E. E. ВЕРЕСОВА, Н. С. ДЕНИСОВА,
Т. Н. ПОЛЯКОВА
ПРАКТИКУМ
ПО РЕШЕНИЮ
МАТЕМАТИЧЕСКИХ
ЗАДАЧ
Допущено Министерством просвещения СССР
в качестве учебного пособия
для студентов педагогических институтов
по математическим и физическим специальностям
МОСКВА «ПРОСВЕЩЕНИЕ» 1979

22.1
В 51
Рецензенты:
доктор педагогически» наук А. А. Столяр; кафедра математики
Мордовского педагогического института (заведующий кафедрой
Г. И. Саранцев)
Вересова Е. Е. и др.
В 51 Практикум по решению математических задач: Учеб.
пособие для пед. ин-товЕ. Е. Вересова, Н. С. Денисова,
Т. Н. Полякова.—М.: Просвещение, 1979. — 240 с.
Данное учебное пособие соответствует программе пединститутов. Содержание
книги тесно связано со школьным курсом математики. В ней содержится много
интересных, оригинальных задач, которые могут быть использованы учителями
математики средних школ во внеклассной работе.
60602-636 «aiiaiajaii ББК22.1
8 л-ч~^—ЧК- 37—/9 4309020400 <4
© Издательство «Просвещение», 1979 г.

СОДЕРЖАНИЕ
Предисловие « 5
Часть I
АЛГЕБРА И ТРИГОНОМЕТРИЯ
Введение • в
I. Функции над множеством. Выражения с переменными над
множеством ~
И. Предложения с переменными над множеством ....... 9
III. Тождество на множестве Тождественные преобразования
выражений с переменными на множестве 12
IV. Равносильные предложения с переменными над множеством 13
V. Теоремы о равносильных уравнениях 14
VI. Теоремы о равносильных неравенствах 16
VII. Теоремы о равносильных системах уравнений 17
VIII. Предложения с переменными и параметрами 18
Глава I. Тождественные преобразования на множестве. Доказатель*
ство тождеств и неравенств на множестве —
§ I. Тождественные преобразования целых рациональных и
дробных рациональных выражений на множестве . ♦ . . . —
§ 2. Тождественные преобразования иррациональных выражений
на множестве 25
§ 3. Тождественные преобразования показательных и
логарифмических выражений на множестве 32
§ 4. Доказательство неравенств на множестве 34
Глава II. Уравнения и неравенства с переменными 39
§ 5. Равносильность уравнений и неравенств —
§ 6. Целые рациональные и дробные рациональные уравнения
с одной переменной 41
§ 7. Целые рациональные и дробные рациональные неравенства
с одной переменной 48
§ 8. Уравнения и неравенства с одной переменной, содержащие
переменную под знаком модуля 55
§ 9. Иррациональные уравнения с одной переменной 59
§ 10. Иррациональные неравенства с одной переменной .... 65
§11. Показательные и логарифмические уравнения с одной
переменной 69
§ 12. Показательные и логарифмические неравенства с одной
переменной 72
§ 13. Системы (конъюнкции) и дизъюнкции уравнений 75
§ 14. Системы (конъюнкции) и дизъюнкции неравенств о
переменными 85
3

Глава III. Тригонометрия 89
§ 15. Доказательство тригонометрических тождеств на множестве —
§ 16. Доказательство тригонометрических неравенств на
множестве 94
§ 17. Тригонометрические уравнения 98
§ 18. Решение тригонометрических неравенств 105
§ 19. Системы тригонометрических уравнений и неравенств ... 111
§ 20. Доказательство тождеств и неравенств на множестве,
содержащих обратные тригонометрические выражения ... 115
§ 21. Уравнения и неравенства, содержащие обратные
тригонометрические выражения 124
Часть II
ГЕОМЕТРИЯ
Введение 130
Глава I. Планиметрия —
§ 1. Применение геометрических преобразований к решению
задач 131
§ 2. Метрические соотношения в плоских фигурах 133
§ 3. Площади плоских фигур 143
Глава II. Стереометрия 156
§ 4. Взаимное расположение точек, прямых и плоскостей в
пространстве —
§ 5. Геометрические построения в пространстве 162
§ 6. Многогранники 179
§ 7. Цилиндр, конус, шар 187
§ 8. Комбинации геометрических фигур 190
Ответы к части I 198
Ответы к части II 222
Приложения 231
Формулы —
Обозначения , , . 234
Таблицы 237
Литература 238

ПРЕДИСЛОВИЕ
Пособие «Практикум по решению
математических задач» для студентов
педагогических институтов составлено в соответствии
с государственной программой. При этом
учтен опыт работы по данному практикуму
со студентами в МГПИ им. В. И. Ленина.
Пособие содержит две части: первая часть
посвящена алгебре и тригонометрии (автор
Полякова Т. Н.), вторая часть—геометрии
(авторы Вересова Е. Е., Денисова Н. С).
В каждой части во введении приведены
теоретические сведения, которые
используются при решении задач.
В начале каждого параграфа приведены
примеры решения задач одним или
несколькими способами.
В конце пособия указаны формулы и
обозначения, применяемые в данном пособии.
Пособие содержит задачи повышенной
трудности (специально не выделенные).
Кроме этого, авторы рекомендуют в качестве
задач повышенной трудности использовать
задачи, предлагаемые на олимпиадах, в
журналах «Математика в школе», «Квант».
Некоторые задачи пособия могут быть
использованы в кружковой работе и
факультативных занятиях по математике в школе.
Авторы выражают глубокую
благодарность Базылеву В. Т., Куликову Л. Я.,
Нечаеву В. И. за ценные указания и советы,
а Достойновой О. Н. за большую помощь
по подготовке рукописи к печати.

ЧАСТЬ I
АЛГЕБРА И ТРИГОНОМЕТРИЯ
ВВЕДЕНИЕ
I. ФУНКЦИИ НАД МНОЖЕСТВОМ. ВЫРАЖЕНИЯ С ПЕРЕМЕННЫМИ
НАД МНОЖЕСТВОМ
Пусть /—бинарное отношение, определенное во множествах
Л, 5, т. е. fa Ах В. Бинарное отношение/ называется
функцией (отображением из множества А в множество В), если в f нет
пар с одинаковыми первыми и различными вторыми элементами,
и обозначается fiA-rB.
Множество А называется областью отправления, а множество
В—областью прибытия функции /.
Множество {а £ А \ (ЗЬ € В) (а, Ь) £ /} называется областью
определения функции / и обозначается £>(/).
D(f) = \a£A\(3beB)(a, b)£f).
df
Множество {fc£B|(3a£ A) (а, 6)6/} называется областью
значений функции / и обозначается Е (/).
ЕУ) = \ЬеВ\(За£А)(а,Ь)еП.
df
Если (а, Ь) €/, то b называется образом элемента а (значением
функции f в точке а) и обозначается / (а); а называется
прообразом элементаb\ я»-»Ьфф (a, b) €/. Если (а', b')6f((a\ b') £ ЛхВ),
f df
то говорят, что функция / не имеет значения (не имеет смысла)
в точке а'.
Бинарное отношение /с А х В называется отображением
множества А в множество 5, если каждый* элемент из А имеет и
только один образ в В, и обозначается f:A—+B.
Пусть А — множество. Отображение / из Ап в A (f\An-*A)
будем называть функцией над множеством А от п аргументов
(с п переменными) или более кратко функцией над А.
* 4=^ ( = ) означает: ... есть по определению .•. (df — сокращение ело*
df V df /
ва „дефиниция" (лат. definitio) — определение понятия;.
6

Пример, f.R*-,R
*—у
f—функция над R от двух аргументов;
0(!) = {{х,у)£1Р\хфу}, E(f)=R\{0\.
Пусть даны функции над Л:/1#...,/, от п аргументов
и g от s аргументов. Функция h над Л от л аргументов
называется композицией функций над Л ft, ....ft и gf если
h (х19 ..., хп) = g(ft (*lf ..., *„),... ,ft(*n ...,*„)) и
D(ft)4(*i. ..., х„)| (ft (хи ..., *„), ..., /,(*i. ■ • •> *я))€0(*)}.
Пусть Л — числовое множество, хи ...,.*„—переменные, / —
функция над Л с областью определения D(f) и областью
значений £(/).
(#1Э ..., хп) ►—> f (xi9 ..., хп).
Тогда символ /(х1э ..., хп) называют выражением с переменными
*i. ■■•1^ функции /.
Одной функции над Л могут соответствовать разные
выражения с переменными. Например:
DfiR-rR и g:R-rR
xi->lgA:2 x»->21g|x|.
2) f:R-+R и g:R-+R
jch-^cos2x jch-> 1—sin* x.
3) ft/?-*/? и giR—R
x j—> x x и-* ct g (arcctg я).
Наоборот, разным функциям над Л может отвечать одно и
то же выражение с переменными.
Например: /:/?—*/? и S:\— Т»1П~~*Я
дсн->sln* xt—>sinx.
Функция над А от п аргументов определена (задана), если
указаны: 1) ее область определения с Ап\ 2) ее выражение
с переменными.
В связи с этим иногда отождествляют функцию над Л и ее
выражение с переменными, указав область определения этой
функции. Поэтому иногда область определения и область знд-
чений функции над Л называют также областью определения и
областью значений ее выражения с переменными.
Пусть Л — числовое множество, ft, . ..,ft—функции над Л
от п аргументов, g—функция над Л от s аргументов. Пусть
выражениями g переменными функций ft, ..., ft, g являются
соответственно ft (хи ..., хп), ..., ft (xi9 ..., xn)f g (yi9 ...,yg) (1).
Тогда символ g (ft (xl9 ..., xn), ..., ft (*i> • • • i *«)) называется
композицией выражений с переменными (1).

Класс рассматриваемых функций над Л, соответственно
выражений с переменными, ограничиваем следующими
соглашениями.
Ниже: Л есть С, R или Q в (0) — (7); A=R в (8) —(21).
Следующие выражения с переменными называются
элементарными выражениями (ЭВ) над А:
(0) константа (а, Ь, аи а„ ..., 3, у , ... £ A j;
(1) переменная (х, у, xlt х29 .. .)(D(\) = A)\
(2) х + у (Я(2) = Л2);
(3) х-у (0(3) = Л2);
(4) **/ ф(4) = Л2);
(5) *», где т£ЛГ ф(5) = Л);
(6) i(D(6) = {(xfy)|x€i4, </<E^\<0}});
(7) хт, где тб2, т<0 (D (7) = Л \ <0});
(8) у^х, или х"^, где m£N, m> 1(D(8) = [0, оо[, *
£(8) = Г0, оо[);
(9) \х\ (D(9) = /?, £(9) = [0, оо[);
(10) ха, где a£R\Q (D(10) = ]0, oo[);
(11) а*, где а>0, a^l ф(11) = Л);
(12) logax, где а>0, аф\ (D(12) = ]0, oo[);
(13) ху (D(l3) = {(x,y)\x,y€R, x>0\)\
(14) sin* (D(14) = /?);
(15) cos* (D(15) = /?);
(16) tgx (D(16) = /?\|i + Jtfe|ft6^});
(17) ctgx (D(17) = #\{jt£|£€Z});
(18) arcsinx(D(18) = [-l, 1], £(18)= [-f , |]);
(19) arccosx (D(19) = [—1, 1], £(19) = [0, я]);
(20) arctgjc (D(20) = tf, £(20) =]-|, i[]j;
(21) arcctgx (D(21) = fl, £(21) = ]0, jc[).
Пусть 7W —множество каких-либо элементарных выражений
над А, Мг = М и пусть Мп для каждого натурального я>1
означает множество всех композиций любых выражений с
переменными из объединения Mt [} М2 [} ... U M„-i множеств М19
Мй, ..., Л1Л-1. Будем говорить, что выражение с переменными Q
выражается в конечном виде через элементарные выражения из
М, если Q£Mn для какого-нибудь натурального п.
В частности, если /И — множество всех элементарных
выражений над Л, то любое выражение с переменными, выражаемое
в конечном виде через элементарные выражения из М, будем
называть выражением с переменными над А (ВСП) или, короче,
выражением над А.
Другими словами, под выражением с переменными над А
понимаем любое элементарное выражение над Л и любое выраже-

ние с переменными, получающееся из элементарных выражений
над А с помощью композиций, последовательно „примененных"
конечное число раз.
Классификация выражений с переменными над множеством
Выражение с переменными над R(C,Q) называется целым
рациональным выражением (многочленом) над/? (С, Q), если оно
выражается в конечном виде через элементарные выражения (ЭВ)
(0)-(5) над/? (С, Q).
Выражение с переменными над R(C,Q) называется дробным
рациональным выражением над /? (С, Q), если оно выражается
в конечном виде через ЭВ (0) — (7) над /?(С, Q), причем среди
них есть хотя бы одно из (6), (7).
Целые рациональные и дробные рациональные выражения над
/?(С, Q) называются рациональными выражениями над /?(С, Q).
Выражение с переменными над /? называется
иррациональным выражением (над /?), если оно выражается в конечном виде
через ЭВ (0) —(9), причем среди них есть хотя бы одно из (8), (9).
Рациональные выражения над /?(С, Q) и иррациональные
выражения над /? называются алгебраическими выражениями.
Выражение с переменными над /?, не являющееся
алгебраическим, называется трансцендентным выражением (над /?), т. е.
выражение с переменными над /? называется трансцендентным,
если оно выражается в конечном виде через ЭВ (0) — (21),
причем среди них есть хотя бы одно из (10)—(21).
Из данных выше определений следует, что классификация
выражений с переменными над А производится по внешнему виду
выражений с переменными (что в практике очень удобно, ибо не
требует никаких дополнительных исследований).
II. ПРЕДЛОЖЕНИЯ С ПЕРЕМЕННЫМИ НАД МНОЖЕСТВОМ
Пусть Аи ..., Ап—данные множества, xlt ..., хп—переменные.
Под предложением с переменными хи ...,хп на множестве
Л1х...хЛл (ПСП) будем понимать выражение (запись знаков
и символов), обладающее тем свойством, что, приписав значения
переменным хи ...,хп(хг из Аи ..., хп из Ап), получаем
высказывание.
Областью истинности предложения V (xlt ..., хп) с
переменными xlt ..., хп на множестве А, х ... X Ап называется множество
тех и только тех элементов (точек) (а19 ..., ап) из Агх ... X Ап,
для которых высказывание V(аи ...,д„) истинно, и
обозначается ОИу.
OVlv=*{(au ..., ап)£.Агх ... xAn\V (alt ..., а„) —истинно}.
О

Пусть V и № —предложения с переменными t(, ...,*„ на
множестве Агх ... хАп. Тогда по определению:
1) "1V—отрицание К, т. е. ПСП такое, что OH-w=sMfx...
...хАп)\ОИу,
2) V/\W— конъюнкция V и W, т. е. ПСП такое, что ОИу^хг =
=оиУпои^,
3) УyW — дизъюнкция К и W, т. е. ПСП такое, что OHyyw =
= оиУиоия„
4) V=5> W (V (= №) — W является следствием К, т. е. ОИус ОИ^,
5) Кфф^(К-Г)—V равносильно W, т. е. ОИу = ОИ^.
Если /(xlt ...,хя)и g(*i, • -., хп) — выражения с переменными
xl9*..,x„ над множеством Л, то предложения с переменными
f(xu ..., xn) = g(xu .*.,*„) на множестве Ля,
f(xu -*-,хп) <g(xlf ...,xn) на множестве Л",
f(xu .. . ,*л) > g{xu ...,xn) на множестве Л"
называются основными предложениями с переменными хи ...,хп
над множеством А (ОПСП над А).
Выражение / (х1%..., хп) называется левой частью, а
g(xu •. ,,хл) — правой частью ОПСП над А.
Основное предложение с переменными f(xlf ...» хп) =
= g(xv...,xn) над Л называется равенством с переменными
*t, ..., хп над Л, а как f[xi9 ..., *„)<#(*!, .. .,*„) над Л, так
и /(х1э ..., хп) > g(xi9 ...,xn) над Л, называется неравенством
с переменными xif ..., хп над Л.
Пусть f(xv ...,*„) и g(^i» •••» *«) —выражения о
переменными над Л. Тогда, по определению:
f<g~f<gVf = g,
f>g~f>g\/f = g,
l(f<g)~f>g,
"|tf>«)~f<*.
10f<g)~/>g>
"1</>г)~/<г>
"1(f-*W<*V/>*
Предложение с переменными xiy ...,xn над множеством Л*
определяется следующими соглашениями:
1. Любое основное предложение g переменными хъ ...,*„
над А есть предложение о переменными хи ..., хп над Л.
2. Если V(xif ...,xn) и №(*i, ..., хя)—предложения с
переменными хи ..., хп над Л, то и V (хи ..., хл)Л№ (*ь ■ ■ ■»*«),
У (jclf .. -, xn)\yW (xu ..., хп) — предложения с переменными хи ...,
. ..,*„ над Л.
* Слова „с переменными х±, .. ш, х„ "опускают, если ясно, от каких пе-
ременных; слова „над Л" тоже иногда опускают, если заранее известно, ука-
зано множество А.
10

Таким образом, всякое предложение с переменными,
получающееся при помощи конечного числа конъюнкций и
дизъюнкций предложений с переменными xi9 ...,*„ над множестве»! Л,
является предложением с переменными xit ...,#„ над Л.
Конъюнкцию предложений с переменными х1У ..., хп над А
называют также системой предложений с переменными xi9 ..., хп
над А.
(V V \
Конъюнкцию (систему) V/\W записывают и иначе: w;^>;
L /Дизъюнкцию V\/W записывают еще и так: ^ ; ^ ; дем •
1. Пусть А означает любой из символов =,<,>.
Областью определения предложения с переменными xit ..., хп
(*) /(*ц •••» *л)Д#(*1» •••» хп) наД А называется пересечение
областей определения выражений с переменными f(xu...txn) и
g (xlt..., хп) над А и обозначается D(*).
D(*) = D(/)nD(g).
df
2. Пусть (1) и (2) — предложения с переменными хь ...>*„
над Л.
Областью определения конъюнкции ПСП (1) и (2) называется
пересечение их областей определения.
D((l)A(2)) = D(l)flD(2).
df
Областью определения дизъюнкции ПСП (1) и (2) называется
объединение их областей определения.
D((1)V(2)) = Z>(1)UZ>(2).
df
Пусть (1) — предложение с переменными хъ ..., хп над
множеством Л. Относительно предложения с переменными (1) могут
быть поставлены две основные задачи:
I. Доказать, что данное множество Т является подмножеством
области истинности предложения с переменными (1) над Л, т. е.
доказать, что ГсОИ(1). Иначе это выражают и записывают так:
доказать, что ПСП (1) над Л справедливо (истинно) на
множестве Т.
II. Найти область истинности данного предложения с
переменными (1) над Л, т. е. найти ОИ(±). Обычно это выражают и
записывают так: решить ПСП (1) над Л.
Вместо „решить равенство" обычно говорят „решить уравнение0.
Каждый элемент (каждая точка) области истинности
называется решением ПСП (1). Если п=1, то решение уравнения
называют также корнем уравнения.
11

Иногда ставится задача: йайти пересечение области истинности
ПСП (1) над А и данного множества ВпаАп. Это выражают и
записывают так: решить ПСП (1) при условии, что хи ..., хп£ В.
В некоторых случаях, когда В есть N (Z, Q, /?, С и др.),
-применяется и такая формулировка указанной выше задачи:
найти натуральные (целые, рациональные, действительные,
комплексные и другие) решения ПСП (1).
Классификация предложений с переменными над множеством
Пусть (1) — предложение с переменными х19 .. ., хп над
множеством А.
ПСП (1) над А называется целым рациональным, если все
его левые и правые части являются целыми рациональными
выражениями над А.
ПСП(1) над А называется дробным рациональным, если все
его левые и правые части являются рациональными выражениями
над А и хотя бы одна из частей есть дробное рациональное
выражение.
Целые рациональные и дробные рациональные ПСП
называются рациональными.
ПСП (1) над A=R называется иррациональным, если все
его левые и правые части являются алгебраическими
выражениями над R и хотя бы одна из частей есть иррациональное
выражение.
ПСП (1) над Л=/? называется трансцендентным, если хотя
бы одна из его частей является трансцендентным выражением.
III. ТОЖДЕСТВО НА МНОЖЕСТВЕ. ТОЖДЕСТВЕННЫЕ ПРЕОБРАЗОВАНИЯ
ВЫРАЖЕНИИ С ПЕРЕМЕННЫМИ НА МНОЖЕСТВЕ
Слова „с переменными" (для краткости) опустим.
Выражения j(xiy ...,*„) и g(xit ...,*„) над А называются
тождественно равными на множестве 7\ если в каждой точке
множества Т значения этих выражений равны.
Если выражения / (х19 ...,- хп) и g(xlt ..., хп) тождественно
равны на множестве 7\ то иногда будем это записывать так:
f(xu ..., xn)^g(xx хп) на Т.
Равенство (1) f(xu »»•, xn) = g(xu ...,*„) над А называется
тождеством на множестве Т, если выражения f(xi9...9xn) и
g(xiy ...,*„) тождественно равны на множестве Т.
Замена выражения f (x19 ...txn) над А другим выражением,
тождественно равным ему на множестве Г, называется
тождественным преобразованием выражения / (хи ..., хп) на множестве Т.
В случае, когда Т = А, слова „на множестве Т" разрешим
опускать, не указывать, т. е.;
12

1. Выражения f{хи ...,#„) и g(xu ..., хп) над А называются
тождественно равными, если в каждой точке множества А
значения этих выражений равны.
2. Равенство (1) f (хг1 ..., xn) = g(xlt ...,xn) над А называется
тождеством, если выражения f (xlt ..., хп) и g(xly ..., хп)
тождественно равны.
3. Замена выражения f(xlt ...,xn) над А другим.выражением,
тождественно равным ему, называется тождественным
преобразованием выражения f(xlt ...,xn).
Если выражение f(xu ..., хп) тождественно равно на
множестве Тг выражению g(xlt ...,л:Л), а выражение g(xl9 ..., хп)
тождественно равно на множестве Т2 выражению h(xu ...>*„),
то выражение f(xlt ...,xn) тождественно равно на множестве
Т = Тг(]Т2 выражению h(x1$ ...,*„)» т.е. если f(xlf ...,*„) =
= g(Xi хп) на Тг и g{xt xn)^h(xi хп) на Г2, то
f(xl9 ...,x„) = h(xt хп) на Т = Тг[\Т2.
В частности, при Тг = Т2 — Т получаем: если f(xit ...,ял)^=
=zg(x19 ..., х„) на Т и g(xlt ...txn) = h{xlt ...,*«) на Г, то
/ (xit ...,xn) = h (xif ..., хп) на Т.
Примеры тождеств на множестве
1. х2— 1 = х+ 1 над С является тождеством на множестве {—1; 2).
2. (х + у)г = х* + уг + 3ху (х + у) над С является тождеством.
3. , =(х—I)2 над Q является тождеством на множестве
4. |Лк2 = л; над R является тождеством на множестве [0, оо[.
5. *|/гл:2 = |х| над R является тождеством.
6. lgx2 = 21gx над R является тождеством на множестве ]0, оо[.
7. lg jca = 2 lg | л: | над R является тождеством на множестве
я\{0}.
8. tgxctgA;=l над R является тождеством на множестве
IV. РАВНОСИЛЬНЫЕ ПРЕДЛОЖЕНИЯ С ПЕРЕМЕННЫМИ НАД МНОЖЕСТВОМ
Пусть (1) и (2)—два предложения о переменными хъ ...,*л
над множеством А. Пусть D (1)—область определения, ОИ(1) —
область истинности ПСП (1). Пусть D (2) — область определения,
ОИ(2)—область истинности ПСП (2).
' Предложение с переменными (2) называется следствием
предложения с переменными (1), если область истинности ПСП (I)
13

есть подмножество области истинности ПСП (2), т.е. если
ОИ(1)сОИ(в), и обозначается это так: (1)\=(2).
(1)Н2)«ФОИ(1)сОИ(
df
Предложения с переменными (1) и (2) над А называются
равносильными, если они имеют одну и ту же область истинности,
т.е. если ОИ(1) = ОИ(2), и обозначается это так: (1)~(2).
<1)~(2)»ОИш-ОИ(1).
Предложения с переменными (1) и (2) называются
равносильными на множестве L, если Z, П ОИ(1) = Z. Л ОИ<„, и обозначается:
0)~(2).
Отношение равносильности обладает свойствами:
1) рефлексивности: (1)~(1);
2) симметричности: если (1)~(2), то (2)~(1);
3) транзитивности: если (1)~(2) и (2) ~ (3), то (1)~(3).
Примеры
1. (1) х—1=0 над /?; (2) (л;—1)2 = 0 над /?;
(1)~(2), так как ОИш = ОИ«г) = {1}.
2. (1) л:» + 1 = 0 над R, (2) Зх—2 = За: над /?;
(1)~(2), так как ОИш = ОИ(2) = 0.
3. (1) х = 2 над R, (2) ха = 4 над /?;
(1)(г(2), так как ОИ(1) = {2}с{—2; 2} = ОИ(1).
( х—у=*\ ( 2х = 3
(1)~(2), так как ОИш = ОИ(2) = {(|, |)|.
V. ТЕОРЕМЫ О РАВНОСИЛЬНЫХ УРАВНЕНИЯХ
Напомним, что А означает С, R или Q.
Пусть (1) f{xu *"9xn)=g(xu ..., хп) над Л—уравнение
с областью определения D (1) и областью истинности
(множеством всех решений) ОИш; (?) ft(xif ..., xn) = g2(xit ...,*„) над
А—уравнение с областью определения D (2) и областью
истинности (множеством всех решений) ОИ(2).
Пусть ty(xu ..., Xj)—выражение над А о областью
определения D(ty). >^
Замечание. Для краткости записи в дальнейшем не будем
указывать переменные хи ..., хп.
И

Теорема 1. Уравнения (l)/ = g и (2) /2 = g2, где /==/2 на
D(/)nO(/2), g = g2 на D(g)f)D(g2), равносильны тогда и только
тогда, когда
1) если a£D{l)\D(2), то я$ОИ(1), и
2) если 6€D(2)\D(1), то ЦОИ(2).
Следствие 1Х. Если D(1) = D(2), то уравнения (1) и (2)
равносильны.
Следствие 2г. Если D(l)z>D(2), то ОИ(1) = ОИ(2) иОИ',
где OH' = {a\a£D(\)\D(2)y я'€ОИ(1)}.
Следствие Зх. Если D(l)cD(2), то ОИ(1) = ОИ(2)\ОИ",
где OH'' = {fc|fc(ED(2)\D(l), Ь£ОИ{2)}.
Теорема 2. Если D(\J>)z>D (1), то уравнения (l)/=sgH
(3) /-|-Tj? = g--f г|) равносильны.
Если 0(г|з) з £>(1), то f = g~ f + ^ = g + ^-
Следствие 12. Если перенести слагаемое из одной части
уравнения в другую с противоположным знаком, то получится
уравнение, равносильное данному.
Следствие 22. Всякое уравнение (l)/ = g равносильно
уравнению /•>—£ = 0.
Теорема 3, Если D(i|;)z)D(l) и ^(Ь)ф0 для любогоb£D(\)9
то уравнения (l)f = g и (4) f-ty = g-ty равносильны.
Если D(\J))zdD(1) и ЦфО на D(l), то /=g~ /-^ = g-t|).
Следствие 18. При умножении обеих частей уравнения на
число сс(а£Л), отличное от нуля, получается уравнение,
равносильное данному.
Теорема 4. 1 = 0(Л)~{ ^ (Л).*
Теорема 5. / = g(tf) ~/2*+J = g2*+i(/?), k£N.
Теорема 6. / = £(/?)-{ J2'f^(/?), &€#.
Теорема 7. 2^7 = Я(*)-{ *^L"<*). k£N.
Теорема 8. a* = as(R) ~ f = g(R), a>0, a=^ 1.
Теорема 9. log./ = \ogag(R) ~ | '/ = g (Я) - j *=^ (/?),
я>0, a=^l.
* Для краткости вместо — = 0 (над А) будем писать — ==0(Л)«
15

Теорема 10. / = g(/?)(= sinf = sing(R).
Теорема 11. / = g(/?)f=cos/ = cosg(/?).
Теоремы 1, 2, 3 и следствия из них применяются при
решении уравнений различных типов, теорема 4 чаще используется
при решении дробных рациональных уравнений, теоремы 5, 6
и 7 —иррациональных уравнений, теоремы 8, 9 — показательных
и логарифмических уравнений, теоремы 10, 11— уравнений,
содержащих обратные тригонометрические выражения.
VI. ТЕОРЕМЫ О РАВНОСИЛЬНЫХ НЕРАВЕНСТВАХ
Пусть (1) f(x19 . ..,*/,)<£(**. •-..*„) (над /?) —неравенство
g областью определения D(l) и областью истинности
(множеством всех решений) ОИ(1); (2) f9(xu ., xn)<g2(xlt ..., хп)
(над R)— неравенство с областью определения D(2) и областью
истинности (множеством всех решений) ОИ(й).
Пусть ty(xit ...,хп) — выражение над R с областью
определения D(\\>).
Так как теоремы 1 и 2 (из V) и следствия из них имеют
место и для неравенств над R (достаточно в теоремах 1 и 2 вместо
символа = написать любой из символов: <, >, <!, ^), то мы
позволим себе не повторять их формулировки
Теорема Зх. Если выражение г|? принимает положительные
значения в каждой точке области определения неравенства
(0 /<g> т0 неравенства /<g и f-ty<g-ty равносильны,
Если i|)>0 на D(l), то / < g~ f-ty < g-y\\
Теорема 32. Если выражение \|) принимает отрицательные
значения в каждой точке области определения неравенства
(!)/<&> то неравенства f<g и f-ty>g-ty равносильны.
Если \р < 0 на D(l), то f < g ~ f-\p> g-\p.
Теорема 4le -<0~f-g<0.
Теорема 42
i<*~{
f-g<o
§Ф0.
Теорема 5. / <g~ f2k+1 <gu+1, k^N.
Теорема 6. I<g~{ g>0 V I
g>0 V
Рк<82к
S>0 \/tt>gtt>
16

(f>0
Теорема 7,. 2?/7<£~J g >0
[f<g2k.
Теорема 72. // >g~<[ ^ > g2, V <j f ^ a
Теорема 8t. Если a > 1, то a7 < a* ~ / < g.
Теорема 82. Если 0<a< 1, то a; <a* -^ f > g.
f />0
Теорема 9t. Если a> 1, то \ogaf <\ogag~{ .
( g>°
Теорема 92. Если 0<a<l, то loge/ < \ogag~< -
Теоремы 1, 2, 3lf 32 и следствия из них применяются при
решении неравенств различных типов, теоремы 4t и 42 чаще
используются при решении дробных рациональных неравенств,
теоремы 5, 6, 7Х и 72 —иррациональных неравенств, теоремы 8lt
82, 9t> 9? —показательных и логарифмических неравенств.
VII. ТЕОРЕМЫ О РАВНОСИЛЬНЫХ СИСТЕМАХ УРАВНЕНИЙ
Теорема 1 (способ подстановки). Если уравнение
M*i. *2> •••. *«) = ft(*i. *2> ••-, *л) наД А равносильно
уравнению xt = ^(x2f ...,*„) над Л, то система уравнений:
/ 1 1*1» *2> • * * » *Л/ == §1 V^l» "^2» • • • > XlO
(2 (Хй Х2* • • ' I *Л/ == §2 (^1» *^2> • • • > *Л/ „ад Д
/Л (*1> *2> * * * > *«) == Sk \XU Х2* • f • > *л)
равносильна системе уравнений:
<
I /Л (Ф \Х2* ' • ' t Хп)> Х29 * * * > Хп) == ^Л (Ф (*2* * ' • > ^я)» *2> ' ' ' > *л)
/2 (ф (#2, . . ., Хп)9 Х29 . . . , Х„) —g2 (ф (Х2) • • .) Хп)9 X2t • • • > *л/няп Л
Теорема 2 (способ сложения). Если Л — выражение с
переменными хи ..., хп над Л с областью определения D(h) и
0(Л)зО(1), то система уравнений с переменными х1% ...,хп:
ОМ
2 над Л
I /* = £*
17

равносильна системе уравнений:
f fi + A'/t^ft + A-g,
\ !2=е\ над А-
[ fk=gk
VIII. ПРЕДЛОЖЕНИЯ С ПЕРЕМЕННЫМИ И ПАРАМЕТРАМИ
Пусть V (хи ..., хпУ а1У ..., ak) над Л является предложением
с переменными хи ..., хп и параметрами аи ..., ак (alt ..., ak
считаются известными).
При всяком допустимом наборе значений alt ..., ak
параметров а1$ ..., ak V (х1У ...9xn, а1У ..., ак) обращается в
предложение V (хи ..., хпУ а1У ..., ak) с переменными над Л, не
содержащее параметров. Полученное предложение с переменными
над А имеет некоторую вполне определенную область истинности
(множество всех решений).
Решить предложение с переменными и параметрами—это
значит для каждого допустимого набора значений параметров
определить область истинности (множество всех решений)
получающегося предложения с переменными (без параметров).
Два предложения с переменными х1У . ..,*„ и параметрами
flt, ,..,flft называются равносильными, если:
1) для обоих предложений множество допустимых наборов
значений параметров одно и то же и
2) при всяком допустимом наборе значений параметров
получающиеся предложения с переменными хи ..., хп (без
параметров) равносильны, т. е. имеют одну и ту же область истинности
(множество всех решений).
Глава I
ТОЖДЕСТВЕННЫЕ ПРЕОБРАЗОВАНИЯ НА МНОЖЕСТВЕ.
ДОКАЗАТЕЛЬСТВО ТОЖДЕСТВ И НЕРАВЕНСТВ НА МНОЖЕСТВЕ
§ 1. ТОЖДЕСТВЕННЫЕ ПРЕОБРАЗОВАНИЯ ЦЕЛЫХ РАЦИОНАЛЬНЫХ
И ДРОБНЫХ РАЦИОНАЛЬНЫХ ВЫРАЖЕНИЙ НА МНОЖЕСТВЕ
Если нет указания, то будем считать, что рациональное
выражение рассматривается над множеством С комплексных чисел.
Напомним некоторые теоремы и определения.
Пусть Р — числовое поле (т. е. подполе поля комплексных
чисел).
18

Теорема Безу. Пусть f(x)—многочлен от одной
переменной степени п^ 1 над полем Р. Тогда f(x) имеет в Р не более п
корней, и а—-корень многочлена f(x) в Р тогда и только тогда,
когда f(x) делится на х—а.
Обобщенная теорема Безу. Пусть f(x, у, ...,
г)—многочлен от k (k > 1) переменных степени м^1 над полем Р,
ё(У> •••» г)—многочлен от k—1 переменных над полем Р. Если
f(g (У> • • •» z)y У у • • •» г) есть нулевой многочлен, то f (х, у, ..., г)
делится на х—g(y, ..., г).
Пусть f(x, у, ..., г)—многочлен над полем Р. Всякое
отличное от нуля число из данного числового поля Р; а также
всякий многочлен, отличающийся от данного многочлена числовым
-множителем из Р\{0|, есть делители данного многочлена и
называются его тривиальными делителями над полем Р. Все другие
делители данного многочлена над Р называются его
нетривиальными делителями над полем Р.
Многочлен f(x, у, ..., г) положительной степени над полем Р
называется неприводимым над полем Р, если он не имеет
нетривиальных делителей над данным полем.
Многочлен f (х, у, ..., z) положительной степени над полем Р
называется приводимым над полем Р, если он имеет
нетривиальные делители над полем Р.
Многочлены f(x,y,...,z) и g (х, у, ..., г) над полем Р
называются взаимно простыми, если их общими делителями над
полем Р являются только отличные от нуля числа из поля Р
(т. е. только многочлены нулевой степени над Р).
Теорема. Если многочлен f(x, у, ..., г) над полем Р
делится на каждый из многочленов ф(я, у, ..., г), г|)(л;, у, ..., г)
над Р и многочлены ф(х, (/, ..., г), ty(x, у, ..., г) —взаимно
простые, то многочлен /(*, у, ..., г) делится на их
произведение ф(х, (/, ..., г)-Ц(х, У» •••> *)•
Теорема. Многочлен f(x) над полем С комплексных чисел
неприводим над С тогда и только тогда, когда его степень равна
единице.
Теорема. Многочлен / (я) над полем R действительных чисел
неприводим над R тогда и только тогда, когда он является
многочленом первой степени или многочленом второй степени с
мнимыми корнями.
Теорема. Если несократимая дробь ~(р, q£Z) является
корнем многочлена а„хп+ ... +atx + a0c целыми коэффициентами
(л^ЛО, то р\а0(р делит а0) и д\ап.
Пример 1. Разложить многочлен
/(х) = 2л* — 3*4 + 6**—8х2 + 3
df
на множители, неприводимые а) над С; б) над R.
Решение. Сначала выясним, имеет ли данный многочлен
рациональные корни. Для этого воспользуемся 1) теоремой о ра-
19

циональных корнях многочлена с целыми коэффициентами и 2)
схемой Горнера.
1) Делителями свободного члена я0 = 3 являются числа: ±1,
±3. Положительными делителями старшего коэффициента а5 = 2
япляются: 1, 2. Таким образом, рациональные корни много-
1 з
члена f(x) находятся среди чисел: ±1, ±3, ±-к, ^Т*
2)
1
1
1
2
2
2
1
2
1
2
1_
—3 6
— 1- 5
1 6
0 6
1
—8
—3
3
1
0
0 3
—3 0
1
■0
/ (х) = (х-I)2 (х +1) (2x2 +6) =
*=(*— l)2 (2х + \)(x + iV~3)(x-iV~3).
Ответ.
а) f(x) = (x— l)*(2x+l)(x + iV3)(x—iVs) над С;
б) f(x) = (x—l)i(2x+l)(xi + 3) над Я.
Пример 2. Разложить многочлен х4—х3—л;2 + 2л:—2 на
множители первой степени.
Решение. Первый способ, х*—х3—x3-j-2x—2 = х*—л;3 —
— 2л:2 + *2 + 2х—2 = (л-4—2л:2)—(х3—2х) + (х*—2) =
= (x*-2)(x'-x+l) = (x + V2)(x-V2)x
_i^O.)(x_i±jO).
X
Второй способ (метод неопределенных коэффициентов).
*4 — х3—x2 + 2x—2 = (x2 + ax + b)(x2 + cx + d).
Приравнивая коэффициенты при соответствующих степенях х
и решая полученную систему:
а+с = — 1
b + ac + d = -
ad + bc = 2
bd = —2
■1
, найдем а = —1, 6=1, с = 0, d = —2
(или а = 0, 6 = — 2, с = —1, d=l).
Пример 3. Разложить многочлен
/(*. У, z)=yz(y—z) + zx(z—x)+xy(x—y)
df
на множители первой степени.
20

Решение. Первый способ. Так как
У — * = — (* — х) — (х—у), то f(x, у, z) = yz(—(z — x) — (x—y)) +
+ zx(z—x) + xy(x—y) = — yz(z — x)—yz(x—y) + zx(z—x) +
+ху (х — у) = (z — x) (x—y) z + (х—у)(х—г)у = (х—y)(z — x)(z — у).
Ответ, (х — y)(z — x)(z — у).
Второй способ (использование обобщенной теоремы Безу).
Если х = у, то f(yy у, z) = 0. Следовательно, f (x, yf z)
делится на х—у. Аналогично получаем: f (х, у, z) делится на у—г
и на z — х.
Т?к как х—у, у—г, г— х—попарно взаимно простые (т. е.
никакие два из них не имеют общих нечисловых множителей),
то данный многочлен делится на их произведение (х—у)(у—z)(z—х).
Так как данный многочлен и многочлен (х—у) (у—z)(z — х) —
однородные многочлены третьей степени, то
(1) уг {у —г) + zx (z—x) + xy (х—у) = k (х—у) (у —г) (z — x),
где k e С.
Осталось определить k. Это можно сделать одним из двух
способов: 1) используя определение равенства двух многочленов.
Например, y2z = — ky2z, значит, k = — 1; 2) подставляя в (1),
например, х = 0, r/=l, z = —1, получим k = —1.
Ответ. —(х—у)(у—z)(z—х).
Пример 4. Упростить выражение и найти его область
определения:
/ \ *3 (у — г) 4- ц* (г — х) + г3 (х—у) п
ф(*> У у z) = —т1 IT ) гт—1 ^ наД *?•
YV 9 *' df У2(У — г)+гх(г —х) + ху(х— у)
Решение. Используя пример 3, получим:
yz (у —г) + zx (z — x) + ху (х—у) = — (x — y)(y — z) (z — x).
Так как
(х—у)(у—г)(г — х)фО~х—уфОЛу--г¥=0/\г—хфО~
~хфуфгфх, то 0(ф) = {(л:, у9 г) £№\хф у=^ гф х\.
Применяя к числителю один из способов решения примера 3,
получим:
x*(y — z) + y*(z—x) + z*(x — y) = — (x—y)(y — z)(z—x)(x + y + z).
Тогда ф(х, yf z) = x + y + z.
Ответ, x + y + z.
Пример 5. Упростить выражение и найти D (ф), если
а>(х и -у х3+у*-г*+3хуг R
Ф(*. У, г)7ах_у)2+(у+г)2+(г+х)2 над К
21

Решение. Так как
{х-у)2 + (у + гУ + (г + ху^О~
~Хфу\/уф — 2У—2фХ, ТО
Я(ф) = {(*. У> г)$Ф\хФу\/уФ-2\/-гфх).
х3 + у3 — г3 + Зхуг = (л; + у)3—г3 + Злт/г—Зх2у—Зху2 =
=((х+у)3-г3)-Зху(х+у-г)=(х+у-г)((х+Уу+(х+У)г+г*)-~
—Зху(х+у—г) = (х + у—г)(хг + уг + г*—ху + уг + гх) =
= ±.(х + у—г)(2х* + 2у* + 2г*—2ху + 2уг + 2гх) =
= ^{х + У-г){(х-уУ + {у + гу + {г + хУ).
Ответ, -^(х + у—г).
Разложить на множители первой степени многочлен (задачи
1—22).
1. Эх3— 15лг2—32х—12.
2. 4x2—4i.
3. x3-\-{—l+3i)x—2—2i.
4. (хг + х+1)(х* + х + 2) —12.
5. (д;2 + 4х + 8)2 + Зл:(л:2 + 4л: + 8) + 2л:2.
6. (х+\)(х + 3)(х + 5)(х+7)+15.
7. (4л:— 1)3 + (2л:—3)3 + 6(3х—2) (4л:— 1)(2х—3).
8. х3—2у3—Зху\
9. х(у*-г2) + у(г*—х*) + г(х*-у*).
10. хг(х-\-г)—уг (у + г) + ху (х—у).
П. х(у + г)*+у(г + ху + г(х + у)г—4хуг.
12. (у-г){у + гу + (г-х)(г + ху + (х-у)(х + у)\
13. х*(у—z) + y*(z—х) + г2(х—у).
14. хгу + у*г + г2х + ху2 + уг2 + гх* + 2хуг.
15. (х + у + г)(ху + уг + гх)—хуг.
16. (*: + «/ +z)3—х3—у3 — г3.
17. (x + # + 2)3-(x + i/—z)» —(y + z—x)3-(z + x—y)\
18. 8(лг+|/ + г)3-(л: + </)3-(</ + 2)3-(г + л-)3.
19. х(# + г)О/2-г2) + #(г + х)(г2-х2) + г(л- + 0)(л:2-</2).
20. х(у-г)3 + у(г-х)3 + г(х-у)3.
21. (АГ-1/)(х+1/)3 + (|/-2)((/ + 2)3+(2-х)(2 + х)3.
22. х*(у + г)-у3(г + х) — z3(x-y).
Доказать тождество (задачи 23—30).
23. {х* + у2) (и2 + у2) = (хи + yvY-\- {yu^-xvf.
24. х3 + у3 + г3—Зхуг = ±.(х + у + г)((х-уУ + (у-гГ + (г-хП
25. х3 + г/3 + г3 = 3лч/г, если х + у + г = 0.
26. (х-у)3 + (у-г)3 + (г—х)3 = 3(х-у)(у—г)(г—х).
27. (х2 + г/2 + г2)2 = 2(л;4 + ^ + 24). если х + у + г = 0.
22

28. 2*y + 2#V-f-2z8xa—x* — ^ — 2* =
= (x+0 + z)(* + f/—г)({/ + г—х)(г + л:—у).
29. (x+y)* + (y + z)* + (z + x)*-3(x+y){y + z)(z + x) =
> -=2(х8+у8 + г8-3;^г).
30. (^ + 1/ + 2)а + (А: + г/-г)« + (у + г-л:Г + (г + л:-(/)а =
= 4(х* + ^ + га).
Многочлен разложить на множители второй степени (один)
и первой степени (задачи 31 — 36).
31. (x—y)x2y2 + (y-z)y2z2 + {z-x)z2x*.
32. (х + уУ— хъ — tfi.
33. {x + y + z)b — x*—у6 — zK
34. х* + x2z—xyz + y2z + у*.
35. (д: + у + 2)з + 2(а:8 + у3Ч-23) — 6xyz.
36. jc8 + 3jm/ + {/8— 1.
Разложить многочлен на множители, неприводимые над R
(задачи 37—40).
37. хв+ 27. ' 38. х* + Зха + 4.
39. (х+2)(х + 3)(х + 4)(х + 5) — 2А. 40. 27а:8—27x2 + 18л:—4.
Разложить многочлен на множители, неприводимые
1) над Q, 2) над /?, 3) над С (задачи 41, 42).
41. х* + у*. 42. х4 + 4у<.
43. Разложить на множители второй степени многочлен:
(xy + yz + zx)2 + {x + y + z)2(x2 + y2 + z2).
44. Разложить на множители первой и второй степени многочлен:
(JC2 + у* + 22)8 + 2(ху + уг + zx)* - 3 (х* + у* + z2) (xy + yz + zx)2.
45. Разложить на множители первой степени многочлен:
3x(y + z) + y(3z + 2x) + z2 + 2(x2 + y2).
Используя метод неопределенных коэффициентов, найти такие
значения а и ft, чтобы получилось тождество на С (задачи
46—48).
46. А + А+ • • • +xl=sa(xt + *!+... + хп)2 + Ь(х±х9 + х&з +...
... + xtxn -f- х^ + ... + xn-ixn)>
47. xy*+xz2+yx2+yz2+zx*+zy2=a(x+y+z)(Xy+yz+zx)+bxyz.
48. (х + 4)[х + 5)(х— 3) = x* + ax2 + bx—60.
49. Применяя метод неопределенных коэффициентов, доказать
тождество:
(x + y + z)* = (x* + y* + z*) + 3(xy* + xz2 + yx2 +
+ yz2 + zx2 + zy2) + Gxyz.
50. Применяя метод неопределенных коэффициентов, найти
значения а и 6, при которых многочлен х* + Ьх%—8х + а делится
на многочлен х2+х + Ь.
23

Разложить многочлен на множители первой степени (задачи
51—53).
51. х* + х* — х* — 2х — 2. 52. 2л' + 6х* + 3х2— 1.
53. х*—3х* + х2 + 4х — 6.
54. Выяснить, верно или неверно, что
(х + у)2-(г + иУ + (х + гГ-(у + и)* = (х-и)(х+у+г+и)
для любых х, у, г, и£ /?.
55. Доказать, что равенство
(х + уУ + х* + у* = 2(х* + Зху + уУ
над R не является тождеством.
56. Построить график функции / над /?, заданной выражением:
х+\ х— 1
Пх)= fJ+T -^-над/?.
57. Вычислить /(3,07), /(-■^), /(V2), /(-я), если
1+3*
i-з.,1-*
i-з. + 1+3'
Х~6-Т+Ъх
Упростить выражение и найти его область определения
(задачи 58—64).
б». 0v2 ** , «L над #.
2х2 — 5ху+3у2
х2+у2-\-г2+2ху + 2уг+2гх
х2—у2 — г2—2уг
над /?.
/ а 1 7-хЗ ч 4
W* 6*«-24 ^Г^ НаД *'
х*+6х*-\-9х*' Зх3 + 6
ьь (х^).+(у_г).+(г_ж). над к.
62' (* + У)8 V х* УЧ+ (х+У)* \ *3 У*) + (х +У)Ь- V х2 у* ) НЗД С
-• (f+*)'+(* НУНтНУ-
24

fi4 x> (»»- г") -f У* (г* - *«) + г3 (*г - у*) ■ r
"ч- х»(у-г)-!-^(г—дс) + г»(л-у) Н<Ы *"
Доказать тождество на области его определения (задачи
65—70) *.
x2(z-y) y2(x-z) z*(y-x)
66. f , Г^Ц Г^^_ = х + ^/ + г над Q.
дс(г-у) . и (x — z) г(у — х) * ^
yz zx xy
67 x~~y l у~г l г"~* I l*—У) &-*) (*-*) —q нял r
ft (x+a)(x + b) , (* + fr)(s + c) , (*+c)(s + a) _ , ua„ D
»• (c_fl)(c_6) + (fl-6)(a-c) + 0_c)(*-fl) ~J наД K
0J- (fl_a)(fl_c) -r-0_c)p_fl) "t- (c_fl)(c«b) ""X Над K*
70 g + * 1 ^ + * I c + x = * нял Р
я (а — 6) (a — c)r6(&-c) (b — a^cic — a) (c—Ь) abc д **'
§ 2. ТОЖДЕСТВЕННЫЕ ПРЕОБРАЗОВАНИЯ ИРРАЦИОНАЛЬНЫХ
ВЫРАЖЕНИЙ НА МНОЖЕСТВЕ
Напомним (см. Введение, I, (8)), что выражение (1) *^х, или
хт (где m£N,m> 1) над/?** имеетО (1) = [0, со[ и Я(1) = [0, со[,
т. е. нами будут рассматриваться только так называемые
арифметические*** корни (jc>0f Ух^09 (Ух)т = х).
Теорема. Для Vx€[0, оо[ и V/ngAT 3! y<z[0, оо[: ут = х.
Свойства арифметических корней
1. Если a, ft>0, то УаЬ = Уа-Уь.
2. Если а>0, 6>0, то j/^*=±p.
3. Если а>0, то %i* = (^a)*.
4. Если а, 6>0, то у^^б, а УЬ.
5. Если а>0, то У~\Га = тУ~а.
6. Если а>0, то Уа = тУ&.
7. 2*/^=|а|=Г я>е™и *>о;
df L—а» если ^ < 0.
* Доказать тождество на множестве Т —это значит доказать, что
данное равенство (над А) является тождеством на множестве Т.
** Слова „над R" в дальнейшем указывать не будем.
*** Так как мы будем рассматривать только арифметические корни, то
слово „арифметический" разрешим опускать.
25

Пример 6. Упростить выражение и найти его область
определения: f(x) — -
df У x+2Yx— 1 Vx—2 Ух— 1 "
Решение. Так как
х—1>0_
^ + 2Vr^T>0_( *>1
х-2}/7=Т>0 I x>2Vx-\
\ д:2 > 4 (jc— 1)~\ (л: —S
-2)2>0 \ хф2
fW =
1<*<2V*>2, to D (/) = [1, 2[U ]2, oo[.
l l
___ 1 1 = 1 1
1) Если Vx—\ — 1 > О, т. e. x > 2, то
/(*) —
1
—2
/7ZTT+i 1/*^ГТ —1 — x —2 —2.—д:*
2) Если \/T=l —1<0, т.е. 1<х<2, то
г l 2 УТ^л
f(x)
Ух— l + l l— >^x—l
Ответ.
2
/(*) =
2—л:'
2 V^^T
х-2 *
если х> 2,
, если 1 ^:* < 2.
L х—2
Пример 7. Упростить выражение:
i_
(Ух+\ , jXx-l 0\ 2 а*+Ь* .. Л
Решен ие.
tx-i>o4b.(^>o-(;>jv(«o
(У7+\.У7=\ \"т /(9/,-+Т-^=Т)аУ^_
\,/^г+з/^т ) у у—у.у—\ )
г- -. f \ /~W \ f~W
=уут+\.ут^_У у w=&-V *?=&___л
Ух+1-Ух-1 = \f W \f 26' df
У a*-b3 V cfl—b*
26

1-й случай, а > О, Ь > О, а > Ь.
~г/2(а-Ь)~а-Ь'
2-й случай, а < О, 6 < О, а < Ь.
У ^ —а3 К б3 —аз
Л
Ответ.
^J при я>0, fc>0, а>6; ^ при а < О, Ь < О, а<6.
Пример 8. Освободиться от иррациональности в
знаменателе -г-т= г-7= .
£/9+?/3+2
Решение. Первый способ. Используем тождество
x3 + y* + z*-3xyz = (x + y + z)(x* + y2 + z* —xy—yz—zx)
(см. задачу 24), положив в нем х=1/9, у =1/3, г = 2. Тогда
1 _ УТ\+ »/1i + 4- g/27-2 у/"з-2 ^ _
j/~9+ j/1+2 9 + 3+8 — 3 j/1) • У~Ъ-2
_ -уъ+уъ+i
2
Ответ. 1(- */9+j/3+l).
Второй способ.
1 3/1-1
^/9+^-3+2 (((3/-3)Ч3/~3+1)+ 0(^3-1)
^1-1 ^^3-l^(3/^-l)(^-^l+l)
(3_„+({^_i) ^з-м _ 3+'
-g/9+^3+1
2
Третий способ (используем алгоритм Евклида).
g(x) = x* + x + 2, p(x) = x*—3.
df df
27

g(£/3)=^0, р(уз) = 0, p(л:) — неприводим над Q.
__х3 —3 | х2+х + 2
х* + х2 + 2х \-\ =аАх)
__—х2 — 2х — 3
—х2— х — 2
— а: — 1 =гх (х)
_ х2 + х + 2 \ — х—1
*' + * —x = q2(x)
f P(x) = g{x)q1(x) + r1(x)_ f г1(х) = р(х)-gW?,W__
=> r* = (— ?2 (*)) P (*) + (1 + ft (x) ?2 (*))^ (*).
Положим x=f/3 (^/3 —корень многочлена /?(x)), тогда
r, = (l+^(^3)^2(^3))g(^3), откуда ^— =±Х
F9+v/3+2 2
Четвертый способ (используем симметрические многочлены,
т. е. многочлены, не меняющиеся при любой перестановке
переменных).
Пусть 0^=^/3. Тогда многочлен р(х)—хъ — 3 имеет три
комплексных корня: а2=^/3, а2 = а1е> а3 = а1е2, где
1 , • V~b
Умножим числитель и знаменатель данной дроби
на М = (а1, + а2 + 2) (aj + a3 + 2) = alaj + ajjoj + a8aj| + 2af + 2a.^ +
df
+ a2a3 + 2a2 + 2a3 + 4 = (a2a3)2 + a2a3 (ae + a3) + 2 (a2 + a3)2 —
-3a2a3 + 2(a2+a3) + 4.
Применяя к многочлену р (х) = х3 — 3 формулы Виета, получим:
(ai + a2 + a3 = 0 г a +a =_a
«,*+«,*,+*,«,-О, откуда ^J_ ^^
Тогда iW=al—a? + 2af—3a?—2tt!+4 =
= a{— a?— a?—2a4 + 4 = —-af+o^+l;
K-»)
(af+a1 + 2).iW = (a? + a1 + 2)(—af + ai+1)^
e_al + 3a1+ 2 =—3ai + 3ai + 2 = 2.
28

Ответ. ±(-3/9+J/3+1).
Найти множество, на котором данное равенство является
тождеством (задачи 71—77).
71. V(x + 3)2 = x-}-3.
72. У(Л- + 3)2 = — х—3.
73. j/(jt + 3)2 = |x + 3|.
74. К(х+1)(х-2) = Кх+~Т-1/ЗГ^2.
75. V(x + 1) (х—2) = К- *— 1 • V2^x.
76. K(^+i)(x-2) = K|7qnT-l/Fr2T-
77. у I—i = 4-7=-
У 3~* £/з-*
Доказать, что (задачи 78—83):
78. ^a+VF+yra~Vb=^2(a+Va2 — b) при 6>0,
а>УЕ
79. У а + Vb — |А ~ Vb = у^2 (а— К а2'— Ь) при 6>0,
so. /7+7Ё- |/~Щ^+ j/'-M^- при &>0,
81. у a—Vb = y —^ 1/ ^ при 6>0,
82. |/"20+14К2+|/"20—14^2 = 4.
83. yA5/2 + 7-?^5j/'2 —7 = 2.
Число а' называется приближенным значением числа a(a£R)
с точностью до е, если |а—а'|<е.
Число а' называется приближенным значением числа a(a£R)
с точностью до е с недостатком, если а'^а<о' + е.
Вычислить с точностью до е с недостатком—это значит найти
приближенное значение данного числа с точностью до е с
недостатком.
Вычислить с точностью до е с недостатком (задачи 84—92).
84. 31/3777, е=1. 85. ЗУоЩ, е = 0,01.
86. уА + УЪ, е = 0,01. 87. -/T+Vfj, e = 0,01.
88. /5+ 2 УЗ, е = 0,01. 89. j^+ j^E , е = 0,1.
29

90. ^ЦХ, e = 0,6l. 91. *=X*L9 e = 0~01.
92. 36~5^P , e = 0,01.
Упростить выражение (задачи 93—96).
-12/2" 1^17+12/2" "
2+ /3* 2— /3"
93 Кз-2/2" Кз + 2/2
V17—12/2" 1^17+12/2"
94. ,
' V /2+К2+ /3" ' /2"-/2- /Г
95. 1/ 4 + 1/5/3 + 5 |/48—10|/7 + 4/3 .
96. 1/ 6 + 2/21/ 3—]//2 + /12 + ]/ 18 —KtH" .
Освободиться от иррациональности в знаменателе (задачи
97—103).
97. -= _ * _ т=-. 98. 1
уТ0_(. /15+ /14+ /2Г ' * J/2 + /3
99. =-=1:—з-^=-. 100. ,,_ * . 101. !
1+3/2+2*/? ' ' 3/25-^/5-1 ' * /3-*/3+1 "
102. ,- *—. ЮЗ. -—=г 1
/J-*/2+l ' з/2+*/3-*/4 *
1) Найти f(-y). /(4), /(КЗ), /(-я);
2) решить уравнение /(я)=1;
3) решить неравенство /(х)^2;
4) построить график функции £ над /?, заданной
выражением f(x).
Построить график функции / над /?, заданной выражением
(задачи 105—117).
105./(*)=±У1^(^)*.
106, f(x)=j(}/rx + 2У7=\+Ух—2\Пс=\ )\
107, f(x)- Vy72j!-.
108, /(*) = J/xa + 2x+l+K** —4x + 4.
df
30

109./(х)-^'+ж'+1 *1 ^
У,+з£т+/'
2ж
df ,/ Х+1 | -■/ X— 1
'•К ж—1 "•" К *+1
111. /(*) = ' 2* Г 2*
112. /(*)=■
df
113. /(*)
114, /(*)
df Jt+ |/ ж2 — 1 x— f^jc2 — I
118. /(*) =
2 — * — 2+(.V — 1) )/л
2+x — 2+(*+l) У~х
n&f(x)-xt-*-2+{x-l)fxl=l
dl хг-\-х — 2+(*+l) fx* — 4
A\ b/x-\ 3/x + \ •
di ]/(л.+ ^7) (>/7+1) - К(л— K7) ( VT- О '
Упростить данное выражение (задачи 118—127).
"«•ТРГ КТ=К- где *—J ГТ' 0<о<6<2а.
31

122. yx — y — 2Vx — y—\ .
124, K,/°-' ;+ ^,/'7' ', «>0, 6>0, «>».
IfcP+lab+V* , \/а? — '
— 2аЬ+Ь*
126, ' "-" ^ 2±* , а>&, а>-6.
+ ■
-г
/а-6 3/_а 1_
127, - 4 /.^=--(l/(x2 + 2) l/1 + 4- —
§ 3. ТОЖДЕСТВЕННЫЕ ПРЕОБРАЗОВАНИЯ ПОКАЗАТЕЛЬНЫХ
И ЛОГАРИФМИЧЕСКИХ ВЫРАЖЕНИЙ НА МНОЖЕСТВЕ
Так как показательные и логарифмические выражения
рассматриваются нами только над множеством R действительных
чисел, то слова „над /?" будем опускать.
Пример 9. Доказать, что
logbc = {|^, где a, 6, с> 0, а, Ъф\
(формула перехода от одного основания логарифмов к другому).
Решение. При a, ft, c>0, я, ЬФ\
Пример 10. Известен logl5 3. Вычислить log25 15.
Решение. log2b 15 = 1Б^ = П^75 = Т71Т5^
SlogiBj
1
2(Jog1615-log163) ""2(1- logt5 3)'
Вычислить (задачи 128—134).
128* 32+ 1о^2. 129. 3~2+3 ,0^4.
130. дТ1*1*»1*»'. 131. 4,0е2(^106^4)
32

132, а1+2l0*«*, где a, b > 0, аф 1.
133, a«-|U««*f где a, 6>0, a==M.
134, a"1+Tloga', где a, 6 >0, аф\.
Найти множество, на котором данное равенство является
тождеством, если а>0, аф\ (задачи 135—141).
135, loga х* = 2 log, х. 136. loga x2 = 2 loga (- x).
137. logax1 = 21ogjx|. 138. logexr/=logax+loga*/.
139. logaxy=loga(— *) + log,(— У)-
140. logax</=loge|x| + loge|t/|.
141. logex* = 31ogax.
Доказать, что (задачи 142—144):
142. log6A: = p|^~, если a, ft, jc>0, a, 6=^1.
143. \ogba = r—г, если a, 6 > 0, a, 6==M.
144. l££«i=;}2ki если a, ft, jc, r/>0, a, ft, y^=l.
Упростить (задачи 145—148).
145. (logeft + log6a + 2)(logaft — \ogabb)\ogba— 1, если a, 6 >0,
a, ft, aft=^= 1.
146. loga+bc + loga_bc—2\oga+bcloga_bct если a+ft, a—ft, c>0,
a + ft, a—6, c=?M, c* = a2—ft2.
147. я ,обьа , если a, 6>0, a, 6=^1.
148. 2(/loge */Ш+ log, i/^-|/"loga )/f+log6 Kf )x
X Klogeft, если a > 1, & > 1.
149. Дано: lg2 = a. Найти lg \/T&» lgKp2f, lg J/6^T2S.
150. Дано: lg3 = a, lg2==&. Найти log66.
151. Найти log,08, если известно, что lg5 = at lg3=6.
Доказать, что (задачи 152—161):
152. lg±i^l(lga + lg&), если a*+b*~7ab9 a, 6>0.
153. 2ybb* = xvl°to*f если jc>1.
154. log, 7 log7 5 log, 4 + 1 — loga 12 *» 0.
155. log, 2 log4 3 log, 4 log, 5 log, 6 log, 7 —-J.,
• log, log, —л, ерли p$Nr p>l, n£N.
156
2 № ia2 33

157. loge x logb x + log„ x log, x + log, x loge x =
s=jog2x_^£loi£iL( tcma,b,c,x>0,a,b,ctabc,x*l.
1 1
158. л:=101-1ег, если y=W~^*%
_j
2==10i-ig^ х9у>0л х,у,гф\0.
169. log ... fl„x= —= =— , если
1 I i A
alt ...,ап,х>0 и a19 ..., а„, ага2...ап> хф 1.
160. tefax—lo&x_loggjL fea
log&*— log,* log,* » »
a, b, c, x > 0 и a, b, ct хф 1.
161. хУу* = уггУ = гхх2, если
*(у+г—*)_уХг+*--у)=_г(*+у--»)
lg* lgy lgz
f 4. ДОКАЗАТЕЛЬСТВО НЕРАВЕНСТВ НА МНОЖЕСТВЕ
Так как неравенства рассматриваются только над множеством
действительных чисел, то слова „над R* будем опускать.
Пример 11. Доказать, что ^->]/7гЬ, если а>0, 6>0
(другими словами: доказать неравенство ^-^УаЬ на
множестве Т = {(а, fc)€/?2|a>°> &>0}).
Решение. Первый способ. ^Ф-^]/аЬ<Фа + &^2]/оЬфф
&a + b—2}/lb^Q & (/в)" + (1^Ь)"—2/51/5>0«
(е. 6 > 0)
Второй способ. Анализ. Допустим, что ^t-^l/flfr, если
а>0, &>0. Тогда ^>/^=>а + 6>2]/лЬ «Ф (a+fe)2>
^ <а,&>0)
>4а&=>(а + 6)2—4afc>0=>(a—fc)2>0.
Доказательство, (а—6)2>0^>(а + 6)2—4а&>0=>(я+Ь)2>
>4а6 r> a + b^2Vab^>^>Vab.
(о, ft>0) ^
Третий способ, (а—6)2>0^>(а + 6)2 —4а6>0г>(а + Ь)2>
34

Четвертый способ (от противного). Допустим, что ^у^ < Vab
при а,Ь^0. Тогда Ц^ <Vabz>a+b <2 Vab => (а+6)'<
1 (а, 6>0)
< \ab => (a + fc)2 —\ab < 0 => (a—6)* < 0—неверно. Значит, ^>
> 1Л5Г при а, 6>0.
Пример 12. Доказать, что
(1) (l+a)"> Г+шх, где а> —1, а=^0, л€#, я>1.
Решение (методом математической индукции).
1) При п = 2 имеем (1 + ос)2=* 1 + 2a+a* > l+2a; следова-
<а=*ьО)
тельно, (1+а)а> 1+2а.
2) Докажем, что если неравенство (1) верно при /i = uf где
k£Nt £> 1, то неравенство (1) верно при n = k+l, т. е. если
(2) (!+<*)*> 1+£а, где сс> — 1, а=^0, ££ЛГ, k > 1, то
(3) (l+a)*+i>l + (fc+l)a.
Действительно, (1 +а)Л+| = (1 + а)Л (1 +а) > (1 +ka) (1 +а) =*
<(2), а>-1)
= l+(ft+l)cc + £a*> l + (ft+l)a.
Ottr0}"* *■■>■)
Значит, (l+a)*+x>l + (ft + l)a.
Из 1) и 2) следует, что
(1+а)я> 1+яа, где а> —1, а^»0, л €#» /г > 1.
Пример 13. Какие корни имеет уравнение
(1) ^+'(/5"—1)jc —I/2 +0,851/1 = 0,
действительные или мнимые?
Решение. Первый способ. Допустим, что уравнение (1)
имеет мнимые корни. Последнее имеет место тогда и только
тогда, когда дискриминант—отрицательный, т. е.
(2) {V2 — 1)" —4 (0,851/1-/2) <0.
(2) »3 + 2K2<3,4Vl»3 + 2/2"<iIp»
»15 + 'lOKr2<17Vr3».(15+ 10/2)" < (17»/3)"»
^ 3001/2 < 442 ^ (300 К2)2 < 4422 £>
ФФ 180000< 195364.
Ответ. Корни данного уравнения мнимые.
Второй способ. Допустим, что уравнение (1) имеет
действительные корни. Последнее имеет место тогда и только тогда,
когда дискриминант—неотрицательный, т. е.
(3) -(1/2— О3— 4 (0,85 1/1 — 1/2) > 0.
(3) & 180000^ 195364, что неверно.
2.* 35

Значит, (1/2— l)8—4 (0,851/3—1/2) < 0; следовательно,
корни уравнения (1) мнимые.
Доказать, что (задачи 162—167):
162. i-+Х-*2, если *>0, у>0.
у •*
163. 7i4-i<l. 164. *!±i>2.
165. ^(a + b)>Vabt если а>0, b>0.
166. j{a + b + c)^l/abcf если а, Ь, с>0.
167. -j (a + b + c + d)^ l/abcd, если a, 6, c, d>0.
168. Доказать, что если xl9 x29 ..., xn >0 и jc^. . .*„== 1,
гг €7V, то xt + x2 + ... + *n>n.
169. Доказать, что среднее арифметическое неотрицательных
действительных чисел не меньше среднего геометрического
этих чисел, т. е. доказать, что
— (а, + а2 + ... +ап) > Уаха2 ...ап9 если аи а29..., а„> 0,
170. Доказать, что если ai9 а29 . ..,a„>0, л£#, л>1, то
— (ax + a2 + ... + an) = y/a^... an тогда и только тогда,
когда аг = я2 = ... = ап.
171. Доказать, что если хи х29 ..., хп > 0 и xt + x2 + ... 4-*n=S>
где S—данное положительное число, то произведение
хгх2...хп достигает наибольшего значения, когда хг = х± =
= ...=*„.
172. Доказать, что если хи х29 ..., хп > 0 и хг + х2+ ... + х„ = S,
где S—данное положительное число, то произведение
х\хх1% . .xknn, где kl9 k2, ..., kn£N, достигает наибольшего
значения, когда ~-== т1 ==•• • =ir«
173. Доказать, что если %, х,* .*.,*„> 0 и хгх%.. .ха = Р9 где
Р— данное положительное число, то. сумма xt + x2+ ... +хп
достигает наименьшего значения, когда xt = x2= ... =хп.
174. Доказать, что если х1У х29 .'.\, хп<> 0 и д^'х^',. .xknn = Р, где
kl9 k29 ..., kn£N и Р—данное положительное число, то
сумма Xj + ^+ч.. +jcn принимает наименьшее значение,
175. Найтц наибольшее значение произведения ху при условии,
что Зл; + 5*/=12.

176. Найти наименьшее положительное значение выражения
2*а+з
X
177. Найти наибольшее значение произведения (х + 2)*(3 —х)\
если — 2<*<3.
178. Найти наименьшее значение выражения
1*+*П*+ь)%еслНа,Ь,х>0.
179. Найти наибольшее значение выражения 4 . .
Доказать, что (задачи 180 — 224):
180. (a + b)(b + c)(c + a)^8abc, ecjpi a, b9c^0.
181. x* + y* + z2^xy + yz + zx.
182. (* + j0* < 2 (x% + y*).
183. (x+#)«<8(x* + f/*).
184. х8 + #* + г*>у, если х + у + г = 1.
185. o6^<(g+2^+3°yt если a,bfc^0.
186. 1.2>.3».../t«<(^-h * прия£ЛГ.
187. (xt + ... +xn) (-±- + ... + ~) >м% если xit...,*„>(), /г €ЛГ.
188. Д+Л+А+...+^>Я| если ^...^„X), n£N.
№. (l+a°)(l+at)...(l+an)>2n, если a(, ..., a„ > 0f /г€#
и atat...an=\.
190'. (Ка + 1^)8>64а6(а + Ь)2, если я, &>0.
191. а&(а+& —2c)+fc(6+c—2а)+са(г?+а—2£)>0, если а, 6,
с>0.
»92. ^ + ^ + ^> j, если в,М>0.
193. a% + b%+c* + d* + ab + ac + ad + bc + bd + cd^ 10, если а, 6,
с, d >0 и abcd= 1.
194. K(a + 6)(c+d) + K(a + ^)(6 + d) + K(a + d)(6 + ^)>6/afrcdt
если.а, 6, ct d>0.
195; Если (Угу)*< К то либо |а|< 1 и \Ь\> 1, либо |а|> 1
и 1Ь|<1- '
196. V(a+b)(c + d) + ^a + c)(b + d) + V(a + d)(b + c)^Vri +
+ ]/^+\^ad + Vbc + Vbd+Vcdt если a, ft, с, d>0.
197. а* + Ь* + с*^а*У1ю + Ь*Уш + с*Усй, если а,Ь,с^0.
37

1 >
198. x4+t/4>-§-, если x + y^l.
199. (a + b— c)(b + c— a)(c + a—b)^abct если а, Ь, с>0.
200. У (a± + b±) (a2 + b2) {a3 + bs) > J/a1aia8+ УЬ,Ь2Ь31 если <ilt да,
0а> &i» &2» 6з > 0-
20Ь -25" + -зГ + -42-+. ..+^г< 1, если л£ЛГ, я> 1.
202« НТ1 + ^ + ^3+---+^>^ если Л€ЛГ, п>1.
203. 2 2 >n!t если м^ЛГ, я > 2.
лл4 1 ^ 1 3 5 2п—1 .1 - *. . •
204. —т= < -«г ' т ■ -г- ■ • ■ -о— < /» . если л € /V» л > 1.
2 /л 2 * 6 2л ^ /2л
9ftR L_ .13 5 99 1
10/1 ^Т'^б-'-Тоб^ю-
206. 31» < 17".
207. 2<(l+-J-)"<3, если n£Nf п> 1.
208. 10001000 > 10019*9.
209. 1,001 > 2е»'01.
210. (а^ +... +апЬп)2 < (а\ + ... + о») (6J + ... + #), причем
равенство имеет место тогда и только тогда, когда Ьг = ка1% ...,
..., Ьп = /ю„, где А—некоторое действительное число.
Неравенство
(аА+... + eA)f< (*!+ •.. +<£)(«+ - ■. +ft»
называется неравенством Буняковского—Коши.
211. <РЛ+ . •. + />„*„)*<(ft+ • ■ • +Р«)М + ■ • •+/>„*£), г*€
Pit • • • t Рп > 0-
212. I -j- Xj -f- "3" #9 + "g" #Я 1 ^"2*^1 + -з"«^2 + ^^8»
213. fl'-b-w-fa"<-[/ra!+'n-fg' , если а„ .... a„>G.
214. *•—*• + *•—* + l>0.
216. (x—2)(jc—4)(jc— 5)(x— 7)+10>0.
216. &+-y*—x*y—xyt^Q при дг, y>0.
217. *, + 2xy + V + 2* + 6y + 4>0.
218. 4х(х + у+г)(х + у)(х + г) + ^г»>0.
219. c~^^=r, если a, 6—длины катетов, с—длина гипотенузы
прямоугольного треугольника.
38

220. ^р<та + ть + тс<2р, если p = fl+*+Q , где д, Ь% с—дли-
ны сторон треугольника, ma, m6, mtf—длины медиан"
соответственно сторон [ВС], [АС], [ЛВ]этого треугольника.
221. /р<Кр—а + Кр—б + Кр—с<]/3р, где я, ft, с—длины
сторон треугольника, р—его полу периметр, т.е. Р= 2 *
222. log78 < loge7 (не пользуясь таблицами логарифмов).
223. log45 + log66 + log«7 + log78 + log84 > 5 (не пользуясь
таблицами логарифмов).
224. log2080 < log80640 (не пользуясь таблицами логарифмов).
225. Без помощи таблиц логарифмов определить, что больше:
logs16 или logle729.
226. Доказать, что если &>а>1ис>0, то \ogab > loga+c(6 + c).
Глава II
УРАВНЕНИЯ И НЕРАВЕНСТВА С ПЕРЕМЕННЫМИ
§ 5. РАВНОСИЛЬНОСТЬ УРАВНЕНИЙ И НЕРАВЕНСТВ
Равносильны ли уравнения (задачи 227—253)?
227. 2ха — 3jc = 2 и 2х + 3 = 2 над N.
228. 2х2 — Зд: = 2 и 2jc + 3 ==: 2 над Q.
229. ха—2 = 0 и х4—4 = 0 над Q.
230. ха—2 = 0 и х*—4 = 0 над R.
231. а:2—2 = 0 и **—4 = 0 над С.
232. х2 + ~—~ = 2х и х2 = 2х над Q.
233. ^2 + ^~^гг = 2х и х2 = 2х над Q.
234. ^=£=1 и х—2 = 1 над Л.
235. ^Бг = —4 и х—2 = — 4 над'Л
236. xs—•^-==0 и лс» — 2х = 0 над R.
237. д.-.^-О и х'-^±2) = 0 над /?.
238. V7+H-V~x=4 = 3Vb и К (а: -f 3) (х—4) = 3 У 2 над /?.
239. lgх2 = 2 и 21g* = 2 над /?.
240. lgх* = 2 и 21g|x| = 2 над R.
241. lg а:3 = 0 и 31g* = 0 над R.
242. Зх + 1 = 2х-f-4 и Зх + 1 + -^=*2х + 4 + ^ц над /?.
243. Зл+1=2х + 4 и 3*+1+-Ц = 2л:-И+-Ц> над /?.
х— о х—о
39

244. Зх+1=2х+4 и 3x+l + Vx2 + 2 = 2x + 4 + Vx2 + 2 над/?.
245. 3*+l=2x + 4 H3x+l+lg(l— jc) = 2x + 4 + lg(l — х)над/?.
246. x + 3 = 0 и (х + 3)(х2 + 2) = 0 над /?.
247. * + 3 = 0 и (х + 3)(ха + 2) = 0 над С.
248. * + 3 = 2 и (x + 3)(x—l) = 2(x—1) над R.
249. jc + 3 = 2 и (jc + 3)(x+1)2 = 2(x+1)2 над R.
250. x + 3 = 0 и (л: + 3)4 = 0 над R.
251. x-f 3 = 2 и -^ = -^т над /?.
252. х + 3 = 2 и -£|в--2_ над /?.
253. * + 3 = 2 и (л: + 3).^ = ^=р! над /?.
254. Какое из уравнений (1) / (x) = g{x) и (2) f (x) + y(x)=g(x) +
+ ф(л:) (над одним множеством) является следствием
другого?
255. Какое из уравнений (1) f(x) = g(x) и (2) f2(x) = g2(x) над
/? является следствием другого?
256. Равносильны ли уравнения f (x) = g {х) и /8 (х) = g9 (x) над /??
257. Равносильны ли уравнения f(x)=g(x) и a/ix) = a*{x\ где
а > 0, а^= 1, над /??
258. Какое из уравнений (1) f(x) = g(x) и (2) \ogaf(x) = \ogag(x),
где а > 0, аф\, над /? является следствием другого?
Равносильны ли неравенства над R (задачи 259—282)?
259. *(*+1} > 0 и х > 0.
260. -у- > 0 и ;с> 0.
261. — >0 и *>0.
262. — >—1 и х>— 1.
263. 4>-1и £7=Г>_1-
264. *+1>3 и *+1+±>3+1.
265. х+1>3 и дс+1+^>3 + зГ^.
266. лг2> лг+1 и x2(x2+l)>(x+l)(x2+l).
267. х>2 и х{л;—3)>2(х—3).
268. х>2 и х(3—х)>2(3—х).
269. х>2 и л:(лг—2)2>2(д;—2)2.
270. х>2 и *(х—2)>2(х—2).
271. 4-9<Зи '-3^+2)<0.
272. щ<3и 1<3(х + 2).
273. fizj>0 и (х—1)<3—х)>0.
40

274« 5=i>° и (*—1)(3—лг)>0.
275. <^M>0Hg>0.
276. (x-')("-5)'>Oh^>0.
277.
1- l
2x
> —Ц. и jc—1 >2jc.
278- -4^>(т4гр и (*~П2>4*2.
279. V7+2<2 и х + 2<4.
280. JSI < 1 и V^+2 < x.
281. lg;c2>0 и 21gx>0.
282. lgx2>0 и 2 lg | jc | > 0.
§ *. ЦЕЛЫЕ РАЦИОНАЛЬНЫЕ И ДРОБНЫЕ РАЦИОНАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ
С ОДНОЙ ПЕРЕМЕННОЙ
Если нет указания, то уравнение следует рассматривать и
решать над множеством С комплексных чисел.
Пример 14. Решить уравнение
2х3 + 3х2 + 6х — 4 = 0 над С.
Решение. Первый способ. Сначала выясним, имеет ли
данное уравнение рациональные корни. Для этого воспользуемся
1) теоремой о рациональных корнях многочлена с целыми
коэффициентами и 2) схемой Горнера.
1) Делителями свободного члена —4 являются числа: ±1,
±2, ±4. Положительными делителями старшего коэффициента
являются: 1, 2. Значит, рациональные корни данного уравнения
находятся среди чисел:- ± 1, ±2, ±4, rfcy.
2)
2 3 6—4
2 4 8 0
L
Тогда 2х3 + Зх2 + Ъх—4 = (х—^Л(2х2 + 4х + 8) = (2;с— 1)Х
*(x+i+iVa)(x+i-iVa).
Ответ. {1, -1-1'/5. _1 + //з|.
Второй способ. 2х3 + 3л:2 + 6л;—4 = (2х3 — х2) + (4х2 + 6х—4)=
- х2 (2*— 1) + ((4х2—2х) + (8х — 4)) = (2х — 1) (jc2 + 2х + 4) ==
= (2х— \){x+\ + i V3) (х+ 1 —i V3).
Пример 15. Решить уравнение
jc3 + 3x2—6х +4 = 0 над С.
41

Решение („формулы Кардано").
Можно проверить, что данное уравнение рациональных корней
не имеет.
Применим следующий метод.
Если х3 + а2х2 + atx + а0 = 0, то, полагая
чим уравнение вида y3 + py + q = 0.
Полагая
До
х = у--±
полу-
y=u + v
а затем
uv==--3
, получим квадратное
уравнение с корнями и3 и v*.
Применим все это к данному уравнению.
Пусть
х = уг-\
(так как а2~3). Тогда получим:
(у-1у + 3(у^\У-Ъ(у-1) + 4 = 0~у*-9у+12 = 0.
Пусть \у = и + v
. Тогда получим:
(u + v)*—9(u + v)+l2 = 0~ u3 + v* + 3(u + v)(uv—3)+\2 = 0.
Пусть uv—3 = 0, uv = 3. Тогда имеем:
u* + v* = — l2
(*) \ uv = 3
3 = —12.
27
и* и v* будем рассматривать как корни квадратного уравнения
2в+12г + 27 = 0; г2+12г + 27 = 0~ г = —3 V * = --9.
Пусть и8 = —3, одним из корней которого является иг = — у/3.
Тогда из (*) найдем vx = — , их = — £/9. Таким образом, получим:
M/i = Wi + Oi
, У1 = -УЪ-*/9\
У 2 = ^"l + вЧ
#3 = e2Wj + щ
1 , . ]/"3 2 1 . Уз . f
где e = — j + t^Y-$ е2 = — -j — i -^-; ^ = /^ — 1, хг = у2— 1,
*' о»_«.{-^в-^-1. ^2±|£2-i+1£2iEbl£!),
у-з+уъ-г .УТ,(\/-з-ут>)
\
42

Пример 16. Решить уравнение х*—6/х+4—4/=;0 над С.
Решение. Полагая
Я = И + V
получим:
(u + v)*—6i(u + v) + 4—4f в 0 ^
u* + v* + 3(u + v)(uv—20 + 4—4/*=0.
Пусть
uv = 2/
. Тогда получим:
/ a* + i>8 = —4 + 4/
га + (4 —40*—8/=:0~ г»— 2 + 2/.
(*)
uv = 2/
Пусть нв = — 2 + 2/, т.е. a«==l/*§(cos-^+/sin^V одним
из корней которого является
Зя
1+/.
2/
Тогда из (*) находим: vt=» — =1+/.
*f = 8^ + 8^ = ^(8 + 64=*-!-/ (C=*_! + /J£i)f
x8 = 8aM| + evt *= «j (ea + 8) = — 1 — /.
Ответ. {2 + 2/, — 1 — 1} (корень (—1—/)—двукратный).
Пример 17. Решить уравнение
х*—2л* + 2ха + 4х—8 = 0 над С.
Решение. Можно проверить, что данное уравнение
рациональных корней не имеет.
Первый способ, х4—2х3 + 2л;а + 4*— 8=*
= х4—2х3 + 4*а—2ха + 4х—8 =*
= (jc*—2*а) + (—2*» + Ах) + (4х*—8) *=*
= ха(ха-2)—2х(ха—2) + 4(*а—2)«
= (х»-2)(ха—2х + 4)=*
= (х -1^2) (* + \Г2) (х-1 -0/1) (х-1 + //3).
Ответ. {J/!, -/2, 1+/КЗ, 1-/КЗ}.
43

Второй способ (метод Феррари).
(1)**—2х* + 2х* + 4х—8 = 0 ~
~(х4—2x3 + *2) + jc2 + 4x--8 = 0~
~ (х2—х)2 = —х2—4х + 8.
Введем параметр у:
(х2—х)2 + 2(х2—х)-у + у2 = — х2—4х + 8 + 2(х2 — х)у-\-у2~
~(2)(х2-х + у)2 = (2у-1)х2-2(у + 2)х + (у2 + 8).
Будем искать такое значение параметра у, чтобы и правая
часть уравнения (2) была полным квадратом.
Так как ax2 + bx+c=(ax + fi)2 тогда и только тогда, когда
Ьг—4ас = 0, то получим:
(3)(# + 2)2-(2*/-1)(*/2 + 8) = 0. (3) 2у* + 2у2-^ 12^+12 = 0.
Корнем последнего уравнения является у=1. Уравнение (2)
при#=1 принимает вид: (х2—х+1)2=х2— 6х + 9 ~(х2—х+ 1J»2 —
_(jc_3)2 = 0_~ (х2 — 2) (х2- 2x + 4) = 0~{x—V2)(x + V2)x
x(x-l-iV3)(x-]+iV3) =0.
Третий способ (метод неопределенных коэффициентов).
х4—2х* + 2х2 + 4х—8 = (x* + ax + b)(x2 + cx + d).
Приравнивая коэффициенты при соответствующих степенях х
и решая полученную систему, найдем значения для а, Ь, с, d.
Пример 18 (так называемое возвратное уравнение). Решить
уравнение (1) хь + 4х*—Зх3 + 3л'2 —Ах— 1 =0 над С.
Решение. 1 — корень уравнения (1).
| 1 4—3 3 —4 — 1
1 | 1 5 2 5 1 0
I l
Следует решить уравнение (2) лг4 + 5х* + 2л;2 + 5л:+1 =0.
Разделив обе части уравнения (2) на х29 получим уравнение,
равносильное уравнению (2) (так как нуль не является корнем
уравнения (2)).
(2) ^х2 + 5л; + 2+4 + ^=0-(^ + ^) + 5(^ + 1)+2 = 0.
Положим х Н— = /. Тогда x2 + —r = t2—2. Получаем /8-f5/=*
X X
= 0~/ = 0 V / = —5.
I) Если / = 0, то x+^ = Q~x*+l=Q~x = i V* = — t.
44

2) Если /=;—5, то * + ! = — 5~x2 + 5x+l=0
: Т V *~ 2 #
т:{1.-<.!.=^.=^}.
г л п ТО Г)л»т¥»ж/«т irt\n nit/\trtiA
Ответ
Пример 19. Решить уравнение
Решение.
(1) -
{
+ 2*
4х + *2 + 2л; = --8
а: (х + 2) ^= 0 ~
х = —2 ( х = --4
х^О V
над /?.
х2 + 6л; + 8 = 0
х=И=0
л; =^—2
х=^0 — л: = —4*
х=^—2
Ответ. {—4}.
Пример 20. Решить уравнение
Решение
о)
~ | хфа
хфЬ
(2(а + Ь)х = (а + Ь)*
< хфа
I хфЬ
(а + ЬфО
к =
а+Ъ
п+Ь'
фа
V
Ц±ФЬ
Ответ. Если Ъф—а и Ьфаг то И±_1;
если Ъф—а и fc = at то 0;
если 6 = — а, то С\{— а, а}.
Решить уравнение (задачи 283—287).
283. а2х = а(х + 2)—2 над /?.
284. х-^ = ^(4х+1)над С, а=^0.

285. a{a+l)x2 + x—a{a—1)==0 над R.
286. ax2—(a—b\x—6 = 0 над R.
287. (a2—b2)x2—2ax+l=0 над С.
288. Определить k такое, чтобы один из корней уравнения
(k2—5k + 3) х2 + (3k — 1) х + 2 = 0 был вдвое больше другого.
289. Доказать, что корни уравнения ax2 + bx + c = 0 обратны
корням уравнения cx2+bx + a = 0f если афО, сфО.
290. Составить квадратное уравнение, корни которого были бы
равны сумме и произведению корней уравнения
ax2 + bx+c = 0t афО.
291. Найти все значения а, при каждом из которых уравнения
х2 + (а— 1)х+1=0, х2 + х + а—1=0
имеют хотя бы один общий корень.
292. Дано уравнение ах2 + Ьх + с = 0 (а, сФО), корни которого
аир. Составить новое квадратное уравнение, корнями ко-
г/ R
торого были бы -о- и —.
293. Найти коэффициенты р и q уравнения x2 + px + q = 0, если
а и р—корни этого уравнения и если а+1 иР+1— корни
уравнения х2—p2x + pq = 0.
Найти корни уравнения с точностью до 0,001 с недостатком
(задачи 294—296).
294. 2х2—х—11=_0. 295. 2х2—х—22 = 0.
296. х2— 2(2+К2)х + (3 + 4К2) = 0.
Решить уравнение над С (задачи 297—312).
297. 2х3 — 3x2 + 6x + 4 = 0.
298. 4jc*—7х2—5х—1=0.
299. х\—2х*—4х3 + 4л*—5х + 6 = 0.
300. 6jc4+19x8—7л:2—26л:4-12 = 0.
301. х* + 2х* + 2х2—\х—8 = 0.
302. х* + 2х*—2х2 + Ьх—15 = 0.
303. (* + 3)4 + (х + 5)4 = 4.
304. (jc + 3)(x + 4)(x + 5)(.v + 6) = 8.
305. (х—20 (а:—0*(* + 0 = 24.
306. x4+10x3 + 26jc2 + 10*+1=0.
307. 2x4 + 9jc3—9* + 2 = 0.
308. хв + Зх6 + 6х4 + 7л:3 + 6л:2 + Зл:+1=0.
309. л*—4jc4—Зх3 — Зх2 — 4х-)-1=0.
310. 3x5 + 10x4 + 7x3 + 7x2+10x + 3 = 0.
311. (ха—а2)2 = 4ах+1.
312. (2х + а + Ьу = (х + а)* + (х + Ь)\
313. В задачах 297 — 310 найти все рациональные корни
уравнения.
314. В задачах 297—310 найти все положительные
действительные корни уравнения.
46

Решить уравнение над С (задачи 315 — 327).
315 2 I ' - 4
316' ^ТТ-£з + ^~2^-3 = 0-
*+1 х— 1^2(jc2 + 2)
х —2 + х+2~~ х2 —4 *
1 , х — 1 9
317.
318.
319.
320.
321.
^+|"г2(л:+1) 2(4 —х) *
_J 1 х . (х-1)2
3-х *+1~~ 2(лг—3) + x2—2л: — 3*
5 2 5 2
324.
x—1 x+1 x—3 x—4'
6x-f-l 3 2
xa—7x-H0 + x—2 л:—5*
322- гтЕ-ц?г+дс,+х
Ч9Ч JL X—1 X+1 _л
°^°e 2л; x(x+l) ~x(x-l)~"u#
1+x 1-х
1-х l+* = 3
1-х
QOK 2 1 L_£nl_ — Л
ozo- *2_4 jg(jc_2)^ *(* + 2) ~
32в- 1+T^ + 2x2+7jt~4==2i^T*
Q07 ^ — § *
x(x—3) (x+2)(x—1) x<x — l)2*
Решить уравнение с параметрами (задачи 328—341).
328. -г^+ ?~Л= , ! , над С.
х2 — а2 ' x(x-fe) х(х—а) ^
329.-? -$---з^ над/?.
ж—о лг-fa **—о*
330. ^—2а = оа+1 над/?.
331. £rf+ £«2 над С
зз2. |±-:+§±н ■« *
333. ==f+ 4!--^ над С.
334. ^5 + 4,-==J + lS НЗД *
зз5. ,-^+;гЬ+^=0нЗА*
336. ^+^ = ^^+1^ над /?.
337. ^pj-j-l + l-i над /?> «#0, Ь=£0.
47

341. a» + p^«-l=5- над *
§ 7. ЦЕЛЫЕ РАЦИОНАЛЬНЫЕ И ДРОБНЫЕ РАЦИОНАЛЬНЫЕ
НЕРАВЕНСТВА С ОДНОЙ ПЕРЕМЕННОЙ
Так как неравенства рассматриваются только над
множеством R действительных чисел, то слова „над /?" будем опускать.
Метод интервалов
Пусть f(x)—многочлен (целое рациональное выражение) над
полем R действительных чисел положительной степени.
Теорема. Любой многочлен f(x) над полем R
положительной степени можно представить в виде произведения отличного
от нуля действительного числа и неприводимых над R
многочленов со старшими коэффициентами, равными единице, т. е.
f{x) = a(x-xiy>. ..{х—хкУн (*а + РгХ + д^... (х2 +p*x + qj»,
где a£R9 а Ф0\ xt-\-pix + ql(i = 1, 2, ..., m)—квадратные
трехчлены с мнимыми корнями;"х1У ..., xk—действительные корни
многочлена f(x)\ ru ..., гк, slt ..., sm£N.
Так как x2 + pix + qi > 0 при —оо<х<оо (i = l, . ..,m),
то неравенство /(х)>0 равносильно неравенству а(х—х^...
.. .(*—xk)rk > 0, а неравенство f (х) < 0 равносильно неравенству
а(х—х1)'*...(х—х1Уь<0.
Рассмотрим для определенности неравенство
(1); f(x) > 0 ~\2)а(х—хг)Г*.. .(x—xk)rk > О,
и пусть xl<xi<...<xk.
В каждом из интервалов ]—оо, xt[t ]xu ха[, ..., ]xkt oo[
каждый из сомножителей в левой части неравенства (2)
знакопостоянен.
При х>хк каждая из разностей х—хи
...,х—xk—положительна. Значит, при х > xk знак левой части неравенства (2)
совпадает со знаком а.
Если хк_х < х < хк, то (х—xk)rk <0, если гк—нечетное, и
(х—хк)г7> О, если гк—четное; х—xt > 0, -...., х—хк_х > 0 и т. д.
Пример 21. Решить неравенство
(I) — 3(*— 1)а(2—xf(3 —5jc—2х*)Цх2 + х + 2) >0.
48

Решение.
(1)~3(*— 1)а(*—2)Ц2х* + 5х—3)*(х* + х + 2)<0~
~ (х— 1)а (х-2) 2 (х+ 3) (*—у ) (*•+* + 2) < 0 ~
г (2) (х- 1У (х-2) (х + 3) (х~) < О.
((*):х2-\~х + 2 > О при — оо < х < оо, так как дискриминант
квадратного трехчлена хг + х + 2—отрицательный, а коэффициент при
х* положительной).
X
Левая часть
неравенства(2)
]-оо,-3[
—
W
+
]М
—
]1. 2[
—
12. «[
+
v. — .-
^ ■ —- —
Рис f
Корнями (х—1)*(х—2)(х+3)(х—yj являются числа: —3.
у, 1,2. См. рис. 1 (масштаб не соблюдается),
(2) - х <—3 V y<KlVKK2.
Ответ. ]-оо, -3[U]|, 1[и]1,2[.
Пример 22. Решить неравенство
(1) a (a— l)x*(x—2a) {a*—x*)'(x* + 2a%+l\> 0.
Решение. (1) ~ (2)а(а— 1)х2(х—2а) {х—а)(х+а)<0.
Корнями а(а—1)jc?(jc—2а)(х—-а)(х + а) являются: 0, 2а, а, —а.
2а
0
Рис 2
1-й случай, а (а— 1) > 0 ~ а < 0 V а > 1. Тогда
(2) ~ (3) хв (а:—2а) (х—и) {х+а)< 0.
а) а < 0. Тогда 2а < а < 0 <— а. См. рис. 2.
(3) ~ * < 2а V л < ж < 0 V 0 < * <—а.
49

6) а>1. Тогда — а<0<а<2а. См. рис. 3.
13) ~х<— aV а<х<2а.
(3) ~х<— а\/ а<х<2а.
-а 0 а 2а х
Рис. 3
2-й случай, а (а— 1)< 0 ~ 0 < а < 1. Тогда
(2) ~ (4) х2 (х—2а) (х—а) {х + а) > 0.
Так как 0 < а < 1, то — я < 0 < а < 2а. См. рис. 4.
(4) ~ — а<*<0\/0<.к<а\/*>2д.
— + + — + _
О 0 0 О >
-а о а 2а X
Рис. 4
3-й случай. fl(a-»l) = 0^fl = OVfl=l. Тогда
(1) — (2) — 0<0~ *€0.
Ответ. Если а<0, то ]— оо, 2а[и]я, 0[U]0, — а[\
если 0<а< 1, то ]—а, 0[и]0, я[и]2а, оо[;
если а> 1, то ]— оо, — а[и]а, 2я[;
если а = 0 или а=1, то 0.
Пример 23. Решить неравенство
Решение/ (1) ~^-^ <0~(а^72" х) <°-
- (Зж-нн"^2) <°~(2) (5х+11)(адс+1)(х-2)<0,
Корнями (5а: +11) (Зл: + 1) (л:—2) являются числа:—2у,—-j, 2.
См. рис. 5. (2)~х<—2 j V— -j<x<2.
*5 3
Рис. 5
Ответ. ]-оо, _2±|и]-™.2[.
60

Пример 24. Решить неравенство
(1) *±1<*Z±.
уч Зх+\^2х—\
Решение. (1)~£±^--£^<0~
х(8—х) ^ft х(х—8) ^п
~ (3*+1)(2*— 1) ^и~ (3*+1)(2*—1) ^и~
(■(2) х(х—8) (Зл:+ 1)(2л:— 1)>0
Корнями *(х—8)(3л:+1)(2х—1) являются числа: —Т>®>Т* **.
См, рис.6. (2)~х<—yV0<x<y V*>8.
+ ---+. - +
-1' 0 1
J 2
*и
Рис. 6
Ответ. ]—оо, —1[и[0, у[и[8, оо[.
Пример 25. Решить неравенство
Решение. (1) ~± + ^-JLj- < 0 -
^3 (*■,'-*)(*+2«)
2ах(х+3а) ^
~ (2) ах(х + а) (х + 2а) {х + За) < 0.
Корнями ах(х + а)(х + 2а)(х + 3а) являются: —За, —2а, —а, 0.
1-й случай, а < 0.
О -а -2а -За х
Рис. 7
Тогда (2) - (3) х (х+а) (х + 2d) (х+За) > 0; 0 < —а <—2а <—За.
См. рис. 7.
(3) — л: < 0 V — а < jc < — 2а V * > —За.
2-й случай, а > 0.
Тогда (2) ~ (4) jc (* + а) (х+2а) {х+За) < 0; —За <—2а <—а < 0.
б Г

См. рис. 8.
(4) ~ —За < х <—2а V —а<х<0.
+ — +
-3<* -2а -а О X
Рис. 8
Ответ.
Если а<0, то ]—оо, 0[и]—а, — 2а[и]—За, оо[;
если а>0, то ]—За, —2a[\j]—at 0[.
Решить неравенство (задачи 342—350).
342. (х + 2)(х— 1)2>0. 343. (х + 2)(х—1)2<0.
344. ^2<0. 345. ^>0.
346. 2х2 — Ъх—12 <0. 347. —6х2 + 17х—5< 0.
348. 2л:2—х + З > 0. 349. 9*2 — 6* + 1 > 0.
350. 4л:2 + 2л; + 5<0.
Найти область определения функции / над/?, заданной
выражением f(x) (задачи 351—357).
351. /(*)= —j£*+T
353. / (*) = lg (3 + 4x—4x").
df
1
354. f{x)^Vx2—3jc+2+-> .
df V3 + 2x jc2
355. /(*) = lg(l — lg(x2 — 5л:+16)).
df
356. /(*) = агс81П-Ц-.
df
357. / (x) = arccos ^~y4.
Решить неравенство графически (задачи 358^362).
358. х— 1-<2х+1. 359. За:— 1< 1— х.
360. х2 — 1 > 1— х. 361. х*— 4х<х—6.
362. 0< х1—х<2.
Решить неравенство с параметрами (задачи 363—371).
363. ах + 4>2х + а\
364. а(3х— 1)>3х—2.
365. ^rj>^^-, где афО, аф\.
366. | + i^>i±2, гдеа^О.
52

367. (aa — 2a —3)x—a<0.
ax—b>bx + a.
xa —2(a+l)x + 4a<0.
370. (a2—l)xa—2ax+l<0.
371. ax2 + (2a+l)x + a + 2>0.
Найти все действительные значения m, при которых областью
истинности неравенства является множество R всех
действительных чисел (задачи 372—377).
372. ха—2(4m+3)x+15ma + 28m + 6>0.
373. (m+l)x2 + mx + m<0.
374. m(m + 2)xa + 2mx + 2>0.
375. (m— \)x* + 2mx + 9m—5<0.
*77# 5^—6^+5 <m+i.
Дан квадратный трехчлен f (х). Действительные корни
трехчлена f{x) обозначаются через х, и х2, причем считается, что
хг^х%. Найти все действительные значения т, для которых
(задачи 378—383):
378. хг < 1 < x2t если
f(x) = 2(m — 1)х2 — 2х— Зт+1, тф 1,
df
379. Xj < т < ха, если
/ (х) = 2ха—2 (2т + 1) х + т (т— 1).
df
380. х, < 2 < 3 < х9, если
f(K) = (m—3)ха—2(т + 2)х—4(т — 1), т=^3.
df
381. ха >xt > 1, если
f(x) = (m— 1)ха + 2тх + "* — 2, т=тМ.
df
382. х, < ха < 2, если
/(х) = тл*+2(т—1)х + т—5, т^О.
df
383. — К х, <х9 < 2, ееди
/(х) = тхв—2х + т, тфО.
df
Решить неравенство (задачи 384—394).
384. 3(х—3)2(4—х)3(2 — Зх — 2ха)6(ха + х + 3)<0.
385. — 2ха(х + 3)7(24ха + 14х—5)* (2х* + х + 3><0,
386. х8 — 6ха + 5х+12<0.
387. (х2 —2х + 3)(х8 + 2х2—5х—6)<0.
388. х4 + 6х3+11ха + 6х>0.
389. х«—13ха + 36<0.
390. х6 + х*—15х3 —5х2 + 34х + 24>0.
391. 32х4—48х*—Юха + 21х + 5<0.
53

392. 32>3x"(x—4)a + 5(x—2)".
393. За(х—а) (2x + a) (х—За) (х* + ах—2ал) < О.
394. a (a + 1) (x2—a2) (x + 2a) (x2 + 2a» + 3)< 0.
Решить неравенство (задачи 395—408).
„q. £(2£+lM5-£) n
Л95# <х+з)<3*-4) >U'
овй (х+3)а(5х+2)»^А
39в' (2-*)*(1-3*)>°-
АУ'- (2-3*)' ^U-
,qo (1-4*')(*+2)* ^п
<W8, *«(*+l)(*-2)'<U'
ад (3-*f(*-l)»(-s-5) А
луу- (х+2)(-ж«+х-3)_ >U'
400. "
(—3*4+2*-5)6(*+3)7(*—2)* "" '
161 *4+3*3 + 3*a+3*+2 ^А
Wb х»+6*»+5х—12 <-U*
402 4 еГ 3 4ПЧ дс-2 -- *+2
404'^Г-^>-^гт- 405' Т+,"Т2<^Т-
406. (х_4)(х_ь)> К 407. 2jg2 > 1.
Решить неравенство с параметрами (задачи 409
409. 3F=3+5i3<0.
«"• г=з+5<т. а^°-
412 а 1 * Ъ 18
413. ^-^,<- **
*—а х+а^х2—а2*
414' 7=^~Т^<Т'
4,5'Т+4<^Ьа'^°-
,ID* (*—a)a-x(x-fl)+Jta^ 7 •
4П. i=J + £=J + 2>0.
419. -^r—2a<a8+l.
64

§ 8. УРАВНЕНИЯ И НЕРАВЕНСТВА С ОДНОЙ ПЕРЕМЕННОЙ, СОДЕРЖАЩИЕ
ПЕРЕМЕННУЮ ПОД ЗНАКОМ МОДУЛЯ
Так как уравнения и неравенства, содержащие переменную
под знаком модуля, рассматриваются только над множеством R
действительных чисел, то слова „над /?" будем опускать.
Пример 26. Решить уравнение \3х—1|—12* + 3| = 0.
Решение. |3*— 11 — |2х + 3| = 0 ~
— 1 За:— 1| = |2*+3|~|3*— 1 |а = |2х + 3 |2 ~
~(3х— 1)а = (2* + 3)а~5х2— \8х— 8 = 0~
2
~ х = -
А/х = 4.
Ответ. < — -g-, 4V .
Пример 27. Решить уравнение
1x1=13—2*|—х— 1.
Решение. |jc| = 13—2х\—х—1 ~
о
~ I — х = (3—2х) —х—1 I л: = (3—2л:)—х—1
V
I х~
(2х—Ъ)—х—\
х<0
Х=1
V
1
Х = Т
V< о—4"~*-Т-
Ответ. |1|.
Пример 28. Решить уравнение
■|7-2х| = |5-Зх| + |х + 2|.
Решение. Так как 7—2* = {5—Зх) + (х + 2) и |a-f-&l—
= |о| + |6|^аЬ>0, то
|7 — 2*| = |5—Зл;Ц-|х + 2|~ (5 — Зх)(л; + 2)>0~—2<*<-|.
О
Ответ, f— 2, 1у] .
Пример 29. Решить уравнение
(1)Х+*Ц±£1*

(1)
Решение.
х2 + 2а\х + а\ —а8 = 0~
хфО ( хфО ■•-
xa + 2a* + a2 = 0 { х2—2ах—3а* = 0
( ХфО (хфО
х^—а \/\ х<—а V
(х + а)2 = 0 [х = — а
— афЪ
ЗафО
а<-а V За<-а ~
# =— а
д; = 3а
{ афО I а<0
~\ x=z —a V\ * = 3а.
Ответ. Если а < О, то {—а, За}; если а>0, то {—а};
если а = 0, то 0.
Пример 30. Решить неравенство |2л: + 5|>|7—4х|.
Решение. |2* + 5|>|7 — 4лг| —' |2х + 5|2>|7—4х|2~
~ (2х + 5)2>(7—4л;)8 ~ Зхг— 19х + 6<0 ~ у <* <6.
Ответ
■ [*••]•
Пример 31. Решить неравенство |x|<2|#—4| + л; — 2.
Решение. |х|<2|х—41-J-дс—2~
0<х<4
х<2(—х-М) + х—2
| х>4 ( лг<0 Г 0<jc<4 | х>4
V\ х<2(лг—4) + х—2~ \ 0<6V\ x<3V\
~x<0V0<x<3\/*>5~ *<3V*>5.
\—ж<2(—x + 4) + *—2V \
V
4
Ответ. .]—oo, 3]U[5, oo[.
Пример 32. Решить неравенство 17—2x | < 15—3* | +1 x+21.
Решение. Так как 7—2x = (5—3*) + (л:+2) и |a+ft|<
<\a\ + \b\&ab<0, то
17—2x | < 15—3x |+| x+2 |M5—3*) (x+2) < 0 ~ ж <—2 V * > l|-.
Ответ. ]—oo, — 2[U] 1-I-, °°[.
56

Пример 33. Решить неравенство (1) \х—За\—|л:+а|<2а.
Решение. Если а>0, то —а<3а\
если а<0, то За<—а.
(1) ~ 0<-ov x<~a v
1 < { (— х + 3а) + {х+а)<2а
( а>0
V I — a < * < За \/
( (— х + За) — (х+а) < 2а
Г а>0 (а<0
у] х>3а у J х<3а у
( (х — За) — (х+а)<2а [ (—х + За)+(х + а)<2а
{а<0 Г а<0
у| За<х<—a у J х>—a „
[ (х—За) + (х+а) < 2а { (х—За) — (х+а) < 2а
(а = 0 (fl>0 f а>0 (а>0
~{ у { х<— а у J — а<х<3а у; х>3а у
1*^0 [о<0 [ 0<х (а>0
а<0 Г а<0 (а<6
x<3ayJ За<х< — а у J x^—a ~
а<0 ( х<2а |а>0
I a>0 fа<0 | а<(
i<x<3aV\x>3aV\x<3aV\ За<х<2а'
|а=о (а>0 (а<0
>0 |а>0 fа<0 . ( а<0
х > За \ х <
Iа>0 (а
i*€0V\x>OV\x<2a.
Ответ. Если а < 0, то J—оо, 2а[;
если а > О, то ] 0, оо [;
если а = 0, то 0.
Решить уравнение (задачи 420—428).
420. |2—Зх| —15—2х| = 0.
421. |9-2х| = |4—Зх| + |х + 5|.
422. |х| = |2х + 3| + х-1.
423. |x+lf = 2|x—1| + х.
424. |х+1| + |2—х|—1* + 3| = 4.
425. |ха—Зх + 2| = |х|—х2 + 4.
426. х2 = |1— 2х2\.
427. -Ц^=*-
428. Д=Ш£±И=2.
|дг|-(лг-2)
67

Решить уравнение с параметрами (задачи 429—434).
429. 2\х + а\ — \х—2а\ = 3а.
430. а— . 2f , =0.
431. \х2—а2\ = {х + 3а)\
432. х = 2\х—а\ — 2\х—2а |.
433. |л:-f-_За|—\х—а| = 2а.
434. х + ^±^1_А
ж л:
уравнение
Решить
435—444).
435. \х\ = х+1.
437. |3x^l| = 3—х.
439. |jc|-Ь|jc— 1|=1
441. х*—\х\—6 = 0.
443. |4 + Зх—л:2| = х2—3*—4. 444. -. п
1 ' ' \х—1|
Решить неравенство (задачи 445—463).
445. 113—2х|>|4х—9|.
446. |х+1| + 4>2|л:|.
447. \2х + 3\>\х\—4х—1.
448. \х—2\ + \3—х\>2 + х.
449. |х— 1|>|х + 2| — 3.
450. |5—лг| < |лг— 2|+|7—2х\.
451.. \х—6|<|а;*—5x-f 9|.
Xs—1|> 1-х
аналитически и графически (задачи
436. \х+]\ = х + 3.
438. | За: + 11 = 5 Ч- блг.
440. 11—|х||-1.
442. | х2 + 2х—31 = 3—2х—х*.
I
-*-1.
452.
454.
456.
458.
460.
462.
х+6
|х2—5jc-)-4
I *а —4
<3.
<1.
jc—2 —
2*
■<М-
|х-3|
|**-4*| + 3 ^ .
х2+|*—5| ^
453.
455.
457.
459.
461.
463.
2х—5
U—з|
М-2|
х2—5*+6
хгт-Зх,+ 2
>3.
>1.
ж2+Зх+2|
■^V>i*+ii.
I*-
Х2<
А ..о
t х2 — 2jc | -Ь 4
>1.
*2+|*+2|
Решить неравенство с параметрами (задачи 464—469).
3
464. \2х + а\> уЯ + |*—а|.
466. |х + 2а| + |дг —а|<3х.
Я/72
468. U + 2a|< , ,. , .
' ' ' | * — la |
53
465.
467.
469.
| x — 3a | < \x—a\ — 2a.
a +
a2|>2a2
4a2
\x-'2a\
>0.

Решить неравенство аналитически и графически (задачи
470—475).
470. |*+1|>|х—1|. 471. |х| + 3>|*+3|.
472. |*»+1|>х+1. 473. JT^\x\+-U
I Х I
474 3|*1—2 ^ 1 475 13дг+21>2
§ 9. ИРРАЦИОНАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ С ОДНОЙ ПЕРЕМЕННОЙ
Так как иррациональные уравнения рассматриваются нами
только над множеством /? действительных чисел, то слова „над/Р*
будем опускать.
Пример 34. Решить уравнение
(1) Кха + 5х+1=2х-1.
Р е ш е н и е. Первый способ,
(1)
Ua+5x+l = (2x— !)■■ [Зх(х — 3) = 0~
Ответ. {3}.
Второй способ. (1) \zx* + 5х 4 1» (2х— l)f ~ Зх (*— 3)« 0 ~
~ x = 0V* = 3.
Проверка (подстановкой полученных значений в данное
уравнение).
1) х=0.
УТф.— I, следовательно, 0^ОИш.
2) * = 3.
^1)5 = 5~5 = 5, следовательно, 3 € ОИЦ).
Ответ. {3}.
Пример 35. Решить уравнение

Решение.
0) ~<
( 6л:—3>0
1 -f-x—Убх— 3>0
( 2+2x + 2J/(l + x-)« —(6л:—3) = 6
~ \
*>"2
]+x^V6x— 3 ~<
[ Vjc8—4jc + 4 = 2—л:
*>-<f
(l+*)*>6jt—3-
[У(х—2)" = 2—*
*>T
(*>■
Ответ.
(x—2)*>0
|jc—2| = 2—л:
лг—2<0
~y<x<2.
Второй способ, указанный в примере 34, здесь неприменим,
так как невозможно осуществить проверку подстановкой в
данное уравнение каждого числа из ]—оо, 2].
Пример 36. Решить уравнение
(1) Угхг + 1 — х =
2 Y** + I '
Решение. (1) ~ 2(хг + 1)—2хУхг + 1=5
~2хК*«+1=2*»-3~| 1^
(2л:2 — 3)>0
(л:2+1) = (2ха— 3)*
х(2х«-3)>0 ^(2xs-3)>0 (*(2x*-3)>0
4(^)>°ч//-т(*-з)>о
V
дс =
х = -т
- *=-т.
Ответ. {—Yf'
Пример 37. Решить уравнение
(I) 1/1=х+У—1—х=У—5х.
Л

Решение.
(i) ~<
1—х>0
1— х>0
— 5х>0
^(^/T^x+^Z—1—х)8 = —5х
х<1
х<—1
х<0
•2х + 3 Ух* — \{У\—х+У—\—х) = —Ьх
*<— 1
х<—1 (*< — 1
(1) ~\ (1)
£/*а — 1-^— 5х = — х I (*2 —1)(— 5лг) = — х»
~{
х<—1
(1)
х(4х*—5) = О
х<—1
(1)
* = 0
vs
х<—
О)
х=
|Л.5 V ^
х<— 1
(1)
Уь
х = -
/5
Ух + Я.+ уп.-х-У*Л.
х = -
2
\ (2) |/"K5 + 2 + f/*/5-2 = K5.
Выясним, истинно ли равенство (2). Пусть а = т/ ]/1> + 2 +
df г
+ |/Уб—2. Тогда а8 = 2]/г5 + 3а. Уравнение (3) 7*—3/—
— 2|^5 = 0 ~ (/—/5)(t^+ybt + 2) = 0 имеет единственный
действительный корень 1^5. Значит, равенство (2) истинно.
Ответ. <—^-> .
Пример 38. Решить уравнение
(1).4х + 1Лб*а + 9а2 =
45а2
У16х*+№ г'
61

Решение.
(1) ~
16л;2 + 9а2 =^0
АхУ~\Ьхш + 9еР + (16л;а + 9а2) =* 45а2
f 16л:2 + 9ааМ=0
' \ хУШ* + 9аг = 9а*—4х* ~
16х* + 9а2ф0
х(9а*—4х2)^0
(*)
ха (16л* + 9а2) = (9а2—4л:2)2
(*)
81а2 (л;2 — а2) = 0
(а=0 (а>0 /а<0
\х<0у\х=аУ\х а
/а = 0 ч/(а^=0
~\*«>Vb-|4
Ответ. Если а = 0, то ]—оо, 0[;
если аФ0, то {\а\}.
Пример 39. Решить уравнение
(1) V"a^~x^V^~x-\-Vb, &>0.
Решение.
(а—л;>0
— jc>0
а—л; = — л; + 2К— Ьх + Ь
х^.а
*<0
а—6>0
I — 46* = (а—Ь)2
Г 6=0
1 х<а
J х<0
1а!>6
0=а2
1
V 1

,Ь>0
(a + by^O
(а-»)*
t х =
— 4Ь
Ответ. Если а = 6 = 0, то ]— оо, 0];
если а>&>0, то ■! _46 \',
в остальных случаях 0.
Решить уравнение (задачи 476—499).
476. ]/х2 + Зх—3 = 2х—3.
477. /9х4 + 2л:—3 = 3х—2.
478. х%—3x = 5/xa—Зх + 24.
479. (х + 2)(*-—5) + ЗК*(х—3) = 0.
480. ^А+Убх—Э + у^л:—!/6x^9 = 1/6.
481. уГх+2Ух~^Т — \/х—2\Гх=А =2.
482. ^х—3—21^x^4+ уГх—ЛУх^А=1.
483. J/T^x = 1/6^1— /— 5—2л:.
484. 1/5л^Л = 1/37^2—К2Т=3.
485. У5х+7—Vx~+3=*V3x + \.
486. 1/хЯ^+2УТ+Т = 1/Г+20.
487. У7=5--
36
jG^S
488. 1/^ + 15 =
10
Ух + 4.
/*-1
489. х + Ух*+\6= . 40 .
К*2 + 16
490. J/JcTT+^/i711!^^/^.
491. ^х^^+^/л^=^27+7.
492. y$=xY+ «/(6 + ху- У {3-х) (6+*) =*3.
493. Ух + 1 — Ух— 1 = $/*» — 1,

494. У—х—\ = 1—Ух + 2.
495. У(х—2)*-|Л + Ух^й(1/7=2—1) = 1.
496. f/y + x+ j/i~x«l.
497. y/rV6xi+l—2x= 1-х.
498. К^^ + У^—х—Vx~+T= 1.
499. ' + ' = = V^2(x»-t-1).
Кх+ Vx* — 1 К*— KF^T
Решить уравнение графически (задачи 500—503).
500. У7=Т = Х—1. 501. |/Z^^_x_2.
502. К11* = 2х2 — 1. 503. VT=x = — -.
х
Решить уравнение о параметрами (задачи 504—524).
504. V~a=x+Vb + x = V'a + b, a+b^O.
505. y~a^x + Vb—x = Va+b—2x.
506. Va -r- x = a—V—~x-
907.Vx~+4a=\rx + ^Vb, b^O.
508. W + 3a* — Уд;2—За* = л: 1^2.
509. KF+7«=sx + -7^=-.
K*2+a2
V^F+a У^л:—a V x*—a*
/~ _*
2a.
511. K*-a-]/^=^-
512. jAz8—xKJ^+a* = a—x.
R13 У%а—х+ У a—x_, У"2а—"х—У a-^x
' У 2a—х+ уТ^Зл |/"2а^1- У~7^3а
514, гх + гал+КлТ^О.
515, ^+a-^. = JLt а^0.
J/7+5+ |Т=в «
ctft l~ax -i/» + 2as_, ,
51в' 1+^ К 1=2Б - L
517. (x+Vx*— a)*(x— Vx*— a)=a.
518. Уа + х+ у/а=х=>21/а*-^х*.
519. Кх+о + VT^a =Ухг—а*.
520. К а*—* + VbT^rx = a + b.
521. $/(а + *)»•+ 4 У {а - х)» = 5 3/¥^7г.
64

522* l/a + x + l/a—x=\/2a, a>0.
523, у ~2X~a~a~x'
524. V2x— 1 — Vx=2 = a.
| 10. ИРРАЦИОНАЛЬНЫЕ НЕРАВЕНСТВА С ОДНОЙ
ПЕРЕМЕННОЙ
Так как неравенства рассматриваются только над множеством
/? действительных чисел, то слова „над R" будем опускать.
Пример 40. Решить неравенство
(1) V&—3*—10 < 8—х.
Решение.
( х*—Зх—10 > 0
<1>Н
8—х>0
{хг—Зх—10 < (8—х)г
( х>5
*<8
(х<—2
*<8 v
*<5ТЗ
V<
*<8 ~x<-2V5<k4'
9
*<5Тз
Ответ. ]—оо, —2] и [б, 5^Г.
Пример 41. Решить неравенство
(1) V~x~+2>x.
Решение.
l* + 2>0 ** + 2>х» l ^ l ^
~—2<*<0V<| "Г ~-2<x<0v0<Jt<2~
2<х<2.
Ответ. [—2, 2[.
Пример 42. Решить неравенство
(1) J/7+3—Vl=~x > K2Jc^8".
3 № 102
65

Решение.
~<
(1) ~Vx + 3>V7—x + V2x—8>
( х + 3>0
7—х>0
2х— 8>0
[а; + 3>л;— 1 + 2У— 2л;2+22*—56
|4<х<7
\4>— 2*2 + 22*—
( х > — ?
) *<7
*>4
|^2> J/ — 2х2 + 22л: — 56
[4<х<7 ^
~ U2— llx + 30>0~
.. v( -
4<x<5V6<x<7.
56
f4<x<7
\x<5 v \6<x
f4<x<7
\x<5V*>6'
4<x<7
Ответ. [4,5[U]6,7].
Пример 43. Решить неравенство
Ух2 + 6* > х.
Решение. у/ хг + 6х > х~
fx2 + 6x>0 fx< — 6V*>0^
~\r! + 6jt>;Ks\ х(л:2—ж—6)<0 ~
(*<—6V*>0 (*< — 6V*>0
' \ х(х + 2) (х—3)<0<^> \ x < — 2 V 0 < x < 3'
x(x + 2)(x—3)<( , ,
'*<— 6V0<x<3.
(*). См. рис. 9.
+
+
-2
Рис. 9
Ответ. ]— oo, —6] и ]0, 3[.
Пример 44. Решить неравенство
(1) V х + 2а <a—Vx.
Решение. Легко видеть, что при а^О данное неравенство
не имеет решений.
66 "*г

Тогда
о) ~<
(а>0
л:+2а>0
a— Vx>0
'a>0
х> — 2а
х^О
Vx<a
x + 2a<(a—Vx)2 { 2aV x <аг—2а
<а>2
0<х<а2
х<
(а-2)а (•)
0<х<
(а-2)*
\(*): а*> (^-^ при а>2, так как аг—{а~2)%=»
$ 22>0 при а>2.)
3a2+4a —4
3(a + 2)
Ответ. Если а>2, то Го, -i(a—2)2[;
если а ^2, то 0.
Пример 45. Решить неравенство
Решение.
Vx + a— у -2— < Kjc + 2a.
Vx + a- YlTTa <Vx + 2a~
х + а>0
x + 2a>0 ~
х + а—\a\<V(x + 2a){x + a)
\а<° Га = 0
Х > а ^ /ч
~\Х>-2а V *>0 V
\x + 2a<V{x + 2a)(x + a) \*<У *%
г*
67

a<0
x>— 2a
^a(x + 2a)<0
a<0
x^—'la V
(х + 2а)2<(л: + 2а)(л:-|-а)
a>0
x >—a ~
x<Vx* + 3ax + 2a*
a>0
x>—a
хг<х* + Зах-\-2а2
ja>0 (
\_a<x<0V\
ja<0 v|a>°
\л;>—2a \x>—a
a>0
x>0
Ответ. Если a < 0, то ]—2a, oo[;
если a > 0, то ]—a, oo[;
если a = 0, то 0.
Решить неравенство (задачи 525—541).
525. У хг—х— 12 < 7—а:.
526. У*2—5х + 6 < 2х—3.
527. V7T3>a;+1.
528. Ух* + Ьх—6>х + 2.
529. ЗК— л-2 + л: + 6>— 2 (2л;— 1).
530. Ух2—7л:—8 > х—6.
531. К3х2+13х + 4>л:—2.
/1+2
532
533
<1.
/2=* > К7^3с—К—3—2х.
534. Kx~+2 < 1Л:+12 — K2jc— 10.
535. /27+3 < 1 — V"x~+2.
536. /25—х2 + 1Л:2 + 7л; > 3.
537. 1/=^-1/'7ТТ > у=- .
538. /x+Vx -/х- V'x > ^у^—^г
68

539 (3-*) V*-x+(b+x) VT+H ^7
(8-jc) ^5+jc+(5+jc) V8-x 6 '
540. l/—9x2 + 6x<3x.
541. Ух^^х>— хъ/2.
Решить неравенство графически (задачи 542—545).
542. Vx=l > 2. 543. Vx + 2 > х.
544. УТ\Л > К^Т. 545. 1 > Kjc.
Решить неравенство с параметрами (задачи 546—561).
546. УсГ^х + УЗа + х> 2/а, а>0.
547.]/7+2a>Vx + Va, а>0.
548. J/lT^Jt + K^^Jc > /За —2jc.
549. }/"* + я<я—К*.
550. W —2ax <3а—х.
551. К^х>2х + а*.
552. Va2—4jc2 > 4jc.
553. j/a^x + Уг3а—х >2Va, a > 0.
554. К* + я + К*—я>2, а>0.
555. J/"^T^__ ]/^ < /2а— *.
556. /а2—*2 +/2ал:--л:2>а.
557. V^fx + Vb^Txya + b, b>a>0.
558.V'^^ + Vb2^^x>a + bt \b\^\a\.
559. \r2x—a>jc.
560. |/*2*a+-3< x —a.
561. Vx—a + V— x—a > —a.
§ 11. ПОКАЗАТЕЛЬНЫЕ И ЛОГАРИФМИЧЕСКИЕ УРАВНЕНИЯ
С ОДНОЙ ПЕРЕМЕННОЙ
Так как показательные и логарифмические уравнения будут
рассматриваться нами только над множеством R действительных
чисел, то слова „над /?" будем опускать.
Пример 46. Решить уравнение
(1) 22*+2 + 3-2*—1=0.
Решение. (1) -4.22ЧЗ'2*-1=0-2* = |у2х=-1-
~ 2х =4- ~ 2* = 2"2 ~ х =; —2.
4
69

Ответ. {—?}.
Пример 47. Решить уравнение
(1) 4-* — 3"*" 2 =3 2 "х — 2-2*~*.
Решение. (1) ~ 2-2* + 2~2*-1 = 32 ~*+3~*~ 2 ~3*2-2*-*=
^4.3^~^lg3-(2^+l)lg2=,lg4«(^ + l)lg3^
^ (lg 3—2 lg 2) Jt = — 4 Og 3—2 lg 2) ~ х = — ^ •
Ответ. < — 1 -g-V .
Пример 48. Решить уравнение
(1) log^rx + 31og2A:+log_LA: = 2.
2
Решение.
(1) - Г-Г12^!??-)2 + 31о^ ^ + i2SlT = 2 - 41о^ ^ + 31о2^ ^~
Wog2V2 J log2^.
— log t *=: 2 ~ 4 logix + 2 log, x—2 = 0 ~ 2 logiU + log2*—1 = 0 ~
~ log2x = y V log2x =—l~x = j/2~ V* = 4"'
Ответ. {/2, 4}.
Пример 49. Решить уравнение
(1) logax=loge(* + 6)--loga(* + 2), Где а>0, аф\.
Решение.
Решение
(о
loge х + loge (x + 2) = log, (x + 6)
' х>0
( х>0
х + 2>0
х + 6>0
loge(*(x + 2)) = loge(* + 6)
х>—2
1 х>-6
х(х + 2) = х + 6
у lOga(X(X-t-Z)) = 10ga(X-}-b) у X(X-fZ) = X-i
„I *>° „1 *>\! *>° „I *>°~х = 2.
\ х* + х—6=^0 \ х = 2 \ х = —3 \ х=*2
Ответ. {2|.
Решить уравнение (задачи 562—574).
1
562. 4*—2-6* = 9 .
563. 3.4* + 2.25* = 5.10*.
564, 4*-i—17-2*-"+1=0.
-L J. 1.
565, 9" * +12 ' ^ 16 '.
'. (/4+ /15)'+ (/4-КТ5У = 8.
566
70

«"• (4)'"' • /т-т ^-
568. 4*"1—3 2=3 2 —22ж"8.
569. 3-4-* + у-92-* = 6.4»-*—i-91"*.
570. 113*-2+ 133*"2 = 133*"1— 11»*-*.
571. (|-У = -2х2 + 6л:—9.
572. 2^"=1б]/ (-J")6"".
573. 2* + 2*+1 + 2*+2 + 2*+3 = 3* + 3*+* + 3*+а + 3*+8.
574. 10и+1>(3л+4) 1- ю<х+1)<х+2)= Ю1"*-*2.
Решить уравнение графически (задачи 575—579).
575. Ш* = — х. 576. 3*=-ix*. 577, 3** = 3*.
578. 2*2 = *2+12. 579. 2~* = Ух.
Решить уравнение (задачи 580—600).
580. log, (х + 2) — log, (jc — 2) = 2— log, 8.
581. log, log, log, (x+ 9)= log, 2—1.
582. 2x(l — lg5) = lg(4* + 2jt—6).
583. log, (2 log, (1 + log, (1 + 3 log, jc))) ei,
584. lg ^75+ 5»'«->=J-.
585. Ig2+ lg(4—i + 9) = 1 + lg (2-*-»+ 1).
58b' lg|4*-7| -1'
587. lg(x+l)—lg(l—x) = lg(2x + 3).
588. lg(x2-l) = lg(*-l)a + lg|2-x|.
589. lg(x—2) + lgx = lg8.
590. lg(* + 3)—21g(x-2) = lg0,4.
591. lg(*_l)(x + 3) + lgjy = 0.
592. K21g(— x— l) = lgj/"(jc+ l)2.
593. 21ogtJC + logK5->; + logj_>: = 9.
594. 1 + log, lj=* = (lg lg 10« _ l). log, 10.
595. х^'+з'з'+з = . 1 .
V^x+1 —l yOt+l + l
596. log^.logjr 2=log_, 2.
4 16
597. \ogiX-^-\og\x-\-\og%x=\, x>\.
598. logU+log6je|=l.
71

599. log2 (9*~2 + 7) = 2 + log2 (3-2 + 1).
600. log4log2x + log2log4* = 2.
Решить уравнение графически (задачи 601—604).
601. lg(jc—1) = л: — 2. 602. lg(x+l) = A;2 + 2x + 3.
603. lg (jc — 1) = — (л:— l)2. 604. lg(— x) = 2x.
Решить уравнение с параметрами (задачи 605—617).
605. loga (л: + 1) = loga (2a: + 8) — loga (л: + 2), a>0, аф\.
606, log8(4* + 2) —loge(—6x) = loge(l— 2x), a>0, аф\.
607, log^-2=l, a>0, аф\.
608. llgx-1+Tlj, афО.
lQg»(*+2) logfl(x+2) » "^ ' ^
610. 3lo*«*+1 +3-х10^3 =2, a>0, a=^l.
611. 21ogxa+logflXa + 31ogfl^a = 0, д>0, a=?M.
612. a^e^+a1 1(«»*=ая+1, a>0, a^l.
613. a* +bx = 3(ab)x, a, b > 0, a, b=^= 1.
614e lg(4 + a-x)al J^-2 0 ,
615. logvrFa.logaǤ^=j=lf a>0, a=?M.
616. logKFa-loge«|^=lf a>0, a^l.
617. \ogab(x—a)*+\ogab (x-by = 2, ab>Qf аЬф\.
§ 12. ПОКАЗАТЕЛЬНЫЕ И ЛОГАРИФМИЧЕСКИЕ НЕРАЗЕНСТВА
С ОДНОЙ ПЕРЕМЕННОЙ
Так как неравенства рассматриваются только над
множеством R действительных чисел, то слова „над /?" будем опускать.
Пример 50. Решить неравенство
(1) 3-7* + 5 — 2-7-*<0.
Решение. (1) ~ 3.72* + 5.7* — 2 < 0 ~3^7* — -±Л (7* + 2)<
<0 2<7*<1~ |-2<7*<У~0<7*<1~
6 [ 0 < 7* 3
1 \о Ч
~ — оо <х< log, у оо <х< — log, 3~ — oo<*<— JLj.
Ответ. ]-оо, -Щ.
Пример 51. Решить неравенство (1) xi + l0*>*> 81 х.
Решение. (1) ~ (H-log3 х) log3 х > 4+ log, х~ log^x > 4~
~log,x<—2 V log3x>2~0<x<-i-V*>9.
72

Ответ. ]о, 1[и]9, оо[.
Пример 52. Решить неравенство
Решение. (1) --£-, > g±i.
Полагая у = ах, получим:
^>^~^-F^>0 (*-1)(</-2)>0~
-(2j/-1)({/~1)(i/-2)<0-KtV1<K2.
(•) z
(*): См. рис. 10.
- + — -b
0 0 О ^
f * 2 У
Рис. 10
Так как у > О, то получаем: 0<^/<-2 V 1 <J/<2. Если
О < а < 1, то loga2 <х <0 V — log, 2 < * < оо; если а> 1, то
-оо < х < - log, 2 V 0 < х < log, 2.
Ответ. Если 0<а<1, то ]loge2, 0[и] — log,2, оо[;
если а>1, то ]—со, — loge2[U]0, log,2[.
Пример 53. Решить неравенство
log,x + 2> 31ogxa, где а>0, аф\.
Решение, log, х + 2 > 3 log х а ~ log, х + 2—^-^ > 0 ~
~1^+£°1а*~3 >0Mlog,x-l)(loggx + 3)loggx>0~
юВах (*)
3<logex<0Vlogex>l.
(*). См. рис. 11.
+ - +
-J 0 ' logQx
Рис. 11
1-й случай. О < а < 1. Тогда получим: 0<x<aVl<*< a"3.
2-й случай. а>1. Тогда получим: а~3 < х < 1 \/х>а.
Ответ. Если 0<а<1, то ]Ot a[u]l, ^[;
если а> 1, то ]1 , 1[и]я, оо[\
73

Решить неравенство (задачи 618—640).
m> —ttv+-ttv<1-
5-Ш 1+(т)
620. ^т-т> '
3*+i_i ^ 1—3* •
621, Ах2 + 3УГ+^ + х-Зг^ <2xa-3v^-\-2x + 6.
622, 5"*+* + 6*+*>30 + 5*-30*.
623, logs (* + 4)< log, (х* + 2х - 2).
624' Ча.£Й<1о2.!_<5-*)-
2 ' 2
625. l,251^log^<0,642 + 1°^".
626. 1—г! + -Т—-—> 1.
1 — log Y х log x x ^
T T
log, л:— 1 logx x—3
627. 1-Z^-o<
log j *+2^ log x x+4'
3 3
628. logg(A;2—4x-f 3)< 1.
629. log,.! (*+!)> 2.
630. log, (9*^ + 7)-2 < log, (3*-*+ 1).
631. logx21og2;e2>log4x2.
632. 1оел21об^2>Т5^.
16 Ь'
633. logSj(|-+log-х<1.
634. *»-»>«*.*■'«*!*>!.
635. 1од_1_х>1<я,3—|.
3
636. log^ log, ^1 < 0.
2
637. log, log, gr < logj_ log^ ji}.
638. log_i_ log.d/PTT + x) < log, logjL_ (KF+1- x).
3 6
639. log, 4x~2
>X
~T> 1.
log * - log г ДГ
640, 2x T — л: T < — 1,
74

Решить неравенство графически (задачи 641—646).
641. 2*-!<2—х. 642. 21*1 > 4.
643. ^1^+1<л; + 2. 644. |logtx|>2.
645. log3|jt— 1|<1. 646. logjJjtOlJcl— l.
2
Решить неравенство с параметрами (задачи 647—658).
647. 31og;U+logax>0, a>0, аф 1.
648. loga(x-l)<loga(2x + 4)-logaA:, a > о, аф\.
649. 4logaж + 1 <31ogxa, a>0, аф 1.
650. 6 log, a < 1 + loge x, a > 0, a ^ 1.
651. 4-
>
16
;, а> 0, а^= 1.
log* a ^ loga*—2:
652. 2l°g-*a < i_ ' a>0, а=^1.
l + log_*a^ 2-loge(—*)• ^ ' r
653. 'og|,-41oga<+3>0| fl>0 ^K
loga X+ log0 Ж
654. 31oga.A; + 2>log;,a2> афО, аф\, аф—\.
655. jcloe"t+1>aax, a>_0, a^= 1.
656. loga.* x*+ log_«_ j/x < 2, a > 0, а=£1.
657* logg (fr'x) + 10§'^ + 2 10§ »* й > °> a>0> афХ'
658. -J- lg (3a-*) < 1 -4- lg (2x-a).
§ 13. СИСТЕМЫ (КОНЪЮНКЦИИ) И ДИЗЪЮНКЦИИ УРАВНЕНИЙ
Решить систему линейных уравнений методом
последовательного исключения переменных (примеры 54—56).
Пример 54.
( Зх—5</-f-2z + 4u = 2
(1) ) 7х—Ау + г+Зи — 5 над /?.
I 5х + 7у—Ьг—6« = 3
Решение.
'3 — 5 2 4
1 6—3—5
,5 7 —4 —6
ЕЗ Ы*)/1 6—3 —5
I-J 3—5 2 4
Лч5 7 —4 —6
/1 б —3 —5
~(0— 23 11 19
V0 0.00
1
6—3 —5
2 )~ЕТ| 0—23 11
ЗУ >_*\0 —23 11
— 1 WoH(I) = 0.
75

Ответ. 0.
Пример 55.
x — 5y + 2z = —5
2x + 3y—5z = 7
2x + 5y—8z = 8
[4x + 3y—9z= 9
над С.
fl— 5 2
0 13—9
0 2—3
0 —7 7
-5|
17
1
-7)
Ответ. {(3,2, 1)}.
Пример 56.
Зх + 4 у+ г + 2 и = 3
6jc + 8 y + 2z + 5 w = 7
9х+120 + Зг+1Ои=13
Решение.
EI EI
над Q.
76

Ответ, {(*, у, l—3x—Ay, l)\x,y£Q}.
Пример 57. Решить систему:
г=1
О)
| х + 3ау =
\ ах—Зау =
2а+1
над /?.
Решение. Первый способ (метод последовательного
исключения переменных).
\-a\fl За
<а —За
1
За
|2а + 1
1-й случай. афО и аФ—1.
'1 За! 1\ /10
В df\0 —За(а+1)
a + l).
|—*/1 За 1\ /I О 2\ ( х = 2
х = 2
2-й случай. а = 0.
В
\о oh;
=>ОИ(О-0.
3-й случай. а = — 1.
1 —3
В =
0 0
i)
=> х—Зу =* 1 ~ х = Зу +1.
Ответ. Если а=^0 и аФ — 1, то < f 2, —за)} ♦
если а=— 1, то {(#, #) €/?2|х = 3#+ 1}; если а = 0, то 0.
Второй способ (с использованием определителей).
д
д*=
/
=
1
а
За
—За
= -
1 За|
2а+1 —За |
Ч
=
1
а 2с
1
1+1
-За(а+1),
= -6а(а+1),
= а + 1.
1-й случай. А=^0, т. е. аф0, аФ— 1. Тогда система (1)
имеет единственное решение:
т. е. <
х-2
</= —
За"
77

2-й случай. Д = 0, т. е. я=*0 или #=*—1.
( х = 1
а) а = 0. Тогда система (1) < л i не имеет решений.
( х—Зг/=1
б) а=* — 1. Тогда система (1) < Q t ~ х—3r/=l ~
~х = Зу+1, т. е. система (1) имеет бесконечное множество
решений.
Ответ. Если афО и аФ— 1, то ^ (2, — jg)f;
еслиа =—1, то {{Зу+1, y)\y£f!}] если a = Q, то 0.
Пример 58. Решить систему:
(6x(y2 + z*)=l3yz (I)
(1) \3y(z* + x*) = 5zx (2) над Л
[Qz(x* + y*) = 5xy (3)
Решение. 1-й случай. Если у = 0 и г — 0, то x£R.
Аналогично, если z — 0 и х = 0, то y£R, если х = 0 и г/=0э то z£R.
2-й случай, я^ОЛУ^ОЛ^О.
а) Пусть (я, г/, г) — решение системы (I). Тогда:
(I) =>
f 6^ + te^13 (4)
Й+Зе..10(5)=>|
— • ^i = 5
# "*" х
2 "*" У
(6)
^?4- — =10
6л?г
(4)
(5)
(6)
6*2 _ ,
~У
(8)
(9)=»
^=*9 (10)
бди «
I г т * т j/ 1 '
(8)
(9)
(Ю)
х=1
(15)b=TVd6) J
г=Т
^хуг=*т (11)
х=1
У 4-V(17) L = i-V(18) J
*а=1
* =—1
(12)
(13)
(14)'
(И)
х = —I
г/ = -Т
2=т-
б) Проверка. Непосредственной подстановкой в уравнения
системы (I) вместо х, у, г полученных значений убеждаемся, что
(l 1 1) (i _1 -±\ (-1 1 -1) (-1 _1 ±\
\1* 2» ЗУ1 V1' 2» 3jf \ lf 2' 3J* \ h 2» ЗУ
являются решениями системы (I).
78

Ответ. {(х,0, 0)\x£R}U{(0,y, 0)\y£R}U{(0, 0, г) | г € /?} U
U \ V '* "2" ' "3"J ' V'~~2'~~3j' \l^T'~~з)^
(~'.-М)}-
Рассуждения, проведенные в пункте а), можно схематично
изобразить так:
(и
(2)
di I (3)
fill
У*
(!)=<! (2) ->{im = (5)
= (4)
хг
= (6)
(4)
(5)
(6)
(4) + (5)+(6)
= (7)
(7)-(4)=(8)
^^(7)-(5)=(9)=>
(7)-(6)=(10)
(8)
(9)
(10)
(8Н9НЮ)
216 —\il>
'^-(и>
(9)
(П)
■^--{13) =i>(15)V(16)V(1.7)V{18).
= (14)
(10)
(И)
Пример 59. Решить дизъюнкцию уравнений:
VGc+T = х— 1V -VxTl = х—1.
Решение. 1) )Лс+1=*-1~ ^ х+1==(х_1),
( х>1 / х>1 W/*>1 ,
~\ *(*-3)-0~\*-0 Vb = 3~* = 3'
Ответ. {0; 3}.
Пример 60. Решить дизъюнкцию уравнений:
*=0.
1/хг + (зх = х V — V— х* — 6х = х.
Решение. 1) ]/х2 + 6х = х ~ I
j x<—6Vx>0
л;8 + 6л: = jc9 '
x=0V^=-2V* = 3
х = 0 у * = 3.
Г9

^ \ х2 + 6л: = л:3 \ л;(х2—х—6) = 0
f-6<x<0
~(, = 0Vx=-2Vx = 3 ~ *-0V*~-2.
Ответ. {—2, 0, 3}.
Решить систему уравнений над R (задачи 659—661),
659. <*»—бх + 6 = 0 660. f x_^ = 0
\л;*—х—2 = 0. \x + </=l.
661, [х—у = 2
ху=\
log,***—1.
Решить дизъюнкцию уравнений над R (задачи 662—670).
662,
664.
х»_5х: + 6 = 0 663, ГЛ;_{/ = 0
х*— х—2 = 0. [х + у=1.
х—у = 2 665. Г j/>+ 5x4-1=2*— 1
667.
668.
*</=! I —VV+5x+l=2x —1.
|_ loga д: = — 1.
666. Vx + 3 = 3—Vx\/Vx + 3 = 3 + V~x.
Y—xVx*= — x\/—yf—xV~x* = — х.
Vx^+l—KF^4 = xV"2
—V*T+i+]/*»—4=xV 2.
669. ^/2jc—x2 = * V — ^x2—2* = x
670. I Ух* + Ах-Ь = х-\
[— У—х*—Ах + Ь = х—\.
Решить систему линейных уравнений методом
последовательного исключения переменных (задачи 671—676).
671. ( х+ у+ 2= з 672. ( х + 3у+ г = 5
I х + 2у—2г= 1 надС, ] x + 2y + 3z = —l надв.
| х+ #—Зг = —1 ' \2х+ у+ z— 2
\2х+ у—3г= 1
х+ у+ г+ ы= 7
y+2z + 6u= 2 3 над R.
Зх + 2у+ г—Зи = — 2
673.
674.
80
х—2у + 3г —« = 2
Зл:— y + 5z — Зы = 6 над /?.
ч2л:+ г/ + 2г—2ы = 8

над Q.
675. ( х+ у+ г- б
2х+ (/—32==— 1
Зх—2у + г=»— 1
ч4*—2у—Зг = — 8
676. f x—2#+3z + 4u = 4
jc + 3t/ +3ы= 1
у— г— «== — 3
— 7^ + Зг— и = —3
Решить систему уравнений (задачи 677—688).
над (Л
677.
678.
679.
681.
683.
685.
686.
/М + % = 7 над я
\2* + 2|у-1| = Знад/?-
Л*|+2|у|-3 над/?
\2(х-1)* + (у—2)а=1 А л
{
х2 + у = 20
х + </2 = 20
над С.
680.
682,
684.
'х +у +г =2
х2 + (/2 + г2 = 6 над С.
,*3 + f/3 + z3 = 8
'xt/ + JC2 = JC2 + 2
хУ + уг = У2 + 3 над /?.
хг -{- t/г = г2 -f 4
Зха + Зг2 — bxyz = 0 над Л
2х* + 2у* + 3хуг = 0
x + y + * = j
xyz== 1
1 4-14-1 = -
687.
над R.
688*
У+г—х_г + х-
7 ~~ 11
хАгУ—z _xyz
5 3
( *У + уг = 8
yz + zx = 9 над /?.
гл; + xt/ = 5
* + </ +г =3
*2 + */2 + га = 5 над С.
*4 + у4 + г4=17
(* + #)(* + *) = х
(# + г)(# + *) = 2*/ над R.
(z + x)(z + y) = 3z
' x2 + yz = y + z
y* + zx = z + x над R.
z2 + xy = x + y
над /?.
689, Доказать, что (0, 0, 0) является единственным решением
системы уравнений:
' 2x + y + z = 0
уг + гх + ху—уг = 0 над R.
xy + z2 = Q
81

690. Доказать, что если
*2 +х3 + х4 = 0
*99 "Г -^100 + A'j = U
1^100~Г^1 "I X2 = ^i
то х^ — х2 — ... — Xq9 — -^юо — ^*
Решить систему уравнений с параметрами (задачи 691—702).
691* ах + у = 2
< . * 0 над R.
{ х + у = 2а
693, / х-\~ ад=1
= 2а + 3
\ дл;— Зш/==
V х—у —а—о
над С.
692.
694.
696.
{ х + ау = а2
ах — у — Ь
над R.
Ьх-\-у = а
ах + У+ 2 = 1
х + ау+ 2=1 над R.
х+ y + az=l
над /?.
697. f д^ _}_ ш/ + (а + 1) 2 = я
ajc + ay + (a— 1) г = а
x +(а + 2)г=1—а
698. f \x + y\ = x_y + a
Л i \ , i над Л
699. J x2— y2 = a2
\ (х% + у*)* = 4а*ху над Л
700. lx+y=a c
701# Г */ + 2 + */г = а
2 + л: + 2х = 6 над /?, (a + 1) (6+ 1) (c+ 1) > 0.
* + # + *# = £
702. ( (y + Z)2_X2 = a
(z + x)2—y2 = b над Rf a% Ь% сфО, a + b + c>0.
(x + y)*-z2 = c
703. Исключить xt у из системы
* +y =a
x*+y* = b над С.
jt8 + у» = с

704. Исключить а, 6, с из системы
— = -^- = -1
& + Ь* + с*=* 1 наД Л а, Ь, ^=^0.
705.: Исключить jct (/, г из системы
над /?, а, Ь% сф 0.
ха(г/ + г) = аз
*/2(г + х) = Ь3
22(x + j/) = c»
хуг = обе
706« Исключить х, у, г из системы
У + г2—2ш/г=0
22 + jc2—2ft2jc=0 над /?.
х2 + */2—2сл#=0
Решить систему уравнений над R (задачи 707—722).
707- [,ПГШ71л.,Г1Г^Ги=ч 708- / у—у=у—у
709,
711.
2х + */ + 1 = 8. (* + *</ + # =9.
£/* — j/# = 3. I x + jc*/ + i/ = 7.
713. J (jc2 + Xj/ + j/2)|/x2+ j/a= 185 714. ( *+t/ + K*f/= 14
\ (x2 — *{/ + */») /x2+</2 = 65. \ *2 + */2 + ;q/ = 84.
715. ( _ f— _ ут— 7 716. [ _,_ ух
ll/"x3t/ + K^l/3= 78.
717. f s+ fx*^» х- ^s^y* _ 17
,x(x + y) + Vx* + xy + 4 = 52.
718, 7х—\\у=Ух~+^=Ух~+9у.
(x-y)Vy = -
83

l -r^ff-^ a¥=Qt Ьф^
719. (x*+yVxy=420 720. (xVx+yVy = 34l
\y*+xVxy=280. \xVy + yVx = 330.
721. (YxTy + V^±z = 3 722. (V~x + V~y + V~z= 4
Vy + z + Vz + x = 5 \x + y + z = 6
Vz + x + Vx + y = 4. [хг + у* + г*=18.
Решить систему уравнений над /? с параметрами (задачи
723—726).
723. Г У1ГГу-У7=-у = а а>0
\ УкЬ + уЬ + Ух*—у2^а2'
724. j xVJTy^a
yVx+y = b'
725. I ух2+у2 + ухг—у* = 2у 726. r x = aVx + y + z
\ x*—y* = a*. J y = bVx + y + z
{ z = cVx+y + z.
Решить систему уравнений над R (задачи 727—737).
727.
729.
У
730, ( jclog.f/logx 2 = yV~y{\-\ogx2)
( х» = 243
1 1024~ =
f !%*-
1^ = 16.
=(4
log,
x)\
8
У = Т
728.
{
4x2 —y2 =
log, (2*4
= 2
-У)
731.
logj,»21ogKrx=l.
f yxloev* = x*V~x 732- I x*+« = y*
I 10g4 t/ 10gy (I/ - 3*) = 1. \ У*+» = Л
733. (xy7+VJ = yiy-i
{
734. J logy|log„x| = log,|log,y|
lg2x+\g2y = 8.
735. Г 11**—2-6» = 71
1P + 2.5"^ = 21
H<*-i>*-f-5T=16.
84

736. ( log2x+log4y + log4z = 2 737.
log3#+log,z + log,* = 2
log4z + loglex + logle«/ = 2.
Решить систему уравнений над /? с параметрами (задачи
738—743).
738. ( ха = уь
\1о*е7=Т*£Т' а* Ьф0* афЬ> с>0, сфХ'
739. I х« = ух 740. ( & = у*
\xr = y, p, q>0. \ px = q", p,q>0.
741. ( \ogax\oga(xyz) = 48
\ogay\oga(xyz)=\2 , a>0, аф\.
log» 2 !oga (*#г) = 84
742. ( \og*p yz— \ogPx-=a
\og%zx—\ogly = b, p>0, рф\, a + b + c>0.
\og'pxy — \oglz = c
743- (log^+log^-l
( x + y = a2 + a.
§ 14. СИСТЕМЫ (КОНЪЮНКЦИИ) И ДИЗЪЮНКЦИИ
НЕРАВЕНСТВ С ПЕРЕМЕННЫМИ
Так как неравенства рассматриваются только над
множеством R действительных чисел, то слова „над R" будем опускать.
Пример 61. Решить систему неравенств:
{ х-у>0
(1) \ х+у-4<0
{ х-2у-1<0.
Ре шен и е.
( У<х
т~\><-'+\
Изображаем прямые, заданные уравнениями у = х, // = 4 — х9
у = -^х—j, и отмечаем (стрелками) полуплоскости,
изображающие множество всех решений неравенств у<х, у < 4 — х9
У*>-к*—к (см# Рис* ^)# Пересечением трех полученных
полуплоскостей является треугольник ABC ^без границ).
85

Решив уравнение *=у х—у
(для Л), х = А—х (для В),
у*—у = 4 —л: (для С), найдем
абсциссы точек Л, В и С:
хА = — 1, хв = 2, хс = 3.
Тогда (1)~
( -1<*<2
т(х— 1) <у<х
V
Г 2<jc<3
Ответ.
Рис. 12
1
^1<х<2,у(д:^1)<(/<д:^и
и{(д:|у)€/?2|2<х<3| !(*-!)< 0< 4-х}.
Пример 62. Решить систему неравенств:
/
(1)
2х2 + ах<3а2
'-¥>»■
эешение. (1) ~ { V 2/ ~ { х*<0 V
i *(* + «)> 0 (х*>0
V-
' а>0
_|<*<fl у
k x<—a Vx>0
( а<0
J . . За ( а = 0
\ * € 0
(х< 0 Vх>—а
(а>0 ( а>0 (а
v(_|<JC<_av(0<x<flv{fl
(а<0
V|-a<,<-?.
<0
<х<0
V
Ответ. Если с<0, то ]а, 0[и —а, —у ;
если а>0, то — у, —а и]0, а[; если а = 0, то 0.
Пример 63. Решить дизъюнкцию неравенств:
Ух2—6х<— XV —1/—х2 + 6х<—х.

-л:»
х < —3.
— хг + 6* > О
■6х<—х3
0<x<2.
( *<0V*
\ х» + х2 — (
Решение.
,, ( х'-6*>0
1) ^-6*<_* ~{ х,_Ьх<_
( jc<0VO6
~\ jc<~3V0<x<2
2) _J/-*» + 6x<-*~{ ~
Г0<х<6
~ \ х<—3\/0<л:<2
Ответ. ] —оо, _3[и]0, 2[.
Решить систему неравенств (задачи 744—750).
6jc<0
0<x<6
744.
746.
2х+1 2 —а:
5 3
—4л:—1 >0.
>1
745. ||_3<£±! + 5
1 х2 —х — 2>0.
Г — Зх— 1
<-2
2л—1
( х2 —5л:+4<0.
747. |/х2-7х+ 12</x<Va:2 + 2jc-
748. | 1/4^Гз<х+1
I /7+б + уТ=х>4.
749- (lgVTT8>lg(x-4) —21g2
12.
х2+3
■>0.
U2—18х+81
750. ( xlg2 + lg(2-+2 + l)<lg(7.2^i+12)
i ls(*+3)
> 2
Решить дизъюнкцию неравенств (задачи 751—755).
751.
753.
2х+1
5
L — 4лг —
г—з*—;
з
1>0.
<-2
>1
752.
'2L_3<i±I + 5
L*2 — х—2>0.
2л: — I
_*« —5* + 4<0.
754. ]/7+з<х+1 v — V7Ta<x+i.
755. ухг — 9.х > — л: V — ^— *а + 2л: > —х.
Решить систему неравенств с параметрами (задачи 756—761),
756. ( ах < 5а —9 757. ( 2 — Зх>8а
\ х < 3. | 2ax— 6а > х.
758. ) (а + 3){х—3)> 3(* — 4) 759.
' (а + 2)*>(а+1)* + 5. <- __ ' л и . а^=0.
* . 3
л: > —
а ^ а
87

760.
x + a>
2a2
761.
x2— ax < 6a2
x
>0.
. x2<2ax + 3a2. у х-2а
Указать систему неравенств или дизъюнкцию систем неравенств
с переменными х, у, множество всех решений которой
изображается заданной областью (с
границей) на плоскости XOY
(задачи 762—764).
762. См. рис. 13. 763. См.
рис. 14. 764. См. рис. 15.
У;
0 1 х
y=i
УЛ хЧ
\ 1
Х^:
/ 0
У
/<v
у-1
X
Рис. 14
Рис. 13
Указать область на плоскости XOY, являющуюся
изображением множества всех решений данной системы неравенств
(задачи 765—769).
765. ( х > 0 766. ( х > 0
у>о |у>о
х + #<1. \ У<1
У<Т
767.
У<х2
У>х-
1.
768. ( у < log^ х
769, Г<,<)Лс
у<2—х.
Решить систему неравенств с двумя переменными графически
и аналитически (задачи 770—782).

770.
f л:—2t/ + 2 <0
\ x-2y-2>0.
772. j x—2y + 2>0
\ x—2y—2<0.
774. } x + y—2>0
\ x-y>0
{ 3x—y—6<0.
776.
<
' x>0
y>o
У<2х
У>\х
778. ' t/>0
J y<j+\
U<(ir-
780. j y>x2
\ #<4—x2.
782. ( |х + 2г/|<2
M<1
( 2x —*/>0.
Глава III
ТРИГ
ОНОМсТРИЯ
771.
773.
775.
777.
779.
781.
J x— 2*/ + 2<0
\ x—2y—2<0.
| x + «/-2>0
\ x-«/>0.
( x + «/—4>0
J x_y_4<0
[ 3x + */ + 4>0.
( </>*2
| y<\
[ У<х+\.
{ x>y*
\ x—2<0.
Г |2х—у|<2
J 4* + 3</>l
|>|<3.
В главе III каждое выражение, равенство, неравенство будет
нами рассматриваться только над множеством R действительных
чисел, поэтому слова „над /?" будем опускать.
Так как в главе III буквы ky /, m, n, г, s означают целые
числа, то слова „k£Z" (J£Z" и т.д.) разрешим опускать.
§ 15. ДОКАЗАТЕЛЬСТВО ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИХ ТОЖДЕСТВ
НА МНОЖЕСТВЕ
Пример 64. Найти область определения левой и правой
части тождества (1) clga = T— на D (1),
89

Решение. Область определения левой части тождества (1)
на D (1) (D (л. ч.)): sin а ^= 0 ~а=^ шп(т€2Г).
Область определения правой части тождества (1) на D (1)
(D (пр. ч.))!
cosa=^0
sin a Ф О
аф^ + nk
•аф%{1^\
аф л/я
Ответ. D(n. ч.) — {а£Н\аф пт, m^Z\\
D(np. 4.) = {aC/?|a=^^, /gzj.
Пример 65. Доказать тождество (1) tg2a = 1^_t^a на D(l)
и найти область определения левой и правой части этого
тождества на D (1).
^ . 0 sin 2 i 2 sin a cos a 2tga
Решение. tg2« = E^5= COs>«-sin%
l-tg«a •
я , яЛ
0(л. ч.): cos2a=5£0~2a=^|- + nft~a=^-J + -^.(ft€Z').
( cos a # О | cos a:
аф-2+пп(п$г)
nk
Ответ, D(n. 4.) = ia€/?|a=^-J + -y-, k$z\\
D(np. ч.) = {абЛ|а#=^ + л/г, а^= ^- + ^-, n, k^z} .
Пример 66. Доказать тождество
cos2x + cos* (x + *) +cosJ ("У—*) =4'
Решен ие. cos2x-f- cos3 (-£• + *) -f-cos2 (-£■—*J =
i-(l+cos2x) + 4(l+cos(^+2x))+l(l+cos(^-2x)) =
4 + lcos2* + l(cos(^ + 2*)+cos(^-2*)) =
Q1 A<rr Q 1 t О
Y + yCos2x + cos — -cos 2x = -2" +у cos 2a:—^-cos 2x=*-g .
Пример 67. Без применения таблиц вычислить
я 2л
cos-=-—cos -=-.
о 5
90

Решение/
я 2я 1 /0 . п [ я 2я\\
cos-7-—cos-^ = 2sin-=- cos -г—cos — ))
5 5 2s.n\ 5\ 5 bj)
5
1 / . 2я . Зя , . я \
= 7-ir(sin— -smx+smT)-
2бш— '
о
1 / . 2я . 2я , . я \ 1
=—-г {sm--sin ir+sinir) =т •
2 sin— N '
2sin-
o
Ответ, у.
Найти область определения левой и правой части тождества
на области его определения (задачи 783—790)*
783. tg a cos а = sin а. 784. tgactga=l.
785. tga-JU 786. tga =
Ctga l-tg»f
2tg- 1-tg*-
787, since = — . 788. cos a = .
l + tg2f 1+4^Т
789. tg£ = i=£^. 790. tg-£ =r|^-.
ь 2 sin а ь 2 1 + cosa
Доказать тождество на области его определения (задачи 791 —
799).
791. ctgfa — 4^) (1 + sin2a) = cos2a.
792. sin3a = 3-sina—4sin3a.
793. cos 3a = 4 cos3 a—3 cos a.
794. sin2acos ( -g- + y ) cos ("g-—у) = cosacos-j cos —•
795. sin2a + sin2(^.+a)+sin2(-|b_aj=|..
5 3
796. sin6a + cose a = —+ -3-cos4a.
о о
797. sin (clg a) + sin (tg a) = 2 sin (^j^) cos (ctg 2a).
798. tg2atg(-J-a) + tg2atg(j-a) +
+ tg(^-«)tg(i-«)-l.
799. ctga— tga—2tg2a—4 tg 4a=;8ctg8a.
91

Без применения таблиц доказать, что (задачи 800—808):
800. соз 10° cos 50° cos 70° = -О- •
О
801. cosyCOS^y-cos-y-=i-.
802. cos^ + cos^+cos-^ = -i-.
803. ctg70° + 4cos70° = K3.
опл 2я . 4я 7я я 1
804. cos-fg. + cos-^-cosir-cosTH = T.
805,
15 ^ "и" 15 "^ 15 "" 15
1 . 1
. я . 2я ' . Зя
sm у sin -=- sin -=~
806. tg 55° tg 65° tg 75° = tg 85°.
807. tg 20° + tg 40° + tg 80°—/3 = 8 sin 40°.
808. cos 20° cos 30° = cos210° tg 40°.
Вычислить, не пользуясь таблицами (задачи 809—812).
809. sin^ + sin'-^ + sin^+sin1^.
810. sin 10° sin 50° sin 70°.
811. sin-fg—sinTo.
812. ctg20octg40°ctg60octg80°.
Упростить выражение (задачи 813—819).
R|« sin 160° cos 70°—cos 200° sin 70° —cos 235° sin 215°
*i6' tg55°ctg215° •
8|4 sin 190° +cos (—320°) — sin(—170°)—cos (—140°)
ctg(—112°) + ctg(—140°) —tg(—338°)+tg230° '
R|- cos 5a-f cos 6a-f cos 7a
sin 5a+ sin 6a + sin 7a
816. sin6;ccos32x + cos6xsin32x.
8l7'(sin;f + liHTr + (COSX + ^7)a-tg2x-ctg2x-
818. 2 (sin4 x +sin2 я cos2 x + cos4*)2 — sin8 x—cos8 x.
01л /i/rl— COS* , --/^l+COSxN .
819. ( 1/ t-j \- 1/ -j-1- sinjc.
\ V 1 + cosjc ' V 1—cosx/
820. Найти значение выражения c,g _. , если
sina = 2g и Y<a<JX-
821. Исключить a из системы:
j x = lga—ctga
\t/ = tg2a + ctg2a.
92

822. Доказать, что выражение
sin8 а cos8 а singg . cosg а . sin4 а
8 ПГ" 3 + 6 + 4
не зависит от ос.
823. Найти cos (а—P)cos(a + P), если известно, что cos2 а 4-
+ cos2p = c.
824. Зная, что sin a + cos a = 6, найти sin3 a + cos3 а и sin4 ос +
+ cos4 ос.
825. Зная, что cos ос + cos p = a, sinoc-f-sinP = fc, а2 + Ь2фО, найти
sin(a + P).
826. Выражение sin5a—5sin3oc + lOsinoc преобразовать в
произведение.
827. Доказать, что если cos у = cos ос cos р, у + а% У—а> Р Ф
Фл + 2тгк и аф^ + nk, k£Z, то
tg^tgx=^=tg>4.
828. Доказать, что если 3sinP = sin(2a + P), аф^ + nk иа + Р^
Ф^ + nk, k£Z, то tg(a + p) = 2tgcc.
829. Доказать, что если sina + sinp = 2sin (ос + Р), а + р=т£2л&,
ос, р=^=л + 2л£, *€Z, то tg|tg| = i-.
830. Доказать, что если a + p + v = Jt, то
sina-f sinfi + sin у = 4 cosycos 4-cos -|-.
831. Доказать, что если cc + p + v = ji, то
cos2oc + cos2 P -f cos2 у + 2 cos a cos p cos у = 1.
832. Доказать, что если а + р + у = л, a, p, Y^y + яй, &6 2Г,
то tga + tgp + tgY = tgatgptgy.
833. Доказать, что если а + р + у = л, а, р, уфл + 2тск, k£Z,
то tgf tgl + tgltgl + tg jtgf =1.
Доказать тождество на области его определения (задачи
834—840).
834. s№^±|^ + sin'^±p£ + 2sin2±|^Isin2+|^cosa =
= sin2 ос.
835. 1 —cos2 a—cos2 p~ cos2 у—2 cos a cos p cos у =
A ct+6 + Y P + Y —a a+Y—В a+6 —v
= —4 cos ^^icos ~-*-ъ— cos -^—- cos ^~—i.
836. cosacos2acos22a...cos2*-*a = 4!r^, n£N.
2" sin a ' ^
93

838. sin a + sin 2a -f- sin 3a + ... + sin na =*
1 . (n-\- l)a . па ^ xr
.a 2 2
839. cos a + cos 2a + cos 3a + ... + cos na =
1 л (/г+ l)a . яа - .,
sinT
a ~" 2 *"" 2
840. sin 2nx + sin 2ny + sin 2/гг = (— l)n+l 4 sin /гх sin fi# sin /гг,
если x + y + z = n, n£N.
§ 16. ДОКАЗАТЕЛЬСТВО ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИХ
НЕРАВЕНСТВ НА МНОЖЕСТВЕ
Пример 68. Доказать, что если а + р +у = я и a, p, y>0, то
Sin-2-Sin-^Sin-^-^-g-.
Решение, sin у sin у sin у = ysin у (cos ^-y-i-—cos Чр) <
<isin|.(l-sinf)(S)l.
((*): так как cos PT"Y ^1 и siny>0; (**): так как наибольшее
значение функции, заданной выражением х{1—х), равно -j .)
Пример 69. Доказать, что если
6—х
За:2 — 31л: + 80 < 0, то cos^-<0.
Решение.
За:2 — 31а: + 80 < 0~
с . ^ 16 - . . 16
~ 5 < х < у ~ —5 > — х> —-j ~
~i>6-*>4~i<g^<4~
^ 6~* 2 I . я ^ 3 . Зя v 3 ^л
(f<3)A(i<f){T ^ Т ^
Пример 70. Доказать, что если а+$+у=п и a, |J, у>
>0, то
sinT sin^ sinX
>6.
94

Решение. Так как а, р, у > О и а + р + 7 = я, то а» Р>
7б]0, я[, значит, у, |-, |- £ ]о, у[. Тогда sin-J, sin-|-,
sin|>0.
Используя известное неравенство между средним
арифметическим и средним геометрическим неотрицательных
действительных чисел, получим:
(1) ~^+~Т+~Т>Т7=а . р 8 Y '
sin у sin-^- sin-i- у sin — sin^-sinX
Но (2) sin-~sin-|-sin-|^-g- (см. пример 68). Из (1) и (2)
следует, что
sin у sin-^- sin-L
если а + Р + 7 = я и а, р, v>0.
Пример 71. Доказать, что
(1) | sin па: | ^ п | sin л: |, где n£N.
Решение. Докажем неравенство (I) методом
математической индукции.
1) п=1. Тогда |sinx|^|sinx|.
2) Пусть неравенство (1) верно для n = fe (k£N)f т.е.
(2) |sinftjtK& |sinx|.
Докажем, что тогда неравенство (1) верно для n~k+lt
т. е. что
(3) |sin(*+l)*K(*+l)|sinx|.
Так как |sin(£+l) х| = |sin (Ах + х)| =
= | sin kx cos x+cos kx sin x | ^ | sin kx cos x | -f1 coskxsin x \ =
= | sin kx 11 cos x | + | cos kx 11 sin x К | sin &* | -f-1 sin x I ^
(*) 12)
<&|sinx| + |sinx| = (&+l)|sinx|, то
|sin(£+l)x|<(6+l)|sinx|.
((*): |cosx|< 1, |cos£xl<l.)
Из 1) и 2) следует, что (sinnxKn |sinx| при n£N.
841* Доказать, что если a, pg —^, -^ , то
а+ 8 ^ cos а+cos в
cos-p> ^—Е.

842. Доказать, что если ос, Р€[0, я], то
cin а + Р -> sin g+sing
2 2 "
843. Доказать, что если 0 < а < ^ , то
sin а < а < tga.
844. Доказать, что если a-bP + Y = Jl и
а» Р» У€ 0, y» T0 cosacospcosv<-g-.
845. Доказать, что если a + P + Y = Jl и a> P> Y > 0, то
з
cosa+ cosp + cos y< у.
846. Доказать, что если а Ф ^-, где k g Z, то c^a"^7c g a > 0.
847» Доказать, что если a + P+Y = JX» T0
sin2Y^sin2asin2p.
я 1
848* Доказать, что если а + р = у , а > 0, р > 0, то tgatgp <-j .
849, Доказать, что если 0<а< у, то
>4 \Гз
ein(i+a) sin(i-a)"
850. Доказать, что если 0 < a < у , то
(1 + -Д-U 1 +—) > 3 + 2 ^2 .
\ ' sin ay \ ' cos a/ -^
851. Доказать, что если a, p £ ]0, я[, то
sin a+sin p
sin a sin 6 "" . а+ 6 '
852. Доказать, что если 2cos2a;—3cosx>3, Tosinf^^j<0.
^2 5x4-6
853. Доказать, что если 2—цхТзо < °» то sin2x<0.
854. Доказать, что 4sin3x + 5^ 4cos2x + 5sinx.
j_
8
j
"3
855. Доказать, что — 4<cos2x + 3sinx<2y .
856. Доказать, что если 0^Га<1 и 0<р<-^-, то
sin2p<l— 2acosp + a2<l.
96

857. Доказать, что -г-< sin6 a + cos6 а < 1.
858. Доказать, что если 0<а<у, то cosa + asina > 1.
859. Доказать, что если 0 < a < Р < у, то
a—sina <Р—sinp.
860. Доказать, что если 0 < a < р < у, то
a-tga>p—Igp.
861. Доказать, что если 0 < a < у f 0 < р < у
и sin(a + P) = 2sina, то а<р.
862. Доказать, что если 0^а< у, то sin (cos a) < cos (sin a)
863. Доказать, что если ос + р + у = л и af j}f y€ 0, уL
tgatgptgY>3K3.
864. Доказать, что если а + Р + у = л; и a, p, v€ Q» T » T0
1 • ' • ' ->e.
cos a cos p cos у:
865. Доказать, что если а+р+у=я и а, р, у€ 0> у > то
tg2a + tg2P + lg2Y>9.
866. Доказать, что если a + P + Y = y и a >0,
Р>0, у>0, то
sin2a + sin2p + sin2 v + 3sinasinPsin v^-g-.
867. Доказать, что если а + р + у = -?- и ос, р, у >0, то
2
1,1,1
>12.
sin2 a ' sin2 p^ sin2 у''
868. Доказать, что если 0 < а < у , то
sina+ tga > 2a.
869. Доказать, что если а + р + у = л; и а» Р> ? ^ г» Т » то
sina + sin;3+ sin y +tga + tgp +tg у > 2я.
4 № Ю2

870. Доказать, что если &ф\ t где k£Zf то
|tga + clga| > | sin a + cos a |.
871. Доказать, что |sin cos a: | < cossinx.
872. Доказать, что (sin sin* | < cos cos я,
873, Доказать, что | a cos x -f b sin x \ ^V a2 + b2, где a£R, b£R.
874, Найти наибольшее значение выражения cos3*—cos6jc.
875, Найти наибольшее значение выражения cos6 x +sin*4*.
§ 17. ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИЕ УРАВНЕНИЯ
Пример 72. Решить уравнение
(1) cigxsm3jt(cosx—2) = 0.
Решение. Так как |cosx|<l при — оо<*<оо, то
(l)~(2)ctgjcsin3x = 0.
Первый способ. (2) ~ ctg х = 0 V < . Г0 ~
~ х = y + jiaz V
\ Зх = nk я . . , I х — ~г
я/я J \Хфпт
nk
я , х , J 3
2 рМЗт
~*=у4-лм V * = у (Зт+ I) V Jc = -j(3m—1).
Ответ. <у + ял я€ 2Г> U < ±^ + nm \m£Z\ .
Второй способ. (2) ~ ctg*(3sinjt— 4sin3*) = 0~
isinx^O
sin;c = ±-^-
Ответ. |y + nn|/i€z}u{±y + nm|m€z}.
Пример 73. Решить уравнение
(l)tg2x + 3ctgx = 0.

Решение. Первый способ. Используем тождества (см.
примеры 64, 65, гл. Ill, § 15) ctgx = rL на 1хеЯ\хф~, k$z\
и tg2*=-jy^L „а |*бЯ|*^ + лг, *^J+f, г, s^zj-.
(1) tg2x + 3ctgx: = 0~
J а: =? + ш
2*g* . 3 ^п
1 —tg» JC "*" tg JC V \
2
(1)
^„37У? ,-oy
\x =-£ + nm
(l-tg»*)tg* " v |tg(n + 2rcm) + 3ctg(y + nm) =o'
Ответ. |±j + Ji/|/€z|uJ7 + n/ii|/ii€z|.
Второй способ. (1)
sin 2* 3cosx_fi
Г fin v
I
cos 2x
cos 2x =7^0
sin x Ф0 ^
sin 2x sin a: + 3 cos 2jc cos a: = 0
[ (sin 2a: sin jc + cos 2x cos x) + 2 cos 2a: cos a: = 0
(*) ~ / <•)
cos x + 2 cos 2x cos a: = 0 J cos * (1 + 2 cos 2x) = 0'
I cosa; = 0 v I
(*)
cos 2л: = — -r-
\ x=?L + nmV\ 2х = ±^+2пГ
~ X =y-ftt/7ZV X = =b у + tt/.
Ответ.
| £ + jxm|meZ | у { ±y + n/|/ez|.
Пример'74. Решить уравнение
I
(1) sinx + tgA::
cos x
-cos(x + n).
flfi

cos x Ф О
sin л: cos л; + sin л: = 1—cos2jc
Решение. (1) ~ \
\ хф^ + пп „lXz^T + nn
I sinxcosjt + sinx = sin2* I sin x (sin x — cosx—1) = 0
j x^ + nn^i хф^ + пп
\ sin* = 0 l sinx—cosx—1 = 0
■{
Хф-^+ЛП
x = nk
V
Хф^+ПП
* 2 sin x— V 2 cos x •
2 2
JO'
2
л
x = я/? V
* =^"2 + Л"
^2'
sin(^~T)=V
я
- x = я& V
* ¥= -j + ял
я я , о , V
4 4
я Зя , n
х—-г = -г + 2ят
4 4
/^ х = Zlk V
~х = я£\/* = л; + 2пт ~ х --
(*)
((*): так как {л+ 2ntn\m€Z} c:\nk\k £ Z\.)
Ответ. {nk\k£Z}.
Пример 75. Решить уравнение (1) sin4*-f cos4x = -g-.
Решение. Первый способ.
(1)~ (sin2* + cos2 л:)2— 2 sin2xcos2;t = -^~ 1 —ysin*2x =-g-~
~ sin2 2^ = -r ~ sin 2a:
4
Ответ. |±-£L + i^|fe6z}.
Второй способ. (1) ~(sin2Jt)2 + (cos2x)2 = ^~ (-
+ (i±f^)2=4~ cos22* = |~ cos2*=±
12
—cos 2* \a
)'+
Гз
2*=,±£ +
it. я i nk
4_ я/г~я==±_4-_.
Ответ. |±-jL + i£|*6z}.
Пример 76. Решить уравнение
(1) asinx + bcosA; = c, где афО и fc=^=0.
100

Решение. Первый способ.
(1)
"»т
1+tg'l
+ Ъ-
l-tg2
l + tg2
= cv|
) ~(& + c)tg2y —
]* = л-(-2лй
-2atg| + c-fc = 0V
V
atgT =—6 \х = п
—Ь = с
+ 2л/?'
(с = — Ь
Г
(— Ьфс
х а± Уа*+Ь*—с*
tgy = — ——
b+c
[а2 + Ь2—С2^0
(сф—ЬАа2 + Ь2>с2
о . а± |^а2+62—с2
x = 2arctg-
V
6+с
-2л/
V
V
к = — 2arctg —f- 2л/г
[ \_х = л + 2лй.
Заметим, что если c = — bt то а* + Ь*^с2; если аа + 62<са,
то сФ—Ь.
Ответ. Если сФ—b и а2 + Ь2^с2, то
i 2arctS ^ + 2л/1 / б Z J;
если с= —6, то i—2аг^^ + 2яя|я€£1и{л + 2лАНй€£[;
если аа + Ьа<са, то 0.
Второй способ (введение вспомогательного угла).
(1) a sin x + bcosx==c ~ -2-sinjc + cosA: = -r.
ффО) b Ь
Введем вспомогательный угол (2) Ф = arctg-т-. Тогда tg9 =
df °
= ~ и (3) соэф = —т== > 0; tg9sinx+cos^=~^
sin ©sin jc+cosu, cos x с . ч с
~ ! - =-r- ~ COS (а:— ф)=-т-С05ф.
cos ф b v Y/ b Y
Используя (2) и (З), получим:
(1) ~ cos( * — arctg 4 } =—/
V ' V Ь b J b Vai + b*
(I
6 J/>+&2
I
x— arctg -г- =± arccos—/
a2 + b2^c2
* a , c\b\
x = arctg -r- it arccos —J '
ь b b fa2 + b*
-2nk
-2nk.
101

Ответ. Если а2 + Ь*^с2, то
{arctg-£ ± arccos _^= + 2nft \k €*} ;
если aa + b2<ca, то 0.
Пример 77. Решить уравнение
/i\ 2 а 2 cos х , . . г,
(1) = Mgx, где а =7^=0.
v ' a cos х cos л; а ' ь ' " ^
ГЭШДГ
f cos а: =7^ 0
Решен ие. (1) ~< 0 2 0 a .
v ' ( 2 —aa = 2cosax + a<
f cosjc^O Гсоэдс^О | соблг^О
~ < ~ 1 • я V < ~
(2sinax—asinx—a2 = 0 [sinA: = —-j \ s'mx = a
тхф±\ (&]пхф±1 (аФ±2 Х11аФ±\
а V < ~ 1 • а V
in* = — -g- \sinx = a (sin,v= —у \sinx = a
(
( аФ±\
x = (-l)*arcsin(-4) + nft I ^ = (-l)"arcsina + nn
|x = (_l)*+»arcsin-5-|-"* \x = (—l)»arcsina + jm.
Ответ. Если — 1<а<0\/0<а<1, то
U— l)*+larcsin-|- + nfc|fe€Z}u{(— 1)" arcsin a + nn\n€Z\;
если -2<a<-lVKfl<2, то |(—1)*+1 arcsin-| + nft| ft €
€Z>; если а<—2л/а>2, то 0.
Решить уравнение (задачи 876—938).
876. sin|- = — i-. 877. cos(2л:+1) = ^-.
878. tgy = ^-]/3. 879. ctg3x=--^-.
880. cos(3x—2) = — -i-- 881. 4 cos3 л:+ 3 cos (л—х) = 0.
882. 2sin;cctgx+l=cos(—x). 883. .J*"1* = — 2—ctg (л: + л).
1 ~-J— COS X
884. 4 sin* + 5cosx = 3.
885. 7 sin я—5 cos л: = 5.
886. sin л:—cosjc — -1-^— •
102

887, cos3xtgx = 0.
888. '+«*(*-*) =s
sin л;
889* tgA:+l = 2sinx-
COS X
890* sin2* + 3sinA; = tg y.
89b cosx + ctgx = -^ bsin(x + n).
Dftft . , . / \ 2 (cos*— sin*)
892. ctgx + tg(K-*)= sjn2jg '.
893. cos 5x cos Зл: = cos Ax cos 2л:.
ол- sin 4x cos 2* о . о x / i \
894. о = 6sin2xtg(jr + x).
COS2 X e» v • /
895# sin2;c + sin3;t = 3sin(:n;—x).
896. cos 2x—tg* (я—x) = 6cos2je .
897. 2cos2x—8cosx + 7 = ——.
COS X
898. sin л-f cos л: =2^2 sin* cos x.
899. cos 7л:—sin5x = УЪ (cos5x—sin7x).
i
900. 41г'*+2С03"—80 = 0.
901. \ cos 4 = cos3 4 + sin 4.
4 4 4 2
902. sin4x = sin2x + cosfx —^-) , — я<х<у.
903. sin22x = 3cos2x--sin2(x + :n;), —^-<х<я.
904. sin2x +cos2л:—2sin2уcosx = —-F=rt —^ <x <,—.
905. sin2л:—sin22x = sin23x, _^-<х<я.
906. sin2 x + sin2 2л + sin2 3x + sin2 4л: = 2.
907. J^ + -**._5_
tg* ' tg2x 2 '
908. tg(x+i)+tg(x-^)=2ctgx.
909. sin3x + cos3,v=l.
910. 2ctg2x—3ctg3x = tg2x.
011 sin_£tg_x _ 9
*llf 1-cosjt "T-
912. ctgA:—2sin2A:= 1.
913. sin4x + cos4x = |-.
103

914. tg2x + ctgx = 8cos2x.
915. cosex + sin6x = 4sin22x.
916. 6tgx + 5ctg3A; = tg2;t.
917. 5sin2x—12 (sin л: + cosx)+12 = 0.
918. tg* + 2ctg2x = sin*(l+tgxtgy) .
919. cos3 x sin 3* + sin3*cos3x=-^-.
920. ]/ 1 + у sinA: = cos x.
921. У 2 cos2*—sin 2л:+ 3 sin2 x =]/3cosa:.
922. 1^1+sin 2* — V\— sin 2л: =1.
923. V\ +cosjc —V 1 — cos л: = 1 + зтл:.
924. cos2x+ у
925. ^sln2* + J/cosax = 1/4 .
927. зтх + созх="^^;* + ^л: .
928. Kl+sin2x ="|/"2cos3x, д<;с<^
929. sin 2* + sin 3* = 2.
930. sinfx + y)sn^=l.
931. 4 (sin 3* sin л:)2—зтЗл: = 5.
932. cos120 л:—sin120 л: =1.
933. cos68 л: + sin1»9 л: = 1.
0, ^<х<2к.
tg* = l, -o<X< -*-.
934. Ilogi (1+sin2л:)
+
log! (1— sin2л:) 1 = 1.
935. sin(n lgx) + cos(ji lg*) = 1.
936. tg(яtg*) = ctg(яctgл:).
937. sin(jicosjc) = cos(nsinjc).
938. л:2 + 4хсоз(л#) + 4 = 0.
Применяя графический метод, определить число корней
уравнения (задачи 939—942).
939. sinлг= |jc|. 940. sin* = *+l.
941. tg* = — х. 942. sinx=^.
Решить уравнение с параметрами (задачи 943—954).
943. a sin я + 6созх = азт2л:—6cos2x.
944. sm2Y + asm2x=Y'
945. (3 — a)tg2x — 2tgx — (a + 3) = 0.
104

946. 4cosa;c + 2cosA: + a—1 =0.
947. 2sin2x—2cosx + a — 2 = 0, 0 < a < 4.
948. sin2(a:—-?L\—2asln(x— ^)+2a —1=0.
949. sin4 x +cos4 x-\- s\n2x = a.
950. sin (л: + a) + sin дс = cos у .
951. a (cosx-f sin*)2 = 6sin2*.
952. »}£*+» «со» *+fc Q fc 0
fccosx+a fcsinx + a' ^ » ^
953. a(cosx—sinx) = ft (1 — sin 2л:).
954. (cos^)KI?TI^ = /-^>\KIT^T.
§ 18. РЕШЕНИЕ ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИХ НЕРАВЕНСТВ
Пример 78. Решить неравенство
(1) 2 cos2*—7 sin л: < 5.
Решен ие.
(1) ~2—2sin2 л: — 7sinx < 5~ 2sin2Jt + 7sin* + 3 > 0~
~2fsin* + y)(sinx + 3)>0~sinx<— 3 Vsin;c>— -1~
~ sin x > —2" ~ —T" + 2ям < x < -g- л + 2лм.
(*): так как |sinх|< 1 при — оо < х < оо.
(#*). См. рис. 16.
Ответ. 1х\—^~-\-2лп < х < -g- я +
+ 2лп, n^zj.
Пример 79. Решить неравенство
(1) tg3x+tg2*-tg;t—1<0.
Решение. Рис- **
(1) ~tg2x(tgx+l)-(tg*+l)<0~(tgx+l)(tg°x-l)<0~
~(tg*+l)2(tg*-l)<0~
tgx^-1 (*^-Т + я*
,tg*<l Z\_«+nn<x<lL+nn~
'—-o+nn<x<—T + nn V— т + пп <х<т + яп.
106

J
\ /°
i i
у/ДЛ
v^ * J
гт\/
1
ji
"7
Рис. 17
Рис. IB
(*). См. рис. 17.
Ответ. |jc|— ^ + nn<x<—-J + шг, nez\{){x\—^ +
+ пп<х<^ + лп, п ez|.
Пример 80. Решить яеравенство
(1) tgx + ctg*>-3.
Решение.
1 ^ п 2
(1)
sin jc cos jc
>-3^
sin2x
>—3~
sin 2л:
f3>0^2+3sin2x>O^<3sin2jc4-2)sin2A:>0^
sin 2x
< sin 2x < —J- V sin 2x > 0
(*)
~(n + arcsin^- j + 2ji/z < 2jc< (2jx —arcsin -j) + 2nn V
V 2дл < 2x < я + 2лл ~
л,1 -2, . ^ l .2,
^-y + y^rcsin _|_ЯАг < х <я —— arcsin ■j + 7in V
V лл < x <y + лд.
(*). См. рис. 18.
Ответ. Ix \яп<х <^ + nn, n£Z> U <* у + у arcsin у+
+ nn <x < л—-jarcsiny +дм, n £ Z>.
Пример 81. Решить неравенство cos л; < a.
Решение. См. ряс. 19, 20.
Ответ. Если а^—1, то 0; если —1<а^1, то
{*|arccosa + 2;rw < х < (2л—arccosa) + 2ftAi, я £ Z};
если a> 1, то 7?,
106

Av*J
Рис. 19
Пример 82. Решить неравенство ctgjc^a.
Решение. См. рис. 21.
Ответ, {х | пп < х ^ arcctg а + лп, п £ Z}.
Пример 83. Решить неравенство
(1) (а+ l)cos2x-J-a(sinx+cosjc)a <0.
Решение.
(1) /-(2) (a+l)cos2jt4-a(l+sin2*)<0~
1—tg2x , „ f, , 2tg* \ ^ftwf*=-J + roi
(2)
; = ^- + ям
-ко
(а+1)
ё + «(» +
tgax—2atg л;—2a— 1 > 0 V I X = ~*
1-Х
(tgx+l)(igx-\-2a)>0\/x = % + nn.
— 1 > l+2a~a<— 1; см. рис. 22.
— 1 < l+2a~a> — 1; см. рис. 23.
— 1 = 1+2a~ a =—1; см. рис. 24.
Рис. 21
1*2а -f
Рис. 22
1+2а
Рис. 23
+
-i=1+2a
Рис 24
*7*
tyx
*?х
Д07

1+2a
Рис. 26
Рис. 25
1) а<—1. См. рис. 25.
(1) ~_ lL + nk<x< n + zrctg(l+2a) + nk.
2) а> — 1. См. рис. 26.
(1) ~arctg(l+2a) + nk<x<jn + nk.
Ответ. Если а^—1, то
{*|—j + nk < х < л + arctg (1 + 2d) + nkt k£ z\ ;
если a> —1, то <х arctg (l+2a) + nk < x <-jn + nk, k$z\ .
Пример 84. Решить неравенство
(1) asm2x + (2a2 + a)cosx—az—a2 + a>0.
Решение.
(1) ~а(1— cos2x + (2a+l)cosx—аг—а+1)>0~
~a(cos*x—(2a+l)cos* + a2 + a—2)<0~
/-(2) a(cosx—(a—l))(cosx—(a + 2))<0.
1) а>0. (2) /-(cosл:—(а— l))(cosx— (а + 2))<0~
( а— 1 < cos х < а + 2 J а— 1 < cos jc < 1
\—1<cosx<1 \ а— 1 < 1
J а—1 <cosx<l
\а<2
f0<а<2
~ \ —arccos(a— 1) -f 2nk < х < arccos (а— 1) + 2nk.
108

2) a<0. (2) ~(cosx—(a — l))(cosx—(a + 2))>0~
cos x > a + 2
1 ^ cos x > — 1
cosx<a — 1 <— 1 _ | a + 2>—l J a + 2< —1
>cosjc;>—
a^"3 <a<-3
1 < COS X < 1
J cos л: < a— 1 j
\ -l<cosx<l V\
fcosx<a — 1 <— 1 (a + 2> — 1 fa +
~\созл:> — 1 V\l>cosx>a + 2V\l>
~x 60V a+2 <созл:< 1 V ,
U + 2<1 l
Г — 3<я<-1
~ \ —arccos (a + 2) + 2дя < x < arccos (a + 2) + 2ял
(a<-3
\ OO < JC < OO.
3) a = 0. (2) ~ 0<0~ x£ 0.
Ответ. Если л<—3, то /?; если —3<a<—1, то
{х | — arccos (а + 2) + 2пп < х < arccos (а + 2) + 2шг, п € Z};
если 0 < а < 2, то
{х| — arccos (а— 1) + 2лл < л: < arccos (а— 1) + 2шг, n£Z)\
если — 1^а<0 или а ^2, то 0.
Решить неравенство (задачи 955—1012).
955, sinx> — у. 956, sir^>y.
957, cosx>-^-. 958, cosx> —j.
959. tgx^2. 960. tgAT>— V"3.
961. ctg*>—3. 962. ctgл:>—/3.
963. sin|<-^. 964. sin(jc-lX-Jf.
965. cos 2x < -Ц^-. 966. cos (л: + 2)< —^f-.
967. tg(2x—1)<1. 968. tgЗл:< — 1.
969. ctg|<l. 970. ctg(x—1) < — 1.
971. 2sin^—7si™ + 3>0. 972. 12cos2x + 7sin;t < 13.
973. cos 4л: + cos 2л: < 0. 974. sinx+ cos* > — V^2.
975. cos 2л: sin x < 0, —я<л:<д.
976. 2tg2x<3 tgA;.

977. ctg3 a: + ctg2 a: —ctgA:— 1 <0.
978. cosx + cos2a: + cos3a:<0.
979. 2cos2x + sin2A:> tgA:.
980. tg*x + ctg2A:<2.
981. tgA: + ctgA:< —3.
982> 1— sin*< ctgA:—cos a:.
983. 2 cos a: (cos a:—|/*8tg a:) < 5.
984. S25l^>3tg*.
COS2* ^ Ъ
985. *%'*+* > 31^2 cos (x- я).
986. cos (sin x) <0.
987. sin (cos x) >0.
988. 2+/2--4cos^
sin*—cos 2* ^
Ш. 1-4fin2x <2.
cos 2*+cos*
990. 4 sin x sin 2x sin 3a: < sin 4a:.
991. 2cos2a:—sinA: + sin3x<l.
992. ctgA:—tgA:—2tg2x—4tg4x<^p.
993. sin*sin2*—cosxcos2* > sin 6a:.
994. tg2A: + ctg2x + 2<0.
995. 6cosaytg2x<2sin2A:+3tg2A:.
996. 4cos8y + 3l/"2sinjc<8cos-J.
997. cos x cos 3x < cos 5x cos 7x.
998. ctgxctg3jt> — 1, —n^x<n.
m' 5TO + tgT>°-
1000. cos x + cos 3a: > cos 2x + cos 4*, —я < x < я.
1001. cos(tgx + 3*) + (tgA:—tg2A:)2<— 1.
1002. sin (7x—ctg x) — (ctg2 a: + ctg a:)2 > 1.
1003. 1^5—2 sinx > 6 sinx— 1.
1004. J/2 + 4cosx>y + 3cosA:.
1005* Kcos x—sin* > sin a:—-j, 0<х^я.
1006, K3 + 2tgx-tg2A: > ± + A tg x.
1007* Ksinjc + KcosA:> 1.
1008, log^cosA^log^--, —2<x<3.
ь± 2
9
no

1009. logo.,ssinjk> log, 0,75, —1<*<4.
1010.
10
2 + logj (j—cos am >— logj^l + cos3*).
1011. (4* — x2 — 3)log2(cos^x+l)>l.
1012. cosaxsin(sin*) + sin * cos (sin x) > 0.
Решить неравенство с параметрами (задачи 1013—1027)*
1013. sinх > а. 1014. cos*<a.
1015. cosx>a. 1016. igx^za.
1017. tgx<a. 1018. ctg*>a.
1019. ctg*<a. 1020. cos (ax + b)<cf афО.
1021. cig(ax — b)^ct афО.
1022. acosaJt + ftsin2;tcos;c<0, я>0, 6>0.
1023. asin2* —6cos;t<6, a > 0, ft > 0.
1024. a(sin;t-f-cosx)2>(l — я) cos 2*.
1025. (a + 3)tg2x —2tgx + a — 3<0.
1 < J^_-l, ^0.
1027. a cos2 *
ctg*+2 a
(2a2—a) sin*—a8+a* + a<0.
§ 19. СИСТЕМЫ ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИХ УРАВНЕНИЯ
И НЕРАВЕНСТВ
Пример 85. Решить систему уравнений:
Зя
(1)
Решение.
[cos2 x + s\u2 у= 1.
(1)
Зя
cos2* +sin2 (-^— *) = 1
Зя
у=-4—*
I + cos 2x
Зя
У = ~4 *
i-coe(^-ar)
= 1
/ Зя
cos 2х + sin 2jc = 0 (tg 2jc = — 1

Ответ. {(*, у)\х = — j + ^y* У = Ц— "Т"> ftgzj.
Если положить А = дг + 1, то получим ответ в другом виде:
I, V, Зя . ял Зя ял ^. ~|
|(*. У)1*=НГ+~2"'У=="Г—Г' Al^zf»
хотя последнее множество совпадает с множеством, указанным
в ответе.
Пример 86. Решить систему уравнений:
о)
sin jcsin t/ = -т-
tg*tgr/ = 3.
Решение.
о) *
sinxsint/ = —
sin x sin у
= 3
cos x cos у
sinxsint/-fcosxcosr/ = 1
sin дг sin # = 7-
I ~
cos* cosy = -j
( cos(x—£/) = !
—sin x sin t/ + cos x cos t/ == — у 1 cos (* + #) = — -j'
(2)
x—y = 2nk
2я . 0 V (3)
x—y = 2nk
2л
x + y = T- + 2яя
/ я
X=-r + 7l(n+k)
V
X = — -r- + Л (/1 + ft)
^=-3- + я(п —A) ( r/=—y + jx(Ai—ft).
Ответ. Uxt y)\x = j + 7i(n + h), г/ = у+л (л —А), /г, fteziu
u{(*,#)|* = —-j + n(/i+A). £/ = —-у + л(я —ft), /г, *€Z|>.
Следует обратить внимание на то, что в каждой из систем (2)
и (3) целочисленные переменные разных уравнений обозначены
разными буквами: иначе не будет получено множество всех
решений системы (1).
Пример 87. Решить систему уравнений:
| sin jc
о){
+ sin у = 2b
* + f/=2p.
112

Решен ие.
s\nx + s\ny = 2b
х+у = 2$
2 sin —y- cos -^ = 2b
х + у = 2$
I sin(3cos^2-^ = 6
( х + у = 2$
cos'-ir=i^v<
sin3=^0
| ь
| sin p
Х — У
( sin (5=^ О
I jc—у
I х + г/ = 2р
= 0
<1
I' sinp = 0
6 = 0
2 ±агссозЖр-
■2пп
дс+1/-2р
P^=nft
|6|<|sinp|
p = Jtft
Ar = p + arccos-^ + 2nn \M &==0
r — sin В I 0 .
. ^ y = 2nk—a:.
у = p =F arccos -r^—2nn
Ответ. Если p =^= я* (ft £ Z), |6|<|sinP|, то Ux, y)\x =
,n$z\U
= р + агссоз^ + 2лл, у = р_агссоз^
-2лл,
и|(х,»)|х=р —агссоз-д^+гял, у=$ + arccos-А—2лм, п б ZJ ;
еслир^яй (й e Z), 6 = 0, то {(jc, (/) €/?а|^=^
= 2jt£ —л:, ££Z};
если $¥=nk(k€Z)f |6.|>|sinP| или
p = nfe (&6Z), ЬфЪ, то 0.
Пример 88. Решить систему
неравенств:
ОН
ctgjc>—V
COSJC <
f3
V5 i
J
1
^NJ£
\
ш.
Решение. См. рис. 27.
Рис. 27
(1) ~% + 2nk<x^\n + 2nk\/n + 2nk<x^~n + 2nk.
113

Ответ. lx№ + 2nk<x^jn + 2nk, k£z\\)
\jlx\n + 2nk<X!^jn + 2nk, k$z\.
Решить систему уравнений (задачи 1028—1048).
1028.
*-0 = Т
2 cos* x—3 cos* у = —s-.
,03°- ( sin*sin</ = -l
1032
cos x cos y — -r.
• ( tgx—tg2(/=l
I tg(x-2y)=±.
1034. ( 9„ „_?я
1036,
1038,
sin л;— sin-|- = -2-.
n
tg* + 3tg(/ = 0.
x-y = T
sin*x4-sin3(/ = Y.
1040. f tgx + tg# = 2
\ ctg* + 2ctg# = 3.
1042» С cos(x + i/) = 2cos(x—y)
\ 3
I cos x cos i/ = -^-.
1044, / tgx + sin2t/ = sin2x
\ 2sinj/cos(je—y)= sin*.
1046, Г cosx + cos(/= 1
1 cos| + cos|=,i^ + l.
1029.
1031.
1033.
{
2x—y = 2n
2 sin x + sin t/ = 0.
( . 3
I sinxsinj/ =—^
1 3ctg*-= — igy.
5я
17
* + */ = •
tgxtgt/--^-.
1035. ( , „_5я
1037.
sin x cos i/= —г-.
I sinx—sin2#=-=y-
\
cosx + cos2r/=-H-.
1039. j 2 sin x = — sin у
\ 2cos*=J/r3cosr/.
1041. ( , 5я
3
sin2x + sin2# = -j.
1043. f j/"2sinx = sinr/
\ 1^2 cos л; = К& cosy.
1045. ( tg* —tgj/=l
I cosxcosf/ = -^T-.
1047. f sinx = sin2#
cosjt=^sin*/
0 < jc < л
114

1048.
tg*tgz = 3
tg#tge = 6
Х + у + г = л.
1049.
Решить систему уравнений с параметрами (задачи 1049—1055)
uj = b
( sinxcosy
\ *-f/ = P.
1051, j tgx—ctgy = a
\ ctgx-tgy = 2.
1053. J sin x cos у = а
\ cos;csinr/ = a.
1055. j sin x cos 2*/ = a2+ 1
\ cc
1050
1052.
1054.
1056.
cosjcsin2# = a.
Igx + tgy^b
x—y = n.
sinjc + sin# = sina
cos x + cos у = cos a,
cos x + cos */ = 2b
л: + У = 2Р.
tg^tgy = a
x -f t/ = 26.
Решить систему неравенств (задачи 1057—1063).
1057, (
1059.
1061.
1063.
sinA:> -у-
COS Я !> —
Гз
sinx> у
cos* <
^2
tg^>-K3
2
2
1058.
1060.
1062.
sinx^-g-
^ l
cos x > у.
sinx<--
sin*<!
cosjc <
^3
0<x<2jx.
§ 20. ДОКАЗАТЕЛЬСТВО ТОЖДЕСТВ И НЕРАВЕНСТВ
НА МНОЖЕСТВЕ, СОДЕРЖАЩИХ ОБРАТНЫЕ
ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИЕ ВЫРАЖЕНИЯ
Пример 89. Доказать, что если ос, Р€[0, я] и cos a =* cos р,
то а = р.
Решение. Пусть а^р. Тогда либо a<pt либо а>р.
а) а<р. Так как а, Р(=[0, я] и cos/ —убывающая функция
на [0, я], то cos a > cos р, что противоречит условию: cosa=s
= cosp.
б) a>p. Проведя рассуждения, аналогичные случаю а),
получим противоречие о условием: cos a =; cos р.
115

:-. I"
Пример 90. Доказать, что
(1) arccos(— х) = л — arccos* при — 1<jc<1.
Решение. Обозначим: а = arccos (—jc), Р = arccos*.
di df
1) О^а^л (по определению arccos(—x));
О^р^л (по определению arccosx)=s>0>—P> —л=ф
=Фл>л—p>0.
Таким образом, а и л—Р6[0, л] —промежутку монотонности
для cost.
2) cos ос = cos arccos (—х) = — х
cos (л — Р) = — cos р ^ — cos arccos x •-
=Ф cos a = cos (л — р).
Из 1) и 2) следует, что а = л—р, т. е. arccos(—х) = л—arccosx
при —1 <х< 1.
Пример 91. Доказать, что
4 2 2
(1) arcsin-g- +arccos-?r= = arcctgrj.
4 2
Решение. Обозначим: а = arcsin-r-f Р = arccos-7=, v =
df 5 di Кб f r df
«= arcctg л.
1) 0<-i<l=*0<a<i; 0<-^=<1=ф0<Р<^;
~>0=»0<V<^.
Тогда 0<ос + Р<л, 0<7<л;, т. е. а + р, у€]0, л[
—промежутку монотонности для cos / и ctg /.
2) Докажем, что cos (а + Р) = cos у.
cos (а + Р) = cos а cos р—sin а sin p =г
= У 1—sin2 а cos р—sina^l —cos2P =
ctg Y 11 2
cos v = & * = — = —-
Y /l + ctg2Y i/1 + /l\2 5/5 f
значит, cos (a + P) = cos у.
Из 1) и 2) следует, что a + P = y, т. е.
4 2 2
arcsin — + arccos —— = arcclg ту.
116

Пример 92. Доказать, что если ос, Р£—у, у и tga<
<tgp, то а<р.
Решение, а) Пусть a > р. Так как ос, Р6 — у, у[, ос> р,
tg/ — возрастающая функция на —у, у , то tgoc>tgp, что
противоречит условию: tga<tgp.
б) Пусть а = р. Тогда tgoc = tgp, а по условию tga<tgp.
Пример 93. Доказать, что
(1) arctg-|>arctgT+2arctgy.
Решение. Обозначим: a=arctg-o-, P=arctg-r, Y=arctg^r.
df 6 ш 4 df 3
1) 4->0=>а€]0,|[;
0<т<71=>Р€]о,^[ |
°<т<ут^е]о^|"J*
Р + 27б]0, f [
=> a, p + 2y £ 0, у —промежутку возрастания для tg/, sin/
и промежутку убывания для ctg/, cost.
2) Докажем, что tga > tg(p + 2y). tga=y;
tg(B + 2y)= teP+te2? а
1 —tg2v
16
l-tgp
2tgy
1 —tg2 у 1-1
13"
1—;
4 16
Так как у>-[з, то tgoc> tg(P + 2y).
Из 1) и 2) следует, что а>р + 2у, т.е. выполняется
неравенство (1).
1064. Найти значение а) arcsin*, б) arccosjc при следующих
значениях х:
-1.
»^з
Г2 _1 л 1 J/2 ХА 1
2 » 2 ' ' 2 ' 2 * 2 ' '
117

1065, Найти значение a) arctgjc, б) arcctgx при следующих
значениях х:
_кз,-1, —О-. 0.-^1.1, уз.
1066, Доказать, что если а, Р£ — ~, у и sin а = sin P, то
а = р.
Замечание. Вместо промежутка —у, у можно
l взять ly, -g-J, I 2", —у| и т. д., т. е. любой из
промежутков, в котором функция, заданная выражением
sin/, монотонна.
1067, Доказать, что если а» Р€ — у, у и tgoc = tgp, то а=р.
1068, Доказать, что если ос, Р€[0, л] и cos а = cos P, то а = р.
1069* Доказать, что если а, Р6]0, л[ и ctga = ctgp, то а = р.
Доказать (задачи 1070—1075),
1070, arcsin(—х) = — arcsin x, |х|<1.
1071, arctg(—*) = — arctgx.
1072, arccos(—х) = л — arccosx, |х|<1.
1073, arcctg(— x) = n — arcctgx.
1074, arcsinx + arccosx = y, |х|<1.
1075, arctgx + arcctgx=y.
Доказать (задачи 1076—1086).
«Л™ - 4 . .12 .56
1076, arcsin -g- +arcsin т^ = л — arcsin^.
32
1 1 32
1077* 2arctg-g- + arctgT = arctg^.
3 3 27
1078, arctg-g-+ arcsin-g- = arctgyj.
1079, arctgy + arctgl + arctgy + arctg-i=~.
1080, arccos-^ + arctg-^- = arctg(l/2 + l)a.
]Гз , l
-^— + arccosy
1082, arctg2 + arctg (_±)=il.
1083, arctg(-2) + arctg(—3) = —Ц-.
1084, 2arctg у\тгх ^arccosx, —1 <x<l.
118
1081, arcsin-^ + агссоз у = arccosf — -^j

1085. 2arccos y -Ц-? = arccos*, — 1<jc<1.
1086. arcsin (x— l)+2arctg -LEp£i = 5., 0<x<2.
1087. Найти значение :— при следующих значениях х: 1,
1 _± _i ^
2 ' 2 • ' 2 *
He производя вычислений, определить, положительна или
отрицательна каждая из разностей (задачи 1088—1091).
1088. arccos 0,7—-arccos0,5.
1089. arccosf —-g-J —arccosT —-у].
1090. arcsin (/2 — 1) — arcsin (Vb — 2).
1091. arccos( sin-^ ]—arccos ( sin
fs)-
He производя вычислений, определить, положительна или
отрицательна каждая из дробей (задачи 1092—1094).
1Лл« arcsin 0,85—-arcsin 0,8 mo* n — 2 arcsin 0,9
arccos0,85—-arccos0,8 * * n — 2arccos(—0,1) *
к
-^—f arcsin (—0,4)
1094. b
——arccos 0,6
1095. Найти значение arccosx—arctg2# при следующих значе-
ниях х: 0, —у, 2~".
Указать, какие из функций, заданных указанными
выражениями, являются четными, какие нечетными и какие не являются
ни четными, ни нечетными (задачи 1096—1102).
1096. arcsin х + 2 arctg х. 1097. arccos x + arctg x.
<ЛП« arcsin х 1ЛПЛ arctg*
1098- 1шп- 1099- —г—*arcsln*-
1100. arctg* . 1101 cosx
х-\- arcsin x arctg x '
1102. arcsin x + sin x.
Доказать (задачи 1103—1118).
1103. sin (arcsin х) = х, |х|<1.
1104. cos (arcsin л:) = V 1 — х2, |лг|<1.
1105. tg (arcsin X) = yJ=, \x\<l.
119

1106. ctg (arcsin x) = ^ x\ |*|<1, x^-0.
1107. cos (arccosx) = x, |x|<l.
1108. sin (arccos x) = /1 — x\ |*|<1.
1109. tg (arccosx) = ^{"х\ |*|<1, x^O.
x
X
1110, ctg(arccosx)= -7==-, |*|< 1.
У 1 —jcz
1111, tg (arctg x) = x.
1112, sin (arctg x) = JL-.
К l + *2
1113, cos (arctg x)=-7J==-.
1114* ctg (arctg x) =-j, x=^=0.
1115, ctg (arcctg x) = x.
1116, sin (arcctg x) =
1^1 +j
1117. cos (arcctg x) =-
1118. tg (arcctg x) =y> x=^0.
Доказать (задачи 1119—1122).
1119. arcsinx = arctg —^ 1 Ы < 1.
1120. arccos x = arcctg ,. * , Ы < 1.
6 /l—jc2 ' '
1121. arctg x = arcsin —tJ- .
6 ]Л + *2
1122. arcctg # = arccos
VT+72 *
Доказать (задачи 1123—1128).
, arccos]/ 1— x\ 0<x<l;
1123. arcsin* =
1124. arccos x =
Г
1125. arctg x =
120
L— arccos V 1-х2, — 1 < a: < 0.
Г arcsin К 1-х2, 0<л;<1;
L^ —arcsin Vl^—x2, — 1 <*<0.
l
arccos—7^ , x^0;
^1-f x2 ^
— arccos -^ , x<0.
j/l + x2 ^

1126. arccosx =
1127. arctg x =
1128. arcctg л: =
arctg -*—-—
0<x<l;
л + arctg
L_
arcclg -,
VT-
X
x>0\
— l<x<0.
arcctg л, x < 0.
arctg-, x>0;
л + arctg
x<0.
Доказать (задачи 1129—1131).
1129. arcsin x + arcsin у =
"arcsin (x VT=y* + y V 1-х2), x*/ s5 0 V *2 +*/2< 1;
я —arcsin (xl/T^7 + j/KT-=^), x>0, */> О, дся + ^>1;
_— л — avcsln (xV \ —у2 + у V I —x2), x<0, y<0, x2 + y2>L
1130. arccosx + arccos# =
["arccosOq/ — ]Л — x2V\— У2), x + y^0;
~~ [2л —arccos (xy — Vl—x2 V\— y2), x + y<0.
1131. arctg л: + arctg y =
arctgr=-J> *f/< i;
jx + arctg^±^, x>0, ^>1;
_я +arctg £±£, x<0, ^> 1.
Построить график функции, заданной выражением (задачи
1132—1141).
1132. f (x) = sin (arcsin x).
df
1134. / (x) = tg (arctg x).
df
1136. / (x) = arcsin (sin x).

dill 38. /(*) = arctg (tgx).
df
1133. /(x) = cos(arccosx).
df
1135. /(x) = ctg (arcctg x).
df
1137. /(x) = arccos(cosx).
df
1139. f(x) = arcctg (ctgx).
df
1140. x—arctg (tgx). 1141. x—arcsin (sin x).
Вычислить (задачи 1142—1156).
1142. arcsin fsin-yj . 1143. arcsin f sin-—-J .
1144. arcsin (cos-^j . 1145. arcsin (cos 1),
121

1146. arcsin (cos (— -^)) . U47. arccos(cos (-Щ) .
1148. arccos (— cos-уЛ . 1149. arccos (sin-j£) .
1150. arccos(sin(—|Л). 1151. arctg (tg3).
1152. arctg (tg (-■?■)) • И53. arctg (tg^.) .
1154. arctg (ctg(-^)). 1155. arcctg(clg (-■§)).
1156. arcctg(— tg^p).
Вычислить (задачи 1157—1166).
1157. cos ( arccos jx— arcsin у J.
1158. sin ( arccos y+ arccos -^J .
1159. tg (arctg 3 +arctg 2).
1160. tg (arctg ^—arcctg5^ .
1161. sin (arctg yg—arcsin jyJ.
1162. cos (arctg V2+ arcsin -^p-J .
1163. tg (2 arctg (— j)) • "64. sin (2 arccos ±} .
1165. tg(2arcctg4). 1166. cos (2 arctg (—-J-)) •
Найти наибольшее и наименьшее значение функции,
заданной выражением (задачи 1167—1173).
1 \Гъ
1167. f(x) = arccosх9 если -п-^х^-1^—.
df l г
V~2 1
1168в f (x) = arcsin *, если V-^*^ —т*
df 1 а
1169. /(*) = arctg x, если — ]/3<л:<1.
df
1170. /(x)=arcctg;t, если *y-<*<]/" 3.
1171. f(x) = xarcsinх, если ~—^х^—-гг.
df 11
1172. / (х) = arcsin x + arctg 2x, если -тг^^^-^о^--
df II
1173. /(*) = arccos-^--arcctgx, если — )/3<л;<--1.
df ^
122

Верно ли (истинно ли) неравенство (задач» 1174—1198)?
1174. arcsin -=■ < arcsin ■=-.
1175. arcsin Г —9") ^ — arcsin]j-
(3 \ 3
—-Н > —arcsin у.
1 3
1177. arcsin -^ > arcsin jy.
3 1
1178. arccosу < arccos у.
1179. arccos ( — у J > arccos f— yj .
3 4
1180. л — arccos у > arccos —.
1181. arctg у < arctg у .
1182. arctg-^< arctg 2— f,
1183. — arctg 3> arctg (—л).
1184. arctg( 0) + arctgl/3>l.
1185. arctg (—V 3) + arctg -^ < — J-.
1186. arcctg (3 j/"2) < arcctg 4.
1187. arcctg (—3) > arcctg (—2).
1188. arcctg-^ +arcctg (-- }/з) > у.
1189. arccosf—yj —arcsin у > 1,57.
1190. arctg (—3) + arcctg (—3)< 1,58.
1191. Доказать, что если а, P€|—у» у] и sina<sinp, то
a<p.
1192. Доказать, что если a, pg |_i> £| и tga<tgp, то
а<р.
1193. Доказать, что если а, Р6[0, л] и cosa<cospf то а>р.
1194. Доказать, что если а, Р£]0, л[ и ctga<ctgp, тоа>р.
Доказать (задачи 1195—1202).
1195. arctg4+arctg4>T-
1196, arcctg j + arcctg у < ^-.
123

1197. arccos у + arccos у < arccos ( —4) •
1198. arcsin у + arccos—^— < arcctg y.
1199. у arccos у > arccos—— arcsiny.
1200. 2 arcctg 4 > у—arcctg 3.
3 1
1201. arcctg 2 +arcctg у < arcctg у— arcctg 4.
1202. arccos у + arccos jg+arcsin-^->y.
§ 21. УРАВНЕНИЯ И НЕРАВЕНСТВА, СОДЕРЖАЩИЕ ОБРАТНЫЕ
ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИЕ ВЫРАЖЕНИЯ
Пример 94. Решить уравнение
(1) arccos у = 2arctg(x — 1).
Решение. Первый способ. Возьмем косинус от обеих частей
данного уравнения:
(2) cos (arccos у j = cos(2arctg (я—1)).
Уравнение (2) является следствием уравнения (1), т. е.
0)1= (2).
Воспользуемся формулой cos 2а = . , t a а для
преобразования правой части уравнения (2). (Заметим, что a = arctg(x—1)£
g —Т» Т » поэтому tga существует. J Тогда уравнение (2)
равносильно уравнению
х 1 — (л: — 1 )а
2 ~""l-f(jt —1)2'
Решая последнее уравнение, найдем: л; = 0; x = ±Vr2.
Так как (1) \=: (2), то следует проверить, какие из корней
уравнения (2) являются решениями уравнения (1).
Проверка.
1) х = 0. arccos0=7^2arctg(—1), так как arccos0=y,
2arctg(-l) = 2(—j)=-£.
2) х~—У"2. arccos( ^J ^=2arctg(— V~Z— 0. так как
12*

arccosf !^Л>0, a 2arctg(— V"2— l) <0.
3) x = V~2.
-^ = 2arctg(j/2-l);
arccos- 2
i = 2arctg(K2-l).
Так как 0 < V~2-1 < 1 =Ф arctg (/2— 1) € 1 0, -2-f =»
=Ф2 arctg(V% — 1)g 1 0, j\ и x = V% — корень уравнения (2),
т. е. cos-J = cos (2 arctg (J/T— l)), то -J = 2 arctg (/2—1).
Ответ. {J/2}.
Второй способ. (1) arccos-^- = 2 arctg (*—1).
(2) tg (arccos |) = tg (2 arctg (x— 1)).
т i V 1— cos2 a ж . л„
Так как tga=r cosa , где a = arccosy, и tg20 =
= i_tg?nt где p = arctg (х— 1), то уравнение (2) равносильно
уравнению
/■-*
l^iL^va^i»^!)-
£ 1 — (х — 1 )2 v 2-х
2
4—х2>0
4—x
2
f 1<*
4(*_l)i. I x4—4jt3 + 4jt2 + 8jt— 12 = 0
(2-х)2
f l<x<2
" \(jc4—2x2) + (6x2— 12)—4jc3 + 8jc = 0 ~
J l<x<2 _
~\ (X2_2)(x2 — 4x + 6)=0~* = ^2e
Подстановкой л: = К2 в обе части уравнения (1) убедимся,
что я = К 2—решение уравнения (1).
Остается выяснить, не произошла ли потеря решений
уравнения (1) при переходе к уравнению (2). Для этого достаточно
решить систему:
X Я / X Л / с\
arccosy=-2" | -2"= 0 { х==0
я я
[2arctg(jt-l) = -£ ^arctg(-l) = j \ ~ЯТ
125

которая не имеет решений, значит, нет потери решений
уравнения (1) при переходе к уравнению (2).
Ответ. {/2}.
Пример 95. Решить уравнение
а2
(1) 2arcsin;c = a +
arcsin x
Решение. Положим / = arcsinх. Тогда:
df
2/ = а + 4-~
д2 2/2 — а* — а2
О
(2i + a)(t-a)
t
а
2 у
афО
(1) ~ arcsm* TV
[афО
я ^ 2. <^£L
{
arcsin х = а
афО
~ j афО
[x = sin(-4)
— я^д^я
афО
х = — sinJ
V
V
я ^. ^* я
афО
x = sina
Я ^- Я
x = sina.
Ответ.
Если а€[—-j» 0[U]0, -у] , то I — sin у, sinai;
если а€[—^» — y[U]y, л|, то <! —sin-|i;
если а€]— °°> — л[U]л, оо[, то 0.
Пример 96. Решить неравенство
(1) 3arctg*x—4яагс1дл: + я2>0.
Решение. Положим # = arctgx. Тогда:
df
( Я ^ » я
|—2<0<Т
( 3j/a —4я*/ + я2>0
Я JI
т<У<т
— т<0<
^ я
V
з(г/-^)(у-я)>о^
я л
(1) T<arctgx<-£ oo<x</3.
126

Ответ. ]— оо, УЗ[.
Пример 97. Решить неравенство
(1) 2 arccos2*—5aarccosx + 2a2<0, а>0.
Решение. Положим / = arccos*. Тогда:
df
2/2 — 5at + 2a2<0~(2t — a)(t—2а)<(Ь
U.-0 I а
[Р<0 v
Ч
-|<г<2а~
■{
а = 0
/€0
V
а>0
2а < я
0<*<я
( а>0
2а > я
1<*<2а
а = 0
<€0 V
0<а<|-
|</<2а
V
£ < а < 2я
•f </<я.
(1)
0<а<-=-
4- < arccos х < 2а
0<а<|
cos 2а < х < cos у
V
V
•|<а<2я
j< arccos х< я
f < а < 2я
1 < д: < cos
2 *
Ответ. Если 0<а<|-2-, то cos2a, cos-^- ;
если y < о < 2я, то — 1, cos -| Г;
если а = 0 или а^2я, то 0.
Решить уравнение (задачи 1203—1232).
1203. arcsinx =-т-,
1205.
1204, arctgx~ —-J.
2
arcctgx = —у. 1206. arccos x = 3.
1207. агсзт* = л. 1208, 3arcsin;c = n.
1209. 3 arccos (х+1) = 2л.
1210. 3arctg(x2—2) + л = 0.
1211, arccos2 x+ arccos * = 0.
1212, arctg2 (3x + 2) + 2 arc tg (3x + 2) =* 0.

1213. 2 arcsin* x —< arcsin x—6±=0.
1214. arctg» -|-4 arctg f-5 = 0.
11л
1215. 2 arccos x + arcsin *=-g-.
1216. arctg 4* — arcctg 4* = у.
1217. arcsin 6* + arcsin 6/3* = — ~.
1218. arcsin (3*— 1) + 2 arctg Ax = arccos (1 — 3*).
1219. arccos jc—n = arcsin у.
1220. arctg (* + y) + arctg (*_±)r=i.
1221. 2 arccos ( —|Л = arccos (* + 3).
1222* 2 arcctg x ~ 2я + arctg_x.
1223f 2 arcsin x = arcsin JtK2 .
1224# cos (4 arccos x) = — -^.
1225i 2 arctg (2* + 1) = arccos*.
x x V^H
1226, arcsin у + arcsin—^—= arcsin*.
1227, л + arcsin V— *2—2* =2 arccos л:.
1228, arcsin* + arcsin* 1^3 = y.
1229* arctg(* + 1) — arctg (*—1) = arctg2.
1230. arctg 2* + arctg 3* = Ц.
1231. arcsin * + arccos (*— 1) = n.
1232. 2arccos* = arcsin(2*]/ 1 — x2).,
Решить уравнение с параметрами (задачи 1233—1239).
1233. arcsin * = а. 1234. arccos * = а.
1235. arctg * = а. 1236. arcctg * = а.
1237. arccos (ax—b) = с, афО.
1238. 2arccos* +3a= 2а*
arccos *
1239. 3arctg2* + 2аarctg* = а2.
Решить неравенство (задачи 1240—1270).
1240. arcsin*<3. 1241. arcsin *<—2.
1242, arcsin* > —1. 1243. arcsin* <4-
1244. arccos *<0. 1245. arccos *>■?-.
о
1246, arccos* ^ arccos-j. 1247. arccos *>—1.
128

1248. arccos* > -j.
1250. arctg x> 2.
1252. arctg л; < —2.
1254. arcctg x < Ц*.
1256. arcctg x < —j
1258. arctg 4 > 1.
1249. arctg л; > —;
1251. arctg x< i
5я
1253. arcctgx> ^.
arcctg x < y.
1255
1257. arcctg x> 2
1260. arccos
^ 2 '
1259. arctg(— 3x)> I.
2x я
1261. arccos
x»+l> 2 '
1263. arcsin(jt*+l)<2.
2
1262. arcsin (log, x) > 0.
1264. arcsin (*a — 3) >•£.
1265. arctg2*—4 arctg л;+ 3>0.
1266. arcsin x < arcsin (1 — x).
1267. arcsin x> arccos *.
1268. arccos x > arccos *2.
1269. arctg x > arcctg x.
1270. 2 arcsin x > arctg x.
Решить неравенство с параметрами (задачи 1271—1281),
1271. arcsin x> a. 1272. arcsin *< а.
1273. arccos х> а. 1274. arccos х< а.
1275. arctg х > а. 1276* arctg лг<а.
1277. arcctg *> а. 1278. arcctg x< а.
1279. arccos ax < ^.
1280. 4 arcsin2*—За arcsinх—а2>0, а>0.
1281. 2 arcctg2 * +а arcctg* —а2<0, а>0.
б М 102

ЧАСТЬ И
ГЕОМЕТРИЯ
ВВЕДЕНИЕ
Все теоретические сведения, необходимые при решении задач
как I так и II глав, изложены в пособиях по геометрии [5] и[6].
В стереометрических задачах условились оригинал и его
изображение обозначать одними и теми же буквами.
При решении задач на построение параграфа 5 пунктов 2 и 3
будем считать, что:
1) плоскость построена, если найдены элементы, ее
определяющие;
2) если построены две пересекающиеся плоскости, то
построена и их линия пересечения;
3) во всякой плоскости пространства циркулем и линейкой
можно выполнять все построения, рассмотренные в планиметрии
([6], гл. III).
Задачу будем считать решенной, если ее удалось свести к
конечному числу указанных выше построений.
Будем считать, что сферическая, цилиндрическая, коническая
поверхности построены, если найдены элементы, их
определяющие: 1) центр и радиус; 2) ось и радиус; 3) вершина, ось и угол
в осевом сечении.
Схема решения та же, что и в планиметрии: I —анализ, II —
построение, III— доказательство, IV —исследование.
Решение задач на построение параграфа 5-го п. 4 основано
на знании методов изображения ([6], гл. IV).
Задачи № 79, 81, 160, 169, 254, 263, 269, 280,281,282,289,
441, 456, 457, 472, 474, 554 можно решать и с использованием
векторной алгебры.

Глава I
ПЛАНИМЕТРИЯ
§ 1. ПРИМЕНЕНИЕ ГЕОМЕТРИЧЕСКИХ ПРЕОБРАЗОВАНИЙ
К РЕШЕНИЮ ЗАДАЧ
Задача 1. Даны два конгруэнтных отрезка АВ и А'В\
Найти все перемещения, отображающие один отрезок на другой,
так, чтобы образом точки А была точка А'. Построить образ
данной точки М при каждом из этих перемещений.
Решение, а) Если отрезки АВ и А'В' параллельны и
одинаково направлены, то А'В' является образом АВ при
параллельном переносе, скользящей симметрии или осевой симметрии (рис. 1).
б) Если отрезки А В и А'В' параллельны, но противоположно
направлены, то А'В' является образом АВ при центральной,
осевой либо скользящей симметриях (рис. 2).
в) В случае, если отрезки АВ и А'В' не параллельны, то
А'В' является образом АВ при повороте вокруг точки О,
осевой симметрии или скользящей симметрии (рис. 3).
1. Даны две параллельные прямые / и /' и прямая lt.
Существует ли параллельный перенос, при котором
lt—инвариантная прямая, а / и Г—соответствующие прямые? В случае, когда
такой параллельный перенос существует, построить образ
данной окружности.
2. Даны параллельные прямые I, V и отрезок АВ.
Существует ли параллельный перенос, при котором Г является обра-
А
Г
в
1
}М
А1
i>\
о)
и
Рис. 1
А
в
-7
В' А
а)
А'\
б)
В'
В'
в
А
tM
в
в) «
Рис. 2
4—.м'
t
ifl'
tM
W
г)
$•
131

А ^Л М" м'
1\ \ ' в Т в'
б) в А { 6)
Рис. 3
зом / и расстояние между соответствующими точками равно \АВ\?
В случае, когда такой параллельный перенос существует,
построить образ данной прямой /1#
3. Даны две непараллельные прямые / и V и точка О,
равноудаленная от них. Построить образ данного треугольника ABC
при повороте вокруг точки О, при котором /' является образом /.
4. Даны три прямые /, /х и 1[. Существует ли поворот, центр
которого принадлежит прямой /, а 1[ является образом IJ В
случае, когда такой поворот существует, построить образ
данной прямой 12.
5. Даны две прямые 1± и 12. Построить образ треугольника
ABC при повороте, в котором lt и /2 — инвариантные прямые.
6. Какому условию должны удовлетворять три данные точки
А, В, В', чтобы существовало два перемещения, при которых
точка А инвариантна, а точка В' является образом точки В?
7. Даны две конгруэнтные окружности. Построить образ
прямой / при осевой симметрии, в которой данные окружности
симметричны.
8. Даны две пересекающиеся прямые / и /' и точка А {А(^1,
Л (£/'). Построить образ данного треугольника MNP при
скользящей симметрии, в которой V — образ 1, а точка А
принадлежит инвариантной прямой.
9. Даны две пары параллельных прямых /1| /', 1х\\1'и l%lt и
прямая /2. Построить образ прямой /2 при гомотетии с
коэффициентом 2, в котором прямые /' и 1[ являются образами
прямых I и /г
10. Даны два конгруэнтных треугольника ABC и А'В'С.
Построить образ точки М при перемещении, в котором точки А',
В', С являются образами точек А, В, С.
11. Даны два подобных треугольника ABC и А'В'С.
Построить образ данной точки М при подобии, в котором точки
А', В', С являются образами точек Л, В, С.
12. Даны три прямые и некоторая точка. Через эту точку
провести прямую так, чтобы ее образ при композиции симметрии
относительно данных трех прямых был ей параллелен.
132

13. В окружность вписаны конгруэнтные противоположно
ориентированные треугольники ABC и AlBlCl. Доказать, что
точки пересечения прямых АВ и АгВи ВС и Bfix, CA и СХА{
принадлежат одной прямой.
14. Доказать, что композиция четырех симметрии
относительно прямых, содержащих биссектрисы внутренних углов
описанного около окружности четырехугольника, есть тождественное
преобразование.
15. Доказать, что композиция четырех симметрии относительно
прямых, содержащих стороны вписанного в окружность
четырехугольника, есть параллельный перенос.
I. Осевая симметрия
Задача 2. В равнобедренном треугольнике ABC с
основанием ВС, Е — точка пересечения биссектрис. Прямые СЕ и BE
пересекают окружность (О, /?), описанную около треугольника
в точках D и F. Доказать, что EDAF—ромб.
Решение. 1) w AnF ^ vj FmC, так как на них опираются
конгруэнтные вписанные углы ABF и FBC (рис. 4).
2) ^ADF^^FDE, как вписанные, опирающиеся на
конгруэнтные дуги.
3) Фигура, являющаяся объединением окружности и
вписанного в нее равнобедренного треугольника, имеет осью симметрии
прямую ОА.
(Л —Л, 0 — 0)^({О, /?) — (О, /?)),
S(oa)'. (В— С, Е-+Е)^{[ВЕ)-+[СЕ)),
(F=(Ot R)()[BE)-*(Ot R)n[CE) = D)^(FD)±(AE).
Тогда S{0A): /_AEF-+ £AED, ^/EAF — j/EAD, и по
определению конгруэнтных фигур
ZAEF^^AED, Z_EAF^^EAD.
Получили, что в четырехугольнике DAFE диагонали взаимно
перпендикулярны и делят углы пополам, следовательно, он ромб.
16. На биссектрисе внешнего угла С
треугольника ABC взята точка М.
Доказать, что \АС\ + \СВ\<\АМ\ + \МВ\.
17. На одной стороне угла XOY
отложены отрезки ОА и ОВ, а на другой сто- Д
роне — отрезки ОА' и ОВ\ так, что
[ОА']**[ОА]9 [ОВ']*£[ОВ]. Доказать,
что точка Р = (А'В) Г) (АВ') принадлежит
биссектрисе угла XOY.
18. Точка М принадлежит основанию
ВС равнобедренного треугольника ABC. Рис. 4
133

Точки D и F—основания перпендикуляров, опущенных из М
на стороны АВ и АС. Доказать, что \DM\ + \MF\ = hb.
19. На боковых сторонах АС и ВС равнобедренного
треугольника ABC даны точки М и N, так, что | СМ | +1СЛ^ | = \АС\.
Доказать, что отрезок, соединяющий середины боковых сторон,
содержит середину отрезка MN, если \СМ\ =£\CN\.
26. Доказать, что если в четырехугольнике ABCD углы А
и В конгруэнтны, а угол D больше угла С, то \BC\>\AD\.
21. Доказать, что из всех равновеликих треугольников с
общим основанием наименьший периметр имеет равнобедренный
треугольник.
22. На общем перпендикуляре АВ двух параллельных
прямых 1± и /2 (Л £ /if В £ /2) даны точки М и N такие, что AM = ЛГВ. На
прямой /4 взята точка Р, а на прямой /2— точка Q, так, что
отрезок PQ виден из точки М под прямым углом. Доказать,
что отрезок PQ виден из точки N под прямым углом.
23. Окружность пересекает две концентрические окружности:
одну — в точках А и В, другую —в точках С и D. Доказать,
что хорды ЛВ и CD параллельны и [AC]^[BD], [AD]^[BC].
24. Точки Cj и С2 являются образами вершины С
треугольника ABC при симметрии относительно прямых, содержащих
биссектрисы углов ВАС и ABC. Доказать, что середина отрезка
СгС2 есть точка касания вписанной в треугольник окружности
и стороны АВ.
25. Доказать, что если в треугольник вписаны три
конгруэнтных квадрата, то треугольник правильный.
26. Доказать, что точки, симметричные ортоцентру
треугольника ABC относительно прямых АВ, АС, ВС, принадлежат
описанной около треугольника ABC окружности.
27. Произведение длин отрезков, на которые высота АА1
остроугольного треугольника ABC делит сторону ВС, равно
произведению длин этой высоты и ее отрезка НАХ между ортоцентром
и основанием. Доказать.
28. Доказать, что три окружности, симметричные
окружности, описанной около треугольника ABC, относительно прямых
С А, АВ и ВС, пересекаются в ортоцентре треугольника.
29. Пусть Н — ортоцентр треугольника ABC. Доказать, что
окружности (0U Rt), (02, /?2), (03, R3), (О, R), описанные около
треугольников ABH, ACH, BCH, ABC конгруэнтны и
что'треугольники ABC и 0г0203 конгруэнтны.
36. Через ортоцентр треугольника ABC проведена прямая.
Доказать, что прямые, симметричные ей относительно прямых
АВ, ВС, С А, пересекаются на описанной около треугольника
окружности.
31. Даны пересекающиеся прямые 1и 12 и точка А, А§1А, А 02.
Построить треугольник ABC, биссектрисы ВВ^ и CCj которого
принадлежат прямым 1г и /2.
134

32. Дана окружность (О, г) и три прямые 1и 12, /3,
проходящие через точку О. Построить треугольник ABC, описанный
около окружности (О, г), биссектрисы которого принадлежат
данным прямым.
33. Даны две прямые lt и /2, пересекающиеся в точке О, и
точка Р. Построить /\АВС, для которого прямые 1и 1г иОР —
серединные перпендикуляры сторон треугольника и точка Р
принадлежит стороне АВ.
34. В данный угол ABC вписать треугольник наименьшего
периметра так, чтобы одна его вершина находилась в данной
внутри угла точке, а две другие на его сторонах.
35. В данный треугольник ABC вписать треугольник MNP
о наименьшим периметром так, что М £ [АВ], N £ [ВС], Р £ [АС].
36. Построить равнобедренный треугольник MNP с
вершиной в точке М, лежащей внутри треугольника ABC, так, чтобы
(NP)\\(AB) и N£(AC), P£(BC).
37. На плоскости даны три прямые lif l2 и l3, l1f\l2 = Pt
Построить квадрат, диагональ которого принадлежит прямой /3 и
две другие противоположные вершины лежат соответственно на
прямых lt и /2.
38. Дан равнобедренный треугольник ABC [AB]^[BC],
ЛВС = 30°. На стороне ВС взята точка D, так, что | АС\: \BD\ =
= К2:1. Найти величину угла DAC.
39. В равнобедренном треугольнике ABC \ АВ | = | АС | и ВАС =
= 80°. Точка О внутри треугольника выбрана так, что ОВС= 10°,
ОСВ = 30°. Найти величину угла АОВ.
40. В равнобедренном треугольнике ABC ACB = 100°. Через
вершины А и В проведены лучи AL и ВК, так, что LAB = 30°,
КВА = 20°, (AL) П {ВК) = М. Найти величины углов АСМ и ВСМ.
2. Поворот вокруг точки.
Задача 3. На отрезках АВ и ВС (|АВ\ + \ВС\ = \АС\) в
одной полуплоскости относительно прямой А В построены
правильные треугольники ABE и BCF. Точки М и N — середины
отрезков AF и СЕ. Доказать, что треугольник BMN правильный.
Решение. 1) Треугольники ABE и BCF одинаково
ориентированы, так как они расположены в одной полуплоскости и
точка В лежит между Л и С (рис. 5).
2) £ВЛ=С5/7 = 60° (углы правильных треугольников).
3) Из 1), 2) следует, что Rf: £^Гл } => ([ОД — [™]) =>
Ъ {[СЕ] & [FA]) => {[CN] ^ [ЕМ]) г> {N — Л1). Получили:
135

F D P С
А В С
Рис. 5 Рис. 6
RT- N-+M \^>([BN]-+[BM])^(\BN\ = \BM\ и NBM = 60°).
Это означает, что треугольник BMN правильный.
Задача 4. Параллелограмм MNPQ вписан в
параллелограмм ABCD (М£[АВ]9 N£[BC], Р £[DC], Q € [DA]. Доказать,
что они имеют общий центр.
Решение. 1) Обозначим 0 = {MP)(\{NQ), Ot=(AC)(](BD)
(рис. 6).
2) z : М +Р N ► О.
3) Так как М б (АВ), Я € (DC), (АВ) II (DC), то Z0: (AB) — (DC).
4) Так как N£(BC), Q£(DA), (BC)\\(DA), то Z0:(BC)->(DA).
5) Из 3) и 4) следует, что Z0:B-+D, и, значит, [BO]^[OD],
0£(BD) и потому 0 = 0х.
41. Даны два одинаково ориентированных равносторонних
треугольника ABC и ABfii (A—общая вершина). Найти
величину угла между прямыми ВВ± и ССХ и доказать конгруэнтность
отрезков ВВг и CCf.
42. Даны два конгруэнтных отрезка АВ и АгВ^ Л^— центр
поворота, при котором А отображается на Ви В—на Аи а Л12 —
центр поворота, при котором А отображается на А19 В—на Bv
Доказать, что прямая MtM2 делит пополам отрезок,
соединяющий середины данных отрезков.
43. На плоскости дана прямая и точка, не лежащая на ней.
Найти множество третьих вершин правильных треугольников,
одна вершина которых находится в данной точке, а другая на
данной прямой.
44. Даны равносторонний треугольник ABC и точка М.
Доказать, что длина большего из трех отрезков MA, MB, MC не
больше суммы длин двух других.
45. В прямоугольном треугольнике ABC [CM]—медиана. На
катетах АС и ВС вне треугольника построены квадраты ACFN
и BCDE. Доказать, что прямые СМ и DF перпендикулярны.
46. На сторонах АВ и АС треугольника ABC вне его
построены квадраты ABMN и ACPQ. Доказать, что медиана АЕ
треугольника ABC перпендикулярна (NQ) и |Л£| = у|М(?|,
а медиана AF треугольника ANQ перпендикулярна (ВС)
*\AF\=±\BC].
136

47. На сторонах произвольного треугольника ABC построены,
вне его, правильные треугольники АВСи ВСА1У САВг. Доказать,
что отрезки AAU BBlt CCi конгруэнтны и проходят через одну
точку.
48. На сторонах произвольного треугольника вне его построены
квадраты. Доказать: 1) отрезки, соединяющие середину одной
стороны с центрами квадратов, построенных на двух других
сторонах, конгруэнтны и перпендикулярны; 2) отрезок с концами
в центрах двух квадратов конгруэнтен и перпендикулярен
отрезку, соединяющему центр третьего квадрата с вершиной
треугольника, не принадлежащей этому квадрату.
49. На сторонах параллелограмма вне его построены
квадраты. Доказать, что их центры образуют квадрат.
50. Две конгруэнтные окружности пересекаются в точках М
и N. Через точку М проведены три прямые, пересекающие
первую окружность в точках Лъ Л2, Л3, а вторую — в точках Blf
В21 В3. Доказать, что треугольник AXA2AZ является образом
треугольника ВгВ2В3 при повороте вокруг точки N.
51. Даны две окружности, каждая из которых проходит через
центр другой. Через точку А пересечения окружностей проведена
прямая, пересекающая окружности в точках М и N. Найти
величину угла между касательными, проведенными к окружностям
в точках М \\ N.
52. Две конгруэнтные окружности касаются в точке М. Три
прямые, проходящие через точку Му пересекают первую
окружность в точках А19 Ви Си а вторую—в точках Л2, В2, С2.
Доказать, что точка М является серединой отрезка, соединяющего
центры окружностей, описанных около треугольников AlBxCi
и А2В2С2.
53. Три конгруэнтные окружности (Ои г), (02, г), (03, г)
попарно касаются друг друга: (Ои г) и (02, г) в точке А, (02, г)
и (03, г) в точке В, (03, г) и (0lt г) в точке С. Точка М £ (01э г);
Мх — симметрична М относительно Л, М2 — симметрична М1
относительно 5, М3 — симметрична М2 относительно С. Доказать,
что М3 симметрична М относительно Ov
54. Дан параллелограмм ABCD. В треугольники ABC, ACDt
ABDy BCD вписаны окружности. Доказать, что точки касания
этих окружностей с диагоналями параллелограмма являются
вершинами прямоугольника.
55. На сторонах правильного треугольника, вне его, построены
квадраты. Доказать, что их центры являются вершинами
правильного треугольника.
56. На сторонах квадрата построены правильные
треугольники. Доказать, что их центры являются вершинами квадрата.
57. На сторонах АВ и АС правильного треугольника ABC
отложены отрезки AD и Л£, так, что | AD | + | Л£| = | АВ\.
Доказать, что \OD\ = \OE\ и DOE= 120°, где О — центр треугольника.
137

58. На сторонах правильного треугольника ABC взяты точки
Аи Ви С19 такие, что | BAt |:| АХС | = |СВ; |:| ВгА \ = \АСХ \:\C,B\.
(CCJ П {АА,) = В2У (ССг) П (S^) = А29 (ААг) П (ВВХ) = С,. Доказать,
что треугольники Л^С, и А2В2С2— правильные и их центры
совпадают с центром треугольника ABC.
59. На катетах СА и СБ равнобедренного прямоугольного
треугольника ABC выбраны точки D и £, так, что |CD| = |C£|.
Прямые, проведенные через точки D иСи перпендикулярные
к (Л£), пересекают гипотенузу А В соответственно в точках К
и L. Доказать, что \KL\ = \LB\.
60. Прямая, проведенная через центр параллелограмма ABCD,
пересекает его стороны DC, АВ в точках Р и Q. Доказать, что
точки пересечения прямых АР, ВР, CQ, DQ с диагоналями
параллелограмма являются вершинами нового параллелограмма.
61. Образом квадрата ABCD при повороте вокруг его центра
на угол а является квадрат A^fiJ)^ Найти а, при котором
пересечение квадратов имеет наименьший периметр.
62. В данный треугольник ABC вписать прямоугольный
равнобедренный треугольник MNP, если М вершина прямого угла,
заданная на стороне АВ.
63. Построить квадрат ABCD, зная его центр, и две точки
М и N, принадлежащие прямым АВ и ВС.
64. Даны окружность (О, г), две точки Л и В и угол PQR.
Найти на окружности точки С и D, так, чтобы /COD g*/PQR
и (AC)\\(BD).
65. Построить треугольник А ВС, зная три точки, являющиеся
центрами квадратов, построенных на сторонах треугольника
вне его.
3. Параллельный перенос
Задача 5. В четырехугольнике ABCD \АВ\ = бУ~3 см,
\CD\=\2 cm, A = 60°, В=150°, D = 90°. Найти длины сторон
ВС и AD.
Решение. 1) Рассмотрим перенос Т: В —► С, А —► М (рис. 7),
тогда АВСМ — параллелограмм и ВСМ=30°.
2) BCD = 360°—(60° + 150° + 90°) = 60°.
3) В /\CMD MCD = 30°, |MD|2 =
- \MC\2 + \CD\2 — 2\МС\ -\CD\ .cos_30° =
= (6j/"3)2 + 122— 2 - 6 - V"3". 12 .i~2- = 36f
| MD | = 6, тогда | MD | = у | CD |,
следовательно, треугольник CMD — прямоугольный
(по теореме синусов).

4) в &mad Mad = adm = зо° r> amd =120°,
\AD\=V2\AM |a—21 ЛМ |2 cos 120°= 6 /3.
Ответ. |ВС| = |ЛМ| = 6 см, |ЛО| = 6]/*3 см.
66. В трапеции ABCD диагонали имеют длины dt и d2. Найти
длину основания Л£, если угол между диагоналями имеет
величину а, а основание CD имеет длину Ь.
67. В четырехугольнике ЛВСО |ЛВ| = КЗ см, |ВС| = 3 см,
|СО|=2-КЗсм, ЯЛЪ==С25л = 60°. Найти величины углов ABC
и BCD.
68. Доказать, что если у двух трапеций стороны попарно
конгруэнтны, то трапеции конгруэнтны.
69. Даны две конгруэнтные окружности (01э г) и (02, г),
пересекающиеся в точках М и IV. Прямая I, параллельная прямой
Ofi2i пересекает окружность (0lf г) в точках Л и В, а
окружность (02, г) в точках С и D. Доказать, что величина угла АМС
не зависит от положения прямой /, если лучи АВ и CD сона-
правлены и I П [MN]=£0.
70. Прямая, соединяющая середины М и N сторон АВ и CD
четырехугольника ABCD, не являющегося трапецией, образует
со сторонами AD и СВ конгруэнтные углы. Доказать, что
[AD]*t\PB].
71. Две конгруэнтные окружности (0lf r) и (02, г)
пересекаются в точках М и N, причем |ЛШ| = т. Прямая /,
параллельная прямой ОгО„ пересекает (0lf г) в точках Л и В, (02, г) —
в точках С и D. Найти длину отрезка ЛС,.если лучи АВ и CD
сонаправлены.
72. Пусть Лх, Bu Ct—середины сторон ВС, АС и АВ
треугольника ABC, 0U 02, 03 — центры окружностей, описанных
около треугольников ACtBu ВС1А1 и CA1Bli Mlt Af2, М3—центры
окружностей, вписанных в эти же треугольники. Доказать, что
треугольники Ог0^09 и МгМ2М9 конгруэнтны.
73. Пусть Al9 Blt Сх — середины сторон треугольника ABC,
0lt 02, 03 — центры окружностей, вписанных в треугольники
АСгВг, CXBAU CBAAV Вычислить величины услов треугольника
ОАОз, если |ЛВ| = 4 см, |ЛС| = 4КЗ см, ВАС = 30°.
74. На данных прямой / и окружности (О, г) построить
соответственно точки Л и В, так, чтобы отрезок АВ был
конгруэнтен и параллелен данному отрезку MN.
75. Даны три прямые /1э /2, /3 и прямая /. Провести прямую,
параллельную I, так, чтобы разность отрезков с концами на
данных прямых // была конгруэнтна данному отрезку.
76. Построить четырехугольник ABCD, если две его
противоположные стороны конгруэнтны данным отрезкам, | AC |:| BD\ =
= 2:3 и углы между указанными сторонами и между диагоналями^
конгруэнтны данным углам.
139

4. Подобие
Задача 6. На основании ВС треугольника ABC от его
вершин В и С отложены конгруэнтные отрезки, через концы
которых проведены прямые /f и /2, параллельные боковым сторонам.
Доказать, что эти прямые пересекаются на прямой AM,
проходящей через середину [ВС].
Решение. Пусть [BBJ^fCCi] и Bt^lu C^k* 1±\\{АВ),
Ц (АС) (рис. 8).
1) Если М—середина [ВС], то | MB |:| МБ, | = | МС |:| МС1 \ = k.
ъ Bt-*B9 1Х-+(АВ),
' Пм' Q —С, /2 — (АС)
|=>L —Л,
где L = lif\l2 и, по определению гомотетии, M£(LA). Задача
решается аналогично, при /1||(ЛС) и /2||(ЛВ).
77< При переносе треугольник ABC отображается на
треугольник AiBfii. Доказать, что отрезки AMl9 BNif CPlt где
Mi» Ni9 Pt—середины сторон Bfiu CtAif AXBU пересекаются
в одной точке.
78. Вершины треугольников, имеющих общее основание,
расположены на прямой /. Найти множество точек пересечения
медиан этих треугольников.
79. Доказать, что прямая, соединяющая середины оснований
трапеции, проходит через точку пересечения ее диагоналей
и точку пересечения прямых, содержащих боковые стороны.
80. Точка D принадлежит медиане AAi треугольника ABC.
Прямые BD и CD пересекают стороны АС и АВ в точках Bt
и С4. Доказать, что (С^) параллельна (ВС).
81. Для того чтобы выпуклый четырехугольник ABCD был
трапецией, необходимо и достаточно, чтобы выполнялось равенство
\MN\ =-g-(|i4£| + |CD|)f где М и N—середины сторон AD и ВС.
Доказать.
82. Доказать, что точки, симметричные с точкой М
относительно середин сторон четырехугольника ABCD, являются
вершинами параллелограмма.
83. Средняя линия MN четырехугольника ABCD делит его
на два четырехугольника. Доказать, что середины диагоналей
этих четырехугольников являются
вершинами параллелограмма или лежат на
одной прямой.
84. Через точку А пересечения двух
окружностей проведены их диаметры АС
и AD. Доказать, что прямая CD проходит
через вторую точку В пересечения
окружностей.
85. Найти множество середин хорд
окружности, проходящих через точку, при-
Рис. 8 надлежащую окружности.
140

86. В круге с центром О проведена хорда АВ. На радиусе ОА9
как на диаметре, построена окружность (0lf гх). Доказать, что
площади двух сегментов, отсекаемых хордой АВ от обоих
кругов, относятся как 4:1.
87. Прямая, параллельная стороне АВ треугольника ABC,
отсекает от него треугольник MCN. Доказать, что окружности,
описанные около треугольников ABC и MCN, касаются.
88. В трапеции ABCD с основаниями AD и ВС диагонали
пересекаются в точке О. Доказать, что окружности, описанные
около треугольников AOD и БОС, касаются.
89. Прямая I пересекает стороны угла ABC в точках К и L,
а параллельная ей прямая 1Х — в точках М и N. Доказать, что
перпендикуляры, проведенные к сторонам угла в точках К и L,
М и N, пересекаются в точках, лежащих на одной прямой
с точкой В.
90. Стороны угла ABC пересечены прямыми /,-, параллельными
между собой. На отрезках, высекаемых сторонами угла на этих
прямых, как на сторонах построены квадраты в полуплоскостях
[/,, В). Доказать, что центры всех квадратов принадлежат одной
прямой, проходящей через точку В.
91. Доказать, что в треугольнике точка пересечения медиан,
центр окружности, описанной около треугольника, и ортоцентр
лежат на одной прямой.
92. Доказать, что в треугольнике середины сторон,
основания высот и середины отрезков высот, заключенных между
вершинами треугольника и ортоцентром, принадлежат одной
окружности.
93. Пусть Р — произвольная точка плоскости, Л2, B2t C2 —
точки, симметричные с Р относительно середин Л1Э Ви Сг сторон
ВС, СА, АВ треугольника ABC. Доказать, что отрезки АА2,
ВБ2, СС2 пересекаются в одной точке Q и делятся в ней пополам.
94. Через середины D, Et F сторон треугольника ABC
проведены прямые, параллельные биссектрисам противолежащих
углов. Доказать, что: а) эти прямые пересекаются в одной точке Q;
б) точка Q лежит на одной прямой с точкой G пересечения
медиан и О--центром вписанной в треугольник окружности,
причем |QG|:|GO|=l:2.
95. В сегмент вписаны две окружности. Одна из них касается
дуги и основания сегмента соответственно в точках Л и В,
другая— в точках С и D. Доказать, что положение точки
пересечения прямых АВ и CD не зависит от выбора окружностей,
вписанных в сегмент.
96. Доказать, что точки, симметричные ортоцентру
треугольника относительно середин его сторон, принадлежат окружности,
описанной около треугольника, причем эти точки являются
вершинами треугольника, конгруэнтного данному.
97. В треугольнике ABC проведены высоты AAt и BBt.
Доказать, что треугольники АхВгС и ABC подобны.
141

98. Доказать, что основания перпендикуляров, опущенных
из любой точки окружности на три прямые, содержащие стороны
вписанного в нее треугольника, лежат на одной прямой.
99. Длина стороны правильного треугольника ABC равна т.
Образом этого треугольника при повороте вокруг его центра на
угол а является.треугольник А^С^ Доказать, что точки Ла,
В2, С2 пересечения соответствующих сторон треугольников
являются вершинами правильного треугольника. Найти длину его
стороны.
100. Треугольник AtBfii является образом треугольника ABC
при повороте на угол ф вокруг точки Р, принадлежащей
окружности, описанной около треугольника ABC. Доказать, что точки
Л0 = (ВС)П(бА), В0 = (СА)П(С1А1),С0 = (АВ)П(А1В1) лежат на
одной прямой.
101. В данный треугольник ABC вписать треугольник MNP,
так, чтобы его стороны были соответственно параллельны
биссектрисам треугольника ABC.
102. В данный треугольник ABC вписать треугольник AJifii
(At£[BC], Bl^[CA]t C1^[AB])t так, чтобы его стороны были
параллельны сторонам другого данного треугольника.
103. В данной окружности провести хорду так, чтобы точками
пересечения ее с двумя данными радиусами она делилась на три
конгруэнтных отрезка.
104. Вну.три угла ABC дана точка М. На луче ВС найти
точку Nt одинаково удаленную от (ВА) и точки М.
105. В данный треугольник вписать прямоугольник с данным
отношением длин его сторон так, чтобы две вершины
принадлежали одной стороне, а две другие—двум другим сторонам
треугольника.
106. В данный сегмент вписать квадрат так, чтобы две
вершины принадлежали дуге.
107. В данную окружность вписать равнобедренный
треугольник с заданной вершиной на окружности и углом при вершине,
конгруэнтным данному.
108. На сторонах ВА и АС треугольника ABC построить
точки М и N% так, чтобы \BM\ = \NC\ = ±\MN\.
109* Даны две пересекающиеся прямые lt и /2 и на них по
точке А и В. Построить две конгруэнтные окружности,
касающиеся друг друга, так, чтобы одна из них касалась прямой lt
в точке Л, а другая—/2 в точке В.
ПО. Через данную точку провести окружность, так, чтобы
она пересекала каждую из двух данных пересекающихся прямых
под углом, конгруэнтным данному.
111. Построить равносторонний треугольник ЛВС, такой, что
его вершины В и С лежат соответственно на двух конгруэнтных
касающихся окружностях и притом на одной прямой с их точ-
142

кой касания, а третья вершина А находится на внешней общей
касательной данных окружностей.
112. Две окружности (О, г) и (01э rt) касаются внутренним
образом в точке Л. В произвольной точке4D внутренней
окружности (0lf rt) проведена к ней касательная, пересекающая (О, г)
в точках С и В. Доказать, что отрезки CD и DB видны из
точки А под конгруэнтными углами.
§ 2. МЕТРИЧЕСКИЕ СООТНОШЕНИЯ
В ПЛОСКИХ ФИГУРАХ
Задача 7. Найти зависимость между длинами сторон
треугольника ABC, если его медиана ААг, высота ВВХ и
биссектриса CCt пересекаются в одной точке D.
Решение. 1) Так как [ААг] медиана и точка D£[AA^\
(рис. 9), то (СА) II (вс) (см- № 80) и
| АВХ | _ 1 АС, 1
l*iC| \СХВ\-
2) По свойству биссектрисы внутреннего угла треугольника
имеем: ^ ■?) = ~. Из 1) и 2) следует, что
МДх 1 _ Ь \АС\ _Ь + а ,дг. _£&_
3) Так как [BBJ — высота, то в треугольнике ВгСВ
4) По теореме косинусов имеем: c2 = a2 + b2—2abcosC. После
исключения cos С получим:
с2=а2 + Ь2-
2аЬ*
2аЬ*
'а+ЬА
Ответ. с2 = а2 + Ь2-
~а+Ь'
113. В прямоугольном треугольнике ABC (С = 90°) [AAJ —
биссектриса внутреннего угла, \ВА1\ = т,
\САх\=*п. Найти длины гипотенузы АВ и
катета АС.
114. Длины сторон АС и АВ треугольника
ABC равны b и с, угол А вдвое больше угла
В. Найти длину стороны ВС.
115. В треугольнике ABC A ==30°, 5 =
=50°. Доказать, что длины сторон
треугольника связаны соотношением
с2—б2
а=-
Рис. 9
143

116. Найти величину угла А треугольника ABC, если даны
длины b и с сторон АС и АВ, т—длина биссектрисы
внутреннего угла А.
117. В треугольнике ABC отрезок AtBu соединяющий
основания высот AAt и ВВХ, виден из середины М стороны АВ под
прямым углом. Найти величину угла С.
118. На стороне АВ треугольника ABC взяты точки М и N,
так, что | AM\ = \MN\ = \NB\. Точки At и Bt—середины
сторон ВС и АС соответственно,
P = (BBt)[\(CN)% /С = (ЛЛ1)П(СМ).
Найти \PKV\AB\.
119. Доказать, что сумма обратных величин длин высот
треугольника равна обратной величине радиуса вписанной окруж-
1,1,1 1
ности, т. е. - + - + - = у.
120. В треугольнике ABC биссектрисы внутренних углов
пересекают противолежащие стороны ВС, СА и АВ в точках
Аи Bt и Ct. Доказать неравенство
где %а, %ь, Кс—расстояния от точек Си Ax, Bt соответственно
до прямых, содержащих стороны треугольника.
121. Через вершину А параллелограмма ABCD проведен луч,
пересекающий диагональ BD в точке М, сторону CD в точке Р,
продолжение стороны ВС в точке Q. Доказать, что | МА |а =
= \MP\-\MQ\.
122. В четырехугольнике A BCD углы ADC и ABC прямые.
Из вершин А и С опущены перпендикуляры ААг и ССг на
диагональ BD (Ate[BD], C,e[SD]). Доказать, что | ^4tjB | = |С7±^|.
123. В четырехугольнике, у которого две противоположные
стороны взаимно перпендикулярны, сумма квадратов длин
диагоналей равна сумме квадратов длин двух других
противоположных сторон. Доказать.
124. Доказать, что для прямоугольного треугольника
справедливо неравенство
где R — радиус описанной окружности, г — радиус вписанной
окружности, 5 — площадь треугольника.
125. Около треугольника ABC описана окружность и к ней
в точке А проведена касательная, пересекающая луч ВС в
точке Т. Найти длины отрезков СТ и AT, если известны а, Ь, с
длины сторон треугольника.
126. Касательная к окружности, вписанной в треугольник
ABC, пересекает стороны ВС и АС в точках At и Bt. Найти
периметр треугольника AXBXC, если \ВС\ = а, \АС\ = Ь, \АВ\=сш
144

127. В окружность вписан треугольник ABC. Зная, что
В = Р и C = y, определить величину угла между прямой ВС и
касательной к окружности в точке Л.
128. Две конгруэнтные окружности (Ои г) и (02, г)
пересекаются и 10Х021 = г. В общую часть кругов вписан квадрат.
Найти длину его сторон.
129. Равнобедренный прямоугольный треугольник ABC
вписан в окружность радиуса /?. Другая окружность касается
катетов треугольника ABC и первой окружности. Найти ее радиус.
130. Окружность, проходящая через вершину А треугольника
ABC и через середины сторон АВ и АС, касается третьей
стороны треугольника в точке М. Доказать, что \АМ \2 = \ВМ \-\MC\.
131. Медиана CD треугольника ABC, в котором |ЛС|>|ВС|
касается окружностей, вписанных в треугольники ACD и BCD
соответственно в точках Е и F. Доказать, что
2\EF\ = \AC\ — \BC\.
132. Пусть О — центр окружности, вписанной в треугольник
ABC. На сторонах ВС и АС взяты соответственно точки К и
Л! так, что \ВК\-\АВ\ = \ВО\\ \ АМ\-\ АВ\ = \ АО\\ Доказать,
что точки /С, О и М лежат на одной прямой.
133. В треугольнике ABC проведена биссектриса AD угла
A(D£[ВС]). О, Ог и 02 — центры окружностей, описанных около
треугольников ЛВС, ABD и ADC. Доказать, что \001\ = \OOi\ =
= Ь~+су где а' ' с—длины сторон треугольника, a R— радиус
описанной окружности.
134. В треугольнике ABC [ААХ] и [BBj]—высоты. Точки М
и М1У N и Nt — основания перпендикуляров, опущенных
соответственно из точек В и В,, Л и Ах на касательную в точке С
к окружности, описанной около треугольника ABC. Доказать,
что [MAfJ^fAWJ.
135. В треугольник вписана окружность (О, г). Точки
касания ее с двумя сторонами соединены отрезком. Во вновь
образовавшийся треугольник вписана окружность (019 гх). Доказать,
что центр этой окружности принадлежит окружности (О, г).
136. В полуокружность радиуса R вписан четырехугольник
ABCDy у которого |ЛВ| = 2#, \CB\ = RV2y \AD\ = R. Точки Л<
и Вх—основания перпендикуляров, опущенных из Л и В на
прямую CD, Найти длину отрезка AtBlt
137. Если продолжения всех сторон четырехугольника
касаются одной окружности, то разности длин двух пар
противоположных сторон его равны. Доказать.
138. В четырехугольнике ABCDy вписанном в окружность,
\AB\ = \\AD\y |BC| = y|CD|. Зная, что | АВ\ =а, | ЛС| = 6,
найти длину [ВС].
145

139. В окружность (0,R) вписан равнобедренный
прямоугольный треугольник Л£С(с = ~]; D—середина [ВС], Е£
С (AD) П (О, R), F £ [ВС] и (FE) ±(ВС). Доказать, что|CF | = 3 \EF |.
140. Доказать, что расстояние между основаниями
перпендикуляров, опущенных из какой-либо вершины вписанного в
окружность четырехугольника на две прямые, содержащие
стороны, не проходящие через эту вершину, не зависит от выбора
вершины.
141. Дан треугольник ABC. Три, не совпадающие с
вершинами, различные точки Аи Ви Сг, взятые на прямых ВС, С А и
АВ, принадлежат одной прямой тогда и только тогда, когда
(ВС, АХ)-(СА, ВХ)-(АВ, С2) = — 1. Доказать.
142. Доказать, что основания биссектрис двух внутренних и
одного внешнего углов неравнобедренного треугольника лежат
на одной прямой.
143. Доказать, что основания биссектрис трех внешних
углов неравнобедренного треугольника принадлежат одной прямой.
144. Теорема Чевы. Если на сторонах ВС, С А, Л В
треугольника ABC или на их продолжениях взяты точки Alt Bu
С,, не совпадающие с вершинами, то, для того чтобы прямые ААг,
ВВХ, ССг проходили через одну точку или были параллельны,
необходимо и достаточно, чтобы (ВС, AJ^CA, BX)-(AB, Cx) = 1.
145. Пользуясь теоремой Чевы, доказать: 1) три медианы в
треугольнике проходят через одну точку; 2) три биссектрисы
углов треугольника пересекаются в одной точке; 3) высоты
треугольника проходят через одну точку.
146. Доказать, что точка пересечения биссектрис двух
внешних углов треугольника принадлежит прямой, содержащей
биссектрису внутреннего угла этого треугольника.
147. Окружность, вписанная в треугольник, касается его
сторон ВС, СА, АВ соответственно в точках А19 Вх и Ct.
Доказать, что прямые ААХ, ВВХ, ССХ пересекаются в одной точке,
называемой точкой Жергона.
148. Вневписанные окружности касаются сторон ВС, С А, АВ
треугольника ABC соответственно в точках Ах, Ви С\.
Доказать, что прямые ААи ВВи ССг пересекаются в одной точке,
называемой точкой Нагеля.
149. Доказать, что прямые, соединяющие середины сторон
треугольника с серединами соответствующих высот, пересекаются
в одной точке.
150. На сторонах АВ, ВС, СА треугольника ABC даны
точки Си А19 Ви такие, что \АС1\:\С1В\ = Ь2:а\ \ВА,\:\А£\=*
=c2:b2, [CB^'lB^l^a2:^. Доказать, что прямые ААХ, ВВи
ССг пересекаются в одной точке, называемой точкой Лемуана
(а прямые ААг, ВВХ, ССг называются симедианами).
151. В треугольник ABC вписана полуокружность так, что
ее диаметр принадлежит стороне ВС, а дуга касается сторон
■146

АВ и АС соответственно в точках Сг и Bt. Доказать, что
прямые BBt и CCj пересекаются на высоте AAt треугольника.
152. Теорема Ван Обеля. Если на сторонах ВС, СА>
АВ треугольника ABC взяты точки Аи В19 Съ так, что прямые
AAU BBit CCi проходят через точку М, то выполняется
равенство (AAl% M)-{ABiC1) + (AC\ Вг).
153. Биссектрисы AAi9 ВВи СС± треугольника ABC
пересекаются в точке О. Найти (AAit О).
154. На сторонах ВС, СЛ, АВ треугольника ABC выбраны
точки Av Blt CIf так, что прямые AAlt BBU ССг проходят
через точку О. Доказать, что
2%\iv + X\i + Xv + \iv = 1,
где
Ь(МО), |i = (BtBtO)9 v^(Cfi9 О).
155. Теорема Птолемея. Во всяком четырехугольнике,
вписанном в окружность, сумма произведений длин
противоположных сторон равна произведению длин его диагоналей.
156. Произвольная точка М окружности, описанной около
правильного треугольника АВС9 соединена о его вершинами.
Доказать, что длина одного из отрезков AM, BM и СМ равна
сумме длин двух других.
157. В полуокружность вписан четырехугольник ABCD, у
которого |ЛВ| = 2К5см, | ВС | = 2 Кб см, |CD | = 6 см. Найти \AD\9
если [/4D] — диаметр полуокружности.
158. В треугольнике ABC \ АВ | = 6 см, | АС | = 4 см, | ВС |=5 см.
От точки А на сторонах АС и АВ отложены соответственно
отрезки | АК | = 3 см, |ЛМ| = 2см. Найти периметр
четырехугольника ВМКС и площадь прямоугольника, построенного на
его диагоналях.
159. Треугольник ABC вписан в окружность радиуса /?. Найти
длину Л В, если |ВС| = а, |ЛС| = 6.
160. Теорема Стюарта. В треугольнике ABC точка
D£(BC), ОфВу ВфС. Доказать, что
МП* МД|а+Млср х\вс\*
\пи\ — i+x (1+W
где X = {BCt D).
161. Доказать, что если в треугольнике ABC [AD] —
биссектриса внутреннего угла Л, то | AD |2 = | Л В | • | АС \—\ BD | • | DC |.
162. Если в треугольнике ABC даны а, Ь, с—длины его
сторон и [AD]—биссектриса внутреннего угла Л, то
или
\AD\ = -^Vbc{p-a)p.
147

163. Катеты прямоугольного треугольника имеют длины b и
а. Найти длину биссектрисы прямого угла треугольника.
164. В треугольнике ABC найти длину биссектрисы [AD]
внутреннего угла Л, если известно, что \AC\ + \CD\ = mt \АВ\ —
— \BD\ = n.
165. В треугольнике ABC [AD] — биссектриса внутреннего
угла Л. Точка Dx — основание перпендикуляра, опущенного из
точки D на (АВ). Доказать, что
I «.!-*£?*•
166. Биссектриса внутреннего угла Л в треугольнике ABC
пересекает противоположную сторону в точке D, а окружность,
описанную около треугольника, — в точке Е. Найдите отношение
\AD\-.\DE\.
167. В треугольнике ABC даны а, 6, с—длины его сторон.
Доказать, что ma = yj/2 (Ь2 + с2) — а2, где та—длина медианы,
проведенной из вершины Л.
168. Найдите длину стороны АВ треугольника ABC, если даны
длины Ъ и а двух других сторон и известно, что медианы,
проведенные к этим сторонам, взаимно перпендикулярны.
169. Найдите величину угла Л треугольника ЛВС, если даны
длины b и с сторон треугольника АС и АВ и длина медианы AAt
равна УЬс.
170. Окружность вписана в ромб ABCD. Доказать, что для
любой точки М окружности имеет место равенство
\MA\2 + \MB\2 + \MC\2 + \MD\* = ^\AB\\ если Л=45°.
171. Доказать, что если в треугольнике ABC для длин таУ
ть, тс медиан выполняется условие
ma:mb:mc = V3:V2:l,
то треугольник прямоугольный.
172. Доказать, что для прямоугольного треугольника
выполняется неравенство
mj+mj^ 5 '
где maf mb — длины медиан, проведенных к катетам, г — радиус
окружности, вписанной в треугольник.
/Ч А.
173. Доказать, что если в треугольнике ABC Л = 2В, то
-к < x^"V"» где тс~~ Длина медианы, проведенной из вершины С
и Ь = |ЛС|.
174. Сумма квадратов длин четырех сторон четырехугольника
равна сумме квадратов длин его диагоналей, сложенной с учет-
148

веренным квадратом длины отрезка, соединяющего середины
диагоналей. Доказать.
175. Внутри угла ВАС на окружности, описанной около
треугольника ABC, взята точка М. Точки Е, F, Lw /С—основания
перпендикуляров, опущенных из точки М соответственно на (АВ),
(ВС), (СА) и на касательную к окружности в точке Л. Доказать,
что
\ME\.\ML\ = \MF\-\MK\.
§ 3. ПЛОЩАДИ ПЛОСКИХ ФИГУР
Задача 8. Точка D принадлежит стороне ВС
треугольника ABC, На одной из двух других сторон построить точку М
так, чтобы отрезок DM делил треугольник на две равновеликие
фигуры.
Решение. I. Пусть точка М построена. Тогда (рис.
10)
*ДВМР _ 1
= -г- ИЛИ
ЭдЛЯО
\BD\.\BM\ __ 1
\BA\-\BC\ "" 2
\ВМ\
yli«|.|*q
II. 1) К6[ВС] \ВК\ = \КС\. 2) (AD). 3) (KM^AD).
4) (KMt)n(AB) = M. 5) (DM).
III. M —искомая точка. Действительно,
s&bmd _ \BM\.\BD\ _ 1
S&ABC -\BA\.\BC\ 2 »
так как |/Ш| =
т\лв\
\вс\
\BD\
IV. Задача всегда имеет решение.
Задача 9. На сторонах АВ и АС треугольника А ВС
выбраны точки М и N, так, что |ЛУИ| = -||ЛВ|, \AN\ = j\AC\,
(BN)f[(CM) = D. Найти площадь четырехугольника AMDN, если
площадь треугольника ABC равна q.
Решение. 1) S&abn = S^amc=-^S^Abc =
уQ(площадитреугольников, имеющих общую высоту, относятся как длины
оснований) (рис. 11).
А
Рис 11
149

2\ Saabd
\AK\
нием относятся как длины высот)
(площади треугольников с общим основа-
3)
\лк\
\AN\
1
CL | | Л^С
Из 2) и 3) следует, что SAabd =ySABDC
l
(из подобия /\KAN и &NLC).
1
Аналогично получим: S&Acd=yS&bdc' h0 sAbda + SAadc +
+ 5дв£>с = 5д.4вс, следовательно, S&bdc^-^S&abc
4) Samdn=S^abn+S^bdc+SAamc—S&abc=*
Ответ. SAMDN=-Qq-
Задача 10. В треугольнике ABC каждая из сторон
разделена на три конгруэнтные между собой отрезка: [ЛСТ] ^[СХС2]^
^ [C.BllBA^^lA.A^^iAfillCB^^lB^^lB.Al Найти
отношение площадей треугольников MNP и ABC, если М=*
- (АА,) П (СС2), N = {АА2) П (ВВ,), /> = (ВВ2) П (ССХ).
Решение. 1) Аффинным преобразованием переведем
треугольник ABC в правильный треугольник А'В'С (рис. 12).
2) Через вершину А' проведем прямую /, содержащую
внутреннюю биссектрису угла.
5,:
(A'A[)-+(A'a:M
^(B'fi;)-*(C'Q
(В'В'г) — (C'Q.
Р'-
Р'
■N'.
Следовательно, (М'ЛГ)_1_/ и (М'ЛГ)Ц(В'С'), [M'P']^[P'N'],
т. е. /\Р'М N' — равнобедренный. Аналогично докажем, что
\M'N'\ = \M'P'\, т.е. ДМ'Л/'Р' —
правильный.
3)
SAM'N'P> \M'N'\*
В
треугольное l*'C'1
нике Л'В'Л; [5'ЛГ] —биссектриса,
значит, i^i = l; |ЛГЛГ| = -|-;|4И;Н
IMMj
ъ /SM'N'P'
_1_
16*
Рис. 12
Так как при аффинных
преобразованиях сохраняется отношение площадей,
то S&mnP'S&abc^ 1:16.
Ответ. 1:16.
150

Задача .11. Вычислить площадь треугольника ABC, если
даныЛа, hbt hc—длины его высот.
Решение. 1)В треугольнике ABC aha = bhb^chc,
следовательно, a:b:c^hb:ha:-~-£-t Рассмотрим треугольник А'В'С, дли-
h h
ны сторон которого ha, hb, -£-^-.
2) 5дл'в.о<-S' = |/р>'-Ла)(р'-Ч)(р'—^) , где р' =
3) ДЛВС оо ДА'В'С с коэффициентом подобия & = . *,. , где
[Л7С']- высота ДЛ'В'С' и |Л'/С'| = ^, поэтому 5ДЛво =
u'j' "■ ,/•„-,« 0,-ц, (,-«£.) ■
Ответ.
4}/р'(р'-1га)(Р'-НЬ)(р'-^)
176. Найти множество вершин треугольников с данной
площадью, имеющих общее основание.
177. Даны два конгруэнтных отрезка АВ и CD. Найти
множество точек М, таких, чтобы треугольники АВМ и CDM имели
данную площадь.
178. Даны два конгруэнтных отрезка АВ и CD. Найти
множество точек М, таких, чтобы площади треугольников АВМ и
CDM относились как т:п (тфп).
179. Даны два неконгруэнтных отрезка А В и CD. Найти
множество точек М, таких, чтобы треугольники АВМ и CDM имели
данную площадь.
180. Дан пятиугольник ABCDE. Построить равновеликий ему
треугольник с вершиной D, так, чтобы две другие вершины
треугольника принадлежали прямой АВ.
181. Дан четырехугольник ABCD. Построить равновеликий
ему треугольник так, чтобы его основанием была диагональ АС,.
а третья вершина принадлежала прямой BD.
182. На стороне ВС треугольника ABC построить точку М,
так, чтобы площади треугольников АВМ и АС В относились как
1:1^2.
183. На стороне ВС треугольника ABC построить точку М,
так, чтобы площади треугольников АВМ и АСМ относились как
/3:1.
151

184. Точка D принадлежит стороне ВС треугольника ABC.
На двух других сторонах треугольника найти точки М1У М2, Af3,
так, чтобы треугольник ЛВС разделился отрезками D/W, (i = 1, 2, 3)
на четыре конгруэнтные фигуры.
185. Построить правильный треугольник, равновеликий
данному треугольнику.
186. В данный треугольник вписать прямоугольник с
максимальной площадью так, чтобы две его вершины лежали на
стороне треугольника, а две другие — на двух других сторонах.
187. В данный квадрат ABCD вписать прямоугольник MNPQ
с максимальной площадью так, что М G [АВ]У N g [ВС], Р £ [CD],
Q€[AD].
188. В данную окружность вписать прямоугольник
наибольшей площади.
189. В данную окружность вписать трапецию с данным
острым углом, имеющую максимальную площадь.
190. Доказать, что из всех треугольников с данным
периметром наибольшую площадь имеет правильный треугольник.
191. Доказать, что если с — длина гипотенузы прямоугольного
треугольника, я, Ъ — длина катетов, то площадь
S&ABc=p(p—c) = (p—a)(p — b)t где p = -j(a + b + c).
192. Доказать, что если площади двух прямоугольных
треугольников относятся как квадраты длин гипотенуз, то
треугольники подобны.
193. Точка касания вписанной окружности разделяет
гипотенузу прямоугольного треугольника на два отрезка, длины
которых т и п. Найти площадь треугольника.
194. Вычислить площадь треугольника, если известны длины
b и с его сторон и длина т медианы, проведенной к третьей
стороне.
195. Вычислить площадь треугольника ABC, если известны
длины mfl, mbt тс трех его медиан.
196. На медиане ААХ треугольника ЛВС взята точка УИ, так,
что \МА \:\МА11= 1:2. Прямая ВМ пересекает сторону АС в
точке N. Найти отношение площадей треугольников ABN и NBC.
197. Дан треугольник ABC. На лучах ВА, СВ, АС
построены соответственно отрезки так, что | АА1\ = п \ АВ\, \ВВ1\ =
= п\СВ\, \СС1\ = п\АС\. Найти отношение площадей
треугольников AiBlC1 и ABC.
198. В треугольнике ЛВС [ССг], [AAJ — высоты. Вычислить
площадь треугольника ВСЛА^ если |Л£|=13 см, |ВС|=-=14 см,
|СЛ| = 15 см.
199. Треугольник A^Bfii является образом равнобедренного
прямоугольного треугольника ЛВС при повороте вокруг точки М
на угол 45°, где М—середина катета ВС. Найти отношение пло-
152

щади общей части этих треугольников к площади данного
треугольника.
200. Площади двух правильных треугольников ABC и MNP,
из которых один вписан в другой, относятся как 1:3. В каком
отношении вершины одного из них делят стороны другого?
201. Через точку М внутри треугольника ABC проведены
прямые, соответственно параллельные его сторонам. Эти прямые
делят треугольник на шесть фигур, три из которых треугольники
с площадями Sit S2, S3. Найти площадь треугольника ABC.
202. На сторонах АВ, ВС и СА треугольника ABC взяты
соответственно точки Clf Alt Blt так, что | ЛСХ | = — | АВ\9 \ВА1\ =
= у|£С|, \СВ1\=^\СА\. Прямые ААи ВВХ и СС,
пересекаются попарно в точках М, N, Р. Вычислить площади
треугольников А1В1С1 и MNP, если площадь треугольника ABC равна q.
203. Дан треугольник ABC. На лучах А В, ВС, С А от точек
В, С, А отложены соответственно отрезки BBU CCt и AAlt вне
треугольника, так, что
\ВВ±\ = \АС\9 \СС±\ = \АВ\9 \ААг\ = \ВС\.
Доказать, ЧТО S&A^B+S^BC + S/idCA^SS&ABC.
204. Биссектрисы внутренних углов треугольника ABC
пересекают противоположные стороны в точках Аи Blt Ct.
Вычислить площадь треугольника Л^С^, зная длины а, Ь, с сторон
треугольника ABC.
205. В треугольнике ABC, длины сторон которого равны я,
Ь, с, биссектриса внутреннего угла А пересекает сторону ВС в
точке Ах. Точка М — середина отрезка АА19
Bi = {BM)f\(AC)t С1 = (СМ)П(АВ).
Найти отношение площадей фигур, на которые отрезки ВВХ и
ССХ делят треугольник ABC.
206. В треугольнике ABC ВАС = 60°, |£D| = m, \DC\ = n и
D—точка касания (ВС) с окружностью, вписанной в
треугольник ABC. Вычислить площадь треугольника ABC.
207. В треугольнике ABC точка Н—ортоцентр, а М£(АН).
Вычислить площадь треугольника ВМС, если известно, что он
прямоугольный и площади треугольников ABC и В НС
соответственно равны р и q.
208. Окружность, вписанная в треугольник ABC, касается
его сторон ВС, С А, АВ соответственно в точках Alf Blt Cv
Доказать, что S&AiBlCi = т^г-
209. Продолжения биссектрис внутренних углов треугольника
ABC пересекают описанную около него окружность в точках L,
М, N. Доказать, что Smln^-^Rp, где /?= ^ (а + Ь + с).
153

210. К окружности радиуса г, вписанной в треугольник,
проведены касательные, соответственно параллельные сторонам
треугольника. В полученные треугольники вписаны окружности с
радиусами ги г2, г3. Доказать, что ri + r2 + r3 = r.
211. В равносторонний треугольник ABC, длина стороны
которого равна а, вписана окружность. С центром в точке А и
радиусом у построена еще окружность. Найти площадь общей
части двух полученных кругов.
212. Полукруги, построенные на трех сторонах правильного
треугольника ABC, в пересечении образуют криволинейный
треугольник. Вычислить его площадь, если сторона треугольника
ABC имеет длину а.
213. Диагонали трапеции ABCD с основаниями АВ и CD
пересекаются в точке О. Доказать, что треугольники AOD и БОС
равновелики.
214. Дан четырехугольник ABCD. Построен параллелограмм
DBCM. Доказать, что Sacm = SAbcd.
215. В четырехугольнике ABCD на стороне АВ построена
точка М, такая, что \МВ\=-г\АВ\, на стороне CD—точка N,
такая, что | A/'Z) | = — | CZ> |. Какую часть площади данного
четырехугольника составляет площадь четырехугольника AMCN?
216. Стороны АВ и CD четырехугольника ABCD
перпендикулярны. Вычислить площадь этого четырехугольника, если
|Л£| = 9 см, |ВС| = 20 см, |CD|=12 см, | О Л | = 5 см.
217. Длины катетов прямоугольного треугольника ABC
равны а и Ь. На его гипотенузе АВ в полуплоскости с границей
{АВ), не содержащей точку С, построен квадрат. Из центра О
квадрата на (СА) и (СВ) опущены перпендикуляры (О/С) и (ОМ),
/С€ (СА), М б (СВ). Вычислите площадь четырехугольника СКОМ.
218. Каждая из диагоналей четырехугольника имеет длину а,
а сумма длин его средних линий равна 6. Вычислить площадь
четырехугольника.
219. Доказать, что отношение площади четырехугольника,
образованного пересечением*биссектрис углов параллелограмма, к
площади этого параллелограмма не зависит от величин его углов.
220. Противоположные стороны выпуклого шестиугольника
ABCDEF попарно параллельны и конгруэнтны. Какую часть
площади шестиугольника составляет площадь треугольника АСЕ?
221. Дан квадрат; точки Аи Bt, Cl9 D1—середины сторон
DC, DA, АВ, ВС. Доказать, что точки пересечения прямых AAt,
BBit CCit DDt являются вершинами квадрата, площадь которого
составляет -g- площади данного квадрата.
222. В параллелограмме ABCD точки М, N — середины
сторон CD и DA, P = (AM)f)(BN). Какую часть площади данного
параллелограмма составляет площадь треугольника ANP?
154

223. Вершины квадрата соединены с серединами
противоположных сторон. Вычислить площадь получившегося
восьмиугольника, если сторона квадрата имеет длину а.
224. В квадрат вписан правильный треугольник так, что одна
его вершина совпадает с вершиной квадрата. Найти отношение
площади треугольника к площади квадрата.
225. Найти отношение площади правильного треугольника
MNP, вписанного в квадрат ABCD, к площади этого квадрата,
если М£[АВ] и | AM |:| MB|=1:2.
226. В трапеции ABCD с основаниями А В и CD О = {АС) Г) (BD).
Доказать, что если Saob = P2> Sdoc=Q2> to площадь трапеции
равна {p + q)2.
227. В трапеции ABCD ((АВ)||(CD)) точки М и N — середины
оснований, |Л5| = а, \CD\ = b, F = (AN)n(DM), К = (N В) () (МС).
Найти площадь четырехугольника MFNK, если площадь
трапеции S.
228. Через точку пересечения М прямых АВ и CD,
содержащих боковые стороны трапеции ABCD, проведена прямая /,
пересекающая основания ВС и AD трапеции в точках Е и Ff
(АЕ) П (BF) = N, (DE) П (CF) = K. Доказать, что площадь
четырехугольника ENFK не зависит от положения секущей I.
229. Вычислить площадь трапеции, если даны длины qt и qu
ее диагоналей и т—длина отрезка, соединяющего середины
оснований трапеции.
230. Дана прямоугольная трапеция ABCD (AB) _L (ВС),
(АВ) _[_ (AD). Из двух точек М и N, расположенных на
стороне АВ, противоположная сторона CD видна под прямыми углами.
Доказать, что Sabcd =SMcd + SNCd.
231. В трапеции ABCD параллельно ее основаниям АВ и CD
проведены два отрезка, концы которых принадлежат боковым
сторонам трапеции. Вычислить длины этих отрезков, если они
делят трапецию натри равновеликие фигуры и |ЛВ| = а, \CD\ = b.
232. В трапеции ABCD ((AB)\\(CD)), М — середшт [AD],
К = (АС)Г\(ВМ). Площадь треугольника АКВ составляет ^
площади трапеции. Найти отношение длин оснований трапеции.
233. Прямая, параллельная диагонали АС четырехугольника
ABCD и проходящая через середину диагонали BD, пересекает
сторону AD в точке Е. Доказать, что отрезок ЕС делит
четырехугольник ABCD на две равновеликие фигуры.
234. Середины М и N сторон АВ и CD выпуклого
четырехугольника ABCD соединены с вершинами С, D и Л, В, /С =
= (A N) П (DM), Z = (BN) П (СМ). Доказать, что SKMzn = Sakd +
+ Sbcz.
235. Через середину каждой диагонали выпуклого
четырехугольника проведена прямая, параллельная другой диагонали.
Доказать, что отрезки, соединяющие точку пересечения этих пря-
155

мых с серединами сторон четырехугольника, делят его на четыре
равновеликие фигуры.
236. Площадь выпуклого четырехугольника ABCD равна q,
(AC)f](BD)==0. Доказать, что если площади qt и q2
треугольников АОВ и COD удовлетворяют условию
то четырехугольник—трапеция.
237. На сторонах треугольника ABC вне его построены
квадраты ABEF, BCPQ, CAMN. Какую наибольшую площадь может
иметь шестиугольник EFMNPQ, если \ВС\ = а, \АС\ = Ь?
238. Длина стороны квадрата A BCD равна а. С центром
в точке А радиусом •— описана окружность, а из вершины В
квадрата проведена к ней касательная (fi/C). Найти отношение
площадей, фигур, на которые (ВК) делит квадрат.
239. В полуокружность с радиусом /? = 1 дм вписана
трапеция (основание ее принадлежит диаметру), периметр которой
равен 5 дм. Найти длины ее сторон и площадь.
240. Доказать, что площадь прямоугольной трапеции, в
которую можно вписать окружность, равна произведению длин ее
оснований.
241. В трапецию ABCD с основаниями AD и ВС вписана
окружность с центром О. Доказать, что
|ОЛ|2 ^ |ОД|2 |ОС|2 ^ |OD|a '
242. В некоторый угол вписана окружность радиуса г. Длина
хорды, соединяющей точки касания, равна а. Параллельно этой
хорде проведены две касательные к (О, г). Найти площадь
полученной трапеции.
243. В окружность радиуса R вписан квадрат A BCD и в
точке С проведена касательная к окружности, пересекающая (АВ)
в точке £, M = (BC)f](DE)t Найти площадь
четырехугольника ABMD.
244. В квадрате ABCD О—точка пересечения диагоналей.
Центры окружностей, вписанных в треугольники A0Bt ВОС, COD,
DO A, ABC, BCD, CD A, DAB, являются вершинами
восьмиугольника. Найти его площадь, если сторона квадрата имеет длину а.
245. Доказать, что если около четырехугольника можно
описать окружность и в него можно вписать окружность, то его
площадь равна корню квадратному из произведения длин его
сторон.
246. Доказать, что из всех четырехугольников с данными
длинами сторон вписанный в окружность имеет наибольшую
площадь.
156

247. На отрезке и двух его половинах построены
полуокружности в одной полуплоскости. Найти площадь круга,
касающегося всех трех полуокружностей, если длина отрезка а.
248. Прямоугольный сектор АО В радиуса R разделен на две
фигуры дугой того же радиуса с центром в точке Л. Найти
площадь круга, вписанного в меньшую из этих фигур.
249. На касательной к окружности (О, R) в точке Л отложен
отрезок Л£, так, что \AB\ = R. При повороте вокруг точки О
отрезок Л В перейдет в отрезок Л В' и опишет некоторую
фигуру. Найти ее площадь, если АО А' = 30°.
250. Две окружности (0lf гх) и (02, г2) касаются внешним
образом, (АВ) и (CD) —их общие внешние касательные, \AtD\cz
с(Ох, г^, {С, B\ci(02t г2). Вычислить площадь трапеции ABCD.
Глава II
СТЕРЕОМЕТРИЯ
§ 4. ВЗАИМНОЕ РАСПОЛОЖЕНИЕ ТОЧЕК, ПРЯМЫХ
И ПЛОСКОСТЕЙ В ПРОСТРАНСТВЕ
Задача 12. В трехгранном угле О ABC АОВ = 45°, ВОС ==
— 45°, АОС = 60°. Через вершину О проведена прямая /,
перпендикулярная плоскости АОВ. Найти величину угла между
прямыми / и (ОС).
Решение. На лучах О А, ОБ, ОС (рис. 13) выберем точки Л„
Blt Clt так, чтобы 0Ax=elt OBt = е2, ОСг = е3 были ортами. На-
правляющий вектор прямой / обозначим п. Его можно однозначно
разложить по трем некомпланарным ортам: п = а1е1 + а2е2 + а3е3.
(п±ё[) =» (л£ = 0)=Ф (а, + i^-a2 + ± a3 = о)
«i = 0, а2= —*у-а3 и л= —-1_е2+е3.
cos (л, 0 = -^ = ^Wn, £) = 45°.
Ответ. 45°.
Задача 13. Через точки Л и Б, принадлежащие
плоскости П, проведены параллельные прямые 1г и /2 под углом
величиной 30° к плоскости П. Прямая /, пересекающая lt и /а
157

i i *
Рис. 14
под прямыми углами, образует с плоскостью П угол величиной 60°.
Найти величину угла между (АВ) и lv
Решение. 1) Проведем через А прямую V\\l (рис. 14),
тогда 1±±1\ /,!/'. /'П/2 = С и ВСА =90°.
2) Так как 1г || /2, то (/1$ (ЛВ)) = (/2, (ЛВ)) = СВЛ.
3) Проведем (CCJ _1_П, С^П. Так как (I, П) = (Г, П) = 60°,
то СЛС4 = 60°. |СС±| = | ЛС|sin60° = | ЛС|• i^.
4) (СП) = 30°, значит, СВС^ЗОГ, \ВС\ =^1 = \AC\V3.
5) ctg СВЛ=|^- = КЗ, СЯЛ = 30«.
Ответ. ((ЛВ), /i) = 30°.
251. Даны прямая / и точка А (£/. Доказать, что все прямые,
проходящие через точку А и пересекающие прямую /, лежат в
одной плоскости.
252. Доказать, что все прямые, параллельные данной
плоскости и проходящие через данную точку, принадлежат одной
плоскости, параллельной данной.
253. Если в пространстве дано п прямых, из которых каждые
две пересекаются, то или все они проходят через одну точку,
или все лежат в одной плоскости. Доказать.
254. В пространстве даны два отрезка АВ и CD, не лежащие
в одной плоскости, точки М и N—соответственно середины этих
отрезков. Доказать, что -j (\AC\ + \BD\) > \MN |.
255. В пространстве даны пять точек А, В, С, D, Е, из
которых никакие четыре не лежат в одной плоскости. Пусть Р —
середина [АЕ]\ Р'—середина [CD]] Q и Q'—точки пересечения
медиан в треугольниках BCD и ABE. Доказать, что отрезки PQ
и P[Q' пересекаются, и найти отношение длин отрезков, на
которые точка переоечеиия делит каждый из них.
256. Найти расстояние от середины отрезка, пересекающего
плоскость П, до этой плоскости, если расстояния от его концов
до плоскости П равны а и 6.
158

257. Вершины треугольника ABC лежат в одном
полупространстве относительно плоскости П. Точки Аи Bit Q, М± —
основания перпендикуляров, опущенных из вершин и точки М —
пересечения медиан треугольника ABC на П. Доказать, что
IM^H-i-fl^l + IBSJ + ICCil).
258* На трех лучах одного направления, исходящих из точек
Аи A2t Л8, выбираются соответственно точки Blf В2, В3» так»
что сумма | /^fij + l А2В2\ + \А3В3\ остается постоянной.
Доказать, что все плоскости, определяемые точками Bl9 B2t B3,
проходят через одну и ту же точку.
259. Длины отрезков двух прямых, заключенных между
параллельными плоскостями, относятся, как 2:3, а величины их
углов с одной из плоскостей соответственно как 2:1.
Определить величины этих углов.
260. Даны три попарно скрещивающиеся прямые 1и /2, /3,
параллельные одной плоскости. Прямая / перемещается в
пространстве и пересекает при этом данные прямые. Доказать, что
отношение длин отрезков, отсекаемых прямыми 1.(1—1, 2, 3)
на прямой I, постоянно.
261. Доказать, что три отрезка, соединяющие середины
противоположных сторон пространственного четырехугольника и
середины его диагоналей, пересекаются в одной точке и делятся
в ней пополам.
262. Доказать, что если противоположные стороны плоского
четырехугольника MNPQ, вписанного в пространственный
четырехугольник ABCD, не параллельны, то точки пересечения {PQ)
и (MN), (MQ) и (NP) принадлежат прямым АС и BD, если
M£[AB],-N£[BC]9 Pe[CD], Q$[DA].
263. Плоскость П пересекает стороны АВ, ВС, CD, DA
пространственного четырехугольника ABCD в точках М, N, P
и Q. Доказать, что (АВ, М).(ВС, N)-(CD, P)-(DA, Q)=l.
264. В пространственном четырехугольнике A BCD все
стороны конгруэнтны. Доказать, что cos A + cos В + cos(A В, DC)= 1.
265. Доказать, что в пространственном шестиугольнике, в
котором противоположные стороны конгруэнтны и параллельны,
середины всех сторон лежат в одной плоскости.
266. Плоскости ПиП' взаимно перпендикулярны и П ПП' = /.
Плоскости П, и III пересекают П по перпендикулярным прямым
А В и АС (В £ /, С € 0- П, П П' = (BD), П; П П' = (DC) и (BD) __[_ /.
Доказать, что П^П^.
267. Доказать, что прямые, проходящие через одну точку А
и перпендикулярные к одной прямой /, принадлежат одной
плоскости, перпендикулярной к прямой /.
268. Отрезки А В и CD взаимно перпендикулярны, прямая
EFt соединяющая их середины Е и F, является общим перпен-
159

дикуляром к (АВ) и (CD). Зная, что \АВ\ = 2т, \CD\ = 2n,
\EF\ = p, найти \ЕМ\, если сумма расстояний от М до концов
отрезков минимальна.
269. Прямая АВ является общим перпендикуляром к двум
скрещивающимся прямым 1г и l2(A^lti В£/а). На прямых 1Х и
12 выбраны соответственно точки М и N, так, что \AM\ = 2\BN\
и величина угла между лучами AM и BN равна 60°. Доказать,
что (MN) и /2 взаимно перпендикулярны.
270. Величина угла между плоскостями П и IT—45°.
Вершины А и В острых углов прямоугольного треугольника ABC
принадлежат линии пересечения П и П', а С £ П. Найти
расстояние от С до П\ если \АВ\ = а, ВАС = 30°.
271. Точка A£l—линии пересечения плоскостей П и ГГ,
образующих угол величиной 30°, В£П, Я—основание
перпендикуляра, опущенного из В на П\ Найти величину угла между
(АВ) и I, если известно, что
\ВН\ = ^-\АВ\.
272. Из точки С(£П проведены две взаимно перпендикулярные
прямые, пересекающие плоскость П в точках А и В. Найти
величины углов треугольника ABC, если((СЛ),П)= 15°, ((СВ), П) =
= 75°;
273. Точка С лежит на прямой /, параллельной плоскости П,
D^n, H—основание перпендикуляра, опущенного из точки С
на плоскость П. Найти величину угла между плоскостью П и
плоскостью, проходящей через прямые I и CD, если \CD\ =
= \СН\УЗ и (UCD)) = 60°.
274. Отрезок АВ параллелен плоскости П. Через его концы
Л и В проведены прямые 1Х и /2, перпендикулярные к (АВ) и
пересекающие плоскость II в точках At и Вг. Найти расстояние
отрезка до плоскости, если \AB\=at \AlBi\ = bt (lit П) = 45°,
(/„ П) = 30°.
275. В параллелограмме A BCD \AB\:\AD\ = 1:2. Сторона АВ
лежит в плоскости П, a (CD) удалена от нее на расстояние,
равное длине высоты, опущенной из вершины А на (ВС). Найти
величину угла между плоскостью П и плоскостью
параллелограмма.
276. Два отрезка А В длины а и CD длины Ь лежат на
скрещивающихся прямых, величина угла между которыми а.
Основания М и N общего перпендикуляра к этим прямым делят
отрезки АВ и CD так, что \АМ\:\МВ\ = 2:39 \CN \:\ ND\ = 3:2.
Найти длины отрезков BD и ВС, если \MN\ = m.
277. Доказать, что из всех прямых, проведенных народной
грани двугранного угла через данную точку, наибольший угол
160

с другой гранью образует та, которая перпендикулярна к
ребру двугранного угла.
278. Из точки ребра двугранного угла, имеющего величину
а (о<а < у V исходят два луча в различных его гранях. Один из
этих лучей перпендикулярен к ребру, а другой образует с ним
острый угол величиной р. Найти величину угла между данными
лучами.
279. Даны две пересекающиеся плоскости. Доказать, что
существуют две прямые, обладающие тем свойством, что все
плоскости, одинаково наклоненные к двум данным плоскостям,
параллельны либо одной, либо другой прямой.
280. Дан трехгранный угол О А ВС, у которого А ОВ + А ОС =*
= 180°. Вычислить величину угла между ребром ОА и
биссектрисой угла ВОС.
281. Проведены биссектрисы плоских углов трехгранного
угла. Доказать, что углы между биссектрисами, взятыми
попарно, либо одновременно все острые, либо все тупые, либо все
прямые.
282. Три плоскости имеют одну общую точку М. В каждой
из плоскостей построена прямая, перпендикулярная к прямой
пересечения двух других плоскостей. Доказать, что построенные
три прямые параллельны одной плоскости. (Никакая из данных
плоскостей не перпендикулярна к прямой пересечения других.)
283» Величины плоских углов трехгранного угла 60, 60 и 90°.
На ребрах от вершины отложены конгруэнтные отрезки О А, О В,
ОС. Найти величину двугранного угла между плоскостью ABC
и плоскостью угла, величина которого 90°.
284. Доказать, что три биссекторные полуплоскости
трехгранного угла проходят через одну прямую.
285. Доказать, что три плоскости, каждая из которых
проходит через ребро трехгранного угла перпендикулярно к
противоположной грани трехгранного угла, пересекаются по одной
прямой.
286. Доказать, что если два плоских угла трехгранного угла
конгруэнтны, то биссекторная плоскость, проходящая через их
общее ребро, перпендикулярна к противолежащей грани.
287. В трехгранном угле все плоские углы прямые.
Доказать, что ортоцентр треугольника, полученного в
пересечении этого трехгранного угла плоскостью, есть
ортогональная проекция вершины трехгранного угла на эту плоскость.
288. Плоскость наклонена к граням прямого трехгранного
угла под углами, имеющими соответственно величины а, р, у.
Доказать, что cosa-f-cosp + cosv^K3.
289. Из точки N выходят три луча NA, NB, NC, причем
BNC = CNA = ANB = a. Луч NM образует со всеми тремя лучами
конгруэнтные углы. Найти величину этого угла.
6 № 102
161

290. Все плоские углы трехгранного угла имеют величину а.
Точка М принадлежит внутренней области угла и удалена от
каждой его грани на расстояние а. Найти расстояние от точки М
до вершины угла.
291. У трехгранного угла ОАВС угол между гранями ОАВ
и О ВС—прямой, а величина каждого из остальных двугранных
углов равна у. Найти величину плоского угла АОС.
§ 5. ГЕОМЕТРИЧЕСКИЕ ПОСТРОЕНИЯ В ПРОСТРАНСТВЕ
1. Задачи на отыскание множеств точек в пространстве
Задача 14. Найти множество всех точек пространства,
равноудаленных от двух различных точек А и В.
Решение. I. С—середина [АВ], т.е. \АС\ = \СВ\.
C£{N\\AN\ = \NB\}.
N^Ct\AN\ = \BN\=s>3n\A€ll, Я£П, N £11.
(ЛбП, ВбП, С<ЕП, \AN\ = \NB\)=*N£l\C£l9 1± (АВ).
В силу задачи 267 /£11'|С€П',П'J_ (Л£).
II. Пусть Algll', тогда /\АМС ^ /\ВМС (по двум катетам)
и, значит, |ЛМ| = |Л1В|.
\АМ\ = \МВ\&М£П'\СеП', П'1(ЛВ),
т. е. искомое множество есть плоскость, содержащая середину
отрезка АВ и перпендикулярная к нему.
Задача 15. Найти множество всех точек пространства,
равноудаленных от трех данных неколлинеарных точек Л, В и С.
Решение. Пусть Alt B19 С\—середины отрезков ВС, АС, АВ.
N £{М\\МА\ = \МВ\ = \МС\, С^(АВ)}:
1) \NA\ = \NB\&N бЩС^П, П±(АВ);
2) INBl^lNCl&NGTl'lA^ir, П'1(ВС);
3) INAI^INCI&NZW'IB^II", 1ГКЛС),
значит, N £ (П ПП' ПП") = /. Действительно, ПпП' = /, так как
В (^(АС), но всякая точка прямой / одинаково удалена от точек
Л и С, следовательно, /сП".
/£П «ф/1(ЛВ), ) л л
/gn^iliflo Н1(ЛВС)'
\NA\ = \NB\ = \NC\&N€l\0€l, l±(ABC),
где О—центр окружности, описанной около треугольника ABC.
При изображении надо помнить, что точку О можно выбирать
в указанной области (рис. 15).
Задача 16. Найти множество всех точек пространства,
равноудаленных от двух пересекающихся прямых lt и /2.
162

Гис. 15
Рис. 16
Решение. I. Пусть точка М равноудалена от /х и /2, 1Х[\12
(рис. 16).
О
1) (MMt)±lu МгЫ19
(ММ2)±12У М
^>\ММХ\ = \ММ2\.
2) (лш3)±п, n-(/lf /2), м3еп.
Тогда, если M^Alj, то Д ММ^з ^ Д ММ2М3 по гипотенузе
и катету, откуда следует, что \МгМ3 | = |УИ2Л18| и М3
принадлежит биссектрисе угла между прямыми 1г и /2. Следовательно,
M€(0M3M) = Ui — плоскости, содержащей биссектрису угла
между 1г и 12 и перпендикулярной к плоскости П, так как
(ЛШ3)6П1. Если же M1 = M2 = MSt то Мб^.
II. Пусть NФ О — любая точка плоскости,
перпендикулярной П и содержащей биссектрису угла между lt и 12 (таких
плоскостей две П± и П2).
1) (NNJ^lb N±ek (NN2)A_l29 N2£l2.
2) ((NN9) 1 П, N3 € П) =» (N3 б П П (П, U П2)).
Это означает, что N3 принадлежит биссектрисе угла между lt и/2,
т.е. \N3N1\ = \N2N3\ и \NN1\ = \NN2\. Получили, что N
равноудалена от /х и /2.
Итак, искомое множество есть объединение двух взаимно
перпендикулярных плоскостей, содержащих биссектрисы углов между
/j и /я и перпендикулярных к их плоскости.
Задача 17. Найти множество всех точек пространства,
равноудаленных от:
а) трех различных прямых lit l2, 13{1г\\12, li(]l3¥= 0>l%t\l%¥*
б) трех попарно пересекающихся прямых, не проходящих
через одну точку.
Решение, а) Пусть М равноудалена от lit /2, /8|/il|/*t
6« 163

1) (p(Af, /1) = p(M, /2))>Ф (М € Ht | Пх ||/х, IV±n = (/lt /,));
2) (р(М, /х) = р(М, 73))*> (М€П, U ГЦ)|Па 1 П, Щ±П),
3) (р(М, /2)-р(М, /3)ФИМбП3иП;)|П3±П, Щ1П),
значит.
М€ П, П ПАиЩ
*=2
Выясним, что представляет собой U1 П (ПЛиЩ). Если плоскость
fe=2
пересекает прямую, то она пересекает и параллельную ей
плоскость, т. е. U2f\ni = Ju ЩпП^^.
Каждая точка прямой \х или 72 одинаково удалена от /, и / „
от 1Х и /3, следовательно, она одинаково удалена от /2 и /8, а
это означает, что она принадлежит (П3иЩ).
(П^п^/;, п^п, n2j_n)=^/;in,
(П^Щ^/;, П.1П, п;1П)=>791П.
Итак, \М | р (М, /х) = р(ЛГ, /,) = р (М, /,) | /, II /2, /, П /8 =^ 0, /, П /, ^»
^0} = /iU/„riinf /21П (рис. 17).
б) Пусть точка М равноудалена от /lf /2 и /3, //П//гт^0,
/хП/2П/3 = 0, n = (/lt /2).
1) (р (М, /,) = р до, /2))»(м б (П, и по | п, 1 п, п; 1 п).
2) (Р(м, /1) = р(м, /3))^(ме(п2ищ)|п21п, Щ1Щ.
3) (р(м, /2) = р(м, /3))^(Л1е(ПзиПз)|Пз1п, п3±п).
3
Следовательно, УИ ^ 0(11,. и Щ). Выясним, какую фигуру пред-
1=1
ставляет собой искомое множество.
(П1иП'1)г)(П2ищ = и/;.
Действительно, если предположим, что какая-либо пара
плоскостей, например Ilj и П2, имеет пустое пересечение, то тогда
прямые /2 и /3 параллельны (случай а), чего нет. Пусть M£lh
тогда М равноудалена от 1Х и 12У 1Х и /3, значит, равноудалена
Рис. 17
164

от /а и /3, поэтому М £ (П3 (J ГЦ), следовательно, других искомых
точек нет. Итак, искомое множество точек есть объединение
четырех прямых, перпендикулярных к плоскости данных
прямых (рис. 18).
Задача 18. Найти объединение всех прямых, проходящих
через данную точку Л и образующих конгруэнтные углы с двумя
данными скрещивающимися прямыми lt и /9.
Решение. I. Пусть прямая / проходит через точку А и
образует конгруэнтные углы с прямыми 1Х и /9.
О («ii/l ле/;)=Ф^(/, g^ze, О-
2) (/;e/if i4€Q=»ze. У = /С. Q.
3) (/;, q-п, л еп.
у/МфА, Met, (Aizjiz;, z,6/;. (Afz,)iz;f z,€/;.
Тогда /\kAMZi^/\iAMZ2 по гипотенузе и острому углу, значит,
\MZ1 | = |MZ2|, следовательно, М принадлежит множеству точек,
равноудаленных от /; и Г2, т.е. М^ЩиЩ), где IIlf Щ —
плоскости, перпендикулярные П и содержащие биссектрисы углов
между 1[ и /;, А = /; П /2, ^4 6 (Пг U Щ), следовательно, / € (П, (J П^.
II. Легко показать и обратное, что если /'^(П^иП!), Л£/\
то /' образует конгруэнтные углы с прямыми 1\ и /2, а значит,
и с прямыми 1Х и /2.
Итак, объединение прямых, проходящих через данную точку
и образующих конгруэнтные углы с двумя непараллельными
прямыми, —пара пучков с центрами в точке Л, принадлежащих
взаимно перпендикулярным плоскостям.
292. Найти множество всех точек пространства,
равноудаленных от четырех данных точек, если эти точки:
а) не принадлежат одной плоскости;
б) принадлежат одной плоскости.
293. Найти множество точек пространства, равноудаленных
от двух параллельных прямых.
294. Найти множество всех точек пространства,
равноудаленных от:
а) трех прямых, проходящих через одну точку и не
принадлежащих одной плоскости;
б) трех попарно параллельных различных прямых, не
лежащих в одной плоскости.
295. Найти множество всех точек пространства, находящихся
на данном расстоянии от данной плоскости.
296. Найти множество всех точек пространства,
равноудаленных от:
а) двух различных параллельных плоскостей;
б) двух пересекающихся плоскостей Г^ и П2.
297. Найти множество всех точек пространства,
равноудаленных от трех различных плоскостей Пи П2, П3, если:
а) nj|n2, П1ПП3=^0;
б) плоскости пересекаются попарно, но не имеют общей точки;
1G3

в) пересечение плоскостей—точка.
298. Найти множество всех точек пространства, разность
квадратов расстояний от которых до двух различных точек А и В
постоянна.
299. Найти множество всех точек пространства, из которых
данный отрезок виден под прямым углом.
300. Найти множество ортогональных проекций данной точки
на все прямые, лежащие в данной плоскости и проходящие через
данную точку.
301. Найти множество ортогональных проекций данной точки А
на все плоскости, проходящие через данную прямую /(Л(£/).
302. Найти множество ортогональных проекций данной точки Л
на все плоскости, проходящие через данную точку В.
303. Найти множество всех точек пространства, сумма
квадратов расстояний от которых до двух различных точек А и В
постоянна.
304. Даны плоскость П и две точки А и В (Л(£П, В(£П).
Найти множество всех точек М плоскости, таких, что прямые
МА и MB образуют с этой плоскостью конгруэнтные углы.
305. Найти множество всех точек пространства, для которых
отношение расстояний до двух данных точек постоянно.
306. Найти множество точек пространства, отношение
расстояний от которых до двух данных параллельных прямых 1г и /,
равно отношению | PQ |:| MN |, где [PQ]t [MN]—данные отрезки.
307. Найти множество точек, отношение расстояний от
которых до двух данных плоскостей П± и П2 равно \PQ\:\MN \, где
[PQ], [MN] — данные неконгруэнтные отрезки.
308. В пространстве найти множество вершин треугольников
данной площади с общим основанием.
309. Найти множество центров сфер радиуса /?, касающихся
данной плоскости и пересекающих данную сферу S (0lf Rx) no
окружности радиуса г.
310. Найти множество точек, делящих в отношении |PQ|:|iWJV|
все хорды сферы S(Ot /?), проходящие через данную на ней
точку Л, где [PQ], [MN]—данные отрезки.
311. Найти множество центров сфер данного радиуса /?,
пересекающих данную плоскость П по окружностям радиуса г.
312. Найти множество середин отрезков, концы которых
находятся на двух данных скрещивающихся прямых 1г и /2.
313. Найти множество точек, делящих в отношении |PQ|:|jWJV|
отрезки, соединяющие точку Л(£П с точками плоскости П, где
[PQ], [MN]—данные отрезки.
314. Даны две точки А и В. Найти множество точек
пространства, симметричных с точкой А относительно всех прямых,
проходящих через точку В.
315. Найти множество точек, симметричных данной точке А
относительно всех точек данной плоскости П, не проходящей
через точку Л.
166

316. Найти множество точек, симметричных данной точке
относительно всех плоскостей, проходящих через данную
прямую/.
317. Найти множество точек, симметричных данной точке
относительно всех прямых, параллельных данной прямой /.
318. Найти множество центров сфер радиуса R, касающихся
данной прямой.
319. Найти множество середин хорд данной длины в данной
сфере.
320. Найти множество точек, степени которых относительно
двух данных сфер равны.
321. В пространстве даны две скрещивающиеся взаимно
перпендикулярные прямые /х и /2, (АВ) — их общий перпендикуляр
(A (J/lf В£12)> М и N — произвольные точки прямых /х и /2
соответственно. Доказать, что сфера с диаметром MN проходит
через точки Л и В. Найти множество центров этих сфер, если
[AM]^[BN].
322. Найти объединение осей цилиндрических поверхностей,
проходящих через две данные параллельные прямые.
323. Найти объединение всех прямых, перпендикулярных
к данной прямой и проходящих через данную точку.
324. Найти объединение всех прямых, пересекающих данную
прямую и параллельных другой данной прямой.
325. Найти объединение всех прямых, проходящих через
данную точку А и образующих конгруэнтные углы с двумя данными
различными плоскостями Ut и Па.
326. Найти объединение осей всех конусов, касающихся двух
данных плоскостей П^ и Па.
327. Найти объединение всех прямых, проходящих через
данную точку А и образующих данный угол ср с данной прямой I,
А0.
328. Найти объединение всех прямых, проходящих через
данную точку А и образующих данный угол ф с данной
плоскостью П.
329. Найти объединение прямых, параллельных данной
прямой и отстоящих от точки А на расстоянии т.
330. Даны две различные параллельные прямые 1± и /2. Найти
объединение всех прямых, симметричных прямой 1± относительно
всех плоскостей, проходящих через прямую /а.
331. Найти объединение ребер всех прямых двугранных углов,
грани которых касаются данной цилиндрической
поверхности.
332. Найти объединение всех прямых, проходящих через
данную точку А и пересекающих сферу S (О, R) по хордам
данной длины.
333. Найти объединение всех прямых, проходящих через
данную точку А и отстоящих от данной точки В на
расстоянии \PQ\> где [PQ]— данный отрезок.
167

2. Простейшие построения в пространстве
Задача 19. Через данную прямую 1Х провести плоскость,
параллельную другой данной прямой /2.
Решение. I. Пусть плоскость П искомая:
1) ^сгП^рМ^ЭП^Л^П,, /f€nif ППП^0).
2) (/2||П, ltcll19 ninn = Q=>ZiMf.
Из 1) и 2) следует, что Л£П, /.',с:П, ^сП, значит, П = (/lf /J).
II. 1) Л€/1;-2)П1|Л€П1, /,6П1;
3) ЬсП^АеЪ /;ц/2; 4) (/,, /;) = П.
III. Плоскость П искомая: из построения 4 следует, что
Jjczll, из построений 3, 4 следует, что Г2сП, 1\ || /2, поэтому
МП.
IV. Построения 1, 2, 3, 4 всегда выполнимы:
а) 1'{=1г (это возможно, так как /2П/1ЭЛ), следовательно,
/21|/, и П принадлежит пучку плоскостей с осью 1Х\
б) 1'г = ^2 (это возможно, так как 1'г \\ /2), значит, Л = /1П/2
и П—единственная;
в) Докажем, единственность решения, когда 1Х и /2
скрещиваются. Пусть П'^П |/21| П', /jcrlT, следовательно, Л^ГГ;
(П'^п, Л€П1Э л е по ^(П'л 11,==/;, acq.
(/,cnlt /2цп', п#пп1 = /;)=>/;ц/1.
(/2 = nnnlt z;=n'nnlf n/nn = z1=^/2, п'^п)^/;^/;.
В плоскости Ilj получили противоречие с аксиомой о
параллельных.
334. Построить две параллельные плоскости, каждая из
которых проходит через одну из двух данных скрещивающихся
прямых.
335. Через данную точку провести плоскость, параллельную
данной плоскости.
336. Через данную точку провести плоскость,
перпендикулярную данной прямой.
337. Через данную точку провести прямую,
перпендикулярную данной плоскости.
338. Через данную прямую провести плоскость,
перпендикулярную данной плоскости.
339. Провести прямую, перпендикулярную каждой из двух
данных скрещивающихся прямых и пересекающую каждую из них.
340. Построить линию пересечения данной сферической
поверхности с данной плоскостью.
341. Построить точки пересечения данной сферической
поверхности с данной прямой /.
342. Построить линию пересечения данной конической
поверхности * с данной плоскостью, проходящей через вершину
этой поверхности.
* Цилиндрические и конические поверхности —поверхности вращения.
168

343. Построить линию пересечения данной конической
поверхности с данной плоскостью П, перпендикулярной к оси
конической поверхности.
344. Построить точки пересечения данной прямой с данной
конической поверхностью.
345. Построить линию пересечения данной цилиндрической
поверхности с данной плоскостью, перпендикулярной
(параллельной) оси данной поверхности.
346. Построить точки пересечения данной цилиндрической
поверхности с данной прямой.
347. Через данную прямую / провести плоскость, касающуюся
данной сферы.
348. Через данную точку провести плоскость, касающуюся
данной конической (цилиндрической) поверхности.
3. Построения в пространстве с применением
некоторых множеств точек и прямых
Задача 20. Дана прямая / и две точки Л и В, не
принадлежащие /. Через точку В провести плоскость П, так, чтобы
ортогональная проекция точки А на плоскость П принадлежала
прямой /.
Решение. 1. Пусть плоскость П — искомая. Тогда она уда
влетворяет условиям:
1) В£П; 2) (ЛЛ^ПМ.еП; ЗМ,€/.
Из условий 1) и 2) следует, что ЛЛ1£ = 90°, а это означает,
что точка Ал принадлежит сфере с диаметром АВ. Но в
условии 3) A g/, следовательно, Ах £l[)S (О, у | АВ\ J, где
О—середина [А В].
II. 1) Oe[ABl\[AO]^[OB]; 2) S(Ot \АО\)\
3) Ai£S(О, \OA\)f]l\ 4) (ААг);
5) П|В€П, П±(АА1) (задача 334).
III. Плоскость П — искомая: ££П и П J_ (AAJ, A^l
(построения 5,3). Докажем, что Л^П. Пусть ПП(ЛЛ1) = С, тогда
^--^ ><—^
ЛСВ = 90°, но A A jB = 90°, так как Л1 принадлежит сфере с
диаметром АВ (построение 3). Следовательно, С = Аг.
IV. Построения 1, 2 всегда выполнимы; /Г)5(0, \ОА\)Ф0
при условии, что р(0, /)<у | АВ\. Следовательно, при р(О, /) <
<j\AB\ — два решения, при р (О, /) = -j| Л£|—одно.
349. Для двух данных точек Л и В построить ось симметрии,
которая пересекла бы данную.прямую /.
350. На данной прямой / найти точку, симметричную данной
точке Л относительно точки, лежащей в плоскости П,
169

351. Даны три попарно пересекающиеся, но не проходящие
через одну точку прямые и плоскость П. В плоскости П
построить точку, равноудаленную от трех данных прямых.
352. Построить точку, равноудаленную от данных прямых 119
1%> 'з> ^4* если прямые /lf /2 и /3 попарно параллельны и не лежат
в одной плоскости, а прямая /4 пересекает /3.
353. Даны три прямые llf l2 и /3, проходящие через точку О
и не лежащие в одной плоскости, а также две пересекающиеся
плоскости Пх и П2. Найти точки, равноудаленные от прямых 119
/8, /3 и от плоскостей IIj и П2.
354. На данной конической поверхности построить точку,
равноудаленную от трех данных точек, не лежащих на одной
прямой.
355. Даны две скрещивающиеся прямые 1г и /2. На прямой 1Л
построить точку В, так, чтобы [BH]^[PQ], где [PQ]—данный
отрезок, Н — проекция точки В на прямую /х.
356. Дана прямая / и две точки Л и В, не лежащие на
данной прямой. На прямой / построить такую точку М, чтобы
\АМ\% — \BM\2 = \PQ\\ где [PQ] — данный отрезок.
357. Даны плоскость П и две точки А и В, не
принадлежащие П. В плоскости П построить такую точку М, чтобы отрезки
МА и MB образовывали с плоскостью П конгруэнтные углы,
и ЛЛ1В = 90°.
358. Даны две точки Л, В и окружность. На данной
окружности построить точку М, так, чтобы | AM \2 + \BM |2 = |/<Х|а,
где [KL]— данный отрезок.
359. Даны три различные плоскости IIlt П2, П3 (П1Г|П2=^0)
и точка А. В плоскости П3 построить точку М, так, чтобы
[AM] ^ [KL] и отношение расстояний от М до плоскостей Пх и
П, было равно |PQ| :!/>!<?! |, где [KL], [PQ], [Р^]—данные
отрезки.
360. На данной окружности построить точку, разность
квадратов расстояний от которой до данных точек А и В равна | PQ |2,
где [PQ] — данный отрезок.
361. Через данную точку А провести прямую так, чтобы
середина М отрезка этой прямой, заключенного между данными
параллельными плоскостями Пх и П2, принадлежала плоскости П8
(П1ПП3^=0), a [AM]^[PQ], где [PQ]—данный отрезок.
362. На данной плоскости П построить прямую, каждая точка
которой равноудалена от двух данных точек, не лежащих в
плоскости П.
363. Даны две скрещивающиеся прямые. Через данную точку,
не принадлежащую ни одной из данных прямых, провести
прямую, пересекающую обе данные прямые.
364. Через данную точку провести прямую,
перпендикулярную к двум скрещивающимся прямым.
176

365. Даны три попарно скрещивающиеся прямые. Провести
прямую, пересекающую данные прямые в трех точках М9 N и
Р соответственно, причем N — середина отрезка MP,
366. Через данную точку провести прямую, параллельную
данной плоскости и пересекающую данную прямую.
367. Провести прямую, пересекающую две данные прямые и
параллельную третьей данной прямой.
368. Провести прямую, пересекающую каждую из двух
данных скрещивающихся прямых, перпендикулярно к одной из них
и параллельно данной плоскости.
369. Провести прямую, пересекающую две данные прямые,
перпендикулярно третьей прямой и параллельно данной
плоскости.
370. Даны плоскость П и пересекающая ее прямая /. В
плоскости П провести прямую, пересекающую / и параллельную
другой данной плоскости.
371. Провести в данной плоскости П прямую,
перпендикулярную данной прямой, не лежащей в П, и проходящую через
данную точку.
372. Через данную точку Л£П провести прямую /,
параллельную плоскости ITi (njfllj, так, чтобы отрезок АВ был
конгруэнтен данному отрезку, где £ = /Г|П.
373. Даны две скрещивающиеся прямые 1Х и 12 и точка А.
Через точку А провести прямую, образующую с прямыми tx
и 1г углы, конгруэнтные данному углу ф.
374. Построить ось конической поверхности, если даны три
образующие этой поверхности.
375. Построить коническую поверхность, если известны две
образующие этой поверхности и угол, который составляют
образующие с осью поверхности.
376. Даны три плоскости, пересекающиеся в одной точке.
Построить коническую поверхность, касающуюся данных
плоскостей.
377. Даны три различные плоскости П^ П2 и П3, не
пересекающиеся в одной точке. Построить коническую поверхность,
касающуюся плоскостей П1 и П2, ось которой принадлежит
плоскости П3.
378. Даны коническая поверхность и прямая /, не
проходящая через вершину этой поверхности. Построить образующую
данной поверхности, перпендикулярную I.
379. Через точку /W, принадлежащую плоскости П, провести
прямую, образующую с плоскостью П угол, конгруэнтный
данному углу, и перпендикулярную к данной прямой, лежащей в
этой плоскости.
380. Через точку Л, заданную в плоскости П, провести
прямую так, чтобы она была параллельна плоскости Ui и наклонена
к плоскости П под углом, конгруэнтным данному.
171

381. Через данную точку провести плоскость, параллельную
данной прямой /± и образующую с другой данной прямой lt
угол, конгруэнтный данному.
382. Через данную точку Л провести прямую, пересекающую
одну из данных прямых llt l% и образующую с другой угол,
конгруэнтный данному углу.
383. Через данную точку провести касательную к данной
сфере перпендикулярно данной прямой.
384. Построить прямоугольный треугольник ЛВС, так, чтобы
его катеты были соответственно конгруэнтны данным отрезкам,
вершина С его прямого угла находилась в данной точке, вершина Л
лежала на данной прямой, вершина В—на данной плоскости.
385. Построить сферическую поверхность, касающуюся
данной плоскости в данной на ней.точке и проходящую через
другую данную точку.
386. Построить сферическую поверхность, касающуюся двух
данных плоскостей П^ и П2 и проходящую через две точки Л
и В, не лежащие в данных плоскостях.
387. Построить сферическую поверхность, которая касается
четырех плоскостей, пересекающихся попарно по шести прямым.
388. Даны плоскость П и две точки Л и В (Л£П, В(£П).
В плоскости П через точку Л провести прямую так, чтобы
отрезок ВВХ был конгруэнтен данному отрезку (Вх — проекция В
на искомую прямую).
389. Даны точка Л, сфера S(0t г) и плоскость П. На сфере
S(0, r) построить точку М, принадлежащую касательной,
проведенной из точки Л к данной сфере так, чтобы [MN]^[PQ]
([PQ]— данный отрезок), (MN) ±П (ЛГ£П).
390. Построить сферу, касающуюся данной сферы S(0, R)
в данной на ней точке и данной плоскости П.
391. Построить сферу данного радиуса, касающуюся данной
сферы и данной плоскости.
392. Даны две концентрические сферы и плоскость, их
пересекающая. Построить сферу, касающуюся двух данных сфер и
данной плоскости.
393. Построить сферу, касающуюся двух данных сфер,
причем одной из них в заданной точке.
394. Построить сферу, касающуюся данной сферы и данной
плоскости в данной на ней точке.
395. Построить сферу данного радиуса с центром на
данной плоскости, касающуюся одной из данных сфер и
пересекающую другую сферу по окружности данного радиуса.
396. На данной плоскости найти центр сферы, проходящей
через две данные точки А и В, так, чтобы третья данная точка С
была центром окружности данного радиуса, лежащей на сфере.
397. В двух различных плоскостях даны конгруэнтные
треугольники ABC и Aj^Bfii- На прямой / построить точку D, так,
чтобы объемы тетраэдров DABC и DA^fi^ относились как 1:3.
172

398. Построить тетраэдр DABC с данным основанием ABC,
так, чтобы он имел прямой плоский угол ADC, высоту,
конгруэнтную данному отрезку, и вершина D была равноудалена от
двух данных точек М и N.
399. Построить тетраэдр DABC с данным основанием ABC,
так, чтобы вершина D принадлежала данной плоскости, а ребра
AD и BD были конгруэнтными данным отрезкам.
400. Построить тетраэдр DABC с данным основанием ABC,
так, чтобы его высота и боковое ребро AD были конгруэнтны
данным отрезкам и \AD\2 + \BD\2 = \PQ |a, где [PQ] — данный
отрезок.
401. Построить тетраэдр DABC с данным основанием ABC,
так, чтобы вершина D принадлежала данной прямой / и \DA\2 —
— \DC\2 = \PQ\2, где [PQ]—данный отрезок.
4. Построения на кэображениях
Задача 20. DABC—изображение правильного тетраэдра.
Построить изображение точек поверхности тетраэдра,
равноудаленных от двух точек Mgf/lC] и N £[ВС].
Решение. 1) Множество точек, равноудаленных от точек М
и N (рис. 19), есть плоскость П, перпендикулярная (MN) и
проходящая через середину Е отрезка MN, следовательно, П
содержит две прямые lt, /2, проходящие через Е и перпендикулярные
(MN). Пусть lt принадлежит плоскости ABC, а /2 параллельна
высоте DO правильного тетраэдра DABC (О—центр
треугольника ABC).
2) Построим изображение прямой 1Х, для этого построим Ог —
изображение ортоцентра треугольника MNC, тогда /х II (COJ:
(NNJHBO), (ЛШЛКЛО), (ЛШХ) 0(^ = 0^
Ц(СОг)9 E€/i; ltf){AB) = P, llf)(BC) = T.
3) Построим изображение
прямой /2:
(0Е)[)(ВС) = К, /2ll(DO), £ё/2,
l2f)(DK) = R.
4) Искомые точки
принадлежат пересечению поверхности
тетраэдра и плоскости П.
(TR)f)(DB) = S.
[PS] U [ST] U [ТР] — искомое
множество точек.
В
Рис. 19
173

Рис. 20
Задача 21.
ABCDAlBlC1D1 — изображение
куба. Построить изображение
сечения куба плоскостью,
равноудаленной от середин М и
N ребер АВ и ССА куба.
Решение. 1) Множество
точек, равноудаленных от двух
заданных точек М и N (рис .20),
есть плоскость П, проходящая
через середину К отрезка MN
и перпендикулярная (MN). Для
построения плоскости П
необходимо найти две
непараллельные прямые, перпендикулярные
выберем в плоскостях ABC и ВХВС.
ABCD Е — середина стороны ВС, то
к (MN). Такие прямые
2) Если в квадрате
(DE) _]_ (МС), а по теореме о трех перпендикулярах (DE) J_ (MN).
3) Аналогично докажем, что (BtE) J_ (MN).
4) Из пунктов 2) и 3) и признака перпендикулярности
прямой и плоскости следует, что (DEBX) J_ (MN).
5) Д МВЕ ^ Д ECN по двум катетам, значит, | ME | = | EN |.
6) Из пунктов 4) и 5) следует, что U = (DEB1).
7) [BJjc^BfiJMB^WiDE), так как плоскость П
пересекает параллельные грани куба по параллельным отрезкам.
Ромб DEBXF—искомое сечение.
Задача 22. Построить изображение правильной
шестиугольной пирамиды, вписанной в сферу, если длины бокового ребра
и стороны основания относятся как 2:1.
Решение. Диагональное сечение пирамиды, содержащее
большую из диагоналей основания, является правильным
треугольником. (О, R)—очертание сферы.
1) {D0, C0\ = (O, R)[)(Sot Я), Y = (D0C0)n(NbS0) (рис. 21).
2) (KOJKtfS), |0^lHOi*l = |roel; \А> В\£(УОг).
3) X = (NS)f](D0C0); l±(NS), X$l, {P, Q} = /f1(0, R).
4) (C0C)±(ON), (D0D)±(ON), {C, D) с (ON). А, В, С, D,
P, Q — принадлежат эллипсу.
5) Строим изображение EFHKLM правильного
шестиугольника, вписанного в окружность.
6) Вершины шестиугольника соединяем отрезками с точкой N.
Задача 23. Построить изображение правильной
четырехугольной пирамиды, описанной около шара, если Л:г = 4:1.
Решение. 1) Находим точку 0x6 [MS], через которую
проходит плоскость, параллельная экватору и содержащая точки
касания. Пусть Р—точка касания сферы с гранью, Р лежит
на апофеме, М — вершина пирамиды.
Д МОР со Д ОхОР19 значит,
IQOxl _ \0Pi\
\ОРг\ \МО\
и 100х |
:тг-
174

2) Строим изображение параллели с центром в точке Ог (рис. 22),
3) Около параллели описываем изображение квадрата AJifiJ)^
4) Строим точку Al€[S/V]], |SAf| = 4|SO|.
В
Рис. 22
175

Рис. 23
5) Подвергаем A1B1C1Di гомотетии с центром в М и
коэффициентом k = \MS\:\M01\ и получаем ABCD, MABCD —
изображение искомой пирамиды.
Задача 24. Построить изображение равностороннего конуса,
описанного около сферы.
Решение. 1) В осевом сечении оригинала получается
правильный треугольник, описанный около окружности. Поэтому
для нахождения вершины конуса М £ (ON) от точки N отложим
[NM]g*[ON] (рис. 23).
2) Из точки М проведем касательные к очертанию (О, R)
сферы. Получим точки Рх и Ql9 в которых изображение линии
касания сферы и конуса касается очертания. [PlQ1]f)(ON) = Xt
(NN0)±(ON)t N0£(O, Я).
3) Через точку X проведем прямую (£>0С0) J_ {ON0), (D0C0) П
n(ON0) = Hot {Dot C0}a(O, R).
4) [ЛАЛЯобИА], {A1Bl)±(ON)t
ИА) П (ON) = Я, [ЯЛ,] - [НВг] ~ [Я0О0].
5) Строим эллипс по осям и точкам касания с очертанием.
6) Построенный эллипс гомотетией HkM с центром в точке М
переводим в эллипс в плоскости основания конуса, k = | MS |: | МН |.
402. ABCD — изображение квадрата, М—середина [Л5], N =
= (ЛС) П (DM). Построить изображение: 1) перпендикуляра к (DM),
проходящего через вершину С; 2) ортоцентра треугольника ANM.
176

403. Дано ABC— изображение правильного треугольника,
М$[АВ], N £[АС]. Построить изображение центра окружности,
описанной около треугольника AMN'.
404. Построить изображение треугольника и_его ортоцентра,
если длины его сторон относятся как 2:КЗ:КЗ.
405. Дано изображение равнобедренного треугольника,
высота которого конгруэнтна основанию. Построить изображение
центра окружности, описанной около треугольника.
406. Дано изображение окружности. Построить изображение
треугольника, вписанного в окружность: 1) правильного; 2)
прямоугольного с острым углом 30°; 3) равнобедренного с углом при
вершине величиной 30°.
407. Дано изображение окружности. Построить изображение
треугольника, описанного около окружности: 1) правильного;
2) равнобедренного прямоугольного; 3) прямоугольного, длины
катетов которого относятся как 3:4; 4) равнобедренного, длины
боковой стороны и основания которого относятся как 3:2; 5)
прямоугольного с острым углом величиной 30°.
408. Дано изображение окружности. Построить изображение
прямоугольника, вписанного в окружность, длины сторон
которого относятся как 1:]/^3.
409. Дано изоб£ажение окружности. Построить изображение
описанной около окружности равнобочной трапеции с острым
углом величиной 45°.
410. Дано изображение окружности. Построить изображение
описанного около окружности ромба с острым углом величиной 60°.
411. Дано изображение ABCDA1B[C1Dt куба. Построить
изображение перпендикуляра к двум скрещивающимся прямым:
1) ВМ и СС1У где М — середина ребра AD\ 2) AAt и BD\
3) BDX и AXD\ 4)0^ \\ВСХ\Ь) AA^MN, Afgf^DJ, N £[BC].
412. Дано изображение ABCDA1B1C1D1 куба. Построить
изображения точек, принадлежащих поверхности куба и
равноудаленных: 1) от двух точек М и N, взятых на ребрах А В и CD\
2) от концов одной из диагоналей куба; 3) от центра грани AAXDXD
и середины ребра ВВХ\ 4) от вершины Вх и центра грани ABCD\
5) от вершины Сг и середины ребра AD\ 6) от точек М и N,
взятых на ребрах DDX и ВС.
413. А ВС А1В1С1 — изображение правильной треугольной
призмы, все ребра которой конгруэнтны между собой. Построить
изображение сечения призмы плоскостью, равноудаленной 1) от
вершины А и середины ребра АгВх\2) от вершины Ct и середины
ребра АВ\ 3) от середин ребер АХВХ и ССХ\ 4) от плоскостей
А,ВС и А.В.С^
414. На поверхности правильной пятиугольной пирамиды,
боковое ребро которой в два раза длиннее стороны основания,
найти множество точек, равноудаленных от концов бокового
ребра, и построить их изображения.
177

415. В пирамиде DABC ребро DC перпендикулярно плоскости
ABC, ACB = 90°, ВАС = 30°. Построить изображение сечения
пирамиды плоскостью, проходящей через вершину С,
параллельной (АВ) и перпендикулярной к грани DAB, если она
составляет с плоскостью ABC угол, величина которого равна 60°.
416. На поверхности правильной треугольной пирамиды,
апофема которой в два раза длиннее высоты основания, найти точки,
равноудаленные от концов апофемы, и изобразить их.
417. На поверхности правильной четырехугольной пирамиды,
сторона основания которой в два раза длиннее высоты пирамиды,
найти точки, равноудаленные от концов бокового ребра, и
построить их изображения.
418. На поверхности правильной треугольной призмы, длина
бокового ребра которой относится к длине стороны основания
как 3:2, найти точки, равноудаленные от концов диагонали
грани, и изобразить их.
419. ABCDA^fifi^ — изображение прямоугольного
параллелепипеда, у которого | AB\:\AD |:| AAt |= 1:2:3. Построить
изображения точек его поверхности, равноудаленных от Аг и центра
грани ABCD.
420. В правильной треугольной пирамиде DABC высота
конгруэнтна стороне основания. Построить изображение сечения
пирамиды плоскостью, перпендикулярной боковому ребру DA
и содержащей сторону основания ВС.
421. Длина бокового ребра правильной четырехугольной
пирамиды SABCD относится к длине стороны основания как }/1к2.
Построить изображение пирамиды и сечения ее плоскостью,
проходящей через сторону основания ВС и перпендикулярной к
боковой грани SAD.
422. ABCD — изображение правильного тетраэдра. Построить
изображение сечения тетраэдра плоскостью, равноудаленной от:
1) вершины В и середины М ребра АС\ 2) вершины А и центра
грани АВС\ 3) середин ребер АВ и DC.
423. Дано ABCD — изображение правильного тетраэдра.
Построить изображение общего перпендикуляра к двум
скрещивающимся прямым, содержащим высоты граней тетраэдра.
424. Дано ABCD— изображение правильной треугольной
пирамиды, боковое ребро которой в два раза длиннее стороны
основания. Построить изображение сечения, перпендикулярного
к боковому ребру DC и проходящего через середину ребра DB.
425. В прямой призме ABCAlBlCi основанием ABC является
прямоугольный треугольник, в котором С = 90°, А = 30°, а
боковое ребро конгруэнтно гипотенузе основания. Построить
изображение призмы и общего перпендикуляра к скрещивающимся
прямым СС1 и ВАг.
426. Все ребра правильной шестиугольной призмы конгруэнтны
между собой. Построить изображение сечения призмы плоскостью,
178

равноудаленной от двух параллельных сторон оснований призмы,
не лежащих в одной грани.
427. Через точку М на ребре куба проведены пять
плоскостей, пересекающих куб по квадрату. Построить изображения
куба и указанных сечений.
428. Дано изображение цилиндра, осевое сечение которого —
квадрат. Построить изображение правильной четырехугольной
пирамиды, описанной около цилиндра с прямым углом в
диагональном сечении.
429. Дано изображение конуса. Построить изображение:
1) вписанной в конус правильной четырехугольной призмы,
осевым сечением которой является квадрат; 2) куба, вписанного
в конус; 3) описанной около конуса пирамиды, основанием
которой является ромб с углом величиной 60°; 4) правильной
шестиугольной пирамиды, вписанной в конус; 5) вписанного
в конус прямоугольного параллелепипеда, длины ребер которого
относятся как Г.|/^3:2.
430. Дано изображение сферы. Построить изображение: 1)
вписанного в сферу цилиндра, осевым сечением которого является
квадрат; 2) вписанного в сферу конуса, осевое сечение которого —
правильный треугольник.
431. Дано изображение сферы. Построить изображение: 1) куба,
описанного около сферы; 2) куба, вписанного в сферу; 3)
правильного тетраэдра, вписанного в сферу; 4) правильного
тетраэдра, описанного около сферы; 5) правильной треугольной призмы,
описанной около сферы; 6) вписанной в сферу правильной
треугольной призмы, все ребра которой конгруэнтны между собой;
7) описанной около сферы призмы, основанием которой является
прямоугольный треугольник с острым углом величиной 60°.
§ 6. МНОГОГРАННИКИ
Задача 25. В треугольной пирамиде DABC все плоские
углы при вершине D прямые, \DH]— высота пирамиды.
Доказать, что точка Н—ортоцентр треугольника ABC.
Решение. 1) Из (AD) _[_ (BD) и {AD) ± (CD) следует, что
(AD) [_{BDC)t а значит, (AD) ±(ВС).
2)"Так как (DH)±(ABC) и (AD)±(BC), то (АН)±(ВС) по
теореме о трех перпендикулярах.
3) Аналогично докажем, что (СН) _\_(АВ).
4) Из 2) и 3) следует, что точка Н есть ортоцентр
треугольника ABC.
Задача 26. В пирамиде DABC с конгруэнтными боковыми
ребрами основанием служит прямоугольный треугольник, катеты
С А и С В которого имеют длины а и аУ^З. Вычислить площадь
сечения пирамиды плоскостью П, содержащей середины катетов
№

оснований и параллельной ребру DC,
если длина высоты пирамиды равна 6.
Решение. 1) Так как |£Л| =
= |DB| = |DC|, то основание Н
высоты DH пирамиды является центром
окружности, описанной около
треугольника ABC, AC В =90°, значит,
Н — середина гипотенузы АВ(рис.24).
2) II ||(CD), поэтому П пересекает
грани ADC и BDC по прямым,
параллельным (CD). Следовательно,
(MQ)\\(NP).
3) (QP)W(MN) — по признаку параллельности прямой и
плоскости, так как (MiV) с П, {MN)\\(AB).
4) Из 2) и 3) следует, что MNPQ — параллелограмм.
5) (CF) 1 (АВ). Так как \AF\:\FB\ = \CA |2:|С£|2= 1:3 и Q—
середина [DA], то (FQ)\\(DH), тогда (QE) JL (АВ) по теореме о трех
перпендикулярах, а значит, (MN) J_ (QE), где E = (MN)ft(CF).
b)SMNPQ = \MN\.\QE\.
a) \MN\ = ^\AB\ = a;6)\EF\ = ^\CF\^^^ = ^;
B)\FQ\ = ^b;T)\QE\ = V\FE^ + \FQ\^ = \VSa' + 4b\SMNPQ =
= f. |/3a2 + 462.
Ответ. SA1№(? = ~l/3a2 + 462.
432. Доказать, что если у пирамиды двугранные углы при
основании конгруэнтны, то вершина пирамиды проектируется
в центр окружности, вписанной в основание.
433. Доказать, что если у пирамиды углы наклона боковых
ребер к плоскости основания конгруэнтны, то ее вершина
проектируется в центр окружности, описанной около основания.
434. Доказать, что в любом тетраэдре отрезки, соединяющие
середины противоположных ребер, проходят через одну точку,
которая является серединой каждого из указанных отрезков.
435. Доказать, что отрезки, соединяющие вершины некоторой
треугольной пирамиды с точками пересечения медиан
противоположных граней, пересекаются в одной точке.
436. В правильном тетраэдре DABC [D//J —высота, точка М —
середина [DH]. Доказать, что прямые AM, BM, СМ попарно
взаимно перпендикулярны.
437. Доказать, что если одна из вершин треугольной
пирамиды проектируется ортогонально в ортоцентр противоположной
грани, то и другие вершины этой пирамиды обладают тем же
свойством.
438. В треугольной пирамиде DABC при вершине D один
из плоских углов прямой и высота DH проходит через ортоцентр
180

основания. Доказать, что и два других плоских угла при
вершине D —прямые.
439. Доказать, что в треугольной пирамиде с прямым
трехгранным углом при вершине квадрат площади основания равен
сумме квадратов площадей боковых граней.
440. Противоположные ребра тетраэдра попарно
перпендикулярны. Доказать, что у такого тетраэдра плоские углы
каждого трехгранного угла одноименные (все острые, тупые или
прямые).
441. Доказать, что в правильном тетраэдре сумма расстояний
от любой внутренней его точки до всех четырех граней имеет
постоянную величину, равную длине его высоты.
442. Если в тетраэдре два противоположных ребра
перпендикулярны, то тетраэдр можно пересечь плоскостью так, что в
сечении получится прямоугольник.
443. Доказать, что если в тетраэдре ABCD сечение
плоскостью, параллельной (АС) и (BD), есть прямоугольник и
сечение плоскостью, параллельной (AD) и (СВ), тоже прямоугольник,
то и сечение плоскостью, параллельной (АВ) и (CD), также
прямоугольник.
444. Дан тетраэдр A BCD. Доказать, что сечение тетраэдра
плоскостью П, параллельной ребрам AD и ВС, имеет
максимальную площадь, если плоскость П содержит
середину [АВ].
445. Доказать, что плоскость, проходящая через концы трех
ребер куба, выходящих из одной вершины, перпендикулярна
диагонали куба, выходящей из той же вершины, и отсекает от
нее третью часть.
446. Доказать, что сечение куба плоскостью, проходящей
через его центр и перпендикулярной к одной из диагоналей куба»
есть правильный шестиугольник.
447. На ребре куба дана точка. Можно ли (и сколько) через
нее провести плоскостей так, чтобы в сечении получился
правильный 3-, 4-, 5-, 6-угольник?
448. Доказать, что четырехугольник, вершинами которого
являются середины двух пар противоположных ребер тетраэдра,
делит тетраэдр на равновеликие фигуры.
449. Доказать, что любое сечение тетраэдра плоскостью,
проходящей через середины его двух скрещивающихся ребер, делит
тетраэдр на две равновеликие фигуры.
450. Доказать, что любая плоскость, проходящая через точку О
пересечения диагоналей параллелепипеда, делит его на две
равновеликие фигуры.
451. Найти величину двугранного угла при ребре
правильного тетраэдра.
452. В правильной четырехугольной пирамиде величина угла
между боковой гранью и плоскостью основания равна а. Найти
величину угла между смежными боковыми гранями.
181

453. Плоский угол при вершине правильной я-угольной
пирамиды имеет величину а. Определить величину двугранного
угла между двумя смежными боковыми гранями.
454. Все двугранные углы между боковыми гранями
правильной треугольной пирамиды имеют величину а. Найти величину
двугранного угла, образуемого боковой гранью с основанием.
455. В треугольной пирамиде ABCD грани АС В и ADB —
прямоугольные равнобедренные треугольники с общей
гипотенузой АВ, составляют двугранный угол величиной а. Найти
величину двугранного угла при ребре ВС.
456. Диагональ прямоугольного параллелепипеда образует
с двумя его ребрами, выходящими из конца диагонали, углы
с величинами аир. Определить косинус двугранного угла между
плоскостями, каждая из которых проходит через диагональ
и одно из указанных ребер параллелепипеда.
457. Непересекающиеся диагонали двух смежных боковых
граней прямоугольного параллелепипеда наклонены к плоскости
его основания под углами, величины которых аир. Найти
величину угла между этими диагоналями.
458. Найти величину угла между скрещивающимися высотами
двух граней правильного тетраэдра.
459. В прямоугольном параллелепипеде ABCDA^fiyD^
\АВ\ = 8 см, |ЛО| = 6 см, |Л/11| = 10 см. Найти величину угла
между (DAJ и (BDX).
460. В правильном тетраэдре ABCD Вг и С, —середины ребер
DB и DC. Найти величину угла между плоскостями ABC и ABfiv
461. В треугольной пирамиде DABC с прямым плоским углом
ylDfi при вершине D, [DH] — высота, DAH = a, Dfitf = р, Л//Я = <р.
Доказать, что cos<p = — tga-tgp.
462. Ребро DA пирамиды DABC перпендикулярно к плоскости
ее основания. Через вершину А проведена плоскость П,
перпендикулярная (DBC) и параллельная (ВС). Найти величину
угла между плоскостями П и (ABC), если |/>Л|=1 дм, |ЛВ| =
= || дм, |ЛС[ = || дм, |5С|=4 дм.
463. Дан куб ABCDAiBfifi^ Найти величину угла между
плоскостью грани BBfifi куба и плоскостью, проходящей через
(ВСг) и середину М ребра AD куба.
464. Дан куб ABCDA1B1C1D1. Найти величину угла между
плоскостями, одна из которых содержит грань CDDfi^ куба,
а другая проходит через (АС) и середину М ребра A^DA куба.
465. В кубе ABCDA^fiJ)^ через вершину В и середины М
и N ребер AD и СС1 проведена плоскость. Найти величину
угла, под которым эта плоскость наклонена к плоскости грани
ABCD.
466. Пусть DA, DB, DC—ребра куба с общей вершиной D.
Через вершину С и середины ребер DA и DB проведена плос-
182

кость. Найти расстояние от центра куба до этой плоскости,
если длина ребра равна а.
467. В тетраэдре ABCD \АВ И DC |= 13 см, \BC\=\AD\=* 14 см,
\AC\ = \BD\=15 см. Найти величину двугранного угла при
ребре ВС.
468. Основание пирамиды SABCD — прямоугольник ABCD,
в котором |Л£| = а]/3, \ВС\ = а, ребро SA перпендикулярно
плоскости основания и 15Л | = 2а. Через вершину А проведена
плоскость П, перпендикулярная (SC) и параллельная (BD).
Найти величину угла между плоскостями П и (ABC).
469. В прямоугольном параллелепипеде ABCDA^fifii
|ЛВ| = 8 см,|5С| = 6 см, | ЛЛ±| = 10 см. Через вершину А
проведена плоскость, перпендикулярная к диагонали DBX
параллелепипеда. Найти величину угла между плоскостями П и ABCD.
470. Ребро правильного тетраэдра имеет длину а. Найти
расстояния между скрещивающимися высотами граней тетраэдра.
471. Одна из двух треугольных пирамид с общим основанием
расположена внутри другой. Доказать, что сумма величин
плоских углов при вершине внутренней пирамиды больше, чем сумма
величин плоских углов при вершине внешней.
472. Боковые ребра DA, D5, DC треугольной пирамиды DABC
попарно взаимно перпендикулярны. Доказать, что
S1 + S2 + S3>4/i2,
где Su S2, S3 — площади боковых граней, h—длина высоты
пирамиды, проходящей через вершину D.
473. Доказать, что если в треугольной пирамиде все грани
равновелики, то все они конгруэнтны между собой.
474. Из квадратного листа со стороной длины а вырезали
развертку правильной четырехугольной пирамиды так, что
вершины квадрата склеиваются в вершине пирамиды. Какой длины
должна быть сторона основания пирамиды, чтобы ее объем был
наибольшим?
475. Длины двух противоположных ребер тетраэдра х, а все
остальные ребра имеют длину, равную 1 дм. При каком х объем
теграэдра имеет наибольшее значение?
476. Объем правильной треугольной пирамиды равен -g-68,
где b—длина бокового ребра. Найти величину плоского угла
при вершине пирамиды.
477. Вычислить объем правильной четырехугольной пирамиды,
если длина ее бокового ребра равна Ь и оно наклонено к
плоскости основания под углом величиной а.
478. В правильной треугольной пирамиде ABCD боковая грань
составляет с плоскостью основания угол величиной а. Вычислить
объем пирамиды, если известно, что высота пирамиды DH имеет
длину h.
183

479. Основанием прямоугольного параллелепипеда является
прямоугольник ABCD с меньшей стороной длины а и углом
между диагоналями величины 60°. Вычислить объем
параллелепипеда, если его боковое ребро конгруэнтно большей стороне
основания.
480. Вычислить объем прямой треугольной призмы, если ее
основание — прямоугольный треугольник с высотой длины h и
острым углом величины a, arдлина бокового ребра равна а.
481. В правильной четырехугольной пирамиде SABCD
боковое ребро имеет длину b и составляет с плоскостью основания
угол величиной а. Найти объем пирамиды.
482. Доказать, что объем тетраэдра равен произведению
площади параллелограмма со сторонами, конгруэнтными и
параллельными двум скрещивающимся ребрам тетраэдра, на одну
шестую кратчайшего расстояния между этими ребрами.
483. В правильной треугольной пирамиде величина плоского
угла при вершине равна а, а кратчайшее расстояние между
боковым ребром и противолежащей стороной основания равное.
Найти объем пирамиды.
484. На двух параллельных плоскостях расположены отрезки
АВ и CD, концы которых являются вершинами тетраэдра.
Доказать, что объем тетраэдра сохраняется, если отрезки в этих
плоскостях перемещать параллельно самим себе.
485. В параллелепипеде ABCDA1B1C1Dl \AB\ = a, \AD\ = by
\АА1\ = с. Ребра АВ и AD взаимно перпендикулярны, а ребро
Л/4, образует с каждым из них углы величиной а. Определить
объем параллелепипеда.
486. Основанием пирамиды с конгруэнтными боковыми
ребрами служит прямоугольный треугольник, площадь которого равна S.
Двугранные углы при катетах основания имеют величины аир.
Вычислить объем пирамиды.
487. В прямоугольном параллелепипеде три ребра, исходящие
из одной вершины, имеют длины а, Ь, с. Найти площадь сечения
параллелепипеда плоскостью, проходящей через середины
шести его ребер.
488. Через вершину куба проведена плоскость так, что в
сечении получился равнобедренный треугольник с углом при
основании, имеющем величину а. Найти величины углов между
секущей плоскостью и гранями куба.
489. Каждое ребро правильной шестиугольной призмы имеет
длину, равную 1 дм. Вычислить площадь сечения призмы
плоскостью, проходящей через два параллельных ребра оснований,
не принадлежащих одной грани.
490. Основанием прямой призмы является равнобочная
трапеция ABCD, в которой |ЛБ|=18см, | CD | = 8 см. Найти
площадь сечения призмы плоскостью, проходящей через сторону
основания и две диагонали призмы, зная, что в сечение можно
вписать окружность.
134

491. В пирамиде SABCD основанием является
прямоугольник A BCD, длины сторон которого «У 3 и а. Боковое ребро SC
перпендикулярно плоскости основания. Вычислить площадь
сечения пирамиды плоскостью, проходящей через (BD) и
параллельной (SA), если (SA) наклонена к плоскости основания под
углом величиной 30°.
492. Вычислить площадь сечения прямой призмы ABCA^fi^
плоскостью, проходящей через середины М, Л/, Р ребер АС,
ССХ и С^, если ЛСВ = 90°, \СА \=*\СВ\ = \ССг | = а.
493. Площадь боковой грани правильной шестиугольной
пирамиды равна q. Найти площадь сечения этой пирамиды
плоскостью, параллельной боковой грани и проходящей через середину
высоты пирамиды.
494. В правильном тетраэдре A BCD построено сечение
плоскостью, проходящей через вершину С и центр противолежащей
грани и параллельной (АВ). Найти отношение объемов фигур,
на которые сечение делит правильный тетраэдр.
495. Найти отношение объемов фигур, на которые делит
правильную четырехугольную пирамиду плоскость,
перпендикулярная к стороне основания и делящая эту сторону в отношении 1:3.
496. Найти площадь сечения прямоугольного
параллелепипеда ABCDA1B1C1D1 плоскостью, проходящей через вершину А1
и середины ребер ВС и DC параллелепинеда, если три ребра,
выходящие из одной вершины, имеют длины 2, 4 и 6 см (| А Аг |=6 см).
497. Основанием пирамиды DABC является прямоугольный
/\ /\
треугольник ABC: С = 90 , А = 30°. Каждое из боковых ребер
имеет длину Ъ и наклонено к плоскости основания под углом,
имеющим величину а. Вычислить площадь сечения пирамиды
плоскостью, содержащей вершину С и середины М и N ребер
DA и DB.
498. Куб ABCDA1B1C1D1 пересечен плоскостью, проходящей
через вершину А и середины М и N ребер ВС и DDX куба.
Вычислить площадь полученного сечения, если ребро куба имеет
длину 4 дм.
499. Основанием пирамиды SABCD с конгруэнтными
боковыми ребрами служит прямоугольник ABCD, длины сторон
которого а и 2а. Найти площадь сечения пирамиды плоскостью,
проходящей через вершину Л, середину ребра SC и параллельно
(BD), если высота пирамиды имеет длину За.
500. Параллелограмм, в котором |Л£|=я, |ВС|=2а, АВС= 120°,
служит основанием прямого параллелепипеда ABCDA^fiJJ^
Найти величину угла, под которым наклонена плоскость,
проходящая через (Bpi) параллельно (АС), к плоскости основания,
если \AA1\ = aVr3.
501. Основанием прямого параллелепипеда служит ромб, острый
угол которого имеет величину а. Найти величину угла, под
185

которым плоскость, пересекающая параллелепипед по квадрату,
наклонена к плоскости его основания.
502. Дана правильная шестиугольная пирамида SABCDEF.
Через точки М и JV, выбранные на стороне АВ ее основания
1 3
так, что | /4yW| = y| Л5|, | AN\ = j-\ AB\, проведены плоскости,
перпендикулярные к (АВ). Найти отношение площадей фигур,
полученных в пересечении этих плоскостей с пирамидой.
503. Правильная треугольная пирамида ABCD сечением
/11В1С1, параллельным основанию ABC, разделена на две фигуры,
имеющие равные площади боковых поверхностей. Найти
отношение объемов этих фигур.
504. Построить сечение куба плоскостью, проходящей через
одну из диагоналей куба так, чтобы сечение имело минимальную
площадь.
505. Длина ребра правильного тетраэдра ABCD равна а.
Найти площадь сечения тетраэдра плоскостью, проходящей через
середину ребра AD параллельно (ВС) и наклоненной к плоскости
(ABC) под углом, величина которого ср удовлетворяет условию:
tgcp = K2.
506. В правильном тетраэдре ABCD точка М — середина ре-
бра AD, точка N выбрана на ребре АВ так, что | AN\ =y \АВ\.
Найти величину угла между плоскостями ABC и MNC.
507. Длина стороны основания правильной четырехугольной
пирамиды SABCD равна а, длина высоты пирамиды h. Через
сторону AD основания пирамиды и середину скрещивающегося
с ней бокового ребра проведена плоскость. Определить
расстояние от вершины S до плоскости этого сечения.
508. В правильной треугольной пирамиде длины стороны
основания и бокового ребра равны соответственно а и а^З.
Вычислить площадь сечения пирамиды плоскостью, проходящей
через середину бокового ребра и перпендикулярно к нему.
509. Через вершину В правильной треугольной призмы
АВСА1В1С1 проведена плоскость, перпендикулярная к диагонали
АВ1 грани. Вычислить объем пирамиды, отсеченной этой
плоскостью от призмы, если \АВ\ = а, \AA1\ = aV3.
510. В правильной треугольной призме ABCA^fi^ все ребра
которой конгруэнтны между собой, через вершину А1У середину М
бокового ребра ССг и середину /if стороны ВС основания ABC
проведено сечение. Найти отношение объемов фигур, на
которые это сечение делит призму.
511. Тетраэдр ABCD пересечен плоскостями П и П^ каждая
из которых параллельна прямым АВ и CD. Доказать, что
сечения плоскостями П и Пх равновелики, если р((ЛБ), П) =
= p((CD), Пх).
186

512. В основании пирамиды DABC лежит правильный
треугольник ABC, сторона которого имеет длину а. Боковая грань
ABD перпендикулярна плоскости основания и \DA\ = \DB\ = b
(Ьфа). Найти площадь того сечения, которое является квадратом.
513. Длина ребра куба ABCDA1B1C1D1 равна я, точка Н —
центр грани ABCD. Найти площадь сечения куба плоскостью,
перпендикулярной (В^Н) и проходящей через середину отрезка
B,H.
514. Найти площадь сечения правильной четырехугольной
пирамиды SABCD плоскостью, проходящей через вершину А
основания ABCD и середины ребер ВС и SD, если сторона
основания и высота пирамиды имеют соответственно длины а »Л.
515. Ребро правильного тетраэдра ABCD имеет длину а.
Через вершину А параллельно (ВС) проведена плоскость так,
что угол между (АВ) и этой плоскостью имеет величину 30°.
Найти площадь сечения.
516. В правильной четырехугольной Пирамиде SABCD через
вершину А параллельно диагонали основания пирамиды BD
проведена плоскость так, что угол между (АВ) и этой
плоскостью имеет величину 30°. Найти площадь сечения, если | АВ\ = а,
\SH\=2V%a> где [SH] — высота пирамиды.
517. Основанием пирамиды SABCD служит параллелограмм
ABCD, в котором | ЛБ|= 15 см, |ЛО|=13см, |BD|=14cm.
Ребро SA перпендикулярно к плоскости основания и имеет
длину, равную 48 см. Через вершину А проведена плоскость,
параллельная (BD) и пересекающая ребро SC в точке М так,
что |SAf|:|MC| = 3:2. Найти площадь полученного сечения.
518. В пирамиде SABCD с конгруэнтными боковыми ребрами
основанием является прямоугольник, длины сторон которого
равны а и a\f ?>. Вычислить площадь сечения пирамиды
плоскостью, проходящей через вершину А и перпендикулярной к
ребру SC, если высота пирамиды имеет длину я]/3.
§ 7. ЦИЛИНДР, КОНУС, ШАР
Задача 27. Четыре сферы радиуса R и четыре сферы
радиуса г расположены так, что каждая касается трех сфер одного
радиуса и трех сфер другого радиуса. Найти отношение R: г (R>r).
Решение. Пусть Л, fi, С, D — центры сфер радиуса R и
А19 В1У Си Dx — центры сфер радиуса г.
1) Каждая сфера радиуса R касается трех других того же
радиуса, значит, \ AB\ = \AC\ = \AD\ = \BC\ = \CD\ = \BD\ = 2R.
Следовательно, Л, 5, С, D —вершины правильного тетраэдра
(рис. 25).
2) Каждая сфера радиуса г касается трех сфер того же
радиуса, значит, | Л А | = | Л А | -1Л J)t | = | Bfit \ = | CxDt \ -
182

= I BiDl | =a 2r,
следовательно, Л lB1ClDl —
вершины правильного тетраэдра.
3) Каждая сфера
радиуса г касается трех сфер
радиуса R: пусть S(DV r)
касается S (Л, R),S{B, /?),
S(C9 /?), тогда |D^| =
= \DlB\ = \DlC\ = R + r и
Dt принадлежит высоте
DD2 тетраэдра A BCD, так
как R > г. Аналогично
Лх € [ЛЛ2], Б, € [BfiJ.
сх^[сс21тт[АА21\ввХ
[СС2] — высоты тетраэдра
A BCD.
4)В АДРА1Р1Р.Н
«KlBDJMBD.IMfiP.H
Рис. 25
-4IBLI-
2^3
я.
что
ID.D.H |/(7?+г)*-(-2р/?)2= /(Я+г)'-^'- Ясно,
|D1Ds| = |ClCa| = |B152| = |Л(Л3|, следовательно, точки Аи в„
Ct, D, одинаково удалены от центра О тетраэдра ABCD,
значит, О—общий центр двух правильных тетраэдров.
5) В правильном тетраэдре A BCD \ DO | = -|-|DD,|, a \DDt\ =
+
+
DAI
'2)/~6
* = T
2/6
« + T
3 2/6
Ответ. 3 + 21/2.
3 *x ' 4 3
6/?r + ra = 0)^> ^- = 3 + 21/2.
r +
519. Найти площадь поверхности и объем тела, полученного
при вращении параллелограмма около прямой, содержащей
большую сторону, если длины сторон 4 и 6 см, а острый угол
имеет величину 30°.
520. Найти отношение объемов, площадей поверхностей шара
и вписанного в него равностороннего конуса.
521. В шар вписан цилиндр, высота которого составляет
половину диаметра шара. Найти отношение объемов фигур, на
которые поверхность цилиндра делит шар.
522. В равносторонний конус вписаны два шара: первый шар
касается боковой поверхности конуса и его основания, второй —
188

боковой поверхности конуса и первого шара. Найти отношение
объемов шаров.
523. Высота конуса имеет длину А. Две взаимно
перпендикулярные образующие делят боковую поверхность конуса на
две части, площади которых относятся как 1:2. Вычислить объем
конуса.
524. Длина высоты усеченного конуса есть среднее
пропорциональное между длинами диаметров оснований. Доказать, что
в такой усеченный конус можно вписать шар.
525. При каком условии вокруг четырехгранного угла можно
описать коническую поверхность?
526. Отношение длины высоты конуса к радиусу описанного
около него шара равно д. Найти отношение объемов этих тел.
527. Найти косинус угла при вершине в осевом сечении
конуса, зная, что на его поверхности можно провести три
попарно перпендикулярные образующие.
528. Плоскость П содержит основание равностороннего
конуса, длина высоты которого 10 см. Каждый из трех конгруэнтных
шаров касается двух других, плоскости П и боковой
поверхности конуса. Найти радиус этих шаров.
529. Плоскость П содержит основание конуса, длина высоты
которого 4 см, а радиус основания 3 см. Каждый из 6
конгруэнтных шаров касается двух соседних, плоскости П и боковой
поверхности конуса. Найти радиусы шаров.
530. Около шара описан усеченный конус. Отношение объема
усеченного конуса к объему шара равно 13:6. Найти величину
угла между образующей конуса и его основанием.
531. В конус вписан шар. Доказать, что отношение площади
полной поверхности конуса к площади поверхности шара равно
отношению их объемов.
532. В конус вписан шар. Площадь поверхности шара
относится к площади основания конуса как 4:3. Найти величину
угла в осевом сечении при вершине конуса.
533. Из полукруга радиуса г свернута боковая поверхность
конуса. Найти объем этого конуса.
534. Найти объем шара, вписанного в конус, у
которого высота и радиус основания имеют соответственно
длины А, г.
535. Длина высоты конуса равна Л, величина угла между
образующей и высотой равна а. Найти радиус сферы с центром
в вершине конуса, которая делит конус на две равновеликие
фигуры.
536. На плоскости лежат вокруг общей вершины п
конгруэнтных последовательно касающихся друг друга конусов.
Определить величину угла при вершине в их осевом сечении.
537. Найти отношение объема конуса к объему вписанного
в него шара, если известно, что плоскость, касающаяся шара
и перпендикулярная к одной из образующих конуса, отсекает
189

от этой образующей отрезок с концом в вершине, длина
которого в k раз больше радиуса шара.
538. Площадь полной поверхности конуса в п раз больше
площади поверхности вписанного в него шара. Найти величину
угла наклона образующих конуса к плоскости его основания.
639. В конус вписан шар радиуса г. Найти объем конуса,
если известно, что плоскость, касающаяся шара и
перпендикулярная к одной из образующих конуса, отстоит от вершины
конуса на расстоянии d.
540. Радиус основания конуса, описанного около цилиндра,
равен /?, а высота имеет длину Л. Какое наибольшее значение
может иметь площадь боковой поверхности цилиндра?
541. Высота конуса разделена на три конгруэнтных отрезка.
Точки деления служат вершинами двух конусов, подобных
данному и имеющих общую плоскость оснований с данным конусом.
Найти отношение объемов фигур, на которые при этом
разделился данный конус поверхностями двух других.
542. Длина высоты конуса в 4 раза больше радиуса сферы,
вписанной в этот конус. Длина образующей конуса равна Ь.
Найти площадь боковой поверхности конуса и радиус сферы,
описанной около конуса.
543. В конус вписаны два шара радиусов R и г: первый
шар касается боковой поверхности конуса и его основания,
второй—боковой поверхности конуса и первого шара. Найти
площадь боковой поверхности усеченного конуса, основания
которого содержат окружности касания шаров с поверхностью конуса.
544. Три шара радиуса R касаются одной и той же плоскости,
и каждый из них касается двух других. Найти радиус шара,
касающегося плоскости и трех других шаров.
545. Три сферы касаются между собой и плоскости в
вершинах треугольника, длины сторон которого равны соответственно
я, Ь, с. Вычислить радиусы этих сфер.
546. Два шара радиуса rt и два шара радиуса г2
расположены так, что каждый из них касается трех других и
плоскости П. Найти гг\г2.
547. Внутри цилиндра лежат два шара радиуса 4 см и один
радиуса 5 см так, что каждый шар касается двух других и
боковой поверхности цилиндра и плоскости одного основания.
Найти радиус основания цилиндра.
548. На сфере даны четыре конгруэнтные окружности,
каждая из которых касается трех остальных. Найти их радиусы,
если радиус сферы R.
§ 8. КОМБИНАЦИИ ГЕОМЕТРИЧЕСКИХ ФИГУР
Задача 28. Найти величину плоского угла при вершине
правильной четырехугольной пирамиды, если центры сферы,
вписанной в пирамиду и описанной около нее, совпадают.
190

Рис. 26 Рис. 27
Решение. 1) Пирамида правильная, следовательно, в
основании квадрат A BCD (рис. 26) и высота проходит через центр Н
квадрата.
2) Центр О сферы, описанной около пирамиды, есть точка,
равноудаленная от вершин, значит, 0^[NH].
3) О —центр сферы, вписанной в пирамиду, пусть Е—точка
касания с гранью, тогда E£[NF] — апофеме грани, а основания
пирамиды сфера S (О, г) касается в центре Я.
4) &NOE^/\ОАН по гипотенузе и катету, значит, \АН\ =
= |tf£|e£!^Lf если \АВ\=а.
5) [HF] ^ [FE], как отрезки касательных, проведенных к сфере
из одной точки, получаем, что |£7?| = -|-.
6) в Anbf 1ёя^=!,Щ-=т-г^=/2-1.
tg BNC = fffi^l)t- 1 => BNC = 45°.
Ответ. 45°.
Задача 29. В правильную четырехугольную пирамиду
вписан куб так, что одно ребро куба лежит на средней линии
основания пирамиды, вершины куба, не принадлежащие этому
ребру, лежат на боковой поверхности пирамиды, центр куба
лежит на высоте пирамиды. Найти отношение объема пирамиды
к объему куба.
Решение. 1) Высота NH правильной четырехугольной
пирамиды (рис. 27) принадлежит ее оси вращения четвертого
порядка. Куб вписан в пирамиду так, что одно ребро—на средней
линии основания пирамиды, а высота NH проходит через центр
куба, следовательно, (NH) является осью вращения второго
порядка для объединения этих фигур, значит, перпендикулярна
191

диагональному сечению EFMft куба, ы*. плоскость (EFM)
параллельна плоскости основания пирамиды.
2) Плоскость, содержащая грань MLKL% куба,
перпендикулярна основанию пирамиды и пересекает ее по трапеции RBfitQ,
значит, | RQ | = | ВС | = 21МК \ — \ В1С1|. Если обозначим | ML | = а,
то |ВС| = а(2К2-1).
3) Д NH,LX оо Д NHR, ^ ' NH)-£p =77131' 1^Я'^
= 1(ЗК2 + 2); ^:^ = iip_l.
Ответ. —g 1.
549. Найти радиус сферы, вписанной в пирамиду, основанием
которой служит ромб; длины диагоналей ромба равны 6 и 8 см.
Высота пирамиды проходит через точку пересечения диагоналей
основания и имеет длину, равную 1 см.
550. Ребро куба ABCDAlBlClD1 имеет длину а. Найти радиус
сферы, проходящей через концы ребра ААХ и касающейся
граней двугранного угла при ребре CCt.
551. Ребро куба имеет длину я, [MN] —его диагональ. Найти
радиус сферы, касающейся трех ребер куба, исходящих из
вершины М, и трех граней, содержащих точку N.
552. Длина ребра куба равна а. Найти радиус сферы,
касающейся прямых, соединяющих середины скрещивающихся
ребер куба.
553. Правильный тетраэдр вписан в куб. Найти отношение
радиусов сфер, одна из которых вписана в куб, а другая в
тетраэдр.
554. В треугольной пирамиде DABC все плоские углы при
вершине D прямые. Доказать, что вершина D, точка
пересечения медиан основания ABC и центр сферы, описанной около
пирамиды, лежат на одной прямой.
555. В тетраэдре боковые ребра попарно перпендикулярны и
имеют длины соответственно а, 6, с. Найти объем тетраэдра и
радиус описанной около него сферы.
556. Доказать, что если в тетраэдре боковые ребра попарно
перпендикулярны, то длина каждого из отрезков, соединяющих
середины двух его противоположных ребер, равна радиусу сферы,
описанной около тетраэдра.
557. В тетраэдр, плоские углы которого при одной
вершине— прямые, вписана сфера радиуса г и около него описана
сфера радиуса /?. Доказать, что
2/?:г>3(1 +КЗ").
558. Около шара описана правильная четырехугольная
усеченная пирамида, длины сторон оснований которой относятся
192

как т:п (т > п). Найти величины угла наклона к плоскости
нижнего основания боковой грани и бокового ребра.
559. Сфера касается всех трех боковых граней треугольной
пирамиды в точках пересечения биссектрис. Доказать, что .пи^
рамида правильная.
560. В пирамиде SABC \AB\ = \SC\ и ребро SC наклонено
к плоскости основания ABC под углом, величина которого 60°.
Вершины Л, fi, С и середины боковых ребер пирамиды
принадлежат сфере радиуса 1 см. Найти длину высоты
пирамиды.
561. В сферу радиуса R вписана правильная л-угольная
пирамида. Найти длину ее высоты, если она имеет максимальный
объем.
562. В сферу радиуса R вписана правильная я-угольная
"призма. Найти длину ее высоты, если она имеет максимальный
объем.
563. На ребрах АВ, AC, AD тетраэдра A BCD построены как
на диаметрах шары. Доказать, что тетраэдр принадлежит
объединению этих шаров.
564. Основанием пирамиды служит равнобедренный
треугольник, боковые стороны которого имеют длину Ь\ соответствующие
им боковые грани перпендикулярны к плоскости основания и
образуют между собой угол величиной а, который конгруэнтен
углу между третьей боковой гранью и плоскостью основания.
Найти радиус вписанной в пирамиду сферы.
565. Основанием прямой призмы служит прямоугольный
треугольник, высота которого, проведенная через вершину прямого
угла, имеет длину h и составляет с одним из катетов угол
величиной а. Найти объем призмы, если известно, что в нее
вписана сфера.
566. В правильной четырехугольной пирамиде NABCD высота
конгруэнтна диагонали основания. Через вершину А
параллельно (BD) проведена плоскость, касающаяся вписанной в
пирамиду сферы. Найти отношение площади полученного сечения
к площади основания пирамиды.
567. Найти площадь части поверхности правильного
тетраэдра, заключенной внутри шара, если центр правильного тетра-
а Yvi
эдра с длиной ребра а служит центром шара радиуса —у^—.
568. Ребро куба имеет длину д. Сфера касается всех ребер
куба. Найти площадь части сферы, заключенной внутри
пирамиды, вершинами которой являются вершина куба и точки
касания ребер, исходящих из этой вершины, со сферой.
569. Ребро правильного тетраэдра имеет длину а. Сфера
касается всех ребер правильного тетраэдра. Найти площадь той
части сферы, которая находится внутри тетраэдра.
570. Доказать, что если в треугольной пирамиде сумма длин
любой пары противоположных ребер одна и та же, то вершины
7 № 102
193

этой, пирамиды являются центрами четырех сфер, попарно
касающихся друг друга.
571. Внутри правильного тетраэдра с ребром длины а
расположены четыре конгруэнтных между собой шара так, что
каждый касается трех других и трех граней тетраэдра.
Определить радиус этих шаров.
572. Сфера, вписанная в правильную шестиугольную
пирамиду, проходит через центр сферы, описанной около этой
пирамиды. Найти отношение радиусов сфер, описанной около
пирамиды и вписанной в нее.
573. В правильную треугольную призму с высотой, имеющей
длину А, вписана сфера. Найти радиус сферы, касающейся
данной сферы, основания призмы и двух боковых граней.
574. В тетраэдр ABCD вписан шар радиуса г. Плоскости,
касательные к этому шару и параллельные граням тетраэдра,
отсекают от тетраэдра A BCD четыре тетраэдра.= Пусть г1э г,,
т3, г4—радиусы шаров, вписанных в эти тетраэдры. Доказать, что
r1 + r2+rs + r4 = 2r.
575. Диагональ куба служит осью вписанной в куб
правильной шестиугольной призмы. Найти объем призмы, если ее высота
втрое меньше диагонали куба, а ре*бро куба имеет длину а.
576. В куб вписан прямоугольный параллелепипед, основания
которого перпендикулярны одной из диагоналей куба и деляг
ее на три конгруэнтных отрезка. Найти отношение объемов куба
и параллелепипеда.
577. Ребро куба имеет длину а. Диагональ куба PPt
принадлежит оси вписанной в него правильной треугольной призмы.
Найти объем призмы, если плоскости ее оснований пересекают
[РРг] в точках О и 01Э таких, что \РО\ = \ОР, |, \РОг\: \GJ\ | = 2:1.
578. Куб Ф' является образом куба Ф при повороте вокруг
оси, соединяющей центры двух его противоположных граней.
ФПФ' имеет минимальный объем. Изобразить ФпФ' и
вычислить его объем, если ребро имеет длину а.
579. Через середины двух противоположных ребер куба Ф
с длиной ребра а, не принадлежащих одной грани, проведена
прямая. Ф' является образом Ф при повороте вокруг этой
прямой на угол 90°. Построить изображение ФиФ' и найти объем
ФПФ'.
580. Куб Ф' является образом куба Ф при повороте вокруг
одной из своих диагоналей на угол 60°. Построить
изображение ФиФ' и найти объем ФпФ', если ребро куба имеет длину а.
581. В пирамиде DABC все плоские углы при вершине D
прямые, а ребра, исходящие из этой вершины, имеют длины а,
ft, с соответственно. Найти длину ребра куба, вписанного в
пирамиду так, что одна его вершина совпадает с D, а
противоположная ей вершина принадлежит плоскости ABC.
194

582. В правильный тетраэдр вписана правильная треугольная
призма, имеющая максимальный объем, так, что одно ее
основание принадлежит основанию тетраэдра, а вершины второго
основания лежат на боковых ребрах тетраэдра. Найти отношение
объемов призмы и тетраэдра.
583. В правильный тетраэдр вписан куб так, что прямая,
соединяющая середины противоположных ребер тетраэдра,
перпендикулярна двум параллельным граням куба. Найти длину
ребра куба, если ребро тетраэдра имеет длину а.
584. Ребра АВ и CD тетраэдра ABCD перпендикулярны друг
другу и к прямой ЛШ, соединяющей их середины; (MN)
служит осью вписанной в тетраэдр правильной четырехугольной
призмы. Найти ее объем, если \AB\ = \CD\ = 8 см, \MN\ = A см
и длина высоты призмы относится к длине стороны основания
как 3:1.
585. Правильный тетраэдр Ф' является образом правильного
тетраэдра Ф при повороте на прямой угол вокруг прямой,
соединяющей середины его противоположных ребер. Построить
изображение ФиФ' и вычислить объем ФПФ', если ребро тетраэдра
имеет длину а]/^2 .
586. Правильный тетраэдр Ф' является образом правильного
тетраэдра Ф при повороте на угол 30° вокруг прямой,
содержащей высоту. Изобразить тетраэдры и вычислить объем их общей
части, если длина ребра тетраэдра равна \^2 см.
587. В правильную четырехугольную пирамиду вписан куб
так, что четыре его вершины принадлежат боковым ребрам
пирамиды, а остальные четыре—плоскости ее основания. Доказать,
что Vi^-q-V, где Vt — объем куба, V—объем пирамиды.
588. Около сферы радиуса г=1 см описан куб и правила
ная четырехугольная пирамида, объем которой в у раза больше,
чем объем куба. Одна из граней куба принадлежит основанию
пирамиды и ее стороны параллельны сторонам основания
пирамиды. Вычислить объем пересечения куба и пирамиды,
589. В тетраэдре ABCD |ЛВ| = 10_см, |CD|=18 см, каждое
из остальных ребер имеет длину 51/10 см. Найти радиус
цилиндрической поверхности, касающейся пяти ребер тетраэдра,
если ее ось параллельна (АВ).
590. В цилиндре высота конгруэнтна диаметру основания и
имеет длину А. На окружностях основания выбрано по точке
так, что прямая, их соединяющая, образует с плоскостью
основания цилиндра угол величиной а. Определить кратчайшее
расстояние между этой прямой и осью цилиндра.
591. Все четыре стороны равнобочной трапеции касаются
цилиндра, ось которого перпендикулярна параллельным
сторонам трапеции. Найти величину угла, образованного плоскостью
7*
195

трапеции с осью цилиндра, если длины оснований и высоты
трапеции равны соответственно a, b и ft.
592. В каждый из трехгранных углов прямой призмы
ABCDAiBfi^Pv в основании которой ABCD — ромб, |ЛС| = 8см,
|5D| = 6 см, |ЛЛХ| = 1 см, вписан шар, касающийся конуса
с вершиной в точке 0 = (A1C1)f]{B1D1) и основанием, вписанным
в ромб ABCD. Найти радиусы шаров.
593. Длины основания и высоты равнобедренного
треугольника равны соответственно 6 и 8 см. Цилиндрическая
поверхность с образующими, перпендикулярными к основанию
треугольника, касается всех его сторон. Ось цилиндрической поверхности
образует с плоскостью треугольника угол величиной 30°. Найти
радиус цилиндрической поверхности.
594. Ребро куба имеет длину а. Диагональ куба содержит
ось цилиндрической поверхности, касающейся шести ребер ^уба,
не проходящих через концы этой диагонали. Найти радиус
цилиндрической поверхности.
595. В сферу радиуса R вписана правильная треугольная
призма, боковая грань которой—квадрат. Найти длину ребра
призмы.
596. В правильную-треугольную пирамиду вписан цилиндр,
ось которого содержит высоту пирамиды, а его осевое сечение —
квадрат. Вычислить площадь боковой поверхности цилиндра,
если сторона основания и высота пирамиды имеют длины а и
21/Та.
597. Ребро куба имеет длину а. Диагональ куба служит осью
цилиндра, окружности оснований которого касаются граней куба
в их центрах. Найти объем цилиндра.
598. Прямая, соединяющая середины скрещивающихся ребер
правильного тетраэдра, служит осью цилиндра, окружности
оснований которого касаются граней тетраэдра в их центрах. Найти
отношение объема цилиндра к объему тетраэдра.
599. В правильную четырехугольную пирамиду, диагональное
сечение которой — правильный треугольник, вписан цилиндр
с максимальным объемом так, что его ось параллельна
диагонали основания пирамиды. Найти отношение объемов цилиндра
и пирамиды.
600. В конусе даны радиус основания R и величина а угла
между образующей и плоскостью основания. В этот конус вписана
прямая треугольная призма с конгруэнтными ребрами так, что
ее основание лежит в плоскости основания конуса. Определить
длину ее ребра.
601. В конус вписан куб так, что четыре его вершины
находятся в плоскости основания конуса, а четыре — на его
боковой поверхности. Радиус основания конуса относится к длине
диагонали грани куба как 1:(2—]/2). Найти величину угла
наклона образующей конуса к плоскости его основания.
196

602. Каждое ребро правильной шестиугольной призмы,
вписанной в конус, имеет длину я. Найти объем конуса, если угол
в его осевом сечении имеет величину 60°.
603. Угол в осевом сечении конуса имеет величину а. Найти
длину ребра правильного тетраэдра, одна вершина которого
лежит в центре основания конуса, а остальные — на боковой
поверхности конуса. Радиус основания конуса равен г.
604. В конус вписан куб так, что одно ребро куба лежит на
диаметре основания конуса, центр куба принадлежит высоте
конуса. Найти отношение объемов конуса и куба.
605. Около конуса описана пирамида, основанием которой
служит ромб; длины диагоналей ромба 6 и 8 см. Найти радиусы
сфер, касающихся боковой поверхности конуса и вписанных
в трехгранные углы при основании пирамиды, если ее высота
имеет длину, равную 1 см.
606. Три равносторонних конуса, радиус основания каждого из
которых равен г, расположены так, что все они имеют общую
вершину, и каждые два из них — по одной общей образующей.
Найти объем пирамиды, вершинами которой служит общая4
вершина и центры оснований конусов.
607. Все cTopqHbi пространственного четырехугольника
касается шара. Доказать, что все точки касания принадлежатоДной
плоскости.
608. Доказать, что всегда существует сфера, касающаяся всех
четырех прямых, каждая из которых содержит сторону
пространственного четырехугольника,
609. Конгруэнтные между собой отрезки SA, SB, SCt SD
являются хордами сферы радиуса R. Найти \SA\, если ASB =
= ASD = BSC = dSD = a.
610. В правильную четырехугольную пирамиду ZABCD
вписана сфера S (О, г), касающаяся граней AZB, BZC, CZD и DZA
соответственно в точках М, N, P, Q. Найти объем пирамиды
OMNPQ, если угол между гранями AZB и BZC имеет
величину а.
611. ZABCD — правильная четырехугольная пирамида. Сфера
S(0,r) касается ребра ZC и плоскости АВС в точке Л. Найти
величину угла между плоскостями АВС и ОВС, если известно,
что плоскости ОВС и ZAD взаимно перпендикулярны.
612. Ребро правильного октаэдра имеет длину 1 дм. Прямая,
соединяющая центры двух противоположных граней, является
осью цилиндра, осевое сечение которого квадрат. Найти длину
высоты цилиндра, если окружности оснований пересекают ребра
октаэдра, не принадлежащие указанным граням.

ОТВЕТЫ
ЧАСТЬ I
Указания даются к одному из возможных способов решения задачи.
Глава I
1. (х—3)(Зх+2)2. 2, (2x—V?—l}r2)(2x+V2+iY2). 3, (x+2i)X
X(x-1 + Q.4. (*+2)(х-1)(х+ Х + 1р^^(х+ {-(р^у5.(х+2)Х
X (х+4) (х+ 5+/2^7 ) (* + 5""g ^ ) - 6. (х+2)(х+6)(х + 4+^б")х
X (лг+4— уТ). Указание. Положить х+4 = /. 7. 8^3л:—2)3. 8, (х —2у)Х
X (х+#)2. 9. (х — у) (у—z) (z—х). Указание. Использовать тождество
02_z2 = -((22--x2) + (*2--^)). 10. (у+г)(х-у)(г+х). 11, (*+*/)(</+*) X
Х(г+х). 12,13. _(*_у) (у-*) (*_*). 14,15. (* +у) ОН-*)(* + *)•
16* S(x+y)(y+z)(z+x). 17. 24х*/2. 18, 3 (2x+y+z) (x+2y+z) {x+y+2z).
19,20, (x-y)(y-z){z-x)(x+y+z). 21. -2(х-*/) Q/-2) (2-х) (х + */+2).
22. (х — у) (y-\-z) (г+х) (х+#—г). 25. Указание. Следует из тождества 24.
26. Указание. Следует из тождества 25, так как (х—у)-\-(у—г) +
+ (2—х) = 0. ЗЬ —{х — у){у—г){г—х)(ху + уг+гх). 32, 5х# (х+#) (х2 +
+ *У+</2). 33. 5(X + i/)(f/+2)(2 + x)(x2 + ^+22+^+f/2+2X). 34. (х +
+ 0+z)(x2-x*/+#2). 35. 3(x+f/+2)(x2 + r/2+22). 36. (х+у-\)(х*-ху +
+ У*+х+у+\). 37, (л;2+з)(х2 + 3х+3)(х2—Зх+3). 38, (х*+х+2)(х* —
— х+2). 39. (х \-\){х+6)(х*+7х+Щ. 40. (Зх— 1)(9х2 — 6х+4).
Указание. Положить Зх = /. 41. 1) Неприводим; 2) (х2-\-у2 ~\-ху ^~Т) (хг-\-у2 —
-х* /2");3) ^x+J^(1 + 0^)(^+^(1-0^)(a:~^(1 + 0^)x
хГх LL(1 —O^j. 42. 1) и 2) (х2 + 2г/2 + 2х(/)(х2 + 2(/2-2х^/); 3) (х +
+ У+УО (х + У-yi) (x-y+yi) (x-y—yi). 43. (x2+y2 + z2+xy+yz+zx)\
Указание. Положить x2-\-y2-{-z2 = u, xy-\-yz-\-zx = v. 44, (x-f#+z)2 X
X(x2+*/2+z2 — xy—yz— zx)2. 45. (2x+#+z)(x+2*/+z). 46. a = l, 6 =—2.
47. a = l, 6 = —3. 48. a = 6, & = —7. 50, a = — 48, 6 = —12. 51. (x— V~2)x
X(x+l/T)(x+l(l + / ^3"))(x+i(l-/ ^3")). 52. 2(x-;-l-^2")x
X(x+1+ ^2")^x+l(l-0)(*+y(l + 0). 53. (x_l_i)(*-l + 0x
198

х(«—g-(l+ КТЗ"))(*—g-(l- КШ). 54. Неверно. 5S. f(x)=-L.
57, /(3,07) = -3,07; /(_J^=JL; /(|/T) = -^2; /(-я)=я.
58' T=J ••{(«• »)€^al^*At/^|x|. 59. *1^ ; {(*. », г)€Л»1*9*
фх-уАгф -х-у}. 60, *3+5; /?\{0, - jJ/3", - j>/2", £/T}. 6!. i-X
Х(х+»+г); {(ж, у, z)£R*\x Ф yvy Ф z\jz Ф х\. 62. -£=f; {(х, у)£С'-\хф
^0л</5*0Лг/^ — х}. 63. 4; {(*,*/, z)gCy|^ ^0л^/^0лг ^0}. 64
уг+гх+хул
х + у+г
{(*, у, z)£C3\x Ф у Ф г ф хлх + у+г Ф С}. 63,69,70. Указание. После
приведения левой части к общему знаменателю расположить числитель по
убывающим степеням х. 71. [—3, оо[. 72. ] — оо, —3]. 73. R. 74. [2, оо[.
75. ]-оо —1]. 76. ]—оо. — 1JU12, оо[. 77. [1, 3[. 82. Указание.
Положим )/'20+ 14 |/Т + £/20—14 j/~7 = х. Тогда :г=40 + 6х
х(>/20+14 ^7 + j/20-14 /7), л-а=40+6х, х3 — 6л: — 40 = 0, (х — 4)х
X(*2 + 4*+10)=0. Единственным действительным корнем этого уравнения
является л: = 4. 84. 18. 85. 0,79. 86. 2,49. 87. 2,36. 88. 2,90. 89. 9,8.
9Э. 21,95. 91. 15,39. 92. —7,24. 93. 2. 94. 2. 95. 3. 96. 1+ j/J . 97. у X
х(\Гз-\Г2)(\ГТ-)Гь).
;. ±- ( ^7- f/f) (2 3/7+з */? +9);
^.(-3+7j/2-^T). l0D.i(3/ffi+2j/&+3).!0l.1L(-^27+
+ 3 1^3+4 J/3 + 1). 102. 1 + 3 J/7+2 У'!-*/* . 103. ^-(2+2 j/7+
99.
+ ^4—J/6 4-^/9+ ^12) (1-6 з/З+36 3/9). 104. I) / (^-y J -
(l^f)^. /(/7)=5/3\ /(-*)=*; 2) {-1; 1};
Г 1
, x > 0;
st- '"
3) [-2, 0[U]0, 2]; 4) /(*) =
\x— 1, ;;>=2;
*' *>°; 105. /(*) =
x, л: < 0.
*2+l
1
L *3+l
, *<0.
!06. /"(*) =
1, K*<2.
107. /(*) =
— 2*+l, x*C— 1;
3, — 1 ^*<C2;
L 2л: — 1, x^z2.
109. /(*) =
fx,x> 2;
FT , 0<x <2.
л:, — K*< l;
1
, л: < — 1 Vx > 1.
108. /(*) =
ПО. /(*) = !■
<—IV* > 1 111. /(*) =
"x—1, x^ 1;
ИЗ. /(ф
x,0<x<l; m дх)==л:(х+1^ JC>0>
x, x^? 1.
0, x< — U
i-i,o<*<i. ,и- /w =
1
1_2л;(л;-1)
, *> 1.
115. /(*)«
199

«= 116, /(*)=^F+2,0<x< lVx> 1.117./(*) =
ГУТ,х&1; г-1,0<*<1;
= ' , о<*<1. Ш- /W= -^-(H-lAT^F)2, -1<*<0.
L V x L *
119. I. 120. 1, если a>b\ — 1, если a < 6. 121. *2, если x^ 1; —g-, если
0 < x < 1. 122. )/* —#—1 —1, если дс — у^2\ 1— V* —0 — 1 » если К
a з Г~
*^x—y<2. 123. — (a — b), если 6^a; 6—a, если b < a. 124. (a+6)J/ -^ .
125. izjCl=fL, —Кж<1р лг^О. 126. o 2?x . 127. J/jTj" ,
2*2 3/x* (*2 + *>2) £/a + * K
где |*|^2, т. е. jJ/лГ при *^2; ^Z11"*" при *<—2. 128. 18. 129. 7 у.
130.81 1^2. 131. 9. 132. a62. 133.-^-. 134. -i^— . 135. JO, oo[. 136. ]—oo,0[.
137. *\{0}. 138. {(x, y)\x>0t y>0}. 139. {(*, y) \ x < 0, у < 0}.
140. {(*> */)|л#>0}. 141. JO, oo[. 145. \ogab. 146. 0. 147. \ogba. 148. 2,
13 1 1
если b^a> 1; 21oga 6, если 1 < b < a. 149. — — — a; — -o-~~a; "~'T""a'
150. -2±£. 151. 3^~a) . 166. У к а з а н и е. Использовать тождество за-
1—6 1 + 6
дачи 24, положив Xs = а> у3 = 6, г3 = с. 167. Указание. — (a+6+c+d) =
= ^£^+£^W^(|^^+/^-)^4/S^3". 168. Указание.
Применить метод математической индукции. 1) п — \\ если лгх = 1, то *i^l,
2) Пусть утверждение верно при n = k (k£N). Докажем, что тогда утверждение
верно для n = k-\-1. Доказательство 2). Пусть д^^ 1 и х2<^ 1. Тогда (х1-—\)Х
Х(х2— 1)<0; откуда хгх2-\-\ < хг +хг. Тогда *1 + *2+*з+•••+**+! ^=
^\ + x1x%+xs+... + xk+1*=\ + (x1xt+xs+... + xk+1)^\ + k (так как по'
индуктивному предположению: (лг1лг2) +лгз+ • • • + *л+1 ^ £> если лгх х2, лг3» • • •»
*л+1 > 0 и (*1*г) *з- • •Xk+i = О- Из 1) и 2) следует, что утверждение верно для
любого натурального п. 169. Указание. Использовать задачу 168. 1-й
случай. Хотя бы одно из чисел аи а2, ..., ап равно нулю. Тогда — (fli+...
• •• + a«)^ {^fli^to •••<*» • 2-й случай. Пусть ни одно из чисел alt a2 ап
не равно нулю, т. е. каждое из чисел ах ап > 0. Положим *,- =
(/ = 1, 2, ..., п). Тогда хъ х2 хп > 0 и л^.. .*„= 1
a
^/a^-.-an
и следовательно, *! + x2+... + *„^>л, т. е. gl + fla+ "-+g" ^>/it откуда
200

— (fli+02+ •• •+an)^*\faia2** *an • 170 i Указание. 1) Если а1 = о2-=- ••
...=an, то — (ai+a2+... + a„) = £/axa2.. .an . 2) Пусть, например, ах 56
* о,/Тогда ifa + a2+ <z3+ ...+«„) =4 (-Ц^+-?Ц:£Ч-аз+.-
... + anJ>|/ ( fll + fl2 ) a3...an ^> {/(/a^)2 a3.. .an = {/a^Og.. .an.
[ (*): так как ax ф а2 =£> УаГ 5* V~(4 => (l^aT— V^)2 > 0 =>
\ (ai, a*>0)
=> х"т~ 2 > ^а^г ). 172. Указание. Наибольшее значение проиЪаеде-
k k kr, *i* x* xnn *i xi x* x2 xn xn
12 Л ^i £*, £*„ ^ ^1 £2 *2 К К
достигается при тех же значениях лгх, лг2» • • •» хп- Так как -г^-+ ... + "г~+ • • •
" v '
*1
...+-t2-+...+-t£L=^i+ ... + дсп = 5, то произведение jc^jcJ» ... xknn будет
* v '
наибольшим при 4L=41=---=-TL- 175. 2— при х = 2, у=\-=-. 176. 2 /б
при* = -^. 177. 108 при х=1. 178. (УТ+уТ)2 при * = Vab. 179. -1 при
х=±|Г2. 185. У казан и е. ab2c* = abbccc, a-\-2b-\-3c = a+b+b-\-c-\-c+c.
,„.Ук,„.„.. (£S+£l)--(Q£;+Jg;)-=(;(^+ Ks))'=,
^(y(^Vrabj=±-ab(a+b)2. 196. Указание. (a+fc)(c+d) =
= (ad+^)+(ac+M)^ad+6c+2V/'acM = (>/,ad+ VbcY- 197. Указан и е.
(a-b)*^0z*a*-ri+£2*ab \ =ьа*+»7*аЬ(а+Ь). Аналогично: **+<^
^6c(6+c), c8+es^»cfl(c+a). 199. Указание. Можно считать, например,
а^^с>Ои рассмотреть: 1-й случай. а^Ь-\-с; 2-й случай, a < 6+с-
201. Указание. Воспользоваться тем, что -г% < -j-j?—Гч==ь—Т—Г ПРН
k£N, k> 1. 204. Указание. Обозначим: Л=4--4--4* ••• ^=^. Тогда
2 4 6 2л
11- за-1 52-1 (2п—I)2—1 _ ^ I2 3* 52 (2я-1)«
2* ' 4* ' б2 "• (2я)2 ^Л< 22-1 #4а— 1 'б2—1 •••(2n72Zrr*
откуда —--<Л2 < , ——-<Л < , < -7=-. 207. Указа-
2(2я) 2л+1 2 ]/n V2n+1 /2л
ние 1) (l + iy=l+rt.l+C2.l+... >2;2) (l+l^l+л.1+
201

nin — 1) 1 n(n— 1)(л — 2) J_ , a? (/i-l) ... (д—£+1) J_
'-+i<1 + (1 + T+25+--+2^) = 1 + ——=3--<3.210. Ука-
1 2
зание. Рассмотреть /(*) = Лх2 —2£*+С, где Л=а2 + а*+... + с£, В =
df
= а1Ь1 + а2&2+... + аА. С = ^ + &|+.. . + &*; /W^O при — оо<*<оо,
так как /W = (alx-61)2+.,. + (flwx-^)2. Тогда Д2-ЛС<0. Д2-ЛС = 0
тогда и только тогда, когда существует k (k£R), такое, что /(6) = 0, т. е.
й\к—b^—a^k—b2= ... =ank—bn = 0, т. е. bx = ka\, b2 = ka2 bn = kan.
211. Указание. Согласно неравенству Буняковского — Коши(см. задачу 210)
получается (//^ • J/7i"*i + ... + ]/Tn-V"p^nY < (Кр?+ ••• +J^)x
Х(/р?^+... + К^4)- 216- (^yK^yl'^+y'l^O при х > 0, */>0.
221. Указание. Положив х = j/"р — а, £/ == |/ р — 6, г= \^р — с, доказать,
что ух* + у2 + г* < х + У+г^ ^3(x2 + y2-\-z2) прах,у,г> 0. 225. log316>
> log16729.
Глава II
Для краткости вместо слов "Если а > 1 (о —параметр), то областью
истинности (множеством всех решений) является множество {а+1, а— I}" в ответах
глав II и III будем писать: а> 1=ф{а+1, а—1}. Элементы множества,
кортежа, промежутка отделяются запятыми во всех случаях, кроме тех, когда
может быть неоднозначное истолкование записи (тогда ставится точка с
запятой). Поясним примерами:
1) {—5, 8} — множество, содержащее один элемент: —5,8.
2) {— 5; 8} — множество, содержащее два элемента: —5 и 8.
3) {1, 2, —5} — множество, содержащее три элемента: 1, 2 и —5.
4) {1,2; —5}—множество, содержащее два элемента: 1,2 и —5.
5) [1, 2] — промежуток с "концами": 1 и 2.
6) [1,2; 3] — промежуток с "концами": 1, 2 и 3.
229, 230, 233, 234, 240, 241, 242, 244, 246, 249, 25Э, 252. Уравнения равно-
сильны. 227, 228, 231, 232, 235, 238, 237, 238, 239, 243, 245, 247, 248, 251
253. Уравнения не равносильны. 254. Уравнение (1) является следствием
уравнения (2). 255. Уравнение (2) является следствием уравнения (1). 256, 257
Уравнения равносильны. 258. Уравнение (1) является следствием уравнения (2)
259, 260, 264, 266, 269, 271, 273, 276, 282. Неравенства равносильны. 26)
262, 263, 265, 267, 268, 270, 272, 274, 275, 277, 278, 279, 280, 281. Неравен
ства не равносильны. 283. а Ф 0 л а Ф 1 => < — >; а= 1 => Я; а = 0 => 0.
•284. аф— 2 лаф2^\— -Л; а = — 2 => С; а = 2 => 0. 285. аф-\л
\а(а — 2))
Ла^0^|^,-^1;а--1=>{2};а=0=>{0}.28е.а^0=>|--^. ll;
202

a = 6 = 0 => Я;а = 0лЬФ 0 => {1}. 287. а2 Ф& =ф j ^1^, ^pV» а2=62?£0^>
=^ii-i; а = 6 = Огф0. 288. fc = y .290. а2х2 + а(6—с)* — 6с = 0. 291. а = 2;
а= —1. 292. асл:2 + (2ас — 62)x+ac = 0. 293. 1) р ——2, ?= —1; 2) р = 1,
<?gC. 294. —2,108; 2,608. 295. —3,076; 3,576. 296. 1,682; 5,146. 297. {—у,
1 + </з\ 1-//5"}. 298. {-^.,1(1-/5), 1(1 + K5")}(~-W
кратный корень V 299. {-2, 1, 3, —Л i). 300. {-3,1, -1(1 + /ТЗ), -у (1 -
- /l3)l. 301. {- /~2, V\ -1+/ /З, -1-/ /3}. 302. {-1- /б~ -1+ /"б,
— i /3, i /з">. 303. { — 4 —К /ТО-З, —4+ V /ТО —3, -4-/J/* /То+ 3,
_4+/у /То + з}. У казан не. Положить х+4=/. 304. J—у (9+/ТУ),
-у (9-/17). -у (9+«/7), -^{9-i VI) 1. Указание. ((х+3)х
X(x + 6))((jc+4) (x+5)) = 8~ (х2 + 9*+18)(х2 + 9;с+20) = 8.3атем положить
*« + 9*+19=*. 305. i — 2i, 3/, -у(/Т<5-0, у(/Т5+0| . 306. {-2-
_/"3, — 2+ |Лз, —3 — 2/"2, — 3 + 2/~2}. 307. i —2— 1^"б, —2+ /13,
-1(1+ /Ш. -|0-/Т7)}.308.{-1(1+//1), -|(1-//з)|
(корни трехкратные). 309. i -1, — I, it 1 (5- /2!), у (5+ /2T)1. 310. i —1,
-1(3+ /"§), -1(3-/5), у (l-2/Ъ), 1(1 + 2/20^ 311. {a-1,
a+1, —a + f, —a — (}. Указание. Прибавить к обеим частям данного
уравнения 4a2*2. 312. 1—а, — 6, -у (а + Ь) \. 315. {4}. 316. 0. 317. С\ { —2;-2}.
318. {—5}. 319. iyj. 320. {7}. 321. i I yi . 322. { — 3, 1, — 1 — i /1, — 1 +
+ r/3b 323. {-3; 3}. 324. {5}. 325. {3}. 326. i —Ц . 327. i 1 ^|i .
328. аф\ Лаф у=4>{1—о}; a = l V Д = у =Ф0. 329. аф 0=ф{ —2at3a};
а=О=ф0. 330. a^0=»ia+l, \-\\\ а=0 =Ф0. 331.6 ф а Л 6 т* — а=3>
=»1у (а—6)1; 6 = а=£С\{ —а, а}; 6 = —Д5*О=>0. 332. б2 ^ а3 Л а& Ф
у£0=М —— I; а = 6 = 0=ф#\{0}; в остальных случаях 0. 333. а+Ь ф
ф 1 Л Q + 6 ф 0=»i° + ^+ | i ; a+6=l Va+6=0=$> 0.334. a2 9* &2 Лаб ?£ 0=ф
=»<—3t-> ; а = 6 = 0=фЛ\{0}; в остальных случаях 0. 335. a<^9v
203

353. ]-l, 1-i
U [2, со [• 357.
V S^a.< 3y V a > 3~=-> ,l-± (a+ 1+ Va*±6a-27)f -1 (<z+ 1 -
^- /a2+6a —27)t; a = 3~=>{—1}; —9<a<3=»0. 336. ab^OA
гф/?\М|; a = & = 0=>*; & = a#0vb = -a?*0=>{0}. 337. a+6^0=>
гф{а, 6}; a+& = 0=>/?\{0}. 338. афЬАЬфс=$>{2с—Ь)\аф4>АЬ=с=Ь
=$>0; а = Ь=$>С\{Ь, с}. 339. a ^ 0 л b2 ф 4a2 =*> {6—a, 6+a}; a=0=>
s^C\{0}; 6 = 2fl^0=>{3fl}; 6 = -2a ?* О =ф {-3a}. 340. a^^=>
=->{-2(a+6+c)}; а = &=фС\{-2а). 341. a2 96 б2 л a2 5* 9** =>{^,
£^|l; а==&==о=ф^\{0; 2};a = 36>0 Va = -3*^0=^|i-l; a2=62^
ф 0 =ф 0. 342. ] -2, 1[(J] 1, «о [. 343. ]-oo,-2]U{l}. 344. ]-oo, 2[U
U]2,4[.345.[-3, 00[.346.j-ly,4 f. 347 1- 00, If Ц^Ц-, oof. 348. R.
349. »\{j}« 350.0.351. [-1,3]. 352.] -00,-2 [ U [--J-, ИШ !.«>[•
. 354. ]—1, 1]U[2, 3[. 355. ]2, 3 [. 356. ]— 00,0] (J
fo, 1-| ] U f2~ , 00 f. 358. ] -2, 00 [. 359. J -oo, 1 L
860. l-oo, -2 [U] 1, 00 [. 361. J 2, 3[. 362. ]-l,0[|J] 1, 2 [. 363. a<2=»
гф] —oo,a+2[; a>2=4>]a+2f oof; a = 2=£0. 364. a<l=*> —00,
Щ=Г)Ьа>1^]з0Г)' «»[;—!=*>«■ 365. a<0v0<a<l^>
-ф1_<»,—-2Г; a> 1=» 1-j—2, 00 Г . 366. iKOvoj^
*]—■ЙЕ%['°<'<т^]йв^'-[{-т-»'-ж-<-^
Va>3=»]-o,,a8_^_3[;-l<a<3=»]a2_^_3, . [; e=3^>
=>/?; а=— 1=Ф0. 368. а<й=ф1-<», £±| Г; а>6=*.12±|, «, J
а=6<(Ь=ф/?; a=6SsO=i>0. 369. a < 1 =Ф] 2a, 2 [; a > 1 =>] 2, 2o |
а=1=Ф0- 370. a<—lva> 1=£ ^-т-у, а^Г| ; a=—1=>| —oo, — j
a-1**]!, w[:_,<a<l^]-oo,a-i7[u]s^T, •[. 37b a<
<0=Ф ]^(2a+l-VT=4a), - ^ (2a+ 1 + VT=Ta) [; 0 < a < 1 =»
=»]-oo, _l(2a+l+ KT=4^)[u]-^(2a+l-KT:::45). * [; a >
>-1=ф/?; a=0=J>J—2, oo [; a=-I =»/?\{—3}. 372. l<m<A
204

373. m < —ly . 374. m <—4 V m^O. 375. m < -y . 376. —5 < m < 1.
377. —1 < m < 4. 378. m<—3vm>l. Указание. *i < 1 < *a тогда и
только тогда, когда 2(m—1)/(1) < 0. 379. т <— 3 V т > 0. 380. m <—35 v'
2 3
V m > 3. 381. "Г < m < 4" • Указание. х2> хх> 1 тогда и только тогда,
когда
382
т2 — (т—1) (т — 2) > 0
(т-1)/(1)>0
-?j-(*l + *2)> 1
|2
(т— 1)(т — 2)>0
, т. е.
т
(т—1)/(1) > 0
т
т—\
> 1.
— j <m<0 v т > 1. 383. пг </я<1.384. ] — со,—2[ и14-,3 Гц
U]3,4[. 385. [-3, —-§■] U {0} U [-J" • "[• 386- 3-°°. -1JUI3, 4].
387. З-оо, -3[UJ-1. 2[. 388. ] - оо, -3[ U ] -2, -1 [ Ц ] О, оо [.
389. [-3, -2Ш[2, 3]. 390. ] -4, -1 [Ш -1. 2 [Ш 3, оо [. 391. Г-1,_.П ц
U[l. 1-j-]- 392. J2--i/3, 1[U ]3, 2+у/"зГ. 393. а<0=ф
=»]3a, e[u]a, —j[u ]-2e, oo [; a>0=»]-oo, -2a[U 1--J, a[u
U]a, 3a[; a=O=»0. 394. a < —1 =Ф ] — oo, a[|J] — e, — 2a [; — l<a<
<0=>]a, _a[U]_2a, oo[; a > 0 =» ] — oo, -2a[L)]-a,a[; a = -l V
Va=O=>0. 395. ]_оо,-3[и]-у, °[u]ly, бГ. 396. {-3}U
U[—|.5-[u]2,co[.e07.]-co.-l]u]-|. lj-]u{3}. 898.J-1, -IL
),y [U]2, oo[. 399. ]-oo, _5[U]-2, 1[U]1, 3 [. 400. ]-»,-3[U
-2-|, 2^U]2, oo [. 401. ]-oo, _4[U]-3, —2[U]—1. 1 [.
]-2- t[uK' -[• 403-i-«>.-8iu]-j,o]u]I,oo[.
404. ]-oo, _2[(J]-1, 1[U]3, oo [. 405. ]-oo, _2[lj]-l, 0~[U]2, oof.
406. [З* , 4[U]5. oof. 407. J-co, -l±^u]_ y% -1 [y] V\ oof.
408. JI-/3. -y[u]l, 1+K"3[- 4C9. a<0=»]a, 0[U]-a. oo [;
a>0=»]— oo, — a[(J]0, a [; a=O=$>0. 410. a<0=J>] — оо, a[U
ul-J.-^f: a>0=»]-oo, -а[и]|-,аГ; о=0=^]-оо, 0[.
411. a < 0=» ]-oo, a[u]-|a,-je["u]0, oo [; a > 0=»jo,-i-ef"ul-|o.a Г
412, а<3=Ф]-оо, — 3((J]-3, 3[U]6—a, oo [; 3 < a < 9=ф] — со, —3[U
U]_3 6-a(L)]3, oo[; аэ»9=ф]—oo, 6—a[U]3, oo {. 413. a<0=»
=Ф]За, a[Ul-a, — 2a[; a>0=»] — 2a, — a[[)]a, 3a[} a=O=»0.
414. а<0=ф1-со, -|аГи]2а, -|-аГи]в. «о [; a>0=»]-co, a|U
205
U
U
402

UJ|-a, 2аГи]4а» » Г; а=0=ФЛЧ{0}. 415. а < 0 =>] - со, 0 [ U
U] — а, — 2a[Ul— За, оо [; а > 0 =>] — За, —2а [ U1 — а, 0 [. 416. а < 0 =>
=Ф] За,— 2а [; а > 0 =>] — 2а, За [; а = 0 =Ф йг. 417. а < ^ =>] — со, а [ (J ] 6, со [;
д>6=>]— со, МШя, °° [• 418' ЖО=>]а— 1, 0[U]0, —а[; 0<а^
<1=>]-оо, a-UUl-e. °1U]0, oo [; \<а< 1 =ф] — oof -a[U
U ]а—1, 0[U]0, oo [; а> 1 =ф] — а> 0 [ (J] О, а—1 [. 419. а < -1 =>
=Ф]а+1,Ч--Ш]1. оо[; —1 <a<0=>]l+l,a+l[U]l, ос[;0<а< 1=>
; а = —1=>
•-'}
=М-».1[и]а+К1+7г[;«> i=>] —со, 1 [u]i+4"^ «+1!
гф] 1, оо[; а = 0=>/?\{1}; а=1 => ]-оо, 1 [. 420. |
421. [-5, llj. 422. {--g"}' 423' {у* ^j- 424- {~2; 8}*
425.|1(1-/5)И+^}.426^
428. {5}. 429. а<:0=>{—а}; а>0=Ф{—7а, а}. 430. а>0=>{—За, а};
о = 0=>/?\{0}; а<О=>0. 431. а ^ 0 =>i —|-a i ; a = 0=>/?.
432. a^O=>i — а| ; а> 0=>{—2а, 2а}. 433. а<0=>{—2а}; а = 0=>Я;
а > 0 => {0}. 434. О < а < 1 =ф {—1 -f }Т=а\ 1 - /ЩТ} ;
fl=l=>|-l};o<OVOl=>0. 435. < — i-V . 436. {—2}
437. {1, —1}. 438. i — -|i. 439. [0, 1]. 440. {0, 2, —2}. 441. {3,-3}.
442. {—3, 1]. 443. ]—оо, —1] (J [4, oo [.444. {2}. 445. Г -2,3-|1. 446. [—3,5].
447. 1—1, ооГ . 448. ]—oo, 1[UI 7, °°[- 449. ]—со, 1 [. 450. ]—oo, 2[(J
Uj3y, oof. 451. ]-co, I ] U [3. oo[. 452. ]-oo,-l [U]0, 1[U]1.«>[
453. J2,3[U]3, oo [. 454. J—oo,—6[u1—Зу, оо Г . 455. 1з, 3-П
45в.Го,1-|1и[24-' °оГ. 457. ]-oo,-2[U]-2,-1 [U]-1,0]. 458. ]-oo,2[
459. [-2+ l/6\ l[U] 1. 4].460.]-oo, 1](J[5, oo[. 461. [-1, 0 [(J ] 0, 1]
462. ]—, -|] U [j-,2] . 463. ]-co, 1(1+^
464. a^0=>/?\i-|-l; a> 0=> j-00, --1-аГи1у, со Г . 465. а <
<0=ф]—со, a[; a^O=>0. 466. a < 0 => ] — a, 00 [; a^6=> ] a, 00 [.
467. a<0=>]—00, aVJ[\j]—a\f3t 00 [; a^0=>]—00, — aJ/Tfu
U la V% oo[. 468. a<0=>]2a)/T, 2a[(jJ2a, -2a /У[; a>0=>
206

-=*>] _2я f3 ,2a [ U ] 2a, 2a )ЛЗ [; о = 0 ~> 0 . 4C9. a < 0 =*> [6a, 2a [ U ]2a, —2a];
a^0=:>tf\{2a}. 470. ]0, oo[. 471. ]-oo,0[. 472. ]-00, 0]U[1, co[.
473. [-1,0 [U] 0,1]. 474.^-1, 1J. 475. З-00,--l[u]-l,-~] U[0, oo[.
476. {4}. 477. 0. 478. {-5; 8}. 479. {-1; 4}. 480. \\ -i , 3] . 481. [2, oo[.
482. [5, 8]. 483. {-3}. 484. 0 . 485. | - уЛ . 486. i-^-i. 487. {21}.
488. 0. 489. {3}. 490. jl VTf . 491. {2}. 492. {2, -5}. 493. jl \Гб\ •
494. {__2, —1}. Указание. Положить V x + 2 =t. 495. {2; 3}.
49g. J — _L , JL v . Указание. Положить у — -f- x = и, 1/ * = у.
Тогда м + 0=1 и tt* + w6=l. 497. {О, -2}. 403. i-i|i. 499. {1}. 500. {1;
2}. 501. {—4}. 502. {—1}. 503. {—2}. 504. {a. —b}. 505. a^a=>{a};
a> &=>{a}, 506. a^ 1 =>{~4 (a_I) [ ; a = 0=>{°}> a < ] A a^O=>0.
507. a^a > C=:> < — (a — k)2 \ ; a = a = 0=:>[Q, 00[; в остальных случаях 0.
50$. {|a| УТ}. 509. a Ф О => <- -i | а | } ; а-0 =ф ] 0, оо[. 510. -i- <
<а <у=> lfl2+T|; fl< —4 v а^Т=>0** 5!к *>о=М2а};
G = 0=>]0, оо[; а <О=>0. 512. с > 0 => {0; — ai; а = 0=*> ] —со, 0];
а < 0 => 0 . 513. а < О =Ф {2а}; а ^ 0 =г> о . 514. а < — 1 =>
=>{°> ТТаТТ^}; а^~1=::><0Ь 5l5- {lfllb 5,e- «^0=ф{0};а = 0=фЛ
517. а<1 Л а?&0=Ф<-^(а+1)1; a = 0=t>tf; а > 1 => 0 . 518. а^0=>
=»{0}; а <0=Ф 0. 519. а = 0=>{0}; а =£ 0 => 0 . 520. а ^ О Л а > 0) V
V (а > 0 л Ь^ 0) =:> {()}; 6 = —а =:> {а2}; в остальных случаях 0 .
521. /о,~|а>.522. а> 0 => {-а, а}; а = 0=> {0}. 523. а> 0=> |i-Ua + 3 —
-/S5+T)|; a<O=*>0. 524. ]/ -| < а < уТ =ф {За2-1 -
-2а |Л2а2—3 f За2—1 + 2а К2а2 —3 }; а> |/"з" =>{3а2 — l-f-2a J^2a2 — 3 };
а=|/у:=>^3^->;а<1/-2-==:>0. Указание. Положить Ух—2= Л
525. ] -со, -ЗШ [4, 4-^- [ . 526.] 1 (7+ /ТТ), 2] U[3, oo[. 527. [-3, 1 [.
207

531.
535
528. l—oo, —6]U1 10, col. 529. 1—1, 3]. 530. ] -co, — HLlls— , »[ .
] _oo, -4]U [- j , oo Г. 532. [-2, 0[ U ] 2, co[. 533. J -co, -2[. 534. [5,6[.
Г-l -I, 2-2 j/тГ. 536. [0, 5]. 537. Г—1. -~ (3+ V^)[ <
538. U , 1 А Г 539. ] -1, 4 [. 540. Ji , у J . 541. ] -1, 0 [U[l. <*>[. 542. [5, oo[.
543. [_2, 2[. 544. [1, oo[. 545. J 0, 1]. 546. a>0=>]—За, а [; a = O=>0.
547. а>0=>|0, -^-Г; а = О=>0. 548. а*£0=?>]—со, 2а [;
а> 0=ф]—оо, а[. 549. а> 1 =» 10, i-(a—1)2Г ;а<1=ф0. 550. а> 0=>
=»]-», 0]u[2a. |-a[;a^O=>l0.551.a;<-2=^J-^-i^-2, оГ а^
^г —2=ф]—со,0[. 552. а^0=> Г —-'у'-, ^L Г; а = 0=> 0. 553, а^0=ф
=ф1 —со,|-а|. 554. 0^а<2=ф 1 — (а2 + 4), со Г ; а > 2=> [а, со [.
555. а < 0=£>] — со, 2а [; а > 0=>] —со, а [; а = О=ф>0.
556. а < 0=>[а, 0];'а > 0=>]0, а[; а = О=^>0. 557. ]0, оо [.
558. b < — а=$>] — оо, а2]; Ь= — а=>] — со, а2 [; Ъ >—ai\a < 0=ф
=>] — оо, а2]; Ь > — а л а^0=£] — со, 0[. 559. О < а < 1 =ф
=Ф[1_ уТ=5, i+VT=S]; а^0=>[1а, 1 + УТ=51 ; в= 1 => {I};
а>1=>0. 560. а <— |/-|=ф —a—V2a2—3, —а-[-/2д2—3 ; а^
^- YY^0' 56Ь -4<а<-2=^ Njr Vr-a2-4a,-|- Vr-fl2__4a
— 2<а<0=ф[а, —а]; а<—4var^O=$>0. 562. i_!l^_J
•4
ш- {°'Ш}- 564-{-1;з}. ввб. -! —-y-gzrr
ig-
.566.{— 2; 2}. 567. {3}.
i 8
568. Ь-Ц. 569. i-j\. 570. i-|j, 571. 0. 572. {25}. 573. J—|Д
■ v 3 )
674. |_l-|/llg(l+^U), -1+ |/llg(l+/n)}. 575. 0.
676. {-1}. 577. {0; l}. 578. {—2; 2}. 579. |yl . 580. {6}. 581. {7}.
682. {3}. 583. {2}. 584. {3}. 585. {—3,-1}. 586. il-g-, 2-Ц.
587. iy(^—l)i. 588. {2-f КЗ}. 589. {4}. 590. {7}. 591. {-4J
208

592. { — 101, —2}. 593. {8}. 594. {2}. 595. /J^,-!, l|. 596. {1; 2}. 597. {2}.
598. {1; 5}. 599. {2; 3}. 600. {16}. 601. xx = 2; 1 < x2 < 2. 602. 0. 603. 1 < Xl < 2.
604. — 2 < *! < — 1. 605. {2}. 606. | —i| . 607. {a2, a"3}. 608. I 10е, 10 2 J ,
609. <2^Л . 610. J — V . Указание. Положить \ogax = t. 611. J _,
'I. 612. {1,з|. 613.^6=» ('ga-'^, ""-'«! \;a-6=»0.
614. ig2fl(tg + 4)| . 615. {a}. 616. 0 < a < 1 V1 < a < 2va=3 =Ф {a+2}; 2 < a <
<3va > 3=»{a—2, a + 2}; а = 2=ф0. 617. а2 + Ь2—баб < 0=ф {0, a + b}\
а*+62—6а&^>0=ф|о. а + 6, 1(а+&— ya2+£2_6a£)t ^.(a + &_j-
+ »^а2 + 68—bab)\. 618. 1 — со,— 2-1 Г. 619. ] —со, — 1og35[(J
U]-l.-log,2[. 620. ]-1, -Iog32(U10, oof. 621. [0, log22[iJ]ly. » !•
622. lylog66, loge5[. 623. ]_4, -3[U]2, oo[.624. J-ll,-l[iJ]4,5[.
625.1 O.yjui 32, oo [.626.11, \\ 627.] /3, 9[ U] 81, oo [. 628. ]-l, 1 [U
Ull,3[. 634. ]o.l[u
0, 1[U1 V\ 9f- 636. 12,3[U]5, oof. 637. ]-oo, -2[.
. 639. ]y. 1 [uJ2.ee I. 640. ]o.i[u]2,oo[.
641.]-oo, 1). 642.J — 00, —2[U12, oo [. 643. J — 1, oo[. 644.1 0,11 U[4, oo [.
645. ]-2, 1[U1 1,4[. 646. [-1, 0(U10, 1]. 647. 0<a< 1=ф]0, 1[U
ul-5-J=-. oo Г; c> 1=>1 0,^-J^ Ги]1, «o[. 648. 0<a<l=>]4, oof;
a> 1=»11, 4f. 649. 0<a< !=>]£/^, l[u]l. oo[;a> l=>lo,l[u
U]l, У^[.650.0<а< l=^]0,a'[U]l.<i-'[;a> 1 =$>] a"3, 1 [U]e2, «>[.
651. 0<a< 1 =?> Ю. e«tU(1e*. a_e[\{l}); a > 1 =4>( ]a-«,a*[\ {1}) U
U]a4, oof.652. 0<e< !=>]—oo,—a-ifUl—a*.0[;a> 1=»] —oo, —a2JU
Ul-a-1, Of. 653. 0<а<1=ф]0, a3[U]e. UU]"-1. oof; a > 1 =ф
=!>10.e-MU]l. a|Ulas. oo [. 654. 0<|a|< lr=>]jO, y/?full,a-a[;
|a|>l==>2e"a' UUI^. »[. 655. 0<а< 1=ф>У2, «T^f; а > 1 =>
^Ю.а^^и]^, ool.656.0<e< 1=»]ау/а,а[и] j/"a,a-»[;a> 1=»
8 л» пг 209
U]3, 5f. 629. ] 2,3[. 630. ] l,2f. 631.1o,l[ul
632. 10, 1JU14, 8fUU6, 64 [. 633.1 1,1
U] 1.2f. 635.
638. l2-|, oo

=J>].u-*, Va[[)]a, аУа[. 657. 0<a< l=>b,^[(jl -~ , 1 Г U
«58. 0<а<4]А"2=ф1 -J,3a[;afe4 T/"2=>lj, -|(7a-5 j/"a^32) L
4jjl;<7e + 5 /55=12), 3a f; e<O=?>0. 659. {2}. 660. 1 (1, ±U .
«61. 0. 662. {-1, 2, 3}. 663. {(x, x)\x£R} LJ'{(*. \-x)\x£ *}.
664. |(i, i/)|<,€ /?| U {(дс.^—2)|jc€ Л} u{(*. -~)\x €*\{°}}-
665. {0; 3). ,666. {1}. 667. ] —oo, 0]. 668. {-2; 2}. 669. {-2, 0,4}
«70. {-1, 1,4}. 671. 0. 672. {(1, 2,-2)}. 673. {(_1,6+г+5и, 23-.2z—'
-6u, г, к) | г, и £ Л} 674. 0. 675. {(1, 3, 2)}. 676. {(-8, 3-й,
*-2и, и) | ибС}. 677. |(1, 21) j.. 678. |(1, 1), (|, l|) |. 679. |(4, 4),
<_5, _5), (J±pL. Ц^), (l^ZZ. Ш™)}. 68о.{(1.2,3).
(-1, -2, -Щ. «81. {(2, 1, -I), (2, -1, 1), (1, 2, -1), (-1, 2, 1), (1,-1,2),
(-1, 1, 2)}. 682. {(О, 1, 2), (0, 2, 1), (1, 0, 2), (1, 2, 0), (2, О, 1), (2, 1, 0)}.
«84. |(0, 0, 0),(1, 0,0), (0, 2,0), (0.0,3), (|, -1, - J) }. 685. {(О, О, О),
(-1,-2,3), (-2,6;-1,3; 3,9)}. 686. j(l, 3,1), (l,l, з) , (з,1,1),
(3 У' О' ("З"' 1*3)' И"'3, О}" Ш' К0,0,0*' (1, *• 1}' (1, 1,-1)*
(1, -1, 1), (-1. 1, 1)}. 688. {(О, 0. 0), (|, |, ».).. (_|,_|,-4)|.
«91.a# 1=»{(—2,2а+2)};а=1=ф{(л:,2-*)|л:€Я}. 692. а ^-1 Лв?Ы=>
^{(-ТТТ'^ЙТ1)}1 в=1=>«*. »-*)1*€в>; в=-1=»0-
«93. а^-Зла/0=4>|(2,-1U; а = -3=Ф{(%-4-1, (/Ш£С}; 0=.
= О=ф0. 694. а+Ь^0=$>{(1, а—bfl; а+Ь=0=$> {(х, ax-\-a)\x£ R).
695. a ?£ Ь =$> {(а, »)}; а=*гф{(х, х):|л£ *}- 696. <а # — 2,ла^1=ф
^ UaT2' ^^г' ■^\j]'a==x=^^K'V>'[-x-y)\'c' y.€^,a=-2=S>0.
«97. а?£0=И(1—«, в, 0)}; о=0=ф{(1, ц, 0)|у£Л}- 698. а > 0=»
=3> {[—Т'«) |_Т<У<т} : e=0=^t^. 0)|*^0}; а <О=ф0.
«99. аФ 0=» {(. /ЩИ, а /WET) , (- а УЩ •
— а у <Г~ J f ; л = О =Ф {(0, 0)}. Указание. Представить второе
2)0

равнение в виде (*а —у*)2+4х*у2=4а*хд* 7Q0- а Ф й => {1(0, а), (а, 0)ь
«.=*(„. -„„ее,.,. л./ННШ. ,_ /ШЕШ.
df У
Ь+М+\ {(Л_Гр д..,, c_I)f (_д_1( „в.,, _c_f)j.
Указание. Прибавить по единице к обеим частям каждого уравнения и
разложить левые части полученных уравнений на линейные множители.
т. И ь+с /+° а+ь \ ( ь+с
—— •, — . \у- Указание. Разложить левые частя
Уа+Ь+с Уа+Ь+с ))
каждого уравнения на линейные множители и положите x-\-g-\-z = t.
703. a9=3ab—2с. 704 xp+JW+z*—°« Указание. Положить
4-=—=»-?■——• 705, а3+63+е»+о6с=0. 706. а24-&2+<?2 —2айе = 1.
/ df а Ь с ■ -т- -т- (I.
707. {(У!, |-U . 708. {(4, 4), (-1, -Ш. Указан не. Положить
а«ж-у, „«д + у-*. 709. {(3, 1), (5, -1), (4- VTo, 3-f У~Щ,
(*-f- У~\0, 3— У~Щ. Указание. Положить у *•+ — =-в;
Fj.+^-3-b. 7ТО. {(-9, -2-i), (4, 1)\ . 711. {(216. 27)}. 7K.|f-S. -3>.
(3. 1). (кТо-1„-1 tfTo-i). (- кТо-i, —i vno-ij|. 713. {(3,4).
(4, 3), f>-3, -4f, (-4, -3jy. 71*. {(2, 8), (S.ty. 715. «4, 9), (9, 4fc
(-4, -9), C-9. -4)}. 716. {«0, 0). (|/T. iT), (Ц1, ij)}.
717. {(5, 4), (-5, -4), (15, -12). (-15, 12)}. 718. 1ф, 0)\ (5. 3),
(S5' "24з)}' 719- {(18, 8)}> 72°- К25,36*1 (36,2f5|}' 72*" ^' _2'6)>-
72* «1, 1,4), (1,4i> I), (4- I, 1J}„ Ш. {(|-e*». "* У|-)} • »*. a+b > &=>
^-a]/|-, _L|a|^. 72в. а+6+«»а=М(*С« + *-И). »<о+Ь+^.
c(e+6+c),)}! а+*+с<О=Ф0- 727. {(3, 5)}. 728. { (j, 1) I.
729. {^2, I) , (64, 4)1. 730L {(J/8~, J/4")}. 731. {(4, 16)}. 732. «1, 1),
(4,2)}.733.{(L. 1), $, i-)}. 734» {(100, 100). (tOO, ^ . 1^, К»),
8* 211

(щ-ш)Ь 735- И2'2'1»' 736- {(£ I'?)}' 737- {(1','1)'
(4,2, /ЮК 738. {(сТ(^ ,,тЬ)}- 739. Л==(±)^. *> * * =>
1
=Ф{(1, !),(Л ЛЯ)}; р = <7=$>{(д:, «)!*€*. * > 0}. 740. ^=f{^Vg^lgPX
X р ?* а=Ф {(Л1^, ^lgp)}; р = а=*> {(*. x)|x 6 Л, х > 0}. 741. j(a«, a, a7),
fc+e
. 2 У a+b+o
[i, 1, 4)1. 742. Л = р2Ка+&+с, B = ,aKa+*+\ C-p"
\a*' a' a*) \ df dr df
{(Л, В, С), (Л-1, Д-*. C-i)}. 743. a<-lAfl?b-2^{(-fl-l, (a+1)1),
((a+1)2, -a-1)}; а>0лаф 1 =» {(a, a2), (a2, a)}) -l<a"<O=->0.
744. 0. 745. 3 — 00, — 1 [Ш 2,33 [. 746. [1, 3[. 747. {3} U [4. 6].
748'[t,3[- 749, I4» 9tU] 9. 28 [.750. ]0, 1[. 751. 1-co, ~T f u] 2» •[•
752. Я. 753. 1 у, 4*1. 754. ]—2, со [. 755. J—2, 0[Ш l> во [. 756. О < a<
< у=Ф 1- со, 5——Г;а^--=ф] —оо, 3 [; a<O=>0. 757. a < -i =•>
=ф1 —oo,^2-||; a^i-=^0. 758. — j< a < 0 =ф |5, 3—|Г; a>0=£
=>] 5, oo [; a<—— =Ф0. 759. a<Ova> 1=Hjzrj» «>| 5 0 < a< 1 =ф0.
760 a< 0=ф]а, 0 [} a>0=>] — a, 0[U]a, 3a [; a=O=£0. 761. a<0=£
=»33a, 2a[(J]0, —2a [; a>0=$>]-2a, 0[U]2a, 3a[; a=O=*>0.
762.
*^*0
y<.2x
•«4
Г *<o
y<o
y^2x
y<Y*
763. ( y^x2
y<\
(
764.
У<\х+\
У<
ar-
,»-!•.
y x
770. 0. 771. j(*, y) € /?2|y > y+1 j-. 772. j(*. y)g^a |f-l<y< | + l|.
773. {(at. y)GR2\x> 1, 2-* <«/<*}. 774. {(*, y) € *2I I< * < 2,
2—*< y< *}U{(*. »)€*2I2<*< 3. Здс—6<y<*}. 775. {(x,g)GR2\x<-4,
в>-3х-4}\){(х, y)€*2|-4<*<4, y>4-x}U{(*. *0 € *81 * S* 4,
g>x-4). 776. {(*. y)€/?2|0<At<Jp-, -|<f<2*}u{(*. У)€
€*»|-££<*< /2\ |<{/<1}. 777. {(*, y)£lp\±(l-VE)<
<y<*+l}ll{(*. У)€>?2|0<*< 1. *2<v<l}
i- {(*. »)€*»|-2<х<0. 0<j/<|-hIu{(*. y)€*2\x^0,
<x<0,
778
212

0<y<flVy 779. {(*,*/)£ Я210< х < 2, - \f~x < у < V1\.
780. {(xt y)£ ^2|-|^2<д:^ V\ *2 <^<4-x2}. 781. 1 (*, y) £ tf*|
2 x \
Ч^т^Ч^т^2^2
<0<
2jc+2i. 782. i(x, */) € *2
lj{(*. У)€ R2\0<Zx<j, -Kv^2x|u|(^. Й6Л
-^ x^4,
Глава III
+ 1
}•
783. 0(л.ч.)==Я\|у+я/?|*^У; £>(пр.ч.) = *. 784. £(л. ч.) =
= ^4{TUeZ}; D(nP'4-) = /?- 785' Д(л.ч.) = *\{у+яЛ|*€*|:
D(np. ч.)= Я\|™ I я €*}> • 786. D (л. ч.)-Л\|у+яЛ | k gzl; D (пр. ч.)=
г=si?Ч({l'+JxAJ|^eZ}U{Il+2JlЛ|ЛeZ}), ?87, 0(л-ч-) = *; 0(пр.ч.) =
=/?\{я+2ял|я^}. 788. 0(л.ч.) = Я; D (пр. ч.) = /Г\{я+2ял | /z£Z}.
789. Л(л. ч.) = *Ч{л+2я*|*€£}; D (пр. ч.) = Я\{ял | n£Z}. 790. £(л. ч.)=
=0(пр.ч.)=Я\{я+2яя|я^}. 809. 1-1-. 810. i-. 811.1. 812.1.
813. sin2 35°. 814. sin 40°. 815. ctg6a. 816. — sin 8*. 817. 7. 818. 1.
Г 2, если 2nk < x < n-\-2nk(k€Z)\ \j
m- [-2. если n+2nk < X < * + *.*(*€*>. 62°- ЗТ 82'' 2«И^+«
822. 1 823. с—I. 824. sin3a+cos3a=l (3 — b2); sin4a+cos4a =
==4-(l+262—64). 825. -^L. 826. 16 sin5 a. 874. 1 npH*=±arccos —!—f-
2 v a2-\-b2 4 r 3/2"
+2™(n£Z). 875. 1 при * = y-(rc€Z). 876. |-~+4яЛ |* gzl (J I- y- +
+4n^|^z| = <j|r(-l)« + 1+2^|ne^}- 877. |-1±5?- + Jl*|*ezl
878.{-я + Зя*|*^}.879. |-^ + ^|^z|.880.{|±^ + ^e^.
881. ii+^|„gz|. 882. 0. 883. {- %+2nk \ k£z\[}l- ^ +
+2nk)k€z\ = №(-\)n+1 + nn\nez\ . 884. {2 arctg * £g +2ttfe|fegzi.
885. {n+2n^|fegZ}U barctgy+2^U6zl. 886. { у^+2я6|*€^}и
213

uJi^:_|-2nn|n^z|. 887. {nh\i^Z)\ji±^+nn\n^z\ . 888. 0.
889. {2я*|*€*>и{—J-+Jw|n€*}. 890. {***|ft€z}. 591. j-J +
+я*|*€^}- S92- {f+"*l*€^|. 893. j^|*ezl. 894. {nk\k£Z)U
U{S(-1)n+T|n€Z}- S95' M^€^)u{±arccos^'^~1+2nn|/»6z|.
«96. { ± у arccos^2j~3+ "*!*€*}• 897. {2яА| k £Z}U { ± j +
+2nn\nez}. «98. |i+M|^z|. 899. {g+**l*€*}u{£ +
+ ™|„£zj. mJ±l+nk\k£Zy 901. <2n+4jift|*€Z}u{-fn(-l)"+
1 f 8 4 2 241 (9
+ 4nn\n£Z\. 902. ^ —-g-n, —-g-я, — -^ я, 0, -^-я, ^я V . 903. ^- ^-я,
7 5 3 „ я я 3 Л aru i 3 „ n 3 5 о \
~Tn' "T"' _T ' ~T' T'T"f - 4" ("T"' 0> Тя,Тл,2я}-
( 2 я я . я я 2 \ ( я . ля I _ -\.. f я .
$05.|__Я)_т,_т,0,т,т,тя^.90в. j_+_j„€z}u{15 +
+ ™|m€zj. 907. 0. 908. |i+^|ft€z|. 909. {2я*1 *€Z}u{-J +
+ 2яя|п£г\. 91°- 0- 9П- •!:fcarccos-|--I-2n*|ft€zl. 912. {_7" +
+ «*!*€*} и{£+?|«€*}.««. {±1+т|*Ц-914- {т+
+я*|^г}и{^(-1)"+тИ2}- 9i5- {±4arcsin(ft^)+
+г£|*€*|. ею. |±4"агсс08(_т)+я*|*ег}и{:!:"^агсс08"з"+
+nn\n£z\. 917. i^+2nk\kez\[i{2nn\n^Z)ul^±BTcCosU^I +
+2nm|m€Z> . Указание. Положить sin *-f cosx = /. Тогда sin 2*=/*— 1.
918. |±£+я*1*€*}- »»9- {j+^|*€*}. »20. {2яH*^6Z}u|-■ЯГ +
4-2ял|/»€z|•. 921. i^-+^^A|*€^| U-{—arctg-l-4-2nn|n€zi.
922. i-g-+nft|*e*lu{|-+^»€z}. 923. i-i+anftlAg^ly
U{arcsin<^S-2) + 2nn|e6Z}. 924. |i|*j>. 925. |i+?||fe€z|.
926. {я, я+аго1§2}. 927. i-"--f2nft|*€zl. 928. I ju, ^я|. 929. 0.
ИЗО. 0. 931. i-j+2nftjft€zj. 932. {nk\k£Z}. 933. {л* |*€-Z}ll{-| +
214

+ 2nn\n£z\. 934. i±^+^U6^-W5-^0T + 2*|freziuit0^r«€^}-
Ш. Q^iyigmlnj^+^nGZ, *€*Ч{-2,-1,0, 1}}. 937. |^ +
+ ^l)A+iarcsini^4^*|*€z\uj —^
938. < (2, -^-+я* ) p€^f U{(—2, nn)\ n£Z). 939. Единственный корень
*1==0. 940, Единственный корень дг1ч£ f—я, —-1. 941. Бесконечное
множество корней. 942. Три корня: *t€H» ЯГ* *2» *з€]2п, Зя[. 943. а ?£0=»
^{т+¥|/г€2}и{2агс1€:'Н"+2пл|лег}5 а=0л**0=*{£-ь
+ *j*l*gz\j а=6 = 0=ф/?. 944. яАОя*/+ ягг£п»--1+ 1^1+16аа +
+2яЛ| Дс€^У? fl=0=$>iy+^rt|ngzU 945. (а| < /Тбда #3 =*
=* i arctg1 ^^_0д"Д2+^ | k$z\;. а=3 =ф {—arctg3-f ял | n^Z}:
\а\> ]/16=$0. 946. — 5<а<—1=Ц£агссо5~1 + ^5~4%2яЩбг| ;
5 Г —lim/fP^S I 5
-l<fl<7^ Siarccos ^ ^fc|fc£Z> \<* <—5ve>-r-=> о.
947. {±arccos~""1 + ^2 Д+1+2ял | ngZf . 948. 0<а<1=ф|~я
+2jw|ngziu{-7+(—^arosin(2a— l)+n* |*-€£f ? a < Ova > 1=5
+ ^Ue^}j а<—^Vfl>|-=»0. 950. а*л + 2и*(*€*)=»{--у+
+ ^(—lYl+nn\n€z\; а=я + 2я£(*^=фЯ. 951. ft ^ аА\а\<\Ь—а\=Ф
I -^(—l)"arosint——|—^- n£Z >; 6=а=0 =фЛ;в остальных случаях 0.
^5б2а2=5>|^-+ял|де^}; b=aV2=!> №+2jik\k$z\i fr =
=—а)/Т=ЦАл + 2ят|т^\. 953. Ь£0л\а\*£\Ь\ }П=>1^±
±агсс08^+2ЯЯ|ЛЦи{^+я*1*Ц} {l*l]blyvv{ba-°0**
=>{lf+n>k\k€z\ ;а=Ь=а=ф*. 954. а=К2=»{1—УТЬ а = -/2~=ф
=>{t+|T}; а^ }Г2лаф—У2=*0. 955. |*| -™-}-2ял < х < j-n+
952,
215

+ 2яя, n£Z>, 956. < x arcsin-^--J-2n/z < x < л —arcsin-«--f 2ля, ngZ/.
957. «|дс —arccos-j+2nn < jc < arccos-j+2n/z,/zgZ> . 958. a-jii-f
+ 2nn < x <-^л+2пп, rt£Z>. 959. <x\arctg2+nn^x <-^-+л/г, ngZ>.
960. <* — у+лл < * < у+ля, «^ZV . 961. {х|лл <x <arcctg(—3)+лл,
f 5 \ i I 4 14
n£Z}. 962. <*|яя < * < -g-я + ял, rtgZV . 963. <x уя+4лл < x < — я+
+ 4лл,л££}. 964. j*|l—|я + 2яп<л:<1-у+2ял, ngzi.
865. <л:|^+яп< jc< у2Я+лл» «€^[ • 966- {* Ьтя—2+2лл < * <
7 о , о -j) nM Ml я , ял ^ ^ 1 , я . nn ~ Л
<--я--2+2ял, *€ZJ>.967. y\~T+~2<X<'2+T+'T'n€Zj'
m- \х\т+Т<х<Т+1Г' n&z}' m {*|-7+2ял<*<2я+2ял'
n£z\. 970. |*|1+-|-я+ял <*< l+я+ял, n$z\ . 971. j*| —~я +
-\-2nn<x<^r+2nnt n£Z> . 972. «| x — я—arcsin— +2ял<дс< агсэт-^+гял,
ngzi U <* arcsin-y-f 2ял < x < я—агсБШу+гял, fl£Z>. 973'1;с|1Г +
+ял < * < -тгя + ял, дс^у+ял, n$z\ . 974. Л\<-^-я+2ял LgZ>.
975. ]-д, «|я[и]~,0[и]|, |я[. 976. |*|-|+ял < *<ял,
n^^f U -I* -^+яя < * < ~7£+пп> n€zf • 977' Iх Х+Ял < х < я+ял,
*^~я+ял, n£z\. 978. i* -у+гял <х <уя+2ял, i^zi (J
U ^-^я+гял < х < -^-я+2ял, ti£z\ (J <ЫуЯ+2ял < дс <_я+2ял,
n£Z>. 979. <х — у+лл < л: <— агс^г+ял, ngZ> (J <^—j+ял <
< * < Х+лл' n€Z\ • 980, 0-981« {* — yarcsiriy+лл < х <пп, n£Z\ (J
( In . я , 1 . 2 , ^ _l ллл (I я .
U <* ^"^ЯЛ < * < "2"+'"2"arcsm"3"+,w» "€Zf -982. <x яя<*< -у+ля,
n^zi. 983. i*|—-^+2ял <*<-|я + 2ял, х ф -"г+2ял, л^1 . 984.
^xl—^я+ял<д:<у|+ял, хф—j+Jin, n£Z\ . 985. «Ы—^-л+2ял<
<*<-£-я+2яя, хф ±-5-+2ял, n£z\. 986. 0. 987. ixl—^-+2ял <*<
<у+2ял, ngzi. 988. JJi+2n«<*<i-|-2jinl я^} U <Ы|"Я +
216

+2ял<* < -£-я+2ял, n(&z\ . 989. \х\—у+2ял < х <-Я-+2ял, n£z\ U
U <х -*-я + 2ял<*<-*-я+2ял, x&n+2nnt n£Z> . 990. <х\—-д-я +
+ял < * <— ^-+ял, n£Z\ U <*ял <х <^+nnt n£z\ (J <* "§"я +
+ял <* < у+ял, ngZ>,991.^ —-^-я+2ял<л:<——я + 2ял,л€г1 U
и|^|~+2ял<х<—2-+2ЯЛ, n$z\ (J |*|-2.+2я/Кх<-|-я + 2ял,
г- ш\ ллл (I я . ял ^ ^ ял - _1 лло f I я , 2ял
ngZV. 992. lx — 35+-5- < * < -у • "€*>• 993. j*|-g-+-^-<*<
^ 7 , 2ял - _\ ,. / I я , 2ял ^ 11 , 2ял г А ппл
кТ8я+-г» "€*fu r|t+— < * < Т8Я+— - n*z) • "4-
{I я , яд ^ я . ял J 3 .ял - -\ ftfte f I л . .
*|T+T <дс< Y+Tf **7ГЯ+Т' "€Zp 995' ^|у+2ял <>;<
<~я+2ял> n€z\\J{2nn\n£Z). 996. i
л€^}и{*и+4ял<х<-^я+4ял,л€г1. 997.
-я +4ял < дс <; -?г-+4ял,
я , ял
Зя , ял
о[и]о, т[и]т> 4я[и]тя' я[' 999' {*\2тХ*1~^*+**п<х<
<5--|-2ял, я^>и{* 2arctg^-iJ—^+2ял < *<я + 2ял, л^> . 1000.
]~4Я' ~Т [и]~|Я' °[U]0' 4Я[и]т' ТЯ[' 1001' (я+2ял|л^}.
1002.
1004.
|—у+2ял|ле2:|. 1003. ixl — |-я+2ялО;<^-+2ял, л^
ijcl у+ял<х<уя+ял, n£z\. 1005. 0, '6"~*
arccos ■
1006. |х| — ■Я-+ял<д;<-Я;+ял, л6^|. 1007. |*| 2ял <х < у+гял,
л^\. 1008. [-£,-£]. Ю09. ]0, у]и[-|я, я[. 1010. i*|i+2roi<
<:х*£-£П+2пп, x&n+2nnt n£Z\ . 1011. {2}. 1012. {д:|2ял <*<я+2ял,
л£Z}. 1013. — \<^а < 1 =£{*|агс8та+2ял <х < я—агоз1па+2ял, л£Z};
a< —1 =ф/?; а^1 =£0. 1014. — К а < 1 =£{* I arccos а+2ял<*<2я —
— arccos а+2ял, fl£Z}3 а^1=»/?; а<—1=*>0. 1015. —1<а<1=Ф
=Ф{д:|—arc-cos а+2ял < х < агссоза+2ял, n£Z}; а <—1 =ФЯ; а^ 1 =$>0.
1016. <х arctga+ялО: < ~+ял, л^У. 1017. 1х — y-f-ял < д; <
<агс^а+ял, л^>. 1018. [х |ял < х < arcctga-l-ял, n£Z). 1019.
{jiclarcctga+ял^д; < я+ял, n£Z). 1020. Л = arccos с. —1 <с< 1ла >0=>
df
217

=>|jcli-(>l—b+2nn) <jc<~(2ji —Д—6+2ля>, /tgzl;— Kc<U
Aft< a=4>< * и|2я--А--*4-2ял \< x <--(A--b+2nn\n€z\; c> [=>*;
c^—1 =Ф0. 1021. A=arcct£c. a > 0=ф ixl— (fr-f лл)< дг<
ft^zL 1022, А=агссо&^(а—/a2+4/>2)* {*|— А+2ял«£*<—^+2^^
«€^}u{^ |-|+2дл<х< А+2ял, n£Z \. 1023. A=arccos ?^ . b < 2a=^
=£ {я+ 2я л | л £ Z} (J {* |— Л + 2ял <; * < Л +2лл, л £Z}; fr^ 2a =>/?.
1024. Л = агс1б(1—2а). а < 1 =ф Ь [—1£+пп < х < — il-f-ял, /i€ZHJ
U I х Л+ял < Ж-^- + ял, n£z\ ; д^ 1=><Ы—i+ял < д: < Л + ял,
1025. Л=агс1г
df
1— v^io-a2
1+ |/ 10—a* __^ < д <_3=ф LI *.+„„ < *<Д + лл,
В = arctg
a+3
л^1и{*|^+яя<* < £+яя, яб^г J a = — 3=»<jr| — аг<^3+ял<х<
<-5-+ял, n£Z\; — 3 <a < |/1о=ф {д:| Л + ял<д:<В + ял, /i£Z};
в=^Ю=ф|аго12^:|:з+ял|ле^|; а<-УГТ0=>/?\|у+ял|лб^1;
а>|/*1О=ф0. 1026. Л = агсс15^Ц; B = arcctg (—2). а < 0 Vfl > 1 =>
df о. — 1 df
=»{г[ял < х < Л + ял, л(^и{*1 Д+ял < * < я + ял, л£Z}; 0<а<1=ф
=$ {х \B-\-nn < х < Л+ял, л^}; а= 1 =Ф {* 1В+ял < х < я+ял, л£Z}.
1627. A=arcsin(l + a); £=arcsin (2—а). — 2<а < 0=» {*| — Л + 2ял<£
df df
<х<и+ А+2яя, n£Z}; К.а < 3=£ {х | Я+2ял*£х<я—£+2ял, л^};
а = 0 va^3=>#; a <—2V0 < а < 1 =£> 0.
1028,
- {(*.
У)
я , я/г
у=— i+^.ftgzl. 1029. [{nk,-2n+2nk)\k£Z\. 1030. if--2-f я (*+«).
1031. Я_Я+»(я + *), *4-л(я_в>)| я.*€*|и|(у+л(я+*),
-j+я (я-*)) | «,*€*}• 1032. |(arctgi+iin, _iarctg 1+^ |я.
k$z\. 1033. Я-^+яя, _^_яя)|я€г|и{(—J+яя,
»€*}« 1034. Яу+2яя, у+4лл)|/1бг|и|Г--^+2пп.
я
г— ЯП
4
218

— я+4яп)|л£г^. 1035. J/^-j-лл, J-л —ля ) j n£Z \ . 1036. * =
= arctg(/7-2); S =-arctg < 1/7+2). j [л + як. A~+nk^k^z\\}
uih+nk, B-j+Kk\\k£Z\- Ю37. /^+2яп. rt)|», i^eHu
U{(2im, —j+«*)|«. *€-*|. «038. J(iL+n*, -ij. + n*)|*€*}.
1039. 0. K>40. Ну+яй, -^-+яяМ*, n^zl (J ?farctg-|+nfr> arctg ^ +
+ я«)| *.«€*}• 1041. К^+яп, i_raj|/i€zju{(|-+«n,
i-nn)|«€^}. 1042. |(-2.+я(и + *), ~+я(л-*))|я, *€^}U
у Я_Л-4.л(п+А), |-+я(п—^yin, *€z}. 1043. 4=arccos-0?.
i(/4 + 2fl*, -2-4-2яп)к rc^zi U l(—A + 2nk, -у+2л/Л U, n £ z\ U
U -{(я-Л + гяА, ул + 2яп|/г, я £ ZJ- |J I (— я + У1 + 2я*, — -|л +
+ 2яв)|а, я€^|. Ю44. i^ift, ^)|*. я € ^1 U {(-|я+лА,
i + яя) | *,п€*\ U {( -у« + я*. -у+яя)| fr.B^zl.
1045. |^+я(* + п). я(*-л))|а, n£z\\J Hn(k + n), -■*-+*(*-
-n))\k, n$z\. 1046. |^±Л.+4я*. 4ля)и, n^z}u{(^ft,
±|+4ял)|*, «€ZJ, 1047. |(t),y). (у. !■)}. 1048. -4=*rctg2.
{(-J+л*. А+пп, ln-A-nlk + n)J\ *.«€^u|(—J+я*.
-Л+яя, -|-я+/4 — я(* + лЛ|*, я^г|. 1049. А = (— l)*arcsin (26 — sln^.
|2ft-sinP|<l=j>|(y(i4 + P+Rft), -у (Л-р+я*)) Ь € Л |26-sinP|>
> 1 => 0.
1050.
1051. ^1=0—^(0 — 2):
df
< (arctg у+7ife, arctgy —л+л£ Yfc £ Z\.
B = a+ Va(a—2).
dfj
a < 0 va^2 =£>
=> i /arctg -Tf+nn, arctg —+л£ J | n, £ £ ZI (J j (arctg y-+
+ ji/i, arctg-^+^^ln, k^zV, О<а<2=ф0.
1052. { fa+y+2ji£, a-y+fci/i) I Л. л € Z} U { (a-^ + 2я*.
u + y+2лл
)|*. n^[
1053. i4 = (—l)*arcsin2a.
dfv '
4
|a|<Jt.=»
219

e*{(j(A+n(k+n)), ±(Л + я(А-я)))|*, n£z\; |а|>1=>0.
1054. i4=arccos-^. P ф 2-+nk(k£Z) Л |6|<|cos p| => {(Р+Л+2лл,
df cos p z
р-Л-2яя)|я £Z}U {(Р-Л+2ЯЯ, р + Л-2яя)| n£Z}\ $ = ^+jik(k£
6/)ЛЬ0^ {(*, n+2nk-x)\x£ R); ($ ф^ + nk (k £ *) Л \b \ >
> | cos p|) V U=-j+nk(k €Z)A^O)^>0. 1065. i (?L-\-2nkt яя) L,
я€ *} U |(--j+2:rtAj' -| + я/г)к n^zl. 1066. Л=|^со8 2&;
Я = -1агссо8Л. аф 1 Л | А |<1 =»{(* + В+я£, 6— 5—л/г) | * g Z} U
df ^
U {(*—В+яЛ, b+B—nk)\k £Z}\ ,a=l V(a^ 1 Л|Л|> 1)=>0.
1057. |х|у+2я£<х<уЯ + 2яА:, fc^zi. Ю58. iх|-2.+2я^<х <у+
+ 2я£, *£zi. Ю59. <*|-^+2яА: <*<-|я+2я£, k £ z\.
1060. ix\^rn+2nk< x<Z^n + 2jik, k£z\. 1061. jx|-iL+2n*<
<*<-?--{-2n£, k$z\ (J <Ы-|-я + 2я* <х<|-я+2я*, *Cz[-
. ^|_|я<*<_2яУ|<*<|-я}. 1063. {*|-g-<*<£v
1062
_2
3
wjLn^x<lln\ Ю87. 0; 2; —10; —2; —3. 1088, 1089, 1091, 1092,
1093. Отрицательна. 1090, 1094. Положительна. 1095. —; —я; —я. 1096,
1101, 1102. Нечетная. 1097, 1098. Ни четная, ни нечетная. 1099, 1100. Четная.
1132, 1133. х\ •—1<х<1. 1134, 1135. дс. 1136. arcsin(sinx) =
я я
дс — 2яя, —^-\-2лп^х^-^-\-2пп\
~ 1137. arccos (cos x) =
я — *+2яя, — -\-2пп*^х^-~-п+2пп (n£Z).
х—2пп, 2яя<Жя + 2яя;
. « i о ^- J-o / •- ^ II38* arctg(tg *) = *--ял,
*+2яя, — я+2яя^д:^2яя (п £ Z). ЬУЬ '
— ~-\-пп <*<—+яя (л^2). 1139. arcctg(ctg*) = *—ял, ял < х < я-f
-[
-J- кп
1146.
1152.
("
4
9
€*)
6-*
я.
1147.
1153
1142.
я
т
3
у*.
. —
я
То'
1143.
»«• т-
И54. »
Я
4 '
1144.
1149. i
О
.
1155.
.
10
13
2
1150.
5
8
п. 1156.
1145.
я. 1151
Я
. 3
4-я. 1157.
о
- 1.
—я.
55
65*
1158. -^-(4 V2+ ]^ 5). 1159. —1. 1160. ^ . 1161.0. 1162. i.(j/J—3 j/*2).
220

1163.
1164.
я VI
т
1165. А,
пев.
П71. fmln = — при
* = — "J5 /max = g— при * = -
v?
1172. ?т1п=^2Я ПРИ л:==Т?
# 2 V^3 tm t я2 f . 25 0
/тах = уЯ при *=—• П73. /mln^y ПРИ * = —*5 Jtnax=3g*f
при
*= — /3. 1174. 1175. 1176, 1178. 1180—1184. 1186—1190. Верно (истинно).
1177, 1179. 1185. Неверно (ложно). 1203. {-^}. 1204. j—tgyi. 1205. 0.
1206. {cos 3}. 1207.0. 1208. {^трЬ 1209. I —j\. 1210. < _Z-* »
i^pj. 1211. {1}. 1212. {-у}. 1213. {-slnl|. 1214. {-3tgl}.
1215.0. 12l6.{i-tg-^}. 1217- {~и} «18. {!}. I2I9-{"4}
ill 1221. {-2}. 1222. {-/?}. 1223. {о, -ij2-, £Ij .
{-T' T- -?' ^ ,225-W* I226' <0' '• -1»-
jo, -у}1 1228. jyj. 1229. {—1; 1}. 1230. {!}. 1231. {0; I}.
1220,
1224,
1227
1232.
КЧ
1233. — — <a< — => {sin a}; a <—-- Vfl>T=^0.
1234. 0<а<я=Ф {cosa}; a<OVa>n=>0.
1235. _2.<а<|=>
=»{tga}; a<-|va^i=^0, 1236. 0 < a < я => {ctgя}; a<0Va;
^я=ф 0
1238.
1237. 0<c<j
с<Оус>я=ф0.
я => < — (6 + cos с) >;
-y<a <0=ф{соз2а}; 0<а<2я =>icosy i; a<~va = 0v
Уа>2я^0, 1239. —у <a <у=ф i—tga, tgyi; -— я<а<—^-v
УТ<Д<4Я=Ф{1&ТГ a<,~"Jn Va^4n =>0' l240' [""lf 1]*
1241. 0. 1242. 3 —sin 1, 1]. 1243. -1, -^J . 1244. {1}. 1245. -1. Jy- *
1246.
[!•']
. 1247. [-1, 1].
1248. 0. 1249. ■
Г5
. 1250. 0.
/1
1251. l—oo, 1[. 1252. 0. 1253. ]—со, — /з[. 1254. R> 1255. l-^r-, со
1256. 0, 1257. l—oo. ctg2[, 1258. ]2 tg 1, co£, 1259. l—oo, —i-tgl
1260. J—oo, — 1].
1261. l—oo, 0],
1262. [1, 2].
1263. {0}
221

1Ш. £_2f - l/3+iJ. [ U ] К 3+-Х"- 2}' ,265' 1~"> 1в'*
I2G6. Co, -И, 1267, U^-. 1 L 1268, hi, 0[; 1269* ]1, oo[, 1270.. }0; 1};
1271. ~<л < i s* ]sln.af. l]l a <.-■—=* [-Г.. l]l. *^f =» *•
1272. -.i<a<±=^[-H eHraJr a^Y=>[-i;ilJ a—-у =И-ф
a<—y=^0. 1273. 0<q < я => [— 1, cosa]) a^O =t> I—1, Hi
a=*n =^ {*—1}*» a > я =£ 0,, 1274.. О <&<jt =^]cos аг, l]j. a> я =Mr-lf lit
в<О=ф0> 1275. —~<a <у=ф ]tga„oo[} a<—i=^ Л; a^y=»0,
1276. —l<fl<i=s> ]-oo, tga]; a^y=»/?3 a<-y=>0.
1277.. О < a < я =ф]:— », ctg'a]; я/<{) =ф /?? а^я => 0, 167& 0 < a <n =»
=3?]et£a, oofr а^гя =£ #; a<fl =$ 0*< 1279. a <.0,={> — fl —9"!:»
fl>0=»l-l,.11 j а = 0=ф tf. 128Ш.(Г<а<г£=4> [-1, -sin j\ Ц
Ulsina, 1]; у < а<2я=Ф Г—1, — sin -2-1) a=0 => [—1, 1]; a > 2к=>0.
1281. 0<а<2я=Ф ctgy, 00h a^2n=^/?j a = 0 =$> 0.
ЧАСГЫ1
HL-У ка.за ни.е.. Рассмотреть 5{слт>-* 18. Указание; Рассмотреть £<#су.
19. Указание. Рассмотреть симметрию относительно прямой, содержащей
биссектрису угла С. 20. Ук.аза-ние; Рассмотреть симметрию относительно
серединного перпендикуляра к [АВ]. 25. Указание, Рассмотреть
симметрии относительно, прямых,» содержащих биссектрисы» углов, треугольника;
27. Указание. Рассмотреть S{BC), 30. Указание. Рассмотреть
композицию симметрии относительно двух прямых* coдepжащиXv смежные стороны
треугольника. 32; Указание. Рассмотреть симметрию одной из данных
прямых относительно двух других прямых, 34. Указание. Рассмотреть
S(AB) и $(ВО Для точки Мх- 35. У к а:8 а н и е. Воспользоваться решением-
задачи 34 и утверждением: основание: равнобедренного треугольника сданным
углом при вершине уменьшается приг уменьшении' боковой* стороны* 36.
Указание. Рассмотреть Slt где / ±(АВ), М£1. 38. /5ЛС =60°. Укааашие.
Применить симметрию относительно серединного" перпендикуляра к [АВ].
39.70°. Указание. Рассмотреть симметрии относительно прямых,
содержащих биссектрисы'угльв ВАС, АЕО\ 40; 20*^80°, У к а з^а н ие. Применить Slt
где / содержит биссектрису угла С, и 5(,Ш). 43. \[}12- 44. Указание.
Выполнить Ra*\ где А' является концом большего из отрезков. 45. Указа-
н и е. /?й?°. 47, У к а з»а н и*е RbJ\°9 rW* 49. У к а з<а н и е. Вначале рассмот-
222

реть два параллелограмма, у каждого из которых три вершины являются
центром квадрата, центром и серединой стороны данного параллелограмма
ABCD, и указать в них треугольники со взаимно перпендикулярными
.сторонами, а затем выполнить /?о°\ где 0 = {AC)[)(BD). 50. Указание. Дрка-
зать, что углы AjNBj (Г=1, 2, 3) конгруэнтны между собой. 51. 60°. ЛУ к а-
зание. Применить Rb°, где В—точка пересечения окружностей. 54.
Указание. Учесть, что точка О—центр параллелограмма принадлежит
радикальной оси двух окружностей. 69. У.каз.ашие. ^Рассмотреть поворот
К*С°°(А)=В. 61. 45°» в4. Указание. 'Использовать #g, a=/*Qfl.
65. Указание* См. .№48. ^66. Vsd\+&—.MA* cos a— Jx. 67. 90 и 150°.
69. Указание. Рассмотреть перенос Г:01-^02. 70. Указание.
Рассмотреть T:D -> N, Т:С -> 7V и ZM. 71. Vtf2 —m2. У к аза н и е. См.
задачу № 69. 72. Указание. Рассмотреть Т: A ->Ct, Т:В ■■-► Аи Т.С -+ВЛ.
73. 30, 30, 120°. Указание. См. задачу № 72. 76. Указаны е.
Т:А-±С. 78. /i ||/. 80. Указание. Рассмотреть НА и использовать
задачу № 79. '81. У к азан и е. Провести диагональ BD и рассмотреть гомо-
_L JL ' JL _L
тетии Hq и Н£ 4 83. Указание. Рассмотреть две гомотетии Н^ , H^j t
84. Указание. Рассмотреть //^. '86. Указ а ни е. Рассмотреть гомотетию
Ид .91. Уж аз а.нш е. Рассмотреть Hj а , /—точка ^пересечения медиан.
j_ j_
92. Указание. Рассмотреть Н^ и Яу 2 , У — пересечение медиан, N—ор-
?i
тоцентр. 93. Указание. Рассмотреть композицию Нр оЯ^ 2 , J—точка
пересечения медиан. 96. Указание. См. № 92. 98. >Уж азан и €. 'Пусть
D£(0, л) ,'М, #, Р —основания перпендикуляров, опущенных из D на^ЛЯ),
(ВС) и (АС). Доказать подобие двух пар треугольников ВМD и DCP,'BDC и
MDP. 99. | ЛяВ2И= . Ук,азаи,и;е. О—цегатр ^рауголкника Л£С,
2cosj
рассмотреть Rxi.oHjb, где .*=—■ . 100. Указание. Hp.oRj, , где
cos|-
k= .и см. № .98. 103. У,к а.з*а,нш е. ^досмотреть гомотетшо х.дентром
60S |
щ центре ♦окружности. 408. У к а-з а нш«. Яд. 109. гУ к а&шшшге. См. .№ 108.
Jsltl. У ?к аja-a»HHie.«Применить ^Ь°°ю;#я„фдеФ—^тонка/касанияюкружностей,
.U3. m l/£i±£Lf п ТАИ±± , j.i4. УЦН1^. У.каканте. Провести
г m — /i г m — л
биссектрису угла Л. 115. Указание. Провести биссектрису угла С и
рассмотреть подобные треугольники. 116. 2arccos—2 . Указание. Выра-
223

зить площадь треугольника. 117. 45°. 118. 1:4. 120. Указание. Найти
площадь треугольника ЛВС как сумму площадей треугольников АВАХ и ААХС.
122. Указание. Найти точку пересечения (ААХ) с окружностью, описанной
около четырехугольника. 125. 2 ,2 , 2 ,2 . 126. а-\-Ь—с. 127. |у—0|»
128. -1 т ( /7— 1). 129. 2R ( /~2 — 1). 130. Указание. Доказать сначала,
что [AM] — биссектриса угла А в треугольнике, а затем использовать подобие
треугольников. 132. Указание. Соединить А и В с О и рассмотреть
подобные треугольники* 133. Указание. Использовать свойство биссектрисы
внутреннего угла треугольника и подобие треугольников BAD и А002* 134.
Указание. Использовать № 97. 136. -^ ( V"b+ V*)* 138. j/-i (562-8а2).
МО. Указание. Воспользоваться теоремами синусов и косинусов*
Ml. Указание. Через Л, В и С провести параллельные между собой
прямые* 144. Указание. К треугольникам АВАХ и АгСА применить
(№141). 152. Указание. Через точку А провести прямую 1\\(ВС), найти
точки пересечения / с (СС\) и {ВВХ) и рассмотреть подобные треугольники.
153. --2-—. 155. Указание. Пусть в четырехугольнике ABCD диагональ
BD не делит угол D пополам. Построить [DK) так, чтобы ^ ADK sz £ BDC*
Рассмотреть две пары подобных треугольников: ADK и DBC, DKC и ABD.
157. 10 см. 158. 12,5 см; 16,5 см2. 159. ^ -|а У^Д2—ft2 ± Ъ уЧ/?2—а2|*
Указание. Применить № 155. 160. Указание. Использовать векторную
алгебру. 163. т-г- • 164. |Лля. 165. Указание. Для нахождения
а-\-о ,
А * taa (*+С)2—О2
cos-г- вычислить площадь треугольника двумя способами. 166.. —•—^ .
/~"1 46с б2 с2
168. 1/ -г-(а2 + &2). 169. arccos =т . 172. Указание. Сначала
доказать, что а+6 <с/2. 173. У к а з а н и е. Выразить длину медианы через
о, Ьу с и воспользоваться теоремой синусов. 175. Указание. Доказать
подобие треугольников MEF и MKL. 176. Объединение двух параллельных
прямых. 178 к\}1г\и\\1г при (ЛЯ) || (CD); (М^КМ, где 0=lx[\lt9
если (ЛЯ) Ц. (CD). 180. Указание. Использовать задачу 177. 186. Одна
сторона прямоугольника — средняя линия треугольника. 189. Указание.
Найти величину угла между диагональю и основанием трапеции. 190.
Использовать формулу Герона. 193. тп. 194. Vp(P — a)(P — b)(p—2m), где
4 r
2p = a+6 + 2m. 195. -г- у т (т—та) (т — тъ) (т — тс)% где2т=та+тб+тг-
196. 1:4. 197. Зя(я+1)+1. 198. -г^-см2. Указание. Использовать
подобие треугольников ABC и AiCxB. 199. —(2 |/"2—1). 200. 1:2. Указание.
Сначала доказать, что все стороны Д ABC делятся точками УИ, Nt P в одном
224

отношении. 201. (VSt + VS2+ VS3)2. У к а з а н и е. Использовать подобие
7 1
данного треугольника и каждого из полученных. 202. тпЯ> ткЯ>
Указание. Сначала найти отношение площадей треугольников АМВ, РВС и ANC
к площади треугольника ABC (задача 9). 203. Указание. Найти отношение
площади каждого из указанных треугольников к площади треугольника АВСЩ
а затем использовать теорему о среднем арифметическом и среднем
геометрическом трех чисел. 204. -.—-г-гл—;—гтгп—i • Указание. Сначала найти
(а+Ь){а+с){Ь+с)
отношение площади каждого из треугольников ACiBlt BAiCXt CAXBX к пло-
с b 3bc
щади S данного треугольника ABC. 205. Ь-Щ2:Т+Ъ:ОЬ + с){Ь+2сУ
Указание. Сначала доказать, что SBMA:SBj^c = c:(b+c)t Samc'-Sbmc —
— b:{b-\-c). 206. mn Y~~S. 207. VTq- Указание. Использовать
окружность, описанную около треугольника АВС9 и задачу № 27. 209.
Указание. Если О—центр окружности, описанной около треугольника ЛВС, то
Slmn—Slom~\~Smon~\ $NOL- 210. Указание. Из подобных треугольников
найти ^ (/= I, 2, 3). 211. ~ (5я—6 \Пь) а2. 212. ~ (я— I^D а2. 215. (k— \):k.
Т i Z о
216. 90 см2. 217. i.(a+6)2. 218. -i (62—а2). 220. —.Указание.
Аффинным преобразованием данный шестиугольник перевести в правильный.
222. ^г. Указание. Аффинным преобразованием перевести параллело-
i 7 г/"~з
грамм ABCD в квадрат. 223. -^а2. 224. 2 у 3—3. 225. —1=-—.
Указание. Вписать треугольник в квадрат и использовать утверждение: если концы
каждого из двух взаимно перпендикулярных отрезков лежат на
противоположных сторонах квадрата, то отрезки конгруэнтны. 227. ^ S.
229. ур(р-Й1) (p-q2)(p-2m), где P=~(<7i + <72+2m). 231. у2а*+Ь% ,
—-т—. 232. 1:2. 233. Указание. Соединить вершины А и С
четырехугольника ABCD и рассмотреть трапецию АЕКС, где К—середина
диагонали BD. 234. Указание. Доказать сначала, что 5^^д|+5д|СД = 5^^д.
235. Указание. Для одного из полученных четырехугольников указать
ему равновеликий, у которого одна вершина совпадает с серединой одной
диагонали. 237. 2 (fl2+62+ V"2ab) при 6 = 135°. 238. (1 + 2 /~3):П. 239. 1;
I; 1 дм; 3 ^3 дм2. 242. — . 243. -| Я2. 244. (3 /"2—4) а2. 245.
Указание. Пусть ABCD—четырехугольник, вписанный в окружность,
М~(AB)(](CD). Сначала по формуле Герона вычислить площадь одного из
подобных треугольников МВС и MAD. 246. Указание. Sabcd=SAqc +
+ $Авс- Выразить \ АС\ по теореме косинусов двумя способами и доказать,
что D+B=W. 247. ™\ 248. 4**». 249. =£. 250. 8г*?Гг .
/:
225

j 3 j
256. -75-1 b—a\* 258. Указание. См. №257. 259. arcGOs—j-, arccos-r-.
2, 4 о
263. Указание. См. № 141. 268. —,— . Указание. Доказать, что
т-\-п
M£(EF). 270. а* 6 . 271. 60°. 272. 15, 75е. 273. arcsiriy.
f74. i- ( f~3 ± 1) /u2^*2. 27:5. >30°. 276. ~ /25/?^ + 9a2-f- 4fr2— \2ab cos a,
z О
-~ ^от^+Э (a2 + /?2+2a/?cosa). 278. arccos (sin p-cosa). 279. Нормали кбис-
5
секторным плоскостям. 280. 90°. 283. 90°. 285. Указание. Пусть ОАгА2А9 —
трехгранный угол и (£М/)£П/ указанным плоскостям, /i = ИгП(OA2A9)t
i2 = n2np.4i А3). Через В3£(ОА9) провести в гранях 7t J_ix. </2JL**.
288. У к.а з.а н и е. Доказать, что cos2 a+ cos2 p +cas2 у = 1, и воспользоваться
неравенством ^ (* + */4-z)<"l/ ■?(x2Jry2+z*). 289. arccos 1/ -j (l+2cosa).
290. a J^~§ctg— . 291. arccos (ctg2 a). 292. а) Одна точка; б) точка, либо 0.
293. Плоскость. 294. а) Объединение четырех прямых, проходящих через одну
точку:, б.) прямая, параллельная данным. 295. Объединение двух плоскостей,
параллельных данной. 296. а) Плоскость, параллельная данным; б)
объединение двух взаимно перпендикулярных плоскостей. 297, а) ^Объединение двух
прямых, параллельных П^ЛЛз; б) объединение четырех прямых,
параллельных Е^ППз; в) объединение четырех прямых, проходящих через точку
пересечения данных плоскастей. 298. Плоскость, -.перпендикулярная к прямой АВ
в определенной ее точке. 300. Окружность. 301. Окружность. 302. Сфера.
303. Сфера с центром в середине отрезка АД, точка или 0. 804. Окружность
Аполлония или прямая. 305. Сфера Аполлония или плоскость. 306.
Цилиндрическая поверхность, или плоскость 3Q7. fl1:U Й2 если Л^ЦЛ*; (ftiUn^X
ЧСЙхЛЙа) при П1Г|П2^0. 308. Цилиндрическая поверхность. 309.
(U1[il\2)f]S(o1, | ]fR2 — r2 ± V Rl—r2|). 3t0. Сфера с выколотой точкой А.
311. ПаиП^ПЛПа и П2||П. 312. Плоскость. 313. Плоскость. 314. Сфера.
315. Плоскость. 316. Окружность. 317. Плоскость, перпендикулярная к /.
818. Цилиндрическая поверхность. 319. Сфера, колценщрннлская с 'данной.
320. Радикальная плоскость. .321. Объединение шересекающихся прямых,
лежащих в плоскости, параллельной данным прямым и давнядодаленной от них.
322, 3£&, .324. Плоскость. .325. Два пучка с центрам А, лежащих * илоокос-
тях, параллельных биссект&рам плоскостей Hi тл П^, если -плоскости
пересекаются; связка прямых с центром Л, если Пд || П2. 326. Объединение прямых,
принадлежащих «бисоектюрам плоскостей Hi и П2 ш не параллельных линии
/ = П1ПП2. 327, 328. Коническая поверхность, плоскость или прямая.
329. Цилиндрическая поверхность. 330, 331. Цилиндрическая поверхность.
332. Коническая поверхность. 333. Коническая поверхность, плоскость или 0.
341. Решение. Дано / и 5 (О, #); 1) П=(/, О); 2) в плоскости Л (О, /?) —
окружность. 3) /П(0, Я) = '{А, В} —искомые точки. 343. "Решение. Дано:
К (А, /0,фо); П 1 /0; 1)ЛЛ/0=О;2) (ОА)^ъ *€П1.Л€МЗД = Ф<>; 3)/ПП=М;
226

4) (О, \0М\) в плоскости П. 347. Р еш е н и е. Дано: S (О, г), /; I) П^Г
&£Щ 2) ПП/ = ДгЗ)^В плоскости ITifVli, Л2} = (0. гУЩО^\ОВ% где
Ot—середина |0£]; 4} FLi=(/, Av)t П2.=»(/,. Л2) — искомые плоскости. 386.
Указание. Цент.р сферы: О£ПЦП', где П—биесектор П*и П2, U* = {№[$. (М, А)=*
=р(М, В)}. Применить гомотетию или перенос. 387. Указа н и е. См.
задачи 296 (б), и. 297 (в). 393. У к а^за ни е. Рассмотреть пересечение сфер с
плоскостью, содержащей их центры и данную точку. 394. Указание.
Провести, плоскость через' данную точку и диаметрг данной сферы,.перпендикулярной
к данной плоскости» 440; Указание. Если М и N—середины ребер* АМ>
и CD тетраэдра ABCD, то (MN) С ГГУ П равноудалена от kAD)- и (ВС).
я
r cos —
4SL arccos-^ . 452; arccos (г- cos2 а). 453» 2arosin . 454» tg<p =
о а
cosT
= — . 456» arctg ( V~2 ctg — \ . 456. arocos (— ctg а-ctg fl),
/3tg^-l ^ *>
(2 X I 8
■77 ] , arccos -г-. 459. агссов 7=- .
21/~± 4 y— 1^5
400. arctg r . 402. arccos у. 483. arctg 2 |ЛЗ. 464. arctg-^y- .
465. arctg -ti. 466. ~ a. 467. arccos -jj-. 468. arctg ^Цг^. 469. 45°.
a
470. "^т^ • 471. Указание. Рассмотреть сначала случай, когда вершина
одной пирамиды принадлежит ребру другой, и использовать неравенства для
величин плоских углов трехгранного угла..472.. У к,а за н.не. Если высота ВЫ
образует с боковыми ребрами DA> DBt DC углы, величины которых а, £, у,
та cos? а-|г cos2 Р-jrcos2 Y~l* Рассмотреть средне» арифметическое, и среднее
геометрическое площадей Sj, S2, S^, выразив их через длины ребер.
474* -| a Y1. 475; ^О. дм: 476. arot^Y J^ctg ~\. 47Т. i- &»'sin 2b.
478. /l/i8Gtg2a. 479. 3a?. 480. ?hl .481. ~^2 sin 2aeesa. 463. ■ ^
* Л cm 9/v 3«
sin 2a "~"' ЗГ — — — sin^a.
485. ate Y— cos 2a. 486. -g- 5 V^2S tga-tg p . 487. ~ /(a^^+fac^+C^)8 .
488. aroGOs.(Gt^c»)^a«esi«/-7== \ . 48ft 3> дм*г. 490. 156 см3-. 4^.-/39 ..
\ у 2 sin а/ о
492. ^Цр^-Д*. 493Ti —(/. 494. -j. 405. 5i27. 4961 7"/б. см*.
497. -б^со^а^Г+^созаа.- 408; ЗУ"2Г дм3. 499. у a«. 500. arotg ^ .
a 2^1/TM-1
501. arccostgy . 502. 8:7. 503. 'r ^ . 504. Если сечение в кубе
ABCDAiBiCiDi проводить через диагональ £D, то оно пройдет через сере-
227

a2 f2
дины ребер АА\ и СС{. 505. -^ . 506. tgcp = 2 I/ у * Указание. Пусть
Ui — проекция точки Л4 на плоскость ABC, (HiM\) J_(CN) Mt £ CN.
Для определения \HfMf\ можно вычислить площадь треугольника ACN двумя
2oh 31/Т) а* 23
способами. 507. Т7====-. 508. г а2. 509. — . 510. — . Указание.
у 9а2 + 4Л2 50 8 13
Пусть (/^М)П(ЛС)=/С, (KN)(){AB) = P. Тогда объем одной части можно
вычислить как разность объемов двух пирамид AfAPK и MCNK.
_«0 а2(262 + я2) е<0 7|Лб а .. ..
•12. , -_—-— - . 513. —г—— а2. Указание. Искомое сечение па-
(^2а+ уЪ2 + а2)2 16
раллельно диагонали £Df куба и диагонали АС его грани. 514. —~— У 4Л2-|-5а2.
Указание. Если М и Р середины ребер ВС и SD9 K=(DC)(){AM),
3a2V~2
|CQ|i|(?S|=H2, то Samop = Sakp—Skmq- 5*5- —^1—.Указание.
Доказать, что сечение проходит через середину высоты тетраэдра DH.
3 l/""2a2
516. ——= . 517. 126 см2. Указание. Если О—точка пересечения
диагоналей параллелограмма и Oi = {SO)(](AM), то \SOi\:\010\==3:\ и
lMOt\:\OtA |=3:5. 518. i|^. Указание. Пусть 0 = (AC)(](BD) n\AD\ = at
тогда каждый из треугольников DO А и СОЯ — правильный, [/Ж], [FBJ —их
высоты. Плоскость сечения проходит через середину ребра SC и параллельна
32 16
жаждой из прямых DKhFB. 519. 40л см2. 520. -д-; -^ . 521. 18:5:4:5. 522.27.
2
Б23. -s-яЛ8. 525. Суммы величин противоположных двугранных углов четы-
о
рехгранного угла равны. 526. -j- (2 — ^) ^2- 527. — -г-- 528« 2 см, 10 см.
3 яг31^*3 4яг3Л8
829. 2 см, -^- см. 530. 60е. 532. 60е. 533. ^\ • 534* 3(г-4- V7JP •
2 К eln«4
0 |/l + 4tg«4-l
635. -rrhi/ r..53e.sinj= —j .537. щ^
2 n
MR 2n-l±2Vn(n-2) nr2(V(d^r)2+r2+rY
538. cosa = ppjj . J39. 3 (d ± г)а '
540. i-Jitf/i. 541. 1:7:19. 542. уя^а, 3 g *• 5*3. 4яЯг. 544. i- Я.
545. —, r-, ^r. 546. 2 ± j/~3. Указание. Доказать, что точки касания
сфер с плоскостью П лежат в вершинах ромба, в котором сторона и диаго-
нали имеют соответственно длины 2 YT\Ti* 2rff 2га. 547. — см. 548. ^— R.
10 О
228

549. £ см. 550. £ (4 ± V 7) . 551. (2- V 2) а. 552. "^ 2 . 553. ^3:1.
554. -кйЬсу — Yа2-\-Ь2-\-с2 . Указание. Дополнить тетраэдр до парзлле-
6 2
лепипеда. 557. Указание. Выразить г и R через длины боковых ребер
и воспользоваться неравенством х + у + z ^ 3 ?/ xyz(x, у, г > 0).
558. arccos—^— , arctg — * 560. 1^3 см. Указание. Доказать, что
т-\-п т—п
середина [АВ] является центром сферы. 561. -^ R. 562. —=.. 564. — г- .
КЗ 2^1+cos|j
£65. . 0 „ ,W j-, г-. 566. 1:3. 567. ~ (2я + 3 /1) .
sin2a(l + cosa-f-sina) 9
568. -^-(2)^3—3) а2. Указание. Сначала найти площадь части сферы.
о
отсеченной гранью куба и расположенной вне куба. 571. ,
572. 1+ 1/ *о"- 573. -т-(3— V~§)- 574. Указание. Использовать тот
факт, что каждый из отсеченных тетраэдров подобен данному, найти —-.
Высоты тетраэдра выразить через объем и площадь соответствующего основа-
1 7а3
ния. 575. -^ а3. 576. 9: 2. 577. -г^-. Указание. Плоскости оснований
3 48
призмы пересекают куб по треугольнику и шестиугольнику. Если
треугольник спроектировать на шестиугольник в направлении (PPi) и точки их
пересечения соединить через одну, то получим основание призмы. 578. 2a3(fr2— 0 •
(2 \ 3
|^2—=-) . 580. -J- a3. Указание. Сначала найти плоскость,
перпендикулярную оси вращения и проходящую через вершину куба, и выпол-
аЪс
нить в ней указанный в задаче поворот. См. задачу № 472. 581.
ab+bc+ac
582. 4:9. 583. i-(2— V" 2) а. 584.3 см2. 585. -i a3. У к а з а н и е. Для
построения Ф'ПФ рассмотреть куб, описанный около правильного тетраэдра.
586. Y ( Y 3— 1) см3. Указание. При повороте тетраэдра ABCD вокруг
прямой, содержащей его высоту DH, треугольник ABC переходит в
треугольник А'В'С, при этом высоты одного соответственно параллельны сторонам
другого, и стороны треугольников точками их пересечения делятся в
отношении 1: /"3:2. 588. 4г{\\— 5 f~2) см3. 589. -| см. 590. 0 h. У — cos 2a.
о Z Z Sin ОС
591. -4^. 592. || см, ~ см, 1? см, 4 см. 593. 4 см. 594. -^
h ' 19 ' 7 ' 25 ' 5 2 2
П
81
595. 2*"j/f 596. i^l. 597. Ц* . 598. я: 18. 599. Ц^
229

•3D , _ ^3fCtg^-
600. — . 601.45°. 602. -i ^4^3 +1)3.603. —.
3ctga+/3 9 + ' jTg+ctg-J
604. —£;—(53—7J^3), Указание, Диагональное сечение куба
параллельно плоскости основания конуса, радиус .этого сечения -^-aj^~3, если
а—длина ребра куба. В осевом сечении конуса рассмотреть трапецию, у ко-
торой длина верхнего основания а, а длина средней линии а 1^.605. т^см,
16
4 V~&
2? см. 606. —г-''3- 607. У к аз а н и е. Через три из указанных точек
провести плоскость и доказать, что четвертая точка принадлежит этой плоскости.
608. Указание. Доказать, что существуют точки, равноудаленные от
прямых, содержащих стороны четырехугольника. 609. 2 R ^cos a.
Указание. Доказать, что SABCD—правильная четырехугольная пирамида, у
которой H = (AC)f](BD). Тогда \ AS | = V \SS] |-| SH |, где [SSJ-диа-
4 ос г
метр сферы, содержащий точку Я. 610. -^- r3cos2 -^ \ — cos a. Указание.
Использовать тот факт, что плоскость ОM\N перпендикулярна боковому ре^ру
ZB, 611. arctg Л/ —< Указание. Если х —величина искомого угла,
Н = (АС) П (BD), F — середина стороны ВС, тогда HZP = х. Выразить
сначала \2Н\ из двух треугольников ZHF и ZHC. 612. \^2 дм.
Указание. Выразить сначала сторону сечения октаэдра плоскостью основания
цилиндра через длину его высоты*

ПРИЛОЖЕНИЯ
ФОРМУЛЫ
ЧАСТЬ I
Д^ + ^ + г3 — 3xyz = (x+y+z)(x2 + y2-\-z2 — xy—yz — zx).
x»+^+23-3^=i- {x+y+z) ((х-у)2+(У-г)2+(г-*П
V *
Va- \T-b = J—{Ya+ y^ZZl-Va- VZ*=b)t b^O, a^
V ^
logjc=-fg|, a, b, Op, а, Ьф\.
log»a = j^-5, а, й>0, а, Ьф1.
— (а1 + аг+... + а„)^уа1аг...ап, alt аг,
n
0.
(аЛ+ ... + aJ>n)*<(al+... + a*n) (Й+.- + Й)|в1, ...,а„Л, ...
. 9 . » f x sin а . cos а
sin2 а+ cos2 а= 1; tg а= ; ctg а =--:— .
1 cos а & sin а
sin(a+P)=sinacos p +cos a sin p.
sin (a— p) = sinacos P —cos a sin p.
cos (a+ P) = cos a aos P —sin a sin p.
cos (a—p) = cosacos P + sinasin p.
tg(a+W"l-tgatgp ' tg(a ^-l + fgatgp •
sin 2a=2 sin a cos a; cos 2a=cos2 a— sin2 a.
sin 3a=3 sin a— 4 sin3 a; cos 3a= 4 cos^a—3 cos a.
tg2a-rrti^> *s3a—i-3tg*«-
2tgf l-te*f
sina= ; cosa= ,
l + tg'y l+tg«f
2sin2-y=l— cos a; 2cos2y=l+cosa.

2a__ 1—cos a a _ sin a . r< _ 1—cos a
8 T" l+cosa; gT~l+cosa; gT sin a #
, . 0 0 . a+p a—p
sina+sin p=2sin—^-cos—^-*- .
. 0 0 a+p. a—P
sin a— sin p=2 cos —^-sin —^-.
cos a+ cos p = 2 cos —^- cos M .
о 0 . a+ P . a—P
cos a—cos p = — 2 sin —^- sin —^-.
, , x о sin (a+P) . , _ sin (a—P)
tga+tgP= -——4 ; tga- tg 6 = ^.
e ^ & K cos a cos p & & H cos a cos P
sin a cos P = у (sin (a — P) + sin (a+ P)).
cosacosP=Y(cos (a""P)+C0S(a+P))-
sin a sin p ='-£- (cos (a—p) —cos (a+ P)).
a sin *+6cos x = V^+^sin^+cp),
если д2+&2?£0, sincp= - rosm==
W+62 T Ka2+&2
a sin a; + &cos x = ya'i _|_ £2 cos (x—if),
если a2 + fc2 ?£ 0, sin гр= - , msih = -
arcsin (—x)=—arcsin*, —Кдс<1.
arctg( — x)= — arctg*.
arccos (—*) =ji—arccos x, —1 <^*<1
arcctg (—дс) =я—arcctg *.
я •
arcsin x + arcsos x = — , — 1 < x < 1.
arctg * + arcctg д: = — .
(l)sin* = a, — l^a<l;
ОИ(1) = {arcsina+2nk | *€^}11{(л —arcsina)+2nA? | Ajg7} =
= {(—1)"arcsinа+яя | n£Z].
(2) создс = а, — Ka<l; ОИ(2) = {± arccos а+ 2яя | n£Z).
(3) tg* = a, a£#; ОИ{3) = {avclga + nn \ n£Z).
(4) ctg* = a, a£#; ОИ<4) = {arcctg a+яя | л £7}.
ЧАСТЬ I)
Треугольник
/Ч /Ч А.
|£—c|<a<6+(7, Л+£ + С= 180°.
~ a b с
Теорема синусов: —= —= —.
sin Л sin £ sin С
232

Теорема косинусов: a2 = b2-\-c2 — 26c cos Л.
2
Длина медианы: /яа= — V 2(b2+c2) —a2.
и * a Vbc((b+c)2—a2)
Длина биссектрисы: Ьд = ' -.
Длина высоты: Ла=— Ур(р — а)(р— Ь)(р—с).
Площадь треугольника: S=-^-aha=-^ab sin С = рг=—=*
М ногоугольники
Сумма величин внутренних углов п-угольника равна 2d (л—2). Длина
стороны правильного п-угольника:
OD . 180° 0 , 180°
an = 2R sin =2r tg
n n
(/?, г —радиусы описанной и вписанной окружностей).
Площадь параллелограмма: S = ah = ab sin A (a, b, h — длины сторон и
высоты).
Площадь трапеции: S=-^-(a-\-b)h = tnh (a, bt m, Л—длины оснований,
средней линии и высоты).
Площадь правильного л-угольника:
S=YPr=s'Tanctg (Р — периметр, г —радиус вписанной окружности).
Окружность. Круг
Длина окружности: С =2nR.
Длина дуги окружности в п : 1=—?-.
Площадь круга: S=ji/?a=-—d2.
Площадь кругового сектора: S= fiQ (а—величина угла в градусах).
Площадь кругового сегмента: S=~77 #2 (Тол~"s^na)•
Многогранники
Площадь боковой поверхности:
1) призмы: S~P*l (Р — периметр перпендикулярного к ребру сечения,
/«—длина бокового ребра);
2) правильной призмы: S = P*h;
3) пирамиды: 5=уРЛб0к1
4) правильной усеченной пирамиды: 5=— (P+Pi)/*6ok«
233

Объем:
1) призмы: V=Socn>h;
2) пирамиды: Vt=jS0cB-u;
h -
3) усеченной пирамиды: V = у (S* + 5, -f У SxSt) (Sit SB—площади осно-
вмий);
4) прямоугольного параллелепипеда: V = a&c (а, Ь\ с —длины ребер).
Фигуры вращения
(цилиндр, конус, шар)
Площадь поверхности:
1) цилиндра: 5 = 5бокЧ^0си=2я/?Л+2я/?*1
2) жонуса: S = S^0K+S0Cfi=nRl+nR2;
^усеченного конуса: S^S^+Sx+S^n(Ri+R^l+nRt+nRli
4) шара: 5 = 4лЛ?2;
5) шарового сегмента: S = 2nRht
Объем:
1) цилиндра: V=nR2h;
2) конуса: V = ^rJiR4\
3) усеченного конуса: V =s— h (St+S*-f- У SiSj);
4) шара: V=4"^^8J
о
2
6) шарового сектора: V=-~-jiR*h]
6) шарового сегмента (пояса): У=-5-яЛа(3/?—Л).
о
ОБОЗНАЧЕНИЯ
ЧАСТЬ I
=3> —если • »., то . •* (из »•• следует ».^
ФФ—... тогда и только тогда, когда ...
(V*6 Л)... —для любого* (всякого)* элемента1 г множества М . • ♦
(3*£Л)... —существует элемент дс множества Л, что ,..
(3 1*€ Л)... —существуем единственный Существует и только один)
элемент х множества Л, такой, что ...
0( =) — .. „ есть по определению •.,
df -df
а£А — а принадлежит множеству Л (а—элемент множества Л).
а(£ А—а. не принадлежит множеству Л.
АсВ — Л есть подмножество (часть) множества В.
А = В — множество Л равно множеству В.
{а, Ь) — множество, состоящее из элементов* а, Ь.
(*|...} — множество, содержащее те и только те элементы дс, которые
обладают свойством ,,,
234

{*€4|—)={*1*€Лл...}.
0 — пустое множество.
Af|£—пеРесечение множеств А и В..
A\JВ—объединение множеств Л и В.
А\£ —разность множеств А и В.
N—множество всех натуральных (положительных целых) чисел.
Z—множество всех целых чисел.
С—множество всех рациональных чисел.
R—множество всех действительных чисел.
С—множество всех .комплексных чисел.
Пусть a£R, b£R и а < Ь. [a, bl = {x£R\a*Zx < b}\
df
l—oo, b[ = {x£R\x <b}; [a, a>[=-{x€*\x&<*\; J-oo, oo[ = *.
df df df
(fli, ...» ап) —кортеж (конечная последовательность, упорядоченная л-ка,
точка) с компонентами (координатами, элементами) alt ...
..., ап (а,-—i-я компонента).
АхХ ... ХА„—декартово (прямое) произведение множеств Аг, ..., А„.
Ап—декартова л-я степень множества А
f:A—»*/?—/ есть функция (отображение из множества А в множество Щ.
Пусть /:А-— В.
D(f) — область определения функции /;
£(/)—область значений фуадщин /;
f:A—► В—отображение множества А в множество В.
Пусть V-(xlt ..., хл) — предложение с переменными хъ ...
..., хп (ПСП) на множестве АхХ...ХАп.
ОИу—область истинности ПСП V (хг, ..., *„), т. е.
ОИу = {(а1э ..., fln)6AiX...X4„|V(ai, ..., aj—истинно}.
df
Пусть V и W — предложения с переменными xlt ..., хп на
множестве А{Х ...ХАп.
~\V—отрицание V;
VaW — конъюнкция V и W;
VyW—дизъюнкция V и W;
является следствием 4^;
y^W(K-W)-^ равносильно W.
ЧАСТЬ II
А, В, С, D, ...—точки.
/> U. h> . • • — прямые.
П, Ц/, Пь .,..—плоскости.
[ЛВ]—отрезок с концами А и В.
(АВ) — прямая, проходящая через точки А я В*
[А£) — луч, исходящий из точки А.
[!, А)-— полуплоскость с границей /, содержащая точку А.
(ЛВС) —плоскость, проходящая через точки А, В, С.
(/, Л)—плоскость, содержащая прямую I и точку Л.
235

(АВ, С) — отношение трех точек.
^ Л —угол Л
Л — величина угла Л
Oi— Ф2 — Ф1 и ^2 конгруэнтны.
Ф1ооф2 — фг и Ф2 подобны.
Т:А—► £— перенос, определенный точками Л v В.
St —симметрия относительно прямой /.
К А — поворот вокруг точки Л на угол ф.
Za — центральная симметрия с центром Л.
Яд—гомотетия с центром в точке А л коэффициентом к.
(0[, Ri) — окружность с центром в точке О/ и радиусом /?,-
S(0, R)—сфера с центром О и радиусом R.
К (А, I, ф) —коническая поверхность с вершиной Л, осью / и углом
величиной ф в осевом сечении.
h—длина высоты пирамиды, призмы, конуса, цилиндра,
шарового сегмента.
L—длина образующей конуса, цилиндра.
Р — периметр многоугольника.
В треугольнике ABC:
а, Ь, с—длины сторон ВС, СА, АВ.
Д=а, 6 = 0, C = v—величины углов ВАС, ABC, ACB.
та> гпь> тс—Длины медиан, проведенных к сторонам а, Ь, с.
ha, hbr hc—длины высот, проведенных к сторонам а, Ъ, с.
Ьа* bB, be—длины биссектрис внутренних углов Л, В, С.
2р — периметр треугольника.
г — радиус окружности, вписанной в треугольник.
R — радиус окружности, описанной около треугольника.
Sabc—площадь треугольника.
ТАБЛИЦЫ
Значения тригонометрических функций для некоторых значений аргумента
К
/<*>\
1 sin x
1 COS X
tgx
ctg x\
0
0
1
0
не
существует
л
6
1
2
2
3
/з
я
4
\Г2
2
2
1
1
я
3
1 ^3
2
' 1
2
^3
/з
3
я
2
1
0
не
существует
0
л
0
-1
0
не
существует
Зя
2
— 1
0
не
существует
0 !
1
2я
0
1
0
не
существует
236

Значения обратных тригонометрических функций для некоторых значений
аргумента
^Ч X
arcsin*
arccos x
-l
я
""2"
я
Уз
2
я
5л
6
2
Я
Зя
4
1
2
Я
2я
3
0
0
я
2
1
2
Я
"б"
Я
3
К2"
2
Л
т
я
4
Уз
2
Л
"3
я
6
i
я
2
0
Нх) \.
arctgjc
arcctg*
-*> — OD
—}+0
-* л—0
-/Г
я
3
5я
6
-1
я
4
Зя
4
Уз\
3
я
"■"б"
2я
3
0
0
я
2
Уз
3
я
7Г
я
3
1
я
т
я
4 "
Уз
я
т
я
6
-*do
■-Т-»
-»0+0
Формулы приведения
\ *
f(x\
sin jc
COS X
tgx
ctg*
a
sin a
cos a
tga
ctga
т-а
cos a
sin a
ctga
tga
*♦«
cos a
— sin a
— ctga
— tga
я — a
sin a
—cosa
— tga
-ctga
n+a
—sina
—cosa
tga
ctga
Зя
—cosa
—sina
ctga
tga
зя
—+a
«■^cos a
sin a
— ctga
— tga
2я—a
— sin a
cos a
— tga
— ctga
2я+а
sin a
cos a
tga
ctga
237

ЛИТЕРАТУРА
К Адама р Ж. Элементарная геометрия. М., Учпедгиз, ч. II, 1958.
2. Александров И. И.. Сборник геометрических задач на построение*
М., Учпедгиз, 1950.
3» Атанасян Л. G. и др*. Сборнях задач по элементарной геометрия.
М., Просвещение, 1970.
4» Атана-сян Л. С. и др. Сборник задач по геометрии. М.г Просвеще*
ние, ч. II, 1975.
5» Б азы л ев В. Т., Дуничев К. И., Ивакицкяя В. П. Геометрия I.
М., Просвещение, 1974.
6* Базылев В. Т., Дуничев К. И. Геометрия. II М., Просвещение, 1975L
7* Б а р ы би н К. G. Сборник геометрических, задач, на1 доказательство. M.v
Учпедгиз, 1952'.
8» Болтянский В. Г., Си д о р о в Ю. В., Ш у б и ш М. И. Лекции и
задачи по элементарной математике. М., Наука, 1971-
9» Болтянский В. Г., Яглом И* М. Преобразования. Векторы. М.,
Просвещение, 1964.
10» Григорьев П. В. и др. Математика. Л., Знание, 1971.
М* Да вы до а А. 1С. Сборник задач па алгебре и. элементарным, функциям:
М., Учпедгиз, 1955.
12, Д з ы к П. Г. Сборник стереометрических задач н* комбинации геомет*
рических тел. М., Учпедгиз, 1936.
13» Щр р о ф е е в Г. В., По т а п о в ML К., Р о з о в Н. X. Пособив по на»
тематике для поступающих в вузы., М., Наука, 1968.
14*- Ев ту ш*и гс Л, Е^ Задание по^ етереометрии. М1ГУ, 1S6&
15. Егерев В* К. и др. Сборник задач по математике для конкурсных эк>
заме нов во втузы^/Лод общей ред. Сканави М.. И* М., Высшая; школа,
1969.
1бг Зет ель G. И. Новая: геометрия треугольника. М.,. Учпедгиз, 1962.
17. Калужнин Л. А. Введение в общую алгебру. М., Наука, 1973.
IF. Квант.
19. К у р О'Ш- А. Г., Курс высшей* алгебры^ М-, Наужа^ 197L
20. ЛяпинС. Е., Баранова И. В., Борчугова 3. Р. Сборник задач
по> элементарно* алгебре. М., Просвещение, 1*973:
21. Математика в школе.
22. Моденов П. G. Экзаменационные задачи по математике. М.» Просве*
щенне, 1969.
23. М о д е н о в П. G. и Н о в оо е л о в G. И. Пособие по математике для
поступающих в вузы. МГУ, 1963.
24» Моденов П. & Сборник задач по специальному курсу элементарной
математики, Советская наука, 1957.
25. Новоселове. И., Специальный курс элементарной алгебры. Совет*
екая наука, 1965.
26. Новоселове И. Специальный курс тригонометрии. Советская наука,
1967.
238

27. Новоселове. И. Обратные тригонометрические функции. М.,
Учпедгиз, 1956.
28. Позойский Р. И. Сборник задач по тригонометрии. М., Учпедгиз,
1950.
29. ПопруженкоН. Сборник геометрических задач. Планиметрия. М.,
Учпедгиз, 1939.
30. Скопец 3. А., Жаров В. А. Задачи и теоремы по геометрии.
Планиметрия. М., Учпедгиз, 1962.
31. Сто л л Р. Р. Множества. Логика. Аксиоматические теории. М.,
Просвещение, 1968.
32. Фаддеев Д. К. иСоминский И. С. Алгебра для самообразования.
М., Физматгиз, 1960.
33. Фаддеев Д. К. и СоминскийИ. С. Сборник задач по высшей
алгебре. М., Наука, 1972.
34. Шиханович Ю. А. Введение в современную математику. М., Наука,
1965.
35. Ястребинецкий Г. А. Уравнения и неравенства, содержащие
параметры. М., Просвещение, 1972.

Вересова Елена Егоровна
Денисова Наталья Серафимовна
Полякова Тамара Николаевна
ПРАКТИКУМ ПО РЕШЕНИЮ
МАТЕМАТИЧЕСКИХ ЗАДАЧ
Редактор Т. А. Бурмистрова. Переплет художника Б Л.
Николаева. Художественный редактор Е. Н. Карасик.
Корректоры Р. С. Збарская, Р. Б. Штутман.
ИБ № 4151
Сдано в набор 27.02.79. Подписано к печати 18.06.79.
60X90Vie. Бум. тип. № 2. Гарн. литер. Печать высокая.
Усл. печ. л. 15. Уч.-изд. л. 14,51. Тираж 84 000 экз.
Заказ 102. Цена 55 коп.
Ордена Трудового Красного Знамени издательство
«Просвещение» Государственного комитета РСФСР по делам
издательств, полиграфии и книжной торговли. Москва. 3-й
проезд Марьиной рощи, 41.
Отпечатано с матриц ордена Октябрьской Революции и
ордена Трудового Красного Знамени Первой Образцовой
типографии имени А. А. Жданова на Калининском ордена
Трудового Красного Знамени полиграфкомбинате детской
литературы им 50-летия СССР Росглавполиграфпрома
Госкомиздата РСФСР. Калинин, проспект 50-летия Октября, 43.

E.E.BEPECOBA, Н.С.ДЕНИСОВА,
Т.Н.ПОПЯКОВА
ПРАКТИКУМ
ПО РЕШЕНИЮ
. МАТЕМАТИЧЕСКИХ
ЗАДАЧ