/
Text
АКАДЕМИЯ НАУК СССР
ИНСТИТУТ МАШИНОВЕДЕНИЯ имени А.А. БЛАГОНРАВОВА
Э.Л. АЙРАПЕТОВ, О.И. КОСАРЕВ
ЗУБЧАТЫЕ
МУФТЫ
6
ИЗДАТЕЛЬСТВО «НАУКА»
Москва 1982
УДК 621.825.52.001.2
Айрапетов Э.Л., Косарев О.И. Зубчатые муфты. М.: Наука, 1982.128с.
В монографии приведены результаты теоретических и экспериментальных иссле-
дований статики и динамики зубчатых муфт. Рассмотрены закономерности образова-
ния зазоров между зубьями в связи с погрешностями изготовления и монтажа муфт.
Изложены методы определения деформации зубьев и ободьев зубчатых муфт.
Предназначена для научных и инженерно-технических работников. Ил. 71.
Табл. 18. Библиогр. 57 назв.
Ответственный редактор
доктор технических наук,
профессор Э.Г. ГУДУШАУРИ
Эдуард Леонович Айрапетов, Олег Иванович Косарев
ЗУБЧАТЫЕ МУФТЫ
Утверждено к печати Институтом машиноведения
им. А.А. Благонравова АН СССР
Редактор издательства М.М. Гальперин
Художник Е.Н. Болков. Художественный редактор Н.Н. Власик
Технический редактор ИМ. Бурова. Корректор О.А. Пахомова
ИБ № 24463
Подписано к печати 07.07.82. Т - 09884. Формат 60x90 1/16
Бумага офсетная N* 1. Печать офсетная. Усл.печл. 8,0.-Усл.кр.-отт. 8,3
Уч.-издл. 8,2. Тираж 1950 экз. Тип. зак. 1*344. Цена 1р. 20к.
Издательство ’’Наука”, 117864 ГСП-7, Москва В-485, Профсоюзная ул., д, 90
Ордена Трудового Красного Знамени 1-я типография издательства ’’Наука”
199034, Ленинград В-34,9-я линияДг
2702000000-346
055 (02) -82
845-82, кн. 2
©Издательство ’’Наука”,
1982 г.
ПРЕДИСЛОВИЕ
Зубчатые муфты широко применяются в современном машинострое-
нии для соединения передающих вращающий момент элементов в различ-
ных механизмах и энергетических установках (турбогенераторы, турбо-
зубчатые агрегаты и тд.). Широкое распространение зубчатых муфт,
представляющих собой по существу зубчатые механизмы с передаточным
отношением, равным единице, объясняется целым рядом их преимуществ
по сравнению с муфтами других типов: карданных, втулочно-пальцевых,
шариковых, упругих дисковых, пластинчатых, цилиндрических и др.
Зубчатые муфты обладают высокой нагрузочной способностью, малы-
ми габаритами, они просты в изготовлении и эксплуатации. Удобства сбор-
ки и разборки зубчатых муфт в условиях ограниченных габаритов делают
эти муфты незаменимыми во многих конструкциях. Элементы зубчатых
муфт не подвержены старению, воздействию агрессивных нефтехими-
ческих сред, мало чувствительны к высоким температурам и перепадам
температур (при соответствующей смазке). Контактирующие поверх-
ности зубьев могут быть упрочнены применением специальных видов
обработки: закалки, нитрирования, азотирования и др. Основное преиму-
щество зубчатых муфт заключается в том, что при правильном проекти-
ровании и достаточной смазке они могут обеспечить практически любой
требуемый ресурс.
К недостаткам зубчатых муфт относится следующее: применение их
требует подвода жидкой смазки; в случае изготовления зубьев с криво-
линейной образующей боковой поверхности нужны специальные при-
способления для нарезания таких зубьев; имеются ограничения по темпе-
ратуре окружающей среды в случае использования жидких смазок; и,
наконец, трудность балансировки (или уравновешивания) плавающего
промежуточного элемента в двойных зубчатых муфтах.
Зубчатые муфты применяются давно, по ним накоплен большой произ-
водственный опыт, в проектных организациях существуют методики
прочностного расчета зубьев муфт по напряжениям смятия и изгиба.
Однако теоретические и экспериментальные исследования показывают,
что сложившийся метод расчета является весьма приближенным, посколь-
ку не учитывает реальных условий нагружения зубьев муфты, и поэтому
не может служить надежным критерием для оценки их прочности и долго-
вечности.
Условность применяемых методов расчета объясняется двумя причина-
ми. Во-первых, зубчатые муфты обладают высокой нагрузочной способ-
ностью, и, кроме того, эмпирически выбираемые коэффициенты запаса
з
прочности, как правило, завышены. В связи с этим усталостные поломки
зубьев муфт - явление довольно редкое. Во-вторых, трибологические
вопросы долговечности зубчатых муфт (трение, износ, смазка, контакт-
ная коррозия и др.) весьма сложны и пока что находятся в стадии разра-
боток.
Однако наблюдающаяся тенденция роста мощностей и скоростей
вращения силовых агрегатов требует совершенствования конструкций
зубчатых муфт и методов их расчета.
В книге сделана попытка изложить и обобщить результаты теорети-
ческих и экспериментальных исследований зубчатых муфт по комплексу
вопросов: геометрии, кинематики, деформативности, статики и динамики
зубчатых муфт; разработке методики статистического расчета муфт;
определению основных источников и особенностей возбуждения колебаний
в зубчатых муфтах для расчетов собственных и вынужденных колебаний
систем, содержащих упругие муфты, а также вопросы поверхностных раз-
рушений и смазки зубьев муфт.
Рассмотрены различные типы зубчатых муфт - одинарные и двойные,
которые могут быть как с прямыми, так и с бочкообразными эвольвент-
ными зубьями. Одинарной муфтой или зубчатым соединением будем на-
зывать зубчатое соединение двух полумуфт - втулки (внутренней детали
с наружными зубьями) и обоймы (охватывающей втулку детали с внут-
ренними зубьями), которые жестко соединены со своими валами.
Муфту, в которой зубья обоймы и втулки имеют прямолинейную обра-
зующую боковой поверхности, будем называть муфтой с прямыми зубья-
ми. Муфту, в которой внутренние зубья (обоймы) имеют прямолинейную,
а наружные зубья (втулки) - криволинейную образующую боковой
поверхности, будем называть муфтой с бочкообразными зубьями.
Двойной и двухвенцовой зубчатой муфтой будем называть муфту,
содержащую две одинарные муфты с промежуточным плавающим эле-
ментом, зубчатыми венцами которого могут быть как обоймы, так и
втулки.
Во введении дан обзор работ по исследованию зубчатых муфт, касаю-
щихся различных вопросов их проектирования и работы, в том числе
по геометрии, кинематике, статике и динамике.
В первом разделе книги (гл. 1—3) освещены вопросы определения
разнозазорности в зубчатой муфте, обусловленной погрешностями из-
готовления и монтажа зубчатых муфт: перекосом и смещением осей,
накопленными погрешностями окружных шагов зубьев (или эксцентри-
ситетами зубчатых венцов), а также определения деформаций (жест-
костей) зубьев (гл. 2) и ободьев (гл. 3) муфт. Указанные параметры
являются исходными для проведения статистического расчета зубчатых
муфт. В гл. 2 не только приведены результаты теоретических исследова-
ний, но и обобщены полученные различными авторами данные экспери-
ментальных исследований жесткости зубьев муфт.
Второй раздел книги (гл. 4-6) посвящен исследованию и разработке
методики расчета статической нагруженности зубчатых муфт. Рассмотрены
одинарные и двойные зубчатые муфты с жесткими и податливыми
ободьями. В гл. 4 предложены варианты приближенных (без учета пере-
4
менности жесткостей зубьев) и уточненных (с учетом переменности жест-
костей зубьев) методик расчета силовых факторов в зубчатых муфтах:
распределения нагрузки по зубьям муфты, результирующих упругих
сил и моментов, моментов сил трения. Приведены результаты экспери-
ментальных исследований нагрузок в зубчатых муфтах и выполнено их
сопоставление с расчетными данными. В гл. 5 рассмотрены особенности
работы двойных зубчатых муфт, связанные с возможностью самоцентри-
рования в них плавающего элемента, а также приведены зависимости для
расчета распределения нагрузок по зубьям и результирующих силовых
факторов. В гл. 6 изложены методы раскрытия статической неопреде-
лимости в сложно связанных упругих системах, к которым относятся
зубчатые муфты с податливыми ободьями; приведен метод расчета таких
муфт.
Третий раздел книги (гл. 7-9) посвящен вопросам динамики и проч-
ности зубчатых муфт. В гл. 7 определены параметры динамической моде-
ли зубчатой муфты, ее статические жесткости (податливости), исполь-
зуемые в методе начальных параметров (переходных динамических мат-
рицах) , приведены сведения по оценке демпфирующих свойств зубчатых
муфт.
В гл. 8 рассмотрены источники возбуждения колебаний в зубчатых
муфтах, обусловленные накопленными погрешностями окружных шагов
зубьев сопрягаемых зубчатых венцов и неуравновешенностью элементов.
Рассмотрены особенности работы двойной зубчатой муфты при наличии
накопленных погрешностей шагов зубьев зубчатых венцов. Приведены
расчетные зависимости по определению амплитуд возмущающих сил.
В гл. 9 рассмотрены вопросы оценки нагрузочной способности зубчатых
муфт по критериям динамики и смазки.
ВВЕДЕНИЕ
Зубчатым муфтам посвящено довольно большое количество исследова-
ний, однако наиболее подробно рассмотрены лишь вопросы геометрии
и кинематики зубчатых муфт, до настоящего времени нет общепринятой
и теоретически обоснованной методики прочностного расчета зубчатых
муфт, недостаточно внимания уделяется проблемам динамики, смазки
и долговечности зубчатых муфт.
Ниже приведен краткий обзор развития теории и конструкций зубча-
тых муфт.
Первые конструкции зубчатых муфт [10] имели прямые эвольвентные
зубья (с прямоугольным продольным сечением) и применялись при
малых углах перекоса осей. Для увеличения компенсирующей способ-
ности муфты уменьшали длину и скругляли кромки зубьев втулки. Было
установлено, что при больших углах перекоса в муфте число нагруженных
зубьев ограничено двумя диаметрально противоположными зонами и
что необходима центровка полумуфт. Позже наружную поверхность
втулки начали изготовлять по сфере с центром на оси втулки, т.е. центри-
ровать зубья втулки по впадинам зубьев обоймы.
В применяемых сейчас муфтах образующая боковой поверхности
зубьев втулки может быть прямой, ломаной - двусторонне скошенной,
эллиптической круговой [40, 46, 54], что определяется предъявляемы-
ми к муфтам требованиями: обеспечение компенсации максимального
угла перекоса при минимальном гарантированном боковом зазоре; по-
лучение нужного характера контакта поверхностей зубьев; уменьшение
контактных напряжений и др.
В общем случае, как показано в работе [40], применение криволиней-
ной образующей боковой поверхности зубьев втулки дает возможность
значительно снизить величину наименьшего гарантированного зазора,
необходимого для компенсации перекоса осей, и обеспечивает более
равномерное распределение нагрузки по зубьям муфты.
В работе [38] проведено исследование формы зубьев и влияния ее
на некоторые параметры, характеризующие равномерность вращения
соединяемых муфтой валов, величину скорости скольжения в муфте,
величину потерь передаваемой мощности в муфте. В частности, пока-
зано, что эвольвентные зубья при простоте их производства имеют не са-
мые лучшие кинематические характеристики (особенно при переменных
углах перекоса). В качестве оптимальной предложена муфта с кони-
ческими зубьями на обоих венцах муфты.
В первых конструкциях муфт величины необходимых боковых и
радиальных зазоров находились либо опытным путем, либо назначались
по аналогии с прототипом. Было известно, что увеличение зазоров в зуб-
чатых соединениях сказывается двояко — с одной стороны, расширяются
компенсирующие возможности муфты, а с другой — ухудшаются условия
работы зубьев в период пуска и реверсов, а также при малых нагрузках
и больших скоростях вращения муфт. Отсюда возникла необходимость
определять оптимальные величины зазоров расчетным путем. В связи
с этим в работах [38, 40] приведены способы расчета минимально до-
пустимых боковых зазоров в муфтах с бочкообразными зубьями.
Вопрос неравномерности вращения соединяемых зубчатой муфтой
несоосных валов не привлекал к себе особого внимания, по-видимому,
из-за относительно малых величин углов перекоса, для компенсации ко-
торых применяются зубчатые муфты. В работе [25] дана аналитическая
зависимость между углами поворота скрещивающихся валов, соединен-
ных жесткой одноэлементной (однозубой) муфтой. Показано, что
относительная скорость вращения валов зависит от величин радиального
и углового смещения осей валов и угла между направлениями этих сме-
щений.
Такой же результат, но в более упрощенном виде получен в работе [38],
где установлено, что кривые изменения разности углов поворота валов
имеют вид синусоид, причем цикл изменения Д<р при радиальных
смещениях происходит один раз за оборот муфты, а при угловых смеще-
ниях - два раза за оборот муфты и скорости вращения имеют пульси-
рующий характер. Однако авторы указанных работ считают, что с увели-
чением числа находящихся в контакте зубьев неравномерность вращения
валов уменьшается. Поэтому для обычных многоэлементных муфт иссле-
дование неравномерности вращения валов интереса не представляет [25].
Более того, в работе [46] показано, что и при больших углах перекоса
зубчатые муфты передают практически равномерное вращение подобно
зубчатым передачам с внутренним зацеплением.
Вопрос о наличии сил сопротивления (трения) в муфте был впервые
затронут в работе [39]. В ней вводились понятия некоторой равнодей-
ствующей сил сопротивления б = Рд/2 и момента сил сопротивления
М = 2Qr, где д - коэффициент сопротивления взаимному перемещению
элементов муфты, г - плечо равнодействующей сил Q. Было отмечено,
что момент М действует в плоскости смещения и изгибает валы. Авто-
ром работы [39] проводилось экспериментальное определение коэффи-
циента д при различной смазке: хорошей, загрязненной и при отсутствии
смазки. f
Полученные значения д оказались существенно завышенными по срав-
нению с обычным коэффициентом трения. Вероятно, введенный авто-
ром [39] момент сил сопротивления является обобщенной характе-
ристикой двух силовых факторов: упругого восстанавливающего момен-
та и момента сил трения, возникающих при перекосе осей в муфте.
В работах [29, 30, 35, 41] рассматринался^процесс контактирования
зубьев и определялась величина скорости скольжения сопрягаемых про-
филей зубьев муфты при перекосе осей валов. Следует отметить также
работу [51], в которой дана приближенная формула для определения
6
7
пути скольжения контактирующих профилей в одно- и многоэлементной
муфте при радиальных и угловых смещениях валов. В частности, в рабо-
те [29] при определении скорости скольжения зубьев в муфте с прямыми
зубьями при одновременном перекосе и радиальном смещении осей
валов установлено, что суммарная скорость скольжения может быть
существенно больше, чем только при угловых или только радиальных
смещениях.
В связи с проскальзыванием зубьев в муфте возникает ряд задач,
решения которых рассматривались различными авторами, в том числе:
определение мощности трения й кл.д. муфты [18], определение работы
трения и связь ее с износом зубьев [34], определение моментов сил
трения [21] и осевых результирующих сил [51, 52] в муфте.
В основе любого расчета зубчатой муфты лежит определение нагрузок
на зубьях. Поэтому естественно, что первая же отечественная работа
по муфтам [10] была целиком посвящена определению действующих на
зубья сил и деформаций в муфте с прямыми зубьями. Однако в этой
работе еще не было формул для расчета распределения нагрузок между
зубьями при перекосе в муфте.
Неравномерность нагружения зубьев при перекосе или радиальном
смещении осей в муфте обусловлена следующими обстоятельствами.
При малом вращающем моменте и перекосе осей полумуфт вся нагруз-
ка воспринимается только двумя диаметрально противоположными
зубьями, а при радиальном смешении — только одним зубом. Между
рабочими профилями остальных (ненагруженных) зубьев образуются
боковые зазоры. Каждая контактирующая пара зубьев (втулки и обой-
мы) передает вращение за период поворота вала на угол, равный углово-
му шагу зубьев. Таким образом, каждый зуб втулки вступает в контакт с
соответствующим зубом обоймы периодически: два раза за оборот муф-
ты - при перекосе осей валов, один раз — при радиальном смещении.
Причем при перекосе контакт зуба первый раз осуществляется на одном
из концов по длине зуба, а второй раз - на противоположном конце,
т.е. за каждые пол-оборота муфты точка (зона) контакта проходит рас-
стояние от одного края зуба до другого. При повороте соединяемых
муфтой валов относительно собственных осей вращения зазоры в каждой
паре зубьев периодически меняются и каждая последующая пара зубьев
поочередно проходит участки по окружности муфты, на которых прежде
находились предыдущие пары зубьев (в том числе и контактирующие).
В моменты пересопряжения, когда два зуба втулки (при перекосе) или
один зуб втулки (при радиальном смещении) выходят из контакта, а после-
дующие вступают в контакт, нагрузка кратковременно воспринимается
удвоенным числом зубьев. Этим и объясняется неравномерность распре?
деления нагрузки по зубьям муфты и цикличность ее приложения. При
увеличении вращающего момента вследствие деформаций зубьев нагрузка
перераспределяется на большее число зубьев, но неравномерность распре-
деления ее при этом качественно сохраняется. Неравномерность нагруже-
ния зубьев тесно связана с числом нагруженных зубьев, которое зависит
от величины вращающего момента, жесткостей зубьев и закона распре-
деления зазоров между зубьями. Разнозазорность же, в свою очередь,
8
зависит от геометрии зубьев, точности их изготовления, а также величин
и направлений перекосов и радиальных смещений осей полумуфт.
Результаты экспериментальных работ [35, 54] подтвердили наличие
существенной неравномерности распределения нагрузки по зубьям муфт
при перекосах и смещениях осей соединяемых валов. Из этих же работ,
а также из исследований шлицевых соединений [18, 34] следует, что не-
точности изготовления зубьев (в частности, накопленные погрешности
окружных шагов) существенно влияют на неравномерность распределе-
ния нагрузки по зубьям при соосных валах.
В работе Л.Б. Эльштейна приведены результаты испытаний зубчатой
муфты (материал — дюралюмин, зубья эвольвентные, прямые, модуль
т = 8 мм, число зубьев z = 32) при различных* вращающих моментах
Л/ = (50 4-400) кгм и углах перекоса осей в муфте со = 04-1 ° 30'. Напря-
жения на зубьях муфты определялись с помощью тензодатчиков. После
соответствующей обработки экспериментальных данных автором были
построены графики зависимости окружных усилий на зубьях от их угло-
вого расположения по окружности муфты, при различных значениях
углов перекоса и вращающих моментах. На основании этих данных в ука-
занной работе впервые была предложена расчетная зависимость для опре-
деления нагрузок на зубьях в муфте при перекосе осей
Р = d'fed2,
где fe - деформация зуба, координируемая углом 0t d - длина площа-
ди контакта, q - эмпирический коэффициент.
В окончательном виде эта зависимость приняла вид
= ^4 ^3°((cos^ ~ cos0)3/cos2^), (1)
где у = 6 - aw, aw — угол зацепления, 0 — угол, характеризующий
число нагруженных зубьев, b - длина зуба, со — угол перекоса, q=cE/m,
Е - модуль упругости материала, т — модуль зацепления, с = 1/9 -
эмпирический коэффициент.
Зависимость (1) широко используется различными авторами, однако
недостаток ее заключается в том, что она получена не расчетным, а эмпи-
рическим путем, и коэффициент с требует уточнения для других условий
нагружения муфты. В этой же работе предложены формулы расчета
на прочность зубчатых муфт по напряжениям смятия, изгиба и кручения
зубьев, а также определения запаса прочности по пределу усталости .
Исследование работы зубчатых муфт с прямыми зубьями при соосных
валах было проведено [39] поляризационно-оптическим методом.
Муфты имели: т = 3 мм, z = 40, обоймы из плексигласа, втулки из
оптически активного материала (фенопласта). По числу полос в наиболее
нагруженной точке зуба определялась передаваемая им нагрузка. Уста-
новлено, что погрешности зацепления и радиальные смещения валов при-
водят к появлению переменной составляющей напряжения в основании
зуба; с ростом вращающего момента распределение нагрузки по зубьям
выравнивается.
Вопросам определения нагрузочной способности зубчатых муфт с боч-
кообразными зубьями посвящены исследования многих авторов [40, 42,
43, 46]. В работе [42], например, нагрузка на зубьях определяется с уче-
том точности их изготовления, уделяется внимание расчету коэффициен-
тов контактной деформации, изгиба и сдвига зубьев.
Основы современной методики расчета нагрузок на зубьях в муфте
с бочкообразными зубьями при перекосе без учета переменности жест-
костей зубьев были изложены в работе [43]. В ней же приведены резуль-
таты экспериментальных исследований с бочкообразными зубьями, про-
веденные с применением тензометрирования зубьев. Современная методи-
ка расчета нагрузок на зубьях муфт [3, 4, 31, 43] включает определение
зазоров между зубьями, жесткостей зубьев, числа нагруженных зубьев
при данном вращающем моменте, распределения нагрузок по зубьям,
максимальной нагрузки, напряжения в зубе.
Таким образом, проблему определения нагрузок в муфтах с жесткими
ободьями на сегодняшний день можно считать принципиально решенной.
Вопросы же динамики и трибологии, зубчатых муфт находятся пока
в стадии разработок.
Данные экспериментальных исследований влияния соединительных
зубчатых муфт на вибрации и шум агрегатов, судя по опубликованным
материалам, отсутствуют. Сведения, касающиеся возникновения возму-
щающих сил в зубчатых муфтах, изложены в работах [14, 56] ив данной
книге. Некоторое отношение к этому вопросу имеют работы [51-53],
где отмечается, что зубчатые муфты без центрирования имеют ряд преиму-
ществ перед муфтами с центрированием, а именно: они менее чувствитель-
ны к некоторым неточностям изготовления зубчатых элементов, вызы-
вают меньшие (примерно в 1 $ раза) дополнительные нагрузки в соеди-
няемых валах и меньшие (в 1,3—13 раза) максимальные нагрузки на
зубьях, что способствует также росту долговечности этих муфт. В рабо-
тах [20, 48] показана возможность потери устойчивости и возникнове-
ния автоколебаний в составном роторе с зубчатой муфтой в связи с
действием в ней моментов сил трения.
РАЗДЕЛ I
ПОГРЕШНОСТИ И ДЕФОРМАЦИИ
ЭЛЕМЕНТОВ ЗУБЧАТЫХ МУФТ
Зубчатые муфты в общем случае работают в условиях перекоса и сме-
щения осей соединяемых валов при наличии погрешностей изготовления
самих муфт. Указанные погрешности приводят к разнозазорности в зуб-
чатых соединениях, неравномерному распределению нагрузки между
зубьями, концентрации нагрузки по длине зубьев, а также к появлению
действующих на опоры соединяемых муфтой валов результирующих
статических и динамических силовых факторов.
Для проведения силового расчета зубчатых муфт необходимо знать
характер контактирования зубьев, распределение зазоров между зубьями
и жесткости элементов зубчатых муфт. В данном разделе приводятся
результаты расчетного и экспериментального определения этих парамет-
ров применительно к различным возможным условиям работы зубчатых
муфт. Определение зазоров, обусловленных погрешностями изготовления
и монтажа зубчатых муфт, сводится к решению чисто геометрической
задачи. В связи с тем что в одних условиях работы муфты преобладаю-
щим может быть какой-то один вид погрешности, а в других условиях
погрешности могут быть равновеликими, ниже рассмотрено поэле-
ментное влияние каждого из видов погрешности на разнозазорность
в зубчатом соединении. При наличии нескольких видов погрешностей
результаты могут быть получены методом суперпозиции.
Исследования проведены применительно к одинарной зубчатой муфте
с эвольвентными зубьями, содержащей две полумуфты - втулку и обой-
му. Обойма и втулка жестко соединены со своими валами, установленны-
ми на жесткие опоры.
Рассмотрены два типа зубчатых муфт — муфты, в которых зубья
обоймы и втулки имеют прямолинейную и криволинейную образующую
боковой поверхности. Между впадинами зубьев обоймы и наружной
поверхностью зубьев втулки имеется радиальный зазор, а между
зубьями — нормальный боковой зазор.
В данном разделе разнозазорность в зависимости от погрешностей,
по существу, рассмотрена для одного зубчатого соединения. Однако
полученные результаты справедливы и для так называемых двойных
зубчатых муфт, имеющих два зубчатых соединения и промежуточный
плавающий элемент (обойму или втулку), если исходные погрешности
Для каждого из зубчатых соединений известны.
11
Глава 1
ПОГРЕШНОСТИ В ЗУБЧАТЫХ МУФТАХ
1.1. Первичные погрешности зубчатых муфт
К первичным погрешностям относятся погрешности, обусловленные
перекосом и смещением осей полумуфт, а также погрешности окружных
шагов зубьев.
Перекос осей в муфте приводит к образованию зазоров между зубьями,
причем в зависимости от формы боковых поверхностей зубьев характер
изменения зазоров по полярному углу в различен. Пусть в исходном
сцентрированном положении нормальный зазор между боковыми про-
филями зубьев равен jn. Перекосим втулку поворотом относительно
оси х на угол со. Представим угол перекоса в виде вектора сЗ, направ-
ленного вдоль оси х, и разложим его на составляющие вдоль осей г, rj
(касательной и нормальной к боковой поверхности зуба)
сот = cocos#; con = со sin 0. (1.1)
На рис. 1.1. показано положение произвольной пары зубьев, коорди-
нируемой углом у, отсчитываемым от оси х. Там же обозначены геомет-
рические параметры: - угол зацепления, г- радиус делительной
окружности, гъ - радиус основной окружности, 0 = - aw - коорди-
натный угол по основной окружности, b - длина зуба.
Прямые зубья. Изменение нормального бокового зазора AS для пря-
мых зубьев (1-1 — исходное положение зуба втулки, 2-2 - переко-
шенное) показано на рис. 1.2, из которого следует
&S = KL-PM, KL = ± Z>!sinwT, PM = r'(l - coscoT).
Отсюда AS = уsincoT - r'(l - coscoT), где r^rsino^.
Считая, что угол со мал, приближенно полагаем
sincor = cor, coscoT = 1.
Тогда AS = -| bi со cos 0, где bi=±b. Максимальное изменение зазоров,
равное | Z>co, будет в парах зубьев, координируемых углами 0j = 0 и
О2 = я (для 1-го и 2-го сечений), а после приложения нагрузки зазоры
распределятся по зависимости (1.2) табл. 1.1.
Бочкообразные зубья. В нормальном к профилю зуба сечении кривизна
боковой поверхности бочкообразного зуба характеризуется главным
радиусом кривизны R, связанным с радиусом бочкообразное™ Rq за-
висимостью R «Яб/cosotyz. На рис. 1.3 показано исходное положение
криволинейной образующей (1-1) и после поворота ее на угол
сот (2-2). Изменение зазора AS равно
AS = АБ' = KL = О'К -O'L=R-r' -(R- r') cos coT =
= (R - r')(l - cos coT).
12
Рис. 1.2. Схема перемещения прямого зуба при перекосе
С учетом того что / = rsina^ и cosa>T = 1-усо2
Д5 = у (R - г sin a^) со2 cos2 0 .
После приложения крутящего момента и выбора минимального за-
зора 5min закон распределения зазоров определяется выражением (1.3)
габл. 1.1. Зависимости (1.2) и (1.3) приближенные, так как получены
в предположении, что углы перекоса малы. При больших углах перекоса
можно пользоваться более точными зависимостями, приведенными в ра-
боте [52].
13
'i
Рис. 1.3. Схема перемещения бочкообразного зуба
при перекосе
При радиальном смещении центра втулки относительно центра обоймы
О в плоскости ху (рис. 1.1) на величину е0 под углом у к оси х
нормальный боковой зазор между зубьями /„ изменится на величину
Д5 = = е0 sin(0 - у). После приложения вращающего момента первым
выберется минимальный зазор 5min - /„ - е0 между зубьями, коорди-
нируемыми углом 6 - у — тт/2, и распределение зазоров между зубьями
определится выражением (1.4) табл. 1.1.
Приведенные выше выражения для разнозазорности-получены в приня-
той системе координат для левых профилей зубьев. Однако эти выражения
пригодны и для правых профилей зубьев, если в них угловую координа-
ту 0 заменить на 6* (показанную на рис. 1.1).
Погрешности окружных шагов зубьев также приводят к неравномерно-
му распределению боковых зазоров между зубьями в зубчатом соедине-
нии. Эта погрешность характеризуется функцией накопленной погреш-
ности, которая может быть представлена в виде ряда Фурье
Д5 = S ек sin(kd + уЛ),
*=1
где в соответствии с ГОСТ 1643-72 на зубчатые передачи ек = /2*г. Раз'
ноэазорность в зубчатом соединении можно определять по каждой гармо-
нике ряда Фурье и затем пользоваться методом суперпозиции. Однако на-
ибольшее значение для работы муфты имеет первая гармоника, так как она
приводит к появлению в зубчатом соединении вращающейся результи-
рующей силы.
14
Таблица 1.1
определение зазоров в муфтах
Погрешность
Прямые зубья
Бочкообразные зубья
, е0[1+яп«?-т)] (1.4)
*0
Г/ Ч» [!+*»(«-7м И (1.6)
у bw(l - cos0); при z = Ь/2; .
у (R-rsinoj0wasin30 (1.3)
* ftw(l + cos0); при z--b/2 (1.2)
е0,ем' Л[1-cos(0-ej]', при z=d/2; у(Л-rsinan/)wa(cosa01 -cosa0) +
Л-B+Bll -cos(0-03)] +e2[cos(01+7E)-coe(0 +
при z=-2^/2; (1.7) 2 2
___________ + 7E)]; (1.8)
Л = (^bw)* + + bwesco87s
в = (у bw)’ + 4: ” bwe2cos7Sj V2
Изменение бокового зазора в зубчатом соединении определяется
разностью к-х гармоник накопленных погрешностей зубчатых вен-
цов полумуфт 1 i 2
ек1 sin(0 + 7t) - ек2 sin(0+72) = ^1,2 sin(0 + 71,2). (15)
После приложения вращающего момента в статике (т.е. при неподвижной
.муфте) первым выберется минимальный зазор Smin = jn - elf2 и распре-
деление зазоров между зубьями определится выражением (1.6) табл. 1.1.
12. Результирующие погрешности зубчатых муфт
и скорость скольжения зубьев при перекосе
В общем случае зазоры между зубьями в одинарной муфте могут
быть вызваны одновременно перекосом, радиальным смещением осей
муфты и накопленными погрешностями окружных шагов зубьев.
Муфта с прямыми зубьями. Указанные факторы вызовут изменение
нормального бокового зазора в 0-й паре зубьев (рис. 1.1) на величину
Д5 = ZWCOS0 + cos(0 + 7^),
где
cos(0 + 7Z) = е0 sin(0 - 7) + е1>2 яп(0 + 71,2).
Изменения боковых зазоров в торцевых сечениях муфт 1 и 2 с коорди-
15
натами z = ± будут
1 ►
Д51 =2-Z>gjcos0 + escos(0+ts) = Л cos(0 + et):
Д52 = - | 2wcos0 + es cos(0 + 7S) = Bcos(0 + e2).
После приложения нагрузки первыми в контакт вступают зубья, между
которыми остается минимальный зазор, координируемые углами 0t и
02 (в сечениях 1 и 2), которые определяются из решения уравнений
d/d6(&Si) = Q при /=1, 2. При А > В первым вступит в контакт зуб
в сечении 7, координируемый углом 0i = -ej, а в сечении 2 - зуб при
02 = -е2 и законы распределения зазоров в сечениях 1 и 2 определяются
выражениями (1.7) табл. 1.1.
Муфта с бочкообразными зубьями. В муфте с бочкообразными зубья-
ми суммарное изменение бокового зазора вследствие тех же факторов
будет
Д5б = у (R - г')а>2 cos2 в + cos(0 + 7е) •
Угловая координата 0! зубьев, которые первыми вступают в контакт,
определяется из решения трансцендентного уравнения dld6{HS^) = 0.
После приложения нагрузки закон распределения зазоров определяется
выражением (1.8) табл. 1.1.
Скорость скольжения зубьев при перекосе. Определим скорости сколь-
жения зубьев в муфтах с прямыми и бочкообразными зубьями при усло-
вии, что угол перекоса в муфте со = const и муфта вращается равномерно
с угловой скоростью П. Пусть ось обоймы горизонтальна, а ось втулки
перекошена относительно оси х на угол w (рис. 1.1). Повороты боковой
поверхности 0-го зуба втулки относительно зуба обоймы определяются
выражениями (1.1). При вращении муфты, приняв = (t — время),
получим
= со соб(Ш - olw), con = со sin(£21 - а^).
При вращении 0-й пары зубьев происходит смещение площадки контакта
по длине зубьев.
Прямые зубья. Пусть за некоторое время t боковая поверхность
зуба втулки повернется относительно боковой поверхности зуба обоймы
на углы и соп. При этом пути скольжения будут (см. рис. 1.1 и 1.2)
Sr = rsina^cor, = co^rcosa^,
а скорости скольжения
vT = - raisin a ^sin(X/ - aw),
= rcoSl cos (ty cos(Xr - aw).
Суммарная скорость скольжения в направлении длины зуба
+ = соПгсовШ. (1.9)
Бочкообразные зубья. При повороте зуба втулки относительно зуба
обоймы на угол сог (из положения 1-1 в положение 2-2, рис. 1.3)
точка контакта на зубе обоймы проходит путь ББ\ а точка контакта
на зубе втулки проходит путь по дуге AD за одно и то же время t. Раз-
ность этих путей составит путь скольжения ST
ST = AD - ББ\ но AD = RuT, ББ' = (R - rsin sin coT.
Считая sina)r = сот, получим
ST = rc<jTsinaB/.
Скорость скольжения
vT = d/dt(Sr) = coTrsina^-
Путь скольжения при повороте на угол con 5n = w^rcosa^, а скорость
скольжения ил = d/dt(Sn) = d^rcosaw Суммарная скорость скольже-
ния определяется по формуле (1.9).
Таким образом, скорость скольжения как в прямых, так и в бочкооб-
разных зубьях изменяется за оборот вращения муфты по гармоническому
закону. Рассмотрим также случай невращающейся муфты, угол перекоса
в которой изменяется по некоторому гармоническому закону ах -
= a>osinXz. В этом случае составляющие угла поворота боковой по-
верхности 0-й пары зубьев будут
сот = а>0 sinXr cos0, con = о)0 sin Xr sin 0.
Поступая аналогично предыдущему случаю, найдем суммарную скорость
скольжения в 0-й паре зубьев
= со£2cos Xг rsin^. (ЫО)
Здесь изменение величины во времени происходит одновременно
во всех контактирующих парах зубьев сразу, однако в зависимости от
их углового положения направление (знак) скорости определяется
знаком sin^ (в первом случае знак определяется знаком cos<p).
Направления скорости скольжения для вращающейся муфты
с постоянным углом перекоса условно показаны на рис. 1.4 знаками
(+) и (-), сьуна здаков^^роисходит на^исяиц Для второго из рас-
смотренных случайзнака буДе! прбй^йЬди |ь на оси х
2. Зак. 1344 ............ 17
16
1.3. Взаимная компенсация погрешностей
Сопоставление выражений (1.4) и (1.6) показывает, что одинаковые
по виду разнозазорности могут быть вызваны различными физическими
причинами.
Если разнозазорность вызвана параллельным смещением осей полу-
муфт, установленных на неподвижных опорах, то опоры будут нагружены
постоянной по направлению действия статической силой. Если же эта
разнозазорность вызвана эксцентричной установкой полумуфт на валах,
то соответствующая равнодействующая радиальная сила будет вращаться
вместе с муфтой и по отношению к опорам валов будет являться дина-
мической силой.
Таким образом, эксцентриситеты зубчатых полумуфт, т.е. геометри-
ческий эксцентриситет, и первая гармоника кинематической погреш-
ности — так называемый кинематический эксцентриситет - приводят к од-
нотипной разнозазорности и появлению аналогичных вращающихся сил.
В связи с этим разнозазорности от указанных эксцентриситетов необходимо
векторно суммировать, при этом суммарная разнозазорность определяет-
ся выражением
= ег sin(0 - 7Г) + eKsin(0 - 7к) = sin(0 - ?2), (1.11)
где ersin(0 - ?г) = elrsin(0 - у1г) - e2rsin(0 -72 г),
ек sin(0 - 7К) = е1кsin(e - 7,к) - е2к sin(0 - 72 к),
е/г, eiK9 7/к, 7/г - амплитуды и фазы кинематических и геометрических
эксцентриситетов соединяемых венцов полумуфт - относительно осей
своих валов (/ = 1, 2).
Выражение (1.11) может быть представлено также в виде
Sj; = Sj — $2 »
где S, = eIrsin(0-7Ir) + e1K sin(0 - 71 к),
S2 = e2rsin(0-72г) + е2к sin(e - 72к),
т.е. Si и S2 — суммарные эксцентриситеты соответственно для полу-
муфт 1 и 2.
Отсюда следуют два возможных метода взаимной компенсации. По
первому из них могут компенсироваться геометрические и кинематичес-
кие эксцентриситеты в каждой из полумуфт, т.е. Si =0; S2 = 0. Эта ком-
пенсация может быть реализована в процессе нарезания зубьев, в частности
наружных, путем введения преднамеренного геометрического эксцентри-
ситета, равного по величине и противофазного кинематическому экс-
центриситету зубообрабатывающего станка [49].
Один из вариантов реализации взаимной компенсации предложен
в работе [1]. Согласно этому предложению стол зубообрабатывающего
станка должен быть снабжен концентрично расположенной планшайбой,
на которую устанавливается заготовка. Планшайба в рабочем состоянии
соединяется со столом с помощью фиксатора, а после освобождения
фиксатора может свободно вращаться относительно главной оси стола.
Поскольку с помощью этой планшайбы обрабатываемой детали добавле-
но дополнительное вращательное движение относительно стола, то появ-
ляется возможность изменять фазу между кинематическим и геометри-
18
ческим эксцентриситетами. Взаимная компенсация эксцентриситетов
достигается следующим образом [5]. Измеряются амплитуда и фаза
первой гармоники кинематического эксцентриситета станка (с помощью,
например, кинематомера КН6М) и делается соответствующая метка
на столе станка. Деталь устанавливается на планшайбу, соединенную со
столом станка, и измеряется ориентация ее геометрического эксцентри-
ситета (биение) относительно стола. После этого планшайба освобождает-
ся от стола и поворачивается относительно его оси до тех пор, пока
эксцентриситеты станка и детали не окажутся в противофазе. В этом
положении планшайба соединяется со столом фиксирующим элементом
и производится нарезание зубчатого венца детали.
Второй метод компенсации предусматривает взаимную компенсацию
суммарных эксцентриситетов полумуфт, т.е. S2 = - S2 = 0, что
реализуется в процессе сборки зубчатого соединения, проводимой с уче-
том результатов замеров зубчатых венцов, позволяющих определить
фактические величины Sj и S2. Практически это достигается сборкой
зубчатых венцов муфты при таком взаимном положении, при котором
в контакте будут зубья, имеющие максимальные биения и наибольшие
положительные ординаты функций накопленных погрешностей окружных
шагов зубьев обоих зубчатых венцов. Однако производить замеры ампли-
туд и фаз функций и S2, особенно в серийном производстве, доволь-
но сложно. При этом существующие методы измерения накопленных
погрешностей окружных шагов приводят к значительной погрешности
в определении кривой зазоров между зубьями муфты, что снижает эф-
фективность синфазной сборки венцов полумуфт [8].
Однако, для определения каждой из векторных величин и S2
нет необходимости измерять окружные шаги и строить кривые накоплен-
ных погрешностей окружных шагов — для этого достаточно лишь знать
для каждой из полумуфт векторы кинематического и геометрического
эксцентриситетов, а затем определить их векторную сумму, т.е. факти-
чески суммарные векторы и S2.
Практически это может быть реализовано следующим образом. На
столе станка, как уже отмечалось выше, может быть сделана метка,
соответствующая максимуму первой гармоники кинематического экс-
центриситета. Эта метка может быть перенесена на заготовку после ее
установки на столе станка. Амплитуда и фаза геометрического эксцентри-
ситета определяются по результатам измерения радиального биения
заготовки на станке. На заготовку наносится риска, соответствующая
максимуму радиального биения детали на станке, а в паспорт на деталь
заносится амплитуда этого биения. По известным фазам (указанным
рискам на детали) и амплитудам кинематического и геометрического
эксцентриситетов вычисляется их векторная сумма St и на детали на-
носится результирующая риска, соответствующая максимуму Si.
Аналогичным образом наносится результирующая риска (S2) на вто-
рой детали. При сборке полумуфт необходимо совместить сечения с ре-
зультирующими рисками, что' обеспечит взаимную компенсацию суммар-
ных эксцентриситетов полумуфт [4].
19
Глава 2
ДЕФОРМАЦИЯ ЗУБЬЕВ
2.1. Жесткость зубьев
Теоретическое решение задачи о деформации зубьев зубчатых муфт,
работающих при перекосах осей, представляет значительные трудности,
что вызывает необходимость поиска приближенных аналитических реше-
ний и использования результатов экспериментальных исследований.
Основные трудности связаны с тем, что рассматриваемая задача являет-
ся пространственной, при решении которой необходимо учитывать конеч-
ные размеры контактирующих тел и кромочный контакт тел. Например,
если предположить, что боковые поверхности прямых зубьев полностью
соприкасаются на эвольвентных участках, то модель такого контакта
сводится к контакту двух шероховатых поверхностей. Даже без учета
перекоса между этими поверхностями данная контактная задача не имеет
теоретического решения. В подобных же условиях модель контакта
бочкообразного зуба с прямым сводится к контакту цилиндра с
плоскостью. В данном случае для определения контактных деформаций
(сближения тел) применима теория Герца—Беляева, развитая последо-
вателями [3].
Кроме того, необходимо отметить, что в реальных условиях из-за вы-
сокой чувствительности зубчатого соединения к погрешностям изготовле-
ния и монтажа (ошибок шага, радиальных смещений осей муфт) даже при
отсутствии перекоса осей в муфте указанные погрешности приводят
к неизбежной концентрации нагрузки с выходом площадки контакта
на вершины зубьев. Практически это приводит к неполному прилеганию
эвольвентных профилей зубьев и увеличению податливости зубчатых
соединений. Таким образом, в реальных условиях при перекосе осей
в муфте площадки контакта смещаются как по длине, так и по высоте
зубьев, что приводит к кромочному контакту на торце и вершине
зубьев.
Для приближенного расчета жесткостей зубьев муфт при перекосе
примем, что зубья деформируются как два упругих тела в соответствии
с гипотезой Винклера, т.е. между деформациями и нагрузками в точках
контактирующих поверхностей существует линейная зависимость. В ка-
честве коэффициентов постели упругого основания (для пары зубьев)
примем суммарную податливость пары зубьев [9], включая состав-
ляющие: изгибную, контактную и податливость прилежащей к зубу
части обода при номинальном контакте боковых поверхностей зубьев.
Этот коэффициент постели назовем номинальным. Влияние краевого
эффекта, увеличение коэффициента постели упругого основания при
кромочном контакте учитываем поправочным коэффициентом.
Величину коэффициента постели упругого основания в связи с труд-
ностями его аналитического определения целесообразно задавать на осно-
ве экспериментальных данных. Ниже приведены обоснования и рекомен-
дации по выбору этих коэффициентов для муфт с прямыми и бочкообраз-
ными зубьями.
20
С целью получения расчетной ориентировочной величины коэффициента
постели упругого основания произведем его оценку, пользуясь реше-
ниями известных задач теории упругости.
В связи с отсутствием решения задачи о кромочном контакте двух
плоских тел ограниченных размеров, а также считая, что коэффициенты
постели упругого основания для прямых зубьев и прямого зуба с бочко-
образным не могут существенно отличаться, расчет проведем примени-
тельно к контакту прямого зуба с бочкообразным. При номинальном
контакте боковых поверхностей этих зубьев, сводящемся к контакту
цилиндра с плоскостью, величину контактной податливости можно опре-
делить по формуле (1.12) табл. 1.2, где hq, h* — коэффициенты высоты
ножки и головки зуба, ф = Ь/т.
Изгибную податливость бочкообразного зуба найдем, используя реше-
ние задачи о защемленной по одному краю пластины конечной длины,
на боковой поверхности которой в средней точке активной части высоты
зуба с относительной координатой (Л* + Лд + с)/1 +с действует сосре-
доточенная сила, являющаяся равнодействующей от равномерно распреде-
ленной по высоте зуба пластины нагрузки. В этом случае изгибная подат-
ливость 6И определяется по формуле (1.13) табл. 1.2, где р — коэффи-
циент Пуассона [50].
Податливость прилежащей к зубу части обода на основании работы [3]
для пары зубьев может быть оценена по формуле (1.14) табл. 1.2.
В итоге суммарная податливость пары зубьев при = 20°, Л* = Л* =
= 1,0, с = 0,25 и v = 0,3 определяется формулой (1.15) табл. 1.2.
В случае выхода площадки контакта на вершину зуба существенно мо-
гут измениться только контактная и изгибная составляющие податли-
вости, податливость прилежащей к зубу части обода практически мало
меняется, так как вершина одного зуба контактирует с ножкой другого,
а параметры определяются для пары зубьев.
При приложении нагрузки на свободном краю рассматриваемой пласти-
ны изгибная составляющая податливости увеличивается примерно! в 2,5 ра-
за, а контактная составляющая согласно гипотезе Виллауэра—Сейрега
[15] удваивается. Соответствующие данному случаю расчетные формулы
приведены в табл. 1.2. Там же приведены значения коэффициентов посте-
ли упругого основания зубьев е = 6^ b, (1.16), (1.17) при обычно при-
нимаемых величинах ф ъ 10.
На основе гипотезы Винклера и введенных понятий коэффициентов
постели упругого основания определены параметры контакта прямых
и бочкообразных зубьев: wlt w2 — упругие перемещения тел 1 и 2,
Ьк - длина площадки контакта, с =Р/& — жесткость зубьев, где Р -
нагрузка, Д — сближение тел в точке начального контакта. Соответствую-
щие уравнения деформаций и зависимости между параметрами (1.18) -
(1.22) приведены в табл. 1.2, где для зубьев с криволинейной образующей
принято еб = eH.6^6, ^н.б — коэффициент постели упругого основания
при расположении площадки контакта в середине зуба (т.е. без перекоса),
= 1 + [wflcos0/(Z>/2)],
Kq - коэффициент, учитывающий краевой эффект, величина его выбрана
из условия увеличения коэффициента постели упругого основания в два
21
Таблица 1.2
К расчету дефррмаций зубьев
Номинальный контакт зубьев Контакт на вершине Прямые зубья Бочкообразные зубья
3,22ф (1-12) 3,02 ф ЕЬ w,+w2 Л*)еб=Д-*2/2Л
3,22(1-р’хл^+л^+с) 0,75 ф р Д^к _ ^т^к 2 Д/>к _ ^к
ЕЬ*3 (1.13) ЕЬ г еп 2еп *6 ЗЛеб
в. 6,88 ЕЬ 6,88 ЕЬ ^к (2Pe„/uT),f2 2(1,5 PRe6)'13
(1.14) (1.18)
1,81 ф +6,88 ЕЬ 3,77^+6,88 ЕЬ с (7>/2епсит),/2 pl^ffi/e’)*/3
(1.15) (1.19) (1.21)
е 25 Е 45 Е р Да /2вршг 4(2Я),/2А*2/Зеб
(1.16) (117) (1.20) (1.22)
раза при выходе площадки контакта на самый край по длине зуба (т.е.
когда R со cos в = Ь/2).
Из полученных выражений следует, что жесткости зубьев при перекосе
являются существенно нелинейными функциями от нагрузки. Причем эта
нелинейность проявляется в большей мере при меньших нагрузках. Напри-
мер, для прямых зубьев с нелинейностью жесткости зубьев следует счи-
таться до тех пор, пока Ьк < Ь\ при bK = b (и дальнейшем росте
нагрузки) жесткость можно считать постоянной. Отсюда же следует, что
нелинейность жесткостей зубьев необходимо учитывать прежде всего для
муфт с малым числом нагруженных зубьев.
2.2. Экспериментальные исследования жесткости зубьев
Экспериментальное определение жесткости зубьев муфт проводилось
на стенде, схематично изображенном на рис. 1.5 [56], где обозначены
обоймы 1, 2 и промежуточный вал 3 двойной зубчатой муфты. Стенд
выполнен по замкнутому контуру, крутящий момент, нагружающий
муфту, создается закручиванием торсионного вала 4. С целью модели-
рования условий номинального контакта зубьев и четкого определения
нагрузки и деформации именно пары зубьев на каждом из венцов ва-
ла 3 срезаны все зубья, кроме двух диаметрально противоположных,
т.е. оставлены два диаметрально противоположных зуба на одном венце
22
4
2
Рис. 1.5. Схема стенда
и также на другом венце. На обоймах 7 и 2 оставлены все зубья. Для
замеров относительной деформации, в зубчатом соединении двухзубой
муфты использовались индикаторы часового типа с ценой деле*
ния 0,001 мм. Индикатор устанавливался на штангу длиной 7?и =127 мм,
закрепленную на обойме 2, а измерительный наконечник его упирался
в площадку на штанге, закрепленной на валу 3 вблизи обоймы. Исполь*
зовались два индикатора, которые устанавливались на штангах диаметраль-
но противоположно, т.е. сверху и снизу муфты. Индикаторы ориентиро*
вались так, чтобы измерять относительные перемещения по линиям за-
цепления зубьев. Установка пары индикаторов позволяет выделить кру-
тильные и поперечные составляющие относительных перемещений. Изме-
рения деформаций Д производились при сцентрированном положении
зубчатых венцов при значениях крутящих моментов: Af = 81;' 243,7;
487,5; 810 (кГм). На каждом нагрузочном режиме измерения повторя-
лись при повороте муфты через каждые 30° (12 измерений). *
Параметры муфты: т-3 мм, z = 60, 6 = 40 мм, коэффициенты
ВЫСОТЫ ГОЛОВКИ И НОЖКИ hq = 1,0, ha = 1 ,5, коэффициент коррекции
£ = 0, материал 30Х2НВФА, твердость поверхности HV = 650 (HRC = 56),
г = 90 мм.
Поверхность зубьев азотирована на глубину 350 мкм. Боковая поверх-
ность зубьев имела незначительную бочкообразность со стрелой сегмента
0,02 мм, что соответствует главному радиусу кривизны боковой поверх-
ности в нормальном сечении R = 10,6-104 мм.
На рис. 1.6 построен график зависимости Д = f(M), из которого
следует, что эта зависимость линейная, причем нагрузки до М = 81 кгм
соответствуют зоне нечувствительности индикатора. По результатам
замеров деформаций Д определена удельная податливость на единицу
длины b
е = (Ar/R^/Pb = 17/Е, где Р = Jf/2rcosaw.
Эта величина характеризует коэффициент постели упругого основания
зубьев при номинальном контакте боковых поверхностей. При выходе
контакта на вершину зуба податливость увеличивается согласно зависи-
23
Рис. 1.6. Зависимость деформаций А зубьев от нагрузки М
Рис. 1.7. Схема установки
Рис. 1.8. Зависимость податливости е зубьев от коэффициента смещения £
мости (1.17) примерно в 1,7-1,8 раза и может быть принята равной
е = 30/Е.
В последнее время проведен ряд экспериментальных исследований
податливости зубьев шлицевых соединений [14, 32]. Кроме того, имеются
экспериментальные данные по распределению нагрузок на зубьях муфт
при перекосе [31, 32], которые могут быть использованы для уточнения
коэффициентов жесткостей зубьев. На установке (рис. 1.7) [32] испыты-
валась одновенцовая зубчатая муфта с параметрами: т = 4,25 мм, z = 28,
= 20°, Лд* =1,0, b = 10 мм, материал Ст. 45, твердость поверхности
HRC = 25-30, чистота поверхности V6, коэффициент смещения зубьев
обоймы £ = 1,5, коэффициенты смещения зубьев различных втулок
£ = 0,5; 1,0; 1,25; 1,35, зубья прямые эвольвентные. Обойма 1 жестко
закреплена на массивном корпусе 4, втулка 2 жестко закреплена на ва-
лу 3. Вал 3 установлен на двух шарикоподшипниковых опорах. Вал 3
нагружается домкратом 7 через динамометр 6 и рычаг 5.
На втулке 2 были срезаны все зубья, кроме двух диаметрально проти-
воположных, на обойме 1 все зубья оставлены. Полнота контакта боко-
вых поверхностей зубьев контролировалась по краске. Поворот втулки
относительно обоймы при нагружении ее крутящим моментом фиксиро-
вался индикатором 8, установленным на расстоянии 200 мм. По получен-
ным экспериментальным данным [32] вычислены значения коэффициен-
тов податливости е в долях от модуля, представленные на рис. 1.8
в функции от %.
Из полученных данных следует, что величина е зависит от формы
зубьев (коэффициентов смещения £), а экстраполяция данных для
£ = 0 дает е = 29/Е.
24
2.3. Экспериментальные исследования напряженно*
деформированного достояния зубьев
Экспериментальное исследование деформаций (жесткости) стальных
бочкообразных зубьев при перекосе и изгибных напряжений в основании
зубьев по их длине проводилось на установке [14], схематично изобра-
женной на рис. 1.9. Установка содержала жестко закрепленное осно-
вание 1 и зубчатую втулку 2, опирающуюся зубьями 6 и 7 на прямолиней-
ные скосы (под углом' 20°) основания. Втулка нагружалась вертикаль-,
ной силой Л . Параметры втулки: модуль =4 мм, число зубьев z =48,
длина зуба b = 30 мм, радиус смещения исходного контура бочкообразно-
го зуба RK = 55 мм, главный радиус кривизны в нормальном к профилю
зуба сечении R =/?K/sinaB/ = 16,1 см, угол зацепления а^ = 20 , твер-
дость зубьев HRC = 40-50. Втулка выполнена двухзубой, т.е. на ней были
срезаны все зубья, кроме двух диаметрально противоположных. Измере-
ние деформаций зубьев, определяемых по относительным смещениям
втулки под нагрузкой, производилось с помощью индикатора часового
типа 3 с ценой деления 0,01 мм. Предварительными измерениями и
расчетами было установлено, что деформациями самой втулки вслед-
ствие ее большой по сравнению с зубьями жесткости можно пре-
небречь.
Напряжения на зубьях определялись с помощью пяти тензодатчиков
с базой 3 мм, наклеенных по длине каждого зуба в выкружке у основа-
ния зуба. Тензодатчики были наклеены как на рабочих 8, так и на нера-
бочих 9 сторонах зубьев. Для замеров напряжений использовался измери-
тель статических деформаций, имеющий диапазон измерений ±3-10"2
с ценой деления шкалы 10“6 относительных единиц.
Деформации зубьев и напряжения определялись одновременно при
различных нагрузках, приходящихся на один зуб P = P1/2cosotHz = 200,
286, 345, 393 кгм. Измерения проводились при отсутствии и наличии
перекоса втулки 2 относительно основания 1. Перекос осуществлялся
путем поворота втулки 2 в вертикальной плоскости, проходящей через
ось Б-Б (см. рис. 1.9). Величина перекоса контролировалась с помощью
индикаторов 4 и 5.
Результаты замеров деформаций зубьев w в зависимости от Р пред-
ставлены на рис. 1.10 (точки - экспериментальные величины, сплошные
линии — усредненные экспериментальные значения деформаций) при
со = 0; 2°10'; 3°5О'.
Из приведенных результатов следует, что зависимость нагрузки от де-
формаций имеет нелинейный характер, однако в указанном диапазоне
нагрузок эта зависимость может быть без большой погрешности линеари-
зована. С увеличением угла перекоса вследствие смещения площадки
контакта к торцу зуба жесткость зубьев, определяемая как с = Р/и>,
уменьшается. Изменение удельной податливости зубьев = (с/Ь)"1,
т.е. податливость, отнесенная к единице длины зуба, в зависимости от угла
перекоса (со) при постоянной нагрузке Р = 296 кг, показано на рис. 1.11,
где точками обозначен^! экспериментальные величины, а сплошной ли-
нией - усредняющая кривая, которая может быть аппроксимирована
25
Рн с. 1.9. Схема установки
Рн с. 1.10. Зависимость деформа-
ций w зубьев от нагрузки Р
а - ш = 0 ;d - о? = 2° 10'; в - о> =
= 3°5О'
Рис. 1.11. Зависимость удельной
податливости от угла перекоса и>
зависимостью
<?б = <?н.б [1 + 1,53(1 - 2y/b)2], y = b/2- Rco,
где ен.б = 44/F - податливость при нулевом перекосе, со - угол пе-
рекоса в радианах, у — координата по длине зуба, отсчитываемая
от торца.
Полученные экспериментальные данные согласуются с расчетной вели-
чиной (1.17) и подтверждают, что удельная податливость зубьев при
близком расположении площадки контакта к торцу зуба увеличивается
примерно в два раза, однако зависимость удельной податливости от
угла перекоса имеет нелинейный характер в соответствии с выражением
26
Экспериментальные величины напряжений изгиба в зубьях приведены
на рис. 1.12а б, в, где по осям отложены приведенные (в долях от
нагрузки, приложенной к зубу) напряжения о/Р и координаты х по
длине зуба. Экспериментальные величины обозначены точками и крести-
ками по числу опытов, сплошными и пунктирными линиями показаны
расчетные величины, соответствующие напряжениям сжатия и растяжения.
На рис. 1.12 напряжения в зубе со стороны сжатия при различных углах
перекоса: а — при со = 0, б - при со = 1°5', в — при со = 3°5О' —сплош-
ные линии; напряжения в зубе со стороны растяжения соответственно
при перекосах: со = 0; 2° 10'; 3°5О' — пунктирные линии.
Расчет напряжений изгиба проводился по формуле (3.10а)
их = ан {ехр [~Х2(х - Хр)2 ] + exp [-X2(Z> - х - хр)2 ] +
+ ехр[-Х2(£>+х+хР)2]},
где он = kTkBkcP/h2k3t кв = 0,34, h = 0^892 см, кс = 1,0 - для напряже-
ний растяжения, &с = 1,12 — для напряжений сжатия; Х= 1,05; хР =
= 7?со = 16,1 (см), кг = 1,33, к3 = 1,33 - коэффициент, учитывающий
усреднение показания тензодатчика по длине его измерительной базы.
С учетом приведенных параметров ан = 2,54 кгс/см2 для напряжений
в зоне растяжения и он = 2,85 кгс/см2 — для напряжений в зоне сжатия
основания зуба. Из анализа получаемых результатов следует, что расчет-
ные и экспериментальные величины напряжений хорошо согласуются
между собой как по максимальным значениям напряжений, так и по
характеру изменения кривых а/Р по длине зуба х при перекосе. При
этом следует отметить, что в данном случае коэффициент затухания X
был принят X = 1,05 в отличие от X = 0,6, рекомендованного в работе
[2] применительно к длинным зубьям (ф = Ъ/т = 40) зубчатых колес.
Отсюда можно заключить, что с уменьшением длины зуба коэффи-
циент X увеличивается, однако установление количественной связи
между X и ф требует проведения более обширных экспериментальных
исследований. Полученные результаты исследований напряжений изгиба
в зубьях полностью подтверждают необходимость выбирать для зубьев
муфт, работающих в условиях перекоса осей, расчетную модель в виде
консольной пластины.
Исследование характера распределения напряжений изгиба по ширине
зуба втулки выполнялось поляризационно-оптическим методом на состав-
ных моделях зубчатых муфт. Модели нагружались на специальном нагру-
зочном устройстве [28].
В эксперименте использовались три модели двухзубых втулок, причем
один из зубьев каждой модели имел оптически активную прослойку
толщиной Ь = 2 мм, расположенную в осевом сечении (рис. 1.13). Три
модели позволяли получать пять значений напряжений по ширине зуба
(при нагружении осуществлялась перестановка втулки на 180°).
Из органического стекла изготовлялась заготовка втулки. Затем
в ней фрезеровался соответствующий паз, в которой вклеивался кусо-
чек оптически неактивного оргстекла (ОНС), имеющий оптически актив-
ную прослойку, влитую в оргстекло по специальной технологии. Опти-
чески активную прослойку ориентировали в требуемом осевом сечении
заготовки. После зуббобработки оставляли лишь два диаметрально про*
тивоположных зуба (один из них с оптически активной прослойкой),
а остальные удаляли.
Модели втулок с прямолинейной образующей зуба имели параметры:
модуль т = 6 мм, число зубьев г = 20, ширина зуба b = 20 мм — и
нагружались усилием Р = 12 кгс при углах взаимного) контактиро-
вания зубьев втулки и обоймы со = 0; 0° 15'; 0°30'; 1°.
Напряжения изгиба определяли на растянутой стороне переходной кри-
вой зуба втулки в точке с максимальным параметром изохром. Порядок
изохром фиксировался с помощью поляризационно-оптической установки.
28
Экспериментальные кривые распределения напряжений изгиба по
длине зуба втулки лриведены на рис. 1.14, а. Результаты эксперимента по-
казывают, что при со¥=0 наблюдается значительная неравномерность
распределения напряжений изгиба по ширине зуба. При со = 1° наблю-
дались напряжения обратного знака на растянутой стороне зуба.
Экспериментальные модели муфт с криволинейной образующей зуба
втулки имели параметры: т = 6 мм, z = 20, b = 20 мм, радиус смещения
исходного контура RK = 170 мм (обеспечивался углом со= 1° при при-
ближении начальной точки контакта к торцу на расстояние 1 мм).
Результаты эксперимента приведены на рис. 1.14, б. Сравнение распре-
деления напряжений изгиба в зубьях с прямолинейной и криволинейной
образующими показывает, что при одних и тех же углах взаимного кон-
тактирования и одинаковой нагрузке на зуб максимальные напряжения
изгиба в зубе втулки с криволинейной образующей на 20-30% ниже, чем
в зубе с прямолинейной образующей. При со = 0 наблюдается обратная
картина.
Контактные давления. Муфта с прямолинейной образующей зуба
втулки работает в условиях кромочного контакта зубьев, обусловленного
погрешностями монтажа и изготовления зубчатого зацепления. Для
установления распределения давлений по контактной площадке зубьев
были проведены исследования по изучению формы и размеров пятен
контакта. Нагружение моделей втулок, выполненных из оргстекла, осу-
ществлялось на установке, описанной в работе [28].
Пятно контакта определялось по отпечатку на зубе втулки, на рабо-
чую поверхность которого предварительно наносился слой сажи.
Параметры зацепления: т = 3 мм, z = 40, b = 15 мм. Нагрузка на пару
зубьев Р= 14,6 кгс.
На рис. 1.15, а показаны пятна контакта для различных углов. Анализ
полученных отпечатков показывает, что даже при со = 0 не наблюдается
контакта по номинальной боковой поверхности зуба, что объясняется как
погрешностью формы зубьев, так и тем, что зубья обоймы (нарезаемые
зубодолблением) и зубья втулки (нарезаемые зубофрезерованием)
имеют не эквидистантные эвольвенты. При со # 0 пятно контакта ло-
кализуется на торце зуба и напоминает полуэллиптическую площадку.
При со = 0 площадка контакта имеет прямоугольную форму, какую
имеют тела, первоначально касающиеся по линии. В этом случае можно
предположить, что пространственный эпюр давления по полоске контакта
имеет форму полуэллиптического цилиндра. Максимальная ордината
на эпюре
Ро = Iqhta, (1.23)
где q = P/b - нагрузка на единицу длины линии первоначального
контакта.
При со Ф 0 можно предположить, основываясь на полученных формах
пятен контакта, что пространственный эпюр распределения давления по
полуэллиптической площадке имеет вид четверти эллипсоида. Макси-
мальная ордината на эпюре определяется зависимостью
Ро = ЗР/яаЬ. (1.24)
29
6а, *«/см1
Рис. 1.13. Расположение оптически активных прослоек
по длине зуба
Рис. 1.14. Распределение напряжений изгиба и* по длине
зубьев
а - с прямолинейной образующей; б - с криволиней-
ной образующей
Зависимости (1.23) и (1.24) позволяют с помощью эксперименталь-
ных данных определить величину максимального давления на получен-
ных площадках контакта.
Результаты экспериментальных исследований и выполненных расче-
тов представлены в табл. 1.3.
Форма и размеры площадок контакта для муфты с криволинейной
образующей зуба втулки изучались аналогично. Параметры зацепления:
т = 3мм, z = 40, b = 15 мм, Як=80 мм. Нагрузка на пару зубьев
Р =14,6 кгс. На рис. 1.15,0 показаны пятна контакта при различном по-
ложении начальной точки контакта по ширине зуба. Анализ полученных
отпечатков показывает, что контакт зубьев втулки и обоймы следует
рассматривать как контакт тел двойной кривизны. Пространственный
эпюр распределения давления по площадке контакта можно представить
в виде пол у эллипсоида. Максимальное давление в центре площадки
контакта определится по зависимости
Ро = ЗР12каЬ. (1.25)
Результаты расчетов по зависимости (1.25) и экспериментальные зна-
чения полуосей площадки контакта представлены в табл. 1.4.
Как видно из табл. 1.4, с приближением начальной точки контакта
к торцу зуба наблюдается значительное увеличение давлений на площадке
контакта.
Сравнение данных табл. 1.3 и 1.4 показывает, что придание криво-
линейной формы зубу втулки приводит к росту давлений на контактных
площадках при малых углах со, и только с приближением площадки
контакта к торцу зуба получается незначительный выигрыш по сравнению
с муфтой, имеющей втулку с прямолинейной образующей зубьев.
30
Рис. 1.15. Расположение пятен контакта иа зубьях при различных углах перекоса
а - с прямолинейной образующей; б - с криволинейной образующей
Сравнение выполненных ранее исследований удельных давлений поля-
ризационно-оптическим методом в муфте с прямолинейной образующей
зубавтулки [53] показывает (рис. 1.16) значительное расхождение с расче-
тами, приведенными в табл. 1.3. Указанное расхождение объясняется тем,
что в расчетах учитывалось номинальное значение пятен контакта, в то
время как в поляризационно-оптическом методе удельные давления
определялись с учетом шероховатости рабочих поверхностей зубьев
(Ra = 1,25).
Для оценки влияния шероховатости на величину удельных давлений
были проведены исследования поляризационно-оптическим методом,
в которых оптически активная пластинка одним из торцов, вьшолцен-
ным по радиусу, осуществляла давление на эталон шероховатости. При-
менялись эталоны продольно-фрезерованных образцов поверхности,
что соответствовало обработке зубьев на зубофрезерных станках, и
эталоны образцов поверхностей, обработанных на плоскошлифовальных
31
Таблица 1.3
* w, град а, мм 6, мм Ро, кгс/см2
0,0 0,90 15,00 69,00
0,5 1,33 12,25 86,0
1,0 1,35 6,35 162,8
U 1,20 4,25 279,4
2,0 1,25 3,30 338,0
Таблица 1.4
а>, град । а, мм Ь, мм р0, кгс/см2
0,0 1,15 4,0 134
0,5 0,9 3,9 200
1,0 0,8 3,5 250
1,5 0,75 3,4 273
Таблица 1.5
Обработка «а п
Фрезерование 5,00 6,00 5,2
2,50 3,00 2,6
1,25 2,40 2,1
Шлифование 2,50 4,30 3,74
1,25 2,56 2,2
0,63 2,10 1,8
0,32 1,52 1,3
0,02 1,15 1,00
станках, что соответствовало обработке зубьев на зубошлифовальных
станках. Картины изохром, демонстрирующие влияние шероховатости,
представлены на рис. 1.17. Для расчета порядка изохром в микрокон-
такте использовалась оптическая головка большого инструментального
микроскопа, позволяющая увеличивать область контакта до 50 раз.
За идеально гладкий образец принимался эталон с шероховатостью
Ra = 0,02. Результаты эксперимента - число полос в микроконтакте
п и значения коэффициента кш, учитывающего шероховатость поверх-
ности, приведены в табл. 1.5.
Из табл. 1.5 видно, что для фрезерованных образцов с Ra - 1,25 коэф-
фициент кш 2. Следовательно, если данные табл. 1.3 для случая со=0,5°’
умножить на коэффициент кШ9 то будем иметь значение р0 = 172 км/см2,
близкое к значению р0 = 180 кге/см2, показанному на рис. 1.16.
Как отмечалось выше, перекос осей обоймы и втулки приводит к
локализации контакта на торце зуба. В связи с этим представляет инте-
32
Рис. 1.16. Зависимость удельного давления р0 от
нагрузки Р
Рис. 1.17. Картина изохром при различной шерохо-
ватости поверхности зуба
ЫаммяшнаМмЬ
рес изучение вопроса о влиянии угла взаимного контактирования на
податливость пары контактирующих зубьев. Решение данного вопроса
позволяет более объективно выполнять расчеты зубчатых муфт.
Нагружение экспериментальных моделей муфт осуществлялось на
той же установке [28]. Величина перемещения фиксировалась с помощью
индикатора часового типа. Чтобы устранить влияние упругих деформаций
нагрузочного устройства на результаты исследований, модели обоймы
и втулки выполняли из материала, изготовленного на базе эпоксидной
смолы ЭД-6 и имеющего низкий модуль упругости (F = 4 104 кгс/см2).
Экспериментальные модели имели параметры: т = 6 мм, z = 20,
b = 26 мм; втулки с криволинейной образующей выполнялись с радиуса-
ми смещения исходного контура инструмента ЛК1 =430 мм, Як2 =
= 290 мм, Rk3 = 215 мм.
На рис. 1.18, а приведены результаты эксперимента для муфт с прямо-
линейной образующей зуба втулки. В пределах углов взаимного контакти-
рования 0-0° 30' зависимость между усилием Л, приложенным к паре
зубьев, и суммарным перемещением Д носит примерно линейный харак-
тер. С ростом угла cd все в большей степени проявляется нелинейный ха-
рактер указанной зависимости.
Анализ результатов эксперимента для муфт с криволинейной образую-
щей зуба втулки (рис. 1.18, б) показывает, что независимо от положе-
ния площадки контакта по ширине зуба суммарное перемещение находит-
ся примерно в линейной зависимости от приложенного усилия. При
cd = 0 суммарное перемещение пары зубьев с криволинейной образующей
несколько выше, чем в муфте с прямолинейной образующей.
На основании экспериментальных данных получены зависимости
для определения податливости пары контактирующих зубьев:
муфта с прямолинейной образующей —
6П = (30/Ed)exp(0,46cD2/3),
3. Зак. 1344
33
a ~ зубья с прямолинейной об-
разующей; б — зубья с криволи-
нейной образующей
Рис. 1.18. Зависимость деформа-
ций зубьев Д от нагрузки
0,02 0,00 0,/0 0,**
муфта с криволинейной образующей —
8В = (45/£Ь)ехр [2,3(Лксо/6япаи/)2].
Таким образом, на основании описанных результатов теоретических
и экспериментальных исследований податливостей зубьев муфт для
нормальных (некоррегированных) зубьев могут быть приняты следую-
щие средние значения удельных податливостей:
для прямых зубьев еп = 30/Е, (1.26)
для бочкообразных зубьев ен б = (40-г45)/Е (1-27)
Глава 3
ДЕФОРМАЦИЯ ОБОДЬЕВ МУФТ
3.1. Расчетные модели
В зависимости от конструктивного исполнения можно выделить три
типа расчетных моделей обода зубчатой муфты: кольцо в упругой среде,
кольцо, соединенное с короткой или длинной консольной оболочкой.
Первая расчетная модель соответствует случаю, когда между зубчатым
венцом и ободом муфты устанавливается упругий элемент [36]; вто-
рая расчетная модель отвечает наиболее часто применяемым на практи-
ке конструкциям зубчатых муфт; третья расчетная модель соответству-
ет случаю, когда одна из полумуфт выполняется в виде длинной тонко-
стенной трубы.
Система нагружения обода муфты зависит от точности ее изготовления
и монтажа. Для точной муфты нагрузка на зубьях будет распределяться
равномерно и обод будет претерпевать деформацию кручения.
34
Если полумуфты установлены со смещением осей (или зубчатые венцы
изготовлены с погрешностью окружных шагов), то в муфте будет дей-
ствовать неуравновешенная поперечная сила, которая будет деформиро-
вать обод муфты как балку (или упругий элемент в составной
муфте).
Наибольший практический интерес представляет случай, когда полу-
муфты установлены с перекосом осей, поскольку именно при этом про-
является положительное влияние упругой деформации обода муфты,
обеспечивающее более благоприятное перераспределение нагрузки между
зубьями муфты. Как установлено выше, при перекосе осей пол у муфт
возникают две диаметрально расположенные зоны нагруженных зубьев.
От каждого зуба на обод муфты действуют три силовых фактора — ра-
диальная Рг и тангенциальная Рт силы и изгибающий момент М = PTh,
связанный с внецентровым приложением силы Рт (h — плечо действия
силыРг).
Известно [5], что прогиб обода муфты по направлению нормали к
профилю зуба муфты определяется следующим образом:
И = S С„ cos п(в - 0Р) , (1.28)
пЕ1
где Рп — нормальная сила на зубе, р, EI — радиус нейтральной окруж-
ности и жесткость на изгиб обода муфты, / - момент инерции сечения
обода муфты, / = ВЕР/12, В, И — ширина и высота сечения обода муфты,
0 — текущее сечение, Ор - сечение в котором приложена сила Рп, Сп —
коэффициент деформации обода муфты по л-й форме»
О ( 2 . 2 . Г< . ( 2 А 2*1 2 1
Сп = { n2sm2a + 11 + — (л2 - 11 cos2a>,
гг (п2 -1) I 1 Р \ f J )
а - угол зацепления, Ап - коэффициент, учитывающий конструктивное
исполнение обода муфты:
для свободного кольцаАп = О,
для кольца в упругой среде
П2(п2 - l)(feg +£1Л2)
п2 (л2 — 1) + fc2
для кольца, соединенного с оболочкой,
л - ~ Ц
" л2 (и2 - 1) (и2 + ai)
= kiP*!EI - приведенные коэффициенты постели упругого основа-
ния в радиальном (i = 1) и тангенциальном (г = 2) направлениях, ах ~
= \2Е p2IGIq, а2 = 12EhoP6lE/ll, lQihQ - длина и толщина оболочки.
Для диаметрально расположенных систем сил выражение для прогиба
обода муфты сохраняет прежний вид (1.28), с той лишь разницей, что
35
в сумме сохраняются лишь четные гармоники п = 2 к
2Рпр3 ~
и=—-— S Cncosn(0-6P). (1.29)
It EI п-2к
*=1,2,3. . .
Используя метод суперпозиции по (1.29), можно найти прогиб обода
муфты под действием произвольной системы сил.
3.2. Циклическая деформация
Характер распределения нагрузки на зубьях в пределах зоны нагру-
жения заранее не известен и может быть найден из совместного рассмо-
трения зазоров и деформаций элементов соединения. Поэтому для оценки
податливости обода муфты необходимо задаться характером изменения
нагрузки на зубьях и для него найти деформацию обода муфты.
Известно, что зазоры между зубьями муфты в пределах зоны нагру-
жения изменяются по зависимости [48]
S (в) = So (cos 0 - cos р),
поэтому нагрузку на зубьях можно также искать в виде
<7(0) = <7о + 2 qm (cos т 6 - cos т (J), (1.30)
где Qo — равномерная составляющая нагрузки на зубьях в пределах
зоны нагружения, qm - т-я гармоника нагрузки на зубьях.
Составляющая q0 найдется из уравнения равновесия в виде
Qo = 774гвРр, (1.31)
где гв - радиус основной окружности зубчатого венца муфты, /3 - поло-
вина нагруженного участка.
Переход от сосредоточенных на зубьях сил к распределенной нагрузке
(1.30), (1.31) оправдан тем, что число зубьев муфты достаточно велико
и такая замена сил, значительно упрощая выкладки, практически не влияет
на точность расчета.
Входя в (1.29) с (1.30), получим следующее соотношение для опре-
деления и(0):
2р4 0 °°
и<8) = f q W 2 сп cos «(# - в р)Мр
Я El —fl л=2*
Для первого члена ряда (1.30) получим
2/7лД4 °°
и(в) =—— S C'„cosnO, (1.32)
Я EI п=2п
где С'п = C„ (sin л 0/2) (л/2).
Для m-го члена ряда (1.30)
2р4дт ~
и(6) =----—- S С’псозпв, (1.33)
Я EI п = 2к
„/m\rsin("« - л)0 sin (т + л) 01
гДе С пт = CJ— ) —-------------------------.
т - п т + и J
36
Из формул (1.32) и (1.33) следует, что прогиб обода муфты подчи-
няется соотношению
2р4 ,
u(0)=—— 2 Cfnqm9 (1.34)
Я EI т = 1
где лишь амплитуда и-й гармоники профиля зависит от члена ряда на-
грузки т
2р4 ~ г
ипт ~ -г " Cnqm-
ТТ EI ш = 1
Это обстоятельство значительно упрощает процедуру раскрытия ста-
тической неопределимости упругой системы, содержащей зубчатую муфту,
поскольку учет высших гармоник нагрузки на зубьях не изменяет харак-
тер прогиба обода муфты. Поскольку в формулы для прогиба обода
муфты, в связи с циклическим характером ее нагружения, входят лишь
четные члены ряда п = 2 к, то, как показывают расчеты, допустимо огра-
ничиваться учетом 1—2 членов ряда (к = 1,2) при использовании соот-
ношения (1.34).
РАЗДЕЛ II
СТАТИКА ЗУБЧАТЫХ МУФТ
Полученные в предыдущем разделе результаты по определению за-
зоров между зубьями и жесткостей зубьев и ободьев муфт позволяют
перейти к расчетному определению статической нагруженности муфт.
Ниже приведены методики расчета распределения нагрузок между
зубьями результирующих упругих сил и моментов, а также моментов
сил трения в муфтах с прямыми и бочкообразными зубьями. Рассмотрены
основные варианты конструктивного исполнения муфт: одинарные и
двойные, с жесткими и податливыми ободьями. Более подробно рас-
смотрены одинарные муфты, так как расчет двойных муфт принципи-
альных отличий не имеет и, по существу, сводится к расчету двух оди-
нарных муфт.
Следует отметить, что расчет статической нагруженности даже оди-
нарной зубчатой муфты с одновременным учетом всех погрешностей,
переменности жесткостей зубьев и податливости ободьев представляет
собой весьма сложную задачу, решение которой требует применения
ЭВМ. В связи с этим для возможности проведения оценочных расчетов
ниже приведены приближенные методики расчета одинарной зубчатой
муфты с жесткими ободьями при наличии одной (можно считать преоб-
ладающей) погрешности, т.е. при перекосе осей, смещении осей, а также
при одновременном учете перекоса и смещения осей и накопленных
погрешностей окружных шагов зубьев. Приближенность этих методик
связана с тем, что в них жесткости всех зубьев (по окружности муфты)
37
приняты одинаковыми и постоянными, т.е. не зависящими ни от углового
положения зубьев (при перекосе), ни от нагрузки.
Уточненная методика расчета, учитывающая переменность жесткостей
зубьев, и окончательные решения в виде зависимостей и графиков при-
ведены для случая чистого перекоса в муфте, который имеет наиболь-
ший интерес для двойных зубчатых муфт. Эта методика подтверждена
расчетно-экспериментальными исследованиями, результаты которых при-
ведены ниже.
Уточненные расчетные зависимости, позволяющие определять сило-
вые факторы в одинарной муфте, приведены также и.для более общего
случая, т.е. при наличии в муфте перекоса, смещения осей и накоплен-
ных погрешностей шага.
Двойные муфты обладают характерной особенностью, обусловлен-
ной наличием в них плавающего элемента. В связи с этим для двойных
зубчатых муфт необходимо рассматривать дополнительные вопросы,
связанные с возможностью самоцентрирования (или самоустановки)
плавающего элемента.
Ниже приведены результаты исследования этих вопросов, а также рас-
четные зависимости по определению силовых факторов в двойных зубча-
тых муфтах, в которых промежуточный элемент выполнен либо в виде твер-
дого тела, либо в виде гибкого вала.
Особенность решения задачи по определению нагрузок на зубьях муф-
ты заключается в том, что эта задача является нелинейной в связи с из-
меняемостью нагружения муфты. Неодинаковые зазоры между зубьями
муфты при перекосе осей и другие погрешности приводят к последо-
вательному включению в работу зубьев при увеличении передаваемого
муфтой вращающего момента. Существует также физическая нелиней-
ность задачи, обусловленная нелинейной зависимостью жесткостей зубьев
от нагрузки (1.19) и (1.21) при перекосе осей в муфте. В связи с этим
указанное решение приходится проводить поэтапно. Выбор числа этапов
определяется исходя из того, чтобы на каждом из них было можно
пользоваться едиными расчетными зависимостями, учитывающими как
влияние разнозазорности, так и изменение жесткостных характеристик
зубьев. В общем случае такими этапами являются: первый - когда не
все зубья муфты нагружены, второй - когда все зубья муфты нагружены.
При этом дополнительно следует учитывать особенность процесса нагру-
жения муфт с прямыми зубьями, требующую рассмотрения промежу-
точного этапа, когда все зубья муфты вступили в контакт, но еще не
нагружены по всей длине.
При определении нагрузок на зубьях Рв основным искомым пара-
метром является число нагруженных зубьев. Изменяемость схемы на-
гружения не позволяет сразу установить это число. Поэтому прямая
задача - определение числа нагруженных зубьев - может решаться лишь
методом последовательных приближений.
В связи с этим целесообразно решать не прямую, а обратную задачу —
задаваясь зоной нагруженных зубьев, определять соответствующую ей
величину вращающего момента М и построить таким образом функцию
38
Л/ = /(3), выражащую уравнение равновесия:
м/г, = f Рв de
* -0 ‘
(2.1)
— в случае двух осесимметричных зон нагружения и
М г / \
— = - • f Ре de + f Ped0l (2.2)
г в 2тг J
— в случае двух неодинаковых зон нагружения, где 0, 01,0 2 - централь-
ные углы охвата зон нагруженных зубьев. Имея такой график, можно
для заданного значения М по графику определить соответствующее зна-
чение угла 0. Уравнения статического равновесия муфт для каждого
из этапов нагружения в преобразованном виде, устанавливающим не-
посредственную связь между М и 0, приведены ниже.
Глава 4
НАГРУЗКИ В ЗУБЧАТОМ СОЕДИНЕНИИ
С ЖЕСТКИМИ ОБОДЬЯМИ
4.1. Нагрузки в муфте при постоянной по углу О
жесткости зубьев
Нагрузки в муфте при перекосе осей полумуфт. В связи с тем, что
при перекосе характер распределения нагрузки по длине зубьев в муф-
тах с прямыми и бочкообразными зубьями различен, рассмотрим эти
типы муфт последовательно.
Муфты с прямыми зубьями. При чистом перекосе зазоры
между рабочими профилями зубьев распределяются в соответствии с
зависимостями (1.2) симметрично относительно координат = 0 и
02 3 я, т.е. координат зубьев, первыми вступающими в контакт и поэтому
наиболее нагруженных. Графики изменения зазоров между зубьями и
соответствующий им характер распределения нагрузки по зубьям по-
казаны на рис. 2.1,а, где 1 и 2 — кривые, относящиеся к торцевым сече-
ниям 1 и 2 муфты. Указанная симметрия позволяет рассмотреть распре-
деление нагрузки со стороны лишь одного из торцев, например первого,
с координатой наиболее нагруженного зуба 0t = 0.
Для прямых зубьев процесс их нагружения осуществляется в сле-
дующей последовательности. При величине угла 0, характеризующего
зону нагружения зубьев (рис. 2.1,а) и находящегося в пределах 0 <0 <
< я/2, нагружается часть зубьев со стороны каждого из торцев. При 0 - я/2
все зубья муфты нагружены, но со стороны лишь одного из торцев каждо-
го зуба, при этом соответствующие противоположные торцы не нагру-
жены. При дальнейшем увеличении вращающего момента и значениях
угла 0 в пределах я/2 < 0 < я каждый из зубьев нагружается со стороны
обоих торцев и при 0 = я все зубья муфты нагружены с обоих торцев,
причем неравномерно по длине зубьев. При дальнейшем увеличении вра-
39
Рис. 2.1. Распределение зазоров Sq в муфте по углу е
а ~ прямые зубья; б - бочкообразные зубья
щающего момента значение 3 = я сохраняется и все зубья получают до-
полнительное приращение деформации w, одинаковое для всех зубьев.
Из сказанного следует, что с увеличением вращающего момента изменя-
ются жесткости зубьев, поскольку у них изменяются длины участков,
передающих нагрузку. При этом поскольку перекосы в каждой из кон-
тактирующих пар зубьев различны, то при одном и том же вращающем
моменте зубья с различными угловыми координатами в имеют различ-
ную жесткость.
В связи с изложенным процесс нагружения муфты с прямыми зубьями
целесообразно разбить на три этапа, в которых:
1) 0<Д<я/2; 2)я/2<0<я; 3)3= я; w0=Z>u>,
где w0 - деформация наиболее нагруженного зуба.
Удобство введения этих этапов связано с тем, что в пределах каждого
из них жесткости зубьев могут быть описаны единой аналитической
зависимостью.
Учет переменности жесткостей зубьев приводит к существенному
усложнению методики расчета распределения нагрузок между зубьями.
Такая методика приведена в параграфе 4.2. Однако для проведения оце-
ночных расчетов можно принять жесткости зубьев постоянными. В этом
случае отпадает необходимость поэтапного проведения расчетов нагрузок
в муфте и результаты расчетов могут быть представлены в замкнутом
аналитическом виде. 4
40
Принимая жесткости всех зубьев одинаковыми и равными ск = с,
для нормальных усилий, действующих в контактирующих парах £-х
зубьев по одному из торцев муфты, имеем выражения
Рк = Л> ~ Ра = гв, (Л = 0,1,2,..., п) (2.3)
где <ргв — общая деформация зубьев, равная деформации наиболее нагру-
женного зуба, первым вступившим в контакт, у - угол поворота, гв -
радиус основной окружности ведущей полумуфты, согласно (1.2) SK =
= ~Z?a>(l - cos 0К), вк = (2irlz)k, z - число зубьев муфты, к - поряд-
ковый номер зубьев, п — порядковый номер последнего контактирующе-
го, но ненагруженного зуба, с = b /2еп.
Суммируя левые и правые части равенств (2.3) с учетом симметрич-
ности распределения усилий относительно первого зуба с нагрузкой
PQ,получим
п п
РЕ=Р0 + 2SPK = (2л + l)c^rB -2cS SK, (2.4)
i i
" 1 Г ЯЛ Я _
где L 5К = — Ьа>|л+ 1 - cos- sin - (л+ l)cosec J.
1 2 L Z Z z •
Это выражение с учетом у>гв =5Л, вытекающего из условия Рп = 0, пре-
образуется к виду
М 1 я
Рт = — =-г h coc(sin 0„ctg — - 2 л cos 0Л). (2.5)
2гв 2 z
Из этого уравнения по заданной величине момента М для <ргв со опре-
деляется угол зоны контактирующих зубьев вп = (2я/г)ли порядковый
номер л - последнего контактирующего зуба. Это решение проще всего
выполнить графически после предварительного построения функции
правой части (2.5) при задаваемых углах 6п.
Величина деформации <^гв определяется из уравнения (2.4)
^rB=w* + 5*, (2.6)
где w* = Р2/с(2л + 1); S* = 2Х5к/2л+1.
Таким образом, закон распределения нормальных усилий по зубьям
муфты согласно (2.3) может быть представлен в виде
__ z _ z - М _ SSK
р =р_ +c(2S—-S ), р= — ; s=--------------#=2л+1
N N rBz г
или Р=2сЙ';. W - средняя деформация зубьев.
я z 2л
При малых значениях я/z < 10 можно принять ctg—— и тогда
z я 0п
тот же результат, что и по формуле (2.5), может быть получен, если
суммирование заменить интегрированием, т.е.
z 5
=— fPgdO, Рв = c(«prB -Se).
"о
Рис. 2.2. Зависимости М, и М 2 от угла 0
Этот прием замены суммирования интегрированием будет постоянно
применяться в дальнейшем. Угол fl = 0Л, характеризующий число нагру-
женных зубьев, может быть определен из уравнения
— Л /sin0 \
Afj =М/- гво>Ьс = 01-------cos0J. (2.7)
я 4 0 7
Эта зависимость Мх от 0 приведена в виде графика на рис. 2.2, который
позволяет по заданной величине М определять угол 0. Момент, при кото-
ром все зубья муфты войдут в контакт по обоим торцам, определится
выражением М * = crB bu>z, при этом 0 = я, <ргв = Ьсо, п = z/2, SSK =
=|few(z/2+1).
При дальнейшем увеличении вращающего момента М > Л/ * и 0 = я
деформация наиболее нагруженного зуба будет
фгв = b со + W,
Ръ - \cb ыг
где W =------£-----„ - дополнительная деформация зубьев.
c(z + 1)
При перекосе в одинарной муфте радиальные результирующие усилия
равны нулю, но в плоскости перекоса действует восстанавливающий
упругий момент (изгибающий вал)
Z *
Мизг = ““ fPe bcosO do, (2.8)
Я о
42
а также момент сил трения
2z I
Мтр =— f PerfT cos в d6, ‘ (2.9)
я o'
где /т - коэффициент трения, г — радиус делительной окружности.
Соответствующие выражения для определения Se - зазоров, Р$ -
усилия в 0-й паре зубьев, Р% - суммарной нагрузки, fcHep = Ртах/Рср -
коэффициента неравномерности нагружения зубьев и моментов, Л/изг
и Л/тр приведены в табл. 2.1.
Муфты с бочкообразными зубьями. Последователь-
ность включения в работу бочкообразных зубьев при нагружении муфты
определяется зависимостью (1.3) и графически изображена на рис. 2.1,5.
В соответствии с этим точки первоначальных контактов зубьев (места
приложения нагрузок) не остаются в торцевых сечениях муфты, а в
зависимости от угла 0 смещаются к середине муфты. На зубьях, коор-
динируемых углами 0 = 0 и 0 = я (первыми вступающими в контакт),
площадки контакта удалены от середины муфты на максимальное рас-
стояние L = А со cos 0, а при 0 = ±я/2 они находятся в среднем попереч-
ном сечении муфты. В связи с этим для муфт с бочкообразными зубьями
достаточно рассмотреть два этапа нагружения: 1) 0 < 0 < я/2 и 2) 0 = я/2,
когда все зубья муфты в контакте и, кроме того, они дополнительно
Сформированы на одинаковую величину
W = W - где W = Р/с,
Значение угла $ при заданном вращающем моменте может быть опре-
делено по графику на рис. 2.2, где
— 2 „ / sin 20 \
Л/2 = Af/— rB cRw2 = 01---- - cos 2 0).
2 я V 20 '
Соответствующие расчетные зависимости приведены в табл. 2.1, где
при определенииМизг плечо силы равно L = Rucos 6.
Нагрузки в муфте при смещении осей полумуфт. Нагрузка в произ-
вольной 0-й паре зубьев с учетом зависимости (1.4) определяется выра-
жением
Ре = ~5в) = с{*’гв - ео [1 - sin( 0 - 7)]}. (2.14)
Для последней контактирующей, но недогруженной пары зубьев,
координируемой углом 0К, Ре* =0, поэтому
Ре =се0 [sin(0K - 7) — sin(0 —7)].
Суммарная нагрузка на всех контактирующих зубьях будет
Z z °к
pz=~ f pede = — се0 f [sin(0K - 7) -sin(0 -y)]dB,
0н 2я 0H
(2.15)
где 0H = 0O ~ 0, 0k = 0o + 0 “ угловые координаты начала и конца зоны
догружения, 0О - 7 — я/2 — угловая координата пары зубьев, первой
вступившей вконтакт, 0 - угол, характеризующий половину зоны на-
груженных зубьев и изменяющийся в пределах 0 <0 <я.
43
Таблица 2.1
К расчету муфт при перекосе
Пара* метр Муфта с прямыми зубьями Муфта с бочкообразными зубьями
0 < 0 < я 0 = * 0 < 0 < я/2 0 = я/2
se — bcj(l - cos 0) ~^R cj2sin30
Ре •1 cbuXcos е - cos 0) (2.10) c(.bu+W-S$ (2.11) 1 -icKa>3(sin30- - sin2 e) (2.12) 1 c (y R w* cos’ e + и*) (2.13)
~ b ecu (sin fi - 0cos0) 2ir z я — fPede * 0 z — cRuj2 (0sin20- Я 0 sin30 2 4 ' 2ff — f Pe de Z 0
^нер (z/N) (1+S/W) czrB (Z>cj+ W) M ze/?cj2rBsin30/2M c(.^R<S + W)/P
^изг z 1 — cb2it>(2& - sin 0) 8 я zub3l%en — cR2<jo2 [sin30(~0 + я 2 + 4sin30) - 0/8 + 4 1 . л 4 + 32 sm4/J) 3 MRW
8 h
Мтр ~cburfr.^ - 2я и - sin 20) M/Tp/2 cosaw 2 z —— сЯси’г/трвт’р Зя K 4 M/Tp
$ ffcosajy
В результате интегрирования (2.15) получим
z
Ръ = — ceo(sin0-0cos0).
я
Значение угла 0 при заданном вращающем моменте может быть оп-
ределено с помощью графика, представленного на рис. 2.2, где
— - sin в
Mf =М/—гъсеь= 0(—--------cos0),
я 0
а нагрузка на зубьях - по формуле
Ре = [cos 0 + sin (9 -/)]. (2.16)
Максимальная нагрузка в паре зубьев, координируемой углом 0О,
Лпах =се0(1 -COS0).
44
Коэффициент неравномерности нагружения зубьев
^нер “Лпах/^ = О “ СО$ ъ/М.
Предельная величина вращающего момента, при котором все зубья
муфты вступили в контакт (0 = я)
=Ps ''в = rBzc6Q.
При дальнейшем увеличении вращающего момента М > М* распре*
деление нагрузки по зубьям определяется зависимостью (2.14) с учетом,
что угв = 2/0 + W, т.е.
Ре = с [е0 + W - eosin(0 - 7) ], (2.17)
где дополнительная деформация зубьев W определяется из условия ста-
тического равновесия
+ —
= P -Z yf2 Pede=c(e0 + W)z,
(2.18)
т.е.
И/ = MlrBczl-eQ.
Выражение (2.17) с учетом (2.18) имеет вид
PQ = Р - се о sin (О -7),
где Р = M/rB cz - средняя нагрузка.
В этом случае максимальная нагрузка при 0 = 0О
Ртах “ РЛ »
а коэффициент неравномерности нагружения
^нер =Р тах/Р = 1 + Сеъ/Р’
Неравномерность распределения нагрузки в муфте при радиальном сме*
щении осей полумуфт приводит к появлению радиальной равнодействую-
щей силы. Проекции каждой из сил PQ на оси х, у (рис. 1.1) равны
Рх = Ре sin 0, Ру =Ре cos 0.
Проекции результирующей силы на оси х, у при 0 < я определяются
выражениями
ЪРХ= — fKPfiSinffd0; SPy = — f ^cosOdff.
2я ан 2я вн
После интегрирования этих выражений с учетом (2.16) получим
z 1
ЪРХ =------ce0cos 7(0 - у sin 2 0),
2я
2 1
ЪРу = —ceosin 7(0--rsin 2 0).
2 я *
При этом полная результирующая сила
= V (S/’x)2 + (^)2 = се0 (0 - у Sin 2 0).
2 я
45
Рис. 2.3. Зависимость о * от An? /ДП1
Рис. 2.4. Зависимость е * от Дп> /Д^
Направление действия результирующей силы, т.е. угол. 7*, опреде-
ляется равенством
(SPy)/SPx=tg7*=-tg,
т.е. 7* в —7 й, следовательно, результирующая сила всегда направлена
противофазно к смещению е0 независимо от того, какое число зубьев
из z нагружено.
Максимальной величины результирующая сила достигает при Р = я,
т.е. когда все зубья муфты под действием вращающего момента войдут
в контакт
Летах = (l/2)zce0.
При дальнейшем увеличении вращающего момента (М >М *) величина
Летах не изменяется, поскольку дополнительные нагрузки АРв = cW
одинаковы для всех зубьев и при суммировании по z они дают нулевые
проекции по оси х, у. Сила Р£ является внутренней силой в упругой связи
полумуфт, характеризуемой суммарной радиальной жесткостью зубьев,
и поэтому она действует на каждую из полумуфт. Силы, действующие на
полумуфты, равны по модулю и противоположны по направлению. Каж-
дая из этих сил воспринимается соответствующими опорами полумуфт.
При вращении муфты, но неизменном положении осей полумуфт нап-
равления действия этих сил не изменяются, т.е. для опор они являются
статическими силами.
Распределение нагрузки между зубьями при перекосе и смещении
осей. В работе [4] приведены результаты расчета распределения нагрузки
между зубьями соединения при наличии перекоса и смещения осей. На
рис. 2.3, 2.4 приведены номограммы для определения числа зубьев сое-
динения, принимающих участие в передаче вращающего момента. По
оси абсцисс отложены безразмерные величины зазоров ДП1/ДПз и
Д /Д , а по оси ординат - безразмерные величины деформаций зубьев
*п = ®п3/ДП1и^б = ®в«/Дб1 (^пх, 6бх - средние величины деформации
z зубьев, передающих вращающий момент),
дп3 в Дб3 = *о + *1,2; Дб^-^Ло2.
46
Для определения числа зубьев z, передающих заданный вращающий мо-
мент, необходимо: 1) для заданных погрешностей монтажа и изготовле-
ния соединения со, е0, е12 найти безразмерные величины зазоров 4t/A2;
2) для заданного вращающего момента найти среднюю величину дефор-
мации зубьев Ь2 и безразмерную величину кп (или Лб); 3) если Д1 > Д2,
то по верхним номограммам найти точку пересечения найденных значе-
ний к (по оси ординат) и Д2/Д1 (по оси обсцисс), которая и определит
безразмерное число зубьев z/z3, передающих заданный вращающий мо-
мент; если Д1 < Д2, то по нижним номограммам находится точка пере-
Д2
сечения значений к— (по оси ординат) и Aj/A2 (по оси абсцисс),
Ai
которая также определит безразмерное число нагруженных зубьев z/z3.
При больших величинах вращающих моментов обычно оказываются
нагруженными все z3 зубьев соединения. В этом случае расчетные форму-
лы для нагрузок на зубьях и силовых факторов в соединении значительно
упрощаются.
4.2. Нагрузки в муфте с учетом переменности жесткостей
зубьев
Ниже приведены методики и зависимости для расчета распределе-
ния нагрузки по зубьям муфт и результирующих силовых факторов
в муфтах при перекосе осей полумуфт с учетом нелинейности жестко-
стей зубьев в соответствии с зависимостями (1.19)—(1.22).
Силовые факторы в муфте с прямыми зубьями. В данном случае
график изменения зазоров между зубьями в муфте и характер распре-
деления нагрузки net зубьям остаются такими же, как показано на
рис. 2.1,а. Так же, как и в параграфе 4.1, процесс последовательного
нагружения зубьев по окружности муфты с ростом вращающего момента
разбит на три этапа: 1) 0 <А<я/2; 2) я/2 </3<я, 3) fl = я.
Ниже для каждого из этапов нагружения приведены расчетные зави-
симости по определению нагрузок на зубьях, изгибающих упругих мо-
ментов и моментов сил трения.
I этап нагружения. Согласно зависимости (1.19) нагрузка
в 0-й паре зубьев
Р0 = Aj/2enwcosfl.
Деформация 6-й пары зубьев определяется
Д0 =До —Sq ,
где5в cj(1 -cos fl), До co(l -cos fl).
Тогда
A0 = cd(cos fl - cos fl),
cod2 (cos fl - cos fl)2
=--------------------- .
8en cos fl
(2.19)
47
Величина угла 0 определяется из уравнения (2.2), которое с учетом
(2.19) имеет вид
М
Гв
----- sin Р - 20 cos Р + cos2 Р In tg I- + —
4яеп L \2 4
где z - число зубьев муфты.
Нагрузки P# в зонах нагружения 7, 2 (рис. 2.1,а) смещены к торцам
и распределяются по длине площадки контакта (Ьк) по треугольному
закону. Такое смещение нагрузок создает восстанавливающий упругий
момент, действующий в плоскости перекоса муфты
2z 0
Мизг = — fPe be cos 0 d09
я о
где/>в = (1/2)Л> - (1/3)Z>K - плечо силыРо, а Ьк с учетом (1.18)
be = Z>(cos 0 - cos 0)/2cos 0.
В результате интегрирования получим
zZ?3co _ / Р п \ 1
Мизг = —------ 0-sin2 0 + cos201ntgl —+ — I
24 еп я \ 2 4 ' J
Как показано выше, при вращении муфты с постоянной угловой ско-
ростью положение площадок контакта на боковых поверхностях в каж-
дой паре зубьев периодически изменяется. За один оборот муфты пло-
щадка контакта перемещается по длине зуба с проскальзыванием от
одного торца к другому и обратно.
При проскальзывании возникают силы трения, направленные против
скорости скольжения (см. рис. 1.4). Поскольку* скорости скольжения
в зубчатых муфтах малы, наиболее вероятным следует считать, что по-
верхности зубьев работают в режиме сухого трения. Тогда сила трения
в произвольной паре зубьев будет FTp = Р^/тр, где f тр = 0,1 4-0,2 -
коэффициент трения. Силы трения, направленные в соответствии с рис. 1.4
(условно знак плюс - от наблюдателя, а знак минус - к наблюдателю),
складываясь, создают момент сил трения, проекции которого на коор-
динатные оси ху
2z
№• =— f Рв /тр г cos 6 d0-9
у я о
2z
Му=----- f Рв fTprsinO d09
Я w
aW
где пределы интегрирования (см. рис. 1.4) равны
О<0<я/2-аж; я/2 - < я/2.
48
После интегриррвания с учетом выражения Рв получим
= zb ( 1 + * sin 2 ft - 2 cos 0 sin 0i + 0 cos20i),
y 4iren L 4
zb2 co Г j
M . = —----- Г Ap hr (sin202 - cos2aiv) + 2 cos 0(cos 02 - sin tty) -
x 4iren l z
1Bx cos 02 1
- cos201n------- .
COS Oft, J
Здесь значения:
| 0 , при 0 < я/2 - Ohs
ft=t я/2 -aw , при0> я/2-otw,
03=1 Itl2-aw , при 0< я/2 -aWi
l я/2 , при я/2 -аи/<0<я/2.
Отметим, что выбор пределов интегрирования 01 и 02 зависит от вели-
чины уппк0, так как нагрузки, расположенные в секторах с централь-
ным углом от я/2 -a w до я/2 + a w, создают момент сил трения только
относительно оси х', относительно оси у' момент от этих нагрузок равен
нулю, что обусловлено направлениями (знаками) скоростей скольжения
и соответственно направлениями сил трения (см. рис. 1.4). По этой при-
чине при Р < я/2 - а и' момент Му» ¥= 0, а М= 0.
II этап нагружения (я/2 <0<я). На втором этапе нагружения
принимаем, что жесткости всех зубьев одинаковы и равны жесткости
наиболее нагруженного зуба, т.е.
Z>(1 - cos 0)
Тогда нагрузка в 0-й паре зубьев определяется выражением
Ре = с = Ъ2 а>(1 - cos 0) (cos 0 - cos 0)/8еп . (2.20)
Величина угла 0 определяется из решения уравнения
М/гв = (г62а>/4яеп) (1 - cos 0) (sin 0 - 0 cos 0).
При определении изгибающего момента принимаем, что площадки контак-
та на всех зубьях равны площадке контакта в первой паре зубьев, т.е.
Ьк= (1/2)Л>(1 -cos0)
и, следовательно, плечи сил Pq равны
Ьв =lb-^bK = Z>(2 + cos 0)/6.
Тогда величина изгибающего момента будет
2z Р
Мизг = — S ?е be cos 9 d в =
* о
= —— (1 - COS 0) (2 + cos 0) (0 - у sin 2 0).
48яеп 2
4. Зак. 1344
49
Проекции момента сил трения на оси х', у' с учетом новых пределов
интегрирования в выражениях {Му., М*.) будут
2z/’r/2~“’*' \
М . = — ( f Рв ftp г cos в de + / Рв fTp г cos 6 d6) =
у Я ' О fr/2 + ац/ /
zd2w(l - cos 0) п 1 1
=---------------- г/тр(— -2cos0cosaH' - + sin 20),
4яеп 2 z н
2z zb2 tor
M. = — / Pe ft0r sin 0 db = -----------(1 - cos 0)sin aw cos 0A„
x я «r/2-аи- 2iren
(при0> я/2 + 0,1,).
Ш этап нагружения (0 = it). На третьем этапе нагружения на-
грузка на зубьях со стороны одного из торцев муфты
Р9 = сДв,тде с = Ь/2е„,
Д9 s До — 89; До = b ы + V; 80 = 1/2 b со(1 — cos 0),
Д9 = со(1 + cos 0) + W;
после подстановки значений с и Д9 получим
/> 1
Рв -----[4* w(l + cos 0) + И*].
2еп 2
Величину дополнительной деформации определим из условия равновесия
муфты
М _ 2z
г» я
f Ре dO.
о
После подстановки выражения Рв и интегрирования найдем
Не-)
гдеРср =M/zr*.
С учетом выражения w величина Pq определяется
1 Ь2ы
^=4^ +------------cos 0). (2.21)
2 еп
Отметим, что нагрузка по второму торцу распределяется по аналогич-
ной зависимости, смещенной по фазе на я, т.е.
1 Ь2а>
Ре ---------------008
2 еа
Суммарная нагрузка в каждой паре зубьев равна Р/ + Р2 = ^Ср» однако
по длине зубьев нагрузка распределена неравномерно, например, при
0 = 0 на одном торце Р/ = (1/2) (Рср + Ь*со/еп), а на другом Р> =
= (1/2) (Рср - Ь2со/еп). Изгибающий момент в муфте определим по
50
формуле
2z J
Мизг = — f be cos 0 d09
я о
где Рв определяется (2.21), а Ьв = -yb - jZ>K, но Ьк = Ь. После под-
становки Ре и = Ь/6 и интегрирования
Мизг = zb3 со/24 еп.
Это предельная величина Мизг, которая с дальнейшим ростом крутя-
щего момента остается без изменения.
Проекции момента сил трения на оси х у' будут
2z/fr/2-aW' я \
f PefTprcos0d0 - f P0 fTp r cos 0 d0j =
' Я ' 0 я/2+ац,
2z
= — Pep rftp cos aW‘,
If
2z ”l2+aw 2z
M =— f Pe /Tprsin6 de = — Pcp r fTP sina^.
Я w/2-aji, Я
С учетом значений Рср
2 2
М • = — м/тр; М . = — М/тр tg aw.
у я х я
Результирующая величина Момента сил трения
2
МТр = VM’ +М2! = -MfTp sec .
у я
‘Вектор момента Мтр направлен по оси у, т.е. поворот от момента Мтр
происходит относительно оси у9 а заданный перекос осуществлен по-
воротом муфты относительно оси х. Другими словами, плоскости дейст-
вия момента Мтр и перекоса взаимно перпендикулярны. Следует от-
метить, что направление действия момента сил трения Мтр зависит от
величины крутящего момента, например, вектор Мтр при 0 < я/2 - а w
направлен по оси у'9 а при 0 s я вектор момента направлен по оси у.
Полученные расчетные зависимости сведены в табл. 2.2.
Для удобства определения силовых факторов в муфте по полученным
формулам проведены расчеты и на рис. 2.5, 2.6, 2.7 построены графики
зависимостей безразмерных параметров М3, М4> М5 и Р0 от угла 0, где
— — zb2u — zb2corfro -
М3 =M/—------М4 =МИЗГ/--------- ; Ms =Мтр1—-------Рв =Рв/—.
4яеп 24яеп 4яеп 8еп
Правило пользования этими графиками состоит в следующем. При
заданных параметрах муфты (rB, z, b> со, еп) определяется величина
лг„ по графику рис. 2.5 устанавливается величина угла fi и по ней по
51
Рис. 2.6. Зависимость Pg от угла е при 0 = 50 -г 180°
Таблица 2.2
Муфта с прямыми зубьями
| 0<’/2 J w/2 <0<w 0 = ir
S0 1/25 cj(1 - cos 0) 1/25cd(1 - cos 0) l/26cj(l - cos e)
Ав 1/25cj(cos 0 - cos 3) l/25w(cos0 -cos/3) 1/25 w(l + cos 0)+ W
Се 5(cos 6 - cos 0)/4encos e h(l -cos0)/4en bl*n
5(cos в - cos 0)/2cos 0 l/2fr(l -cos0) b
Ре b2 cj(cos 0 - cos 0)3 /8encos e b2 w(l - cos 3)(cos e - - cos 3)/8en i b2 cjcos e —PCD + 2 ’ 2en
Мкр/Гв b2wz [sin /J - 2/3cos 3 + 4wen Ь2ы z (1 -cos 0)(sin 3 - 4we„ — (ifrw .+ W) en 2
+ cos’01ntg(0/2 + Я-/4)] - 0COS0)
ье 5(2 cos 0 + cos 3)/6 cos 3 4 5(2 + cos 3) о Iй
Л^ИЗГ 53cjz . —— |0-sm20 + 24we„ 53cj z — (1 -cos/?)(2 + 48яеп 53cjz/24en
+ cos’/J lntg(0/2 + тг/4) sin 23 + COS P)(0 — )
^тр (M’,+M’.)l/2 * X У (M+ M’,) 1/2 2 ... M/TpSecotH' w
графикам рис. 2.5 и 2.7 определяются относительные М4иМ5 и абсо-
лютные величины изгибающего упругого момента Мизг и момента сил
трения Мтр
мязг = М4 —-----; Mrp =MS—--------L” •
24яеп 4яеп
По найденному углу 0 на рис. 2.6 определяется эпюра распределения
безразмерных нагрузок Рв, при этом абсолютные величины нагрузок
будут
- д2сс
При пользовании указанными графиками отпадает необходимость
проведения расчетов по формулам, приведенными табл. 2.2 для 0 <0<я.
При больших вращающих моментах, когда М3 > 6,28, следует поль-
зоваться формулами, приведенными в третьей колонке табл. 2.2, по ко-
торым легко могут быть определены величины Ре, Мизг, Мтр.
53
Следует подчеркнуть, что формулы для вычисления нагрузок и гра-
фики рис. 2.6 определяют распределения нагрузок со стороны одного
из торцев муфты (поскольку эпюра Рв симметрична относительно 0=0,
на рис. 2.6 показана половина эпюры). Со стороны другого торца муфты
функция распределения нагрузок смещена по фазе на 180°. В сумме
обе эти функции характеризуют неравномерность распределения нагрузки
по длине зубьев.
Силовые факторы в муфте с бочкообразными зубьями. Распределение
зазоров в муфте с бочкообразными зубьями подчиняются зависимости
S6 = - cos2»),
графически изображенной на рис. 2.1,6. В соответствии с этим харак-
тер нагружения зубьев данной муфты отличается от характера нагру-
жения муфты с прямыми зубьями тем, что точки первоначальных кон-
тактов зубьев (приложения нагрузок) не остаются в торцевых сечениях
муфты, а в зависимости от угла 0 смещаются к середине муфты. На зубь*
ях с координатами 0 = 0 и 0 = я (первыми вступающими в контакт)
площадки контакта удалены от середины муфты на максимальные рас-
стояния L = R cd cos 0, а при 0 = ± я/2 они совмещаются в среднем сечении
муфты. В связи с этим для муфт с бочкообразными зубьями достаточно
рассмотреть два этапа нагружения: первый, когда не все зубья муфты
нагружены, т.е. 0 <0 < я/2. и второй, когда все зубья муфты нагружены,
т.е. 0 = я/2 и, кроме того, все зубья дополнительно сформированы
на одинаковую величину w.
I этап нагружения. Согласно зависимости (1.22) нагрузка
в Pff-й паре зубьев
где Дв = До - S6 = | R w2 (cos2» - cos20).
В преобразованном виде
2 Я2а>3 _ _
Ре = V------- (cos20 - cos20)3/2,
2Rco
где еб = ен.б (1 + —— cos 0); ен.б = 40/Е.
° 2 А со
Для удобства, обозначив q =-----> получим
_ wb2q2 (cos20 - cos20)3^2
° 6ен.б(1+?cos 0)
Величина угла 0 определяется из решения уравнения
М _ zwb2q2 & (cos20 - cos20)3/2
------------ J ------------------ dO.
rB Зяен.б о l+<7 cos 0
54
Упругий изгибающий момент в муфте равен
2z 0
Мизт = — / Ре be cos в d0,
it о
где be = Я sin cur ^Ясот « R со cos 6. С учетом выражений Pq, Ьв
za>b3q3 0 cos20 (cos20 - cos20) 3/2
МКзг = “ jf — - dO.
О7Ген.б о l+</COS0
Проекции момента сил трения на оси х, у при 0 <я/2 -
4z R2u>2 fi cos 0(cos20 — cos20)3^2
М » , г/тр у V г ен.в При 0 = я/2 М у Зявн.б 3ireH.e f dO; М , = 0. о 1 + q cos 0 x (COS0)4 f de; о 1 + q cos 0 ’/2 sin 0 cos3 0 f de. w/2-ajp 1 + ф COS 0
II этап нагружения. Деформация 0-й пары зубьев с учетом W
равна
Дв = До - s6 + W = уЛ w2cos20 + W-
Пользуясь выражением (1.22), найдем
4\/2/Г*(-уЯ со2cos20 + w)3/2
Pe =-----------*--------------
6 1+? cos О
Величина дополнительной деформации определяется из условия равно-
весия
М 2z ’/2 '8zV2j?’/2 (-|/?«2cos2e + w)3/2
- = — f Pede = —— f 22_______________ de.
гъ 7Г О З^н.б o 1+?COS0
Упругий изгибающий момент равен
„ ezv^ </2cos2e(4/?w2cos2e + w)3/2
л/изг = ---R и f------12-7-------—-— de.
Зяе^.б о 1+9COS0
Проекции момента сил трения на оси х', у'
8zV2RVTp */’-* <»s0(|/?a?cos20 + »)3/2
My'S Зяен.б { 1+tfcosfl
м ( _ Др -/2 Sin0(|/^2COS20+»)3'2
х*= “ j d0.
Зяен.б я/2—l+<7cos0
55
Полный момент сил трения
Мтр = Vm’.+mJA
Угол <р между направлением вектора момента Мтр и осью у1
>p = irctg(Mx,/My.).
Проекции момента на оси х, у
Му=Му. cos aw + Мх. sin aw,
Мх = -М .sinaiiz +М ,cosa>f.
У х
Полученные расчетные зависимости сведены в табл. 2.3, где обозначено
q = 2Rulb; W = И'/уЛсо2.
Для удобства определения силовых факторов в муфте с бочкообраз-
ными зубьями по зависимостям, приведенным в табл. 2.4, проведения
расчеты и построены графики функций безразмерных параметров М6,
М7, и частично для Рв от угла 0 и относительной дополнительной
деформации W.
Правило пользования этими графиками следующее. При заданных
параметрах муфты и вращающем моменте М определяется величина
М6 и по графику рис2_2.8,а устанавливается угол 0. Если при заданной
величине q параметр М6 превышает свое_значение при 0 = я/2, то по гра-
фику рис. 2.8,6 определяется величина W, а следовательно, дополнитель-
ная деформация зубьев W=y со2. По найденным значениям 0 (или И/)
для заданного q по рис. 2.9,а, б, рис. 2.10,а, б и рис. 2.11,а, б определя-
ются параметры Mlt М3 и Р#, а следовательно, и абсолютные величины
Л/изг, МТр и по зависимостям, приведенным в первой колонке
табл. 2.4. Здесь так же, как и для муфты с прямыми зубьями, на
рис. 2.11,а показаны половины эпюр Р#. Для других величин q и И/макси-
мальные значения Рв (при 0=0) представлены в табл. 2.5 и 2.6 и на
рис. 2.12,а, б.
Распределение нагрузки по зубьям и результирующие силовые факторы
в одинарной муфте при одновременном учете перекоса и смещения осей
и накопленных погрешностей окружных шагов зубьев. В данном случае
методика расчета распределения нагрузок по зубьям муфт остается такой
же, как и при чистом перекосе осей в муфте. Однако при этом необхо-
димо учесть, что другими будут законы распределения зазоров и, следо-
вательно, деформаций Д#, а также этапы нагружения. При записи выра-
жений усилий зацепления Рв на соответствующих этапах нагружения
можно использовать значения жесткостей, приведенные в табл. 2.2, 2.3.
Отметим, что в практических условиях фазы радиальных смещений
осей и накопленных погрешностей часто бывают неизвестны. В этом
случае распределение зазоров следует задавать либо по вероятностному
критерию, либо принимать наиболее неблагоприятный вариант.
Муфта с прямыми зубьями. Рассмотрим схему последова-
тельного нагружения зубьев муфты для случая произвольного распре-
56
4,9
Рис. 2.8. Зависимость Af6 от угла 0 и iv при q- 0,1 4-1,0
а -при 0 <тг/2; б - при 0 = w/2, w> 0
Рис. 2.9. Зависимость М1 от угла 0 и при q = 0,1 4-1,0
а — при 0 < я/2; б - при 0 = я/2, w > 0
деления зазоров, представленного на рис. 2.13, а, б. После вступления
в контакт пары зубьев с координатой зона контакта с увеличением
нагрузки распределяется симметрично относительно по кривой Sj.
При достижении деформации первого зуба величины А - В в контакт
вступает первый зуб в сечении 2 с координатой 02 (кривая S2). С даль*
нейшим ростом нагрузки в контакт вступают зубья в обоих торцевых
сечениях (по Sj и$2). Первое ’’замыкание” зон контактирующих зубьев
(пересечение Sj и S2) наступает при = S2 = dd\ второе ’’замыкание”
59
Таблица 2.3
Муфта с бочкообразными зубьями
| в <*12 | 0 = я/2
Se 1/2 R w2 sin2 0 1/2 R w2sin20
ле 1/2 Я w2 (cos20 - cos2/?) 1/2 Я w 2(cos20 + S')
Св 2d(/(cos20 - cos20)l^2/3eH.6 (1 + (?cos0) 2Z>9(cos30 + vv)1/2/3eH g (1 + qcos 0)
l/2b(/(cos20 - cos2 0)1/2 l/2Mcos’e + Й01/2
Ре b2wq2 (cos20 -cos2/?)3^2 Ьг ыдг (cos’ e + MO3^2
б^н.б (1 + Q cos G) 6eH.6<l +<?cos0)
b2wzq2 0 (cos2 0 - cos20)3^2 f de Зяен.б 0 (1+qcos0) b2wzq2 w/2(cos20 + W)3^2 / d9 3weh.6 0 (1+<?cos0)
ье R w cos 6 ЯшСО$ 0
^изг b3wzq3 0 cos20(cos20 - cos20)3/2 f de 6яенб 0 (l+(jcos0) d’wzqr’ я/2 cos20(cos20 + W)3^2 J de 6яен.б 0 (1 +?cos 0)
МТр (M’, + M’,)1/2 (M’. + Mp1/2
Таблица 2.4
1 | 0<^/2 1 fi = *l2, W>0
Л? ^кр 0 (cos’9 - cos’p)3^2 <?’ J de 0 1 +(?COS 0 . r ! (cos’9 + l?)3/2 de
6 62 wzrB 0 1 + q cos 0
M, 3w«H.6 ^изг 3/2 0 cos2 0 cos2 0 - cos2 |J) e f —de o 1+<7COS0 ,-T cos20(cos20 + H')3/2 de 1 +0COS 0
d’wz 0
M. 5 6лен.б Л^тр 0 cos0(cos20 - cos2H)3/2 <?’/ de 0 1 +//COS 0 (?2(COS20 - COS2/?)3^2 я/2 a2 f cos 0(cos20 + W)3^2 de
b2 Зяен.б Pe 0 1 + q cos 0 q2 (cos2 0 + W)3^2
Ь2ы 1 + (/COS 0 1 + (?C0S 0
6ен.б
60
происходит при = S2 = ее, причем точки d и е диаметрально проти-
воположны. С этого момента все зубья находятся в контакте, но со сто-
роны торца 2 пока остаются недогруженными зубья по дуге ее", а со сто-
роны торца 7 — по дуге ее*'* (рис. 2.13, б). При величине деформации
первого зуба 0П равной = S2 = кк', будут нагружены все зубья со
стороны торца 2, и, наконец, при = S2 = 1Г все зубья будут нагружены
по обоим торцам по всей длине, но, конечно, не равномерно. Отметим,
что в рассматриваемом случае эпюры распределения нагрузок по торце-
вым сечениям 7 и 2 различны по величинам, зонам охвата и сдвинуты
по фазе.
Проиллюстрируем методику на примере расчета для одного из этапов
нагружения, когда все зубья муфты нагружены в торцевых сечениях 7 и 2,
но не по всей длине. Обозначим параметры, относящиеся к торцу 7, одним
штрихом, а к торцу 2 — двумя штрихами. Выражения усилий зацепления
представим в виде
^0 = св(До - = св(До - $в ),
где Cq — жесткость 0-х пар зубьев (см. табл. 2.3), До — деформация
наиболее нагруженного зуба,
S’e =Л[1 -cos(0'-0!)], Se = А-В + В[1 - cos(0" - 02)].
Из граничных условий, что при До = $(6=^) = $(0=03) усилия в зацеп-
лениях Pq =Pq =0, найдем
Д0 = Л[1 -cos(01-01)], Д0 = Л -В+В[1 - cos(02 - 02)],
где и Р2 — половины углов охвата зон контактирующих зубьев в се-
чениях 7 и 2.
С учетом выражений Д0, Sg, Sg преобразуем Р’в и Рд к виду
Pg = ceA [cos(0 - е 1) - cos(0! - в!)], (2 22)
Ре = c9B[cos(0 - 02) - cos(02 - 02)].
Величины 01,02 и До определяются из решения системы трех уравнений:
уравнения равновесия по крутящему моменту
Ж/ - 01+01 02+02
- = — f P'ede + J PSde-, (2.23)
уравнений из граничных условий
До - Л = -ЛсозС/?! - 0i) = -Bcos(/?2 - 02).
Проекции суммарных сил зацепления на координатные оси х, у будут
/е,+0, в2+0, \
Рх = — ( f Ре sin Od0 + f Pg'sinOdO);
2п\в,-₽, ег-ег /
/в,+0, в,+02 \
Pv = — ( J PgCosOdO + / PScosOdOl.
2n \e,-0, e2-02 _ '
61
Таблица 2.5
Максимальные значения нагрузок Рд при 0 < irj2
0 | Q = 0,1 1 | 0,3 | 0,4 | 0,5
20 3,64 • IO 4 1,33 • 10-’ 2,77 IO’3 4,57 • IO”3 6,68 IO'3
30 1,14 • 10’ 4,17 • IO'3 8,65 • IO'3 1,43 IO’3 2,08 • IO'2
, 40 2,41 • IO'3 8,85 • IO'3 1,84 • IO'3 3,03 • io-3 4,43 • 10“a
50 4,09 • IO'3 1,49 • IO'3 3,11 • IO'3 5,14 • IO'3 7,49- 10"2
60 5,9 • IO 3 2,16 • IO’3 4,49 • IO'3 7,42 • IO’3 0,10
70 7,54 • IO’3 2,76 • 10*’ 5,74 • IO'3 9,48 • IO’3 0,14
80 8,68 • IO'3 3,18 • IO'3 6,61 • IO*3 0,10 0,16
90 9,09 • IO’3 3,33 • IO'3 6,92 • IO'3 0,11 0,17
Таблица 2.6 __
Максимальные значения нагрузок Pq при 0 - я/2, W> О
Q 1 .,1 | 0,2 0,3 | 0,4
0 0,01 0,03 0,07 0,11
1 0,02 0,09 0,19 0,32
2 0,05 0,17 0,36 0,59
3 0,07 0,27 0,55 0,91
4 0,1 0,37 0,77 1,28
5 0,13 0,49 1,02 1,68
6 0,17 0,62 1,28 2,12
7 0,21 0,75 1,57 2,58
8 0,24 0,9 1,87 3,08
9 0,29 1,05 2,19 3,61
10 0,33 1,22 2,52 4,17
Проекции изгибающего упругого момента
/^1+02 02^02 \
Му —— ( / PgbgsinedO + / PgbgsinOdO);
2n\et-fit 9,-9, /
/9,+9, в2+0, \
Мх= — { f PgbgCosOde + f P'gbgCosedOI,
2я\9,-91 /
где bg ~~b — yZ>K, значения см- в та*эл- 2.2. Проекции момента сил
трения на оси ху'
/ в,+3, 9,+9, \
f PgrfTpcosede + f PgrfTpcos0de,
y 2я \9,-0, y в, -0, K f
/«1+^1 +01 \
Mx ~ — ( / P'grfTpsm6de + f PgrfTpsm OdO).
2я 49,-9, H 9,-9, '
62
| 0,6 0,7 I 0,8 1 0,9 | 1
9 • КГ3 1,15- 10-’ 1.42 • 10'2 1,7 • 10-’ 2 • 10-’
2,81 • 10'2 3,6 • 10'3 4.44 • 10'’ 5,33 • 10"’ 6,25 • 10"’
5,97 • 10’ 7,65 • 10-’ 9.44 • 10'’ 0,11 0,13
0,10 0,13 0,16 0,19 0,72
0,15 0,19 0,23 0,28 0,32
0,19 0,24 0,29 0,35 0Д1
0,21 0,27 0,34 0,4 0,48
0,22 0,29 0,35 0,43 0,5
I 0.5 j 0,6 0,7 | о,а I 0,9 | 1,0
0,17 0,22 0,29 0,36 0,43 0,5
0,47 0,64 0,82 1 1,21 1.41
0,87 1,17 1,49 1,85 2,21 2,59
1,33 1,8 2,31 2,84 3,41 4
1,86 2,52 3,22 3,98 4,77 5,59
2,45 3,31 4,24 5,22 6,26 7,35
3,09 4,17 5,34 6,58 .7,89 9,26
3,74 5,09 6,52 8,04 9,65 11,31
4,5 6,08 7,78 9,6 11,51 13,5
5,27 7,12 9,11 11,24 13,48 15,81
6,08 8,21 10,52 12,97 15,55 18,24
Аналогичные расчетные зависимости с учетом конкретных границ зон
нагружения могут быть составлены для любого этапа нагружения. В слу-
чае, когда все зубья муфты нагружены по всей длине, усилия зацепления
определяются по формулам
Р'в = св(2А - + W), Рп6 = с9(2А - S'e + IV),
где св = Ь/еп.
Величина дополнительной деформации W определяется из уравнения
(2.23) при 0. = 02 = я
И/ = -^-р - А,
2се
в М
Суммарные силовые определяются по приведенным выше зависимостям
при 0! =02 = я.
63
Муфта с бочкообразными з у б ь я м и. При заданном за-
коне распределения зазоров (1.8) последовательное нагружение зубьев
в муфте с бочкообразными зубьями принципиально происходит так же,
как в прямозубой муфте. Первым в контакт вступает пара, координируе-
мая углом , затем зоны нагруженных зубьев с ростом крутящего мо-
мента расширяются симметрично относительно 0! и т.д. В общем случае
имеются две зоны нагружения с граничными угловыми координатами
[01 -0г, 0i + 01] относительно 01 и [02 -02; 02 +02] относительно 02.
Распределение усилий Р6 в обеих зонах определяется зависимостью вида
= Сб(До - -$б),
где сб - жесткость пары зубьев (см. табл. 2.3).
Величина деформации наиболее нагруженного зуба До и угловые ко-
ординаты 01,02 находятся из условия равновесия
- = Т-( / + f Pedo)
и четырех уравнений, соответствующих граничным условиям
^(в, -U.) =5(в+3.) =5(в, -3,) =5(в,+02) = До-
64
В случае, когда все зубья нагружены, усилия Ре будут
Ре = сб(^тах ~ Se + ИО ,
где Smax определяется из решения уравнения
Л$в) = 0, а Св=ь/ея.б.
ОТ <
Величина дополнительной деформации W, определяемая из условия
равновесия
м
z
2л
lit
f Pede,
о
равна
W =—^
2к
1 2ir
+ f s9<№,
2тг о
где f Sgd0 = 2ir I —/?co2cos20i + escos(fli +7г)- —Лео2 I.
о L 2 4 J
Проекции суммарных сил определяются по формулам
/в.+З, Oj+ff, \
Рх =—( f Pgsin0d0 + f PesinOd®¥,
2л\в,-0, 0,-0, J
z/e>+iS> e«+<’« \
Py = —( f Pe cos 0d6 + f PgCOsOdO).
2n\et-fil '
Проекции изгибающего упругого момента
z /et+0i e,+0, \
Mx =—( / Pebgcos0d0 + f Pgbecos0d0r,
2л \0। "0] &2 0, y
z «з+3, \
Mv= — ( / PgbgWi0d0 + f PgbgsinOde),
где bg =Rucos0.
Отметим, что здесь, в отличие от случая чистого перекоса, в муфте
возникает радиальная результирующая сила Рх = V Р2 + Р^ и изгибаю-
щий момент Мязт = Ml + Му,’ который действует в плоскости, не сов-
падающей с плоскостью перекоса. Проекции момента сил трения вычис-
ляются по формулам
/ ^з+0, вз+0з
М, = —( J Pgrft„cos0de + J PgrftOcosf)df)r,
у 2п\е,-р, v н 7
/вз+Pi «,+0, \
М . = — ( / P9rftVsm0d6 + / PgrfTvsmedei.
2я
5. Зак. 1344
65
43. Расчетао-экспериментальные исследования
зубчатых муфт при перекосе
Методики расчета распределения нагрузок по зубьям и изгибающих
моментов в муфтах при перекосе были подвергнуты эксперименталь-
ной проверке. При этом для муфт с прямыми зубьями использованы
опубликованные экспериментальные данные, полученные различными
авторами [43, 4], а испытания муфты с бочкообразными зубьями про-
водились на специально созданном стенде [48].
Муфты с прямыми зубьями. Испытания модельной прямозубой муфты
проведены Л.Б. Эльштейном на установке, выполненной по замкнутой
силовой схеме, содержащей две пары шестерен, расположенных в двух
корпусах, один из которых был подвижным в крутильном направлении.
Нагружение муфты осуществлялось с помощью винтового приспособле-
ния. Параметры зубчатой муфты представлены в табл. 2.7. На 16 зубьях
муфты в двух сечениях Я и £ по длине зуба на расстояниях 2 мм от тор-
цев были наклеены тензодатчики с базой 5 мм. Напряжения в основании
зубьев измерялись электронным тензометром SR =4. Записи сигналов
с датчиков проводились при 12 угловых положениях муфты относи-
тельно вертикальной плоскости для углов перекоса со = 0; 30'; Г; 1,5°
и крутящих моментов М = 50, 200,300,400 кгм.
Перед испытаниями рабочие боковые поверхности зубьев были пригна-
ны по краске вручную с целью обеспечения в отсутствие перекоса учас-
тия в работе всех зубьев.
Экспериментальные кривые распределения напряжений по зубьям
муфты при различных углах перекоса и крутящих моментах показаны
на рис. 28—31 в работе Л.Б. Эльштейна. При этом кривые, расположен-
ные выше оси абсцисс, соответствуют напряжениям в точках Л, а кри-
вые ниже оси абсцисс — напряжениям, в точке Б.
Расчет нагрузок на зубьях Рв производился по формуле
D _ Ъ)Ь2 (cos0 -COS0)2
/д-------------------- >
8еп cos в
которая для данного случая (Ъ = 2 см, Е = 0,72 • 106 кГ/см2, еп = 30/Е)
имела вид
Ре =(12 • 1O3co/cos0)(cos0 — cos|3)2.
Угол 0 определялся из решения уравнения
— _ zb ыЕ Г 20cos0 + cos20jn tg[ — + —1 . (2.24)
гв 120я [ \2 4/J
Расчет изгибающих напряжений производился по формуле (3.10а). При
этом напряжение в месте наклейки тензодатчика в точке А (х = 0,2)
при действии силы Рв на торце зуба со стороны точки А (хр = 0) опре-
деляется зависимостью
[ехр(—X2 • 0,22) + ехр(—X2 • 0,22) + ехр(-Х2 • 3,82)],
\ 2 ' (2.25)
66
Таблица 2.7
Параметр Зубья
прямые бочкообразные
т, мм 8 5
Z 32 58
град 20 20
Ь, мм 20 60
R, см — 319
Е, кГ/см2 0,72 • 106 2,15 • 106
Материал Дюраль Ст. ВХНВП
w 10“\рад 0; 8,7; 17»5; 26,2 0,2; 5,5; 7,5; 10
З^кр» м 50, 200, 300,400 750, 1500, 2250, 3000
для данной муфты имеем кт = 133; кв = 0,425 (рис. 3.5), кп = 134
(рис. 3.4), X = 0,675, это значение X принято на основании тарировочных
данных. С учетом значений всех коэффициентов b (2.25)
оА = 2,36Рв (кГ/см2). (2.26)
Напряжения в точке Б при действии силы Ре со стороны точки А будут
оБ = О,68Р0 (кГ/см2 ). (2.27)
Расчетные кривые распределения напряжений по зубьям муфты аА (0) и
экспериментальные данные (точками) показаны на рис. 2.14. Как видно
из рис. 2.14, совпадение результатов достаточно хорошее, наибольшие
расхождения (до 7%) наблюдаются при максимальных нагрузках (со =
= 1,5°, М = 400), что, вероятно, связано с тем, что при большой нагрузке
следует учитывать характер распределения ее по длине площадки кон-
такта (при расчетах нагрузка принята сосредоточенной в точке). Однако
завышение расчетных величин незначительно и, кроме того, идет в запас
прочности.
Следует отметить, что приведенные в работе Л.Б. Эльштейна экспери-
ментальные кривые напряжений а9 в диапазоне 0 = ±я имеют два
подъема. ’’Большие подъемы” соответствуют координатам наиболее
нагруженных зубьев, ’’малые подъемы” смещены по фазе примерно
на угол 180°. В указанной работе не было дано объяснений наличию
’’малых подъемов”. Разработанная методика позволяет объяснить эти
подъемы, которые определяются напряжениями в точках Б при дейст-
вии усилий на торцах со стороны точек А по формуле (2.27). Расчеты
подтвердили это. На рис. 2.15 сопоставлены кривые распределения нагру-
зок Рв, рассчитанные по формуле (2.26) (сплошные линии) и по эмпи-
рической формуле (1), предложенной Л.Б. Элыптейном (пунктирные
линии). Как видно из рис. 2.15, расхождения сравниваемых величин
не превышают 9%, что свидетельствует о достоверности параметров эмпи-
рической формулы, в частности искусственно введенного в нее коэффи-
циента с = 0,111. Изгибающий момент в муфте в указанной работе [55]
не определялся.
67
Рис. 2.14. Распределение напряжений по зу-
бьям муфты (точки - эксперимент, линии-
расчет)
1 - М = 400 кГм; 2 - 300 к Гм; 3 -
200 кГм; 4 — 50 к Гм
На рис. 2.16 приведены экспериментальные зависимости изгибающего
момента в муфте Млзг (со, М) для шлицевого прямозубого соединения
[4], параметры зубчатого соединения: т = 2,5, clw = 30°, b = 44 мм, z =
= 52, Е = 2 106 кГ/см2, со = 0,005; 0,010; 0,015 рад.,М = 93, 278, 466,
615,843 кГм.
Экспериментальные данные обозначены точками, соединенными пунк-
тирными линиями. Расчетные значения показаны сплошными линиями.
Расчет производился по формуле
Мизг =(*Ь3со/24яеп)[0 - sin 20 + cos201n tg(0/2 + я/4)], (2.28)
где еп = 30/Е, угол 0 определялся по формуле (2.24). Сопоставление рас-
четных и экспериментальных данных показывает, что они удовлетво-
рительно согласуются между собой и формула (2.28) может быть исполь-
зована для практических расчетов.
Муфта с бочкообразными зубьями. Испытания муфты с бочкообраз-
ными зубьями (параметры ее представлены в табл. 2.7) проводились
на установке, схематично изображенной на рис. 2.17 [48]. Зубчатый
венец обоймы 6 жестко закреплен на неподвижной плите /, зубчатый
венец вала 10 опирается на шарнирную опору 14, имеющую возмож-
68
ность смещаться в горизонтальном и вертикальном направлениях при
помощи установочных винтов. Центровка зубчатых венцов муфты обес-
печивается сферой 9, расположенной в центре муфты, что при смещениях
опоры 14 обеспечивает чистый перекос в муфте до одного градуса. Для
контроля центровки муфты использовались индикаторы часового типа.
Нагружение муфты крутящим моментом производилось с помощью
нагружающего устройства 18, содержащего динамометры 17, траверсу 16
и вал 12. Величина угла перекоса определялась как со = Д/£3, где Д —
смещение опоры 14, L3 - расстояние от центра муфты до индикатора 20
с учетом показаний контрольных индикаторов 19.
Тензодатчики с базой 3 мм были наклеены на нерабочих профилях
19 зубьев (по три датчика по длине зуба). На четырех диаметрально про-
тивоположных зубьях по их длине было наклеено по пять тензодатчиков
(см. рис. 2.17). Рабочие и компенсационные тензодатчики (наклеенные
на отдельную пластину) соединялись в полумосты. Измерительная схема
представлена на рис. 2.18. Предел измеряемых относительных дефор-
маций составлял 1 • 10*5-3 • 102 с погрешностью ±1,5%. Для измерения
69
Рис. 2.16. Зависимость Миэг от перекоса w (пунктирные линии - эксперимент,
сплошные линии - расчет)
изгибающего момента в муфте на валу в сечениях на расстояниях L i и
L2 от центра муфты были наклеены восемь тензодатчиков 77 с базой
5 мм (рис. 2.17). Измерения показаний тензодатчиков проводились
при углах перекоса со = (0; 2,5; 5,0; 7,5; 10,0) • 10“3 рад. и крутящих
моментах М = 750, 1500, 2250, 3000 кГм. Перед испытаниями зубья
муфты подвергли дополнительной дообработке вручную исходя из
следующих соображений. Известно, что при перекосе осей в муфте изме-
няется не только величина нагрузки, приходящейся на рассматриваемую
пару зубьев, но и точка ее приложения по длине зуба. Чтобы исключить
влияние последнего фактора на жесткость зубьев и показания тензодат-
чиков, зубья дообработали таким образом, что при сцентрированных
осях муфты имитировался перекос осей на величину соо =5 • 10“3 рад.
за счет искусственно введенного зазора между рабочими профилями
зубьев, распределенного по закону 4 • 10“3 cos20 (см). Это позволило
при сцентрированных осях муфты создать неравномерное распределе-
ние нагрузки на зубьях, вызванное как бы перекосом, но сохранить
одинаковое расположение точек приложения нагрузок на зубьях в их
средних сечениях по длине. Естественно, при создании перекоса осей со
реальный угол перекоса coz был равен coz = со + соо, а точки приложе-
ния нагрузок соответственно смещались на величину L = Rcocos 0 от се-
редины зуба к торцу, что было учтено при обработке экспериментальных
данных.
70
Рис. 2.17. Установка для испытания муфты
Значения экспериментальных величин напряжений в зубьях вычис-
лялись по формуле
а значения изгибающих напряжений по формуле
мизг =^-eb£d3
S
S-Lt ’
где е/, еь - показания тензодатчиков, d - диаметр вала, Е = 2 X
ХЮ6 кГ/см, у = 0,3, S — расстояние от центра муфты до подвижной
опоры.
71
Р н с. 2.18. Измерительная схема
Экспериментальные величины напряжений в основании зубьев по*
казаны (точками) на рис. 2.19, там же нанесены расчетные кривые
(сплошными линиями).
Расчет нагрузок производился по формуле
Ре = [ —Я col (cos2 0 — cos2
3eH.e*6 I 2 Z''
где ея.б = £"/38,4; Хв = 1 + 2R wcos0/6 или с учетом параметров муфты
Ре = —— [159,5wi(cos20 — cos20)3/2].
* (1 + 106,90) 2
Угол 0 определялся из условия равновесия
^•^-fPtde.
гв Я О
По найденным нагрузкам Ре определялись напряжения в основании
зубьев по формуле (3.106)
О/ = ан (exp [-X2 (xt - хр)2 ] + ехр[-Х2(6 - xt - хр)2 ] +
+ exp [-Х2 (6 + х{ + хр)2 ]} , (2.29)
где хр = Я cocos 0; xt — координата тензодатчика по длине зуба (см),
Х = 0,6.
Напряжение он при значениях коэффициентов = 1,33, къ = 0,4,
к* = 1,43 равно
он = 2,6Рв (кГ/см).
Поскольку тензодатчики на зубьях были наклеены на расстоянии ах =
= 0,155 а (рис. 3.3) от заделки, то напряжения, регистрируемые тензодат-
чиками, согласно [48] должны быть примерно в два раза меньше мак-
симальных. С учетом сказанного формула (2.29) принимает вид
о/ = 1,ЗР$(ехр[-0,36(х/ - хр)2 + ехр[—0,36(6 — xt - хр)2] +
+ ехр[—0,36(6 +*/ +*р)2]) (кГ/см2).
Расчетные величины нагрузок Р$ представлены на рис. 2.20. Расчетные
кривые 0/(0) представлены на рис. 2.19. На рис. 2.19 видно, что расхож-
дение результатов при перекосах со > 5 • 10“3 рад. не превосходит 5%.
Имеющиеся превышения экспериментальных величин напряжений над
расчетными при со = 5 • 10“3 рад., возможно, вызваны более существен-
ными погрешностями при установке малых углов перекоса.
72
6, кГ/ся*
Рис. 2.19. Распределение напряжений по зубьям муфты (точки - эксперимент, ли-
нии - расчет)
I — М=3000кГм; 2- 2250кГм; 5- 1500кГм; 4- 750кГм
Рис. 2.20. Распределение нагруэрк по зубьям
Значения кривых те же, что и на рис. 2.19
Рис. 2.21. Зависимость Миэг от угла перекоса (пунктирные линии - экспери-
мент, сплошные линии - расчет)
Экспериментальные и расчетные величины .изгибающих моментов
при различных значениях М им показаны на рис. 2.21. Расчет изгибаю-
щего момента производился по приближенной формуле в предположе-
нии, что жесткость зубьев муфты св ~ const с использованием зависи-
мостей
— = 4 f 4Л"ГСб(сО820 - COS2^» ;
"О 2 п
9 3 1
Мизг =---- f ~ COS20)flcOCOS20d0 =—- /2,
я о 2 я
где Л =— Р +—sin2fl - 0cos2ft
2 4
Л s-| Р + -^«п20 + — sin 40 - cos20^0 + sin2 0^.
В результате преобразовании этих зависимостей
Мизг =М(Ясо/гв)(Л/А), (2.30)
при расчетах Л и Д значения угла 0 принимались те же, что и при расчете
усилии Рв.
Из сопоставления расчетных и экспериментальных кривых рис. 2.21
следует, что совпадение их достаточно хорошее и приближенная фор*
мула (2.29) пригодна для практических расчетов.
Таким образом, проведенный сравнительный анализ расчетных и экспе*
риментальных данных позволяет сделать вывод, что разработанная ме*
тодика расчетного определения силовых факторов в зубчатых муфтах
с прямыми и бочкообразными зубьями может быть рекомендована для
прочностных расчетов зубчатых муфт, работающих в условиях перекоса
осей.
Глава 5
НАГРУЗКИ В ДВОЙНОЙ ЗУБЧАТОЙ МУФТЕ
5.1. Самоцентрирование двойной зубчатой муфты
Двойная зубчатая муфта содержит два зубчатых соединения с проме-
жуточным валом. Промежуточным валом могут быть связаны или обой-
мы, или втулки. Промежуточный вал центрируется зубчатыми венцами,
не имеет подшипниковых опор и поэтому является плавающим элемен-
том. В двойной зубчатой муфте, в отличие от одинарной, смещения соеди-
няемых валов всегда приводят к перекосам в зубчатых соединениях.
Однако промежуточный вал может смещаться в пределах радиальных
зазоров в зубчатых соединениях. В исходном, ненагруженном состоянии
это смещение происходит под действием собственного веса промежуточ-
ного вала. Однако при приложении крутящего момента промежуточный
вал имеет возможность самоцентрироваться, выравнивая распределение
зазоров между зубьями. Самоцентрирование способно устранить нерав-
74
номерность распределения зазоров, вызываемую двумя причинами:
1) смещением промежуточного вала под действием собственного веса;
2) накопленными погрешностями окружных шагов зубьев, а точнее,
первой гармоникой функции суммарной накопленной погрешности.
Определим условия реализации самоцентрирования промежуточного
вала при наличии указанных причин (см. также раздел III, 8.1).
Рассмотрим последовательно возможные схемы работы двойной зуб-
чатой муфты: а) при отсутствии перекоса осей в муфте; б) при пере-
косе, обусловленном параллельным смещением осей соединяемых муф-
той валов; в) при скрещивающихся осях соединяемых валов. Ошибки
в шаге зубьев учитывать не будем (влияние их рассмотрено ниже).
а) Пусть в исходном положении оси соединяемых муфтой валов сцент-
рированы, М = 0. Втулка под действием собственного веса сместится в
пределах радиальных зазоров в зубчатых венцах. При достижении крутя-
щего момента величины М > (J4) втулка будет сцентрирована по обо-
им зубчатым венцам [48].
б) При перекосе, обусловленном параллельным смещением осей соеди-
няемых муфтой валов, оба зубчатых венца муфты работают в идентич-
ных условиях. Поэтому для выяснения процесса центрирования доста-
точно рассмотреть одно плавающее (безопорное) зубчатое соединение.
Пусть в исходном положении втулка под действием веса G смещена
до упора о центрирующую поверхность на величину радиального зазо-
ра е0- Обозначим реакцию упора Ry, у - угол между направлением сме-
щения и осью х, со — угол перекоса втулки относительно оси х.
Изменение зазоров в зубьях муфты определяется формулами (1.7),
где е£ = е0 при = 0. При приложении крутящего момента первым
вступит в контакт зуб, координируемый углом 9i = €i (1.7). Опираясь
на зуб 01, втулка повернется относительно него и в контакт вступит
первый зуб 02 в сечении 2, центр втулки сместится в направлении дейст-
вия силы Pi ( приложенной к зубу 0t) на величину . Из рассмотрения
изменений распределения зазоров в муфте получим
ei =-eosin7/cos0i; 0! + 02 = я,
т.е. центр муфты будет находиться на оси х на расстоянии от центра обой-
мы, равном е0(со$7 + sin7tg0i). При этом Ry = 0 и остается неуравно-
вешенной проекция силы веса на оси х, (7Х, под действием которой втулка
сместится по оси х до упора о центрирующую поверхность, возникает
реакция Ry. В этом положении втулка уравновешена, угловые коорди-
наты зубьев, нагруженных усилиями Р2, будут
0* =~-arctg-^*> 0$=я-0?.
2 2е0
Из условия равновесия муфты найдем
i/м t у Gy у
1 2\гв co»Oj/ 2 2'гв cosOj/
Ry -Мйп0\/гл.
75
Рис. 2.22. Схема муфты при параллельном смещении осей валов
Рис. 2.23. Схема муфты при скрещивающихся осях валов
При моменте М = GxrB/sin 6 J реакция Ry = 0 и произойдет отрыв втулки
от упора. С дальнейшим увеличением М, поскольку sin 0* = G^/M, ве-
личина 0* уменьшается, что соответствует смещению центра втулки
по оси х к центру обоймы. При полной центровке (в случае чистого пере-
коса или Gx = 0) углы будут 0* = 0; 0Г = я.
Рассмотрим условия самоцентрирования для двойной зубчатой муфты
рис. 2.22. При выбранном направлении М и перекосе относительно оси х
первыми вступают в контакт зубья 0] — 04, на центрирующих поверх-
ностях действуют реакции упора Rl9 R2. Уравнения равновесия втулки
в проекциях на оси х, у, z при действии сил зацепления , веса G,
центробежной силы F, реакций упоров R{, R2 (с учетом 01 + 02 = 03 +
+ 04 = я) имеют вид
(А - F3)cos04 - (Л - P2)cos0i - Gy + FsinOf = 0;
(P4 + P3)sin04-(P1 — F2)sin0! - Gx +FcosOf+ /?1+/?2 = 0;
J - A^ + A^> + cos0> - Gx +FcosSU + Ri = 0;
[ jfiL +P2(b + ^)] Sin0! + [Арз! +p4(a + ^)] sin04 +
+ -^/?2(a+Z)-^/?i(b + Z) = 0, (2.31)
где a, b,L - линейные размеры муфты, P2 + P2=P3+P4=M/rB.
Поскольку положения центров втулки в венцах муфты известны
(известны места упоров), координаты 0j — в4 определяются законами
распределения зазоров (1.7) или (1.8).
В результате решения системы уравнений (2.31) относительно Лj,/?2
(при а = Ь) получим
М 1/ atg04\ 1 / atg04\
Л, =-----sin04 +-(GX+Gy —— ) - -Ffcosfir +sinI2z—
'в 2\ у a+L' 2 \ a+L'
(2.32)
М \[ etg04\ 1 / fltg04\
R2 =----sin04 + — (Gx - Gv-----)----F (cosSlt - sinfiz---) •
rB 2\ ya+L/ 2 \ a+L'
Началу центрирования втулки соответствуют величины М*, опреде-
ляемые из условий/?! =0, R2= 0 (2.32). ПриМ>М*в уравнениях (2.31)
следует принять Rx = R2 = 0. С увеличением М и распространения зон
контактов на большее число зубьев вместо сил Р{ - Р4 следует подстав-
лять результирующие усилия эпюр распределения нагрузок по четырем
зонам контактирования зубьев.
Таким образом, при определенной величине М* втулка начинает са-
моцентрироваться, с ростом нагрузки децентровка уменьшается и при
больших нагрузках (по сравнению с весом втулки) становится ничтожно
малой (такой, чтобы скомпенсировать влияние веса).
в) В случае скрещивающихся осей соединяемых муфтой валов ме-
тодика определения условий центрирования втулки остается без измене-
77
нии. Примем обозначения (рис. 2.23) : х, у, z - оси координат, coi - угол
перекоса в соединении 1 при повороте обоймы относительно оси р, направ-
ленной под углом у к оси х; са2 ” угол перекоса в соединении 2 при по-
вороте обоймы относительно оси х; остальные обозначения те же, что
в случае б).
Система уравнений равновесия втулки в проекциях на оси х, у имеет
вид
(P4-P3)cos04-P2cos(02 + 7) +Лсоз(02 - 7) - Gy -Riy =0;
-(P4+P3)sin04+/>2sin(02 + 7)+^isin(02-7)+ (7X -Rix - R2x = 0;
~P4£cos04 - P3(a + ^cos04 + -^P2Icos(02 + 7) - A(b + ^cos(02 - 7) +
+ !/?!/&+£) = 0;
•i P4L sinfl4+P3(a +
sin04 + -^P2Isin(02 + 7) +Л
+ - ±Rix(a +£) = 0; (2.33)
A+P2=P3+P4 = M/rB.
Предположим, что втулка сцентрирована, пусть вес ее G = 0, тогда
в уравнениях (2.33) следует положить
Gx = Gy = 02 = 04 = 0 ’9 Ri = R2 = 0.
Получаемая в результате этого система уравнений равновесия втулки
при 7 ¥= 0 не совместна и не имеет решения, кроме тривиального = Р2 =
=Р3 =Р4 = 0. Случай, когда 7 = 0, сводится к предыдущему (б).
Анализ величин Ri9 R2 в (2.32) показывает, что они определяются
не только действием сил веса, а в основном, действием восстанавливаю-
щих моментов (относительно оси х, у). Поэтому втулка даже без учета
сил веса не может быть сцентрирована под действием усилий зацепления
в зубьях.
Таким образом, расчет двойных зубчатых муфт с ’’плавающей” втул-
кой сводится к расчету одинарных зубчатых муфт, с той лишь особен-
ностью, что в случае перекоса при параллельном смещении соединяемых
валов величиной радиального зазора в муфтах можно пренебречь (е0 = 0),
в случае перекоса при скрещивающихся осях соединяемых валов ради-
альные зазоры необходимо учитывать.
Рассмотрим теперь вопрос самоустановки плавающего элемента муфты
при наличии накопленной погрешности окружных шагов зубьев. Извест-
но, что плавающий элемент компенсирует разнозазорность в зацеплениях
зубьев, обусловленную первой гармоникой кривой накопленной погреш-
ности. Это можно легко показать, исходя из физических соображений,
не прибегая к аналитическим выкладкам. Представим модель муфты
в виде жестко закрепленной обоймы и плавающей втулки. Предполо-
жим, что втулка установлена в жестком подшипнике, который смещен
в радиальном направлении относительно опоры обоймы, и муфта нагру-
жена крутящим моментом. В этом случае в муфте возникает резуль-
78
тирующая упругая сила, направленная против вызвавшего ее смещения.
И если теперь в нагруженном состоянии снять опору втулки, то втулка
сместится в исходное положение, а результирующая сила исчезнет. Сме-
щение опоры равносильно тому, что в зубчатом соединении имеется
первая гармоника накопленной погрешности окружных шагов зубьев.
Таким образом, плавающий зубчатый венец всегда (без учета сил тре-
ния в местах присоединения к нему других элементов) стремится за-
нять такое положение, при котором радиальная результирующая сила
равна нулю, а зазоры и нагрузка в зацеплениях распределены равно-
мерно по окружности.
Необходимым условием реализации подобного плавания является
превышение радиального зазора над амплитудой первой гармоники кри-
вой суммарной накопленной погрешности. Если радиальный зазор мень-
ше, чем требуемая величина смещения, то произойдет лишь частичное
выравнивание зазоров и нагрузок в зубчатом соединении.
Таким образом, статический расчет двойных зубчатых муфт сво-
дится к расчету одинарных зубчатых муфт при чистом перекосе при
соблюдении следующих условий: скрещиванием осей соединяемых валов
можно пренебречь, радиальные зазоры в муфтах больше накопленных
погрешностей или же эти погрешности малы по сравнению с перекосом,
что можно обеспечить не только повышенной точностью изготовления,
а также синфазной сборкой зубчатых венцов по кривым замеренных
накопленных погрешностей. Отметим, что несоблюдение этих условий
не только усложнит расчетную методику (основные положения кото-
рой изложены в данной главе), но и ухудшит эксплуатационные харак-
теристики двойных зубчатых муфт.
5.2. Распределение нагрузок между зубьями
Методика расчета распределения нагрузок по зубьям в двойной муфте
принципиально не отличается от методики расчета одинарной муфты,
но становится весьма громоздкой. Это обусловлено наличием двух зуб-
чатых соединений, в каждом из которых необходимо определять по две
секторные зоны (углы — 04) нагруженных зубьев с учетом условий
статического равновесия пространственного положения промежуточного
плавающего элемента (вала или обоймы), к тому же в ряде случаев с уче-
том изгибных деформаций этого элемента и возможным наличием кон-
тактов по центрирующим поверхностям (окружностям выступов и впа-
дин зубьев).
Запишем уравнения статического равновесия плавающего элемента -
втулки Я двойной зубчатой муфты (рис. 2.24), представив его в виде
твердого тела, подвешенного на пружинах, имитирующих жесткости
пар зубьев с и направленных по линиям зацеплений.
Обозначим торцевые стороны зубчатых венцов втулки соответственно
1, 2, 3 и 4 и силы, действующие вблизи этих торцов, Р20> Рзе, Р4$,
где индекс 0 соответствует координате углового положения зуба, отсчи-
тываемой от оси х9 как показано на рис. 2.24. Обозначим также угловые
координаты зубьев, первыми вступающими в контакт 01э 02, 0з, 04 и
79
соответствующие им секторные углы 31» З2» Зз» 04 зон нагруженных
зубьев со сторон торцов 1—4.
Положение осей пружин в пространстве определим единичными век-
торами е10, ё20, ё30, ё4е (со сторон 1-4), начала которых совпадают
с точками приложения нормальных усилий (Рхв - P4q) [22]. Обозна-
чим направляющие косинусы единичных векторов = cos(e/^, х)»
Зе = cos (ёье* У)» Уе = cos (ё*$, z), а моменты единичных векторов отно-
сительно осей координат х, у, z (рис. 2.24): Le = rne = f а# -
- $ Уе; ? 00 -пае» где 5, П» f ~ координаты начал единичных векторов.
Полагаем, что распределение зазоров S>0, Sae, £зе и $40 (со стороны
торцов 1-4) известно, осевые силы в муфте отсутствуют и центрирую-
щие поверхности выступов и впадин зубьев не контактируют. При при-
ложении к обойме I (рис. 2.24) вращающего момента М втулка II смес-
тится по координатным осям на величины х, у и повернется относительно
этих осей на углы и При этом обойма I повернется относительно
оси z на угол <р0, а втулка относительно этой же оси — на угол Нор-
мальные усилия в произвольных 0-х парах зубьев (с торцов 1—4) будут
Ле = фае + у(!д + <рх1д + *утд + (<р0-<Pz)ng - Ле];
Ле =фад +yfig + <рх1д + <рутд + (фо - - S2g ];
рзе -фае +уРд + >рх1д +>рутв +<рхп9 -539];
Р4в =с[хйв +у0д + <рх!д +$утд +>pzng
80
Уравнения статического равновесия втулки имеют вид
0,+0,/2#' 02+02 /2# *з+0з/27Г
2//\ ~ S ^10^0 + 2 ^20^0 + 2 Рз0«0 +
81—01/2# 0 j - 03/2#
04+04/2#
+ 2 ^40^0 = 0;
04 —04/2#
0,+0,/2# 02+02/2# 83+03/2#
SPy = S ^1000 + 2 Р20З0 + P30 Po +
01-01/2я 0,-0,/2# 03 -03/2#
84+04/2#
+ 2 РлеРе = 0;
04 —04/2#
0i+0,/2# 02+03/2# 03+0s/2#
SAfjf ~ S P\qLq + S /*20^'0 + 2 P^qLq +
0,-0172# 03 —03/2# 03 -03/2#
04+04/2#
+ S P4eL9 = 0;
04 —04/2#
0,+0,/l# 02+02 /2# 03+03/2#
£Afy = S P\eme+ 2 ^20^0+ 2 Р^е^в +
0,-0,/1# 02 —02/2# d3-03/2#
04+04/2#
+ s ^40^0 = 0;
04 -04 /2#
0,+0,/2# 02+02/2# ^з+0э/2#
2Л/Х — S Pj0^0 + 2 ^20^0 + 2 Р$9п9 +
0,-0,/2# 02 —02/2# 0э-0э/2я
04+04/2#
+ S P^ene = 0;
04 -04/2#
0,+0,/2# «,+0,72#
2 Pie^9 + S Piene
0i-0,/2w 02—03/2#
^1(0=0, +0, ) = 0> ^3(0=03+03^2(0=02+03) ~ 0» ^4(0=04+04) “ 0-
Последние четыре уравнения соответствуют условию, что нагрузка на
последнем из контактирующих зубьев равна нулю (в каждой из четырех
зон).
Составленная система из десяти уравнении при их совместном решении
позволяет определить десять искомых неизвестных, в том числе шесть
координат перемещений: х9 у, <рх, <Ро> <Pz и четыре секторные угла зон
нагружения зубьев: 01,02’03,04* После определения указанных неизвест-
ных распределение нагрузок вычисляется по зависимостям (2.34).
Следует отметить, что результаты расчетов по приведенным зависи-
мостям будут все же приближенными, поскольку в выражениях (2.34)
жесткости всех зубьев приняты одинаковыми. В связи с этим следует счи-
тать целесообразным расчет распределения нагрузок в двойной муфте про-
водить для одного из зубчатых соединении, пользуясь зависимостями
для одинарных муфт, работающих в условиях чистого перекоса осей
6. Зак. 1344
81
полумуфт. Найденную таким путем величину максимальной нагрузки
можно скорректировать, исходя из следующих соображений.
Рассмотрим двойную зубчатую муфту с двумя вариантами располо-
жения осей соединяемых валов по отношению к оси промежуточного
элемента: 1) оси соединяемых валов одинаково (по величине и направ-
лению, т.е. в одну сторону) наклонены к оси промежуточного элемента,
2) оси соединяемых валов не одинаково наклонены к оси промежуточ-
ного элемента, что происходит, например, при параллельном смещении
осей валов.
С целью упрощения выкладок примем, что в каждом из зубчатых
венцов нагрузку передают лишь два диаметрально противоположных
зуба.
Расположение нагрузок Pit Р29 Ri9 R2 на зубьях промежуточного
элемента для первого варианта показано на рис. 2.25, а, где а — расстоя-
ние между венцами, Ь - ширина венца.
Уравнения статического равновесия сил и моментов будут
= 0; ± a(Pi - /?!) = (6 + ^) (Р2 - Ri);
SPy = 0; Р1 + Л1=Р2+Л2;
SMz=0; Р1+Р2 = Я1+/?2.
Из решения этих уравнений получим
p^p2=r^r29
т.е. нагрузка по зубьям каждого из зубчатых венцов распределяется
осесимметрично, результирующих радиальных сил в зубчатых соедине-
ниях нет.‘Этот же характер нагружения зубьев сохранится и при боль-
шем числе нагруженных зубьев, поскольку нагрузки на зубьях будут
распределяться симметрично относительно зубьев, первыми вступив-
шими в контакт. При таком варианте расположения осей расчет двой-
ной муфты полностью сводится к расчету одинарной муфты без каких-
либо корректировок.
Расположение нагрузок Pit Р29 Ri9 R2 на зубьях промежуточного
элемента для второго варианта показано на рис. 2.25, б.
Уравнения статического равновесия сил и моментов в данном случае
будут
ЪМХ = 0; (1/2ХЛ! +Р2) = (л/2 + Ь) (Д + R2)\
SP^ = 0; PX+RX=P2+R2\
= 0j P\ + P2 = R। + R2.
Из решения этих уравнений получим
А=Я2; P2 = *i; Л = (1+ЭДА-
В этом случае максимальные нагрузки и Р2 на зубьях, которые
первыми вступили в контакт, не равны, причем это неравенство зависит
от соотношения геометрических размеров муфты (2д/с). В каждом
зубчатом соединении действует результирующая радиальная сила Р£ =
= Рг - Pi. Отсюда следует практически важный вывод: с целью вырав-
нивания распределения нагрузок по зубьям и уменьшения необхо-
82
a
Рис. 2.25. Схема нагружения промежуточного элемента
а - перекосы в соединениях одинаковы; б - перекосы в соединениях различны
димо уменьшать соотношение 2Ь/а. Заметим, что при увеличении числа
нагруженных зубьев неравномерность их нагружения сохранится, одна-
ко за счет распространения нагрузки на большую часть длины зубьев и
смещения равнодействующих ближе к среднему сечению венца вели-
чина неравномерности снизится. Коэффициент неравномерности ки =
= 1 + 2Ь/а может быть использован для оценки максимальной величины
нагрузки следующим образом. В результате расчета распределения нагруз-
ки в одном зубчатом соединении двойной муфты по методике для оди-
нарной муфты будет найдена максимальная нагрузка Ртах. Тогда, учи-
тывая свойства двойной муфты, можно составить уравнения
Л = 2Ртах» ?2 = А»
из которых получим Р2 = 2Pmax/(l + 1/кя).
Таким образом, расчет максимальных нагрузок в двойной зубчатой
муфте может быть проведен с использованием методики расчета распре-
деления нагрузок по зубьям для одинарной муфты с последующей кор-
ректировкой результатов.
53. Результирующие силовые факторы в муфте
Смещение и перекос осей валов, соединяемых двойной зубчатой муф-
той, приводят в общем случае к появлению в каждом зубчатом соеди-
нении изгибающего момента и радиальной силы, которые воспринима-
ются опорами валов. Лишь в частном случае, когда относительные углы
перекоса в каждом зубчатом соединении равны между собой по величине
и направлению (рис. 2.25, а, рис. 2.26, а), в муфте возникает только из-
гибающий момент. В этом случае силовой расчет двойной муфты произ-
водится так же, как одинарной муфты при чистом перекосе.
Расчетная модель для общего случая показана на рис. 2.26, б, где вал 3
смещен на величину Д и перекошен на угол у относительно вала 1, сlf с2,
t ~~ поперечные и угловые жесткости зубчатых соединений, £7, L -
изгибная жесткость и длина вала 2.
Уравнение упругой линии вала 2 в той же системе координат, как и в
работе [33], имеет вид
У{Х) = - Ах3 + - Вх2 + Сх + D. (2.35)
6 2
Соответствующие производные по длине х
УШ = (1 /2)Ах2 + Вх + С; уи(х} =Ах + В, у'& = А.
Постоянные коэффициенты А, В, С, D подлежат определению, исходя
из граничных условий на концах вала 2 (валы 1 и 3 считаются закреплен-
ными) , которые имеют вид
с,7(0) = -£7у'"(0); Clfity'(0) = Е1уп(ру, -с^ [/(е) - 7] = £7у"(е);
Д-Яе) = --?-£7У"(е).
84
Заменив функции прогиба и ее производных при х = 0 и х = L их зна-
чениями из (2.35), получим
D =—-El-А- С = — Ё1 - В,
£'<
—AL2 + BL + -EI-В = - — E7(AL +В) + у;
2 c^i (2.36)
Д - ( - AL3 + -BL? + — El-BL - — El-А) = - — El-А.
6 2 ci ct
В результате соответствующих преобразований в (2.36) матричное
уравнение относительно коэффициентов А и В будет иметь вид
Из решения этого уравнения определяются коэффициенты А и В, а за-
тем с учетом (2.36) СиР
где Deff-L’-H/e^d+H/^ ) -(12/2-ГИ/с,,)(- -
X 6 / * v 2 % '
Поперечные силы и изгибающие моменты в зубчатых соединениях
соответственно при х = 0 и х = L определяются выражениями
Р(о) = -^(0) = -EIA; М(о) = Е/Хо) = Е1В> А/) = Е1У(!) = ЫЛ:
ЛУ(/) = -EIy[l} = -EI(AL + В). (2.37)
Равные по величине и противоположные по знаку поперечные силы
Р(0) и Ру) создают момент, который из условия статического равно-
весия вала 2 уравновешивает сумму изгибающих моментов, т.е.
Р(о)Е =М(0) +М(/).
В частном случае (рис. 2.26, в) при параллельном смещении валов
(7 = 0) и одинаковых жесткостных характеристиках зубчатых соеди-
нений, т.е. Ci = с2 = Сц, = с^, выражения (2.37) имеют вид
Р(0) = д/-^- + — + — ; •
С" 2с (2.38)
Мт=М(0.Д£/2(— +71 + -)-
. Знаменатели этих выражений содержат суммарную податливость,
обусловленную изгибом вала 2, поперечной и угловой податливостями
зубчатых соединений.
Приведенные выражения пригодны и для двойных зубчатых муфт
с коротким промежуточным валом 2, изгибной жесткостью которых
можно пренебречь, т.е. принять Е1 = °°.
Изложенная методика расчета результирующих сил и моментов при-
менима и для случая пространственного расположения валов 1 и 3. При
этом смещение и перекосы необходимо представить в виде проекций
на оси: Ду, Az, уу, Уг и аналогичным образом определять усилия и
моменты в проекциях на плоскости х, у и х, z.
Заметим, что в приведенных выражениях для сил и изгибающих мо-
ментов в явном виде не фигурирует число нагруженных зубьев, завися-
щее от величины передаваемого муфтой вращающего момента. Однако
этот фактор учитывается через величины жесткостей сь с2, и
которые, естественно, зависят от числа нагруженных зубьев в каждом
из соединений. В случае, когда все зубья соединения нагружены, можно
принять:
Ci = (fc)zq,
где ct — жесткость одной пары зубьев, причем Cf = Eb/30 — для муфт
с прямыми зубьями, С/ = EbfAO — для муфт с бочкообразными зубьями,
z >Ь — число и длина зубьев.
^ = (с11/2)(*0/2)2,
где bQ = b - для муфт с прямыми зубьями и Ь9 = (2/n)Ra) - для муфт
с бочкообразными зубьями.
Выражения для Ci и с* в случае, когда не все зубья соединения нагру-
жены, приведены в параграфе 7.1.
При вращении муфты, соединяющей несоосные валы на боковых по-
верхностях контактирующих' зубьев, вследствие их взаимного проскаль-
зывания возникают силы трения, векторы которых направлены противо-
фазно векторам скоростей скольжения зубьев обоймы и втулки.
Величины сил трения в 0-й паре зубьев могут быть определены как
Гтр = ^а/тр» где ?е ” нормальное усилие в зацеплении,/тр — коэффи-
циент трения. Эти силы приводят к появлению в муфте момента сил
трения, определяемого по расчетным зависимостям, приведенным в гл. 4,
а также при неравномерном распределении нагрузки по зубьям — к появ-
лению осевой результирующей силы трения.
Из практики эксплуатации двойных зубчатых муфт, работающих
при больших перекосах осей, известно, что плавающие элементы муфт
в ряде случаев подвержены воздействию больших осевых сил. Для вы-
яснения условий возникновения осевых сил обратимся к расчетным
схемам, приведенным на рис. 2.25, а, б. При одинаковых углах перекоса
в зубчатых соединениях двойной муфты (рис. 2.25, я) и осесимметрич-
ном распределении нормальных усилий по зубьям нагрузки на диамет-
рально противоположных зубьях равны Рi = Р2 и, следовательно, равны
силы трения FTp| = FTp2, которые взаимно компенсируются и не созда-
ют осевую результирующую.
86
При неодинаковых углах перекоса в зубчатых соединениях
(рис. 2.25, б) нормальные нагрузки на диаметрально противоположных
зубьях не равны, следовательно, силы трения также не равны F2Tp > F2Tp,
в результате чего появляется результирующая осевая сила трения, опре-
деляемая суммой сил трения в обоих зубчатых соединениях. Эта сила
стремится сместить плавающую обойму муфты в осевом направлении
относительно втулок.
Экспериментальные исследования осевых сил в двойной зубчатой
муфте проводились на стенде, конструкция которого представлена на
рис. 2.27 [53]. Исследуемая зубчатая муфта 5 снабжена промежуточной
шайбой 4, ведомый вал 2 полумуфты выполнен полым, сквозь него про-
пущена тяга 3, которая одним концом шарнирно связана с шайбой 4,
а другим — с измерительным динамометром 1. Для создания в системе
предварительного натяга в измерительном узле предусмотрено натяжное
устройство.
87
Рис. 2.29. Зависимость осевой силы Рос от угла перекоса ы в шлицевых соеди-
нениях
а - с прямыми зубьями; б - с бочкообразными зубьями
В процессе испытании оси соединяемых муфтой валов последова-
тельно устанавливались в различное положение относительно друг друга.
При этом обеспечивалось расположение осей в одну сторону и с разных
сторон относительно оси плавающей обоймы, а величины углов перекоса
в зубчатых соединениях устанавливались со = 0°15', 0°30', 0°45', Г.
Результаты испытаний зубчатой муфты с прямолинейной образующей
зуба втулки представлены на рис. 2.28. При одинаковых перекосах в зуб-
чатых соединениях (по схеме рис. 2.25, а) осевые усилия не зафиксиро-
ваны, наблюдались лишь осциллирующие осевые колебания обоймы.
При параллельном смещении осей валов (по схеме рис. 2.25, б) появ-
лялась осевая сила, которая смещала обойму в сторону ведущего вала.
Картина не менялась при изменении направления вращения муфты. Как
видно из графика рис. 2.28, при увеличении угла перекоса осевая сила
увеличивалась практически по линейной зависимости и при gj = 1° и вра-
щающем моменте М = 8,5 кГм достигалаРос = 12 кГ.
Аналогичные результаты исследований осевых сил в муфтах приведены
в работе [12]. Практикой эксплуатации установлено, что шлицевой вал,
используемый для вращения привода 30AGD03 на самолете F-4J [12],
подвержен самопроизвольному выходу из зацепления. При исследовании
вышедших из строя валов было обнаружено, что некоторые из них ра-
ботали с частичным зацеплением по длине шлицев. Лабораторные испы-
тания подтвердили, что при работе шлицев с большой несоосностью воз-
никают осевые усилия, достаточные для вывода муфты из зацепления.
Результаты этих испытаний показаны на рис. 2.29, а. На одном валу
были измерены осевые усилия, достигающие 90 кГ. Подобные испытания
бочкообразных шлицев (рис. 2.29, б) показали значительное уменьшение
осевых усилий.
88
Глава 6
НАГРУЗКИ В ЗУБЧАТЫХ СОЕДИНЕНИЯХ С ПОДАТЛИВЫМИ ОБОДЬЯМИ
6.1. Методы раскрытия статической неопределимости
многопарных передач зацеплением
Многопарные передачи зацеплением, к которым относятся также и
зубчатые соединения, являются статически неопределенными упругими
системами. Существующие в строительной механике стержневых систем
методы расчета нуждаются в корректировке применительно к многопар-
ным передачам зацеплением.
Первая особенность многопарных передач зацеплением заключается
в том, что они относятся к системам с односторонними упругими связя-
ми [44], которыми воспринимают силу лишь одного знака. Изменение
знака силы, приложенной к дискретной связи, соответствует разгрузке
этой связи и отсутствию на ней силы. Это обстоятельство значительно
усложняет процедуру раскрытия статической неопределимости упругих
систем, содержащих многопарные передачи зацеплением, даже при нали-
чии ЭЦВМ, поскольку требует реализации итерационных методов решения
задачи. Известный метод дискретизации упругой системы, содержащей
многопарную передачу зацеплением, предложенный проф. К.И. Заблон-
ским, по существу, реализует указанный итерационный метод решения.
Другая особенность многопарных передач зацеплением заключается
в том, что между силой, действующей на зуб, и его деформацией не всег-
да существует линейная связь. Это обстоятельство исключает возмож-
ность использования аппарата линейной алгебры для раскрытия статичес-
кой неопределимости упругой системы, содержащей многопарную пе-
редачу зацеплением, и требует применения специальных методов реше-
ния задачи. Например, в зубчатых соединениях с зубьями, имеющими
прямолинейную форму образующей, при перекосе осей муфт нарушается
линейная связь между силой на зубе и его деформацией.
Раскрытие статической неопределимости упругих систем, содержащих
многопарную передачу зацеплением, усложняется в случае, если в систе-
ме имеется распределенная упругая связь, объединяющая между собой
дискретные упругие связи. Например, в зубчатых соединениях такой рас-
пределенной упругой связью является податливый обод муфты, объединя-
ющий между собой дискретные упругие связи - зубья муфты. Наличие
распределенной упругой связи приводит к взаимному влиянию усилий
на дискретных упругих связях, что и усложняет расчет, поскольку ха-
рактер распределения усилий на , дискретных упругих связях зависит от
упругой деформации распределенной упругой связи, которая в свою оче-
редь зависит от характера распределения усилий на дискретных упругих
связях. Математически это сводится к тому, что матрица податливости
упругой системы недиагональная, что и предопределяет использование
ЭЦВМ и реализацию итерационного метода решения задачи.
Для раскрытия статической неопределимости упругой системы, содер-
жащей многопарную передачу зацеплением, возможно использование
различных методов решения задачи. Так, в работе [36] изложен непре-
89
рывный метод решения задачи о нагруженности зубчатых соединении с
податливым ободом, суть которого заключается в том, что искомая
нагрузка ищется в виде тригонометрического ряда по углу 0 . Для опреде-
ления членов ряда нагрузки из уравнений совместности деформаций и
перемещений строится бесконечномерная система алгебраических уравне-
ний, матрица которой имеет ленточный вид, что и позволяет с любой сте-
пенью точности решать задачу о нагруженности зубьев соединения. Подоб-
ный метод реализован при решении задачи о нагруженности зубьев в
глобоид ной передаче с учетом податливости вала червяка [7].
62. Дискретный метод
В работе [27] изложен метод раскрытия статической неопределимос-
ти упругих систем, содержащих дискретные упругие связи, объединенные
между собой распределенной упругой связью. Суть метода заключается в
диагонализации матрицы податливости упругой системы, что позволяет
единым способом решать задачи с линейными и нелинейными дискретны-
ми связями.
Уравнение совместности деформаций и перемещений для fc-й дискрет-
ной упругой связи имеет вид
А* - Az = (Sz-S*)-04-t4), 1,2,3,... ,z, (2.39)
где - упругое смещение fc-й дискретной связи, обусловленное ее
податливостью
д* = 5Р1/в , (2.40)
8 - податливость дискретных связей; а= 1 для линейных и а =£ 1 - нелиней-
ных дискретных связей; Sk - исходный зазор в к-й дискретной связи;
Uk — упругое смещение к-й дискретной связи, обусловленное податливос-
тью распределенной упругой связи
р3 z °°
I7k = —— S Р, S Cncosn(0- 9Р), (2.41)
ItEI i=l n-2k '
z - номер наименее нагруженной дискретной связи, т.е. число связей,
передающих заданный крутящий момент.
Добавление к (2.39) уравнения равновесия
Ръ = S Рк (2.42)
к-1
дает исходную систему уравнений для определения искомых нагрузок на
дискретных упругих связях. Для ее решения обычно методом последова-
тельных приближений (после многократного решения системы уравне-
ний) определяется число дискретных связей, передающих крутящий мо-
мет, и по найденному числу z решается исходная система уравнений.
Естественно, что при таком подходе к решению задачи необходимо ис-
пользование ЭЦВМ.
Процедуру решения задачи можно значительно упростить, если искус-
ственно диагонализировать систему уравнений (2.39), для чего следует
считать упругую деформацию распределенной связи (Uk - Uz) известной
90
величиной. В этом случае метод последовательных приближений исполь-
зуется лишь для уточнения деформации распределенной упругой связи,
что и определяет быструю сходимость метода итераций. Обоснованием
к применению этого метода решения задачи является тот факт, что в свя-
зи с незначительной протяженностью зоны нагруженных дискретных
связей деформация распределенной упругой связи лишь незначительно
зависит от характера распределения нагрузки по дискретным упругим
связям. Поэтому при уДачном выборе первого приближения можно зна-
чительно ускорить процесс сходимости метода итерации.
С учетом сказанного систему уравнений (2.39), (2.42) можно записать
в следующем виде:
Рк = 8”1 [Sz(m + V)-Sk -(Uk - UM*
Z (2.43)
= 8“* S Sz(m + \)-Sk-(Uk-Uz)}* > Л = 1,2,3,... ,z,
k=l
где т = bz/Sz - коэффициент, характеризующий деформацию наименее
нагруженной (z-й) дискретной связи.
Формулы (2.43) могут быть использованы для решения задачи о рас-
пределении нагрузки по дискретным упругим связям. Полагая в них
Uk-Uz =0, получим нулевое приближение решения задачи, для чего из
последнего уравнения (равновесия) найдется число дискретных упругих
связей z, после чего по остальным уравнениям (2.43) найдется нагрузка в
z дискретных связях без учета податливости распределенной связи.
Прямая задача - определение числа дискретных связей z, передающих
заданную нагрузку - не может быть решена без применеюш метода
интераций даже в нулевом приближении. Однако обратная задача - опре-
деление нагрузки ?£, передаваемой заданным числом дискретных свя-
зей — решается без труда. Для этого необходимо для ряда значений т
построить зависимости
+ (2-44)
S* к=1
где S - максимальный исходный зазор, Sk = Sk/S - безразмерный зазор в
к-й дискретной связи, и по ним для заданных и т определить искомую
величину z.
Первое приближение в решении задачи найдется, если в правых частях
уравнений (2.43) определить величины Uk-Uzm (2.41), пользуясь ре-
зультатами решения по нулевому приближению, после чего повторяется
решение - сначала из уравнения равновесия
Р-- S IV 6и+1Ъ Ч' У*(0)~ *4(0)1®
Л: ~ - Ь SZ(O) ("» + 1 ) - Sfc--------Z------
о k=i l о J
находится число дискретных связей z, передающих нагрузку после
чего по уравнениям (2.43) найдутся искомые нагрузки в первом прибли-
жении
Р IV 6и + п Ч' U*(1) -£Z*(‘)1“ (2 45)
о L л J
91
Этот процесс последовательных приближений продолжается до требуемо-
го соответствия двух последовательных приближений.
Дискретный метод реализован в работе [23] применительно к раскры-
тию статической неопределимости ряда узлов планетарных механизмов -
расчету нагрузки на зубьях муфты, на телах качения подшипников сател-
литов, на зубьях сателлитов. В работе [7] этот метод применен к расчету
распределения нагрузки между зубьями колеса глобоидной передачи.
6.3. Непрерывный метод
Обычно в зубчатых соединениях число зубьев бывает достаточно вели-
ко, что позволяет использовать для решения задачи о нагруженности зубь-
ев не дискретный, а непрерывный метод. В этом случае уравнение совмест-
ности деформаций и перемещений [27] примет вид
д(0) = [ S(fi) - S(6) ] - [Utf) - t/(0)], (2.46)
где 4(0) — деформация зубьев в сечении 0 , отсчитываемого от наиболее
нагруженного сечения, 5(0) и 17(0)-зазор и прогиб обода муфты в сече-
нии 0 , Р - зона нагруженных зубьев.
Приняв линейную связь между деформацией 4(0) и нагрузкой q(9) на
зубе с координатой 0 , получим
А(0) = ДОИ), (2.47)
где с(0) — жесткость зуба.
Объединяя (2.46) и (2.47), найдем выражение для нагрузки на зубе
с координатой 0
q(0) = с(0){[ S&) - S(0) ] - 11/(0) - UQ) ]} . (2.48)
Уравнение (2.48) совместно с уравнением равновесия
fl
2 f q(9)d6 = M/rBp (2.49)
—fl
дает исходную систему уравнений для решения задачи.
Согласно (2.41) прогиб зуба
2Р* оо со t
U(9)= — S SC„'9mcos«0, (2.50)
1tEI n=lk m = l
причем
<?(0) = <7о + s Чт (cos т 9 - cos т 0). (2.51)
Ш = 1
Поскольку с(0) и 5(0) являются известными функциями угла 0 , то из
(2.48) - (251) следует непрерывный метод решения задачи: 1) входя в
левую и правую части уравнения (2.48) с выражением q(0) (2.51), можно
построить ряд по cosm0; 2) приравнивая между собой коэффициенты в
правой и левой части соотношения (2.48), для каждого т можно полу-
чить систему линейных алгебраических уравнений, относительно искомых
92
коэффициентов qm, из решения которой найдутся коэффициенты qm, вы-
раженные через 0 и другие геометрические параметры муфты; 3) входя
в уравнение равновесия (2.49) с <?(0)из (2.51), после интегрирования
можно получить связь между qm, 0 и крутящим моментом М
sin т
------ - cosm0
т 0
0 <7o +
М
откуда, зная qmi выраженные через 0 и параметры муфты, можно найти
угол 0, соответствующий крутящему моменту М\ 4) по найденным qm и
0из (2.51) найдется характер распределения нагрузки между зубьями
<?(*)•
Согласно (1.2), (13) разность
S(fi) - S(0) = Son (cos 0 - cos3)
(2.52а)
для зубьев с прямолинейной формой образующей и
S(0) - S(0) = So6(cos 26 - cos 20)
(2.526)
для зубьев с криволинейной формой образующей.
Согласно [14] изменение жесткости зубьев по углу 0 в связи со смеще-
нием равнодействующей нагрузки по длине зуба может быть учтено по
зависимости
Г Дс 1
с(0) = с0 11-----cos 20 I ,
L с0 J
где с0 и Дс имеют различные значения для зубьев с прямо- и криволиней-
ной формой образующей.
Согласно (250) разность прогибов обода муфты в точках с координа-
тами 0 и 0 равна
(2.53)
U(0) - tf(0) = UQ°X 2 Сп qm (cos л 0 - cos л0), (2.54)
л=2к ж = 1
где 1/0 = 2p*/itEI - коэффициент податливости обода муфты.
Подстановка (252) - (2.54) в (2.48) позволяет реализовать изложен-
ный непрерывный метод решения задачи.
Можно показать, что члены ряда (2.5^соответствующиенечетным зна-
чениям индекса т, обращаются в нуль для зубьев с криволинейной фор?
мой образующей; для зубьев с прямолинейной формой образующей для
т > 5 все qm также равны нулю, а нагрузки qx и q$ зависят лишь от жест-
кости зубьев муфты и не зависят от жесткости обода муфты
( 1 Дс\
- CoSo| 1 — —- — I,
у 2 Cq J
1 Дс
<7з —CqSq — ---
2 с0
93
Для четных индексов т система уравнений относительно qm имеет вид
1 012 013 • • «1л Qo bo
02 1 02 2 02 3 • 02 л Qi bi
031 032 033 • 03л Q* = b^ , (2.55)
апз
ап 1
ап2
апп
Qin
О
где элементы матрицы
1 / «
0ji =— — Uq I S
Cq I n=2k
f Ac
cn 0 COS Л0 +---
2c0
012
cos 20
Co
+ Uo s
\ n=2k
f Ac , и
cr2cos^0 +— C22] ;
2c0 IJ
[cos 40
—
Co
cos2(p - 1)0
+ Uo S
\.л=2Дг
г г
Сл4СО8Л0+— С24
2сс
с*
(« f Дс \ I
+T- Ъ(2р-2) ;
Л-2Л £Cq I I
02 1 - С/о I — С20 I 1
Дс \ Дс / I
— cos 20 j + c40 — I —
Co I с I 2
~ COS 43
, Ac I
- c60--- cos 60 |;
Co J
02 2
Ас
С0
\ , Дс / 1
cos 20] + С42 — I—
J Cq I 2
cos40]- 1/с0 -
Л1р =
1
, Ac I
- c62— cos 60
Co J
Дс
Со
\ , Ac /1
cos 20] + c42 — I—
J Cq 12
\ , Дс
cos40]-c64— cos 60];
J со
[t / Ac \ , Ac / 1 \
~C2(2p-2)(l +-- COS 20 I + C4(2p-2) - I ~ “ COS 40] —
\ C0 / Co \ 2 /
-Сб(2р-2)---- COS 60
Co
= UQ
ДЭ1
, Ac/, ,
C40 + —--(C20 + Сбо
94
0Э2
_.. Г > Дс
- ^0 I С 42 + ---
L 2с0
Сгг+ с'Ь2
азр
^4(2р—р) + — 1Л2(2р-2) + Сб(2р-2)1 •
2Cq \ ] J
Элементы матрицы - столбца свободных члене» равны
fto = Soao + S <?ml----------- + Uo I S c„m cosn0
m = l,3 L c0 \m = l,3
, ( I
+ C4w I "7
Co \2
cos40|-c8w— cos 60
/ c0
ft 4 £0^4 — Uq S Qm I C^m + [C2m
m = l,3 L 2c0 \
ft6 = ft8 = . . . = 0,
1 Ac Ac
где Con = -cos0; a06 =-cos 20 - — ; a2n =— cos0;
2 Co Co
Ac 1 Ac
C26 = 1 + — cos 20; 04n = 0; 045 = - — — ,
Co 2 Co
индекс ”п” относится к зубьям с прямо-, а индекс ”б” — к зубьям с кри-
волинейной формой образующей.
Система уравнений (2.55) может быть решена, если ограничить число
уравнений, входящих в нее. После этого задача о нагрузке на зубьях ре-
шается в указанной выше последовательности.
Изложенный метод позволяет получить решение задачи, однако он
достаточно сложен для практического использования. Поэтому представ-
ляется целесообразным поиск путей обоснованного упрощения решения
задачи. Такого упрощения можно добиться, если задаться законом рас-
пределения нагрузки при определении деформации обода муфты. Так,
учитывая, что зона нагруженных зубьев при больших углах перекоса не-
велика и поэтому характер распределения нагрузки на зубьях незначи-
тельно влияет на прогиб обода муфты, можно определить прогиб обода
муфты в предположении, что нагрузка на зубьях подчиняется закону,
соответствующему абсолютно жесткому ободу муфты.
Тогда прогиб муфты определится из уравнения (2.54), причем т- 1
соответствует муфта с зубьями, имеющими прямолинейную форму обра-
зующей, а т = 2 - муфта с зубьями, имеющими криволинейную форму
95
образующей. Неизвестная нагрузка qm, которой нужно задаться при опре-
делении деформации обода муфты, найдется из уравнения равновесия
2 / qm (cosmO - cosmftydO = M/r3p,
-в
откуда
(sinm0 \
----------cosm0l.
m0--------/
Тогда формула для нагрузки на зубьях муфты согласно (2.49) примет
вид
/ Дсп \
qn(P) = сОп р-------cos 201 SOn(cos0 -cos0) -
' Соп ' ( (2.56а)
MU0 S ch ! (cos пв - cos п0)
п-2к
- cos/3)
для зубьев с прямолинейной формой образующей и
Дсб |
qefO) = соб (1------cos 20)<SO6(cos 20 - cos 20) -
*06 [
оо f (2.566)
MUq S C„2 (cos пв - cos nff) )
________n=2fc_______________________ I
(sin 20/20 - cos 20) J
для зубьев с криволинейной формой образующей.
Неизвестная зона нагруженных зубьев 0 найдется из уравнения равно-
весия (2.49), которое согласно (2.56) примет вид
для зубьев с прямолинейной формой образующих
К sin 0 \ Дсп / sin 0 sin 30’
______________________________ - cos 01 - - I
__________________________________________________ ft-/ 4cOn \ 0-30 ',
4rBpS0n 1 , +____________________________________1 f C"
Con^O (sin 0/0 - COS 0) n=2fc ""
(2.57a)
„„ ~ fsin(n-l)0 sin (n +1)01 Г/sin n0 \ nten
где C„„ = Cn n I--------------------111----- - cos n01----X
L (»-l)0 (« + 1)0 JIA «0 / 4con
sin(n -2)0
(«-2)0
sin (n + 2) 0\ 1
(n + 2)0 /]
для зубьев с криволинейной фор-
96
мой образующей
MU0
4rBpSQ6
где Спб u G
г/sin 20 ДСб sin40\l
011------ - cos 20)------5 (1---------
Ц 20 2соб 40 Л
1 1 °®
------ + ---------------- S Спб
c06U0 (sin 20/20 - cos 20) п=2к
(2.576)
п Г sin (и - 2)0 sin (п + 2)01 Г/sin и0 \ иДсб
— ---------------------— I--------cos п 01-----X
2|_(л—2)0 (л+ 2)0 J К и0 7 4с0б
sin(n - 2)0 sin (п + 2) 0
(л-2)0 ” («+2)0
Для абсолютно жесткого обода муфты сумма обращается в нуль,
напротив, для податливого обода муфты можно принять отношение по-
датливости зуба и обода муфты (cot/o)-1 равным нулю.
В левой части уравнения (257) стоит безразмерная величина крутя-
щего момента, включающая основные параметры муфты. Это позволяет
построить график для определения зоны нагружения 0 следующим обра-
зом. Рассчитав для нескольких значении 0 при варьировании Дс/с0 значе-
ние левой части уравнения (2.57), можно решить обратную задачу - най-
ти величину М, соответствующую принятым значениям 0. После этого пря-
мая задача - нахождение 0, соответствующее определенному значению
М, - решается по построенному графику &c/cQt CqUq) .
РАЗДЕЛИ!
ДИНАМИКА И ПРОЧНОСТЬ ЗУБЧАТЫХ МУФТ
Динамические свойства зубчатых муфт, и прежде всего двойных зуб-
чатых муфт с промежуточным плавающим элементом, оказывают сущест-
венное влияние на виброакустические характеристики агрегатов. Зубча-
тая муфта является возбудителем колебаний с оборотной частотой враще-
ния, возникновение которых обусловлено неуравновешенностью плаваю-
щего элемента и накопленными погрешностями окружных шагов зубьев
соединяемых зубчатых венцов. Трудность уравновешивания (или баланси-
ровки) двойной зубчатой муфты связана с наличием в ней плавающего
элемента, уравновешивать который необходимо относительно его рабочих
поверхностей, т.е. поверхностей,контактирующих под нагрузкой зубьев.
Это обстоятельство требует либо создания специального балансировоч-
ного оборудования, либо проведения уравновешивания муфты в составе
собранного агрегата под нагрузкой.
Для проведения вибрационных расчетов упругих систем необходимо
знать статические жесткости зубчатых соединений, их демпфирующие
свойства, уметь определять динамические жесткости и податливости под-
7. Зак.1344 97
систем с зубчатыми муфтами, иметь расчетные зависимости по определе-
нию амплитуд возмущающих сил.
Ниже приводятся результаты исследований по определению указанных
параметров. Рассмотрены также вопросы нагрузочной способности зубча-
тых муфт, приведены зависимости для прочностного расчета зубьев муфт
по изгибным и контактным напряжениям и зависимости для оценки ра-
ботоспособности зубчатых муфт по динамическому критерию и условиям
смазки.
Глава 7
ПАРАМЕТРЫ ДИНАМИЧЕСКОЙ МОДЕЛИ ЗУБЧАТОЙ МУФТЫ
7.1. Упругие характеристики
При проведении динамических расчетов упругих систем, в которые вхо-
дят зубчатые муфты, необходимо знать суммарные поперечные и поворот-
ные жесткости зубчатых соединений. Величины суммарных жесткостей
зубьев муфты (до тех ‘ пор, пока не все зубья войдут в контакт)
зависят от числа нагруженных зубьев и характера их нагружения по
длине, обусловленных условиями работы зубчатого соединения, т.е. сме-
щением и перекосом осей и наличием накопленных погрешностей.
В общем случае при известных чйслах нагруженных зубьев и местах их
контактирования суммарные жесткости относительно осей х, у, г опреде-
ляются по зависимостям [22]
сх = ; су = с^х = Ъс9129 ; с*у = Ъсет2в ;
глее# - жесткость 0-й пары зубьев, 0$, l9, m9the - направляющие
косинусы и единичные моменты векторов осей пружин, имитирующих
жесткости с9. Суммирование ведется по всем ьм пружинам и приближен-
но может быть заменено интегрированием в пределах зон нагружения зу-
Z с 2
бьев, напримр, сх = — \ CqClqM. Выражения для определения соответст-
2я J
вующих жесткостей для муфт с прямыми и бочкообразными зубьями и
различных зон нагружения,* характеризуемых углом 0, приведены в
табл. 3.1.
Динамические расчеты сложных упругих систем обычно проводятся ме-
тодом динамических податливостей, согласно которому система разби-
вается на подсистемы. Для них определяются матрицы динамических
податливостей. Затем с помощью уравнений ’’стыковки” эти матрицы ис-
пользуются для составления общего матричного уравнения для всей систе-
мы. Иногда в качестве подсистемы удобно выделить двойную зубчатую
муфту, сохранив ее основное свойство - передачу поперечных колебаний,
обусловленных угловой жесткостью зубчатых соединений с^х, определяе-
мой по формулам, приведенным в табл. 3.1.
98
Таблица 3.1
Жесткостные параметры зубчатых муфт
Прямые зубья Бочкообразные зубья
0 < /3 < я/2 я/2 < 0 < я 0 = я 0 < я/2 /3 = я/2
Cn(cos в - cos /3) -i-Cnd - cos 0) 4 Cn 2^(cos20 - cos2#)/2 Os
4 cos 0 3eHj5.(l +<7cos0)
Сх ^(20-sin20) ОЯ zCn —5(1 - COS0) X off 2 Z^n ^(20 - sin 20) 2я “2’zCq
X (2/3 - sin 2/3)
Су zCnTl 1 • . ^5(1 - cos 0) X 8я ~2 Z^n ^(20 + sin 2 3) 2я ГСб
— cos 0 X xintgG 4)] X (20 +sin 20)
*<V’F . . —Hl 3 - sm 20 + 24ir L (1 - cos3) x Уоя zCnb2 24 — CqR2 u?& + sin20+ я \2 3 —zC^R2w2
+ cos’ 0 X X (2 + cos 0)X X (20-sin20) + |-5ш4з)
x,ntg(W)]
zC’n'lr ——1 0 _ cos 0 X 2ir L x In tg^- + n/4^ ^5 3(1 -cos/3) 2я zCn>B 2 — zC^0 я zCtfb
Cn = b/en\ < ?n = 30/£ X * 01 p II II 1 © xJx** o* X и kHuj cpj
72. Оценка параметров демпфирования колебаний
Определение параметров, характеризующих демпфирование колебаний
в зубчатых муфтах, необходимо для проведения расчетов вынужденных
колебаний упругих систем, расчета динамических жесткостей или податли-
востей подсистем и решения других задач, например, связанных с устой-
чивостью колебаний. Следует отметить, что из-за отсутствия надежных ме-
тодов расчета демпфирования колебаний в зубчатых зацеплениях и соеди-
нениях приходится пользоваться данными, полученными в основном
эмпирическим путем.
В результате экспериментов установлено [16], что зубчатые муфты яв-
ляются эффективным вибропоглотителем колебаний и имеют коэффи-
циент поглощения 02-0,3, который практически не зависит от частоты
99
колебаний и удельной нагрузки Руд (отнесенной к номинальной площад-
ки рабочих поверхностей зубьев) при Руд > 5 кГ/см2.
Потери колебательной энергии в зубчатой муфте складываются из по-
терь на трение, вязких потерь в смазочном слое и потерь на внутреннее
трение в металле. При колебаниях в зубчатом соединении происходит
касательное упругое перемещение и проскальзывание микроконтактных
площадок поверхностей зубьев с амплитудами порядка 0,01-0,5 мк, а
также нормальное упругое перемещение этих поверхностей, которое вы-
зывает перетекание смазки в микрозазорах. Основные потери колебатель-
ной энергии в муфте обусловлены трением при проскальзывании микро-
коНтактов и вязким сопротивлением смазки.
Расчетно-экспериментальные исследования [16] позволили установить
процентное содержание указанных составляющих потерь от общей суммы
потерь. Эксперименты проводились на натурной зубчатой муфте и на уста-
новке, включающей модельную пару трения. Муфта имела тонкостенные
ободья, выполненные в виде кольца и оболочки, и косые эвольвентные
зубья с шероховатостью поверхностей ~ 6 мкм. Соединение смазывалось
турбинным маслом и нагружалось с помощью четырех легких податливых
стяжек, сила натяжения в которых контролировалась посредством тензо-
датчиков.
Пара трения состояла из стержня размером 1500X50X40 мм, который
опирался на массивное основание тремя штифтами, имеющими плоские,
площадки. Размеры площадок и шероховатостей и величины нормального
давления в контактах были выбраны аналогичными с зубчатым соедине-
нием.
Муфта подвешивалась на податливом тросе, при этом потери энергии
в подвеску не превышали 1-3% от общих потерь. Аналогично произ-
водилась подвеска основания пары трения. Возбуждение колебаний как
муфты, так и пары трения производилось с помощью электродинамичес-
кого вибратора, присоединяемого через пьезодатчик силы.
Величины логарифмических декрементов колебаний систем определя-
лись по ширине резонансных пиков. Амплитуды относительных микро-
смещений контактирующих деталей устанавливались с помощью пьезо-
датчиков ускорений. Сигналы с датчиков силы и ускорений подавались че-
рез фильтры с полосой 3,16 Гц на электронные вольтметры. Измерялся
также сдвиг фаз между этими сигналами с помощью прецизионного фазо-
метра, а также проводился спектральный анализ сигналов с датчиков
ускорения.
На резонансных режимах определялись потери энергии в соединении
деталей при работе силы возбуждения за цикл колебаний, при этом учиты-
вались потери энергии колебаний в подвеске системы и на внутреннее тре-
ние в материале.
Результаты исследований приведены в табл. 3.2, где представлены час-
тоты колебаний - f (в Гц), измеренные суммарные потери колебательной
энергии (кГ • мкм), средние амплитуды касательных UK и нормаль-
ных перемещений UH (X 0,1 мкм), составные части потери энергии — на
трение AWBH, в смазке AWCM и в металле полумуфт AWBH (в %), получен-
ные расчетным путем.
100
Таблица 3.2
Потери колебательной энергии в муфте
Л Гц ДИ^, кГ * мкм С/КХО,1 мкм мкм ДИ/тр,% ДИ'см» % Д^вн» 4°
115,6 1,15 1,76 0,217 85 13 2
150,4 0,43 1,0 0,177 72 26 2
340 0,28 0,78 0,085 67 29 4
505 0,042 0,3 0,034 42 49 9
835 0,017 0,13 0,02 22 66 12
Вязкие потери, связанные с перетеканием смазки, определялись по рас-
четной зависимости [47]
ДИ/СМ = z»
где До = 1 • Ю”6 КГ-^С - вязкость масла, со = 2nf, L = 0,8 см, b = 0,3 см -
см
длина и ширина площадки контакта, Х = b/d, 5 = 10 мкм — толщина сма-
зочного слоя, z = 70 — число площадок контакта.
Для определения потерь на трение ДИ^тр использовались эксперимен-
тальные величины удельной сдвиговой жесткости и коэффициенты погло-
щения для сухого контакта. Потери на внутренние трения в металле
ДИ/ВН определялись с использованием коэффициентов поглощения, из-
меренных экспериментально для отдельных полумуфт (что составило
2—10% от общих потерь в муфте).
Как видно из табл. 3.2, вязкие потери в масляном слое увеличиваются
от 13% при f = 100 Гц до 70%при/ = 700 Гц, а потери на трение уменьша-
ются в общем балансе потерь с увеличением частоты колебаний от 85 до
22%. Эти результаты показывают, что на частотах 100-400 Гц основные
потери энергии колебаний в муфте происходят вследствие трения при про-
скальзывании микроконтактных поверхностей, а на частотах выше 500 Гц
поглощение энергии колебаний связано, в основном, с вязким сопротив-
лением в смазке при нормальных упругих перемещениях поверхностей
зубьев.
Для оценки диссипативных сил в механических системах обычно
используются безразмерные величины [24] — относительная ширина резо-
нансной кривой Д или показатель затухания а, добротность системы 09 от-
носительный коэффициент затухания D и логарифмический декремент
колебаний d. Эти параметры взаимосвязаны следующим образом:
О = 1/Д; D = а/2; d = nal \Л1 — 0^/4’ « па .
Они могут быть определены поэкспериментальным амплитудно-частотным
характеристикам колебаний элементов рассматриваемых систем. Так,
ширина резонансной кривой равна
А =Л-/1//о,
где/ь/2 - частоты до и после резонансной частоты /0, для которых вы-
101
полняется условие к2 = !4, kv - отношение скорости колебаний к ее макси-
мальному значению.
Декремент колебаний с достаточной точностью определяется по прибли-
женному выражению
d * я(/2
Здесь не требуется пересчет амплитудно-частотной характеристики в
зависимости величины kv от частот, так как кА - отношение амплитуд ко-
лебаний, соответствующих частотам и/2, к резонансному значению ам-
плитуды колебаний.
По известным параметрам а и D точные значения размерных коэффи-
циентов демпфирования к^ (кг • с/см), которые используются в диффе-
ренциальных уравнениях типа
тх + кх + сх = О,
находятся лишь в системах с одной степенью свободы, а также для парци-
альных подсистем многомассовых динамических моделей с локальным ха-
рактером проявления вынужденных колебаний. Признаком последнего
является близость парциальной собственной частоты к резонансной часто-
те колебаний всей системы, тогда
kj = 2Tramf0 или kj = 2D\Jтс,
где т - приведенная масса, с - жесткость.
В отличие от коэффициентов демпфирования kh значения которых за-
висят от упругих инерционных свойств конкретных механических систем
различного конструктивного исполнения, безразмерные параметры демп-
фирования колебаний определяются непосредственно по эксперименталь-
но полученным амплитудно-частотным характеристикам. Они не зависят
от принимаемых при вибрационных расчетах динамических моделей, так
как имеют обобщенный характер. Поэтому демпфирующие свойства зуб-
чатых муфт представляется целесообразным учитывать так же, как это
делается в зубчатых передачах, т.е. упругие связи следует представлять
в виде пружин с комплексной жесткостью
сК = (1 +/0/27Г),
где согласно экспериментальным данным [16, 17] коэффициент поглоще-
ния 0 ~ 0,5.
Глава 8
ВОЗМУЩАЮЩИЕ СИЛЫ В ЗУБЧАТЫХ МУФТАХ
Источниками возбуждения колебаний в зубчатых муфтах являются:
неуравновешенность элементов, накопленные погрешности окружных ша-
гов зубьев соединяемых венцов и погрешности шага зубьев. К основным
источникам, возбуждающим колебания с частотой вращения муфты,
относятся первые два. Ниже приведены расчетные зависимости по опре-
делению амплитуд возмущающих сил, соответствующих основным источ-
никам возбуждения колебаний в муфтах.
102
8.1. Накопленные погрешности окружных шагов зубьев
Накопленные погрешности являются причиной возникновения в муф-
тах вращающихся динамических сил. Поэтому нагрузки, обусловленные
накопленными погрешностями шагов зубьев, целесообразно вычислять
отдельно и затем накладывать на статические нагрузки, вызываемые пере-
косом и смещением осей полумуфт.
Силовой расчет одинарной муфты при наличии накопленных погреш-
ностей и эксцентриситетов соединяемых зубчатых венцов производится
точно так же, как при параллельном смещении осей полумуфт (см. 4.1),
поскольку распределение зазоров в этих случаях определяется одними
и теми же зависимостями (1.4) и (1.6). Однако напомним, что опоры по-
лумуфт при параллельном смещении будут нагружены статическими сила-
ми, а при наличии накопленных погрешностей и эксцентриситетов зубча-
тых венцов - динамическими силами.
Определение нагрузок в двойной зубчатой муфте при наличии накоп-
ленных погрешностей имеет специфику, обусловленную возможностью
плавания промежуточного элемента. Для выявления этой специфики рас-
смотрим сначала одно зубчатое соединение, в котором обойма закрепле-
на, а втулка плавающая (практически она может быть закреплена на кон-
це длинного гибкого вала). При этом разберем два случая: 1) когда втул-
ка полностью сцентрирована, т.е. оперта в обойме по наружным поверх-
ностям выступов зубьев (радиальный зазор равен нулю), 2) когда втулка
не сцентрирована (радиальный зазор больше ее возможных радиальных
смещений). Пусть распределение зазоров между зубьями,обусловленных
накопленными погрешностями, в системе координат рис. 3.1,а определя-
ется зависимостью (1.4)
Se = ?о(1 - cos0),
что равносильно смещению центра втулки по оси у на величину eQ.
В случае сцентрированной втулки «при нагружении ее вращающим мо-
ментом М первой войдет в контакт пара зубьев с координатой 0 = 0 и
затем симметрично относительно нее будут последовательно нагружаться
зубья в соответствии с зависимостью (1.4) неравномерно. В этом случае
сумма проекций сил Ре на ось у не равна нулю и из условия статическо-
го равновесия втулки
-SP# sin 0 + Ry = О,
где Ry — реактивная сила на центрирующей поверхности. Поскольку си-
лы ZPQ и Ry взаимно уравновешены, то опора обоймы оказывается раз-
груженной, несмотря на то что нагрузка по зубьям распределена неравно-
мерно. Таким образом, в этом случае накопленные погрешности не приво-
дят к появлению динамической силы.
Для несцентрированной (плавающей) втулки (рис. 3.1,6) составим
уравнения равновесия, пользуясь расчетной моделью и методикой, изло-
женной в гл. 5, но применительно к плоской задаче. В этом случае нагруз-
ка в произвольной 0-й паре зубьев
Рв = с(ха + уР + <prB + Se),
где х, у, у — смещения и поворот втулки, гв - радиус основной окруж-
103
Рис. 3.1. Схема муфты
а - втулка сцентрирована по наружному диаметру зубьев; б - втулка плавающая
ности,SQ — зазор, с — жесткость зубьев, а = -sLi 0,0 = -cos в — направ-
ляющие косинусы.
Уравнения равновесия втулки имеют вид
(sin 2е\
€ + "Уч
2еое - М
О
где [е, -е] - границы зон нагруженных зубьев. С учетом решения этого
уравнения х = 0, у = —е0 найдем
Ре = + е0) и <p = (M/zc)- (е0/гв)-
Таким образом, в случае плавающей втулки при приложении вращаю-
щего момента втулка смещается на величину у = -е0, т.е. равную по вели-
чине и противоположную по знаку вектору накопленной погрешности или
эксцентриситету , что обеспечивает равномерное распределение нагруз-
ки между зубьями. Следовательно, и в этом случае в муфте не возникают
неуравновешенные упругие силы, действующие на опору обоймы. Одна-
ко вследствие смещения центра втулки появляется центробежная сила
F - mtjS1 тле т, со — масса и угловая скорость вращения втулки, являю-
щаяся динамической нагрузкой для опоры обоймы и всей упругой систе-
мы. Полученный результат является важным и отражает характерную осо-
бенность, присущую всем зубчатым соединениям и зацеплениям с плаваю-
щими элементами. В том же случае, если величина радиального зазора в
муфте окажется меньше требуемого смещения Sr < eQ, то втулка сместит-
ся на величину e«J = Sr и возникнет реактивная сила Ry на ее центрирую-
104
щей поверхности. При этом распределение нагрузки по зубьям будет,
как и в первом случае, неравномерным, но это не приведет к появлению
неуравновешенной радиальной упругой силы в муфте, но зато возникнет
центробежная сила F = mw>2Sr.
Переходя к рассмотрению двойной зубчатой муфты, воспользуемся
полученным выше результатом, заключающимся в том, что восстанавли-
вающая радиальная сила и вектор накопленной погрешности взаимно про-
тивофазны. В связи с этим ограничимся рассмотрением плоской задачи
равновесия промежуточного плавающего элемента в плоскости у, z
(рис. 3.2,а) и с целью упрощения выкладок примем, что у обоих зубча-
тых соединений одинаковые размеры и жесткости, поскольку это не имеет
принципиального значения для получаемого результата. Рассмотрим два
варианта конструктивного выполнения промежуточного элемента: 1) в
виде твердого тела и 2) в виде гибкого вала.
1. Промежуточный элемент муфты — твердое тело. Обозначим векто-
ры накопленных погрешностей в зубчатых соединениях е. и е2 ив систе-
ме координат у, z (рис. 3.2,а) зададим промежуточному элементу смеще-
ние у = 001 и поворот относительно точки Oi. При этом переменные
составляющие усилий на зубьях в зубчатых соединениях (одинаковая для
всех зубьев деформация от вращающего момента исключена) будут
Pie = ci 1 ^У + ~ ФхI + *^1 а] *> Рге = си ^У + $2е ]•
Суммарные радиальные силы
z * е
Рк = — f РкеРк^О = с..(ук + ек) = с..ук, к = 1,2,
2п —it
где у* = У + <М/2; У2 = У - и уравнения равновесия промежуточ-
ного элемента
Л + Р2 = 0; 2с^х + Р.1 =0, (3.1)
где - угловая жесткость одного зубчатого соединения.
Из решения уравнений (3.1) получим
1
У =—~(е. + е2); =-
Сц(е. -е2)1
2(^ 4"“О
(3.2)
С учетом этих значений радиальные силы и изгибающие моменты в зуб-
чатых соединениях будут
А= Л = е1-е2/(2/с11) + (Г2/2сД
(3.3)
М. = М2 =J(e> -e2)/2[(2/c11) + (/2/2cv?)].
Отличие данного случая от рассмотренного выше (с одним плавающим
венцом) заключается в том, что здесь плавающий элемент должен само-
устанавливаться сразу по двум зубчатым венцам, что при е. Ф е2 приводит
к перекосу его на угол
105
Рис. 3.2. Схема двойной зубчатой муфты
а - втулка плавающая; б — втулка с двумя упорами в обоймы; в — втулка
с одним упором в обойму
Таким образом, в муфте с двухвенцовым плавающим элементом при
неодинаковых накопленных погрешностях в зубчатых соединениях (ei Ф
Ф е2 ) в каждом из них нагрузка по зубьям распределяется неравномерно,
на обоймы действуют вращающиеся (динамические) радиальная сила Р\
и изгибающий момент (3.3) и, кроме того, в результате смещения пла-
вающего элемента на величину у (3.2) возникает центробежная сила
1
F =— ma?(ei +е2), (3.4)
или пара сил с моментом М =—ти>2у\1, если ei = -е2. Заметим, что при
106
смещении центра ”0” плавающего элемента на величину у венцы его сме-
щаются на величины
>* = _ ei ~е2 ♦ - е1 е2
>2 ' 2(1+Ci J2/^) ’ 2 2(\ +cill2/4cip)'
а полные деформации
ej ~е2
у. = — У 9 =-------------.
2(1
Радиальные усилия в зубчатых зацеплениях Рх и Р2 и изгибающие мо-
менты М\ и М2 будут равны нулю, а нагрузки по зубьям распределят-
ся равномерно лишь при = е2, т.е. когда векторы ёх и ё2 будут равны
по величине и направлены в одну и ту же сторону.
Возможность реализации смещений венцов на величины у * и у2 зави-
сит от величин радиальных зазоров и sr2 в зубчатых соединениях. При
обычно принимаемых соотношениях l/b>3 практически ух « -ех и
У? ^-е2.
Если величины ух, у2 меньше радиальных зазоров, то центрирующие
поверхности в контакт не вступают. Если же радиальные зазоры меньше,
чем у * и у2, то появятся реактивные силы на центрирующих поверхнос-
тях. В этом случае центр плавающего элемента и его венцы сместятся на
величины, определяемые радиальными зазорами, неравномерность распре-
деления нагрузки по зубьям и центробежная сила (или момент центро-
бежных сил) останутся. Наличие же действующих на обойму неуравнове-
шенных радиальных сил и изгибающих моментов зависит от того, какое
положение займет плавающий элемент в сцентрированном упорами со-
стоянии.
Расчетная схема двойной зубчатой муфты при наличии упоров по обоим
венцам показана на рис. 3.2,6. Обозначим радиальные зазоры в левом и
правом соединениях и s2, расстояние между серединами венцов I, рас-
стояние между местами упоров L, смещение центра промежуточного вала
ус и угол поворота его расстояние от середины венца до места упо-
ра 5/2.
Равнодействующие нормальных усилий зацепления зубьев в соедине-
ния 7 и 2 определяются выражениями
А = сц(у* + <?i) = +
. ( 1
= Сц(У2 + е2) = Сц1$2— + е2
\ L
Координаты смещения и поворота промежуточного вала определяют-
ся условиями
1 1
Ус + ~Т Фх^ ~ $1» Ус ~~Z^x^ “
1
и равны yc в~01 + ^2); Фх =(si -$2)/^-
107
Искомые силы реакции Ri и R2 в местах упоров определяются из усло-
вия статического равновесия промежуточного вала
- R2 + Я2 ~~ Р1 = О,
11 (3.5)
+ М2 -- (Л +P2)Z +у (Ri + R2)(l + b) = О,
где моменты упругих сил Мi = -с^х\ М2 = -с^х.
В результате решения системы (3.5) получим
Ri = [Я1^ + />)-Я2/>-2М1 -2M2}!2L;
R2 = [P2(2Z + d)-P1d-2M1 — 2M2]/2L,
Поперечные силы и изгибающие моменты, действующие на обоймы
муфты и их опоры, будут
• а 1 * 1
Pi = Pi -Яг, Mi = Mi + -Rib; P2 = P2 -R2; M2 = M2 + —Я2Ь.
2 2
(3.6)
Полученные расчетные зависимости охватывают четыре случая соотно-
шений 5} и s2, когда они равны, не равны, синфазны и противофазны.
В случае s s2 угол <рх = 0 и М! = М2 = 0, изгибающие моменты и
результирующие поперечные силы на обоймы действовать не будут, что
следует из уравнений равновесия
(R1 — Pi + R2 — Р2 = 0;
ЦЛ1 "Л)/ = &2
которые удовлетворяются при Р = Яг Р2 = Я2 и, следовательно, ЯГ =
=о,я; =0.
Единственной динамической силой будет центробежная сила
F = ma>2Si.
В случае = s2 промежуточный вал повернется на угол <рх = 2si/L,
ПРИУс = 0, а силы реакции Я1 и Я2 (поскольку Pi =Р2) будут
Я! =(Pil-Mi -M2)/L= Я2.
В этом случае на обоймы муфты будут действовать результирующие
поперечные силы и изгибающие моменты в соответствии с зависимостя-
ми (3.6)
P'i = Я2* = [(Я! + P2)b/2 + Mi + М2]/£,
М\ = М2 = [(Ml + Pib/2)(l + b/2)-P2b2/4-M2bl2]lL,
а также момент центробежных сил
1
^ц.б. =~(^1S1 + rn2S2)CD2l.
\
Частным случаем рассмотренного является такой, когда до упора
смещается лишь один из венцов,расчетная схема которого показана на
рис. 3.2,в, где правый венец смещен до упора на величину радиального за-
зора s2. В этом случае координаты смещения центра левого венца и точки
108
контакта правого венца с центрирующей поверхностью будут
Ух = Ус + ^//2 = УГ, Уг = Ус- <px(l/2±b/2) = s2,
откуда
Ус = и2 + ^(/±Ь)/2.
С учетом этого смещения центров венцов
= s2 + vx(l± b/2), Уг = Ус - *ХЦ2 = *г ± ^/2.
Равнодействующие нормальных усилий зацеплений зубьев в соедине-
ниях 1 и 2 определяются выражениями
А = 1ОГ + М = Ci 1 (s2 + y>xhi + еД P2 = ец(у2 + е2) =
= cn(s2 + yxh2 + е2),
где Л1 =/±д/2,Л2 =±Z>/2, верхний знак соответствует возникновению
упора в точке Л, а нижний — соответственно в точке В (рис. 3.2 ,в).
Неизвестные величины <рх и Я2 определяются из решения системы урав-
нений равновесия промежуточного вала
1 .
Pi + Р2 = R2\~(Р2 -Pi)l-R2h3 + + М2 = 0, (3.7)
где й3 = —(Z±Z>) - правило знаков то же.
В результате решения (3.7) получим
[ ЛЭ(2*2 + ci + е2) ~^(ci -е2)]
'2с* + си [~(Л2 -Л1)/-Лз(Л1+й2)]
R2 “Сц [2s2 +ci + е2 +<px(hi + й2)].
Поперечные силы и изгибающие моменты, действующие на обойму,
будут
р* = А; = мх\Р2 = p2r2\M*2 = м2 ±-^Rzb- (3.8)
Накопленные погрешности в двойной зубчатой муфте, собранной без
радиальных зазоров, приводят лишь к неравномерному распределению
нагрузки по зубьям, однако никаких динамических сил при этом не воз-
никает. С точки зрения уменьшения возмущающих колебания сил такое
беззазорное соединение является наиболее рациональным и может быть
реализовано, например, в роторных машинах, в которых диски соединены
с валом посредством шлицев с натягом. Но радиальные зазоры в зубча-
тых муфтах выбираются исходя из условия свободной сборки и в муф-
тах средних размеров (г = 50—100 мм) обычно составляют sr 0,05m
(т — модуль зубьев) [37]. В зубчатых муфтах специального значения
радиальные зазоры делают меньшими, причем наименьший достижимый
рациональный зазор зависит от износа фрезы и составляет sr «0,03 мм.
Таким образом, в двойной зубчатой муфте с недеформируемым про-
межуточным элементом в зависимости от указанных выше условий
109
ее работы возникают возмущающие колебания, динамические силы и
моменты, определяемые выражениями (3.3), (3.6) и (3.8).
2. Промежуточный элемент муфты — изгибио деформируемое тело,
например, вал. В этом случае радиальные силы и изгибные моменты
в зубчатых соединениях определяются выражениями
А = -Л = (?i - e2)/D; М. = М2 = (е> - e2)//2D, (3.9)
где Z> =/3/12£’/+2/ct! + 73/2с\р, а смещение левого венца плавающего
элемента
Ji е0,1-е2)/сц£>.
Полученные выражения учитывают изгибную податливость плаваю-
щего элемента (/3/12£7). Из них следует, что чем больше податли-
вость вала, тем меньше величины Р19 и ух. При Е1-+°° выражения
(3.3) и (3.9) совпадают.
Таким образом, учет податливости промежуточного элемента не из-
меняет суть сделанных ранее выводов относительно условии возник-
новения в муфте динамических сил, но вносит коррективы при опре-
делении величин сил Рг, Мi и центробежной силы, которая в соответст-
вии с формой прогиба осевой линии вала будет распределенной по дли-
не вала
F(x) = ти2у(х),
где т - масса единицы длины вала.
Таким образом, накопленные погрешности окружного шага и экс-
центриситеты зубчатых венцов приводят, в общем случае, к появлению
в двойных зубчатых муфтах возмущающих динамических сил и момен-
тов, вращающихся с частотой вращения муфты. Амплитуды этих силовых
факторов зависят от соотношения амплитуд и фаз накопленных по-
грешностей в зубчатых соединениях, а также от соотношения величин
этих погрешностей с величинами радиальных зазоров между центрирующи-
ми поверхностями в зубчатых соединениях и определяются по приведен-
ным выше расчетным зависимостям. Подчеркнем, что для определения
динамических сил и моментов необходимо предварительно провести
анализ условий работы муфты, т.е. выявить возможность возникнове-
ния упоров по центрирующим поверхностям в каждом из зубчатых сое-
динений.
8.2. Неуравновешенность элементов и погрешности шага
зубьев муфты
Неуравновешенность муфты. Неуравновешенность двойной зубчатой
муфты состоит из дебалансов трех типов: остаточных дебалансов, опре-
деляемых точностью балансировки отдельных частей муфты на станке;
монтажного дебаланса, возникающего из-за несовпадения оси вращения
муфты, задаваемой контактирующими профилями зубьев в рабочих усло-
виях, с осью, относительно которой проводится балансировка на станке;
монтажного дебаланса, обусловленного радиальными зазорами в зубча-
тых соединениях.
110
При малых нагрузках (не обеспечивающих всплытие втулки) и угло-
вых скоростях вращения > \fgje^(g = 981 см/с) возможно круговое
движение центра втулки и возникновение центробежной силы
С ростом крутящего момента в результате самоцентрирования втулки,
условия реализации которого рассмотрены выше, величины центробеж-
ной силы скачком уменьшится до первоначальной величины, определяе-
мой остаточным дебалансом. Поскольку неуравновешенность двойной
зубчатой муфты зависит от нагрузки, ее следует балансировать в собран-
ном виде при нагрузках, обеспечивающих всплытие втулки.
Опмбки окружных шагов зубьев. Поскольку при перекосе осей в муф-
те парные зубья последовательно входят в контакт и, разделяясь, выходят
из зацепления, нагружение зубьев имеет циклический характер. Так же,
как в обычной зубчатой передаче, ошибки окружных шагов зубьев муфты
приводят к возбуждению колебаний с частотой пересопряжения зубьев
(зубцовой частотой). Одним из путей уменьшения интенсивности этого
источника колебаний является увеличение податливости зубьев.
8.3. Снижение интенсивности возмущающих сил
в зубчатых соединениях
Проведенные исследования позволяют наметить ряд мероприятий, на-
правленных на снижение интенсивности возмущающих сил в зубчатых
соединениях (муфтах). Снижение виброактивности зубчатых муфт может
быть получено как за счет традиционных мер, например улучшенной ба-
лансировкой, но с учетом специфики подвижности деталей в муфтах,
так и за счет специальных мер, в том числе: обеспечения самоцентриро-
вания промежуточного вала в двойных зубчатых муфтах, синфазной
сборки сопрягаемых зубчатых венцов муфт по кривым накопленных по-
грешностей, увеличения податливости зубчатых соединений с целью умень-
шения изгибающих упругих моментов, обеспечения подвода достаточного
количества смазки в зону контакта поверхностей зубьев муфт с целью
уменьшения сил и моментов сил трения в муфтах.
Относительные смещения осей в муфтах в пределах радиального зазора
между центрирующими поверхностями обоймы и втулки муфты, ошибки
окружного шага зубьев и угловые перекосы осей в муфте приводят к не-
равномерному распределению окружных усилий по зубьям зубчатых
муфт. При этом влияние указанных факторов на характер распределе-
ния нагрузки различно. Чистый (только) перекос осей в муфте приводит
к симметричному распределению нагрузки относительно двух пар зубьев,
первыми вступающих в контакт при нагружении муфты. В результате
возникает восстанавливающий упругий момент в плоскости перекоса.
Если плоскость перекоса не меняется во времени, то и направление дейст-
вия упругого момента также остается неизменным. Радиальные смещения
осей и накопленные погрешности окружных шагов зубьев приводят к
появлению неуравновешенной силы, являющейся результирующей уси-
лий зацепления. Эта сила, вращаясь с угловой скоростью муфты, вызывает
динамический прогиб валопровода в плоскости вращения и соответствен-
но вибрации опор.
111
Двойная зубчатая муфта обладает той особенностью, что ее промежу-
точный вал (втулки) является плавающим. Под действием усилий зацеп-
ления зубьев втулка может самоустанавливаться (самоцентрироваться).
При этом, как показывают исследования, самоцентрирование при дейст-
вии силы веса промежуточного элемента возможно в двух случаях: когда
оси муфт соосны и когда перекос осей в муфте вызван параллельным
смещением осей соединяемых валов. В случае скрещивающихся осей
валов указанное самоцентрирование в двойной зубчатой муфте невоз-
можно.
Отсюда следует вывод о том, что не следует допускать скрещивания
осей соединяемых муфтой валов. Кроме того, для обеспечения возмож-
ности самоцентрирования двойной зубчатой муфты необходимо, чтобы
величина радиального зазора в муфте превышала амплитуду суммарной
кривой накопленной погрешности окружных шагов зубьев сопрягаемых
зубчатых венцов. При обеспечении указанных условий неуравновешен-
ная результирующая сила теоретически может быть сведена к нулю.
Наличие радиального зазора и явления самоцентрирования в двойной
зубчатой муфте требуют проведения специальной балансировки этого
узла. Действительная неуравновешенность двойной, зубчатой муфты в
собранном виде может существенно отличаться от суммы остаточных
дебалансов, полученных при поэлементной балансировке отдельных де-
талей муфты на балансировочном станке. Кроме того, при нагружении
двойной зубчатой муфты крутящим моментом взаимное расположение
осей полумуфты (расцентровка) изменяется, вместе с этим изменяется
и неуравновешенность муфты. Так, например, в исходном состоянии
(в отсутствие крутящего момента) промежуточный вал под действием
собственного веса ’’проваливается” и опирается на зубья муфты. При вра-
щении недогруженной крутящим моментом муфты центрирующее дейст-
вие усилий на зубьях отсутствует. В этом случае эксцентриситет проме-
жуточного вала и соответственно центробежная сила могут достигать
максимальной величины. При увеличении крутящего момента и возник-
новении контактов по рабочим профилям ранее не нагруженных зубьев
(вследствие самоцентрирования вала) эксцентриситет и центробежная
сила уменьшаются.
Таким образом, поскольку неуравновешенность двойной зубчатой
муфты зависит от нагрузки, ее следует дополнительно балансировать
в собранном виде при нагрузках, обеспечивающих самоцентрирование
промежуточного вала.
Как показано выше, ошибки окружных шагов зубьев муфты приво-
дят к появлению периодической возмущающей силы, амплитуда кото-
рой пропорциональна амплитуде суммарной кривой накопленной погреш-
ности соединяемых зубчатых венцов, а частота действия равна частоте
вращения муфты. Для уменьшения амплитуды этой силы необходимо со-
бирать зубчатую муфту таким образом, чтобы кривые накопленных
погрешностей соединяемых зубчатых венцов взаимно компенсировали
ДРУГ Друга. Компенсация реализуется при синфазном расположении
кривых накопленных погрешностей окружных шагов соединяемых
венцов.
112
С целью уменьшения неравномерности распределения нагрузки по зубь-
ям муфты, а следовательно, уменьшения результирующих сил и изги-
бающих моментов, обусловленных погрешностями изготовления и мон-
тажа муфт, следует стремиться к увеличению податливости зубчатых
зацеплений в муфтах. Однако это мероприятие должно проводиться с
учетом влияния податливости зубчатых соединений на спектр собствен-
ных частот всей упругой системы, поскольку, как показали проведен-
ные исследования, установка промежуточных упругих шарниров в систе-
ме ротора приводит к появлению дополнительных собственных частот,
обусловленных относительными колебаниями отдельных частей ротора
как твердых тел на упругих связях шарнирных соединений, при этом
существенное влияние оказывается также и на собственные частоты
высших форм изгибных колебаний ротора.
В зубчатой муфте, работающей в условиях перекоса осей, кроме мо-
мента упругих сил, возникает момент сил трения. При постоянном по ве-
личине и направлению перекосе и вращении муфты с постоянной угловой
скоростью постоянный момент сил трения действует в плоскости, перпен-
дикулярной плоскости перекоса, его наибольшая величина равна Мтр =
= (2/тг)М/тр (где /тр - коэффициент трения, М - крутящий момент).
При изгибных колебаниях валопровода, содержащего зубчатые муфты,
в последних возникают моменты силы трения, которые при определен-
ных условиях [14] могут привести к потере устойчивости колебаний,
т.е. к самовозбуждению колебаний вала. Для уменьшения амплитуды
момента сил трения следует уменьшать коэффициент трения между кон- -
тактирующими поверхностями зубьев. Этого можно достигнуть путем
введения в зоны контакта зубьев достаточного количества смазки.
Глава 9
ПРОЧНОСТЬ ЗУБЧАТЫХ МУФТ
Оценка прочности (нагрузочной способности) зубчатых муфт произ-
водится по величинам напряжений изгиба в основании зубьев и контакт-
ным напряжениям в зубьях, а также стойкости к поверхностным раз-
рушениям зубьев.
9.1. Выбор геометрических параметров
Предварительный выбор геометрических параметров зубчатого соеди-
нения может производиться по средним величинам нагрузок в зацепле-
ниях и напряжениям. Проверочный расчет напряжений должен выполнять-
ся по максимальным нагрузкам в зацеплении зубьев, определяемым с
учетом погрешностей изготовления и монтажа зубчатых муфт по приве-
денным выше методикам (см. раздел II).
В муфтах с бочкообразными зубьями намеченные величины радиуса
кривизны R и ширины зуба b проверяются из условия обеспечения кон-
тактной прочности и заданного угла перекоса в муфте. Минимальная ши-
s. Зак.1344
113
рина зуба выбирается такой, чтобы контакт не выходил на торец зуба, т.е.
£min +
где 2dK = 1,27 q/oK, Ьк — полуширина площадки контакта зубьев,
q = Pcpl^i - удельная нагрузка на зубе.
Величина гарантированного нормального бокового зазора (односто-
роннего) определяется по формуле
jn >2^~Ru>2 +е£); es = eo + eu>
где eQ — радиальное смещение осей в муфте, е12 - суммарная амплитуда
кривых накопленных погрешностей зубчатых венцов муфты.
Выбранные параметры муфты т, z, R, b и др. проверяются также по
результатам следующих ниже расчетов.
9.2. Напряжения в зубьях
Напряжения изгиба в основании зубьев. Для зубьев зубчатых муфт
при перекосе характерно неравномерное распределение нагрузки по длине
зуба. Эта модель не соответствует плоской задаче об изгибе консольной
балки, которая обычно используется применительно к зубьям колес. Экс-
периментальные исследования (см. 2.3) показывают, что распределение
изгибных напряжений в основании зубьев по их длине имеют вид кривых,
аппроксимируемых экспонентой с большим коэффициентом затухания.
В связи с этим для расчета изгибных напряжений целесообразно выбрать
модель зуба в виде пластины. Итак, расчетную модель зуба (рис. 3.3)
принимаем в виде консольной пластинки, имеющей длину Ь, ширину а
и толщину Лп, нагруженной сосредоточенной силой Р. Сила Р для прямых
зубьев эквивалентна равномерно распределенной по высоте зуба нагруз-
ке [6].
При отсутствии перекоса осей в муфте точка приложения силы Р на-
ходится на делительной окружности в среднем сечении по высоте зуба.
При перекосе точка контакта зубьев смещается к одному из торцев,
что приводит к концентрации нагрузки в торцевом, т.е. наиболее опас-
ном сечении по длине зуба.
Распределение изгибных напряжений в заделке зуба по его длине х
(при отсчете координаты х от торца зуба, что целесообразно для муфты
с прямыми зубьями) подчиняется зависимости [48].
®х=Он{ехр[-Х2(х - хр)2 + ехр[—Х2(х + хР)2 ] + ехр[-Х2(26-х-хР)2)) ,
(3.10а)
где ан - напряжение в месте приложения нагрузки для бесконечно длин--
ной пластинки, Хр - координата точки приложения нагрузки, X - ко-
эффициент затухания напряжений по длине зуба. Координаты х и хР
должны быть выражены в сантиметрах, при этом безразмерный коэффи-
циент X согласно работе [2] равен 0,6.
Если начало отсчета координаты х взято в середине зуба, что целе-
сообразно для муфты с бочкообразными зубьями, то
°Х = Он {exp [—X2 (х - Хр)2 ] + exp [-Х2 (Ь - х - хР)2 ] +
+ exp [-Х2 (Ь + х + хр)2 ]} . (3.1 Об)
114
Рис. 3.3 Расчетная модель зуба муфты
Рис. 3.4. Зависимость kz, кн от числа зубьев г
Рис. 3.5. Зависимость къ от 1/а
Величина он определяется по формуле
Он = (6Мв/Ап)Л
где кГ - коэффициент, учитывающий концентрацию напряжений в гал-
тели зуба, определяемый из сопоставления изгибных напряжений в задел-
ке консольной балки - зуба прямоугольного сечения и напряжений в
выкружке балки — зуба, вычисляемых с использованием гипотезы ’’ло-
маных сечений” [13]; кв - коэффициент, учитывающий место приложе-
ния нагрузки Р по высоте пластины [15], hn - (\/2)пткн, кн — коэффи-
циент, зависящий от числа зубьев муфты и угла зацепления aw,
= 1 + (4/я) (1 +c)tg(k2aw).
kz определяется по графику рис. 3.4.
Величина кТ при aw = 20°, 1?/р3 «2,5 (i? - половина толщины зуба в опас-
ном сечении, 77 = уЛп; Рз ~ радиус выкружки зуба) равна 1,33. Значение
кв определяется по графику рис. 3.5, I = (hg + с)т - плечо силы Р\
а- (ha+hq + с)т - высота зуба, т - модуль зацепления, hg9 - коэф-
фициенты высоты ножки и головки зуба, с — относительный радиальный
зазор, а значение ки при с = 0,25, aw = 20° - по графику рис. 3.4.
Приведенные расчетные зависимости по определению изгибных напря-
жений ох использованы ниже при обработке и анализе результатов экспе-
риментальных исследований статической нагруженности зубчатых муфт
(см. параграфы 2.3 и 4.3).
В литературе отсутствуют рекомендации по определению допускаемых
напряжений при расчете на изгиб зубьев зубчатых муфт. Поэтому до про-
115
ведения специальных исследований усталостной прочности зубьев зубча-
тых муфт можно рекомендовать пользоваться допускаемыми напряже-
ниями для зубьев зубчатых колес. Учитывая, что зубья зубчатых муфт
находятся в значительно лучших условиях динамического нагружения
по сравнению с зубьями зубчатых колес, рекомендуемые в работе [19]
значения запаса прочности могут быть занижены на 25%.
Допускаемые напряжения при изгибе согласно [45] определяются
по формуле
. . kiob + k2
[Он] г , ^ц.и»
где'кх, к2 выбираются по табл. 3.3 в зависимости от вида термообработки
зубьев, оь — предел прочности. Вид термообработки (табл. 3.3) :
I - улучшение, нормализация (при оь = 12000 кГ/см2), запас прочности
[ли ] = 1 >2;
II - цементация, поверхностная закалка на всей впадине, [ли] = 1,31;
III — азотирование и цианирование, [ли] =1,31.
При твердости <НВ350, &ц.и = \А*Юе/ЛГц; при твердости > НВ35О,
£ц.и =\А-109/Лц, 7Уц =^-60-л-Т, где п - об/мин, Т - часов работы. Если
ЛГц >4-106, то &ц.и = 1, q = 2 - при перекосе осей, q = 1 - при смещении
осей в муфте.
Контактные напряжения. Контакт прямых зубьев при перекосе, как
уже отмечалось выше, сводится к кромочному контакту двух плоских тел
ограниченных размеров, в связи с чем расчетное определение контактных
напряжений представляет значительные трудности. Получение даже при-
ближенных расчетных зависимостей пока что находится в стадии раз-
работок.
Контакт прямого и бочкообразного зубьев сводится к контакту цилин-
дра с плоскостью. Для случая номинального контакта (без выхода
контакта на вершину зуба), считая, что форма зазора в контакте аппрок-
симируется выражением x2/2R, где х - координата длины зуба, R - ра-
диус цилиндра, контактные напряжения можно определить с использова-
нием решения контактной задачи Герца, т.е. по формуле
аК =0,41 q= Pelhb (3.11)
где Л/ - рабочая высота зуба, Рв - нагрузка, Е - модуль упругости, R -
главный радиус кривизны боковой поверхности зуба в нормальном к
профилю зуба сечении.
Значения допускаемых контактных напряжений могут быть приняты
равными [ок] = 500 4-700 (кГ/см2) для тяжелых условий работы (боль-
ших углов перекоса, невысокой точности изготовления), [ок] = 900 4-
4-1200 (кГ/см2) - для облегченных условий работы (малых углов пере-
коса, высокой точности изготовления).
В муфтах с прямыми зубьями напряжение смятия можно оценивать
по формуле
0см = Pe/hib,
где Ь — длина зуба.
116
Таблица 3.3
Вид термо- обработки [аи1, кГ/см3
реверсивный симметричный нереверсивный
^2 кг । ^2
I 0,27 700 0,35 900
II 0,39 990 0,50 1200
III 0,30 730 0,39 950
Допускаемые напряжения смятия активных профилей зубьев можно
выбрать на основе данных, приведенных в работах [19, 34]. В частности,
для зубчатых муфт планетарных передач общего машиностроения [45]
допускаемые напряжения смятия [осм, кГ/см2] выбираются в зависи-
мости от вида термообработки.
Термическое улучшение, НВ280-320 ............................ 370-460
Закалка, HRC 40-50..........................................530-670
Термохимическая обработка, HRC 58-62 .................... 1000-1200
9.3. Работоспособность зубчатых муфт
Работоспособность зубчатых муфт определяется не только степенью
их нагруженности, но и способностью сопротивляться различным видам
разрушения поверхностей зубьев. Опыт эксплуатации зубчатых муфт
показывает, что зубья муфт подвержены следующим видам разрушений,
перечисляемым в порядке их значимости: износ, контактная коррозия
(фреттинг-коррозия) и схватывание поверхностей зубьев, а также уста-
лостные поломки зубьев.
Усталостные поломки зубьев (их срез) - крайне редкое явление,
либо свидетельствующее об ошибках при проектировании зубчатого
соединения, связанных с выбором заниженных запасов прочности, либо
являющееся следствием аварийной ситуации [19]. Поверхностное раз-
рушение зубьев является следствием тех условий работы муфт, для кото-
рых они предназначены, т.е. компенсировать несоосность вращающихся
валов. В этих условиях при вращении муфты, как показано в парагра-
фе 1.2, происходит проскальзывание зубьев со скоростью (1*9).
В конце концов в результате этого зубья будут изнашиваться. Процесс
износа сложен — он может быть механическим, химическим или комби-
нацией того и другого [12]. Правильный выбор смазки зубьев позволяет
снизить процесс механического износа. Если смазка оказывается неспо-
собной свести к минимуму образование частиц износа, преобладающим
становится абразивный износ, причем образующиеся окислы часто оказы-
ваются тверже основного металла и, попадая в смазку, вызывают выход
муфты из строя.
К причинам, вызывающим разрушение зубьев, относятся также нерав-
номерное распределение нагрузки по зубьям и по длине зубьев, т.е. кон-
117
центрация нагрузки; действие динамических сил, вибраций и неудовле-
творительный режим смазки. Совместное влияние циклических напряже-
нии, вибрации и выделяющегося при трении тепла может быстро разру-
шить смазку и стать причиной контактной коррозии, а впоследствии
схватывания и заедания.
С трибологической точки зрения работа зубчатых муфт чрезвычайно
сложна и в настоящее время не существует общепризнанных методов рас-
чета долговечности зубчатых муфт по износу и контактной коррозии.
В связи с этим приходится пользоваться опытными статистическими дан-
ными и эмпирическими зависимостями.
В работе [57] на основе обработки рпытных данных длительной
(до 10 лет) эксплуатации целого ряда зубчатых соединений в судовых
установках предложена критериальная зависимость, отражающая работо-
способность зубчатых муфт
е = TVlO^Gd2/?3, (3.12)
где N - мощность (л.с.), G — вес плавающего элемента двойной зубча-
той муфты (к Г), d — диаметр делительной окружности зубчатых венцов
(мм), п - число оборотов в минуту.
В табл. 3.4, взятой из английского журнала [57], приведены основные
данные и величины е для указанных муфт. В соответствии с ней в рабо-
те (57] рекомендуется минимальное допустимое значение е принимать
равным 4-5 для следующего сочетания материалов муфт:
а) углеродистая сталь 0,4С, временное сопротивление на разрыв 60-
65 кгс/мм2, предел текучести 32 кгс/мм2, твердость Hd = 185 ;
б) сплав стали 0,35-б,40С; 0,80-1,2 Ni, 0,60-0,90 Сг; 0,20-0,30 Мо;
временное сопротивление на разрыв 85—95 кгс/мм2; предел текучести
65 кгс/мм2; твердость Hd = 262 + 269.
По физическому смыслу коэффициент е представляет собой отноше-
ние среднего окружного усилия в зацеплении зубьев
Рср = kxN/nd
к центробежной силе, обусловленной эксцентриситетом, пропорциональ-
ным диаметру муфты,
Лх.б = wco2eo = к3dGn2 ,
где е0 = k2d.
Наличие центробежной силы приводит к перегрузке какого-то
количества зубьев, что может явиться причиной контактных разрушений
их поверхности. Этот факт подтверждается данными, приведенными
в работе [37], где указывается, что при пуске машин из-за концентрации
всей нагрузки на нескольких зубьях наблюдались поломки муфт, причем
одна половина зубчатого венца каждой муфты была выкрошена, а другая
не имела следов контакта. Очевидно этот критерий наиболее пригоден
для быстроходных муфт в условиях, когда величины Рср и Гц.б сопо-
ставимы. Однако из зависимости (3.12) также следует, что уменьше-
ние е связано не только с ростом Fu.6, но и с уменьшением окружного
усилия Рср, т.е. малонагруженная муфта имеет меньшую работоспособ-
ность, что несколько противоречит общепринятым понятиям. Однако
объяснение этого противоречия, вероятно, связано с выявлением опреде-
118
ленного вида разрушения зубьев. При меньших окружных усилиях в
зубьях больше вероятность возникновения относительных микросмеще-
ний в их контактах, которые приводят к появлению контактной коррозии, а
она, в свою очередь, может явиться причиной появления поверхностных раз-
рушений зубьев других видов, например заедания. При этом следует отме-
тить, что критерий (3.12) получен для определенных условий, и поэтому
он не может полностью гарантировать отсутствие разрушений для других
условий эксплуатации и конструкций. Так, например, известны случаи,
когда блокирующие муфты (связывающие эпициклы в планетарном ре-
дукторе) имели е > 20, однако зубья их были подвержены контактным
разрушениям.
Как уже отмечалось выше, в высокооборотных и малонагруженных
двойных зубчатых муфтах центробежная сила может прижимать плаваю-
щую втулку к обойме, вызывая перегрузку части зубьев [37]. Для оцен-
ки предельной минимальной величины вращающего момента М*, при
которой в контакт вступят диаметрально противоположные зубья, можно
использовать зависимость [48]
М* = г(тсо2е^ + G),
где - суммарный эксцентриситет в муфте, г - радиус делительной
окружности, G — вес плавающего элемента муфты.
Необходимым условием долговечности муфт, как показывает опыт,
является хорошо организованная смазка контактирующих поверхностей
зубьев. Для устранения прогрессирующего износа, контактной коррозии
и других видов разрушения необходимо, чтобы между рабочими профиля-
ми зубьев стабильно сохранялась масляная пленка, обеспечивающая
режим жидкостного трения.
Проблема определения толщины смазочного слоя между трущимися
поверхностями решается методами контактно-гидродинамической теории
смазки. Основная сложность этой проблемы обусловлена необходимостью
совместного решения задачи гидродинамики для движущейся жидкости
между трущимися поверхностями и контактной задачи теории упругости.
Существующие расчетные методы и зависимости [26] разработаны приме-
нительно лишь к. модели внешнего или внутреннего контакта двух ци-
линдров. Методика расчетного определения толщины смазки между
зубьями зубчатых муфт пока еще не создана, однако для муфт с бочко-
образными зубьями можно воспользоваться методикой, разработанной
применительно к зубчатым передачам [26], поскольку модель контакта
зубьев в этих муфтах сводится к контакту цилиндра с плоскостью.
Предполагая, что режим смазки в муфте гидродинамический, для
приближенной оценки толщины масляной пленки между зубьями в муфте
с бочкообразными зубьями можно воспользоваться зависимостью [26]
86,27 [до vs ]0,7 5 «о’6
и 0,3 >0,2 5
п 0 max А
_ „о (Pov)2/3*S’5
’ ’ (Лотах)1'3*0’25
^ОК “
или ЛОп
(3-13)
где до — абсолютная вязкость масла при атмосферном давлении
119
Таблица 3.4
Объект Мощность N, л.с. Обороты п, об/мин Диаметр ок- ружности d, мм Модуль /п, мм
Линкор 12000 4300 275 7
12000 1965 460 10
12000 1965 450 10
Танкер 10500 3943 416 8
10500 2501 464 8
Транспорт 13000 4646 420 6
13000 2947 467 8
5750 5127 288 8
5750 3028 352 8
Танкер 7250 5050 312 8
7250 3500 352 8
7000 5550 266,7 4,283
7000 3450 317,5 4,233
Эсминец 16250 4794 266 7
16250 7494 266 7
17500 5963 276 6
17500 4881 276 6
Транспорт 8800 5637 317,5 5,08
13000 926 632 8
Танкер 10500 185 632 8
Транспорт 5700 1030 441 7
Танкер 7250 920 546 7
7000 816 482,6 5,08
Эсминец 8125 2019 273 7
8750 2290 336 8
Турбогене- 475 9872 138 3
раторы 747 8000 138 3
1150 8000 138 3
1360 6192 200 4
1495 6800 200 4
1700 8000 200 4
2040 6560 200 4
3260 5955 200 5
(кгс-с)/м2; — скорость скольжения зубьев; и0 — пьезокоэффи-
циент вязкости, м2/кгс; &ОгТ1ах — максимальное давление в контакте,
кгс/м2; X — кривизна поверхности в точке контакта до деформа-
ции, 1/м.
Поскольку скорость скольжения зубьев меняется при вращении
муфты по гармоническому закону (1.9), то в качестве парамет-
ра v s примем среднюю скорость скольжения
1 */2 2
=— / соПг cos 0 dO =— = тгпь>13Ъу
Я -1Г/2 Я
где т — модуль; z — число зубьев муфты; п — скорость вращения,
об/сек; со — угол перекоса, рад.
120
Т а б л и ц а 3.4 (окончание)
Длина эуба Ь, мм Межцентр, расстояние L, мм Вес плавающ. части G, кг € Результаты зксплуатации
90 525 157 12,9 Удовлст. 8 лет
107 497 327 22,8 Хорошие
107 747 468 16,7 Удовлст.
92 682 341 29 Хорошие
106 686 440 70,9
65 597 170,5 4,3 Сильные коррозии
106 686 440 53,6 Хррошис
84 576 206 2,5 Заедание
84 586 260 6,4 Удовлст.
82 530 212 2,7 Заедание
84 586 288 4,7 Удовлст.
38 689 61 8.9
51 295 61 27,7 Хорошие
НО 359 55 37,9 м
ПО 359 55 37.9 о
75 519 78 139
75 519 78 25,3
42 93 127,5 3,8 Заедание
120 2160 1808 22,7 Хорошие
120 2160 1560 34,8 **
100 2170 658 41,1 »»
100 2394 1148 27,2 • »♦
70 1881 776 71,3 »♦
145 2772 370 35,8 ♦♦
90 1148 247 26,1 *»
20 151 6300 4,1 Заедание
20 276 14 5,5 Удовлст.
20 274 17 6,3 Хорошие
38 256 29,23 4,9 Износ
38 262 27,2 4,7 м
38 463 42,33 2 Коррозия
38 262 18 10 Хорошие
41 298 32 12
Определяемое по Герцу максимальное давление (3.11) fcOmax = ак-
Однако следует отметить, что зависимости (3.13) не гарантируют
достоверного определения толщины смазки в зубьях муфт по следующим
причинам: условия работы зубьев муфт и зубчатых передач отличаются,
в частности, скорости скольжения в муфтах существенно (в сотни раз)
меньше, чем в зубчатых передачах, экспериментальные данные по замеру
толщин слоев смазки в зубчатых муфтах отсутствуют, и, кроме того,
в работе [26] нет экспериментальных данных, подтверждающих зави-
симость (3.13).
Заметим, что при проектировании зубчатых муфт важно знать не
столько абсолютную величину толщины смазочного слоя, сколько то
минимальное предельное значение ее, при котором муфта работает удов-
121
Таблица 3.5
№п/п Мощность 1 N, л.с. Обороты п, об/мин Модуль т, см Число зубьев,z Радиус бочки R, см Угол пе- рекоса а>10‘\ рад Скорость скольже- ния vz,cm/c
Сорт смазки Вязкость Mo IO’6, кгс с/см2 Пьезо- коэф, "о J0’4- см* /кг Способ смазки Удельный нагрев <7, кгс/см2 Макс, давление *о» кгс/см Толщина слоя h0, мкм Состоя- ние муфты
1 1 18179 5250 0,3 76 31,4 2 7,98 —
Газотурб. 0,067 5,3 В ванне 477 2361 0,0616 Сильный
износ. Вы-
2 18179 5250 0,3 128 53 2 12,44 шла из строя
0,067 5,3 Барбо- 168,2 1080 0,13 Заедание. Вы-
3 1397 2200 0,3 24 94 3 1,58 таж шла из строя
Гипоид- 1,35 23 В ванне 877 . 1852 0,46 Удов лет.
4 7975 2800 0,3 47 94 3 1,316 ное
5 40784 4600- 0,5 66 430 3 15,2 То же 1,35 23 14080 234 0,80
Турб.46 0,29 18,7 Проточ- 583 705 1,36
6 39919 300 0,6 108 1100 3 1,94 ный
0,62 22,5 В ванне 2269 869 1,6 Слабый
7 31809 4950 0,5 52 430 3 12,87 износ
0,29 18,7 Проточ- 670 756 1,19 Удовлет.
8 6865 1650 0,5 48 330 5 6,6 ный
Масло- 0,29 18,7 То же 517 758 1,52
9 3433 1650 0,5 40 330 5 5,5 смесь
10 6831 3520 0,5 44 330 5 12,9 0,29 18,7 В ванне 372,5 643 0,71
0,29 18,7 Проточ- 287 565 1,8
11 6817 3090 0,5 44 330 5 н,з ный
12 220 750 0,25 38 243 8,7 2,06 0,29 18,7 То же 326 602 1,1
13 800 3580 0,5 56 330 5 16,7 Автотрак 0,185 18 В ванне 233 1868 0,092 Износ
Масло- 0,29 18.7 Проточ- 204 476 « 1,54 Удовлет.
14 29047 10400 0,5 44 156,6 1 7,63 смесь ный
Турб. 46 0,42 20 Недоста- 413 1003 0,78 Вышла из
15 31696 4935 0,5 44 439 1 3,62 ток масла строя
0,35 19 Барбо- 950 900 0,56 Удовлет.
16 40653 4612 0,5 62 431,5 1 4,76 таж
0,35 19 Проточ- 656 747 0,7
ный
летворительно. В связи с этим для оценки работоспособности зубчатых
муфт по условиям смазки можно поступить следующим образом:
1) произвести расчеты Ло по одной и той же зависимости (3.13) для
различных находившихся длительное время в эксплуатации муфт; 2) на
основе анализа состояния муфт назначить допустимую величину [Ао ]•
С этой целью был проведен анализ расчетных и экспериментально-
статистических данных целого ряда муфт, параметры которых и резуль-
таты приведены в табл. 3.5. Как видно из табл. 3.5, муфты работали
удовлетворительно при толщинах смазки Ло > 1,0 мкм.
Таким образом, в качестве критерия оценки работоспособности зуб-
чатых муфт по условиям смазки может быть выбрано соотношение
Ло > [Ло],
где допустима величина [Ло] = 1 fi мкм.
122
Количество подаваемой смазки GCM в зубчатую муфту определяется
необходимостью отвода тепла из зоны контакта зубьев и рассчитывается
по формуле [ 11 ]
GCM = 632Лл/сДг (кГ),
где Лг = 0,637 Мдл/тр, /тр=0,1-^0,2, с - коэффициент теплоемкости
(ккал/кГ • рад), Д/ - перепад температур (°C).
Опыт показывает, что для удовлетворительной работы зубчатой муфты
расход смазки и конструкция узла муфты должны обеспечивать высоту
столба смазочного слоя, равную высоте зуба. Для определения зазоров,
по которым проходит смазка в зубчатом соединении, может быть исполь-
зована формула [11]
0СМ = 53Дрсо/12доА
где 0СМ - объемный расход смазки (см3/с), Др - перепад давлений,
Др = Л - Л, Л = у рол2 г2 - давление от центробежных сил во вра-
123
Таблица 3.6
Расчет муфты
Параметр Размерность Формула Результат
Р кГ 2^нер^ 180,5
mz2
см (h^ + hq)m/cos aw 0,575
Я кГ/см Plh, 313
стк кГ/см2 O,418x/5£7^ 625
26к см J,27<?/aK 0,64
^min см 2(flu> + Z>K) 3,64
in мм RoP + 0,275
I мм (hg + c)m 3,75
а мм (ha +hg+ c)m 6,15
l/a - l/a 0,61
кв - По рис. 3.5 0,40
kH - По рис. 3.4 1,45
см 0,68
ЬРкпкг
кГ/см2 ;*г-ьзз 1235
г Jb \21
кх — 2exp|_X2(j -Ru) J 1,76
Ох кГ/см2 ан* кх 2170
см/с 1 —- mzncu 30 0,15
h. 86,24(дор)О>18» Г0,6 /?0’5 0,0626
П0 мкм
€ - ^10*76^»’ 38,8
кГ/см' .\ — es+ijcosajy 1895
щающемся слое смазки [11], Р2 - атмосферное давление, S - зазор
(щель между поверхностями), I - длина щели.
Пример расчетной оценки нагрузочной способности зубчатой муфты.
Расчет проведен по приведенным выше расчетным зависимостям для
муфты с бочкообразными зубьями, имеющей исходные параметры:
М=810кгс-м; п = 3000 об/мин; ш=0,Зсм; z = 60; R =300 см;
Р = Рср &нер = 180,5 кгс; h* = 0,8; hq = 1,0; с = <0,25; =_20°; со =
= 5*10~3 рад; G = 100 кгс; д0 =0,3*10"6 кгс-с/см2; v = 2010 4см/кгс;
= 0,1 мм; Х = 0,6; # = Л/и/71620,л.с.
Порядок расчета, формулы и полученные результаты приведены в
табл. 3.6.
ЛИТЕРАТУРА
l .A.c. № 618221 (СССР). Стол зубо-
обрабатывающего станка/ЭЛ. Айра-
петов, В.И. Апархов, М.Д. Генкин
и др. Опубл. в Б.и., 1978, №29.
2 . Айрапетов ЭЛ., Асланов Г.В., Се-
дов ВЛ. и др. Экспериментальное
определение коэффициентов влияния
нагрузок на напряжения в основании
зуба. - Вести, машиностроения, 1971,
№9, с. 33-36.
3 .Айрапетов ЭЛ., Генкин МЛ. Де-
формативность планетарных меха-
низмов. М.: Наука, 1973. 212 с.
4 Айрапетов ЭЛ., Генкин МЛ- Ста-
тистика планетарных механизмов. М.:
Наука, 1976. 263 с.
5Айрапетов Э.Л., Генкин МЛ. Дина-
мика планетарных механизмов. М.:
Наука, 1980. 256 с.
6.Айрапетов ЭЛ., Генкин МЛ, Ко-
сарев О.И. Расчет нагрузочной спо-
собности зубчатых муфт. - Вести,
машиностроения, 1972, № 6, с. 24-
27.
7Айрапетов ЭЛ., Генкин МЛ., Мель-
никова Т.Н. Статика глобоидных
передач. М.: Наука, 1981. 198 с.
% Айрапетов ЭЛ., Ковалевский В.И.,
Мартиросов КА. Экспериментальные
исследования статической нагружен-
ности зубчатых муфт. - В кн.: Вопро-
сы повышения работоспособности ма-
шин. Ташкент, 1979, вып. 266, с. 40-
45.
9Айрапетов ЭЛ., Косарев О.И. Расчет
податливости элементов зубчатых
муфт. - Вести, машиностроения,
1972,№3,с. 17-21.
ХЪ.Балюнов П.Ф. Расчет зубьев в зубча-
тых муфтах типа ПУЛ и определение
крутящего момента. - Вести, ме-
таллопромышленности, 1939, № 9,
с. 7-10.
И.Башта TJM. Машиностроительная гид-
равлика: Справ, пособие. М.: Маш-
гиз, 1963. 696 с.
\2.Браун. Надежная шлицевая муфта:
Тр. Амер, о-ва инж.-мех. Сер. В.
Конструирование и технология ма-
шиностроения, 1979, № 4, с. 146-
152.
ХЗ.Верховский А.Н., Андронов В.П.,
Ионов В А. и др. Определение напря-
жений в опасных сечениях деталей
сложной формы. М.: Машгиз, 1958.
147 с.
14. Вибрации механизмов с зубчатыми
передачами/Под ред. М.Д. Генкина,
ЭЛ. Айрапетова. М.: Наука, 1978.
127 с.
\5.Виллауэр Е.Т., Сейрег А. Исследова-
ние напряжений у корня зуба зубча-
тых колес с использованием кон-
сольной пластины в качестве модели
зуба. - Экспресс-информация: Ре-
дукторостроение и детали машин,
1960, №2, с. 1-14.
16.Вишневский В.С., Генкин МЛ., Тар-
ханов Г.В. Демпфирование колеба-
ний зубчатых муфтами. - В кн.:
Виброзащита человека-оператора и
колебания в машинах. М.: Наука,
1977, с. 323-330.
17.Вишневский В.С., Генкин МЛ., Тар-
ханов Г.В. Демпфирование колеба-
ний смазочным слоем зубчатых
муфт. - В кн.: Вибрационная проч-
ность и надежность двигателей и
систем летательных аппаратов. Куй-
бышев: Куйбыш. авиац. ин-т, 1980.
18 .Глухарев Е.Г. Определение потерь
в зацеплениях зубчатых муфт. -
В кн.: Теория передач в машинах.
М.: Машиностроение, 1966, с. 270-
283.
19 .Глухарев Е.Г., Зубарев НИ. Зубча-
тые соединения: Справ, пособие. Л.:
Машиностроение, 1976. 198 с.
20 .Гордон ЕЛ., Ямпольский ИД., Паль-
ченко В.И. Автоколебания уравно-
вешенных роторов, соединенных зуб-
чатой муфтой. - В кн.: Вибрации ме-
125
ханизмов с зубчатыми передачами.
М.: Наука. 1978, с. 38-44.
2\. Державен Ю.А. Исследование реак-
тивного момента подвески плаваю-
щих звеньев планетарных передач. -
В кн.: Повышение несущей способ-
ности элементов механического при-
вода. Л.: Машиностроение, 1973,
с. 151-166.
12 .Диментберг Ф.М. Метод винтов в
прикладной механике. М.: Машино-
строение, 1971, с. 246-248.
23 .Ибраев А.Г. Исследование статичес-
кой нагруженности зацеплений и
соединений планетарных механизмов:
Автореф. дис. . .. канд. техн. наук.
Алма-Ата: КазГУ, 1981. 22 с.
24 .Иориш Ю.И. Виброметрия. М.: Маши-
ностроение, 1963.770 с.
25 . Кармадонов А.Ф. Соединительные
устройства валов. М.: Машгиз, 1962.
87 с.
2в.Коднир Д.С. Контактная гидродина-
мика смазки деталей машин. М.:
Машиностроение, 1976. 304 с.
27 .Колебания механизмов с зубчатыми
передачами / Под ред. Э.Л. Айрапето-
ва, М.Д. Генкина. М.: Наука, 1977.
150 с.
2 8. Колебания редукторных систем/Под
ред. М.Д. Генкина, ЭЛ. Айрапетова.
М.: Наука, 1980. 136 с.
29 .Кораблев А.И. Влияние некоторых
конструктивных и сборочных факто-
ров на условия работы зубчатых
(шлицевых) соединений. - В кн.:
Исследование механических передач
приводов агрегатов. 1965, с. 34-48,
45-77. (Тр./РКИИГА; Вып. 53,55).
30 .Косъкин В.П. К вопросу о выборе
рациональной формы зубьев зубча-
тых муфт. - Изв. Вузов. Машино-
строение, 1973, № 4, с. 53-57.
31 .Кулешов В.В. Исследование статичес-
ких и динамических характеристик
зубчатого соединения в условиях
несоосности: Автореф. дис. ... канд.
техн. наук. Челябинск: ЧПИ, 1974.
32 .Куликов В.С. Экспериментальное ис-
следование податливости зубьев шли-
цевых соединений. - В кн.: Детали
машин. 1973, с. 83-89. (Тр./Уфим-
ский авиац. ин-т; Вып. 63).
ЗЗ .Кушуль М.Я. Автоколебания рото-
ров. М/ Изд-во АН СССР, 1963.
167 с.
34 .Левина З.М., Решетов Д.Н. Контакт-
ная жесткость машин. М.: Машино-
строение, 1971.264 с.
126
35 .Макридин И.П., Хохлов О.А. Иссле-
дование зубчатых муфт. - В кн.:
Исследование узлов и деталей ПТМ.
1961, с. 33 -56. (Тр./ВНИИ
подъем.-трансп. машиностроения;
Вып.4(15)).
Зв.Мартиросов К.А. Исследование стати-
ческой нагруженности составных зуб-
чатых муфт с упругим элементом:
Автореф. дис. . . . канд. техн. наук.
Ташкент: ТашПИ, 1980.
31 .Мель X. Критерии оценки высоко-
скоростных зубчатых муфт. -
Экспресс-информация: Детали машин,
1965, №20, с. 15-27.
ЗЪ.Мокид. Зубчатые муфты. Исследова-
ние и оптимизация: Тр. Амер, о-ва
инж.-мех. Сер. В. Конструирование
и технология машиностроения, 1968,
№ 3, с. 1-10.
39 .Морозов БА. Компенсирующие свой-
ства соединенных муфт. - В кн.:
Прокатные станы. М.: Машгиз, 1956,
вып. 6, с. 124-173.
40 .Плотников В.С. Геометрический рас-
чет эвольвентного шлицевого соеди-
нения, используемого в зубчатых
муфтах. - В кн.: Новые исследования
деталей и механизмов машин. Сверд-
ловск: УПИ, 1964, № 136, с. 32-45.
41 .Плотников В.С., Стожаров А.И. Поте-
ри мощности на трение и к.п.д.
зубчатых муфт. - В кн.: Исследова-
ние кинематики и динамики машин.
Свердловск: УПИ, 1970, с. 110-115.
(Тр./УПИ; № 180).
42 .Поляков В.С., Коськин В.П. На-
грузочная способность зубчатых муфт
с бочкообразными зубьями. - В кн.:
Конструкция и расчет машин. Л.,
1966, с. 11-25. (тр./ЛПИ; № 269).
43 .Попов А.П. Исследование нагрузоч-
ной способности зубчатых и упругих
муфт в условиях перекоса осей
агрегатов: Автореф. дис. .. . канд.
техн. наук. М.: ИМАШ, 1972.
44 .Рабинович И.М. Вопросы теории ста-
тического расчета сооружений с одно-
сторонними связями. М.: Стройиздат,
1975. 145 с.
45 .Редукторы судовых турбоагрегатов:
Справ, пособие. Л.: Судостроение,
1975.271 с.
4в.Рензо, Ко урман, Де-Рокер. Муфты
с эвольвентными зубьями: Тр. Амер,
о-ва инж.-мех. Сер. В. Конструиро-
вание и технология машиностроения,
1968, № 3, с. 32-40.
47 .Сергеев С.И. Демпфирование меха-
нических колебаний. М.: Фиэматгиз,
1959. 408 с.
48 . Статика и динамика механизмов
с зубчатыми передачами/Под ред.
МД. Генкина, ЭЛ. Айрапетова. М.:
Наука, 1974. 213 с.
49 . Тайц ЕЛ. Точность и контроль зуб-
чатых колес. М.: Машиностроение,
1972, с. 38-40.
5Ъ.Тимошенко СД„ Войновский-Кри-
гер С. Пластинки и оболочки. М.:
Наука, 1966. 635 с.
51 .Филиппов ВМ. Теоретическое и экс-
периментальное исследование зубча-
тых муфт. - В кн.: Горные машины
и автоматика. Донецк, 1964, с. 59-62.
(Тр./ДПИ; Вып. 49).
52 .Фшзштов В.М., Финиченко ВЛ.,
Полъченко ВЛ. и др. Возможные
пути повышения долговечности зуб-
чатых муфт и снижения трудоем-
кости их изготовления. - В кн.:
Повышение надежности и долговеч-
ности горных машин. Донецк, 1972,
с. 118-121.
53 .Финиченко ВЛ. Исследование неко-
торых вопросов расчета и проекти-
рования зацепления соединительных
зубчатых муфт: Автореф. дис.
канд. техн. наук. Донецк: ДЛИ.
1974.
54 .Хол<змн КМ. Инженерный метод рас-
^ётй Перемещений зубьев зубчатых
соединений. - В кн.: Исследование,
расчет и конструирование машин.
Свердловск, 1966, 264 с. (Тр./УПИ;
№146).
55 .Хронин Д.В. Теория и расчет колеба-
ний в двигателях летательных аппа-
ратов. М.: Машиностроение, 1970,
с. 303-363.
Зб.Ямполъский ИД., Пальченко В.И.,
Хомяков В.П. К вопросу возникно-
вения возмущающих сил в зубчатых
муфтах. - Вести, машиностроения,
1975,№10,с. 12-17.
57.The Marine Engineer and Naval Archi-
tect., 1963, Nov., vol. 86, N 1052.
ОГЛАВЛЕНИЕ
Предисловие.......................................................... 3
Введение............................................................. 6
РАЗДЕЛ!. ПОГРЕШНОСТИ И ДЕФОРМАЦИИ ЭЛЕМЕНТОВ ЗУБЧАТЫХ
МУФТ................................................................. И
Глава 1. Погрешности в зубчатых муфтах.............................. 12
1.1. Первичные погрешности зубчатых муфт......................... 12
1.2. Результирующие* погрешности зубчатых муфт и скорость скольже-
ния зубьев при перекосе.......................................... 15
1.3. Взаимная компенсация погрешностей........................... 18
Глава 2. Деформация зубьев.......................................... 20
2.1. Жесткость зубьев............................................ 20
2.2. Экспериментальные исследования жесткости зубьев............. 22
2.3. Экспериментальные исследования напряженно-деформированного
состояния зубьев................................................. 25
Глава 3. Деформация ободьев муфт . . . ............................. 34
3.1. Расчетные модели............................................ 34
3.2. Циклическая деформация..................................... 36
Р А 3 Д Е Л П. СТАТИКА ЗУБЧАТЫХ МУФТ................................ 37
Глава 4. Нагрузки в зубчатом соединении с жесткими ободьями......... 39
4.1. Нагрузки в муфте при постоянной по углу е жесткости зубьев. 39
4.2. Нагрузки в муфте с учетом переменности жесткостей зубьев... 47
4.3. Расчетно-экспериментальные исследования зубчатых муфт при
перекосе......................................................... 66
Глава 5. Нагрузки в двойной зубчатой муфте.......................... 74
5.1. Самоцентрирование двойной зубчатой муфты.................... 74
5.2. Распределение нагрузок между зубьями........................ 79
5.3. Результирующие силовые факторы в муфте...................... 83
Глава 6. Нагрузки Bi зубчатых соединениях с податливыми ободьями... 89
6.1. Методы раскрытия статической неопределимости многопарных
передач зацеплением.............................................. 89
6.2. Дискретный метод............................................ 90
6.3. Непрерывный метод........................................... 92
РАЗДЕЛ Ш. ДИНАМИКА И ПРОЧНОСТЬ ЗУБЧАТЫХ МУФТ....................... 97
Глава 7. Параметры динамической модели зубчатой муфты............... 98
7.1. Упругие характеристики...................................... 98
7.2. Оценка параметров демпфирования колебаний................... 99
Глава 8. Возмущающие силы в зубчатых муфтах........................ 102
8.1. Накопленные погрешности окружных шагов зубьев.............. 103
8.2. Неуравновешенность элементов и погрешности шага зубьев муфты. . ПО
8.3. Снижение интенсивности возмущающих сил в зубчатых соединениях 111
Глава 9. Прочность зубчатых муфт................................... 113
9.1. Выбор геометрических параметров............................ 113
9.2. Напряжения в зубьях........................................ 114
9.3. Работоспособность зубчатых муфт............................ 117
Литература........................................................ 125