B.E. Фарбер
ОСНОВЫ ТРАЕКТОРНОИ
ОБРАБОТКИ
РАДИОЛОКАЦИОННОЙ
ИНФОРМАЦИИ
В МНОГОКАНАЛЬНЫХ РЛС
• ι

УДК 621.396.96:621.391.1
ББК 32.95
Ф24
Рецензенты:
Кафедра радиоэлектронных систем и устройств
Московского государственного технического университета,
им. Н.Э. Баумана
Доктор технических наук, доцент В.Н. Виноградов
Фарбер В.Б.
Ф24 Основы траекторной обработки радиолокационной
информации в многоканальных РЛС: Учебное пособие.
— М: МФТИ, 2005. — 160 с.
ISBN 5-7417-0129-9
Рассматриваются основные вопросы, возникающие при
разработке алгоритмов траекторной обработки радиолокационной
информации. Особое внимание уделено случаям наличия во входной
информации аномальных измерений, а также влиянию ошибок счета,
неизбежно возникающих при реализации алгоритмов на цифровых
вычислительных средствах.
Пособие предназначено для инженеров, аспирантов и
студентов, специализирующихся в области разработки программно-
алгоритмического обеспечения современных многоканальных РЛС и
радиолокационных систем реального времени.
УДК 621.396.96:621.391.1
ББК 32.95
ISBN 5-7417-0129-9 © Фарбер В.Ε., 2005
© Московский физико-технический институт
(государственный университет), 2005

ОГЛАВЛЕНИЕ
ПРЕДИСЛОВИЕ 7
ВВЕДЕНИЕ 9
СПИСОК ИСПОЛЬЗУЕМЫХ СОКРАЩЕНИЙ 13
1. ОСНОВНЫЕ ЗАДАЧИ ОБРАБОТКИ
ИНФОРМАЦИИ В СОВРЕМЕННЫХ
МНОГОКАНАЛЬНЫХ РЛС С ФАР 14
1.1. Структура обработки информации в
современных РЛС 14
1.2. Принципы организации обслуживания
радиолокационных объектов 18
1.2.1. Формирование заявок на обслуживание.... 18
1.2.2. Выбор заявок на обслуживание 22
1.2.3. Формирование временной диаграммы
работы РЛС 24
1.2.4. Принципы регулирования потока входной
информации 27
1.3. Основные этапы траекторной обработки 29
1.3.1. Порядок обзора области обнаружения 30
1.3.2. Структура алгоритма обнаружения 31
1.3.3. Принципы отождествления траекторий.... 34
1.3.4. Завязка траекторий, распределение
единичных замеров и оценка параметров
движения сопровождаемых РО 35
1.4. Модели входных воздействий при наличии и
отсутствии аномальных измерений 37
2. ОПТИМАЛЬНЫЕ И КВАЗИОПТИМАЛЬНЫЕ
АЛГОРИТМЫ ФИЛЬТРАЦИИ ПРИ
ОТСУТСТВИИ АНОМАЛЬНЫХ ИЗМЕРЕНИЙ 41
2.1. Необходимые сведения из теории
статистических решений 41
2.2. Структура байесовского фильтра. Линейный
фильтр Калмана 43
з

2.3. Одномерные полиномиальные фильтры с
растущей, конечной и эффективной конечной
памятью 48
2.4. Оценка параметров движения космических
объектов на внеатмосферном и атмосферном
участках полета 59
2.5. Оценка параметров движения
спутников-ретрансляторов на геостационарных орбитах
в системах спутниковой связи 67
2.6. Особенности оценки параметров движения
и прогнозирования положения подвижных
ФАР высокоточных многоканальных ΡЛС 73
ОПТИМАЛЬНЫЕ БАЙЕСОВСКИЕ
АЛГОРИТМЫ НЕЛИНЕЙНОЙ ФИЛЬТРАЦИИ ПРИ
НАЛИЧИИ АНОМАЛЬНЫХ ИЗМЕРЕНИЙ 76
3.1. Алгоритмы фильтрации при наличии сбойных
измерений 76
3.2. Алгоритмы фильтрации при наличии
неинформативных измерений 81
3.3. Алгоритмы фильтрации процессов с различной
степенью засорения аномальными
измерениями 82
3.4. Алгоритмы фильтрации при наличии как
сбойных, так и неинформативных измерений 84
КВАЗИОПТИМАЛЬНЫЕ АЛГОРИТМЫ
НЕЛИНЕЙНОЙ ФИЛЬТРАЦИИ ПРИ НАЛИЧИИ
АНОМАЛЬНЫХ ИЗМЕРЕНИЙ 86
4.1. Алгоритмы, получаемые на основе ограничения
количества рассматриваемых гипотез о
характеристиках входных воздействий 86
4.2. Фильтры с известными моментами появления
аномальных измерений 96
4.3. Робастные фильтры 97
4.4. Оптимальный в классе линейных фильтр
процессов при наличии сбойных измерений 99
4

4.5. Методы и результаты оценки точностных
характеристик рассмотренных фильтров 100
4.5.1. Результаты сравнительного исследования
точностных характеристик и
устойчивости фильтров методами статистического
моделирования 100
4.5.2. Гарантированная оценка ухудшения
точностных характеристик алгоритмов
фильтрации при известном количестве
аномальной информации 105
5. ОЦЕНКА ВЕРОЯТНОСТЕЙ ПОЯВЛЕНИЯ
АНОМАЛЬНЫХ ИЗМЕРЕНИЙ 111
5.1. Общие положения 111
5.2. Случай формирования измерений по
радиолокационной отметке с максимальной
амплитудой 113
6. ЭФФЕКТЫ КВАНТОВАНИЯ ПО УРОВНЮ
В ЦИФРОВЫХ СИСТЕМАХ ОБРАБОТКИ
ИНФОРМАЦИИ РЛС 122
6.1. Введение 122
6.2. Основные положения корреляционой теории
квантования по уровню 124
6.2.1. Некоторые свойства вероятностных
характеристик случайных процессов 124
6.2.2. Одномерный закон распределения и
числовые характеристики ошибок
квантования дискретных по уровню
процессов 128
6.2.3. Двумерные закон распределения и
числовые характеристики ошибок
квантования дискретных по уровню
процессов 135
6.2.4. Обобщение результатов на случай
непрерывного распределения квантуемых
процессов 137
6.2.5. Заключение 138
5

6.3. Анализ ошибок квантования в одномерных
полиномиальных фильтрах 140
6.3.1. Методы оценки влияния ошибок
квантования 140
6.3.2. Ошибки квантования в фильтрах с
растущей памятью 143
6.3.3. Ошибки квантования в фильтрах с
эффективной конечной памятью 147
6.3.4. Выбор цены младшего разряда и
количества разрядов ЦВМ 152
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ 156

ПРЕДИСЛОВИЕ
Сложность и изменчивость радиолокационной
обстановки при наблюдении быстроперемещающихся
радиолокационных объектов (космических, воздушных, наземных,
морских) и необходимость адаптации к ней требуют
разработки сложных многоканальных РЛС с электронным
управлением лучом и цифровой обработкой информации,
способных в реальном масштабе времени обеспечивать
сопровождение большого количества радиолокационных объектов.
Программно-алгоритмическое обеспечение,
реализующее решение задачи организации обслуживания
радиолокационных объектов, включающей в себя управление работой
системы, первичную и вторичную (траекторную) обработку
поступающей информации, анализ складывающейся
радиолокационной обстановки и целенаправленную адаптацию к
условиям функционирования, является одним из наиболее
сложных элементов многоканальных РЛС и систем. При этом
особое место занимают вопросы решения задач траекторной
обработки информации.
В пособии изложены как традиционные, так и новые
подходы к решению задачи разработки удобных для
применения в реальных системах алгоритмов. Из-за
ограниченности объема пособия некоторые вопросы излагаются
конспективно. При этом делаются необходимые ссылки на
литературные источники, где с этими вопросами можно
познакомиться более подробно.
Пособие состоит из шести разделов. В первом разделе
рассмотрены общие вопросы обработки информации совре-
7

менных многоканальных РЛС. Второй раздел посвящен
рассмотрению вопросов траекторной обработки при отсутствии,
а третий - при наличии аномальных измерений. В четвертом
разделе рассмотрены удобные для реализации
квазиоптимальные алгоритмы траекторной обработки, а также
проведены сравнительные исследования точностных
характеристик рассмотренных фильтров. Пятый раздел посвящен
расчету вероятностей появления аномальных измерений в
типовых случаях обработки радиолокационной информации. В
шестом разделе рассмотрены особенности реализации
алгоритмов траекторной обработки, связанные с
ограниченностью разрядной сетки цифровых устройств.
Автор считает своим приятным долгом поблагодарить
заведующего кафедрой «Прикладная электродинамика и
информационные системы реального времени» Московского
физико-технического института, доктора технических наук
А.А. Толкачева, прочитавшего первый вариант пособия и
давшего много полезных советов по его улучшению, а также
Е.Н. Попову, без помощи которой подготовка рукописи к
опубликованию была бы невозможна.

ВВЕДЕНИЕ
Высокие требования, предъявляемые к точности
выходной информации современных многоканальных РЛС с
фазированными антенными решетками (ФАР), приводят к
необходимости применения сложных алгоритмов
траекторией обработки радиолокационной информации,
осуществляющих оценку параметров движения сопровождаемых
радиолокационных объектов. Алгоритмы траекторной
обработки радиолокационной информации, как правило,
основываются на результатах решения задачи оценки [1] состояний
систем при случайных воздействиях.
Блок-схема системы приведена на рисунке 1, где Μ -
измерительное устройство, ζ(ί) - вектор действующего на
объект шума, z(t) - вектор шумов измерений, y{t) - вектор
наблюдаемого процесса. Предполагается, что задано
физическое состояние между ζ(ί) и x(t), физическое состояние
между y(t), x(t) и z(t), статистическое описание ξ(ί) и
2(0 ·
Ζ(ί)
ξ(') *(') I у(0
—►
Объект
ь,
w
Μ
.. —fc.
Рис. 1. Блок-схема системы
9

Задача оценки формулируется следующим образом.
Даны измерения вектора y{t) до момента времени Τ.
Требуется дать оценку состоянию системы x(t Ι Τ) , являющуюся
наилучшей оценкой χ(ί) в некотором смысле. В случае,
когда t = Τ, мы имеем задачу фильтрации, при t >Т- задачу
экстраполяции (предсказания), а при t <Т - задачу
сглаживания.
При построении алгоритмов траекторной обработки
информации по данным радиолокационных средств обычно
предполагается, что ошибки результатов наблюдений
являются аддитивными и гауссовскими. В большинстве
практических случаев это условие нарушается и реализуется такой
механизм формирования результатов наблюдений, при
котором неизбежно появление аномальных измерений. При этом
часть измерений либо засорена грубыми ошибками (случай
сбойных измерений), либо вообще не содержит информацию
об оцениваемом процессе (случай неинформативных
измерений). В качестве простой и удобной модели аномальных
ошибок может служить схема, при которой измерительное
устройство с вероятностью 1 - ε работает в "основном"
режиме, при котором ошибки измерений имеют гауссовское
(нормальное) распределение, а с вероятностью ε - в
"аномальном" режиме [2].
При наличии в измерениях грубых промахов
аномальность носит характер "выбросов", ошибки которых обладают
значительно большей дисперсией по сравнению с дисперсией
основной массы измерений.
В случае, когда априорная область определяемых
параметров велика по сравнению с интервалом разрешения по
этим параметрам, то при формировании замеров возникают
неинформативные результаты наблюдений, связанные с
принятием выброса шума в априорной области за сигнал.
Аномальные измерения могут возникать и в процессе
предварительной обработки информации, связанной, в част-
J0

ности, с применением адаптивного байесовского подхода.
Так, в случае наличия неоднозначных измерений, например,
радиальной скорости, задачу фильтрации приходится решать
в условиях априорной неопределенности относительно
номеров интервалов неоднозначного отсчета. Адаптивный
байесовский подход к решению задачи фильтрации в
рассматриваемой постановке состоит в последовательном решении
двух задач: оценки методом максимального правдоподобия
вектора значений номеров интервалов неоднозначного
отсчета и решении задачи фильтрации в предположении, что
интервалы неоднозначности известны. Если оцененный вектор
не совпадает с истинным вектором значений интервалов
неоднозначного отсчета, то это означает, что в измерениях
присутствует аномальная информация. Поскольку в
рассматриваемом случае аномальные измерения группируются в
окрестности истинных значений скоростей движения
радиолокационных объектов (РО), то такие измерения можно отнести к
классу сбойных. Аналогичными рассуждениями можно
показать, что аномальные измерения, имеющие место при
решении задачи распределения единичных измерений по
нескольким сопровождаемым траекториям и связанные с
неправильным отнесением измерений к траекториям, следует отнести к
классу неинформативных.
Неучет наличия сбойных и неинформативных
результатов измерений существенно снижает эффективность
применения многих классических методов фильтрации. Поэтому
при разработке указанных методов необходимо учитывать
наличие аномальной информации.
При решении задачи оценки в условиях наличия
аномальных измерений в настоящее время используются два
основных подхода. Первый подход сводится к обнаружению и
отбраковке аномальных измерений. Второй подход основан
на использовании всех результатов измерений с
соответствующими весами [3]. При этом второй подход обеспечивает
более надежное оценивание параметров движения.
11

Следует отметить, что траекторная обработка
информации является составной частью общего процесса
обработки информации и управления РЛС. Поэтому сначала кратко
остановимся на рассмотрении основных этапов обработки
информации в современных РЛС с ФАР, а затем более
подробно рассмотрим оптимальные и квазиоптимальные
(приближенные) алгоритмы фильтрации как при наличии, так и
отсутствии аномальных измерений. Кроме того,
проанализируем особенности реализации алгоритмов на цифровых
вычислительных средствах, связанные с наличием ошибок
квантования по уровню.

СПИСОК ИСПОЛЬЗУЕМЫХ СОКРАЩЕНИЙ
БСК - биконическая система координат
ВК - вычислительный комплекс
ВС - выислительные средства
ВСВ - временная связка
ВХ - вероятностные характеристики
ЗИ - зона идентификации
КВД - конвейер временных дискретов
КО - космический объект
КП - квантуемый процесс
КС - корректирующий сигнал
МП К - местная прямоугольная система координат
ОК - ошибка квантования
ПАО - программно-алгоритмическое обеспечение
ПО - программное обеспечение
ПСК - подвижная система координат
РИ - радиолокационный измеритель
РЛО - радиолокационная обстановка
РЛС - радиолокационная станция
РО - радиолокационный объект
РП - растущая память
СМО - система массового обслуживания
СР - спутник-ретранслятор
ТПР - таблица приоритета
УН - угловое направление
УОИ - устройство обработки информации
УС - устройство сопряжения
ФАР - фазированная антенная решетка
ХФ - характеристическая функция
ЦАС - цифровая автоматическая система
ЦВМ - цифровая вычислительная машина
ЧХ - числовая характеристика
ЭВСВ - элемент временной связки
ЭКП - эффективная конечная память
13

1. ОСНОВНЫЕ ЗАДАЧИ ОБРАБОТКИ
ИНФОРМАЦИИ В СОВРЕМЕННЫХ
МНОГОКАНАЛЬНЫХ РЛС С ФАР
1.1. Структура обработки информации
в современных РЛС
Первые радиолокационные средства содержали, как
правило, зеркальные антенны, аналоговые системы
управления с отображенем отраженных сигналов в процессе поиска
на секторных индикаторах и индикаторах абсолютной
дальности, а все функции по анализу поступающей информации
возлагались на человека-оператора, у которого точность
восприятия информации, возможности ее запоминания, а
главным образом реакция на изменение радиолокационной
обстановки на много порядков хуже обеспечиваемых
вычислительной техникой и существенно зависит от субъективного
"человеческого" фактора. Кроме того, отсутствие
фазированных антенных решеток (ФАР) и относительно
малопроизводительная вычислительная техника не позволяли
обеспечивать одновременное сопровождение многих объектов.
При этом деление ресурсов радиолокатора по поиску и
сопровождению объектов осуществлялось путем
последовательного выделения импульсов передающего устройства и
интервалов приема на поиск и последовательное
сопровождение всех наблюдаемых объектов независимо от их
пространственного расположения, да и обработка информации
об объектах осуществлялось также без учета их
пространственного расположения. При малом количестве хорошо
разрешенных по углам или дальности объектов это слабо влияло
14

на результирующие характеристики радиолокационных
средств, но резко упрощало процедуры их управления и
обработки информации.
Появление ФАР потребовало иного подхода к данной
задаче. Потребовалось рассматривать ресурсы радиолокатора
по поиску и сопровождению как общие ресурсы для всех
объектов, находящихся в его рабочей зоне, а также ресурсы
ЦВМ как общие ресурсы для обработки информации,
получаемой от этих объектов.
В настоящее время уже накоплен значительный опыт
по созданию многоканальных РЛС с ФАР, в которых
получение и обработка информации, а также управление
радиолокатором в целом осуществляется в реальном масштабе времени
автоматически с помощью вычислительных средств под
управлением программно-алгоритмического обеспечения, а
роль человека-оператора состоит только в выполнении
функций визуального контроля и задания параметров процесса
радиолокационных наблюдений.
Современные автоматические многоканальные РЛС,
как правило, содержат приемно-передающую систему на базе
фазированной антенной решетки, силовой следящий привод
ФАР, специализированное устройство обработки
информации (УОИ), обеспечивающее предварительную обработку
сигнала, комплекс универсальных вычислительных средств
(ВК), устройство сопряжения (УС), обеспечивающее
взаимодействие всех устройств РЛС в реальном масштабе времени
посредством обмена информацией по станционной
магистрали. УОИ и ВК образуют вычислительные средства (ВС) РЛС.
Программно-алгоритмическое обеспечение (ПАО),
являющееся неотъемлемой частью современных РЛС и систем,
реализуется на ВС и УС и обеспечивает выполнение всего
цикла обработки радиолокационной информации и управляет
работой аппаратуры.
Достаточно общая структурная схема обработки
информации в современных РЛС приведена на рисунке 1.1.
Информационная система (аппаратура) РЛС обеспечивает
15

излучение зондирующего сигнала в заданные
вычислительными средствами моменты времени, прием эхо-сигналов
радиолокационных объектов (РО), квантование по уровню и по
времени превысивших порог обнаружения сигналов.
Системой первичной обработки информации осуществляется
формирование вектора единичных замеров, включая и
сигнальные характеристики всех элементов РО. Система вторичной
обработки обеспечивает объединение информации,
полученной в разные моменты времени, обнаружение траекторий,
оценку параметров движения каждой из обнаруженных РО и
формирование заявок на обслуживание этих РО. Управляет
работой аппаратуры РЛС система планирования путем
формирования расписаний, в которых указан перечень исходных
данных, необходимых для обеспечения заданного вида
работы, например, для обеспечения обзора пространства,
контроля исправности аппаратуры, измерения координат РО и т.д.
Информаци-
оная система
(аппаратура)
РЛС
Расписание
Вычислительные средства РЛС
Система обработки информации
иистема
Система
первичной
обработки
информации
вторичной
обработки
информации
Система планирования работы РЛС
Система
обслуживания
|Система оценки
сени просто))
процессоров
I
-►Выход
Рис. 1.1. Упрощенная структурная схема многоканальной
РЛС
16

Для определенности дальнейшего изложения будем
полагать, что в РЛС при обработке информации
используются следующие системы координат: декартовая местная
прямоугольная (МПК), декартовая подвижная, связанная с
рефлектором (ПСК) и биконическая (БСК). Декартовая местная
{Χ, Υ, Ζ} ориентирована осью Ζ на север, осью X - на запад,
осью Υ - по нормали к поверхности Земли в точке стояния
станции. Декартовая связанная {*, у, ζ) совпадает с МПК,
когда перпендикуляр к плоскости рефлектора ФАР (ось х)
совпадает с X, а в остальных случаях определяется посредством
задания азимута β и угла места ε оси рефлектора
стандартным образом относительно МПК. Плоскость рефлектора
лежит в плоскости yOz. Биконическая система координат
(R,/1ε,Λρ) образуется двумя воображаемыми конусами
вращения, списанными вокруг осей у viz. Дальность R отсчиты-
вается по линии пересечения этих конусов, расположенной в
области χ > О, a Az и Лр являются синусами углов наклона
αε и dp, образующих конусов к плоскостям xOz и хОу
соответственно. В этой системе координат производятся замеры
положения РО: дальности R и двух величин Αε и А^,
характеризующих угловое положение РО при заданном положении
рефлектора.
Пересчет координат из БСК в ПСК и обратно
осуществляется по формулам
x = Rjl-A2-Al, y = RAz. ζ = -Λ4β, (1.1)
R = <>]x2 +y2 +z2, At =y/R, Ap =-z/R,
а из ПСК в МПК - на основе следующих соотношений:
И
ζ
\=f\
χ
Г
г
|х|
г
г
= FT
\х\\
Г
Ζ
17

F =
cose cos β -sin ε cos β sin β
sin ε cos ε Ο
I-cose sin β sine sin β cospl
1.2. Принципы организации обслуживания
радиолокационных объектов
1.2.1. Формирование заявок на обслуживание
Требования к организации обслуживания РО в
современных многоканальных РЛС в значительной мере
определяются необходимостью их адаптации к изменяющейся
радиолокационной обстановке и текущим ресурсам РЛС.
Поэтому программно-алгоритмическое обеспечение
современных РЛС целесообразно проектировать в виде системы
массового обслуживания (СМО) как в части обслуживания
заявок на обработку информации, так и в части обслуживания
заявок на использование ресурсов аппаратуры РЛС. Такое
построение ПАО обеспечивает предельно простое
оперативное дополнение новых заявок на использование ресурсов
аппаратуры и на обработку информации.
Для организации оперативной реакции системы
обслуживания на изменение радиолокационной обстановки (РЛО),
например, для организации двухэтапной процедуры
обнаружения, необходимо обеспечить возможность повторного
зондирования углового направления (УН) с минимально
возможной задержкой. Нетрудно заметить, что заявки такого
рода являются разовыми и самыми приоритетными. Задача
обнаружения и последующего сопровождения РО решается
путем последовательной периодической посылки
зондирующих импульсов (ЗИ) в соответствующие угловые
направления. Поэтому и заявки на такие виды обслуживания
целесообразно сделать в виде периодических, обслуживаемых с
заданным периодом. В процессе проведения
радиолокационных наблюдений необходимо наряду с решением основных
18

задач получения информации о РО и устойчивого их
сопровождения обеспечивать еще и решение дополнительных
задач, связанных, в частности, с поддержанием
работоспособности аппаратуры и контроля ее состояния. Поскольку
решение дополнительных задач не связано с излучением
энергетики, то заявки на их решение целесообразно вынести в
отдельный список.
Таким образом, заявки на обслуживание целесообразно
группировать в три таблицы. При этом исходной
информацией для планирования работы РЛС служит список заявок на
повторное обслуживание углового направления от системы
первичной обработки информации (первая таблица
приоритетов - Ml IF), список периодических заявок от системы
вторичной обработки информации (вторая таблица
приоритетов - 211 IP) и список служебных заявок (третья таблица
приоритетов - ЗТПР).
При формировании заявок на обслуживание
необходимо задать полный набор параметров, необходимый для их
обслуживания. При этом набор параметров 1ТПР приходит
из системы первичной обработки вместе с заявкой, набор
параметров ЗТГЕР известен заранее. Поэтому основной объем
вычислений производится при формировании 2ТПР. Для
этого сначала проверяется критерий необходимости
продолжения обзора области обнаружения. Затем производится
перебор всех сопровождаемых траекторий и проверяются
критерии их дальнейшего существования. При невыполнении
указанных критериев в первом случае обзор соответствующей
области обнаружения прекращается, а во-втором -
соответствующие траектории сбрасываются с дальнейшего
сопровождения путем изъятия соответствующей заявки из 2ТГПР.
Для оставшихся во 2lilF N заявок вычисляются периоды Γλ(,)
их дальнейшего обслуживания. При этом
19

т.е. сумма частот обслуживания всех заявок 211 IP не должна
превышать количества распределяемых на секундном
интервале зондирующих импульсов или принятой частоте / = τ"1
обслуживания РО. Периоды обслуживания входят в состав
2ТПР.
Периоды обслуживания могут быть различными как
для различных РО, так и для одного РО в различные моменты
времени. Так если периоды вычисляются с учетом
точностных характеристик таким образом, что чем больше дисперсия
определения параметров /-го РО σ,2 щ тем чаще (или, что то
же самое, тем с меньшим периодом) /-й РО должен
обслуживаться, то период обслуживания может определяться,
например, из соотношения
В общем случае периоды обслуживания могут
вычисляться на основе оптимизации программы наблюдения при
сопровождении [4]. Пусть, например, на временном
интервале ΤΣ из имеющегося количества импульсов ΝΣ для
организации сопровождения /-го РО выделено N импульсов, причем
Ν «ΝΣ. Тогда если РО движется в соответствии с
полиномом первой степени, то при отсутствии априорной
информации для получения максимальной точности оценки
координат интервал наблюдения необходимо разбить на два
примыкающих к концам общего интервала наблюдения ΤΣ . При
наличии априорной информации о фильтруемом процессе
происходит перераспределение зондирующих импульсов между
первым и вторым интервалом в пользу последнего вплоть до
исчезновения первого интервала [5]. Количество интервалов
размещения наблюдений при движении РО в соответствии с
полиномом второй степени равно трем, и размещаются они в
начале, в конце и примерно в середине интервала наблюде-
20

ния. Влияние априорных сведений имеет качественно тот же
характер, что и в описанном выше случае.
В случае, когда все сопровождаемые РО находиться в
разных угловых направлениях, процедуры планирования
работы РЛС практически ничем не отличаются от процедур
планирования работы РЛС по одному РО и состоят в
прогнозировании положения выбранного для обслуживания РО на
очередной момент излучения зондирующего импульса,
выставке луча в спрогнозированное угловое направление и
стробировании полученных отметок, т.е. проверке на
попадание отметок в заданную область неопределенности (зону
идентификации) в окрестности экстраполированной точки.
Нетрудно заметить, что при поэлементном обслуживании
"об = % > Лц = 19 а время планирования тпщ (поб,пщ) = тпэ не
зависит от того, какой именно объект обслуживается, а
также от количества обслуживаемых объектов п^ .
При увеличении количества РО и их более компактном
расположении по угловым координатам поэлементное
обслуживание становится неэффективным по ряду причин,
основная из которых состоит в наличии неконтролируемого
чиойа отметок, обусловленных отражениями от РО,
окружающих обслуживаемый РО. Поэтому в этом случае при
планировании работы РЛС необходимо осуществлять
оперативную проверку на их взаимное расположение.
Принципы обслуживания с оперативным анализом
радиолокационной обстановки состоят в следующем. На
очередной момент tz зондирования пространства система
обслуживания РО выбирает очередной, например, /-й РО и
производит экстраполяцию параметров движения на /3 момент
времени. Траектория ι-го РО принимается за базовую и на
основе параметров ее движения осуществляется
формирование расписания по аналогии со случаем поэлементного
обслуживания. Затем относительно направления на ι-й РО
описываются два конуса с углами при вершине, равными
величине углового направления α = α и величине однозначного
21

отсчета углов α = α^ и проверяется попадание у-го РО в
указанный конус
XiXi +ЭД +ZiZi >RfRj cosa/2, (1.3)
; = 1,2,...,/-1,/ + 1,...,итр,
гдеX, У, Ζ- координаты РО в МПК; R -дальность до РО.
Радиолокационные объекты, для которых выполняется
условие (1.3) при a = аун9 образуют группу, заносятся в
отдельный список и помечаются признаком ν = 0. Далее, те РО
из образовавшейся группы, для которых дополнительно
выполняется это условие при α = α00, помечаются признаком
ν = 1. И, наконец, производится вычисление размеров зоны
идентификации.
Нетрудно заметить, что, несмотря на то, что при
поэлементном обслуживании с оперативным анализом
радиолокационной обстановки тПЛ|(лоб,«ц.)>тпэ, п^^п^,
количество поступающей информации на вход системы
обработки достаточно легко контролируется и, кроме того, при
вторичной обработке после распределения единичных замеров
возможно достаточно просто проводить учет аномальных
измерений. Так, если замер отнесен к траектории с ν = 0, то с
большой вероятностью можно считать, что этот замер
получен из области неоднозначного отсчета углов.
1.2.2. Выбор заявок на обслуживание
После сформирования таблиц приоритетов происходит
обслуживание заявок. Под обслуживанием понимается
последовательный процесс планирования временных
интервалов для излучения зондирующих импульсов, интервалов
приема эхо-сигналов, обработки информации и служебных
интервалов для организации работы аппаратуры РЛС в
интересах получения радиолокационной информации в
соответствии со списком заявок на обслуживание.
22

Планирование обслуживания заявок начинается с
рассмотрения заявок ΓΙ 11Ρ до полного ее исчерпания. Выбор
заявок из 21 IIP происходит по времени начала очередного
периода ее обслуживания, указанного в перечне параметров
заявки. За один такт работы алгоритмов планируется работа
только одного углового направления, что при следующем
такте работы алгоритмов планирования позволяет вновь
обратиться к рассмотрению заявок 1ТПР, чем обеспечивается
быстрая реакция на появление заявок 1ТПР. После окончания
планирования заявок 211 IP осуществляется попытка на
интервале, занятом выполнением этой заявки, реализовать
заявки из ЗТТТР. После выбора заявки на обслуживание
вычисляются необходимые параметры для обеспечения излучения
зондирующего импульса и приема эхо-сигнала и
формируется временная диаграмма работы устройств РЛС.
Рассмотрим несколько подробнее работу системы
обслуживания заявок 211 IP. Пусть t - текущее время; τ = /_1 ~
промежуток времени между соседними тактами
обслуживания; tH-ki- время начала работы системы обслуживания,
где κ = 1, 2,... - заранее выбранное число. Тогда момент
времени и-го такта обслуживания определяется следующим
образом [6]:
6(и)=^+хи; « = Ε{(ί-/Η)τ1} + 1,
где Е{*} - операция взятия целой части числа
Приоритет обслуживания заявок 2 И IP определяется их
порядковым номером в таблице, т.е. при прочих равных
условиях в первую очередь происходит обслуживание заявок с
минимальным порядковым номером по месту в таблице
приоритета. Поэтому системой обслуживания РО на момент 9(и)
назначается заявка с минимальным порядковым номером в
таблице приоритета из числа Q заявок (Q <N), времена /£*
очередного λ,-го обслуживания которых удовлетворяют
соотношению
23

,(0 < θ(")
при начальных условиях
^|прих;=, = ^)=е(,> при всех / = 1, 2, ...,Ν,
где λ^ - номер очередного такта обслуживания /-й заявки.
Легко видеть, что
,(о=,(.) +г(')=,(о + уГ(о
Kt=2
где Г(,) - период обслуживания ?-й заявки.
ί[° и период обслуживания 2
Время /[° и период обслуживания Г(0 входят в состав
2ТПР.
1.2.3. Формирование временной диаграммы работы РЛС
Наиболее просто вопрос формирования временной
диаграммы решается в случае, когда РО наблюдается на
первой развертке дальности, поскольку в этом случае в заданном
угловом направлении сразу может быть сформирована
временная связка (ВСВ) элементов временной связки (ЭВСВ),
обеспечивающих замкнутый временной цикл работы РЛС,
например, формирование диаграммы направленности,
излучение импульса передающего устройства в заданном угловом
направлении, прием и обработку сигнала в этом угловом
направлении, формирование импульса обмена ВС с УС для
передачи необходимой информации и т.д. Пример временной
диаграммы для данного случая приведен на рисунке 1.2а.
Тенденция увеличения поисковых возможностей за
счет увеличения частоты повторения зондирующих
импульсов требует от программы формирования временной
диаграммы работы РЛС совмещения последовательности
исполнения функций в различных угловых направлениях (в
частности, на различных развертках дальности одновременно).
Это достигается за счет усложнения системы формирования
24

временной диаграммы работы РЛС, когда приходится
оперировать не с совокупностью непрерывных и непересекаемых
по времени ВСВ работы РЛС в одном угловом направлении,
а с отдельными элементами этой ВСВ. Элемент временной
связки (ЭВСВ) является непрерывным по времени и не
может совмещаться с другими ЭВСВ. На рисунке 1.26
представлен вариант временной диаграммы РЛС, реализующий
случай работы РЛС в / -1, /, / +1 угловых направлениях.
3 я я я
14 О О О О I А к
1(0 Том 2(i) Том 5 3 Том 2 S Том l(i+DToM 2(i+l)
fill re 2 I О о I 4 1 4
['llcllCC]lCt1lCllCl
ее! ее
Я Я^ТоЦ я £ том
№№
M(2)
BCBO) ;
- импульс формирования диаграммы направленности антенны в заданном угловом
направлении (очередном элементе временной связки заданного углового направления),
- импульс излучения круговой поляризации "левого" ("правого") вращения;
£ ] - начало и конец участка обработки (оцифровки отраженных от цели сигналов);
т/ом - импульс, по которому осуществляется передача программы РЛС в следующем
по времени угловом направлении (элементе временной связки - ЭВСВ);
HOU,-j(KOU-j) - импульс начала (конца) j-ro участка оцифровки в заданном угловом
направлении (ι -1,2).
Рис. 1.2. Примеры временной диаграммы работы РЛС на первой (а)
и произвольной (б) развертках дальности
Временная диаграмма работы РЛС образуется путем
юпоставления последовательности ЭВСВ
последовательного временных дискретов (ВД), называемой конвейером вре-
;снных дискретов (КВД)? на которые разбивается текущий
25

временной интервал, длительностью, например, 1 с.
Формирование временной диаграммы работы РЛС сводится к
размещению ЭВСВ на КВД [7].
Временные дискреты, соответствующие размещенным
на КВД элементам ВСВ, отмечаются записью "1", а
освобождение ВД после выполнения функций, заложенных в ВСВ,
занявшей эти дискреты, отмечается записью "О" в
соответствующих разрядах этого ВД.
Для реализации процедуры вложения ВСВ с учетом
электромагнитной совместимости можно использовать
систему, например, из пяти конвейеров: КВД1 - конвейер
вложения временных дискретов собственной РЛС; КВД2 -
конвейер вложения участков оцифровки собственной РЛС с
учетом времени считывания информации; КВДЗ - конвейер
участков оцифровки соседней РЛС; КВД4 - конвейер
зондирующих импульсов соседней РЛС; КВД5 - конвейер выдачи
временных дискретов.
Вложение ВСВ осуществляется поэлементно, т.е.
сначала вкладывается первый, соответствующий излучению
ЭВСВ, затем второй ЭВСВ, соответствующий интервалу
приема. Вложение зондирующего импульса начинается с
положения, соответствующего реализации фиксированной
частоты излучения передающего устройства. Вложение
осуществляется в КВД1 с учетом КВДЗ. При невложении ЭВСВ
последовательно сдвигается на один дискрет вправо, два
дискрета влево, три дискрета вправо и т.д. вплоть до
вложения элемента или исчерпания всего участка возможного
размещения зондирующего импульса. После вложения участка
излучения осуществляется вложение участка оцифровки в
КВД1 с учетом КВД4. При отсутствии свободного места
производится сдвиг участка излучения описанным выше
способом, и процедура вложения ВСВ продолжается. При
невозможности вложения выбранной ВСВ формируется
признак невложения ВСВ и передается для информации на ВК.
26

1.2.4. Принципы регулирования потока входной
информации
Одно из основных требований, предъявляемых к
системам обработки информации и планирования работы РЛС,
состоит в сохранении работоспособности и выполнении
своих функций, пусть даже с некоторым снижением качества,
при изменении интенсивности входного потока [9]. Поэтому
система обслуживания должна оперативно адаптироваться к
сложившейся радиолокационной обстановке и обеспечивать
регулирование потока входной информации в соответствии с
имеющейся пропускной способностью РЛС.
Проведенный анализ характеристик различных типов
СМО позволяет предложить ряд схем регулирования потока
входной информации. Ниже мы остановимся на описании
принципов регулирования потока входной информации по
времени простоя процессора ЦВМ РЛС и величине
заполненности буферных массивов системы обработки
информации [8].
Исходя из проведенного анализа, регулирование
текущего значения пропускной способности РЛС,
соответствующего количеству обрабатываемой на интервале Δ/
информации, целесообразно осуществлять следующим образом:
ПО-) = П(у-1) + РЛ{чС/-1)-<}, kx=-dtlldxnp9 (1.4)
где τ,,ρ (j -1) и τ£ρ - реализовавшаяся (измеренная) и
заданная величина времени простоя процессора на временном
интервале At; βτ - коэффициент, определяемый необходимой
степенью сглаживания случайных флуктуации времени
простоя процессора; кх - коэффициент связи приращений Π и
τπρ, определяемый на основе уравнения баланса времени
работы процессора
27

поб л поб
1=1 ' i=l '
+ τπρ+τοπ+(/0-ν1)τ+Δ/ = Δ/. (1.5)
ι=1 '
Здесь Т} - период планирования работы РЛС по /-му
обслуживаемому объекту; п^ - количество обслуживаемых
объектов; и - количество сопровождаемых целей в угловом
направлении /-го обслуживаемого объекта; /ι3ΛΜ| ~ количество
замеров, получаемых при обслуживании /-го объекта; тобр< -
среднее время обработки информации в угловом
направлении /-го обслуживаемого объекта; τ - время,
затрачиваемое системой планирования работы РЛС для формирования
расписания, связанного с обеспечением излучения
зондирующего импульса в угловое направление /-го
сопровождаемого объекта; тсл - служебное время работы процессора по
организации вычислительного процесса на временном
интервале Δ/; τ* - время планирования неинформативных
зондирующих излучений (пустых обзоров), используемых для
регулирования входного потока информации; /0 -
номинальное значение частоты зондирующих излучений передающего
устройства РЛС.
Для простейшего случая Тг =Г = иобД^/П
обслуживания объектов с одинаковым периодом из (1.5) имеем
"об
К = "об{]Г [*обр, ("об? «зам, ) + Тпл, («об» ^ ) ~ τΊ}"' ·
г=1
Для ограничения задержек при обработке информации
и для исключения неконтролируемых ее потерь из-за
переполнения буферных массивов системы обработки информа-
28

ции в переходных режимах целесообразно ввести обратную
связь по текущей величине N очереди заявок на обработку.
В наиболее простом случае определяется значение
порога NQ, соответствующее установившейся длине очереди
при стационарном входном потоке. При N> N0
осуществляются увеличение значения планируемого периода
измерения координат РО T(j) = f(j)~] , вычисленного на основе
соотношения (1.4), на величину AT(j,N,):
ти)=щ+*гиЛ), Об)
и отказ от решения второстепенных задач.
Таким образом, описанная система обслуживания
целей для каждой конкретной радиолокационной обстановки
обеспечивает в автоматическом режиме регулирование
потока входной информации в соответствии с имеющейся
пропускной способностью РЛС. При этом наличие обратной связи
по времени простоя процессора исключает недогрузку, а по
длине очереди заявок на обработку информации - перегрузку
вычислительных средств РЛС.
1.3. Основные этапы траекторной обработки
Обработку радиолокационной информации, как
правило, подразделяют на первичную, задачей которой является
получение оценок координат РО в текущий момент времени,
и вторичную (траекторную), задачей которой является
объединение информации, полученной в разные моменты
времени, и получение оценок параметров движения РО. Таким
образом, траекторную обработку информации можно
представить как последовательный процесс обнаружения,
отождествления и завязки траекторий, распределения единичных за-
геров и оценивания параметров движения обнаруженных ра-
люлокационных объектов. Остановимся кратко на описании
оновных этапов траекторной обработки.
29

1.3.1. Порядок обзора области обнаружения
Обнаружение траекторий начинается с обзора заданной
области обнаружения. Обзор области обнаружения
осуществляется переключением диаграмм направленности ФАР из
одного углового направления (УН) в другое и может быть
последовательным (растровым), параллельным, смешанным
и циклическим [9]. В многоканальных РЛС с ФАР, как
правило, используется растровый способ обзора области
обнаружения. В этом случае осуществляется последовательное
обслуживание угловых направлений по строке с переходом
на начало следующей строки при окончании предыдущей.
Рассмотрение методов оптимального управления
обзором начнем с простейшего случая обнаружения одиночного
РО в зоне поиска, состоящей из NYH. Предполагается, что в
зоне поиска есть только один РО. Вероятность появления
новых РО равна нулю. Радиолокационный объект может
перемещаться по УН зоны поиска с переходной вероятностью
px(ilj). Оптимизация алгоритма состоит в минимизации
времени от начала наблюдения до момента обнаружения РО.
Результаты синтеза показывают, что алгоритм оптимального
управления обзором УН сводится к формированию
апостериорных вероятностей /}(0 наличия РО в УН (/r = 1, 2, ..., Ν)
и выбору для очередного осмотра того УН (i = v)9 в котором I
эта вероятность максимальна, т.е. [10]
?,(v) = maxP,(/).
Рассмотрим теперь вопрос оптимального управления I
обзором при обнаружении неизвестного числа РО, которые I
появляются и перемещаются в зоне обзора независимо друг I
от друга. Вероятность наличия в каждом УН более одного РО I
принимается равной нулю, что соответствует модели разре- 1
женного потока РО [11]· I
Процедура оптимального обзора в этом случае так же, I
как и в предыдущем случае, состоит в выборе для осмотра на I
30

очередном шаге того УН, в котором апостериорная
вероятность наличия одного из РО максимальна. При этом, однако,
следует иметь в виду, что в зоне поиска уже не один, а
несколько РО. В этих условиях необходимо обеспечить режим
последовательного обращения к различным УН, в том числе
и к УН с малой вероятностью наличия в них РО. В результате
при увеличении количества РО нет преимущественных
направлений поиска, и обзор области обнаружения
целесообразно производить последовательно и равномерно с
заданным периодом.
В промежуточных случаях, когда количество РО
невелико, целесообразно применять комбинированный алгоритм
обнаружения, состоящий в последовательном и равномерном
обзоре области обнаружения с повторным возвратом в те
угловые направления, в которых было зафиксировано
превышения сигналом порога обнаружения. Такой способ
обнаружения обычно называется двухэтапной процедурой
обнаружения.
1.3.2. Структура алгоритма обнаружения
Обнаружение траекторий РО, как правило,
производится с использованием алгоритмов, осуществляющих
обнаружение по критериям т из η (η £ т) [10]. При
критериальном обнаружении траектория РО считается обнаруженной,
если при «-кратном зондировании УН, в котором находится
РО, не менее чем в т случаях сигнал от РО обнаружен
(превысил порог обнаружения).
Нетрудно заметить, что в процессе обнаружения
траектории необходимо выполнить следующие операции:
экстраполяция координат и формирование зоны связи
(идентификации), в которой ожидается появление очередной отметки
от РО, стробирование (проверка на попадание в зону
идентификации) вновь полученных единичных замеров, проверка
выполнения критерия обнаружения "т из л", оценка началь-
31

ных параметров движения РО по полученному объему
данных для организации экстраполяции координат РО.
При работе по целеуказанию обнаружение траектории
РО оказывается возможным вести в пределах одного
углового направления, так как в этом случае перемещением РО за
цикл обзора относительно области обнаружения можно
пренебречь. Алгоритм обнаружения траектории для этого случая
строится по следующему принципу.
Пусть в момент времени tx в УН получен первый
единичный замер дальности Rx. Этот замер целесообразно
принять за начало новой траектории. Если зондирование этого
же УН предполагается осуществить в момент времени t2, то
область Sx - зона связи первого порядка, в которой следует
ожидать появление единичного замера дальности,
принадлежащего обнаруживаемой траектории, - может быть
определена следующим образом:
гДе ^min и Апах " минимальная и максимальная скорости
движения РО.
При получении второго замера R2 в рассматриваемом
УН в момент времени t2, для'которого была рассчитана зона
связи первого порядка, проверяется его попадание в эту зону
связи. Если замер попадает в нее (/?л1 <R2 < #п1), то при
т-2 (критерий т из и) траектория РО считается
обнаруженной и пара Rx и R2 заносятся в список обнаруженных по
угловому направлению траекторий, а при т > 2 по нему
открывается зона связи второго порядка S2. Если при
очередном зондировании углового направления полученные замеры
не попали в зону связи первого порядка, то она
экстраполируется на момент следующего такта зондирования этого УН.
При этом ее тактовый возраст увеличивается на единицу. На-
32

ряду с тактовым возрастом зон связи вычисляется их
временной возраст. Если зона связи по какой-либо причине устарела
по времени, она исключается из обработки.
Замер Л,, открывший зону связи первого порядка,
тактовый возраст которой и время ее существования превышает
допустимое значение, исключается из списка замеров,
идущих на обнаружение траектории, а зона связи - из списка зон
связи первого порядка.
Зона связи второго порядка строится, исходя из
оцененной скорости v2 движения обнаруживаемого РО [10].
Левая и правая границы зоны связи второго порядка на момент
времени /3 рассчитываются, например, следующим образом:
~ R2 - R\
V2 =— L,
L rp 9
Лпп=Д2 +ν2Γ3+Δ2,
где Δ2 - величина зоны связи второго порядка,
определяемая точностями замеров дальности и оценками
радиальной скорости.
Попавшие в зону связи второго порядка замеры вместе
с замерами R} и R2 образуют обнаруженную траекторию.
Зона связи второго порядка, в которую не попал замер,
экстраполируется для обработки на время следующего такта
зондирования данного УН, а ее тактовый возраст увеличивается
на единицу. При достижении допустимого возраста зоны свя-
ш она вместе с замерами, ее открывшими, исключается из
обработки.
По всем замерам, не отнесенным к траекториям и не
опавшим в зону связи, открываются зоны связи первого по-
ядка.
33 \

1.3.3. Принципы отождествления траекторий
Поскольку обзор пространства производится
дискретным перемещением луча с заданным пересечением диаграмм
направленности для соседних угловых направлений,
обнаружение сигналов от одних и тех же РО, а следовательно, и
обнаружение их траекторий возможно одновременно в
нескольких соседних угловых направлениях. Для устранения
размножения траекторий необходимо проводить
отождествление обнаруженных траекторий в локальных подобластях
(областях отождествления) области обнаружения, т.е.
проводить проверку на принадлежность их одному и тому же РО.
Для организации отождествления может быть
использован, например, тот факт, что дальности обнаруженных
траекторий в соседних УН от одного и того же РО, приведенные
к одному моменту времени, отличаются друг от друга на
величину, определяемую только точностными
характеристиками измерений дальностной компоненты и точностью
значения параметров траектории движения РО. Выбрав затем из
совокупности отождествленных траекторий траекторию с
максимальным весом, представляющим собой функцию
отношения сигнал/шум, мы исключаем процесс размножения
траекторий при дальнейшей обработке информации.
Если область обнаружения состоит из одного УН, в
качестве отождествленных выдаются траектории,
обнаруженные в этом УН. Если область обнаружения состоит из одной
строки или одного столбца, отождествление производится в
двух соседних УН. В остальных случаях область
отождествления может представлять собой сектор из нескольких,
например, четырех соседних УН размером 2 χ 2 по строкам и
столбцам. Если / и j соответственно номера строки и
столбца обслуживаемого УН, отождествление производится
в УН с номерами / +1, j; -1; / +1, j:; /, j: -1; /, j . При
каждом обращении к алгоритму область отождествления
перемещается на один столбец вправо или на одну строку вниз до
34

полного просмотра области обнаружения. В другом крайнем
случае область отождествления может совпадать с областью
обнаружения.
1.3.4. Завязка траекторий, распределение единичных
замеров и оценка параметров движения
сопровождаемых РО
Обнаруженные траектории, прошедшие
отождествление, поступают на завязку. Под завязкой понимается
определение неоходимого набора параметров, характеризующих
траекторию движения РО. Начальные данные, формируемые
при завязке, необходимы для решения дальнейшей задачи
построения траектории.
В частности, если обнаруженная траектория состоит из
двух измеренных значений дальности Л, и R2 до РО, то в
качестве оценки дальности Д и радиальной скорости /ζ на
момент привязки второго замера (завязанные параметры
траектории) можно принять
В сложной радиолокационной обстановке, когда в зону
идентификации попадают несколько траекторий и несколько
замеров, возникает задача распределения единичных замеров
по траекториям. В общем случае решение задачи состоит в
формировании функции правдоподобия всех возможных
вариантов отнесения η замеров по т траекториям и выбора
максимально правдоподобной комбинации. В более простом
случае составляется матрица нормированных расстояний Li}
/-го замера (/ = 1, 2, ..., п) оту-й траектории (/' = 1, 2, ..., т) и
выбора к пар "замер-траектория", соответствующих
минимальным элементам матрицы нормированных расстояний
к - пип(л, т).
35

В общем случае нормированные расстояния Ц; могут
вычисляться по всем измеряемым координатам, например,
измерениям дальности R и угловых координат Αε и А$:
(R -R3)2 (А€ -А?)2 (А. -А3)2
/ = 1,2, ...,w, y=l, 2, ...,m,
где /^ - значение /-го единичного замера по дальности;
Ае ,Ар - значение /-го единичного замера по углам; a2R -
дисперсия дальности /-го замера; а2А , σ* - дисперсии уг-
лов 1-го замера; Rf - экстраполированное значение
дальности до /-го РО; А3 9Ар - экстраполированное значение
углов положения /то РО; σ*3 - дисперсия
экстраполированного значения дальности до/то РО; σ2 э, о2 э - дисперсии
экстраполированных значений углов положения у-го РО; η -
количество замеров в зоне идентификации; т - количество
траекторий в зоне идентификации.
В более простых случаях распределение замеров
можно вести, используя при формировании L^ только дальност-
ную компоненту. В еще более простом случае задача
распределения замеров решается для каждой траектории
независимо.
Замеры, отнесенные к траекториям, направляются для
получения текущих оценок параметров траекторий движения
объектов. По замерам, не попавшим в зоны идентификации и
не отнесенным ни к одной из сопровождаемых траекторий,
осуществляется обнаружение новых траекторий.
36

Наиболее важным и трудоемким алгоритмом
траекторией обработки информации являются алгоритмы оценки
параметров движения сопровождаемых объектов.
Результаты траекторной обработки являются не только
выходной информацией многофункциональной РЛС, а
непосредственно используются в системе планирования работы
РЛС для организации, в частности, процесса
автосопровождения РО. Поэтому дальнейшее изложение материала
связано с более подробным освещением именно этого вопроса.
1.4. Модели входных воздействий при наличии
и отсутствии аномальных измерений
Как указывалось во введении, в реальных системах
оценку параметров движения сопровождаемых объектов
приходится проводить в условиях наличия во входной
информации аномальных измерений. Поэтому для
определенности дальнейшего изложения проанализируем возможные
модели входных воздействий при наличии и отсутствии
аномальных измерений.
Рассмотрим систему, описываемую линейным
стохастическим разностным уравнением
χ,=4χΜ+Β,ξ„ (1.8)
где At = A(ti) и jB, = B(ti) - вещественные матрицы размера
η xnnnxq соответственно, xt = x(ti) - л-мерный вектор
состояния системы; ξ, - последовательность ^-мерных
независимых гауссовских случайных векторов с нулевыми
математическими ожиданиями и корреляционными матрицами
Κζι - K{tt) размера q χ qy т.е. ξί = ΛΓ(0, ΑΓς<). Запись
./ -N(mayKa) означает, что случайный ^-мерный вектор а
юдчинен нормальному закону распределения с математиче-
ким ожиданием та и корреляционной матрицей Ка:
37

N(ma,Ka)=f(ma,Ka) = \ ^{\{a-maYK;\a-ma)}.
Предполагается, что х0 подчинен нормальному закону
распределения с математическим ожиданием х0 и
корреляционной матрицей Кх , т.е. х0 =N(x0*KXq).
Пусть в моменты времени txJ2,... наблюдается
последовательность случайных /w-мерных векторов
Результаты наблюдений при отсутствии аномальных
измерений можно определить соотношением
Л=Я,х,+η,, (1.9)
при наличии аномальных сбойных ошибок можно описать
выражением [12]
>>,. =Я,х,+κ,η, + (1-κ,)θ,., (1.10)
а при наличии аномальных неинформативных наблюдений -
следующим соотношением [13]:
у, =к,[#ух, +η,] + (1-κ,>,, (1.11)
где Hi -H{tt) - вещественная матрица размера тхп; к, -
последовательность взаимно-независимых случайных
величин, принимающих с вероятностью Р(0) = Р(кг = 0) = ε
значение кг = 0, что соответствует случаю аномального
измерения, а с вероятностью Р(\) = 1 - Р(0) - значение к, =1; ηΕ;
θ,, и v. - m-мерные гауссовы дискретные белые шумы
измерений с математическими ожиданиями тц = 0, тв = 0 и
mVt = А, и корреляционными матрицами Кц ,Ке и Κν =ΚΘ 9
причем шумы Θ, и vy появляются существенно более редко и
являются более мощными по сравнению с г^.
Будем считать, что последовательности ξ,,η,,θ,,ν, и
случайный вектор х0 взаимно статистически независимы.
38

В моделях измерения (1.9) и (1.10) предполагается, что
все компоненты измеряемого вектора в каждый дискретный
момент времени является либо нормальными, либо
аномальными. В сложных измерительных системах, использующих
различные принципы измерения параметров
(радиолокационные, оптические, гидроакустические и т.п.), а также при
комплексировании измерительных систем в единый
комплекс обработки информации различные компоненты
измеряемого вектора, как правило, имеют различную степень
засорения аномальной информацией.
В частности, при радиолокационных наблюдениях с
применением пачечных сигналов и фазовых методов
измерений некоторые координаты наблюдаемых объектов
измеряются неоднозначно. В процессе устранения неоднозначности,
например, на основе метода максимального правдоподобия
неизбежно возникают сбойные измерения, вероятность
появления которых превышает вероятность появления сбойных
измерений однозначно определяемых координат. В этом
случае результаты наблюдений при наличии сбойных измерений
целесообразно определять следующим выражением [14]:
>>,=#,*,+ФЛ+(£-Ф,)в(, (1.12)
где Ф( - вещественная диагональная матрица размера /их/и
k. ° ··· о I
0 0 ... kJ
II "" II
с диагональными элементами к,;(у = 1,2, ...,т),
представляющими собой последовательности случайных величин,
принимающих значения к,-, = 0 или к,у = 1, что
соответствует случаям сбойного или нормального измерения у-й
компоненты вектора yi соответственно; Ε - единичная матрица.
При решении ряда задач в процессе обработки
информации приходится иметь дело как со сбойными, так и с не-
39

информативными измерениями одновременно. Результаты
наблюдений, содержащие наряду с нормальными (к, = 1)
сбойные (к, =0) и неинформативные (к, =-1) измерения,
можно представить в виде [15]
ί#,χ,+η, при к. =1,
yi =<#,*, + Θ, прик, =0, (1.13)
(ν,- при к, =-1.

2. ОПТИМАЛЬНЫЕ И
КВАЗИОПТИМАЛЬНЫЕ АЛГОРИТМЫ
ФИЛЬТРАЦИИ ПРИ ОТСУТСТВИИ
АНОМАЛЬНЫХ ИЗМЕРЕНИЙ
2.1. Необходимые сведения
из теории статистических решений
Остановимся кратко на основных положениях теории
статистических решений применительно к решению задачи
фильтрации. Задача фильтрации случайных неизвестных
параметров ставится следующим образом. Пусть наблюдается
случайная величина^, которая связана с параметром
динамической системы х. Необходимо, наблюдая у, дать оценку χ
величине χ или, другими словами, найти решающую
функцию χ [1,16,17].
Если потери от несоответствия оценки χ истинному
значению χ определить функцией w(xy χ), то средние потери
можно оценить с помощью условного риска:
r(x, x) = l w(x, x)f(y I x)dy,
где f{ylx) - условная плотность вероятности наблюдаемого
процесса или функция правдоподобия.
Риск г(х,х) называется условным, т.к. зависит от
параметра χ (при условии х). Если известно априорное
распределение f(x) параметра х, то можно усреднить по χ условный
риск и получить следующее выражение для определения
:реднего байесовского риска:
41

информативными измерениями одновременно. Результаты
наблюдений, содержащие наряду с нормальными (к, = 1)
сбойные (к, =0) и неинформагавные (к, =-1) измерения,
можно представить в виде [15]
\Hixi +η, при к, =1,
^ =<!#,*,+Θ, прик, =0, (1.13)
прик, =-1.
С'

2. ОПТИМАЛЬНЫЕ Ρ
КВАЗИОПТИМАЛЬНЫЕ АЛГОРИТМЫ
ФИЛЬТРАЦИИ ПРИ Of СУТСТВИИ
АНОМАЛЬНЫХ йЗ]^ЕРЕНИИ
2.1. Необходимые св*Дения
из теории статистически1* Решении
Остановимся кратко на основных положениях те^™
статистических решений применител1аН0 к решению за^
фильтрации. Задача фильтрации случай*1"* неизвестныаетс~
раметров ставится следующим образсш ПУСТЬ наблюд;ами.
случайная величина^, которая связана1 с параметром ди^ -
ческой системы х. Необходимо, наблг^Да* У> Д*™ ouwV?L*
величине χ или, другими словами, на4"™ Решающую f Ун*"
Ч*10 * [1Л6.171. „
Если потери от несоответствия оценки χ вс*т:п*
значению χ определить функцией w(x:>*) > то сРеДние πι
Можно оценить с помощью условного ^Риска-
где fiy/x) - условная плотность вере*1™00™ наблюдав0™
процесса или функция правдоподобия.-
Риск r(x,i) называется условны:1*1' т к зависит от
метра χ (при условии х). Если извести априорное
расселение /(х) параметра х, то можно ус|:РеДнить п° * У0"^
риск и получить следующее выраж£ение Для опреде.
среднего байесовского риска:
41

x = -
r(x) = Jr(x, x) f(x)dx = J JV(x, x) f{y I x)f(x)dydx .
Решение χ, минимизирующее средний риск,
называется байесовским.
Наиболее распространенной на практике является
квадратичная функция потерь:
w(x,x) = (x-x)2.
При этом байесовский риск приобретает вид
r(i) = \\{x-i?f(ylx)f(x)dydx.
Приравняв производную от r(x) no dx нулю
£^> = _2J \(x-x)f{ylx)№dydx = О,
для оптимального байесовского решения получим
ixf(ylx)f(x)dx
" f/(^/*)/(*)Л '
Преобразуем это выражение. В соответствии с
формулой Байеса можно записать
f(y,x) = fiyix)p{x) = f(x/y)p(y),
откуда, в частности, следует, что
)f(y/x)fix)<b = \f{y,x)dx = f(y), (2.1)
/|W^iMM=/^"/M , (2.2,
/00 jf(y/x)fix)dx
где fix I у) - апостериорное (послеопытное) распределение
основных параметров.
С учетом последнего соотношения выражение для
оптимальной байесовской оценки можно представить в виде
x = jxf(x/y)dx, (2.3)
т.е. оптимальное байесовское решение по критерию
минимума среднего риска при квадратичной функции потерь
представляет собой апостериорное математическое ожидание.
42

Аналогичным образом можно показать, что при
линейной функции потерь w(x,jc) = |x-i| оптимальная оценка χ
определяется как медиана апостериорного распределения, а
при простой функции потерь
[0 при |х-х|<£,
[1 при |х~х|>£г
оптимальная оценка χ соответствует максимуму
апостериорного распределения.
Нетрудно заметить, что при симметричной функции
апостериорного распределения все три решающие функции
совпадают.
В заключение отметим, что полученные результаты
справедливы и для случая, когда у их являются векторными
процессами.
2.2. Структура байесовского фильтра.
Линейный фильтр Калмана
Перепишем полученные в предыдущем подразделе
выражения (2.1) - (2.3) для случая векторных случайных
величин в дискретном времени применительно к линейным
моделям движения (1.8) и измерения (1.9) в следующем виде:
*,= ]"*,/(*, / Г, )<*,, (2.4)
-00
f(x ijrv /Cft /*<)/(*. /У.-1>
' /(У. /Ум) '
оо
/(У, /7,-.)= jf(y, /*,)/(*, 'Y,-x)dx, ,
43

Из (1.8) и (1.9) следует, что f{xi /Гь1) является гаус-
совской плотностью, не зависящей от η^, с математическим
ожиданием xih_x и корреляционной матрицей К,/м :
*1/мяА/(*|/У#.1) = 4*м, (2.5)
4,-, = <™(*, /Гм) = Д4ДТ +*,*С|Дт ·
Аналогично, плотность вероятности f(yi I Ум) также
является гауссовой с математическим ожиданием и
корреляционной матрицей, равными
M(yl/Yl_l) = Hixi/^ = Н,А,хы, (2.6)
соу(у,/7|.|) = ЯА,мЯ7+#:%.
Пусть ρΆ(τ[) - гауссова плотность распределения
шумов измерений с математическим ожиданием η, и
корреляционной матрицей ЛГ . Тогда, исходя из (1.9):
η,=^-#,*„ j-deA-1
и, следовательно,
/(й/*|) = Л(И-^).
Таким образом, /(#/*,) является гауссовской
плотностью с параметрами
М(у,/х,) = у,-Нх,у (2.7)
cov(^/x,)=/:ni.
Таким образом, входящие в выражение (2.4) для
f(Xj lYt) плотности распределения являются гауссовскими с
параметрами (2.5) - (2.7). Следовательно, для определения
апостериорной плотности распределения нетрудно получить
следующее соотношение:
/(ri/Ir<) = coiirt-exp{-iG(ri)>f
44

<?(*,) = [(*, -*„,-,)Т£"/'-,(*, -*„_,) +
+ (^-ЯЛ)т^,(>',-ЯЛ)-
-0Ί -HA^fwX^Hj +К%Г(у, -ЯД,,.,)] · (2-8)
Поскольку для гауссовской плотности распределения
среднее значение совпадает с максимумом апостериорной
плотности распределения f(xi /Yt), то для упрощения
дальнейших выкладок оценку х, будем искать на основе
максимума апостериорной плотности распределения.
Логарифм апостериорной плотности вероятности (2.8)
равен
W(*t ΙΥι) = In(const) - -G(x,).
Максимум функции In/(x,/У,) и, следовательно,
функции /(х,/У,) достигается при таком значении вектора хм
которому соответствует минимум функции G(x,).
Дифференцируя выражение для G(x,) по вектору х, и приравнивая
результат нулю, получим
откуда ^
Из этого соотношения следует следующее выражение
для байесовской оценки х, = х, вектора искомых параметров:
х, = (К-)., +Н?К^%Г\К;Ьх,,ы + Я,т*;1.у,). (2.9)
Преобразуем это выражение. Обозначим
В-^Й^+Н^Н,, (2.10)
откуда для £~/м имеем
кг/м^-я/^я,. (2.И)
45

С учетом этих соотношений представим (2.9) в виде
*t - ви№т ~Hi K^Ht)Ki-\ +втн К^У*'
и далее следующим образом:
^χ//Μ+«Τ<(λ-νι). (2.12)
Из (2.9) с учетом (2.10) получим выражение для
определения корреляционной матрицы ошибок оценок kifi с
учетом статистической независимости случайных процессов хм
nyt.
= BUiKui-\But +А/Л Kut-\HAh = Д/Л^Г/ы +Ηι Kit*H№m =
= ВтВшВт ~ Bttt = (*7//-i +HJK2-\HiYX-
Таким образом, оценка χ, и корреляционная матрица
Kt ошибки оценки фильтруемого параметра определяются
следующими соотношениями:
^/м+^И-^], (2.13)
*1,м=4*мэ (214)
£,/м=лД_Дт+^В,т, (2.15)
^ шК,мН?[Н,К„ыНТ +KJ"1 ,(2.16)
^-1=^-/м+ЯХ1Я,. (2.17)
Здесь £//м - корреляционная матрица ошибок
экстраполированных оценок £,„_, с / - 1 на / такт
работы фильтра, Wt - матрица весовых коэффициентов или
весовая матрица.
Преобразуем полученные выражения к более
удобному для реализации виду, доказав сначала два
матричных тождества.

Пусть Ρ и R - несингулярные матрицы размера η χ η и
т у. т соответственно, а Я- матрица размера т χ п. Тогда
справедливы соотношения [16]
ΡΗτ(ΗΡΗτ +R)'X =(Ρ~λ +ЯТЛ-,Я)НЯТЛ-1, (2.18)
(Р~х +HTR-xHyx =Ρ-ΡΗτ(ΗΡΗτ +RylHP. (2.19)
Тождество (2.18) доказывается следующим образом:
ΡΗτ(ΗΡΗτ +R)-1 = (Р~Х +ЯТЛ-1Я)-,(Р"1 +
+ HTR-XH)PHT(HPHT + R)~X =(Ρ-χ +
+ HTR-xHyx(HT +H7R-XHPHT)(HPHT +R)~X =
= (/>-' +HTR-xHyxHTR-x(R+HPHT)(HPHT +R)~X =
=(р-,+ят/г-,яг1я/г-1.
Аналогично для тождества (2.19) запишем
(Р~х +HTR~XH) = (Р'х +HTR~XH)[P -
-PHT(HPHT+RyxHP][P-PHT(HPHT +R)-XHP]-X.
Подставляя во второй сомножитель в правой части
тождество (2.18), получим
(Ρ-χ +HTR-lH) = (Ρ-1 +HTR-lH)[P-(P-x +
+Ητρ-χΗ)-χΗτρ-χΗΡ][Ρ-ΡΗτ(ΗΡΗτ +
+R)-XHPYX =(£,+ЯтЛ-'ЯР-ЯтЛ-1ЯР)х
χ[Ρ-ΡΗτ(ΗΡΗτ +RYlHPyx =
= [Ρ-ΡΗτ(ΗΡΗτ +R)-xHPYl.
Обращая матрицы в обеих частях равенства, получаем
тождество (2.19).
Используя тождество (2.19), из (2.17) нетрудно
получить
К, =4,ч -Κ,,^ΙΗ,Κ^Χ +К^ГН,КШ_Х .(2.20)
С учетом (2.16) соотношения (2.20) можно переписать
следующим образом:
47

К, =Klll_l-WlHlKl/l_l =[E-W,H,\ *,„_,. (2.21)
Из (2.16) и (2.18) следует, что
^=(4;/.1+ях,я()-,яХ',
откуда с учетом (2.17) нетрудно получить
W^KtfK^. (2.22)
Соотношения (2.13) - (2.15) совместно с (2.16) и (2.21)
либо с (2.20) и (2.22) представляют собой соотношения
дискретного фильтра, получившего название фильтра Калмана.
2.3. Одномерные полиномиальные фильтры
с растущей, конечной и эффективной
конечной памятью
Пусть регулярная часть фильтруемого скалярного
процесса α(ίλ), описывающего траекторию движения
радиолокационного объекта по координате α, изменяется в
соответствии с полиномом (п - 1) степени
— rf(,)a(/).
(01
Tf dt
г задачей фильтрации является определение коэффициентов
полинома о,(£д) для / = 0,1,...,и-1 по измеренным
значениям нулевого коэффициента полинома
Λ =Ж> = *о('х) = *('*)·
Тогда в выражениях (1.8), (1.9), (2.13) - (2.17), (2.20) -
(2.22) матрица Нк вырождается в \хп вектор-строку
#λ=||ΐ 0 ... 0||, вектор ух - в скаляр α(ίλ); матрица
ΚΆλ - в скаляр, численно равный дисперсии ошибки
единичного замера измеряемого параметра σ2(ίλ), ηχη матрица
прогноза Ак -A(tk) имеет вид
48

A(tx) =
1
Τχ П
7» л—1
λ
ο ι гтх ... (л-щ?
о о ι
л-2
(и-1)(и-2) „_3
элементами
10 0 0 ... (и-1)!
и χ 1 вектор-столбцов
(2.23)
хд=х(/д)
и
*д/д-1 =^('λ)*(*4-ι) являются оцененные <5((/я) и
экстраполированные я,°(^) значения коэффициентов полинома
α,(ίλ), / = 0,l,...,w-l.
Обозначим элементы корреляционных матриц оценок
Кх -K{tx) и экстраполированных оценок Κλ/λ^ =Κ°(ίλ) через
*ч«/'д) и К <>βο(ίλ) соответственно, причем
*^('д) = <^('д) πΚ^(ίλ) = σ]ο(ίλ) при/ = у, (2.24)
где σ? и σ20 - дисперсии оцененных и экстраполированных
значений коэффициентов полинома. Тогда из (2.21) следует,
что
^\*('д)^в«в}('д)
^аДО-^оо -
«·' σ2Μλ) + σ\ίλ)
ψ^9 /,7 = 0,1,..., и-1,(2.25)
и что весовая матрица Wx =W(tk) вырождается в их1
вектор-столбец с элементами w^ (ίλ), равными
М^)=*44%>/^<'д> =
"а, Ч'Д
^afyVA'
(2.26)
= *,·„· Сх) /[σ1· ('λ) + σ2 (ίλ )], / = ОД..., и -1.
α|α0 Λ' " «0
Таким образом, соотношения многомерного
(матричного) фильтра Калмана распадаются на систему скалярных
фильтров определения коэффициентов полинома
йД^) = ^(Гд) + ^(Гд)[а0(Гд)-а0°(Гд)]. (2.27)
49

В дальнейшем будем предполагать, что в (1.8)
корреляционная матрица параметров диффузии К^ диагональна и
для рассматриваемого случая имеет размерность η χ η, а
матрица Βλ тождественно равна матрице прогноза Αλ:
** =
h oo
0
0
0
о
о о
ВХ=А
λ»
(2.28)
Ьи-1,л-1[
где ξ^ - параметры диффузии (к = О,1,2,..., η -1).
Полученные таким образом фильтры, описываемые
системой скалярных соотношений (2.27), будем называть
диффузионными фильтрами.
Проанализируем сначала характеристики
диффузионного фильтра нулевого порядка (и -1 = 0), описываемого
выражениями
ά«λ) = ά(ίλ_ϊ)+να(ίλ)[ά(ίλ)-ά(ίλ_ι)],
*1(Ί-,)+#
*.('д)'
*2('д-.>+*а('д> + #!
(2.29)
^) = "Л^2('л)>
при начальных условиях (соотношениях завязки траектории)
ά(Ί) = «(Ίλ ^(0 = σ2^). (230)
Определим, чему равна дисперсия на выходе фильтра
нулевого порядка в случае нулевого параметра диффузии
ξ = 0. Для этого, расписывая соотношения (2.29),
описывающие такой фильтр при равноточных σ2(/λ) = σ2 и равно-
дискретных Τλ = Г измерениях по тактам работы фильтра,
начиная с λ = 1, получим
σ\(ίχ) = σ\ σ2ά(ί2) = σ2/2· ...; σ\^χ) = σ2/(Λ-1),
откуда следует, что
σ1«λ) = σζ/Μ we(/J = l/A.
(2.31)
50

Таким образом, соотношения для фильтра нулевого
порядка значительно упрощаются и принимают следующий
рекуррентный вид:
а(^) = а(^1)+^в(гд)[а(Гд)-а(Гд.1)], (2.32)
we(fx) = X-!.
Расписывая это соотношение по тактам работы
фильтра, начиная с Я = 1, в развернутом виде
соотношение (2.32) можно представить следующим
нерекуррентным образом:
a('J = £A(W)a(a А('д,',) = *"'. (2·33)
где h(tk,tt) - импульсная переходная (весовая) функция
фильтра; ti и tx - моменты подачи и съема воздействий
соответственно, причем 1 ^ / < λ .
Фильтры, описывающиеся рекуррентными
соотношениями (2.32), обычно называются фильтрами с растущей
памятью, а описывающиеся нерекуррентными
соотношениями (2.33) - фильтрами с конечной памятью. При этом длина
памяти Л таких фильтров определяется номером такта
Λ = λ их работы, а время памяти τ(Λ) определяется как
произведение Л на промежуток времени Τ между
равноотстоящими друг от друга измеренными значениями
координат, т.е.
Λ = λ, τ(Λ) = ΛΤ. (2.34)
Определим теперь, чему равна дисперсия на выходе
фильтра нулевого порядка в случае ненулевого параметра
диффузии ξ * О. Для этого рассмотрим выражение,
определяющее дисперсию оценки (2.29) при σ2(ίλ) = σ2:
51

2 σ2[σ^,,)+£]
σ&νΐ)- „г, т., , ч, е'
σ +σά(/Α_,)+ς
откуда для установившегося режима λ—»оо, когда
σ* (/я) = σ\ {ίλ_χ ) = σ\, имеем
σ4ά+ξσ1-σ2ξ = 0.
Решая это уравнение, получим
(2.35)
2σ2 2σ2ψ ξ
Итак, при ненулевой диффузии и при равноточных и
равнодискретных измерениях весовой коэффициент
диффузионного фильтра стремится к постоянной величине. Пусть
Μ?α(ίλ) = w0 = const при любом λ = 1,2,... Тогда
соотношения фильтра упрощаются и принимают вид
<*('*) = «('λ-ι) + waa(h)~a(h-x)\ -
(2.36)
Такие фильтры с постоянными параметрами
сглаживания получили название фильтров с эффективной конечной
памятью и подробно исследованы в [18]. Нетрудно видеть,
что при w0 = wa фильтры с эффективной конечной памятью
аппроксимируют в установившемся режиме диффузионные
фильтры.
Для линейных систем с постоянными параметрами в
случае, когда tk = t0 + λΤ, где Τ и ί0 для любого целого
λ ^ О постоянные величины, импульсная переходная функция
обладает следующим свойством:
Htx,tl) = h(tx-t,) = h(\-i), 0<ϊ<λ, (2.37)
откуда, в частности, следует, что
Σ>('λ.',) = !>·); £л('х^)Л(/х,/,) = £мОЛ<;·). <2·38)
52

Если известна импульсная передаточная функция
Φ(Ζ) стационарной дискретной системы, определяемая как
отношение Z-преобразования реакции на выходе такой
системы к Z-преобразованию воздействия на входе, то
импульсная переходная функция h(i) определяется по Φ(Ζ) через
обратное Z-прсобразование [19]:
ЫО = ^~А Φ(Ζ)Ζ'-[άΖ = ^ΐ4{φ(Ζ)Ζι-\ (2.39)
lKJ |z)=l я=1
где к - количество корней Zn(n = 1,2,...,£) знаменателя
выражения в фигурных скобках, вычет в полюсе m-го порядка
вычисляется по формуле
( \ 1 Ит~^ ι \
ΒΗ^Ζ)ΖΗ|^=ί-^^^|φ(Ζ)Ζ'-,(Ζ-Ζ.)-)ζ^.(2.40)
Применяя к обеим частям (2.36) Z-преобразование и не
меняя изображения Z-преобразования и оригинала, получим
a{tx) = ά(ίΛ)Ζ-' + w9[a(tx) -ά(/Λ)Ζ'],
откуда для определения Φ(Ζ) имеем
φ(Ζ) = *&> = ϋ s W»Z . (2.41)
ά(ίλ) 1-Q-wJZ'1 Z-(l-w0)
Используя (2.39) и (2.40) для определения импульсной
переходной функции, имеем
A(/) = w0(l-w0)'> (2.42)
и, следовательно, для оценки дисперсии на выходе фильтра с
эффективной конечной памятью в установившемся режиме
нетрудно получить
°\ -a2±h\i) = a2±^-^of =^-°2- (2-43)
/=0 /=0 * " W0
Пусть параметр диффузии равен
ξ = _Α-σ2. (2.44)
53

Тогда из (2.35) следует, что
Положив w0 = wa, из (2.43) имеем
&2ά=σ2/Α. (2.46)
Под длиной эффективной памяти диффузионного
фильтра (ξ Φ 0) понимается количество замеров Л, при
которых фильтр с растущей памятью (ξ = 0) обеспечивает
такие же точностные характеристики выходной информации,
какие диффузионный фильтр может обеспечить в
установившемся режиме, т.е.
<*'4=μ=λ=<* <2·47>
Под временем эффективной памяти диффузионного
фильтра будем понимать длину отрезка времени г(Л),
определяемого следующим образом:
г(Л) = ГЛ. (2.48)
Аналогичным образом определяется длина и время
эффективной памяти фильтров с постоянными параметрами
фильтрации.
Таким образом, если коэффициент диффузии
диффузионного фильтра определяется соотношением (2.44), а весовой
коэффициент фильтра с эффективной конечной памятью
(2.36) определяется соотношением (2.45), то эти фильтры в
установившемся режиме обеспечивают такие же точностные
характеристики, что фильтр с растущей памятью (2.32) при
λ = Л . При этом Л представляет собой длину эффективной
памяти диффузионного фильтра и фильтра с эффективной
конечной памятью.
Проанализируем теперь характеристики
диффузионного фильтра первого порядка (« — 1 = 1), описываемого
следующими соотношениями:
54

*<'1)-*('д-|)+м*д)[ад-«в('д)],
«Ч) = *('д-.)+*('4-.)Гд,
w«(^) = <U(^)/{<.('x) + »2('x)>,
^άαλ) = ^α.«.('λ)/{<.(^)+σ2(^)}, (2.49)
^(^) = ^(Гд.1)+2/:.,(Гд.1)Г,+^(Гд.1)7'д2+#00+#11Гд2)
*АР<'д) = **('д-.> + «2 Сд-.Я. +#.Л .
<й('д) = *|('д-|) + #.|.
o3ft)s».ft)^(a
^(^^('л^Сл),
ο·]('Λ)=<Γ·.-"ά(Ά)^.(Ά)>
при начальных условиях (соотношениях завязки траектории)
ά(ί2) = ά(ί2), ά(/2)={ά(ί2)-ά(ί,)}/Γ2, (2.50)
Рассмотрим сначала случай нулевых коэффициентов
диффузии ξοο =ξη = 0, равноточных σ2(ίλ) = σ2(ίλ_,) = σ2 и
равнодискретных 7*λ = 7^., = Г измерений. Тогда,
расписывая соотношения (2.49) с учетом (2.50) по тактам работы
фильтра, получим
a(tx) = a\tx)+wa(tx)[a(tx)-a'>(tx)]>
^д)-^д-,)+^(/дИ*('д)-«0('д)],
а°(Гд) = а(Гд.1)+у(Гд.1)(
, ч 2(2λ-1) . ч 6 ,....
ν*(*ύ = — -, ww(i,)= , (2.51)
α λ λ(λ + 1) νΚχ' λ(λ + 1)
55

,„, 2(2Λ-1)_,
<ГД',) = — ~ff- K-M.) = σ\
" χ Λ(Λ+1) аУ λ Λ(Λ+1)
где ν(/λ) = ά(ίλ)7* - приращение координаты за промежуток
времени Т.
Представим соотношения (2.51) в следующем
нерекуррентном виде:
«('л) = ЕМ'я>0«(а (2.52)
А
ν(Ά) = ΣΛν(<Λ,',)"(',)
i=\
и найдем выражения для определения импульсных
переходных функций ha(tx,t,) и Αν(ίλ,/,)
Расписывая для этого рекуррентные соотношения
(2.51) в развернутом виде, начиная с (λ - 2)-го такта работы
фильтра, имеем
а('д-2) = Я('л-2)«('л-э) +«('д-2)*'л-э) + >"а('л-2)«('л-2) =
... + wa(tx_2)a(tx_2),
%-2) = b(tx_2)v(tx_,) - wv(tx.2)a(tx_3) + ννν(ίΛ.2)ά(^_2) =
•· + Χ'ν('λ-2)α(ίλ-2).
ά{ίλΑ) = ...+α(^.,Κ(ίΛ.2)«(/Λ.2) +α(^>ν(ίΑ_2)ά(Γ,_2)+
+ ^«('χ-ι)δ('λ-ι). (2·53)
ν(^.)) = ...+*(^.1Κ(/Α.2)ά(ί/1.2)-></ν(/Α.1)ίνα(^.2)ά(ίΛ.2) +
+ *М'хч )«('*-■)>
ά(ίΛ)= ... + 4№н>аЪ^ы)+<^£ь.№!ид+
~ wv ('λ-ι )w« ('x-2 )«('λ-2) + wv Cx-i )5('λ-ι)} + wa Cx )5('λ),
«Cx^l-w.Cx). *('λ) = 1-"\,('λ)· (2 54)
56

Сравнивая между собой (2.52) и (2.53), имеем
M'xA) = wa('x)>
К ('λ, 'λ-ι) = «('λ Ж Cx-i) + wv ('λ-j)), (2.55)
-WyCx-i^aCx-a».
или с учетом (2.51) и (2.54)
, . . 4λ-2 , , ч 4λ-8
Μ'χΛ)= , ... Μ'χΛ-ι) =
λ(λ + 1)' ανλ'λ-1/ λ(λ + 1)'
*»<'^-')=S <2·56)
Из (2.56), в частности, следует, что
ЫкА-г) "ACxA-i) =KfixArt)-Kfo.ti = -y£^ =
= -wv(tK), (2.57)
Μ'χΛ) = Μ'χΛ)~(λ-/Κ(ίλ) = ^^^ » <2·58>
где / = λ,λ-2. Аналогичным образом можно показать, что
соотношение (2.58) справедливо для любого i = λ, λ -1,..., 1 и
что в (2.52)
ι г ν 12/ — 6 λ — 6 .. .m
Фильтры, описываемые рекуррентными
соотношениями (2.51), обычно называются фильтрами с растущей
памятью, а описываемые нерекуррентными соотношениями (2.52)
совместно с (2.58) и (2.59) - фильтрами с конечной памятью.
При этом длина памяти Λ и время памяти таких фильтров
определяются соотношением (2.34).
Пусть теперь коэффициенты диффузии не равны нулю,
те· ξοο *0,ξη * 0■ Тогда можно показать, что при
равноточных и равнодискретных измерениях в установившемся ре-
57

жиме (λ-»οο) весовые коэффициенты ^α(ίλ) и wv{tx)
диффузионного фильтра по координате и приращению
координаты ν(ίλ) = ά(ίλ)Τ стремятся к постоянным величинам
"α (Ο = "α('λ-ΐ) = "α> "ν('λ> = *ν('λ-ΐ) = "ν > (260)
причем если коэффициенты диффузии равны
S00 д2 { >Sll Г2(д2_1)(л2_4)
то справедливы соотношения
^v = ————17 · (2-62>
α (Α + 1)(Λ + 2) ν (Α + 1)(Α + 2)
Пусть wa (f λ) = w0 = const, wv (ΐλ) = wx = const при
любом λ = 1,2,... Тогда соотношения фильтра первого порядка
(2.49) существенно упрощаются и принимают вид
a(tx) = a°(tx) + w0[a(tx)-a°(tx)]9
ν('Λ) = v(^) + и'1[й(Гд) -α°«λ)], (2.63)
«Ч> = *('«> + *('«>.
при начальных условиях (соотношениях завязки траектории)
а(Г2) = а(Г2), v(i2) = a(r2)-a(g.
Такие фильтры с постоянными параметрами
сглаживания получили название фильтров первого порядка с
эффективной конечной памятью.
Используя изложенную выше методику определения
характеристик стационарных дискретных систем, нетрудно
получить, что дисперсии ошибок оценки координаты ά и
приращения координаты ά определяются соотношениями
о* = 2"*-*»*Щ+2щ^ (264)
w0(4-2w0-w,)
σ; = 1 σ2.
w0(4-2w0-w,)
58

Подставив соотношения (2.62) в (2.64) при w0 = wa и
Wj = wv, получим
? = 2(2Λ-1) 2 σ?=_1|_
л А(А + 1) ' ν Λ(Λ2-1)
Из сравнения этого соотношения с (251) следует, что
если коэффициенты диффузии определяйся соотношением
(2.61), а весовые коэффициенты фильтра с эффективной
конечной памятью (2.63) определяются соотношениями (2.62),
то эти фильтры в установившемся режиме (λ -> оо)
обеспечивают такие же точностные характеристики, что и фильтр с
растущей памятью (2.51) при λ = Л . ПрЛ этом Л
представляет собой длину эффективной конечной памяти
диффузионного фильтра и фильтра с эффективной конечной памятью.
Следуя изложенной в данном разделе методике, можно
проанализировать характеристики фильтров более высокого
порядка.
2.4. Оценка параметров движения
космических объектов на внеатмосферном
и атмосферном участках полета
В условиях ограниченных возможностей
вычислительной техники, что обычно имеет место э реальных
разработках, точность выходной информации алгоритма оценки
параметров движения многих космически* объектов (КО)
является хотя и главным, но не единственным определяющим
моментом. Немаловажное значение имеют также и такие
характеристики алгоритма, как количество арифметических
операций и объем памяти, необходимые для его реализации
на ЦВМ. Другими словами, при разработке алгоритмов,
предназначенных для реализации на ЦВМ многоцелевых
РЛС, на первый план выдвинулись задачи построения
простых в вычислительном плане алгоритмов, способных с
приемлемой точностью обеспечить сопро^ожд6™6 многих объ-
59

ектов при ограниченном быстродействии ЦВМ. Это
заставляет, в частности, более тщательно выбирать систему
координат, в которой производится обработка.
Рассмотрим особенности построения алгоритмов
определения параметров движения космических объектов с
использованием декартовой и биконической
(радиолокационной) систем координат РЛС, а также особенности реализации
этих алгоритмов на ЦВМ.
В [20] рассмотрены и исследованы алгоритмы оценки
параметров движения КО, построенные по схеме:
многомерная рекурентная фильтрация и прогнозирование в декартовой
системе координат. С одной стороны, в декартовой системе
координат достаточно просто можно описывать движение
КО, ограничиваясь аппроксимацией регулярной части этого
движения полиномами невысокой степени, причем на
внеатмосферном участке полета фактически приходится
определять только первые два коэффициента полинома, в то время
как, например, третий, соответствующий ускорению, можно
сравнительно точно определить по первым двум на основе
использования уравнений движения КО, вычисляя величину
ускорения силы тяжести, кориолисова ускорения и т.д. При
входе снижающегося КО в атмосферу Земли в вектор
оцениваемых параметров и в уравнения движения дополнительно
вводятся параметры, характеризующие аэродинамическое
торможение.
С другой стороны, матрица ошибок единичных замеров
РЛС при пересчете в декартову систему теряет свойство диа-
гональности, в результате чего алгоритм, построенный по
указанной схеме, имеет матричную структуру. При этом
корреляционная матрица ошибок измерений в декартовой
системе координат может оказаться плохо обусловленной, в
результате чего реализация алгоритма на ЦВМ может оказаться
неустойчивой [10].
Нетрудно показать, что если эллипсоид ошибок
измерений в декартовой системе координат не меняет своей
ориентации или (что в рассматриваемом случае то же самое) ес-
60

ли угол Δε поворота вектора дальности за время работы
равен нулю, то многомерная оптимальная фильтрация
вырождается в одномерную, покоординатную фильтрацию.
Вырождение многомерной фильтрации в одномерную имеет место
также и в случае, когда корреляционная матрица ошибок
измерений является диагональной. Следовательно, если для
случая, когда Δε существенно не равен нулю и
корреляционная матрица ошибок измерений не является диагональной,
формально положить недиагональные элементы этой
матрицы нулевыми, то, с одной стороны, получается выигрыш в
простоте реализации полученного таким образом фильтра на
ЦВМ, а с другой - проигрыш в флуктуационной точности по
сравнению с оптимальным фильтром тем больше, чем
больше Δε.
Другой способ упрощения реализации алгоритма
оценки параметров движения КО на ЦВМ основан на том, что
корреляционная матрица ошибок измерений в
радиолокационной (биконической) системе координат диагональна. Этот
способ сводится к замене рассмотренной схемы построения
алгоритма на следующую схему: одномерная рекуррентная
фильтрация в радиолокационной, а прогнозирование в
декартовой системе координат.
Таким образом, при дальнейшем изложении будем
полагать, что алгоритм оценки параметров движения
сопровождаемых объектов построен по комбинированной схеме, в
которой одномерная рекуррентная фильтрация
осуществляется в биконической, а прогнозирование в декартовой
системе координат. Соотношения для одномерной фильтрации
получены из соотношений многомерного рекуррентного
фильтра Калмана при диагональной матрице ошибок измерений в
предположении, что с течением времени ориентация
эллипсоида ошибок измерений не меняется. Таким образом,
степень неоптимальности алгоритма фильтрации определяется
степенью изменения угла между вектором скорости КО и ли-
61

нией визирования на отрезке времени, соизмеримом с
временем эффективной памяти фильтра.
В процессе фильтрации на выходе алгоритма оценки
параметров движения формируются векторы положения и
скорости движения КО, а при снижении КО ниже граничного
значения высоты Н0 дополнительно формируется вектор
баллистического коэффициента КО. По результатам
фильтрации на основе уравнений движения определяются
ускорение силы тяжести, кориолисово и аэродинамическое
ускорения.
Рассмотрим структуру алгоритма оценки параметров
движения КО более подробно.
На внеатмосферном участке полета, используя
измеренные значения δ(ίλ) биконической координаты
α = {/?,Λε,Λβ}, в момент времени tx на основе соотношений
фильтра первого порядка (2.49) производится оценка коор-
А
динаты cc(tA) и скорости измерения координаты ά(ίλ)
сопровождаемого КО. При входе в атмосферу дополнительно
возникает ускорение аэродинамического торможения
*('*> = -\y*t*x)№(toy(tk№x) = -Ча(*х№х№х), (2.66)
ρ(0 = ρ[#(0]^,
гДе Υα('λ) - баллистический коэффициент КО; Q(tk)
-приведенный скоростной напор; V{tx) - модуль скорости
движения КО; p[H(tx)] - плотность атмосферы на высоте
<^('λ)> причем при экспоненциальной аппроксимации
плотности атмосферы
Ρ[#(>λ)1 = Ро ехр{-рЯ(Г,)}, р0 = 1.22 кг/мэ, β = ^ м1.
Здесь р0 - плотность атмосферы на поверхности
Земли.
62

Нетрудно заметить, что для рассматриваемого случая в
(1.8), (1.9), (2.13) - (2.17), (2.20) - (2.22) матрица #λ
вырождается в 1 χ 3 вектор-строку Нх = ||1 0 θ||, вектор χλ и
матрица Αλ имеют следующий вид:
*НИ'Х ><*('* )Υα('λ)|Τ>
il Tx -F0a(tJ
Λ(ίλ)=0 1 -F,a(ix)||, (2.67)
10 0 1
T:
f
F0a(O = Q(^)a(^)-f,
Fl*(tx) = Q(tx_l)a(tx_l)Tx,
В этом случае соотношения фильтра для оценки
параметров движения входящих в атмосферу КО имеют вид:
а(О = а0(Гд)+^ав{а(гд)-а°(гд)},
a(h) = a\tx) + W^m,) - a°(tx)}, (2.69)
А А
где cc{tx) и ά(ίλ) - оценки биконической координаты и
скорости ее изменения; α°(ίλ) и ά°(ίλ) - экстраполированное
значение биконической координаты и скорости ее
изменения; fa(tx) -оценка баллистического коэффициента;
^aa > ^шх > ^αγ ~ весовые коэффициенты, определяемые
следующим образом:
^αμ =^α(^) ^αμ(^), μ = Κά,Υα}. (2.70)
Здесь: Pa{tx) - вес измерения биконической
координаты, обратно пропорциональный дисперсии ошибки
измерения; К^ (ίλ) - элементы корреляционной матрицы
А=*«('л) = КМ1 H>v = {a,a,Ya} (271)
ошибок оценок, причем:
63

ι+Ρα0λ)Ο'λ)
В этом соотношении λ^μ(ίλ) - элементы
корреляционной матрицы
4H=«!W=KM (2·73>
ошибок экстраполяции координат КО с ίλ_, на /λ момент
времени.
Элементы матрицы К^ (ίλ) связаны с элементами
матрицы ΑΓα(/λ_!) соотношением
θ0=Α'λ){κΦ('λ-,)+£>('λ)Μτ('λ),
Ж'хН
о ξά о
0 0 0
(274)
где ξμ(μ = α,ά) - коэффициенты диффузии; ΑΓ*(ίλ_,)
-корреляционная матрица, получаемая из Ка (/λ_,) ограничением
снизу величиной Dy (/λ) корреляционного элемента
Следует отметить, что ограничение снизу элементов
корреляционной матрицы Κα(ίλ_λ) ошибок оценок так же,
как и введение коэффициентов диффузии, приводит к
уменьшению длины эффективной памяти фильтра и тем
самым к уменьшению динамической ошибки на выходе
фильтра, обусловленной наличием ошибки аппроксимации
истинного движения КО полиномом невысокой степени.
Экстраполяция биконических координат с tk_x на ίλ
момент времени осуществляется в три этапа. На первом этапе
А AAA A ? ? ?
оценки a = {R,Ae9Aft}9 a = {R9Ae9Afi), γα ={yR,rAe,yA/}},
полученные в ίλ_! момент времени на основе соотношений (1.1)
64

fli (1.2), пересчитываются в местную прямоугольную систему
(координат, в результате чего получаются а0 ={Χ,Υ,Ζ},
αλ ={Χ,Ϋ,Ζ) и матрица оценок составляющих
баллистического коэффициента Га.
По известным а0,ах и Га определяется второй
коэффициент полинома движения КО
*2 ('λ-l ) = *1БА <'λ-| ) + «2А ('λ-l ) > (2-75)
составляющие которого определяются ускорениями,
вычисленными в предположении отсутствия (безатмосферный
участок) и наличия аэродинамического торможения
соответственно, причем
«2А (tM) = Qif^ )Г„ (ίλ_, )α, (tM), (2.76)
где β(*λ_ι) определено в (2.74).
В простейшем случае при сферической модели Земли и
учете только кориолисова ускорения выражение для
определения cf2EA(t^x) имеет вид
2α
(t ) = ^
2EA\'H-\f
Ρ
Ζ{ίχ_χ)ωχ -X(tx.>z
G = &,
Ρ
ωχ=0; i»r=osinO; oz=i»cosO,
где R - дальность до КО; р - расстояние от центра Земли до
КО; G0 и G - ускорения силы тяжести на поверхности
Земли и в точке нахождения КО; R3 - радиус Земли; ω -
угловая скорость вращения Земли; Φ - широта точки стояния
РЛС
R3 =6367 км; ω = 0.73· КГ4 1/с, G0 =9.8 м/с2.
65

В более сложных случаях при расчете а2БА (ίλ_,)
необходимо учитывать несферичность Земли, переносное
ускорение и т.д. [17].
На втором этапе проводится экстраполяция декартовых
координат с ίχ_λ на tx момент времени по формулам
*о°('х) = 2>1('л-1)^ . *ι0('λ) = Σ'«Λ'χ-ι)Γ,ί"1 -(2.77)
i=0 ί=1
На третьем этапе экстраполированные декартовы
координаты на основе соотношений (1 Л) и (1.2) пересчитываются
в БСК, в результате чего получаются экстраполированные
значения a0 ={R°,Α^,Α^} и ά° ={Λ°,^4ε,ν4ρ} биконических
координат КО на момент времени tx.
Если КО движется в направлении на РЛС, то
практически вся информация о баллистическом коэффициенте
содержится в единичных замерах дальности до КО. В этом случае
структуру описанного выше алгоритма оценки параметров
движения можно упростить. Упрощение состоит в том, что
оценка угловых биконических координат α = {Αε,Αρ}
осуществляется по формулам (2.66) и (2.67) без оценки
баллистического коэффициента по формуле (2.68). Кроме того, не
производится расчет весового коэффициента Way по
формуле (2.69), в (2.71) обходится вычисление элементов ΛΓνμ при
ν = γα и μ = γα, причем сама корреляционная матрица
Ка (ίλ) ошибок оценок имеет вид
к«.('л) ***Сх) о 1
*«('х) = к*('х) *«ά('λ) 0 · (2-78)
I о о куу\\
II 'Дул II
При экстраполяции по формуле (2.73) вычисляются
только корреляционные элементы А^,АГ°аи ΛΓ?ά и, нако-
66

нец, в (2.76) принимается, что Га = yRE, где Ε - единичная
матрица.
Еще более существенное упрощение алгоритма
достигается при наличии полной априорной информации о
величине баллистического коэффициента КО γ и его точности
Κν . В этом случае оценка γ не производится, а для
экстраполяции координат и скорости КО используются априорные
значения γ, т.е. в (2.76) полагается Га = уЕ.
2.5. Оценка параметров движения спутников-
ретрансляторов на геостационарных орбитах
в системах спутниковой связи
В настоящее время в России широкое распространение
получили системы спутниковой связи с использованием
спутников-ретрансляторов (СР) на геостационарных орбитах.
Для построения таких систем в основном используются
спутники отечественного производства. Эти группировки
характеризуются неточностью удержания на орбите порядка
единиц градусов, что требует использования в составе
станций спутниковой связи системы автоматического наведения
и сопровождения СР даже для малых антенных систем.
Наиболее точным методом автосопровождения
является метод, основанный на моноимпульсном способе
измерения угловых координат. Однако в силу его дороговизны он
применяется только в больших антенных системах.
Для малых и средних антенных систем, как правило,
используют методы программного наведения или системы
автосопровождения, работающие по максимуму
принимаемого сигнала (экстремальные автоматы). Каждый из этих
методов имеет свои достоинства и недостатки.
К достоинствам метода программного наведения
следует отнести простоту реализации, к недостаткам -
необходимость периодической коррекции траектории движения ан-
67

тенной системы из-за неточности часов и медленных
изменений траектории движения СР с течением времени.
К достоинствам систем автосопровождения,
работающих по максимуму принимаемого сигнала, следует отнести
постоянный контроль местоположения СР, к недостаткам -
нестабильность работы в сложной помеховой обстановке.
Представляет интерес также рассмотрение
комбинированной системы автосопровождения, работающей по
принципу программного наведения с коррекцией параметров
траектории движения СР по методу поиска максимума
принимаемого сигнала. Такое сочетание двух методов позволяет в
максимальной степени использовать преимущества каждого
из них при одновременном устранении присущих им
недостатков.
Рассмотрим принципы организации
автосопровождения СР на геостационарных орбитах на основе решения
задачи оценки параметров движения СР относительно
стационарной орбиты.
Движение спутника по стационарной орбите
происходит в восточном направлении, период его обращения Тс
равен звездным суткам Гзв, а эксцентриситет е и наклонение
орбиты ι равны нулю:
Тс =7;в *86164с(23Л56т04*), е = 0, / = 0. (2.79)
При прочих равных условиях из-за отклонений
элементов практически реализуемой орбиты от их номинальных
значений, а также из-за наличия притяжения Луны и Солнца,
движение СР происходит по орбите, несколько
отличающейся от стационарной. Если такие отклонения невелики, то
орбита называется квазистационарной или геостационарной.
Как показали исследования [21], наличие наклонения
орбиты СР к плоскости экватора (/ Φ 0) приводит к тому, что
подспутниковая точка непрерывно перемещается с течением
времени / как по широте φ, так и по долготе λ:
φ = arcsin(sin / sin θ),
68

. cos/sin θ
λ = arcsin-===== - θ, (2.80)
Vl-sin2 /cos2 θ
у»
При ι «1 спутник совершает гармонические
колебания по широте с амплитудой A^=i и периодом, равным
периоду обращения спутника Гзв, а по долготе - с амплитудой
Αλ =/2/4 и периодом Т2Ъ/2. Нетрудно заметить, что при
/ «1 движением спутника по долготе можно пренебречь.
При наличии не равного нулю эксцентриситета е Φ 0
движение спутника можно рассматривать как гармоническое
колебание
X = 2esin9 (2.81)
с амплитудой Αλ = 2е и периодом Гзв.
При Тс *Т2Ъ спутник смещается по долготе
относительно земной поверхности на Восток при Тс < Тм и на Запад
приГс >ГЗВ.
Пусть ε и β - соответственно азимут и угол места
положения геометрической оси антенны. Тогда траекторию
движения геостационарного СР в системе отсчета углов
антенны α = {ε, β} можно аппроксимировать следующим
образом:
α(0=Σ^/ +Σ^8ώ(2πΛ'< "Φ*). С2·82)
где Aj9Bk - коэффициенты разложения траектории СР по
полиномиальным и периодическим составляющим; fk -
гармоническая составляющая движения СР.
Таким образом, рассмотренная аппроксимация (2.82),
основанная на представлении модели движения СР в виде
суперпозиции полиномиальных и гармонических состав-
69

ляющих движения, позволяет с высокой точностью
оценивать координаты СР. Ниже рассматриваются разработанные
на ее основе алгоритмы оценки параметров движения и
прогнозирования углового положения подвижных СР.
Рассмотрим сначала задачу оценки и прогнозирования
гармонической составляющей движения СР в случае, когда в
(2.82) все коэффициенты разложения Вк = О за исключением
одного β,, соответствующего частоте j\=\ll\B. В этом
случае гармоническая составляющая движения СР
описывается выражением
аг(^) = В} sin(27c/jr. -φ,) = acosa>i. +6sin<ofl·, (2.83)
a = Bx sin φ,, Ь = В, cos §x, ω = 2π/}.
Таким образом, задачу оценки параметров движения
гармонической составляющей движения СР можно
сформулировать как задачу оценки параметров движения линейной
системы
Ik II II ι ο Η
h = Aixi-\> xi =1 ; А- = Ι Λ , > (2-84)
II м1 II И
по результатам наблюдений
у, =#,*,· + η,; Я, =||coscor, sincor,||, (2.85)
где η; - шум измерений с нулевым математическим
ожиданием и дисперсией σ2(η,).
При квадратичной функции потерь байесовская оценка
х, полезного сигнала х, при модели измерений (2.85)
описывается приведенными выше соотношениями (2.13) - (2.15),
(2.20) - (2.22) фильтра Калмана. Учитывая, что в
рассматриваемом случае ΚΆι =σ2(η,), а матрицы Ai и Hi определены
в (2.84) и (2.85), соотношения фильтра Калмана принимают
вид [22]
70

b,=bM+w2(tlXy,-yf),
у; = <5M cos # ί, + 6, sin # f,.,
wi(0 = {Μ',-ι)°οδ*> f, +^ι2(Λ-ι)δίη^ Φσϊ>
σ82 = kn{tiA)cos2ω ί{ + 2Ηη(ΐίΑ)ύηω t.costo /,·+
2 -> (2.86)
+*22(fM)sin ω tt+a-fa >),
M'l> = Λΐ(0Μ^) +Д2(ОМЫ
МО = А2(ОМ^ч) +Д2(ОМ'м),
МО = Л1(ОМ'м) + />22(ОМ'м)>
Λΐ (О = {1-^,(^)008© Г,},
/'22(0 = {1-W2(i.-)sini» 0>
где £дап(0 - элементы корреляционной матрицы ошибок
оценок К,, /и, л = 1, 2.
На основе полученных оценок (2.86)
экстраполированное на момент времени tj > ti положение СР определяется по
формуле
аэг (t.) = α, cos ω tj + bt sin 0 ^. (2.87)
Если теперь в (2.82) оставить т гармонических
составляющих, то оценки параметров движения СР по-прежнему
описываются соотношениями фильтра Калмана, в котором
векторы xi и Η · имеют размерности 1 χ 2/w, а матрицы Ai,
К, и К//м - размерность 2т χ2т.
Рассмотрим один из возможных вариантов построения
системы автосопровождения СР более подробно.
Выполнение возложенных на систему автосопровождения задач
осуществляет программное обеспечение (ПО), реализованное на
71

ляющих движения, позволяет с высокой точностью
оценивать координаты СР. Ниже рассматриваются разработанные
на ее основе алгоритмы оценки параметров движения и
прогнозирования углового положения подвижных СР.
Рассмотрим сначала задачу оценки и прогнозирования
гармонической составляющей движения СР в случае, когда в
(2.82) все коэффициенты разложения Вк = О за исключением
одного В}, соответствующего частоте /, =1/Γ3Β· В этом
случае гармоническая составляющая движения СР
описывается выражением
аг(^) ^BiSinilnfitj ~^l) = acosa>ti +6sincDf,, (2.83)
а = β, sin φ1, b = By cos φ1, ω = 2π/}.
Таким образом, задачу оценки параметров движения
гармонической составляющей движения СР можно
сформулировать как задачу оценки параметров движения линейной
системы
II «И II II
по результатам наблюдений
у, = Я,х, +η,; Я, = |cosa>f,. sincoГ,||, (2.85<
где η, - шум измерений с нулевым математическим ожида
нием и дисперсией σ2(η,).
При квадратичной функции потерь байесовская оценю
х, полезного сигнала х, при модели измерений (2.85) опись;
вается приведенными выше соотношениями (2.13)-(2.1? ι
(2.20) - (2.22) фильтра Калмана. Учитывая, что в рассматрм
ваемом случае ΑΓη. =σ2(η,), а матрицы Ai и Я, определен'··
в (2.84) и (2.85), соотношения фильтра Калмана принимай -
вид [22]
70

", '', ι ' MOO', >'Λ
У, ' - <3,-_ι cos ω t. + bi sin ω ti9
^'](ii) = {lcn(ii_l)cos0 f.+*l2(/,_,) sin ω r,}/crs2,
w2(^) = {/r12a7_1)cosi& t^k^t^)sin ω ί,}/σ82,
as = *n (^--1) °°s2 ω ti + 2£12(iM) sin ω ti cos ω t{ +
-> ? (2.86)
+£22(',-i)sin2ω ^+σ2(/7 i),
MO = Al<OM^ +Λ2<ΟΜ'μ)>
MO = A2ft>M^)+ А2(ОМ'м)>
MO = />2l(OM^) + />22(OM^-l)>
Ai(ii) = {l-w1(ri.)cosi» f,}?
/ΜΟ^-^ίΟ*11^ 0>
/?2l(r,) = -H,2COS^ ',>
где ктп(^) - элементы корреляционной матрицы ошибок
оценок К,, /w, л = 1, 2.
На основе полученных оценок (2.86)
экстраполированное на момент времени tj > tt положение СР определяется по
формуле
аэг (*,) = а{ cos ω ti + bt sin ω tj. (2.87)
Если теперь в (2.82) оставить т гармонических
составляющих, то оценки параметров движения СР по-прежнему
вписываются соотношениями фильтра Калмана, в котором
■екторы xi и Hi имеют размерности 1 χ 2т, а матрицы А,,
Г* А
1С, и К(/м - размерность 2т χ2т.
\ Рассмотрим один из возможных вариантов построения
истемы автосопровождения СР более подробно.
Выполнение возложенных на систему автосопровождения задач
осуществляет программное обеспечение (ПО), реализованное на
71

пример, сигнал с модема, характеризующий величину
отношения уровня сигнала к уровню шума. С ПЭВМ на аппарату
ру подаются коды, характеризующие направление движения
антенны по азимуту и углу места. С приводов на ПЭВМ
поступают импульсы, расстояние между которыми
характеризует величину перемещения антенны. Расстояние между
соседними импульсами характеризует шаг перемещения антен
ны, который является удобной величиной для измерения
относительного положения антенны для организации
автоматического сопровождения СР.
В случае, когда текущее положение геометрической
оси антенны точно неизвестно, например, при первом
запуске системы, для его определения привод антенны по каждой
из координат перемещается до упора с подсчетом количества
шагов (прямой ход), а затем на такое же количество шагов
перемещается в исходное положение (обратный ход).
Информация, полученная при прямом и обратном ходе привода,
отображается на дисплее. Поскольку положение упора
принимается условно за нулевое, то количество шагов
определяет угловое положение геометрической оси антенны,
В автоматическом режиме реализуется два подрежима
работы системы:
- поиск максимума сигнала и уточнение параметров
движения СР;
- движение по экстраполированным значениям
траектории.
Построение траектории движения СР по измеренным
значениям координат осуществляется периодически с
периодом Та. По мере набора информации период уточнения
параметров траектории увеличивается до заданного значения
То·
В случае, когда при обращении с СР сигнал от него
отсутствует, например, из-за проводимых на СР регламентных
работ, возможны два варианта работы ПО. Если Та=Т0, т.е.
в случае, когда траектория движения СР уже достаточно хо-
72

рошо известна, можно осуществлять переход в режим
движения по экстраполированным значениям. При Та <Т0, т.е.
в случае, когда траекторию движения СР еще нельзя считать
достоверной, можно дополнительно организовать поиск
сигнала в ограниченной области пространства.
Ход автоматического сопровождения отображается на
мониторе, где в цифровом виде выводятся текущие значения
положения привода, параметры движения СР и
индицируются возникающие ошибки функционирования. Изменение
параметров системы сопровождения осуществляется с
клавиатуры ПЭВМ.
2.6. Особенности оценки параметров движения
и прогнозирования положения подвижных ФАР
высокоточных многоканальных РЛС
Как указывалось выше, планирование работы
многоканальных РЛС с подвижной ФАР состоит в прогнозировании
положения выбранного для обслуживания РО на очередной
момент излучения зондирующего импульса, выставке луча в
спрогнозированное угловое направление, стробировании
полученных радиолокационных отметок, формировании
измерений координат и оценке параметров движения
сопровождаемых РО.
Для того чтобы направить луч в заданное угловое
направление, необходимо в текущий момент времени t знать
положение ФАР на момент времени f3 > t излучения
зондирующего сигнала. Для этого требуется организация
прогнозирования положения ФАР по результатам предыдущих
измерений ее положения до момента t. Кроме того, поскольку
моменты излучения зондирующего сигнала, вообще говоря,
не совпадают с моментами измерения углового положения
ФАР и в силу неизбежных задержек в системе обработки
информации РЛС, для обеспечения оценки параметров движе-
73

пример, сигнал с модема, характеризующий величину
отношения уровня сигнала к уровню шума. С ПЭВМ на
аппаратуру подаются коды, характеризующие направление движения
антенны по азимуту и углу места. С приводов на ПЭВМ
поступают импульсы, расстояние между которыми
характеризует величину перемещения антенны. Расстояние между
соседними импульсами характеризует шаг перемещения
антенны, который является удобной величиной для измерения
относительного положения антенны для организации
автоматического сопровождения СР.
В случае, когда текущее положение геометрической
оси антенны точно неизвестно, например, при первом
запуске системы, для его определения привод антенны по каждой
из координат перемещается до упора с подсчетом количества
шагов (прямой ход), а затем на такое же количество шагов
перемещается в исходное положение (обратный ход).
Информация, полученная при прямом и обратном ходе привода,
отображается на дисплее. Поскольку положение упора
принимается условно за нулевое, то количество шагов
определяет угловое положение геометрической оси антенны.
В автоматическом режиме реализуется два подрежима
работы системы:
- поиск максимума сигнала и уточнение параметров
движения СР;
- движение по экстраполированным значениям
траектории.
Построение траектории движения СР по измеренным
значениям координат осуществляется периодически с
периодом Та. По мере набора информации период уточнения
параметров траектории увеличивается до заданного значения
Τ
В случае, когда при обращении с СР сигнал от него
отсутствует, например, из-за проводимых на СР регламентных
работ, возможны два варианта работы ПО. Если Та=Т0, т.е.
в случае, когда траектория движения СР уже достаточно хо-
72

рошо известна, можно осуществлять переход в режим
движения по экстраполированным значениям. При Та <Т0, т.е.
в случае, когда траекторию движения СР еще нельзя считать
достоверной, можно дополнительно организовать поиск
сигнала в ограниченной области пространства.
Ход автоматического сопровождения отображается на
мониторе, где в цифровом виде выводятся текущие значения
положения привода, параметры движения СР и
индицируются возникающие ошибки функционирования. Изменение
параметров системы сопровождения осуществляется с
клавиатуры ПЭВМ.
2.6. Особенности оценки параметров движения
и прогнозирования положения подвижных ФАР
высокоточных многоканальных РЛС
Как указывалось выше, планирование работы
многоканальных РЛС с подвижной ФАР состоит в прогнозировании
положения выбранного для обслуживания РО на очередной
момент излучения зондирующего импульса, выставке луча в
спрогнозированное угловое направление, стробировании
полученных радиолокационных отметок, формировании
измерений координат и оценке параметров движения
сопровождаемых РО.
Для того чтобы направить луч в заданное угловое
направление, необходимо в текущий момент времени t знать
положение ФАР на момент времени f3 > t излучения
зондирующего сигнала. Для этого требуется организация
прогнозирования положения ФАР по результатам предыдущих
измерений ее положения до момента t. Кроме того, поскольку
моменты излучения зондирующего сигнала, вообще говоря,
не совпадают с моментами измерения углового положения
ФАР и в силу неизбежных задержек в системе обработки
информации РЛС, для обеспечения оценки параметров движе-
73

пример, сигнал с модема, характеризующий величину
отношения уровня сигнала к уровню шума. С ПЭВМ на
аппаратуру подаются коды, характеризующие направление движения
антенны по азимуту и углу места. С приводов на ПЭВМ
поступают импульсы, расстояние между которыми
характеризует величину перемещения антенны. Расстояние между
соседними импульсами характеризует шаг перемещения
антенны, который является удобной величиной для измерения
относительного положения антенны для организации
автоматического сопровождения СР.
В случае, когда текущее положение геометрической
оси антенны точно неизвестно, например, при первом
запуске системы, для его определения привод антенны по каждой
из координат перемещается до упора с подсчетом количества
шагов (прямой ход), а затем на такое же количество шагоь
перемещается в исходное положение (обратный ход). Ин
формация, полученная при прямом и обратном ходе привода
отображается на дисплее. Поскольку положение упора при
нимается условно за нулевое, то количество шагов определя
ет угловое положение геометрической оси антенны.
В автоматическом режиме реализуется два подрежет
работы системы:
- поиск максимума сигнала и уточнение параметр· <
движения СР;
— движение по экстраполированным значениям ι ρ ·
ектории.
Построение траектории движения СР по измерении ■
значениям координат осуществляется периодически с пери
дом Та. По мере набора информации период уточнения ■■ ■
раметров траектории увеличивается до заданного знач< н>*
В случае, когда при обращении с СР сигнал от ни
сутствует, например, из-за проводимых на СР per ламе пи .*
работ, возможны два варианта работы ПО. Если Та - I
в случае, когда траектория движения СР уже достаточ..
72

рошо известил, можно осуществлять переход в режим
движения по экстраполированным значениям. При Та <Г0, т.е.
в случае, когда траекторию движения СР еще нельзя считать
достоверной, можно дополнительно организовать поиск
сигнала в ограниченной области пространства.
Ход автоматического сопровождения отображается на
мониторе, где в цифровом виде выводятся текущие значения
положения привода, параметры движения СР и
индицируются возникающие ошибки функционирования. Изменение
параметров системы сопровождения осуществляется с
клавиатуры ПЭВМ.
2.6. Особенности оценки параметров движения
и прогнозирования положения подвижных ФАР
высокоточных многоканальных РЛС
Как указывалось выше, планирование работы
многоканальных РЛС с подвижной ФАР состоит в прогнозировании
положения выбранного для обслуживания РО на очередной
момент излучения зондирующего импульса, выставке луча в
Спрогнозированное угловое направление, стробировании
поденных радиолокационных отметок, формировании изме-
ений координат и оценке параметров движения сопровож-
емых РО.
Для того чтобы направить луч в заданное угловое на-
аление, необходимо в текущий момент времени t знать
ножение ФАР на момент времени f 3 > t излучения зонди-
эщего сигнала. Для этого требуется организация прогно-
эвания положения ФАР по результатам предыдущих из-
ений ее положения до момента t. Кроме того, поскольку
1енты излучения зондирующего сигнала, вообще говоря,
^Совпадают с моментами измерения углового положения
1 и в силу неизбежных задержек в системе обработки ин-
РЛС, для обеспечения оценки параметров движе-
73

ния РО необходимо интерполировать положение ФАР на
момент привязки единичных измерений.
Нетрудно заметить, что для обеспечения устойчивого
сопровождения, точность прогнозирования углового
положения РО должна быть соизмерима с шириной диаграммы
направленности РЛС. Это в свою очередь накладывает
достаточно жесткие условия на точность прогнозирования
положения ФАР на заданные моменты излучения и приема эхо-
сигналов, особенно для РЛС миллиметрового диапазона длин
волн [23].
Ситуация усложняется тем, что в движении ФАР
обычно присутствуют гармонические составляющие,
связанные с собственными частотами привода. Кроме того,
используемые для оценки положения ФАР преобразователи угол-
код, например, фотоэлектрические, представляют собой
амплитудные квантователи. Поэтому на входе фильтра оценки
параметров движения присутствуют, кроме шумовых, еще и
составляющие типа единичных скачков, что в свою очередь
приводит к появлению периодических составляющих на
выходе. Эти периодические колебания будут присутствовать и в
целеуказаниях, выдаваемых другому радиолокационному
средству. При этом выдаваемые целеуказания в дискретные
моменты времени tn не всегда удается сформировать таким
образом, чтобы экстраполируемые координаты с /п-1 на tn
момент времени полностью совпадали, что также приводит к
наличию периодической составляющей в траектории
движения привода.
Таким образом, траекторию движения опорно-
поворотного устройства (ОПУ) ФАР целесообразно
описывать суперпозицией полиномиальных и гармонических
составляющих. Для такой модели движения ОПУ ФАР
координатные замеры, приходящие с угловых датчиков, могут быть
описаны следующим образом [24]:
74

α(ί() = ΔΕ{[^^// +ΣΒ* sinditM -φ*)]/Δ}, (2.88)
где a(tt) - замер датчика по одной из угловых координат в
/-и момент времени, Aj9Bk - коэффициенты разложения
траектории ОПУ по соответственно полиномиальным и
периодическим составляющим, /к - £-я гармоника, Δ - цена
младшего разряда цифрового датчика угловых координат,
Е{} - операция взятия целой части числа.
Нетрудно заметить, что соотношения (2.88) с
точностью до эффектов квантования по уровню совпадают с (2.82).
Следовательно, соотношения фильтра Калмана (2.86) могут
быть использованы для оценки гармонической составляющей
движения ОПУ ФАР.
75

ния РО необходимо интерполировать положение ФАР на
момент привязки единичных измерений.
Нетрудно заметить, что для обеспечения устойчивого
сопровождения, точность прогнозирования углового
положения РО должна быть соизмерима с шириной диаграммы
направленности РЛС. Это в свою очередь накладывает
достаточно жесткие условия на точность прогнозирования
положения ФАР на заданные моменты излучения и приема эхо-
сигналов, особенно для РЛС миллиметрового диапазона длин
волн [23].
Ситуация усложняется тем, что в движении ФАР
обычно присутствуют гармонические составляющие,
связанные с собственными частотами привода. Кроме того, исполь
зуемые для оценки положения ФАР преобразователи угол
код, например, фотоэлектрические, представляют собой ам
плитудные квантователи. Поэтому на входе фильтра оценки
параметров движения присутствуют, кроме шумовых, еще η
составляющие типа единичных скачков, что в свою очереди
приводит к появлению периодических составляющих на вы
ходе. Эти периодические колебания будут присутствовать и \
целеуказаниях, выдаваемых другому радиолокационном ν
средству. При этом выдаваемые целеуказания в дискретны.
моменты времени tn не всегда удается сформировать таким
образом, чтобы экстраполируемые координаты с tn_x на /
момент времени полностью совпадали, что также приводи ι ι
наличию периодической составляющей в траектории двюы
ния привода.
Таким образом, траекторию движения опорн<·
поворотного устройства (ОПУ) ФАР целесообразно описи
вать суперпозицией полиномиальных и гармонических ^
ставляющих. Для такой модели движения ОПУ ФАР коор,т
натные замеры, приходящие с угловых датчиков, могут бы ■ ι
описаны следующим образом [24]:
74

Ν Μ
a(t,) - ΔΕ{12] Ajtj +ΣΒ,ί sin<2i&'< "Φ*И7Δ>> (2·88>
;=0 Ατ=1
где α(ί,) - замер датчика по одной из угловых координат в
/-й момент времени, Aj9Bk - коэффициенты разложения
траектории ОПУ по соответственно полиномиальным и
периодическим составляющим, /к - к-я гармоника, Δ - цена
младшего разряда цифрового датчика угловых координат,
Е{ } - операция взятия целой части числа.
Нетрудно заметить, что соотношения (2.88) с
точностью до эффектов квантования по уровню совпадают с (2.82).
Следовательно, соотношения фильтра Калмана (2.86) могут
быть использованы для оценки гармонической составляющей
^движения ОПУ ФАР.
!
I
I
ι .

3. ОПТИМАЛЬНЫЕ БАЙЕСОВСКИЕ
АЛГОРИТМЫ НЕЛИНЕЙНОЙ
ФИЛЬТРАЦИИ ПРИ НАЛИЧИИ
АНОМАЛЬНЫХ ИЗМЕРЕНИЙ
3.1. Алгоритмы фильтрации
при наличии сбойных измерений
При квадратичной функции потерь байесовская оценка
х, полезного сигнала xt при модели измерения (1.10) в
соответствии с (2.3) определяется следующим выражением [12]:
00
х, =A/[Vf,]= \ *,/(*,/7,)Λ,, (3.1)
-оо
где /(х, /Г,) - апостериорная плотность вероятности
вектора х, для заданной последовательности результатов
наблюдений
Поскольку Yi зависит от вектора Г{ =||к1к2...к1|
последовательности случайных величин кх, к2,..., к,
(траектории переключения), то соотношение (3.1) можно
записать в виде
*,=<> «;=0 Г,
00
xi(Tl)=jxif(xi/ri,Yi)dxi,
-αο
76

ГНлЛ-лГэ Γί4Ικικ2··κ/ΐί>
где Р(Г, /Yj) - условная апостериорная вероятность вектора
Г,; f(Xj / Гм У,) - апостериорная плотность вероятности
вектора полезного сигнала для заданных Г. и Yt; xi (Г,) -
условная оценка полезного сигнала χ,, вычисленная по
результатам последовательности наблюдений Yi для заданной
реализации вектора Г,;
f(r/r)= Ρ(*,)Ρ<Γ„ίΥ*-ι)/&'Γο**-ι) α4)
г,
Γι
αο
/(х, /rw,rw) = J/(x, /x,_,)/(xM /rw,rw)AM , (3.5)
-00
oo
/(Wf_,)= |/(λ/κ,,χ,)/(*,/Γμ,Ι';_1)Λ,. (3.6)
-00
Приведенные соотношения определяют байесовский
рекуррентный алгоритм решения задачи нелинейной
фильтрации в дискретном времени при наличии сбойной
информации в результатах изменений.
Для описания алгоритмов фильтрации в условиях
наличия сбойных измерений введем дерево траекторий
переключения. На рисунке 3.1 представлено дерево траекторий
переключения для байесовского алгоритма фильтрации.
Тачками выделены узлы дерева траекторий переключения.
Крайний слева узел назовем начальным. Начальный узел
соответствует моменту времени /0, когда на вход фильтра не
поступали результаты наблюдений. Отрезки между соседни-
77

3. ОПТИМАЛЬНЫЕ БАЙЕСОВСКИЕ
АЛГОРИТМЫ НЕЛИНЕЙНОЙ
ФИЛЬТРАЦИИ ПРИ НАЛИЧИИ
АНОМАЛЬНЫХ ИЗМЕРЕНИЙ
3.1. Алгоритмы фильтрации
при наличии сбойных измерений
При квадратичной функции потерь байесовская оцет
х, полезного сигнала xi при модели измерения (1.10) в соо
вегсгвии с (2.3) определяется следующим выражением [12]
х,=А/[^]=/*,Я*,/Г,)Л,. О "
-оо
где f(xi /Υι) - апостериорная плотность вероятности в< ι
тора х, для заданной последовательности результат »·
наблюдений
ИМ···* Г
Поскольку Yi зависит от вектора Γί=||κ1κ2...к }
последовательности случайных величин к1?к2, «
(траектории переключения), то соотношение (3.1) иол ■·
записать в виде
ί1 = Σ···Σ^(Γ.)/>(Γ./^)=Σί.(Γ.)^Γ(/^)' < ·
*i=0 <ς=0 Γ,
00
x,{T,)=\xif{xiIYi,Yi)dxl,
-00
76

у|=Ьл-л1тэ Γ^ιΐκ^.,.κ,ιι1,
где Ρ(ΓΙ /Υ,) - условная апостериорная вероятность вектора
Г,·; /(*, l^i^i) ~~ апостериорная плотность вероятности
вектора полезного сигнала для заданных Г, и Yi; xi (Г,) -
условная оценка полезного сигнала xt, вычисленная по
результатам последовательности наблюдений Yi для заданной
реализации вектора Γί;
/(χ, /ri,Yi) = f-l(y, /Г„Ум)/Су, /к„х,)/(х, /ГМ,УЫ),(3.3)
Γ(Γ,!Υ,)= ρ(*ι)ρ<Γ*/γι-ΜΟ>ι/Γι>Υ") (3.4)
ΣΡίκ,^Γ,ν^,)/^/^.,)
г,
/(х(/У<) = 2^(Г(/У/)/(^/Г(,Г1),
г,
αο
fix, /rw,rM) = J/(x, /xM)/(x,_, /rw,rw)Aw , (3.5)
αο
f(y,/riJl_l)= Ιμ,/κ,,χΛΑχ,/Γ^,Υ,.^,. (3.
6)
Приведенные соотношения определяют байесовский
скуррентный алгоритм решения задачи нелинейной фильт-
в дискретном времени при наличии сбойной информа-
[ в результатах изменений.
Для описания алгоритмов фильтрации в условиях
наития сбойных измерений введем дерево траекторий
переключения. На рисунке 3.1 представлено дерево траекторий
включения для байесовского алгоритма фильтрации. Точ-
выделены узлы дерева траекторий переключения.
т слева узел назовем начальным. Начальный узел
ветствует моменту времени ί0, когда на вход фильтра не
тали результаты наблюдений. Отрезки между соседни-
77

ми узлами называются ребрами. Совокупность нескольких
последовательных ребер назовем траекторией переключения.
Каждый узел соответствует определенной траектории
переключения. Истинной траекторией переключения назовем
траекторию, соответствующую реализовавшейся модели
результатов наблюдений. Если рассматривать траекторию
переключения {Г,} как кодовые последовательности, то дерево
траекторий переключения можно трактовать как кодовое
дерево. Байесовское решение задачи нелинейной фильтрации
содержит решение задачи декодирования истинной
траектории переключения Г* по критерию максимума
апостериорной плотности вероятности.
(Л)
i.
V\=y
ка-И
(Г3
1
(N
Кз
= ]^
0
~ΊΓ
1
0
-Л
^У
-э
—+>
Ό '.
12 /, /
Рис. 3.1. Дерево траекторий переключения для байесовского
алгоритма фильтрации при наличии сбойных
и неинформативных измерений
Ниже приводятся доказательства справедливости
соотношений (3.3) - (3.6).
78

Для доказательства справедливости соотношения (3.3)
воспользуемся формулой Байеса:
Л*,/Г„Г,)= /(*"Γ"Ό , (3.7)
ί
f{x„T,Jt)dxt
Согласно формуле полной вероятности с учетом того,
что Г, =|Г/_1к,| Yj ^jy^jj, можно записать
/(ж(,Г„Г/) = /(х,,к/,Л,Гм.1гм) = /(Гм.1гм)/(^/Гм,1гм)х
хДк, /х„Гм,Ум)/(^ /х„к„Гм,Гм). (3.8)
Поскольку у{ зависит только от х, и к, и не зависит
от Ум и Г)_,, а элементы траекторий переключения Г*
взаимно-независимые, то справедливы соотношения
/(Л /К/»*/.Гм»Гм) = Л>< /К/,х,)>
/(к,/х/,Г;_1Д_1) = /(к/),
с учетом которых выражение (3.8) принимает вид
Л*,,Г,,:Г,) =/(Гм,Гм)Лк,)/Ык, >*, )Л*, /Гм.Гм)· (3.9)
Подставив (3.9) в (3.7), вынося за знак интеграла
члены, не зависящие от х,, и производя соответствующие
сокращения, получим формулу (3.3).
Для доказательства справедливости соотношения (3.4)
используем формулу Байеса:
Р(Г,.^) = Р(Г(,ГМ)^) = Р<Уы)Р(Г,/Гм)/<у, /Г,,ГМ)
и представим выражение для определения апостериорной
вероятности Р(Г( / Yf) в виде
Р(Г„У,)_ Р(Г„У,)
Р(г,/?;)=■
P(r.\f(v./r. Υ Α
(3.10)
Р(Г,)/0л/Г„Г,_,)
2Р(Г,/Гн)/0',/Г,,Г|_1)·
79

ми узлами называются ребрами. Совокупность несколько
последовательных ребер назовем траекторией переключения
Каждый узел соответствует определенной траектории nepv
ключения. Истинной траекторией переключения назове>\
траекторию, соответствующую реализовавшейся модели рс
зультатов наблюдений. Если рассматривать траекторию m
реключения {Г,} как кодовые последовательности, то дерев
траекторий переключения можно трактовать как кодово
дерево. Байесовское решение задачи нелинейной фильтращп
содержит решение задачи декодирования истинной траекп
рии переключения Г* по критерию максимума апостерн
орной плотности вероятности.
(г,)
i.
г
0s"
^2
Kj^U
^Ή о
1 I 1
^ ^^^
Ч ! (Г"
0
~*г
-9
*Э
—►
Ό '.
h 'з '
Рис. 3.1. Дерево траекторий переключения для байесовски
алгоритма фильтрации при наличии сбойных
и неинформативных измерений
Ниже приводятся доказательства справедливости со
ношений (3.3) - (3.6).
78

Для доказательства справедливости соотношения (3.3)
воспользуемся формулой Байеса:
/(х,./Г„Г,)= /(*'·Γ"7ί) . (3.7)
ί
/(χ,,Γ,,Γ,)*,
Согласно формуле полной вероятности с учетом того,
что Г, = ||Г/_1к,||, Yj =||УМ^||, можно записать
/(χ,,Γ,,Γ.) = /(x„K,j/,,rM,rw) = /(Γ,.,,Τ,.,)/^ /Гм,Ум)х
χ/(к, /х,,Гы,¥ы)ДУ, /χ,,κ,,Γ,.,,Γ,.,). (3.8)
Поскольку J;, зависит только от xt и к, и не зависит
от Ум и Гь,, а элементы траекторий переключения Г,
взаимно-независимые, то справедливы соотношения
f(yt ι к*. ** .гм. ум) = Яу· ι κι>χ·) у
/(κ,./χ,.,ΓΜ,7Μ) = /(κΙ),
с учетом которых выражение (3.8) принимает вид
/(*„Г„Г/) = /(Гм,Гн)/(к/)/(у//|С/,г/)/(г,/Гм,Гм). (3.9)
Подставив (3.9) в (3.7), вынося за знак интеграла
члены, не зависящие от χ., и производя соответствующие
сокращения, получим формулу (3.3).
Для доказательства справедливости соотношения (3.4)
|спользуем формулу Байеса:
j представим выражение для определения апостериорной
Ьроятности P^Tf/Yf) в виде
Р(ГЛ) _ P(r,J,)
W/r,)-
P(Y,) PiX^PiyJY^)
^PiTJY^fiyJY^)'
79

Найдем выражение для определения вероятности
P(Ti, /Гм), представив ее через совместную плотность веро
ятности Р(Г,, Ум):
которую в свою очередь можно определить по формуле
полной вероятности:
Р(Г|Д.1) = Р(Гм,к/,Гм) =
= Р(УМ)Р(ГМ /Ум)Р(к, /ГМ,УМ). (3.12)
Учитывая взаимную независимость элементов
траектории переключения, Р(к, /Гм, Υ^λ) = Ρ(κί I км) = Р(к1), из
(3.12) имеем
Р(ВДЧ) = Р(ГМ)Р(ГМ /Ι^)Ρ(κ,). (3.13)
Подставив (3.13) в (3.11), получим
Р(Г, /Ум) = Р(ГМ /Ι^)Ρ(κ,). (3.14)
Из (3.14) и (3.10) следует справедливость формулы
(3.4).
Для доказательства справедливости соотношения (3.5)
рассмотрим выражение для совместной плотности
вероятности:
/<Д*,*ы,Гм,Гм) = /(Гы.Ъ-оАМ-х /Гм,Гм) ·
С другой стороны
Л*,,*м>Гм>Гы) = /(Гм,7м)/(хм /Гм>Ум)х
х/(х,/хм,Гм,7м). (3.15)
Поскольку х, зависит только от хм и не зависит от
Гм и Уы, то /(χ//χμ,Γμ,ϊ;4) = /(χ|./χμ), и,
следовательно:
Приравнивая правые части (3.15) и (3.16) и сокращая
на Р(ГЫ, Гм), получим
Дад-1 /ΓΜ,^) = /(χ, /χ,,)/(χ,, /Γ,.,,Γ,.,). (3.17)
80

Интегрируя (3.17) по &м, получим (3.5).
Аналогично доказывается справедливость формулы
(3.6). Так, с одной стороны:
/(^^i,r/5r;..1) = /(x.JxiJrl.1JK(.)y;._1) =
χ/(λ/κμ*μΓμ,Γμ). (3.18)
С другой стороны, также справедливо соотношение
f(yi,xiSlJiA) = f(TiJi_,)f{yi,xiITi,Yi..l). (3.19)
Совместную плотность вероятности /(ГЙ,УМ) можно
представить в виде (3.12). Тогда (3.19) примет вид
/(^,х1.,Г1,7м) = /(Гм)/(Г/ч/Ум)/(к1/Г/.1>Уы)х
χ/Ο',,χ,/Γ,,^.,). (3.20)
В силу взаимной независимости элементов траекторий
переключения имеем
/0с,/х„Гы,Г,_,) = /0с,), /(κί/ΓΜ,ΓΜ) = /(κ(). (3.21)
Поскольку yi не зависит от Гм и Ум, то
f(yitKl9xl9ri-xJl-l) = /(У< /κ,,χ,). (3.22)
Приравнивая правые части (3.18) и (3.20) с учетом
(3.21) и (3.22) и проводя соответствующие сокращения,
получим
/(Л>х, /Г„ГМ) = /(у, /к, ,*,)/(*, /Гм,Гм). (3.23)
Интегрируя обе части (3.23) по dxi, получим формулу
(3.6).
3.2. Алгоритмы фильтрации при наличии
неинформативных измерений
Соотношения байесовского алгоритма нелинейной
фильтрации при наличии неинформативных измерений (1.11)
аналогичны предыдущим с той лишь разницей, что [\Ъу
81

Найдем выражение для определения вероятное ι;
P(Ti /Yj_i), представив ее через совместную плотность верн
ятности Р(Г,,УМ):
Р(Г,/Гм)=Р(Г',Гм), (3.11
которую в свою очередь можно определить по формуле по ■■
ной вероятности:
Р(Г1,Гм) = /'(Г<.1,к(>Гм) =
= Р(7м)Р(Гм/Г,_1)Р(к,/Гм,У,_1). (3.1
Учитывая взаимную независимость элементов трас ι
тории переключения, Р(к, / Гм, Гм) = Р(к, / км) = Р(к,), и
(3.12) имеем
ρ(Γ/,ι;.4) = Ρ(^1)^(ΓΜ/ΓΜ)Ρ(κί). (3.1 .
Подставив (3.13) в (3.11), получим
Ρ(Γί/Υ^) = Ρ(Γ^/Υ^])Ρ(κί). (3.1 «
Из (3.14) и (ЗЛО) следует справедливость формул ι
(3.4).
Для доказательства справедливости соотношения (3 ■
рассмотрим выражение для совместной плотности верояп ι
ста:
/(х/>хм,Гм,Гм) = /(Гм^_1)/(х/)хм/ГмД.О.
С другой стороны
/(«ι.Ή.Γμ.Ι'μ) =/(Гм,Гн)/(хн /Γ,.,,Ι^χ
х/(х//х1._1,Г,_„1'м). (3.1.
Поскольку х( зависит только от х,_, и не зависит ·>■
Гы и 7М, то f(x,/xi-i,ri-lJ,-l) = f(xi/xi-i), и, следе·■
тельно:
/(х„х,,1,1;.1д,1)=/(г;,1д,1)/(х|/х|.1)/(хм/ц.1д_1). (si·..
Приравнивая правые части (3.15) и (3.16) и сократ -»
на Р(ГМ, y._j), получим
/(х/5хм/ГмД..1) = /(х,/хм)/(х/.1/Гм,Ум).(3 ι .
80

Инн ι рируи (3.17) по <&м, получим (3.5).
Аналогично доказывается справедливость формулы
(3.6). Так, с одной стороны:
ЯУг. *„Г,, 7М) = f(yt, χ,-, Гм, к,, Ум) =
= /(Ум)/(Гм /Гм)/(х, /ГМ,7М )/(*,- /^.Гн,Гн)х
х/^/к„х,,Гм,Гм). (3.18)
С другой стороны, также справедливо соотношение
/(Л,х1,Г(,7м) = /(Г1.Д._1)/(х,х1/Г,Д._1). (3.19)
Совместную плотность вероятности /(ГИУМ) можно
представить в виде (3.12). Тогда (3.19) примет вид
f(yi,xi,riJiA) = f(YiA)f(ri_l/YiA)f(Kl/ri_l,Yi_l)x
χ/Οί,χ,ΙΓ,,Υ»). (3.20)
В силу взаимной независимости элементов траекторий
переключения имеем
/(к, /х(,Гм,Гн) = /(к,), /(к,. /ГМД.,) = /(к,.). (3.21)
Поскольку д^ не зависит от Гм и Гм , то
/(>, /к, ,χ,,Γ,,,,Γ,.,) = /С, /к(,х,·). (3.22)
Приравнивая правые части (3.18) и (3.20) с учетом
(3.21) и (3.22) и проводя соответствующие сокращения,
подучим
ι /С„х, /r,f7w) = /<у, /к, ,*,)/(*, /ГМ,УМ). (3.23)
1 Интегрируя обе части (3.23) по dxi, получим формулу
Кз.б).
| 3.2. Алгоритмы фильтрации при наличии
неинформативных измерений
Соотношения байесовского алгоритма нелинейной
фильтрации при наличии неинформативных измерений (1.11)
Ьшлогичны предыдущим с той лишь разницей, что [13]
ι
\ 81

fix.IT. nJ^iniJJflySwVix, /Гн^-ι) при к, = 1,
П' "iJ |Дч/Гн,^) прик;. = 0, 1·
Γοο
/γ /г ν ι Ι [/^А>^^Г,--Д-.М при ις= I
1/^,/*;=ο;=/Γν(; при *;= q
Дерево траекторий переключения для этого случая
аналогично предыдущему и представлено на рисунке 3.1.
3.3. Алгоритмы фильтрации процессов
с различной степенью засорения аномальными
измерениями
Для модели измерений (1.12) будем считать, что
переключающие последовательности {к,у} (/ = 1,2,...; j = 1,2,..., т)
являются нестационарными цепями Маркова с известными
матрицами перехода Р(Г/К/Г(|_1)к), где случайные вектора
Γικ =|κιί кя ~'Kim\ состоят из диагональных элементов
матрицы Ф,.
В случае квадратичной функции потерь оптимальная
байесовская оценка х. так же, как и в предыдущем случае,
определяется соотношением (3.1). Поскольку Y- зависит от
матрицы траекторий переключения Г, = Ц^ к Г2к... Г/к ||,
состоящей из случайных векторов ΓΙΚ , то соотношения для
байесовской оценки можно записать в виде [14]
*. = £··· Σ Σ-Σ-Σ-Σ^μ^/υ^
-Σ··Σ^Γ.№,γΛ=Σ*ΑΓΛρ^,γΛ■ (3·25>
Γ1κ Γκ Γ,
82

Я*,/г„г,) =
go
•(Г,)= |х(/(х,/Г,,Г()<&,.,
-СО
/Ο^,χ,ΧΛχ,/Γ,.,,Γ,.,)
P(ri/Yi) =
IfiyJT^x^fixJY^J^dx,
-оо
*ЧГ* /Γ(Ι.1)Κ)Ρ(ΓΜ /Y„)f(yt /Г„У,_,)
ΣΡ<Γ* /Г0_1)1С)Р(Г(_, /Ум)/0>, /Г„УМ)
г,
оо
/(χ, /ГМ,УМ) = J/(x, /ιΗ)/(χΗ /Г,.,,?,.,)*,..,,
-00
00
/С</Г(,Г/.,)= JytV,/rfc,x,)/(x,/r,_I,rMУх, .
-оо
На рисунке 3.2 для случая w = 2 представлено дерево
траекторий переключения для приведенного байесовского
алгоритма фильтрации.
^г>
riK = {\i}s
ν^ΙΟ,
Л.
=<п>
01ф
-Si
'—► f
Рис. З.2. Дерево траекторий переключения для байесовского
алгоритма фильтрации процессов с различной степенью
засорения аномальными измерениями при /и = 2
83

Лх/ГП=\ГЬАМ/(У^хЖхЛ-М при к) = Ι (.ч
' "' (/(VM-.) прик;. = 0,
//^/*;.ν/^/ΓΗ,^Μ при *;= ι·
[/(У./^=0)=/(у,) при *ς= О
Дерево траекторий переключения для этого сл\ч
аналогично предыдущему и представлено на рисунке 3.1.
3.3. Алгоритмы фильтрации процессов
с различной степенью засорения аномальными
измерениями
Для модели измерений (1.12) будем считать, что пср«
ключающие последовательности {к^.} (/ = 1,2,...; j = 1, 2, ... т ι
являются нестационарными цепями Маркова с известным·
матрицами перехода Р(ГЫ /Г(М)|С), где случайные вектор·
Г* =lK/i K/i —кйн1 состоят из диагональных элемент·
матрицы Ф,.
В случае квадратичной функции потерь оптимально■
байесовская оценка х. так же, как и в предыдущем случ.р
определяется соотношением (3.1). Поскольку Y( зависит <>·
матрицы траекторий переключения Г, =|Г1кГ2к...Г| ||
состоящей из случайных векторов Г/к, то соотношения и >·
байесовской оценки можно записать в виде [14]
= Σ··.Σ5.·(Γ/)/,(Γ,/^) = Σ^(Γ|.)Ρ(Γ,/Κ/), (3 ■
82

f(x,/r,J,) =
1Ж>
■·,(Γ,)= |х,/(х(/г,Д.)Л,.,
-αο
/<и/гйс,х,)/<х,/г,_1,1';_1)
Р(Г,/У() =
//(χ/Γ^,Χ,ί/ίχ,/Γ,.,,Κ,,,Μχ,
-оо
f (Tfc /Γ(Μ)Κ)Ρ(ΓΜ /Гм)/(у, /Г,. Д.,)
Σρ^ /г(,_1)к)Р(г,_, /rM)/(y( /rf>yw)
ου
/(χ, /ГМ,УМ) = If(x, /xM)/(x(,, /Γ,,,,Γ,...,)*,.,,
-оо
оо
/0>(/Г1.,Г1._1)= |/(^/ΓΙ.κ,χ/)/(χ//ΓΜ,7Ι.1)ίώ:, .
-оо
На рисунке 3.2 для случая т = 2 представлено дерево
траекторий переключения для приведенного байесовского
алгоритма фильтрации.
|(Л>
ГХк = {\Ъ>
у/™ -А
/"*
= {11}
jit
01 у
11^
1 ». f
вс. З.2. Дерево траекторий переключения для байесовского
алгоритма фильтрации процессов с различной степенью
засорения аномальными измерениями при /и = 2
83

3.4. Алгоритмы фильтрации при наличии
как сбойных, так и неинформативных измерений
Для модели измерений (1.13) байесовская оценка Xt
для вектора состояния xi при квадратичной функции потерь
определяется следующим образом [15]:
1 1
*, =Σ5<Γ.)/,<Γ«/ίΓ.>= Σ -Σ *,(г,)/>(г,/*;),
00
xi(Ti)=\xif(xiIYiJi)dxi, (3.26)
/(x,/ri,r/) =
г(=|к,,...,к,.|| ,
/(^/Γ^,χ^/ίχ,/Γ,.,,Κ,,,)
при к, =0,1,
jf(yl/riK,xi)f(xi/ri_i,Yi_i)dxt
-00
[ Я*,/ГМ,УМ) прик,=-1,
/>(Г,/У,) =
P(Ki/K,.I)P(ri_1/ri_I)/0'i/ri,ri_1)
Σ^κ,/км)Р(гм/гм)/(^/η,7Μ)
г,
00
/(х, / г,_,, гм) = J Л χ, / χ,.,) Л χ,-. / г,_,, r,_, Wx,
1 >
Лх,
ОО
/ г. υ )=Ι Ι ^-ν''К/' *' ^Х/; г-" Г/ -')ί/χ' при к>'= °' ^
f(y,/K,=-D = f{v,)
прик; =-1.
84

На рисунке 3.3 приведено дерево траекторий
переключения для данного байесовского алгоритма
фильтрации.
Рис. 3.3. Дерево траекторий переключения для байесовского
алгоритма фильтрации при наличии как сбойных,
так и неинформативных измерений
85

3.4. Алгоритмы фильтрации при наличии
как сбойных, так и неинформативных измерен и ι
Для модели измерений (1.13) байесовская оценка
для вектора состояния х{ при квадратичной функции псч. ι
определяется следующим образом [15].
χβ(Γ,)= |х(Лх,/ГгД)Л(, С
= 1С 1С
Ι ""
/(χ, /Γ„Γ,) = | J/(,, /ΓΛ,χ,)/(χ, /Г,_„УМ)^
~/(х,/Гм,Гм)
при к- =0i
при к- =
^(Г,/г,) = ·
/>(к,/|с,_ОР(Г,уГ,._,)/(^/Г,,Гм)
ΣР(к, /к,.,)Р(Г,_, /Ум)Ду, /Г#,Г,_,)
/(х, /Г,_„УМ) = |/(х, /х,,)/(х,, /Γ,.,,Κ,.,)^,
/(х//Г„У|_1) =
If (у, / к{, х,- )/(х, / Г,.,, У,., )ί/χ, при к, -
-V
f(y,/K, = -l) = /(v,) при к, г
84

На рисунке λ..\ приведено дерево траекторий
переключения для данного байесовского алгоритма
фильтрации.
\ Рис. 3.3. Дерево траекторий переключения для байесовского алго-
у ритма фильтрации при наличии как сбойных,
так и неинформативных измерений
\
ι
\
I
I
I 85

4. КВАЗИОПТИМАЛЬНЫЕ АЛГОРИТМЫ
НЕЛИНЕЙНОЙ ФИЛЬТРАЦИИ ПРИ
НАЛИЧИИ АНОМАЛЬНЫХ ИЗМЕРЕНИЙ
4.1. Алгоритмы, получаемые на основе ограничения
количества рассматриваемых гипотез о
характеристиках входных воздействий
Нетрудно заметить, что в (3.2), (3.25) и (3.26)
суммирование ведется соответственно по всем 2', 27+w ~ * и 3'
возможным комбинациям траекторий переключения, т.е.
байесовское решение задачи фильтрации предъявляет с ростом
объема выборки высокие, практически невыполнимые в
реальных разработках требования к объему памяти и
быстродействию ЦВМ. Однако оно является конструктивной
основой для разработки квазиоптимальных алгоритмов.
Существует ряд подходов к построению
приближенных (квазиоптимальных) алгоритмов, достаточно подробное
обсуждение которых можно найти в [11, 12, 13, 14,15, 25].
Один из возможных подходов основан на
использовании ограниченного числа слагаемых при вычислении оценок
х,. Проиллюстрируем этот подход на примере фильтра при
наличии сбойных измерений. В этом случае оптимальная
байесовская оценка представляет собой сумму всех
возможных оценок хДГ,), взвешенных с весами Р(Г, /Υέ).
Пренебрегая в (3.2) слагаемыми с малыми весами Р(Г,/У,),
получим приближенную реализацию оптимального алгоритма.
Алгоритм, основанный на использовании ограниченного
числа слагаемых в (3.2), назовем усеченным байесовским ал-
86

горитмом решения задачи нелинейной фильтрации.
Усеченная байесовская оценка определяется выражением
**= Σ ЗД)*(Г,/ГД (4.1)
Ω*(Γ,)
где π^/Ι^) - весовые коэффициенты, Ω*(Γ,) -множество
траекторий переключения, используемых для определения
оценки х*.
Для вычисления оценки (4.1) установим порог сброса
ε (0 < ε < 1). В каждом такте для дальнейшей обработки
используются лишь слагаемые, веса которых превышают ε.
При этом число слагаемых оценки (4.1) является случайной
величиной. Максимальное число слагаемых в (4.1) не
превышает ε"1. Расчет условных оценок хДГ,) в данном случае
остается неизменным и осуществляется по соотношениям,
полученным для байесовской оценки.
Весовые коэффициенты при использовании данного
алгоритма определяются следующим образом. Пусть в z-м
такте выбрано множество наиболее вероятных траекторий
переключения Ω*(Γ·) и определены весовые коэффициенты
π(Γ^ /Yt). Очевидно, что ^π(Γ, ^^ ~ ^ · Используя множе-
пЧг,)
ство Ω*(Γ,)> сформируем множество траекторий
переключения Ω°(Γί+1), число элементов которого /равно удвоенному
числу элементов Ω*(Γ,). Для каждой траектории
переключения, принадлежащей множеству Ω°(ΓΙ+1), рассчитывается
величина
п(тмпм)= ^/»c,)/(yM/rM,rt)«(r,/rt)
£Р(к,+1 /к,)/(ум /ГМ,Г,МГ, IY>)
ω·(γ1+1)
Положим
87

4. КВАЗИОПТИМАЛЬНЫЕ АЛГОРИТМЫ
НЕЛИНЕЙНОЙ ФИЛЬТРАЦИИ ПРИ
НАЛИЧИИ АНОМАЛЬНЫХ ИЗМЕРЕН 1111
4.1. Алгоритмы, получаемые на основе ограничен и-
количества рассматриваемых гипотез о характер и
стиках входных воздействий
Нетрудно заметить, что в (3.2), (3.25) и (3.26) сумм μι
вание ведется соответственно по всем 2', 2*+т~~' и 3' и.
можным комбинациям траекторий переключения, т.е. <>.»..
совское решение задачи фильтрации предъявляет с pot ■
объема выборки высокие, практически невыполнимые и ι·
альных разработках требования к объему памяти и бьи ч
действию ЦВМ. Однако оно является конструктивной и. ■·■
вой для разработки квазиоптимальных алгоритмов.
Существует ряд подходов к построению прибли · · ■■
ных (квазиоптимальных) алгоритмов, достаточно πο;ψοΐ...
обсуждение которых можно найти в [11, 12, 13, 14, 15, Г» |
Один из возможных подходов основан на испои ι. »· ■» ·
нии ограниченного числа слагаемых при вычислении он· и·-*
х,. Проиллюстрируем этот подход на примере филыр.» м( и
наличии сбойных измерений. В этом случае оптим.1 ■■··*<
байесовская оценка представляет собой сумму всех поп..*
ных оценок хДГ,), взвешенных с весами P(Fi IYt) 11|н ·· π
регая в (3.2) слагаемыми с малыми весами Р(Г, /У,) ι··· »ϋ
чим приближенную реализацию оптимального алт^.м .*
Алгоритм, основанный на использовании ограним. <ή
числа слагаемых в (3.2), назовем усеченным байесов< ι и . - tf
86

эритмом решения задачи нелинейной фильтрации. У
сеченая байесовская оценка определяется выражением
** = Σ *<Г,)*(Г,/Г,), (4.1)
ω4γ.)
^е π(Γ( IYi) - весовые коэффициенты, Ω*(Γ,) - множество
раекторий переключения, используемых для определения
ценки х*.
Для вычисления оценки (4.1) установим порог сброса
(О < ε < 1). В каждом такте для дальнейшей обработки ис-
ользуются лишь слагаемые, веса которых превышают ε.
[ри этом число слагаемых оценки (4.1) является случайной
еличиной. Максимальное число слагаемых в (4.1) не пре-
ышает ε"1. Расчет условных оценок ^(Г,) в данном случае
стается неизменным и осуществляется по соотношениям,
олученным для байесовской оценки.
Весовые коэффициенты при использовании данного
лгоритма определяются следующим образом. Пусть в /-м
акте выбрано множество наиболее вероятных траекторий
ереключения Ω*(Γ,) и определены весовые коэффициенты
КГ, IYt) . Очевидно, что ^π(Γ, /Υ.) = 1. Используя множе-
ΙΒΟ Ω*(Γ,), сформируем множество траекторий переключе-
ця Ω°(ΓΙ+1), число элементов которого равно удвоенному
мелу элементов Ω*(Γ,). Для каждой траектории переключе-
Вя, принадлежащей множеству Ω°(ΓΙ+1), рассчитывается
рличина
Я(11+1 //ж ) =—= . (4.2)
\ £p(kw iKt)f{yM ιτΜ9ΥΜτ> 'Ό
Положим
87

Щм"м)-{ о, если #(Ti+1/^+1)<s.
Траектории переключения, для которых я(Г1+1 /Уы) > О,
образуют множество Ω* (Г/+1). Весовые коэффициенты
π(Γι+1 / Yi+l) определяются выражением
α·(Γ„)
Более простым в реализации является усеченный
байесовский алгоритм с фиксированным числом слагаемых. В
отличие от описанного выше алгоритма в этом случае в (3.2)
для дальнейшей обработки остается фиксированное число
слагаемых, соответствующих наиболее вероятным
траекториям переключения.
Другой подход приближенной реализации
оптимального байесовского алгоритма может быть основан на
использовании фильтра с переменной структурой. При этом на
начальном этапе для «завязки» оценки используется
оптимальный байесовский алгоритм, а затем используется
приближенное решение задачи фильтрации. Решение задачи
фильтрации в этом случае имеет вид
i=M> еслиЦх?2, f44v
где trKf - след ковариационной матрицы оптимальной
байесовской оценки xt, δ2 - константа, χ* - приближенная
оценка.
Несомненный практический интерес представляет
подход к построению квазиоптимального алгоритма, состоящий
в учете того факта, что несмотря на множество комбинаций
Kj,k2,...,k( , мы имеем дело с оценкой координат одного
объекта. Если при этом нас не интересует информация о том,
какая именно комбинация κ,,^,.,.,κ,. является наиболее ве-
88

какая именно комбинация κ^κ^,.,.,κ, является наиболее
вероятной, то квазиоптимальный алгоритм нелинейной
фильтрации может быть построен по схеме, в которой начальным
условием работы фильтра на любом такте является результат
фильтрации в соответствии с соотношением (3.2) на
предыдущем такте. При этом условная оценка ί,(Γ.) и условная
апостериорная вероятность Р(Г{ I Yt) является функциями
текущего значения к,, измерения yi и предыдущей оценки
При таком подходе оценка xi и ковариационная
матрица Ki для случая сбойных измерений определяются ре-
куррентно в соответствии с алгоритмом
i, = J х#х(//,)&,,
-00
00
*, =l(x,-£l)(xl-xl)rkxt/rl)dxl,
-αο
к,=0
φ(χ,/Υι)~Ν(χ,,Κι),
Кх,/к,.Т1)=т'Ь',/*,.*,Жх,/Г„) , (4.5)
tc,=0
αο
ф(х, /У,·.,) = J fix, /х,_,Ж*,-, /Г,_,)^_, ,
-αο
00
f(yi/KiJ,_])= //(^/к„х,)ф(х,/Гм)Лм ·
89

*Vmi*m)-\ о, если π(ΓΜ/ΥΜ)<ε.
Траектории переключения, для которых π·(Γί+1 /Γ,,, ι
образуют множество Ω*(Γ(+ι). Весовые коэффицнп
π(Γί+1 ΙΥΜ) определяются выражением
*(Γί+1/ι;+1)=-
2, *<Гм/ум)
ог(Гм)
Более простым в реализации является усеченный 6.и
совский алгоритм с фиксированным числом слагаемых. Η ·
личие от описанного выше алгоритма в этом случае в (
для дальнейшей обработки остается фиксированное ми
слагаемых, соответствующих наиболее вероятным траа -
риям переключения.
Другой подход приближенной реализации оптималм·
го байесовского алгоритма может быть основан на испол»
вании фильтра с переменной структурой. При этом на и
чальном этапе для «завязки» оценки используется оптим.» ·
ный байесовский алгоритм, а затем используется
приниженное решение задачи фильтрации. Решение задачи фп ·■ .
рации в этом случае имеет вид
если ίτΚ^δ2, ( , и
если trki йб2,
где trKi - след ковариационной матрицы оптимальной
(миговской оценки xi9 δ2 - константа, χι - приближен п.*
оценка.
Несомненный практический интерес представляе! и ·
ход к построению квазиоптимального алгоритма, состо
в учете того факта, что несмотря на множество комби ι ι
Kl9K2,...,Kiy мы имеем дело с оценкой координат от ·
объекта. Если при этом нас не интересует информация ι
какая именно комбинация к1,к2,...,к/ является наибол-
и
88

какая именно комбинация κ,,κ,,.,κ, является наиболее
вероятной, то квазиоитимальный алгоритм нелинейной
фильтрации может быть построен по схеме, в которой начальным
условием работы фильтра на любом такте является результат
фильтрации в соответствии с соотношением (3.2) на
предыдущем такте. При этом условная оценка хДГ.) и условная
апостериорная вероятность P(Vi ΙΥ^ является функциями
текущего значения к,, измерения yi и предыдущей оценки
При таком подходе оценка х. и ковариационная
матрица К. для случая сбойных измерений определяются ре-
куррентно в соответствии с алгоритмом
00
х, = I xfa/¥,)<&,,
-σο
00
К, = |(х,-х,)(х,-х,)тф(*,/7|)Л,,
-00
Ф(х, /Υ,) = Σπ(κ, /Г,)ф(х, /K,Jt),
κ,=0
φ(χί/Υι)~Ν(χι,Κι),
6(χΊκ yx_ /(>Ί/*«,*,»(*,/Γ,-,) > (4.5)
Ifiy.lK^x^ixJY^dx,
Σ^Ό/Οί'*.·1")
κ,=0
00
Ф(х,/^--,)= //(χ,/χ.·-ι)Φ(χ,-./1γ,-ι)Λ1.1 ,
-αο
00
f(yl/K„Yi.l)= \f(y,,/Ki,ximxi:/!',., )<few
89

f(y, Ι κ,.,Г,_,) = j/(ν,- /κ,-,χ()φ(χ( /Г,_,)<&,_, -
-00
При использовании данного подхода бимодальная
апостериорная плотность вероятности ф(^ /1^) заменяется гаус-
совской плотностью ф(х,/)^), математическое ожидание и
корреляционная матрица которой равны математическому
ожиданию хг и корреляционной матрице Ki смеси.
Рассмотрим процедуру вычисления оценки xi и
корреляционной матрицы Kt оценки для случая модели (1.10)
более подробно. Пусть сформирована плотность вероятности
φ(χί_1/ί^_1) = Λ^(χ._1, £,·_,). Используя {хм,ЛГм} в качестве
начальных условий, по соотношениям, приведенным выше,
рассчитываются величины 7τ{κϊ /1^ ), х; (jci), Ki (jct). Оценка
х. и корреляционная матрица Ki определяются
выражениями
t
дгу=0
Для вычисления оценки х, и корреляционной матрицы
Ki необходимо в каждом такте запоминать одну оценку и
корреляционную матрицу. Объем вычислений, требуемый
для определения оценки xi, несущественно превышает
объем вычислений, необходимый для реализации дискретного
фильтра Калмана.
Для случая сбойных измерений рассматриваемый
квазиоптимальный алгоритм нелинейной фильтрации
описывается следующими соотношениями:
90

*i(K/) = x,/M + Wi(Ki)8^.
Ч/М*
: AXi-l »
^(к;) = К17МЯ1т[Я,К,/1_1Я,т+К),(к()Г1!
(4.6)
P(k,/^,xm) = P(k()G(k/)
G(Kf)=(V(2«)"detJrE(K,)J " exp^orfOOS^, [,
£P(K/)G(K,)
«c,=0
]_
2
^(к() = к,.^+(1-ка^,
^ς(κ,) = HtKih_lHi + Ky(Kj),
где 5yf - вектор невязок (сигналов ошибок, обновляющих
разностей).
Для случая неинформативных измерений (1.11)
рассматриваемый квазиоптимальный алгоритм описывается
выражениями
Х! = ДС»7<-1^НИ, +ДС(0)^И, >
+РИ_ {£,(1) + [*,(1) ~ *№<\) ~ *. ]Т> > (4-7)
*ни, =Ρ(κί/>-,,χί_ι)Ικ,=θ'
^и, =/>(к1/>'/,х,_1)|к=1,
где Рщ, и Рк - апостериорные вероятности того, что
измерение у, является неинформативным и информативным
соответственно, а остальные параметры, входящие в эти
выражения, определяются из соотношений (4.6).
91

Ayi/Kl,Yt_o= |/(Λ·/κ,,χ,)Φ(χ,/}', ,).л, ,
-00
При использовании данного подхода бимода.п.м.11 η.
стериорная плотность вероятности <|>(xi·/^) замени с ιοι ι,ι
совской плотностью ф(х, /Yj), математическое ожидать .
корреляционная матрица которой равны математически ι
ожиданию х. и корреляционной матрице Ki смеси.
Рассмотрим процедуру вычисления оценки хг и ко|>|>
ляционной матрицы Kt оценки для случая модели (1.10) о..
лее подробно. Пусть сформирована плотность вероятно* η ι
ф(*м/^_! ) = #(*;■_!, Kt_x). Используя {χ^,Κ^} вкачесп-
начальных условий, по соотношениям, приведенным выпи
рассчитываются величины π{Kt I Yi), χ, (к*.), К. (jci). Оцси» .
х. и корреляционная матрица Ki определяются выражен и ι
ми
1
*ϊ=0
лг,=0
Для вычисления оценки х. и корреляционной матрит·
Ki необходимо в каждом такте запоминать одну оценку и
корреляционную матрицу. Объем вычислений, требуемым
для определения оценки Х-, несущественно превышает об ι
см вычислений, необходимый для реализации дискретно!«■
фильтра Калмана.
Для случая сбойных измерений рассматриваемый квл
зиоптимальный алгоритм нелинейной фильтрации описыв;;
ется следующими соотношениями:
90

А Л А
х//м ==iVc:i-i>
^^[Е-^/^Я,]^.,,
^(к;) = К(/,.1Я7[Я/К,7,_1Я,т+К/к,)Г1,
(4.6)
P(k,/^,xm) = P(k/)G(K,)
£Р(к,)С(к,)
К(=о
G(K<)=(V(2t)Mdet^j:(K()J1 expj-jsy^K,^
^(κ^κ,Α^+Ο-κ,)^,
^(к,.) = яД/1_1Я1т+^(к,),
где 5у, - вектор невязок (сигналов ошибок, обновляющих
разностей).
Для случая неинформативных измерений (1.11)
рассматриваемый квазиоптимальный алгоритм описывается
выражениями
Х/ =Х!7М^НИ, +Х/0)^И, >
K-i = ^ΗΗ^ί/Μ + Ι*ί/Μ ~ */11*ι/ί-1 ~ */1 } +
+/>и {£,(1) + [х,(1)-х,][х,<1) -х,]т}, (4.7)
/>и =/>(k//j/15x/.1)|ic=1,
где Рт и Ри - апостериорные вероятности того, что
измерение yt является неинформативным и информативным
соответственно, а остальные параметры, входящие в эти
выражения, определяются из соотношений (4.6).
91

Формы записи фильтров (4.6) и (4.7) непосредственш
следуют из структуры оптимальных байесовских фильтро*
При этом при наличии сбойных измерений необходимо в со
ответствии с соотношениями фильтра Калмана определят!
две условные оценки х,(0) и хД1), соответствующие гипоте
зам о том, что полученное измерение j/, является сбойным
или нормальным. В случае же наличия неинформативных
измерений необходимо определять только одну оценку χ,(1),
поскольку в качестве второй условной оценки,
соответствующей гипотезе о неинформативности измерения yi, в этой
ситуации выступает экстраполированное значение х|7М.
Таким образом, квазиоптимальный алгоритм фильтрации при
наличии неинформативных измерений с точки зрения объема
вычислений является существенно более простым в
реализации по сравнению с квазиоптимальным алгоритмом
фильтрации при наличии аномальных измерений.
Из анализа соотношений (4.6), в частности, следует,
что справедливы соотношения
ад-^-Рни.ВД^, im-x-*i = -*a*i (1)^,(4.8)
с учетом которых выражения (4.7) можно представить
следующим образом:
К, ^lE-P^WWrf^+PjiP^ (4.9)
Нетрудно заметить, что при Ри = 1 соотношения (4.9)
полностью совпадают с соотношениями дискретного фильтра
Калмана, а при Ри ψ 1 практически не уступает ему по
вычислительной сложности, поскольку требует
дополнительных действий только для определения Рш,, Ри =1-/ни и
преобразований над вектором 5yf, не связанных с
обращением матриц.
92

Применительно к простейшему случаю, когда ставится
задача оценки скалярной случайной величины
*,=*м (4.10)
по результатам наблюдений при наличии сбойных ошибок
j/, =х,+к^+(1-к,)0, (4.11)
и неинформативных измерений
yt = κ,(χ,+η,) + (1-κ>,, (4.12)
аддитивной смеси полезного сигнала xi и скалярных
дискретных белых шумов η,, θ, и ν, с нулевыми
математическими ожиданиями и дисперсиями σ^,σ^ »а^ и
σ* »σ^, полученные соотношения квазиоптимальных
фильтров существенно упрощаются. Так, соотношения (4.6),
описывающие квазиоптимальный алгоритм при наличии
сбойных измерений, для рассматриваемого случая
принимают вид
1
к,=0
χ,(κ,) = xw + WiOOb', -χ,-ι],
a?(K/) = W,.(KI)aJ(K,.), (4.13)
1ν,.(κ,.) = σ?4[σ?ι+σ5ι(κ1.)Γ1,
ΣΡ(κΙ)^,-χΜ,σ5(κ1) + σ?ι]
κ,=0
σ^(κ/) = κ(σ^+(1-κ,)σ^,
а соотношения (4.9) можно переписать следующим образом:
93

Формы записи фильтров (4.6) и (4.7) непосрс.к т· и··
следуют из структуры оптимальных байесовских <|>и и ·ι
При этом при наличии сбойных измерений необходимо и
ответствии с соотношениями фильтра Калмана опрел» ■■■
две условные оценки х,(0) и х,(1), соответствующие ι ип·..
зам о том, что полученное измерение yi является сбоим-
или нормальным. В случае же наличия неинформатшш
измерений необходимо определять только одну оценку \ <
поскольку в качестве второй условной оценки, соотвп
вующей гипотезе о неинформативности измерения у.., в м
ситуации выступает экстраполированное значение xifi_, ι
ким образом, квазиоптимальный алгоритм фильтрации η ι
наличии неинформативных измерений с точки зрения обь<
вычислений является существенно более простым в реал и
ции по сравнению с квазиоптимальным алгоритмом фи и
рации при наличии аномальных измерений.
Из анализа соотношений (4.6), в частности, след\<
что справедливы соотношения
с учетом которых выражения (4.7) можно представить ι··ι
дующим образом:
к, =[Е-РнЩ1)Н,]кш_1+РъРт1ЩШЗту№т(1). (J ,
Нетрудно заметить, что при Ри =1 соотношения (I "»
полностью совпадают с соотношениями дискретного филь 11 -
Калмана, а при Ри ^1 практически не уступает ему по ι ■
числительной сложности, поскольку требует дополните ι
ных действий только для определения /ни., Αι = l~^n;i
преобразований над вектором 5у., не связанных с обращен»
ем матриц.
92

Применительно к простейшему случаю, когда ставится
задача оценки скалярной случайной величины
х,=*м (4.10)
по результатам наблюдений при наличии сбойных ошибок
у, = χ/+κ(ηί+(1-κ))θ( (4.11)
и неинформативных измерений
у, = к,, (χ,. + η,) + (1 - к, yv,, (4.12)
аддитивной смеси полезного сигнала х, и скалярных
дискретных белых шумов η,, θ( и ν, с нулевыми
математическими ожиданиями и дисперсиями σ^,σ^ »σ^ и
σ* »σ^, полученные соотношения квазиоптимальных
фильтров существенно упрощаются. Так, соотношения (4.6),
описывающие квазиоптимальный алгоритм при наличии
сбойных измерений, для рассматриваемого случая
принимают вид
ι
к,=0
°ί = Σ рыу^Мычъю-*,?}.
к,=0
х,(к,) = х,_, + w,(k,)[^ -х,_,],
o|(Ki) = wi(K/)oJ(K<), (4.13)
νν,(κ,)=σ^[σ?ι+σ;/(κ,)Γ1,
κ,=0
σ^(κ() = κ,σ^+(1-κ()σ^,
а соотношения (4.9) можно переписать следующим образом:
х( = хы+Рц™ЛШ-Хы]>
93

*| ^-P^M^+Vm^fim^-x^f ■ (4.14)
Соотношения квазиоптимального фильтра,
построенного на основе соотношений (3.25), имеют следующий
вид [14]:
К, = ΣΡ<Γ* ^,^м){К,(Г1К) +[х,(Г)К) - ί, ][ί, (Г,к) - х,]т},
г,«
^, (Γίκ ) = ^,7 ί-l + ^ (Г1К )Sy,,
Xili-\ =4Xi-l>
К/(Г11£) = [£-^.(Г(К)Я,.]К1/1_1,
к,/,_1=4К1-1Лт+ДК^7,
^(Г,1С) = К1./1_1Ят[Я1.К,./1_1Я1т+Ку(Г1.к)Г1,
/>(ΓΙΚ/Λ,χΙ.1)=Ρ(Γ(.κ/Γ(Ι_1)κ)σ(Γ,κ)
Σρ<Γ*/Γν-ΐ)«ΜΓ*)
у
ΚΣ(Γ/κ) = #ί^ι/Μ#ί + ^(Γ/κ) >
^(Гйс) = ФЛЛ|Ф7+№-Ф^в|№-Ф,)Т,
Для вычисления оценки χ, и корреляционной матрицы
Kt необходимо с предыдущего такта запоминать одну оцен-
ку Xj_x и одну корреляционную матрицу лм, а на каждом
текущем такте вычислять т условных оценок хДГ11С) и т
соответствующих им корреляционных матриц ]£ДГ|К), т.е.
94

объем вычислений, требуемый для определения оценок х, и
Ki по соотношениям рассматриваемого квазиоптимального
фильтра, оценивается величиной 2mVky где Vk - объем
вычислений, необходимый для реализации дискретного
фильтра Калмана.
Соотношения квазиоптимального фильтра,
построенного на основе соотношений (3.26), имеют следующий
вид [15]:
ι
■с,=-1
К,= £ Ρ(κΙ/^.,χΙ.1){Κ/(κ1.) + [χ,.(κ,.)-χ1][χ/(κΙ.)-χ/]τ})
K,=-l
Xili-\ _ЛЛ-1>
К1.(к1.) = [£-^(к1)Я1.]К,/1_1)
Γ К//1.1Я,т[Я1К,/мя7+КпГ1при κ, = 1,
| ±Ш_ХН][Н^Ш_ХН] + Κθ Г1 при кш = О,
0 прик,=-1,
к,7м = 4Км4т+Д^^,
Щк,)=\
P(Ki/yi,xi_l) = P(Ki)G{Ki)
к,=-1
Σ /»(k,)G(k,)
*Σ(κ,) =
#*К*/|-1#< +Кц прик — 1,
Я,К,у,_,я7+Ке при к, = О,
ίΓν при к,- = —1.
95

Соотношения квазиоптимального фильтра, ι ни 11
ного на основе соотношений (3.25), имеют следу···»""1
вид [14]:
к, = Σρ(Γ.. /Λ,ίΜ){κ,(Γ(κ)+[χ,.(ΓΙΚ) - хМ(Гы) - *, I':
г,.
ί/(Γ1κ) = χι//.1+^(Γ,κ)δ^1,
К,/м = ДКМДТ +ΑΚ6 Βϊ»
ΙΓ,(Γ J =К,7МЯ,Т[Я1К1/МЯ,Т + Κ „(Γ1Κ)Γ\
^(Γ,κ /λ,*μ)=^(Γίκ /Γ(,.1)1£)σ(ΓΙΚ)
Σρ(Γ.κ/Γ(.-ΐ)«)σ(Γ.κ)
0(Гк) = (Λ/(2π)Μάβί^(ΓΙΚ))"1 expj- Ityf*£» (Tfc )δ>,τ
^Σ (Гмс ) = #Ж/7 i-lHi + ^ (Γικ ) >
^(Г(К) = Ф1^(ф[+(Я-Ф<Жв((5-Ф<)Т,
Для вычисления оценки χ, и корреляционной матрицы
Kj необходимо с предыдущего такта запоминать одну оцеп
А
ку хм и одну корреляционную матрицу Kf_i9 а на каждом
текущем такте вычислять т условных оценок χ,·(Γίκ) и т со
ответствующих им корреляционных матриц Kt(riK), τλ
94

объем вычислений, требуемый для определения оценок х, и
Ki по соотношениям рассматриваемого квазиоптимального
фильтра, оценивается величиной 2mVkf где Vk - объем
вычислений, необходимый для реализации дискретного
фильтра Калмана.
Соотношения квазиоптимального фильтра,
подстроенного на основе соотношений (3.26), имеют следующий
'вид [15]:
ι
к,=-1
Щ(к() = \
ii(K,) = i,7,-i + ^(Ki)5y,>
Xili-\ ~Axi-l>
К|(к|) = [£-^(к|)Я,]К|/м,
К//МЯ*[Я Д|/МЯ,Т +Κη Γ1 при к,- = 1,
K^HjlHfi^Hj+KtJ1 при кш=0,
О при к, = -1,
Р(ъ/уМ = Р(ъМъ)
п-1
Σ Ρ(*№(κ,)
G(k, ) = (^(^айвд)"1 expi-UyiK? (к, )5yJ \,
*ς(κ,-) =
#i*s/,-i#, +КЧ прик,=1,
^Д/МЯ,т+Ке( при к, = О,
/Γν при к, =-1.
95

Анализируя соотношения квазиоптимального фильтра,
нетрудно заключить, что для формирования оценки х,
необходимо запоминать с предыдущего такта оценку хм и кор
реляционную матрицу ошибок оценок К^х, а на /-м такте по
соотношениям фильтра Калмана вычислять две частные
оценки x,(Kt) для к^ =0 и к^ =1, а для к, =-1
использовать экстраполированную с / -1 такта оценку х,/м.
Таким образом, соотношения рассматриваемого
квазиоптимального алгоритма нелинейной фильтрации в два раза
превышают по трудоемкости вычислений соотношения
фильтра Калмана и в то же время практически равны по
вычислительным затратам соотношениям квазиоптимального
фильтра нелинейной фильтрации, учитывающего наличие
только аномальных сбойных измерений.
4.2. Фильтры с известными моментами появления
аномальных измерений
тт ι-· II * * *f
Пусть Г; = к,к2...к, - истинная реализация
случайных величин Kj, jt2,..., κ,. Пусть, кроме того, эта реализация
известна. Тогда соотношения, описывающие оптимальный
фильтр процессов при известных моментах появления
сбойной информации, непосредственно следуют из соотношений
оптимального байесовского фильтра (3.2) при
Р(Г,*Г,) = \1п ПРИ1:=Е' (4.15)
[0 приГ,*Г,,
и, следовательно, соотношения для оптимального
байесовского фильтра существенно упрощаются. В частности, для
модели измерения (4.11) имеем
σ| =*,[*>£+(1-*;Ц], (4.16)
96

Для модели измерения (4.12) при к* =1 соотношения
фильтра совпадают с (4.16), а при к*=0 имеют
ввд:х, = хм,*?=*?ч.
4.3. Робастные фильтры
В случае неизвестной последовательности случайных
величин KjjKj,...,^ робастные (защищенные от
аномальных выбросов и неинформативных измерений) фильтры
основаны на идее решения на каждом такте фильтрации задачи
классификации текущего измерения [2]. Для модели
измерений (4.11) робастный фильтр описывается соотношениями
(4.16) при к* = к,, где
О при[у,-хм|>Д. ν '
Здесь Δ - порог, выбираемый в зависимости от
параметров задачи. Нетрудно заметить, что соотношение (4.13)
совпадает с соотношениями (4.16) при к, =к, совместно с
(4.17), описывающими робастный фильтр, если положить,
что вероятность Р(к, = 1/д>,-,хм) = к,, где к, определяется из
(4.17), т.е. соотношения робастного фильтра следуют из
соотношений рассмотренного квазиоптимального нелинейного
фильтра как частный случай.
Для случая модели (1.8) и (1.10) при проведении
классификации замеров
*,=£ Ч»МУ,)^, (4.18)
может использоваться отношение правдоподобия
A<Ci) = /Cv</Ki=l)//0'(/K<=0).
''-{о
97

Анализируя соотношения квазиоптимальиши ψ и м ·,
нетрудно заключить, что для формирования оцеп км \ ■ ■ ·
ходимо запоминать с предыдущего такта оценку \t , и ι ι
А
реляционную матрицу ошибок оценок Kt_l9 а на / м ι.и «■
соотношениям фильтра Калмана вычислять две ч.км<
оценки χ,(κ,) для к. =0 и к, =1, а для к. =-1 ист» ■·
вать экстраполированную с / -1 такта оценку х//м.
Таким образом, соотношения рассматриваемого кн.·
оптимального алгоритма нелинейной фильтрации в двл ι
превышают по трудоемкости вычислений соотношу и
фильтра Калмана и в то же время практически равны по ■
числительным затратам соотношениям квазиоптималыи
фильтра нелинейной фильтрации, учитывающего нали····
только аномальных сбойных измерений.
4,2. Фильтры с известными моментами появлении
аномальных измерений
Пусть Г* = κ*Κ2...κ*| - истинная реализация случ.н·
ных величин κ,,^,.,.,κ.. Пусть, кроме того, эта реализлш·
известна. Тогда соотношения, описывающие оптимальным
фильтр процессов при известных моментах появления cfx»n
ной информации, непосредственно следуют из соотношет.■·
оптимального байесовского фильтра (3.2) при
[0 приГ,*Г, ,
и, следовательно, соотношения для оптимального байео
ского фильтра существенно упрощаются. В частности, ,ι ■
модели измерения (4.11) имеем
96

Для модели измерения (4.12) при к* =1 соотношения
фильтра совпадают с (4.16), а при к*=0 имеют
4.3. Робастные фильтры
В случае неизвестной последовательности случайных
величин κΐ3κ2,...,κ, робастные (защищенные от
аномальных выбросов и неинформативных измерений) фильтры
основаны на идее решения на каждом такте фильтрации задачи
классификации текущего измерения [2]. Для модели
измерений (4.11) робастный фильтр описывается соотношениями
(4.16) при к* = icf, где
щщ^-^А, (417)
Здесь Δ - порог, выбираемый в зависимости от
параметров задачи. Нетрудно заметить, что соотношение (4.13)
совпадает с соотношениями (4.16) при к, =к, совместно с
(4.17), описывающими робастный фильтр, если положить,
что вероятность Ρ(κ, = Ι/^,-,ί^) = к,, где к, определяется из
(4.17), т.е. соотношения робастного фильтра следуют из
соотношений рассмотренного квазиоптимального нелинейного
фильтра как частный случай.
Для случая модели (1.8) и (1.10) при проведении
классификации замеров
- (1 npHAiOO^c,. (4Л8)
может использоваться отношение правдоподобия
Л<С<) = /С</к/=1)//Ск</к<=0).
1<-{о
97

что вероятность Р{к\ = 1/^.,хм) = кх, где ki определяется
из (4.17), т.е. соотношения робастного фильтра следуют из
соотношений рассмотренного квазиоптимального
нелинейного фильтра как частный случай.
Для случая модели (1.8) и (1.10) при проведении
классификации замеров
fl при Л,(\\)>с,
[0 при Л, (>'.)< с,
может использоваться отношение правдоподобия
Л,.(^) = /(^/к,=1)//СУ</к<=0).
При этом соотношения для многомерного робастного
фильтра следуют из (4.6) при р(к{1'y.ixi_]) = Ki, где кг
определено в (4.18).
Аналогично, соотношения робастных фильтров для
моделей (1.8), (1.11) и (4.10), (4.12) также следуют из (4.9) и
(4.14) при Ри =£,, где ki определяется условиями (4.18) и
(4.17) соответственно.
Введем в рассмотрение следующее отношение:
Д_/Ч*,=1/>„*,-,)_
Ρ(θφΐ+σΙ V\ 2(σΙ+σΙ)(σΙ+σΙ)
ПОСКОЛЬКУ Qq > Οη , ΤΟ
lim 4 =0,
(>Ί ·4-ι)-->αι
т.е. вероятность P(fC} —\lyi,xi ,) при увеличении разности
У\ ~~ *х ι убывает быстрее, чем вероятность
Р(к, =0/уохы).
98

4.4. Оптимальный в классе линейных фильтр
процессов при наличии сбойных измерений
Одним из простейших алгоритмов фильтрации в
условиях наличия сбойных измерений (1.10) является алгоритм,
построенный на основе линейного фильтра, при
использовании которого оценка является линейной функцией
результатов измерений и минимизирует среднеквадратическую
ошибку. Такой фильтр описывается приведенными выше
соотношениями дискретного фильтра Калмана (2.13) - (2.16)
совместно с (2.21) с той лишь разницей, что в (2.16) вместо
корреляционной матрицы ошибок измерений ΚΆι следует
использовать корреляционную матрицу [26]
/^=(1-6)^+6/^. (4.19)
Полученный таким образом фильтр является
оптимальным в классе линейных фильтров.
4.5. Методы и результаты оценки точностных
характеристик рассмотренных фильтров
Количественный анализ точностных характеристик
оптимальных байесовских, квазиоптимальных и робастных
фильтров затруднителен из-за зависимости параметров
фильтров от реализации входного процесса. Это приводит к
необходимости использования методов математического
(статистического) моделирования и поиска гарантирующих
методов оценки точности. Рассмотрим некоторые подходы и
результаты в этой области.
99

ЧТО ВерОЯТНОСТЬ Р{К\ =1/yi9Xi_{) = Ki , ГДС k\ oii|k к ι. -
из (4.17), т.е. соотношения робастного филыр;| ι u im
соотношений рассмотренного квазиоптималыют м<
ного фильтра как частный случай.
Для случая модели (1.8) и (1.10) при проведении ι ι.
сификации замеров
^ fl приЛ,^)^,, (|(
' [0 при Л, (>',)< с,
может использоваться отношение правдоподобия
Myi) = f(y,/Ki=l)/f(y,/Ki=0).
При этом соотношения для многомерного робаемьч·
фильтра следуют из (4.6) при р(к{ I уг,, хм) = кх;, где а; . ι.
ределено в (4.18).
Аналогично, соотношения робастных фильтров ι ■
моделей (1.8), (1.11) и (4.10), (4.12) также следуют из (4 «>> .·
(4.14) при Ри = £,, где ici определяется условиями (4.IX) ■■
(4.17) соответственно.
Введем в рассмотрение следующее отношение:
' />(*,= 0/д, χ,.,)
ДО 1<+<схр\ Ъ-ЫМ-О
РЩа^+σΙ г{ 2(σ;+σ^Χσί+σ^)
ПОСКОЛЬКУ Qq > Οη. , TO
lim \ =0,
(>', $-i)~*"
т.е. вероятность Р{к} — \/ynxt_л) при увеличении разжк 11.
у\ — Х} 1 убывает быстрее, чем вероятное ι»
Р(к, =0/Л,хм).
98

4.4. Оптимальный в классе линейных фильтр
процессов при наличии сбойных измерений
Одним из простейших алгоритмов фильтрации в
условиях наличия сбойных измерений (1.10) является алгоритм,
построенный на основе линейного фильтра, при
использовании которого оценка является линейной функцией
результатов измерений и минимизирует среднеквадратическую
ошибку. Такой фильтр описывается приведенными выше
соотношениями дискретного фильтра Калмана (2.13) - (2.16)
совместно с (2.21) с той лишь разницей, что в (2.16) вместо
корреляционной матрицы ошибок измерений ΚΆι следует
использовать корреляционную матрицу [26]
Κη/=(1-ε)Κη,+εΑ:θ(. (4.19)
Полученный таким образом фильтр является
оптимальным в классе линейных фильтров.
4.5. Методы и результаты оценки точностных
характеристик рассмотренных фильтров
Количественный анализ точностных характеристик
оптимальных байесовских, квазиоптимальных и робастных
фильтров затруднителен из-за зависимости параметров
фильтров от реализации входного процесса. Это приводит к
необходимости использования методов математического
(статистического) моделирования и поиска гарантирующих
методов оценки точности. Рассмотрим некоторые подходы и
результаты в этой области.
99

4,5,1. Результаты сравнительного исследования точност
ных характеристик и устойчивости фильтров методами
статистического моделирования
Рассмотрим результаты исследования рассмотренны
выше [27] алгоритмов фильтрации методом статистическо!
моделирования применительно к случаю, когда ставится з,
дача оценки скалярной величины α, =αΜ +άΜ(ί, -/Μ) '
скорости ее изменения а, = άΜ по результатам наблюдение
при наличии сбойных ошибок
Ух = α,+κ|.η,+(1-κ<)θ,
и неинформагивных измерений
yi =κί(αι+ηι) + (1-κ,)νί
аддитивной смеси полезного сигнала η и скалярных
дискретных белых шумов η,,θ,,ν- с математическими
ожиданиями iw =ηίθι =0,mVi =Δ, и дисперсиями
2 2 "У
σθ = σν< » ση<. Нетрудно заметить, что для
рассматриваемого случая в (1.8) - (1.10) следует положить
|,л=|о ^[г'=г'~г'-1'я'=1·1 οη=°·
Моделирование проводилось при числе реализаций
Л/ = 1000, значении дисперсии нормального замера σ* =1,
значениях дисперсии сбойных замеров σ* =α\ =9,49,100
при значениях вероятности появления сбойных замеров
ε = 0.05; 0.1; 0.2 . Для сравнения точностных характеристик
работы фильтров рассматривались следующие величины,
соответствующие / = 20 такту работы фильтров:
\\г,
к= У ,к, к
20 ъг _ JV20
οοΓΖΤ'Λ'"ΤΠ
К%(от) ^о(опт)
100

где K^9K\l - дисперсии ошибок оценок координаты а и
скорости ά соответственно на / = 20 такте работы
рассматриваемого фильтра; К™ (опт), КЦ (опт) ~~ дисперсии ошибок
оценок координаты а и скорости ά на / = 20 такте работы
оптимального в классе линейных фильтра.
Математическое ожидание ошибки неинформативных
замеров было принято равным mv - 30.
В качестве дополнительных характеристик при
моделировании рассчитывалось количество реализаций потерь
устойчивости (КПУ), на которых в соответствии с критерием
к°о^^. л *„ /2(2/ — 1) 2 ^.2 ,п ч 2
кто > σ20, ^i = 5crz , σζ = εσΘ + (1 - ε)σ
V ι('+1)
фиксировался факт потери устойчивости, а также количество
неправильных классификаций замеров (КНК) для робастных
фильтров.
На рисунке 4.1 представлены результаты работы
рассматриваемых фильтров (изменение полезного сигнала α,,
реализации измерений yi и ошибок фильтрации
Δά, = ai - ai) на одной из реализаций в условиях наличия
сбойных и неинформативных измерений соответственно.
На рисунке кривая 1 соответствует оптимальному в
классе линейных фильтру Калмана, кривая 2 - оптимальному
фильтру с известными моментами появления сбойных
измерений, кривые 3, 4 - робастным фильтрам при наличии
сбойных и неинформативных измерений соответственно, а кривая
5 - квазиоптимальному фильтру (4.9).
Следует особо отметить, что поскольку в реальных
условиях не всегда представляется возможным
классифицировать поступающие измерения на сбойные и
неинформативные, то на указанных рисунках приведены реализации
ошибок на выходе рассматриваемых фильтров, "настроенных" на
конкретный вид сбойных измерений, т.е. на сбойные или не-
101

4.5.1. Результаты сравнительного исследоин 11 mi мпм... .
ных характеристик и устойчивости фильтрои мгнм» *...
статистического моделирования
Рассмотрим результаты исследования рассмотрит
выше [27] алгоритмов фильтрации методом статней по »
моделирования применительно к случаю, когда ставни .■
дача оценки скалярной величины а, =а/_1 + ам(/, - /, , >
скорости ее изменения а, = <хм по результатам наблюл* "
при наличии сбойных ошибок
yt = α. + κ,η,+(1-κ,)θ,
и неинформативных измерений
у, =κι(α|. + η,) + (1-κ,)ν,
аддитивной смеси полезного сигнала η и скалярных ,ш
кретных белых шумов η/5θΙ5ν, с математическими ожш
ниями т^ =тв^ = 0,/яУ( =Δ, и дисперсиям
σβ = σί, >>ση, · Нетрудно заметить, что для рассматрты
мого случая в (1.8) — (1.10) следует положить
Моделирование проводилось при числе реализацн
Μ = 1000, значении дисперсии нормального замера σ*
значениях дисперсии сбойных замеров σ* =σ£ =9,49, К"
при значениях вероятности появления сбойных замер ι
ε = 0.05; 0Л; 0.2 . Для сравнения точностных характерно ι
работы фильтров рассматривались следующие величины, \
ответствующие / = 20 такту работы фильтров:
V00 Vй
V - 2η Υ - 20
К%(отУ ' Κι21(οπτ)'
100

где K™,K\l - дисперсии ошибок оценок координаты а и
А
скорости ά соответственно на / = 20 такте работы
рассматриваемого фильтра; А^(опт),АТ2о(опт) - дисперсии ошибок
А
оценок координаты а и скорости ά на / = 20 такте работы
оптимального в классе линейных фильтра.
Математическое ожидание ошибки неинформативных
замеров было принято равным mv = 30.
В качестве дополнительных характеристик при
моделировании рассчитывалось количество реализаций потерь
устойчивости (КПУ), на которых в соответствии с критерием
^20 >σιο> <*ί=5σζ ———, σζ=εσθ+(1-ε)σ
фиксировался факт потери устойчивости, а также количество
неправильных классификаций замеров (КНК) для робастных
фильтров.
На рисунке 4.1 представлены результаты работы
рассматриваемых фильтров (изменение полезного сигнала α,,
реализации измерений ν, и ошибок фильтрации
Δά, = ά, - ai) на одной из реализаций в условиях наличия
сбойных и неинформативных измерений соответственно.
На рисунке кривая 1 соответствует оптимальному в
классе линейных фильтру Калмана, кривая 2 - оптимальному
фильтру с известными моментами появления сбойных
измерений, кривые 3, 4 - робастным фильтрам при наличии
сбойных и неинформативных измерений соответственно, а кривая
5 - квазиоптимальному фильтру (4.9).
Следует особо отметить, что поскольку в реальных
условиях не всегда представляется возможным
классифицировать поступающие измерения на сбойные и
неинформативные, то на указанных рисунках приведены реализации
ошибок на выходе рассматриваемых фильтров, "настроенных" на
конкретный вид сбойных измерений, т.е. на сбойные или не-
101

информативные. При этом исследование характеристик
фильтров проводилось как при наличии сбойных (рисунок
4.1а), так и неинформативных (рисунок 4.16) измерений.
Сравнительное исследование описанных фильтров
показало, что в реальных условиях обработки информации
необходим учет наличия сбойных измерений. Так при наличии
неинформативных измерений линейный и оптимальный в
классе линейных фильтры Калмана теряют устойчивость в
среднем в 50% реализаций. Использование робастных
фильтров приводит к увеличению точности оценок, однако робаст-
ные фильтры подвержены потере устойчивости и
чувствительны к тому, каким является аномальный замер - сбойным
или неинформативным.
Наиболее выгодным является использование
квазиоптимального нелинейного фильтра (4.9) при наличии
неинформативных измерений, поскольку он по точности близок к
оптимальному и является более устойчивым по сравнению с
робастными. Кроме того, на результаты работы
квазиоптимального фильтра (4.9) не оказывает существенного влияния
вид аномального замера (сбойный или неинформативный), в
то время как даже оптимальный с известными моментами
появления аномальных измерений фильтр оказался
чувствительным к наличию в выборке неинформативных измерений
(рисунок 4.16).
Ч
102

20
10
О
-10
У
,ui
"Д,
£
&.
10
16
20
6 1
0
- 5
-Х0
~£в
-20
(
Δα,
9
:..
1
ij
ЧГ
4
Да
^
Τ
hi
ΣΟ
16
■HUH
**■*
ccd
20
60
о
я, α.
I I I 1 I I I I I I X I I 1 Ι 1>Ί Ι Ί π
Ич 11 I'm 11111 г! 11
ΙΟ
IS
20
лщ
-β
Рис. 4.1. Типовые реализации входной информации yi линейно
изменяющегося сигнала а, и ошибок оценок Δά, = ά{ - ai на
выходе фильтров в условиях наличия аномальных (а)
и неинформативных (б) измерений
С увеличением числа первых тактов работы фильтров,
на которых может быть гарантировано отсутствие аномаль-
103

информативные. При этом исследование харакири* пи
фильтров проводилось как при наличии сбойных (ршми «
4.1а), так и неинформативных (рисунок 4.16) измерении
Сравнительное исследование описанных фильтром и··
казало, что в реальных условиях обработки информации п.
обходим учет наличия сбойных измерений. Так при нал ι
неинформативных измерений линейный и оптимальны и ·
классе линейных фильтры Калмана теряют устойчивое 11. .
среднем в 50% реализаций. Использование робастных фиш .
ров приводит к увеличению точности оценок, однако роб. ι» ■
ные фильтры подвержены потере устойчивости и чувени.
тельны к тому, каким является аномальный замер - сбойпм- >
или неинформативным.
Наиболее выгодным является использование квазпоп
тимального нелинейного фильтра (4.9) при наличии ней 11
формативных измерений, поскольку он по точности близок ι
оптимальному и является более устойчивым по сравнению .
робастными. Кроме того, на результаты работы квазиопт
мального фильтра (4.9) не оказывает существенного влиянии
вид аномального замера (сбойный или неинформативныи) ■»
то время как даже оптимальный с известными моментами
появления аномальных измерений фильтр оказался чувстип
тельным к наличию в выборке неинформативных измерении
(рисунок 4.16).
102

1. Типовые реализации входной информации yi линейно
ицегося сигнала ау и ошибок оценок Δα, = а, - ai на
выходе фильтров в условиях наличия аномальных (а)
и неинформативных (б) измерений
увеличением числа первых тактов работы фильтров,
рых может быть гарантировано отсутствие аномаль-
103

ных замеров, улучшаются точностные характеристики и по
вышается устойчивость работы фильтров, т.е. точностные
характеристики фильтров зависят от того, как "обучены'
фильтры на начальных тактах работы.
При отсутствии априорных сведений о наличии сбой
ных измерений на начальных тактах работы фильтров для их
"обучения" возможно применение оптимальных байесовских
фильтров с последующим переходом на квазиоптимальные
или упрощенные фильтры. Для этого было проведено
сравнительное исследование оптимального с известными
моментами появления сбойных замеров, квазиоптимального и
оптимального байесовского фильтров методом статистического
моделирования аналогично описанному выше.
Результаты исследования показали, что в том случае,
когда может быть гарантировано отсутствие сбойных
замеров на начальных тактах работы фильтров,
квазиоптимальный фильтр близок по точности к оптимальному
байесовскому фильтру. В противном случае применение оптимального
байесовского фильтра для "обучения" необходимо, несмотря
на дополнительные по сравнению с квазиоптимальным
фильтром вычислительные затраты, поскольку
квазиоптимальный фильтр существенно уступает оптимальному
байесовскому фильтру по точности и устойчивости работы.
Как показали результаты исследования, наиболее
приемлемым является использование квазиоптимального
фильтра, поскольку он по точности близок к оптимальным
фильтрам, не чувствителен к виду аномального измерения и
является более устойчивым по сравнению с робастными
фильтрами. Кроме того, квазиоптимальный фильтр не требует
больших вычислительных затрат.
Отсутствие аномальных измерений на первых тактах
работы фильтров приводит к увеличению точности работы
всех фильтров. При этом квазиоптимальный фильтр оказался
по точности близок не только к оптимальным с известными
моментами появления сбойных замеров, но и к
оптимальному байесовскому фильтру, применение которого ограничено
104

из-за вычислительных затрат с ростом количества тактов
работы фильтра.
При невозможности гарантировать отсутствие
аномальных замеров на первых тактах работы фильтров
целесообразно использовать оптимальный байесовский фильтр на
этих тактах с последующим переходом на квазиоптимальный
фильтр.
4.5.2. Гарантированная оценка ухудшения точностных
характеристик алгоритмов фильтрации при известном
количестве аномальной информации
Из полученных выше результатов, в частности,
следует, что в случае, когда дисперсия аномальной информации
существенно превышает значение дисперсии основной массы
нормальных измерений, вероятность правильной
классификации информации на выходе фильтра стремится к единице,
в результате чего эффективность оптимальных байесовских и
квазиоптимальных алгоритмов фильтрации стремится к
эффективности оптимальных фильтров, при построении
которых используется полная информация о моментах появления
аномальных измерений. При этом если измерение
классифицируется как аномальное, то вес этого замера при весовом
суммировании существенно уменьшается, либо за оценку на
текущем такте фильтрации принимается экстраполированное
значение координат, что равносильно отсутствию на данном
такте измерений вообще. В этих условиях задачу можно
поставить как задачу определения степени ухудшения точности
фильтрации в случае, когда в серии из N дискретных
измерений в η < Ν случаях информация не получена или,
применительно к непрерывному случаю, когда из времени Тн
непрерывного наблюдения на некоторых интервалах времени
суммарной длительностью <5Г = аГн <ТН (0<а<1) информация
отсутствует. Поскольку ухудшение точности фильтрации
определяться не только количеством отсутствующих измере-
105

ных замеров, улучшаются точностные характеристики и по
вышается устойчивость работы фильтров, т.е. точностныч
характеристики фильтров зависят от того, как "обучены
фильтры на начальных тактах работы.
При отсутствии априорных сведений о наличии сбой
ных измерений на начальных тактах работы фильтров для ил
"обучения" возможно применение оптимальных байесовские
фильтров с последующим переходом на квазиоптамальньк
или упрощенные фильтры. Для этого было проведено срав
нительное исследование оптимального с известными
моментами появления сбойных замеров, квазиоптимального и
оптимального байесовского фильтров методом статистического
моделирования аналогично описанному выше.
Результаты исследования показали, что в том случае,
когда может быть гарантировано отсутствие сбойных
замеров на начальных тактах работы фильтров,
квазиоптимальный фильтр близок по точности к оптимальному
байесовскому фильтру. В противном случае применение оптимального
байесовского фильтра для "обучения" необходимо, несмотря
на дополнительные по сравнению с квазиоптимальным
фильтром вычислительные затраты, поскольку
квазиоптимальный фильтр существенно уступает оптимальному
байесовскому фильтру по точности и устойчивости работы.
Как показали результаты исследования, наиболее
приемлемым является использование квазиоптимального
фильтра, поскольку он по точности близок к оптимальным
фильтрам, не чувствителен к виду аномального измерения и
является более устойчивым по сравнению с робастными
фильтрами. Кроме того, квазиоптимальный фильтр не требует
больших вычислительных затрат.
Отсутствие аномальных измерений на первых тактах
работы фильтров приводит к увеличению точности работы
всех фильтров. При этом квазиоптимальный фильтр оказался
по точности близок не только к оптимальным с известными
моментами появления сбойных замеров, но и к
оптимальному байесовскому фильтру, применение которого ограничено
104

из-за вычислительных затрат с ростом количества тактов
работы фильтра.
При невозможности гарантировать отсутствие
аномальных замеров на первых тактах работы фильтров
целесообразно использовать оптимальный байесовский фильтр на
этих тактах с последующим переходом на квазиоптимальный
фильтр.
4.5.2. Гарантированная оценка ухудшения точностных
характеристик алгоритмов фильтрации при известном
количестве аномальной информации
Из полученных выше результатов, в частности,
следует, что в случае, когда дисперсия аномальной информации
существенно превышает значение дисперсии основной массы
нормальных измерений, вероятность правильной
классификации информации на выходе фильтра стремится к единице,
в результате чего эффективность оптимальных байесовских и
квазиоптимальных алгоритмов фильтрации стремится к
эффективности оптимальных фильтров, при построении
которых используется полная информация о моментах появления
аномальных измерений. При этом если измерение
классифицируется как аномальное, то вес этого замера при весовом
суммировании существенно уменьшается, либо за оценку на
текущем такте фильтрации принимается экстраполированное
значение координат, что равносильно отсутствию на данном
такте измерений вообще. В этих условиях задачу можно
поставить как задачу определения степени ухудшения точности
фильтрации в случае, когда в серии из N дискретных
измерений в η < Ν случаях информация не получена или,
применительно к непрерывному случаю, когда из времени Тн
непрерывного наблюдения на некоторых интервалах времени
суммарной длительностью ОТ = аТн <Ти (О < а < 1) информация
отсутствует. Поскольку ухудшение точности фильтрации
определяться не только количеством отсутствующих измере-
105

ных замеров, улучшаются точностные характерно 11 ιμι »■ ,,
вышается устойчивость работы фильтров, т.е. точши ιι··>
характеристики фильтров зависят от того, как "от·»....
фильтры на начальных тактах работы.
При отсутствии априорных сведений о наличии и
ных измерений на начальных тактах работы фильтров дм ч ■
"обучения" возможно применение оптимальных байееож
фильтров с последующим переходом на квазиоптимал» ■
или упрощенные фильтры. Для этого было проведено 11
нительное исследование оптимального с известными мпм
тами появления сбойных замеров, квазиоптимального и < ■
тимального байесовского фильтров методом статистическ· -
моделирования аналогично описанному выше.
Результаты исследования показали, что в том сл\ч -
когда может быть гарантировано отсутствие сбойных им
ров на начальных тактах работы фильтров, квазиоптим,» ><
ный фильтр близок по точности к оптимальному байесоп( ι
му фильтру. В противном случае применение оптималык «
байесовского фильтра для "обучения" необходимо, несмпц
на дополнительные по сравнению с квазиоптималыи ■
фильтром вычислительные затраты, поскольку квазиопт
мальный фильтр существенно уступает оптимальному бап«
совскому фильтру по точности и устойчивости работы.
Как показали результаты исследования, наиболее при
емлемым является использование квазиоптимального фиш ·
ра, поскольку он по точности близок к оптимальным фи; 11 -
рам, не чувствителен к виду аномального измерения и ян ι»
ется более устойчивым по сравнению с робастными фи и ·
рами. Кроме того, квазиоптимальный фильтр не тре(>\
больших вычислительных затрат.
Отсутствие аномальных измерений на первых там
работы фильтров приводит к увеличению точности paf><·
всех фильтров. При этом квазиоптимальный фильтр оказа
по точности близок не только к оптимальным с известны
моментами появления сбойных замеров, но и к оптималы
му байесовскому фильтру, применение которого ограни1
104

из-за вычислительных затрат с ростом количества тактов
работы фильтра.
При невозможности гарантировать отсутствие
аномальных замеров на первых тактах работы фильтров
целесообразно использовать оптимальный байесовский фильтр на
этих тактах с последующим переходом на квазиоптимальный
фильтр.
4.5.2. Гарантированная оценка ухудшения точностных
характеристик алгоритмов фильтрации при известном
количестве аномальной информации
Из полученных выше результатов, в частности,
следует, что в случае, когда дисперсия аномальной информации
существенно превышает значение дисперсии основной массы
нормальных измерений, вероятность правильной
классификации информации на выходе фильтра стремится к единице,
в результате чего эффективность оптимальных байесовских и
квазиоптимальных алгоритмов фильтрации стремится к
эффективности оптимальных фильтров, при построении
которых используется полная информация о моментах появления
аномальных измерений. При этом если измерение
классифицируется как аномальное, то вес этого замера при весовом
суммировании существенно уменьшается, либо за оценку на
текущем такте фильтрации принимается экстраполированное
значение координат, что равносильно отсутствию на данном
такте измерений вообще. В этих условиях задачу можно
поставить как задачу определения степени ухудшения точности
фильтрации в случае, когда в серии из N дискретных
измерений в η < Ν случаях информация не получена или,
применительно к непрерывному случаю, когда из времени Гн
непрерывного наблюдения на некоторых интервалах времени
суммарной длительностью δΤ = αΤν <ΤΗ (0<α<1) информация
отсутствует. Поскольку ухудшение точности фильтрации
определяться не только количеством отсутствующих измере-
105

ний, а еще и их расположением на временной оси, то для now
лучения гарантированной оценки ухудшения точности необм
ходимо учесть и этот момент. \
Итак, пусть на интервале / 6 (О, Тя) осуществляется и>
мерение
y(t) = u(t)H(t)x(t) + r\(t) (4.20)
«-мерного вектора x(t) состояния линейной системы
χ(ί) = Α(ί)χ(ί) + Β(ΐ)ξ(ί) (4.21)
при ограничениях на суммарную длительность отсутствия
измерений
тм
ST = Tn-j u(t)dt <S ST, (4.22)
о
где y(t) - /w-мерный вектор измерений; A(t)f B(t) и H(i) -
вещественные пхпупхпитхп матрицы; η(0 и ξ(/) - гаус-
совские шумы измерения и объекта с нулевыми
математическими ожиданиями и неособенными т χ т и η χ η
корреляционными матрицами Кц (t) и К^ (t); u(t) - скалярная
функция, принимающая значение 0, если измерение аномальное, и
1, если измерение нормальное; 6Т - заданная величина
суммарной длительности отсутствия замеров.
Ограничивая рассмотрение задачи только знаком
равенства в (4.22), сформулируем задачу следующим образом.
Необходимо на временном интервале (0,ГН) расположить
интервалы аномальных измерений суммарной длительностью
δΓ = (1-β)ΓΗ=α7; (4.23)
таким образом, чтобы дисперсия
σ2(1) = αΎΡ*(ΤΗ)α; 1 = αΊχ(ΤΗ) (4.24)
оценки скалярного параметра / с использованием фильтра
Калмана в конце интервала наблюдения
Ι = σ2 (/) -> max no u(t) (4.25)
106

достигла максимального значения, где α и β -
относительная доля аномальных и нормальных измерений
соответственно, причем α + β = 1; а-п-мерныйвектор; Р*(ТН)
-апостериорная корреляционная матрица ошибок вектора оценки
f(f), эволюция которой описывается нелинейным
дифференциальным уравнением типа Риккати [1]:
Р* = АР* +Р*АТ -и(()Р*НтК~1НР* +ΒΚζΒΊ. (4.26)
Сформированная выше задача формализуется как
задача планирования работы измерительных средств.
Непосредственное решение сформулированной задачи
программного управления точностью калмановской
фильтрации весьма затруднительно главным образом из-за
матричной структуры и нелинейности уравнения Риккати. Для
преодоления этих трудностей в [4] предложен общий подход к
решению подобных задач, заключающийся в переходе на
основании аналитических свойств уравнения Риккати к
эквивалентной линейной по фазовым координатам задаче, решение
которой получается в конструктивной форме.
Приведем окончательные результаты применения
изложенного гарантирующего подхода к оценке ухудшения
точности фильтрации из-за наличия аномальной (но
распознаваемой) информации для конкретных, наиболее часто
встречающихся на практике, моделей наблюдения [5].
Если модель объекта допускает детерминированное
описание, когда в (4.21) и в (4.26) ξ(ί) з 0 или K^(t) з 0,
нелинейное матричное уравнение (4.26) может быть сведено к
линейному матричному уравнению, которое интегрируется
следующим образом:
[P\t)f =[Фг(0Г'[(^)4 +|«(τ)Φτ(τ)(?(τ)Φ(τ)Λ]φ-,(0, (4.27)
о
107

ний, а еще и их расположением на временной оси, то дни н<>
лучения гарантированной оценки ухудшения точности м< <»«·
ходимо учесть и этот момент.
Итак, пусть на интервале f е(0,Гн) осуществляется и »
мерение
y(t) = u(t)H(t)x(t) + 4(t) (\ ·',,
«-мерного вектора х(/) состояния линейной системы
x(t) = A(t)x(t) + B№t) (I ч,
при ограничениях на суммарную длительность отсутстн .
измерений
ST = Tn-\u(t)dt<>Sfy (4 ,".
о
где y(t) - /w-мерный вектор измерений; A(t), B(t) и H(t) и<
щественные пхп,пхпитхп матрицы; η(ί) и ξ(ί) - га\ ι
совские шумы измерения и объекта с нулевыми математик
скими ожиданиями и неособенными т хтип хп коррел»
ционными матрицами ΚΆ(ί) и K^(t); u(t) -скалярная фут
ция, принимающая значение 0, если измерение аномальное ·>
1, если измерение нормальное; δΤ - заданная величина сум
марной длительности отсутствия замеров.
Ограничивая рассмотрение задачи только знаком р. ι
венства в (4.22), сформулируем задачу следующим образом
Необходимо на временном интервале (0,ГН) расположим
интервалы аномальных измерений суммарной длительность и.
δΓ = (1-β)ΓΗ=αΓΗ (4.2 И
таким образом, чтобы дисперсия
σ2(/) = ατΡ*(7>; 1 = ατ*(Ό (4.2-Ι >
оценки скалярного параметра / с использованием фильтр«
Калмана в конце интервала наблюдения
/ = σ2(/) _> щах по 1/(0 (4.2S)
106

достигла максимального значения, где α и β -
относительная доля аномальных и нормальных измерений
соответственно, причем α + β = 1; а-п-мерныйвектор; Р*(ТН)
-апостериорная корреляционная матрица ошибок вектора оценки
f(f)> эволюция которой описывается нелинейным
дифференциальным уравнением типа Риккати [1]:
Ρ* =ΑΡ* +Ρ*Ατ -u(t)P*HTK-lHP* +ΒΚζΒτ. (4.26)
Сформированная выше задача формализуется как
задача планирования работы измерительных средств.
Непосредственное решение сформулированной задачи
программного управления точностью калмановской
фильтрации весьма затруднительно главным образом из-за
матричной структуры и нелинейности уравнения Риккати. Для
преодоления этих трудностей в [4] предложен общий подход к
решению подобных задач, заключающийся в переходе на
основании аналитических свойств уравнения Риккати к
эквивалентной линейной по фазовым координатам задаче, решение
которой получается в конструктивной форме.
Приведем окончательные результаты применения
изложенного гарантирующего подхода к оценке ухудшения
точности фильтрации из-за наличия аномальной (но
распознаваемой) информации для конкретных, наиболее часто
встречающихся на практике, моделей наблюдения [5].
Если модель объекта допускает детерминированное
описание, когда в (4.21) и в (4.26) ξ(/) = О или K^(t) = О,
нелинейное матричное уравнение (4.26) может быть сведено к
линейному матричному уравнению, которое интегрируется
следующим образом:
t
[ЛОГ* =[ФГ(0Г'[(^)"' +|«(τ)Φτ(τ)(3(τ)Φ(τ)Λ]φ-1(0, (4.27)
О
G(t) = HT(t)K-\t)H(t),
107

где Pq - априорная корреляционная матрица ошибок векто}
оценки x(t0), Φ(ή - фундаментальная матрица решений о
нородной системы, удовлетворяющая уравнени
Ф(/) = ΑΦ(ί),Φ(ί0) = Е (Е- единичная матрица).
В простейшем случае фильтрации скалярной величш»
х(/), описывающейся полиномом нулевой степени x(t) =
когда в (4.20)
Я(0 = 1;Ж0=Я(0=0;Ф(0=1,
необходимые и достаточные условия оптимальности выро-.ι
даются. При этом значение максимизируемого функциона
(4.25) не зависит от вида функции u(t), удовлетворяющей >ч
ловию (4.22), и может быть вычислено непосредственно г.
(4.27). При отсутствии априорной информации
[#Г!=0 (4.2Х
дисперсия оценки параметра в конце интервала наблюден! ι
равна
Р^)=*1/РГ.|р-*=*,/7'..
а относительное ухудшение итогового результата по диспе]
сии при наличии аномальных замеров по сравнению с тем
когда аномальные замеры отсутствуют (а = 0, β = 1), оцени
вается величиной
ц = Р'(Ти)/Р'(Тн)\м=Щ.
При наличии априорной информации о фильтруемо «
параметре
р\тк) = (Р0*кц)/(кц +ргир0Ф); η = (κη +тнрМкц +ргл*)
т.е. априорная информация ущерб от аномальных измерении
снижает.
Если фильтруемая величина описывается полиномам
первой степени x(t) = x(t0)+vx(t0)(t-tQ) или, вводя веюч ·
χΊ(ί) =|| *(0,νχ(0 ||т, уравнением x(t) = A(t)x(t), то в (4.27)
108

A(t) = Ρ Τ H(t) = (1,0), <D(t) = f 1,
||o o|f ||o i||
а решение задачи для случая (4.28) приводит к
невырожденной стратегии "оптимального" размещения интервалов
сбойных и "доброкачественных" измерений, когда количество
интервалов, где с наибольшим ущербом могут быть размещены
аномальные измерения, равняется двум. При этом указанные
интервалы примыкают к концам общего интервала
наблюдения, а "доброкачественные" измерения размещаются между
этими двумя интервалами. Границы интервалов
определяются следующими точками переключения [5]:
,1=1а-[(1-а)3 +3a-l],t2=^-[(l-a)3 -За + 5].
О О
При этом итоговая точность фильтрации координаты
характеризуется величиной
^(?;) = Γ^(β6-8β3+3β2+16)|Μ1 =i^L,
а максимальное ухудшение качества фильтрации из-за
наличия аномальных измерений, сгруппировавшихся наименее
благоприятным образом по концам интервала наблюдения,
определяется соотношением
η = (β6-8β3+3β2+16)/12β3.
Наличие априорной информации о фильтруемом
векторе приводит к перераспределению аномальных измерений
между первым и вторым интервалами в пользу последнего,
вплоть до исчезновения первого интервала. При этом ущерб
от наличия аномальных измерений снижается.
Можно показать, что количество интервалов
размещения с максимальным ущербом аномальных измерений при
фильтрации параметра, описываемого полиномом второго
порядка, не превышает трех, и размещаются они, если их три,
в начале, в конце и примерно в середине интервала
наблюдения. Влияние априорных сведений имеет качественно тот же
характер, что и в описанных выше случаях.
109

где Pq - априорная корреляционная матрица ошибок нем · ι
оценки x(t0)9 Φ(ή - фундаментальная матрица решении
нородной системы, удовлетворяющая ypaei к m..
Ф(0 = ΑΦ(ί)9Φ(ί0) = Е (Е- единичная матрица).
В простейшем случае фильтрации скалярной величи.
x(t), описывающейся полиномом нулевой степени x(t)
когда в (4.20)
#(0 = 1;Ж0=Я(0 = 0;Ф(0=1,
необходимые и достаточные условия оптимальности выр<
даются. При этом значение максимизируемого функции п..
(4.25) не зависит от вида функции u{f)9 удовлетворяюще!\
ловию (4.22), и может быть вычислено непосредственно ι
(4.27). При отсутствии априорной информации
[ρ0Ύ=ο (4
дисперсия оценки параметра в конце интервала наблюден ><
равна
а относительное ухудшение итогового результата по дисп< ι
сии при наличии аномальных замеров по сравнению с и ·
когда аномальные замеры отсутствуют (α = 0, β = 1), оцемн
вается величиной
ц = Р\Ти)/Р\Та)\м=Щ.
При наличии априорной информации о фильтруем· -
параметре
р*(тл) = (Р0**„)/(*„ +βτΧ); η=<к„ +τΧ)ΐ(Κ^ +ρτχ ι
т.е. априорная информация ущерб от аномальных измеремн ■
снижает.
Если фильтруемая величина описывается полином
первой степени x(t) = x(t0)+vx(t0)(t-t0) или, вводя век;
хт(/) =|| x(t\vx(/) ||т, уравнением x(t) = A{t)x(t\ то в (4.27)
108

A(t) = T ltf(r) = (l,0), Ф(0 =
а решение задачи для случая (4.28) приводит к
невырожденной стратегии "оптимального" размещения интервалов
сбойных и "доброкачественных" измерений, когда количество
интервалов, где с наибольшим ущербом могут быть размещены
аномальные измерения, равняется двум. При этом указанные
интервалы примыкают к концам общего интервала
наблюдения, а "доброкачественные" измерения размещаются между
этими двумя интервалами. Границы интервалов
определяются следующими точками переключения [5]:
/,=^-[(1-α)3+3α-1],12=^-[(1-α)3-3α + 5].
О О
При этом итоговая точность фильтрации координаты
характеризуется величиной
^(?;) = -^Γ(Ρ6-8β3+3β2+16)|ρ_>1 =^,
а максимальное ухудшение качества фильтрации из-за
наличия аномальных измерений, сгруппировавшихся наименее
благоприятным образом по концам интервала наблюдения,
определяется соотношением
η = (β6-8β3+3β2+16)/12β3.
Наличие априорной информации о фильтруемом
векторе приводит к перераспределению аномальных измерений
между первым и вторым интервалами в пользу последнего,
вплоть до исчезновения первого интервала. При этом ущерб
от наличия аномальных измерений снижается.
Можно показать, что количество интервалов
размещения с максимальным ущербом аномальных измерений при
фильтрации параметра, описываемого полиномом второго
порядка, не превышает трех, и размещаются они, если их три,
в начале, в конце и примерно в середине интервала
наблюдения. Влияние априорных сведений имеет качественно тот же
характер, что и в описанных выше случаях.
Ill HI
о ι '
109

Аналогичные результаты могут быть получены η мри
менительно к оценке точностных характеристик парпмгч·. ·
движения входящих в атмосферу КО [28].

5. ОЦЕНКА ВЕРОЯТНОСТЕЙ
ПОЯВЛЕНИЯ АНОМАЛЬНЫХ
ИЗМЕРЕНИЙ
5.1. Общие положения
Для реализации оптимальных и квазиоптимальных
алгоритмов фильтрации необходимо знать значение
вероятностей Р(к,) того, что полученное в текущий момент времени
измерение является нормальным (к, = 1) или аномальным
(сбойным или неинформативным) (к^ = 0). Эти вероятности
могут быть определены на основе различных подходов,
например, быть вычислены на основе обработки уже
имеющихся из предыдущих опытов реализаций фильтруемых
процессов и в процессе фильтрации использоваться как постоянные
величины. Так, например, результаты статистических
исследований показывают, что самые различные инженерные,
промышленные, медицинские и другие данные содержат, как
правило, 5ч-10% аномальных выбросов [2].
В условиях не очень сложной радиолокационной
обстановки, когда количество целей невелико, а помеховый
фон достаточно низкий, указанные вероятности могут
вычисляться оперативно в процессе фильтрации. В более
сложных случаях степень засорения аномальными данными
существенно зависит от "мешающей обстановки" в окрестности
наблюдаемого РО. Вероятность появления аномальных
наблюдений зависит от наличия дополнительных объектов в
объеме разрешения, от возмущений, обусловленных
влиянием факела двигательной установки, плазменного следа и ряда
111

других факторов. При этом появление аномальных измеро!
ний может носить "пачечный" характер. Таким образом, i
сложной радиолокационной обстановке степень засорения
результатов наблюдений аномальными измерениями, каЯ
правило, неизвестна, поскольку зависит от многих факторов!
учесть которые аналитически трудно, а получить экспери*
ментально просто невозможно из-за сложности и
изменчивости радиолокационной обстановки. В этих условиях для
решения задачи фильтрации можно предположить, что
последовательности {к,} имеют равномерное распределение, т.е.
для моделей (1.9) и (1.10) следует принять Р(к,) = 1/2,
К; = 0, 1, для модели (1.12) принять Ρ(Γιψ) = 2'w, а для
модели (1.13)-Р(к,)= 1/3, ^=-1,0,1; 7 = 0,1,2,...
Наиболее предпочтительным является вычисление
вероятностей получения аномальных замеров непосредственно
в процессе фильтрации. Для ряда конкретных случаев в
настоящее время уже получены соответствующие оценки. Так,
в [10] рассмотрен случай селекции (распределения)
измерений при построении траектории одиночного РО. При этом
предполагалось, что в зону идентификации (строб) кроме
истинных, могут попадать ложные измерения, обусловленные
наличием помех. Рассмотрены случаи как двумерной, так и
трехмерной зоны идентификации и, в частности, для случая
двумерной зоны идентификации получено следующее
выражение для оценки вероятности правильного распределения
единичного измерения к траектории:
/>ίΙ=1/(1 + 2πν5σησξ),
где vs - плотность ложных отметок на единицу площади
зоны идентификации; ση и σξ - среднеквадратические
значения отклонения истинных отметок от центра зоны.
Нетрудно заметить, что при ν^->0 и ν5->αο
значения вероятностей получения информативного замера стре-
112

мятся соответственно к величинам Ри -» 1 и Ри -> 0. Кроме
того, в [10] даны оценки вероятности правильного
распределения единичных измерений при построении траекторий
двух РО.
Во многих практически важных случаях измерения
являются неоднозначными. Такая ситуация имеет место,
например, в фазовых пеленгаторах с антенной в виде линейной
решетки. В [29] рассмотрен случай неоднозначных
измерений и дана оценка вероятности появления аномальных
измерений в процессе оценки методом максимального
правдоподобия номеров интервалов неоднозначного отсчета
измеренных координат. В [30] проведен анализ и дана оценка
вероятности аномальных ошибок пеленгации углового положения
РО вследствие его отклонения от равносигнального
направления и выхода за границы однозначного измерения.
Остановимся теперь более подробно на примере
оперативной оценки вероятностей формирования аномальных
измерений для важного практического случая.
5.2. Случай формирования измерений по
радиолокационной отметке с максимальной амплитудой
Пусть в моменты времени tl9t2,... истинное значение
измеряемого параметра равно У\>у%,..> Выходной эффект
измерительной системы в момент времени tl9t2,...
обозначим через ψ! (у), у2(у), ··■ Пусть далее априори известно, что
полезный сигнал содержится в принятой реализации с
вероятностью, равной единице и что у? =h(xt) принадлежит
множеству возможных значений Yt, т.е. ух е Υχ,.
Рассмотрим следующий механизм формирования
результатов наблюдений:
>>, =argmax\|/,(>>), (5.1)
у4
113

других факторов. При этом появление аномальных тм. ι·
ний может носить "пачечный" характер. Таким обраюм .
сложной радиолокационной обстановке степень засор«и.».
результатов наблюдений аномальными измерениями ι ·■
правило, неизвестна, поскольку зависит от многих фактор···
учесть которые аналитически трудно, а получить экстр"
ментально просто невозможно из-за сложности и изменчш
сти радиолокационной обстановки. В этих условиях для ι
шения задачи фильтрации можно предположить, что по* ■
довательности {к,} имеют равномерное распределение. <
для моделей (1.9) и (1.10) следует принять Р(к^~\
к, = 0, 1, для модели (1.12) принять Ρ(Γίψ) = 2"w, а для м.
дели (1.13)-Р(к,) = 1/3, Ki =-1,0,1; /=0,1,2,...
Наиболее предпочтительным является вычисление и·
роятностей получения аномальных замеров непосредствен",
в процессе фильтрации. Для ряда конкретных случаев в и л
стоящее время уже получены соответствующие оценки. Т. и
в [10] рассмотрен случай селекции (распределения) измер·
ний при построении траектории одиночного РО. При этом
предполагалось, что в зону идентификации (строб) кроме in
тинных, могут попадать ложные измерения, обусловленные
наличием помех. Рассмотрены случаи как двумерной, так ··
трехмерной зоны идентификации и, в частности, для случ.п
двумерной зоны идентификации получено следующее вы р. ι
жение для оценки вероятности правильного распределен!· ι
единичного измерения к траектории:
ΡΗ=1/(1 + 2πν5σησξ),
где ν^ - плотность ложных отметок на единицу площади и
ны идентификации; ση и σξ - среднеквадратические знач.
ния отклонения истинных отметок от центра зоны.
Нетрудно заметить, что при ν5->0 и ν5->αο значс
ния вероятностей получения информативного замера стр<
112

мятся соответственно к величинам Ри -» 1 и Ри -» 0. Кроме
того, в [10] даны оценки вероятности правильного
распределения единичных измерений при построении траекторий
двух РО.
Во многих практически важных случаях измерения
являются неоднозначными. Такая ситуация имеет место,
например, в фазовых пеленгаторах с антенной в виде линейной
решетки. В [29] рассмотрен случай неоднозначных
измерений и дана оценка вероятности появления аномальных
измерений в процессе оценки методом максимального
правдоподобия номеров интервалов неоднозначного отсчета
измеренных координат. В [30] проведен анализ и дана оценка
вероятности аномальных ошибок пеленгации углового положения
РО вследствие его отклонения от равносигнального
направления и выхода за границы однозначного измерения.
Остановимся теперь более подробно на примере
оперативной оценки вероятностей формирования аномальных
измерений для важного практического случая.
5.2. Случай формирования измерений по
радиолокационной отметке с максимальной амплитудой
Пусть в моменты времени tl9t2>... истинное значение
измеряемого параметра равно У\,у\>... Выходной эффект
измерительной системы в момент времени tx,tly...
обозначим через ψ1 (у), ψ2(>0>... Пусть далее априори известно, что
полезный сигнал содержится в принятой реализации с
вероятностью, равной единице и что у? = h(xJ) принадлежит
А л А
множеству возможных значений Yt, т.е. yt e Yt.
Рассмотрим следующий механизм формирования
результатов наблюдений:
>>, =argmax\|/,(>>), (5.1)
у4
113

т.е. измеренное значение формируется по информации,
соответствующей максимуму выходного эффекта ψ^ (у)
измерительной системы. При этом
>>?+η„ если у, б Ι?, ί52ν
ν„ ссту,е7?9 ™
где Υ* - область сигнального пика; Ytm - область шумовых
выбросов.
Таким образом, результат наблюдений в /-й момент
времени можно представить в виде
^=кДЛ(^)+Л*] + 0-к,)у1Э / = 1,2,...
/(j>,/k,=U) = ^MU*,,]. (5.3)
Л^/к,, =0) = /<v,)=i при |ν, -Α(χ,)|<ί 0.5У„
что с точностью до обозначений согласуется с моделью
измерений при наличии неинформативных наблюдений (1.11).
Рассмотрим радиолокационный измеритель (РИ),
осуществляющий измерение и сопровождение одиночного РО в
индивидуальном стробе. В общем случае начальные условия
для работы РИ поступают от станции целеуказания,
осуществляющей обнаружение и предварительное сопровождение РО
и обладающей большими поисковыми возможностями.
Упрощенная блок-схема РИ представлена на рисунке 5.1.
Аппаратура приемно-передающего тракта РИ
обеспечивает излучение зондирующего сигнала в заданные
системой обслуживания моменты времени в заданное угловое
направление, а также прием и оптимальную обработку
принимаемых сигналов.
Непрерывный сигнал Z(t) с выхода оптимального
приемника приемно-передающего тракта информационной
системы РИ поступает на устройство стробирования,
пропускающее реализацию Z(t) на вход устройства квантования и
дискретизации в пределах временного интервала
114

I
115

т.е. измеренное значение формируется по информации, com
ветствующей максимуму выходного эффекта ψ, (.у) измсрп
тельной системы. При этом
ν =W+tb еслидбУД (S ,
где Υ* - область сигнального пика; Υ™ - область шумовы\
выбросов.
Таким образом, результат наблюдений в ι-й момст
времени можно представить в виде
д>, =кДА(**) + П*] + (1-к*К, / = 1,2,...
/(^/к,=1,х,) = ^[Л(^),^.], (5.3)
/0>,/к, = 0) = /<v,)=i при |ν, -Α(χ,)|<ί 0.5Г„
что с точностью до обозначений согласуется с моделью
измерений при наличии неинформативных наблюдений (1.11).
Рассмотрим радиолокационный измеритель (РИ),
осуществляющий измерение и сопровождение одиночного РО и
индивидуальном стробе. В общем случае начальные условия
для работы РИ поступают от станции целеуказания,
осуществляющей обнаружение и предварительное сопровождение РО
и обладающей большими поисковыми возможностями.
Упрощенная блок-схема РИ представлена на рисунке 5.1.
Аппаратура приемно-передающего тракта РИ
обеспечивает излучение зондирующего сигнала в заданные
системой обслуживания моменты времени в заданное угловое
направление, а также прием и оптимальную обработку
принимаемых сигналов.
Непрерывный сигнал Z{t) с выхода оптимального
приемника приемно-передающего тракта информационной
системы РИ поступает на устройство стробирования,
пропускающее реализацию Z(t) на вход устройства квантования и
дискретизации в пределах временного интервала
114

I
ι
I
ί
115

Δτ = Γκ - Гн, ограниченного моментами времени начаД
t = Ти и конца t - Гк строба дальности. Ш
Устройство квантования и дискретизации осуществлН
ет временную дискретизацию сигнала путем разбиения рщШ
вертки дальности длительностью Δτ на Μ элементарнцВ
участков (ячеек строба по дальности) длительность^
Δ,(Λ/Δ, = Δτ) и квантование по уровню превысивших поров
Ζ0 амплитуд сигнала Z(f;) в дискретные моменты времени
ί, =ΓΗ+;Δ, 0=1,2,..., М). j
Пусть система обработки сигналов в стробе производим
отбор той Z*(ff) из полученных в процессе квантования от-1
меток Z*(0, Д™ которой Z*(tJ)>Z*(tj); \
1,у = 1,2, ...,М; j * i. По информации этой отметки формиру- \
ется единичный замер у{f =||/ζ>ε^β^| , включающий в себя ;
измеренные в текущий момент времени ti значения
дальности Rt и углового положения РО ε, и β,. Кроме того,
производится определение дисперсий oj ,σ|_ и σρ ошибок
измерения и отношения сигнал/шум qf.
Сформированный таким образом единичный замер
поступает в систему вторичной (траекторной) обработки,
производящей объединение информации, полученной в разные
моменты времени, вырабатывает оценку параметров
движения РО и формирует заявки на обслуживание РО.
Кроме того, на систему вторичной обработки
поступают оперативно вычисляемые вероятности Ри и Рт,
соответствующие гипотезам об информативности и
неинформативности сформированного единичного замера и являющиеся
функциями размеров строба и энергетических характеристик
принятого сигнала. Результаты оценки параметров движения
поступают на выход РИ, а также используются системой об-
116

служивания для вычисления размеров строба по дальности и
угловому положению цели на очередной (/ + 1)-й момент
времени зондирования.
Управляет работой приемно-передающего тракта РИ
система обслуживания путем формирования расписаний, в
которых указан перечень исходных данных, необходимых
для обеспечения зондирования пространства и приема
информации.
Как указывалось выше, вероятности Ри и /^
являются функцией размеров строба. Размер строба в свою очередь
определяется точностными характеристиками оценок
параметров движения. В начальный момент времени работы РИ
размеры строба Δτ, определяемые на основе информации от
станции целеуказания, существенно превышают
длительность ячейки строба Δρ ив этом случае количество ячеек
строба Μ велико и вероятность Рн принятия выброса шума
за сигнал также достаточно велика. В этих условиях для
оценки параметров движения РО целесообразно
использовать оптимальный алгоритм, описываемый, например,
соотношениями (3.2). По мере получения и обработки единичных
измерений точность оценки параметров движения
увеличивается, размеры строба и, следовательно, значение Ри
уменьшаются и, начиная с момента времени, при котором
выполняется, например, условие Л/<М0, для оценки
параметров движения КО целесообразно использовать
квазиоптимальный алгоритм, описываемый, например,
соотношениями (4.5).
Переходим теперь к количественной оценке
вероятностей получения информативных и неинформативных
замеров.
В процессе проведения исследования будем
предполагать, что:
- неинформативными могут быть измерения
только дальности до РО;
117

Δτ = ΤΚ -ΤΛ9 ограниченного моментами времени ιι.π.ι ..
t = Тн и конца ί = Тк строба дальности.
Устройство квантования и дискретизации осуща ι и ■ >
ет временную дискретизацию сигнала путем разбиения |. >
вертки дальности длительностью Δτ на Μ элемент;» |-
участков (ячеек строба по дальности) длительней .
Δ,(ΜΔ, = Δτ) и квантование по уровню превысивших и ·-
Ζ0 амплитуд сигнала Z(tj) в дискретные моменты врем ■
Пусть система обработки сигналов в стробе произнп m
отбор той Z*(tt) из полученных в процессе квантования
меток Z*(tj), для которой Z*(tt)>Z* (/
/, j' = 1, 2,,. .,М; j* i. По информации этой отметки форм up
ется единичный замер yi =|/2*,ε,,β,| , включающий во'
измеренные в текущий момент времени ti значения дали··
сти fy и углового положения РО ε, и β,. Кроме того, проп
водится определение дисперсий σ^ ,σ* и σρ ошибок ичм.
рения и отношения сигнал/шум qf.
Сформированный таким образом единичный замер π
ступает в систему вторичной (траекторной) обработки, 11;.
изводящей объединение информации, полученной в раин·
моменты времени, вырабатывает оценку параметров двпл
ния РО и формирует заявки на обслуживание РО.
Кроме того, на систему вторичной обработки пост\ ι · ■
ют оперативно вычисляемые вероятности Ри и Pm, cooi ■<■ »
ствующие гипотезам об информативности и неинформа 111 >
ности сформированного единичного замера и являющи-
функциями размеров строба и энергетических характерна т-
принятого сигнала. Результаты оценки параметров движем
поступают на выход РИ, а также используются системой
116

служивания для вычисления размеров строба по дальности и
угловому положению цели на очередной (ι + 1)-й момент
времени зондирования.
Управляет работой приемно-передающего тракта РИ
система обслуживания путем формирования расписаний, в
которых указан перечень исходных данных, необходимых
для обеспечения зондирования пространства и приема
информации.
Как указывалось выше, вероятности Ри и /^
являются функцией размеров строба. Размер строба в свою очередь
определяется точностными характеристиками оценок
параметров движения. В начальный момент времени работы РИ
размеры строба Δτ, определяемые на основе информации от
станции целеуказания, существенно превышают
длительность ячейки строба Δρ ив этом случае количество ячеек
строба Μ велико и вероятность Рн принятия выброса шума
за сигнал также достаточно велика. В этих условиях для
оценки параметров движения РО целесообразно
использовать оптимальный алгоритм, описываемый, например,
соотношениями (3.2). По мере получения и обработки единичных
измерений точность оценки параметров движения
увеличивается, размеры строба и, следовательно, значение Ри
уменьшаются и, начиная с момента времени, при котором
выполняется, например, условие М<М0, для оценки
параметров движения КО целесообразно использовать
квазиоптимальный алгоритм, описываемый, например,
соотношениями (4.5).
Переходим теперь к количественной оценке
вероятностей получения информативных и неинформативных
замеров.
В процессе проведения исследования будем
предполагать, что:
— неинформативными могут быть измерения
только дальности до РО;
117

__ величина ячейки строба по дальности Δ, такова,
что дискретные значения сигнала Z(^)
статистически независимы;
_ временное положение одной из Μ ячеек строба,
например RK = Ти + £Δ,, совпадает с временным
положением истинного значения дальности
измеряемого объекта;
_ число уровней квантования достаточно велико,
так что процессами квантования по уровню
можно пренебречь, т.е. принять Z* (ti) = Z(t,).
jCpOMe того, ячейку строба с номером к в дальнейшем
β ем называть целевой ячейкой строба, а остальные Μ - 1
к — шумовыми ячейками строба.
При решении практических радиолокационных задач,
правило, приходится иметь дело с флуктуирующими со
т/чайными амплитудой и начальной фазой отраженными
нала**1*· ^Ри этом плотности распределения w0;(Z) и
(7\ сигнала Z(t) на выходе оптимального приемника в
типовых и сигнальной ячейках строба определяются
выражениями [31]: ^ ^
"o,(Z>=:TexP{-^}> "*(Z> = 4exP<-^>> (5.4)
<*о 2σο σι 2σι
ne j4 - спектральная плотность шума; Э - среднее
значение энергии сигнала.
С учетом сделанных предположений при нулевом по-
Z = 0 Для определения вероятностей Ри и Рш полу-
ения информативного и неинформативного замеров
соответственно можно записать
118

'ж. I >'„. I'„ ^w{k(y)I>0(y)dy, (5.5)
О
Л/ у
''„•и ["[/Ό,0'), P0j(y) = ]w0j(Z)dZ,
J ι
где /',, ( г) иероитность того, что амплитуда выходного
напряла· ι πι и /(/,) в /-и шумовой ячейке строба не превысит
значения у '/<Uj)<y, Ро(у) ~ вероятность того, что выход-
нос напряжение ни в одной из М- 1 шумовых ячеек строба
не превысит значения^.
Подставляя (5.4) в (5.5) для определения вероятности
информативного замера, нетрудно получить
Z2
^ "J4
V2e'(l-e "У4**. (5.6)
После проведения интегрирования с учетом того, что
ζ2 м-\
(l-e~2°hM~l =^С-_1Н)'иехр{-|тт},
где Cj^_j - биноминальный коэффициент, выражение (5.6)
можно привести к виду
Л/-1
Λί-Ι ι
Р» =ZC^-.(-Dw η , (5.7)
=° l + (l + -qr2)m
Э2 2Э
2 __
"o -"o
4 ol N.
где #2 - среднее значение отношения сигнал/шум
(отношение среднего значения энергии сигнала к половине
спектральной плотности шума).
119

- величина ячейки строба по дальности Δ, там и» ·
что дискретные значения сигнала Z(tt) c»;im«
стически независимы;
- временное положение одной из Μ ячеек стрп ·«
например RK =ТЯ + £Δ,, совпадает с времени ι.» .
положением истинного значения дальности и
меряемого объекта;
- число уровней квантования достаточно вел и ι
так что процессами квантования по уровню м< ■ ■
но пренебречь, т.е. принять Z* (ti) = Z(tt).
Кроме того, ячейку строба с номером к в дальней и к ·
будем называть целевой ячейкой строба, а остальные Μ ι
ячеек - шумовыми ячейками строба.
При решении практических радиолокационных за^.».
как правило, приходится иметь дело с флуктуирующими «
случайными амплитудой и начальной фазой отраженными
сигналами. При этом плотности распределения w0;(Z) и
wlk(Z) сигнала Z(t) на выходе оптимального приемник.ι ■
шумовых и сигнальной ячейках строба определяются вы μι
жениями [31]:
Wo;(Z)=4exp{-^-}, w1Ic(Z) = 4-exp{-^}, О '·
σ0 2σ0 σ, 2σ,
σ*=±ΛΤβ3,σ12=σ»+±32,
где Ν0 - спектральная плотность шума; Э - среднее зн;п«
ние энергии сигнала.
С учетом сделанных предположений при нулевом п«
роге Ζ0 = 0 для определения вероятностей Ри и Рт пни
чения информативного и неинформативного замеров со ι
ветственно можно записать
118

00
Ли=1-^и. Pn=\">u(y)Po(y)dy, (5.5)
О
Μ у
>=1 0
где P0j (у) - вероятность того, что амплитуда выходного
напряжения Z(tj) в у-й шумовой ячейке строба не превысит
значения у:Z(tj)<y; Р0(у) - вероятность того, что
выходное напряжение ни в одной из Μ - 1 шумовых ячеек строба
не превысит значения j/.
Подставляя (5.4) в (5.5) для определения вероятности
информагавного замера, нетрудно получить
Λ^ί-Τ****1-* ^dZ (5-6)
οσι
После проведения интегрирования с учетом того, что
Ζ2 Л/-1 2
(1-е 1а1Г-х^С^ чНГехрЬ—ут},
т=0
где CJ[J_1 - биноминальный коэффициент, выражение (5.6)
можно привести к виду
^ = Σ^-Η)*" Ί . (5.7)
1 + (1 + -V)m
"<=0 1 + Г1+1
2
,2
= Э^=2Э
где q2 - среднее значение отношения сигнал/шум
(отношение среднего значения энергии сигнала к половине
спектральной плотности шума).
119

В случае, когда количество ячеек строба велико,
вычисление вероятности Ри по формуле (5.7) достаточно
трудоемко. Однако при большом значении Μ с достаточной для
практических целей степенью точности можно считать, что
[32]
ζ2
(1_е 2<r02y*-i =
О при Ζ<ΖΡ
1/2 при Ζ = ΖΧ, (5.8)
ПРИ Ζ>Ζγ,
г.
где Ζ1 определяется из уравнения
(Ι-/208)"-1
2'
решая которое с учетом Μ » 1 имеем
^=00^-2111(1-2^ «o0^2h^|i. (5.9)
Подставляя (5.8) в (5.6), для случая М»\ получим
после интегрирования
P*A^e^dZ = e~^=KV{ Ь2_>. (5Л0)
ίσι 1 + V
2*
На рисунке 5.2 построены рассчитанные по формуле
(5.10) зависимости вероятности Ри получения
информативного замера от отношения q2 сигнал/шум при различном
количестве Μ ячеек в стробе. Для сигнала со случайной
начальной фазой, а также для случая полностью известного
сигнала точные и упрощенные выражения для определения
Ри приведены в [32].
При решении радиолокационных задач в более
сложной радиолокационной обстановке возникает необходимость
измерения координат движения нескольких
радиолокационных объектов.
120

Μ |ιι
Μ |(И|
Μ КЩ
Ю 20 30 40 50 60
Рис. 5.2. Зависимости вероятности Ри получения
информативного замера от отношения д2 сигнал/шум
при различном количестве Μ ячеек в стробе
При этом непрерывный сигнал Ζ(ή с выхода приемника
информационной системы РИ содержит информацию о
нескольких объектах. Следуя изложенной выше методике,
можно оценить значения вероятностей появления
аномальных измерений и для этого случая, а также для случая
ненулевого порога Ζ0 * 0 .
121

В случае, когда количество ячеек строба велико, вя
числение вероятности Ри по формуле (5.7) достаточно
доемко. Однако при большом значении Μ с достаточной,
практических целей степенью точности можно считать,
[32]
_*1
(1_е 2*о*)"-1=,
0
1/2
1
при
при
при
Ζ<Ζ„
Z = ZU
z>zx,
(5.8)
где Ζ, определяется из уравнения
(i_e"^)M-.=i
2
решал которое с учетом Μ » 1 имеем
2,=а0)/-21п(1-2"^)*а0^21п^·. (5.9)
Подставляя (5.8) в (5.6), для случая Л/»1 получим
после интегрирования
. Л/-1
* Zl _iu In- -
Л* = J4« 2σ^ζ=*2σ? =e*p<—г1-*· <51°)
ίσ> 1 + i^2
2*
На рисунке 5.2 построены рассчитанные по формуле
(5.10) зависимости вероятности Ри получения
информативного замера от отношения q2 сигнал/шум при различном
количестве Μ ячеек в стробе. Для сигнала со случайной
начальной фазой, а также для случая полностью известного
сигнала точные и упрощенные выражения для определения
Ри приведены в [32].
При решении радиолокационных задач в более
сложной радиолокационной обстановке возникает необходимость
измерения координат движения нескольких
радиолокационных объектов.
120

0.8
0.6
0.4
0.2
I / *
/ ' *
/ ·; /
//
' /
/
M=10
1VN100
M=1000
10
20
30
40
50
60
Рис. 5.2. Зависимости вероятности Ри получения
информативного замера от отношения q2 сигнал/шум
при различном количестве Μ ячеек в стробе
При этом непрерывный сигнал Ζ(ή с выхода приемника
информационной системы РИ содержит информацию о
нескольких объектах. Следуя изложенной выше методике,
можно оценить значения вероятностей появления
аномальных измерений и для этого случая, а также для случая
ненулевого порога Ζ0 ^ 0 .
121

В случае, когда количество ячеек строба велико ш ·
числение вероятности Ри по формуле (5.7) достаточно ч·
доемко. Однако при большом значении Μ с достаточной ι »
практических целей степенью точности можно считать, ·■■
[32]
Ζ1
(1_в 2^)А/-1=<
0
1/2
1
Ζ, определяется из уравнения
при
при
при
Ζ<Ζ„
z = zlt
Z>ZU
2
решая которое с учетом Μ » 1 имеем
Z1=a0V-2b(l-2"^)*a0^21n^y-. (S ·■,
Подставляя (5.8) в (5.6), для случая М»\ получи-·
после интегрирования
. М-\
*L 1П-
il/2o?/*7 = /20? =Ρνη/ !*2
2e 2a*dZ = e 2σ· = exp{ ^-}. (5. Km
ζ,σι 1 + V
2
На рисунке 5.2 построены рассчитанные по форму η
(5.10) зависимости вероятности Ри получения информатпп
ного замера от отношения q2 сигнал/шум при различном ко
личестве Μ ячеек в стробе. Для сигнала со случайной п.ι
чальной фазой, а также для случая полностью известно! -
сигнала точные и упрощенные выражения для определен 11
Ри приведены в [32].
При решении радиолокационных задач в более ело л
ной радиолокационной обстановке возникает необходимое ι ■
измерения координат движения нескольких радиолокации ι
ных объектов.
120

О 10 20 30 40 50 60
Рис. 5.2. Зависимости вероятности Ри получения
информативного замера от отношения q2 сигнал/шум
при различном количестве Μ ячеек в стробе
При этом непрерывный сигнал Z(t) с выхода приемника
информационной системы РИ содержит информацию о
нескольких объектах. Следуя изложенной выше методике,
можно оценить значения вероятностей появления
аномальных измерений и для этого случая, а также для случая
ненулевого порога Z0 * 0 .
121

6. ЭФФЕКТЫ КВАНТОВАНИЯ ПО
УРОВНЮ В ЦИФРОВЫХ СИСТЕМАХ
ОБРАБОТКИ ИНФОРМАЦИИ РЛС
6.1. Введение
н^ На выходе цифровых систем обработки информации
нАзбежно возникают дополнительные ошибки, обусловлен-
^е процессами квантования по уровню как значений вход-
Зу^х процессов при преобразовании "аналог-код", так и ре-
с ^ьтатов выполнения реализующих систему арифметиче-
\tx операций.
- Процесс квантования по уровню состоит в замене те-
тщего значения квантуемого процесса (КП) ψ некоторой
^личиной φ(ψ)Η3 набора дискретных уровней разрядной
етки цифровых устройств, равноотстоящих друг от друга на
iiar квантования Δ. Ошибка квантования (ОК) ε и значение
\вантованного процесса φ(ψ) существенно зависит от того,
как производится эта замена или, другими словами, зависит
от принятого способа округления при квантовании.
Зависимость ε от ψ можно представить в виде
ε(ψ, с) = ψ - φ(ψ), φ(ψ) = ΔΕ{(ψ + с)А"1} , (6.1)
где Е{*} - операция взятия целой части числа; с -
корректирующий сигнал (КС), значение которого определяет способ
округления при квантовании.
Так, если КС является случайной величиной, то такой
способ округления принято называть либо вероятностным
округлением [33], либо округлением с наложением интерпо-
122

лирующих сигналов [34], либо округлением с
использованием стохастического КС [35]. Если же КС является
постоянной величиной, то такой способ округления принято
называть округлением с использованием детерминированного
(постоянного) КС. В частности, если с = 0,с = Д/2, и с == Δ,
то ошибки на выходе квантователей при округлении с
использованием детерминированных КС эквивалентны
ошибкам на выходе квантователей при округлении с недостатком,
до ближайшего целого и с избытком (когда округление
производится до ближайшего нижнего, ближайшего и
ближайшего верхнего дискретного уровня соответственно).
Из-за влияния ошибок квантования численное решение
задач обработки информации отличается от точного
решения. Поэтому при реализации алгоритмов на
вычислительных средствах РЛС неизбежно возникает вопрос как о
величине этого отличия, так и об устойчивости численного
решения.
Для обоснованного выбора цены младшего разряда и
количества разрядов ЦВМ, при которых удельный вес
ошибок квантования в общей ошибке на выходе не превышает
заданной величины, необходимо дать оценку
результирующему значению ошибок квантования на выходе цифровой
системы. Для этого обычно используют либо оценку по
максимуму, либо вероятностную оценку, причем для
возможности проведения вероятностной оценки такого значения
необходимо знать числовые характеристики (ЧХ) ошибок
квантования.
Остановимся кратко на основных результатах
статистической теории квантования по уровню применительно к
детерминированным способам округления [36], поскольку
именно они нашли наиболее широкое применение на
практике, а затем дадим оценку результирующему значению
ошибок квантования на выходе одномерных фильтров первого
порядка с растущей и эффективной конечной памятью.
123

6. ЭФФЕКТЫ КВАНТОВАНИЯ ПО
УРОВНЮ В ЦИФРОВЫХ СИСТЕМАХ
ОБРАБОТКИ ИНФОРМАЦИИ РЛС
6.1. Введение
На выходе цифровых систем обработки информации
неизбежно возникают дополнительные ошибки,
обусловленные процессами квантования по уровню как значений
входных процессов при преобразовании "аналог-код", так и
результатов выполнения реализующих систему
арифметических операций.
Процесс квантования по уровню состоит в замене
текущего значения квантуемого процесса (КП) ψ некоторой
величиной ср(\|/)из набора дискретных уровней разрядной
сетки цифровых устройств, равноотстоящих друг от друга на
шаг квантования Δ. Ошибка квантования (ОК) ε и значение
квантованного процесса φ(ψ) существенно зависит от того,
как производится эта замена или, другими словами, зависит
от принятого способа округления при квантовании.
Зависимость ε от ψ можно представить в виде
ε(ψ,£) = ψ - φ(ψ), φ(ψ) = ΔΕ{(ψ + с)Α'1} , (6.1)
где Е{*} - операция взятия целой части числа; с -
корректирующий сигнал (КС), значение которого определяет способ
округления при квантовании.
Так, если КС является случайной величиной, то такой
способ округления принято называть либо вероятностным
округлением [33], либо округлением с наложением интерпо-
122

пирующих сигналов 1341, либо округлением с
использованием стохастического КС |35|. 1хли же КС является
постоянной величиной, то такой способ округления принято
называть округлением с использованием детерминированного
(постоянного) КС В частности, если с = Оус^А/29 и csA,
то ошибки на выходе квантователей при округлении с
использованием детерминированных КС эквивалентны
ошибкам на выходе квантователей при округлении с недостатком,
до ближайшего целого и с избытком (когда округление
производится до ближайшего нижнего, ближайшего и
ближайшего верхнего дискретного уровня соответственно).
Из-за влияния ошибок квантования численное решение
задач обработки информации отличается от точного
решения. Поэтому при реализации алгоритмов на
вычислительных средствах РЛС неизбежно возникает вопрос как о
величине этого отличия, так и об устойчивости численного
решения.
Для обоснованного выбора цены младшего разряда и
количества разрядов ЦВМ, при которых удельный вес
ошибок квантования в общей ошибке на выходе не превышает
заданной величины, необходимо дать оценку
результирующему значению ошибок квантования на выходе цифровой
системы. Для этого обычно используют либо оценку по
максимуму, либо вероятностную оценку, причем для
возможности проведения вероятностной оценки такого значения
необходимо знать числовые характеристики (ЧХ) ошибок
квантования.
Остановимся кратко на основных результатах
статистической теории квантования по уровню применительно к
детерминированным способам округления [36], поскольку
именно они нашли наиболее широкое применение на
практике, а затем дадим оценку результирующему значению
ошибок квантования на выходе одномерных фильтров первого
порядка с растущей и эффективной конечной памятью.
123

6. ЭФФЕКТЫ КВАНТОВАНИЯ ПО
УРОВНЮ В ЦИФРОВЫХ СИСТЕМАХ
ОБРАБОТКИ ИНФОРМАЦИИ РЛС
6.1. Введение
На выходе цифровых систем обработки информант
неизбежно возникают дополнительные ошибки, обусловлю
ные процессами квантования по уровню как значений вхо ι
ных процессов при преобразовании "аналог-код", так и pi
зультатов выполнения реализующих систему арифметич.
ских операций.
Процесс квантования по уровню состоит в замене и
кущего значения квантуемого процесса (КП) ψ некотором
величиной φ(ψ)Η3 набора дискретных уровней разрядном
сетки цифровых устройств, равноотстоящих друг от друга и «
шаг квантования Δ. Ошибка квантования (ОК) ε и значен ι и
квантованного процесса φ(ψ) существенно зависит от тою
как производится эта замена или, другими словами, зав ист
от принятого способа округления при квантовании.
Зависимость ε от ψ можно представить в виде
ε(ψ,£) = ψ-φ(ψ), φίψ^ΔΕΚψ + ^Δ"1} , (6 1)
где Е{*} - операция взятия целой части числа; с- корректи
рующий сигнал (КС), значение которого определяет спосо»
округления при квантовании.
Так, если КС является случайной величиной, то такси
способ округления принято называть либо вероятностны ν
округлением [33], либо округлением с наложением интерн*-
122

лирующих сигналов [34], либо округлением с
использованием стохастического КС [35]. Если же КС является
постоянной величиной, то такой способ округления принято
называть округлением с использованием детерминированного
(постоянного) КС. В частности, если сгО,с = Д/2, и с = Д,
то ошибки на выходе квантователей при округлении с
использованием детерминированных КС эквивалентны
ошибкам на выходе квантователей при округлении с недостатком,
до ближайшего целого и с избытком (когда округление
производится до ближайшего нижнего, ближайшего и
ближайшего верхнего дискретного уровня соответственно).
Из-за влияния ошибок квантования численное решение
задач обработки информации отличается от точного
решения. Поэтому при реализации алгоритмов на
вычислительных средствах РЛС неизбежно возникает вопрос как о
величине этого отличия, так и об устойчивости численного
решения.
Для обоснованного выбора цены младшего разряда и
количества разрядов ЦВМ, при которых удельный вес
ошибок квантования в общей ошибке на выходе не превышает
заданной величины, необходимо дать оценку
результирующему значению ошибок квантования на выходе цифровой
системы. Для этого обычно используют либо оценку по
максимуму, либо вероятностную оценку, причем для
возможности проведения вероятностной оценки такого значения
необходимо знать числовые характеристики (ЧХ) ошибок
квантования.
Остановимся кратко на основных результатах
статистической теории квантования по уровню применительно к
детерминированным способам округления [36], поскольку
именно они нашли наиболее широкое применение на
практике, а затем дадим оценку результирующему значению
ошибок квантования на выходе одномерных фильтров первого
порядка с растущей и эффективной конечной памятью.
123

6.2. Основные положения корреляционной теории
квантования по уровню
6.2.1. Некоторые свойства вероятностных характеристик
случайных процессов
Рассмотрим сначала случай, когда КП может припп
мать значения только из набора дискретных уровней, or
стоящих друг от друга на шагД5 = Δ/μ (μ = 2s;S = 1,2? )
что имеет место, например, при вычислениях в ЦВМ. При
этом Ду имеет смысл цены младшего разряда ячейки для ·,;ι
писи КП, Δ - цены младшего разряда для записи квантован
ного процесса, a S - количество отбрасываемых (усекаемых)
при квантовании двоичных разрядов. Одномерный wl4,(*) и
двумерный >ν2ψ(*) законы распределения такого КП имею ι
вид
q=-oa
СО 00
*%(ψΐ> ψ2> Ί> Ί) = J]]//(*> ?2)δ(Ψΐ -?Α)δ(ψ2 -4lAs) > (6 3 >
где δ(*) - дельта-функция; p(q) - вероятность, с которой ψ 11
момент времени t принимает значение ψ = qAs, p(qx, q2)
вероятность, с которой ψ в моменты времени /, и /2 прини
мает значения ψ} = Я\^б и Ψ2 -4i^s-
Одномерная θ1ψ(·) и двумерная θ2ψ(·) характеристи
ческие функции (ХФ) квантуемого процесса ψ, имеющего
такие плотности распределения, равны
оо
θιψ(ω,0= ^p(q)Qxp{j(aqAs}, (6.4)
q-—ix>
124

θ2ψ(ψΐ>Ψ2>Ί>'2)= Σ Σ^1'^)6ΧΡί/(ωΐ?1+ω2?2)Δί}·
Введя подстановку q = #μ + m, полученные выражения
для θ1ψ(·) и θ2ψ(·) можно записать следующим образом:
μ-l оо
m=0q2=-<c
μ-1 μ-1 оо оо
θ2ψ(ψΐ>Ψ2>Ί>'2)=ΣΣ Σ Σ^ΐμ + '">'^μ + '"2)Χ
m, =0m2 =0^ =-<» q2=-00
xexpOKg, +ω2£2)μΔ5}βχρ{;(ω1/Η1 +ω2>η2)Α3}9 (6.6)
откуда выражение для одномерной ХФ и ее производной при
значении аргумента ω = 2тш / Δ (л = 0, ± 1, ± 2,...) можно
переписать следующим образом:
θ1ψ(— »,ο=Σβχρί>-τ-'"Δ5>Σ^μ+'Μ)' (6·7>
^=-00
m=0
,2π
Δ
д_
θΙψ(—и,0 =—θ1ψ(ω,0|
^ 2тш
2π
ω=—и
Δ
=Σβχρ^ "7"™^ Σ^^+w)M/K№+m)
m-0 g=-<*>
(6.8)
Из (6.7) и (6.8) следует, что если при любом
/и = 0, 1,2, ...,μ-1
«и
(6.9)
£=-00
оо
^Г ^μ + m)Asp№ + m) = ηιψ(ί)μ~], (6.10)
то справедливы соотношения
2π 2π
θιΨ(—",') = 0 ПРИ "*т^ ηΘιψ(— *,0 = 1 при " = τμ, (6.11)
Δ Δ
125

θ;Ψ(γ»,ο=£θ1ψ(ω,οι
(О при η * τμ,
;/Ηψ(0 прип = тц,
(6.Г)
где /πψ(0 - математическое ожидание ΚΠ; τ = 0,±1,±2,..
Аналогичным образом из (6.6) можно получить, что с
ли при любых т19т2= О,1,2,..,, μ -1
оо оо
Σ Σ^·^+'""^μ+'"2)=μ"2.
(6.1
(£ιμ+'"ι)Δί/Κ£ιμ+>"1,£2μ+»»2) = 'Μ/1)μ"1, (6. Μ ι
8ι=-<η «ι=-χ
μ-1 οο «ο
ΣΣΣ
«1=0 gi=-<og1=-a>
то справедливы соотношения
. ,2π 2π. . /О прии^т,цилиА:^т2ц
θ2νΛ "> *,/|,/2)=i . /ч , (6.1^>
2π
2π
Θ2Ψ(0,—*^,,^) = τ-θ2ψ(ω1,—*τ,ί1,/2)|(Βι=ο =
(6. Κ.)
{Ο ηρΗ£*τ2μ ,
7«ίψ(0 приЛг = т2ц,
где τ,,τ2=0,±1,±2,...
Полученные выше результаты легко обобщаются ил
случай квантования непрерывных по уровню процессом
(Δ-»0, μ -»οο). Так, условия (6.9), (6.10), (6.13) и (6.14) пи
рождаются в условия
2^wllv(gA + x,t) = A-\
£=-00
00
/ , (g& + *ΚΨ (gA + χ, ή = /πψ (/)μ_1,
(6.1
(6 ΐκι
$=-<*
126

Σ ΣΜ;2Ψ(^Δ + ^1^2Δ + Χ2>^1^2) = Δ"25 С619)
gl=-<x> g2=-<x>
Δ^ οο οο
[У y^(giA+x1M4/(g1A+xbg2A+x2,/1^2)caq =^ψ(/,)μ"1,(6.20)
о ft=-eoft=-eo
где π>1ψ(*) и w24,(*) - одномерная и двумерная плотности
распределения КП и должны выполняться для любых
значений непрерывных по уровню величин х, х1 и х2 из диапазона
их изменения от 0 до Δ, а соотношения (6.11), (6.12), (6.15) и
(6.16) принимают соответственно вид
вАо^при^О, (6.21)
Δ
Θ;ψ(^",0 = ΟπΡη**0, (6.22)
Δ
,2π 2π
— и,—
Δ Δ
2π
Δ
В самом деле, пусть дискретный по уровню процесс
равен
\V = qAs=^ + m)As=gA + x, x = mAs=mA\x~\ (6.25)
где /w = 0, 1, ..., ц-1,а процесс χ изменяется в пределах от О
до Δ- As. В случае As-> О (μ->οο) дискретные по уровню
процессы ψ и χ вырождаются в непрерывные. При этом χ
изменяется в пределах от 0 до Δ, а плотность распределения
КП ψ определяется следующим образом:
νν1ψ(#Δ + χ,0 = 1ίπιρ(£μ + /Η)/Δ5 при As -»0. (6.26)
При этом предполагается, что указанный предел
существует, а плотность распределения квантуемого процесса
является однозначной функцией во всем диапазоне изменения
своих аргументов.
θ1ψ(—«,—£,/,,f2) = 0 прил*ОилиАг*0, (6·23)
Θ1Ψ(0,—Μι,'2) = 0 при**0. (6.24)
127

Разделив обе части равенства (6.9) на Δ8 и приняв пи
внимание, что μΔ5 = Δ, после перехода к пределу при
Δ s -> 0 с учетом (6.26) получим (6.17). Аналогично, разделит
обе части равенства (6.10) на Ag и перейдя к пределу при А
-> 0, получим (6.18).
Разделив и умножив правые части выражений (6.7) и
(6.8) на Δ^ и переходя к пределу при Лу -> 0, нетрудно полу
чить, что
eiv(^w,0 = JexpO-^x)2]wl4f(gA + x,0*, (6.27I
Δ о *=-«
е^(^/1,0 = }ехр{/^х}ХЛяА + ^^(^ + х,0Л, (6.2Х)
0 *3=-в0
откуда следует, что если для любого 0 < χ <Δ выполняются
условия (6.17) и (6.18), то справедливы соотношения (6.21) и
(6.22). Соотношения (6.21) и (6.22) также следуют из (6.11) и
(6.12) при μ->αο.
Аналогичным образом можно показать справедливость
проведенного обобщения полученных результатов на случаи
двумерных ВХ процессов.
Переходим к определению вероятностных характерп
стик ошибок квантования.
6.2.2. Одномерные закон распределения и числовые
характеристики ошибок квантования дискретных
по уровню процессов
Исходя из (6.1) и (6.2) для определения вероятностных
характеристик ошибок квантования, имеем
w,,(M)= |>(<7)5{е-е(?Д5,с)}, (67-м
СО
me(f)=J^z(qAs,c)p(q), (6. ".о ι
128

σε2(0= ^2(дА$,с)р(д)-т1(0, (6.31)
q~—со
ΚψΕ it, 0 = Σ ?Δ5ε(9Δ5, c)p(q) - »ιψ (0»>ε (/), (6.32)
:-οΟ
00
^M^fA^fo). (6.33)
g=-aO
«="
Учитывая периодичность е(\|/,с), перепишем (6.29) -
(6.33) в виде
μ-1
"ι. (Μ) = X6{8-8(mA„c)} Σ^μ + ^)> (634)
m=0
μ-1
g=-oo
oo
»»«(ο=Σ8<',,Δ*»<?)Σ^«ι+»)» (635)
m=0
*=-
μ-1
σ,2(0 = Σβ2(,ι,Δ*^)Σ^№ + «)-ιιιβ2(/), (6.36)
m=0 £=-<*>
μ-1 со
^"ч-ε С» 0 = Σ e(mAi' c> Σ ^+Μ)Δ*/Κ«μ+m) -
m=0 £=-«o
μ-l со μ-1
- ™Ψ (0/, *(mAs з с) /\ P(W + да) = }z(mAs, с) χ
, (6.37)
(6.38)
£=-»
m=0
/, (£Ц + >")Д*/>(#Ц + да) - »ιψ (Ο^Γ />(^μ + да)
£=-0Ο £=—00
μ-1 οο
*Μ')= Σ Σ^μ+'и)Δ5^^l+,и) ·
/И=0 £=-оо
Анализ (6.34) - (6.37), а также приведенных выше
результатов, дает основание сформулировать и доказать еле
дующие теоремы.
129

Теорема 6.1. Для того чтобы ОК имели представлен
ный на рисунке 6.1 равномерно-дискретный закон
распределения, т.е. для любого / = 0, 1, ..., μ-1 с вероятностью
Ρ = μ"1 принимали значения (/μ^Δ- с), необходимо и дос
таточно, чтобы для любого т = 0, 1,..., μ - 1 выполнялось
условие (6.9).
и\
—► Ψ
£ А
Δ
с
Δ
-I о 1
μ-\
Рис. 6.1. Равномерно-дискретный закон распределения ошибок
квантования дискретных процессов
Теорема 6.2. Для того чтобы при заданном значении
КС ОК были некоррелированы с КП Κψε(ί9ί) = 0, необход 11
мо и достаточно, чтобы
μ-l оо
]Ге(/иД5,с) £(£Ц + 7И)А^(£Ц + /И) =
1И=0 £=-«
μ-l оо
= η^Σεί^,^Σρ^μ + ηι). (в.У>)
m=0 g=~-<*>
Теорема 6.3. Для того чтобы при любом значении К<
ОК были некоррелированы с КП £ψε(ί,ί) = 0, необходимо и
достаточно, чтобы для любого т = 0, 1,..., μ - 1
]Г ^ + т)Ь8р^ + т) = т^)^р^\ь + т). (6 1
О)
£=-оо
g-~
130

Следствие 6.1. При выполнении условий теорем 6.1 и
6.3 ОК имеют равномерно-дискретный закон распределения
и являются некоррелированными с КП, a mt(t) и o\(t)
равны
me(/)=A_^A;a2(/)=^izl. (6.4i)
eW 2 2μ' tW 12μ2
Теорема 6.4. Для того чтобы при любом т = 0, 1, ...,
μ- 1 были справедливы соотношения (6.9) и (6.10),
необходимо и достаточно, чтобы выполнялись соответственно
условия (6.11) и (6.12).
Справедливость первых двух теорем непосредственно
следует из анализа соотношений (6.34) и (6.37)
соответственно. Достаточность теоремы 6.3 непосредственно следует из
(6.37). Необходимость теоремы 6.4 следует из соотношений
(6.7) и (6.8). Проведем доказательство необходимости
теоремы 6.3 и достаточности теоремы 6.4.
Доказательство необходимости теоремы 6.3. Пусть
^ψε(Μ)= 0 при с = 0 и с = As, т.е. пусть для указанных
значений КС выполняются условия (6.39):
μ-l оо
W=0 £=-°°
|б(тД5,с)^Г/7(£Ц + >и), (6.42)
w=0 g=-<x>
μ-l оо
^ ε(»»Δ5, As) £ (^μ + m)Asp(g\i + m) =
μ-l оо
= mv(t)£z(mAs,As)£p^ + m). (6.43)
Исходя из (6.1), имеем
= *»Ψ(0/^
131

/ л л ч /ε(ΉΔ^Ο) при/я = 0,1,...,μ-2,
ε(/ηΔ5,Δ5)=^ (6.ΦΙ)
[ε(/?ίΔ5,0) - Δ при /w = μ -1.
При этом условие (6.43) с учетом (6.44) можно перепп
сать в виде
00 00
£ ^μ + μ-\)Α3ρ^μ + μ-\) = ηιψ(()Σρ^μ + μ-1). (6.45)
£=-00 £=-<*>
Таким образом, выполнение условий (6.42) и (6.43)
равносильно выполнению условий (6.42) и (6.45).
Пусть теперь (6.39) выполняется для с = kAs, к = О, 1, 2
т.е. наряду с (6.42) и (6.43) выполняется условие
μ-l оо
]£ е(юД 5,2Д5 ) Σ (£Ц + »»)Δ5/;(£μ + m) =
m=0 £=-«
μ-l оо
= «Ψ(θ]£/(/ΗΔ5,2Δ5)^/Κ£μ + >»). (646)
m=0 £=-<»
Исходя из (6.1), имеем
U(mAs,0) при/и = 0,1,2, .^ μ-3,
z(mAs,2As) = \z(mAs,0)-A при/я = μ-2, (6.47)
[ε(/ΗΔ8,0)-Δ+Δ5 при/я = μ-1.
При этом (6.46) с учетом (6.45) и (6.47) можно
переписать в виде
00 00
Σ (#μ + μ - 2)Δ5^(^μ + μ - 2) = /Μψ(0 Σ /*№ + μ - 2). (6.48)
£=-00 g—~00
Таким образом, выполнение условий (6.42), (6.43) и
(6.46) равносильно выполнению условий (6.42), (6.45) и
(6.47).
Аналогичным образом можно показать, что выполж
ние условий ΑΤψε(/,ί) = 0 при с = kAs, к = 0, 1,..., μ - 1 эквп
валентно выполнению условий (6.42) и (6.40) для
т = μ- 1, μ-2,..., 1. Выполнение же условий (6.40) ιψ\ι
т = μ - 1, μ - 2,..., 1 согласно (6.38) приводит к выполнении
132

(6.40) и при т = 0. Таким образом, выполнение условия
Κψζ(ί,ΐ)-0 при любом значении КС требует выполнения
(6.40) для любого т = 0, 1, 2,..., μ - 1, что доказывает
необходимость теоремы 6.3.
Доказательство достаточности теоремы 6.4. Введем
в рассмотрение функцию
^„("0= |ψ>*(ψΚψ(ψ>0^ψ>
(6.49)
где зависимость значений гт (ψ) от ψ изображена на
рисунке 6.2 и описывается следующим рядом Фурье:
rm(^)^ — + y,ak(m)^s—k^-ybk(m)sm—h\f,
Δ Π? Δ £t Δ
ак (т) = 2t*L (8ш ΊΞ. hk)(cos — mk\ (6.50)
π£ Δ μ
Ьк(т) =
2(-1)* . . 2π
2π
- (sin—A£)(cos — mk).
nk Δ μ
Рис. 6.2. Вид функции гт (/) для доказательства теоремы 6.4
Здесь 0 < h < Ду/2. Подставляя в (6.49) выражение (6.2)
для νν1ψ(ψ,ί), а затем выражение (6.50) для гт(у) и
учитывая в первом случае фильтрующие свойства δ-функции, а во
втором
cos χ - [exp {-jx} + ехр {+/*} ] / 2, sin χ = [exp {+yx} - exp {-jx} ]/2j,
133

j" ]xn cxp{jnx}wlx(x,t)dx = 5"θ'-(Ηω'° = θ^ίω,Ο,
J δω
-00
для определения Fn (rri) получим следующие соотношения:
00
£=-00
= ^М{¥"}+4г|;^(8т^М)[со8-(ц-2/М)^>Э/г,г)
Δ ту ^^ Аг Δ μ Δ
00 t
n+i i^J & Δ μ ψ Δ
fc=-oo
где М{*} - символ математического ожидания; 0<Л <Δ5/2
Пусть
е«(^м4°. ч***** (6.52)
,ψνΔ ' Ι/Λ/ίψ") πρΗΛτ = τμ. V
Тогда (6.51) после проведения суммирования с учетом
[37] принимает вид
00
Ρ„(ηι) = ^^μ + ηι)"Αη8ρ(εμ + η1)=Μ{ψη}μ-\(6.53
Нетрудно заметить, что (6.11), (6.12) и (6.9), (6.10)
являются частным случаем (6.52) и (6.53) при η = 0 и η = 1
соответственно. Таким образом, выполнение условий (6.11) и
(6.12) приводит к справедливости соотношений (6.9) и (6.10)
что доказывает достаточность теоремы 6.4.
)
134

6.2.3. Двумерные закон распределения и числовые
характеристики ошибок квантования дискретных по уровню
процессов
Исходя из (6.1) и (6.3) с учетом периодичности
функции ε(ψ,с), запишем выражения для определения
вероятностных характеристик ошибок квантования в виде
μ-1 μ-1
^2ε(εΐ>ε2>^^2)=ΣΣδ{εΐ~ε(/7ί1Δ^'Γ^Χ
ml=0m2=0
00 00
χδ{ε2-ε(/Μ2Δ5,<?)£ ^p(g^ + mug^ +m2), (6.54)
ft"-"0 «!=-*
Ι μ-ι μ-ι
Ι'.*ί=Σ Σε<"|ιΔ*'<?)ε('Μ2Δ*'^><
mi=Om2=0
*«('l.'2J
αο αο
Χ Σ ^P(gl\i^^ug2\i + m2)''mt(t\)mz(t2l (6·55)
£|=-<Χ>£2=:-αθ
μ-1 μ-1 οο αο
m2=0 mj =0^=-οο g2=-00
μ-1 οο
χρ(?ιμ+^ι^2μ+^2)-^Ψ(^ι)Σε(/7ί2Δ5^) Σ/Κ«2μ+Λ|2) =
m2=0 ^2=-°°
μ-1 μ-1 οο οο
= Σ *(тгАв>с)С£ Σ ^d(Si^ + '»i)^sP(gi\i + mi'8zV- + m2)-
тг =0 /n^Ogjis-oo^rr-ao
00
->Μί) Σ^^μ+^2)] · (6·56)
£2=-οο
Анализ (6.54) - (6.56), а также приведенных выше
результатов позволяет сформулировать и доказать следующие
теоремы.
Теорема 6.5. Для того чтобы ОК имели двумерный
равномерно-дискретный закон распределения, т.е. для любых
135

/l5/2 =0,1,...,μ-lc вероятностью Ρ = μ"2 принимали дис
кретные значения (ixAs -c9i2As -с), необходимо и
достаточно, чтобы для любых тх,т2 = 0,1,...,μ-1 выполнялось
условие (6.13).
Теорема 6.6. Для того чтобы при любом значении КС
ОК были некоррелированы с квантуемым процессом
^ψεί^Ο^Ο, необходимо и достаточно, чтобы при любы \
Λΐ,,ιιι2=0,1,...,μ-1
(g^ + njx)Asp(g^ + mX9g^ + m2) =
т =0 ^j=-oo^2=-oo
00
= "iv(tx)^p{g2\i + m2). (6.57)
Следствие 6.2. При одновременном выполнении
условий теорем 6.5 и 6.6 ОК имеют двумерный равномерно-
дискретный закон распределения и являются
некоррелированными как с КП, так и между собой:
K£e(tiJ2)\t,t1=Km(tl,t2) = 0, (6.58)
a mz(t) и σ*(ί) определяются соотношением (6.41).
Теорема 6.7. Для того чтобы при любых
тх,т2 = 0,1,...,μ -1 были справедливы соотношения (6.13) и
(6.14), необходимо и достаточно, чтобы выполнялись
соответственно условия (6.15) и (6.16).
Справедливость теоремы 6.5 непосредственно следует
из анализа соотношения (6.54). Достаточность теоремы 6.6
непосредственно следует из (6.56) с учетом того, что
выполнение условия (6.13) для одномерного случая эквивалентно
выполнению условия (6.13). Доказательство необходимости
теоремы 6.6 и необходимости и достаточности теоремы 6 7
аналогично приведенным выше доказательствам теорем
6.3 и 6.4.
μ-ι оо оо
ΣΣΣ
136

6.2.4. Обобщение результатов на случай непрерывного
распределения квантуемых процессов
Обобщение приведенных выше результатов на случай
непрерывного распределения квантуемого процесса
позволяет сформулировать и доказать следующие теоремы.
Теорема 6.8. Для того чтобы ошибки квантования
имели равномерную на интервале от - с до Δ - с плотность
распределения, представленную на рисунке 6.3, необходимо и
достаточно, чтобы для любого 0 < χ < Δ выполнялось условие
00
^wlv(gA + x,t) = Al. (6.59)
Теорема 6.9. Для того чтобы при любом значении
корректирующего сигнала ошибки квантования были некорре-
лированы с квантуемым процессом ΑΤψε(/, /) = 0, необходимо
и достаточно, чтобы для любого 0 < х< А
00 00
£ (gA + x)wx<v(gA + x,t) = mv(t)^wl}V(gA + x,t). (6.60)
£=-оо £=-<»
Следствие 6.3. При выполнении условий теорем 6.8 и
6.9 ошибки квантования имеют равномерную плотность
распределения, являются некоррелированными с квантуемым
процессом, a mz(t) и σ*(/) определяются соотношением
«,(г) = |-с, σΕ2(0 = ^-. (6.61)
Теорема 6.10. Для того чтобы при любом
0<х<Лбыли справедливы соотношения (6.59) и (6.60),
необходимо и достаточно, чтобы выполнялись условия (6.21) и
(6.22).
Проведя аналогичные рассуждения применительно к
двумерным вероятностным характеристикам ошибок
квантования, можно сформулировать и доказать следующие
теоремы.
137

Теорема 6.11. Для того чтобы ошибки квантования
имели равномерную двумерную плотность распределения ш
интервалах от - с до Δ - с, необходимо и достаточно, чтобы
для любых 0 < (Xj, х2 ) < Δ выполнялось условие
00 00
Σ ΣΗ,2ψ^ιΔ + χι>^Δ + ^>Ί^2) = Δ"2· (6·62)
^l=-o0^2=-00
Теорема 6,12. Для того чтобы при любом значении
корректирующего сигнала ошибки квантования были некор-
релированы с квантуемым процессом Κψε(ίλ,ΐ2) = 0,
необходимо и достаточно, чтобы для любых 0<(Xj,x2) <Δ
выполнялось условие
Δ да оо
/Σ Σ(^Δ + Χ1^2Ψ(?ΐΔ + ^>^1^2)^1 =
σο
= /Vl) SWW>te2A + *2>'2) ■ (6·63)
Следствие 6.4. При выполнении условий теорем 6.11 и
6.12 ошибки квантования имеют равномерную плотность
распределения, являются некоррелированными как с
квантуемым процессом, так и между собой (6.58), a mt (t) и σ* (/)
определяются соотношением (6.61).
Теорема 6.13. Для того чтобы при любых
0<(χ,,χ2)<Δ были справедливы соотношения (6.62) и
(6.63), необходимо и достаточно, чтобы выполнялись
условия (6.23) и (6.24).
6.2.5. Заключение
Итак, в разделе приведены условия, которым должен
удовлетворять закон распределения и ХФ дискретных и не
прерывных по уровню КП и при выполнении которых ОЬ
имеют равномерно-дискретный или равномерный закон рас
138

пределения и являются некоррелированными как с КП, так и
между собой, и дано доказательство их необходимости и
достаточности.
Полученные результаты в каждом конкретном случае
позволяют обоснованно решать вопрос о том, насколько
правомерно при оценке результирующего значения ОК на
выходе цифровых систем считать, что ЧХ ОК, возникающих как
при преобразовании "аналог-код", так и при выполнении
арифметических операций на ЦВМ, определяются
соотношениями (6.41), (6.58) и (6.61).
В заключение отметим, что условию (6.21) точно
удовлетворяет, например, ХФ непрерывного по уровню
квантуемого процесса, плотность распределения которого
равномерна на интервале длиной кА(к = 1,2,...), а условию (6.11)
точно удовлетворяет, например, ХФ дискретного по уровню
процесса с равновероятным на интервале длиной
(к-μ"1) А (к = 1,2,...) и равноотстоящими друг от друга на
шаг As значениями. Условиям (6.12) и (6.22) точно
удовлетворяет ХФ аддитивной смеси независимых случайных
процессов, ХФ каждого из которых удовлетворяет условиям
(6.11) и (6.12) соответственно.
Характеристическая функция нормально
распределенных случайных процессов θ1ψ(ω,0=βχρ{./ω/Ηψ -ω2σ^ 12}
условиям (6.21) и (6.22) точно не удовлетворяют. Однако при
увеличении ω она быстро убывает и, как показали расчеты,
если σψ /Δ>0.5, то с достаточной для практических целей
степенью точности можно считать, что имеет место
выполнение указанных условий.
139

6.3. Анализ ошибок квантования в одномерных
полиномиальных фильтрах
6.3.1. Методы оценки влияния ошибок квантования
Рассмотрим цифровую автоматическую систему
(ЦАС), структурная схема которой изображена на рисунке
6.3. На структурной схеме обозначено: χ(^) - Ρ х 1 - вектор-
столбец входных воздействий с элементами
X,('i)(P = l2,...,P); χ(ίλ)-βχ1 - вектор-столбец
выходных процессов с элементами TLq(tx)(q = \> 2, ..., β);
H(tx,ti)-QxP -матрица импульсных переходных
функций ЦАС с элементами hqp(txji)i представляющими собой
импульсные переходные функции с /7-го входа на q-и выход;
ti и fλ - моменты подачи и съема воздействий
соответственно (ίλ > 11). Для такой ЦАС справедливо соотношение
χ('λ)=Σ"('χ>'.)χ(',)· (6.64)
Пусть входные воздействия Хр(^) Щ"*
ρ = 1, 2,..., Ρ - 1 являются полезными, а в остальных случаях
ΧΛ^είψ,,Δ,); ρ = Ρ\ΡΦ+1,...,Λ (6.65)
где ε(ψρ,Δρ) - ошибка квантования нар-м входе,
зависимость значений которой от значений квантуемого процесса
\ур при нашедшем широкое применение на практике способе
округления до ближайшего целого описывается
соотношением (6.1) при cs Δ/2 :
ε(ψ,)=ε(ψ,,Δ,) = ψ,-Δ,£{ψ,Δ;4θ.5}. (6.66)
140

ш.
Ж'*,',)
/ = 1, 2 λ
*(Ά
Μ,)
1'ί'ίΐ
Mil
Μ'*,'.)
Уд'/) \..^)^\
hAtxA)
1 Μ Μ'-.,'.) J- η
L ^ррй .о~]_ _ А мл.
i h4,{tA>tl) i
М'л>'Л
-Η v^)
■о
шд
йе,('д.'/)
Рис. 6.3. Структурная схема цифровой автоматической
системы
141

Тогда максимальное значение ОК [38] на q-м выходе
ЦАС можно оценить следующим соотношением:
ΙμΜ*ΣΣΙΜ'*>Φρ> <6·67)
р=Р* i=l
а для определения математического ожидания m{5q(tx)} и
дисперсии a2{5q(tx)} результирующего значения ошибки
квантования 5q(tx) на gr-м выходе ЦАС нетрудно получить
^4((λ)=-ΣΣκ^οΜχΡ(θ], (6.68)
р=Р i=l
χΛ^^,^^ίχ^^ίχ^ί^)}, (6.69)
где miXpiti)} и λ^χ^)^^)} - математическое
ожидание и взаимная корреляционная функция ОК на входе ЦАС;
Δ*ρ- максимальное значение ОК, которое в соответствии с
(6.66) равно
Δ>Δ,/2. (6.70)
При проведении вероятностной оценки будем считать,
что ОК некоррелированы как с квантуемым процессом, так и
между собой и являются случайным процессом с
некоррелированными значениями, математическое ожидание m{xq(ti)}
и дисперсия σ2{δ9(/,)} которого не зависят от
вероятностных характеристик квантуемых процессов:
т{1р(0) = О, σ2{χ,(^)} = Δ2/12.
142

Условия, при которых ОК обладают указанными
свойствами, приведены в предыдущем разделе.
С учетом (6.71) соотношения (6.68) и (6.69)
приобретают вид
ρ χ
*{δ,(ίλ)> = 0, σ2{δ,(ίλ)} = ]Γ]ΓΑ^λ)/()Δ2/12. (6.72)
ρ=Ρ* /=1
6.3.2. Ошибки квантования в фильтрах с растущей
памятью
Фильтр первого порядка с растущей памятью (РП)
описывается рекуррентными соотношениями (2.51), которые с
учетом ОК, возникающих при реализации фильтра на ЦВМ,
и обозначений на рисунке 6.3 могут быть переписаны
следующим образом:
λιαλ)=α°(/λ) + >να(/λ)^λ)-λ2^Χ
ЫО=Ы^) + ^('х)Ж)-Ы'Д
Ж) = х,(0-<Л'х)-хЛО> (673)
a°(^) = Xi(^i) + X2(^i),
где χι('λ) = ά('λ); Χ2('λ) = ν('λ); χ,('λ) = *('λ); χ2(/λ) и
Хз(0 " ОК, возникающие при вычислениях произведений
Ψ 2 = "а('х)Ж) и Ψβ = ^(ОЖ) соответственно;
%4(tx) - ОК, возникающая при квантовании входного
процесса ψ4=α(/λ). Численно Xp(tx) при /7 = 2, 3, 4 равны
είψ^,Δ^), определяемым соотношением (6.66) при
соответствующем значении ψρ и Ар = Δ .
При проведении исследования делается естественное
предположение о том, что влиянием ОК, возникающих при
вычислении по формулам (2.51) весовых коэффициентов
wa(/x) и wv(fx), на качество выходных характеристик
143

Л (/χ,/, ) =
.(6.74)
фильтра можно пренебречь по сравнению с влиянием
ошибок квантования χρ (tx) (p = 2, 3, 4).
Нетрудно заметить, что в рассматриваемом случае
элементом вектор-столбца полезных воздействий является
Χι (Λ-)» элементами вектор-столбца воздействий,
обусловленных ОК -χ2('/), Х3('/) и JU(0 > a матрица импульсных
переходных функций имеет вид
Л2| ('λ > ', )^22 ('λ, Г, )Л23 (/λ , /, )Λ24 </λ, /, )
Расписывая рекуррентные соотношения (6.73) по
аналогии с (2.5.3) - (2.5.9) по тактам работы фильтра и
анализируя характер изменения выходных сигналов, для
определения импульсных переходных функций нетрудно получить
выражения, окончательный вид которых приведен в таблице
6.1. В таблицах 6.2-6.4 приведены выражения для сумм,
сумм модулей и сумм квадратов импульсных переходных
функций, где
/=Ε{(λ + 1)/3}, 7 = Ε{(2λ-1)/3}, * = Ε{(λ + 1)/2}. (6.75)
Таблица 6.
Ρ
1
2
3
4
Выражения для функции от hqp(tx,tt)
Λι,ί'λ.'ί)
6/-2λ-2
λ(λ + 1)
3/2-2/λ + /
λ(λ + 1)
ί(/-ιχλ-ο
λ(λ + 1)
6/-2λ-2
λ(λ + 1)
Μ'λ>'<>
12/-6Χ-6
λ(λ2-1)
6ί'(λ - ί)
λ(λ2-1)
_/(/-1)(3λ-2/ + 1)
λ(λ2-1)
12/-6λ-6
λ(λ2 -1)
144

Таблица 6.2
Ρ
1
2
1 3
1 4
Выражения для функции от hqp (tx ,tf)
λ
ΣΜ'λ>'/)
ί-1
1
-1
(λ-1)(λ-2)
12
-1
λ Ι
ΣΜ'λ''/>
; = 1
0
1
λ
2
0
Таблица 6,3
ρ
1
2
3
4
Выражения для функции от hqp(tx,t,)
λ 2
ΣΛ,>λ,',)
i-l
2(2λ-1)
λ(λ + 1)
2 (λ3+4λ2+11λ-1)
15 λ(λ+1)
2λ5-9λ4+16λ3-16λ2+9λ-2
210λ(λ+1)
2(2λ-1)
λ(λ + 1)
/ = 1
12
λ(λ2 -1)
6 Λ2+1
5Д(Д2-1)
13λ4-λ2+6
35λ(λ2-1)
12
λ(λ2-1)
145

Таблица 6.4
Выражения для функции от h (tx, tt)
/ = 1
Σ| h2p(tx,tt)
i = 1
1 + 2/
2(λ+1)-3(/+1)
λ(λ+1)
12Κ(λ-Κ)
λ(λ2-1)
λ(λ + 1)
(λ-1)(λ-2)
12
λ.
2
1+2/
2(λ+1)+3(/+1)
λ(λ+1)
12^(λ-ΛΓ)
λ(λ2-1)
Подставляя соотношения, приведенные в таблицах
6.1 - 6.4, в (6.67) и (6.68), для оценки по максимуму и
вероятностной оценки результирующего значения ОК на выходе
фильтра с РП, получим при оценке координаты выражения
|δι(,λ)|,Δ/2{2-^±])μ + 1.λ)+(λ-1)(λ-2) +
1 ' λ ' λ(λ + 1) 12
+ 2/2(λ + 1)-3(/ + 1)}ι
λ(λ + 1)
(6.76)
δ|ι(ίλ) = Δ2/12{
2 λ3+4λ2+11λ-1
· +
15 λ(λ + 1)
(λ-1)(λ-2)(2λ3-3λ2+3λ-1) 2(2λ-1)
210λ(λ + 1)
·+-
λ(λ + 1)
>,
а при оценке приращения координаты - следующие
соотношения:
146

2,c / χι л2,^[б λ2+1 13λ4 -λ2 ~6 12 1^„4
σ {δ2(^)}=Δ2/12^ + +— Μ6.77)
1 2V λ" [5 λ(λ2 -1) 35λ(λ2 -1) λ(λ2 -1)J
Для важного с практической точки зрения случая,
когда длина памяти фильтра λ »1, эти выражения несколько
упрощаются и принимают вид
|δ, (fλ )| < Δ(9λ2 + 32λ + 228) / 208),
σ2{δ,(ίλ)}*Δ2λ3/1260, (6.78)
|δ2(ίλ)|<Δλ/4, σ2{δ2(/λ)}«13Δ2λ/420. (6.79)
6.3.3. Ошибки квантования в фильтрах с эффективной
конечной памятью
Фильтр первого порядка с ЭКП описывается
рекуррентными соотношениями (2.63), которые отличаются от
соотношений фильтра с РП (2.51) только тем, что весовые
коэффициенты фильтра постоянны, т.е. ™α(*λ)-™ο>
wv(tx) = м>, для любого λ = 1,2,... Поэтому с учетом ошибок
квантования фильтр с ЭКП может быть представлен в виде
(6.73) и, следовательно, матрица импульсных переходных
функций описывается соотношением (6.74).
Поскольку фильтр с ЭКП памятью является фильтром с
постоянными параметрами, то для определения импульсных
переходных функций удобно использовать аппарат
Z-преобразования [19], учитывая при этом, что для систем с
постоянными параметрами в случае, когда ΐλ = t0 + XT, где Т
- постоянная величина, импульсные переходные функции
обладают следующим свойством:
hqp(tkJi) = hqp(tx-ti) = hqp(X-i), <Κί<λ,
откуда, в частности, следует, что
λ λ-1
Ы ι=0
147

При этом hqp{i) определяется как обратное
Z-преобразование от импульсной передаточной
функции Φ ^(Ζ), определяемой как отношение Z-преобразования
реакции на q-м выходе системы к Z-преобразованию
воздействия на/?-м входе:
Μ0 = (2π7Γι jφJЩi-]dZ = ^Bыч{Φηp(Z)Zi-%._ZяΛ6M)
|ζ|=ι -ι
где к - количество корней Z„(/? = l, 2, ...,Аг) знаменателя
выражения в фигурных скобках; вычет в полюсе т -го порядка
определяется по формуле (2.40).
Пусть
*v{Z) = {c2Z2 +cxZ)l{Z2 -dxZ+dQ)9
Φφψ(Ζ) = (ό2Ζ2 + cxZ)/(Z2 -dxZ + dQ). (6.81)
Тогда, используя соотношения (6.80), нетрудно
получить
М0= ef\+2Cl el -zi)+b.(z/ +zj),
2^ -4rf0 2
(6.82)
£М0 = (', -co)/(l-^. + 4>>, (6-83)
(6.84)
f=0
уЛ (Л - A + ^0 XCl5 + C2?2 ) + fiC2 + С1?2 К
tf * {(Ι + ^-^χΐ-^)
Пусть
(df/4)-d0<0. (6.85)
Тогда корни Z, и Ζ2 знаменателя импульсной
передаточной функции (6.81) являются комплексно-сопряженными,
причем
148

Учитывая это соотношение, представим сумму
модулей импульсной переходной функции (6.82) в виде
±\Нярф{^Щ + Ы^-^Г. (6-87)
Применяя к обеим частям соотношений (6.73)
Z-преобразования и учитывая постоянство весовых
коэффициентов, для определения импульсных передаточных
функций Φςρ(Ζ) нетрудно получить выражения, окончательный
вид которых приведен в таблице 6.5. Здесь знаменатель /(Ζ)
передаточной функции Φ^,ίΖ) равен
/(Z) = Z2-(2-^0^w1)Z-h(l-^0)=:(Z-Z1)(Z^Z2),
Zli2=dxn±J(dt/4)-d0,
d0=l-w0, 4=2-^-^. (6.88)
Таблица 6.5
р
1
2
3
4
Выражения для определения Фчр (2)
я-\
ω0ζ2+(ω,-ω0)ζ
(ζ-(Ι-ω,) }ζ
Я*)
(1-ω0)ζ
ω0ζ2+(ω,-ω0)ζ
<7 = 2
ω,ζ (ζ-1)
. Я*)
ω,ζ
Τω
ζ2(1-ω0)ζ
/(г)
ω,ζ (ζ-1)
/(г)
Используя соотношения (6.83) и (6.84) и выражения
таблицы 6.5, определяющие Φ^(Ζ), для сумм и для сумм
квадратов импульсных переходных функций нетрудно полу-
149

чить соотношения, окончательный вид которых приведен в
таблицах 6.6 - 6.7.
Таблица 6.6
Р
1
2
3
4
Выражения для функции от hv (/)
ΣΜ')
(=0
1
-1
1-ω0
-1
ΣΧ,ω
<=ο
2ωι-3ω0ω!+2ω2
*ω0
2-ω0ω!
ίω0
(1-ω0)2(2-ω0)
•Γω0ω,
5ω0
Таблица 6.7
^
1
2
3
4
Выражения для функции от hqp(i)
Σ Mo
i=0
0
1
_ίίρ_
ω,
0
Σ*?, ω
ι=0
2ω,2
«ο0
ω,^-Ορ)
«ο0
2<D,(l-a>0) + 2fi>o -ω,')
ίω0ω,
2ω?
ίω0
150

Для сумм произведений получаем следующие
соотношения:
00
Σλι2(ΟΛ13(') = (1-"ο)2 /w0, (6.89)
ί=0
оо
X А22 (0Л23 W =(W0 + 2w0 + ^ ) / JW0 ,
i=0
где j = (4 - 2w0 - w,). Подставив полученные выражения в
(6.72), можно получить общие соотношения для оценки
результирующего значения ОК на выходе фильтра с ЭКП.
Проанализируем более подробно случай хорошей
фильтрации, когда Λ = Ν»1, и>£«и>0, « = 2,3,..., a w0 и
Wj связаны между собой следующим приближенным
соотношением, непосредственно полученным из (2.62) при
w0 =wa и м>, =wv:
w,»w^/3, и>0*6/ЛГ, при N»l. (6.90)
Из (6.88) следует, что для рассматриваемого случая
корни Zj 2 знаменателя Д2) импульсных передаточных
функций Φ4ρ(Ζ) фильтра являются комплексно-
сопряженными. Используя (6.87) и выражения для Φ^,(Ζ) из
таблицы 6.5, для сумм модулей импульсных переходных
функций можно получить выражения, приведенные в
таблице 6.8.
Здесь г = {1 - д/1-Wq}"*1 . Подставляя соотношения,
приведенные в таблицах 6.5 - 6.8, в (6.67) и (6.72) с учетом
(6.90) и Ар = Δ, нетрудно получить следующие выражения
для оценки результирующего значения ОК на выходе
фильтра с ЭКП:
\5x(tj\<A*(4yf3/w20), |52(/j|<A+[2(l-hV3)/w0],
»ίδ1(Ο} = «{δ2(ίβ)} = 0,
151

c2{5x(tJ} = A2(\-2w0)/iwl
o2{62{tJ} = A2(i-5w0)/24(2-w0)w0,
которые с учетом (6.70) и (6.90) принимают вид
<y2{Sl(tm)} = A2(N-l2)N2/l72H,
|52(/„)|^[(1 + л/3)/12]ДЛГ ,
σ2 {δ2 (/„)} = (Δ2 (W - 30) / 144(2W - 6))Ν.
(6.91)
(6.92)
Таблица 6.8
Выражения для функции от hqp(i)
ΣΜ»!
ыо
ΣΜ
*=0
ω0(1 +
1 + «
7з~71-2ш(
*)г
3 <Jl-2m0
V3 ^1-2ω0
7з ψ-2ω0
2a/F(1-<d0)
ω0Λ/ΐ-2ω0
(1 +
3-ω„
л/з^-гшо
У
ω0(1 +
1+ω„
•JT ^1 - 2т 0
У
ω'0ι^(3 + ω°ν
Ть^
6.3.4. Выбор цены младшего разряда и количества
разрядов ЦВМ
Проведенное в предыдущих разделах исследование по
зволяет производить выбор цены младшего разряда, при м.
торой удельный вес ОК в общей ошибке на выходе филы ιч
не превышает заданной величины. Под удельным весом <Н
152

будем понимать отношение некоторой функции δε^ от
оценки результирующего значения ОК на q-м выходе ЦАС к дис-
персии σ {к } процесса на этом же выходе, вычисленной в
предположении отсутствия ОК. При оценке по максимуму
под δε^ будем понимать значение квадрата модуля
максимальной величины ОК на выходе фильтра δε^ = δ^(/λ) , а
при вероятной оценке 5zq =m2{5q(tx)} + δσ2{δ?(/λ)}.
Таким образом, выбор цены младшего разряда ЦВМ
при использовании оценки по максимуму будет производить
исходя из соотношения
\^(Гх)\2/о2{%ч)^к2(Хч), (6.93)
а при использовании вероятностной оценки, исходя из
[m2{5q(tx)} +δσ2{δ^(^λ)}]/σ2{χ;} <: k2(xq), (6.94)
где k(%q) «1- заданный уровень удельного веса ОК на q-м
выходе.
При выборе цены младшего разряда ЦВМ будем
полагать, что память фильтров λ = N »1. Тогда числитель
выражений (6.93) и (6.94) для фильтров с РП определяется
соотношениями (6.78), (6.79) и (6.72), а для фильтров с ЭКП -
соотношениями (6.91), (6.92) и (6.72). Знаменатель
выражений (6.93) и (6.94) для фильтров с РП и ЭКП определяется
выражением (2.65). Подставляя указанные соотношения в
(6.93) и (6.94) и решая полученные неравенства, получим для
выбора цены младшего разряда ЦВМ граничные значения,
окончательный вид которых приведен в таблице 6.9.
Количество двоичных разрядов А/(ДА), необходимых
для записи какого-либо числа D с максимальным значением
из диапазона его изменения т {D} в ЦВМ с ценой младшего
разряда, не превышающей Δ, определяется следующим
образом:
153

M(D,A)<E{log2[m{D}/A]} + l = E{3.3lg[m{D}/A]} + L (6.95)
Таким образом, если в (6.95) подставить значение цены
младшего разряда ЦВМ, приведенное в таблице 6.5, то
получившееся количество разрядов обеспечит заданный удельный
вес ОК в общей ошибке на выходе фильтра.
Таблица 6.9

Память

фильтра
РП
РП
экп
экп


ниваемый

параметр
ά('χ)
<*'х)
ά('χ)
%)
Соотношение для
к(%я)а/А,
получаемое на основе оценки
по максимуму
0.0024х
x(9N2+32N+22fyfN
0.072 л/#5
0.048 <Jn5
0.065 у1 Ν5
Соотношение для 1
£(χ9)σ/Δ,
получаемое на основе
вероятностной
оценки
0.014Af
0.0517^
0.024^(^-12)
0.024ЛГ' βΞ™
V 2Ν-6
Пусть на вход фильтра с частотой F = 10M Гц
поступают измерения α(ίλ) с единичной дисперсией σ = 1.
Требуется, основываясь на оценке по максимуму, выбрать
количество разрядов ЦВМ, при которых для времени наблюдения
θ = 10ν с и максимального значения из диапазона изменения
/и {α} = 10γ удельный вес ОК на выходе фильтра с РП при
оценке приращения координаты не превышал величины
fc2(v) = 1/193.
В соответствии с выражениями, приведенными в
таблице 6.9, для рассматриваемого случая
ck(v)/A7> 0.072 Vtf5".
154

Учитывая, что N = OF = 10μ+ν, для определения цены
младшего разряда и количества разрядов (6.95) имеем
Δ<; 1(Г25(μ+ν), Α/(α,Δ)> £{3.3(γ + 2.5μ + 2.5ν)} +1.
Вычисленная при γ = 6 зависимость Μ(α, Δ) от F и θ
приведена в таблице 6.10.
Таблица 6.10
Частота F [Гц]
1
10'
ю2
| 10*
Количество разрядов ЦВМ М(а, Δ)
θ =10 с
29
37
45
53
θ = 102 с
37
45
53
62
6=103с
45
53
62
70
Рассмотренный пример наглядно иллюстрирует
необходимость тщательного подхода к выбору количества
разрядов цифровых устройств.
155

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
\.ЛиР. Оптимальные оценки, определение
характеристик и управление. - М: Наука, 1966.
2. Ершов А.А. Стабильные алгоритмы фильтрации
// Автоматика и телемеханика. - 1978. - № 7.- С. 68 - 73.
3. Фомин А.Ф., Новоселов О.Н.у Плющев А.В.
Отбраковка аномальных результатов измерений. - М.: Энерго-
атомиздат, 1985.
4. Малышев В.В., Красильников М.Н., Карлов В.И.
Оптимизация наблюдения и управления летательных аппаратов.
- М.: Машиностроение, 1989.
5. Горохов А.В.У Фарбер В.Е., Чебаиеико В.В.
Гарантированная оценка ухудшения точностных характеристик
алгоритмов фильтрации при известном количестве сбойной
информации //Изв. РАН. Техническая кибернетика. - 1993.
-№ 5. -С. 76-80.
6. Золотарев ММ.У Прусаков А.В.У Фарбер В.Е. К
вопросу выбора заявок на обслуживание радиолокационных
объектов в многоканальных РЛС с
ФАР//Радиопромышленность. - 2002. - № 3. - С. 33-46.
7. Золотарев ММ.У Толкачев А.А., Фарбер В.Е. Из
истории создания программно-алгоритмического обеспечения
современных многоканальных радиолокационных средств с
ФАР // Радиопромышленность. Юбилейный выпуск к 100-
летию РАДИО. - 1995. - С. 139-144.
8. Золотарев М.М.У Прусаков А.В.У Фарбер В.Е. К во
просу регулирования потока входной информации и диспс!
черизации вычислений при обработке радиолокационном
информации //Радиоэлектроника и управление. - 200'
- № 7-9. - С. 49-54.
9. Шишов Ю.А., Ворошило В.А. Многоканальная ι >.\
диолокация с временным разделением каналов. - М: Ради<» »>
связь, 1987.
156

10. Кузьмин С.З. Основы проектирования систем
цифровой обработки радиолокационной информации. - М.:
Радио и связь, 1986.
\\.БакутП.А.у ЖулинаЮ.В.у ИванчуНА.
Обнаружение движущихся объектов. - М.: Сов. радио, 1980.
12. Шапиро ЕЙ. Стабильное решение задачи
нелинейной фильтрации в дискретном времени // Автоматика и
телемеханика, 1980. - № 2. - С. 99-105.
13. Лившиц Η.Α., ФарберВ.Е., Шапиро ЕЙ. Решение
задачи нелинейной фильтрации при наличии
неинформативных результатов наблюдений //Радиотехника и
электроника, 1984. - № 7. - С. 1362-1367.
14. Егорова Н.Ю., ФарберВ.Е. Задача нелинейной
фильтрации в условиях наличия аномальных измерений
//Изв. РАН. Техническая кибернетика. - 1995. - № 2.
-С. 103-107.
15.ЕгороваН.Ю., ФарберВ.Е. Решение задачи
нелинейной фильтрации при наличии негауссовских ошибок
измерений //Радиотехника и электроника. - 1995.- № 4.
-С. 604-610.
16. МедичДж. Статистические оптимальные линейные
оценки и управление / Пер. с англ. под ред. А.С. Шаталова.
-М.: Энергия, 1973.
17. Жданюк Б. Ф. Основы статистической обработки
траекторных измерений. - М.: Сов. радио, 1978.
18. Рябова-Орешкова А.П. Фильтры с эффективной
конечной памятью, реализуемые на ЦВМ посредством
рекуррентных формул //Изв. АН СССР. - 1969.- № 4.
-С. 159-168.
19. КузинЛ.Т. Расчет и проектирование дискретных
систем управления. - М: Машиностроение, 1962.
20. Мехра Р.К Сравнение нескольких нелинейных
фильтров для системы слежения за входящими в атмосферу
летательными аппаратами //Вопросы ракетной техники.
- 1973. -№1. -С. 3-23.
157

21. Решетив Μ.Φ., ЛебедевА.А.у Бартенев В.А. и др.
Управление и навигация искусственных спуников Земли на
околокруговых орбитах. - М: Машиностроение, 1988.
22. PuzankovA.F.,Farber V.E., Yarmola V.V. Principles of
autotracking of geostationary communications satellites
// Proceedings of The ХХУШ Moscow International Conference
on Antenna Theory and Technology, 22-24 September 1998.
- Moscow, Russia. - P. 204-207.
23. Tolkachev A.A., Levitcm B.A., Solovjev G.K., Veyt-
sel V. V.9 Farber V.E. A Megawatt Power Millimeter-Wave
Phased-Array Radar // IEEE AES Systems Magazine, July, 2000.
-P. 25-31.
24. Волочков ЕБ.} Егорова НЮ., Толкачев А. А..,
Топчиев С.Α., ФарберВ.Е. Особенности прогнозирования углового
положения подвижных ФАР высокоточных многоканальных
РЛС //Тезисы докладов XXVII научно-технической
конференции по теории и техники антенн. - Москва, 1994.
- С. 203-206.
25. ФарберВ.Е. Сравнительный анализ форм записи
квазиоптимальных алгоритмов фильтрации при наличии
аномальных и неинформативных результатов измерений
//Изв. РАН. Техническая кибернетика. - 1992.- № 3. - С.
71-77.
26. Шапиро ЕЙ. Рекуррентный алгоритм нелинейной
фильтрации с учетом аномальных ошибок // Радиотехника и
электроника. - 1980. - № 2. - С. 290-295.
27. ЕгороваН.Ю.9 ФарберВ.Е. Анализ точностных
характеристик и устойчивости нелинейных алгоритмов оценки
параметров движения космических аппаратов при наличии
аномальных измерений // Космические исследования. - 1994.
-№4-5. -С. 3-12.
28. ГороховА.В.У ФарберВ.Е. Решение задачи об
оптимальном быстродействии наблюдения за снижающимися и
атмосфере космическими объектами //Изв. РАН.
Техническая кибернетика. - 1992. - № 2. - С. 197-205.
158

29. Розов Л.С., СобцовН.В. Задачи фильтрации в
условиях неоднозначных измерений // Радиотехника и
электроника, 1980.-Т. 25,№9.-С. 1881-1887.
30. Волочков Е.Б., Топчиев С.А., Фарбер В.Е. Анализ
аномальных измерений угловых координат двумерным
амплитудным дискриминатором в процессе сопровождения
радиолокационных объектов//Радиопромышленность. - 2003.
-№1. -С. 38-47.
31. Ширмаи Я.Д., Манжос В.Н. Теория и техника
обработки радиолокационной информации на фоне помех. - М:
Радио и связь, 1981.
32. Куликов ЕЙ., Трифонов АЛ. Оценка параметров
сигналов на фоне помех. - М: Сов. радио, 1978.
33. Гладкий B.C. Вероятностные вычислительные
модели. - М: Наука, 1973.
34. ВеселоваГ.П. Об амплитудном квантовании с
наложением интерполирующих сигналов // Автоматика и
телемеханика. - 1975. - № 5.
35. Фарбер В.Е. О моментах распределения амплитуд-
но-квантованных процессов при округлении с
использованием корректирующих сигналов // Автоматика и телемеханика.
-1992.-№8.
36. Фарбер В.Е. Необходимые и достаточные условия
независимости вероятностных характеристик ошибок
амплитудного квантования от параметров распределения
квантуемых процессов // Автометрия. - 1993. - № 5.
37. ГрадштейнП.С., РыжикИМ. Таблицы интегралов,
сумм, рядов и произведений. - М: Наука, 1971.
38. Фарбер В.Е. Анализ ошибок счета в цифровых
фильтрах первого порядка с растущей и эффективной
конечной памятью //Изв. АН СССР. Техническая кибернетика.
-1992.-№1.-С. 130-140.
159

Учебное издание
ФАРБЕР Владимир Ефимович
ОСНОВЫ ТРАЕКТОРНОЙ ОБРАБОТКИ
РАДИОЛОКАЦИОННОЙ ИНФОРМАЦИИ
В МНОГОКАНАЛЬНЫХ РЛС
Редактор О.П. Котова
Корректор ИЛ. Волкова
Подписано в печать 04.03.2005. Формат 60 χ 84 Vie. Бумага офсетная.
Печать офсетная. Усл. печ л. 10,0. Уч.- изд. л. 9,5. Тираж 150 экз.
Заказ № ф-386.
Государственное образовательное учреждение
высшего профессионального образования
Московский физико-технический институт
(государственный университет)
Отдел автоматизированных издательских систем
"ФИЗТЕХ-ПОЛИГРАФ"
141700, Московская обл., г. Долгопрудный, Институтский пер., 9
Для заявок: тел. (095) 408-58-22 rio@maiI.mipt.ru