ус-
ловию А с учетом значений его дескриптивных терминов.
Как уже упоминалось, объемы рассмотренных пар понятий, а
также следующих — «квадрат» и «квадрат с взаимно перпендику-
лярными диагоналями», «число, делящееся на 2 и на 3» и «число,
делящееся на 2, на 3 и на 6» равны. Теперь уточним: равны имен-
но фактические их объемы. Что касается логических объемов, то
для понятий каждой пары они различны. Именно объем второго
понятия в каждой паре уже, чем объем первого.
Действительно, если логическую форму первого понятия в
первой паре, например, представить, как хР(х), а второго
xP(x)&Q(x), то логические объемы их соответственно представ-
ляют множества wxP(x) и wxP(x)&Q(x), второе множество уже,
поскольку оно равно у[хР(х) Пэдхф (х).
Как видим из анализа последнего примера, сравнение логиче-
ских объемов, как, впрочем, и фактических, можно осуществлять,
подвергнув их предварительно разложению на некоторые состав-
ляющие. Ниже будет указан способ подобного разложения для
понятий определенного типа. Но прежде закончим рассмотрение
вопроса о законе обратного отношения. Формулировка его дол-
жна быть уточнена теперь с учетом проведенных различений фак-
тических и логических содержаний и объемов понятий. Ясно, что
•если мы сравниваем фактические объемы (или содержания) двух
понятий, то соответственно должны рассматриваться отношения
между фактическими содержаниями (или объемами). Отношению
между логическими объемами (или содержаниями) соответствует
-отношение между логическими же содержаниями (объемами).
Приведенные выше примеры казались опровергающими закон об-
ратного отношения, потому что, рассматривая отношения между
объемами, мы брали фактические объемы, а содержания при этом
имели в виду логические.
По существу, мы имеем теперь два закона обратного отноше-
ния: с одной стороны, для фактических содержаний и объемов, с
другой — для логических. В качестве обобщающей их формули-
ровки может быть принята следующая (закон обратного отно-
шения):!.	где ЗЕ —сокра-
г	г
щение для (Х{,..., Хп), Г под «S» и «t=» указывает на то, что
«равнение объемов и содержаний осуществляется с учетом сово-
купности знаний Г; «А (ЭЕ ) t=B( ЗЕ)» есть то же, что «Г, А (ЗЕ) t=
г
, |=В ()». Однако допускается, что Г может быть пустым множе-
ством (при непустом Г имеем фактические относительно этого Г
объемы и содержания, при пустом — логические).
В качестве Г мы имеем в виду совокупность некоторых выска-
зываний (знаковые формы которых суть предложения, т. е. не
«одержат свободных переменных.; в случае, когда для выражения
высказываний используется какой-нибудь формализованный язык,
их знаковые формы суть замкнутые формулы этого языра).,
141
При этом отношение ГД(ЗЕ)|=В Ж ) имеется, если и только ес-
ли Г=1уЖ (Д (ЗЕ) зэВ (X ). Применяя обозначение «t=V3E (Д) (ЗЕ)
г
оВ(Ж))> вместо Гк=Ух(Д (ЗЕ))=>В( Ж), получаем следую-
щую формулировку закона обратного отношения: II. эдЖД(ЗЕ)^
S W Ж В (Ж) <=>f=V Ж (Д (Ж) зэВ (ЗЕ)). В силу соотношения «если
1=Д( Ж ), то Г|=Д ( Ж)» имеем «если ууЗЕД(ЗЕ эдЗЕВ( Ж ), то
эдЗЕ Д( Ж)е ^ЗЕВ(Ж)». (Если логический объем одного понятия
г
составляет часть другого понятия, то же отношение имеется и для
фактических объемов этих понятий при любом В; ни при каком
Г объем первого понятия не может оказаться шире объема вто-
рого.)
Значение закона
обратного отношения
Этот закон играет важную роль во многих про-
цессах познания. По существу, он является основой в семантиче-
ской теории информации. Само понятие семантической информа-
ции, например информации того или иного высказывания Д, опре-
деляют обычно как меру или показатель того, насколько приня-
тие этого высказывания за истину ограничивает некоторое мно-
жество исходных возможностей М. Информативность А тем боль-
ше, чем сильнее это ограничение. Если мы, например, говорим,
что данное вещество химически сложно, то ограничиваем множе-
ство химических веществ до химически сложных; утверждение же
о том, что это вещество является химически сложным и состоит
из кислорода и водорода, делает круг возможностей, к которому
относится рассматриваемое вещество, еще более узким и, значит,
является более информативным. Наше утверждение относится,
вообще говоря, не к действительности в целом, например, не к
миру вообще, а к некоторым его состояниям в те или иные мо-
менты или промежутки времени, или, как говорят в логике, к
возможным мирам, которые представляют так называемые «опи-
сания состояний». На этом основан широко применяемый в логи-
ке и теории информации способ оценки информативности логиче-
ских форм высказываний. Информация при этом определяется
относительно множества «возможных миров М». Логическая
форма А некоторого высказывания Ао тем более информативна,
чем уже множество тА — «возможных миров», в которых истин-
но Д. В понятии множество исходных возможностей — это его
род. Объем понятия — результат его ограничения за счет добав-
ления видового отличия. Степень этого ограничения и есть пока-
затель информативности предиката, выражающего это видовое
отличие.
Закон обратного отношения играет важную роль в известных
операциях обобщения и ограничения понятий (см. § 19) и в ана-
лизе отношений между понятиями (см. § 18).
142
§ 13.
СПОСОБ ПРЕДСТАВЛЕНИЯ ОБЪЕМОВ
И СОДЕРЖАНИИ ПОНЯТИИ
В СОВЕРШЕННЫХ НОРМАЛЬНЫХ ФОРМАХ
Для характеристики объемов понятия и обеспече-
ния возможности сравнения объемов различных понятий необхо-
димо представление их в некоторых стандартных формах — в со-
вершенных нормальных формах аналогичное представление воз-
можно и для содержаний понятий и может быть использовано
для выяснения отношений между понятиями по содержанию.
Приведение объемов и содержаний понятий к совершенным
нормальным формам, как и сами эти формы, мы будем характе-
ризовать как полное разложение объемов и содержаний по неко-
торому множеству элементарных составляющих. При этом непо-
средственно речь пойдет о разложении логических объемов и со-
держаний. Фактические объемы и содержания получаются из ло-
гических, представленных в совершенных нормальных формах,
простым отбрасыванием некоторых частей.
Существенными для разложения объемов являются следующие
соотношения, выражающие связи между высказывательными фор-
мами — содержаниями понятий и классами — объемами понятий:
1.13. w$(A&B) =
2.13. ууХ (Д\/Д) = 1уЗЕЛи В,
3.1’3. эдЖА = ( уф£А)', где П, U' — знаки операций с множест-
вами соответственно: пересечение, объединение и дополнение. Со-
гласно предыдущим разъяснениям предикаты А и В не обяза-
тельно должны содержать все компоненты 36 и не обязательно
должны содержать одни и те же компоненты.
Таким образом, разложение объемов и содержаний понятий,
которые здесь имеются в виду, осуществимо лишь в случае, ко-
гда предикат Л (36), представляющий содержание понятия, не
содержит кванторов. В противном случае разложение возможно
лишь с точностью до информации некоторых, не разложимых на
более простые составляющие вида V3EC(36) и ЯЖС(36). Это
значит, что информация таких формул не учитывается (аналогич-
но тому, как она не учитывается при выводе следствий из выска-
зываний в исчислении высказываний).
Для представления объемов и содержаний понятий в нор-
мальных формах необходимы понятия элементарных составляю-
щих объемов и содержаний. Если формула Л (36) в понятии
£ А (X ) не содержит кванторов, то ее элементарными составляю-
щими являются все попарно различные, входящие в нее простые
предикаты (т. е. ее подформулы, не содержащие никаких логиче-
ских констант). Тогда возможными элементарными составляющи-
ми объема данного понятия будем в таком случае называть клас-
сы вида до36Л>(36), где ЛД36) — элементарная составляющая
формулы А.
143
Разложение объема, как и содержания, данного понятия мо-
жет осуществляться не только по множеству элементарных со-
ставляющих содержания или объема данного понятия, но и по
более широкому множеству, например по объединению множеств
{Л Л5} и {Bt,..., В;}, представляющих собой множества эле-
ментарных составляющих содержания понятий соответственно
ХД($) и £В(&). Последнее необходимо в случаях, когда совер-
шенные нормальные формы выявляются для установления со-
отношений между содержаниями и объемами двух понятий. Учи-
тывая эту возможность, мы будем говорить, что разложение объ-
ема некоторого данного понятия ЖА(Ж) осуществляется по не-
которому множеству элементарных составляющих Сь..., Ck, ко-
торые, в частности, могут совпадать с Alt...,As. Поскольку эле-
ментарные составляющие объема получаются из элементарных
составляющих содержания, можно говорить, по крайней мере ра-
ди сокращения, что разложение объема и содержания понятия
осуществляется по некоторому множеству элементарных состав-
ляющих содержания этого понятия или объединения множеств
элементарных составляющих содержаний нескольких понятий.
Способ приведения к совершенным нормальным
формам объемов и содержаний понятий Ж А (Зс)
для бескванторных А ( Ж) с использованием
диаграмм (прямоугольников) Венна представлен
ниже последовательностью шагов 1—3
I.	Прежде всего проводим некоторые преобразова-
ния формулы А (Ж). А именно осуществляем всевозможные замё"
ны (в любом порядке) имеющихся в ней и появляющихся в прс№
цессе преобразования формул вида (Сзэ/)), (C&D), (C\/D), С
соответственно на (C\/D), (C\/D), (C&D) и С. Эти преобразова-
ния осуществляются на основе эквивалентностей 2.1, 2.2, 2.3, 2.4.
2.	Для представления объема понятия в совершенной нормаль-
ной форме используем диаграмму (прямоугольник) Венна. Эти
диаграммы представляют собой способы графического изображе-
ния объемов понятий (и в некотором смысле также и их содер-
жаний) и при этом представление их именно в совершенных нор-
мальных формах.
Построение диаграммы начинается с изображения множества
всех возможных объектов Ж, составляющих род данного поня-
тия, в виде прямоугольника. Каждая точка прямоугольника есть
одна из систем объектов или отдельных предметов Ж элементов
рода соответствующего понятия.
Если искомая совершенная нормальная форма содержания
(и соответственно объема) понятия ЖА(Ж) должна представ-
лять собой разложение его по множеству элементарных состав-
ляющих Ci,...,Cft, то делим взятый прямоугольник на 2й частей.
Деление осуществляется последовательно. Положим для опреде-
ленности, что деление осуществляется по множеству составляю-
144
щих Ci, С2,..., Cft в данном порядке. Сначала прямоугольник де-
лится по С[ на две части Ct и Ci. Затем каждая из полученных
частей (полос) также делится на Две части по С2 и С2 и т. д.,
т. е. на каждом шаге осуществляется деление на две части каж-
дой из частей предыдущего деления.
При этом деление каждый раз должно быть однообразным.
Это значит, что все подлежащие делению — на некотором ша-
ге— части разделяются вертикальной или горизонтальной чертой.
Полоса, соответствующая С,- (i=I, 2,представляет
класс предметов X, удовлетворяющих условию Сг, т. е. множест-
ва jyS. Ci, а полоса Сг- — класс_ предметов, удовлетворяющих ус-
ловию Cit т. е. множества ]^XCi. Каждая из частей прямоуголь-
ника, полученная на последнем шаге деления, (будем называть
ее основной), представляет пересечение классов эдЖС,,...
..., где есть ууЖС,- или ууЖС,-, т. е. класс
(W^iD • • • A	Пересечение такого рода, каждый член ко-
торого есть либо элементарная составляющая этого объема, либо
ее дополнение для каждого Сг из исходного множества {С\,..., Ck} и
в котором все члены попарно различны, называется полным —
относительно указанного множества — элементарным пересече-
нием.
Это возможные части, на которые предполагается разложение
объема рассматриваемого понятия.
Объем А делимого понятия — если он не пуст — представ-
ляется как объединение полных элементарных пересечений. Со-
вершенной нормальной формой представления объема некоторого
энятия называется объединение попарно различных полных эле-
.ептарных пересечений.
3.	Выделение интересующих нас частей объема рассматривае-
мого понятия ЖД(Ж) осуществляется по формуле А с использо-
ванием эквивалентности 1.13, 2.13 последовательно: сначала на-
ходятся части, составляющие объемы, соответствующие самым
глубоким ее подформулам, затем их непосредственным расшире-
ниям (надформулам),-расширениям последних и так далее для
каждого вхождения в формулу знаков «&» и «V»-
Так, класс, соответствующий подформуле (Сг&С3), составляет
совокупность основных частей прямоугольника, которые нахо-
дятся в пересечении всех полос С г и С3-, т. е. одновременно при-
надлежат тем и другим полосам, а подформула Ci\/Cj — совокуп-
ность всех основных частей прямоугольника, находящихся в по-
лосах С, и Cj. Если для подформул В и С соответствующие клас-
сы КЛ й /<2 Уже сформированы, то класс, соответствующий (В&
&С), составляет совокупность основных частей прямоугольника,
входящих одновременно в Ki и в К2, а для (В\/С) соответствую-
щим классом будет совокупность всех основных частей, состав-
ляющих Ki и К2-
В рассматриваемом ниже примере указан прием формирова-
ния объема понятия по предикату Д(Ж) с использованием нуме-
рации вхождений знаков «&» и «V» в этот предикат.
145
Пример.
Рассмотрим понятие «натуральное число такое, что если оно
не оканчивается на 5 или не делится на 3, то оканчивается на
О и делится на_6». Запись его с использованием языка логики
предикатов: х (Оканчивается (х, 5) V Делится (х, 3)) зэ (Окан-
чивается (х, 0) & Делится (х, 6)). Обозначим для упрощения
предикаторы «оканчивается», «делится» соответственно через Р и
Q. Элементарными составляющими содержание данного понятия,
очевидно, являются Р(х, 5), Р(х, 0), Q(x, 3), Q(x, 6).
1. Проведем указанные преобразования предиката, выражаю-
щего логическое содержание этого понятия, под знаком «=» ука-
зываем, на основе каких эквивалентностей происходит преобразо-
вание:
(('Р(х, 5)VQ(x, 3))о(Р(х, 0)&Q(x, 6))) =
7.9
((Р(х, 5)VQ(x, 3))\/(Р(х, 0)&Q(x, 6))) =
9.9
((Р(х, 5)&Q(x, 3))Х/(Р(х, 0)&Q(x, 6))) =
10.9
((Р(х, 5)&Q(x, 3))\/(Р(х, 0)&Q(x, 6))).
Согласно равенствам 1.13 и 2.14 можем получить следующее
разложение объема понятия: (]ftx((P(x, 5)&Q(x, 3))V(P(X> 0)&
&Q(x, 6)))) = (wx(P(x, 5)&Q(x, 3))UWX(-P(X> 0)&Q(x, 6))) =
2,13	1,13
(W'x(P(x, 5))(]w'x(Q(x, 3)))U(wx(P(x, 0))nwx(Q(x, 6))).
Этот процесс можно было бы продолжить далее до получения
совершенной нормальной формы объема данного понятия, исполь-
зуя известные эквивалентности алгебры классов. Однако все ука-
занные операции, так же как и остальные, необходимые для по-
лучения нужного нам результата, можно осуществить непосред-
ственно на диаграмме Венна. Для этого используем нумерацию
логических операций в данном нам предикате, полученном в ре-
зультате указанных преобразований исходного. Таким образом,
имеем: ((Р(х, 52&Q(x, 3))\/(Р(х, 0)&Q(x, 6))). Теперь, рассмат-
ривая Р(х, 5), Q(x, 3), Р(х, 0), Q(x, 6) как условия образования
множеств соответственно ЭДх(Р(х, 5)), Wx(Q(x, 3)) и т. д., а &
и V соответственно как операции П и Q с этими множествами, вы-
полняем в диаграмме операции по порядку:
146
Р(х, 0)
Р (х,0)
Р(х, 5)	2,3	1, 2, 3		1,3	Q(x, 6)
		1,3		1,3	Q(x, 6)
Р(х, 5)	2,3	2,3			Q(x, 6)
					Q(x, 6)
	Q(x, 3)	Q(x, 3)	Q(x, 3)	Q(x, 3)	
Множество, получаемое в результате каждой операции, отме-
чено также номером этой операции. Части, где стоит цифра 1,—
результат пересечения множеств, соответствующих Р(х, 5) и
Q(x, 3), аналогично для 2. Результат операции объединения ча-
стей, отмеченных цифрами 1 и 2, — это совокупность всех частей,
отмеченных цифрой 3.
Объем данного понятия представляет совокупность тех основ-
ных частей, которые явились результатом выполнения последней,
т. е. третьей операции. Таким образом, имеем:
WxA(x) =wxP(x, 5)Пмх<2(х, 3) П Wx<2 (*, 6)ПуухР(х, 0)U
2
5)nw*Q(*. 3)flwxQ(x, 6)nw’x^C4 0)U
_	4	_	_
UW%P(x, 5)Aw'xQ(x> 3)ClwxQ(x, 6) Г) yjxP (x, 0)U
_	6	_
Uw'xP(x, 5)n’w*Q(x> 3)DjvxQ(x, 6)D\v'xP(x, 0)U
_	8	_
(JW%P(x, 5)П'у/*<Ж 3)nW*<2(*. 6)DwxP(x, 0) (J
_	9 -
Uw*P(x, 5)П’эдх<Э(х, 3)DwxQ(x,	0)U
i°
WxP(x, 5)(Tw-kQ(*, 3)n'W'xQ(x, 6)[}\$хР(х, 0).
Цифры над членами (элементарными пересечениями) указан-
ного объединения суть номера основных частей прямоугольника
при нумерации их по горизонталям слева направо, начиная с
верхней. Характеризуя объем данного понятия, можно было бы
сказать проще — он составляет сумму частей 1, 2, 4, б, 8, 9, 10
полученной диаграммы.
С учетом значений дескриптивных терминов и некоторых по-
ложений арифметики, т. е. рассматривая фактическое содержание
понятия, можем убедиться, что некоторые из частей найденного
его логического объема являются пустыми. Таковы члены, содер-
жащие Р(х, 5) и Р(х, 0), поскольку число не может одновремен-
но оканчиваться на 5 и на 0, а также члены, содержащие Q(x, 3)
147
Q(x, 6), так как при делимости на 6 число делится и на 3. Та-
ким образом, фактический объем данного понятия составляют ча-
сти 8, 9. Совершенная нормальная форма для содержания рас-
сматриваемого понятия вычитывается из диаграммы, построенной
для его объема следующим образом: каждый из основных частей
прямоугольника трактуем как формулу — полную элементарную
конъюнкцию—(С[&,...,	далее выделяем выражения этого
вида, соответствующие элементарным пересечениям, составляю-
щим объем данного понятия, и соединяем их знаком «V»- Так,
для предиката А (х) логического содержания понятия, рассматри-
ваемого в последнем примере, имеем: А (х) =
(Р(х, 5)&^(х, 3)&Р(х, 0)&Q(x, 6))V(P(x, 5)&Q(x, 3)&
&Р(х, 0)&Q(x, 6)) V
V(B(x, 5)&Q(x, 3)&P(x, 0)&Q(x, 6))V(Q(x, 3)&P(x, 0)&
&P(x, 5)&Q(x, 6))V
V(B(x, 5)&Q(x, 3)&P(x, 0)&Q(x, 6))V(B(x, 5)&Q(x, 3)&
&P(x, 0)&Q(x, 6)) V
V(P(x, 5)&Q(x, 3)&P(x, 0)&Q(x, 6))
Если содержание понятия разложено по множеству его эле-
ментарных составляющих, то полученное выражение называется
совершенной дизъюнктивной нормальной формой предиката
Л(х), выражающего это содержание. В случае же, когда разло-
жение осуществлено по какому-либо более широкому множеству
элементарных составляющих, этот термин не подходит хотя бы
потому, что в логике высказываний принято и играет существен-
ную роль положение о том, что каждая не тождественно ложная
формула имеет одну совершенную дизъюнктивную нормальную
форму. Учитывая это, совершенную нормальную форму указан-
ного вида мы будем характеризовать как полное дизъюнктивное
разложение содержания понятия по заданному множеству эле-
ментарных составляющих независимо от того, каково это множе-
ство. Известно, что существует алгебраический способ приведения
формул логики высказываний к совершенной дизъюнктивной нор-
мальной форме, применимый естественно и к бескванторным фор-
мам языка логики предикатов. Этим же способом может быть по-
лучено любое полное дизъюнктивное разложение бескванторной
формулы А (х).
Этот способ — разложение содержания Л(Ж ) некоторого по-
нятия по элементарным составляющим Ci,...,C/, — включает, во-
первых, указанные выше преобразования Л (Ж) со следующими
добавлениями: в формуле, полученной в результате описанных
выше шагов преобразования, мы перестаем различать подформу-
лы вида (В&С) и (С&В), а также (В\/С) и (С\/В), и в подфор-
мулах видов (B&(C&D) и (B\/(C\/D)) опускаем внутренние
скобки (возможности такого рода допускались и раньше). Про-
должая преобразования формулы Л (Ж) с учетом только что ска-
занного, заменяем подформулы вида	, а значит, и
148
вида ((C\/D)&B), на ((В&С)V(B&D)). В результате получается
формула вида (Bi V,   , V-^z), в которой каждый член В,-
есть (Cj&,..., &Cis), s>l (каждый член последнего выражения
есть элементарная составляющая или отрицание ее). Формулы
последнего вида называются элементарными конъюнкциями, а
вся формула (BiV>• • • ,\/Bi)—дизъюнктивной нормальной фор-
мой. Далее, из полученной дизъюнкции исключаем все члены
(элементарные конъюнкции), в которых содержится какая-нибудь
элементарная составляющая вместе с ее отрицанием, все повто-
рения членов в составе элементарных конъюнкций, и затем все
повторения элементарных конъюнкций в составе дизъюнкции. Та-
ким образом, получаем дизъюнктивную нормальную форму, в ко-
торой все дизъюнктивные члены попарно различны, непротиворе-
чивы и в свою очередь не содержат повторяющихся членов. Не-
которые из этих членов могут представлять собой полные элемен-
тарные конъюнкции. В других —недостает каких-нибудь элемен-
тарных составляющих из взятого первоначально множества. За-
дача состоит в том, чтобы произвести «восполнение» таких эле-
ментарных конъюнкций. Эта операция совершается так: если в
какой-нибудь элементарной конъюнкции В, нет элементарной со-
ставляющей то заменяем ее — в имеющейся дизъюнкции дву-
мя членами, один из которых получаем добавлением к В,- конъ-
юнктивного члена Ci, а другой — Сг-. Проделывая это преобразо-
вание со всеми элементарными конъюнкциями относительно всех
недостающих в ней элементарных составляющих и исключая за-
тем повторения дизъюнктивных членов, которые могли бы при
этом возникнуть, получаем полное дизъюнктивное разложение
Д($). Заметим, что все указанные преобразования основаны на
определенных законах, согласно которым обеспечена эквивалент-
ность всех получаемых в процессе преобразования результатов.
Здесь мы предполагаем, что читателю они уже известны. Список
этих законов см.: «Формальная логика». (Л., 1977. Ч. II. Гл. I);
здесь же в главе II см. описание способов приведения формул
логики высказываний к нормальным формам.
Представление объемов понятий, как и их содержаний, в ука-
занных совершенных нормальных формах дает простой способ
сравнения понятий соответственно по объемам и содержаниям.
Если имеем разложение объемов двух понятий ЖД(Ж) и ЖВ(Ж)
по одному и тому же множеству элементарных составляющих, то
объем одного составляет часть другого если и только если мно-
жество полных элементарных пересечений в представлении объ-
ема первого составляет часть множества таковых представления
второго понятия. При наличии полных дизъюнктивных разложе-
ний содержаний этих понятий по одному и тому же множеству
элементарных составляющих содержание одного составляет часть
содержания другого если и только если множество полных эле-
ментарных конъюнкций в представлении содержания второго по-
нятия составляет часть множества полных элементарных конъ-
юнкций в представлении содержания первого.
149
Для иллюстрации сказанного вернемся к понятию, рассмот-
ренному в последнем примере и сравним его с понятием «нату-
ральное число, для которого верно, что если оно не оканчивается
на 5, то оканчивается на 0 и делится на 6». Употребляя те же
обозначения для предикаторов «оканчивается», «делится», можем
записать его в виде х(Р(х, 5)=>(Р(х, 0)&Q(x, 6))). Преобразова-
ние его содержания согласно пункту 1 с. 144 (в формулировке
способа представления объема к совершенной нормальной фор-
ме) приводит к (Р(х, 5)\/(Р(х, 0)&Q(x, 6))). Разложение объ-
ема и содержания этого понятия нужно осуществить по тому же
множеству элементарных составляющих {Р(х, 5), Q(x, 3), Р(х, 0),
Q(x, 6)}, с которым мы имели дело в предыдущем примере (яс-
но, что это множество есть объединение множеств элементарных
составляющих содержаний первого и второго рассматриваемых
сейчас понятий). Это значит, что для выявления объема данного
понятия можно воспользоваться уже осуществленным ранее деле-
нием прямоугольника. Читатели могут убедиться самостоятельно
в том, что логический объем последнего понятия шире. Наряду с
элементарными пересечениями, из которых состоит логический
объем понятия предыдущего примера, в объеме второго понятия
имеются еще:
(WxP(x, 5)(TwxQ(x, 3)(Tw*P(x, 0)0’W*Q(*, б)),
(W'xP(x, 5)0w'xQ(x, 3)(Tw’*^(*» 0) (Tw^Q (x, 6)),
(W’xP(x, 5)0w'xQ(*> 3)n’i\fxP(x, 0)Dw'xQ(x, 6)).
Соответственно в дизъюнктивном разложении логического содер-
жания этого (второго понятия) появились дополнительно элемен-
тарные конъюнкции
(Р(х, 5)&Q(x, 3)&Р(х, 0)&Q(x, 6)),
(Р (х, 5) &Q (х, 3) &Р (х, 0) &Q (х, 6)),
(Р(х, 5)&Q(x, 3)&Р(х, 0)&$(х, 6).
Это значит, что содержание второго понятия является более
узким.
В случае, когда предикат Л (Ж) в понятии ЖЛ($) содержит
кванторы, к числу его элементарных составляющих надо отно-
сить все формулы вида уЖС(Ж) и ЯЖС(Ж). Разложение объ-
емов в этом случае, как было сказано раньше, не является точ-
ным (поскольку не учитываются различия по информативности
формул только что указанных видов). Это проявляется в том, что
действительное отношение между объемами и содержаниями по-
нятий не всегда может быть выявлено (однако если при этом
установлено, что объем одного составляет часть другого, то это
соответствует реальному отношению). В силу практической слож-
ности операции с указанной неточностью разложения в этом слу-
чае мы не будем останавливаться на подробном ее анализе.
150
$ 14.
ЗАКОН ОБРАТНОГО ОТНОШЕНИЯ
И ПРОБЛЕМА ОТНОШЕНИЯ ОБЩЕГО. ОСОБЕННОГО
И ОТДЕЛЬНОГО.
О ТАК НАЗЫВАЕМОМ ЗАКОНЕ
«ПРЯМОГО ОТНОШЕНИЯ»
Многочисленные недоразумения в истории логики
и философии, связанные с законом обратного отношения, возни-
кали обычно в силу того, что вопрос об отношении между содер-
жаниями тех или иных понятий решался по интуиции. Г. Клаус,
например, считает, что при правильном понимании абстрагирую-
щей деятельности, лежащей в основе образования понятий, закон
обратного отношения теряет свое значение, и «трудно сказать с
точностью, в какой области он вообще имеет силу» [48, с. 215].
Во всяком случае, как считает автор, этот закон «имеет весьма
ограниченное значение и становится ложным, если его абсолюти-
зировать». «Научные понятия, — пишет он, — при увеличении их
содержания не делаются уже по объему. Более общее понятие
содержит менее общее в качестве частного случая. Если в мате-
матике мы переходим от уравнения х2+у2=1 (которое, по мыс-
ли автора, очевидно, выражает содержание понятия окружности
с центром в начале координат и с радиусом, равным 1. — Е. В.)
к уравнению ах2+Ьу2=\ (представляющему кривую эллиптиче-
ского или гиперболического типа, отнесенную к главным осям, и
с центром в начале координат. — Е. В.), то объем понятия, свя-
занного с этим уравнением, безусловно увеличивается. Однако не
может быть и речи о том, что содержание уменьшается, ибо вы-
ражаемый последним уравнением класс конических сечений шире
и второе уравнение включает первое» [48, с. 214—215].
Совершенно неясно, почему «не может быть и речи, что содер-
жание уменьшается» (следующее за этими словами «ибо» не
разъясняет этого; неясно, как надо понимать, что одно уравнение
включает другое, и говорит ли что-либо такое включение об от-
ношении содержаний понятий).
Обратимся к примеру, предложенному Г. Клаусом. Для ана-
лиза его необходимо уточнить используемые им понятия окруж-
ности и кривой, выражаемой уравнением ах2А-Ьу2—1.
Г. Клаус, конечно, неточен, принимая уравнения кривых за со-
держания соответствующих понятий. Уравнение окружности, на-
пример, выражает содержание понятия точки окружности, а не
самой окружности. Так, понятие «точка окружности с центром в
начале координат и с радиусом, равным 1» (подразумевая под
точкой пару действительных чисел хну, координат точки), мож-
но выразить в виде (х, у) (х2 + у2=1). Множество таких точек,
именно w(x, у) (x2+y2—i), и будет представлять окружность. Со-
держанием понятия окружности должны быть свойства именно
окружности. Очевидно, это понятие можно выразить так:
p(t»=W'(x, У) (1х2+1у2=1))
151
(фигура v, такая, что она представляет собой множество точек,
т. е.^пар координат х и у, удовлетворяющих уравнению 1х2+
В этой формулировке имплицитно содержится и то, что окруж-
ность есть плоская и замкнутая кривая. Плоский характер ее вы-
ражается в том, что точка представляется как пара координат
(х, у), для неплоской фигуры это была бы тройка (х, у, z). Замк-
нутость обусловлена тем, что выражение «w'(x> у)» означает
«множество всех пар (х, у)», удовлетворяющих указанному ус-
ловию.
Понятие кривой, выражаемой уравнением ax2+by2=l:
03ZiaZ2(U = W'(X, У) (Z!X2 + Z2l/2=l)) 7.
Теперь легко показать (вопреки утверждению Г. Клауса), что
содержание второго понятия составляет часть содержания пер-
вого.
(Используем описанный выше аппарат исчисления предикатов
второго порядка и с добавлением переменной и второго порядка
по множествам; равенство здесь рассматривается как элементар-
ный предикат, без учета его особых свойств.)
+ 1. v=w(x, у) (1х2+ \у2= 1)—содержание первого понятия
2. 3z2(v = w(x, у) (lx2+z2y2=l) — 1, Яв
3. Яг]Яг2(и= w(x, у) (zix2+z2y2= 1) — 2, Яв
Итак,
v=W(x, у) (х2+г/2=1) Ь HziHz2(u = w(x, у) (zix2 + z2i/2=l)).
В ряде случаев возражения против закона обратного отноше-
ния возникают в силу иного (по сравнению с приведенным выше)
понимания объема или содержания понятия.
Б. М. Кедров приводит следующий пример, который, по его
мнению, должен свидетельствовать в пользу того, что понятия
науки в своем развитии подчинены закону прямого, а не обратно-
го отношения между объемами и содержаниями. До некоторых
пор не были известны инертные газы. С их открытием произошло
расширение объема понятия «химический элемент». Но вместе с
тем обогатилось и содержание этого понятия, поскольку стало
известно новое свойство («химическая инертность») элементов.
7 а и & в уравнении кривой заменяются переменными Zi и Za, и эти пере-
менные связаны; иначе оказалось бы, что понятие не представляет определен-
ного смысла и потому не может быть логическим сказуемым какого-либо суж-
дения (например, утверждения, что некоторая фигура есть кривая данного
вида). Точнее, если бы мы использовали такое выражение в качестве сказуе-
мого (что выразилось бы в замещении s на ti0 в предикате, представляющем
содержание понятия), то получили бы ие суждение, а двухместный предикат с
переменными а и Ь. Непосредственно по смыслу выражения «какая-нибудь (про-
извольная) линия, уравнение которой ах2+&у2=1» ясно, что здесь подразумева-
ется линия с какими-то значениями а и & в ее уравнении. Когда в геометрий
рассматривают кривую ах2+Ьу2=\, то, по существу, имеют в виду хотя и не-
определенную, ио фиксированную кривую.
J52
Очевидно, что «объем» и «содержание» здесь употребляются
не в обычном для логики смысле. Пользуясь введенными поня-
тиями, мы бы сказали, что с открытием инертных газов изменился
не объем понятия, а наше знание объема. Не произошло в ука-
занном смысле и изменения содержания, поскольку химическая
инертность не является общим признаком химических элементов.
По мнению ряда авторов, закон обратного отношения дейст-
вует лишь в сфере некоторых примитивных формально-логиче-
ских понятий, в которых обобщение некоторых предметов дейст-
вительности достигается за счет отвлечения от особенностей (от-
брасывания признаков, выражающих эти особенности) отдельных
предметов и тех или иных их видов и фиксации лишь общего
(сходного) в предметах.
Существует мнение, что подлинно научные понятия, вопреки
закону обратного отношения, представляют собой такие обобще-
ния предметов и явлений, при которых обеспечивается сохране-
ние в понятии особенных и даже индивидуальных черт обобщае-
мых предметов [См. 45, с. 31—37; 79, с. 212—217; 48, с. 215].
По мнению М. М. Розенталя, например, образуя понятие им-
периализма8 как монополистического капитализма, «мы делаем
обобщение, которое не только фиксирует нечто сходное в массе
экономических процессов, но и вскрывает сущность этого явления.
В этом смысле понятие «монополия» есть всеобщее, воплощаю-
щее в себе «богатство особенного, индивидуального, отдельного»,
и в этом сила данного научного понятия» [79, с. 217]. Напомним,
что согласно марксистско-ленинскому пониманию сущности она
есть лишь предел, до которого дошло паше познание на той или
иной ступени. Следовательно, она представляет собой основу от-
нюдь не всех вообще свойств предметов. Общее, включающее в
себя все ’богатство особенного, должно было бы представлять со-
бой метафизическую «последнюю», «абсолютную» сущность. К то-
му же из знания сущности предметов некоторого класса могут
быть выведены лишь общие свойства предметов этого класса.
Неясно и то, каким образом можно согласовать разбираемый
сейчас тезис с диалектическим пониманием познания как беско-
8 Такие понятия (которые, по мнению Розенталя, отражают сущность пред-
метов) Розенталь относит к числу понятий диалектической логики, противопо-
ставляя их понятиям формальной логики; последние, как он пишет, не вскры-
вают сущность, а лишь фиксируют нечто сходное в предметах [79, с. 211].
Читатель мог заметить, что согласно изложенному выше пониманию сущно-
сти она тоже представляет нечто общее, сходное в предметах. Относительно де-
ления понятий на понятия диалектической и формальной логики заметим сле-
дующее. Как диалектическая, так и формальная логика исследуют формы и
процессы, имеющиеся в сфере познания. В частности, объектом изучения
той и другой (хотя и в различных аспектах) являются понятия науки. Име-
ются в виду, конечно, понятия различных наук, а не самой только диалектиче-
ской и формальной логик. К числу понятий формальной логики относятся лишь
те, которые она создает для описания изучаемых ею объектов. Довольно стран-
но, если Розенталь считает, что все эти понятия принципиально отличаются не-
избежной ограниченностью, состоящей в том, что они ни в каком случае не от-
ражают сущности обобщаемых в них явлений.
153
нечного углубления наших знаний. Этот процесс потому именно
и бесконечен, что ни в каком понятии не удается отразить всего
богатства свойств изучаемых предметов. Естественно возникает
вопрос, в каком смысле автор употребляет термин «включает»,
говоря о том, что «общее включает богатство особенного и еди-
ничного». «Как бы ни отличались и как бы многообразны ни бы-
ли различные единичные проявления империализма, — пишет
он,— все они находят свое объяснение в этой (выявленной в по-
нятии.— Е. В.) сущности» [79, с. 217]. Едва ли правильно здесь
утверждение, что все единичные проявления империализма нахо-
дят объяснение в «сущности империализма». Дело в том, что от-
дельные проявления могут иметь и случайные черты, обуслов-
ленные внешними обстоятельствами, условиями формирования
этих отдельных случаев. Объяснимыми же из сущности, т. е. ло-
гически выводимыми из нее — возможно в сочетании с теми или
иными социальными законами — являются общие для всех от-
дельных моментов империализма случаи. Таким образом, общее
не содержит всего богатства отдельного. Оно не содержит также и
всего богатства особенного. «Империализм», например, является
особенным по отношению к капитализму. Однако можно ли вы-
вести его особые черты, а тем самым и факт его появления в
истории общественного развития из содержания понятия «капита-
лизм»? (Как известно, К. Марксом и Ф. Энгельсом это не было
показано, и В. И. Ленин при характеристике империализма как
особой стадии капитализма исходит из фактически сложившегося
положения). Поскольку особенное является конкретизацией об-
щего, оно содержит его в себе как часть и даже как свою осно-
ву, но обратное неверно по крайней мере в общем случае. Проти-
воречащим этому утверждению кажется показанная К. Марксом
возможность логически проследить переходы одних формаций в
другие. Однако здесь речь идет о возможности выведения одного
особенного из другого на основе общего понятия общественно-
экономической формации и общих законов социально-экономиче-
ского развития.
Важное значение понятия в познании состоит, безусловно,
именно в том, что оно является основой для понимания особенно-
го и отдельного, но лишь в том смысле, что позволяет усмотреть
общее в особенном и отдельном и осознать то и другое как спе-
цифическое проявление общего. Причем сама специфика этого
проявления в том или ином случае не может быть, как уже гово-
рилось, выведена из общего.
Таким образом, понятие способствует познанию богатства
особенного и отдельного, но не включает его. «Развитие каждой
отдельной науки, — пишет Розенталь, — научного познания в це-
лом идет в направлении ко все более широким обобщениям, к от-
крытию все более широкодействующих общих законов объектив-
ного мира. Эта тенденция представляет собой закон познания».
Как же это можно согласовать с законом обратного отношения?
Ведь не становится же содержание научного знания (по мере его
154
обобщения), продолжает Розенталь, все более и более бедным!
Ведь неевклидова геометрия, например, включает как частный
случай евклидову я в то же время охватывает более широкий
круг явлений. То же соотношение между современной теорией от-
носительности и классической механикой, между квантовой меха-
никой и классической механикой и т. д. [См. 79, с. 226—227].
Если говорить о законе познания, то он состоит, как известно,
не только в движении от отдельного к общему. Это лишь одна
сторона дела; вторую составляет движение от общего, абстракт-
ного к конкретному особенному, а в конечном случае к отдельно-
му, с которым нам непосредственно приходится иметь дело в
практической деятельности. Роль общего состоит в том, что оно
составляет необходимую основу для познания особенного и от-
дельного, поскольку всякое особенное, как и отдельное, познается
на ступени мышления не иначе как через общее. «Значение об-
щего, — писал В. И. Ленин, — противоречиво: оно мертво, оно не-
чисто, неполно etc. etc., но оно только и есть ступень к позна-
нию конкретного...» [2, т. 29, с. 252].
Более широкое обобщение представляет собой более широкую
(и, как правило, более глубокую — в научных обобщениях) осно-
ву для объяснения отдельных явлений. И в этом именно состоит
его научная ценность, а не в том, что оно «содержит все богат-
ство отдельного». Ссылаясь на отдельные науки, Розенталь не
учитывает, что они представляют собой не только общее знание
(относящееся к предметам некоторого рода), но и также вклю-
чают в себя знание особых форм проявления общего, знание о ви-
дах данного рода, а нередко и знание об отдельных предметах.
Развитие каждой науки как раз может служить иллюстрацией
действия общего закона развития познания «от отдельного к об-
щему, от ‘общего к отдельному»; в каждой науке наряду с про-
цессом образования абстракций имеется обратный процесс вое-
хождения от абстрактного к конкретному.
И, кстати, ссылку на отношение между неевклидовой и ев-
клидовой геометрией, механикой теории относительности и клас-
сической механикой и т. д. нельзя признать удачной. Геометрия
Лобачевского, например, не включает евклидову геометрию в том
смысле, как это определено для отношения «часть—целое» между
содержаниями понятий. Аксиомы второй вовсе невыводимы как
логические следствия из системы аксиом первой. Известно, что в
геометрии Лобачевского прямая (а), проведенная через некото-
рую точку параллельно другой прямой (Ь), составляет с перпен-
дикуляром с, опущенным из указанной точки на прямую Ь, ост-
рый угол (угол параллельности). Чем меньше расстояние от а
до Ь, тем ближе этот угол к прямому, но всегда меньше прямого.
Геометрия Евклида получается из геометрии Лобачевского,
если этот угол принять за прямой, т. е. в результате введения
дополнительных условий (равносильных предположению, что про-
странственные отношения рассматриваются в пределах сравни-
тельно небольших расстояний, когда вводимая погрешность доста-
155
точно мала). По существу, мы не имеем здесь даже частного
случая в обычном смысле этого слова (как, например, треуголь-
ник по отношению к n-угольнику, поскольку он получается при
одном из значений переменной п). Иначе говоря, евклидова гео-
метрия не есть вид геометрии Лобачевского.
Подобным образом, классическая механика получается из ре-
лятивистской (в результате того, что отличная от нуля величина
— в известных преобразованиях Лоренца принимается за
ноль).
Итак, понятия, на которые указывает Розенталь, вовсе не вы-
падают из поля действия закона обратного отношения. Мы не ви-
дим среди них таких, которые бы действительно включали содер-
жание более частных понятий.
Э. Кассирер делит все понятия на понятия о функциях (далее
мы будем называть их функциональными) и родовидовые поня-
тия. Первые, по его мнению, являются подлинно научными. К ним
применим закон обратного отношения, так как по самим спосо-
бам их образования они включают богатство частных случаев
[45, с. 31—34]. К числу понятий этого типа относятся прежде
всего понятия математики. В характеристике этих понятий Касси-
рер ссылается на Ламберта, который подчеркивал преимущество
математических общих понятий, состоящее в том, что «в них не
уничтожается, а сохраняется во всей своей строгости определен-
ность частных случаев, к которым они должны быть применены»
[45, с. 31]. По мысли Кассирера, «понятие о функции содержит
в себе всеобщую схему и образец, по которому создалось совре-
менное понятие о природе в его прогрессивном развитии» [45,
с. 34]. «Истинное понятие, — пишет Кассирер, — не оставляет без-
заботно в стороне все характерные особенности схватываемых им
случаев...» Наоборот, оно «дает универсальное правило для свя-
зывания самого особенного... Так, исходя из общей математиче-
ской формулы, скажем формулы кривых второго порядка, мы мо-
жем получить частные геометрические образы круга, эллипса
и т. д., рассматривая как переменный некоторый определенный
параметр, входящий в общую формулу, и придавая ему непре-
рывный ряд значений. Общее понятие оказывается здесь более
богатым по содержанию» [45, с. 32—33].
Как мы видели, эти же геометрические понятия имеет в виду
Г. Клаус [48].
Итак, рассмотрим, к примеру, понятие кривой второго поряд-
ка. Эта кривая в системе прямоугольных координат определяется
уравнением ax2+by2+cxy + dx+ey+f = 0. Переменные — парамет-
ры а, Ь, с, d, е, f принимают любые значения из области действи-
тельных чисел. При каждом наборе значений имеем некоторую
определенную (единичную) кривую, при некоторых соотношениях
коэффициентов получаем уравнения отдельных видов кривых —
параболы, гиперболы, эллипса, окружности.
/56
Э. Кассирер (также и Г. Клаус, как мы видели выше) прини-
мает уравнение кривой за содержание понятия этой кривой. В та-
ком случае и оказывается, что из содержания общего понятия
логически выводится содержание более частных (видовых) и да-
же единичных понятий. Однако его утверждение неверно в двух
отношениях. Во-первых, если уравнение кривой, скажем кривой
второго порядка, и считать содержанием понятия, то не кривой
второго порядка, а понятия «точка кривой второго порядка», ибо
уравнение выражает именно свойство точек. Во-вторых, из этого
уравнения можно было бы вывести какой-либо из упомянутых
частных случаев лишь при условии, если a, b, с, d, е, f в нем рас-
сматривать как переменные, употребленные в интерпретации все-
общности, что содержательно означало бы равнозначность его
выражению, которое можно из него получить, связывая все эти
переменные кванторами общности. Однако понятие «точка кри-
вой второго порядка» (или, что то же, «пара чисел х и у», яв-
ляющихся координатами точки) должно иметь вид (х, г/)Эгь 3z2,
Sz3, 3z4, 3z5, 3zs (zlx2+z2y2+z3xy+Z4X+z5y + z6=0) или сокра-
щенно— Я?! Я?2, Яг3, 3z4, 3z5, 3z6A(x, у, zb z2, z3, z4, z5, ze), где
A (x, y, Zi, z2, ?з, Z4, z$, z6) обозначает выражение, полученное из
приведенного уравнения после замены параметров a, b, с, d, е, f
соответственно на Zi, z2, z3, z4, z3, z3 (что надо было сделать лишь
потому, что в описанном выше языке a, b, с, d, е, f обозначают
фиксированные переменные, не подлежащие связыванию кванто-
рами).
И теперь мы видим, что из содержания этого понятия нельзя
вывести никаких из упомянутых выше частных случаев. Напри-
мер, не выводимо содержание понятия «точка окружности»:
(X, у) ’S.Zl'S.Z4’3.Z3'S.Z3(ZiX2 + Ziy2+Z4X+Z5y + Z3 = 0) .
Это последнее можно обозначить через
(х, r/)3ziSz4Sz5az6A(x, у, zb zb 0, z4, z5, ze),
отразив то обстоятельство, что оно получается из первого при
Zj = z2; z3 = 0. (Обратная выводимость имеется) 9.
Точно так же из содержания понятия «кривая второго поряд-
ка» не выводимо содержание понятия «окружность»:
иЯ£1Я£4Я£5Я£б(а= W(-v, у)А(х, у, zb zlt 0, z2, z5, z6)).
Нетрудно заметить, что переход от содержания некоторого по-
нятия рассмотренного типа к содержанию какого-либо видового
его понятия, т. е. «выведение» частного случая из общего, осуще-
ствляется по правилу
ЭхА(х)=>А(0,
9 Очевидно, что в указанных преобразованиях содержаний понятий мы ис-
пользуем не только законы логики, но и определенные законы арифметики. Та-
ким образом, в рассматриваемых здесь отношениях между содержаниями и
соответственно объемами понятий имеются в виду их фактические — относи-
тельно законов арифметики — содержания и объемы.
157
где t — произвольный предмет из области значений х. Здесь => не
означает отношение выводимости в обычном смысле слова; пра-
вая часть приведенного выражения не является следствием из ле-
вой. Это просто некоторый принцип, позволяющий осуществить
обзор частных случаев проявления общего, отраженного в функ-
циональном понятии 10. Подобная возможность представляет важ-
ную особенность функциональных понятий, но не исключает их
из сферы действия закона обратного отношения. И эти понятия,
как оказывается, не содержат в себе особенного и единичного.
Глава IV
ПОНЯТИЯ И ТЕОРИИ.
ПОНЯТИЕ КАК СИСТЕМА ЗНАНИИ
§ 15.
ПОЛНОЕ СОДЕРЖАНИЕ ПОНЯТИЯ.
ПОНЯТИЕ КАК СИСТЕМА ЗНАНИЯ.
ФОРМАЛЬНАЯ ТЕОРИЯ КАК ПОНЯТИЕ
В начале мы говорили о содержании понятия как
о той совокупности признаков, по которой выделяются и обобща-
ются мыслимые в понятии предметы. Это основное содержание по-
нятия. При выражении понятий в виде (хь... ,Хь)А (хь... ,xh)
подразумевается, что все признаки, составляющие видовое отли-
чие, конъюнктивно объединены в одном предикате А (хь... ,хд).
Когда речь шла о возможности сравнения понятий различных
предметов по содержанию — в связи с законом обратного отноше-
ния,— имелась в виду и та информация, которую можно извлечь
из основного содержания понятия, применяя аппарат логического
вывода. Иначе говоря, подразумевалась возможность извлечения
из первоначально данной совокупности признаков некоторых новых
признаков предметов. Совокупность всех возможных признаков,
которые могут быть выведены из данных (включая и данные),
естественно назвать полным содержанием понятия. При этом име-
ются две возможности: (1), когда выведение новых признаков из
данных осуществляется из основного содержания самого по себе,
без использования каких-либо дополнительных знаний нелогиче-
ского характера, и (2) случай, когда при таком выведении мы ис-
10 Обратим внимание на то, что указанное правило является обратным по
отношению к правилу дВ:Л(0 |-дхА(х). Последнее наряду с некоторыми
другими правилами вывода представляет собой, как мы увидим далее, также
правило обобщения понятий. Каждому правилу обобщения понятий естествен-
но соответствует обратное правило ограничения понятий, т. е. перехода от об-
щего к частному, от рода к виду.
158
пользуем некоторую совокупность дополнительных знаний Г.
В первом случае мы имеем полное логическое содержание, во вто-
ром — полное фактическое содержание, связанное с данной сово-
купностью знаний. В том и в другом случае понятие представляет
собой уже некоторую систему знаний. Точнее говоря, понятие пре-
вращается в систему знания по мере выявления признаков, состав-
ляющих его фактическое или логическое содержание. Например,
по мере доказательства теорем булевой алгебры или аксиоматизи-
рованной геометрии. Этот процесс раскрытия содержания понятия
не представляет, конечно, собой развитие самого понятия. Разви-
вается наше знание о понятии, об эмплицитно определенном пер-
воначально его содержании. Развитие наших знаний о понятии мо-
жет осуществляться и обычно осуществляется также за счет выяв-
ления содержащихся в его объеме элементов и особенно видов
предметов.
Имея дело с понятием того или иного химического элемента,
ученые стремятся не только выявить все те химические свойства,
которые обусловлены основным содержанием понятия, но также,
например, некоторые разновидности его (изотопы) и вообще раз-
личные формы его существования.
В некоторых случаях, особенно, когда речь идет о понятиях, в
которых мыслятся предметы абстрактного характера вроде чисел
или геометрических фигур, из основного содержания понятия в
совокупности с положениями теории, в составе которой рассматри-
вается понятие, можно вывести знание о том, какие виды предме-
тов существуют в объеме понятия. Пусть с какой-то точки зрения
установлено, что объем понятия ЗЕ А (ЗЕ) включает виды (подмно-
жества) ^эдЗЕВ] (ЗЕ),..., w3EBfe(3E), тогда в составе фактического
содержания этого понятия мы имеем также признак В](ЗЕ)\/,---
...,VBft(«).
Пожалуй, в наиболее строгом смысле понятие как система зна-
ния— это совокупность известных нам как основных, так и произ-
водных признаков, мыслимых в понятии предметов, а также зна-
ния о том, в каких конкретных формах существуют в действитель-
ности эти обобщаемые в понятии предметы. Заметим, что для ха-
рактеристики этой системы мы снова возвращаемся к трактовке
содержания понятия как совокупности признаков (тогда как при
рассмотрении отношений между содержаниями понятий удобнее
было трактовать содержание просто как некоторую информацию о
мыслимых в понятии предметах, представляя его в виде некоторо-
го предиката). В процессах научного познания иногда существенно
лишь логическое содержание понятия. Например, имея понятие бу-
левой алгебры, группы или вообще той или иной математической
структуры, рассматривают эти понятия независимо от какой-либо
другой совокупности знаний; полное содержание понятия в таких
случаях есть не что иное, как самостоятельная теория. Это множе-
ство теорем системы, доказуемых на основе аксиом, совокупность
которых составляет основное содержание понятия. Так, булева ал-
гебра определяется как система объектов: некоторое непустое мно-
159
жество М и три заданные на нем операции (предметные функ-
ции): две двухместные — fi2, fa2, и одна одноместная — fi1, удовле-
творяющие ряду отношений. В одной из формулировок булевой ал-
гебры как теории такими отношениями являются (вместо fi2 и f22
употребляем для упрощения знаки X, +, а вместо fi1—х, у, z
обозначают произвольные элементы из М):
1. х+у=у+х	2. xXt/ = #Xx
3. х+ (y+z) = (х+у) + z	4. хХ (yXz) = (хХу) Xz
5. х+(хХу)=х	6. хХ(х + у)=х
7. хХ (y+z) = (хХу) + (xXz) 8. х+ (уху') =х
9. хХ (у+у')=х.
Совокупность этих отношений, справедливых для любых эле-
ментов х, у, z множества М, представляющих основное содержа-
ние понятия булевой алгебры, есть в то же время и множество
аксиом теории. Множество выводимых из них теорем (в число ко-
торых включаются, конечно, и сами аксиомы), есть полное логи-
ческое содержание данного понятия. Каждая теорема указывает
на некоторый признак, принадлежащий всякой булевой алгебре.
Такими являются, например, х+ (yXz) = (х+у) X (x+z); (хХ
Х//)' = (х'+у'); (х+у)'=х'Ху'; х+х = х, хХх=х, а также утвер-
ждение о существовании в множестве М двух особых элементов:
а и Ь, таких, что х\х'=а и х+х'=Ь. Обычно теоремами булевой
алгебры как теории называют формулы только что указанного
типа (выводимые из аксиом), однако • точнее теоремой следует
считать, например, не (хХу)'=х'+у', а утверждение: «Для вся-
кой булевой алгебры и для любых элементов х, у множества М
верно (хХу)' = х'+у'». Это различение связано с возможностью
рассматривать булеву алгебру как теорию, а также и другие
формальные аксиоматические математические теории с разных
точек зрения.
С одной точки зрения упомянутые теории представляют собой
совокупности высказывательных форм без каких-либо конкретных
содержаний, т. е. утверждений, относящихся к некоторым не-
определенным объектам. Придерживаясь такого понимания мате-
матических теорий, Рассел характеризовал математику как такую
науку, в которой мы не знаем, о чем говорим, и истинно ли то, о
чем мы говорим. Очевидно, что если теоремами булевой алгебры
считать указанные выше формулы, не определяя области воз-
можных значений имеющихся в них переменных, то не имеет
смысла даже ставить вопрос об их истинности или ложности.
Аналогично дело обстоит и в том случае, когда в утверждениях
математической теории вместо переменных используются слова
обычного языка типа общих имен, но не имеющих определенных
значений. Таковы в геометрии Евклида, аксиоматизированной
Д. Гильбертом, термины «точка», «прямая», «плоскость». Вводя
эти термины, Гильберт предупреждает, что мы не должны при-
давать им обычных значений. Надо просто иметь в виду три мно-
160
жества вещей какого-то типа. Вещи этих множеств мыслятся как
находящиеся в некоторых отношениях: «лежать» («точка А ле-
жит на прямой а», «прямая а лежит на плоскости а»), «между»,
«конгруэнтно», «параллельно»11. Естественно, что перечисленным
словам, обозначающим отношения, также не придается никаких
определенных значений. Все, что связывается с указанными сло-
вами, в теории выражено в ее аксиомах, сами эти аксиомы, как
и выводимые из них следствия, конечно, не являются ни истин-
ными ни ложными. Эти утверждения не имеют конкретных со-
держаний. Учитывая сказанное раньше об общих именах как
аналогах переменных, мы можем рассматривать слова «точка»,
«прямая», «плоскость» в указанном их употреблении как пере-
менные без определения областей их возможных значений, т. е.
как символы, аналогичные х, у, z, в формулировках теорем бу-
левой алгебры.
С другой точки зрения аксиоматическая теория рассматри-
вается как совокупность общих утверждений, относящихся к оп-
ределенным системам объектов, охарактеризованных аксиомами,
т. е. к системам объектов, обобщенных в некотором понятии. Мы
уже видели, что представляет это понятие в теории булевой ал-
гебры. Применительно к аксиоматизированной Гильбертом ев-
клидовой геометрии — это: «система объектов Mi, М2, Мз, /?12,
/?23, Яз2, /?42, удовлетворяющих условиям Аг, А2...Ап», где Мь
Мг, М3 — соответственно множество точек, прямых и плоскостей;
/?12, Т?23, /?з2, Т?42 — соответственно упомянутые выше отношения
«лежит», «между», «конгруэнтно», «параллельно», a Ai, А2,...
..., Ап — аксиомы геометрии.
Таким образом, каждую формальную аксиоматическую теорию
можно рассматривать как некоторое понятие. Система аксиом
теории при этом составляет основное содержание понятия, а мно-
жество всех теорем теории — полное его логическое содержание.
Но чаще всего то или иное понятие рассматривается в соста-
ве некоторой теории. Таковы, например, понятия различных гео-
метрических фигур в составе геометрии Евклида. Основное содер-
жание понятия формулируется в его определении. Множество всех
теорем относительно той или иной фигуры, например треугольни-
ка, представляет собой полное фактическое — в данной теории —
содержание этого понятия. Так, теоремы о равенстве суммы всех
углов любого треугольника 180°, о том, что против большего
угла треугольника лежит большая сторона, и т. п. указывают на
признаки (общие всем треугольникам), выводимые из совокуп-
ности тех, что составляют основное содержание понятия «тре-
угольник» (или — по Гильберту: замкнутая ломаная линия, ле-
жащая в одной плоскости и состоящая из трех отрезков).
11 У Гильберта также есть свойство «непрерывно», но фактически в фор-
мулировках аксиом этот термин не употребляется в качестве самостоятельного
наряду с другими исходными терминами [см. 30, § 5. Пятая группа аксиом:
аксиомы непрерывности]. Е.
Е. К. Войшвилло
161
Используем введенный ранее способ записи понятий.' Предпо-
ложим, мы имеем понятие ЖЛ(Ж). Тогда его полное логическое
содержание может быть обозначено Сп{А(Х)} (множество всех
логических следствий из Л (Ж)), а полное фактическое содержа-
ние, связанное с множеством знаний Г, — Сп{А (Ж) г} — множест-
во следствий из А (Ж) с учетом Г. Здесь Сп — оператор замыка-
ния некоторого множества относительно логической выводимости;
«{Л (Ж)}» и {Л(Ж)г} — одноэлементные множества. Очевидно, что
для любого предиката Д(Ж) он является элементом
Си{Л(Ж)}(/)(Ж)еСп{Л( Ж )}, если и только если Л(Ж)^=Д(Ж).
Подобным же образом D(x) —элемент СпА (Ж)г), если и толь-
ко если Г, Л ( Ж) l==D (х) • Поскольку в классической логике при
наличии следования Л(Ж)|=/)(Ж) имеется также Г, А (Ж) t=
&=2>(Ж), постольку оказывается, что полное логическое со-
держание составляет часть любого фактического. Однако, при-
держиваясь практики, принятой в научном познании, полезно от-
делять одно от другого, вводя, например, понятие собственно
фактического содержания. Собственно фактическим содержанием
понятия ЖЛ(Ж) является множество всех следствий из Г и Л (Ж),
выводимых только из них, вместе взятых, т. е. если Д(Ж)е
еСпЛ(Ж)г, то имеем Г, Л(Ж)1=/)(Ж ), но неверно, что Г(=Д(Ж>
и Л (Ж )1=£>(Ж ).
Как было замечено, признаки, составляющие основное содер-
жание, входят в состав полного содержания понятия. Однако для
уяснения многих вопросов методологического характера основное
содержание важно выделять в составе полного, хотя бы потому,
что именно из этой совокупности признаков, возможно с привле-
чением некоторого дополнительного знания Г, выводятся все
остальные признаки обобщаемых в понятии предметов. С выде-
лением именно этой совокупности признаков начинается форми-
рование понятия, и на первом этапе своего развития понятие
представляет собой лишь результат обобщения предметов некото-
рого класса по указанной совокупности признаков. Мы говорили,
что понятие представляет собой на этой стадии смысл общих имен
(например, «город», «государство», «движение» и т. п.) и являет-
ся основой понятия как системы знания. Таким образом, разли-
чаем понятие как смысл общего имени и понятие как система
знаний.
В практике научного познания понятийная форма мышления
используется часто только как способ обобщения предметов неко-
торого класса и выделения этих предметов, т. е. как смысл обще-
го имени. Такая функция понятия необходима для обеспечения
определенности мышления как условия однозначности употреб-
ления выражений языка. Далее будет показано значение понятий
для выяснения некоторых существенных закономерностей в раз-
витии теорий и, в частности, для решения известной проблемы
соотношения теорий, сменяющих друг друга в процессе развития
знания, а также закономерностей развития самих понятий.
162
§ 16.
НЕКОТОРЫЕ ФОРМЫ РАЗВИТИЯ ПОНЯТИИ
И ПРОБЛЕМА СОИЗМЕРИМОСТИ
СМЕНЯЮЩИХ ДРУГ ДРУГА ТЕОРИИ
Наиболее простой формой развития понятия яв-
ляется расширение его фактического содержания в составе неко-
торой теории. Поскольку фактическое содержание понятия зави-
сит от некоторого множества знаний Г, возможно его расширение
с расширением этого множества, т. е. в результате развития са-
мой теории, в составе которой рассматривается понятие. Это из-
менение можно охарактеризовать как количественное изменение
понятия. Понятие, по существу, не изменяется. Можно сказать,
что оно остается в этом процессе тем же самым, если «тем же
самым» считать понятие, в котором сохраняется его основное со-
держание и, само собой разумеется, его род. Мы можем сказать,
что две различные понятийные знаковые формы выражают одно
и то же понятие, если в каждой из них выделяется один и тот же
класс предметов в пределах одного и того же рода и по одной и
той же совокупности признаков. Вместе с тем указанный процесс
отличается от описанного в конце § 15 — именно от процесса рас-
крытия содержания и объема понятия — тем, что здесь происхо-
дят изменения определенных характеристик понятия. Другая
форма изменения понятия состоит в изменении его основного со-
держания за счет перехода к отражению более глубокой сущно-
сти мыслимых в нем предметов (таким образом имеется в виду,
что изменение основного содержания не приводит к изменению
объема понятия). Это — качественные изменения понятия. Мы
уже приводили примеры таких изменений в связи с анализом по-
нятия сущности (см. § 10). Изменения такого рода обычны для
понятий в составе той или иной теории. Они связаны, как прави-
ло, с существенными изменениями в самой теории. Переход, на-
пример, от классической модели атома к квантово-механической
его модели связан с переходом от классической физики к кванто-
вой. Изменение самой теории связано обычно и с накоплением
новых фактов, открытием новых явлений, которые не объясняет
прежняя теория. Углубление же содержания ее отдельных поня-
тий обусловлено необходимостью объяснения вновь открываемых
в нем явлений.
Именно при таком изменении мы получаем новую теорию, ко-
торую естественно характеризовать как меняющую прежнюю. Та-
кие пары теорий — возможно в целом ряде теорий — имеют в ви-
ду под термином «сменяющие друг друга теории». Известна так
называемая концепция несоизмеримости сменяющих друг друга
теорий, представителями которой являются так называемые «фи-
лософы науки» (постпозитивизма). Начало ее положил Т. Кун.
Теория несоизмеримости, как и соизмеримости, связана с так на-
зываемым принципом соответствия.
163
6*
Принцип соответствия — это определенного рода закон разви-
тия знания. В применении к сменяющим друг друга теориям он
указывает на то, что утверждения сменяемой теории при опреде-
ленных условиях получаются из утверждений новой теории. Та-
ким образом и сама прежняя теория оказывается «предельным
или частным случаем» новой. Обычно в литературе не различают
понятия «предельный случай» и «частный случай» и рассматри-
вают нередко эти термины как синонимы, что может приводить к
неточному пониманию соотношений теорий (различение этих по-
нятий дано Ю. А. Петровым) [69].
Принцип соответствия. впервые был сформулирован Н. Бором
в 1913 г. Философски выраженный характер этому принципу при-
дал И. В. Кузнецов: «...теория, справедливость которой экспери-
ментально установлена для той или иной области физических яв-
лений, с появлением новых, более общих теорий не устраняется
как нечто ложное, но сохраняют свое значение для прежней об-
ласти явлений, как предельная форма и частный случай новых
теорий» [53, с. 89].
Эта формулировка требует некоторых коррективов. Главное
состоит в том, что в качестве предельного или частного случая
новой теории является не старая теория, а некоторые уточнения
этой старой теории. Старая теория, строго говоря, оказывается
неверной (а в опыте подтверждалось именно то, что является мо-
дификацией старой теории, но не сформулирована явным обра-
зом). Покажем это на примере соотношения законов (правил)
сложения скоростей, с одной стороны, в классической механике,
с другой — в релятивистской (отдельный закон можно рассматри-
вать как частный случай теории). В классической механике мы
имеем: o3 = Oj-l-O2-
г-»	и	Vi 4“ V*»
В релятивистском: v3 =-------—, где с — скорость света, — ско-
рость некоторого тела х относительно системы Si (в дальнейшем
выразим это символически в виде V (vt, х, Si)—число Vt есть
скорость V тела х относительно системы Si), v2— скорость систе-
мы 5] относительно системы s2 (символически: V(v2, Si, s2)', v3—
скорость тела х относительно s2 символически: У(уз, х, з2). Мы
ограничиваемся случаем, когда все скорости имеют одно направ-
ление и потому рассматриваются как скалярные величины.
Прежде всего заметим, что указанные формы ((о3=У1 + у2) и
другая) сами по себе, если брать их буквально, не являются
суждениями, выражающими соответствующие законы. Это пропо-
зициональные формы — предикаты. Когда подобные формы ис-
пользуют для выражения законов, то понимают их как незамкну-
тые общие высказывания, т. е. как неполные выражения подразу-
меваемых суждений. Полные выражения должны (в данном слу-
чае) включить характеристики подразумеваемых объектов Vj, v2,
v3, к которым относятся утверждения, именно характеристики,
указанные выше в качестве дополнительных пояснений относи-
164
дельно этих объектов, и, конечно, кванторы общности (указание
на то, что утверждение относится к любым объектам данного ро-
да). Все это тривиально, тем не менее не всегда учитывается, что
может привести к некоторым недоразумениям.	\-
Если воспользоваться языком логики предикатов, то полное
выражение закона классической механики будет выглядеть так:
VxVsiVs2VoiVo2Vo3((V(oi, х, St)&V(y2,	s2)&V(v3, х, s2))=>
=>(Оз = У1 + ^2)).
Область, в которой согласно принципу соответствия должен
сохранять значение первый закон после открытия второго и в
которой он должен' оказаться1 предельным (или частным случаем)
второго, — это класс систем (х, sb s2, уь v2, v3) (V(Vi, х, Si)&
&У(П2, $i, s2)&У(п3, х, s2), таких, для которых величина vi-v2/c2
достаточно мала и практически может быть принята за нуль.
Обозначим это условие через В. В применении к этой области ре-
лятивистский закон превращается в VxVsiV^VyiVi^ViM (V(fi,
х, Si)&V(y2, Si, S2)&V(n3, x, s2)&B)=>(v3 = vi + v2). Это частный —
но не предельный — случай релятивистского закона (предельный
случай предполагает результат изменения какой-то величины до
какого-то предела). В данном случае независимыми переменны-
ми величинами являются только Vi и v2. И, казалось бы, можно
считать, что классический закон может быть получен как предел
их изменений до нуля. Но в этом случае теряют смысл сами
формулировки законов. Добавление условия В аналогично здесь
подразумеваемому, например в теории динамики точки, условию,
что мыслимое под материальной точкой тело таково, что можно
пренебречь вращением его вокруг геометрического центра.
Итак, с возникновением нового закона, новой теории «сохра-
няет значение» не старый закон, а некоторая его модификация.
Старый закон оказывается даже ложным. Действительно, экви-
валентным образом его можно представить в виде VxVSjV
Vs2Vt'iVt'2V'y3((l/(yi, х, Si)&V(y2, Si, s2)&V(y3, x, s2) & (В\/B))
zd(v3=Vi + v2)). Это в свою очередь эквивалентно: VxVsiV
'Vs2VViVv2Vv3((V(vi, х, Si)&V(v2, Sj, s2)&V(v3, x, s2)&B)^>(v3=
= Vi + v2))&VxVsiVs2VvlVv2Vv3((V(v1, x, Si)&V(v2, sb s2)&V(v3,
X, 82)&В)ЗЭ(Пз = П1 + У2))-
Второй член конъюнкции здесь ложен, а значит ложна и вся
конъюнкция.
Таким образом, старая теория (закон) при возникновении но-
вой преобразуется так, что из ее утверждений исключаются неко-
торые подразумеваемые ложные части.
Вместо второго закона механики Ньютона f = ma, или f =
= d{mv)ldt, (сила, действующая на некоторое тело х с массой т,
пропорциональна массе этого тела т и ускорению а) в реляти-
вистской механике имеем:
/ тй-у \
е\ 1  t'2/C2 /
' —	at
165
Суть изменения состоит в том, что масса теперь оказывается
зависимой от скорости. Для Энштейна, как говорит Фейнман, это
/По
—где то — масса покоя.
/'4г
Закон Ньютона оказывается правомерным для небольших
скоростей, при которых — близко к нулю. Точнее, вместо за-
кона Ньютона мы имеем теперь:
VxV v VmV/V/(V(y, х,	x)&F(f, х, t)&В) =>(f = J&'j,
\ Л /
где х — тело, f, т, v, t — именованные действительные числа соот-
ветственно возможные значения силы, массы, скорости, времени,
a «V(v, х, t)» означает «и — есть скорость тела х в момент вре-
мени t, «.М(т, х)» — «т есть масса х» и *F(f,х, /)» — «f есть сила,
действующая иа тело х в момент времени t», «В» — указанное ус-
ловие (первоначальная формулировка закона ие включает этого
условия, хотя фактически он применяется в областях, удовлетво-
ряющих этому условию, т. е. в области движений с достаточно
малыми по сравнению со скоростью света скоростями, чем и
обусловлены его эмпирические подтверждения).
Но представители концепции «несоизмеримости» считают, что,
по существу, старая теория не сравнима с новой; если даже упо-
требляются термины старой теории, то они обладают новыми
смыслами и, следовательно, обозначают уже новые объекты. На-
пример, вместо массы в механике Ньютона как чего-то постоян-
ного, независимого от скорости движения, в релятивистской ме-
ханике имеют в виду характеристику тел, изменяющихся с изме-
нением скорости. Однако здесь имеются, как нам кажется, за-
блуждения, связанные, в частности, с непониманием закономер-
ности развития понятий, а также роли понятий в процессе позна-
ния. Изменение содержания некоторого понятия (смысла некото-
рого термина) отнюдь не обязательно означает изменение объема
понятия. Философы науки не различают вопросы «что имеется в
виду в том или ином рассуждении?» и «как понимается, трак-
туется, истолковывается это нечто, имеющееся в виду?» Под тер-
мином «масса» представители классической механики, как и
представители релятивистской механики, во всяком случае тогда,
когда они формулируют уравнения механики Ньютона и соответ-
ствующие их модификации в релятивистской механике, имеют в
виду одно и тоже, а именно способность тела сопротивляться из-
менению скорости. Иначе говоря, и те и другие пользуются од-
ним и тем же эмпирическим понятием, посредством которого вы-
деляется то, что подлежит объяснению, истолкованию, обсужде-
нию и т. д. в теории. Само истолкование этого «нечто» в различ-
ных теориях, естественно, может быть различным. Известно, что
и в рамках классической механики существовали различные объ-
яснения того, что представляет собой масса тела.
166
Странно было бы считать, что в релятивистской механике
имеют в виду нечто совсем иное под терминами длина, время
и т. д., чем в классической. Речь, безусловно, идет об одних и тех
же характеристиках предметов, явлений и процессов реальной
действительности, но углубляется их понимание. Так же как не
изменилось, например, эмпирическое понимание объема тела как
предмета мысли после того, как на определенном этапе развития
•физики выяснилось, что величина объема зависит от температуры.
От Аристотеля до Галилея всякое механическое движение
связывалось с действием некоторой силы. В случаях падения тел
на Землю, это — «стремление» тела к «естественному месту»; в
других случаях — прилагаемое к телу усилие (воздействие кото-
рого может продолжаться и после окончания непосредственного
действия). Галилей освободил понятие движения как такового от
какой-либо силы, связывая действие силы с ускорением. (Здесь
мы имеем случай смены одной теории другой, устраняющей оши-
бочные представления первой.) Однако и в той и в другой есть
общее эмпирическое понятие движения как перемещения тел в
пространстве.
Итак, подчеркнем еще раз, что при изменении понятий за счет
углубления их основных содержаний (т. е. с переходом к позна-
нию более глубоких сущностей, мыслимых в понятиях предметов
и явлений) сохраняют значимость некоторые первоначальные эм-
пирические понятия, которые как раз и указывают прежде всего
на то, что именно мы имеем в виду в процессах рассуждения.
Глава V
ВИДЫ ПОНЯТИИ
И ВИДЫ ОТНОШЕНИИ между понятиями
§ 17.
виды понятии
Различение видов понятий осуществляется с раз-
ных точек зрения главным образом по трем основаниям: I) по
некоторым характеристикам объемов понятий; II) по характеру
признаков, составляющих видовое отличие мыслимых предметов
в понятии, точнее говоря, по характеру предиката, выражающего
это видовое отличие, т. е. предиката А (ЗЕ) в понятии ЗЕ А ( ЗЕ)
III) по характеру предметов, обобщаемых в понятии.
I. Среди всех возможных понятий обычно особо выделяют пу-
стые и непустые, а среди непустых — единичные и общие. Пустые
понятия имеют в качестве объема пустой класс. Полезно разли-
чать понятия логически и фактически пустые. Понятие ЗЕЛ (ЗЕ)
является логически пустым, если А (ЗЕ) есть логически противо-
речивая характеристика предметов ЗЕ. Ясно, что в силу законов
логики пустым является любое понятие вида ЗЕ (Р(ЗЕ)&Р(ЗЕ ), на-
пример «вещество, которое является кристаллическим и не яв-
ляется таковым». Понятие ЗЕ А (ЗЕ ) фактически пусто, если фак-
тически не существует предметов ЗЕ с данной характеристикой
А (ЗЕ). Таково, например, понятие «ворон белого цвета». Не суще-
ствует также, как известно, атомов в том смысле, как их пони-
мали в Древней Греции, а именно как неделимых частиц. Однако
особый и наиболее значимый случай фактической пустоты поня-
тия таков, когда существование предметов ЗЕ с характеристикой
А (ЗЕ) невозможно в силу законов той области действительности,
к которой относится это понятие. Так, невозможны ромбы, в ко-
торых диагонали не являются взаимно перпендикулярными, не-
возможны упругие жидкости, металлы, не обладающие хорошей
электропроводимостью, и невозможны вечные двигатели (т. е.
двигатели, работающие без дополнительной затраты энергии).
Возможность появления пустых понятий объясняется тем, что
в научном мышлении понятия возникают не только о тех предме-
тах, которые имеются налицо. На основе познанных процессов,
законов часто возникают предположения о существовании или
возможности появления тех или иных явлений с заранее опреде-
ленными признаками («антиатомы», «растительность на Марсе»
и т. п.). Здесь новые понятия возникают на основе других поня-
тий и знаний как проявления активного и творческого характера
мышления. Естественно, что в таких случаях могут возникать по-
нятия, которым, как оказывается затем, ничего не соответствует
в действительности. Но в некоторых случаях наука сознательно
использует пустые понятия даже для формулировки некоторых
законов. Читателю известны два закона термодинамики: один из
168
них гласит, что невозможны «вечные'двигатели» 1-го рода, второй
гласит то же самое о «вечных двигателях» 2-го рода.
Единичным является понятие, объем которого есть единичный
класс, а общие понятия имеют в качестве объема класс, состоя-
щий более чем из одного предмета.
По существу, мы рассматривали уже различения пустых, еди-.
ничных и общих понятий в связи со способами образования опи-
сательных имен. Там же речь шла о необходимости различения
единичных классов и отдельных предметов. Единичное понятие
по сути своей представляет собой, как и всякое другое, некое
обобщение и этим отличается от имени отдельного предмета. Как
видно из приведенных ранее примеров, мы не всегда при этом
можем даже знать, что класс обобщаемых предметов является
именно единичным. Без дополнительных знаний неясно, например,
является ли общим или единичным понятие «город, породненный
с Волгоградом». Возможно, не каждому известно, что в объем
этого понятия входят 9 городов в разных странах мира.
В некоторых случаях возникают трудности при попытке ре-
шить вопрос, является ли некоторое понятие общим или единич-
ным в силу характера мыслимых в понятии предметов. Едва ли
могут возникнуть сомнения насчет того, являются ли общими та-
кие, например, понятия, как «человек», «растение», «город»,
'«страна». Но уже не так легко определить, к какому классу от-
носятся понятия «вода», «водород» и т. п., вообще понятия, в ко-
торых обобщаются газообразные, жидкие или сыпучие вещества,
т. е. объекты, трудно поддающиеся индивидуализации. Аналогич-
ные трудности возникают с понятиями «любовь», «бытие» и т. п.
(так называемые абстрактные понятия). Полезно использовать в
таких случаях следующий критерий: понятие является общим,
если в пределах его объема могут быть выделены некоторые ви-
ды Предметов. Так, в объеме понятия «вода» мы можем выделить:
«морская вода», «речная вода», «дистиллированная» и «недистил-
лированная вода». В объеме понятия «бытие» (имея в виду спо-
соб существования чего-либо), выделяют «бытие отдельного чело-
века», «общественное бытие». (Сравним утверждения диалекти-
ческого материализма «бытие определяет сознание» и «общест-
венное бытие» определяет «общественное сознание».) «Любовь»,
как известно, также различают—«страстная» и «спокойная»,
«вечная» и «непостоянная».
Еще более просто решить указанный вопрос, когда возможна
индивидуализация мыслимых в понятии объектов. Так, пользуясь
понятиями «талант» или «белизна», мы выделяем индивидуаль-
ные случаи: «талант Пушкина», «талант Толстого», «белизна сне-
га», «белизна мела». Что касается понятий «вода», «водород», то
элементами объема здесь являются отдельные случаи, когда мы
встречаем эти вещества в природе (отдельные порции или от-
дельные скопления их). Однако в данном случае речь идет о по-
вседневном употреблении соответствующих терминов. Иное дело,
когда эти термины употребляются специальным образом, напри-
169
мер в химии. Термин «вода» в этом случае выражает единичное
понятие «химически сложное вещество, молекулы которого со-
стоят из двух атомов водорода и одного атома кислорода». Анало-
гично этому «водород» есть определенное химически простое ве-
щество или химический элемент (в связи с тем, что эти понятия
являются единичными, выражающие их термины могут употреб-
ляться и как имена соответствующих веществ или элементов).
Среди общих понятий особое место занимают так называемые
универсальные понятия. Универсальным является понятие вида
^Л(Л), объем которого совпадает с областью значений ЗЕ, т. е.
с его родом. Это совпадение обусловлено тем, что предикат А (ЗЕ)
не содержит никакой информации относительно предметов рода
и, значит, ничего не выделяет в этом роде. Аналогично тому как
мы среди пустых понятий различаем логически и фактически пу-
стые понятия, мы различаем логически и фактически универсаль-
ные понятая. Например, логически универсальным является
ЗЕ (P(3E)V-P(£ )) и вообще ЗЕЛ (ЗЕ), где А (ЗЕ) есть логический
закон (общезначимая формула логики предикатов). Фактически
универсально понятие «вещество, которое является кристалличе-
ским или аморфным», или «квадрат (род), диагонали которого
взаимно перпендикулярны (вид)». Еще пример универсального
понятия: «Жидкость такая, что давление на какую-нибудь ее точ-
ку передается во все стороны с одинаковой силой». Здесь мы
имеем случай, когда содержанием понятия является закон-при-
знак, необходимо присущий жидкостям (согласно закону Паска-
ля). Естественно, что он ничего не выделяет в множестве жидко-
стей, т. е. не несет никакой информации относительно них, по-
скольку верен для любых жидкостей. Но если бы в качестве ро-
дового было взято понятие «физическое тело», тогда понятие с
тем же видовым отличием выделяло бы именно жидкости.
Указанное различение внутри универсальных и пустых поня-
тий связано с приведенным выше различением логических и фак-
тических содержаний и соответственно объемов понятий.
Нетрудно усмотреть следующую связь между пустыми и уни-
версальными понятиями: если ЗЕЛ (ЗЕ) пусто, то 3£д(_ЗЕ) универ-
сально, и наоборот, если ЗЕ А (ЗЕ) универсально, то ЗЕ А (ЗЕ) пусто.
II. Деление понятий на виды по характеру видового отличия
в основном совпадает с приведенным выше различением призна-
ков. В соответствии с делением признаков (представляющих их
предикатов) на простые и сложные можно таким же образом раз-
делить и понятия: понятия с простым видовым отличием и такие,
в которых оно представляет собой сложный признак объемы пос-
ледних разложимы согласно 13.1, 13.2 § 13. Но в основном выде-
ляют обычно, с одной стороны, положительные и отрицательные,
с другой — относительные и безотносительные понятия (правда,
при этом не учитывают обычно различия между относительными
понятиями и понятиями об отношениях).
Понятие ЗЕА (Ж) положительно, если А (ЗЕ) выражает нали-
чие у предметов ЗЕ какого-либо свойства или отношения, и отри-
170
цательно, если признак Я (ЗЕ) указывает на отсутствие какого-
либо свойства или отношения. Пользуясь данными выше определе-
ниями положительного и отрицательного признаков, можно ска-
зать, что понятие является положительным или отрицательным в
зависимости от того, положительным или отрицательным являет-
ся признак А (ЗЕ).
Понятие ЗЕ Я (ЗЕ) положительно, если А (ЗЕ) выражает нали-
чие у предметов X каких-то свойств или отношений. Положитель-
ными являются, например, понятия «европейское государство»,
«столичный город», «родственники». Примеры отрицательных по-
нятий— «человек, не знающий логики», «непересекающиеся пря-
мые», «нечестный и безнравственный человек».
Далее выделяются понятия безотносительные и относитель-
ные. Деление на относительные и безотносительные понятия от-
носится, строго говоря, к понятиям вида ХА(Х) (т. е. (Хь...
-.. ,Хь)А (Xi,...,Xk) при k=l), иначе говоря, к понятиям, эле-
ментами объема которых являются отдельные предметы, а не си-
стемы объектов. (Это могут быть и системы объектов, но мысли-
мые как нечто единое, нерасчлененное целое.) Я(^) в этом слу-
чае — одноместный предикат. В относительных понятиях А (X)
есть признак, указывающий на наличие или отсутствие реляцион-
ного свойства, т. е. признак реляционного характера.
Однако здесь существенно различать два случая. Первый —
когда реляционное свойство А(Х) выражает отношение X к ка-
ким-то предметам, существующими вне самих этих предметов X
и второе — когда А(Х) указывает на отношение либо между не-
которыми характеристиками X, либо между его частями. Приме-
рами, относящимися к первому случаю, являются «причина» (ка-
кого-либо явления или каких-нибудь явлений), «отец Сократа»,
«европейское государство», «столица Франции» или «столица»
(какого-нйбудь государства). Относительны также: «студент»
(учащийся какого-либо вуза), «материя» как философское поня-
тие (объективная реальность, способная действовать на органы
чувств человека, вызывая ощущения). Примеры второго случая:
«плоская замкнутая геометрическая фигура, все точки которой
отстоят на одинаковом расстоянии от некоторой одной и той же
точки» (окружность), «вещество, имеющее определенную темпе-
ратуру плавления». Наличие или отсутствие реляционного свой-
ства первого типа у предмета X назовем внешним реляционным
признаком этого предмета, а наличие или отсутствие реляцион-
ного свойства второго типа — внутренним реляционным призна-
ком. Строго говоря, ХА(Х)—относительное понятие, если А(Х) —
(свойства их, предметно-функциональные характеристики или от-
носительного понятия имеется указание на существование каких-
то других предметов.
Среди относительных понятий прежде всего обращают на себя
внимание такие, которые являются членами пар соотносительных
понятий. Таковы «учитель» и «ученик», «начальник» и «подчинен-
ный», «воспитатель» и «воспитанник» и т. п. Если одно из таких
171
понятий имеет форму xRxa, то второе — xRax, где R является об-
ратным отношением для R.
В традиционной логике под относительными понятиями име-
лись в виду обычно именно члены пар соотносительных понятий,
что, разумеется, является неправомерным сужением класса отно-
сительных понятий; мы уже не говорим здесь о неудовлетвори-
тельном характере обычных определений относительного понятия
как такого, «в котором мыслится предмет, который не может су-
ществовать без других предметов» или как такого, в котором
«мыслятся предметы, существование одного из которых предпо-
лагает существование другого». Ясно, например, что в понятии
«жареная рыба» предполагается наличие сковородки. Недоста-
ток этих.определений, кроме их неопределенности, состоит и в
том, что они исключают отрицательные относительные понятия
«человек, который не является учеником Аристотеля», «человек,
который не является гражданином СССР» или «человек, который
не знает никаких иностранных языков».
Понятия ХА(Х) безотносительно, если А(Х) есть признак,
указывающий на наличие или отсутствие атрибутивного (нереля-
ционного) свойства, т. е. нереляционный признак. Понятие «жид-
кость» (вещество, имеющее жидкое состояние) является безотно-
сительным, если сам признак «жидкий» (имеющий жидкое состоя-
ние) рассматривается как далее нерасчленяемый. Но если «жид-
кое вещество» определяется как «вещество, которое имеет соб-
ственный объем, но не имеет собственной формы» (принимает
форму того сосуда, в который оно помещено), то это понятие яв-
ляется уже относительным. Безотносительно понятие человека как
биологического существа, например, как существа способного
мыслить. Но понятие, соответствующее определению человека как
существа, «производящего орудия труда» или как существа, «при-
надлежащего сообществу, производящего и употребляющего в,
своем взаимодействии с природой орудия труда», является, оче-
видно, относительным. Уже из этих примеров можно заключить,
что большинство понятий, в которых предметы обобщаются по
более или менее существенным признакам, оказываются относи-
тельными. Это указывает на существенную роль в познании при-
знаков — отношений.
Вполне правомерно даже называть относительными все поня-
тия, видовым отличием которых является реляционный признак,
а безотносительными, если это есть признак нереляционного ха-
рактера. Полезно заметить, что в относительном понятии может
мыслиться отношение к некоторому определенному предмету или
ко всем предметам какого-либо класса. Это указывает на необ-
ходимость различать следующие виды относительных понятий:
1) ХА(Х, 0О), где 0о — определенный предмет (предмет X, имею-
щий отношение А(—, —J к объекту 0о); например: «Человек
X, который является отцом Сократа» — А(Х, а), в данном
случае «а» — «Сократ», а «А» — «отец»).
172
2) X3.YA(XY) («город X, являющийся столицей какого-нибудь
государства У»);
3) XVYA\XY) (человек X, знающий каждый европейский
язык У).
К относительным понятиям причисляют нередко и понятия,
в которых обобщаются системы объектов, т. е. понятия вида
(Ль ..., Xk)A(Xi, Xk) при k>\. Однако более точной явля-
ется характеристика их как понятий об отношениях (объектов,
составляющих некоторую систему).
III. Па характеру обобщаемых в понятии объектов следует
различать прежде всего понятия, в которых обобщаются отдель-
ные предметы того или иного типа (вида ХЛ(Х)) и системы объ-
ектов (понятия вида (Хь ..., Xk)A(Xi, Xk), Среди по-
следних могут быть случаи, когда система состоит из однородных
объектов, как например в понятии «параллельные прямые». Здесь
элементарный тип системы: два предмета, х и у, находящиеся
в определенном отношении R. В общем случае это — какая-либо
последовательность однородных предметов Х\, Х%, ..., X* из ка-
кой-нибудь области М. Объем такого понятия есть часть множе-
ства М* (декартова степень М), а именно множество всех раз-
личных k-ок предметов, которые можно составить из элементов
множества М, удовлетворяющих условию A(Xi, ..., Xft). В дру-
гих случаях система может состоять из предметов разных типов.
В качестве примеров такого понятия выше было приведено по-
нятие булевой алгебры. Объем такого понятия представляет собой
часть множества MiXAf2X..., (декартово произведение мно-
жеств Mi, ..., Mft, где М; — класс предметов — возможных зна-
чений Xi), а именно множество всех различных k-ок предметов
(01....б*), где fliSMi.
Дальнейшее подразделение относится к понятиям вида ХА(Х).
При этом различаются понятия конкретные и абстрактные, с од-
ной стороны, собирательные и несобирательные — с другой. Пер-
вое из указанных делений связано с различением конкретных и
абстрактных объектов. Напомним, что конкретными объектами
мы называем вещи, ситуации и процессы реальной действитель-
ности, а также результаты той или иной идеализации таких пред-
метов (абсолютно упругие жидкости, абсолютно черные тела) и,
наконец, множества и системы предметов указанных типов, мыс-
лимые как целое.
Абстрактные объекты — суть создания мысли, идеальные пред-
меты. Таковы те или иные характеристики конкретных предметов
(свойства их, предметно-функциональные характеристики или от-
ношения между ними),отвлеченные от соответствующих предметов
и ставшие самостоятельными объектами мысли. Так возникают
«числа, фигуры, движение». К множеству объектов этого типа
можно, очевидно, также отнести параллели, меридианы, векторы
и т. п. Конкретным является понятие, элементы объема кото-
рого — конкретные объекты. Таковы понятия, составляющие
смыслы выражений «человек», «социалистическая революция»,
173
«растение», «государственная собственность некоторой страны»
и т. п. Абстрактные понятия в качестве элементов объема имеют
абстрактные объекты. Таковы понятия: «число», «геометрическая
фигура», «арифметическая функция», «рефлексивное и симмет-
ричное (двухместное) отношение», а также «хозрасчет», «метод
бригадного подряда» и т. п. Заметим, что в логической литера-
туре определения конкретных и абстрактных понятий не вполне
совпадают с данными здесь их характеристиками. Обычно гово-
рят, что элементами конкретных понятий являются предметы,
представляющие собой — с логической точки зрения — некото-
рые системы признаков, т. е. некоторые конкретные предметы, а
элементами объема абстрактных понятий являются отдельные
характеристики (стороны, свойства) конкретных предметов. По-
нятие «геометрическая фигура» относится в таком случае к чис-
лу конкретных понятий, а абстрактными будут: «площадь геомет-
рической фигуры», «замкнутость геометрической фигуры» и т. п.
Однако это различение весьма неопределенно, поскольку и от-
дельные свойства, и отношения предметов в свою очередь пред-
ставляют собой какую-то систему свойств (более высокого по-
рядка) и поэтому подходят под определение конкретных объек-
тов. Впрочем, и та граница, которая подразумевается в различе-
нии, проведенном нами первоначально, тоже не является вполне
четкой. Как известно, нет строгих граней даже между более
простыми предметами и явлениями действительности, и почти
любое различение видов тех или иных предметов в той или иной
степени условно и неопределенно.
Понятие свойства (как и отношения) возникает в результате
двойного абстрагирования. С одной стороны, происходит отвлече-
ние некоторого свойства от предметов—изоляция его от предметов
и превращение в самостоятельный предмет (изолирующее абст-
рагирование); с другой стороны, осуществляется обобщение этого
свойства путем выделения общих основных свойств этих свойств
и отвлечения от остальных (обобщающе-различающее абстраги-
рование).
Возьмем, к примеру, понятие треугольника х(А(х)&В(х)), где
Л(х) означает Замкнутый (х), а В(х) — Ограниченный тремя
сторонами (х), или, точнее, Число сторон (х)=3; предметная
область х — плоские геометрические фигуры. Чтобы выделить
свойство «треугольность», которое представляет содержание дан-
ного понятия, надо ввести для него специальное описательное
имя iPVx(P(x)<z> А (х)&В(х)) (образование этого имени и соот-
ветствует осуществлению изолирующего абстрагирования) 12.
Отсюда естествен переход к единичному понятию свойства
«треугольность» — PVx(P(x)co (Л (х)&В(х))), а от него к более
общему, например РЯпУх(Р(х) со (Л (х)& (число сторон (х)=п) —
42 Формально это выражение получается из определения треугольника ух
(треугольник (х.<х> (4 (х)&В(х)) ) заменой постоянной «треугольник» переменной
Р с последующим применением i-оператора.
174
свойство «замкнутый п-угольник»), Однако мы не можем полу-
чить из предыдущего понятия обобщение PVx(P(x)sjA (х))
(«замкнутость геометрических фигур»), так как из его содержа-
ния логически не выводимо содержание последнего. Для этой
цели пришлось бы взять понятие «замкнутая фигура» — хЛ(х);
из него сразу приходим описанным образом к нужному понятию
замкнутости PVx(P(x) со Л ,(х)).
В данном случае наблюдается явление, не поддающееся объ-
яснению. Понятие замкнутой фигуры получается путем обычного
логического обобщения понятия треугольника, но понятие «замк-
нутость фигур» не удается получить указанным образом из по-
нятия «замкнутость треугольника». Возможно, здесь сказывается
несовершенство в способе выражения понятий о свойствах или
имеются какие-то более глубокие причины.
Кроме отмеченных существуют и другие неясности, связанные
с абстрактными понятиями. Например, бывают они общими
или только единичными, как считают многие авторы учебников по
логике? Имеет ли смысл их деление на относительные и безотно-
сительные? Ясно, что среди абстрактных понятий имеются как
общие, так и единичные. Независимость государства имеет виды:
политическая независимость, экономическая независимость и т. д.
Это означает, что понятие является общим. Далее, если иметь
в виду абстрактные понятия, в которых мыслятся свойства, отно-
шения и тому подобные характеристики конкретных предметов,
то все они, очевидно, являются относительными, поскольку со-
держание каждого такого понятия обязательными являются ука-
зания на принадлежность мыслимой характеристики тому или
иному отдельному предмету или каким-то из предметов некото-
рого класса. Например, «независимость Кампучии», «независи-
мость (некоторого, какого-либо) государства».
Значительная доля условности имеется и в делении понятий
на собирательные и несобирательные. Несобирательными назы-
ваются понятия, предметы которых представляют собой нечто
целое, хотя и состоящее возможно из каких-то различных частей,
но мыслимое как нерасчлененное целое. Например, «физическое
тело», «человек», «растение». Конечно, каждое тело является,
как мы знаем, совокупностью молекул и других частиц, но в несо-
бирательиом понятии мы отвлекаемся от его структуры и вообще
рт того, что оно представляет собой какую-то структуру. Пред-
меты, обобщаемые в собирательных понятиях, т. е. элементы объ-
ема такого понятия, это некоторая совокупность (возможно, даже
отдельно существующих предметов) или система предметов, мыс-
лимая как целое. Например, «производственная бригада», «на-
род», «флот», «лес» и т. п. Объем понятия «производственная
бригада» есть совокупность всех возможных производственных
бригад (таким образом, понятие является общим), и содержание
понятия «совокупность людей, соответствующим образом органи-
зованных для выполнения определенных производственных задач»
относится к каждой из них, но, конечно, не к отдельным членам
175
бригады. Очевидно, что собирательное понятие может быть и
единичным, например «студенческий коллектив МГУ».
Отдельные предметы, составляющие совокупности, мыслимые
в собирательном понятии, вообще говоря, существуют или могут
существовать отдельно или самостоятельно. Но в некоторых от-
ношениях их совокупность выступает как одно целое (например,
перед всеми людьми, составляющими производственный коллек-
тив, стоят некоторые общие задачи, и все они в совокупности
несут ответственность за их выполнение и т. д.). Это обусловли-
вает возможность и необходимость в некоторых случаях мыслить
совокупность как один предмет.
Иногда говорят, что собирательные понятия могут упо-
требляться в разделительном смысле. Так, как будто употребля-
ется собирательное понятие «данный коллектив» в суждении: «Все
члены данного коллектива справились со своим заданием». Одна-
ко точнее сказать, что в данном суждении сам предмет (данный
коллектив), а не понятие, берется разделительно, хотя бы потому,
что члены коллектива являются частями коллектива, но не явля-
ются ни частями, ни элементами объема понятия «данный кол-
лектив». Понятие «данный коллектив» — в своем обычном соби-
рательном смысле — мы используем здесь для образования но-
вого (общего) понятия «член данного коллектива». Это — общее
относительное понятие, в котором мыслится отношение людей
к определенному предмету, именно к данному коллективу. Другой
вид также общего и относительного понятия, представляющий
собой обобщение только что рассмотренного, представляет поня-
тие «член коллектива» (т. е. член какого-нибудь коллектива; его
структура, очевидно, хЗ.\/Р(х, V), где возможными значениями
х являются люди, а V — коллективы людей).
Собирательные понятия имеют, очевидно, определенное сход-
ство с понятиями, в которых обобщаются системы объектов, т. е.
с понятиями вида (Хь ..., Xk)A(X\, ..., Xk), k>\. Однако отли-
чие их от последних в том, что мы отвлекаемся здесь от струк-
туры мыслимой совокупности и обращаемся с ней, как с некото-
рым индивидом.
Указанная классификация в основном намечена в традицион-
ной логике. Ее анализ здесь состоит в том, что введены в рас-
смотрение понятия с отношениями, т. е. такие, в которых мыс-
лятся системы объектов. Возможно, в каких-то целях полезно
было бы выделять также по характеру признаков генетические и
операциональные понятия. В первых видовое отличие харак-
теризует механизм образования предметов или возможный
способ их построения, например: «астрономическое явление,
которое возникает, когда центр Луны оказывается между Солн-
цем и Землей, на линии, соединяющей их центры» (полное сол-
нечное затмение), или «замкнутая линия, которую описывает ко-
нец отрезка прямой при вращении его вокруг другого конца в од-
ной плоскости» (окружность). В операциональных понятиях ха-
рактеристикой предметов служит указание некоторой процедуры,
176
посредством которой может быть решен вопрос о принадлежности
того или иного предмета объему данного понятия или о значе-
нии той или иной функции (операции). Примеры: «вещество, вод-
ный раствор которого окрашивает лакмусовую бумажку в крас-
ный цвет» (кислота): понятие сложения, возникающее в резуль-
тате так называемого рекурсивного его определения: двухместная
операция f2, такая, что f2(x, 0)=х, a f2(x, у+1) =f2(x, i/) + l (воз-
можные значения х, у — натуральные числа, понятие прибавле-
ния 1 принимается за известное); имя существительное, форма
которого такая, что оно может быть использовано для ответа на
вопрос «кто»? или «что»? (имя существительное в именительном
падеже).
Наконец, существенно различать эмпирические и теоретичес-
кие понятия. В эмпирических основное содержание составляют
признаки, доступные наблюдению, например «жидкость, не имею-
щая цвета, запаха и вкуса» (вода — в обыденном смысле); в тео-
ретических понятиях наличие этих 'признаков у предметов уста-
надливается посредством некоторого теоретического анализа.
Например, «химически сложное вещество, молекулы которого сос-
тоят из двух атомов водорода и одного атома кислорода»
(вода — как особое химическое вещество). Еще примеры эмпи-
рических и теоретических понятий: температура как «степень на-
Гретости тела» в смысле ощущения его как более теплого или
менее теплого (эмпирическое понятие), «величина, характеризу-
ющая физическое тело, значение которой определяется посредст-
вом термометра» (эмпирическое понятие); «характеристика физи-
ческого тела, значение которой равно средней кинетической энер-
гии движения молекул» (теоретическое понятие).
Мы видели, что грани между некоторыми выделяемыми вида-
ми понятий не всегда являются достаточно четкими. Однако это
не умаляет ценности этих делений (тем более, как уже подчер-
кивалось, во многих классификациях даже более простых
объектов есть моменты условности, неопределенности, огрубле-
ния и т. д.). К тому же деление понятий на виды имеет не столь-
ко практическое, сколько теоретическое значение. Оно важно
с гносеологической точки зрения, поскольку различные виды по-
нятий представляют собой в то же время различные способы
мыслительной деятельности. В многообразии видов понятий выра-
жается активный и сложный характер отражения мира в мыш-
лении, соответствующий сложности и многосторонности познава-
емой нами действительности. Предметами понятий, как мы виде-
ли, могут быть отдельные предметы и их характеристики (свой-
ства, отношения и т. д.). Предметы — и даже одни и те же —
могут обобщаться по различным их сторонам, по наличию и от-
сутствию свойств, качеств, отношений, по собственным характе-
ристикам предмета и по отношению его к другим предметам
и т. д.
Совокупности взаимосвязанных предметов могут мыслиться
разрозненно и, наоборот, возможно мысленное объединение
7 Е. К. Войшоилло
177
в некоторый агрегат предметов, существующих раздельно, и т.
и т. п. Знание этих способов позволяет овладеть понятием как
одной из форм мышления. Это важно также и для того, чтобы
умело пользоваться имеющимися в нашем распоряжении поняти-
ями в процессе рассуждения.
§ 18.
ВИДЫ ОТНОШЕНИИ МЕЖДУ понятиями
Здесь имеются в виду отношения между парами:
понятий и по их содержаниям, и по их объемам. Те и другие
отношения, как мы увидим далее, определенным образом связаны
между собой. Выяснение отношений между содержаниями может
быть связано с вопросами; является ли содержание одного поня-
тия более широким, чем содержание другого, или могут ли при-
знаки, составляющие содержание одного и другого, принадле-
жать одним и тем же предметам? Об объемах двух понятий со-
ответственно можно ставить вопрос: является ли объем одного
понятия уже объема другого, или имеются ли такие предметы,,
которые одновременно являются элементами объема и одного ж
другого понятия?
Обратим внимание сразу на то, что надо отличать отношения
понятий о тех или иных предметах от отношений между самими
предметами, тем более что имеются даже общие термины для:
обозначения отношений того и другого типа. Так, мы говорим, что
крыло самолета является частью самолета, а объем понятия
«реактивный самолет» является частью объема понятия «само-
лет». Городской район — часть города, но объем понятия «город-
ской район», конечно, не является частью объема понятия «го-
род». Отношения «часть» — «целое» между предметами называ-
ются мереологическими; рассматриваемые здесь отношения между
понятиями — это логические отношения (при этом определенного,
типа, связанные именно с указанными выше вопросами. Возмож-
ны и другие отношения: например, в системе понятий той или
иной науки одни понятия определимы через другие, но не наобо-
рот и т. д.).
Однако и среди интересующих нас отношений между понятия-
ми возможно различение отношений по логическим и фактичес-
ким содержаниям и соответственно объемам. В дальнейшем речь
будет идти об отношениях между фактическими содержаниями
(и объемами) относительно всех вообще имеющихся на данный'
момент знаний в повседневном обиходе или в соответствующей
науке, к которой относится понятие.
1. Любые два понятия прежде всего являются сравнимыми:
или несравнимыми. Два понятия сравнимы, если они имеют об-
щий род. В противном случае понятия несравнимы. Например,
понятия «плоская геометрическая фигура (род), замкнутая и ог-
раниченная четырьмя прямыми (видовое отличие)» и «плоская
геометрическая фигура (род), замкнутая и ограниченная тремя
178
прямыми (видовое отличие)» являются сравнимыми. Но «плос-
кая, замкнутая геометрическая фигура (род), ограниченная че-
тырьмя сторонами», не является сравнимым понятием ни с одним
из указанных. Обратим внимание на то, что обычно сравнимыми
называют понятия, предметы которых имеют какие-то общие
признаки, если же у предметов, мыслимых в понятии, нет ника-
ких общих признаков, то они несравнимы. Однако, строго говоря,
шее предметы, поскольку понятие «предмет» употребляется здесь
в широком смысле, «как предмет мысли», имеют какие-то общие
признаки, хотя бы именно тот, что они являются или могут быть
предметами мысли. Кажутся явно несравнимыми, например, по-
[нятия «радость» и «искусственный спутник Земли». Однако, если
мы их сформулируем так, что возьмем в качестве рода множество
:никак не охарактеризованных предметов («нечто») и все осталь-
ные характеристики, по которым выделяем соответствующие объ-
екты мысли, отнесем к видовым отличиям, то понятия оказыва-
ются сравнимыми. Таким образом, существенно обращать вни-
мание на строение (формулировку) понятия.
При указанном выше способе сравнения содержаний понятий
по информативности на основе отношения логического следова-
ния предполагается, что понятия имеют общий род, а сравни-
ваются -части содержаний, заключенные в видовых отличиях. При-
ведение подлежащих сравнению понятий к общему роду так же
необходимо, как приведение сравниваемых дробей к общему
знаменателю, и только при осуществлении такого приведения они
становятся сравнимыми. Из данных разъяснений напрашивается
мысль, что все понятия сравнимы, поскольку они могут быть
всегда приведены к общему роду. Однако в определении сравни-
мости мы имеем в виду не возможность, а фактическое положе-
ние дел. И это существенно, поскольку понятие, полученное из
какого-либо понятия изменением его рода, представляет собой
уже иное понятие, чем исходное. О способах приведения понятий
к общему роду речь шла уже выше. Напомним, что одним из су-
щественных способов является расширение мыслимых в понятиях
систем объектов за счет введения в них тех или иных новых ком-
понентов. Например, в алгебре наряду с рассмотренным выше по-
нятием булевой алгебры имеется связанное с ним понятие струк-
туры (решетки).
Согласно одному из определений структуры (решетки), струк-
тура есть система: непустое множество некоторых объектов М и
.две определенные на нем двухместные операции fi2 и /г2, такие,
что для любых элементов М выполняются равенства 1—6, фигу-
рирующие в определении булевой алгебры (§ 15). При добавле-
нии также равенства (7) имеем дистрибутивную структуру. Счи-
тается обычно, что эти понятия являются более общими, чем по-
иятия булевой ;алгебры (исходя из чего само понятие булевой
алгебры определяют иногда как дистрибутивную структуру с до-
полнением; дополнение — это одноместная операция, обозначен-
ная нами как ', для которой верны равенства 8—9). Однако,
7*
179
строго говоря, указанные понятия несравнимы с понятием буле-
вой алгебры. Сравнимыми будут понятия, в которых мыслятся те-
же системы объектов, что и в понятии булевой алгебры. Из ука-
занного понятия структуры мы получаем понятие системы объек-
тов <М, fi2, f<22, f<il>, для которых выполняются те же соотноше-
ния 1—6 (поскольку в этих соотношениях нет никакой информа-
ции относительно /Д в качестве нее может быть взята любая од-
номестная функция, определенная на М). Таким образом, посред-
ством того же содержания мы выделяем здесь иное множество
объектов, т. е. множество систем более широкого, чем прежде,
характера. Теперь это понятие (как и понятие, которое получа-
ется из него добавлением равенства (7)) действительно является
более общим, чем понятие булевой алгебры.
Для того чтобы первоначальное понятие структуры можно
было рассматривать как родовое для булевой алгебры, в его»
формулировке слова «на котором заданы две двухместные опе-
рации» надо, по-видимому, понимать как «на котором заданы по
крайней мере две двухместные операции».
II. Среди несравнимых понятий не существует уже никаких
отношений. В множестве пар сравнимых понятий выделяются
совместимые и несовместимые. Понятия совместимы, если призна-
ки, составляющие содержание этих понятий, могут принадлежать
одним и тем же предметам, их объемы имеют какие-то общие
элементы. В противном случае понятия несовместимы. Например,
совместимыми являются понятия: «комсомолец» и «отличник»,
«философ-материалист» и «философ-метафизик», «философ-идеа-
лист» и «философ-диалектик» и т. п. Здесь, как и в дальнейших
примерах, подразумевается, что понятия сформулированы так, что
они имеют общий род. Для первой пары понятий общим родом
может быть класс людей или класс учащихся, для остальных —
класс людей.
Необходимым и достаточным условием логической несовмести-
мости понятий ЗЕ А (ЗЕ) и ЗЕ В (ЗЕ) является пустота пересечения
их объемов: ^уЗЕЛ ( £ )П ууЗЕВ( Ж )=0. Для содержаний понятий
в этом случае имеем Г, А (Ж ) \=В (ЗЕ). При этом в случае логи-
ческой несовместимости понятий Г пусто (значит, может быть
любым). При фактической несовместимости Г — некоторое непус-
тое множество высказываний, относящихся к дескриптивным тер-
минам в Л (ЗЕ) и В (Ж ) (и любое его расширение).
В силу того что Г есть множество высказываний (замкнутых
формул), логическая несовместимость указанных понятий_означа-
ет логическую истинность выражений V ЗЕ (Л (ЗЕ)=>В(ЗЕ), и
УЗЕ (Л(ЗЕ )\/В(ЗЕ ) (логическая истинность формул означает ис-
тинность лишь в силу логических форм, независимых от значений
дискриптивных терминов в них).
При фактической несовместимости эти выражения истинны
в силу значений, имеющихся в Л(Ж) и В (ЗЕ). дескриптивных,
терминов.
180
Для совместимых понятий имеем: w^A( Ж)П эдЖВ( ЗЕ)=/=0 и
истинное высказывание Я Ж(А(Ж)&аВ(Ж)). При этом для логи-
ческой совместимости это высказывание истинно лишь в силу
своей логической формы (т. е. истинно независимо от значений
дескриптивных терминов в составе форм Д( X) и В(Х)). Факти-
ческая совместимость означает истинность указанных высказыва-
ний в силу данных значений дескриптивных терминов в А (X) и
В (Ж) и, значит, с учетом некоторого множества знаний Г отно-
сительно этих терминов.
Несовместимые понятия: «студент — отличниц» и «неуспеваю-
щий студент», «интернационалист» и «националист», «кристал-
лическое вещество» и «вещество, не имеющее определенной тем-
пературы плавления».
Ясно, что для решения вопроса о совместимости или несовме-
стимости понятий нужно иметь сами понятия, а не слова, кото-
рые служат их сокращениями. Так, если молекулой называется
наименьшая частица вещества, обладающая его химическими
свойствами, то совместимыми, очевидно, являются понятия «мо-
лекула» и «атом», поскольку имеются так называемые одноатом-
ные молекулы (например, молекулы инертных (благородных)
газов).
Кстати, автор статьи «Молекула» в БСЭ (изд. 3-е), сформу-
лировав указанное в начале определение ее, вместе с тем заме-
чает, что «одноатомные молекулы по сути дела явлются атомами
вещества и поэтому (? — Е. В.), строго говоря, не могут быть
отнесены к молекулам». Автор здесь вступает в противоречие
с самим собой. Согласно его определению молекулы одноатомная
молекула является молекулой в строгом смысле слова.
III. Виды совместимости. В множестве пар совместимых по-
нятий различаются три вида: 1) равнозначные понятия; 2) поня-
тия, находящиеся в отношении логического подчинения-, 3) пере-
крещивающиеся понятия. Равнозначными называются понятия,
объемы которых совпадают и только содержания различны. Та-
ким образом, эти понятия выделяют один и тот же класс предме-
тов, но по разным совокупностям признаков. Например, «равно-
сторонний треугольник» и «равноугольный треугольник» (в евк-
лидовой геометрии), «тело, на которое не действуют никакие си-
лы, или равнодействующая всех сил равна нулю» и «тело, кото-
рое находится в состоянии покоя или равномерного прямоли-
нейного движения», «студент, для которого пе существует таких
вопросов (данного) курса, на которые он не может ответить» и
«студент, который может ответить на все вопросы (данного)
курса».
Для содержания равнозначных понятий ХА(Х) и ХВ(Х)
существует их эквивалентность А(Х)=В(Х),. что означает
Г, А(Ж)|=В(Ж) и Г, В(Ж)|=А(Ж). Если эти соотношения име-
ются при пустом Г — понятия логически равнозначны; если же
только при некотором непустом Г (и, естественно, при всех воз-
181
можных расширениях его в этом случае), то они оказываются
фактически равнозначными (относительно этого Г).
Понятия в приведенных выше двух первых примерах факти-
чески равнозначны (относительно множества аксиом геометрии и
относительно множества утверждений физики), а в последнем
имеем логическую равнозначность понятий, что очевидно в силу
логических форм этих понятий хЭ.уР(х, у) и xVyP(x, у).
Относительно множества утверждений арифметики равнознач-
ны: «целое положительное число, отличное от 1 и не имеющее
никаких делителей кроме себя и Ь и «целое положительное чис-
ло, имеющее ровно два различных делителя» (в том и другом
понятии выделяется класс простых чисел).
Понятия находятся в отношении логического подчинения, если
объем одного из них составляет правильную часть объема дру-
гого (а содержания — в соответствии с законом обратного отно-
шения — находятся в обратном отношении).
Понятие с более широким объемом называется подчиняющим,
а другое — подчиненным. Примеры: «четырехугольник» и «пря-
моугольный четырехугольник», «философ» и «философ-материа-
лист», «международное отношение» и «международные эко-
номические отношения», «химически простое вещество» и «ме-
талл», «учащийся вуза и студент» (учащийся вуза или среднего
специального учебного заведения).
Для понятий ЖА(Ж) и ЖВ(Ж), находящихся в отношении
логического подчинения, имеем: эдЖВ( Ж )= эд$А(Ж ) и
Г, В( Ж )|=А( Ж), но Г, А(Ж ) ^В(Ж). В случае пустого Г суще-
ствует родовидовое отношение логического характера. При непус-
том Г — родовидовое отношение фактического характера (отно-
сительно Г). Таковы отношения понятий во всех указанных при-
мерах, кроме последнего.
Отношение логического подчинения иначе характеризуют как
родовидовое, называя понятие, объем которого включает объем
другого в качестве своей правильной части, родовым по отноше-
нию к этому второму, а второе — видовым по отношению к пер-
вому. Класс предметов, составляющих объем родового понятия,
называют родом для класса предметов, мыслимых во втором
понятии, а этот второй класс, наоборот, видом предметов данного
рода.
Перекрещивающимися называют такие понятия, в объемах ко-
торых имеются общие элементы, однако в составе каждого из них
содержатся такие предметы, которые не являются элементами
другого. Например, «участник движения за ядерное разоружение»
и «предприниматель», «поэт» и «драматург», «студент» и «спорт-
смен» и т. п. Для перекрещивающихся понятий ЖА ( Ж ) и
Ж В (Ж) верно утверждение Я Ж (А (Ж )&В (Ж )) с учетом некото-
рого Г — в случае фактического перекрещивания или без учета
Г — логическое отношение перекрещивания.
182
Виды несовместимости
Среди несовместимых понятий выделяются пары
противоречащих, противоположных и соподчиненных понятий.
Противоречащими являются понятия вида ЖА(Ж) и ЖВ(Ж ),
где А (ЗЕ) =В (Ж ) и где В(ЗЕ) в свою очередь неэквивалентно
отрицанию некоторой формулы С (ЗЕ), т. е. такие, в одном из
которых мыслятся предметы, лишенные каких-либо свойств, сос-
тавляющих видовое отличие предметов, мыслимых в другом.
Эквивалентность А(Ж)^В(ЗЕ) может быть фактической или
логической. В_общем случае наличие ее" означает Г, Д(ЗЕ)1=
,|=В(Ж) и Г, В(ЗЕ)|=А(ЗЕ). При пустом Г эти понятия логически
противоречивы: при наличии же этих отношений только при не-
котором непустом Г имеем отношение фактического противоречия
(относительно данного Г). Для логически противоречивых поня-
тий ЗЕД(ЗЕ) и ЗЕ В (ЗЕ) логически истинны высказывания
АЗЕ (Д( ЗЕ)\/В( ЗЕ)) и V ЗЕ (Д (ЗЕ)\/В( ЗЕ)). При фактической про-
тиворечивости этих понятий данные высказывания истинны
в силу значений дескриптивных терминов в составе Д( Ж) и
В(ЗЕ).
Примеры противоречащих понятий: «город, являющийся сто-
личным» и «город, не являющийся столичным», «слово, изменяюще-
еся по числам и падежам» и «слово, не изменяющееся по чис-
лам или не изменяющееся по падежам», «тело (материальное),
находящееся в покое или в состоянии равномерного прямолиней-
ного движения» и «тело, которое не находится в покое и не нахо-
дится в состоянии равномерного прямолинейного движения».
Фактически противоречивыми являются понятия «простое чис-
ло» и «число, которое делится на 4», «равносторонний прямо-
угольный четырехугольник» и «четырехугольник, у которого диа-
гонали в точке пересечения не делятся пополам» «ромб» и «нерав-
носторонний четырехугольник».
К числу противоположных понятий относят, например, такие,
как «человек высокого роста» и «человек низкого роста», «чер-
ное» и «белое», «человек высоконравственный» и «безнравствен-
ный человек». Обычно мы более или менее удачно применяем
термин «противоположности» при интуитивном его употреблении.
Определение же его смысла является трудной проблемой. Выше
(часть I, глава III) мы характеризовали противоположные при-
знаки предметов как образуемые посредством особой операции
противополагания.
В соответствии с этим противоположными следует называть
такие два понятия, видовое отличие одного из которых представ-
ляет собой противополагание видовому отличию другого. Более
конкретно речь идет о понятиях, объемы которых составляют два
крайних вида в множестве видов, которые выделены и располо-
жены по степени изменения какого-нибудь признака. Так, напри-
мер, объем понятия «ахроматический цвет» можно разделить по
степени яркости на «белый», «светло-серый», «серый», «темно-се-
183
рый», «черный». Таким образом, «белый» и «черный» здесь ока-
зываются противоположностями. По-видимому, в любом случае,
говоря о противоположных понятиях, мы подразумеваем воз-
можность какого-либо упорядочивания видов предметов, входя-
щих в его объем.
Среди философских систем различают материализм (исходное
положение которого состоит в том, что материя первична, а со-
знание вторично, т. е. является продуктом развития материи),
дуализм (согласно представлениям которого материя и сознание
существуют независимо друг от друга), идеализм (считающий,
что сознание — идея, духовное вообще — первично, материя —
вторична). Таким образом, идеализм есть противоположность ма-
териализма.
Наконец, два несовместимых понятия, которые не являются ни
противоречащими, ни противоположными, называются соподчи-
ненными. Например, «прямолинейное движение» и «криволинейное
движение», «животное» и «растение» и т. п.
Приняты следующие графические изображения отношений
между объемами совместимых и несовместимых понятий.
I. Отношение совместимости :
перекрещивание
равнозначность логическое
подчинение
соподчинение
Каждой из указанных схем может быть сопоставлена совокуп-
ность некоторых высказываний. Так, схема логического подчине-
ния указывает на истинность высказывания: «всякий предмет из
области Ж , обладающий характеристикой В, есть предмет, имею-
щий характеристику А, и только некоторые предметы, имеющие
характеристику А суть предметы, обладающие характеристикой
В», и «всякий предмет из области Ж есть А или В». Читателю
предлагается самому проанализировать с указанной точки зрения
все другие схемы.
Таким образом, связывая схемы с определенным высказыва-
нием, мы имеем некоторый способ проверки того, правильно ли
определено отношение между теми или иными понятиями. Напри-
мер, изобразив отношение между понятиями «слово» — Ли «су-
754
ществительное» — В
схемой
, мы принимаем
за истинные
утверждения: «всякое существительное есть слово» и «только
некоторые слова суть существительные». Если же А есть «слово»,
а В — «корень слова», то при таком же изображении отношения
между этими понятиями нужно было признать, что «всякий ко-
рень слова есть слово». Но при том употреблении термина «сло-
во», которое принято в лингвистике, это, очевидно, неверно.
Дело в том, что корень слова — это не вид слова, а его
часть. Между понятиями нет родовидового отношения.
Глава VI
ОПЕРАЦИИ С ПОНЯТИЯМИ.
ОПРЕДЕЛЕНИЯ
Здесь мы имеем в виду некоторые основные опера-
ции с понятиями, к числу которых относятся обобщение и огра-
ничение понятий и деление понятий. Частным видом деления яв-
ляется классификация. Обычно к числу операций с понятиями
относят также и определение. Но это связано с неправильной
трактовкой этой операции как операции, посредством которой
раскрывается содержание понятия. Посредством определения по-
нятия обычно вводятся в науку, хотя это не единственная функ-
ция данного приема познания.
§ 19-
обобщение И ОГРАНИЧЕНИЕ ПОНЯТИИ
Обобщение некоторого понятия есть операция об-
разования из этого понятия некоторого нового с более широким
объемом. Переход от данного понятия к понятию с более широ-
ким объемом осуществляется за счет определенного ослабления
содержания первого. Так, от понятия «повествовательное предло-
жение» переходим к понятию «предложение», исключая из содер-
жания этого понятия указание на то, что в грамматической форме
этого типа о чем-то сообщается. От понятия «колхозно-коопера-
тивная собственность», понимаемой как вид социалистической
собственности, можем перейти к понятию «социалистическая соб-
ственность» и далее — к понятию «собственность» вообще.
Обратная операция перехода от некоторого понятия к понятию
с меньшим объемом за счет расширения исходного называется

ограничением понятия. Ограничивая понятие «собственность»,
получаем понятие «социалистическая собственность», затем «госу-
дарственная социалистическая собственность» или «колхозно-ко-
оперативная социалистическая собственность». Здесь мы видим,
что ограничение одного и того же понятия может идти
по разным направлениям. Аналогично имеются различные воз-
можности обобщения одного и того же понятия. От понятия «рав-
носторонний прямоугольный четырехугольник» можно перейти
как к понятию «равносторонний четырехугольник», так и к поня-
тию «прямоугольный четырехугольник». Ограничение понятия
есть его конкретизация, которая связана с учетом особенностей
предметов некоторого вида, от которых происходило отвлечение
при образовании более широкого понятия. Обобщение, наоборот,
связано с приемом абстрагирования, отвлечения от каких-то осо-
бенностей, мыслимых в понятии предметов. Короче говоря, огра-
ничение есть выделение особенного в пределах чего-то общего, а
обобщение — переход от особенного к чему-то общему.
Потребность в обобщении понятий возникает, в частности,
при необходимости обобщения формулировок законов науки. Как
мы знаем, в обычной формулировке закона Архимеда он пред-
ставляет собой утверждение, относящееся к классам жидкостей
и твердых тел: всякое тело, погруженное в жидкость, испытывает
давление со стороны жидкости, направленное снизу вверх и рав-
ное весу вытесненной телом жидкости. Однако закон справедлив
и для газообразных тел (и обычно применяется в аэродинамике).
Для его обобщения должно быть обобщено понятие жидкости
так, чтобы обобщенное понятие охватывало и жидкости, и газы.
Таковым является, например: «Вещество, в массе которого давле-
ние на любую его часть передается во все стороны с одинаковой
силой».
Но нередко в познании возникает необходимость также огра-
ничения закона науки, распространения закона, относящегося
к классу предметов, мыслящихся в понятии хА(х) на некоторый
частный случай (вид предметов) хВ(х).
Нетрудно видеть, что операции обобщения и ограничения по-
нятий связаны с законом обратного отношения. Если понятие
ЖД(Ж) является обобщением понятия ЖВ(Ж), а второе, оче-
видно, в этом случае — результат ограничения первого, то для
объемов этих понятий имеем ууЖВ( Ж )cz эдЖА( Ж ) (т. е. объем
второго составляет правильную часть первого, или является соб-
ственным подмножеством первого, причем вообще мы можем
иметь здесь в виду либо фактические, либо логические объемы
понятий). Содержание первого понятия является частью содержа-
ния второго, т. е. Г, В(Ж)|=А(Ж), но не наоборот (Г, А( Ж )
#=В(Ж)). (Можно сказать, что содержание первого составляет
правильную часть второго.)
При непустом Г имеем отношение между фактическими со-
держаниями, при пустом — между логическими. В зависимости
от того, имеем ли указанное отношение между логическими объ-
186
емами и содержаниями понятий или фактическими, различаем
также фактические и логические обобщения и ограничения поня-
тий.
Наиболее распространенными в практике являются обобщения
логического характера, однако учитывать указанное различие
существенно хотя бы для того, чтобы отличать фиктивные обоб-
щения или ограничения от действительных. В практике научного
познания обычно представляют интерес фактические обобщения
и, как правило, они в то же время являются и логическими (та-
ковы обобщения и ограничения во всех приведенных выше при-
мерах). Но, например, ограничение понятия «равносторонний че-
тырехугольник» до понятия «равносторонний треугольник со вза-
имно перпендикулярными диагоналями» является логическим, но
не представляет собой фактического ограничения. По существу,
логические обобщения и ограничения, которые не являются в
то же время фактическими, представляют собой фиктивные обоб-
щения и ограничения, хотя не исключено, что в каких-то про-
цессах познания могут представлять интерес и чисто логические
операции указанных типов.
В свете сказанного выявляется явная неточность определения
самих операций обобщения и ограничения понятий в традицион-
ной логике. Обобщение здесь определялось как переход от неко-
торого понятия к другому, более широкому по объему за счет
исключения из содержания исходного понятия каких-либо призна-
ков, составляющих видовое отличие обобщенных в этом понятии
предметов, а ограничение — как переход к понятию с меньшим
объемом за счет добавления новых признаков к видовому отли-
чию исходного. Это лишь некоторые, наиболее простые частные
случаи операций обобщения и ограничения понятий, а именно
обобщение здесь переход от понятия вида х (Д (х) &В (х)) к поня-
тию хА(х); ограничение — обратный переход. Расширение, уси-
ление, обогащение содержания понятия может происходить от-
нюдь не только за счет добавления новых признаков, а ослабле-
ние — не только за счет исключения каких-то имеющихся в нем.
Например, содержание понятия вида «хР(х, а)» (например, «сту-
дент, сдавший во время данной сессии логику») шире, чем содер-
жание понятия «хЯг/Р(х, у)» (студент, сдавший какой-нибудь из
предметов данной сессии»), поскольку имеем Р(х, а)^=3.уР(х, у),
но 3.уР(х, y)t£P(x, а). Ясно также, что VyP(x, y)t=P(x, а), но
Р(х, а)№УуР(х, у). Значит, понятие вида «xVyP(x, у)» («сту-
дент, сдавший все экзамены данной сессии») богаче по содержа-
нию, чем первое и второе из указанных. Таким образом, после-
довательность понятий хЭ.у(х, у), хР(х, a), xVyP(x, у) представ-
ляет собой результат последовательного ограничения первого по-
нятия (обратная последовательность — результат последователь-
ного обобщения понятия xVyP(x, у)).
До сих пор мы рассматривали обобщение и ограничение по-
нятий в пределах некоторого одного и того же рода. В практике
научного познания нередко применяется прием обобщения поня-
187
тий за счет расширения его рода. Так, в теории позитивной сил-
логистики (силлогистика, не учитывающая отрицательных терми-
нов типа «некристаллическое вещество», «не хвойное дерево»)
имеем следующее понятие простого категорического силлогизма:
«последовательность из трех суждений (два из которых называ-
ются посылками, а третья — заключением), такая, что в сово-
купности они содержат три термина. Один из них — средний —
содержится в обеих посылках и не содержится в заключении,
один из двух других (крайних терминов, играющих роль субъек-
та и предиката заключения) находится в одной из посылок, дру-
гой — в другой посылке». (Мы для простоты не учитываем здесь
вырожденные силлогизмы, содержащие менее трех терминов.).
Расширяя множество рассматриваемых терминов за счет
включения также и отрицательных (переход к обобщенной силло-
гистике), мы можем сохранить формулировку понятия простого
категорического силлогизма, однако, по существу, получим при
этом понятие с более широким объемом за счет расширения рода
первоначального, которым можно считать «последовательность из
трех суждений».
Заметим, что при расширении теории за счет введения в ее
универсум новых объектов стремятся по возможности сохранять
определение терминов исходной теории, т. е. формально сохра-
нять имеющиеся понятия.
Для осуществления обобщения понятия существенно иногда
некоторое (хотя бы формальное) изменение его структуры. Так,
из понятия «окружность с центром в начале координат и с ради*
усом, равным 1», если его представить в виде
v(y=w(x, у) (1х2+ 1у2 = 1)),
получаем в качестве обобщения понятие
иЯМ1Яы2(У= W(x> У) (щх2+и2у2= 1))
(кривая эллиптического или гиперболического типа с центром
в начале координат). Чтобы перейти от понятия окружности
к общему понятию кривой второго порядка
иЯц1Яы2ЯызЯц4Яы5ЯЫб(у = W (х> У) (uix2+иъУ2 + из*У +
+ U4X-JfU5y=U6)),
надо было бы представить первое в виде
U(U = W(X> */) (1х2+1*/2+Ох4/+Ох+О4/=1).
Ф. Франк, рассматривая вопрос о роли понятий в научном ис-
следовании, приводит пример обобщения, в котором особое зна-
чение имело понятие «ротор векторного поля». Вначале это поня-
тие было введено формально в характеристику электростатичес-
кого поля, для которого ротор поля равен нулю. «Введение поня-
тия «ротор» для электростатического поля есть чисто математиче-
ский прием, который позволяет формулировать законы весьма
188
-компактным образом, но ничего не добавляющий к нашему физи-
ческому знанию о таком поле... Очень многие сказали бы, что вве-
дение такого сложного математического понятия, как «ротор», для
описания такой простой вещи, как электростатическое поле, излиш-
ний каприз. Однако, когда Максвелл сделал свое обобщение, идя
от электростатического поля к общему электромагнитному полю,
юн обнаружил, что главным инструментом его обобщения было
понятие «ротор». Он предположил, что в общем поле ротор больше
,не исчезает как в статическом поле, а изменяется во времени»
[97, с. 459]. Очевидно, что здесь мы имеем один из случаев при-
ема усложнения понятия «электростатическое поле», о котором
•речь шла выше, в качестве способа обобщения. И не случайно
это усложнение приводило к упрощению формулировок закона.
-Фактически усложненное понятие отражает соответствующие объ-
екты более адекватно.
Обобщение посредством усложнения исходного понятия явля-
-ется важным приемом образования новых понятий науки. Не-
редко полезное усложнение может быть осуществлено по чисто
^формальным соображениям; например, в только что рассмотренном
случае мы просто могли стремиться представить выражение
1х2+14/2=1 как содержащее всевозможные члены не более чем
^второго порядка относительно переменных х и у.
В евклидовой геометрии квадрат расстояния p(Af, N) между
точками М и N с координатами (хь yit Zj) и (х2, у2, z2) определя-
ется равенством
4>(М, N) = (Xi—х2)2+ (г/1— у2)2+ (z,—z2)2.
Формально правую часть можно представить в виде
.1 (Xi—х2)2 + 1 (t/i—i/г)21 (2i—z2)2-i- 0(Xi—х2) (z/i—у2) +
+ 0(xi—х2) (Zt—z2)+ 0(г/1— у2) (Zi—z2).
Обозначим все это выражение через Т.
Пользуясь принятым у нас способом выражения понятий, мы
должны выразить понятие «расстояния в евклидовом пространст-
ве» в виде рЯ(хь 4/ь Zi)3(x2, у2, z2)(p2 = T) Я (xit yiy гг) — сокра-
щение для ЯхгЯ4/|Яг;.
Отсюда, применяя 6 раз правило Я* к содержанию данного
понятия, получаем обобщенное понятие расстояния (для различ-
ных трехмерных пространств):
рЯ (<В1, С02, из, tt>4, ®5, СО6)Я(Х1, У\, £])Я(х2, 4/2, Z2)
(р=С01 (Х1—Х2)2 + а)2(у1—4/г)2+ 'СОз (Zj—Z2)2+CO4(*1—х2) (У)—у2) 4-
+ СО5(Х1—Х2) (Zj—Z2) + СОб (4/1—у2) (Z1—Z2)).
Естественно осуществить обобщение этого понятия и для
n-мерных пространств. (О значении этого обобщения в современ-
ной физике см.: [53, с. 15—23, 201—209]).
189
Но отнюдь не всегда, конечно, формальные обобщения приво-
дят к научнозначимым понятиям. Существенные обобщения в на-
уке получаются на основе сопоставления и анализа предметов и:
явлений, выявления общего и существенного в них. В особенности
это верно, когда заранее имеется в виду некоторый круг пред-
метов, на которые надо распространить уже имеющееся понятие.
Чтобы получить, исходя из понятия А, более общее понятие, надо-
усмотреть, в каком смысле предметы, обобщенные в А, можно»
истолковать как частный случай (вид) предметов более широкого
класса. Результатом этого истолкования в одних случаях и явля-
ется предварительное чисто формальное (не меняющее содержа-
ние) усложнение исходного понятия, подобное тем, которые мы
наблюдали в рассмотренных примерах, а в других такое переос-
мысление самих предметов исходного понятия, которое приводит-
к существенному изменению самого этого понятия. И здесь проис-
ходит усложнение исходного понятия как предпосылка для его
обобщения, но усложнение, приводящее, по существу, к замене.-
его иным понятием. Однако в любых случаях формальные при-
емы обобщения имеют определенную эвристическую ценность.
Наиболее эффективными являются методы исследования, пред-
ставляющие собой сочетание формальных приемов с содержатель-
ным анализом.
Мы имеем, например, понятие суммы внутренних углов тре-
угольника (в евклидовой геометрии) как величины, равной 2d, и
хотим найти выражение для суммы внутренних углов любого вы-
пуклого многоугольника. Исходя из содержательного анализа,,
нетрудно заметить, что сумма углов многоугольника зависит
(прямо пропорционально) от числа его сторон. Тогда можно пред-
ставить исходное понятие в виде w(w = 2d(3—2)). Отсюда по
формальным правилам обобщения получаем интересующее нас
понятие v'An(v=2d(n—2)). Но, конечно, требуется еще доказа-
тельство того, что мы действительно получили то, что надо, т. е.,
что сумма внутренних углов выпуклого многоугольника действи-
тельно равна всегда 2d(n—2) (хотя бы потому, что имеется мно-
жество различных возможностей формального обобщения исход-
ного понятия и нет гарантии, что выбранный вариант дает именно-
искомое обобщение).
В качестве примера, когда усложнение обобщаемого понятия
приводит к существенному его изменению, мы приведем обобще-
ние понятия скорости прямолинейного движения. Но рассмотрим
вначале по отдельности понятия прямолинейного равномерного-
движения и прямолинейного неравномерного движения. Это поз-
волит нам проиллюстрировать случай, когда общее понятие (ско-
рость прямолинейного движения вообще) возникает как резуль-
тат обобщения двух отдельных понятий, а также выявить ряд
новых логических моментов процесса обобщения понятий.
Скорость точки, движущейся прямолинейно и равномерно, оп-
ределяется, как известно, формулой v =----, где sj — положе-
на —11
190
ние точки в произвольный момент времени Л; s2 — положение ее
в момент /2, который также произволен, если не считать условия
^2>Л|«1 и s2 — отрезки прямых на линии движения точки, отме-
ряемые от некоторой начальной точки 0, которой соответствует
/ = 0 по направлению движения точки; иначе говоря, это пути,
проходимые точкой соответственно за время ti и /2.
Понятие рассматриваемой скорости можно, следовательно, вы-
разить в виде w	• РаДи точности надо заметить, что
здесь и в дальнейшем мы рассматриваем понятие скорости дви-
жения, которое характеризуется некоторой заданной функцией,
выражающей зависимость пути s от времени t.
Для прямолинейного неравномерного движения не имеет уже
•смысла говорить о скорости данной точки вообще. Здесь имеется
шонятие средней скорости в интервале между s2 и s1 (или между
.моментами времени /2 и ti), которая также равна S2 ~~S1. Ис-
/г —
лользуя понятие предела, приходим к понятию скорости в момент
^времени ti (или в точке Si): o = lim S2~S1 .
•'Ь ^2 ti
Если обозначим положение движущейся точки в произвольный
эиомент времени t через s(t), отражая зависимость пути от вре-
мени, то lim Sa ~~S1 — St (/,), где з/(Л) — значение производной
^2—Л
пути по времени в момент /=Л.
Таким образом, получаем понятие скорости прямолинейного
неравномерного движения в момент времени ti : v{v = st'а
•отсюда — понятие скорости (того же движения) в любой (про-
извольный) момент t: orj/(o = s/(/)) 13.
Понятие скорости любого (произвольного) движения должнс
•быть обобщением понятий скорости прямолинейного равномерного
и прямолинейного неравномерного движения. Для осуществления
этого обобщения необходимо определенным образом переосмыс-
.лить первое понятие.
Нетрудно, конечно, усмотреть, что ——— , представляющее ве-
/2 — Л
.личину скорости прямолинейного равномерного движения, равно
.«/(/) для любого момента времени t. Это дает возможность по-
.нимать скорость этого движения как скорость в произвольный
13 На первый взгляд здесь получается странная ситуация. Ведь скорость v
есть st (t) в любой момент времени t. Однако наше понятие (как и всякое по-
нятие) обобщенно представляет класс предметов, в данном случае чисел, ха-
рактеризующих скорость движения в различные моменты времени. Для любого
(произвольного) из этих чисел, которое и представляет переменная v>, суще-
ствует момент времени t (для каждого числа свой), когда v=st(t). Если бы
написали vy Z(t>=s?(Z)), то это означало бы, что v — постоянное число.
Когда в физике записывают равенство v=St(t), то под v подразумевают
число, характеризующее скорость в момент t (т. е. некий выделенный элемент
-объема понятия скорости, соответствующий времени Z), поэтому более точно
гпишут v (0 =St (t).
191
момент времени, но одинаковую для любого момента. В резуль-
/ So — Si \
тате вместо прежнего выражения понятия vlv~ —-------- полу-
'	^2 -^1 '
чим v'3.t(v = st'(/)). Мы усложнили исходное понятие, хотя это
усложнение не меняет его по существу.
Чтобы получить интересующее нас общее понятие из двух
полученных надо отвлечься от того, что в одном из них в каче-
стве s имеется в виду функция (от времени /), определяющая
прямолинейное равномерное движение, а в другом — неравно-
мерное.
Обобщение может быть осуществлено формальным образом,
но для этого необходимо отразить указанные различия в самих,
формах выражения понятий.
Имея в виду также дальнейшие обобщения, будем считать*
что движение точки в плоскости (рассмотрением которого мы ог-
раничимся) определяется двумя функциями x(t) и у(1), значени-
ями которых являются координаты точки в декартовой системе
координат. Ясно, что эти функции определяют и s как функцию*
времени. Обозначим эту пару функций через f, и будем рассмат-
ривать ее как переменную, область значений которой есть множе-
ство пар функций, определяющих прямолинейное движение. Тогда
видовым отличием скорости равномерного прямолинейного дви-
жения будет постоянство ее в любой момент времени t, а для
скорости неравномерного движения — непостоянство ее. В каче
стве выражений понятий той и другой получим соответствен’
=	=	и иЯ/:(Я/(ц = 5г1
= W)))-	и
Понятие скорости прямолинейного движения вообще -г
v3/:3^(v = Sf1 (t)) получается как результат обобщения (по фор-
мальным правилам) каждого из этих понятий.
Наша задача состоит в том, чтобы проанализировать переход
от понятия скорости прямолинейного движения к понятию линей-
ной скорости произвольного движения. Последнее должно охва-
тывать, следовательно, и скорости криволинейного движения.
Криволинейное движение, как и прямолинейное неравномер-
ное движение, не является инерциальным. Иначе говоря, это есть
движение, происходящее под действием некоторых сил. Обоб-
щим скорость неинерциального прямолинейного движения и ско-
рость инерциального прямолинейного (равномерного) движениям
Обобщение различных явлений в одном понятии всегда есть ото-
ждествление их в каком-то отношении. Скорость неравномерного1
прямолинейного движения мы тоже фактически понимали как
скорость равномерного движения, в которое превратилось бы ис-
ходное движение, если бы в момент t прекратилось действие всех
сил, под влиянием которых это движение осуществляется. Есте-
ственно теперь таким же образом понимать скорость криволиней-
ного движения. Это приводит к прежнему выражению этой ве-
личины как Однако скорость криволинейного движения в
192
разные моменты времени различна по направлению, и найден-
ное выражение представляет собой характеристику ее только по
величине. Более адекватным является понимание ее как вектора,,
т. е. пары (v, <р), где v — величина (числовая характеристика
скорости), а <р — угол, который она составляет, например, с
осью абсцисс, т. е. осью х в декартовой системе координат.
В момент t
, J/f (О , dy ,
<р = arctg----=.- arctg —— = arctg у..
dx	x
Но теперь (для получения желаемого обобщения) и скорость-
прямолинейного движения в произвольный момент времени сле-
дует истолковать как пару (вектор) (и, <р). Если в качестве об-
ласти значений f взять множество пар функций x(t) и y(t), опре-
деляющих вообще какие-нибудь движения, то видовое отличие ско-
рости прямолинейного движения будет состоять в том, что f для
нее одинаково для всех моментов времени. В результате мы при-
ходим к понятию (у, <р) Я/(Я/(u=s? (t) )&V/(<p=6zrc/g t/x1)). Это
результат усложнения, полученного прежде понятия скорости пря-
молинейного движения, однако усложнения отнюдь не формаль-
ного характера; изменился сам характер обобщаемых в понятии
предметов (поскольку объектами стали пары).
Это значит, что теперь мы имеем принципиально иное поня-
^•ftie. Д. П. Горский, имея в виду тот же пример, специально от-
вечает, что «при историко-диалектическом рассмотрении обобще-
ия понятий, т. е. при рассмотрении процесса обобщения в ходе
развития науки, обнаруживается, что последний может совер-
шаться не в результате введения в науку отвлечения от
каких-то свойств... а в результате введения в науку новых
характеристик... и включения в их содержание соответствующих
понятий» [33, с. 318].
Здесь правильно отмечается действительно важная сторона
научного познания. Однако данная автором логическая интер-
претация фактов такого рода требует уточнения. Если бы обоб-
щение понятий в некоторых случаях действительно осуществля-
лось за счет введения в их содержание новых свойств, то это
прямо противоречило бы закону обратного отношения. Д. П. Гор-
ский и полагает, что указанный закон не имеет силы для разви-
вающихся понятий. «В самом деле, — пишет он, — добавление
нового признака к содержанию понятия о скорости, сформулиро-
ванного первоначально в отношении случая движения по прямой,
а именно признака «иметь направление», привело не к сужению
объема понятия «скорость» (как это должно было бы быть в со-
ответствии с законами формальной логики), а к расширению объ-
ема этого понятия» [33, с. 328].
Однако, когда мы приняли во внимание новый признак «иметь
направление», не произошло ни обобщения, ни ограничения по-
193
нятия «скорость прямолинейного движения»; этот признак не
включается в содержание понятия. Дело не в том, что те же объ-
екты (числа, определенным образом характеризующие движе-
ние) мы выделяем по другим признакам, а в том, что под сло-
вом «скорость» имеем в виду не только числа, но пару «число
и угол», т. е. вектор. Изменилось, таким образом, в опреде-
ленном смысле само употребление термина «скорость прямоли-
нейного движения». Но, исходя из нового понятия, мы получаем
интересующее нас обобщенное понятие скорости любого движе-
ния:
р, ф) Я/Я^( (o=s/(/)&(cp=arctgt//))
•/легко убедиться в существовании вывода ЭхА (x)&VxB(x) [~
h Эх (А) (х)&£>(%)), который служит в данном случае формаль-
ной основой обобщения).
Данное понятие является, очевидно, обобщением понятий:
1.	(у, <p)H/(V<(v=s/)&V/(<p=arctgy//)) (скорость прямоли-ч
нейного равномерного движения, представляющая собой вектор,
величина и направление которого постоянны) 14.
2.	(о, ф)(H^(y==s/)&V7(<p=arctgy/)&V7(y=s/)) (скорость
прямолинейного неравномерного движения, представляющая со-
бой вектор, величина которого непостоянна, а направление по-
стоянно).	_
3.	(у, ф)Э/(V/(y==5/)&H^=arctgy/)&W^=arctgz//)) (ско-
рость криволинейного равномерного движения, представляющая
собой вектор, величина которого постоянна, а направление непо-
стоянно).
4.	(у, ф) 3f (3^( (o=s/) & ^=arctgt//)) & Vi(y=st') &Vt(ф=
= arctgy/)) (скорость криволинейного неравномерного движе-
ния, представляющая собой вектор, величина и направление ко-
торого непостоянны).
Содержательно логическая сторона процесса обобщения ско-
рости прямолинейного движения прекрасно освещена в книге
А. Эйнштейна и Л. Инфельда [см. 105, с. 32—42], и мы в значи-
тельной мере заимствовали их идеи.
Однако некоторые утверждения авторов требуют по крайней
мере разъяснений. «Когда мы говорим о кривой, — пишут они, —
мы включаем в это понятие и прямую... Поэтому, если скорость,
изменение скорости и сила введены для движения по кривой, то
они тем самым автоматически вводятся и для движения по пря-
мой» [см. 105, с. 40]. Но в действительности, если термин «кри-
вая» употреблять в обычном его смысле (имея в виду, напри-
мер, линию, направление касательной к которой меняется от точ-
ки к точке), то прямая никак не войдет в это понятие, и отнюдь
неверно, что если понятие скорости введено для кривой, то оно
автоматически вводится и для прямой.
14 Вместо s»‘(f) мы пишем s?.
194
Понятие скорости движения по кривой (обобщение 3 и 4 иг
только что перечисленных понятий) есть
(v, <р) (ЯЦ (v=s/)&(<p=arctg ух') )&W(<p=arctg ух'))
(вектор с непостоянным направлением), и скорость прямолиней-
ного движения (вектор с постоянным направлением) не является
его видом. Оба эти понятия представляют, очевидно, виды скоро-
сти движения вообще.
Эйнштейн и Инфельд не стали бы, конечно, утверждать, что*
скорость, постоянная по направлению, является частным случаем
скорости, непостоянной по направлению, и что все характеристи-
ки второй могут быть автоматически перенесены на первую. Дело
в том, что под «движением по кривой» они имеют в виду «дви-
жение по произвольной траектории», т. е.-«движение» вообще (ре-
зультат отвлечения от того, является ли направление движения
постоянным или изменяющимся). Не учитывая этого, В. И. Чер-
кесов усматривает здесь указание на особый способ обобщения,
свойственный диалектической логике. Сославшись на существова-
вшее ранее (в «формальной логике») обобщение понятий «движе-
ние по прямой» и «движение по кривой» в понятии «движение
тела вообще», В. И. Черкесов пишет: «Такое обобщение, конеч-
но, важно, и его нельзя отрицать. Однако его нельзя считать ни
единственно возможным, ни самым важным для современной
науки. В процессе развития науки произошло иное и более важ-
ное обобщение указанных понятий. Понятие движения тела по
прямой по мере обогащения было развито до более общего (кур-
сив мой. — Е. В.) и сложного понятия — движения тела по кри-
вой, которое включало бы в себя содержание понятия движение
тела по прямой» [102, с. 74].
Ошибочность этого утверждения ясна уже из предыдущего..
Она сразу выявляется, как только мы переходим от слов к ана-
лизу самих понятий В. И. Черкесов должен был бы ответить,
что он подразумевает под движением по кривой. Если имеется
в виду движение, направление которого не является постоянным
во времени, то никак не удастся истолковать это понятие как
обобщение движения, направление которого постоянно, если же-
это есть движение вообще (направление которого постоянно или
непостоянно), то оио представляет собой обобщение как прямо-
линейного, так и криволинейного движения в обычном «фор-
мально-логическом» смысле. Назвав родовое понятие именем
видового (движение вообще криволинейным движением), мы не
получим, конечно, никакого нового способа обобщения.
В науке нередки случаи, когда один и тот же термин употреб-
ляется для выражения родового и видового понятий. Так, под
эллипсом имеют в виду часто кривую, определяемую уравнени-
ем +	^>0 (а>	— полуоси эллипса). Видами
195
эллипса в этом смысле является окружность (для которой а=6)
и эллипс в узком смысле слова (при а^=Ь).
Аналогичное положение с употреблением слова «ромб». Ром-
бом называют четырехугольник с равными сторонами, а также
часто и вид его — четырехугольник с равными сторонами и не-
прямыми углами (называемый иногда также ромбоидом). Эллипс
(соответственно ромб) в узком смысле наряду с окружностью
(соответственно квадратом) являются видами (частными случая-
ми) эллипса (соответственно ромба) в широком смысле слова.
Но окружность не является, конечно, видом эллипса в узком
смысле (как и квадрат не есть вид ромбоида).
При анализе отношений между понятиями полезно иметь в
виду, что всякий род имеет не менее двух видов. Если понятие
хА(х) представляет вид предметов некоторого рода, то этот род
имеет также вид, представляемый понятием хА(х). Или в более
общей форме: если для понятия хА(х) имеется вид х(А(х)&
&В (х)), то имеется также вид х(А(х)&В(х)).
Например, в качестве вида четырехугольника с равными сто-
ронами имеем четырехугольники с равными сторонами и прямы-
ми углами (квадраты). Значит, наряду с ними имеется вид: четы-
рехугольники с равными сторонами и непрямыми углами. Или,
приняв (как это делают Эйнштейн и Инфельд) прямолинейное
движение за частный случай (вид) криволинейного движения и
учитывая, что прямолинейное движение есть движение со скоро-
стью, постоянной по направлению, мы придем к заключению, что
другим видом для исходного понятия должно быть движение,
скорость которого не является постоянной по направлению.
В результате становится ясным, что наше «криволинейное дви-
жение» есть не что иное, как движение вообще.
В заблуждение может вводить и двусмысленное употребление
термина «частный случай». Если одно понятие является обобще-
нием другого, то предметы, представленные этим вторым поняти-
ем, представляют собой частный случай предметов, обобщенных в
первом. «Частный случай» означает то же, что и «вид» (т. е.
особенное в пределах некоторого общего). Но говорят также, что
прямая линия составляет частный случай кривой, поскольку ее
можно получить из кривой, «распрямляя» ее. Эллипс в этом
смысле окажется частным случаем окружности (являясь резуль-
татом «сжатия» окружности в одном направлении). При этом
вполне естественно считать и окружность частным случаем эл-
липса, так как она в свою очередь может быть получена из него
«растяжением» его меньшей оси. Но ясно, что эллипс не явля-
ется видом окружности, как и окружность не является видом
эллипса (если под эллипсом понимать именно «сжатую окруж-
ность», т. е. фигуру с неравными осями). Иначе говоря, «сжатая
окружность» не есть вид окружности, а «эллипс, превращенный
в окружность», не является видом эллипса. По образному выра-
жению К. Маркса, идеальное есть материальное, пересаженное в
человеческую голову и переработанное в ней. Но это не озна-
196
чает, что «материальное, пересаженное в человеческую голову и
переработанное в ней» есть вид материального.
Признаем, .что прямая есть частный случай кривой и соответ-
ственно, что движение по прямой есть частный случай движения
•по кривой (хотя с таким же успехом кривую можно считать ча-
стным случаем прямой — «кривая есть изогнутая прямая»). Но и
это не дает нам основания для заключения о том, что понятие
кривой (и движение по кривой) представляет собой обобщение
понятия прямой (соответственно движения по прямой).
Интересна для нас сейчас следующая мысль, высказанная в
цитированной книге Эйнштейна и Инфельда: «Обобщение поня-
тий — процесс, часто применяемый в науке. Метод обобщения
определен неоднозначно, ибо обычно существует множество пу-
тей его осуществления. Однако при всяком обобщении должно
(быть строго удовлетворено одно требование: любое обобщенное
понятие должно сводиться к первоначальному, когда выполнены
первоначальные условия» [105, с. 40]. Указанное требование,
очевидно, будет выполнено, если в процессе обобщения выпол-
няется указанный выше принцип обобщения, состоящий в пред-
варительном истолковании предметов исходного (обобщаемого)
понятия как вида предметов того класса, который должен пред-
ставлять объем обобщающего понятия (и в соответствующем
формальном представлении исходного понятия).
Отметим, что операция обобщения естественно применяется
также к понятиям абстрактных систем, определяемых аксиомами
(см. § 15). Исключая, например, из совокупности аксиом (конъ-
юнкции их) те или иные аксиомы, ие зависящие от остальных,
получают более общее понятие (более общую систему, имеющую
«более широкий круг моделей).
Но надо иметь в виду специфику некоторых систем, состоя-
щую в том, что при представлении их в виде понятий составля-
ющие их аксиомы объединяются не конъюнктивно, а дизъюнктив-
но. Ясно, что в таких случаях обобщение получается в результа-
те добавления новых аксиом (ибо	h AiV-  • \/Ат\/В).
.Без учета указанной специфики систем и здесь возникает ошибоч-
ное представление о том, что отношение между исходным и обоб-
щенным понятиями не подчинено закону обратного отношения.
В качестве примера можно указать на отношение между класси-
ческим аксиоматическим исчислением высказываний и интуицио-
нистским. Вторая система может быть получена из первой про-
стым исключением из нее некоторых аксиом. Таким образом, она
как некоторое понятие должна быть более общей. Между тем си-
стема классического исчисления является более общей в том
смысле, что все формулы логики, доказуемые в интуиционистской
-системе, доказуемы и в классической, но не наоборот.
Все объясняется тем, что возможно двоякое представление в
виде понятий каждой из систем. В одном случае система может
..мыслиться как понятие «система объектов (Pi, ра, ..., p«, ...; &,
V, =), ~1)» такая, что образуемые из ее элементов выражения —
197
формулы удовлетворяют определенным аксиомам и правилам,,
т. е. являются доказанными в соответствии с этими аксиомами,
правилами и определением доказательства. Другая возмож-
ность — рассматривать логическую систему как понятие доказан-
ной формулы, т. е. понятие вида х доказано (х), где предикат-
«доказано» определяется обычной индукцией (1. аксиомы доказа-
ны, 2. если формулы — посылки некоторого правила доказаны,
то доказано и заключение).
При понимании системы в первом смысле обобщение будет
состоять в исключении некоторых аксиом и правил. Из рассмот-
ренных систем классического и интуиционистского исчисления
высказываний более общей является вторая. При представлении
систем как понятий вторым способом дело обстоит наоборот. По-
стулаты системы — аксиомы At, Ат и правила Bi, ..., Вп
(или вообще схемы аксиом, частным случаем которых являются’
правила) объединяются (в один предикат, составляющий содер-
жание понятия) уже не конъюнктивно, а дизъюнктивно, а имен-
но: теорема х есть Дь или А2, или, ..., или Ат, или же какая-ли-
бо из формул, выводимая из других доказуемых формул по ка-
кому-либо из правил (или совокупности правил) Bi, ..., Вп.
Ясно, таким образом, почему понятие доказуемой формулы
(или доказуемости) в классической системе логики слабее (т. е.
«беднее» по содержанию), нежели в интуиционистской15. Это и
выражается в том, что из доказуемости (истинности) какой-ни-
будь формулы А в интуиционистском смысле (в системе интуи-
ционистской логики) следует доказуемость (истинность) ее в
классическом смысле, но не наоборот.
Поясним высказанную мысль относительно специфики систем
исчисления высказываний на более простом примере. Возьмем
понятие х(х=ах\/х=а2\/.. ,\/х=ат). Это своеобразное «перечис-
лительное» понятие, аналогичное понятию доказуемой формулы
логической системы. Разница состоит лишь в том, что в данном
случае мы имеем конечное число членов, тогда как индуктивное
определение представляет собой своеобразное перечисление эле-
ментов бесконечного множества. Но для нас существенно лишь
то, что содержание понятия составляет указание возможных эле-
ментов его объема.
Ясно, что понятие х(х=а1\/х=а2\/.. .\/х=ат\/х=ат+1) яв-
ляется обобщением первого (при условии, конечно, что область
значений х в обоих случаях одинакова). Объемы первого и вто-
рого составляют соответственно множества {аь а2, ат} и?
{«1, а2, ..., ат, аш+1}. Возвращаясь от этого примера к понятию
исчисления высказываний, трактуемого как понятие доказуемой
формулы (теоремы), нетрудно заметить, что перечисление дока-
зуемых формул исчисления (посредством указания аксиом и пра-
вил вывода) представляет собой не что иное, как раскрытие объ-
15 Это означает, очевидно, что более узким является смысл логических кон-
стант классического исчисления по сравнению с интуиционистским.
198
•ема понятия доказуемой формулы. Значит, большее число акси-
ом в классическом исчислении высказываний, чем в конструктив-
ном, указывает лишь на то, что объем понятия доказуемой фор-
мулы в первом случае шире, чем во втором (соответственно это-
му утверждение о выводимости всех аксиом интуиционистского
исчисления в классическом исчислении означает, по существу,
лишь указание на то, что объем принятия доказуемой формулы
интуиционистского исчисления составляет часть объема соответ-
ствующего’понятия для классической системы).
Д. П. Горский указывает в качестве особого способа обобще-
ния понятий обобщение «посредством введения новых характери-
стик, правил, операций, законов» [33, с. 317]. В качестве приме-
ра он приводит переход от логики высказываний к логике пре-
дикатов. Автор справедливо отмечает, что вторая система полу-
чается из первой за счет расширения . алфавита, совокупности
правил образования формул, аксиом и правил вывода и в то же
время, подчеркивает он, вторая система является более общей
1[см. 33, с. 318]. Специфика данного случая состоит в том, что
одна система получается из другой за счет расширения круга
рассматриваемых объектов. По существу, здесь произошло не
обобщение прежней системы, а расширение ее.
Наряду с формулами исчисления высказываний появились
специфические формулы исчисления предикатов. К числу преж-
них доказуемых формул прибавляются некоторые формулы, со-
держащие кванторы.
Прежнее понятие (доказуемой формулы исчисления высказы-
ваний) не изменилось; к нему добавилось новое понятие, выде-
.ляющее из множества вновь введенных формул, специфических
для исчисления предикатов, множество доказуемых формул.
Естественно, что новая система содержит больше информа-
ции (содержание понятия доказуемых формул, специфических
для исчисления предикатов, представляет собой характеристику
.новых логических констант, введенных при расширении исчисле-
ния высказываний, а именно кванторов).
Но вместе с тем новую систему можно трактовать и как одно
понятие доказуемой формулы исчисления предикатов. И интере-
сен вопрос о том, каково отношение его к понятию доказуемой
формулы исчисления высказываний. Непосредственно эти поня-
тия несравнимы, поскольку классы доказуемых формул в том и
..другом случае выделяются не в одном и том же множестве фор-
мул. Для сопоставления их они должны быть приведены к «об-
щему знаменателю», т. е. к общему роду. Это достижимо по-
средством некоторого преобразования понятий (не изменяющего
их логических и фактических содержаний). Для пояснения ска-
занного мы опять прибегнем к аналогии.
Возьмем понятия вида х(х=А1\/.. .\/х=Ат) и y(y=At) \/.. .V
\/у=Ат\/.. .\/у—В[\/.. .\/у=Вп, х и у имеют разные области
значений, соответственно М и A4IJJV.
199
Первое из этих понятий можно рассматривать как упрощен-
ную модель понятия доказуемой формулы исчисления высказыва-
ний, второе — как модель соответствующего понятия исчисления
предикатов. Множеству N будет соответствовать множество фор-
мул, специфических для исчисления предикатов.
Преобразуем теперь понятия таким образом, чтобы оба они
имели один и тот же род в качестве основы для выделения обоб-
щаемых в них предметов. Этим родом может быть класс M\JN.
Первое понятие заменяется на
второе может быть представлено в форме
z( (z<=M&( (z=A,) V- • -V (г=Д«))) V (z^&( (z=B,) V
V...V(z=Bn)))).
Первое понятие, как видим, шире по содержанию. Второе яв-
ляется обобщением его. Аналогичным образом можно установить»
что понятие доказуемой формулы исчисления предикатов являет-
ся обобщением соответствующего понятия для формул исчисле-
ния высказываний. И в согласии с законом обратного отношения
содержание первого уже, чем содержание второго. Это подтверж-
дается и тем, что из утверждения о доказуемости некоторой фор-
мулы в исчислении высказываний следует утверждение о дока-
зуемости ее в исчислении предикатов. Но обратное неверно.
Таким образом, расширение некоторой системы является в не-
котором смысле и обобщением ее. И это обобщение подчиняется
общим принципам.
Вернемся к способу обобщения выражения понятий, на кото-
рые указывала традиционная логика. Трактовка операции обоб-
щения предметов в понятии, а также обобщения понятий в тра-
диционной логике как «отбрасывания признаков» неоднократно
подвергалась критике. Рядом логиков при этом высказывалась
мысль, что фактически в тех формах обобщения, которые здесь
имеются в виду, происходит не отбрасывание признаков, а заме-
на некоторых постоянных свойств переменными.
«Мы не переходим, — пишет Э. Кассирер, — от ряда асиРь
пагРг, аазРз (где а, си, Р> представляют собой свойства, которыми
характеризуются обобщаемые предметы. — Е. В.) непосредствен-
но к их общей составной части а, но представляем себе, что вся
совокупность отдельных членов а дана через некоторое перемен-
ное выражение х, а совокупность членов р — через переменное
выражение у. Таким образом, мы охватываем всю систему в вы-
ражении аху...» [45, с. 36].
У Д. П. Горского читаем: «Пусть имеется понятие «равно-
угольный треугольник». В результате обобщения этого понятия
можно перейти к понятию «треугольник». Этот переход осуще-
ствляется за счет того, что мы отвлекаемся от свойства равно-
угольных треугольников «иметь равные углы». Однако отвлече-
200
ние от этого свойства не означает его упразднения, его простого
забвения. Мы это свойство стали мыслить как переменную (п),
иначе говоря, стали мыслить треугольник с любыми углами».
«...Понятие «треугольник» мы можем вслед за этим ограничить
и при этом различным образом, перейдя, например, к понятиям
«равноугольный • треугольник», «прямоугольный треугольник» и
т. п. В ходе /такого процесса ограничения мы вновь переменную
л, мыслимую в понятии о треугольнике... заменяем соответствен-
но на конкретные по содержанию свойства «иметь равные углы»,
«иметь прямой угол» [33, с. 315—316]. Аналогичные утверждения
содержатся в книге Г. Клауса [см. 48, с. 194]. Здесь есть указа-
ние на существование особого способа обобщения. Однако этот
способ не только не является всеобщим, как это представляется,
например, Кассиреру, но имеет даже весьма ограниченное значе-
ние.
Необходимо учесть прежде всего, что предметы и явления,
обобщаемые в понятиях, имеют, вообще говоря, неограничен-
ные множества свойств, даже если принимать во внимание толь-
ко свойства, общие для предметов того или иного класса. Если
бы мы попытались заменять все эти свойства переменными, то
вынуждены были бы вводить в содержание понятия неограни-
ченные множества переменных. Так, образуя понятие «человек»,
надо было бы ввести переменную для роста, цвета кожи, темпе-
рамента и т. п. Остается признать, что мы все-таки вынуждены
отбрасывать какие-то свойства и лишь некоторые удерживать,
представляя переменными. Что дает введение в содержание по-
нятия переменных для свойств и отношений?
Положим, мы хотим перейти от понятия «прямоугольный
треугольник» к понятию «треугольник», не отбрасывая свойство
прямоугольности, а заменяя его переменной Р. Получаем х (Тре-
угольник (х)&Р(х)).
Точнее, мы должны получить х'З.Р (Треугольник (х)&Р(х)),
ибо в содержании понятия, как уже подчеркивалось раньше, не
может быть свободных переменных, кроме тех, которые пред-
ставляют мыслимые в понятии предметы (в данном случае х).
В противном случае утверждение, что данная (определенная)
фигура а есть треугольник, представляло бы собой не суждение,
а пропозициональную функцию Треугольника (а)&Р(а).
Содержание полученного понятия логически следует из содер-
жания исходного понятия по правилу Яв исчисления предикатов
второго порядка (представляющего правило — обобщение соот-
ветствующего правила исчисления предикатов первого поряд-
ка) :
А (е)
Я аА (а)
где е — метазнак для термов исчисления предикатов, а также
для постоянных и переменных предикатных символов и предмет-
207
но-функциональных символов и множеств; а — переменная неко-
торого типа в зависимости от категории е (см. § 6).
В качестве предметной области для переменной Р в получен-
ном понятии мы можем выбрать любое множество свойств (тре-
угольников или даже фигур вообще), содержащее свойство «пря-
моугольность». Нам надо рассмотреть имеющиеся здесь возмож-
ности, чтобы решить вопрос о значимости обобщения рассмат-
риваемого вида. Если возьмем, например, множество всех свойств,,
то ЯР (Треугольник (х)&Р(х)) просто эквивалентно (Треуголь-
ник (х)). Чтобы доказать это формальным методом, необходимо
воспользоваться наряду с упомянутым правилом Яв также пра-
вилом Яи исчисления предикатов. Однако ввиду некоторой слож-
ности общей формулировки последнего мы ограничимся здесь
лишь содержательным анализом. Очевидно, что высказывание ЯР
(Треугольник (х)&Р(х)) не содержит никакой дополнительной
информации по сравнению с «Треугольником (х)», поскольку в нем
утверждается наличие у предмета х наряду со свойством «тре-
угольность» какого-то свойства Р, не обязательно отличного от
первого. Если х есть треугольник, то ясно, что он имеет и некото-
рое свойство Р, хотя бы ту же «треугольность». Итак, полученное1
понятие то же, что х Треугольник (х). Введение переменной Р*
не имеет никакого значения.
Пусть предметной областью Р является некоторое множест-
во определенных свойств треугольников, но таких, что каждому
треугольнику присуще по крайней мере одно из них, например
множество («прямоугольность», «остроугольность», «тупоуголь-
ность»). Тогда фактические содержания понятий х Треугольник
(х) и хЯР (Треугольник (х)&Р(х)) одинаковы. Но из второго,,
по упоминавшимся ранее принципам выведения частных случаев^
из общего функционального понятия (с. 257), мы можем полу-
чить виды треугольников: «прямоугольный треугольник», «остро-
угольный треугольник», «тупоугольный треугольник». Однако зна-
ние о наличии этих частных случаев имеется уже в определении
предметной области Р. Значит, и в этом случае введение пере-
менной Р в содержание понятия не дает ничего существенного.
Оно может иметь лишь то значение, что позволяет представить
в единой форме результат обобщения некоторых явлений в по-
нятии и разделении объема этого понятия на виды. Но трудно*
сказать, является ли это в каких-нибудь процессах познания су-
щественным (тем более что все равно необходимо перечисление
видов в характеристике предметной области Р).
Наконец, в качестве предметной области Р может быть взято
такое множество свойств, что не каждый треугольник обладает
каким-нибудь из них. Положим, это множество {«прямоуголь-
ность», «остроугольность»}. Тогда «хЯР(Треугольник (х)&Р(х))»
обладает более широким фактическим содержанием, а следова-
тельно, более узким объемом, чем «х Треугольник (х)». Таким об-
разом, лишь в этом случае введение переменной Р не является
чисто формальным. Но и здесь оно не необходимо, так как полу-
202
ченное нами понятие есть то же, что «х (Треугольник (х)& (Пря-
моугольный (х) Х/Остроугольный (х))». Следовательно, тот же
результат мы могли бы получить, пользуясь обычными способа-
ми обобщения.
В этом рассуждении мы воспользовались тем, что предметная
область Р конечна. Трудно найти и даже представить себе при-
мер, когда бы область значений Р была бесконечной (при сохра-—
нении других предположений, введенных при разборе данного
случая). Но даже допустив такую возможность, можно было бы
показать, что полученное понятие выразимо в форме, не содержа-
щей переменных свойств. Для этого необходимо воспользовать-
ся некоторыми понятиями исчисления предикатов второго поряд-
ка, но останавливаться на этом здесь не представляется возмож-
ным.	,
Итак, представление Кассирера о том, что описанный им спо-
соб обобщения является принципиально новым (по сравнению
с описанным в традиционной логике) явно ошибочно.
§ 20.
ДЕЛЕНИЕ ПОНЯТИЙ.
КЛАССИФИКАЦИЯ
Деление понятий — это операция разбиения объ-
ема понятия на подклассы, представляющие собой виды предме-
тов, мыслимых в этом понятии 16. Строго говоря, как видим, де-
лится не понятие, а объем некоторого понятия. Однако само вы-
деление видов предметов осуществляется в соответствующих по-
нятиях. Каждое такое понятие есть результат ограничения ис-
ходного. Таким образом, сам процесс деления понятия может
быть охарактеризован, так же как процесс выявления возможных
видовых понятий.
Как мы видим, процесс деления понятия имеет два аспекта:
интенсиональный и экстенсиональный. Первый представляет со-
бой выявление понятий, являющихся видовыми по отношению к
исходному. Результатом является выделение видов предметов
объема исходного понятия и осуществления таким образом раз-
биения его объема. Последнее и составляет второй аспект деле-
ния. Поскольку каждый вид предметов данного рода представля-
ет собой нечто особенное в том общем, что зафиксировано в содер-
жании понятия, деление понятия есть выявление возможных раз-
личий в составе его объема. При этом различение проводится .
всегда с какой-то точки зрения.
Признаки предметов, как мы видели, можно было различать
по степени сложности, по содержанию и т. д. Людей, например,
различают по возрасту, профессиям, по национальности, по клас-
16 Разбиение класса (множества) — теоретико-миожествеиная операция раз-
деления множества иа взаимно непересекающиеся .и непустые подклассы, объе-
динение которых составляет исходное множество.
203
совой принадлежности и т. п. То, что мы называем точкой зре-^
ния или аспектом различения предметов, называют основанием
деления понятий.
В дальнейшем мы выясним, что представляет собой основа-
ние деления с логической точки зрения.
Цель деления понятия состоит в том, чтобы выделить все воз-
можные виды предметов каждый раз по некоторому определен-
ному основанию. А это в свою очередь нужно для осуществления
систематического обзора мыслимых в понятии предметов. К то-
му же, как можно установить из приведенных ранее характери-
стик развития понятия, деление понятия является одним из су-
щественных этапов его развития. Осуществляется конкретизация
понятия и раскрытие его содержания, если иметь в виду то, что
мы ранее назвали полным содержанием понятия. Деление имеет
тем большее гносеологическое значение, чем более существенны-
ми являются характеристики предметов, служащие основаниями
деления. Вообще выбор основания зависит обычно от той позна-
вательной задачи, в связи с которой возникает потребность де-
ления понятий.
В составе каждого деления, имея в виду его интенсиональный
аспект, можно выделять: делимое понятие А, основание деления,
члены деления — BIt В2, ..., Вп — видовые понятия по отноше-
нию к исходному, выделенные по данному основанию. При экс-
тенсиональной характеристике деления делимым является объем
исходного понятия, а членами деления — его подклассы. При
описании деления в одних случаях удобнее пользоваться терми-
нологией, относящейся к его интенсиональной характеристике, в
других — к экстенсиональной. Заметим, что каждое деление по-
нятия является разбиением его объема, однако не каждое раз-
биение некоторого класса или множества предметов представ-
ляет собой деление некоторого понятия. Так, множество студен-
тов некоторой учебной группы, состоящей, положим, из 20 чело-
век, можно любым образом разбить на 4 группы по 5 человек,
5 групп по 4 человека и т. д., не интересуясь при этом какими-
либо сходствами или различиями элементов исходного множе-
ства.
Различают правильное и неправильное деление. Деление яв-
ляется правильным, если оно удовлетворяет следующим пяти ус-
ловиям, называемым в теории понятия также правилами деле-
ния.
(1)	Деление должно происходить по одному определенному
основанию. Так, механическое движение А (рассматриваемое в
некотором отрезке времени) мы можем разделить по характеру
траектории (основание деления) на прямолинейное криволи-
нейное В2, колебательное В2. В зависимости от состояния скоро-
сти во времени (другое основание деления) выделяем равномер-
ное движение, равноускоренное, равнозамедленное.
Требование (1) не исключает того, что основание деления мо-
жет представлять собой сочетание двух или даже большего чис-
204
ла различных оснований. Так, объединяя указанные основания-
деления механического движения, можем получить новое деле-
ние: механическое движение может быть прямолинейным .и рав-
номерным, прямолинейным и равноускоренным, прямолинейным
и равнозамедленным, криволинейным и равномерным и т. д. Од-
нако в предполагаемое продолжение мы не должны включать
члены колебательное и равномерное, как и равноускоренное и
равнозамедленное, поскольку таких случаев движения не сущест-
вует в действительности, а между тем цель наша состоит в выяв-
лении различий именно среди предметов, обобщенных в понятии.
К тому же включение таких членов противоречило бы и понима-
нию деления понятия как разбиения его объема.
(2)	Полученные при делении понятия должны быть попарно-
несовместимы.
(3)	Члены деления как классы должны исчерпывать объем'
исходного понятия, т. е. объединение их должно быть равно это-
му объему.
(4)	Никакой из членов деления не должен быть пустым клас-
сом. Условия (3) и (4) объединяются обычно в виде одного тре-
бования — соразмерности деления.
(5)	Деление должно быть непрерывным, т. е. все его члены
являются ближайшими видами объема исходного понятия, выде-
ляемыми по выбранному основанию.
Это условие не выполняется, например, для деления понятия-
«член предложения» на «главный член предложения», «опреде-
ление», «дополнение», «обстоятельство», поскольку «определение»,
«дополнение», «обстоятельство» не ближайшие виды с точки зре-
ния роли членов предложения для данного понятия. Ближайши-
ми же видами являются второстепенные члены предложения. То
же условие нарушится, очевидно, при делении членов предложе-
ния на «подлежащее», «сказуемое», «определение», «дополне-
ние», «обстоятельство».
Нетрудно видеть, что условие (5) равносильно требованию:
в процессе деления данного понятия должны выявляться (по дан-
ному основанию) в первую очередь ближайшие виды делимого
понятия, далее, в случае надобности, ближайшие виды этих ви-
дов и так далее.
Очевидно, что условия (2) и (5) являются следствиями (1).
Если выполнено первое, то, самой собой, выполняются (2) и
(5). Однако это верно лишь тогда, когда точно определено ос-
нование деления, что иногда бывает делать довольно трудно. Тре-
бования (2) и (5) в таких случаях являются полезными допол-
нительными критериями правильности деления. В частности, их
нарушение в том или ином делении указывает как раз на нару-
шение условия (1). Следует заметить, кстати, что условия (1) и
(5) связаны прежде всего с интенсиональной характеристикой
деления как приема познания, тогда как (2), (3) и (4) являются
следствиями понимания деления как разбиения класса.
205
'Нетрудно видеть, что все указанные условия содержатся в
‘более или менее явном виде в самом определении деления. В си-
лу этого мы имеем понятие лишь правильного деления. Непра-
вильное деление, по существу, не есть деление.
При употреблении этого понятия в теории понятия вообще
подразумевается, что имеется понятие деления, из которого в
качестве его видов могут быть выделены правильное и непра-
вильное деление. Однако не существует такого определения и не
удается его сформулировать. Под неправильным делением мы
просто подразумеваем здесь нечто похожее на эту операцию, или,
точнее, наличие попытки ее осуществления, оказавшейся неудач-
ной.
В учебниках логики обычно наряду с правилами деления го-
ворят о возможных ошибках в делении — о возможных наруше-
ниях тех или иных правил. Так, при нарушении условия (1) го-
ворят, что деление «сбивчиво» или просто, «что деление проис-
ходит не по одному основанию» или происходит «смешение ос-
нований».
Ошибка, связанная с нарушением (2), состоит в том, что «чле-
ны деления не исключают друг друга».
Невыполнение условий (3) или (4) влечет ошибку, характе-
ризуемую как несоразмерность деления (отсутствие равенства
между объемом делимого понятия и совокупностью членов деле-
ния). Причем, в случае нарушения (3) несоразмерность состоит
в том, что деление оказывается «слишком узким», а невыполне-
ние (4) означает, что деление является «слишком широким»
(т. е. в его состав включаются классы предметов, отсутствующие
в объеме делимого понятия).
Наконец, нарушение условия (5) характеризуется как ска-
чок в делении.
С познавательной точки зрения заслуживают особого внима-
ния возможные нарушения условий (1) и (5), а также (2), по-
скольку оно является следствием (1).
Если принять за деление перечисление, которое мы нередко
слышим в метро: «У нас принято уступать места женщинам, де-
тям и престарелым гражданам», то здесь очевидна ошибка, со-
стоящая в смешении оснований, следствием которой является
здесь и обычно также и то, что члены деления не исключают
друг друга. Однако не каждое перечисление видов того или ино-
го рода является делением соответствующего понятия. К тому же
перекрещивание понятий — членов указанного перечисления
не так уж и плохо. Если пассажир — женщина и к тому же пре-
старелая, то по отношению к ней надо быть вдвойне вежливым!
Деление применяется с целью обеспечения систематического
и полного обзора возможных видов предметов рода. Обзор тако-
го рода связан с некоторой задачей, и потому в качестве основа-
ния деления выбирается каждый раз нечто существенное для ре-
чпения этой задачи. Смешение оснований в делении лишает об-
206
зор систематичности. Обычно возникающие при этом следствия,»
состоящие в том, что члены деления не исключают друг друга,
может оказаться особо недопустимым, когда рассматриваемая
задача имеет различные решения для предметов различных ви-
дов. В связи с этим ясно требование, чтобы члены деления ис-
ключали друг друга.
При известном способе доказательства, например теоремы о-’
том, что каждый вписанный в окружность угол измеряется поло-
виной дуги, на которую он опирается, существенным оказывает-
ся деление всех вписанных в окружность углов в зависимости от
того, расположен ли центр окружности на линии, соединяющей
концы отрезков (сторон) угла, выше этой линии (т. е. внутри об-
разованного треугольника) или ниже нее (вне треугольника).
При определении правил расстановки знаков препинания в
конце предложений существенно различение предложений как ш>
их содержанию (повествовательные, вопросительные, побудитель-
ные), так и по интонации (восклицательные и невосклицатель-
ные, т. е. произносимые спокойным тоном). Насколько важно пра-
вильно произвести в этом случае деление, можно показать на од-
ном примере из учебника грамматики.
Авторы делят предложения по разным основаниям, в частно-
сти по содержанию (по цели высказывания): на повествователь-
ные, вопросительные и побудительные; затем по интонации (эмо-
циональной окраске): на восклицательные и невосклицательные’
(произносимые спокойным тоном). Правда, авторы выделяют
тдлько восклицательные, подчеркивая, что «любое предложение:
повествовательное, вопросительное или побудительное — может
стать также и восклицательным», не учитывая, что в каждом ро-
де есть по крайней мере два вида. При наличии восклицатель-
ных имеются и невосклицательные, которые, конечно, подразуме-
ваются.
При формулировке правил расстановки знаков в конце пред-
ложений осуществляется новое деление, в котором происходит
смешение указанных оснований. А именно: правила формулиру-
ются следующим образом: в конце повествовательного предло-
жения ставится точка, в конце вопросительного — знак вопроса,
а в конце восклицательного — знак восклицания. Следствием
смешения оснований в осуществляемом здесь делении предложе-
ний (на повествовательные, вопросительные и восклицательные)
является также и то, что члены деления не исключают друг дру-
га. В результате у читателя, естественно, возникают вопросы, ка-
кой знак надо ставить после предложения, которое является по-
вествовательным и в то же время восклицательным, после во-
просительного и в то же время восклицательного, побудительно-
го и в то же время восклицательного? Но, по-видимому, деле-
ние в последнем случае должно было бы быть осуществлено по
сложному основанию — содержанию и тону (повествовательные-
восклицательные, повествовательные-невосклицательные и анало-
гично — для побудительных), поскольку постановка знаков пре-
207
пинания зависит как от той, так и другой характеристик пред-
ложений.
Следствием нарушения, как уже сказано, условия (5) являет-
ся ошибка, которую называют скачком в делении. При этом, как
можно заметить из приведенных примеров (см. примеры к ус-
ловию (5) — деление членов предложения), существуют две раз-
новидности этой ошибки. В одном случае — в первом примере —
вместо указания некоторого члена деления мы осуществляем его
подразделение, т. е. совокупность его видов. Во втором случае —
в другом примере — вместо перечисления ближайших видов де-
лимого понятия происходит перечисление видов этого послед-
него. В обоих случаях нарушается взаимосвязь (диалектика)
сходного и различного, общего и особенного: в результате скач-
ка перечисляются различия (в объеме данного понятия) без
выявления тех сходств, в рамках которых они имеют место.
Виды деления. Операция деления объема понятия на виды
в свою очередь имеет различные виды. В основном они выделя-
ются по характеру оснований деления. Как мы уже видели, ос-
нование может быть простым и сложным (сочетанием нескольких
простых оснований). В соответствии с этим простым или слож-
ным может быть само деление. Возможны и более принципиаль-
ные различия. До сих пор мы рассматривали деления, в которых
основание представляет собой некоторую предметно-функцио-
нальную характеристику, проще говоря, предметную функцию бо-
лее или менее сложного характера, определенную на множестве
предметов, составляющих объем делимого понятия. Таковы, на-
пример, содержание (или цель) предложения, структура предло-
жения, соотношение сторон треугольника и т. п. Особый харак-
тер функции здесь часто выражается в специфике их возмож-
ных значений. Значениями последней функции являются, напри-
мер, «попарное неравенство всех сторон треугольника», «равен-
ство двух сторон треугольника», «равенство всех трех сторон».
Соответственно этому деление треугольников по соотношению
сторон приводит нас к видам: разносторонние, равнобедренные
и равносторонние треугольники. Обычно значениями предметной
функции, которая выбирается в качестве основания того или ино-
го деления, являются различные свойства — или признаки вооб-
ще — предметов, и членами деления тогда являются виды, раз-
личающиеся как раз этими свойствами. Например, значениями
функции «агрегатное состояние тела» — это «твердое», «жидкое»,
«газообразное» и «плазматическое». Результатом деления тел то-
гда по агрегатному состоянию будет перечень: твердые, жидкие,
газообразные и находящиеся в плазматическом состоянии.
Можно взять, конечно, в качестве основания деления и обыч-
ную числовую функцию, представляющую собой ту или иную ко-
личественную характеристику предмета, например, роста (приме-
нительно к человеку, т. е. определенной на множестве людей). Ес-
ли при этом множество возможных значений функции представ-
ляют собой какие-то качественные градации роста (низкий, сред-
205
ний, высокий) или какие-то числовые градации, то согласно это-
му множеству значений мы можем получить множество видов
людей, как результат деления людей по данному основанию.
Рассмотренный вид деления называют делением по видоиз-
менению некоторого признака (название, как нетрудно видеть,
не вполне соответствует сущности деления, однако трудно подо-
брать что-нибудь другое, более подходящее).
Деление другого вида носит название дихотомического. В ка-
честве основания здесь — точка зрения, исходя из которой мы
выявляем видовые отличия внутри рода, — является наличие или
отсутствие некоторого заданного свойства. В зависимости от на-
личия или отсутствия кристаллической решетки у твердых тел,
мы делим их на кристаллические и некристаллические. Аналогич-
но получаем деление механического движения на равномерное и
неравномерное; предложения на повествовательные и не повест-
вовательные и т. д.
Дихотомические деления также могут быть простыми (как в
приведенных примерах) и сложными — когда основанием деле-
ния является наличие или отсутствие каждого из свойств неко-
торого множества. Студентов мы можем таким образом разде-
лить на способных и трудолюбивых, способных, но не трудолю-
бивых, неспособных, но трудолюбивых, неспособных и не трудо-
любивых.
Примерами сложных дихотомических делений являются при-
веденные в своем месте разбиения объемов понятий с помощью
диаграмм Венна, а также дизъюнктивные разложения объемов
(см. § 13).
. Недостатками дихотомических делений, по сравнению с рас-
смотренным выше видом, являются их недостаточная конкрет-
ность — неопределенность отрицательных их членов. Но они при-
* меняются обычно именно в тех случаях, когда существенно вы-
делить предметы, обладающие некоторым свойством. Преиму-
ществом их является большая простота самой операции, гаран-
тирующая, в частности, от таких ошибок, как перекрещивание
членов деления, т. е. случаев, когда члены деления не исключа-
ют друг друга. В простых дихотомических делениях, казалось бы,
всегда обеспечена и соразмерность, поскольку объединение объ-
емов противоречащих понятий ХВ(Х) и Жв(ЗЕ), являющихся
здесь членами деления, всегда равно объему родового (делимо-
го) понятия. Однако множество ХВ(Х) может быть пусто! Как
например, в делении кристаллических веществ, имеющих опреде-
ленную температуру плавления и не имеющих такой. Деление,
очевидно, содержательно неправильно.
«Дихотомическое» буквально означает двучленное, но не вся-
кое двучленное деление является дихотомическим. Явно не дихо-
томично деление людей на мужчин и женщин или планет (Сол-
нечной системы) на большие и малые. Дихотомическое деление —
это именно особый способ деления. Дихотомически мы разделили
бы людей на мужчин и не мужчин, планеты (Солнечной систе-
8 Е. к. Войшвилло
209
мы) — на большие и небольшие (здесь отчетливо выявляются
недостатки таких делений — неопределенность отрицательного-
члена — и их достоинства — отсутствие необходимости уточнять
состав объема делимого понятия дополнительно к той, которая
выделяет положительный член).
Классификация
С приемом познания, который называют классифи-
кацией, знаком, вероятно, более широкий круг- людей, чем с опе-
рацией деления понятий. Однако классификация есть не что иное,
как либо отдельное деление, либо совокупность делений (деление
объема некоторого исходного понятия, затем полученных при этом
членов и т. д.).
Не существует, однако, общепризнанной характеристики клас-
сификации как особого вида деления (дающей основание для
употребления особого термина для этой операции). Различие
между тем, что мы называем просто делением, и теми делениями,
что называют классификациями, состоит, по-видимому, в том, что-
в одном случае операция деления применяется в некоторой ситуа-
ции, в рассуждении в связи с решением той или иной частной за-
дачи, поэтому результаты его не фиксируются и не сохраняются
специально в общем фонде человеческих знаний. Деление такого-
рода можно назвать рабочими делениями. Классификацией назы-
вают обычно деление, относящееся к классам объектов, которые
являются предметами изучения той или иной науки. Сравните:
классификацию суждений и понятий в логике, предложений —
в лингвистике, животных и растений и вообще живых тел в био-
логии, общественно-экономических формаций — в историческом
материализме, химических элементов — в химии. В этом случае
деления, точнее, их результаты постоянно используются в науке,
имеют непреходящий характер. Такой же характер имеют клас-
сификации книг в библиотеках, классификации инструментов на
складах и т. п.
Различия между рабочими делениями и классификациями
можно обнаружить еще в том, что в последних не применяют
обычно приемов дихотомического деления. Как уже отмечалось,
деление объема понятия на виды, а значит, и классификация тех
или иных предметов осуществляется по более или менее сущест-
венным характеристикам (признакам) предметов. Однако, как мы
уже знаем, признаки могут быть существенными для предмета
(определяющими его качественную специфику или хотя бы обу-
словливающие какие-то другие признаки) и существенные в ка-
ком-то отношении предмета с другими предметами, в частности
при том или ином его употреблении. В зависимости от того, какого
именно рода с точки зрения существенности признаки используют-
ся в классификации, различают классификации естественные и
искусственные. Классификации множеств объектов той или иной
науки являются обычно естественными; таково же деление книг
в библиотеке по отраслям знаний, но сортировка книг по буквам
210
«фамйлий их авторов является явно искусственным их делением,
хотя ясно, что для определенных целей оно может быть даже не-
обходимым. Но речь идет не о целях познавательного характера.
С точки зрения интересов познания предметов важны именно
естественные классификации. Обычно каждая рубрика естествен-
ной классификации является концентратом определенных знаний о
входящих в нее предметах.
В качестве примера естественной классификации особо выде-
ляют обычно классификацию химических элементов таблицы Мен-
делеева. С каждой рубрикой, выделяющей отдельный элемент, ряд
или столбец этой таблицы, как мы знаем, связана определенная
совокупность знаний о соответствующих химических элементах.
В’ силу этих особенностей естественной классификации отнесение
предмета к тем или иным рубрикам дает возможность перенести
на него все накопленные уже знания.
Классификация и характеристика предметов
Упомянутые знания, которые могут быть перене-
сены на предмет, отнесенный к некоторой рубрике естественной
классификации, представляют собой некоторую систему, которую
можно назвать характеристикой предмета. Эта система суть мно-
жество значений предметных функторов — оснований классифи-
кации. Сама эта совокупность функторов есть схема характери-
стики. Она же — структура классификации, которая определяет-
ся множеством тех предметно-функциональных характеристик
предметов, которые служат основаниями делений (делений и под-
разделений), составляющими данную классификацию. Упомянутая
схема характеристики предмета — это своего рода фрейм — на-
бор тех существенных рубрик, которые следует запомнить, чтобы
получить характеристику предмета. Вспомним, что набором пред-
метно-функциональных параметров, составляющих схему приня-
тых у нас характеристик, людей, являются: «фамилия», «имя»,
«отчество», «год рождения», «место рождения», «национальность»,
«партийность», «занимаемая должность», «отношение к делу»,
«отношение к товарищам и товарищей к нему», «степень идео-
логической и политической зрелости». Сама характеристика чело-
века есть перечень значений указанных функций.
Для каждой рубрики естественной классификации точно опре-
делен перечень таких функций и множество соответствующих
значений.
Т аксономические и мериологические деления
и классификация
Наряду с рассмотренными способами деления и
соответственно классификации, издавна описанными в логике, ко-
торые называют иногда таксономическими, в последнее время
находят широкое применение, например при описании объектов в
диалоговых системах, в языках, предназначенных для непосред-
ственного общения человека с компьютером, мериологические
.8*
211
классификации. Для процедур, которые имеются здесь в виду,,
правомерно употреблять также термин «мериологическое» деле-
ние. В отличие от таксономического деления, в процессе которого
выявляются виды предметов некоторого рода, мериологическое
деление есть расчленение некоторого предмета на части. Скажем,,
например, что самолет состоит из частей: крылья, фюзеляж, мо-
тор, управляющая система, шасси. Ясно, что каждую из частей
можно подразделить в свою очередь на части.
Операцией, сходной с этой, является также выделение неко-
торых характеристик предмета типа предметно-функционального
характера. Например, основными характеристиками крыла само-
лета являются форма в профиле, форма в плане, длина, шири-
на и т. д.
Теория мериологических классификаций требует еще разра-
ботки. Неясно, можно ли, и если да, то в каком смысле, говорить
об основаниях деления и классификации, о существенности и
несущественности их, правилах и возможных ошибках в этих
операциях. Укажем лишь на некоторую связь между мериологи-
ческим и таксономическим делением (учитывая которую можно,
вероятно, пролить некоторый свет на указанные вопросы).
Связь состоит в том, что каждое мериологическое деление
превращается в таксономическое деление, если вместо имени рас-
членяемого предмета а употребить понятие «часть предмета а».
Например, части самолета — крылья, фюзеляж и т. д. Части пред-
мета, т. е. члены мериологического деления, становятся в таком
случае видами исходного понятия. (Заметим, кстати, что при этом
исключаются, очевидно, дихотомические деления.)
Однако расчленение предмета с точки зрения цели, ради ко-
торой оно осуществляется, едва ли сводится к обзору видов его
частей. Существенным здесь является представление предмета
как некоторой системы, в связи с чем важное значение имеет
различение частей по их функциям, учет их связей в составе це-
лого и т. д. Типичным примером расчленения является составле-
ние плана некоторой работы (учебника, монографии, сочинения
вообще). И здесь важно выделить основные вопросы и проблемы,
а так же подчиненные им в некотором смысле (подпроблемы
данной проблемы, подвопросы). Важно предусмотреть правильную
последовательность или, как говорят, логичность изложения ма-
териала.
§ 21.
ОПРЕДЕЛЕНИЕ (ДЕФИНИЦИЯ)
КАК ПРИЕМ ПОЗНАНИЯ
Определение есть логический способ установления
или уточнения связи языкового выражения с тем, что оно обозна-
чает как знак языка. Этот способ состоит в придании выражению
некоторого смысла (или уточнении, углублении имеющегося
смысла), который выделяет то, что должно быть предметным
212
значением данного выражения. Выражение языка, к которому от-
носится определение, называется определяемым. Это может быть
выражение типа единичного имени, например, в определении «По-
лярная звезда — это та звезда, направление на которую из лю-
бой точки земного шара, с которых эта звезда видна, есть на-
правление на север»; общего имени в определении «точки зенита
небесной сферы» — это высшая точка над головой наблюдателя»;
типа предиката — «нечто есть химически сложное вещество, если
и только если оно может быть разложено химическим способом
на некоторые другие химические вещества» и типа предложения —
«медь необходимо обладает свойством электропроводности, если
и только если это свойство логически выводимо (согласно поня-
тию следования в релевантной логике) из некоторого множест-
ва физических законов и некоторых характеристик меди».
Знаковая форма, выражающая смысл придаваемый определяе-
мому, называется определяющим (данное определяемое выраже-
ние). Определяемое иначе называют дефиниендум (definiendum),
а определяющее — дефиниенс (definience).
Мы говорим, что определяемое есть выражение того или иного
лингвистического типа, поскольку до придания выражению опре-
деленного предметного значения оно не является еще знаком.
В зависимости от того, представляет ли собой определяемое
единичное имя, или общее имя выражение типа высказыватель-
ной (предикатной) формы или предложение в качестве опреде-
ляющего, мы будем иметь соответственно единичное или общее
описательное • имя (по смыслу — индивидный концепт, понятие,
предикат, высказывание).
Определить некоторое выражение буквально (например, в
польском языке) означает «определить», т. е. установить границы
его применения. Но поскольку при этом указывается и определен-
ная характеристика предметов, отличающая, ограничивающая их
от всех других, то правомерно говорить также о том, что осущест-
вляется определение и самих этих предметов.
Возможны по крайней мере три типа ситуаций, в которых воз-
никает необходимость в определении:
(1)	В процессе развития некоторой науки или изложения на-
учного материала в ходе некоторой аргументации, например до-
казательства какой-то теоремы, вводится новая языковая фор-
ма — термин, высказывательная форма и т. п. Естественно, при
этом должно быть установлено, что именно он должен представ-
лять как знак, что имеется в виду или что хотят иметь в виду
при его употреблении. Так, при описании формализованного языка
логики вводят понятие терма, формулы данного языка, свободной
и связанной переменной. Физик, формулируя закономерности дви-
жения, вводит термины: скорость, ускорение, траектория и т. д.
Ясно, что изложение может быть понятным другому — читателю,
слушателю, — если он знает, что имеется в виду под каждым вы-
ражением употребляемого языка. Поэтому введение каждого но-
вого термина сопровождается разъяснением.
213
Обычно это делается в форме: «Ускорением движения в дан-
ный момент времени называют (или будем «называть») предел
отношения приращения скорости в течение некоторого отрезка
времени к самому этому времени при стремлении этого отрезка
к нулю (т. е., говоря математическим языком, ускорение в> данной
точке времени есть значение — в этой точке времени — произ-
водной в пути по времени)». Впрочем, вместо «ускорением назы-
вают отношение..» может быть просто «ускорение есть отноше-
ние..», иногда с добавлением «по определению», что чаще всего
просто подразумевается в силу характера контекста, в котором
дается определение. Желая иметь примеры определений, читатель
может вернуться хотя бы к тем частям данной работы, где разъ-
ясняются смысловые значения упомянутых выше логических тер-
минов (терм, формула, связанная, свободная переменная и т. п.)
Но каждый, вероятно, помнит многие из определений, с которыми
встречался в школе: «Параллелограммом называют четырехуголь-
ник с равными противоположными сторонами», «Корень слова —
это неизменяемая часть данного слова», «Остров есть часть суши,
окруженная со всех сторон водой».
(2)	Ситуация другого типа состоит в том, что для специ-
альных целей науки используется некоторый термин или языко-
вый знак вообще, который имеет употребление либо в других
областях знания, либо в повседневном обиходе, но при этом упот-
ребляется в различных значениях, или, наконец, в данном упот-
реблении его хотят использовать некоторым специальным обра-
зом. Так, слово «интерпретация» употребляется весьма часто в
повседневной жизни и в разных случаях ему придается различ-
ный смысл, а чаще всего никакого определенного (в силу чего
расплывчатый смысл имеют и утверждения, в которых речь идет
об интерпретациях, т. е. некоторых событий или каких-то выра-
жений художественных или музыкальных произведений и т. д.).
При описании формализованного языка, как мы видим, посредст-
вом определения термину «интерпретация» придан определенный
смысл, а значит и предметное значение.
(3)	В ситуациях третьего типа мы имеем дело с выражением,
для которого уже в самой языковой практике установилось опре-
деленное, практически точное предметное значение. И задача,
которую имеют в виду, применяя к такому термину определение,
состоит в уом, чтобы придать этому термину определенный смысл,
а значит обеспечить и большую надежность и строгость в его
употреблении. Так, практически каждый знает, какие существа
называются словом «человек», что означает «болезнь», «произво-
дительность труда» и т. д. Однако интуитивное употребление тер-
мина оказывается недостаточным в некоторых особых ситуациях,
когда нужно, например, доказать или опровергнуть утверждение,
что некоторые предметы или явления относятся именно к тому
классу предметов, который представляет данный термин: доказать
или опровергнуть, например, что тот или иной человек действи-
тельно болен.
214
Читатели известной книги Веркора «Люди или животные»,
помнят, конечно, характер показанной там ситуации, в которой
жизненно важным оказалось точное решение вопроса о том, что
же такое человек.
Заметим, что функции определения в ситуациях (1) и (2) су-
щественно отличаются от той, которую она имеет в ситуации (3).
В ситуациях (1) и (2) мы имеем так называемые номинальные
определения. Это определение есть условие, соглашение относи-
тельно употребления данной знаковой формы. Иначе говоря, опре-
деление в этом случае представляет собой ответ на вопрос, что
имеют в виду или будут иметь в виду под данным выражением
(что называют или будут называть данным термином). Хотя ре-
зультат определения здесь и выражается в форме, сходной с по-
вествовательным предложением, она не содержит какого-либо
утверждения, кроме именно того, что данную знаковую форму
предполагается употреблять так-то и так-то. Однако эта форма
может быть использована в аргументации как повествовательное
предложение, истинное по соглашению, именно по определению.
По принципу предметности утверждение при употреблении неко-
торого знака относится к тому, что оно обозначает. Но в данном
случае задача состоит как раз в том, чтобы установить, что имен-
но должно обозначать определяемое выражение как знак. Суще-
ствует принцип — «об определениях не спорят». Это относится
именно к номинальным определениям. Если какой-то спор здесь
и возможен, то лишь о том, целесообразно ли указанное в опре-
делении употребление термина или о том, насколько целесообраз-
но введение самого понятия, которое ассоциируется с данным
термином. Определения в ситуации (3) называют «реальными».
Другое, распространенное в литературе название этих опера-
ций — «экспликация». Результат определения такого типа
представляет собой суждение — характеристику обозначаемых
данным термином предметов. В силу этого здесь возникает во-
прос о его истинности или ложности и, естественно, возможны
споры относительно самого определения. Имеются, например,
различные попытки определения «болезни», но никакое из
них ие является пока общепризнанным. Известны также про-
должающиеся на протяжении многих веков споры о том, что та-
кое человек.
Относительно реальных определений в свою очередь имеются
две возможности с точки зрения применяемых к ним требований.
Иногда, ставя вопрос, например, о том, что такое человек, имеют
в виду указание, какой-либо отличительной совокупности призна-
ков человека. Такому требованию удовлетворяет, очевидно, опре-
деление человека, предложенное еще в Древней Греции, как су-
щества от природы двуногого и бесперого. Возможно также опре-
деление его как существа, обладающего способностью плакать
(имея в виду эмоциональный плач, а не просто рефлекторное
выделение слез, которое возможно у многих животных). Однако,
под реальным определением имеют в виду ответ на вопрос,
215
что представляют собой предметы по существу, в чем состоит ос-
нова их качественной специфики. Исходя из этого, указанные
определения человека не считаются удовлетворительный и как ре-
альные определения. Согласно марксистским взглядам человек
есть продукт определенной совокупности общественных отноше-
ний. Хотя сама по себе эта характеристика, будучи существенной,
не является его определением, поскольку к числу людей, без со-
мнения, относят и Маугли. Мы уже имели случай высказать мне-
ние, что, по-видимому, наиболее точным образом человек может
быть определен как член сообщества, производящего и использую-
щего в своем взаимодействии с природой орудия труда. А членом
сообщества является, очевидно, каждый, кто рожден членами это-
го же сообщества.
Из только что сказанного о реальном определении в строгом
смысле ясно и то, что оно может относиться к классу предметов,
уже обобщенных в том или ином понятии, но не выражающим
сущность этих предметов. Есть ли, например, у нас понятие смеш-
ного? Очевидно, да. «Это все то, что вызывает смех». Но в пауке
пет пока ясности в том, в чем сущность смешного, каковы именно
те признаки явления, в силу которых они способны вызывать
смех. Говорят, что это некоторое несоответствие, но несоответ-
ствие может быть не только причиной смеха, но и слез. И остает-
ся еще задачей определить специфику несоответствия, противоре-
чия, вынуждающих людей смеяться.
Для абстрактных объектов, как упоминалось выше, вместо
сущности естественнее говорить о некоторой совокупности основ-
ных признаков, которая указывается в реальном определении.
На протяжении почти всей истории математики существовало
и играло важную роль понятие алгоритма как некоторой сово-
купности предписаний с указанием последовательности их приме-
нения для решения задач некоторого класса. Однако лишь в со-
временной логике возникло строгое определение алгоритма, точ-
нее, несколько таких равнозначных определений, без которых не-
осуществимо нельзя доказать утверждение о возможности или не-
возможности алгоритма для того или иного класса задач. Кстати,
реальный характер упомянутых определений алгоритма выража-
ется в существовании специального утверждения (гипотеза
А. Чёрча) о равнозначности понятий, вводимых этими определе-
ниями, прежнему понятию математики.
Надо признать, что существует мнение о том, что и реальные
определения также являются своего рода соглашениями об упот-
реблении термина. В какой-то мере с этим можно согласиться.
Однако само соглашение здесь отнюдь не произвольно. В его
основе по крайней мере лежит суждение о том, что предметы не-
которого рода могут быть адекватным образом охарактеризованы
некоторой совокупностью основных, существенных для них при-
знаков.
Характеристика того или иного определения как номинального
пли реального зависит, как мы видели, от того, какую функцию
216
или задачу оно выполняет. А это в свою очередь определяется
ситуацией, в которой применяется определение. Многие номиналь-
ные определения являются таковыми для читателей и слушателей,
для которых предназначено изложение некоторого научного ма-
териала, но не для самого автора. Прежде чем сообщить слуша-
телю или читателю о том, какие предметы будет обозначать вво-
димый термин, автор уже имеет в виду так или иначе выделенный
класс предметов и должен для себя ответить на вопрос о том,
как эти предметы могут быть охарактеризованы, т. е. составить
понятия о них. Это означает, что сам он вырабатывает реальные
определения предметов.
Виды определений
Два вида определения — номинальные и реаль-
ные — нами уже выделены по тому, какую функцию выполняет
определение, на какой вопрос оно дает ответ. Далее существенно
деление определений по форме. Прежде всего мы выделяем по
этому основанию определения явные и неявные. Все определения
в приводимых выше, примерах были явными. Явные определения
имеют форму или могут быть представлены в форме равенства,
если определяемым является единичное или общее имя, или экви-
валентности, когда определяемое есть выражение типа предиката
или предложения, причем одна часть этого равенства (или экви-
валентности) есть определяемое выражение, вторая — определяю-
щая часть, не содержащая определяемого термина (отношение
равенства в естественном языке обычно выражается словами
«это», «есть», «это есть», или «то же, что», а эквивалентности —
словосочетанием «если и только если» или «равносильно», «озна-
чает то же’ что»). Используя введенную символику и введенные
ранее знаковые формы единичных описательных имен и понятий-
ных выражений, имеем для явных определений формы: 1) а—
= 1хА(Ж), где «а» — есть выражение типа единичного имени;
2) с=ХА(Х), где «о» — есть общее имя или выражение типа
общего имени; 3) А(Х)=В(Х), где «А(Ж)» — предикат
или выражение типа предиката; 4) А = В, где «А» — предло-
жение или выражение типа предложения. При этом в слу-
чае номинального определения под «=» или «=» пишется обычно
знак Df, что означает, что данное равенство или эквивалентность
имеет место по определению (дефиниции). Например, «а=
— tjcA(X)» (читается как «а» есть по определению тот предмет х
из заданной области D, который обладает свойством А(Х,). До-
бавление примечания «по определению» означает именно то, что
указанное равенство не выражает утверждения, а является лишь
соглашением относительно употребления термина, стоящего в ле-
вой части. Однако в теории или в рассуждении, в котором введено
данное номинальное определение, это равенство может быть ис-
пользовано в качестве аргумента в выводах и доказательствах.
При этом оно понимается как аналитически истинное (истинное
именно в силу принятого определения) высказывание.
217
Приведенные формы явных определений означают, что в них
непосредственно указывается смысл и предметное значение, при-
даваемое определенному выражению. В силу этого определяемое
выражение всегда, в любом контексте может быть заменено опре-
деляющим его выражением, или, как говорят, оно всегда может
быть элиминировано.
Это обстоятельство иногда истолковывают так, что само опре-
деление, имея в виду номинальное определение, можно трактовать
просто как введение некоторого сокращения для определяющего
выражения. Однако операцию введения сокращения надо, оче-
видно, отличать от определения, даже если речь идет о номиналь-
ном определении. Определение вводит в познание некоторые но-
вые концептуальные образования. В частности, оно представляет
собой способ введения понятий, что особенно важно в познании.
Сокращение же предполагает уже наличие некоторого понятия
(или концептуального образования вообще).
Имея, например, формализованный язык с двумя логическими
связками «о» и «—» (материальной импликацией и отрицанием),
можно ввести по определению высказывание вида А\/В (А или
В): A\/B=Az^B. Но явно другой смысл будет иметь соглашение:
«используем для АоВ сокращение А\/В».
Замечание: в традиционной логике явные определения единич-
ных и общих имен не различались и характеризовались как
«определение через род и видовое отличие». В действительности
эта характеристика в строгом смысле подходит лишь к опреде-
лению общего имени и указывает фактически лишь на то, что
само вводимое при этом понятие имеет родовидовую структуру.
Виды явных определений. Явные определения различаются,
как мы уже видели, прежде всего типами определяемых и соот-
ветственно определяющих выражений. При этом нетрудно видеть
связь между определением общего имени и выражения предикат-
ного типа. Одно всегда может быть заменено другим. Вместо
определения ромба как плоского четырехугольника с равными
сторонами мы можем определить предикат «х есть ромб» (или в
функциональной записи «ромб (х)»), как «х есть плоский равно-
сторонний четырехугольник» («плоский равносторонний четырех-
угольник (х)»). Строго говоря, общее имя (как уже указывалось)
есть понятийная форма «ромб» — это «х ромб (х)». Следова-
тельно, в одном из указанных случаев мы определяем понятийную
форму, а в другом — предикат, составляющий видовое отличие
в этой форме. Определение этого типа Рейхенбах называл «опре-
делениями для употребления «for use»», имея, очевидно, в виду,
что для практических целей часто непосредственно нужнее опре-
деление предиката, а не соответствующей понятийной формы.
Далее возможно различение определений по характеру видо-
вых отличий «А(Ж) в выражении ЖА( X ), составляющем опре-
деляющую часть в определении общих единичных имен. Речь
идет о характере признаков, по которым выделяется класс пред-
метов или отдельный предмет. Эти признаки могут представлять
218
собой наличие или отсутствие атрибутивных и реляционных
свойств или отношений (в случае определения понятийной формы
вида (X 1,..., Ж„)Д, (X г...Хп) при п>1). Случаи такого ро-
да мы будем называть определениями атрибутивно-реляционного
типа. Наряду с ними выделяем генетические и операциональные
определения. В генетическом определении класс предметов или
предмет, мыслимый в определяющей части, выделяется указанием
на их происхождение, на то, как они возникают в тех или иных
случаях, или, наконец, как они могут быть построены. Напри-
мер, солнечное затмение есть «ситуация, которая возникает, когда
Луна оказывается на оси, соединяющей центры Земли и Солнца,
и тень ее закрывает часть солнечного диска» Или — «сфера есть
пространственная поверхность, которую описывает полуокруж-
ность при вращении ее вокруг диаметра».
В операциональном определении видовой характеристикой
предметов является указание на некоторую операцию, посредством
которой эти предметы могут быть обнаружены и отличены от
других предметов. Например, температуру мы можем определить
как состояние предмета или среды, числовая характеристика ко-
торого может быть установлена с помощью термометра. В линг-
вистике операциональный характер имеют определения тех или
иных выражений путем указания вопросов, на которые они отве-
чают, что «существительное находится в именительном падеже,
если (и только если) оно отвечает на какой-нибудь из вопросов
«кто?», «что?». Впрочем, операциональными могут быть не толь-
ко явные, но и неявные определения. Карнап определял диспози-
ционные предикаты «£>(х)» (х обладает диспозицией D) — (одис-
позиционных предикатах см. § 9), посредством совокупности так
называемых редукционных предложений вида
УхУ^(Л(х, t)^(D(x)~Ri(x, 0)),
(п — число редукционных предложений), Рг(х, /) — некоторая
проверочная операция, a Ri(x, t) — реакция, указывающая на
наличие у предмета х диспозиции D. Это — пример неявного
определения посредством множества утверждений Г и, кстати,
как оказалось, пример того, что множество утверждений не всегда
обеспечивает определение того или иного термина.
Весьма важным видом явных определений является также
сопределение через абстракцию». Заметим, что этот способ приме-
няется для определения выражений, вводимых для обозначения
таких абстрактных объектов, как предметно-функциональные ха-
рактеристики каких-то предметов, например, вес, форма, площадь,
стоимость и т. п., т. е. выражение типа f(x).
В основе этого способа определения лежит так называемый
принцип абстракции, согласно которому: если на некотором мно-
жестве К содержащем не менее 2 элементов [106] может быть
задано двухместное отношение R (типа равенства), обладающее
свойствами — для любых предметов х, у, z из К: 1. R(x, х),
2. R(x, y)zz>R(y, х), 3. R(x, y)&R(y, z)zdR(x, z), — то любые два
219
предмета х и у, находящихся в отношении R, обладают некоторой
характеристикой +.
Множество К разбивается при этом на совокупность непере-
секающихся подмножеств — классов эквивалентностей, каждое
из которых содержит те и только те элементы, которые находят-
ся (попарно) в отношении R. Определение некоторой характери-
стики f на данном множестве предметов К при наличии указан-
ного отношения R имеет форму: «/ есть то общее, что имеется у
всех предметов множества К, находящихся в отношении R». Каж-
дый класс эквивалентности представляет при этом одно из воз-
можных значений f [32, 106].
Так, на множестве плоских замкнутых фигур можно задать
отношение подобия и определить форму фигуры как «то, что яв-
ляется одинаковым у любых подобных фигур и только у них».
Классы эквивалентности составят при этом все окружности, все
ромбы, все подобные треугольники и т. п. Иначе говоря, каждый
класс эквивалентности будет представлять одно из возможных
значений предметного функтора формы (какой-либо геометриче-
ской фигуры). Задав отношение равновесомости двух тел, урав-
новешиваемости их на чашечных весах, можно определить вес
;:ак то общее, что является одинаковым у всех равновесомых
предметов и различных у неравновесомых.
К только что приведенному перечню известных видов явных
определений следовало бы, как нам представляется, добавить
фактически широко применяемый способ определения, который
можно было бы назвать лингвистическим. Этот способ приме-
няется для определения некоторых абстрактных объектов и со-
стоит в том, что в качестве характеристик указываются языковые
формы их выражений. Таким образом в предыдущих частях ра-
боты вводились понятия: «свойство», «отношение», «атрибутивное
свойство», «реляционное свойство» и другие по виду представ-
ляющих их предикатов. В лингвистике этот способ применяется
при определении частей предложения и некоторых других понятий.
Виды неявных определений
В структурах неявных определений нельзя выде-
лить определяемое и определяющее в качестве самостоятельных
частей, в силу чего они не дают способа элиминации определяе-
мого из тех или иных контекстов. В некотором отношении, одна-
ко, близки к явным определениям нормальные контекстуальные
неявные определения. Определения этого типа также имеют фор-
му равенства или эквивалентности а=р, А = В. Но в отличие от
явного определения а или А здесь есть некоторый контекст неко-
торой правильной, не совпадающей со всем выражением, частью
которого является определяемое выражение. Для определения,
например, того, какой смысл и соответственно предметное значе-
ние имеет определенная дескрипция vcA(x), мы вынуждены опре-
делить смысл некоторого контекста — B(ixA(x)) — типа пред-
ложения, имеющего вхождение определяемого иА(х). А именно
220
имеем B(ix4(х)) = Эх(Л(x)&B(x)&Vy(A(y)=>y=x)). («Существу-
Df
ет предмет из области х, который обладает свойством Л(х) и
В(х) и притом он является единственным, обладающим свойст-
вом Л».)
Одно и то же определение может быть явным относительно
одного выражения и неявным контекстуальным относительно
какой-то части этого выражения. Например, определение предло-
жения: «Медь необходимо обладает свойством электропровод-
ности» — является явным относительно этого предложения и не-
явным контекстуальным относительно термина «необходимо».
В приведенных выше таблицах, выражающих условия истин-
ности высказываний, образованных посредством операций «&»,
«V», «зэ», «—», мы имеем явные определения соответствующих
высказываний и неявнее контекстуальные определения указанных
операций как функторов. Явные и нормальные контекстуальные
определения, т. е. все определения, имеющие вид равенства, на-
зываются нормальными.
Другими важными видами неявных определений являются:
рекурсивные определения — выражения вида fn(xi,... ,хп),
представляющие собой общие формы значений числовых функ-
ций (и относящиеся, очевидно, к типу единичных имен), и индук-
тивные определения (определение посредством индукции).
Рекурсивно определить выражение fn(xlt..., хп) значит ука-
зать: 1) каково значение или каким образом можно вычислить
его значения при значении одного из аргументов, положим, хп,
равным 0, т. е. значение fn(xi,..., хп-\, 0) при фиксированных
значениях всех других переменных; 2) значение выражения
/"(%!,..., Xn+i). Говорят, что при этом определяется рекурсивно
также сама функция fn.
Например, х+у определяем так: 1) хЧ-0=х; 2) х+(у+1) =
= (х+«/) = 1 (нетрудно видеть, что неявно определяемая здесь
.функция « + » есть обычное сложение чисел).
Обычное арифметическое умножение определяется так:
(х-0 = 0
х-у \
lx-(y+ l)=(x-y)-t- X.
Рекурсивным образом могут определяться лишь функции не-
которого вида из числа так называемых вычислимых функций,
т. е. таких, для которых возможна формулировка способа вычис-
ления их значений для любых значений аргументов (из областей
возможных аргументов функций).
Наличие рекурсивного определения функции позволяет осу-
ществить процесс вычисления методов рекурсии функции — све-
дение вычисления значения функции для каких-то значений ее
аргументов к вычислению ее значения в случае, когда один из
аргументов уменьшается на единицу (согласно пункту 12 'рекур-
сивного определения), затем в случае, когда' Он меньше на 2,
и т. д., до случая равенства его нулю (пункт 1 рекурсивного1 опре-
221
деления), для которого значение функции известно или известно,
как оно может быть вычислено. Так, 3+4 равно согласно пункту 2
(3+3)+ 1; (3+3)+ 1 в свою очередь равно ((3+2) + 1) + 1 и т. д.
Таким образом, имеем: 3+4= (3+3) + 1 = ( (3 + 2) +1) +1 = (( (3 +
+ 1) + 1) + 1) + 1 = ((((3+0) + 1) + 1)+0=1=(((3+1) + 1) + 1) + 1.
Операция прибавления единицы считается в любом рекурсив-
ном определении известной. Вычисление произведения 3-4 пред-
ставляется последовательностью: 3-4=3-3+3=(3-2+3)+3=((3-1 +
+3) +3) +3= (((3- 0+3) +3)+3)+3). Учитывая, что 3-0=0, умноже-
ние сводится к сложению, которое тоже уже определено.
Рекурсивные способы определения значения арифметических
функций имеют важное значение при осуществлении вычислений
с помощью компьютеров.
Методом индукции определяется общее имя, например, *ерм,
формула, теорема, натуральное число и т. д. в том случае, когда
класс-объем определяющего понятия может быть разделен на две
части: 1) совокупность некоторых элементарных объектов этого
класса и 2) совокупность объектов, которые могут быть построены
из других объектов этого же класса, а в конечном счете — из
элементарных, посредством некоторых операций. Примеров этих
определений достаточно приведено выше.
Следует обратить внимание на специфику индуктивных опре-
делений, состоящую в том, что определяемое выражение исполь-
зуется здесь в определяющей части (см. определение формулы,
терма и т. д. § 5, а также § 17). Это создает видимость известной
ошибки в определениях «порочного круга», но «круг» фактически
«разрывается» благодаря именно расслоению класса предметов
на некоторые уровни (известно, что до открытия индуктивных
определений логикой в науке возникали в определенных случаях
трудности, связанные как раз с неумением выйти из кажущегося
«порочного круга», по видимости неизбежно возникающего в не-
которых случаях).
Наконец, к виду неявных определений относятся также «опре-
деления через аксиомы». Согласно обычной (весьма упрощенной)
характеристике этого способа он состоит в том, что некоторый
термин определяется посредством указания совокупности аксиом,
которым должны удовлетворять объекты, приписываемые этому
термину в качестве его предметного значения. Неудовлетвори-
тельность этой характеристики обнаруживается, если различить
два случая: 1) когда множество аксиом указывается в качестве
видового отличия при определении некоторой системы объектов.
Иначе говоря, определяющей частью в этом случае является по-
нятие некоторой структуры объектов, выделенной в некотором
роде структур посредством множества аксиом (см. понятие буле-
вой алгебры и структуры, описываемой аксиомами формализован-
ной геометрии Евклида — § 15) и 2) определяемое значение неко-
торого термина посредством указания некоторого множества
утверждений (аксиом), которым должны удовлетворять обозна-
чаемые им объекты.
222
В первом случае мы имеем обычное явное определение через
«род и видовое отличие». Во втором случае, вообще говоря, име-
нем лишь частичное, определение термина. Именно система аксиом
возможно лишь ограничивает круг допустимых интерпретаций
этого термина, но не обеспечивает его определения посредством
той или иной комбинации других — имеющихся в аксиомах —
терминов. Полное определение достижимо лишь в некоторых
частных случаях. Неявное определение этого вида может быть
названо контекстуальным, но не имеющим, в отличие от рассмот-
ренного выше, нормального вида. При этом не обязательно даже
должны иметься в виду аксиомы какой-то системы. Речь идет о
неявном определении некоторого термина посредством совокуп-
ности некоторых утверждений. Мы имеем здесь в виду известное
в логике понятие неявной определимости, согласно которому —
в применении к n-ме^тному предикатору Рп — некоторое мно-
жество утверждений (например формул без свободных перемен-
ных в языке логики предикатов первого порядка) определяет Рп,
если и только если Г, Г'|=УХ1,..., хп(Рп(х\,..., хп) ~Qn(xi,...,
.хп)), где Qn — предикатор, который не встречается в утвержде-
ниях Г, а Г' — результат замены во всех утверждениях Г преди-
катора Рп на Q". Согласно известной теореме Бэта по неявному
определению этого типа может быть найдено явное определение
в виде формулы (выводимой из Г) (Vxb..., Vxn) (Рп(х\,..., хп) ~
~B(xi,... ,Хп), где B(xi,... ,хп) — формула упомянутого языка,
содержащего в качестве свободных переменных Xi.....хп и толь-
ко их [см. 88].
Кстати, когда представители «методологии науки» (Кун, Фей-
сррабенд, Тулмин и др.) утверждают, что значение употребляе-
мых в той или иной теории терминов определяется теорией в це-
лом, они явно не учитывают, и во всяком случае не оговаривают
того, что подразумеваемая однозначная определяемость отнюдь
не всегда имеется. К тому же, если какой-нибудь термин а и опре-
деляется посредством некоторой комбинации терминов рь...,рп
данной теории, то это не обеспечивает знания предметного и смыс-
лового значения а при отсутствии содержательной интерпретации
(или знания значений) терминов, содержащихся в Г.
Правила и возможные ошибки в определении
Правила определения — это необходимые условия
логической правильности такой операции. Есть ряд правил, су-
щественных для определения выражений в формализованных язы-
ках. Они связаны с употреблением переменных в этих языках.
•Основное из них — для определений нормального вида — ни в
какой из частей (ни в определяемом, ни в определяющем выра-
жении) определений не должно быть свободных переменных, от-
сутствующих в другой части. Предикат «х дядя у» определяется
как: существует z такой, что х есть брат z, а у есть сын или
дочь z, где область значений х, у, z — люди. Используя в естест-
венном языке вместо переменных их аналоги — общие имена, в
223
данном случае одно — человек, при этом с числовыми индексами
для различения различных предметов, получили бы определение:
«человек! есть дядя человека2 если и только если — по опреде-
лению — существует человека такой, что человек! есть брат чело-
веказ, а человек2 — сын или дочь человеказ». Но определение
было бы неправильным, если бы в определяющей части перемен-
ная «г» или соответственно «человека» была взята без квантора
«существует», т. е. в качестве свободной переменной. Ошибки
такого рода приводят к возможности возникновения противоречий.
Однако для определения в естественном языке, который здесь
в основном имеется в виду, более существенны правила, сформу-
лированные в традиционной логике. Несмотря на кажущуюся
тривиальность этих правил, ошибки, связанные с их нарушениями,
являются весьма распространенными во многих' науках (исклю-
чение составляют, пожалуй, лишь математика и физика). К этим
правилам относятся:
1.	Определение должно быть ясным. Это звучит банально.
Поскольку определение приписывает смысл определяющему, он
должен быть доступен по крайней мере пониманию. Вместе с тем
само это требование нуждается в разъяснениях. Ясность опреде-
ляющей части зависит, конечно, от выполнения синтаксических и
семантических требований к построению выражения. Но главное,,
должны быть известными предметные значения входящих в era
состав терминов. Последние в свою очередь тоже могут быть
определены посредством терминов, значения которых известны,
однако этот процесс нельзя продолжать бесконечно. В составе
теорий некоторое множество (по возможности минимальное) тер-
минов принимается за исходное в качестве основы для определе-
ния всех других, употребляемых в этой теории. Предметные зна-
чения неопределяемых терминов разъясняются посредством тех
или иных приемов, сходных с определением (см. далее, — приемы,,
сходные с определением). К условиям ясности определения надо
отнести также требование указывать в определяющей части лишь
то, что необходимо и достаточно для выделения тех предметов
или связей, которые должны составить предметное значение
определяемого термина. Почти все философы, касающиеся поня-
тия закона (природы), определяют его как необходимую, всеоб-
щую, устойчивую, повторяющуюся связь.
Между тем ясно, что если связь является необходимой, то она
устойчива и всеобща, и значит, повторяема — одним словом,
определение загромождается здесь включением наряду с основны-
ми признаками понятия также и производных. Выявление по-
следних — это уже процесс развития введенного понятия.
Читатель может, очевидно, сам решить вопрос, насколько яс-
ными являются следующие определения части речи (взятые из эн-
циклопедических изданий): «части речи -— грамматические кате-
гории, по которым распределяются слова данного языка. В основе
каждой части речи лежит понятие, получающее в данном языке
единообразное грамматическое выражение в количественно не-
224
ограниченном ряде слов различного вещественного значения и в
связи с этим выступающее в них в качестве их грамматического
значения».
Конечно, нуждается в разъяснении здесь указание на некото-
рое понятие, которое «...лежит...», в основе каждой части речи и
то, что представляет собой «...единообразное... выражение...» в
бесконечной последовательности слов.
Еще пример. «Сущность — это внутреннее содержание пред-
мета, выражающееся в единстве всех многообразных и противо-
речивых форм его бытия».
Едва ли ясно, даже искушенным в философии людям, что та-
кое «содержание предмета» и тем более «внутреннее» содержание
его и в чем же состоит «единство всех многообразных и проти-
воречивых форм его бытия».
Для обеспечения ясности определения термина весьма важно
указание рода, к которому принадлежат соответствующие пред-
меты. Выше мы уже имели примеры неправильного указания рода
при определениях отдельных частей речи в некоторых лингвисти-
ческих работах. В определениях философских терминов мы по-
стоянно встречаемся с оборотами: «качество есть философская ка-
тегория...», «количество есть философская категория...» и т. п.
Это было бы правильно, если бы определяемыми были «ка-
чество», «количество» и т. п. (в кавычках), т. е. имена самих
определяемых выражений и понятия, с которыми связываются
эти выражения в философии, но сами качество, количество, ма-
терия и т. д. — суть определенные характеристики предметов и
явлений действительности.
2.	В определении не должно быть круга. Это значит, что тер-
мин, встречающийся в определяющей части, не должен опреде-
ляться через определяемый термин. В традиционной логике, на-
пример, правильное мышление определялось нередко как такое,
которое подчинено законам логики, а законы логики как такие
законы, которые обусловливают логическую правильность мыш-
ления. Здесь типичный «круг» в определении. Частным случаем
этой ошибки является попытка определить некоторый термин
через самого себя (хотя возможно, и в сочетании с другими тер-
минами). Например, «корень (слова) — это главная значимая
часть слова, в которой заключено общее значение всех однокорен-
ных слов».
Едва ли здесь можно уяснить смысл определяющей части, не
зная что такое корень. Однако определение туриста как челове-
ка, занимающегося туризмом (толковый словарь Ушакова), не-
правильно квалифицировать как тавтологичное, если разъяснено
независимо от термина «турист», что означает туризм как дея-
тельность.
3.	Определение должно быть соразмерным. Это правило отно-
сится лишь к реальным определениям и, по существу, лишь к
определениям общих имен. Это требование означает, что опре-
деляющая часть должна выделять именно тот класс предметов,
225
который представляет определяемое. Различают два рода оши-
бок, связанных с нарушением правила: 1) определяющая часть
представляет лишь подкласс того класса, который имеется в виду
при определении. В этом случае говорят, что определение яв-
ляется «слишком узким»; 2) класс, который представляет опре-
деляющая часть, т. е. объем понятия, которое приписывается в
качестве смысла определяемому термину, шире того класса, ко-
торый имеется в виду под определяемым термином (определение
является «слишком широким»). Например, слишком узким мож-
но считать определение арифметической прогрессии как конечной
(или бесконечной) последовательности чисел, каждое из которых
получается из предыдущего прибавлением к нему одного и того
же числа (называемого разностью прогрессии). В известном по-
нятии прогрессии мы отвлекаемся от того, является представ-
ляющий ее ряд конечным или бесконечным. Слишком широким
было бы определение окружности как замкнутой линии, все точ-
ки которой отстоят на равном расстоянии от некоторой точки,
называемой центром окружности. Для того чтобы определение
было в данном случае соразмерным, нужно вместо «замкнутой
фигуры» сказать «плоская замкнутая фигура».
3. Возможно, однако, что определение является в некотором
отношении слишком широким, а в другом — слишком узким, та-
ким, что в класс предметов, выделяемый в определяющей части,
попадают не все предметы, которые должны в нем быть, и пред-
меты, которые не относятся к нему. Пример: «Литературное про-
изведение — это письменное или печатное изложение какой-либо
истории». Ясно, что объем указанного здесь понятия охватывает
далеко не все литературные произведения. С другой стороны,
едва ли относится к литературным произведениям, например, про-
токол какого-либо допроса или жалобы, которые могут быть эле-
ментами этого объема.
Три перечисленных случаях некорректности (реального) опре-
деления, вводящего некоторое понятие, связаны с видовым отли-
чием этого понятия. Нередки также ошибки за счет неправильного
указания рода понятия (см. выше в определении существитель-
ного, глагола — с. 96, химического элемента — с. 135).
Следующее определение, взятое, правда, из области анекдо-
тов, содержит все указанные только что ошибки и представляет
собой пример вообще надуманного определения.
Когда известный естествоиспытатель Кювье зашел в Акаде-
мию наук (в Париже), где работала комиссия по составлению
энциклопедического словаря, его попросили оценить определение
слова «рак», которое только что «удачно» было найдено. «Мы
нашли определение понятию «рак», — сказали члены комиссии,—
вот оно: «Рак — небольшая красная рыбка, которая ходит задом
наперед». — «Великолепно, — сказал Кювье. — Однако разре-
шите мне сделать небольшое замечание... Дело в том, что рак
не рыба, он не красный и не ходит задом наперед. За исключе-
нием всего этого, ваше определение превосходно».
226
Обобщением рассматриваемого правила могло бы быть сле-
дующее требование: определение должно согласоваться (в данном
сообществе, которому предназначено определение) с утвержде-
ниями, истинность которых не вызывает сомнений и прежде всего
относящимися к предметам, класс которых выделяется в опреде-
лении. Этому требованию не удовлетворяет, например, приведен-
ное выше (с. 23) определение качества как «существенной опре-
деленности» предмета, неотделимой от его бытия. Оно. не согла-
суется, как было показано, с утверждением диалектического ма-
териализма о существовании качественных изменений предметов.
Представителям диалектического материализма, конечно, из-
вестен пример Энгельса с изменениями агрегатных состояний
воды, иллюстрирующий переход количественных изменений в ка-
чественные. Но ясно, что при этих качественных изменениях воды
не исчезает ее «бытие» как особого химически сложного вещест-
ва. В указанном определении имеется в виду, очевидно, лишь так
называемое коренное качество, а не качественная характеристика
предмета вообще (см. § 9). Выше (с. 132) приведено определение
материи как объективной реальности, способной — непосредст-
венно или опосредованно — действовать на органы наших чувств,
вызывать ощущения. (Это определение, как нам представляется,
является лишь некоторой переформулировкой известных опреде-
лений Г. В. Плеханова и В. И. Ленина, а по существу и некото-
рых философов — материалистов в прошлом.) Однако на стра-
ницах печати нередко встречается определение материи просто
как объективной реальности. Материей объявляется при этом
все, что существует вне и независимо от человека, — формы су-
ществования материи: пространство, время, движение, энергия,
производственные отношения и т. д. и т. п. Но, приняв такое
определение, мы не можем уже говорить даже о каких-либо
свойствах материи, поскольку, будучи объективными, они сами
являются материей. Нельзя сказать, что всякая« материя обладает
движением, ибо это означало бы — «материя обладает материей».
Впрочем, нельзя употреблять и слово «обладает», ибо это тоже
есть объективное отношение. Сознание, способность мыслить как
свойство и, при этом объективно существующее, тоже надо счи-
тать материей. Поскольку целью познания является раскрытие
свойств, отношений, закономерностей, прежде всего материаль-
ного мира, оно — в силу исчезновения этих свойств, отношений,
закономерностей — становится вообще невозможным. Мы не мо-
жем также говорить о законах взаимодействия и развития мате-
риальных вещей, поскольку и они сами должны трактоваться как
некоторые материальные сущности.
4. Определение не должно быть отрицательным. Это требова-
ние направлено против случаев, когда вместо характеристики
предметов, которые должны представлять определяемое, указы-
вают на то, чем эти предметы не являются. Во время занятий в
царской армии на вопрос о том, что такое часовой, бывалый сол-
дат чеканит: «Часовой — это лицо неприкосновенное, поставлен-
227
ное на пост, чтобы ничего не отвечать, винтовки не отдавать, по-
дарков не принимать». (Из книги «Наследник» В. Славина), но
логически вполне корректно использование в определениях отри-
цательных признаков, определяя, например, параллельные ли-
нии как прямые, лежащие в одной плоскости и не имеющие об-
щих точек.
Приемы, сходные с определением
Когда по каким-либо причинам мы не можем ука-
зать предметное значение какого-либо термина посредством при-
писывания этому термину смысла, важно сделать это хотя бы с
какой-то степенью точности каким-либо другим образом. Одним
из таких приемов является указание (называемое также остен-
сивным определением). Буквально он состоит именно в указании
по крайней мере некоторых экземпляров класса подразумеваемых
предметов или самого предмета, если речь идет об единственном
предмете. Детей знакомят, например, с разными цветами, пока-
зывая их на специальной шкале цветов. Сюда же относятся и
вербально представленные примеры интересующих нас предметов
или явлений.
Другой пример — описание. Применяется в случаях, когда речь
идет о наглядно представимых предметах или явлениях и состоит
в перечислении в основном некоторых внешних признаков пред-
метов, по которым могли бы составить представление о них, хотя
среди перечисляемых признаков могут быть и существенные (чув-
ственно невоспринимаемые). Например: тигр — это млекопитаю-
щее семейства кошачьих, один из наиболее крупных современных
хищных зверей (длина тела до 3 м, вес до 320 кг). Голова округ-
лая, с короткими ушами и боками, красновато-рыжей окраски с
черными поперечными полосами и т. д.
Третий прием — сравнение. Способ пояснения специфики пред-
метов, которые имеются в виду посредством аналогии и главным
образом метафор. Архитектура — это застывшая музыка, столи-
ца — сердце государства, совесть — внутренний судья.
Дополнение к определению
1. Д определению «через абстракцию». Здесь требует выясне-
ния отношение «типа равенства» (2?2), его специфики в сравнении
с равенством, связь с последним (на которую указывает само его
название), а также смысла упомянутого выше — введенного
С. А. Яновской — условия относительно области его определения —
D. (Существование в ней не менее двух различных предметов).
Речь идет о классе отношений, каждое из которых связано в
каждом случае с некоторой предметной функцией в силу чего
может быть обозначено Rf2 и контекстуально определено: xR^y=
==f(х) =f(у)для любого R из указанного класса и соответст-
вующей области D отношения этого вида имеем: xRy='S.f(f(x) —
=f(y)); ясно, что предметы х и у (из области D) — в нормальных
(не вырожденных) случаях должны быть различны.
228
Заметим, что функция f не обязательно должна быть одномест-
ной. Возможно обобщение рассматриваемых понятий за счет иск-
лючения этого требования.
В практике познания Rf определяется обычно как не-
которое эмпирическое понятие, без использования понятия f. Это
именно те случаи, когда применим прием определения через абст-
ракцию самой f.
2. К данной выше классификации определений следует доба-
вить условные определения как вид нормальных определений
(другим видом данного рода будут тогда безусловные определе-
ния, которые до сих пор и имелись в виду).
Условное определение имеет форму: «Если А, то В==С», то
df
есть В определяется как С при условии А, где А, В, С — высказы-
вательные формы.
Типичным примером* является определение деления чисел че-
рез умножение — =z==x=y-z при условии у=£0. Можно услов-
ным образом определить смысл общих категорических суждений
в терминах языка логики предикатов: «если S не пусто, то j»ce S
суть P=Vx(S(x)=>P(x)) и Все S не суть P=Vx(S(x)z?P(x).»
df	df
(При таком определении общих суждений в сочетании с обыч-
ными определениями частных суждений получается система сил-
логистики, свободная от существенных недостатков, присущих
известным системам. Специфика его состоит, очевидно, в том, что
признаются осмысленными лишь суждения с не пустыми субъ-
ектами) .
Вместо заключения
К сожалению нет возможности рассмотреть здесь
трактовки понятия в работах по проблемам «искусственного ин-
теллекта», где ему естественно уделяется в последнее время боль-
шое внимание. Здесь нет единообразия, но обнаруживается, по
нашему мнению, явная эволюция к тому представлению о поня-
тии, которое изложено в данной монографии. Близко к нему, на-
пример, истолкование этой формы в работе В. Н. Вагина «Дедук-
ция и обобщение в системах принятия решений» (М., 1988), на-
писанной с учетом предшествующих результатов, хотя понятием в
данном случае как и обычно называют его содержание, оставляя
вне поля зрения структурные особенности данной формы мышле-
ния. Анализ проблем и изложения концепции особенно усложняет-
ся неудачным с нашей точки зрения потреблением термина при-
знак. Признаками здесь называют предметно-функциональные ха-
рактеристики объекта (по нашей терминологии)—агрегатное со-
стояние, возраст и т. п. Конечно, это не признаки, не характери-
стики предметов, по которым мы «признаем» их, отличаем одни от
других, обобщаем в понятиях. Строго говоря не являются таковы-
229
ми (как неправильно обычно считают) и то, что здесь называют
«значениями признаков» («жидкое состояние», «зрелый возраст»
и т. п.), поскольку, будучи представлены именами, они имеют
статус предметов, а не предикатов. В. Н. Вагин, следуя за
В. П. Гладуном, определяет понятие как обобщенную информа-
цию «о множестве объектов, представленных наборами значений
признаков, которая: а) отображает характерные для этого мно-
жества логические отношения между отдельными значениями
признаков; б) является достаточной для различения с помощью
некоторого правила распознавания объектов, принадлежащих
множеству, от объектов, не принадлежащих ему» (с. 236). «На-
бор значений признаков» вместе с логическими отношениями меж-,
ду этими значениями (понимаемыми как предикаты) составляют
содержание понятия — точнее, его видовое отличие. Как мы стре-
мились показать, оно может быть представлено в виде одного
более или менее сложного предиката (однако отнюдь не всегда
это содержание можно разложить на систему значений какого-то
«признака» и совокупность логических отношений между ними).
Если это есть предикат Д(х),то «правило», о котором упоминает-
ся в указанном определении, есть просто способ решения вопроса
о том, выполняется ли А для х — предмета из рода для данного
понятия, называемого иногда генеральной совокупностью. У цити-
руемого автора это правило связывается с булевой функцией, ко-
торая возникает из совокупности «значений признаков» — с уче-
том логических отношений между ними — в результате соотнесе-
ния каждому из этих значений определенной булевой переменной
(с. 237 цитируемой книги).
Выявленные в данной книге возможности применения аппара-
та современной логики для анализа понятий связаны главным
образом именно с представлением признаков как предикатов.
Можно полагать, что эти возможности имеют какое-то отношение
и к тем задачам, которые подлежат решению в рамках теорий
«искусственного интеллекта».
Литература
1.	Маркс К., Энгельс Ф. Сочинения.
2.	Ленин В. И. Полное собрание сочинений.
3.	Александров П. С. Введение в общую теорию множеств и функций.
М,—Л., 1948.
4.	Аристотель. Сочинения в 4 т. М., 1978.
5.	Аристотель. Метафизика. М.—Л., 1934.
6.	Асмус В. Ф. Логика. М., 1947.
7.	Ахманов А. С. Логическое учение Аристотеля/Уч. зап. МОПИ. Т. 24.
Вып. 2. 1954.
8.	Баркадзе К. С. Логика. Тбилиси, 1951.
9.	Бачманов В. С. Существует ли в действительности мышления закон об-
ратного отношения//Вопр. логики. Л., 1960.
10.	Биб лер В. С. Понятие как процесс//Вопр. философии. 1956. № 9. С. 206.
11.	Бирюков Б. В. О работах Г. Фреге по философским вопросам матема-
тики//Философские вопросы естествознания. Вып. 2. М., 1959.
12.	Бирюков Б. В. Крушение метафизической концепции универсальности
предметной области в логике. М., 1963.
13.	Бирюков Б. В. Теория смысла Готлоба Фреге//Применение логики в
науке и технике. М., 1960.
14.	Борн М. Физика в жизни моего поколения. М., 1963.
15.	Бочаров В. А. Аристотель и традиционная логика. М., 1984.
16.	Бриллюэен Л. Наука и теория информации. М., 1960.
17.	Бур баки Н. Архитектура математики//Математическое просвещение.
1960. № 5.
18.	Б у р б а к и Н. Очерки по истории математики. М., 1963.
19.	Б у р б а к и Н. Теория множеств. М., 1955.
20.	Бранский В. П., Ильин В. В. Сущность и явление//Диалектика мате-
риального мира. Л., 1985.
21.	Ван Хао, Мак-Нотои Р. Аксиоматические системы теории множеств.
М„ 1963.
22.	Введенский А. И. Логика как часть теории познаиия. М.—Пг., 1923.
23.	Ветров А. А. Расчлененность формы как основное свойство понятия//
//Вопр. философии. 1958. № 1.
24.	В о й ш в и л л о Е. К. Философско-методологические аспекты релевантной
логики. М., 1988.
25.	В о й ш в и л л о Е. К. Понятие. М., 1967.
26.	Вригт Г. X. Логико-философские исследования. М., 1986.
27.	Гейзенберг В. Физика и философия. М., 1963.
28.	Гегель Г. Сочинения: В 18 т. М., 1939.
29.	Герцен А. И. Избранные философские произведения. М„ 1948.
231
30.	Г и л ь б е р т Д. Основания геометрии. М.—Л., 1948.
31.	Гильберт Д., Аккерман В. Основы теоретической логики. М., 1947.
32.	Гои ин Е. Г. Теоретическая арифметика. М„ 1959.
33.	Горский Д. П. Вопросы абстракции и образование понятий. М., 1961.
34.	Горский Д. П. Определение. М., 1974.
35.	Г о р с к и й Д. П. Обобщение и познание. М., 1985.
36.	Горский Д. П. Идеализация и познание//Логика научного познания.
М„ 1987.
37.	Горский Д. П. Определения, их виды н прав ил а//Логика научного по-
знания. М„ 1987.
38.	Готт В. С., Землянский Ф. М. Диалектика развития понятийной фор-
мы мышления. М., 1981.
39.	Гудстейн Р. Л. Математическая логика. М., 1961.
40.	Дж ем мер М. Понятие массы. М., 1967.	«
41.	Зигварт X. Логика, учение о суждении, понятии и выводе. Спб., 1908.
42.	Ивлев Ю. В. Содержательная семантика модальной логики. М., 1985.
43.	КантИ. Логика. Пг., 1915.
44.	Карнап Р. Значение и необходимость. М., 1959.
45.	Кассирер Э. Познание и действительность. Спб., 1912.
46.	Кедров Б. М. Эволюция понятия элемента в химии. М., 1956.
47.	Кемени Дж., Снелл Дж., Томпсон Дж. Введение в конечную ма-
тематику. М., 1963.
48.	Клаус Г. Введение в формальную логику. М., 1960.
49.	Клини Ст. К. Введение в математику. М., 1957.
50.	К у а й н У. О. Референция и модальность//Новое в зарубежной лингви-
стике. М., 1982.
51.	Копнин П. В. Формы мышления и их взаимосвязь//Вопр. философии.
1956. № 3.
52.	Котарбиньский Т. Избранные произведения. М., 1963.
53.	Кузнецов Б. Г. Беседы о теории относительности. М., 1960.
54.	Кур санов Г. А. Диалектический материализм о понятии. М., 1963.
55.	Кун Т. Структура научных революций. М., 1975.
56.	Кутюра Л. Философские принципы математики. Спб., 1913.
57.	Локк Д. Избранные философские произведения: В 2 т. М., 1960.
58.	Мальцев В. И. Очерк по диалектической логике. М., 1964.
59.	Микеладзе 3. Н. Основоположения логики Аристотеля. Предисловие к
т. 2 Аристотеля. М., 1978.
60.	Мн л ль Дж. Система логики силлогической и индуктивной. М., 1914.
61.	Meськов В. С. Очерки по логике квантовой механики. М., 1986.
62.	Минто В. Дедуктивная и индуктивная логика. М., 1896.
63.	Мировоззренческие и методологические проблемы научной абстракции. М.,
1960.
64.	Петров В. В. Семантика научных терминов. Новосибирск, 1982.
65.	Петров Ю. А. Проблема соизмеримости теорий//Филос. науки. 1986.
№ 4.
66.	П е т р о в Ю. А. Методологические вопросы применения и развития науч-
ных понятий. М., 1980.
67.	Петров Ю. А., Никифоров А. Л. Логика и методология научного по-
знания. М., 1982.
68.	П е т р о в Ю. А. Методологические проблемные ситуации в научном мыш-
лении//Вестн. Моск, ун-та. Сер. философия. 1987. № 2.
69.	Поппер К. Логика и рост научного знания. М., 1983.
70.	Попов П. С. Значение слова и понятие//Вопр. языкознания. 1956. № 6.
71.	Попов П. С. Суждение и его строение//Философские записки. Т. VI.
М„ 1953.
72.	Порфирий. Введение в категории Аристотеля//Арнстотель, категории.
М„ 1934.
73.	Рассел Б. Человеческое познание. М., 1957.
74.	Рассел Б. История западной философии. М., 1959.
75.	Ройтман У. Познание и мышление. М., 1968.
232
76.	Резников Л. О. К вопросу об истинности понятий//Вопр. логики. Л.,
1960.
77.	Резников Л. О. Понятие и слово. Л., 1958.
78.	Реформатский А. А. Введение в языкознание. М., 1955.
79.	Розенталь М. М. Принципы диалектической логики. М., 1960.
80.	Свин цо в В. И. Логика. М., 1987.
81.	Слупецкий Е., Борковский Л. Элементы математической логики и
теории множеств. М., 1965.
82.	С м и р н и цки й А. И. Значение слова//Вопр. языкознания. 1955. № 2.
83.	Смирнов В. А. Логические методы анализа научного знания. М., 1987.
84.	С м и р н о в а Е. Д. Формализованные языки и проблемы логической се-
мантики. М., 1982.
85.	С м и р н о в а Е. Д. Логическая семантика и философские основания ло-
гики. М., 1986.
86.	Степанов Ю. С. В трехмерном пространстве языка. М., 1985.
87.	С т р о г о в и ч М. С. Логика. М., 1949.
88.	Субботин А. Л. Идеализация как средство научного познания//Проб-
лемы логики научного *познания. М., 1964.
89.	Т а р с к и й А. Введение в логику и методологию дедуктивных наук. М.,
1948.
90.	Т и м и р я з е в К. А. Исторический метод в биологии. Избранные сочине-
ния: В 4 т. М., 1949.
91.	Тимирязев К. А. Чарльз Дарвин и его учение. Избранные произведе-
ния: В 4 т. М., 1949.
92.	Тренделенбург А. Логические исследования. Ч. II. М., 1868.
93.	У е м о в А. И. Вещи, свойства и отношения. М., 1963.
94.	У е м о в А. И. Выводы из понятий//Логико-прагматические очерки. М.,
1961.
95.	Успенский В. А. Лекции о вычислимых функциях. М., 1960.
96.	Шрейдер'Ю. А. Равенство, сходство, порядок. М., 1971.
97.	Франк Ф. Философия науки. М., 1960.
98.	Филатова А. Н. Некоторые вопросы теории понятия. М., 1962.
99.	Френкель А., Бар-Хиллел И. Основания теории множеств. М.,
1966.
100.	Хил л Т. И. Современные теории познания. М., 1965.
101.	Хинтикка Я. Логико-эпистемологические исследования. М., 1980.
102.	Черкесов В. И. Некоторые вопросы теории понятия в диалектической
логике//Вопр. философии. 1965. № 2.
103.	Черч А. Введение в математическую логику. М., 1960.
104.	Чупахин И. Я- Вопросы теории понятия. Л., 1961.
105.	Эйнштейн А., Инфельд Л. Эволюция физики. М., 1948.
106.	Яновская С. А. Методологические проблемы науки. М., 1972.
107.	Aidukiewicz К. Abriss der Logik. Berlin, 1958.
108.	Bochenski S. M. Die reitgenossischen Denkmethoden. Bern, 1959.
109.	Curry H. and Teys R. Combinatory logic. Vol. I. Amsterdam, 1958.
110.	Frege G. Uber Begriff und Gegeustand//Viertelgchrschrift fur wissen-
schaftliche Philosophie. 1892. Nr 216.
111.	Frege G. Uber Sinn und Bedeutung, Zeitschrift fur Philosophie und phi-
losophische kritik—100B. Leipzig, 1892.
112.	L e i b n i z G. W. Einleite in die goheime Enzyklopadic Fragmente zur Lo-
gik. Berlin, 1960.
113.	Russel B. On denoting//Mind. 1915. Vol. 14.
114.	Reichenbach H. Elements of simbolic logik. New York, 1952.
115.	Schiller F. I. S. Formal logic. London, 1912.
116.	U b e г w e g F. System ,.der Logic und Geschichte der logischen Lehren. Ber-
lin, 1882.
Предметный указатель
Абстрагирование 8, 97
изолирующее 98, 174
обобщающе-различающее 98, 174
отождествляющее 98, 174
Абстрактные предметы (объекты) 98,
173
Антиномии именования 48, 49
Аргументы и область (множество) воз-
можных аргументов
предиката 68
предикатора 33
функтора (функции) 37
Булева алгебра (как понятие) 159, 179,
180
Вид и род 92, 131, 133, 182
отношение «вид — род» 134
— «часть — целое» 134
Вывод в исчислении предикатов 74, 79
анализ 81
Декартово произведение 34
Деление понятия 203
возможные ошибки 206
дихотомическое 209
классификация 210, 211
мереологическое 211, 212
основные 204, 205
по видоизменению признака 209
правила 204, 205
состав 204
таксономическое 211, 212
Дескриптивные термины 14, 16, 63
Диаграммы (прямоугольники Вейна) 144
Дизъюнктивное разложение содержания
понятия 143
Дизъюнкция 41, 60
Доказательство в исчислении предика-
тов 74, 80
Закон обратного отношения 136
Законы логики 66
Знаки 6
индексы 8
образы 8
отношение к объекту 16, 35
— его виды 16, 35
символы 8.
языковые 8
значение 9, 11
— предметное 9, 11, 13	।
— смысловое 9, 11, 13
— смысл переносный 9
----приданный 9, 10
----прямой 9
----собственный 9, 10
----этимологический 9, 0
Идеализация 98
Имена 19, 20, 21
единичные 14, 15, 16, 20
общие 14, 15, 16, 20
описательные 10, 31
предметное значение 14
собственные 20, 31
Импликация 41, 60
материальная 43
интенсиональная (сильная) и услов-
ная связь 42, 43, 124
Индивидные концепт ПО
Интенсиональные контексты 42, 49
Интерпретация языка логики предика-
тов 62
234
Исчисление предикатов 73
второго порядка 73
первого порядка 73
с равенством 84
Кванторы 60
общности 60
существования 60
Кванторные слова 18, 19, 109
Класс 17, 18, 23, 24
множество 23, 24
Классификация 210
естественная 210, 211
искусственная 210, 211
Количественные характеристики пред-
метов 113, 115
Контексты	.
интенсиональные 40
экстенсиональные 49, 58
Конъюнкция 41, 60
Логическая форма
понятия 38, 58, 63, 66, 68, 73, 103
Логические постоянные (константы) 14,
16, 38
термы 14, 16, 38
Логическое
подлежащее 16, 18, 19
сказуемое 16, 18, 19
Логическое следование 66, 80, 137
и выводимость 75, 80, 86
и информация 137
Логическое содержание
высказывания 67
понятия 139
Множество 23, 24
агрегированное 24, 135
в действительности 23, 24
как объект мысли 23, 24
элемент, часть (подмножество) 24
Область (множество) истинности преди-
катора 34
Область определения
предикатора 34
функтора 34
функции 39
Область (множество) значений
функтора 37
 функции 39
Отношение между высказываниями 66
Онтология языка 69
Обобщение 91, 97
и абстрагирование 97
в понятии 87
понятий 185
общее, особенное и отдельное 93, 132,
151
объем 92
— логический 139, 141
— фактический 139, 141
—	части 92
—	элементы 92
отношения между понятиями 178
—	несовместимости 180
—	несравнимости 178
—	перекрещивания 182
—	подчинения 182
—	противоположности 183
—	противоречия 183
—	равнозначности 182
—	сравнимости 178
—	совместимости 180
— соподчиненности 184
Общее имя 15, 26, 105
в предикатной позиции 27, 29, 30
в субъектной позиции 27, 29, 30
Объект мысли 20
типы объектов 100, 101
Ограничение понятий 186
Операторы
дескрипции 109
неопределенной дескрипции 109
определенной дескрипции 109
функциональной абстракции 72
Определение 10, 212
атрибутивно-реляционное 219
генетическое 219
индуктивное 58, 115, 198, 222
контекстуальное 220
лингвистическое 220
на основе принципа абстракции 219
нормальное 221
номинальное 96, 215
неявное 66, 220
операциональное 219
условное 229
явное 217
возможные ошибки 223
через род и видовое отличие 132, 218
правила 223
— реальные 95, 215
— рекурсивные 221
состав 213
Отношение 70
включения (класса в класс) 24, 106—
108
общего 92, 132
особенного 92, 132
отдельного (в понятии) 92, 132
принадлежности элемента классу 24,
106—108
равенства (тождество) и типа равен-
ства 219„ 229
— функциональное 39
— «часть — целое» 134
Отрицание 41, 60
Парадоксы (логические) 25
Переменные
предикатные 59
235
предметные 59
пропозициональные 59, 75
функциональные 59
свободные 61
связанные 61
специализированные 102, 105, 109
фиксированные 63
варьирование 77
интерпретация
— свободных перемен в формулах 73
--- предикатная 73
---всеобщности 73
область значений 29, 62
ограничение
— абсолютное 79
— относительное 79
— переменных в выводе 77
подстановка 75
— правильная 76
Понятие 91
виды
— единичные и общие 169
— конкретные и абстрактные 173—
174
— об отношениях (с отношениями)
173
—	относительные и безотносительные
171, 172
—	положительные и отрицательные
170, 171
—	простые и сложные 170
—	с нулевым (пустым) объемом 168,
170
—	собирательные и несобирательные
175, 176
— теоретические и эмпирические 177
— универсальные 170
— функциональные 156
информационная характеристика 142
и слово 95
и существенные признаки 129
как система знаний 102, 158, 162
как смысл общего имени 90, 162
основные характеристики 92
— и представления 98
— как форма мысли и мышления 87
Понятийная и атрибутивная формы вы-
сказываний (утверждений)
и парадоксы 108
разных уровней 129
Постулаты равенства 85
Правила вывода в исчислении предика-
тов 74
исходные 74
непрямые 75
прямые 75
Правило подстановки формул вместо
предикатных переменных
в исчислении предикатов 76
Предложения 13, 19
и высказывание 19
236
и суждение 13, 19
Предмет 14, 20, 21
Предметно-функциональные характери-
стики 14
Предикаты 16, 68
и высказывания 124—125
доказательство в исчислении 74, 80
и единичные описательные имена 70
и законы науки 124, 125
и общие имена 70
логика
—	выполнимость 66	;
—	логическое следование 66
— общезначимость 66
местность 68
порядок 68
присоединенные функции 71
эквивалентности исчисления 117
Предикаторы 14, 16, 33, 68
и предикаты 16, 37, 68
как функторы 40—41
Признаки 92, НО
видовые 93
родовые 93
и предикаты 103, 104, 111
различие по содержанию и категории
Аристотеля 113
основные (существенные) 118, » 119,
122
отличительные и неотличительные 91 ,
относительные и безотносительные 116
относительно существенные и безот-
носительно существенные 128
положительные и отрицательные 112
производные и случайные 118, 122,
12Q
простые и сложные 111
разложимые и неразложимые 112
случайные и неслучайные 118
существенные 91
Принцип
абстракции 220—221
взаимозаменимости 47
однозначности 46
предметности 47
соответствия 163—164
тождества 22
употребления имен 46—47
Разложение объема понятия иа элемен-
тарные составляющие 143
Свойства и качества 113
атрибутивные и реляционные 70, 116
и диспозиционные предикаты ИЗ, 114
Связка «есть» 32, 108
Семантические и синтаксические катего-
рии языковых выражений 13
Содержание понятия 92, 136
логическое 139
полное 92, 158
основное 92
фактическое
Связь между операциями с классами
(объемами понятий) и содержаниями
понятий 143
Смысл знака 9, 11
лексический 10
приданный 9, 10
собственный 9, 10
этимологический 10, 11
Совершенная дизъюнктивная нормаль-
ная форма 144—145
Сущность предметов 119
Термы 60
Типы объектов 100, 101
Формальная теория
как понятие 161
Формулы языка логики предикатов 60
выполнимые 66
общезначимые 66
Функторы 14, 37
Функция 39
логическая (пропозициональная) 40
предметная 40
и функциональные отношения 39
пробег значения 39
Эквивалентности основные 117
Язык
логики предикатов 54
— второго порядка 59, 67
— первого порядка 59, 67
классической логики предикатов 54
интерпретированный 67
полуинтерпретированный 67
объектный 55
исходные символы 59
семантика 62
ОГЛАВЛЕНИЕ
Введение............................................................. 3
Часть I. ЯЗЫК КАК СРЕДСТВО ПОЗНАНИЯ 6
Глава I. Логический анализ естественного языка....................... 6
§ 1.	Язык как знаковая система. Основные аспекты языка. Виды и
характеристики знаков ......................................... 6
§ 2.	Основные семантические и синтаксические категории языко-
вых выражений................................................13
§ 3.	Выражения языка как функторы. Виды функций ....	39
§ 4.	Принципы употребления имен и знаков вообще. Антиномии
именования. Типы контекстов....................................46
Г лава II. Язык логики предикатов и исчисление предикатов ....	54
§ 5.	Язык классической логики предикатов (первого и второго по-
рядков) ........................................................54
§ 6.	Исчисление предикатов первого и второго порядков (система
натурального вывода)...........................................73
Часть II. ПОНЯТИЕ КАК ФОРМА МЫШЛЕНИЯ 87
Глава I.	Понятие как форма мысли и	как форма познания...............87
§ 7.	Структура и основные характеристики понятия. Роль понятия
в познании......................................................87
§ 8.	Логические формы понятий. Понятия и описательные имена
(дескрипции).................................................103
Глава II. Признаки и их виды....................................ПО
§ 9.	Признаки и предикаты. Деление признаков по структурам и
содержаниям................................................НО
§10.	Основные существенные признаки. Сущность предметов	.	118
§11.	Понятия вида и рода в логике и конкретных науках	...	131
Глава III. Закон обратного отношения и его роль в познании .	.	.	.	136
§12.	Закон обратного отношения между объемами и содержаниями
понятий. Логическое и фактическое содержание понятий .	.	136
§13.	Способ представления объемов и содержаний понятий в со-
вершенных нормальных формах....................................143
238
§14.	Закон обратного отношения и проблема отношения общего,
особенного и отдельного. О так называемом законе «прямого
отношения».....................................................151
Глава IV. Понятия и теории. Понятие как система знаний...............158
§ 15.	Полное содержание понятия. Понятие как система знания.
Формальная теория как понятие..............................158
§ 16.	Некоторые формы развития понятий и проблема соизмеримо-
сти сменяющих друг друга теорий................................163
Глава V. Виды понятий и виды отношений между понятиями .	.	.	.	168
§17.	Виды понятий.............................................168
§18.	Виды отношений между понятиями...........................178
Глава VI. Операции с понятиями. Определения..........................185
§ 19.	Обобщение и ограничение понятий..........................185
§ 20.	Деление понятий. Классификация...........................203
§ 21.	Определение (дефиниция) как прием познания ....	212
Вместо заключения....................................................229
Литература...........................................................231
Предметный указатель.................................................234
Научное издание
Войшвилло Евгений Казимирович
I	ПОНЯТИЕ КАК ФОРМА МЫШЛЕНИЯ:
ЛОГИКО-ГНОСЕОЛОГИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ
Зав. редакцией
Г. С. Прокопенко
Редактор
Т. М. Пронкина
Художественный редактор
Ю. М. Добрянская
Переплет художника
Б. С. Казакова
Технический редактор
В. В. Макарова
Мл. редактор
М. Л. Будниченко
Корректоры
М. И. Эльмус, Т. С. Милякова
Глс
ИБ Ns 3125
Сдано в набор 16.12.88. Подписано в печать
29.06.89. Формат 60X90/16. Бумага офс. № 1.
-Гла	Гарнитура Литературная. Высокая печать.
Усл. печ. л. 15,0. Уч.-изд. л. 17,62. Тираж
5000 экз. Заказ 504. Изд. № 293. Цеиа 2 р. 40 к.
Ордена «Знак Почета»
издательство Московского университета.
103009, Москва, ул. Герцена, 5/7.
Типография ордена «Знак Почета» изд-ва МГУ.
238	119899, Москва, Ленинские горы