навигация

Космическая
навигация
-•
ИЗДАТЕЛЬСТВО
«/МАШИНОСТРОЕНИЕ»
Москва-1975

К71
УДК 629.78.05.001.2
Космическая навигация. М., «Машиностроение», 1975, 352 с.
В книге рассмотрены теоретические основы космической навигации.
В ней изложена теория выбора стратегии навигационных измерений, обес¬
печивающей наибольшую точность в определении параметров движения при
различных предположениях о характере ошибок измерений. Освещены совре¬
менные достижения в области теории коррекции движения. Приведены различ¬
ные критерии качества управления, исследованы вопросы стратегии много¬
разовых коррекций, обеспечивающих наименьшие затраты топлива. Рассмот¬
рены и исследованы алгоритмы решения навигационных задач как на стацио¬
нарных, так и на бортовых электронных цифровых вычислительных машинах.
Изложены вопросы обеспечения надежной сходимости итерационных процес¬
сов. Показана область применения рекомендованных методик и алгоритмов и
приведены примеры, представляющие практический интерес.
Книга рассчитана на широкий круг специалистов, занимающихся проекти¬
рованием и разработкой навигационных устройств.
Табл. 1, ил. 24, список лит. 72 назв.
Авторы: И. К. Бажинов, В. И. Алешин, В. Н. Почукаев, В. С. Поляков
Рецензент д-р техн, наук П. Е. Эльясберг
Научный редактор д-р физ.-мат. наук Г. С. Нариманов
К
265-402
038(01)-75
БЗ-ЗО-77-74
©Издательство «Машиностроение», 1975 г.

ПРЕДИСЛОВИЕ
Интенсивное развитие космической техники ведет к разработ¬
ке и созданию все более сложных типов космических аппаратов
(КА). Так, например, к настоящему времени уже созданы авто¬
матические и пилотируемые КА, совершающие посадку на по¬
верхность Луны и возвращающиеся обратно на Землю, автома¬
тические КА для полетов к Марсу и Венере и др. Недалеко то
время, когда начнется конкретная разработка еще более слож¬
ных автоматических комплексов, исследующих планеты и до¬
ставляющих нужные материалы на Землю, разработка пилоти¬
руемых полетов к соседним планетам и т. п.
Успех космических полетов, особенно таких сложных, как
указано выше, в большой степени зависит от точности навига¬
ции, обеспечиваемой системой управления КА. Точность навига¬
ции определяется совершенством используемых навигационных
средств, оптимальностью навигационной стратегии, а также зави¬
сит от методов решения навигационных задач. Правильность
выбора навигационной стратегии и метода решения навигацион¬
ных задач непосредственным образом отражается не только на
обеспечиваемой точности, но и на основных характеристиках КА,
так как от них, в частности, зависят требуемые запасы топлива
на коррекцию, необходимая точность работы систем ориентации
КА и характеристики бортовых вычислительных систем и т. д.
Исследования навигационной стратегии, методов и алгорит¬
мов решения навигационных задач отличаются большой слож¬
ностью. Разработка удобных и достаточно простых методов со¬
ответствующих исследований имеет большое практическое
значение. В настоящей книге проанализированы результаты ис¬
следований основных закономерностей стратегии космической
навигации, методов ее оптимизации, а также методов и алгорит¬
мов решения навигационных задач.
В конце книги приводится библиографическая справка, в ко¬
торой кратко излагается история вопроса.
з

В первой части исследуется стратегия навигационных изме¬
рений, устанавливаются основные ее закономерности и разраба¬
тывается метод ее оптимизации.
Вторая часть посвящена исследованиям основных свойств
коррекции. Рассматриваются также вопросы оптимизации стра¬
тегии коррекции.
В третьей части рассматриваются методы и алгоритмы реше¬
ния навигационных задач. При этом особое внимание уделяется
экономичности алгоритмов, т. е. возможности их размещения в
минимальных объемах оперативной и постоянной памяти ЭВМ,
а также быстродействию алгоритмов и надежности сходимости
итерационных процессов, используемых в них.
В конце книги помещены приложения, в которых приведены
некоторые специальные сведения, используемые в основном
тексте.
Авторы приносят благодарность д-ру физ.-мат. наук, проф.
Г. С. Нариманову, взявшему на себя труд по научному редакти¬
рованию книги, а также А. С. Качанову, внимательно просмот¬
ревшему рукопись и давшему ряд советов. Много ценного при
работе над книгой дали обсуждения материалов, вошедших в
книгу, с д-ром техн, наук, проф. П. Е. Эльясбергом. Большую
помощь при работе над книгой оказали В. П. Алик, А. А. Дру¬
жинин, В. И. Камышев, А. В. Каширская, М. Г. Мартиросов,
В. Н. Мельбард, 3. В. Мишина, А. И. Сердюков. Всем этим
товарищам авторы выражают свою искреннюю признатель¬
ность.
Все отзывы и замечания направлять по адресу: Москва, Б-78,
1-й Басманный пер., 3, изд-во «Машиностроение».

ВВЕДЕНИЕ
Для успешного выполнения задач, решаемых космическими
аппаратами (КА), необходимо производить направленные измене¬
ния траекторий их движения. Такие изменения полета в косми¬
ческом пространстве производятся управляющими воздействия¬
ми, создаваемыми бортовыми двигательными установками (ДУ).
Количество управляющих воздействий й время их проведения за¬
висят от типа космического аппарата. Так, например, при поле¬
тах на Луну по одной из возможных схем после выведения КА
носителем на основную траекторию должны производиться тор¬
можение КА у Луны для перехода его на низкую окололунную
орбиту, торможение КА для обеспечения мягкой посадки на
Луну и выведение КА на траекторию полета к Земле.
Направленные изменения траекторий, необходимые для вы¬
полнения полета по выбранной схеме, называются маневрами КА.
Маневры, как и всякие реальные процессы, всегда выполняются
с ошибками. Величины ошибок маневров и влияние неучитывае¬
мых возмущений в пассивном полете во многих случаях могут
оказаться недопустимо большими. Поэтому необходимо контро¬
лировать значения параметров фактической траектории после
маневра путем их определения (оценки) по результатам прове¬
дения соответствующих навигационных измерений. При необхо¬
димости отклонения контролируемых параметров устраняются с
помощью дополнительных управляющих воздействий, развивае¬
мых бортовыми корректирующими двигательными установками
(КДУ), или учитываются путем соответствующего изменения па¬
раметров настройки системы управления КА для следующего
маневра.
Задача определения фактической траектории полета КА име¬
ет также большое значение и для решения других задач, непо¬
средственно не связанных с маневрированием КА. Например,
знание фактической траектории необходимо для расчета целе¬
указаний наземным средствам связи с КА, имеющим узкие
Диаграммы направленности, для определения положения в про¬
5

странстве КА при проведении на нем научных или каких-либо
других наблюдений и т. д.
Управляющие воздействия, используемые для устранения от¬
клонений траектории полета за счет случайных ошибок маневров
и возмущений пассивного полета КА, называются корректирую¬
щими воздействиями, или коррекциями траекторий. Процесс
определения траекторий и необходимых коррекций, а также уточ¬
нения параметров предстоящих маневров, обеспечивающий до¬
стижение основных или при необходимости резервных целей, по¬
ставленных перед КА, называется космической навигацией.
Задачи определения (оценки) параметров фактической траек¬
тории пассивного полета после выполнения маневра по данным
навигационных измерений, вычисления коррекций траекторий и
уточнения параметров настройки систем управления (СУ) для
предстоящих маневров называются навигационными задачами.
Решение навигационных задач, а также проведение навига¬
ционных измерений, формирование необходимых команд управ¬
ления и передача их в систему управления КА производятся с
помощью специального комплекса средств — навигационного
комплекса, или иначе, системы навигации. Навигационный комп¬
лекс является, таким образом, частью общей системы управления
полетом КА. В соответствии с навигационными задачами в состав
навигационного комплекса должны входить измерительные и
вычислительные устройства, а также устройства для передачи
команд управления от вычислительных устройств в бортовую
аппаратуру управления различными системами КА.
Навигационные комплексы могут располагаться как на Зем¬
ле, так и на борту КА. Если навигационные измерения и все не¬
обходимые вычисления производятся с помощью устройств,
расположенных в основном на Земле, то эти средства образуют
наземный навигационный комплекс. Если же измерения и реше¬
ния навигационных задач производятся с помощью приборов,
установленных на борту КА, то эти средства образуют бортовую
систему навигации. Если при этом решение навигационных задач
может производиться независимо от работы наземного навига-.
ционного комплекса, то бортовую систему часто называют систе¬
мой автономной навигации.
Система космической навигации (СКН), с одной стороны, ха¬
рактеризуется сложностью используемых устройств, надеж¬
ностью их работы, массой и энергопотреблением приборов, уста¬
навливаемых на борту КА, и т. п., а с другой стороны, — каче¬
ством управления, обеспечиваемым ею, т. е. качеством навига¬
ции. Качество космической навигации, в свою очередь, характе¬
ризуется обеспечиваемой точностью полета при заданном запасе
топлива, расходуемого КДУ на устранение ошибок маневров и
влияния других возмущений при выполнении полета или, наобо¬
рот, величиной затрат топлива при заданной точности полета.
6

рассмотрим основные этапы процесса навигации и введем ряд
ппеделений и обозначений, часто используемых в тексте. Пусть
Известно, что к моменту to за счет влияния различных случайных
Факторов могут накопиться большие отклонения фактической
траектории полета от расчетной. Вместе с тем, пусть требуется,
чтобы к некоторому моменту if>t0 все или часть независимых
параметров траектории КА имели бы отклонения от расчетных
значений в заданных пределах.
Для того чтобы выполнить это
требование, нужно в интервале
времени [/0, М выявить фактиче¬
ские величины отклонений и, если
эти величины превысят допусти¬
мые, скорректировать траекторию
полета. Такой интервал [to, /ф] на¬
зывается интервалом управления.
Момент начала интервала управ¬
ления может определяться мо¬
ментом окончания какого-либо
маневра, а момент t(p — началом
проведения следующего. Выделе¬
ние интервала управления может
производиться и по какому-либо
другому признаку.
Для устранения отклонений в
интервале j70, Ар] должна быть
проведена одна или несколько
коррекций. Моменты включения
КДУ обозначаются Ау(/=1, 2, ..., g). Между моментами t0 и /к„
а также между всеми соседними коррекциями для определения
фактической траектории полета и вычисления параметров кор¬
рекции производятся навигационные измерения. Всегда жела¬
тельно произвести навигационные измерения и на последнем
участке Д] с тем, чтобы иметь возможность проконтролиро¬
вать точность последней коррекции.
Моментами включения КДУ интервал управления разбивает¬
ся на g+1 участков (рис. 1), которые будут называться навига¬
ционными. На каждом из навигационных участков можно про¬
изводить навигационные измерения.
Очевидно, что качество навигации зависит от типов и точно¬
сти навигационных измерений, используемых для определения
траектории полета, от распределения измерений на навигацион¬
ных участках, от выбора типа и момента проведения коррекции,
от точности решения навигационных задач и, наконец, от точно¬
сти исполнения коррекций.
Точность проведения маневров и коррекций, а также точность
измерительных приборов зависят от совершенства навигацион¬
7

ных устройств, и поскольку этот вопрос не является предметом
настоящих исследований, эти точности считаются известными
априори.
Совокупность остальных показателей, определяющих условия
и качество навигации, будем называть навигационной стратеги¬
ей. Все показатели, определяющие стратегию в целом, можно
разделить на три группы:
—	характеристики стратегии измерений (типы и состав из¬
мерений, распределение измерений во времени);
—	характеристики стратегии коррекций (типы, количества и
времена коррекций);
—	характеристики методов и алгоритмов решения навигаци¬
онных задач.
Ниже представлены результаты исследований закономерно¬
стей навигационной стратегии, условий ее оптимизации, а также
методов и алгоритмов решения навигационных задач.

ЧАСТЬ I
МЕТОДЫ ОПТИМИЗАЦИИ
СТРАТЕГИИ
НАВИГАЦИОННЫХ ИЗМЕРЕНИЙ
В первой части настоящей книги исследуется стратегия нави¬
гационных измерений на заданном навигационном участке, кото¬
рый определяется моментами A, t«- Цель исследований — разра¬
ботка метода оптимизации этой стратегии по критерию, характе¬
ризующему точность определения по навигационным измерениям
группы параметров траектории или каких-либо других ве¬
личин, зависящих от них. В качестве такого критерия принимает¬
ся оценка дисперсии группы (или одного) определяемых пара¬
метров. Рассматриваются несколько возможных форм такой
оценки.
При проведении исследований принимается, что все случай¬
ные величины, участвующие в этих исследованиях, подчинены
нормальному многомерному закону распределения. Предпола¬
гается также, что статистическая обработка навигационных из¬
мерений производится по методу максимального правдоподобия,
основные соотношения которого используются в качестве исход¬
ных при исследованиях стратегии измерений.
В задании матрицы вторых моментов ошибок измерений пред¬
полагается неопределенность следующего типа. Известно неко¬
торое множество симметрических положительно’ определенных
матриц, которому принадлежит матрица вторых моментов оши¬
бок измерений. Из этого множества выбирается такая матрица,
которая обеспечивает наибольшее значение дисперсии ошибок
определения интересующего параметра траектории. Эта величина
п выбирается в качестве оценки дисперсии ошибки определения
этого параметра. Аналогичным образом формируется оценка дис¬
персии группы параметров.
9

Глава 1
ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ.
ХАРАКТЕРИСТИКИ ТОЧНОСТИ
ОПРЕДЕЛЕНИЯ ТРАЕКТОРИИ
1.1. НАВИГАЦИОННЫЕ ИЗМЕРЕНИЯ
Для определения траектории движения на каждом навига¬
ционном участке производятся навигационные измерения.
Техническая целесообразность требует, чтобы все измерения
были сгруппированы в некоторое количество сеансов, в каждом
из которых измеряется один или несколько навигационных пара¬
метров. Измерения в каждом сеансе производятся через некото¬
рый промежуток времени \t, называемый шагом измерений.
Если сеанс измерений определен моментами его начала и конца
(t„., iKl ), то количество измерений в сеансе определяется фор¬
мулой
Максимально возможный темп поступления навигационной
измерительной информации, или минимальный шаг Д^тщ между
измерениями, определяется производительностью измерительно¬
го прибора. Величину (Д/)-1, обратную шагу измерений, назовем
плотностью измерений и обозначим через ЧЕ Если ДЕтнп—ми¬
нимально возможный шаг, то соответствующую величину Чг бу¬
дем называть предельной плотностью измерений и обозначать
через ЧЕ
Обычно для проведения навигационных измерений на нави¬
гационном интервале для каждого t'-ro измерительного прибора
выделяется некоторый запас времени 7\, который может и не сов¬
падать с длительностью навигационного интервала. Эта величи¬
на в каждом конкретном случае определяется рядом причин.
Например, она может зависеть от запаса электроэнергии и ра¬
бочего тела на борту КА, расходуемых на его ориентацию при
измерениях. Далее, радиовысотомер из-за ограничений расхода
электроэнергии может работать только на тех участках, когда
высота полета достаточно мала. Наземные радиолокационные
станции могут работать только при наличии радиовидимости
объекта и т. д.
Если Чг — предельная плотность Его измерительного прибора,
го за промежуток времени 7\ прибор может провести 7\ЧЕ из¬
мерений. Эту величину будем называть располагаемым количе¬
ством измерений и обозначать через <7Рг-. В дальнейшем понятие
«располагаемое количество измерений» может использоваться в
более широком смысле. Величиной <7Р, может обозначаться лю¬
бая характеристика, прямо или косвенно, но всегда однозначно
10

определяющая число навигационных измерений, которое может
быть произведено. Располагаемое количество измерений N при¬
боров будем задавать располагаемым вектором измерений qp =
= ll^pi, <?р2, •••>
Траектория полета КА определяется шестью параметрами
движения и набором констант, характеризующих систему дей¬
ствующих сил. В ряде случаев некоторые из этих констант из¬
вестны с недостаточной степенью точности и их также приходит¬
ся уточнять по навигационным измерениям, включая в число оп¬
ределяемых параметров. Поэтому в общем случае будем считать,
что траектория определяется т параметрами aj, ..., ат. Вектор,
составленный из этих параметров, обозначим а. Любой пара¬
метр движения КА ц есть функция вектора а и времени t (т] =
= т](а, /)). Параметры движения, которые измеряются навига¬
ционными приборами для определения вектора а, будем обоз¬
начать у = у(а, t).
Виды измеряемых параметров определяются типами исполь¬
зуемых навигационных приборов. Среди всевозможных видов
измеряемых параметров различают одномерные, двумерные и, в
общем случае, s-мерные параметры. Размерность измеряемого
параметра определяется числом измеряемых величин, одновре¬
менно снимаемых с выхода измерительного прибора. Например,
высотомер, установленный на борту искусственного спутника
планеты, позволяет измерять только высоту полета в каждый
момент времени. Бортовой астроизмерительный прибор, опреде¬
ляющий положение изображения планеты относительно звезд¬
ного неба, измеряет сразу два параметра. Если он к тому же из¬
меряет видимый диаметр планеты, то таких параметров будет
три. Особенность прибора, с выхода которого снимается s пара¬
метров (s> 1), состоит в том, что при одном и том же содержа¬
нии выходной информации форма этой информации может быть
различной. Так, положение изображения планеты относительно
звездного неба может задаваться как в прямоугольной, так и в
сферической системе координат. Измеряемый параметр размер¬
ности s определяется как s-мерный вектор ys=ys(a, t) = ||у1 (а, /),...
...,ys(a, ф)Ц. При этом, если Ys==^(Ys)—взаимнооднозначная
функция, ставящая в соответствие s параметрам уДа, t), ...
—, Ys(a, t) новые s измеряемых параметров уДа, t), ..., у.Да, t), то
вектор ||у1'(а, t), ..., у/(а, t) || определяет тот же s-мерный пара¬
метр ys.
1.2. МЕТОД МАКСИМАЛЬНОГО ПРАВДОПОДОБИЯ
Вектор а=||а1( ..., ят|| определяется по результатам навига¬
ционных измерений. Пусть для этого на интервале [ZH, Д] изме¬
ряются параметры уДД, 42(1), Y> (t) ■ Для простоты парамет¬
ры уДД (где/= 1,..., v) предполагаются одномерными. Измерения
параметров уДД (где i=l, ..., v) в моментах Д, t2, .... t п. обозна¬
11

чим через у^- (где ! = 1, 2, v, / = 1, 2, пД, а вектор-строку, со¬
ставленную из них, — через у=||уо1|. Через у(а) обозначим век¬
тор, составленный из расчетных значений измеряемых парамет¬
ров на те же моменты времени (у(а) = ||у<(а, /j) II, i= 1, 2, ..., v,
/=1, 2, ..., tii). Между векторами у и у(а) существует соотно¬
шение
Г = Г(а) + 8Г>	(1.2.1)
где бу — вектор ошибок измерений; а — истинное значение век¬
тора а.
Для уменьшения влияния ошибок измерений число измерений
превышает порядок вектора а. Поэтому для определения векто¬
ра а по вектору у необходимо применять статистический метод.
Наибольшее распространение получил метод максимума правдо¬
подобия. Достаточно подробное изложение этого метода приве¬
дено во многих работах (например, [37]). Ниже приводится лишь
его краткое описание.
Случайный вектор измерений у имеет многомерный закон рас¬
пределения условной плотности вероятности р(у, а). В соответ¬
ствии с равенством (1.2.1) можно записать
/Ду, а)=/Д8у)=/Ду-у (а)).
Условная вероятность носит название функции правдоподобия
для вектора а и обозначается через f(y, а). При использовании
метода максимального правдоподобия отыскивается вектор а,
обеспечивающий максимум функции /(у, а). В дальнейшем бу¬
дем считать, что ошибки измерений имеют нормальный закон
распределения с нулевым математическим ожиданием. Функция
f (у, а) в этом случае примет вид
/(у,а)=/(2л)" | В | )_1ехр — {[у— у (а)] В-1 [у — у (а)]т-2-1}.( 1.2.2)
Здесь В — матрица вторых моментов ошибок измерений. Она
всегда неотрицательно определенная, симметрическая и имеет
размерность пХп, где n = Sn, — общее число измерений.
Тогда максимум функции правдоподобия (1.2.2) соответству¬
ет минимуму функции Е:
S = [T — у(а)]В-=[у-у (а)]т.	(1.2.3)
Необходимое условие минимума функции Е, из которого может
быть определено соответствующее значение вектора а, может
быть записано в виде следующего матричного уравнения (урав¬
нения правдоподобия):
W(a)B-4y-y(a)]=0,	(1.2.4)
где W(a) —матрица размерности (mXnj;
W (а) = || wz (Д)||, f = l,2,	/ = 1, 2, ..., я,-;
■Wi(tj) = l|dyi(ij)/dafi|| (k = l, 2, ..., m) — столбец размерности
(lXm).
12

Уравнение (1-2.4) в общем случае нелинейно и решается ите¬
рационным методом.
н Вектор a=||flj, ..., ат||, полученный из решения уравнения
(1 2.4), содержит ошибки, вызванные погрешностями измерений;
поэтому если через а обозначим истинное значение вектора а, то
имеем 6а = а —а=И=0. Анализ ошибок определения вектора а про¬
водится обычно в линейной постановке, а именно: предполагает¬
ся что ошибки измерений настолько малы, что допустима линеа¬
ризация функций у (а) относительно некоторого значения а0. При
этом предположении функции у(а) и W(a) разлагаются в окрест¬
ности значения а0 в ряд Тейлора:
Y(a) = Y(a0) + Aa.W+..„	(1.2.5)
W(a)=W+...,
где W = W(a0); да = а —а0.
Подставив формулы (1.2.5) в (1.2.4) и пренебрегая членами
выше первого порядка малости, получим
WB-1WTAaT = WTB-1AYT,
откуда	Дат = НДут,	(1.2,$.)
где Ду = Г —Г(а9);
H = (WB"1WT)-1WB-1.	(1.2.7)
Матрицу Н в дальнейшем будем называть матрицей правдо¬
подобия. Она является псевдообратной к матрице W (см. Пр ило-
жение, разд. 2).
Вектор Да линейно зависит от случайного вектора Ду, имею¬
щего нормальный закон распределения. Поэтому вектор Да также
будет случайным вектором с нормальным законом распределения.
Матрица его вторых моментов К определяется по формуле
К = НВНТ.	(1.2.8)
Эту формулу, используя соотношение (1.2.7), можно преобразо¬
вать к следующему виду:
^(WB^W1)-1.	(1.2,9)
Дисперсия ошибки определения параметра ц(а) вычисляется
по формуле
/Э, = ЦКЦ,	(1.2.10)
где 1П= ||дц(а)/да,|| (i=l, 2, ..., tn) —вектор размерности (mXl).
Многие характеристики, определяющие точность знания пара¬
метра ц (например, доверительные границы), определяются как
линейные функции оу D^. При этом коэффициент пропорциональ¬
ности не зависит ни от состава, ни от моментов измерений. Так,
13

если 6г] есть, ошибка определения параметрра т], имеющая нор¬
мальный закон распределения, нулевое математическое ожидание
и дисперсию Dv, и если в качестве предельной ошибки определе¬
ния параметра т] принять величину Дт], для которой соотношение
бт]^Дт] выполняется с вероятностью 0,997, то имеет место Лц =
= ЗУДГ).
Таким образом, дисперсия ошибки определения параметра г]
служит характеристикой точности определения этого параметра
Т], а матрица К — характеристикой точности определения векто¬
ра а. Эту матрицу будем в дальнейшем называть матрицей оши¬
бок определения параметров траектории.
13. КЛАССИФИКАЦИЯ ОШИБОК ИЗМЕРЕНИЙ
И НЕКОТОРЫЕ СВОЙСТВА МАТРИЦЫ ОШИБОК
ОПРЕДЕЛЕНИЯ ПАРАМЕТРОВ ТРАЕКТОРИИ
При нормальном законе распределения и нулевом математи¬
ческом ожидании ошибки измерений полностью определяются мат¬
рицей вторых моментов В = ЦЬг,-||. В случае п измерений она будет
п-го порядка. В зависимости от величины модуля коэффициента
корреляции kn между ошибками измерений в моменты Z,- и
определяемого формулой
=	(1-3.1)
будем различать следующие типы ошибок:
•—независимые ошибки, если	= 0 при /;
—	систематические ошибки, если =1 при любых i и /;
—	коррелированные ошибки, если 0<	< 1 при i=£j-
Матрица вторых моментов ошибок измерений s-мерного пара¬
метра имеет клеточный вид с размером клетки (sXs) В = ||ВгД|.
Будем рассматривать только такие s-мерные параметры, клетки
Вг; которого могут быть представлены в виде
Bj = №,	(1.3.2)
здесь Ьц — число; Es — единичная матрица s-ro порядка. Если
s-мерный параметр не может быть представлен в таком виде, то
он представляется s эквивалентными одномерными параметра¬
ми. Поэтому коэффициент корреляции между i-м и /-м измерения¬
ми s-мерного параметра определяется по формуле (1.3.1).
Матрица вторых моментов независимых ошибок измерений
имеет диагональный вид. Обозначим ее через Во.
Для систематической ошибки матрицу В, имеющую ранг один,
можно представить следующим образом:
В = ЬЬТ,	(1.3.3)
где b имеет размерность (пХ1).
14

Оказывается, что матрицу вторых моментов любых коррели-
ованных ошибок измерений можно представить в виде суммы
диагональной матрицы Во и матриц типа (1.3.3), т. е. в виде сум¬
мы матриц вторых моментов для независимой и нескольких систе¬
матических ошибок. Пусть В — матрица вторых моментов ошибок
измерений. Тогда, выбрав матрицу Во, такую, чтобы выполнялось
соотношение В—В0^О *, представим матрицу В—Во в канониче¬
ском виде
В В1АГ
где д — диагональная матрица порядка k, состоящая из положи¬
тельных чисел Zi, Х2, ..., лй; I = ||ii, i2,	i/t|| — матрица размерно¬
сти (пХ&), составленная из собственных векторов i, матрицы
В-в°
Тогда, приняв bj = 2/ ij, получим
к
В В Ь; Ьг В --В;В(.	(1.3.4)
7=1
где Bk — прямоугольная матрица размерности (пХ&), столбца¬
ми которой являются столбцы Ь,(/= 1, 2, ..., k).
В формуле (1.3.4) число k в общем случае соизмеримо с чис¬
лом .измерений п и может изменяться с увеличением п. Однако
использование формы представления матрицы В в виде (1.3.4)
становится наиболее удобным тогда, когда число k невелико и не
зависит от числа п. Это равносильно рассмотрению тех случаев,
когда в измерениях присутствуют независимые ошибки и k систе¬
матических ошибок. В дальнейшем при представлении матрицы В
в виде (1.3.4) число k принимается постоянным и не зависящим от
числа измерений.
На практике нередко встречаются случаи, когда закон появле¬
ния ошибок измерений носит характер стационарного случайного
процесса. Матрица вторых моментов таких ошибок может быть
записана в следующем виде:
в = II ^711 = 11 О -ехр {- a|/z — t; I }||,	(113.5)
где ti, tj (i, /=1, 2, ..., n)— моменты измерений, отсчитанные от
момента прохождения некоторой точ¬
ки траектории;
а— некоторое число, характеризующее
корреляцию ошибок измерений;
ь «.)=К/ш
D(ti) —дисперсия ошибки измерения в мо¬
мент времени ft.
* Здесь и в дальнейшем используется возможность установления частичной
упорядоченности симметрических матриц. Считаем, что В1> В2, если разность
“1 В2 есть положительно определенная матрица (подробнее см. Приложе¬
ние, разд. 1),
15

Для двух видов матрицы В, заданной выражениями (1.3.4) и
(1.3.5), получим формулы для матрицы К, вычисляемой по соот¬
ношению (1.2.9).
Пусть матрица В задается выражением (1.3.4). Используя
формулу обращения суммы симметрических матриц (П.3.1), по¬
лучим
B-^B^-B^BjSF'B^1,	(1.3.6)
где	S^Ej + BjBqBj.
Подставляя (1.3.6) в (1.2.9) и вторично используя формулу
(П.3.1), получим
K = (WB“1WT-)-1 = (WB(T1WT)-1 + CSr1CT,	(1.3.7)
где
С=|]С;, с2, ..., Cj||,
c; = (WB^1WT1WBo“1by, у =1,2, ..., k-
S2=Ei + B^2QB?V2Bi;
Q = E„ —B^1,2WT(WB“1WT)“1WB“12.
Отметим, что матрица BcT1/2 WT (WBo~1WT)_1WBo’1/2, а значит, п
матрица Q — проектирующие, т. е. такие, которые имеют в каче¬
стве собственных чисел только нули или единицы (подробнее см.
Приложение, разд. 2).
Матрица (WB^"1WT)“ 1 является матрицей ошибок определения
параметров траектории, вызванных независимыми ошибками из¬
мерений с матрицей вторых моментов Во. Благодаря этому можно
сказать, что матрица К, соответствующая матрице В = Во+ В/.В*,
равна сумме двух слагаемых, первое из которых ((WB”1 WT)_1)
учитывает наличие в измерениях независимых ошибок (матрица
Во), а второе (CS‘T1CT) —наличие систематических ошибок (мат¬
рица BiB£). Учитывая, что имеет место соотношение CS^C1 О,
можно написать неравенство
(WBy1WT)_I<(WBWT)-1.
Используя формулу (1.3.7), вычислим дисперсию ошибки в пара¬
метре г] по формуле
A^l^WB^W^m-dSr'cF,	(1.3.8)
где
d=ll(87i)i> (Мг- • • •> (MJ|;
(81));=цтс;-= ^(WBr'WT1 WB^by.
(1.3.9)
16

Получим теперь выражение для матрицы К при матрице вто¬
рых моментов, заданной выражением (1.3.5).
Обратная матрица В-1 в этом случае имеет трехдиагональный
вид, т. е. если В-1	то 5,j = 0, если \1 — /|>1. Элемент Ьг}
определяется соотношением
2(1 —	если z = l;
^..=ft(/z)-2(i-{>?_!(1 -&L1 ,,-Г1 (1 -^д+1)”1, (1.3.10)
если 1 <О<л;
^-1,л)-2, если i=rr,
^•,,•+1=^+1,/=-&(/I-rI&(//+1r4,;+i(i-»L-+i)-1, (1.3.11)
где &/>i+i = exp[ —а|-+1|].
Тогда, учитывая, что W=||w(/1),	w(/2), .... w(^)(|,
получим
w(/z) = pY//^||,	7=1,
+ 2 bi,i+l (w (/,•) wT (Л+1) 4-w (//+1) wT (/;))
i-1
(1.3.12)
В заключение рассмотрим некоторые свойства матрицы К.
Изменение матрицы К
при увеличении числа измерений
Покажем, что при увеличении числа измерений матрица оши¬
бок не увеличивается. Это значит, что если матрица Ki — матри¬
ца ошибок при п\ измерениях, то при добавлении новых п2 изме¬
рений матрица Кг удовлетворяет неравенству (см. Приложение,
Разд. 1)
К2<Кр	(1.3.13)
Действительно, пусть
K2=(WB-lWT)-\
где	W = ||Wi, W„||;
Wi=||w!, w2, ..., w„Jj;
Wn=||w„1+i, ..., w„1+„2||;
17

Bi, Вп — матрицы размерности (niX«i) и (п2Хп2) соответствен¬
но; В^п—матрица размерности (niXn2).
Используя формулу обращения клеточной матрицы (П.3.2),
получим
В-! =
вг1
Ол, хп2
+
ВГ1 В, , п
sr1
8,1 Bl 11 Г, (1.3.14;
Ол2Хл,
—e„2 II
где S1 = Bn — Bi, цВ] 1Bi; ц;
— нулевая матрица размерности (niXn3).
Используя формулу (1.3.14) и применяя формулу обращения
суммы матриц (П.3.1), матрицу ошибок К можно записать в
виде
к (w,BАуО дк -к ак.
где дК =Ki (WiBfX п - W„) SF1 (WiB^Bi, „ - W„)TKi;
S2 = SX + (WiBfX II - W„)T K1 (WiBf’Bl, II - Wil).
Матрица S2^O, поэтому и ДК^О, что и требовалось доказать.
Изменение матрицы К
при увеличении числа измерений
до бесконечности
Предположим, что на всем навигационном интервале [/н, 4] с
постоянным шагом Д/ проводятся измерения некоторого пара¬
метра^ (/). Рассмотрим, к чему будет стремиться матрица оши¬
бок К, а значит, и ошибки всех определяемых параметров, если
Д/—>0 (число измерений стремится к бесконечности). Оказывает¬
ся, что результат существенно зависит от характера корреляци¬
онных связей ошибок измерений, что определяется типом мат¬
рицы В.
Пусть Во — диагональная матрица, диагональные члены ко¬
торой есть	В этом случае матрица К определяется по фор¬
муле
V-o
где w(4) = A/)-1w (/,•);
4 — /н ф- д/г;
« = (4~4)
18

Пусть Д/->0, тогда
lim К = | lim—— V[w (/z)wT(/z) Д/
Д/^0 I Д/ + 0 М
\ / = 0
w(/)wT (/)<// Ит(Д/) = О.
/	д/^о'
Рассмотрим теперь случай, когда матрица вторых моментов
ошибок измерений имеет вид B = B04~BftB*, причем k фикси¬
ровано и B^B^QB^B* >0, где
Q = B5_i/2Wt(WB71Wt)_1WBo‘1'2.
Тогда можно записать
limK = (Ki + KinS“1nTKi)-IlimA/^O,
д/-о	д/-^о
S=(lim Д/) Eft + f v (/)vT (/) dt - ПКПт>0.
д/^о	J
'н
'к_
n = J w (/) vT (/) dt-, v (t) = b (Vp1 v(/);
vT(/)—вектор размерности (1X&), равный строке матрицы
В/;, соответствующей моменту времени t.
Таким образом, если матрица В относится к одному из рас¬
смотренных видов, то увеличение числа измерений на интервале
Кн, *к] может сделать матрицу К сколь угодно малой.
Предположим, что матрица вторых моментов ошибок измере¬
ний задана выражением
в=\\btjII=IIb (ti) b(/;•) ехр {— а]—t}|} ||.
С учетом того, что \ti=Atj=At, соотношение (1.3.11) может быть
переписано в таком виде:
	 ( 6(/z)~2(l — &)-1, если i— 1, п\
t ^>(//)-2(1+Ф2)(1-Л-1, если
bi, i+i=~bi+1,	-6(/J-^(/;+1)-i&(l — &2)-1;
&=exp {— ад/}.
19

_ Формула (1.3.12) примет следующий вид, если обозначить
w(/i)
K=(WB-W')-= {4^2- J) W	X
X [w (/H) WT (/H) + w (/K) wT О	^2 ■ X
X	V w^z+Ow7^-) jp1 .	(1.3.15>
i^O	i=Q
Считая вектор-функцию w(Z) непрерывной на интервале [X
/к], разложим ее в ряд Тейлора:
W (/;+i) = W (/;)-{- W (С<=./.Д/-]	— W At2 . . . ,	(1.3.16 .
Подставляя (1.3.16) в (1.3.15) и учитывая только члены до
второго порядка малости относительно А/, получим
к={-Ут S w (//) w? (Z/)+(1 _ &2)_lw (zjw ° ~
- X ( 1 - &2)-tw (/H) WT (/H) - & ( 1 - ft2)-1
([w (/,-)wT (/,-)' +
/5)
4-w(/,.)'wT(/z)] Д/+ [w(/z)wT(/,-)" + w"(/;)w(/z)wT(/,.)] Д/2)
Переходя к пределу при Л/-Х), получим
1
-j-Ц-5 »(/)-»- WlU
>0.
20

Таким образом, если В = ||6 (Л) 6 (А,) ехр {-сф;-Л, |} ||, то уве-
ичение до бесконечности числа измерений не делает матрицу
ошибок бесконечно малой.
1.4. ФОРМИРОВАНИЕ ОЦЕНКИ ДИСПЕРСИИ ОШИБКИ
ОПРЕДЕЛЕНИЯ ПАРАМЕТРА ч=ч (а)
При известной матрице вторых моментов ошибок измерений
дисперсии ошибок определения вектора а могут быть вычислены
по формуле (1.2.8). Однако случайные процессы, приводящие к
появлению ошибок измерений, не всегда поддаются детальному
анализу. В связи с этим матрица вторых моментов ошибок изме¬
рений, полностью характеризующая случайный процесс при
нормальном законе распределения, не всегда может быть опре¬
делена. Поэтому при составлении матрицы правдоподобия Н ис¬
пользуется не матрица В, соответствующая данному случайному
процессу, а какая-то другая матрица ВП^=В. Естественно, что
при оценке дисперсии ошибки определения параметра г] = г] (а) по
формуле (1.2.8) также используется матрица Вп. Такая ситуация
вызывает ряд нежелательных явлений, а именно:
—	неоптимальность матрицы правдоподобия;
—	появление методической ошибки в определении дисперсии
ошибок параметров траектории.
Рассмотрим каждое из этих явлений в отдельности.
Неоптимальность матрицы правдоподобия при ВП^=В выра¬
жается в том, что при замене матрицы В, соответствующей слу¬
чайному процессу, на матрицу ВП=Н=В дисперсии ошибок опреде¬
ления параметров могут только увеличиваться.
Действительно, в этом случае имеем
Кн-Н.^Н,, / WB1W1)1- К.
здесь Hn = (WB71WT)1 WB71.
Докажем, что выполняется соотношение
КП>К.
Пусть В = ВП + ДВ. Применяя дважды формулу для обращения
суммы матриц (П.3.1), получим равенство
K = (WB-1WT)-1 = HnBnH,T, + HftABS-1Hj,
где S = Ert4-B71Q&B;
Q = Ert-W1TI(WB71WT)_1WnB71.
Матрица Q — проектирующая (см. Приложение, разд. 2),
поэтому ее можно представить в виде
21

Q = WT (W^WLHW^B?1,
где Wx — матрица размерности ((n—m)Xn), составленная из
векторов-столбцов, задающих фундаментальное решение систе¬
мы линейных уравнений
WB'y~o.
Тогда S=E,r-BnWTJ.(WJ.B71BB71WT±)~1W±B71AB и формула
для матрицы К преобразуется к виду
К = НПВН,^-ДК = К;1-ДК,	(1.4.1)
где ДК-Р^РЖ)-1?!;
P^H^BB/W;;
Р, rWjBlT1.
При любой симметрической матрице ЛВ матрица ДК^О, что
и требовалось доказать.
Методическая ошибка определения дисперсии, вызванная ис¬
пользованием матрицы Впт^В вместо матрицы вторых моментов
В ошибок измерений, возникает в связи с тем, что вместо соот¬
ношения
КП = НПВШ,	(1.4.2)
определяющего матрицу ошибок, приходится использовать соот¬
ношение
KOU=(WB7IWT)-1-	(1.4.3)
Естественно, что в этом случае КОц¥=Кп и возникает методиче¬
ская ошибка в вычислении величины дисперсии ошибки опреде¬
ления параметров вектора а. Матрица этих ошибок определяет¬
ся формулой
дКм = Коц—Кн.	(1.4.4)
Тогда методическая ошибка вычисленной дисперсии D, для лю¬
бого параметра г] = г] (а) может быть вычислена по формуле
д (£)„) =ЦдКЛ-	(1.4.5) г
Наиболее опасными методическими ошибками являются те,
которые приводят к занижению дисперсий Dr,a значит, и к за-'
нижению возможных ошибок определения параметров траекто¬
рии. А это может быть только в том случае, когда матрица ДКм
либо неопределенная, либо неположительно определенная
(ЛКм^О, ДКм^О). Опасность занижения дисперсии D1f состоит
в том, что в этом случае можно выбрать навигационное оборудо-
22

ние и режим измерений, обусловливающие большие ошибки в
Б „еделении параметров траектории по сравнению с теми, кото-
пые предполагалось получить.
" Поэтому при вычислении точности определения параметров
паектории необходимо принять меры, ликвидирующие возмож¬
ность появления отрицательной методической ошибки в диспер¬
сии Drj- С этой целью в качестве характеристики точности опре¬
деления параметров траектории принимается оценка дисперсии
Dr.	.	/ \
Оценкой дисперсии ошибки определения параметра rj = r] (а)
будем называть некоторую величину, которая принимается в ка¬
честве дисперсии ошибки определения этого параметра и которая
по модулю не меньше истинной дисперсии. Оценку дисперсии
ошибки определения параметра будем обозначать символом Di],
Если оценка Dr] может быть вычислена по формуле
От]=ЦАЦ,
где А — матрица размерности (тХт), постоянная для всех
параметров ц(а), то матрицу А будем называть матрицей оценок
дисперсий ошибок определения параметров вектора а и обозна¬
чать буквой К в отличие от матрицы ошибок определения пара¬
метров, обозначаемой К-
При введении классификации оценок последние будем раз¬
личать индексами при символе Dr] (например, Di3r], Dirj, D2°r]
и т. д.).
В дальнейшем будем рассматривать два класса оценок, ох¬
ватывающих все наиболее распространенные оценки. Для опре¬
деления этих классов введем понятие ограничивающего множе¬
ства матриц вторых моментов ошибок измерений.
Пусть из анализа процесса измерений можно определить не¬
которое минимальное множество симметрических положительно
определенных матриц, среди которых находится матрица В вто¬
рых моментов ошибок измерений, соответствующая реальному
процессу измерений. Это множество назовем ограничивающим
и обозначим через G.
Заменяющей матрицей для ограничивающего множества G и
параметра г] будем называть матрицу В^, обладающую свой¬
ством: дисперсия ошибки определения параметра г]=т](а), вы¬
численная в предположении, что матрица вторых моментов оши¬
бок измерений есть Вт, не меньше дисперсии ошибки определения
того же параметра ц, соответствующей произвольной матри¬
це B^G. Матрица правдоподобия Н пр'И этом вычисляется по
Матрице Вп, единой для всех параметров, поэтому оценка дис¬
персии вычисляется по формуле
От]=ЦНйВ.НХ„	(1.4.6)
где	H,t-(WB7IWT)1WB71.
23

Тип оценки дисперсии зависит от вида порождающего его ог¬
раничивающего множества G и способа вычисления заменяющей
матрицы В Все типы оценок дисперсий удобно разделить на
два класса.
К первому классу оценок отнесем оценки дисперсий
для тех ограничивающих множеств G, у которых заменяющие
матрицы не зависят от параметра гр а определяются только
самим ограничивающим множеством G. Заменяющую матрицу
в этом случае будем обозначать В. Для данного класса оценок
существует матрица оценок К (см. выше), по которой оценка
дисперсии ошибки определения параметра rj вычисляется по фор¬
муле
D-/] = 13jKlv	(1.4.7)
Матрица Вп, используемая для вычисления матрицы правдо¬
подобия Нп при заданном виде ограничивающего множества,
может либо совпадать с заменяющей матрицей В, либо не совпа¬
дать. В зависимости от этого матрица оценок К вычисляется по
одной из следующих формул:
K = (WB-1WT)_1, (ВП = В);	(1.4.8)
К=НПВНПТ, (Вп/В).	(1.4.9)
К оценкам дисперсий первого класса будем относить также
все оценки дисперсий для тех случаев, когда матрица В из¬
вестна.
Ко второму классу оценок отнесем оценки дисперсии
для того вида ограничивающих множеств, для которых единая
заменяющая матрица либо не существует, либо ее использова¬
ние приводит к значительному завышению значений оценок дис¬
персий. Поэтому для каждого параметра rj определяется своя
заменяющая матрица В, Оценка дисперсии в этом случае вы¬
числяется по формуле
D7i = l^HnB1H^v	(1.4.10)
При задании ограничивающего множества матриц вторых мо¬
ментов ошибок измерений, а значит, и при выборе вида оценки
необходимо учитывать режим измерений и прежде всего плот¬
ность измерений. Неправильное задание допустимой плотности
измерений может в конечном счете привести к появлению отрица¬
тельной методической ошибки в вычислении дисперсии DTi. Так,
если матрицу оценок ошибок в параметрах вектора а задавать
в виде (WB^W7)" ', где В0=Е„, и при этом не ограничивать
числа измерений в единицу времени, то, если реальный процесс
имеет корреляционную функцию типа ехр { —а|/у —Т|}, так что
В= II ехр { — а | ti — tj |} ||, использование матрицы (WBa 'WT) 1 для
24

„ок дисперсий приведет к появлению отрицательной методи¬
чкой ошибки. Действительно, как уже было показано выше,
4 и увеличении числа измерений до бесконечности и при
В==ЕП матрица (WB-'W1)-1 стремится к нулю, а при В =
__цеХр {_а|^ —/jI} ||—к некоторой ненулевой предельной мат¬
рице.
Поэтому предполагается, что при задании ограничивающего
множества определены допустимые режимы измерений (ограни¬
чение на расположение сеансов, порядок проведения измерений
в сеансе и предельная плотность измерений).
В дальнейшем будем рассматривать ограничения только по
плотности измерений. Предполагается, что для каждого измеряе¬
мого параметра уД/) на каждый^ момент времени определена
предельная плотность измерений ЧД Значение определяет ми¬
нимально возможный шаг измерений (Д/min) г- Если Д', доста¬
точно велико (а значит, (Д/Юш)г мало), то приближенно можно
записать равенство
здесь
(1.4.11)
(1.4.12)
Используя это соотношение, введем понятие непрерывных и
дискретных измерений.
Измерения будем считать непрерывными, если
п	fl
торов типа w (/,•) wT(/z) либо yw(/,.)vT(/,.) (см.
о	о
_ ‘к_
можно заменить интегралами типа Ф J w (/) wT (/) dt либо Ф X
'н
суммы
разд.
век-
1.3)
1к__
X J w(/)vT (/)<#;
‘н
здесь п и ti определяются соотношением (1.4.12). В противном
случае измерения будем считать дискретными.
Косвенным критерием допустимости замены сумм векторов
интегралами может служить величина отношения Д/пнп(/к—/н)-1.
цРи оценке точности определения параметров траектории изме¬
рения можно считать непрерывными, если Д/щыДк—/п)-1^
Ю~34-0,5-10~3. Для большинства космических навигационных
25

приборов величина A^mm меняется от единиц секунд (например,
радиолокационные станции) до нескольких минут (неавтомати¬
ческий астроизмерительный прибор, например секстант). В то
же время интервал |7Н, ^к] в зависимости от типа КА изменяется
от единиц часа (искусственные спутники планет) до суток и даже
месяцев (полет к Луне или планетам).
Поэтому достаточно часто можно принимать измерения не¬
прерывными. Из непрерывных измерений с заданной предель¬
ной плотностью Т выделим случаи, когда для любого i величина
Tvi = 4r~1qVi (здесь qVi— располагаемое количество измерений
i-ro измеряемого параметра позволяет для любого момента
времени t навигационного интервала |7П, А] с требуемой точ¬
ностью записать следующее соотношение:
47 J w (/) wT (/) dt qpiw (/) wT (/).	(1.4.13)
t
Так как формально равенство (1.4.13) можно записать при
Ч;—>-оо, данный случай будем называть случаем с допустимой
бесконечной плотностью измерений. Поэтому согласно соотно¬
шению (1.4.13) располагаемое количество измерений, допускаю¬
щее бесконечную плотность измерений, может быть размещено в
любом моменте времени, выбранном из навигационного интер¬
вала.
1.5. ОЦЕНКИ ДИСПЕРСИИ ПЕРВОГО КЛАССА
Пусть G — ограничивающее множество матриц вторых мо¬
ментов ошибок измерений, допускающих единую заменяющую
матрицу В, не зависящую от параметра т]. В этом случае суще¬
ствует матрица оценок К, вычисляемая по формуле
К = НПВШ,	(1.5.1)
где
Нн = (WB^1WT)-1WB71,	(1-5.2)
при этом матрица Вп не обязательно совпадает с матрицей В.
Перечислим требования, которые предъявляются к заменяю¬
щей матрице.
Пусть Вг— произвольная матрица множества G. Определим
две матрицы К и К следующим образом:
К = Н„ВНш	(1.5.3)
К = НПВ,-Ш-	(1.5.4)
Здесь Hn = (WB71WT)“’WB71.
26

любой матрицы B,:eG должно выполняться
Д**'1
ДК = К-К> о.
Ппи наличии этого условия методические ошибки
		 		 ^ХГТТХГ'Т' иаГ>ТПТН1 ста nLULTMT.1 Т/Т О Л 7 Г- ТТ Г> Т1 ГТ
Тогда если В есть заменяющая матрица для множества G, то
( любой матрицы B,:eG должно выполняться неравенство:
(1.5.5)
вычисления
дисперсии Рт, будут неотрицательными. Из условия (1.5.5)
нпвн",-нвгнт=нп(в-в,)н;>о,
откуда для любой матрицы B^G имеет место соотношение
В>В(,	(1.5.6)
Таким образом, использование заменяющей матрицы в рас¬
четах равносильно завышению ошибок измерений. Поэтому же¬
лательно выбирать такую матрицу В, удовлетворяющую условию
(1.5.6), при которой завышение ошибок будет по возможно¬
сти меньшим. Это можно считать вторым требованием к заме¬
няющей матрице. Сформулируем его более четко.
Матрица В должна быть такой, что если вместо нее выбрать
В<Р В, то в множестве G всегда можно найти такую матрицу В;,
для которой условие (1.5.6) не выполняется.
В данной работе заменяющие матрицы определяются в виде
(1.3.4)
В=В0 + ВМ	(1.5.7)
где k будем считать фиксированным, не зависящим от числа из¬
мерений. Заменяющая матрица В, определенная таким образом,
обладает следующими свойствами.
1. При Bfe = O матрицу В = В0 можно использовать для вычис¬
ления оценки дисперсии, если действительная матрица вторых
моментов имеет вид (1.3.5)
B=||&(G)6(/;)exp{ — а|/;— ^|}|(, г, / = 1, 2, . . ., п.
Зная матрицу вторых моментов, можно определить матрицу оце¬
нок К по формуле (1.3.12). Однако для упрощения вычисления
матрицы иногда рационально заменить матрицу В, представлен¬
ную в виде (1.3.5), матрицей Во= ||5(G)2||, но при этом предель¬
ную плотность измерений определять по формуле
Ф = а2Л
Покажем, что при такой замене получается неотрицательная
методическая ошибка в вычислении дисперсии D,. .
Пусть на навигационном интервале [Лн, /к] проводятся v реан-
с°в измерений, каждый из которых задается моментами начала
11 конца измерений [ZHi, Л«]- На каждом из сеансов измерения
проводятся с постоянным, достаточно малым шагом АЛ Матрица
ошибок определяется формулой (1.3.12). Учитывая малость шага
27

At, приближенно можно заменить сумму интегралом и после не¬
сложных преобразований получить
к=
v Ki
-у	w (/)<#+ -у [w(/H1)wT(/H1)+w(^,)«iT(^v)]4-
lW (*H,Z + l)wT(*H,/ + l)+w (/KZ)WT (/i;1.)]
1 | e“(/H,i+l
.(1.5.8)
Если же В = Во = [|& (Zi)2II, то при Чг = а/2 матрица оценок мо¬
жет быть записана
—1
K2 =
(1.5.9)
Очевидно, что	а значит, методическая ошибка в вычисле¬
нии дисперсии Dv неотрицательная.
2. Матрицы, определенные по формуле (1.5.7), могут служить
заменяющими для широкого класса ограничивающих множеств
G, заданных соотношением
В;-ВГ!-С!ЕП)С:,	(1.5.10)
где Во — диагональная матрица порядка п\
С — матрица размерности (пХ&);
Пг — матрица размерности (&Xr), k^r.
Матрицы Во и С известны, а множество матриц П опреде¬
ляется неравенством
ПгП)<Е*.	(1.5.1U
Заменяющая матрица для данного множества G имеет вид
В = ВО + ССТ.	(1.5.12)
Докажем, что матрица В удовлетворяет двум требованиям,
предъявляемым к заменяющим матрицам.
Пусть В, = Во + СП^ПдО есть произвольная матрица множе¬
ства G. Тогда для нее выполняется равенство
дК = НйВШ - НПВ;Ш = Н„ (В - в() н;=
= НПС (Eft—П,П})(НпС)т.
28

Но по условию (1.5.11) Eh — П{Пгт^О, а значит, АК^О, что и
называет выполнение первого и основного требования к за¬
меняющим матрицам. Докажем теперь выполнение второго усло¬
вия.	==
Пусть выбрана матрица В, удовлетворяющая условию
В<В.	(1.5.13)
Покажем, что матрица В не может быть принята в качестве
заменяющей матрицы для ограничивающего множества G, так
как всегда можно найти такую матрицу B,eG, что В—В,^О, а
значит, для матрицы В не будет_выполняться первое требование.
Предположим противное, что В есть заменяющая матрица для
множества G. Тогда В—Ва^О, так как ВоеС (П; = О). Поэтому
согласно условию (1.5.13) можно записать: В—Ва = ССт^
>В-Ва^О. Это означает, что можно найти_такую матрицу П,
которая удовлетворяет двум условиям: ППт^Е/г и В—Во =
= СППТСТ. Но тогда можно выбрать такую матрицу П, при кото¬
рой выполнялось бы соотношение
ППТ < П Пт < Ей.	(1.5.14)
Последнее означает, что если Вг = ВО + СППТСТ, то В,еб и В,>В.
Это противоречит предположению о том, что В — заменяющая
матрица. Таким образом, второе требование для матрицы В вы¬
полнено.
В случае ограничивающих множеств G, заданных соотношени¬
ем (1.5.10), заменяющая матрица В = Ва + ССт при ВП=В обла¬
дает одним ценным свойством. Рассмотрим его.
Пусть K;=(WBr1WT)-1 и К,-= HnBzHj, где Bz SG. Множест¬
во матриц К, (обозначим его через G) определяет множество
возможных значений матриц ошибок при известной матрице вто¬
рых моментов B = B,eG. Выше, в разд. 1.4, было показано, что
при замене матрицы вторых моментов В случайного процесса в
матрице правдоподобия любой другой матрицей ВП=И=В ошибки в
параметрах могут только увеличиваться. Поэтому матрица AK; =
= К,—Кг^О для всех B,-eG и определяет меру повышения ис¬
тинных ошибок. Матрица В обладает тем свойством, что для
любого параметра т] можно найти такую матрицу В; из множе¬
ства G, для которой величина ^ДК/Ц будет равна нулю. Поэтому
•патрица правдоподобия, построенная с матрицей В = В, опреде¬
ляет некоторые границы множеств К;.
Для доказательства этого введем обозначения:
р 	rD_V2.
Cq— Coo ?
29

1.5.15
W(J=WB7'2;	+
H(,-(Wl,B51W!1ir’W,lB7'B(,12.
Тогда можно записать следующие соотношения:
K;.= (WB_1Wt)“1 = (W0W5)_1 + TM1Tt; (1.5.16;
К, = (WBr1WT)_1 = (W0WS)'1 + TM2TT, (1.5.17;
где	T-(W0Wj)-1W0C0(Eft + CT0QCo)"1;
Q=En-wS(wow$)-1wo;
AI^E. + CSQC,,;
M2 = (Eft + C5QCo) П; (Er + nIGQCun;)_1nI(Eft + C0QG).
Обозначим Тт1./; = е. Выберем матрицу П; так, чтобы матрица
Пг'П; была проектирующей и удовлетворяла уравнению П,;ПГ е =
= е. Тогда, используя формулы (1.5.16) и (1.5.17), а также ра¬
венство (ПгП;- )2=П,П/, справедливое для проектирующих мат¬
риц, получим
l^K(lT = ernz((nynz + nlC0TQCon,)-
- (ГЦП, + n]CoQCon;) (Er+ nlCSQConJ^X
Х(П1П, + П1СторСоП()}П1е.
Так как матрица П,П;! —проектирующая, то П( П, = Е,. Поэ¬
тому
1(дКЛ = О.
1.6. НЕКОТОРЫЕ СВОЙСТВА ОЦЕНОК ДИСПЕРСИЙ
ПЕРВОГО КЛАССА. ТЕОРЕМА ЭКВИВАЛЕНТНОСТИ
1.	Пусть задана заменяющая матрица В, ц с ее помощью оъ
ределяется тгмерный вектор параметров траектории ai по п из- '■
мерениям. Матрица оценок при ВН=В определяется по фор¬
муле
K1 = (W1B“'W1r)~1.
Предположим теперь, что размерность mi-мерного вектора
ai = ||ai, а2, Om.il увеличилась на т2 единиц, т. е. совместно
с параметрами ai, а2, ..., а,„, по тем же ' измерениям опре¬
деляются еще т2 дополнительных параметров am, + i, ■ ■ ■
...,	при этом (ап=||цт1 + 1. . .am, + mJ|,	т2^п. Будем
считать, что т2 параметров +	..., ат, + т2 известны с точ¬
ностью, определяемой некоторой априорной матрицей ошибок
30

-f Эти данные можно принять как результат некоторых изме¬
рений параметров ami+i, .	ат,+т,. Тогда матрицу оценок ново¬
го (mi + m2)-мерного вектора ащ вычислим по формуле
от,
т, WJ
Т О	IH
xm 2 W|
Ет,
w2
В ||
Wo
здесь АУЖЖ^ЖЦ.
/=1, 2, . .., га; / = 1, 2. . .	т{;
^2=Цду(^)/да;11, i=l, 2, ...,«; j=m1-\-l, . .
За счет этого матрица оценок вектора at изменится, и эту новую
матрицу обозначим через Кь Матрице Ki соответствует верхняя
диагональная клетка размерностью (miXm2) матрицы Кш.
Используя формулу Фробениуса для обращения клеточных мат¬
риц [см. (П.3.2)], получим
Ki Omjxms J
HiW-
H1W-
[1 1”
s-1
0т,хт,0т2хт; (I
— Em2
— Em.
здесь
Ki = (W1B_1W[)_1;
S=Т“2 + WB 2QB4W':
Q = En-B~1'2WnW1B_1W0_1W1B“12.
Откуда
Ki = Ki + HiW2S_1W2H[.	(1.6.2)
Оценка дисперсии ошибки в определении параметра г} =
= i](ai, ац) выражается формулой
Dv11 = i;,Kil11 + (E,1HIW2T-lr,2)S-1(UIHIW2T-ll2)T, (1.6.3)
где
к=1ЖЖ1|, /=1, 2, . .., тр
Ц^И^Ж II, 1 = 171^1,
2.	Рассмотрим теперь другой случай, нередко встречающий¬
ся на практике. Пусть по га навигационным измерениям опреде¬
ляются не все параметры вектора ani = l|ai, а2, ..., ^п’+шгИ, а
только часть из них — а.\, а2, ..., ат,. Остальные параметры счи¬
таются известными с априорными ошибками, характеризуемыми
Матрицей Т„ъ. Вектор определяемых параметров обозначим через
ai, а вектор априорно известных — через ац (ащ =|| ai, ац||). Опре¬
31

деление вектора ai производится с помощью заменяющей матри¬
цы В и матрицы Тт,. Ошибки задания т2 элементов вектора аш
приводят к тому, что все параметры т) = т] (аг, ац), в том числе п
измеряемые y = y(ai, ац), будут вычисляться со следующей
ошибкой:
Дт( = 1УдаЬ; AYT=W2Aab;
(1.6.4)
Tz (anI) = Yi. (аш) + Ду,-,
где
Е,2 = ||^/^г||, Z^m^l, ...,тх±т^
Дан =||Да(-1|, z = mi4-l, . ..,	+
ащ — истинное значение аш;
дт=|| ДТ1, дт2, ..., дт„||;
Ла,— ошибка задания i-го члена вектора состояния;
w2=pY	г = 1, 2, . . ., п\ у=т4-1, . . тх±т2.
Поэтому при решении задачи определения т-, параметров
вектора ai по результатам измерений появляется ошибка, кото¬
рая может быть вычислена по формуле
Aa^Hi [у — у(аш)]т = Hi [(у — т(аш)) — Ду]т,
где Hi = (W1B_1W{)_1WB_1.
Из этого соотношения следует, что задание т2 параметров
ami+i, . . ., ami+m, вектора ani=llai, anil с ошибками Лац равно¬
сильно введению дополнительных ошибок измерений, определяе¬
мых по формуле
Дут= — мУгДап,	(1.6.5)
с матрицей вторых моментов следующего вида:
B = W'^Tm2W2.	(1.6.6)
Учитывая соотношения (1.6.4) и (1.6.5), формулы для матрицы
оценок дисперсий ошибок определения вектора am=||ai, ац|| и
оценок дисперсий ошибок определения параметра т] принимают
вид
Ki 11 =
К;	On-xir.,
+
HiW;
Tm2
H.WJ
Отгхт, Om,xm2
— Em2
— Em2
П7)=Ц,К1и+ IKH^J-lJlTzJKHiWa-ljr, (1.6.8)
здесь
Ki= (WjB-’Wl)-1.
32

Сравнивая формулы (1.6.1) и (1.6.3) с формулами (1.6.7) и
(1.6.8), можно отметить следующее.
Матрицы оценок Кш и оценки дисперсии ошибки определе¬
ния параметра т] в том и другом случаях отличаются одним со¬
множителем во втором слагаемом. В первом варианте этот со¬
множитель равен S-1, где
S-T^ + WoB-^QB-^Wz,
а во втором — Тт,. Очевидно, чтоТт2 >S_1, а значит оценки
ошибок определения вектора аш в первом варианте не превыша¬
ют оценок ошибок определения вектора аш во втором варианте.
3.	При определении параметров вектора ащ по результатам из¬
мерений при заменяющей матрице В, заданной в виде (1.5.7),
иногда с целью упрощения вычислительного процесса часть сис¬
тематических ошибок, задаваемых матрицей В^В^ не учиты¬
вается, а матрица правдоподобия вычисляется по формуле
H = H1I = (WB71W)1WBrI.
В этом случае заменяющая матрица В представляется в виде
В = Вп 4~ Bm2Bm2,
где Вп — матрица, используемая в матрице правдоподобия (в
частности, матрица Вп может быть диагональной, т. е. ВП=ВО)
и соответствующая учитываемым ошибкам измерений;
Вт2 — матрица размерности (пХт2), характеризующая груп¬
пу выделенных (неучитываемых) т2 систематических ошибок
(при ВП=ВО, Bm2=Bft).
В дальнейшем этот вариант построения матрицы Н при за¬
дании матрицы В в виде (1.5.7) будем называть случаем неучи¬
тываемых систематических ошибок. Обычный же вариант вы¬
числения матрицы Н, когда Вп принимается равной В, будем
называть случаем учитываемых систематических ошибок. Мат¬
рицы оценок соответственно для случаев учитываемых и неучи¬
тываемых систематических ошибок определяются формулами:
Ky = HBHT=(WB'1WT)“1 = (WB71WT)_1 +
+ HrtBm2S~1B;2H^ = Kn+AK1;	(1.6.9)
Кн—HnBHj=(WB71WT)_14-HnBm2Bm2Hj = KII+ДК2, (1.6.10)
где
S = Em2 + B;2B712QB71/2Bma;
H = (WB_1WT1WB“1;
Q-E„,!B712Wt(WB71Wt)-1WB712;
2—3490
33

H„ = (WB71WT)1WB7‘.
Как видно из сравнения этих формул, матрица К в том и другом
случаях равна сумме двух слагаемых. Первое слагаемое у них
одинаково и равно матрице оценок, соответствующей ошибкам
измерений с матрицей вторых моментов Вп. Второе слагаемое
учитывает наличие в измерениях выделенных систематических
ошибок. Между АК; и ЛК2 существует соотношение
дК!<дК2,	(1.6.11)
являющееся следствием соотношения (1.4.1). Это равносильно то¬
му, что матрица оценок при учитываемых систематических ошиб¬
ках не. превосходит матрицы оценок при неучитываемых система¬
тических ошибках.
Существует класс систематических ошибок, при которых
S = E., а значит и Ки = Ку. Матрица вторых моментов для него
определяется соотношением
где BL. = AWB71/2;
А —матрица размерности (m,Xffi).
докажем следующую теорему.
Теорема 1. 6. 1. Если Bm, = AWB712’ где А —матрица раз-
мерсостп (т2Хт), то S = Em„ и наоборот, если S = Em2, то
ВД. =AWB72.
/действительно, если Bm2 = AWB712, то имеет место тож¬
дество
B;iQBm3=B;2Bm2-Bm;B712wT(wB71wr)-1wBJ?12B;2=B;2Bm2-
- A WB71 W' (WB71 w--)"1 WB71 W rA = B^2B„Za - B^2Bm2 = 0.
Если S = Em2, то
B;(2QB,„2 = b;2 (Е„- B71,2Wt(WB71W‘)-1WB71/2) В,	0.
Но это может быть только в том случае, когда Bm2B7I 2WT X
X 1 W В75 Wт)-' WB71' = В, 2, поэтому согласно свойству проек¬
ту ющих матриц матрица В,„ должна удовлетворять равенству
b;2=awb712,
)д;. А—матрица размерности (т2Хт).
В силу доказанной теоремы при наличии систематических
сши бок указанного класса безразлично, учитываются они или
не; при построении матрицы правдоподобия (S = Em2). Кроме
этого, сама матрица оценок в указанном случае принимает спе-

пифический вид. Подставляя матрицу BA, = AWB„lw в формулу
(1.5.20), получим
Кп = ку =(WB71Wt)"1 + AtA,	(1.6.12)
т. е. приращение ЛК, обусловленное наличием систематических
ошибок рассматриваемого класса, определяется только матри¬
цей А, не зависит ни от числа, ни от моментов измерений и вы¬
числяется по формуле
дК = АтА.	(1.6.13)
Если число измерений равно размерности вектора а (мини¬
мальное число измерений), то соотношение
В.АWB'
для невырожденной матрицы WB~ всегда разрешимо относи¬
тельно матрицы А при любом В,„2. При этом матрица А уже не
будет постоянной, а будет зависеть от моментов измерений. Этот
результат позволяет сформулировать следующую лемму.
Лемма 1.6.1. В случае минимального числа измерений матри¬
цы оценок дисперсии ошибок определения вектора а при учиты¬
ваемых и неучитываемых систематических ошибках совпадают.
4.	Наличие в измерениях систематических ошибок приводит
к изменению значений оценок дисперсий, аналогичному тому, ко¬
торое вызывается увеличением размерности вектора а. Для до¬
казательства этого проведем некоторые преобразования формул
(1.6.9) и (1.6.10). Представим матрицу Вт2 в следующем виде:
B;2 = W2Tffl2I/2,	(1.6.14)
где T„,2—невырожденная, симметрическая, положительно оп¬
ределенная матрица порядка т2;
W2—матрица размерности (и2Хп).
Подставим выражение (1.6.14) в (1.6.9) и (1.6.10) и проведя
преобразования, получим
K^WjB^WlH + HiWzS^W.Jir;	(1.6.15;
K^CWjB^wD-^HiW^w^i.	(1.6.16)
Здесь обозначено: В = В„; Wj=W; Hj = Hrt;
S2 = T“2 + W2B_I/2QB_12W2.
Соответствующие оценки дисперсий примут вид
(П-Ц.-Ц.КЛ,; (D^l^K^,,
где Ц, = 1т,.
2*
11.6.17)
35

Сравнивая эти формулы с формулами для оценок дисперсии
(1.6.3) и (1.6.8), можно отметить следующее. Формулы для оце¬
нок (Dr])y и (1)т])ц могут быть получены из формул (1.6.3) и
(1.6.8), если положить 1Т|2 = о. Это свойство сформулируем в виде
следующей теоремы.
Теорема эквивалентности. Влияние т2 систематических оши¬
бок на изменение оценки дисперсии ошибки определения пара¬
метра г] эквивалентно увеличению размерности вектора а на т2
единиц при условии равенства нулю вектора производных от
параметра ц по введенным параметрам вектора а(12=о). При этом
случай учитываемых систематических ошибок эквивалентен слу¬
чаю определения всех параметров вектора а увеличенной раз¬
мерности, а случай неучитываемых систематических ошибок —
случаю задания значений добавляемых параметров по априор¬
ным данным.
Справедливо и обратное утверждение. Увеличение размерно¬
сти вектора а на т2 единиц приводит к таким же изменениям
оценки дисперсии ошибки определения параметра ц при условии
1т|2 = о, что п т2 дополнительных систематических ошибок с мат¬
рицей вторых моментов, определяемой по формуле (1.6.6).
1.7.	ОЦЕНКИ ДИСПЕРСИИ ВТОРОГО КЛАССА
Рассмотрим оценки дисперсии в тех случаях, когда для огра¬
ничивающего множества G либо нельзя получить единую заме¬
няющую матрицу, либо нерационально ее применять для вычис¬
ления оценок дисперсий.
Пусть об ошибках измерений N групп параметров известны
лишь следующие весьма неполные данные:
—	дисперсия ошибок измерений на каждый момент времени —
—	максимальное значение ki модулей коэффициентов кор¬
реляции между ошибками измерений одной и той же группы па¬
раметров на всем навигационном интервале;
—	коэффициенты корреляции между ошибками измерений
разных групп параметров равны нулю.
Последнее условие имеет место тогда, когда одновременно
рассматриваются измерения, полученные от разных навигацион¬
ных устройств, работающих по разным физическим принципам,
т. е. когда отсутствие корреляции между этими устройствами га¬
рантируется. Так, например, можно считать независимыми ошиб¬
ки измерений радиальной скорости КА с наземной радиолокаци¬
онной станции и ошибки измерений бортового астроизмеритель-
ного прибора.
Ограничивающее множество G для матриц вторых моментов
с указанными свойствами представляет собой множество диаго¬
нально-клеточных матриц: В=||Вг-,||, i, j= 1, 2, ..., N, Bi7 = O, если
1=И=/. Каждая /-я диагональная клетка представляет положи-
36

тельно определенную симметрическую матрицу, для которой оп¬
ределено значение диагональных членов =	а па не¬
диагональные члены bj., наложено ограничение
Пусть в каждой i-й группе параметров проводится и,- измере¬
ний. Тогда матрицу Be eG можно представить в виде суммы
Ве = 2Ве/,	(1.7.1)
/=1
где Bez —диагонально-клеточная матрица, аналогичная матри¬
це Be, при этом все клетки, за исключением i-й диагональной,
равны нулю; г-я диагональная клетка равна l-й диагональной
клетке матрицы Be-
Будем считать, что матрица правдоподобия определяется по
формуле
HhHWB^W'O^WBT1,	(1.7.2)
где ВП=ВО — диагональная матрица, образованная известными
дисперсиями ошибок измерений От.(/р; диагональные члены у
матриц Во и Be совпадают. Для каждого параметра г] = ц (а) оп¬
ределяется такая матрица B^f=G, которая обеспечивает макси¬
мальное значение оценки дисперсии, вычисляемой по формуле
От)=ЦНпВеНХ,;
Be е G.
(1.7.3)
Получим
выражение для этой оценки и для матрицы ВГ|
в зави-
симости
от значений 74^(0, kt и величины N. Введем
обозна-
чения:
1ЦwBo'1wT)_1WBo’1/2=: | Р1, р2	РлЛ;
(1-7.4)
г>	R^‘R	R	г> —Г'2
De— DO	t>^D0	,	D$r=D0	DgfDO	,
(1.7.5)
здесь р,=
= ||рг-1, ..., pin.\\—вектор размерности (lXn,j (i-
= 1, 2, ...
..., А/). Очевидно, что все диагональные члены матрицы Ве рав¬
ны единице. Тогда, используя соотношение (1.7.1), выражение
(1.7.3) можно переписать в виде
D7i = 2 р‘ВЕ‘'р1>	(1-7.6)
/=1
где не равная нулю t-я клетка матрицы В£г- обозначена через
Bti.
37

Нетрудно заметить, что для членов b‘j., матрицы щ,- справедли¬
во следующее соотношение:
~Ь'ц=\,	j=\,2, . . .,пр
0-7.7}
0<|^|<^,
Определим значения недиагональных членов матрицы В^,,
обеспечивающих максимальное значение оценки дисперсии Di].
Представим матрицу Ве, в виде суммы единичной матрицы
ЕЛ/’И матрицы (В5,)ь Очевидно, что если (B^-)i=||b/.. то bjj=
= 0. Согласно соотношению (1.7.6) можно записать
D-g = 2[(D< ^т-н],	(1.7.8,
/=1
Ц1
где	(Dti)/, i = 2
j=i
п i п i
(DTi),.,n = 2	•
J=1 v=l
Значения элементов bj.„ обеспечивающих максимальное значе¬
ние оценки дисперсии (От])г-,ц, определяется по формуле (i#=v)
blh = ki sign sign/?Zv.	(1.7.9)
Подставляя (1.7.9) в (1.7.8), получим
,V Г	"i	/ "i
(D<ax=2 (И) 2 /й+Ч 21 Pii
1 = 1 L	7=1	V-1
Обозначим
D-f](^. ) = (1 -k-t ')'2iP2ij + kl (2 I Pii
/-I	V=i
Тогда
(D7i)max = 2EM£z).
i-i
Если ошибки измерений i-й группы параметров независимы,
то fe, = 0, а если они систематические, то ki = 1.
38

DiqU/h.
g соответствии с этим получим
-0 = 2^/ =
>1 \/-1
Полученный результат представим в виде следующей теоремы.
Теорема 1.7.1. Оценка дисперсии второго класса для введен¬
ного ограничивающего множества определяется соотношением
dv(=2D7>	t1-7-11)
1=1
где	) = (1 — kt) Dt](£; )^=o + ^-Dv/(^. )g.=i.
Из теоремы 1.7.1 непосредственно вытекает следующее следствие.
Следствие 1.7.1. Оценка Dr] (fej) при изменении /г; в пределах
0=С&г^1 удовлетворяет неравенствам
Dr] (kt) fc.=0 < D\ < Dr; (ki) ^,=1.
Наиболее простой вид формула (1.7.11) принимает в том слу¬
чае, когда N=1. Тогда выражение (1.7.11) может быть перепи¬
сано так:
Dri = D-/i(/0 = (l -^D-^^Uo + ^D-^/eKvi. (1.7.12)
Матрицы Вт., обеспечивающие максимальное значение оценки
дисперсии Dr], определяются по формуле
ВП/ = (1	E;,. + ^.b;bL /=1,2,...,Л\	(1.7.13)
где Ьг = ||signрц\\, /=1, 2, п-t — столбец размерности (щХ1),
откуда заменяющая матрица Вл вычисляется по формуле
Вг= 1|ЁЦУ||; В,г; = О, если / ф j и
В,.. = (1 - kt) B^ + ^Bj^blB^,
где ВОг—1-я диагональная клетка размерности (п;Хпг) диаго¬
нальной матрицы Во.
При М=1 матрица Вт, запишется в виде
Вт = (1 — %) Bo + ^Bo2b?b<Bj 2,	(1.7.14)
где d=||sign (Ц (WBo^W1)-1 w(^)Z>oft)_1/2 )|, *=1,2,
W=||w(/1), w(^2), . . ., wOI;
Bo = Hoft)l|, i=l,‘2,
39

В параграфе была найдена оценка дисперсии для случая, ког¬
да матрицы, принадлежащие множеству G, могут быть пред¬
ставлены в виде (1.7.1). На практике часто встречаются случаи,
когда заранее можно выделить ряд систематических факторов
(ошибки в положении навигационной планеты, ошибки в гравита¬
ционных константах), для которых может быть получена мат¬
рица вторых моментов типа В*В^. Результат, полученный в разд.
1.7, можно распространить на этот случай, если считать, что ог¬
раничивающее множество задано для матриц типа В — В/;В£ ,
где В — матрица вторых моментов ошибок измерений. Тогда
для вычисления матрицы правдоподобия вместо формулы (1.7.2)
используется формула Н = (WB71Wr)_1V/B71, где BIt= Во-|- B^Bs .
Можно также использовать теорему эквивалентности и
все предыдущие рассуждения будут справедливы без изменения,
если предположить, что размерность вектора а увеличится на
тк единиц, а матрица правдоподобия вычисляется по формуле
Н = ( W В?1 WT)_1 W ВТ1, где W =
W
Е; С
;В0=
I ’
Вй
, Oftx*B0
1.8.	ЭЛЕМЕНТАРНЫЕ И СОСТАВНЫЕ ОЦЕНКИ ДИСПЕРСИЙ
В предыдущих параграфах были рассмотрены оценки диспер¬
сий двух классов:
—	оценки первого класса, соответствующие тому случаю, ког¬
да ограничивающее множество матриц вторых моментов позво¬
ляет получить заменяющую матрицу, единую для всех парамет¬
ров Т].
—	оценки второго класса, соответствующие тому случаю, ког¬
да заменяющая матрица вторых моментов зависит от парамет¬
ра ц.
Оценки дисперсий каждого из введенных классов могут быть
разбиты на отдельные виды оценок в зависимости от особеннос¬
тей ограничивающих множеств матриц вторых моментов ошибок,
измерений, для которых они были получены. Выбор вида ограни¬
чивающего множества G, а значит, и вида оценки в каждом конк¬
ретном случае зависит от ряда факторов, в число которых вхо¬
дит:
—	степень изученности навигационной аппаратуры;
—	точность знания констант, определяющих систему действу¬
ющих сил;
—	вид траектории полета и задач, стоящих перед КА;
—	допустимая сложность алгоритма определения параметров
вектора а по навигационным измерениям.
Так, например, если навигационная измерительная аппарату¬
ра достаточно хорошо изучена и поэтому с достаточной для рас¬
четов точностью могут быть определены статистические харак-
40

теристпки случайного процесса, приводящего к появлению оши¬
бок измерений, то для оценки дисперсии можно выбрать одну
из оценок первого класса. Если же сведения относительно оши¬
бок измерений крайне скудны, например известна предельная
ошибка, а характер корреляций ошибок измерений неизвестен,
то можно принять одну из оценок второго класса.
Чем больше учтено различных особенностей измерительных
процессов при построении ограничивающего множества G, тем
ближе оценка дисперсии, соответствующая этому множеству, к
истинной дисперсии ошибки определения параметров.
Рассматриваются ограничивающие множества различных ви¬
дов. В соответствии с этим введены различные виды оценок. Все
оценки делятся на элементарные и составные. Первые соответ¬
ствуют наиболее простой структуре ограничивающих множеств,
а вторые — более сложным ограничивающим множествам G.
Перед разбором конкретных видов оценок введем ряд обозна¬
чений. При рассмотрении оценок первого класса предполагается,
что вектор-функция

II
квадратным корнем из дисперсии независимых ошибок измере¬
ний; обозначение же вектор-функции остается прежним, поэтому
(/= 1, 2, . . ., т) нормирована
(z = 1, 2, . .., m).	(1.8.1)
Заменяющая матрица В также нормирована матрицей Во 1/2,
поэтому она запишется в следующем виде:
B = E„ + BftB?=E„+2bt-bL
/=1
(1.8.2)
вектор-
предполагается -нормированной квадратным
где ВА = ||ЬО Ь2, . .., bj.
При рассмотрении оценок дисперсий второго класса
,	1| с>7 (О
функция I —!

| dat
корнем из дисперсий ошибок измерений, при этом обозначение
такое же. как ив формуле (1.8.1).
При написании формул для оценок предполагается, что на
навигационном интервале выбрано п моментов времени ti, t^, ...
..., t„ и в каждом моменте времени G проведено qi измерений.
Остановимся на каждой из оценок в отдельности.
А. Элементарные оценки. К элементарным оценкам
относятся оценки трех видов.
1.	Оценка первого класса при В/. = 0. Эта оценка использует¬
ся в том случае, когда в измерениях присутствуют только неза¬
висимые ошибки. Эта оценка обозначается через DTr( и вычис¬
ляется по формуле
41

(1.8.з;
Dpi = l^Kb„
где К — матрица оценок, определяемая по формуле
g <7(.w&)wT(^ 1 =(WWT1.	(1.8.4)
2.	Оценка первого класса при В0 = О, k=l и неучитываемой
систематической ошибке. Эта оценка используется тогда, когда
в измерениях присутствует одна систематическая ошибка, задан¬
ная матрицей ЬЬТ, где
Ьт = ||(/t), ..., (/J, .. ., b (/J, . .., b(tn)\\, b (/) — функция, onpe-
Qn
деляющая на момент t компоненту вектора b. Оценка обознача¬
ется через Бгт( и вычисляется по формуле
2
. (1.8.3
3.	Оценка второго класса при .-V=l и k=\. Такая оценка ис¬
пользуется тогда, когда известны только дисперсии ошибок из¬
мерений, а коэффициенты корреляции между ошибками измере¬
ний могут быть произвольными. Оценка обозначается через
D37) и вычисляется по формуле [см. (1.7.11) при rV = l, 6=1]
(1.8.6
где а (/;)=!)
2 6';w(/,.)wT(/i.) | w (/,.).
.' = 1	/
Б. Составные оценки. К составным оценкам относятся
оценки дисперсий следующих видов.
1.	Оценка первого класса при В0=Н=О, В;.=Н=О,	при этом
систематические ошибки неучитываемые. Эта оценка использует¬
ся в тех случаях, к^гда в измерениях присутствуют независимые
ошибки, определяемые матрицей вторых моментов Во, и k систе¬
матических ошибок (матрица ВучВ», Вд^ЦЬ^ b2, . ,.,ЬЛ||). . При
этом в матрицу правдоподобия входит лишь матрица Во. Оцен¬
ка дисперсии, обозначаемая Dip, вычисляется через элементар¬
ные оценки по формуле
Z-1
42

где	—вторая элементарная оценка, соответствующая
систематической ошибке, задаваемой матрицей
bibiT.
2.	Оценка второго класса при М=1. Эта оценка используется
тогда, когда известны дисперсии ошибок измерений, а коэффи¬
циенты корреляции ошибок измерений не превышают известной
величины k. Оценка дисперсии, обозначаемая D2t], вычисляется
через элементарные оценки по формуле
D27i = (l-£)D^ + W3V	(1.8.8)
3.	Оценка второго класса при N> 1 и =	= ... = kn= 1. Оцен¬
ка используется в тех случаях, когда измеряемые параметры
можно разбить на N групп. При этом в каждой группе известны
дисперсии ошибок измерений, а коэффициенты корреляции не
определены. Ошибки же измерений параметров, входящих в раз¬
личные группы, независимы. Оценка обозначается через D3t] и
вычисляется по формуле
°з''1==2 2a(^signct
<•-1 L/'-i
2
(1.8.9)
где /,1, ..., tini — моменты измерений t-й группы параметров;
а ц ^2 2 wT j w
4.	Оценка второго класса при Af>l и £,<1 (см. § 1.7). Эта
оценка обозначается через D4-q и вычисляется по формуле
1=1	t-A
N
+2
1=1
I
(у signa(/,.;.)
л'-i
(1.8.10)
5.	Оценка первого класса при В0^=О и ВЛу^О, систематиче¬
ские ошибки учитываемые. Эта оценка используется в том случае,
когда в измерениях присутствуют независимые ошибки (матрица
вторых моментов Во) и систематические (матрица вторых мо¬
ментов	а в матрицу правдоподобия входит вся за¬
меняющая матрица В = В0+ В/;В*. Обозначается оценка через
D5t). Согласно теореме эквивалентности учесть влияние учиты¬
ваемых систематических ошибок на величину оценки дисперсии
можно увеличением размерности вектора а на k единиц. При
этом матрица производных от измеряемых параметров по добав¬
ляемым параметрам определяется соотношением
4.3

w2=b*.
а матрица априорного знания этих параметров — выражением
т2=ь\.
После такого приведения оценка D5tj может быть вычислена
по тем же формулам, что и оценка Di?]. Поэтому в дальней*
шем оценка D5t] не будет рассматриваться ввиду ее эквивалент¬
ности оценке Db].
Приведенные формулы для оценок несложно переписать на
случай непрерывных измерений с заданной плотностью
Предположим, что на навигационном интервале задано М сеан¬
сов измерений моментами начала и конца (^ш-, /к;). Тогда, считая
вектор-функцию w(/) и функции b(t), Ф(/) кусочно-непрерыв¬
ными, можно записать
Оценки DiT] и D2r| определяются через элементарные оценки,
поэтому запись в случае непрерывных измерений не изменится.
При записи оценок D3r| и D4r| принимаем, что сеанс измерений
1-й группы определяется моментами начала и конца tHji, tKji- По¬
этому
(1.8.14)
w	Mj (кП
J T(/)(1:Kw(<^ +
(1.8.15)
44

где
/ м Mj fKii
к= 22 J
\>=1г=1 \ii
Для 'непрерывных измерений можно принять ту же форму
записи, что и для дискретных, при следующем условии. Разде¬
лим каждый сеанс измерений на элементарные интервалы дли¬
тельностью М, одинаковой для всех интервалов и выбранной
так, чтобы можно было использовать равенства:
J Т" (/) w (/) wT (/) dt = ЦТ (/)A/w (/) wT (/);
t
t+м
t
t+M
(1.8.16)
для любого t из интервала [ZH, Ц.
Тогда равенства (1.8.11) 4-(1.8.12) могут быть записаны в
форме (1.8.3), (1.8.5), (1.8.6), (1.8.9), (1.8.10), если положить
q(/) =ЧГ(/)ДА Отличие такой формы записи оценок для непре¬
рывных измерений от формы записи для дискретных измерений
будет состоять в том, что q, целочисленные в дискретных изме¬
рениях, в непрерывных измерениях могут принимать произволь¬
ные значения.
Глава 2
ПРОСТРАНСТВО ПАРАМЕТРОВ
ТРАЕКТОРИИ
И ВЫПУКЛАЯ ОБОЛОЧКА
2.1. ПРОСТРАНСТВО ПАРАМЕТРОВ ТРАЕКТОРИИ
Пусть вектор а определяется по измерениям навигационных
параметров y,(s,,	2, ..., v) на навигационном интервале
[/н, U Тогда при оценках дисперсии ошибки определения векто¬
ра а или любого параметра т] = т] (а) справедливо следующее.
Если измеряемый параметр одномерный	то он полностью
задается m-мерным столбцом w(/):
w(/) = pY(/)/^7-!i, / = 1,2,	(2.1.1)
Если измеряемый параметр s-мерный (y(s, t) =||yi(/)., ...
..., ys(0 II), то для его определения требуется задание уже s столб¬
цов типа (2.1.1):
45

W(s,/)=||w1(/), w2(zf), ...,ws(t)H.	(2.1.2)
Как уже отмечалось в разд. 1.1 и 1.3, функции yi(0, Y2(0,
..., Ys(/) s-мерного измеряемого параметра определены с точ¬
ностью до некоторого преобразования, не нарушающего форму
задания матрицы вторых моментов ошибок измерений [см.
разд. 1.3, формулу (1.3.2)]. Для W(s, t) таким преобразованием
является ортогональное преобразование, определяемое произ¬
вольной ортогональной матрицей I. Только в этом случае условие
(1.3.2) будет сохранено. Поэтому Wi(s, t) и W2(s, t) определяют
один и тот же измеряемый параметр, если выполняется соотно¬
шение
W2(s,/)-W1(s,Z) I,	(2.1.3)
где I — некоторая ортогональная матрица размерности (sXs).
Существует инвариантное задание s-мерного измеряемого
параметра y(s, i). Действительно, справедливо равенство
Wj (s, t) WT (s, /) = W2 (s, t) I4W2 (s, t) = W2 (s, /) W2T (s, /).
Поэтому m-мерная симметрическая матрица F(s, t) ранга s,
вычисляемая по формуле
F (s, t}= W (s, t) WT(s, /),	(2.1.4)
определяет s-мерный параметр v(s, t) независимо от выбранных
функций yi(0,	, Ys(0> характеризующих его. И наоборот,
если-задана F(s, t), то, записав ее в виде
F(s, /) = W(s, t) WT(s, t),	(2.1.5)
получим прежнее представление параметра y(s> О- Но необхо¬
димо помнить, что матрица W(s, t) в формуле (2.1.5) определена
с точностью до s-мерной ортогональной матрицы I. Поэтому,
когда значение матрицы I несущественно, совместно с представ¬
лением параметра y(s, 0 в форме (2.1.2), в дальнейшем называ¬
емым параметрическим, можно использовать форму (2.1.4) —
матричное представление.
Определяемый параметр т] = т] (а) задается m-мерным столб¬
цом Ц:
Ц=|| дц (а)/даг ||,	1= 1,2, ..., т.	(2.1.6)
При замене параметров a-t, а2, ..., ат, характеризующих вектор а,
на другие эквивалентные параметры а\, а2, ..., ат элементы w(^),
W(s, t), F(s, t) и Ц преобразуются как контрвариантные тензо¬
ры первого и второго порядков.
Пусть Т= ||даДда3||, i, j= 1, 2, ..., т; тогда величины w(Z),
W(s, t), F(s, /)и1, в новых параметрах ai, а2, .... ат определятся
по формулам
FH(s,/) = TTF(s,/) Т;
46

(2.1-7)
Ч=ТтЦ;
wH(/)-TTw(/);
WH (s,/) = TTW (s,/).
Поэтому измеряемые и определяемые параметры можно рассмат¬
ривать как элементы m-мерного линейного пространства G, на¬
зываемого в дальнейшем пространством параметров траектории..
Определим его следующим образом.
Выберем в m-мерном пространстве G т линейно независимых
векторов 1оь 1о2, ..., lom- Поставим в соответствие каждому векто¬
ру lot один из параметров а, вектора а. Тогда любому параметру
т] = т](а) в пространстве G будет поставлен в соответствие век¬
тор 1^, который в системе базисных векторов loi, I02, ..., lom опре¬
деляется столбцом
1т,=||б?т]	Z=l, 2, ..т.	(2.1.8)
Разобьем все объекты пространства G на две группы: опреде¬
ляемые объекты и измеряемые, или навигационные. Под опреде¬
ляемыми объектами будем понимать либо вектор Ц либо матри¬
цу Ц определяемого параметра ц (а) (понятие матрицы опреде¬
ляемого параметра ц(а) будет введено ниже, в разд. 3.2).
Измеряемыми объектами будут навигационные векторы w(/),
характеризующие одномерные измеряемые параметры y(i), ли¬
бо система s векторов llwf(^) [|, i=l, 2, ..., s, или /и-мерная мат¬
рица F(s, t) ранга s, характеризующая s-мерный измеряемый
параметр y(s, t). Геометрическим представлением матрицы
F (s, /) в пространстве G будем считать s-мерный эллипсоид,
определяемый формулой
1TW (s, /) [WT (s, /) W (s, /)]-2 WT (s, /) 1 = 1,	(2.1.9)
при условии, что вектор 1 лежит в плоскости векторов-столбцов
матрицы W(s, t). Тем самым в пространстве G определены нави¬
гационная вектор-функция w(^) и навигационная матричная
функция F(s, t), определенные на всем навигационном интерва¬
ле. Согласно условию, принятому в разд. 1.8, будем считать, что
навигационные вектор-функция и матричная функция нормиро¬
ваны дисперсиями независимых ошибок измерений [(см. форму¬
лы (1.8.1) и (1.8.2)].
Навигационная вектор-функция в пространстве G определяет
годограф — геометрическое место вершин векторов w(/) при из¬
менении времени на интервале [/и, Ц. По аналогии с этим будем
считать, что навигационная матричная функция F(s, t) опреде¬
ляет s-годограф — геометрическое место поверхностей эллипсои¬
дов матричной функции F(s, t) при изменении времени на интер¬
вале [/ц, С]-
47

Ввиду того, что па навигационном интервале [/„, /к] в каждый
момент времени в общем случае может быть измерено v пара¬
метров, иногда удобно пользоваться понятием полного навига¬
ционного интервала [тп, тк], у которого каждому моменту време¬
ни будет соответствовать только один измеряемый параметр.
Определим его следующим образом. Длительность его равна
тк —=	—/н),	(2.1.10)
причем на интервале [тн, тн+(Д—GJ] измеряется первый навига¬
ционный параметр, на интервале [тн+(t—1)(G<—tu), тп-Н’Х
X (Gt—GJ] измеряется t-й навигационный параметр. Полному
навигационному интервалу [ти, тк] будет соответствовать некото¬
рая обобщенная вектор-функция или матричная функция, имею¬
щая не менее чем (v—1) точек разрыва в 'моментах th + z(Gi—GJ,
где i= 1, 2, ..., v—1.
Для того чтобы все параметры вектора а могли быть опреде¬
лены по результатам измерений, должно выполняться следующее
условие:
I F | >0,
(2.1.11)
Д’ Д,+ '-Д-'н>
F=2 J W (s,WT(s,
/ = 1 У,+('■-!)«,-М
2.2. ГЕОМЕТРИЧЕСКАЯ ИНТЕРПРЕТАЦИЯ ФОРМУЛ
ДЛЯ ОЦЕНОК ДИСПЕРСИИ СШИБОК ОПРЕДЕЛЕНИЯ ПАРАМЕТРА >1
Для более полного использования преимуществ, которое да¬
ет введение понятия пространства параметров траектории G
при исследовании стратегии измерений, преобразуем формулы
для оценок дисперсий ошибок определения параметра т) = г] (а)
к такому виду, при котором они складываются из составляющих,
имеющих четкую геометрическую интерпретацию.
Будем предполагать, что измеряемые параметры одномерны.
Учитывая, что каждый 5-мерный параметр может быть представ¬
лен как s одномерных параметров, геометрическая интерпрета¬
ция, полученная при одномерном параметре, будет справедлива
и при многомерном параметре. Интерпретацию получим для фор¬
мул элементарных оценок Dig, D2‘g и DyG. Оценки DiT| и D2r]
определяются линейной комбинацией элементарных оценок, по¬
этому полученные результаты будут распространяться и на них.
Частично результаты могут быть распространены и на оценки
D3r| и D4r].
Оценки D^g и D3T1 имеют много общего. Та и другая явля¬
ются оценками дисперсий ошибок в параметре р и соответст¬
вуют систематической ошибке. Разница состоит в том, что для
48

оценки систематическая ошибка задается некоторой заранее
известной матрицей ЬЬТ, где компоненты Ьъ Ь.2,	вектора
b определяются’функцией й(т), заданной на интервале [тн, т,.[,
а для оценки D|t] матрица задана в виде b Ь\ где 7-е компо¬
ненты вектора b определяются равенством
2 ?7W wT
7=1
[см. формулу (1.7.14)]. Поэтому достаточно получить геометриче¬
скую интерпретацию формул оценок Di^ и D^, а для формул
оценок D37] она ‘получится как частный случай.
Перепишем формулы (1.8.3), (1.8.5) и (1.8.6) в следующем
виде:
Dh^WW’)"1!,;	(2.2.1)
D2371 = (1^WWt)-4i)2;	(2.2.2)
D397! = ( IJ(WWt)-> I,,)2,	(2.2.3)
где W=||W (Tj), W (r2),	, W (t„)
W(t(.)=||w(r(.), w(t,-), ..., w(r,.)|{, 7 = 1,2,..., n;
h =	(2.2.4)
7=1
hi = 2	siSn “	(2.2.5)
7 = 1
a (T,.) = i;(WWT)-’w (*<)•
Рассмотрим соотношение
a12 = lT(WWr)-]l2.	(2.2.6)
Обозначим через W, матрицу, получающуюся из матрицы W вы¬
черкиванием 7-й строки, а через 7lf, l2t— компоненты векторов
h и 12 соответственно. Тогда равенство (2.2.6) можно переписать
следующим образом:
т т
an=2 2(-	I w-'w> flWWT I"1-	(2-2-7)
/=17=1
Используя формулу Бине — Коши [14], согласно которой опреде¬
литель произведения двух прямоугольных матриц А и В размер-
49

ностей (тХп) и (пХт) соответственно равен сумме произведе¬
ний всевозможных миноров порядка т матрицы А на соответст¬
вующие миноры матрицы В, выражение (2.2.7) можно привести
к виду
— 1
(2.2.8;
2
п
где Wk,,k2	* —определитель матрицы m-го порядка, состав¬
ленный из столбцов матрицы W с номерами
I	kx,	km\
W к1	—определитель матрицы m-го порядка, анало¬
гичный предыдущему, но у которого на месте
столбца с номером km стоит столбец 1(.
Формула (2.2.8) с учетом того, что матрица W имеет на каж¬
дый момент времени I, измерения по q, одинаковых векторов
w(z,), позволяет получить следующие соотношения для элемен¬
тарных оценок:

Здесь через W\,s2	ь и W.T‘k	обозначены определи-
тели матриц m-го порядка, у которых kr, k2,..., km— номера
столбцов, соответственно равных векторам w(r/!1), w(тл>),...
..., w(Tfem).
Наиболее простой вид выражения (2.2.9) 4-(2.2.11) принима¬
ют в том случае, когда п = т, т. е. когда число моментов измере¬
ний равно размерности вектора а:
(2.2.13)
т ,
2 (sign а (т,.))
./ = 1
(2.2.14)
Пусть щ (i=l, 2, ..., т) есть координаты вектора 1 , в систе¬
ме векторов w(ti), w(t2), ..., w(rm). Несложно проверить, что
		-Г1;
1^27zW(t'')wT(T/^ w(t‘,) = 7L;
(2.2.16)
Используя данные соотношения,
можно переписать так:
sign a (r£-) = sign = sigrip.,..
Qi
выражения (2.2.12) 4-(2.2.14)
т
D^ = V
г-i
т
Обозначим через Dp,(kr, k2,..., km), DItJAj, k2,..., km<,
Вз-гцЛ], k2,..., km),	k2, .... km) соответственно значения
Dfrb D2T), Db], p-,-, если навигационными векторами являются
векторы w(ta ),..., w(r. ). (Здесь D?*] есть оценка типа
51
т
о

при &(r,-) = signa(tJ,i = 1, 2,..., n [см. (2.2.5)]). Тогда, ис¬
пользуя равенство
W к‘ F ft —P-ft- (^1>	^fti ,ft2, • ■ ■ ,ft_>
		 i	■ ‘’ m	1
формулы (2.2.9) -4-(2.2.И) можно переписать так:
r^eaft,	ft = 7ft,	(VV ft U У qq 	 qkX
1 ’	’ m	1	m	m) \	12»	m
11 ft,
X |W»

Очевидно, что для коэффициентов ak k выполняется соот~
*’■■■’ т
ношение
>-0. S 	. = >■	<-’'2-24
1 , » т !»•••» т
Введем понятие систематического вектора с пространства G,
соответствующего систематической ошибке измерений, определя¬
емой матрицей ЬЬТ. Вектор с определится по формуле
Используя вектор с, оценку	можно записать в виде
D23t( = (1t>)2.
Обозначим через с	km) систематический вектор, соот¬
ветствующий моментам	где 1	• •<km^n.
Тогда из соотношения
Dh(^i,. . ., Агт) = (Цс(^,’. . ., Лт))2
и из формулы (2.2.22) получим
с= 2 а*			km-).	(2.2.24*)
1 ’	’ т
52

Для геометрической интерпретации формул, определяющих
значения элементарных оценок, проведем некоторые геометриче¬
ские построения.
Пусть задано т навигационных векторов w(ti), w(t2), ...
..., w(rm). Объем m-мерной пирамиды, построенной па этих век¬
торах, определяется соотношением
Vi,2 m = (m!)-’det || w^J,..., w(rm) || =(m!)-1U7ii2,
Откуда Wi)2	m=(/n!)]Zi,2	m- Используя такое представление
Wi,2,...,m, формулы (2.2.9) 4- (2.2.11) можно непосредственно ин¬
терпретировать геометрически. Однако наибольшую наглядность
можно получить, если использовать интерпретацию формул для
оценок Diap и D23r] в случае минимального числа моментов изме¬
рений, а затем воспользоваться соотношениями (2.2.21) 4- (2.2.23).
Для этого сделаем дополнительные построения. Проведем через
вершины х(Т1), ..., х(тщ) векторов w(ti), ..., w(rm) гиперплос¬
кость М и назовем ее базовой для этих векторов. На точках
%(Т1),..., х(тга) в гиперплоскости Л1 построим (т—1)-мерную пи¬
рамиду, называемую в дальнейшем пирамидой основания, а
ориентированный объем обозначим через и. Пусть в пространст¬
ве G задан вектор 1Т, определяемого параметра г). Продолжим
линию действия вектора Ц до пересечения с гиперплоскостью М
в точке хг Вектор с вершиной в точке обозначим через 1
Очевидно, что 'вектор LT коллинеарен вектору 1, (коллинеар¬
ность двух векторов в дальнейшем будем обозначать знаком ||,
например 1,.г || 1т.). Вектор Ц называется внутренним по отно¬
шению к системе векторов w(ti), w(t2), .... w(rm), если точка хп
лежит внутри пирамиды основания. В противном случае этот
вектор 'будем называть внешним. Заменим одну из точек х(т<)
точкой и на полученных точках в гиперплоскости М постро¬
им пирамиду, ориентированный объем которой обозначим через
Uj. Относительный объем Ui = tif и~' i-й пирамиды определится
выражением
т
Очевидно, У их=\, откуда несложно получить
i=i
Если вектор	внутренний, то	для всех i= 1, 2,..., т.
Для внешних же векторов относительный объем должен иметь
различный знак при разных i. Поэтому согласно формуле
(2.2.25), если	для всех /=1, 2, ..., т, то вектор 1т, внутрен-
53'

ний по отношению к системе векторов w(ti), w(t2). В против¬
ном случае он будет внешним.
Соотношение (2.2.25) позволяет переписать формулу (2.2.17)
следующим образом:
I | р т	_
= (2.2.26)
I 7 \ I n?i
Для интерпретации формулы, по которой вычисляется оценка
D2<|, введем преобразованную вектор-функцию w„(t), опреде¬
ляемую соотношением
WnfTp Zmr'w (т).	(2.2.27)
Заменим векторы w(r,) аналогичными преобразованными
векторами и проведем построения, аналогичные предыдущим.
Пусть йп1	 йпт — соответственно ориентированные относитель¬
ные объемы, аналогичные объемам й\, йт. Тогда, если вели¬
чины Цпь ..., Цпт являются координатами вектора Д в системе
векторов wn(ri), ..., wn(Tm), то имеет место равенство
1ьпг=^-7«п‘--	(2.2.27*)
I * ю,п I
Это равенство позволяет представить формулу (2.2.13) в виде
Учитывая, что для ориентированных относительных объемов
справедливо соотношение
т
/ = 1
окончательно формулу для оценки	можно записать так:
= (2.2.28)
I W I
Обозначим через	гиперплоскость, проведенную через
вершины векторов wn(xi), ..., wn(rm). Пусть п есть вектор, орто¬
гональный к гиперплоскости Л1и, с вершиной, лежащей на этой
гиперплоскости. Тогда уравнение гиперплоскости можно запи¬
сать в следующем виде:
1П -| п I2.
(2.2.29)
.54

Учитывая, что вершина Ци лежит на гиперплоскости Ма, из
уравнения (2.2.29) следует равенство:
1ЧпГ1 = (1'о-п)|пГ2,	(2.2.30)
где Цо== I I Ц-
Подставляя соотношение (2.2.30) в (2.2.28), получим
DMi;.n)inr!]2=(i;«f,
где с — систематический вектор, вычисляемый по формуле
с = |п|~2-п.	(2.2.31)
Для получения оценки Di?] необходимо положить 6(т<) =
= sign(pi). Поэтому преобразованная вектор-функция wn(ri)
может отличаться от исходной только знаком. Знаки векторов
w(ti), w(t2), .... w(rm) выбираются так, чтобы в системе этих
векторов вектор Ц был внутренним по отношению к ним. После
такого преобразования можно воспользоваться формулой
(2.2.28) и определить оценку Dly
(2.2.32)
1	Z1,i I
Формула (2.2.26) остается справедливой при любых знаках
векторов w(Ti). В частности, можно выбрать такие знаки, кото¬
рые необходимы для вычисления оценки	В этом случае
из формул (2.2.26) и (2.2.32) можно получить следующую фор¬
мулу:
2	(2.2.33)
1=1
Рассмотрим, какой смысл имеет изменение знака у вектора
w(r,) при вычислении оценки D|v]. Пусть задано п моментов
измерений тд, Т2, • ••, тл. Обозначим через М гиперплоскость, точ¬
ки которой удовлетворяют уравнению
1* ^W^WCB-)T^ ио¬
гиперплоскость М делит пространство G на две части. Раз¬
ложим каждый вектор w(n) на два составляющих wm(t;) и
wn(ri), из которых вектор wM(xi) принадлежит гиперплоско¬
сти Л1, а вектор w11(r<) параллелен вектору Ц, так что wT)(ri) =
= а,1г,, поэтому
sign (2	w CG)]=sign («<•)•
55

Из этого следует, что знак вектора w(t,) выбирается в зависимо¬
сти от того, в какой части 'Полупространства лежит вектор
wT| (тг). Если в той же, что н вектор 1Т|, то знак вектора
w(Tj) сохраняется, если'—в другой, то знак меняется, так что
после преобразования все векторы лежат в том же полупрост¬
ранстве, что и вектор lv
2.3. ВЕКТОР-ФУНКЦИЯ С ПЛОСКИМ ГОДОГРАФОМ
Рассмотрим один частный вид навигационной вектор-функ¬
ции w(t). Предположим, что годограф ее_на полном навигацион¬
ном интервале лежит в гиперплоскости М, имеющей размерность
(т — 1). Это позволяет сделать ряд существенных упрощений в
вычислении оценок D?t] и	Рассмотрим эти оценки.
Проведем преобразование формул (2.2.9) и (2.2.11). Выберем
систему координат таким образом, чтобы координатные векторы
1о2, Ьз, , lom лежали в гиперплоскости, параллельной гиперплос¬
кости М. Подпространство, образованное векторами 102, ..., 10т,
обозначим через G. Навигационная вектор-функция w(t) в но¬
вой системе координат примет такой вид:
w(x) = Hw0, vt(t)t||t,	(2.3.Н
тде w0 — некоторое число, постоянное для всех т;
v(r) — (m—1)-мернаявектор-функция, лежащая в пространст¬
ве G. Очевидно, что годограф вектор-функции v(t) совпа¬
дает с проекцией годографа вектор-функции w(r) на пространст¬
во G. Пусть L, —вектор, коллинеарный вектору Ц, а вершина
его лежит на гиперплоскости Л/. Тогда в построенной системе
координат он может быть записан в виде
ЦНХ,	(2.3.2)
где v,, — (т—D-мерный вектор, J принадлежащий простран¬
ству G. Используя формулы (2.3.1) и (2.3.2), определители
U7/	-г- и ITT,	входящие в формулы (2.2.9) и (2.2.11),
можно записать
	=
, , ,	(2.3.3)
где		к — определитель матрицы (т— 11-го порядка,
составленный из векторов (—1); [v (Tfr )—
— v(rft)]; i=l,..., у —1, y’+l,. . . ,/щ
56

j — индекс, который может принимать произволь¬
ное значение из чисел 1, 2,..., /п;
Г — определитель типа UX,,*.,	»	, у которого век¬
тор v (ту ) заменен вектором vv
Подставляя (2.3.3) в (2.2.9) и в (2.2.11), получим
т—1
где
X
х; 1	(2.3.4)
1	1	т	ш >
X 2 qkm (sign а (^)) их	yjx
k =1	J
т
х( 2		x;)2i~2-	<2-3‘5)
G
и
Положение начала координат в пространстве
венно при вычислении определителей Wki	к
Действительно, строки определителей состоят из разности двух
векторов v(ту )— v(ту.), а так как смещение начала координат
на вектор v0 рагносильно прибавлению к каждому вектору
пространства G вектора v0, то строки определителей от такого
преобразования не изменятся. Поэтому можно считать, что
определители UX,	к и W?' у однозначно задаются верши-
нами ■/. (тл ),. . ., х (тд ) навигационных векторов w (ту ),..., w (ту )
i	m __	1	m
и вершиной r.T вектора \,t определяемого параметра rt. Эти
вершины будем в дальнейшем называть навигационными точка¬
ми и точкой определяемого параметра соответственно. Множи-
I Н I2
—:— в формулах для DXi и Dly не зависит от измере-
I I
ний и определяется вектором Iv
оговорено, будет предполагаться,
странстьа G совмещено с точкой определяемого параметра
тель
Там, где это специально не
что начало координат про-
57

Данный результат можно интерпретировать следующим об¬
разом. Если вектор-функция w(t) имеет плоский годограф, то
пространство G может быть отображено на (т—1)-мерное про¬
странство G, параллельное гиперплоскости годографа. При этом
вектор-функция отображается в годограф, навигационные векто¬
ры— в навигационные точки, а векторы определяемых парамет¬
ров— в точки определяемых параметров.
Рассмотрим теперь в отдельности особенности вычисления
оценок Div;, Di1! и Df-q.
Оценки DiT] и Dp]. Введем понятие центра тяжести измере¬
ний, размещенных в навигационных точках. Пусть в моментах
Ti, Т2, ■■■, т„ размещено соответственно qi, q2, qn измерений.
Тогда центром тяжести измерений, размещенных в точках
x(ti), ..., х(тп), называется вершина вектора v4, определяемого
по формуле
Несложно проверить, что для вектора v4 справедливо равенство:
у ?/[v(Tz)-vu] = o.	(2.3.7)
/=1
Если поместить начало координат пространства G в центре
тяжести измерений, размещенных в навигационных точках, то
запись формулы (2.3.4) значительно упрощается. Докажем тео¬
рему, которую в дальнейшем будем называть теоремой о центре
тяжести измерений, размещенных в навигационных точках.
Теорема 2.3.1. Если начало координат пространства G поме¬
щено в центре тяжести измерений q\, q2, ..., qn, размещенных в
навигационных точках х(Т1), ..., х(тта), то имеет место равенство:
2^ 1 + б^,	(2.3.8)
где


;	— определители матриц, столбцы которых
58

есть векторы v(rft),. .., v(T* ), vv заданные в системе коорди¬
нат с началом в центре тяжести измерений.
Доказательство. В используемой для вектор-функции
w(t) системе координат матрица (WWT) запишется так:
(WWT) =
п	"I п
/ = 1 J 1 = 1
Используя формулу обращения клеточной матрицы, матрицу
К = (WWT)-‘ можно записать в следующем виде:
[^27 J 12
S—1
i ”
S'.
-1	n
w?1 2	(Д-)
i=i
— Em_i
— Em_i
Пусть lz> и 1,2 - два вектора, вершины которых лежат на
Гиперплоскости М. Тогда, используя обозначения
Two
vi
V2
на основании формулы (2.3.9) получим
п
2
Z-l
т
X
(2.3.10)
59

Согласно определению вектора уц имеем
Если введем векторы v(t) и по формулам
v(r) = v(r)-vu; vt, = v7|- vu
и учтем тождества
2 ?<v сп)=(2 v“; i7,v yT	==
(-1	\/=i	/	i-i
то выражение (2.3.10) можно переписать следующим образом:
27<’j +VI ^2^^ (T;)vT(Tz^ v2. (2.3.11)
Формула для оценки Dp получится из формулы (2.3.11),
если считать, что 1, =lz, = lx :
г>1эт]=^2^ +4^2^^^^) Vr‘‘ (2-3-12)
Второе слагаемое правой части полученного равенства равно
значению оценки Dp, если принять следующие условия: раз¬
мерность пространства G равна (иг—1); навигационные векторы
есть v(ti), ..., v(rm); вектор измеряемых параметров есть у,. По¬
этому его можно записать в форме (2.2.9), что и доказывает тео¬
рему.
Результат теоремы можно распространить на более общий
случай.
Предположим, что оценка (Dp)o вычисляется по формуле
п
Fo+ 2‘7zW(Tz)wT(Tz)
Z-l
13)
где w(r) —вектор-функция с плоским годографом;


Fo=2^zW«zWoTz;
<=1
wOi (i= 1, 2, ..., no) — произвольные векторы.
60

Введем векторы woi, удовлетворяющие следующим условиям:
— вершины векторов лежат на гиперплоскости М годографа
вектор-функции w(t);
-WW||WO/.
Обозначим
^• = |w0Z|2|w0l.r2?0;	(2.3.14)
и назовем qOi приведенными количествами измерений. Тогда вы¬
ражение (2.3.13) можно переписать так:
(Dpj)o=	f 2 ^o/Wo/Wo/ + 2 (Ti)wT (П)) Ц-
при этом вершины всех навигационных векторов w9,-, w(xj) ле¬
жат на гиперплоскости М. Пусть это будут xoj, хг-(1=1, ..., п\
j=l, .... п0). Если число <7о; трактовать как количество изменений
в навигационной точке х<щ то для вычисления оценки D?4 =
I ч г
=	( Df'])0 можно использовать результаты теоремы 2.3.1.
1 1 '< 12
Центр тяжести измерений qoi п qt, помещенных в точках хо; и
х(тг), определится следующим вектором:
Уц
V=1	1-1	/
^>07=11^0, vMT-
Тогда, если Vo3- = v0j—vu, то из выражений (2.3.7) и (2.3.8) следу¬
ет справедливость теоремы 2.3.2^_
Теорема 2.3.2. Для оценки Dpi справедливо выражение
Dit] = ^2^o/ + 2	4"Div),	(2.3.16)
где
014 = (2 ^оДо/Vo/ + 2	(Ц) vT (тгЙ vr
V=1	i-i	J
Рассмотрим, как изменятся формулы для вычисления уц, qoi,
voi, если вектор w0, станет параллельным гиперплоскости М.
Проведем следующие построения. Представим вектор w0; в виде
wo,- = awo, + wo',
61

где Wo,— вектор не параллелен гиперплоскости /И, а вектор
w" параллелен ей. Очевидно, что limw(,;=W(". Проведя не-
а->0
сложные преобразования, получим
I woz| Iwq.-Г^З a; voz = w"- (фа)-1-)- v,
где 3 = |woi| (|woi|)_I;
v — постоянный вектор.
Из этого следует справедливость следующих равенств:
lim qai = lim | woz |21 woz Г2?0/ = lim (?a)2^oz = 0;
a^-0	a-^0	a—0
lim <70Zv0Z=lim (-a)<7ozWoZ = o;
a-^0	a--0
lim <7oivo/vO' = l7oi wo‘ (wJJ)T.
a-*-0
Данные соотношения позволяют сформулировать следующую
лемму.	_
Лемма 2.3.1. Если вектор wOi параллелен гиперплоскости М,
то приведенное количество измерений, соответствующее этому-
вектору, не влияет на положение центра тяжести измерений,
размещенных в навигационных точках, и равно нулю.
Если матрица Fo в уравнении (2.3.13) задана в виде симмет¬
рической матрицы ранга т0^.т, то ее всегда можно представить
в виде произведения двух матриц WoWo, где матрица Wo име¬
ет размерность (mXmfJ). Тогда, если WfJ = ||w01,. . ., wl)m|) |i, то
m о

Ffj= w0ZWqZ, что позволяет воспользоваться теоремой 2.3.2
1

для вычисления оценки Dpq и при такой форме задания мат¬
рицы Fo. Рассмотрим более подробно- этот случай. Векторы
wOi(i = l, 2, ..., m0) обладают следующими свойствами:
1)	удовлетворяют уравнению т0-мерного эллипсоида
1TWO (W5WO)-2WJ1 = 1; (Wo = || w01,. . ., WoJI),
поэтому можно считать, что вершины их лежат на поверхности
этого эллипсоида;
2)	удовлетворяют условию
w01.w(J (wjw0)“2wK-=o, i + j;
это означает, что векторы woz взаимно сопряжены относительно
/rio-мерного эллипсоида.
Из последнего свойства следует, что если через вершину век¬
тора wOi проведем гиперплоскость, касательную к т0-мерному
62

эллипсоиду, то она будет параллельна ко всем векторам wOj
(/= 1, 2,	т0; / 0 •

Выберем в качестве векторов w02,. . ., w0mo систему сопря¬
женных векторов, параллельных гиперплоскости М. Тогда со¬
гласно лемме 2.3.1 и свойствам векторов wOi, приведенным выше,
можно записать следующее:
— сумма приведенного количества измерений, соответствую¬
щего матрице Fo, определяется по формуле
2	?o/ = ?oi = l w0I f|wQ1 Г2;
— центр тяжести приведенных измерений, соответствующих
матрице Fo, совпадает с вершиной вектора wOi, благодаря чему
формулу (2.3.15) для вычисления матрицы уц можно переписать
так:
п
<70^01+2^^ •
1
Рассмотрим основные следствия из теорем 2.3.1 и 2.3.2.
Следствия. 1. Для оценки Dr^ справедливо неравенство
DiT|C>0. Знак равенства имеет место только тогда, когда
v^ = vu. В этом случае vf = o. Поэтому оценка Dp] принимает
минимальное значение, когда центр тяжести измерений, разме¬
щенных в навигационных точках, совпадает с точкой опреде¬
ляемого параметра ■/]. Величина оценки (Dirjmtn при Fo =# О
определяется формулой
(2.3.17)
Если же F0 = O, то формула для оценки (Di-/i),nin
наиболее простой вид
(D13riU=TirV(S<7‘J •
I Т, I 4 (- = 1	'
принимает
(2.3.18)
Рассмотрим, при каких условиях можно совместить центр
тяжести измерений с точкой определяемого параметра -/г,. Пред¬
положим сначала, что F0 = O. Тогда такое условие может быть
выполнено только для такой точки определяемого параметра,
которая лежит внутри выпуклой оболочки пространства G, по¬
строенной для годографа вектор-функции v(t) (о выпуклых обо¬
лочках см. разд. 2.4). Область пространства G, содержащуюся
63

в этой выпуклой оболочке, будем называть внутренней. Вектор I,
пространства G, которому в пространстве G соответствует внут¬
ренняя точка ’/-гр будем также называть внутренним. Если же
точка принадлежит этой области, то для нее всегда можно
найти /г	навигационных точек, таких, что точка х, лежит
внутри (£—1)-мерной пирамиды, натянутой на эти точки.
Пусть Fov^O- Обозначим буквой хОц центр тяжести измере¬
ний qQj (/ = 1, 2, ..., п0), размещенных в навигационных точках
zoi, ...,	7-0 . Проведем через точки хоц и прямую L. Тогда,
для того чтобы выполнялось условие (vn = o), центр тяжести хц
измерений q\, ..., qn, размещенных в точках x(ti), ..., х(т„), дол¬
жен удовлетворять следующим требованиям:
— центр тяжести хц должен лежать на прямой Т;
—отрезок прямой хцхоц должен быть разделен точкой %Т| так,
чтобы выполнялось равенство:
(’-Ы, У-;)
(\, *ц)
(2.3.19
н
1 = 1
>
где(хОц, ■/.,) и (у..,, /.„) —длины отрезков хОц,х^ и zT, хц._Из этого
следует, что при Fo О для выполнения условия (vTi = o) не
требуется, чтобы точка 7Ч была внутренней. Кроме того, центр
тяжести измерений q^..., q„ меняется с изменением общего
п
количества измерений V<7Z.
/ = 1
Условие совпадения центра тяжести измерений <?01,..., qQ
и измерений qx,..., qn с точкой можно записать в несколько
измененном виде. Введем суммарный вектор Is, определяемый
ло формуле
У <701-w0(- + V^.w(T,.).	(2.3.201
i = l	/ = 1
Тогда справедливо следующее утверждение: для того чтобы
центр тяжести измерений совпал с точкой определяемого пара¬
метра х-,,, необходимо п достаточно, чтобы суммарный вектор
был коллинеарен вектору 1Т) . Докажем это.
Пусть v4=v,;. Согласно формуле (2.3.15) можем записать
v„=[2 <7о,-+2<7,1 | V <7оЛо;- + 2 ОС)
\i-l	пл J \j = l	1 = 1
64

Введенное предположение равносильно равенству:
Считывая, что w (т) = ||и'о, v(т,-)т|jT; w0i. = ||®’0,	v(;||
J.T
=-:||и!0, v\||T, из условия (2.3.211 получаем
'О	"	1	| 'zr. | / Со
У <7о,™о/ + 2 ?‘W (П) - —— V qbj +
_;=i	; = 1	J I d 1
(2.3.22)
гго и доказывает необходимое! ь
I Is
7 И 1 •
коллинеарности
векторов
[Теперь предположим, что имеет
= als. И если ls = |(ws, vS'r||T, то
I	/
место Is|| Ц. Тогда Ц =
- aws, откуда следует
что делает равенство Lr = als равносильным соотношению
(2.3.22), откуда следует равенство (vr —vj = o, что и доказы¬
вает достаточность условия ЦЦГ.
Используя понятие суммарного вектора, соотношение
(2.3.17) можно переписать так:
(2.3.23)
2. Пусть вектор w0 коллинеарен гиперплоскости М, в кото¬
рой лежит годограф вектор-функции w(x), а <?о>0, тогда соглас¬
но теореме 2.3.2 можно записать равенство:
lST(F + WrIlS=lSTF-1ls,
где
1 1
F = 2 V О/Wo; + 2	wT
1 1
Используя формулу (П.3.1), можно записать тождество:
ат
la F_I Is - qQ (l^F-'wo)2 (<70 +wjF-'wo)-1 = P’f1
3—3490
65

Учитывая, что (<?0 +wTF_lw) >0, из данного тождества следует
равенство:
Г Р“Х=0.
Поэтому можно записать лемму 2.3.2.
Лемма 2.3.2. Гиперплоскость Л7 сопряжена с вектором Is от¬
носительно эллипсоида, заданного уравнением
Оценка Оз”. Оценка Оз?( в случае вектор-функции w(r)
с плоским годографом будет рассматриваться только для такого
сочетания моментов измерений Т|, т2, ..., тп, количеств измерений
?i, <72, Цп и определяемых параметров, при которых выполняет¬
ся условие
(2.3.24)
оценка
(Для этого необходимо, чтобы вектор Ц принадлежал внутрен¬
ней области пространства G). Тогда согласно (1.8.6)
ОзД может быть вычислена по формуле
Г г п	-1-1
2
Учитывая,что
/I
V
i = 1
т
2
i = 1
формулу для оценки D3G
записать так:
согласно
формуле (2.3.11)
можно
'.2
где v3 = v“ — v,(;
Поэтому vJ = o,
и формула (2.3.25) принимает вид
(2.3.26)
66

Данный результат можно сформулировать в виде следующей
теоремы.
Теорема 2.3.3. Оценка D|vj дисперсии ошибки определения
параметра р при наличии вектор-функцип с плоским годографом
независимо от числа измерении в каждый момент времени есть
величина постоянная, если только моменты измерений и вектор L
удовлетворяют условию (2.3.24).
Пусть вектор-функция w(r) на интервале [Гц, тД имеет годо¬
граф, лежащий в гиперплоскости , а на интервале [тц тк] не
имеет общих точек с этой гиперплоскостью. Построим мажорант¬
ную вектор-функцию w(r) таким образом, что w(t)||w(t), а го¬
дограф вектор-функции w(t) лежит в гиперплоскости М. Опре¬
делим функцию а(т) = |w(t) |-11 w(t) I. Очевидно, что функция
а(т) удовлетворяет условиям:
а(т) = 1, если тн < т Тр
(2.3.27)
а(т)Д>1, если Tj < т Д т...
Пусть моменты времени Хц (i= 1, 2; /=1, 2, ..., nt) и вектор Ц
удовлетворяют условиям:
7=1, 2,..., /г,-, /=1, 2;
Ц 2 (ИД ™т (пД w(Tv)>0;
_g-=l	J
о
-1 — I
2 CM wT w.t ,	0.
г-1	J
(2.3.28)
Вычислим значение оценки Dfr,, соответствующей изме¬
рениям <7ij, помещенным в моменты времени т,Имеет место со¬
отношение
-1 о	-12
2 2■
'• = 1 £--1
(2.3.29)
Воспользовавшись равенством w(r) =cz(t)_1w(t) , соотношение
(2.3.29) можно переписать так:
3*
67

Обозначая w(r)=||№o, vT(r) ||т и используя
получим следующее выражение для оценки
Г 9. Л; "12
уравнение
Div
(2.3.11),
(2.3.30)
где
Г а(т..)ч7..
v ч Чч
l,=i g=i
>
2 2q,ga уГ
-7 = 1 g = l
-1
<7;ya (т^-Мт,.,.)
_	/ 2 "v	1 2	-
Учитывая, что vu= 2	2 Z ^a(T^)“2 v(r^) = °>
\v = l i;-l	/ -, = 1 g = l
можно записать тождество
2 2 sv~w=i mi Ц1-1-	(2.3.31)
<’ = 1 7 = 1
Если ограничиться только измерениями qlit.. ., <7t , размещен¬
ными в навигационных точках хп,..., х1(( , то согласно теоре¬
ме 2.2.3 оценка Dfr, определится по формуле
(ОзМи = 1М2|1хт.|-2.
Из условий (2.3.27) следует
2 2^>22?'/,-1(''-г=||,1 |ц г1,
1=1 7 = 1	1 = 1 > = 1
что равносильно неравенству
(Dh)i >(О3Э7))„.
(2.3.32)
2.4. ВЫПУКЛАЯ ОБОЛОЧКА НАВИГАЦИОННЫХ
ВЕКТОР- И МАТРИЧНОЙ ФУНКЦИЙ
Пусть w(r)—навигационная вектор-функция одномерного
измеряемого параметра -у(т), определенная на полном навигаци¬
онном интервале [тп, т1(].
Выпуклой оболочкой А вектор-функции w(r) называется гра¬
ница минимальной выпуклой оболочки А, содержащей годографы
68

двух вектор-функций w(t) и —w(t). Она может быть образова¬
на качением гиперплоскости Л'10п по этим годографам. Гипер¬
плоскость Л1оп называется опорной для оболочки Л. Она же яв¬
ляется касательной гиперплоскостью к выпуклой оболочке.
Множество всех моментов времени т, выбранных из навигаци¬
онного интервала [тп, тк], соответствующих навигационным векто¬
рам с вершинами на выпуклой оболочке, обозначается через Т
и называется опорным. В зависимости от вида вектор-функции
множество Т может быть конечным или бесконечным. В пер¬
вом случае оно содержит не менее пг моментов времени.
При любом положении опорной гиперплоскости на ней лежит
некоторое множество вершин x(tj), ..., х(т„) навигационных
векторов w(ti), ..., w(Tn), образующих подпространство G,- раз¬
мерности mi. Построим минимальную выпуклую фигуру в опор¬
ной плоскости Л1()П, содержащую все эти точки. Назовем ее
гранью выпуклой оболочки и обозначим через Г,. Очевидно, что
грань Г, лежит в плоскости размерности nii = mi—1. Таким обра¬
зом, размерность граней выпуклой оболочки удовлетворяет соот¬
ношению
О т,-	m — 1.
Грани нулевой размерности называются врешинами выпуклой
оболочки. Опорные моменты времени, определяющие навигаци¬
онные векторы с вершинами, лежащими на грани Г, выпуклой
оболочки, составляют множество опорных моментов, соответст¬
вующих грани Г,-. Это множество обозначается через 7\. В даль¬
нейшем будем предполагать, что если момент т выбран из опор¬
ного множества Т;, то знак навигационного вектора w(t,) выби¬
рается с таким расчетом, чтобы вершина вектора лежала на
грани Г,.
Предположим теперь, что на полном навигационном интервале
[тп, тк] измеряется s-мерный параметр y(s, т). В этом случае на
интервале [тп, тк] определена навигационная матричная функция
F(s, т) [или W(s, т), что одно и то же, см. подразд. 2.1]. Выпук¬
лой оболочкой навигационной матричной функции F(s, т) назы¬
вается граница минимальной выпуклой оболочки, содержащей
s-годограф матричной функции F (s, т) (см. подразд. 2.1).
Множество всех моментов т, выбранных из навигационного ин¬
тервала [тн, тк], соответствующих s-мерным эллипсоидам, опреде¬
ляемых матрицами F(s, т) и имеющих общие точки с выпуклой
оболочкой, называется так же, как и в предыдущем случае, опор¬
ным множеством и обозначается через Т. Пусть грань Г, выпук¬
лой оболочки выделяет из опорного множества Т моменты вре¬
мени Т], 		тп. Обозначим через хь ..., хп точки касания s-мер¬
ных эллипсоидов, соответствующих моментам Ti, ..., тп, с
плоскостью грани. Согласно свойству матричной функции F(s, т)
69

матрицы F(s, т,) (i= 1, 2, ti) можно представить в таком
виде:
F(s, r,.) = W(s, x,-)Wr(s, хД	(2.4.1)
где W (s, т/) = || wonil (тг), w2(xz),..., w^(-rj|[;
wolr,i(Tj) —вектор с вершиной в точке х,-.
Вектор won,i(xi) будем в дальнейшем называть опорным век¬
тором s-мерного эллипсоида, выделяемым гранью Га Одномер¬
ный измеряемый параметр, соответствующий вектору won,!(xi),
называется опорным.
Таким образом, выпуклая оболочка Л навигационной матрич¬
ной функции F(s, х), помимо множества опорных моментов, вы¬
деляет также множество одномерных опорных измеряемых -пара¬
метров. Элементы этого множества в дальнейшем обозначаются
через уоп,1 (х).
Необходимо помнить об отличии выпуклой оболочки Л,
построенной для матричной функции F (s, х) [F ($, х) = W ($, х) X
X WT(s, х), W (s, x)=||w1 (т),. .., w5(x)||], от выпуклой оболочки
для s векто-р-функций w,(x) (i=l, 2, ..., s). Первая оболочка всег¬
да будет содержать в себе -вторую оболочку. На рис. 2.4.1 приве¬
ден пример двух таких оболочек в дву-
_—.	мерном пространстве G.
Рассмотрим некоторые геометриче-
J ские КОНСТРУКЦ'ИИ из нескольких вы-
пуклых оболочек. Пусть на полном на-
вигационном интервале [тп. хк] задана
навигационная вектор-функция w(x).
д,Х»	Разобъем интервал [хн, хк] на N непе-
ресекающихся подынтервалов [хн, хД
рис, 2.4.1	(xi, т2], ..., (хЛ—1, Xn], (x.v: тЬ Вектор-
функцию, определенную на подынтер¬
вале [xi_i, х?], обозначим через W{(x).
Построим для вектор-функции aiW,(x) (t=l, ..., Л'1 выпуклые
оболочки и обозначим их соответственно через Аг(а,) (t=l, 2, ...
..., N). Определим вектор-функцию w(t) по следующему прави¬
лу: если х,-i.s^xs^Xi, то w(x) =UiWi(x). Выпуклая оболочка для
вектор-функции w(x) может быть определена как минимальная
выпуклая оболочка, содержащая в себе выпуклые оболочки
Ai(ai) (г = 1, 2, ..., N). Обозначим условно ее так:
As(a15. . ., ал)=Л1(а1)+ . .. ф-Лл,(ал.) = 2Л/(“<■)•
i=i
Если Т есть опорное множество, соответствующее оболочке
Л (ai, ..., a.v), то имеет место соотношение
.V
7’CZ U Т‘.	(2.4.2)
i м
70

где Т' есть опорное множество, соответствующее ободочке
Л, (а,).
Для каждой грани ГД выпуклой оболочки Л,(а;) всегда можно
найти па оболочках Л/, (щ) систему граней Г/;,, плоскости кото¬
рых будут параллельны опорной гиперплоскости, касающейся
грани Г,;. Эти грани в дальнейшем будем называть соответству¬
ющими и обозначать через Г/, (t= 1, 2, ..., N), а опорное мно¬
жество, выделяемое ими, называть составным и обозначать че¬
рез T'j Г;= и Т!^. Из определения соответствующих граней
следует, что для них всегда можно найти такие коэффициенты
a,: (t=l, 2, ..., N), при которых плоскости этих граней для оболо¬
чек Л,(а,) совпадут с одной гиперплоскостью. При этом все со¬
ответствующие грани Г;?- выпуклых оболочек А, (а,) лежат в
одной из граней оболочки Л (а,,..., аЛ,). Поэтому если из¬
вестны значения коэффициентов а, для системы соответствующих
граней ГД (t=l, 2, ..., N), то сами грани могут быть определе¬
ны как такие грани оболочек ЛДа;), которые лежат в одной из
граней оболочки A‘J(a1,..., ajV). Вектор размерности /V, об¬
разованный из коэффициентов определяющих грани Г)?-
(1 = 1,2	/V), будем обозначать через а (Г1/)= || аь . . ., аЛ, |j.
При решении основных задач теории оптимальной стратегии
измерений часто находят применение составные опорные мно¬
жества, обозначаемые так:
ЛЬ, ql=U Г;(1,,, q), Т (1-,,), Т (I,, q, Fo),
1=1
где q = ’k/i, г/г, ..., i/.vl! — вектор измерений (см. разд. 1.1);
/Г :
qt= ^qif, q,-, — количество измерений параметра уц, соог-
/=1
ветствующего вектору w(r,j) (Til^Tij^Ti) •
Fo — положительно определенная матрица (mXm).
При их определении используется понятие внутренности вектора
Ц по отношению к системе навигационных векторов w,-; при за-,
данном векторе измерений q. Введем это понятие.
Пусть задай A-мерный вектор измерений q = il<7i, <72,
вектор В и N групп векторов v/ц (7=1, 2, ..., N; / = 1, 2, ..., «0:
вершины векторов z-i’i группы лежат в одной плоскости /Иц все
плоскости Лф (1=1, 2, ..., /V) параллельны одной гиперплоско¬
сти М. Обозначим через оц, иг, •••, u.v коэффициенты, при кото¬
рых вершины всех векторов UiWt-j лежат в одной гиперплоско¬
сти М. Тогда система векторов w,-, удовлетворяет условию внут¬
ренности вектора 1,, при векторе измерений q, если можно найти
значения q^, удовлетворяющие соотношениям:
71

где
lz —вектор, коллинеарный вектору 1Т,, вершина которого лежит на
гиперплоскости М.
В разд. 2.2 было введено понятие внутренности вектора Ц по
отношению к векторам w< (г = 1, 2, ..., т). Сравнивая это опреде¬
ление с определением, введенным выше, можно отметить, что
если А=1 и ni = m, то два этих определения совпадают.
Используя введенное понятие, опорные множества Т (1Г(, q),
Т (Ц), Т (Ц, q, Fo) определятся следующим образом.
Множество Т (1Тр q) (q = ||<71,	<7дг1|) есть составное
опорное множество Г/, из которого можно выделить моменты
rz;(i=l, 2,.... N; 7=1, 2,..., /г;), определяющие систему
векторов w(r/7), удовлетворяющих условию внутренности век¬
тора Ц при векторе измерений q. Система соответствующих
граней, выделяющих множество Т (Ц, q), обозначается через
Г (Ц, q), а вектор коэффициентов а(Г(1г, q)) обозначается через
а (1Т<, q). Из определения вектора Iе (q) следует, что если вы¬
полняется условие внутренности при векторе измерений q, то
это условие сохраняется также и для вектора измерений pq.
Поэтому множество Т(1Х), q) при 7V=1 обозначается просто
через Т (1Х,), а грань, выделяющая множество Г(1Т,), обозначается
через Г(Ц) и называется гранью оболочки Aj=A, соответст¬
вующей вектору 1т,.
Несложно проверить, что грань Г(1г) есть та грань оболоч¬
ки Л, которая пересекается линией действия LTl вектора 1Т|.
Действительно, пусть хл есть точка пересечения линии и
оболочки Л. Из определения грани выпуклой фигуры сле¬
дует, что точка х^ лежит внутри выпуклой оболочки, построен¬
ной на вершинах навигационных векторов \мг- (i= 1, 2, ..., и), ле¬
жащих на этой грани. Могут быть найдены п коэффициентов
Цг^О (при п>пг они определяются неоднозначно), при которых
будет выполняться условие
72

, —1
где I,, есть вектор, коллинеар’ный вектору 1Т, вершина кото¬
рого лежит на оболочке Л. Отметим, что такая грань на оболоч¬
ке Л единственная (если не считать грань, симметричную отно¬
сительно центра оболочки). Аналогичным свойством обладает
грань Г (к, q). Действительно, из определения множества
Лг
Т(\,, q) следует, что если 7'(lr, q)= U А,- (lr, ql и каждое из
/=1
множеств	q) состоит из п, элементов т,-, то при ;\ =
= <7/.аГ2(||а1,. . ., аЛ,|| = а(1т, q)) согласно (2.4.4) и (2,4.5) можно
записать равенство
где вектор L, коллинеарен вектору 1,, а вершина его лежит
на выпуклой оболочке As(a(lTi, q)).
Таким образом, грани Г (1Тр q) могут быть определены как
система таких соответствующих граней оболочек Л; (а,), кото¬
рые лежат в плоскости грани оболочки As(a(lr., q)), соответ¬
ствующей вектору 1.. Ее в дальнейшем будем обозначать через
Г(1,,)^_где а = а(1А, q). Между гиперплоскостью М, колли¬
неарной граням Г (1т;, q), и между векторами w (т/у-), z=l,2... N,
7=1, 2... пч, Xjj^T (lTi, q) на основании леммы 2.3.2 суще¬
ствует соотношение, которое будет сформулировано в виде
с ле д у юще i i лемм ы.
Лемма 2.4.1. Гиперп носкость М. сопряжена
относительно эллипсоида, заданного уравнением
Г
о'
При этом
Пре дположим,
оболочек (.V2(cc,))
матрицей ct|F0 ранга ти (если F0 = LrL*,
что N = 2. при этом вторая
есть т0-мерный эллипсоид,
то уравнение
из выпуклых
определяемый
эллил-
73

сопла имеет следующий вид: аГ"ГЦ (L,L,T2L,I = 1). Множе¬
ство Т (1,, q) в этом случае состоит из опорного множества,
соответствующего только первой оболочке A^aJ. Оно обозна¬
чается через Т (1Т, <7, Fo), а грань оболочки Л15 выделяемая
этим множеством, — через Г (lv, q, Fo). Отметим, что все грани
выпуклой оболочки Л2(а2), за исключением двух при m0<(m,
имеют нулевую размерность. Это определяется тем, что опор¬
ная гиперплоскость И4011, если в ней не лежит весь эллипсоид
(при m0<m), может иметь с ним только одну общую точку.
Поэтому грань Г(1Т.)*_— выпуклой оболочки As (а), где a =
— «(.I,;, q), на эллипсоиде Л2(а2) выделяет опорный вектор с вер¬
шиной в точке Он будет обозначаться через w01I(«) либо
w,,„(a), когда a2 = aar
2.5. О СУЩЕСТВОВАНИИ МНОЖЕСТВ Г(1Т, q) и Т (Ц, q, Fo)
Теорема 2.5.1. Для произвольного вектора определяемых
параметров 1,., вектора измерений q = ||q^, q2,..., <7Л,||, при любой
навигационной вектор-функции w(r), удовлетворяющей усло¬
виям
w (r)wT(r)afr
N существует
составное опорное множество Т (Ц, q).
Теорема 2.5.2. Для произвольного вектора определяемых
параметров 17, количества измерений q и матрицы Fo при любой
навигационной вектор-функции w(r), удовлетворяющей условию
У
существует опорное множество
-7, Fo).
Существование множества Т (1Т|) для произвольного вектора
1, не должно вызывать сомнения, так как линия действия L
любого вектора Ц обязательно пересечет одну из граней выпук¬
лой оболочки навигационной вектор-функции.
Теоремы 2.5.1 и 2.5.2 будем доказывать совместно.
Составное опорное множество Т (1Т., q) однозначно опреде¬
ляется системой соответствующих граней Г (1,., q). Они, 1} свою
очередь, определяются как такие соответствующие грани обо¬
лочек ЛДаД которые принадлежат грани Г (1т,)*=-; здесь
j'l аь а2,..., аЛ. «(Ц, q) (см. разд. 2.4). Таким образом, для
того чтобы найти опорное множество Т (1Т|, q), достаточно
определить вектор коэффициентов a=-a(lr, q). Рассмотрим,
каким условиям должен удовлетворять вектор а. Пусть
т^-енТ (l^,q). Тогда согласно(2.4.4) должно выполняться условие
74

/--i ; -i
I *■'. I ;Y "i,
где y,7 =	0;	V<7,7 = ^; u = T^T^ W?'
1	I I ; = 1 /=-1
'I 'Д
Коэффициенты у7 удовлетворяют соотношению V <л,7 —
Д-1
= «(.//,■ 'гд, откуда следует
_	' i
tf.— a-’a,- V [i...	(2.5.2i
7-1
Учитывая, что двум векторам измерений q и |3q, где |3>0, соот¬
ветствует одно и то же множество 7’(IT1, q), соотношение (2.5.2),
определяющее требования к коэффициентам а,, можно перепи¬
сать так:
/	п.	\	tlfc	\ — 1
^i'7/71 =^а,-V	)2-5-3'
Введем „V функций /Да) (7=1, 2,..., N) следующим обра¬
зом. Зададим некоторое значение вектора коэффициентов
а = а = ||а], а,,..., аЛ.||. Построим для него выпуклую оболочку
ЛЕ(а) и на ней найдем грань Г(1Т1)^_^, соответствующую век¬
тору I,,. Грань Г |	~ выделит некоторое составное опорное
-V
множество Г/(а)=и 7',-(а). Пусть каждое множество Тн (я)
дм
состоит из iii элементов т..Д/ = 1, 2,..., л;). Определим коэф¬
фициенты у,> 0, удовлетворяющие уравнению
/V
/-1 м
(2.5.4)
Тогда функции /(а) вычисляются по формуле
Д’
(2.5.51
Очевидно, что V/;(a)=l и /Да)>1.
1
Определим TV-мерную вектор-функцию f (а) = НЛ (а), ..., /д-(а) ||,
заданную на области А значений вектора коэффициентов а. Об¬
75

ласть А определим соотношением 0^аг^оо. Область значении
f(a), соответствующую области А, обозначим через F. Если об¬
ласть F совпадает с поверхностью, заданной в А/'-мерном про-
N
странстве уравнениями Sxj=l, x-F^O, обозначаемая в дальней¬
шем через Fo (здесь Х{— координаты точки в jV-мерном простран¬
стве), то для любого вектора измерений q= ||<7i, .... <7wll всегда
можно найти значения коэффициентов a=a, при которых будет
выполняться соотношение (2.5.3). Последнее будет означать,
что вектор а определяет систему соответствующих гра¬
ней Г (Ц, q), выделивших искомое опорное множество Т (Ц, q).
Таким образом, для доказательства теорем 2.5.1 и 2.5.2 достаточ¬
но доказать, что область значений F вектор-функции f(a) совпа¬
дает с областью Ео. Доказательство этого будем проводить по¬
этапно.
А. Предположим, что jV = 2. В этом случае соотношения
(2.5.3) и (2.5.4) можно записать так:
Л,	п 2
;=i	/=1
Для выпуклых оболочек введем следующие обозначения:
А1(а1)=Л1, Л2(а1)=Л0, Л, (аа1)=Л2 (а), Л2 (а) = Л2 (а). Область
2
Д() в этом случае определится соотношением ^%z-=l, х, > 0.
1
1=1, 2. Докажем, что существует такой сегмент значений коэф¬
фициентов a[a, а], при изменении в котором значение q(а) не¬
прерывно изменяется от 0 до оо. Это равносильно тому, что об¬
ласть значений F вектор-функции f(a) совпадает с областью Д.
Предварительно докажем справедливость одного равенства, ис¬
пользуемого в. дальнейшем
/’1	/72
Пусть /z1-|-/z2=m,	|,= V piyw(r1;-)-|- V p2,w(т2Д р., > О
1	1
(/=1, 2; 7=1, 2,..., га). Проведем через вершины векторов
w (т,у) гиперплоскость 7И, а в ней через две группы точек z1?
и z2ft (/= 1,. .., га,-; k=\, 2,. .., га2) две параллельные плоскости
76

Л1г и AL размерностью (т — 2). Обозначим через I, вектор, кол¬
линеарный вектору Ц, с вершиной (точка х^) на гиперплос¬
кости М. Согласно условию точка х^ лежит между плоскостями
2 _
7И; и ТИ2. Тогда, если Ц	H,7w(T<v)’ т0
>=1 >1
"1
записать
(2.5.81
Проведем через точку хТ1 в гиперплоскости прямую L так, что¬
бы она пересекала плоскости и Л/2 в точках и х2. Обоз¬
начим через и у2 длины отрезков (х^) и (хТ|х2). Тогда выпол¬
няется равенство
(2,5.91
Действительно, отношение yii/2"1 остается постоянным для любой
прямой L, проходящей через точку хГ| и пересекающей плоскости
Aft и М2. Если же она проходит через вершины векторов Wi п v/2,
то справедливость равенства (2.5.9) следует из формул (2.5.7)
и (2.2.25), где при т = 2 относительные объемы щ и и2 определя¬
ются формулами
"1 = .Vs (f/i + 7/з) \	«2 = Z/i (£/1 + г/г)
что и доказывает равенство (2.5.9).
Перейдем теперь к доказательству, основного утверждения:
Е=Е0.
Введем некоторые ограничения на грани оболочек At, Л2*.
Л" (а). Будем считать, что (k—1)-мерная грань оболочек А,,
содержит /г вершин навигационных векторов, a (k—1)-мерная
грань оболочки Л" (а)—не больше (/г+1) вершин навигацион¬
ных векторов. Кроме того, будем предполагать, что грань, соот¬
ветствующая вектору I па оболочках At, Аг, Ла (а), имеет раз¬
мерность (т—1). Данные ограничения не имеют принципиаль¬
ного значения и могут быть без труда исключены, по это приво¬
дит к значительному усложнению описания доказательства.
* Обозначим через Л2 выпуклую оболочку Л2(а) при a=J.

При любых выпуклых оболочках А] п Л2 всегда можно по¬
добрать такой коэффициент а б> 0, при котором Аъ (a) = Aj, т. е.
когда оболочка Л, fa) будет целиком лежать внутри оболочки
Л] (Л2 (a) с А|). Пусть а есть такое значение коэффициента а,
при котором Asfa)=Aj, но хотя бы одна грань оболочки A ya)
лежит на оболочке ЛР Очевидно, существует а = а, при кото¬
ром AJ (a) = А„ (а 1, но хотя бы одна грань оболочки At касается
оболочки Л,(а). Поэтому если а<а<а, то в грани оболочки
Ла(а) будут входить грани оболочек At и Л2(а). Обозначим
через а значение коэффициента а, при котором грань Г(1,Д
оболочки Л“(а), соответствующая вектору 1Т, совпадает с
гранью Г (lr|)j оболочки Ар но при этом в опорную гиперплос¬
кость грани Г(1фа входит хотя бы одна вершина оболочки
Л2(а). Аналогичным образом определим коэффициент a = a
для выпуклой оболочки А2(щ), Очевидно, что a<Ia<^a<;a.
Значения а н а будем называть граничными для а.
Будем предполагать, что коэффициент а лежит в сегменте
[а, а]. Рассмотрим подробнее, как меняется грань Г^(1Л)“ вы¬
пуклой оболочки Аа(щ), соответствующая вектору Б, при из¬
менении а от а до а.
Пусть а=а. Тогда в опорной гиперплоскости /Иоп(.а), касаю¬
щейся (т— 1)-мерной грани Г(Б,)3_-, будут лежать (т-|-1)
вершин векторов. Их можно разбить на две группы. Первая
будет состоять из векторов	(i=l, 2,..., т), а вторая —
из одного вектора aw2(T21). При увеличении а из грани Г(1,Д
выйдет одна из вершин векторов первой группы (например,
WiCH/)), и Д° некоторого a<04 в грани Г (БД будут находиться
вершины т векторов. При а = в грань Г(1т)а попадет одна
вершина либо вектора	либо вектора w2(T22). Дальней¬
шее увеличение а приведет к тому, что в грани Г (БД внове,
останутся вершины только т векторов, ио при этом в первую
группу может входить (/п —2) векторов, во вторую — два
вектора. Таким образом, при увеличении а от а до а граш,
Г(1.)а проходит последовательно два состояния: либо в ней
лежат вершины (/п-}-1) векторов, либо вершины т векторов.
В том и другом случаях векторы wz(tj7), вершины которых
принадлежат грани Г(1г^, делятся на дце группы по kl и к.,
в каждой + равно (/7Z-J-1) или т\.
В сегменте [а, а] можно выделить два типа множеств зна¬
чений коэффициента а:	и Д2. Множество £\ состоит из
78

упорядоченной последовательности а, аь а2,..., ап, а; такой,
что если ex	то в грань Г (Цщ входят вершины (/«-{-1) век¬
торов. Если сегмент [а, а] представить как множество Ео, то
Е2 — Ео — /Tj, и если а-—_Е2, то в грань Г входят вершины
т векторов. Обозначим через T’(l-J« опорное множество, соот¬
ветствующее грани Г\ (1,)а выпуклой оболочки Л"(а). Очевидно,
что если и,-■< а < а1+1, где (а;, а,.^) (Z Еъ то
ЛЬ,)а = П1ги. п Лки, ,	(2.5.10,
I	о!-1
т. е. множество 7’(1т)а входит в множества	и
7010 _	. а так как в множество Г(1г) входит т моментов,
‘ ai \ 1	1 ’■
а в множества 7010 и ТОЮ по (/и-|-1’ моментов, то
Рис. 2.5.1
множества ТОМ и Т (10 имеют только по одному несов-
падающему элементу.
Если а1--]<ай1<а(-< а02<а(+1 и (а/+1, а,., а^С^, то
Г(1ТХ = Г(1,,О.О1 и	(2.5.11)
Возможны и такие вектор-функции, для которых Е$=ЕХ.
Этот случай будет рассмотрен ниже, при исследовании мно¬
жества 7'(1,|, у, Fo). На рис. 2.5.1 на примере двух выпуклых
оболочек, заданных в двумерном пространстве G, проиллюст¬
рирован процесс последовательного образования граней Г(к)«
'при увеличении а.
Пусть ае-Е, при этом а,-< а < а(+1, (а(.,	Тогда
множество Т (Ма можно разбить на две группы элементов:
Tn,. . ., Пл, и т?!,.. ., Т2»2(^1 + А2=тТ Обозначим через
коэффициенты, удовлетворяющие уравнению
2 k ■
=	Ma'w0T61-	(2.5.12)
79

Очевидно, что если а; <( а01 <( а0, <( а1+1, то
Р-/у(а01) = ^;(а02)-	(2.5.13)
Если a;_j adl < аг < aJ2 < ai+1 и 0 < v < 1, то справедливо
равенство
*“01
к1
а
(2.5.15)
Ц = 2 t1 ~ v) 2 w ) + '' 2	(a°2') w • (2-5-14)
1 L ;=1	/=1
Введем две функции рДа, v) и р2(а, v), определяемые сле¬
дующим образом. Если аЕ Д (ам < а <( а;; (а,—2, az) CZ Е^, то
Pz (a, v) = 2 Ма) (/=1>2)
7 = 1
и согласно (2.5.13) функции p,(a, v) остаются постоянными при
изменении а в интервале (a,_i, а,). Если a<=Ei (а = ссО> то
Pi.(a, v)=(l-v)V Р;Д<Лл) + ''2Мао2) (* = 1, 2), (2.5.16)
7=1	7=1
где «01 и аог — значения коэффициентов, выбранных соответствен¬
но из интервалов (щ_1, а,-) и (а;, az+i); v — меняется в сегменте
[О, 1]. Тогда согласно (2.5.12), (2.5.14) и (2.5.6) функция 7(a)
запишется так:
7(a) = /2(a)/i(a)_1= Pi(a> v) Pi(a. v)~la- (2.5.17)
Рассмотрим некоторые свойства функций р, (a, v). Будем
обозначать через a,_i, аг-, a;+i последовательную тройку коэффи¬
циентов а, принадлежащих множеству Еь а через ссоь аог— ко¬
эффициенты, принадлежащие множеству Е2 и удовлетворяющие
условию ai_i<aoi<a,<ao2<cti-i-i. Тогда функции рг-, (a, v) обла¬
дают следующими свойствами:
1) значения функции р, (а, г) при изменении а в сегменте
[«01, ао2] и изменение v в сегменте [0, 1] покрывают сегмент
"/
гед «-,,), 2'x,'^ai)2'
7 = 1
>
(2.5.18)
-7 = 1
2)	если а = а и v = 0, то pi (a, v)=0, и если а = а и v=l, то
р2 (a, v) =0;
3)	Р2(а0о 'ОРГЧаоь '')<Р2(“ог,	Р?1 (аог> '■')•
Докажем последнее неравенство. Все построения, проводимые
при доказательстве в (т—1)-мерном пространстве, иллюстриру¬
ются на рис. 2.5.2 на примере двумерного пространства.
80

Пусть	Обозначим через 7-(т“уг), х(Т2йг) веР'
цшны навигационных векторов w(r1ayr), azw(T,y), Ц || 1, (г=1,2;
у= 1, 2, ..., raz; /г= 1, 2, ...,/г2). Проведем в гиперплоскости
Жоп (az) через две группы точек х (т^) и z (х^г) (j = l,2,..., /гр
/ = 1, . .., п.2} две параллельные плоскости ТИ^а^) и TW2(aJr)
(см. рис. 2.5.2, а и 6). Каждая из этих плоскостей Afz(a;->) делит
гиперплоскость 7И()11(а;) на две области: О^г и D"t'r. Область
Р“10г есть та часть гиперплоскости, определяемая плоскостью
7И/(аОг), которой точки х (т2уг) не принадлежат, а область
D^T — та часть гиперплоскости 7И0П(а1), определяемая плос-
костыоАИ2(а0г), которой принадлежат точки хГ| и х (t'V) (см. рис.
2.5.2, а и б). Обозначим через М1(т — 3)-мерную плоскость,
образованную пересечением плоскостей Л/11 (ап) и /И^а,,), а
через 7И,— (т— 3)-мерную плоскость, образованную пересечением
плоскостей М2(ая) и М, (а,2). Очевидно, что в плоскостях Aft
и ?И2 лежат вершины навигационных векторов для тех момен¬
тов времени, которые одновременно входят в множества
Т(l-Ja=a01 и Т (KJa-,0,- При этом, если Т,;- бЕГ(Ь,)а='/01 А т (1J,=,O!,
то z (tZ;.) ЕЕ Afz (i = 1,2). Плоскости ТИ^а^) и TW2(adl) можно ин¬
терпретировать как оси,относительно которых вращается гипер¬
плоскость 7И0П(а) при изменении ал от a(-_i до а; (рис. 2:5.3).
Поэтому новые точки, соответствующие вершинам навигацион¬
ных векторов для моментов тсеГ (1Т|)а=Яо! и (1Т|.)а=а()1 при a —
= az, могут появиться только в области ZJn1, если х^=Г{, и об¬
ласти Z?2°', если тЕб2. Аналогично, если т Efe Т (1Т,и
* Множество Т{ — опорное множество, выделенное оболочкой Л>(/=1, 2).
81

T=7’(h,)a=a(),, то точка z(т) принадлежит области Е>п", если теЕД.
и области Z?22=, если т СЕ Л (см. рис. 2.5.3).
Пусть x = Tv Проведем через точку х7да;1 и плоскость ЛД
прямую L. Пусть х3, х2, хч есть точки пересечения этой прямой
с плоскостям:! Л!,,, TWj (ап), Л'Ц (а-,,). Выберем прямую L таким
образом, чтобы точка х, была внутренней по отношению к точ¬
кам 7. (rj»') (у----1, . . ., ka°'). Тогда точка х2 лежит в области
/у’»=, потому точка х2 лежит на отрезке х,?., (см. рис. 2.5.2, б).
Пусть уи у2, Уз есть длины отрезков xpz,, х2х7, 7.,х3. Тогда сог¬
ласно (2.5.9) можем записать неравенство
Го"'
V Д'/
7 = 1
Уз	Уз
У1 У1 + У2
J=1
Г
что и доказывает выполнение условия
зывается условие (2.5.18), если теГ2.
(2.5.18). Аналогично дока-
Из свойств 1, 2, 3 функций рДсх, v) следует, что при изменении
а от а до а область значений функции pi(ct, м) есть сегмент [О,
pi (а, 1)], а функции рг(а, v)—сегмент [р2(сх1 0), 0]. Отношение
рг(а, v) - pi (а, г)-1 не уменьшается с возрастанием а. Из этого сле¬
дует, что функция <7(а)—возрастающая и область значений
функции <7(а), соответствующая сегменту [к, а], есть сегмент
[О, оо], что и требовалось доказать.
Отметим, что ограничения, наложенные на оболочки Ль At
и AS (а), несущественны. Действительно, как следует из приве¬
денного материала, для любого значения 7 = 72<7i_1 при
можно найти единственные значения для а и v, при которых ра¬
венство у = /1(«) /2_1(а) будет выполнено. Это означает, что для
82

каждого q однозначно выбираются моменты т,; (7=1, 2; / =
= 1, 2,	п,-), обеспечивающие выполнение условия (2.5.1) при
А = 2. Снятие ограничений, наложенных на грани оболочек А,,
Л2, As(a), может привести только к тому, что моменты Тц опре¬
делятся неоднозначно, т. е. когда общее число элементов множе¬
ства Т (Ь,, q) больше m или пг+\. Таким образом, теорема 2.5.1
при N = 2 доказана.
Б. Предположим, что одна выпуклая оболочка (AJ имеет
грани только нулевой размерности. В частности, эта оболочка
может быть т0-мерным эллипсоидом, задаваемым матрицей a2F0.
Все результаты, полученные в п. А, могут быть перенесены па
рассматриваемый вариант. Поэтому подробно остановимся толь¬
ко на его основных особенностях.
а)	Пусть а и а есть граничные значения коэффициента а.
При изменении а от а до а грань Г(1Т|)« выпуклой оболочки
Л\а) будет касаться только в одной точке х2(а) выпуклой обо¬
лочки Л2(а). Если обозначим через won(a) опорный вектор с вер¬
шиной в точке х2 (а), то, как следует из результатов, приведенных
в и. А, вектор-функция won(a) непрерывна. Уравнение (2.5.4) в
этом случае запишется так:
(2.5.19)
а функция q (а) примет вид
q (a) = —		a.
Д1 (a)
В остальном функция с? (а) обладает всеми темп свойствами, что
и функция q(a) в и. А. Из этого следует, что для любого значе¬
ния q можно найти такое значенис_а = а, при котором будет вы¬
полняться равенство q=fz (a) frl (а), что и доказывает теоре¬
му 2.5.2.
б)	Грань Г(1т)". при различных значениях а выделяет раз¬
личные векторы won(а). Поэтому множество Е\ коэффициентов а
(см. п. А) совпадает с множеством Е. Из множества Е можно
выделить подмножество Е, состоящее из элементов ос, удовлет¬
воряющих следующему условию: если ие£, а Т (1,11 есть опор¬
ное множество, соответствующее грани Г(17()))=~, то число гц элс-
мептов т2:=Г (1Л)« больше числа, при котором уравнение
(2.5.19) имеет единственное решение. При сравнении с вариан¬
том, рассмотренным в п. А, это соответствует случаю 7.е£|. Там
за счет изменения v от 0 до 1 отношение f2(a) Л-1 (а) при посто¬
янном а меняется от q^ до q2. Таким образом, каждому аеА,
83

соответствует некоторое значение Д^ = ^2—q\- Аналогичным
свойством обладают элементы а^Ё. Воспользуемся этим для до¬
казательства леммы, справедливость которой следует из того, что
одна из выпуклых оболочек (AJ имеет грани ненулевой размер¬
ности.
Лемма 2.5.1. Для каждого q можно найти такое значение
dg>0, что множества Т (Ц , q, Fo) и Т (В, q + dq, Fo) будут сов¬
падать.
Пусть а есть значение коэффициента а, при котором выпол¬
няется соотношение q = h(a) fr^a). Коэффициент а принадле¬
жит либо множеству Ё, либо множеству Е — Ё. Если а^Ё, то сог¬
ласно сказанному выше при одном и том же а отношение fi(ct)
f2-I(o) может изменяться от qi до q2. Это означает, что если
q\^qi<q,^qi, то Г (Ь,, qi, F0) = T (I-g, q5, Fo). Таким образом,
если q\ XqX q2, то существует такое dq<q2—q, при котором.
Т (I-, Q, Fo) = Т (К,, q + dq, Fo).	_
Если q = qi, то этот случай равносилен случаю, когда а^Е — Ё.
Рассмотрим его.
Пусть а^Е — Ё. Подберем такое значение da, чтобы все мно¬
жество коэффициентов, определяемое сегментом [a, я + da], вхо¬
дило в множество Е—Ё. Тогда если dq = f2(a + da)fi~l (a+da)—
— f2(a.) fi-'(а), то множества Т (1Л, q, Fo) и Т (1Л, q + dq, Fo) сог¬
ласно свойству коэффициентов а множества Е — Ё совпадают, что
и требовалось доказать.
В. Предположим, что две выпуклые оболочки А] и Л2 содер¬
жат только грани нулевой размерности. Этот случай характерен
следующими особенностями.
а)	Если а, а — граничные значения коэффициента а, то грань
Г(1т,)а выпуклой оболочки А"1 (а), где я^я^я, имеет только
по одной общей точке %i(a) и х2(а) с оболочками Ai и А2(а).
Пусть Won,! (и) и won,2(a)—опорные векторы, соответствующие
этим точкам. Тогда уравнение (2.5.4) запишется так:
К = (a) Wo,,,! (a) 4-[A2 (a) won,2 (a),	(2.5.20
а функция c/(a) принимает вид q(a)= p2(a) ,ui_1(a) a. Вектор-
функции won,г (я) и функция q (а) непрерывны при изменении
в сегменте [я, я].
б)	Множество Е\ совпадает с множеством Е. Функции fi (я) и
(2(я) —непрерывны и при изменении а от а до я функция /у (я)
увеличивается от 0 до 1, а функция ((я) уменьшается от 1 до 0.
Г. Рассмотрим случай для А>2, но при этом все оболочки
А,(я) имеют только грани нулевой размерности. Обозначим
через Ху область значений вектора коэффициентов а —
84

= ||ai, .... ct.yll, определенную следующим образом. Зададим зна¬
чение ар Рассмотрим две выпуклые оболочки Ai(ai) п
Лг(аа1). Определим для них граничные значения коэффициен¬
та a: а, а, а значит, и коэффициента аг: аг, «г- Полученную
область значений коэффициентов ai и аг обозначим через А2. Для
каждых значений коэффициентов ai, аг, взятых из области Д2,
найдем граничные значения a(ai, аг) и a(ai, а2) коэффициента а
для двух выпуклых оболочек AE(ai, а2) =Aj (ai)+Л2(а2) и
Лз(а1), а значит, и коэффициента аз: а3 (ai, а2), аз (ab а2).
В результате этого получим область значений коэффициентов
ai, a2, аз, обозначаемую через Дз. Аналогичным образом опре¬
делим области Д4 и As значений коэффициентов ai, a2, аз, а4 п
ац а2, аз, а4, as и т. д. до Д.у. Из способа построения области
ДЛ- следует, что граница области Д.у разбивается на отдельные
области Д, обладающие следующими свойствами:
1)	каждая из этих областей есть множество значений векто¬
ра а, для которых выполняется одно из соотношений:
Л.1а)=0 (/ = 1, 2, ...,	1 < k, < k, < . . . <	N)-
2)	для любого сочетания индексов ki, k2, ..., k., (1	<&2 ...<
<k.,	при Kv^A—1 можно найти такую область Д,, пред¬
ставляющую собой область значений вектора а, удовлетворяющих
соотношению
/^(а) = 0 (/=1,2, ..., v).
В дальнейшем будем предполагать, что вектор а принадлежит
области Д.у. Учитывая, что размерность всех граней выпуклых
оболочек Ai (а,) равна пулю при иеДу, грань Г (^«выпуклой обо¬
лочки Л“ (а) содержит не больше N точек хДа) (i=l, 2, ..., N),
каждая из которых X;(а) принадлежит одной из выпуклых обо¬
лочек Ai (a,). Эти точки выделят на оболочках А,-(а,) опорные
векторы Won,г (а). Поэтому уравнение (2.5.4) перепишется в виде
N
Ц = 2Ма) Won,,-(а).
/~1
Вектор-функцпи w0IJ,i(a)—непрерывные с областью задания
Ду. Поэтому коэффициенты щ(а) и функции fi(a) =щ(а)а;Х
I -V	1-1
а,
X
будут также непрерывными функциями вектора а,
определенными в области Д.у. Последнее позволяет методом ин¬
дукции по числу N доказать равенство F = F0, т. е. что область
значений вектор-функцип f(a) =|jfI (a), ..., f.y(a)||, соответствую¬
щая области значений Ду вектора ах, есть часть гиперплоскости,
.V
определяемой равенством 2 х> = 1, х;^0([=1, 2, ..., А).
1
85

Предположим, что для Nt=N—1 условие F = F0 доказано
(для F = 2 это так и есть). Докажем, что тогда условие F = F0
будет иметь место и при Ni = N.
Как уже отмечалось выше, границы области АЛ- задают зна¬
чения вектора коэффициентов а, при которых выполняются соот¬
ношения Д;(а)=0 (i=l, 2, ..., v) для любых комбинаций индек¬
сов 1 ^/г!</г2<...</г, <Л’ при l<v^iV-l. Согласно предполо¬
жению область значений функций fi(a), соответствующая значе¬
ниям а па границе области Д.у, удовлетворяет соотношению
где F есть всевозможные значения индексов
М
1	/V при v^/V—1. Но это есть граница области
.V
Fo, определяемая условием 'У= 1, х^О. Поэтому границы
1
области Fo входят в область значений F вектор-функции f(«).
В то же время из определения функции f(a) следует, что значе¬
ния функции f(a) не могут выходить за пределы области Д.
Следовательно, границы областей Fo и F совпадают. Но вектор-
функция f(a) непрерывна, поэтому F0 = F, что и требовалось до¬
казать. Тем самым доказана и теорема 2.5.1 для случая, когда
все оболочки Ai (щ) имеют только грани нулевой размерности.
Д. Предположим, что А,(аг) (i= 1, 2, .... А) есть произволь¬
ные выпуклые оболочки. Тогда для каждой из них можно по¬
строить оболочку Ai(a.i), удовлетворяющую 4-м требованиям:
а)	оболочка Л, (а,) лежит внутри оболочки ЛДаг-), но все вер¬
шины оболочки Л,(а{) лежат на оболочке АДоО;
б)	оболочка Ae-(af) имеет грани только нулевой размер¬
ности:
в)	пусть w; и W, — два коллинеарных вектора, вершины кото¬
рых лежат соответственно на оболочках Л< и Л;. Обозначим че¬
рез Д; максимальное значение величины |wp—w3-(| для грани
Г, оболочки А, (здесь w;/ — векторы, вершины которых лежат па
грани Г,). Третье требование состоит в том, что за счет подбора
А,- величина А, для каждой грани Г, может быть сделана как
угодно малой;
г)	пусть Г (1Т,)а есть грань оболочки Л-(a) = y.Az (а(), соот-
1
ветствующая вектору 1Т|. Эта грань на каждой из оболочек
ЛДа,-) выделяет опорный вектор wOn,> (а). Каждый из них выде¬
ляет грань r7(w0l,./(«)) на оболочке ЛДа(). Четвертое требова¬
ние состоит в том, что допускаются только такие значения
Aj(/ = 1,2,...,/и), при которых грани Г1 (won,i (a)),..., ГЛ-(won,2(a) 1
— соответствующие.
86

Оболочки Лг(а?) (i=l, 2, ..., Л') будем называть мажорант¬
ными по отношению к оболочкам A,(a;) (z = 1, 2, 	V).	Для ма¬
жорантных оболочек ЛДш) теоре.ча 2.5.1 доказана. Поэтому
для любого вектора измерений q можно найти вектор коэффици¬
ентов а = «(1Т|, q), при котором выполняется условие (2.5.3).
Пусть ГДЦ)- есть опорное множество, выделяемое гранью
ai
r7-(won7 (а)) и состоящее из элементов t7i, ...,х/п. Тогда для
опорного вектора w0„/ (а) можно записать равенство
w01I7 (а) = У^ (a)w(r7/),	н7,	().
Г=1
(2.5.21)
Пусть а есть вектор коэффициентов, определяемый соотноше¬
нием а = Ита. Тогда имеют место следующие равенства:
4,-»0,...ДЛГ*0
lim
а-*-а
S нл(«1 -
/=1
= 0, lim | f (а) — f (а) |= о,
а-> а
где f (а)=||/i (а), ..., fN(a) [|— вектор-функция, компоненты
которой определяются по формуле
f i («) =
U) У}!//*)
7 = 1
f'V ~ П!
а/
I i = 1	1=1
t(«)= ИЛ (<*),- •
откуда следует
lim | f (а)— f (а) | =о.
я -*а
Поэтому компоненты вектора f(a) удовлетворяют условию
(2.5.3), что доказывает теорему 2.5.1 для произвольных выпук¬
лых оболочек Л,(а,).
87

Глава 3
ПОСТАНОВКА ЗАДАЧИ ОПРЕДЕЛЕНИЯ
ОПТИМАЛЬНОГО КОЛИЧЕСТВА
ИЗМЕРЕНИЙ И СТРАТЕГИИ
РАЗМЕЩЕНИЯ ИЗМЕРЕНИЙ.
НЕКОТОРЫЕ ОСОБЕННОСТИ
РЕШЕНИЯ ЭТИХ ЗАДАЧ
3.1. МНОГОМЕРНЫЙ ОПРЕДЕЛЯЕМЫЙ ПАРАМЕТР.
ФУНКЦИЯ ОЦЕНОК
Система управления КА к концу участка управления должна
обеспечить требуемое значение некоторых параметров траекто¬
рии с заданной точностью. В связи с этим стратегию размещения
навигационных измерений на каждом навигационном интервале
необходимо строить так, чтобы определять с наименьшими ошиб¬
ками группу параметров цДа) (i=l, 2, ..., д; р^=1). Будем рас¬
сматривать только такой случай, когда данная группа может
быть определена с точностью до некоторого преобразования:
'С = ‘С (тп, Yi2, • •	v)’ Z = 1- 2> • • •’ А,	(3-1-1
для которого матрица I = Ндтц/дт),|| (i, /=1, 2, .... р)—ортого¬
нальная. В этом случае такую группу рационально рассматри¬
вать как д-мериый определяемый параметр т] (а) = ||тр (а),
..., т]р(а) !|. Из определения р-мериого определяемого параметра
следует, что компоненты вектора ц(а) должны быть либо одно¬
родными по своему физическому смыслу, либо каким-то об¬
разом между собой сопоставимыми. В пространстве парамет¬
ров траектории G р-мерный параметр задается либо матрицей
L, —,(lrilr2, . . ., lTJ| , определенной с точностью до произвольной
ортогональной матрицы I порядка р (т. с. матрицы Ln и L,I за¬
дают один и тот же р-мерпый параметр), либо однозначно опре¬
деленной матрицей PT = L,L(.
Рассмотрим несколько примеров многомерного определяемо¬
го параметра.
Пример I. Предположим, что по результатам навигацион¬
ных измерений определяется радиус-вектор г КА в момент вре¬
мени t0. Компоненты радиуса-вектора в прямоугольной системе
координат [ли (а,	G), х2 (a,	t0), х3 (а,	/0)] можно считать
компонентами трехмерного параметра х(а). Действительно, ес¬
88

ли I — ортогональная матрица перехода к новой прямоугольной
системе координат, то строка Ц.ги, .т2, тз11 = ll-Vj, х2, А'зН 1Т опреде¬
лит в этой системе тот же самый радиус-вектор г. В простран¬
стве G параметр х(а) задается матрицей PT| = LT,L)j, где L,=
= || dxJdajW (/=1,2, . . т; 1= 1, 2, 3).
Пример 2. Если по результатам навигационных измерений
требуется определить вектор скорости КА, то аналогично тому,
как это было сделано в предыдущем примере, можно показать,
что компоненты вектора скорости в прямоугольной системе коор¬
динат образуют трехмерный параметр.
Пример 3. Пусть значение вектора а, определяющего тра¬
екторию движения КА, таково, что параметры гр (a) (t=l, 2, 3)
отличаются от требуемых значений параметров гр-(а). Для лик¬
видации отклонений Arii = T|i(a)—rp(a) (t= 1, 2, 3) в момент вре¬
мени /кор проводится коррекция траектории. В линейном прибли¬
жении вектор коррекции и определится соотношением
цт=П-1Дт;т = П_1Цдат,	(3.1.2)
где
П=||^ММ (в у = 1,2,3);
и=|;«!, и2, из11;	м=11 Д'^, A'g, Д'о||;
(/=1, 2, 3, 7=1, 2, .. ., m);
да = II («! - aj, . .., (am - ат) ||.
Если Mi, «г, «з — компоненты вектора корректирующего им¬
пульса в прямоугольной системе координат, а I — ортогональная
матрица, задающая новую прямоугольную систему координат,
то строка || их, и2, и3	и2, м3|| Г задает тот же вектор коррек¬
тирующего импульса. Поэтому вектор u = ||«i, и2, ц3]| можно рас¬
сматривать как трехмерный определяемый параметр. В простран¬
стве G он будет задаваться матрицей Pu = LuLttT, где матрица
Lu определяется по срормуле
Ц=П-'Ц.
Введем понятие оценки дисперсии ^-мерного определяемого
параметра т|, заданного в пространстве G матрицей Ё1 = ||Ц,, . . .
.. ,,1Т| j. Обозначим через П (1) множество векторов 1, лежащих в
плоскости, образованной векторами Ц (1=1, 2, ..., р), и удовлет¬
воряющих уравнению р-мерного эллипсоида,
ГЦ(ЦЦ)“2Ц1 = 1.	(3.1.3)
Множество К, образованное всеми матрицами Ц, задающи¬
ми один и тот же р-мерный параметр т), есть множество таких
89

матриц Ltl, для столбцов которой (Ц = ||Ц,,. .., Ц ||) выполня¬
ются условия:
а) все векторы Ц. удовлетворяют уравнению эллипсоида
Ц , взаимно сопряжены относительно эллипсоида, задаваемого
уравнением (3.1.3).	_	_
Действительно, если столбцы матриц и Ц удовлетворяют
условиям «а» и «б», то всегда можно найти ортогональную мат¬
рицу 1, при которой будет выполняться равенство L Г| = Ь,.1. И на¬
оборот, если столбцы матрицы LT, удовлетворяют условиям «а»
п «б», то этим же условиям удовлетворяют столбцы LnI, где I —
произвольная ортогональная матрица порядка р.
Для каждого вектора 1T|GE/7(1) можно найти (т—1) векторов
1^2, ...,1Т таких, что векторы Ц,, ..., будут удовлетворять
условиям «а» и «б». Для определения их может быть использо¬
вана следующая последовательная процедура: если известны
I векторов 1г12, . . ., Ц., , то вектор lTii+2 определяется из ус¬
ловия
Таким образом, каждый из векторов 1ле/7(1) является столб¬
цом какой-либо матрицы Ln. Множеству векторов П(1) соот¬
ветствует множество П(ц) одномерных параметров. Тогда, если
х\^П (-р), то г] может быть одной из компонент строки IIr]i, ..., ЦуТ,
задающей р-мерный параметр т].
Пусть на полном навигационном интервале [тн, тк] размеще¬
но q измерений таким образом, что для любого параметра р
оценка DKi] есть конечная величина. Тогда множеству парамет¬
ров 77 (т}) можно поставить в соответствие множество оценок D,.i|
этих параметров — 77(Dkti)- Обозначим через (DKT]) max
оценку из множества 77(Окц), максимальную по модулю. Тогда
оценка дисперсии р-мерного параметра т], записываемая в виде
Di;t], определится по формуле
Характеристика точности определения группы параметров
в дальнейшем определяется как оценка DKr| дисперсии ошибок
определения р-мерного параметра т], где т| характеризует группу
интересующих параметров.
Рассмотрим два примера, в которых используется понятие
оценки дисперсии р-мерного определяемого параметра при поста¬
90

новке задачи определения оптимальной стратегии навигацион¬
ных измерений.
Пример 4. Сформулируем задачу нахождения стратегии
измерений на навигационном интервале [ти, тк], обеспечивающей
знание координат КА хд, х2, х3 па момент времени to с ошибками
Дл'ь Дх2, Дл'з, удовлетворяющими неравенству
ДХ1-{-ДХ2+ДХз ■< Ро-	(3.1.5)
Это условие равносильно требованию попадания КА в момент to
в сферу с радиусом р0 с заданной вероятностью.
Как было показано в примере 1, радиус-вектор, заданный в
прямоугольной системе координат, представляет собой трехмер¬
ный определяемый параметр. В пространстве G он задается мат¬
рицей Lx=lil.V1, 1Х2, 1Хз||. Каждую конкретную реализацию ошибок
Д.х1; Дх2, Дл3 параметров xt, х2, Хз можно рассматривать как
ошибку определения одномерного параметра т]<е/7(т]). В про¬
странстве G ему соответствует вектор lTi; , вычисляемый по фор¬
муле
Ь., = ЕЛ.ДХ0,
где Дх° = | дх |_1Дх;	Дх=|| Дх1; Дх2, Дх3||,
при этом Дт,/ = Дхф- Дх2~г Д%3-
Пусть & — такое число, что с заданной вероятностью будет
выполняться соотношение:
Тогда, учитывая, что для любого ц,^/7(ц) справедливо неравен¬
ство Di;;]i^DKx, условие (3.1.5) можно переписать так:
дакх<р2.	13.1.6)
Если матрицу трехмерного параметра х определить по формуле
I -—W I
—I? rd 41
то условие (3.1.6) можно записать
3;:х	1.
Рассмотренную задачу можно усложнить, предположив, что
область допустимых ошибок задается соотношением
ДхтК?1ДХ<1,	(3.1.7)
где К— симметрическая положительно определенная матрица.
91

Данное условие равносильно требованию попадания КА в мо¬
мент t0 в эллипсоид, заданный уравнением ДхтКГ Дх=1. Вве¬
дем трехмерный параметр т), определяемый матрицей
= $1''2L_rKI/2. Тогда условие (3.1.7) можно переписать так:
Dpj<l.
Пример 5. Предположим, что по результатам измерений на
i-м навигационном интервале [/Hf, Д;] вычисляется корректирую¬
щий импульс, проводимый в момент ^Кор>^к/ и исправляющий
ошибки параметров -rji, т]2, г]з, возникающих за счет ошибок про¬
ведений предыдущей коррекции и ошибок определения вектора а
на (г— 1)-м интервале. Величина импульса зависит от стратегии
измерений на (i—1)- и t-м навигационных интервалах. Сформу¬
лируем задачу выбора этих стратегий таким образом, чтобы обес¬
печить минимум величины корректирующего импульса. Величина
корректирующего импульса зависит от двух факторов:
—	от истиннных отклонений (Дт]н) корректируемых парамет¬
ров т]г- (г = 1, 2, 3) от заданных значений щ, определяемых стра¬
тегией измерений на (i—1)-м навигационном интервале и ошиб¬
ками исполнения (i—1)-й коррекции;
—	от ошибок Дт]цг определения параметров т]{ (7=1, 2, 3), за¬
висящих от стратегии измерений на С.м навигационном интер¬
вале.
Суммарные ошибки в параметрах rjf обозначим через
Дт*=Дтщ-|-Д^ш-	Каждую конкретную реализацию
ошибок Дт;^ (i=l, 2, 3) можно рассматривать как ошибку в не¬
котором одномерном параметре т), вектор 1~ которого вычисляет¬
ся по формуле
Ц=Цд^о,
где —|| Ц,, ^2» Ц, ||> Д== I Д1 Д^’
д71=1|Д711> Д'Ъ. Д^з II-
Предположим, что ошибками исполнения коррекции можно
пренебречь, а ошибки определения параметра т] удовлетворяют
условию
H2<MD*n7i+MD?ik	(3.1.8)
где cj — некоторые, постоянные для всех параметров, числа
(/=i, п);
(D*t1)ii есть оценки дисперсии ошибки определения па¬
раметра т), зависящие от стратегии измерений на (i—1)-м и i-M
навигационных интервалах. Тогда, если и есть импульс, коррек¬
тирующий параметр ц, то согласно (3.1.2) и (3.1.8) можно запи¬
сать
92

I U I2 <иоЛ)> + 5и(/Л«о)п,	(3.1.9)
где йо есть корректирующий импульс, которому в пространстве
G соответствует вектор 1^, вычисляемый по формуле
=	П-1МТ.
Несложно проверить, что вектор 1^, принадлежит множеству
П(1и) векторов, удовлетворяющих уравнению
1tLu(L£Lu)-2U1 = 1.
Выберем из множества П (\и) вектор 1,7,который определяет кор¬
ректирующий импульс и с максимальным значением £, где
с=ио*«)1+112(оА«)п.	(3.1.10)
Тогда согласно неравенству (3.1.9) для любого корректирующе¬
го импульса и будет выполняться неравенство
| u |2 < С.
Поэтому значение £ можно принять в качестве величины требуе¬
мого корректирующего импульса, исправляющего параметры
Ль 112, Лз- Покажем, что значение |и|2 можно рассматривать как
значение оценки дисперсии трехмерного определяемого пара¬
метра.
Во многих случаях величина второго слагаемого ^(Dku) зна¬
чительно меньше первого; тогда, приняв его равным нулю и
обозначая через g||«i, и2, «з11=и трехмерный параметр коррек¬
ции, непосредственно из равенства (3.1.10) можно записать
Dftu = G	(3.1.11)
Если вторым слагаемым пренебречь нельзя, то, введя новое
2т-мерное пространстсво G, а также 2т-мерную вектор-функ¬
цию, можно определить трехмерный параметр коррекции и так,
чтобы соотношение (3.1.11) сохранилось. Для доказательства
этого рассмотрим отдельно несколько оценок дисперсий первого
и второго класса.
Оценка дисперсий первого класса. Предположим, что ограни¬
чивающее множество матриц вторых моментов ошибок измере¬
ний G на (t—1)-м и t-м навигационных интервалах допускает
заменяющую матрицу. В этом случае для любого варианта раз¬
мещения измерений на (t—1)-м и t-м навигационных интерва¬
лах можно вычислить матрицу оценок К (см. разд. 1.4). Тогда
оценка дисперсий для любого параметра ц может быть вычисле¬
на по формуле
D*7) = I;K1v	(3.1.12)
93

Поэтому, осой Кг и Кп есть матрицы оценок дисперсий, соответ¬
ствующие некоторым стратегиям измерений на (I—1)-м и z-м
навигационных интервалах, то величина £ определяется как наи¬
большее собственное число матрицы Ku, вычисляемой по фор¬
муле
K;, = L,) (EiKi-|-;iiKii) L„.	(3.1.13!
Предположим, что матрицы Kj (/= 1, II) определяются по фор¬
муле
I 'ч	\-1
К/= 2*(г/,Х(Г/;)	(/=1,11)-
\ 1	/
Введем 2/п-мерпое пространство G. Обозначим через w(t) на¬
вигационную вектор-функцию в этом пространстве. При этом,
если
T=Tiz, ТО W(TI;') = ;“I;2/Iwt(Tii-), О1Х Jf,
а если Т=Тц;, то w(TIIi-)=^1;2ffoix,„, wt(Th;)||t.
Обозначим через L„ матрицу, определяемую соотношением L„=
= ||L,Xzl||r- Тогда равенство (3.1.13) можно переписать
К„ == LUKL„,
где К=| У V w (t/()wt(т7)|— матрица оценок.
JzJTjirl	I
Пусть и есть трехмерный параметр коррекции, которому в
пространстве G соответствует матрица Lu. Тогда из формулы
(3.1.12)	и определения оценки многомерного параметра следует,
что оценка дисперсии определения параметра и равна наиболь¬
шему собственному значению матрицы Км. Поэтому
C = D?u.
Оценка дисперсий второго класса. Пусть в качестве оценок
дисперсий ошибок определения параметров выбрана оценка типа
О2т]. Тогда формула для X запишется в виде
^ = 51(D2u)i Ч-ё2(О2й)ц.	(3.1.14!
Воспользовавшись введенным выше 2т-мерным пространст¬
вом G, вектор-фуикцией w(t), матрицей L„ и трехмерным пара¬
метром коррекции и, согласно формулам (1.8.8) и (1.8.10) ра¬
венство (3.1.14) можно переписать
С = О4и,
принимая при этом £г;=/г2 —N=‘2.
94

3.2.	ФОРМУЛИРОВКА ЗАДАЧ
ОПТИМАЛЬНОЙ СТРАТЕГИИ ИЗМЕРЕНИЙ
В данном разделе приводится формулировка задачи нахож¬
дения оптимальной стратегии измерений на навигационном ин¬
тервале [Zn, Д]. Для этого вводится ряд новых понятий.
1.	Полный навигационный интервал [ти, тк] представляет со¬
бой множество /? возможных моментов измерений т. На множе¬
стве /? определена навигационная вектор-функция w(r), соот¬
ветствующая измеряемому параметру у(т). Измерения парамет¬
ра у(т) предполагаются непрерывными (см. разд. 1.4) с
известной предельной плотностью измерений Чт(0< ДУС °°) • По¬
этому каждый интервал [т — dr, т + dx], где x<^R, может вме¬
щать некоторое количество измерений Л?(т), ограниченное свер¬
ху величиной d^(r), зависящей от значения предельной плотно¬
сти и от величины dr. Очевидно, что когда Ф<оо и dr—>-0, то
d^(i)->0. Если же Ч; = ос, то при любом dr значение dq(x) = оо.
Поэтому будем считать, что при Д" = оо в момент т можно поме¬
стить конечное и бесконечное количество измерений dq(x). Для
общности условно в дальнейшем будем считать, что при Д<оо
в момент т можно поместить бесконечно малое количество изме¬
рений dq(x), предполагая при этом размещение измерений на
интервале [т—dr, т + dT] бесконечно малой продолжительности,
одинаковой для всех те/?. Величина dq (т) при этом пропорцио¬
нальна Чг, так что увеличение Д в а раз приводит к увеличению
dq(x) также в а раз. Поэтому отношение dq (т)\ldq(x) 2, где
dq(x)i соответствует предельной плотности 1JJ’i(0<4J’i<oo), рав¬
но конечной величине Чг1/Чт2. В некоторых случаях предполагает¬
ся, что при '41'<oadq(x) есть величина конечная, при этом число
элементов множества /? принимается конечным и равным (тк—
— т„) (dT)-1 (где dq(x) = 'Vdx}. Таким образом, размещение dq (т)
измерений в моменте т будет равносильным проведению измере¬
ний с плотностью 'F на сегменте т
вариант размещения измерений будем называть случаем мно¬
жества R с конечным числом элементов.
2.	Пусть некоторое количество измерений q размещено на
множестве V^R так, что в каждом элементе те,У помещено
dq(x) измерений. Функция, определяющая значение dq(x) для
каждого теУ, будет называться функцией плотности размеще¬
ния измерений на множестве У и обозначаться через Чт(т){<У}.
Так, если dq(x)—бесконечно малая величина (47<оо), под
Д’(т) {<У} понимается плотность измерений, а если dq(x) конечно
(либо Ф = оо, либо множество R имеет конечное число элемеи-
95

тов), то под функцией Чт(т){У} будем понимать количество из¬
мерений, помещаемое в момент т. Если в каждый элемент т
помещается одинаковое количество измерений, то значение функ¬
ции V(т) {У} постоянно. Этот случай ввиду его особой важности
будем обозначать либо через ^{У}, либо через Дп, когда из
текста понятно, на каком множестве размещаются измерения.
3.	Если измерения параметров уДт), определенных на множе¬
стве 7?, производятся N измерительными приборами, для каждо¬
го из которых задано свое располагаемое количество измерений
цР; , то множество R разбивается на N непересекающнхся мно¬
жеств Ri, R2, Rn*. Общее располагаемое количество измере¬
ний в этом случае задается вектором измерений qP = ll<7Pi, ...» <7P.vll.
При этом располагаемое количество измерений, соответствующее
г-й компоненте вектора qp, может размещаться только на эле¬
ментах множества Ri. Измерения, соответствующие элементам
Тг и Tj, выбранным из множеств Ri и Rj(Ri=£Rj), считаются не¬
однородными. Таким образом, если N>\, то измерения назы¬
ваются неоднородными, а множество Ri (i= 1, 2, ..., N) называет¬
ся множеством моментов измерений однородных параметров.
Если У=1, то измерения называются однородными.
4.	Для некоторых видов оценок дисперсий (D3-q, D4q) множе¬
ство R разбивается на 7V непересекающнхся множеств Rlf R2, ...
.... jR.v. На каждом из множеств Ri заданы параметры, ошибки из¬
мерений которых считаются некоррелированными с ошибками
измерений параметров, заданных на остальных множествах
Rj(j=£i, /= 1, 2, ..., N). При использовании оценок D3q и D4q в
дальнейшем предполагается, что измеряемые параметры неодно¬
родны, при этом, если
R = U Ri, то N = N, Ri = Ri.
/=1
.V
5.	Пусть па множестве R = и /?, определена функция f(x).
1 = 1
.V
Предположим, что на множестве У = U У i^-R размещено некото-
i — 1
рое количество измерений, задаваемое вектором q, с функцией
плотности размещения измерений Чг(т) {У}. Тогда сумму произ¬
ведений f(r)dq(r) по всем элементам т множества У обозначим
f(T) {U У,-, Чг(т){У}}. Например, если У=1, dq(r)—бесконечно
i -1
малая величина, У есть подынтервал [ti, Т2] полного навигацион¬
ного интервала, а функция f(x) —непрерывная, то имеет место
Принимая во внимание определение переменной т (см. разд. 2.1).
96

Если же 4J’=ce, а множество У состоит из элементов Т|, .... т„. тс
количество измерении, разметаемых на моменте времени т. бу-:
(дем обозначать гДт), тогда
f Щ Ч Vih
для любых теУ, то
Ч' (Т) >У }} = ?-.
Очевидно, что если fir) = '£--= const
/(Т) [У, Ч' (Т) <У}1 -- ;
' Если ^2 есть функция, которая
нпн, задаваемого вектором q, множества У, на котором оно раз¬
мешено, а также от функции плотности размещения измерений —
(3.2.1;
зависит от количества измере-
плотности размещения измере;
|, то значение /о, соответствующее конкретным q,
, обозначается через Л> У, Ч? j УД
I. 1	)
{? 4
Ч-’ (т) [ ■
1	I.
ifз может быть
(вида.
Пусть некоторое количество неоднородных
шаемое вектором q, размещено на множестве
чтобы значение оценки D;i], соответствующее	г
нию q, принимало минимально возможное значение. Обозначим
через P(q)—-|j /■’. iq i /?} (гдеР,- iq) = Р(q > П Rt) множество эле-
ментов та?, в котором размещены измерения q, и назовем его
оптимальным множеством. В том случае, когда из текста будет
ясно, из какого множества выделяется оптимальное множество,
последнее будет обозначаться просто P(q). Функцию плотности
размещения измерений q на множестве T’(q) назовем оптималь¬
ной функцией плотности и обозначим через Ч*' (т, q). Функцию f,
определяемую соотношением
/^Dy/JPiq), Т(т, qi],
Е У.1
I. V ‘I
оценкой дисперсии любого рассматриваемого
. Так,
измерений, зада-
.V
R — [J Rj так,
/=1
такому размеще-
Л’
назовем оптимальной функцией оценки и обозначим через
(q). Оптимальным количеством измерений назовем такой
вектор измерений qOn, при котором функция D/:q(q) принимает
Минимальное значение.
Используя введенные понятия, задачу определения оптималь¬
ной стратегии измерений па навигационном интервале можно
сформулировать в виде следующих двух задач:
1. Дапо множество R, вектор измерений q и вид оценю! DKr).
Требуется найти оптимальное множество Р(ц) и оптимальную
Плотность размещения измерений ’Р(т, q) на нем.
4-3490
97

2. Дано множество /? и вид оценки Dkt]. Требуется определить
вектор измерении с|оп> обеспечивающий минимум функции
DKt][P(q)J (оптимальное количество измерений).
3.3.	ОПТИМАЛЬНОЕ КОЛИЧЕСТВО ИЗМЕРЕНИЙ
Оптимальное количество измерений для различных оценок
DhT] существенным образом зависит от свойств оптимальных
функций DhT](q). В связи с этим рассмотрим некоторые свойства
этих функций. Предположим вначале, что #=1 и q = 9. В этом
случае функции Е);гт) (<7) делятся на убывающие, неубывающие и
смешанные.
Функция Dft-q(9) называется убывающей, если при увеличе¬
нии значения q величина функции D/tTq (<у) уменьшается, и неубы¬
вающей, если при увеличении значения q величина функции
DftT)(«7) не убывает. Функция D/{i](9) называется смешанной, ес¬
ли существует такое значение q, что для q<q функция D;it](9)
убывающая, а для q'^q — возрастающая.
Введенная классификация функций D/1'q(y) может быть рас¬
пространена на неоднородные измерения (когда 7V>1 и q =
= ll9i, 9wll)- Для этого необходимо различать два случая:
—	поведение функции D/i,q(q) при изменении любой компо¬
ненты 9г не зависит от значения остальных компонент q^ где
—	поведение функции Dki^q) при изменении любой компо¬
ненты 9; зависит от значений остальных компонент 9j(/=/=i).
Функции DkT](q) в первом случае можно разделять на убы¬
вающие, неубывающие и смешанные (определение такое же, как
и при однородных измеряемых параметрах).
Во втором случае поступим следующим образом.
Пусть задано значение 9s, а значения qt выбираются так,
чтобы У 9< = 9Е и соотношение между компонентами qt обес-
1
печивало минимальное значение функции Dft-q(q). Значение этой
функции, соответствующее вектору измерений q, обозначается
через Ds7j(9s). Для функции	(9е) пригодна та же клас¬
сификация, которая была проведена выше для функции DhT](9)-
Отмеченные свойства функций Dft'>j(q) или (9s) связа¬
ны следующим образом с оптимальным количеством измерений
Чоп и 9еп.
Если функция Dft'>j(q) или Dpj(9s) неубывающая, то опти¬
мальным значением q (либо 9-) будет такое, при котором зна¬
чение функции DJi7j(q) еще не возрастает. Если функция (fl)
или DftKj(9s) смешанная, то оптимальное значение qOu опредв'
ляется равенством
flon = 9! flon = 9
98

Для убывающей функции Dp?(q) или Dpj (<?-) оптимальное, ко¬
личество измерений определяется соотношением
оо (/=1, 2,	или 9- = <z>.
При этом возможны два вида убывающих функций, когда
lim Dft>j(q) = O и когда lim D/; 7j(q) = a0>O.
Рассмотрим характер изменений функции Dkrj (q) для тех
видов оценок, которые были введены в разд. 1.8.
Пусть некоторое количество измерений, задаваемое вектором
Л'
q= ||<7ь <72, •■., <7n!I, размещено на множестве У = U У{, на котором
1
определена оценка Dftr]. Функция плотности размещения изме¬
рений есть Ф(т) {У}. Воспользуемся обозначением
Ол=аду,т(т){У}].	(з.з.1)
Введем новый вектор измерений q (a) (0<a^ 1), определяемый
по формуле
q (a) = aq = ||a<71a<72, . . ., aqN||,	(3.3.2)
и новую функцию плотности размещения измерений Т(т, а) по
формуле
Ф (т, а) = аФ (т) (У):
Очевидно, что в этом случае тождественно выполняется равен¬
ство
q (а) = (У, Ф (т, а)}.	(3.3.3)
Значение оценки Dftq, соответствующее вектору измерений q(a),
обозначим через Dftq(a). Тогда имеет место равенство
(a) = D^[y, Ф(т, a)]
Рассмотрим, как будет меняться величина D/tq(a) при изме¬
нении се от 0 до 1. Для этой цели определим зависимость функ¬
ций
■F(a) = (w(r)wT(r)) (У, Ф(т, а)} и w; (r) = w (т) (У, Ф; (т, а)},
где Ф; (т, а) = аФ (т) {У(.}, от величины а.
Справедливы следующие равенства:
F (a)=(aw(t)wT(r)) {У, Ф (т) {У});
w) (a)=aw(r) {.У, Ф (т) {У,-}}.
4*
99

Используя эти равенства, оценки D/<q, приведенные в разд. 1.8,
можно разделить на три группы:
1)	для оценки DiTj имеет место (a) = a_1Dftig; (3.3.4)
2)	для оценок D273, Djpg. D37j имеет место (a) = DKig;
3)	для оценок Dip, D2p, D4p имеет место
Dftp(a)= — + До, где Xj-j- А, = Ьд]-
а
Используя полученные соотношения, можно доказать ряд тео¬
рем, определяющих вид функций Dq(q) для различных оценок.
Теорема 3.3.1. Если оценка Dbq относится ко второй группе,
то функция DftT] (<?s) — неубывающая.
N
Пусть Р (q- +dq) = (J Pi, где PiCiRi— оптимальное множест-
i
во для оценки D/:q, а А (т, qs +dq) —функция оптимальной плот¬
ности размещения измерений. Введем обозначение
Dktl = Dk-q{P(q-+dq), Д (Т, q'-A-dq)} = Dkq(q-^dq\
Определим величину а из соотношения a = q\q^ + dq)~x. Оче¬
видно, что в этом случае
<7s = {P(<7s+tZ<7), Д(т, a)).
Тогда из определения оптимальной оценки D;,i]{q) следует нера¬
венство
О**) (<7S)<	(a)a=-.
Но согласно условию ГДт; (a)a=7 = Dftig (q-^dq) окончательно
получаем
Dpj(^) <	(<7s -\-dq),
что и требовалось доказать.
Рассмотрим теперь оценку, относящуюся к первой группе.
Справедлива следующая теорема.
Л’
Теорема 3.3.2. Если множество R= j /?,■ таково, что мат-
1
рица (w(t)wt(t)) {Ri, Ап} невырожденная, то функция Dip(q) —
убывающая.
Действительно, пусть P(q)=j Pt (P(=PJq) П Rd — опти-
1
мальное множество, соответствующее функции Dip(q), а F(q) —
матрица, определяемая соотношением
F(q) = |w(r)wT(Tl) {/-’(q), Д(т, q)}.
Тогда при d7,:>0 выберем такое множество У, из множества
Ri — Pi и такую функцию плотности А (т) {«УД, чтобы выполня¬
лось соотношение
100

dq^'W-, Ч’ (г i (У;-}[;	| (wit! wT(,r)) [У,-, Ч\т) | > О.
Справедливо неравенство
F(q) + (w(T)wT(r)) |У. 'Г(т) (У,}| >F (q),
а значит, и неравенство
(F (q) + (w (т) wT (т))	(У,-,	< (Г (qjf1 (3.3.5.)
Величина Diq(q) равна максимальному собственному значе¬
нию матрицы Ц (F (q))_1L,., где Ц—матрица, соответствую¬
щая многомерному определяемому параметру. Из неравенства
(3.3.5) следует соотношение
U(F(q))-1Lr.> U[F(q)l(wmwT(T) ) |У;, Ф |т) {У)}]-1Lr..
Поэтому имеем неравенство
D27j(qi>Di37j |У, «Г it) {У} | > D?ig(q),
где
У = Ли---и(Л U У.) U... U Лу
q = ll<7i<72, ■■■> Qt — dq^ • • •- <7Л-II-
что и доказывает справедливость теоремы. Из этой теоремы не¬
посредственно следует, что функция Ditj (<7Z) также убывающая.
Следующая теорема устанавливает предел, ограничивающий из¬
менение величины оценки Ditj (<?“) с увеличением q\
Теорема 3.3.3. Если	то выполняется неравенство
DW) с	.	(3.3.6)
Dfij (q" + dp	q-
~	э	-a1
Пусть имеет место D*7j = Di7j (q--}-dq), a = —	, тогда
<7" + d<]
ql={P(q'--]-dqW (t, a)}.
Поэтому согласно определению Di?j (q-) и соотношению
(3.3.4) можно записать
DjW-) <DTj(a)a_- ^-^D^q'+dq),
a
откуда получаем
Dft(^}IDlri(q- + dq) <4~= 4 +dq-,
a	q
что и требовалось доказать.
Составные оценки DftT] типа DiT], D2t], D4t] представляют со¬
бой сумму двух слагаемых [см. формулы (1.8.7), (1.8.8), (1.8.10)].
101

Первое слагаемое с увеличением q уменьшается, а второе — не
уменьшается. Поэтому функции D^r] (<7L), где k=\, 2, 4, либо
смешанные, либо убывающие. В последнем случае для функции
D/,r) (9s) выполняется неравенство
DfiWMWK +	•	(3.3.7;
Приведенные теоремы позволяют определить оптимальное
количество измерений для оценок каждой группы.
Пусть оценка относится ко второй группе (DA7j = D|7j, D^,
D3tj). В этом случае для каждого конкретного параметра ц и
W < со существует такое значение q-, обозначаемое q\ при ко¬
тором выполняются условия:
—	если q~<Zq~, оценка (9“)=^,
где = const;
—	если	то оценка DftTj(^s)>^.
Поэтому оптимальное количество измерений должно удовле¬
творять следующему условию:
•	(3.3.8;
Если допускаются измерения с бесконечной плотностью (Чг =
= оо), то при любом <7S можно разместить измерения так, что
будет выполнять равенство
D^(7s) = ^-	(3.3.9;
Пусть оценка относится к первой группе Dpj = Dj">j. Тогда
величина (q) стремится к нулю при <7,—>оо, 1 = 1, ..., N. По¬
этому оптимальное значение располагаемого количества измере¬
ний определится равенством
z=i,2,	(З.з.ю;
Однако данное соотношение практически неосуществимо. Поэто¬
му величину <7оп в данном случае следует выбирать из каких-то
других условий, но всегда стремиться к тому, чтобы' qt прини¬
мала максимально возможное значение.
Если допускаются измерения с бесконечной плотностью, то
оценку (<7S) можно записать так:
D^(7s) = (7l)-%,	(3.3.11)
где ^2—некоторая величина, постоянная для данного парамет¬
ра П-	_
Действительно, из теоремы 3.3.3 следует, что при 'Р = оо функ¬
ция D?7j(9-) удовлетворяет неравенству
102

(3.3.12)
где so— некоторая постоянная величина.
Выберем такое значение q~ , при котором выполняется
условие: если q- + а'7<(<7', то имеет место равенство
Dft	(?- -TdV) = (<7s + d<?)/<7--	(3.3.13)
Тогда, если разместить на множестве P(qs) измерения с функ¬
цией плотности, определяемой соотношением Т(т, а)=аЧг(т, 7s ),
то из формул (3.3.6), (3.3.12) следует равенство
где ?.2= [Divj (7')] -7', что и требовалось доказать.
Пусть оценка D/.-q относится к третьей группе (DfeT] = D]T], D2q,
D4q). Тогда согласно сказанному выше функция D/:q(72) либо
убывающая, либо смешанная. В первом случае при д-~^оа вели¬
чина D/.q(7s) стремится к некоторой постоянной величине. Это
объясняется тем, что при q^-^oo первое слагаемое, входящее в
формулы (1.8.7), (1.8.8), (1.8.10), стремится к 0, а второе — не
уменьшается. Если функция D/{t](7s) относится к смешанному
типу, то существует оптимальное значение 7son = 7on<°o.
3.4. РАЗЛОЖЕНИЕ МНОЖЕСТВА МОМЕНТОВ ИЗМЕРЕНИЙ
В ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТЬ МНОЖЕСТВ УБЫВАЮЩЕЙ ЭФФЕКТИВНОСТИ
Задача оптимальной стратегии размещения измерений имеет
следующую постановку. Задано располагаемое количество изме¬
рений, определяемое вектором измерений qP=ll7pi> •■•> 7рл41, и вид
используемой оценки D//q. Требуется определить оптимальное
множество P(qp) и оптимальную функцию плотности Чг(т, qp).
Предположим вначале, что измерения однородные, т. е. Л7=1,
qp = 7P. Большой интерес представляет оптимальная стратегия
размещения измерений, удовлетворяющая двум условиям.
1.	Пусть 7Р1<7р2. Тогда имеет место соотношение
P(7Pi) сР(?р2),	(3.4;1)
т. е. оптимальное множество, соответствующее количеству изме¬
рений 7Р1, входит в оптимальное множество, соответствующее
количеству измерений 7р2.
2.	Функция оптимальной плотности размещения измерений
на множестве Р (<7Р) определяется равенством
Ф(т, 7Р) = Т7,	(3.4.2)
где Y — предельная плотность размещения измерений.
103

Свойство оптимальных множеств, сформулированное в пер¬
вом условии, в дальнейшем будем называть свойством погло¬
щаемости, или условием поглощаемости. Свойство, сформулиро¬
ванное во втором условии, будем называть свойством оптималь¬
ности предельной плотности измерений. Значение второго
условия состоит в том, что при его выполнении задача определе¬
ния оптимальной стратегии размещения измерений сводится
только к определению оптимального множества P(qp}. Если же
выполняется и первое условие, то для определения множества
•Р(9р) может быть использован следующий алгоритм.
Располагаемое количество измерений qp делится на п равных
частей (&qp = n~'qp). Величина п может быть как угодно велика,
так что величина Д^р может быть сколь угодно малой в силу не¬
прерывности измерений. Сначала определим оптимальное мно¬
жество Р\, соответствующее элементарному количеству измере¬
ний Д^р, а затем множество Р%, соответствующее добавляемому
количеству измерений Д^р. Оптимальное множество Р? для ко¬
личества измерений 2Д^Р определится по формуле
= Л U Л-
Данный процесс нахождения множеств для количеств изме¬
рений гД^р(/=1, 2, 3, ..., п) продолжается до тех пор, пока не бу¬
дет достигнуто равенство i = n. В ряде случаев подобный метод
определения множества Р (qp) позволяет значительно упростить
задачу определения оптимальной стратегии размещения измере¬
ний. В разд. 4.3 этот метод будет рассмотрен на примере оценки
D?n.
Свойства, представленные соотношениями (3.4.1) и (3.4.2),
существенным образом связаны с возможностью разложения
множества У, на котором определена оценка	в последова¬
тельность множеств убывающей эффективности. Введем опреде¬
ление такой последовательности.
Пусть оценка D/щ определена на множестве У. Обозначим че¬
рез B(i) непересекающиеся множества (B(i)czR), где i пробе¬
гает либо непрерывный, либо дискретный ряд значений от tH до
tK. Объединение этих множеств будем обозначать через
'■ к
U В (Г). Будем считать, что множество У разлагается в по-
следовательность множеств убывающей эффективности относи-
тельно оценки если множество У может быть представлено
в виде объединения множеств В (I) ( У= U В (z)^ ,
\	Zh	/
множество В (z) в виде объединения множеств B(i, j) ^В (z) =
а каждое
104

•-= U В (/, у), так что множества В (I) и B(i, j) удовлетворяют
Л.<
следующим трем условиям.
Первое условие. Пусть количество измерений qp размещено
на множестве У таким образом, что на каждое множество В (/)
приходится некоторое количество измерений. Плотность разме¬
щения измерений на множестве В (г, /) постоянная для всех эле¬
ментов теВ(!, /). Пусть D/tT] — значение оценки, соответствую¬
щее данной стратегии размещения измерений. Тогда величина
оценки не изменится, если часть измерений из множества
В (/, /1) будет перенесена на множество B(i, /2), и величина оцен¬
ки D,/q уменьшится, если часть измерений с множества B(t2)
перенесена на множество В (Л), где йСЛг. Множества В(ц и
В (б /2) будем называть равноэффективными, а множества B(ti)
будем считать эффективнее множеств В (t2).
Отметим, что при выполнении условий данного пункта оценка
Dhr] должна быть определена на множествах В(ф, /). Действи¬
тельно, если поместить все измерения на любом из множеств
В(гн, /), то оценка D;tT) должна иметь конечное значение. Если
предположить известным значение qp, удовлетворяющее уравне¬
нию [см. (3.2.1)]	_
= ^,.1,
то множество В(ф) может быть определено из следующего ус¬
ловия:	_
В^=Р(чр){У},	(3.4.3)
в предположении, что измерения на множестве Р(др) размеще¬
ны с постоянной плотностью, равной Фп-
Второе условие. Увеличение плотности измерений на элементе
те/? в Q раз (Q — целое число) можно трактовать как введение
в множество R новых (Q— 1) элементов, эквивалентных элемен¬
ту т, на которых измерения размещаются с прежней плотностью.
Подобный процесс введения новых эквивалентных элементов бу¬
дем называть дублированием элемента т. Второе условие,
предъявляемое к элементам множества В (i), состоит в сле¬
дующем. _
Пусть Xi — элемент, эквивалентный элементу XiCrB(ii). Об¬
разуем новое множество В (i2), состоящее из множества
B(i2)(i2>i\) и элемента TieB(ti). Тогда из множества B(i2)
можно образовать множество B(i2), такое, что если_часть изме¬
рений с множества B(i2) перенести на множество B(t2), то зна¬
чение оценки Datj уменьшится.
Третье условие. Величина оценки D^r] является непрерывной
функцией от количества измерений, помещенного на множестве
B(i) (iH^i^iK).
105

Замечание 1. Из перечисленных свойств множества B(i)
вытекает справедливость следующего утверждения. Пусть У =
'к
= U B(z).Тогда, если й, z2, ..., in— индексы, выбранные из сегмен-
; И
та [zfI, zK], то множества	В (й), ..., B(iK) —это последова¬
тельность множеств убывающей эффективности для множества
У, определяемого формулой
У = в (zH) и в (z\) и , ■ • •, и в (/,,)•	(3.4.4)
Замечание 2. Отметим, что возможность представления
множества У в виде объединения множеств убывающей эффек¬
тивности зависит от вида оценки D/rq.
Рассмотрим некоторые особенности оптимальной стратегии
размещения измерений для оценок Dftq, допускающих разложе¬
ние множества У, на котором эти оценки определены, в после¬
довательность множеств убывающей эффективности. Для этих
оценок справедлива следующая лемма.
Лемма 3.4.1. Если допускаются измерения с бесконечной
плотностью измерений (Чг = оо), то оптимальное множество мо¬
жет разлагаться только в последовательность равноэффектив¬
ных множеств.
Справедливость леммы очевидна.
Предположим теперь, что измерения имеют ограниченную
предельную плотность (Чг<оо), a qp— такое количество измере¬
ний, при котором множество Р(qp) разлагается в последователь-
ность множеств убывающей эффективности:	P(^p)=(J В (В).
Тогда справедлива следующая теорема.
Теорема 3.4.1. Оптимальная функция плотности размещения
измерений на_ множествах В(1) определяется соотношением
Y (т) {В (z)} = ЧГ, если z=/=zK.
Предположим обратное. Пусть измерения на оптимальном
множестве P(qp) размещены с плотностью ЧДт) {Р (z?p)}, мень¬
шей предельной. Покажем, что в этом случае за счет повышения
плотности измерений можно уменьшить значение оценки Dftq.
А это будет означать, что такая функция плотности размещения
измерений не является оптимальной. Подберем такое значение
У, чтобы значение Q (т) =Чг(т) Ф-1 [гГ(т) —плотность размеще¬
ния измерений на элементе теР(^р)] можно было считать целым
числом для любого теР^р). Тогда для каждого теР(г/Р) можно
получить (Q(t) —1) эквивалентных элементов, на которых плот¬
ность размещения измерений будет постоянна. Обозначим через
P(qp) множество, состоящее из всех вновь полученных элемен¬
тов. Разложим его в последовательность множеств убывающе!!
эффективности:
106

Р (<?„)= и вщ.
с
Пусть Т—предельная плотность измерений. Тогда число экви¬
валентных элементов Q(t) для каждого x'^P(qP) должно быть
равным величине^ ЧГЧГ~| = (>. Если для какого-либо элемента
теР(<7Р), Q (т) <Q, то это равносильно тому, что на элементе т
измерения размещены с плотностью < ЧТ Это означает, что в
элементе т может быть помещено еще некоторое количество из¬
мерений. Пусть т3> такой элемент, a rPi(i = 1, 2, ..., Q(rP)) экви¬
валентные ему элементы. Увеличение числа эквивалентных эле¬
ментов TPi можно расценивать как увеличение количества изме¬
рений, помещенных в элемент тр. Пусть rpi^B(i), где i=^=iK. Тог¬
да возможность введения новых эквивалентных элементов т.,,
приведет согласно второму условию к уменьшению оценки Dftr],
что противоречит условию оптимальности оценки. Теорема до¬
казана.
Таким образом, показано, что при оптимальной плотности
размещения измерений на элементах множества Р(<7р) все эле¬
менты tgB(i) (t=#iK) должны быть максимально заполнены.
При определении оптимальной стратегии размещения измере¬
ний на множестве R для некоторых оценок необходимо знать,
будет ли непрерывной функция D/j] (<7Р). Справедлива следую¬
щая теорема.
Теорема 3.4.2. Если оценка D/tr] допускает разложение мно¬
жества У, на котором она определена, в последовательность мно¬
жеств убывающей эффективности, то функция D/Л] (<7Р) непре¬
рывна.
Пусть функция DhT](<7P) уменьшается с увеличением qP. Раз¬
ложим множество P(qp + dq) (dq>0) на последовательность мно¬
жеств В (г):
P(q'p + dq)= U B(i).
!н
Пусть г—значение индекса i, определяемого из уравнения
В (О,
Очевидно, что	(<7Р) Dpj | U В (Г),	. Поэтому, учиты¬
вая, что имеет место неравенство D/.T] (9P + d<7) <DftT)(<7P), по¬
лучим
107

Согласно третьему свойству множеств B(i) величина
Dpj (7рН-
может быть как угодно малой
при
d<7->0, а значит, то же самое относится к величине
I ^p-rdq}-DfM (<7р)
Предположим теперь, что оценка увеличивается с увеличе¬
нием величины <7Р. Пусть
Р(^р)= U 5(7),
;Н
а У ш А? — Р (^р)—множество, удовлетворяющее условию
(У, ^,,1 =dq.
Образуем множество P(qp) =P(qp) С1У- Тогда последователь¬
ность множеств 5()н), ..., B(iK), У образует последовательность
множеств убывающей эффективности, причем множество 5(jK)
более эффективно, чем множество У. Очевидно, что имеет месте
неравенство
О*1? [^(<7Р), 'Т..]
откуда следует
I Dm {qpA-dq) -	(<7Р) I < | DKij [Р (<zp), Ф„] -	(<7Р) | , (3.4.5,
что доказывает непрерывность функции 0/{т](^р).
Предположим теперь, что помимо трех условий множества
В (i) удовлетворяют четвертому условию, состоящему в сле¬
дующем.
' к
Четвертое условие. ПустьУ = U В (/) —разложение множест-
ва У в последовательность множеств убывающей эффективности
относительно оценки £>/гт). Тогда, если i\, i2, ..., in — индексы, выб¬
ранные из сегмента [гп, iK], причем
ii <Р< - • -<Уп, то В lij, В (/,), . . ., В (/„)
— это последовательность множеств убывающей эффективности
для множества У, определяемого соотношением
у=B(ij и вар и... и вап>.	(3.4.6
1С8

жеств убывающей эффективности / У= U В (z)J ,
Для каждой оценки D^r] может быть предложен достаточно про¬
стой алгоритм проверки возможности разложения множества У,
на котором определена оценка D/;-q, в последовательность мно-
так чтобы
множества В (г) удовлетворяли всем четырем условиям.
Обозначим через qp количество измерений, удовлетворяющее
уравнению
др={У, Фп).	(3.4.7j
Разделим величину qp па п равных частей, выбрав п достаточно
большим. Определим п множеств У(:) из условия
У (i) = P(qpn-^\y- 'J'У (/)
I	/ = 1
предполагая, что измерения на множестве У (г) проводятся с по¬
стоянной плотностью.
Обозначим через <7г{У(/)} факт размещения количества изме¬
рений qi на множестве У (I) с постоянной плотностью Ф,п, а через
Dpj{<7/,	<7/,, {У О} значение оценки Dfe-q для измере¬
ний qt,, .... q>n, размещенных на множествах У (и), ..., У(1п)-
Тогда для того чтобы множества У(/) (t=l, 2, ..., п) были после¬
довательностью множеств убывающей эффективности и при этом
выполнялись бы все четыре условия, предъявляемые к множе¬
ствам B(i), необходимо выполнение следующего соотношения:
Dp? {<7/, {У (/)} • • - (%+Д<7) (У (*р)}.. .(<7;Г-Д<7) X
X {У (iJl ■ ■ • {У < Dpi [qit (У (Zj)}. .. qip X
X {У О • • .qir {У (ir)} • • .Ч,п {УШ}}
при 0< д<7 < q-lr.
В заключение сформулируем лемму.
Лемма 3.4.2. Если множество R единственным образом раз¬
лагается в последовательность множеств убывающей эффектив¬
ности	В (z)'j относительно оценки D/.-q и при этом мно-
\	’’и	1
жества В (г) удовлетворяют всем четырем условиям, то оптималь¬
ное множество определится соотношением
В(1),	(3.4.8)
!’н
а оптимальная функция плотности соотношением
Ч-ЧУ ‘7Р) = Ч?;
10S

значение индекса / определится из уравнения
<7.,= [и В (И, Ф’и| •
Действительно, если У— произвольное множество, входящее
в множество R, то согласно условию его можно представить в
виде объединения некоторого количества множеств B(i). Поэто¬
му оно будет оптимальным только тогда, когда оно определяется
соотношением (3.4.8). В противном случае в множестве R всегда
нашлись бы множества более эффективные, чем те, которые вхо¬
дят в множество У, что невозможно в силу оптимальности мно¬
жества Р (7Р).
Оптимальные стратегии размещения измерений, удовлетво¬
ряющие условиям данной леммы, определяются более просто по
сравнению со всеми другими случаями. Но к сожалению выпол¬
нение этих условий возможно только в одномерном простран¬
стве G.
Основные результаты п определения, полученные выше,
нетрудно распространить на случай, когда измерения неодно¬
родные.
Оптимальная стратегия размещения неоднородных измере¬
ний, заданных вектором qp, сводится к определению двух эле¬
ментов:
—	оптимального множества .Р(Чр):
—	оптимальной функции плотности размещения измерений на
множестве P(qp) — Чг(т, qp).
Наиболее простой случай оптимальной стратегии размещения
измерении, заданных вектором qP= ll^pi, <7Р2, •••, 7P.vll, имеет место
тогда, когда выполняются соотношения
p^=p(j^{Ri\ и Р(?РЖ1 и ... ир(?р„)
если теР[?р;) {/?,■), то
п) i/w)=ф'о., w {^ад-
Иначе говоря, оптимальное множество .P(qp) распадается
на N множеств P(qpi), соответствующих N компонентам векто¬
ра qp. Каждая из этих частей определяется на множестве Ri не¬
зависимо от остальных. Оптимальные функции плотности раз¬
мещения измерений на множествах P(qPi) определяются также
независимо от функций плотности на остальных множествах
Таким свойством в основном обладает оптимальная
стратегия для некоторых оценок в одномерном пространстве G.
Так же как в случае однородных измерений, для неоднородных
измерений большой интерес представляет оптимальная страте¬
гия, удовлетворяющая условию поглощаемости оптимальных мно¬
жеств, а также оптимальности предельной плотности измерений.
но

Для неоднородных измерений эти условия могут быть записаны
так:
1)	если компоненты вектора Aq неотрицательны, то
_ P(qp+ Aq) О P(qp);
2)	ЧЧт,Ч[)) = Ф.
Выполнение этих условий тесно связано с возможностью раз¬
ложения множества Ус=/?, на котором определена оценка Dh-q, в
последовательность множеств убывающей эффективности. Для
случая неоднородных измерений это свойство определяется так.
Пусть У = У U Уг11 ... U Ух, где y^Ri. Тогда множество У
разлагается в последовательность множеств убывающей эффек¬
тивности относительно оценки Dh-q, если множество У может
быть представлено в следующем виде:
ч
У/= U 5ДД,
'■д
где множества Bi(j) удовлетворяют всем трем условиям, сфор¬
мулированным выше.
Для оценки DfeT], допускающей разложение множества У в
последовательность множеств убывающей эффективности, могут
быть переформулированы лемма 3.4.1 и теоремы 3.4.1 и 3.4.2.
Способы доказательств их сохраняются.
3.5. ОПТИМАЛЬНАЯ СТРАТЕГИЯ РАЗМЕЩЕНИЯ ИЗМЕРЕНИЙ
ДЛЯ ЭЛЕМЕНТАРНЫХ ОЦЕНОК ПРИ т = 1
В этом разделе рассмотрены оптимальные стратегии разме¬
щения измерений, минимизирующие значения оценок дисперсий
ошибок определения параметров траектории для одномерного
пространства G. Ценность и исключительность такого случая со¬
стоит в том, что:
—	во-первых, ранг матрицы Р (Ц), соответствующей p-мер¬
ному определяемому параметру, ограничен рангом т простран¬
ства G; поэтому при т=\ ранг матрицы Р^ также равен еди¬
нице;
—	во-вторых, формулы для оценок дисперсий приобретают
простой вид, что позволяет выделить основные причины, опреде¬
ляющие выбор стратегии размещения измерений на множе¬
стве R.
Кроме того, многие положения, имеющие место для одномер¬
ного пространства G, остаются справедливыми и для простран¬
ства G большей равномерности.
В одномерном пространстве G навигационная вектор-функ-
Ция w(t) вырождается в скалярную функцию щ(т). Обозначим
•ill

через Ь(т) функцию, определяющую матрицу вторых моментов
систематических ошибок измерений (см. разд. 2.2), а через го,,
модуль вектора 1’'. Тогда элементарные оценки можно
в следующем виде:
записать
ч
—i
D?t,=
(3 •'> 2
— 1 “12
D3T,=
Для всех этих оценок можно получить единую формулу.
Поставим в соответствие каждому элементу	элемент
а(т;) = —~’ ■ Пусть в моментах Ti, х2, ..., х,, помещено соот-
а,А(-
ветственно q\(xi), <?2(x2), .... qn (хп) измерений. Под объединением
элементов a(xf)(t=l, ..., /г) будем понимать следующую функ-
цию: 1а' | (2 <7, (х;) azA,J Обозначать объединение
будем через
[ШЛ72(г2), . •	7л(тл)].
Введем обобщенную элементарную оценку D°r), определяе¬
мую по формуле
D°vJ = [^1 (т,).	7,(т2), . . ., <7л(тл1].
Из формулы для вычисления оценки D°r] можно получить фор¬
мулы для всех элементарных оценок. Действительно,
если а( = 1, А,- = w2 (т;), то
d°-^=	DivK2;
если а,- = ] w (tz) |, Аг = | w (т;) |, то
D°ti = (D|7))1%-1;
если а; = ад(т;-)6(т,-) и A—w (т;) b (т,-)-1, то
D°7i = (D2\)12®r1
обобщенной оценки, можно провести об-
размещения измерений на множестве R
оценок.
(3.5.4)
(3.5.5)
(3.5.6)
Используя понятие
щий анализ стратегии
для всех элементарных
112

Условимся считать, что аг>0 и А,->0. Поэтому любое объеди¬
нение элементов а (г,) будет больше нуля. Представим множе¬
ство R в виде объединения множеств Б (/):
R == U Б (а),
'’к
где 5(г)—множество, состоящее из моментов те₽, для кото¬
рых величины А,- одинаковы; если же h<i2, то Ап>А,г. Поэтому,
если а(т2-,) и а(тг-2)—элементы, соответствующие моментам т2|
п т,, и при этОхМ	и Т|.еБ(|2), то шмеем
а (т,- ) <" а (т,-Д если
1	(3.5.7)
а (т,-,) = а (т,-2), если ix = i_-
Если iTgcy, 7i#=0, <7j=#=0, то для объединения двух элементов
а (г, ) и a(tj) имеет место соотношение
а(П)<[<7ЛП), <Н (S < «(т/!.	(3.5.8)
Знак равенства имеет место только при а = /. Действительно, из
неравенства а (т<) <а(т,), как не сложно проверить, следует, что
[?i(S <7j(Tj)] Cl(Ti))_1^l II [?г(т<), ?Дп)] «(т j) )“'^== 1, ЧТО И
доказывает (3.5.8).
Следствием неравенства (3.5.8) является следующее соотно¬
шение:
(t*J] < a (T*J,	(3.5.9)
где kx < &2 < k3 О • • • < kn.
Пусть k\^k2^...^kn. Определим, в каком случае выпол¬
няется неравенство
[Ш\ .. .,(<?*. +Д<7)(S’ ..., (?Лу-д?)(тЛ;.1	<МТ*„)	] <
<[SS	S(S)]’	(3.5.10)
а в каком — неравенство
[SS> • • ., (^;+Д9)(^.), . .., (<7*?.-Д<7)(М
>[SS, ■••Лфл)]-	(3.5.11)
Введем новый элемент ао, определяемый по формуле
ао = (а*г —
Будем считать условно, что этот элемент соответствует некото¬
рому моменту то- Тогда можно записать
113

[МЧ)’	(^ + Д(7)(^), ...,(^.-д^)(тл_), ...,<7ftj4)]=-
= К(ч)’ •••’MV Д7(М-
Поэтому согласно соотношению (3.5.8) неравенство (3.5.10) спра¬
ведливо только тогда, когда имеет место неравенство
[ММ’	(3-5-121
В противном случае имеет место неравенство (3.5.11).
Рассмотрим случай, когда a, = Ai?, и определим условия, при
которых выполняется неравенство (3.5.12). Если
V>a*. и а*А.-а* А >0 (/</),	(3.5.131
J	I	II	]	]
то ао^О. Но любое объединение элементов а(тд;.) (г=1, 2, ..., /г)
больше нуля. Поэтому [^(^_), ..., ММ1>а°’ но нера¬
венство (3.5.13) выполняется при 0^(3 >— 1. Таким образом, ес¬
ли— 1<р<0. соотношение (3.5.12) всегда выполняется, а зна¬
чит справедливо п неравенство (3.5.10).
Пусть р>0. Тогда, если выполняется неравенство
А,->—А,-,	(3.5.141
к 3 + 1
то неравенство (3.5.12) также будет справедливо. Покажем это.
Действительно, пусть
а _	а,--а,	А? —А?
а°_а/Аг-а7.А7. _ А?+1_АР + 1 '
Минимум в ио достигается при Аг—>А3—>-А< . Поэтому имеем
(,Min = Нт
ДД->0
А?К-1Ч + ДА)?
8-И	0-5-1
А‘‘к “(АЧ + ДА)
= Ит 	1	=	?	.
Л-'-*с	(3+1)(А,-; +ДА)?	(3 + 1) А,-.
Откуда следует, что если выполняется неравенство (3.5.14), то
имеет место и следующее соотношение:
a(T,-H) = (A,-ii'i-1 > аэ.
Поэтому согласно отношениям (3.5.8) и (3.5.9) будет иметь мес¬
то неравенство (3.5.12), а следовательно, выполняется неравен¬
ство (3.5.10).
114

Из всего сказанного следует, что если а,= А где — 1<р^
0 или А,- > 	А,- , то множества Б(1) представляют со-
бой последовательность множеств убывающей эффективности по
отношению к обобщенной элементарной оценке D°-q. При этом
для множеств Б(1) выполняются все четыре условия, определен¬
ные для множеств В (I) (см. разд. 3.4), а разложение множества
В на множества £(;)—единственное. Поэтому оптимальной
функцией плотности является предельная плотность, а опти¬
мальное множество может быть определено по формуле
P(<7p)=U Б (В,	(3.5.15)
где Г определяется из уравнения
<7p = |u^
Предположим теперь, что р>0 и значение At таково, что
существуют элементы а(тг), для которых неравенство (3.5.12) не
выполняется. Тогда при объединении различных элементов а(тО
будет выполняться либо неравенство (3.5.10), либо неравенство
(3.5.11). Это справедливо для каждых двух элементов а (т е,- )
и	), при этом наблюдается следующая закономерность. Ес¬
ли элемент та-эффективнее элемента т/(;. при kt<kj [т. е. справед¬
ливо неравенство (3.5.10)], то при	элемент эффектив¬
нее элемента т/,. . И наоборот, если элемент та - эффективнее эле¬
мента хк[ при ki<kj [имеет место неравенство (3.5.11)], то при
элемент т/(/ эффективнее элемента т/.;. Если же элементы
taz и Tkj равноэффективны (справедливо соотношение (3.5.10)
при условии, что знак заменен на знак равенства), то элемент
Thl эффективнее элемента та,-, если ki<ki, и элемент та, эффек¬
тивнее элемента т» , если kt>kj. Данное свойство позволяет
определить оптимальную стратегию размещения располагаемого
количества измерений qv на множестве R.
Оптимальная функция плотности Т(т, <7Р) размещения изме¬
рений <7Р на оптимальном^ множестве Р (<?р) является предельной
плотностью (V(t, <7р)=гЕ). Действительно, как было показано,
между любыми двумя элементами та. и хк. в объединении про¬
извольных элементов а(т/,7)	(v=l, 2, ..., п) можно установить
порядок эффективности. Поэтому на оптимальном множестве
Р (<7Р) измерения должны быть размещены с предельной плот¬
ностью, чтобы не было возможности перемещать измерения с ме¬
нее эффективных моментов на более эффективные.
115

Оптимальное множество P(qp) определяется либо по форму¬
ле (3.5.15), либо по следующей формуле:
(у £(/)
U Б
U
(3.5.17-
Индексы i и i определяются из условий:
U
/> и1, ’Г,,
(3.5.18,
2) если Tie5(i) и Т2^5(0, то элементы Ti и Т2 равноэффек¬
тивны относительно объединения элементов а(г), соответствую¬
щих множеству
U Б (г) U И Б (7).
''н
Оптимальное множество Р(<7₽) определяется соотношением
(3.5.15) при условии, что элемент xe5(i) эффективнее любого
‘ к	~~
элемента ТЕ U Б{р, т. е. если измерения с момента т пере¬
местить на момент т, то оценка D°p от этого увеличится. Если
такое условие не выполняется, то оптимальное множество опре¬
деляется соотношением (3.5.17).
Перейдем к рассмотрению каждой элементарной оценки в
отдельности.
Оценка Dr'r]. Для обобщенной оценки D°rj, соответствующей
оценке D?t;, выполняется условие
A,= w2(T.j; at== 1, т. е. а,= А/, где 3=0.
Поэтому для опенки Dii; оптимальная стратегия размещения
измерений характеризуется предельной плотностью измерений и
оптимальным множеством, определяемым по формуле (3.5.15).
Если допускаются измерения с бесконечной плотностью, то урав¬
нение (3.5.16) разрешимо при l = iH. Поэтому если Toe5(iH), то
функция	может быть представлена в виде
D?7((9') = w2(<7pW2(To))_1.	(3.5.19
Оценка Dbi- Как было показано в разд. 3.3, функция 1Дз^(<7р’
не уменьшается с увеличением величины q . Поэтому
при выборе оптимального значения q,, требуется исходить из
условия qv О q. Однако для данной оценки Dye, рационально
рассматривать функцию Dyr( (<7р) при qv^>q. Это объясняется
116

тем, что оценка D.A| входит в составную оценку D2i] в виде
слагаемого. Поэтому представляет интерес оптимальное мно¬
жество Р (<7р) для этой оценки при qv^>q. Оценка Dihl полу¬
чается из обобщенной элементарной оценки, если положить
А; = | ™ Cd) I; а/ = А(- = | w(r;)
В этом случае £>0. Поэтому только если имеет место неравен¬
ство
2w(tzJ > ™(Т;н),	(3.5.20)
множества 5(i) представляют собой последовательность мно¬
жеств убывающей эффективности, а оптимальное множество мо¬
жет быть определено по формуле (3.5.15), т. е. оно совпадает
с оптимальным множеством оценки DiH. Если условие (3.5.20)
не выполняется, то оптимальное множество необходимо вычис¬
лять по формуле (3.5.15) или (3.5.17). Необходимо отметить, что
для непрерывной фукции w(r) всегда существует такое значение
<7Р, при котором оптимальное множество может быть вычислено
по формуле (3.5.15). Из этого следует, что всегда существует
такое значение <7Р, при котором оптимальные множества для оце¬
нок DiH и Dl1! совпадают.
Согласно приведенному материалу величина q для оценки
Dyrj определяется по формуле
q= {£(/„),	(3.5.21)
Поэтому при <7р^ {Б (i„), Чгп} функция	увеличивается
с увеличением qp. Если измерения допускают бесконечную плот¬
ность, то д = оо и функция Dfi;(<7p) определяется соотноше¬
нием
DItq (<rp)=[wTJw(T0)-1]2; T0E5(iH).
Оценка D^. Оценка D^ получается из обобщенной, эле¬
ментарной оценки, если положить
az = w (?,.)/>,.(т;), Ai = 'w(Ti)b(riyi.
Функцию &(т) в общем случае нельзя ограничить каким-либо
типом функций. Поэтому ограничения, налагаемые на а, и Аг,
введенные при рассмотрении обобщенной элементарной оценки,
для оценки Dl’l будут недопустимыми. Это существенно за¬
трудняет изучение оптимальной стратегии для оценок, в кото¬
рые входит элементарная оценка Dl'G-
117

Одна из характерных черт оценки D?Ti состоит в том, что
не исключаются такие функции 6(т), при которых знаки при а;
будут разными для разных значений i. В этом случае для оцен¬
ки Dr/j существует такое предельное располагаемое количест¬
во измерений qp, что если <7Р<дР, то можно разместить измере¬
ния так, что будет выполняться условие
DlWP) = 0.
Очевидно, что на множестве R — Р(qp) коэффициенты а; будут
иметь одинаковые знаки.
Глава 4
ОПТИМАЛЬНАЯ СТРАТЕГИЯ
РАЗМЕЩЕНИЯ ОДНОРОДНЫХ ИЗМЕРЕНИЙ
ДЛЯ ЭЛЕМЕНТАРНЫХ ОЦЕНОК ПРИ т>1
4.1.	ОПТИМАЛЬНАЯ СТРАТЕГИЯ РАЗМЕЩЕНИЯ ИЗМЕРЕНИЙ
ДЛЯ ОЦЕНОК DKG И D37I ПРИ НАЛИЧИИ
ВЕКТОР-ФУНКЦИИ С ПЛОСКИМ ГОДОГРАФОМ
Изучение оптимальной стратегии размещения измерений для
оценок	н £)|т] в случае, когда вектор-функция имеет
плоский годограф, представляет особый интерес. Это вызвано
тем, что па примере этой вектор-функцпи наиболее удобно изу¬
чать структуры множеств, равноэффективных по отношению к
оценкам Ditj и Эуд Этому вопросу и посвящен настоящий
раздел. Учитывая, что равноэффективные множества при век¬
тор-функцпи с плоским годографом получаются только для внут¬
ренних векторов пространства G (см. разд. 2.3), ниже будем
предполагать вектор 1^ внутренним (линия действия вектора пе¬
ресечет плоскость годографа в точке х, внутренней по отноше¬
нию к линии годографа).
Отметим, что возможность разложения оптимального множе¬
ства на равноэффективные множества существенно связана с
однозначностью оптимальной стратегии размещения измерений.
Здесь и в дальнейшем под неоднозначностью выбора оптималь¬
ной стратегии будем понимать тот случай, когда одно и то же
значение функции D/,r| (<7) достигается на различных оптималь¬
ных множествах при различной функции плотности ЧЦт, q).
Лемма 4.1.1. Если оптимальное множество P(q) разлагается
на равноэффективные множества, на каждом из которых изме¬
рения проводятся с постоянной плотностью 4r<V, то оптималь¬
ная стратегия размещения измерений неоднозначна.
118

Действительно, если /э(<7)= U B0(i\ где B0(i)—равноэф-
;н
фектпвные множества относительно оценки	то перенесение
части измерений с одного множества на другое не изменит зна¬
чения оценки В частности, если допускается значение пре¬
дельной плотности Д, некоторые измерения могут быть полно¬
стью перенесены с каких-либо множеств Во(1) на другие множе¬
ства так, чтобы эти множества были исключены из множест¬
ва P(q).
Рассмотрим стратегию размещения располагаемого количе¬
ства измерений q]t при наличии вектор-функции с плоским годо¬
графом раздельно для каждой оценки Dt1! и Ds1!.
Оценка Df»). Оценка Di\ при наличии вектор-функции с
плоским годографом согласно теореме 2.3.1 может быть вычис¬
лена по формуле
+	(4.1.1)
где <7Р — суммарное количество измерений, размещенное па
элементах некоторого множества УсдР;
1Я —вектор, коллинеарный вектору 1т, и вершина которого
лежит на гиперплоскости годографа;
Dir; — величина, зависящая от количества измерений и мно¬
жества У.
Для величины Dprj выполняется неравенство
б^>0,	(4.1.2)
при этом знак равенства имеет место только в том случае, когда
центр тяжести измерений, помещенных в навигационных точках
х(т), соответствующих множеству У, совпадает с точкой xTj. По¬
этому оптимальная стратегия размещения измерений, обеспечи¬
вающая минимум оценки Dpi, совпадает со всеми размещения¬
ми, обеспечивающими совпадение центра тяжести х1( размещен¬
ных измерений qv с точкой хТ1, если это возможно.
Если предельная плотность измерений ограничена (Д<оо),
то для каждой внутренней точки хт, на гиперплоскости годогра¬
фа М можно найти такое предельное значение д, при котором
можно обеспечить совпадение центра тяжести измерений, разме¬
щенных на множестве точек х(т), с точкой х.т,.
Пусть вектор-функция w(t)—кусочно-непрерывная на нави¬
гационном интервале [т„, тк]. Обозначим через У(У^Р) множе¬
ство моментов, такое, что на нем можно разместить располагае¬
мое количество измерений qP = q с предельной плотностью Д,
при этом центр тяжести размещенных измерений совпадает с
точкой
119

Пусть У = U Д(/1, где множество ГЦ) удовлетворяет еле-
'и
дующему условию. Центр тяжести измерений, количество кото¬
рых определится по формуле
<7р;=Ю), Ф<й1,
при размещении его на множестве Г (г) с постоянной плотностью
Чг,„ совпадает с точкой х1(. Множества ГЦ) для разных значе¬
ний i представляют собой множества равной эффективности по
отношению к оценке Dir( и параметру т]. Действительно, если
qt.<q, то оптимальное множество P(qp) для оценки О’т; мо¬
жет быть определено по формуле
f
где U ГЦ)—объединение множеств ГЦ) по множеству индек¬
сов f. Множество индексов f выбрано из сегмента [ifI, iK] таким
образом, чтобы обеспечивалось условие
?P=/U/'W, ЧЦт) { и г (/)}!;	(4.1.3.
I /	f I
при этом предполагается, что на каждом множестве ГЦ) плот¬
ность измерений постоянна. Множество индексов f условием
(4.1.3) определяется неоднозначно. Поэтому при одном и том же
значении функции Df/] (<7Р) множество P(qp) может состоять из
различных множеств ГЦ) и плотность измерений может быть
различной.
При такой конструкции оптимального множества не выпол¬
няются условие поглощаемости и условие предельности плотно¬
сти измерений. Однако искусственно можно сконструировать та¬
кое множество Р (<7Р), для которого данные условия будут вы¬
полняться. Для этого достаточно множество Р (qp) определить по
формуле
^(7p)-U ГЦ),	(4.1.41
гн
где величина i определяется из решения уравнения
Г(/),	(4.1.51
Примечание. Предположим, что некоторое количество из¬
мерений 7Ро размещено на множестве	с функцией плотно¬
сти размещения измерений ЧЦт){Уо}. Требуется разместить на
120

множестве (/?— Уо) количество измерений qp так, чтобы обеспе¬
чить минимум оценки Dry вычисляемой по формуле
Dpi — 1* [(w (г) w1' (т)) {Уо, Т m ' Уо; I +
+ (w(t)wt(t)) {Ур 1Г(т) U’J i]_I>v
где У) — искомое множество;
Чг(т) {У]} —искомая функция плотности измерений.
Вектор-функция w(r), заданная па множестве R, имеет плос¬
кий годограф, лежащий в гиперплоскости .1/.
Пусть х(Щ—центр тяжести измерений <7Ро, помещенных на
множестве Уо; х,,— точка пересечения вектора_17, с гиперплоско¬
стью годографа. Построим в гиперплоскости Д/ вектор v0 с на¬
чалом в точке хГ( и вершиной в точке хОц. Обозначим через vt
вектор с началом в точке хТ;, который определяется по формуле
Vi= — 7p<7;7oVo-
Будем считать, что вершина Xi вектора V, лежит внутри вы¬
пуклой оболочки, построенной для навигационных точек, соот¬
ветствующих множеству R— Уо. Тогда согласно теореме 2.3.2
минимум оценки D?t( достигается в том случае, если центр тя¬
жести измерений qp, размещенных на множестве У], совпадает
С ТОЧКОЙ X].
Оценка Dfy Если располагаемое количество измерений qp
размещено на множестве R^R таким образом, что для любого
тсУ выполняетя неравенство
lr,[(w (т) wT (т)) {У, 'F (т) |yj)l_1w (т) > 0,	(4.1.6)
то оценка D^g принимает следующее значение:
d!-g=(IM 1ЧГ1)2-
Ниже будет показано, что такое значение оценки минимально
возможное. Поэтому условие (4.1.6) можно рассматривать как
достаточное при определении оптимального множества и опти¬
мальной функции плотности размещения измерений при наличии
вектор-фуикщш с плоским годографом.
Предположим теперь, что центр тяжести измерений Ур, раз¬
мещенных па множестве У, совпадает с точкой хт,. В этом слу¬
чае согласно формуле (2.3.11) можно записать
Ц j(w (т) wT (т)) {У, Ч- it) (У)}]-1 w tr) > 0.
Поэтому множества Г(1), рассмотренные в предыдущем раз¬
деле, являются множествами равноэффективными по отношению
к оценке D.<g, что позволяет определить множество P(qp) для
121

оценки	по формуле (4.1.4), а также применить к множе¬
ству Р (qp) и к функции Чг(т, др) те же выводы, что и для мио-
жества P(qp) и функции Т(т, qp) оценки Di?).
Необходимо отметить, что условие (4.1.6) является сущест¬
венно менее жестким, чем условие совпадения центра тяжести
измерений с точкой хт,. Поэтому если q — предельное количество
измерений, которое еще можно разместить на множестве R так.
чтобы выполнялось условие (4.1.6), то можно записать неравен¬
ство: q^q.
4.2.	ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТЬ МНОЖЕСТВ
УБЫВАЮЩЕЙ ЭФФЕКТИВНОСТИ ДЛЯ ОЦЕНОК Dfr, и D’r,
Произвольное множество У, на котором определены оценки
Dpi и D|v), всегда может быть представлено в виде последова¬
тельности множеств убывающей эффективности по отношению к
этим оценкам (если для оценки D3TI выполнены некоторые огра¬
ничения па величину q, о которых будет сказано выше). Для до¬
казательства этого рассмотрим одно свойство матрицы типа
(WWT)~!.
Пусть на множестве У размещены измерения с постоянной
плотностью Ф. Тогда имеет место соотношение
K=[(w(r), wT(r)){y, Фп)]-1.	(4.2.1
Справедлива следующая лемма.
Лемма 4.2.1. Для матрицы К и произвольного вектора L
всегда можно найти такое линейное преобразование, после кото¬
рого матрица К становится диагонально-клеточной с порядками
диагональных клеток, соответственно равными 1 и т—1, а ком¬
поненты вектора Ц после преобразования все, кроме первой,
становятся равными нулю.
Линейное преобразование можно интерпретировать как пере¬
ход в новую систему базисных векторов, при этом столбцы мат¬
рицы преобразования Т являются координатами новых базисных
векторов в старых.
Пусть loi, I02, ■■■> lom — базисные векторы в простаистве G. Бу¬
дем искать матрицу преобразования Т в виде произведения двух
матриц I и Т, где I — некоторая ортогональная матрица, а Т —
невырожденная матрица типа


1
е
т=
П
где е — (1 X (т — 1)); П ((m — 1) X (т— ! >)•
Выберем новый базис таким образом, чтобы первый его век¬
тор был коллинеарен заданному вектору Ц. Пусть положение но¬
вого базиса задается ортогональной матрицей I. Тогда в столбце
Ц,определяемом по формуле
122

только первая компонента отлична от нуля. Учитывая, что
T-i
1
е
О(т-1)	1
П1
, е=_еГГ1,
заметим, что столбец 1, инвариантен относительно преобразо¬
ваний, задаваемых матрицей Т1, т.
“ j I
jT мг
Пусть К= S KI
где
е. Г, = Т-1Г.
а — число больше нуля,
М — симметрическая
проверить прямым
j (1 X т — 1),
X (т—1). Тогда, как несложно
пнем, равенство
К:=(т)“1к(тт)
матрица типа
(т — 1) X
п ер ем нож е-
1

а
01;<(т_1)
O(m_l)xl
м
(4.2.2)
выполняется, если е = jM-'П, а П — произвольная невырожден¬
ная матрица. Этот результат означает, что существенно только
положение гиперплоскости М, в которой лежат оставшиеся ба¬
зисные векторы (первый базисный вектор остается коллинеар¬
ным вектору Ц, так как матрица Т его не изменяет). Поэтому в
дальнейшем, когда возникает потребность в построении такого
базиса (или в получении преобразования Т), будем считать, что
он задается вектором Ц и гиперплоскостью М, а так как вектор
1Т; всегда задан, то для определения базиса достаточно задать
гиперплоскость М.
Введем обозначение для навигационной вектор-функции в
новой системе базисных векторов:
(т)
(4.2.3)
где ш0(т) —число; v(r) — вектор (/и — 1) X 1.
Тогда согласно соотношению (4.2.2) получим
(иу0(т) v (т)) {У, Ч?И) = О.
(4.2.4)
Формулы для вычисления значений элементарных оценок в
новой системе координат примут такой же вид, как и в простран¬
стве G размерности один (см. разд. 3.5):
D^= w2 (w20 (г) {У, Ч?,,}(4.2.5)
П2д = ж( [((/Нт) w(j(t)) |У, ¥,,}) (и'о(т) (У, W'J) ;	(4.2.6)
D3T; = w^ [( | w0(T)l Фп})(те.'о(т) (У, Ф,,))-1]2-	(4-2.7)
123

Представим множество У в виде упорядоченной системы мно¬
жеств следующим образом. Разобьем располагаемое количество
измерений qp = {У, Фп} на п частей Bq = qp/п,
где п. — выбрано таким, чтобы на сегменте	вектор-
функцию w(x) с требуемой точностью можно было считать по¬
стоянной. Количество измерений, задаваемое величиной Bq, бу¬
дем называть элементарным количеством измерений.
Будем последовательно размещать элементарные количества
измерений на множестве У. При этом если B(i) является под¬
множеством множества У, на котором размещено z-e элементар¬
ное количество измерений, то следующее (i+1) -е элементарное
количество измерений размещается на множестве
I
вУ1+1—У — U W Подмножество B(z), на котором разме-
'н
щается z-e элементарное количество измерений, удовлетворяет
следующим двум условиям:
1)	функция (аУо(т)у(т)) {B(z), Чгп} = о;
2)	множество B(t) находится из условия:
S(z) = P(A9){Ayz},
при этом предполагается, что первое условие выполнено.
Если обозначить через D^r] (Д7) оптимальную функцию оцен¬
ки, соответствующую количеству измерений Д7, размещенному
на множестве ДУ,, то второе условие равносильно требованию
выполнения равенства
Dp (Д<?); = Dp {£(/), Фп}.
Введем обозначения
Dp {£(/),	= iia.£S_
?/a(Az
где q.= {B(i), Фп1;
а,. = 1, Аг = 7,-1 X wo(r) (S (z), 4ZJ, если Dp = Dp<7₽;
az= 7, 11 w0 (t)| {B(i), Фп}; A;
®o(T) f B
1 ®0(т) [ {В(г)фп}
если Dp = Dp.
Будем считать, что каждому множеству B(i) соответствует
элемент а( = ———.	Предельное количество измерений, поме-
az А,-
щаемое в множестве B(z), определяется по формуле
?=[S(z), Фп).
124

Пусть в каждом множестве В (7) размещено q, измерений.
Тогда под объединением элементов ак ак,..., ак , где
1	С	обозначаемое через q^,. . ., qk ],
будем понимать величину, определяемую по формуле
.... qk] -	■	(4-2-8)
!=1 ‘ ‘
Используя эти обозначения, оценки Итд и D:Pi, вычисляе¬
мые по формулам (4.2.5) и (4.2.7), можно записать в следующем
виде:
Dh = <771 [М, д<?,. •
D!t] = [&q, kq,.	Д9]н^.
В обеих формулах при использовании соотношения (4.2.8)
требуется выбирать соответствующие значения а, и А,-.
Таким образом, формально для записи оценок DT^ и
можно использовать форму записи, аналогичную той, которая
имела место в разд. 3.5. Тогда если определить обобщенную эле¬
ментарную оценку D°r] по формуле
qk},
то оценки DiT( и Db] могут быть записан ы в следующем виде:
Dp)=D.It1 = (D%)A2.
Для элементов ак. выполняются те же условия, что и для
элементов а(т) в разд. 3.5, а именно: если kl<_k2, то Ал,>Ал2.
Таким образом, к полученной оценке D°t] можно применить те
же результаты, которые были получены в разд. 3.5.
Согласно материалу, изложенному в разд. 3.5, между эле¬
ментами ак при любом их объединении можно установить
порядок эффективности. При этом для элементов ак , соответ-
I
ствующих оценке d!iv], соотношение эффективности между эле¬
ментами ак и аь не зависит от того, в сочетании с какими
i	j
элементами они рассматриваются. Для элементов ак , соот-
I
ветствующих оценке ПзД, этого уже нельзя сказать. Но, как
было показано в разд. 3.5, существуют такие условия, при кото¬
рых соотношение эффективности между элементами аЛ и ак.
125

не нарушается при любом объединении элементов и для оценки
DsV Будем предполагать, что эти условия выполняются
В этом случае множества В (/) удовлетворяют условиям 1, 3, 4,
предъявляемым к множествам убывающей эффективности. Ни¬
же, в разд. 4.3 п 4.4, при описании способа нахождения множест¬
ва B(i) будет показано, что эти множества удовлетворяют также
и второму условию, предъявляемому к множествам B(z), обра¬
зующим последовательность .множеств убывающей эффектив¬
ности.
Тем самым показано, что множество У, на котором определе¬
ны оценки Diт, и D3'G, может быть разложено в последователь¬
ность множеств убывающей эффективности (при соблюдении
тех ограничений, которые наложены на оценку Пзд).
Следствием этого является оптимальность предельной плот¬
ности размещения измерений на множестве P(qp) для оценок
D1Q и Dlr, и непрерывность функций Dh (<7р1 и Dy/j (q ).
Данный результат сведем в следующие теоремы.
Теорема 4.2.1. Если оценка Г)^ (или Озд) определена на
множестве У, то У может быть представлено в виде объединения
множеств, образующих последовательность множеств убываю¬
щей эффективности относительно оценки Dp, (или D^).
Теорема 4.2.2. Функции Dp,. (<7р) и Di7! (<7Р) непрерывные.
4.3.	ОПТИМАЛЬНАЯ СТРАТЕГИЯ
РАЗМЕЩЕНИЯ ИЗМЕРЕНИЙ ДЛЯ ОЦЕНКИ Dfr,
Предельная плотность измерений не ограничена (Чг = оо)
Пусть задана некоторая матрица Fo ранга т0, так что оценка
П1/| определяется по формуле
Di3-g = I^ (FoH-K-1)-1!,.,	(4.3.1)
где К — матрица оценок, соответствующая некоторой стратегии
размещения измерений располагаемого количества измерений qp
на множестве Д. Оптимальная функция оценки Dp (<7Р) — убы¬
вающая (см. теорему 3.3.2), так что оптимальное количество из¬
мерений определяется соотношением <7оп,р = 0°. В связи с этим
оптимальная стратегия измерений, минимизирующая значение
оценки Dp, сводится к нахождению оптимального множества
P(q-p') и оптимальной функции Чг(т, qp) размещения измерений
на множестве P(qp) при заданном располагаемом количестве из¬
мерений <7Р. Оптимальная стратегия размещения измерений, ми¬
нимизирующая значение оценки Dit(, вычисляемой по формуле
(4.3.1), формулируется в следующей теореме. При написании
126

теоремы и ее доказательстве использовались следующие обо¬
значения.
Выпуклая оболочка навигационной вектор-функции w(r), за¬
данной на множестве R, обозначается через А] и через Аг (а)
обозначается выпуклая оболочка, соответствующая т0-мерпому
эллипсоиду, определяемому уравнением
1TLO (LoLo)_2L51 = 1, где L0U=a2F0.
Через a(lT|<7) = a3 обозначается коэффициент а, соответствую¬
щий опорному множеству 7'(1Т1, q, Fn) (см. разд. 2.5), и через
w0 — опорный вектор w„n(aj), выделяемый гранью Г (lr,)a=ct0 вы¬
пуклой оболочки A(a0)s=A14-A,(а,-,). Напомним, что вершина
вектора woa() лежит на грани Г fl.rJ„=ao, а также удовлетворяет
уравнению т.рмерного эллипсоида, определяемого матрицей
coFo. Обозначим через вектор, коллинеарный вектору Ц,
вершина которого лежит на выпуклой оболочке A(a0)s.
Теорема 4.3.1. Оптимальное множество1 Р(<7Р) для оценки Di^,
вычисляемой по формуле (4.3.1), при Чг=оо удовлетворяет со¬
отношению
Р(<7р)<=Г(1т„ <7Р, Fo).
Оптимальное множество Р(<7Р) состоит из таких моментов т,
множества Т (Ь.,<7р, Fo), которые обеспечивают условие внутрен¬
ности вектора Ц по отношению к системе векторов w(t1), ...
..., w(xn), w0 при векторе измерений qP=ll<7P, HI. Оптимальное ко¬
личество измерений <7оп(тг), размещаемое на элементах т, опти¬
мального множества Р(<7Р), определяется из условия выполнения
следующего равенства:
(?р + 7о)-1
1
п
2 ?Ww(Ti)Wo ,
1=1
(4.3.2)
где п — число элементов ц множества Р (qp);
q(Ti) —количество измерений, размещаемое в элементе
V?(r,.)=?p; 7и = а^2-
1
Предварительно докажем следующую лемму.
Лемма 4.3.1. При увеличении модуля навигационного вектора
w(ti), где Тг — момент времени, в котором помещено некоторое
количество измерений qt, величина оценки	не увеличи¬
вается.
127

Действительно, увеличение модуля вектора w(x;) в « раз
(а>1) для оценки DfG равносильно проведению дополнитель¬
ных измерений, помещенных в некоторый момент, которому соот¬
ветствует навигационный вектор | а2—1 w(x;). Эго утвержде¬
ние следует из тождества
ct2<7;w (х(-) wT (Х;-) = <7,w (Т;) w’ |TZ) + (а2 — 1) ?;w (т,-) wT (х,- ■.
Поэтому согласно свойству матриц оценок (см. разд. 1.3) величи¬
на оценки Dig не увеличивается.
Воспользуемся этой леммой для доказательства теоремы 4.3.1
Пусть Л4()П — опорная гиперплоскость, проведенная через
грань Г (1т,)а=Яо выпуклой оболочки A(a)s. По этой гиперплос¬
кости можно построить мажорантную вектор-функцию w(x) к
заданной вектор-функцип w(x) аналогично тому, как это было
сделано при доказательстве теоремы 2.3.3. Поэтому имеем
w(xlj|w(x) и | w it) | > | w (х) |.	(4.3.3
Знак равенства в (4.3.3) имеет место только при тезТ (1,., <7р, F(,>.
Если (п, Т2, ■■■, t,J сд'/' (1,, qp, Fo) и х,, i = 1, 2, ..., п удовлетворяют
условию внутренности, то согласно материалу, изложенному в
разд. 4.1, и следствию 1 (см. разд. 2.3) при размещении в этих
моментах располагаемого количества измерений qp таким обра¬
зом, чтобы выполнялось соотношение (4.3.2), будет обеспечено
минимальное значение оценки D14 для мажорантной вектор-
функции w(x). Из соотношения (4.3.3) и леммы 4.3.1 следует,
что эти же моменты будут оптимальными и для вектор-функцип
w (х), что и доказывает теорему.
Следствие 1. Из множества Т (1Т|, qp, Fo) всегда можно выде¬
лить d моментов ц, .... xfi(d^/n), чтобы они удовлетворяли усло¬
вию внутренности. Поэтому при допустимой бесконечной плотно¬
сти измерений минимум оценки Di?) может определяться из ус¬
ловия размещения всего располагаемого количества измерений
на моментах, число которых не больше размерности m простран¬
ства.
Следствие 2. Величина оценки	при оптимальном разме¬
щении располагаемого количества измерений qp, допускающих
бесконечную плотность измерений (Чг = оо), может быть опреде¬
лена по формуле
| | 1, J (<7р-)-<7о) *•
Следствие 3. Ввиду того что множество Т (1,, qp, Fo) в общем
случае состоит из моментов, число которых больше in, оптималь¬
ная стратегия размещения измерений при 'К = оо неоднозначна.
Следствие 4. Пусть F0 = O. Тогда Т (Ц, qp, Fo) ^^(Е.) и тео¬
рему 4.3.1 можно сформулировать следующим образом.
128

Если измерения допускают бесконечную плотность и F0=O,
то минимум оценки Di^j достигается при размещении распола¬
гаемого количества измерений на моментах, выбранных из мно¬
жества Т (Ц) и обеспечивающих условие внутренности векто¬
ра К-
Следует отметить, что в данном случае множество 7'(1Т|) не
зависит от располагаемого количества измерений qp. Функция
Di^(<7P^ ПРИ ^о = 0 может быть вычислена по формуле
D?W = IM21 Ь.,,Г2 ^рГ1.	(4.3.4)
Предельная плотность измерений ограничена (Чт<оо)
Как было показано в разд. 4.2, оптимальная функция плотно¬
сти размещения измерений для оценки	определяется по
формуле	_
Ф(т, <7р) = Ф.
Поэтому определение оптимальной стратегии размещения изме¬
рений при W<oo сводится к нахождению оптимального множест¬
ва P(qp). Для успешного решения этого вопроса определим сна¬
чала способ нахождения множеств B(i), образующих последова¬
тельность множеств убывающей эффективности относительно
оценки Dit( и к тому же удовлетворяющих двум условиям, сфор¬
мулированным в разд. 4.2.
Предположим, что множество P(qp) известно. Тогда согласно
лемме 4.2.1 можно определить систему базисных векторов, позво¬
ляющую использовать для определения оценки DiTi формулу
(4.2.5).
ПустьМ—гиперплоскость, задающая эту систему. Предста¬
вим множество P(qp) в виде
Piqp}= U В (г),
1
где 5(i)—множества, найденные способом, описанным в разд.
4.2.
Предположим, что вектор-функция w(r) записана в системе
базисных векторов, введенных в разд. 4.2. Тогда оценка
[5 (/), Ф] определится соотношением
2
		W
D?r( [В (г), Фп]=-^,
Qi At
где
Az = ^(T)(5(i);	q.= \B(il Фп).
Согласно построению qi = qi=Aq для всех i, j. Поэтому оценку
On)	можно записать так:
5—3490
129

Dh	4-11] = 0Гт)
U В (z), Фп
1
н.
и 2 А'
i -1
(4.3.51
Введем преобразованную вектор-функцию w(t) по формуле
w(t) = wow(t),	(4.3.6)
где w(r) = ||w0(t) vt(t) ||т — вектор-функция, записанная в систе¬
ме базисных векторов, введенной в разд. 4.2. Используя понятие
преобразованной вектор-функции, требования, предъявляемые к
множествам B(i), можно записать в следующем виде.
Необходимо определить такое множество моментов изме-
'■-1 ;■
рений В (z) на множестве P{q^— U В (у), чтобы вектор 1,-,
z=i
определяемый по формуле
lf = w(x)(5(z), 'FJ,
был коллинеарен Ц, а модуль его был максимальным.
Действительно, если l/=w (т) {5 (/), Фп), то вектор 1/ можно
записать в виде
Н=К °1хт-1||,
что согласно формуле (4.3.6) равносильно равенству
(w0(r)v(r)) (5(z), ЧД) = о,
т. е. эквивалентно первому требованию. Модуль вектора 1< оп¬
ределяется по формуле
I If |2 = c2 = w0 (т)2 (5 (z), Фп}.	(4.3.7)
Но требование максимума величины (т)2 {5 (z), Фп} равно¬
сильно требованию минимума значения (®о (т) [В (z), Ч'п|)~ .
Это и доказывает эквивалентность приведенной формулировки
двум требованиям, приведенным в разд. 4.2.
Для определения множества В (z), таким образом, можно
воспользоваться теоремой 4.3.1. Построим выпуклую оболочку
для вектор-функции w(r), определенной на множестве ^Р(<7р) —
z-i х
— U Д(у)| , и выделим на ней грань, соответствующую век-
7=1/.
тору Ц. Пусть К-опорная плоскость, соответствующая этом
грани. Предположим, что эта плоскость имеет общих точек
с годографом вектор-функции w(r). При этом годограф^вектор-
функции w(r), определенной на множестве ^(<7Р)— 1^ В (у)) ’
130

лежит целиком по одну сторону от этой гиперплоскости. Будем
эту часть полупространства обозначать через е. Проведем
в этой части полупространства гиперплоскость 7ИП, так чтобы
она пересекала годограф вектор-функции w(t) в cP точках. Та¬
ким образом, между двумя гиперплоскостями и /И|! будет
находиться некоторая часть годографа вектор-функции w(t).
Каждая точка годографа определяет некоторый момент
U #(/)), а каждому отрезку годографа можно
поставить в соответствие некоторое множество моментов. Обоз¬
начим через У; множество моментов У,- с (р (qp) — U В (/)] ,
L	\	у=1	/J
соответствующее части подографа, лежащей между плоскостями
тИоп и Л411. Если предположить, что на этом множестве разме¬
щены измерения с предельной плотностью, то множество У, за¬
дает некоторое количество измерений qt, определяемое по фор¬
муле
Если гиперплоскость Л411 либо параллельна гиперплоскости
тИоп, либо составляет с ней малый угол, а расстояние между
ними стремится к нулю, то qL также стремится к нулю, если
при этом годограф вектор-функции w (т) не лежит в гиперплос¬
кости -Моп- Каждый отрезок годографа, отсекаемый двумя
гиперплоскостями, при этом стремится к нулю, поэтому мно¬
жество У,- стремится к множеству Т (lTj), соответствующему
данной грани. При достаточно малом значении qj = {yi,
будем считать, что все измерения размещены в опорном
множестве. Пусть — точка пересечения вектора 1Т1 с гипер¬
плоскостью М1ОП. Определим гиперплоскость Л411 таким обра¬
зом, чтобы выполнялись два условия:
Q р
—	qi = Lq =—(согласно материалу, изложенному в разд. 4.2,
п может быть сделано как угодно велико);
—	центр тяжести измерений, помещенных в опорном множе¬
стве, совпадает с точкой Хт].
В этом случае согласно теореме 4.3.1 и следствию 4 достигает¬
ся максимум модуля вектора 1/, а вектор 1; удовлетворяет
уравнению
(4.3.8)
А это означает, что полученное таким образом множество У, и
есть искомое множество В (Г).
5*
131

Описанный способ нахождения множества B(i) в дальнейшем
будем называть методом сечений годографа вектор-функции w(t).
Очевидно, что гиперплоскость Л4П задает новую грань выпуклой
оболочки вектор-функции w(x), определенной уже на множестве
^(#р)—U В (j) и соответствующей вектору Iv Множество
Л-1
В (i+1) может быть определено аналогичным образом. Таким
образом, последовательно применяя метод сечений годографа век¬
тор-функции, можно найти все множества В (i) (t=l, 2, ..., п).
Замечание 1. Если годограф лежит частично в гиперплоскости
УИоП, то опорное множество Т (Ц) в этом случае может вместить
некоторое конечное количество измерений. В этом и состоит основ¬
ное отличие данного случая.
Замечание 2. В разд. 4.2 указывалось, что после определения
способа нахождения множеств B(i) будет доказано, что для мно¬
жества В (/') выполняется второе условие, предъявляемое к мно¬
жеству 73 (г) (см. разд. 3.4). Сделаем это.
Если в множестве IB (z—1) дублируется один элемент т,
эквивалентный элементу.£ т GE В (z—1), то вершина вектора
w(r) будет лежать в части пространства, образованной гипер¬
плоскостью Л1оП, свободной от годографа вектор-функции w(r),
определенной на множестве ^ £*(#₽)—U В (y)j. Поэтому для
того чтобы гиперплоскость'ТИоп была опорной, ее необходимо
„поднять“ так, чтобы вершина вектора w(z) легла на эту ги¬
перплоскость. Очевидно, что модуль вектора 1Х при этом уве¬
личится, а значит увеличится и значение wa (т)2 (В (z), У?’п|
(см. формулу (4.3.7)), : что равносильно уменьшению оценки,
Dfi; (В (г), Чг„}. Это доказывает выполнение второго условия.
Выше отмечалось, что множество Р(^р) однозначно опреде¬
ляет гиперплоскость М, задающую систему базисных векторов,
введенную в разд. 4.2. Справедливо и обратное утверждение.
Если известна гиперплоскость М и оптимальное множество
P(qp) единственно, то методом сечений годографа вектор-функ¬
ции w(t) это оптимальное множество может быть определено.
Докажем это.
Выберем базисные векторы lOi, I02, •••> Ь™ пространства G та¬
ким образом, чтобы первый вектор loi был коллинеарен вектору
1 а остальные векторы лежали в гиперплоскости М. Построим
преобразованную вектор-функцию
w(t)=w0(t)w(t), где w(r)=||w0(r), vT(r)||T.
Для вектор-функции w(r), определенной на множестве R, нахо¬
дим методом сечений годографа вектор-функции w(t) последо-
13!}

■вательность множеств B(i) (i=l, 2, ..., п) таких, что{2? (Z), Чгп) =
'=== Д7=— . Покажем, что имеет место
п
Д(«) и 5(z) = 5(i), (i=l, 2,..., ri).
Z = 1
Пусть множество 5(1) не совпадает с множеством 5(1).
Выпуклая оболочка вектор-функции w(t), определенной на мно¬
жестве /’(Vp), не выходит за пределы выпуклой оболочки вектор-
функции w(t), определенной на множестве R. Поэтому множест¬
во 5(1), если и пересекается с множеством Р(7р), то только по
множеству 5(1) [см. способ нахождения множества 5(/)]. Таким
образом, должно выполняться неравенство
■	^о(т)(5(1), Фп}>^02(т){5(1), Фп},
откуда следует, что если В (1) #=5(1), то от перенесения измере¬
ний с множества 5(1) на множество 5(1) оценка £>1эт] может
только уменьшиться, что невозможно ввиду оптимальности мно¬
жества Р(<7р). А так как оптимальное множество Р(<7Р) единст¬
венное, то 5(1)=J?(1). Аналогичным способом можно доказать
равенства В (Г) =В (i), (i=2, ..., ri).
Плоскость М однозначно определяется единичным вектором
i, ортогональным к этой плоскости. Обозначим через i(gp) век¬
тор-функцию, определяющую значение вектора i в зависимости
от значения располагаемого количества измерений qp. Докажем
следующую лемму.
Лемма 4.3.1. Если оптимальное множество P(q$) единствен¬
ное, то вектор-функция i(<7P) непрерывна.
Предположим обратное. Пусть i(7P) разрывна при 7р = 9р-
Это означает, что при <7P = gP — dqp и dq^-^-0 i(<7P — ^7P)->i#=i (7р).
Согласно сказанному выше для каждой гиперплоскости М, опре¬
деленной вектором i, можно найти последовательность множеств
B(i) убывающей эффективности, удовлетворяющих условию
D?7)(^p)=D?7I[jJi B(i),
Пусть B(i) (i=l, 2, ..., п) — множества, соответствующие ги¬
перплоскости М, определяемой вектором i. Тогда, учитывая не¬
прерывность функции Div](<7p), можем записать равенство
Di7! (7Р) —Di7!	’
что противоречит предположению однозначности оптимального
Множества Р(7Р). Лемма доказана.
133

Из леммы 4.3.1 и из способа нахождения оптимального мно.
жества при известной гиперплоскости М следует справедливость
соотношения
lim \P(qp + rf<7р)-Р(<7р), Ф„}=0.	(4.3.9)
Докажем следующую теорему.
Теорема 4.3.2. Если оптимальное множество P(qp) для оцен¬
ки Df'/j единственное, то оно удовлетворяет условию поглощае¬
мости.
Для доказательства теоремы необходимо показать справедлп-
вость соотношения
P^p + dq^^ Р(<7р)
при d<7P^0.
Пусть P = P(qp) П P(qp+dqv). Тогда согласно соотношению
(4.3.9)	справедливо равенство
lim (Р(<7 ) — Р, 'Тп}= lim {Р (<7Р + ^<7Р) — Р, 'Рп} = 0- (4.3.10)
d9p->0
Представим множества P(qp) и Р (qp + dqp) в виде
P(qP)^P + Dr;
Р {dp-irdqp'] = P-\-D2,
при этом D[ f] D2 — пустое множество. Обозначим
{Ор Фп} = ((Р(<7р)-Р), Фп) = ((/<7р)1;
[D.2, 4F„l-{(P(<7p + rf<7p)-/5), Фи1=(^Р)2.
Тогда (dqp)2= (dqp)\ + dqp. Множества и D2 могут быть опре¬
делены на множестве R — P из условия обеспечения минимума
функции
D?t) [PU P>i, К|, (/=1, 2) и (А, Ф„}=(^Р)1-
Покажем, что если Di непустое множество, то множества Di
и D2 будут иметь общие элементы.
Рассмотрим две выпуклые оболочки Ai и Аг. Одна из них
(Л1) равна выпуклой оболочке навигационной вектор-функция,
заданной на множестве R — P, а другая (Л2) есть эллипсоид»
соответствующий матрице F0=(w(t)wt(t)) {Р, гРп}. Обозначим
через а, значения коэффициента а, соответствующего граня
Г(1тр (dqp)i, Fo), через	—опорную гиперплоскость, соответ¬
ствующую граниГ^Дя выпуклой оболочки А(а(.) =Л1 +
+ Л2(аД, а через (уц),— вектор, вычисляемый по формуле (vn)i^
134

= —(^p)iaz 2 [aiwon(ai) —bTi(ai)]> где Ц\\ь„ а вершина его лежит
на оболочке A(a;)s. Приведем секущую гиперплоскость М‘с так,
как это делалось при нахождении множества В (Г) (см. выше).
Обозначим через У, множество (У;с;/?—Р), соответствующее той
части годографа вектор-функции w(t), которая заключена меж¬
ду гиперплоскостями М10П и М'с. Секущая гиперплоскость
проводится так, что выполняются два условия:
{Уг, Ф„Н^р);;
— центр тяжести располагаемого количества измерений
{dqv)i, размещенного на множестве У, совпадает с вершиной
вектора (vq)j.
При dqv-+Q Т (1П, (dqv) it Fo) с:У,. Тогда согласно теореме 4.3.1
множество У, и есть искомое множество Di. Учитывая, что
|d<7i — dq2\ есть величина бесконечно малая согласно лемме
2.5.1, множества 7'(lT1(^p)i, Fo) либо совпадают, либо имеют
общие точки. Отсюда следует, что D\ QD2— непустое множество.
Но это противоречит условию нахождения множества Dit так как
=	П ^(?Р+*ЗД,
Теорема доказана.
Алгоритм определения оптимального множества. Теоремы
4.3.1 и 4.3.2 позволяют построить следующий алгоритм определе¬
ния оптимального множества P(q?).
Пусть заданы навигационная вектор-функция w(t), опреде¬
ленная на множестве R, априорная матрица оценок (Fo)_1 и
располагаемое количество измерений qp. Оценка в этом
случае вычисляется по формуле
Dh = g(F0 + (w(r)wT(r)){y, Ф(т)(У}})-ЧТ1.
Требуется определить множество P(qp).
1. Разделим располагаемое количество измерений qv на п рав¬
ных частей так, чтобы величина qnin'¥ была достаточно малой и
можно было считать
w(T)wT(r)cfr = -^-w(r0)wT(r0).
to
2. Разместим элементарное количество измерений \q$ = qvlti
i—i
Последовательно одно за другим на множестве R—U У (У),
135

где У (у)—множество, на котором размещено элементарное ко¬
личество измерений Д^р на j-м шаге.
'	3. Каждое из множеств У(1) находится в следующем порядке:
—	строится выпуклая оболочка для вектор-функции, опреде-
Z —1
ленной на множестве /?— U У (/);]
7=1 ~
—	отыскивается грань Г(1Т1, Д<7, FOj), где матрица FOl- опреде¬
ляется по формуле
FOt- = Fo+ (w (т) wT (т)) {U* У (<), Фп);
-—находится секущая гиперплоскость Мс аналогично тому,
как это делалось выше, и определяется множество У(0-
4.	Построения п. 3 проводятся последовательно для i=l, 2, ...
..., п.
5.	Оптимальное множество P(qp) вычисляется по формуле
/>(^р)=и У(1).
i-1
4.4.	ОПТИМАЛЬНАЯ СТРАТЕГИЯ
РАЗМЕЩЕНИЯ ИЗМЕРЕНИЙ ДЛЯ ОЦЕНКИ D|t]
Функция ПзТ](<7) согласно теореме 3.3.1 не убывает с уве¬
личением q. Поэтому должно существовать такое значение q,
что функция Dbif?) остается постоянной, если q^,q, и увели¬
чивается, если q > ^Определим значение q для оценки Df7!-
Предположим, что 'Г <( оо и q > q. Разложим множество
P(q) в последовательность множеств убывающей эффектив¬
ности:
Р(<7)=ик1т	(4.4.1;
‘к
где B(i)—множества, эффективность которых относительно
оценки Din убывает с увеличением индекса i. Поэтому значение
функции Dfn (q) уменьшится, если часть измерений с множества
P(i2) перенесем на множество В(й) (ii<i2). Из этого следует,
что если имеет место соотношение
q> {ад, ^..1,
то значение функции Пзт;(9) увеличивается с увеличением зна¬
чения q.
Таким образом, оптимальное количество измерений должно
удовлетворять неравенству
136

q^q={B(ia),W„}.	(4.4.2)
Оптимальное множество оценки Db] при оптимальном выборе
количества измерений удовлетворяет соотношению
Р(?)сВ(/в).	(4.4.3)
Поэтому определение оптимальной стратегии размещения измере¬
ний сводится к определению множества В(гн).
Пусть задана навигационная вектор-функция w(r), опреде¬
ленная на множестве R. Построим для нее выпуклую оболочку и
найдем ее грань Ж), соответствующую вектору Ц. Справедли¬
ва следующая теорема.
Теорема 4.4.1. Имеет место равенство В (iH) = Т (1^).
Доказательство этой теоремы основано на использовании не¬
равенства (2.3.32). Будем считать, что на множестве 7(1Т|) век¬
тор-функция имеет плоский годограф, лежащий на опорной ги¬
перплоскости Моп, а на остальном множестве R— Т(Ц) годо¬
граф вектор-функции лежит по одну сторону от этой гиперплос¬
кости. Тогда согласно неравенству (2.3.32) можем записать сле¬
дующее соотношение:
Пз7! [Г (Ц), (т) {Г (Ц)}] < DI7) [У, 'Г (т) {У} ], (4.4.4)
где У —произвольное множество, принадлежащее множеству R,
а функция плотности ЧДт) {7^(1^)} удовлетворяет неравенству
i;[(w(r)w’(t))H). 'T(t){7(1.))}]-1w(t)>0.	(4.4.5)
Это неравенство доказывает теорему.
На основании изложенного можно сформулировать следую¬
щую теорему, определяющую оптимальное количество измерений
и оптимальную стратегию размещения этих измерений на мно¬
жестве R.
Теорема 4.4.2. Оптимальное количество измерений D37] для
оценки определяется неравенством
(4-4.6)
Оптимальное множество при оптимальном количестве измере¬
ний удовлетворяет соотношению
Р(уоп)сГ(1,),	(4.4.7)
а оптимальная функция плотности ЧДт, q) размещения измере¬
ний определяется из условия выполнения неравенства
in(w(T)wT(t)){P(7), 'T(t,'7)}]-1w(t)>0	(4.4.8)
Для любого x^P(q).
Рассмотрим основные следствия этой теоремы.
137

Следствие 1. Минимальное число моментов тц выбранных из
множества 7’(1Т1) и обеспечивающих выполнение условия (4.4.8),
равно (tZ+1), где <7— размерность грани Г(1Л)	1). Этот
случай называется случаем минимального числа моментов изме¬
рений. При минимальном числе моментов условие (4.4.8) выпол¬
няется при любом соотношении между количеством измерений,
помещенных в этих моментах, если только выполнено условие
внутренности.
Следствие 2. Если количество измерений q удовлетворяет ус¬
ловию (4.4.6), то функция О|т](<7оп) может быть записана в та¬
ком виде:
Di?) (<7оп) = (] М 1ЦГ1)2.
В частности, если Чг = оо, то q = eo, поэтому для любого значе¬
ния q функция Dl'q(g') постоянна и вычисляется по формуле
(4.4.9).
Рассмотрим теперь стратегию размещеия измерений при q>
>q, при ограничениях на величину q, введенных в разд. 4.2.
Согласно теореме 4.2.1 оптимальная плотность размещения
измерений определяется отношением ^(т, ^)=ЧГ. Поэтому опре¬
деление оптимальной стратегии сводится к определению опти¬
мального множества P(q).
Предположим, что известно оптимальное множество P(q).
Разложим его в последовательность множеств убывающей эф-
фективности 73(^)=U В (/). Разберем вначале способ нахожде-
'н
ния множеств В (Г).
По имеющемуся множеству P(q) можно определить систему
координат, введенную в разд. 4.2, в которой оценка	мо¬
жет быть вычислена по формуле (4.2.7). Пусть М — гиперплос¬
кость, определяющая эту систему. Тогда если
F iK

P(7)=U B(i), где {£(/),' Фп} = д?,
‘■н
то множества В (/) для оценки Dl'q находятся из двух условий:
1)	(®oWvW)l5,-, ^п} = о;	(4.4.9
2)	величина оценки D34	^'п} должна быть минимальной
при размещении количества измерений &q = q[n. на множестве
R-'U^O).
/=1
Предположим, что множества В (у) найдены вплоть до
множества В(ук) при ук=/—1. Определим множество £(/)•
Построим выпуклую оболочку вектор-функции w(t), опреде-
138

/—1
ленной на множестве/?—U В (У), и определим на ней грань
у-1
г(М, соответствующую вектору 1Т Пусть 7И0П— ее опорная
гиперплоскость. Проведем секущую гиперплоскость М; и вы-
1—1
делим из множества U B(j) множество У[г соответствую-
j=i
шее части годографа вектор-функции w(t), заключенной между
плоскостями 7ИОП и М, (подробнее см. разд. 4.3). Проведем
гиперплоскость так, чтобы выполнялись условия:
{У;, Чгп} = Д^ и чтобы центр тяжести измерений, размещен¬
ных на множестве Уп совпал с точкой — точкой пересечения
вектора 1^ с гиперплоскостью Л40й.
Отсюда следует, что при Д<?-* О У,—►7'(Ц). Таким обра¬
зом, согласно теореме 4.4.1 оценка D,!^ принимает на мно¬
жестве У} минимальное значение. Поэтому 5Х = У;. Подобным
способом можно определить множества B(j) для индексов / =
= i+ 1, ..., п. Согласно введенному в разд. 4.2 ограничению для
множества Р (j) рассматривается такое количество измерений q,
при котором множества В(/) представляют собой последователь¬
ность множеств убывающей эффективности (см. разд. 3.5, оцен¬
ка D3T1). В этом случае, используя метод последовательного
сечения годографа вектор-функции w(t), заданной на множестве
R, можем определить множество P(.q), если при этом знаем ги¬
перплоскость М. Способ последовательного сечения и доказа¬
тельства оптимальности полученного множества P(q) ничем не
отличаются от того, который использовался в разд. 4.3 при до¬
казательстве аналогичного факта.
Замечание. В разд. 4.2 указывалось, что после определения
способа нахождения множества В(1) выполняется второе усло¬
вие, предъявляемое к множеству B(i) в разд. 3.4. Доказатель¬
ство этого факта для оценки	проводится совершенно
аналогично тому, как это было сделано для оценки DiO в за¬
мечании 2 (см. разд. 4.3), если заменить преобразованную век¬
тор-функцию w(r) обычной функцией w(r).
4.5.	ОПТИМАЛЬНАЯ СТРАТЕГИЯ РАЗМЕЩЕНИЯ ИЗМЕРЕНИЙ
ДЛЯ ОЦЕНКИ DjT] ДИСПЕРСИИ ОШИБКИ
ОПРЕДЕЛЕНИЯ ^-МЕРНОГО ОПРЕДЕЛЯЕМОГО ПАРАМЕТРА ij
Введем определение. Будем считать, что оценка Ditj,
соответствующая параметру у, определена на множестве У,
если она определена для всего множества одномерных пара¬
метров, задаваемых матрицей	Для оценки Ditj
Дисперсии ошибки определения р-мерного определяемого пара¬
метра справедлива следующая теорема.
139

Теорема 4.5.1. Любое множество У, на котором определе¬
на оценка Dpj, может быть разложено в последовательность
множеств убывающей эффективности по отношению в оценке
Dpj. Для доказательства теоремы рассмотрим лемму 4.5.1, явля¬
ющуюся обобщением леммы 4.2.1.
Пусть матрица	Ц2,..., Ц || задает р-мерный опре¬
деляемый параметр; К — некоторая матрица оценок порядка т.
Лемма 4.5.1. Для матриц Ц и К существует такое линей¬
ное преобразование Т, которое одновременно преобразует
матрицы Ц и К к виду
Ц=||А, OPx(m-p)||; K=LEp °p*fm~p) ,
II '-'(яг—р) хр	*\22
где А — матрица типа (рХр).
Непосредственной проверкой можно убедиться, что матрица
Т может быть определена соотношением
Т=Т1Т2Т3.
Здесь Т1 = ||10], 1о2, ..., lom.ll есть ортогональная матрица, в которой
loi, I02	Ьр принадлежат плоскости векторов Ц,, Ц2,. . ., 1^
Т12
О(т—р)Хр Т22
где
Т12—К12К22Т22;
Т22 — произвольная, невырожденная матрица
(т — р) X (т — р);
размерности
~	~~ Т II ^11
К22~клетки матрицы К1 = Т1К1Т=
II ^21
рХ(т-р) и (т — р)Х(т — р);
размерности
1А1/2,
ОрУрт—p)i
Орх(т—р)
Е
1~‘т—р
где I, А — матрицы соответственно ортогональная и диагональ¬
ная размерности рХр, образующие матрицу Кц = 1А1т; Кп —
клетка матрицы Кг, определенной по формуле
К2 = ТГ1К1ТГ1 =
Кп
Орх (яг—у?)
Орх (яг—р)
К22
Первые р столбцов матрицы Т определяют базисные векторы,
определенные с точностью до некоторого ортогонального p-мер¬
ного преобразования и лежащие в плоскости векторов
I,;,,...,	. ., Ц J), а оставшиеся (т —р) столбцов —
140

базисные векторы, лежащие в (т—р) -мерной плоскости ЛТ(т_Р).
При этом существенной оказывается только эта плоскость. По¬
ложение самих базисных векторов в ней безразлично. Поэтому
будем считать, что матрица Т при известных матрицах Ц и К
однозначно определяется (m-р)-мерной плоскостью Л4(,П_Р).
Пусть У есть множество, на котором определена оценка
Divj. Зададим матрицу оценок К в виде
К = [(w (т) wt(t)) {У, Фп}]-1
и построим систему базисных векторов, удовлетворяющих усло¬
виям леммы 4.2.1. Тогда оценка Dbj может быть вычислена
по формуле, аналогичной той, которая используется для вычис¬
ления оценки Dp] при размерности пространства G, равной
единице. Докажем это.
Пусть 1~ — некоторый вектор из множества /7(1), опреде¬
ляемый матрицей Ц (см. разд. 3.1).
Как уже отмечалось выше, первые р базисных векторов но¬
вой системы координат определены с точностью до некоторой
ортогональной матрицы, задающей поворот системы координат
в плоскости векторов 1^,,..., Ц. Поэтому можно выбрать та¬
кую систему, в которой первый базисный вектор коллинеарен
вектору 1~. В этом случае навигационные векторы w(t) и вектор
^ принимают следующий вид:
w(t) = ||w0(t), vt(t)||t;	1~ = ||w~, OiX(m-i)||T;
здесь v(t)—вектор-функция размерности (т— 1), а &у0(т)—
скалярная функция. Тогда, учитывая, что в новой системе коор¬
динат матрица К принимает вид
Еуу
О
О
к22
можно записать
Dh)=w~ [®о(т){У, Фп}]-1-
Выберем ортонормированный базис в плоскости векторов
I,],,..., Ц таким образом, чтобы он совпадал с главными ося¬
ми матрицы ЦЦ. Не нарушая общности рассуждения, будем
считать, что первый базисный вектор 101 соответствует макси¬
мальному собственному числу Хо матрицы ЦЦ. Тогда, пола¬
гая Ц, = Хо'21о1, получим
D^-l^Kl^D^wU^Wfy, Ф,,}]"1,	(4.5.1)
что и требовалось доказать.
141

Во введенной системе координат навигационную вектор-
функцию w(t) представим в виде
w(r) = || vl(r), vli (Т)||т,
где vj(т) и vh(t) —вектор-функции соответственно размерности
р и (т—р);
Vj (Г)= |[ WO1 (т),	wOp(r)||.
Пусть 7Р — располагаемое количество измерений, определяе¬
мое формулой
<7р = {У, Тп).
Разделим qv на п равных частей dq^qdn таким образом, чтобы
выполнялось условие
Ч>
'г о + —zz-
<Г
f W (T)WT(T U/r^^,,W(TfJ wT(r0).
Будем последовательно размещать элементарные количества
измерений dq на множестве У. Обозначим через B(i) множест¬
ва, принадлежащие множеству У, на котором размещено элемен¬
тарное количество измерений на Ум шаге. Каждое из множеств
B(i) определим следующим образом:
/ — 1
1) подмножество В (i) принадлежит множеству У= U В
_ 2Hw(t)vI(t))(S(/),K1=A1||1i, 1.^.., 1Д где 1ПН1
^• — символ Кронкеля; A; = woi\В (В, Тп);
3) в множество B(t) входят элементы, выбранные из множе-
z-i
ства У—U В (у), при которых обеспечивается максимальное
7 = 1
значение величины А-.
В этол
1 случае для любого объединения множеств B(ji)
U В ijk]
k=i
можем записать
Поэтому, обозначив а;=(А;)_|Дд и воспользовавшись понятием
объединения элементов а< и обобщенной элементарной оценкой
(см. разд. 3.5), получим
D!7j = Mr1(D°Yi) = xo7r1[A7, Д<7,-.	Д<7].
142

Согласно разд. 3.5 и 4.2 множества В (/) есть последовательность
множеств убывающей эффективности по отношению к оценке
что и требовалось доказать.
Следствие. Теорема 4.5.1 позволяет применить к оценке Divj
результат теоремы 3.4.1, из которой следует, что оптимальная
функция плотности размещения измерений Д'(т, рр) есть предель¬
ная плотность.
Рассмотрим структуру элементарного множества B(i).
Введем преобразованную вектор-функцию w(t) размерности
р-m в некотором p-m-мерном пространестве G:
w(t) = ||™01(t)wt(t), w02(t)wt(t)„ . . , W,)p(T) WT (т)|Г.
Вектор 1,, размерности (p-mXl) определим по формуле
где 1;.==||в}||	(/=1,2,..., т); В} —символ Кронкеля.
Тогда первое, второе, третье условия, предъявляемые к мно¬
жествам В (0, могут быть сформулированы так.
Требуется найти такое множество В (/) элементов на мно-
жестве У—(J £(/), чтобы при суммировании векторов w(x)
i-i
по этому множеству получался вектор 1/, коллинеарный век¬
тору Ц и с максимальным модулем. Действительно, если
LS=W (т) {В (г), Ф,,)||1,„ то I? =a||lj,..., ijjj, что равносильно
требованию
(w(t)vi(t)) {£(/),	1.,,..., 1Д (4.5.2)
В то же время, если ifто
Г1^[2=^1(т) {5 (i), Фп} = pAz,
а так как р — величина постоянная, то ] 1/ | пропорционален
А,-, что и доказывает сформулированное требование.
Таким образом, для определения множества B(i) может быть
использован процесс последовательного сечения выпуклой обо¬
лочки X вектор-функции w(x) в p-m-мерном пространстве G,
аналогичный тому, который был рассмотрен в разд. 4.3. Это же
означает, что для доказательства того, что множество В(:) удо¬
влетворяет второму условию, сформулированному в разд. 3.4,
можно воспользоваться теми же рассуждениями, что и з следст¬
вии 2 в разд. 4.3.
Определим, при каком количестве элементов, выбранном из
множества B(i), может быть выполнено условие (4.5.2). Пусть
это количество равно «о. Тогда условие (4.5.2) можно перепи¬
сать так:
143

(4.5.3)
"о 	 _
у 7,wtrJ = alYi;
2=1
"_0
i 1
Рассмотренная система — линейная с (рт+1) уравнениями
и (ио+1) коэффициентами qt, ..., qn„d, поэтому однозначное ре¬
шение будет иметь место при пй = р-т. Из этого вытекает спра¬
ведливость следующей теоремы при Чг = оо.
Теорема 4.5.2. Минимальное количество моментов Ть т2, ...
..., т,)0, размещение в которых располагаемого количества измере¬
ний qp при 'Г' = оо обеспечивает минимум оценки дисперсии
Di?} ошибки в определении р-мерного параметра т], не превы¬
шает величины р-т. Если число п0 больше р-т, то в этом случае
оптимальная стратегия размещения измерений не единственная.
Согласно теореме 4.5.1 каждое множество У, на котором оп¬
ределена оценка DiSj, может быть разложено в последователь-
‘ь
ность подмножеств убывающей эффективности У=и В (I).
		(н
Поэтому при Чг = оо величина оценки	не увеличится, если
все измерения поместить в множество B(iH). Но, как было пока¬
зано, из множества B(i„) может быть выбрано р-т элементов,
таких, что если в них сосредоточить все измерения, то от этого
величина оценки Di7j не изменится. Предположим теперь, что
моменты времени п, т2, ..., т,и обеспечивают минимум оценки
Di7j, если в них сосредоточить все располагаемое количество
измерений. Построим для этих моментов 'систему базисных век¬
торов, удовлетворяющих лемме 4.5.1. Тогда согласно (4.5.3) мож¬
но записать
«□ 	 _
V qpN (r)=alTi;	(4.5.4)
/=1
По
1 <u=qv-
1-1
Обозначим через (&15 k?,---, kp.m), а(&15 k2,..., kp.m
(1=1,2,..., р-т) числа, удовлетворяющие системе уравнений
V (A-j, k2,..., kp.m) w(Tki) = a(kl, k2,..., kp.m)\rp (4.5.5i
p-m
2 <4-5-61
/=1
ГДе 1	kg	kp-m «о*
144

Пусть k.2,. . ., kp.m ), где 1 < kx <k2<. . . < kp m <пи,
есть система чисел, удовлетворяющих соотношениям:
3О;	V	-5(^1,• • ■, kP m) = l- (4.5.7)
1<Л,<Л2<..я1<«о
Тогда можно записать систему равенств:
2
3(^1,
kp.m\ 2 ?*.(^	kp.m)yv{%k)=^
l<*i<ft2 - • ■ ■ Л-р-т''
,!q
/-L
=
2 ж
,. . ., kp.m)a{ki,. . ., kp.m)\^ (4.5.8)
< ■ ■ ■ < kp . т < о
p-m
2
/(£], k2,..
■ , kp.m) ^2 qk. (^1> ^2i ■ • • > kp.m) =
1 < J < Л 2 < • • • < /у, .	< К О	/ — 1
р ■ т
=	kp.m) = gp.	(4.5.9)
i = l 1
Уравнение (4.5.4) можно рассматривать как частный
случай уравнения (4.5.8). Меняя значения коэффициентов
Р(&1, k2, ..., kp.m), можно получить любые значения qi, удовлетво¬
ряющие уравнению (4.5.4).
Пусть р(/г1; k2, ..., /?р.т) (l^^i<^2<-..<^pm^«o) есть зна¬
чения числа р (/гь k2,..., kp.m), при которых коэффициенты при век¬
торах w(t) в системе (4.5.9) совпадают со значениями, удовле¬
творяющими системе уравнении (4.5.4). Тогда можем записать
И =	?(^1> k2,. . ., ^pm)ct(^j, . . ., kpm)'
1	<^2 < ■ ■ . < ^p.m
Поэтому, учитывая, что ть т2, •••, т„а — оптимальные моменты
(т. е. значение ct минимальное), а также равенство (4.5.9), мо¬
жем записать
<х=а(£], k2, .... kp.m) для любых k\, k2, ..., kp.m, что и требовалось
доказать.
Следствие 1. Если ti, т2, ...» тПо— оптимальные моменты, то
вершины векторов w(ti) (i=l, 2, ..., /г0) в пространстве G лежат
на одной гиперплоскости.
Следствие 2. Если ct(<7PI) и а(<7Рг) есть значения коэффици¬
ента а при двух значениях располагаемого количества измере¬
ний с/р] и t/p2, то имеет место соотношение
“(9pi)/a(7P2) = ^p2/9pp
■а из него следует
“ (<7pi) = <7Р11а qr--
145

Глава 5
ОПТИМАЛЬНАЯ СТРАТЕГИЯ РАЗМЕЩЕНИЯ
ИЗМЕРЕНИЙ ДЛЯ СОСТАВНЫХ ОЦЕНОК
5.1.	ОПТИМАЛЬНАЯ СТРАТЕГИЯ РАЗМЕЩЕНИЯ
ОДНОРОДНЫХ ИЗМЕРЕНИЙ ДЛЯ ОЦЕНКИ D2t|
Рассмотрим оптимальную стратегию размещения располага¬
емого количества qv однородных измерений для составной оцен¬
ки D2t]:
— k) Dfij -j-k• D3T1.	(5-l.li
Предположим, что допускаются измерения с бесконечной
плотностью. Как следует из теорем 4.3.1 и 4.4.1, оптимальные
множества при Ф = со и F0 = O для оценок и D’i] совпа¬
дают. Ими являются моменты, выбранные из опорного мно¬
жества Т (Ц), соответствующего вектору 1Л, и удовлетворяющие,
условию внутренности вектора L. Поэтому согласно (5-1-11 эти
же моменты будут оптимальными и для оценки D2V Данный
результат представим в виде следующей теоремы.
Теорема 5.1.1. Оптимальное множество для оценки D2T] при
тр = Оо удовлетворяет соотношению
Р(?р1с=7'(Ц).
Множество Р (г/р) состоит из таких элементов ть ... ,тп множест¬
ва Т (1Л), которые обеспечивают условие внутренности вектора
1Л по отношению к векторам w(t,). Оптимальная функция раз¬
мещения количества измерений qv на множестве P(qp) опреде¬
ляется из условия выполнения соотношения
I ч1 1
где 1,—вектор, коллинеарный вектору 1Л, и вершина его лежит
на выпуклой оболочке навигационной вектор-функции
w(t);
q — количество измерений, помещаемое в момент т;,
£<7(Д) = <7Р-
1
Остановимся па основных следствиях теоремы.
Следствие 1. Оптимальное множество P(q) для оценки ЮгЙ
при Т = оо не зависит от значения k.
146

Следствие 2. Минимальное число моментов, из которых может
состоять оптимальное множество, не больше пг.
Следствие 3. Функция D2t](qp) при Чг = оо и F0 = O определя¬
ется формулой
Dy/, |<7р’| = | Ц pl 1zJ-2	(1 _ k) ф-Л).
(5.1.2)
Из формулы (5.11 следует, что функция D2t](<7p) при 4г = оо
и F0 = O относится к разряду убывающих, но в отличие от
функции Dp; (<7Р) величина функции D2t)(<7p) при -> оо стре¬
мится к конечной величине, равной | Ц |2-| Ц.Тем самым
величина k устанавливает тот разумный предел для значения
располагаемого количества измерений, превышение которого
несущественно отражается на изменении величины оценки D2tj.
Предположим теперь, что предельная плотность измерений
ограничена. В этом случае оценка D2q будет состоять из суммы
двух оценок, одна из которых уменьшается с увеличением распо¬
лагаемого количества измерений, а другая — увеличивается.
Исключение составляет случай вектор-функции с плоским годо¬
графом. Но и здесь функция Dy/; (,<7Р) не увеличивается толь¬
ко для внутренних векторов; но даже если вектор 1т) внутренний,
то для него может существовать предельное количество измере¬
ний q, превышение которого приведет к увеличению функции
£)y/](t7D'). Таким образом, если Ф'<оо, то только для внутрен¬
них векторов 1Т, и при величине <7Р<<7Р У вектор-функции с плос¬
ким годографом функция D2i] (qp) вычисляется по формуле
(5.1.2). Поэтому функция D2t;(<7р) при Чг<оо в общем случае
относится к функциям смешанного типа, и для параметра ц
должно существовать такое предельное значение количества из¬
мерений qp — q, превышение которого приведет к увеличению
оценки Doi], Величина qp зависит как от величины Чг, так и от
значения k.
Оптимальные множества P(qp) для оценок Dy/] и Dy/( не
совпадают, однако если qp достаточно мало (см. разд. 4.4), то
оптимальные множества для той и другой оценок имеют много
общих элементов. При малом qp не исключено также и то, что
они могут совпадать.
В случае, когда qp велико, в оптимальное множество Р (qp)
оценки Dy/] могут входить также элементы множества R, раз¬
мещение измерений па которых не приведет к существенному
Изменению оценки Dt1!- Естественно, что эти элементы в опти¬
мальное множество оценки D2-p могут не входить, так как само
Увеличение qp имеет смысл только потому, что за счет этого мо¬
жет уменьшиться первое слагаемое оценки D2t].
147

5.2.	ОПТИМАЛЬНАЯ СТРАТЕГИЯ РАЗМЕЩЕНИЯ
НЕОДНОРОДНЫХ ИЗМЕРЕНИЙ ДЛЯ ОЦЕНКИ D^) (q)
Оптимальная функция оценок Df/j(q) относится к убываю¬
щим функциям (см. теорему 3.3.2). Значение функции Droq;
стремится к нулю при увеличении значений компонент вектораq
до бесконечности. Поэтому для оценки Dp; нет оптимального
конечного количества измерений. В связи с этим определение
оптимальной стратегии измерений для оценки Dp сводится к
определению оптимальной стратегии размещения располагаемо-
Л'
го количества неоднородных измерений на множестве /?= U 7? .
/=1 '
Если располагаемое количество неоднородных измерений зада¬
ется вектором qp=||<7Pi, ..., <7Р.у||, то количество измерений, опре¬
деляемое t-й компонентой qpt вектора qp, может быть размещено
только на множестве Rt. Ниже будем использовать обозначения,
введенные в разд. 2.4. и 2.5. Через w<(t) обозначим навигацион¬
ную вектор-функцию w(r), определенную на множестве че¬
рез Aj (а,) —выпуклую обОЛОЧКу ВеКТОр-фуНКЦИИ aiWi(t), а
.V
через АЕ («)= Аг (a;)— суммарную выпуклую оболочку, со-
1
держащую оболочки Ai(a,-), (i= 1, 2, ..., N) (здесь a — вектор
коэффициентов a=||«i, аг, ..., ад-||). Рассмотрим раздельно осо¬
бенности стратегий размещения неоднородных измерений при
>р = оа и при гР<оо.
Предельная плотность измерений не ограничена (Чг = оо)
Оптимальная стратегия размещения располагаемого количе¬
ства неоднородных измерений qp= ||<7Р, ..., <7Р.х|| для оценки Dr'q
при неограниченной предельной плотности измерений определя¬
ется следующей теоремой^.
Теорема 5.2.1. Если Чт = оо, то оптимальное множество P(qP)
для оценки DiT] при неоднородных измерениях, задаваемых
вектором qp=|l<7Pi, .... <7Pwll, удовлетворяет соотношению
^(qP)=U	(q₽)cz7'(lT„ qp) = (J T\ (IT„ qp), (5.2.1
/=1	z=i
где /MqP)<=7l(Ir|, qp).
Оптимальное множество P(qp) состоит из таких элементов
Tij (i = 1, 2, .... N-, /=1, 2, ..., iii) множества Т (lr., qp), которые обес¬
печивают выполнение условия внутренности вектора Ц по отно¬
шению к системе векторов w(r,j) при векторе измерений qp. Оп¬
тимальная функция размещения измерений qp на множестве
P(qp) определяется из условия выполнения следующего соотно¬
шения:
148

б= pST|l|-2	lw(T^’ (5'2,2)
где r,7 e Pi (qp), '(/;= 1, 2, ..., nz; г= 1, 2, . . ., Л7);
q (r(-.) — количество измерений, размещаемое в моменте
I.di2
~ ~ т ТД’ ~
Цсц, а,, ..., аЛГ||=а = а (1Т;, qj —вектор коэффициентов,
соответствующий системе граней Г(1Т|, qp);
IT— вектор, коллинеарный вектору 1Т, вершина которого
лежит на оболочке Л* (а)-
Доказательство. Проведем через систему соответст¬
вующих граней Г (lTi, qp) оболочек Az (az),.= i N параллельных ги¬
перплоскостей Л4;, параллельных опорной гиперплоскости грани
Г(Ц)^=~ оболочки Л5 (а). Для каждой вектор-функции wz(r)
определим свою мажорантную вектор-функцию wz (т) следую¬
щим образом. Для любого т17ее /?; вектор w(t) коллинеарен
вектору wz(tz-). Вершина его принадлежит гиперплоскости М:.
Очевидно, что | wz (т) | <; | wz (т) |, при этом если имеет место
Т,.; е Т' (Ц, qp), то wz (T,7)=wz (т,7).	(5.2.3)
Обозначим через ПД значение оценки DiH, соответствую¬
щее навигационной вектор-функции w (т), определенной соотно¬
шением: если т е Pi, то w (т )—wz (т). Тогда согласно лемме
4.3.1 для любого Ус/?, на котором определена оценка Dr/j,
выполняется соотношение
бГДУ, 4/(T)|y)]<DMy, г*’б){-И1-	(5.2.4)
Знак равенства имеет место только тогда, когда У<с7'(1Л, qp).
Введем вектор-функцию с плоским годографом по формуле
w(xtj) =ajW(Tjj),	Оценку Dp] при использовании такой
вектор-функции обозначим Di’/j . Каждому размещению вектора
qp на R при использовании вектор-функции w(r,7) поставим в со¬
ответствие размещение вектора Чр(<7рг = а_2<7р{) на R при исполь¬
зовании вектор-функции w(r,7), отвечающее условию о(хц) =
= at~2q(т,7). В этом случае оценка Ыл для любого q будет рав¬
на оценкеЕ)!1!. В соответствии со следствием 1 из теоремы 2.3.2
минимум в Di q достигается, если центр тяжести измерений
q(xij), размещенных в точках х(т^), являющихся вершинами
w(Tfj), совпадает с точкой Используя формулу (2.3.20) при
Fo = 0 и следующее за ней утверждение, получим, что данное
условие выполняется, если т^е/^Чр), а q(xij) выбраны так,
чтобы имело место равенство (5.2.2). Тогда из (5.2.3) и (5.2.4)
следует, что на этих же моментах достигается минимум оценки
Dj т], что и требовалось доказать.
149

Рассмотрим основные следствия из данной теоремы.
Следствие 1. Множество 7’(Ц, qP) зависит от вектора q и при
увеличении (непропорциональном) компонент вектора qp мно¬
жество 7'(17), qp) может измениться, а значит изменится опти¬
мальное множество, т. е. если параметры векторов
Чр1 = 11?р1> •••,<7рДг||, Чр2 11^2, ••4<7p2/vll
удовлетворяют условиям:
?pi/<?p2i,	t/j)
и существуют такие k и t., что	ф <7pi?7p2/» т0 соотноше¬
ние
p(qP'i) <=p(qP2)
может не выполняться. Таким образом, оптимальное множество
P(qp) для оценки Dp; при неоднородных измерениях не удо¬
влетворяет условию поглощаемости.
Следствие 2. Минимальное число моментов тц, выбранное для
размещения i-й компоненты <7рг- вектора qp, равно ki^m, где ki —
размерность грани выпуклой оболочки ЛДаг), выделяющей опор¬
ное множество Тс; (1яЦр). Отсюда следует, что минимальное чис¬
ло моментов, входящих в оптимальное множество P(qp), не пре¬
вышает числа m-N.
Следствие 3. Оптимальная функция оценки Dfq(q) при
W = оо вычисляется по формуле
Предельная плотность измерений ограничена (Чг<оо)
Определение оптимальной стратегии_размещения неоднород¬
ных измерений для оценки Dit; при ^<00 осложняется тем,
что согласно следствию 1 из теоремы 5.2.1 оптимальное множе¬
ство P(qp) не удовлетворяет условию поглощаемости. Однако
свойство оптимальности предельной плотности размещения изме¬
рений сохраняется. Докажем это.
Пусть У1, У2, ..., yN(yt <=/?,-) — некоторые произвольные
множества, на которых существует оценка Div;. Тогда соглас¬
но лемме 3.2.1 можно построить такую систему координат, в
которой оценка DT?] определится формулой
э	2
D17) = ®,
{УЛ}
—1
(5.2.6)
150

При записи этой формулы предполагается, что вектор-функция
w(t) в новой системе координат удовлетворяет условию
2(®0(T)v(T)){y;, Фп}-о,	(5.2.7)
1
где w(t)=||®0(t), vT(r)||T.
Введем преобразованную вектор-функцию w(r) по формуле
w (t)=®0(t)w(t).	(5.2.8)
Тогда условие (5.2.7) можно переписать так (см. разд. 3.3):
2ш(т)(У;, ФЙ} = 1Ж-
1
(5.2.9)
К,-
Обозначим 1;=w(t) (У;-, Фп). Это позволяет записать условие
(5.2.9)	в следующем виде:	1^|ц.
Разложим каждое из множеств У; на последовательность
/ \
подмножеств 7?.(у), |У(- = U B^j) I . Каждое из множеств
Bi(j’) будет определяться так. Разделим i-ю компоненту qPi век¬
тора qp на п частей, где п выбрано из условия, чтобы величина
Д7г = <7РгМ была достаточно мала. Каждое элементарное количе¬
ство измерений Аду будет размещаться отдельно, при этом, если
Bi(j) —множество, на котором размещено элементарное количе¬
ство измерений на /-м шаге, то каждое множество Bi(j) опреде¬
ляется из следующих условий:
1)	В((/)СУ- и ВД;
7 = 1
2)	w(t) {ад)Л« И1/;
3)	модуль вектора w(t){B(j), Тп} должен быть максималь¬
ным.
Обозначим |w (т) {Bt (у), Фй}|=А/у, тогда оценку Dhj можно
записать так:
Из этого выражения следует, что эффективность измерений с
увеличением индекса j уменьшается, а количество измерений
Д<7г, помещенное на множестве ВД/О, равнозначно количеству
151

Ati
измерений——bq,—1 (при/2 < Л)» помещенному на множестве
Вг(/2)- Поэтому если на множество Вг-(/2) перенести все коли¬
чество измерений \qi с множества Bi(ji), то это равнозначно
добавлению новых измерений на множество Bi(ji), количество
которых равно		1^. Но это равносильно уменьше¬
нию величины оценки D?q. Отсюда следует, что для множеств
В{(Г) (/=1, 2, п) выполняется первое условие, предъявляемое
к элементам последовательности множеств убывающей эффек¬
тивности. Выполнение третьего условия очевидно.
Для определения множеств Bt(j) может быть использован
метод последовательных сечений годографа вектор-функции,
рассмотренный в разд. 4.3. Поэтому совершенно аналогично то¬
му, как это было сделано в разд. 4.3, можно показать, что для
множества Bt(j) выполняется и второе условие, приведенное в
разд. 3.4.
Таким образом, B,(j) есть последовательность множеств
убывающей эффективности. В этом случае согласно теореме
3.4.1 предельная плотность неоднородных измерений на оптималь¬
ном множестве Д(чР) обеспечивает минимальное значение оцен¬
ки DfTf, что и требовалось доказать.
Элементы хц множества Ri характеризуются
5.3.	ОПТИМАЛЬНАЯ СТРАТЕГИЯ
РАЗМЕЩЕНИЯ ИЗМЕРЕНИЙ ДЛЯ ОЦЕНКИ D3r)
Как отмечалось в разд. 3.2, при использовании оценки D3T]
измерения предполагаются неоднородными. Множество R в этом
случае разлагается на N непересекающихся множеств
ис¬
следующими свойствами: если xu^Ri, tj^eто ошибки изме¬
рений в моментах хц и xjk независимы; если располагаемое ко¬
личество измерений задается вектором qp=lkpi, <7P.zvll, то коли¬
чество измерений <7р1 может размещаться только на элементах
xu^Ri.
Пусть на элементе x-i^Rt размещается <7(tZj) измерений.
Тогда формулу для вычисления оценки D3q можно записать так:
N
г .V "i
—1
ол=2
22’
(t,7)w(r0)wT (т,7)
X
Z=1
Д-=1/=1
х^ЫО5^11 Mw М
7=1
(5.3.1)
152

где
Оптимальная функция D3t](<7e) согласно теореме 3.3.1 не
уменьшается с увеличением <7Е, т. е. существует такое значе¬
ние q, что если q^^q, то значение D3t](qL) остается постоян¬
ным, и если q^'^>q, то значение D3t] (<7Е) увеличивается. В связи
с этим оптимальная стратегия измерений, минимизирующая зна¬
чение оценки D3r], состоит в определении значения q, определе¬
нии оптимального соотношения между компонентами оптималь¬
ного вектора измерений qOn= ll<7oni, •••, gWfll, определении опти¬
мального множества P(q on ) (<7s <<?) и оптимальной функции
Чг(т, Чоп) плотности размещения измерений qon на множестве
P(qOn). Для решения этих вопросов докажем ряд лемм и теорем,
в которых будут использоваться обозначения, применяемые в
предыдущем разделе.
N
Пусть 7'?= U Т\] есть составное опорное множество, опре-
/-1
деляемое какими-либо соответствующими гранями оболочек
Ai(ai), Аг (аг), АдАа.х) (см. разд. 5.3). Рассмотрим, в каком ви¬
де может быть переписана формула (5.3.1), если моменты Т;; вы¬
браны из множества 7\с, а на q{tij) наложено' ряд ограничений.
Справедлива следующая лемма.
Лемма 5.3.1. Для любого вектора измерений q = ||<7i,..., qN\\
при Т = оо формулу для оценки D3q можно записать в виде
0371 = ^^2(^дао/)2^2^°^ ’	(5;3’2)
если т17 s Т (Ц, q), a q (т;?.) выбраны^таким образом, чтобы вы¬
полнялось соотношение
111	/ N ~ qX-1 N ~	~ 1
(5,3’3)
| \| \М J	/ = 1 7 = 1
Обозначения в формуле (5.3.3) те же, что и в формуле (5.2.2).
Выберем систему базисных векторов 1о, пространства G, вве¬
денную леммой 4.2.1, для измерений q и стратегию размещения
измерений, удовлетворяющую лемме 5.3.1. В такой системе со¬
отношение (5.3.1) может быть записано так:
г А' / ’>	\ 2-1
X
D3-q= ти2
N "i
-2
(5.3.4)
153

Несложно проверить, что гиперплоскость М, задающая дан¬
ную систему координат, параллельна соответствующим граням
F(IT|, q). Действительно, вершины всех навигационных векторов
ajW(tij) (i = 1, 2, ..., N; ||ai, ..., aw||=a=a^,(l q) ) лежат в одной
гиперплоскости Моп. Пусть I — произвольный вектор, коллинеар¬
ный гиперплоскости Моп. Тогда из леммы 3.2.1 следует справед¬
ливость равенства
ц	1==0-
V-I/-1	/
Но это означает, что если систему базисных векторов IOi выбрать
так, чтобы loillИ,, а остальные векторы были параллельны гипер-
/ лг ~	\-1
плоскости Л40П, то матрица 22 q(MwMwTM в
\«=1/=1	/
этой системе примет диагонально-клеточный вид с размерами
клеток 1X1 и (т— 1)Х(«г — 1). Последнее равносильно' тому,
что гиперплоскости Л40П и М параллельны.
Таким образом, w0 (т17) = ™0 (т(-Д, (t,k=l,2,	Исполь-
ni ~
зуя это соотношение, а также условие	= формулу
/=1
(5.3.4) перепишем так:
/ ы
У
2 ,	(5.3.5)
1-2
что и требовалось доказать.
Обозначим через q — вектор измерений, определяемый соот¬
ношением q= || 1,1,..., 1||. Тогда при любом <70>0 для вектора
измерений, определяемого по формуле q = aoq, формула (5.3.5)
примет вид
d3v]=^	=
• (5-3-6)
Используя лемму 5.3.1, докажем следующую теорему.
Теорема 5.3.1. Если измерения допускают бесконечную плот¬
ность, то оптимальный вектор измерений для оценки D3q опре¬
деляется по формуле
Чоп = аоЧ, (а0>0),
154

; а оптимальное множество' удовлетворяет соотношению
^(qoi,)cr(i„ qon).
Для доказательства теоремы проведем некоторые построения.
Зададим произвольную гиперплоскость Мо, не содержащую в
себе вектор Ц. Построим систему координат, в которой первый
базисный вектор совпадает с вектором 1ч, а остальные принад¬
лежат плоскости Мо. В этой системе навигационные векторы
w(tij) могут быть представлены в виде
w(rzy) = |KM’ уТ(то-)1Г,
а вектор 1 п — в виде
ln = ||wn, О1Х т ||т.
Пусть	1, 2,N; /=1, 2,	—некоторые моменты
времени, для которых выполняется условие
(J=2,3, ..., «г) и
Докажем лемму.
Лемма 5.3.2. Значение оценки D3r] при размещении неодно¬
родных измерений, задаваемых вектором q=||?i, ?2,?лг11, на
моментах Тц удовлетворяет неравенству
(5.3.7)
Поставим в соответствие каждому вектору w(tij) вектор
wi3||w(Tij) с вершиной, лежащей на гиперплоскости MOi, па¬
раллельной плоскости Мо и проходящей через вершину вектора
w(th). Введем функцию a(ti3) =	|“'|w«l- Очевидно, что
a(T,-i) = a,.<ia(T,7) (/=2,3, ...,и;) и a(.<a;+i. (5.3.8)
Будем предполагать, что неравенство1
1 1
-1
w tt;y) > О
выполнено для всех i=l, 2, ..., N и /=1, 2, ..., /г,-. Тогда если вос¬
пользоваться формулой (2.3.30) и обозначениями, выведенными
в разд. 2.3, ТО' оценку D3r| можно- представить так:
ол=||,ри.,г’2(2?,7
1 \ 1
155

где
п;
Обозначим а(.;- = а(г;;-)аг \ Учитывая неравенство	1, мо¬
жно написать соотношение
п.
i
п;
N / '■/
Z = 1
П;
а,. 2
7=1
откуда
N .{ п1 \2
S 2 “^(’,7)«(’ч) ft
\/=11=1
/ W°(17/) V
или, если обозначить Яц = \	I <7(т.-.-),
\ «Ы /
N
1
то окончательно можно записать
w	\2
АГ
i = l
-|2
(5.3.9)
где
П:
~~ N
2 -т2ч1
1
+ v^Ka; 1 qi}v (т/;)
7=1
а,
N
2<rt
1
ЬЛ;
к =
156

I Данный результат означает, что если вместо системы векто¬
ров w(tij) принять систему векторов w(Tij)aij, а вместо количест¬
ва измерений	принять qa, то величина оценки D3q от это-
•о только' уменьшится.
■ Подберем теперь значения qt и таким образом, чтобы
' N —
Обеспечить минимум функции ® =	р). Возьмем частные про-
1
азводные от « по приравняем их к нулю и с учетом тож-
дества	получим необходимое условие экстремума
i=i
	+/А-=Д (г, у=1,2, ...,м
(5.3.10)
Из (5.3.10) и (5.3.9) следует, что в точке минимума функции
ф имеют место равенства
рО^ДаГ* 1; <f>min = А2^ af2; ^aj^A^ аГ2=1-
1 1 1
Отсюда А = ^2 а‘ ’
поэтому окончательно получим
—1
Поэтому
—1
Что и требовалось доказать. В заключение отметит, что равенст-
л / " -2\-1
ВО А = 2 а< ) достигается при
и /,=/у=0 (г, у=1, 2, ..., N).
Используя лемму 5.3.1, можем доказать справедливость тео¬
ремы 5.3.1.
Действительно, пусть моменты Хц выбраны из соответствую¬
щих множеств qon). Тогда согласно (5.3.6) оценка D3q опре¬
делится соотношением
О3^ = те»2 ^2да°(Т‘'1)2
157

В то же время согласно лемме 5.3.2 оценка D3r| для вектор-функ-
ции w(t), определенной на множестве R, не может принимать
меньшее значение, так как (тп) есть максимальное значепце
Wo(Ti3) при	что и доказывает теорему.
Следствие. Из теоремы непосредственно следует, что Минц,
мальное число моментов, в которых могут быть размещены н3.
мерения, определяемые вектором qOn = aq, не превышает велпчи.
N
ны	/п/V, где kt есть размерность /-Й соответствующей
1
грани Г,,.
Из доказанной теоремы, а также из леммы 5.3.1 вытекает сле¬
дующая теорема, определяющая оптимальную стратегию изме¬
рений, обеспечивающую минимальное значение оценки D3r] при
ограниченном значении предельной плотности измерений.
Теорема 5.3.2. Оптимальное количество измерений для оцен¬
ки D3t] определяется соотношением
Чоп = ЧоЧ.
где qo есть минимальное из чисел {ТДЦ, q), Тп}. Оптималь¬
ное множество P(q) при оптимальном выборе количества изме¬
рений удовлетворяет соотношению
Р (qon) <= Т q).
Оптимальная функция Ч^т, Чоп) плотности размещения измерь-
ний на множестве P(qOn) определяется из условия выполнения
равенства
1\1
X [ar^(r(7)w(Ti7) jP(qon), Ч'(т, qon)}].

ЧАСТЬ II
КОРРЕКЦИИ ТРАЕКТОРИЙ
КОСМИЧЕСКИХ ПОЛЕТОВ
Глава 6
ОБЩИЕ ВОПРОСЫ
КОРРЕКЦИИ ТРАЕКТОРИИ
6.1.	ОПРЕДЕЛЕНИЕ КОРРЕКЦИИ. КОРРЕКТИРУЕМЫЕ ПАРАМЕТРЫ
Коррекция траектории полета является одним из видов уп¬
равления движением центра масс КА в космическом простран¬
стве. Согласно определению, приведенному во введении, коррек¬
цией траектории будем называть такое управление, которое осу¬
ществляется с целью исправления отклонений некоторых основ¬
ных параметров траектории от их расчетных значений.
Исправляемые при коррекции параметры траектории будем
называть корректируемыми параметрами и обозначать срк. В ка¬
честве корректируемых параметров должны приниматься такие
параметры, для которых большие отклонения от расчетных зна¬
чений недопустимы, так как от этого зависит выполнение про¬
граммы полета или ее отдельного этапа. Допустимыми отклоне¬
ниями в корректируемом параметре будем называть такие от¬
клонения, при которых обеспечивается на каждом участке на¬
дежное выполнение программы полета. Выбор и расчет маневров
и номинальной траектории пассивного полета должен произво¬
диться так, чтобы указанные основные параметры траектории
имели требуемые значения.
Особенность коррекции заключается в том, что отклонения
корректируемых параметров вызваны только ошибками расчета
и определения траектории, неточностью используемых астрофи¬
зических констант и положения небесных тел, отклонениями ха¬
рактеристик различных систем КА и ракеты-носителя, точное
значение которых заранее предсказать нельзя.
При отсутствии этих ошибок отпадает необходимость в кор¬
рекции, так как отсутствуют отклонения корректируемых пара¬
метров. Поскольку исправляемые ошибки имеют случайный
Характер, то вектор корректирующей скорости является случай¬
ной величиной и не имеет постоянной составляющей. В этом за¬
ключается отличие коррекции траектории от других видов уп¬
равления движения центра масс, например, от маневра.
В общем виде задача коррекции траектории может быть сфор¬
мулирована следующим образом. В результате наблюдений за
159

движением КА устанавливается, насколько отличаются коррек¬
тируемые параметры от заданных значений, соответствующих
расчетной траектории полета. Если их отличие превышает допу,
стимое, то необходимо определить, в каком направлении, какой
величины и в какой момент времени включать и выключать уп¬
равляющие воздействия, чтобы в результате проведенных кор¬
рекций отклонения корректируемых параметров из-за возмож-
ных ошибок измерений и исполнения коррекций, а также из-за
ошибок расчета траектории и характеристик коррекции не пре¬
вышали допустимых значений. При этом суммарная величина
расхода топлива на коррекции обычно должна быть мини¬
мальна.
Выбор корректируемых параметров и допустимых ошибок их
реализации зависит от совершенства установленной на КА си¬
стемы ориентации и управления, а также конкретной научно-тех-
нйческой задачи, решаемой с помощью данного КА. Как прави¬
ло, траектория полета КА должна удовлетворять ряду требова¬
ний, выполнение которых создает возможность успешного
выполнения всей задачи полета либо ее части. Так, например,
для КА, предназначенного для посадки (попадания) на Луну
или планету солнечной системы в качестве корректируемых па¬
раметров удобно выбрать координаты в картинной плоскости —
плоскости, перпендикулярной вектору относительной скорости
подлета к Луне или планете для номинальной траектории, попа¬
дающей в центр планеты. Допустимые ошибки в этом случае не
должны превышать размеров Луны или планеты. Для КА, пред¬
назначенного для «мягкой» посадки в заданный район поверх¬
ности Луны, в качестве корректируемых параметров можно при¬
нять координаты в картинной плоскости, однако допустимые
ошибки определяются размерами района, предназначенного для
посадки, либо ограничениями со стороны системы управления
на участке «мягкой» посадки — величиной бокового отклонения
и боковой скорости. Если КА находится на траектории перелета
от Луны к Земле и должен совершить аэродинамический спуск
и посадку на поверхность Земли, то основным параметром, обес¬
печивающим безопасный спуск в заданный район, является угол
входа в атмосферу или высота условного’ перигея орбиты (пери¬
гей орбиты без учета влияния атмосферы Земли на движение
КА). Допустимые ошибки в условном перигее зависят от даль¬
ности участка движения в атмосфере, аэродинамического каче¬
ства, закона управления, колебаний плотности атмосферы и раз¬
меров района посадки.
Следует отметить, что в число корректируемых параметров не
всегда должны включаться все параметры, влияющие на выпол¬
нение задачи полета. Часть из этих параметров имеет функцио¬
нальную зависимость с корректируемыми параметрами и вслед¬
ствие этого может меняться таким образом, что отклонения и*
не превышают допустимые. Такие параметры, несмотря на и*
160

ияние на последующие операции, можно не добавлять к числу
инятых корректируемых. В частности, величина скорости вхо-
в атмосферу в рассмотренном выше примере существенным
разом влияет на траекторию движения в атмосфере. Однако
пи проводимые коррекции мало изменяют энергию орбиты, то
и обеспечении заданной высоты условного перигея выпол-
ется требование малого отклонения скорости входа от рас-
тной величины. Поэтому вопрос о рациональном выборе кор-
ктируемых параметров и допустимых ошибок в них достаточно
ожен и может быть решен окончательно только после про-
дения совместных исследований работы системы управления
ориентации на всех участках полета, их конструктивных осо-
нностей и надежности, а также возможностей измеритель-
IX средств.
Из формулировки задачи коррекции следует, что если коррек-
руемые параметры выбраны, а допустимые ошибки их реали-
ции заданы, то для управления объектом необходимо последо-
тельное решение следующих двух основных задач. Первая за-
ча заключается в определении орбиты и прогнозировании
зможных значений корректируемых параметров на основании
доведенных внешнетраекторных измерений, а также в оценке
зможных ошибок их прогнозирования. Вторая задача предпо-
шает расчет корректирующих воздействий, т. е. определение
фактеристик каждой коррекции, обеспечивающих требуемые
раничения по величине допустимых ошибок корректируемых
фаметров.
Для решения рассмотренных задач требуется выбрать коли-
ство и время проведения измерений и коррекций, т. е. опре’Де-
[ть стратегию измерений и коррекций. Обе задачи при управ-
шии объектом должны решаться совместно, так как выбор из-
фительных средств и времени проведения измерений связан
предполагаемым количеством коррекций и местом их прове¬
шив. Однако в силу специфики каждой задачи, различия ме¬
дов и средств их решения исследование общих свойств и
шовных закономерностей, присущих определению^ прогно-зиро-
1нию и коррекции, проводится в отдельности.
6.2.	КЛАССИФИКАЦИЯ КОРРЕКЦИЙ
Проектирование и запуски большого числа КА разного-на-
1ачения, при полете которых требовалось осуществление кор-
екций, привели к разработке систем управления различного
та. Системы различаются по сложности конструктивного вы-
элнения, принципам ориентации, возможностям многократного
ключения корректирующей двигательной установки и т. д. Учи-
йвая их многообразие, целесообразно провести классификацию
оррекций.
-3490
161

Прежде всего коррекции различаются количеством корректи¬
руемых параметров и в зависимости от задачи полета могут быть-
однопараметрические, двухпараметрические и т. д.
На каждом участке полета максимальное число корректируй
мых параметров шесть, так как шесть произвольных независимых
параметров однозначно определяют траекторию движения КА
Коррекция может осуществляться таким образом, что в ре.
зультате ее проведения отклонения в каждом из корректируй
мых параметров определяются и исправляются один или более
раз. Поэтому коррекции могут быть одноразовые и многора¬
зовые.
Способы проведения коррекции зависят от числа корректиру.
емых параметров и принятого' режима. Так, например, одноразо¬
вая коррекция может проводиться так, чтобы при каждом еди¬
ничном управлении исправлялась лишь часть известных откло¬
нений таким образом, чтобы в результате проведения нескольких
коррекций однократно исправить известные отклонения коррек¬
тируемых параметров. Иными словами, каждая коррекция про-'
водится в режиме неполного исправления корректируемых пара¬
метров (педокоррекции) и последовательно проводимые коррек¬
ции связаны между собой. Такой способ исправления отклонений
назовем связанными коррекциями.
Противоположный ему способ, когда при каждом корректи¬
рующем воздействии полностью исправляются известные откло¬
нения, будем называть независимыми коррекциями. Необходи¬
мость использования в управлении режима связанной коррекции
может вызываться как принятым числом корректируемых пара¬
метров, так и требованием уменьшения затрат топлива на кор¬
рекцию (или какими-либо другими требованиями).
Действительно, минимально необходимое число корректиру¬
ющих воздействий одноразовой коррекции зависит от количест¬
ва корректируемых параметров и независимых переменных уп¬
равления, соответствующих установленной на КА системе управ¬
ления. Если число- корректируемых параметров превышает число
независимых переменных управления и для одноразового их
исправления необходимо более одной коррекции, то такой вид
связанной коррекции будем называть неоднородно-связанной
коррекцией.
В свою очередь, одноразовая коррекция с числом корректи¬
руемых параметров, не превышающем числа независимых пере¬
менных, также может быть проведена несколькими корректирУ'
ющими воздействиями, если это необходимо. Такой вид свя¬
занной коррекции будем называть однородно-связанной
коррекцией. Максимальное число независимых переменных пр11
одной коррекции в заданное время равно трем, поэтому исправ¬
ление четырех параметров может быть проведено только в реЖИ'
ме неоднородно-связанной коррекции и т. д.
162

Приведенная классификация одноразовой коррекции может
ьгть применена и к многоразовой коррекции. Однако при много¬
базовой коррекции режим связанной коррекции имеет ряд осо¬
бенностей, связанных с тем, что неисправленные данной коррек¬
цией отклонения могут быть исправлены последующими коррек¬
циями, причем в результате проведения всех коррекций должны
ыполняться требования по точности реализации корректируе¬
мых параметров.
i Дальнейшая классификация коррекции связана с выбором
етода исследования и определяется принятыми моделями воз-
ущающих и управляющих воздействий и объекта управления.
зависимости от характера допущений, принимаемых относи¬
тельно начальных отклонений корректируемых параметров, оши-
)ок прогнозирования параметров траектории движения и ошибок
Исполнения коррекции можно рассматривать следующие модели
коррекции: детерминированную, статистическую и смешанную.
В детерминированной модели коррекции предполагается, что
а каждом этапе полета, когда рассчитывается очередная кор-
екция, известны с некоторой точностью текущие отклонения
орректируемых параметров, которые необходимо исправить.
>шибки прогнозирования и исполнения коррекции не извест¬
ны и отсутствуют надежные априорные характеристики их рас¬
пределения, что исключает возможность использования стати¬
стических методов при проведении расчетов коррекции.
i После проведения очередной коррекции имевшие место ошиб¬
ки прогнозирования и исполнения коррекции определяются на
основании соответствующих измерений и входят в состав сум¬
марного отклонения корректируемых параметров, которое долж¬
но быть исправлено при необходимости последующими коррек¬
циями. При принятых предположениях корректируемые откло¬
нения траекторных параметров, а следовательно, и связанные с
ними корректирующие скорости являются детерминированными
величинами. Принятая модель коррекции сравнительно проста
и не приводит к сложным методам исследования. В то же время
Для детерминированной модели оказывается возможным полу¬
чить и сравнительно наглядно представить некоторые важные
закономерности, свойственные коррекции. Кроме того, с помощью
Основных соотношений методики расчета детерминированной
Коррекции можно перейти к соотношениям для статистической
Модели.
При статистической модели предполагается, что при прове¬
дении расчетов и исследований коррекции неизвестны конкрет¬
ные значения отклонений корректируемых параметров, ошибок
прогнозирования и исполнения коррекции, но задан закон и па¬
раметры априорного распределения их на всех участках полета,
^то позволяет использовать статистические методы исследова¬
ния систем для задачи коррекции. Статистическая модель обыч¬
но используется при исследовании коррекции, выполняемом' на
6*
163

стадии проектирования и подготовки КА к запуску. На этом
этапе неизвестны заранее ошибки выведения, прогнозирования
и исполнения коррекции данной конкретной реализации (пред,
стоящего запуска), но имеются априорные характеристики их
возможного распределения, получаемые при проектировании и
анализе работы систем управления и внешнетраекторных из¬
мерений.
Смешанная модель характерна для ситуации, имеющей место
во время полета КА. При расчете очередной коррекции известны
текущие отклонения корректируемых параметров и неизвестны
перед ее проведением величины ошибок прогнозирования' и про-
ведения коррекции. Однако имеются априорные характеристики
распределения возможных ошибок прогнозирования и коррек¬
ций на последующем участке полета, которые могут быть ис¬
пользованы при выборе моментов проведения коррекции, их чис¬
ла и режима. В этом заключается отличие данной модели от
детерминированной. Таким образом, смешанная модель, соответ¬
ствующая реальному случаю полета КА, должна иметь как чер¬
ты детерминированной модели (известны отклонения корректи¬
руемых параметров, неизрасходованные запасы топлива на бор¬
ту КА), так и черты статистической модели (известны только
априорные характеристики ошибок прогнозирования и проведе¬
ния коррекции). Поэтому методы исследования такой задачи
также должны являться комбинацией методов, используемых в
первых двух.
Из возможных моделей управляемого объекта в зависимости
от требуемой точности исследований для задачи коррекции при¬
няты следующие две модели: линейная (приближенная) и нели¬
нейная (точная), учитывающая основные возмущающие воздей¬
ствия, оказывающие влияние на движение КА.
Все исследования свойств коррекций и выявление их общих
характеристик обычно производятся в линейном приближении.
В настоящем разделе коррекции исследуются также в линейном
приближении. Расчеты коррекций в нелинейной постановке про¬
изводятся чаще всего во время полета КА. Методы таких расче¬
тов рассматриваются в III части книги.
И наконец, по характеру управляющих воздействий коррек¬
цию можно разделить на импульсную и с протяженным актив¬
ным участком. Такая классификация в известной мере условная
и в каждом случае нужно исходить из необходимой точности ре¬
шения поставленной задачи. Импульсным будем называть такое
воздействие, которое приводит к изменению вектора скорости КА
при практически неизменных его координатах. Обычно это крат¬
ковременное воздействие с большими управляющими ускорения¬
ми. Многие задачи управления на этапе проектирования могут
решаться в предположении импульсного воздействия, в то время
как в процессе полета те же самые задачи часто требуют учета
протяженности активного участка.
164

6.3.	ФОРМУЛИРОВКА ЗАДАЧИ ЛИНЕЙНОЙ КОРРЕКЦИИ
Пусть управляемый КА в момент to имеет известное текущее
состояние, характеризуемое некоторым вектором состояния
к(/о).
Управляемым будем называть такой КА, который при необ¬
ходимости может быть подвержен некоторому допустимому уп-
завляющему воздействию, в данном случае коррекции. Управля-
ощее воздействие является допустимым, если оно принадлежит
заданной области L, зависящей от типа двигательной установки,
запасов топлива и т. д. Управляющее воздействие характеризует¬
ся некоторым числом параметров, соответствующий вектор будем
зазывать вектором управления и обозначать y(t).
Управляющее воздействие при импульсной коррекции в мо¬
мент tKj можно однозначно задать вектором корректирующей
скорости u(/Kj) с компонентами ux(tKj), uy(tKj), uz(tKj). При кор-
зекции с протяженным активным участком необходимо задание
зектора ау(/) управляющего ускорения. Компоненты этого век-
гора являются кусочно-непрерывными функциями с конечным
телом точек разрыва.
Таким образом, при импульсном управлении число незави¬
симых переменных управления в заданный момент tKj равно
трем, если не накладывается никаких ограничений со стороны
системы управления на проведение коррекции. При коррекции с
протяженным активным участком число независимых перемен¬
ных может быть более трех. В дальнейшем число независимых
переменных управления будем обозначать fYj.
Пусть выбраны корректируемые параметры и составлен век-
гор корректируемых параметров <рк, который является функцией
зектора состояния в момент to и вектора управления: <рк[х(/0),
Необходимо так подобрать вектор управления, чтобы в
эезультате проведения коррекций выполнялось условие: <рк[х(^о),
г(0] = <Рк, где <рк — расчетные значения вектора корректируемых
параметров.
Зависимость корректируемых параметров <рк от вектора со¬
стояния в момент to и вектора управления устанавливается с по¬
мощью дифференциальных уравнений движения, решение кото¬
рых в общем случае возможно только' методами численного инте¬
грирования.
v Сложный характер зависимости корректируемых параметров
:.от корректирующих воздействий и момента коррекции ставит
Задачу коррекции траектории КА в ряд наиболее сложных задач
теории управления. Значительные трудности возникают при ис¬
следованиях статистических характеристик коррекции особенно
при определении статистически-оптимальной коррекции, так как
Эта задача относится к наименее развитой области теории стати-
стически-оптимального управления нелинейными объектами.
Наибольшее число работ по оптимальному управлению посвяще¬
165

но управлению линейными объектами. Это объясняется, как бу,
дет ясно из дальнейшего, рядом свойств линейных объектов, бла¬
годаря которым решение задач в статистической постановке
можно осуществить существующими математическими мето,
дами.
При исследовании линейной системы, если линеаризация вы¬
полнена достаточно корректно, можно определить основные за¬
кономерности качественно, а количественно — главную часть
корректирующего воздействия. Необходимость дальнейшего их
уточнения на более реальной модели управляемого объекта за¬
висит от степени нелинейности исходной системы и требуемой
точности решения задачи. Например, на стадии проектирования
КА результаты, полученные на линейной модели, обычно не
уточняются, так как при рациональном выборе линейной модели
достигается точность, достаточная для характеристики проект¬
ных параметров КА.
Таким образом, для дальнейшего исследования управления
КА необходимо общее дифференциальное уравнение движения
КА упростить, приведя его к линейному дифференциальному
уравнению.
Если известно начальное состояние системы в момент to, а
также номинальное управляющее воздействие (маневр) на рас¬
сматриваемом участке полета, то после подстановки этих на¬
чальных данных в дифференциальное уравнение движения КА
получим единственное решение для вектора состояния х(/),
определяющего опорную траекторию. Тогда при условии мало¬
сти изменения х(/) для малых отклонений начальных условий
уравнения в вариациях относительно' указанной опорной траек¬
тории имеют вид
дх (/) = Dj (/) дх (/) + D2 (/) дау (/) + D3 (/„.,) U (/КД	(6.3.1)
где	Di(0'—матрица производных по компонентам век¬
тора состояний относительно опорной тра¬
ектории;
D2(0, О3(0 —матрицы производных по компонентам уп¬
равляющего воздействия относительно опор¬
ных значений;
Дх(0, Лау(О —отклонения векторов х(0 и ау(0 от их зна¬
чений на опорной траектории движения в
момент времени t.
Решение линейного дифференциального уравнения (6.3.1).
характеризующего отклонение КА от опорной траектории в лю¬
бой момент времени /, определяется формулой Коши, распро¬
страненной на случай общих воздействий (кусочно-непрерывных
и импульсных с ограниченным изменением):
166

(6.3.2)
Дх(/) = Х (/, /0) Дх (/0) + f X (Т, /) D,(t) дау (т)d/т-|-
/о
~4~ X (/, /|<7-) D3 (/,.у) и (/ку),
7 — 1
где Ax(Z0) —отклонение в начальных условиях от значений, при¬
нятых для опорной траектории, a Х(72, Л)—фундаментальная
матрица.
Соотношение (6.3.2) может быть использовано для исследо¬
вания в линейном приближении оптимального управления КА
как в случае управления с помощью непрерывной тяги, так и для
импульсного управления. В последнем случае выражение (6.3.2)
упрощается и связь между вариациями кинематических парамет¬
ров в любые два момента времени имеет вид
Дх(/) = Х(/,/о)дх(/о)+^Х(/,/К7.)О3(/ку)и(/1<7).	(6.3.3)
■	7 = 1
К свою очередь, отклонения любых параметров траектории, свя¬
занных с фазовыми координатами, от их значений на опорной
траектории в линейном приближении могут быть выражены че¬
рез отклонения кинематических параметров в некоторый фикси¬
рованный момент времени
Дф = Фк (А?) Дх (А?),	(6.3.4)
где Л<р = <р —<р — вектор отклонений параметровф для возмущен¬
ной траектории от их значений ф на опорной траектории;
ФК(А>) = ——	матрица частных производных от параметров
<?х (/р
ф ПО' фазовым координатам х(/), определяемая на опорной тра¬
ектории.
В настоящей части будут рассмотрены методы расчета и ис¬
следования коррекции траектории, используемые в основном на
этапе проектирования КА. Поэтому в дальнейшем предполагает¬
ся, что модель объекта — линейная, а модель управляющего воз¬
действия — импульсная.
Глава 7
ДЕТЕРМИНИРОВАННАЯ КОРРЕКЦИЯ
Задачу детерминированной линейной коррекции сформулиру¬
ем следующим образом. Пусть КА движется по некоторой траек¬
тории пассивного полета. Параметры орбиты КА определены с
Некоторой точностью по результатам обработки внешнетраек¬
167

торных измерений. Исходя из назначения КА, схемы его полета
и конструктивных особенностей выбраны корректируемые пара-
метры <pKS и допустимые ошибки их реализации eKs. Пусть число
корректируемых параметров равно г. Если текущие значения
любого из параметров отличаются от их заданных номинальных
значений <pKS на величину, превышающую допустимые ошибки
ек„ то необходимо определить времена проведения коррекций
6<i, ..., tKg, векторы корректирующей скорости u(/Kj) и количество
коррекций g таким образом, чтобы скомпенсировать имеющееся
отклонение корректируемых параметров, причем отклонение
Лф+кЛ^ч?) после проведения последней коррекции за счет оши¬
бок определения и прогнозирования траектории и ошибок про¬
ведения коррекции не должно превышать величины ек.«, т. е.
—	или |	| < eKS, s=l, ...,г,	(7.0.1)
где	—значение s-ro корректируемого параметра после
проведения коррекции в момент tKg. При линейной зависимости
A(pKS от вектора корректирующей скорости u(/KJ), ошибок
прогнозирования 8<рк5 (/к;-) и исполнения коррекции 8?к/(^у)
справедливо
Д?К5 (^Kg) = Д?К5 (A<g) + ДСРкЗ (Ug) _	(/Kg) + 8?KS (^<g);
Д?К5 (^Kg) =	(ZKg) +	(ZKg);
A'Pks (**£■)	(^Kg) U (^Kg)’
(/l(g) = fKS(/Kg)8u(/Kg);
u„(/Kg) = u(/Kg) + 8u(/Kg),	(7.0.2)
где Atf>KS(/Kg) —отклонение s-го корректируемого параметра до
проведения коррекции в момент tKg, определяемое
по измерениям параметров траектории на участке
ОТ tug—1 ДО tKg',
Д?к5(иг) — отклонение s-ro корректируемого параметра, выз¬
ванное приложением корректирующей скорости в
момент tKg;
8?k.s (Ag) “ отклонение s-ro корректируемого параметра,
вызванное ошибками проведения коррекции в
момент tKg;
S^Ki^Kg) — отклонение s-ro корректируемого параметра, выз¬
ванное ошибками определения и прогнозирования
траектории на участке от до tKg;
Д^ (/Ki) — истинное отклонение s-ro корректируемого пара¬
метра до проведения коррекции в момент А/,
168

Ъи (/к. ) — вектор ошибок исполнения корректирующей ско¬
рости для g-й коррекции;
•Ш = grad%;i(/l;AJ — градиент s-ro корректируемого параметра
• ■ • ,	(^i<g)] 8 МОМеН! tKg.
Тогда соотношения (7.0.1) с учетом (7.0.2) примут вид
I (М + fк. u	+ fKff (М 8u (/J -	(rKg) I < s,;i, (7.0.3)
или если существует такой u(7Kg), что
u (М = 0’	(7.0.4)
то
I fKi (/J 8u (/J - 8<& (/J I < e|(S,	1, . . ., r. (7.0.5)
Условия (7.0.3) или (7.0.4) и (7.0.5), применяемые последо¬
вательно к каждой коррекции, позволяют определить векторы
требуемых корректирующих скоростей, времена проведения кор-
•рекций и их число. Однако применение их для различных типов
■коррекций имеет ряд характерных особенностей. Поэтому целе¬
сообразно рассмотреть каждый тип коррекции в отдельности.
При этом сначала остановимся на двух основных типах коррек¬
ции: независимой (одноимпульсной) и связанной (одноразовой).
Общим для них является одноразовое исправление известных от¬
клонений корректируемых параметров; различным — способ про¬
ведения коррекции. В первом случае все известные отклонения
исправляются с помощью одного включения двигательной уста¬
новки в заданный момент времени и поэтому число, корректируе¬
мых параметров не может быть более трех. Во втором случае
.исправление всех известных отклонений корректируемых пара¬
метров допускается с помощью нескольких последовательных
включений двигательной установки, и поэтому число корректи¬
руемых параметров может быть больше трех. Полученные ре¬
зультаты затем можно распространить на многоразовую детер¬
минированную коррекцию, которая является дальнейшим разви¬
тием стратегии коррекции.
Нетрудно видеть, что общее число определяемых при расче¬
те коррекции параметров (составляющие корректирующих ско¬
ростей, число коррекций и время их проведения) может превы¬
шать количество условий вида (7.0.3), которым необходимо
Удовлетворять, что особенно характерно при многоразовой кор¬
рекции. Поэтому решение задачи коррекции в ряде случаев не
единственное, и из всех возможных решений можно выбрать та¬
кое, которое удовлетворяло бы дополнительно' сформулирован¬
ным условиям оптимальности коррекции по величине суммарной
энергетики коррекций или точности реализации расчетных зна¬
чений корректируемых параметров. Задача оптимальной коррек¬
ции и критерии качества рассмотрены в гл. 10.
169

В данной главе будем предполагать, что число коррекций 1;
время их проведения выбраны и необходимо найти только векто¬
ры корректирующих скоростей. Однако некоторые способы умень¬
шения величины корректирующей скорости одноимпульсной кор¬
рекции, т. е. локальная оптимизация режима коррекции, будут
рассмотрены в данной главе.
Отличительной особенностью детерминированной коррекции
является допущение, согласно которому отклонения корректиру.
емых параметров, ошибки прогнозирования и ошибки исполне¬
ния коррекции предполагаются известными после проведения
коррекций на всех этапах полета. Поэтому основными характе¬
ристиками такой коррекции являются детерминированные, не¬
случайные параметры: вектор корректирующей скорости, харак¬
теристическая скорость коррекции, допустимые ошибки коррек¬
тируемых параметров и т. д.
7.1. ОДНОИМПУЛЬСНАЯ КОРРЕКЦИЯ
Согласно классификации одноимпульсная коррекция пара¬
метров траектории является наиболее простым типом одноразо¬
вой коррекции. В зависимости от числа корректируемых пара¬
метров одноимпульсная коррекция может быть следующих трех
видов: однопараметрическая, двухпараметрическая и трехпара¬
метрическая.
Для трехпараметрической одноимпульсной коррекции исход¬
ное соотношение имеет вид:
Д'Ры (M = fKi (Mu (М’
(Ми(М’
Д'Ркз (2fK/) = fK3 (Ду)и(Ду),
или
ДТк(и = Рк(Д/)и(М’
F,< (Ду) =
^К1 (^к/)
f|<2 (Асу)
1r3 (Ду)
(7-1.1)
где FK(/Kj)—матрица частных производных от корректируемых
параметров по компонентам корректирующей скорости. Уравне¬
ния (7.1.1) однозначно определяют вектор корректирующей ско¬
рости u(/Kj), если матрица производных FK(^Kj) невырожденная:
u(/K/) = F7I(/K/)A?K(/h7).	(7.1.2)
Если матрица FK(/Kj)—вырожденная, то это. означает, что
между корректируемыми параметрами существует взаимно одно¬
значная зависимость, которая геометрически выражается в кол¬
линеарности соответствующих градиентов корректируемых пара¬
метров. В этом случае трехпараметрическая коррекция в выб¬
ранный момент времени невозможна, и для исправления
отклонений корректируемых параметров необходимо изменить
время коррекции.
170

При числе корректируемых параметров меньше трех вектор
корректирующей скорости определяется неоднозначно, причем
существует бесчисленное множество решений для u(ZKj), при ко¬
торых возможно исправить отклонения одного или двух пара¬
метров траектории. В силу этого для одно- и двухпараметриче¬
ской коррекции оказывается возможным выбрать такое решение,
которое удовлетворяло бы дополнительным требованиям. Наибо¬
лее часто встречающееся требование — проведение коррекции с
минимальной величиной характеристической скорости коррек¬
ции (энергетически оптимальная коррекция). Кроме того, в ка¬
честве дополнительных требований могут быть различные огра¬
ничения на возможное направление или величину корректирую¬
щей скорости, вызванные конструктивными особенностями систе¬
мы управления КА.
Рассмотрим однопараметрическую коррекцию, которая яв¬
ляется наиболее простым видом коррекции. Для нее имеем сле¬
дующее исходное соотношение:
A'?Kl(^) = fKl^K/)u^K;).	(7.1.3)
'Решение уравнения (7.1.3) для составляющих ux(tKj), uy(tyj),
uz(tKj) вектора корректирующей скорости неоднозначно. Мини¬
мально возможная величина характеристической скорости при
коррекции заданного отклонения корректируемого параметра со¬
ответствует направлению u(ZKj) вдоль градиента корректируемо¬
го параметра. Это следует непосредственно из свойства линейной
коррекции, согласно которому приложение корректирующей ско¬
рости в направлении, ортогональном градиенту, не вызывает из¬
менения корректируемого параметра. Поэтому эффективность
корректирующей скорости тем больше, чем меньше угол между
и(Д,) и fKi(^Kj). Таким образом, оптимальным направлением
однопараметрической коррекции является направление градиен¬
та, а составляющие и(бо) для энергетически оптимальной кор¬
рекции равны
М>К1П..;)
u(U= , 'W	(7.1.4)
Полученные условия оптимальности можно добавить к уравне¬
нию (7.1.3) и определять и(/кз) из решения следующей системы
Уравнений, аналогичной ранее рассмотренной для трехпарамет¬
рической коррекции:
А?к1 (^ку) = fKl (Zk;) U (^к-Л	(Л<у) = Fi< (^7) U (Z.<y),
°=n1(/K7.)u(/K;.),
0=n2(/K7)u(fK?.),
или
(7.1.5)
171

где пД./к,-), п2(/кз)—два произвольных вектора, ортогональных
градиенту корректируемого параметра в момент /Kj; Дфк(Ло) ==
= (Дфк1(/К;), 0, 0)т — вектор трехмерного пространства коррек¬
тируемых параметров, тогда
=	(7.1.6}
Векторы П1 (/Kj), п2(/кз) должны выбираться таким образом, что¬
бы матрица FK(^Kj) была невырожденной, что всегда возможно,
если fni (tKj) =¥= 0. Для двухпараметрической коррекции исходное
соотношение принимает следующий вид:
(7.1.7'
-Линия оптималь¬
ной. коррекции
г Плоскость опти-
Хмальной коррекции
Рис. 7.1.1
Линия оптимальной
коррекции
Два уравнения (7.1.7) не
разрешаются однозначно от¬
носительно составляющих
вектора корректирующей
скорости. Из возможных ре¬
шений выберем то, для кото¬
рого величина корректирую¬
щей скорости будет наимень¬
шей. Применяя условия оп¬
тимальности однопараметри¬
ческой коррекции последова¬
тельно к каждому из коррек¬
тируемых параметров, не¬
трудно убедиться, что наи¬
меньший по величине вектор
корректирующей скорости
при двухпараметрической
коррекции должен лежать в
плоскости, «натянутой» на градиенты корректируемых парамет¬
ров, которую назовем плоскостью оптимальной коррекции (рис.
7.1.1). Таким образом,
деляется из решения
оптимальности:
вектор корректирующей скорости опре-
системы (7.1.7), дополненной условием
A?Ki(^) = fKi(^7)u(^),
A?kM=Fk(^)u(^)>
Д?к2 «<;) = f,<2 (М U (4Д ИЛИ =
° = [11<1(г'ку) X fK2 1Ду)]и(/к;-),
L1 (^к-у)
fК-2 (А</)
t<l (Ду) X fK2 (^Ку)
(7.1.8'
где Дфк(ДД = (АфкДМ, Дфк2(^к3), 0)т — вектор-столбец трех¬
мерного пространства корректируемых параметров. Тогда выра¬
жение для вектора корректирующей скорости имеет вид
172

u(4/)=fk Д?к (M-
(7.1.9)
Двухпараметрическая коррекция в выбранный момент возмож¬
на, если
/k1(U/0; /k2(W/0; fKl (М X fK2 (^ку) / °. (7.1.10)
тогда матрица FK(/Kj) —невырожденная.
Пример. Пусть КА, находящийся на траектории полета
Дуна — Земля, должен войти в атмосферу и совершить спуск на
Землю. С помощью коррекций траектории, необходимо обеспе¬
чить такие условия входа в атмосферу, при которых выполняют¬
ся заданные ограничения по перегрузкам и рассеиванию точек
приземления. Выполнение этих требований эквивалентно обеспе¬
чению соответствующих ограничений по допустимым отклонени¬
ям в высоте /гя условного перигея орбиты (условный перигей —
перигей орбиты без учета влияния атмосферы на движение КА).
Величина допустимых отклонений зависит от заданных ограни¬
чений перегрузок и рассеивания, а также располагаемого
аэродинамического качества КА, если, спуск управляемый. Вы¬
ражение для производной от Ня по составляющим корректирую¬
щей скорости в орбитальной системе координат можно получить
из интеграла площадей и интеграла энергии при условии, что
составляющая u(./Kj), перпендикулярная плоскости траектории,
в линейном приближении не влияет на отклонение по высоте Лл:
dfin
диг (tKj)
dhr
^(М-^2(М
(7.1.11)
где Кл —скорость в условном перигее орбиты; гя — радиус ус¬
ловного перигея; V,.(/Kj), Ут(^ю)—составляющие вектора ско¬
рости V(tKj) в точке коррекции в орбитальной системе.
Из (7.1.11) следует, что grad/zn(O лежит в плоскости орбиты
и составляет с трансверсалью угол сцДТ), причем
где —расстояние КА от Земли в момент коррекции. Соот¬
ветствующее направление оптимальной коррекции совпадает с
Трансверсалью, если коррекция производится в апогее. При этом
Величина gradA.T(0> характеризующая эффективность коррек¬
173

ции, монотонно уменьшается с приближением к перигею и в точ¬
ке перигея равна нулю. Траектории КА, возвращающегося от Лу¬
ны к Земле, близки к параболическим. Для этого случая может
быть получена следующая приближенная формула: grad h*
2	/,	, км
= —■ r\t.•)	, которая с хорошеи точностью справедлива для
v- 7 км/с
любого, близкого к параболическому, движению. Эффективность
коррекции падает с увеличением энергии траектории. Для при-
ближенных оценок можно принять
grad hr (/)=-= 0,00018r	——
м/с
Особые случаи одно- и двухпараметрической коррекции
Ранее принималось допущение, что при проведении коррекции
в некоторый выбранный момент Д; не накладывается никаких
дополнительных условий, ограничивающих возможности ее про¬
ведения, т. е. /у.)=3. На практике требования к надежности ра¬
боты систем ориентации и управления, ограничения веса этих
систем приводят к тому, что на объекте может устанавливаться
простая система ориентации или система управления, которая
не позволяет проводить оптимальную коррекцию. Эти ограниче¬
ния необходимо соответствующим образом сформулировать п
рассматривать совместно с основной системой при расчете кор¬
рекции. Рассмотрим два примера таких систем.
Первая система обеспечивает проведение коррекции только в
некотором заданном направлении, например в направлении на
Солнце.. Эта система, наиболее простая из существующих систем
ориентации, называется системой «солнечной ориентации».
С помощью этой системы одноимпульсная коррекция может
быть проведена только в однопараметрическом варианте («сол¬
нечная коррекция»), причем такая коррекция в общем случае не
оптимальна по энергетике и при расчете ее совместно с уравне¬
нием (7.1.3) необходимо рассматривать следующие два условия:
0 = п!(Ду)и(Д.у); 0 = П2(Д.у)и(Ду),	(7.1.13)
где П1(/ку), Пг(Ду)—два вектора, ортогональные направлению
хс(Д;) на Солнце в момент tKj.
Решая совместно (7.1.3) и (7.1.13), однозначно определяем
u (Д?), обеспечивающий исправление отклонения в корректируе¬
мом параметре Д<рК1(Д3) и имеющий заданное направление. Век¬
торы Пх (/к/-), Пг(Ду) выбираются произвольно, но так, чтобы со¬
ответствующая матрица преобразования Fk(/kj) была невырож¬
дена. Это всегда возможно, если
fK1(/1<y)zc(/k.y) #-0.	(7.1.14)
174

Вторая система ориентации обеспечивает проведение коррекции
только в плоскости, ортогональной некоторому заданному на¬
правлению, например направлению хл (ZKj) на Луну. Это более
сложная система ориентации, которая позволяет проводить двух¬
параметрическую коррекцию. Для определения и необходи¬
мо в (7.1.7) добавить условие
О = хл(/Ч.)и(/К7.).	(7.1.15)
Система управления сравнительно проста и надежна, а плос¬
кость, ортогональная направлению на Луну, близка к плоскости
оптимальной коррекции, следовательно, и корректирующая ско¬
рость при такой коррекции близка к энергетически оптимальной.
Рассмотрим теперь однопараметрическую коррекцию, когда
корректируемый параметр является квадратичной формой от не¬
которого числа параметров траектории. Такой случай может
иметь место, если число параметров, которые необходимо испра¬
вить, больше, чем число независимых составляющих и(/кз-) с уче¬
том ограничений на возможные направления корректирующей
скорости. Будем предполагать, что число исправляемых парамет¬
ров ук>3, а число независимых переменных вектора корректи¬
рующей скорости fyj равно трем. Пусть фЬ ..., <pv— исправляемые
параметры. Так как их число превышает число независимых пе¬
ременных, то удовлетворить условию равенства нулю отклонении
всех параметров одновременно приложением одного корректиру¬
ющего воздействия невозможно. Поэтому естественным условием
коррекции является минимизация «расстояния» от заданного зна¬
чения параметров в некотором пространстве, которое может сов¬
падать с пространством параметров дц, ..., <pv либо будет его ли¬
нейным преобразованием. Конкретный вид матрицы линейного
преобразования определяется физическими особенностями реша¬
емой задачи. Пусть P(/Kj)—матрица такого преобразования,
тогда корректируемый параметр будет иметь вид
Д?+	= Д? + F (/„.;) U (/КД	(7.1.16)
где	элементы матрицы Рк(/к/), Д<р(/к/) — отклонения
Параметров	<рт до коррекции, а Дср+(/,.7) = (Д'-р* (/к/), ...
Д<р*(^к/) —отклонения параметров <р15 ..., <рт после коррек¬
ции.
Таким образом, исправление ук параметров траектории с по¬
мощью перехода к обобщенному параметру сведено к однопара¬
175

метрической коррекции, которая допускает оптимизацию, если
независимых составляющих вектора корректирующей скорости
более одного. Однако в отличие от рассмотренных ранее случаев
оптимизации коррекции по энергетике в данном случае необхо-
димо найти такой вектор корректирующей скорости, чтобы ве¬
личина qM была минимальной. Дифференцируя (7.1.16) по
составляющим корректирующей скорости, получим после неко¬
торых преобразований условие для определения оптимального
вектора корректирующей скорости
U M = [FT К,<7-) Рк (/К7.) F (<7.)]-1 F (/К7.) Рк (/К7.) Аф «<7), (7.1.17)
обеспечивающего наименьшее отклонение в пространстве пара¬
метров от заданных значений после проведения коррекции. Ус¬
ловие (7.1.17) имеет вид, аналогичный решению для параметров,
определяемых по методу максимума правдоподобия, что объяс¬
няется одинаковым видом минимизируемой функции (квадра¬
тичная форма).
Рассмотренный случай может иметь место, например, при
коррекции траектории КА, предназначенного для сближения п
стыковки с другим КА. При стыковке двух КА энергетические
затраты на ее проведение зависят от относительных расстояний
и скоростей аппаратов в момент включения двигателей стыковки.
Иными словами, на энергетику стыковки оказывают влияние три
компоненты относительного положения и три компоненты отно¬
сительной скорости. Влияние каждой компоненты может быть
различным и для его характеристики можно использовать матри¬
цу преобразования Р(Д;). Тогда корректируемым параметром
будет суммарная энергетика участка сближения и стыковки, а
коррекция будет проводиться так, чтобы ее минимизировать.
7.2. СВЯЗАННАЯ КОРРЕКЦИЯ
Связанная коррекция является наиболее общим случаем од¬
норазовой коррекции, из которой как частный случай может
быть получена одноимпульсная коррекция. В отличие от одноим-
пульсной коррекции исправление отклонений корректируемых
параметров при связанной коррекции осуществляется путем про¬
ведения gs коррекций.
Потребность в коррекции такого типа может возникнуть, на¬
пример, тогда, когда заданное число корректируемых пара¬
метров больше, чем возможно исправить при одной коррекции
с учетом особенностей системы управления КА (неоднородно¬
связанная коррекция). Так, в рассмотренном в разд. 7.1 примере
коррекции с использованием «солнечной ориентации» при одно-
импульсной коррекции возможно исправить только один пара¬
метр. Коррекция двух параметров может быть выполнена толь¬
ко двумя импульсами. В задаче стыковки космических аппара¬
тов для обеспечения «мягкого» контакта может потребоваться
176

.коррекция пяти-шести параметров — относительных координат
и скоростей, которая невозможна с помощью одного импульса,
а переход к обобщенному корректируемому параметру, как это
было сделано в разд. 7.1, недопустим из-за больших отклонении
относительных координат и скоростей после коррекции. Помимо
того, такая постановка задачи коррекции позволяет для любого
случая, когда число корректируемых параметров более одного,
использовать дополнительные свободные условия для оптимиза¬
ции энергетических затрат на коррекцию, аналогично тому, как
это было сделано при одноимпульсной коррекции.
Пусть количество корректируемых параметров г; в заданные
моменты времени tKj проводятся gs коррекций для исправления
известных отклонений корректируемых параметров Д<рк(Лэ) та¬
ким образом,чтобы при этом
Ф5[1*М] = 0>	(7.2.D
где ЧМи(^)1— линейные ограничения на u(^KJ).
Необходимо выполнение следующего условия:
г+/?<3£5, или	(7.2.2)
7=1
в противном случае проведение такой коррекции невозможно.
В частном случае, когда r+p = 3gs, решение задачи связанной
коррекции, если оно существует, однозначно и может быть полу¬
чено в следующем виде:
Uk(^I<1>---> ^Kff5)=(llT (^|;1), • • • , UT(A<g5))T;
Д?кЖ) = (Д'Рк1(*'о\-•	Д9кг(^о). О.---- °)т,
(7.2.3)
где uK(/K1,..., /Kg-J —вектор Здумерного пространства компо¬
нент корректирующих скоростей;
д^,,5(/0) —вектор г + ^-мерного пространства, состав¬
ленный из отклонений корректируемых
параметров и дополненный правыми час¬
тями ограничений;
FKJ(/K1,..., tKSs) — матрица производных от корректируемых
параметров и функций ограничения по
компонентам корректирующей скорости,
причем
grad ок1(/к1),.
• grad<?K1(^j
grad olir (/к1)-,.
grad4’1(/K1),.
grad Ч7р(/К1),.
.., grad<?Kr(^.)
.., grad'Fj^.)
.., gradW’p^)
177

Для существования решения необходимо и достаточно, чтобы
матрица FK5	, tKgs) была невырожденной.
Порядок системы уравнений (7.2.3) равен 3gs, однако если
ограничения имеют характер, рассмотренный в разд. 7.1, то сос¬
тавляющие вектора скорости можно выбрать таким образом, что
они будут независимыми переменными. Тогда порядок систем
понизится и будет равен г, вектор ик(/к1,..., tKgs) будет век¬
тором r-мерного пространства, а матрица FKfl не будет уже со¬
держать условий, ограничивающих проведение коррекций.
Если r+p<3gs, то решение для и(Д;) получается неоднознач¬
ным и исходная система, как и в случае одноимпульсной коррек¬
ции, может быть дополнена условиями, обеспечивающими наи¬
меньшую суммарную энергетику коррекций. Условия оптималь¬
ности связанной одноразовой коррекции имеют вид, отличный ог
условий оптимальности одноимпульсной коррекции, что объяс¬
няется различным видом минимизируемой функции. Условия оп¬
тимальности связанной коррекции можно получить способом,
обычно принятым для определения условного экстремума функ¬
ции многих переменных. Этот способ можно было использовать
и в одноимпульсной коррекции, однако условия оптимальности
для одноимпульсной коррекции сравнительно просты и не требо¬
вали его применения. При связанной коррекции минимизируется
функция
2 U (А</ =2	+ (^к/) + «г(^к;-)]1/2	(7.2.4)
у=1	7 = 1
при дополнительных условиях:
Д^ (^s)= Д?к5 (^ + 2 (ZMu =• °-
«Миад=о-
Тогда необходимое условие экстремума
ях (7.2.5) имеет вид
• 5
(7.2.5)
(7.2.4) при ограничени-
(t .)
А \ К7/
duz (tKj)
(7.2.6)
• 1
где
+ 2
5 = 1
178

Дифференцируя (7.2.7) по составляющим корректирующих ско¬
ростей, получим следующую систему:
/ид,) , yi v йк, ,
u(tKj)	s dux(tKj)	dux(tK})
, VI. d*KS yy_ OT\[U(M]; q
мЧку)	^ll4 (Ф;)
+у ,,5	+ V vr+c ^[u(^)]=0,
«(^)	dtiz (tK})	' duz (tKj)
S — 1	S; — 1
(/=1,..., g-Д
или в матричном виде
ин>р (A<i, • • • , ~h FKg-^ (7К1,. . ., Ayj — 0,
(7.2.8)
(7.2.9)
где ?,; = (>!,..., vr, vr+1,..., vr+/7)T — вектор множителей Ла¬
гранжа;
,,	,	,	/иг(/к1) “zT.j \т
“нор А<1,- • •, Z'<gJ=	• •’ z. ч —нормированный вектор
Р	* 5	\ “ (41)	U (tKS) I
компонент корректи¬
рующих скоростей.
Составляющие оптимальных корректирующих скоростей по¬
лучаются при решении нелинейной системы (7.2.9) совместно с
(7.2.5). Для их решения необходимо использование итерацион¬
ны,х методов.
При решении систем могут встретиться трудности, существен¬
но влияющие на универсальность метода. Вместо решения си¬
стем (7.2.5), (7.2.9) на практике часто бывает целесообразно на¬
ходить минимум функции затрат (7.2.4) одним из методов
поиска экстремума функции многих переменных, особенно при
небольшом числе корректирующих импульсов. Такой способ уни¬
версален, допускает простую модификацию и контроль при из¬
менении числа корректируемых параметров, получении гранич¬
ного минимума и т. д. (Так, например, при g.^4 и г<(6 для
решения задачи оптимальной связанной коррекции хорошо заре¬
комендовал себя метод сечений.) Проиллюстрируем его на при¬
мере, когда gs = 2, г = 3. Число свободных переменных равно
3gs — г=3. При проведении первой из двух связанных коррекций
исправляется только часть известного вектора отклонений кор¬
ректируемых параметров, причем
179

csi «<1) Д?,<1 (<j) = fK 1 (tк 1) u «;1),	cs (/к1) Д<pK )/0) = FK (/Kl) u (/K1),
С31 «;1)Д?к2 №))
—:fK2 (Zk1.
И (к1)>
или
^1 (ZK1)
0
0
0
Сз1 (^К1)
0
Cs3^<l) Д?кЗ (U
=fK3(^i:
«(J-
0
0
^з (^i)
(7.2.10)
Тогда при проведении второй коррекции исправляется остальная
часть отклонения
[1 -	(^к1)1 Д?К1 (^о) = f><4 (*к2) U (ZK2);
[1-^2 К1)] Д'РкЗ (А)) = f.<2 (*к2) U (^к2);
[1	cs3 (Хк1)1 Д®|<3 (А)) = t<3 (^к2) u (^к2)>
или
[Е — Cs (7К1)] Асрк (/„)=cs (/к2) Д?|( (/„)= FK (/к2) и (/к2р (7.2.11)
Системы (7.2.10) и (7.2.11) при заданных значениях коэффи¬
циентов csi(/Ki), ..., cs3(^ki) однозначно определяют u(/Ki),
и(/к2), если соответствующие матрицы FK(/Ki) и Fk(/k2) невы¬
рожденные. Коэффициенты c.si(/Ki), Аз(Л<1) характеризуют
степень зависимости между отклонениями, исправляемыми при
первой и второй коррекциях для каждого параметра. При
Csi(^ki)=0 — отклонение первого корректируемого параметра
полностью исправляется второй коррекцией; при csi(/Ki) = l—
только первой коррекцией и т. д. Эти коэффициенты будем назы¬
вать коэффициентами «связи», матрицу CS(ZKJ)—«матрицей
связи» для /-й коррекции. Необходимо подобрать такие значения
коэффициентов связи, чтобы для и(/к1) и и(/к2), удовлетворяю¬
щих (7.2.10) и (7.2.11), выполнялось условие
«25=[й(/К1) + «(А2)]*= min [и (41) + « (^2)]- (7.2.12)
Ci (Ki)’ • • ■ ’с$з( Ф1)
Поиск осуществляется методом сечений, причем коэффициен¬
ты связи подбираются последовательно. На каждом шаге для
определения u(/Kj), и(/к2) решаются два линейных уравнения
(7.2.10)	и (7.2.11). Процесс подбора осуществляется до тех пор,
пока с требуемой точностью не выполняется условие (7.2.12).
При уменьшении числа корректируемых параметров появятся
дополнительные свободные переменные и уравнения (7.2.10) и
(7.2.11)	необходимо дополнить условиями оптимальности одно-
импульсной коррекции.
При увеличении числа корректируемых параметров число
свободных переменных уменьшается, и когда число корректируе¬
мых параметров превышает число независимых переменных
управления для каждой коррекции, то независимое изменение
всех корректируемых параметров при каждой коррекции невоз¬
180

можно. Это приводит к тому, что при расчете неоднородно-свя¬
занной коррекции определять и(/к]) и и(/к2) отдельно из решения
двух систем уже нельзя, так как число корректируемых парамет¬
ров превышает возможности одной коррекции. Необходимо ре¬
шать следующую совместную систему:
(A<1) U O'kiHLi (^2) U (^2)= Д<?к1 ('‘о)
fx, (^к1) U O'xl) + V M U (^2)= Д?кг ('о)
fKi(ZKi)u(/K1)+	0	= ^1(/K1)A<pK1(/0)
fx6—r (^Kl) u	0	—c s6— r (^K1) Д^кб — r (^0)
Число свободных переменных, по которым должна проводить¬
ся оптимизация, равно 2(csl, cs2) при г = 4 и 1 (cs]) при г = 5.
Если существуют ограничения на проведение коррекции, то
необходимыми условиями можно дополнить уравнение (7.2.13)
вместо соответствующего числа коэффициентов с5г-(/кз). Система
(7.2.13)	при г<4 эквивалентна двум рассмотренным ранее си¬
стемам (7.2.10) и (7.2.11) (с учетом условий оптимальности од-
ноимпульсной коррекции), и поэтому может быть использована
для расчета двухимпульсной связанной коррекции с любым чис¬
лом корректируемых параметров.
Продифференцировав (7.2.12) по коэффициентам связи с уче
том (7.2.10), (7.2.11) или (7.2.13), можно получить условия оп¬
тимальности для корректирующих скоростей двухимпульсной
связанной коррекции. Так, например, при	эти условия
определяют однозначное соответствие между направлениями
и(/к|) и и(/н2):
-^ = F^(/k1)(Fk--1(/k2))t-^4.	(7.3.14)
мМк1)	м (.‘к’)
Тогда корректирующие скорости могут быть найдены из решения
следующей системы:
uK(A<i> ^2)=fJ(^i> ^ДФкЖ),
(7.3.15)
где
FK^K1)	Fk(/k2)
«Л%))т (F^jf
_ ц (<К2)
а“~ “(^|)
Необходимо иметь в виду, что связанная одноразовая кор¬
рекция при	отличается от связанной коррекции при r>fyi
тем, что в первом случае переход на данный тип коррекции вы¬
зван только соображениями оптимизации коррекции. Полное ис¬
правление всех известных отклонений возможно одноимпульсной
коррекцией. Во втором случае переход к связанной коррекции
вызван тем, что одноимпульсная коррекция невозможна. Попут¬
но проводится оптимизация коррекции за счет наличия свобод-
181

ных переменных. При расчете это различие выражается в том,
что в первом случае при заданной матрице Cs(fK3) можно прово¬
дить расчет только одной очередной коррекции. Во втором слу¬
чае необходимо совместно рассчитывать несколько коррекций
даже при заданных коэффициентах связи, причем минимальное
число совместно рассчитываемых коррекций таково, что r^fyj-y
+ fy.i+l +

При исследовании одноразовой коррекции (одноимпульсной
пли связанной) были рассмотрены ограничения только в виде
равенств типа (7.2.1) для корректируемых параметров и условий
проведения коррекций. Однако если требования к точности вы¬
полнения некоторых из этих условий не очень жесткие, а ошибки
исполнения коррекции малы, то ограничения могут быть заданы
в виде неравенств
g
Задачу такого типа нетрудно свести к рассмотренному типу
задач, если ввести изменения в номинальные значения коррек¬
тируемых параметров в допустимом интервале для проведения
оптимизации коррекции. Оптимальные значения корректируемы?;
параметров могут лежать на границе интервала. В данном слу¬
чае также возможно использовать один из численных методов
поиска минимума.
7.3. ОТКЛОНЕНИЯ КОРРЕКТИРУЕМЫХ
И НЕКОРРЕКТИРУЕМЫХ ПАРАМЕТРОВ ПОСЛЕ КОРРЕКЦИИ
Прежде чем перейти к рассмотрению методики расчета мно¬
горазовой коррекции, остановимся на вопросе, связанном с фак¬
тическим выполнением коррекции, возможностью точного про¬
ведения ее современными техническими средствами.
Ранее при расчете вектора корректирующей скорости одно¬
разовой коррекции предполагалось, что отклонения корректируе¬
мых параметров известны точно и коррекция проводится без
ошибок (идеальная коррекция). После такой коррекции откло¬
нения в корректируемых параметрах отсутствуют. Что касается
некорректируемых параметров, то в них возможны отклонения
от номинальных значений, которые можно определить следую¬
щим образом. Пусть ДфНв((щ)—отклонение в s-м некорректи¬
руемом параметре перед проведением /-й коррекции. Тогда от¬
клонение Д'р+(/,<7-) в этом параметре после проведения идеаль¬
ной коррекции в момент tKj с расчетным вектором u(/1Q) равно
+ ^hs(U;) =	(7.3.1)
182

где fHs(A.j)—градиент s-ro некорректируемого параметра в мо¬
мент /к,-. Если проводится последовательно g* коррекций, то пос¬
ле проведения последней из них результирующее отклонение в
некорректируемых параметрах составляет (для идеальных кор¬
рекций)
(М = (7iH 2 fHs(Ay)u(Ay)-	(7.3.2)
7 = 1
В реальном случае определение отклонений корректируемых па¬
раметров производится на основании обработки результатов кос¬
венных измерений, осуществляемых наземными и бортовыми
измерительными системами, и последующего прогнозирования
траектории полета КА. Измерения могут иметь ошибки, при про¬
гнозировании используются астрофизические константы, извест¬
ные неточно; все это приводит к тому, что отклонения коррек¬
тируемых параметров определяются с ошибками, которые обо¬
значаются 8?к$(Ау)- Кроме того, при проведении коррекции
работают бортовые системы КА, которые осуществляют ориен¬
тацию двигательной установки в нужном направлении, включа¬
ют и выключают ее по достижении заданной скорости коррекции,
стабилизируют при работе двигательной установки. В результате
этих операций ошибки в работе бортовых систем приводят к
отклонению вектора корректирующей скорости от расчетного
(идеального). Пусть ошибка исполнения коррекции равна
6u (ZI(j) = uH(Aj) — и(/кз). Ошибки исполнения коррекции приво¬
дят к отклонениям корректируемых параметров после коррекции
^(AyJ^AstA/) 8ч (А/)-
Таким образом, после одной коррекции при полном исправле¬
нии всех известных отклонений <рк результирующие отклонения
для корректируемых параметров составляют
ДТ+ (Ay) =	(Ay) “ (Ay) = As (Ay) 8ч (Ay) -	(Ay), (7.3.3)
а для некорректируемых параметров
Д'РиА (Ау) =	(А;) + Д?™ («у) + 8^ (Ау) = Д^ (Ау) +
+ As(Ay) [ч (Ау)+8и (/к;-)].	(7.3.4)
Полученные результаты нетрудно распространить на связанную
одноразовую коррекцию:
Д?кА (AJ = 21- 4's (Ai) + As (Ay) 8ч (Ay)];
7=1
Д?„А (A-J=A'PTs (Al) + 2f,LS	tu 'A/1+8u (Zk^i-	(?-3-5)
7=1
183

Наличие ошибок прогнозирования и коррекции в корне изменяет
рассмотренную ранее картину определения вектора корректи¬
рующей скорости, особенно для связанной одноразовой коррек¬
ции, и оказывает существенное влияние на выбор времени про¬
ведения коррекции, так как необходимо выполнение условия
(7.0.1) и аналогичного условия по допустимым отклонениям з
некорректируемых параметрах, если такие требования наклады¬
ваются.
Отметим следующую особенность расчета связанной однора¬
зовой неидеальной коррекции. Она состоит в том, что из-за оши¬
бок коррекции и прогноза оставшееся нескорректированным пос¬
ле проведения /-й коррекции отклонение	(7К;-) отличается
от того, которое должно было оставаться по расчету при идеаль¬
ной коррекции. Если не проводить заново пересчет оставшихся
коррекций, то ошибки в параметрах <р.; после всех коррекций
могут достигать значительной величины. Чтобы не допустить
этого, целесообразно пересчет последующих корректирующих
скоростей проводить после каждой коррекции. Если при этом
г + р j sg 3gSj, где gsj=gs—■]'— число оставшихся коррекций,
Pi — число ограничений на оставшихся коррекциях, то расчет
gSj оставшихся коррекций проводится так же, как в разд. 7.2.
Если r + pj>3gsj, то количество корректируемых параметров и
дополнительных ограничений превышает число свободных пара¬
метров и проведение gSj коррекций уже не обеспечивает ис¬
правления всех корректируемых параметров (даже без учета
ошибок прогноза и коррекции). Поэтому из всех корректируемых
параметров необходимо либо выбрать те, которые оказывают
наибольшее влияние на выполнение последующих этапов полета
КА и безусловно подлежат исправлению в оставшихся коррек¬
циях, либо ввести некоторый обобщенный корректируемый пара¬
метр, как это было сделано в разд. 7.1 при рассмотрении особых
случаев коррекции, и выбирать оставшиеся коррекции таким об¬
разом, чтобы минимизировать конечное отклонение в обобщен¬
ном параметре. Тогда составляющие векторов корректирующих
скоростей для gs, оставшихся коррекций находятся из решения
системы уравнений, составленной из условия минимума в обоб¬
щенном параметре при выполнении всех ограничений на коррек¬
тирующие скорости.
7.4. МНОГОРАЗОВАЯ КОРРЕКЦИЯ
Для успешного осуществления космических полетов на совре¬
менном этапе развития техники часто бывает необходимо выпол¬
нить очень жесткие условия по допустимым отклонениям коррек¬
тируемых параметров. Эти требования противоречат желанию
уменьшить энергетику коррекции, так как и(^) и Д<р+(^к;-) свя¬
заны между собой обратной зависимостью, как следует из
184

(7.1.19), (7.3.5). Поэтому исправление отклонений корректируе¬
мых параметров с требуемой точностью при одноразовой кор¬
рекции может потребовать больших затрат топлива, особенно
при больших начальных отклонениях. Естественно предположить
следующее развитие стратегии коррекции с целью уменьшения
суммарной характеристической скорости коррекции:
—	проведение основной коррекции в той точке траектории,
где приложение корректирующей скорости наиболее эффективно
влияет на изменение корректируемых параметров;
—	проведение дополнительных коррекций в менее эффектив¬
ных точках для последующего уменьшения отклонений корректи¬
руемых параметров, оставшихся после основной коррекции, и
удовлетворения требований к точности.
В этом случае начальные отклонения, а также отклонения за
счет ошибок прогнозирования и проведения коррекции исправ¬
ляются несколько раз. Такая коррекция называется многоразо¬
вой коррекцией. Как и одноразовая, она может быть двух основ¬
ных видов:
1)	многоразовая коррекция с полным исправлением всех из¬
вестных отклонений корректируемых параметров при каждой
коррекции — независимая коррекция;
2)	многоразовая коррекция с неполным исправлением (с не-
докоррекцией) всех известных отклонений при каждой коррек¬
ции— связанная коррекция (однородная или неоднородная).
Рассмотренные ранее свойства одноразовых коррекций без
особых изменений распространяются на случай многоразовой
коррекции. Так, например, для однопараметрической многоразо¬
вой коррекции существует линия оптимальной коррекции для
каждого uсовпадающая с направлением градиента коррек¬
тируемого параметра в каждой точке коррекции. Для двухпара¬
метрической независимой многоразовой коррекции существует
плоскость оптимальной коррекции для каждого и(Д-.;) и т. д. Эти
свойства являются естественным следствием того, что при много¬
разовой коррекции после каждой из последовательно проводи¬
мых коррекций могут быть определены Д<рк(£к,-+1) и расчет после¬
дующего ц(£к,+1) ничем не отличается от расчета его при однора¬
зовой коррекции, если заданы времена проведения всех коррек¬
ций. Ниже приведем алгоритм, пригодный как для одноразовой,
так и для многоразовой коррекции и достаточно удобный для
проведения расчетов. Рассмотрим его применительно к независи¬
мой многоразовой коррекции, а затем распространим на случай
связанной многоразовой коррекции.
Независимая многоразовая коррекция
Пусть заданы корректируемые параметры, начальные откло¬
нения, требуемая точность их реализации и число коррекций g.
Времена коррекций выбраны таким образом, что требования по
185

точности удовлетворяются. Введем следующие два шсстимерны.х
пространства: пространство кинематических параметров и про¬
странство траекторных параметров. Тогда Дх(/) = (Дх(/), ...
..., Аг(/))т— вектор-столбец отклонений кинематических пара¬
метров (координат и скоростей) от их значений в момент / для
опорной траектории в абсолютной системе координат; u(/i;j)~
= (0, 0, 0,	..., u-(/K.i))T — вектор-столбец составляющих
корректирующих скоростей в абсолютной системе координат;
Д(с(/) = (Дф1 (/)> ТфбШР — вектор-столбец отклонений неко¬
торых выбранных траекторных параметров от расчетных значе-
пни в момент г; Х(г9,	■■ —	матрица частных ироизвод-
дх(0
ных от кинематических параметров в момент /г по кинематиче¬
ским параметрам в момент /р.
Для выделения из шестимерного пространства подпростран¬
ства размерности s<6
дующего вида:
матрицу E(s) сле-
введем специальную
1
О
Е(4=
О
О
О
Es
s
1
О
матрица (6x6),
а
Es — единичная
корректируемых
Здесь E(s)—квадратная
матрица (sxs). Тогда вектор подпространства
параметров может выделяться из вектора траекторных пара¬
метров
(7.4.2!
где г — число корректируемых параметров, не превышающее
трех при независимой многоразовой коррекции, а вектор некор¬
ректируемых параметров
(PhW = 4>0‘) — <РК(^) = (Е6-Е(г))<р(/).	(7.4.31
Если в момент tKj проводится коррекция траектории, то вектор
u(/Kj) подпространства корректирующих скоростей может быть
выделен из пространства кинематических параметров, причем
для импульсной коррекции имеем
и (/к .) = [ дх+ (/к/)- Дх (/ку)],	(7.4.41
где Дх+(^,;)—вектор отклонений координат и скоростей после
проведения коррекции в момент /щ; Дх(Д^) —аналогичный век¬
тор отклонений перед коррекцией в момент ZKJ-; u(/Kj)—вектор
корректирующей скорости в шестимерном пространстве кинема-
186

тичсскп.х параметров. В линейной постановке Аф(/“) связан с
Дх(/?) в некоторой произвольный момент времени следующим
соотношением:
где ФК(Л
д~ (f)
да (tj
Д? (,г) = Ф,. (Лй ДХ (/?),	(7.4.0)
матрица частных производных от траек¬
(7.4.6)
торных параметров по кинематическим параметрам в момент t-
для опорной траектории.
При использовании фундаментальной матрицы Х(/2, Л) от¬
клонения параметров <р(/) для любого момента могут быть полу¬
чены следующим образом:
^(А/ = фк(^)Х(4, tj_i) Дх+рф;^);
дер (цу) = Фк (/..) X (/?, /у) U (/у),
где Aq>_(/Kj) —отклонение траекторных параметров перед прове¬
дением /-й коррекции, равное отклонению в этих параметрах
после проведения (/—1)-й коррекции; Дф(и;) —отклонение тра¬
екторных параметров за счет /-й коррекции.
Основным условием, согласно которому определяется вектор
корректирующей скорости при независимой многоразовой кор¬
рекции, является сведение к нулю известных перед проведением
каждой коррекции отклонений корректируемых параметров:
Д'РЖ/НЛ'Рк («/)=0-	(7-4.7)
Вектор Д<рк(6ц), определяемый по измерениям, выполненным
на участке траектории, предшествующем /-й коррекции, отли¬
чается от действительного вектора отклонений Д^7 (/ку) на ве¬
личину ошибок определения и прогнозирования траекторных па¬
раметров:
«</•)= Дер (/ку) - Sep" (7ку).	(7.4.8)
Тогда после подстановки (7.4.5), (7.4.6) в (7.4.7) получим
Е (г) Фк (/J X (4, tKj) и (/,.у)-|-Е (г) Фк (/<=) X (4,, /к>-1) Дх+ ф-
+ Е(г)8ср"(/ку) = 0.
(7.4.9)
Для учета реальных условий работы системы ориентации, а так¬
же возможности оптимизации затрат при одно- и двухпараметрп-
ческой коррекциях необходимо ввести соответствующие ограни¬
чения в качестве дополнительных корректируемых параметров,
как это было сделано в разд. 7.1. Однако для упрощения алгорит¬
ма целесообразно ввести эти ограничения как преобразование
перехода в точке коррекции к новой ортогональной системе коор¬
187

динат. Новая система координат должна выбираться таким об¬
разом, чтобы:
1)	при однопараметрической коррекции допустимое направ¬
ление корректирующей скорости совпадало бы с направлением
Ozn(/Kj) преобразованной системы координат; ориентация осей
Oxn(tKj), Oyn(iuj) —произвольная (u2n(/Kj)—независимая пере¬
менная управления);
2)	при двухпараметрической коррекции ось Oxn(tKj) преобра¬
зованной системы была бы перпендикулярна плоскости, которой
должны принадлежать векторы корректирующей скорости, ориен¬
тация осей Oyn(tKj), Ozn(tKj)—произвольная («£(А</),
независимые переменные управления);
3)	при трехпараметрической коррекции система может не
преобразовываться.
Такое преобразование системы координат осуществляется ор¬
тогональной матрицей вида
Q „1М
0
о
Qnl (Ас/) 1
где Qni(^Kj)—ортогональная матрица (3X3), соответствующая
повороту исходной системы координат Oxyz на три угла (напри¬
мер, углы Эйлера и т. д.). Тогда Ax(/Kj) =Qn(^Kj)Axn(/Kj).
u (tKj) = Q„ (/hJ) u" (/K,)=Qn (tKj) [ax„ (/к;.)- Дхп (/K>)],	(7.4.101
причем после перехода к новой системе координат размерность
подпространства корректирующих скоростей становится равной
размерности подпространства корректируемых параметров. При
однопараметрической коррекции оно одномерно, т. е. переменна
одна составляющая вектора корректирующей скорости, а две
другие равны нулю и т. д. После подстановки (7.4.10) в (7.4.8)
получим
Е (Г) F &;) Qn (М U" (/кУ) + Е (г) F (^-t) дх+ (/«;_!) +
+ Е(г)8Фп(^)=0,	(7.4.11)
где F(/K/)=0K(/Ky)X(^, tKj).
Выражение (7.4.11) устанавливает функциональную связь
между отклонениями корректируемых параметров и вектором
корректирующей скорости, но использовать его для определения
вектора корректирующей скорости нельзя, так как для входя¬
щей в него матрицы Е(г), ранг которой равен г<6, определены
только операции сложения и умножения. Операция обращения
по обычным правилам невозможна. Поэтому введем особым об¬
разом операцию обращения для матрицы типа
HK(M = E(r)F(/K;-)Qn(/K;-)E(r)
(7.4.12)
188

где
и укажем удобный алгоритм ее вычисления. Условимся назы¬
вать матрицу НУ1 (/«;) обратной к матрице Нк(/к;-), если
О о
о Нг(/К7.)
нг%)=
Нк(/к/) =
(7.4.13)
о о
о
Нг(/,;.•) —невырожденная подматрица матрицы Н,. (/,. •) порядка
(г х'г).
Для получения матрицы Нк (/к;-) будем использовать сле¬
дующий алгоритм
Нк-1(М = [Нк(/к;.) + Е6-Е(г)Г1-[Е6-Е(г)Ь	(7.4.14)
где все операции выполняются уже по обычным правилам. Спра¬
ведливость соотношения (7.4.14) нетрудно показать, воспользо¬
вавшись правилами обращения невырожденной матрицы, запи¬
санной в блочном виде. Используя введенную операцию обраще¬
ния, получим следующее выражение для вектора корректирую¬
щей скорости:
и11 (/ку)= -НГ1 (У [F (^-0 Дх+ (^-т) + 8?" ад. (7.4.15)
При проведении коррекции за счет ошибок исполнения коррек¬
ции вектор корректирующей скорости, действительно сообщен¬
ной КА, отличается от расчетного. Поэтому результирующий
вектор корректирующей скорости равен
ни (/ку)= - н.71 (/,7) [F (/K,_i) дх+ адНВф" (/,7.)1+
+8и"
uH (^) = u (/K,) + 8u (/K/)=Qn (/К7.) [и" (/к7) + 8и" ад =
= -Qn (/к;.) ну1 (/к7) [F адо дх+ (ад+8?п ад+
+ <Ш 8U" (/ку),
. (7.4.16)
где 6ип(Д7) —вектор ошибок проведения коррекции.
Отклонения траекторных параметров после проведения кор¬
рекций в момент tKj определяются по формуле
Д?+ (А</)=(М + д? (uh/) = F (/k;-i) Дх+ (4/-1) -
- F (/17-) Qn (/,7) НГ1 (/,7-) [F (4;-i) Дх+ (4;-i) +
+ 8?11 (4у)1 + F (^ку) 8и (/ку);
Д?к+ (U = Д?7	+ Д?к (Ни/) = Д?к (4у) - (Ау) + Д?к (“у) +
+ 8^	= 8=Р” (А/)- Ч" (Су) = Е (г) F (^) Ви (/к>) - 8<р" (/|(Д (7.4.17)
189

причем Д®~	) = д?+ (А/,
Дер,. А,д-ы) = Д?Г(Z4+1> +	И Т. д. (7.4.18)
Во всех полученных соотношениях используется вектор Ax+(/i;j)(
который при расчете первой коррекции равен ошибкам выведе¬
ния КА на траекторию полета. Для расчета остальных коррек¬
ций его необходимо предварительно определить, используя сле¬
дующее условие связи между отклонениями кинематических па¬
раметров для двух последовательных моментов коррекции:
Дх+	дх- + u (tKj) + Su (гк;.) =
= 3u (tKj)- Q, (у H,?1 (У 8?" (tKj) + [X (у -
- У) НГ1 (У F (А7-1)] дх+ У-1),	(7.4.19)
где	дх-(.у) = Х(у, /ку-i) Дх+у_1).
Используя (7.4.15) — (7.4.18) совместно с условием связи
(7.4.19), можно последовательно произвести расчет всех g кор¬
рекций в заданные моменты времени tKj, при известных ошибках
прогнозирования и исполнения коррекций на каждом этапе.
Если к полученным соотношениям (7.4.15) — (7.4.19) доба¬
вить выражения для характеристической скорости /-й коррекции
н суммарной характеристической скорости для g последователь¬
ных коррекций
s
^ = 2
7=1
(7.4.20)
то они полностью определяют все необходимые характеристики
независимой многоразовой (и одноразовой) коррекции в линей¬
ной постановке для конкретных значений ошибок выведения,
коррекций и прогноза. Анализируя их, отметим: 1) отклонения
в корректируемых параметрах после /-й коррекции зависят толь¬
ко от ошибок ее проведения и ошибок прогнозирования коррек¬
тируемых параметров к моменту проведения /-й коррекции; эти
отклонения исправляются последующей коррекцией; 2) характе¬
ристическая скорость /-й коррекции зависит от ошибок проведе¬
ния (/—1)-й коррекции, ошибок прогнозирования корректируе¬
мых параметров к моменту (/— 1)-й коррекции и ошибок прове¬
дения /-й коррекции; 3) отклонения некорректируемых парамет¬
ров после /-й коррекции зависят от проведения всех коррекций и
ошибок выведения. Указанные особенности необходимо учиты¬
вать при построении алгоритма расчета многоразовой коррекции.
Связанная многоразовая коррекция
При рассмотрении в разд. 7.2 связанной одноразовой коррек¬
ции было отмечено различие, которое существует при расчете
190

каждой из последовательно проводимых связанных коррекций в
зависимости от выполнения условия	Такое различие со¬
храняется и для связанной многоразовой коррекции, являющей¬
ся дальнейшим развитием стратегии связанной коррекции. Рас¬
смотрим алгоритм расчета коррекции при выполнении условия
а затем укажем способ распространения его на случай,
когда оно не выполняется.
Пусть заданы корректируемые параметры, начальные откло¬
нения в них и требуемая точность, число коррекций и время их
проведения. Кроме того, будем предполагать, что заданы коэф¬
фициенты связи для каждой коррекции, т. е. что оптимизация по
ним либо уже проведена, либо ее проводить не требуется. Коэф¬
фициенты связи образуют диагональную матрицу связи.
Для однородно-связанной многоразовой коррекции удобно
использовать матрицу, аналогичную Е(г), но с диагональными
членами, равными коэффициентам связи и в общем случае от¬
личными от единицы:
о
о
о
СД/к/)=
С„ (^)
(7.4.21)
где Csr(^Kj)—диагональная подматрица, элементы которой рав¬
ны коэффициентам связи, а порядок (гХг). Матрица Csr(tKj) не
только выделяет корректируемые параметры из вектора траек¬
торных параметров, но и ту часть вектора отклонений корректи¬
руемых параметров, которая исправляется данной коррекцией.
Для расчета однородно-связанной многоразовой коррекции мож¬
но использовать методику независимой многоразовой коррекции,
учитывая при этом, что основное условие для расчета такой кор¬
рекции отличается от условия 7.4.6), соответствующего незави¬
симой коррекции:
Cs Д<? (/к7) + Е (г) Дер (и7)=0.	(7.4.22)
Тогда основные соотношения для расчета неоднородной много¬
разовой коррекции при	имеют вид
ип (/ку)= - [СГ1 (/к/) F (/ку) Qn (/к;) Е (г)]"1 X
X [F (^_!) Дх+ (/„.,-_,) + 8Ф" (/к;.)]= - НГ1 (ZK/) Cs (/i;/) X
X [F (4/-1) дх+ (/Ку_1) + 8фп (*„.;)];
«и (tKj) = u (^-J + 8u (tKj) = Q„ (ZK/) [un (7;;) + 8un (ZK/)];
Дф+ = ДФ“ (A</) + ДФ («и/) = E (/K/_i) дх+ (4/-i) +
+ F (ZK/) 8u (Zk;) - F (ZK/) Qn (/К7.) H Г1 (/J Cs (/k/) X
X [F (4y-i) Дх+ (/к;-_1) + 8фп (/к7)];
Дфк+ (^)= Д<₽Г + ДФ (ииу)=[Е (г)—С4 (/к;-)] F (Av_i) X
X Дх (/ку_!)- СД/К/) 8фп (^) + Е(г) F (tKj) 8u (/к/).
(7.4.23)
191

Укажем теперь, каким образом соотношения (7.4.23) распро¬
странить на случай, когда r>fyi. Основной особенностью такой
коррекции является то, что в этом случае минимальное число
одновременно рассчитываемых коррекций должно быть таким,
чтобы число свободных компонент корректирующих скоростей с
учетом ограничений было не менее числа корректируемых пара¬
метров. Так как	(траектория однозначно определяется
шестью независимыми параметрами), то при отсутствии ограни¬
чений gs — 2 и т. д. Нетрудно видеть, что при любом	и лю¬
бых /у) всегда можно подобрать такое g.<, что для последователь¬
но проводимых /, ..., j + gs коррекций fyi +... + fyprg — г^2, т. е.
иными словами, дополнительное число независимых переменных
при таком расчете коррекции не превышает двух. При расчете
связанной одноразовой коррекции (см. разд. 7.2) было введено
при r>fyj соответствующее число дополнительных условий
с.н(^о'), cs2(^kj)- Так как количество этих условий было менее г,
то они характеризовали разбиение не всего вектора отклонений,
а только нескольких корректируемых параметров. Поэтому раз¬
мерность вектора корректируемых параметров должна быть уве¬
личена до fyj +... + fyj+gs путем повторения в нем нескольких
корректируемых параметров из числа г заданных. Выбор их в
значительной мере произволен и в основном диктуется соображе¬
ниями уменьшения вычислительных ошибок. Размерность вектор¬
ного пространства кинематических параметров можно увеличить
до 6gs, причем целесообразно первыми 3gx компонентами взять
координаты, а последующими 3 g. — составляющие скоростей в
точках gf. одновременно рассчитываемых коррекций. Что касает¬
ся пространства траекторных параметров, то его также можно
принять 6^„-мерным, дополнив произвольными некорректируе¬
мыми параметрами.
Тогда расчет неоднородно-связанной многоразовой коррек¬
ции (при с>/у,) можно проводить по методике, аналогичной
приведенной выше для однородно-связанной многоразовой кор¬
рекции (при г^/у.;), но уже не в шестимерном, а 6 gy-мерпом
пространстве. Увеличение размерности пространства кинемати¬
ческих и траекторных параметров при расчете коррекции такого
вида не всегда желательно. В- ряде случаев все преобразования
можно записатьв 3 ^«-мерном, шестимерном пли ... + fyj+g '
мерном пространстве, формируя соответствующим образом мат¬
рицы производных. Для каждой конкретной задачи коррекции
можно выбрать рациональную размерность пространства. Таким
образом, методика расчета однородной коррекции может быть
использована для расчета неоднородной коррекции.
Если коэффициенты связи для каждой коррекции не заданы,
но коррекции должны проводиться с наименьшими возможными
затратами топлива, то необходимо проводить оптимальный вы¬
бор их одним из вычислительных методов поиска экстремума. В
192

противном случае выбор коэффициентов может быть произволен,
если условие точности реализации корректируемых параметров
выполняется. При сравнении (7.4.23) с (7.4.15) — (7.4.18) нетрудно
видеть, что при некоторых условиях отклонения Дф+ (/ку) для од¬
нородно-связанной многоразовой коррекции могут быть меньше
соответствующих отклонении при независимой коррекции.
Действительно, если ошибки прогнозирования <5ф[) (фу) вели¬
ки, то хотя однородная коррекция проводится в режиме
недокоррекции, неисправленное отклонение [Е(г)-СДДу)]Х
ХДФ_(Ду) может быть меньше, чем [Е(г)—СДфу)]8ф"(фу).
Тогда и Дф+ (Ду) при однородно-связанной коррекции будет
меньше, чем для независимой, что приводит к уменьшению
затрат топлива на последующие коррекции.
Глава 8
СВОЙСТВА ДЕТЕРМИНИРОВАННОЙ
ОДНОРАЗОВОЙ КОРРЕКЦИИ
В настоящей главе рассмотрены основные свойства вектора
корректирующей скорости и ошибок некорректируемых парамет¬
ров, их зависимость от выбора корректируемых параметров, места
проведения коррекции и траектории перелета. Локальные свой¬
ства коррекции рассмотрены подробно для одноимпульсной кор¬
рекции, дана их по возможности наглядная геометрическая ин¬
терпретация. Затем они распространены на более сложный слу¬
чай одноразовой коррекции — на связанную коррекцию.
При выводе основных свойств одноразовой коррекции исполь¬
зованы некоторые свойства из алгебры матриц, с которыми мож¬
но ознакомиться в [14]. В приложении приведены свойства поляр¬
ного разложения невырожденной квадратной матрицы и неко¬
торые свойства псевдообратных матриц.
8.1. НЕКОТОРЫЕ СЗОЙСТВА ОДНОИМПУЛЬСНОЙ КОРРЕКЦИИ
В гл. 7 при получении соотношений для расчета вектора кор¬
ректирующей скорости было указано на зависимость его от ве¬
личины и направления градиентов корректируемых параметров
в точке проведения коррекции. В частности, отмечалось, что ес¬
ли матрица преобразования, составленная из них, вырожденная,
то одновременная коррекция выбранных параметров в данной
точке на траектории невозможна. Векторы градиентов корректи¬
руемых параметров в точке коррекции образуют репер, причем
трехпараметрической коррекции соответствует трехмерный ре¬
пер и т. д. Углы между векторами градиентов характеризуют
7—3490
193

степень взаимной зависимости между корректируемыми пара¬
метрами. Совпадение двух градиентов в выбранной точке кор.
рекцип означает, что в данной точке невозможно исправить от¬
клонение в каждом из корректируемых параметров одновремен¬
но, а соответствующая матрица преобразования — вырожденная
и т. д. Поэтому для изучения локальных свойств коррекции не¬
обходимо исследовать свойства матрицы производных от коррек¬
тируемых параметров по компонентам корректирующей скорости
или, что то же самое, свойства репера градиентов. Вектор кор¬
ректирующей скорости /-й коррекции определяется соотношением
ии(Ду) = — НГ1 (Ду) [F (Ду_1)дх+ (fK/_1)+8¥"«,7)] + 8u"(fKy).	(8.1.1)
Если величина ошибок исполнения мала по сравнению с ве¬
личиной вектора корректирующей скорости, то, пренебрегая
ошибками исполнения коррекции и переходя для большей гео¬
метрической наглядности от шестимерного пространства кине¬
матических и траекторных параметров к пространству корректи¬
руемых параметров и корректирующих скоростей размерности
г^еЗ, получаем
ии (Д/) = U (Ду) = - Н~’ (‘к/ ЛСРк (Ду),	(8-1 ■%)
где матрица преобразования Нг(Ду) имеет порядок (гХг).
Для перехода из преобразованной системы координат в фик¬
сированную абсолютную систему, если это необходимо, исполь¬
зуется соотношение (7.4.16). Величина корректирующей скорости
при таком переходе не изменяется, поэтому для исследования
затрат топлива на коррекцию он не обязателен.
Воспользуемся свойствами полярного разложения, применив
их к матрице Н,.(Ду), тогда после некоторых преобразований
получим
U «7) = - [Q «<у) Ан1 (tKj) 1тн (/к;-)] Д?к (Ду);
Hr(\7) = SH(^)QH(^.};
Sh (Ду) = /Hr(/K7.)Hrr(U =1^,7) Ан (Ду)1н (Ду);	(8.1.31
Q (Ду) = Qh (Ду) 1н (Ду);
Ан (Ду)	(Ду), • • •, (Ду) II,	)
где 1н(Ду)—ортогональная матрица приведения Sh (Ду) к ка¬
ноническому виду; Л в (Ду)—диагональная матрица из собст¬
венных значений матрицы Sh (Ду), причем порядок ее равен па-
раметричности коррекции.
194

Преобразованиям (8.1.3), выполняемым для перехода из про¬
странства корректируемых параметров в пространство коррек¬
тирующих скоростей, можно дать следующее геометрическое тол¬
кование. Произвольный вектор отклонений Дфк(^ю) подвергает¬
ся ортогональному преобразованию, которое осуществляет
поворот вектора па углы, соответствующие матрице 1н (/щ) ■ Мо¬
дуль вектора Д<рк(^щ) не изменяется, но изменяется его ориента¬
ция относительно выбранной системы координат в пространстве
корректируемых параметров. Затем осуществляется чистое «рас¬
тяжение» вдоль осей координат с коэффициентами	,
определяемыми диагональной матрицей	В результате
выполнения этого преобразования изменяется как длина векто¬
ра, так и его ориентация, если коэффициенты растяжения не
равны между собой. Полученный вектор wK(/K3) назовем векто¬
ром преобразованной корректирующей скорости.
Для получения вектора корректирующей скорости в при¬
нятых ранее системах координат необходимо осуществить орто¬
гональное преобразование с помощью матрицы Q(/Kj) или
Qn(^nj) Q(M и изменить полученный вектор па противополож¬
ный ему. Следует отметить, что последние преобразования при¬
водят к изменению ориентации вектора и связаны с преобразо¬
ванием базисной системы, ио не изменяют величины полученно¬
го вектора. Поэтому, если необходимо оценить только величину
характеристической скорости коррекции, то достаточно осущест¬
вить первые два преобразования, т. е. выполнить переход из про¬
странства корректируемых параметров в пространство преобра¬
зованных корректирующих скоростей.
Рассмотрим графический способ выполнения этих преобразо¬
ваний на примере двухпараметрической коррекции. Пусть в дву¬
мерном пространстве корректируемых параметров выбрана ор¬
тогональная система Офщфьг координат, причем каждая из осей
соответствует отклонению в одном из корректируемых парамет¬
ров фК1 или фкг п задан вектор отклонений Д?к (Д^кЬ ДТкг) ,
исправляемый коррекцией в момент tKj (рис. 8.1.1). Угол между.
Дер/ и осью Офк1 обозначим aKi- Матрица ортогонального преоб¬
разования Ih(/i;./) на плоскости определяет поворот Дф,/на некото¬
рый угол рц]. После этого поворота в новой системе Оф!ф2 вектор
отклонений корректируемых параметров переходит в Д<р'. После
растяжения его координат пропорционально	и
получаем wK((Kj), совпадающий по величине с и (fKJj, причем
(8.1..4)
а ф1 и фг можно считать новыми корректирующими параметрами.
7*	.195

Аналогичную интерпретацию можно дать для случая трехпа-
раметрнческой коррекции: поворот вектора Дфк осуществляет¬
ся на три угла относительно трех осей координат, растяжение —
вдоль трех осей. Наиболее простой случай — однопараметриче¬
ская коррекция, где растяжение производится непосредственно
вдоль оси, соответствующей отклонению корректируемого пара¬
метра. Рассмотренный выше графический способ решения урав¬
нения (8.1.2) позволяет наглядно показать влияние каждого из
преобразований на величину корректирующей скорости.
Действительно, преобразование 1н(Д;-) оказывает влияние на
и(/ку) за счет поворота	относительно начала системы
координат и различного ориентирования его относительно нап¬
равлений, вдоль котор.ых осуществляется растяжение: если
Дфк(/,.;-) после поворота на соответствующие углы ориентирует¬
ся вдоль оси, для которой коэффициент (tKj) наибольший,
то и (/,._,•) имеет наименьшее значение при заданной матрице
Л н (/,./, чем больше угол между ними, тем больше
Пусть для рассмотренного случая двухпараметрической
коррекции ^i(/k7)>^2(M’тогла ЛРИ = имеем w^)(/Ky) =
= ™х(/ку) = —— ; если отклонение корректируемых парамет-
рэв таково, что а,(1=?к1-|-90э, то геф2’ (/,<;) —	(/ ■) =		,
причем waH7,7-)<(w(2) (Л;-1. Нетрудно видеть, что wK (/ку) при
любых других значениях а;1,31;1 будет ограничено неравенством
®’к1)(^7)	(8.1.5)
Если 1h(./kj)=E, то Sh(Zkj)—диагональная, т. е. растяжение
вектора отклонений корректируемых параметров производится
196

вдоль осей координат пространства корректируемых параметров
и для Г = 3: ■ам^7)=——-у2—, . . ., wz(tKf) = -—■ Из
X«3(Zk/)
вида матрицы Sh(/kj), приведенного ниже, непосредственно сле¬
дует, что этот случай имеет место, когда корректируемые пара¬
метры фк в точке проведения коррекции линейно независимы
между собой, т. е. Кст(/вдИкп(Лц) =0 при т=£п. Для линейно
зависимых корректируемых параметров 1н	Иными сло¬
вами, элементы матрицы Ih(^kj) характеризуют степень взаим¬
ной зависимости корректируемых параметров между собой. При
линейно-однозначной зависимости между корректируемыми па¬
раметрами fKm(^Kj)fitn(^Kj) = 1 при т^=п, а матрица Sh (/Kj)—
вырожденная.
Выполнение преобразования Дфк(Ло) с помощью матрицы
1н (^kj) осуществляет переход в пространство независимых кор¬
ректируемых параметров, в котором получение составляющих
вектора псевдокорректирующей скорости не представляет особо¬
го труда.
В рассмотренном примере двухпараметрической коррекции
таким пространством независимых корректируемых параметров
является Офцрг. Таким образом, с помощью ортогональной мат¬
рицы 1П (/KJ) различные наборы корректируемых параметров в
заданной точке коррекции могут быть классифицированы по сте¬
пени их взаимной функциональной зависимости. Затем для каж¬
дого типа можно ввести независимые корректируемые парамет¬
ры в заданной точке коррекции и проводить их исследование.
Влияние членов диагональной матрицы Ли (ZIQ) на «(/щ) яс¬
но из характера преобразования, которое осуществляется с ее
помощью -- растяжения вдоль осей координат. Чем больше ко¬
эффициенты ^нг(Тю), тем меньше величина корректирующей ско¬
рости, необходимая для исправления Дфк(/к,) при неизменной
матрице 1н(^кз)- Следовательно, коэффициенты	харак¬
теризуют эффективность проведения коррекции в момент tK, для
выбранных корректируемых параметров.
Рассмотрим зависимость	от градиентов корректируе¬
мых параметров, для чего запишем Sn(/Kj) в следующем виде:
Sh
(/h7-') = Hr	Hr (/k;-) =
fl
fк 1 fxf
flf^
fK2 (A<y) t<3 fKf
(Др A/l
fl(t,.:f
Для определения собственных значений матрицы Sh (ZKj) не¬
обходимо составить и решить характеристическое уравнение [14].
Составив его, нетрудно получить, использовав свойства корней
197

алгебраических уравнений, следующие соотношения:
при г = 2
^/1 (^-)+^2 (<7)=/к! (/к/)+/ к2 (/,7);	(8.1.7;
при г = 3
А//1 «,•;) + ^2 {tKj) + ^3 (/17) = /к1 (/,<;) + Л	+ /кЗ '• (8.1.8)
Таким образом, при произвольном изменении взаимной зави¬
симости между корректируемыми параметрами сумма квадратов
коэффициентов
i (tKj) не изменяется и равна сумме квадратов
модулей градиентов ТКг(^ку) корректируемых параметров. Вели¬
чина каждого из них определяется взаимной зависимостью меж¬
ду корректируемыми параметрами, которая характеризуется
матрицей 1н (Л7) или углами между градиентами. Если коэффи¬
циенты ZH,(67) представить в виде компонент некоторого векто¬
ра Хэф(^), который назовем вектором эффективности, то
Чф (Zk/) = [ХЯ1 (^к/)+ • • • +^ЯЗ (А7)]1,2= [/k1(^j-)+ • • • + /кЗ (Л</)]11 •
Собственные векторы iHi(^Kj), образующие матрицу ортогональ¬
ного преобразования 1н(/ку), определяются из решения системы
линейных уравнений:
8н(/,7)1ц;(^7) = ^(Д7)Д/г(/l7),	г=1, ...,г.	(8.1.9)
Таким образом, характеристическая скорость коррекции в мо¬
мент tKj при заданном Д<рк(^ц) ознозначно определяется сово¬
купностью параметров, включающих вектор эффективности и
векторы взаимной зависимости i/.i(ZKj) (или соответствующие
углы поворота ркг).
Рассмотренный выше способ геометрического выполнения
преобразований не является единственным. Другой способ мо¬
жет быть основан на получении фигуры влияния для единичного
вектора корректирующей скорости. Пусть U(ij(/I;;)—единичный
вектор корректирующей скорости, тогда
[и( 1) (Ml = Нг (/|:;) u(i) (/„./.	(8.1.10)
Если отклонение Дфк(/ку) коллинеарно Д<р«[u(I)(ZKj)], то скорость,
требуемая для коррекции такого вектора отклонений корректи¬
руемых параметров, равна
и (^7) = и «.у) И( 1)	ч q. (8.1.11)
При выполнении (8.1.10) единичный вектор и(1)(Л7) последова¬
тельно преобразуется с помощью ортогональной матрицы
От(/щ) (вращение), диагональной Лн (6ц) (растяжение с коэф¬
198

фициентами Худ (ZItj), ...) и затем снова ортогональной 1н (/вд)-
Вектор Д<рк [u(1)(Zkj)] назовем вектором влияния одноимпульсной
коррекции при заданном u(i)(ZK3). Множество векторов
A<Pk[U(i)(/Kj)], соответствующих всем возможным u(i)(/Kj), назовем
множеством векторов влияния, а фигуру, образуемую концами
векторов этого множества, — фигурой влияния. Определим
фигуру влияния одноимпульсной коррекции. Геометрическим
местом концов единичного вектора при отсутствии ограниче¬
ний на возможные направления корректирующих скоростей
будет сфера единичного радиуса r-мерного пространства, кото¬
рая может быть записана в виде следующего произведения:
ЧЫ) (М 4(1) (/ь7) =й(1) (/,<;) Еи(1) (/„.;•)= 1.	(8.1.12)
На основании свойств квадратичных форм при линейном пре¬
образовании (8.1.10) единичной сфере в пространстве корректи¬
рующих скоростей соответствует в пространстве корректируемых
параметров фигура вида
Дфк [ч(1)(М] [Нг(М Нг(/К7-)]-1 Дфк [u(i)(y] = l, (8.1.13)
т. е. фигурой влияния для одноимпульсной коррекции будет:
эллипсоид для трехпараметрической, эллипс для двухпараметри¬
ческой и точка для однопараметрической коррекций. Таким об¬
разом, фигура влияния — выпуклая оболочка множества векто¬
ров влияния одноимпульсной коррекции.
На рис. 8.1.2 представлен эллипс влияния для двухпарамет¬
рической коррекции и с его помощью проведено графическое
определение величины корректирующей скорости. Эллипсоид
влияния, как и рассмотренные ранее характеристики, наглядно
показывает эффективность коррекции различных комбинаций
199

отклонений корректируемых параметров. Действительно, чем
меньше угол между вектором отклонений и наибольшей из полу¬
осей эллипсоида, тем меньше при прочих равных условиях кор¬
ректирующая скорость. Чем больше полуоси эллипсоида влия¬
ния, тем больше эффективность коррекции и меньше характе¬
ристическая скорость коррекции. Поэтому полуоси эллипсоида
влияния и углы ориентации их относительно осей координат в
пространстве корректируемых параметров эквивалентны введен¬
ной ранее совокупности параметров и также однозначно опреде¬
ляют корректирующую скорость при заданном векторе отклоне¬
ний. Тождественность их объясняется тождественностью матриц
преобразований Sh (tKj) и Нг (4;) Hr (4Д используемых для их
получения.
При трехпараметрической коррекции графические преобра¬
зования (8.1.3) или (8.1.11) необходимо проводить в трехмерном
пространстве и выполнение их может оказаться затруднитель¬
ным. В частном случае, когда коэффициенты растяжения равны
между собой (эллипсоид влияния вырождается в шар), величи¬
на корректирующей скорости может быть получена простым рас¬
тяжением вектора отклонений корректируемых параметров в
1/Xr(4j) раз, где Xr(4j)—радиус шара. Предварительные пово¬
роты вектора отклонений не оказывают влияния на величину кор¬
ректирующей скорости и могут не выполняться. Корректируемые
параметры, обладающие таким свойством, обозначим фк. С по¬
мощью соответствующего линейного преобразования в любой
выбранной точке коррекции можно перейти от <рк к фк- Тогда
U (4j) = wk (4/) = ,	, [Дфк1 (^к/)+ • • • + АФкг^к/)]1,2-	(8.1.14)
При изменении времени проведения коррекции для нового мо¬
мента времени необходимо определить новую матрицу преобра¬
зования к корректируемым параметрам фк. Поэтому для каждой
точки коррекции будут свои параметры. Расчет большого числа
параметров снижает преимущества такого способа. Однако на
траектории можно выделить такие участки, где пересчет скоро¬
сти коррекции при изменении времени ее проведения не требует
сложных преобразований.
Рассмотрим преобразование вектора корректирующей скоро¬
сти при сдвиге времени проведения коррекции. Для этого выра¬
зим вектор корректирующей скорости при коррекции в момент
41 через вектор корректирующей скорости при коррекции в мо¬
мент 4ь
дфк=—Hr(4i) u(/K1)=—Hr(4i) u(4i);
(8.1.15)
u(4i)=Hr (4i) Hr (/к1) и (41)-
200

Используя свойства полярного разложения матриц, получим
u (4i)=Q (4i) Ан1 (41) 1н (41) 1н (41) 4ц (4i) QT (4i)u (4i)-	(8.1.16)
Из выражения (8.1.16) видно, что для определения корректи¬
рующей скорости при изменении времени проведения коррекции
необходимо вектор корректирующей скорости, соответствующий
моменту 4ь подвергнуть нескольким вращениям, определяемым
ортогональными матрицами: 1н (4i), 1н (4i), Q (4i), Q(4i), и не"
скольким растяжениям, определяемым матрицами: Лн (41),
Ан (41)- Выражение для получения элементов этих матриц и их
зависимость от градиентов корректируемых параметров были
приведены ранее.
Представляют интерес некоторые частные случаи преобразо¬
вания вектора корректирующей скорости, соответствующего из¬
менению времени проведения коррекции, для которых оно имеет
более простой и наглядный вид.
1.	Пусть при изменении момента проведения коррекции с 41
на /41 градиенты производных от корректируемых параметров
изменяются таким образом, что 1н (41) 1н (41) = Е, т- е- взаим¬
ная зависимость между корректируемыми параметрами сохра¬
няется и в новый момент коррекции, тогда
й (4i) = Q (41) Лн (4i, 41)• QT (41)и (41),	(8-1 •18)
где обозначено Лн (41, 41) = Лн1(41)Лн (41).
Из (8.1.18) следует, что вектор корректирующей скорости,
соответствующий коррекции в момент 41, преобразуется орто¬
гональной матрицей QT(4i), осуществляющей повороты, обрат¬
ные матрице Q(4i). После их выполнения вектор u(4i)
переходит в вектор wK(4i), который затем «растягивается» диа¬
гональной матрицей Лн(41 41). Таким образом, величину кор¬
ректирующей скорости для момента 41 можно получить «растя¬
жением» вектора wK(4i). Рассматриваемый случай имеет место,
в частности, когда при переходе от 41 к 41 углы между гради¬
ентами не изменяются:
cos9k1(41) = cos9k1(4i), cos9k2(4i)=cos 9к2 (41);
cos9k3(41)=cos9k3 (fj),
где 0ki, 0к2, 0кз — соответствующие углы между градиентами
корректируемых параметров.
2.	Пусть при изменении момента проведения коррекции гра¬
диенты корректируемых параметров изменяются таким образом,
что
1н(41)1н(41) = Е; Лн1(41)Лн(41)=аЕ,	(8.1.19)
201

где а — некоторые положительное число. Тогда преобразование
вектора корректирующей скорости, вызванное перенесением вре¬
мени коррекции на момент (Ki, будет иметь вид
wk,(/'i)==awK(/K1).	(8.1.20>
Исходный вектор корректирующей скорости, соответствующий
проведению коррекции в точке tIfi, «растягивается» в а раз, а
затем ориентируется в абсолютном пространстве вращением во¬
круг начала координат на углы, равные разности углов, опреде¬
ляемых матрицами Q(G? и Q(^-i). Вектор преобразованной
корректирующей скорости получается простым растяжением век¬
тора wK(/Ki) в а раз. Рассматриваемый случай имеет место, когда
при изменении момента проведения коррекции углы между гра¬
диентами не изменяются, а величины градиентов изменяются в
1/а раз. Действительно, как следует из (8.1.3),
SH (4) = S„ (/к1) 1н (/к1) Ан (4, /к1) 1н (4) = — SH (/к1). (8.1.21)
а
Откуда из вида матрицы Sh (4) непосредственно следует:
gradyK1 (fK1) = grad ?к2 (fK1) = grad <рк3(<кг) = 1 .
grad<pKi(4) grad<pK2(4) grades (4) а
cos 6К1 (4)=COS 6К1 (4); cos 9к2 (4) = cos 8К, (fj;
cos6k3(4)=cos9k3(4).
3.	Пусть при изменении момента проведения коррекции гра¬
диенты корректируемых параметров изменяются таким образом,,
что
1н (4)1н (4) = Е; QT(4)Q(4) = E; Л^С^Ан (4)=лЕ,
(8.1.23)
тогда вектор корректирующей скорости в момент 0<i может быть
получен в виде
u(4) = ou(4).	(8.1.24)
Иными словами, вектор корректирующей скорости для (К1 полу¬
чается из вектора корректирующей скорости для Д-i простым
растяжением его в а раз. Такое преобразование возможно, если
при изменении момента коррекции направления градиентов кор¬
ректируемых параметров в пространстве сохраняются, а вели¬
чины их изменяются пропорционально, т. е. Hr (/Ki) = aHr (/к1).
На любой траектории можно выделить такие участки, где
приближенно выполняются условия, соответствующие одному из
особых случаев. Так, например, для траектории полета к плане¬
(8.1.22)
202

там на участке, составляющем ~ ’/з по времени перелета, с точ¬
ностью не хуже ~ 5 % выполняются условия (8.1.19), т. е. имеет
место второй случай, если в качестве корректируемых парамет¬
ров приняты координаты в картинной плоскости. На заключи¬
тельном участке движения КА в сфере действия планеты выпол¬
няются условия (8.1.23). Градиенты корректируемых параметров
на этом участке являются приближенно линейными функциями
интервала времени от момента коррекции до пересечения кар¬
тинной плоскости.
Таким образом, при исследовании коррекции траектории для
сравнительной характеристики величины корректирующей скоро¬
сти, необходимой для исправления каждого конкретного откло¬
нения корректируемых параметров, можно выбрать некоторый
опорный момент, выполнив для пего линейное преобразование,
обеспечивающее равенство коэффициентов растяжения. Тогда
корректирующая скорость прямо пропорциональна величине ра¬
диуса-вектора отклонений новых корректируемых параметров.
Изменение корректирующей скорости, вызванное изменением
времени проведения коррекции по отношению к опорному момен¬
ту, может быть получено с помощью рассмотренных выше фор¬
мул преобразования. Причем на основании исследования изме¬
нения градиентов корректируемых параметров каждую траекто¬
рию можно разбить на участки, где приближенно выполняются
условия, соответствующие особым случаям преобразования.
Такой подход к задаче коррекции позволяет многообразие
различных корректируемых параметров для каждой траектории
полета разбить на группы с одинаковыми свойствами, а опреде¬
ление корректирующей скорости в любой точке траектории све¬
сти к определению ее только в выбранных опорных точках.
8.2. НЕКОТОРЫЕ СВОЙСТВА
СВЯЗАННОЙ ОДНОРАЗОВОЙ КОРРЕКЦИИ
Связанная коррекция является наиболее общим типом одно¬
разовой коррекции, используемым не только для исправления
отклонений! корректируемых параметров, когда их число превы¬
шает число независимых переменных управления одноимпульс¬
ной коррекции, ио и для уменьшения величины корректирующей
скорости, необходимой для одноразовой коррекции. Представ¬
ляет интерес определение оптимального числа импульсов свя¬
занной! коррекции.
Теорема 8.2.1. Оптимальное количество корректирующих им¬
пульсов связанной коррекции не превышает размерности прост¬
ранства корректируемых параметров. Докажем это. Пусть
Дфк(/э)—некоторое текущее отклонение корректируемых пара¬
метров, а число корректируемых параметров равно г. Най¬
дена оптимальная стратегия коррекции этого отклонения с нап-
203

меньшим возможным ug; число коррекций gs>f, а времена и?;
проведения Тогда
АТк &) =
7=1
= ~2нД^и(1)(/4«(/кД	(8.2. Г;
7=1
причем
Покажем теперь, что минимум ug по числу коррекций должен
достигаться при условии gs^r. Условия (8.2.1), (8.2.2) при фик¬
сированных временах коррекции tKj и направлениях корректи¬
рующей скорости u(i)(7Kj) совпадают с условиями общей задачи
линейного программирования, если определяется минимум ли¬
нейной формы (8.2.2) при линейных ограничениях (8.2.1) и усло¬
вии w(ZKj)^O. Как известно, множество всех возможных реше¬
ний (8.2.1) является выпуклым многогранником. Линейная фор¬
ма (8.2.2) достигает своего минимума в крайней точке
многогранника, следовательно, этой точке соответствует г векто¬
ров типа Hr(/Kj)U(i)(/Kj) • Иными словами, точке минимума соот¬
ветствует стратегия коррекции, при которой только г корректи¬
рующих скоростей u(^Kj) не равны нулю, а остальные gs — г
должны быть равными нулю. Таким образом, допущение, соглас¬
но которому оптимальное число корректирующих импульсов свя¬
занной коррекции может превышать размерность пространства
корректируемых параметров, приводит к противоречию. Следо¬
вательно, для оптимальной стратегии коррекции gs^r. Таким
образом, увеличение числа коррекций не уменьшает суммар¬
ной корректирующей скорости одноразовой коррекции и поэтому
нецелесообразно.
Теорема 8.2.2. Всякую последовательность gs>r связанных
коррекций можно привести к последовательности из gs—1 свя¬
занных коррекций, для которой суммарная величина корректи¬
рующей скорости не превышает значения ее, соответствующего
gs коррекций.
Сформулированная теорема является, вообще говоря, след¬
ствием из теоремы 8.2.1. Однако представляет интерес метод пе¬
рехода от стратегии из gs коррекций к стратегии из gs—-1 кор¬
рекций при условии, что суммарные затраты на одноразовую
коррекцию не возрастают. Пусть заданы времена и векторы кор¬
ректирующих скоростей всех gs коррекций. Тогда результирую¬
щее изменение корректируемых параметров за счет проведения
коррекций равно
204

g	g
=2H' = 2 Hf	“(n	11
y=l	7 = 1
(8.2.3)
Так как пространство корректируемых параметров r-мерное, то
векторные слагаемые в (8.2.3) линейно зависимы, следовательно,
существуют такие наборы чисел du, d^, ..., dig, что
2^H'(UU(>)(M = O- Z=1> ■ • ■> £s~r-	(8;2-4)
7 = 1
S'	_
Рассмотрим первое из таких условий 2	(A<y)u(i) (Aq)=
7=i
g
= 0. He нарушая общности, можно считать, что ^ = 2^1; О,
7=1
так как в противном случае можно знаки всех d\j заменить про¬
тивоположными. Выберем из коэффициентов такой, для которо¬
го максимальна величина aij = di37u(/Kj) • Пусть величина ац
максимальна для s-ro коэффициента, т. е. a\s —	при всех
j=/=s. Тогда разделив (8.2.3) на — a]s и складывая полученное
уравнение с (8.2.4), будем иметь
= V Н, (7к;.) u (tKj) — (а15- а1у),
als
J-1
(8.2.5)
где суммирование распространяется уже на gs— 1 членов, так
как при j = s слагаемое в правой части равно нулю. Таким обра¬
зом, последовательность из gs коррекций заменена последова¬
тельностью из gs— 1 коррекций. Суммарная характеристическая
скорость для новой последовательности коррекций равна
(8.2.6)
Так как по условию d^O, ais^O, то Ug-i^sZUg. Следователь¬
но, суммарная энергетика для новой последовательности коррек¬
ций не превышает суммарную энергетику старой. Коррекции
проводятся в те же времена tKi, ■■■, что и для исходной по¬
следовательности, кроме момента tKS, когда она не проводится.
205

Напр явления корректирующих скоростей сохраняются, а вели¬
чина определяется условием
« W = и (/к/ — (zz15- ZZV).
als
Аналогичные рассуждения можно применить к оставшимся
gs—-г—1 условиям (8.2.4), тогда получим стратегию из г кор¬
рекций, которая по суммарной величине характеристической ско¬
рости не хуже стратегии gs коррекций.
Для получения наглядных характеристик оптимальных ре¬
жимов связанной коррекции построим для нее фигуру влияния
подобно тому, как это было сделано при исследовании одноим-
пульсной коррекции. Однако в отличие от одноимпульсной кор¬
рекции, в данном случае единичное воздействие должно склады¬
ваться из суммы элементарных воздействий, прикладываемых в
расчетные моменты Aj проведения связанных коррекций. Выбе¬
рем такие ue(Aj), чтобы
«?(1)==1 ’тогла
/-1
g
_/=1
(8.2.7)
изменение корректируемых пара-
где Дф]( V и<?; —суммарное
.И
метров, вызванное проведением gs коррекций с единичной суммар¬
ной характеристической скоростью.
будем
пространства корректируемых параметров
Вектор Дсрк 2ию
L/-1
называть вектором влияния связанной коррекции. Множество
g
векторов дсрк uej
-7 = 1	_
является выпуклой комбинацией векторов Д?к [u(i) (4;-)], соот¬
ветствующих gs единичным корректирующим воздействиям в
моменты /ку. Действительно,
g
так как
любые два вектора Дсрк [u(ij (^к,)],
г—	Г
дсрк [u(i; (^к7+1)] принадлежат множеству Дсрк ■	и<?; >
U=i
для каждого из них выполняются условия (8.2.7). Произвольная
выпуклая комбинация их
(Д/ U(i) (/к;-) + а7+1Нг (Zk7+i) U(i) (A;+i)
при а,--)-a7+i = 1 также принадлежит множеству
так как для нее выполняются условия (8.2.7).
Д?к
g
;=i
206

g
Пусть Д«рк (/0) — корректируемое отклонение, а Дфк
./=1 J
коллинеарный вектор влияния связанной коррекции. Тогда
I (Л?) I 		I ДУк^о) I
V нг(<ю)М< •)
7 = 1
ug
5
У U?;
../=1
(8.2.8)
в соответствующем направ-
Поскольку отклонение задано, то минимизация ug равносильна
нахождению максимума Д?к u<7
b=i
лении. Иными словами, необходимо построить максимальную
фигуру возможных отклонений корректируемых параметров <рк,
соответствующих всем возможным комбинациям ue(ZKJ) коррек¬
тирующих скоростей в заданные моменты времени с учетом огра¬
ничений, накладываемых на возможные направления корректи¬
рующих скоростей, при условии, что ug=l. Поэтому при нахож¬
дении выпуклой оболочки множества векторов влияния необхо¬
димо строить максимальную выпуклую фигуру, содержащую все
векторы влияния Дфк [u(1) (^Kj)] одноимпульсной коррекции для всех
возможных векторов корректирующих скоростей u(i)(ZKJ-). Фигура
влияния определяет область пространства отклонений корректи¬
руемых параметров, которая может быть исправлена при задан¬
ных ограничениях на направления корректирующих скоростей
при проведении связанной коррекции: могут исправляться толь¬
ко такие отклонения корректируемых параметров, для которых
направление, соответствующее вектору Дфк(£о), пересекает фи¬
гуру влияния связанной коррекции. Как было показано выше,
при заданных направлениях корректирующих скоростей для
всех gs коррекций фигура влияния связанной коррекции яв¬
ляется многогранником в пространстве корректируемых пара¬
метров, построенных па векторах влияния Д<рк[и(1>(Ло)]> соот¬
ветствующих заданным направлениям корректирующих ско¬
ростей. Построим фигуру влияния для четырехимпульсной
двухпараметрической связанной коррекции при фиксированных
направлениях корректирующих скоростей. Пусть Дфц[и(1) (МЬ
..., Дфк[u(i)(£к4)] имеют вид, представленный на рис. 8.2.1. Тогда
соединяя концы этих векторов отрезками прямых, получим
многогранник (01234), который является фигурой влияния че¬
тырехимпульсной двухпараметрической связанной коррекции
при принятых ограничениях. Рассмотрим на этом примере
основные свойства связанной коррекции. Пусть Дф15'(Zo) коррек¬
207

тируемое, отклонение параметров. Как видно из рис. 8.2.1, кор¬
рекцию такого отклонения целесообразно проводить в моменты
^;2 и tKi, так как крайней точке А многогранника соответствуют
два линейно независимых вектора системы: Дф1{[и(1) (/ц2) ],
Дфк[и и(/кз)]. В моменты б-i и 6;4 коррекция не проводится. Такой
режим является оптимальным режимом коррекции Дфк(/0)- Не¬
трудно видеть, что оптимальная стратегия зависит от корректи¬
руемого отклонения. Так, коррекцию Дфк(^о) целесообразно про¬
водить в моменты fK3, /к4 и т. д. Фигура влияния определяет об-
fl	ц>к.
Рис. 8.2.1
ла'сть корректируемых отклонений при заданных ограничениях.
Пусть отклонение Д<рк(То) не пересекает многогранник. Испра¬
вить такое отклонение при заданных направлениях корректирую¬
щей скорости невозможно при любых комбинациях скоростей.
В более общем случае, когда допустимыми направлениями кор¬
ректирующих скоростей являются не только рассмотренные выше
направления, но и противоположные им, фигура влияния имеет
208

вид многогранника (12345678), построенного по векторам эф¬
фективности ±Дфк[и(1)(/„])], ±Дфк[и(1)(/к4)], как показано на
рис. 8.2.2. В этом случае обеспечивается коррекция любого от¬
клонения корректируемых параметров, так как любой возмож¬
ный вектор Дфк пересекает одну из сторон многогранника. Сле¬
довательно, найдутся такие два независимых вектора влия¬
ния, которые определяют оптимальную стратегию двухпара¬
метрической связанной коррекции. В частном случае, когда век¬
тор отклонения совпадает с одним из векторов влияния одно¬
импульсной коррекции, оптимальным режимом является режим
одноимпульсной коррекции. Аналогичным образом можно по¬
строить фигуру влияния и для связанной коррекции с любым
числом корректируемых параметров, однако соответствующие
построения должны проводиться в пространстве с размерностью,
равной г, и при г>3 теряют геометрическую наглядность.
Выше при построении фигуры влияния мы накладывали огра¬
ничения на возможные направления корректирующих скоростей.
Теперь определим максимальную фигуру возможных отклонений
корректируемых параметров, соответствующую любым комбина¬
циям ue(/Kj) в заданные моменты времени без всяких ограниче¬
ний на их направления при условии ug=l.
Для простоты построения рассмотрим двухимпульсную двух¬
параметрическую коррекцию. При связанной коррекции вместо
единичной сферы в пространстве корректирующих скоростей,
которая имеет место при одноимпульсной коррекции, будем
«■
иметь фигуру, определяемую выражением ^we(/K;-)=l. Если
7=1
выбрать некоторые направления корректирующих импульсов
±Ц(п(Д;), тогда фигура с такой метрикой будет ромб для двух-
импульсной коррекции. Фигурой влияния в пространстве коррек¬
тируемых параметров, соответствующей ромбу, является парал¬
лелограмм, построенный на векторах
± Дфк [й(1) (^Ki)] = ± Hr(/K1) u(i) (/к1);
± Дфк [u(i) (^2)]= ± Hr(/K2)u(i)(/K2).	(8.2.9)
Векторы Афк[11(1)(М 1, A<Pk[U(1)Gk2)1 в силу условия (8.2.9) при¬
надлежат эллипсу влияния корректирующей скорости одноим¬
пульсной коррекции для моментов ^Ki и tK2 соответственно. Из¬
меняя направления скоростей U(d(^ki), U(d(/k2) и выбирая только
Максимальные Афк[2иеД получим множество векторов, опреде-
7=1
Ляющих соответствующую фигуру влияния. Таким образом,
фигура влияния двухимпульсной двухпараметрической коррек¬
ции является выпуклой оболочкой множества возможных изме¬
нений корректируемых параметров, соответствующих одноим-
209

пульсным коррекциям в моменты ZKj и /к2 с единичным коррек¬
тирующим импульсом. На рис. 8.2.3 приведена фигура влияния
двухимпульсной коррекции и исходные эллипсы влияния для
одноимпульсных двухпараметрических коррекций в заданные
моменты /К1 и tK2- Полученная фигура определяет различные спо¬
собы коррекции отклонений двух параметров с наименьшей
суммарной корректирующей скоростью (оптимальную страте¬
гию связанной коррекции): если вектор отклонений корректи¬
руемых параметров пересекает фигуру влияния на участке
спрямляющей прямой, то более оптимальным является режим
двухимпульсной коррекции, в противном случае—коррекцию па-
Рис. 8.2.3
раметров более выгодно проводить одноимпульсным способом.
Результаты, полученные выше, можно обобщить для трехпара¬
метрической коррекции. Фигура влияния является выпуклой обо¬
лочкой эллипсоидов влияния одноразовых трехпараметрических
коррекций, соответствующих выбранным моментам проведения
трех коррекций: /кЬ 1к2 и tK3. Если вектор отклонения Д<рк кор¬
ректируемых параметров пересекает плоский участок фигуры
влияния, то трехимпульсная коррекция в заданные моменты вре¬
мени требует меньшей суммарной корректирующей скорости,
чем двухимпульсная или одноимпульсная; если точка пересече¬
ния лежит на ребре, то оптимальна двухимпульсная коррекция,
а при пересечении с участком одного из эллипсоидов влияния-"
одноимпульсная коррекция в момент, соответствующий данному'
210

эллипсоиду, потребует меньшей скорости для коррекции исход¬
ного вектора отклонений. Аналогичные рассуждения можно
провести для четырехимпульсной (и более) коррекции. Геометри¬
ческое построение фигуры влияния в этом случае оказывает¬
ся практически невозможным, однако методами аналитической
геометрии можно осуществить непосредственную проверку
условий для каждого конкретного отклонения вектора кор¬
ректируемого параметра при любом количестве корректирую¬
щих импульсов. Линейные участки на фигуре влияния свя¬
занной коррекции могут появляться только в том случае, если
характеристики эллипсоидов влияния одноимпульсной коррек¬
ции меняются по времени немонотонным образом. В против¬
ном случае всегда найдется эллипсоид, внутри которого будут
лежать все остальные эллипсоиды влияния для других моментов
проведения коррекции, и «охватывающий» эллипсоид соответ¬
ствует оптимальному моменту проведения коррекции при г^З.
Немонотонность изменения характеристик эллипсоида влияния
по времени особенно часто имеет место при исследовании кор¬
рекции замкнутых орбит (типа искусственных спутников). Для
незамкнутых траекторий (типа перелета Земля — Луна и т. д.)
возможен случай вырождения матрицы производных корректи¬
руемых параметров, особенно в начале полета, если момент кор¬
рекции близок к перигею перелетной орбиты. Вырождение мат¬
рицы производных может привести к тому, что более оптималь¬
ной из одноразовых коррекций окажется связанная коррекция,
даже когда число корректируемых параметров не превосходит
трех, причем одной из точек оптимальных коррекций может быть
точка вырождения. При удалении от перицентра матрица про¬
изводных довольно быстро перестает быть вырожденной. Сами
производные меняются затем сравнительно монотонно, эффек¬
тивность коррекции падает. Поэтому для перелетных орбит из
одноразовых на практике более типичны одноимпульсные кор¬
рекции. Для орбит искусственных спутников, где для проведения
одноразовой коррекции может быть использовано несколько вит¬
ков, более распространена связанная коррекция в оптимальные
моменты времени.
При всей наглядности рассмотренного метода использовать
его для определения рациональных моментов проведения кор¬
рекций и векторов корректирующих скоростей при числе коррек¬
тируемых параметров более двух затруднительно из-за слож¬
ности расчета и геометрического построения фигуры влияния,
ее изменения по времени. На практике оказывается предпоч¬
тительнее нахождение минимума tig для системы (7.2.5) од¬
ним из вычислительных методов для конкретных значений от¬
клонений корректируемых параметров с учетом всех ограничений,
Накладываемых на времена проведения коррекций. Так напри¬
мер, если при заданных ограничениях на проведение коррекции
Множество возможных корректирующих скоростей г — парамет-
211

рической связанной коррекции является конечным, то для поис¬
ка оптимальной стратегии коррекции на заданном множестве
можно воспользоваться вычислительным алгоритмом симплекс¬
ного метода (или его модификацией), широко используемым а
линейном программировании. Симплексный метод дает возмож¬
ность на основании любого известного решения задачи связан¬
ной коррекции построить последовательности стратегий коррек¬
ции с уменьшающимся значением критерия качества. Процесс
повторяется до тех пор, пока не будет получена оптимальная
стратегия коррекции. Число шагов конечно, если множество воз¬
можных управлений также конечно, причем при построении по¬
следовательности необходимо ограничиться £5<г-импульсными
Рис. 8.2.4
стратегиями коррекции, так как оптимальная стратегия коррек¬
ции должна иметь не более чем г импульсов (теорема 8.2.1).
Для простых случаев связанной коррекции возможно и целе¬
сообразно использование геометрического метода. Покажем его
применение на примере двухпараметрической двухимпульсной
«солнечной» коррекции траектории полета к планетам. Коррек¬
тируемые параметры — координаты в картинной плоскости.
Пусть годограф вектора влияния для одноимпульсной солнечно!!
коррекции имеет вид, показанный на рис. 8.2.4, где /пач означает
начало полета, а ^кон — конец полета. Каждая точка годографа —
суть отклонение в картинной плоскости, соответствующее едН'
ничпой корректирующей скорости, прикладываемой в различные
моменты времени. Симметричный характер кривой объясняется
симметрией возможных направлений корректирующих скоростей
(вдоль радиуса-вектора КА — Солнце и против него) в каждой
точке коррекции.
Годограф позволяет построить фигуру влияния для двухпМ'
пульсной солнечной коррекции, получить максимальную фигур)
212

здняиня. Действительно, радиусы-векторы ± Афн [и(1)(/к.)] и
<:Афк [u(1)(/Kj+i)] являются диагоналями параллелограмма влия¬
ли двухимпульсной связанной коррекции, соответствующего
фемени tKj и ^Kj+i проведения коррекции. В зависимости от при¬
ятых моментов проведения первой и второй коррекции верши¬
ны параллелограмма будут двигаться по кривой, определяемой
годографом. Максимальная фигура влияния имеет вид области,
заштрихованной на рис. 8.2.4.
Как следует из рассмотренного ранее условия оптимальности,
если отклонения в картинной плоскости таковы, что соответст-
зующий им радиус-вектор Афк пересекает кривую годографа
знутри заштрихованных областей, то энергетически оптимально
проведение одноимпульсной коррекции в момент времени, когда
Афк совпадает по направлению с некоторым A<pK[U(i)]. Если
радиус-вектор пересекает линейную часть фигуры влияния, то
целесообразно проведение двух коррекций, причем оптимальны¬
ми временами проведения коррекций являются £Иач для первой
коррекции и tK* для второй коррекции. Условием для выбора гф*
служит условие касания годографа прямой, проведенной из точ¬
ки первой коррекции. Если годограф имеет вид, изображенный
на рис. 8.2.5, то максимальная фигура влияния ограничена годо¬
графом и двумя касательными; точки касания определяют опти¬
мальные моменты проведения коррекции /к*ь ^к*2, если радиус-
вектор Афк пересекает линейную часть фигуры влияния.
8.3. ИССЛЕДОВАНИЕ ОТКЛОНЕНИЙ КОРРЕКТИРУЕМЫХ
И НЕКОРРЕКТИРУЕМЫХ ПАРАМЕТРОВ
Пусть фк — корректируемые параметры, Ax+(^KJ_1)— отклоне¬
ния кинематических параметров, tKj— момент коррекции. Тогда,
воспользовавшись свойством полярного разложения и пренебре¬
гая ошибками определения траектории, получим
А?к (^) = Ек (^у-1) дх+ (/,..;_!) = SF Qf	Дх+ (^--J =
= IF	af (ZK;. - 1) i; (^-J Qf Дх+ (^-3) =
= IF Af (^J Q (VJ Дх+	(8.3.1)
Где QF(/Ky_j)— ортогональная матрица (гХб);
Sf(/k;._j) — симметрическая матрица (rXr).
Из (8.3.1) следует, что для получения отклонений корректируе¬
мых параметров необходимо спроектировать Ax+(^KJ-_i) на неко¬
торое подпространство с помощью ортогональной матрицы
Шы). В этом подпространстве базовая система координат,
Характеризуемая матрицей Q(/kj-i), определяет направления рас¬
тяжения, которому подвергается вектор отклонений, полученный
После проектирования. Коэффициенты растяжения — элементы
21.3

диагональной матрицы Af (/к?-1). Для определения А<рк(6о) це
обходимо полученный после растяжения вектор повернуть на уг,
лы, соответствующие ортогональной матрице If (£Kj-i). Соотно.
шения для определения элементов матрицы аналогичны рассмот.
ренным в разд. 8.1. Если корректируемые параметры в момент
/кз_1 независимы, то, как следует из структуры матрицы
$f 1):
1) = E,	1) = ||/"к1 (^kj—1), • • •, /кг (^к/—1)11, (8.3.2)
т. e. ориентация подпространства корректируемых параметров
относительно пространства кинематических параметров опреде.
ляется только матрицей Qf(/Kj-i), а коэффициенты растяже¬
ния—модули градиентов корректируемых параметров. Таким
образом, характеристикой взаимной зависимости отклонений
корректируемых параметров является отличие матрицы I f (<Kj-1)
от единичной или соответствующих углов поворота от 0. Матри¬
ца Qf (^k;-i) или Q(/K3-_i) характеризует влияние различной ори¬
ентации вектора ошибок кинематических параметров на откло¬
нение корректируемых параметров: они тем больше, чем боль¬
ше проекция Дх+(/ю-_1) на подпространство корректируемых
параметров, особенно на направление наибольшего растяжения.
Если вектор отклонений Ax+^kj-]) ортогонален этому подпро¬
странству, то отклонения корректируемых параметров отсутст¬
вуют.
Рассмотрим теперь отклонения некорректируемых пара¬
метров после коррекции, их зависимость от выбора корректируе¬
мых параметров. Если существует функциональная связь между
корректируемыми и некорректируемыми параметрами, то про¬
ведение коррекции приводит к изменению последних, которое
тем больше, чем больше взаимная зависимость между ними.
Для исследования этой зависимости воспользуемся соотношени¬
ем, устанавливающим связь вектора отклонений некорректируе¬
мого параметра Ады (tKj) после проведения одноимпульсной кор¬
рекции в момент tKj с вектором отклонений корректируемых па¬
раметров, исправляемых данной коррекцией, которую запишем
следующим образом:
A'PhI =	(^ку—1)	О-к/) Fk (^к/—1)] Дх+ (^к;—1),
(8.3.31
где fHi(/Kj-i) —градиент некорректируемого параметра по кине¬
матическим параметрам в момент /К;-1 (1X6); fHi (/щ)—гра¬
диент некорректируемого параметра по компонентам вектора
корректирующей скорости (1Xг), a FK(/Kj-i)—матрица произ¬
водных от корректируемых параметров по кинематическим пара¬
метрам в момент /К;-1 (гХб).
Рассматривая fHi (/Kj) как вектор некоторого r-мерного прост¬
ранства, в котором база задается вектор-строками fKi (/Kj),
214

4, fKr(^Kj) матрицы Hr(ZKj), представим его в виде суммы г векто-
I ?в, проектируя fHi(^Kj) на базовые направления:
Ki (^-) =21,51 ^-)=2	t8-3-4)
t=i	i-i
де Zhi(/kj)—проекция fHi(ZKj) на направление градиента /-го
корректируемого параметра.
! Используя свойства прямоугольных матриц, получим
fH1 (^)-нг-1(/к;.) = (7^1 (4У), ..	(8.3.5)
аналогичным образом матрицу FK(ZKj-i) размерностью (гХб)
[редставим в виде суммы двух подматриц, проектируя ее на под-
Iространство, определяемое градиентом fHi (tKj-i) и ортогональ-
юе ему, тогда
Fk(^_1) = F2(^_1)+FSp(/k;_1),	(8.3.6)
line Fk(/„.;_!) — матрица, составленная из проекций Z”i(^K;-i) гра¬
диентов корректируемых параметров на подпространство, опре¬
деляемое градиентом некорректируемого параметра; F°P(/Ky_i)—
йатрица, составленная из проекций на ортогональное подпрост¬
ранство. Подставляя (8.3.4) и (8.3.6) в (8.3.3), после некоторых
преобразований получим
; Таким образом, для того чтобы после проведения коррекции
отклонение некорректируемого параметра было нулевым, необ¬
ходимо выполнение следующего условия для градиентов коррек¬
тируемых и некорректируемых параметров:
?	1_2^i%)/k/(Vi)=°.	(8-3.8)
/=1
2 7н5(у/к;-°ар(/кУ_1)=о, a=i,...,r-1,
где /кн;°«р	—-проекции градиентов корректируемых пара¬
метров на базовые направления (г—1)-мерного подпространст¬
ва, ортогональные fHi(ZKj-i).
Случай ортогональности fHi(ZKj-i) и Дх+ (ZKj-i), а также
Равенство последнего нулю является тривиальным. Если направ¬
ление градиента некорректируемого параметра близко к направ¬
лению градиента одного из корректируемых параметров в точке
Проведения коррекций, то fHi (ZKj) почти полностью проекти¬
215

руется на это направление, а проекции на направления градиещ
тов остальных корректируемых параметров малы и не оказывают
существенного влияния на изменение некорректируемого пара,
метра. Поскольку такие случаи довольно распространены ца
практике, представляет интерес рассмотреть предельный случай
когда направления градиентов некорректируемого и одного ц3’
корректируемых параметров полностью совпадают в момент про.
ведения коррекции:
	*Н1	*К1		— 1- 7 г/ л f (/ 'i — n ; — о q q n
fHl (Jkj) Kl (tKj)
тогда
(fK;.) = [ 1 - 7 El {tK}) /KHT (/.^J fH1 (Z,^) Дх + (^-J +
+7Е1Л°р(/к;._1)Дх(/к;._1),	(8.3.10)
а условие полного исправления отклонений некорректируемого
параметра после коррекции при любых возможных Дх+ )
принимает вид
1
Из (8.3.11) следует, что необходимо совпадение направлений
градиентов некорректируемого и корректируемого параметров в
момент /к,_1 и пропорциональное изменение их модулей:
 7н1(^кр
fH! 1) *к| <ZK7-1> = 1	(8.3.12)
I ^н1 (^К/—1)	Рк/—1) I
Для выполнения условий (8.3.12) достаточно наличия одно¬
значной функциональной зависимости между некорректируемым
параметром и одним из корректируемых параметров. При малых
отклонениях параметров от расчетных значений такую зависи¬
мость можно считать линейной. При исследовании коррекции
траектории КА различных схем полета и назначения можно об¬
наружить большое число примеров, когда такая функциональ¬
ная зависимость выполняется с достаточно высокой степенью
точности. Рассмотрим некоторые из них.
При выборе корректируемых параметров для КА, возвращаю¬
щегося на Землю после облета Луны, известно, что основное
влияние на безопасное движение в атмосфере и точность посаД'
216

(И оказывает обеспечение заданного угла входа или условного-
(еригея орбиты. При этом существенно влияние на спуск а по¬
садку скорости входа в атмосферу Земли. Однако этот парамето
je был принят в качестве корректируемого. Это объясняется тем,
(то между параметрами /гя и Уя существует однозначная зави¬
симость, которая имеет следующую физическую природу. При
Небольших отклонениях траектории движения КА от расчетной
величина корректирующей скорости по сравнению со скоростью
движения КА мала и поэтому энергия орбиты практически не
изменяется. Тогда 1/я=р		—), где a = const, т. е. Кя
функционально связана только с гл (или /гя). Условия (8.3.12)
выполняются практически в любой точке траектории, поэтому
после проведения коррекции отклонения в скорости входа в атмо¬
сферу практически отсутствуют, если исправлены отклонения в
йя. Так, например, если начальные отклонения в /гя таковы, что
при проведении коррекции через 1,5 суток после выведения КА
на траекторию облета Луны корректирующая скорость состав¬
ляет 25—30 м/с, то отклонение Vn при расчетной коррекции не
превышает 0,1 м/с.
Интересно отметить, что для нелинейной задачи коррекции
в той же области отклонений корректируемых параметров ука¬
занная зависимость приближенно сохраняется, а соответствую¬
щее отклонение V„ не превышает ~0,5 м/с при тех же усло¬
виях. Эту особенность траектории облета Луны можно использо¬
вать при проектировании системы управления спуском. С мень¬
шей, но сравнительно высокой степенью точности это условие
выполняется и для некорректируемого параметра гял— мини¬
мального расстояния КА от Луны. Такая связь между гЛл и гп
объясняется тем, что для траекторий этого класса необходимые
условия возвращения к Земле обеспечиваются за счет влияния
притяжения Луны, которое зависит в первую очередь от гял.
Поэтому после коррекции траектория должна проходить в «пуч¬
ке траекторий», сужающемся в сфере действия Луны. Так, при
тех же начальных отклонениях ha отклонения гЛл после расчет¬
ной коррекции составляет ~10 км. Это свойство можно исполь¬
зовать в задаче нелинейной коррекции траектории КА, облетаю¬
щего Луну, решение которой существенно осложняется значи¬
тельной нелинейностью и сложным характером зависимости h:f
от u(A;i), если коррекция проводится до пролета Луны. Прини¬
мая сначала в качестве корректируемого параметра гял, полу¬
чаем приближенное значение u(^Kj), которое используется затем
в качестве начального приближения для расчета коррекции h-.
При таком выборе начального приближения сходимость задачи
коррекции обеспечивается быстро и надежно, так как отклонение
Ил с его учетом мало и находится в зоне линейности. Аналогич¬
ная зависимость существует между параметрами подлетной ги¬
перболы rx и Vn, i и й при полете к Луне и планетам.
217

Рассмотренные примеры наглядно показывают, что для пра.
вильного разделения параметров на корректируемые и некорре^.
тируемые необходимо предварительное исследование взаимной
зависимости между параметрами. Неправильный выбор коррек.
тируемых параметров, когда в их число попадают практически
зависимые между собой параметры, приводит к тому, что матрц_
ца Hr(^Kj) становится близкой к вырожденной и как следствие
этого для такой коррекции требуется значительное u(tKj). При
исключении этих параметров из числа корректируемых характе¬
ристическая скорость коррекции резко уменьшается, а возмож¬
ные отклонения в этом параметре, ставшем уже некорректируе¬
мым, достаточно малы, как это было видно на примерах.
Глава 9
СТАТИСТИЧЕСКАЯ КОРРЕКЦИЯ
Предыдущие главы были посвящены вопросам расчета и
анализа детерминированной коррекции в линейной постановке;
в них получены основные закономерности и подробно исследован
каждый тип коррекции. В настоящей главе распространим по¬
лученную методику расчета и основные результаты на статисти¬
ческую коррекцию в линейной постановке.
Выведение космического аппарата на траекторию полета и
дальнейший его полет сопровождается рядом ошибок, источни¬
ками которых являются системы управления и стабилизации,
ориентации и внешнетраекторных измерений. Влияние этих оши¬
бок сказывается при прогнозировании траектории и проведении
коррекций. Полет космического аппарата можно рассматривать
как некоторый случайный процесс, а значения кинематических
параметров — как случайные функции аргумента t (времени по¬
лета). Рассмотренная нами детерминированная коррекция яв¬
ляется частным случаем, некоторой случайной выборкой из ге¬
неральной совокупности возможных отклонений кинематических
и траекторных параметров от расчетных значений, ошибок опре¬
деления и прогнозирования траектории, ошибок проведения кор¬
рекции. Характеристики распределения отклонений кинематиче¬
ских параметров определяются законом и параметрами распре¬
деления ошибок каждой из перечисленных систем. На основании
предварительного анализа функционирования и физических осо¬
бенностей процесса работы системы управления с учетом резуль¬
татов их отработки и предшествующих запусков можно получить
некоторые априорные данные о возможном законе и параметрах
распределения каждой из ошибок.
Задачу статистической линейной коррекции сформулируем
следующим образом. Пусть имеем некоторую опорную траекто¬
рию движения, на которую должен быть выведен КА. Корректи¬
руемые параметры <рк выбраны. Необходимо на основании за¬
данной априорной информации об ошибках работы отдельных
218

стем определить характеристики генеральной совокупности,
, язанные с управлением КА, а именно:
—	вероятное число коррекций и моменты их проведения;
—	функцию и параметры распределения суммарной коррек-
рующей скорости, ошибок реализации корректируемых пара¬
дров и т. д.
Эти характеристики определяют управление в «среднем» для
I ех возможных траекторий, принадлежащих генеральной сово-
;пности.
Условие проведения коррекции может быть сформулировано
; к требование обеспечения заданной вероятности Рзая события:
НЖг)-?,;,] Сек5 или Д?,Жг) е ек5,	(9.0.1)
■де eKS — область допустимых отклонений корректируемого па¬
раметра;
tvg— время проведения последней коррекции.
Соотношение (9.0.1), как и аналогичное ему соотношение для
^терминированной коррекции, определяет априорную необхо¬
димость проведения коррекции, а также допустимые времена ее
проведения. Действительно, если возможные начальные отклоне¬
ния параметров траектории КА после выведения таковы, что ве¬
роятность события (9.0.1) достаточно высока, то можно утверж¬
дать, что с большей вероятностью выполнение поставленной
адачи осуществимо без проведения коррекции при принятом
законе и параметрах распределения ошибок выведения. В этом
случае КА может быть выполнен конструктивно проще, так как
за нем не требуется установка систем управления и ориентации,
двигательной установки и других систем для проведения кор¬
рекции и последующего контроля полета. Следует отметить, что
вероятность события (9.0.1) зависит не только от распределения
ошибок выведения, но и от выбора номинальной траектории по¬
лета. Так, например, при проектировании и запусках КА типа
«Луна-2», предназначенного для «жесткой» встречи с Луной, бы¬
ла выбрана траектория со временем перелета 1,5 суток, которая
Менее чувствительна к ошибкам выведения и позволила обеспе¬
чить встречу с Луной при существующих ошибках выведения без
проведения коррекций. Поэтому выбор траектории перелета дол¬
жен осуществляться комплексно, вместе с исследованием управ¬
ления КА.
Теоретические и экспериментальные исследования работы
Различных систем измерения и управления показывают, что
°Шибки на выходе системы в ряде случаев можно считать рас¬
пределенными приближенно по нормальному закону. Объясня¬
йся это тем, что ошибка на выходе системы является результа-
том воздействия большого количества сравнительно малых
Факторов, влияющих на работу отдельных элементов системы.
Поэтому ошибка системы представляется как сумма большого
219

числа случайных слагаемых, из которых каждое мало по cpgs
нению с оставшейся суммой.
При существовании слагаемого, значительно превышающее
остальные, можно найти источник возникновения таких ошибо(
и принять меры к их уменьшению. Аналогичным образом можц(
поступить при наличии большой систематической погрешности-,
выявить ее и учесть ее действие в законе управления и т. д. По
этому если сформулированные условия не нарушены, то к ре
зультирующей ошибке возможно применить центральную пре
дельную теорему, согласно которой закон распределения суммь
неограниченно приближается к нормальному закону с ростсц
числа слагаемых. Если систематические ошибки исключены, ?0
математическое ожидание ошибок выведения, прогнозирования
и исполнения коррекции равно нулю. Более строгую формули¬
ровку и доказательство центральной предельной теоремы можно
найти в [21]. Это допущение существенно упрощает проведенщ
расчета линейной статистической коррекции благодаря следую
щему свойству нормального закона: любые линейные преобра¬
зования случайных нормально распределенных величин не вы¬
водят их за рамки нормального закона распределения, а корре¬
ляционная матрица, которая при нулевом математическом
ожидании однозначно характеризует параметры распределения
нормального закона, при линейном преобразовании может быть
получена следующим образом:
K(y) = Fi,K(x) Fj, если x = F71y,	(9.0.2)
где К(х)—корреляционная матрица случайного вектора х;
К(у) — корреляционная матрица случайного вектора у;
Fv — матрица линейного преобразования.
При другом законе распределения ошибок систем КА полу¬
чение соответствующего закона и параметров распределения
для корректирующих скоростей и ошибок корректируемых пара¬
метров может привести к большим затруднениям, связанным с
необходимостью численного интегрирования сложных выраже¬
ний для плотности их распределения.
В то же время при соответствующем выборе параметров рас¬
пределения в нормальном законе можно получить несколько
завышенные, но достаточно надежные оценки с необходимой га¬
рантией того, что для действительного закона распределения их
величина не будет превышать полученных для нормального
закона.
Таким образом, здесь и далее будем предполагать, что ошиб¬
ки выведения КА на траекторию перелета, ошибки определения
и прогнозирования параметров траектории и ошибки проведения
коррекций распределены по нормальному закону с нулевым ма'
тематическим ожиданием и известными корреляционными маТ'
рицами:
220

K[Ax(OJ — корреляционная матрица отклонений кинематиче¬
ских параметров в момент t\
1Л<рп(М1— корреляционная матрица ошибок определения и
прогнозирования траекторных параметров по из¬
мерениям от tKj-1 до /кз-;
K[du(^KJ)]—-корреляционная матрица ошибок исполнения /-Й
коррекции;
К[Дх(70)] — корреляционная матрица ошибок выведения на
орбиту и т. д.
9.1. МЕТОДИКА РАСЧЕТА СТАТИСТИЧЕСКОЙ КОРРЕКЦИИ
В -отличие от расчета детерминированной коррекции, где оп-
еделяются конкретные значения вектора корректирующей ско-
ости, ошибок корректируемых и некорректируемых параметров
осле каждой коррекции на всех участках полета, методика рас-
ета статистической коррекции должна включить в себя способ
пределения закона распределения и способ расчета всех пара-
[етров, однозначно характеризующих распределение компонент
екторов корректирующих скоростей, ошибок корректируемых и
екорректируемых параметров в рамках соответствующих зако-
ов их распределения. Как мы уже отметили, для статистической
оррекции в линейной постановке при нормальном законе рас-
феделения ошибок систем управления и внешнетраекторных из-
герений распределение характеристик коррекции, связанных ли-
[ейно с этими ошибками, также нормально. Поэтому специаль-
:ого метода для -определения закона распределения таких
:арактеристик не требуется. Нормальный закон при нулевом ма-
ематическом ожидании однозначно определяется корреляцион-
гой матрицей их распределения. Однако существуют некоторые
>ажные характеристики статистической коррекции, законы рас¬
пределения которых даже при принятых нами допущениях отли-
(аются от нормального. Такими параметрами, как будет пока-
1ано ниже, являются u(tKj) и ug. Поэтому необходимо создание
:пециальной методики определения функции их распределения
1ли некоторых ее значений.
Рассмотрим более подробно методику расчета статистической
коррекции для независимой многоразовой коррекции. Будем по-
1агать, что выбрана расчетная траектория полета, корректируе¬
мые и некорректируемые параметры, число коррекций и времена
IX проведения tKj. Заданы корреляционные матрицы ошибок
выведения, ошибок исполнения коррекции и прогнозирования
траекторных параметров для всех последовательно проводимых
коррекций.
На основании формулы преобразования корреляционной мат-
)ицы (9.0.2) и соответствующих соотношений детерминирован¬
ий коррекции (см. гл. 7) получим следующие выражения для
)асчета корреляционных матриц распределения при независимой
Многоразовой коррекции:
221

—	начальных отклонений траекторных параметров (корре^
тируемых п некорректируемых):	!
K[Aq3(/&)]=F(/0)K[Ax(/0)JF\U	(9.1.1
—	начальных отклонений корректируемых параметров:
К [ Д<РК О=Е (г) F (/0) К [ Дх О Г (/0) Е (г);	(9.1 л
—	компонент расчетной корректирующей скорости /-й кор
К[ип(ггк7)] = [-нГ1(/к/)Р(/к;._1)]К[Дх+(2гк;._1)] X
X [ - НГ1 (/„7) F + I - НГ1 (/,<;•)] К [8<р‘‘ (/„7)] X
X-[Н71 (/ь7)]т;	(9.1.3
к [ц (/,<;•)]=Q,r (^7)К [и“ (/„.;)] • QJ (/„>•);
—	компонент корректирующей скорости /-й коррекции посш
ее проведения:
к [ии (А7)] = к [и (/,</] + К [*и (/„,)];	(9.1.4
—	отклонений траекторных параметров после /-й коррекции
к [ДФ+ (/,..;■)] = [Е6 - F (7Ч.) Qir (/h7) НГ1 (/k7)J х
X К[Д<р (/,„.;)] [Е6- F (/k7) Qn (/,.7) IL1 (/„7)]т +
+ F(/k7)K[8u(/k7)]FX/k7), |	(9.1.5
где	К [ Дер (/к;-)] = F (/^.-J К [ Дх+ (/к7_!)] FT(/k7_j) +
+ К[8ф"(М1;
—	отклонений корректируемых параметров после /-Й коррек-
К [ДФк+ (^7)]=к [дфГ (г'к;+1)] = Е (г) F (tkj) К [8и (/,../] FX<7) Е (r.i-y
+ Е(г)К[8<Р"(/к;.)]Е(г);	(9.1.6.'
—	отклонений кинематических параметров после /-Й коррек-
К[дх+ ,/7:]	[ -Q„(/k7)Н71 (/,J KHXMIX
X [ - Q„ H К7)1т + К [8u (/,7) ] + [X VJ - Q„ (tKj} X
X Нк (^k-;) F i/i.-y-;)] К [ ДХ+ (/k;._jl] X
x [x (/,7,	) - Q„ (/k7) Hr1 «j) F (Ay-/)?;	(9-1 -r>
—	отклонений корректируемых параметров перед проведени¬
ем (;’+1)-й коррекции, определяемых на основании внешне'
222

ваекторных измерений:
К[ДФк(/к/+1)] = К[ДфГ (^7+1)] + К [д<Рк (^/+1)1 =
= К[д<рк+ (^]+К[д<Рк(^+1)].	(9.1.8)
Соотношение (9.1.8) в приведенном виде справедливо только
том случае, когда отсутствует корреляция между отклонения-
да корректируемых параметров после коррекции и ошибками
рогнозирования их к моменту проведения коррекции. Предпо-
ожение о независимости случайных векторов Дф^ (/ку) и
(/kj+j) справедливо, если определенней прогнозирование
раекторных параметров проводится по независимому составу
змерений, выполняемых на каждом навигационном интервале,
ез использования априорной информации о возможных откло-
ениях параметров на каждом участке. В противном случае в вы-
ажении вида (9.1.8) необходимо учитывать корреляцию между
лучайными векторами Дф^ (/Ь7-1 и Дфк(^к;+1)-
Соотношения (9.1.1) 4- (9.1.8) позволяют провести последова-
ельный расчет корреляционных матриц ошибок корректируемых
[ некорректируемых параметров и компонент векторов коррек-
ирующих скоростей для g коррекций (в частном случае, когда
'=1, то и одноимпульсной коррекции). Функция распределения
уклонений траекторных параметров и компонент векторов кор¬
ректирующих скоростей — фУнкЦия распределения многомерно-
о нормального закона с корреляционными матрицами, опреде-
даемыми соответствующими соотношениями (9.1.1) 4-(9.1.8).
1оэтому для определения вероятности выполнения требований к
■очности реализации расчетных значений корректируемых пара-
(етров (9.0.1) необходимо вычислить интеграл следующего вида:
р [W (М е ек] = f • • - р [Дфк+ (М (^Kg), (9.1.9)
где q [Дф+ (/Kff)] — плотность нормального распределения
1ф^ (^Kg) с корреляционной матрицей (9.1.6), соответствующей
юследней коррекции.
В общем случае вычисление его проводится методами числен-
loro интегрирования, однако в некоторых частных случаях при
)пределенном задании области ек имеется общее решение. К чис-
1у таких фигур относится прямоугольный параллелепипед со
^торонами, параллельными главным осям, и эллипсоид, подобный
Шлипсоиду рассеивания. Функция совместного распределения
Фмпонент Ux(fKj), и!/(^кд Цг(^ю) корректирующих скоростей для
'■й коррекции также является функцией распределения много¬
мерного нормального закона с корреляционной матрицей (9.1.3).
Основным параметром, определяющим энергетику коррекции,
Является вес топлива, необходимый для ее проведения. Он одно-
223

значно связан известной формулой Циолковского с характерна
тической скоростью коррекций	Если при многоразовой,
коррекции топливо вырабатывается из одного бака, то суммар.
ную энергетику можно характеризовать величиной суммарной,
характеристической скорости
Не = 2 U	= 2 К + “у + “г 2- (9-1 • Ю)
/=1	7 = 1
Обе характеристики являются функциями случайных аргу.
ментов	Uy(tKj), uz(tKj). Функция распределения их имеет
следующий общий вид:
QM/)]= f ?[«
Ri
(9.1.11)
Qs[zz4J=
к
где	7? — соответствующие области интегрирования;
7[u(^Kj)J, <7[«g]— плотности распределения случайных вели¬
чин	и ug соответственно.
Выражения для плотности распределения u(/Kj), ug и облас¬
тей интегрирования Rj, R имеют сложный характер, поэтому
функция их распределения может быть вычислена в общем слу¬
чае только численным методом для конкретных значений пара¬
метров распределения величин izx(/Kj), uy(.tKj), игЦщ), причем
закон распределения	и ug отличается от нормального за¬
кона распределения. Метод численных расчетов (численное ин¬
тегрирование или статистические испытания по методу Монте-
Карло) неудобен для исследования статистической коррекции,
поэтому ниже приводится приближенная методика для получе¬
ния параметров распределения характеристической скорости,
которая может быть использована для проектных расчетов.
Аналогичным образом с помощью соответствующих выраже¬
ний для детерминированной коррекции может быть получена ме¬
тодика расчета корреляционных матриц распределения компо¬
нент корректирующих скоростей и отклонений корректируемых
параметров для связанной многоразовой статистической кор¬
рекции.
Иными словами, все соотношения детерминированной линей¬
ной коррекции, приведенные в гл. 7, могут быть использованы
для составления формул расчета параметров распределения со¬
ответствующих характеристик статистической коррекции, выби¬
рая из них более удобные для каждой конкретной задачи кор¬
рекции. Следует отметить, что для статистической коррекции
справедлива классификация коррекций, рассмотренная ранее
224

для детерминированной коррекции. Поэтому подробно на ней
останавливаться не будем.
Приведенная выше методика расчета параметров распреде¬
ления характеристик многоразовой статистической коррекции
основана на двух допущениях — линейной зависимости коррек¬
тируемых параметров от корректирующего импульса и нормаль¬
ного закона распределения отклонений корректируемых пара¬
метров. Если одно из них не выполняется, то такую методику
использовать нельзя. Тогда для получения всех параметров рас¬
пределения можно воспользоваться методом статистических ис¬
пытаний, причем определение вектора корректирующей скорости
должно производиться в рамках принятой модели зависимости
корректируемых параметров от корректирующей скорости (ли¬
нейной или нелинейной). В последнем случае, как уже указыва¬
лось ранее, необходимо решение нелинейных систем. Генераль¬
ная совокупность, из которой осуществляется случайная выбор¬
ка, задается соответствующими законами и параметрами
распределения ошибок выведения, прогнозирования и коррекции.
Количество случайных выборок должно быть достаточным для
получения доверительных оценок. Для рассматриваемого класса
задач необходимо, чтобы выборочные характеристики с большой
вероятностью были близки к соответствующим характеристикам
генеральной совокупности, поэтому требуемое число вариантов
велико и приводит к большим затратам времени при расчете
на ЭВМ. Этим, в основном, объясняется тот факт, что метод
статистических испытаний при всей его универсальности не полу¬
чил распространения при исследовании многоразовой статисти¬
ческой коррекции.
Введем понятие эллипсоида рассеивания, который будет ис¬
пользован в дальнейшем в качестве геометрической характери¬
стики параметров распределения компонент корректирующей
скорости и отклонений корректируемых параметров. Пусть име¬
ем некоторое распределение r-мерной случайной величины х с
нулевым математическим ожиданием и корреляционной матри¬
цей К(х). Поставим в соответствие ей другую r-мерную случай¬
ную величину у, распределенную равномерно по объему некото¬
рого эллипсоида н имеющую ту же корреляционную матрицу
вторых моментов К(х), что и исходное распределение. В [21]
показано, что таким свойством обладает случайный вектор, рав¬
номерно распределенный по эллипсоиду
Л., (У1, • • •. У г} =	, У1У]= г +
IJ
(где kij — корреляционные члены; | К(х) | —определитель матри¬
цы), который будем называть эллипсоидом рассеивания.
Нетрудно видеть, что если исходное распределение нормальное,
8—3490
225

то эллипсоид рассеивания совпадает с эллипсоидом равной
плотности.
Уравнение эллипсоида, как известно, принимает наиболее
простой вид, называемый каноническим, если оси координат сов¬
падают с главными осями эллипсоида. С помощью линейного
преобразования базисной системы уравнение эллипсоида можно
привести к каноническому виду. Эллипсоид рассеивания служит
геометрическим образом, характеризующим распределение слу-
чайной величины около начала координат (или математического
ожидания). Если два распределения таковы, что эллипсоид од¬
ного из них целиком лежит внутри эллипсоида рассеивания дру¬
гого, то первое распределение более «сосредоточенно», чем вто¬
рое и вероятность появления больших значений для первой слу¬
чайной величины меньше, чем для второй.
9.2. НЕКОТОРЫЕ СВОЙСТВА
ОДНОИМПУЛЬСНОЙ СТАТИСТИЧЕСКОЙ КОРРЕКЦИИ
В предыдущей главе были рассмотрены основные свойства
детерминированной коррекции. Представляет интерес распро¬
странить применяемые там методы исследования на случай ста¬
тистической модели коррекции. Выражения для получения
К[и(Д,)] существенно сложнее, чем соответствующие выражения
для и(/к;), что объясняется более сложной моделью статистиче¬
ской коррекции. Чтобы подробнее исследовать зависимость кор¬
реляционной матрицы распределения компонент корректирую¬
щей скорости от градиентов корректируемых параметров и па¬
раметров распределения ошибок в них, воспользуемся, как и
ранее, свойствами полярного разложения матриц и приведения
симметрической матрицы вторых моментов ошибок корректируе¬
мых параметров к каноническому виду.
Для упрощения дальнейших преобразований и геометриче¬
ской интерпретации уменьшим размерность векторного простран¬
ства до размерности, равной параметричности коррекции, а вы¬
ражение (9.1.3) перепишем в следующем виде:
К [и(Д7-)] = [НГ1 (/„7)] К[д<₽к(/ку)] [НГЧХ (9.2.1)
где К[и(/к/)] —корреляционная матрица распределения компо¬
нент /-й корректирующей скорости размерности
(гХг);
К [Д<рк(^<;)]—корреляционная матрица распределения откло¬
нений корректируемых параметров перед /-й
коррекцией размерности (гХг);
нд/к7) — матрица производных (гХг).
Тогда получим
К [й(/„■;)] =[0(/к;.)Лн1(/,ч7)1Тн(/к/.)| К [ДФ,; (/„;)] X
226

X I.Q (ДД Лн1 (tKj\ Ih (ДД ' Q (ДД Ah1 [.'"кД Ih (Д-Д IXAj) Л?(/кД X
x Д/Д IH (/Д Ah1 Д;ДГДД	(9.2.2)
где
К [ДФК = Лт (t.p Сдд;
АДДЫРщАД А‘<Д 4 (АД II-
Выберем новые корректируемые параметры ЯМАД таким об¬
разом, чтобы в линейной постановке их отклонения при проведе¬
нии коррекции были бы некоррелированными, тогда корреляци¬
онная матрица их совместного распределения будет иметь кано¬
нический вид
КдодЫмАД	^зМ1;	(9-2-3)
Лфк ДД = !ЖД ЛФк(М-	(9.2.4)
В точке проведения коррекции введем новую ортогональную
систему координат таким образом, чтобы оси ее совпадали с на¬
правлениями растяжения, иными словами в этой системе сим¬
метрическая матрица 5ц ДКД= /н ,. (ДДНг (АД должна иметь
’диагональный вид. Из (9.2.2) следует, что для получения такой
системы необходимо исходную систему координат повернуть от¬
носительно ее начала на углы, определяемые ортогональной мат¬
рицей I и (АД • Пространство с новой базой будем, как и ранее,
называть пространством преобразованных корректирующих ско¬
ростей. Ортогональные матрицы 1Ф(АД, 1н (АД характеризуют
взаимную корреляцию между ошибками корректируемых пара¬
метров и взаимную зависимость между корректируемыми пара¬
метрами в момент проведения коррекции. Для некоррелирован¬
ных ошибок 1Ф(АД =Е; для независимых корректируемых пара¬
метров в линейной постановке 1н(АД=Е, где Е — единичная
матрица.
Преобразованиям (9.2.2), выполняемым для получения кор¬
реляционной матрицы распределения компонент вектора коррек¬
тирующей скорости, можно дать следующее геометрическое тол¬
кование. Эллипсоид рассеивания независимых корректируемых
параметров с полуосями А1(АД, ■ • •, АзД,<Д (для трехпарамет¬
рической коррекции) подвергается ортогональному преобразо¬
ванию с помощью матрицы 1н(АДМАД, которое заключается
во вращении его относительно начала координат на соответст¬
вующие углы. Эти углы характеризуют ориентацию базовой си¬
стемы координат пространства преобразованных корректирую¬
щих скоростей относительно пространства независимых коррек¬
тируемых параметров. В результате проведения указанного пре¬
образования размеры эллипсоида рассеивания корректируемых
8*	227

параметров не изменяются. Затем полученный эллипсоид растя¬
гивается вдоль координатных осей, не совпадающих в общем
случае с главными осями эллипсоида; коэффициенты растяже¬
ния есть элементы диагональной матрицыЛн1(/1.у)=||1/a//i (Л.Д . . .
. . .,	В результате выполнения этого преобразования
изменяются осн и ориентация эллипсоида. Полученная фигура
является эллипсоидом, характеризующим распределение преоб¬
разованных корректирующих скоростей. Напомним, что вектор
Рис. 9.2.1
преобразованной корректирующей скорости равен по модулю век¬
тору корректирующей скорости, но компоненты его отличны из-за
различия базовых систем координат. Для получения эллипсоида
распределения вектора корректирующей скорости необходимо
осуществить еще одно ортогональное преобразование с помощью
матрицы Q(^ip) или Qn(^Kj)Q(/i<j) (для абсолютной системы коор¬
динат). При этом величина полуосей эллипсоида не изменяется,
а главные оси поворачиваются на углы, соответствующие орто¬
гональной матрице Q(^(j) пли Оп(Д-.0О(Д-.0- Полученный эллип¬
соид будем называть эллипсоидом возможных корректирующим
скоростей.
Ниже будет показано, что затраты топлива на проведение
228

коррекции, оцениваемые величиной характеристической скоро¬
сти, полностью определяются полуосями эллипсоида распреде¬
ления вектора корректирующей скорости. Поэтому для иссле¬
дования энергетических затрат на проведение коррекции при
статистической модели достаточно, как и ранее для детерми¬
нированной модели, рассмотрения параметров распределения
преобразованной корректирующей скорости	Проиллю¬
стрируем рассмотренные выше преобразования для двух¬
параметрической коррекции. Пусть эллипс рассеивания корректи
руемых параметров <pKi и фь-2 в момент проведения коррекции в
некоторой точке имеет вид, представленный на рис. (9.2.1, а).
Эффективность проведения коррекции, как было показано в
гл. 8, может характеризоваться графически либо эллипсом влия¬
ния, либо вектором влияния и углом поворота 6ь Пусть градиен¬
ты корректируемых параметров в точке Д-j таковы, что вектор
влияния и угол поворота pi имеют вид, показанный на рис.
9.2.1, б. Тогда выражения для ортогональных матриц, характе¬
ризующих корреляцию между ошибками корректируемых пара¬
метров и взаимную зависимость корректируемых параметров в
точке tKj, имеют вид
cos «„.,•)	— sin a1 (/,,7) |
sin СЧ (^7) cos aj (/Kp !;
cos (/к;.)
— sin
(^•)
sin (/ку)
COS fij
Независимые корректируемые параметры фк(Лц) и вектор
определяются так:
дфк(^7)=Ц(^7) дфЖ;);
WK(/Ky)=Q(^y)u(^y).
(9.2.51
(9.2.6)
На рис. 9.2.1, виг показано последовательное выполнение
всех преобразований для получения эллипса возможных коррек¬
тирующих скоростей. Для плоского случая преобразование,
соответствующее ортогональной матрице (/ку) 1<р(^р) заклю¬
чается в повороте главных осей эллипса на угол ai(/Kj) — Pi (W •
Рассмотрим влияние каждого из преобразований на величину
(полуосей эллипсоида возможных корректирующих скоростей.
Влияние членов матрицы Ан (^ю) ясно из самого преобразова¬
ния, которое осуществляется с ее помощью: растяжение вдоль
осей координат. Поэтому чем больше коэффициенты
....	тем меньше размеры эллипсоида возможных коррек¬
тирующих скоростей при прочих равных условиях.
Преобразование, соответствующее матрице ^(^7) Ь (^ю)>
сказывает влияние на размеры эллипсоида возможных коррек¬
тирующих скоростей за счет изменения ориентации наибольшей
229

из осей эллипсоида рассеивания корректируемых параметров
относительно направления наибольшего растяжения при изме¬
нении элементов матрицы (при прочих равных условиях). Пояс¬
ним это на следующем примере. Пусть полуоси эллипсоида рас¬
сеивания и коэффициенты растяжения таковы, что л.1(/щ)>
>Х<р2(^к3), ^hi (^j) >^2(^7). Тогда если Ij, (/Kj) L(?KJ) =Е, или
иными словами ai(/Kj) — Pi(Aj) =0, то растяжение эллипса рас¬
сеивания корректируемых параметров осуществляется вдоль
главных осей с коэффициентами l/XHi(A-j), 1/Хн2(С.:), причем
после растяжения полуоси эллипса преобразованной корректи¬
рующей скорости соответственно равны:
X(D
(9.2.7'
.
Х/71 ('к?
Х?2 (Лсу)
Хц2 ((Kj)
Если IhGkj), Ь (^ю) таковы, что си (/Kj)— Pi(/Kj)=90°, то боль¬
шая полуось эллипса рассеивания ориентируется вдоль оси с
меньшим коэффициентом Хн2&)) и после растяжения имеем:
'.(2) и ч	Хф2(<ку) _
Awx(Cj)	’
Л,71 (‘кр
Л//2 (гкр
(9.2.8)
х(да2)(/ку)=[х^2(/К7.) + х^2РкР]1/2-
Сравнивая полуоси эллипсов, нетрудно видеть, что Х^1 (tKj)<Z.
<Х([И2)(/кр. Это означает, что затраты топлива на проведение кор¬
рекции в первом случае меньше, чем в-о втором. Рассмотренные
два случая являются предельными, соответствующими измене¬
нию угла взаимной ориентации от 0 до 90°. Таким образом, из¬
менение элементов матрицы 1н(^кр, L (tKj) приводит к измене¬
нию полуосей эллипса возможных корректирующих скоростей,
причем каждая из них заключена в области
(9.2.9)
Аналогичные соотношения могут быть получены для трехпа¬
раметрической коррекции. Элементы матриц преобразования
1н (/кр, Лн (tKj) зависят от градиентов корректируемых парамет¬
ров в точке проведения коррекции, которая подробно исследова¬
на в предыдущей главе для случая детерминированной коррек¬
ции. Матрица 1Ф(ЛЧ) зависит от взаимной корреляции ошибок
корректируемых параметров. Поэтому выбор места проведения
230

.коррекции должен проводиться для каждой корреляционной
матрицы ошибок корректируемых параметров, так как измене¬
ние величины ошибок и их взаимной корреляции может приве¬
сти к значительному изменению затрат на коррекцию. Для
уменьшения величины характеристической скорости коррекции
целесообразно выбирать момент проведения коррекции в интер¬
валы времени, когда угол между наибольшей полуосью эллипса
рассеивания и направлением наименьшего растяжения достаточ¬
но мал, а эффективность коррекции (вектор влияния) достаточ¬
но велика, т. е. в каждом случае необходимо определить харак¬
теристики оптимальной одноимпульсной статистической кор¬
рекции.
Для детерминированной одноимпульсной коррекции пред¬
ставление выражения для определения вектора корректирующей
скорости в виде произведения простых линейных преобразова¬
ний позволило получить наглядные графо-аналитические способы
расчета корректирующей скорости. Для статистической коррек¬
ции построение эллипсоида возможных корректирующих скоро¬
стей графическим способом выполнять нецелесообразно даже
для двухпараметрической коррекции. Это объясняется тем, что
растяжение эллипсоида вдоль направлений, не совпадающих с
главными осями его, приводит к сложному преобразованию эл¬
липсоида, связанному не только с изменением полуосей, но и
поворотом относительно центра, п графическое выполнение его
затруднительно.
Более простым и графически выполнимым это преобразова¬
ние будет либо в случае совпадения направлений растяжения с
главными осями, либо в случае, когда коэффициенты растяже¬
ния или полуоси эллипсоида рассеивания корректируемых пара¬
метров равны между собой (эллипсоид влияния или эллипсоид
рассеивания вырождаются в шар). Это частные случаи преоб¬
разования, однако нетрудно видеть, что с помощью дополни¬
тельных линейных преобразований можно перейти к таким кор¬
ректируемым параметрам, для которых эллипсоид рассеивания
или эллипсоид влияния для некоторого момента коррекции вы¬
рождаются в шар. Применение их к эллипсоиду влияния пли
эллипсоиду рассеивания зависит от цели исследования.
Так например, если для заданной корреляционной матрицы
ошибок корректируемых параметров необходимо определить
корреляционную матрицу распределения компонент вектора кор¬
ректирующей скорости в некотором интервале времени проведе¬
ния коррекции с наименьшим эллипсоидом возможных коррек¬
тирующих скоростей, т. е. для данных ошибок корректируемых
параметров выбрать оптимальный момент одноимпульсной кор¬
рекции, то целесообразно такое преобразование выполнить для
матрицы ошибок. Тогда определяя для новых корректируемых
параметров производные и переходя к новой системе координат
231

'9.2.10}
в точке коррекции, получим следующие простые вьтажения тля
полуосей эллипсоида возможных импульсов:
41 (4/ —	, I 1,..., Г,
где Хф (tKj)—радиус шара рассеивания корректируемых пара¬
метров;
A,Wi(4;) — полуоси эллипсоида возможных скоростей.
Если исследуется влияние параметров системы управления
или измерительной системы на энергетические затраты коррек¬
ции при проведении ее в некоторой точке траектории, то целесо¬
образно дополнительное преобразование применить к эллипсои¬
ду влияния, преобразуя его в шар, тогда выражение для полу¬
осей возможных скоростей коррекции имеет вид
X .и л = ХФ‘ (4> .	/=1	г
WI	. П . . . ’ L 1 » * ’ ’ ’ ‘ ’
i 9.2.11}
(4y)
где X# (47-) — радиус шара влияния.
Изменение момента проведения коррекции приводит к необ¬
ходимости пересчета выбранных корректируемых параметров,
так как в общем случае фигура влияния в новой точке коррекции
не является шаром. Поэтому представляет интерес рассмотреть
преобразование корреляционной матрицы распределения компо¬
нент корректирующей скорости, соответствующее изменению мо¬
мента проведения коррекции с 41 на /4ь
Пусть известны:
K[u(4i)]— корреляционная матрица распределения компонент
корректирующей скорости при проведении коррек¬
ции в момент 41!
Hr(fK[) — матрица производных от корректируемых парамет¬
ров по компонентам корректирующей скорости в мо¬
мент Гкь
Выразим корреляционную матрицу K[u (4Ki)L соответствую¬
щую новому моменту fKi проведения коррекции, через K[u(4i)J
и производные Hr(4i), Hr(4i), тогда
К [й (4)] = [НГ1 (4) Hr(4i)] К 4(41)1	(9-2.12)
Применяя к (9.2.12) свойства полярного разложения, получим
к [й (4)]=Рн (/к1, 4) к [йt/j] ртн (/к1> 4),
где
Рн (4i, 4i) = Q(4i) Ан1 (41) 1н (41) 4(41) Ан (4i) QT (4i)- (9.2.13)
Из (9.2.13) видно, что для получения эллипсоида возмож¬
ных корректирующих скоростей для момента 41 необходимо
эллипсоид, соответствующий моменту 41 коррекции, подвер'
гнуть^нескольким вращениям, определяемым ортогональными
232

матрицами QT (4i), hi (4i), Q (4i), 1н(4), и нескольким растя¬
жениям с коэффициентами, определяемыми матрицами Лн(/К1),
Ан1 (41)- Выражения для получения элементов этих матриц и
их зависимость от градиентов корректируемых параметров были
получены ранее.
Рассмотрим некоторые частные случаи преобразования эл¬
липсоида корректирующих скоростей. Таких основных случаев,
как и для детерминированной коррекции, три.
I.	Пусть время проведения коррекции изменяется таким
образом, что 1н (41) 1н (/Ki) = E. Тогда
К [JT(4i)] = Q(4)Ah(4, 41) QT (41) к [Б (41)1 Q (41) X
X лн (4i, 4i) QT(4i);
К [wK (4i)] =ЛН (4i, 41)K[wk(41)]Ah (4, 4i)> (9.2.14)
где Ан (4i, 4i) = Ан1 (41) Ан (41)-
В этом случае эллипсоид возможных скоростей для момента
41 коррекции поворачивается относительно начала координат на
углы, соответствующие ортогональной матрице QT(4i). В резуль¬
тате его выполнения получается эллипсоид преобразованных
корректирующих скоростей для момента 4ь Затем он растяги¬
вается вдоль осей координат; коэффициенты растяжения равны
отношению элементов матриц Ан (41) и Ан^))- Полученный
эллипсоид является эллипсоидом преобразованных корректирую¬
щих скоростей для момента /(р Выполняя преобразования, соот¬
ветствующие ортогональной матрице 0(4)- получим эллипсоид
возможных скоростей для момента 4
как уже отмечалось, матрица 1н(4?) характеризует взаим¬
ную зависимость между корректируемыми параметрами в точке
коррекции. Следовательно, рассматриваемый случай соответст¬
вует одинаковой взаимной зависимости корректируемых пара¬
метров в моменты 41 и 41-Необходимые условия для него были
получены в гл. 8. Более простой случай преобразования имеет
место, когда в момент tKi проведения коррекции дополнительно
выполняется
QT (/J К [u (4t)] Q (4Х)=К [wK (/к1)]= Лда (/к1)
1н (41)Ь(41)=Е,
где (4^ = 1141(41),. . ., 4r (4i) II-Диагональная матрица, тог¬
да имеем
К [wk (41)] = Лн (4i, 41) А^ (41) Лн (41, 41)-
Иными словами, если оси эллипсоида преобразованных коррек¬
233

тирующих скоростей в момент 41 совпадают с направлениями
растяжения, то это свойство сохраняется и в момент tKi коррек¬
ции, причем величина их увеличивается пропорционально отно¬
шению коэффициентов растяжения для 41 и t,Ki. Отметим, что
такие случаи имеют большое распространение в практике.
II.	Пусть при изменении момента проведения коррекции гра¬
диенты корректируемых параметров меняются таким образом,
что
1н (41) !н (/К1) = Е;
(9.2.15;
Лн1 (41) Лн (4i)=«E,
где а — положительное число.
Подставляя (9.2.15) в (9.2.13), получим
К [u(/Ki)] = a2Q(4i)QT(4i) K[u(4i)]Q(/Ki) QT(4i); (Q 2 1(?
К [wK(4)]=a2K[wK(/K1)J.
Из (9.2.16) следует, что исходный эллипсоид возможных ско¬
ростей преобразуется в подобный ему с помощью растяжения с
коэффициентом а по всем осям, а затем осуществляется поворот
на углы, определяемые ортогональными матрицами Q(4i) и
QT(4i). Эллипсоиды преобразованных корректирующих скоро¬
стей подобны. Необходимые условия для рассматриваемого слу¬
чая— неизменные углы между градиентами и пропорциональное
изменение величины градиентов.
III.	Пусть при изменении момента проведения коррекции
градиенты корректируемых параметров изменяются таким обра-
зом,что
1н (41) 1н (4-i) = E;
Qt(4i)Q(4-1) = E;
(9.2.17)
Тогда
Ан1 (41)ЛН (/,;1) = аЕ.
К [u (4i)] = a2K [и (/к1)]
(9.2.18)
и эллипсоид возможных корректирующих скоростей в момент
i'Ki коррекции получается из эллипсоида, соответствующего мо¬
менту 41, растяжением его вдоль осей в а раз без изменения ори¬
ентации. Такое преобразование имеет место, если при изменении
момента коррекции направления градиентов в пространстве со¬
храняются, а величина их изменяется пропорционально, т. е.
нг(/;1)=^-нг(41).
а
234

Итак, при исследовании коррекции можно выбрать на траек¬
тории некоторый момент проведения ее и соответствующий это¬
му моменту эллипсоид возможных скоростей принять в качестве
эталона для сравнения не только различных корреляционных
матриц ошибок корректируемых параметров, но и различных
моментов проведения коррекции. Для этого на основании ана¬
лиза изменения градиентов траектория разбивается на участки,
где приближенно выполняются условия, соответствующие осо¬
бым случаям преобразования.
Рассмотрим в качестве примера коррекцию траектории поле¬
та к Луне со временем перелета — 3,5 суток. Пусть корректируе¬
мые параметры — координаты в картинной плоскости. Исследо¬
вание зависимости градиентов корректируемых параметров от
времени коррекции показало:
1)	в начале полета существует практически полная взаимная
зависимость корректируемых параметров, которая затем резко
уменьшается;
2)	на участке полета от —-0,5 до —1,5 суток зависимость
между корректируемыми параметрами такова, что можно счи¬
тать 1н(/к1) 1н(г‘к1) = Е;
3)	в последующие сутки полета параметры становятся взаим¬
но независимыми, пропорциональными времени полета до Луны.
Поэтому для второго участка, соответствующего случаю I,
можно принять в качестве опорного момента коррекции 0,5 су¬
ток; для последнего участка, соответствующего случаю II, — 2,5
суток.
Таким образом, на втором участке эллипсоид преобразован¬
ных корректирующих скоростей при изменении времени коррек¬
ции получается простым растяжением по осям с коэффициента¬
ми, пропорциональными изменению производных.
При рассмотрении методики расчета статистической коррек¬
ции был принят нормальный закон распределения ошибок кине¬
матических параметров, вызванных ошибками определения тра¬
ектории, и управляющих воздействий на всех участках полета,
включая участки выведения на траекторию полета, проведения
коррекций и т. д. Соответствующий эллипсоид рассеивания, яв¬
ляющийся геометрической характеристикой распределения от¬
клонений корректируемых параметров, будем называть эллипсо¬
идом рассеивания корректируемых параметров. Из всех эллип¬
соидов рассеивания корректируемых параметров наибольший
интерес представляет начальный эллипсоид рассеивания коррек¬
тируемых параметров, связанный с ошибками выведения КА на
траекторию полета. Исследование его величины и свойств по¬
могает сформулировать рациональные требования при проекти¬
ровании системы управления для участка выведения, определить
необходимость установки на объекте специальной системы для
проведения коррекции, выбрать номинальную траекторию по¬
лета, удовлетворяющую некоторым поставленным требованиям.
235

Исследование свойств эллипсоида рассеивания корректиру¬
емых параметров и его зависимости от ошибок выведения, харак¬
теризуемых корреляционной матрицей отклонений кинематиче¬
ских параметров КА в конце активного участка от расчетных
значений, может быть выполнено с помощью тех же матричных
преобразований, которые использовались для исследования
свойств эллипсоида возможных корректирующих скоростей. Ис¬
пользуя получаемые таким образом результаты, можно показать
устойчивость оценок корректируемых параметров, а следователь¬
но, и корректирующих скоростей. Под устойчивостью оценок по¬
нимается такое их свойство, когда малому изменению элементов
корреляционной матрицы ошибок выведения соответствуют ма¬
лые изменения элементов корреляционной матрицы ошибок кор¬
ректируемых параметров. Необходимость такой оценки вызвана
тем обстоятельством, что при расчетах корреляционной матрицы
ошибок выведения возможны разного рода допущения, связан¬
ные с неполным знанием величины п взаимной корреляции оши¬
бок отдельных систем, законов их распределения, которые при¬
водят к неопределенности в элементах матрицы К[Дх(г‘о)]. Тогда
соответствующая неопределенность для К [Д<рк(Лэ)] будет того же
порядка, что и в К[Дх(/0)].
9.3. МЕТОДЫ РАСЧЕТА ЭНЕРГЕТИКИ КОРРЕКЦИЙ
Как было отмечено ранее, характеристические скорости кор¬
рекции, определяющие запасы топлива на борту, необходимого
для проведения коррекции, являются функциями от составляю
щих вектора корректирующей скорости и имеют сложный згм-т
распределения, получение которого затруднительно. Примем
качестве характеристик энергетики статистической коррекции
следующие детерминированные параметры:
1)	математическое ожидание величины корректирующей ско¬
рости m\[u(tKj)], mt[ug];
2)	квантили распределения u(tKj), ug или вероятность Р то¬
го, что необходимые для проведения коррекции величины n(A.i)
пли ия не превышают имеющийся запас по характеристической
скорости «зад.
Напомним, что квантилью называется такое значение случай¬
ной величины, для которой функция распределения имеет задан¬
ное значение, равное /’зад- Применительно к задаче коррекции
квантиль определяет такое значение скорости, которое требуется
для проведения коррекции с заданной вероятностью. Принимае¬
мый уровень вероятности обычно высок Р3ад>0,9 и гарантирует
надежное проведение коррекции в рамках принятых допущений
Рассмотрим сначала случай одноимпульсной коррекции.
Пусть в момент tKj проводится коррекция траектории. Будем счи¬
тать, что ux(tK}), иу0к^, uz(tKj) взаимно независимы, а соответст¬
вий

вующая корреляционная матрица их распределения K[u(z‘K))] —
диагональная. В противном случае с помощью ортогонального
преобразования компонент вектора корректирующей скорости
можно всегда перейти к независимым составляющим. Тогда
плотность совместного их распределения имеет вид (многомер¬
ный нормальный закон)
Я [и (/к7)]
1
(2л)3 2АхУг
X
J_ “х <Xj) , “у (’к;)	, “г (Ху) 1
2	=2 [“.г (Ту)]	°2	(ф;)] "Т" °2 [“г (ZKp] J ’
(9.3.1)
где о[их(Ло)], о[иу ((к,) ], о[иг(Л<))] — среднеквадратические откло¬
нения распределения ux(7Ki), uy(tKj), u2(tKj) соответственно, а
Аху2 = о[их (Лц) ]ст[«у (/К;) ]а[и2 (7К;) ].
Выберем в качестве новых переменных сферические координаты:
«Л. (Л.;) = « (44 sin aj cos
иу (44 = и sin aj sin
wz(4y)=zz(47)cos a};
и2 (44 = Ux (/.4 4- Uy (47) + uz (i, 4.
(9.3.2)
Проведя замену переменных в распределении (9.3.1) и учитывая
однозначность преобразования (9.3.2), получим совместную
плотность распределения для новых переменных компонент
u(/Kj) (от трехпараметрической до однопараметрической соответ¬
ственно) :
237

Непосредственное вычисление характеристик энергетики однопм-
пульсной коррекции приводит к необходимости интегрирования
достаточно сложных выражении, содержащих (9.3.3) — (9.3.5),
которое при числе компонент более одной можно выполнить
только численными методами. Исключение составляет частный
случай равенства среднеквадратичных отклонений независимых
компонент, для которого распределение и(/к,) есть стандартное
распределение типа I Z • Поэтому целесообразно иметь та¬
кую приближенную методику, которая позволит определять ха¬
рактеристики коррекции без численного интегрирования по прос¬
тейшим соотношениям с точностью, достаточной для проектно¬
баллистических исследований. Она основана на следующих
свойствах распределения и(Д-,).
Теорема 9.3.1. Любой момент порядка 2k случайной величи¬
ны u(/Kj) равен моменту порядка k случайной величины и2(/1;,).
Справедливость теоремы следует непосредственно из того,
что любой момент случайной величины у, являющейся функцией
f(x) случайной величины х с известным законом распределения
q(x), может быть вычислен по формуле
сю
mk(yV-= J fk W У W dx,
— co
co
откуда m2k [u (/,.,•)] = [ u2,< q [u- (/b7-)] du- =
о
= f [u1 (/„.,)]*? [и-1/„./)] du2 --= m.; [u- {fKji].
0
где q [u2(fKj)] — плотность распределения случайной величины
Теорема 9.3.2. Любой четный момент случайной величины
равен
\и (/„./!] = =
=	^ (! 1 ~ 2Z- t».V	2 С -	2	_
дх'!
X ; 1 — 2/аг(/к/>).у;-12)
дх*
При А' = 0.
(9.3.6,
Действительно, если составляющие zzv'/,7)	zz,iZ\7-)	независи¬
мы, то характеристическая функция б,,2 (Xj случайной величины
и2(/,.у.) равна произведению характеристических функций сла¬
гаемых «л(Ду), tdy\tKj}, u2z\tKJ-'i, которые при нормальном распре¬
делении компонент имеют вид
238

	 (9.3.7)
'<2 (X) = S 1 - [th «<;)] -K)-1'2,
а моменты связаны с характеристической функцией соотноше¬
нием
^2* [« (*.<;)] = тк [и2 'А;)] = *"Ч*’ (°) =
= ,_ft	[их еку)] ^}~д;2 {1 - 2Za2 [a,, (ZK-)] лр X
~1	дхк
X 11 — 2za2 [uz (Z,c;.) х}_1;2 )
где УДО) —Дя производная характеристической функции при
х = 0.
Следствие. Из теоремы 9.4.2 следует, что момент второго по¬
рядка случайной величины u(ZK.i) равен сумме квадратов полу¬
осей эллипсоида возможных корректирующих скоростей или
сумме собственных значений матрицы К[и(Д;)]:
[« А;)] = 3? 1«Х А/)] + з2 [Чу Л/ ] 4- з2 [«Z А?] = Sm к [u А;)].
Таким образом, приведенные два свойства позволяют определить
все четные моменты распределения и(Д.;). Следующие две тео¬
ремы устанавливают связь между распределением «(/KJ) и рас¬
пределениями У/Л Доказательство этих теорем не приводится,
так как оно слишком громоздко. Отмстим, что доказательство
первой теоремы основано на приведении соответствующих инте¬
гралов к табличным интегралам от специальных функций, по¬
следующему разложению подынтегральных выражений с тре¬
буемой точностью, и вычислении полученных приближенных
соотношений. Доказательство последней теоремы основано на
разложении плотности и функции распределения рассматривае¬
мых случайных величин по ортогональным полиномам Чебыше¬
ва— Эрмита и последующем вычислении необходимого числа
коэффициентов разложения через моменты или семиварианты
исходного распределения.
Пусть с> [t/.v (tK,i) j — наибольшее среднее квадратичное. Введем
следующие обозначения:
° А/ А?]
°[“л- А;)]
'”1 [и АД! .
У [ И АД)
3 [" <ZK7>]
| "A«A;)J
239

Число
степеней
свободы
Моменты
Коэффициенты
Величина ар (Vxu)
т2 (/у2)
МП’)
₽ (ИГ2)
₽за.-0’9
Рза;=°’97
Рзад=°'99'
1
]/2/лаи
0,797
0,609
1,41
2,27
3,565
2
2°и
0,885
0,464
1,35
2,125
3,28
3
2]/2/лаи
0,921
0,387
1,34
2,10
3,21
Среднее
—
—
0,86
0,5
1,375
2,185
3,39
Теорема 9.4.3. При любых значениях аи, Ьи из допустимой об¬
ласти коэффициент ku не превосходит значений соответствующе¬
го коэффициента распределения | /2 с одной и тремя степеня¬
ми свободы:
Это свойство устанавливает границы изменения коэффициента
ku и может быть использовано для расчета mi[u(/KJ)]. При а„ =
= 6и = 1 имеем распределение J/ /2 с тремя степенями свободы,
которое является предельным «сверху» для распределения u(/Ki)-
При аи = Ьи=0 имеем предельный «снизу» случай распределения
с одной степенью свободы.
240

Изменение ku в области определения 0<а„<1, 0<6„<1 ха¬
рактеризуется следующей приближенной зависимостью:
(■+»;+»;)-" ( ■ -»; к
' ■	(2«>ч! I ' 2(1-»р '	2(1 -»;>»
X arcsin 1 — Ь\
з(1-<	15 (1-<	9 (1-Q2
16 bu	32М1_62)2
— ^(1 — a2)2 arc sin 1 — bl
3
(I-*2)5'2
(9.3.9)
Следствие. Из теоремы следует, что коэффициент ри при лю¬
бых значениях аи и Ьи изменяется в пределах
?(3)(/х2)<₽и<?(1)(/х2),
так как р2 = 1 — Л2, а ₽(1) (К/.2)> ₽(3) (К/2) —соответствующие
значения коэффициента для распределения У/2 с одной и тре¬
мя степенями свободы. В таблице приведены значения первых
двух моментов и соответствующих коэффициентов £(Кх2).
₽(Гх2) для распределения типа ]/у2 с числом степеней свобо¬
ды от 1 до 3, где обозначено:
0 К (МР=° 1иУ (Ml = ° [«Жд)] =°«-
Из таблицы видно, что величина ku изменяется в пределах
•~20%. Поэтому, выбрав среднее значение ku ср = 0,86, с ошибкой
не более ~ 10% можно определять
"h [«О=0>86	[«М=°>86 И«Д;'1т
+’2[МШ’ЧМ11;2	(э.з.ю)
Величина (X изменяется в пределах ~30%, поэтому с ошибкой
не более ~ 15% можно принять, что при любых аи, Ьи
Риер = 0,5, тогда
0 [и(М ==0’5	[«(?«/)] =0,5 (о2 \цх (zfK/.)l +
+ а2 [иу (^</1+ °2 \Uz (Л</)1}1|2-
При известных m^u (tKj) ], <j[u(/kj)] определение квантилей удоб¬
но производить в виде
«Р (^7)=/7г11и(М + аР01иЫ>	(9.3.11)
где ар — константа, зависящая от заданного уровня вероятности
^зад и параметров аи, Ьи распределения компонент корректирую¬
щей скорости. Значение аР может быть оценено с помощью не¬
равенства Чебышева
241

р
Однако это неравенство слабое и для распределения характе¬
ристической скорости коррекции дает завышенные оценки для
аР, особенно при больших уровнях вероятности Р3ад>0,9. Для
распределения	справедливо следующее свойство.
Теорема 9.3.4. Для рассматриваемых значений Рзад при лю¬
бых значениях аи, Ьи из допустимой области коэффициент ар не
превышает значений коэффициента ар для распределения Уу-
с одной и тремя степенями свободы:
а₽>(УГ2)<ар<«р1>(]/х2)-
Эта теорема устанавливает границы изменения аР и может быть
использована для расчета up(ZKJ-). В таблице приведены значе¬
ния ар (]//2) для трех уровней вероятности и трех значении
степеней свободы. Из таблицы видно, что во всем диапазоне из¬
менения аи, Ьи соответствующее изменение ар не превышает
~ 10%, поэтому для оценок с точностью не хуже ~5% можно
для одноимпульсной коррекции принять их равными средним
значениям. Таким образом, приведенные выше свойства распре¬
деления u(/Kj) позволяют определять m2[u(tKj)] и осредненные
значения коэффициентов ku, fju, аР, которые могут быть исполь¬
зованы для приближенного расчета характеристик энергетиче¬
ских затрат на проведение одной коррекции.
При многоразовой независимой коррекции корреляция меж¬
ду корректирующими скоростями обычно мала и ею можно пре¬
небречь. Тогда для определения затрат топлива на многоразо¬
вую коррекцию необходимо -рассмотреть распределение следую¬
щей суммы независимых случайных величин: u8=u(tK\) + ...+
+ u(tKg) - У	Определение математического ожидания
7 = 1
и дисперсии суммарной корректирующей скорости нетрудно
выполнить, используя полученную выше методику расчета
^1[«(У')], o[u(^Kj)] и следующие известные свойства момен¬
тов:
mi [^1=27711	з2К)=2а2^(/к^‘	(9-3-12'
у=1	7=1
Поведение функции распределения большого числа независи¬
мых случайных величин определяется теоремой Ляпунова, согла¬
сно которой при некоторых весьма общих условиях сумма слу¬
чайных слагаемых асимптотически нормальна. Можно показать,
что упомянутые выше условия асимптотической нормальности
выполняются при многоразовой коррекции. Поэтому при боль-
242

гном числе коррекций ug имеет нормальный закон распределения
с математическим ожиданием и дисперсией, определяемыми
(9.3.12). Тогда для расчета можно воспользоваться оценкой с'Р
для нормального закона. Так, например, при Рзад = 0,997, анр~
g	"
=^2,8,	а2[и(7KJ-)] . Если число коррекций
/=1
g
Ly=i
сравнительно невелико, то оценка agP с помощью нормального
закона может дать заниженные результаты, что представляет
особенную опасность при проектных расчетах. Приближенная
методика расчета Ug достаточно надежно может быть построена
на основании следующего свойства распределения ug.
Для нормированного распределения суммарной характеристи-
=	Ug—m1[ug]
ческой скорости ut,=		—j	в рассматриваемой области зна¬
чений Т’зад имеют место соотношения:
а)
б)	для суммы одинаково распределенных и(Д;)
в)	для суммы произвольно распределенных	найдутся
такие g', g", что Qg, («g<)< Q(«g)< Qg" («g")>
г)	для суммы произвольно распределенных	найдутся
такие g', g", что арГ)	а<р ПРИ условии Р >• P3ail^ где
С?нор(Ю — функция распределения нормального закона, Qg{Ug) —
функция распределения g нормированных одинаковых слагае¬
мых, арг) —коэффициент agP для g одинаковых слагаемых.
Свойство дает оценку сверху и снизу для определения кванти¬
лей суммарной корректирующей скорости. Точность расчета их
зависит от точности определения agP, иными словами, от подбора
ё' и g".
Использование осредненных коэффициентов ku, ри, аР, agp
для приближенных расчетов в отдельных случаях может дать
неудовлетворительные оценки затрат топлива на коррекцию.
Методом статистических испытаний были получены и исследова¬
ны функции и плотности распределения, построены гистограммы,
а также определены моменты распределения суммарной коррек¬
тирующей скорости и скорости каждой коррекции. Параметры
распределения компонент корректирующих скоростей характери¬
зовались величинами о[иж(Х1>	На основании обработки
этих расчетов и анализа полученных результатов были найдены
эмпирические зависимости для коэффициентов ku, |3„, аР, agP
от соотношения между компонентами корректирующей ско¬
рости, приведенные на рис. 9.3.1—9.3.3 в виде функций от приве-
243

денного числа корректируемых параметров гпр и приведенного
числа коррекций gnp. Для расчета характеристик энергетики од.
ноимпульсной коррекции используются осредненные зависимо.
сти коэффициентов ku, р„, ар только от гПр(6о), которое опреде¬
ляется следующим формальным правилом:
Gp «<;)== 1 4
0 [“у (<к,)]
= [“л (4;)]
0 [uz (iK]Y\
° [“г (4р]
w>
(9.3.13'
где а[их(/к,)]— наибольшее среднеквадратичное данного рас¬
пределения компонент и(Д^). Для многоразовой коррекции вво¬
дится осредненная зависимость agP от гпр, gnp, которые опреде¬
ляются в этом случае следующим образом:
244

° [“ А/)]
а [« (*К1)]
'V 1 ' к/'J
" ° [“ Al]
где rnp^Kj)—приведенное число степеней свободы при j-й кор¬
рекции, а о[м(^к1)], гпр(/к1) — соответствующие характеристики
распределения корректирующей скорости с наибольшим
£г[ы(^ю)]> которые условно отнесены к первой коррекции (при
многоразовой коррекции обычно первая коррекция по энергетике
больше последующих). Графические зависимости могут аппрок¬
симироваться квадратичными параболами. Так, например, для
одноимпульсной коррекции
ktl= — О,ОЗг „р {trj) -1- 0,18г 11₽ (^,;)-(-0,64;
аР = 0,1гпР(/к;.) —0,607rlip(/k7.) + 4,06 при Рзая=0,997. (9.3.15)
Точность расчета всех характеристик энергетики коррекции при
использовании зависимости коэффициентов ku, |3U, a?, a.gp от
гЛр, gnp значительно повышается и возможные ошибки не превос¬
ходят ~Зч-5%, а расчет ведется по тем же простым формулам:
т1 [« (Ау)] =	1з2 [Чх «-;)] Т з2 [«</ (М] + °2	(М]11/2 =
= MSm К[и(/к/)]}12;
3 [«(Ар]={=2 кг (Ар]+3'2 \чу (/ку)]+з2 [чг А<у)]}1,2=
= A(Sm K[u(/,7)]}12;
АЖР = (А + а/Л) (Sm K[u(/,7)]j1;2;
zA = V &u{Sm К[и(/кр]]12 + аар ^Stn K[uA7-)]
/=1	\/-i
(9.3.14)
где o[ux(^y)], ..., a[u2(/K;)] — среднеквадратичные отклонения не¬
зависимо распределенных компонент корректирующей скорости.
Таким образом, приведенная методика позволяет определить ха¬
рактеристики энергозатрат на проведение коррекции без числен¬
ного интегрирования сложных выражений с достаточной для
Проектно-баллистических расчетов точностью. Она универсальна
и может быть использована для расчета математического ожида¬
ния, дисперсии и квантилей любой случайной величины £, явля¬
245

ющейся функцией вида Се=2С7- = 'У (^у+Су+Сз/) 2 от ile.
7 = 1	7 = 1
зависимых нормально распределенных случайных аргументов
rii- ?2.i, изд и, в частности, для определения характеристик рассеи.
вания радиуса-вектора отклонений в пространстве корректируй
мых параметров. Если некоторые из слагаемых имеют но;,,
мальный закон распределения, то при расчете квантилей распре-
деления по данной методике получим завышение не более
~ 104-15%.
9.4. ОШИБКИ ИСПОЛНЕНИЯ КОРРЕКЦИИ
Коррекция траектории КА заключается в сообщении ему до¬
полнительного вектора скорости с заданными компонентами в
фиксированный момент времени. Для ее проведения КА снабжа¬
ется двигательной установкой и системой управления. Система
управления обеспечивает ориентирование оси двигательной уста¬
новки соответствующим образом в пространстве, включение дви¬
гателя в нужный момент и выключение его, когда величина
сообщенной характеристической скорости становится -равной рас¬
четному значению, стабилизацию КА во время работы двигателя
для поддержания нужного направления тяги двигателя. В зави¬
симости от назначения КА и располагаемого веса устанавливае¬
мая на нем система управления обладает различной степенью
совершенства. Каждая система управления характеризуется на¬
личием своих чувствительных элементов—-датчиков, исполни¬
тельных элементов и блоков формирования управляющих сигна¬
лов. Она состоит из двух подсистем: ориентации и стабилизации.
Ошибки в работе отдельных блоков и элементов подсистем ори¬
ентации и стабилизации, которые будем называть первичными
ошибками, приводят к тому, что в результате выполнения кор¬
рекции вектор корректирующей скорости отличается от расчет¬
ного как по величине, так п по направлению. Ошибки исполне¬
ния коррекции можно условно разделить на следующие группы:
1)	ошибка в скорости, не зависящая от ее величины,
2)	ошибка в скорости, пропорциональная ее величине,
3)	угловая ошибка ориентации вектора скорости,
4)	ошибка -стабилизации, составляющие которой перпендику¬
лярны вектору корректирующей скорости и не зависят от ее ве¬
личины.
В действительности некоторые из ошибок могут иметь более
сложную зависимость. Так, например, ошибка ориентации u (А-,)
может зависеть от угла между базисными направлениями, по ко¬
торым строится опорная система. Ошибки стабилизации обычно
зависят от величины корректирующей скорости, так как связаны
с переходным процессом стабилизации объекта при работающем
двигателе. Однако для проектно-баллистических исследований
246

такая классификация ошибок исполнения коррекции вполне до¬
статочна и дальнейшее усложнение ее нецелесообразно. Приве¬
денные ошибки являются результирующими ошибками на выхо¬
де системы, которые назовем ошибками системы управления.
Для каждой системы управления на основе анализа ее работы
можно получить зависимость ошибок системы управления от
первичных ошибок. Поэтому для упрощения исследований допу¬
стимо принимать некоторые гипотезы относительно закона и па¬
раметров распределения ошибок системы управления, а не пер¬
вичных ошибок. Пусть в момент проводится коррекция тра¬
ектории полета; «ж(/кз), uy(Ajj wz(/K3) — расчетные значения
компонент вектора корректирующей скорости в абсолютной си¬
стеме координат Oxyz. Введем еще одну прямоугольную систему
Oxcyczc таким образом, чтобы оси ее совпадали с осями системы
стабилизации после ориентации КА в заданном направлении при
проведении коррекции. Так как обычно ось двигателя совпадает
с одной из осей инерции, то одна из осей новой системы коорди¬
нат, например Ozc, совпадает по направлению с расчетным век¬
тором корректирующей скорости. Новая система связана с ис¬
ходной системой координат линейной формулой преобразования
u(M=Ac(/K7)uc(/k7);	(9.4.1)
cos cos а;-
— sin pycos Py sin ay
AC(U =
sin р;- C.OS CLj
— sin cty
cos py sin py sin aj
0	cos cty
где ис (/ку) —вектор корректирующей скорости в системе
Охсусгс; а;> ^- — сферические координаты и(Д.Д.
Для расчетного вектора корректирующей скорости составляю¬
щие в новой системе координат равны: ижс(^к3) =wyc(Aj) =
= 0, u2C(tKj) =u(tKj). Ошибки подсистемы ориентации приводят к
соответствующим ошибкам в сферичеоких координатах а,-, р;, а
ошибки подоистемы стабилизации и интегратора — к ошибкам
составляющих uxc(tKj), uvc(tKj), uzc(tKj). Тогда, дифференцируя
(9.4.1) по всем возможным отклонениям и подставляя значение
расчетной корректирующей скорости, получим с точностью до
величин первого порядка малости следующее выражение для
ошибок исполнения коррекции:
8и(/ку)=Вс(/ку)8ус(/ку),	(9.4.2)
где
bu(-tKj) = (bux(tKj),..., оиг(/,.у))т —вектор ошибок исполнения кор¬
рекции;
8О;)Т —вектор ошибок систе¬
мы управления;
247

Вс(Д;''— i|Bc (Д;Ф Вс (Д.рЦ;
cos ф cos ay—sin 8;-
cos ф sin dj
(фу) =
sin 3;- cos cty cos 3;-
sin 3- sin ay
— sin а}.	0
COS tty
-w(/Ky)sin /у sin aj
U	COS Py COS dj
Вс%) =
и (фу) cos ф sin a.j
и (фу) sin fly cos a -
0
— и (фу) sin
ai
Таким образом, ошибки исполнения коррекции являются
функциями от двух групп случайных аргументов: u(/Kj), |3д а и
d».vc(/Kj), диус(^ю), 6uzc(/kj), ба,. Первая группа случайных
величин связана со случайным характером вектора корректиру¬
ющей скорости при статистической модели коррекции, а вто¬
рая— непосредственно с ошибками системы управления. При
фиксированных значениях u°(tKj), а%-, ошибки исполнения
коррекции зависят только от ошибок системы управления и свя¬
заны с ними линейным преобразованием (9.4.2). Если задана
плотность распределения ошибок системы управления ^[бус (Ф.:)],
то, произведя линейную замену переменных в плотности рас¬
пределения случайной величины dyc(/Kj), разбив предвари¬
тельно пространство 6yc(/Kj) на подпространства, где справедли¬
во обратное преобразование для (9.4.2), и суммируя соответст¬
вующие точки подпространств 6yc(/Kj), получим плотность рас¬
пределения ошибок исполнения коррекции би (фу) при фиксиро¬
ванном векторе корректирующей скорости.
Полученную плотность распределения ошибок исполнения
коррекции можно рассматривать как условную плотность рас¬
пределения для статистической коррекции, которая определена
при условии, что первая группа случайных величин принимает
заданные значения. Обозначим ее <7[ди(/кз) |и°(ф,)]. Для системы
случайных величин 6ux(tKj), buv(tKj),	u(tKj), |3j, а, сов¬
местная плотность распределения согласно теореме умножения
законов распределения имеет вид
(фу)] = 7 [Ви (фу) | и’«ч7)] q [и (ii;j), 8у, а/.	(9.4.3)
Откуда плотность совместного распределения ошибок исполне¬
ния коррекции равна
оо 2г. т.
q (фу),. . ., Ъиг (Фу)] = J [ J q [8u (фу) | u° (ф/J ><
ООО
Xq[u(tKj), ^a^du^^d^daj.	(9.4.41
Соотношение (9.4.4) является основным для исследования оши¬
бок исполнения коррекции. Из него можно получить плотность
и функцию распределения для каждой из составляющих вектор^
248

ошибок исполнения коррекции, а также корреляционную матри¬
цу ошибок исполнения коррекции.
Будем полагать, что ошибки системы управления независимы
И распределены по нормальному закону с нулевым математиче¬
ским ожиданием. Плотность их распределения имеет вид
<7 [8Ус(М=?[8«xc(Zk/),- • Say]=
= ~ exp {—[SyJ (Zk7) A7’8yc «;у)|},	(9.4.5)
где Лу = ||g2(ижс), о2(6р) ||—корреляционная матрица ошибок
системы управления, а /j— коэффициент, зависящий от Лу. Ли¬
нейное преобразование (9.4.2) для нормального закона распре¬
деления не изменяет закона распределения условной плотности
вероятности ошибок компонент корректирующей скорости, при¬
чем корреляционная матрица распределения равна
К [8ц (/ку) | ц° (/к.)] = вс° (/к/) ЛувГ (/„.,-),	(9.4.6)
где В°(/,.;) —матрица Вс(/к;-) при подстановке в нее координат
а°(/|;;.), 4/, Следует отметить, что так как при проведении
коррекции в реальном полете корректирующая скорость рассчи¬
тана для заданных отклонений, т. е. фиксирована, то (9.4.6) яв¬
ляется корреляционной матрицей их распределения для такого-
случая.
Для получения плотности совместного распределения компо¬
нент корректирующей скорости при статистической коррекции
необходимо проинтегрировать условную плотность по всей об¬
ласти возможных значений u(ZKj), тогда
ы2 (\у) sin а}.
ООО 2
(2^2AxVz
X
X exp {- у- [8uT (tKj) (Вс (/К7.) ЛуВсг (Z^.))-1	(/„.;)]} X
1	Ги2 (Л.,-) sin2 аcos2 3; и2 sin2 а- sin2 3 ,
		v kJ'	I	г ] I v К/'	I	'J
2	|_ а2 (С;)]	a2[«p('Ky)]
(9.4.7)
(/2° — коэффициент, зависящий от Лу и u(tKj), р;-, а3), если
оси координат Oxyz совпадают с осями эллипсоида возможных
корректирующих скоростей. В общем случае определить закон
распределения ошибок исполнения коррекции, проинтегрировав
(9.4.7), не представляется возможным. Однако для характерис¬
тики распределения ошибок исполнения коррекции целесообраз¬
но рассмотреть некоторые частные случаи.
249

Пусть при работе системы управления имеет место только
ошибка в корректирующей скорости, пропорциональная ее вели,
чине и направленная по оси ozc (пропорциональная ошибка ин¬
тегратора). Тогда, подставляя в (9.4.7) &uzc(tKj) = 60uu(tlij)>
(>uxc(tKj) =6uyc(tKj) =0, получим в результате интегрирования
д [8ц (/ .)] =			/ [8цИ'к>)12
(2Л )3'2	I °2 [«х (^к;)]
[8иу(^)]2	[5иг(^)]2 )
°2 VKj)]	°2 [«х (^кР1 | Л
[8и& (/к;)]2
°2 [иг (*к/)]
X ехр
~ [ShH^)F
_ °2 [Их (*к/)]
[5иИМ2 1)
’2[иг(^)] ]) ’
(9.4.8)
где сг(0гг)—среднее квадратическое отклонение случайной ве¬
личины 60и, имеющей нормальное распределение.
Если при проведении коррекции существует только ошибки
ориентации б|3,-, то соответствующая плотность распределения
ошибок исполнения коррекции имеет вид
q [8u (zKpj
i
2лАху<з(Ъ/?)
[Х(у2 ] х
°2 [“</ (ZK/)J I
X exp I — I f ——
' [B“xlK/)]2
_ °2 [«x (^)l
[В«И^)]2 I]
a2 [«0 (ZKy)l . | ’
(9.4.9)
где ст(бр) —среднее квадратическое отклонение случайной вели¬
чины брь имеющей нормальное распределение.
Таким'образом, законы распределения ошибок исполнения
коррекции за счет ошибки 6р3- ориентации и за счет пропорцио¬
нальной ошибки интегратора 60и аналогичны. Получение закона
распределения ошибок исполнения коррекции для других оши¬
бок ориентации и стабилизации затрудняется тем, что они явля¬
ются более сложными функциями от случайных аргументов
u(/Kj), ctj, чем рассмотренные выше, а случайные аргументы
м(^), а; сами имеют сложный закон распределения, отлич¬
ный от нормального. Выражение для плотности распределения
u(/Kj) было приведено ранее в разд. 9.4, а совместная плотность
распределения р3-, а,- имеет вид
оо
<7 («у, ₽у)=\?[«(^7). а/, ^]^«(^17)= "1П.ау X
О
10)
250

Таким образом, даже при нормальном законе распределения
ошибок подсистем ориентации и стабилизации соответствующий
закои распределения компонент вектора ошибок исполнения
коррекции не является нормальным. Получение его или корре¬
ляционной матрицы ошибок исполнения коррекции возможно
либо методом численного интегрирования соответствующих вы¬
ражений, либо методом статистических испытаний. Такой способ
очень неудобен при расчете линейной статистической коррекции
я приводит к значительному усложнению методики расчета по
сравнению с приведенной ранее. Рассмотрим приближенный
способ расчета корреляционной матрицы ошибок исполнения
коррекции, который позволяет обойтись без численного интегри¬
рования сложных выражений и определить корреляционную мат¬
рицу по простым формулам с точностью, достаточной для прак¬
тических исследований.
Не нарушая общности, можно считать, что оси системы ко¬
ординат Oxyz совпадают с осями эллипсоида возможных коррек¬
тирующих скоростей, а соответствующие корреляционные матри¬
цы в этой системе координат будем отмечать знаком Пред¬
ставим ошибку исполнения коррекции в виде следующей суммы
от соответствующих ошибок подсистем ориентации и управления,
разделив предварительно ошибку по величине корректирующей
скорости на две составляющие — пропорциональную величине
корректирующей скорости и независимую от нее:
(9.4.11)
где 60,би— случайные взаимно независимые составляющие
ошибок скорости, распределенные по нормальному закону со
среднеквадратическими o(0u), о(6и). Тогда
с	6
Su (М=28U/
;=i	i-i
(9.4.12)
где
COS P ■ COS dj
sin 'ij cos dj
— sin dj
/-sin Ц
?2 = ( cosfU
251

&ус,— составляющие ошибок системы управления соответст.
венно:
8«!/c(^/), 8«, 80и, 8Д 8«Г
Для составляющих 60„, ошибок системы управления, для ко¬
торых выше были получены законы распределения, нетрудно оп¬
ределить соответствующие корреляционные матрицы распреде¬
ления ошибок исполнения коррекции. Для этого выразим компо¬
ненты векторов §4, §5 через компоненты вектора корректирующей
скорости
/«х (^у)\
8и4(/ь7.)==^о9и= иу ;
\«z (<</) /
(9.4.13)
/-цу (/к7)\
=	= 1 uAi^\
и, воспользовавшись свойствами дисперсии произведения незави¬
симых центрированных случайных величин, получим корреляци¬
онные матрицы распределения
К[8и4(/1<у)] = з2(07)К[и(/|р];
(9.4.14)
где
0
-1 0
Qp =
1
0 0
0
0 0
Как видно из (9.4.14), частные корреляционные матрицы оши¬
бок исполнения коррекции, соответствующие составляющим
60u, выражаются через корреляционную матрицу распреде¬
ления компонент корректирующей скорости.
Зависимость компонет от u(^Kj) для оставшихся векторов
значительно сложнее, чем для рассмотренных ранее и получение
тем же способом корреляционной матрицы ошибок исполнения
коррекции невозможно. Заменим формально случайные компо¬
ненты корректирующей скорости их вторыми моментами. Как п
ранее, смешанные моменты второго порядка полагаем равными
нулю.
Тогда корреляционные матрицы ошибок исполнения коррек¬
ции для оставшихся составляющих равны	(б<.;)] =
= o2[mx(/k5)] + o2[«!/(W]) :
К [8uI (/„./]
о2 (6иЛ.с)
m2 [и (Ту)] т2 [ип1 (/,<;)]
К(ау,
252

к [Su3 (М = — к [Li (М;
/П2 [ц (/к;)]
к [Ви2 (/к7)] =■ а2г(5ц^- Q?K [U Л] QJ;
т-1 [и,,., (tKj)]
К (а,, 3;.) =
НММНММ	0	О ;
0	=ЧММз2К(М о
о	О	И«Л/Н •
ьчуп
(9.4.15)
Таким образом, корреляционные матрицы ошибок исполнения
коррекции для всех составляющих, кроме ошибок стабилизации
по оси Охс ориентации по углу а,, выражены через корреляцион¬
ную матрицу распределения компонент корректирующей скоро¬
сти. Считая все случайные ошибки независимыми, корреляцион¬
ную матрицу ошибок исполнения коррекции получим как сумму
корреляционных матриц всех составляющих:
K[Wk?] = £ К[8и,-М-	(9.4.16)
i=i
Для перехода к произвольно ориентированной системе коор¬
динат необходимо выполнить следующее преобразование над
суммарной корреляционной матрицей ошибок или ее отдельны¬
ми слагаемыми:
КНк/)1Ч	К[8и (/ку)] С (ЛД	(9.4.17)
где ТД/ю) —матрица приведения эллипсоида возможных кор¬
ректирующих скоростей к главным осям.
При составлении приближенной методики расчета ошибок ис¬
полнения коррекции мы провели замену случайных величин их
вторыми моментами. Эта замена формальная и справедливость
ее должна быть проверена. Для произвольного соотношения меж¬
ду а[«х(^о)],	cr[uz(7K,)] такая проверка может быть осу¬
ществлена методом статистических испытаний. Для двух предель¬
ных случаев соотношений между <г[«х(^ю)], а[иу(/«.;)], cr[uz(/Itj)]
'проверка методики может быть проведена без статистического
испытания. Эти случаи имеют большой практический интерес,
поэтому рассмотрим их.
253

Пусть g[zz.v (Zkj) ]> g{u,j (Zk;J, o[ux (Ло) ] >> 4«z (M L тогда II3
(9.4.11) нетрудно видеть, что для такого случая, когда одна ;1з
полуосей эллипсоида возможных корректирующих скоростей на¬
много превышает другие, с вероятностью, близкой к 1, возмощ.
ные значения р3-, а, находятся в узкой области, соответствующей
направлению этой оси. Если оси эллипсоида совпадают с осями
координат, то, положив р; = 0°, щ, = 90°, получим
(9.4.18)
Считая все случайные составляющие ошибок исполнения кор¬
рекции независимыми, получим следующее выражение для кор¬
реляционной матрицы ошибок исполнения коррекции:
=2(М +
K[8u (ZM-)] =
0
0
+ m2[«(^-)]32(9,;)
0
"2	Н-
+ rn2 (Ма2
0
0
0
з2 (8«лс) +
+ ^2 [««<;)] з2(8“)
(9.4.19)
которая, как и следовало ожидать, совпадает с (9.4.6) при соот¬
ветствующих значениях «(/Kj), Pj, а,.
Рассмотрим второй предельный случай, когда полуоси эллип¬
соида возможных корректирующих скоростей равны между со¬
бой o[ux(tKj)] = o[uv(iKj)] = o[uz(^)J. Выражение для плотности
распределения u(6o), Р.ь a.i и их совместного распределения име¬
ют вид
1	ц2 (^кр | .
2	='2 [«г Ск;)] I ’
(9.4.20)
(/кр sin а;.
(2п)3/2а3 [uv (/кр]
1	ц2 Рку) ] .
2	=2 [«л- (*ку)] ) ’
Z7 (a;) = Ysin а/ =
254

■ Из (9.4.20) следует, что случайные величины	0,, а,
взаимно независимы и имеют сравнительно простые законы рас¬
пределения. Это обстоятельство позволяет непосредственно опре¬
делить вторые моменты распределения компонент каждого из
ректоров |г- Воспользуемся свойствами моментов случайной ве¬
личины, которая является функцией от случайных аргументов,
тогда ‘получим в результате интегрирования следующие значе¬
ния моментов распределения компонент векторов
=~у;	=
"С ($хз) = "С (^з) = m2 (Ы =
Щ (Ы =	(^4)="С	[их (tKj)];
m2Ы=m2(М=а2(А</)1; m2 (U=°;
т2(^б) = т2(Ы=-^а21Мх(М1; m2(U=2=,2[Mx(Ul-	(9-4-21)
Смешанные моменты для любых двух компонент каждого
из векторов I, равны 0, т. е. они попарно независимы. В этом
нетрудно убедиться, проинтегрировав соответствующие выраже¬
ния для смешанных моментов. Тогда корреляционные матрицы
распределения отдельных составляющих ошибок исполнения
коррекции равны:
1
V
0
0
0
1
6
0
0
0
2
3
К[8и2(/к/)] = о2(Ц,с)
1
2
0
0
0
1
2
0
0
0
0
1
3
0
0
К[8и3(/ку)] = а2(8«)
0
1
т
0
0
0
1
3
(9.4.22)
255

Аналогичные результаты получаются и при подстановке в
(9.4.15)	условий, соответствующих предельным случаям. Таким
образом, для двух случаев распределения компонент корректи¬
рующей скорости (одна из осей эллипсоида возможных корректи¬
рующих скоростей намного больше других и все оси одинаковы)
доказана возможность использования для расчета корреляци¬
онной матрицы ошибок исполнения коррекции выражения
(9.4.15)	. Для произвольного соотношения полуосей эллипсоида
методом статистических испытаний была проверена справед¬
ливость приведенной методики расчета. Проверка показала,
что с достаточной для проектных исследований точностью такая
формальная замена случайных величин их вторыми моментами
возможна для получения корреляционной матрицы. Что каса¬
ется закона распределения ошибок исполнения коррекции, то на
примерах частных законов распределения ошибок исполнения
коррекции, соответствующих ошибкам 66u, бр, системы управле¬
ния, показано, что он отличается от нормального закона распре¬
деления. Однако предельные ошибки исполнения коррекции для
каждой из компонент, полученные при определении корреляцион¬
ной матрицы методом статистических испытаний, достаточно
близки к предельным ошибкам нормального закона. Учитывая
это, а также те трудности, которые встречаются при расчете
статистической коррекции, если закон распределения ошибок
отличается от нормального, будем считать, что ошибки исполне¬
ния коррекции распределены приближенно по нормальному за¬
кону с корреляционной матрицей (9.4.16) или (9.4.17). В за¬
ключение настоящей главы сделаем несколько замечаний о
расчете затрат на коррекцию и ошибок исполнения коррекции.
При исследованиях, выполняемых на стадии баллистического
проектирования, необходимо рационально выбрать потребные
запасы топлива и число коррекций. Запасы топлива на КА обыч¬
но превышают минимально необходимые, соответствующие опти-
256

мальноп стратегии, так как при полете могут возникнуть различ¬
ные аварийные ситуации, связанные с выходом из строя систем
или отдельных блоков, что приводит к увеличению отклонений
корректируемых параметров и корректирующих скоростей. Ска¬
занное позволяет предъявлять менее жесткие требования к ме¬
тодике расчета суммарной характеристической скорости и оши¬
бок исполнения коррекции. Поэтому в некоторых случаях для
упрощения алгоритма определяются предельные характеристи¬
ческие скорости каждой коррекции с помощью полуосей эллипсо¬
ида возможных корректирующих скоростей, которые затем ариф¬
метически складываются и полученная величина принимается в
качестве суммарной характеристической скорости многоразовой
коррекции. Возможны такие другие способы приближенной оцен¬
ки, причем для суммарной корректирующей скорости, обеспечи¬
вающей проведение коррекции с заданной вероятностью, спра¬
ведливо неравенство
Соотношения (9.3.15) позволяют оценивать, возможно ли исполь¬
зование той или другой методики для каждой конкретной задачи.
Небольшое завышение энергетики коррекции часто бывает допу¬
стимо, так как увеличивает надежность выполнения программы
полета за счет использования резерва по топливу. При расчете
корреляционной матрицы ошибок исполнения коррекции для
упрощения алгоритма можно пренебречь зависимостью ошибок
исполнения коррекции от распределения компонент корректирую¬
щей скорости каждой коррекции. Корреляционная матрица мо¬
жет рассчитываться для некоторой выбранной корректирующей
скорости, предельной для всех коррекций при данной схеме поле¬
та, и распространяться на ошибки исполнения всех коррекций,
данного КА и т. д.
Глава 10
ОПТИМАЛЬНАЯ
СТРАТЕГИЯ КОРРЕКЦИЙ
При исследовании коррекции в предыдущих главах предпо¬
лагалось, что стратегия коррекции задана. Стратегией коррекции
мы называли совокупность характеристик, определяющих коли¬
чество коррекций, времена их проведения и корректирующие
воздействия, при которых обеспечивается выполнение всей сово¬
купности требований для каждого заданного состояния. Задан¬
ное состояние определяется группой параметров, вид которых
зависит от модели коррекции. Так, для детерминированной кор-
9—3490
257

рекции это — известные отклонения корректируемых параметров
ошибки прогнозирования траектории и исполнения коррекции-
для статистической модели — корреляционные матрицы ошибок
выведения, прогнозирования и исполнения коррекции. К числу
параметров, характеризующих стратегию коррекции, следует от¬
нести: г — количество корректируемых параметров, g — коли¬
чество коррекций, tKj — времена проведения коррекции,	—
параметричность коррекций или при связанной многоразовой
коррекции cSi(tKj) —коэффициенты «связи». Совокупность пара¬
метров, однозначно определяющих стратегию коррекции, обозна¬
чим UK. Моменты tKj проведения коррекции делят всю траекто¬
рию перелета на ряд последовательных участков, на которых
проводятся траекторные измерения, определение параметров тра¬
ектории и прогнозирование отклонений корректируемых парамет¬
ров. Ошибки прогнозирования зависят от состава измеряемых
параметров и моментов проведения измерений, т. е. определяются
стратегией измерения. Вопросы, связанные с оптимизацией стра¬
тегии измерений, рассмотрены в части I, и на них останавливать¬
ся не будем. Поэтому в дальнейшем считаем, что для каждого
интервала между двумя последовательно проводимыми коррек¬
циями tKj-1, tuj поставлена в соответствие некоторая стратегия
измерений.
Обычно число параметров, входящих в UK, таково, что поми¬
мо выполнения основной совокупности требований, являющихся
целью проведения коррекции, можно обеспечить выполнение до¬
полнительно сформулированных условий, принятых в качестве
критерия качества стратегии коррекции. Стратегию коррекции,
соответствующую оптимальному значению критерия качества,
называют оптимальной стратегией коррекции. Обозначим ее UK*.
При детерминированной модели оптимальная стратегия коррек¬
ции обеспечивает наилучшее управление объектом для данной
конкретной реализации.
Для статистической модели, где в отличие от детерминирован¬
ной критерии оптимальности имеют вероятностный характер,
соответствующая оптимальная стратегия управления является
оптимальной в «среднем» для всей генеральной совокупности
возможных реализаций и, вообще говоря, не обеспечивает наи¬
лучшее поведение в каждой отдельной реализации, если расчет
характеристик проводится по приведенным в гл. 9 соотношени¬
ям. Статистические модели коррекции рассматриваются на ста¬
дии баллистического проектирования и предполетного анализа,
а при решении аналогичных задач во время полета КА имеет
место смешанная модель, включающая известное текущее состоя¬
ние в данный момент полета и вероятное состояние при прогно¬
зировании дальнейшего полета. Поэтому на каждом этапе полета
необходимо определять оптимальную стратегию в соответствии о
изменением текущего состояния.
258

10.1. КРИТЕРИИ ОПТИМАЛЬНОСТИ
При всем многообразии возможных требований, формулиру¬
емых в качестве критерия качества проведения коррекции, их
можно разбить на две группы — точностные и энергетические
критерии. Тогда оптимальной по энергетике стратегией назовем
такую стратегию, которая минимизирует суммарную величину
характеристической скорости коррекции при выполнении задан¬
ных требований к точности реализации корректируемых пара¬
метров в результате проведения коррекций. Оптимальной по точ¬
ности стратегией коррекции назовем такую, которая минимизи¬
рует при ограниченной энергетике коррекций некоторую
заданную функцию Г [дср^ (/k.g)j, характеризующую отклоне¬
ния корректируемых параметров после проведения последней
коррекции. Возможные характеристики точности были рассмот¬
рены в части I. Отметим, что в задаче оптимальной по точности
коррекции в качестве возможных критериев можно принять: ра¬
диальное отклонение от заданного значения в пространстве
корректируемых параметров для детерминированной моде¬
ли, след матрицы К [д<р^ (^Kg)], полуоси эллипсода рассеи¬
вания, среднеквадратические отклонения для каждого
корректируемого параметра или вероятность попадания в задан¬
ную область значений корректируемых параметров — при стати¬
стической модели и т. д.
Выбор критерия по энергетике для детерминированной кор¬
рекции ясен из самого определения оптимальной по энергетике
коррекции и расчет его не представляет труда:
g
4= min 2 «(М-
К J = 1
Для статистической модели выбор его неоднозначен. В каче¬
стве критерия оптимальности можно принять рассмотренные ра¬
нее параметры, связанные с распределением суммарной харак¬
теристической скорости коррекции:
mi lug] — математическое ожидание;
ugp — квантиль;
m2[ug] —второй момент распределения ug;
P(Ug^ «зад)—вероятность того, что затраты на коррекцию
не превосходят заданных.
При оптимизации выбираются только такие стратегии коррек¬
ции, которые обеспечивают выполнение заданного условия по
точности Гзад- Обозначим критерий оптимизации через Фк, тогда
Ф* = пНп Фк(£/к) при условии Г [дф^ (Дг)] < Гзад.
Критерии по энергетике обычно используются в исследовани¬
ях, проводимых на стадии баллистического проектирования, так
как они непосредственно связаны с проектными параметрами КА,
259
9*

оказывают влияние на его конструкцию. Их цель — сокращение
весовых характеристик КА и ракетно-космического комплекса
в целом. Так как число запусков КА ограничено, а каждый экс¬
перимент дорогостоящий, то целесообразно при оптимизации
стратегии коррекции по энергетике использовать ugp, т. е. мини¬
мизировать предельные затраты на коррекцию, превышение
которых маловероятно при любом числе экспериментов, если
г’зад близко к единице. Менее показательным при малом числе
запусков, но более простым, аддитивным критерии является
mt[ug], минимизирующий средние затраты на коррекции. Кри¬
терий m2[ug] имеет промежуточный характер, так как включает
в себя не только mjuj, но и ст [ug] — меру рассеивания ug отно¬
сительно математического ожидания.
Критерии по точности целесообразно использовать при опти¬
мизации стратегии коррекции в процессе полета КА, когда из¬
вестны располагаемые запасы топлива и необходимо ими рас¬
порядиться так, чтобы либо с максимальной надежностью про¬
вести заключительные управляющие воздействия, либо достичь
наилучшей точности реализации корректируемых параметров.
Это, однако, не означает, что па стадии баллистического
проектирования не используются эти критерии. Критерии по точ¬
ности, в частности, можно использовать для оценки возможно¬
стей измерительных систем, исследования требований к перспек¬
тивным системам управления объектом. И наоборот, критерии
по энергетике могут использоваться при оптимизации стратегии
коррекции в процессе полета. Так, например, последний из энер¬
гетических критериев обеспечивает максимальную вероятность
проведения управляющих воздействий при ограниченных запасах
топлива, что особенно важно в некоторых аварийных ситуациях
при больших отклонениях корректируемых параметров от рас¬
четных. Недостатком рассмотренных критериев является то, что
в них не учитывается суммарная надежность проведения всех
коррекций, которая может уменьшаться с увеличением числа
коррекций, если не предпринимать дополнительных мер по повы¬
шению надежности каждой коррекции. Поэтому целесообразно
вводить комплексный критерий, включающий в себя как энерге¬
тику коррекций, так и надежность се проведения с некоторыми
весовыми коэффициентами. В тех случаях, когда это выполнить
не удается, рациональное число коррекций можно назначить на
основании сравнения значений критерия энергетической опти¬
мальности при различном числе коррекций и определения энерге¬
тического выигрыша, соответствующего изменению числа кор¬
рекций.
Следует отметить, что при проведении коррекций существует
целый ряд ограничений! на времена проведения коррекций, вы¬
званные работой систем управления, связи с КА и траекторных
измерений. Поэтому оптимизируемый критерий качества не всег¬
да является непрерывной функцией времени, и, если ограничения
260

существенны, то они должны учитываться при выборе стратегии
коррекции наряду с требованиями к точности. Так как в настоя¬
щем разделе рассматриваются вопросы расчета коррекции на
этапе баллистического проектирования, то далее будем исполь¬
зовать только критерии качества по энергетике, причем расчет
их будем проводить с помощью приближенной методики, приве¬
денной в гл. 9. Точность ее вполне достаточна для таких иссле¬
дований, а трудоемкость расчета критерия качества при оптими¬
зации стратегии коррекции уменьшается.
10.2. МЕТОДЫ ОПТИМИЗАЦИИ СТРАТЕГИИ КОРРЕКЦИИ
Оптимизация стратегии коррекции сводится к нахождению
минимума функции (функционала) по параметрам g, tu-„ r(tK,)
или cs{(/K,) при условии выполнения ограничений на возможные
времена проведения коррекций, число коррекций, а также на
характеристики точности и энергозатрат. Отметим две основные
особенности этой задачи, затрудняющие ее решение.
Первая состоит в том, что функция качества — многопарамет¬
рическая, поверхность отображения ее имеет сложный характер,
возможны локальные экстремумы; область определения функции
качества также может иметь сложный вид из-за наличия огра¬
ничений. В общем виде такая задача не всегда разрешима, так
как в настоящее время отсутствуют методы решения, обладаю¬
щие достаточной универсальностью.
В ряде случаев число параметров, характеризующих опти¬
мальную стратегию, можно сократить, проведя предварительные
исследования коррекции. В частности, при исследовании одноим-
пульсной коррекции была проведена локальная оптимизация
энергетики и введены оптимальное направление и оптимальная
плоскость коррекции и т. д. Существенное уменьшение парамет-
ричности задачи при многоразовой коррекции имеет место в слу¬
чае, если отсутствует режим недокоррекции, так как парамет-
ричность каждой коррекции нетрудно выбрать на основании
предварительного анализа. Однако, если после подобных упро¬
щений. решение задачи выбора оптимальной стратегии коррек¬
ции встречает ряд трудностей, тогда кусочно-непрерывную
задачу целесообразно заменить дискретной, предполагая, что
коррекции траектории могут проводиться только в некоторые
заданные моменты времени. Из них надо выбрать такие момен¬
ты и такое число коррекций, которые оптимизируют критерий
Качества. Если количество возможных моментов управления
Достаточно велико и они выбраны с учетом ограничений, то реше¬
ние дискретной задачи будет близко к решению кусочно-непре¬
рывной. Дискретная задача принципиально разрешима, так как
Общее число различных комбинаций ограничено, следовательно,
они могут быть упорядочены и просмотрены перебором. Поэто¬
261

му основным в решении дискретной задачи является нахожде,
ние плана поиска, оптимального в смысле числа шагов.
Другой особенностью задачи оптимизации стратегии коррек¬
ции является существование дополнительного условия, наклады¬
ваемого на систему в виде требования к точности рассеивания
корректируемых параметров (при оптимизации энергетики) и.тц
требований к энергетике коррекции (при оптимизации точности).
Эту сложность можно преодолеть заменой критерия задачи ца
условный экстремум новым критерием эквивалентной задачи на
безусловный экстремум. Критерий для новой задачи вводится
с помощью штрафных функций (или множителей Лагранжа), ц
тогда при оптимизации энергетики
фк.пР=:фк-Нш [г[дфк+ (*у], Гзад],
где	[Г[Дф+ (АДгзад] —Фу нкция штрафа, зависящая от выпол¬
нения условия Г [дф^ (у)] Гзад. Для нового критерия Ф
поверхность отображения может иметь еще более сложный ха¬
рактер, возможны дополнительные локальные экстремумы. Их
появление зависит от выбора функции штрафа. В дальнейшем
будем предполагать, что во всех случаях, где это необходимо,
такая замена критерия проведена и решается задача на безус¬
ловный экстремум.
Рассмотренные особенности задачи оптимальной стратегии
коррекции оказывают влияние на выбор метода поиска экстре¬
мума. В зависимости от конкретной схемы полета и назначения
КА рационально использовать следующие методы: динамическое
программирование, случайный поиск, детерминированный поиск
или комбинацию двух последних.
Если система имеет единственный экстремум, то для опре¬
деления оптимальной стратегии коррекции целесообразно ис¬
пользовать метод сечений или метод случайных направлений,
если число оптимизируемых параметров велико. Для многоэкст¬
ремальных систем можно использовать комбинации детермини¬
рованного и случайного поиска: случайный выбор начальных
условий, затем поиск локального экстремума и сравнение его с
полученным ранее либо «блуждающий» глобальный поиск — слу¬
чайное изменение параметров в процессе градиентного поиска.
Другой метод заключается в исследовании критерия качества
и выделения возможных зон локальных экстремумов, причем
для независимых многоразовых коррекций оказывается доста¬
точно выявить зоны вырождения матрицы FK(y). Проведение
коррекции в этих зонах требует больших расходов топлива и при¬
водит к появлению гребней на поверхности отображения. Так,
например, для траекторий полета к Луне и планетам существуют
зоны вырождения матрицы FK(^K?) в области, противополож¬
ной точке выхода КА из сферы действия (если угол перелета
более 180°). В то же время оптимизация стратегии независимой
262

многоразовой коррекции показала наличие локальных экстрему¬
мов, разделенных этой зоной. Других локальных экстремумов не
обнаружено.
При связанной коррекции такого исследования оказывается
недостаточно и необходимо использовать метод случайного (или
направленного) перебора в области параметров, характеризую¬
щих стратегию коррекции. В последнее время для оптимизации
стратегии коррекции получил распространение метод динамиче¬
ского программирования. Однако эффективность его мала по
сравнению с рассмотренными выше методами поиска для неад¬
дитивных критериев качества и «альтернативных» управлений,
т. е. когда коррекция проводится в режиме полного исправления
всех известных отклонений. Для связанной коррекции этот метод
может позволить сократить число возможных вариантов, опре¬
делить глобальный оптимум без предварительного исследования
функции качества, а также в некоторых задачах найти общие
условия оптимальной стратегии управления.
Следует отметить, что методика расчета статистической кор¬
рекции, приведенная в гл. 9, определяет единую стратегию кор¬
рекции для всей совокупности возможных траекторий, характе¬
ризуемой корреляционными матрицами ошибок выведения, прог¬
нозирования и исполнения коррекции. Это означает, что
коррекция любого текущего отклонения, принадлежащего дан¬
ной совокупности, производится одинаково (в одни и те же мо¬
менты времени, с одной и той же матрицей связи) и не зависит
от величины этого отклонения. Соответствующая оптимальная
стратегия статистической коррекции также является единой для
данной совокупности траекторий (оптимальной в среднем). При
исследовании свойств детерминированной коррекции было пока¬
зано, что оптимальная стратегия коррекции существенным обра¬
зом зависит от величины отклонений корректируемых парамет¬
ров. Для каждого текущего отклонения корректируемых пара¬
метров можно определить число коррекций, времена их проведе¬
ния и коэффициенты связи, обеспечивающие оптимальное значе¬
ние критерия качества. Такую стратегию назовем оптимальной
стратегией коррекции и обозначим ее
бД=/7:[дФк(/;.), 8ф"(/ку), 8<й(у], /=1,	(Ю.2.2)
где Дфк(М—текущее отклонение. При статистической коррек¬
ции можно для каждой выборки из генеральной совокупности
найти оптимальную стратегию, определив таким образом харак-'
теристики распределения не только ug, Лфк+(^кг), но и времени
коррекций	количества коррекций (g) и коэффициентов свя¬
зи (csi(tKj)), которые в данном случае также являются случай¬
ными величинами:
?[«Л = ? {wg[min Фк (Z7KT)]};	(10.2.3)
4 [Дф^	(*«/)[min Фк(7/к?)]);
263

K/lniin фк (6Л<?)1);
I'10.9.3
;=1, •■•,£•
Такую стратегию коррекции назовем статистически-оптп-
мальной стратегией. Определение параметров распределения со-
ответствующих характеристик статистически-оптимальной кор.
рекции производится методом статистических испытаний, причем
для каждой выборки оптимизация проводится одним из рас-
смотренных выше методов (например, методом сечений).
В заключение отметим основные особенности оптимизации
стратегии коррекции для смешанной модели, т. е. при реальном
полете КА. Пусть для данного запуска выбраны номинальные
значения корректируемых параметров фк и допустимые ошибки
их реализации, определяющие область ек- В момент времени
Л1ач<^г<^кон, где /нач, ^кон — время начала и конца полета, на
основании статистической обработки результатов измерений оп¬
ределены условные математические ожидания вектора корректи¬
руемых параметров <рк(Л), а следовательно, и текущих отклоне¬
ний корректируемых параметров Дфк (£,-), которые необходимо
исправить последующими коррекциями, если не выполняется ус¬
ловие Дфк(^)еек. Случайный характер ошибок прогнозирова¬
ния и исполнения коррекции приводит к тому, что прогнозиру¬
емое в момент ti отклонение корректируемых параметров
Дфк+ (tug), соответствующее выбранной стратегии на интервале
[ti, ^кон], где ti<tKg<tK0W, также имеет случайный характер. По¬
этому в качестве критерия качества управления при смешанной
модели следует принимать вероятность попадания в заданную
область корректируемых параметров Р [Дфк	ек] при имею¬
щемся на КА запасе топлива, если отсутствуют особые для дан¬
ного КА требования. Оптимальная стратегия коррекции должна
максимизировать эту вероятность (при иг^«3ад):
Р* [Дфк+ (/Kg) ЕЕ ек] =max Р [Дф+ (/Kg) е ек] (10.2.4)
где	означает, что оптимизация стратегии проводится в
момент ti.
В качестве особых требований для подобного типа задач мо¬
жет быть требование экономии топлива на коррекциях при усло¬
вии попадания в заданную допустимую область. ек для более на¬
дежного выполнения последующих операций (спуск, торможе¬
ние) и др. При оптимизации стратегии коррекции для смешанной
модели необходимо учитывать не только текущее значение
264

Кфк(М- как это имело место в детерминированной модели, но и
Априорные вероятностные характеристики ошибок прогнозирова¬
ния и исполнения последующих коррекций, как в статистической
додели. Стратегия исправления возможных ошибок прогнозиро¬
вания и исполнения последующих коррекций может быть либо
оптимальной, либо оптимальной в среднем. При полностью опти¬
мальной стратегии коррекции для текущего значения Дфк(/{) и
некоторой выборки из совокупности возможных значений ошибок
прогнозирования и исполнения последующих коррекций опреде¬
ляется условная плотность распределения для Дфк' (/к?):
[Дфк	8Фк(4Д 8Фк(4/)Ь / = 1,	1 (10.2.5)
при оптимальной стратегии коррекции и заданном запасе топли¬
ва. Закон распределения Дфк+(/к#) —нормальный, если нормаль¬
но распределены ошибки 6фкп(/кг), 6фки(4я)- Тогда критерий
качества при полностью оптимальной стратегии коррекции для
(смешанной модели равен
Р [Дфх+ (4g) ЕВК] = (* К q [Дфк+ (/Kg)/8q>Kz (4/,
А 14
Х<7[8фк44/, ^-1)Ифкв(4<Л?-1) ПРИ «г<«зал, (10.2.6)
где бфкЕ (/Кг, 4г-1)—вектор, составленный из ошибок прогно¬
зирования и исполнения коррекций, проводимых после а А—
область его определения.
При частично оптимальной стратегии коррекции для текущего
значения Дфк(/г) и совокупности возможных ошибок прогнозиро¬
вания и исполнения коррекции определяется плотность распреде¬
ления q [Дфк+(4я)] при стратегии коррекции, оптимальной для
исправления Дф,;(/,) и оптимальной в среднем для ошибок прогно¬
зирования и исполнения коррекций. Если условие ыг^«зад заме¬
нить условием	при Лад = 0,997, то для расчета парамет¬
ров распределения прогнозируемых отклонений Дфк+(4») можно
использовать методику, приведенную в гл. 9. Закон распределе¬
ния Дфк+ (tKg) —нормальный с математическим ожиданием, рав¬
ным недокорректированной части Дфк(/,), и корреляционной мат¬
рицей, зависящей от корреляционных матриц ошибок прогнозиро¬
вания и исполнения коррекции, а также матриц связи, причем при
Независимой многоразовой коррекции
mi [ДФк+ (4g)l =0, а К [Дф,Г (4g)] = K [8фк (4g)] 4~К [8фк (4g)] •
При выборе времени проведения коррекции необходимо учиты¬
вать ограничения по запасу топлива, рассматривая только такие
стратегии коррекции, для которых	или игр^изад.
265

Оптимальная стратегия коррекции при смешанной модели
может быть найдена на любом этапе полета (момент времени
ti) 'на основании результатов измерений, проведенных к этому
моменту, и априорных характеристик ошибок прогноза и испод-
нения коррекции. Она определяет стратегию проведения коррек.
ций на оставшемся участке полета от ti до t кон и существенным
образом зависит от Д<рк(/<). При изменении текущего отклонения,
вызванном как накоплением измерений, так и проведением оче¬
редной коррекции, оптимальная стратегия коррекции может из¬
мениться.
10.3. СВОЙСТВА ОПТИМАЛЬНОЙ СТРАТЕГИИ
ОДНОПАРАМЕТРИЧЕСКОЙ МНОГОРАЗОВОЙ КОРРЕКЦИИ
Для качественного исследования свойств оптимальной стра¬
тегии коррекции, рационального выбора количества коррекций
и времен их проведения целесообразно рассмотреть упрощенные
задачи оптимальной однопараметрической многоразовой коррек¬
ции, для которых возможно получение общего решения. Пусть
ограничения на время проведения коррекции отсутствуют; точ¬
ность прогнозирования корректируемого параметра <pKi на участ¬
ке между любыми двумя управляющими воздействиями описы¬
вается непрерывной убывающей функцией на данном отрезке.
Необходимо определить на участке [/Нач, !ион] стратегию ^-разо¬
вой коррекции, обеспечивающую минимум затрат топлива при
условии исправления с требуемой точностью заданных ошибок
выведения. Ошибки выведения и требуемая точность реализации
корректируемого параметра характеризуются среднеквадратиче¬
скими величинами ошибок g_ (t0) ио* соответственно. Будем
считать, что производная fKj (tKj) от корректируемого параметра
по корректирующей скорости, прикладываемой в оптимальном
направлении, является непрерывной убывающей функцией от
времени полета на участке |7Нач, ^кон]- Условия оптимальности
стратегии коррекции для рассматриваемого случая достаточно
сложны и для их упрощения сделаем дополнительные допущения
и покажем, как в соответствии с ними изменяются условия опти¬
мальности.
Задача 1. Пусть справедливы следующие допущения:
—	ошибки исполнения коррекции о(би) малы по сравнению
с величиной корректирующей скорости и не зависят от нее;
—	ошибки прогнозирования корректируемого параметра в
момент проведения коррекции малы по сравнению с исправляе¬
мым отклонением и ими можно пренебречь при расчетах коррек¬
тирующей скорости;
—	ошибки прогнозирования корректируемого параметра к мо¬
менту проведения коррекции о" (ZKj-i, tKj) малы по сравнению
с отклонениями, вызванными ошибками исполнения данной кор¬
рекции о” (tKj).
266

Тогда отклонение корректируемого параметра после послед¬
ней коррекции вызвано только ошибками проведения ее. Для лю¬
бой заданной зависимости градиента /К1(Ло) нетрудно опреде¬
лить такое время tKg последней коррекции, при котором выпол¬
няются требования к точности:
0 [д?к1 (Дг)] = °<f> (Д^ + 1) = °	f Ki (Д^) = 3“’
(10.3.1)
Для монотонно убывающей функции ДДДу) условие (10.3.1)
устанавливает оптимальное время проведения последней кор¬
рекции, так как определяет наиболее раннее время коррекции,
когда выполняется условие точности. При увеличении tKg будет
увеличиваться энергетика коррекции. Таким образом, общая за¬
дача оптимизации стратегии коррекции распадается на две не¬
зависимые: сначала определяется оптимальное время проведе¬
ния последней коррекции из условия заданной точности в кор¬
ректируемом параметре, затем определяются оптимальные
времена оставшихся g—1 коррекций из условия минимума энер¬
гетики.
Условия оптимальности стратегии оставшихся g—1 коррек¬
ций для следующих трех критериев по энергетике mi[ug], o2[ug],
ugp имеют сравнительно простой вид
мдд
<Vki (Д.р
1 1
-О (8zz)
^/кДДР

/кЛДД
dt .
/к1 (Д/+Р
dt ,
KJ
°?(ДР
^ндр
/к1 (ДД
■32(8wl
<Vk1 (ДД
/к! (Др
dt .	'
KJ
f К1 (Ду + Р
Л(ДД=0;
(10.3.2)
= ВДД7)=0;
(10.3.3)
К А. (ДД + —■	— Ва (ДД = 0.	(10.3.4)
2 °2[«(др]
Условия (10.3.2) и (10.3.3) -можно привести к следующей систе-
ДД1(ДД
ме, считая что 	— ф U:

Общее решение этой системы имеет вид
ИЛИ
/к.(М
/к1 Уч])
а (би)
% (*0>
а (8и)
% (/о)'
g—i
g
(10.3.6)
Из условия оптимальности (10.3.4) для критерия и g непо¬
средственно видно, что если при некоторой стратегии коррекции
одновременно выполняются (10.3.2) и (10.3.3), то такая страте¬
гия оптимальна и для критерия us, т. е. (10.3.6) является общим
условием для определения места проведения коррекции при лю¬
бом принятом количестве коррекций g. Можно показать, что та¬
кое решение единственно не только для т\ [ug] и o2[uj, но и
для Ug. Используя общее решение для оптимальности страте¬
гии, получим следующие ее свойства.
1.	Отношение значений градиентов в момент проведения лю¬
бых двух последовательных коррекций постоянно и равно
/к1 (^к/+1)
2.	В точках оптимальной коррекции отношение отклонений
корректируемого параметра, вызванного ошибками исполнения
коррекции к исправляемому в данной коррекции отклонению, по¬
стоянно для всех коррекций и равно (^o)l1>S-
3.	В точках оптимальной коррекции частные значения крите¬
рия качества равны между собой
g
(*о)
■	(^о) '
L % J
L ° <р J
Таким образом, при заданном числе коррекций g оптималь¬
ная стратегия проведения коррекций одинакова для всех трех
критериев. Однако при оптимизации по числу коррекций опти¬
мальные стратегии различны, так как различно оптимальное чис¬
ло gom коррекций для каждого критерия. Оптимальное число
коррекций для каждого критерия нетрудно получить, дифферен¬
цируя по числу коррекций соответствующие выражения для
rrntug], o2[ug], ugp, составленные с использованием свойства 3-
268

Тогда для первых двух критериев £Опт равно соответственно
£<„„■ (^i) = hi
% (<о)
£опт (°2) = 2 In
% (<о)
а
д
9
>
а для третьего критерия определяется из решения следующего
уравнения:
1
£опт (“g)
1П
% (Д
[^и + ^оп’т (ttg) agpAz] +
+ “V=°-	(10.3.8)
Подставляя в (10.3.8) оптимальное число коррекций для
771] [iZgl II О2 [l7g], МОЖНО показать, ЧТО gom(UgP) больше
gonT(Wi) и меньше ^Опт(о2). Необходимо заметить, что получае¬
мое число £Опт коррекций может оказаться достаточно боль¬
шим при жестких требованиях к точности реализации. (Для совре¬
менных ошибок выведения и требований к точности £Опт могут
составлять 8—12.) Учитывая сложность проведения корректи¬
рующего управления, затраты рабочего тела на ориентацию и
стабилизацию при коррекции, а также возможное снижение
общей надежности при увеличении количества управляющих
воздействий, число коррекций целесообразно ограничить. Так,
например, для перелета Земля — Луна достаточно 2—3 коррек¬
ций, для перелета Земля — планета или планета — планета
3—4 коррекции. Характер изменения критерия качества таков,
что дальнейшее увеличение числа коррекций до £Опт незначи¬
тельно уменьшает энергетику коррекций.
Для любой заданной траектории перелета, приняв зависи¬
мость Д| от времени коррекции или любого однозначно связан¬
ного со временем параметра, можно оценить справедливость
каждого из допущений для данной системы управления и стра¬
тегии измерений, выбрать рациональное число коррекций и за¬
тем с помощью (10.3.1) и (10.3.6) полностью определить опти¬
мальную стратегию коррекции. Так, например, для линейной и
гиперболической зависимостей	от безразмерного времени
т = ■ /ко" —-- оптимальная стратегия четырехразовой коррекции
6<он ^нач
при одинаковых временах проведения последней коррекции тК4 =
= 0,011 соответствует следующим временам проведения первых
трех коррекций: 0,37; 0,117; 0,037 для линейной и 0,960; 0,90; 0,69
для гиперболической моделей. Если для линейной модели пер¬
вые три коррекции проводятся при значениях т<0,5, т. е. во вто¬
рой половине полета, то для гиперболической при т>0,5. Это
объясняется сравнительно большой эффективностью коррекции
в начале полета и резким падением ее при приближении к концу,
полета для гиперболической модели.
269

Задача 2. Пусть выполняются только первые два допущения.
При этом будем считать, что ошибки прогнозирования не зависят
от интервала, на котором проводятся измерения, а опоеделяют-
ся только временем окончания измерений, причем ст i, =
= «/1/1.1 (^.i). Таким свойством обладают, например, ошибки про¬
гнозирования траектории по астронавигационным измерениям
на участке подлета к планете назначения и т. д. Отклонения
корректируемого параметра после проведения последней коррек¬
ции вызваны теперь не только ошибками исполнения коррекции,
но и ошибками прогнозирования. Однако все ошибки зависят
только от ti:g, поэтому оптимальное время проведения последней
коррекции можно определить независимо от стратегии предшест¬
вующих g—1 коррекций из условия выполнения требований к
точности:
Условия для определения оптимальной по энергетике стратегии
предшествующих g—1 коррекций при замене о2(ои)
=	(du), т. е. суммарной ошибки от прогнозирования и
исполнения коррекции эквивалентной ей ошибкой исполнения
коррекции, становятся тождественными условиям (10.3.2)4-
4- (10.3.4) задачи 1. Следовательно, полученные ранее свойства п
общее решение оптимальной стратегии коррекции будут спра¬
ведливыми и для данной задачи при замене, где это необходимо,
а (би) на ое(6«). В частности, ^опт при наличии ошибок прогно¬
зирования рассматриваемого вида не зависит ни от ошибок про¬
гноза, ни от ошибок исполнения коррекции, а определяется толь¬
ко отношением ошибок выведения к требуемой точности реали¬
зации корректируемого параметра.
Задача 3. Пусть в отличие от предыдущей задачи ошибки
прогнозирования зависят не только от времени окончания изме-
)ений, но и от интервала времени, на котором проводятся изме¬
рения, причем
=Ж7-^•)=й/1/к1(/к/)+7-^—/К1(М-	(10.3.10)
к;	к/—1
Принятая модель ближе к реальной зависимости ошибок про¬
гнозирования при измерениях, выполняемых наземными радио¬
техническими станциями, н позволяет показать те сложности,
которые возникают в задаче оптимизации стратегии коррекции
в этом случае. Во-первых, невозможно провести разделение за¬
дачи и отдельно определить оптимальные времена проведения
последних коррекций исходя только из требований точности без
оптимизации всей стратегии в целом, так как ошибки прогнози¬
рования и затраты топлива па проведение каждой коррекции
270

зависят от проведения двух соседних коррекции. Такая задача
может решиться либо сведением ее к эквивалентной задаче на
безусловный экстремум, либо одним из методов поиска опти¬
мальных решений, рассмотренных в разд. 10.2. Следующая осо¬
бенность связана с тем, что условия оптимальности для каждой
коррекции при заданных временах последующих коррекций име¬
ют сложный вид и получить общее решение системы невозможно.
Для качественной характеристики свойств оптимальной страте¬
гии методом сечений для некоторых частных значений ошибок
выведения, прогнозирования и исполнения коррекции были опре¬
делены оптимальные времена проведения коррекций для крите¬
рия	Число коррекций принято g~4, зависимость /'кДД;) —
гиперболической; время последней коррекции не изменялось.
Исследования показали, что в большом диапазоне изменения
параметров модели ошибок прогнозирования, характеризуемых
значениями коэффициентов од, а,-2 в интервале 0—10, основные
свойства оптимальной стратегии коррекции, полученные в зада¬
чах 1 и 2, сохраняются. Однако существует область значений а;2,
размеры которой уменьшаются с увеличением ад, где свойства
нарушаются для 1- и 2-й коррекций, по выполняются для 2-, 3-,
4-й коррекций. Это объясняется тем, что при оптимальной стра¬
тегии коррекции для гиперболической зависимости	первые
коррекции в задачах 1 и 2 должны проводиться на ранней ста¬
дии полета и интервал навигационных измерений очень мал.
Поэтому при наличии ошибок прогнозирования, зависящих от
навигационного интервала, существенно возрастают ошибки
прогнозирования, особенно для 1-й коррекции. Увеличение оши¬
бок прогнозирования приводит к необходимости сдвига времени
проведения 1-й коррекции, так как затраты топлива значительно
возрастают, если она будет проводиться в те же времена, что и
для задач 1 и 2. Такая коррекция уже не является оптимальной
для задачи 3 и для уменьшения энергетики 1-й коррекции необ¬
ходимо более позднее ее проведение. Влияние величины навига¬
ционного интервала па ошибки прогнозирования для последую¬
щих коррекций мало, так как сами интервалы сравнительно ве¬
лики и уменьшение ошибок прогнозирования за счет увеличения
интервала не является превалирующим. Таким образом, опти¬
мальная стратегия коррекции в рассматриваемом случае облада¬
ет следующим свойством: в точках оптимальной коррекции част¬
ные значения критерия качества тх [u(fKj)J Для 2-, 3-, 4-й коррек¬
ций равны между собой, а для 1-й коррекции превышает их в
1,54-2 раза.
В заключение отметим, что полученные в этом разделе свой¬
ства оптимальной стратегии однопараметрической коррекции
можно распространить на более сложный случай двух- и трех¬
параметрических коррекций, если корректируемые параметры
взаимно независимы, а начальные отклонения корректируемых
параметров и ошибки их прогнозирования некоррелированы.

ЧАСТЬ III
АЛГОРИТМЫ РЕШЕНИЯ
НАВИГАЦИОННЫХ ЗАДАЧ
В третьей части книги рассматриваются методы и алгоритмы
решения навигационных задач. Решение таких задач в наземных
центрах управления полетом или на борту КА проводится в ходе
полета аппарата по информации, поступающей от наземных или
бортовых измерительных устройств. По существу такие алгорит¬
мы функционально являются основной частью системы управле¬
ния. Естественно, что требования, предъявляемые к алгоритмам
такого рода, существенно отличаются от требований, предъяв¬
ляемым к алгоритмам решения различных исследовательских
задач. Для рассматриваемых алгоритмов фактором первостепен¬
ной важности является возможность обеспечить надежное реше¬
ние задачи в строго ограниченный промежуток времени. В соот¬
ветствии с этим следует избегать корректировки алгоритма,
используемого в системе управления, в процессе самого управ¬
ления при выявлении различных неучтенных факторов, т. е.
алгоритм должен быть как можно более универсальным. Процесс
анализа правильности полученного решения оператором назем¬
ного центра управления полетом или пилотом космического ко¬
рабля должен быть сведен к минимуму или по возможности ис¬
ключен. Последнее условие особенно важно при решении задачи
на борту космического аппарата. В соответствии с этим решение
навигационной задачи должно быть в высокой степени автомати¬
зировано. Исходя из сказанного выше алгоритм должен обеспе¬
чить возможность решения навигационных задач для широкого
класса траекторий, как близких к номинальным, так и нерасчет¬
ных; он должен быть мало чувствителен к измерительной ин¬
формации, содержащей грубые ошибки. Кроме того, существен¬
ное влияние на выбор алгоритма оказывают объем памяти п
быстродействие используемых вычислительных средств.
Решение навигационной задачи на отдельном навигационном
интервале обычно проводится в два этапа: ко измеренным вели¬
чинам определяются параметры траектории, а затем по получен¬
ным параметрам вычисляется корректирующий импульс. Реше-
272

яие\этпх задач сводится к решению системы нелинейных урав¬
нений и ввиду сложности последних проводится численными ме¬
тодами.
В\решаемые уравнения входят некоторые функции, для рас¬
чета которых используется зависимость текущего вектора со¬
стояния от параметров траектории, в дальнейшем называемая
математической моделью движения КА.
Соответственно отмеченным выше структурным особенностям
навигационного алгоритма произведено распределение материа¬
ла по главам. В гл. 11 рассматривается математическая модель
движения КА, в гл. 12 даются методы решения нелинейных урав¬
нений.
Основное внимание при изложении материала этих двух глав
уделяется специфическим особенностям методов, вытекающим из
их использования в навигационном алгоритме. В гл. 13, 14 на
основе материала первых двух глав синтезируются алгоритмы
определения траектории по измерительной информации и расче¬
та коррекций и маневров.
Г л а в а 11
МАТЕМАТИЧЕСКАЯ
МОДЕЛЬ ДВИЖЕНИЯ
Одной из основных составных частей алгоритма решения на¬
вигационной задачи является математическая модель движения
аппарата, т. е. алгоритм определения вектора состояния КА по
параметрам траектории. От характеристик этого алгоритма во
многом зависят характеристики навигационного алгоритма в
целом.
Точность расчета текущего вектора состояния зависит от сте¬
пени полноты учета системы сил, действующих на КА. Для до¬
стижения заданной точности расчетов учет действующих сил
должен быть достаточно полным; в этом случае движение описы¬
вается системой дифференциальных уравнений, допускающей
только численные решения. Такую модель движения в дальней¬
шем будем называть точной моделью движения. Для сокращения
времени, затрачиваемого па проведение расчетов, в навигацион¬
ном алгоритме наряду с полной моделью движения целесообраз¬
но использовать приближенную модель движения. Возможность
использования такой модели объясняется тем, что на отдельных
этапах решения навигационной задачи (при расчете начального
приближения, расчете производных) требования к точности мо¬
гут быть ослаблены. Приближенная модель движения может
быть получена в виде простых конечных соотношений, получае¬
мых в рамках задачи двух тел.
Сформулированные задачи решаются классической небесной
Механикой. Однако использование модели движения КА в нави¬
273

гационном алгоритме привело в последнее время к разработке
новых алгоритмов расчета текущего положения КА, отличаю,
щихся от классических. В задаче двух тел были получены прос¬
тые соотношения, связывающие начальный и текущий вектор со¬
стояния, и этим уравнениям был придан единый вил для; всех
типов орбит. Несколько видоизмененный подход используется ц
в задаче определения текущего вектора состояния по двум по¬
ложениям КА в известные моменты времени. В настоящей главе
излагаются методы расчета текущего вектора состояния КА, в
основном развитые в последнее время и удобные для использова¬
ния в навигационном алгоритме.
11.1.	ЗАДАЧА ДВУХ ТЕЛ.
ОСНОВНЫЕ СООТНОШЕНИЯ
В настоящем разделе приводятся основные соотношения
классической задачи двух тел. Вопросы получения таких соот¬
ношений подробным образом излагаются во многих руководст¬
вах по небесной механике (например, [35]), поэтому здесь вывод
большей частью опускается.
Дифференциальное уравнение движения КА в центральном
гравитационном поле, характеризующемся гравитационной по¬
стоянной ц, имеет вид
г
(11.1.1)
где г — радиус-вектор КА в системе координат с началом в при¬
тягивающем центре.
Уравнение движения (11.1.1) имеет следующие первые инте¬
гралы:
—	интеграл энергии
v~ =	(11.1.2)
Г
—	интеграл площадей
rXv = c;	(11.1.3)
—	интегралы Лапласа
—^r — rrv = f.	(11.1.4)
Здесь h, с, f—произвольные постоянные интегрирования;
v — вектор скорости КА.
Между семью произвольными постоянными существуют сле¬
дующие соотношения:
(cf) = O; | f |2 = ^ + /z I c |2.	(11.1.5)
Умножая (11.1.3) скалярно на г, получим
(сг)=0,
(11.1.6)
274

j. el движение происходит в плоскости, проходящей через на-
(алД координат и перпендикулярной вектору с.
Линия пересечения плоскости, в которой происходит движе¬
ние тела, с плоскостью ху выбранной системы координат назы¬
вается линией узлов. Восходящий узел есть точка, в которой те¬
ло пересекает плоскость ху с положительной составляющей ско¬
рости в направлении оси z.
Орбита КА представляет собой кривую второго порядка. Точ¬
на орбиты, ближайшая к притягивающему телу, называется пе¬
рицентром. Для задания положения КА часто выбирается орби¬
тальная система координат gT]£. Оси § и т] этой системы коорди¬
нат выбираются в плоскости орбиты КА, причем положительным
направлением оси g считается направление на перицентр, поло¬
жительное направление оси £ совпадает с положительным на¬
правлением вектора с, ось р дополняет систему до правой.
Орбита КА определяется шестью величинами. Этими величи¬
нами могут быть постоянные интегрирования в формулах
(11.1.2) н-(11.1.4) и время прохождения через перицентр Д, опре¬
деляющее некоторое начальное положение КА на орбите. Однако
более часто в небесной механике движение задается величинами,
имеющими более наглядный характер. Положение плоскости ор¬
биты задается двумя углами: наклонением i и долготой восхо¬
дящего узла Q. Наклонение орбиты есть угол между вектором с
и осью z, долгота восходящего узла есть угол между осью х и
направлением из притягивающего центра на восходящий узел,
отсчитываемый от оси х против часовой стрелки, если смотреть
с положительного направления оси z. Угол w, отсчитываемый в
направлении движения от восходящего узла до направления на
перицентр, называется аргументом перицентра и задает положе¬
ние орбиты в плоскости движения. Форма орбиты как централь¬
ной кривой второго порядка может быть задана двумя величи¬
нами: фокальным параметром р и эксцентриситетом е.
Положение КА на орбите в текущий момент времени задает¬
ся обычно истинной аномалией ft или аргументом широты и =
='&+w; истинная аномалия есть угол между направлением на
КА и направлением на перицентр, отсчитываемый от последнего
в направлении движения. Используя первые интегралы
(11.1.2) н-(11.1.4), можно получить основные соотношения, даю¬
щие возможность рассчитать положение и скорость КА в задан¬
ный момент времени по элементам орбиты.
Уравнение кривой второго порядка, описывающей орбиту, как
известно, имеет следующий вид:
г=	.	(11.1.7)
1 + е cos II
Радиальная vr п трансверсальная щ скорости КА определяются
формулами
275

Переход к координатам и компонентам скорости в произвольной
системе координат может быть осуществлен по формулам
r=rir;
v = wrir + wxiT,
(11.1.9)
где единичные векторы ir и i- есть
cos и cos 2 — sin и sin 2 cos i
cos и sin 2 + sin и cos 2 cos i
sin и sin i
(11.1.10)
—	sin и cos 2 — cos и sin 2 cos i
—	sin и sin 2 cos и cos 2 cos i
cos и-cos I
Формулы (11.1.7) — (11.1.10) позволяют вычислить вектор
состояния по элементам орбиты и истинной аномалии. Для вы¬
числения вектора состояния по элементам и моменту времени не¬
обходимы соотношения, связывающие истинную аномалию и вре¬
мя. Эти соотношения имеют различный вид для эллипса, пара¬
болы и гиперболы. При этом вместо переменной ft вводятся
новые переменные: эксцентрическая аномалия Е для эллиптиче¬
ской орбиты и переменная Н для гиперболической орбиты, свя¬
занные с истинной аномалией соотношениями:
г cos й = д (cos Е— е);
(11.1.11)
г sin В = д у 1 — е1 sin Е\
(11.1.12)
г cos 8=л (ch Н —е);
(11.1.13)
г sin 9 = — а У ё1 — 1 sh Н,
(11.1.14)
где а= — ц//г = р/(1 — е2) —большая полуось орбиты.
При этом расстояние от притягивающего тела
через указанные переменные следующим образом:
выражается
г = а (1 — ecosE)	(е<1, эллипс);
(11.1.15)
r= — a(ech Н~ 1)	(е>1, гипербола). (11.1.16)
Уравнение, позволяющее найти эксцентрическую аномалию в
заданный момент времени, носит название уравнения Кеплера:
Аналогом этого уравнения в случае движения по гиперболе яв¬
ляется уравнение
esh//-//=-А).	(11.1.18)
(-а)3'2
В случае движения по параболе существует непосредственная
зависимость истинной аномалии от времени, даваемая уравне¬
нием
tg v+Ttg3T=(11лл9}
11.2.	РЕГУЛЯРИЗИРОВАННЫЕ УРАВНЕНИЯ ЗАДАЧИ ДВУХ ТЕЛ.
РАСЧЕТ ТЕКУЩЕГО ВЕКТОРА СОСТОЯНИЯ ПО НАЧАЛЬНОМУ
Наиболее удобными для использования в навигационном ал¬
горитме являются формулы, непосредственно связывающие на¬
чальный и текущий векторы состояния. Желательно также, что¬
бы эти формулы не имели особенностей для круговых и парабо¬
лических орбит, а также в случае прямолинейного движения.
Наиболее просто такие формулы получаются интегрированием
регуляризированных уравнений движения.
Введем в уравнение движения (11.1.1) вместо независимой
переменной t новую независимую регуляризированную перемен¬
ную тр, связанную с первой соотношением
(11.2.1)
]/>
В результате замены получим уравнение
где штрихом обозначается дифференцирование по новой пере¬
менной Тр.
Умножая обе части уравнения (11.2.2) на величину г'г~2, лег¬
ко получить интеграл энергии:
(г')2 = 2г-|-/грг2.	(11.2.3)
Постоянная интеграла энергии hp выражается через начальные
условия:
АР = -^	-	(И-2.4)
г2	'О
или, если вместо регуляризированной скорости г' использовать
обычную скорость, то
vo	2'
hv = —	(11.2.5)
Р	г0
277

Дифференцируя дважды очевидное тождество
г2 = (гг),	(11.2.6)
получим
rr' = (rr'), rr" + r'! = (rr") + r'2.	(11.2.7)
Используя (11.2.7) и интеграл энергии, легко получить уравне¬
ние для г:
r" = hpr-\-l.	(11.2.8)
Чтобы получить интегралы Лапласа, введем вспомогательную пе¬
ременную
г*=г'.	(12.2.9)
Из соотношения (11.2.8) и соотношения, полученного путем его
дифференцирования по тр, получим
г"' = — г"- —	(11.2.10)
Г	г
ИЛИ
г*'=— г*'- —.	(11.2.11)
Г	г
Это уравнение имеет тот же вид, что и (11.2.2). Для получения
интегралов Лапласа из уравнения (11.2.11), умноженного на г,
вычтем уравнение (11.2.2), умноженное на г*:
(rr*'-r*r')'=— (rr*'-rV),	(11.2.12)
г
откуда
rr*'-rV = fpr.	(12.2.13)
Здесь fp есть вектор произвольных постоянных интегрирования.
Интегралы Лапласа позволяют существенно упростить си¬
стему (11.2.2). Согласно (11.2.8) получим
г*'=йрг+1.	(11.2.14)
Используя (11.2.13) и (11.2..14), находим
Vr+r-r'r=fpr,	(11.2.15)
откуда
h‘pr-i?=-^r'—±- .	(11.2.16)
к г	г
Таким образом, уравнение (11.2.2) можно записать в виде
r" = Apr-fp.	(11.2.17)
Дифференцируя (11.2.17) по тр, получим уравнение для регуля-
ризированной скорости
(г')"=Лрг'-	(11.2.18)
278

Таким образом, координаты и компоненты регуляризированной
скорости удовлетворяют системе линейных уравнений с постоян¬
ными коэффициентами, в которых переменные разделены. Ана¬
логичному уравнению удовлетворяет и модуль радиуса-вектора.
Как известно, общее решение линейного уравнения с постоян¬
ными коэффициентами z/" = £i*tp + ^2* имеет различный вид в за¬
висимости от знака величины ki*:
у — с\ cos у — &1Тр-|	-	sin у —ki тр-ф
-ф-^-(соз]Л — kit — 1),	£1<0;
ki
у = с* ch	Тр -|	sh k[ тр -ф
—фф (ch Vk\ Тр— 1), £i>0;
А
*
* I * i ^2	9	(.* л
У=С1-фс2Тр-ф-у-Тр, £1 = 0.
(11.2.19)
J
Для того чтобы решение имело единый вид, введем следующие
специальные функции:
1	т
| Т/" — sin
(l/T)3	’
т>0,
S (г) =	1	.
v '	3!	5! 1 7!
sh}/ — т — 1/ — т
т<0,
(/~)3
1 — COS l/T
о
1
ch ~\/~ — т — 1
I 	,
I —т
т>0,
т<0.
)
Через вновь введенные функции выражаются как тригономет¬
рические, так и гиперболические функции
sin т=т [1—x2S (т2)],	1
sh т = т [1 -ф t2S (— т2)],
cos т = 1 — т2С (т2),
(11.2.21)
ch т = 1-фт2С (—т2).
279

Используя (11.2.21), общее решение приведенного выше ли¬
нейного уравнения при любом k 'i можно записать в виде
У = < [ 1 + ФрС ( ~ Ф₽)] + Фр [1 + Ф^ (- Ф₽)] +
+ ф2С(-ф2).	(11.2.22)
Таким образом, общее решение уравнений (11.2.8) и (11.2.17)
будет иметь вид
г =	[1 + VpC (- Фр)] + ФР[1+Фр8(-ф^)] +
+т2С(-ф2);	(11.2.23)
г = Ci [ 1 + ф2С (-ф2)] + с2тр [ 1 + фр3 (-ф2)] + fpT*C (- ф2)
Используя формулы дифференцирования тригонометрических и
гиперболических функций, легко получить следующие соотно¬
шения:	,	;
Ф- {тр [1 + ф^(-ф2р)]) = 1 + ф2С(-Ар^);
а -р
{1 +АрТрС(— фр)}=фр [1 + ApTpS(— фр)];
-ф-=ф [ 1 - TpS (тр) - 2С (г,) J.
атр	/Тр
(11.2.24)
Из уравнения (11.2.1) с учетом (11.2.23) получим
Vр./ = С1Тр [ 1 + ApTpS ( — фр) + фрС( — ф₽) +
-|-TpS ( —йрТр).	(11.2.25)
Выражения для производных радиуса-вектора и его модуля
получаются дифференцированием формул (11.2.23):
г' = фрТр [ 1 + ApTpS ( — фр)] + с\ [ i -ф фрС ( — фр)] +
-|-Тр-(-ApTpS (— Aptp);	(11.2.26)
г' = С1фр [ 1 -ф ApTpS (— фр)] + с2 [1 + фрС (- фр)] +
fP [tp + ^ptpS (— фр)].
Выразим входящие в уравнения (11.2.23), (11.2.25) и (11.2.26)
произвольные постоянные и константу fp через начальные усло¬
вия. Учитывая, что при тр = 0 г = го и г'=г0', получим
гфг0; су=у с^Го; с2 = ф (11.2.27)
280

Переходя от производных по тр к производным по t, получим
сУ= ■ = (roV^ ;	с2=—^v0.	(11.2.28)
V р V ?	V и.
Выражение для константы fp через начальные условия легко по¬
лучается из (12.2,16):
fP=(Ap--^-)ro	7^^'	(Н.2.29)
Таким образом, если выразить произвольные постоянные через
начальные условия и ввести обозначения:
-Z1 = t2pC(-Vp); -z2==^S(-Ap^); Д*=-^; (11.2.30)
g = l—А_(т +V2);	(11.2.31)
Го	гго
f =	' ТрН	Т^ЛрХ2 + —f= —(l +Лр’Х1Н	(тр+ ЛрХ2),
Ур	14	г	г Р
(11.2.32)
то соотношения (11.2.23), (11.2.25) и (11.2.26) можно записать в
следующем виде:
г = А* (тр-|- Ap-z2)-|- (1 г0Ар)-Zjro!	(11.2.33)
Az1-|-(1 + ro^p) y-2~br отр‘>	(11.2.34)
r=gr0 + /v0;	(11.2.35)
v = gr0 + /v0.	(11.2.36)
Выражения (11.2.32) для f и / можно упростить. Используя фор¬
мулу (11.2.34), коэффициент f можно привести к виду
/=/	7^-	(11.2.37)
У?
Выражая из (11.2.33) величину —(тр+Арх2) и подставляя ее в
формулу для коэффициента / (11.2.32), последний можно пре¬
образовать к виду
/=1-^1.	(11.2.38)
г
Совокупность формул (11.2.34)4-(11.2.36) используется для
расчета текущего вектора состояния; при этом величины, входя¬
281

щие в эти формулы, рассчитываются по соотношениям
(11.2.30), (11.2.31), (11.2.37) и (11.2.38). Из уравнения (11.2.34),
которое представляет собой уравнение Кеплера, записанное в
универсальной форме, определяется значение регуляризирован-
ной переменной тр, затем по формулам (11.2.35) и (11.2.36) мо¬
гут быть вычислены текущие значения радиуса-вектора и век¬
тора скорости. Приведенные соотношения справедливы для всех
видов орбит, включая также все типы прямолинейного движения.
Установим связь между переменной тр и величинами, исполь¬
зуемыми в классической небесной механике. Дифференцируя
формулы (11.1.17), (11.1.18), (11.1.19) и учитывая соответствую¬
щие выражения для радиуса (11.1.15), (11.1.16) и (11.1.7) (в
последнем выражении е= 1), получим
dE	~\^ [х
1	rf'tp
1
dH
V*
1 1
dt	г
W dt
V а
dt
г
1/	1/
V — a	V — a
Фт).
1
1
dt
Г
V7
dt
V~P ’
откуда
тг=1/а(£' —До)—	для эллипса;	(11.2.39)
V-h9
— а(Н — Нп}=—~для гиперболы; (11.2.40)
V Лр
rp = }/Jo/'tg-^—для параболы.	(11.2.41)
11.3. РАСЧЕТ ТЕКУЩЕГО ВЕКТОРА СОСТОЯНИЯ
ПО ДВУМ ПОЛОЖЕНИЯМ КА
Пусть в системе координат с началом в притягивающем теле
заданы два положения КА в два известных момента времени.
Введем следующие обозначения. Радиус-вектор КА в момент Л
обозначим через гь радиус-вектор КА в момент /2 обозначим че¬
рез г2 и
<? = |г2 — гД;	(11.3.1)
«=—(Г1 + г2+с)-	(11.3.2)
Задача определения вектора состояния в любой текущий мо¬
мент времени сводится к определению параметров траектории,
по которым затем может быть рассчитан текущий вектор состоя¬
ния. В том случае, если известна большая полуось орбиты, рас¬
чет остальных параметров не вызывает затруднений. Будем счи¬
282

тать большую полуось орбиты заданной. Известно, что если
а<ат,	(11.3.3)
где
(И.3.4)
то не существует эллипса с заданной большой полуосью, прохо¬
дящего через две заданные точки; если
а = ат,	(11.3.5)
то существует единственный эллипс, проходящий через две за¬
данные точки; если
а>ат,	(11.3.6)
то существуют два эллипса с заданной большой полуосью, про¬
ходящие через две заданные точки. Эллипс с большой полуосью
а = ат называется эллипсом минимальной энергии. Прямая, про¬
ходящая через заданные точки, делит плоскость, определяемую
векторами и и г2, на две полуплоскости. При а>ат для одного
из эллипсов оба фокуса будут лежать в одной полуплоскости,
для второго — в разных полуплоскостях. Эти эллипсы будем на¬
зывать соответственно эллипсами первого и второго видов. При
а = ат свободный фокус эллипса лежит на границе двух полу¬
плоскостей, т. е. на прямой, соединяющей обе точки. Зададим на¬
правление облета притягивающего центра. Пусть направление
облета выбрано так, чтобы выполнялось условие
д& = &2 — Dj < л.
Тогда при заданной большой полуоси, если выполняется ус¬
ловие (11.3.6), перелет от одной точки к другой может быть вы¬
полнен за промежуток времени Д6, если полет проходит по эл¬
липсу первого вида, и за промежуток времени Д71, если полет
проходит по эллипсу второго вида. Если сменить направление
облета, то времена полета будут равны соответственно:
Д/2
3/2
- д^;
д/2
2ла3'2
2ттд
Будем различать эллиптические секторы двух родов: эллиптиче¬
ские секторы первого рода, когда свободный фокус лежит вне
сектора эллипса, стягиваемого дугой, по которой происходит по¬
лет, и эллиптические секторы второго рода, когда свободный
фокус лежит внутри сектора эллипса, стягиваемого дугой, по ко¬
торой происходит полет. Если полет проходит по эллипсу пер¬
вого вида, то при Д-&<180° сектор будет первого рода и при
283

Д&>180° сектор — второго рода; если полет проходит по
эллипсу второго вида, то при Л^<180° получается сектор вто-
рого рода, а при ДФ>180°—сектор первого рода. Таким обра¬
зом, если задано направление облета, при заданной большой по¬
луоси и выполнении условия (11.3.6) получается два времени по¬
лета, причем одно соответствует полету по дуге, ограничивающей
сектор первого рода, а второе — полету по дуге, ограничивающей
сектор второго рода. Обозначим время полета по эллипсу ми¬
нимальной энергии через A/mi, если ДФ<180°, и через Д/т2, если
ДФ> 180°. Тогда справедливы следующие неравенства:
д^1 <Z
(11.3.71
д/j О д/т1,
откуда следует
Д^2
(11.3.8)
д/2 <7 д/т2,
т. е. при заданном направлении облета время полета по дуге,
ограничивающей сектор первого рода, меньше времени полета
по эллипсу минимальной энергии, а время полета по дуге, огра¬
ничивающей сектор второго рода, больше времени полета по эл¬
липсу минимальной энергии. В том случае, если постоянная
энергии Л = 0, полет происходит по параболе. Через две задан¬
ные точки при заданном фокусе возможно провести две парабо¬
лы. Эти две параболы соответствуют двум различным направле¬
ниям облета, т. е. одна из парабол получается при ДФ<180°, а
вторая — при ДФ>180°. Время полета по первой параболе обо¬
значим Д/П1, время полета по второй — Д/П2.
Пусть задана положительная постоянная энергии, т. е. по¬
лет происходит по гиперболе с заданной большой полуосью.
В этом случае через две точки возможно провести две гипербо¬
лы, которые будут соответствовать двум различным -направле¬
ниям облета притягивающего центра, т. е. одна из гипербол со¬
ответствует ДФ<180°, вторая — ДФ>180°. Время полета по пер¬
вой будем обозначать Д//, время полета по второй Д/2*-
Справедливы следующие неравенства:
Д^1 7>	Д^1 Д/П1 Д/ь
(11.3.9)
Д/2 д/т2 > Д^п2 >
Таким образом, при заданном направлении облета и ДФ<2л су¬
ществует единственное решение для постоянной энергии, при
которой обеспечивается заданное время полета.
Приведенные выше закономерности вытекают из простых гео¬
метрических соображений. Вывод этих закономерностей можно
найти в работе [67].
284

Для расчета большой полуоси орбиты (постоянной энергии)
обычно используется уравнение Ламберта — Эйлера. В послед¬
нее время этому уравнению придана универсальная форма запи¬
си, единая для всех видов орбит, л выведены формулы, позво¬
ляющие вычислить вектор скорости КА в одной из точек. Алго¬
ритм с использованием универсального уравнения Ламберта
является наиболее компактным, если рассматривать его изолиро¬
ванно от остальных алгоритмов навигационной задачи. Однако
если рассматривать характеристики навигационного алгоритма
в целом, целесообразно более полное использование уже имею¬
щихся формул. В настоящем разделе будет рассмотрен метод
расчета, основанный на формулах, приведенных в разд. 11.2.
Получим зависимость переменной xi от величин rh г?_ и с.
Рассмотрим движение по эллипсу. Из геометрических сообра¬
жений следует
с- —г% -фг2 — 2rxr2 cos д!) = (г1-|-г2)-2 —	cos2 АД. . (11.3.10)
Согласно (11.1.15) можно записать
rt = a(l — ecosfj;
(11.3.11)
r2=a (1 — е cos Д2).
Складывая эти выражения, получим
I	п /1	— Е\	Е2 + Е}
r-^r.=E2a l — е cos —		- cos —		r
\ 2 2
Далее из (Н.1.15), (ll.l.ll) и (П.1.12) следует
/г sin-y = /a(l + e) sin -|-;
У (11.3.12)
(11.3.13)
Используя соотношения (11.3.13), получим
1 r^cos — =1/^2 (coscos+
=а(1—е) cos cos -у -ф- а (1 -ф-г) sir
ДЕ	Е2-\- Е-
— a cos	ае cos —		г
2 2
Если ввести обозначение
(11.3.15)
285

то (11.3.12) и (11.3.14) можно записать
Г1 + г2^=2а(1 — cos-у-cos х) ;
	 д& / Д£	\
у ггг2 cos —- = а I cos —	cos /I .
Подставляя (11.3.16) и (11.3.17) в (11.3.10), находим
о . Д£ .
с = 2а sin 	sin y.
2
(11.3.16)
(11.3.17)
(11.3.18)
Из зависимостей (11.3.16) и (11.3.18) следует
Г1 + г2 + с
2
а 1 — cos
s_ c = '-.+^ =a |4 _ cos	z)j.
Введем обозначения:
pi=z+—; р2=х-—•
Обратная зависимость будет
№ = Э1 — Зг .	= Pi + Зг
2 2 ’ * 2
Используя введенные обозначения, из (11.3.19) получим
. п 3]	5	’	9 32	С
sin2— =■—■; sin2 —=	.
2 2а	2 2а
Исследуем знаки величин sin -у, sin-у, cos-у,
смотрим случай, когда
0 < д&<2л.
(11.3.19)
(11.3.20)
(11.3.21)
(11.3.22)
cos — . Pac-
2
(11.3.23)
Тогда и 0<^Д£<^2л. Отсюда, учитывая (11.3.15), следует
0< —<л;	— ,
2	2	9	2	2
(11.3.24)
т. е.
sin— >0; cos —^-0.	(11.3.25)
2 2
Далее, равенство (11.3.14) можно переписать следующим обра¬
зом:
]/r1r2cos y- = 2asin-у cos у ,	(11.3.26)
286

•
откуда видно, что знак sin — совпадает со знаком cos — •
2 2
Определим теперь знак cos-у-. Рассмотрим бесконечно узкий
сектор, для которого Е2^.ЕХ. Очевидно, что это будет сектор
первого рода. Для этого сектора дД/2^0 и р1 = р2=}<. Отсю¬
да следует, что cos -|k—cos -у > 0. Заметим далее, что cos—
обращается в нуль только при выполнении условия sin —=1,
т. е. при s—2a. Это условие, как отмечалось ранее, означает,
что свободный фокус лежит на прямой, соединяющей обе
точки, т. е. является условием границы секторов первого и
второго рода.
Из условий, что cos у-=0 только на границе сектора пер¬
вого рода и для одного из секторов первого рода cos — >0,
в силу непрерывности зависимости cos-у от величин гь г2 и
s вытекает, что для всех секторов .первого рода cos-y^>0.
Чтобы выяснить знак cos -у для секторов второго рода, вве¬
дем понятие дополнительного сектора. Дополнительный сектор
получается вычитанием из эллипса данного сектора. Величины,
относящиеся к дополнительному сектору, будем помечать ин¬
дексом d. Движение по дуге эллипса, ограничивающей дополни¬
тельный сектор, будем также считать проходящим от точки, ра¬
диус-вектор которой есть Г], к точке, радиус-вектор которой есть
г2. Учитывая (11.2.23), для дополнительного сектора можно по¬
ложить Eid=—Ei, Е2а = 2л — Е2- Отсюда вытекают следующие
равенства:
bEd = 2x — ДД; —2=л 5
(11.3.27)
Для эллиптического сектора второго рода очевидно дополни¬
тельным сектором будет сектор первого рода. В этом случае оче¬
видно, что
287

Введем следующие величины:
А(+1	0<д&<180=;
1	(-1	180° < Д&<360 ;
(И.3.29)
^2=sign	J
сектор первого рода;
сектор второго рода.
Тогда из условия (11.3.22) с учетом проведенного анализа зна¬
ков следует
(11.3.30)
Перейдем непосредственно к определению величины %[. Из
(11.2.30) и (11.2.20) следует, что для эллипса
У.1= 1~cos(g2~jgl)- = а;[1 — cos(£2-£1)] = 2asin2^£1. (11.3.31)
— Лр	2
Учитывая (11.3.21), выражение (11.3.31) можно переписать в
следующем виде:
—2а Г sin —- cos — — cos — sin —1”,	(11.3.32)
1 L 2	2	2	2 J
откуда, используя (11.3.30), получим
(11.3.33)
или в окончательном виде:
1/s[2 + Ap(s-c)] — Assign (tm — i) V(s — c) (2 + Aps))2.
(11.3.34)
Рассмотрим движение по гиперболе. Вывод зависимости zi
от величин ri, г2 и с аналогичен выводу подобной зависимости в
случае движения по эллипсу с той разницей, что вместо триго¬
нометрических функций используются гиперболические функции.
Основные моменты вывода следующие.
Вводятся функции
.	,	+ Я,
ch у = е ch -2-	;
2
?i = z + ^; ₽2=Z--y--	(Н.3.35)
288

Обратная зависимость будет
ДЯ	 Pi — Зг .
Pl + P2
2
(11.3.36)
Для вновь введенных величин получаем следующие соотно¬
шения:
2а ’
(11.3.37)
Исследование знаков величин pi и Р2 дает
61 >0;
В2 > 0 при д& <1 л;
32 < 0 при д& > л.
(11.3.38)
Это позволяет из (11.3.37) получить следующие соотношения:
shA = 1/ZZ; chA— 1/ J —	;
2	1/ 2а	2 V	2а
	.		 (11.3.39)
shh. = ^l/-S_ZL£; Ch-^-1/ 1-^.
2	1 К	2а	2 у	2а
Величина kx в формулах (11.3.39) определяется выражением^
(11.3.29). Величина %i для гиперболы будет определяться вы¬
ражением
•z1 = -a[ch(//2-//J- 1]=--2ash2-^- .	(11.3.40)
Учитывая (11.3.36), получим
sh -^-=sh — ch — — ch— sh — ,	(11.3.41),
2 2 2 2 2
откуда следует
«■=2[/f	("-зл2)
или
{/s[2 + /zp(5-с)]-^У(5-с)(2 + М)2-	(11-3.43)
Учитывая, что в случае, когда полет происходит по гипербо-.
ле, всегда tm>t, получим, что формула (11.3.34) справедлива и
в этом случае. В силу непрерывности зависимости X] от hp эту
формулу можно использовать и в случае, когда полет происхо¬
дит по параболе, при этом не возникает особенностей, связанных
с тем, что /ip = 0.
10—3490
289

Остановимся на вычислении переменной тр по известной ве¬
личине Xi. Исключим вначале случай, когда КА движется по эл¬
липсу и ДЕ>л. Значение переменной тр, получаемое в этом слу¬
чае, обозначим Трь Тогда исходя из определения величины
< 1,1-2.30) и определения функции С (11.2.20) получим
tpi —
2
—	arc s
/-Лр
2	t,
	— arsh
ГлР
%1-, ЛР<0;
LZ2
vir„ 1/-Д
v p '	• , A₽>0.
у 2
Исходя из представлений функций arcsin х и arshx в
зависимость (11.3.44) можно представить в виде
виде рядов
где функция К(х) определяется выражением
(11.3.46)
вычисления
для
в правой части,
функции К(х) в
Непосредственное использование (11.3.46)
К(х) нецелесообразно, так как ряд, стоящий
сходится только при |х|< 1. Для вычисления
диапазоне 1<х<оо можно использовать ряд практических прие¬
мов. Укажем на один из них. Аргумент функций arcsin х и arshx
может быть приведен к меньшему интервалу последовательным
применением следующих преобразований:
arcsin х=2 arcsin xY;
arsh х=2 arsh х1(
тде
		 для функции
1/2(1 + /1- х2)
Х1 =
arc sin х;
		 для функции
К 2(1 +У1 +х2)
arsh х.
х
После того как аргумент введен в заданный интервал, может
быть использовано разложение функций в ряд.
Применяя описанную процедуру к выражению (11.3.44), по¬
лучим следующий алгоритм для вычисления функции К(х):
К(х) = г/пК(хД	(11.3.47)
290

где i)n и хп вычисляются с помощью следующего итерационного
процесса:
2H+i = 2 (1| 1-|-хл);
(11.3.48)
„	х" .	,,	%Уп
1 + 1  	 , У:: + 1  ",	•
Z'^	/2л + 1
Начальные значения итерационного процесса следующие:
л0 = х; г/о=1.
(11.3.49)
Итерационный процесс заканчивается, когда величина хп будет
введена в заданный интервал.
Таким образом, величина tpi может быть вычислена по фор-
/Йрх1\
муле (11.3.45), где функция К 1—^-1 вычисляется с помощью
формул (11.3.47) — (11.3.49) при х= -у-1 , функция К(хп)
вычисляется по формуле (11.3.46) при х=хп. Если оканчивать
итерационный процесс (11.3.48) при хп<2-12, то в ряде (11.3.46)
можно ограничиться тремя-четырьмя членами.
Рассмотрим теперь случай, когда КА движется по эллипсу и
ДЕ>л. В этом случае переменную тр можно определить по фор¬
муле
Таким образом,
тф—	__ tpj.
Р -йр
эллипс (ДЕ < 180°), парабола, гипербола;
эллипс (дЕ>180°).	(11.3-.50)
Найдем условия, определяющие область, в которой лежит
величина 1хЕ. Отметим здесь, что знаки величин л—txE и
л—Д1> не всегда совпадают. Из (11.3.17) следует, что знак
Д»	' ХЕ
величины cos	 совпадает со знаком величины cos	cosy.
2 2 л
Таким образом, выполнение неравенства
дй
cos

2
<0
(11.3.51)
ХЕ
cos	— cos
2
ДН	ХЕ
является условием того, что величины cos — и cos — ,
довательно, и величины л — ДЕ и л — Дб имеют разные
а сле-
знаки.
10*
291

'Из (11.3.21) и (11.3.30) следует, что
cos-y-=£2 VBx + kr /Е2;
где
Q   s	s — c
2	2а 2а
Отсюда следует, что условие (11.3.51) можно
дующим образом:
записать сле-
+т<°	(11-3-54)
или, учитывая, что kx и k2 могут принимать значения только +1
или —1,
М2|/ |+К0.	(11.3.55)
Выполнение условия (11.3.55) эквивалентно одновременному
выполнению двух условий:
^3 = ^2<0;	(11.3.56)
Вг>В2.	(11.3.57)
Условие (11.3.57) с учетом (11.3.53) можно преобразовать к виду
(2а — s)(2a — « +	>s(s— с)-
По еле очевидных преобразований получим, что условие (11.3.57)
эквивалентно условию
2(а—$)-[-<? >0.
Если ввести обозначение
ki=— sign (2(а —s) + c},
(11.3.59)
то условием того, что величины тс — ДЕ и тс — ДО будут иметь
различные знаки, будет одновременное выполнение условий
£3<0; />4 < 0.	(11.3.60)
Во всех остальных случаях величины тс — ДЕ и тс — ДО будут
иметь одинаковые знаки.
Таким образом, если задана величина йр, можно по формуле
(11.3.34)	определить величину хь а затем по формулам (11.3.50),
292

{11.3.45), (1 1.3.47), (11.3.48) определить величину тр. Это дает
возможность из универсального уравнения Кеплера (11.2.34) оп¬
ределить величину йр. Положив в универсальном уравнении Кеп¬
лера (11.2.34) и в уравнении (11.2.33) г0 = Г[ и г = г2, получим
г, = А* (тр + Лрх2) + (1 + Mp) z1 + Г1;	(11.3.61)
|Лрг! = Л"х1 —1-( 1 _|~г 1/гр)	TjTp.	(11.3.62)
Выразим из (11.3.61) величину
,	/2 —п —(1 + rifep)
Тр + Лрх2
..Подставив полученное выражение для величины Л*, а также по¬
лученное ранее выражение для тр в (11.3.62), можно получить
уравнение относительно величины йр. Решив это уравнение, мож¬
но найти величину йр, а следовательно, и переменную тр.
После решения уравнения Кеплера относительно величины йр
легко может быть найдена скорость в первой точке. Выражение
, (11.2.35) в этом случае примет вид
(11.3.63)
r2 = ^i + /v1,
(11.3.64)
■откуда
vi=y (Г2-£Г1).	(11.3.65)
Формула (11.3.65) применима всегда, за исключением случая,
’5г2= — iri, когда величина f обращается в нуль.
Более общий путь нахождения вектора скорости следующий.
При решении уравнения Кеплера наряду с величиной /гр полу¬
чается величина Л*. Тогда радиальная скорость будет
т)г1^^-Л*.	(11.3.66)
'•Соответственно тангенциальная составляющая скорости будет
(11.3.67)
Тогда вектор Vj может быть найден по формуле
Vi = ^riiri +	(11.3.68)
где единичные векторы iri и iTi определяются выражениями:
in = —; м=—; п=М1н X К2];
Г1	r2
(11.3.69)
293

n
n ¥= 0;
n = O;
ill .3.70)
i n I
1(0)
Вектор i(„0) в формуле (11.3.70) есть произвольный единичный
вектор, перпендикулярный вектору ir!. Если известны наклоне¬
ние i и долгота восходящего узла Q, то вектор можно найти по
формуле
sin i sin 2
sin i cos 2
cos i
11.3.71)
Если известно только наклонение орбиты i, то компоненты век¬
тора i«0) определяются формулами:
,-(0>	— irix-iriz cos i— irW v sin2z — irlz .
_ 1
i
;(0)	— iriyiriz cos i — i
hi у

1 —
Lnz
= COS
sin2 i — irlz
111.3.72)
11.4. ТОЧНАЯ МОДЕЛЬ ДВИЖЕНИЯ
Точный расчет текущего вектора состояния КА осуществляет¬
ся путем интегрирования уравнений движения. Рассмотрим не¬
которые формы записи этих дифференциальных уравнений..
Уравнения движения КА в прямоугольной системе координат
с началом координат в центральном притягивающем теле, ха¬
рактеризующемся гравитационной постоянной ц, имеют вид
d2r
(11.4.1)
где fB — вектор возмущающего ускорения.
Дифференциальные уравнения могут быть записаны и для
элементов орбиты, которые в невозмущенном движении являют¬
ся постоянными величинами, а в возмущенном движении изме¬
няются. Эти уравнения носят название уравнений в оскулирую-
щих элементах. Если в качестве элементов принять вектор мо¬
мента количества движения с и вектор Лапласа f, уравнения
имеют относительно простой вид.
Так как производная от момента количества движения систе¬
мы (за которую принимается центральное тело и КА) равна мо¬
менту внешних действующих сил, то
de
dt
[Г X f„].
(11.4.2)
294

н айдем производную от вектора Лапласа. Дифференцируя
|(11.1.4), получим
v)r—^v-|-[v X c] + [v X с],	(11.4.3)
dt	г
или, подставляя вместо v его выражение из (11.4.1), получим
=	v)r—— v—Mr Xc] + [fBXc] + [vX с]. (11.4.4)
at r6	r	r3
Подставляя вместо вектора с его выражение из (11.1.3) и рас¬
крывая двойное векторное произведение, получим
~ =КХ c] + [v Хс].
at
Так как между величинами f и с существует зависимость
[см. формулу (11.1.5)], необходимо еще одно уравнение, напри¬
мер, для величины Д. Таким образом, уравнения в оскулпрую-
щпх элементах с и f имеют вид
(11.4.5)
-^=[fBXc] + [vX с];
^- = A(v/B)+АШ
dt
где л‘“йМ13(/~Ч+М|с|,+|lr)ivr); А-^в«Р-1И.
Уравнения (11.4.5) допускают больший шаг интегрирования,
чем (11.4.1), однако при их использовании требуется пересчет от
элементов си f к вектору состояния и обратно.
Рассмотрим еще одну форму записи дифференциальных урав¬
нений движения, называемую формой Энке. В этом случае диф¬
ференциальные уравнения записываются относительно отклоне¬
ния возмущенной траектории от невозмущенной. Положим
г = гэ+3,	(11.4.6)
где г, есть значение радиуса-вектора в невозмущенном движе¬
нии. Эта величина подчиняется уравнению
-^ = -^-гэ.	(11.4.7)
dfl	-гз 3
' 3
Вычитая из (11.4.1) (11.4.7), получим
295

Чтобы избежать вычитания близких чисел, выражение (11.4.8)
можно преобразовать к виду
=	mr + 5] + fB,	(11.4.9;
где
1+(1+?*)'
(11.4.10)
Расчет текущего вектора состояния с использованием урав¬
нения (11.4.10) проводится следующим образом. Если заданы
начальные значения г0 и v0 в некоторый момент to, то эти вели¬
чины определяют некоторую невозмущенную орбиту. Поправка
за счет действия возмущающих сил к этому невозмущенному
движению получается интегрированием уравнения (11.4.10). Для
расчета текущего радиуса-вектора в невозмущенном движении
гэ удобно использовать формулы разд. 11.2, связывающие теку¬
щий вектор состояния с некоторым начальным его значением.
Использование уравнений в форме Энке является особенно
удобным, так как эти уравнения также допускают больший шаг
интегрирования, чем уравнения (11.4.1), и не требуют пересчета
вектора состояния в элементы и обратно.
Остановимся на вопросе учета различных возмущающих
ускорений, входящих в состав вектора fB. Полнота учета возму¬
щающих ускорений зависит от типа траектории КА. Для пере¬
летных траекторий Земля — Луна и Луна — Земля, для траек¬
торий облета Луны необходимо учитывать возмущения от при¬
тяжения Луны при полете в сфере действия Земли и возмущения
от притяжения Земли при полете в сфере действия Луны, а так¬
же возмущающее действие Солнца и нецентральность поля тяго¬
тения Земли. При межпланетных полетах возмущающими фак¬
торами на различных этапах полета будут являться: притяжение
Земли, притяжение планеты назначения, притяжение Солнца,
световое давление. Необходимо также учитывать притяжение-
других планет, в первую очередь Юпитера и Сатурна.
Таким образом, вектор fB можно представить в виде суммы
fB=2fBo	(ПАП)
где индекс i относится к учитываемому фактору, а и* есть число
учитываемых факторов.
Возмущающее ускорение, возникающее за счет притяжения
какого-либо нецентрального притягивающего тела, вычисляется
по формуле
296

Чтобы избежать потери точности при вычислении близких
величин, выражение (11.4.12) можно представить в виде
(11.4.13)
где
(г —2г()г ;
2
3	-р 3? 1 4- Q г
f* (q*\=	11—Ч-!_ .
1J i+o+^r
Возмущающее ускорение, возникающее вследствие
дальности поля тяготения Земли, вычисляется по формуле
2е3 Z
. »
Г4 г
нецент-
£о
f ■ = —
■в»
где
А'з-экв— экваториальный радиус Земли;
аз —сжатие Земли;
g-з-экв— ускорение силы тяготения на экваторе;
2з— угловая скорость вращения Земли.
Так как плотность солнечного излучения и гравитационное
притяжение Солнца изменяются с расстоянием одинаковым об¬
разом (обратно пропорционально квадрату расстояния), то учет
возмущающего действия светового давления может быть произ¬
веден формальной заменой величины цс величиной
Н'=Нс (1 - Vc)>
где vc — постоянная, характеризующая величину светового дав¬
ления на данный КА.
В том случае, если КА движется по орбите искусственного
спутника Земли, в уравнениях движения, кроме притяжения Лу¬
ны, Солнца и влияния несферичности Земли (гармоника /?го),
учитывается ряд дополнительных возмущающих факторов. На¬
ряду с учетом гармоники рго учитывается также ряд последую¬
щих гармоник в разложении потенциала поля тяготения Земли.
Существенное влияние на движение спутника оказывает сопро¬
тивление верхней атмосферы. Возмущающее ускорение, обуслов¬
ленное сопротивлением атмосферы, рассчитывается по формуле
fBZ= — ^о-пАотн,
где v0TH — вектор скорости спутника в системе координат, свя¬
занной с вращающейся Землей:
^хотн Нх И- 3 У, Пу отн Пу ^3-^,	отн Hz,
297

b— баллистический коэффициент спутника;
р — плотность атмосферы.
Плотность атмосферы задается обычно как функция высоты
в виде таблиц или полиномов. Так как параметры атмосферы
изменяются со временем, должно проводиться уточнение харак¬
теристика атмосферы по фактически проведенным наблюдениям.
Однако чтобы не менять каждый раз таблицы или полиномы,
уточняются не плотность, а баллистический коэффициент Ь.
Состав возмущающих сил при движении по орбите ИСЛ,
ПСП аналогичен составу возмущающих сил при движении по
орбите ИСЗ. Отличия в уравнениях движения обусловлены в
основном используемыми системами координат и особенностями
движения той или иной планеты, а также строением планеты
(гравитационное поле, наличие атмосферы и т. п.).
Глава 12
ЧИСЛЕННОЕ РЕШЕНИЕ
НЕЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ
Системы нелинейных уравнений, которые решаются в процес¬
се навигации, большей частью допускают только численные ре¬
шения. При этом строится итерационный процесс, сходящийся
к искомому решению. При выборе того или иного метода реше¬
ния системы нелинейных уравнений необходимо учитывать то,
что должна быть обеспечена надежная сходимость используемо¬
го итерационного процесса к решению.
Для выполнения этого требования возможны два пути. Один
из возможных путей состоит в следующем. Исходная система
уравнений упрощается так, чтобы стало возможным получить
простой и надежный алгоритм расчета начального приближения;
для дальнейшего уточнения полученного начального приближе¬
ния могут использоваться методы, обеспечивающие сходимость
итерационного процесса построения последовательных прибли¬
жений при небольшом отличии начального приближения от ис¬
комого решения.
Второй путь состоит в использовании методов, обеспечиваю¬
щих сходимость при значительном отличии начального прибли¬
жения от искомого решения. Начальное приближение в этом
случае может быть назначено заранее исходя из предваритель¬
ного анализа или решения задачи на предыдущем этапе.
В настоящей главе будут рассмотрены оба пути решения си¬
стемы нелинейных уравнений вида у = у(х), с которыми прихо¬
дится иметь дело при вычислении импульса маневра или коррек¬
ции, или при определении орбиты по измерениям, когда количе¬
ство измерений (предварительно осредненных) равно числу па¬
раметров траектории, а также задача минимизации функционала
298

к
ф = [у — у (х)]тВ“1[у — у (х)], приводящая
уравнений вида
решению системы
У (аг) В 1
ду (X) _
дх
О.
12.1.	РЕШЕНИЕ УРАВНЕНИЯ ВИДА у=у(х) С ИСПОЛЬЗОВАНИЕМ
АЛГОРИТМА РАСЧЕТА НАЧАЛЬНОГО ПРИБЛИЖЕНИЯ
Пусть имеется алгоритм, с помощью которого можно каждо¬
му вектору х из некоторой области К действительного «-мерного
пространства Rn поставить в соответствие вектор у области R'
действительного «-мерного пространства Sn. Другими словами,
будем считать, что задана система функций (в общем случае не¬
линейных) :
У1 = УЛХ1, хъ- ■ •, хпУ
У2==У‘1(Х1^ Х2, ■ • • 1 Хп)>	(19 111
Уп Уп (-^1> х2 • • • , -^л),
или в векторной форме
у = у(х).	(12.1.2)
Требуется найти обратное преобразование, т. е. такой алго¬
ритм, который позволяет каждому вектору у из области К' про¬
странства Sn поставить в соответствие вектор х = х(у) из области
Л’ пространства Rn такой, что
у(х) = у (х(у)) = у.	(12.1.3)
Если у"; есть некоторое конкретное значение вектора у, то соот¬
ветствующее значение х* будет корнем уравнения
У(Х) = /.	(12.1.4)
Алгоритм расчета начального приближения. При расчете на¬
чального приближения обычно поступают следующим образом.
Вместо уравнения (12.1.4) решается уравнение
УоИ = /.	(12-1.5)
Функция Уо(х) выбирается таким образом, чтобы она была близ¬
ка к функции у(х) ив то же время существовал алгоритм реше¬
ния уравнения (12.1.5). Таким образом, алгоритм расчета на¬
чального приближения ставит в соответствие каждому вектору
у* вектор х(°>:
хао = х0 (у*).	(12.1.6)
В том случае, если система (12.1.5) не является слабо обуслов¬
ленной, вектор х(°) будет близок к вектору х*.
299

Метод Ньютона. Решение нелинейного уравнения по методу
Ньютона сводится к построению итерационного процесса
Л.(^+1) = Л:(^) + Г^Ф1Г1 [У (-*(*’) —У*],	(12.1.7
L дх ]x=x(k)
отправляющегося от некоторого значения х<°>, достаточно близ¬
кого к искомому решению, и заканчивающегося по достижении
заданной точности, оцениваемой по разности между двумя по¬
следовательными приближениями. Из формулы (12.1.7) следует,
что на каждом шаге итерационного процесса необходимо вычис¬
лять матрицу производных — (Х'>- и обращать ее. Если матри-
дх
Гду(х)"|—1
ца ■	■ непрерывна в окрестности искомого решениях-
и начальное приближение х<°) достаточно близко к искомому ре¬
шению, то приближенно можно положить
Г ду (х) I = Г ду (х) 1
L дх _|х=х(*) L дх ^=Л(0)‘
Таким образом, получаем модифицированный итерационный
процесс метода Ньютона
Л(»+1) = Л(^_^Г^Ф0_Г1	[у(л(*))_у*1.	(12.1.8,
L дх _|х=х(0)
Достаточные условия сходимости как итерационного процесса,
(12.1.7), так и итерационного процесса (12.1.8) приведены в [17].
Из условий 'Сходимости следует, что достаточная близость на¬
чального приближения к искомому решению обеспечивает схо¬
димость метода Ньютона.
Для ускорения процесса решения методом Ньютона вместо
точной матрицы производных ду(х)1дх иногда используют при¬
ближенную матрицу, в частности, матрицу дуо (х) /дх.
Замена переменных в уравнении. Итерационный процесс ре¬
шения в некоторых случаях можно упростить, если вместо пере¬
менной х в уравнение (12.1.2) ввести новую переменную, функ¬
ционально связанную с первой. Для введения новой переменной
можно использовать алгоритм расчета начального приближения.
Будем считать, что функция Уо(х), фигурирующая в (12.1.5),
вводит новую переменную
3’о = Уо(-г)	(12.1.9)
определенную в области К" пространства Sn. Тогда для расчета
обратной зависимости х от Уо можно использовать алгоритм рас¬
чета начального приближения
*=*о(Уо)-	(12.1.10)
300

Представим далее функцию у(х) в виде
у(л) = у0(л) + у1(л).	(12.1.11)
Тогда после замены переменных преобразование (12.1.2) примет
вид
3’ = «(3’о) = ио(3’о) + «1(3’о).	(12.1.12)
где
и(Уо) = у(*о(Уо)У
«о (5’о)=.Уо(*о СУо)) = .Уо;	(12.1.13)
«1 (Уо) = уЛхо(уо)).
Введение новой переменной Уо сводит исходную задачу к ра¬
зысканию преобразования
Уо=®(У),	(12.1.14)
обратного по отношению к преобразованию (12.1.12). Вектор х
может быть найден затем по соответствующему значению у$ при
помощи выражения (12.1.10).
Если у* есть конкретное значение вектора у, то соответствую¬
щее ему значение вектора у0*, определяемого преобразованием
(12.1.14), будет корнем уравнения
У*=«(Уо)-
Метод Ньютона, примененный для решения этого уравнения,
приводит к следующему итерационному процессу:
[«(^>)_у*].	(12.1.15)
L оу 0 ЗУо=У0
В качестве начального приближения для процесса (12.1.15)
можно положить у^-у*- Если характер упрощений исходной
ду0 (х)
системы уравнении таков, что матрица производных —

_	,	ду (х)	ди(ус)
будет близка к матрице -	, то матрица производных —L—
дх	ду0
будет близка к единичной матрице, что позволит итерацион¬
ный процесс (12.1.15) представить в виде
Мй+1)=^Л)-««)) + /.	(12.1.16)
Таким образом, использование алгоритма расчета начального
приближения для замены переменных в исходной системе урав¬
нений позволяет использовать для отыскания обратного преоб¬
разования итерационный процесс, не требующий вычисления
матрицы производных.
301

Остановимся на сходимости итерационного процесса
(12.1.16). Достаточные условия сходимости итерационного про¬
цесса (12.1.16) можно сформулировать следующим образом.
Если функция у(х), непрерывная в области К, вместе со свои¬
ми первыми производными представлена в виде суммы двух
функций, также непрерывных в К вместе с первыми производны¬
ми, а в области К" выполнено одно из неравенств
II<Q< 1; II«;(Л)11П<Q< 1.	(12.1.17)
где функция и'(у0) определена через соотношения (12.1.10),
(12.1.13),'И последовательные приближения УоА) итерационно¬
го процесса (12.1.16) не выходят из области К", то этот итера¬
ционный процесс сходится и предельный вектор
Л->-оо
является единственным в области К" вектором, удовлетворяю¬
щим соотношению (12.1.12)1 II.
Опираясь на сформулированные условия сходимости, можно
показать, что достаточная близость функции Уо(х) и ее первых
производных уо'(х) к функции у(х) и ее первым производным
обеспечивает сходимость итерационного процесса (12.1.16).
Учитывая, что
«1 (Уо) = « (Уо) - «о (Уо) = У (*о (Уо)) - Уо (*о (Уо)),
можно записать
Ч' (Уо)=[у' (*) - Уо (*)] хо (Уо)-	(12.1.18)
Используя свойства нормы, получим
|| [У' (*)- Уо (*)1 хо (Уо) ,,< || У' (*) - Уо №//,,и ||<	Hi ,iГ
Таким образом, если производная у'(х) близка к производной
Уо'(х), так чтобы выполнялось условие
НУ' (*)-Уо(*) Hi,II К (Уо)|11,ц < Q <	(12.1.19)
то будет выполняться условие (12.1.17).
1 Через || «( (y0)||i и II (Уо) Ни обозначены нормы матрицы и[ (у0) на
области К", определяемые следующим образом:
,	,	,	.	ди 11	I
II «1 (Уо) Hi	= o' ах II «j (Уо) k,	II «1	(Уо) к = ш.ах	> —	;
и. :	УоЧНК’	1	&	1
,	,.:	,	хт | ди 1 ;
И «1 (Уо) Ни = max 1| «! (Уо) III, II «1 (Уо) Hz = max 2,
УоЕЕ^"	1 z = i
302

12.2.	РЕШЕНИЕ УРАВНЕНИЯ ВИДА у=у (х) БЕЗ ИСПОЛЬЗОВАНИЯ
АЛГОРИТМА РАСЧЕТА НАЧАЛЬНОГО ПРИБЛИЖЕНИЯ
Рассмотрим задачу, поставленную в разд. 12.1, о нахождении
преобразования, обратного (12.1.1), или, другими словами, о на¬
хождении алгоритма решения уравнения (12.1.4) при различных
значениях у*. Известно, что решение нелинейного уравнения ви¬
да (12.1.4) в общем случае сводится к некоторому итерационно¬
му процессу, начинающемуся с того или иного исходного значе¬
ния переменной х— начального приближения. В данном разделе
будут рассматриваться те случаи, когда взаимно-однозначная ал¬
горитмизированная связь между начальным приближением и пе¬
ременной у отсутствует. В качестве примера можно привести слу¬
чаи, когда для всех значений переменной у, лежащих в области
К', назначается одно и то же начальное приближение, или вся
область К' делится на подобласти и начальное приближение на¬
значается в зависимости от того, в какой подобласти лежит век¬
тор у. Во всех этих случаях не гарантируется близость началь¬
ного приближения к искомому решению. Рассмотрим методы, ко¬
торые могут применяться в данном случае.
Итак, будем считать заданным в пространстве начальное
приближение х0. Соответствующее ему в пространстве Sn значе¬
ние уо может быть вычислено согласно (12.1.2). Предположим,
что функция у(х) такова, что можно установить взаимно одно¬
значное соответствие между точками областей К и К', а сами
области односвязны.
В этом случае возможно провести в области К' некоторую
кривую L', проходящую через точки у0 и у*. Уравнение этой кри¬
вой, записанное в параметрической форме, будет
y=y(s*).
В области К этой кривой будет соответствовать кривая L:
x=x(s*).
Рассматриваемые методы состоят в построении ряда последо¬
вательных точек кривой L (или близких к ним), соответствую¬
щих точкам кривой L'. При расчете очередной точки xft+] исполь¬
зуется функция gk,n(s*), аппроксимирующая функцию x(s*) по
ее значениям в п предыдущих точках (в некоторых вариантах
метода используются
точках).
Обозначим:
dx
также значения производных	в этих
lk+l = gk,n (s*+i).
303

При достаточно малом шаге h = s*/i+i — s*/t можно приближенно
положить §ft+I = xft+i, во всех остальных случаях §ft+i принима¬
ется за начальное приближение при отыскании точки хй+1) и для
дальнейшего уточнения используется метод Ньютона.
12.3.	МИНИМИЗАЦИЯ ФУНКЦИОНАЛА Ф = [.у* — _у(х)]тВ-1 О* — У (х)]
Пусть имеется алгоритм, с помощью которого можно каждо¬
му вектору х из некоторой области К действительного «-мерного
пространства Rn поставить в соответствие вектор у области К'
действительного m-мерного пространства Sm. Другими словами,
будем считать заданной функцию (в общем случае нелинейную)
у = у{х).	(12.3.1)
Будем считать, что т^п, т. е. размерность пространства S(iI
больше или равна размерности пространства Пусть В — сим¬
метрическая положительно определенная матрица размерности
тХт. Рассмотрим задачу о нахождении преобразования
х — х(у),	(12.3.2)
такого, что для каждого у вектор х, определяемый преобразова¬
нием (12.3.2), минимизирует функционал вида
Ф = [.У*-У (*)Г В1 [/-У (*)]•	(12.3.3)
Если т = п, то искомое преобразование (12.3.2) будет обрат¬
ным по отношению к преобразованию (12.3.1); задача о разыска¬
нии такого преобразования была рассмотрена в разд. 12.1 и 12.2.
В том случае, если m>n, построение преобразования (12.3.2)
может быть сведено к построению алгоритма решения нелиней¬
ного уравнения вида
^^]ТВ^1[у*-у(х)] = О.	(12.3.4)
Решение нелинейного уравнения вида (12.3.4) методом Нью¬
тона. Рассмотрим решение уравнения (12.3.4). Искомое ре¬
шение обозначим х*. Если известно приближенное решение
уравнения (12.3.4) х<°\ то функцию у(х) можно разложить в ок¬
рестности х<°) в степенной ряд. Ограничиваясь первыми членами
разложения, можно записать
У(х*)=у (х(0>) +[-^-1	[х*-х<О] + р. (12.3.5)
L ..дх,
Подставляя (12.3.5) в (12.3.4), получим
А* (х, x^[x*-xW]=-b*(x, xW, /)-Г^^-Т	В_1р,
L дх 1Л=Л*
(12.3.6)
304

А* (х,
x(Q))=:[W	в-1	;
L Jx=x* L dx Jx_x(0)
(12.3.7)
b* (x, x®, y’)=4—Г	в1 [/-y(x(0))J. (12.3.8)
L dx Jx=x»
Матрица A* (x, x(0)) имеет размерность n X n. Умножая (12.3.6)
слева на матрицу [А* (х, х<°>)]_1, получим
х*-Х°)=-[А‘(х, xW)]-1 Ь* (х, х<°), /)-
— [А*(х, х<°>)]-1 Г^Г B“!p.	(12.3.9)
Если приближенное решение х<0) достаточно близко к ис¬
комому решению х*, то можно пренебречь остаточным членом
{А* (х, хС0))]-1 Гду Г В_1р, а величины А*(х, х(0)) и
дх _1х=х*
b* (х, х<°>, у*) заменить на величины А* (х(0)) и Ь* (х<0), у>*):
Ь* (х(°),
(12.3.11)
В-1 [/_ 5>(х(°))].
Уточненное решение х<1} найдется тогда по формуле
х<п=х<°> -[А* (х*0’)]-1 Ь*(х<°>, у*).
(12.3.12)
Чем ближе величина х<°> к искомому решению, тем меньше
ошибка, вызванная сделанными упрощениями. Вновь получен¬
ное решение х(1> может быть уточнено аналогичным путем.
Таким образом, нахождение преобразования (12.3.2) сводит¬
ся к построению итерационного процесса
x(ft+1)=x(ft)-[A*(-«(*:))]_I**(x(4> /),	(12.3.13)
начинающегося с некоторого значения х(0), достаточно близко¬
го к искомому решению, и заканчивающегося по достижении за¬
данной точности, оцениваемой по разности между двумя последо¬
вательными приближениями. Как и при использовании метода
Ньютона для решения нелинейного уравнения вида у = у(х) (см.
предыдущий раздел), итерационный процесс (12.3.13) сходится,
если начальное приближение достаточно близко к исходному ре¬
шению.
Модификация метода. Рассмотрим некоторое обобщение урав¬
нения (2.3.4), а именно:
,г=ГТ^-Шт в-1 [/-5>(х)].	(12.3.14)
305

Выражение (12.3.14) можно рассматривать как некоторое преоб¬
разование, ставящее в соответствие вектору х вектор Z-. величи¬
ну у* будем считать при этом некоторым параметром. Будем ра¬
зыскивать обратное преобразование, ставящее в соответствие век¬
тору Z при некотором параметре у* вектор х\
x=w(z, у*).	(12.3.15;
Рассмотрим уравнение (12.3.14), когда вектор Z принимает
конкретное значение Z*. Для решения этого уравнения применим
метод Ньютона. Действуя аналогично предыдущему, можно прий¬
ти к следующему итерационному процессу:
х(*+в = х<*)-НАДх(*))]-Чг*-&*(*(й)> /)]•	(12.3.16;
Если начальное приближение достаточно близко к искомому ре¬
шению, то итерационный процесс (12.3.16) будет сходящимся.
Рассмотрим методы, которые могут применяться для решения
уравнения (12.3.14), если начальное приближение х^ суще¬
ственно отличается от искомого вектора х*. Задача решается пу¬
тем построения некоторой начальной последовательности k век¬
торов xj, Хг, ..., xk и соответствующих им k векторов zx, z2,---, zk
и путем продолжения этой последовательности согласно изло¬
женному в разд. 12.2. Отличие рассматриваемых здесь методов
от методов, описанных в предыдущем разделе, состоит в приме¬
нении для построения каждой новой точки последовательности
итерационного процесса (12.3.16) вместо (12.3.12).
Таким образом, можно найти значение функции (12.3.15) при
любых z и у, используя начальное приближение лс<°>, существен¬
но отличающееся от вектора х.
Для нахождения значения функции (12.3.2) достаточно по¬
ложить z* = 0, в этом случае описанный метод даст решение урав¬
нения
В-1[/-у(х)]=О.	(12.3.17;
Глава 13
АЛГОРИТМ ОПРЕДЕЛЕНИЯ
ТРАЕКТОРИИ
ПО НАВИГАЦИОННЫМ ИЗМЕРЕНИЯМ
При распределении ошибок измерений по нормальному зако¬
ну метод максимума правдоподобия, будучи примененным к за¬
даче определения траектории по измерениям, приводит к задаче
об отыскании вектора определяемых параметров, минимизирую¬
щего функционал
Фи = [Г-Т(а, 1)ГВ-’[т*-т(а, t)].
306

Здесь у*— вектор, составленный из результатов измерений;
t — вектор, составленный из моментов проведения измерений;
функция уг(а, t)=y,(a, ti) определяет зависимость измеряемого
параметра, соответствующего измеренному значению yf*, от ос¬
новных параметров траектории; величина В представляет собой
матрицу вторых моментов ошибок измерений.
Задача минимизации функционала Фи приводит к системе
уравнений
т B-4r*-Y(a, t)] = O.	(13.1.1)
а=а*
Г дх (a, t)
L да
Записанное здесь в векторной форме уравнение называется
уравнением правдоподобия.
13.1. МЕТОДЫ РЕШЕНИЯ УРАВНЕНИЙ ПРАВДОПОДОБИЯ.
ВЫБОР ОПРЕДЕЛЯЕМЫХ ПАРАМЕТРОВ
Уравнение правдоподобия в общем случае является нелиней¬
ным и поэтому решается численными методами. В настоящем раз¬
деле будут рассмотрены вопросы численного решения уравнения
правдоподобия.
Метод Ньютона. Если траектория полета КА не сильно отли¬
чается от расчетной, т. е. для решения уравнений правдоподобия
(13.1.1) может использоваться метод Ньютона. За начальное при¬
ближение для вектора параметров орбиты принимается в этом
случае его расчетное значение. Это начальное приближение уточ¬
няется с помощью итерационного процесса (см. разд. 12.3)
где
b(aw, Y*) = [^-J
а^))]-1 b (а<4 у*),
(13.1.21
в_, г «г <» 1	.
(13.1.3)
1(A)	L	Ja=aW
1	В-ЧТ*-Т(а^)].
(13.1.4)
а = а(^)
’ упрощения, которые
не сказы-
Алгоритм (13.1.2)
ваются существенно на точности решения системы (13.1.1).
Зависимость вектора измеряемых параметров от вектора оп¬
ределяемых параметров
Y = Y(a, t)
(13.1.5)
обычно допускает представление в виде
Т = Т(х); х=х(а, /),
,307

(13.1.9)
итерационный
(13.1.10;
(13.1.11)
где х — текущий вектор состояния КА. В соответствии с этцд.
матрицу производных можно представить в виде
дх (a, t) дх (х) дх (a, t)	(13 17
да	дх	да
Зависимость х = х(а, t) представляет собой модель движения
КА. При расчете производных допустимо вместо точной модели
движения использовать приближенную модель движения, осно¬
ванную на аппроксимации траектории участками невозмущенно¬
го движения, т. е. использовать зависимость
хэ=хэ(аД).	(13.1.8;
В этом случае вместо матрицы (13.1.7) будет использоваться мат¬
рица
dxs(a,t) _ дх (х) дхэ (a, t)
да	дх	да
Для решения задачи будет тогда использоваться
процесс
a(*+i) =а(*) _[Дэ(а(*))]-1 b3(a(ft), у*),
где
Аэ(а(*)) = Г±ГэДО_р	в_! Г Jr.3_(a,
k 7 L да Ja=a(*) L да ]а-а(*)
ь(а(*), Т8:)=[?Гэ^’ — ]^аР) В-ЧГ-г(а^)].
Ввиду возможного присутствия в исходной информации измере¬
ний с грубыми ошибками в процессе определения траектории
обычно приводится отбраковка таких измерений. Отбраковку из¬
мерений можно совместить с процессом решения уравнения прав¬
доподобия. При этом для каждого приближения вычисляется
среднеквадратическая ошибка единицы веса
— ,	(13.1.12)
т
где пк — число измерений, участвующих в обработке для Аго
приближения;
т — число определяемых параметров траектории.
В дальнейшей обработке остаются те измерения, для которых
|у*—(13.1.13)
Здесь v'— некоторая константа, зависящая от закона распреде¬
ления ошибок измерений.
Модификация метода Ньютона. Если траектория полета КА
значительно отличается от расчетной, использование расчетного
308

значения определяемых параметров в качестве начального при¬
ближения может не обеспечивать сходимость метода Ньютона.
Как было указано в разд. 12.3, в этом случае ищут решение обоб¬
щенного уравнения (12.3.14) при г=0 и у = у*. Для решения
уравнения можно применять один из вариантов метода, изложен¬
ного в разд. 12.2. В настоящем разделе будет рассмотрено при¬
менение двух вариантов этого метода.
Искомому вектору х в данном случае соответствует вектор оп¬
ределяемых параметров а, а вектору у соответствует вектор из¬
меряемых параметров у. В первом варианте последовательность
точек аь а2, ..., а^, сходящаяся к точке а*, строится следующим
образом. В качестве параметра s* выбирается модуль вектора z.
В качестве функции g берется функция
gzo (s*)=az.
При переходе от точки к точке аг ограничиваются одним шагом
по методу Ньютона. Отсюда имеем следующий алгоритм. Стро¬
ится итерационный процесс
zs+i — z*^ 1	’
afe+i = a*+[A (aj]_1 [zft+1 b (aft, у*)];
(13.1.14)
zk О
zk zAOo-
В качестве начального приближения для итерационного процесса
берется точка
а^аС) ;
zi = b (ai, Г*)-
Во втором варианте в качестве функции g берется прямая, про¬
ходящая через точки zh_i и zft; тогда имеем следующий итераци¬
онный процесс
?й+1 —
Zk>h>
zk zk<K0>
■
(13.1.15)
zk
3ft + ^
ak — aA—1
I	I
aA+l — §Л+1 + [А (§*+1)1 1 [ZA + 1—b(|-ft+1, Y*)].
309

Данные методы позволяют получить решение, если параметр
Хо выбран достаточно малым. Этот параметр может назначаться
заранее либо выбирается в ходе вычислительного процесса.
Признаком потери сходимости служит невыполнение условий:
Ь(а/г, у*) <Ь(ай_], у*) для итерационного процесса (13.1.14) и
b(gft, Y*)<b(^fe-i, у*) для итерационного процесса (13.1.15).
В этом случае параметр л0 должен быть уменьшен.
Выбор определяемых параметров. Если ai есть некоторый век¬
тор параметров, однозначно определяющих параметры траекто¬
рии, то любой вектор а;, связанный с вектором ai функциональ¬
ной зависимостью
ау=ау(а1),
такой, что существует обратное преобразование
а^а^аД
может быть принят за вектор определяемых параметров. Выбор
определяемых параметров оказывает существенное влияние как
на простоту алгоритма, так и на сходимость итерационного про¬
цесса. Укажем на наиболее часто используемые векторы опреде¬
ляемых параметров.
Если определение траектории производится с помощью назем¬
ного командно-измерительного комплекса, в качестве вектора оп¬
ределяемых параметров используется либо вектор состояния
хо=х(/о), отнесенный к некоторому выбранному моменту време¬
ни, либо вектор элементов орбиты, также отнесенный к некоторо¬
му моменту времени. В качестве элементов обычно выбираются
следующие:
р, е, ш, cos i, 8,
h, е, со, cos/, 2, Мо;
ft, ?i, ?2. cos^ s, vo,
где MQ =	(/0—/я) —средняя аномалия эпохи /0, cp1=esina>,
2л
'■?2 = 6COS(D, vo= у, (^о ^узл)’
/узл — время прохождения через узел.
Если измеряемые параметры носят позиционный характер,
т. е. зависят только от текущего радиуса-вектора, что обычно
имеет место при автономном способе навигации, то в качестве
определяемых параметров удобно выбрать два радиуса-вектора
Г] и г2, соответствующих двум известным моментам времени и от¬
носимых к некоторому моменту /Оск, называемому моментом ос¬
куляции. При этом предполагается, что векторы п и г2 связаны
310

между собой по теории невозмущенного движения, а вектор
Хоск, вычисленный на момент t0CK по этой теории, совпадает с век¬
тором состояния х(^оск) определимой траектории.
Замена определяемых переменных. Рассмотрим случай, когда
измерения сгруппированы в сеансы, и количество сеансов равно
числу определяемых параметров. В этом случае можно проводить
предварительное осреднение измерений в сеансе; при этом каж¬
дый сеанс измерений заменяется одним осредненным измерением.
Вектор осредненных измерений обозначим у*, размерность этого
вектора равна числу определяемых параметров п. Таким обра¬
зом, в рассматриваемом случае задача сводится к решению систе¬
мы уравнений
Y(a,t) = f.	(13.1.16)
Предположим, что уравнение (13.1.16) можно упростить таким
образом, чтобы существовал достаточно простой алгоритм реше¬
ния этого упрощенного уравнения. Пусть
Yo(a,t) —Y*	(13.1.17)
есть такое упрощенное уравнение, а
а(0) = а0(?)	(13.1.18)
есть алгоритм расчета начального приближения.
В этом случае для решения уравнения (13.1.16) можно исполь¬
зовать метод, описанный в разд. 12.1. В этом случае вводятся
новые переменные, называемые фиктивными измерениями
Гф = Го(а).	(13.1.19)
Алгоритм для вычисления начального приближения дает обрат¬
ную зависимость параметров траектории от фиктивных изме¬
рений
а = а0(уф).	(13.1.20)
Таким образом, фиктивные измерения — это измерения, вычис¬
ляемые по параметрам траектории по упрощенным соотношени¬
ям. Необходимо подобрать такие фиктивные измерения, чтобы
действительные осредненные измерения, вычисленные по пара¬
метрам траектории, связанным с фиктивными измерениями упро¬
щенными соотношениями (13.1.20), были равны заданным. Как
было указано в разд. 12.1, для определения фиктивных измерений
строится итерационный процесс
ГФ+1 = ГФ — г(а0(г*) ) + г*.	(ДЗ.1.21)
311

После определения фиктивных измерений параметры траектории
могут быть найдены по алгоритму, выраженному формулой
(13.1.20). В разд. 13.2 будет приведен пример построения алго¬
ритма расчета начального приближения для некоторых составов
.автономных измерений.
13.2. ПОСТРОЕНИЕ АЛГОРИТМА РАСЧЕТА
НАЧАЛЬНОГО ПРИБЛИЖЕНИЯ ДЛЯ НЕКОТОРЫХ СОСТАВОВ
БОРТОВЫХ НАВИГАЦИОННЫХ ИЗМЕРЕНИЙ
Рассмотрим вариант программы, когда измерения сгруппиро¬
ваны в сеансы. В этом случае можно проводить осреднение из¬
мерений в сеансе.
Осреднение и отбраковка измерений. Под сеансом измерений
будем понимать группу измеренных значений одной измеряемой
функции, сосредоточенных на небольшом отрезке времени. При
этом значения измеряемой функции для ряда близких моментов
времени
Ypft=Y/(a,/y4-A/A), k=\, 2, . . ., Z;	(13.2.lj
можно представить с точностью до величин первого порядка в
.виде
Урк=Ур+УР&к, ^=1,2,	(13.2.2)
откуда для определения ур и уР получим систему условных урав¬
нений
Ур + УРМк=Урк-	(13.2.3)
Решение этой системы методом наименьших квадратов дает
02*а*-0Л
Yp	р*
’	Ур	D*
■де
, 11
*	1 хл *
а1=—
1 й-1
йТ1
(13.2.4)
(13.2.5)
Й=7-24'«; S-vi4'*: О‘=Й-Й-
1‘ kTl	1‘ &
Принимая некоторый момент AZ за основной, можно найти со¬
ответствующее этому моменту осредненное измерение по фор¬
муле
Yp(a/)=yp+ypa^
(13.2.6)
312

Учитывая некоторую свободу в выборе момента tj, можно
упростить формулы (13.2.4) — (13.2.5). Выбирая момент tj таким
образом, чтобы
. li
(13-2-7>
1 к = 1
получим
1 *
Ур	~Г Zj
‘ Л-1
Если выбор основного момента kt, к которому сводятся из¬
мерения, не ограничивается никакими другими соображениями,
можно выбрать его из условия (13.2.7) и тогда согласно (13.2.6)
получим
Ур--=—У.УРь,	(13.2.9)
‘ й=1
в противном случае нужно использовать формулы (13.2.6),
(13.2.8).
Одновременно с осреднением может проводиться отбраковка
измерений. По формуле (13.2.6) находятся величины yp(ktk) =
= yPh и отклонения курь.=ури— yPk-
Среднеквадратическая ошибка при осреднении будет
2 ^Рк
Й=1
При этом отбраковываются измерения, для которых
Аналогичным образом для осреднения измерений может при¬
влекаться квадратичная интерполяция.
Вычисление координат КА. Если среди проведенных позици¬
онных измерений имеются серии измерений для трех измеряемых
функций, возможно определение координат КА. При определе¬
нии координат будем считать, что последовательно выполненные
измерения трех измеряемых функций относятся к одному мо¬
313

менту времени. В алгоритме расчета начального приближения
такое упрощение является допустимым.
При проведении бортовых измерений могут встретиться раз¬
личные составы измерений. Если измерительными средствами
служат секстан и высотомер, определение координат может быть
выполнено по следующим составам измерений, отнесенным к
одному моменту времени:
а)	угловым высотам двух звезд над поверхностью одной пла¬
неты и угловому диаметру той же планеты;
б)	угловым высотам двух Звезд над поверхностью одной пла¬
неты и угловой высоте одной звезды над поверхностью другой
планеты;
в)	угловым высотам трех звезд над поверхностью планеты;
г)	угловым высотам двух звезд над поверхностью планеты и
высоте корабля над поверхностью той же планеты.
Для всех перечисленных случаев возможно создать унифици¬
рованный алгоритм расчета координат, базирующийся на алго¬
ритме расчета координат корабля по угловым высотам двух
звезд над поверхностью планеты и угловому диаметру той же
планеты. Пусть
•зв1{йзв11, £зв12> ^зв1з}, 1зв2{1'зв21, Лзв22, 1'зв2з} НЗПрЭВЛЯЮЩИе KO-
синусы единичных векторов вдоль направлений с КА на первую
п вторую звезду соответственно;
Лзв1 и /г3в2 — угловые высоты этих звезд над горизонтом пла¬
неты;
г{х, у, z} = {%i, х2, %з} — радиус-вектор КА;
d-a — угловой диаметр планеты;
^п.экв — экваториальный радиус планеты.
Принимая планету за шар с радиусом, равным ее экватори¬
альному радиусу, можно записать
(1зв1Г)--=Г COS (йзв1
R
2
п.экв
sin2 rfn/2
(13.2.10)
откуда для получения координат корабля получим следующую
систему уравнений:
cos dn/2
sin dn/2
cos й3в1
5
(13.2.11)
314

(13.2.11)
₽2
.5 I .5 |	„2	^п.экв
Xi + x2 + x3 — . ■■■■ -
sin2 rfn/2
Решение этой системы сводится к решению квадратного урав¬
нения
(13.2.12)
где
з
d = Д12-Д22 Дз2» bt = ^i LisLts',
5=1
s=£i
— Lit Д«4- Д/л .	* ■	(/, /, k—1> 2, 3, i t =f= 1z},
sin^ ап{2
а через A/n обозначен определитель, составленный из /-го и п-го
столбца матрицы М:
4в11
Z3b12
Z3B13
ci
Z3B21
Z3n22
Z3B23
C2
Здесь
^1 —-/?п.Экв (~~~_cos Азв1 —sin h33A ;
\ sin rf„/2	J
г, ( cos	,	\
C2 — Яп.экя ( sjn dJ2 COS A3B2-Sin A3b2J .
Значение signA^ в формуле (13.2.12) зависит от нумерации
звезд. Поэтому формула (13.2.12) дает два решения. Фиксируя
нумерацию звезд, из двух решений выбираем одно. В формуле
(13.2.12)	получим истинное решение при выборе нумерации звезд
таким образом, чтобы переход от первой звезды ко второй совер¬
шался по часовой стрелке (рис. 13.2.1).
Таким образом, приведенный алгоритм позволяет определить
местоположение КА по измерениям угловых высот двух звезд
над горизонтом планеты и углового диаметра этой планеты по
315

конечным формулам. Этот алгоритм может быть использован ц
для определения местоположения КА по измерениям угловых вы¬
сот двух звезд над горизонтом планеты и зысоты КА над по¬
верхностью этой планеты. В этом случае полагаем
cos
В остальных случаях для определения местоположения КА
используется итерационный процесс. Как видно из перечня со¬
ставов измерений, в каждый состав входят измерения угловых
высот над горизонтом одной и той же планеты и можно вос¬
пользоваться описанным выше алгоритмом. В этом случае итера¬
ционный процесс используется для подбора нужного значения
углового диаметра, так чтобы третья измеренная величина, вы¬
численная на основе полученных по алгоритму координат, стала
равна ее значению, полученному путем измерения.
Методы вычисления координат, рассмотренные выше, исполь¬
зуют предположение, что планета является шаром с радиусом,
равным ее экваториальному радиусу. Для уточнения координат
после их предварительного определения в измеряемые углы вво¬
дится поправка на эллиптичность. Эта поправка может быть
вычислена по формуле
 4z (^?п.экв	пол)
I q
Здесь q есть вектор, направленный с КА на подзвездную точку
(т. е. точку на горизонте планеты, находящуюся на минималь¬
ном угловом расстоянии от звезды, с которой проводятся изме¬
рения), a qx, qy, qz — координаты этого вектора в системе коор-
316

динат, в которой основной плоскостью ху служит плоскость эк¬
ватора планеты. Вектор q может быть найден из геометрических
соображений (рис. 13.2.2):
q
(13.2.14)
Определение параметров траектории. Применив дважды опи¬
санный в предыдущем разделе алгоритм, можно получить два ра¬
диуса-вектора КА в два известных момента времени. В качестве
параметров траектории примем радиус-вектор г и вектор скоро¬
сти v на некоторый момент времени t. При определении парамет¬
ров траектории пренебрежем возмущающими силами, действую¬
щими на КА. В этом случае для определения радиуса-вектора и
вектора скорости КА на некоторый момент времени можно ис¬
пользовать алгоритм, приведенный в разд. 11.2.
Таким образом, для того чтобы получить алгоритм расчета
начального приближения, используем следующие упрощения:
—	считаем, что осредненные измерения yj, у2, Уз соответст¬
вуют одному и тому же моменту времени, например t2, а осред¬
ненные измерения Y4, Ys, Уб также соответствуют одному и
тому же моменту времени, но отличному от t2, например момен¬
ту t5;
—	при вычислении измеряемой величины по параметрам тра¬
ектории, т. е. по координатам и компонентам скорости на момент
/оск, будем считать, что на КА не действуют никакие возмущаю¬
щие силы; другими словами, будем проводить вычисление изме¬
ряемой величины для невозмущенной траектории, у которой ко¬
ординаты и компоненты скорости на некоторый момент /Оск, на¬
зываемый моментом оскуляции, совпадают с действительной тра¬
екторией.
Эти упрощения и определяют систему уравнений, используе¬
мую для получения начального приближения
To(a(O)W*.	(13.2.15)
Решение этой системы находится следующим образом. Опреде¬
ляются два вектора положения на моменты t2 и ty.
п &)
г2 &)
0(?) =
(13.2.16)
Затем по двум положениям находится вектор состояния на мо-
мент ^оск- Таким образом,
а(°> =G(ri, г2)=С(0О = ао(?).	(13.2.17)
317

13.3. ВЫЧИСЛЕНИЕ РАСЧЕТНЫХ ЗНАЧЕНИЙ
ИЗМЕРЯЕМЫХ ПАРАМЕТРОВ
В настоящем разделе рассмотрим вычисление расчетных зна¬
чений параметров, которые могут быть измерены с помощью на¬
земных или бортовых измерительных средств. Параметр, измеря¬
емый в некоторый момент /и, зависит от вектора'состояния КА в
этот момент. Для вычисления последнего по параметрам траек¬
тории используется точная модель движения.
1.	Вычисление положения наземного измерительного пункта
в инерциальной геоцентрической системе координат
Положение измерительного пункта (ИП) обычно задается
географическими координатами: географической широтой фИ11,
долготой Аип и высотой над поверхностью земного эллипсои¬
да Н МП.
Координаты ИП в жестко связанной с Землей прямоуголь¬
ной геоцентрической системе координат хг, уг, гг, ось zr которой
направлена по оси вращения Земли, а плоскость xrzr совпадает
с плоскостью Гринвичского меридиана, имеют вид
-Аш.г= [/?з.экв(соз2®И11-4-а2 sin2?Hn)_1;2 + //mi]cos®m,cos кип;
*/ип.г= [/?з.экв(соз2?ип + <х2 sin2cpH„)_1/2 + //„n] cos®Hn sin ХИП
гив.г = [^з.экВа2 (cos2?Hn + a2 sin2 cpHrt)~Ij2+//,in ] sinoHn,
(13.3.1)
где a = 1 — аз.
При переходе от Гринвичской системы координат к основной
системе xyz эпохи Эо необходимо учитывать вращение Земли,
прецессионное и нутационное движение полюса Мира за соответ¬
ствующий интервал времени. Учет может быть произведен, на¬
пример, для момента средней Гринвичской полуночи заданных
суток с использованием трех величин, приводящихся в Астрономи¬
ческом ежегоднике: угла ф0 между плоскостью Гринвичского ме¬
ридиана в Гринвичскую полуночь и направлением на точку весен¬
него равноденствия начальной эпохи Эо, а также редукционных
величин g0 и Go. В системе xyz координаты и компоненты скоро¬
сти ИП вычисляются по формулам:
г — Аг
1 ИП 'Г*ИП| ИП.Г’
/н.п	ин	\	Г\
^.гип	(^12 ^ип.г	i/иц.г) "3,
( «.ИИ	ИИ	\	г\
^уип	\^'22'^'ип.г	21£/Hii,Г/ ^-3?
(ип	ни	\	гл
^•32-^ии.г	^31 //ип .г/	”3,
113.3.2)
318

где
ИП	ИП	ИП
<2ц	<212	<213
(аГ)т
Аип —
ИП „ИП „ИП
<221	&23
(аг")т
ИП	ИП	ИП
#31	#32	#33
(а”п)т
(13.3.3)
COS ф COS V
— sin ф cos '>
sin v
sin ф cos s0
cos ф cos e0
sin s0
В этих формулах
ф=фо4-й3^; v=v04-wn/; v0=g-0 cos (70; e0= — g0 sin G0)	(13.3.4)
где a>n — угловая скорость прецессии; t — Гринвичское время,
отсчитываемое от средней полуночи, к которой отнесены величи¬
ны фо, go. Go-
С каждым ИП связывается топоцентрическая система, харак¬
теризующаяся взаимно ортогональными ортами:
i?" — ортом, касательным к меридиану (с направлением на се¬
вер);
i 2г— ортом, касательным к параллели (с направлением на вос¬
ток) ;
i"r— ортом, нормальным к поверхности
Орты следующим образом связаны
И /^игь
земного эллипсоида,
с координатами <рип
- sin <рип cos Хип
— sin Хип
;ип

11Г

- sin <рип sin Хип
• ИП
• ]_2Г —
cos Хип
1	cos <рИ11
0
cos<f>Hrt cosXHn
cos^sin \n
sin
(13.3.5)
Переход к основной системе координат xyz эпохи Эо осущест¬
вляется по формулам
(13.3.6)
2. Вычисление расчетных значений величин,
измеряемых наземными измерительными средствами
Формулы для вычисления расчетных значений измеряемых ве¬
личин имеют следующий вид:
1)	у=£)— дальность КА от измерительного пункта
£>=|г—гип|;	(13.3.7)
319

2)	y = D — радиальная скорость КА относительно измеритель¬
ного пункта
/) = 4(у-уип)(г-гип);	(13.3.8)
jj
3)	у=А— азимут КА в местной системе координат измери¬
тельного пункта (отсчитывается от направления н<
совой стрелке)
A = Arctg,— • sign(cosA)=sign а;
rt 1
север по ча-
1
(13.3.9)
)
системе ко-
горизонталь-
• ИП /	\	1 »ИП /_ _ Ч
а = ц (r-rHrt); 6=i2 (г-гип);
4)	у = е— угол места точки в топоцентрической
ординат измерительного пункта (отсчитывается от
ной плоскости!
s = arcsin—•
D’
с = ^"(г-ги(1);
5)	у = а — прямое восхождение КА
a = Arctg ——;
х —хип
sign (cos а) = sign (л - лип);
6)	у = 6 — склонение КА
o = arcsin г~~ г'ип- .
D
3. Вычисление расчетных значений величин,
измеряемых бортовыми измерительными средствами
1)	у = с?з—угловой диаметр Земли
rf3=2arcsin ^З'с ;	(13.3.13)
г
2)	у = с?п — угловой диаметр планеты или спутника
afll = 2arcsin	(13.3.14)
Г
Здесь /?з.с — средний радиус Земли, /?п.с — средний радиус
планеты;
320
(13.3.10)
(13.3.11)
(13.3.12)

3)	у = /гзв— высота звезды над горизонтом Земли
/z3B = arccos 	(13.3.15)
4)	у = Л3в.п — высота звезды над горизонтом планеты
A3B.n = arccos
Гп
«Зв («* ~' «*п)
(13.3.16)
I г
Здесь i3B — единичный вектор вдоль направления на звезду;
гп — радиус-вектор планеты. Если а и 6 — прямое восхож¬
дение и склонение звезды, то
cos а cos о
sin а sin 8
sin 8
(13.3.17)
5)	у = ср — угловое расстояние между звездой и вертикалью
<? = arccos
(«эв«~)
Г
(13.3.18)
6)	у — фп — угловое расстояние между звездой и планетной
вертикалью
<р = arccos ‘3R(r—(13.3.19)
I Г - Гп I
7)	у = Ф«7 — угловое расстояние между центрами планет
(г - г;) (г — г •)
%.- = arccos-	—	J-— .	13.3.20)
| г—г,- I I г-Г. I
В том случае, если измерения проводятся достаточно точно и
известны характеристики фигуры планеты (экваториальный и
полярный радиус), расчетные значения измеряемых величин мо¬
гут быть вычислены более точно. Для этого в приведенных фор¬
мулах вместо средних радиусов Яз.с и Rn.c используются эквато¬
риальные радиусы 7?з.экв и 7?п.экв, а в полученные величины вво¬
дятся соответствующие поправки. Поправки в угловые высоты
звезд вычисляются по формулам:
1
ДАз =
9^3
I q I /^-«Lkb
I
q
/ ^"^З.экв
cos h '
(13.3.21)
11-3490
321

ДЛП


I q I y\r - rn)2 _ д2.экв
(13.3.22)
V (Г-Гп)2-^|-ЭКВ
cos Л*
13.4. МЕТОДЫ ВЫЧИСЛЕНИЯ ПРОИЗВОДНЫХ
Матрица производных W составляется из навигационных век-
торов wt-:
W = JWi, w2, ..., w„||.
(13.4.1)
Так как зависимость
Y = T(a)
(13.4.2)
можно представить в виде
Y = Y(x); x = x(x0),
(13.4.3)
то навигационный вектор можно записать в виде
w =
m
f dx
(13.4.4)
P
1 da
где
m_ л ;
dr
dy
(13.4.5)
Расчет производных от измеряемых параметров по текущему
вектору состояния. Формулы для расчета градиентов тир опре¬
деляются видом измеряемого параметра. Формулы для парамет¬
ров, измеряемых наземными станциями, имеют следующий вид:
1)	y=D — дальность КА от измерительного пункта
п1 = -^-(г-гип), р=0,	(13.4.6)
2)	у=Ь— радиальная скорость КА относительно измери¬
тельного пункта
m=-^(v-vm)—^-(г-гип)р Р = -^-(г — гий); (13.4.7)
3)	у = А — азимут КА в местной системе координат измери¬
тельного пункта
т =	Р = 0;	(13.4.8)
4)	у=е — угол места точки в топоцентрической системе коор¬
динат измерительного пункта
322

[
У — Уш,
cos2 a
		-, 0 , p —0; (13.4.10)
(X *ип)д И
mT
m = — 1	- Г is"	^-1Г-Гии)]> P = 0;	(13.4.9)
|/ D2- с2 L 02	J
5)	y = a— прямое восхождение KA
— cos2 a	,
(x — хип)2
6)	y = d— склонение KA
m =	p=°- (13A11)
D2 cos & L	D	J
Вычисление матрицы дх/да может проводиться по-разному в
зависимости от выбора вектора определяемых параметров.
Вычисление матрицы производных методом интегрирования
уравнений в вариациях. Если в качестве вектора определяемых
параметров выбран вектор состояния х0 в некоторый начальный
момент /0, можно записать
dx
да
дх
дх0
= Х(М0).
(13.4.12)
Запишем систему дифференциальных уравнений движения КА в
виде
rfv
at
(13.4.13)
где
fs=._X_r + V	(13.4.14)
Дифференцируя (13.4.13), получим уравнения в вариациях:
d (8г)
= Bv;
d (&щ.)
dflx dr-
dt
dt
dr
d (bvy)
df'-y
8r;
— df-“ 8r.
dt
dr
dt
dr
(13.4.15)
Интегрируя уравнения (13.4.15) совместно с (13.4.13) при
единичной матрице начальных условий для системы (13.4.15), по¬
лучим текущий вектор состояния и матрицу Х(/, /0).
Вычисление производных по теории невозмущенного движе¬
ния. При расчете производных допустимо-вместо точной модели
движения использовать приближенную модель движения, осно¬
ванную на аппроксимации траектории участками невозмущенно¬
го движения. В качестве параметра, упорядочивающего разбие¬
ние траектории на такие участки, можно использовать время по¬
лета или любую другую величину, однозначно связанную с
временем.
Для траектории дальнего космического полета такое разбие¬
ние определяется участками, соответствующими различным сфе¬
рам действия. Например, траектория полета к Луне разбивается
11*
323

на геоцентрический и селеноцентрический участки; траектория
полета к планетам Солнечной системы разбивается на геоцент¬
рический, гелиоцентрический и планетоцентрический участки.
Траекторию движения искусственного спутника можно разбить
точками одинаковых значений аргумента широты на витки, при
этом отдельный участок может содержать один или несколько
витков в зависимости от величины и характера' возмущений ор¬
биты спутника.
В качестве определяемых параметров при таком подходе ис¬
пользуются оскулирующие элементы на некоторый момент време¬
ни одного из участков траектории, например, i-ro участка.
Матрицу производных от измерений, проведенных на /г-ом
участке траектории по определяемым параметрам, в этом случае
можно представить в виде
W = WAftA4-i • • • А/+1,	(13.4.16)
где W — матрица производных от измеряемых функций на fe-ом
участке по элементам k-ro участка; A;t— матрица производных
от элементов k-ro участка по элементам (k—1)-го участка.
Вычисление матрицы W. Матрицу производных W согласно
(13.4.1) запишем в виде
W=||w1 w2 ... wj|,
где согласно (13.4.4)
w=||m p||'
dr
da
dv
da
Таким образом,
dr . dv
da	da ’
w = m
а отдельная частная производная измеряемого параметра по па¬
раметру а, запишется в виде
fo

= m^+P(.aiy
(13.4.17)
■ В формулах, приводимых ниже, будут использоваться проек¬
ции векторов m и р на радиус-вектор, трансверсаль и бинормаль:
mr = (mir); mx=(miT); m„=(mi„);
Л = (Р‘Д A = (Pb); A,=(mi„).
(13.4.18)
Производные по элементам р, е, со, cosi, Q, Если в каче¬
стве элементов выбраны величины р, е, со, cosi, Q, t*, формулы
для расчета производных имеют следующий вид:
324

m(e) =^-^-)mr + ^rm^^riry;
C^Z	I
/^(cos/)=	~	— mn\ m(Q)= — mxy + myx;
Cx + Cy
m(lr) = —{mrvr-\-mxvxy,
P(’j>=~	^Pr —г {'PrVr+лг'х)];
P( eу = -y- [pr sin & + A cos & —	i
C2VZ
P(u>) = rUrPt z'vPr' P(cosl)—	-	~ Pn,
Cx + c-
(13.4.19)
P(2)= — P^y+PyV^ P(Jt} =^— pr-,
V- ■ [3 (/-/.) /Ч - (rp. 4-c2) sin »];
/2 —fx2
Ш=7г[/(''1Г)5'П^Г,Л“59]'
Производные по параметрам h, е, со, cos i, Q, Af0. Формулы для
расчета производных от измеряемых параметров по параметрам
■h, е, со, cos i, Q, Л40 имеют следующий вид:
Щ(г)[(с2 — pr) чртг — (с2 + |ЛГ) vrmx\,
т(ш)=гтх; m(cnSi)=			~
сх + су
m{S)=xmy — ymx-, т(Мо)=—(mrvr-\-mxvx);
| h I3'2
Ри>>=~	[З 4 -4)	Pt ~ (PrVr + /W)];
А',=47тН'/''_(г’!_тН;
P(.“) = ZrP~ 'V-cPP P(C',si)=	—-  pn;
Cx+c2y
Pm = vxPy-pxvy-, Ал1о)=-^у —L—A.
(13.4.20)
j
325

Производные по параметрам h, epi, <р2, cost, Q, v0. Рассмотрен¬
ные ранее группы параметров могут быть использованы при ре¬
шении задачи определения траектории в случае гиперболических
и эллиптических орбит, но они не пригодны для круговых орбит.
Более универсальными в этом смысле являются элементы h, фЬ
<р2, cost, Q, vo- Производные по этим параметрам „имеют следую¬
щий вид:
/7г(?2)=_4 [ ^чтг~\-	;
C2Z
/П(собо=			т<2)=хту — утх;
| Л |3'2
Ал) =—4“ [3	~^~Рг~	;
A?.)=tv	~ vrP^ Т1 “	а];
326

S^
т\
—	(2 'Рз) (* — ?2) + ^i!
1 + ?2
^2 =		 ~ +?г) <№ + ^>2;
(1 + Т2)2
	_1	с	 . .
I* (4+‘Т
т 1 cxf У cyfx
2 (сх + 4)1/2 ‘
Вычисление матрицы Aft. Если определяемыми параметрами
являются элементы i-ro участка, отличного от участка, на кото¬
ром производятся измерения, согласно (13.4.16), необходимо вы¬
числить матрицы Ад, Ац	 Аг+1. Любую матрицу Afe из этого
набора можно представить в виде
a^aV’a^!,
где А//1)—матрица производных от элементов траектории на
й-м участке по вектору состояния на том же участке в момент TW
в системе координат с центром в основном притягивающем теле;
Afe_i<2> — матрица производных от вектора состояния на мо¬
мент TW в системе координат с центром в основном притягиваю¬
щем теле по элементам (k—1)-го участка;
7W— момент перехода с (/?—1)-го участка на й-й участок.
Для вычисления матрицы А^1) можно использовать ранее при¬
веденные формулы для расчета производных от измеряемых па¬
раметров по элементам, при этом величины г, v рассматривают¬
ся как измеряемые параметры. Матрица Ah_i<2) находится по фор¬
муле
а^Ма'ДГ1.
Глава 14
ОПРЕДЕЛЕНИЕ ПАРАМЕТРОВ
МАНЕВРОВ ИЛИ КОРРЕКЦИЙ
Задача определения параметров маневра или коррекции рас¬
сматривается в предположении, что скорость в точке коррекции
или маневра изменяется мгновенно.
Предполагается, что в момент th известен вектор состояния
КА х и имеется возможность мгновенно изменять вектор скоро¬
сти. Требуется изменить вектор скорости таким образом, чтобы
327

некоторый вектор <р, являющийся функцией вектора состояния и
называемый вектором корректируемых параметров, принял за¬
данное значение <р*. Так как вектор скорости изменяется мгно¬
венно, то координаты корабля в момент t/. не изменяются, так
что вектор корректируемых параметров можно считать функцией
вектора скорости после коррекции v+:
4> = 4>(v+).
Вектор <р имеет размерность г; для того чтобы задача расчета
импульса маневра или коррекции была разрешима, необходимо,
чтобы выполнялось условие г^З. Таким образом, требуется
отыскать такие векторы v+, которые удовлетворяют уравнению
<р(у+) = ф*.
При г = 3 существует конечное число решений этого уравнения
(одно или несколько). При г<3 существует бесконечное множе¬
ство решений приведенного уравнения. В этом случае обычно
проводится минимизация корректирующего импульса
« = К	— ^)2 + (< — ^)2 + ("fT — tj2)2,
что дает дополнительное уравнение
Фд(у+) = О.
Вид функции <p(v+) определяется целями проведения манев¬
ра или коррекции. Обычно для вычисления этой функции ис¬
пользуется численное интегрирование дифференциальных урав¬
нений, поэтому для определения импульса маневра или коррек¬
ции обычно используют численные методы.
Более простой является задача определения корректирующе¬
го импульса, так как в этом случае можно указать начальное
приближение v0+ для вектора v+; за которое обычно принимает¬
ся значение вектора скорости до коррекции v. Основанием для
этого служит тот факт, что коррекция незначительно изменяет
траекторию. Нахождение импульса маневра представляет более
сложную задачу. Для ее решения привлекаются методы решения
краевых задач, изложенные в гл. 12.
В разд. 14.1 и 14.2 рассматриваются алгоритмы решения за¬
дачи определения импульса маневра в рамках задачи двух тел.
Эти алгоритмы могут служить для расчета начального приближе¬
ния для импульса маневра в том случае, если после проведения
маневра траектория лежит в сфере действия одного притягиваю¬
щего центра. Кроме того, на основе этих алгоритмов могут быть
построены алгоритмы расчета начального приближения для им¬
пульса маневра в том случае, когда после проведения маневра
328

траектория проходит в сфере действия двух и более притягиваю¬
щих центров. В разд. 14.3 настоящей главы рассматриваются
точные методы определения импульса маневра или коррекции
14.1.	ГОДОГРАФЫ ВЕКТОРОВ СКОРОСТИ
ДЛЯ РАЗЛИЧНЫХ КОРРЕКТИРУЕМЫХ ПАРАМЕТРОВ
Будем рассматривать движение КА в рамках задачи двух тел.
Рассмотрим геометрическую интерпретацию задачи отыскания
импульса маневра. В том случае, если корректируется один ка¬
кой-либо параметр, имеется множество векторов скорости в точ¬
ке коррекции, которые обеспечивают заданное значение пара¬
метра. Если поместить начала всех этих векторов в одной точке,
то их концы будут лежать на некоторой поверхности в трехмер¬
ном пространстве, называемой годографом вектора скорости для
данного корректируемого параметра. Таким образом, любой век¬
тор скорости, конец которого лежит на годографе, обеспечит
требуемое значение корректируемого параметра. В случае двух
корректируемых параметров конец вектора скорости должен ле¬
жать на линии пересечения двух соответствующих годографов.
Во всех этих случаях обычно дополнительно проводится миними¬
зация корректирующего импульса. В случае трех корректируе¬
мых параметров вектор скорости после проведения маневра дол¬
жен быть направлен в точку (одну или несколько), лежащую на
пересечении трех годографов вектора скорости.
Рассмотрим вид годографов векторов скоростей для наибо¬
лее часто встречающихся корректируемых параметров.
Годограф вектора скорости для заданного расстояния до пе¬
рицентра гл. Уравнение годографа вектора скорости для задан¬
ного расстояния до перицентра будет иметь вид
(14.1.1)
где
2рг_
г(г + г_)
,2	2р. (г — гф
Ьт =

ГГ_
(14.1.2)
■Годограф представляет собой, следовательно, однополостный ги¬
перболоид вращения с полуосями аг и Ьт. Уравнение (14.1.1)
можно записать также в виде
(14.1.3)
Если за единицу измерения скорости принять значение парабо¬
лической скорости в точке проведения маневра, а за единицу
329

расстояния — расстояние до перицентра, то уравнение (14.1.1)
можно записать в безразмерных переменных:
-ц*г*2--ц*2=(г*-1).	(14.1.4
Здесь звездочкой помечены безразмерные значения соответст¬
вующих переменных. Вид годографа в координатах	Vr для
различных значений г* приведен на рис. 14.1.1.
Границей, разделяющей векторы скорости для эллиптических
и гиперболических траекторий, будет
(14.1.5;
или в безразмерных переменных
*2 *2
-ф Vr = 1 .
(14.1.6'
При этом величины vr и v х, соответствующие этой границе, опре¬
деляются выражениями:
или в безразмерных переменных
(14.1.8'
Граница между векторами скорости, соответствующими эл¬
липтическим и гиперболическим траекториям, показана на рис.
14.1.1. Следует отметить, что при wr>0 эта кривая отделяет так¬
же область, где годограф не имеет физического смысла (верхняя
часть рис. 14.1.1).
Пересечение годографов векторов скорости для заданного
расстояния до перицентра и для заданного времени полета до
перицентра.
Так как коррекция времени прохождения перицентра прово¬
дится, как правило, одновременно с коррекцией расстояния до
перицентра, рассмотрим пересечение годографов векторов скоро¬
сти для соответствующих величин.
Пусть заданы: расстояние г, на котором проводится маневр,
расстояние до перицентра г и время полета до перицентра
330

Найдем уравнение, которое позволит выразить радиальную ско¬
рость vr через перечисленные величины. Для этого выразим ве¬
личины /?р п Xi через упомянутые величины и затем воспользуем¬
ся универсальным уравнением Кеплера (11.2.34).
Для того чтобы получить указанное выражение для /гр, вос¬
пользуемся интегралом энергии (11.1.5) и уравнением годографа
(14.1.1). Эти два соотношения легко разрешить относительно ра¬
диальной V,- и трансверсальной составляющих скорости. При
этом для квадрата радиальной скорости получим выражение
^г = ^п	1	Д-) >	(14.1.9)
■откуда
2
г
(14.1.10)
Искомое выражение для Xi получим из (11.2.33). В том случае,
когда г0 = г-, эта зависимость принимает вид
331

^ = ^ + (1+АрГк)х1,
откуда
'•-G
1 + ^рг-
(14.1.11
(14; 1 . 12
Зная величину xi, по формулам (11.3.45) — (11.3.49) можно най¬
ти величину Трь Если обозначить
£ = sign ту,
то величина тр найдется по формулам
Т₽1 &— + 1;
(14.1.13
которые можно объединить следующим образом:
(14.1.14';
Таким образом, если найденные величины подставить в уни¬
версальное уравнение Кеплера (11.2.34), то получим искомую за¬
висимость. Вид этой зависимости представлен на рис. 14.1.2. Как
видно из этого рисунка, величина времени полета до перицентра
\ta монотонно убывает с уменьшением радиальной скорости у,.
Величина vr для заданных значений г, гг., может быть най¬
дена из полученной зависимости методом Ньютона. После того
как найдена величина радиальной скорости vr, трансверсальная
составляющая скорости vx может быть получена из (14.1.1).
Годограф вектора скорости для заданного наклонения I.
Годографом вектора скорости, обеспечивающего заданное
наклонение, будет плоскость
(vi„)=0.	(14.1.151
Вектор нормали к плоскости i„ может быть определен из сле¬
дующих условий:
откуда
пх
— irxhz cos i — irij ]/~ sin2 i — i~rz
i
^у
— irylrz cos i — irx ]/" sin2 i — i2r.
у
tnz=COSt.
I
332

14.2.	ВЫЧИСЛЕНИЕ ИМПУЛЬСА МАНЕВРА
В ЗАДАЧЕ ДВУХ ТЕЛ
Используя уравнения для годографов векторов скорости
можно построить различные алгоритмы для вычисления импуть-
са маневра в задаче двух тел. Рассмотрим алгоритмы вычисле¬
ния импульса маневра для некоторых наиболее часто встречаю¬
щихся комбинаций корректируемых параметров.
Оптимальная коррекция радиуса перицентра. Уравнение
(14.2.1)	совместно с условием оптимальности импульса маневра
или коррекции приводит к уравнению четвертой степени относи¬
тельно величины vt:
Л(^+)Ч^и+)3 + ^з(^)2 + ^Х + Л=0,	(14.2.1)
где
Р1 = а72(а?_^)2;	р2=_2щ(а? + ^);
Р3 = т)2а2 —T)2&2— (а2-|-&г)2;
=	(<2г-|-(?г);	Р-——v-.а4.
(14.2.2)
Здесь vr и vr — соответственно радиальная и трансверсаль¬
ная составляющие скорости до маневра. Если известны радиус-
вектор г и вектор скорости v до коррекции в какой-либо системе
координат, то и,- и щ .находятся по формулам
(14.2.3)
Из действительных корней уравнения (14.2.1) выбирается
тот, при котором значение импульса маневра |и| получается
наименьшим. Составляющая скорости после коррекции гч+
может быть найдена затем из (14.1.1).
Можно показать, что если рассчитывается оптимальный им¬
пульс для коррекции расстояния до перицентра гя, то после кор¬
рекции плоскость траектории не изменяется. Исходя из этого оп¬
ределяется ориентация единичных векторов по направлениям ра¬
диуса-вектора и трансверсали и вектор скорости в заданной
системе координат:
. г
v=—;
г
(14.2.4)
Маневр, обеспечивающий минимальное время полета до пе¬
рицентра Д(„. Пусть на КА имеется возможность создания им¬
пульса скорости в пределах О | u | иУ1. Требуется рассчитать
импульс, который после приложения мог обеспечить заданное
ззз

расстояние до перицентра гл п минимальное время от момента
проведения маневра до момента достижения перицентра.
Рис. 14.2.1 иллюстрирует поставленную задачу. Концы векто¬
ров скоростей, обеспечивающих задан¬
ное значение гл, лежат на участке ги¬
перболоида, заключенного внутри сфе¬
ры радиусом им с центром в конце век¬
тора V, где v — вектор скорости до про¬
ведения маневра.
Учитывая, что с уменьшением ра¬
диальной скорости vr время полета до
перицентра А/л уменьшается, из гео¬
метрических соображений можно за¬
ключить, что его минимальное значе¬
ние достигается при |и | =им, при этом
плоскость траектории не меняется. Та¬
ким образом, задача сводится к отыс¬
канию вектора скорости, обеспечиваю¬
щего заданное значение расстояния до
фиксированном значении корректирующего
перицентра гя, при (.
импульса | и|, равном и-,
Из уравнения (14.1.1) и условия
(т>г+ — Т'г)2-^ (т>7 — та)2 ---■ и2,
(14.2.5)
получим для определения величины v* уравнение четвертой
степени
Р* (^)4+ Рг U-74- Рз (щ'Т+ РрР	О, (14.2.6)
где
Р*=а7Чаг-\-Ь2г)2’, />;=-4гуаГ2(аг2+^);
Л>*==4г)2_|_2аГ2((г?-|-/>?) (гС-|-г>2 —6? —и2) —4«Г26?'Ц2;
Р\ = — 4та (vl -ф v2 — b2 — «м);
Из действительных корней уравнения (14.2.6) выбирается
тот, при котором получается наименьшее значение радиальной
скорости т)+. Так как плоскость траектории после проведения
маневра не изменяется, то переход от составляющих и
к вектору скорости в заданной системе координат может про¬
водиться по формулам (14.2.4).
Оптимальная коррекция расстояния до перицентра и времени
полета до него. Вектор скорости, обеспечивающий заданное зна¬
чение расстояния до перицентра и времени полета до перицент¬
334

ра, должен лежать на пересечении соответствующих годогра¬
фов. Задача о нахождении компонент -и? и такого вектора
была рассмотрена в разд. 14.1. Условие оптимальности в конеч¬
ном счете сводится к тому, чтобы после маневра плоскость тра¬
ектории не изменилась, поэтому переход от составляющих
V* и Ч к векторам в заданной системе координат проводится
формулами (14.2.4).
Коррекция расстояния до перицентра, времени полета до не¬
го и наклонения. Компоненты v7 и v7 вектора скорости пос¬
ле коррекции в данном случае рассчитываются так же, как и в
предыдущем. Уравнение годографа вектора скорости, обеспечи¬
вающего заданное наклонение, используется при переводе этих
компонент в заданную систему координат. При этом компоненты
вектора in рассчитываются по формулам (14.1.7), а затем нахо¬
дится вектор
у +	+	(14.2.8)
где
ix = ['r X i„].
14.3.	АЛГОРИТМ ТОЧНОГО РАСЧЕТА
ПАРАМЕТРОВ МАНЕВРОВ ИЛИ КОРРЕКЦИЙ
Задача определения импульса маневра или коррекции, как
было отмечено в начале главы, сводится к решению системы
уравнений
<p(v+1	Ч'".	(14.3.1)
В том случае, если параметричность коррекции г равна трем,
то (14.3.1) представляет собой систему из трех уравнений с тре¬
мя неизвестными. Если г<3, то (14.3.1) представляет собой си¬
стему из г уравнений с тремя неизвестными. В этом случае к
(14.3.1)	добавляется уравнение вида
Фд(г’+) = О,	(14.3.2)
получаемое из условия оптимальности корректирующего им¬
пульса.
Как уже было сказано, для определения корректирующего
импульса можно использовать метод Ньютона. Введем обозна¬
чения:
Ф(у+) =
<p(v+)
<P;((V+)
<Р*
О
(14.3.3)
335

Вектор <р* имеет размерность 3. Тогда для отыскания векто¬
ра используется итерационный процесс
v*li = vt-|-A_I [ф* —ф(д^)].	(14.3.4)
В качестве начального приближения для этого итерационного
процесса полагается vo^ = v, где v — вектор скорости до проведе¬
ния коррекции.
При расчете маневра необходимо построение алгоритма рас¬
чета начального приближения, дальнейшее уточнение может
проводиться с использованием итерационного процесса (14.3.4).
Однако, как было показано в гл. 12, в этом случае рационально
использовать алгоритм расчета начального приближения для за¬
мены переменных в решаемой системе уравнений.
Рассмотрим вначале случай! трехпараметрической коррекции.
Алгоритм расчета начального приближения имеет вид
vo+ = vo" (ф*).	(14.3.5)
Используя алгоритм (14.3.5), вводим новый вектор перемен¬
ных— вектор прицельных параметров фп посредством соотноше¬
ния
v+ = vo (фп)	(14.3.6)
и приходим к системе уравнений
И(ф,.)=<₽*•	(14.3.7)
Применяя метод, изложенный в разд. 12.1, получим следую¬
щий итерационный процесс для определения вектора прицель¬
ных параметров фп:
фп*+1) = ф* + ф^) — и (ф^О-	(14.3.8)
где
u (ф^)) = <Р (vo+(<jpnft))).	(14.3.9)
Скорость после коррекции vH определяется затем по формуле
(14.3.6) согласно найденным значениям прицельных параметров;
корректирующий импульс найдется по формуле
U = v+ — V.
Физический смысл прицельных параметров следующий. Эти
параметры представляют собой некоторые фиктивные корректи¬
руемые параметры, выбираемые из условия, чтобы корректирую¬
щий импульс, рассчитанный для них по упрощенным соотноше¬
ниям, опирающимся па теорию певозмущенного движения, обес¬
печил бы заданные значения корректируемых параметров.
Подбор соответствующих значений прицельных параметров
336

производится путем решения уравнения (14.3.7), осуществляемо¬
го с помощью итерационного процесса (14.3.8).
Рассмотрим теперь случай, когда параметрпчность маневра
меньше трех. В этом случае скорость после маневра опреде¬
ляется уравнениями:
<p(v+) = <p*,'
(14.3.10)
Фд (v+) = O.
Начальное приближение для решения системы (14.3.10) полу¬
чается по формулам невозмущенного движения. Примеры по¬
строения таких алгоритмов даны в разд. 14.2. Это начальное
приближение удовлетворяет системе уравнений следующего
вида:
Фо (v+) —<р*,
(14.3.11)
Фдо<у+) = 0.
Последнее уравнение системы (14.3.11) есть условие оптималь¬
ности импульса, рассчитанного по теории невозмущенного дви¬
жения.
Вместо системы (14.3.10) рассмотрим систему:
ф(у+) = ф*;
(14.3.12)
Фло(у+) = 0.
Пусть v+ является решением системы (14.3.12). Очевидно, что
тогда этот импульс будет удовлетворять и первому уравнению
системы (14.3.10), т. е. обеспечит требуемые значения корректи¬
руемых параметров. Второе уравнение этой системы удовлетво¬
ряться не будет, т. е. найденный импульс не будет строго опти¬
мальным. Однако отличие найденного импульса от оптимального
будет невелико, так как уравнения (14.3.12) близки к уравнениям
(14.3.10)	.
Таким образом, использование уравнений (14.3.12) вместо
(14.3.10)	является вполне допустимым. Следовательно, для оп¬
ределения импульса маневра можно использовать метод, опи¬
санный ранее для трехпараметрической коррекции. Нулевое при¬
ближение для расчета импульса маневра удовлетворяет системе
(14.3.12)	и, следовательно, удовлетворяет последнему уравнению
системы (14.3.12). Алгоритм расчета нулевого приближения
имеет вид
Vo” = vf (<р*).	(14.3.13)
Используя (14.3.13), вводим вектор прицельных параметров по¬
средством соотношений
(14.3.14)
v+ = v0+ (<рп)
337

и приходим к векторному уравнению
U(<P,J ■-*₽*•	(14.3.15
Если рассматривать выражение (14.3.15) в координатной
форме, то оно представляет собой систему г уравнений с г не¬
известными и для ее решения используется итерационный про¬
цесс (14.3.8). Все сказанное ранее о физическом смысле прицель¬
ных параметров остается справедливым и в этом случае.
БИБЛИОГРАФИЧЕСКАЯ СПРАВКА
К части I
В первых работах по космической навигации оценка точности определения
орбит по результатам измерений производилась с помощью соотношений ме¬
тода наименьших квадратов, т. е. в предположении независимости ошибок из¬
мерений (см., например, работы П. Е. Эльясберга, В. Д. Ястребова [38],
И. И. Шапиро [37]). Однако очень скоро обнаружилось весьма значительное
влияние корреляций ошибок. Оценка влияния корреляций производилась, на¬
пример, в работе А. В. Брыкова [13]. В работе М. Л. Лидова [24] было пред¬
ложено вычислять оценку точности в случае неопределенности корреляций
ошибок измерений исходя из условия наихудшего их влияния на точность. Та¬
кой метод оказался весьма плодотворным, и в последнее время появилась
целая серия работ, в которых производится дальнейшее его развитие, напри¬
мер, работы П. Е. Эльясберга, Б. Ц. Бахшияна, Л. Ю. Белоусова, И. К. Бажи-
нова и В. Н. Почукаева [40, 9, 5, 6].
В работе И. К. Бажинова и В. Н. Покучаева [5] предложена другая схема
учета неопределенности в корреляциях ошибок. Предлагается ввести макси¬
мизированную матрицу, заменяющую в расчетах истинную матрицу вторых
моментов ошибок измерений и обеспечивающую неотрицательность методиче¬
ских ошибок в вычислении точности определения параметров траектории.
В результате всех этих исследований был разработан ряд различных спо¬
собов вычисления оценок и возникла необходимость в их объединении и полу¬
чении с единых позиций. Подобная попытка сделана в настоящей книге. Для
этого введено понятие оценки дисперсии ошибки определения параметров
траектории и понятие ограничивающих множеств матриц вторых моментов
ошибок измерений.
Оптимальная стратегия проведения измерений, минимизирующая величину
оценки Dзг), исследована в работе М. Л. Лидова [24] и П. Е. Эльясберга,
Б. Ц. Бахшияна [40]. В них показано, что минимум оценки Dfr] достигается в
том случае, если проводить т измерений, размещенных в т моментах времени,
выбранных оптимальным образом (т— число независимых определяемых па¬
раметров). Нахождение этих моментов сводится к решению задачи линейного
программирования.
В статье В. Г. Ершова [18] исследуется оптимальная стратегия измерений
при использовании оценки DjT| при наличии измерений с допустимой бесконеч¬
ной плотностью.
Как в ней показано, минимум оценки достигается тогда, когда все
располагаемое количество измерений размещается в т оптимальных момен¬
тах времени. Нахождение этих моментов также сводится к решению задачи
линейного программирования.
В работах Б. Ц. Бахшияна [18], И. К. Бажинова и В. Н. Почукаева [6]
было показано, что оптимальные моменты измерений при Чг= оо для оценки
DjT) и DgT] совпадают. Более того, в работе [6] показано, что таких моментов
может быть больше т, однако величина оценки при этом не увеличивается.
338

В работе Н. Н. Козлова [20] была рассмотрена задача оптимального рас¬
пределения измерения при ограниченной предельной плотности для оценки
DjT] . Эта задача была сведена к задаче управления.
В работе Л. Ю. Белоусова [9] рассмотрена оптимальная стратегия для
оценки типа D3t), но при этом предполагается, что по результатам измерений
определяется только один параметр траектории вместо т параметров, как это
делается обычно.
Исследованиям вопросов оценки точности определения орбит по резуль¬
татам измерений посвящены также работы Л. Ф. Порфирьева [30], Б. А. Рез¬
никова [32], В. М. Рудакова [33].
С помощью понятий, введенных в данной книге, формулируется метод
определения дисперсий, обобщающий известные методы, а ткже позволяющий
получить новые виды оценок.
К части II.
Коррекция траектории полета является в настоящее время одним из наи¬
более распространенных видов управления движением центра масс КА и ей
посвящено большое количество работ.
Наиболее интересные результаты достигнуты в исследовании свойств
детерминированной одноразовой коррекции. Так, например, в работах
А. К. Платонова, А. А. Дашкова, В. Н. Кубасова [27, 28], а также Р. Стерна
и Д. Портера [34] показана возможность оптимизации одноимпульсных коррек¬
ций, если число корректируемых параметров менее трех, введено понятие плос¬
кости оптимальной коррекции (см. разд. 7.1). Для наглядной геометрической
характеристики эффективности одноразовой коррекции (одиоимпульсной и свя¬
занной) в этих работах введено понятие фигуры влияния. Показана возмож¬
ность приближенного определения с помощью соответствующих фигур влияния
величины корректирующей скорости одиоимпульсной коррекции и оптимальной
стратегии связанной коррекции. Доказано, что оптимальное число коррекций
не превышает размерности пространства корректируемых параметров. Резуль¬
таты этих исследований использованы в разд. 8.1 и 8.2 Приведенный в каче¬
стве иллюстрации в разд. 8.2 пример расчета оптимальной двухимпульсной
солнечной коррекции заимствован из работы В. Н. Кубасова [22].
Особенности, присущие геометрическому способу оптимизации стратегии
одноразовой связанной коррекции, ограничивают область его применения; он
используется в основном для качественных исследований при числе корректи¬
руемых параметров не более двух. Поэтому одновременно разрабатывались
численные методы решения, использующие условия оптимальности связанных
коррекций. Так, в работе М. Л. Лидова и В. А. Ляховой [25] предложен метод
решения двухимпульсной связанной коррекции, который сводит эту задачу к
нахождению корней трансцендентного уравнения степени 2г.
Приведенные в разд. 7.1 особые виды одиоимпульсной коррекции с ис¬
пользованием упрощенных систем ориентации и управления рассмотрены в ра¬
ботах А. А. Дашкова, В. Н. Кубасова, А. К. Платонова [22, 28].
Исследованию статистической коррекции и расчету основных характери¬
стик ее посвящены работы Р. Бэттина [10], И. А. Богуславского [12], А. К. Пла¬
тонова [27]. В. С. Полякова [29], В. А. Ярошевского [2] и др. Основное внима¬
ние в них уделено вопросам определения корреляционных матриц распределе¬
ния вектора корректирующей скорости для каждой из последовательно про¬
водимых, в основном независимых, коррекций при условии нормального закона
распределения отклонений корректируемых параметров. Кроме того, в работе
[10] излагается способ расчета характеристик статистической коррекции с
помощью метода Монте-Карло. При статистической коррекции практически
невозможно использование фигуры влияния для исследования свойств даже
при одиоимпульсной коррекции, что является следствием усложнения задачи.
Следует отметить, что существующие способы определения суммарной энерге¬
тики и ошибок исполнения статистической коррекции требуют уточнения.
339

Исследованию оптимальной стратегии коррекции посвящены работы
И. А. Богуславского [12], Д. Е. Охоцимского, В. А. Рясина, Н. Н. Ченцова [26],
В. А. Ярошевского п С. В. Петухова [2, 42]. В этих работах дана постановка
задачи выбора оптимальной стратегии коррекции для статической и смешан¬
ной моделей, получены некоторые важные свойства оптимальной стратегии.
В качестве возможного алгоритма оптимизации стратегии коррекции рекомен¬
дуется метод динамического программирования. Рассмотренные в этих рабо¬
тах практические примеры решения задачи оптимальной коррекции достаточно
просты, что объясняется как сложностью математической постановки, так и
трудоемкостью метода динамического программирования. Отметим основные
особенности постановки задачи оптимальной коррекции в этих работах, так
как они не нашли достаточного отражения в гл. 10.
В работе [26] принята общая постановка задачи оптимальной стратегии
коррекции. Вводятся понятия: пространство элементарных исходов (ошибки
выведения и ошибки прогнозирования с известными характеристиками распре¬
деления), информационное пространство (выборки из генеральной совокупно¬
сти возможных значений измеряемых параметров) и пространство управле¬
ний (корректирующие скорости и времена коррекций). В качестве критерия
оптимизации принята вероятность попадания в заданную область корректи¬
руемых параметров при условии ограничения суммарной характеристикой
скорости коррекций. Ошибки исполнения коррекции отсутствуют. Поиск опти¬
мальной стратегии сводится к нахождению некоторого разбиения информа¬
ционного пространства на области, соответствующие проведению коррекции
в заданный момент, и построению оптимальных функций корректирующего
импульса. Это разбиение информационного пространства может быть проведе¬
на методом динамического программирования. Описанная методика применена
для однопараметрической двухразовой коррекции.
В работе [12] рассмотрена задача выбора оптимальной стратегии коррек¬
ции на заданном множестве возможных времен их проведения. Время послед¬
ней коррекции фиксировано. Предполагается, что ошибки измерений независи¬
мы, а характеристики распределения ошибок прогнозирования определяются
только интервалом времени между двумя фиксированными временами возмож¬
ных коррекций, и, следовательно, не зависят от выбора стратегии коррекции.
В качестве критерия оптимизации стратегии коррекций (кроме последней) при¬
няты характеристики случайной величины суммарной характеристической
скорости коррекции. Последняя коррекция проводится так, чтобы вероятность
попадания в заданную область была максимальной. Как отмечено в разд. 10.3,
такое разделение задачи на энергетическую и точностную, а затем независимое
их решение возможно тогда, когда ошибки прогнозирования зависят только
от времени проведения очередной коррекции. В работе [12] в общем виде
приведен алгоритм решения задачи оптимальной коррекции, основанной на
методе динамического программирования.
В качестве примера рассмотрена оптимизация стратегии однопараметрп-
ческой двухразовой стратегии при условии взаимной независимости ошибок
прогнозирования и исполнения коррекций. Показана оптимальность «недокор-
рекции» известного отклонения корректируемого параметра. Кроме того, дока¬
зано существование такой области отклонений корректируемых параметров,
при попадании в которую вектора текущего отклонения корректируемых пара¬
метров оптимальная корректирующая скорость равна нулю (область «нечувст¬
вительности») .
Качественному анализу свойств оптимальной стратегии посвящены работы
В. А. Ярошевского и С. В. Петухова [2, 42], в которых рассматривается реше¬
ние задачи оптимальной стратегии однопараметрической коррекции при отсут¬
ствии ошибок ее исполнения. Приводятся алгоритм расчета оптимальной стра¬
тегии связанной коррекции и соотношения для определения области нечувст¬
вительности. Критерием оптимизации служит математическое ожидание сум¬
марной характеристической скорости коррекции. Для независимой многоразо¬
вой однопараметрической коррекции при принятых допущениях получены
соотношения для определения оптимальных значений q и ZKj.
340

К части III.
В гл. 11 приведены основные соотношения задачи двух тел, при этом об¬
общенные соотношения получены исходя из работы М. С. Яров-Ярового [43],
путем интегрирования регуляризированных уравнений задачи двух тел. Полу¬
ченные соотношения приведены к виду, приданному им Р. Бэттиным [10].
Подробный анализ метода определения траектории по двум положениям
дан в книге П. Е. Эльясберга [39]. При выведении формул расчета текущего
вектора состояния по двум положениям, приведенных в разд. 11.3, использу¬
ются соотношения работы [39] в качестве исходных.
Дифференциальные уравнения движения в оскулирующих элементах
f и с получены в работе Э. Л. Акима и Т. М. Энеева [3], модификация метода
Энке, приведенная в разд. 12.2, принадлежит Р. Бэттину [10].
Являющийся классическим метод Ньютона изложен в книге Б. П. Деми¬
довича и Н. А. Марона [17]. Впервые алгоритм расчета начального приближе¬
ния для введения новых переменных использовался при определении орбиты
по методу Лапласа. В разд. 12.1 этот метод обобщен для произвольной си¬
стемы уравнений.
Вопрос о построении алгоритма, сходящегося при значительном отличии
нулевого приближения от искомого решения, рассматривался Э. Л. Акимом и
Т. М. Энеевым [3], а также В. К. Исаевым и В. В. Сониным [19].
В разд. 12.2 излагается общий подход к разработке таких методов, сле¬
дуя которым можно получить как методы, упомянутые ранее, так и ряд
других.
Алгоритм определения траектории по наземным измерениям во многом
основан на работах Э. Л. Акима, Т. М. Энеева [3] и Т. М. Энеева, А. К. Пла¬
тонова, Р. К. Казаковой [41].

ПРИЛОЖЕНИЕ
1.	О ЧАСТИЧНОЙ УПОРЯДОЧЕННОСТИ
МНОЖЕСТВА СИММЕТРИЧЕСКИХ МАТРИЦ
Вещественная симметрическая матрица K=ll&jjll типа (пХп)
называется положительно определенной, если квадратичная фор¬
ма переменных Xi, хп, матрица коэффициентов которых сов¬
падает с матрицей К, является положительно определенной, т. е.
если при любых не равных одновременно нулю вещественных
значениях Х{ компонент вектора х= ||xi, ..., хп||т выполняется не¬
равенство
хткх>о:	(п.1.1)
При наличии противоположного неравенства
хтКх<0	(П.1.2)
матрица К называется отрицательно определенной. Класс поло¬
жительно (отрицательно) определенных матриц является частью
более общего класса неотрицательно (неположительно) опреде¬
ленных матриц, для которого вместо неравенств (П.1.1) и (П.1.2)
соблюдаются нестрогие неравенства
хтКх>0, (хтКх ;С0).	(П.1.3)
Кроме указанных четырех типов симметрических матриц име¬
ются также и знаконеопределенные матрицы, для которых при
разных х может и не выполняться ни одно из неравенств
(П. 1.1)-=-(П. 1.3). Будем говорить, что положительно (отрица¬
тельно) определенная матрица К больше (меньше) нуля, и обо¬
значать это так: К>0 (К<0). Для неотрицательно (неположи¬
тельно) определенной матрицы К будем использовать обозначе¬
ния К>0 (К^О).
Множество S вещественных симметрических матриц К одно¬
го п того же порядка может быть сделано частично упорядочен¬
ным, если ввести в нем порядок, определенный отношениями
«строго больше» (>) и «больше» (О), следующим образом:
1)	L>K, если L—К>О(К, L, OeS), т. е. когда разность
L— К является положительно определенной матрицей;
2)	L^K, если L—К^О(К, L, OeS), т. е. когда разность
L— К является неотрицательно определенной матрицей.
Аналогичным образом вводится отношение «строго меньше»
(<) и «меньше» (sE);
3)	L<K, если L—К<О(К, L. О GE S);
4)	L < К, если L - К < О (К, L, О БЕ 5).
342

Так как всякая квадратная матрица с числовыми элементами
однозначно, с точки зрения ее структуры, характеризуется своим
спектром, т. е. совокупностью всех собственных чисел (среди ко¬
торых могут быть и равные), то вполне естественно, что знако¬
определенность симметрической матрицы эквивалентна знакооп¬
ределенности ее спектра. Так, например, если спектр симметри¬
ческой матрицы К(тХт) строго положителен (Хг>0 для i=
= 1, ..., т), то эта матрица положительно определенная; если
среди собственных чисел есть как положительные, так и отрица¬
тельные, то матрица знаконеопределенная.
Вследствие инвариантности знаков спектра матрицы при ее
невырожденных преобразованиях (закон инерции) введенное
указанным способом частичное упорядочение симметрических
матриц также инвариантно относительно таких преобразований.
Отметим некоторые свойства частично упорядоченного мно¬
жества матриц.
1.	Если К]>0 и К2>0, то Ке = К1 + К2>0, при
этом Ка>К1 и Ks>K2. Аналогично, если Kj<0 и К О,
ТО Ке = К1 + К2<0 и КеСК1; Кз<К2.
2.	Пусть Ли — минимальное собственное число матрицы Ki, а
7.2; — максимальное собственное число матрицы К2. Тогда, если
7.i.;>7i2i, то К1Ж2.
3.	Если Ki>0, то КГ!^>0. Это следует из того, что знаки
собственных чисел при обращении не меняются.
4.	Если Kj>K2, то КГ'СКГ1.
Частичная упорядоченность симметрических матриц может
быть применена к матрицам ошибок в определении параметров
в силу следующего свойства. Пусть Ki и К2 — матрицы ошибок в
определении одних и тех же независимых параметров х,	 х.„.
Пусть параметр ц связан с параметрами xlt х2,хт соотношением
т] = Цх, х = ||х1, х2>.. ., xmf,
где 1п — вектор-столбец размерности (mXl). Тогда, если
Ki > К2, то ошибка Ат] в параметре т], определяемая первой мат¬
рицей, больше ошибки в том же параметре, определяемом второй
матрицей.
2.	О ПСЕВДООБРАТНЫХ И ПРОЕКТИРУЮЩИХ МАТРИЦАХ
Для упрощения выкладок и удобства геометрической интер¬
претации результатов, полученных при исследовании матриц,
часто приходится использовать псевдообратные и проектирую¬
щие матрицы. Дадим их определения и некоторые их свойства.
1.	Пусть W — матрица размерности (тХп), при этом т<п
и ранг ее равен т. Такие прямоугольные матрицы удобно назы¬
вать прямоугольными невырожденными. Тогда матрицу Wn
будем называть псевдообратной для матрицы W, если выпол¬
няется соотношение
Wl71WT=EOT.
343

Однако такое определение псевдообратной матрицы не яв¬
ляется однозначным. Для однозначности определения матрицы
W7 необходимо ввести дополнительные условия. Некоторые
авторы (например, [14]) вводят дополнительные условия таким
образом, что матрица W7 определяет решение системы алге¬
браических уравнений вида
Wx = y, где х, у —векторы (mX 1), («X 1), (л>щ), (П.2.1)
наилучшее в смысле метода наименьших квадратов. В этом слу¬
чае псевдообратная матрица определяется формулой
W’^iWW’r'w.	(П.2.2)
В данной работе наиболее часто рассматривается метод мак¬
симального правдоподобия при решении несовместных систем
алгебраических уравнений. В связи с этим оказалось рациональ¬
ным расширить понятие псевдообратной матрицы и определять
ее так, чтобы она соответствовала наилучшему решению системы
(П.2.1) в смысле метода максимального правдоподобия. В об¬
щем случае псевдообратную матрицу будем определять с помо¬
щью следующего неравенства:
Wr'HAWT'A,	(П.2.3)
где А — прямоугольная невырожденная матрица размерности
(mXn) такая, что W (W7')T = Em.
Наилучшее решение системы (П.2.1) в смысле метода макси¬
мального правдоподобия (при нормальном законе распределе¬
ния ошибок) определяет матрица
Hrt = (WB"1WT)-1WB_1,	(П.2.4)
•являющаяся псевдообратной к матрице W. В формуле (П.2.4)
В — матрица вторых моментов случайного вектора х. Псевдооб¬
ратную матрицу (П.2.2), соответствующую диагональной матри¬
це В, будем называть главной псевдообратной матрицей.
2.	Матрицу Q типа (пХп) будем называть проектирующей,
если она имеет m(/n</7) собственных чисел, равных единице, а
остальные равные нулю.
Обозначим матрицу W типа (тХл), составленную из собст¬
венных векторов, для которых собственные числа равны единице,
через Wc, а матрицу ((п-т)хл), составленную из собствен¬
ных векторов, которым соответствуют нулевые собственные чис¬
ла, через W„. Тогда проектирующую матрицу Q можно предста¬
вить в следующем виде:
Q = WHWPWJ)_1WP,	(П.2.5)
где Wp — матрица, составленная из фундаментальных решений
системы линейных уравнений:
W„yT—о.
344

3.	Матрица Qi = E„— Q также проектирующая, так как
(п— т) ее собственных чисел равны единице, а остальные рав¬
ны нулю.
4.	Проектирующие матрицы тесно связаны с псевдообратны-
ми. Действительно, формулу (П.2.5) можно переписать так:
Q WJW-. где W71 = (WPW:)-1WP.
Таким образом, каждой псевдообратной матрице W71 можно
поставить в соответствие проектирующую матрицу Q, определяе¬
мую по формуле
Q = WWr71.
Особое значение имеет тот случай, когда псевдообратная мат¬
рица главная. Тогда имеет место
W/ = (WWT)~IW,
и проектирующая матрица определится соотношением
Q = WT(WWT)“1W.
По аналогии будем ее называть главной проектирующей матри¬
цей. Эта матрица может быть представлена и в более простом
виде. Действительно, введем обозначение Wo= (WWT)_1/W.
В этом случае Q=WoWo. Отметим здесь, что матрица Wo яв¬
ляется аналогом ортогональной матрицы для прямоугольных
матриц. Действительно, WoWo = Em. При исследовании ошибок
определения параметров часто используется проектирующая мат¬
рица, определяемая матрицей правдоподобия. В этом случае
Q=WTH = WT(WB_1W1j_1WB_1.
Для проектирующей матрицы можно ввести достаточно чет¬
кую геометрическую интерпретацию. Пусть задана проектирую¬
щая матрица Q(nX«). Образуем n-мерное линейное простран¬
ство G„. Вектор-строки матриц Wc и Wn образуют в нем соответ¬
ственно т и (п — т)-мерные плоскости Мт и Мп_т. Тогда, если
рассматривать матрицу Q как оператор в пространстве Gn, то он
действует следующим образом. Любой вектор, принадлежащий
плоскости Mn, оператор Q оставляет без изменения, а любой
вектор плоскости	— сводит к нулю. Откуда следует, что
оператор Q переводит любой вектор 1 пространства G„ в проек¬
цию его на плоскость Мт. При этом проектирование производит¬
ся параллельно плоскости Мп_т. В силу этого свойства матрица
Q была названа проектирующей.
3.	НЕКОТОРЫЕ ФОРМУЛЫ
ДЛЯ ОБРАЩЕНИЯ КВАДРАТНЫХ МАТРИЦ
1.	Матрица, обратная по отношению к сумме А = ВИ4-
-I-B12B22B2i, где — матрица размерности (MiXnJ, причем
145

detBi; = O при i=l, 2, может быть найдена по следующей фор¬
муле:
А-^В^-ВП'В^-КВП1,	(П.3.1)
где S = B22 —В21В11 В[2-
Чтобы убедиться в справедливости такого представления,
следует составить произведение:
АА 1 = ВцВп14" В^ВггВг^п1
—1
и —
+ В12В22 (S - В ВП1 в12) s-Хвп1 =
= Е„, — В12 (Е„2 — В^Вгг1) S 1В21Вц1 = ЕП1.
Для случая, когда «2=1, получим наиболее простой вид форму¬
лы (П.3.1)
А~1 = Вй1 —S_1Bii1B12B21Bu1,
где S = B^14-B21Bn1B12.
2.	Невырожденная квадратная матрица
порядка n = «i + «2, элементами которой являются матрицы хц
типа (rtiXtij), причем матрица Тп, также невырожденная, мо¬
жет быть обращена при помощи формулы Фробениуса [14]:
ТП1
O21
012
О 22
+
(П.3.2)
где S = T22 — T^iTi/T^.
3.	Пусть произвольная невырожденная матрица А записана
в блочном виде
(П.3.3)
где С], С2 — прямоугольные матрицы, для которых определены
псевдообратные матрицы. Тогда обратную матрицу можно вы¬
разить также в блочном виде следующим образом:
(П.3.4)
причем матрицы Cin1, Сги должны удовлетворять условиям:
= 0; С2 СГп^О. (П.3.5)
Cj СГп^Е; С2 СН^Е; Cj СгП1
Из определения обратной матрицы А-1 в блочном виде выте¬
кают следующие два свойства:
346

а)	если невырожденная матрица А удовлетворяет условию
(П.3.3), то независимо от вида матриц Ci и С2 справедливо
(\A~MlE, О ||, С2А_1 = ||О, Е||;	(П.3.6)
б)	если прямоугольную матрицу C(sXr) можно представить
в виде суммы прямоугольных матриц C = Ci + C2, а невырожден¬
ную матрицу А можно записать в блочном виде
А = ||С1, С2||т,
причем С] и С2 удовлетворяют условию (П.3.5), то
с а_1=||е, Е|[,	(П.3.7)
где Е — единичная матрица (sXs).
4.	СВОЙСТВА ПОЛЯРНОГО РАЗЛОЖЕНИЯ МАТРИЦ
1.	В евклидовом пространстве произвольную невырожденную
матрицу А, определяющую некоторое линейное преобразование,
всегда можно записать в виде следующих произведений:
A = S4 Q.4, A=Qu Sz11,	(П.4.1)
где S^, SAi — неотрицательные симметрические матрицы;
Qa, Qai —ортогональные матрицы.
Неотрицательные симметрические матрицы SA, Sai есть левый
и правый модули матрицы А, причем
S4=/a Ат; 5Л1="КатА.	(П.4.2)
Геометрический смысл этого разложения состоит в следую¬
щем. Для любого вектора r-мерного пространства ортогональное
преобразование, осуществляемое матрицей Qa или Qai, являет¬
ся вращением в этом пространстве. Линейное преобразование,
соответствующее SA или Sai, производит «дилатацию» г-мерного
пространства, т. е. «растяжение» вдоль взаимно перпендикуляр¬
ных направлений, в общем случае не совпадающих с направле¬
нием базиса. Коэффициенты растяжения могут быть различны¬
ми. Таким образом, произвольное линейное преобразование
можно выполнить, осуществляя последовательно некоторое вра¬
щение и некоторую дилатацию в любом порядке.
2.	Если В = ААТ — матрица простой структуры, приводимая
к виду
В = 1вАв1в =	|| Xgi,. . ., XBf||IB.
где 1в — ортогональная матрица;
Ав— диагональная матрица, составленная из характеристи¬
ческих чисел матрицы ААТ, то справедливо
/В=1в/ЛДЬ = 1в1УЦ,..., /UH*.
Аналогичным образом и для Bi = ATA.
(П.4.3)

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
1.	Агаджанов П. А. и др. Космические траекторные комплексы. М., «Со¬
ветское радио», 1969, 248 с.
2.	Алексеев К. Б., Бебенин Г. Г., Ярошевский В. А. Маневрирование кос¬
мических аппаратов. М., «Машиностроение», 1970, 416 с.
3.	Аким Э. Л., Энеев Т. М. Определение параметров движения космиче¬
ского аппарата по данным траекторных измерений. •— «Космические исследова¬
ния», 1963, т. 1, № 1, с. 5—50.
4.	Бажинов И. К., Почукаев В. Н. Геометрическая интерпретация задач
оценки точности определения траектории полета космических аппаратов. —
«Космические исследования», 1971, т. 9, № 2, 1973, с. 173—182.
5.	Бажинов И. К-, Почукаев В. Н. Оценка параметров траектории косми¬
ческого аппарата при неизвестной матрице вторых моментов ошибок навига¬
ционных измерений. — «Космические исследования», 1971, т. 9, №	2,
с. 163—169.
6.	Бажинов И. К., Почукаев В. Н. Об оптимальном распределении нави¬
гационных измерений. — «Космические исследования», 1971, т. 9, №	2,
с. 188—195.
7.	Бахшиян Б. Ц. Оптимальный выбор информации при определении тра¬
ектории космического аппарата. — «Космические исследования», 1969, т. 7,
№ 3, с. 445—449.
8.	Бахшиян Б. Ц. Выбор оптимальных моментов независимых траектор¬
ных измерений. — «Космические исследования», 1971, т. 9, № 1, с. 3—8.
9.	Белоусов Л. Ю. О задаче квадратичного программирования в вопро¬
сах планирования траекторных измерений. — «Космические исследования»,
1971, т. 9, № 3, с. 813—823.
10.	Бэттин Р. Наведение в космосе. М., «Машиностроение» 1966, 447 с.
11.	Белман Р. Динамическое программирование. М., ИЛ, 1959, 457 с.
12.	Богуславский И. А. Методы навигации и управления по неполной ста¬
тистической информации. М., «Машиностроение», 1970, 255 с.
13.	Брыков А. В. Оценка влияния корреляции между измерениями на точ¬
ность результатов обработки. — «Искусственные спутники Земли», 1963,
вып. 16, с. 124—135.
14.	Гантмахер Ф. Р. Теория матриц. М., «Наука», 1966, 575 с.
15.	Гренандер У., Сегё Г, Теплицевы формы и их приложение. М., ИЛ,
1961, 190 с.
16.	Гасс С. Линейное программирование. М., Физматгиз, 1961, 280 с.
17.	Демидович Б. П., Марон Н. А. Основы вычислительной математики.
М., Физматгиз, 1963, 664 с.
18.	Ершов В. Г. Об оптимизации программы траекторных измерений.—
«Космические исследования», 1970, т. 7, № 1, с. 8—12.
19.	Исаев В. К., Сонин В. В. Об одной модификации метода Ньютона
численного решения краевых задач. — «Журнал вычислительной математики
и математической физики», 1963, т. 3, № 6, с. 1114—1116.
20.	Козлов Н. Н. Об оптимизации процесса траекторных измерений. —
«Космические исследования», 1971, т. 9, № 1, с. 3—17.
348

21.	Крамер Г. Математические методы статистики. М., ИЛ, ,1948, 631 с.
22.	Кубасов В. Н. Коррекция межпланетных траекторий с помощью им-
пульсов радиальной геоцентрической теории. — «Космические исследования»,
1966, т. 1, № 5, с. 701—708.
23.	Линник Ю. В. Метод наименьших квадратов и основы теории обра¬
ботки наблюдений. М. Физматгиз, 1962, 349 с.
24.	Лидов М. Л. К априорным оценкам точности определения парамет¬
ров по методу наименьших квадратов. — «Космические исследования», 1964,
т. 2, № 5, с.
25.	Лидов М. Л., Ляхова В. А. Вычислительный алгоритм импульсной
коррекции при наличии ограничений. — «Космические исследования», 1970,
т. 6, № 4, с. 501—514.
26.	Охоцимский Д. Е., Рясин В. А., Ченцов Н. Н. Оптимальная стратегия
при корректировании. — ДАН, 1967, т. 175, № 1, с. 47—50.
27.	Платонов А. К. Исследование свойств корректирующих маневров в
межпланетных полетах. — «Космические исследования», 1966, т. 1, № 5,
с. 670—693.
28.	Платонов А. К., Дашков А. А., Кубасов В. Н. Автоматическое управ¬
ление космическими летательными аппаратами. Доклад на первом симпозиуме
ИФАК. М„ «Наука», 1968, с. 74—82.
29.	Поляков В. С. Некоторые вопросы оптимизации стратегии коррекции.
Труды всесоюзной конференции по статистическим методам, Рига, «Зи-
натпе», 1968, с. 47—51.
30.	Порфирьев Л. Ф. Анализ оценки точности определения координат
и скорости по результатам статистической обработки астрономических измере¬
ний.— «Космические исследования», 1968, т. 6, № 3, с. 352—363.
31.	Растригин Л. А. Статистический метод поиска. М., «Наука», 1968,
376 с.
32.	Резников Б. А. О параметрической наблюдаемости космических аппа¬
ратов.— «Космические исследования», 1968, т. 6, № 3, с. 338—351.
33.	Рудаков В. М. Об оптимальном выборе моментов навигационных из¬
мерений. — «Космические исследования», 1969, т. 7, вып. 3, с. 352—358.
34.	Стерн Р., Портер Д. Оптимизация коррекции на маршевом участке. —
В кп. «Автоматическое управление космическими летательными аппаратами».
М., «Наука», 1968, с. 56—74.
35.	Субботин М. Ф. Введение в теоретическую астрономию. М., «Наука»,
1968, 800 с.
36.	Уайлд Д. Методы поиска экстремума. М., «Наука», 1967, 267 с.
37.	Шапиро И. И. Расчет траекторий баллистических снарядов по данным
радиолокационных наблюдений. М., ИЛ, 1961, 319 с.
38.	Эльясберг П. Е., Ястребова В. Д. Определение плотности верхней ат¬
мосферы по результатам наблюдений за полетом третьего советского искусст¬
венного спутника Земли. — «Искусственные спутники Земли», 1960, вып. 4,
с. 18—30.
39.	Эльмсберг П. Е. Введение в теорию полета искусственных спутников
Земли. М., «Наука», 1965, 540 с.
40.	Эльясберг П. Е., Бахшиян Б. Ц. Определение траектории полета кос¬
мического аппарата при отсутствии сведений о законе распределения ошибок
измерений. — «Космические исследования», 1969, т. 7, № 1, с. 18—28.
41.	Энеев Т. М., Платонов А. К., Казакова Р. К. Определение параметров
орбиты искусственного спутника по данным наземных измерений. — «Искусст¬
венные спутники Земли», 1960, вып. 4, с. 43—55.
42.	Ярошевский В. А., Петухов С. В. Оптимальная однопараметрическая
коррекция космических аппаратов. — «Космические исследования», 1970, т. 8,
№ 4, с. 515—525.
43.	Яров-Яровой М. С. Об интегрировании регуляризированных уравнений
задачи двух тел. — «Дифференциальные уравнения», 1965, т. 1, = 7, с. 961—976.

ОГЛАВЛЕНИЕ
Предисловие . . . ,	 3
Введение	  5
Часть I. Методы оптимизации стратегии навигационных измерений 9
Глава 1. Основные понятия. Характеристики точности определения
траектории	 Ю
1.1.	Навигационные измерения	 10
1.2.	Метод максимального правдоподобия	 11
1.3.	Классификация ошибок измерений и некоторые свойства мат¬
рицы ошибок определения	параметров траектории	 14-
1.4.	Формирование оценки дисперсии ошибки определения пара¬
метра т]=т](а)	 21
1.5.	Оценки дисперсии первого	класса	 26
1.6.	Некоторые свойства оценок дисперсий первого класса. Теоре¬
ма эквивалентности		 30
1.7.	Оценки дисперсии второго	класса	 36
1.8.	Элементарные и составные	оценки дисперсий	 40
Г лава 2. Пространство параметров траектории и выпуклая оболочка 45
2.1.	Пространство параметров траектории	 45
2.2.	Геометрическая интерпретация формул для оценок дисперсии
ошибок определения параметра г]	 48
2.3.	Вектор-функция с плоским годографом	 56
2.4.	Выпуклая оболочка навигационных вектор- и матричной
функций	 68
2.5.	О существовании множеств Т (1т, q)	и Т (1Т, q, Fo) . . . .	74
Глава 3. Постановка задачи определения оптимального количества
измерений и стратегии размещения измерений. Некоторые
особенности решения этих задач	 88
3.1.	Многомерный определяемый параметр.	Функция	оценок . .	88
3.2.	Формулировка задач оптимальной стратегии	измерений .	95
3.3.	Оптимальное количество измерений	 98
3.4.	Разложение множества моментов измерений в последователь¬
ность множеств убывающей эффективности	103
3.5.	Оптимальная стратегия размещения измерений для элемен¬
тарных оценок при т=\	111
350

Глава 4. Оптимальная стратегия размещения однородных измерений
для элементарных оценок при т>1	 118
4.1.	Оптимальная стратегия размещения измерений для оценок
Dr'll и D33ri при наличии вектор-функции с плоским годо¬
графом 	    118
4.2.	Последовательность множеств убывающей эффективности
для оценок Di»r) и D33T]	 122
4.3.	Оптимальная стратегия размещения измерений для оцен¬
ки D,3!]	_	126
4.4.	Оптимальная стратегия размещения измерений для оценки
D33i]	u	136
4.5.	Оптимальная стратегия размещения измерений для оценки
D|3i] дисперсии ошибки определения р-мерного определяемого
параметра ч	139
Глава 5. Оптимальная стратегия размещения измерений для состав¬
ных оценок	146
5.1.	Оптимальная стратегия размещения однородных измерений
для оценки D2t]	146
5.2.	Оптимальная стратегия размещения неоднородных измерений
для оценки Di3T|	148
5.3.	Оптимальная стратегия размещения измерений для оценки
D3n	152
Часть II. Коррекция траекторий космических полетов	159
Глава 6. Общие вопросы коррекции траектории	 159
6.1.	Определение коррекции. Корректируемые параметры ....	159
6.2.	Классификация коррекций	161
6.3.	Формулировка задачи линейной	коррекции	 165
Глава 7. Детерминированная коррекция	167
7.1.	Одноимпульсная коррекция	 170
7.2.	Связанная коррекция			176
7.3.	Отклонения корректируемых и некорректируемых параметров
после коррекции		182
7.4.	Многоразовая коррекция	184
Глава 8. Свойства детерминированной одноразовой коррекции . . .	193
8.1.	Некоторые свойства одноимпульсной коррекции	193
8.2.	Некоторые свойства связанной одноразовой коррекции . . . 203
8.3.	Исследование отклонений корректируемых и некорректируе¬
мых параметров	 213
Глава 9. Статистическая коррекция			218
9.1.	Методика расчета статистической	коррекции	221
9.2.	Некоторые свойства одноимпульсной статистической кор¬
рекции 	226
9.3.	Методы расчета энергетики коррекций	236
9.4.	Ошибки исполнения коррекции	 246
Глава 10. Оптимальная стратегия коррекций	257
10.1.	Критерии оптимальности	 259
10.2.	Методы оптимизации стратегии коррекция	 261
10.3.	Свойства оптимальной стратегии однопараметрической мно¬
горазовой коррекции	266
351

Часть III. Алгоритмы решения навигационных задач	272
Г лава И. Математическая модель движения	 273
11.1.	Задача двух тел. Основные соотношения	274
11.2.	Регуляризированные уравнения задачи двух тел. Расчет т.-
кущего вектора состояния по начальному	277
11.3.	Расчет текущего вектора состояния по двум положениям 1\А 282
11.4.	Точная модель движения	294
Г лава 12. Численное решение нелинейных уравнений	298
12.1.	Решение уравнений вида у—у(х) с использованием алгорит¬
ма расчета начального приближения	299
12.2.	Решение уравнений вида у=у(х) без использования алго¬
ритма расчета начального приближения	303
12.3.	Минимизация функционала Ф = [.у*—,у(х)]тВ“1[.у*—у(х)] 304
Г лава 13. Алгоритм определения траектории по навигационным из¬
мерениям 	306
13.1.	Методы решения уравнения правдоподобия. Выбор опреде¬
ляемых параметров	307
13.2.	Построение алгоритма расчета начального приближения для
некоторых составов бортовых навигационных измерений . .	312
13.3.	Вычисление расчетных значений измеряемых параметров .	318
13.4.	Методы вычисления производных	 322
Г лава 14. Определение параметров маневров или коррекций	327
14.1.	Годографы векторов скорости для различных корректируе¬
мых параметров	 329
14.2.	Вычисление импульса маневра в задаче двух тел	333
14.3.	Алгоритм точного расчета параметров маневров или кор¬
рекций 	335
Библиографическая справка	338
П риложение	342
1.	О частичной упорядоченности множества симметрических
матриц	 342
2.	О псевдообратных и	проектирующих	матрицах	 343
3.	Некоторые формулы	для обращения	квадратных матриц . .	345
4.	Свойства полярного	разложения матриц	 347
Список литературы	 348
Игорь Константинович Бажинов, Владимир Иванович Алешин, Владимир Николаевич
Почукаев, Владимир Сергеевич Поляков
КОСМИЧЕСКАЯ НАВИГАЦИЯ
Редактор Л. Ф. Ермилова	Художник .1. Я. Михайлов
Техн, редактор Т. С. Старых	Корректор Л. Е. Хохлова
Сдано в набор 9/VIII-1973 г.	Подписано в печать 23/XI 1-1974 г.	Т-21811
Формат 60X90'/i6	Печ. л. 22,0	Уч. изд. л. 20,55	Бумага № 1
Тираж 2000 укз.	Изд. зак. № 3208	Цена 2 р. 34 к.
Издательство «Машиностроение», 107885 Москва, Б-78, 1-й Басманный пер.. 3.
Московская типография № 8 «Союзполиграфнрома»
при Государственном комитете Совета Министров СССР
по делам издательств, полиграфии и книжной торговли,
Хохловский пер., 7. Тип. зак. 3490.

Цена 2 р. 34 к.