/
Author: Столяр А.А.
Tags: математика математическая логика естественные науки пособие для учителей
Year: 1965
Text
А. А. СТОЛЯР
Элементарное
введение
в математическую
ЛОГИКУ
ПОСОБИЕ ДЛЯ УЧИТЕЛЕЙ
ИЗДАТЕЛЬСТВО ПРОСВЕЩЕНИЕ
Москва 1965
ОТ АВТОРА
Современная математическая логика благодаря своим
многочисленным приложениям в самых разнообразных областях науки
и техники (к сложным проблемам оснований математики, к
проблемам лингвистики, к конкретным задачам синтеза автоматов и др.)
привлекает внимание широкого круга людей различных
специальностей, в том числе и учителей математики средней школы.
Элементы математической логики и некоторые ее приложения
включаются в программу средних школ с математической
специализацией., они могут служить интересным материалом для
внеклассной работы с учащимися старших классов любой средней школы.
Нам представляется, что элементы математической логики в
недалеком будущем станут обязательным пунктом школьной
программы.
В последнее время у нас вышел ряд монографий и сборников
статей по математической логике. Некоторые из них указаны в
списке литературы, помещенном в конце настоящей книги.
Однако почти отсутствует литература по математической
логике, доступная для учителей математики средней школы.
В настоящей книге автор поставил перед собой задачу да*ть
для этого широкого круга читателей элементарное изложение начал
математической логики и некоторых ее приложений.
Учитывая, что под названием «математическая логика» в
настоящее время объединяется весьма обширная и глубокая научная
проблематика, что в состав математической логики, кроме
классической логики высказываний и предикатов, начала которых
излагаются в этой книге, входит ряд других логических систем и теорий
(конструктивная логика, системы модальной логики,
многозначные логики, теория алгоритмов и др.), настоящая книга не может
рассматриваться как введение в математическую логику в целом.
Однако ознакомление с изложенным в ней материалом
облегчит читателю, желающему серьезно изучить предмет, чтение
литературы, рекомендованной в конце книги для этой цели1.
В книге имеются и упражнения для самостоятельной работы
читателя.
Автор выражает глубокую благодарность Ю. A. F а с т е в у,
советы которого оказали ему большую помощь в работе над
рукописью.
1 Ссылки на эту литературу в сносках обозначаются
соответствующим порядковым номером в квадратных скобках [ 1.
ВВЕДЕНИЕ
1. Математическая логика — это по существу
современная формальная логика.
Основоположником формальной логики считается
древнегреческий философ Аристотель (384—322 гг. до
н. з.), впервые разработавший теорию дедукции, т. е.
теорию логического вывода. Ему принадлежит открытие
формального характера логического вывода, состоящего в том,
что в наших рассуждениях одни предложения выводятся
из других в силу определенной связи между их формой,
структурой, независимо от их конкретного содержания.
Рассуждения совершенно различного конкретного
содержания, применяемые в различных областях науки, и
повседневной жизни, могут иметь одну и ту же структуру»
одну и ту же форму.
Например, рассуждения
(а) квадрат — ромб, ромб — параллелограмм,
следовательно, квадрат — параллелограмм;
(б) натуральное число — целое, целое число —
рациональное, следовательно, натуральное число —
рациональное;
(в) дуб — дерево, дерево — растение, следовательно,
дуб — растение,
столь различные по содержанию, как нетрудно заметить,
имеют одну и ту же форму (структуру).
В каждом из этих рассуждений из двух предложений
(посылок) выводится третье (заключение), записанное
после слова «следовательно». И во всех трех случаях (а) — (в)
правильность вывода заключения из посылок
определяется не конкретным содержанием рассуждения, а формой
посылок и заключения, которая одинакова во всех трех
рассуждениях.
Формальная логика и изучает формы человеческих
рассуждений, отвлекаясь от их конкретного содержания, она
ищет ответ на вопрос: как мы рассуждаем?
з
Логика Аристотеля дополнялась,-изменялась и
усовершенствовалась в течение многих веков различными
философами и целыми философскими школами.
Однако значительный прогресс этой науки был достигнут
лишь в XIX веке, когда в логике стали применять
математические методы. Только тогда формальная логика стала
«по-настоящему формальной», когда она стала изучать
содержательное логическое мышление путем-
отображения его в формальных системах — логических
исчислениях.
2. Идею о возможности и целесообразности
математизации логики высказал еще в XVII веке немецкий математик
и логик Г. В. Лейбниц (1646—1716). Ему
принадлежат и первые в'истории науки попытки представления
логики в виде алгебраического исчисления.
Однако как особая область науки математическая
логика, возникшая в результате применения математических
методов к проблемам формальной логики, оформилась лишь
в середине XIX века, прежде всего благодаря трудам
английского математика Джорджа Буля (1815—1864)
(«Математический анализ логики»— 1847, «Исследование
законов мысли» — 1854).
Буль применил к логике методы современной ему
-алгебры, т. е. прежде всего язык символов и формул,
составление и решение уравнений. %
В трудах Буля и другого английского математика
А. де Моргана (1806—1878) математическая логика
оформилась как своеобразная алгебра — алгебра
логики.
Направление алгебры логики, истолковывавшейся
прежде всего как алгебра классов (множеств), а затем как
алгебра высказываний, получило дальнейшее развитие в трудах
английского ученого С. Джевонса (1835—1882),
немецкого математика Э. Шредера Х1853—1901),
русского ученого П. С. Порецкого (1846—1907)1.
Буквенная символика в логике употреблялась еще
Аристотелем, но в весьма ограниченных масштабах, так как и
в самой математике не было еще развитого символического
языка, который можно было бы заимствовать.
1 Подробнее об истории возникновения и развития
математической логики см. в следующих статьях: Г. И. Рузавин
и П. В. Т а в а н е ц, Основные этапы развития формальной логи-
4
По-настоящему символической формальная логика
стала лишь в результате применения в ней развитого в
математике символического языка. Этим оправдан термин
символическая логика, часто применяемый в качестве синонима
термина «математическая логика».
Точный и ясный (недвусмысленный) язык символов
прежде всего необходим для выявления логической
структуры рассуждений. Обычный, естественный язык для этого
плохо приспособлен.
Например, нижеследующие два рассуждения,
записанные на обычном языке,
(а) Я видел П. Р. Поповича,
П. Р. Попович — космонавт;
следовательно; я видел космонавта,
и
(б) Я видел кого-то,
кто-то изобрёл радио;
следовательно, я видел изобретателя радио,
имеют одну и ту же языковую форму, хотя логический
вывод правилен только в одном из них (а). Языковая форма
этих рассуждений ^неадекватна их логической структуре.
Возникла необходимость в таком усовершенствовании
языка логики, чтобы нельзя было в одной и той же языковой
форме выражать рассуждения различной структуры,
иначе говоря, чтобы языковая форма однозначно определяла
логическую структуру рассуждения. Подходящим для этой
цели языком оказался символический язык математики,
с широким применением различных "типов переменных.
Таким образом, применение точного математического
языка символов и формул в логике было не случайностью,
а необходимостью, отражающей потребности логической
науки, и (так же как в самой математике) привело к ее
значительному развитию.
3. Создание, великим русским математиком Н. И. Л о-
бачевским (1793 —1856) и венгерским математиком
Яг Б ой а и (1802—1860) первой неевклидовой
геометрической системы послужило стимулом к глубоким
исследованиям в области оснований математики. Предметом этих
ки[11 ]; Б. В. Бирюков, Как возникла и развивалась
математическая логика, «Вопросы философии», 1959, № 7,
5
исследований был главным образом аксиоматический метод
построения математических теорий.
Возникла новая область науки, занимающаяся
изучением построения математических теорий. Гильберт назвал
ее метаматематикой или теорией
доказательства. Объектом изучения метаматематики
являются уже не множества, числа, функции и т. д.,
изучаемые математикой, а методы обращения с ними в
математике. Объектом изучения метаматематики является сама
математическая теория. (Вообще, теорию, описывающую
строение и свойства какой-либо другой теории, называют м е-
татеорией, соответствующей этой другой теории;
теорию, изучаемую средствами метатеории, называют в
этом случае предметной (или объектной)
теорией.)
Как известно, аксиоматический метод зародился в
геометрии под влиянием евклидовых «Начал», в'течение почти
двух тысячелетий считавшихся непревзойденными по
строгости обоснования геометрии, хотя с современной точки
зрения это, конечно, далеко не так. Выбранная Евклидом
система исходных предложений (постулатов и аксиом)
оказалась недостаточной в качестве базы для логическогб
развертывания всей геометрии; кроме того, логические
средства вывода, которые используются в построении
геометрической теории, не были в достаточной мере уточнены.
(Когда говорили, что при аксиоматическом построении
теории ее предложения выводятся чисто логическим путем из
некоторых исходных (аксиом), не было четко определено,
что значит «чисто логическим путем», хотя это считалось
интуитивно ясным.)
Появление неевклидовой геометрии Лобачевского (1826),
предложения которой в отличие от предложений
евклидовой геометрии не согласуются с «привычными»
пространственными представлениями, выдвинуло ряд сложных
проблем, в первую очередь, проблему
непротиворечивости аксиоматики1. Исследование этих проблем не
было возможно с помощью несовершенного, недостаточно
1 Подробнее об этих проблемах см. [4], ч. I, [6], Введение,
а также: С. А. Яновская, Основания математики и
математическая логика. Сб. «Математика в СССР за 30 лет», Гостехиздат,
М., 1948; А. С.^Есенй н-В о л ь п и н, Об аксиоматическом
методе, «Вопросы философии», 1959, № 7.
6
формализованного аппарата традиционной логики; это
обстоятельство послужило стимулом развития
математической логики и обусловило ее применение к проблемам
обоснования математики. Это применение в свою
очередь потребовало дальнейшего развития
математической логики, введения в нее ряда новых идей и методов,
разработки новых логических исчислений.
Новый этап в истории математической логики связан
прежде всего с именем немецкого математика и логика
Г. Ф р е г е (1848—1925). Фреге стремился построить
совершенный логический язык, приспособленный для
математики. В своем основном-труде «Основные законы
арифметики» (два тома, 1893 и 1903 гг.) ош-построил первую
в истории науки формальную логико-математическую
систему, включающую в себя значительную часть
арифметики.
В развитии математической логики и применении ее к
теории математического доказательства приняли участие
многие эыдающиеся математики и логики конца XIX и XX
века, в том числе итальянский математик Дж, П е а н о,
английские ученые Б. Рассел, А. Уайтхэд и
А. М. Т ь ю р и н г, польские логики Я. Лукасевич
и А. Тарский, немецкие математики Д. Г и л ь-
б е р т, В. Аккерман и Г. Генцен, австрийский
математик К. Г ё д е л ь, швейцарский математик П. Б е р-
н а й с, французский математик Ж. Э р б р а н, норвежский
математик Г. Сколем, голландские математики
Л. Э. Я. Б р а у э р. и А. Г е й т и н г, американские
математики и логики С. К. К л и н и , Э. Л. Пост, А. Чёрч,
У. О. В. К у а й н, советские математики И. И. Ж е-
галкин, В, И. Гливенко, А. Н.
Колмогоров, П. С. Новиков, А. А. Марков, Н.
А.Шанин и их многочисленные ученики.
Математическая логика сделала возможным
усовершенствование аксиоматического метода и сама
усовершенствовалась с помощью этого метода.
4. Как видно из предыдущего (пп. 2 и 3), название
«математическая логика» может истолковываться
двояко.
С одной стороны, эта отрасль науки строится как
математическая теория, в ней используются математические
методы, так что в этом смысле она представляет собой
«математику логики»; с другой стороны, разрабатывая точный
7
- логический язык математики, она служит «логикой
математики». Тщательный анализ соотношения предметов
математики и логики связан с глубокими философскими
проблемами и не может быть предметом нашего рассмотрения
в этой книге1.
5. Мы уже говорили (п. 2), что одной из характерных
особенностей математической логики является
использование математического языка символов и формул.
В математическом языке, так же как в обычном, мы
пользуемся именами предметов, т. С условными
языковыми выражениями, которыми обозначаются эти
предметы2, различая при этом имя предмета и сам предмет,
обозначаемый этим именем.
Так, мы отличаем число пять, как общее свойство
(«инвариант») класса множеств, эквивалентных, например,
множеству пальцев человеческой руки, от слова «пять»,
которым это число обозначается на русском языке, от
английского «five» от знаков «5», «101», «V» и т. п.,
которыми оно обозначается в различных системах
нумерации, и т. д.
Язык хорошо приспособлен к точному описанию
^некоторое области предметов, если в нем (1) для каждого
предмета, свойства предмета и отношения между предметами
этой области имеется имя; (2) различные предметы,
свойства, отношения имеют различные имена. Если не
выполняется первое из этих условий, то язык беден, недостаточен для
описания данной области предметов; если же н£
выполняется второе условие, то язык оказывается двусмысленным.
Такой двусмысленностью, в силу различных, исторически
обусловленных причин, обладают естественные языки.
Наличие в них омонимов, т. е. одинаковых слов, служащих
именами различных предметов («коса», «лук» и т. п.),
является нарушением условия (2). Математический язык,
происходя от обычного, является - результатом его
усовершенствования, в частности, устранения
двусмысленности.
К языку не предъявляется обычно требование, чтобы
различные имена обозначали различные предметы, т. е.
1 См. Д. F. Лахути и Н. И. Стяжки н, О различных 1
взглядах на современную математическую логику (о докладе 1
С. А. Яновской), «Вопросы философии», 1957, № 3. 1
2 Подробнее об именах см. [12] (Введение, 01). 1
8
разрешаются синонимы. Это, вообще говоря, относится
и к математическому языку. Можно, например, считать,
что «1 + 2» и «3» — различные имена одного и того же
числа.
В элементарной алгебре буквами обозначаются в
основном числа. В логике же буквами обозначаются логические
объекты, например предложения. Под
предложением мы будем понимать то, что обычно понимают под
этим термином в грамматике любого естественного языка,
а именно языковое выражение или соединение слов,
имеющее самостоятельный смысл. (Применяя в дальнейшем
термин «предложение», мы всегда будем иметь в виду
повествовательное предложение.)
В процессе рассуждения (не только в математике) мы
из одних предложений формируем другие, преобразуя их
с помощью частицы не или соединяя их с помощью союзов
и, или, если ..., то, если и только если и др., обозначающих
определенные логические связи между предложениями.
Для выяснения структуры сконструированных таким
образом сложных предложений бывает удобно исходные
предложения обозначать буквами, отвлекаясь от их
конкретного содержания.
Рассмотрим, например, следующее предложение:
«Если четырехугольник — параллелограмм и
диагонали делят углы его пополам или взаимно перпендикулярны,
то этот четырехугольник — ромб».
Предложение это (называемое в грамматике
сложноподчиненным) составлено с помощью логической связи,
выражаемой словами если..., то, из двух предложений:
(1) «четырехугольник — параллелограмм и диагонали
делят углы его пополам или взаимно
перпендикулярны»
и (2) «этот четырехугольник — ромб».
Предложение (2) —простое, т. е. не допускает
дальнейшего расчленения на другие предложения; предложение (1)
(сложносочиненное), составлено с помощью союза и из двух
предложений.
(3) «четырехугольник'—параллелограмм»
и (4) «диагонали (четырехугольника) делят углы его
пополам или взаимно перпендикулярны».
Предложение (3) — простое, предложение (4) —
сложносочиненное — составлено с помощью союза или из двух
предложений.
9
(5) «диагонали (четырехугольника) делят углы его
пополам»
и (6) «(диагонали четырехугольника) взаимно
перпендикулярны».
Предложения (5) и (6) не допускают дальнейшего
расчленения.
Обозначим предложение (3) буквой Л,
предложение (5) буквой В,
предложение (6) буквой С,
предложение (2) буквой D;
иначе говоря, присвоим указанным предложениям
соответствующие имена.
Тогда данное сложное предложение запишется так:
«Если А и В или С, то D». (7)
Запись (7), однако, может пониматься по-разному: если
не принять дополнительных соглашений, то не ясно, какие
предложения непосредственно связаны союзами
и и или. Этот дефект устраняется введением скобок: их
можно расположить по-разному, и различные
расположения скобок определяют различные структуры сложного
предложения:
«Если А и (В или С), то D», * (8)
«Если (А и В) или С, то D». (9)
Исходя из конкретного содержания предложений
Л, В, С, D и смысла логических связей, выражаемых
словами и, или, если ..., то (которые в дальнейшем будут
предметом нашего изучения), нетрудно заметить, что
предложение (8) истинно (верно), а предложение (9) ложно
(неверно). (Следует, впрочем, отметить, что бесскобочное
предложение (7) естественно читать как (9), т. е. считать (как в
обычной арифметике и алгебре), что скобки употребляются
лишь для указания отклонений от «естественного» порядка
чтения предложения.)
Одна из существенных особенностей математического
языка состоит в применении переменных
различных типов, благодаря чему такой язык способен выражать
абстрактные формы, которые могут заполняться
различным конкретным содержанием. Понятие это по существу
всем нам хорошо знакомо — с ним мы часто встречаемся,
заполняя различные стандартные бланки.
Допустим, например, что по имеющемуся образцу
справки, выданной одному ученику, необходимо напеча-
Ю
тать на пишущей машинке «форму» такой же справки для
всех учащихся класса.
Чтобы получить такую форму, машинистка опускает
некоторые слова и части слов, относящиеся к данному,
конкретному ученику, оставляя пустые места в тексте.
Получается, например, следующая форма:
«Справка
Дана в том,
что, он ... действительно является учени... IX класса
СШ № 444 г. Москвы.
Справка выдана для представления в районную
библиотеку
Директор школы ».
Разумеется, только при правильном заполнении пустых
мест этой формы получаемая справка может быть признана
действительной. Что же надо понимать под правильным
заполнением формы?
Каждое из пустых мест имеет свое назначение, легко
угадываемое по тексту: первое пустое место заполняется
только фамилией и именем ученика или ученицы данного
класса, на второе пустое место ставится буква «а» или
ничего не ставится в зависимости от того, заполнено ли
первое пустое место фамилией ученика или ученицы* на
третье пустое место ставится сочетание букв «ком» или
«цей», при тех же условиях, наконец, на четвертое пустое
место ставится фамилия директора данной школы.
Только при строгом соблюдении этих условий форма
считается заполненной правильно. Если форма заполнена
неправильно, то получающаяся справка является
недействительной или же ложной (последнее, например, в том
случае, когда первое место заполнено фамилией человека,
в действительности не являющегося учеником IX класса
указанной школы).
Если мы хотим заготовить форму справки не только для
учащихся IX класса, а для учащихся любого класса
средней школы № 444, следует опустить в приведенной выше
форме «IX». В новой форме появится еще одно пустое
место, которое может заполняться любой из цифр I, II, III,
\
И
IV, V, VI, VII, VIII, IX, X —Номером класса, в котором
учится ученик, получающий справку.
Если опустить номер школы, получим форму с еще
одним пустым местом, пригодную для выдачи справок
значительно более обширному множеству учащихся, так как на
новое пустое место можно поставить номер любой школы
г. Москвы (любой элемент множества этих номеров).
В математике только в самых простых случаях можно
было ,бы использовать пустые места. Например, мы можем
писать
3+... - 10, -
но при этом надо указать, что разрешается подставлять на
пустое место, так как здесь в отличие от приведенной выше
формы для справки никак не угадывается, имена каких
чисел (из какого множества) можно подставлять на это
место, а это весьма существенно. (Впредь будем говорить
для краткости, что подставляются числа такого-то
множества, имея в виду имена этих чисел.)
Если, например, на это пустое место разрешается
подставлять числа из множества целых отрицательных яисел,
то не найдется ни одного числа, которое обратит эту форму
в верное равенство. Если же разрешается подставить
натуральные числа, то такое число имеется.
Однако для выражения общих закономерностей в
математике язык «с пустыми местами» недостаточен.
Например, мы не знаем, как «заполнять» «форму»
«... + ... = ... + ...»,
выражающую, допустим, закон коммутативности сложения
в множестве целых чисел; неизвестно, на какие пустые
места надо подставлять одно и то же число, а на какие —
различные числа.
В математическом языке эти трудности устраняются
использованием букв; пустые места, на которые
подставляется одно и то же число, обозначаются одной и той
же буквой. Эти буквы, называемые переменными,
играют роль пустых мест. Переменная не есть название
конкретного элемента какого-нибудь множества —
она ставится в математическом тексте на то место, которое
разрешается заполнять именем любого элемента
какого-либо определенного множества.
12
При внимательном анализе этого вопроса выясняется, что на
самом деле роль «пустых мест» или «переменных» в обычном
разговорном языке играют слова, обозначающие родовое
понятие (а не е д и н,и ч н ы й предмет). Все сказанное ниже о
переменных в символическом языке математики и математической логики
относится в полной мере к таким фразам обычного языка, как,
скажем, «Человек хорошо играет в шахматы», становящимися
высказываниями (о которых имеет смысл говорить, истинны они
или ложны) лишь после подстановки на место «родовой
переменной» «человек» имени конкретного человека. Аналогичную
роль играют неопределенные местоимения (и даже личные, вроде
«он» во фразе «он хвастун», если мы не знаем предыдущего
контекста), неопределенные артикли во многих языках и др. Короче
говоря, переменная — это «неопределенное имя», относящееся (до
уточнения, заключающегося в подстановке одного из ее значений)
к любому предмету из некоторой совокупности.
Например, запись
«х + у = у + х для всех х, у £ С»
выражает закон коммутативности сложения в множестве
целых чисел с помощью переменных, обозначенных
буквами л: и у. В записи «х, у £ С», где С — множество целых
чисел, а £ — знак отношения принадлежности, х и у —
переменные, на место которых разрешается подставлять
имена любых целых чисел.
В качестве переменных применяются не только буквы,
но и другие символы. Например, свойство
коммутативности какой-нибудь (не важно какой именно) операции можем
записать так:
х* у =у* х, для всех х, y£G,
где не только х, у— переменные, но ц * — переменная,
вместо которой можно подставить знак конкретной
операции (+, •, ...). В этой записи и G может применяться как
переменная, вместо которой можно подставить название
какого-нибудь конкретного множества.
Таким образом, под переменной мы понимаем символ,
вместо которого можно подставить имена элементов
некоторого множества.
Предметы, имена которых разрешается подставить
вместо переменной, называются ее значениями, а
множество v этих предметов — областью,
значений этой переменной (см. выше, мелкий шрифт).
В элементарной алгебре используется лишь один тип
переменных, а именно переменные, значениями которых
служат числа; такие переменные называют числовыми
переменными.
13
С помощью этих переменных, имен конкретных чисел 1
и знаков операций образуются формы, которые при I
подстановке вместо переменных их значений обращаются 1
в числа. 1
Например,~(л; + у) • z + 2 — форма для числа 1
(в элементарной алгебре обычно называется алгебра и- 1
ч е с к и м выражением). 1
Пусть, например, область значений переменных х, у,г— I
множество натуральных чисел. Подставим вместо перемен- 1
ных какие-нибудь .их значения, допустим, 1, 2 и 3 соответ- I
ственно. Получим: (1 + 2) • 3 + 2, или 11. 1
Если форма содержит также один из знаков «=» (рав- -1
но), «<» (меньше) или «>» (больше), то она уже не пред- 1
ставляет собой форму для числа. 1
Например, если в форму х < 3 подставить вместо пере- 1
менной х ее значение 2, получаем не число, а истинное 1
предложен ие2<3, если же вместо х подставить 3, ]
получаем ложное предложениеЗ<3. 1
Если в форму х2 + 2 = Зл: вместо л: подставить 1, по- I
лучаем не число, а истинное предложение 1+2 = 3-1, I
если же подставить 4, то получаем ложное предложение I
16 + 2 = 12. Для таких форм (х < 3, х2 + 2 = Ъх и т. п.), I
содержащих переменные и знак какого-нибудь отношения I
(<, = , >), мы сохраним термин «предложение». 1
Предложение, относительно которого имеет смысл го- я
ворить, что его содержание истинно или ложно, будем на- I
зывать высказыванием. 1
Предложение, содержащее переменную, не является 1
высказыванием. I
Например, «х < 3», очевидно, не является высказыва- I
нием, так как не имеет смысла говорить, что оно истинно I
или ложно. Если же на место переменной х подставить 1
какое-нибудь число (ее значение), мы получим высказыва- I
ние, истинное или ложное в зависимости от того, какое |
число подставлено. |
Предложение «х2 + 2 = Зл:» также не является выска- 1
зыванием. О нем нельзя говорить, что оно истинно или 1
ложно, так как х— переменная. Если же на место х под- I
ставить какое-нибудь ее значение (из заданной области), 1
то получим высказывание, истинное или ложное в зависи- 1
мости от того, какое значение переменной подставили, что 1
наглядно видно на следующей таблице: I
И
x2 -|- 2 = 3* Какое высказывание получается?
0.2=0 Л (ложное высказывание)
1 3 = 3 И (цстинное высказывание)
2 6=6 И
3 11=9 ' Л
4 18 = 12 Л
Числа 1 и 2 обращают предложение «х2 + 2 = Зх» в
истинное высказывание, всякое же другое число,
подставленное на место х, обращает его в ложное высказывание.
Таким образом, предложение, содержащее числовую
переменную, представляет собой не форму для числа, а
форму для высказывания.
До сих пор мы говорили лишь о числовых переменных,
которые нам знакомы из элементарной алгебры. В
математической логике используются и другие типы переменных,
значениями которых являются не числа, а логические
объекты, например высказывания.
Потребность в использовании таких переменных
возникает в логике, например, при выяснении вопроса о
следовании одного сложного высказывания из другого.
Под сложным высказыванием мы понимаем
высказывание, допускающее расчленение на другие
высказывания.
Если же никакая часть высказывания сама уже не
является высказыванием (или по крайней, мере не
рассматривается как таковое), то его называют
элементарным.
Пусть, например, дан треугольник ABC и точка D на
стороне АС. Из высказываний «АВ = ВС», «BD J_ АС» и
«AD — DC» могут быть составлены различные сложные
высказывания. Рассмотрим некоторые из них:
(1) Если АВ = ВС и BD J_ АС, то AD = DC.
(2) Если АВ = ВС или BD JL АС, то AD = DC.
(3) Если АВ = ВС и AD Ф DC, то BD не
перпендикулярно АС.
(4) Если AD ф DC {AD не равно DC), то АВ ф ВС (АВ не
равно' ВС) или BD не перпендикулярно АС.
Нетрудно заметить, что высказывание (1) истинно, а
высказывание (2) ложно. Но-эти высказывания отличаются
15
лишь тем, что логическая связка и заменена в (2) связкой
или. Как видно, истинность сложного высказывания
определяется не только истинностью составляющих его
высказываний, но и совокупностью и порядком логических
связей, с помощью которых из элементарных высказываний
образовано это сложное высказывание. (Высказывание
«Если А В = ВС, то BD J_ AC и AD = DC»,
отличающееся от (1) только порядком логических связей, уже ложно.)
Совокупность и порядок логических связей (или
операций), с помощью которых сложное высказывание
образовано из элементарных, составляют логическую
структуру сложного высказывания.
Высказывания (1) и (2), хотя и составлены из одних и
тех же элементарных высказываний, имеют различные
логические структуры и именно это различие в структуре
обусловливает различие в значении истинности этих
высказываний : (1) истинно, а (2) ложно.
Структуры сложных высказываний (3) и (4) также
отличаются от структуры высказывания (1), но они, так же
ч как и высказывание (1), истинны, причем их истинность
следует из истинности высказывания (1) независимо
от содержания фигурирующих в них элементарных
Высказываний.
Рассмотрим следующие три сложных высказывания:
(Г) Если а> Ь и 6>0, то а> 0. %
(3') Если а> Ь и а > 0, то Ь > 0.
(40 Если а > 0, то а > Ъ или Ь > 0,
где а и b — числа из некоторого множества.
Что общего в высказываниях (1) и (Г), (3) и (3'), (4) и
(4'), столь различных по содержанию? У них одна и та же
логическая структура. Чтобы выразить общую логическую
структуру различных по содержанию сложных,
высказываний, мы отвлекаемся от конкретного содержания
составляющих их элементарных высказываний и заменяем их
переменными.
Это означает по существу, что мы опускаем в записях
(1) и (Г), (3) и (3'), (4) и (4') то, чем они отличаются, и
сохраняем лишь то, что у них общее.
Получаем формы с переменными:
(1) —(Г) Если X и Y, moZ.
(3)-— (3') Если X и не Z, то не Y.
(4) — (4 ) Если не Z, то не X или не Y>
16
В этих записях X, Y, Z — переменные для
высказываний, т. е. переменные, на место которых можно подставить
произвольные высказывания, а не числа, как в случае
числовых переменных.
Таким образом, здесь буквы X, Y, Z применяются не как
имена определенных высказываний (как выше
—стр. 10—буквы Л, В, С), а как переменные для
высказываний.
Записи (1) —(Г), (3) —(3') и (4) — (4'), содержащие
переменные X, Y, Z, представляют собой не высказывания,
а формы для высказываний, обращающиеся в
высказывания при подстановке вместо этих переменных
конкретных высказываний; при этом истинность или ложность
получающихся сложных высказываний зависит от истинности
или ложности подставляемых вместо переменных
элементарных высказываний и не зависит от их содержания.
Поэтому вполне естественно считать значениями
переменных X, Y, Z не сами конкретные высказывания
различного содержания, которые подставляются вместо этих
переменных, а именно истинность или ложность этих
высказываний (истину и ложь).
Таким образом, значениями переменных для
высказываний X, Y, Z, называемых также
пропозициональными переменными (от латинского propositio —
предложение, высказывание), являются истина и ложь.
Вместо того чтобы установить отдельно для
высказываний (1) и (3) (или (1) и (4)) и для высказываний (Г) и (3')
(или (Г) и (4')), что истинность каждого из них следует
из истинности другого, целесообразно, очевидно,
установить это один раз для любых высказываний такой
логической структуры v—следование это определяется
логической структурой, а не содержанием конкретных
высказываний.
Но чтобы определить, при каких значениях переменных
пропозициональные формы (1) — (1'), (3)—(3'),
(4) — (4') 'обращаются в истинные высказывания,
необходимо прежде всего выяснить точный смысл и свойства
логических связей (или операций), выражаемых в русском
языке словами не, и, или, если..., то, если и только если,
с помощью которых из элементарных высказываний
конструируются различные сложные высказывания.
Эти операции над высказываниями являются предметом
наиболее элементарной части математической логики, назы-
17
ваемои логикой (или алгеброй) вы сказы- 1
в а н и й. I
Мы будем пользоваться обоими терминами («логика вы- I
сказываний» и «алгебра высказываний») как синонимами, I
обозначающими одну и ту же часть логики с разных точек 1
зрения: это и логика (по своему предмету) и алгебра (по 1
своему методу). \ I
Первые две главы настоящей книги посвящены началам 1
логики высказываний и некоторым ее приложениям. В пер- I
вой главе эта логика излагается как конкретная, содержа- I
тельная теория, описывающая часть обычной логики челове- 1
ческого мышления. Во второй главе эта же логическая сие- I
тема строится как абстрактная, аксиоматическая теория. 1
Чтобы различить в терминологии эти два построения, 1
мы сохраним для первого название «логика (или «алгебра») 1
высказываний», а для второго будем использовать термин 1
«исчисление высказываний»1. 1
6. Логика высказываний описывает лишь такие логиче- 1
ские выводы, в которых не используется внутренняя логиче- 1
екая структура элементарных высказываний. 1
Проникновение во внутреннюю логическую структуру I
элементарных высказываний, их дальнейшее расчленение |
на составные части приводит к значительному расширению 1
логической системы. 3
Логика высказываний оказывается лишь частью этой ]
расширенной системы, называемой логикой п р е rf и- 1
катов. 1
Логика предикатов, как и логика высказываний, может 1
быть построена в содержательной интерпретации, описыва- I
ющей часть обычной логики человеческого мышления 1
(только часть, хотя и более обширную, чем описываемую 1
логикой высказываний), и независимо от какой бы то ни 1
было интерпретации, как абстрактное, аксиоматически 1
построенное исчисление. . . |
Первое построение называется логикой (или алгеброй) 1
предикатов, второе — исчислением предикатов (или функ- I
циональным исчислением). |
Изложению начал логики предикатов посвящена третья I
глава настоящей книги. Там же указан один из возмож- |
ных путей построения исчисления предикатов. |
1 Как синоним термина «исчисление высказываний»
применяется и термин «пропозициональное исчисление».
18
7. В дальнейшем изложении мы будем широко
пользоваться понятием функции.
Пусть дано какое-нибудь множество М элементов
произвольной природы и множество N элементов также
произвольной (той же или другой) природы. Если установлено
соответствие, по которому каждому элементу из М
сопоставляется один определенный элемент из N, то говорят,
что на множестве М определена некоторая функция/,
принимающая значения в множестве N.
Множество М называется областью
определения, а множество всех тех элементов из N, которые
ставятся в соответствие элементам множества М, —
областью значений данной функции.
Говорят также, что задано отображение /
множества М в множество N (если область значений / не
совпадает с множеством N) или на множество N (если N —
область значений /).
функция f с областью определения М и принимающая
значения из N (или отображение f множества М Ь
множество N) обозначается с помощью переменных^ для
элементов множеств М и N следующим образом: «х ->■ у; х £ М,
у £ N», или еще: *x-*f(x); х £ М, f (х) £ N», где символ f(x)
— переменная, значения которой — значения функции /, т. е.
когда переменная х (аргумент) принимает какое-нибудь
значение а из М, f(x) принимает соответствующее ему
значение f(a) функции f(f(a) £ N).
Когда числовая функция задается с помощью формулы
(уравнения) у = / (х£9 переменная / (х) выражается с
помощью формы для числа, содержащей числовую
переменную х (например, в формуле у = х2 + 1 / (х) выражается
числовой формой х% + 1).
Функция / с областью определения М и областью
значений N, т. е. отображение множества М на множество N,
обозначается также символом
Часто встречаются функции, у которых область
определения и область значений совпадают: М -* М (/ —
отображение множества М на себя).
. 19
f
Например, х -» 2x + 3; x, 2x + 3 £ R (R — множество
рациональных чисел) — отображение множества R на
множество R:R-+R.
• Рассмотрим несколько примеров функций, у которых и
область определения и область значений — конечные
множества. Такие функции нам встретятся в дальнейшем (гл. 1)
а) Пусть дано множество М = {а, Ь\, состоящее из
двух элементов а и Ь (природа которых нас не интересует).
Определим функцию fx: М -> М, т. е. функцию с
областью определения М и областью значений М,
следующим образом:
Г «Jul
L Ь-*а J
Эту таблицу надо понимать так: в отображении fi
элементу а сопоставляется элемент Ь, элементу Ь
сопоставляется элемент а.
Используя переменную х с областью значений М : х £ М,
можно эту функцию обозначить так: х ->■ f : (#); х, /х (я) £ М
и задать следующей таблицей, которая для каждого
значения аргумента х определяет соответствующее значение
функции fx:
М*)
v
b
а
Можно определить еще одно отображение /2 множества
М на самое себя: M-iM
[£•>}
Функция /2 сопоставляет элементу а элемент а и
элементу b элемент Ь. Используя переменные, мы можем
обозначить эту функцию так:
x-+f%(x)\ х, f2(x) £ M:
М*>
а
b
(Возможны еще две функции, осуществляющие отображе-
20 _
J
ние множества М на его подмножества {а} и {&} , т. е.
множества, состоящие соответственно из одного элемента
а или 6, а именно: /3 (а) = а, /3 (b) = a; fk (а) = Ь, /4 (Ь) =
= Ь.) /i и /2 — функции одной переменной (одного
аргумента).
б) Составим множество всевозможных пар элементов
множества М = {a, b }\ Для этого возьмем элемент а
в качестве первого элемента пары и припишем к нему в
качестве второго элемента каждый из элементов М, затем
возьмем Ь в качестве первого элемента пары и повторим
то же самое. Этот способ образования всех возможных пар
можно изобразить в виде следующей схемы:
уа (я, а)
N6 (a, b)
/а (6, а)
^Ь (6, Ь)
Обозначим множество всевозможных пар элементов из
М символом М2.
М2 = {(а, а), (а, 6), (&, а), (6, 6)}.
Определим функцию <pi с областью определения М2 и
областью значений М, т. е.
М2^М,
с помощью следующей таблицы:
(а, а) ->■ а
(а, 6) -> а
(6, а) -> а
(&, 6) -> 6
Эта таблица определяет функцию ф4 от двух
переменных (двух аргументов) х и у, область значений которых- —
множество М:*£Л1иу£Л1. Область значений функции—
тоже множество М. Это можно записать так:
1 Здесь и в дальнейшем всюду под «парой», «тройкой», ...,
«набором из п» элементов некоторого множества мы понимаем
упорядоченную пару, тройку, ..., систему из п элементов,
взятых из данного множества, допуская повторения элементов.
21
(x, y)-*q>ifo У); х, у, Фх(^у) £ М.
Таблицу, определяющую эту функцию, можно записать
и следующим образом:
X
а
а
Ъ
Ь
У
а
Ъ
а
Ь
<Pi (*» У)
а
а
а
Ь
(Если, например, а — это число 0, а Ь—число 1, т. е.
Af = {0,1}» то соответствие cpt можно истолковать так,что
каждой паре элементов из М сопоставляется их
произведение.)
Другой пример — функция ф2 (М2—*-*Л!), определяемая
следующей таблицей:
Г" Фг ~1
I (а, а) ► а I
(а, Ь)—> Ь
\(Ь9а)—+Ь\
[_(&, Ъ)—+ а\
Читателю предлагается дать какое-либо конкретное
истолкование этой функции, а также выяснить, сколько
существует различных функций М*-+М. Сколько
существует различных функций M2-+N, где N^M (т. е. N есть
подмножество М, в частном случае совпадающее с самим
му? \
в) Составим множество всевозможных троек элементов
из М = {я» Ь}. Обозначим это множество символом М3:
Мъ = {(а, а, а), (а, а, 6), (а, 6, а), (а, 6, 6), (6, а, а),
(6, а, 6), (6, 6, а), (6, 6, 6)}.
Способ образования всех элементов множества М3
можно изобразить в виде следующей схемы:
у а (а, а, а\
/a\b (а, а, Ь)
\ь/а (а, Ь, а]
\b (а, Ь, Ь)
22
/<x (ft, a, a)
b/U\b (6, a, ft)
\/a (b> b> a)
4ft (ft, ft, ft)
Определим сейчас функцию \|?± от трех переменных
х, у, г, область значений которых — множество М : х, у,
z£M; область значений функции тоже множество
М : ЧЧ (х, У> *) £ Л!.
Это надо понимать так: каждому набору значений
переменных из их области значений сопоставляется один
определенный элемент из области значений функции.
Пусть, например, эта функция определяется следующей
таблицей:
X
а
а
а
а
Ь
ft
Ь
Ъ
У
а
а
Ь
Ь
а
а
Ь
Ь
г
а
Ь
а
Ь
а
Ь
а
ft J
*М*»'У, г)
а
Ь
1 ft
а
Ь
а
а
6
Таким образом, функция *ф± определена на множестве
М3 и имеет своей областью значений М : М3—>УИ.
Читателю предлагается выяснить, сколько существует
различных функций г|), определяющих отображение
множества М3 на М.
г) Так же, как мы определили М2 и М3, определяются
множества М4, Мъ и вообще Мп9 где п — определенное
натуральное число, аМ= {a, ft}.
Функция f от п переменных xif хъ ..., хп, каждая
из которых принимает значения из М = {a, ft},
определена на множестве Мпу т. е. на множестве всевозможных
упорядоченных наборов из п элементов,
принадлежащих М.
23
Нетрудно определить число элементов множества {a, b)ny |
и сколько можно построить различных функций Д таких, что 1
[а, Ь)п~-{а, Ь). 1
(Элементы множества {а9 Ь}п называются также р а з- 1
мещениями с повторениями из двух элемен- 1
тов по п. Приведенная выше (в)) схема образования всех 1
размещений с повторениями из двух элементов по 3 под- 1
сказывает и способ определения числа всевозможных раз- 1
мещений с повторениями из двух элементов по п, т. е. чис- |
ла элементов множества {а, Ь)п .) ]
д) Мы уже приводили выше (п. 5) примеры различных 1
форм (выражений с переменными), а именно: 1
1) форма для числа с числовыми переменными; 1
2) форма для высказывания (пропозициональная _фор- 1
ма) с числовыми переменными; |
3) пропозициональная форма с пропозициональными ]
переменными. 1
Все эти формы выражают функции. ]
1) Например, форма для числая+у, где х, у £ N \
(N — множество натуральных чисел), определяет некрторую ]
функцию S:
(х, y)-+S(x, у); х, у, S(x, у) £ N,
определенную на множество N2 и принимающую свои эна- |
чения в N. I
Функция S определяется операцией сложения в множе- I
стве N: каждой паре натуральных чисел сопоставляется ]
их сумма: 1
(U)-2
(1,2)-^3
(2,1)->3
(2,2) -» 4
Эта таблица бесконечна, но для любой пары натураль- j
ных чисел мы можем определить соответствующее им на- |
туральное число (их сумму), так как мы знаем правило I
сложения любых двух натуральных чисел. 1
Таким образом, форма для числа с числовыми перемен- I
ными определяет числовую функцию от числовых аргу- j
ментов. j
24
2) Рассмотрим форму для высказывания с числовой пе-
i ременной хг +2 = Зх (уравнение), где х £ С (С —
множество делых чисел). Выше (п. 5) мы видели, что с помощью
этой формы устанавливается следующее соответствие:
0-*Л (ложное высказывание)
1 -> И (истинное высказывание)
2-*И
3-*Л
4-*Л *
Таким образом, форма ддя высказывания х2 + 2 = Зле,
содержащая числовую переменную х, определяет
некоторую функцию L; осуществляющую отображение множества
С на множество {И, Л}:
С-- {И, Л}.
Здесь, как видно, область значений функции не
является числовым множеством. Она состоит из двух элементов:
И (истина) и Л (ложь).
Такая функция, принимающая свои значения в {И, Л},
называется логической.
Форма я2 + 2 = 3л;, где х£С, выражает логическую
функцию от числовой переменной.
Такие функции — логические функции от нелогических
аргументов — изучаются в логике предикатов (гл. 3).
3) Мы рассматривали выше (п. 5) пропозициональную
форму:
Если X и Y, то Z
с пропозициональными переменными X, F, Z, т. е.
X, Y, Z £ {И, Л}.
Эта форма при подстановке в нее вместо переменных
конкретных высказываний, т. е. их значений И или Л, сама
принимает значение И или Л, т. е. обращается в истинное
или ложное высказывание. Следовательно, она выражает
' 25
некоторую функцию t сопоставляющую каждому набору
значений переменных Л, У, Z из {И, Л} один из элементов1
этого же множества {И, Л}, т. е. функцию,
осуществляющую отображение:
{И, Л}3-^ {И, Л}.
Как видно, у этой функции и область значений
аргументов, и область значений функции — нечисловые множества.
Эти множества состоят из логических объектов И и Л; мы
здесь имеем пример логической функции от логических
аргументов.
Такие функции, называемые
пропозициональными функциями или
функциями-высказываниями, изучаются в логике высказываний (гл. 1).
ГЛАВА 1.
ЛОГИКА ВЫСКАЗЫВАНИЙ
§ 1. Объекты и операции
1. Объектами рассмотрения классической логики
являются высказывания, каждое из которых может
быть истинным или ложным, но не может быть
одновременно и истинным и ложным.
Примерами высказываний являются;
(а) КЗ;
(б) Д ABC — равнобедренный1;
(в) А. С. Пушкин — автор оперы «Евгений Онегин»;
(г)5<3;
(д) 3 — простое число;
(е) 5 делится на 2; х
(ж) Коля — отличник1.
Высказывания (а) и (д) истинны, высказывания (в), (г) и
(е) ложны.
Если треугольник ABC, о котором идет речь в
высказывании (б), действительно обладает свойством
равнобедренности, т. е. две его стороны равны, то это высказывание
истинно, в противном случае оно ложно. И так как один
и тот же треугольник ABC не мо^кет и обладать и не
обладать одним и тем же свойством, то данное высказывание не
может быть и истинным и ложным.
Если Коля, о котором говорится в высказывании (ж),
действительно отличник, то это высказывание истинно, в
1 Конечно, предложения (б) и (ж) представляют собой лишь
формы для высказываний (см. выше, стр. 15), поскольку
подлежащими в обоих из них являются «неопределенные имена» (имеется
бесконечное множество треугольников и много разных Коль).
Нам удобнее здесь считать, что в обоих случаях имеется в виду
какой-то определенный треугольник и соответственно Коля.
27
противном случае оно ложно. (Разумеется, и это высказы- 1
вание не может быть и истинным и ложным одновременно.) 1
Высказывания типа а) — (ж) рассматриваются в рам-1
ках логики высказываний как элементарные1^, е. Я
нерасчленяющиеся на другие высказывания. I
Примерами сложных1 высказываний (расчленяю- I
щихся на другие высказывания) являются: I
(а') Эта точка лежит на прямой а и (эта точка лежит)21
на прямой Ъ. '1
(б') Данный четырехугольник — ромб или (данный 1
четырехугольник) прямоугольник. 1
(в') Данное число, является рациональным или (данное 1
число) не является рациональным. 1
(г') Или он нашел решение, или он не нашел решения. I
(д') Если треугольник равносторонний, то он равнобед- 1
ренный. 1
(е') Если люди разумны и (они) сознают опасность вой- 1
ны, то они борются за мир. I
(ж') аЬ = 0, если и только если а = О или Ь = 0 и т. п. 1
-Высказывание (а') состоит из двух элементарных вы- I
сказываний: «эта точка лежит на прямой а», «эта точка ле- 1
жит на прямой Ь», соединенных словом и. I
Высказывание (б') составлено из элементарных выска-1
зываний «данный четырехугольник — ромб» и «данный 1
четырехугольник — прямоугольник», соединенных словом |
или. I
Высказывание (в') составлено из элементарного выска-1
зывания «данное число является рациональным» и выска-1
зывания, полученного в результате его преобразования с 1
помощью слова не, соединенных словом или. |
Высказывание (г') составлено из элементарного выска-1
зывания «он нашел решение» и высказывания, полученного ]
в результате его преобразования с помощью слова не, сое-1
диненных словами или ..., или. - ~ I
Высказывание (д') составлено из элементарных выска-1
зываний «треугольник равносторонний» и «треугольник |
равнобедренный», соединенных словами если..., то. . I
Высказывание (е') составлено из элементарных выска-1
зываний «люди разумны», «они сознают опасность войны» и 1
См. выше (стр. 15) о простых и сложных предложениях. I
В скобки взяты слова, которые обычно опускаются, 1
28
«они борются за мир», определенным образом соединенных ,
словами если..., то и и.
Высказывание (ж') составлено из элементарных
высказываний «ab = О», «а = 0», «Ь = 0», определенным
образом соединенных словами если и только если и или1.
Слова не, и, или, если..., то, если и только если и
некоторые другие обозначают в обычном языке
логические операции, с помощью которых из одних
высказываний (элементарных или сложных) образуются
другие высказывания.
Эти операции над высказываниями и являются
предметом алгебры высказываний.
Высказывания мы будем в дальнейшем обозначать
большими буквами латинского алфавита:
/i , D, О, ♦••, Л, X , Zd, • ••
или одной какой-нибудь буквой с индексом:
Xi, Х2,..., Хп, ... ♦
Эти буквы могут использоваться и в качестве имен
определенных, конкретных высказываний и в качестве
пропозициональных переменных, на место которых можно
подставить произвольные высказывания, так же как буквы
в элементарной алгебре применяются и как имена чисел, и
как переменные для чисел.
Значения пропозициональных переменных: И —
истина и Л — ложь. И и Л называются значениями
истинности, или истинностными
значениями2.
Значения истинности обозначаются иногда и другими
символами. Так, например, в некоторых приложениях
удобно обозначать их символами «1» (И) и «0» (Л) (или
наоборот), не приписывая, разумеется, при этом символам
«1» и «0» никакого другого «смысла», кроме значений
истинности.
1 Так как истинность или ложность сложного высказывания,
как это выяснится в дальнейшем, однозначно определяется
истинностью или ложностью составляющих его элементарных высказывав
ний, то и сложное высказывание,^ как и элементарное, может быть
истинным или ложным и не может быть и истинным и ложным
одновременно.
2 Вместо, «значение истинности» мы будем часто говорить
просто «значения» (так же как в элементарной алгебре мы говорим
«значение» вместо «числовое значение»).
29
УПРАЖНЕНИЯ
1.01. В нижеследующих высказываниях выделить составляющие,
обозначив их буквами, и подчеркнуть логические связки:
а) если диагонали параллелограмма взаимно перпендикуляр- ;
ны, то этот параллелограмм — ромб;
б) а > 0;
в) данное число делится на 2 и делится на 3 или не делится на
6;
г) если точка А принадлежит прямой а и прямая а
принадлежит плоскости а, то точка А принадлежит плоскости а,
1.02. В нижеследующих сложных высказываниях обозначить
элементарные высказывания буквами1 и определить, какие из этих
сложных высказываний имеют одинаковую логическую структуру.
а) Если диагонали параллелограмма взаимно
перпендикулярны или делят углы пополам, то этот параллелограмм — ромб;
б) если одно слагаемое делится на 3 и сумма делится на 3, то
и второе слагаемое делится на 3;
в) если параллелограмм не есть ромб, то его диагонали
неперпендикулярны и не делят углы пополам;
г) Если а = 0 или 6 = 0, то аЬ = 0;
д) Если аЬ Ф 0, то а Ф 0 и Ъ ф 0;
е) Если а > 0 и Ь > 0, то аЪ > 0.
2. Логические операции, выражаемые в обычном языке
словами
не, и, или, если..., то, если и только если,
преобразуют высказывания в другие высказывания.
Каждая из этих операций и результат ее применения
обозначаются одним и тем же термином.
Например, операция, выражаемая частицей не,
называется отрицанием, и то высказывание, которое получается
в результате ее применения к данному' высказыванию (эта
операция в отличие от остальных, рассматриваемых ниже,
применяется к одному высказыванию), также называется
отрицанием (данного высказывания).
Операция, выражаемая союзом и, называется
конъюнкцией, и высказывание, которое получается в результате
применения этой операции к двум данным высказывания^,
также называется конъюнкцией (этих высказываний) и
т. д. (Эта терминология отличается от терминологии
обычной алгебры, где операция и результат ее применения
обозначаются различными терминами: «сложение» — «сумма»,
1 Одно и то же элементарное высказывание всюду, где оно
входит в сложные высказывания а) —е), должно обозначаться
одной и той же буквой.
30
«умножение» — «произведение». Иногда, впрочем, такая
терминология принимается и в алгебре* высказываний.)
В нижеследующих определениях, для краткости
формулировок, вместо операций определяются результаты их
применения, т. е. под «отрицанием», «конъюнкцией» и т. д.
в этих определениях понимаем результаты применения
одноименных операций.
Приступая к определению логических операций, мы
ставим перед собой задачу, чтобы эти определения как
можно лучше соответствовали обычному смыслу, в
котором употребляются слова не, и, или, если..., то и если и
только если в естественном языке.
а) Отрицание
Отрицанием1 данного высказывания называется
такое высказывание, которое истинно, когда данное
высказывание ложно, и ложно, когда данное высказывание
истинно.
Отрицание некоторого высказывания X мы обозначим
символом X (X с чертой)2. Например, отрицание
высказывания А £ а обозначим символом А£а> отрицание
высказывания а || Ь — через а || Ъ, отрицание 1 < 3 — через
Г<3.
Определение отрицания может быть записано в виде
следующей таблицы, называемой таблицей
истинности или истинностной таблицей:
X
и
л
1 х
л
1 и
В ней указано, какие значения истинности (И, Л)
принимает отрицание X в зависимости от значений истинности
высказывания X,
Эта таблица определяет пропозициональную функцию
одной переменной X, отображение множества {И, Л} на
себя, сопоставляющее элементу И "элемент Л и элементу Л
элемент И. ,
1 Другое название — негация.
2 Другие обозначения: 1 и ~ (ставятся перед
обозначением отрицаемого высказывания).
31
Нетрудно заметить, что_ высказывание X является от- 1
рицанием высказывания X (удовлетворяет определению I
отрицания). 1
б) Конъюнкция I
Если два высказывания Соединены союзом и, то полу- 1
ченное сложное высказывание обычно считается истинным I
тогда и только тогда, когда истинны оба составляющих 1
его высказывания. Если хотя бы одно из составляющих 1
высказываний ложно, то и полученное из них с помощью 1
союза и сложное высказывание также ложно. |
Например, высказывание «число 2 простое и четное» 1
истинно, так как оба составляющих его высказывания «чис- I
ло 2 простое» и «число 2 четное» истинны. Высказывание ]
«диагонали равнобочной трапеции равны и делятся точ- I
кой пересечения пополам» ложно, так как -одно из состав- 1
ляющих высказываний, а именно «(диагонали рав- |
нобочной трапеции) делятся точкой пересечения пополам», ]
ложно. * I
Таким образом, исходя из обычного смысла союза «и», |
приходим к следующему определению соответствующей ло- I
гической операции. 1
Конъюнкцией1 двух высказываний X и Y на- I
зывается такое высказывание, которое истинно тогда и 1
только тогда, когда истинны оба высказывания X ш Y. 1
Обозначим это высказывание символом X A Y (знак Л за- 1
меняет союз и)2. ]
. Определение конъюнкции может быть записано в виде I
следующей таблицы: ]
X
и
и
л
л
Y
И
л
И
л
1ХЛ К8
и
л
л
л
1 Или (логическим) произведением. * 1
2 Для обозначения' конъюнкции применяется также символ & 1
или точка — знак обычного умножения, которая, как и в обычной |
алгебре, часто опускается {XY вместо X • Y). ^ 1
8 Если ХиУ- определенные высказывания (т. е. имена вые- 1
казываний), то и ХЛК- тоже определенное высказывание. Ее- I
32
Эта таблица определяет пропозициональную функцию
двух переменных X и Y, определенную на множестве
(И, Л}2 и имеющую своей областью значений множество
{И, Л}.
Определение конъюнкции может быть распространено
на любое число высказываний.
Конъюнкция Хг Л Х2 Л... Л Хп> которую мы обозначим
п
сокращенно через Л Xi9 истинна тогда и только тогда, ког-
да истинны все высказывания Х19 Х8, ... , Хп (и ложна,
когда ложно хотя бы одно из этих высказываний).
в) Дизъюнкция
В обыденной речи союз или применяется в двух
различных смыслах: неразделительном (соединительном),
когда сложное высказывание, образованное с помощью
этого слова, считается истинным, когда истинно хотя бы
одно из составляющих высказываний, и в разделительном,
когда сложное высказывание считается истинным, когда
истинно только одно из составляющих высказываний (в
этом случае иногда говорят: или..., или).
Например, если в высказывании «этот ученик способен
или прилежен» союз «или» применен в неразделительном
смысле, то это высказывание истинно, когда истинно хотя
бы одно из составляющих его высказываний, т. е. когда
действительно этот ученик либо способен, либо прилежен,
либо одновременно и способен и прилежен. Оно ложно
только в том случае, когда оба составляющих
высказывания ложны, т. е. когда в действительности этот ученик
неспособен и неприлежен.
Если в высказывании «Андрей станет физиком или
математиком» союз «или» понимается в другом, разделительном
смысле, то это высказывание считается истинным, когда
одно из составляющих высказываний истинно, а другое
ложно, т. е, когда действительно Андрей либо станет
физиком и не станет математиком, либо станет математиком и
не станет физиком. Оно считается ложным, когда оба
составляющих высказывания ложны, или оба истинны, т. е.
ли же хотя бы одно из X или Y — пропозициональная переменная,
то XhY — пропозициональная форма, т. е. форма для
высказывания. i
2 А, А Столяр
33
когда действительно Андрей либо не станет ни физиком, I
ни математиком, либо станет и тем и другим. (В последнем щ
случае обычно говорят: «Не угадали, предсказав, что Анд- I
рей станет физиком или математиком; он стал и физиком, и 1
математиком».) 1
Вообще говоря, в естественном языке бывает трудно 1
различать, в каком смысле применен в том или ином вы- 1
сказывании союз «или». В языке современной логики эта 1
двусмысленность устраняется путём различного обозначе- 1
ния операций, соответствующих союзу «или» в одном и в I
другом смысле. 1
Исходя из неразделительного смысла союза шли», мы 1
приходим к следующему определению. 1
Дизъюнкцией1 двух высказываний называется I
такое новое высказывание, которое истинно тогда и только 1
тогда, когда истинно хотя бы одно из этих высказываний. I
Дизъюнкцию высказываний X и Умы обозначим сим- 1
волом ХУУ (т. е. знак V заменяет союз или в соединитель- 1
ном смысле). I
Определение дизъюнкции может быть записано в виде I
следующей таблицы: - 1
X
и
и
л
л
Y
И
Л
И 1
Л
\XVY
И
и
и
л
Эта таблица, как и таблица конъюнкции, определяет
функцию2 двух переменных ХиУ, определенную на
множестве {И, Л}2 и имеющую своей областью значений
множество {И, Л}.
Определение дизъюнкции, как и определение
конъюнкции, естественным образом распространяется на любое число
составляющих высказываний.
1 Или (логической) суммой.
2 Ввиду того что в этой книге не рассматриваются другие
функции, кроме пропозициональных, мы будем вместо
«пропозициональная функция» говорить просто «функция».
34
УПРАЖНЕНИЯ
п
1.03. Когда истинна дизъюнкция V X*? Когда она ложна? Когда
п
ложна конъюнкция Л Xfi
1.04. Отображение какого множества на какое определяет дизъюнк-
п п
ция V Xi или конъюнкция д Xfi Сколько строк имеет таблица,
соответствующая каждой из этих функций?
1.05. Операцию, соответствующую союзу «или» в разделительном
смысле, называют строгой дизъюнкцией.
Определить строгую дизъюнкцию двух высказываний X и Y и
составить соответствующую таблицу. (Строгую дизъюнкцию можно
обозначить символом V — знаком дизъюнкции с точкой.)
1.06. Составить таблицы истинности для высказываний:.
* a)XAYAZ;
б) X V Y V Z.
г) Импликация
Очень часто (и не только в математике) мы пользуемся
сложными высказываниями, составленными из двух
высказываний, соединенных словами «если... , то».
Сложное высказывание типа
«Если X, то F»,
называемое условным, есть высказывание о
следовании (X — посылка, или основание, Y —
следствие, или заключение);
В разговорном языке имеются многочисленные
синонимы для чЕсли X, то Y»:
«из X следует Y»t
«X влечет У»,
«X достаточное условие для F»,
«У, если X».
«F необходимое следствие из X»,
«У при условии, что X» и др.
Условное высказывание «Если X, то У», т. е.
высказывание о следовании Y из X, характеризуется следующими
двумя условиями:
(1) оно ложно в том и только в том случае, когда посылка
2*
35
(X) истинна, а следствие {Y) ложно, и 1
(2) X и Y связаны по содержанию, по смыслу. I
Однако в формальных выводах мы отвлекаемся от со- 1
держания посылки и следствия, а значит, и от их связи по 1
содержанию, обращая внимание на связь между их значе- 1
ниями истинности, т. е. на выполнение условия (1). Поэто- I
му в логике высказываний обычно пренебрегают услови- 1
ем (2) и при определении операции, соответствующей one- 1
рации получения условного высказывания, учитывают I
лишь условие (1). 1
Эта операция (и результат ее применения) называется I
импликацией. - 1
Импликацию с посылкой X и следствием Y мы обозна- I
чим" символом X ==> У1. Говорят также: X и м п л и ц и- 1
р у е т2 У. I
Для определения импликации, мы воспользовавшись ло- 3
гической характеристикой условного высказывания (т. е. |
тем, что оно ложно только в том случае, когда посылка 1
истинна, а следствие ложно), придем к следующему опре- 1
делению. ]
Импликация X =Ф Y — это такое высказывание, ]
которое ложно тогда и только тогда, когда X истиннЪ, a Y I
ложно. I
Это определение может быть записано в виде следующей 1
таблицы; 1
X
и
и
,л
л
У
и
л
и
л
X=>Y
и
л
и
и
Пренебрежение условием (2), конечно, приводит к таким «не- j
естественным» последствиям, как признание истинными не |
только импликаций вида I
(а) «Если а делится на 3, то и а2 делится на З»,3 ]
но и, скажем, |
(б) «Если 9 делится на 3, то и 81 делится на 3», I
(в) «Если 10 делится на 3, то и 100 делится на 3», I
и даже - 1
(г) «Если 2 х 2 = 4, то Минск — столица БССР», ' 1
1 Употребительны также символы -+ и zd. \
2 Или влечет. j
8 Здесь а — некоторое конкретное число. ]
/д) «Если 2 • 2 = 5, то Минск — столица БССР» и
(е) «Если 2 X 2 == 5, то Могилев — столица БССР».
Разумеется, истинность (б) и (в) (хотя первая из этих
импликаций кажется «тривиальной», а вторая — «ненужной»)
усматривается непосредственно из сравнения с (а), частными
случаями которой они являются. Такого рода конкретные
следствия из общих предложений привычны нам по
доказательствам математических теорем, и единственное отличие их от
«привычных» разговорных оборотов состоит в том, что в математике обычно
не пользуются (считая это просто излишним загромождением речи)
сослагательным наклонением. (В самом деле,
импликация (в'). «Если бы 10 делилось на 3, то и 100 делилось бы
на 3» уже никаких возражений и недоумений не вызывала бы (!).)
Что же касается (г), (д) и (е), то здесь налицо «парадоксальные»
последствия отказа от условия (2). Но отказ этот вынужден —
дело в том, что при определении логических операций (не толь-
к о импликации!) мы руководствуемся еще одним условием,
характерным и решающим именно для формализации логики:
(3) Истинность или ложность заключения однозначно
определяется истинностью или ложностью посылок.
Условие (3) выдерживалось при определении операций
отрицания, конъюнкцинг и дизъюнкции (и именно его неукоснительное'
выполнение привело нас к необходимости специальных оговорок
относительно различных смыслов союза «или»). Применение (3) к
вопросу об определении импликации можно представить в виде
процесса последовательного заполнения таблицы истинности для
импликации:
X
и
и
л
л
Y
И
л
И
л
X=>Y
1)—2) Естественность требования, согласно которому из
истинной посылки при «правильном» рассуждении получается
непременно истинное (а не ложное) следствие, приводит к тому, что строка
1) последнего столбца таблицы заполняется значением И, а строка
2) — значением Л.
3)—4) Поскольку, приняв ложную посылку, мы можем,
правильно рассуждая, прийти как к верному [случай 3), пример
(д)], так и к неверному [случай 4), примеры (б) и (е)] выводу, то
строки 3) и 4) приходится заполнять значением И.
Конечно, несмотря на истинность импликации (е), никакое
«следование» в ней не выражается, так как посылка и заключение
не связаны по содержанию. Такое высказывание в обычной речи
квалифицировалось бы как бессмысленное*
4)
37
Это явление — наличие истинных импликаций, не являющих- ,1
ся высказываниями о следовании, объясняется, конечно, тем, что I
при определении импликации мы не учитывали условие (2), пре- 1
досматривающее связь по содержанию между посылкой и следст- I
вием. Поэтому определяемый с помощью условия (1) класс импли- -1
каций шире класса условных высказываний, удовлетворяющих I
условиям (1) и (2), содержит его в качестве подкласса: всякое истин- 1
ное условное высказывание выражается истинной импликацией, I
но не всякая истинная импликация есть выражение условного I
высказывания в обычном смысле. I
В математической логике разработаны логические системы и с 1
другими видами импликации, в частности, с целью отражения I
некоторых сторон связи «по смыслу» между посылкой и следствием1. |
д) Эквиваленция 1
Сложное высказывание «четырехугольник — параллело- 1
грамм, если и только если его диагонали делятся точкой пе- |
ресечения пополам» считается истинным, если его компо- I
ненты, т. е. высказывания «четырехугольник — паралле- 1
лограмм» и «его диагонали делятся точкой пересечения по- 1
полам», оба истинны или оба ложны. 1
Сложное высказывание, составленное из двух выска- |
зываний X иУ, соединенных словами «если и только если», 1
мы будем называть эквиваленцией и обозначим I
через X 4=> Y (знак 4=>2 заменяет слова «если и только I
если»). 1
Таким образом, исходя из обычного смысла слов «если 1
и только если», мы приходим к следующему определению. ]
Эквиваленцией двух высказываний X и У 1
называется такое высказывание, которое истинно тогда и |
только тогда, когда оба эти высказывания X и Y истинны I
или оба ложны. 1
Это определение может быть записано в виде следующей I
таблицы: " - 1
X 1
и
л
л
и
Y
И
Л
И
л
Хффг
и
л .
л
1 и
1См,: В. В. Д о н ч е н к о, Импликация, [10], т. 2;
Д. П. Г о р с к и й, Формальная логика и язык [11 ].
а Употребительны также знаки: «■> , ~ и =.
Истинность приведенного выше сложного высказывания
обычно устанавливаем доказательством двух взаимно
обратных теорем: «Если четырехугольник — параллелограмм,
то его диагонали делятся точкой пересечения пополам, и
если диагонали четырехугольника делятся точкой
пересечения пополам, то четырехугольник — параллелограмм».
Пусть X — высказывание «четырехугольник —
параллелограмм», Y — высказывание «диагонали
четырехугольника делятся точкой пересечения пополам».
Тогда только что приведенное сложное высказывание
запишется так:
«Если X, то Y и если Y\ то X».
Заменяя слова «если ..., то» знаками импликации, а
союз «и» — знаком конъюнкции, -получаем:
(X==>Y)A(Y=>X). (1)
Это сложное высказывание составлено из элементарных
с помощью уже известных нам операций импликации и
конъюнкции, и мы можем для него составить таблицу
истинности, аналогичную составленным выше, исходя из
определений (таблиц) этих операций.
Выпишем в первых двух столбцах всевозможные
наборы значений двух элементарных высказываний X и Y:
1
X
и
и
л
л
2
Y
И
Л
И
Л
3
И
Л
и
и
У=фХ
и
и
л
и
(Х=»У)А(Г=»Х)
и
л
л
и
В третьем столбце выпишем значения импликации
X => Y, , соответствующие этим наборам значений X и F,
согласно определению импликации; в четвертом столбце
аналогично выпишем значения импликации Y=$>X.
Наконец, в пятом столбце выпишем значения конъюнкции (1),
соответствующие значениям импликаций X==$>Y и Y=$>X в
столбцах 3 и 4.
Полученная таблица (ее 1, 2 и 5 столбцы) полностью
совпадает с приведенной выше таблицей для операции эк-
виваленции, которая, таким образом, может быть сведена
к импликации и конъюнкции.
39
Можно также считать, что Х<=»7 есть просто
сокращенная запись выражения (1). (Знак <=» напоминает о
«двойной» импликации т*.)
3. Приведенные выше определения логических опера- I
ций позволяют найти значение истинности сложного
высказывания, если известны значения истинности
элементарных высказываний, из которых оно сконструировано с
помощью этих операций.
Пусть, например, дано сложное высказывание
((XVY)=>(XAZ))t=>(YVZ)
и известно, что X, Y, Z имеют значения И, И, Л
соответственно.
Определение значения сложного высказывания можно
записать в виде следующей схемы (не нуждающейся,
очевидно, в комментариях)
((XVY)=>(XAZ))^>(YVZ)
ИИ ЛИ ИЛ
И Л И *
Л * И
Л
Следовательно, данное сложное высказывание имеет
значение Л.
УПРАЖНЕНИЯ
1.07. Из элементарных высказываний
А — «это число целое»,
В — «это число положительное»,
С — «это число простое» и
D — «это число делится на 3»
составлены следующие сложные высказывания:
a) AV В; е) (ЛЛС)=*б^
б) ЛЛВ; ж) (ЛЛО)=>С;
b) AV_A; s)04V5)A(CVD);
г) ВАВ;_ и) AV D;
д) D «=>С; к) (А Л В Л С) V D.
Прочитать все эти высказывания на русском языке.
1.08. Составить таблицу для XVY и сравнить ее с таблицей для
импликации Х=? У. Какой вывод можно сделать из этого сравнения? |
1.09. Какие имеются синонимы для высказывания «X, если и толь-
ко если У»?
40
Записать высказывание «число рационально, если и только
если оно представимо в виде отношения двух целых чисел» как
конъюнкцию двух импликаций.
1,10. Определить значения нижеследующих сложных
высказываний:
а) X Л (У Л Z);
б) (X Л Y) Л Z;
r)(XAY)=$>Z;
ti(XAY)^(ZVY);
e)((XVK)AZ)^((XAZ)V(KAZ)),
если известно, *что X имеет значение Л, У —И и Z — И.
1.П. а) Известно, что импликация X => У истинна, а эквиваленция
Хф=>У ложна. Что можно сказать о значении импликации Y =£ X?
б) Известно, что эквиваленция_Х ФФ Y истинна. Что можно
сказать о значениях }С<=$> Y и X ФФ У?
в) Известно, что X имеет значение И. Что можно сказать о
значениях импликаций:
(XAY)=$Zt X=*(yVZ)?
г) Известно, что X =£ У имеет значение И. Что можно сказать
о значениях
Z=$>(X=»y), (X =» У) =Ф У, (X=$>V)=$Z?
1.12. В сложном высказывании «Если основание пирамиды—
правильный многоугольник и высота проходит через центр основания
или двугранные углы при основании равны, то пирамида
правильная» обозначить элементарные высказывания буквами, заменить
слова, выражающие логические операции, соответствующими
символами. х
При какой расстановке скобок получающееся высказывание
оказывается истинным? ложным?
§ 2. Формулы* Эквивалентные формулы.
Тождественно-истинные формулы
1. Выражение из букв, знаков операций (введенных в
§ 1) и скобок, обозначающее высказывание или форму для
высказывания, называется формулой алгебры
высказываний1.
Интуитивно ясно, например, что X, XAY, X=$>Y —
формулы, а выражение X А => не является формулой.
Однако в более сложных случаях наша интуиция может
оказаться недостаточной.
Приведенное разъяснение позволяет нам определить,
является ли какое-нибудь выражение формулой или нет,
1 Точное определение будет дано во второй главе.
41
только на основе содержательного истолкования символов,
из которых составлено это выражение. Согласно этому
разъяснению формулами следует считать и отдельные
буквы Л, В, С, ..., X, Y, Z, обозначающие пропозициональные
переменные (которые в пределах этой главы мы будем
называть просто переменными), а также буквы,
обозначающие логические постоянные, т. е. И (истинное
высказывание) и Л (ложное высказывание).
Каждый же из знаков ~, Л, V, =Ф, ФФ, также
обозначающих логические постоянные, взятый сам пе себе,
конечно, не является формулой.
Скобки, как и в обычной алгебре, играют роль знаков
препинания, используемых для определения порядка
операций.
Для упрощения написания формул (уменьшения числа
скобок в них) мы примем следующие соглашения:
1°. Не заключать в скобки формулу или часть ее, сгоя-
щую под знаком отрицания, т. е. писать XVY AZ вместо
(XVY)AZ.
2°. Считать, что знак конъюнкции связывает сильнее
знаков дизъюнкции, импликации и эквиваленции, т. е.
писать
XAYVZ вместо (XAF)VZ;
/ X=$>YAZвместо X=>(YAZ);
XAY<=$ZAT вместо (XAY)t=>(ZAT).
3°. Считать, что знак дизъюнкции связывает сильнее,
чем знаки импликации и эквиваленции, т. е. писать
XV7=>Z вместо (XVF)=>Z;
X^YVZ вместо Х<=»(У VZ).
4°. Считать, что знак импликации связывает сильнее,
чем знак эквиваленции, т. е. писать
X=>7<=>Z вместо (X=>F)<£=»Z.
Эти соглашения значительно упрощают запись формул.
Например, записанная без учета этих соглашений
формула
(((X V Y) A Z) =Ф (Z V X)) <=> ((X V Y) => ((Y A Z) V X))
запишется теперь так:
(XVY)AZ=>ZVX*=>XVY=$>YAZVX.
42
При чтении формула может быть названа именем той
операции, которая выполняется последней (знак которой,
связывает слабее всех остальных знаков операций,
входящих в формулу). Так, записанная выше формула
представляет собой эквиваленцию (двух импликаций).
2. Произвольную формулу, содержащую переменные Хг,
Х2, • •. , Хп, обозначим через
/ (Хх, Х2, ... , Хп).
Эта формула определяет на множестве всевозможных
наборов значений переменных некоторую функцию /,
принимающую, как и ее аргументы, значения из (И, Л}.
формула представляет собой лишь одну из возможных
форм задания функции /. Поскольку каждая переменная
Xt принимает лишь два значения (И и Л), то область
определения функции / — {И, Л}" — конечное множество, оно
содержит 2п элементов.
Поэтому такая функция может быть всегда задана и с
помощью конечной таблицы истинности, подобной тем,
которые мы уже составляли (§ 1).
Таблица^ истинности, соответствующая функции / (мы
будем говорить, что она соответствует и формуле f{Xit
Х2, ..., Х„), определяющей эту функцию), содержит 2п
строк. В каждой строке для определенного набора
значений переменных указано соответствующее значение
функции, которое мы назовем и значением формулы.
Мы уже видели (§ 1, п. 2, д), как составляется таблица
истинности для формулы, содержащей более одного знака
операции.
УПРАЖНЕНИЯ
1ЛЗ. Составить таблицы истинности, соответствующие
нижеследующим формулам:
a)XVT; r)X=>YVZ;
6)XAY; e) (X =*Y)V(X =»Z)\
в) XA(YVZ); ж) XV7AZ;
г) XAYVXVZ; з) (XVY)A(XVZ).
3. Различные по структуре формулы могут выражать
одну и ту же функцию.
Например, формулы а) и б), а также в) и г), д) и е),
ж) и з) (упр. 1.13), как видно из соответствующих им
таблиц истинности, выражают одни и те же функции.
43
Формулы, выражающие одну и ту же функцию, назы- |
ваются эквивалентными. I
Отношение эквивалентности является отношением меж- I
ду формулами алгебры высказываний. Термин или символ, I
обозначающий это отношение, принадлежит не языку ]
алгебры высказываний, а тому языку, на котором описы- |
вается, изучается формализованный язык алгебры выска- |
зываний (метаязыку1). 1
Мы обозначим отношение эквивалентности символом 1
«экв», т. е. сокращением слова «эквивалентна». I
(Для обозначения этого отношения иногда применяется |
и обычный знак равенства =, или знак тождества s, или I
же знак равнозначности ~.) 1
Запись «X V Y экв Л Л7», означающая «формулы X\JY \
- и K/\Y эквивалентны», представляет собой не формулу 1
алгебры высказываний, а высказывание о форму- ]
лах этой алгебры, выраженное на метаязыке (в данном |
случае — на обычном русском языке), на котором мы опи- I
сываем и изучаем эту алгебру* i
Из определения отношения эквивалентности непосред- j
ственно следует, что оно рефлексивно, симметрично и* тран- |
зитивно, т. е. что 1
1) ф экв ф для любой формулы ф; 1
2) если ф! экв ф2, то ф2 экв ф! для любых формул ф* и 1
ф2 I
и 3) если ф! экв ф2 и ф2 экв ф3, то фА экв ф3для любых фор- 1
мул фь ф2 и ф3. 1
Возможность выражения одной и той же функции эк- I
Бивалентными формулами отражает возможность выраже- |
ния одной и той же мысли с помощью высказываний раз- 1
личной логической структуры. I
Приведем несколько примеров эквивалентных формул.
а) Импликация X =Ф Y принимает значение Л в одном j
лишь случае, когда X имеет значение И и Y — значение Л. |
Но как раз при этих и только этих значениях переменных !
принимает значение Л и дизъюнкция XVY. При остальных ]
наборах значений переменных обе эти формулы принимают |
значение И. Таким образом, этим формулам соответствует I
1 См. подробнее статьи Ю. А. Гастева'и И. X. Шмаина 1
«Метатеория» иВ. К. Финна «Металогика» и «Метаязык» в 3 то- 1
ме «Философской энциклопедии» [10]. ]
44
одна и та же таблица истинности, они выражают одну и
ту же функцию, т. е.
X=$>Y экв XVY.
б) Возвратимся к одному из примеров, рассмотренных
во Введении (п. 5).
Там утверждалось (пока без всякого на это основания),
что если форма
(\)—(\')ЕслиХи Y,moZ
обращается в истинное высказывание, то в истинное
высказывание обращается и каждая из следующих двух форм:
(3) — (3') Если X и не Z, то не Y и
(4) — (4') Если не Z, то не X или не Y
и обратно.
Теперь мы можем это доказать. Для этого достаточно
установить, что формы (1)—(1') и (3) — (3'), а также (1)—
-—(Г) и (4)—(4') выражаются эквивалентными формулами.
Докажем, что __
ХЛУ=»2эквХЛ2=*>?
nXAr=»Z3KBZ=s>XVK,
т. е. что три формулы XЛF=S>Z, XAZ=>7, Z^XMY
эквивалентны, с помощью таблицы истинности:
X
и
и
и
и
л
л
л
Y
И
и
л
л
и
и
л
л
Z
и
л
и
л
и
л
и
л
X
л
л
л
л
и
и
и
и
Y
л
л
и
и
я
л
и
и
Z
л
и
л
и
л
и
л
и
ХЛК
и
и
л
л
л
л
л
л
\XAY=pZ
и
л
и
и
1 и
и
и
и
XAZ
л "
и
л
L и
л
л
л
л
XAZ=> К
и
л
и
и
и
и
и
и
fev г
л
1 л
и
и
и
и
и
и
z=»xvr!
1 и
л
и
и
и
и
и
и
45
Совпадение значений трех формул при любых одинако- 1
вых наборах значений переменных (столбцы 8, 10 и 12, 1
считая слева) доказывает их эквивалентность. 1
в) Высказывание «Неверно, что точка А принадлежит 1
прямой а и прямой Ь» г означает то же, что «точка А не 1
принадлежит прямой а или не принадлежит прямой Ь». Ц
Если отвлечься от конкретного содержания этих слож- |
ных высказываний, заменив составляющие их элементар- ||
ные высказывания переменными («точка А принадлежит А
прямой а» — X и «точка А принадлежит прямой 6» — Y), I
то получаем формулы X A Y и X V Y. ||
Исходя из определения операций илр с помощью табли- |
цы истинности легко устанавливается эквивалентность А
этих формул, т. е. |
X1\Y экв XV?: |
Эквивалентные формулы алгебры высказываний — ана- |
лог тождественных выражений обычной алгебры. Однако I
в обычной алгебре, в отличие от алгебры высказываний, |
мы не можем устанавливать тождество двух выражений, I
например (а + Ь)2 и а2 + 2ab + Ь2, непосредственной I
проверкой совпадения их значений при всевозможных оди- 1
наковых наборах значений переменных а9 Ь, так как этих 1
наборов бесконечное множество. Тождество выражений I
устанавливается с помощью их преобразования. I
Эквивалентность формул алгебры высказываний может 1
быть установлена с помощью соответствующих этим фор- I
мулам таблиц истинности, т. е. по существу непосредствен- I
ной проверкой совпадения их значений при всевозможных I
одинаковых наборах значений переменных. 1
Однако, хотя таблицы истинности всегда конечны, при I
большом числе переменных составление этих таблиц прак- 1
тически неудобно, так как число их строк увеличивается |
очень быстро с увеличением числа переменных. 1
В алгебре высказываний, как и в обычной алгебре, не- 1
которые пары эквивалентных формул используются для 1
доказательства эквивалентности других формул с помощью I
их преобразования. Приведем наиболее важные эквивалент- 1
ности, выражающие свойства операций алгебры высказыва- I
ний: |
1 Словом «неверно» обозначается отрицание всего следующего
за этим словом высказывания.
46
(1) X экв X;
(2) XVY экв FVX;
(3) XAY экв Г АХ;
(4) (XVY)VZ экв XV(FVZ);
(5) (XA^)AZ экв XA(YAZ);
(6) XA(YVZ) экв XAYVXAZ;
(7) XVF AZ экв (XVK)A(XVZ);
(8) XVX экв X;
(9) ХЛХ экв Xv
(10) ХУЛ экв X;
(11) ХАИ экв X;
(12) ХЛЛ экв Л;
(13) XVH экв И;
(14) ХУХ экв И;
(15) ХАХ экв Л; __
(16) XAY экв XVУ^
(17) XVF экв ХАГ;
(18) X=>Y экв XVF;
(19) X<=>Y экв (Х=фУ)А(К=ФХ).
Все эти эквивалентности.легко устанавливаются исходя
из определения операций, с помощью таблиц истинности.
(Некоторые уже установлены нами, некоторые другие
включены в упражнения.) В дальнейшем мьь часто будем
ссылаться на них, указывая при этом соответствующие номера.
Рассмотрим внимательнее этот список.
а) Соотношения (2) — (13), содержащие лишь знаки
дизъюнкции и конъюнкции, показывают, что эти операции,
как и сложение и умножение обычной алгебры,
коммутативны и ассоциативны ((2) — (5)). Но в обычной алгебре
лишь умножение дистрибутивно относительно сложения.
В алгебре высказываний каждая из двух операций,
дизъюнкция и конъюнкция, дистрибутивна относительно другой
((6), (7)). Если дизъюнкции сопоставить сложение,
конъюнкции — умножение, Л — число 0, И — число 1, то в
обычной алгебре имеются свойства, аналогичные выраженным
в соотношениях (10)—(12), но не имеется аналогов для
свойств, выраженных в (8), (9) и (13).
б) Если в какой-нибудь формуле <р, составленной с
помощью знаков отрицания, конъюнкции и дизъюнкции, за
менить знаки А, V, И, Л соответственно знаками V» А»
47
Л, И, то получаемая формула <р' называется двойствен- I
н о й ф. . 1
Если применить эту же процедуру к формуле <р', полу- I
чим формулу ф, т. е. и ф двойственна <р'. Таким образом, I
отношение двойственности является взаимным. 1
Например, формулы XAjYVZ) nXVjYAZ); i
XAY и XVY, 1
ЛЛИиХУЛ |
взаимно двойственны. I
Внимательное рассмотрение соотношений (2) — (17) по- §
зволяет обнаружить, что они могут быть разбиты на пары, 1
содержащие взаимно двойственные формулы: (2) и (3), (4) I
и (5), (6) и (7) и т. д. - I
Оказывается, в алгебре высказываний действует такой I
закон (или принцип) двойственности: I
Если две формулы эквивалентны, то двойственные им I
формулы также эквивалентны. I
Ниже мы проиллюстрируем этот принцип на конкрет- |
ном примере \ 1
в) Покажем, что некоторые из эквивалентностей (1)— I
(19) можно получить из других. В этих преобразованиях |
мы воспользуемся двумя правилами, аналогичными тем, |
которыми мы пользуемся в тождественных преобразова- 1
ниях выражений обычной алгебры. 1
1*. Переменную, входящую в состав двух эквивалент- 1
ных формул, можно заменить всюду, где она входит в них, I
одной и той же произвольной формулой. Так как эта фор- I
мула принимает те же значения (И и Л), что и перемен- 1
ная, которую она заменяет, то в результате этой замены 1
получатся, снова эквивалентные формулы. Применение |
этого правила позволяет получить из (1)—(19) сколько |
угодно новых эквивалентностей. 1
2°. Формулу, составляющую часть какой-либо данной I
формулы, можно заменить эквивалентной ей формулой. I
Так как эта замена не изменяет значения всей формулы, 1
то в результате получается формула, эквивалентная дан- 1
ной. I
Покажем сейчас, как из эквивалентности (6), выражаю- 1
щей дистрибутивность конъюнкции относительно дизъюнк- |
ции, может быть получена эквивалентность (7J, выражаю- 1
1 Доказательство см., например, в 16]. I
48 ~ |
щая дистрибутивность дизъюнкции относительно
конъюнкции. (Из этого же примера видна идея доказательства
принципа двойственности.)
Пусть дана эквивалентность
XA(YVZ) экв XAYVXAZ. (6)
Если, две формулы эквивалентны, то и их отрицания
эквивалентны, т. е. .
(a) XMYVZ) skbXAYVXAZ.
Из (а), (16) и (17) по правилу 1° получаем:
(аа) X V YVZ экв ХЛТ Л~ХЛ2.
[(*) ХЛ{YyZ) BKbXyYyZ из (16) по правилу 1° (перемен-
ную Y заменили формулой YVZ)\ (**) XAYVXaZ экв
XAYAXAZ из (17) по правилу 1° (переменную X заменили
формулой XAY, переменную Y — формулой XAZ); из (а),
(*) и (**) по свойствам симметричности и транзитивности
отношения эквивалентности получаем (аа).]
Из (аа\ (17) и (16) по правилам 1° и 2° получаем:
(ааа) Xv^AZ экв (X\/Y)A(X\/T).
Из (ааа) по правилу 1° (заменой X на X, Y на Y и Z
. на Z) получаем:
XVYaZ экв (XVF)A(XVZ). (7)
(В дальнейшем мы не будем указывать каждый раз
правило, по которому преобразуется 'формула, а лишь
используемые эквивалентности.)
В приложениях, где существенное значение имеет
функция, выражаемая формулой, а не структура самой этой
формулы, можно заменить одну формулу другой,
эквивалентной ей, с более простои Ьтруктурой. Таким образом,
преобразование формул, как и в обычной алгебре, можно
использовать для их упрощения,
В длинных преобразованиях формул, чтобы получить
более компактную запись, мы будем опускать знак
конъюнкции, т. е. писать XY вместо XAY.
Приведем пример упрощения формулы с помощью
преобразований:
(XFVZ)(XVr)V^9KB (XFV2)XV(XFVZ) У VZJ6)
экв (ХУ)Х V ZX V (XY) YVZYVZ(6)
49
экв [XX)YyZXVX(YY)VZYVZ (3,5)
экв nYVZXVXnVZYVZ
экв RSIZXMRyZYMZ
экв ZXMZYMZ
экв ZXV(ZVZ)(YVZ)
экв ZXVtt(YVZ)
экв ZXSIYMZ
экв (ZVZ) (XV Z)VY
экв H(XVZ)VF
9KBXVZVK
(15> 1
(12) 1
(10) 1
(7) 1
(14) 1
<П> 1
(2,7) !
(14) И
(И) 1
Таким образом, мы получили: 11
(X? V Z) (X V Y) V Z экв X V Z V Y. I
Эти преобразования (если сопоставить дизъюнкции — |
сложение, конъюнкции — умножение, И — число 1, Л — 1
число 0) во многом похожи на тождественные преобразова- Ц
ния выражений обычной алгебры (на основании дистрибу- 1
тивности конъюнкции относительно дизъюнкции мы про: I
изводим раскрытие скобок и вынесение множителя з$ скоб- I
ки; опускаем слагаемое, равное 0, и множитель, равный 1, 1
и т. п.), но во многом отличаются от них (в частности, в 1
преобразованиях, основанных на дистрибутивности дизъюн- I
кции относительно конъюнкции и на других свойствах 1
операций алгебры высказываний, которыми не обладают 1
операции обычной алгебры). Я
УПРАЖНЕНИЯ I
1.14. Упростить следующие формулы: Ц
а) (XV Y) (XV?); '' I
6)XVXY;_ ' I
в) XKVXZVFZV7VZ; 1
г) XYZV XYZM XY. 1
. Для полученных эквивалентностей записать „соответствующие 1
им по принципу двойственности эквивалентности. г 1
1.15. Эквивалентности (16) и (17) можно записать для случая п щ
переменных так: I
(16') Л X/ экв VXt; 1
(17') V Xt экв AX,. 1
50
для n = 2 эти эквивалентности доказаны (например, с помощью
таблиц истинности).
Доказать их для любого п индукцией по числу переменных,
т. е. доказать их для п в предположении, что они имеют место для
п — 1 переменных (метод математической
индукций в алгебре логики).
1.16. Доказать эквивалентности:
а) AM BCD экв (А V В)(А V С) (A VD);
б) AVABt экв !\(A\I Bt).
1.17. Мы определили пять операций —, Л, V, =Ф, <=£, каждую
независимо от других.
Оказывается, можно ограничиваться двумя операциями, а
остальные выразить с помощью этих двух.
Найти все такие пары операций и показать, как остальные
выражаются через них. (Указание: в такую пару обязательно
должна входить одна из операций — или =£> .)
1.18. Допустим, что мы избрали в качестве основных операций
дизъюнкцию, конъюнкцию и отрицание и что мы их определяем не
с помощью соответствующих таблиц, а с помощью эквивалентно-
стей
(2), (3), (6), (7), (10), (11), (14), (15). Иначе говоря, примем эти
эквивалентности за исходные.
а) Доказать эквивалентности (8) и (9). __
(Указание: заменить в (6) и (7) Y через X, a Z через X.)
б) Используя исходные и уже доказанные эквивалентности (8)
и (9), составить таблицы истинности для дизъюнкции, конъюнкции
и отрицания.
1.19. Даны два сложных высказывания:
(а) если одно слагаемое делится на 3 и сумма делится на 3,
то и другое слагаемое делится на 3;
(б) если одно слагаемое делится на 3, а другое не делится на 3,
то сумма не делится на 3.
Заменить элементарные высказывания, входящие в состав этих
сложных высказываний, переменными, а слова, выражающие
логические связи, — знаками соответствующих операций.
Доказать, что полученные формулы эквивалентны.
То же для высказываний:
(в) если а > Ь и (6 > 0 или 6 = 0), то а > 0 и
(г) если а>Ьиа>09тоЬ>0яЬф0.
1.20 Доказать эквивалентности:
а) Х=>(К=$>2) экв ХЛК=^2;
б) (X==>Y)A(X=*Z) экв X=pYAZ;
в) (X==>Z)V(Y=>Z) экв XAY=*Z.
Привести конкретные примеры высказываний, выражаемых с
помощью этих формул. . .
4. Множество всевозможных формул алгебры
высказываний, с точки зрения принимаемых этими формулами
значений, разбивается на три класса.
51
1) Формулы, принимающие значение И при всех набо-1
pax значений входящих в них переменных, называются f
тождественно-истинными формулами. |
2) Формулы, принимающие значение Л при всех набо- ц
pax значений входящих в них переменных, называются f
тождественно-ложными (их отрицания — |
тождественно-истинные формулы). i\
3) Формулы, принимающие как значение И, так и зна- §
чение Л, называются выполнимыми формулами. |
Особую роль в алгебре высказываний играют тож-1
дественн о-и стинные формулы, выражающие ;»
законы логики на языке этой алгебры.
Высказывание «ф — тождественно-истинная формула» |
обозначается обычно через |— ф. (Конечно, знак [— и сама I
запись (мета) высказывания \- ф относятся не к языку са- Ц
мого исчисления высказываний, а к его метаязыку1.) Щ
Если две формулы алгебры высказываний ф1 и ф2 экви- ||
валентны, т. е. ф4 экв ф2, то, соединив'эти формулы знаком Ц
<=Ф, мы получим тождественно-истинную формулу алгебры I
высказываний ф1<£Фф2, и обратно, если|— ф1<=»ф2, то ф! экв Я
Ф2- II
Действительно, если ф4 экв ф2, то ф4 и ф2 принимают Я
равные значения при любых одинаковых наборах значений Я
входящих в них переменных, а в таком случае формула ||
фА<=Фф2 согласно определению операции<=>принимает тоЛь- Ц
ко значение И, т. е. эта формула тождественно-истинна. JI
Обратно, если Ьф1^=>ф2> то ф! и ф2 при любых наборах ||
значений переменных принимают обе или значение И или ||
значение Л, т. е. формулы ф4 и ф2 принимают равные зна- Я
чения, или |]
ф! ЭКВ ф2. |]
Таким образом, каждое из перечисленных выше соот- Я
ношений (1)—(19) «порождает» тождественно-истинную фор- I
мулу алгебры высказываний, выражающую некоторый за- i
кон логики. ^ |
Ниже дается перечень наиболее важных тождественно- 1
истинных формул алгебры высказываний, находящих ши- «
рокое применение. _ |
Первые 19 номеров мы сохраним для тождественно- Ц
истинных формул, порождаемых соотношениями (1)—(19): I
1 См. примечание к стр. 44,
52
(1) Х4=>Х (закон двойного отрицания);
(2) XVY<$=$YVX (закон коммутативности дизъюнкции);
(3) XAY$=$>YAX (закон коммутативности конъюнкции);
(4) (X V Y) V Z <=» X V (Y V 2) (закон ассоциативности
дизъюнкции);
(5) (X Л Y) Л Z Ф=> X Л (Y Л Z) (закон ассоциативности
конъюнкции);
(6) ХЛ (YVZ) фф XftYVXfrZ (закон дистрибутивности
конъюнкции относительно дизъюнкции);
(7) X V Y Л Z фф (X V Y) д (X V Z) (закон дистрибутивности
дизъюнкции относительно конъюнкции);
(и v Y v^ v 1 (Законы идемпотентности);
(9) АЛА 4=Ф a j
(10) ХУЛ<=»Х;
(11) ХЛП&Х',
(12) ХАЛ1;
(13) XVH;
(14) XV X (закон исключенного третьего);
(15) ХДХ (закон противоречия); ч
(16) XAY4&XVY, ) /законы деМоргана);
(17) XVY^XAJ Г
(18) (X=*Y)t=>XVY;
(19) (ХффУ)<=>(Х=»У)Л(К=»Х).
Кроме этих, по существу уже известных нам законов,
выпишем еще некоторые:
(20) Х<^Х (закон тождества);
(21) (X=S>Y)A(Z=$>Y)4&(XVZ=S>Y);
(22) (X=*Y)A(X=>Z)4=>(X=>YAZ);
(23) X=&Y<&Y=$X_(3aKOH контрапозиции);
(24) XAY =Ф> Z <=> X A Z=$ Y "(закон расширенной контра-
(позиции);
(25) X=>(Y=S>Z)*=s>XAY=$>Z;
(26) (Х=>Г)ЛХ=>Г;
(27) (X=>Y)AY=$>Xi
(28) (XVY) AX=>Y;
1 В формулах (12)-—(15) мы обошлись без знака ФФ. Так как,
например, ХЛЛ экв Л, то ХЛЛ экв Л, т. е. ХАЛ экв И;
формула ХЛЛ принимает только значение И, поэтому нХЛЛ.
Аналогично вместо ХУХФФИ мы пишем просто XVX
53
(29) (X=$>Y)Ajy=$>Z)=$>(X=i>Z) (закон силлогизма); I
(30) (X=i>YAY)^>X. ' Я
Щ
5. Ввиду особой роли тождественно-истинных формул, у
выражающих законы логики, важно уметь определять, I]
является ли или нет любая конкретная формула алгебры Ц
высказываний тождественно-истинной. ||
Возникает проблема отыскания такого общего метода, ||
позволяющего относительно любой конкретной формулы |
алгебры высказываний, на вопрос: «является ли она тож- I
дественно-истинной формулой?» — ответить «да» или «нет». |
Такого рода метод, позволяющий ответить «да» или |
«нет» — на любой частный случай общего вопроса — назы- ц
вается разрешающим методом, или а л г о- |
ритмом, или разрешающей процедурой |
для этого вопроса. Проблема отыскания такого метода на- |
зывается проблемой разрешения для данного я
вопроса. Я
Для поставленного выше вопроса эта проблема имеет 9
положительное решение. Разрешающей процедурой мо- |
жет служить составлениетаблицы истинности, позволяющее |
всегда, для любой данной формулы, ответить «да» или «нет» I
на поставленный вопрос. Если в последнем столбце табли- I
цы, соответствующем данной формуле, получаются одни I
только И, то эта формула тождественно-истинная. Если зре |
в этом столбце имеется хотя бы одна Л, то она не является |
таковой. , Л
Разумеется, указанный способ не всегда практически |
выполним (при большом числе переменных таблица истин- 1
ности очень громоздка). На он всегда состоит из конечного |
числа шагов и в принципе всегда дает ответ на поставлен- |
ный вопрос, I
Дальше (§ 4) будет, указана еще одна разрешающая I
процедура, основанная на приведении формул к некоторой I
стандартной, или нормальной, форме. 1
УПРАЖНЕНИЯ Ц
1
1.21. Доказать тождественную истинность формул (21) — (30) с 1
помощью их преобразования. |
Указание: в (21) — (25) формула, тождественную истинность I
которой требуется доказать, имеет видф1ФФф2. Достаточно доказать, I
что Я>! экв ф2. I
В (26) — (30) формула, тождественную истинность которой тре- i
буется доказать, имеет вид импликации. Следует преобразовать ее I
54
в эквивалентную формулу, содержащую только знаки отрицания,
конъюнкции и дизъюнкции, причем такую, чтобы знаки отрицания
были отнесены к элементарным высказываниям.
1.22. Доказать с помощью таблиц истинности и с помощью
преобразований тождественную истинность следующих формул алгебры
высказываний:
1.23. Через Х/У обозначается результат операции (называемой
штрихом или операцией Шеффера) над
высказываниями X и У, которую мы определим следующим образом:
высказывание Х/У ложно тотда и только тогда, когда X и У оба
истинны.
Составить таблицу истинности, определяющую Х/У
в.зависимости от значений переменных X л У,
Доказать эквивалентности:
а) Х/У экв XVF[
б) Х/У экв Х=>Г;
ъ)Х/У экв У/Х\
г) X экв Х/Х;
д) Х/У экв ХАУ.
§ 3. Примеры применения законов логики
высказываний в рассуждениях
В рассуждениях, выводя одни высказывания из других,
мы пользуемся законами логики.
Выше (§ 2) мы объявили, что тождественно-истинные
формулы алгебры высказываний выражают законы логики.
Разумеется, законы логики, выражаемые средствами
алгебры высказываний, не исчерпывают все законы логики,
используемые в рассуждениях. В частности, если при
выводе одних высказываний из других учитывается не
только структура сложных высказываний, но и внутренняя
логическая струкуура составляющих их элементарных
высказываний, . то используются законы логики, которые
нельзя выразить средствами алгебры высказываний,
отвлекающейся от внутренней структуры элементарных
высказываний. Таким образом, законы логики, выражаемые
тождественно-истинными формулами алгебры
высказываний, могут служить основой лишь для тех выводов, в
которых учитывается только структура сложных высказыва-
55
ний (и не учитывается структура высказываний, рассмат- g
риваемых в логике высказываний как элементарные).
Отвлекаясь от содержания такого рассуждения, т. е.
заменяя фигурирующие в нем элементарные высказывания
переменными, мы получаем следующую схему вывода:
«из фь ф2, ..♦, Ф„ следует (выводится) ф»1. 1
Это надо понимать так: «Если истинны высказывания I
со структурой, выражаемой формулами фь ф2, ..., Ф„ (по-1
сылки), то истинно и высказывание со структурой, выра-1
жаемой формулой ф (заключение)»* ^
Самое существенное здесь то, что в выводе учитывается ;
лишь структура посылок и заключения и не упоминается ?
их содержание.
Схему, или правило, вывода (умозаключение, в терми- ;
нах традиционной логики) с посылками фь ф2 ..., Ф„ и ^
заключением ф запишем так: i
фц ф2* » » > > фЯ 1
ф j
Это правило вывода допустимо, а рассуждение, в ]
котором оно применяется, — п р а в и л ь н о (правомерно), ее- 1
ли импликация Л ф*=>ф— тождественно-истинная форму- \
п |,
ла алгебры высказываний (|— Л ф/==> ф), т. е. выражает за- |
п
кон логики высказываний. Если |— Л Ф/ =Ф Ф, то, в
предположении истинности посылок, а значит, и их конъюнкции
п
(Лф/), и заключение ф будет истинным высказыванием,
поскольку иначе нашелся бы хотя бы один набор
значений переменных, входящих в фх, ф2, ... , <рп, ф, при котором
п
импликация Лф/=>Ф принимала бы значение Л, т. е. не
была бы тождественно-истинной формулой.
Приведем несколько примеров рассуждений, в которых
применяются правила вывода, основанные на некоторых из
перечисленных в § 2 законов логики высказываний.
1 Для краткости записи мы не указываем здесь переменные,
входящие в состав формул, т. е. вместо ф (Xlt X2,..., Хп) пишем
просто ф.
56
1. Произведем логический анализ следующего
рассуждения: «Если данный многоугольник правильный, то в
него можно вписать окружность; данный многоугольник
правильный; следовательно, в данный многоугольник
можно вписать окружность»..
В этом рассуждении применено некоторое правило
вывода. Словом «следовательно» обычно отделяют посылки
от заключения.
Для выяснения сущности примененного в этом
рассуждении правила вывода отвлечемся от содержания
фигурирующих в нем элементарных высказываний.
Заменим элементарное высказывание «данный
многоугольник правильный» переменной X, а высказывание
«в него (в данный многоугольник) можно вписать
окружность» — переменной Y. Тогда схема исследуемого
рассуждения запишется следующим образом:
Х=>К, X
Y
т. е. из посылок X=$>Y и X выведено заключение Y.
Это правило вывода допустимо: импликация (X=»F)A,
ДХ=>У—тождественно-истинная формула алгебры
высказываний — выражает закон логики высказываний ( (26), § 2
п. 4).
X -—■*> Y X
В традиционной логике умозаключение —-— называется
Modus ponens, что означает утверждающий модус
(условно-категорического силлогизма): от утверждения об истинности X с помощью
другой посылки X ==> Y переходят к утверждению об истинности Y.
В современной логике это правило вывода называется также
правилом заключения или отделения (от
посылки Х=>У с помощью посылки X «отделяется» заключение Y)
и во многих логических исчислениях (аксиоматически построенных
логических системах) принимается за исходное правило вывода,
задаваемое вместе с системой аксиом.
2. Рассмотрим сейчас следующее рассуждение: «Если
данный многоугольник правильный, то в него можно
вписать окружность; в данный многоугольник нельзя вписать
окружность; следовательно, данный многоугольник не
есть правильный».
Используя введенные выше символические
обозначения, получим следующую схему этого рассуждения;
Х=»У,Г
X
57
Допустимость этого правила вывода следует из (27).
В традиционной логике умозаключение zn
называется
Modus tollens, или отрицающий модус условно-категорического сил-
логизма: от отрицания истинности У с помощью посылки X => У
переходят к отрицанию истинности X в заключении.
Примечание. .Рассмотренные выше правила вывода
(1 и 2) позволяют в истинной импликации из истинности основания
сделать вывод об истинности следствия и из ложности следствия —
о ложности основания. \
В связи с определением импликации мы также выяснили, что
из ложности основания нельзя сделать вывод о ложности следствия
и из истинности следствия нельзя сделать вывод об истинности
основания, т. е. рассуждения: «Если данный многоугольник
правильный, то в него можно вписать окружность; данный
многоугольник не есть правильный, следовательно в него нельзя вписать
окружность» и
«Если данный многоугольник правильный, то в него можно
вписать окружность; в данный многоугольник можно вписать
окружность; следовательно,, данный многоугольник правильный», в
которых осуществляются выводы по следующим схемам:
>У,Х
У,У
не являются правильными рассуждениями.
Нетрудно показать, что импликации
(Х=»У)ЛХ:=$>У и (Х=*Г)ЛУ=*Х *
не являются тождественно-истинными формулами алгебры
высказываний: > "
(Х=ФУ)ЛХ=ФГ|
X
и
л
Y \x^>Y
и\ и
я я
X
л
я
(Х=>У)ЛХ
л
и
У
л
л
и
л
Дальше можно не продолжать составление таблицы.
Достаточно найти хотя бы один набор значений переменных,
при котором рассматриваемая импликация ложна, ^ггобы
сделать вывод, что она не является тождественно-истинной.
3. Рассмотрим следующее рассуждение:
«Если число рациональное, то оно представимо в виде
отношения двух целых чисел; следовательно, если число
не представимо в виде отношения двух целых чисел, то оно |
не является рациональным».
58
J
Заменим элементарные высказывания, содержащиеся в
этом рассуждении переменными, например: высказывание
«число рациональное» — переменной X, а высказывание
«число представимо в виде отношения двух целых чисел» —
Y.
Тогда правило вывода, которое применяется в
приведенном рассуждении, запишется так:
Это правило основано на законе контрапозиции (23)
X =*Ф Y 4=> Y =» X, даже научаете» его (Х=Ф Y) => (Y==$>X)
(так_ как_Х=>Г<-*Г=ФХ экв ((Х=>К)=>(7=>Х))Л
д ((Y => X) => (X => Y)), то закон контрапозиции может
быть представлен как два закона:
(Х=ф7)=ф(7=фХ) и (У=>Х)=>(Х=»Г)
и называется правилом контрапозиции.
Оно часто применяется в математике в связи с рассмотрением
системы связанных между собой теорем (прямой, обратной,
противоположной и противоположной обратной).
Если X =£ Y выражает прямую теорему,
то Y=$X выражает обратную теорему,
Х=>7 — противоположную, а .
Y => X — противоположную обратной (или обратную
противоположной).
На основании закона контрапозиции (23), если мы доказали
прямую теорему, то будет верной и эквивалентная ей
противоположная обратной теорема, и обратно, и по правилу контрапозиции из
одной из этих теорем мы выводим вторую, совершенно не касаясь
содержания этих теорем.
Аналогично, из обратной теоремы, по этому же правилу
выводим противоположную, и наоборот.
_ Если применить правило контрапозиции к X=$Y
Х=>У = =
.г ~, получим заключение К=£Х.
к=»х
_ Если применить теперь к Y =Ф X закон двойного отрицания (1)
X фф X , т. е. заменить Y я X эквивалентными формулами К и X,
то получим Y =£ X.
4. Произведем анализ следующего рассуждения:
«Известно, что если число делится на 2 и делится на 3,
59
то оно делится на 6. Следовательно, если число делится на;
2 и не делится на 6, то оно не делится на 3».
Какое правило вывода применено в этом рассуждении?.
Отвлечемся от конкретного содержания фигурирующих,
в нем элементарных высказываний и заменим высказыва-?
ние «число делится на 2» буквой X, «число делится на '
3» — У" и «число делится на 6» — Z. Тогда посылка запи-1
шется следующим образом: |
XAF=>Z, ]
а заключение— *$
XAZ=>F. I
Таким образом, проверка правильности рассматривав-^
мого рассуждения, или допустимости правила вывода f
XAK=>Z / XAY=$>Z\
или гг
ХЛ2=*У ^ Z дУ=*
сводится к доказательству тождественной истинности имп-;
ликации (ХЛК=Ф2)=>(ХЛ2=>^ _ \
(или соответственно (X Л К =£> Z) ==> (ZAY =Ф X)). * |
Тождественная истинность этой импликации следует из \
закона расширенной контрапозицииГ
(24) (ХЛК=Ф2)ФФ(ХЛ2=>У). , '*
Рассматриваемое правило вывода также называется |
правилом расширенной контрапозиции.
В наиболее общем виде это правило выглядит так:
X1/\X2A...AXkA...AXn=$>Z
' — ~, а соответствующий закон:
Хх Л х2 Л... Л z л...Лхл =» xk
(XxAX2A.^AXkA...AXn^>Z)^
4=Ф(ХгАХ2Л...л ZЛ...ЛХп =>Xk).
5. Произведем логический анализ следующего
рассуждения: «Если треугольник равнобедренный, то две его
стороны равны; если две стороны треугольника равны, то два
угла его равны; следовательно, если треугольник
равнобедренный, то два угла его равны». .
В этом рассуждении из двух посылок выведено
заключение,
60
Для выяснения вопроса о допустимости примененного
в этом рассуждении правила вывода заменим
фигурирующие в нем конкретные элементарные высказывания
переменными.
Обозначим высказывание «треугольник
равнобедренный» буквой X, высказывание «две стороны треугольника
равны» — буквой Y, а высказывание «два угла
треугольника равны» — буквой Z.
Тогда первая посылка 'запишется в виде импликации
X=>F, вторая —в виде Y=>Z, заключение — X=$>Z, а
примененное здесь правило вывода: ~"
x=*z
Это правило вывода, называемое правилом
силлогизма и находящее широкое применение в
математических доказательствах, основано, как нетрудно заметить, на
одноименном законе логики высказываний:
(29) (X=»K)A(K=»Z)=$>(X=»Z).
6. С помощью анализа рассуждений средствами алгебры
высказываний легко обнаружить ошибочность некоторых
выводов.
Рассмотрим пример:
«В параллелограмме противоположные стороны
попарно параллельны; в ромбе противоположные стороны тоже
попарно параллельны; следовательно, ромб есть
параллелограмм».
Заключение «ромб есть параллелограмм» — истинное
высказывание. Однако и истинное высказывание «ромб есть
параллелограмм», так же как и ложное «параллелограмм
есть ромб»1, не следует из данных посылок, и
рассуждение ошибочно. (Допущенная ошибка известна в
традиционной логике под Названием поп sequitur — «не следует».)
Ошибочность этого рассуждения легко обнаружить,
если выразить его на языке алгебры высказываний.
Свяжем предварительно посылки и заключение
словами «если..., то»:
1 Высказывание «параллелограмм есть ромб» понимается как
«всякий параллелограмм есть ромб».
61
«Если четырехугольник — параллелограмм, то его про*
тивоположные стороны попарно параллельны; если четьь|
рехугольник — ромб, то его противоположные стороны^
попарно параллельны; следовательно, если четырехуголы
ник — ромб, то он параллелограмм».
Обозначим высказывания: «четырехугольник — парал|
лелограмм» буквой X, «четырехугольник — ромб» буквой'
F, «противоположные стороны четырехугольника попарно,
параллельны» буквой Z. ^ |
Теперь надо проверить, следует ли из посылок Х=»2
и F=>Z заключение К=ФХ (или X=$>Y), т.е. имеет ли!
место правило выюда: —==^—!———.
Такое правило вывода допустимо в рассуждениях, если-
импликация
(*) (X=^Z)A(r=»Z)==»(K==s>X) i
— тождественно-истинная формула алгебры высказывав
ний.
Однако эта формула не является тождественно-истин-
"ной. Чтобы установить это, достаточно найти хотя%бы один:
набор значений переменных X, Y и Z, при котором она
принимает значение Л, т. е. обращается в ложное
высказывание. {
Таким набором значений является (Л, И, И). Дейетви|
тельно, подставу эти значения X, Y и Z в (*), получаем:!
(Л=ФИ)Л(И=>И)=»(И=>Л)эквИЛИ=ФЛ;
экв И=ФЛ;
экв Л.
УПРАЖНЕНИЯ
1.24. Провести логический анализ нижеследующих рассуждений]
(заменить содержащиеся в них элементарные высказывания nepejj
менными и выяснить допустимость (или недопустимость)
примененных в них правил вывода):
I. Если число оканчивается нулем, то оно делится на 5; данной
число оканчивается нулем; следовательно, оно делится на 5. I
II. Если число оканчивается нулем, то оно делится на 5; даннош
число не оканчивается нулем; следовательно, оно не делится на 51
III. Если число оканчивается нулем, то оно делится на 5; данноеЦ
число делится на 5; следовательно, оно оканчивается нулем. ||
IV. Если число оканчивается нулем, то оно делится на 5; данноГ
число не делится на 5; следовательно, оно не оканчивается нулем.
62
V. Если в параллелограмме диагонали взаимно
перпендикулярны, то этот параллелограмм — ромб; в данном параллелограмме
диагонали не взаимно перпендикулярны; следовательно, данный
параллелограмм не есть ромб.
VI. Всякая дробь — рациональное число; всякое целое число —
рациональное число; следовательно, всякое целое число — дробь.
VII. Всякая дробь — рациональное число; всякое целое число —
рациональное число; следовательно, всякая дробь — целое число.
VIII. Если число целое, то оно рациональное; если число —
несократимая дробь, то оно не есть целое; следовательно, если число —
несократимая дробь, то оно не есть рациональное число.
IX. Если посылки истинны и в рассуждении применено
допустимое правило вывода, то и заключение истинно; в данном
рассуждении заключение ложно; следовательно, посылки ложны или в
рассуждении не применено допустимое правило вывода.
X. Если а = О или 6 = 0, то аЬ = 0; но аЬ Ф 0; следовательно,
афО к ЬфО.
1.25. Записать правила'вывода, основанные на законах логики
высказываний (21), (22), (25), (28), (30) (§ 2, п. 4), и привести примеры
конкретных рассуждений, в которых применяются эти правила
вывода.'
1.26. Проверить правомерность выводов по следующим схемам
(допустимость следующих правил вывода):
ч XVY.X л XVY.X XVY.X
а> у 5 б> у » в) у 5
xvyvz.xay xvyvz.x xvyvzJc
г) а д) уА1 ; е> YwZ •
Привести примеры правильных рассуждений, в которых
осуществляются выводы по этим схемам.
1. 27. Доказать. _
а) н((Х =* Г)=> ZK T) AZ=>X Л У;
б) \-(X=*Y)A(Z=*T)A{Xy_Z)=*YyT;
в)ь(Х=*Г)Л(2=^Г)Л(ГЛГ)=> ХМ.
Записать правила вывода, основанные на этих законах логики, и
привести примеры рассуждений, в которых выводы осуществляются
по этим правилам.
§ 4. Нормальные формы функций.
Минимальные формы
В пределах настоящего параграфа мы будем считать,
что переменные А, 5, С,..., X,Y$Z алгебры высказываний
принимают два значения: «1» и «0», не придавая этим
значениям ни смысла значений «истинности», ни какого-либо
Другого конкретного смысла. ^
63
В двухэлементном множестве {0,1} мы определим
операции, которые назовем, как и в содержательной алгебре
высказываний, «отрицанием», «конъюнкцией» и «дизъюнкци- :
ей», но не будем придавать им никакого «конкретного» i
смысла и станем исходить только из их формальных опре-^
делений — табличных или в следующей форме: |
_ (0, если X = 1, ;|
^ Х={1, если Х = 0. '£
1, если Х = 1 и K = L,
0, во всех остальных случаях.
0, если X = 0 и Y = 0,
2) XY =
3) ^VK=,
[I, во всех остальных случаях.
Конъюнкцию XY называют также'произведением, аХи1*
Y — сомножителями. ДизъюнкциюX V Y — суммой,аХи F— *
слагаемыми. (Иногда для суммы вводится и обычный знак:
Х + К, или Х0У.) :
Нетрудно заметить, что если сопоставить «1» — И, а ;
«0» — Л, то "приведенные здесь определения совпадают с|
определениями этих операций в «содержательной» ^алгебре ■[
высказываний (§ 1). Отсюда следует, что все
эквивалентности формул (1) — (17) (§ 2, п. 3), составленных с
помощью знаков трех операций ", д, V, сохраняются в
нашей новой «абстрактной» алгебре1. (Эквивалентность фор-:
мул обозначим здесь обычным знаком равенства =.)
Функции этой абстрактной алгебры — мы будем назы- (
вать ее булевой алгеброй (так же как сами *
функции — б у л е вы ми функциями) — не интер- i
претируются как функции — высказывания, обращающие-1
ся в истинные или ложные высказывания, а просто как
двузначные функции от двузначных аргументов,
определенные на множестве {0,1}л (функции п переменных) и
принимающие значения в {0,1} • I
Изложенная в §§ 1 и 2 содержательная алгебра высказы- £
ваний — одна из возможных моделей2 абстрактной |
булевой алгебры.
1 Другие операции алгебры высказываний могут быть сведены
к этим трем с помощью эквивалентностей (18) и (19).
2 Мы исходим из того, что с понятием модели (в применении к
аксиоматическим системам, скажем к геометрии) читатель хотя бы |
в общих чертах знаком. Подробнее см. статьи Ю. А. Г а с т е в а
«Модель», «Изоморфизм» и «Интерпретация» [10].
64
^-^^CS:-^JKi:._.~:i'
В настоящем параграфе, пользуясь в основном
терминами и символикой абстрактной булевой алгебры, мы
иногда будем употреблять и выражения, относящиеся к языку
содержательной алгебры высказываний, например,
«конъюнкция истинна» вместо «конъюнкция имеет значение 1».
(В математике, как и в любой абстрактной теории, мы
часто пользуемся выражениями, относящимися к языку
какой-нибудь ее конкретной модели.)
1. Исходя из таблицы, определяющей некоторую
функцию, можно составить формулу, выражающую эту
функцию.
Рассмотрим конкретный пример. Пусть функция /
трех переменных задана следующей таблицей:
X
0
0
0
0
1
1
1
1
Y
0
0
1
1
0
0
1
1
Z
0
1
0
1
0
1
0
1
<f(X, Y, Z)1
0
0
0
1
0
1
1
1
Укажем два способа составления формулы, выражающей
эту функцию.
Г. а) Выбираем наборы значений переменных, для
которых / (X, Г, Z) = 1:
(О, 1, 1);(1,0, 1);(1, 1,0); (1, 1, 1),
б) Каждому из этих наборов сопоставляем конъюнкцию
переменных X, Y, Z или их отрицаний, принимающую при
этих значениях переменных значение 1. Таким образом,
1 В этой и следующих таблицах наборы значений переменных
расположены так, что, если их рассматривать как двоичные числа
(в данном случае трехзначные), эти числа располагаются в порядке
возрастания (от 0 до 7)
I
3 А. А Столяр 65
набору (0, 1, 1) соответствует конъюнкция XYZ,
» (1, 0, 1) » ' » XYZ,
» (1, 1,0.) . » " » XYZ, I
» (1, 1, 1.) » ' » XYZ. -f
I
в) Дизъюнкция этих конъюнкций равна 1 в тех и тодЩ
ко в тех случаях, когда и заданная функция принимаем
значение 1 и, следовательно, представляет собой выраж(§
ние этой функции (одно из возможных), т. е*- ~|
f(X, Y, Z) = XYZVXYZVXYZVXYZ. f
Действительно, возьмем произвольный набор значени|
переменных: (аь а2, а3), гдеа{ = 0 или 1. Если по таблиц!
/ (аи а2, а3) = 1, то в полученной формуле имеется оди|
из членов дизъюнкции, принимающий при этом набору
значений переменных значение 1, т. е. и вся дизъюнкция
принимает значение 1. ц
Если по таблице / (<хь а2, а3) = 0, то в полученной
дизъюнкции все члены принимают значение 0 (так каЕ
каждый из них принимает значение 1 только в ©дном щ
случаев, когда / принимает значение 1); следовательно, и]
дизъюнкция принимает значение 0. 7|
Таким образом, полученная формула действительно
определяет ту же функциюг что и заданная таблица, *т. &I
представляет собой одно из возможных выражений этой
функции. Это выражение называется совершенной
дизъюнктивной нормальной формой >,
данной функции (в дальнейшем будем писать сокращенно
с. д. н. ф.). Ц
2°. а) Выбираем наборы значений переменных, для кон
торых f(X9 У, Z) -0: I
(0, 0, 0) ,(0,0, 1) ,(0, 1,0) , (1,0, 0).||
б) Каждому из этих наборов сопоставляем дизъюнкции'
переменных X, К, Z или их отрицаний, принимающую пр|
этих значениях переменных значение 0. Таким образоь!
набору (0, 0, 0) соответствует дизъюнкция X V Y V Z; |
(0,0, 1) * » » XVKVZ; !
(0, 1,0) » » XVYVZ; jj
(1,0,0) » » XVKVZ. I
66 * 1
в) Конъюнкция этих дизъюнкций равна 0 в тех и
только тех случаях, когда и заданная функция принимает
значение 0 и, следовательно, представляет собой выражение
этой функции (одно из возможных), т. е.
/(X, F,Z)) = (XVFVZ)(XVrVZ)(XVFVZ)(ZVrVZ).
(Доказать это предоставляется читателю.)
Это выражение (двойственное с. д. н. ф.) называется с о-
в^ершенной конъюнктивной
нормальной формой данной функции (в дальнейшем будем
писать сокращенно с. к. н. ф.).
Для более компактной записи с. д. н. ф. и с. к. н. ф.
введем следующее обозначение:
уа __ [X, если а = 1,
~~ (X, если а = 0.
Тогда конъюнкция, соответствующая произвольному
набору («lf сх2, а3), где 0^ = 0 или 1, значений переменных
X, Y, Z (истинная или принимающая значение 1 при этих
значениях переменных) запишется так: x^F^Z"*, а
дизъюнкция (ложная или принимающая значение 0 при этих
значениях переменных) — Xas VK4VZ аз , где
_ J 0, если ai = 1,
' 11, если ос1 = 0.
В этих обозначениях с. д. н. ф. запишется следующим
образом:
f(X,Y,Z) = vXaiY**Z*\
где V — символ дизъюнкции, распространенной на все те
1
наборы (alf a2; a3) значений переменных, при которых
функция равна 1,_а с. к. н. ф.
/(X, r,Z) = A(X^Vr' VZa4
о
где д — символ конъюнкции, распространенной на все те
о
наборы (alf a2, a3) значений переменных, при которых
функция равна 0.
Конъюнкцию вида Х*1Х*2... X*rt, сомножителями которой
являются переменные или их отрицания, назовем
элементарной конъюнкцией ri-ro ранга.
3* Ь7
Дизъюнкцию вида Х^ VX£2V... VХ7> слагаемые кото- I
рой — переменные или их отрицания, назовем элементарной §
дизъюнкцией я-го ранга. f'
Таким образом, с. д. н. ф. функции п переменных
представляет собой дизъюнкцию, слагаемые которой —
элементарные конъюнкции п-го ранга, а с. к. н. ф. —
конъюнкцию, сомножители которой — элементарные дизъюнкции
п-го ранга.
Докажем, что произвольная функция п переменных,
не равная тождественно 0, представима в с. д. н. ф.
Сначала докажем, что функция f {Хь Х2, ..♦, Хп) может
быть представлена в следующем виде:
f(XvX2i^Xn) =VX^...Xa;/(a1, а2,..., а„). (1)
(«1 *п) П
(Символ V надо понимать как дизъюнкцию, распрост-
раненную на всевозможные наборы (а1э а, ,...,*„), где 0^ = 0
или 1.)
т-т л/Ч ( 1 > если Х} = а„
Предварительно заметим, что X = \ »
1 (0, если Хьф^
Действительно, если Хь = <xt = 0, то Ха/ = X, = 0 = 1;
если Xi = ai = 1, то X"' = Х^ = 1; если же Х^ = 1, aj = 0,
тоХа' =Х. =Г = 0; и если Xt = 0, а а,= 1, то Ха* =
= х/=о.
Таким образом, элементарная конъюнкция Х% X"*... Ха' не
1 г а
обращается в 0 только в том случае, когда одновременно
выполняются п равенств:, Xl = ai при/=1, 2,..., я, т. е.
Xj = 04, X2 = a2,..., Xn = ай.
Для доказательства (1) возьмем произвольный набор
(а[9 а2$...9 ап) значений аргументов Х19 Х2,..., Хп. Левая
часть равенства обратится в f(a{, с^,...,^). В правой
части все члены дизъюнкции, в которых а, Ф at хотя бы для
одного /, обращаются в 0; остается один член дизъюнкции,
в котором а( — at для 'всех / и который обращается в 1.
Следовательно, и в правой части равенства (1) получается
68
Мы получили /(alf a'2 ,...,aj = /(aJ, а'2,...,ап) для
любого набора (а{, a2,...,.an) значений переменных.
Равенство (1) доказано.
Так как f(a19 а2,.,., ап) есть либо 1, либо 0, то стоящая
в правой части равенства (1) дизъюнкция содержит лишь
те слагаемые, для которых .f(al9 а2,...,ал)= 1, т. е.
равенство (1) может быть записано так:
Мы получили с. д. н. ф. функции f(Xv Х29...9Хп.)
Очевидно, что если функция тождественно равна 0, то
ее нельзя представить в с. д. н. ф. Если же функция
тождественно равна 1, то ее с. д. н. ф. содержит все 2п
слагаемых, соответствующие всевозможным наборам значений
аргументов. Например, в виде с. д. н. ф. функция двух
переменных «1» представляется следующим образом:
1 =~XYVXYVXYVXY.
Аналогично доказывается, что произвольная функция п
переменных, не равная тождественно 1, представима в
с. к. н. ф.
f(Xl9 Xb...9XJ = A(X$VXfV...VXb).
о п
Если функция тождественно равна 0, то ее с. к. н. ф.
содержит все 2п членов, соответствующие всевозможным
наборам значений аргументов.
Например, «О» как функция двух переменных
представляется в виде с. к. н. ф. следующим образом:
0=(XVY)(XVY)(XVY)(XV?).
УПРАЖНЕНИЯ
1.28. Выше приведено доказательство представимости функции
в t. д. н. ф. Провести аналогичное доказательство представимости
функции в с. к. н. ф.
1.29. Исходя из таблиц истинности, определяющих импликацию
Х=>У и строгую дизъюнкцию X V Y, составить с. д. н. ф. и с. к. н. ф.
этих функций.
1.30. Определить с помощью таблиц все возможные функции двух
переменных.
Для удобства целесообразно составить одну общую таблицу:
69
X
0
0
1
v 1
Y
0
1
0
1
h
/
> h
t • •
h»
Записать для этих функций с. д. н. ф. и с. к. н. ф.; упростить
полученные формулы.
2. Выражение функции с помощью с. д. н. ф. (или с. к. н. ф.),
вообще говоря, не является наиболее кратким. Например, с. д. н. ф.
приведенной выше функции
f(X, Yt Z)=TXYZ\IXYZMXYZV XYZ (a)
можно упростить различными способами. Например, сгруппировав
последний член с первым или со вторым, или с третьим, получим
еще три формы данной функции!
/(X, Y, Z) = YZ4X¥Z4XY2\
jf(X, Yt Z)=]CYZVXZVXYZ;
?(X, Y, Z) = XYZVX7ZVXY\
(b)
(c)
называемые ее дизъюнктивными нормальными
формами (д. н. ф.).
Как видно, одна и та же функция имеет много д. н. ф., среди *
которых с. д. н. ф. отличается тем, что все ее члены —
элементарные конъюнкции одного и того же ранга, равного числу
аргументов.
В связи с приложениями алгебры высказываний, в частности к
теории электрических цепей, возникает проблема отыскания м и-
нимальных (в смысле, содержащих наименьшее число букв)
форм среди всех д. н. ф. (или к. н. -ф.) данной функции (проблема
минимизаци и).
Для приведенной выше функции д. н. ф. (6), (с), (d)t хотя и
содержат меньше букв, чем с. д. н. ф. этой функции (а), не являются
минимальными д. н. ф._для данной функции.
Действительно, если присоединить дизъюнктивно к с. д. н. ф.
этой функции еще две конъюнкций XYZ (что, на основе закона
идемпотентности (8), приведет к эквивалентной ей функции) и
воспользоваться законами (2) и (6), то получим:
ИХ, К, Z)=*YZ(XVX)VXZ(YVY)y XY (ZVZ).
Воспользовавшись теперь законами (14) и (11), получим
минимальную1 дизъюнктивную нормальную форму данной функции!
1 Т. е. содержащую наименьшее возможное число букв.
Конечно, тот факт, что она является действительно минимальной,
надо еще доказать, чего мы здесь не делаем за недостатком места.
70
f(Xt Y, Z) = YZVXZVXY.
Однако мьГздесь применили искусственный прием, который к
другой функции может не подходить.
Проблемы минимизации булевых функций, исключительно
важные для приложений математической логики в технике
(проектирование электронно-вычислительных машин и?других
автоматических устройств), в последние годы усиленно разрабатываются
во многих странах. Ряд результатов первостепенной важности
получен в этой области советскими учеными1. Рассмотрение этой
проблематики выходит, однако, за рамки настоящей книги.
3. Любую формулу алгебры высказываний можно
привести к к. н. ф.
Длд этого необходимо:
1) выразить все операции, знаки которых фигурируют
в формуле, через дизъюнкцию, конъюнкцию и отрицание
(на основании (18) и (19));
2) свести знаки отрицания к элементарным
высказываниям (на основании (16) и (17));
3) использовать законы двойного отрицания,
ассоциативности и коммутативности дизъюнкции и конъюнкции,
дистрибутивности дизъюнкции относительно конъюнкции
((1)-(5), (7)).
Все эти преобразования уже неоднократно встречались
в различных упражнениях.
Приведение формулы к к. н. ф. может служить
разрешающей процедурой для ответа на вопрос, является ли
эта формула тождественно-истинной.
Действительно, если каждый член к. н. ф. —
элементарная дизъюнкция, содержащая хотя бы одну
переменную вместе с ее отрицанием, т. е. имеет вид
X** VX% V ...VX?i VXfi V ... VX**, то эта дизъюнкция
имеет значение 1, а следовательно, и вся конъюнкция имеет
значение 1 при всех наборах значений переменных, т. е.
тождественно-истинна. Если же хотя бы один член к. н. ф. не
содержит ни одной переменной вместе с ее отрицанием, то
конъюнкция не является тождественно-истинной, так как
найдется такой набор значений переменных, при котором
этот член, а следовательно и вся конъюнкция, имеет
значение 0. Например, если XajVXa| V ... V Х*% — такой
Шапример, в цикле работ О. Б. Л у п а н о в а, С. В. Я б -
донского и Ю. И. Журавлева. Относительно доступное
освещение соответствующих алгоритмов см. в книге В. М. Г л у ш -
к о в а «Синтез цифровых автоматов», Физматгиз, М., 1962.
71
член конъюнкции, то для набора значений переменных
(аи аъ ..., с^) конъюнкция принимает значение 0, т. е. не
является тождественно-истинной. Эта разрешающая
процедура иногда практически более удобна, чем составление
таблицы истинности.
В качестве примера выясним, является ли тождественно- ;
истинной формула
(X=>r)=»((^=>Z)=»(X=>yZ)) (Упражнение L22 (г)1) ;
приведением ее к к. н. ф.: *
(1.22 (г)) экв AVyVXVZVXVFZ;
экв XY\IXZyxyYZ\
экв X(У VZ)VXV7Z;
экв (X V X)(Y V ZV X)y YZ\
экв (XVjXVYZ)(YVZyX_yYZ))
экв (XVXVY) (XVXVZ)(YVZVXVY)(YVZVXVZ).
Мы получили конъюнкцию, каждый член которой есть
элементарная дизъюнкция, содержащая какую-нибудь
переменную вместе с ее отрицанием. Таким образом, эта
конъюнкция тождественно-истинна, а следовательно, и
эквивалентная ей формула (1.22 (г)) тождественно-истинна. "■
УПРАЖНЕНИЕ *
1.32. Доказать, что формулы (а), (б), (в), (д), (е) (упр. Y.22)
тождественно-истинны путем приведения их к к. н. ф. ,
§ 5. Применение алгебры высказываний к синтезу
и анализу схем дискретного действия
1. Среди автоматических устройств различают
устройства дискретного и устройства непрерывно- :(.
г о действия. ^
Работа дискретных устройств, например цифровых вы- :
числительных машин, характеризуется прерывистой, скач- /
кообразной сменой конечного числа состояний, работа %
непрерывных устройств, например моделирующих (анало- ;
говых) машин, — плавным изменением состояний. |
Физическая природа устройства определяется электро- |
1 Стр. 55.
72
техническими, механическими и другими
характеристиками его элементов; функциональные же
характеристики этих элементов (учитывающие назначение каждого
элемента, но не способ, с помощью которого это
назначение выполняется) и способ их соединения образуют в
совокупности логическую структуру устройства.
Под логическим синтезом схемы дискретного действия
надо понимать определение логической структуры
дискретного устройства по заданным условиям его работы, а под
логическим анализом — обратную задачу, т. е.
определение условий работы устройства по уже известной ее
логической структуре.
В. дальнейшем 'вместо «логический синтез (анализ)»
будем говорить просто «синтез (анализ)».
Мы рассмотрим лишь простейшие случаи, когда
элементы устройства способны иметь только два состояния,
т. е. работают по принципу «да — нет» («замкнуто —
разомкнуто»), пбдобно тому как высказывания способны
принимать лишь два значения: «истинно» или «ложно».
Разнообразные выключатели, переключатели и
кнопки, окружающие нас на производстве и в быту, являются
примерами элементов типа «да*— нет».
Глубокое сходство между элементами этого типа и
высказываниями, состоящее в том, что и первые, и вторые
могут принимать лишь два состояния, два значения, служит
основой для применения алгебры высказываний к
синтезу и анализу схем, составленных из таких элементов.
Идея о возможности такого применения была
высказана еще в 1910 г. физиком П. Эренфестом. Однако
строгое доказательство возможности и методика применения
алгебры высказываний к синтезу и анализу электрических
цепей впервые были разработаны в 30-х годах советским
ученым В. Й. Шестаковым и американским ученым
К. Э. Шенноном.
Мы рассмотрим ниже простейшие контактные и
бесконтактные схемы, к синтезу и анализу которых применим
аппарат алгебры высказываний.
2. Элементы, из которых строятся контактные схемы —
электрические контакты с двумя положениями: «замкнуто»,
при котором контакт замыкает цепь, пропуская через нее
ток, и «разомкнуто», при котором цепь размыкается и ток
через нее не проходит.
При этом нас не будет интересовать, переводятся ли
73
контакты из одного состояния в другое с помощью
электромагнитного реле, или ручным выключателем, или еще
каким-нибудь способом.
В схемах применяются замыкающие и
размыкающие контакты. Первые в рабочем состоянии
замыкают цепь, в нерабочем — размыкают ее, вторые
наоборот.
На рисунках контакты изображаются в нерабочем
состоянии (на рис. 1,-а изображен замыкающий контакт, на
рис. 1, б — размыкающий).
Одинаковыми большими
буквами обозначаются
контакты, замыкаемые или раз-
мыкаемые одним и тем же
управляющим элементом
(реле, выключателем и т. д.).
Применение алгебры
высказываний к синтезу и анализу контактных схем
основано на возможности иной (по сравнению с
рассматривавшейся выше), нелогической интерпретации абстрактной
булевой алгебры — в терминах теории электрических
цепей.
Для построения этой интерпретации достаточен
следующий исходный словарь: *
а)
И
Рис. 1
Язык
абстрактной
булевой алгебры
Язык
алгебры высказываний
А, В, С, ... , X, — высказывания,
Y, Z, ... — пе- каждое из которых
ременные; может быть
истинным или ложным;
1 — значение
переменной;
О — значение
переменной.
И — истинное
высказывание
(истина);
Л — ложное
высказывание (ложь).
Язык
алгебры контактных
схем
— контакты,
каждый из которых
может быть
замкнутым или
разомкнутым;
1 — замкнутый
контакт (замкнуто);
О — разомкнутый
контакт
(разомкнуто).
На основе этого словаря легко выясняется «смысл»
дизъюнкции, конъюнкции и отрицания в новой
интерпретации:
74
1) Дизъюнкции AVB ставится в соответствие схема,
состоящая из параллельного соединения контактов А и В,
замкнутая тогда и только тогда, когда хотя бы один из
контактовГЛ или В замкнут (рис. 2).
Таблица,
А
0
0
1
1
В
0
1
0
1
AVB
0
1
1
1
в одной интерпретации символов Л, В, 0, 1, определяет
значение истинности дизъюнкции двух высказываний А и
В в зависимости от значений истинности этих
высказываний, в другой — состояние (замкнутое или разомкнутое)
схемы, состоящей из параллельного соединения двух кон-
тактов А и В, в зависимости от состояний этих контактов.
2) Конъюнкции А В ставится в соответствие схема,
состоящая из последовательного
соединения контактов Л и В,
замкнутая тогда и только
тогда, когда оба эти контакта
замкнуты (рис. 3).
4
Рис. 3
А/?
Рис. 4
3) Отрицанию А ставится в соответствие размыкающий
контакт Л, управляемый тем же элементом (реле, выклю:
чателем), что и замыкающий контакт Л, т. е. такой контакт
Л, который замкнут, когда Л разомкнут, и разомкнут,
когда Л- замкнут (рис. 4).
Так как каждая функция алгебры высказываний
может быть выражена в д. н. ф. или в к. н. ф., т. е. с помощью
знаков ~~, д, V (отрицания, конъюнкции и дизъюнкции)
(§ 4), то описанное выше соответствие сопоставляет каждой
функции алгебры высказываний контактную схему, со-
1%
' ставленную из замыкающих и размыкающих контактов с
помощью последовательных и параллельных соединений.
Такие схемы называются последовательн о-п а-
раллельными, или «П-схемами», или схемами .
«класса П».
Говорят, что всякая функция алгебры высказываний ^
может быть реализована с помощью П-схемы;
схема, соответствующая данной функции, называется ее схем- ~.
ной реализацией.
Очевидно, и каждой схеме класса П соответствует
функция, выраженная формулой, составленной из переменных *
и их отрицаний с помощью знаков дизъюнкции и конъюнк- I
ции. Эта формула называется структурной формулой схе- I
мы. I
Установленное соответствие является основой примене- *|
ния аппарата алгебры высказываний к анализу, упроще- I
нию и синтезу контактных схем. I
Анализ схемы, т. е. определение условий работы (замы- I
кания и размыкания) данной схемы, сводится к определе- I
нию значений соответствующей этой- схеме структурной . I
формулы при всевозможных наборах значений перемедных. -1
Упрощение данной схемы сводится к упрощению ее ;-1
структурной формулы. ||
Синтез схемы по заданным условиям ее работы сводится I
к составлению структурной формулы по этим условиям, ; I
переведенным в таблицу, и сконструированию схемы coqt- I
ветствующей этой формуле. I
Приведем примеры на анализ, упрощение и синтез кон- I
тактных схем. I
Задача 1. Произвести анализ и, если возможно, I
упрощение схемы, изображенной на рис. 5. ; I
щ
-о
?
Ц
I
i
Рис. 5
76
По данной схеме легко записать ее структурную
формулу:
f(X, Y9 Z) = X(YZVZ)VX(YZVZ).
Упростим эту формулу, а затем произведем анализ
упрощенной схемы (эквивалентной данной по
отношению к пропусканию тока относительно состояний
контактов):
X(Yl VZ)VW^VZ) = X(YVZ)VWVZ)\
= XYVXZVXYVXZ\
= XYVXYVZ.
z
Рис. 6
Упрощенная схема изображена на рис. 6. Условия за
мыкания и размыкания схемы можно заметить и без со
ставления таблицы: схема замкнута, если:
1) замкнуты оба контакта X и У, или
2) разомкнуты оба контакта X и У, или
3) замкнут контакт Z;
схема разомкнута, если разомкнут контакт Z и один из
контактов X или Y замкнут, а другой разомкнут.
Этот же вывод о работе схемы легко получается из рас-
смотрения таблицы:
X
0
Q
0
0
1-
1
1
1
Y
0
0
1
1
0
0
1
1
Z |
0
1
о
1
0
1
0
1 1 1
xy\
0
0
0
0
0
0
1
J 1
X 1
1
1
1
1
0
0
0
1 о
Y 1
1
1
0
0
0
L 1
0
1 о
XYbCYVXYVZ
1
1
0
о
0
1
о
1 о |
1
1
0
1
0
1
1
1 1
77
Приведем пример синтеза схемы.
3 а д а ч а 2. Из трех контактов А, В, С составить
схему с одним входом и одним выходом так, чтобы на выходе
появляйся сигнал (загоралась лампочка), если хотя бы два
из трех контактов А, В, С замкнуты.
Эта схема может найти практическое применение,
например, для контроля за работой какого-либо устройства,
состоящего из трех отдельных агрегатов, каждый из
которых, если работает,
замыкает (через
соответствующее реле) один из
контактов Л, В, С, а если не
работает, размыкает его,
причем по условиям
работы устройства требуется,
чтобы всегда работали хо-.
тя бы два из трех
агрегатов.
По заданным условиям
работы схемы можем
составить таблицу значений соответствующей функции /
(Л, 5, С): Исходя из табличного задания функции,
можем записать ее с. д. н. ф.:
f(Л, В, С) = JBCVABCУABCVABC.
Мы уже выше (§ 4) находили минимальную
дизъюнктивную форму этой функции:
/(Л, В, С) = ВСУАСУАВ.
Заметим, однако, что минимальная дизъюнктивная
нормальная форма может и не быть минимальной среди
всевозможных форм данной функции. Так, в
нашем случае можно еще уменьшить число букв на одну:
/ (Л, В, С) =ВС у А (СУ В). Получаем следующую схему
(рис. 7).
А
0
0
0
0
1
1
1
1
В
0
о
1
1
0
0
л
1
с |
" о
1
о'
1
0
1
0
1
f(A, В, С)
1 Q- "
0
0
1
0
1
1
I
А_
1 У
Г^^А
с
•^
с
-*^—1
' X)
я
в
Рис. 7
78
3. Огромные скорости работы современных электронных
вычислительных машин достигнуты за счет применения
бесконтактных схем, работающих в тысячи раз быстрее,
чем соответствующие релейно-контактные схемы. В этих
схемах применяются электронные лампы (диоды, триоды,
пентоды...) или полупроводниковые приборы^
реализующие основные логические операции (отрицание,
дизъюнкцию и конъюнкцию).
Не касаясь структуры и физических основ этих
устройств, называемых функциональными
элементами, мы их обозначим условно следующим образом:
[Щ —устройство, реализующее отрицание;
П7^7| —устройство, реализующее дизъюнкцию;
РП —устройство, реализующее конъюнкцию.
Об этих функциональных элементах мы знаем лишь
следующее:
1) элемент -4^У- имеет один вход и один выход;
сигнал появляется на выходе, когда на входе нет
сигнала, и не появляется сигнал, когда на вход подан сигнал;
2) элемент z^uTu^ имеет два или более входа и один
выход; сигнал появляется на выходе тогда и только тогда,
когда сигнал подан хотя бы на один из входов;
3) элемент ггПТу» имеет два или более входа и один
выход; сигнал появляется на выходе тогда и только тогда,
когда на все входы поданы сигналы.
Только этими функциональными характеристиками
элементов \не] , ЕЗ и grj мы и будем пользоваться, решая
задачу синтеза схемы нл этих элементов.
В качестве примера рассмотрим, задачу синтеза
одноразрядного двоичного сумматора на три входа. (Сумматор,
выполняющий сложение многозначных двоичных
чисел, представляет собой последовательное соединение
одноразрядных двоичных сумматоров, осуществ-
79
ляющих сложение в каждом разряде и перенос в старший
разряд, если таковой возникает.)
Задача состоит в конструировании с помощью
функциональных элементов такой схемы с тремя входами А, В, С
и двумя выходами S и Р (рис. 8), чтобы при подаче на двух
входах, например А и В, сигналов, изображающих
двоичные цифры — слагаемые данного разряда, а на входе С
сигнала — значение переноса из соседнего младшего
разряда, получить на выходе S значение суммы в данном
разряде, а на выходе Р — значение переноса в соседний
старший разряд.
А, В и С, принимающие значения 0 и 1, суть булевы
(двузначные) переменные, a S и Р — булевы
фу нкции от Л, Я, C:S =5(Л,5, С) и Р = Р(А,ВУС).
Воспользовавшись таблицей сложения в двоичной
системе счисления и интерпретируя сложение как дизъюнкцию,
умножение как конъюнкцию, а отрицание как замену 1 на
О и 0 на 1, получаем следующие с. д. н. ф. этих функций:
Р (Л, В, С) = ABC V ABC V ABC V ABC;
S(A>B>C) = ABCVJBCVABCVABC.
Для функции Р(А, В, С) мы уже знаем минимальную
дизъюнктивную форму:
Р(Л, В, Q^BCVACVAB.
SfaB.C)
с
i
J
[
PfcB,C>
й В
Рис. 8
А
0
0
0
0
1
1
1
1
В
0
0
1
1
0
0
1
1
с
0
1
0
1
0
1
0
1
1 р
0
о
• о
1
о
1
1
1 1 1
s 1
1 о
1
1
0
1
0
о
1
Поскольку схема конструируется из функциональных
элементов, возникает задача такого упрощения формулы,
чтобы она содержала как можно меньше знаков операций.
Очевидно, что уменьшение числа отрицаний можно полу-
80
чить приведением формулы к такому виду, чтобы знаки
отрицания распространялись на более длинные выражения.
Так, пользуясь законами де Моргана (16) и (17), получаем:
Я (А, В, С) = ABC V (AУВУС) (АУВУС) (АУВУС).
Для упрощения выражения, стоящего под знаком
отрицания, раскроем скобки (воспользуясь дистрибутивностью
конъюнкции относительно дизъюнкции (6)). Это можно
выполнить следующим образом: берем каждую букву из
первой пары скобок и составляем с ней отличные от 0
конъюнкции, содержащие по одной букве из второй и третьей пары
скобок.. Получаем:
АВСУАВСУАС УАВУВСУАВС;
и после упрощения:
ACVABVBCVABC-
применяя еще раз законы (16) и (17), получаем:
5 (Л, 5, С) = ABC V ABC У АВ У АСУ ВС =
= АВСУ(А У ВУС)АВУ АСУ ВС.
Таким образом, принимая^=АВСУ (А У ВУС)АВ У АС У ВС
или S = ABC У(АУВУС)Р и Р ^ АВУ АСУ ВС, получаем
следующую схему одноразрядного двоичного сумматора на
три "входа (рис. 9).
'
Р——н
Q
о
{
т>\
<
"^
л
или
и
►*■
*
и
и
и
или
и
Дл
не
1
i
1
-
1
Рис. 9
81
УПРАЖНЕНИЯ <
1.33. Из контактов Л, В, С, Л, В, С составить схему так, чтобы
она замкнулась тогда и только тогда, когда замкнуты какие-нибудь
два из трех контактов Л, В, С.
1.34. С помощью функциональных элементов, реализующих
основные логические операции, составить схему с тремя входами и
одним выходом так, чтобы на выходе появился сигнал тогда и только
тогда, когда по крайней мере нагдвух входах поступают сигналы.
1.35. С помощью функциональных элементов, реализующих
основные логические операции, составить схему одноразрядного
двоичного сумматора на два входа. Как соединить два таких сумматора,
чтобы получить одноразрядный сумматор на три входа?
1.36. С помощью четырех функциональных элементов,
реализующих основные логические операции, составить схему с двумя
входами и двумя выходами так, чтобы на одном выходе появлялся
сигнал тогда и только тогда, когда хотя бы на одном из входов
поступает сигнал, а на другом — когда только на одном из входов
поступает сигнал.
1.37. Составить контактную и бесконтактную (из функциональных
элементов) схемы, реализующие преобразование однозначных
восьмеричных чисел в двоичные.
1.38. Составить схемную реализацию функций, заданных формулами:
а) (X=$Y) (Y=$Z);
б) (X^Y) (Y=$Z)=?(Xz=pZ).
ГЛАВА II
ИСЧИСЛЕНИЕ ВЫСКАЗЫВАНИЙ
§1. Аксиоматический метод. Построение
формализованных языков
1. Не имея возможности рассматривать здесь историю
аксиоматического метода1, отметим лишь две характерные
его особенности, важные для дальнейшего изложения.
а) Аксиоматическая система евклидовой геометрии,
построенная Гильбертом в его «Основаниях геометрии» (1899),
отличается от системы, описанной в «Началах» Евклида
(3 век до н. э.), не только достаточностью (полнотой)
системы аксиом для строго логического развертывания на ее
основе всей геометрии, но и совершенно новым
пониманием аксиоматической теории, новым подходом к
аксиоматизации теории.
До Гильберта в'многочисленных попытках
аксиоматического построения геометрии теория строилась как
описание некоторой конкретной системы объектов, аксиомы
понимались как «очевидные» предложения об этих объектах,
и задача аксиоматизации. сводилась к дедукции
(логическому выводу) всех предложений теории из исходных
(аксиом).
При таком содержательном понимании
аксиомы рассматривались как содержательные (имеющие
реальный смысл) высказывания об объектах теории; выражение
же «логический вывод» предполагалось (хотя и без
достаточных оснований) легко и однозначно понятным.
С работами Гильберта связан переход от
содержательного к формальному пониманию аксиоматической
теории.
См. рекомендованную литературу в сноске на стр. 6.
83
Гильберт начинает аксиоматическое построение
геометрии словами: «Мы мыслим три различных системы вещей:
вещи первой системы мы называем точками и обозначаем
Л, В, С, ..*; вещи второй системы мы называем прямыми и >
обозначаем а, Ь, с, ...; вещи третьей системы мы называем "
плоскостями и обозначаем а, |3, у, •••»1- Л
В множестве всех этих вещей вводятся некоторые отно- \
шения, обозначаемые словами «инцидентно» (или
«принадлежит»), «между», «конгруентно» и др.
В развертывании теории, описывающей структуру это- •
го множества вещей (точек, прямых, плоскостей) с
введенными в нем отношениями, совершенно не затрагивается не
только «природа» «вещей», но и «смысл» отношений .
между ними; в нем используются лишь некоторые
формальные свойства этих отношений, составляющие содержание ;
геометрических аксиом.
В гильбертовском понимании, в термины «точка»,
«прямая», «плоскость», «инцидентно», «между», «конгруентно»
и др. не вкладывается никакого «наглядного» содержания, ;
кроме того, что явным образом указано в аксиомах.
Переход от содержательного к формальному пониманию
аксиоматической теории можно образно (хотя и не точно)
описать, как переход от «аксиоматизации содержания» к ^
«аксиоматизации формы» — языка, в котором выражается А
это содержание. Поскольку в одну и ту же форму может
«вкладываться» различное содержание, это означает также :
переход от теории, описывающей одну конкретную
предметную область, к теории, описывающей класс предметных
областей, вообще говоря, различных по природе предметов ,
и смыслу отношений между ними, но имеющих одинаковую
структуру.
Эти предметные области являются различными
конкретными (содержательными) моделями одной абстракт- ^
ной теории. Говорят также, что возможны различные и н- \
терпретации (истолкования) теории с помощью \
предметов и отношений различных ее моделей2. ^ I
'. £
1 Д. Гильберт, Основания геометрии, Гостехиздат, М., ?•-
1948, стр. 56. Ч
2 Абстрактная теория может интерпретироваться и в терминах }:
другой абстрактной теории. Примером может служить арифмети- к
ческая интерпретация евклидовой геометрии: , |
«точка» — пара вещественных чисел (х, у); ?
ч «прямая» — отношения а : Ь : с, где а и b не равны
одновременно нулю;
84
Этим обеспечивается возможность применения одной
абстрактной математической теории в различных
предметных областях.
б) Язык научной теории состоит из двух составных
частей: (1) из собственного языка этой теории, которому
принадлежат термины и символы, обозначающие изучаемые
ею объекты (вещи, свойства, отношения), и
(2) из логического языка, с помощью которого из терминов
собственного языка строятся предложения теории и из
одних предложений выводятся другие. .
В аксиоматической системе Гильберта только часть
языка геометрической теории (собственно геометрический язык)
подверглась аксиоматизации, вторая же часть — логика,
применяемая в развертывании геометрической теории,
оставалась неформализованной, неаксиоматизированной.
Одним из направлений дальнейшего развития
аксиоматического метода (также развивавшимся в .основном
Гильбертом и его школой) стало распространение
формализации и аксиоматизации на логику, средствами которой
развертывается аксиоматическая теория, и на язык
(выразительные средства) этой логики — аксиоматический метод
стал- рассматриваться как метод построения
формализованных языков. В качестве естественного
уточнения понятия аксиоматической теории возникло
понятие формальной (или дедуктивной) систе-
м ы или исчисления.
Формальная система включает в себя наряду с системой
аксиом теории, подлежащей аксиоматизации, систему
логических аксиом и правил вывода, определяющих логические
средства этой теории. Логическое исчисление, используе^
мое в качестве логического языка аксиоматической теории,
должно быть приспособлено для такого выражения аксиом
этой теории, которое было бы пригодно для вывода из них
всех представляющих интерес следствий, и должно
снабжать нас достаточными средствами для такого вывода.
Исчисление высказываний само по себе недостаточнр в
качестве логического языка для аксиоматическихш.теорий,
но является составной частЬю большинства других, богатых
логических исчислений, успешно служащих этой цели.
«точка (х> у) инцидентна прямой a v Ь : с» — ах + by + с*=
= 0 и т. д.
Подробнее см. литературу, указанную в сносках к стр. 6
' и 64.
85
2. Формальная часть формализованного языка —
исчисление строится по следующей схеме:
а) Прежде всего дается перечень символов — алфавит-
исчисления. (Напоминаем; что с символами алфавита Hei
связывается никакой определенный смысл; это лишь зна-f
ки, которые мы умеем распознавать и различать по их на-.4
чертанию.) |
б) Из символов алфавита конструируются формул ы |
исчисления *— основные языковые образования. (Множество!
формул исчисления определяется, например, указанием!
исходных (элементарных) формул и|,
правил образования (ПО), с помощью кото-^ I
рых из уже имеющихся формул образуются новые форму-4
лы.)
в) -В множестве формул исчисления выделяется тем или 1
иным образом подмножество выводимых формул. (Это"
достигается, например, посредством указания исходных/
выводимых формул (аксиом) и правил вывода^
(ПВ), с помощью которых из имеющихся выводимые фор-;
мул получаются новые выводимые формулы.)
Следует отметить, что правила образования и правила?
вывода представляют собой некоторые утверждения о}
формулах исчисления,"сформулированные на метаяз ы-|
к е1 1 е. на том языке, на котором рассматривается само!
построение данного исчисления. , :;
Исчисление становится формализованным"
языком после того,- как каждому ее формальному вы- •
ражению дается интерпретация (см. выше, стр. 84). ]
Приведем пример построения по вышеуказанной схеме"
одного простого исчисления, алфавит которого состоит
всего из fpex знаков. :
A) Алфавит исчисления: {[,-(-, =}
(| — вертикальная палочка, Н крестик, = — две гори- •
зонтальные палочки, рассматриваемые в качестве едино-
г о* символа).
B) Формулы исчисления ,
а) Исходные формулы: |
б) Правила образования формул:
1 См. примечание на стр. 44 .
86
(ПО 1) Если ф —формула, то <р| — формула1.
(ПО 2) Если <рх и ф2 — формулы, то Ф^ + Ф2 — формула.
(ПО 3) Если фх и ~ф2 — формулы, то ф2 = ф2 — формула»
С) Выводимые формулы
а) Исходные выводимые формулы (аксиомы):
(А) 1 + 1 = 11-
б) Правила вывода:
(ПВ 1) Если фх +1 = ф2 — выводимая формула, то
фх| -f-1 = ф2| — выводимая формула.
(ПВ 2) Если Ф1 + Ф2=Фз — выводимая формула, то
Фх ~Ь Фг' = Фз1 — выводимая формула.
С помощью исходной формулы и правил образования
мы можем определить для любой конечной
последовательности символов из алфавита исчисления, является она
формулой этого исчисления или нет.
Возьмем в качестве примера следующую конечную
последовательность символов из алфавита исчисления:
|1 + н = |1!|. ■
Если можно найти конечную последовательность
формул, каждая из которых либо есть исходная формула, либо
получена из предшествующих формул по какому-нибудь
правилу образования, а конечная формула есть || + || = ||||,
то эта последовательность символов — формула. Если же
можно установить, что такой последовательности формул
найти невозможно, то данная последовательность
символов не является формулой.-
Ниже приведена конечная последовательность формул,
доказывающая, что || + (| = |(|| — формула. (В каждой
строке в скобках указано, из каких предшествующих
формул и по какому.правилу образования получена формула,
записанная в этой строке. Если она получена из
непосредственно предшествующей формулы, то указывается только
правило образования, по которому она получена.)
1. I (исходная формула).
2. II (ПО 1).
3. II+ 11 (ПО 2).
1 Символы ф, фг, ф2, Фз , ... не относятся к алфавиту нашего
исчисления (см. А); это метаязыковые знаки,
применяющиеся в качестве указания на то, что вместо любого из них можно
иметь в виду произвольную формулу данного исчисления,
87
4. Ill (2, ПО 1)/
5. Illl (ПО 1).
6. 11 + 11 = 1111 (3, 5, ПО 3).
Нетрудно доказать, что формула || + |[ = |||| —
выводимая формула. у
Доказательство — это конечная последователь*'
ность формул, каждая из которых либо исходная
выводимая- формула (аксиома), либо получается из предшествую-,
щих по одному из правил вывода, и конечная формула
которой есть || + К = [|[| .
1. 1 + 1-II (А).,
2. 11 + 1 = 111 (ПВ 1),
3. 11+11 = 1111 г (ПВ 2).; =
Если под |, ||, |||, |||[, ... понимать натуральные числа!
1, 2, 3, 4, ..., под «+» — знак обычного сложения, а под
«==» — знак обычного равенства, мы получим модель ;
описанного выше исчисления в терминах обычной арифме-v
тики, в которой «2 + 2 = 4» — истинная формула.
УПРАЖНЕНИЯ
2.39. Расширить описанное выше исчисление следующим образом:
1) алфавит дополнить знаком X;
2) правила образования дополнить правилом (ПО 4):
Если Фх и ф2 — формулы, то Ф1 X ф2 — формула; ,
3) включить новую аксиому: | X | = 1;
4) правила вывода дополнить двумя правилами: f
(ПВ 3) Если ф! X I = Фг — выводимая формула, то
фх| х 1 = фг| — выводимая формула.
(ПВ 4) Если фх X Фг = Ф з и Фз + Ф1 = Ф* — выводимые
формулы, то ф! X фг' = Ф4 г- выводимая формула.
В полученном (расширенном) исчислении доказать, что:
а) II X II = ПН — формула;
б) II X II = ПН — выводимая формула.
У
§2. Построение исчисления высказываний (алфавит,
формулы, выводимые формулы)
Рассмотрим логическое исчисление (аксио- ,
матйческую логическую систему), одна из возможных
интерпретаций которого может быть построена в терминах
содержательной алгебры высказываний.
Это исчисление называется исчислением вы-"
оказываний.
88. ,
Хотя при описании построения этого исчисления мы v
используем уже знакомую нам терминологию и
символику, мы не будем связывать с нею ни тот смысл, который она
имеет в содержательной алгебре высказываний (гл. 1), ни
какой-либо другой конкретный смысл.
A) Алфавит исчисления высказываний:
(1) большие латинские буквы Л, В, С, ..., X, Y, Z,... или
те же буквы с индексами Хь Х2, Х3, ..., Х„, называемые
переменными (или «переменными высказываниями»;
никакого конкретного смысла с термином «высказывание» не
связывается!);
(2) символы: —, Л, V, =>, называемые соответственно
знаками «отрицания», «конъюнкции», «дизъюнкции» и
«импликации» (этим терминам также не приписывается
никакой конкретный смысл);
(3) пара символов: (—левая скобка и ) — правая скобка.
Никакие другие символы в алфавит исчисления
высказываний не входят.
Например, греческие буквы ф, г|>, ... или эти же буквы
с индексами фь ф2, Фз, ..., которыми мы будем пользоваться
для сокращенного обозначения некоторых конструкций из
символов алфавита, сами не принадлежат этому алфавиту.
Это — метаязыковые символы.
Вместо четырех символов — знаков отрицания,
конъюнкции, дизъюнкции и импликации — в алфавит исчисления
высказываний можно включить только два. Например,
в аксиоматической системе исчисления высказываний,
построенной Фреге, в качестве исходных символов
принимаются знаки импликации и отрицания, в системе Рассела и
Уайтхэда — знаки отрицания и дизъюнкции, в одной из
систем Гильберта — дизъюнкции и импликации. В
таких случаях остальные два знака применяются для с о-
кращенного обозначения определенных
конструкций из символов алфавита.
B) Формулы исчисления высказываний представляют
собой конечные последовательности (строчки) символов из
алфавита этого исчисления, удовлетворяющие следующему
определению:
(а) исходные (элементарные)*формулы: Л, В, С, ..., X, У,
Z, ... и Хь Х2, Х3, ..., т. е. переменные,
(б) Правила образования формул:
(ПО 1) Если ф — формула, то ф — формула.
(ПО 2) Если ф! и ф2 — формулы, то (ф!Лф2) — формула.
89
(ПО 3) Если ф! и ф2 — формулы, то (ф!\/фг) — формула.
(ПО 4) Если Ф1 и ф2 — формулы, то (ф1=Фф2) — форму!'
ла.
(в) Других формул, кроме перечисленных в (а) или полу*
ченных из них с помощью правил, перечисленных в (б), негГ
Покажем, используя это определение, что, например^;
следующая конечная последовательность символов алфави?
та |
(1) (((4AB)VC)=^pVB)==»C)) — есть формула: 1
1. А (исходная формула)^
2. В (исходная формула]^
3. С (исходная формула);?
4. А (I ПО 1)1
5. С (3, ПО 1)!
6. (ААВ) (1, 2, ПО 2),
7. ((А А В) V С) _ (6, 3, ПО 3^:
8. (AVB) _ (4, 2, ПО ф
9. ((ЛУВ)=>С) _ _ (8, 5, ПО 4f
10. (((AAB)VC)=$>((AVB)=$>C)) (7, 9,.ПО 4)§
' Формулы 1—9, образующиеся в процессе конструиро^;
вания формулы 10, называются ее ч а с т я м и. |
Определим сейчас, является ли формулой 'последовав
тельность символов |
(2) (XVY)=>Z) I
Заметим, что в исходных формулах (а) нет скобок, а €
формулах, получаемых с помощью ПО 2—4, скобки фигу%
рируют парами, состоящими из одной левой и одной пра|
вой скобки. Поэтому, учитывая (в), можно утверждать^
что в любой формуле исчисления высказываний имеется|
четное число' скобок, причем столько же правых скобок,|
сколько левых. Отсюда следует, что (2) не является форму*!
лой. t '|
Последовательность символов |
(3) (ХЛ) ~ - 1
также не является формулой. |
Действительно, при образовании формул с помощью|
знака конъюнкции (ПО 2) слева и справа от этого знака|
должны быть записаны формулы. В данной же последова-|
тельности символов (3) только слева от знака конъюнкции?!
90 ' ;|
записана формула X (а). Поэтому ввиду (в)
последовательность (3) не есть формула.
Последовательность символов
(4) (X=>Y)VZ)
не является формулой, так как никакая формула, в состав
' которой входят скобки (ПО 2—4), не может иметь в
правом конце левую скобку.
Для того чтобы избежать многократного употребления
скобок в сложных формулах, условимся опускать внешние
скобки, т. е. те скобки, которые заключают внутри себя
все остальные символы, входящие в состав формулы, и,
кроме того, так же как в алгебре высказываний, считаем,
что знак Л связывает сильнее, чем знаки V и =>, а знак V
сильнее, чем =Ф«
Для большей компактности записи формул условимся
также опускать знак конъюнкции, т. е. писать XY вместо
XV К.
G учетом этих соглашений приведенная выше формула
(1) запишется так:
ABVC=>(AVB=g>C)<
С) Из множества формул исчисления высказываний
выделяется подмножество выводимых формул. Класс
выводимых формул определяется как совокупность всевозможных
- формул, которые могут быть получены из некоторых,
принятых за исходные выводимые формулы (аксиомы), с
помощью некоторых специальных правил (правил вывода).
В основу исчисления высказываний, как и в основу
любой аксиоматически построенной теории, могут быть
положены различные системы аксиом, эквивалентные между
собой в том смысле, что определяемый этими системами
класс выводимых формул — один и тот же1.
Мы положим в основу исчисления высказываний
систему аксиом, приведенную П. G. Новиковым [6].
Эта система состоит из 11 аксиом, разбитых на четыре
группы.
Аксиомы первой группы содержат только знак
импликации, аксиомы второй группы — знаки импликации и
конъюнкции, третьей — импликации и дизъюнкции,
четвертой — импликации и отрицания.
1 См. [1 ], гл. I, § 10.
91
Аксиомы
I.
I. 1. Л=ф(5=фЛ);
1.2. (Л=Ф(5=ФС))=Ф((Л=^>5)=Ф(Л=ФС)).
И.
II. 1. АВ=$>А\
И. 2. ЛВ=>5;
II. 3. (Л=»Б)=Ф((Л=^С)=>(Л=»5С)).
III.
III. 1. A=>AVB\
III. 2. В=»ЛУЯ;
Ш.З. (Л=>С)=>((В=^>С)=»(ЛУА=ФС)).
IV.
IV. 1. (Л=Ф_В)=Ф(В=$>Л);
IV. 2. Л=>Л;
IV. 3. А=>А.
Аксиомы — исходные выводимые формулы. Для
получения новых выводимых формул из уже имеющихся
примем следующие два правила вывода:
Правило подстановки (ПП). Если в выво-'
димой формуле подставить вместо некоторой переменной
всюду, где она входит в эту формулу, любую формулу
исчисления высказываний, получим снова выводимую
формулу.
формулу, получаемую в результате подстановки в фор*,
муле ф вместо переменной Л формулы % обозначим
символом П^(ф)1.
Используя это обозначение, можно следующим образом^
сформулировать правило подстановки:
Если ф — выводимая формула, то и Пд(ф) —
выводимая формула для любой переменной Л и формулы i|>. "
1 Строго говоря, необходимо еще доказать, что в результате
подстановки в формулу ф вместо буквы А всюду, где она входит"
в нее, произвольной формулы г|э получается формула. Это делается,
например, в [6], гл. 2, § 2.
Ф
Заметим также, что обозначение ПА(у) вовсе не предполагает, :
» д
что А непременно входит в ф; например, nB(AVC) совпадает с~
AVC,
92
Это правило вывода запишем в виде следующей схемы:
- п*(ф)
(Над чертой записана имеющаяся выводимая формула,
под чертой — получаемая из нее в результате применения
данного правила вывода выводимая формула.)
Правило заключения (ПЗ) (Modus ponens). Если
Ф=>-ф и ф — выводимые формулы, то и г|? — выводимая
формула.
С помощью схемы, аналогичной" приведенной выше, это
правило запишется так:
Ф^»^, Ф
D) Доказательство, или вывод, формулы ф
из аксиом представляет собой конечную последовательность
формул . .
удовлетворяющую следующим двум условиям:
(1) каждая ф/ или аксиома, или получена из
предшествующих формул по ПП или ПЗ;
(2) последняя формула ф„ есть ф.
Если существует хотя бы одна такая последовательность
формул, то ф — выводимая (или доказуемая) формула
(теорема).
Такое разложение доказательства на элементарные
шаги, каждый из которых состоит в выписывании
какой-нибудь аксиомы или в одном применении ПП или ПЗч к одной
или двум предшествующим формулам, приводит к
большому числу шагов, так что доказательство довольно простой
формулы может оказаться весьма громоздким.
. Приведем в качестве примера вывод из аксиом формулы
AV B=$>BV А, т. е. докажем, что это — выводимая
формула:
1. (A=s>C)=>((B=>CJ=>(AVB=>C)yt (III. 3)
2. (A=>BVA)=>((B=>BVAy=>(AVB=S>BVA));
- (IC'O)1)
1 В случае применения ПП указано, какая подстановка
применена.
93
3. B=>AVB;
4. B=>CV5;
5. A=>CVA;
6. A=S>BVA\
7. (В=Ф5УЛ)=Ф(ЛУВ=»ВУЛ);
8. A=$>AVB;
9. Л=ФЛуС;
10. B=>BVC;
11. В=>5УЛ;-
12. 4V£=>BV4.
(III. 2).
(Пл(%
(пв(4))«
(П^(5)):
(2, 6, П3)^
0П. Д
(Пв(8)К
(П*(9))*
(Пс (Ю))^
(7, И, ПЗ);
Записанное в 12 строчках доказательство, можно пред-*
ставить в виде наглядной схемы («дерева») следующим об->
разом:
Рис. 10
Приведенное доказательство может быть упрощено, если,
вместо многократного последовательного применений;
ПП (4 — 5 — 6 и 9 — 10 —11) применить один раз?
сложное пр-авило подстановки (СПП), которое;;
состоит в следующем. Если <р — выводимая формула, то tff
ПА\2".' а (Ф)» представляющая собой результат подста-f
94 . г
новки в ф вместо Ах формулы фх, затем в полученной
формуле вместо А2 формулы ф2 и т. д., также выводимая
формула. (Здесь предполагается, что формулы ф/ не
содержат переменных Аь. В этом случае порядок, в котором
осуществляются эти подстановки, безразличен. Если же
формулы ф,. содержат переменные Ai9 то можно
предварительно заменить эти переменные в ф другими, не
входящими ни в одну из формул ф^.) СПП непосредственно
следует из ПП1.
Символ П^^*'*' л"(ф) обозначает ту же самую фор-
мулу, что и символ П^л (...(П^(П^(<р)))...). Сложное пра-
вило подстановки может быть записано в виде следующей
схемы:
Ф
П*" J *«<Ф>#
Запишем сейчас и изобразим в виде «дерева» вывод
формулы AVВ=$>ВУА с применением сложного правила
подстановки:
1. (Л=ФС)=Ф((Я=ФС)=>(ЛУВ=>С); (III. 3)
2. (A=>BVA)=>((B=>BVA)=>(AVB=$>BVА))\
(ГСД(1))
3. B=$AVB; (III. 2)
4. A=*BVA\ (Пл,в,с(3))
5. (B=5>BVA)=>(AVB=>BVAy, (2, 4, ПЗ)
6. A=>AVfy (III.I)
7. B=^BVA; ч (nS;lc(6»
8. AVB=>BVA^ (5, 7, ПЗ)
Правило заключения также допускает обобщение:
Если фх, ф2,...,фл и
(1) ф1 =>(ф2 =>(... (фл=^ф)...)) — выводимые формулы, то и
ф — выводимая формула.
Действительно, если (1) и фг — выводимые формулы, то по ПЗ
и
(2) ф2 :=>(... (фл =£ф)..'.) — выводимая формула.
Если (2) и ф2 — выводимые формулы, то по ПЗ
(3) ф3 =$ (... (фл ==> ф)...) также выводимая формула.
Класс выводимых формул исчисления от этого не меняется.
95
Продолжая рассуждать таким образом, мы дойдем до формулы
(Я) Фл=>Ф- - .
Если (п) и фл —выводимые формулы, то по ПЗ и ф
—выводимая формула.
Таким образом, исходя из принятого нами правила
заключения (ПЗ), мы получили новое, сложное правило
заключения (СПЗ):
Ф1 =
> (ф2=»(...(фд=>ф)...)). фг> ф2...мфд
Ф
Рис. 11
(Приведенное выше (D) формальное доказательство.
формулы существенно отличается от доказательства правила
вывода (СПЗ). Первое сформулировано на языке исчисления
высказываний, представляя собой конечную последовательность
-выводимых формул этого исчисления. Второе, как и сами правила
вывода, сформулировано на метаязыке.)
СПЗ можно сформулировать и так:
Если к аксиомам присоединить формулы фх, ф2,...,ф« и
фх =^ (ф2 z=p (... (фЛ => ф)...)), то с помощью одного ПЗ выводима
формула ф.
Выводимость формулы ф с помощью одного ПЗ после
присоединения к аксиомам некоторых формул jplt i|)2,---.^ означает, что
существует хотя бы одна конечная последовательность формул,
удовлетворяющая следующим двум условиям:
(1) каждая формула либо аксиома, либо if/, либо получена из
предшествующих формул по ПЗ и
(2) последняя формула есть ф.
Эта последовательность формул называется выводом
формулы ф ИЗ формул^!, l|>a»...i"l|>/i.
96
Если такая последовательность формул существует, то говорят,
что формула <р выводима из формул г^, г|>2,..., ^п»
называемых гипотезами или посылками, и записывают это
так: -фх, г|)2,...,^ ь ф.
Таким образом, СПЗ можно записать:
ф1=Иф2=>(...(Фл=>Ф)...))> <Pi> ф2.....флЬф. (*)
Если множество посылок {\plf ф2,..., ф«}—пустое, то ф —
просто выводимая (или доказуемая) формула (ь- ф).
Нетрудно также заметить, что если (в тех же предположениях и
обозначениях) \- tyl9 то ф2,..., "Фл Н- ф; если ь ^ и \- г|?2, то *v|?3,...,
\рп \- ф и т. д., если ь oj?!, I- t|>2,..., Ь- г|)л, то h ф, т. е. если все
посылки — выводимые формулы, то и ф—выводимая формула.
Так, из СПЗ (*) непосредственно следует:
ЕСЛИ Н ф1=>(ф2=>(...(ф/1=»ф)...)), ТО ф!, ф2,...,фЛ Ь ф. (**)
Обращение предложения (**):
ЕСЛИ фх, фо фл Ь ф, ТО Нф1=»(ф2=Ф(...(фл=>ф)..-))> (***)
известное под названием теоремы дедукции1, имеет важное
значение, позволяя более кратким путем устанавливать
выводимость формул.
Приведем пример применения теоремы дедукции к выводу
формулы.
Докажем, что (А => В) =^>((5 =^ С) => (А =£ С)) — выводимая
формула.
Из формул А => Ву В =£ С и Л с помощью только ПЗ можно
вывести формулу С:
1. А =Ф В (посылка)
2. А (посылка)
3. В (1, 2, ПЗ)
4. В => С (посылка)
5. С (3, 4, ПЗ)
т. е. А=$> В, В=^С, Ль С, и на основании теоремы дедукции (***)
Ь(Л^В)=^ ((В ==> С) => (А => С)).
Как видно, доказательство выводимости формулы с
применением теоремы дедукции оказалось очень простым.
Применим сейчас к выведенной формуле следующую сложную
подстановку: вместо А подставим формулу ф1э вместо В—ф2, вместо
С — ф3.
Получаем:
h (ф1 =^ ф2) =^ ((ф2 =» ф8) =^ (ф! ==» фз)) (1)
Если к тому же
Ьф!=Фф2 (2) И Ьф2=£ф3, (3)
то из (1), (2), (3) по СПЗ получаем:
Нф1=фф3.
1 Конечно, это не теорема самого исчисления
высказываний, а теорема об исчислении, формулируемая и
доказываемая содержательно; иными словами, она является
метатеоремой. См. [4], [6], [12].
32 А. А. Столяр «7
Таким образом, в исчислении высказываний можно
пользоваться правилом вывода, которое записывается так:
ф1=» ф2> ф2==^ф3
Это уже известное нам правило силлогизма. Но в
алгебре высказываний это правило гласило: «если фх =$> ф2 и ф2 :=> фн ис- -
тинны, то истинно и ф1==^ф3», в исчислении высказываний: «если
ф1:=^ф2 И фг^^фз ВЫВОДИМЫ, ТО ВЫВОДИМО И ф1=^>ф3»1.
УПРАЖНЕНИЯ
2.40. Доказать, что
\-АВ=$ВА.
Указание. Применить СПП: ГГ^ (II.3).
2.41. Доказать, что
Указание. Применить СПП: п£;£ (III.3).
2.42. Исходя из системы аксиом Гильберта для исчисления
высказываний [1 ]:
а\)АУА==>А;
а2) А=>АУ В;
аЗ) Л V B=>BV A;
fl4) (А => В) => ((С => А) =Ф (С =Ф В));
доказать, что ь- А =$> А.
Указание. Применить СПП: ПАуАА> £ £ (а4).
2.43. Доказать, что
(а) А==>(В==>С), В, Ль-С, ' :
т. е. что из формул Л =£(£=> С), А и В с помощью только ПЗ .
можно получить формулу С. Применить к (а) теорему дедукции.
Из полученной формулы извлечь правило вывода:
Ф1 ==» (фа =» ф)
ф2 =» (Фх ==> ф),
(правило перестановкипосылок).
2.44. Доказать, что
\-(А =» (В =* С)) =* (ЛВ =* С).
Как из этой формулы получить правило вывода:
ф! =» (ф2 =» Ф)
Ф1Ф2 => Ф
(правило соединения посылок).
1 Связь между истинностью (тождественной истинностью)
формул алгебры высказываний и выводимостью формул исчисления вы»
сказываний разъясняется в следующем параграфе.
98
§ 3. Непротиворечивость, независимость и полнота
системы аксиом исчисления высказываний
1. Проблема непротиворечивости —
основная из проблем, возникающих при построении любого
исчисления (формализованного языка, аксиоматической"
системы) .
Имеются два понимания непротиворечивости,
соответствующие двум аспектам исследования формализованного
языка: синтаксическому и семантическому.
Синтаксис изучает элементы и структуру
формализованного языка безотносительно к тому, что он
выражает.
Семантика изучает элементы и структуру
формализованного языка в связи с его содержательной
интерпретацией (в связи с тем, что он выражает из внеязыковой
действительности).
С точки зрения синтаксической система аксиом
(содержащая знак отрицания1) называется
непротиворечивой или совместной, если из нее нельзя
вывести никакие две формулы, из которых одна является
отрицанием другой, т. е. вида <р и <р.
Если условие непротиворечивости не выполняется, т. е.
существует хотя бы одна пара выводимых формул вида <р
и ф, то такая (противоречивая) система аксиом не может
служить базой для построения исчисления2.
Непротиворечивость в таком, синтаксическом
понимании называется также внутренней
непротиворечивостью.
С точки зрения семантической система аксиом
называется непротиворечивой, если она имеет по крайней мере
одну модель. В таком случае аксиоматическая система
называется также интерпретируемой или
реализуемой. (Непротиворечивость в таком,
семантическом понимании называется также содержательной
непротиворечивостью.)
Если система аксиом реализуема, то существует хотя
бы одна система объектов (предметов и отношений), струк-
1 С его обычными свойствами (скажем, выраженными в
аксиомах IV. 1—IV. 3, см. выше, стр. 92).
2 Поскольку в такой системе любая формула оказывается
доказуемой (и в то же время опровержимой!), так что понятие
теоремы становится совершенно бессодержательным.
32*
99
тура которой описывается данной аксиоматической
теорией. Это означает, что все выводимые формулы теории могут
интерпретироваться как истинные высказывания,
выражающие свойства структуры этой системы объектов (модели).
Таким образом, произвольная выводимая формула <р
становится истинным высказыванием, относящимся к модели.
Тогда ф— ложное высказывание и поэтому уже не может
быть выводимой формулой, т. е. из того, что система аксиом
реализуема, следует, что она и внутренне
непротиворечива — при одном, однако, весьма важном условии: в этом
рассуждении мы, в неявном виде, допустили, что сама
модель аксиоматической системы внутренне
непротиворечива. Наличие модели аксиоматической системы лишь
сводит вопрос о непротиворечивости этой системы к
вопросу о непротиворечивости той системы понятий, из которых
строится эта модель. Если эта система внутренне
непротиворечива, то и данная аксиоматическая система внутренне
непротиворечива.
Метод моделей широко применялся во второй половине XIX
века (и применяется и сейчас) для сведения вопроса о
непротиворечивости одной аксиоматической системы к непротиворечивости
другой.
Так, например, построением модели геометрической системы
Лобачевского в терминах евклидовой геометрии вопрос о
непротиворечивости геометрии Лобачевского сводится к вопросу о
непротиворечивости евклидовой геометрии; построением модели последней
в терминах арифметики вещественных чисел вопрос о ее
непротиворечивости сводится к вопросу о непротиворечивости арифметики
вещественных чисел.
Система вещественных чисел может быть построена как
непротиворечивое1 расширение системы рациональных чисел, система
рациональных чисел — как непротиворечивое расширение системы
целых чисел, а система целых чисел — как непротиворечивое
расширение системы натуральных чисел. Вопрос о
непротиворечивости арифметики вещественных чисел может быть в конечном счете
сведен к вопросу о непротиворечивости арифметики натуральных
чисел.
Для арифметики натуральных чисел может быть построена
теоретико-множественная модель, и, следовательно, вопрос о ее
непротиворечивости сводится к вопросу о непротиворечивости теории
множеств.
Таким образом, вопрос о непротиворечивости всех
перечисленных выше аксиоматических систем сводится к вопросу о
непротиворечивости теории множеств. Ввиду того что для любой системы
аксиом может быть найдена теоретико-множествтенная модель, к ре-
Относительно расширяемой системы.
100
щению вопроса о непротиворечивости самой теории множеств
(системы аксиом этой теории) метод моделей уже неприменим (его
применение приводит к порочному кругу), и непротиворечивость теории
множеств должна предполагаться, хотя в этой теории возникают
серьезные трудности логического порядка, не способствующие
интуитивной уверенности в ее непротиворечивости1.
Гильберт предложил новый путь доказательства
непротиворечивости — без использования метода моделей. Программа
Гильберта предполагает наличие средств для описания класса
выводимых (истинных) формул данного исчисления. В таком случае может
оказаться доступным и прямое доказательство невозможности
существования в этом исчислении выводов двух формул, из которых
одна — отрицание другой, т. е. непосредственное доказательство
внутренней непротиворечивости.
Докажем непротиворечивость аксиоматической системы
исчисления высказываний, описанной в § 2.
Поставим себе задачу установить, что если ср —
произвольная выводимая в исчислении высказываний формула,
то., ф невыводима.
Для решения этой задачи дадим символам алфавита
исчисления высказывания то же содержательное
истолкование, что и в алгебре высказываний.
При таком истолковании символов алфавита все
формулы исчисления высказываний становятся формулами
алгебры высказываний, а все выводимые формулы
исчисления высказываний — тождественно-истинными формулами
алгебры высказываний.
Первое очевидно, второе устанавливается следующим
образом. Прежде всего убеждаемся в том, что все аксиомы
исчисления высказываний являются
тождественно-истинными формулами алгебры высказываний. Это легко
доказать хотя бы с помощью таблиц истинности. (Читатель без
труда докажет это самостоятельноз.)
Остается показать, что применение правил вывода (ПП
и ПЗ) к тождественно-'истинным формулам приводит снова
к тождественно-истинным формулам. Действительно, пусть
Ф — тождественно-истинная формула, содержащая
переменную Л. Подставим вместо А всюду, где она входит в
формулу ф, произвольную формулу if>. Так как формула г|э,
так же как А принимает только значения И и Л,, то
полученная в результате, этой подстановки формула П^(ф)
1 См. [1], Введение, и [4], ч. I, гл. 3.
2 См; упражнение 1.22.
4 А. А. Столяр
101
также тождественно-истинна, т. е. ПП сохраняет тождеств
венную истинность формул. -
Докажем, что и ПЗ сохраняет тождественную
истинность формул. Действительно, если ф и ф=Фг|)— тожде-
ственно-истинные формулы, то и -ф тождественно-истинна^
формула, ибо если при каком-нибуДь наборе значений пере-*
менных i|) принимала бы значение Л, то ф=>я|) обратилась бы в
И=ФЛ, т. е. тоже приняла бы значение Л, лто противо^
речит условию. *;:
Таким образом, так как аксиомы — тождественно-ис-^
тинные формулы и применение правил вывода к тождеств
венно-истинным формулам приводит к тождественно-ис«£
тинным формулам, то все выводимые формулы исчисления
высказываний, рассматриваемые как формулы алгебры вы-;
сказываний, являются тождественно-истинными.
Отсюда сразу следует непротиворечивость исчисления
высказываний. Действительно, пусть ф — произвольная вы*
водимая в исчислении высказываний формула. Тогда ф —»
тождественно-истинная формула алгебры высказываний^
а ф — тождественно-ложная формула. Так как ф не яв-::
ляется тождественно-истинной' формулой алгебры ^выска^
зываний, то она невыводима в исчислении высказываний,.
Мы доказали, что не^существует ни одной пары выводи-
мых формул вида ф и ф, т. е. исчисление высказываний не?
противоречиво. *
2. Аксиома (некоторой системы аксиом) называется
независимой, если она невыводима из остальных
аксиом системы. Система, все аксиомы которой
независимы, также называется независимой. Такая система; .
не содержит «лишних» аксиом, выводимых из остальных.;
Приведенная в § 2 система аксиом исчисления выска^
зываний является независимой. '*".'
Доказательство независимости системы аксиом состоит-;,
из доказательства независимости каждой аксиомы системы»!
Чтобы доказать независимость какой-нибудь аксиомы AfcZ
достаточно построить такую интерпретацию символов алфа-;
вита, чтобы все аксиомы данной системы, кроме Аь и все
выводимые из этих аксиом формулы принимали при любых
наборах значений переменных значение И, а аксиома Ak> -
при некоторых наборах значений переменных, принимала
значение Л. В таком случае аксиома Ak независима, ибо если
она была бы выводимой из остальных аксиом, она приник
102
мала бы при любых наборах значений переменных
значение И.
Приведем в качестве примера доказательство
независимости аксиом IV. 1:
(А=$> В) ==>(Ё ==>!).
Пусть переменные исчисления принимают два
значения И и Л, т. е. значения переменных алгебры
высказываний.
Импликацию, конъюнкцию и дизъюнкцию определим
так же, как в алгебре высказываний.
Операцию отрицания определим следующим образом:
А
И
Л
А
И
Л
т. е. А экв А.
В этой интерпретации аксиомы первых трех групп при
любых наборах значений переменных принимают значение
И, так как они не содержат знак отрицания, а остальные
операции -определяются так же, как в алгебре
высказываний, где эти аксиомы — тождественно-истинные формулы.
Нетрудно убедиться в том, что я аксиомы IV.2 и IV.3
принимают при любых наборах значений переменных
значение И:
А
И
Л
А
И
Л
А
и
л.
/ 1
А=ФЛ(1У.2)
И
и
3=M(IV.3)
и
1 и
Формулы, выводимые из аксиом I—III, IV.2, IV.3,
также примут при любых наборах значений переменных
значение И, так как применение правил вывода к
тождественно-истинным формулам приводит снова к тождественно-
истинным формулам (это бьшо установлено выше при
доказательстве непротиворечивости исчисления высказываний).
Докажем, что аксиома IV. 1 в рассматриваемой
интерпретации не при всех наборах значений переменных
принимает значение И:
4*
103
\-A
и
И
Л
л
в
и
л
и
л
л=>я
и
л
и
и
В=ФЛ
и
и
Л |
и
(Л=*>В)=>(В=>Л)|
и
и
Л
и
А
и
и
Л
л
в
и
л
и
л
Таким образом, если А имеет значение Л, а В — И, то
аксиома IV. 1 принимает значение Л. Это и доказывает
независимость IV. 1.
Для доказательства независимости каждой из аксиом'
строится специальная интерпретация. Следовательно, для
доказательства независимости системы аксиом I—IV
нужно построить 11 интерпретаций1.
Едва ли не самой известной из проблем независимости
является проблема пятого постулата Евклида.
В течение двух тысячелетий, до второй половины XIX века, мно-.
гие математики предполагали, что евклидова аксиома параллельных3'.
выводима из остальных аксиом геометрии, и искали такой вывод.
Ошибки, допущенные в поисках решения этой проблемы даже
видными математиками, объясняются состоянием науки того
времени; в частности, не было еще полного перечня геометрических
аксиом, не были уточнены логические средства вывода.
Известны многочисленные «доказательства» пятого постулата,
но все они несостоятельны ввиду того, что в каждом из них к
аксиомам присоединяется (в неявном виде, незаметно для автора
доказательства) предложение, эквивалентное доказываемому
постулату относительно остальных аксиом, т. е. такое предложение,
которое само выводимо из этих аксиом, если к ним присоединить пятый,
постулат.
Если совокупность геометрических аксиом без аксиомы
параллельных обозначить через Г (Г — система аксиом
абсолютной геометрии), а пятый постулат —через V, то проблема пятого-
постулата может быть сформулирована так: доказать, что
из Г* выводимо (следует) V.
В известных же «доказательствах» пятого постулата обычно
устанавливается, что ^ v
из Г, А выводимо V,
причем А — такое предложение, что предложение
«из Г, V выводимо Л»
истинно.
1 См. [6], гл. II, § 11.
2 В «Началах» Евклида — V постулат.
104
/ Таким образом, по существу каждое из этих «доказательств»
не решает проблему пятого постулата, а выявляет лишь какой-то
эквивалент А этого постулата относительно остальных аксиом, т. е.
такое предложение, из которого выводимо V и которое само
выводимо из V на базе системы аксиом Г (средствами логической
системы, используемой в качестве логического языка геометрической
теории).
Примерами таких эквивалентов пятого постулата являются
следующие предложения: расстояние точек одной прямой до
параллельной ей прямой ограниченно (доказательство Прокла),
существуют подобные треугольники (доказательство Валлиса), через
всякую точку внутри угла можно провести прямую, пересекающую
обе стороны угла (доказательство Лежандра), и др.
Проблема пятого постулата, как-известно, была решена
отрицательно: была доказана независимость евклидовой
аксиомы параллельных от остальных аксиом геометрии Евклида,
Система аксиом геометрии Лобачевского отличается от системы
аксиом евклидовой геометрии лишь одной аксиомой
параллельных, причем аксиома параллельных Лобачевского представляет
собой отрицание евклидовой аксиомы параллельных: V
(евклидова аксиома параллельных): Для любой прямой и точки вне ее, в
плоскости, определяемой ими, существует не более одной прямой,
проходящей через данную точку и непересекающей данной прямой.
V (аксиома параллельных Лобачевского): Для любой прямой и
точки вне ее, в плоскости, определяемой ими, существует более
одной прямой, проходящей через данную точку и непересекающей
данной прямой.
(Г, V — система аксиом евклидовой геометрии,
Г, V — система аксиом геометрии Лобачевского.)
Поэтому, всякая модель системы аксиом Г, V геометрии
Лобачевского представляет собой систему объектов, в которой все
аксиомы из Г выполняются (обращаются в истинные высказывания),
а V не выполняется, обращается в ложное высказывание, так как
ее отрицание V выполняется (истинно). Существование хотя бы
одной такой модели (интерпретации геометрии Лобачевского в
терминах евклидовой геометрии) доказывает независимость V.
Идея такого доказательства непротиворечивости геометрии
Лобачевского относительно евклидовой геометрии была впервые
предложена итальянским математиком Э. Бельтрами (1868);
окончательное решение этой проблемы было получено немецким
математиком Ф. Клейном и французским математиком
А. Пуанкаре.
3. Полнота системы аксиом понимается в двух смыслах.
Система аксиом, лежащая в основе некоторого
исчисления, называется полной в широком смысле,
если всякое содержательно-истинное предложение
предметной области, описываемой этим исчислением,
выводимо в нем.
Приведенная в § 2 система аксиом исчисления
высказываний обладает полнотой в этом смысле, т. е. всякая
105
тождественно-истинная формула алгебры высказываний
является выводимой формулой исчисления высказываний1.
Так как, кроме того, при доказательстве
непротиворечивости исчисления высказываний мы установили, что
всякая выводимая в этом исчислении формула, рассматривае- "
мая как формула алгебры высказываний, является тожде- ^
ственно-истинной, то класс выводимых формул исчисления '
высказываний совпадает с классом тождественно-истинных
формул алгебры высказываний.
Поэтому для решения вопроса о выводимости некоторой ;
формулы исчисления высказываний нет надобности нахо- ;
дить ее вывод из аксиом. Достаточно установить, что эта :
формула, рассматриваемая как формула алгебры
высказываний, является тождественно-истинной. Отсюда
следует, что проблема разрешения в исчислении *
высказываний, т. е, вопрос о существовании конечной
процедуры, позволяющей определить для любой конкретной *„
формулы этого исчисления, выводима ли она или нет, Щ
решается положительно2. '•*'
Понятие полноты в широком смысле связано с содер- |
жательной интерпретацией системы аксиом, т. е. имеет #
семантический характер. О такой полноте можно говорить J
при условии, что система аксиом интепретируема, т. е. f
содержательно непротиворечива.
Но непротиворечивость системы аксиом трактуется
также в синтаксическом аспекте, как внутренняя непроти- .
воречивость.
Этому пониманию непротиворечивости соответствует пол- .
нота в другом, более строгом и узком смысле: система
аксиом называется полной в узком смысле,
если расширенная система аксиом, полученная путем при- ■$,
соединения к аксиомам данной системы какой-нибудь не- ?•
выводимой из них формулы, противоречива. (Легко понять,
что из полноты системы в узком смысле сразу следует ее 4\
полнота в широком смысле: формула, присоединение кото- *
рой к системе делает ее противоречивой, не может быть,
истинной ни в какой интерпретации.)
Приведенная в § 2 система аксиом исчисления
высказываний является полной и в этом смысле. Докажем это.
1 Доказательство см. в [6], гл. II, § 10.
2 В гл. 1 (§ 2, § 4) указаны две разрешающие процедуры: со- f,
ставление таблицы истинности и приведение формулы к к. н. ф. ~
106
Пусть <р — какая-нибудь не тождественно-истинная
формула алгебры высказываний, представленная в к. н. ф.
Тогда ф невыводима в исчислении высказываний (так как
всякая выводимая в исчислении высказываний формула
тождественно-истинна в алгебре высказываний).
Присоединим формулу ф к аксиомам исчисления
высказываний. В расширенной таким образом системе аксиом
сама формула ф и каждый ее конъюнктивный член
становятся выводимыми, формулами.
Так как. ф не тождественно-истинна, то существует хотя
бы один член к. н. ф., представляющий собой
элементарную дизъюнкцию, не содержащую никакой переменной
вместе с ее отрицанием, т. е. имеющий вид
X*1 V Х*г V ... УХ%к ' где кажДая переменная входит
только один раз (либо с отрицанием, либо без него).
Осуществим в этой дизъюнкции следующую
подстановку:
ЪАХ*ГУ*;А уЧ :AVAV ... VAt
или, по закону идемпотентности, А, т. е. А — выводимая
формула. Но вместо А можно подставить А и получим, что
и А—выводимая формула.
Таким образом, мы получили, что расширенная
система аксиом противоречива; следовательно, данная система
аксиом (§ 2) обладает полнотой в узком смысле.
УПРАЖНЕНИЯ
2.45. Доказать, что аксиомы (I—IV) исчисления высказываний
представляют собой тождественно-истинные формулы алгебры
высказываний.
2.46. Строится следующая интерпретация для символов алфавита
исчисления высказываний:
(а) переменные принимают два значения И и Л;
(б) Импликация, дизъюнкция и отрицание определяются так
же, как в алгебре высказываний;
(в) конъюнкция определяется следующим образом: АВ =^В*,
т. е.
1 Символы = Dt и, в дальнейшем, экв^* означают
«эквивалентно (или равно) по определению» (от латинского
definitio—определение); это — метаязыковые символы.
107
A
И
И
л
л
в
и
л
и
л i
АВ
И
л
и
л
Определить: 1) Какие значения принимают аксиомы I—III при
всевозможных наборах значений переменных?
2) Независимость какой аксиомы доказывается
с помощью указанной интерпретации?
2.47. Ответить на те же вопросы 1) — 2), что и в предыдущем
упражнении, для интерпретации символов, совпадающей с
предыдущей в пп. (а) и (б) и в которой конъюнкция определяется
следующим образом: АВ =D*J1.
ГЛАВА III
ЛОГИКА ПРЕДИКАТОВ
§ 1. Множества. Операции над множествами
В дальнейшем мы будем пользоваться некоторыми
понятиями алгебры множеств. Настоящий
параграф посвящен их разъяснению и уточнению1.
1. Понятие множества не определяется через другие
понятия.
Интуитивно под множеством мы понимаем класс,
совокупность, собрание каких угодно различимых между
собой предметов, безразлично какой природы. (Слова:
«множество», «класс», «совокупность», «собрание» —
синонимы.)
Предмет, принадлежащий некоторому множеству.
предметов, называется элементом этого множества.
Высказывание «предмет а принадлежит множеству М»
или, что то же, «предмет а — элемент множества М»
обозначим через а£М. _
Множество можно считать заданным, известным, если
мы владеем способом, позволяющим для любого данного
предмета решить, принадлежит ли он или нет этому
множеству.
Конечное множество может быть задано
непосредственным перечнем, перечислением всех элементов (в
произвольном порядке). В этом случае перечень записывается в
строчку и заключается в фигурные скобки; например, {0, 1, 2,
3, 4, 5, 6, 7, 8, 9} — множество цифр в десятичной системе
счисления. При таком задании множества для любого
предмета мы можем определить, принадлежит ли он или
нет рассматриваемому множеству путем сопоставления
его с элементами этого множества. Если он совпадает с
1 Напоминаем, что рассмотрение понятия функции (Введение,
п. 7) также велось на теоретико-множественной основе.
109
каким-нибудь элементом множества, он принадлежит ему, •.
в противном случае не принадлежит/ (Предполагается,
разумеется, что мы умеем отождествлять и различать
предметы.)
Бесконечное множество не может быть задано в виде ^
перечня предметов. J.
Множество, конечное или бесконечное, может быть
задано характеристическим свойством,
т. е. таким свойством, которым обладает любой элемент
этого множества и не обладает ни один предмет, не являю-
♦ щийся его элементом.
Множество, характеризуемое свойством Р, обозначим
через
М[Р\г -•
X
(«множество всех х, обладающих свойством Р»). V
Например, М [х > 0]—множество положительных чисел, ^
х ъ~
т. е. всех тех чисел, при подстановке которых вместо пе- ; •
ременной х в х > 0 получается истинное высказывание •**
(2>0, 3,5 > 0 и т. п.) ч :±\
При таком задании множества возможность определить, J
принадлежит ли произвольный данный предмет рассмат- f
риваемому множеству, путем проверки наличия у него
свойства Р зависит уже, конечно,^ от самого свойства Р2. * 3
Если два множества А и В состоят точно из одних и
тех же элементов, то их называют равными и обозна- 1
чают это обычным знаком равенства: А = 5.
Множества А и В могут быть заданы различными свой- г-
ствами Р и Q, но если из наличия у предмета свойства Р С
следует наличие у него, свойства Q и обратно, то эти мно- }.
жества равны.
Например, если А — множество треугольников, имею-
ющих две равные стороны, а В — множество треугольни-
1 Это множество обозначается также символом х [Р]. Мы
применяем символ *М [Р]», в котором начальная буква М слова «мно-
х
жества» напоминает, что идет речь о множестве.
2 Простейший пример: множество, состоящее из одного (!)
натурального числа п (я > 2) — наименьшего из таких л, что найдутся
целые положительные числа х% у и г также, что хп+уп **=■ z".
Легко видеть, что нахождение такого п означало бы опровержение
великой теоремы Ферма, а доказательство того, что искомое
множество пусто, было бы доказательством теоремы Ферма!
ПО
ков с двумя равными углами, то, так как из наличия у
треугольника двух равных сторон следует наличие у него
двух равных углов, и обратно, эти множества равны, т. е.
А=В.
2. Пусть дано множество Л. Всякое множество В,
образованное из элементов множества Л, называется частью
или подмножеством Л. Говорят также, что В
включается в Л.
Если при этом существуют элементы множества Л, не
принадлежащие В, то говорят, что В строго включается
в Л, что обозначается через В а А. В этом случае говорят
также, что В — собственная часть Л.
Рассматривается и включение в широком смысле,
не исключающем случай, когда В = Л, обозначаемое через
БЕЛ.
Малыми латинскими буквами конца алфавита
х, у, z
или одной буквой с индексом (например, хи х2, ..., хп>...)
обозначим переменные для элементов некоторого
множества, т. е. переменные, на место которых можно подставить
названия (имена) любых элементов из этого множества.
Эти переменные называются предметными
переменными. Элементы множества, имена которых
разрешается подставлять вместо переменной, называются
значениями этой переменной, а само это
множество — областью значений переменной.
В качестве имен определенных (фиксированных)
элементов множества используем малые латинские буквы
начала алфавита
a, bt с
или какую-либо одну букву с индексом (av а2, ..., ап> •..),
которые назовем предметными постоянными.
Запись В с: Л («множество В включается в «множество Л»)
выражает то же самое, что «для всех х (х £ В) =Ф (х £ Л)»
(для всех х, если х принадлежит множеству В, то
принадлежит и множеству Л»).
Отношение включения (в широком смысле сг)
рефлексивно (А^А), антисимметрично (В с: А)Л(А<£В)=>(А=В)
и транзитивно (A<£B)A(BciC)=>(AczC).
Отношение строгого включения (с:) антирефлексивно:
ill
Часть В множества Л может быть определена с
помощью некоторого свойства Р:
В = М[(х£А)ЛР)
X
(«В — множество всех х, принадлежащих множеству А и
обладающих свойством Р»).
Например, если А — множество параллелограммов, а
Р — свойство «иметь прямой угол», то В — множество
параллелограммов с прямым углом, т. е. множество
прямоугольников.
Если свойством Р обладают все элементы множества Л,
то В = Л. Множество А считается частью самого себя
(иногда говорят несобственной, или полной,'
частью).
Например, если А—множество параллелограммов, а
Р — свойство: «диагонали делятся точкой пересечения
пополам», то В = Л, так как в каждом параллелограмме
диагонали делятся точкой пересечения пополам.
Если в множестве Л нет ни одного элемента,
обладающего свойством Pt то множество В не содержит ни одрого
элемента.
Множество, не содержащее ни одного элемента,
называется пустым и обозначается символом 0. Пустое
множество также считается частью любого множества Л*
(иногда говорят «пустой частью»).
Например, если Л-— множество параллелограммов, а
Р — свойство: «иметь пять сторон», то В =0, так как не
существует параллелограмма с пятью сторонами.
Пусть множество Л = [а, Ъ, с]. Тогда его частями
будут следующие множества:
0, {а}, {&}, {с}, {а, Ь], {а, с}, [Ь, с), {а, Ь9 с).
3. Пусть Л, 5, С, ..., — множества, представляющие
собой части некоторого множества, которое мы назовем
основным или универсальным и обозначим
буквой U.
В множестве всевозможных частей основного
множества (включая 0 и U) определим три операции: дополнение,
пересечение и объединение.
Эти операции над множествами порождают новые
множества, причем каждая операция и множество, получаемое
112
в результате ее применения, обозначаются одним и тем же
термином (так же, как в алгебре высказываний).
В нижеследующих определениях под дополнением,
пересечением, объединением мы понимаем результаты
применения одноименных операций.
Мы используем предметные переменные х, у, z с
областью значений U.
а) Дополнением множества А называется
множество, состоящее из всех тех и только тех предметов (из
основного множества (/), которые не принадлежат Л.
Дополнение множества А обозначим символом А.
Определение дополнения может быть записано и
следующим образом:
J=DfM[x£A]
X
(А равно по определению множеству всех х (из £/),
которые не принадлежат А).
б) Пересечением множеств А и В называется
множество, состоящее из всех тех и только тех предметов,
которые принадлежат и множеству А, и множеству 5.
Пересечение множеств А и В обозначим символом А Л В.
Таким образом,
A[\B=DtM[x£A)b(x€B)].
X
в) Объединением множеств. А я В называется
множество, состоящее из всех тех и только тех предметов,
которые принадлежат хотя бы одному из множеств А
или В.
Объединение множеств Ли В обозначим символом A U В.
Таким образом,
A\)B=DfM[(x£A)\l{x£B)].
X
Алгебра множеств, описывающая структуру
множества частей некоторого (основного) множества с
введенными здесь операциями дополнения, пересечения и
объединения, представляет собой, как и алгебра
высказываний, модель описанной выше (стр. 64) абстрактной
булевой алгебры. Все свойства операций (отрицания,
конъюнкции и дизъюнкции) алгебры высказываний переводятся
на язык алгебры множеств с помощью следующего словаря:
113
Язык
алгебры высказываний
А, В, С,
-
—
Л
V
и
л
экв
... — переменные
для
высказываний
— отрицание
— конъюнкция
— дизъюнкция
— истинное вы-
. оказывание
— ложное
высказывание
—
эквивалентность формул
Язык
алгебры множеств
А, В, С,
—
Г)
■ и
и
0
=
... —переменные *
для.
множеств—ча-;
стей
некоторого
основного
множества "•.
— дополнение' ;f.
—пересечение
—
объединение
— основное
множество *".
— пустое
множество
*— равенство
множеств .
Например, закон двойного отрицания (1) А экв А_(или
f— Жф=>Л) переводится в закон двойного дополнения А=Л..
Это равенство устанавливается, исходя из определения
дополнения, на основе закона двойного отрицания:
1 = М[7Щ =М[х£А] = А \
& 1
Аналогично закон де Моргана (17) AVB экв АЛВ (или
[— Л У В <=» АЛВ) переводится на язык алгебры множеств в 2:;
равенство Л U В = Л [) В, которое легко доказывается: 4
А[УВ = М [(х£АЩх£В)] = М [*£М*£7Г] = ^
х х *■■_
= М [х£А] П М [х(Гв ] = А п В.
X X
Свойства операций алгебры множеств наглядно иллю- *
стрируются с помощью геометрического изображения мно- ,
1 Выражение х£А мы рассматриваем здесь как переменную .
для высказывания, принимающую значения И и Л, отвлекаясь от
того, что она в свою очередь является функцией предметной
переменной х (об этом будет идти речь дальше), и применяем к ней one- \
рации алгебры высказываний. ■;;
114
жеств. Изобразим (рис. 12) основное множество U в виде
произвольного прямоугольника, а его части — в виде
каких-нибудь фигур, например кругов, расположенных
внутри, этого прямоугольника. На рис. 12,а заштриховано
множество A f)B, на рис. 12,б_заштриховано
горизонтальными штрихами множество Л, вертикальными — В, а
вообще заштриховано множество A (J В. Как видно,
множества А () В и Л \J В состоят из одних и тех же точек
прямоугольника, т. е.
Л [)В = А[}В.
а) 6)
Рис. 12
Это равенство является переводом на язык алгебры мно-
жествз£кона де Моргана (16) ААВ экв АуВ или)— ЛДЯ<=Ф
ФФЛу5).
УПРАЖНЕНИЯ
3.48. Перевести на язык алгебры множеств свойства (1)—(17)
операций алгебры высказываний.
Доказать полученные свойства, исходя из определений
операций алгебры множеств и аналогичных свойств операций алгебры
высказываний.
Проверить эти свойства с помощью геометрического
изображения.
3.49. Пусть А с: В. Чему равно А [) В, A f] B7 В каком отношении
находятся дополнения Я" и Б?
3.50. Сколько частей имеет множество, состоящее из двух элементов,
из трех элементов, из п элементов?
Среди частей множества, состоящего из п элементов, сколько
таких, которые содержат 1 элемент? 2 элемента? ... , (п — 1)
элемент?
3.51. Пусть М — множество треугольников,
А — множество равнобедренных треугольников,
В — множество прямоугольных треугольников.
115
Назвать на русском языке множества А [) В, A f] В и
дополнения (относительно множества М, как основного) множеств Л, £
A\JBf А(]В.
3.52. Мы говорим, что осуществлено разбиение множества
М на два класса Лг и Л2, если Лхи Л2 = М и А1(]А2= 0* и
вообще, на п классов Alt Л2, ... , Ап, если А1[)А2[] ... 1МЛ =
z=M([)Ai = M) ^ и Ai()Aj=0, где f ^/ и /, /= I, 2, ... , п.
Каждое множество Л разбивает основное множество на два
класса (подмножества) А и Л^_ __ _
ли л = £/ и лпл-0.
Доказать, что два множества Л и В разбивают, вообще говоря,
основное множество на 4 класса (некоторые из этих классов могут,
разумеется, оказаться пустыми).
Указание: записать эти классы с помощью множеств А, В, А,Ъ
и операций U и [), а затем проверить выполнимость условий
разбиения множества на классы.
3.53. Доказать, что три части А, В, С основного множества
разбивают его, вообще говоря, на 8 классов.
3.54. Два множества, пересечение которых отлично от пустого
множества, назовем пересекающимися.
Два множества, не имеющие общих элементов, т. е«
пересечение которых пусто, назовем непересекающимися.
Указать, какие из нижеследующих пар множеств являются
пересекающимися, какие — непересекающимися, и записать jhx
пересечения:
а) множество рациональных и множество положительных
чисел;
б) множество равносторонних треугольников и множество
прямоугольных треугольников; %
в) множество пирамид и множество правильных
многогранников;
г) М[(х £ N)A(x< Б)] и М[(х £ N)A(x>3)]
X X
(N — множество натуральных чисел);
Д) М[(х£С)Л(х<4)] и М[(х£ С)А(х>4)]
X X
(С —множество' целых чисел);
е) М[(х £ С)Л(х< 4)] и М[(х £ С)Л(*>4)].
X X
3.55. Число элементов множества Л обозначим символом т (Л).
Доказать следующие соотношения:
т(А U В) = т(А) + т(В)-.т(АГ\В);
m(A(j B\J С) = т(А)+т(В) + т(С) — т(АПВ) — т(ВГ\ С) —
-т(ЛПС) + т(Л ПЯЛ Q;
записать эти соотношения для случая, когда Л, В и С — попарно
непересекающиеся множества.
1 Определения объединения и пересечения, как и определения
дизъюнкции и конъюнкции, распространяются на любое число
множеств.
116
§ 2. Недостаточность логики высказываний.
Предикаты
1. Средствами логики высказываний мы производили
анализ некоторых рассуждений (гл. 1, § 3) для выяснения
их правомерности. Мы отметили при этом, что если при
выводе одних высказываний из других учитывается
внутренняя структура элементарных высказываний, то для
выяснения правомерности такого рассуждения средства
^логики высказываний оказываются недостаточными.
Например, правомерность вывода
п) «Всякое целое число — рациональное число,
1 — целое число;
следовательно, 1 —рациональное число»
нельзя установить средствами логики высказываний, так
как в нем посылки и заключение с точки зрения этой
логики — элементарные высказывания, рассматриваемые как
целые, неделимые, без учета их внутренней структуры.
Однако и этот вывод является формальным и не зависит
от содержания посылок и заключения, а лишь от их
формы, структуры.
Нетрудно заметить, что рассуждение
/тт\ «Всякий ромб — параллелограмм,
к } ABCD — ромб;
следовательно, ABCD — параллелограмм»,
хотя отличается по содержанию от рассуждения (I), имеет
ту же структуру, и следование заключения из посылок в
этих рассуждениях определяется именно их структурой,
а не содержанием.
На языке логики высказываний мы не можем отделить
логическую структуру этих рассуждений от их частного
содержания. Если мы попытались бы это сделать, заменяя
каждое элементарное высказывание пропозициональной
переменной, каждое из рассуждений I—II приняло бы
форму:
«Из X и Y следует Z».
Но совершенно очевидно, что такое представление
рассуждений не дает нам возможность выяснить, действитель-
117
но ли следует Z из посылок X и Г, так как в нем не
отражена структура посылок и заключения.^ ».
Таким образом, логика высказываний не дает нам
средства для достаточно тонкого анализа рассуждений,
позволяющего выяснить их правомерность. Это объясняется тем,
что логика высказываний ограничивается сведением
сложных высказываний к элементарным; она рассматривает
сложные высказывания как функции от элементарных, а
эти последние уже не расчленяет дальше, хотя они не
являются самыми простыми элементами рассуждений и
обладают внутренней структурой, играющей важную роль
в дедукции.
Поэтому на языке логики высказываний мы не можем
получить все те средства вывода, которые необходимы для
аксиоматического построения различных математических
теорий.
Возникает необходимость в расширении логики
высказываний, в построении такой логической сивтемы, средст- f
вами которой можно было бы исследовать и структуру эле-
ментарных высказываний. Такой логической системой
является логика предикатов, содержащая .всю
логику высказываний в качестве своей части.
2. В традиционной логике в элементарном
высказывании различаются субъект (то, о чем утверждается в '
высказывании) и предикат (то, что утверждается о
субъекте).
Например, в высказывании «ромб есть параллелограмм»,
«ромб» — субъект, «параллелограмм» — предикат («есть»—
связка). Это высказывание истолковывается как утвержде- ;
ние о том, что ромб обладает свойством «быть параллело- «i.
граммом» или что множество ромбов включается в
множество параллелограммов.
Такое расчленение на субъект и предикат, характерное
для традиционной логики, возможно (и достаточно) лишь
в тех случаях, когда элементарное высказывание выражает
свойство предмета, но не пригодно в случае, когда
элементарное высказывание выражает отношение между
предметами.
Например, элементарные высказывания
«число 2 меньше числа 3»,
«точка А лежит между точками В и С» и т. п.
118
уже нельзя представить в виде «S есть Я»> гдеЯ — субъект,
Р — предикат1.
Логика предикатов также исходит из расчленения
элементарных высказываний на субъект2 (или субъекты) и
предикат3, но это расчленение осуществляется не так, как
в традиционной логике.
Здесь предикат трактуется как логическая
функция одной или нескольких предметных
переменных (одного или нескольких субъектов, в зависимости от
того, выражает ли высказывание свойство предмета или
отношение между предметами), и такое представление
пригодно как для тех элементарных высказываний,
которые выражают свойства предметов, так и. для тех, которые
выражают отношения между предметами.
Предикаты символически обозначаются
функциональными знаками с одним или несколькими пустыми местами
или с одной или с несколькими переменными,
занимающими пустые места.
Приведем некоторые примеры,
а) «5 есть простое число» — истинное высказывание,
«4 есть простое число» — ложное высказывание, а
«... есть простое число» уже не является
высказыванием, так как мы не можем сказать, истинно оно или
ложно. Это —логическая функция, обращающаяся в
истинное или ложное высказывание при заполнении пустого
места названием какого-нибудь натурального числа. Эта
логическая функция называется также одноместным
предикатом. Обозначим его через Р ( ). —
функциональным знаком Р с одним пустым местом или через
Р{х), так как вместо «... есть простое число» можно сказать
«х есть простое число», где х — переменная для чисел из
определенного множества, в данном случае из множества
1 Можно, конечно, считать, например, во втором из этих
примеров А субъектом, а свойство «лежать между В и С» —
предикатом (и с такого рода представлениями мы еще столкнемся ниже);
но такое представление, во-первых, не единственно (ведь можно
понимать приведенное высказывание как высказывание о-В, или
о С), и, во-вторых, при этом происходит не всегда желательное
«склеивание» различных субъектов (в данном случае — В и С) в
один предикат.
2 буквально — подлежащее (субъект может играть и роль
дополнения).
3 Буквально — сказуемое (предикат может играть и роль
определения).
119
натуральных чисел. Приняв такое соглашение, мы
обозначим через Я(5) истинное высказывание «число 5 — простое
число», через Я(4) — ложное высказывание «число 4 —
простое число», а через Р(х) — предикат, или логическую
функцию, «я — простое число», обращающуюся в истинное
или ложное высказывание в зависимости от подставляемого
значения х.
Областью определения этой логической функции
является множество N натуральных чисел, а областью ее
значений — множество {И, Л}, т. е.
N—--{И, Л}.
Предикат Р(х) разбивает область определения на два
Подмножества, на одном из которых он обращается в
истинное высказывание (каждое число из этого подмножества
обращает его в истинное высказывание), на другом — в
ложное. То из подмножеств области определения предика-'
та Р{х)у на котором он обращается в истинное
высказывание, назовем множеством истинности
этого предиката.
Уже применявшееся раньше (§ 1) обозначение М\Р]
X
множества предметов, обладающих свойством Я, по
существу есть обозначение множества истинности предиката
Р(х). Если, скажем, Р(х) есть обозначение предиката «х —
простое число», то М\Р(х)] обозначает множество простых
х
чисел.
Под Р(х) можно понимать и произвольный одноместный
предикат. В этом случае Р играет роль переменной (предикатная
переменная, или переменная для предикатов), значениями
которой являются различные конкретные одноместные предикаты1.
В нашем примере мы имели лишь одно из значений этой
предикатной переменной.
Рассмотрим другой пример. Пусть теперь Р(х)
обозначает предикат «Город х — столица БССР». Тогда
выражение Я (Минск) обозначает истинное высказывание «Город
Минск — столица БССР», а выражение Я (Могилев) —
ложное высказывание «город Могилев — столица БССР». В этом
1 Впрочем, в рассматриваемой ниже «узкой» логике
предикатов предикатные переменные не используются.
120
случае область определения предиката Р(х) — множество
городов, т. е. вместо предметной переменной х разрешается
подставлять название любого города, а множество
истинности состоит из одного города, подстановка названия ко-
торого вместо переменной х обращает этот предикат в
истинное высказывание
М [Р (х)] = {Минск}.
х
Как видно, при пользовании символом Р(х) мы должны знать,
обозначает ли он определенный, конкретный предикат или же
произвольный предикат (является ли Р предикатной постоянной или же
предикатной переменной), так же как, пользуясь символом f(x) при
изучении числовых функций, мы должны знать, в каком случае под
/ понимается определенная, конкретная функция, а в каком
—произвольная функция переменной х.
б) Выше приведены примеры одноместных предикатов,
выражающих свойства предметов. Естественным
обобщением понятия одноместного предиката является понятие
многоместного предиката, с помощью которого
выражаются отношения между предметами.
Приведем несколько примеров многоместных
предикатов.
1) Если отношение «меньше», введенное, например, в
множестве D вещественных чисел, обозначить
функциональным символом «<( , )» с двумя пустыми местами1, то
символом «<(2,3)>> обозначается истинное высказывание
«число 2 меньше числа 3», символом «<(3,2)>> — ложное
высказывание «число 3 меньше числа 2», а символом
«< (х, у)» — двуместный предикат, или логическая
функция двух числовых переменных х и у, обращающаяся
при любой подстановке вместо х и у пары чисел из D в
истинное или ложное высказывание2.
Предикат <(#, у) определен на множестве
всевозможных пар чисел из Д т. е." его область определения —
множество D2, а область значений — {И, Л}:
D2-1—(И, Л}.
1 Вместо знака < можно, разумеется, применить
какую-нибудь букву и писать, например, R ( , ).
2 Через < (jc, 2) или, например, < (3, у) при этом будет,
разумеется, обозначаться одноместный предикат («быть
меньше 2» или соответственно «больше 3»); ср. примечание к стр. 123.
121
Этот предикат разбивает множество D2 на два подмно^
жества, на одном из которых он обращается в истинное
высказывание, на другом — в ложное. То подмножество
D2, на котором он обращается в истинное высказывание,"
является его множеством истинности, которое мы
обозначаем символом
М[<(х, у)].
(х.у)
Пусть, например, предикат <(#, у) определен на
множестве А2, где А = {ЗГ, 4, 5, 6}. Поскольку А2 — конечное
множество, мы можем составить таблицу значений
предиката <(х, у), соответствующих 'всевозможным наборам
значений переменных х, у (всевозможным элементам А2):
3 Л И J И И
4 Л Л Г И И
5 Л Л Л И
б Л Л Л Л
Таким образом,-
М[((х9 у)£А*)Л<(х, у)]-{(3, 4), (3, 5), (3, 6), (4, 5),
<*. у)
(4, 6), (5, 6)}.
Обычно в математике двуместные предикаты
(бинарные отношения) R(x, у) обозначаются через xRy.
Например, вместо <(#, у) мы пишем х<.у9 вместо
— (*i У) — х — У» вместо > (х9 у) — х > у. Впредь мы ?
будем пользоваться этими обычными обозначениями
двуместных предикатов.
Приведенный выше предикат х < у в математике
обычно называется неравенством (с двумя неизвестными), а его'
множество истинности — множеством решений этого
неравенства (на множестве D, если предикат определен на
D2, или на множестве Л, если он определен на А2).
122
Если в «х < у» вместо только одной переменной,
например у, подставить ее значение, то получим логическую
функцию от второй переменной, например х< 3
(неравенство с одним неизвестным).
2) Пусть х, у, z — переменные для точек, лежащих на
одной прямой. Через Мж (х, у, г) обозначим
трехместный предикат «точка х лежит между точками у и z».
При подстановке вместо переменных х, у, z названий
определенных точек (Лежащих на одной Прямой) этот предикат
(логическая функция от трех предметных переменных)
обращается в истинное или ложное высказывание1.
Если Т — множество всех точек прямой, то область
определения предиката Мж (л;, у, z) — множество Т3
(множество всевозможных троек элементов множества Г), а
область его значений— {И, Л}:
Пусть а:, у, г— переменные для натуральных чисел, а
S(x, у, z) — предикат <а + у = z». Если вместо
переменных х, у, г подставить какие-нибудь их значения, то
получим истинное или ложное высказывание. Например,
S(2, 3, 5) — истинное высказывание 2 +3 =» 5, S(l, 7,4) —
ложное высказывание 1+7 = 4.
Этот трехместный предикат определен на множестве N3
(N — множество натуральных чисел):
№—-+ (И, Л}.
3) Вообще п-м естный предикат R (хи #2,...,
хп) («#1, #2, ..., хп находятся между собой в отношении R»)
есть логическая функция п Предметных переменных,
определенная на множестве Мп всевозможных упорядоченных
наборов по п элементов из некоторого множества М:
М»—-{И, Л}.
Примером я-местного предиката является уравнение
агхг + а2х2 + ... + апхп = 0, где а19 а2, ..., ап —
определенные (фиксированные) вещественные числа, a xv х2,... ,
хп— переменные для вещественных чисел. Область определе-
1 Еще раз напоминаем, что при подстановке только вместо
одной переменной мы получим двуместный предикат, вместо двух
переменных — одноместный предикат.
123
ния этого предиката—Dn, область значений—{И, Л}
(каждой упорядоченной системе из п вещественных чисел
ставится в соответствие истинное или ложное высказывание).
Множество истинности этого предиката —
подмножество Dn, на котором предикат принимает значение И —
множество решений уравнения.
УПРАЖНЕНИЯ
3.56. Определить множество истинности предиката Р (х) — «х есть
простое число», определенного на множестве Л= II, 2, 3, 4, 5, 6,
7, 8, 9}.
3.57. Предикат D(x, у)— «я делит у» определен на множестве Л2,
где А= {1,2, 3, 4, 5, 6}.
Составить таблицу значений этого предиката и определить
M[D(x, у)].
(х, у)
3.58. На множестве {О, I}3 определен предикат
Р (х, у, г) — «х • у — г».
Составить таблицу значений этого предиката и определить
M[P(xt у, г)] (множество истинности трехместного предиката Р(х,
(х, у, г)
У» **)•
§ 3. Операции над предикатами.
Кванторы
1. Так как предикаты — логические функции, т.1 е.
они принимают, как и пропозициональные переменные,,
значения И и Л, то к ним применимы все операции логики
высказываний.
С помощью этих операций из элементарных предикатов
(т. е. таких, которые не расчленяются на другие предикаты)
формируются сложные предикаты, так же как в логике
высказываний из элементарных высказываний формируются
сложные.
Рассмотрим применение операций логики высказываний
к предикатам на примерах одноместных предикатов.
(Это не ограничивает общность рассмотрений, так как они
не зависят от числа аргументов.)
Пусть на некотором множестве А определен предикат
Р(х). Тогда на этом же множестве определен и предикат
Р(х) — отрицание Р(х): Р(х) обращается в истинное
высказывание при всех тех и только тех значениях л; из Л,
при которых Р{х) обращается в ложное высказывание, т. е.
124
множество истинности предиката Р(х) является
дополнением до А множества истинности предиката Р(х):
М[Р(х)]=ЩР(х)].
X X
Если на некотором множестве А определены два
предиката Р(х) и Q(x)f то на этом же множестве можно
определить и сложные предикаты: (a) P(x)AQ (х), (б) Р (х) V Q(x),
(в) P(x)=$>Q(x), (r) P(x)t=>Q(x), причем операции Л, V,
==>, <=> сохраняют здесь тот же смысл, что и в логике
высказываний.
(а) Предикат P(x)AQ(x) обращается в истинное
высказывание при всех тех и только тех значениях х из Л, при
которых оба предиката Р(х) и Q(x) обращаются в
истинные высказывания, т. е.
М [Р (х) Л Q (х)} =М[Р (х)] f]M[Q (х)]
X XX
(множество истинности предиката P(x)AQ (х) — пересечение
множеств истинности предикатов Р(х) и Q(x)).
(б) Предикат P(x)WQ (x) обращается в истинное
высказывание при всех тех и только тех значениях х из А, при
которых хотя бы один из предикатов Р (х) или Q(x)
обращается в истинное высказывание, т. е. М [Р (х) V Q (х)] =
= M[P(x)]\jM[Q(x)].
X X
(в) Предикат P(x)=$>Q(x) обращается в ложное
высказывание при всех тех и только тех значениях х из А, при
которых Р (х) обращается в истинное высказывание, a Q (х)
— в ложное. При всех остальных значениях х из А
предикат Р (х) =Ф Q (х) обращается в истинное высказывание.
Такие же значения при тех же значениях х принимает и
предикат P(x)V Q (х) (он обращается в ложное высказывание
при всех тех и только тех значениях х, при которых Р (х)—
истинное высказывание, a Q(x)—ложное, и в истинное
высказывание при всех остальных значениях х из А).
Следовательно, Р (х) =Ф Q (#) экв P(x)WQ (x) г и
M[P(x)^Q(x)] = M[¥(x)VQ(x)l=M[T(x)]\jM[Q(x)] =
= MlP{x)][)M[Q(x)].
X X
1 Здесь «экв» применяется в том же смысле, что и в алгебре
высказываний. Понятие формулы логики предикатов будет
уточнено в следующем параграфе.
125
г) Предикат Р (х) <=Ф Q (х) обращается в истинное вые-*
казывание при всех тех и только тех "значениях х из Л,
при которых Р(х) и Q(x) обращаются оба в истинные иод
оба в ложные высказывания.
Поскольку операции сохраняют тот же смысл, что и в
логике высказываний, сохраняются и все их свойства/
Например, Р (х) фф Q (х) экв (Р (х) => Q (х)) Л (Q (х) =»
Р(х)) (разумеется, это можно установить специально для
предикатов, как мы это еделали_выше (в)) или Р (х) <=> Q(x)
экв (Р (*) v Q (*)) A(Q (х) V Р (х))
экв P(x)AQ(x)VP(x)AQ(x).
Поэтому
M[P(x)<&Q(x)] =
=(М[Р(х)] \jM[Q(х)])П(М[Q(x)]\jM[P(к)}) -
= ТА [Р (х)] П М [Q (х)] U М [Р (х)] f)M[Q (х)].
X X X X
В логике высказываний для любой функции
{И, Л}«—^-{И, Л}
(логической функции от логических переменных) мы могла
составить4 полную таблицу значений (таблицу истинности).
В логике предикатов, если область определения
предикатов — бесконечное множество, такую таблицу
(конечную) составить, разумеется, невозможно. Если же область
определения — конечное множество, то, хотя такая
таблица может быть составлена, даже в самых простых случаях;
она весьма громоздка.
Покажем это на^ примере таблицы истинности для
предиката P(x)=>Q(y), когда область определения А
предикатов Р и Q состоит всего лишь из двух элементов А =*•..;
= {а, Ь}9 т. е. х, у £ {а, Ь).
Сложный предикат P(x)=$Q(y) представляет собой
логическую функцию предметных переменных я и у и
предикатных переменных Р и Q, которые в свою очередь
являются логическими функциями предметных переменных х, у.
Иначе говоря, предикат P(x)=$>Q(y) представляет собой,
сложную фуйкцию переменных х и у.
Значениями.предикатных переменных Р и Q являются
всевозможные функции, определенные на множестве {а, Ь)
и принимающие свои значения в множестве {И, Л}. Таких
функций всего четыре:
126
X
a
ъ
h
И
и
/,
и
л
/.
л
и
h 1
л
л
1
Так как всего имеется 16 наборов значений
предикатных переменных Р и Q и четыре набора значений для двух
предметных переменных х и у, то имеются 64 случая, для
которых должно быть указано значение предиката
P(*)=>Q(y).
\Р(Х)
h
h
ы
и
к
и
/з
f*
! h
/a
ft
\1T\
| Q(y)
h
h
h
h
h
Ь
fs
n
/i
h
ft
ft
h
ft
h
f*
\P(a)=*Q(a)
1 И
1 И
И
и
л
и
и
л
и
и
л
и
л
и
и
и
Р(а)=К>(Ь)
И
Л .
И
Л
и
и
и
л
и
и
и
и
л
и
и
и
Р (6)=» Q(a)
И
и
И
И
Л
и
л
л
и
и
и
и
и
и
л
и
Р(6)=>0(&)|
и 1
' л
и 1
и 1
и
и I
и 1
л
и
и
и 1
л 1
и
и
л
и 1
127
Составим таблицу с 4 столбцами и 16 строками1:
Когда область определения А предикатов Р(х) и Q(y)
состоит из одного элемента А = {а}, эти предикаты не
представляют собой больше функции от предметной
переменной, так как здесь переменная имеет одно единственное
значение а. В этом случае Р(а) и Q(a)> или просто Р и Q ^
элементарные высказывания (если Р и Q обозначали
предикатные постоянные) или пропозициональные перемен*
ные (если они обозначали предикатные переменные).
Пропозициональные переменные могут трактоваться
как «нульместные» предикаты, т. е. подобно тому как при
п = 3 (2 или 1) мы имеем трехместный (соответственно
двухместный или одноместный) предикат,
сопоставляющий каждой тройке элементов (соответственно паре или
одному элементу) из А значение из {И, Л}, при п = 0 мы
будем считать, что имеем нульместный предикат,
представляющий собой переменную, принимающую
значения из {И, Л}.
2. Операции логики высказываний преобразуют
предикаты в предикаты. Рассмотрим теперь операции,
преобразующие предикаты в высказывания.
Одной из таких операций является подстановка
вместо предметных переменных их значений.^
Если в предикате Р(хи Хъ •••> хп), где Р —
предикатная постоянная, а хи х2, ..., хп — предметные переиден-
ные, подставить вместо всех предметных переменных
какие-нибудь их значения аи а2, ..., ahi то получим
высказывание Р(аь аъ ..., ап) (истинное или ложное), относящееся
к конкретной системе предметов (а1у а2, ..., ап).
Например, если в предикате Ч(лг) «х — есть четное
число» подставить вместо переменной х ее значение 6, получим
истинное высказывание «6 есть четное число» — 4(6), если
же подставить число 5, получим ложное высказывание 4(5)—
«5 есть четное число».
Оба эти высказывания относятся к отдельным,
индивидуальным предметам, к отдельным числам (6, 5).
Если в двухместном предикате х \ у — «х делится на
у» подставить вместо переменных х, у пару чисел (6, 2)*,
1 Столбцы (1) и (4) этой таблицы составляют таблицу значений
предиката Р (x)==$Q (x), определенного на том же множестве Л.
2 Мы условились во Введении под «парой» всюду понимать
упорядоченную пару.
128
получим истинное высказывание 6; 2 — «б делится на 2»,
если подставить пару чисел (5, 2), то получим ложное
высказывание 5 : 2 — «5 делится на 2». Каждое из этих
высказываний относится к определенной паре чисел ((6, 2),
(5, 2)).
Однако из предикатов можно строить не только
высказывания, относящиеся к определенному предмету или
определенной системе (паре, тройке и т. д.) предметов, но и
высказывания, выражающие свойство или отношение
предметов целого множества (высказывания о
всеобщности), и высказывания о существовании предметов из
данного множества, обладающих определенным свойством или
находящихся в определенном отношении с другими
предметами (высказывания о существовании). Для
построения таких высказываний в логике предикатов
вводятся операции связывания кванторами.
Пусть имеется некоторый предикат Р(х). Возможно, что
свойством Р обладают все элементы области определения
этого предиката или же хотя бы некоторые из этих
элементов. В первом случае истинно высказывание: «Для всех х
(из данного множества) имеет место Р(х)», во втором —
высказывание: «Существует х, для которого имеет место
Р(х)».
Выражение «для всех х» («для всякого х», «для любого
я») обозначим символом (V#) и назовем квантором
общности.
Выражение «существует х такое, что...» обозначим
символом (Зл:) и назовем квантором
существования.
Приписывание спереди к предикатной формуле
квантора ~ общности или существования выражает операцию
связывания квантором: переменная, которая
«связывается» этим квантором (которая фигурирует и в
предикате, и в кванторе), называется связанной
переменной.
Например, если Р(х) — предикат: «х — простое число»,
то (\/х) Р(х) — ложное высказывание «всякое число х —
простое», а (Зх) Р(х) — истинное высказывание
«существует число х такое, что оно — простое».
Квантор общности можно рассматривать как обобщение
конъюнкции, а квантор существования — как обобщение
дизъюнкции.
Действительно, если область определения А предиката
129
Р(х) конечна, например А = {alf az, ..., ап], то
высказывание (Ух)Р(х) эквивалентно конъюнкции
Р(ах)ЛР(а2)Л ... AP(<U
а высказывание (Зх)Р(х)—дизъюнкции
P(aJVP(aJV ... VP(an).
Если же предикат Р(х) определен на бесконечном
множестве, то кванторы играют роль «бесконечных»
конъюнкций и дизъюнкций, подобно тому как в математическом .
анализе ряды и интегралы являются обобщениями обычных,
конечных сумм.
На языке логики предикатов мы уже можем произвести -
анализ рассуждений типа (I)—(II), приведенных в начале
предыдущего параграфа в качестве иллюстрации
недостаточности логики высказываний для такого анализа.
Рассмотрим рассуждение (I):
«Всякое целое число — рациональное число,
1 — целое число, - '
следовательно, 1 — рациональное число». * .
Введем два одноместных предиката, определенных
например, на множестве D — вещественных чисел:
«С(х)>> — «л: есть целое число» и
«jR (л;)» — «х есть рациональное число» с
Используя эти предикаты и квантор общности, первую
посылку можно сформулировать так: «для всякого х, если
х — целое число, то х — рациональное число» и,
следовательно, записать в принятых обозначениях следующим
образом:
(V*) [С (*)=>*(*)].
Вторая посылка запишется как С(1), а заключение — R(l).
Установим теперь правомерность рассуждения (I), т. е.
убедимся, что при истинности посылок его заключение не
может быть ложным.
Так как (\/х) [С (х) ==> R (х)] — истинное высказывание,
то предикат C(x)=>R(x) при подстановке вместо
переменной х любого ее значения обращается в истинное
высказывание:
130
x \C(x)\R(x)\\ С(*)=>/?(*)
V2 Л Л 1 И
0,5 Л И И
—3 I И I И J И
• • и т. д.
Подставим вместо х значение 1. Получим истинное
высказывание С(1)=Ф#(1).
Из того, что С(1)=фЯ(1) и С (1) —истинные
высказывания, по ПЗ (Modus ponens) следует, что и R(l)—
истинное высказывание.
Если под С и R понимать предикатные переменные, а
под 1 — название какого-нибудь элемента из области
определения предикатов С(х) и R(x)y то мы установили
правомерность не только одного, конкретного рассуждения (I),
но и любого другого рассуждения, имеющего ту же
структуру, что и (I):
(V*) [С (*)=>*(*)],
С(1)
следовательно, R(l).
В частности, мы установили и правомерность
рассуждения (II):
Всякий ромб — параллелограмм,
ABCD — ромб,
следовательно, ABCD—параллелограмм.
В этом случае предикатные переменные принимают
следующие значения:
С (х) — «х — есть ромб»
R (х) — €Х — есть параллелограмм»1.
1 Как уже отмечалось выше (см. примечание к стр. 120), язык
рассматриваемой нами «узкой» логики предикатов (и бегло
охарактеризованного ниже «узкого» исчисления предикатов) не
содержит «переменных» в буквальном смысле слова, т. е. символов,
вместо которых можно по определенным правилам подставлять
имена конкретных предикатов из некоторой области и которые
можно связывать кванторами (в отличие от рассматриваемого,
например, в [1], гл. IV, «расширенного» исчисления предикатов, в
котором имеются выражения вида (V F)F(x) и (3F)F(x)t где F(x) —
предикатная переменная, хотя, конечно, сочетания
знаков вида (V А)А(х) или (ЭА)А(х), где А(х) — знак какого-либо
131
Операция связывания квантором, или, как ее называют,
квантификация, переводит одноместный предикат
в высказывание. Чтобы преобразовать в высказывание с
помощью кзантификации многоместный предикат, нужно
поставить перед ним столько кванторов, сколько в него
входит различных переменных, связав квантором каждую
предметную переменную.
Пусть мы имеем двуместный предикат R (х, у). С
помощью кванторов можно из него сконструировать следующие
высказывания:
(1) (V*)(Vy)*(*. у)
(2) 0/y)(Vx)R(x, у)
(3) (Vx)&y)R(x, у)
(4) (3y)(V*)/?(*, у)
(5) 0*)<Vy)/?(*. у)
(6) (Vy)0*)*(*, у)
(7) (Э*)(Эу)Я(*. У)
(8) (3y)(3x)R(x, у)
конкретного предиката, бессмысленны, так же как,
скажем, в логике предикатов бессмысленны записи вида (V 1) или
(30)).
Употребляемые нами для сокращения и облегчения речи
фразы вроде только что сказанной в тексте означают фактически, что
в данном контексте знаки С(х) и R(x) будут использоваться для
-обозначения конкретных предикатов «я есть ромб» и
соответственно «х есть параллелограмм». В тех же случаях, когда мы
хотим высказать какое-либо утверждение, касающееся
произвольного предиката, мы можем воспользоваться для этого мета-
языковыми знаками, понимаемыми как обозначения
произвольных предикатов.
—«Для всякого х и всякого у
имеет место R(x, у)»;
—«Для всякого у и всякого х
имеет место R(x, у)»;
—«Для всякого х существу-
* ет у такое, что имеет
место R(x, у)»;
—«Существует у такое, что
для всякого х имеет место
R(x, у)»;
—«Существует х такое; что
для всякого у имеет место
R(x, у)»;
—«Для всякого у существует х
такое, что имеет местЪ
R(x, у)»:
—«Существует х и
существует у такие, что имеет
место R(x, у)»;
—«Существует у и
существует х такие, что имеет
место R(x, у)».
132
Если двуместный предикат связывается одним
квантором, например (Ух) R (х, у), то полученная формула
выражает не высказывание, а логическую функцию от второй —
не связанной квантором (свободной), переменной
(одноместный предикат).
Пусть, например, х, у — переменные для вещественных
чисел (в этом смысле мы обычно говорим «х, у —
вещественные числа»), а < — знак двуместного предиката
(отношения) «меньше».
Тогда:
(Ух) (Уу) [х < у] и (Vy) (Ух) ]х < у] — ложные
высказывания;
(Ух) (Зу) [х < у] — истинное высказывание, а
(Зу) (Ух) [х < у] —ложное высказывание;
(Эх) (Уу) [х < у] — ложное высказывание, а
(Vy) (Зх) [х < у] — истинное высказывание;
(3*) (Зу) ]х < у] и (Зу) (Зх) [х < у] — истинные
высказывания;
(Ух) [х < у] — логическая функция от у;
(Зу) [х < у] — логическая функция от х.
3. Приведем несколько примеров выражения
математических предложений на языке логики предикатов.
а) Предложение «Всякое натуральное число больше
нуля» можно сформулировать в виде импликации с квантором
общности:
«Всякое число, если оно натуральное, то оно больше
нуля»
и записать следующим образом:
(V*)[(*£JV)=>(*>0)].
Можно эту запись несколько упростить (по форме,
конечно, а не по существу), если вместо квантора общности
«для всякого х» применить так называемый
ограниченный квантор общности «для всякого х, принадлежащего М>,
который мы обозначим символом «(Ух)».
С ограниченным квантором приведенное выше
предложение запишется так:
(V*)[*>0]
б) Предложение «Птяя = / »—« предел
последовательности [ап] равен числу Ь, по определению, означает: «жля
5 А. А, Столяр 133
всякого положительного числа е существует такой номер
(натуральное число) пе, что для всякого номера п, если
п> пе, то | ап — 11 < е»1.
Запишем это определение на языке логики предикатов с
применением ограниченных кванторов:
[lim ап = I) экв (Ve) (Эп8) (Vn) [(n > пе) => (| ап -11< в)]\
в) Запишем на языке логики предикатов определение
непрерывности функции в точке. /
Пусть область определения My-функции / — отрезок,
содержащий точку х0. В этом случае определение
непрерывности функции / в точке х0 может быть сформулировано
следующим образом:
«Функция / непрерывна в точке х0, если и только если
для всякого положительного числа е существует
положительное число б такое, что для всякого х из области
определения Му функции /, если
|*-*0|<в, то |/(*W(*0)|<e».
R "ST] "",$? (!S> ffi» м* - * к » -• * w -
.-/(*о)1<")1.
г) Рассмотрим геометрическую аксиому:
«Для любых двух точек существует прямая,
инцидентная им». *
Введем следующие предикаты:
Т(х) —«х есть точка»,
Р(х) —«а; есть прямая»
Нх> У) —<<х инцидентна у».
С помощью этих предикатов приведенная аксиома мо-^
жет быть записана следующим образом:
(V*) (Vy) [Т (х)ЛТ (у) => (32) (Р (*)А/ (z, *)Л/(г, у))].
УПРАЖНЕНИЯ
3.59. Пусть TV (л:) — предикат «х — натуральное число»,
С (х) — « «л: — целое число»,
Р (х) — « «# — простое число»,
1 Словесная формулировка определения составлена так, чтобы
можно было без всяких преобразований записать ее в символах
логики предикатов.
134
П(х) -
Ч(х) -
D(x, у)-
«
«
«
«лг — положительное число»,
«х — четное число»,
*х — делит у».
Сформулировать на русском языке записанные ниже в
символах логики предикатов высказывания и указать, какие из них
истинны, какие ложны:
а) (Vx)[N(x)=>C(x)];
б) (3x)[N(x)AC(x)};
в) (Vx)[C(x)=*N(x)];
г)С*х)[С(х)ЛП(х)**Ы(х)];
A)(Vx)[C(x)=*4(x)V4(x)U
е) (Мх) (Эу) [С ШС(у) => D (х, у)];
ж) Oy)(V*)[C(*)AC(y)=*D(*f У)];
з) (Цх)(Чу)[С(х)АС<у)=*р(х, у)];
H)(V*)(Vy)[¥(*)Ay(y)=*D(*. у)];
к)(Зх)[Р(х)ЛЧ(х)];
л) (V*) [/>(*) =»?<*)].
3. 60. Пусть С (х) -— предикат «а:—составное число»;
J?(*, у) — » «я меньше у»;
S (*, у, г)— » «лг + У = г»;
^ (*» У» г) — » «а: • у = г».
Используя введенные обозначения, записать в символах
логики предикатов следующие предложения:
а) Для всякого числа х и всякого числа у существует число z
такое, что х + у = г.
б) Для всяких *, у, г, если # + у = г, то у + #=г.
в) Для всякого числа х и всякого числа у существует число z
такое, что х . у = z.
г) Для всяких *, у, zt если *. у = г, то у . *=г.
д) Для всякого числа х и всякого числа z существует число у
такое, что х + у =г.
е) Для всякого числа х, отличного от нуля, и всякого числа г
существует число у такое, что х • у = г.
ж) Для всяких ху у, л: меньше у, если и только если существует
натуральное число k такое, что х + k = у.
з) Для всякого *, л: — составное число, если и только если
существуют числа и, и, меньшие х и такие, что и • 0 = я.
§ 4. Формулы логики предикатов.
Эквивалентные формулы*
Общезначимые формулы
1. Понятие формулы в логике предикатов может быть
определено следующим образом:
(1) Все формулы логики высказываний являются
формулами логики предикатов.
(2) Всякий предикатный символ, все пустые места которого
5* 135
замещены предметными переменными или постоянными,
есть формула.
(3) Если <р(Хи Х2, ..., Хп) есть формула логики
высказываний, то результат подстановки вместо пропозициональных
переменных Хи Хъ .., Хп любых формул логики
предикатов ф4, ф2/ .., фл будет также формулой логики предикатов
при следующем условии: если какая-нибудь предметная
переменная является свободной в одной из формул ср;,
то она не является связанной ни в одной из других. В
получающейся формуле ф(фь ф2, ..., Фл) предметные
переменные являются свободными или связанными, если они были
таковыми в формулах фь ф2, ..., <рл.
(4) Если ф(... xt .. .)* есть формула, то (V^)cp(. ..*,...)
и (Эл:/)ф(... xt ...) тоже формулы. В них переменная xt
связана, а остальные переменные являются такими же,
какими они были в формуле ф(... х1 ...).
(5) Других формул в логике предикатов не существует.
Теперь мы можем определить для любой данной
конечной последовательности символов логики предикатов,
является ли она формулой.
Например, покажем, что последовательность символов
(Зх)(\/у)Р(х, y)V(\fz)S(z)AA
есть формула.
Действительно, (1) А — формула (согласно п. 1 опреде-
ления)
(2) Р(х, у) и S (г) — формулы (согласно
п. 2 определения);
(3) (\/у)Р(х, у) и (Vz)S (г) — формулы (из (2) согласно п. 4
определения):
(4) (3x)(Vy)P(x, у) — формула (из (3) согласно п. 4 опре-,
деления);
(5) (Зх)(\/у)Р(х, y)V(Vz)S(z)AA — формула (из (1), (3) и
(4) согласно п. 3 определения, подстановкой в формулу
логики высказываний Аг\/А2ЛА, вместо Аг формулы
(Эх) (Vy) Р (х, у), а вместо Л2 —формулы (Vz)S(z)).
1 Через ф(... х% ...) мы обозначаем любую формулу логики
предикатов, в которую входит свободно (т. е. не будучи связана
кванторами) предметная переменная */ (многоточия стоят здесь
вместо других предметных переменных, которые могут входить в ф).
Условие свободного вхождения х% в <р не является обязательным —
можно считать, что для предикатной формулы <р, не зависящей от
х(Ух)<р и (Элг)ф, просто совпадают с <р.
136
Элементарными компонентами этой, как и любой
другой формулы логики предикатов, являются элементарные
(нерасчленяющиеся на другие) предикаты, в том числе
нульместные (высказывания).
В данной формуле это — двуместный предикат Р(х> у),
одноместный предикат S(z) и «нульместный предикат» Л.
Всякая формула логики предикатов выражает
некоторую логическую функцию от содержащихся в ней
предикатных и свободных предметных переменных.
Так как в приведенной выше формуле нет свободных
предметных переменных (все предметные переменные х> у, z
связаны кванторами), она выражает логическую функцию
от предикатных переменных Р, S, А.
2. Если две формулы ф4 и <р2 выражают одну и ту же
логическую функцию от предикатных и свободных
предметных переменных, т. е. если они принимают обе
значение И или обе значение Л при любых одинаковых наборах
значений этих переменных1, они называются
эквивалентными; это обстоятельство выражают, так же как
в логике высказываний, в виде записи ф4 экв ф2 (или с
помощью одного из знаков =, == или —).
Это определение эквивалентности формул логики
предикатов является обобщением определения эквивалентности
формул логики высказываний. Если ф4 и ф2 не содержат
предметных переменных, а только переменные для «нуль-
местных предикатов», т. е, пропозициональные
переменные, то ф1 и ф2 — эквивалентные формулы логики
высказываний. Таким образом, эквивалентные формулы логики
высказываний являются эквивалентными формулами
логики предикатов.
Рассмотрим некоторые эквивалентности формул логики
предикатов, представляющие собой обобщение определенных
эквивалентнъстей формул логики высказываний на случай
«бесконечных» конъюнкций и дизъюнкций.
. а) Если область определения предиката Р(х)—конечное
множество А — [аг> а2, ..., ап}9 то из самого смысла
кванторов общности и существования следует, что
(Ух)Р(х) экв д P(at)
/=i
1 Значениями предикатных переменных являются конкретные
(индивидуальные) предикаты, определенные на некотором множестве,
значениями свободных предметных переменных—элементы этого
множества.
137
и
(Зх)Р(х) экв V P(at).
Поэтому имеем также:
(Vx)P(xY экв ЛР^),
(3*) Р (х) экв у р (ai)-
Используя законы де Моргана (гл. 1, §2, (16), (17)),
обобщенные на случай п высказываний,
AP(at) экв УТ{аь)
и .
yP(at) экв ЛР^),
и транзитивность отношения эквивалентности (Гл. 1, §2,
п. 3), получаем:
(Vx)P(x) экв (Зх)Р(х), (1)
(Вх)Р(х) экв (Vx)T(x). ф
Эти эквивалентности сохраняются и для случая, когда
область определения Р(х) — бесконечное множество, как
обобщение законов де Моргана на случай «бесконечных»
конъюнкций и дизъюнкций. Они соответствуют обычному
смыслу кванторов. Высказывание «неверно, что всякий х
(из данного множества) обладает свойством Р»
означает в обычном языке то же, что высказывание
«существует х (из данного множества), не обладающее
свойством Р (или обладающее свойством Р)».
Это и зафиксировано в эквивалентности (1).
Высказывание
«неверно, что существует х (из данного множества),
обладающее свойством Р»
означает то же, что высказывание
1 (У*)Р(х) пишется вместо (V*)Р(х)и соответственно {Зх)Р(х)
вместо (Зх)Р(х).
133
«ни один х (из данного множества) не обладает
свойством Р (или все х обладают свойством?)».
Это и зафиксировано в эквивалентности (2)1.
На основе эквивалентностей (1) и (2) мы получаем
следующее правило преобразования отрицания высказывания
с квантором: квантор общности меняется на квантор
существования и обратно, а знак отрицания переносится на
выражение, стоящее за этим квантором.
Это же правило применимо и к формулам с несколькими
кванторами.
Например,
(W)(3y)/>(*, у) экв (Э*)ЩР(*. у)
экв (Зх)(\/у)Р(х,у),
Если х, у, ...—переменные для натуральных чисел, а
Р(х> у)—предикат «х больше у», то (Чх)(Зу)Р(х, у)
обозначает высказывание «неверно, что для любого натурального
числа х существует такое натуральное число у, что х
больше у», а (Вх) (У/у) Р (х, у) обозначает эквивалентное ему
высказывание «существует натуральное число х такое, что
для всякого натурального числа у, х не больше у».
В качестве примера применим правило преобразования
отрицания для перевода на язык логики предикатов
предложения «функция f не является непрерывной в точке х^»2.
Это предложение представляет собой отрицание
предложения «функция / непрерывна в точке л:0», которое по
определению означает:
(Ve)(36)(V*)[(|x-*0|< b)=>(\f(x)-f(x0)\<e)].
>0 >0 eMf
Возьмем отрицание этой формулы
(^)(3e)(V*)[(|x-*0|<e)=»(|/(x)-/(jc0)[<e)]
>0 >0 eMf
1 Здесь и в предыдущем абзаце мы пользуемся так
называемым законом исключенного третьего («каждый предмет либо
обладает, либо не обладает свойством Р»), принятие которого нигде в этой
книге нами не ограничивается и специально не оговаривается (в
логике высказываний мы приняли выше этот закон в виде формулы
(14), стр. 53). См. подробнее, например, [4], § 13.
2 Предполагается, как. и выше, что / определена на отрезке,
содержащем х0.
139
и преобразуем его:
(Зе) (V6) (За:) [(| х - *01< б => (| / (х) - f (х0) |< е)],
или (3 в) (V б) (Эх) [(| ж - х01< б) Л (|f (*) - / (*0) | > в],
>0 >0 eMf
т. е. «функция / не является непрерывной в точке а;0»
означает то же, что «существует положительное число е
такое, что для всякого положительного числа б
существует х из области определения функции / такое, что \х — х0 |<б
и (вместе с тем) \f(x)—/(#0)| > е».
б) Имеет место эквивалентность
(V х) Р (х) Л (V *) Q (х) экв (V х) [Р (х) A Q (*)], (3)
представляющая собой обобщение свойств коммутативности
и ассоциативности конъюнкции на случай «бесконечной
конъюнквгии».
Действительно, если предикаты Р(х) и Q(x)
определены на конечном множестве {av а2, ..., ап], то
Wx)P(x)A(Vx)Q(x) экв Л P(at)A AQ(at)
экв j\(P(aM«)
экв (Vjc)[P(a;)A Q(*)].
Формулы (V*)P'(*)V(V*)Q(*).h (Vx)[P(*)VQ(*)]4He
являются эквивалентными. Например, если Р (#) — предикат
«л; есть четное число», а Q (х) — предикат чх есть нечетное
число», то первая из этих формул выражает ложное вы-'
сказывание, вторая же — истинное высказывание.
Таким образом, операция связывания квантором
общности дистрибутивна относительно конъюнкции, но недц-
стрибутивна относительно дизъюнкции.
в) Имеет место эквивалентность
(3 х) Р (х) V (3 х) Q (х) экв (3 х) [Р (х) V Q (х)]. (4)
Эта эквивалентность является обобщением свойств
коммутативности и ассоциативности для «бесконечной
дизъюнкции».
Формулы l4x)R(x)A(3x)Q(x) и (3х)[Р(х)дQ(х)] не
являются эквивалентными. Например, при том же значении
предикатов Р(х) и Q (*),_ что и в предыдущем примере (б),
первая из этих формул выражает истинное высказывание,
вторая же — ложное.
140
Таким образом, операция связывания квантором
существования дистрибутивна относительно дизъюнкции, но
недистрибутивна относительно конъюнкции.
3. Если две эквивалентные формулы логики предикатов
соединить знаком 4=> операции эквиваленции, то
получаемая формула принимает значение И для любого набора
значений предикатных переменных и свободных предметных
переменных в любой области.
Действительно, если фй экв ф2, то ф4 и ф2 принимают
обе значение И или обе значение Л при любом наборе
содержащихся в них предикатных и свободных предметных
переменных, и, следовательно, формула
ф!<=Фф2
принимает всегда значение И.
Например, формула (V х) Р (х) фф (3 х) Р (х) принимает
значение И-при любом значении предикатной переменной Р
и для любой области определения предиката Р{х).
Формула Р(х, y)VQ(x, y)4=$>Q(x, y)VP(x, у)
принимает значение И при .щобых значениях предикатных
переменных Р, Q (из любой области определения этих
предикатов), при любых значениях свободных предметных
переменных из этой области. .
Формула логики предикатов, принимающая значение
И при любых значениях содержащихся в ней предикатных
переменных, в любой области определения этих
предикатов, при любых значениях свободных предметных
переменных из этой области, называется о 6ju езначимой
формулой.
Высказывание «ф — общезначимая формула»
обозначается через f— ф. (| символ метаязыка, используемый для
сокращенной записи высказывания о формуле языка
логики предиката — о том, что эта формула обладает свойством
общезначимости). Понятие общезначимой формулы логики
предикатов является обобщением понятия
тождественно-истинной формулы алгебры высказываний; все тождественно-
истинные формулы логики высказываний являются
общезначимыми формулами логики предикатов, в частности
формулы (1) — (30), выписанные в § 2, гл. 1. Эти
формулы являются источником новых общезначимых формул,
которые можно получить подстановкой в (1) — (30) вместо
букв любых формул логики предикатов.
141
Например, подставляя в (14) XVX (законисключенного
третьего) вместо X Р (xv х2, ..., хп), получаем
общезначимую формулу: """
Р (xv х2, ..., хп) V Р {xv х2, ..., хп).
Действительно, пусть Р°— произвольный л-местный
предикат, определенный на некотором множестве М, а
(av a2, ..., ап) — произвольный набор значений
предметных переменных из М. Подставляя вместо переменных
эти значения, получаем высказывание Р° (av а2$ ..., ап)\/
V P°(av а2, ..., ап), которое по (14) имеет значение И.
Так как, Р° — произвольное значение предикатной
переменной Р, а (аг, а2, ..., ап) — произвольный набор значе- "
ний предметных переменных xv х2, ..., хп, то
\-Р(х19 х2 ..., xn)VF(xli х2, ..., хп):
Приведенная выше общезначимая формула
Р(х, y)VQ(x, y)s=$Q(x, y)VP(x, у)
получается из (2) X\fY$=$Y\/X подстановкой вместо X
формулы Р(х, у), а вместо Y — Q(x, у).
Однако не все общезначимые формулы логики
предикатов можно получить таким путем из (1) — (30). Например,
таким путем нельзя получить из (1) — (30)
(Ч~х)Р(х)<^(Зх)Р(х).
Общезначимые формулы выражают законы
логики на языке логики предикатов.
В дополнением общезначимым формулам (1) — (30)
ниже дается перечень еще некоторых часто
применяющихся общезначимых формул логики предикатов:
(31) [Тх)Р(х)^Р(Зх)^(х);
(32) {1х)Р(х)^(У_х)Р(х);
(33) (V*)P(*)<^(3*)PJ*);
(34) (Зх)Р(х)^>[\/х)Р(х);~
(35) (V х) [Р (х) Л Q (х)] <^{Мх)Р (х) Л (V х) Q (х);
(36) (3 х) [Р (х) V Q (х)) «=> (3 х) Р (х) V(3x)Q (x)\
(37) (V*)(Vy)P(*, y)s=P(\/y)(Vx)P(x, у);
(38) (3 х) (3 у) Р (х9 у) 4=* (3 у) (3 х) Р (х, у);
(39) (3*)(Vy)P(x, y)=>(Vy)(3x)P(*, у);
(40) (V х) Р (х) V (V х) Q (х) => (V х) [Р (х) V Q (х)];
(41) (3 х) [Р (х) Л Q (х)] =Ф (3 *) Р (х) A(3x)Q (x);
142
(42) (V x) [P (x) => Q (x)] => ((V x) P (x) => (V x) Q (x)y9
(43) (\/x)P(xy=^>(3x)P(x);
(44) <Ух)Р(х)=*Р(у);
(45) Р(у)=Ф(Э *)/>(*).
Формулы (31), (32), (35), (36) в несколько иной форме
(в виде эквивалентности двух формул q>t экв ср2 вместо
ф1ФФф2) получены выше (п. 2) как обобщения законов де
Моргана и коммутативности и ассоциативности
конъюнкции и дизъюнкции.
Формулы (33) и (34) легко получаются из (31) и (32)
соответственно.
Действительно, если записать (31) в виде
(Vx)-P(x) экв (3x)F(x)
и взять отрицания обеих формул, то получим:
[Wx) Р(х) экв Щ~х)Р(х).
Применив закон двойного отрицания, получаем:
(Vx)P(x) экв {Зх)Р(х)9
или
\-0/х)Р(х)ш**{Зх)Т(х). (33)
Аналогично получается (34) из (32).
Формулы (33) и (34), как и (31) и (32), отражают
обычный смысл кванторов. Когда мы говорим, например,
«всякий х (из данного множества) обладает свойством Р», мы
понимаем под этим то же самое, что под «не существует х
(из данного множества), не обладающего свойством Р»1.
Формулы (37) и (38) также можно рассматривать как
обобщение свойств коммутативности и ассоциативности
на сдучай «бесконечных» дизъюнкции (37) и конъюнкции
(38). Если область определения предиката Р(х, у) —
конечное множество, то эти формулы могут быть сведены к
формулам логики высказываний.
Формулы (39) — (45) представляют собой импликации.
Нетрудно показать, что обратные импликации2 не являются
общезначимыми. Для этого достаточно найти какую-нибудь
предметную область (бесконечную или конечную) и какой-
1 Ср. примечание1 на стр. 139.
2 Для импликации <рх =^ ф2 под «обратной» понимается
импликация ф2=^ф1.
243
нибудь набор значений предикатных и свободных
предметных переменных из этой области, при' котором формула
принимает значение Л.
Пусть, например, х, у— переменные для вещественных
чисел, а Р(х, у)— предикат «х меньше у». Тогда формула
(V у) (3 х) Р (х, у) («для всякого у существует х такое, что
х < у») представляет собой истинное высказывание, т. е.
имеет значение И, а формула (3 х) (V у) Р (х, у)
(«существует х такое, что для всякого у х<у») — значение Л (так
как в множестве вещественных чисел нет наименьшего
числа).
Поэтому импликация, обратная (39), (Vy) (3 х) Р (х, у)=*>
=Ф (3 х) (V у) Р (х, у) имеет значение Л и не является
общезначимой. Отсюда следует, что формулы (3 х) (V у) Р (х, у)
и (V у) (3 х) Р (х, у) неэквивалентны.
Таким образом, при преобразовании формул нельзя
поменять местами разноименные кванторы, но можно, в
силу (37) и (38), поменять местами одноименные кванторы.
4. Логика предикатов, начала которой описаны выше
(§ 2—4) в содержательном аспекте, может быть построена,
как и логика высказываний, в виде формальной,
аксиоматической системы, как -и счисление предикатов.
Это построение осуществляется по той же схеме, что и
описанное в гл. 2 построение исчисления высказываний,
т. е. задается алфавит, олределяется формула исчисления
предикатов, затем из множества формул выделяется
подмножество выводимых формул путем указания исходных
выводимых формул (аксиом) и правил вывода, с помощью
которых из аксиом получают новые выводимые формулы.
В частности, системой аксиом исчисления предикатов
может служить приведенная в гл. 2 (§ 2) система аксиом
исчисления высказываний, дополненная двумя аксиомами
(44) (V*)P(x)=>P(y)
(45) Р(у)=>(Зх)Р(х)*
и двумя правилами вывода:
Q=>P(x) "
Q=>0/x)P(x)
1 В (44) и (45) у — переменная; в более широких
математических теориях, строящихся на базе исчисления предикатов
(например, в арифметике, см. ниже, стр. 155—161), в качестве у можно
брать и индивидуальные предметы (константы).
144
P(x)=S>Q
. (3x)P(x)==>Q
(здесь Q — формула, не содержащая х в качестве
свободной переменной).
Эта система аксиом непротиворечива, независима,
обладает полнотой в широком смысле, но не обладает
полнотой в узком смысле1.
Всякая выводимая формула исчисления предикатов
является . общезначимой формулой содержательной логики
предикатов и обратно.
Проблема разрешения для исчисления предикатов
(отыскание метода, позволяющего ответить, является ли
любая конкретная формула исчисления предикатов
выводимой) решается отрицательно (в положительную сторону она
решается лишь для отдельных классов формул, в частности
для формул, содержащих только одноместные предикаты)
УПРАЖНЕНИЯ
3.61. Определить, являются ли нижеследующие
последовательности символов формулами логики предикатов:
а) (V х) Р (х, у) =* (V г) Q (у, г) Л R (у, и);
6)(Vx)A(x, y)A(Vy)B(*. у);
в) (V*)(3y)S(*. у, i)=»0*)(Vy)P(*. у).
3. 62. Для области из двух элементов построить таблицы значений
формул:
а) (Vx)[AVP(x)]*=>AV(Vx)P(x);
б) (В*) [А АР (х)} ФФ А Л(3 х) Р (*).
3. 63. Записать с помощью формул логики предикатов предложения,
выражающие определение предела функции в точке и его отрицание.
(Во втором случае привести формулу к такому виду, чтобы
кванторы не стояли под знаком отрицания.)
3.64. Построить высказывания, опровергающие следующие
высказывания: (т. е. доказывающие их ложность):
а) (V*)(Vy)[*« + y»>0J,
где х, у — переменные для вещественных чисел;
б) (Vx)(Vy)[j/"F+? = * + yL
где х, у-г переменные для вещественных чисел;
* См. [6], гл. IV.
145
в) <V*)(Vy)[Z)(3f x)AD(3, y)=*D(3, * + y)],
где £> (л:, у) — предикат <а делит у», a x, у — переменные
для целых чисел.
3.65. Показать, что импликации, обратные импликациям (40) —
(45), не являются общезначимыми формулами.
3.66. Для какой предметной области справедливо правило вывода
(V *)/>(*)
3.67. Какие правила вывода можно получить на основе законов
логики, выраженных общезначимыми формулами (31) — (42)?
§ 5. Традиционная логика
(логика одноместных предикатов)
Традиционная формальная логика, основное содержание
которой составляет разработанная еще Аристотелем теория так
называемого «категорического силлогизма», может быть полностью
переведена на язык логики одноместных предикатов.
Под категорическим силлогизмом в
традиционной логике понимают умозаключение, в котором из двух
посылок выводится заключение, причем посылки и заключение суть
высказывания какого-нибудь из следующих четырех типов:
1) Все Л суть В (общеутвердительное высказывание).
2) Ни одно Л не есть В (общеотрицательное высказывание).
3) Некоторые Л суть В (частноутвердительное высказывание).
4) Некоторые Л не суть В (частноотрицательное высказывание).
(А я В называют терминами высказывания.) "
Посылками силлогизма могут служить два высказывания,
имеющие один общий термин, например, «Все А суть В» и
«Ни одно В не есть С».
Задача состоит в нахождении заключения в виде высказывания,
одного из четырех типов с терминами Л и С.
Из данных посылок следует заключение
Рис. 13
«Ни одно А не есть С» (рис. 13)
(или «Ни одно С не есть Л»).
146
Если же взять посылки
«Все А суть Въ и «Некоторые В не суть С»,
то из них не следует никакое заключение с терминами Л и С, так
как данные посылки не определяют однозначно отношение между
классами (множествами) А и С (рис. 14).
а) 61
SI г)
Рис. 14
Предметом теории категорического силлогизма является
выяснение всех случаев, когда из двух посылок (указанных типов)
следует заключение. Из 256 возможных случаев только в 19 из
посылок следует определенное заключение — это так называемые
модусы категорического силлогизма1.
Теория категорического силлогизма может быть построена и
на теоретико-множественном языке (на языке логики классов), и
на языке логики одноместных предикатов.
Мы не будем строить здесь эту теорию2, покажем лишь, в
качестве примера, обоснование отдельных модусов силлогизма на
языке логики предикатов.
1. Прежде всего выразим на языке логики одноместных
предикатов высказывания четырех типов.
1 В традиционной логике принимается условие непустоты
множеств истинности. Если не принять этого условия, то лишь 15 из
19 модусов обосновываются средствами логики предикатов.
а См. [1], гл. 2.
147
Термины высказываний можно рассматривать как множества
(классы) или как свойства (одноместные предикаты).
Так, высказывание «Все Л суть В» можно понимать в смысле:
«все предметы, принадлежащие классу Л, принадлежат классу В»
(«класс Л включается в класс В») или же в смысле:
«все предметы, обладающие свойством Л, обладают и
свойством В». (Разумеется, каждый из этих смыслов сводим к другому,
если принадлежность к классу Л называть свойством Л.) Мы будем
придерживаться второго смысла.
Введем два одноместных предиката:
Л (х) — «х обладает свойством Л»,
В (х) — «х обладает свойством В».
Тогда высказывание
1) «Все Л суть В» выразится формулой (V х) [А (х) г=£ В(#)];
2) «Ни одно Л не есть В» — формулой (V х) [А (х) =$>~В (х)];
3) «Некоторые Л суть В» — формулой (3 х) [Л (х) А В (х)];
4) «Некоторые Л не суть В» —формулой (Зх) [А (х) А В (*)].
Между этими высказываниями имеется определенная
логическая связь.
По закону (33), если Р (х) заменить через А (х) =£ В (х), полу-
чаем: _ *
(V х) [Л (х) =»В(х)] ФФ (3*) [Л (х) А В (х)].
т. е. общеутвердительное высказывание есть отрицание частнортри-
цательного и обратно (обратное получаем в силу (34)).
Аналогично получаем, что общеотрицательное высказывание
есть отрицание частноутвердительного и обратно.
В предположении, что множество истинности предиката Л (х) —
непустое множество, т. е. что (Эл:)Л (х) — истинное высказыва!
ние, можно установить средствами логики предикатов, что из
общеутвердительного высказывания следует частноутвердительное и
из общеотрицательного — частноотрицательное. (Интуитивно это
совершенно ясно: если истинно, что «все Л суть В», то истинно
также, что «некоторые Л суть В».)
Докажем, что формулы
(V х) [Л (х) =» В (х)] =$> (Э х) [А (х) А В (х)]
и
(V х) [А (х) => В (х)] => (3 х) [А (х) А В(х)]
при любых Л и В принимают значение И, при условии, что
существуют предметы, обладающие свойством Л, т. е. что (Зл;) А (х) —
истинное высказывание.
Формула (3*) Л {х) =» ((V*) [А (х) =» В (х)] => (3*) [Л (х) А В (х)])
общезначимая.
Действительно, преобразуя эту формулу, получаем:
Щх)А(х)У (V*Hi4 (х) =» В (х)] V (3 *) [ Л (*) Л В (x)] экв
(17) Л (х) V (3 х) [ А (х) А В(х)] V (3 х) [А (х) А В (х)] экв
(3*) Л (х) V (3 *) Л (х) экв И. [
148
Из истинных формул (3x)(A(x)z=$((\fx)[A(x)=$B(x)]=$(3x)[A(x)AB(x)])
и (Вх)А(х) по ПЗ (Modus ponens) получаем, что и (V х) [А (х) =$
=£ В (х)] =£ (3 х) [А (х) Л В (х)] — истинная формула.
^Заменяя всюду В(х) на~В(х), получаем, что и формула (V х) [А (*)=>
=$ В (х)] =£ (3 х) [А (х) Л 1в(х)] принимает при любых А и В
значение И (при указанном выше условии). .
2. Рассмотрим некоторые конкретные рассуждения, имеющие
форму категорического силлогизма, и установим их правомерность
средствами логики предикатов.
а) Возьмем следующее рассуждение:
Все рациональные числа — вещественные,
все целые числа — рациональные,
следовательно, все целые числа — вещественные.
Это — силлогизм, в котором и посылки и заключение —
общеутвердительные высказывания. Его правомерность легко
устанавливается с помощью закона силлогизма (29) и законов,
выраженных формулами (35) и (42).
Покажем это.
Пусть А (х) — предикат «х — целое число»,
В (х) — » «х — рациональное число»,
С (х) — » «х — вещественное число».
Тогда приведенный силлогизм выражается в виде следующего
правила вывода:
(V х) [В (х) =» С (*)], (V х) [А (х) =» В (х)]
(Чх)[А(х)=*С(х)]
Для установления допустимости этого правила вывода
достаточно доказать общезначимость следующей формулы:
(V х) [В (х) =5> С (х)) Л (V х) [А (х) =3> В{х)] =Р (V *) [А (х) =>
=*С(х)]. (1)
Исходим из общезначимой формулы (29):
(Y=>Z) Л (Х=* Y) ==* (X ==> Z).
Подставляя в нее вместо X — A (x)t вместо Y — В (х) и вместо Z —
— С(х), получаем общезначимую формулу:
(В (х) =* С (х)) Л (А (х) => В (х)) => (А (х) =р С (х)).
Так как эта формула общезначима, т. е. принимает значение И
при любых значениях предикатных переменных Л, £, Си
свободной предметной переменной х, то и формула, которую мы получим
из нее связыванием предметной переменной квантором общности,
тоже общезначима, т. е.
K(V х) [(В \х) => С (х)) Л (А (х)) ==> В(х)) =* (А (х) => С (*))].
Применяя (42), получаем:
h(V'x)[(B(x)^C{x))A(A(x)=*B(x))]=*(Vx)[A(x)=*C(x)]
149
и, наконец, применяя (35), получаем:
h (V х) [В (х)=?С (х)] Л (V *) [А (х) =* В (х)] =>
=*(Vx)[A(x)=>C(x)]. - (1)
Мы получили один из модусов силлогизма, который в
традиционной логике обозначается латинским именем Barbara (три* гласные а
этого слова указывают, что посылки и заключение —
общеутвердительные высказывания, обозначаемые буквой а — первой гласной
слова affirmo — утверждаю).
К виду (1) сводятся и некоторые другие модусы силлогизма.
б) Рассмотрим рассуждение:
«Ни одно вещественное число не есть мнимое,
все рациональные числа — вещественные;
следовательно, ни одно рациональное число не
есть мнимое».
Выясним правомерность этого рассуждения, имеющего форму
силлогизма.
Обозначим предикат «я есть рациональное число» через А (х),
«х есть вещественное число» — через В (х) и «х есть мнимое число» —
через С (х).
Тогда приведенный силлогизм запишется в виде следующего
правила вывода.
- (Vx)[B(x)=*C(x)}f (ЧхПА(х)=>В(х)]
(Чх)[А(х)=*С(х)]
Нетрудно заметить, что это правило вывода сводится к (1).
Действительно, если в (1) заменить С(х) через С(х), получаем:
Н (V х) [В (х) =Ф С (*)] Л (V х)[А (х) =* В (х)] =Р
=>(V*)H(*)=»C<*)].
Мы получили модус Celarent (последовательность гласных еае
этого слова указывает, что первая посылка — общеотрицательное
высказывание (е — первая гласная слова nego — отрицаю), вто-
рая—общеутвердительное, а заключение—общеотрицательное).
в) Рассмотрим рассуждение:
«Все целые числа — рациональные,
некоторые вещественные числа — целые;
следовательно, некоторые вещественные
числа — рациональные».
Введем следующие обозначения:
«л: есть вещественное число» — А (х);
*х есть целое число» — В (х)\
«х есть рациональное число» — С (х).
Тогда приведенный силлогизм запишется в виде следующего
правила вывода:
(V х) [В (х) =» С (х)], (3 х) [А (х) Л В (х)]
(Зх)[А(х)ЛС(х)]
150
Установить правильность такого модуса силлогизма означает
доказать общезначимость формулы:
(Vx)[B(x)=*C(x)]A(3x)[A(x)AB(x))=>@x)[A(x)AC(x)]. (2)
Это можно осуществить, так же как в случае (1)» исходя из
тождественно-истинной формулы логики высказываний:
(Y=$Z)AXAY=$XAZ
(тождественная истинность этой формулы легко устанавливается
с помощью преобразований или таблицы истинности).
Общезначимая формула (2) обосновывает модус Darii.
(Последовательность гласных all в этом слове указывает, что
первая посылка — общеутвердительное высказывание, вторая
посылка и заключение — частноутвердительные высказывания,
обозначаемые второй гласной I слова affirmo.)
г) Подставляя в формулу (2) (общезначимость которой уже
установлена) С (х), вместо С (х) получаем:
(Ух)[В(х)=*С(х)]А(Зх)[А(х)ЛВ(х)]=*(Зх)[А(х)А~С(х)},
или правило вывода:
(V х) [*(*)=» С(*)], (ЗхЦА(х)АВ(х)]
(Зх)[А(х)АС(х))
Мы получили модус Ferio. (Последовательность гласных eio
указывает, что первая посылка —»• общеотрицательное
высказывание, вторая — частноутвердительное, а заключение — частноот-
рицательное, обозначаемое второй гласной о слова nego.)
Примером рассуждения, имеющего структуру этого модуса,
является следующее:
«Ни одно вещественное число не есть мнимое,
некоторые комплексные числа — вещественные;
следовательно, некоторые комплексные числа
не суть мнимые».
К формулам (1) и (2) сводятся 15 из 19 модусов силлогизма.
Остальные четыре модуса, ведущие от двух общих посылок к
частному заключению, требуют дополнительное условие
существования предметов, обладающих свойством В, т. е. истинности (Зле) В(х)>
где В — общий термин двух посылок.
Тот факт, что традиционная логика составляет лишь
небольшой фрагмент логики предикатов, одной из логических систем,
входящих в состав математической логики, иллюстрирует
эффективность применения математических методов в логике.
УПРАЖНЕНИЯ
3.69. Показать, что нижеследующие рассуждения имеют структуру
модусов силлогизма, сводимых к формулам (1) и (2).
а) «Все квадраты — ромбы,
151
некоторые прямоугольники не суть ромбы;
следовательно, некоторые прямоугольники не
суть квадраты»
(Barokoy
б) «Ни одно мнимое число не есть вещественное,
некоторые комплексные числа — вещественные;
следовательно, некоторые комплексные числа не
суть мнимые».
(Festino).
в) «Ни одно мнимое число не есть вещественное,
все рациональные числа — вещественные;
следовательно, ни одно рациональное число не
есть мнимое»
(Cesare).
г) «Все квадраты — правильные многоугольники,
ни одна трапеция не есть правильный многоугольник;
следовательно, ни одна трапеция не есть квадрат»
(Catn&tres).
3.70. Установить неправомерность нижеследующих рассуждений
(средствами логики предикатов):
а) «Все целые числа — рациональные, д
некоторые дроби не являются целыми числами;
следовательно, некоторые дроби не являются
рациональными числами».
б) «Все ромбы — параллелограммы,
все прямоугольники — параллелограммы;
следовательно, все прямоугольники — ромбы».
в) «Некоторые вещественные числа — рациональные,
некоторые рациональные числа не являются целыми;
следовательно, некоторые вещественные числа не
являются целыми».
г) «Ни одна трапеция не есть правильный многоугольник,
ни один треугольник не есть трапеция;
следовательно, ни один треугольник не есть
правильный многоугольник».
152
§6. Логика предикатов с равенством.
Аксиоматическое построение математической
теории на языке логики предикатов с равенством
1. Язык логики предикатов, как мы уже видели,
обладает значительно большей «выразительностью», чем язык
логики высказываний.
На основе языка логики предикатов уже могут быть
построены некоторые математические теории. При
построении этих теорий находит применение отношение равенства
(совпадения, тождества) предметов. Это отношение не
является специфическим для каждой из этих теорий, поэтому
его часто относят не к специальным математическим
отношениям, а к общелогическим.
Например, предикат равенства нужен для точного
выражения и геометрического предложения
«для любых двух различных точек существует не более
одной прямой, инцидентной им»,
и арифметического предложения
«для любых двух натуральных чисел существует не
более одного натурального числа, равного их сумме».
Предикат равенства, который мы обозначим х = у,
принимает значение И, если вместо а: и у подставляются
названия одного, и того же предмета, и значение Л, если
подставляются названия различных предметов.
Такое понимание равенства (как совпадения)
характеризуется ^ следующим^ условиями:
1) предмет х совпадает с самим собой (рефлексивность)
и 2) если предмет х совпадает с предметом у, то если х
обладает некоторым свойством Л, то и у обладает этим же
свойством, т. е. совпадение предметов означает совпадение
всех их свойств.
Эти условия, определяющие предикат равенства,
выражаются следующими формулами:
1) х = х (рефлексивность);
2)(х = у)=Ф(Л(*)=»Л(у)).
Из 1) — 2) выводимы также свойства симметричности
и транзитивности предиката равенства.
Чтобы осуществить этот вывод, мы воспользуемся одним
из правил вывода, применяемых в логике предикатов, —
правилом замены свободной предметной переменной: если
в истинной формуле <р какая-нибудь свободная предметная
153
переменная заменяется, всюду, где она входит в эту
формулу, другой свободной предметной переменной (не
входившей ранее в формулу), то получается снова истинная
формула. Результат замены свободной предметной переменной
х на переменную у в формуле <р обозначим через Зух (<р).
Пусть А(х) выражает следующее свойство предмета х:
юс = z»; тогда из 2) получаем:
(х = у)=Ф((х = г)==»(у = г)). (3)
Докажем сейчас, что из истинности х = у следует
истинность у = х, т. е. что истинна импликация
(*~у)=>(у = 4
выражающая симметричность предиката равенства.
Пусть х = у имеет значение И. Из х = у и из (3) по
правилу заключения получаем:
(x = z)=>(y = z), (4)
Зх2(4):(х = х)=Ф(у = х)1. (5)
Из (1) и (5) по, правилу заключения получаем у = х.
Мы доказали, что из х = у следует у = х, т. е. что
истинна импликация:
- (* = у)=*>(у = *). (6)
Нетрудно показать и истинность обратной импликации4,
а именно:
(У = *) =*(*'= У), (7)
Зг*(6):(г = у)=Ф(у = г), ' (8)
3*(8):(z =*)=>(* = *), (9)
32 (9): (у =*)=*(* = у). (7)
(Из (6) и (7) следует эквивалентность формул
х = у и у = х.
Заменяя в (3) формулу х = у эквивалентной ей
формулой # = х, получаем:
(у = х)=Ф((х = *)^>(у = г)),
1 Переходя от (*»х) ь- (*/=*) к ь (#=#) ФФ (у=х), мы
пользуемся теоремой дедукции (см. стр. 97), справедливой (при
определенных условиях), и для исчисления предикатов.
154 ' - '
или (у = х) А (х = г) => (у = г) (транзитивность
предиката равенства).
Логика предикатов с включенным в нее предикатом
равенства (с аксиомами 1) и 2), характеризующими этот
предикат) называется также логикой
предикатов с равенством.
Выразим сейчас на языке логики предикатов с
равенством приведенные в начале этого параграфа два предложе-"
ния.
а) Предложение «Для любых двух различных точек не
существует более одной прямой, инцидентной им» мы
сформулируем так: «для любых двух точек Л, В и двух прямых
а, 6, если эти точки различны (не совпадают) и прямые
инцидентны им, то эти прямые совпадают». (Это и будет
означать, что не существует более одной прямой, инцидентной
этим точкам.)
Символом / (Л, а) обозначим предикат «точка Л
инцидентна прямой а», или «прямая а инцидентна точке Л».
Тогда рассматриваемое предложение запишется в виде
следующей формулы:
(V A)(VB)(4a)(Vb)[X^BA I(Л, а)Л 1{В9 а)М(Л, Ь) А
A I(B, b)=$>(a = b)].
б) Для записи в виде формулы предложения: «для
любых двух натуральных чисел существует не более одного
натурального числа, равного их сумме» введем
трехместный предикат S(x, у, z), означающий «я + у == z».
Тогда наше предложение выразится следующей
формулой:
(У*)(Уу)(У*)(У ")[£(*> У> z)AS(x9 у, и)=>(г = и)].
ел/
2. Для построения математической теорий на основе
языка логики предикатов (с равенством) эта логическая
система дополняется исходными понятиями математической
теории: индивидуальными предметами и предикатами.
Специфика этих предметов и предикатов описывается
определенным^ предложениями, совокупность которых
составляет систему собственных аксиом теории. Эти аксиомы
выражаются формулами логики предикатов, не
являющимися общезначимыми. Они истиннылишь для
определенного класса предметных областей, обладающих общей
155
структурой, описываемой данной теорией, и
присоединяются к общезначимым формулам логики предикатов для
вывода или доказательства теорем теории.
Под доказательством в такой теории
понимают такую конечную последовательность
^предложений теории, что каждое предложение есть аксиома
или получено из предшествующих предложений этой
последовательности по правилам вывода логики (исчисления)
предикатов.
Если существует хотя бы одна такая последовательность
предложений, оканчивающаяся предложением Г, то Т —
теорема, или выводимое предложение,
теории. (Конечно, и каждая аксиома теории есть теорема,
доказательство которой состоит из одной этой аксиомы.)
Таким образом, можно ввести в систему логики
предикатов то, что характеризует евклидову геометрию,
арифметику, теорию групп и т. д., и получить формализацию
соответствующей математической теории на языке этой
логики.
Приведем два примера. (Мы ограничимся выражением
аксиом теории и доказательством одной-двух теорем на
'языке логики предикатов с равенством.)
а) В качестве первого примера возьмем небольшой
фрагмент двумерной геометрии — теорию
инцидентности (принадлежности).
Назовем плоскостью множество элементов двух
категорий:
точек, которые мы обозначим большими буквами
латинского алфавита Л, Б, С, ...,
и прямых, которые обозначим малыми буквами этого
же алфавита
а, 6, с, ..Л
На плоскости (т. е. в множестве точек и прямых)
определен двухместный предикат, применяемый к двум элемен-
1 Вместо введения двух категорий элементов (по существу двух
категорий предметных переменных, для точек и для прямых) можно
ввести два одноместных предиката: Т (х) — «х есть точка» и П (х)—
«х есть прямая» (тогда вместо кванторов по этим сортам
переменных достаточно будет употреблять кванторы, ограниченные
этими предикатами).
156
там различных категорий, т. е. к точке и прямой,
называемый инцидентностью.
Обозначим его через «/ (Л, а)» и будем читать так:
«точка Л инцидентна прямой а», или «прямая а
инцидентна точке Л».
Этот предикат характеризуется следующими четырьмя
аксиомами, называемыми аксиомами инцидент-
' (L 1) (VA)(VB)Oa)[/(i4, a)AI(B, а)]
(для любых двух точек существует прямая,
инцидентная им);
(L 2) (V А) (V В) (V а) (V Ь) [А=~В А
Л/(Л, а)М(&а)Л1(А9Ь)ЛЦВ,Ь)=*(а = Ь)]
' (для любых двух различных точек не существует более
одной прямой, инцидентной им);
('. 3) (V а) (э Л) (з В) [Т^ВА I (Л, а) А I (В, а)]
(для любой прямой существуют две различные точки,
инцидентные ей);
<*. 4) (3 Л) (э В) (3 С) (V a)[I(A,a)AI(Bia)AI(C>a)]
(существуют три точки, не инцидентные одной прямой).
Класс предложений, выводимых из аксиом и 1—4
средствами логики предикатов с равенством, составляет
теорию инцидентности (на плоскости).
Приведем в качестве примера доказательство теоремы:
Т. 1. Для любых двух различных прямых не существует
более одной точки, инцидентной им, т. е.
(V a)(V 6)(V А)(\/ В)\а=Ъ А
А /(Л, а)М(В,а)Л1(А,Ь)М(В, 6)=ф(А=В)].
Доказательство:
1. (VЛ)(Уfl)(Vа)(\/Ь)(А=ЪА
( А /(Л, а)М(В9 а)М(А, Ь)Л1(В9Ь)=*(а = Ь)]. (L 2)
2. (Vi4)(Vfl)Vfl)(V6)[a = 6 Л
Л /(Л, а)М(В, а)А1(А, Ь)Л 1(В, Ь)=*ТГ^Е\.
3. (V Л) (V В) (V а) (V 6).[^~Ь Л
Л /(Л, а)Л /(Я, а) Л /(Л, Ь)М(В, 6)=>(Л = Я)].
157
4. (Vfl)(V*)(Vi4)(Vfl)[a=6A
Л/(Л, а)Л /(5, а)Л 1(А, Ь)М(В, Й)=>(Л = В)).
Это доказательство представляет собой
последовательность из четырех предложений, из которых: первое —
аксиома (t.2), второе получено из первого по закону
расширенной контрапозиции (24), третье получено из второго по
закону двойного отрицания (1), а четвертое — доказываемая
теорема — из третьего по закону (37), согласно которому
можно поменять местами одноименные кванторы.
(Ввиду того что все законы, на которые мы ссылались
в этой доказательстве, выражаются формулами, имеющими
вид эквивалентностей, то это доказательство обратимо,
т. е. последовательность предложений 4—3—2—1 составит
доказательство предложения (/.2), если Т. 1 принять зл
а"ксиому.)
На основе предиката инцидентности, с помощью
соответствующих определений, вводятся другие предикаты.
Двуместный предикат пересечения,
применяемый к двум прямым, мы обозначим через а X 6, что
читается так: «прямая а пересекается с прямой 6». Этот предикат
определяется следующим образом:
аХ Ь экв J^bA(3A)[I(Af a)M{Ay Ь)]
Df
(«а пересекается с 6» означает по определению, что а и Ъ -»-
различные прямые и существует точка, инцидентная этим
прямым). Как видно, запись ах b служит для
сокращенного обозначения сложного предиката, составленного из
элементарных предикатов равенства и инцидентности с
помощью операций логики предикатов.
Двухместный предикат параллельности,
применяемый к двум прямым, обозначаемый через а || Ь
(«прямая а параллельна прямой 6»), определяется как
отрицание предиката пересечения:
(а || Ь) экв axb
(т параллельно Ь» означает по определению «а не
пересекается с 6»).
Исходя из определения предиката пересечения,
получаем:
(а || Ь) экв а^ЬА(3 А)[I(А, а)М(Л, Ь)\
158
экв (а = b) V(3 А)[I(Л, а)Л /(Л, &)]
(а параллельно ft, если и только если а совпадает с Ъ или
не существует точки, инцидентной прямым а и б)1.
б) Покажем, как на основе языка логики предикатов с
равенством может строиться формальная система
арифметики натуральных чисел.
В качестве области значений предметных переменных
принимается непустое множество Nt элементы которого
называются натуральными числами. На
множестве N2 определен двухместный предикат R(x, у) — «у
непосредственно следует за х».
Если пара (#, у) находятся в отношении R, то пишут
также у = х\ т. е. (у = х') экв R(x, у).
Df ~
Вводится также индивидуальный предмет — одно
определенное натуральное число, обозначаемое символом «1»
Предикат R(x, у) и константа 1 характеризуются
следующими аксиомами:
(аЛ) (4x)R(x, 1) (или(Ух)[Г^7'], или (Зх)[1 = х'])
(не существует натурального числа такого, что 1
—непосредственно следующее за ним число);
(а.2) (V х) (3 у) R {х, у), или (V х) (3 у) [у = х'\
(для всякого натурального числа существует
непосредственно следующее за ним натуральное число);
(а.З) (V х) (V у) (V и) (V v)[(x = y)AR(x,u)AR (у, v) =>
=>(«=. «01
или, в другой записи:
(V *) (V у) [(* = у) =Ф (*'==/)]
(для всякого натурального числа не существует более
одного непосредственно следующего натурального числа):
(а. 4) (Vx)(\/y)(Vu)(Vv)l(u =v)AR(x,u)AR(y, у)=Ф
=»(* = У)1,
или (Ух) (V у) [(*' - у') => (х = у)]
1 Приведенное здесь определение отношения параллельности
отличается от традиционного, применяемого в школьном курсе, —
нам удобнее явным образом указать, что отношение параллельности
является рефлексивным, симметричным и транзитивным, т. е.
разновидностью общелогического отношения эквивалентности.
159
(всякое натуральное число непосредственно следует не
более чем за одним натуральным числом);
(а.5) A(l)A(Vx)(Vy)[A(x)AR(x>y)=t>A(y)]=>(Vz)A(z)y
или Л (1) Л (У *) [А (х) =Ф А {х')] =Ф (Уг) А (г)
(аксиома полной, или математической,
индукции: если 1 обладает каким-нибудь свойством
А и если для всякого натурального числа из того, что оно
обладает свойством А следует, что и непосредственно
следующее за ним натуральное число обладает этим свойством,
то всякое натуральное число обладает свойством А).
Примечание. Аксиома индукций (а.5) отличается от
аксиом аЛ —а А тем, что содержит «предикатную
переменную» А и поэтому представляет собой не высказывание, а
логическую функцию от этой предикатной переменной,
обращающуюся при любом значении А в истинное высказывание. Таким
образом, (а.5) представляет собой схему а к с и о м, из
которой при различных значениях предикатной переменной А
получаются конкретные аксиомы (в собственном
смысле слова).
Приведем в качестве примера доказательство теоремы:
«Всякое натуральное число отлично от непосредственно
следующего (за ним) натурального числа», т. е. (Vz) [z= г'].
1. (Чх)[Г^х'] [аЛ)\
2. 1 = Г (из 1. и (44)1 по Modus ponens)\
3. (V х) (V у)[(л' = у')=>(х=з у)] (аЛ)\
4. (Ух) (У у) [я = у =>#' =у'] (из (3) по правилу конт-
рапозиции):
5) (V х) [х = х' =£> х' = (#')'] (из (4) подстановкой х'
вместо у);
6. Г=Т' Л (V х) [х = х' =Ф х' = (*')'] (из (2) и (5) по
правилу фь ^ );
7. А (1) Л (V х) [А (х) =Ф А (*')] =» (У*) A (z) (а.5);
8. 1 = Г Л(Ух)[х = х/=»^/ = (^/)/]=>(Уг)[г=г/](из
(7) подстановкой х = х' вместо А (х))\
1 См. примечание * на стр. 144.
160
9. (V г) [г = г'\ (из (8) и (6) по правилу заключения
Modus ponens).
Аксиомы а. 1—а. 5 характеризуют множество
натуральных чисел только с точки зрения отношения
непосредственного следования.
На базе этого отношения могут быть введены операции
сложения и умножения как трехместные предикаты,
определенные на множестве NB и характеризуемые
специальными аксиомами.
Так, вводятся трехместные предикаты S (х, у, г) (в
обычной записи х + У = z) и Р (х, у, г), (х • у = г),
характеризуемые следующими аксиомами:
(а. 6) (V*)S(x, 1, *');
(а. 7) (V х) (V у) (V г) [S (х, у, г) ==> S (*, у', г'];
(а. 8) (Vjc)P(x, 1, *);
(а. 9) (V *) (V у) (V г) (V u) [P (x, у, г) AS (*, г, и) =>
В обычной записи:
(V *)[*+!=*'];
(V*)(Vy)[* + y' = (* + y)'l;
(V*)[*. 1 = *];
(V л:) (V у) [я • у' = ху + х].
УПРАЖНЕНИЯ
3.7t. Используя введенные выше (п. 2 а) обозначения, выразить на
языке логики предикатов с равенством аксиомы параллельных
Евклида и Лобачевского.
3.72. Выразить с помощью введенных выше трехместных
предикатов S(xf у, г) и Р(х, у, г) коммутативность и ассоциативность
сложения и умножения, дистрибутивность умножения относительно
сложения.
3.73. С помощью предиката S определить предикат «дс < у» («*
меньше у»).
3.74. Записать формулы, выражающие антисимметричность,
антирефлексивность и транзитивность предиката х < у. Если этот
предикат принять за исходный, то как можно через него выразить
предикат R(x, у)?
3.75. Записать на языке логики предикатов с равенством свойство
упорядоченности множества натуральных чисел с помощью
отношения «меньше».
161
ЛИТЕРАТУРА
1. Гильберт Д. и Аккерман В., Основы
теоретической логики, ИЛ, М., 1947.
2. Г у д с т.е й н Р. Л., Математическая логика, ИЛ, М., 1961.
3. К а л у ж н и н Л. А., Что такое математическая логика,
изд. «Наука», М., 1965. .
4. К л и н и С. К., Введение в метаматематику, ИЛ, М., 1957.
5. «Логические исследования». Сб. статей, изд. АН СССР, М.,
1959.
6. Н о в и к о в П. С, Элементы математической логики, Физ-
матгиз, М., 1959.
7. «Применение логики в науке и технике». Сб. статей, изд.
АН СССР, М., 1960.
8. «Проблемы логики». Сб. статей, изд. АН СССР, М., 1963.
9. Тарский А., Введение в логику и методологию
дедуктивных наук; ИЛ, М., 1948.
10. «Философская энциклопедия», т. т. 1 (1960), 2 (1962), 3 ("1964),
4 и 5 (в печати), изд. «Советская энциклопедия», М. (Статьи
Б.В.Бирюкова, Е. К» В о й ш в и л л о, Ю. А. Гастева,
В. В. Д о н ч е н к о, А. С. Есенин а-В о л ь п и н а, В. А. К о з-
мидиади, А. В. Кузнецова, А. А. 'Маркова,
Б. Н. Пят н^и ц ы н а, В: А. Успенского, В. К. Финна,
В. С Чернявского, Ю. А. Шихановича, И. X. Шма*
ина, С. А. Яновской и др.)
И. «Философские вопросы современной формальной логики».
Сб. статей, изд. АН СССР, М., 1962.
12. Ч ё р ч А./ Введение в математическую логику, т. I, ИЛ,
М., 1960.
Кроме того, можно порекомендовать читателю-учителю
достаточно строгое и подробное, но вполне доступное изложение
рассматривавшихся нами вопросов в готовящейся к изданию в
издательстве «Просвещение» книге Р. Р. С т о л л а «Множества,
логика, аксиоматические теории» (перевод с английского; серия
«Математическое просвещение»; 1967).
ОГЛАВЛЕНИЕ^
От автора * 2
Введение 3
Глава 1. Логика высказываний
§ 1. Объекты и операции 27
§ 2. Формулы. Эквивалентные формулы.
Тождественно-истинные формулы 41
§ 3. Примеры применения законов логики высказываний в
рассуждениях 55
§ 4. Нормальные формы функций, Минимальные формы . . 63
§ 5. Применение алгебры высказываний к синтезу и анализу
схем дискретного действия 72
Г л а в а 2. Исчисление высказываний
§ 1. Аксиоматический метод. Построение формализованных
языков 83
§ 2. Построение исчисления высказываний (алфавит,
формулы, выводимые формулы) 88
§ 3. Непротиворечивость, независимость и полнота системы
аксиом исчисления высказываний 99
Глава 3. Логика предикатов
§ 1. Множества. Операции над множествами ...... 109
§ 2. Недостаточность логики высказываний. Предикаты . . 117
§ 3. Операции над предикатами. Кванторы ........ 124
§ 4. Формулы логики предикатов. Эквивалентные формулы.
Общезначимые формулы 135
§ 5. Традиционная логика (логика одноместных предикатов) 146
§ 6. Логика предикатов с равенством. Аксиоматическое
построение математической теории на языке логики
предикатов с равенством . *. . 153
Литература 162
Абрам Аронович Столяр
ЭЛЕМЕНТАРНОЕ ВВЕДЕНИЕ
В МАТЕМАТИЧЕСКУЮ ЛОГИКУ
Редактор Ю. А. Гастев.
Обложка художника Ю. М. Сиеова
Художественный редактор В. С. Эрденко
Технический редактор М. И. Смирнова
Корректор М. В, Голубева
* ♦ *
Сдано б набор 25/VI 1965 г. Подписано к печати
23/Х 1965 г. 84ХЮ81/з2- Печ. л. 5,125 (8,61).
Уч-изд. л. 8,03. Тираж 25 тыс. экз. А 10559
(Тем. план 1965 г. № 231)
* * *
Издательство «Просвещение» Государственного
комитета Совета Министров РСФСР по печати. Москва,
3-й проезд Марьиной рощи, ^41.
Саратовский полиграфический комбинат Росглавпо-
лиграфпрома Государственного комитета Совета
Министров РСФСР по печати, г. Саратов,
ул. Чернышевского, 59.
Заказ 309. Цена 22 коп.