С.В .Анулова, А.Ю .Веретенников, Н.В.Крылов, Р.Ш .Липцер, А.Н.Ширяев
СТОХАСТИЧЕСКОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ
Итоги науки и техн. Соврем, пробл. матем . Фу ндам. направления. — В ИНИТ И, 1989. Т . 49 . С . 5 —260
Изложены основные вопросы стохастического исчисления, относящиеся к:
свойствам винеровского процесса и его связи с уравнениями в частных
производных, рассмотрены сильные и слабые решения стохастических
дифференциальных уравнений, эволюционные уравнения. Большое внимание
уделено стохастическому интегрированию по семимартингалам и случайным:
мерам, абсолютной непрерывности и сингулярности вероятностных мер,
предельным теоремам для семимартингалов.
Предисловие
7
Глава 1. Введение в стохастическое исчисление (Н. В. Крылов)
9
§ 1. Броуновское движение и винеровский процесс
9
§ 2. Вероятностная конструкция решения уравнения теплопроводности.
Связь винеровского процесса с оператором Лапласа
18
§ 3. Интеграл Ито и правила дифференцирования сложных стохастических
функций
21
§ 4. Стохастические дифференциальные уравнения и диффузионные
процессы. Теоремы Гирсанова
30
§ 5. Стохастические дифференциальные уравнения с граничными условиями 37
Литература
40
Глава 2. Стохастические дифференциальные и эволюционные
уравнения
42
I. Стохастические дифференциальные уравнения (СДУ) (С.В .Анулова,
А.Ю.Веретенников)
42
§ 1. Сильные решения стохастических дифференциальных уравнений
42
§ 2. Слабые решения стохастических дифференциальных уравнений с
негладкими коэффициентами в Ed
54
§ 3. Дифференцирование решений СДУ по начальным данным
59
§ 4. Инвариантная мера диффузионного процесса
62
§ 5. Носитель диффузии
64
§ 6. Стохастические дифференциальные уравнения в областях
68
Литература
77
II. Стохастические эволюционные уравнения (А. Ю . Веретенников)
80
§ 1. Введение
80
§ 2. Мартингалы и стохастические интегралы в гильбертовых пространствах 81
§ 3. Формула Ито для квадрата нормы
86
§ 4. Стохастические дифференциальные уравнения монотонного типа в
банаховых пространствах
87
§ 5. Стохастические дифференциальные уравнения в частных производных.
I. Первая краевая задача для нелинейных уравнений параболического
типа
90

§ 6. Стохастические дифференциальные уравнения в частных производных.
II. Задача Коши для линейных уравнений второго порядка
92
Литература
94
III. Стохастическое исчисление вариаций (исчисление Маллявэна).
Применения к стохастическим дифференциальным уравнениям
(А.Ю .Веретенников)
95
§ 1. Введение
95
§ 2. Стохастические производные
96
§ 3. Правила исчисления Маллявэна
100
§ 4. Гладкость плотности (схема доказательства)
102
§ 5. Подход Висмута. 1.
104
§ 6. Подход Висмута. 2. Стохастические дифференциальные уравнения
105
§ 7. Стохастические дифференциальные уравнения (гладкость плотности по
обратным переменным)
111
Литература
113
Глава 3. Стохастическое исчисление на вероятностных пространствах с
фильтрациями (Р.Ш.Липцер, А.Н .Ширяев)
114
I. Элементы общей теории случайных процессов
114
§ 1. Аксиоматика Колмогорова и стохастический базис
114
§ 2. Моменты остановки, согласованные случайные процессы, опциональная
и предсказуемая 0-алгебры. Классификация моментов остановки
116
§ 3. Мартингалы и локальные мартингалы
120
§ 4. Возрастающие процессы. Разложение Дуба-Мейера. Компенсаторы
122
§ 5. Случайные меры. Целочисленные случайные меры
124
§ 6. Локально квадратично интегрируемые мартингалы. Квадратическая
характеристика
126
§ 7. Разложение локальных мартингалов
127
II. Семимартингалы. Стохастические интегралы
128
§ 1. Семимартингалы. Квадратическая вариация. Квазимартингалы
128
§ 2. Конструкция стохастических интегралов по семимартингалам
130
§ 3. Формула Ито
133
§ 4. Конструкция стохастических интегралов по случайным мерам
134
§ 5. Характеристики семимартингалов. (Триплет предсказуемых
характеристик T=(B, C, ν). Проблемы мартингалов и семимартингалов.
Примеры
136
§ 6. Интегральное представление локальных мартингалов
140
§ 7. Устойчивость класса семимартингалов относительно ряда
преобразований
141
III. Абсолютная непрерывность и сингулярность вероятностных
распределений
142
§ 1. Локальная плотность. Разложение Лебега
142
§ 2. Теорема Гирсанова и ее обобщение. Преобразование предсказуемых
характеристик
144

§ 3. Интеграл Хеллингера и процесс Хеллингера
146
§ 4. Общие и предсказуемые критерии абсолютной непрерывности и
сингулярности вероятностных мер
149
§ 5. Частные случаи
151
Комментарий к главе 3
155
Литература
157
Глава 4. Мартингалы и предельные теоремы для случайных процессов
(Р.Ш. Липцер, А.Н .Ширяев)
159
I. Теория: слабая сходимость вероятностных мер на метрических
пространствах
159
§ 1. Введение
159
§ 2. Разные типы сходимостей. Топология Скорохода
161
§ 3. Краткий обзор ряда классических предельных теорем теории
вероятностей
167
§ 4. Сходимость процессов с независимыми приращениями
180
§ 5. Сходимость семимартингалов к процессам с независимыми
приращениями
191
§ 6. Относительная компактность и плотность семейств распределений
семимартингалов
204
§ 7. Сходимость семимартингалов к семимартингалу
206
§ 8. О проблеме мартингалов
214
II. Применения: принцип инвариантности и диффузионная аппроксимация 217
§ 1. Принцип инвариантности для стационарных и марковских процессов
217
§ 2. Стохастический принцип усреднения в моделях без диффузии
232
§ 3. Диффузионная аппроксимация семимартингалов. Принцип усреднения в
моделях с диффузией
235
§ 4. Диффузионная аппроксимация для систем с физическим белым шумом
239
§ 5. Диффузионная аппроксимация для семимартингалов с нормальным
отражением в выпуклой области
243
Комментарий к главе 4
250
Литература
251
ИМЕННОЙ УКАЗАТЕЛЬ
Альдус (Aldous D. J .) 205, 250, 252
Алюшина Л. А. 80, 94
Анулова С. В. 40
Баклан В. В. 80, 94
Барлоу (Barlow М. Т.) 53, 54, 78
Басе (Bass R. F .) 79
Башелье (Bachelier L.) 9
Белл (Bell D. R .) 95, 106, 111, 113
Бернулли Я. (Bernoulli J.) 167
Бернштенн С. Н. 30, 40, 41, 115, 157
Биллингсли (Billingsley P.) 77, 250,
251
Биркгоф (Birkhoff G. D.) 221
Висмут (Bisrnut J. M .) 95, 96, 103,
106, 107, 113
Бихтелер (Bichteler К.) 96, 113
Благовещенский Ю. Н. 59, 61, 77
Бобров А. А, 176
Боголюбов Н. Н. 232
Больман (Bohlmann G.) 115, 158
Боровков А. А. 250, 251

Броун (Brown R.) 9
Бутов А. А. 250, 251
Бхаттачария (Bhattacharya R. N.) 250,
252
Ван Шуппеп (Van Schuppen J. H .)
157, 159
Варадан (Varadhan S. R . S.) 47, 68, 72,
76
Ватанабэ (Watanabe S.) 30, 40, 41, 44
45 46, 47, 48, 52, 54, 64, 69, 79,
95, 96, 103, 104, 110, 111, 113,
114, 155, 156, 158, 185
Вентцель А. Д. 37, 41, 156, 157, 250,
251
Веретенников А. Ю . 33, 41, 46, 47,
48, 49, 52, 63, 77, 96, 106, 113
Винер (Wiener N.) 9, 96, 156
Вио (Viot M.) 88, 95
Вишик М. И. 92, 94
Волконский В. А. 250, 251
Вонг (Wong E.) 157, 159
Гаво (Gaveau B.) 113
Генис И. Л. 40, 41
Гильберт (Hilbert D.) 114, 158
Гирсанов И. В. 34, 35, 41, 144, 157
Гихман И. И. 30, 31, 40, 41, 47, 155,
156, 157, 250, 251
Гнеденко Б. В. 178, 179, 251
Голдштейн (Goldstein S.) 250, 252
Гордин М. И. 250, 251
Григелионис Б. И. 157, 250, 251, 252
Далецкий Ю. Л . 80, 94
Данфорд (Dunford N.) 81, 94
Деллашери К. (Dellacherie С.) 155,
156, 157, 158
Долеан-Дэд (Doleans-Dade С.) 155,
156, 158
Донскер (Donsker M.) 15, 188, 252
Досс (Doss H.) 52, 79, 250, 252
Дуб (Doob J.) 155, 157
Дьёндь (Gyongy I.) 52, 80, 94, 250,
252
Дюрр (Diirr D.) 250, 252
Жако Д. (Jacod J.) 96, 113, 155, 156,
157, 158, 180, 250, 252
Закаи (Zakai M.) 95, 96, 97, 98, 99,
100, 102, 103, 104, 105, 107, 114
Звонкий А. К. 33, 41, 45, 46, 47, 53 77
Зеликурт (De Zelicourt С.) 251, 252
Золотарев В. М . 176, 251
Ибрагимов И. А. 250, 251
Икэда (Ikeda N.) 30, 40, 41, 46, 52, 54,
55, 56, 64, 69, 71, 76, 77, 103,
104, 110, 111, 113
Ито (Ito К.) 22, 31, 36, 37, 41, 77, 96,
113, 133, 155, 158
Йорп (Yoeurp Ch.) 156, 159
Кабанов Ю. М . 156, 157
Казамаки (Kazamaki N.) 41
Какутани (Kakutani S.) 157, 158
Картан (Cartan H.) 51, 77
Клепцына М. Л . 48, 49, 50, 52, 77
Коган Я. А. 250, 251
Колмогоров А. Н. 31, 41, 115, 157,
177, 179, 251
Конвей (Conway E. D.) 56, 79
Красносельский М. А. 51, 53, 65, 78,
240, 250, 251
Крылов Н. В . 40, 41, 47, 50, 53, 54, 59,
60, 61, 64, 77, 78, 80, 85, 87, 88,
89, 92, 93, 94, 96
Кунита (Kunita H.) 156, 158
Курреж (Courrege Ph.) 156, 158
Кусуока (Kusuoka S.) 96, 106
Ладыженская О. А. 47, 78
Лаплас (Laplace P. S .) 168, 173
Лебег (Lebesgue H.) 142
Лебедев В. А. 56, 79, 251
Леви П. (Levy P.) 182, 184, 252
Лизе (Liese F.) 158
Линдвалл (Lindvall Т.) 252
Линдеберг (Lindeberg J. W.) 175, 176,
252
Линник Ю. В. 250, 251
Лионе (Lions P. L.) 40, 41, 74, 79

Липцер Р. Ш. 42, 43, 44, 69, 75, 78,
156, 157, 158, 180, 250, 251, 253
Лифшиц Б. А. 250, 251
Ломиицкий (Lomnicki A.) 115, 158
Ляпунов А. М. 173, 175
Маккин (McKean H. Р.) 77, 78
Малютов М. Б . 40, 41
Маллявэ» (Malliavin P.) 95, 96, 113
Манабе (Manabe S.) 49, 79
Марков А. А. 173
Мацкявнчюс В. 52, 78, 250, 251
Мейер (Меуег Р. А.) 155, 156, 158,
253
Мельников А В. 50, 78, 79
Мсмэн (Memin J.) 156, 158, 180, 252
Метпвье (Metivier M.) 88, 95, 155, 158
Мизсс (von Mises R.) 115, 159
Микулявичюс P. 250, 251, 252
Мишел (Michel D.) 96, 106, 113, 114
Муавр (de Moivre A.) 168
Накао (Nakao S.) 46, 79
Нисио (Nisio M.) 48, 79
Никольский С. М . 41, 90, 94
Новиков А. А. 34, 41
Норрис (Morris N.) 96, 106, 111, 114
Нуалар (Nualart D.) 96, 114
Олейник О. А. 95, 113
Ори (Orey S.) 156, 159
Нарду (Pardoux E.) 79, 80, 85, 95
Петтис (Pettis В. J .) 81
Покровский А. В. 51, 53, 65, 78, 240,
250, 251
Портепко Н. И. 40, 41
Прохоров Ю В. 172
Пуассон (Poisson S. D.) 170, 185
Радкевич E. A. 95, 113
Райков Д. А. 176
Рао (Rao К. М .) 156, 159
Рейман (Reiman M.) 70, 71, 79
Розовский Б. Л . 80, 85, 87, 88, 89, 92,
93, 94
Розанов Ю. А. 250, 251
Розенблатт (Rosenblatt M.) 250, 253
Ротарь В. И. 176, 251
Сам Лазаро (Sam Lazaro J.) 253
Сафонов М. В. 64, 78
Севастьянов Б. А. 63, 78
Серфлинг (Serfling R. J.) 250, 253
Скороход А. В. 30, 40, 41 47 49, 56
62, 63, 69, 78, 96, 113, 155, 156,
157, 250, 251
Смолуховский (Smoluchowski) 9
Смородинский А. В. 250, 251
Солонников В. А. 47, 78
Статулявичюс В. А. 250, 252
Стерлинг (Stirling) 169
Стоун (Stone C.) 250, 253
Стрикер (Stricker C.) 156, 159
Струк (Strook D. W.) 47, 58, 66, 68,
72, 76, 79, 95, 96, 106, 111, 114
Сусмап (Sussman H. J.) 52, 79
Танака (Tanaka H.) 40, 42, 53, 74, 79,
253
Тихонов А. Н. 20
Торонджадзс Т. А. 50, 78, 79
Траубер (Trauher P.) 113
Туати (Touati A.) 250, 253
Уральцев а II. II . 47, 78
Фсдоренко И. В. 50, 78
Фиск (Fisk D. L .) 156, 158
Фрейдлин М. И. 40, 41, 59, 61, 77,
250, 251
Харрисон (Harrison M.) 70, 71, 79
Хаусман (Haussmann U.) 105, 113
Хейде (Heyde С. С.) 250, 252
Хеллингер (Hellinger E.) 146, 147, 148
Хёрмандер (Hormander L.) 95, 96,
106, 113
Хида (Hida T.) 96, 113
Хинчин А. Я . 176, 177, 218, 221, 252
Холл (Hall P.) 250, 252
Цирельсон Б. С. 44, 53
Чебышев П. Л . 171, 172, 173
Ченцов Н. Н. 250
Чикин Д. О. 250, 252
Читашвили Р. Я. 53, 78, 79

Шалейо-Морей (Chaleyot-Maurel M.)
106
Шварц (Schwartz J. T .) 81, 94
Шига (Shiga Т.) 49, 79
Шигекава (Shigekawa I.) 95, 100, 114
Ширяев А. Н. 42, 43, 44, 69, 75, 78,
156, 157, 158, 180, 250, 251, 252,
253
Шницман (Sznitman A. S.) 40, 41, 74,
79
Шрёдингср (Schrodinger E.) 96
Эйнштейн (Einstein A.) 9
Эллиот (Elliott R. J.) 155, 156, 158
Ямада (Yamada T.) 44, 45, 46, 48 49,
79
ПРЕДМЕТНЫЙ УКАЗАТЕЛЬ
σ-алгебра инвариантных множеств
217
σ -алгебра опциональная 117
σ -алгебра предсказуемая 117, 193
Анализ прямой 174
Базис стохастический 115, 192
Вальда тождества 27
Вариация квадратическая 128
Величина случайная (терминальная)
81, 120
Возвратность винеровского процесса
21
Время локальное 38
График 117
—
момента остановки 117
Группа преобразований,
сохраняющая меру 220
Движение броуновское 9
Дифференциал стохастический 25
Дифференцирование в нормах Lp 59
—
по начальным данным 59
—
—
параметру 60
—
поточечное 59
Единственность решения СДУ
—
—
—
в области 74
—
—
—
—
—
сильная 74
—
—
—
—
—
слабая 77
—
—
—
по распределению 43
—
—
—
—
траекториям 43, 74
—
—
—
сильная 43, 74
—
—
—
слабая 43
—
стационарной меры 62
Задача Скорохода 70
Закон повторного логарифма 12
Замена времени случайная 142
Интеграл стохастический 130, 134
—
Хелингера 146
Интервалы стохастические 116
Квазимартингал 129
Ковариация квадратическая 129
—
—
предсказуемая (квадратическая
характеристика) 126
Компенсатор 123, 125
—
случайной меры 125
—
предсказуемый 123
—
процесса 123
Коэффициент равномерно сильного
перемешивания 2i24
—
сильного перемешивания 224
Кумулянта 196
Мартингал 82, 120, 160, 192
—
в гильбертовом пространстве 82
—
квадратично интегрируемый 121
—
локально квадратично
интегрируемый 126
—
непрерывный со значением в H 85
—
ортогональный 127
—
равномерно интегрируемый 120
Мартингала локального интегральное
представление 141
—
—
непрерывная составляющая 127
—
—
чисто разрывная составляющая
127
Мера инвариантная 62, 228
—
локально абсолютно непрерывная
143
—
пуассоновская расширенная 125
—
случайная 124

—
—
интегрируемая 124
—
—
опциональная 124
—
—
предсказуемая 124
—
—
целочисленная 125
Метод стохастических экспонент 198
Момент марковский 27, 116
—
—
вполне достижимый 119
—
остановки 27, 116, 192
Мост броуновский 32
Непрерывность абсолютная
локальная 14
—
—
мер (сингулярность мер) 151
—
—
—
в случае дискретного
времени 151, 152
—
—
—
для марковских процессов
со
счетным
множеством
состояний 154, 155
—
—
—
—
процессов
с
независимыми приращениями
153, 154
—
—
—
—
семимартингалов с
гауссовой мартингальной
частью 152
—
—
—
—
—
с условием локальной
единственности 155
—
—
—
—
точечных процессов 152,
153
Неравенство Харнака 64
Нерегулярность траекторий 12
Оператор инфинитезимальный 228
—
полугруппы 227
Отображение измеримое 81
—
сильно измеримое 81
—
слабо измеримое 81
Плотность локальная 143
Подмножество вполне измеримое 81
Последовательность предвещающая
марковских моментов 118
—
слабо сходящаяся к мере 15
Правила исчисления Маллявэна 100
L-предел 59
LB-предел 59
Представление каноническое 183
Пренебрежимость асимптотическая
176
Принцип инвариантности 218
—
отражения 16
—
усреднения Боголюбова
стохастический 232
Проблема субмартингальная 139
Проблемы мартингалов 55, 136
Проекция дуально предсказуемая 123
—
опциональная 117, 119
—
предсказуемая 117, 193
Произведение характеристических
функций 174
Производная Маллявэна 96
—
по направлению 98
L-производная 60 3?
LB-производная 60
Пространство вероятностное 115
—
польское 163
—
Соболева 90
Процесс F-адаптированный 117
—
винеровский 9, 10, 23, 126
—
—
одномерный 9
—
возрастающий 12!2
—
вполне измеримый 81
—
действительный случайный
простой 23
—
диффузионный 31
—
квазинепрерывный слева 119
—
локальной плотности 143
—
мультивариантный точечный 126
—
опциональный 117, 119
—
Орнштейна — Уленбека 31
—
предсказуемый 117, 118, 119, 193
—
произвольный 203
—
случайный 117
—
—
простой 23
—
стандартный 10
—
Хеллингера порядка а 147
—
—
порядка нуль 148
Процессы марковские общие 62
—
случайные неразличимые 118
Разложение Дуба — Майера 123

—
каноническое 128, 183 193
—
Лебега 143
—
локальных мартингалов 127
Распределений процессы 15
Решение единственное по
траекториям 43
—
СДУ в области 71
—
—
—
—
сильное 71
—
—
—
—
слабое 71
—
—
потраекторное 43, 52
—
—
сильное 43
—
—
слабое 55
—
—
строгое 43
Свойство строго марковское 19
Семимартингал 128, 193
Скорость сходимости 63
Снос сингулярный 69
Стохастическое дифференциальное
уравнение (СДУ) 31, 42
—
—
—
в области 68
—
—
—
с отражением 70
—
—
—
—
последействием 42
Субмартингал 120
Супермартингал 120, 160
Существование винеровского
процесса 10
—
предельного процесса 30
Теорема Гирсанова 144
—
о квадратичной вариации 13
—
функциональная предельная 15
Теоремы сравнения 49
—
существования сильного решения
50
Тождества Вальда 27
Топология Скорохода 164
Траектория наиболее вероятная 67,
68
Тренд 183
Триплет предсказуемых
характеристик 137, 183, 194
Уравнение Долеан-Дэд 133
—
Ланжевена 32
—
теплопроводности 18
Условие Линдеберга 175
—
Ляпунова 175
—
полной интегрируемости 51
—
сильной параболичности 91
Фильтрация 115
Форма билинейная 98
Формула замены переменных 133
—
Ито 25, 26, 28, 133
—
Стирлинга 169
Функция интегрирования по частям
104
—
переходная 227
—
«урезания» 178
—
характеристическая 174
Характеристика квадратическая 126
Чисто разрывная составляющая М
127
Экспонента мартингальная 33
—
обобщенная 181
—
стохастическая 134