ФИЗИКА ♦ ЗАДАЧИ ♦ Билет 1
Билеты вступительных экзаменов в МФТИ 2006г
ФИЗИКА
БИЛЕТ 1
1. Ровная шероховатая доска движется с постоянным горизонтальным ускорением а, сохраняя постоянный угол наклона а . к вертикали. Доска толкает перед собой массив-
/ный брусок. Оказалось, что при а > g брусок с Х'Х. доской движутся вместе без проскальзывания, а j / при а < g брусок падает вниз. Найдите коэф-
/ Igf фициент трения д между доской и бруском, если 7'''^ tga = 0,2.
рис 2. С идеальным одноатомным газом проводят цик-к задаче 1 лический процесс 1-2-3-1, состоящий из расширения в процессе 1 -2, в котором теплоёмкость газа оставалась постоянной, адиабатического расширения 2-3 и сжатия в процессе 3-1 с линейной зависимостью давления от объёма. Ti = Тъ/Ъ = 7з, V3 = 4Р1. Найдите молярную теплоёмкость газа в процессе 1 -2, если работа, совершённая газом в цикле, в 15 раз меньше работы, совершённой над газом в процессе 3-1.
3.	Плоский конденсатор с площадью пластин S полностью заполнен двумя слоями диэлектрика с толщинами dy и d2 и диэлектрическими проницаемостями ei и е2 (см. рис.). Между обкладками конденсатора поддерживается постоянная разность потенциалов S. Определите величину и знак связанного (поляризационного) заряда диэлектрика у верхней обкладки конденсатора.
Рис. к задаче 3
Рис. к задаче 4
ФИЗИКА ♦ ЗАДАЧИ ♦ Билет 2
5
4.	В схеме на рисунке все элементы можно считать идеальными. Значения ЭДС источников и сопротивлений резисторов указаны на рисунке. Определите величину и направление тока через амперметр.
5.	Тонкая линза создаёт прямое изображение предмета с увеличением 3. Во сколько раз расстояние между предметом и изображением больше фокусного расстояния линзы?
БИЛЕТ 2
1.	Ровная шероховатая доска движется с посто-	.
янным горизонтальным ускорением а = g. со-	/
храняя постоянный угол наклона а к вертика-ли. Доска толкает перед собой массивный бру-	/
сок. Оказалось, что при а < ад (tgao =
— 0,2) брусок с доской движутся вместе без \f проскальзывания, а при а > «о брусок пада-
ет вниз. Найдите коэффициент трения д между	।
доской и бруском.
2.	С идеальным одноатомным газом проводят циклический процесс 1 -2-3-1, состоящий из адиабатического расширения 1 -2, расширения в процессе 2-3, в котором теплоёмкость газа оставалась постоянной, и сжатия в процессе 3-1 с линейной зависимостью давления от объёма. Т\ = 2Т% = Т3, V3 = 4V). Найдите молярную теплоёмкость газа в процессе 2-3, если работа, совершённая над газом в цикле, составляет 7/15 от работы, совершённой над газом в процессе 3-1.
3.	Две одинаковые половины плоского конденсатора заполнены разными диэлектриками с диэлектрическими проницаемостями ei и £2 (см. рис.). Заряд на обкладках конденсатора равен Q. Определите величину и знак связанного (поляризационного) заряда верхнего диэлектрика у левой обкладки конденсатора.
4.	В схеме на рисунке все элементы можно считать идеальными. Значения ЭДС источников и сопротивлений резисторов указа-
ФИЗИКА ♦ ЗАДАЧИ ♦ Билет 3
Рис. к задаче 3	Рис. к задаче 4
ны на рисунке. Определите величину и направление тока через амперметр.
5.	Тонкая линза создаёт прямое увеличенное изображение предмета, причём расстояние между предметом и изображением в два раза меньше фокусного расстояния линзы. Найдите увеличение.
БИЛЕТ 3
1. Ровная шероховатая доска движется с постоянным горизонтальным ускорением а, сохраняя постоянный угол наклона а .	к вертикали. Доска толкает перед собой массив-
у	ный брусок. Оказалось, что при а > g брусок с
доской движутся вместе без проскальзывания, а у /	при а < g брусок падает вниз. Найдите угол а,
суГ	/ I g	если коэффициент трения между доской и брусуй	ком равен д = 1,5.
рис 2. С идеальным одноатомным газом проводят цик-кзадаче 1	лический процесс 1-2-3-1, состоящий из расши-
рения в процессе 1-2, в котором молярная теплоёмкость газа постоянна и равна 2R, адиабатического расширения 2-3 и сжатия в процессе 3-1 с линейной зависимостью давления от объёма. Т\ =	= Т3, Уз = 4у. Найдите работу, совер-
шённую газом в процессе 1-2-3, если работа, совершённая газом в цикле, составила 100 Дж.
3.	Плоский конденсатор с площадью пластин S полностью заполнен двумя слоями диэлектрика с толщинами ф иф и диэлектрическими проницаемостями ед и £2 (см. рис.). Между обкладка-
ФИЗИКА ♦ ЗАДАЧИ ♦ Билет 4
7
ми конденсатора поддерживается постоянная разность потенциалов S. Определите величину и знак связанного (поляризационного) заряда диэлектрика у нижней обкладки конденсатора.
Рис. к задаче 3
Рис. к задаче 4
4.	В схеме на рисунке все элементы можно считать идеальными. Значения ЭДС источников и сопротивлений резисторов указаны на рисунке. Определите величину и направление тока через амперметр.
5.	Тонкая линза создаёт прямое изображение предмета с увеличением 0,25. Во сколько раз расстояние между предметом и изображением больше фокусного расстояния линзы?
БИЛЕТ 4
1. Ровная шероховатая доска движется с постоянным горизонтальным ускорением а, сохраняя постоянный угол наклона а к вертикали. Доска толкает перед собой брусок массой т — = 1 кг. Оказалось, что при а < а0 (tg«o = = 0,2) брусок с доской движутся вместе без проскальзывания, а при а > ад брусок падает вниз. Найдите а, если коэффициент трения
„	-	d г	к задаче 1
между доской и бруском равен р, = 1,5.
2. С идеальным одноатомным газом проводят циклический процесс 1 -2-3-1, состоящий из адиабатического расширения 1 -2, расширения в процессе 2-3, в котором молярная теплоёмкость газа постоянна и равна 2R, и сжатия в процессе 3-1 с линейной зависимостью давления от объёма. Ti = 272 = 7з, V3 = 4У1. Найдите
8
ФИЗИКА ♦ ЗАДАЧИ ♦ Билет 5
работу, совершённую газом в процессе 1-2-3, если работа, совершённая над газом в цикле, составила 350 Дж.
3.	Две одинаковые половины плоского конденсатора заполнены разными диэлектриками с диэлектрическими проницаемостями si и £2 (см. рис.). Заряд на обкладках конденсатора равен Q. Определите величину и знак связанного (поляризационного) заряда нижнего диэлектрика у правой обкладки конденсатора.
Рис. к задаче 3
4.	В схеме на рисунке все элементы можно считать идеальными. Значения ЭДС источников и сопротивлений резисторов указаны на рисунке. Определите величину и направление тока через амперметр.
5.	Тонкая линза создаёт прямое уменьшенное изображение предмета, причём расстояние между предметом и изображением в два раза меньше фокусного расстояния линзы. Найдите увеличение.
БИЛЕТ 5
1. Шарик, висящий на упругой пружине, совершает колебания с периодом Т и амплитудой А вдоль вертикали. Масса пружины намного меньше массы шарика. 1) Найдите максимальное ускорение (по модулю) шарика ат. 2) Найдите скорость (по модулю) шарика в те моменты, когда его ускорение (по модулю) равно 0,75ат.
2. В комнате в вертикально расположенном цилиндре под весомым поршнем, который может перемещаться без трения, находятся и молей идеального газа при температуре Т. Поршень подвешен
ФИЗИКА ♦ ЗАДАЧИ ♦ Билет 5 9
на пружине жёсткостью к. Газ нагревают, так что в конечном состоянии его давление увеличивается в а = 2 раза, а температура увеличивается в (3 = 3 раза. Найдите начальное давление газа. Площадь поршня равна S.
Рис. к задаче 2
З.Две вертикальные проводящие рейки, расстояние между которыми L = 25 см, находятся в однородном магнитном поле, индукция которого В = 1 Тл направлена перпендикулярно плоскости рисунка. Сверху рейки соединены через батарею с ЭДС = 6 В и внутренним сопротивлением г = 2 Ом, а снизу через резистор с сопротивлением R = 6 Ом. В начальный момент проводящую перемычку АС массой т = 100 г удерживают неподвижной, а затем отпускают. Через некоторое время перемычка движется вниз с установившейся скоростью. 1) Найдите ток через перемычку при этой скорости. 2) Найдите установившуюся скорость перемычки. Сопротивлением реек и перемычки пренебречь. При расчёте принять g = 10 м/с2.
4. Плоский конденсатор с площадью пластин S полностью заполнен двумя слоями диэлектрика с толщинами di и и диэлектрическими проницаемостями ei и £2 (см. рис.). Между обкладками конденсатора поддерживается постоянная разность потенциалов S. Определите величину и знак связанного (поляризационного) заряда диэлектрика у верхней обкладки конденсатора.
К)
ФИЗИКА ♦ ЗАДАЧИ ♦ Билет 6
Рис. к задаче 4
Рис. к задаче 5
5. Вдоль оптической оси системы, состоящей из плоского зеркала и тонкой собирающей линзы с фокусным расстоянием F, равномерно движется точечный источник света S со скоростью v (см. рис.). Пренебрегая отражением света от поверхностей линзы, определите скорости (по величине и направлению) всех трёх изображений в данной системе в тот момент, когда источник находится посередине между зеркалом и линзой, расстояние между которыми равно фокусному расстоянию линзы.
БИЛЕТ 6
(.Чашка пружинных весов совершает колебания с периодом Т вдоль вертикали под действием упругой пружины, прикреплённой к чашке снизу. Максимальная скорость (по модулю) чашки равна vm. Масса пружины намного меньше массы чашки.
1) Найдите максимальное ускорение чашки (по модулю). 2) На каком расстоянии от положения равновесия находится чашка в те моменты, когда её скорость (по модулю) равна 2vm/3?
2.	В комнате в вертикально расположенном цилиндре под весомым поршнем, который может перемещаться без трения, находятся молей идеального газа при температуре Т. Поршень подвешен на пружине жёсткостью к. Газ охлаждают, так что в конечном состоянии его давление уменьшается в а = 1,5 раза, а температура уменьшается в (3 = 2 раза. Найдите начальное давление газа. Площадь поршня равна S.
3.	По двум горизонтальным проводящим рейкам, расстояние между которыми L — 1 м, может скользить без трения перемычка,
ФИЗИКА ♦ ЗАДАЧИ ♦ Билет 6
И
Рис. к задаче 2
Рис. к задаче 3
масса которой т — 50 г, а омическое сопротивление г = 0,5 Ом. Слева и справа концы реек соединены через резисторы с сопротивлением R = 1 Ом. Система находится в однородном вертикальном магнитном поле с индукцией В = 0,1 Тл; Неподвижной перемычке сообщают начальную скорость г»о = 50 см/с вдоль реек. 1) Найдите зависимость тока через перемычку от её скорости. 2) На какое расстояние сместится перемычка? Сопротивлением реек пренебречь. Перемычка расположена перпендикулярно рейкам.
4.	Две одинаковые половины плоского конденсатора заполнены разными диэлектриками с диэлектрическими проницаемостями si и Е2 (см. рис.). Заряд на обкладках конденсатора равен Q. Определите величину и знак связанного (поляризационного) заряда верхнего диэлектрика у левой обкладки конденсатора.
Рис. к задаче 4
Рис. к задаче 5
5.	Вдоль оптической оси системы, состоящей из тонкой собирающей линзы с фокусным расстоянием F и плоского зеркала, равномерно движется точечный источник света S со скоростью v. Расстояние между линзой и зеркалом равно 2F (см. рис.). Пре
12
ФИЗИКА ♦ ЗАДАЧИ ♦ Билет 7
небрегая отражением света от поверхностей линзы, определите скорости (по величине и направлению) всех трёх изображений в данной системе в тот момент, когда источник находится на расстоянии 3F от линзы.
БИЛЕТ 7
1.	Висящий на упругой пружине шар совершает колебания с периодом Т и амплитудой А вдоль вертикали. Масса шара намного больше массы пружины. 1) Найдите максимальную скорость (по модулю) шара vm. 2) Найдите ускорение (по модулю) шара в те моменты, когда его скорость (по модулю) равна vm/3.
2.	В комнате в вертикально расположенном цилиндре под весомым поршнем, который может перемещаться без трения, находятся и молей идеального газа под давлением Р. Поршень подвешен на пружине жёсткостью к. Газ охлаждают так, что в конечном состоянии его давление уменьшается в а = 2 раза, температура уменьшается в в = 3 раза. Найдите начальную температуру газа. Площадь поршня равна S.
Рис. к задаче 2
3.	Две вертикальные проводящие рейки, расстояние между которыми L = 50 см, находятся в однородном магнитном поле, индукция которого В = 1 Тл направлена перпендикулярно плоскости рисунка. Сверху рейки соединены через батарею с ЭДС S = 3 В и внутренним сопротивлением г = 1 Ом, а снизу через резистор
ФИЗИКА ♦ ЗАДАЧИ ♦ Билет 8 13
с сопротивлением R = 2 Ом. В начальный момент проводящую перемычку АС удерживают неподвижной, а затем отпускают, и она через некоторое время достигает установившейся скорости v = 6 м/с, направленной вниз. 1) Найдите ток через резистор при установившейся скорости перемычки. 2) Найдите массу перемычки. Сопротивлением реек и перемычки пренебречь. При расчёте принять g = 10 м/с2.
4.	Плоский конденсатор с площадью пластин S полностью заполнен двумя слоями диэлектрика с толщинами di и и диэлектрическими проницаемостями ед и е? (см. рис.). Между обкладками конденсатора поддерживается постоянная разность потенциалов S. Определите величину и знак связанного (поляризационного) заряда диэлектрика у нижней обкладки конденсатора.
Рис. к задаче 5
Рис. к задаче 4
5.	Вдоль оптической оси системы, состоящей из тонкой рассеивающей линзы с фокусным расстоянием F и плоского зеркала, равномерно движется точечный источник света S со скоростью v. Расстояние между линзой и зеркалом равно 2F (см. рис.). Пренебрегая отражением света от поверхностей линзы, определите скорости (по величине и направлению) всех трёх изображений в данной системе в тот момент, когда источник находится посередине между зеркалом и линзой.
БИЛЕТ 8
1.	Чаша пружинных весов совершает колебания с периодом Т вдоль вертикали под действием упругой пружины, прикреплённой к чаше снизу. Максимальное ускорение (по модулю) чаши
14
ФИЗИКА * ЗАДАЧИ ♦ Билет 8
равно ат. Масса чаши намного больше массы пружины. 1) Найдите максимальную скорость (по модулю) чаши. 2) Найдите скорость (по модулю) чаши в те моменты, когда она будет находиться на расстоянии от положения равновесия втрое меньшем амплитуды колебаний.
2.	В комнате в вертикально расположенном цилиндре под весомым поршнем, который может перемещаться без трения, находятся и молей идеального газа под давлением Р. Поршень подвешен на пружине жёсткостью к. Газ нагревают, так что в конечном состоянии его давление увеличивается в а = 2 раза, а температура увеличивается в (3 = 2,5 раза. Найдите начальную температуру газа. Площадь поршня равна S.
Рис. к задаче 2
Рис. к задаче 3
3.	По двум горизонтальным проводящим рейкам, расстояние между которыми L = 0,5 м, может скользить без трения перемычка, масса которой т = 100 г, а омическое сопротивление г — 0,5 Ом. Слева и справа концы реек соединены через резисторы с сопротивлением R = 2 Ом. Система находится в однородном вертикальном магнитном поле с индукцией В = 0,2 Тл. Неподвижной перемычке сообщают некоторую начальную скорость вдоль реек, и она, сместившись на расстояние S = 3 м, останавливается. 1) Найдите зависимость тока через перемычку от её скорости. 2) Определите начальную скорость перемычки. Сопротивлением реек пренебречь. Перемычка расположена перпендикулярно рейкам.
ФИЗИКА ♦ ЗАДАЧИ ♦ Билет9
15
4.	Две одинаковые половины плоского конденсатора заполнены разными диэлектриками с диэлектрическими пронинаемостями £1 и £2 (см. рис.). Заряд на обкладках конденсатора равен Q. Определите величину и знак связанного (поляризационного) заряда нижнего диэлектрика у правой обкладки конденсатора.
Рис. к задаче 4	Рис. к задаче 5
5.	Вдоль оптической оси системы, состоящей из тонкой рассеивающей линзы с фокусным расстоянием F и плоского зеркала, равномерно движется точечный источник света S со скоростью v. Расстояние между линзой и зеркалом равно F/3 (см. рис.). Пренебрегая отражением света от поверхностей линзы, определите скорости (по величине и направлению) всех трёх изображений в данной системе в тот момент, когда источник находится на расстоянии 2F от линзы.
БИЛЕТ 9
1.	Автомобиль тормозит с постоянным ускорением до полной остановки. Торможение заняло 4 с, а тормозной путь составил 20 м. Какова была скорость автомобиля на середине тормозного пути?
2.	Астронавты, исследуя воздух открытой ими планеты, нагрели порцию воздуха массой т = 200 г на Д7’ = 60 °C один раз при постоянном давлении, а другой — при постоянном объёме. Оказалось, что при постоянном давлении требуется подвести па 1 кДж больше тепла, чем при постоянном объёме. Найдите среднюю молярную массу воздуха, считая его идеальным газом.
3.	Электрическая схема, изображён-
ная на рисунке, состоит из двух	„	„
г	Рис. к задаче 3
16
ФИЗИКА ♦ ЗАДАЧИ ♦ Билет 10
одинаковых батарей с ЭДС S и внутренними сопротивлениями г и резистора сопротивлением R. При подключении нагрузки к клеммам А и В схема эквивалентна батарее с некоторой ЭДС So и внутренним сопротивлением го (то есть для любой нагрузки при замене данной схемы на батарею с ЭДС So и внутренним сопротивлением го ток в нагрузке не изменится).
1)	Найдите ЭДС So и внутреннее сопротивление го эквивалентного источника.
2)	К клеммам А и В подключают резистор, сопротивление которого можно изменять. При каком значении этого сопротивления тепловая мощность, выделяющаяся на нём, будет максимальной?
4.	Тонкая линза создаёт изображение предмета с некоторым увеличением. Оказалось, что для получения изображения с двукратным увеличением предмет нужно передвинуть либо к линзе па 3 см, либо от линзы на 6 см. С каким увеличением изображался предмет вначале?
5.	Маятник представляет собой шарнирно прикреплённый к потолку жёсткий лёгкий стержень длины 4/, на котором закреплены , два маленьких груза массой т каждый, как показа-
Ху но на рисунке. Трением в шарнире и сопротивлением Чт. воздуха можно пренебречь.
\ё 1) Стержень отклоняют на угол <ро = 60° от верти-Зу кали и отпускают без толчка. Найдите максимальную 1т скорость движения нижнего груза.
рис 2) Найдите период колебаний маятника при малых к задаче 5 отклонениях от положения равновесия.
БИЛЕТ 10
1.	Трамвай тормозит с постоянным ускорением до полной остановки. Найдите тормозной путь трамвая, если торможение заняло 5 с, а скорость трамвая на середине тормозного пути была 4 м/с.
2.	Астронавты, исследуя воздух открытой ими планеты, провели с порцией воздуха массой т = 100 г циклический процесс 1-2-3-1, состоящий из изотермического расширения 1-2, изобари
ФИЗИКА ♦ ЗАДАЧИ ♦ Билет 10
17
ческого сжатия 2-3 до начального объёма и изохорического нагревания^-! до первоначальной температуры. Оказалось, что в процессе 2-3-1 от газа отвели 1 кДж тепла, а разность максимальной и минимальной температур в цикле составила ДТ = = 30 °C. Найдите среднюю молярную массу воздуха, считая его
идеальным газом.
3.	Электрическая схема, изображённая на рисунке, состоит из двух батарей с ЭДС <S\ и <о2 (Ф <02) и внутренними сопротивлениями г и резистора сопротивлением R. При подключении нагрузки к клеммам А и В схема эквивалентна батарее с
Рис. к задаче 3
некоторой ЭДС <fg и внут-
ренним сопротивлением го (то есть для любой нагрузки при замене данной схемы на батарею с ЭДС So и внутренним сопротивлением го ток в нагрузке не изменится).
1)	Найдите ЭДС So и внутреннее сопротивление го эквивалентного источника.
2)	К клеммам А и В подключают резистор, сопротивление которого можно изменять. При каком значении этого сопротивления тепловая мощность, выделяющаяся на нём, будет максимальной?
4.	Тонкая линза создаёт изображение предмета с некоторым увеличением. Оказалось, что для получения изображения с требуемым увеличением предмет нужно передвинуть от линзы либо на 2 см, либо на 10 см. Во сколько раз требуемое увеличе- ,а, , . ние больше первоначального?
5.	Маятник представляет собой шарнирно прикреп- В лённый к потолку жёсткий лёгкий стержень дли- / ны 21, на котором закреплены два маленьких гру- I за. массами т и 2т, как показано на рисунке. Тре- у нием в шарнире и сопротивлением воздуха можно *2то пренебречь.	Рис.
,. „	„по	к задаче 5
1) Стержень отклоняют на угол <р0 — 61) от вер
18
ФИЗИКА * ЗАДАЧИ ♦ Билет 11
тикали и отпускают без толчка. Найдите максимальную скорость движения нижнего груза.
2) Найдите период колебаний маятника при малых отклонениях от положения равновесия.
БИЛЕТ 11
1.	Электричка тормозит с постоянным ускорением до полной остановки. Тормозной путь составил 50 м, а скорость на середине тормозного пути была 10 м/с. Сколько времени продолжалось торможение?
2.	Средняя молярная масса смеси идеальных газов равна д = = 50 г/моль. Смесь нагрели на ДТ = 30 °C один раз при постоянном давлении, а другой — при постоянном объёме. Оказалось, что при постоянном давлении требуется подвести на 500 Дж больше тепла, чем при постоянном объёме. Найдите массу смеси.
3.	Электрическая схема, изображённая на рисунке, состоит из двух батарей с ЭДС и внутренними сопротивлениями г и резистора сопротивлением R. При подключении нагрузки к клеммам А и В схема эквивалентна батарее с некоторой ЭДС и внутренним сопротивлением rg (то есть для любой нагрузки при замене данной схемы на батарею с ЭДС и внутренним сопротивлением rg ток в нагрузке не изменится).
1)	Найдите ЭДС So и внутреннее сопротивление rg эквивалентного источника.
2)	К клеммам Аи В подключают резистор, сопротивление которого можно изменять. При каком значении этого сопротивления тепловая мощность, выделяющаяся на нём, будет максимальной?
4.	Тонкая линза создаёт изображение предмета с некоторым увеличением. Оказалось, что для получения изображения с двукратным увеличением предмет нужно передвинуть либо к линзе на
-0А
0В
R
Рис. к задаче 3
ФИЗИКА ♦ ЗАДАЧИ ♦ Билет 12
19
6 см, либо от линзы на 3 см. С каким увеличением ’зображал-ся предмет вначале?
5.	Маятник представляет собой шарнирно прикреп -ленный к потолку жёсткий лёгкий стержень дли-ны 4/, на котором закреплены два маленьких груза	/
массой т каждый, как показано на рисунке. Тре- / ч/ /	।
нием в шарнире и сопротивлением воздуха можно	-
пренебречь.	/	*
1)	Стержень отклоняют на угол </?0 = 60° от 1т вертикали и отпускают без толчка. Найдите мак- I симальную скорость движения нижнего груза.	т
2)	Найдите период колебаний маятника при ма- Рис-лых отклонениях от положения равновесия.	к задаче 5
БИЛЕТ 12
1.	Автобус тормозит с постоянным ускорением 1 м/с2 до полной остановки. Определите тормозной путь, если его вторая половина была пройдена за 5 с.
2.	Средняя молярная масса смеси идеальных газов равна д = = 50 г/моль. С порцией смеси провели циклический процесс 1-2-3-1, состоящий из изотермического расширения 1-2, изобарического сжатия 2-3 до начального объёма и изохорического нагревания 3-1 до первоначальной температуры. Оказалось, что в процессе 2-3-1 от газа отвели 1 кДж тепла, а разность максимальной и минимальной температур в
= 30 °C. Найдите массу порции.
3.	Электрическая схема, изображённая на рисунке, состоит из двух батарей с ЭДС и (<А / <%) и внутренними сопротивлениями г и резистора сопротивлением R. При подключении нагрузки к клеммам Ди В схема эквивалентна батарее с некоторой ЭДС <50 и внутренним сопротивлени-
ем го (то есть для любой нагрузки при замене данной схемы на
=Н0.4 R
-0В
Рис. к задаче 3
20
ФИЗИЮ ♦ ЗАДАЧИ ♦ Билет 13
батарею с ЭДС <f0 и внутренним сопротивлением г0 ток в нагрузке не изменится).
1)	Найдите ЭДС и внутреннее сопротивление rg эквивалентного источника.
2)	К клеммам А и В подключают резистор, сопротивление которого можно изменять. При каком значении этого сопротивления тепловая мощность, выделяющаяся на нём, будет максимальной?
4.	Тонкая линза создаёт изображение предмета с некоторым увеличением. Оказалось, что для получения изображения с требуемым увеличением предмет нужно передвинуть к линзе либо на 5 см, либо на 10 см. Во сколько раз требуемое увеличение больше первоначального?
5.	Маятник г редставляст собой шарнирно прикреплённый к потолку жёсткий лёгкий стержень длины 21, на котором закреплены ..... . .. два маленьких груза массами т и 2т, как показа-
'к на рисунке. Трением в шарнире и сопротивлени-d 1g! ом воздуха можно пренебречь.
/2т*	1) Стержень отклоняют на угол <р0 = 60° от верти-
/ кали и отпускают без толчка. Найдите максимальную [т скорость движения нижнего груза.
р	2) Найдите период колебаний маятника при малых
к задаче 5 отклонениях от положения равновесия.
БИЛЕТ 13
1.	Проехав «лежачего полицейского» со скоростью гд = 5 км/ч, автомобиль, двигаясь далее прямолинейно по горизонтальной дороге, увеличивает свою скорость таким образом, что сила тяги, развиваемая двигателем, оказывается пропорциональной скорости автомобиля. На расстоянии Si = 30 м от «полицейского» автомобиль достиг скорости щ = 20 км/ч. На каком расстоянии от «полицейского» у автомобиля будет скорость ?.д = 30 км/ч? Сопротивлением движению пренебречь.
2.	Тепловая машина работает по циклу, состоящему из изохоры 1 -— 2, изобары 2 — 3 и участка 3 — 1 прямо пропорциональной за-
ФИЗИКА ♦ ЗАДАЧИ ♦ Билет 13
21
висимости давления от объёма. Найти КПД цикла, если объём на изобаре изменяется в 2 раза. Рабочее вещество — идеальный одноатомный газ.
Рис. к задаче 3
Рис. к задаче 2
Рис. к задаче 4
3.	1) При каких значениях сопротивления резистора R± идеальный диод в схеме, изображённой на рисунке, будет открыт, если Rj = = 2 Ом, = 3 Ом, = 4 Ом?
2)	Чему будет равен ток через диод при Ri — 1 Ом, если ЭДС батареи S = 10 В, а её внутренним сопротивлением можно пренебречь?
4.	Плоский воздушный конденсатор с площадью пластин S и расстоянием между неподвижными обкладками d подключён к источнику постоянного напряжения через реостат. На нижней обкладке расположена проводящая незаряженная
пластина толщиной а и массой т, имеющая хороший электрический контакт с обкладкой конденсатора. Горизонтальные размеры пластины равны аналогичным размерам обкладок. В исходном состоянии напряжение на конденсаторе равно нулю. Затем напряжение начинают медленно увеличивать и при некотором напряжении пластина отрывается и движется вверх, оставаясь всё время горизонтальной. Через некоторое время она оказывается на высоте h от нижней обкладки, а напряжение на конденсаторе в этот момент равно Uq. Какой заряд будет на нижней обкладке конденсатора в этот момент времени?
22
ФИЗИКА ♦ ЗАДАЧИ ♦ Билет 14
5.	Оптическая система, состоящая из двух собирающих линз с фокусными расстояниями Fi = 20 см и К2 = 30 см, расположенных соосно на одной оптической оси, даёт на экране прямое изображение предмета с увеличением Го = 1. Расстояние от предмета до ближайшей к нему линзы с фокусным расстоянием Ji равно а = 60 см. 1) На какое расстояние вдоль оптической оси требуется переместить вторую линзу, чтобы на том же экране получить новое изображение предмета? 2) Какое увеличение будет при этом давать оптическая система?
БИЛЕТ 14
1. По прямолинейной горизонтальной дороге движется автомобиль со скоростью = 140 км/ч. На расстоянии Si = 500 м от перекрёстка водитель выключил передачу и на расстоянии S2 = 400 м от перекрёстка скорость автомобиля упала до п2 = 120 км/ч. На каком расстоянии от перекрёстка скорость автомобиля станет f3 = 90 км/ч? Считать, что сила сопротивления движению автомобиля пропорциональна его скорости. Кинетической энергией вращения колес пренебречь.
2. Тепловая машина работает по циклу, состоящему из изобары 1 — — 2, изохоры 2 — 3 и адиабаты 3 — 1. Найти КПД этого цикла, если объём на изобаре изменяется в 8 раз. Рабочее вещество — идеальный одноатомный газ.
Указание: В адиабатическом процессе температура Т и объём газа V связаны уравнением T3V2 = const.
Рис. к задаче 2
Рис. к задаче 3
ФИЗИКА ♦ ЗАДАЧИ ♦ Билет 14
23
3.	1) При каких значениях сопротивления резистора идеальный диод в схеме, изображённой на рисунке, будет закрыт, если R[ — = 2 Ом, = 4 Ом, = 5 Ом?
2)	Чему будет равен ток через диод при R^ = 1 Ом, если ЭДС батареи = 13 В, а её внутренним сопротивлением можно пренебречь?
4.	Плоский воздушный незаряженный конденсатор с расстоянием между неподвижными обкладками d подключён к батарее с ЭДС S. На нижней обкладке удерживают про-
водящую пластину толщиной а,	рис кзадаче4
имеющую хороший электрический контакт с обкладкой конден-
сатора, при этом минимальная сила, которой ещё можно удержать пластину на месте, равна F. Горизонтальные размеры пластины равны аналогичным размерам обкладок. Пластину отпус-
кают, она движется вверх, оставаясь всё время горизонтальной, и через некоторое время оказывается на высоте h от нижней об-
кладки конденсатора. Чему равен заряд нижней обкладки в этот момент времени? Омическое сопротивление цепи настолько мало, что в любой момент времени напряжение на конденсаторе равно ЭДС батареи. Силу тяжести не учитывать. До контакта с обкладкой пластина была незаряжена. Считать заданными F, h и S.
5.	Оптическая система, состоящая из рассеивающей линзы с фокусным расстоянием Fi = —20 см и собирающей линзы с фокусным расстоянием F? = 20 см, расположенных соосно на одной оптической оси, даёт на экране перевёрнутое изображение предмета с увеличением Го = 1. Расстояние от предмета до ближайшей рассеивающей линзы а = 20 см. 1) На какое расстояние вдоль оптической оси требуется переместить собирающую линзу, чтобы на том же экране получить новое изображение предмета? 2) Какое увеличение будет при этом давать оптическая система?
24
ФИЗИКА ♦ ЗАДАЧИ ♦ Билет 15
БИЛЕТ 15
1.	Автомобиль при разгоне, двигаясь прямолинейно по горизонтальной дороге, увеличивает свою скорость таким образом, что сила тяги, развиваемая двигателем, оказывается пропорциональной скорости автомобиля. Пройдя путь Si = 20 м, автомобиль увеличил скорость с vi = 4 км/ч до v% = 12 км/ч. До какой скорости разгонится автомобиль, пройдя ещё S? = 30 м? Сопротивлением движению пренебречь.
2.	Тепловая машина работает по циклу, состоящему из изохоры 1 — — 2, изобары 2 — 3 и участка 3 — 1 прямо пропорциональной зависимости давления от объёма. Найти КПД цикла, если объём на изобаре изменяется в 2 раза. Рабочее вещество — идеальный одноатомный газ.
Н l~f~l ..................Zb
Рис. к задаче 2	Рис. к задаче 3
3.	1) При каких значениях сопротивления резистора R3 идеальный диод в схеме, изображённой на рисунке, будет открыт, если Ri = = 1 Ом, R2 — 2 Ом, R$ = 4 Ом?
2)	Чему будет равен ток через диод при R% = 3 Ом, если ЭДС батареи S = 20 В, а её внутренним сопротивлением можно пренебречь?
4.	Плоский воздушный конденсатор с площадью пластин S и расстоянием между неподвижными обкладками d подключён к источнику постоянного напряжения через реостат. На нижней обкладке расположена проводящая незаряженная пластина толщиной а и массой т, имеющая хороший электрический контакт с обкладкой конденсатора. Горизонтальные размеры пластины равны аналогичным размерам обкладок. В исходном состоянии
ФИЗИКА ♦ ЗАДАЧИ ♦ Билет 16
25
напряжение на конденсаторе равно нулю. Затем «апряжение начинают медленно увеличивать и при некотором спряжении
пластина отрывается и движется вверх, оставаясь всё время горизонтальной. Через некоторое время она оказывается на высоте h от нижней обкладки, а напряжение на конденсаторе в этот момент равно Uq. Какой заряд будет на верхней обклад-
ке конденсатора в этот момент времени?
5.	Оптическая система, состоящая из двух собирающих линз с фокусными расстояниями Fi = 20 см и F> = 30 см, расположенных соосно на одной оптической оси, даёт на экране перевёрнутое изображение предмета с увеличением Го = 1. Расстояние от предмета до ближайшей к нему линзы с фокусным расстоянием Fi равно а = 10 см. 1) На какое расстояние вдоль оптической оси требуется переместить вторую линзу, чтобы на том же экране получить новое изображение предмета? 2) Какое увеличение будет при этом давать оптическая система?
БИЛЕТ 16
1. Лодку оттолкнули от берега озера, сообщив ей скорость vq = = 1 м/с. Лодка,, двигаясь прямолинейно, имела на расстоянии ,S’i = 14 м от берега скорость щ = 0,3 м/с. На каком расстоянии от берега скорость лодки была v = 0,5 м/с? Считать, что сила сопротивления движению лодки пропорциональна её скорости.
2. Тепловая машина работает по циклу, состоящему из адиабаты 1— — 2, изобары 2 — 3 и изохоры 3 — 1. Найти КПД этого цикла, если объём на изобаре изменяется в 8 раз. Рабочее вещество — идеальный одноатомный газ.
Указание: В адиабатическом процессе температура Т и объём газа V связаны уравнением T3F2 = const.
26
ФИЗИК/ t ЗАДАЧИ ♦ Билет 16
Рис. к задаче 2
Рис. к задаче 3
3.	1) При каких значениях сопротивления резистора R4 идеаль-
ный диод в схеме, изображённой на рисунке, будет закрыт, если /?.1 = 2 Ом. Л?2 = 1 Ом, 7?з = 4 Ом?
2)	Чем1,' будет равен ток через диод при R\ = 5 Ом, если ЭДС батареи Д — 26 В, а её внутренним сопротивлением можно пренебречь?
4.	Плоский воздушный незаряженный конденсатор с расстоянием
между неп одвижными обкладками d подключён к батарее с ЭДС
S. На нижней обкладке удерживают проводящую пластину толщиной а, имеющую хороший электрический контакт с обкладкой конденсатора, при этом минимальная сила, которой
Рис к задаче 4	ещё можно удержать пластину
на месте, равна F. Горизонтальные размеры пластины равны
аналогичным размерам обкладок. Пластину отпускают, она
движется вверх, оставаясь всё время горизонтальной, и через некоторое время оказывается на высоте h от нижней обкладки конденсатора. Чему равен заряд на верхней обкладке в этот момент времени? Омическое сопротивление цепи настолько мало, что в любой момент времени напряжение на конденсаторе равно ЭДС батареи. Силу тяжести не учитывать. До контакта с обкладкой пластина была незаряжена.
5.	Оптическая система, состоящая из расположенных соосно на одной оптической оси рассеивающей линзы с фокусным расстоянием Fi — —30 см и собирающей линзы с неизвестным фокусным
ФИЗИКА ♦ ЗАДАЧИ ♦ Билет 16
27
расстоянием, даёт на экране перевёрнутое изображение предмета. Расстояние от предмета, до ближайшей к нему рассеивающей линзы а = 30 см. Собирающую линзу переместили вдоль оптической оси на I = 45 см; и на экране получилось перевёрнутое изображение предмета с увеличением Г = 1. 1) Найдите фокусное расстояние собйрающей линзы. 2) С каким увеличением изображался предмет вначале?
28
МАТЕМАТИКА ♦ ЗАДАЧИ ♦ Билет2
МАТЕМАТИКА
БИЛЕТ 1
1.	Решить уравнение
8 cos2 х sin х + cos х = cos Зх + 6 sin х.
2.	Решить неравенство
V8x3 - 6,т + 2	/------
-------------- < v2x + 3 .
2х + 1
3.	Решить систему уравнений г
s у
I х2 + 2ху = х — у2.
4.	Пятиугольник ABODE описан около окружности. Известно, что АВ = ВС, CD = DE, АЕ = 6, АС = 8, СЕ = 7. Найти радиус окружности, вписанной в пятиугольник, и угол BCD.
5.	При каких значениях параметра t система уравнений
((х - 1 - 4г)2 + (у - 1 - зг)2 = 9г2, ( (ж - 5)2 + (у — З)2 = 4
имеет единственное решение?
6.	В основании призмы ABCDA]BiCiDi лежит равнобокая трапеция ABCD (AD || ВС). Сфера радиуса 3 с центром в плоскости AA^D]D касается плоскостей ABCD, А^В^С^В^ и прямых AAi, BB±, CCi, DD^. Известно, что A1D1 ~ 7, ВС = 5. Найти:
1)	угол между прямыми AD и ВВ^;
2)	двугранный угол между гранями ВВ^С^С и CC^D^D-,
3)	объём призмы.
БИЛЕТ 2
1.	Решить уравнение
5 sin Зх + 16 cos х + 5 sin х = 12 cos3 х.
2.	Решить неравенство vW - 12х + 8	.------
--------------х/4ж + 7..
х + 1
МАТЕМАТИКА ♦ ЗАДАЧИ ♦ Билет 3
29
3.	Решить систему уравнений
{,,2
^2 (2 + х) = 4т/ - 3s,
2у2 — Зху = 4у — х2.
4.	Пятиугольник ABCDE описан около окружности. Известно, что АВ = ВС, АЕ = DE, CD = 7, АС = 8, AD = 9. Найти радиус окружности, вписанной в пятиугольник, и угол ЕАВ.
5.	При каких значениях параметра t система уравнений
( (ж + 1 — 2£)2 + (у — 1 + 5£)2 = 4£2,
( (х + 2)2 + (у - 6)2 — 1 имеет единственное решение?
6.	В основании призмы ABCDA\B\C\D\ лежит равнобокая трапеция ABCD (AD || ВС). Сфера радиуса 2 с центром в плоскости AAiDiD касается плоскостей ABCD, AiBiCiDi и прямых AAi, BBi, CCi, DDi. Известно, что AD = 7, ВС = 3. Найти:
1)угол между прямыми AAi и BiCi;
2)	двугранный угол между гранями AAiBiB и AAiDiD;
3)	объём призмы.
БИЛЕТ 3
1.	Решить уравнение
20 sin3 х + 3 cos х = 3 cos Зх + 4 sin х.
2.	Решить неравенство
Vs3 — Зх + 2	,-----
------------ V х + 1.
х + 2
3.	Решить систему уравнений
{-г2
(1 - 2у) = 4х + 2у,
2х2 + ху = х + у2.
30
МАТЕМАТИКА * ЗАДАЧИ * Билет 4
4.	Пятиугольник ABCDE описан около окружности. Известно, что АВ = АЕ, ВС = CD, DE = 5, BD = 7, BE = 9. Найти радиус окружности, вписанной в пятиугольник, и угол АВС.
5.	При каких значениях параметра t система уравнений
Г (ж — 1 — 3i)2 + (у + 1 + 2£)2 = 4Z2.
t (ж + 5)2 + у2 = 1 имеет единственное решение?
6.	В основании призмы АВСВА^В^С^В^ лежит равнобокая трапеция ABCD (АВ || ВС). Сфера радиуса 3 с центром в плоскости AAiDiD касается плоскостей ABCD, AiBiCiD-^ и прямых AAi, ВВ>, CCi, DDi. Известно, что АВ = 8, BiCi — 1. Найти:
1)	угол между прямыми ВС и ВВ^;
2)	двугранный угол между гранями AAiBiB и BBjCiC;
3)	объём призмы.
БИЛЕТ 4
1.	Решить уравнение
8 sin2 х cos х — 3 sin Зх = 3 sin х — 2 cos х.
2.	Решить неравенство
уИт3 - Зх +Т г--------—
-------------+ ю _
х — 1
3.	Решить систему уравнений
{?/2
К, (3 + 2x) = 3у -х,
у2 + 2ху — Зх2 — 2у.
4.	Пятиугольник ABCDE описан около окружности. Известно, что ВС = CD, АЕ = DE, АВ = 8, AD = 9, BD = 10. Найти радиус окружности, вписанной в пятиугольник, и угол CDE.
5.	При каких значениях параметра t система уравнений
Г (ж + 1 - t)2 + (у + 1 - 3£)2 = t2,
I (ж - 2)2 + (у - 5)2 - 9 имеет единственное решение?
6.	В основании призмы АВС ВА^В^С^В^ лежит равнобокая трапеция ABCD (АВ || ВС). Сфера радиуса 2 с центром в плоско
МАТЕМАТИКА * ЗАДАЧИ * Билет 5
31
сти AA^D^D касается плоскостей ABCD, AiB^Cj ГД и прямых AAi, BBi, CCi, DDi. Известно, что AiDi = 6, В^С- = 1. Най-
ти:
1)	угол между прямыми CCi и AD;
2)	двугранный угол между гранями CCiDiD и DD^AiA,
3)	объём призмы.
БИЛЕТ 5
1.	Найти действительные решения системы уравнений Г 3 у/х2?/5 = 4 [у2 — х2) , I 5у/х4?/ = х2 + у2.
2.	Решить уравнение
/	/ 7Г	\	/	7Г \	/	7Г \
sin Зх\ / ctg--я; = cos \2х-----— cos 4х + — .
V	\4	/	\	4/	\	4/
3.	Решить неравенство
2	<	1
Jogi+s (6 + 4x - 2x2) "" 2 - log6 .22: (1 + x) ’
4.	Треугольник ABC вписан в окружность О радиуса R, точки К, L и М — середины отрезков АВ, ВС и АС соответственно. Окружности 01, О2 и Оз проведены через точки К, L и М соответственно, касаются окружности О и каждая имеет с треугольником АВС единственную общую точку. Найти радиус окружности Оз, если радиусы окружностей 01 и О2 равны | R и | R соответственно.
5.	Для каждого значения параметра a G [О,тг] найти максимальное значение д(а) функции f(x,y) = х(х + 2) + у(у — 4) на множестве точек (х,у) таких, что х2 + у2 2 (х cos а + у sin а). Найти значения параметра a G [О,тг], при которых д(а) принимает наименьшее значение.
6.	В треугольной пирамиде ABCD сфера касается граней ACD и BCD в точках В± и Hi, являющихся основаниями высот пирамиды, и пересекает ребро АВ в точках К и L. Известно, что
32
МАТЕМАТИКА ♦ ЗАДАЧИ ♦ Билет 6
АВ = VW, KL = у у, ВС = у у, AD = 5. Найти расстояние между рёбрами АВ и CD, радиус окружности, высекаемой на сфере плоскостью АВС, и объём пирамиды ABCD.
БИЛЕТ 6
1.	Найти действительные решения системы уравнений Г 5\/2ж2у3 = 2(ж2 + т/2) ,
3 у/4ж4?/3 — 4 (у2 — ж2) .
2.	Решить уравнение
/	/7Г\	/ 7Т \	/ 7Т \
8Ш Зх , / ctg I ” + X I = cos I 2х Н— I — COS I XX — — I .
у \4	/	\	4/	\	4/
3.	Решить неравенство
2	1
log3+s (6 - 4ж - 2ж2)	2 - log2_2a. (3 + ж) ‘
4.	Треугольник ЛВС вписан в окружность О радиуса R, точки К и М — середины отрезков АВ и АС соответственно, угол ВАС равен Окружности Oi и О? проведены через точки К и М соответственно, касаются окружности О и каждая имеет с треугольником АВС единственную общую точку. Найти радиус окружности 0-2, если радиус окружности Oi равен R.
5.	Для каждого значения параметра a G [—тг,О] найти минимальное значение д(а) функции f(x,y) = х(х + 1) + у(у — 6) на множестве точек (ж,у) таких, что ж2 + у2 С 4 (ж cos а + у sin а). Найти значения параметра a G [—тг,О], при которых д(а) принимает наибольшее значение.
6.	В треугольной пирамиде ABCD сфера касается граней ACD и BCD в точках В± и А±, являющихся основаниями высот пирамиды, и пересекает ребро АВ в точках К и L. Известно, что АВ = = 4, KL = —т=, ВС = 2д/б, AD = 6. Найти расстояние меж-V о
ду рёбрами АВ и CD, радиус окружности, высекаемой на сфере плоскостью АВС, и объём пирамиды ABCD.
МАТЕМАТИКА ♦ ЗАДАЧИ * Билет 7
33
БИЛЕТ 7
1.	Найти действительные решения системы уравнений
= 4 (ж2 + у2) , 3 ж?/4 ж2 — у2.
2.	Решить уравнение
/	7	7Г\	/	7Г\	/	ЗТГ
cos Зжл / — ctg ж Н— = cos 4ж 3— — cos 2ж Н--------------
V	\	4/	\	4/	\	4
3.	Решить неравенство
2	1
logi-2х (6 - 8ж - 8ж2)	2 - log6+43; (1 - 2ж) '
4.	Треугольник АВС вписан в окружность О радиуса R, точки К и М — середины отрезков АВ и АС соответственно, отрезок ВС равен R. Окружности Oi и 0% проведены через точки К и М соответственно, касаются окружности О и каждая имеет с треугольником АВС единственную общую точку. Найти радиус окружности О2, если радиус окружности Oi равен | R.
5.	Для каждого значения параметра a G	найти макси-
мальное значение д(а) функции f(x,y) — х(х — 1) + у(у + 2) на множестве точек (ж,?/) таких, что ж2 + ?/2 С xcosa+ysina. Найти значения параметра a G	, при которых д(а) принимает
наименьшее значение.
6.	В треугольной пирамиде ABCD сфера касается граней ACD и BCD в точках В] и Ai, являющихся основаниями высот пирамиды, и пересекает ребро АВ в точках К и L. Известно, что АВ = х/14, KL = 41, ВС = AD = /42. Найти расстояние между рёбрами АВ и CD, радиус окружности, высекаемой на сфере плоскостью АВС, и объём пирамиды ABCD.
34
МАТЕМАТИКА ♦ ЗАДАЧИ ♦ Билет 8
БИЛЕТ 8
1.	Найти действительные решения системы уравнений Г 5 у/4х3?/4 = 4 (ж2 + у2) ,
Зу/2х3у2 = 2 (ж2 — у2) .
2.	Решить уравнение
„	/ /Зтг \	/ Зтг\ / тг\
cos Зх\/ctg------х = cos t 2х 4--— cos (4т 4— .
у \ 4 J \	4 J \	4/
3.	Решить неравенство
logx-1 (12a: - 10 - 2x2)	2 - log|0_2a; (x - 1) ’
4.	Треугольник ABC вписан в окружность О радиуса R, точка М — середина отрезка АС, отрезок АВ равен R, угол ВАС ра-2
вен arcsin д. Окружность Oi проведена через точку М, касается окружности О и имеет с треугольником АВС единственную общую точку. Найти радиус окружности Oi.
5тт	Г 'Г Зтг 1	•>
. Для каждого значения параметра a G , -у наити минимальное значение д(а) функции f(x,y) = х(х — 2) 4- у(у — 1) на множестве точек (х,у) таких, что 3 (х2 + у2^	2 (х cos а 4- у sin а).
Найти значения параметра a G |д , у], при которых д(а) принимает наибольшее значение.
6. В треугольной пирамиде ABCD сфера касается граней ACD и ВСD в точках Bi и Ai, являющихся основаниями высот пирамиды, и пересекает ребро АВ в точках К и L. Известно, что АВ = = Зл/2, KL = ВС = Зу^^, AD = Зу/7. Найти расстояние между рёбрами АВ и CD, радиус окружности, высекаемой на сфере плоскостью АВС, и объём пирамиды ABCD.
МАТЕМАТИКА ♦ ЗАДАЧИ ♦ Билет 9
35
БИЛЕТ 9
1. Решить уравнение
ctg х ctg 2х ctg Ах ctg Зх
ctg 2х — ctg х ctg 4х — ctg Зх
2. Найти действительные решения системы уравнений з
2ху + - + 3 = О,
4
< yz + - - 2 = О,
2 xz Н----1-2 = 0.
У
3.	Решить неравенство
< /logx+зи (4х2 + 3) Н--j= logx i-3|.7:; (4х2 + 3).
V 2	а/Ы 2
4.	В треугольнике АВС угол АСВ прямой, АВ = 21. Биссектриса угла ВАС и медиана ВР пересекаются в точке О. Окружность радиуса 3 с центром О пересекает сторону АВ в точках К и L (К лежит между А и L), пересекает сторону АС в точках М и N (М лежит между Аи N) и касается стороны ВС в точке Т. Найти АС, угол KON, AM.
5.	Найти все значения параметра Ь, при которых для любого значения параметра а существует тройка действительных чисел (x,y,z), удовлетворяющая системе уравнений
( ах + у = z + Ь, [ 4х + ay = z2.
6.	В пирамиде SABC каждый из углов ASB и ASC равен arccos Д=, угол BSC прямой, ребро SB равно а. Центр сферы, V Э
вписанной в пирамиду SABC, лежит на высоте SD. Найти SA, SD и радиус сферы, вписанной в пирамиду SABC.
36
МАТЕМАТИКА ♦ ЗАДАЧИ ♦ Билет 10
БИЛЕТ 10
1.	Решить уравнение
tg 2х ctg Зх ctg 4х tg Зх
tg 2х + ctg Зх ctg 4х + tg Зх
2.	Найти действительные решения системы уравнений
2yz + J + 3 = 0,
4
* ху+ ~ - 2 = О,
2
xz Н---1-2 = 0.
I У
3.	Решить неравенство
2
log x-+3|x (х2 + 1) + Т-Г С loga:+3|a:| (х2 + 1).
4	|Ж|	4
4.	В треугольнике АВС угол АС В прямой, АВ = 55. Биссектриса угла АВС и медиана АР пересекаются в точке О. Окружность радиуса 5 с центром О пересекает сторону АВ в точках К и L (L лежит между А и К), пересекает сторону ВС в точках М и N (М лежит между В и N) и касается стороны АС в точке Т. Найти ВС, угол KON, ВМ.
5.	Найти все значения параметра Ъ, при которых для любого значения параметра а существует тройка действительных чисел (x,y,z), удовлетворяющая системе уравнений
х + ay = z2 — 1, ах + у = z + Ь.
6.	В пирамиде SABC каждый из углов ASB и ASC равен arccos -^=, угол BSC прямой, ребро SC равно а. Центр сферы, вписанной в пирамиду SABC, лежит на высоте SD. Найти SA, SD и радиус сферы, вписанной в пирамиду SABC.
МАТЕМАТИКА ♦ ЗАДАЧИ ♦ Билет 11
37
БИЛЕТ 11
1.	Решить уравнение
tg 4х tg 5х	tg Зх tg 2х
tg 5х — tg 4х tg Зх — tg 2х
2.	Найти действительные решения системы уравнений
з
2ху + — + 3 = 0,
4 xz +----2 = 0,
У
2
yz + I + 2 = 0.
3.	Решить неравенство
10g5|ат| —За? (5х^ + 2) + ~~j рг + 10g 5|т| —Зж (5х2 + 2).
4	4|х|'5	4
4.	В треугольнике АВС угол АС В прямой, АВ = 36. Биссектриса угла ВАС и медиана ВР пересекаются в точке О. Окружность радиуса 4 с центром О пересекает сторону АВ в точках К и L (К лежит между А и L), пересекает сторону АС в точках М и N (М лежит между А и N) и касается стороны ВС в точке Т. Найти АС, угол MOL, СМ.
5.	Найти все значения параметра Ь, при которых для любого значения параметра а существует тройка действительных чисел (ж,у,z), удовлетворяющая системе уравнений
ах + 9у = z — Ь, х + ау = г2.
6.	В пирамиде SABC каждый из углов ASB и ASC равен arccos -i= угол BSC прямой, ребро SB равно а. Центр сфе-V 17
ры, вписанной в пирамиду SABC, лежит на высоте SD. Найти SA, SD и радиус сферы, вписанной в пирамиду SABC.
38
МАТЕМАТИКА ♦ ЗАДАЧИ ♦ Билет 12
БИЛЕТ 12
1. Решить уравнение
ctg 2х ctg Зх tg х tg 2х
ctg Зх — ctg 2х tg ж — tg 2х
2. Найти действительные решения системы уравнений
IQ
2xz Ч---1-3 = 0,
У
4
Vz + ~ ~ 2 = 0,
ху + | + 2 = 0.
3,	Решить неравенство
1/log2|3;|-42x2 + 3) + —^==	log2|H-^ (2ж2 + 3).
V 3	3
4.	В треугольнике АВС угол АСВ прямой, АВ = 12. Биссектриса угла АВС и медиана АР пересекаются в точке О. Окружность радиуса 3 с центром О пересекает сторону АВ в точках К и L (А лежит между А и А"), пересекает сторону ВС в точках М и N (М лежит между В и N) и касается стороны АС в точке Т. Найти ВС, угол МOL, СМ.
5.	Найти все значения параметра Ь, при которых для любого значения параметра а существует тройка действительных чисел (x,y,z), удовлетворяющая системе уравнений
Г ах + 4у = z1 + 1, [ х + ay = z — Ь.
6.	В пирамиде SABC каждый из углов ASB и ASC равен arccos -тдд, угол BSC прямой, ребро SC равно а. Центр сфе-V ^0
ры, вписанной в пирамиду SABC, лежит на высоте SD. Найти SA, SD и радиус сферы, вписанной в пирамиду SABC.
МАТЕМАТИКА ♦ ЗАДАЧИ ♦ Билет 14
39
БИЛЕТ 13
1.	Решить неравенство
2.	Решить уравнение
(а/З cos 2х + sin 2х^ =7 + 3 cos ^2х —
3.	Решить систему уравнений
8у logy х + {у - 4ж) log^ у = 16ж + 2у, 16ж logy X + (у — 7ж) loga. у = 8ж.
4.	Найти острые углы и площадь прямоугольного треугольника, если угол между медианой и биссектрисой, проведёнными из вершины прямого угла треугольника, равен а, а длина биссектрисы равна I.
5.	Среди первых ста членов арифметической прогрессии с положи-13 75	389 тт „
тельной разностью есть числа -g-, -у и -g-. Наити разность этой прогрессии. Найти наименьшее из возможных значений первого члена этой прогрессии.
6.	Внутри конуса с вершиной А и высотой 8 расположены сфера Si с центром Oi радиуса 1 и сфера S2 с центром О2 радиуса |, при-3
чём O1O2 = 2- Сфера Si касается плоскости основания конуса в его центре О. Обе сферы Si и S2 касаются образующей конуса АВ в точках Ai и А2 соответственно. Прямые O1O2 и АВ пересекаются в точке L. Плоскость П касается обеих сфер и пересекает отрезок Ai Д2 в его середине М. Найти длины отрезков Ai А2 и O2L, а также расстояния от точек L и А до плоскости 77.
1.	Решить неравенство
БИЛЕТ 14
х.
40
МАТЕМАТИКА ♦ ЗАДАЧИ ♦ Билет 15
2.	Решить уравнение
3.	Решить систему уравнений
( 16у logj. у + (ж - 7у) logy х = 8у, [ 8х log^ у + (ж — 4у) logy ж = 2ж + 16у.
4.	Найти острые углы прямоугольного треугольника и радиус вписанной в него окружности, если угол между медианой и биссектрисой, проведёнными из вершины прямого угла треугольника, равен а, а длина медианы равна т.
5.	Среди первых ста десяти членов арифметической прогрессии с 9 177	249
положительной разностью есть числа и -j-. Найти разность этой прогрессии. Найти наименьшее из возможных значений первого члена этой прогрессии.
6.	Внутри конуса с вершиной Т и высотой 8 расположены сфера Si с центром Oi радиуса 1 и сфера S2 с центром О2 радиуса при-3
чём O1O2 = 2- Сфера Si касается плоскости основания конуса в его центре О. Обе сферы Si и S2 касаются образующей конуса ТА в точках Ki и К% соответственно. Прямые OiO2 и ТА пересекаются в точке L. Плоскость П касается обеих сфер и пересекает отрезок К1К2 в его середине М. Найти длины отрезков АТ и OiL, а также расстояния от точек L и А до плоскости 77.
БИЛЕТ 15
1.	Решить неравенство
\J>/16ж + 36 + 6 ж.
2.	Решить уравнение
МАТЕМАТИКА ♦ ЗАДАЧИ ♦ Билет 16
41
3.	Решить систему уравнений
( 8у2 logy х + (у2 — 4х2) logj. у = 16ж2 + 2у2, [ 16ж2 logy х + (у2 — 7ж2) logjj. у = 8х2.
4.	Площадь прямоугольного треугольника равна S, угол между медианой и биссектрисой, проведёнными из вершины прямого угла, равен а. Найти острые углы треугольника и длину биссектрисы.
5.	Среди первых девяноста членов арифметической прогрессии с 1 419	608 тт „
положительной разностью есть числа ъ, -гр- и -г— Наити раз-О ± о ± о
ность этой прогрессии. Найти наименьшее из возможных значений первого члена этой прогрессии.
6.	Внутри конуса с вершиной А и высотой 8 расположены сфера Si с центром Oi радиуса 1 и сфера S% с центром С>2 радиуса при-3
чём О1О2 = 2’ Сфера Si касается плоскости основания конуса в его центре О. Обе сферы Si и S2 касаются образующей конуса АВ в точках Ai и А^ соответственно. Прямые OiO2 и АВ пересекаются в точке L. Плоскость П касается обеих сфер и пересекает отрезок А1А2 в его середине М. Найти длины отрезков AAi и OiL, а также расстояния от точек L и А до плоскости 77.
БИЛЕТ 16
1.	Решить неравенство
169	13
12ж -|-----1---
4	2
2.	Решить уравнение
(х/З cos 2х — sin 2х} — 5 + cos ^2х +	.
3.	Решить систему уравнений
Г 16у2 logj. у + (х2 - 7у2) logy X = 8у2, [ 8:;:2 logj. у + (х2 — 4у2) logy х = 2х2 + 16у2.
4.	Угол между медианой и биссектрисой прямоугольного треугольника, проведёнными из вершины прямого угла, равен а, а длина
42
МАТЕМАТИКА ♦ ЗАДАЧИ ♦ Билет 16
медианы равна т. Найти острые углы треугольника и расстояние от вершины прямого угла до центра окружности, вписанной в треугольник.
5.	Среди первых восьмидесяти членов арифметической прогрессии с положительной разностью есть числа и -ур Наити разность этой прогрессии. Найти наименьшее из возможных значений первого члена этой прогрессии.
6.	Внутри конуса с вершиной Т и высотой 8 расположены сфера Si с центром Ох радиуса 1 и сфера S2 с центром О2 радиуса при-3
чём O1O2 = 2- Сфера Si касается плоскости основания конуса в его центре О. Обе сферы Si и S2 касаются образующей конуса ТА в точках К\ и К2 соответственно. Прямые O1O2 и ТА пересекаются в точке L. Плоскость П касается обеих сфер и пересекает отрезок К1К2 в его середине М. Найти длины отрезков ТК2 и O2L, а также расстояния от точек L и Д до плоскости П.
ФИЗИКА ♦ ОТВЕТЫ И РЕШЕНИЯ ♦ Билет I
43
ФИЗИКА
БИЛЕТ 1
1.	Рассмотрим случай а = g, когда сила трения уже равна своему максимально возможному значению (F = g.N), но проскальзывание ещё не началось и ускорение бруска равно а. Из системы
{F — mg cos а = та sin a,	,
.	ajy = та sm а + mg cos а,
Л/ + mgsin а = та cos а, или <
л	TV = та cos а — me sina,
F = \k	°
находим
та sin а + mg cos а atga + g 0,2 + 1
g =-----------=-------------- = 1,5.
та cos а — mgsin а a —gig а 1 — 0,2
Второе решение-. Пусть Q = F + N — полная сила реакции, действующая со стороны доски на брусок (см. рис. 2) Если F = = gTV, то tg<p =	= щ кроме того, tg(<p — а) = Отсюда
получаем
а + tg а
g = tg <р = tg((<p - а) + о) = —— ------.
1 - Jtgo
2.	Пусть Т1 = Т3 = Т, Т2 = 2Т. Из условия следует, что И123 = || А13. Первое нача-
44
ФИЗИКА ♦ ОТВЕТЫ И РЕШЕНИЯ ♦ Билет 1
ло для процесса 1-2-3 (17i = U3, Q23 = 0) даёт
Д123 = <2123 — At^l23 = <2123 = <212 =	~ Т1) = VcT.
Работа Д13 равна площади трапеции:
Л1з = |(Р1 + Рз)(^3-71) =
= |(Pi + Рз)ЗУ = | (PiVi + Рз=
= ^(PiV + P3V) = I (uRl\ + ^RT3} = ^-vRT.
Z	Z у	4 J о
Из условия m 16 15
VCT = 15'1VRT
находим c = 2R.
3.	Пусть E — напряжённость поля, которое было бы в конденсаторе в отсутствие диэлектрика при тех же зарядах на обкладках. Тогда поля в диэлектриках равны соответственно Е\ = — и Е2 = £ 1
= Из условия Pidi + £’2^-2 = & находим Е;
ЕЕ	&	£i £9
—ch + -d2 = <Г, E = -------- =	* 2	.
£1	£2	«1 , «2 Eid2 + £2«1
El £2
Поле Pi складывается из поля E зарядов пластин и поля Е[ связанных зарядов q' на поверхности диэлектрика:
Pi = Е+Е{, Е{ = Е^ — Е =— — Е = Е \ —— 1\ = £1 \£1 ) £1
р' = - =	, д' = S£Oe' = -s£Oe£-^ = -S£0^ (£1 ~1)£2 .
£o cob	£1	£ia2 + £2«i
4.	Напряжение на левом резисторе равно 3 В, через него идёт ток 1 А влево. Напряжение на правом резисторе равно 6 В, ток через него 2 А влево. Так как сумма токов в узле равна нулю, через амперметр идёт ток 3 А вверх.
5.	Увеличенное изображение предмета может дать только собирающая линза (F > 0). Прямое изображение предмета обязатель-
ФИЗИКА ♦ ОТВЕТЫ И РЕШЕНИЯ ♦ Билет 3
45
но мнимое (Ь < 0). Решаем систему:
b
а
1 1„1
а + b “ F ’
= 3,
I = |а + Ь\,
а > 0, b < 0, F > 0.
Раскрытие модулей даёт: + | = р,Ь = ~3а,1 = — (а + Ь) = 2а. 111	2,, ,	,, , 4,,
---— = дд , а = b = —2F, I = -F а За F 3	3
о	w	,.Ь F b — F
Второе решение. Увеличение Г = - = а_ р = р , причём мнимому изображению предмета соответствует отрицательное увеличение. Из условия Г — —3 находим а — F — —F/3, b — F — —3F или а = 2F/3, b = — 2F. Предмет и изображение находятся по одну сторону от линзы на расстояниях 2F/3 и 2F соответственно. Расстояние между предметом и изображением равно I = 2F - 2F/3 = 4F/3.
БИЛЕТ 2
1. д =
atgap +g = j 5 а ~ gtg а0 ’
2.	с = 2R.
3	п' — — £1 ~~ 1 О. Qi —
1	Е1+Е2
4.	1 А вниз.
5.2.
БИЛЕТ 3
l.	tga= = а + цё
2.	А123 = 1600 Дж.
з.	д' = s£o^ ~ 1)£J . £1Я2 + £2Я1
4.	6 А вверх.
5
Р. 4.
46
ФИЗИКА ♦ ОТВЕТЫ И РЕШЕНИЯ ♦ Билет 5
БИЛЕТ 4
1 + /J, tg Cl() _ д-tgcHi
= 400 Дж.
2. А123
3. q' =
4. 5 А вниз.
5 i
' 2’
БИЛЕТ 5
1.	При гармонических колебаниях: х = Acoswi, v = — wAsinwt
а. = —ix2Acosa>t. Отсюда находим:
1 \	2 л (2?г\2 .	4?т2А
1)	ат = ш£А = (	} А =7
( v \2 ( ( а \2	1 г, 3	\/7
2)	—	+ —	=1. При а = -т ат получаем v = -р vm =
\/7 л 7т\/7А
- 4 шД - 2Т .
2.	Изменение давления газа при перемещении поршня обусловлено только пружиной, т.к. атмосферное давление и вес поршня постоянны. При перемещении поршня на расстояние ж вверх объём увеличивается на ДИ = Sx, давление тоже увеличивается кт	к
на ДР - у и ДР = ДИ- Обозначим начальные значения
Ро и Vq- Тогда конечные значения: Р = аРо = 2Р0, V = То =
= | То- Изменения: ДР = (q — 1)Р0 = Ро, ДИ =
= | Tq. Из двух уравнений ДР =
~~V0 =
О'
-Д ДИ, PqTq = uRT находим
О
Ро =
A lv р2_ JLpv - JL.pt р _ 1 !kyRT
S2 2У°’	0	2Р2Р° 0	252 Р ’	0 SV Ч '
3.	В установившемся режиме ускорение перемычки равно нулю и сила Ампера равна силе тяжести: BIL = mg. Ток но перемычке течёт влево и равен I = РР = 4 А. Скорость находим из системы уравнений:
ФИЗИКА ♦ ОТВЕТЫ И РЕШЕНИЯ ♦ Билет 6 47
' I — Il + I2, <5) + $ = 71 г, < ^и=/2Я, К’и = BvL,
< BIL = mg, mg S \ Rr BL r ) BL(R + r)
Рис. 4
4.	См. задачу 3 билета 1.
г .л д.	Ill
5.	Из формулы линзы - + = р находим связь малых перемещений изображения Да и источника Д5:
Да Д5	. ,	Ь2
--х----= 0, или До = —5-Да.
а2 b~	а~
Отсюда следует связь модулей мгновенных скоростей изображения и источника:	^2
^изобр = ^^ист-
Направления скоростей одинаковы.
1)	Изображение источника в зеркале движется со скоростью о 1 = v влево.
2)	Изображение источника в линзе движется вправо. При F	b
этом а = у, b = — F, - = —2, г>2 = 4г>.
3)	Третье изображение создаётся лучами, отразившимися от зеркала и затем прошедшими линзу (изображение в линзе изображения в зеркале). Его скорость г>з направлена так же, как щ
Ь	3
(влево), и равна г>з = - f i = 4г>, где а = к F,b = 3F.
а
БИЛЕТ 6
।	27TV>fYi .	гт1
\.ат= х= vmT.
п D _ \/3kvRT
Д Р° - 2S
О Т 2BL
~ R + 2rV- ‘
4.
Е1+Е2
m(R + 2г) о -
'mF"»=2'4 5 "
48
ФИЗИКА ♦ ОТВЕТЫ И РЕШЕНИЯ ♦ Билет 9
5.	г>1 = влево, г>2 = вправо, г>з = | вправо.
БИЛЕТ 7
_ 2тгЛ _ 8-\/27г2Л
’	~ ~rp , d	’
т _ 3S2F2
• 1 2kvR '
3. 1) 7 =
= 7,5 • 1СГ2 кг.
1,5 А. 2) т
BvL(R + г) rR
£ \ BL г) g
г	V	1
э.	г>1 = v влево, г>2 = вправо, г>з — v влево.
БИЛЕТ 8
2.
3.
4.
у2 Зтг
_ атТ Vm~ 27Г ’
452р2 kvR
т __ 2BI- _ 2B2L2S
1 _ R + 2r v' v° - m(R + 2r)
i' = r^Q-
El + E2
5.
V	V	V
г>1 = g влево, г>2 = g вправо,	вправо.
БИЛЕТ 9
1.	Начальную скорость находим из условия S = vot. Скорость на середине пути (г>2 = 2а связана с начальной скоростью (t>q = 2aS) соотношением v = vo/y/2. Отсюда получаем v = = SV^/t = 7 м/с.
2.	Хотя теплоёмкости ср и cv смеси неизвестных газов найти невозможно, задачу можно решить, воспользовавшись формулой Майера: ср - cv = R.
Qp = z/CpAT, Qv = vcv£±T, &.Q = i/(cp — с1))ДТ = —RAT,
ФИЗИКА ♦ ОТВЕТЫ И РЕШЕНИЯ ♦ Билет 9
49
ДАТ д = т W
= 100 г/моль.
3.	1) Так как по условию схема эквивалентна батарее при любой нагрузке, можно рассмотреть такие частные случаи, при которых задача легче всего решается. Например, <^0 равно напряжению на разомкнутых клеммах, а го можно найти, зная, что по проводнику, замыкающему клеммы накоротко, будет течь ток <^Ь/го-
При разомкнутых клеммах Аи В ток в контуре не идёт, напряжения на резисторах равны нулю и Uab = g, откуда получаем <у() = g.
Если клеммы замкнуть перемычкой с нулевым сопротивлением, то Uab = 0, поэтому через батареи потекут токи
h =	, ь = ~.
Ток через перемычку АВ равен
Т т g g	2 т + R	g
= h + h = - + —н =	/р , х , откуда г0 = -
г г + R r(R + г)	1
2r + R
2)	При подключении к батарее (g0, го) резистора Rx на нём будет выделяться мощность
р = (___А 2 О =
\r0 + RxJ (r0 + Rx)2'
Это выражение максимально при Rx = т0, в чём можно убедиться, например, с помощью производной.
4.	Увеличенное изображение предмета может дать только собирающая линза (F > 0). Увеличение равно
r:_^ = F _F а а — F х ’
где а — расстояние от предмета до линзы, а х = a—F — расстояние от предмета до ближайшего к нему фокуса. Положения предмета, дающие двукратное увеличение, соответствуют х = F/2 и расположены симметрично относительно фокуса на расстоянии F/2 от него (ai = F/2, а2 = 3F/2). Расстояние между этими положениями равно F, что по условию должно быть равно 6 + 3 = = 9 см, значит, F = 9 см (см. рис. 5). Теперь находим начальное
ФИЗИКА ♦ ОТВЕТЫ И РЕШЕНИЯ ♦ Билет 9
F/2	. хо J	F/2
6 см		3 см
	1	1	1	l_J	ш		1	1
F
Рис. 5
положение предмета: х0 =	—3 — 15 см Начальное увели-
чение: Го = F/x0 = 9/1,5 = 6.
5.	1) Обозначим скорость нижнего груза через v, тогда скорость верхнего будет v/4. Из закона сохранения энергии
т(г>/4)2 mv2	.
	= mgl(l - cos <£>о) + mg 41(1 - cos <g0)
находим
v = 4^^g/(l -cos<g0) =
2) Для нахождения периода колебаний необходимо получить уравнение гармонических колебаний ф +	= 0 и тогда Т =
= 2тг/ал Запишем закон сохранения энергии в виде (ф — угловая скорость маятника):
т(1ф)2	т(41ф)2
——|--------2,"-----C°S ~~ т£ ** COS = СОП8^ 
После упрощений
171ф2 — lOgcos = const.
Продифференцируем это соотношение по времени:
17/ 2фф + lOgsin <g ф = О, или
5g
+ 17/ Sin = °'
При малых (sin <g » <g) получаем уравнение гармонических колебаний
из которого находим
2 5g	[171
17/	у 5g
ФИЗИКА * ОТВЕТЫ И РЕШЕНИЯ ♦ Бижт 13 511
БИЛЕТ 10
1. s = ~vt = 14 м.
У2
Q	НЛ.Т or /
2. //. = т -~q— — 25 г/моль.
Q /э ~ г> __________ Г R	Г> __ ...   Г R
®° " 7+2Л А’ г° - г~+21Г :: ~ 0 “ г + 2R 
4. ^ = 1,5.
i нач
5. Vm = 2yJg gl, T = 27Гу^;.
БИЛЕТ 11
1.1 =	~ 5л/2с~7с.
V
2. m = /л = 100 г.
9 x® £>' r — (r + 2R)r R
3- ю0 - r + R, .0 - r + R ,Rx-U)
4. Го = 6.
5,'.m = f V7gl,T = 2n^.
БИЛЕТ 12
1.	S = at2 = 25 м.
2.	m = //	= 200 r.
riL^l
3.	<po = 2 (*^1 — ^2), T’o = R + 2’	= ro = R + 2'
4	— — 3
4.	Го - 3.
5.	vm = ^yl^gl, T = 2tt^J
БИЛЕТ 13
1. По условию ускорение автомобиля пропорционально его скорости: а = kv или v = kS. Отсюда следует, что v = kS + const,
52 ФИЗИКА ♦ ОТВЕТЫ И РЕШЕНИЯ ♦ Билет 13
т.е. скорость и перемещение связаны линейной зависимостью. Из пропорции(см. рис. 6)
Щ - V0 _ V2 - Vo
Si ~ s2 получаем S2 = Si = 50 m.
P
2P
P
2
3
11	।
J______>
о V 2V V
Рис. 7
2.7] = -щ, где Q+ = Q123 — полученное тепло, A = A123i = = PV — работа газа за цикл.
3	13
~(2P  2V - PV) = —PV, 2	2
1
13
<Э123 — ^4123 + U3 - Ui = 2PV +
^PV Г1 = 1з—
3. 1) Схема сбалансирована при RiR4 = R2R3. Диод будет открыт при
R2R3
Ri < —-— = 1,5 Ом.
/14
2) При Ri = 1 Ом диод открыт и Ддиод = 0. Общее сопротивление цепи
R _ RiR2 R3R4 _ 2	12 _ 50
“ Ri + R2 + R3 + R4 “ 3 + 7 ~ 21 M’
21
Ток через батарею I =	= -g- А. Соединённые параллельно ре-
зисторы Ri и R2 делят этот ток между собой в отношении Ri/R2, т.е.
т RZ т 14 л г R1 г 7 Л 1“Я1 + Я2/-5А’	2-Я1 + Я2/-5А’
ФИЗИКА ♦ ОТВЕТЫ И РЕШЕНИЯ ♦ Билет 13
53
Аналогично:
/3 =——1= — А, /4 =———/ = - А.
3 7?3 + Я4 5 ’ R3 + R3 5
Ток через диод	2
/д = /1 — /3 = - А.
5
4. В момент отрыва пластина имеет отрицательный заряд — qq, который она унесёт с собой. Заряд до находится из условия mg = — и равен до = y/2SEomg. Пусть в некоторый момент вре-мени заряды верхней и нижней обкладок равны q3 и </2 соответственно, а поля сверху и снизу от пластины равны соответственно Е3 и Е2 (положительным считаем направление вниз). Тогда р _ 91 9о 92 р _ 91 9о 92
1 2Se0 2Se0 2Se0 ’	2 2Se0 25е0 2Se0 '
Решая систему уравнений
Uo = Ei(d -а-К) + E2h, q3 + q2 = qo,
находим
2SeoUo = (qi - Q2)(d - «) + qo(d -a- 2h),
2SeoUo — Qo(d — a — 2h)
91 - 92 = --------у---:-------, Qi + 92 = Qo,
d — a 2SeoUo — Qo(d — a — 2h)
1
Q2 =	90 -
d — a
(d — a — h')y/2Seo,mg ~ SeqUo d — a
5. Предмет находится на расстоянии а = 3F3 от первой линзы, поэтому в ней получается действительное перевёрнутое изображение с увеличением	р 2
Г1 = —ИГ = о • а — г 1	2
Это изображение является источником для второй линзы, причём источник должен быть действительным, так как в противном случае итоговое изображение на экране будет перевёрнутым. Таким образом, вторая линза должна дать вдвое увеличенное действительное (т.к. на экране) изображение действительного ис-
54
1.
2.
3.
4.
5.
1.
2.
3.
4.
5.
ФИЗИКА ♦ ОТВЕТЫ И РЕШЕНИЯ ♦ Билет 15 точника. Решив систему
- + ^ = _,	~ — 2,
«2	^2	^2	°2
находим, ЧТО ЭТО ВОЗМОЖНО ТОЛЬКО При Я2 = 1,5F2, ^2 = 3F2-Расстояние от источника до экрана в этом случае равно I — а2 + + b2 = 4:,5F2. Другие положения линзы, дающие изображения того же источника на том же экране, можно найти из системы
111 , , л ---= a3 + b3 = 4,5F2. а3 b3 F2
Получаем ещё только одно новое решение: а3 = 3F2, b3 = 1,5F2. Увеличение, даваемое второй линзой, в этом случае равно Г2 = =	= |, а общее увеличение от двух линз Г = Г1Г2 = Вто-
рую линзу нужно переместить на расстояние а3 — а2 = У,ЪР2 = = 45 см>
БИЛЕТ 14
5з = 52-(51-52)^| = 250м.
47
71 “ 140-
Диод закрыт при R2 > 2,5 Ом, 7д = 1 А.
2Fh q~ g '
30 см, 1/4.
БИЛЕТ 15
Уз = v2 + (у? - щ) = 24 км/ч.
1
71 ~ 12-
Диод открыт при R3 > 2 Ом, /д = 0,8 А.
_ Se0U0 + h\/2S£0mg
91 ~ d-а
45 см, 4.
55
ФИЗИКА ♦ ОТВЕТЫ И РЕШЕНИЯ ♦ Билет 16
БИЛЕТ 16
l.S = Si^^- = Юм.
^1-^0
о _ 58
2.	93.
3. Диод закрыт при R\ < 2 Ом, /д = 2 А.
е>
5. F2 = 30 см, Го = 1/4.
56
МАТЕМАТИКА ♦ ОТВЕТЫ И РЕШЕНИЯ ♦ Билет 1
математика
БИЛЕТ 1
1. х = 7гп, х = ~ + тт, х = - arctg | + тт, п G Z.
Решение. Так как cos ж — совЗж = 2 sin х sin 2х, то исходное уравнение можно записать в виде
2sina?(4cos2£ + 8ш2ж — 3) = 0.
Уравнение sin ж = 0 имеет корни ж = тт, ж € Z, а уравнение
4 cos2 ж + sin 2ж — 3 = 0 равносильно каждому из уравнений
3 sin2 ж — 2 sin ж cos ж — cos2 ж = 0, 3 tg2 ж — 2 tg ж — 1 = 0, (3tgx + l)(tgx — 1) = 0, откуда
1	7Г
х = — arctg - + 7гп, ж = — + тт, п € iL>.
Решение. Область допустимых значений неравенства определяется условиями
8ж3 - 6ж + 2	0,	(1)
2ж + 3	0,	(2)
(3)
Неравенство (1) равносильно каждому из неравенств 8ж3 — 8ж + 2(ж + 1)	0, (ж + 1)(8ж2 — 8ж + 2)	0,
/ 1\2 8(ж + 1) ( ж — - ]	0,
откуда ж —1. Поэтому из (2), (3) и условия ж —1 следует, что ОДЗ исходного неравенства — промежуток ж — 1 с выброшенной точкой —
Значения ж €	1; —	— решения исходного неравенства,
так как его левая часть отрицательна при ж € (—1; — и равна нулю при ж = —1, а правая часть положительна при ж Е
МАТЕМАТИКА ♦ ОТВЕТЫ И РЕШЕНИЯ * Билет 1
57
Пусть х > — |, тогда исходное неравенство равносильно каждому из неравенств
8ж3 — 6х + 2 < (4ж2 + 4ж + 1)(2ж + 3), 20ж2 + 2О.с + 1 > 0.
Так как уравнение 20ж2 + 20ж 4-1 = 0 имеет корни Xi = — к —7=
£ V 5
11
и жг = — 5 4—/=, где Xi < — х, жг > — 5, то на промежутке J	л/5	J	J
1
х > — 2 решениями исходного неравенства являются значения х > ж2.
Решение. Из системы следует, что ху 0, а её первое уравнение можно записать в виде ж2 4- х2у = у(у2 4- 2жу) 4- 2у3, откуда, используя второе уравнение, получаем
х2 4- х2у = ху — х2у 4- 2у3, х2 -ху + 2у(ж2 - у2) = 0,
(х - у)(х + 2ху 4- 2у2) = 0.
Исходная система равносильна совокупности двух систем:
Г х - у = 0,	( х + 2ху 4- 2у2 = 0,
| х2 4- 2ху 4- У2 = х | х2 4- 2ху + у2 = х.
Из первой системы находим 4ж2 = х, откуда х = |, так как х
0, у = х = Из второй системы, складывая её уравнения, получаем х2 4- 4жу 4- 4у2 = у2, откуда следует, что либо х 4- 2у = = у и тогда х = —у, ж = 0 (из второго уравнения этой системы),
П	О л 2 О	3	9
либо х + 2у = ~~у и тогда х = —оу, 4у = Зу, у = х = —
Итак, система имеет два решения
4. г = —т==, ABCD = 2 arcsin . у15	16
Решение. Пусть М, L, K,G,F — точки касания окружности, вписанной в пятиугольник ABCDE, со сторонами АВ, ВС, CD, DE и ЕА соответственно, О — центр, г — радиус этой окруж-
Е
Рис. 1
58 МАТЕМАТИКА ♦ ОТВЕТЫ И РЕШЕНИЯ ♦ Билет 1
ности (см. рис. 1). Обозначим AF = AM = ж, МВ = BL = у. Так как АВ = ВС, то LC = х и КС — х.
Аналогично из равенств CD = DE, KD = DG следует, что EG = EF = — x. Тогда AE = 2x = 6, откуда x — 3.
Так как OF — высота и медиана треугольника АОЕ, то О А = ОЕ. Кроме того, в равнобедренном треугольнике АВС прямая ВО, пересекающая АС в точке N, делит пополам угол АВС и поэтому
BN ± АС, откуда следует, что ОС = О А.
Таким образом, О А = ОЕ = ОС = R, т.е. точка О равноудалена от вершин треугольника AEC, a R — радиус окружности, описанной около этого треугольника.
Пусть S — площадь треугольника AEC, АЕ = а, ЕС = Ь, АС = с, р = а "ft + с. Тогда
где а = 6, Ь = 7, с = 8, р — -у.
тл	21	9 7 5	/12-7А2	„	16
Из равенства у ' 2 ' 2 ' 2': \Д~) нах°Дим R = ду?, а из
AOEF, в котором OF = г, EF = 3, ОЕ = R, имеем z-т---------------------7	/162	11
г — у/ R2 — х2 = \-----9 = —= .
V 15	v/15
Найдём угол BCD. Из равенства треугольников АОВ и ВОС следует, что АОСВ = АО АВ = AOAF = а.
Аналогично из равенства треугольников EOD и DOC следует, что AOCD = AOED = /OEF = а.
МАТЕМАТИКА ♦ ОТВЕТЫ И РЕШЕНИЯ ♦ Билет 1 59
Следовательно, ABCD = АОСВ = AOCD = 2а, где
Г • И	„	 И
а = arcsm — = arcsm — , т.е. ABCD = 2 arcsm — .
R	16 '	16
5Л = М=7-±Д
Решение. Первое уравнение системы задаёт множество окружностей Ct с центрами С^(1 + 4t; 1 + 3t) и радиусами Rt = 3|t|. Если у = 1, то из уравнения следует, что х — 1 + 4t. Это означает, что каждая такая окружность имеет с прямой у = 1 единственную общую точку Л4(1 + 4i; 1), т.е. касается прямой у = 1 в точке At.
Второе уравнение системы задаёт окружность С радиуса R = = 2 с центром 0(5; 3), которая также касается прямой у = 1 в точке А(5; 1).
Система имеет единственное решение тогда и только тогда, когда окружности Ct и С касаются.
Заметим, что касание возможно лишь при t > 0, так как при t < 0 окружности Ct и С лежат по разные стороны от прямой у = 1 и At ± А.
При t > 0 возможны два случая. В первом случае касание происходит по прямой у = 1, т.е. At = А, и тогда t = 1. Во втором случае условие касания определяется уравнением ]00t |2 = = (Rt + Я)2, откуда (4 - 4t)2 + (2 — 3t)2 = (3t + 2)2, т.е. 2t2 -7 л. До - 7t + 2 = 0, t =	
6.	1) arcsm 6; 2) тт — arctg \/б; 3)
Решение. Пусть О — центр сферы, г = 3 — её радиус, ВС = = BiC*i = а — 5, AD = A^Dx = 7. Проведём через точку О плоскость П, перпендикулярную боковым рёбрам призмы и пересекающую прямые А ' ВВ±, СС' DDi в точках А', В', С, D' соответственно (см. рис. 2). Эти точки являются точками касания сферы с указанными прямыми, а центр О сферы лежит на ..i резке A'D'. Следовательно, A'D' —диаметр сферы и диаметр окружности, описанной около четырёхугольника A'B'C'D', т.е. A'D' = 2г = 6.
60
МАТЕМАТИКА ♦ ОТВЕТЫ И РЕШЕНИЯ ♦ Билет 1
Рис. 2
Так как при проектировании на плоскость П параллельные отрезки AD и ВС переходят в параллельные отрезки A'D' и В'С, то вписанный в окружность четырёхугольник A'B'CD' является равнобокой трапецией (А'В' = CD').
1)	Пусть у? — угол между прямыми AD и BB±. Этот угол равен углу между AAi ADi, так как BBi || АА{. Чтобы найти угол </?, проведём в плоскости AAiDiD через точку D прямую, перпендикулярную AAi и пересекающую AAi в точке Е. Так как D'A' ± AAi и D'A' = 2г = 6, то DE = D'A' = 6 и из £\ADE DE 6	.6
находим smу? =	= =,</? = arcsm = .
2)	Пусть а — двугранный угол между гранями BBiCiC и CCiDxD. Тогда а = AB'C'D', так как СС\ — перпендикуляр к плоскости П. Аналогично, если (3 — двугранный угол между гранями АА]В]В и AA]D]D, то (3 = АВ'A'D', причём а + {3 = = я (сумма противоположных углов четырёхугольника, вписанного в окружность, равна тг). Для нахождения угла (3 опустим из точек В' и О перпендикуляры В'К и OF на основания трапеции A!B'CD'(cm. рис. 2).
Тогда tg/З = ~	где А'К = | (A'D' - В'С), A'D' =
= 6’	= ДПТ = sin</?’ В'С' = ВС ' sin</? = 5 ’ 7 =
МАТЕМАТИКА + ОТВЕТЫ И РЕШЕНИЯ ♦ Билет2
61
= А'К = Иб-Т) = ^0F = V(W~ B'C'V =
/о	_ 6а/6
V 9 V 7 ) ~ 7 •
Следовательно, tg (3 — у/б, (3 = arctg \/б, а = тг - arctg \/б.
3)	Пусть V — объём призмы, S — площадь её основания, Si — площадь трапеции A'B'C'D', h — высота призмы. Тогда h = , 30
= 6.S, = A'D'aB‘C'-OF = Д-L .	= 71^,у = Sh.
Выразим S через Sp
Пусть M и L — середины AD и ВС соответственно, тогда ML ± AD, так как ABCD — равнобокая трапеция. Заметим, что A'B'C'D' — ортогональная проекция ABCD на плоскость П, а прямая OF — проекция ML на эту же плоскость. Так как OF ± A'D', то ML ± A'D'.
Таким образом, прямая ML перпендикулярна двум непараллельным прямым AD и A'D', лежащим в плоскости AA^DiD, и поэтому ML ± АА1. Отсюда следует, что проекцией прямой AAi на плоскость ABCD является прямая AD, а угол 7 между АЛ, и ABCD равен углу у? между AAi и AD, причём sin у? = 2г	6 с Si	Тег
= йШ7 = -г = =,а5 = —и = тт Si. Следовательно, ' Ъ	7 ’ sm (3	6
т/ си ^с 216^
7
БИЛЕТ 2
1. х = ~ + 7гп, х = — ~ + тт, х = — arctg + тт, n G Z.
о 7	i -.	4	..
2,-^^х < -1,х	-^-1.
Зф 15 ’ Тб)’ (6;9)’
7	2	1
4.	г = Z.EAB — я — 2 arccos = arccos 5.
V 5	о	У
5.	t =	( =
25
йю  4 о, [5 8()УТб
о. 1) arcsm 2) arctg ч /	3) —у—.
62
МАТЕМАТИКА ♦ ОТВЕТЫ И РЕШЕНИЯ ♦ Билет5
БИЛЕТ 3
j	7Г	1
1. х = 7гп, х = —	+ тт, х — arctg 4 + -тгп, п 6 Z.
2. —1 С х < —
За/57 - 17
16
3-('
1 1\ /4 2\
4; 2;Чэ; з;-
25	5	7
4. г = —т=, ААВС = % — 2 arccos = тг — arccos тг-2\/П	6	18
5.t= ~2,t =
-22 ±4 /Ш 9
zj 1,	3	,	3	243д/7
О. 1) arcsm 4; 2) -тт — arctg о) —g—.
БИЛЕТ4
1. х = ~ + тт, х = j + тт, х = arctg | + тт, п G Z.
з.
\ 35 35/ \ 2 2/
4.	г = —/==, ACDE = тт — 2 arccos = arccos у/231	2UU
5.	t = 2, t = 8±|2Z.
ft IX • 2 ox 4. ox 14x/35
0. 1) arcsm 2) arctg x / ; 3) —g—.
БИЛЕТ 5
1.(0; 0), (2; 4), (-2; 4).
Решение. Если x = 0, то у = 0 и система имеет решение (0; 0).
Пусть х 0. Перемножив почленно уравнения системы, получим
15ж2у2 = 4(у4 — ж4).
________МАТЕМАТИКА * ОТВЕТЫ И РЕШЕНИЯ ♦ Билст5_____________63 Пусть t =	> 0, тогда 4t2 — 15t — 4 = 0, откуда t = 15 ±
Так как t > 0, то t =	= 4, у2 = 4ж2. Если у = 2х, то из второго
уравнения исходной системы следует, что
5 v/2.r4 5 = 5.г2,	= 1, ж = 2 у = 4.
Если у = — 2х, то | = 1, х = —2, у = 4. Таким образом, система имеет три решения: (0; 0), (2; 4), (—2; 4).
2. х = тгк, х = — ~ + тгк, х = ±	+ 2тгк, fc 6 Z.
Решение. Преобразуем правую часть уравнения:
cos ^2х —	— cos (й.т + ^0 = 2 sin Зх sin (ж +	=
.	/ 7Г \
= 2 sm Зх cos — — х .
\ 4	)
Исходное уравнение равносильно совокупности двух уравнений sin 3s = 0 и у ctg — s) = 2 cos — ж) при условии, что ctg (д ~	°'
Первое из этих уравнений имеет корни х = п 6 Z. Если п = Зк, к Е Z, то х = тгк и ctg — irkj = ctg > 0. Если п = = Зк ± 1, то х = тгк ± — и ctg — тгк = (ctg ±	< 0.
Второе уравнение равносильно уравнению
ctg (д ~ j = 4 cos2 — ж) , если cos — ./'J > 0. Полученное уравнение равносильно совокупности двух уравнений
СОь I---х ) = G и
U J
4 sin ( — — х ) cos ( — — х | = 2 sin |-2x | = 2 cos 2s = 1.
\4 J \4	)	\2	)
Если cos — s) = 0, to x = — ~ + тгк, n e Z. Эти значения x являются корнями исходного уравнения.
64
МАТЕМАТИКА ♦ ОТВЕТЫ И РЕШЕНИЯ ♦ Билет 5
а если
Уравнение 2cos2rr = 1 имеет корни х = ± + тт.
Если п = 2к, то х — ± ~ + 2тгк и cos ~:
п — 2к + 1, то х = ±-- + тг + 2тгк и cos ~	<
Таким образом, уравнение имеет три серии корней: х = -тгк, х = —	+ тгк, х = ±	+ 2тгк, fc € Z.
1	л л , 5 .	25 — V65 л , /7	„
1 — у < х < 0, 0<ж^1,	---g--, 1 + л/ < х < 3.
Решение. Так как 6 + 4ж — 2ж2 = (6 — 2ж)(1 + ж), то полагая log1+a.(6 — 2х) = t, запишем исходное неравенство в виде
2	1
	<	- или 1+t----------9-1
2 t
f2 - 3f + 2
2 t
~+t 2t - 1 ’
О,
(t-2)(t-l) Q
(1)
Множество решений неравенства (1) — совокупность промежутков	1	z ,
7	t 2, - < t < 1, t < -1.	(2)
При решении неравенства (2) нужно учитывать, что ОДЗ исходного неравенства определяется условиями 1 + ж>0, ж^О, 6 — — 2ж > 0, ж откуда следует, что ОДЗ — интервал — 1 < ж <
2	5
< 3 с выброшенными из него точками 0 и
1) Пусть t 2. Рассмотрим неравенство
t = 1оё1+х(6 - 2ж)	2,
равносильное неравенству
logi+l(6 - 2ж) log1+x(l + ж)2.	(3)
Если -1 < ж < 0, то из (3) следует, что 6 — 2ж < ж2 + 2ж + 1 или ж2 + 4ж — 5	0, откуда ж < -5 или ж 1.
В этом случае решений нет, так как ж е (—1,0).
МАТЕМАТИКА ♦ ОТВЕТЫ И РЕШЕНИЯ ♦ Билет 5
5
Если 0 < х < 3, х ± 2>то из (3) следует неравенство
а;2 + 4а; — 5 О,
откуда -5 О 1и,с учётом того, что х > 0, получаем множество решений 0 < х 1.
2) Если | < t 1, то
log1+l. у/1+х < log1+l(6 - 2а;) Iog1+I(1 + х).	(4)
Пусть -1 < х < 0, тогда неравенство (4) равносильно системе неравенств
J 6 - 2х 1 + х,	.
[ 1 + х > (6 — 2а;)2.
5
Из первого неравенства системы (5) следует, что х а второе неравенство равносильно неравенству
4а;2 - 25а; + 35 < 0, откуда ад < х < х%, где ад = 25	> 1, Х2 = 25 t v'^. В этом случае решений
О	О	о
нет.
5
Пусть 0 < х < 3, х 2> тогДа неравенство (4) равносильно системе
Г . 5
Х 3 ’	(6)
I 4а;2 — 25а; + 35 > 0.
Решения второго неравенства системы (6) — совокупность про-
межутков х < Xi и х > х%, где х% > 3, х\ <
Итак, множество решений системы (4) — промежуток Г5 \	25 - г/65
3 ; ад I, где ад =-&---.
3) Если t < —1, то
logi+x(6 - 2а;) < log1+l .	(7)
Пусть х Е (—1,0), тогда 6 — 2а: > и 2а;2 — 4а: — 5 < 0, откуда ад < х < ад,
где ад = 1 -	-1 < ад < 0, х± > 0.
66
МАТЕМАТИКА ♦ ОТВЕТЫ И РЕШЕНИЯ ♦ Билет 5
В этом случае множество решений неравенства (7) — интервал (а?з,0), т.е. ^1 —	0^ .
5
Пусть х G (0,3), х 2> Т0ГДа неравенство (6) равносильно неравенству
2ж2 - 4х - 5 > 0,
5 г>
откуда х < si и х > х%, где х^ > В этом случае множество
решений неравенства (7) — интервал (х%,3), т.е. ( 1 + у/|, 3 j.
4 7 2V6 г, 12
Решение. Пусть Кь L\, Mi — точки, в которых окружности От, О2, Оз касаются окружности О. Тогда центрами этих окружностей являются середины отрезков КК±, LLi и ММ\ (см. рис. 3). Пусть Р — центр окружности О, ZBPK = = ZAPK = a, ZCPL = ZBPL = [3, ZAPM = ZCPM = = 7, тогда о-+/1 + 7 = тх, а радиус г окружности Оз определяется формулой
где PM = R cos 7 =
|(Л-РЛ7),
Так как cos a
R - — _ _____2_
yi _ 1 - 2V6
PK R
1
= 2> то sm
~-R(l + cos(a + /3)).
2 7? — — /?
R-KKr	3	1	.
R ~ R. " 3’ C0S^ -
2V2 . ,, —3—, snip =
1
6 “
3	6
Тогда r = I R fl + 1	= й (3 * * * 7 - 2^’l
5. 5(a) = (\/6 + 2 cos a — 4 sin a + I)2 — 5; ir — arctg2.
Решение. Пусть К — множество точек (а?,у), удовлетворяю-
щих неравенству а;2 + у2 < 2(a?cosa + у sin а). Это неравенство
МАТЕМАТИКА ♦ ОТВЕТЫ И РЕШЕНИЯ ♦ Билет 5	67
Рис. 4
Рис. 3
равносильно неравенству (ж — cos а)2 + (у — sin а)2 < 1 и поэтому К есть круг (вместе с его границей) радиуса 1 с центром A(cos a; sina). Заметим, что значение функции f(x,y) = (ж + + I)2 + (у - 2)2 - 5 равно р2 - 5, где р — расстояние от точки В(—1; 2) до точки М. Точка В лежит вне круга К, так как
АВ2 = г2(а) = (—1 — cos а)2 + (2 — sina)2 =
1	2	\
= 6 + 2 cos а — 4sin а = 6 + 2v5 —7= cos а-7= sina =
Vb )
= 6 + 2\/5cos(a + 99)	6 — 2\/5 > 1.
Функция /(ж,у) примет наибольшее значение /тах на множестве К тогда и только тогда, когда р = ВМ будет наибольшим. Это наибольшее значение /тах равно ВС = В А + АС, где В А = = r(a), АС = 1 (см. рис. 4), С — точка пересечения прямой В А с границей круга К, В и С лежат по разные стороны от точки А.
Следовательно, рП1ах = т’(а) + 1 = \/6 + 2 cos а — 4 sin а + 1, а /тах = Ртах ~ 5 = s(«) = (^6 + 2 cos a - 4 sin a + I)2 - 5.
Наименьшее значение функция у (а) примет в той же точке, что и функция /1(a) = 2 cos а — 4 sin а. Уравнение /г/(а) = — (2 sin а + + 4 cos a) = 0 имеет на отрезке [О,тг] единственный корень ао =
68 МАТЕМАТИКА ♦ ОТВЕТЫ И РЕШЕНИЯ ♦ Билет 5
= тт — arctg 2, причём /г.(ао) = —т= = —2\/5. Так как /г(0) = 2, /г(тг) = —2, то А‘(ао) < ^(0) и /г(а,о) < /г-(тг). Следовательно, наименьшее значение функция /г(а), как и функция д(а), принимает при а = -тт — arctg 2.
Решение. 1) Пусть О — центр сферы (см. рис. 5). Тогда отрезки OBi и ОAi перпендикулярны соответственно граням ACD и BCD и поэтому лежат в одной плоскости. Следовательно, высоты AAi и BBi пересекаются в плоскости Q, которая пересекает CD в точке Е и перпендикулярна CD, так как AAi J_ CD и BBi _L ± CD.
Кроме того, EBi = EAi, так как отрезки EBi и EA-\
являются касательными к сфере, проведёнными из точки Е.
Так как OBi = ОАг = R, где R — радиус сферы, и EBiOA = = EAiOB, то прямоугольные треугольники BiOA и AiOB равны, откуда следует, что АЕ = BE.
Прямоугольные треугольники ВЕС и АЕС равны, так как они имеют общий катет СЕ и АЕ = BE, откуда следует, что АС = = ВС.
Аналогично, из равенства прямоугольных треугольников BED и AED следует, что BD = AD.
Прямая ЕС, образующая равные углы с прямыми BE и АЕ, пересекает отрезок АВ в его середине М, причём М — середина хорды LK окружности радиуса R, проходящей через точки А], Вь К, L.
МАТЕМАТИКА * ОТВЕТЫ И РЕШЕНИЯ ♦ Билет 5
69
По теореме о касательной и секущей, проведёнными к этой окружности из точки В,
В Al = В К  BL =
KL\ (АВ тИт
KL ‘Г
ю 10
АВ2 - KL2 1и “ Т _ 5
4	“ 3 ’
4
откуда В Аг =
Пусть АО = ВО = х. Тогда по теореме Пифагора из треугольников АА^В и АгОВ находим
(ж + 7?)2 + | = 10, х2 = Р2 + | , О	О
откуда х + R= , R= ~^R~	, х = \/3 
Заметим, что ME ± CD и ME ± АВ. Поэтому ME — расстояние между рёбрами АВ и CD. Для нахождения ME вое-ME	В В
пользуемся тем, чтоММЕ ~ ДАВВг. Тогда	где
ВВ\ = х + R ~ ВМ =
V
=
- ут
“ 2 ’
2) Рассмотрим 'треугольник СЕМ. Пусть Q и Р — проекции точек Е и О на СМ (см. рис. 6). Так как
СМ = ^ВС2 - ВМ2 =
_ X _ 12 “
^-5 = Д5, 2	2
СЕ=/-,
ю из равенства СМ  EQ = ЕМ  СЕ находим EQ =
2х/3’
ОР
Из подобия треугольников ОРМ и MEQ следует, что -^q =
70	МАТЕМАТИКА ♦ ОТВЕТЫ И РЕШЕНИЯ ♦ Билет 6
= где ОМ = \/ОВ2 - ВМ2 = А/3 -	± откуда
HjIvI	у	V —
ОР = -Д=. Пусть г — радиус окружности, высекаемой на сфере 2 у 3
плоскостью АВС. Тогда г = \/7?2 — OP2 =
%/5
2 ’
3) Пусть V — объём пирамиды ABCD, тогда V = i ВВ\  S, О
где S — площадь треугольника ADC.
Так как АЕ = VME2 + МА2 =	+1 = л/15 =
= BE, СЕ = \/ВС2 - BE2 =	- 15 = ^/|, DE =
= VAD2 - АЕ2 = V25 - 15 = л/W, то S = | АЕ(СЕ + DE) = чч/15 (,VW , /тр\ 15^/6 ТЛ 1	5	15л/6	25\/2
“2^2 +V1UJ -	4 , V - 3	•	4	-	4 .
БИЛЕТ 6
1. (0; 0), (-2; 4), (2; 4).
2. X — ТХП, X —	+ 7ГП, х = ±	+ 7г(2п + 1), п G
3.-1-
-2, —2

8
- 1
1.
4	У.12 д
12
2
53 о	. о\ 37	, а
-у + 2 cos а ~ 12 sm а — 2 1 —— arctg 6.
, 16.
МАТЕМАТИКА ♦ ОТВЕТЫ И РЕШЕНИЯ ♦ Билет9
71
БИЛЕТ 7
1. (0; 0), (4; 2), (4;-2).
БИЛЕТ 8
1. (0,0), (4; —2), (4; 2).
2. х =	+ тт, х =	+ тт, х =	+ 2т, х =	+ 2тт, n € Z.
о.,	JW65,	/7/ г
о+ ет + < т < 2д < т< т < ---------g---, 3 + л/ 2 < ^ < 5.
4 4+ У^5 д
12 Л-/ /----------------:—	\ 2
г / \	( /49	2 cos a sin а 1\	5	,	, 1
5- 5(а) =	36 ~ -^3----3“ " з) ~ 4’7Т + arct§ 2'
9 3 /7 81
л/2’ 2 у 5’ 272-
БИЛЕТ 9
1.ж = n + 57 neZ, / -Z. 5 ’	'
Решение. Преобразуем знаменатели дробей левой и правой частей уравнения:
cos 2х cos х sin х	1
Ctg 2х — Ctg X =-------;- =	;—— = ;—~ ,
sm 2х	sin х	sm х • sin 2х sm 2х
sin х 7 0;
72 МАТЕМАТИКА ♦ ОТВЕТЫ И РЕШЕНИЯ ♦ Билет 9
cos 4х cos Зх	sin х
ctg 4х — ctg Зх =-------------=-----------;--- .
sin 4х sin Зх sin Зх • sm 4х
ОДЗ уравнения определяется условиями
sin х 0, sin2x • sin3x  sin4x О, откуда
sin4x^0, sin Зх 0.
Так как sin Зх = sinх(3 — 4sin* 2 х) — sinх(1 + 2 cos 2х), то ОДЗ уравнения — значения х такие, что
!• sin4x 0, cos2x — -
или sin х	0, cos х 0, cos 2х 0, cos 2х — % •
При выполнении этих условий исходное уравнение равносиль-
но каждому из уравнений
cos х  cos 2х  sin 2х cos Зх  cos 4х • sin Зх  sin 4х • sin х
sin х  sin 2х	sin Зх  sin 4х • sin х
cosх cos 2х = cos3x  cos4x, cos3x + cosx = cos7x + cosx,
cos 3x — cos 7x = 0, sin 5x  sin 2x = 0, sin 5x = 0,
откуда x = -E-, n e Z.
Найденные значения x являются корнями исходного уравне-
ния, если п 5к, A; G Z.
2. (—1; 2; 3).
Решение. Если xyz 0, то исходная система равносильна следующей	.
I xyz - - (1 + -г),
] xyz = -2(1 + у), ( xyz = 2{х — 2).
Выразим из этой системы z и у через х. Получим
у = 1 — х, z = -(5 - 4ж).
Подставив найденные значения у и z в третье уравнение системы, получим
4.г3 — 9х2 — х + 12 = 0 или (х + 1)(4х2 — 13х + 12) = 0, откуда х = —1, у = 2, z = 3.
Уравнение 4х2 — 13х+12 = 0 не имеет действительных корней.
МАТЕМАТИКА ♦ ОТВЕТЫ И РЕШЕНИЯ ♦ Билет 9
73
3. х < —1, х >
Решение, а) Пусть х > 0, тогда исходное неравенство примет вид	______
log2z(4£2 + 3) + -4= < log2;c(4a;2 + 3).
(1)
Если 0 < х < |, то правая часть (1) отрицательна, а левая либо не определена, либо неотрицательна. В этом случае неравенство (1) не имеет решений.
Если х > |, то неравенство (1) равносильно неравенству
1	2
t+ —= < t.
(2)
где t = log2l(4a;2 + 3) > log2a. 4x2 = 2.
Но если t > 2, to t2 > 2t. Кроме того,	при x >
> Поэтому t + 4= < t + y/2 < 2t < t2, откуда следует, что неравенство (2) является верным при х >
б) Пусть х < 0, тогда исходное неравенство примет вид
ч /log_I.(4x2 + 3) Ч—4= < log_I.(4x2 + 3) или V	х
^logt(4t2 + 3) +	< logt(4f2 + 3), где t > 0, t 1.	(3)
Если 0 < t < 1, то неравенство (3) не имеет решений.
Пусть t > 1. В этом случае обе части (3) положительны и неравенство (3) равносильно неравенству
 + ± < и2.	(4)
где и = logt(4f2 + 3) > logt t2 = 2, 4 < 1. Отсюда следует, что и2 > 2и > и + "4 и поэтому неравенство (4) является верным при всех t > 1, т.е. при — х > 1, откуда х < -1.
74
МАТЕМАТИКА ♦ ОТВЕТЫ И РЕШЕНИЯ ♦ Билет 9
Итак, множество решений неравенства состоит из промежут-ков х < —1, х > 2'
4. АС = 7, EKON = -тт — arccos AM = 3.
О
Решение. 1) Пусть АЕ — биссектриса угла ВАС (см. рис. 7),
АС = Ь, ВС = а, тогда СР = АР = Так как АВ — 21, то по
BE АВ свойству биссектрисы треугольника АВС находим	=
С h/ АС
21
= -у, откуда
21
BE = — СЕ.	(1)
о
Из подобия треугольников ВРС и ОТВ следует, что
ВТ	ОТ	h
— = — , где ОТ = 3, PC = - ,ВС = Ь, откуда
jD С	1 С	2
о
Аналогично, из подобия треугольников АСЕ и ОТЕ находим
ТЕ ОТ 3
СЁ = АС = Ъ ’ °ТКуда
3 ТЕ = -СЕ.
о
Из (1) — (3) следует, что
= ВТ = ВЕ + ТЕ = ^СЕ, о	Ь
(2)
(3)
МАТЕМАТИКА ♦ ОТВЕТЫ И РЕШЕНИЯ ♦ Билет 9 75
о	21
СЕ - - , BE = — СЕ, 4	b
(	21\ а (	21 \
ВС = BE + СЕ = СЕ 1 + — = - 1 + — = а, \ ь ) 4 \ ь /
откуда b = 7, т.е. АС -- 7.
2) Пусть ECAE = EBAE = a, D и F — основания перпендикуляров, опущенных из точки О на АВ и АС, тогда D и F — середины отрезков KL и MN соответственно, CD = OF, ОК = = MF = OL = ON, АК = AM, KL = MN, AKOD = ANOF.
Так как AC AB + AFOD = tv, to 2a + AKON = tv, откуда
AC 1
AKON = iv - 2a, где cos 2a = ^ = 4 Ad о
n	1 D
2a = arccos Следо-
О
вательно,2KON = tv — arccos
О
3) Найдём AM = AK = AD - KD, где KD = y/9 - OD2. Ho OD = OF = CT = CE-TE = ACAga-OTAga = 4tga, где tg2« =	= I- tga = -i, OD = 2У2, KD =	=
= 1, AD = OD ctg a = 4, AM = AD — KD = 3.
Замечание. Решение можно упростить, применив гомотетию с центром В, переводящую треугольник ВОТ в треугольник ВРС.
Решение. Будем решать систему методом исключения одного из неизвестных. С этой целью из второго уравнения вычтем первое, умноженное на а. Получим уравнение (4 — аЕ)х = z2 — a(z + + b). Если 4 - а2 0, т.е. ja| 2, то из системы однозначно определяются ж и у, т.е. система имеет единственное решение при любых фиксированных значениях z и Ь.
В этом случае системой задаётся пара пересекающихся прямых.
11усть a = 2, тогда система примет вид ( 2х + у = z + Ь, [ 4ж + 2у = z2,
76________МАТЕМАТИКА ♦ ОТВЕТЫ И РЕШЕНИЯ ♦ Билет 9___________
откуда получаем г2 — 2(г + Ь) = 0. Это уравнение имеет действительные решения тогда и только тогда, когда
D = 4 + 8Ь 0, т.е. при Ь > — | .
Аналогично, при а = — 2 получаем уравнение z2 + 2г + 2Ь = 0, которое имеет действительные решения тогда и только тогда, когда 4 — 86 > 0, т.е. при b |. Таким образом, система имеет решения при любом значении а только в том случае, когда вы-
, .	1 , , 1	7.,- Г11 1
полняются условия 6 > — д и о < ту, т.е. при 6 G — л ,	.
Z	Z	I Z Z J
6. SA = SD = aJl, R =
3	V "	7+ y/7
Решение. Так как центр вписанной в пирамиду сферы лежит на её высоте SD (см. рис. 8), то SD образует равные углы с плоскостями ASB, ASC, BSC. Кроме того, из симметрии следует, что SB = SC = а, АВ = АС. Проведём плоскость через SD перпендикулярно АВ. Пусть эта плоскость пересекает АВ в точке Сд. Аналогично построим точки Bi, Заметим, что треугольники SDCi, SDBi, SDAi равны, так как они прямоугольные, имеют общий катет SD, а углы DSCi, DSBl, DSAl равны (как углы между SD и плоскостями ASB, ASC, BSC). Тогда SC[ = SBi = SAi и эти отрезки являются высотами боковых
МАТЕМАТИКА ♦ ОТВЕТЬ! И РЕШЕНИЯ ♦ Билет9
77
граней пирамиды. Из прямоугольного треугольника SBC находим его высоту S-4] =
Рассмотрим треугольник ASB. Пусть SA = b, AASB = а.
-г	1
1огда cos а = —?= и по теореме косинусов
---------	/	2
2яЬсоз а = л /я2 + Ь2-----=ab.
V	л/б
Так как SCi = SAr = 4= и АВ  SCi = SA  SB •
(1)
sin a,
a то —г=
•/2
= f Я Полагая
5
я2 + b2 —
= 0, откуда x =
ab =
2 т 7 2	2 l2
-y~ab = ab-/= откуда ст + (г-
/5	v5	v5
(L	2^3
= х, получаем уравнение х— х —	=
1	/1,3	3 с* л t
\/5 у 5	5	^/5	х 3
Тогда из (1) получаем АВ = 2а^. Так как SB = SC, то Al является серединой ВС, а из равенства АВ = ВС следует, что AAi является высотой треугольника АВС, причём AAi = = АВ2 -	|	• Пусть г — радиус
вписанной окружности треугольника АВС. Тогда г — DAl — = DBl = DCi. Из равенства (АВ + АС + ВС) г = АА^ • ВС, т. е. + ax/2у r = f t/l ’ а^' находим г = DAr =
Тогда SD = y/SAj - DAj = аА-^
Рассмотрим треугол! ik SDA^. Отразив точку Ai симметрично SD, получим точку А?. Пусть радиус сферы равен R. Заметим, что он равен радиусу окружности, вписанной в треугольник A2SA1. Тогда (2r + 2SAi) R — 2г  SD, т. е. ( /2 , дЛ D [2 [з D ax/3
яА / = + яу2 j R = Ял/ = • яА/ =, откуда R = ---j=.
78
МАТЕМАТИКА ♦ ОТВЕТЫ И РЕШЕНИЯ ♦ Билет 12
БИЛЕТ 10
<	, тт , тт
1.	ж = ± jtj + -у, ?г G Z.
2.	(3; 2; — 1).
3.	х < -2, х > 1.
4.	ВС — 11, AKON = тт — arccos ВМ = 5. 5
К 5 . , , 5
6. SA = t^-, SD = a./l,R= “"С.
4	у 5’	5 + V5
БИЛЕТ И
1.	х = п € Z, п 7т, m£Z.
2.	(2; — 1; 3).
3.	х < — х > 2.
4.	АС = 9, AMOL = тт — arccos СМ = 5.
5	L < а < _L
12 ь 12.
6. SA = SD = а<[^, R =
з	у 13’	13 + а/39
БИЛЕТ 12
<	____ 7Г 7Г72 гл
l.s = g +pfiez.
2.	(—1; 3; 2).
3.	х < —1, х > 3.
4.	ВС — 8, AMOL = тт — arccos СМ = 5. tj
5.6 = 0.
6. SA = SD = aA/f, R =
6	\/ 8’	x/24
МАТЕМАТИКА ♦ ОТВЕТЫ И РЕШЕНИЯ ♦ Билет 13
79
БИЛЕТ 13
1	9 ,	,
1-	8 х
Решение.
но решить
неравенство
2.
Для нахождения ОДЗ исходного неравенства нуж-9	3
4	— 2’ котоРое равносильно
о । 9 \ п	\	9
неравенству 2х + > 0, откуда х > —
Значения ж Е [— |; о] удовлетворяют исходному неравенству, а при ж > 0 оно равносильно неравенству
,2 _ 3
2 ’
9
2ж + -
Этому неравенству удовлетворяют значения х €
3	9
2 оно равносильно каждому из неравенств 2ж +
Е |, ж4 — Зж2 — 2ж 0, ж3 — Зж — 2	0, (ж + 1)2(ж -
откуда ж < 2. Итак, решениями неравенства являются значе-
— Зж2
ния х €
, а также значения х Е
и значения
, а при
.4 '
х Е
; 2 , т.е. множество решений неравенства — отрезок
2. ж = j2 + 7т’ п
Решение. Пусть cos ^2ж —	= t, тогда у/3 cos 2ж + sin 2ж =
= 2 cos ^2ж —	= 2t и уравнение примет вид
9	7
4£2 — 3t — 7 = 0, откуда Н = —1,	— - .
Следовательно, cos ^2ж —	= —1, откуда 2ж — ^ = тг + 2тгп,
7тг	гу
ж = j2 + 7ГП> п Е
3. (2; 16), (64; 256).
80
МАТЕМАТИКА ♦ ОТВЕТЫ И РЕШЕНИЯ ♦ Билет 13
Решение. ОДЗ системы определяется условиями х > 0, у > > 0, х 1, у 1.
Будем исключать из этой системы logy х. С этой целью вычтем из второго уравнения системы, умноженного на у, первое уравнение, умноженное на 2ж.
Получим уравнение
(у2 + 8ж2 — 9жу) log^. у = 4жу - 32ж2, которое можно записать в виде
(У - ж)(у - Mlog^y = 4ж(у - 8ж).	(1)
Так как ху 0, то исходная система равносильна системе, состоящей из уравнения (1) и второго уравнения исходной системы.
Из (1) следует, что либо
У =	(2)
либо у 8ж и тогда (у — х) logx у = 4х > 0, откуда у ф х и
1 og.z- У = —•	(з)
у - ж
а)	Если справедливо равенство (2), то из второго уравнения исходной системы следует, что
16 log8a. х + log^Sx) = 8, так как х 0.
Тогда t2 — 8t + 16 = 0, где t = logJ.(8a;), откуда t = log^Sa?) = 4, 8х = ж4, х3 = 8, х = 2, у = 16. Пара чисел (2; 16) — решение исходной системы.
б)	Если справедливо равенство (3), то из второго уравнения исходной системы следует, что
,	у + 5х
logy X = —----г .	(4)
4(у - х)
Перемножая уравнения (3) и (4), получаем
4х у + 5х -------- —----- = 1 или у-х 4(у - х)
ж(у + 5ж) = (у — ж)2, откуда
у2 - Зху — 4ж2 = (у — 4ж)(у + ж) = 0.	(5)
МАТЕМАТИКА ♦ ОТВЕТЫ И РЕШЕНИЯ ♦ Билет 13
81
Так как х > 0, у > 0, то х + у > 0 и из (5) следует, что у = 4ж.
Тогда из (4) и (6) получаем Нж(4ж) = ^ , 4ж = ж4/3,
(6)
4 = ж1//3, х = 64, у = 256.
Рис. 9
л 7Г 7Г , с I2 cos2 а 4. -т — а, -г + а\ b = -—.
4	’ 4	cos 2а
Решение. Пусть CD, СЕ и СО — высота, биссектриса и медиана, проведённые из вершины прямого угла С треугольника АВС (см. рис. 9),
ВО = АО = СО = т, CD = h. Тогда
АВСЕ = АЕСА = - , АС АВ = АОСА = - - а, 4	4
АС В А =-- АС АВ =	- + a,	ADCE + -	= АС В А =	-	+ а,
2	4	4	4
откуда ADCE = а, т.е. биссектриса СЕ делит пополам угол DCO.
Пусть S — площадь треугольника АВС, тогда S = | 2m  h = h cos 2a ’
I2 cos2 a cos 2a
= mh, где h = I cos а, т =
т < п < р 100 и
r , 2	7
t>. a = mmai = —
3	о
Решение. Пусть — к-й член арифметической прогрессии, d
— её разность, d > 0 по условию.
„	13 7ь 389	.
Если ат = -g-, ап — ар = -g~, то 1
справедливы равенства
10	75
— = ai + (т — l)d, — = ai + (п — l)d, 6	2
Обозначим s — п - т, t = р - п, тогда
389
— = Ш + (р - l)d.
s > 0, ^>0и2^в4
82
МАТЕМАТИКА ♦ ОТВЕТЫ И РЕШЕНИЯ ♦ Билет 13
+	99,	= откуда
|	= S, 53  t = 41 • s.
Так как t и s — натуральные числа, а 41 и 53 — взаимно простые числа, то t делится на 41, a s делится на 53.
Пусть t = 41г, где г € N, тогда s = 53г и 2 < s +1 = 94r С 99, откуда следует, что г = 1, s = 53 и разность прогрессии
_ 212 _ 212 _ 2
d ~ ”бГ “ 6 • 53 - 3 ’
13 2
Так как сд = -g- — (m-1) ир = т+94	100, то наименьшее
из возможных значений сд достигается при наибольшем из возможных значений т, которое равно 6. Следовательно, min од = _ 13 _ 2	_ 7
“6	3 ’ ° -	6‘
6.	лм2 = О2Ь = |, р(Т,Я) = I, р(А,П) = ff.
4	Решение. 1) Рассмотрим сечение конуса
А	плоскостью О АВ (см. рис. 10). Пусть К —
\	проекции точки О2 на OiAlt тогда О\К =
А =О1А1-О2А2 = 1-^1,А1А2 = О2К = I 1	/гл /5 т/д	9~ Зл/3
/ : \	=70102-Qiк -у4~1б~~-
/ ! \	Пусть АО АВ = а, тогда sin о =	=
I ' \	= так как OiA = ОА — ОО\ =8 — 1 = 7.
I	,	\ р	Из треугольника О АВ находим ОВ = А^В =
I	= tg“’ ГДе tg“ ' 47з’ Тогда 0В =
/- 8 - АВ = ОА = 8'7 = 14х/3 у \	~ 4%/3	3 ’	~ coso ~ 4,/з	3
/ Oiy	Так как А±В =	< AiA2, то точка А2 на-
I	ходится на отрезке А] А, а не на AiВ.
О В Из подобия треугольников LO2A2 и О\О2К Рис. 10
МАТЕМАТИКА ♦ ОТВЕТЫ И РЕШЕНИЯ ♦ Билет 13 83
следует, что
O2L ~ О[О2
О2А2 ~ ОуК ' гдеО2А2 = ^О1О2 = 1,О1К = 1.
Отсюда находим O2L = |.
2) Пусть A', L', О{, 0'2 — проекции на плоскость П (см. рис. 11) точек A, L, Оу и О2 соответственно. D — точка пересечения прямых 0^0^ и LO2.
Тогда М — точка пересечения прямых АВ и L'A'. Из подобия треугольников OyO'^D и O2O2D следует, что
0102 - D02 _ Oi Oi
DO2 ~ 020^
где Oi02 = 5, OiOi = 1, O2O2 = I. Отсюда находим ^-ООг =
= 4DO2, DO2 =	DL = DO2 + О2ь =	+ i = f.
Аналогично из подобия треугольников DLL' и DO2O2 следу-4
LL' DL LL' 5	г г/ 2
еТ’ ЧТ0 О^2 = DOD Т-е' ТД = Т’ °ТКУД = 3-
10
Наконец, из подобия треугольников МАА' и ALL' следует,
AM
ML'
АА' LL'
Найдём AM и ML. Из треугольника LO2A2
84
1.
2.
3.
4.
5.
6.
1.
2.
3.
4.
5.
6.
МАТЕМАТИКА ♦ ОТВЕТЫ И РЕШЕНИЯ ♦ Билет 15
находим A2L = д/LO% —	= у |	= Так как
МА2 = | Ai А2 = то ML = Далее, AM = АВ -
(пл ,1 л л >	И73	/2^/3 ,	Зл/ЗА 29л/3	г „
- (ВАг + 2 АгА2 I	= —j-----( -у- + I	= —Следо-
л л/ 2 29\/3	8	58
вательно, АА = ~ • —у— • —т= = уу.
3	8	5ч/з	15
БИЛЕТ 14
49 ,	, „
24 Х 3-
х —	+ 7гп, п G 7L.
О
(16; 2), (256; 64).
+ а, ~ — а; т(у/2 cos а — 1).
,	3	.	39
а = ^, mmai = —
АТ = Й’ °1L = 2’ p{L,n) = /’(ДЯ) " ?'
БИЛЕТ 15
- | х 4.
X = — - + 7ГП, п 6 Z. о
(х/2;4), (8; 16).
AtA2 = 4А ОгЬ = 2, р(Ь,П) = р(ДЯ) =
О	Ю
МАТЕМАТИКА ♦ ОТВЕТЫ И РЕШЕНИЯ ♦ Билет 16
85
БИЛЕТ 16
1	!69 А
2.	х = — я + тт, п G Z.
3.	(4; х/2), (16; 8).
4.	+ а, — a; m\/2(2cos а — 1).
г ,	4	.	13
а.	а = mmai = —
6.	ТК2 - 1373, 02L = 1, р(£,Я) = |, р(А,П) =